Г. К. Гудвин
С. Ф. Гребе
М. Э. Сальгадо
—проекты • • i ани -
СИСТЕМ 4 t НИЯ
Классическое
П J -управление
Синтез в пространстве
состояний
Цифровые и гибридные
системы управления
Учет фундаментальных
о аничении при синтезе
Параметризация регуляторов
оптимальное управление

CONTROL SYSTEM DESIGN
Graham C. Goodwin
Centre for Integrated Dynamics and Control
University of Newcastle
Newcastle, AUSTRALIA
Stefan F. Graebe
OMVAktiengesellschaft
Department of Optimization/Automation
Vienna, AUSTRIA
Mario E. Salgado
Departamento de Electrcmica
Universidad Tecnica Federico Santa Maria
Valparaiso, CHILE
Prentice Hall
Upper Saddle River, New Jersey 07458

Г. К. Гудвин
С. Ф. Гребе
М. Э. Сальгадо
проектирование
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Перевод с английского
А. М. Епанешникова
*
Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний
2004

УДК 681.5
ББК 32.965
Г93
Гудвин Г. К.
Г93 Проектирование систем управления/Г. К. Гудвин, С. Ф. Гре-
бе, М. Э. Сальгадо. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004.—
911 с, ил.
ISBN 5-94774-128-8
В книге излагаются современные методы проектирования одномерных
(SISO) и многомерных (MIMO) систем автоматического управления. Синтез
регуляторов основан как на классической теории управления — аппарате
передаточных функций (чувствительностей), так и на современной теории
управления — методах пространства состояний. Рассматриваются
непрерывные (линейные и нелинейные) и цифровые системы. Большое внимание
уделяется проектированию систем управления с использованием критериев
оптимальности.
Прилагаемый к книге CD-ROM содержит обширную дополнительную
информацию, в том числе интерактивные учебные примеры,
иллюстрирующие применение изложенных методов проектирования к реальным
промышленным системам.
Преподавателям, студентам и аспирантам технических вузов, а также
научным работникам и инженерам-практикам, занимающимся
проектированием систем управления.
УДК 681.5
ББК 32.965
Все права защищены. Никакая часть этой книги не может быть
воспроизведена или передана в любой форме или любыми средствами, электронными
или механическими, включая фотографирование, магнитную запись или
иные средства копирования или сохранения информации без разрешения
Pearson Education, Inc.
All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in
any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying,
recording or by any information storage retrieval system, without permission
from Pearson Education, Inc.
По вопросам приобретения обращаться:
«БИНОМ. Лаборатория знаний» (095) 955-03-98, email: lbz@aha.ru
Authorized translation from the English
language edition, entitled CONTROL
SYSTEM DESIGN, 1st Edition by
GOODWIN, GRAHAM C; GRAEBE,
STEFAN F.; SALGADO, MARIO E.,
published by Pearson Education, Inc,
publishing as Prentice Hall,
Copyright © 2001 by Prentice Hall
RUSSIAN language edition published by
BKL PUBLISHERS, Copyright © 2004
ISBN 0-13-958653-9 (англ.) © Перевод на русский язык,
ISBN 5-94774-128-8 (руССК.) БИНОМ. Лаборатория знаний,

Предисловие
к русскому переводу
Предлагаемая читателю книга содержит полезный материал по
вопросам теории и практики создания систем управления.
Конечно же, в первую очередь это учебник для студентов, причем
он построен таким образом, что позволяет рассматривать те или иные
вопросы на разных уровнях сложности. Это также и прекрасное
пособие для преподавателя, предоставляющее возможность идти от
первоначального знакомства с проблемой к ее дальнейшему углубленному
изучению.
В отличие от многих отечественных учебников здесь, как правило,
не «разжевываются» те или иные вопросы, а формулируется проблема
и даются пути ее решения. Поэтому прочтение этой книги еще не
гарантирует успешной сдачи экзамена по соответствующему курсу, а
требует осмысления представленного здесь материала. Таким образом, она
стимулирует студента творчески подойти к рассмотренным вопросам,
задуматься над ними, чего так порой не хватает в наших отечественных
курсах.
Положительным моментом книги является то, что она написана
людьми, которые являются не только преподавателями, но и практиками.
Поэтому многие проблемы здесь не носят академический характер, а
почерпнуты из практической деятельности по созданию систем
управления разнообразного назначения.
Интересны некоторые методические нововведения авторов. Так,
например, параллельное рассмотрение непрерывных и дискретных систем,
кажущееся на первый взгляд непривычным, по-видимому, имеет смысл,
учитывая аргументацию авторов, что подавляющее большинство
современных систем управления — цифровые системы.
Материал сопровождается большим числом примеров, которые
необходимо решить, чтобы быть уверенным, что материал соответствующей
главы достаточным образом усвоен. Примеры тщательно подобраны и

6 Предисловие к русскому переводу
дают преподавателю широкое поле деятельности для формирования
на их основе других примеров различной сложности, которые можно
предложить студентам.
Однако, на наш взгляд, некоторые вопросы можно было бы осветить
более строго. В частности, скорее интуитивные нежели строгие
рассуждения об устойчивости систем, связанные с рассмотрением нахождения
полюсов передаточной функции на комплексной плоскости, было бы
неплохо в первых же глазах заменить определением устойчивости по
Ляпунову (которое в конце концов авторы вынуждены ввести в
последующих главах), откуда непосредственно бы вытекало как следствие
влияние расположения полюсов на устойчивость (да и разночтений с
границей устойчивости — куда ее относить — к области устойчивых или
неустойчивых систем, тогда бы не было).
Текст перевода скорректирован с учетом замеченных опечаток,
приведенных на Web-сайте книги. В русском переводе устранены также
некоторые замеченные нами незначительные опечатки оригинального
текста (конечно же, при этом добавлены другие неточности, будем
надеяться, несущественные).
Книга написана доступным ясным языком, что немаловажно для
учебника. О качестве же перевода судить читателю. Во всяком случае,
мы надеемся, что знакомство с этой книгой будет приятно для читателя.

С благодарностью за поддержку и
понимание посвящается Росслин,
Элис, Мариви
Благодарности
Авторы хотят выразить благодарность большому числу коллег и
друзей, которые работали с нами в области управления на протяжении
ряда лет. Эта книга фактически является синтезом идей, которые
они помогли нам сформулировать. Все три автора работали какое-то
время вместе в Научном центре промышленных систем управления
Университета Ньюкасла, Австралия. Это было плодотворное время для
многочисленных дискуссий о принципах управления. Финансирование
этого центра Австралийским Правлтельством по программе поддержки
государственных центров заслуживает благодарности. Финансовая и
другая поддержка обеспечивалась также Техническим Университетом
Федерико Санта Марии, позволившая, помимо прочего, первому автору
несколько раз посетить Чили в течение написания этой книги. Многие из
студентов и коллег читали черновики книги в течение пяти лет. Авторы
несут полную ответственность за научные положения, отраженные в
книге (и все оставшиеся ошибки). Тем не менее, они желают особенно
поблагодарить за полезные советы Томаса Бринсмида, Артура Конлей,
Сэма Крисафулли, Хозе де Дона, Ари Фойера, Джейма Глариа,
Уильяма Хита, Кацуо Комацу, Дэвида Мейна, Тристана Переса, Марию
Серон, Густаво Вергара, Люпинь Вонг и Стива Веллера. Книга была
подготовлена и напечатана многими людьми, включая авторов; однако
на заключительных стадиях создания книги значительную помощь
оказала Джейн Дисней. Тим Уайли и Адриан Бастиани любезно создали
технические рисунки, приведенные в тексте. Авторы также хотят
поблагодарить сотрудников Prentice-Hall, особенно Эрика Франка, за их
советы, руководство и поддержку в течение создания книги. Авторы
также благодарны за очень ценные и первоначально анонимные
отзывы, полученные от следующих рецензентов первого варианта: Кемина

8 Благодарности
Зоу (Государственный университет штата Луизиана), Рика Джонсона
(Корнельский университет), Дж. Б. Пирсона (Университет Раиса), Чаки
Абдалла (Университет Нью-Мексико), Стивена Чина (Католический
Университет Америки), Энди Грэйса (The Mathworks, Inc.), Джима
Фройденберга (Университет Мичигана), Билла Перкинса (Университет
штата Иллинойс в Урбана-Шампейн) и Хассана Халила (Мичиганский
Государственный университет). Мы полагаем, что окончательная
рукопись в должной мере отражает их очень полезные и проницательные
предложения.

Условные обозначения
Е= равно по определению
t непрерывное время
/(£) непрерывный сигнал
к дискретное время
{/[&]} дискретная последовательность
А период квантования
f{kA) квантованный вариант f(t)
5 дельта-оператор
q оператор сдвига вперед
5к (к) дельта-импульс Кронекера
8{t), Sn(t) дельта-импульс Дирака
£{...} ожидаемое значение ...
Гс матрица управляемости в пространстве состояний
Г0 матрица наблюдаемости в пространстве состояний
Л{...} множество собственных значений матрицы
/i(t — i0) единичная ступенька (непрерывное время) в момент
* = t0
/i[fc — k0] единичная ступенька (дискретное время) в момент
Л/ П/Q
fs{t) дискретная версия f(t) с использованием импульса
Дирака
F[...] преобразование Фурье
£[...] преобразование Лапласа
D[...] дельта-преобразование
Z[...] Z-преобразование
T~l[...] обратное преобразование Фурье
С~1[...] обратное преобразование Лапласа
V~l[...] обратное дельта-преобразование

10 Условные обозначения
Z"l[...] обратное Z-преобразование
s комплексная переменная преобразования Лапласа
ш угловая частота
7 комплексная переменная дельта-преобразования
z комплексная переменная Z-преобразования
F(juj) преобразование Фурье от /(£)
F(s) преобразование Лапласа от f(i)
^(7) дельта-преобразование от {/[&]}
Fq(z) Z-преобразование от {/[&]}
/l(*) * /2(*) свертка }\{t) и /2(f) во временной области
F\{s)*F2{s) свертка F\(s) и i*2(s) в комплексной области
Е{...} вещественная часть
JT{...} мнимая часть
Стхп множество всех матриц размерности mxn с
комплексными компонентами
%2 Гильбертово пространство квадратично
интегрируемых функций вдоль мнимой оси и аналитических в
правой полуплоскости
С\ Гильбертово пространство абсолютно интегрируемых
функций вдоль мнимой оси
£2 Гильбертово пространство квадратично
интегрируемых функций вдоль мнимой оси
Ноо Гильбертово пространство ограниченных функций
вдоль мнимой оси и аналитических в правой
полуплоскости
VSKoq Гильбертово пространство рациональных
ограниченных функций вдоль мнимой оси и аналитических в
правой полуплоскости
£оо Гильбертово пространство ограниченных функций
вдоль мнимой оси
N множество всех натуральных чисел
Ш+ множество вещественных чисел, больших нуля
R" множество вещественных чисел, меньших нуля
Emxn множество всех матриц размерности m x n с
вещественными компнентами
S множество всех вещественных рациональных
функций с (ограниченными) полюсами строго внутри левой
полуплоскости
Z множество всех целых чисел
[a,ik] матрица, у которой элемент в t-й строке и fc-м столбце
обозначен через а^
[A]ik элемент в г-й строке и fc-м столбце матрицы А

Условные обозначения 11
[А],.
[А].*
(•■•Г
Сло(в)
См(я)
я(...)
Hi®Ha(...>
life
г-я строка матрицы А
fc-й столбец матрицы А
комплексно-сопряженная величина
передаточная функция экстраполятора нулевого
порядка
передаточная функция экстраполятора первого
порядка
обозначение оператора преобразования
составной оператор, т. е. Н\{Н2(•••))
единичная матрица вК^л
diag(ai,a2,...,an) диагональная матрица с элементами а,{
det(A)
argQF
minF
AdjA
rank A
S-ШЮСКОСТЬ
SISO-система
MIMO-система
AOM
ЛКР
ЛМДО
ЛПП
МДО
MOM
МОУ
МПУ
ПВМ
ПМДО
ППП
определитель матрицы А
аргумент Q функции F
минимальное значение функции F
присоединенная матрица матрицы А
ранг матрицы А
плоскость комплексного параметра s
система с одним входом и одним выходом (Single-Input
Single-Output)
система со многими входами и многими выходами
(Multi-Input Multi-Output)
аддитивная ошибка моделирования
линейный квадратичный регулятор
левое матричное дробное описание
левая полуплоскость
матричное дробное описание
мультипликативная ошибка моделирования
массив относительных усилений
модельное прогнозирующее управление
принцип внутренней модели
правое матричное дробное описание
правая полуплоскость

Предисловие
Введение в проектирование систем управления
Проектирование систем управления играет важную роль в современных
технологических системах. Выгоды от совершенствования систем
управления в промышленности могут быть огромны. Они включают
улучшение качества изделия, уменьшение потребления энергии, минимизацию
материальных затрат, повышение уровней безопасности и сокращение
загрязнения окружающей среды. Трудность однако здесь состоит в
том, что ряд наиболее передовых идей имеет сложный математический
аппарат. Возможно, математическая теория систем —одно из наиболее
существенных достижений науки двадцатого века, но ее практическая
ценность определяется выгодами, которые она может приносить. По
этой причине мы сделали в книге сильный акцент на практическую
сторону, в конечном счете, несколько нарушив баланс между теорией
и практикой.
Участие авторов в ряде промышленных проектов* систем управления
было одной из побудительных причин написать эту книгу. Из типичных
технических задач мы исследовали динамику жидкостей и тепловых
процессов, негативные воздействия нестабильности частоты
сканирования программируемых контроллеров, занимались вопросами интеграции
систем и протоколов обмена в сети, идентификацией объектов
управления и разрабатывали безопасные схемы исследования опытных
вариантов систем управления для потенциально опасных объектов. Короче
говоря, мы испытали ежедневные волнения, разочарования, препятствия,
неудачи и успехи в разработке продвинутых систем управления, чтобы
внести свой вклад в практические результаты коммерческой компании.
Это —не простая задача. Успех здесь зависит от широкого диапазона
мультидисциплинарных навыков, однако это полезная и захватывающая
работа для тех, кто ей занимается.
Одна из главных целей данной книги — поделиться этими чувствами
с нашими читателями. Мы надеемся оказать влияние на развитие навы-

Введение в проектирование систем управления 13
ков и отношение к проблеме читателей, в первую очередь студентов,
что вооружит их в решении реальных задач. Таким образом, книга
предназначена внести вклад в продолжающуюся реформу учебного
плана специальности «Проектирование систем управления». Эта тема
продолжает серьезно привлекать международное общественное мнение,
поскольку педагоги стремятся отразить привлекательность и важность
разработки систем управления. Действительно, все выпуски Журнала
по системам управления IEEE были посвящены этой теме.
Преобразование учебного плана, однако не может быть обеспечено
одними книгами. Это делается людьми: студентами, преподавателями,
исследователями, практиками, публицистами и рецензентами, а также
требованиями рынка. Кроме того, для эффективности и
жизнеспособности этих усилий нужно, чтобы общество разработчиков систем
управления сообщало о своих достижениях через новые книги,
лаборатории, модели и глобальные вычислительные сети. Следовательно,
требуются различные дополняющие друг друга подходы. В этом смысле
авторы полагают, что книга будет, в некотором роде, полезна, если она
привлечет интерес студентов к захватывающей дисциплине разработки
систем управления.
Мы подчеркиваем, что это — не книга с практическими
рекомендациями. Напротив, мы даем всестороннее, но все же сжатое, представление
строгой разработки систем управления. Мы используем, как и требуется,
математику в качестве средства моделирования процессов для анализа
их свойств под действием обратных связей, для синтеза регуляторов
с требуемыми свойствами и достижения цели с учетом внутренних
компромиссов и ограничений, присущих задаче.
В частности мы полагаем, что успех при проектировании систем
управления зависит от двух ключевых моментов: а) всестороннего
понимания самого процесса, полученного при изучении физических,
химических и других явлений, и б) знания фундаментальных концепций
сигналов, систем и обратной связи. Первый момент обычно занимает
более половины усилий. Это — неизбежный компонент полного цикла
проектирования; однако непрактично описывать все детали процессов,
для которых можно было бы применять системы управления, потому
что они охватывают и химические объекты, и электромеханические
системы, и роботы, и энергетические генераторы и т. д. Таким образом,
мы концентрируемся на фундаментальных аспектах проектирования
систем управления, являющихся общими для любых приложений и
отсылаем читателей дополнить свои знания процессами в собственных
конкретных задачах. Таким образом, книга преимущественно нацелена
на второй компонент разработки систем управления. Конечно же, мы

14 Предисловие
приведем в соответствующем контексте примеры использования
излагаемых методов применительно к некоторым реальным системам.
Центральная тема этой книги — непрерывные системы управления,
однако мы также рассмотрим подробно и цифровое управление, потому
что большинство современных систем управления обычно используют те
или иные средства вычислительной техники. Этот подход естественно
привел к книге большего объема, чем первоначально предполагалось,
однако преимуществом является более полное рассмотрение проблемы в
одном произведении. Естественно, остались специальные темы, которые
не охвачены книгой; однако мы полагаем, что обеспечили достаточную
основу для того, чтобы читатель мог безболезненно перейти к изучению
соответствующей дополнительной литературы.
Цели
Таким образом, при написании этой книги мы выбрали в качестве
основных целей следующие:
• обеспечение возможности работы с серьезным материалом,
выбранным по своему усмотрению;
• концентрация основного внимания на проектировании, включая
методы учета фундаментальных компромиссов и ограничений;
• обеспечение дополнительной поддержки с помощью мощной
интерактивной глобальной вычислительной сети и
• демонстрация достоверности материала на основе рассмотрения
многочисленных промышленных примеров.
Действительно, материал в книге иллюстрирован многочисленными
промышленными системами, к которым авторы имели прямую
причастность. Большинство этих систем было выполнено в сотрудничестве
с промышленностью в Объединенном центре динамики и управления
(Centre for Integrated Dynamics and Control — CIDAC) (специальный
исследовательский центр Британского Содружества) в Университете
Ньюкасла.
Проекты, которые мы выбрали для описания, следующие:
• слежение за спутником;
• управление уровнем рН;
• управление непрерывным литьем;
• управление сахарным отжимным прессом;
• управление колонной дистилляции;
• управление синтезом аммиака;

Краткий обзор книги 15
• оценка массы цинкового покрытия на непрерывных линиях
гальванизации;
• управление толщиной полосы прокатного стана с помощью BISRA-
измерителя1;
• компенсация эксцентриситета валков прокатного стана;
• эффект затягивания на реверсивном прокатном стане;
• управление поверхностью полосы прокатного стана;
• управление вибрацией.
Проектирование —- сложный процесс, который требует принятия
решений и использования итераций. Задача проектирования обычно не
полностью определена, иногда неточно указана и часто не имеет
решения. Ключевой момент в проектировании — понимание тех факторов,
которые ограничивают достижение решения. Это естественно приводит
к выводу о создании системы управления с учетом этих основных
ограничений. К этой точке зрения мы постоянно возвращаемся в течение
всей книги.
Наша цель не состоит в том, чтобы дать исчерпывающие
математические исследования, а в том, чтобы дать читателю такой материал,
который он может сразу же применить на практике. Мы предполагаем,
что читателю доступны современные вычислительные средства,
включая пакет программирования MATLAB-SIMULINK. Это позволяет нам
сосредоточиться в первую очередь на фундаментальных идеях, а не на
прикладных. Каждая глава включает относящиеся к теме примеры и
задачи для читателя.
Краткий обзор книги
Книга разделена на восемь частей. Ниже дается резюме каждой из
частей.
Часть I: Элементы
Эта часть охватывает основные непрерывные сигналы и системы. Ее
можно использовать для вводного курса по этой теме. С другой стороны,
этот материал можно рассматривать как исходный для дальнейшего
серьезного изучения систем управления.
1BISRA (British Iron and Steel Research Association) — Британская исследовательская
ассоциация железа и стали, в которой разработан данный метод.

16 Предисловие
Часть II: Основы SISO-систем управления
Эта часть посвящена системам управления с одним входом и одним
выходом (SISO-системам —- Single-Input Single-Output), включая
классическое пропорционалъно-интегралъно-дифференцирующее (ПИД)
регулирование. Эта часть вместе с первой частью охватывает содержание
многих существующих учебных планов основных курсов теории
управления.
Часть III: Проектирование SISO-систем управления
Эта часть охватывает проблемы проектирования систем управления
с одним входом и одним выходом. Мы .считаем многие из этих идей
очень важными в практических задачах управления. В частности, мы
полагаем, что глава, в которой говорится об ограничениях, должна быть
по возможности во всех вводных курсах. Аналогично и упреждение, и
каскадные структуры, о которых говорится в этой части, очень часто
используются на практике.
Часть IV: Цифровое управление
Эта часть охватывает материал, необходимый для понимания цифрового
управления. Мы здесь отходим от традиционных подходов к этой теме,
рассматривая проблемы поведения системы между моментами
квантования.
Часть V: Продвинутое SISO-управление
Эта часть могла бы стать основой углубленного (после начального)
курса по системам управления. Она посвящена основным понятиям,
которые затем используются в данной книге для систем со многими
входами и многими выходами (MIMO-систем — Multi-Input Multi-Output).
Часть VI: Основы MIMO-управления
Эта часть содержит основы для начального курса по системам
управления со многими входами и многими выходами. В частности она содержит
основы теории MIMO-систем управления. Здесь также показано, как
можно использовать методы SISO-систем управления для некоторых
задач МШО-проектирования.

Использование этой книги 17
Часть VII: Проектирование MIMO-систем управления
Эта часть описывает идеи и средства, которые могут использоваться
при проектировании промышленных МШО-систем. В частности, она
включает теорию линейного квадратичного оптимального управления
и оптимальную фильтрацию. Эти две темы особенно важны в
приложениях. Мы также включаем главу по модельному прогнозирующему
управлению, поскольку считаем этот материал важным из-за широкого
использования его идей в промышленных приложениях.
Часть VIII: Продвинутое MIMO-управление
Эта заключительная часть книги могла бы быть использована для
индивидуального изучения. Она предназначена для проверки усвоения
читателем материала книги, исследуя углубленные вопросы. С
другой стороны преподаватели могли бы использовать эту часть, чтобы
углубить материал частей VI и VII во многих продвинутых курсах по
MIMO-системам управления.
Использование этой книги
Это — всесторонняя книга по проектированию систем управления,
которую можно рекомендовать для многих различных курсов. Если она
используется для начального курса по системам управления, то
неиспользованный материал может быть в дальнейшем с успехом применен
в практической деятельности или для написания обзоров. Если же
она используется для продвинутого курса, то ранний материал дает
превосходную основу для построения такого курса.
Книгу можно использовать для многих различных вариантов курса.
Здесь можно выделить следующие варианты.
1. Сигналы и системы
Его можно было бы преподавать на основе части I книги.
2. Основы теорий систем управления
Его можно преподавать на основе второй части книги совместно с
некоторыми материалами из части I (в зависимости от уровня подготовки
студентов по сигналам и системам) и некоторыми материалами из части
III. В частности, глава по ограничениям проекта (гл. 8) требует только
элементарного знания преобразования Лапласа и дает студентам пони-

18 Предисловие
мание тех проблем, которые ограничивают достижимость цели. Это —
чрезвычайно важный компонент всех задач проектирования реальных
систем управления. Очень важна практически также и гл. 11, в которой
говорится об ограничениях. Наконец, идеи упреждения и каскадных
структур, которые рассмотрены в гл. 10, являются существенными в
задачах проектирования реальных систем управления.
3. Цифровое управление
Этому можно учить на основе части IV. Действительно, мы чувствуем,
что наш подход в большей степени направлен на приложения, чем
многие из традиционных подходов, в связи с рассмотрением поведения
систем между моментами квантования. В различных курсах,
читавшихся авторами этой книги, материал по цифровому управлению обычно
включался в курс основ теории систем управления. Это возможно
потому, что студенты хорошо подготовлены с помощью курса сигналов
и систем, предшествующего курсу систем управления.
4. Продвинутый курс по системам управления
Продвинутый курс по системам управления обычно включает введение
в проектирование на основе пространства состояний, наблюдателей и
обратной связи по переменным состояния. Этот материал можно
преподавать на основе частей V-VII книги. Часть V относительно проста и
служит мостиком от SISO-систем (которым главным образом посвящены
части I—IV) к MIMO-системам (которые в основном описаны в частях
VI-VIII).
Мы считаем гл. 22, посвященную оптимальному управлению и
фильтрации, очень важной и включили в нее много учебных проектов
реальных систем. Важна также и гл. 23, посвященная модельному
прогнозирующему управлению, поскольку эта техника широко используется
в промышленных системах управления.
Двое авторов (Гудвин и Сальгадо) преподавали в Австралии и
Южной Америке начальный и продвинутый курсы упомянутого выше типа,
используя черновой вариант этой книги.
Web-сайт
Мы создали для поддержки книги комплексный Web-сайт. Он содержит
следующую информацию.

Web-сайт 19
• Все приложения (так что этот материал можно читать одновременно
с текстом книги).
• Полная поддержка пакета MATLAB (он может быть загружен и
использован для воспроизведения всех примеров книги).
• Интерактивные Java-лаборатории (они иллюстрируют материал
книги, но могут также использоваться для функционального
взаимодействия).
• Избранные решения задач. (Они позволяют студентам разобраться,
как могут быть решены некоторые ключевые задачи. Конечно,
преподавателям, которые воспользуются книгой, по их просьбе могут быть
высланы копии полного сборника решений, который охватывает весь
набор задач книги.)
• Обсуждение в реальном времени (где могут быть подняты и
обсуждены темы проектирования систем управления, представляющие общий
интерес).
• Секция опечаток (используется, чтобы сообщить подробности о
любых ошибках, найденных в книге).
• Расширенные электронные слайды (приблизительно 2500 слайдов
доступны для использования с книгой).
Нам представляется использование этого материала следующим
образом:
Для преподавателя
Мы полагаем, что поддержка MATLAB и электронные слайды должны
быть особенно полезны для преподавателя. Например, было бы
возможно преподавать курс, полностью используя имеющиеся ресурсы.
Мы также выяснили, что студенты любят использовать интерактивные
лаборатории. Они могут быть показаны в аудитории как часть лекции
или даны студентам для улучшения понимания ими материала.
Для студента
Мы считаем, что электронные слайды хорошо и просто поясняют
содержание книги, обходя при этом все ненужные технические трудности.
Даже если ваш преподаватель не использует эти слайды в своих
демонстрациях, мы полагаем, что они — превосходное средство для целей
изучения. Если вы распечатаете и опишете их, то запоминание
материала должно стать легче. Студенты также должны получить удовольствие
от Java-апплетов. Если вы знаете, как с помощью апплетов выполнить

20 Предисловие
исследования, это приблизит вас к пониманию предмета. К Web-сайту
можно обращаться по любому из следующих адресов:
http://www.prenhall.com/goodwin
http://csd.newcastle.edu.au/control/
Кроме этого, для связи см. индивидуальные страницы авторов.
Обратите также внимание, что Web-сайт непрерывно развивается,
так что ресурсы будут со временем продолжать расти и
совершенствоваться.
Ньюкасл, Австралия
Вальпараисо, Чили
Вена, Австрия

ЧАСТЬ I
ЭЛЕМЕНТЫ

Введение
Проектирование и функционирование автоматического процесса,
предназначенного для обеспечения технических характеристик, таких,
например, как прибыльность, качество, безопасность и воздействие на
окружающую среду, требуют тесного взаимодействия специалистов
различных дисциплин. Сюда входят, например, специалисты по
вычислительной технике, технологи, механики, прибористы и разработчики
систем управления.
Каждая из этих дисциплин рассматривает процесс и управление
им со своей точки зрения, так что каждый специалист выбирает свои
категории или элементы, в терминах которых он думает
относительно автоматической системы. Специалист по вычислительной технике,
например, думает в терминах аппаратных средств компьютера,
инфраструктуры сети, операционной системы и прикладного программного
обеспечения. Инженер-механик подчеркнул бы механические
компоненты, из которых собран процесс; инженер-приборист думал бы в терминах
исполнительных механизмов, датчиков и их электрооборудования.
Инженер по системам управления в свою очередь думает об
элементах системы управления в таких абстрактных терминах, как сигналы,
системы и динамические реакции. Эти элементы могут быть далее
заданы их физической реализацией, математической моделью, или их
свойствами (см. табл. 1).
Эта книга отражает точку зрения инженера по системам управления,
одну из точек зрения в процессе автоматизации; однако читатель должен
иметь в виду и другие точки зрения, поскольку только в этом случае
формируется целостное представление предмета.
Первая часть книги — первая стадия нашего путешествия в
разработку систем управления. Она содержит введение в основные
характеристики непрерывных сигналов и систем и описывает ведущую роль обратной

Введение 23
Таблица 1
Системы и сигналы в терминах контура управления
Сигналы
Системы
Физические матемГтТч^ских Примеры
примеры м()делей свойств
уставка,
управляющий сигнал,
возмущения,
измеренные
величины, ...
процесс, регулятор,
датчики,
исполнительные
механизмы, ...
непрерывная
функция,
дискретная

последовательность, случайный
процесс, ...

дифференциальные уравнения,
разностные
уравнения,
передаточные
функции, модели
пространства
состояний, ...
аналитические,
случайные,
синусоидальные
процессы,
стандартные
отклонения,....
непрерывные,
дискретные,
линейные,
нелинейные, ...
связи в проектировании системы управления. Все это —основные блоки,
на которых строится все здание систем управления.

Глава 1
Причины создания
систем управления
1.1. Введение
Эта глава предназначена для обоснования необходимости изучения
вопросов разработки систем управления. В частности, она охватывает:
• краткий обзор возможностей управления,
• исторические периоды в развитии теории управления,
• виды проблем в системах управления,
• введение в системотехнику и
• экономический анализ.
1.2. Причины разработки систем управления
Управление с применением обратной связи имеет длинную историю,
которая началась с давнего желания людей использовать предметы и
силы природы в своих целях. Первые примеры систем управления
включают системы регулирования часов и механизмы направления ветряных
мельниц навстречу ветру.
Ключевой шаг вперед в развитии систем управления произошел в
период промышленной революции. К тому времени получили
широкое развитие машины, которые существенно увеличивали способность
превращать сырье в изделия на благо обществу. Связанные с этим
машины, особенно паровые, использующие большие потоки энергии,
привели к пониманию, что этой энергией нужно управлять, чтобы
системы работали благополучно и эффективно. Главным достижением
этого времени был центробежный регулятор Уатта. Это устройство
регулировало скорость парового двигателя, ограничивая поток пара; см.
рис. 1.1. Такие устройства работают по сей день.
Мировые войны также привели к прогрессу в разработке систем
управления, некоторые из которых были связаны с системами ведения

1.2. Причины разработки систем управления 25
Рис. 1.1. Центробежный регулятор Уатта
военных действий, другие—-с повышенными требованиями к
производству, необходимыми для успешного ведения войны.
Выход в космос в 1960-х и 1970-х годах также зависел от успехов
в разработке систем управления. Эти разработки затем вернулись в
производство товаров народного потребления, а также и в
коммерческие, экологические и медицинские приложения. Такое
использование прогрессивных систем управления продолжалось в быстром темпе.
Упомянем лишь один пример из личного опыта авторов —- управление
толщиной полосы прокатного стана было важным успехом в
применении усовершенствованных систем управления. Действительно,
точность управления толщиной листа улучшилась за последние 50 лет на
два порядка, благодаря, в частности и улучшенному управлению. Для

26 Глава 1. Причины создания систем управления
многих компаний это оказалось не только доходным, но и жизненно
необходимым.
К концу двадцатого столетия использование систем управления стало
вездесущим (но в значительной степени незаметным) элементом
современного общества. Фактически каждая система, с которой мы имеем
дело, подкреплена сложными системами управления. Среди примеров
можно упомянуть и простые домашние устройства (регулирование
температуры в кондиционерах, термостаты в нагревателях воды и т. д.)
и более сложные системы типа автомобиля (которые имеют сотни
контуров управления) и крупномасштабные системы (типа химических
заводов, самолетов и производственных процессов). Например, рис. 1.2
показывает схему Келлог-процесса на аммиачном заводе. В мире
имеется приблизительно 400 таких заводов. Такой сложный химический завод,
наподобие показанного на рис. 1.2, обычно имеет много сотен контуров
управления. На самом деле для простоты мы не показали на рис. 1.2
многие вспомогательные объекты, которые также имеют существенное
число контуров управления.
Многие из этих промышленных регуляторов используют технологию
режущей кромки. Например, в случае прокатного стана (см. рис. 1.3),
система управления развивает усилия порядка 2000 тонн, скорости до
120 км/ч и (э алюминиевой промышлецности) допустимые отклонения
порядка 5 микрон (1/500-я от толщины человеческого волоса!). Все это
достигнуто с помощью точных аппаратных средств ЭВМ, современного
вычислительного аппарата и сложных алгоритмов управления.
За пределами промышленных примеров механизмы регулирования с
помощью обратной связи являются центральными в жизнедеятельности
биологических систем, сетей связи, национальных экономик и даже в
отношениях между людьми. Действительно, если внимательно подумать,
управление в той или иной форме может быть найдено в каждом аспекте
жизни.
В этом контексте проектирование систем управления связано с
разработкой, созданием и использованием этих систем. Как мы увидим
позже, это — одна из наиболее перспективных и интересных областей
современного проектирования. На самом деле, чтобы успешно разработать
систему управления, требуется объединить много дисциплин, включая
моделирование (чтобы учесть лежащую в основе физику и химию
процесса), технологию датчиков (чтобы измерить состояние системы),
исполнительные механизмы (чтобы выполнить корректирующие действия
в системе), линии связи (чтобы передавать данные), средства
вычисления (чтобы выполнить сложную задачу преобразования измеренных
данных в соответствующие действия исполнительного механизма) и

1.2. Причины разработки систем управления 27
интерфейс (чтобы обеспечить непрерывное взаимодействие различных
компонентов в системе управления).
Таким образом, разработка систем управления — захватывающий
мультидисциплинарный предмет с чрезвычайно большим диапазоном
практических применений. Интерес к системам управления вряд ли
уменьшится в обозримом будущем. Напротив, он станет, вероятно, еще
большим из-за увеличивающейся глобализации рынков и экологических
проблем.
1.2.1. Проблемы рыночной глобализации
Рыночная глобализация становится всеобъемлющей и это означает, что
для того, чтобы остаться в бизнесе, производственные отрасли
промышленности должны обращать большее внимание на проблемы качества
и эффективности. Действительно, в нынешнем обществе немногие из
компаний могут себе позволить быть на вторых ролях. В свою
очередь, это сосредотачивает внимание на развитии усовершенствованных
систем управления, чтобы процессы протекали наилучшим образом.
В частности, улучшенное управление — ключ для совершенствования
технологии, обеспечивающей:
• улучшенное качество изделия,
• минимизацию потерь,
• защиту окружающей среды,
• увеличение производительности для установленных мощностей,
• увеличение продукции,
• отсрочку дорогостоящей модернизации объекта управления и
• более высокие запасы безопасности.
Все эти проблемы присущи управлению сложным объектом типа,
показанного на рис. 1.2.
1.2.2. Экологические проблемы
Все компании и правительства все более и более понимают, что, получая
свои выгоды, не следует забывать о конечности природных ресурсов и
сохранении нашей хрупкой окружающей среды. Опять-таки, разработка
систем управления — основа в достижении этих целей. Можно
упомянуть один широко известный пример, когда изменения в
законодательстве относительно выбросов от автомобилей в Калифорнии потребовали
от изготовителей автомобилей существенных изменений в технологии,
включая усовершенствованную стратегию контроля двигателей
внутреннего сгорания.

Воздух ©-
Воздушный
компрессор
Возвратный
газ
Природный ^_
газ ^~
й\
~У
Сатуратор

Предварительный
нагреватель
щ
Десульфу-
ризатор
Вода ПаР
ЛЬ
Природный газ
и очищенный
горючий газ
м
Бак
с паром
Ш

Преобразователи
Пк
о
гНнП Бойлеи
1U
ш
гР да
и
@
Первичный
преобразователь
Пар
Вторичный
преобразователь
со2
И

Поглотитель
со2
Устройство
возврата |*-|
водорода
Очищенный горючий газ

Возвратный газ

Очищенный газ
4
Синтезатор
метана
Очиститель
со2
Конвертеры синтеза
ft—*
Сепаратор
гз:
*
Компрессор
синтезируемого
газа
Секция
охлаждения
X
Жидкий аммиак
на охлаждение
и хранение
Рис. 1.2. Схема процесса на аммиачном заводе Келлога

1.3. Исторические периоды развития теории управления 29
Таким образом, мы видим, что разработку систем управления
стимулируют в основном экономические, политические и экологические
факторы. Награда для тех, кто обеспечит все это, может быть огромна.
1.3. Исторические периоды
развития теории управления
Ранее мы видели, что главные шаги в развитии систем управления
происходили в критические исторические моменты (например,
индустриальная революция, Вторая Мировая война, выход в космос,
экономическая глобализация, а также биржевые соображения). Каждый из
этих шагов был связан с соответствующим бурным развитием теории
управления.
В начале использования фундаментальной концепции обратной связи
разработчики иногда сталкивались с неожиданными результатами. Это
стало катализатором для строгого анализа. Например, если мы вернемся
к центробежному регулятору Уатта, оказалось, что при некоторых
условиях он может создавать автоколебания. К концу 19-го столетия
ряд исследователей (включая Максвелла) показали, как эти колебания
могли быть описаны через свойства обыкновенных дифференциальных
уравнений.
События периода Второй Мировой войны были также ознаменованы
существенными достижениями в теории управления. Например,
пионерские работы Воде, Найквиста, Никольса, Эванса и других появились
именно в это время, что привело к простым графическим средствам для
анализа систем управления с одним входом и одним выходом. Эти
методы теперь известны под именем «Классическая теория управления».
В 1960-е годы начал развиваться другой подход в теории
управления — пространство состояний, что последовало за публикацией работ
Винера, Калмана и других по оптимальному управлению. Эти работы
позволили подойти в задачам со многими переменными единообразно,
что было трудно, если не невозможно, в классической структуре. Такие
приемы широко называются «Современной теорией управления».
К 1980-м годам эти различные подходы к управлению достигли
сложного уровня и выразительности и переключились на другие
примыкающие проблемы, включая влияние ошибки модели на работу регуляторов
обратной связи. Это можно классифицировать как период «Робастной
теории управления».
Параллельно этому велась серьезная работа по задачам нелинейного
управления. Это обусловлено тем, что многие задачи реальных систем
управления включают нелинейные эффекты.

30 Глава 1. Причины создания систем управления
Есть и другие многочисленные достижения, включая адаптивное
управление, автонастройку и интеллектуальное управление. Они
слишком многочисленны, чтобы их здесь детализировать. Так или иначе,
наша цель состоит не в том, чтобы привести всестороннюю историю,
а просто дать почувствовать эволюцию в этой области.
Ко времени написания этой книги теория управления стала зрелой
дисциплиной. Таким образом, теорию управления можно трактовать
как дисциплину, которая учитывает многие различные точки зрения
и объединяет их в общей структуре. Это —подход, который мы здесь
возьмем на вооружение.
1.4. Виды проектирования систем управления
Проектирование систем управления обычно требует циклической
работы, в которой повторяются моделирование, проектирование, имитация,
испытание и реализация.
Оно может выполняться несколькими различными видами, каждый
из которых требует своего подхода.
Один из факторов, от которого зависит выбор вида, — является ли
назначение системы в основном коммерческим. Примеры, где дело обстоит
не так, включают исследования, образование и задачи типа посадки
первого человека на Луну. Хотя стоимость рассматривается всегда, эти
виды проектов систем управления главным образом диктуются
техническими, педагогическими соображениями, надежностью и безопасностью.
С другой стороны, если проект системы управления определяется
коммерческими соображениями, каждый из них опять-таки может
отличаться от других в зависимости от того, является ли регулятор
компонентом большого коммерческого изделия (типа регулятора скорости или
регулятора отклонения в автомобиле) или это часть производственного
процесса (типа регулятора перемещения в роботах, собирающих
автомобиль). В первом случае нужно учесть стоимость включения регулятора
в каждое изделие; это обычно означает, что желательно иметь меньшую
стоимость всего изделия и, следовательно, желательно использовать
довольно простые регуцяторы. Во втором случае обычно можно
позволить себе значительно более сложные регуляторы, при условии, что они
улучшают производственный процесс таким образом, что значительно
увеличивают объем произведенной продукции.
Во всех этих ситуациях инженер по системам управления имеет с
ними дело на всем их жизненном цикле:
• начальное проектирование «с чистого листа»;
• ввод в действие и настройка;

1.4. Виды проектирования систем управления 31
• улучшение и модернизация;
• экспертные исследования.
1.4.1. Начальное проектирование «с чистого листа»
На этой стадии перед инженером по системам управления — «нетронутое
поле» или так называемый проект «с чистого листа»; таким образом,
проектировщик может начинать работу над системой с начала. Это
дает уверенность, что при проектировании всей системы можно учесть
последующие варианты системы управления. Довольно часто системы
и объекты проектируются на основе одних и тех же установившихся
соображений. Следовательно, неудивительно, что далее могут появиться
эксплуатационные трудности. Мы считаем, что инженеры по системам
управления должны непременно входить во все коллективы
проектировщиков. Инженер по системам управления должен работать с
техническими требованиями проекта и гарантировать, что будут рассмотрены
динамические и статические проблемы.
1.4.2. Ввод в действие и настройка
Как только базовая архитектура системы управления сформирована,
задачей инженера по системам управления становится настройка
системы, чтобы обеспечить требуемые эксплуатационные характеристики
настолько полно, насколько возможно. Эта стадия требует глубокого
понимания принципов обратной связи, чтобы гарантировать, что
настройка системы управления выполнена целесообразным, безопасным и
удовлетворительным способом.
1.4.3. Улучшение и модернизация
Когда система создана и введена в эксплуатацию, работа инженера
по системам управления заключается в ее обслуживании и
усовершенствовании. Поводы для усовершенствования могут прийти из многих
направлений. Они включают следующее:
• внутренние причины —например, возможность с помощью новых
датчиков или исполнительных механизмов улучшить работу;
• внешние причины — например, рыночные давления или новое
законодательство по экологии могут требовать улучшения работы системы
управления.

32 Глава 1. Причины создания систем управления
1.4.4. Экспертные исследования
Экспертные исследования часто играют роль технических консультаций
по системе управления. Здесь цель состоит в том, чтобы предложить
корректирующие действия, которые исправят рассматриваемую
проблему управления. В этих исследованиях важно, чтобы инженер по
системам управления получил целостное представление, ибо успешное
управление обычно зависит от удовлетворительной работы многих
взаимосвязанных компонентов. По нашему опыту, плохая работа системы
управления обычно связана с основными недостатками проекта
объекта, плохими исполнительными механизмами, неадекватными датчиками
или проблемами компьютера, либо результатом плохой настройки
системы управления. Однако все эти проблемы могут и должны быть в поле
деятельности инженера по системам управления. Действительно, часто
только инженер по системам управления имеет необходимые навыки,
чтобы успешно решить эти сложные проблемы.
1.5. Организация систем управления
Как видно из предыдущего рассмотрения, успех в разработке системы
управления зависит от целостного взгляда на нее. Проблемы, присущие
типичной системе управления, включают в себя:
• объект, т. е. процесс, которым нужно управлять;
• цели управления;
• датчики;
• исполнительные механизмы;
• линии связи;
• вычисления;
• структуры и интерфейс;
• алгоритмы;
• анализ возмущений и неточностей.
Эти проблемы кратко рассмотрены ниже.
1.5.1. Объект
Как упоминалось в разд. 1.4.1, физическая природа объекта —
существенный момент задач управления. Таким образом, разработчик
системы управления должен быть знаком с физикой изучаемых процессов.
Это включает начальные знания об основном энергетическом балансе,
балансе масс и материальных потоках в системе. Физические размеры

1.5. Организация систем управления 33
оборудования и то, как они связаны с эксплуатационными
характеристиками, также должны быть понятны. В частности, мы рекомендуем
создать структуру физических моделей, как первый шаг в
проектировании и обеспечении систем управления. Эти модели будут затем
уточняться при изменении одной из них.
1.5.2. Цели управления
Прежде чем разрабатывать датчики, исполнительные механизмы или
структуру системы управления, важно знать ее назначение, т. е.
сформулировать цели управления, что включает следующее:
• что нужно достичь (уменьшение энергетических затрат, увеличение
производительности и т. д.);
• какими переменными следует управлять, чтобы достичь этих целей
управления;
• какой необходим уровень действий (точность, скорость и т. д.).
1.5.3. Датчики
Датчики являются глазами системы управления, позволяющими
видеть, что происходит в ней. Существует утверждение, которое
иногда говорится относительно управления: если вы можете измерить
что-то, то вы можете им управлять. Это, очевидно, упрощенное
утверждение и его не следует понимать буквально. Тем не менее, эта
броская фраза говорит о том, что организация соответствующих
измерений является необходимой важной частью всей задачи управления.
Кроме того, новые технологии датчиков часто открывают возможности
создания систем управления с улучшенными характеристиками.
С другой стороны, в тех случаях, когда особенно важные измерения
недоступны, то часто можно получить эти жизненно важные части
информации из других данных. Это ведет к идее гибкого или виртуального
датчика. Мы увидим, что это —один из наиболее мощных методов в
запасе средств инженера по системам управления. /
1.5.4. Исполнительные механизмы
Если датчики используются только для определения состояния
процесса, то возникает задача так воздействовать на систему, чтобы перевести
процесс из текущего состояния в желаемое. Таким образом, мы видим,
что исполнение действий в системе — другой характерный элемент в
ряду задач управления. Возможность использования новых
усовершенствованных исполнительных механизмов также часто позволяет суще-
2-1782

34 Глава 1. Причины создания систем управления
I Привод регулировки зазора между валками
— Привод регулировки положения валка
—— Приводы распылителей
Рис. 1.3. Типичная система управления толщиной полосы прокатного стана
ственно улучшить работу. Наоборот, не удовлетворяющие заданным
требованиям и неудовлетворительные исполнительные механизмы часто
являются причиной трудностей управления. Обычно промышленная
система управления содержит много исполнительных механизмов — см.,
например, систему управления толщиной полосы на рис. 1.3.
1.5.5. Линии связи
Необходимость соединения датчиков с исполнительными механизмами
требует использования систем связи. Типичный объект может иметь
много тысяч разных сигналов, которые нужно передать на большое
расстояние. Таким образом, разработка систем связи и соответствующих
им протоколов — очень важный аспект в проектировании современных
систем управления.
Имеются конкретные проблемы и требования к системам связи в
реальном масштабе времени. Например, в линиях связи для передачи
голоса небольшие задержки и искажения во время передачи часто не
важны, поскольку получатель их отсеет. Однако в
быстродействующих системах управления, работающих в реальном масштабе времени,
эти проблемы могут выйти на первый план. Например, наблюдается
увеличивающаяся тенденция использовать каналы типа Ethernet для
передачи данных в системах управления. Однако тем, кто знаком с этой
технологией, известно, что если на линии передачи происходит
задержка, то передатчик просто пробует снова передать данные несколько
позже в случайное время. Очевидно, что это вносит случайную задержку

1.5. Организация систем управления 35
в передачу данных. Работа всех систем управления зависит от точного
знания не только того, что происходит в ней, но и когда это случилось,
так что внимание к таким задержкам понятно для успешной работы
всей системы.
1.5.6. Вычисления
В современных системах управления связь датчиков с исполнительными
механизмами неизменно осуществляется через тот или иной
компьютер. Таким образом, проблемы вычислений — обязательная часть всего
проекта. Современные системы управления используют разнообразные
вычислительные средства, включая распределенные системы
управления (Distributed Control Systems —DCS), программируемые логические
контроллеры (Programmable Logic Controllers — PLC) и персональные
компьютеры (Personal Computers —PC). В некоторых случаях
использование этих вычислительных средств довольно ограничено по сравнению
с их возможностями. Так же как и с задержками в линиях связи,
задержки при вычислениях могут быть критическими для функционирования
систем управления. Важно правильно выбрать тактовую частоту, так
как может потребоваться многозадачная операционная система
реального времени.
Другой аспект вычислений — точность представления чисел. Мы
знаем несколько систем управления, которые не могли обеспечить
эксплуатационные характеристики просто из-за пренебрежения проблемами
представления чисел. По этой причине мы уделим в дальнейшем данной
проблеме некоторое внимание.
Наконец, последний вопрос использования вычислительной
техники—это удобство ее проектирования и реализации. Современные
средства быстрого моделирования систем управления, использующие
вычислительную технику, обладают интегрированными возможностями для
моделирования систем управления, их проектирования, испытаний и
функционирования. Эти средства, содержащие шаблоны кода в реальном
масштабе времени, позволили уменьшить время разработки сложных
алгоритмов управления с нескольких месяцев до нескольких дней и
даже, в некоторых случаях, часов.
1.5.7. Структура и интерфейс
Проблема, что с чем соединять, при проектировании систем управления
нетривиальна. Может показаться, что лучшее решение будет всегда
состоять в передаче всех сигналов к центральному пункту, чтобы
каждая операция управления была бы основана на полной информации

36 Глава 1. Причины создания систем управления
(так называемый централизованный контроль и управление). Однако
это —редко (если вообще когда-либо) лучшее решение на практике.
Действительно, имеются серьезные основания, почему нежелательно
передавать все сигналы в одну точку. Очевидные возражения этому
включают сложность, стоимость, ограничения по времени вычислений,
ремонтопригодности и надежности.
Таким образом, проблема управления обычно распределяется по
управляемым подсистемам. Определить, как это сделать,— задача
инженера по системам управления. Действительно, как мы увидим в
дальнейшем из упражнений, представленных в книге, эти структурные
проблемы могут быть критическими для выбора окончательного
варианта системы управления.
Один из основных инструментов, который может использовать
разработчик систем управления для улучшения работы системы,
—всесторонне продумать структуру системы управления. В качестве
иллюстрации мы приведем позже реальный пример (см. гл. 8), где качество
управления толщиной проката на реверсивном прокатном стане строго
ограничено специфической структурой. Показано, что никакое
усовершенствование исполнительных механизмов, датчиков или алгоритмов
(в пределах этой структуры) не может улучшить результат. Однако
простое изменение структуры с тем, чтобы включить дополнительные
исполнительные механизмы (а именно управление токами в
наматывающих и разматывающих двигателях), устраняет эту трудность (см.
гл. 10). В качестве более простой иллюстрации предлагаем читателю
сравнить попытку балансировать на пальце метлой с открытыми и
закрытыми глазами. Здесь мы снова видим структурные различия,
связанные с использованием различного набора датчиков. Полный анализ
причин трудностей этих типов задач управления, которые стоят за
выявленными различиями, будет рассмотрен в гл. 8 и 9 этой книги.
Таким образом, мы видим, что структурные проблемы имеют
первостепенную важность среди всех проблем проектирования систем
управления. В дальнейшем сложные структурные проблемы будут решаться
по принципу «разделяй и властвуй». Это ведет к иерархическому
представлению системы управления, как показано в табл. 1.1.
Решив, какие связи должны быть организованы, следует перейти
к проблеме взаимодействия различных компонентов. Это
—нетривиальная задача, потому что часто требуются специальные интерфейсы
между различными элементами оборудования. К счастью, продавцы
оборудования систем управления знают эту трудность и их пристальное
внимание вознаграждено наличием стандартизации интерфейсов.

1.5. Организация систем управления 37
Таблица 1.1
Типичная иерархия управления
Уровень
4
3
2
1
Описание

Интегрированная
оптимизация
производства
Оптимизация
статического
состояния
компонентов
оперативного
уровня
Динамическое
управление
компонентами
оперативного
уровня
Динамическое
управление
на уровне
отдельного

исполнительного
механизма
Цель
Обеспечение
заказов
клиентов и
планирование
поставки
материалов
Эффективное
действие
отдельного
компонента
(например,
колонны
дистилляции)
Достижение
уставок,
определенных
на уровне 3
и быстрое

восстановление после
возмущений
Достижение
нужных
скоростей
потока
жидкости,
полученных
на уровне 2,
манипулируя

соответствующими
исполнительными
механизмами
(например,
приводом
клапана)
Временные
границы
Каждый день
(примерно)
Каждый час
(примерно)
Каждую
минуту
(примерно)
Каждую
секунду
(примерно)
Типичные
средства
проектирования
Статическая
оптимизация
Статическая
оптимизация
Управление
многими
переменными
(например,
модельное

прогнозирующее
управление)
Управление
одной
переменной
(например,
пид-
регулирование)

38 Глава 1. Причины создания систем управления
1.5.8. Алгоритмы
Наконец, мы подходим к настоящему сердцу проектирования систем
управления —алгоритмам, которые соединяют датчики с
исполнительными механизмами. Очень легко недооценить этот заключительный
аспект проблемы.
В качестве простого примера из повседневной жизни рассмотрим
проблему игры в теннис на высоком международном уровне. Понятно,
что для игры на этом уровне нужно хорошее зрение (датчики) и
сильные мускулы (исполнительные механизмы), но этого недостаточно.
Действительно, координация рук и глаз (т. е. управление) также очень
важна для успеха.
Таким образом, вне датчиков и исполнительных механизмов инженер
по системам управления должен заниматься динамикой и управлением
с использованием обратной связи. Эти темы будут фактически
центральными в оставшейся части книги. Как выразился один из наших
коллег: «Датчики обеспечивают глаза, исполнительные механизмы —
мускулы, а теория управления обеспечивает ловкость».
1.5.9. Возмущения и неточности
Один из моментов, который делает теорию управления интересной, то,
что на все реальные системы действуют шумы и внешние возмущения.
Эти факторы могут иметь существенное воздействие на работу системы.
Простыми примерами здесь могут быть самолеты, подверженные
возмущениям в форме порывов ветра, и регуляторы скорости в автомобилях,
которые должны справиться с различными градиентами уровня дороги
и различными загрузками автомобиля. Однако мы увидим, что при
удачном проекте системы управления может быть достигнута
поразительная нечувствительность к внешним возмущениям.
Другая проблема — неточность модели. Все реальные системы имеют
очень сложные модели, однако важным свойством систем управления
с обратной связью является то, что часто можно получить желаемый
результат, используя относительно простые модели. Конечно, именно
проектировщик должен оценить влияние неточности модели на работу
системы управления и решить, приведет ли лучшее моделирование к
достижению лучшего результата.
Решение обеих из вышеупомянутых проблем обеспечивается, в
частности, замечательными свойствами обратной связи. К этой концепции
мы будем в книге обращаться неоднократно.

1.5. Организация систем управления 39
1.5.10. Однородность
Заключительный момент нашего рассмотрения — это то, что все
связанные системы, включая системы управления, являются столь же
хорошими, как их самый слабый элемент. Это означает, что при проектировании
систем управления нужно стремиться, чтобы все компоненты (объект,
датчики, исполнительные механизмы, линии связи, вычислительные
средства, интерфейсы, алгоритмы и т. д.) имели сопоставимые точность
и эксплуатационные параметры. Если это невозможно, то нужно
сосредоточиться на самом слабом компоненте, чтобы получить лучший
возврат данного уровня инвестиций. Например, нет никакого смысла
сосредоточить все внимание на разработке линейной модели (чтобы проще
использовать современную теорию управления), если ограничивающий
фактор —это застревающий клапан, который следует заменить или
разработать виртуальный датчик для важного неизмеряемого параметра.
Таким образом, требуется целостная точка зрения, связанная с точной
оценкой затрат, связанных с каждым компонентом.
1.5.11. Стоимостной анализ
Если мы пытаемся обеспечить лучшую эффективность затраченных
усилий, важно заняться анализом выгод. Разработка систем управления,
так же, как и другие формы разработки, зависит от способности убедить
руководство, что в данном проекте можно произвести выгодные
изменения. Период окупаемости в современных отраслях промышленности
часто не более 6 месяцев, поэтому данный аспект требует осторожного
и детального подхода. Стандартными здесь являются следующие шаги:
• оценка диапазона возможных видов управления;
• разработка краткого списка для более пристального изучения;
• выбор проекта с высоким экономическим или экологическим
эффектом;
• консультации с соответствующим персоналом (управление,
операторы, производственный штат, штат обслуживания и т. д.);
• определение ключевых действий;
• сбор основных данных для дальнейшего сравнения;
• решение о пересмотре эксплуатационных характеристик;
• обновление исполнительных механизмов, датчиков и т. д.;
• разработка алгоритмов;
• проверка алгоритмов с помощью моделирования;
• проверка алгоритмов на объекте, используя быструю систему
макетирования;

40 Глава 1. Причины создания систем управления
• сбор предварительных данных о работе системы для сравнения с
исходным вариантом;
• окончательная реализация;
• сбор окончательных данных о работе системы;
• заключительные выводы о проекте.
1.6. Резюме
. • Разработка систем управления присутствует фактически во всех
современных технических системах.
• Управление — часто скрытая технология, поскольку его полная
эффективность в большой мере зависит от точки зрения.
• Управление— средство, позволяющее технологическому процессу
о улучшить качество изделий,
о минимизировать потери и вложения,
о обеспечить защиту окружающей среды,
о увеличить производительность для установленных мощностей,
6 увеличить производство продукции,
о отсрочить дорогостоящую модернизацию объекта и
о обеспечить более высокие запасы безопасности.
• Примеры управляемых систем включают следующее:
Система
Самолет
Топка
Очистка
сточных вод
Автомобиль
Управляемые
выходы
Курс, тангаж,
крен, рысканье
Температура
Значение рН
выходного
потока
Скорость
Регулятор
Автопилот
Регулятор
температуры
Регулятор рН
Регулятор
скорости
Желаемое поведение
Поддержание курса
полета на гладкой и
безопасной траектории
Изменение
температуры по
заданному профилю,
затем поддержание
температуры
Нейтрализация потока
до заданного уровня
Достижение, а
затем поддержание
выбранной скорости
без излишнего
потребления топлива

1.6. Резюме 41
Управление — мультидисциплинарный предмет, который включает
о датчики,
о исполнительные механизмы,
о линии связи,
о вычисления,
о структуру и интерфейс и
о алгоритмы.
Цель разработки системы управления — достичь желаемого уровня
качества на фоне возмущений и неточностей.
Примеры возмущений и неточностей включают следующее:
Система
Самолет
Топка
Очистка
сточных
вод
Автомобиль
Исполнительные
механизмы
Двигатель
управления

дроссельной
заслонкой,
рулевой
привод,
приводы
закрылков
и т.д.
Привод
клапана
топки
Привод
клапана
контроля
кислоты

Позиционирование
дросселя
Датчики

Навигационные

инструменты

Термопары,
датчики

температуры
Датчик рН
Тахометр
Возмущения
Ветер,
воздушные
ямы и т. д.

Температура
поступающих
веществ
и т. д.

Концентрация
входного
потока
Холмы
Источник
неточности
Вес, точная

аэродинамика
и т. д.
Точная

термодинамика,

распределение

температуры

Амплитудная

характеристика
рН, ошибки
измерения
Вес, точная
динамика

42 Глава 1. Причины создания систем управления
1.7. Литература для последующего чтения
Исторические заметки
Исторический центр IEEE и его ресурсы — прекрасный источник для
читателей, интересующихся историей.
Другие полезные источники:
1. Black, H.W. (1934). Stabilized Feedback Amplifiers. Bell Systems Tech.
Journal, 13:1-18.
2. Bode, H. (1969). Feedback: the history of an idea. In Selected Papers on
Mathematical Trends in Control Theory, pages 106-123. Dover, New York.
3. Fuller, A. (1976). The early development of control theory. Trans. ASME, J.
Dyn. Sys. Meas. Contr., 98:109-118, 224-235.
4. James, H.M., Nichols, N.B., and Phillips, R.S., editors (1947). Theory of
Servomechanisms. McGraw-Hill, New York. [Имеется русский перевод:
X. Джеймс, Н. Никольс, Р. Филлипс. Теория следящих систем. — М.: ИЛ.
1951 (1-е изд.), 1953 (2-е изд.)]
5. Maxwell, Т. (1868). On governors. Proc. Royal Soc. London, 16:270-283.
6. Mayr, 0. (1970). The Origins of Feedback Control. MIT Press, Cambridge,
Mass.

Глава 2
Введение в принципы
обратной связи
2.1. Введение
Эта глава прокладывает дорожку, которую мы выбрали для нашего
путешествия в проектирование систем управления. В частности, она
содержит
• поясняющий технический пример,
• формулировку фундаментальной природы задачи управления,
• понятие инверсии (обратного преобразования) как центрального
компонента в решении задач управления и
• переход от инверсии для системы с разомкнутым контуром обратной
связи к решению задачи для системы с замкнутой обратной связью.
2.2. Основная цель управления
Как мы видели в гл. 1, примеры динамических систем с
автоматическими регуляторами имеются в большом количестве: современные
регуляторы процессов работают фактически в каждой промышленной
области; микрорегуляторы проникают в огромное множество
электронных устройств домашнего хозяйства и развлечений; термостаты
регулируют температуру в домашних и промышленных жарочных шкафах, а
автопилоты управляют самолетами.
Проектирование любой из этих систем требует тесного
сотрудничества специалистов различных дисциплин.
Чтобы конкретизировать основную цель разработки систем
управления в рамках усилий этого коллектива, полезно различать
материальную реализацию системы и ее поведение. Физическая реализация
самолета, например, включает фюзеляж, крылья и элероны. Его поведение,

44 Глава 2. Введение в принципы обратной связи
с другой стороны, имеет дело с динамической реакцией на изменения
положения сектора газа, элеронов или закрылков.
Для управления такой системой автоматически, нужно, чтобы
система взаимодействовала с регулятором, который, в свою очередь, также
имеет физическую реализацию и поведение. В зависимости от
назначения, регулятор может быть реализован в чипе, аналоговом электронном
устройстве, программируемом логическом контроллере или компьютере.
Должен также быть канал, по которому регулятор и система могут
взаимодействовать через датчики и исполнительные механизмы: датчики —
чтобы сообщить о состоянии системы, исполнительные механизмы — как
средства воздействия регулятора на систему.
Процесс и инфраструктура системы управления оставляют, однако,
открытым вопрос о поведении регулятора. Применительно к самолету,
например, если регулятор (здесь он называется автопилотом)
обнаруживает отклонение в скорости, высоте или курсе через датчики, то как
выдать команду на дроссель и элероны, чтобы вернуться к исходным
параметрам?
Это —основная забота инженера по системам управления, или,
говоря в общепринятых терминах, фундаментальная цель разработки
системы управления — найти технически, экологически и экономически
осуществимые пути воздействия на системы, чтобы управлять их
выходными параметрами для достижения желаемых значений, обеспечивая
таким образом желаемый уровень функционирования. Как говорилось
ранее,, поиск удачного решения этого вопроса часто требует включения
в процесс проектирования выбора исполнительных механизмов и
датчиков, математического анализа и моделирования.
На примере описанной выше навигационной системы самолета можно
сказать, что инженер по системам управления имеет дело, в частности,
с циклической зависимостью: команды автопилота воздействуют на
самолет, у которого изменяются скорость, высота и курс, которые в свою
очередь влияют на дальнейшие действия автопилота.
Такое циклически зависимое взаимодействие отдельных частей
системы называется обратной связью.
Явление обратной связи существует и в природе, и в технике.
Периодические прирост и сокращение популяции в известных
взаимодействиях «хищник и добыча» являются примером обратной связи,
встречающейся в природе. Высокий свистящий звук, появляющийся в результате
взаимодействия микрофонов и громкоговорителей в концертном зале —
технический пример обратной связи.
В обоих этих случаях, ни одна из двух взаимодействующих систем
не может быть определенно названа диспетчером или процессом, они
просто являются двумя системами, взаимодействующими на основе

2.3. Поясняющий технический пример 45
Разливочное
устройство
шшкям 1каиа^л Жидкий кратер
Изложница,
охлаждаемая
водой
Распылители
воды
вторичного
охлаждения
Ведомые
поддерживающие
валки
Охватывающие валки
Рис. 2.1. Схематический процесс промышленного литья блюма
Правящие
валки
обратной связи. Тем не менее, обратная связь, как видно из примеров,
имеет глубокое воздействие на поведение связанных систем.
Этот изменяющий поведение эффект обратной связи — ключевой
механизм, который инженер по системам управления преднамеренно
использует, чтобы достичь цели: так действовать на систему, чтобы
обеспечить желаемые эксплуатационные характеристики.
2.3. Поясняющий технический пример
Чтобы сделать вышеупомянутые общие рассуждения более
конкретными, рассмотрим упрощенный, но все же по существу реальный, пример
технической системы управления. Пример, взятый из сталелитейной
промышленности, имеет специфический характер; однако основные
элементы определения желаемого поведения, моделирования и
необходимость принятия компромиссных решений являются общими. Некоторые
детали примера могут быть не совсем понятными на этой ранней стадии,
но они дадут поле деятельности для дальнейшей работы.
Одно из изделий сталелитейной промышленности — так называемый
блюм — прямоугольная плита стали. Блюмы производятся в процессе,
называемом непрерывным литьем. Диаграмма промышленного литья
блюма дана на рис. 2.1. Основные компоненты такой системы, важные
для нашего обсуждения, показаны на рис. 2.2. Фотографию литья блюма
можно найти на Web-странице.
Разливочное устройство можно себе представить в виде большого
контейнера, который действует как бассейн для расплавленной стали.

46 Глава 2. Введение в принципы обратной связи
Управляющий
клапан
Изложница
Разливочное устройство
с расплавленной сталью
V
Первичное
охлаждение
Непрерывная
протяжка
размягченной
полосы
Рис. 2.2. Непрерывное литье: образец блюма (слева) и упрощенная схема
(справа)
Управляющий клапан регулирует скорость потока стали, попадающей в
изложницу, установленную под разливочным устройством. Изложница,
у которой площадь поперечного сечения равна площади поперечного
сечения блюма, открыта сверху и снизу. Интенсивным охлаждением сталь
в изложнице доводится до полутвердого состояния. В этом состоянии,
достаточно прочном, полоса непрерывно протягивается из изложницы
валками. Полученная непрерывная полоса затем подвергается
дополнительному охлаждению и, наконец, разрезается на блюмы.
2.3.1. Эксплуатационные характеристики
Имеются две фундаментальные эксплуатационные характеристики для
непрерывного литья: безопасность и доходность.
Из этих важных требований вытекают далее эксплуатационные
характеристики системы управления, которые, в свою очередь,
определяют цель, которую следует достичь в процессе проектирования
регулятора.
• Безопасность. В рассматриваемом примере требование безопасности
в первую очередь накладывает ограничение на уровень
расплавленной стали в изложнице (называемый уровнем изложницы). Ясно, что
уровень изложницы никогда не должен приводить к ее переполнению

2.3. Поясняющий технический пример 47
или осушению, потому что любой такой случай привел бы к тому, что
металл прольется с пагубными последствиями.
• Доходность. Очевидно, система должна использоваться
рентабельным способом. Аспекты, от которых это зависит, следующие:
о Качество изделия. Оказывается, что частые изменения уровня
изложницы ухудшают качество блюма, потому что расплавленный
металл имеет вязкость, наподобие тому, что есть у воды и
турбулентность замешивает примеси в сталь. Кроме того, при
охлаждении изложницы, колебание уровня приводит к неравномерному
охлаждению стали, что также ухудшает ее качество. Таким
образом, качество изделия требует стабильного поддержания уровня
изложницы.
о Техническое обслуживание. Из-за реакции окисления выпускное
отверстие, через которое металл течет в изложницу, подвержено
интенсивному износу на уровне изложницы. Срок службы
выпускного отверстия максимизируется, если уровнем изложницы
управлять так, чтобы он медленно сползал поперек полосы
износа выпускного отверстия. Затраты на техническое обслуживание
также уменьшаются, если срок службы управляющего клапана
максимизируется за счет относительно неагрессивных (плавных)
управляющих воздействий. Таким образом, чтобы стоимость
технического обслуживания была низкой, требуется устойчивое
регулирование относительно уставки, которая медленно сползает
поперек полосы износа выпускного отверстия, избегая при этом
излишних движений клапана.
о Производительность. Производительность — прямая функция
скорости литья. Скорость литья, в свою очередь, является
функцией многочисленных благоприятных факторов (наличие
необходимых сортов сырья, производительность печи и т. д.), а
также негативных факторов (спрос на продукцию, отгрузочная
способность и т. д.). Таким образом, система управления уровнем
изложницы должна обеспечивать работу при всех скоростях
литья, чтобы избежать возможных ограничений во всем диапазоне
процесса производства.
2.3.2. Моделирование
Чтобы успешно спроектировать систему управления, прежде всего,
как сказано выше, следует понять, как функционирует процесс. Это
понимание обычно выражается в виде математической модели, которая
описывает установившееся и динамическое поведение процесса. Чтобы

48 Глава 2. Введение в принципы обратной связи
построить такую модель, мы сначала выделяем важные параметры
(переменные) процесса. Таким образом, введем следующие параметры:
h*: требуемый уровень стали в изложнице;
h(t): фактический уровень стали в изложнице;
v(t): положение клапана;
a(t): скорость литья;
qin(t): скорость втекания стали в изложницу;
Qout(t)'- скорость вытекания стали из изложницы.
Физика говорит, что уровень изложницы будет пропорционален
интегралу от разности притока и оттока стали:
h(t) = [ («„(т) - q0ut(r)) dr (2.3.1)
J—oo
где мы для простоты приняли сечение изложницы равным единице. Мы
также считаем, снова для простоты, что значения положения клапана
v(t) и скорости литья a(t) отградуированы так, что они фактически
определяют скорости втекания и вытекания стали:
v(t)=qin(t) (2.3.2)
<r(t) = q<mt(t) (2-3.3)
Следовательно, модель процесса будет иметь вид
h(t)= [ (ь(т)-а(т))с1т (2.3.4)
Скорость литья может быть измерена довольно точно, но датчики
уровня изложницы обычно склонны формировать высокочастотный
шум измерения, который мы учтем, добавляя дополнительный
паразитный сигнал n(t):
hm{t)=h{t)+n{t) (2.3.5)
где hm(t) —измеренная величина параметра h(t), искаженная шумом.
Структурная схема всей модели процесса и измеренных величин
показана на рис. 2.3.
Это очень простая модель, но она охватывает сущность задачи.
2.3.3. Обратная связь и упреждение
Мы увидим позже, что основная идея управления — инверсия
(обратное преобразование). Более того, инверсия может быть достигнута
при помощи двух ключевых механизмов (а именно, обратной связи и
упреждения). Эти механизмы дают изящное и робастное (устойчивое к
изменению параметров) решение многих задач управления. В контексте

Измеренная
величина
скорости литья
+
2.3. Поясняющий технический пример 49
Вытекание, определяемое
скоростью литья
¥ "~
о-
Втекание от
управляющего клапана
/
Уровень изложницы
ицы | '
Шум измерения
Измеренный уровень изложницы
Рис. 2.3. Структурная схема упрощенной динамики уровня изложницы,
датчиков и исполнительного механизма
управления уровнем изложницы самый простой регулятор обратной
связи — постоянное усиление К, перемещающий клапан
пропорционально ошибке между требуемым уровнем изложницы h* и измеренной
величиной фактического уровня hm(t):
v(t)=K(h*-hm(t))
(2.3.6)
Опережая вопрос, как создать такой регулятор, отметим, что
отклонение между уставкой и измеренной величиной должно произойти
до того, как регулятор начнет реагировать. Мы знаем однако, что
изменение в скорости литья требует изменения рабочей точки клапана.
Таким образом, вместо того, чтобы допустить изменение скорости литья,
которое ведет к ошибке в уровне изложницы, на которую реагирует
регулятор обратной связи, мы можем улучшить стратегию, изменяя
положение клапана упреждающе. Это называется упреждением. В
результате получим окончательное уравнение регулятора:
= tf(V-M<)]+[-^(<)]) (2-3.7)
v(t)
Заметим, что этот регулятор объединяет обратную связь и
приоритетное действие (упреждение). В частности, второй член дает
предсказывающее действие, необходимое для компенсации изменения скорости
литья, в то время как первый член реагирует на остающуюся ошибку1.
Структурная схема окончательной системы управления показана на
рис. 2.4.
Дальнейшее обсуждение этой задачи, вместе с возможностью
читателю заняться проектированием, находится на Web-странице книги.
1 Такое управление в отечественной литературе называется комбинированным
управлением. — Прим. перев.

50 Глава 2. Введение в принципы обратной связи
Требуемый
уровень
изложницы
+
к-
Измеренная
величина
скорости
литья
1+
+
<УО-~
А —
К
+
Вытекание, определяемое
скоростью литья
f—
Втекание от
управляющего
О
/
Уровень
изложницы
►
клапана
Измеренный уровень изложницы
+ 1
Шум
измерения
9г
Рис. 2.4. Модель упрощенного управления уровнем изложницы с
упреждающей компенсацией скорости литья
2.3.4. Первый пример компромисса
При моделировании работы вышеупомянутого контура управления при
К = 1 и К = 5 (см. рис. 2.5), мы видим, что меньшее усиление регулятора
(К = 1) приводит к более медленной реакции на изменение уставки
уровня изложницы. С другой стороны, большее усиление регулятора
(К = 5) приводит к более быстрой реакции, но также и увеличению
влияния шума измерения, что, как видно, дает менее устойчивый
уровень управления и более агрессивные движения клапана.
Таким образом, требования эксплуатационных характеристик,
полученные в разд. 2.3.1, оказываются в конфликте друг с другом, по
крайней мере, до некоторой степени.
Здесь инженер по системам управления, который не имеет
систематической подготовки в проектировании систем управления, имел бы
затруднения в оценке, является ли этот конфликт просто следствием
наличия такого простого регулятора или это непреодолимо. Сколько
усилий должно быть потрачено для определения подходящего значения
К? Следует ли выбрать более сложный регулятор? Нужно ли более
тщательно смоделировать процесс формирования уровня изложницы?
Оставшаяся часть книги посвящена разработке систематических
ответов на эти и другие подобные вопросы.
2.4. Формулировка задачи
Пример, рассмотренный в разд. 2.3, приводит к следующему более
формальному утверждению о природе задачи управления:
Определение 2.1. Фундаментальная задача управления.
Центральная задача управления состоит в том, чтобы найти
технически реализуемый способ воздействия на данный процесс так,

2.4. Формулировка задачи 51
1.4
3 1.2Ь
§ 1Н
°0.в|-
СО
s О.бН/
5 0.4
п
о
а 0.2
>>
К = 5
К = 1
■л г
8 9 10
5 6 7 8 9 10
Время (с)
Рис. 2.5. Первый пример компромисса. Повышенная реакция на изменения
уставки увеличивает также чувствительность к шуму измерения и приводит к
износу исполнительного механизма
чтобы он следовал настолько близко, насколько возможно, некоторому
желаемому поведению. Кроме того, это приблизительное поведение
должно быть достигнуто при наличии неопределенности процесса и в
присутствии неконтролируемых внешних возмущений, действующих
на процесс. □□□
Вышеупомянутое определение связано с рядом понятий:
• Желаемое поведение. Оно должно быть определено как часть
задачи проектирования.
• Реализуемость. Это означает, что решение должно
удовлетворять различным ограничениям, которые могут иметь
технический, экологический, экономический или другой характер.
• Неопределенность. Знания относительно системы будут обычно
ограничены и ограниченной точности.
• Воздействие. Решение задачи требует, чтобы действие так или
иначе было приложено к процессу, обычно через одну или более
управляемые переменные, которые воздействуют на
исполнительные механизмы.

52 Глава 2. Введение в принципы обратной связи
• Возмущения. Управляемый процесс наряду с входной величиной,
которую формирует регулятор, обычно имеет и другие входные
величины, которые называются возмущениями.
• Приблизительное поведение. Выбранное решение будет редко
совершенным. Неизменно будет присутствовать степень прибли-
эюения в достижении указанной цели.
• Измеренные величины. Они являются ключевыми, позволяя
регулятору знать то, что система фактически делает и как
неизбежные возмущения воздействуют на нее.
В дальнейшем мы будем называть управляемый процесс объектом и
будем говорить, что объект находится под автоматическим
управлением, когда цели управления достигнуты при нечастом человеческом
вмешательстве.
2.5. Решение задач управления через инверсию
Модель решенияОдин довольно простой, но все же интуитивный путь —
рассматривать решение задачи управления через инверсию (обратное
преобразование). Чтобы описать эту идею, предположим следующее:
• пусть мы знаем, как воздействие на входе системы отражается на его
выходе и
• пусть мы имеем желаемое поведение для выхода системы; тогда
следует просто взять инверсию зависимости выхода от входа,
чтобы определить, какое нужно входное воздействие для достижения
желаемого поведения выхода.
Несмотря на очевидную наивность этого аргумента, его красивые
вариации играют важную роль в проектировании систем управления. В
частности, большинство практических трудностей в управлении связано
с поиском стратегии, которая включает вышеупомянутую идею
инверсии, при уважении к несметному числу других взглядов, типа
нечувствительности к ошибкам модели, возмущениям и шуму измерения.
Чтобы быть более определенными, предположим, что требуемое
поведение задается скалярным целевым сигналом (так называемым
эталонным сигналом) r(t) для характерной переменной процесса y(t),
который имеет дополнительное возмущение d(t). Пусть нам также дс?-
ступна единственная управляемая переменная u(t). Обозначим через у
функцию времени: у = {y(t) : t G E}.
Ниже при описании модели решения задачи управления мы будем
делать довольно общее выводы, что, в принципе, можно применить
к нелинейным динамическим системам общего вида. В частности, мы

2.5. Решение задач управления через инверсию 53
I- '
+
О
г1 {°)
/<°>
+ 1
+
О-
Абстрактный
регулятор
Объект
Рис. 2.6. Абстрактный регулятор
будем использовать функцию /(о) для обозначения оператора,
отображающего одно функциональное пространство в другое. Эта общая
интерпретация позволяет ввести следующие обозначения.
Символом у (без скобок) обозначим элемент функционального
пространства: у = {y(t): R-»R} Оператор /(о) тогда будет представлять
отображение одного функционального пространства, скажем, х, в то же
самое пространство х-
Мы советуем читателю при первом чтении просто интерпретировать
/ как статический линейный коэффициент усиления, связывающий
одно вещественное число —вход и с другим вещественным числом —
выходом у. При последующих чтениях можно использовать более общую
интерпретацию, включающую нелинейные динамические операторы.
Предположим также (по тем же причинам), что выход связан со
входом известным функциональным отношением вида
y = f(u) + d
(2.5.1)
где / — преобразование или отображение (возможно динамическое),
которое описывает отношение входа-выхода в объекте1. Назовем
отношение типа 2.5.1 моделью.
Тогда задача управления требует, чтобы мы нашли способ
сформировать и таким образом, чтобы у = г. В духе использования инверсии
прямой, хотя и несколько наивный, способ получить решение, был бы
таким:
y = r = /(ti)+d (2.5.2)
из которого мы могли бы получить закон управления, решая (2.5.2)
относительно и. Это дает
ii = /-1(r_d) (2.5.3)
Данная идея проиллюстрирована на рис. 2.6.
Это абстрактное решение задачи. Однако небольшие размышления
позволяют сделать вывод, что ответ, данный в (2.5.3), предполагает
1 Мы вводим здесь этот термин нестрого. Более строгая трактовка отсрочена до гл. 19.

54 Глава 2. Введение в принципы обратной связи
выполнение некоторых строгих требований, чтобы он был справедлив.
Например, исследование уравнений (2.5.1) и (2.5.3) выдвигает
следующие требования:
1. Ясно, что преобразование / должно описывать объект точно.
2. Преобразование / должно быть хорошо сформулированным в том
смысле, что при ограниченном входе и и выход получается
ограниченным; в этом случае мы говорим, что преобразование устойчиво.
3. Инверсия /_1 должна также быть хорошо сформулирована в смысле,
используемом в условии 2.
4. Возмущение должно быть измеримым, так же, как параметр и
должен быть вычислимым.
5. Результирующее действие и должно быть реализуемым и не должны
нарушаться никакие ограничения.
Конечно, это очень строгие требования. Таким образом, существенная
часть теории автоматического управления имеет дело с проблемой, как
изменить структуру управления так, чтобы получить инверсию, но более
ясным способом и так, чтобы строгие требования, изложенные выше,
могли быть смягчены.
Чтобы проиллюстрировать значение этих требований на практике,
кратко рассмотрим ряд ситуаций.
Пример 2.1 (Теплообменник). Рассмотрим задачу теплообменника,
в котором вода должна быть нагрета паром, имеющим постоянную
температуру. Выход объекта — температура воды на выходе
теплообменника, а управляемая переменная — воздушное давление (от 0.2 до
1 кг/см2), перемещающее пневматический клапан, который
регулирует количество пара, питающего теплообменник.
В решении связанной с этим задачи управления должны быть
рассмотрены следующие моменты:
• Чистое запаздывание могло бы быть существенным фактором,
потому что этот объект включает передачу массы и энергии.
Однако небольшие рассуждения наталкивают на мысль, что чистое
запаздывание не имеет реализуемой инверсии (другими словами —
возможность предсказать будущее) и, следовательно, условие 3 не
будет выполнено.
• Легко может произойти, что для заданного эталонного
сигнала закон управления (2.5.3) приводит к недопустимому значению
управляемой переменной (в данном примере допустимый диапазон —
от 0.2 до 1 кг/см2). Это приведет к насыщению на входе объекта.
Условие 5 в этом случае не будет выполняться. □□□

2.5. Решение задач управления через инверсию 55
Пример 2.2 (Флотация в обработке минералов). В производстве
меди одна из ключевых стадий — процесс флотации. В этом процессе
минеральная пульпа (вода и размолотый минерал) непрерывно
подается в ряд перемешиваемых емкостей, в которые добавлены химикалии,
чтобы отделить (с помощью флотации) частицы с высокой
концентрацией меди. С точки зрения управления цель состоит в том, чтобы
определить соответствующее добавление химикалий и уровень
перемешивания для достиоюения максимального разделения. Характеристики
этой задачи следующие:
• Процесс сложен (физически распределен, изменяется во времени,
высокая нелинейность, много переменных и т. д.) и, следовательно,
трудно получить его точную модель. Таким образом, условие 1
трудно удовлетворить.
• Одно из наиболее существенных возмущений в этом процессе —-
размер минеральных частиц в пульпе. Это возмущение — фактически
выход предыдущей стадии (размол). Чтобы применить закон
управления, вытекающий из (2.5.3), нужно было бы измерить размеры
всех этих частиц или (по крайней мере) получить их некоторый
средний размер. Таким образом, условие 4 трудно удовлетворить.
• Чистое запаздывание также присутствует в этом процессе и
таким образом условие 3 не может быть удовлетворено. □□□
Можно представить и другие различные практические случаи, где
одно или большее количество требований, перечисленных выше, не
могут быть удовлетворены. Таким образом, единственный разумный путь
заключается в том, чтобы принять как должное, что неизбежно будут
внутренние ограничения и искать решение в пределах этих ограничений.
Имея это в виду, мы введем условия, которые позволят нам решать
задачу с ограничениями, которые налагает физическая структура. Обычно
используют следующие условия:
1. ограничить внимание теми задачами, где предписанное поведение
(эталонные сигналы) принадлежит ограниченным классам и где
желаемое поведение достигается только асимптотически;
2. искать приближенные инверсии.
В результате мы сделаем следующее заключение:
В принципе, все регуляторы неявно воспроизводят инверсию
процесса, насколько это можно сделать. Регуляторы отличаются
механизмом, который используется для формирования требуемого
приближения инверсии.

56 Глава 2. Введение в принципы обратной связи
2.6. Глубокая обратная связь и инверсия
Как мы увидим позже, обычно у моделей, используемых для описания
реальных объектов, нельзя получить точную инверсию. Далее мы
покажем однако, что имеется довольно интригующее свойство обратной
связи, которое неявно производит приближенную инверсию
динамических процессов без непосредственного ее получения.
Чтобы развить эту идею, заменим абстрактный регулятор,
показанный на рис. 2.6, реализацией, показанной на рис. 2.7. Как и прежде, /
представляет модель процесса. Преобразование h будет описано ниже.
"N w
J *
Z
Но)
/(»>
и
Объект
У
Рис. 2.7. Реализация абстрактного регулятора
Как и в разд. 2.5, при первом чтении г, и, у могут интерпретироваться
как вещественные величины, a /i(o), /(о)—как скалярные линейные
коэффициенты усиления. При повторном чтении, им можно дать общую
нелинейную интерпретацию, представленную в разд. 2.5.
Из рис. 2.7 мы видим, что
u = h(r-z) = h(r - f(u)) (2.6.1)
Тогда
h~l(u)=r-f(u) (2.6.2)
из которого окончательно получим
ii = /-1(r-/l-1(u)) (2.6.3)
Равенство (2.6.3) означает, что контур на рис. 2.7 выполняет
примерную инверсию от /(о), т. е. и = /_1(г), если
г-ЪГ1(и)яг (2.6.4)
Мы видим, что это достигается, если значение h~l мало, т. е. если h —
преобразование с большим усилением.
Следовательно, если / характеризует наши знания об объекте и
если h — преобразование с большим усилением, то структура на рис. 2.7
эффективно формирует примерную инверсию модели объекта, даже
если эта инверсия и не была явно получена. Проиллюстрируем это на
примере.

2.7. От разомкнутой структуры к структуре с замкнутым контуром 57
Пример 2.3. Предположим, что объект может быть описан моделью
^L + 2^/W) = u{t) (2.6.5)
и требуется закон управления, который обеспечивал бы, что y(t) будет
следовать за медленно изменяющимся эталонным сигналом.
Одним из способов решить эту задачу является построение
инверсии модели, которая справедлива в низкочастотной области.
Используя структуру на рис. 2.7, мы получаем приближенную инверсию при
условии, что h(o) имеет большое усиление в области низких частот.
Простым решением является выбор в качестве h(o) интегратора,
который имеет бесконечное усиление на нулевой частоте. Выход
регулятора затем подается на объект. Результат проиллюстрирован на
рис. 2.8, где изобраоюены эталонный сигнал и выход объекта. Читатель
может далее исследовать этот пример с помощью SIMULINK — файл
tankl.mdl на прилагаемом компакт-диске. □□□
2.7. От разомкнутой структуры
к структуре с замкнутым контуром
На рис. 2.7 была предложена специальная схема для реализации
приблизительного обратного преобразования модели объекта. Хотя регулятор
в этой схеме реализован как система с обратной связью, управление к
объекту фактически приложено в разомкнутой системе. В частности,
мы видим, что управляющий сигнал u(t) не зависит от того, что
фактически происходит в объекте. Это — серьезный недостаток, поэтому
такая методология не даст хорошего решения задачи управления, если
не удовлетворяются следующие условия:
• модель объекта, на которой основано устройство регулятора, очень
хорошо его воспроизводит,
• модель и ее инверсия устойчивы и
• возмущения и начальные условия незначительны.
Все это является поводом искать альтернативное решение задачи, такое,
которое сохраняет ключевые особенности, но не страдает
вышеупомянутым недостатком. Это действительно возможно, если слегка изменить
схему так, чтобы обратная связь охватывала и объект, а не только его
модель.
Чтобы развить эту идею, начнем с основной структуры с обратной
связью, приведенной на рис. 2.9. Далее поступим следующим образом.

58 Глава 2. Введение в принципы обратной связи
80 100 120 140 160 180 200
Время (с)
Рис. 2.8. Управление уровнем в резервуаре с использованием приближенной
инверсии
r(t)
±о~\
Л —
Усиление петли
обратной связи
«w
Модель
Объект
!>(*)
С .
Регулятор с разомкнутым контуром
Рис. 2.9. Разомкнутое управление со встроенной инверсией
Если мы временно предположим, что модель на рис. 2.9 совершенна,.
то мы можем перестроить структуру, получив альтернативную схему,
показанную на рис. 2.10.
Эта схема, которая была получена из структуры разомкнутой
системы, является основанием для управления с обратной связью. Ключевая
особенность этой схемы заключается в том, что выход регулятора
зависит не только от априорных данных, задаваемых моделью, но также и
от того, что фактически происходит на выходе объекта в каждый
момент. Это имеет и другие интересные особенности, которые обсуждены
подробно ниже. Однако сейчас стоит первоначально обсудить сходство и
r(t)
-. e(t)
А
Усиление петли
обратной связи
u(t)
Объект
А'
»(*)
Рис. 2.10. Управление с замкнутым контуром

2.8. Компромиссы, учитываемые при выборе усиления обратной связи 59
различия между разомкнутой и замкнутой структурами, показанными
на рис. 2.9 и рис. 2.10.
• Первый момент, на который следует обратить внимание, состоит в
том, что если модель представляет объект точно и что все сигналы
ограничены (т. е. контур устойчив), то схемы эквивалентны
относительно связи между r(t) и y(t). Принципиальные различия здесь в
реакции систем на возмущения и изменения начальных условий.
• В разомкнутой схеме управления регулятор использует обратную
связь внутренне — возвращается назад сигнал из точки А. В
управлении по замкнутому контуру возвращается назад сигнал из точки А!.
Основное различие здесь в том, что в первом случае все происходит
внутри регулятора (или в компьютере, или в каких-то внешних
связях с аппаратными средствами). Во втором случае сигнал,
подаваемый назад — переменная процесса: используются
измерительные устройства для определения того, что фактически происходит.
Эвристически преимущества последнего варианта несомненно ясны
читателю. Мы разовьем в дальнейшем формальный подход к этим
преимуществ ам.
2.8. Компромиссы, учитываемые при выборе
усиления обратной связи
Предварительные выводы двух предыдущих подразделов могли,
казалось бы, означать, что необходимо только создать регулятор с глубокой
обратной связью вокруг объекта. Это верно, поскольку это так и есть.
Однако ничто в жизни не дается бесплатно — такой вывод применим и
к использованию глубокой обратной связи.
Например, если возмущение, поступающее на объект, приводит к
ненулевой ошибке e{t) '(рис. 2.10), то обратная связь с большим
усилением приведет к очень большому управляющему сигналу u(t). Это
могло бы оказаться вне доступного диапазона входных сигналов и таким
образом лишило бы законной силы решение.
Другая потенциальная проблема с глубокой обратной связью состоит
в том, что она часто сопровождается существенным риском
неустойчивости. Неустойчивость характеризуется самоподдерживающимися (или
возрастающими) колебаниями. Как иллюстрацию подтверждения этого,
читатель может рассматривать высокочастотный свистящий звук,
который слышно, когда громкоговоритель помещен слишком близко к
микрофону. Это — проявление неустойчивости, возникающей при
чрезмерном увеличении обратной связи. Трагическими проявлениями неустой-

60 Глава 2. Введение в принципы обратной связи
чивости можно назвать аварии самолетов и Чернобыль, бедствия, в
которых произошли неудержимо растущие процессы.
Еще на одно потенциальное неудобство глубокой обратной связи мы
намекали в разд. 2.3.4. Там мы видели, что увеличение усиления контура
обратной связи регулятора ведет к увеличенной чувствительности к
шуму измерения.
В итоге, высокое усиление контура обратной связи желательно по
одним причинам и нежелательно по другим. Таким образом, при
определении усиления контура обратной связи следует выбрать. разумный
компромисс между конкурирующими проблемами.
Предыдущее обсуждение может быть подытожено в следующем
утверждении.
Глубокая обратная связь дает приближенную инверсию, которая
является сущностью управления. Однако на практике выбор
усиления контура обратной связи —часть сложной сети компромиссов
проектирования. Понимание и балансировка этих компромиссов —
сущность проектирования систем управления.
2.9. Измеряемые величины
Мы видели, что один из ключевых вопросов в управлении с
использованием обратной связи —это то, что там должны быть
соответствующие измерения величин для формирования сигнала обратной связи.
Действительно, если можно измерить переменную, то имеется хороший
шанс спроектировать регулятор, позволяющий привести этот сигнал к
желаемому эталонному сигналу.
Более подробное описание контура обратной связи системы
управления, включая датчики, показано на рис. 2.11. Из этого рисунка видно,
что то, чем мы фактически управляем, — это измеряемая величина, а не
фактический выход. Они могут существенно различаться.
н:
J
ym(t)
■> ш
J *
1 —
Регулятор
u(t)
Объект
Измерение и система
передач!
1 сигна.
да
У
V !>(*)
Рис. 2.11. Управление по замкнутому контуру с датчиками

2.10. Резюме 61
Следовательно система измерения должна в идеале удовлетворять
следующим требованиям:
• Достоверность. Она должна работать в пределах необходимого
диапазона.
• Точность. Для переменной, имеющей постоянное значение,
измерение должно давать правильное значение.
• Быстрота реагирования. Если переменная изменяется, измерение
должно быть способным следовать за изменениями. Медленные
измерения могут не только затрагивать качество управления, но даже
сделать контур обратной связи неустойчивым. Неустойчивость может
возникать даже в том случае, когда контур был спроектирован
устойчивым в случае точного измерения переменной процесса.
• Шумовая устойчивость. На систему измерения, включая линию
передачи, не должны существенно влиять внешние сигналы, такие,
как шумы измерения.
• Линейность. Если система измерения нелинейна, то, по крайней
мере, эта нелинейность должна быть известна, чтобы можно было
использовать компенсацию.
• «Ненавязчивое» измерение. Устройство измерения не должно
существенно затрагивать поведение объекта.
В дальнейшем обычно мы будем считать систему измерения настолько
хорошей, что следует учитывать только шум измерения. Этот
идеальный контур измерения будет называться контуром с единичной обратной
связью.
2.10. Резюме
• Управление связано с поиском технически, экологически и
коммерчески осуществимых путей воздействия на технологическую систему,
чтобы поддерживать желаемые значения ее выходных параметров
при обеспечении желаемого уровня функционирования.
• Фундаментальной в разработке систем управления является
концепция инверсии.
• Инверсия может быть получена структурой с обратной связью.
• Обратная связь относится к итеративному процессу:
о определение количественных характеристик желаемого
поведения,
о измерение фактических значений важных параметров системы
датчиками,

62 Глава 2. Введение в принципы обратной связи
о восстановление фактического состояния системы по измеренным
величинам,
о сравнение фактического состояния с желаемым,
о вычисление корректирующего действия для приведения системы
к желаемому состоянию,
о приложение корректирующего действия к системе через
исполнительные механизмы и затем
о повторение вышеупомянутых шагов.
• Основные компоненты в контуре обратной связи показаны на
рис. 2.12.
Эталонное
желаемое
значение выхода
Регулятор
Сигнал
управ-
Испол-
нительные
[механизмы!
Возмущения

Фактический
выход
Система
Измерения
Датчики
Шумы
измерения
Рис. 2.12. Типичный контур обратной связи
• Желаемое поведение обычно задается следующими
характеристиками:
о точность, с которой выходные сигналы должны поддерживаться
равными их желаемым значениям;
о требуемый допустимый уровень неточности воздействий,
возмущений и изменений параметров объекта;
о вид переходных процессов;
о ограничения на ускорение, перерегулирование, потребление
энергии и т. д.
• Цели системы управления обычно включают следующее:
о максимизация производительности, скорости, безопасности и др.;
о минимизация потребления энергии, отходов производства,
материальных затрат и др.;
о уменьшение воздействия возмущений, флуктуации шумов,
изменений во времени и т. д.
• Глава дает первые примеры того, что желаемые цели
функционирования системы обычно находятся в конфликте друг с другом и
поэтому формируют сеть компромиссов.

2.11. Литература для последующего чтения 63
• Под проектированием системы управления мы подразумеваем
процесс
о понимания сети компромиссов,
о принятия таких проектных решений, которые совместимы с этими
компромиссами и
о воплощения выбранной цели в регуляторе.
2.11. Литература для последующего чтения
Введение в управление с обратной связью
1. Astrom, К. and Wittenmark, В. (1990). Computer Controlled Systems. Theory
and Design. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 2nd edition. [Имеется
русский перевод 1-го издания книги: К. Острём, Б. Виттенмарк. Системы
управления с ЭВМ. —М.: Мир, 1987].
2. D'Azzo, J. and Houpis, С. (1988). Feedback Control Systems Analysis and
Synthesis. McGraw-Hill, New York.
3. Doeblin, E.O. (1985). Control System Principles and Design. Wiley, New
York.
4. Dorf, R. (1989). Modern Control Systems. Addison-Wesley, Reading, Mass.,
bih edition. [Имеется русский перевод более позднего, 9-го издания книги:
Р. Дорф, Р. Бишоп. Современные системы управления —М.: Лаборатория
Базовых Знаний, 2002].
5. Franklin, G.F., Powell, J.D., and Emami-Naeini, A. (1991). Feedback Control
of Dynamics Systems. Addison-Wesley, Reading, Mass., 2nd edition,
6. Kuo, B.C. (1995). Automatic Control Systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
N.J., 7th edition.
7. Levine, W.S., editor (1996). The Control Handbook. CRC Press, Boca Raton,
FL.
8. Ogata, K. (1997). Modern Control Engineering. Prentice-Hall, Upper Saddle
River, N.J., 3rd edition.
9. Truxal, J.G. (1955). Control Systems Synthesis. McGraw-Hill, New York.
Непрерывное литье
1. Graebe, S.F., Goodwin, G.C., and Elsley, G. (1995). Rapid prototyping and
implementation of control in continuous steel casting. IEEE Control Systems
Magazine, 15(4):64-71.

Глава 3
Моделирование
3.1. Введение
Проектирование системы управления обычно требует деликатного
обращения с основными ограничениями и компромиссами. Чтобы выполнить
это, проектировщик должен всесторонне понимать, как функционирует
процесс. Это понимание обычно проявляется в форме математической
модели. Вооруженный такой моделью, проектировщик может
использовать ее, чтобы предсказать влияние различных проектных решений.
Цель этой главы состоит в том, чтобы дать краткое представление о
моделировании. Здесь рассматриваются следующие темы:
• как выбрать подходящую сложность модели;
• как создать модели для данного объекта;
• как описать ошибки модели;
• как линеаризовать нелинейные модели.
Здесь также дается краткое введение в некоторые наиболее часто
используемые модели, включая
• модели в пространстве состояний и
• модели, основанные на дифференциальных и разностных уравнениях
произвольного порядка.
3.2. Разумное обоснование для моделей
Основная идея обратной связи чрезвычайно привлекательна. Вспомним
задачу управления уровнем изложницы из гл. 2. Фактически там было
только три возможности того, как регулятор мог манипулировать
клапаном: открыть, закрыть или оставить так, как есть. Однако мы уже
видели, что прямое решение связано с неявным компромиссом между

3.3. Сложность модели 65
конфликтующими показателями — скоростью реакции и
чувствительностью к шуму измерения.
Для ряда задач и возможно, и выполнимо найти эти точные
настройки регулятора просто эмпирически. Однако много проблем
препятствуют такому подходу, в том числе сложность, низкая эффективность,
стоимость и даже опасность. Эмпирический подход не может также
ответить перед испытаниями на вопросы следующего типа:
• Даны физический объект и цель управления; какой регулятор может
обеспечить выполнение данной цели? Может ли он вообще быть
получен?
• Даны регулятор и объект; как они будут функционировать в
замкнутом контуре?
• Почему конкретный контур ведет себя таким образом, как мы
наблюдаем? Может он работать лучше? Если да, то с каким регулятором?
• Как будут меняться характеристики контура, если изменятся
параметры системы, или будут больше возмущения, или будет хуже
работать датчик?
Чтобы ответить на эти вопросы, нам нужны средства определения
поведения системы, не зависящие от ограничений физической реальности.
Подходящий способ для достижения этой цели — выразить влияние
начальных условий, управляющих входов и возмущений на внутренние
переменные и на выход с помощью ряда математических уравнений.
Этот набор уравнений называется моделью.
Сила математической модели заключается в том, что она может быть
смоделирована в гипотетических ситуациях, допуская состояния,
которые могли бы быть опасными в реальности и эта модель может
использоваться для синтеза регуляторов.
Однако чтобы выявить эту силу, прежде всего необходимо продумать
модельные эксперименты в диапазоне от тривиальных до почти
невозможных.
Поэтому, так же как и само проектирование систем управления,
моделирование является и искусством, и наукой. Следующие разделы
кратко освещают некоторые из поднятых проблем.
3.3. Сложность модели
При создании модели важно иметь в виду, что все реальные процессы
сложны, и, следовательно, любая попытка построить точное описание

66 Глава 3. Моделирование
объекта — обычно невозможная цель. К счастью, обратная связь
обычно очень великодушна, и, следовательно, в контексте проектирования
системы управления, можно обычно иметь дело с довольно простыми
моделями при условии, что они включают существенные особенности
задачи.
Фактически и искусство, и наука вовлечены в получение модели,
которая, с одной стороны, включает особенности объекта, важные для
проектирования регулятора, однако с другой стороны, не столь сложна,
чтобы замаскировать сущность проблемы. Это — нетривиальная задача
и решению часто предшествуют итерационные и уточняющие процессы.
Обычно лучше всего начать с простой модели, добавляя затем
особенности в процессе развития решения.
Важно также обратить внимание на то, что модели для целей
управления обычно отличаются от тех, которые предназначаются для других
целей, например, проектирования самого процесса. Пригодные для
целей управления модели описываются динамическими количественными
соотношениями между входами и выходами объекта. Прекрасные
внутренние детали объекта уместны только тогда, когда они необходимы
для достижения желаемой цели.
Все реальные системы сколь угодно сложны, поэтому все модели
приблизительно описывают процесс. Введем несколько понятий, чтобы
сделать это ясным:
• Номинальная модель. Это — приблизительное описание объекта,
используемое для проектирования системы управления.
• Эталонная модель. Это —более полное описание объекта. Оно
включает и другие особенности, не используемые для
проектирования системы управления, но имеющие прямое отношение к
полученным характеристикам.
• Ошибка модели. Это —различие между номинальной моделью и
эталонной моделью. Детали этой ошибки могут быть неизвестны, но
можно получить различные оценки ее величины.
В дальнейшем мы будем часто ссылаться на эталонную модель как
на истинный объект. Однако читатель должен обратить внимание, что
эталонная модель также не является точным описанием реального
объекта, и, следовательно, нужно быть осторожным при интерпретации
результатов.
Решить, какая номинальная модель целесообразна, обычно нелегко.
Пока скажем лишь, что она должна включать относящиеся к
управлению особенности динамики объекта и его нелинейности. Авторы
встречались с несколькими примерами в промышленности, где были
разработаны чрезвычайно запутанные физические модели, но они, в ко-

3.3. Сложность модели 67
нечном счете, были ограниченной ценности для проектирования систем
управления или потому что содержали так много свободных параметров,
что их нельзя было определить из реального процесса, или потому что
они не могли описывать некоторые ключевые особенности (типа люфта
клапана), которые, как было в конечном счете найдено, имеют
преобладающее влияние на работу регулятора. Это будет проиллюстрировано
двумя примерами.
Пример 3.1 (Управление температурой в промышленной печи).
Рассмотрим очень большую промышленную печь, которая нагревается
сжиганием нефти. Мы хотим управлять температурой внутри печи,
дросселируя клапаны, которые регулируют нефтяной поток топки.
Номинальная модель в этом случае должна включать динамику
процесса нагревания печи. Как правило, скорость открывания и закрытия
клапанов несущественна по сравнению с относительно более медленной
динамикой нагревания, и, следовательно, включение этого эффекта не
будет добавлять точность к описанию для целей управления. Однако
следует внимательно рассмотреть тот факт, что клапаны могут
насыщаться или залипать и это может привести к трудностям
в получении подходящего закона управления. Таким образом, нужно
включить эти проблемы как часть номинальной модели, если мы
подозреваем, что они важны для действия системы управления. ODD
Пример 3.2 (Управление потоком воды в трубе). Рассмотрим
трубу, в которой нужно управлять потоком воды. На одном конце
установлен клапан и входным управляющим сигналом u(t) является
сигнал, перемещающий устройство позиционирования клапана.
Предполагая, что труба всегда заполнена водой, становится ясно, что
модель этого объекта определяется клапаном, потому что это —
единственный источник динамики. Залипание и насыщение клапана могли
бы быть важными моментами для этой задачи управления. DDD
Примеры, кратко описанные выше, говорят, что ошибки
моделирования и сложность модели — относительные понятия.
Заключительный момент в этом обсуждении касается идеи робастно-
сти (устойчивости к нарушениям исходных предпосылок).
Проектирование системы управления обычно основывается на номинальной модели
объекта. Однако регулятор будет использоваться для управления
реальным объектом. Одна из проблем проектировщика — получить регулятор,
который при работе с реальным объектом продолжает функционировать
так, как предсказано моделью, без существенного ухудшения. Когда
дело обстоит именно так, мы будем говорить, что разработали робастный
регулятор. Чтобы достичь робастности, обычно необходимо иметь меру
ошибки моделирования в форме границ некоторого вида так, чтобы

68 Глава 3. Моделирование
соответствующие предосторожности могли бы быть приняты еще на
стадии проектирования.
3.4. Создание моделей
Первый возможный подход к созданию модели объекта — постулировать
определенную структуру модели и использовать для моделирования
так называемый черный ящик. При этом подходе параметры модели
меняются либо эмпирически, либо на основе какого-то алгоритма, пока
динамическое поведение модели и объекта достаточно хорошо не
совпадут.
Альтернативный подход к задаче моделирования состоит в том,
чтобы использовать физические законы (типа сохранения массы, энергии и
импульса) для построения модели. В этом подходе используется факт,
что в любой реальной системе имеются основные феноменологические
законы, которые определяют отношения между всеми ее сигналами. Эти
законы касаются природы системы и могут включать физику, химию
и экономическую теорию. Можно использовать эти принципы, чтобы
получить модель, как было сделано в разд. 2.3.2.
Практически идеи черного ящика и феноменологические
комбинируются при создании модели. Феноменологическое понимание часто
является ключевым в понимании динамики (включая доминирующие
параметры), нелинейностей и существенных временных изменений в
данной системе. Это может помочь в первоначальном выборе сложности
модели. С другой стороны, подход с использованием черного ящика
часто позволяет выбрать модели для тех частей объекта, где
соответствующая физика процессов настолько сложна, что трудно подобрать
соответствующую феноменологическую модель.
Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим простой цилиндрический
резервуар, содержащий воду и имеющий площадь поперечного сечения
А. Этот резервуар освобождается через отверстие в его основании.
Физические принципы говорят, что вытекающий поток q(t) может быть
приемлемо смоделирован как q(t) = Ky/h(t), где h(t) —уровень воды в
резервуаре, а К — константа, которую нужно определить. Эту константу
можно, с другой стороны, определить, используя физические принципы,
но это будет существенное усилие. Более простой метод состоит в
измерении h(t) каждые Г секунд, где Г выбирается таким, что величина
\h(t)—h(t—Г)| является небольшой. Тогда хорошей оценкой потока будет
q(t) = \h(t) — h(t — T)\A/T. Мы могли бы тогда оценить значение К,
используя линейную связь q(t) и y/h(t) для различных значений t. Мы
можем видеть, что в этом примере окончательная модель комбинирует

3.5. Структуры моделей 69
физические знания с экспериментальными наблюдениями. Эта ситуация
возникает очень часто при моделировании для целей управления.
Другая практически значимая проблема — учет исполнительного
механизма в процессе моделирования. Исполнительные механизмы во
многих случаях очень нелинейны. Они также обычно имеют собственные
динамические характеристики. Действительно, в некоторых случаях
динамика исполнительного механизма может фактически доминировать
над другими характеристиками объекта. Это, например, ситуация,
возникающая с клапанами, гидравлическими приводами и
управляемыми выпрямителями. По этой причине впоследствии, когда мы будем
говорить о модели объекта, следует понимать, что эта модель также
включает и исполнительные механизмы, если это необходимо.
Суммируя, можно сказать:
Модели для систем управления часто весьма просты по сравнению с
истинными процессами и обычно объединяют физические
соображения с экспериментальными данными.
3.5. Структуры моделей
Учитывая динамический характер реальных процессов, стандартное
математическое описание моделей процесса включает, кроме
алгебраических отношений, следующее:
• зависимости от накопленного (или интегрального) эффекта
переменных процесса и
• зависимости от скорости изменения (или дифференциального
эффекта) переменных.
Эти две особенности определяют то, что обычно называется динамикой
объекта, и указывают на тот факт, что поведение реального процесса
не может быть описано удовлетворительно без включения его прошлой
истории и того, как происходят изменения.
Модели могут быть обычно сведены к форме дифференциальных
уравнений (с непрерывным временем), разностных уравнений
(дискретное время), или комбинации их (гибридные или импульсные системы).
Эти модели связывают входы объекта с отдельными его выходами и
имеют дело с ограниченным описанием системы в процессе ее изучения.
В следующих двух разделах мы описываем два возможных пути,
которые обычно используются для описания модели.

70 Глава 3. Моделирование
3.6. Модели пространства состояний
Очень ценный и часто используемый инструмент для моделирования
объекта — описание его переменными состояния. Переменные состояния
представляют собой набор внутренних переменных, который является
полным набором в том смысле, что если эти переменные известны в
некоторое время, то любой выход объекта y(t) может быть вычислен для
любого последующего времени как функция от переменных состояния,
а также настоящих и будущих значений входов.
3.6.1. Общий случай
Если мы обозначим через х вектор, соответствующий конкретному
выбору переменных состояния, то общая форма модели в переменных
состояния следующая:
для непрерывных систем
dx
— = /(*(t),ti(t),t)
y(t)=0(*(t),ti(t),t)
для систем с дискретным временем
x[k + l] = fd(x[k],u[%k) (3.6.3)
У[к]=д*{ф]Ак]>Ь) (З-6-4)
Тот факт, что описание пространства состояний задается векторным
дифференциальным уравнением первого порядка (см. (3.6.1)) часто,
облегчает численные решения различных задач управления. Это
особенно верно в линейном случае, где существенные усилия были
посвящены мощным цифровым методам решения этих задач управления.
Мы посвятим гл. 17 более глубокому рассмотрению линейных моделей
пространства состояний. Здесь же мы даем краткий обзор.
3.6.2. Линейные модели пространства состояний
Мы говорим, что система линейна, если выполняется принцип
суперпозиции. Под этим мы подразумеваем, что если начальные условия xoi и
хо2 вызывают при нулевом входе реакции hoi(t) и /&02(*) соответственно,
а входы щ({) и t*2(*) при нулевых начальных условиях вызывают
выходные реакции hu(t) и hi2(t) соответственно, то реакцией на вход
u\(t) +U2(t) с начальными условиями xoi + £о2 будет /ioi(^) + Лог(*) +
hn{t)+h12{t).
(3.6.1)
(3.6.2)

3.6. Модели пространства состояний 71
Говорят, что система инвариантна по времени, если реакция на
сдвинутый по времени вход просто является сдвинутой по времени исходной
реакцией, т. е. если вход Ui(t) (Vt G К) вызывает реакцию g\(t) (\/t G К),
то вход U2(t) = Ui(t + r) (Vt G К) вызывает реакцию g2(t) = 5i(£ + r)
(Vt 6 R).
В линейном, стационарном (инвариантном по времени) случае,
уравнения (3.6.1) и (3.6.2) будут
ris(t)
dt
= Ax(t)+Bu{t)
y(t) = Cx(t)+Bu(t)
(3.6.5)
(3.6.6)
где А, В, С и D —матрицы соответствующих размерностей.
Проиллюстрируем вышесказанное построением модели пространства
состояний для электрической цепи.
Пример 3.3. Рассмотрим простую электрическую цепь, показанную
на рис. 3.1. Предположим, что мы желаем смоделировать напряжение
v(t).
«/(*)Q
Ri
'i(t)
Яг
У
v(t)
Рис. 3.1. Электрическая цепь —модель пространства состояний
Применяя основные законы электрических цепей, получим
следующие уравнения:
. di{t)
v{t)=L-
dt
Vf(t)-v(t) _ .m , rdv(t) v^
RX -W + b dt + r2
Эти уравнения могут быть преобразованы в следующие:
1
+ ■
\RiC R2C
ЬУ
W + JSo-'W
(3.6.7)
(3.6.8)
(3.6.9)
(3.6.10)
Уравнения (3.6.9) и (3.6.10) имеют форму векторных уравнений
(3.6.1), если в качестве переменных состояния выбрать x\(t) = i(t) и
X2{t) = v(t), т. е. вектор состояния имеет вид x(t) = [xi(t) X2(t)]T.

72 Глава 3. Моделирование
{ZZ>
Va(t)
Рис. 3.2. Упрощенная модель двигателя постоянного тока
Уравнение, соответствующее (3.6.2), дает ничто иное, как y(t) =
v{t)=x2{t).
Итак, уравнения (3.6.9) и (3.6.10) представляют собой линейную
модель пространства состояний, одну из форм уравнений (3.6.5)-(3.6.6), с
матрицами
А =
0
L с \Жс + Жс)
В =
о
1
RiC
С=[0 1]; D = 0
(3.6.11)
DDD
Следующий пример относится к двигателю.
Пример 3.4. Рассмотрим двигатель постоянного тока с независимым
возбуснсдением. Пусть va(t) обозначает напряснсение якоря, 6(t) —угол
поворота вала двигателя. Упрощенная схема этой системы показана
на рис. 3.2.
Пусть
J — момент инерции вала двигателя,
Te(t) —электрический вращающий момент,
ia(t) — ток якоря,
к\, &2 —константы,
R — сопротивление якоря.
Использование известных принципов физики дает следующие связи
этих параметров
J0(t) = Te(t) = kiia(t) (3.6.12)
Vu,{t) = k26{t) (3.6.13)
va{t)-k2e{t)
ta(*) =
R
(3.6.14)
Комбинируя эти уравнения, мы получим следующую модель в виде
дифференциального уравнения второго порядка:
J0(t) = fci
va{t)-k29{t)
R
(3.6.15)

3.7. Решение непрерывных моделей пространства состояний 73
Мы можем легко преобразовать эту модель в пространство
состояний, вводя
xi{t) = 0{t) (3.6.16)
x2{t) = 0{t) (3.6.17)
Модель (3.6.15) может быть переписана в виде:
d_ (ХЩ
dt \x2(t)J
О
1
n -kik2
У JR
xi(t)
а*(*).
+
0
IJRi
Va{t)
(3.6.18)
Это кажется очень простым, однако читатель может быть
удивлен, как часто простые сервомоторы типа, показанного на рис, 3.2
используются на практике. Они — основной элемент многих следящих
систем и роботов, QDD
3.7. Решение непрерывных моделей
пространства состояний
Поскольку модели пространства состояний описываются системой
дифференциальных уравнений первого порядка, их относительно легко
решить.
Ключом к нахождению решения уравнений состояния является
экспоненциальная матрица, определенная как
(3.7.1)
Точное решение линейного уравнения состояния тогда выглядит так:
x{t) = еА^-^х0 + [ еА«-т>Ви(т№т (3.7.2)
Л.
Это утверждение может быть проверено прямой подстановкой (3.7.2)
в (3.6.5). Чтобы выполнить необходимое дифференцирование, заметим,
что
deAt
dt
= AeAt = eAt A
(3.7.3)
а также напомним правило Лейбница:
d Г8®
dt.
/ H(t,T)dT = H(t,9(t))9(t)-H(t,f(t))f(t)+ / ^-H(t,r)dT
J fit) Jf(t) dt
(3.7.4)

74 Глава 3. Моделирование
Использование (3.7.4) и (3.7.3) в (3.7.2) дает
x{t) = AeMt~to)x0 + Bu{t) + A f еА{<ь-^Ви(г)с1г (3.7.5)
Jto
= Ax(t) + Bu(t) (3.7.6)
как и утверждалось.
Заметим, что если u(t) = О \ft > t0) то матрица еА^~т) определяет
переход от х(т) к x(t) \ft > т. Этот вывод объясняет название
«матрица переходов», которое обычно дается матрице eAt. Выход модели y(t),
полученный из (3.6.6) и (3.7.2), будет
у(«) = СеА<*-^х0 + С / eA(t-T)Bw(r)dr + Dti(t) (3.7.7)
Jto
Заметим, что решения для состояния (3.7.2) и для выхода (3.7.7)
состоят из двух членов каждое, а именно, реакции на начальные условия
х0 и принудительной реакции, которая зависит от входа u(t) в интервале
[t0, t]. Приглашаем читателя проверить, что принцип суперпозиции
справедлив для результата, данного в (3.7.7).
Мы будем использовать модели пространства состояний в частях I—III
этой книги достаточно редко. Однако всякий раз, когда это удобно, мы
будем делать побочные комментарии, чтобы показать, как различные
результаты имеют отношение к этим моделям. В частях же V-VIII,
где представлен более продвинутый материал, мы будем использовать
модели пространства состояний часто, потому что они упрощают многие
представления.
3.8. Модели с дифференциальными
и разностными уравнениями
произвольного порядка
Альтернативной моделью, которая часто используется, является
дифференциальное уравнение произвольного порядка, которое
непосредственно связывает входы с выходами. Эти модели обычно называются
моделями входа—выхода.
В случае непрерывного времени эти модели имеют форму
где / — некоторая нелинейная функция.
Простой пример такой модели дан уравнением (3.6.15).

3.9. Ошибки моделирования 75
Аналогично для дискретного случая мы можем написать
т{у[к + п],у[к + п-1],--- ,у[к],и[к + п-1],-~ ,ti[fc])=0 (3.8.2)
где га — нелинейная функция и где мы используем обозначение {у[к]}
для задания последовательности {у[к] : к = 0,1,...}.
Мы опишем этот вид модели более детально в гл. 4.
3.9. Ошибки моделирования
Мы говорили ранее, что модели для реальных процессов неизменно
содержат некоторый уровень приближения. Желательно, если возможно,
включать знание степени приближения в процедуру проектирования.
Пусть истинный объект и его номинальная модель описываются,
соответственно, формулами
у = дМ (3.9.1)
Уо = 9о(и) (3.9.2)
где д и (/о — преобразования общего вида (см. разд. 2.5).
Так называемая аддитивная ошибка моделирования (АОМ) в этом
случае определяется преобразованием де:
У = Уо + 9е(и) (3.9.3)
Сложность с АОМ заключается в том, что она не нормирована
параметрами номинальной модели. С другой стороны, преимуществом
так называемой мультипликативной ошибки моделирования (MOM) зд
является то, что она определяется следующим образом
У = 9о(и + дА(и)) (3.9.4)
Пример 3.5. Пусть выход объекта точно описывается формулой
y = /(sata(u» (3.9.5)
где f (о) — линейное преобразование, a sata означает оператор
а-насыщения:
{a x(t) >a
х \x(t)\<a (3.9.6)
—a x(t) < —a
Если номинальная модель выбрана на основе соотношения д0(°) =
/(о) (т. е. не учитывается насыщение), следует определить
аддитивную и мультипликативную ошибки.

76 Глава 3. Моделирование
VI
—а.
1
а
V
■V
«•)
Аддитивная ошибка моделирования
l\ *
—а
\
Мультипликативная ошибка моделирования
Рис. 3.3. АОМ и MOM для насыщения
Решение
Поскольку f — линейное преобразование, то оно является
дистрибутивным и аддитивным. Следовательно, выход объекта
у = f(u + sa,ta(u) -и)
= f(u) + /(sata(w) - и)
= f(u)+9e{u)
= f(u + sata(w) — и)
= f(u + 9A(u))
АОМ и MOM в этом случае иллюстрируются рис. 3.3. . ODD
Конечно, точные ошибки модели редко известны, поскольку сам
истинный объект точно не известен. Однако некоторую информацию
относительно величины ошибок можно было бы получить. Обычно
это выражается в терминах граничных оценок АОМ и MOM между
номинальной моделью и некоторой другой (более сложной) эталонной
моделью. Например, мы могли бы дать это описание в виде: ||зд|| < е,
где || о || —соответствующая норма.
(3.9.7)

3.10. Линеаризация 77
3.10. Линеаризация
Хотя почти каждая реальная система включает нелинейные
особенности, много систем могут быть с достаточной точностью описаны, по
крайней мере, в пределах некоторых диапазонов функционирования
линейными моделями. Стимулом попытаться приблизить нелинейную
систему линейной моделью является то, что наука и искусство линейного
управления являются более завершенными и более простыми, чем в
нелинейном случае. Полезный способ получить эти линейные модели —
начать с нелинейной модели и затем построить линейное приближение
в окрестности выбранной рабочей точки. Этот подход не специфичен
только для анализа, синтеза и проектирования систем управления, но
является ключевым инструментом моделирования в других областях,
например, в аналоговой электронике.
Стратегия линеаризации может применяться одинаково хорошо к
моделям с непрерывным и дискретным временем, а также к моделям
пространства состояний и моделям входа-выхода (дифференциальные и
разностные уравнения произвольного порядка). Для простоты мы
дальше дадим набросок процесса линеаризации в пространстве состояний.
Итак, рассмотрим
i(t) = f(x(t),u(t)) (3.10.1)
y(t)=g(x(t),u(t)) (З.Ю.2)
Пусть {xQ{t)^UQ{t)^yQ{t)\t G Щ— множество траекторий, которые
удовлетворяют предыдущим уравнениям:
zq(*) = f{xQ(t),uQ(t)); xQ(t0) дано (3.10.3)
yQ(t)=9(xQ(t),uQ(t)) (3.10.4)
Траектория {xQ{t),UQ(t),yQ(t)\t G Щ может соответствовать точке
равновесия модели в пространстве состояний. В этом случае xq, wq, yQ
не будут зависеть от времени, a (xq, j/q) будет удовлетворять условию
xq = 0, т. е.
f(xQ,uQ)=0 (3.10.5)
Пусть теперь мы хотим описать траекторию {x(t),u(t),y(t)]t Е М},
где я(£), u(t) и y(t) близки к {zq(£),uq(£)>2/q(£);£ E Щ. В этом случае

78 Глава 3. Моделирование
для аппроксимации модели мы используем первые члены разложения в
ряд Тейлора. Это приближение дает
y{t)^g{xQ,uQ)+-^-\
(x{t)-xQ)+?f
x=xQ OU
U=Uq
(x(*)-xq)+/
x=xq * du\
U—Uq
(u(t)-uQ) (3.10.6)
X=Xq
U=Uq
(u(t)-uQ) (3.10.7)
X=Xq
U=Uq
Здесь мы использовали обозначение ^£, чтобы обозначить матрицу,
имеющую в качестве у-го элемента gj1. Заметим, что производные
вычислены для номинальной траектории. В случае фиксированной точки
равновесия, эти матрицы производных будут матрицами констант.
Уравнения (3.10.7) и (3.10.6) имеют следующую форму:
x(t) = Ax{t) + Bu{t)+E
y{t) = Cx{t)+T>u{t)+F
где
(3.10.8)
(3.10.9)
(3.10.10)
(3.10.11)
(3.10.12)
(3.10.13)
Обычно А, В, С, D, Е и F зависят от времени. Однако в случае,
когда мы производим линеаризацию в окрестности точки равновесия,
они будут независимы от времени.
Можно также записать приближенные уравнения в терминах
приращений Ax{t) = x{t) -xQ{t), Au{t) = u{t)-uQ(t). Из (3.10.7) и (3.10.6),
используя (3.10.3) и (3.10.4) мы получим
dAx(t)
А=д-1
дх
дх
U=Uq
X=Xq
U=Uq
E = f(xQ,UQ)-
F = 3(z<
Q,Uq)-
ди
в-дд
ди
.21
дх
дх
X=Xq
U=Uq
X=Xq
U=Uq
\ x -^
x=xQ q du
1 U=Uq
X=Xq
U=Uq
dg
? du
UQ
X=Xq ^
1 U=Uq
UQ
X=Xq ^
U=Uq
= AAx(t) + BAu{t)
at
Ay{t) = CAx(t)+T>Au(t)
(3.10.14)
(3.10.15)

3.10. Линеаризация 79
Замечание 3.1. Процедура линеаризации, представленная выше, дает
модель, которая является линейной для приращений входов и
выходов относительно выбранной рабочей точки (т. е. модель для малых
сигналов).
Проиллюстрируем все двумя примерами.
Пример 3.6. Рассмотрим непрерывную систему, имеющую
следующую истинную модель
^ = /(*(*),«(*)) = -у/Щ+ ^ (3.10.16)
Предположим, что вход u(t) колеблется относительно значения
и = 2. Найти рабочую точку при uq = 2 и линеаризованную модель
в ее окрестности.
Решение
1. Рабочая точка вычисляется из формулы (3.10.16) с uq = 2 и при
^р- = 0. Это дает
ч/^-^=0 =**Q = y (3.10.17)
2. Тогда, преобразуя (3.10.16) с помощью разложения в ряд Тейлора,
получим следующую линеаризованную модель:
Используя числовые значения для рабочей точки, мы получаем
следующую линеаризованную модель:
*^B = AAx(t) + ±Au(t) (3.10.19)
Чтобы оценить качество приближения, мы рассмотрим исходную
систему и ее линеаризованную модель и запустим моделирование,
где вход системы — константа, равная 2, плюс последовательность
импульсов с увеличивающейся амплитудой. Результаты показаны на
рис. 3.4. Здесь мы видим, что ошибка от линеаризации увеличивается,
если система отходит от рабочей точки, для которой была
рассчитана линеаризованная модель. □□□

80 Глава 3. Моделирование
Z8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
1.6
1.4
1 1 1
-
^—-Isw
L 1 1 1
, .. . т
1
1
^VnlM
1
т
u(t)
1
А
10
Время (с)
Рис. 3.4. Выходы нелинейной системы yni(t) и линеаризованной системы yi(t)
для входа в виде прямоугольных импульсов увеличивающейся амплитуды u(t).
В качестве несколько более сложного примера рассмотрим
следующий.
Пример 3.7 (Перевернутый маятник). Многие читатели знакомы
с возможностью балансирования метлы {или палки) на конце пальца.
Простой опыт показывает, что это — трудная задача управления.
Многие университеты по всему миру создали системы с
перевернутым маятником, чтобы демонстрировать результаты управления.
Фотография одной из них, построенной в Университете Ньюкасла,
Австралия, показана на Web-сайте книги. Причина того, что эта
задача интересна с точки зрения управления, заключается в том,
что она иллюстрирует многие из трудностей, связанных с реальными
задачами управления. Например, модель очень похожа на систему
стабилизации качки судна с помощью перекладки руля. Последняя задача
будет рассмотрена в гл. 23. Схема типичной системы с перевернутым
маятником показана на рис. 3.5.
Рис. 3.5. Перевернутый маятник

3.10. Линеаризация 81
На рис 3.5 используются следующие обозначения:
y(t) —расстояние от опорной точки)
Q(t) —угол маятника)
М —масса тележки)
т —масса маятника {считается, что она сосредоточена на
верхнем конце))
I —длина маятника)
f(t) —силы, приложенные к маятнику.
Использование физики Ньютона в этой системе приводит к
следующей модели:
У =
в=
1
Am+sin20(*)
1
т
+ 6z(t)tsm6(t)-gcos6(t)sm6{t)
(3.10.20)
-#п , • 2оп\\ Г—cos9{t) + e2(t)£sme{t)cos9{t) + {l + \m)gsme{t)
t[Am+sin U(t)\ l m
(3.10.21)
где Am = (M/m).
Эти уравнения нелинейны. Однако для малых отклонений в от
вертикального положения мы мооюем выполнить линеаризацию около
значений в0 = 0, в0 = 0. Используя методы, рассмотренные выше,
получим:
1
лт
1
'/«)
т
-g0(t)
9 =
IK
ш
т
+ (l + \m)ge(t)
(3.10.22)
(3.10.23)
Теперь мы можем преобразовать это в форму пространства
состояний с входом u(t) =/(<) и выходом y(t), вводя
xi(t) = y(t)
x2(t) = №
x3(t) = 9(t)
x4(t) = Щ
Это приводит к линейной модели пространства состояний, как и в
(3.6.5)-(3.6.6), где
ГО 1 0 01
А =
0
0
.0
о =Я?
0 0
n (M+m)g
и Ml
0
1
0.
в =
о
м
о
1 ,
) С=[1 0 0 0] (3.10.24)
В дальнейшем будет дополнительно сказано о проблемах управления,
связанных с этой системой. □□□

82 Глава 3. Моделирование
Замечание 3.2. Современные вычислительные пакеты включают
специальные команды, чтобы вычислить линеаризованные модели
относительно определенной пользователем (заранее определенной) рабочей
точки. В случае MATLAB-SIMULINK соответствующие команды —
это linmod (для непрерывных систем) и dlinmod (для дискретных
и гибридных систем).
Замечание 3.3. Очевидно, что линеаризованные модели являются
приближенными моделями. Таким образом, эти модели должны
использоваться с соответствующей осторожностью (как, разумеется
и все другие модели). В случае линеаризованных моделей, следующий
член разложения в ряд Тейлора может часто использоваться, чтобы
сообщить нам кое-что относительно величины связанной с
линеаризацией ошибки моделирования.
Линейные модели часто дают глубокое понимание и ведут к простым
стратегиям управления. Они могут быть получены линеаризацией
нелинейной модели вблизи рабочей точки. Нужно быть осторожным
с неизбежными ошибками моделирования.
3.11. Изучаемые задачи
Ограниченность места не дает нам возможности представить более
детальное изучение моделирования. Обычно оно относится к сфере
других курсов, которые посвящены непосредственно этой теме. Тем не
менее, простые модели для всех изучаемых задач будут представлены
при их обсуждении. Отсылаем читателя к следующим задачам:
• Отслеживание спутника (гл. 22).
• Управление значением рН (гл. 19 и Web-сайт).
• Непрерывное литье (гл. 2, 8 и Web-сайт).
• Сахарный отжимной пресс (гл. 24 и Web-сайт).
• Дистилляционная колонна (гл. 6 и Web-сайт).
• Синтез аммиака (гл. 20).
• Оценка массы цинкового покрытия (гл. 22).
• BISRA-измеритель (гл. 8 и Web-сайт).
• Эксцентриситет валков (гл. 10, 22 и Web-сайт).
• Эффект затягивания у прокатных станов (гл. 8, 10 и Web-сайт).
• Управление толщиной полосы при прокатке стали (гл. 21 и Web-
сайт).

3.12. Резюме 83
• Управление вибрацией (гл. 22).
• Двигатель постоянного тока (гл. 3).
• Оценка уровня жидкости в резервуаре (гл. 18 и Web-сайт).
• Четыре соединенных резервуара (гл. 21, 24 и Web-сайт).
• Устройство из плоскости и шара (Web-сайт).
• Теплообменник (гл. 4).
• Перевернутый маятник (гл. 3, 9, 24 и Web-сайт).
• Стабилизация качки судна с помощью перекладки руля (гл. 23).
3.12. Резюме
• Чтобы методично проектировать регулятор для конкретной системы,
нужно формальное, по возможности простое описание системы.
Такое описание называется моделью.
• Модель — набор математических уравнений, которые предназначены
для учета влияния некоторых переменных системы на некоторые
другие переменные этой же системы.
• Выделенные выше курсивом фрагменты должны пониматься
следующим образом:
о некоторые переменные системы: обычно и невозможно и не нужно
моделировать действие каждой переменной на каждую же другую
переменную; поэтому ограничиваются некоторым подмножеством.
Типичными примерами здесь могут быть влияние входа на выход,
влияние возмущений на выход, влияние изменения эталонного
сигнала на управляющий сигнал или влияние различных внутренних
неизмеряемых сигналов системы на всякие другие сигналы.
о учет: модель никогда не бывает совершенной, поэтому она всегда
связывается с ошибкой моделирования. Слово «учет» выдвигает
на первый план существование ошибок, но точное определение их
типа и влияния не производится.
о предназначены: это слово — напоминание, что не всегда можно
найти модель с желаемой точностью, и, следовательно, может
потребоваться некоторый итеративный процесс уточнения.
о набор математических уравнений: имеются многочисленные
способы описания поведения системы, например, с помощью
линейных или нелинейных дифференциальных и разностных уравнений.

84 Глава 3. Моделирование
• Модели классифицируются в зависимости от свойств уравнений,
которыми они описываются. Примеры классификации включают
следующее:
Свойства модели
С одним
входом и одним
выходом
Линейная
Изменяющаяся
во времени
Непрерывная
Вход-выход

Сосредоточенные параметры
Противоположные
свойства
Со многими
входами и
многими
выходами
Нелинейная
Инвариантная
во времени
Дискретная
Пространство
состояний
Распределенные
параметры
Означает, что...
... уравнения модели имеют
только один вход и один выход
(имеет несколько входов и/или
несколько выходов)
... уравнения модели линейны
по отношению к переменным
системы (уравнения нелинейны)
... параметры модели
переменные (параметры
постоянные)
... уравнения модели описывают
поведение системы в каждый
момент времени (только в
дискретные моменты времени)
... уравнения содержат только
входы и выходы (включают
так называемые переменные
состояния)
... уравнения модели —
обыкновенные дифференциальные
уравнения (дифференциальные
уравнения в частных
производных)
• Во многих случаях нелинейные модели могут быть линеаризованы
относительно выбранной пользователем рабочей точки.
3.13. Литература для последующего чтения
Моделирование
1. Campbell, D.P. (1958). Process Dynamics. Wiley, New York.
2. Cannon, R. (1967). Dynamics of Physical Systems. McGraw-Hill.
3. Ogata, K. (1998). System Dynamics. Prentice-Hall, Upper Saddle River, N.J.,
3rd edition.
4. Stephanopoulos, G. (1984). Chemical Process Control: An Introduction to
Theory and Practice. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J.

3.14. Задачи для читателя 85
Идентификация
1. Bohlin, Т. and Graebe, S.F. (1995). Issues in nonlinear stochastic grey box
identification. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing,
9(6):465-490.
2. Goodwin, G.C. and Payne, R.L. (1977). Dynamic System Identification.
Academic Press, New York.
3. Ljung, L. (1999). System Identification. Theory for the User. Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, N.J., 2nd edition.
4. Ljung, L. and Soderstrom, T. (1983). Theory and Practice of Recursive
Identification. MIT Press, Cambridge, Mass.
3.14. Задачи для читателя
Задача 3.1. Рассмотрим электронный усилитель с входным
напряжением Vi(t) и выходным напряжением v0(t). Предположим, что
v0{t) = 8vi{t) + 2 (3.14.1)
3.1.1. Покажите, что усилитель не удовлетворяет строго принципу
суперпозиции. Таким образом, эта система не строго линейна. (Лучший
термин для этой системы был бы «аффинная».)
3.1.2. Заметьте, что систему можно также описать следующим образом:
v0{t) = 8vi{t) + 2di{t) (3.14.2)
где di(t) —постоянное смещение (равное единице).
Покажите, что принцип суперпозиции справедлив для вектора
входа [vi(t) di(t)]T.
3.1.3. Получите модель в приращениях для Av0(t) = v0(t)— v0q, Avi(t) =
Vi{t) — ^iQ, где (viQ,v0Q) —любая точка, удовлетворяющая модели
(3.14.1). Покажите, что эта модель в приращениях одна и та же для
любых пар (viQ.Voo).
Задача 3.2. Рассмотрим электронный усилитель, схожий с усилителем
из задачи 3.1, но имеющий входное напряжение Vi(t) и выходное
напряжение v0(t), связанные соотношением
v0(t) = 8(vi(t))2 (3.14.3)
3.2.1. Покажите, что усилитель нелинейный, убедившись, что если мы
представим Vi(t) в виде двух компонентов, например, Vi(t) = vn(t) +
^i2(£)> то реакция на Vi(t) не равна сумме реакций на vn(t) и Vi2(t).
3.2.2. Предположим, что Vi(t) = 5 + cos(100£). Каким будет выход?

86 Глава 3. Моделирование
3.2.3. Получите модель в приращениях для Av0(t) = v0(t)—v0q, Av{(t) =
Vi{t) — ViQ, где (viQ,v0Q)—любая точка, удовлетворяющая модели
(3.14.3). Покажите, что эта модель в приращениях зависит от выбора
пары (viQ,v0Q). Сравните это с результатом в задаче 3.1 и обсудите
результат.
Задача 3.3. Система имеет модель входа-выхода
У(<) = 2|«(*)| (3.14.4)
3.3.1. Постройте модель для малых сигналов в окрестности uq = 5.
3.3.2. Обсудите, почему это не может быть сделано относительно uq =
0.
Задача 3.4. Дискретная система с входом и[к] и выходом у[к]
описывается разностным уравнением
у[к] - 0.8у[к - 1] + 0.15y[fc - 2] = 0.2и[к - г] (3.14.5)
3.4.1. Постройте модель пространства состояний для г = 0.
3.4.2. Повторите это для г = 1.
Задача 3.5. Рассмотрим сберегательный счет, выплачивающий 5%
годового дохода. Предположим, что открывающийся депозит —200
долларов США и что годовой депозит d[i] сделан в конце г-го года. Постройте
модель, которая описывает изменение баланса этого счета в конце fc-ro
года, для fc = 1,2,3,...
Задача 3.6. Рассмотрим механическую систему на рис. 3.6, где u(t) —
внешняя приложенная сила, v (t) — скорость массы М относительно
инерционной системы, связанной со стеной и y(t) — смещение от стены.
i ^ v(t)
Рис. 3.6. Динамическая механическая система
Найдите дифференциальное уравнение, описывающее связь между
входом u(t) и переменными v(t) и y(t).
Задача 3.7. Рассмотрим систему с входом u(t) и выходом у(£),
имеющую эталонную (нелинейную) модель, определяемую выражением
^ + (2 + 0.1 (y(t))2) y(t) = 2u(t) (3.14.6)

3.14. Задачи для читателя 87
Пусть мы связываем с этой системой номинальную (линейную)
модель, определяемую формулой
dy(t)
dt
+ 2y(t) = 2u(t)
(3.14.7)
Смоделируйте эти две системы и получите ошибку модели для u(t) =
Лшз((Ш) при А = 0.1, 1.0 и 10.
Обсудите, почему ошибка моделирования растет, когда А становится
больше.
Задача 3.8. Рассмотрим следующую нелинейную модель пространства
состояний
xi (t) = -2хх {t) + 0.1a;i {t)x2(t) + u{t)
x2(t) = -xl(t)-2x2(t)(x1(t)f
y(t) = x1(t) + (l + x2{t))2
(3.14.8)
(3.14.9)
(3.14.10)
Постройте линеаризованную модель в окрестности рабочей точки,
заданной значением uq = 1.
Задача 3.9. Рассмотрим нелинейный объект, имеющий модель
-|^ + [1 + 0.2sin(y(*))] ^ + 0.5y(t) = 3u(t) - sign(u(t)) (3.14.11)
3.9.1. Найдите примерную инверсию для этого объекта, используя
структуру, показанную на рис. 2.7, с преобразованием h(o), представ-
• ляющим линейное нединамическое усиление.
3.9.2. Настройте моделирование, как показано на рис. 3.7, где /(о)
представляет нелинейную динамическую систему, описанную в
(3.14.11).
О
*-
ft(o)
/<°>
/<°>
о
Рис. 3.7. Схема оценки параметров инверсии
3.9.3. Оцените характеристики инверсии, исследуя е с помощью
SIMULINK на основе рис. 3.7. Используйте синусоидальные
колебания с частотой в диапазоне от 0 до 0.5 рад/с.

88 Глава 3. Моделирование
Задача 3.10. Рассмотрим нелинейную систему, имеющую модель
Постройте линейную модель для малых сигналов в окрестности
точки, определяемой постоянным входным сигналом и = 2.
Задача 3.11. Рассмотрим механическую систему, показанную на
рис. 3.8. Внешняя сила f(t) приложена к одному концу рычага и
уравновешена пружиной, связанной с другим концом. Рычаг вращается вокруг
своего центра, где момент трения пропорционален угловой скорости.
Масса рычага: т
Длина рычага: I
Рис. 3.8. Рычаг
3.11.1. Без формирования какой-либо модели скажите, как много
состояний имеет система.
3.11.2. Постройте линейную модель входа-выхода для системы с входом
Af(t) и выходом A0(t). Примите вя = 0.
3.11.3. Постройте линейную модель пространства состояний.

Глава 4
Непрерывные
сигналы и системы
4.1. Введение
Преимущество представления задачи моделирования в линейном
приближении состоит в том, что последующий анализ, а также
проектирование регулятора, могут использовать богатую информацию относительно
функционирования линейных систем. В этой главе мы рассмотрим
основные принципы этой теории для линейных моделей непрерывных
процессов. Основные темы, которые будут исследованы, следующие:
• модели в виде линейных дифференциальных уравнений
произвольного порядка;
• преобразования Лапласа, которые конвертируют линейные
дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения, намного
упрощая таким образом их изучение;
• методы для оценки устойчивости линейных динамических систем и
• частотные характеристики.
4.2. Линейные непрерывные модели
Линейная модель общего вида является линейным вариантом общего
дифференциала произвольного порядка, кратко описанного в разд. 3.8.
Линейная форма этой модели:
^+an_1^M + ... + aoy{t) = bn_1^Lu{t) + ... + bou{t) (4.2.1)
Предлагаем читателю вспомнить модель простого двигателя,
заданную уравнением (3.6.15). Эта модель была в форме (4.2.1).

90 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Иногда удобно использовать операторную форму, чтобы обозначить
действие дифференцирования. Поэтому мы введем оператор
дифференцирования или оператор Хевисайда р(о), определяемый как
Р(№)=Р№±^ (4.2.2)
Pn(f(t)) = Pnf(t) = p(pn-1(№)) = ^ (4.2.3)
В терминах этого оператора модель (4.2.1) может быть записана:
Pny{t) + an-lPn-ly{t) + • • • + a0y{t)
= bn-lPn-lu{t) + • • • + b0u{t) (4.2.4)
Главное для линейных систем —это то, что для них справедлив
принцип суперпозиции. Как сказано в разд. 3.6.2, это подразумевает,
что если два входных сигнала приложены одновременно, то реакция на
них — просто сумма реакций на действие каждого из них в отдельности.
Это имеет широкий диапазон применения. Например, можно получить
реакцию на сложный входной сигнал, используя разложение его на
элементарные компоненты. Прискорбно, что этот принцип несправедлив
для нелинейных систем и это означает, что нельзя анализировать
реакцию системы по частям, а приходится сразу рассматривать весь входной
сигнал. Таким образом, можно глубже проникнуть в суть линейных
систем (например, рассматривая эталонные входы), чем, в общем случае,
это можно сделать для нелинейных систем.
4.3. Преобразования Лапласа
Изучение дифференциальных уравнений описанного выше типа —
богатый и интересный предмет. Из всех методов, используемых для
изучения линейных дифференциальных уравнений, один, особенно полезный,
обеспечивается преобразованиями Лапласа. Мощное достоинство этого
преобразования —то, что оно преобразовывает линейные
дифференциальные уравнения в алгебраические, что очень полезно для целей
анализа.

4.4. Преобразование Лапласа. Свойства и примеры 91
Определение преобразования Лапласа
Рассмотрим непрерывный сигнал y{t),0 < t < 00. Пара формул
преобразования Лапласа, связанных с у(£), определяется следующим образом:
j С
C[y(t)}
1 [Y(s)] =
= Y(s)
v(*) =
= / е
Jo-
-sty(t)dt
1 r(T+joo
г- / estY(s)ds
(4.3.1)
(4.3.2)
Y(s) называется преобразованием Лапласа от y(t). Пара
преобразований определена, если существуют а ЕШ и положительная константа
к < оо, такие, что
|y(t)|<fce^;Vt>0 (4.3.3)
Область 3i{s} > а известна как область сходимости (конвергенции)
преобразов ания.
Рассмотренная выше пара преобразований может использоваться для
получения таблицы преобразований. Примеры преобразований, часто
используемых в приложениях теории управления, даны в табл. 4.1.
Предлагаем читателю получить некоторые из результатов на основе
исходных формул.
Имеется много интересных свойств, которые вытекают из
определения преобразования. Некоторые из них перечислены в табл. 4.2. Снова •
предлагаем читателю проверить эти свойства или получить их из
исходных формул.
4.4. Преобразование Лапласа.
Свойства и примеры
Уравнения (4.3.1) и (4.3.2) дают способ переводить описания сигналов
и систем в 5-область и назад во временную область. Однако
уравнение (4.3.2) редко используется, чтобы получить обратное
преобразование Лапласа, потому что прямое преобразование Лапласа большинства
интересующих нас сигналов дает дробно-рациональное выражение
относительно s. Обычно и используется это дробно-рациональное
выражение для определения обратного преобразования путем сравнения со
стандартными результатами.

92 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Таблица преобразований Лапласа
Таблица 4.1
fit) (*>о)
1
5D(t)
t
tn n € Z+
eat a€C
teat a € С
cos(u0t)
sin(cj0t)
eatsin(u0t + P)
tsin(u0t)
tcos(u0t)
£[/(*)]
1
s
1
1
S2
n!
sn+l
1
s- a
1
(5-a)2
s
s2+u;2
s2+u;2
(sin/?)s + cj0 cos/? — a sin/?
(s-a)2+u,2
2cj0s
(*2+u,2)2
(s2+u;2)2
1 - e~ST
s
Область сходимости
<T>0
|<т|<оо
<т>0
<T>0
(j > Ща}
с > Ща}
cr>0
cr>0
с > Ща}
G>0
G>0
\g\<oo
Предлагаем читателю проверить следующий ключевой результат (см.
табл. 4.2) относительно преобразования производной от функции:
\dy(ty
dt
= sY(s)-y(Q-)
(4.4.1)
где £[у(£)] = Y(s). Этот результат можно использовать для
преобразования дифференциальных уравнений в алгебраические относительно
переменной s.

4.4. Преобразование Лапласа. Свойства и примеры 93
Таблица 4.2
Свойства преобразования Лапласа
1 /(*)
dy(t)
dt
dky(t)
dtk
/ y(r)dr
Jo-
y(t-T)(l(t-T)
ty(t)
tky(t)
ft
\J_fl(r)f2(t-T)dT
йй,*')
АУ(<)
h(t)h(t)
eatfi(t)
суш
1=1
sY(s)-y(0-)
_*rM Tk .k-id'-'yit)
" Y4 ^•=1° dti-l
t=o-
]Y(s)
e-*TY(s)
dY(s)
ds
( ^Y(s)
{ > dsk
^(в)ВД
lira sY(s)
s—>0
lim sY(s)
s->oo
i r<r+joo
— Fl(OF2(s-QdC
27Г? y^.joo
Fi(s-a)
Названия
Линейная
комбинация
Закон дифферен-
цирования
Производная
произвольного
порядка
Закон
интегрирования
Задержка
Свертка
Теорема о
конечном
значении
Теорема о
начальном
значении
Произведение
во временной
области
Сдвиг частоты
Обозначения: F{(s) = C[f{(t)]; Y(s) =C[y(t)]\ к € {1,2,3,.
и h(t) = f2(t) = 0 V* < 0.
Проиллюстрируем это примером.
Пример 4.1. Рассмотрим задачу с двигателем постоянного тока,
описанную в примере 3.4. Пусть, для примера, а\ = 2, Ьо = 1- {Заметим,
что в этом примере ао = 0.) Тогда, используя (4.4.1) и взяв
преобразование Лапласа модели, получим
s2B{s) + 2se(s) -{s + 2)0(0") - 0(0") = Va{s)
(4.4.2)

94 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Пусть начальные условия в(0") = О, 0(О"~) = О и входной сигнал —
единичная ступенька, приложенная в момент t = 0. Тогда
ew=febw (4-4-з)
Раскладывая на простейшие дробив, получим
^«hv+h-h <4-4-5»
Следовательно, используя результаты из табл. 4.1, реакция на
выходе для t > О будет
в(*) = |е-» + |*-| (4.4.6)
□□□
Преобразования Лапласа полезны для изучения линейных систем,
описываемых дифференциальными уравнениями, потому что они
переводят дифференциальные уравнения в алгебраические.
4.5. Передаточные функции
4.5.1. Модели в виде дифференциальных уравнений
произвольного порядка
Рассмотрим снова модель в виде линейного дифференциального
уравнения произвольного порядка (4.2.1). Использование преобразований
Лапласа переводит дифференциальное уравнение в следующее
алгебраическое уравнение:
snY{s) + an-is^Yis) +... + a0Y{s)
= bn-i8n-lU{8) + • • • + b0U{s) + f{s, x0) (4.5.1)
где f(s, x0) обозначает функцию, зависящую от начальных условий. В
случае нулевых начальных условий мы имеем
Y{s) = G{s)U{s) (4.5.2)
1 Используя команду residue пакета MATLAB.

4.5. Передаточные функции 95
где
ад = |Й| (4.5.3)
и
А{з) =sn + an-is71'1 + • • • + оо (4.5.4)
В{з) =bn-i5n^1 + bn-2sn-2 + • • • + Ь0 (4.5.5)
G(s) называется передаточной функцией. Представление (4.5.3) очень
полезно для проникновения в суть различных вопросов проектирования
систем управления.
Пример 4.2. Передаточная функция для системы в примере 4.1 равна
°w-yh; (4-5-6)
4.5.2. Передаточные функции для непрерывных моделей
в пространстве состояний
Мы можем использовать преобразование Лапласа для решения
дифференциальных уравнений, получаемых из модели пространства
состояний. Использование преобразования Лапласа в (3.6.5) и (3.6.6) дает
зХ{з) - я(0) = АХ{з) + BU{s) (4.5.7)
Y{s) = СХ{з) + ВЩз) (4.5.8)
и, следовательно,
Х{з) = (Л - А)-1*^) + (Л - А)-гВЩз) (4.5.9)
Y(s) = [С (Л - А)-ХВ + В]Щз) + С(Л - А)"1*^) (4.5.10)
Фактически, эти уравнения могут быть использованы для получения
формул решения модели пространства состояний. В частности,
уравнение (3.7.7) может быть получено, используя обратное преобразование
Лапласа и, учитывая что
C[eAt]={sI-A)-1 (4.5.11)
Мы видим, что при нулевых начальных условиях преобразование
Лапласа выходного сигнала Y(s) связано с преобразованием Лапласа
входного сигнала U(s) следующим образом:
Y{s) = G{s)U{s) (4.5.12)
G{s) = С(Л - А)_1В + D (4.5.13)
Таким образом G(s) —передаточная функция системы.

96 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Пример 4.3. Рассмотрим снова перевернутый маятник из гл. 3. Если
мы хотим получить передаточную функцию от U kY, то
G(s) = C(sI-A)"1B (4.5.14)
- 1 (*2-<>2) Мб15)
gdea=jLM$k.b=ft. DDD
Определим некоторые термины, используемые в связи с
передаточными функциями.
Рассмотрим передаточную функцию, данную уравнениями (4.5.3)-
(4.5.5).
Для простоты будем пока считать, что B(s) и A(s) не имеют
одновременно нулей для одного и того же значения s. Пусть также степени
A(s) и B(s) равны пит соответственно. (Это положение будет далее
в гл. 17 разъяснено в связи с управляемостью и наблюдаемостью.) При
этих условиях определим следующие термины.
1. Корни уравнения B(s) = О называются нулями системы.
2. Корни уравнения A(s) = 0 называются полюсами системы.
3. Если уравнение A(s) = 0 имеет щ корней при s = A^, то говорят, что
полюс Afc имеет кратность щ.
4. Различие в степенях полиномов A(s) и B(s) называется
относительной степенью.
5. Если т < п, мы говорим, что модель строго собственная. Это
означает, что относительная степень положительна.
6. Если т = п, мы говорим, что модель бисобственная. Это означает,
что относительная степень нулевая.
7. Если т < п, мы говорим, что модель собственная.
8. Если т > п, мы говорим, что модель несобственная (или имеет
отрицательную относительную степень).
Замечание 4.1. Реальные системы почти всегда строго собственные.
Однако некоторые методы проектирования регуляторов приводят к
бисобственным или даже к несобственным передаточным функциям.
Чтобы быть реализуемыми, эти регуляторы обычно делаются бисоб-
ственными, например, дополняя A(s) сомножителями типа (a{S + l),
где (Х{ е Ш+.
Замечание 4.2. Часто реальные системы имеют запаздывание
между входным и выходным сигналами. Это обычно связывается с
транспортировкой вещества из одной точки в другую. Например, если

4.5. Передаточные функции 97
имеется лента конвейера или труба, соединяющая различные части
объекта, то это непременно введет запаздывание.
Передаточная функция чистого запаздывания имеет следующий вид
(см. табл. 4.2):
Н{8)
_ *sTd
(4.5.16)
где Td — постоянная запаздывания (в секундах). Тд обычно изменяется
с изменением скорости транспортировки.
Пример 4.4 (Система нагревания). В качестве простого примера
системы, имеющей чистое запаздывание, рассмотрим систему,
показанную на рис. 4.1.
Датчик
температуры
Поток
воздуха
Мотор Пропеллер
Рис. 4.1. Система передачи тепла
Передаточная функция от входа (напряжение, прикладываемое
к нагревательному элементу) к выходу (температура, измеряемая
термопарой) примерно равна
Н(з) =
Ке-*Т*
(rs + 1)
(4.5.17)
Заметим, что К, Tdur зависят от скорости вращения пропеллера,
которая изменяет время транспортировки от нагревателя к
измеряемому выходу, а также от различных коэффициентов передачи тепла.
Хотя это очень простой пример, модель, заданная формулой (4.5.17)
чрезвычайно распространена в приложениях. DDD
Наши выводы относительно передаточных функций могут быть
суммированы следующим образом:
Передаточная функция описывает свойства системы от входа к
выходу в алгебраической форме.

98 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
4.6. Устойчивость передаточных функций
Мы выше показали, что реакция системы, имеющей передаточную
функцию G(s), имеет вид:
р nk о
Y(s) = G(s)U(s) + £ £ 7^л? (4.6.1)
k=u=i[s Ак)
где каждый /3^ является функцией начальных условий и где, для
полноты, мы считаем, что каждый полюс при s = А& имеет кратность
rifc. Это последнее предположение подразумевает что щ+щ-) \-пр = п.
Мы говорим, что система устойчива, если любой ограниченный
входной сигнал вызывает ограниченный же выходной сигнал при всех
ограниченных начальных условиях. В частности, мы можем
использовать разложение на сумму рациональных дробей, чтобы разбить всю
реакцию системы на отдельные реакции, связанные с каждым полюсом.
В этом случае мы видим, что устойчивость требует, чтобы полюсы
имели строго отрицательные вещественные части: они должны быть в
открытой левой полуплоскости (открытой ЛПП) комплексной плоскости
(далее мы часто будем называть комплексную плоскость s-плоскостью).
Это также говорит о том, что для непрерывных систем граница
устойчивости—мнимая ось.
Пример 4.5. Рассмотрим систему примера 4.1. Полюсы этой
передаточной функции 2 и 0. Они не лежат в открытой левой половине
комплексной плоскости (0 находится в замкнутой левой половине
комплексной плоскости). Таким образом, система не устойчива.
Действительно, читатель может проверить, что постоянный входной
сигнал, отличный от нуля, приведет к неограниченно возрастающему
выходному сигналу.
4.7. Реакция линейных систем
на импульсные и ступенчатые сигналы
Особый интерес в изучении линейных систем представляет реакция
на дельта-функцию Дирака (импульсная характеристика). Ее можно
рассматривать как предел при Л -> 0 импульса, показанного на рис. 4.2.
Преобразование Лапласа дельта-функции Дирака равно единице (см.
табл. 4.1). Следовательно, если бы мы могли приложить такой входной
сигнал к системе с нулевыми начальными условиями, тогда реакция

4.7. Реакция линейных систем на импульсные и ступенчатые сигналы 99
системы будет просто Y(s) = G(s)U(s) = G(s). Мы можем подытожить
эти наблюдения следующим образом:
Передаточная функция непрерывной системы представляет собой
преобразование Лапласа ее реакции на импульс (представляющий
собой дельта-функцию Дирака) при нулевых начальных условиях.
p(t)
А
* *
Рис. 4.2. Дискретный импульс
Из-за идеализации, неявно заложенной в определение
рассмотренного выше импульса, более приемлемо изучать динамическое поведение
системы при ступенчатом воздействии, то есть когда U(s) = 1/s. Это
приводит к так называемой переходной характеристике (реакции на
ступеньку)
Y(s) = G(s)-s (4.7.1)
Применение предельной теоремы (см. табл. 4.2) показывает, что
установившаяся реакция (если она существует) на ступеньку равна
lim y(t) = уоо = UmsG(s)- = G(0)
t->oo s->0 S
(4.7.2)
Если система устойчива, то переменная часть переходной
характеристики будет экспоненциально затухать до нуля и, следовательно, у^
будет существовать. Заметим, что если G(s) имеет один или более нулей
при s = 0, то Уоо = 0.
Полезно определить ряд показателей, которые кратко описывают
некоторые характерные свойства динамики системы. Чтобы ввести эти
определения, мы рассмотрим устойчивую передаточную функцию и
переходную характеристику системы, показанную на рис. 4.3.
Тогда определим следующие показатели.

100 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Установившееся значение Ус»: конечное значение переходной
характеристики. (Этот показатель не имеет смысла, если система обладает
полюсами в правой полуплоскости комплексной плоскости.)
Время нарастания tr: время до момента, когда переходная
характеристика впервые достигает значения кгуоо. Константа кг у разных
авторов равна 0.9 или 1.
Перерегулирование Мр: максимальная величина, на которую
переходная характеристика превышает установившееся значение. (Оно
обычно выражается в процентах от j/oq.)
Недорегулирование Ми: максимальная величина (абсолютное
значение), на которую переходная характеристика опускается ниже
значения для нулевого момента.
Время регулирования ts: время до того момента, когда реакция на
ступеньку попадает (без дальнейшего выхода) в полосу отклонений
±5 от установившегося значения. Это отклонение J, как правило,
определяется в процентах от уоо, обычно от 2 % до 5%.
Уоо+Мр
Lr lp Время
Рис. 4.3. Показатели переходной характеристики
4.8. Полюсы, нули и временные характеристики
Далее мы исследуем ряд фундаментальных свойств полюсов и нулей
передаточных функций. При этом мы пока не будем интересоваться тем,
как эти передаточные функции получаются. Позже эти результаты мы
свяжем с передаточными функциями, которые получаются в системах
с обратной связью.

4.8. Полюсы, нули и временные характеристики 101
Рассмотрим сначала передаточную функцию общего вида
Н(з) = кЩ*£^ (4.8.1)
где щ Е С и Pi £ С. Если мы снова предположим, что нет значений
/ и i таких, что а/ = /%, тогда /7i,/fe,...,/7m и ai,a2,...,an—-нули и
полюсы передаточной функции соответственно. Относительная степень
А
тогда пг = п — т.
Нас будут особенно интересовать те нули, которые лежат на мнимой
оси и в ее окрестности, а также те полюсы, которые находятся в правой
половине комплексной плоскости. Полюсы и нули, расположенные
подобным образом, играют фундаментальную роль в динамическом
поведении систем.
Можно выделить специальный класс передаточных функций, у
которых все полюсы и нули лежат в ЛПП s-плоскости. Обычно такие
передаточные функции называются минимально-фазовыми передаточными
функциями. Однако в дальнейшем мы будем использовать этот термин
по отношению к передаточным функциям, у которых нет нулей в правой
полуплоскости (ППП), независимо от того, имеют ли они там полюсы.
Будем говорить, что нуль неминимально-фазовый, если он находится
в замкнутой ППП комплексной плоскости, иначе будем называть его
минимально-фазовым нулем. Передаточная функция называется
устойчивой, если все ее полюсы находятся в открытой ЛПП комплексной
плоскости; передаточная функция называется неустойчивой, если она
имеет, по крайней мере, один полюс в замкнутой ППП комплексной
плоскости. Сами полюсы также называются устойчивыми или
неустойчивыми полюсами в зависимости от того, лежат ли они в открытой ЛПП
или в замкнутой ППП комплексной плоскости1.
Далее мы исследуем переходный процесс в зависимости от
расположения полюсов и нулей.
4.8.1. Полюсы
Читатель может вспомнить, что любая скалярная рациональная
передаточная функция может быть разложена на сумму дробей, каждое
слагаемое при этом содержит либо единственный вещественный полюс,
либо пару комплексно-сопряженных полюсов, либо многократные
комбинации для кратных полюсов. Таким образом, понимание влияния
1 Иногда, злоупотребляя языком, неминимально-фазовые нули также называются
неустойчивыми нулями, потому что они лежат в области s-плоскости, где находятся
неустойчивые полюсы.

102 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Переходная характеристика
Время
Рис. 4.4. Переходная характеристика системы первого порядка
полюсов на переходный процесс сводится к пониманию переходных
процессов для полюсов первого и второго порядка и их взаимодействий.
Обычный полюс первого порядка дает
ts + 1
Переходная характеристика для этого случая может быть вычислена
следующим образом:
y(t) = c
-г-1
К
s(ts + 1)\
= С
-1
s
Кг
= К(1-е~г) (4.8.3)
Сигнал y(t) из уравнения (4.8.3) может быть представлен так, как
на рис. 4.4.
Из ряс. 4.4 видно, что параметры К (= уоо) и т (постоянная времени)
могут быть определены графически.
Для случая пары комплексно-сопряженных полюсов обычно изучают
каноническую систему второго порядка с передаточной функцией
,2
Щз) =
UZ
(4.8.4)
s2 + 2%j)uns + ul>
где ф (О < ф < 1) называется коэффициентом демпфирования
(коэффициентом затухания) и a;n — собственной или недемпфированной
собственной частотой. На будущее определим также демпфированную
собственную частоту:
u^UnVl-ф2 (4.8.5)
Эта система имеет два комплексно-сопряженных полюса s\ и 52,
которые определяются следующим образом:
*1,2 = -1*>п ± jUd = Шпё^^-Я (4.8.6)
где /3 —угол, такой, что cos/З = ф.

4.8. Полюсы, нули и временные характеристики 103
-tywj
3"d
Уоо +Мр
-jw<t
Рис. 4.5. Расположение полюсов и переходная характеристика канонической
системы второго порядка
Для этой системы преобразование Лапласа переходной
характеристики имеет вид:
Y(s) =
wZ
с£
Разлагая на простейшие дроби, получим
Y(s) = --
S+l()Un
фип
s (s + il)un)2 + u2d {s + %l)U)n)2 + u)2d
(4.8.7)
(4.8.8)
у/Г-ф2
y/l-ф2
S + фЫп
-Ф:
"d
(s + фшп)2 +и2 *(s + фшп)2 + ш2\
(4.8.9)
Используя обратное преобразование Лапласа, окончательно получим
(4.8.10)
е-фипЬ
y{t) = 1 - sm(u)dt + Р)
y/l-ф2
Основные характеристики этой реакции показаны на рис. 4.5. На
этом рисунке у ж = 1 и Тд = 2k/u)(i.
Мы можем также вычислить некоторые показатели, показанные на
рис. 4.3.
Время нарастания
Для этого случая используем кг = 1 (см. рис. 4.3); тогда имеем, что
e-tl>LJnti
^/^г^
: sm(udtr + /3) = 0
(4.8.11)

104 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Отсюда получаем
tr = ^?- (4.8.12)
Перерегулирование
Максимальное перерегулирование Мр и момент, в который оно
достигается, £р, можно вычислить, дифференцируя y(t) и приравнивая
производную нулю.
dv(t) e-1*>nt
^ = --—^[^unsm(udt + P)+udcos(udt + p)} (4.8.13)
Таким образом, приравнивая эту производную нулю, мы получим,
что Udtp = 7г и время достижения максимального перерегулирования tp
равно
'-£=? <4-8л4>
В свою очередь, перерегулирование определяется выражением
Mp = y(tp)-1 = - G/ "'=sin(7r + ff) = e ^^ (4.8.15)
у/1-ф2
Вышеприведенные выражения говорят, что небольшой коэффициент
демпфирования ф приводит к небольшому времени нарастания за счет
большого перерегулирования. Мы можем также видеть, что скорость
затухания и, следовательно, время переходного процесса определяются
произведением фшп.
Каждый полюс генерирует специальную составляющую или
собственное движение в составе реакции системы на импульсный сигнал.
Эти виды движения присутствуют в реакции системы на любой
заданный входной сигнал (за исключением очень специфичных случаев, когда
полюсы совпадают с нулями).
Обычно мы будем называть быстрыми полюсами те полюсы, которые
расположены намного дальше от границы устойчивости, чем другие
полюсы системы. Это эквивалентно * высказыванию, что переходные
процессы, связанные с быстрыми полюсами, затухают быстрее, чем
те, которые связаны с другими полюсами. С другой стороны, мы
будем использовать выражение доминирующий или медленный полюс(ы),
принадлежащий совокупности полюсов, находящихся в открытой ЛПП
комплексной плоскости, если он (они) ближе к границе устойчивости,
чем остальные полюсы системы. Это эквивалентно высказыванию, что
переходные процессы, связанные с доминирующими полюсами,
затухают медленнее, чем для остальных полюсов.

4.8. Полюсы, нули и временные характеристики 105
Если, например, полюсы системы — (—1;— 2 ± j'6;— 4; — 5 ± j'3), мы
можем назвать доминирующим полюсом —1, а быстрыми полюсами —
-5±j3.
4.8.2. Нули
Влияние нулей на реакцию передаточной функции несколько более
хитрое, чем полюсов. Одна из причин заключается в том, что, в то
время как полюсы связаны с отдельными независимыми состояниями,
нули являются результатом добавочных взаимодействий этих состояний,
связанных с различными полюсами. Кроме того, нули передаточной
функции зависят от того, где приложено входное воздействие и каким
образом формируется выходной сигнал как функция состояний.
В то время как расположение полюсов определяет характер
видов движений системы, расположение нулей определяет пропорцию, в
которой эти составляющие объединены. Эти комбинации собственных
движений могут быть совершенно разными.
Аналогично определениям для системы полюсов определим быстрые
и медленные нули. Быстрые нули —это те, которые расположены
намного дальше от границы устойчивости, чем доминирующие полюсы.
С другой стороны, медленные нули —те, которые находятся намного
ближе к границе устойчивости, чем доминирующие полюсы системы..
Чтобы проиллюстрировать некоторые из обсужденных проблем,
рассмотрим следующий пример.
Пример 4.6. Рассмотрим систему с передаточной функцией
ям-.<.+?(£+в (4-8лб)
Эта структура позволяет нам изучить влияние располоэюения
изменяющегося нуля, не меняя располоэюения полюсов и усиления на
нулевой частоте.
В этой системе мы видим, что имеются две составляющие
собственного движения е~г и e~~2t, определяемые двумя полюсами — 1 и —2
соответственно. Первое из них практически перестает действовать,
когда с приближается к — 1. То же повторяется для второй
составляющей, когда с приближается к —2.
В большей степени ситуация может быть оценена из рис. 4.6.
На этом рисунке соответствующее значение с указано около каждой
из реакций на ступеньку. Мы можем видеть, что быстрый нуль,
например, \с\ » 1, не имеет никакого существенного воздействия на
переходный процесс. Когда нуль медленный и устойчивый, возникает
существенное перерегулирование, в то время как при медленном и

106 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
неустойчивом нуле — существенное недорегулирование.
Действительно, влияние расположения нуля в этом примере может быть весь-
ма впечатляющим: в зависимости от его местоположения мооюно
наблюдать от 400% перерегулирования до 500% недорегулирования.
Читатель мог бы проверить, что мооюно достигнуть еще большего
эффекта, если нуль переместить еще ближе к границе устойчивости.
Эти свойства фактически являются универсальными, как мы пока-
оюеМ/ ниоюе.
Проблему недорегулирования легко понять, используя следующую
лемму, которая является элементарным следствием определения
преобразования Лапласа.
Лемма 4.1. Пусть H(s) —строго собственная функция переменной
Лапласа s в области сходимости 3i{s} > —а. Обозначим
соответствующую функцию времени через h(t):
H(a) = C[h{t)] (4.8.17)
Тогда для любого значения zq, такого, что №{zq} > --а, получим
Г
Jo
h(t)e-Zotdt = lim H(s) (4.8.18)
S-+Zq
Доказательство
Из определения преобразования Лапласа мы имеем, что для всех s в
области сходимости преобразования, т. е. для №{s} > —о;
/•00
#(<?)= / h{t)e~stdt (4.8.19)
Jo
Отсюда следует утверждение леммы, поскольку zq из области
сходимости преобразования. □□□
Проиллюстрируем результат простым примером.
Пример 4.7. Рассмотрим сигнал
y(t) = e+2t t > 0
'■да
У(«) = —Ц для Эф}>2
S с»
Теперь рассмотрим
00
I(z0) = je-Zoty(t)dt
(4.8.20)
(4.8.21)
(4.8.22)

4.8. Полюсы, нули и временные характеристики 107
2.5 3
Время (с)
4.5
Рис. 4.6. Влияние расположения нуля на переходную характеристику
Ясно, что для zq = 3 мы имеем
оо с»
e~zte2tdt = I e-ldt = 1
о о
I(3)=[e-3te2tdt=[<
(4.8.23)
Заметим, что это правильно предсказано леммой 4.1, поскольку
У(3) =
1
3-2
= 1
(4.8.24)
Однако если мы возьмем zq = 1, то Y(\) = — 1. С другой стороны
ясно, что I(zq) равно оо. Это также находится в соответствии
с леммой 4.1, поскольку zq = 1 не лежит в области сходимости
преобразования. □□□
Вышеупомянутая лемма используется дальше для определения
количественных соотношений между нулями и некоторыми ключевыми
показателями динамики системы.
Лемма 4.2 (Неминимально-фазовые нули и недорегулирова-
ние). Рассмотрим линейную устойчивую систему с передаточной
функцией H(s), имеющей единичное усиление на нулевой частоте и
нуль при s = с, где с G М"1". Далее предположим, что реакция на
единичную ступеньку, y{t), имеет время регулирования ts (см. рис. 4.3),
т. е. 1 + 6 > \y(t)\ > 1 - S (6 «Г 1), Vt > ts. Тогда y(t) обладает
недорегулированием Ми, которое удовлетворяет условию
Ми>
1-6
ects _ i
(4.8.25)

108 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Доказательство
Введем v(t) = 1 — y{t), тогда
V(s) = (l-H(s))- (4.8.26)
s
Заметим, что область сходимости для V(s) определяется
соотношением 3i{s} > 0. Тогда с находится в этой области и мы мооюем
применить лемму 4.1, что дает
V{c) = 1-Я(с) = i = Г v{t)e-ctdt (4.8.27)
с с J0
Разделим интервал интегрирования на [0,£s]U(£s,oo). Тогда (4.8.27)
дает
/ v{t)e~ctdt+ \v{t)\e-ctdt>- (4.8.28)
Jo Jta с
Далее, используя определение времени регулирования ts, заметим,
что \v{t)\ < S <gC l \/t>ts. Если мы также заметим, что
max{v(t)} = Vmax = 1+ MU > 0 (4.8.29)
то из (4.8.28) получим
-</ Vmaxe~ctdt+ Se-ctdt = Vmax + (4.8.30)
с Jo Jta с с
Окончательно, используя (4.8.29), получим требуемый
результат. DQQ
Если мы дальше рассмотрим случай cts <SC 1 (или, перефразируя —
S < 1), то из (4.8.25) следует
Ми > -|- (4.8.31)
Рассмотренная лемма устанавливает, что если система содержит
неминимально-фазовые нули, то имеется компромисс между
увеличением скорости реакции на ступеньку и уменьшением недорегули-
рования.
Подобный же результат может быть установлен для вещественного
нуля, расположенного в левой полуплоскости, когда этот нуль имеет
величину (вещественную часть) намного меньше, чем доминирующий
полюс (его вещественная часть) системы. Этот результат приводит к
следующей лемме.

4.8. Полюсы, нули и временные характеристики 109
Лемма 4.3 (Медленные нули и перерегулирование). Рассмотрим
линейную устойчивую систему с передаточной функцией H(s),
имеющую единичный коэффициент усиления на нулевой частоте и нуль
при s = с, с < 0. Определим v(t) = 1 — y(t), где y(t) —переходная
характеристика. Далее, предположим следующее.
1. Система имеет доминирующий полюс(ы) с вещественной частью,
равной —р, р > 0.
2. Нуль и доминирующий полюс связаны соотношением
А
Т) =
< 1 (4.8.32)
3. Значение 8, определяющее время регулирования {см. рис. 4.3),
выбирается таким, что существует параметр 0 < К, который
удовлетворяет условию1
\v{t)\<Ke-pt Vt>ts (4.8.33)
Вывод: переходная характеристика имеет перерегулирование,
которое ограничено снизу соотношением
»,^(l-^) (4.8.34)
Доказательство
Сначала вычислим
1 Г°°
V(s) = C[v{t)] = (l-H{s))-= / v{t)e~stdt (4.8.35)
s Jo
Заметим, что область сходимости для V(s) определяется
соотношением $l{s} > —р. Таким образом, с находится внутри этой области
(см. (4.8.32)), следовательно, мы можем использовать лемму 4.1, что
дает
1 ГОО rta ГОО
-=/ v{t)e~ctdt = v(t)e~ctdt + \ v{t)e~ctdt • (4.8.36)
c Jo Jo Jta
Пусть минимальное значение v(t) в диапазоне [0; ts] равно —Мр\
заметим при этом, что v(t) > —Ke~pt, \ft> ts. Тогда оба интеграла в
1 Заметим, что значение К существенно зависит от доминирующего полюса, т. е. тесно
связано с р.

110 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
правой части равенства (4.8.36) могут быть заменены своими
минимальными значениями, что даст
г*.
1 pta roo
->-Мр e~ctdt-K e-^+^dt
1 rta roc
--<MP e-ctdt + K e-(p+c)tdt (4.8.37)
Тогда требуемый результат (4.8.34) вытекает из этих интегралов
и формулы (4.8.32). DDD
Заметим, что если cts <§C 1 и Кг) <С 1, примерная нижняя граница
для Мр равна
Мр > — (4.8.38)
cts
Рассмотренная лемма устанавливает, что если устойчивая система
содержит медленные нули, то имеется компромисс между
увеличением скорости реакции на ступеньку и уменьшением
перерегулирования.
Мы используем ряд соображений, подобных тем, которые находятся в
начале гл. 8, когда будем изучать влияние полюсов и нулей разомкнутой
системы на переходный процесс системы управления с обратной связью.
4.9. Частотная характеристика
Далее мы изучим реакцию системы на гармонический входной сигнал.
Причина этого в том, что реакция на гармонические колебания также
содержит богатую информацию о реакции и на другие сигналы. Это
может быть оценено с помощью анализа Фурье, который позволяет
любой сигнал, определенный на интервале [£0, £/], представить в виде
линейной комбинации гармонических сигналов частот 0,о;о/,2а;о/,За;о/,...,
где u0f = 2п/(tf—10) называется основной (фундаментальной) частотой.
Принцип суперпозиции тогда позволяет нам объединить реакции на
отдельные гармонические сигналы, чтобы определить реакцию на сигнал
сложной формы.
Рассмотрим линейную устойчивую систему, описанную передаточной
функцией
Н^=К^п-\ , (4-9.1)
5 + 2_/fe=i °*5

4.9. Частотная характеристика 111
и пусть входной сигнал системы экспоненциальный — eSot. Для простоты
мы предположим, что полюсы различны и что ни один из них не равен
s0. Тогда преобразование Лапласа реакции системы можно вычислить,
используя декомпозицию с помощью дробно-рационального
разложения:
П*) = —+ ВД (4.9.2)
S — S0
где первое слагаемое —реакция, вызванная входным сигналом
(вынужденная составляющая), а второе — затухающая реакция, определяемая
начальными условиями (собственная составляющая). Соответствующая
реакция во временной области выглядит следующим образом:
п
y(t) = H(s0)e^ + J2CkeXkt (4.9.3)
k=i
где Afc,& = 1,2,... ,п — собственные частоты системы, то есть полюсы
#(s), а величины Ск зависят от начальных условий.
Ясно, что второй член правой части равенства (4.9.3) уменьшается
до нуля, если система устойчива.
Далее заметим, что
sinM) = ^ (е*1* - е-*1*) (4.9.4)
Следовательно, реакция системы на гармонический входной сигнал
(частотная характеристика) может быть вычислена объединением
реакции на eSot C5fl = ju и eSot C50 = —ju.
Заметим, что вычисление H(s) при s = ju дает комплексную
величину, которая может быть представлена амплитудой и фазой в полярных
координатах:
H{ju) = \H{ju>)\J+M (4.9.5)
Тогда установившаяся реакция на гармонический входной сигнал
получается из (4.9.3), (4.9.4) и (4.9.5):
»(') = Yj [Я^)^ - H(-j")e-jut] (4.9.6)
= ^т [\Ниш)\^и1+ф^ - \H(ju)\e-№+(t>M] (4.9.7)
= \H{jw)\sm(u>t + <l>(u>)) (4.9.8)

112 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Таким образом, мы делаем следующий вывод:
Гармонический входной сигнал вызывает гармонический выходной
сигнал той же частоты. Кроме того, амплитуда выходного сигнала
изменяется по отношению к амплитуде входного сигнала на
множитель, равный модулю частотной характеристики ЯО'о;), а фаза
сдвигается на величину, равную фазе H(ju).
Интересное наблюдение: если H(ju) известна по крайней мере для
q различных частот, отличных от нуля, где q = 1 + часть целого
числа [(т + п)/2], тогда характеристика H(s) однозначно определена
для всех других частот.
Замечание 4.3. Если система содероюит запаздывание, то есть если
передаточная функция изменена таким образом, что
H(s) = e~ST ^=° i , (4.9.9)
то может быть доказано, что уравнение (4.9.8) будет иметь вид
(t) = < еслиКт /4д10ч
Н) \|Я0-о;)|8т(^ + ^(а;)) + ^=1СЛеЛ^*-т) если1>т К ' ' )
где ф(ш) теперь включает дополнительное слагаемое —тш. Последнее
слагаемое в (4.9.10) определяется собственными движениями, а
константы Ck зависят от начальных условий. □□□
Частотная характеристика — очень полезный инструмент для всех
аспектов анализа, синтеза и проектирования регуляторов и фильтров.
Из-за их важности используются специальные графические
характеристики. Они обычно изображаются или в форме графиков амплитуды
и фазы (обычно называемыми диаграммами Воде) или в форме
годографа (обычно называемым годографом Найквиста). Более подробно о
годографах Найквиста будет сказано в гл. 5. Поэтому здесь мы о них
говорить не будем. Сейчас же кратко рассмотрим диаграммы Воде.
4.9.1. Диаграммы Боде
Диаграммы Боде состоят из пары графиков. Один из них изображает
модуль частотной характеристики как функцию угловой частоты;
другой изображает аргумент этой же характеристики, тоже как функцию
угловой частоты. Обычно диаграммы Боде изображаются в
специальных осях:

4.9. Частотная характеристика 113
• Ось абсцисс линейна относительно lg(o;), где используется
десятичный логарифм. Это дает компактное представление частотной
характеристики в широком диапазоне частот. Единица на этой оси —
декада, где декада — расстояние между ш\ и IOcji для любого значения
071.
• Модуль частотной характеристики измеряется в децибелах дБ, т. е.
в единицах 201g|^(jo;)|. Это имеет ряд преимуществ, включая
хорошую точность для малых и больших значений \H(ju)\, возможность
получать простые аппроксимации для 201g|^(jo;)| и тот факт, что
частотная характеристика системы из последовательного соединения
элементов может быть получена суммированием частотных
характеристик отдельных элементов.
• Фазовый сдвиг измеряется в линейном масштабе в радианах или
градусах.
Пакеты программ типа MATLAB содержат специальные команды для
вычисления частотных характеристик и построения диаграмм Воде.
Однако некоторые простые правила позволяют делать приближенный
набросок амплитудной и фазовой характеристик. Рассмотрим
передаточную функцию в следующем виде:
т-к*ъ!*£\) (4-9а)
Тогда
т
201g^(^)| = 201g(|^|)-2pfclgM + 2201gl^a; + 1|-
г=1
п
£201ё|садо; + 1| (4.9.12)
г=1
т п
Z (H(ju>)) = Z(K)-k^ + £ Z(Pdu; + 1) - £Z(<4jw +1) (4.9.13)
г=1 г=1
Таким образом, мы видим, что диаграмма Воде любой передаточной
функции может быть получена сложением или вычитанием амплитуд
(в дБ) или фаз отдельных простых сомножителей. При этом нужно
учесть следующее:
• Простое усиление К имеет постоянную амплитудную и фазовую
характеристики Воде. Амплитудная характеристика — горизонтальная
линия, имеющая значение 201g|Jf| дБ, а фазовая характеристика —
горизонтальная линия либо имеющая значение 0 рад (когда К G М"1"),
или 7Г рад (когда К Е К").

114 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
• Сомножитель sk имеет амплитудную характеристику, которая
является прямой линией с наклоном, равным 20А; дБ/дек и постоянную
фазовую характеристику, равную ктг/2. Первая из этих линий
пересекает горизонтальную ось (0 дБ) при и = 1.
• Сомножитель as + 1 имеет амплитудную характеристику, которая
может быть асимптотически приближена следующим образом:
о Для \аи\ <§С 1, 20lg \aju +1| ~ 201g(l) = 0 дБ — то есть для низких
частот, эта амплитудная характеристика — горизонтальная линия.
Она называется низкочастотной асимптотой.
о Для |ocj| ;» 1, 201g|aja; + 1| и 201g(|aa;|) — то есть для высоких
частот эта амплитудная характеристика — прямая линия с
наклоном 20 дБ/дек, которая пересекает горизонтальную ось (0 дБ) на
частоте и = |о|-1. Она называется высокочастотной асимптотой.
0 Фазовая характеристика более сложна. Грубо говоря, она
изменяется примерно в диапазоне двух декад. На декаду левее частоты
|сг| х фаза примерно равна нулю. На одну декаду правее
частоты \а\~1 фаза примерно равна sign(a)0.57r рад. Соединяя точки
(0.1|а|-1,0) и (lOjcil-"1,0) прямой линией, получим на частоте и =
|а|-1 значение фазы sign(a)0.257r. Это довольно грубое
приближение.
• Для а = a\+ja2 фазовая характеристика Воде для сомножителя as+1
соответствует аргументу комплексного числа с вещественной частью
1 — ша2 и мнимой частью а\ш.
Пример 4.8. Рассмотрим передаточную функцию
H(s) = 640т л,(8+}), т^т (4.9.14)
v ; (5+ 4) (5+ 8) (5+ 10) v ;
Чтобы изобразить асимптотическое поведение характеристик,
сначала представим H(s) в форме уравнения (4.9.11); это даст
Я(5) = 2 (0.255 + 1)(0.125* + 1)((Ш + 1) (4'9Л5)
Таким образом, мы имеем один постоянный сомножитель (К = 2)
и четыре сомнооюителя типа as + 1. Используя правила, описанные
выше, мы получаем асимптотическую амплитудную характеристику
и асимптотическую фазовую характеристику. Обе они показаны на
рис. 4.7 вместе с точными диаграммами Боде.

4.9. Частотная характеристика 115
Частота [рад/с]
Рис. 4.7. Точные (толстые линии) и асимптотические (тонкие линии)
диаграммы Боде
Замечание 4.4. Хотя в недалеком прошлом существенные усилия
затрачивались на построение асимптотических приближений
описанного выше типа, появление мощных пакетов программирования сделало
их не особенно важными. Тем не менее, фундаментальное понимание
воздействия полюсов и нулей на характеристики Боде часто дает
ценную информацию для инженера по системам управления.
4.9.2. Фильтрация
У идеального усилителя частотная характеристика (H(ju) = К) была
бы постоянной для любых частот, то есть каждая частотный компонент
пройдет через систему с одним и тем же коэффициентом усиления и
без каких-либо фазовых сдвигов. Однако все физические системы и
устройства имеют конечную скорость, с которой они могут реагировать
на воздействия и это в первую очередь подразумевает, что H(ju) не
может быть постоянной для всех и. Один из способов интерпретировать
тот факт, что H(ju)) не равна константе для всех о;, состоит в том,
что система фильтрует входные сигналы различных частот, чтобы
получить выходной сигнал, то есть система поступает с различными гар-

116 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
моническими компонентами селективно в соответствии с их частотами.
В этом контексте обычно выделяют три набора частот:
• полоса пропускания, в которой все частоты передаются через систему
приблизительно с одним и тем же усилением (или затуханием) и с
фазовым сдвигом, примерно пропорциональным и\
• полоса подавления, в которой все частоты подавляются, значение
\H(ju)\ здесь мало по сравнению со значением \H(ju)\ в полосе
пропускания;
• переходная полоса(ы) является промежуточной между полосой
пропускания и полосой подавления.
Заметим, что система может иметь несколько полос пропускания и
подавления. Приведенные определения являются основой для
традиционных терминов фильтрации: фильтр низких частот, полосовой
фильтр, фильтр высоких частот и полосовой режекторный фильтр.
Чтобы далее уточнить эти определения, обратимся к некоторым
количественным характеристикам:
• Граничная частота о;с —это значение и, при которой \H(juc)\ =
где Н определяется следующим образом:
о |Я(0)| для фильтров низких частот и полосовых режекторных
фильтров;
о |if(oo)| для фильтров высоких частот;
о максимальное значение \Н(]ы)\ в полосе пропускания для
полосовых фильтров.
• Ширина полосы пропускания Bw — это мера диапазона частот
полосы пропускания (или полосы фильтрации). Она определяется
как Bw = иС2 — и)с\, где шС2 > ojci > 0. В этом определении uci и шС2 —
граничные частоты с обеих сторон полосы пропускания или полосы
фильтрации (для фильтров низких частот, например, uci = 0).
Вышеупомянутые определения иллюстрируются частотной
характеристикой полосового фильтра на рис. 4.8. Здесь нижняя граничная
частота uci = а « 50 рад/с, а верхняя граничная частота — шС2 = Ь «
200 рад/с. Таким образом, полоса пропускания может быть вычислена
как Вцг = Uc2 — ^ci = 150 рад/с.
Система, которая имеет постоянную амплитудно-частотную
характеристику, называется всечастотным фильтром. Лучший из известных
всечастотных фильтров — чистое запаздывание. Заметим, что
соответствующая амплитуда сигнала на выходе равна амплитуде сигнала на

4.9. Частотная характеристика 117
Uc\ " (jJc2
Частота [рад/с]
Рис. 4.8. Частотная характеристика полосового фильтра
входе независимо от частоты сигнала. Рациональные устойчивые всеча-
стотные фильтры имеют общую форму
Р(-*)
Hap{s) = Кар-
pis)
(4.9.16)
где Кар — константа и p(s) —любой устойчивый многочлен.
4.9.3. Искажения и точность воспроизведения
Когда система имеет неидеальную частотную характеристику, мы
говорим, что она вносит искажения. Чтобы описать различные виды
искажений, которые мы обычно встречаем на практике, рассмотрим
сигнал /(£), заданный выражением
nf
f{t) = ^Aisin(u)it + ai)
(4.9.17)
i=l
Пусть этот сигнал — входной для линейной устойчивой системы
(например, звуковой усилитель). Тогда мы говорим, что система
обрабатывает этот сигнал точно, если амплитуды всех гармонических
компонентов усилены (или ослаблены) приблизительно в одно и то же число раз
и отдельные реакции имеют одно и то же запаздывание. Это требует,
чтобы частотная характеристика удовлетворяла следующим условиям:
тм)\=н0
ф(щ) -k0Ui
постоянен для г = 1,2,...,п/ (4.9.18)
где коэффициент к0 постоянен для г = 1,2,... ,п/
(4.9.19)
При этих условиях форма колебаний на выходе системы идентична
колебаниям на входе, но выходные колебания задержаны по времени

118 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
на к0. Когда одно или оба условия не выполняются, форма выходного
сигнала системы будет отличаться от формы /(£) и говорят в этом
случае, что система искаснсает сигнал. Могут быть либо амплитудные
искажения (когда не выполняется условие (4.9.18)), либо фазовые
искажения (когда не выполняется условие (4.9.19)), либо и амплитудные,
и фазовые искажения одновременно (когда не выполняется ни условие
(4.9.18), ни условие (4.9.19)).
Интерпретация этого свойства в терминах фильтрации означает,
что имеются незначительные искажения, если интересующий нас набор
частот {o;i,a;2,...,ci;n/} находится внутри полосы пропускания системы.
Заметим, что чистое запаздывание не вызывает искажений. Однако
рациональные всечастотные фильтры дают фазовые искажения за
исключением очень низких частот.
4.10. Преобразование Фурье
Обобщение понятия частотной характеристики можно сделать с
помощью преобразований Фурье. Они дают способ представления широких
классов сигналов в частотной области. Преобразования Фурье к тому
же тесно связаны с преобразованиями Лапласа. Однако в то время как
преобразования Лапласа односторонние (т. е. определены для t e [0,оо)),
преобразования Фурье являются двусторонними (т. е. определены для
t Е (—оо,оо)). Это различие ведет к некоторым различиям в
интерпретации. Например, преобразования Лапласа включают влияния начальных
условий и ППП-полюсы соответствуют экспоненциально
увеличивающимся сигналам; в то время как в преобразованиях Фурье начальные
условия обычно не учитываются и ППП-полюсы соответствуют
беспричинным (нереальным) сигналам (т. е. сигналам, определенным для
t E (—оо,0)). Для полноты мы кратко рассмотрим ниже ключевые
аспекты преобразования Фурье.
4.10.1. Определение преобразования Фурье
Рассмотрим непрерывный сигнал /(£), определенный для —оо < t < оо.
Тогда пара преобразований Фурье, связанная с /(*), определяется
следующим образом:
/оо
e-^f(t)dt (4.10.1)
-С»
1 Г°°
Т~х [F(M] = f(t) = — J et^FWdu (4.10.2)

4.10. Преобразование Фурье 119
F(jw) называют преобразованием Фурье сигнала f(t). Пара
преобразований определена, если сигнал /(£) абсолютно интегрируем, то есть
Г»оо •
|/(«)|Л<ор (4.10.3)
/
С»
Фактически, чтобы быть строгими, на /(£) следует наложить
некоторые дополнительные условия. Например, в литературе часто требуется,
чтобы функция /(£) удовлетворяла условиям Дирихле, которые в самой
простой форме требуют, чтобы /(£) и fr(t) были кусочно-непрерывны.
Тогда обратное преобразование дает значение [f{t~) + f(t+)]/2 в точках
разрыва. В более простом случае мы могли бы потребовать только
абсолютной интегрируемости F(ju), но это исключило бы некоторые
интересные для нас случаи.
Можно использовать некоторые дополнительные ограничения,
чтобы расширить преобразование Фурье на ряд сигналов, которые не
удовлетворяют условию (4.10.3). Это, например, случай ограниченных
периодических сигналов. Преобразования Фурье для некоторых общих
сигналов показаны в табл. 4.3, а свойства преобразования приведены в
табл. 4.4.
4.10.2. Применения преобразований Фурье
В дополнение к основному свойству линейности ряд полезных свойств
этого преобразования приведен в табл. 4.4. Все эти свойства, вместе
взятые,' могут использоваться для решения широкого круга задач
анализа систем и сигналов. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим
следующий пример.
Пример 4.9. Рассмотрим линейную систему, имеющую вход u(t) и
выход у (£), связанные моделью
ML + Zy(t) = 2u(t) (4.10.4)
Известно также, что u(t) = —O.Ssign(t)1 и что у(0) = 0. Нужно
вычислить y(t) Vi.
Решение
Если применить преобразование Фурье к (4.10.4), мы получим
ju>Y(ju) + ЗУ{ju) = 2U{ju) <* Y{ju) = ^—U{ju) (4.10.5)
jw + Z
1 Напомним, что функция sign определена как —1 для отрицательного аргумента и +1
для положительного аргумента.

120 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Таблица преобразований Фурье
Таблица 4.3
№ Vt <= R
1
foW
/Ф)
М(0-М*-*о)
eet/x(0 &{<*} < 0
teaV(*) &{<*} < 0
j е"а1*1 a € R+
cos(u;0£)
sin(u70£)
cos(u0t)fi(t)
sin(u0t)fj,(t)
e-atcos(u0t)fi(t) aER+
e-a*sin(woOM(*) a€R+
Л/W] 1
2тг<5(и;)
1
7t8(u) + T—
1 _ e-i«to
1
ju-a
1
(jw - a)2
2a
w2 + a2
7Г (J(a; + a;0) + S(u - u0))
jn (S(u + u0) - S(w - u0))
7Г (S(U + W0) + J(W - W0)) + £—j
jtt (8(u + u0) - S(u - w0)) + *
j w + a 1
(jw + a)2 + a;2
^o
(ja; + a)2+a;2
где U(jw) = -0.5;F[sign(i)] = -0.5^[2/i(t) - 1] = ^. 7Wa
JOJ
Y(ju>) = --
2
-Ife-GcW) (41M>
(ju+3)ju) 3ju 3(ju+3)
откуда, используя обратное преобразование Фурье, окончательно
получим
y(t) = ~sign(t) + le-3tn(t) (4.10.7)
ODD

Свойства преобразований Фурье
4.10. Преобразование Фурье 121
Таблица 4.4
I /(*)
I J
dy(t)
dt
dky(t)
dtk
/ y(r)dr
J—oo
y(t-r)
y(at)
v(-t)
Г /i(T)/a(t-T)dr
J-oo
y(t) cos(w0t)
y(t)sin(u}0t)
F(t)
/i(*)/a(*)
в"*Л(*)
ЛЯ*)]
i
^aiFi(jw)
i=i
jtjy(jtj)
(j«)^0'«)
■±-Y(juj) + TrY(0)6(Lj)
e-*""y(jw)
rW'-)
|a| V a/
r(-i")
2 O^O" - 3"o) + Г(jw + M>)}
— {Y(ju - ju0) - Y(ju + jw0)}
27rf(-ju)
1 /,+°°
^ у Fi(jOF2(3"-JQd{
Fxiju-a)
Описание
Линейность
Закон
дифференцирования
Производная
произвольного
порядка
Закон
интегрирования
Задержка
Масштабирование
времени
Обращение
времени
Свертка
Модуляция (коси-
нусоидальная)
Модуляция
(синусоидальная)
Симметрия
Произведение во
временной области
Смещение частоты
Здесь Fi(ju) = T[fi(t)] и Y(ju) = T[y(t)]
Одна из наиболее привлекательных особенностей преобразования
Фурье —его связь с частотной характеристикой: выражение (4.10.2)
описывает f(t) как линейную комбинацию экспонент вида e?ut:, где ш
непрерывно изменяется от — оо до оо. Эта связь позволяет нам
интерпретировать преобразование как описание относительного содержания
частот данного сигнала. Например, F(jue) соответствует плотности
компонента с частотой ие. Следовательно, когда вход u{t) подается на
линейную систему с моделью (4.2.1), выход y{t) имеет преобразование

122 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Фурье, определяемое формулой
Y(ju>) =H(ju>)U(ju) (4.10.8)
где H(joj) имеет ту же интерпретацию, что и в разд. 4.9, а именно, —
комплексный коэффициент усиления системы для гармонического
сигнала угловой частоты и.
Предупреждаем читателя от искушения сделать вывод, исходя из
подобия уравнений (4.5.2) и (4.10.8), что мы можем получить
преобразование Фурье из преобразования Лапласа простой заменой переменной
s => ju). Эта интерпретация дает правильные результаты только для
случая, когда входной сигнал абсолютно интегрируем, т. е. если он
удовлетворяет условию (4.10.3) и система устойчива (см., например,
преобразования Лапласа и Фурье для единичной ступеньки). Это
предупреждение может быть понято в большей степени, рассматривая пример
системы с передаточной функцией (по Лапласу) вида
Я(в>=-~ (4.10.9)
s — о
Это означает, что реакция системы на u(t) = £#(*) (при нулевых
начальных условиях) -—у(t) = 2e3t/i(t). Если мы просто заменим s
на ju в (4110.9) и затем применим обратное преобразование Фурье,
реакция системы на u(t) = £#(*)> казалось бы, будет y(t) = 2e3t/i(—£) —
упреждающая (до появления входного сигнала) реакция. Эта ошибка
вызвана тем, что преобразование Фурье для 2e3t/i(£) не существует,
потому что интеграл (4.10.1) не сходится. Фактически, в пределах
области сходимости преобразование Фурье соответствует беспричинному
(см. выше) сигналу.
В Фурье-анализе часто используется теорема Парсеваля. Для
полноты представим ее здесь.
Теорема 4.1. Пусть F(ju) и G(ju) обозначают преобразования Фурье
f(t) и g(t) соответственно, где предполагается, что f(t) и g(t)
квадратично интегрируемы на вещественной оси. Тогда
/ОО 1 ЛОО
f(t)g(t)dt = — J_ F{jb>)G{-Mdu (4.10.10)
Доказательство
Используем формулу обратного преобразования
/оо гоо I Г гоо
g(t) dt (4.10.11)

4.11. Часто встречающиеся модели 123
Изменим порядок интегрирования:
/OO I /«OO Г /«OO
du (4.10.12)
1 f°°
= — / F(yu>)G(-ju>) du (4.10.13)
DDD
Особый случай будет, когда f(t) = #(£); тогда
/oo 1 /*оо
{/(<)}2 dt = - J \F{ju,)\2 du (4.10.14)
Замечание 4.5. Читатель может легко проверить, что теорема
Парсеваля справедлива и тогда, когда f(t) и g(t) —матрицы (векторы)
соответствующих размерностей.
4.11. Часто встречающиеся модели
Многие системы, встречающиеся на практике, могут быть
смоделированы сравнительно простыми линейными компонентами первого и второго
порядка. Важно уметь выделить эти компоненты.
В табл. 4.5 приведены временные и частотные характеристики
простых линейных моделей. Предлагаем читателю вычислить некоторые из
этих реакций, чтобы проверить результаты, потому что знакомство с
этими реакциями может быть полезно при решении задач управления
или для оценки моделей, на основании которых может быть
сконструирован регулятор.
Для каждого компонента таблица содержит реакцию на ступеньку
и диаграммы Воде. Только один параметр одновременно изменяется и
все из них являются положительными. Эффект изменения параметра
показан на каждом графике стрелкой, которая указывает направление,
по которому параметр увеличивается.
Некоторые качественные выводы из табл. 4.5 следующие:
К
TS+1
о Переходная характеристика — простая растущая экспонента.
о Параметр К — усиление на нулевой частоте. Увеличение К
приводит к увеличению конечного значения переходной
характеристики.
о Параметр т — постоянная времени. Увеличение т увеличивает
время нарастания.

124 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Таблица 4.5
Модели систем и влияние изменений параметров
Система
Параметр
Реакция
на ступеньку
Диаграмма Боде
(амплитудная)
Диаграмма Боде
(фазовая)
К
TS + 1
К
и"
s2 + 2фипз + а>2
(формула
колебательного
звена)
ф
,ф
шп
Ь>п
Ж
.Vi —7Г
as + 1
—as + 1
у$7~
Ж
uZ
52 + 2^o;ri5 + a;2
о Переходная характеристика — колебания (при ф <£1).
о Параметр ф — демпфирование. Увеличение ф заставляет колебания
затухать быстрее.
о Параметр шп — недемпфированная собственная частота.
Увеличение шп приводит к колебаниям с более коротким периодом.
as + 1
(ТПр

4.12. Ошибки моделирования линейных систем 125
о Переходная характеристика имеет перерегулирование без
колебаний (для а-1 < 1).
о Параметр —а"1—-минимально-фазовый нуль. При увеличении а
увеличивается перерегулирование.
-as + l
WW
о Переходная характеристика имеет недорегулирование и не имеет
колебаний.
о Величина а-1 является неминимально-фазовым нулем. При
увеличении а увеличивается недорегулирование.
Конечно, использование этих простых моделей будет обычно
приводить к некоторому уровню приближения. Этот факт нужно иметь
в виду при использовании этих моделей для проектирования систем
управления. Более подробно описание ошибок моделирования,
связанных с аппроксимацией линейных моделей, дано в следующем разделе.
4.12. Ошибки моделирования линейных систем
В разд. 3.9 выдвинута идея рассмотрения ошибок между номинальной
и эталонной моделями. Если линейная модель используется для
аппроксимации линейной системы, то ошибки моделирования из-за ошибок в
параметрах и/или сложности могут быть выражены в виде
передаточной функции как
Y(s) = G(s)U(s) = (G0(s) + Ge(s))U(s) = G0(s)(l + GA(s))U(s) (4.12.1)
где Ge(s) обозначает аддитивную ошибку моделирования (АОМ), а
G&(s) — мультипликативную ошибку моделирования (MOM), введенные
в разд. 3.9.
АОМ и MOM — два разных способа задания одной и той же ошибки
моделирования. Преимущество MOM в том, что она дает относительное
значение, в то время как АОМ — абсолютное значение. Это можно
видеть из выражения
G£(s) G(s)-G0(s)
Ga(s) = G^)= G0(s) (412-2)
Обычно линейные модели точнее описывают поведение объекта в
низкочастотной области — когда входы объекта постоянны или медленно
изменяются во времени. Это иллюстрируется в следующем примере.
Пример 4.10. Элементы запаздывания не приводят к рациональным
функциям в области оператора Лапласа. Поэтому обычно стараются

126 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
аппроксимировать запаздывание подходящим рациональным
выражением. Одно из возможных приближений
V rs + 2k J
*€<1,2,-)
(4.12.3)
где к определяет точность аппроксимации.
Для этой аппроксимации нужно определить MOM частотной
характеристики.
Решение
Мы имеем, что
G„(s)
r-rs + 2k\'
~\ rs + 2k J
-k
G(s)=e-TSF{s)
Следовательно,
„ , ч _TSf-TS + 2k\~K ,
с модулем частотной характеристики, равным
1<ЗД")1 =
F(s) (4.12.4)
(4.12.5)
,-jrw _ p-j1k<l>
Ф = а1СЬё2к
(4.12.6)
4 6 8 10 12 14 16 18 20
Нормализованная частота (ит)
Рис. 4.9. MOM для всечастотной рациональной аппроксимации
запаздывания
Результат изображен на рис. 4.9, где ит — нормализованная часто-
та. ППП
Некоторые типичные ошибки линейного моделирования включают
следующие случаи.

4.12. Ошибки моделирования линейных систем 127
Числовая неточность в описании полюсов и нулей
Рассмотрим в качестве примера объект, описываемый выражениями:
Здесь нет ошибок, связанных со сложностью и усилением на нулевой
частоте, но есть ошибка в задании полюса. Тогда
ЗД) = 7 1W/* гч 77*Х5) и GA{s) = -^— (4.12.8)
w (as + l)({a + 6)s + l) w w as + l v '
Заметим, что АОМ исчезает и на низких частотах, и на высоких.
Модуль MOM частотной функции также мал на низких частотах, но
он увеличивается до максимального значения, равного |, на высоких
частотах.
Числовые погрешности создают довольно специфические структуры
G$ и <2д. Одна из таких ситуаций возникает, когда реальный объект
имеет неустойчивые полюсы. Если неустойчивый полюс известен
неточно, то и АОМ, и MOM будут неустойчивы.
Пример 4.11. Рассмотрим объект с G(s) и G0(s) из (4.12.7) при
а = —1, 6 = 0.2; тогда АОМ и MOM задаются формулами
Неустойчивость АОМ и MOM очевидна. DDD
Пропущенный полюс
Пусть истинный объект и его номинальная модель определяются,
соответственно, формулами
G(s) = —!—F(s) и G0{s) = F(s) (4.12.10)
as + l
где F(s) —заданная передаточная функция.
Здесь снова нет ошибки усиления на нулевой частоте, однако
G^ = ТГГ?^) и ga(s) = -TZ7 (412Л1)
as + l as + l
Если, как обычно и бывает, |G0(ja;)| стремится к нулю на высоких
частотах, то АОМ снова имеет в частотной области характеристику
типа полосы пропускания. Модуль частотной функции MOM тоже снова
будет типа фильтра высоких частот и для очень больших частот будет
стремиться к 1.

128 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Ошибка времени запаздывания
Пусть реальный объект и его номинальная модель даны, соответственно,
выражениями
G(s) = e-TSF(s) и G0(s) = e-T°sF(s) (4.12.12)
Здесь нет ошибки усиления на нулевой частоте, а ошибки
моделирования в частотной области определяются соотношениями
G€(ju) = 2je~XjuJ sm(Ku)F(ju) GA(ju) = 2je-^-T^ju sin(«a;)
(4.12.13)
где
t0-t _ r0 + т
к =
Л =
Соответствующие модули равны
\G((ju)\=2
\GA(ju>)\=2
sin
sin
e?K))
(fH))
\FU<*)\
(4.12.14)
(4.12.15)
(4.12.16)
Эти выражения, вместе с предположением, что |F(jo;)| стремится к
нулю на больших частотах (это имеет место в большинстве реальных
объектов), указывают, что АОМ также исчезает, когда и —> оо. Другая
ситуация для MOM — эта ошибка очень мала для низких частот, но если
и увеличивается, возникают колебания между 0 и 2.
Вышеприведенные выражения также показывают, что большей абсолютной ошибкой
(измеренной в \т — т0\) раньше (по частоте) становится MOM.
Неучет эффекта резонанса
Неучет резонансных явлений обычен при моделировании некоторых
классов систем, таких как руки робота, антенны и другие большие
гибкие структуры. Эта ситуация может быть описана следующим образом:
,2
G(s) =
ш„
s2 + 2t(>ujns + oj2l
F(s)
G0(s)=F(s) 0<V<1
(4.12.17)
Ошибки моделирования тогда определяются выражениями
-s(s + 2^a>„)
G<(S)= •Г'(о,+ ЗМ>)а*'(')
€К ' s2 + 2ij;u}ns+ul v '
GA(s) =
s2 + 2xj)U)ns+u2l
(4.12.18)
В предположении, что |G0(jw)| стремится к нулю при больших
частотах, АОМ для частотной функции имеет вид полосового фильтра. В

4.14. Резюме 129
Нормализованная частота и/ип
Рис. 4.10. Частотная характеристика MOM для неучтенного резонанса при
различных значениях коэффициента демпфирования ф
противоположность этому MOM представляет фильтр высоких частот с
резонансным пиком, который может быть очень большим в зависимости
от величины коэффициента демпфирования ф. На рис. 4.10 показаны
модули частотных функций для различных значений ф.
4.13. Границы ошибок моделирования
При проектировании систем управления часто желательно тем или
иным способом оценить ошибки моделирования. К сожалению, ошибки
моделирования редко известны точно. Однако рассмотрение примеров
в разд. 4.12 указывает, что обычно MOM имеет модуль, котррый мал
на малых частотах и увеличивается до 1 или 2 на высоких частотах с
пиками, вызываемыми неучетом резонансных явлений и других
явлений в полосе пропускания. Таким образом, неплохо иметь некоторую
информацию о MOM в форме ограничений. Типичным ограничением
здесь могло бы быть
. \GA(ju)\<e(u) (4.13.1)
где е(и) — некоторая заданная положительная функция и.
4.14. Резюме
• В конечном счете, все физические системы обладают некоторой
степенью нелинейности.

130 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
• Однако имеются серьезные причины использовать модель, которая
о линейна и тем не менее
о достаточно точна для наших целей.
Эти причины обусловлены следующими свойствами линейных
моделей:
о Теория и практика линейных систем существенно более просты и
легче в применении.
о Имеется большое количество разработанных решений и легко
используемых программных средств.
о Суперпозиция позволяет, в частности, представить реакцию на
одновременно действующие изменения уставки и возмущения как
сумму реакций на эти воздействия, рассматриваемые отдельно.
о Мощными средствами исследования в частотной области являются
полюсы, нули, передаточные функции, а также диаграммы Воде и
Найквиста со связанными с ними свойствами и характеристиками.
о Для линейных систем легче определить и проанализировать
относительную степень, инверсию, устойчивость и устойчивость
инверсии.
• Средства аппроксимации физических систем линейными моделями
включают следующее:
о преобразования типа,замены переменной;
о приближения типа ряда Тейлора в окрестности рабочей точки и
идентификация с помощью черного ящика.
• Эти моменты объясняют причину предположения о линейности,
используемого в нескольких последующих главах; в следующих же
за ними главах представлены методы для существенно нелинейных
систем.
• Имеются два основных подхода к линейным динамическим моделям:
о так называемая временная область и
о так называемая частотная область.
• Хотя эти два подхода в значительной степени эквивалентны,
каждый из них имеет свои собственные специфические преимущества и
поэтому важно хорошо владеть каждым.
• Во временной области
о системы моделируются дифференциальными уравнениями,
о системы характеризуются изменением своих переменных (выход
и т. д.) во времени и
о изменения переменных во времени определяются решением
дифференциальных уравнений.

4.14. Резюме 131
• Устойчивые временные реакции обычно характеризуются
следующими показателями:
Показатель
Усиление для
установившегося режима
Время нарастания
Время регулирования
Перерегулирование
Недорегулирование
Определяет
Как система после переходного процесса
усиливает или ослабляет постоянный сигнал
Как быстро система реагирует на изменение
на своем входе
Как быстро у системы затухает переходный
процесс
Насколько реакция может превысить
установившееся значение во время переходного
процесса
Насколько переходный процесс может
опуститься в направлении, противоположном
установившемуся значению
• В частотной области можно получить следующее:
о Моделирование использует ту основную особенность линейных
систем, что установившаяся реакция на гармонический сигнал
тоже является гармонической той же самой частоты; система
изменяет амплитуду и фазу по отношению к входному сигналу;
эти изменения определяются только характеристиками системы
на соответствующей частоте.
о Системы моделируются передаточными функциями, которые
учитывают эти влияния как функции частоты.
• Показатели, которыми обыкновенно характеризуются системы в
частотной области, включают следующее:
Показатель
Полоса пропускания
Полоса подавления
Переходная полоса
Ширина полосы
пропускания
Граничная частота
Определяет
Диапазон частот, где система имеет
минимальное воздействие на амплитуду
синусоидального входного сигнала
Диапазон частот, где система существенно
подавляет синусоидальные входные сигналы
Диапазон частот между полосой пропускания
и полосой подавления
Диапазон частот полосы пропускания системы
Частота, обозначающая (несколько
произвольно) границу между полосой
пропускания и переходной полосой системы

132 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
• В частотной области обычно используются следующие
характеристики.
Характеристика
Частотные диаграммы
Полюсы
Нули
Относительная
степень
Строго собственная
система
Бисобственная
система
Несобственная
система
Назначение
Графическое представление влияния системы
на амплитуду и фазу синусоидального входного
сигнала как функции частоты
Корни полинома знаменателя передаточной
функции; они определяют устойчивость
и, совместно с нулями, характеристики
переходного процесса
Корни полинома числителя передаточной
функции; они не влияют на устойчивость,
но определяют инверсную устойчивость и
недорегулирование, а также, совместно с
полюсами, существенно воздействуют на
характеристики переходного процесса системы
Число полюсов минус число нулей; определяет,
является ли система строго собственной,
бисобственной или несобственной
Система имеет больше полюсов, чем нулей;
это допустимо и, следовательно, реализуемо;
она имеет несобственную инверсию и нулевой
коэффициент усиления на высокой частоте
Система имеет равное число полюсов и
нулей; она реализуема, имеет бисобственную
инверсию и имеет прямую передачу сигнала,
т. е. ненулевое и ограниченное усиление на
высоких частотах
Система имеет больше нулей, чем полюсов;
она недопустима, не может быть реализована,
имеет строго собственную инверсию и имеет
неограниченное усиление на высоких частотах
• Особо важными линейными моделями являются следующие:
о усиление;
о модель первого порядка;
о модель второго порядка;
о интегратор;
о чистое запаздывание (иррациональное) и его рациональное
приближение.
• Важность этих моделей определяется следующим:
о Они часто встречаются на практике.
о Более сложные системы можно разбить на эти компоненты с
помощью разложения на простейшие дроби.

4.14. Резюме 133
• Вычисление передаточной функции на любой частоте дает
соответствующее комплексное число.
о Его модуль определяет усиление на этой частоте,
о Аргумент же этого числа дает фазовый сдвиг системы на этой
частоте.
• Относительно важной характеристики непрерывной системы —
устойчивости — можно сказать следующее:
о система устойчива тогда и только тогда, когда вещественные части
всех полюсов строго отрицательны;
о система на границе устойчивости, если, по крайней мере, один
полюс находится на мнимой оси комплексной плоскости и нет
полюсов, имеющих строго положительную вещественную часть;
о система неустойчива, если вещественная часть по крайней мере
одного полюса строго положительна и
о система неминимально-фазовая, если вещественная часть, по
крайней мере, одного нуля строго положительна.
• Реакция линейных систем на произвольный входной сигнал может
быть представлена в виде суммы двух составляющих:
о собственная составляющая, являющаяся функцией начальных
условий и не зависящая от входного воздействия; если система
устойчива, собственная составляющая стремится к нулю;
о вынужденная составляющая, являющаяся функцией входного
воздействия, но не зависящая от начальных условий.
• Следующие модели являются эквивалентными модели на основе
передаточной функции:
о модель преобразований Лапласа системы дифференциальных
уравнений; . . ,
о преобразование Лапласа реакции системы на дельта-импульс;
о модель, полученная непосредственно из экспериментального
наблюдения.
• В принципе, время регулирования может быть получено из
передаточной функции с помощью обратного преобразования Лапласа
выхода системы; однако на практике почти всегда предпочитают
перевести передаточную функцию во временную область и решать
дифференциальные уравнения численными методами.
• Основные преимущества моделей во временной области следующие:
о они особенно удобны для моделирования и решения на цифровом
компьютере;
о они могут быть расширены на более общие классы моделей, типа
нелинейных систем;
о они играют фундаментальную роль в теории пространства
состояний, рассматриваемой в последующих главах.

134 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
• Основные преимущества моделей в частотной области (передаточных
функций) следующие:
о они подчиняются простым алгебраическим правилам; так,
например, можно легко вычислить передаточные функции для
параллельного, последовательного соединения и для структур с
обратной связью;
о свойства типа инверсии, устойчивости, инверсной устойчивости и
даже качественное понимание переходных процессов легко
получаются из знания полюсов и нулей.
• Модели временной и частотной области легко могут быть
преобразованы друг в друга.
• Все модели содержат ошибки моделирования.
• Ошибки моделирования могут быть представлены как аддитивные
ошибки моделирования (АОМ) или мультипликативные (MOM).
• Ошибки моделирования неизвестны и часто оцениваются верхними
границами.
• Некоторые виды обычно встречающихся ошибок моделирования,
типа числовой погрешности, пропущенных полюсов, неучтенных
резонансных пиков или запаздывания, имеют некоторые характерные
особенности.
• Можно вообще предполагать, что ошибки моделирования
увеличиваются с частотой; MOM обычно обладают характеристиками
фильтров высоких частот.
4.15. Литература для последующего чтения
Преобразование Лапласа
1. Doetsch, G. (1971). Guide to the applications of Laplace and Z-Transform.
D. van Nostrand. Van Nostrand-Reinhold, London, New York, 2nd English
edition.
2. Lathi, B. (1965). Signals, Systems and Communication. Wiley, New York.
3. Oppenheim, A.V., Wilsky, A.S., and Hamid, N.S. (1997). Signals and Systems.
Prentice-Hall, Upper Saddle River, N.J., 2nd edition.
Влияние нулей на переходный процесс
1. Middleton, R.H. (1991). Trade-offs in linear control systems design.
Automatica, 27(2):281-292.
2. Middleton, R.H. and Graebe, S.F. (1999). Slow stable open-loop poles: to
cancel or not to cancel. Automatical 35:877-886.

4.16. Задачи для читателя 135
Частотные характеристики и преобразование Фурье
1. Distefano, J., Stubberud, A., and Williams, I. (1976). Feedback and Control
Systems. McGraw-Hill, New York.
2. Papoulis, A. (1977). Signal Analysis. McGraw-Hill, New York.
3. Willems, J.C. (1970). Stability theory of dynamical systems. Nelson, London.
4.16. Задачи для читателя
Задача 4.1. Передаточная функция системы имеет вид
H(s) = -^- (4.16.1)
4.1.1. Определите условия, при которых переходная характеристика
протекает быстрее, чем е-4*.
4.1.2. Определите полосу пропускания системы.
Задача 4.2. Передаточная функция системы имеет вид
-s + 1
(, + 1)2
Определите момент времени tu, при котором переходная
характеристика достигает своего максимального перерегулирования.
Н(*) = 7TT-TW (4Л6-2)
Задача 4.3. Переходная характеристика системы при нулевых
начальных условиях равна
y(t) = 3 - 2e~2t - e~3t Vt > 0 (4.16.3)
4.3.1. Определите передаточную функцию системы.
4.3.2. Определите реакцию системы на единичный J-импульс.
Задача 4.4. Нелинейная система имеет модель входа-выхода, заданную
уравнением
dy(t)
dt
+ y(t) (l - 0.2 (y(<))2) = 2u(t) (4.16.4)
4.4.1. Определите передаточную функцию линеаризованной модели
как функцию рабочей точки.
4.4.2. Найдите рабочую точку, для которой линейная модель
неустойчива.

136 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Задача 4.5. Передаточная функция системы имеет полюсы —2, —2 и
—1 ± jl и нули, равные 1 и —3.
4.5.1. Определите доминирующий полюс(ы).
4.5.2. Если коэффициент усиления на нулевой частоте равен 5,
запишите передаточную функцию.
Задача 4.6. Передаточная функция системы имеет вид
Щ*) = / 8+.},+ €«s (4.16.5)
v ; (з + 1)(з + 2) v '
4.6.1. Определите переходную характеристику.
4.6.2. Проанализируйте результаты для е £ [—1,1].
Задача 4.7. Модель входа-выхода системы имеет вид
Ъи+7т+т<)=М1) (4.,б.б)
4.7.1. Определите передаточную функцию системы.
4.7.2. Определите переходную характеристику при нулевых начальных
условиях.
4.7.3. Повторите это же при начальных условиях у(0) = — 1 и у(0) = 2.
Задача 4.8. Пусть преобразование Фурье сигнала f(t) равно
™>]-*м-{; ™::: <«« >
Покажите, что если /(t) —реакция системы на единичную ступеньку,
то система беспричинная, т. е. система начинает реагировать до того, как
приложен входной сигнал.
Задача 4.9. Передаточная функция устойчивой линейной системы
имеет вид
Если вход системы u(t) = 2cos(0.5£), найдите выходной сигнал в
установившемся режиме.
Задача 4.10. Определите сигнал /(£), который имеет преобразование
Фурье
F(ju) = гдеаеШ (4.16.9)

4.16. Задачи для читателя 137
ад = ТТ7Г-^Г (4-!6-Ю)
Задача 4.11. Определите преобразования Фурье следующих сигналов
(если они существуют):
/i(t) = 2 + cos(2i) f2{t) = (2 + cos{2t))fx{t) /3(t) = /t(«) - /a(t - T)
/4(i) = e-3tcos(0.5f)/i(0 /e(*) = <e-* f6{t) = sign(t)
Задача 4.12. Рассмотрим функцию
_1
4.12.1. Найдите полюсы функции Fn(s).
4.12.2. Найдите устойчивую функцию Hn(s), такую, что
Hn(s)Hn(-s) = Fn(s). .
Задача 4.13. Проанализируйте для /3 £ Ш частотную характеристику
АОМ и MOM, если истинная и номинальная модели даны
передаточными функциями
соответственно.
Задача 4.14. Рассмотрим линейную систему с истинной моделью,
заданной передаточной функцией
ы2
G{s) = F{s) 9 " =■ (4.16.12)
где 0 < ф < 1. Определите MOM для номинальной модели
Со(*) = F00 2x0/^ л. 2 (4'16ЛЗ)
s2 + 2il)0u)nos + ш20
в следующих ситуациях:
1) шпо = ып, но ф ф ф0\
2) ф = </>0, но о;по ^ ^п-
Задача 4.15. Рассмотрим структуру, показанную на рис. 2.7.
4.15.1. Найдите линейные преобразования h(o) и /(о) такие, что
структура дает устойчивую приближенную инверсию для системы,
имеющей модель
ад=ёт4у (41б14)
4.15.2. Найдите ошибку моделирования по отношению к точной
инверсии.

138 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
Задача 4.16. Рассмотрим следующие две передаточные функции:
0.0625 v (4 16Ш
2^'~s4 +1.3066s3 + 0.8536s2+0.3266*+ 0.0625 \ • - )
4.16.1. Постройте диаграммы Воде для этих систем и проверьте, что
каждая из них обладает свойствами фильтра низких частот.
Вычислите полосу пропускания для каждого фильтра
4.16.2. Определите переходные характеристики для каждого случая и
' показатели, приведенные на рис. 4.3. Сравните и обсудите
полученные результаты.
Задача 4.17. Рассмотрим следующие передаточные функции:
«(•i-TTFT h*> = 7t£f (416Л7)
4.17.1. Для каждого случая определите полюсы системы.
4.17.2. Для каждого случая получите график зависимости модуля
частотной характеристики от частоты. Определите характеристики
фильтрации.
4.17.3. Используйте SIMULINK для получения переходной
характеристики каждой системы.
Задача 4.18. Найдите импульсную и переходную характеристики для
следующих передаточных функций:
ед=?тЬт (41вЛ8)
ем=я^тт (41в'20)
°<*>-7+55+1 <41М1>
Прокомментируйте наблюдаемые различия.

4.16. Задачи для читателя 139
Задача 4.19. Вычислите установившуюся реакцию на единичную
ступеньку для следующих систем:
1
G(s) =
G(s) =
s3 + 3s2 + 3s + l
s2 + 2s
s3 + 3s2 + 3s + 1
Прокомментируйте наблюдаемые различия.
(4.16.22)
(4.16.23)
Задача 4.20. Переходная характеристика системы (первоначально
находящейся в покое) имеет вид:
y{t) = 1 - 0.5е"* - 0.5е"2' * (4.16.24)
Какой передаточной функцией обладает система?
Задача 4.21. (Инициирована вопросом коллеги из промышленности.)
Переходная характеристика системы изображена ниже.
0.1
0.2
о.з
0.7
0.8
0.4 0.5 0.6
Время (с)
Рис. 4.11. Переходная характеристика
Как может получиться, что мы можем иметь перерегулирование на
переходной характеристике без каких-либо колебаний? Как вы думаете,
какую форму имеет модель?
Задача 4.22. На рис. 4.12 показано параллельное соединение двух
систем.
Рис. 4.12. Параллельное соединение двух систем

140 Глава 4. Непрерывные сигналы и системы
4.22.1. Какова передаточная функция от и до у?
4.22.2. Каковы полюсы системы?
4.22.3. Каковы нули системы (если они есть)?
4.22.4. Вычислите переходную характеристику системы и
прокомментируйте результат.

ЧАСТЬ 11
ОСНОВЫ SISO-СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ

Введение
В предыдущей части книги говорилось о моделях систем. Это элементы,
в терминах которых инженер по системам управления осмысливает
контур управления.
Теперь мы сосредоточим наше внимание на свойствах самого контура
управления. В частности, мы обратимся к проблемам чувствительности,
устойчивости и синтеза контура управления. Эти кирпичики
проектирования и будут основной темой следующей части книги.

Глава 5
Анализ замкнутых
SISO-систем управления
5.1. Введение
Проектирование систем управления использует два ключевых метода:
анализ и синтез. Анализ имеет дело с воздействием, которое данный
регулятор оказывает на данную систему, когда они взаимодействуют в
контуре обратной связи; синтез же занимается вопросом, как создать
регуляторы с некоторыми свойствами. В данной главе рассматривается
анализ. Для данных регулятора и объекта, соединенных в контуре
обратной связи, здесь решаются следующие вопросы.
• Устойчив ли контур управления?
• Какова чувствительность к различным возмущениям?
• Каково влияние ошибок линейного моделирования?
• Как небольшие нелинейности влияют на контур?
Мы также представим несколько методов анализа, в частности:
• метод корневого годографа,
• анализ устойчивости методом Найквиста.
5.2. Структуры систем с обратной связью
Вспомним предварительное представление управления с
использованием обратной связи, данное в гл. 2. Сейчас мы разовьем это представление
применительно к линейным системам управления с одним входом и
одним выходом (single-input single-output — SISO). Мы увидим, что
обратная связь может обеспечить многие желаемые свойства, типа
возможности уменьшить влияние возмущений, уменьшения чувствительности
к ошибкам модели системы или стабилизации неустойчивой системы.
Однако мы также заметим, что неправильно используемая обратная

144 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
—гО—•
C(s)
U(s)
Di(s) Xo D0(s)
i_ I
Ym(s)
&4
I D„
Go(s)
O
■W
Рис. 5.1. Простая система управления с обратной связью
связь может сделать устойчивую систему неустойчивой, добавить
колебательность в ранее гладкую реакцию или привести к увеличению
чувствительности к шуму измерения.
Начнем анализ систем с обратной связью с линейной SISO-системы,
показанной на рис. 5.1. Первоначально рассмотрим так называемый
номинальный контур, т. е. влияние регулятора, взаимодействующего с
номинальной моделью в контуре обратной связи; позже, в разд. 5.9, мы
вернемся к влиянию ошибок моделирования, которые возникают, когда
регулятор взаимодействует с реальной системой, а не с моделью.
В контуре, показанном на рис. 5.1, мы используем передаточные
функции и преобразования Лапласа, чтобы описать отношения между
его сигналами. В частности, C(s) и G0(s), обозначают передаточные
функции регулятора и номинальной модели объекта соответственно,
которые могут быть представлены в виде дробей:
С(в)
G0(s) =
P(s)
4s)
Bg(s)
A0(s)
(5.2.1)
(5.2.2)
где P(s), L(s), B0(s) и A0(s) —полиномы от s. R(s), U(s) и Y(s)
обозначают преобразования Лапласа уставки, управляющего сигнала и выхода
объекта соответственно; A(s), D0(s) и Dm(s) обозначают
преобразования Лапласа возмущения, приложенного к входу объекта (в дальнейшем
для простоты будем называть входным возмущением), возмущения,
приложенного к выходу объекта (также для простоты будем называть
его далее выходным возмущением) и шума измерения соответственно.
Используем также х0 для обозначения начальных условий модели.

5.2. Структуры систем с обратной связью 145
Между переменными на рис. 5.1 имеются следующие соотношения:
Y(s) = G0(s)U(s) + D0(s) + G0(s)Di(s) + ^^Г (5-2-3)
U{s) = C{s)R(s) - C(s)Y(s) - C(s)Dm(s) (5.2.4)
= C(s)'(r(s) - Dm(s) - G0(s)U(s) - D0(s) - G0(s) Д (*) - ^щ*)
(5.2.5)
где f(s,x0) — линейная функция, зависящая от начальных условий. Из
предыдущих уравнений можно получить:
"<•> = нЦод (*<*> - D™<s> - D°<s> - G°«B<<S> - трг)
(5.2.6)
и
\со(з)С(8)(Щз)-Вт(8))+В0(8)+С0(8)Вг(8)+П8'Хо)
Y(s)=
l+G0(s)C(s)
A(s) J
(5.2.7)
Конфигурация замкнутой системы, показанной на рис. 5.1,
называется структурой с одной степенью свободы. Этот термин отражает тот
факт, что есть только одна степень свободы, доступная для
формирования передаточных функций от R(s) и Dm(s) к Y(s) и от D0(s) и
Di(s) к Y(s). Следовательно, если передаточная функция регулятора
C(s) спроектирована таким образом, чтобы получить конкретную связь
эталонного сигнала и реакции системы, например,
Y(s)= G0(s)C(s)
R{s) l + G0(s)C(s) { -0'
тогда это приводит к однозначной реакции на выходное возмущение:
Y(s) 1
D0(s) l + G0(s)C(s)
(5.2.9)
без какой-либо возможности ее скорректировать.
Однако часто желательно иметь возможность формировать реакцию
на эталонный сигнал и возмущение отдельно. Это достигается
структурой с двумя степенями свободы, как показано на рис. 5.2. Первая
степень свободы — регулятор обратной связи C(s), a H(s) — вторая степень
свободы, представляющая собой устойчивую передаточную функцию,
которая иногда называется фильтром уставки или эталонным фильтром.

146 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
R(s)
H(s)
R(s) E(s)
—rO—■
C(s)
Ym(s)
Di(s) x0 D0{s)
1 Ж 1
G0(s)
О
Dm(s)
Рис. 5.2. Замкнутая система с двумя степенями свободы
Аналогично формуле (5.2.7), мы видим, что контур с двумя
степенями свободы определяется выражением:
rM-^'ff'W
+
l + G0(s)C(s)
G0(s)
l + G0(s)C(s)
l + G0(s)C(s)
G0(s)C(s)
A(S)-1 + G0(S)C(S)^(S)
(5.2.10)
Передаточная функция C(s) может быть спроектирована, чтобы
получить нужную реакцию на возмущение (не отличающуюся от (5.2.7)),
a H{s) может быть использована для получения реакции на эталонный
сигнал независимо:
Y{s) _ G0(s)C{s)H{s)
R{s) l+G0{s)C{s)
(5.2.11)
Заметим однако, что даже в случае контура управления с двумя
степенями свободы все еще остаются передаточные функции, чью динамику
нельзя получить независимо.
Так, регулятор С может быть использован для получения реакции
на одно из возмущений £)г, D0 или Dm, но как только это будет сделано,
реакции на другие возмущения будут тоже однозначно определены.
Итак, соответствующая реакция на выходе регулятора равна
и{а)шт£№Мт.
C(s)
l + G0(s)C{sY
G0(s)C(s)
l + G0(s)C{s)
Di(s)-
l+G0(s)C(s)
C(s)
l + G0(s)C(s)
Dm(s)
(5.2.12)
которая, как видно, фиксирована при выбранных H(s) и C(s).

5.3. Функции номинальной чувствительности 147
5.3. Функции номинальной чувствительности
Из уравнений (5.2.10) и (5.2.12) видно, что реакция замкнутой системы
задается четырьмя передаточными функциями, которые все вместе
известны как функции чувствительности. Используя уравнения (5.2.1)
и (5.2.2), эти функции чувствительности следующие:
^ G0(s)C(s) B0(s)P(s)
о[■ ' l + G0(s)C(s) A0(s)L(s) + B0(s)P(s) К°0' '
?мА 1 A0{s)L(s)
0{ ' l + G0(s)C(s) A0(s)L(s) + B0(s)P(s) ^ '
q M^ G°(3) - B0(a)L(a) . .
°ю{а) l + G0(s)C(s) A0(s)L(s) + B0(s)P(s) {°°0>
Л C(s) _ A0(s)P(s)
°uoW l + G0(s)C(s) A0(s)L(s)+B0(S)P(s) {°-°-V
Эти функции получили специальные имена.
T0(s): номинальная дополнительная чувствительность;
S0(s): номинальная чувствительность;
Si0(s): номинальная чувствительность к входному возмущению1;
SUo(s): номинальная чувствительность по управлению.
Полином Ad = A0{s)L(s) + B0(s)P(s) называется номинальным
характеристическим полиномом замкнутого контура.
Функции чувствительности алгебраически зависимы. Эти
отношения—одно из ключевых проявлений компромиссов, свойственных
контуру обратной связи и могут быть получены из определений (5.3.1)-
(5.3.4). В частности, мы имеем
S0{s)+T0{s) = l (5.3.5)
Si0(s) = S0(s)G0(s) = ^ (5.3.6)
SU0(s) = S0(s)C(s) = ^ (5.3.7)
00(s)
1 В дальнейшем, если это не вызовет разночтения, будем называть ее номинальной входной
чувствительностью. — Прим. перев.

148 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
С помощью этих функций чувствительности для замкнутого контура,
изображенного на рис. 5.2, можно написать
Y(s) = T0(s){H(s)R(s) - Dm(s)) + S0(s) (do(s) + ^щ^) + Sio(s)Д(«)
(5.3.8)
U(s) = Suo(s) (h(s)R(s) - Dm(s) - D0(s) - G0(s) Д (я) - ^щ^)
(5.3.9)
Видно, что воздействия начальных условий на выход объекта и выход
регулятора соответственно равны
f(s,x0) f(s,x0)L(s)
S0(s)
—Suo{s)
A0{s) A0(s)L(s) + B0(s)P(s)
f{s,x0) __ f{s,x0)P{s)
(5.3.10)
(5.3.11)
A0{s) A0{s)L{s) + B0{s)P{s)
Из этих равенств, а также из уравнений (5.3.1)—(5.3.4), можно
заметить фундаментальную роль, которую играет полином Лс/. Он
определяет как устойчивость, так и, совместно с собственными нулями L(s),
P(s), B0(s) и A0(s), переходные характеристики номинального контура
управления.
Уравнения (5.3.1)-(5.3.4) могут быть представлены в более
компактной форме
ад
U0(s)
G0{s)C{s) G0(s) 1 -G0{s)C(s)
C(s) -G0(s)C(s) -C{s) -C{s)
l + G0(s)C(s)
H(s)R(s)
Di(s)
D0(s)
Dm(s)
(5.3.12)
Пример 5.1. Объект имеет номинальную модель G0(s) — /д+1\1+2\2 •
На него действует выходное возмущение в виде d0{t) = к + а\,(Ь), где
dv (t) — составляющая с нулевым средним значением и полосой частот
Bd : (О, 4) рад/с.
Регулятор обратной связи C(s) таков, что
а
To{s) = (> + 1.2uv»« + «g)(« + l)2 (5-313)
Сомножитель (rs + I)2 добавлен, чтобы регулятор был строго
собственным (проверьте, что этот выбор достаточен, чтобы
гарантировать требуемое свойство!). Нужно выбрать а и ип с точки
зрения компенсации выходного возмущения и амплитуды требуемого
управляющего воздействия.

5.4. Устойчивость в зависимости от характеристического полинома 149
Решение
Нам нужно, чтобы T0(ju)) « 1 {что, в соответствии с (5.3.5) дает
SoiJu) ~ 0) на частоте и = 0 и в полосе Вд. Чтобы получить это,
предположим следующее:
• а = <4;
• ип больше, чем 4 рад/с; скажем, ип = 10 рад/с;
• г = 0.01 (что много меньше, чем и~г).
Это дает
To(s) = (S2 + l2S + 100)(0.0b + l)2 (5,ЗЛ4)
Далее оценим для этого случая номинальную чувствительность по
управлению Suo{s). Для, выбранной выше Т0 имеем
S м- Г°(*) 125 (* + 1)(* + 2)2 ,5315)
buo{$) " G0(s) ~ 1Ъ(в2 + 12s + 100)(0.0Ь +1)2 [Ъ-6ЛЬ)
На частоте 3 рад/с мы имеем \Suo{ju)\ « 20 дБ. Это означает, что
если dv(t) имеет синусоидальную составляющую на частоте 3 рад/с,
то на выходе регулятора будет составляющая той же частоты, но с
амплитудой в десять раз больше, чем у возмущения.
Это может привести к насыщению на входе объекта. Осмыслив
это, мы можем прийти к выводу, что данная задача возникла потому,
что выходное возмущение имеет спектр частот, который намного
больше полосы пропускания разомкнутого объекта.
Чтобы понизить чувствительность системы по управлению в
полосе Bd, у проектировщика возмооюен лишь один вариант — увеличить
чувствительность к возмущениям в полосе Bd, что создает
компромисс при проектировании. * □□□
5.4. Устойчивость замкнутой системы
в зависимости от характеристического полинома
Этот и последующие разделы содержат различные средства для анализа
как номинальной устойчивости, так и робастной устойчивости1.
Введем следующие определения.
1 Номинальный контур управления представляет собой соединение регулятора и
номинальной модели.

150 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
Определение 5.1 (Внутренняя устойчивость). Мы говорим,
что номинальный контур внутренне устойчив тогда и только
тогда, когда все восемь передаточных функций в уравнении (5.3.12)
устойчивы.
Это определение эквивалентно требованию, чтобы все сигналы в
контуре были ограничены для любого множества ограниченных сигналов
r(£), di(t), d0(t) и dm(t). Сравнение (5.3.12) с (5.3.1)— (5.3.4) показывает,
что номинальный замкнутый контур внутренне устойчив тогда и только
тогда, когда полином A0(s)L(s) + B0(s)P(s) имеет устойчивые
сомножители. Резюмируем это следующей леммой.
Лемма 5.1. Номинальная внутренняя устойчивость.
Рассмотрим номинальный замкнутый контур, изображенный на
рис. 5.2, с моделью и регулятором, задаваемыми уравнениями (5.2.2) и
(5.2.1) соответственно. Номинальный замкнутый контур внутренне
устойчив тогда и только тогда, когда все корни его
характеристического уравнения
Ao{s)L(s)+Bo{s)P(s)=0 (5.4.1)
находятся в открытой ЛПП.
Доказательство
Оно следует непосредственно из уравнения (5.3.12) и определения
внутренней устойчивости. DDD
Заметим, что понятие внутренней устойчивости значит несколько
больше, чем устойчивость передаточной функции от эталонного сигнала
к выходу системы. В первом случае дополнительно требуется, чтобы не
было никаких компенсаций неустойчивых полюсов при взаимодействии
регулятора и объекта. Проиллюстрируем это следующим примером.
Пример 5.2. Предположим, что
ад = (8 + 4)(-, + 2) СМ = ^ <5А2>
Видно, что T0(s) устойчива; однако номинальная входная
чувствительность неустойчива, поскольку
**>-(-. + a)(5+4. + ») <5АЗ>
Таким образом, эта система не является внутренне устойчивой и
не удовлетворяет условиям леммы 5.1, так как A0(s)L(s)+B0(s)P(s) =
(-S + 2)(52+4s + 3).

5.5. Устойчивость и анализ полиномов 151
5.5. Устойчивость и анализ полиномов
5.5.1. Определение задачи
Рассмотрим полином p(s), определенный следующим образом:
p(s) = sn + an-isn~l + • • • + агз + aQ (5.5.1)
где щ £ Ш.
Рассматриваемая задача связана с вопросом, есть ли у полинома
какой-либо корень с неотрицательной вещественной частью. Очевидно,
что на этот вопрос можно ответить, просто вычислив п корней p(s);
однако во многих приложениях .интересно рассмотреть взаимосвязь между
расположением корней и некоторыми коэффициентами полинома.
Полиномы, имеющие все свои корни в замкнутой ЛПП (т. е. корни с
неположительными вещественными частями), называются полиномами
Гурвица. Если мы ограничимся, случаем, когда корни имеют
отрицательные вещественные части, то такой полином называется строгим по
Гурвицу.
5.5.2. Некоторые интересные свойства полиномов
Из (5.5.1) вытекают следующие важные свойства.
Свойство 1.. Коэффициент ап-\ удовлетворяет равенству
п
где Аь А2, ..., Ап — корни p(s).
Чтобы доказать это свойство, заметим, что p(s) можно
представить в виде
п
P{s) = Ti(s-*i) (5.5.3)
г=1
Раскрывая произведение (5.3.3) и объединяя коэффициенты при
s в степени (п — 1), получим (5.5.2).
Свойство 2.. Коэффициент его удовлетворяет условию
п
ао = (-1)пПА* (5.5.4)
г=1
Это свойство также может быть получено, раскрывая произведение
(5.5.3) и исследуя полученную константу.

152 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
Свойство 3.. Чтобы все корни p(s) имели отрицательные
вещественные части, необходимо чтобы а,{ > О, г £ {0,1,... ,п — 1}.
Доказательство этого свойства проведем следующим образом.
а) Корни p(s) или вещественные, или комплексные и, если какие-то
из них комплексные, то эти комплексные корни будут
образовывать сопряженные пары (это является следствием того, что p(s) —
полином с вещественными коэффициентами).
б) Таким образом, без потери общности можно предположить, что
имеются п\ вещественных корней и n*i пар комплексно
сопряженных. При этом п\ + 2ri2 = п.
в) Если все эти корни имеют отрицательные вещественные части,
они могут быть представлены следующим образом:
\i = -\ai\ i = l,2,...,ni (5.5.5)
Кг+г = Кг+712+i = ~Ы +М * = 1,2,... ,П2 (5.5.6)
г) Следовательно,
Til 7l2
р(*)=П(*+м) Ш*+м)2+*?) (5-5-7)
г=1 ^=1
где во втором произведении мы сгруппировали комплексные пары
в квадратичные сомножители.
д) Из (5.5.7) мы видим, что p(s) соответствует произведению
полиномов первого и второго порядка, все из которых имеют
вещественные и положительные коэффициенты. Коэффициенты p(s)
являются суммами произведений коэффициентов этих полиномов
первого и второго порядка, что доказывает свойство.
Заметим, что это свойство необходимое для полиномов, строгих
по Гурвицу, но не достаточное, за исключением случаев, когда п = 1
и п = 2, когда это условие и необходимое и достаточное.
Свойство 4.. Если какой-либо из коэффициентов полинома
неположительный (отрицательный или равен нулю), тогда один или более
корней имеют неотрицательную вещественную часть.
Это свойство — прямое следствие предыдущего свойства.
5.5.3. Алгоритм Рауса
Одним из наиболее распространенных алгоритмов определения,
является ли полином строгим по Гурвицу, можно назвать алгоритм Рауса.

5.5. Устойчивость и анализ полиномов 153
Приведем его здесь без доказательства. Снова рассмотрим полином p(s)
степени п, определенный следующим образом:
Р(*) = J^fte1
(5.5.8)
г=0
Алгоритм Рауса основан на следующей числовой таблице
sn
sn-2
sn-3
sn-4
S2
S1
S°
Таблица 5.1
Таблица Рауса
7o,i
7i,i
72,1
7з,1
74,1
7n-2,l
7n-i,i
7n,i
70,2
71,2
72,2
73,2
74,2
7n-2,2
7о,з
7i,3
72,3
7з,з
74„3
70,4 • • •
71,4 • • •
72,4 • • •
73,4 • • •
74,4 • • •
где
7o,i = a>n+2-2i\ i = l,2,...,mo и 7i,i = an+i-2i; t = l,2,...,mi
(5.5.9)
с mo = (n + 2)/2 и mi = mo — 1 для четных n и mi = mo для нечетных
п. Заметим, что элементы 7о,г и 71,» — коэффициенты полинома,
дополняющие друг друга.
Далее
7* j =
7fc-i,i 7fc-2,j+i ~ 7fc-2,i 7fc-i,j+i .
7*-i,i
fc = 2,....,n j = l,2,...,mj
(5.5.10)
где rrij = max{mj_i,mj_2} — 1 и где нужно считать нулевыми
коэффициенты 7fc-i,j+i> если их нет в таблице Рауса (см. табл. 5.1).
Заметим, что коэффициенты (5.5.10) могут быть представлены с
помощью детерминантов:
7*,j = -;
7A;-2,1 7fc-2,j+l
7*-1,1 lk-lj+1
7А;-1,1
Основное утверждение выглядит следующим образом:
(5.5.11)
Рассмотрим полином p(s), заданный выражением (5.5.8) и связанную
с ним табл. 5.1. Тогда число корней с вещественными частями больше
нуля равно числу изменений знаков в первом столбце таблицы.

154 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
Рассмотрим далее несколько примеров
Пример 5.3. Пусть p(s) = s4 + s3 + 3s2 + 2s + 1. Непосредственное
исследование полинома не позволяет нам сказать, является ли он
полиномом Гурвица. Воспользуемся таблицей Рауса.
s4 1 3 1
S3
S2
S1
S0
1
1
1
1
2
1
Из таблицы мы замечаем, что в первом столбце нет изменений знака.
Согласно критерию Рауса это означает, что p(s) — полином, строгий
по Гурвицу. □□□
Пример 5.4. Пусть p{s) = s5 + 5s4 + 12s3 + 13s2 + 3s + 6. Заметим
вначале, что все коэффициенты этого полинома больше нуля,
следовательно, мы не можем исключить возможность, что он является
полиномом Гурвица. Чтобы проверить это, построим таблицу Рауса.
S5
S4
S3
S2
1
S*
S0
1
5
47
5
566
47
8160
235
6
12
13
9
—
5
6
3
6
Из этой таблицы мы замечаем, что есть два изменения знака в первом
столбце. Согласно критерию Рауса это означает, что p(s) имеет два
корня с положительной вещественной частью. Следовательно, p(s) не
является полиномом Гурвица. DDD
При использовании таблицы Рауса возможны некоторые особые
случаи, которые требуют приложения дополнительных усилий. Например,
мы видим, что при построении таблицы нельзя двигаться дальше, если
один из элементов первого столбца равен нулю. Здесь можно пойти
следующими путями.
Случай 1
Сначала рассмотрим случай, когда первый элемент строки,
соответствующий sn""*, равен j
ненулевой элемент.
ющий sn k, равен нулю, но в этой строке есть по крайней мере один

5.5. Устойчивость и анализ полиномов 155
S5
S4
S3
S2
S1
S0
1
3
0
2
6
2
3
3
S5
S4
S3
S2
S1
S0
1
3
N
6~ч
2 + Д-т
г + Т=Щ
3
2
6
2
3
3
3
В этом случае заменим элемент 7fc,i величиной б, где б —очень
маленькое число с тем же знаком, что и элемент 7fc-i,i> T- е- используем
либо |б|, либо — |б|. Тогда таблицу можно завершить, а критерий Рауса,
позволяющий определить, является ли полином строгим по Гурвицу,
используется для случая |б| —> О"1".
Пример 5.5. Рассмотрим полином p(s) = s5 + 3s4 + 2s3 + 6s2'+ 3s + 3.
Для него имеем таблицу Рауса:
(5.5.12)
Отсюда видим, что при \е\ —> 0+ есть два изменения знака, т. е.
p(s) не является полиномом Гурвица, потому что имеет два корня
с положительными вещественными частями. □□□
Случай 2
Рассмотрим теперь случай, когда все элементы строки, соответствующей
sn~k, нулевые, т. е. 7*,1 = 7*,2 = ••• = °-
В этом случае из исходного полинома можно выделить полином
Pa(s) = Jk-i}isn~k+l + 7*-i,2tfn"*"^ + "Yk-i}3Sn~k~3 H . Заметим, что
это полином только четных или только нечетных степеней 5, где
коэффициенты соответствуют членам строки таблицы, находящейся
непосредственно над строкой с нулями. Таким образом, полином pa(s) и,
соответственно, p(s) не являются полиномами^ строгими по Гурвицу.
Пример 5.6. Рассмотрим полиномp(s) = s6+5s5+2s4+5s3+4s2+15s+3.
Соответствующая ему таблица Рауса равна
se 1 2 4 3
s5 5 5 15
s4 1 1 3
s3 О О
s2
s1
s°
Тогда pa{s) = s4 + s2 + 3. Разделив на него исходный полином, получим,
4mop(s) = pa(s)(s2 +5s + l). Заметим, что корни полиномаpa{s) равны
±0.7849 ±jl.0564. □□□

156 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
Алгоритм Рауса можно применить к знаменателю передаточной
функции, чтобы определить, является ли система устойчивой, однако
его можно использовать для изучения влияния изменения параметров на
устойчивость системы. Для иллюстрации этого рассмотрим следующий
пример.
Пример 5.7. Пусть в замкнутом контуре управления G0(s)C(s) =
s(Jli)2 - Мы хотим определить, какие значения К соответствуют
устойчивому замкнутому контуру.
Сначала определим характеристический полином замкнутой
системы, который равен p(s) = s3 + 2s2 + s + K, а затем построим таблицу
Рауса.
S3
S2
S1
s°
1
2
1 - 0.5К
К
1
К
Мы можем видеть, что неустойчивых полюсов у замкнутой системы
не будет тогда и только тогда, когда 1 — 0.5К > О и К > 0. Объединяя
эти требования, заключаем, что замкнутая система устойчива тогда
и только тогда, когда 0 < К <2. □□□
Критерий Рауса можно также использовать для изучения, как быстро
затухают процессы в системе.
Пример 5.8. Замкнутая система управления имеет передаточную
функцию в разомкнутом состоянии G0(s)C(s) = Д/Д4)а • Нужно
узнать, имеется ли какой-то диапазон значений К, при которых все
процессы в замкнутой системе затухают быстрее, чем е^ь. Другими
словами, нужно, чтобы все полюсы замкнутой системы имели
вещественные части меньше — 1.
Стратегия решения этой задачи заключается в том, чтобы
рассмотреть вертикальную линию s = — 1 в качестве новой границы
устойчивости на сдвинутой комплексной плоскости. Если мы назовем
эту сдвинутую плоскость w-плоскостью, то в примере мы просто
делаем подстановку w = 5 + 1. Далее применяем критерий Рауса к этой
новой комплексной плоскости.
Для рассматриваемого примера получим характеристический
полином замкнутой системы: p(s) = s^+8s2+16s+K. Для новой комплексной
переменной он станет pw(w) = p(w — 1) = ги3 + 5w2 + 3w + К — 9. Далее
таблица Рауса для pw(w) даст
w3 1 3
w2 5 К-9
w1 4.8 - 0.2К
w° K-9

5.6. Корневой годограф 157
Мы видим, что для того, чтобы полином Ргу(^) был строгим по
Гурвицу, нужно, чтобы 9 < К < 24. Следовательно, мы делаем вывод,
что этот диапазон К соответствует полюсам замкнутой системы,
у которых вещественные части меньше — 1, как и требовалось. □□□
5.6. Корневой годограф
Другим классическим инструментом, который обычно используется для
изучения устойчивости уравнений типа (5.4.1), является метод
корневого годографа. Корневой годограф может использоваться, чтобы
исследовать расположение корней характеристического полинома при
изменении одного параметра. Предположим, например, что
номинальная модель объекта задана передаточной функцией G0(s), а регулятор —
передаточной функцией C(s) = KCa(s), где Ca{s) — известное, частное
двух нормированных полиномов от 5, а К — положительная, но
неизвестная константа. Тогда полюсы замкнутой системы являются корнями
уравнения
l + KCa{s)Go(s)=0 (5.6.1)
Множество всех точек на комплексной плоскости, которые
удовлетворяют уравнению (5.6.1) для различных положительных значений
К, называется корневым годографом. Эту конкретную задачу можно
рассматривать как часть более общей задачи.
Рассмотрим следующее уравнение
1 + AF(S)=0, где F(s) = ^l (5.6.2)
с А > 0 и
т
M(s) = sm + bm-is™-1 + • • • + hs + bo = Y[{s - a) (5.6.3)
i=l
n
D{s) = sn + an_i5n_1 + • • • + ais + a0 = Д (s -pi) (5.6.4)
г=1
где коэффициенты полиномов M(s) и D(s) являются вещественными
числами. Тогда задача корневого годографа связана с нахождением
множества всех точек на комплексной плоскости, являющихся решением
уравнения (5.6.2) для всех неотрицательных значений Л.

158 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
Мы видим, что решение уравнения (5.6.2) является одновременно и
решением уравнения
п т
В(з) + Ш(з) = Ц(з-Рг) + \1[(з-а) = 0 (5.6.5)
г=1 г=1
До появления современных компьютеров метод корневого годографа
< был важным инструментом, котЬрый позволял опытному пользователю
определить, как один параметр (обычно коэффициент усиления
регулятора) влияет на устойчивость и динамическое поведение замкнутого
контура. Сегодня корневой годограф любой системы легко получить с
помощью удобного программного обеспечения типа MATLAB. Однако
понимание основных принципов поведения корневого годографа все еще
дает ценную информацию. Правила построения корневого годографа
включают следующее:
1. Число корней уравнения (5.6.5) равно max{m,n}. Таким образом,
корневой годограф имеет max{m,n} ветвей.
2. Из уравнения (5.6.2) следует, что so принадлежит корневому
годографу А > О тогда и только тогда, когда выполняется условие
argF(s0) = (2fc + l)7r для fceZ. (5.6.6)
3. Из уравнения (5.6.2) следует также, что если so принадлежит
корневому годографу, соответствующее значение Л, которое обозначим
через Ло, будет равно
Л.= ^ (5.6.7)
4. Точка на вещественной оси, so € М, тогда и только тогда принадлежит
корневому годографу (для Л > 0), когда она расположена левее
нечетного числа полюсов и нулей (что следует из (5.6.6)).
5. Когда Л близко к нулю, тогда п корней уравнения (5.6.1)
располагаются вблизи полюсов F(s), т.е. у pi, P2i---,Pn> и если п < т,
оставшиеся т—п корней стремятся к бесконечности (более подробное
исследование мы проведем ниже).
6. Когда Л стремится к оо, т корней уравнения (5.6.1) стремятся к
нулям F(s), т.е. к ci, сг,...,^ и если п > т, оставшиеся п — т
корней стремятся к бесконечности (более подробное исследование мы
проведем ниже).
7. Если п > т и Л стремится к оо, то п — гп корней стремятся к оо,
приближаясь к асимптотам, пересекающимся в точке (<т,0), где
о = i=lPi ^i=li (5.6.8)
п — т

5.6. Корневой годограф 159
Углы этих асимптот 771, *72,---?*7п-т определяются выражениями
г)к = -—^^; fc = l,2,...,n-m (5.6.9)
п — т
8. Если п < т и Л стремится к нулю, то т — п корней стремятся к оо,
приближаясь к асимптотам, пересекающимся в точке (<7,0), где
a=ZtiPi-Z?=ia (5б10)
т — п
Углы этих асимптот t?i , r?2, — rfm-n определяются выражениями
^=(2&-1)тг; fc = 1,2,...,m-n (5.6.11)
п — т
9. Когда годограф пересекает мнимую ось, например, в точках s = ±jo;c,
тогда ис можно вычислить либо используя алгоритм Рауса—Гурвица,
либо учитывая тот факт, что s2 + ш2 делит нацело полином D(s) +
\M(s) для некоторого положительного значения Л.
Пример 5.9. Рассмотрим,объект с передаточной функцией GQ(s) и
регулятор обратной связи с передаточной функцией C(s), где
°M=(S-m + 2) • «W=4i±H (5.6.12)
Мы хотим узнать, как изменяется расположение полюсов
замкнутой системы при изменении.а в К"1".
Заметим сначала, что полюсы замкнутого контура являются
корнями уравнения
s + a s(s2 + s — 2)+4s + 4a Л /9 Лч
1+V + *-2)- s^ + s-2) -O-M^ + q+to-O
(5.6.13)
После деления на s(s2 + S + 2) получим уравнение (5.6.2), если
Л=4а " F(s)=^rai <5-6-14>
Если мы используем описанные выше правила, то получим
следующее:
1. Корневой годограф имеет три ветви (гп = 0 «п = 3).
4. Отрицательная часть вещественной оси принадлежит годографу.
5. Для а близких к нулю, т. е. Л.близких к нулю, корнями являются
полюсы F(s), т. е. значения О, — 0.5 ±j0.5\/7.

160 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
i
-~3 ^ 4i О Г" 2 3
Действительная ось
Рис. 5.3. Годограф для полюсов замкнутого контура, когда изменяется нуль
регулятора
7. Когда*астремится к оо, т. е. когда А стремится к оо, три корня
стремятся к оо, следуя асимптотам, которые пересекаются на
вещественной оси в точке (сг,0), где а = — |. Углы наклонов этих
- асимптот— 7г, 7г/3 w 27г/3. Это означает, что две ветви попадают
в правую полуплоскость.
9. Характеристический полином-— s3 + s2 + 2s + Л. Когда две ветви
пересекают мнимую ось, этот полином должен нацело делиться
на s2 +и%, давая частное s +1 с остатком (2 — u^)s + X — u2. Если
мы приравняем остаток нулю, то получим ис = у/2 и Ас = 2.
Вышеупомянутые правила позволяют сделать эскиз корневого
годографа. Его можно также получить, используя команду Hocus пакета
MATLAB] результат показан на рис. 5.3. Мощная оболочка rltool
пакета MATLAB позволяет провести разносторонний анализ корневого
годографа, включая изменение и добавление полюсов и нулей. □□□
5.7. Определение номинальной устойчивости
с помощью частотной характеристики
Классический и давно используемый инструмент для оценки
устойчивости замкнутых систем — теория устойчивости Найквиста. Здесь
устойчивость замкнутой системы предсказывается по виду частотной
характеристики разомкнутой системы. Для этого изображается годограф
2
5
Я
X
2
-1
-2

5.7. Определение номинальной устойчивости 161
s-плоскостъ
s-плоскость
а) б)
Рис. 5.4. Функция с единственным нулем и анализ Найквиста
произведения G0(s)C(s) и затем подсчитывается число охватов этой
характеристикой точки (—1,0). Ниже мы покажем, как это выглядит.
Сначала рассмотрим произвольную передаточную функцию F(s) (не
обязательно связанную с замкнутой системой управления).
Теория устойчивости Найквиста основана на отображении одной
комплексной плоскости в другую:
• плоскости независимой переменной s,
• плоскости зависимой переменной F.
Основная идея анализа устойчивости Найквиста состоит в следующем.
Предположим, что имеется замкнутая ориентированная кривая Cs
в 5-плоскости, которая охватывает Z нулей и Р полюсов функции
F(s). Предположим также, что нет никаких полюсов, непосредственно
лежащих на кривой Cs.
Если мы будем перемещаться вдоль кривой Cs в определенном
направлении, то функция F(s) отобразит кривую Cs в другую
ориентированную замкнутую кривую Cf на F-плоскости.
Ниже мы покажем, что число охватов кривой Cf начала координат
F-плоскости определяется разностью Р и Z. Если G0(s)C(s) будет
изменяться, мы можем наблюдать, как будут изменяться эти охваты
или как близко мы находимся к их изменению.
Впоследствии будет полезно вспомнить, что каждый охват
переменной на комплексной плоскости начала координат по часовой стрелке
(против часовой стрелки) приводит к тому, что аргумент переменной
изменится на — 2п рад (2п рад).
Сначала рассмотрим случай простой функции F(s) = s — с, когда с
находится внутри области, охватываемой кривой Cs. Это
проиллюстрировано на рис. 5.4, а.

162 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
Видно, что при перемещении s вдоль кривой Cs по часовой стрелке
аргумент F(s) изменяется на — 2п рад, т. е. кривая Cf охватит начало
координат F-плоскости один раз по часовой стрелке.
На рис. 5.4, б изображен случай, когда с находится вне области,
охватываемой кривой Cs. В этом случае аргумент F(s) не изменит своего
значения, когда s пройдет вдоль кривой Cs, и, следовательно, никакого
охвата начала координат F-плоскости не произойдет.
Используя подобное рассуждение, мы видим, что для функции
F(s) = (s —p)~l (где полюс р находится внутри области, охватываемой
кривой Cs) угол изменяется на +2п рад, когда s движется по часовой
стрелке вдоль кривой Cs. Это эквивалентно утверждению, что кривая
Cf охватывает.начало координат F-плоскости против часовой стрелки.
Изменение аргумента нулевое, если р находится вне области,
охватываемой кривой Cf,; это опять приводит к тому, что начало координат
F-плоскости не охватывается.
Рассмотрим теперь случай, когда F(s) имеет следующий, более
общий, вид:
F{8)=k№i('-«) (5.7.1)
ll*=i(*-P*)
Тогда полное изменение аргумента F(s) равно сумме изменений
аргумента за счет сомножителей (s—Ci) минус сумма изменений аргумента
за счет сомножителей (s — р^). Это приводит к следующему результату.
Рассмотрим функцию F(s), заданную выражением (5.7.1) и
замкнутую кривую Cs в 5-плоскости. Предположим, что F(s) имеет Z
нулей и Р полюсов внутри области, охваченной кривой Cs. Тогда
при перемещении параметра s вдоль кривой Cs по часовой стрелке
результирующая кривая Cf охватит начало координат F-плоскости
Z — Р раз по часовой стрелке.
Пока этот результат кажется довольно абстрактным; однако как мы
намекали ранее, это имеет прямую связь с проблемой устойчивости
замкнутой системы. Конкретно, чтобы. использовать этот результат,
рассмотрим специальную функцию F(s), связанную простым
соотношением с передаточными функциями объекта GQ(s) и регулятора C(s)
разомкнутой системы:
F(s) = l + G0{s)C(s) (5.7.2)
Заметим, что нули F(s) являются полюсами замкнутой системы
управления с единичной обратной связью. Полюсы же функции F(s)

9l7. Определение номинальной устойчивости 163
I yfSS-ПЛОСКОСТЬ
т—>~оо 1 £>-
Рис. 5.5. Контур Найквиста
являются полюсами объекта и регулятора разомкнутой системы.
Предположим, что функция G0(s)C(s) строго собственная, так что F(s) в
(5.7.2) удовлетворяет условию
lim F{s) = 1
\s\-+oo
В контексте оценки устойчивости нас особенно интересует число
полюсов замкнутой системы (если они есть), которые находятся в правой
полуплоскости, поэтому мы выберем в качестве специальной кривой Cs
кривую, которая полностью охватывает правую полуплоскость (ППП)
в 5-плоскости по часовой стрелке.
Эта кривая включает мнимую ось С% и кривую возврата Сг
(полуокружность бесконечного радиуса), как показано на рис. 5.5. Такая
кривая Cs называется контуром Найквиста.
Далее определим замкнутую кривую Ср на F-плоскости, которая
получается при вычислении F(s) для каждого s £ Cs. F(s) удовлетворяет
уравнению (5.7.3), так что вся кривая Сг стягивается в точку (1,0) на
F-плоскости. Таким образом, следует определить только отображение
кривой Ci, т. е. нам нужно лишь изобразить частотную
характеристику F(jcj) на F-плоскости. Эта диаграмма для частотной характеристики
называется диаграммой Найквиста.
Мы выбрали F(s) = 1 + G0{s)C(s) так, что нули F(s)
соответствуют полюсам замкнутого контура. Кроме того, мы видим, что F(s) и
G0(s)C(s) имеют одни и те же полюсы (полюсы разомкнутого контура).
Видно также, что начало координат F-плоскости соответствует точке
(—1,0) С0С-плоскости. Таким образом, диаграмма Найквиста для F
может быть заменена диаграммой для GQC просто путем подсчета
(5.7.3)

164 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
охватов точки —1. Основная теорема Найквиста, которая вытекает из
предыдущего анализа, выглядит следующим образом:
Теорема 5.1. Если собственная передаточная функция
разомкнутой системы G0{s)C(s) имеет Р полюсов в открытой ППП и ни
одного полюса на мнимой оси, то замкнутый контур имеет Z
полюсов в открытой ППП тогда и только тогда, когда амплитудно-
фазовая характеристика G0(ju))C(ju)) охватывает точку (—1,0) по
часовой стрелке N = Z — Р раз.
Из этой теоремы можно сделать следующие выводы.
• Если система в разомкнутом состоянии устойчива, то для внутренней
устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы не
было никаких компенсаций неустойчивых полюсов и чтобы
диаграмма Найквиста для G0{s)C(s) не охватывала точку (—1,0).
• Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и имеет Р
полюсов в открытой ППП, то для внутренней устойчивости замкнутой
системы необходимо и достаточно, чтобы не было никаких компенсаций
неустойчивых полюсов и чтобы диаграмма Найквиста для G0{s)C(s)
охватывала точку (—1,0) Р раз против часовой стрелки.
• Если диаграмма Найквиста для G0{s)C(s) проходит через точку
(—1,0), то существует w0GE, такая, что F(ju0) = 0, т. е. замкнутая
система имеет полюсы, расположенные точно на мнимой оси. Такая
ситуация называется условием критической устойчивости (гранью
устойчивости)*
Осталась еще одна важная проблема, а именно, как применить
теорию Найквиста, когда имеются полюсы разомкнутой системы точно на
мнимой оси. Основная трудность здесь может быть видна из рис. 5.4 а.
Если точка с расположена точно на кривой Cs, то изменение угла
вектора s—c невозможно определить. Чтобы разобраться с этой задачей,
используется модифицированный контур Найквиста, как показано на
рис. 5.6. Модификация показана для простого случая, когда имеется
один полюс разомкнутой системы в начале координат.
Контур Найквиста Cs теперь состоит из трех составляющих: Сг,
Са и Сь- Окончательная замкнутая кривая Cf будет отличаться от
предыдущего случая только тогда, когда s перемещается по С&. Это —
полуокружность радиуса б, где б —бесконечно малая величина. (Таким
образом, охваченная область — все еще вся ППП за исключением
бесконечно малого участка.)
Используя анализ, разработанный выше, мы видим, что необходимо
вычислить изменение угла вектора (s—p), когда s перемещается вдоль Сь

5.7. Определение номинальной устойчивости 165
S-ПЛОСКОСТЬ
Рис. 5.6. Модифицированный контур Найквиста
при р = 0. Это дает +7Г рад, т. е. сомножитель s"1 отображает кривую
Сь в полуокружность бесконечного радиуса с направлением по часовой
стрелке.
Чтобы определить число и направление охватов, необходимо
рассматривать эти полуокружности бесконечного радиуса, потому что они
являются существенной частью диаграммы Найквиста.
Этот анализ может быть расширен, чтобы включить любое конечное
число полюсов G0{s)C(s) на Cs.
Преобразованная форма теоремы Найквиста, приспособленная к
вышеупомянутым изменениям, проиллюстрирована на рис. 5.6.
Сама же модифицированная теорема будет выглядеть следующим
образом.
Теорема 5.2 (Теорема Найквиста). Дана передаточная функция
разомкнутой системы G0(s)C(s) с Р полюсами в открытой ППП.
Тогда замкнутая система содержит Z полюсов в открытой ППП в
том и только том случае, когда диаграмма G0{s)C(s) охватывает
точку (—1,0) по часовой стрелке N = Z — Р раз, когда s
перемещается по модифицированному контуру Найквиста.
Замечание 5.1. Чтобы использовать теорему Найквиста для оценки
внутренней устойчивости, нужно иметь дополнительную
информацию о том, что между C(s) и G0{s) не происходит никакой
компенсации неустойчивых полюсов. Это следует из того факта, что теорема
Найквиста применима только к произведению G0(s)C(s), в то время
как внутренняя устойчивость зависит также от факта, что нет
компенсации неустойчивых полюсов и нулей (см. лемму 5.1).

166 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
5.8. Относительная устойчивость: запасы
устойчивости и максимальная чувствительность
При проектировании систем управления часто недостаточно только
исследование устойчивости в замкнутом состоянии. В частности,
обычно желательно получить некоторые количественные оценки того, как
далеко номинальный контур управления находится от границы
устойчивости, т. е. определить относительную устойчивость. Это
достигается введением количественных оценок, описывающих расстояние от
частотной характеристики разомкнутой системы до критической точки
(—1;0), определяющей устойчивость.
На рис. 5.7 изображены два варианта показателей относительной
устойчивости для случая, когда разомкнутая система не имеет полюсов в
открытой ППП. Рисунок. 5.7, а изображает запас устойчивости по
амплитуде М9 и запас устойчивости по фазе Mf, которые определяются
следующим образом:
Mg = -20lg(\a\) (5.8.1)
Mf = ф (5.8.2)
Таким образом, запас устойчивости по амплитуде определяет
дополнительное усиление, которое приведет замкнутую систему в состояние
критической устойчивости. Запас устойчивости по фазе определяет
чистый фазовый сдвиг, который следует добавить, чтобы достигнуть
того же критического состояния.
Рисунок 5.7,6 дает другой показатель для относительной
устойчивости. Сначала напомним, что вектор из точки (—1;0) к
кривой G0(ju)\)C(j<jJi) при и = ш\ соответствует 1 + G0(jwi)C(jui),
т. е. ISoiJwi)]'1 (величине, обратной номинальной чувствительности).
G0{ju)C{ju) "• G0(ju))C(ju)
а) б)
Рис. 5.7. Запасы устойчивости и максимальная чувствительность

5.8. Относительная устойчивость 167
Диаграммы Боде
Частота (рад/с)
Рис. 5.8. Запасы устойчивости на диаграммах Боде
Таким образом, радиус г} окружности, касающейся характеристики
Go{jw)C(ju), есть величина, обратная максимуму номинальной
чувствительности. Чем больше максимальная чувствительность, тем
ближе замкнутая система к границе устойчивости.
Максимальная чувствительность — более компактный показатель
относительной устойчивости, чем запасы устойчивости по амплитуде и
по фазе. Предлагаем читателю найти пример, где запасы
устойчивости по амплитуде и фазе достаточно велики, однако очень большая
максимальная чувствительность предупреждает о необходимости более
внимательно подойти к условиям устойчивости. Обратное неверно:
обеспечение нужной чувствительности подразумевает минимальные
величины запасов устойчивости по амплитуде и фазе. Это точно описывается
следующим соотношением:
Mf >2axcsin(|) (5.8.3)
Запасы устойчивости могут быть также описаны и количественно
оценены с помощью диаграмм Боде.
Рассмотрим диаграммы Боде на рис. 5.8; здесь шр — частота, на
которой амплитуда равна 0 дБ. Это позволяет вычислить запас по фазе М/,
как показано на рис. 5.8. Вторая частота — шд соответствует ситуации,
когда фаза равна —180°. Это позволяет определить запас по амплитуде
Мд, как показано на рис. 5.8.

168 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
5.9. Робастность
Пока мы только рассмотрели функционирование регулятора в
номинальном замкнутом контуре, который включает номинальную модель
объекта. Практически, однако, нас интересуют не только номинальные
характеристики, но также и истинные характеристики, когда
регулятор взаимодействует с истинным объектом. Это —так называемая
проблема «ошибкоустойчивости» (робастности). Ниже мы покажем, что
номинальные чувствительности действительно сообщают нам кое-что
относительно истинных или реальных чувствительностей.
5.9.1. Реальные чувствительности
Мы противопоставляем полученным ранее номинальным функциям
чувствительности реальные (или истинные) функции чувствительности,
когда регулятор C(s) взаимодействует с некоторой эталонной моделью
G(s). Такой подход приводит к следующим эталонным функциям
чувствительности.
a G(s)C(s) _ B(s)P(s)
{> l + G{s)C{s) A(s)L(s)+B(s)P(s) { >
S(s) = * = A(s)L(s)
W l + G(s)C(s) A{s)L(s) + B{s)P(s) ( '
A G(s) B(s)L(s)
lW l + G(s)C(s) A{s)L{s) + B{s)P{sl ( '
5ЫА C(s) A(s)P(s)
u[ > " l + G(s)C(s) " A(s)L(s) +B(s)P(s) { '
где передаточная функция эталонной модели равна
В дальнейшем мы будем использовать термин «истинный объект»
для эталонной модели, однако читатель должен вспомнить
комментарии, сделанные в разд. 3.9, относительно возможных причин, почему
эталонная модель не может описать истинное поведение объекта.
Заметим, что обычно G(s) ф G0(s), так что Т0^Тит.д. Трудность,
которую мы рассмотрим позже, состоит в том, что G(s) обычно точно не
известна. Таким образом, мы должны говорить относительно реальной
чувствительности на основе только наших знаний о номинальной
чувствительности и информации относительно вероятных ошибок модели.
Это рассмотрено ниже.

5.9. Робастность 169
5.9.2. Робастная устойчивость
Обратимся к случаю, когда номинальная модель и истинный объект
отличаются друг от друга. Тогда необходимо, чтобы в дополнение к
номинальной устойчивости мы проверили, что устойчивость сохраняется,
когда истинный объект управляется тем же самым регулятором. Мы
называем это свойство робастной устойчивостью.
Достаточные условия того, чтобы контур обратной связи был робаст-
но устойчивым, задаются следующим положением.
Теорема 5.3 (Теорема о робастной устойчивости).
Рассмотрим объект с номинальной передаточной функцией G0{s) и
истинной передаточной функцией G(s). Предположим, что C(s)
—передаточная функция регулятора, который обеспечивает номинальную
внутреннюю устойчивость. Предположим также, что G(s)C(s) и
G0(s)C(s) имеют одно и то же число неустойчивых полюсов. Тогда
достаточное условие устойчивости истинного контура обратной
связи, получаемого при взаимодействии регулятора с истинным
объектом, следующее:
G0{ju)C{ju)
\T0(ju>)\\GA(ju,)\ =
\GA{ju)\<l Vw (5.9.6)
l + Go{ju)C(ju)
где G&(ju) —частотная характеристика мультипликативной
ошибки моделирования (MOM).
Доказательство
G€(JLJ)C(JLJ)
G(JLJ)C(JLJ)
Go(ju)C(ju)
Рис. 5.9. Диаграммы Найквиста для номинального и истинного контуров

170 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
Сначала вспомним, что, в соответствии с предположением,
номинальный контур устойчив и что G(s)C(s) и G0(s)C(s) имеют одно
и то же число неустойчивых полюсов. Это означает, что реальный
контур будет устойчив тогда и только тогда, когда диаграмма Най-
квиста для G(ju)C(juj) охватывает точку (—1,0) то же число раз (и
в том же направлении), что и диаграмма Найквиста для G0{ju)C(ju).
Мы такснсе имеем, что
G(s)C(s) = G0(s)C(s) + Ge(s)C(s) (5:9.7)
га. е. изменение в передаточной функции разомкнутого контура равно
Ge(s)C(s), где Ge(j и) — частотная характеристика аддитивной
ошибки моделирования (АОМ).
Рассмотрим теперь рис. 5.9.
Из этого рисунка видно, что то же самое число охватов будет, если
\Ge(ju>)C(ju)\ < \l + G0(ju>)C(ju>)\ Vo; (5.9.8)
Напомним, что Ge(s) = G0(s)G&(s), и мы видим, что (5.9.8)
эквивалентно выражению
\GA(ju)G0(ju)C(ju>)\
\1+с0(мс(зш)\ <х (5'y-yj
Это эквивалентно (5.9.6) при использовании определения
номинальной дополнительной чувствительности. □□□
Замечание 5.2. Теорема 5.3 дает только достаточное условие робаст-
ной устойчивости. Это иллюстрируется примером 5.10.
Замечание 5.3. Теорема 5.3 такснсе справедлива и для дискретных и
импульсных систем при условии, что используется соответствующая
частотная характеристика (в зависимости от того, используются ли
операторы сдвига или дельта-операторы).
Замечание 5.4. Можно расширить теорему 5.3 такснсе и на
случай, когда Сд($) неустойчива. Все, что требуется, это сохранить
соответствующее число охватов, чтобы обеспечить устойчивость
истинной системы.
Замечание 5.5. При рассмотрении робастной устойчивости обычно
\Ga(ju)\ заменяется какой-нибудь верхней границей, скажем, е(и).
Достаточное условие тогда заменяется на \T0(ju))e(u)\ < 1, \/ш. DDD
Пример 5.10. Для замкнутого контура управления передаточная
функция в разомкнутом состоянии равна
Go(S)C(S)=^Tl)2 (5-9Л0)

5.9. Робастность 171
а передаточная функция истинного объекта
G(s) = e-STG0(s) (5.9.11)
5.10.1. Найти точное значение г, при котором замкнутая система
окажется на грани устойчивости.
5.10.2. Используя теорему 5.3 о робастной устойчивости, получить
оценку для этого критического значения т.
5.10.3. Обсудить, почему результат в пункте 5.10.2 отличается от
результата в пункте 5.10.1.
Решение
5.10.1. Элемент запаздывания дает изменение фазы, равное —шт, но
не влияет на модуль частотной характеристики. Таким образом,
условие критической устойчивости возникает, когда этот сдвиг
равен запасу устойчивости по фазе М/, т. е. когда постоянная
запаздывания равна
т = & (5.9.12)
где величина шр определена на рис. 5.7 и такова, что \G0(jwp)\ = 1.
Это дает шр = 0.424 рад/с и Mj = 0.77 рад. Следовательно,
критическое значение постоянной запаздывания равно г = 1.816 с.
5.10.2. Номинальная дополнительная чувствительность равна
G0(s)C(s) 0.5
Io[S)~ l + G0(s)C(s)~ Ss + 2si + s + 0.5 [™Л6)
и мультипликативная ошибка моделирования равна
GA(s) = е~°Т - 1 =► \GA(ju)\ = 2 jsin (^) | (5.9.14)
Теорема о робастной устойчивости утверждает, что
достаточным условием робастной устойчивости является
\T0{j^)G^{j(jS)\ < 1, \/ш. Были исследованы несколько значений г.
Некоторые из этих результатов показаны на рис. 5.10.
Рисунок 5.10 показывает, что \T0{ju)G^{ju)\ < 1, \fu для г < 1.5.
5.10.3. Можно видеть, что меньшее значение постоянной
запаздывания получается при использовании теоремы о робастной
устойчивости. Получается это потому, что теорема устанавливает
достаточное условие для робастной устойчивости, т. е. это наихудшее
требование. □□□

172 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
Частота [рад/с]
Рис. 5.10. Амплитуда частотной характеристики T0(s)G&(s) для различных
значений г
Дальнейшее понимание проблем робастности может быть получено
путем сравнения функций номинальной и реальной чувствительности.
В частности, мы имеем следующее.
Лемма 5.2. Рассмотрим номинальные чувствительности S0(s) и
T0(s), а также объект с MOM G&(s). Тогда функции реальной
чувствительности S иТ определяются следующим образом:
S{s) = S0(s)SA{s) (5.9.15)
T(s) = T0(s)(l + GA(s))SA(s) (5.9.16)
Si{s) = Si0{s){l + GA{s))SA{s) (5.9.17)
Su(s) = SU0(s)SA(s) (5.9.18)
1+T0(s)Ga(s)
SA(s) называется чувствительностью ошибки.
Доказательство
Осуществляется непосредственной подстановкой. □□□
Мы видим, что характеристики реального контура отличаются от
характеристик номинального контура из-за ошибок моделирования. Это
часто называется проблемой робастности характеристик. Из
уравнений (5.9.15)—(5.9.19) можно видеть, что номинальные характеристики
не будут слишком сильно отличаться от- реальных характеристик, если
Sa(Jv) близка к 1 + jO для всех частот. Из уравнения (5.9.19) видно,

5.10. Резюме 173
что это будет в том случае, если частотная характеристика |T0(jo;)|
уменьшается до того, как MOM \G&(jw)\ станет существенной; тогда
это гарантирует \T0(j<jj)G&(ju))\ <§C 1.
Мы замечаем, что робастность устойчивости — менее строгое
требование, чем робастность характеристик. Для первого требуется, чтобы
выполнялось условие \TQ{ju))G&{ju))\ < 1, в то время как для второго
требуется \T0(ju)Ga{Ju)\ < 1.
Как мы увидим позже, робастная устойчивость и робастность
характеристик вносят дополнительный компромисс в процесс
проектирования.
5.9.3. Линейное управление нелинейными объектами
Анализ робастности, приведенный выше, имел дело только с
линейными ошибками моделирования. Конечно, на практике объект обычно
нелинейный, и, следовательно, ошибки моделирования нужно было бы
описывать нелинейными операторами. Как следовало бы ожидать (и
это можно показать), небольшие нелинейные искажения соответственно
слабо влияют на характеристики замкнутой системы. Можно также
количественно определить величину нелинейной ошибки
моделирования, совместимой с сохранением устойчивости замкнутой системы. Эти
проблемы будут рассмотрены в гл. 19, когда мы займемся детальным
изучением нелинейного управления. Более продвинутый читатель может
уже сейчас предварительно посмотреть разд. 19.2.
5.10. Резюме
• Эта глава содержит основные принципы анализа SISO-систем
управления с обратной связью.
• Обратная связь представляет собой циклическое взаимодействие
регулятора и системы:
о регулятор воздействует на выходы системы и
о выходы системы действуют на регулятор.
• Что бы там ни было, эта ситуация оказывает необыкновенно сложное
влияние на сформированный замкнутый контур.
• Хорошо спроектированная обратная связь может
о делать неустойчивую систему устойчивой;
о увеличить скорость реакции;
о уменьшить влияние возмущений;
о уменьшить эффект неточности параметров системы и т. д.

174 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
• Плохо спроектированная обратная связь может
о внести неустойчивость в предварительно устойчивую систему;
о добавить колебания в предварительно гладкую реакцию;
О: вызвать высокую чувствительность к шуму измерения;
о повысить чувствительность к структурным ошибкам
моделирования и т. д.
• Конкретные характеристики поведения динамической системы
включают:
о во временной области: устойчивость, время нарастания,
перерегулирование, время регулирования, установившиеся ошибки и др.;
о в частотной области: полоса пропускания, граничные частоты,
запасы устойчивости по амплитуде и фазе и др.
• Некоторые из этих свойств имеют строгие определения; другие —
качественные.
• Любая характеристика или анализ могут далее быть
сформулированы как с термином «номинальная», так и «робастная»:
о «номинальная» означает временное идеализированное
предположение, что модель является совершенной;
о «робастная» указывает на явное исследование эффекта ошибок
моделирования.
• Влияние регулятора C(s) = ^Ш на номинальную модель GQ{s) =
A°)sl в контуре обратной связи показано на рис. 5.1 и описывается
уравнениями
Y = TTkc{R - Dm) + u^cD°+Т^ксDi
В0Р ,„,... A0L _ , B0L
(Я" Dm) + л г Г р РА> + , г ■ о „А
A0L + B0P" ™' A0L + B0P ° A0L + B0P
U= 1 + G c(R-Do-GoDi-Dm)
А°оР ,„ „ „ ч В0Р
(R-D0-Dm)- л ° Di
A0L + B0P" ° "*' A0L + B0P
• Интерпретация, определения и замечания:
о Реакция номинальной системы определяется четырьмя
передаточными функциями.
о В связи с особой важностью они имеют специальные названия и
обозначения:
So := 1—7Г7> = р п> функция номинальной чувстви-
1 + G0C AoL + B0P тельности.

5.10. Резюме 175
G С В Р
To'-=z—7Г7? = л г ° п г>> номинальная дополнительная чув-
1 + G0C A0L + B0P'
G0 B0L
ствительность;
Sio := -— = — 55-7:, номинальная входная чувствитель-
1 + G0C A0L + B0P ность;
с С AQP
Ьио := -— = ——: 5~Б> номинальная чувствительность по
1 + G0C A,L + 50P уПравЛению.
Все вместе они называются поминальными чувствительностями.
о Все четыре функции чувствительности имеют те же полюсы, что
и корни полинома AQL + В0Р.
о Полином A0L + B0P также называется номинальным
характеристическим полиномом.
о Повторим, что устойчивость передаточной функции определяется
только корнями характеристического полинома.
о Следовательно, номинальный контур устойчив тогда и только
тогда, когда вещественные части всех корней характеристического
полинома A0L +.B0P строго отрицательны. Эти корни сложным
образом связаны с полюсами и нулями регулятора и объекта.
о Свойства четырех функций чувствительности, а следовательно, и
свойства номинального замкнутого контура, зависят от сочетания
полюсов характеристического полинома (общий знаменатель) и
нулей A0L,B0PyB0L и А0Р соответственно.
Линейные ошибки моделирования обладают следующими
свойствами.
о Если тот же самый регулятор воздействует на линейную систему
G(s), которая отличается от модели следующим образом: G(s) =
G0(s)Ga{s), to получающийся контур остается устойчивым при
условии, что \T0(jJ)\\Gb(ju))\ < 1, \fu.
о Это условие также известно как теорема о малых приращениях.
о Очевидно, что это выражение не так легко проверить, потому что
мультипликативная ошибка моделирования Сд обычно
неизвестна. Чаще всего вместо G&(ju>) используются ее оценки.
о Тем не менее, это дает ценные представления. Например, мы
видим, что полоса пропускания замкнутого контура должна быть
так настроена, чтобы быть меньше, чем частоты, где ожидаются
существенные ошибки моделирования.
Нелинейные ошибки моделирования приводят к следующему.
Если тот же самый регулятор воздействует на систему Gnj(o),
которая отличается от модели не только линейными искажениями, но
и нелинейностями (поскольку реальные системы всегда до некоторой
степени таковы), тогда строгий анализ обычно становится очень

176 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
сложным, однако может быть получено качественное понимание
функционирования системы путем анализа влияния ошибок
моделирования.
5.11. Литература для последующего чтения
Корневой годограф
1. Evans, W. (1950). Control systems synthesis by root locus methods. Trans.
AIEE, 69:66-69.
Критерий Найквиста
1. Brockett, R. and Willems, J.С. (1965а). Frequency domain stability criteria-
Part I. IEEE Transactions on Automatic Control, 10(7):255-261.
2. Brockett, R. and Willems, J.C. (1965b). Frequency domain stability criteria-
Part II. IEEE Transactions on Automatic Control, 10(10):407-413.
3. Nyquist, H. (1932). Regeneration theory. Bell Sys. Tech J., 11:126-147.
Полюсы и нули
1. Maddock, R. (1982). Poles and zeros in Electrical and Control Engineering.
Holt Rinehart and Winston.
5.12. Задачи для читателя
Задача 5.1. Рассмотрим замкнутый контур управления с номинальной
моделью GQ(s) = > _^2. Предположим, что регулятор C(s) такой, что
дополнительная чувствительность
W=(Sy (5121)
5.1.1. Покажите, что контур управления внутренне устойчив.
5.1.2. Определите передаточную функцию регулятора C(s).
5.1.3. Если эталонным сигналом является единичная ступенька,
определите входной сигнал объекта.
Задача 5.2. Рассмотрим тот же контур управления, что и в задаче 5.1.
Нужно определить максимальную текущую ошибку.

5.12. Задачи для читателя 177
Задача 5.3. Рассмотрим следующие возможные варианты
передаточной функции разомкнутой системы G0(s)C(s):
. (8 + 2) ^ е-0-8' , 1
а) ТГГТТ: б) 7Т7ТТ7 в)
(s + l)s (s + l)s ' s2 + 4
^ 4 s2 + 4 8
s(s2 + s + l) "' (s + 1)3 ' (s-l)(s + 2)(s-3)
5.3.1. Для каждого случая постройте диаграмму Найквиста и,
используя теорему Найквиста, определите устойчивость соответствующих
замкнутых контуров.
5.3.2. Для всех случаев, когда замкнутая система устойчива,
определите запасы устойчивости и максимальную чувствительность.
5.3.3. Повторите 5.3.1 и 5.3.2, используя диаграммы Боде.
Задача 5.4. В номинальном контуре управления чувствительность
равна
w-£i£-s . <"">
Предположим, что эталонный сигнал — единичная ступенька,
выходное возмущение — d0(t) = 0.5sin(0.2£).
Найдите выражение для выходного сигнала объекта в
установившемся режиме.
Задача 5.5. Рассмотрим контур управления, где C(s) = К.
5.5.1. Постройте корневые годографы, описывающие поведение
полюсов замкнутого контура при изменении К от 0 до оо для следующих
номинальных объектов:
ч 1 а 1 , 1
(e + l)(e-2) ' (s + 1)4 ' s2(s + 2)
(-s + lX-s + 4) s2 + 2s + 4 1
8(8+ 2)(8 +10) ' (s + l)(s + 6)(s + 8) ' S2-4s + 8
5.5.2. Для каждого случая найдите диапазон значений К, если он
существует, при которых номинальный контур устойчив.
Задача 5.6. В номинальном контуре управления
аМт(.+Ч-1) " cw-e£T! (5123)
Используя метод корневого годографа, определите изменение
полюсов замкнутой системы для а € [0,оо).

178 Глава 5. Анализ замкнутых SISO-систем управления
Задача 5.7. Рассмотрим систему, имеющую следующие эталонную и
номинальную модели
G(s) = F(S)-i- и Go(s) = F(s)-?- (5.12.4)
5 — 1 5 — 1
где F(s) — собственная (см. разд. 4.5.2), устойчивая и
минимально-фазовая передаточная функция. Докажите следующее:
5.7.1. <3д(2) = -1.
5.7.2. S&(s) = -— неустойчива, имеет полюс при 5 = 2,
1+Т0(5)&д(5)
где Т0(s) —дополнительная чувствительность внутренне устойчивого
контура управления.
5.7.3. Реальная чувствительность S(s) = S&(s)S0(s) может быть
устойчивой даже тогда, когда Sa(s) неустойчива.
Задача 5.8. Рассмотрим контур управления с обратной связью, у
которого номинальная дополнительная чувствительность — Т0(s).
Предположим, что в истинном контуре управления с обратной связью система
измерения неидеальна и измеренный выходной сигнал Ym(s) можно
представить в виде
Ym(s) = Y(s) + Gm(s)Y(s) (5.12.5)
где Gm(s) —устойчивая передаточная функция.
5.8.1. Получите выражение для истинной дополнительной
чувствительности T(s) как функции от T0(s) и Gm(s).
5.8.2. Найдите Gm(s) для частного случая, когда измерение идеально,
но имеется чистое запаздывание т > 0.
5.8.3. Проанализируйте связь между этими типами ошибок и этими же
типами, возникающими из-за ошибок моделирования объектов.
Задача 5.9. Рассмотрим объект со входом u(i), выходом y(t) и
передаточной функцией
G(s) = 9 Л6 77 (5.12.6)
v ' 52+ 4.85+ 16 v '
5.9.1. Получите выходной сигнал объекта для u(t) = 0, Vi > 0, у(0) = 1
и 2/(0) = 0.
5.9.2. Тот же объект с теми же начальными условиями помещен в
контур управления с r(t) = 0, V£ > 0. Получите выходной сигнал

5.12. Задачи для читателя 179
объекта, если регулятор выбран таким образом, что дополнительная
чувствительность равна
а2
T(s) = 9 , 0 т> (5.12.7)
v ' s2 + 1.3as + a2 v '
Исследуйте различные значения a G R+, в частности, а <§С 1 и
а > 1.
5.9.3. По результатам, полученным выше, обсудите влияние обратной
связи на улучшение поведения системы в зависимости от начальных
условий.
Задача 5.10. Рассмотрим замкнутую систему управления, имеющую
^(5) = (s-f i)(s+2) > с эталонньш сигналом r(t) = /i(t), входным
возмущением di(t) = Asin(t + a) и регулятором, имеющим передаточную функцию
C(a) = 600(s+1»(; + ?'S' + ^+5) (5.12.8)
V ' s(s2 + l)(s + 100) V '
5.10.1. Покажите, что номинальный контур обратной связи устойчив.
5.10.2. Объясните, используя принцип инверсии и функции
чувствительности, почему регулятор, определяемый выражением (5.12.8)
имеет повышенную чувствительность.
5.10.3. Предположим, что передаточная функция истинного объекта
отличается от номинальной модели мультипликативной ошибкой,
которая удовлетворяет следующему ограничению:
|СдЫ1<-7=1ТЖ (5Л2'9)
V шг + 400
Проанализируйте контур с точки зрения робастной устойчивости
и робастных характеристик.
Задача 5.11. Рассмотрим замкнутую систему управления, в которой
регулятор выбран таким образом, чтобы получить дополнительную
чувствительность T0(s). Выбранный регулятор имеет передаточную
функцию C0(s), однако реальный регулятор имеет передаточную функцию
Ci{s)^C0{s). Если
(5.12.10)
где F(s) — рациональная функция с F(0) Ф 0 и а > 0, исследуйте
устойчивость реального контура управления.

Глава б
Классическое
ПИД-управление
6.1. Введение
В этой главе мы рассмотрим конкретную структуру управления,
которая стала почти универсальной в промышленных системах. Она
основана на специфическом семействе регуляторов с фиксированной
структурой, так называемом семействе ПИД-регуляторов. Аббревиатура
«ПИД» означает Пропорциональное, Интегральное и
Дифференциальное управление. Можно доказать, что они будут робастными для многих
важных приложений.
Простота таких регуляторов — одновременно и их слабость: это
ограничивает диапазон объектов, которыми они могут удовлетворительно
управлять. Действительно, существует много неустойчивых объектов,
которые не могут быть стабилизированы никаким ПИД-регулятором.
Тем не менее, удивительная многосторонность ПИД-управления (на
самом деле ПИД-управление означает использование регулятора вплоть
до второго порядка) обеспечивает в течение длительного времени
значимость и популярность данного регулятора. Эти настройки второго
порядка следует также рассматривать как один из случаев
использования современных методов проектирования, о чем сказано, например,
в гл. 7 и 15. Данная глава охватывает классические подходы к
проектированию ПИД-регуляторов; при этом отдадим должное историческому
и практическому значению методов и их длительному использованию в
промышленности.
6.2. ПИД-структура
Рассмотрим простую SISO-систему управления, показанную на рис. 6.1.
Обычно ПИ- и ПИД-регуляторы описываются своими
передаточными функциями, связывающими ошибку E(s) = R(s) — Y(s) и выход

6.2. ПИД-структура 181
регулятора 17(5) следующим образом:
CP(s) = Kp
(6.2.1)
(6.2.2)
(6.2.3)
(6.2.4)
где Тг и Та известны как время восстановления и время
дифференцирования соответственно.
Как видно из (6.2.1)-(6.2.4), члены этого семейства включают в
различных сочетаниях три режима управления или действия:
пропорциональный (Я), интегральный (И) и дифференциальный (Д).
Надо быть осторожным при использовании правил настройки ПИД-
регулятора, так как имеются различные варианты параметризации
(задания параметров). Уравнение (6.2.4) называют стандартной формой.
Альтернативная, последовательная форма, имеет следующий вид:
CSeries(s)=Ks(l + ^\(
Еще одна, пар