Author: Карафоли Е.
Tags: физика самолетостроение аэродинамика теория полёта издательство академия наук ссср
Year: 1956
Text
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Е. КАРАФОЛИ
АЭРОДИНАМИКА
КРЫЛА САМОЛЕТА
НЕСЖИМАЕМАЯ
ЖИДКОСТЬ
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР
Москва 1956
ПРЕДИСЛОВИЕ
Быстрое развитие авиации за последние годы является результатом
главным образом аэродинамических исследований, как теоретических,
так и экспериментальных.
Аэродинамика как наука по полноте и разнообразию поставленных
задач и особенно по характеру ее применения выделилась из классической
гидродинамики и стремится стать самостоятельной наукой. В этих усло-
условиях аэродинамика за последние десятилетия настолько развилась, что
ныне главные задачи одной из обширных ее областей можно считать уже
разрешенными.
С самого начала нужно уточнить, что аэродинамические исследования
проводятся различными путями, в зависимости от того, идет ли речь о
скоростях, малых по сравнению со скоростью звука, близких к скорости
звука или больших скорости звука. Для этого широкого диапазона ско-
скоростей необходимы различные методы исследования, так как в первом
случае речь идет о несжимаемых жидкостях, а в двух остальных случаях
(при дозвуковых и сверхзвуковых скоростях) учитываются соображения,
связанные с теорией сжимаемых жидкостей.
В настоящей работе мы охватим только одну сторону задачи — обыч-
обычные скорости; надеемся, что в дальнейшем нам удастся разработать проб-
проблемы 1в области больших скоростей (дозвуковых и сверхзвуковых).
Следовательно, в наших теоретических основах мы исходим из ме-
механики несжимаемых жидкостей, поэтому в работе дается краткое изло-
изложение основных результатов классической гидродинамики.
При трактовании поставленной задачи мы основывались на теории
Жуковского, о которой в предисловии к нашей предыдущей работе, на-
написанной совместно с проф. Альбертом Туссэном — «Теория и построение
профилей несущих крыльев», опубликованной в 1928 г., мы писали:
«...Остальные попытки, сделанные до настоящего времени для объясне-
объяснения аэродинамической результирующей на несущих крыльях, не согла-
согласуются с общими принципами гидродинамики. Теория Жуковского дает
единственно приемлемое аэродинамическое решение, которое можно в то
же время распространить на крыло конечного размаха, что и было сде-
сделано с помощью теории Прандтля». Дальнейшее развитие этих теорий
плеядой выдающихся ученых прочно установило рамки современной
аэродинамики.
3
В этих рамках мы изложили несколько разделов нашей работы, на-
начиная с теории крыла бесконечного размаха, где мы разработали во всей
полноте и всесторонне задачу об аэродинамических профилях, применя-
применяемых непосредственно в воздухоплавании.
Одновременно мы особо развили теорию крыла конечного размаха,
разрешив ряд задач, связанных с обычными применениями воздухопла-
воздухоплавания, что можно было осуществить, используя методы, давшие плодо-
плодотворные практические результаты.
Имея в виду все более увеличивающийся интерес к полету при пере-
переменном режиме, мы стремились дать некоторые результаты исследований
нестационарного движения крыла самолета.
Наконец, для того чтобы учесть развитие лабораторных аэродинами-
аэродинамических исследований, благодаря которым мы сегодня являемся свидете-
свидетелями невиданного прогресса в авиации, в последней главе нами рассмат-
рассматривается влияние ограничения экспериментальной струи посредством
жестких стенок или свободных поверхностей на результаты аэродинами-
аэродинамических испытаний крыльев.
Таким образом, мы считаем, что исследуемая проблема нами изло-
изложена с охватом существенных вопросов главных разделов аэродинамики
Не -нарушая научной строгости, мы пытались дать для каждой задачи-
соответствующее решение, имея в виду цели их практического применения;
долагаем, что в значительной мере нам удалось этого достигнуть.
Для: привлечения к научно-исследовательским работам все большего
круга молодых деятелей науки, как работающих в области прикладной
математики, так и iex, которые будут продолжать исследование получен-
полученных результатов и их применения, мы стремились углубить анализ аэро-
аэродинамических явлений со всесторонних точек зрения, применяя в каж-
каждом данном случае соответствующие методы исследования. Выражаем
надежду, что мы конкретно способствовали развитию научных исследо-
исследований бесспорного теоретического и практического значения.
В заключение автор считает своим долгом выразить благодарность
сотрудникам Т. Оровяну, Ш. Сэвулеску и особенно Б. Хоровиц за помощь,
оказанную ими при редактировании настоящей работы.
Е. Карафоли
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Вниманию читателя предлагается перевод книги профессора Е. Кара-
фоли — члена Румынской академии наук — признанного специалиста
в области аэродинамики; ему принадлежит большое количество работ,
главным образом по различным вопросам теории крыла.
Книга проф. Карафоли посвящена изучению аэродинамики крыла
самолета, движущегося со сравнительно малыми скоростями, когда
поток, обтекающий крыло, можно рассматривать как несжимаемый.
Книга является частью обширного труда по теории крыла, в котором
систематически освещаются основные вопросы этой теории. Во второй
части труда проф. Карафоли исследуются различные проблемы аэроди-
аэродинамики больших дозвуковых и сверхзвуковых скоростей, имеющих
в настоящее время особо важное значение в связи с переходом современ-
современных летательных аппаратов на скорости, превышающие скорость звука.
Вторую часть труда проф. Карафоли также предполагается издать.
Аэродинамика крыла в несжимаемой жидкости, являющаяся содержа-
содержанием настоящей книги, нашла в ней полное и широкое освещение.
Отдельные разделы теории крыла в плоскопараллельном потоке и теории
крыла конечного размаха (теория моноплана бесконечного и конечного
размаха, теория биплана бесконечного и конечного размаха, вопросы неус-
неустановившегося движения, определение влияния границ потока на аэро-
аэродинамические характеристики несущих систем) изложены весьма под-
подробно, с привлечением конкретных практических приложений и сравне-
сравнением теоретических результатов с данными эксперимента.
Многие вопросы теории крыла в несжимаемой жидкости получили
развитие благодаря работам проф. Карафоли. В книге нашли отра-
отражение оригинальные вклады автора при решении различных важных
задач, из которых особо могут быть отмечены следующие: построение
профилей различных типов по заданным аэродинамическим характеристи-
характеристикам и обратное определение характеристик заданных профилей; вопрос
о влиянии деформации профилей; изучение аэродинамических свойств
крыльев конечного размаха прямоугольной и трапецоидальной форм
в плане; влияние отклонений элеронов на величину аэродинамических
сил и моментов, действующих на крыло; влияние плоского кругового
поворота крыла на его аэродинамические свойства; определение характе-
ристик стреловидного крыла и крыла, движущегося при наличии ооко-
вого сноса (скольжения); изучение сил и моментов, действующих на
профиль крыла при его неустановившемся движении; исследование
взаимного влияния крыла и фюзеляжа самолета; изучение аэродинами-
аэродинамических характеристик крыла, помещенного в поток, имеющий форму
круглой цилиндрической струи.
Главным методом, используемым при определении аэродинамических
характеристик крыла, обтекаемого несжимаемым потоком, является при-
привлечение основных результатов гидродинамической теории вихрей и спо-
способа конформных отображений, разработанного теорией функций комплекс-
комплексного переменного. Однако приложение этого метода к конкретным задачам
часто приводит к неудобным для практического применения формулам
и громоздким, трудоемким вычислениям. Должно быть особо отмечено
стремление автора при изложении такого рода вопросов получить конеч-
конечные результаты в простой, удобной для применения форме, его умение
достигнуть этой цели путем выбора подходящей схемы исследования
и соответствующих упрощающих предположений.
Можно пожалеть, что в книге отсутствует теория аэродинамического
винта (пропеллера), особенно в связи с построением в современной
практике летательных аппаратов типа вертолета и их модификаций.
Различные актуальные вопросы, возникающие при изучении аппа-
аппаратов, должны в основном рассматриваться путем применения мето-
методов аэродинамики малых скоростей и исследования работы крыла
и винта в несжимаемом потоке.
Жаль также, что в книге не нашло своего отражения такое совершен-
совершенное и законченное по результатам и форме исследование, как работа
Н. Е. Кочина по теории крыла круговой формы в плане. Для существен-
существенного пополнения тех сведений, которые даются автором настоящей книги
в главе, посвященной теории несущих поверхностей, читатель должен
обратиться к оригинальным статьям Н. Е. Кочина.
Автором книги дана в конце каждой главы обширная библиография,
которая позволит читателю ориентироваться в современной литературе
по тому или иному разделу и при желании изучить его более глубоко.
С полным основанием можно выразить уверенность в том, что книга
проф. Карафоли на русском языке явится ценным вкладом в литературу
по аэродинамике.
Л. Смирнов
Глава I
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ПРИНЦИПОВ И ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
КЛАССИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
Прежде чем приступить к теории несущих крыльев, изложим
вкратце основные результаты классической гидродинамики и установим
некоторые общеизвестные формулы, имеющие непосредственное приме-
применение при изучении проблем аэродинамики.
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
1.1. Вступление
Механика жидкостей — наука, изучающая равновесие
и движение жидкостей, а также их действие на ограничивающие их стенки
и на погруженные в них тела.
Под жидкостью понимают не только собственно жидкости,
но и газы. Несмотря на различие физических характеристик жидких тел
и газа, общие условия движения в обоих случаях одинаковы, с тем, однако,
ограничением, что в случае газов следует учитывать их сжимаемость,
если скорости потока или скорости тел, погруженных в газ, превосходят
некоторую предельную величину.
Часто механику жидкостей обозначают различными назва-
названиями, которые выделяют из нее более ограниченную область изучения.
Например, гидродинамика изучает несжимаемые жидкости; гидравлика
ограничена изучением воды и инженерных приложений, связанных
с этой областью; аэродинамика соответственно изучает воздух и его дей-
действие на движущиеся в нем тела.
Жидкие тела не оказывают сопротивления деформации и при-
принимают форму сосуда, в котором они находятся. Практически они н е-
сжимаемы, в них отсутствует сцепление, и внутри них существуют
только напряжения сжатия.
Газы характеризуются полным отсутствием сцепления, со-
совершенной сжимаемостью и всегда заполняют сосуд, в котором
они находятся. При достаточно малых скоростях сжимаемостью газов
7
можно, однако, пренеорегать; в таких случаях движущийся газ ведет
себя как жидкое тело.
1.1.1. Общая характеристика жидкостей (т. е. тел, находящихся в
жидком или газообразном состоянии). Жидкие тела и газы обладают
следующими общими свойствами, относящимися к их влиянию на дви-
движение.
1) внутренние напряжения являются напряжениями сжатия;
2) напряжения на поверхности раздела внутри жидкости направлены
по нормалям к поверхности, если
жидкость в покое, и их направ-
направления близки к нормальным, если
жидкость находится в движении.
В последнем случае следует учи-
учитывать сопротивление скольже-
скольжению, обусловленное вязкостью.
Вследствие этих свойств взаи-
взаимодействие между двумя частя-
частями — Mi иМ2 — некоторой массы М (фиг. 1.1), разделенными поверхно-
поверхностью з, является силой сжатия. Таким образом, мы можем мысленна
отделить массу Мх от массы М%, если заменим действие первой посредст-
посредством системы давлений /?, достаточно близких к нормальным по отноше-
отношению к поверхности а и направленных внутрь массы М2-
Если давления совершенно нормальны, т. е. если тангенциальная
составляющая (касательное напряжение) на поверхности раздел** равна
нулю, то жидкость называется идеальной. В реальных же жид-
жидкостях имеет место внутреннее трение, обусловленное вязкостью, и напря-
напряжения на поверхности з имеют тангенциальные составляющие, которыми,
вообще говоря, нельзя пренебрегать.
В дальнейшем мы будем рассматривать идеальные и несжимаемые-
жидкости, а также относящиеся к ним реальные явления, объясняемые
законами движения этих жидкостей.
1.1.2. Плотность. Плотность, или удельная масса, есть масса, содер-
содержащаяся в единице объема. Масса изменяется непрерывно, и это свойство
приводит нас к принципу непрерывности массы. Однако
в специальных случаях в определенных точках жидкости возникают
разрывы непрерывности, порождающие кавитации.
Плотность обычно обозначают через р.
Понятием, связанным с плотностью, является удельный вес,
который мы будем обозначать через у. Удельный вес есть вес единицы
объема; он связан с плотностью соотношением
где g — ускорение силы тяжести.
8
В случае жидкостей плотность и удельный вес практически постоянны,
в случае же газов давление может существенно влиять на эти величины,
и, если это имеет место, то учитывать их изменение следует в зависимости
от давления.
1.1.3. Единицы измерения. В механике жидкостей общеупотребитель-
общеупотребительны следующие единицы:
м — метр, для измерения длин;
кг — килограмм, для измерения силы;
сек.— секунда, для измерения времени.
Мы будем выражать плотность и удельный вес в этой системе единиц.
Например, для воды при 4° С и для воздуха при 15° С и атмосферном дав-
давлении мы получим соответственно
\ л ааа / ч 1000 л АО кг • сек2
а) для воды ^ = 1000 кг / м3; р = g-gj- ж 102 —^— ;
г*\ \ с\с\с\ I q ± jtjAij л * f\ г- кг • сек
б) для воздуха -у = 1,229 кг/м3; р = ™- ж 0,125—^г~ .
1.1.4. Вязкость. Взаимодействие между слоями жидкости, скользя-
скользящими относительно друг друга, приводит к появлению тангенциальной
силы, называемой силой трения. Это свойство реальных жид-
жидкостей называется вязкостью.
Все реальные жидкости более или менее вязки. В природе не суще-
существует жидкости, лишенной вязкости, и потому такую жидкость, как
об этом было уже сказано выше, называют идеальной.
1.1.5. Состояние движения. Жидкость находится в состоянии движе-
движения, если любая ее частица в каждый данный момент обладает неко-
некоторой скоростью. Чтобы определить движение, надо выделить определен-
определенные частицы и проследить их перемещение вдоль их траекторий (метод
Лагранжа). Часто, однако, удобнее определять движение путем измере-
измерения скорости частиц, проходящих в каждый данный момент через опре-
определенную точку (метод Эйлера). В дальнейшем мы будем пользоваться
последним методом, за исключением особо оговоренных случаев.
1.2. Общие уравнения
Обозначим через ~v скорость частицы жидкости, через р и р —соответ-
—соответственно давление и плотность и через J— внешнюю силу, отнесенную к
единице массы (фиг. 1.2).
Далее рассмотрим объем т, ограниченный поверхностью а; объем этот
находится в динамическом равновесии под действием следующих сил:
а) результирующей сил инерции
б) результирующей внешних сил
A.2)
9
в) результирующей давлений, которая может быть выражена на ос-
основании теоремы Гаусса как
\ рп da = — \ grad/> dx, A.3)
о т
где п — единичный вектор, нормальный к
элементу da поверхности и направленный
внутрь выделенного объема жидкости.
В случае равновесия имеет место равен-
равенство
— d —
Фиг. 1.2 т т
откуда мы получаем уравнение движения:
С1-4)
dV т 1
- = f--
A.5)
Взяв проекции каждого вектора на координатные оси Ox, Oy9 Oz,
получим соответственно три уравнения:
du __ , JL_ dp
dt~'x p ' дх '
dv __ , J_ dp
dt~~~ 'v p " dy'
dw __ , JL_ dp
df ~~ 'г ~ T ' ~d~z '
A.6)
где и, v, w — компоненты скорости по координатным осям, а /ж, / , Д —
компоненты внешней силы.
Принимая во внимание, что изменение массы в единицу времени
равно потоку массы, пересекающему поверхность а, мы можем, восполь-
воспользовавшись известным в векторном исчислении соотношением, получить
равенство
?£dz = J pV-ndo = — Jdiv
A.7)
откуда следует уравнение неразрывности
|f + div (PF) = 0,
или в декартовых координатах
^р д(ри) д(ру)
dt дх ду
A.8)
A.9)
10
A.10)
Если плотность постоянна, это выражение упрощается:
,. -г; du , dv , dw г,
дх ду dz
Плотность жидких тел постоянна, так как мы можем пренебречь их
сжимаемостью. В случае газов, если скорость не превосходит некоторую
предельную величину, мы можем пренебречь их сжимаемостью и по-
полагать плотность постоянной, т. е.
р = const. A.11)
Если скорость становится большой, то давление существенно изменяет-
изменяется от точки к точке, и плотность тоже изменяется. При быстром движении
имеет место адиабатический закон изменения плотности
J-. = const,
A.12)
где х — отношение удельных теплоемкостей газа при постоянном давле-
давлении и постоянном объеме.
Это уравнение, так же как и A.11), называется характеристи-
характеристическим уравнением, или физическим уравнением.
1.2.1. Преобразование уравнений. Рассмотрим скорость в каждой
точке; она зависит от времени и от координат данной точки, поэтому
мы можем написать для компонент гг, г?, w вектора V следующие соот-
соотношения:
dx
A.13)
При перемещении по траектории скорость частицы меняется в зави-
зависимости как от времени, так и от положения, в которое она перейдет
по истечении элементарного времени dt; поэтому компоненты ускорения
могут быть записаны следующим образом:
ди
du du , du
dt dt ' дх
д fu2 + v2 + w2
А
ди
ду
du
dz
2
A.14)
dv
для компонент -г- и
dt
dw
■-тт выражения аналогичны.
Обозначив через £, /, к единичные векторы по осям Ox, Oy, Oz и
через О — ротор вектора V, можем написать известное соотношение
i
д
J
д
дхду
и
V
к
д
dz
w
с\ *. I/ и и и т fdw dv\ т(ди
dw\ , -г fdv ди
)+ k[dx~d~y)'
11
Далее, так как два последних члена во второй части равенства A.14'j
представляют собой проекцию на ось Ох векторного произведения ФхГ,
то мы легко можем получить векторное выражение для ускорения:
Qx7. A.16)
Вектор (Б, представляющий мгновенную угловую скорость частицы
в рассматриваемой точке (по Стоке у и Гельмгольцу) и равный половине
rot У (т. е. о) = у Q,), называют вихрем; для упрощения мы будем на-
называть, однако, этим же термином, за исключением специально огово-
оговоренных случаев, и сам вектор Q, = rotl^.
Предполагая далее, что внешние силы имеют силовую функцию
J= gradC/, A-17)
и полагая согласно соотношению A.12), что
*Е= * . JL9 A.17')
Р *—1 Р V }
можно вместо уравнения движения A.5) написать
^ + Q X V + grad (Р + у V2 - U) = 0. A-18)
В случае установившегося движения последнее уравнение
упрощается:
П xF + grad (p+y F2-t/) = 0. A.18')
1.2.2. Линия тока. Вихревая линия. Линия, касательная к которой
в любой точке параллельна скорости в этой точке, называется линией
тока. Дифференциальные уравнения линий тока выводятся непосредст-
непосредственно из этого определения:
d*==dM = dz^ AЛ9)
и v w ч
По аналогии вихревой линией называют линию, касательная к
которой во всех точках этой линии совпадает с направлениями соответ-
соответствующих вихрей. Обозначая проекции вектора вихря через X, ji, vr
можно переписать дифференциальные уравнения вихревых линий в виде
— = ^ = ~ A.20)
Пусть ас — некоторая площадка внутри жидкости; линии тока, про-
проходящие через точки этой площадки, образуют трубку тока или
струйку (фиг. 1.3, а). Аналогично вихревые линии, проходящие череа
точки площадки ati образуют вихревую трубку (фиг. 1.3,6).
1.2.3. Неустановившееся движение и установившееся движение.
Скорость в любой данной точке объема, занятого движущейся жидкостью.
12
может или изменяться со временем или быть постоянной; в первом слу-
случае движение называется неустановившимся, или неста-
нестационарным, во втором — установившимся, или ста-
стационарным.
1.2.4. Безвихревое движение. Потен-
Потенциал скоростей. Предположим, что в
каждой точке пространства, занятого
движущейся жидкостью, вихрь равен
нулю; такое движение жидкости назы-
называется безвихревым, и выражение
A.15) для вихря обращается в нуль.
Следовательно, имеют место равенства
dw dvл ди dw dv ди .. ^, ч
ty^Tz' dz=dx; dx^fy'^ '
dz
dx;
•откуда следуют равенства
=^, A-22)
где ср (х, у, z, t) — некоторая функция от
х, у, z и t, называемая потенциалом
скоростей. Пользуясь векторной симво-
символикой, мы можем также написать, что
V — gradcp.
Фиг. 1.3
A.22')
Применяя уравнение неразрывности, получаем в случае несжимаемой
жидкости
ди , dv dw d2<p d2q> , д2ср .
дх~^"ду k Ih ~ № ^ Ify* ^ дг? ~~ У ~
A.23)
откуда следует, что функция 9 есть гармоническая функция.
Рассмотрим далее замкнутую линию s, лежащую в области, занятой
жидкостью. Если при обходе этой линии в одном направлении, совершае-
совершаемом из любой ее начальной точки, функция ср принимает в начале и в конце
обхода (т. е. при возвращении в начальную точку) одно и то же значение,
то ср называется однозначной функцией. Если же эти зна-
значения отличаются друг от друга, то ср называется многознач-
многозначной функцией.
1.2.5. Граничные условия. Вблизи стенок, ограничивающих жидкость,
или у поверхности погруженных в нее неподвижных твердых тел жид-
жидкость течет тангенциально; при этом стенки или поверхность тела обра-
образуют сеть линий тока. Условия течения вблизи стенок или у поверхности
погруженного в жидкость тела называются граничными усло-
условиями.
Если тело движется в жидкости, скорость частицы, соприкасающейся
€ элементом поверхности тела, имеет нормальную компоненту (обозна-
13
чнм ее через VnI равную компоненте скорости vn самого элемента поверх-
поверхности по направлению той же нормали, т. е.
Vn = vn. A.24)
В случае движения с потенциалом скоростей это условие выражается
аналогичным соотношением
Если, как мы предположили вначале, тело неподвижно, то соотноше-
соотношение A.25) превращается в
1.2.6. Связность. Некоторая область, например, часть пространства,,
ограниченная сосудом, называется односвязной, если любая*
замкнутая кривая, проведенная внутри этой области, может быть стя-
стянута непрерывной деформацией в точку, причем не будет
при этом выходить за пределы области. Таким образом, если сосуд н#
содержит внутри препятствий, то область, ограниченная его стенками,
является односвязной; если же внутри сосуда находится, например,
колонна, простирающаяся от одной стенки до другой, то пространство,
заключенное внутри сосуда (ограниченное стенками снаружи и поверх-
поверхностью колонны изнутри), является двусвязной областью,
так как никакая замкнутая кривая, охватывающая колонну, не может
стягиваться в точку, не пересекая колонны. В случае, когда имеется не-
несколько таких колонн, пространство, заключенное внутри сосуда,,
будет многосвязным.
1.3. Уравнения, определяющие давление
Вернемся теперь к уравнению движения вида A.18) и помножим
каждый член этого уравнения скалярно на элементарное перемещение
dr, где г — радиус-вектор рассматриваемой точки по отношению к началу
координат. Тогда
( I "F= 0. A.26).=
+ If _
Предположим, что перемещение dr происходит вдоль линии тока или
вдоль вихревой линии и что движение — установившееся, т. е. —-=0.
Так как вектор (П xV) нормален и к скорости и к вихрю, то мы полу-
получим в этом случае формулу Бернулли
P + ^V2-U = C, A.27)
где С — постоянная для данной линии тока или для данной вихревой
линии. В этом виде формула имеет применение только в том случае,.
14
если линии тока приходят из области, в которой постоянная С одинаков
для всех линий.
На практике эту формулу часто применяют для безвихревых движений,
т. е. когда Q, = 0. В этом случае существует потенциал скоростей <р> и
так как второй член в уравнении A.26) обращается в нуль и, кроме того,
£)$) A.28)
то мы получаем формулу Лагранжа
d£ + P+^V2-U = C, A.29)
которая применяется к неустановившимся движениям и в которой вели-
величина С является функцией времени и могла бы быть присоединена к пер-
первому члену левой части этого равенства.
В зависимости от приложений формула Лагранжа представляется
в различных видах.
а) В случае жидких тел, принимая силовую функцию в виде
U = -gz A.30)
и полагая плотность постоянной, получим для неустановившегося движе-
движения
а для установившегося движения
£ + 1F2 + gz = const. A.32)
б) В случае газов можно пренебречь их собственным весом, и еслц
движение медленное, то плотность можно считать постоянной;
тогда предыдущие уравнения приобретают соответственно такой вид:
Р 1 1 т/. f
— +-s-F = const.
р ^
в) Наконец, в случае быстрого движения газов уравнения соот-
соответственно принимают вид
—■*• I ' '
1.4. Теоремы о циркуляции
Циркуляцией называют работу скорости вдоль замкнутой линии
(фиг. 1.4):
jJ.d7 = ^ udx + vdy + wdz. A.35)
S
15,
Еслп движение порождается потенциалом скорости, то получаем
выражение
==С p
ду
J? rfz = (cp) .
A.36)
(cp)s означает изменение функции ср при
обходе замкнутой линии s, т. е. раз-
разность значений принимаемых ср после
обхода и до обхода.
Отсюда явствует, что циркуляция
скорости равна нулю, если ср — одно-
однозначная функция.
1.4.1. Теорема Стокса. Циркуляция
вдоль замкнутой линии s равна потоку
вихрей, пересекающему поверхность с,
опирающуюся на кривую s (см. фиг.
1.4), т. е.
[ ^ -ndo, A.37)
где п—единичный вектор, нормальный к поверхности. Чтобы доказать
эту теорему, разобьем произвольную поверхность а на бесконечное мно-
множество треугольных поверхностей
da таким образом, чтобы стороны
треугольников были соответственно
параллельны трем ортогональным
плоскостям координатного трех-
трехгранника OXYZ(($)HrA.5). Пересече-
Пересечения плоскостей, проходящих через
каждую сторону и параллельных
плоскостям XOY, YOZ, ZOX, об-
образуют новый трехгранник Oxyz,
параллельный первому. Обозначая
через V скорость в точке О, рас-
рассмотрим средние скорости Vl9 V2,
К3 в точках 7, 2, 3 посредине Фиг. 1.5
каждой из сторон элементарного треугольника:
У
16
A.38)
Беря циркуляцию скорости вдоль сторон треугольника в одном, по-
положительном, направлении и заменяя в A.38) векторы Ft их проекциями
щг Vi, w\1 получим
dT = — u±dx -f vxdy — v2dy + w2dz — w3dz -f u3dx =
(dw dv\ dy dz , fdu dw \dzdx fdv du\ dx dy
= [dy ~~~ Jz) ~~~2 r~[dz~~~dx~) ~~2 Г [fa ~ ty) ~~2~~ ""
= U-ndcs, A.39)
где а, C, f — направляющие косинусы единичного вектора п. При сумми-
суммировании элементарных циркуляции влияние внутренних сторон треуголь-
треугольников взаимно уничтожается и остаются только внешние стороны,
образующие кривую s (см. фиг. 1.4). В результате получаем формулу
A.37), которая в декартовых координатах принимает вид
A.40)
1. 4. 2. Теорема Кельвина. Циркуляция вдоль замкнутой кривой не
зависит от времени, т. е.
Для доказательства этой теоремы умножим в уравнении движения
A.5) каждый член на элемент dr замкнутой кривой s; предполагая да-
далее, что внешние силы имеют потенциал U, как уже было принято
выше, напишем1:
d^d7=^(V-dP)-V^(d7) = ^{dr)-V-dV=gIad(U~P)dn A.41)
откуда ввиду однозначности функций U, Р и V2 получим интегрирова-
интегрированием искомое соотношение:
ft = \ grad (lf + ± F2- i>) d? = (и + y V2—P\ = 0. A.42)
S
Из теоремы Кельвина непосредственно вытекает несколько важных
следствий. Если в некоторый данный момент существует потенциал ско-
скоростей, т. е. если вихрь равен нулю во всех точках жидкости, то как цир-
циркуляция вокруг замкнутого контура, так и вихрь в любой момент времени
будут оставаться равными нулю. Поэтому движение будет управляться
1 Очевидно, что
^ G + d7) - ~ G) = L (rf7) = v +-d7- v= d^ A.41')
Следует отметить, что жидкость предполагается баротропной, т. е. что плотность
жидкости зависит только от давления, благодаря чему существует функция Р =
= \ч— » удовлетворяющая соотношению — grad р ч± grad P.
J Р Р
17
потенциалом скоростей. И далее, всякое движение, возникающее из состоя-
состояния покоя, также всегда будет управляться потенциалом скоростей1.
1.5. Теорема об импульсивном движении
Предположим, что тело, погруженное в жидкость, приводится в дви-
движение внезапно, за очень короткое время: At = t± — t0. Проинтегрируем
в пределах этого короткого интервала времени уравнение движения.
Так как внешняя сила конечна, то соответствующим членом можно
пренебречь.
и - *t
и
= — \ gradPdt = — grad P'. A.43)
Отсюда очевидно, что приращение V скорости обусловлено потенциалом
скоростей. Таким образом можно объяснить возникновение движения из
состояния покоя. В самом деле, в каждый интервал времени At допол-
дополнительная скорость, возникающая вследствие движения погруженного тела,
порождается потенциалом скоростей, и жидкость последовательно пере-
переходит из состояния покоя в состояние потенциального движения.
1.6. Кинетическая энергия
Рассмотрим движение, управляемое потенциалом ср (F = gradcp).
В случае несжимаемой жидкости A.10) можно написать
div (cpF) = ср div V + grad ср. V = F2- A.44)
Вычислим теперь кинетическую энергию жидкости, заключенной в
объеме т. Обозначив через а поверхность, ограничивающую жидкость
извне (стенки сосуда) или изнутри (поверхность погруженного тела),
получим
|^2|^ fy A.45)
Если движение порождается однозначным потенциалом, то
V-n = Vn = d£, A.46)
где Vn — компонента, нормальная к поверхности; она равна нулю, если
стенки резервуара неподвижны и неподвижны тела, погруженные в
жидкость. На основании этого соотношения мы можем в случае движу-
1 Все указанные следствия имеют место в случае баротропной жидкости и при на-
наличии потенциала внешних сил.
18
щихся тел, погруженных в жидкость, написать простое выражение для
кинетической энергии:
№°- с1-47)
Эта формула имеет интересную интерпретацию в случае движения,
порождаемого поступательным перемещением погруженного тела. В самом
деле, если Fo — скорость поступательного движения тела, мы можем
написать
и, следовательно,
%l\0d^do. A.49)
Очевидно, что в этом случае кинетическая энергия жидкости равна
энергии тела с массой
движущегося в пространстве со скоростью Fo. Поэтому величина, выра-
выражаемая интегралом A.50), называется присоединенной мас-
массой.
Кроме движения с однозначным потенциалом, порождаемого телом,
перемещающимся в жидкости, может существовать другое потенциальное
движение, при котором компонента скорости, нормальная к поверхности
тела, равна нулю. Этот потенциал может быть только многозначным,
так как однозначный потенциал, удовлетворяющий условию A.25), яв-
является единственным.
Пусть х — многозначный потенциал. На поверхности тела имеет место
условие
и интеграл A.47), взятый по поверхности а, будет равен нулю, несмотря
на то, что жидкость движется. Чтобы избежать этого парадокса, про-
проведем поверхность а' между телом и стенками сосуда таким образом,
чтобы в жидкости, заключенной между поверхностями а и а', потенциал
X был однозначен (фиг. 1.6)г.
В любой точке на поверхности а' потенциал % принимает два
различных значения, в зависимости от того, будем ли мы при-
1 Преобразование Остроградского — Гаусса A.45) возможно в том случае, когда
функция ф однозначна во всем объеме т, ограниченном поверхностъю ст.
19
блпжаться к этой точке с одной стороны поверхности (Р[) или с
другой (Р'2). Попрежнему мы можем пользоваться формулой A.47)
для кинетической энергии, однако при вычислении интеграла надо
его распространить не только по стенкам сосуда, но еще и по
обеим сторонам поверхности а', т. е. по ах и а2. И в этом случае интеграл
A.47) равен нулю на а. Остается
Но мы имеем
A.52')
Фиг. 1.6
дп дп дп '
& Пусть Г — период многозначного потен-
потенциала, т. е. значение % увеличивается на
= ^ — х2) всякий раз, как совершается
полный обход кривой s в одном направле-
направлении. Поэтому получаем следующее простое
выражение:
A.53)
из которого видно, что величина Е' отлична от нуля, так как
1.7. Теорема о количестве движения
Проинтегрируем уравнение движения A.5), перемножив предваритель-
предварительно обе части на р,
\ р IT dz = \ ^dz ~ \ grad р dz
A.54)
и обозначим через /, F и Р соответсхвенно количество движения, резуль-
результирующую внешних сил и результирующую давлений
=Л Fpd-c; F =
\ P = —
b=—[pndo. A.55)
о
Тогда
dt
A.56)
Чтобы вычислить производную количества движения, которая равна
результирующей сил инерции, рассмотрим для упрощения установив-
20
шееся движение несжимаемой жидкости. На основании уравнения нераз-
неразрывности можно написать
откуда
dJ tdV CU(Vu) , dlyv) . d(Vw)]y С ту /f7 ~ч л /л соч
х х а
Обозначая далее через dQ элементарный расход
dQ = (V-n)do, A.59)
получим в конечном счете формулу Эйлера
F + P. A.60)
В декартовых координатах, обозначая через a, |3, f направляющие
косинусы нормали и заменяя dQ на
dQ = (ил + if + щ) do, A.61)
получим выражение для производной количества движения по оси Ох
-Л = — p^udQ = — р J в(ва + г;р + гг;Т)йа = ^Л + i>* A.62)
о а
и два соответствующих выражения для проекций на оси Оу и Oz:
dJ
dQ F; P f
dQ = Fz + Pz. A.62')
1.7.1. Момент количества движения. Пусть г — расстояние элемен-
элементарного объема dt по отношению к началу координат, которое мы
обозначим через О. Так как элементарное количество движения
dJ=Vpd>z, A.63)
то нетрудно видеть, что элементарный момент количества движения
будет
Ш 7 A.64)
следовательно, полагая плотность попрежнему постоянной, получим
ад =i\7xd7=9^7 xfdx. A.65)
21
Момент сил инерции равен моменту внешних сил KF и моменту да-
давлений, испытываемых поверхностью а, который мы обозначим через КР.
Следовательно, мы можем написать
Чтобы вычислить выражение в первой части равенства, напишем
- dV j d(irXV) 7 dm 7 /А ~„ч
г X -^Р^= dt ;pdt= -jj-рЛ, A.67)
где через т для упрощения обозначен момент скорости относительно
начала координат
m=:7xV. A.68)
Используя уравнение неразрывности, можно написать г
dm дт ,дт ,дт д(ти) t d(mv) , d(mw) (Л ао\
По аналогии с предыдущим случаем получим
A.70)
откуда, полагая попрежнему (V «n)da = dQ, получим в итоге уравнение
момента количества движения:
dt
A.71)
Разложим моменты Кр и КР по трем осям:
KF =lLF + JMF + kNF
A.72)
KP = iLP + /Mp + kNP.
Выражение A.71) может быть представлено в декартовых коорди-
координатах, через проекции на ось Ох, в виде
= LF + LP. A.73)
Аналогичные выражения для проекций на две другие оси получаются
круговой перестановкой.
1 Уравнение A.69) правильно в случае установившегося движения несжимаемой
жидкости.
2. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВИХРЕЙ
Аэродинамика крыльев самолета основана на теории вихрей. Поэтому
ниже излагаются основные свойства вихрей и наиболее важные резуль-
результаты исследований, имеющие непосредственное приложение к изучению
несущих поверхностей.
2.1. Общие замечания
В предыдущем разделе мы определили вектор Q = rotF, проекции
которого на координатные оси Ох, Оу, Oz выражаются следующим образом:
У dw dv m du dw % dv ди f 9 1 \
ду dz ' * dz дх' дх ду* V • /
Можно доказать, что вектор этот равен удвоенной угловой скорости
мгновенного вращения частицы. Это мгновенное вращение называется
вихрем. Вектор, характеризующий вращение, мы обозначим через со;
п = ^П. B.2)
Однако, чтобы избежать коэффициента у и таким образом упростить
формулы, будем называть вихрем вектор £2, за исключением особо ого-
оговоренных случаев.
Нетрудно заметить из соотношений B.1), что
дивергенция вихря равна нулю
dlV Q = 5- + ^- + т = 0.
дх ' ду dz
B.3)
Пусть а — сечение вихревой трубки. Поток вих-
вихрей, пересекающий а, называют напряжением,
или интенсивностью, вихревой трубки.
B.4)
Это напряжение постоянно вдоль трубки. В са-
самом деле, так как вихри касательны к поверх-
поверхности трубки, циркуляция по замкнутой кривой
s1s"s2s' равна нулю (фиг. 2.1). Отсюда следует, что
так как работа скорости на s' и s" взаимно уничто-
уничтожается, то циркуляции вдоль s± и s2 равны1. Поэтому
Фиг. 2.1
B.5)
Можно заключить также, что вихревая трубка не обрывается внезапно,
а замыкается на себя, образуя вихревое кольцо, или же прости-
простирается в бесконечность, либо, наконец, опирается своими концами на
некоторую поверхность.
1 Следовательно, по теореме Стокса A.37) потоки вихрей равны через различные
сечения вихревой трубки.
23
Вихревую трубку бесконечно малого сечения ofe с конечным напря-
напряжением
r = Qda B.6)
называют вихревой нитью, или бесконечно тонкой вихре-
вихревой трубкой1.
2.2. Поле скоростей, порождаемое системой вихрей
Если известно распределение скоростей на всем протяжении движу-
движущейся жидкости, то можно легко определить вектор вихря в каждой
точке при помощи соотношений sB-l)« ^ наоборот, если задано распре-
распределение вихрей, то можно определить поле скоростей.
Пусть W — такой вектор, что
0; B.7)
мы можем всегда записать, что
V = rotW, B.8)
и согласно B.3)
div V = div (rot W) = О . B.9)
Согласно известной формуле векторного исчисления получаем далее
о AJW Я2М? Я2Ш
v w = U + w + ~ш = srad <div w) ~rot (r
откуда
V2PF= — Q. B.11)
Это дифференциальное уравнение совершенно аналогично уравнению
потенциала притягивающих масс:
BЛ2)
где U — потенциал, р — плотность притягивающей массы.
Решение последнего уравнения хорошо известно. В самом деле,
выражение для потенциала в любой точке имеет весьма простой вид
U = ^±dxt B.13)
где г — расстояние элементарного объема dz от рассматриваемой точки.
Если х представляет собой завихренное пространство, мы по анало-
аналогии без труда получим
' " >Л, B.14)
1 Величина С1 при стремлении площади da к нулю должна будет становиться
бесконечно большой.
24
откуда
±
Отметим теперь, что завихренное пространство может быть разбито
на бесконечно тонкие вихревые кольца. На таком кольце длиной s будем
иметь (фиг. 2.2)
Отсюда
где суммирование распростра-
распространяется на все вихревые кольца
этого разбиения.
Следовательно, имея в виду,
что
Фиг. 2.2
rot * ==i- rot (d7) + grad i x d7=
можно написать
B.18)
B.19)
или, полагая опять dY »dr = Q.d'z, получаем обобщенную формулу Био-
Савара
Воспользуемся формулой B.19) в случае только одной бесконечно
тонкой вихревой трубки с напряжением Г. Получим
B-21)
Скорость, индуцированная элементом ds трубки, нормаль-
нормальная к плоскости, образованной г и dr, будет
Имеем (см. фиг. 2.2)
17х d7\ = r sin 6 ds.
<2-22>
B.23)
1 Операция grad — выполняется путем дифференцирования попеременным 5, yj, £♦
(см. ниже); вектор г проводится от точки с координатами (£, т), Q к точке (х, у, z).
25
Получим окончательно формулу Био-Савара
• тг7, Г sin 0 ds
I I 47T Г2
B.24)
Ввиду частого применения формулы B.21) в различных видах ниже
даются проекции скорости в декартовых координатах.
В самом деле, замечая, что
г X dr-
i f к
dx dy dz
B.25)
где х, г/, z — координаты элемента бесконечно тонкой вихревой трубки,
а £, •*], С — координаты точки jP, мы легко получим индуцированные ско-
скорости от этой вихревой трубки в точке Р.
и = Г
4тг
B.26)
_ Г Г (зг— l)dy-
(z _
2.3. Скорость, индуцированная прямолинейным отрезком
вихревой трубки
до вихревой линии. Скорость, вызванная
Пусть АВ — прямолинейный отрезок и d — расстояние от точки Р
этим отрезком вихря, будет
нормальна к плоскости, оп-
определяемой АВ и точкой Р,
и направлена в положитель-
положительном направлении по отноше-
отношению к Q. (т. е. в сторону,
определяемую направлением
векторного произведения
гхй) (фиг. 2.3). Значение
скорости легко полу-
из формулы B.24),
Фиг. 2.3
этой
чить
полагая
и интегрируя; таким образом приходим к формуле
в
V = -т^-г [ sin 6 db = t^j- (cosa — cos P),
47rrf J And v r/7
B.27)
B.28)
26
которая, в случае, когда концы трубки простираются в бесконечность,
принимает вид
V =
2nd
B.29)
.2.4. Вихревой слой
Предположим, что скорости претерпевают разрыв вдоль некоторой
произвольной поверхности о, т. е. что значения скоростл по одну ш дру-
другую сторону поверхности отличаются друг от друга. В действительности
резкое изменение скорости имеет место поперек некоторого слоя тол-
толщиной 8, поэтому поверхность а следует заменить двумя параллельными
поверхностями ах и а2, расстояние 8 между которыми мы полагаем
настолько малым, что можно рассматривать одну общую нормаль п
к обеим поверхностям (фиг. 2.4).
Пусть Vx и V2 — скорости, параллельные этим поверхностям и рас-
расположенные соответственно на
ох и о2. Положим
W = V2 — V1 B.30)
и рассмотрим линейное измене-
изменение скорости поперек тонкого
слоя. Скорость в точке tj внут-
внутри слоя определяется выраже-
выражением
V = V1+ ±W. B.31)
Будем считать, что вне этого тонкого слоя движение — безвихревое,
но внутри слоя вихрь не равен нулю. Тогда
rotV =^u = ^
W = ^п х W,
B.32)
откуда следует, что тонкий слои заключает вихри, перпендикулярные к
W и к пи, следовательно, параллельные поверхности о. Слой этот
называется вихревым.
Ниже мы рассмотрим несколько интересных случаев.
2АЛ. Поверхности разрыва позади препятствий. В теории струй
(плоско-параллельное движение) скорость изменяется от нуля (V± = 0)
внутри струй до V2 = V0 = const на верхней стороне поверхности раз-
разрыва. Вихрь нормален к Vo и, следовательно, нормален к плоскости дви-
движения .
2.4.2. Жидкие стенки. Предположим, что внутренность погружен-
погруженного тела заполнена жидкостью, находящейся в состоянии покоя, и бу-
будем рассматривать стенки как тонкий слой жидкости, поперек которого
скорость изменяется от нуля (Fx» 0) до F2 = W; последняя представ-
27
скорость потенциального течения на поверхности тела
ляет собой
(фиг. 2.5).
Предположим, что скорость изменяется линейно по всей высоте слоя;
тогда вихрь определяется выражением B.32), откуда следует, что он
постоянен и по абсолютной величине равен
w
a = j. B.зз>
Таким образом, стенки заменяются вихревым слоем. С дру-
другой стороны, если удалить стенки, то все пространство будет занято жид-
жидкостью, и можно принять, что постоянная Бернулли одинакова во>
всем пространстве. Отсюда будет следовать, что давление изменится
поперек вихревого слоя, и равнове-
равновесие окажется нарушенным. Чтобы
восстановить равновесие, необходи-
необходимо ввести соответствующие силы,,
которые могли бы зафиксиро-
в а ть слой в том его положении,,
которое этим слоем занята.
Пусть ~q — такая сила, отнесен-
отнесенная к единице объема; она действует
на жидкость как внешняя сила.
Уравнение A.18') для установившего-
установившегося движения неприменимо, так как необходимо ввести эту новую внешнюю
силу, действующую на жидкость. Последняя вследствие удаления стенок
уже не будет стеснена погруженными в нее телами. При учете силы ~q
получим новое уравнение
= -?. B.34)
Так как постоянная Бернулли не меняется во всем объеме, занятом
жидкостью, получим окончательно
g = рО X V = р^(п х W) X W. B.35)
Из этого уравнения видно, что q нормальна к стенке и по абсолют-
абсолютной величине равна
q=P&W>. B.36)
Сила, действующая на элемент объема ch, равна qdz и всегда на-
направлена по нормали. Сила, действующая на единицу поверхности
вихревого слоя, тоже направлена по нормали и определяется выра-
выражением
8
1
Фиг. 2.5
Это выражение в точности соответствует давлению на стенку погру-
погруженного тела, чего и следовало ожидать.
28
2.4.3* Параллельные течения с различными скоростями. Разность
V2 — V<\ также параллельна общему направлению, и, следовательно, вихрь
нормален к этому направлению и параллелен поверхности раздела. На
обеих сторонах этой поверхности давление одинаково и не меняется по
толщине слоя; отсюда следует, что постоянная Бернулли изменяется и
отсутствует действие на вихреврй слой.
Если V2 и V± равны и противоположны по знаку, значение вихря,
так же как и напряжение на единицу ширины вихревого слоя, будут
соответственно
п =
2V*
B.38)
2.4.4. Равные скорости и различные направления. Предположим, что
•скорости на обеих сторонах слоя равны, но их направления различны;
их разность W = V2 — V± нормальна к биссектрисе угла, образуемого
обеими скоростями, и, следовательно,
вихрь параллелен этой биссектрисе
ч(фиг. 2.6). Среднее направление тече-
течения параллельно скорости, соответст-
соответствующей середине высоты вихревого
слоя:
Фиг. 2.6
B.39)
оно, в свою очередь, параллельно этой биссектрисе. Поэтому эти вихри
лежат в русле потока и образуют пелену свободных вихрей,
параллельных главному течению.
Вихревой слой такого рода действительно образуется позади крыла
самолета и, как мы это увидим в дальнейшем, существенно влияет на
движение вокруг самого крыла.
3. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Задачи аэродинамики в точной постановке являются трех-
трехмерными. Однако при помощи надлежащего анализа и упрощающих
гипотез большая часть этих задач, даже самые важные из них, могут
быть разрешены путем применения результатов и методов, полученных
при исследовании плоскопараллельного движения. Поэтому в данном
разделе мы изложим вкратце формулы и результаты, относящиеся к плоско-
плоскопараллельному движению.
Плоскопараллельньш называется такое движение, при котором ско-
скорости все время параллельны некоторой плоскости, называемой на-
направляющей плоскостью, и частицы, лежащие на общей
нормали к направляющей плоскости, имеют в каждый данный момент
одинаковые скорости.
29
3.1. Представление плоскопараллельного движения функцией
от комплексного переменного
Пусть хОу — направляющая плоскость; обозначим компоненты ско-
скорости по осям Ох и Оу соответственно через и и v.
Вихрь нормален к направляющей плоскости, и его значение легко-
пол учается из соотношений A.15) или B.1):
Qz = v = ~ — -. C.1V
дх С/Т/
Если мы рассматриваем безвихревое движение, то вихрь равен нулю
и течение определяется потенциалом скоростей тр(#, у)\ при этом
£/© С7ф л г*.
и ——- т^~*« D ==" ^г~~. (»*-/<у
дх ду х '
Мы видели, что уравнение неразрывности приводит к соотноше-
соотношению
да . dv д2ф , д2ф д ^ ,q o\
иХ и'\1 иХ uli
откуда следует, что ср есть гармоническая функция, о чем мы
уже упоминали раньше.
С другой стороны, так как уравнение линий тока
udy — vdx =0 C.4)
удовлетворяет условию полного дифференциала из-за наличия уравнения
неразрывности C.3)
ди = di-v) C ^
дх ду ' v '
мы можем найти другую функцию ф, которую называют функцией
тока и дифференциал которой
,, 7 , ^Ф 7 I ^Ф17 /О О\
(XU) = и йу — V их = —- cty -j- ~ аЖ. (с5.о).
Из этого равенства следуют соотношения
Эф _ Эф . дф _ Эф ,о 7\
Кроме того,
дх'2 ""Г а^/2 "" дх~^ ду
откуда очевидно, что <J> — гармоническая функция.
Гармонические функции ср и ф в то же время и сопряженные: они
удовлетворяют соотношениям C.7), которые идентичны условиям
моногенности Кош и. Таким образом, функции ср и Ф представляют
соответственно действительную и мнимую части аналитической
30
функции / (z) комплексной переменной
z = x + iy. C.9)
Эта функция называется комплексным потенциалом движе-
движения и представляется в виде
f(z) = ?(x, y) + i$(x, у). C.10)
Производная этой функции называется комплексной скоро-
скоростью:
ее действительная часть есть проекция скорости на ось Ох, а коэффициент
мнимой части есть проекция скорости на ось Оу, взятая с отрицательным
зцаком.
Таким образом, всякое безвихревое пдоскопараллельное движение
может быть представлено аналитической функцией комплексного пере-
переменного z (комплексным потенциалом), действительная часть которой
представляет собой собственно потенциал, а коэффициент в мнимой части
есть функция тока. И наоборот, всякая аналитическая функция от z пред-
представляет безвихревое плоскопараллельное движение. Этим весьма интерес-
интересным результатом мы будем пользоваться при решении задач плоскопарал-
плоскопараллельного движения.
Положим
ср = с, ф = А,
и пусть с и к принимают все значения от — оо до + оо; таким обра-
образом мы получим эквипотенциальные кривые и линии тока, причем по-
последние представляют гидродинамический спектр течения.
Легко заметить, что линии ср = с и ф = к образуют ортогональную сеть.
В самом деле, направляющие косинусы касательных удовлетворяют со-
соотношению
й-й+г-g—+—»■ <«2>
откуда следует, что касательные перпендикулярны друг к другу.
3.2. Движение вокруг вихрей
Предположим, что через начало координат О проходит бесконечно тон-
тонкая вихревая трубка с напряжением, равным Г, нормальная к плоскости
движения; индуцированная скорость на расстоянии г от начала будет
нормальна к радиусу-вектору и дается выражением B.29), где вместо d
подставляется г (фиг. 3.1):
Комплексный потенциал выводится последовательно из соотношений
C.11), после чего reiQ заменяется на z:
w = — = и — iv = — о— (sin 6 4- i cos 6) = — \r- • — . C.14)
31
Интегрируя, получим
iT,
C,15)
Очевидно, что эквипотенциальные линии представляют собой лучи,
исходящие из начала координат, а линии тока — концентрические окруж-
окружности (фиг. 3.2).
Подставив Q вместо Г и умножив обе
части равенства на i, получим
2^ In z = 2^In r -f- ^6. C.16)
В этом случае эквипотенциальные линии —
концентрические окружности, а линии тока —
лучи, исходящие из начала координат; таким
образом, функции ср и ф взаимно обратимы.
Последнее движение воспроизводит (фиг. 3.3)
источник с расходом, равным Q.
Вернемся теперь к вихрю и заметим, что одинокий вихрь в покоящейся
жидкости остается неподвижным в силу симметрии. В таком случае го-
говорят, что скорость вихря равна нулю.
Фиг. 3.1
Фиг. 3.2
Фиг. 3.3
Предположим, что имеется п вихревых трубок с напряжениями
Г1! ... Гп, расположенных соответственно в точках xt... хп; тогда по-
потенциал движения
п
а комплексная скорость
dz
п
C.18)
32
Это выражение справедливо для всех частиц жидкости в простран-
пространстве вне точек хх. . . хп и определяет скорость этих частиц.
Обозначим через Wj скорость вихря Гу, находящегося в точке ху. Мы
показали выше, что скорость, обусловленная наличием самого вихря,
равна нулю. Таким образом, скорость^- вызывается другими вихрями:
i п тк ir. 1
y/TT штат >7 , *yt 2л*Т£. ^ •——* j£ . \ /
Обобщая задачу, приходим к выводу, что скорость вихря равна ско-
скорости, вызываемой общим потоком вокруг этого вихря в занятой им точке,
если не учитывать влияния самого вихря. Центр вихря ведет себя как
материальная точка, увлекаемая потоком. Практически точечного вихря
не существует, а есть очень малое сечение (сечение вихревой трубки),
по которому вихрь распределяется согласно известному закону. Будем
называть это сечение вихревым ядром; явления, относящиеся
к вихрю, в действительности происходят с этим ядром.
3.2.1. Действие потока на вихрь. Выше мы видели, что вихревое ядро
свободно плавает в жидкости; поэтому жидкость не оказывает дей-
действия на вихрь. Предположим теперь, что вихревое ядро вынуждено со-
сохранять свое положение; при этом мы должны ввести силу, которая будет
действием жидкости на вихрь. Обозначим через ~q эту силу, отнесенную
к единице объема; она играет роль внешней силы и может быть выведена
тем же путем, каким из уравнения движения A.18') было получено урав-
уравнение B.34):
q = 9~Q х 7 + pgrad(i> + ±V* — U). C.20)
Вне вихревых ядер постоянная Бернулли не изменяется, поэтому
градиент в выражении, помещенном в скобках, равен нулю. Обозначим
через Да сечение ядра и через F — полное действие потока на вихрь;
учитывая также, что объем отрезка вихревой трубки, равного единице
длины, равен Дт = 1-До, получим
F = ^Да = рДаО X V = рГ X F, C.21)
где Г — вихревое напряжение, которому условимся придать направление,
совпадающее с направлением вихря и, следовательно, нормальное к пло-
плоскости движения, а V — скорость на прямой, совпадающей с самим вихрем.
Это теорема Кутта — Жуковского, с которой мы будем часто встре-
встречаться в теории несущих крыльев.
3.2.2. Вихрь в присутствии круга. Предположим, что два вихря, равных
и противоположных по знаку (Г и —Г), расположены на оси абсцисс в точ-
точках О2 (+а) и Ог (—а) (фиг. 3.4). Для потенциала движения получим
33
откуда видно, что эквипотенциальные линии ср = с являются окружно-
окружностями, проходящими через Ох и О2, а линии тока, определяемые соотно-
соотношением
Г2 — h
C.23)
являются окружностями Аполлония (см. фиг. 3. 4), радиусы и центры
которых определяются формулами
C.24)
2k
' 1 — /с2 '
хк: =
r 1 + /с2
' 1 — /г2
Фиг. 3.4
Обозначим через Ск центр круга и рассмотрим отрезки
СкО2 = хк — а=а
2/c2
, СкО± =
C.25)
легко видеть, что существует следующее соотношение
2к
C.26)
Предположим теперь, что контур круга, который является линией
тока, внезапно затвердевает, тогда ничего не надо изменять в движении
вокруг рассматриваемого круга. Можно прийти к заключению, что выра-
выражение C.22) для потенциала в то же время представляет движение вокруг
вихря при наличии круга.
Примем за начало координат центр Ск круга. Обозначим через R его
радиус, положим согласно C.26)
СкОх - Ь и СкО2 = ~
C.27)
и будем считать положительным внешний вихрь (+Г), расположенный в
точке О±. Тогда выражение для потенциала примет вид
34
f& = -^ln-—B?> C.28)
z +У
где z' = z— xjc — комплексная переменная в новой системе осей.
Если мы хотим, чтобы циркуляция скорости вокруг круга была
равна нулю, следует поместить в центр круга еще вихрь Г; тогда полу-
получим окончательно
f(z) = — Yizln Д2 • C.29)
Z' + T
Эту форму потенциала мы будем применять в дальнейшем при реше-
решении различных задач.
Предположим далее, что скорость, вызванная в центре круга нахо-
находящимся в Ог вихрем, всегда постоянна:
v = 2~т == const, C.30)
а расстояние Ъ бесконечно возрастает; при замене т! обычной переменной
z уравнение C.29) примет последовательно вид
Перейдя к пределу, получим круг, находящийся в потоке, параллель-
параллельном оси Оу и движущемся со скоростью v. Правая крайняя часть уравне-
уравнения C.31) выражает, следовательно, потенциал течения вокруг круга,
расположенного в вертикальном потоке.
3.3. Диполь (дублет)
Предположим, что два вихря (фиг. 3.4) бесконечно приближаются друг
к другу, но произведение
т = 2аГ, C.32)
которое мы будем называть моментом, остается постоянным. В этом слу-
случае получается так называемый диполь, или дублет, и выра-
выражение C.22) принимает последовательно вид
f(z)=— тг МП 1 — In ( 1 -] = — * — ==--.—=i —
J v ' 2n I V z J \ z /Ja-> о L27T z Ja-»-o 2n z z '
C.33)
где В — действительная постоянная.
Если оба вихря находятся на оси ординат, то а в этом выражении
следует заменить на ih, и мы получим окончательно
где А — действительная постоянная.
35
В первом случае направление оси диполя совпадает с отрицательным
направлением оси Оу, во втором случае — с положительным направлением
оси Ох.
Если направление оси диполя произвольно, например, если оно ле-
лежит в первом квадранте (фиг. 3.5), то можно написать
A + iB
C.35)
Вернемся к диполю, направленному вдоль оси Ох C.34), и предполо-
предположим, что он расположен в потоке, тоже параллельном оси Ох и движу-
движущемся со скоростью — и0. Тогда, полагая z = reiQ, получим последовательно
&i потенциал движения в виде
= — Hftcos6(r
+— 1 —
— ШО8Ш0 Г-- , C.36)
Фиг. 3.5
откуда следует, что окружность
г = R является линией тока. Следо-
Следовательно, этот потенциал представ-
представляет движение вокруг круга. Таким
образом, мы снова получаем такое
же течение, как и представленное
выражением C.31), но повернутое
на 90°.
3.3.1. Диполь в присутствии круга. Для исследований, с которыми мы
встретимся в дальнейшем, нам важно определить течение вокруг диполя
в присутствии круга. Пусть диполь,
ось которого образует угол v с осью
Ох, находится в точке В на рассто-
расстоянии Ъ от начала координат. Мы
можем рассматривать этот диполь
как предел системы из двух вихрей,
равных, но противоположных по
знаку и расположенных соответ-
соответственно в точках В! и В" (фиг. 3.6).
Их образы относительно круга ле-
лежат в точках А' и А". В пределе по-
получаем диполь в точке А, который
является образом диполя в В относительно круга. Прямые В" В' и А" А'
антипараллельны, и треугольники ОАА' и ОВ'В подобны, откуда следует
Фиг. 3.6
C.37)
36
Если т — момент действительного диполя, расположенного в точке
В. то для момента т! образа этого диполя в А получим выражение
го'=Т1*-Г = p WW' • Г = т ^ = ^т. C.38)
Отсюда для потенциала движения вокруг диполя в присутствии
круга получаем окончательно следующее выражение:
C.39)
3.4. Цепочка вихрей
Некоторые важные задачи аэродинамики решаются при помощи рас-
рассмотрения расположенных соответственным образом цепочек вихрей.
Поэтому, принимая во внимание различные дальнейшие приложения,
рассмотрим простейший случай цепочки, состоящей из одинаковых вих-
вихрей, расположенных на равных расстояниях друг от друга вдоль оси Ох,
и установим для этого случая потенциал движения.
У
Фиг. 3.7
Пусть Г — напряжение вихря, а — постоянное расстояние между со-
соседними вихрями цепочки (фиг. 3.7). Вихрь, расположенный на расстоя-
расстоянии па от начала координат, вызывает в точке z скорость
iT 1
2п z — па f
а вся цепочка вызывает в этой же точке суммарную скорость
w
df
iT
dz
которая получается при помощи хорошо известного соотношения
z КУ 1
—оо 7Г ПП
а
Интегрирование выражения C.41) дает потенциал движения
Движение это представлено на фиг. 3.8.
C.40)
C.41)
C,42)
C.43)
- 37
При помощи выражений C.41) и C.43) мы сможем без труда нахо-
находить скорости и потенциалы и при иных расположениях вихрей в од-
одной или в нескольких линейных цепочках — случаи, с которыми мы
встретимся позже.
3.5. Плоский вихревой слой
Рассмотрим плоский вихревой слой А В, напряжение которого на еди-
единицу длины в точке с координатой х (фиг. 3.9) обозначим через f Че-
Через us и щ обозначим горизонтальные скорости на верхней и нижней
сторонах слоя в той же точке х. Тогда
ydx = (щ — us) dx. C.44)
Фиг. 3.8
Так как вне вихревого слоя движение не завихрено, можно, обозна-
обозначив через ср соответствующий потенциал, написать
дх ~ дх
C.45)
где cpi и cps — соответственно значения потенциала на нижней и верхней
сторонах слоя.
Циркуляция Г вокруг отрезка слоя от точки х до конца слоя В
дается выражением
ь
Г = [ 4dx = Ь— ?ь C.46)
X
где Ъ — абсцисса точки В.
Пусть v — вертикальная скорость в точке х, обусловленная вихре-
вихревым слоем; часть, приходящаяся на долю элемента ^di этого слоя, будет
dv = — л- •
— х '
следовательно, суммарная скорость примет выражение
ь
а
здесь а — абсцисса точки А.
C.47)
C.48)
В дальнейшем мы будем часто пользоваться этим выражением.
38
3.6. Вихревые шнуры
Вообще говоря, вихревой слой неустойчив; он разрывается, сверты-
свертывается и превращается таким образом в вихревые шнуры.
Вихревой шнур может быть представлен как цилиндрическая масса
круглого сечения, вращающаяся вокруг оси цилиндра подобно твердому
телу. Вне цилиндра движение не завихрено и соответствует движению, воз-
возбуждаемому вихрем, помещенным на оси того же цилиндра; внутри цилиндра
(по принятому допущению) скорость изменяется линейно от нуля в центре до
?t
на периферии. Здесь со — угловая скорость вращения цилиндрического
ядра; г0 — его радиус; Г — циркуляция вокруг цилиндра (фиг. 3.10).
Вихрь постоянен во всем сечении шнура; в самом деле, на расстоя-
расстоянии г от центра, принимаемого за начало координат, скорость, будучи
нормальна к радиусу-вектору и равна
V = cor, разлагается по осям Ох и
Оу на компоненты
и = —сот/, v = соя, C.50)
откуда получаем значение вихря
П==^ — *■■ = 2со = const. C-51)
В действительности распределение
вихря представляется некоторой кри-
кривой и радиус сечения шнура не опре-
определен точно, поэтому наша гипотеза Теоретическая /гриеая
является только приближением, они- {Экспериментальная кривая
сывающим явление в среднем (см.
фиг. 3.10). Точно так же и действи-
действительное распределение скоростей внутри цилиндра нелинейно, однако
оно описывается кривой, достаточно близкой к прямой.
В заключение предположим, что полная скорость V распределена внутри
цилиндра линейно
F-'i=:: г<г- C-52)
Фиг. 3.10
а снаружи — согласно обычному соотношению
C.53)
Кинетическая энергия шнура (единицы длины) легко выводится из
принятой нами гипотезы; в самом деле, элементарные вычисления
дают
1б7Т *
C.54)
39
Аналогично для внешней области, заключенной в цилиндре радиуса R
(длина которого равна единице), получим
Е е = -.— In — ,
C.55)
откуда видно, что эта энергия неограниченно возрастает с увеличением R.
3.6.1. Кинетическая энергия в случае двух вихревых шнуров, равных
и противоположных по знаку. В дальнейшем мы встретимся с вихревыми
шнурами, образующимися позади крыла самолета, и с этой точки зрения
представляет существенный интерес определить сейчас кинетическую
энергию в случае двух таких шнуров, равных, но противоположных по
знаку1.
Полагая, что радиус г0 шнура мал по сравнению с расстоянием Ь между
центрами шнуров, можно пренебречь деформацией шнуров, проистекаю-
проистекающей от их взаимного влияния друг на друга, и тогда при помощи C.22)
получим для потенциала движения в пространстве, окружающем шнуры,
Ь
■ = -£ш.
Чтобы вычислить кинетическую энергию на всем протяжении вне
шнуров (фиг. 3.11), воспользуемся формулой A.52), обозначив потенци-
ал у через ср, а стороны двой-
двойной поверхности а' — через ВхВг
и В[В'2:
Интеграл надо брать в по-
положительном направлении по
контуру С, образуемому ок-
окружностью /, вдоль которой
интеграл равен нулю (-^- —0],
г*
отрезком ВгВ2, окружностью 2, вдоль которой интеграл также равен нулю
-7— = 0 К и, наконец, отрезком В2В[.
г г
На верхней стороне ср = —тг, а на нижней ф = — — тс. Полагая да-
лее ~ = —
дп
получим
Г с
в,
C.58)
Имеющих противоположные вращения.
40
Прибавляя энергию обоих вихревых шнуров C.54), получаем полную
энергию:
■ = Р £Yln-^=^+4). C.59)
Этой формулой мы будем пользоваться в дальнейшем для определе-
определения радиуса вихревых шнуров, образующихся позади крыла самолета.
3.6.2. Распределение скоростей вокруг двух вихревых шнуров. Вне
шнуров скорости даются выражением
df
dz
— iV
C.60)
//у
л V
Сч
р—I _u
V ' /
V/
У
JJ
'и'
к
(а.
л
Фиг. 3.12
а внутри они изменяются по
линейному закону, не подчи-
подчиняющемуся потенциалу. На
оси абсцисс распределение
скоростей следует закону, изо-
изображенному графически на
фиг. 3.12. В самом деле, если vx и v2 — соответственно скорости, созда-
создаваемые шнурами Ог и О2, то результирующая скорость будет их суммой1:
v = vx + v2. C.61)
4. ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ КОНТУРА
Пусть / (z) = ср (х, у) + г''1> (х, у) — комплексный потенциал течения во-
вокруг замкнутого контура С, помещенного в поток, движущийся с равно-
равномерной скоростью v0. Так как контур является одной из линий тока,
мы можем написать
(d<j,)c = M. ч. (df)c = O. D.1)
Задача заключается в том, чтобы найти аналитическую функцию f(z),
мнимая часть (м. ч.) дифференциала которой остается постоянно равной
нулю на контуре. В такой постановке задача, однако, не становится менее
трудной для решения, за исключением случая круглого контура, когда
решение получается путем простых вычислений [2]. Для круглого контура
можно воспользоваться также результатами, полученными в предыдущем
разделе. Для контура же произвольной формы решение получается по-
посредством конформного отображения.
4.1. Течение вокруг круга
Предположим, что круговой контур помещен в однородный поток, дви-
движущийся со скоростью'—Vo параллельно оси абсцисс, и что вокруг кон-
1 Подразумевайся сумма алгебраических величин.
41
тура существует циркуляция Г. Если к выражению C.36), подставив
в него Vo вместо и и обозначив через а радиус круга, прибавить потен-
потенциал, соответствующий вихрю, расположенному в центре, получим общий
вид течения около круга, комплексный потенциал которого имеет выра-
выражение
в системе координат О\г\ (С = £ -Ь г7])» начало которой находится в центре
круга.
Отсюда легко вывести потенциал течения и функцию тока в поляр-
полярных координатах, полагая С = reib:
i.
D.3)
Аналогично для скорости, обозначая через vT компоненту вдоль ра-
радиуса-вектора, а через Vq— нормальную компоненту, получим следующие
выражения:
D.4)
Фиг. 4.1
которые на окружности (г = а) принимают вид
D.5)
Гидродинамический спектр течения около круга (фиг. Г4.1) показы-
показывает, что в двух точках А и В, расположенных симметрично по отноше-
отношению к оси Оу, линии тока раздваиваются по кругу: это точки, в которых
скорость равна нулю.
42
Углы 0а и 6Ь, образуемые радиусами-векторами ОА и ОВ с осью Ох,
♦соответственно равны —v и тс + v; мы получим эти значения, приравняв
нулю выражение D.5) для vq.
Г
sin v =
D.6)
с нача-
начаИ наоборот, если известны точки нулевой скорости, определенные
углом v, можно определить циркуляцию Г:
Г = 4тгаГ0 sin v. D.7)
Подставив это значение Г в выражение для тангенциальной скорости,
получим
vq = 2Vq (sin 6 ~f- sin v). D.8)
4.1.1. Переход к другим координатным осям. Для дальнейших при-
приложений полезно отнести движение к системе координат
лом, не лежащим в центре
круга.
Предположим при этом,
что ось О^х образует угол а
с отрицательным направлени-
направлением скорости (фиг. 4.2); кроме
того, обозначим через МЪ\
систему осей, в которой М\
параллельна скорости и на-
начало М лежит в центре кру-
круга. В этой последней системе
потенциал движения иденти-
идентичен выражению D.2). Если
|i. — аффикс центра, то очевид-
очевидно, что переход к системе Mir\
осуществляется переносом си-
системы О^хЦ^ определяемым
Фиг. 4.2
комплексным числом р. и поворотом на угол а. Переход этот выра-
выражается равенством
C = (C1-fl)e«. D.9)
Подставив это выражение в D.2), получим с точностью до постоянной
потенциал в новой системе координат:
D.10)
Рассмотрим еще систему МЬ'ч\\ параллельную системе О^^; пусть
В — точка нулевой скорости, расположенная на задней части контура
круга, а т — угол, образуемый прямой ВМ с осью О&. Тогда угол v
в равенстве D.6) и текущая переменная 6 в равенстве D.8) будут связаны
43
с а, т и с новой текущей переменной 6' следующими соотношениями:
v = a + т
В этом случае выражение D.18) для скорости в точке окружности
превращается в следующее:
vQ = 2V0 [sin (б' + а) + sin (а + т)], D.12)
а выражение для циркуляции принимает вид
Г = 4r,aV0 sin (a + т). D.13)
4.2. Конформное отображение
Мы уже упоминали выше, что в случае произвольного контура тече-
течение изучается'посредством конформного отображения. Чтобы определить,
эту операцию, допустим, что даны две функции:
# = #(£, 7]), у = у(£9 7]), D.14)
однозначные и правильные, так же как и их первые производные, и удо-
удовлетворяющие условию
— . -^ — — . ^L=j=,c\ (л i^\
д£ дт\ дг\ д£> ' D.10)
Рассмотрим обе плоскости хОу и £сот) (фиг. 4.3). Согласно D.14)
т)) в плоскости £сот] соответствует точка Р(х9 у) плос-
точке
кости
хОу. Аналогично, кривым X и
У\
л,
>
и
первой плоскости соответст-
соответствуют кривые I и т второй
плоскости, и вообще всякому
множеству точек, лежащих в
плоскости Scot], можно по-
поставить в соответствие множе-
множество точек плоскости хОу.
О функциях D.14) говорят,
U\ * ш\ с, что они дают отображение
фИГ. 4.3 плоскости £сот] на плоскость
хОу.
Угол, образуемый пересечением кривых X и \х в точке тс, вообще го-
говоря, не равен углу пересечения кривых I и т. Если же углы равны,
то отображение называется конформным. Чтобы отображение было
конформно, соотношения D.14) должны удовлетворять некоторым усло-
условиям, которые мы установим ниже. В самом деле, углы пересечения
между соответствующими кривыми будут равны, если бесконечно малому
треугольнику плоскости Scot] будет соответствовать подобный ему тре-
треугольник плоскости хОу. Следовательйо, обозначая через do и ds две
соответственные стороны, мы должны написать
'dsV - D.16)
44
Положим далее, что
дх Гг дх 1 , ду 1У , ду
= 1мГ Л + "ThT d7b dy = -^ Л + -^
D.17)
Положив, что ей; и с??/ являются проекциями стороны ds, a d£ и o?yj —
проекциями стороны йа, получим подстановкой в D.16) равенство
it+(*)*]*+кш+ш
D.18)
Это равенство должно быть справедливо при любых ей и dr\\ следо-
следовательно,
дх_ дх __ ду ^ ду
'0*\« , /ду^
D.19)
откуда и получаем искомые условия1
дх ду дх ду
D.20)
Эти условия показывают, что комплексная переменная z = х + iy
является аналитической функцией комплексной переменной С = S-J-zttj:
И наоборот, всякая аналитическая функция z = z(C) конформно ото-
отображает плоскость С на плоскость z.
В частности, вполне определенному контуру плоскости С соответствует
некоторый контур плоскости z, и, наоборот, можно доказать, что всегда су-
существует функция z = z (С), которая известному контуру плоскости С ставит
в соответствие данный контур плоскости z. Ниже мы рассмотрим частный
случай кругового контура, который найдет непосредственное применение
при исследовании аэродинамических профилей.
4.2.1. Отображение контура на круг. Пусть даны круг К в плоскости С
и контур С в плоскости z. Согласно теореме Римана, всегда существует
аналитическая функция z = z(C), конформно отображающая внутренность
контура С на внутренность круга К. Соответствие между точками вза-
взаимнооднозначно, и функция вполне определена, если зафиксировать три
точки контура С, которые должны соответствовать трем данным точкам
кругового контура, или зафиксировать точку на контуре С и другую
1 При этом предполагается, что функциональный определитель
дх дх
ду ду
д$ дт)
45
точку внутри этого контура, как соответствующие данной точке на окру-
окружности круга и данной точке внутри круга.
Это предложение, установленное для внутренних областей контура С
и круга К, остается в силе также и для внешних областей, так как
посредством инверсии внешние области по отношению к С и к К могут
быть соответственно преобразованы во внутренние области некоторого
контура Сх и круга Къ полученных из С и if при этой инверсии.
Рассмотрим эту последнюю гипотезу и произведем инверсии
D.22)
где jx представляет центр круга в плоскости С
Предположим, что начала координат в обеих плоскостях находятся
внутри контуров С и К (фиг. 4.4), которые, как было упомянуто вышег
х
Фиг. 4.4
преобразуются в С± и К± посредством инверсий D.22). Для. областейг
внутренних по отношению к С1 и К±, конформное отображение опреде-
определяется функцией 21 = 2;1(Ci), которую можно разложить в ряд Тейлора1:
Ч = СА + C2^i + .. . + cnCi + D.23)
Отметим, что z± обращается в нуль только при d = 0 и принимает
конечное значение для любой другой точки внутри круга К±. Поэтому
можно записать
bo + Vi+ ...+«! + ..., D-24>
или, подставляя вместо Ci ее значение из D.22), придем к разложению
z = #_1
D.25)
Эта функция вполне определена, если точке на контуре С поставлена
в соответствие данная точка окружности К и если установлено также
1 Предполагается, что бесконечно удаленной точке плоскости
бесконечно удаленная точка плоскости z.
46
соответствует
соответствие между точками в бесконечности:
При этих условиях функция преобразования с точностью до постоян-
постоянной принимает вид [1]
z = Z + f+^ + ... + ^+... . D.27)
Мы будем пользоваться этим выражением при построении аэроди-
аэродинамических профилей.
Функция z = z(C) голоморфна, и ее простой полюс лежит в бесконечно
удаленной точке; следовательно, не существует точек вне круга,
dz dZ ^
в которых производная -j=-, соответственно -р , превращалась бы в нуль
или в бесконечность. Если контур С представляет собой гладкую анали-
аналитическую кривую, т. е. если С не имеет угловых точек, то z = z(C) мо-
может быть аналитически продолжена внутрь круга К\ в этом
случае разложение D.27) справедливо для контура круга и, таким об-
образом, производная -^ не принимает значения нуля или бесконечности
ни на контуре круга, ни вне круга.
Иначе обстоит дело, если контур имеет угловую точку. В самом де-
деле, пусть z0 — угловая точка; отобразим окрестность точки zQ на окрест-
окрестность точки Zq, лежащей в другой плоскости z', при помощи соотношения
г_
z-z^iz'-z'»O1 . D.28)
Положим, что
z - Zq = reiQ; z'-z'Q = r'ew . D.29)
Тогда предыдущее равенство можно записать в виде
у ^ у
reiQ = r'*~ ег~в'. D.30)
В окрестностях точек z0 и z'o при изменении переменной 6' от нуля
до тс переменная 6 изменяется от нуля до f (фиг. 4.5); гладкие дуги mz0
и zony соединяющиеся в угловой точке z0, соответствуют дугам m'z'o и
zon', которые гладки также и в точке Zq, где контур имеет только одну
касательную.
Так как новый контур С гладок в окрестности точки z'o, то отобра-
отображение плоскости z' на плоскость С в окрестности точки Со (соот-
(соответствующей точке z0) является однозначным и непрерывным. Следова-
Следовательно, мы можем написать
z'-z; = a;(C-Co) + a;(C-CoJ + ...+a/n(C-Co)n+... , D.31)
откуда следует, что —^- конечна и отлична от нуля в точке Со.
47
С другой стороны,
dz dz'
dzr ' dt
X
dz'
D.32)
откуда следует, что -тр- равна нулю в точке Со? если^^>тг, и принимает
бесконечное значение, если 7<С7Г-
Следовательно, производная -тр- не принимает значений нуля или
бесконечности ни на контуре круга, ни вне круга, за исключением неко-
некоторого конечного числа точек на окружности, которое соответствует чис-
числу угловых точек на контуре С.
а
Фиг. 4.5
dz
И наоборот, предположим, что производная -тр- принимает значение
нуль в точке Со на окружности. Тогда соответствующая точка на кон-
контуре будет угловой точкой. В самом деле, полагая число т<^2, можно
выражение D.27) представить в виде
z — zft = 1 —
D.33)
и в случае достаточно малых разностей \z — zo\ и |С — Со| оно принимает
вид
Pi . i P*
7 7 ~ (Г
С0)ш Со + —~
L ^о
где g (Со) — постоянная.
Полагая далее
получим
z-zo = re*; С - Со = ре«; § (Со) =
re" = Дорте4(т9+в»),
D.34)
D.35)
D.36)
откуда видно, что при изменении б от 0 до тг переменная п: изменяется
от б0 до 60 + /ггтг; следовательно, угловая точка является вершиной угла 8,
48
определяемого соотношением
8 = B —/и) *. D.37)
Обозначим через С1? С2...£/ корни производной -^-; все эти корни
лежат внутри окружности за исключением тех, которые соответствуют
угловым точкам на контуре. В общем виде
и так как функция z = z (С) должна быть однозначной, это выражение
1
не содержит члена -р-, откуда следует равенство
2^ = 0. D.39)
4.2.2. Аэродинамические профили. Аэродинамическим профи-
профилем называют продолговатый контур, на заднем конце которого имеется
точка возврата, или угловая точка, или округление с малым радиусом
кривизны. Профили эти применяются при построении крыла или винта
самолета (см. фиг. 5.1).
Такой профиль можно получить, преобразуя окружность при помощи
равенства D.27), которое мы представим в форме, более удобной для
практического применения.
Пусть ъ' — плоскость профиля, а С — плоскость окружности. Соглас-
Согласно D.27)
2' = с' + 4+^ + --- + ^ D-40)
Положим
q'i = q2e2i\ D.41)
где q — действительная величина, и перейдем в обеих плоскостях к
другим осям посредством равенств
z' = ze*\ С = CeiY. D.42)
Подставляя эти выражения для z' и С в равенство D.40) и деля обе
части на eiY, получим искомую функцию в виде
Z = C+f + f+...+^, D.43)
где коэффициент при -=■ — действительное число. В этой форме D.43) мы
будем пользоваться функцией z (С) в дальнейшем при построении аэродинами-
аэродинамических профилей.
4.3. Течение вокруг аэродинамического профиля
Обозначим через f(z) потенциал скоростей вокруг аэродинамического
профиля, помещенного в потоке, движущемся с равномерной скоростью Fo.
49
Движение это должно удовлетворять условию D.1) на контуре и в бес-
бесконечно удаленной точке иметь ту же скорость Vo по величине и на-
направлению. Далее рассмотрим функцию z = z(C) в форме D.27), которая
отображает внешнюю область профиля и сам профиль на внешнюю об-
область окружности и на саму окружность.
Бесконечно удаленные точки находятся в соответствии друг с другом;
при этом, если точка на контуре поставлена в соответствие данной точке
на окружности, функция вполне определена.
Условие D.1), которому потенциал / (z) должен удовлетворять на кон-
контуре, принимает последовательно вид
м. 4.[d/(z)]c = M. 4.{d/[z(C)]}c = M. 4.[dF(q\K = 0. D.44)
Это условие идентично тому, которому преобразованная функция/7'^)
должна удовлетворять на окружности.
При этом преобразовании условия в бесконечности остаются одинако-
одинаковыми для обеих плоскостей, следовательно, функция F(Z) удовлетворяет
течению вокруг круга, помещенного в поток, который движется со ско-
скоростью Fo, равной по величине скорости действительного потока в пло-
плоскости профиля и совпадающей с нею по направлению.
Таким образом, посредством конформного отображения одной плоско-
плоскости на другую (z на С) течение вокруг профиля представляется в пло-
плоскости С как поток вокруг окружности.
Общая форма потенциала течения вокруг окружности дается выраже-
выражением D.10), в которое следует подставить текущую переменную С вме-
вместо Cii
(|^)^ln(:-P). D.45)
Если при этом мы выразим С как явную функцию от z [С = £B;)], за-
заменив С на C(z) в выражении для потенциала течения вокруг окружности,
то найдем функцию от z, обозначаемую посредством /(z), которая будет
потенциалом течения вокруг профиля.
Рассмотрим эквипотенциальные линии и линии тока
<р(я, у) = с; ф(а, у) = к. D.46)
После преобразования они приобретают вид
ФF, Ч) = с, YE,7j) = A. D.46')
Легко показать, что они являются соответственно эквипотенциальными
линиями и линиями тока вокруг окружности. В самом деле, мы полу-
получаем последовательно
/(*) = ? + *'Ф = / ИС)] = F(q = ф + ;т, D.47)
и доказательство становится очевидным.
Вообще говоря, нет необходимости определять потенциал в явной
форме в плоскости действительного движения, т. е. в плоскости профиля;
50
характеристики течения (скорости, давления, линии тока и т. д.) будут
определены при помощи отображающей функции. В самом деле, представ-
представляя последнюю в виде
z - х + iy = z (С) = х (Г:, т]) + iy (£, tj), D.48)
впдим, что точке С = £ + г?) некоторой линии *F(£, г\) = к в плоскости
окружности соответствует точка z =x + iy соответствующей линии
у (х, у) = к в плоскости профиля, и это справедливо для всех точек
линий W = к и ^ = к.
Для скоростей мы можем написать последовательно
dz c?£ dz dz » v y
обозначив через w = и — zV комплексную скорость в плоскости профиля
п через W = U — iV — комплексную скорость в плоскости окружности.
На самом профиле полная скорость гир по абсолютной величине равна
w*~ J- ' ' D.49)
где W% — абсолютная величина скорости в соответствующей точке на
окружности.
4.4. Преобразование течений вокруг источников, вихрей и диполей
Запишем последовательно
wdz = udx + vdy + i (udy — vdx) = df = d<p + idty \
WdZ = Udb + Vdri + i (Udri — Vdt) = dF = dd> + idY j ^'50)
Действительная часть этих выражений представляет циркуляцию ско-
скорости вдоль элементарного отрезка ds в плоскости z и циркуляцию ско-
скорости вдоль соответствующего отрезка da в плоскости С, мнимая часть —
поток (расход) через элементы ds и da.
Из соотношения D.48'), очевидно, что элементарная циркуляция ско-
скорости и элементарный поток сохраняются после преобразования:
d(f = dФ
Рассмотрим теперь замкнутый контур С в плоскости z и соответствую-
соответствующий ему контур К в плоскости С. Интегрирование по этим контурам
дает соответственно циркуляцию Г вдоль контуров и расход Q через
эти контуры *:
D.52)
(<p)c обозначает приращение <р при обходе контура С,
51
Если С я К — контуры, окружающие соответственно две гомологические
точки в плоскостях z и С, то эти соотношения показывают, что цирку-
циркуляция и расход вокруг точки сохраняются; следовательно, источники и
вихри плоскости С воспроизводятся идентично в соответствующих (гомо-
(гомологических) точках плоскости z.
В случае диполя дело обстоит иначе. Диполь эквивалентен двум ис-
источникам или двум вихрям, равным и противоположным по знаку и рас-
расположенным бесконечно близко относительно друг друга. Пусть dzwdl —
соответствующие бесконечно малые расстояния. Мы видели, что циркуляция
и поток сохраняются при преобразовании, момент же диполя пропорцио-
пропорционален длинам dz я dC, находящимся в соответствии друг с другом. Поэтому
ГЙС = p., Tdz = m, D.53)
где комплексная величина \i — момент диполя в плоскости С, а комплекс-
комплексная величина т — момент диполя в плоскости отображения z. В пределе
получим
D.54)
dz
Следовательно, момент диполя, расположенного в любой точке пло-
плоскости z, равен моменту диполя, расположенного в соответствующей точке
плоскости С, умноженному на производную -^- в этой точке.
CLL,
4.5. Результирующая давлений
Пусть ds — элементарная дуга и р —давление, нормальное к этой
дуге и направленное внутрь контура. Элементарные силы вдоль Ох и Оу
будут соответственно (фиг. 4.6)
v dRx = — pds sin a = — pdy \
лт> л i \ D.55)
dRy = pds cos a = pdx, J ч '
откуда в комплексной форме получим
dR = dRx — idRy = —ip (dx — idy) =
= — ipdz, D.56)
где z — число, сопряженное с z, т. е.
z — x ly.
Подставляя вместо р его значение
из формулы Бернулли
Y?V2 = Р +4 P(m2
const
и интегрируя вдоль контура, получаем
R = -£ р \ V2dz = ^ р ] (u-j-iv)(u — iv) dz.
D.57)
D.58)
52
Контур является линией тока и поэтому удовлетворяет условию
vdx — udy = O; D.59)
следовательно, для точек контура справедливо соотношение
(и + iv) (dx — idy) = (в — iv) {dx + idy) = ~L dz. D.60)
После подстановки этого выражения в D.58) получим формулу Чап-
Чаплыгина — Блазиуса
Если / (z) не выражена в явной форме как функция от z, но извест-
известны отображающая функция z = z (С) и потенциал F (С) в плоскости С, то
предыдущая формула принимает вид
Л\ж)^ D-62)
к
где интеграл берется по контуру К, преобразованному из С. Из теории
аналитических функций известно, что интеграл этот может быть распро-
распространен также на любой контур, охватывающий К1.
Применим предыдущее выражение в случае аэродинамического про-
профиля, причем соответствующее движение в плоскости окружности будет
представляться потенциалом D.45), а отображающая функция — выраже-
выражением D.43); члены под знаком интеграла будут, таким образом, заме-
заменены выражениями
D.63)
*L - -V е<* + V°a2e~U - — • -^- D 64)
Подсчитывая вычет Коши, получим окончательное значение интег-
интеграла:
iRv =
Результат идентичен теореме Кутта — Жуковского, с которой мы
встретились в предыдущем разделе [формула C.21)].
Следовательно, результирующая сила пропорциональна плотности,
скорости и циркуляции; она нормальна к направлению потока в беско-
бесконечности и в силу этого является отклоняющей силой.
1 Это возможно, так как подинтегральная функция аналитична вне контура К.
53
Таким образом, составляющая, параллельная скорости, отсутствует,
в согласии с парадоксом Даламбера; однако существует все-таки сила,
параллельная скорости, порождаемая поверхностным трением и беспо-
беспорядочными возмущающими движениями позади контура, которую мы
пока не будем учитывать.
Эту пассивную силу, называемую сопротивлением формы,
мы будем обозначать символом Ло.
В заключение отметим, что при помощи общих уравнений движения х
определяется только одна сила, нормальная к скорости, которую назы-
называют подъемной, или поддерживающей, силой и часто
обозначают буквой Р; но поверхностное трение и возмущающее движение
позади профиля порождают еще другую силу, которая параллельна ско-
скорости и называется сопротивлением формы.
4.6. Результирующий момент
Элементарный момент относительно начала координат (фиг. 4.6) мож-
можно записать в виде
dM = p(x dx + y dy) = д. ч. (pzdz) = д. ч. (izdR), D.66)
откуда, интегрируя и учитывая предыдущие результаты, получим вто-
вторую формулу Чаплыгина — Блазиуса:
М = д. ч. U \zdR \ = - д. ч. Г-jj- \z (^Jdz I . D.67)
V J
U \zdR \ = - д. ч. Г-jj- \z (^Jdz I .
\ с I V с J
Так же как для результирующей силы, в случае, когда движение не
может быть выражено в функции от z в явной форме, но зато известны
отображающая функция z = z(C) и потенциал движения в плоскости С,
равенство D.67) принимает вид
Эти формулы, как и формулы для результирующей силы, обладают
тем существенным преимуществом, что могут быть вычислены методом
вычетов, и, таким образом, выражение под знаком интеграла сводится
1 *
к членам с -=- .
В случае аэродинамического профиля, полученного из окружности
преобразованием D.43), приходим последовательно к следующему ре-
результату:
М = - д. ч. [£ BFfoV« 2УУ
+ 2iV0 ~ |»е«« j 2iti] =2itpF2g* sin 2a + pV0Tmcos (a + 8), D.69)
1 Уравнений движения идеальной (невязкой) жидкости.
* Подразумеваются члены разложения подинтегральной функции в ряд Лорана,
содержащие множитель ~у- в первой степени.
где т и 8 обозначают соответственно модуль и аргумент комплексного
числа [jl, являющегося аффиксом центра окружности:
= me18
D.70)
4.7. Подсасывающая сила в угловой точке
Пусть Со — точка окружности, соответствующая угловой точке z0 кон-
контура. Вводя число т<^.2, определяемое из формулы D.37) в функции
от угла 8, и обозначая через /г (С) некоторую функцию от С, можно за-
записать в соответствии с D.33)
|1 = (С -Со)™ h (С);
для малых значений (С — Со) это равенство сводится к
|1« (С - СГ-1 /г (Со) = (С - Со)*> /г (Со),
D.71)
D.72)
где р = т — 1.
Теперь вычислим интеграл D.62) для контура с угловой точкой.
Для этого проведем вокруг точки Со (фиг. 4.7) окружность малого ра-
радиуса р0 и обозначим через х0 внешнюю
половину окружности. Возьмем указан-
указанный выше интеграл по окружности К — х0
и по х0. Согласно теореме Коши этот ин-
интеграл равен интегралу, взятому по лю-
любому контуру Klt охватывающему контур,
образованный дугами К — х0 и х0> если
между этими контурами нет особых то-
точек, как в нашем случае.
Следовательно, применяя формулу Чап-
Чаплыгина — Блазиуса и основываясь на
D.65), можно написать равенство
Фиг. 4.7
R =
D.73)
Обозначим через R' = Rx — iRy результирующую давлений на контур
вне бесконечно малой области вокруг угловой точки профиля; интеграл
по полуокружности х0 обозначим через S. Подставив вместо С ее сред-
среднее значение Со, получим, пользуясь равенством D.72), следующее вы-
выражение для этого интеграла:
1 2 UL, " A(C)L 1-P Jx. Ai-P
D.74)
при jd <d 1 (/ra<[2) и при Pq-^-0 интеграл этот превращается в нуль.
55
В этом случае угол между касательными в угловой точке профиля от-
лпчен от нуля, интеграл по окружности К имеет смысл, и формулы
Чаплыгпна — Блазиуса справедливы, даже при наличии особой точки z0.
Если р = 1 (т = 2), т. е. в случае точки возврата, мы получим
в этой точке подсасывающую силу, равную
х0
D.75)
следовательно, результирующая давлений на профиль, помимо этой си-
силы, будет
** - S. .D.76)
В дальнейшем мы воспользуемся этими результатами, исследуя дви-
движение вокруг тонкой пластинки.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bieberbach L. Ueber die konforme Kreisabbildung nahezii kreisformiger Bereiche
(О конформном преобразовании почти круговой области на круг). Sitzungsber.
der Pr. Akad. d. W., 1924.
2. Garafoli E. Aerodynamique des ailes d'avion (Аэродинамика крыльев само-
самолета), Chiron Edit., Paris, 1928.
3. Ч а п л ы г и н С. А. Собр. соч., т. II, 1948.
4. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В. Теоретическая гидродинамика,
т. I, ГТТИ, 1948.
5. Фабрикант Н. И. Аэродинамика, Москва, 1949.
6. Glauert H. The Elements of Aerofoil and Airscrew Theory (Основы теории
крыла и винта), Cambridge University Press, 2-е ed., London, 1930.
7. Голубев В. В. Лекции по теории крыла. Гос. изд. технико-теор. дит-ры,
М.—Л., 1949.
8. Joukowsky N. Е. Aerodynamique (Аэродинамика), 2-е ed., Gauthier —
Villars, Paris, 1931.
9. Жуковский Н. Е. Лекции по гидродинамике, Собр. соч., т. II, М.—Л.
10. Milne — Thomson L. M. Theoretical Aerodynamics (Теоретическая аэро-
аэродинамика). Mac-Millan, London, 1948.
11. Peres J. Cours de mecanique des fluides (Курс по механике жидкостей), Gaut-
nier — Villars, Paris, 1936.
12. P i s t о 1 e s i E. Aerodinamica (Аэродинамика), Unione Tipogr.—Ed. Torinese,
Torino, 1942.
13. Prandtl — Tietjens. Hydro- und Aeromechanik (Гидро- и аэромеханика),
Julius Springer, Berlin, 1931.
1 . V i 1 1 a t H. Mecanique des Fluides (Механика жидкостей), 2-е ed., Paris, 1938.
Глава II
ТЕОРИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО КРЫЛА (МОНОПЛАНА)
БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА
Крыло бесконечного размаха представляет собой не-
неограниченную цилиндрическую поверхность, перемещение которой в на-
направлении, перпендикулярном к образующей, сообщает окружающей
жидкости плоскопараллельное движение, которое было нами исследовано
в главе I.
Действительные крылья имеют огр аниченный, или конечный,разл*ах
и обычно не являются цилиндрическими поверхностями. Таким образом,
крыло бесконечного размаха следует рассматривать как идеальную
схему. Случай этот поддается строгому изучению, приводящему к точ-
точным решениям, которые при некоторых упрощающих гипотезах и неболь-
небольших изменениях могут непосредственно применяться к действительным
крыльям. Поэтому мы должны тщательно исследовать плоскопараллель-
плоскопараллельное течение вокруг нормального сечения такого идеального крыла. Ис-
Исследования этого рода и составляют то, что обычно называют теорией
крыльев бесконечного размаха.
5. ТЕОРИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОФИЛЕЙ
5.1. Геометрические характеристики
Рассмотрим контур, вытянутый в направлении потока, с острым
задним концом, называемым задней кромкой, и с закругленным
передним концом, называемым передней кромкой. Такой кон-
контур применяется при конструировании крыльев самолета или лопастей
пропеллера и, как было уже упомянуто выше, называется а э р о д и-
намическим профилем (см. фиг. 5.1).
Кривые, ограничивающие профиль сверху и снизу, мы будем называть
соответственно верхней и нижней сторонами профиля,
или соответственно спинкой и брюшком профиля.
Задняя кромка играет первостепенную роль в объяснении подъемной
силы; поэтому важно уточнить геометрическую форму заднего конца
профиля.
57
Фиг. 5.1
В зависимости от формы задней кромки различают три категории
профилей:
1) профили с задней кромкой в виде точки возврата, когда угол меж-
между касательными к верхней и нижней сторонам профиля в этой точке
равен нулю (профили Жуковского — фиг. 5.1, а);
2) профили с задней кромкой в виде угло-
угловой точки, когда касательные к верхней и
нижней сторонам профиля образуют угол 8,
отличный от нуля (профили Кармана — Трефт-
ца, профили Мизеса — фиг. 5.1, б);
3) профили с закругленной задней кромкой,
когда последняя представляет собой закруг-
закругленный контур с весьма малым радиусом кри-
кривизны (профили Карафоли1 —-фиг. 5.1, в).
Из других геометрических характеристик
профиля наиболее важными являются следую-
следующие.
Хордой, или глубиной, профиля назы-
называется радиус окружности, центром которой является задняя крсмка и
которая проходит через точку А профиля, называемую передней кром-
кромкой (фиг. 5.2).
Хорду можно определить так же, как проекцию профиля на любую
прямую, проходящую через заднюю кромку в направлении, достаточно
близком к направлению от-
отрезка В А, измеряющего мак-
максимальную глубину профиля.
В самом деле, ввиду малости
угла v длины ВА и ВА'
приблизительно одинаковы.
Мы будем обозначать хорду
буквой с.
Заосьпрофиля принима-
принимают прямую, проходящую че-
через заднюю кромку и направ-
направленную вдоль максимальной длины профиля. Мы можем, например,
взять за ось прямую, направленную по отрезку ВА, так как отре-
отрезок этот измеряет максимальную длину профиля. Но мы можем также
считать осью профиля прямую В А'', касательную к нижней стороне про-
профиля, и вообще любую прямую, направление которой приближается к
направлению этих двух прямых.
Толщина профиля измеряется по перпендикуляру к оси
профиля; мы будем обозначать толщину буквой е. Она изменяется вдоль
хорды и достигает максимума в так называемом главном сечении крыла,
на расстоянии I от передней кромки (фиг. 5.3).
Фиг. 5.2
1 Это название было введено разными авторами [19].
Относительная толщина, максимальная от-
относительная толщина и положение главного
сечения будут выражаться в процентах длины хорды или сле-
следующими отношениями:
m
с
E.1)
Линия, проходящая через середины сечений крыла, перпендикуляр-
перпендикулярных к хорде, называется скелетом профиля (см. фиг. 5.4).
Форма скелета является важ-
важным геометрическим парамет-
параметром и связана с понятием
кривизны, или изги-
б а, профиля.
Профили бывают со скеле-
скелетом, кривизна которого сохра- ф 5 о
няет знак (фиг. 5.4, а), и со
скелетом, имеющим точку перегиба/ т. е. S-образным (фиг. 5.4, б).
Обычно кривизна профиля измеряется отношениями
к — —-; к1 —
E.2)
где h, kl9 h2 (фиг. 5.4) — «стрелы прогиба» скелета, т. е. расстояния
соответствующих точек скелета от прямой, соединяющей кромки про-
профиля.
Все эти различные формы
профилей могут быть получены
отображением окружности при
помощи функции
Г I
П П
_/ Г' I 1 Г F П i
а
Фиг. 5.4
E.3)
Мы показали, что коэффици-
коэффициент при -г?- может быть сделан
действительным числом посредством перемены осей координат без ограниче-
ограничения общности задачи; при этом упрощаются вычисления аэродинамического
момента и построение профиля [3]. Поэтому, обозначив через q2 неко-
некоторую действительную постоянную, напишем
z' =
Тогда равенство E.3) примет вид
Чг
С =
E.4)
E.5)
59
На фиг. 5.5 даны вместе система осей Оху в плоскости z и система
О£г\ в плоскости С и при отображении профиля использовано равен-
равенство E.5):
\ /
p
1 Л
Фиг. 5.5
5.2. Аэродинамические характеристики
Выше мы установили, что соответствующее движение в плоскости
окружности дается следующим выражением для потенциала D.45):
—И-
E.6)
где а — угол, образуемый скоростью с осью Ох, или так называемый
угол атаки, а ^ — аффикс точки М или центра образующего кру-
круга (см. фиг. 5.5):
р = те* =O¥ei8 . E.7)
Мы видели, что аэродинамическая результирующая нормальна к по-
потоку D.65); она называется подъемной, или поддерживающей,
силой и пропорциональна плотности р скорости потока Vo и циркуля-
циркуляции Г:
**\ Р = |Д| = 9V0T. E.8)
Так же просто может быть выражен и результирующий момент от-
относительно начала координат D.69):^
М = 2*rpVfo3 sin 2а + pV0Tm cos (а + S). E.9)
Еще проще выражение для момента относительно точки М, центра
образующего круга:
М(М) = М — Р-ОМ cos (а + 8) == 2тгр V2Qq2 sin 2а.
E.10)
Таким образом, результирующая давлений на профиль сводится к
подъемной силе Р, нормальной к потоку и проходящей через точку Му
и к моменту М(М) относительно этой точки (фиг. 5.5).
60
5.2.1. Определение циркуляции. Обозначим через wv скорость в
некоторой точке профиля и через Wk — скорость в соответствующей
точке окружности. Напишем соотношение, уже установленное нами
выше D.49):
W
к
dz
E.11)
dz
В задней кромке профиля производная -^г равна нулю, и скорость,
следовательно, становится бесконечной, что несовместимо с физическими
условиями течения. Это теоретическое течение имело бы вид, показан-
показанный на фиг. 5.6, а.
Чтобы скорость была конечной у задней кромки, необходимо, как
это видно из предыдущей формулы, чтобы Wk тоже была равна нулю
в соответствующей точке на окружности (где -7г"= 0]. Таким образом,
точка окружности, соответствующая задней кромке
профиля, должна быть точкой ну левой скорости.
Пусть В — эта точка, а В'— задняя кромка профиля (см. фиг. 5.5).
Скорость в точке окружности дается формулой D.5):
±
E.12)
где б' отсчитывается в системе осей Mi'vf, с осью Д/$', параллельно»потоку, и
началом координат в центре окружности. В точке В, где 6В = тг -(- а + т»
скорость равна нулю. Отсюда
следует, что а
Г = — 4тга70 sin бв =
= 47raF0sin(a + T);. E.13)
таким образом, циркуляция
вполне определена. Это форму-
формула Жуковского, который, исхо-
исходя из гипотезы, основанной 'на
физической невозможности бес-
бесконечной скорости у задней
кромки, пришел к выражению
циркуляции как функции угла
атаки а профиля, скорости Vo по-
потока и хорды профиля, пропорциональной величине а (см. ниже). В этом
новом представлений течение не огибает задней кромки (фиг. 5.6, б).
Отсюда следует выражение для подъемной силы
Фиг. 5.6
Р = pFor = fapaVl sin (a + т). E.14)
Когда a = —т, подъемная сила равна нулю. Прямая BMI,
61
параллельная этому направлению, называется первой осью профиля,
или осью нулевой подъемной силы.
Если а = 0, то, согласно E.10), момент М^щ относительно центра
окружности равен нулю.
По аналогии с подъемной силой это направление (ос = О), которое
совпадает с направлением оси абсцисс {Ох, (9£), называется осью ну-
нулевого момента, или второй осью профиля.
5.2.2. Фокус профиля. Подобно подъемной силе момент изменяется!
в зависимости от угла атаки. Существует, однако, точка F (см. фиг.
5.5), относительно которой момент не зависит от угла атаки; эта точка
называется фокусом профиля.
В самом деле, пусть MF— прямая, симметричная с Ml по отноше-
отношению к Мх', и положим
Момент относительно F
M{F) = М{М) — Р -HtF cos (a — т) =
— 2 sin (а -f- *c) cos (а — т)] = — 2тгрд27о sin 2т, E.16)
откуда видно, что выражение для момента относительно F не зависит
от положения крыла.
При нулевой подъемной силе угол атаки а = — т. Для этого значе-*
ния угла атаки выражение E.10) момента относительно М принимает
то же значение, что и относительно F. Поэтому момент относительно фо-
фокуса и называют моментом при нулевой подъемной силе; его-
часто обозначают символом Мо.
На практике при лабораторных опытах измеряют момент относитель-
относительно передней кромки (-4'). Отсюда
E.18)
5.2.3. Парабола метацентров. Мы видели, что результирующее дав-
давление на профиль нормально к потоку и проходит через точку F (фокус
профиля), момент относительно которой равен Мо = — 2тгрд2 -V% sin2т.
Для любого положения крыла всегда существует прямая D, момент по
отношению к точкам которой остается равным нулю. Эта прямая пер-
перпендикулярна к скорости и отстоит от F на расстоянии d, определенном
соотношением
sin 2т E 19)
л_ |ol= £_
Р 4TcpaF2sin(a+T) 2 " a 'sin(a+T)'
62
или, иначе,
MF sin 2т
2 " sin (<х4-т) #
E.20)
Таким образом, момент равен нулю относительно любой точки пря-
прямой D> и давление сводится к одной подъемной силе (Р), которая пе-
пересекает хорду В'А' профиля в точке С. Эта точка называется центром
давлений.
Вернемся к выражению E.20). Проекция расстояния d на нормаль
к оси нулевой подъемной силы (NH) постоянна (фиг. 5.7):
d sin (а + т) = ±-MF sin2x = ±-W = Ш'= d0. E.21)
Фиг. 5.7
Из этого геометрического свойства прямых D можно заключить, что
их огибающая представляет собой параболу с фокусом в F и что ось
нулевой подъемной силы MNI является директриссой этой параболы,
а вершиной — середина отрезка FN (точка S). Вторая ось, проходящая
через М (М II), касается этой параболы.
В самом деле, обозначим через d2 = MF sint расстояние фокуса от вто-
второй оси; мы получим, что это расстояние совпадает с тем, которое опре-
определяется формулой E.20), при угле атаки равном -^- :
А - MF
2 — ~~2~~
sin 2t
in(ir+T)
= MF sin т.
sin
E.22)
5.3. Безразмерные коэффициенты
Аэродинамические характеристики профилей обычно выражаются без-
безразмерными коэффициентами, которые мы определим, обозначая через с
63
хорду профиля, а через с X 1 = с поверхность отрезка крыла, равного
единице
а) Коэффициент подъемной силы
Cz = —-— = Ы - sin (a + т). E.23)
£ 2 °
б) Коэффициент лобового сопротивления
Выше было показано, что для идеальных жидкостей лобовое сопро-
сопротивление (сила, параллельная потоку) равно нулю. Но в случае реаль-
реальных жидкостей вследствие трения о стенку и отрыва потока сзади от
верхней стороны профиля возникает сопротивление, называемое сопро-
сопротивлением формы, или профильным сопротивлением, и кото-
которое обычно обозначают символом RQ. Соответствующий безразмерный
коэффициент имеет вид
С*. = —^-. E.24)
в) Коэффициенты момента
)
\ E.25)
___ m(A')
= _4.4-sin2T-^Cz.
Эти выражения можно упростить, так как углы а и т весьма малы
(несколько градусов), а хорда крыла с = АВ', как увидим дальше,
приблизительно равна сх4д = 4аA — s), где е изменяется от 0% ДО
7% в обычных профилях; наконец, FA'ж0,25 с. В упрощенном виде
коэффициенты крыла имеют следующий вид:
1
Ст. ж - \ х = - 0,0275т0,1 E.26)
Ст~Ст, -0,25Сг. J
5.4. Профили с закругленной задней кромкой (профили КарафолиI
Выше мы видели, что теория Жуковского об определении циркуля-
циркуляции вокруг профиля основана на существовании острия в задней кромке.
Между тем существование циркуляции вокруг всякого продолговатого
контура независимо от того, заострен его задний конец или нет, яв-
является общим свойством профилей; поэтому для практических целей не-
необходимо определить эту циркуляцию по крайней мере вокруг обычно
применяемых профилей. Так, например, предположение Жуковского было
бы невозможно использовать в случае профилей, употребляемых при
1 Это название было введено разными авторами [19].
64
конструировании лопастей пропеллера (в особенности деревянного пропелле-
пропеллера), а также для профилей крыльев в некоторых точках размаха крыла, где
по конструктивным соображениям требуется закругленный конец. По-
Поэтому представляется важным более подробно проанализировать харак-
характеристики потока вокруг закругленной задней кромки, чтобы вывести усло-
условия плавного обтекания, и определить точку нулевой скорости на профиле
и на окружности, а следовательно, также и циркуляцию.
Рассмотрим профиль, который отличается от теоретического профиля
Жуковского только тем, что задняя кромка его закруглена. Очевидно,
в этом случае производная
E.27)
не обращается в нуль ни в какой точке вне и на окружности и, следова-
следовательно, все корни Ci, С2 . . . Сп лежат внутри окружности. Для того что-
X
Фиг. 5.8
бы профиль тем не менее имел вытянутую заднюю кромку, необходимо,
чтобы один из этих корней, например d, был весьма близок к контуру
круга; расстояние RXB (на продолжении прямой MRX) должно быть
очень малым по сравнению с радиусом окружности (фиг. 5.8).
Скорость на профиле попрежнему дается выражением
dz
Обозначая через г±, r2 . . . rn расстояния от некоторой точки на ок-
окружности до точек Rx, R2, . . . Rnjt соответствующих корням, а через
г — расстояние от этой же точки до начала координат, можем записать
dz
ПГ-2 ■ ■ ■ Г„
E.28)
65
и так как г2 . . . гп, г почти не меняются в малой окрестности точки 5,
можно считать, что выражение E.28) принимает минимальное значение
при минимальном rl9 т. е. для точки В, которая является пересечением
окружности с радиусом MRXB. Соответствующей точкой на профиле бу-
будет В'\ эта точка как бы представляет собственно закругленную заднюю
кромку профиля.
Предположим далее, что Q есть точка нулевой скорости на окруж-
окружности, соответствующая точке Q' на профиле. Скорость изменяется от
очень большого значения в В' до нуля в Q''. Это внезапное изменение
скорости отрывает поток от крылаг, и плавное обтекание устанавливается
только тогда, когда точка нулевой скорости находится на самой задней
кромке в В' и, следовательно, в точке В на окружности. Таким образом,
циркуляция вполне определена, как мы уже показали в наших предыду-
предыдущих работах [3]:
Г = 4тга70 sin (a + о). E.29)
Поэтому в случае профиля с закругленной задней кромкой задача
заключается в определении точки В, находящейся на радиусе MRX.
Остальные характеристики те же, что и для профилей с острой задней
кромкой.
На практике обычно применяются профили с закруглённой кромкой,
поэтому в дальнейшем мы подробно исследуем их построение.
6. КЛАССИФИКАЦИЯ И ПОСТРОЕНИЕ ПРОФИЛЕЙ
При помощи преобразований D.27) или D.43) можно получить прак-
практически применимые формы профилей. В зависимости от формы задней
кромки профили могут быть с концом, сходящимся в точку возврата, с
концом, сходящимся в угловую точку, или же с закругленным концом.
По числу членов в отображающей функции и по методу определения
коэффициентов q±, q2 . . . qn аэродинамические профили могут быть раз-
разбиты на несколько обширных классов, изучение которых полезно с точки
зрения их применения в авиации.
6.1. Профили Жуковского
Эти профили характеризуются простым преобразованием
"'+£• ТС
где q — действительная постоянная.
Центр образующей окружности лежит в М, в первом квадранте
(фиг. 6.1). Предположим, что задняя кромка профиля соответствует на
1 Явление отрыва будет более подробно проанализировано при изучении погра-
пограничного сдоя Прандтля; этот слой образуется у стенки тела вследствие трения
частиц жидкости, обусловленного вязкостью.
66
круге значению С = — q в точке В, где производная -тр- равна нулю. При ис-
использовании соотношений D.71) и D.37) становится очевидным, что
угол между касательными в задней кромке равен нулю. Это характеризует
профиль Жуковского.
Прежде чем рассмотреть общий случай, обратимся к некоторым ин-
интересным частным случаям, которые стали классическими.
Фиг. 6.1
6. 1. 1. Тонкая пластинка. Если центр образующей окружности ле-
лежит в начале координат и q2 = a2, где а —радиус окружности, мы по-
получим тонкую пластинку (фиг. 6.2).
В самом деле, для точек окруж-
окружности (С = aeiQ) получим
ос
z ■= С + -ё" = aeie + ae~iQ = 2acos 6
F.2)
или
x = 2a cos 6; у = 0. F.2')
Толщина равна нулю. Когда б из- Фиг. 6.2
меняется от нуля до тс, то х изме-
изменяется от 2а до — 2а; следовательно, хорда равна с == 4а. Часть АСВ
круга отображается на верхнюю сторону пластинки А'В', а часть ADB—
на нижнюю сторону. Первая ось налагается на ось <9#(т = 0); одновре-
одновременно эта ось является второй осью профиля. Отсюда получаем следующие
характеристики: фокус лежит в Л, на расстоянии четверти хорды от
передней кромки
А'А = а = 0,25 с.
F.3)
67
Далее
Cz = 2тс sin а
F.4)
Легко также установить, что центр давлений лежит в А.
6.1.2. Подсасывание у передней кромки тонкой пластинки. Согласно
общему результату, который распространяется также и на тонкую пла-
пластинку, результирующая аэродинамическая сила, действующая на
пластинку, нормальна к потоку и равна pFoF. В то же время
согласно сделанным предположениям без учета трения силы дав-
давления нормальны к пластинке, следовательно, результирующая
должна была бы быть тоже нормальна к пластинке. Однако это не так
из-за подсасывания у передней кромки. В самом деле, согласно F.1)
f = (C-a)^, F.5)
а передняя кромка соответствует Со = а. Следовательно, также согласно
D.72), имея в виду, что р = 1, получим
и
/ ~7 17 \ а
ш2а. F.7)
Отсюда следует, что на конце пластинки действует подсасывающая
сила, значение которой согласно D.75) определяется как
S = 4тгр Via sin2 a = р70Г sin a. F.8)
Если мы не учитываем подсасывающую силу, то результирующая дав-
давлений будет нормальна к пластинке, и ее выражение согласно D.76) будет
R' =R'X — iRry = — ipTVoe^ — S = — iP70rcos a, F.9)
что соответствовало бы реальным физическим условиям, если бы пластинка
была идеально тонка. В действительности же передняя кромка не яв-
является совершенным острием и, кроме
того, сама пластинка обладает неко-
некоторой толщиной. С другой стороны,
возможно, что течение будет иметь
вид, аналогичный показанному на
фиг. 6.3, и в этом случае мы можем
« рассматривать тонкую пластинку как
профиль с тупой и закругленной
передней кромкой. Картина эта может быть дополнена местным отрывом
потока, возникающим на верхней стороне профиля, вблизи передней
кромки.
68
6.1.3. Дуга окружности. Если центр лежит в точке М на оси ординат,
мы получим дугу окружности (фиг. 6.4).
Обозначим через т длину отрезка ОМ и через q — длину отрезка
ОВ\ точка В (С = — q) соответствует задней кромке В' профиля (z =
= —2q); точка А, симметричная точке В относительно оси Oy(^ = q)t
соответствует передней кромке A (z =-f- 2g), которая тоже является точ-
точкой возврата; хорда с равна Aq. Для радиуса окружности получим вы-
выражение
F.10)
Так как т мало по сравнению с q, то можно считать, что axq.
Фокус лежит приблизительно в точке А. В самом деле, согласно E.15)
получим последовательно
Чтобы показать, что про-
профиль является дугой окруж-
окружности, представим отобража-
отображающую функцию F.1) в виде
§• F-12)
Фиг. 6.4
Для точки Р окружности, соответствующей точке Р' профиля, мы
можем в этом случае написать, что
откуда следует
r2elS2
si — S2 = 2 (ох — о2); s = 2а.
F.13)
F.13')
Следовательно, угол s, под которым виден отрезок А!В\ остается
постоянным, так же как и о. Приходим к заключению, что кривая А'С'В'
представляет собой дугу окружности со стрелкой выгиба относительно
оси Ох, равной t = OC, величину которой мы можем легко определить
следующим образом:
= ЮС = iOC+ 4L = i \a + т — ^"^I = 2im. F.14)
it:
Первая ось профиля, т. е. ось нулевой подъемной силы, образует с
хордой А'В' (или, другими словами, с осью Ох) угол т, определяемый
равенством
tffT«*=- = -^ = -^-=/. F.15)
69
Радиус же профиля связан со стрелой выгиба t соотношением
R2 = (R — if + 4?2, F.16)
откуда мы получаем следующие выражения для радиуса и для стрелы:
В результате получаем следующие аэродинамические характеристики:
F.18)
= 2n — sin (a + т) « 2тг (а +
6.1.4. Общий случай профиля Жуковского. Центр образующей окруж-
окружности лежит в первом квадранте в точке М, аффикс которой есть те18,
где т == ОМ (см. фиг. 6.1). Прямая ВМ, образующая угол т с Ох,
является осью нулевой подъемной силы. Обозначив через Мо пересече-
пересечение ВМ с Оу и полагая т0 = ОМ0, получим
tg* = ^- = /-- F.19)
Эта же величина угла т получается при обтекании дуги окружности
B'Aq, преобразованной из окружности Ко радиуса aQ==BM0. Интересно
отметить, что точки, заключенные между окружностями Ко и К, соот-
соответствуют точкам, заключенным между контуром С профиля и дугой CQ.
Поэтому эту дугу называют скелетом профиля Жуковского.
Точки А' иВ', являющиеся окончаниями хорды, соответствуют точ-
точкам А (С = q + 2т cos 8) и 5 (С = —q) круга; таким образом, полная
хорда с = А'В' равна
F.20)
Радиус образующей окружности
а= ВМ = "j/g2 + т2 + 2qm cos о = qrfl + 2 — cos 8 + ^т — Я +
V Я Я
F.21)
Фокус лежит на прямой MF, образующей угол 2т с BMI, на рас-
расстоянии MF от М.
FF = ^«<7(l--cos8+^cos28>). F.22)
а ч\ я Я2 J
От задней кромки фокус отстоит на расстоянии
т2 cos2 8
В! F » 2д + т cos 8 -fg — яг cos 8 +
70
а от передней — на расстоянии
Я
F.23')
Если центр М лежит на оси абсцисс, то очевидно, что отображен-
отображенный профиль будет симметричным (фиг. 6.5). Обозначим теперь через
р. такой коэффициент1, что у
М0М =
, F.24)
и представим полученные ре-
результаты в функции от [а:
а « q A + \>)
F.25)
Фиг. 6.5
Что касается максимальной толщины профиля и положения главного
сечения, ниже мы рассмотрим этот вопрос подробно с более общей точки
зрения, здесь же даем главные результаты этого исследования. Так, на-
например, относительная максимальная толщина выражается следующей
формулой, которую мы выведем ниже (8.19):
F.26)
откуда fx может быть выражена в функции от sm:
0,77 s
1-0,6
F.27)
Положение максимальной толщины (т. е. главного сечения) остается
приблизительно постоянным, а именно: на расстоянии четверти хорды
от передней кромки, что характерно для профилей Жуковского.
В заключение можно отметить, что геометрические характеристики
профиля зависят от следующих параметров:
ОМ
- = tgT = / (определяет кривизну или изогнутость профиля);
М0М
= р, (определяет максимальную относительную толщину).
1 Не следует смешивать этот коэффициент с аффиксом центра М, который мы
обозначили также через ц и который содержится в выражении для потенциала
E.6).
71
Соответственно мы приходим к следующим аэродинамическим харак-
характеристикам:
F.28)
Ст = Ст. - 0,25 A + Зр2) <7Z« Ст% — 0,25Cz
6.1.5. Построение профилей Жуковского. Графический метод, изо-
изобретенный Трефтцем, позволяет легко строить профили Жуковского.
Метод этот основан на промежуточном преобразовании, а именно на ин-
инверсии круга. Преобразование
d = -f-, F.29)
называемое инверсией, ставит в соответствие образующей окружности
К другую окружность К19 проходящую через точку 2?(С=—q), имею-
имеющую центр в точке Мг\ последняя является точкой пересечения пря-
прямой ОМХ (симметричной ОМ относительно Оу) с прямой ВМ (см.
фиг. 6. 1). Радиус МХВ преобразованного круга (обозначим его длину
через аг) определяется формулой
Доказательство будет дано позже для общего случая F.69); оно же
применимо и к рассматриваемому здесь частному случаю.
Точке Р окружности К соответствует точка Рг окружности Кг
(фиг. 6. 1 и 6. 5), лежащая на прямой ОР1у симметричной прямой ОР
относительно Ох. Поэтому
ОРегЬ
Вернемся к преобразованию F.1); точка Р' на преобразованном кон-
контуре получается путем геометрического суммирования ОР и ОРг:
z = ^ + ^ = ОРе* + ОРхе-™ = ОР'е*'. F.32)
Таким образом, профиль Жуковского можно построить весьма просто,
если фиксированы геометрические характеристики, которые надо получить,
а именно:
кривизна, определяемая как / = " = —- ;
максимальная относительная толщина, которая позволяет вычислить М0М:
q ~l-0,60£m*
Откладывают ОМ0 на Оу, проводят прямую ВМ0М, на ней отклады-
откладывают М0М и таким образом фиксируют центр М образующей окруж-
72
ности. Далее проводят прямую ОМ1У симметричную ОМ относительно Оуг
и находят центр Мг вспомогательной окружности Кх. С этого момента
профиль строится непосредственно: строят параллелограмм РОРгР' и та-
таким образом находят точку Р' профиля, соответствующую точке Р круга.
Чтобы построить нормаль в точке Р\ надо иметь в виду, что радиус-
вектор ОР в плоскости окружности преобразуется в гиперболу в пло-
плоскости профиля. В самом деле, для произвольной точки радиуса-вектора
(С = reib) мы получим при помощи F.1)
= re™
si
г
= г
cos
\ sin G, F.33)
откуда получаются софокусные гиперболы с фокусами в точках В'
(xB> = —2q) и А'о(хАо> =2q):
к 2q cos 0
У
2g sin0 /
\2
) =1-
F.34)
Нормаль к окружности в точке Р образует угол v с радиусом-векто-
радиусом-вектором. Этот угол воспроизводится в плоскости профиля между нормалью
к профилю в точке Р' и касательной в той же точке к гиперболе, полу-
полученной отображением радиуса-вектора ОР. Касательной к гиперболе в
этой точке является прямая рр±; точки р и р± лежат на прямых ОР
и ОР2, причем Ор=2'ОР, a Upx=2~OP1.
6.1.6. Распределение скоростей на профиле. Другой важной пробле-
проблемой, всегда стоящей перед конструктором, является распределение дав-
давлений на профиле. Чтобы ре-
решить ее, надо знать распределе-
распределение скоростей на профиле. Мы
видели, что скорость wv на
профиле связана со скоростью
Wjc на окружности соотноше-
соотношением D.49)
/
W
к
dz
F.35)
Фиг. 6.6
где Wк можно определить гра-
графически следующим образом
(фиг. 6. 6). В самом деле,
обозначая через Vo скорость
в бесконечности и через PN —
расстояние точки Р (которая соответствует точке Р' профиля) до пря-
прямой BN, параллельной скорости, найдем при помощи формулы D.12)
следующее соотношение:
WK = 2V0 [sin F' + а) + sin (а + т)] = 2V0
= 270 —. F.36)
Для производной -т^- мы также найдем весьма простое графическое
построение (см. фиг. 6.6):
**
КГ ^~~ С I W l }
Следовательно,
^2i, cos)
Vo °> РРг К '
откуда получаем распределение давлений на профиле:
Cpa£zu = i-i = i-4p.£)!. F.39)
Р 9 V2 V2 V « Ргр]
т ° °
6.2. Профили с угловой точкой на задней кромке
(профили Кармана — Трефтца)
Выше мы видели, что профили Жуковского, которые можно получить
посредством преобразования F.12)
z + 2q
характеризуются точкой возврата в.задней кромке, т. е. угол, образуемый
в этой точке касательными к верхней и нижней сторонам профиля,
равен нулю.
Теперь рассмотрим по аналогии с этим выражением несколько ви-
видоизмененное преобразование:
1Ъ* {6.40)
которое должно удовлетворять условию hr) =1, чтобы обе области
накладывались одна на другую в бесконечности и чтобы отображение
имело вид E.5). Это условие будет удовлетворено, если х = &.
В самом деле, если z и соответственно С достаточно велики, мы можем
последовательно написать
с* н—т~9 ?f^h: ^—
rpw^ F-41)
ИЛИ
-f +-)•
откуда видно, что коэффициенты * и к должны быть равны. Следова-
Следовательно, профили Кармана—Трефтца, характеризуемые тем, что их задняя
кромка является угловой точкой, получаются преобразованием
некоторые применения которого мы рассмотрим ниже.
74
6.2.1. Серповидный профиль. Предположим теперь, что преобразова-
преобразованию F.43) подвергается окружность с центром, лежащим на оси Оу в
точке М. Отсюда следуют соотношения (фиг. 6.7):
r2ew*
— *2 = $ = * К — °2) =
F.44)
Фиг. 6.7
Так как дуги а и а' постоянны, то $ и $' тоже постоянны, следова-
следовательно, дуги А'С'В' и A'D'B\ соответствующие дугам АСВ и ADB обра-
образующей окружности, являются одновременно и дугами окружностей с
соединяющимися в угловых точках концами, в которых угол между ка-
касательными равен
8 = sf — s = 2тг — х (тг — а) — ха = B — х) тт. F.45)
К такому же результату мы придем, произведя разложение отобра-
отображающей функции в окрестности точек z = xg и С = ? и применив фор-
формулы D.33), D.34) и D.37), где т следует заменить на х.
Чтобы построить дуги, образующие серповидный профиль, достаточно
определить радиусы R и R' при помощи формул
D — * -?_ . • »' — _ *_ * F.46)
sins
sinxc
sins'
sin xc''
75
Обозначим далее через v и v' углы, образуемые дугами серпа (луноч-
(луночки) с хордой; так как, кроме того,
F.47)
мы можем записать соотношения
F.48)
= V — 6]
которые вместе с F.42) послужат для определения геометрических ха-
характеристик серповидных профилей.
Фиг. 6.8
Аналогичным способом можно получить другие профили с угловой
точкой, изменяя положение центра образующей окружности на оси Оу
и сохраняя тот же угол между касательными в задней кромке. Таким об-
образом, например, нижняя дуга может быть приведена к прямой (фиг. 6.8).
Чтобы построить образующую окружность, определяют х по форму-
формуле F.45), вычисляют q и таким образом находят точку В образующей
окружности. Угол s равен тг — о, а а равен -к т. При помощи соотно-
соотношения s = xa F.44), заменяя о его значением из F.45), найдем
B-х)тс
2х
2х
F.49)
откуда получим центр М окружности и первую ось профиля.
На фиг. 6.9 показан двояковыпуклый профиль, годный
для применения при сверхзвуковых скоростях благодаря
тем преимуществам, которые он дает, когда мы имеем дело с сопротивле-
сопротивлением при больших скоростях.
76
6.2.2. Общий случай. В общем случае центр образующей [окружности
лежит в первом квадранте, в точке М (фиг. 6.10). При помощи преобра-
преобразования F,43) получим
Г1 7 / Pi Y
^ V P2 /
Фиг. 6.9
Р
F.50)
Фиг. 6.10
Следует отметить, что с уже не постоянно и, следовательно, s тоже не
постоянно. Чтобы построить профиль, представим отображающую функ-
функцию в виде
щ &+дГ-(К-яГ
- /c^J
F.51)
77
откуда получаем координаты профиля
Х __ * Я Ч
хя 1 + № — 2Л cos s
F.52)
г/ = 2fcsins V J
щ 1 + к2 — 2к cos s '
Концы хорды i5' и i', соответствующие точкам С = —q и С=? +
+ 2/wcos8 образующей окружности, определяются посредством соотноше-
соотношения F.51), и, таким образом, мы можем вычислить хорду:
с =мд -f- Щ
F.53)
где попрежнему m cos Ь = \iq, а угол 8 = B — х) тг изменяется в обычных
пределах — от 0° до 18°; следовательно, х изменяется от 2 до 1,9.
Фокус профиля получим из общего выражения, заменив коэффициент
при -=- величиной
—^— ф при помощи F.42) и полагая а = ВМ ^ q A +
X2_i ^ _х2~1 ,, вЛ \
F.54)
6.2.3. Аэродинамические характеристики. Получив эти результаты,
мы легко определим аэродинамические характеристики профиля, учиты-
вая при этом входящий в выражение для момента коэффициент —ц— ф
1 . х
при -у- > как мы поступили в предыдущем случае при определении фо-
фокуса. Таким образом найдем
^ sin 2т
3 4х2
}. F.55)
6.2.4. Распределение скоростей. Мы уже видели, что скорость wv в
точке профиля дается выражением
dz
78
где W& — скорость в соответствующей точке на окружности — выводится
ив формулы F.36), а -^ определяется, исходя из выражения F.43):
путем взятия производной. Получим последовательно
dz_ 2щ _ 2ху (£2 — (у2)* _ Г^ —
F.56)
Следовательно, обращаясь к фигуре F.10), найдем окончательно
dz
' PlP2 '
F.57)
6.3. Различные другие профили
Профили Жуковского обладают определенными геометрическими ха-
характеристиками, например: задняя кромка чрезвычайно утончена; рас-
распределение толщины таково, что максимум толщины всегда ближе к пе-
передней кромке; скелет всегда имеет форму дуги окружности и т. д. В про-
профилях .Кармана — Трефтца задняя кромка несколько утолщена, тогда
как метод Мизеса, который мы вкратце изложим, дает интересное решение
задачи в смысле распределения толщины и изменения формы скелета,
благодаря чему он получил значительно более широкое распространение
на практике.
Исходным пунктом этого метода является производная -т=- , которую,
как уже было сказано выше D.38), можно представить в виде
F.58)
где С = X — точка окружности, соответствующая задней кромке профиля,
а Х1? Х2, ... , Хп — другие корни (число которых равно п), лежащие внутри
окружности (фиг. 6.11). В результате получим
функцию z в виде D.27)
z = (
•т£, F-59)
откуда следуют соотношения
3=1
*s-42 2, , F.60)
79
Таким образом, геометрическая сумма корней равна нулю и метод,
по существу, состоит в таком расположении точек Lx, L2 . . . Ln, пред-
представляющих соответствующие корни внутри окружности, при котором
сумма их аффиксов была бы равна — X. Этот метод дает неограниченные
возможности в области практического применения и поэтому представ-
представляет большой интерес при изучении профилей. Однако определение гео-
геометрических характеристик профиля (формы, кривизны, распределения
толщины) при помощи простых, точных и легко контролируемых пара-
параметров связано с большими трудностями. Поэтому, не останавливаясь на
деталях построения, отметим, что коэффициент при -=- может быть пред-
представлен в виде qx = q2 e2ir и что при переходе к другой системе коорди-
координат (z = z'eiy и С = C'eiY') выражение F.59) может быть приведено к виду
E.5), где коэффициент q2 при -р действительное число.
Но в данном случае мы предпочитаем отослать читателя к описанию
метода, изложенного ниже, который устраняет указанные недостатки и
значительно облегчает построение профиля.
6.3.1. Другие методы. Прежде чем излагать этот метод, следует
упомянуть о различных других методах, а именно указать на методы Ге-
келера [9], Мюллера [21] и особенно на весьма оригинальный метод
Жиро [10]. Сюда относятся также работы С. А. Чаплыгина, посвященные
различным формам профилей, полученным совершенно иным способом.
Например, в статье «О давлении плоскопараллельного потока на погру-
погруженное в него тело», опубликованной в 1910 г. в Москве, Чаплыгин опи-
описывает семейство профилей, полученных инверсией параболы. Несомненно,
профили эти очень интересны, однако метод их построения не так прост,
как метод Жуковского, который стал классическим и получил всеобщее
признание. В другой работе С. А. Чаплыгина [8] даются еще иные формы
профилей (например, профили с закругленной задней кромкой, "профили,
определяемые инверсией эллипса).
6.4. Профили обобщенной формы
Выше мы разобрали геометрические характеристики профилей Жуков-
Жуковского и Кармана — Трефтца. Профили Мизеса расширяют область прак-
практического применения, но построение их весьма сложно, и изменение ха-
характеристик не управляется достаточно определенными и простыми
параметрами. Поэтому мы разработали метод [3], который обладает преиму-
преимуществом простоты и вместе с тем охватывает другие предложенные способы,
обобщая формы профилей, применяемых на практике. В основном он
включает следующие пункты:
а) геометрическую интерпретацию отображающей функции;
б) определение параметров, управляющих изменением геометриче-
геометрических и аэродинамических характеристик профиля;
в) нахождение простых форм, охватывающих всю область практиче-
практического применения.
-80
Начнем с общего выражения E.5) для z, которое можно представить
в виде
n m
-c+f+SS^. F.61)
где ф — действительная постоянная, а Хо, лх . . . \т — аффиксы точек
Lo, Lx. . . Lm, лежащих внутри окружности. Такое представление всегда
„ dz
возможно, если, разумеется, все корни производной -^ лежат внутри
окружности, за исключением одного, например С = £б, лежащего в точ-
точке В на окружности и соответствующего задней кромке профиля.
Чтобы это условие было выполнено, должно иметь место в точке В
на окружности следующее тождество:
или
п тп
- -i.w • /r__i.i • (б-63)
Отметим теперь, что инверсия
Ci = -£ F.64)
образующей окружности К дает вспомогательную окружность .Х^
(фиг. 6.12). Обратимся к ее построению.
Пусть mei8 — аффикс центра М, a = QM — радиус образующей окруж-
окружности, уравнение которой в системе Ощ будет
(S — m cos 8J + (vj — m sin 8J = a2. F.65)
Полагая С = £ + гу] и С = 5 — 17], можно цереписать это уравнение
в виде
Согласно F.64) положим
С = -Ц-, С = -С F.67)
и введем эти выражения в F.66). После некоторых преобразований и
упрощений получим
(^1 + TZZ—2mC0SM +Gii—2TZ—2msin^) ^(i^z—s) fl2 = ar F.68)
Это уравнение круга irx с радиусом a1? равным
a1= т^—.а, F.69)
81
и с центром, аффикс которого тхе1^ дается равенством
F.70)
Центр Мг отображенной окружности лежит на прямой ОМг, симмет-
симметричной прямой ОМ относительно Оч\.
Фиг. 6.12
Обозначив через Q пересечение окружности К с отрицательным на-
направлением оси О\ и через Qx — пересечение этой же оси с окружностью Кх,
получим согласно F.64)
OQ=q*. F.71)
Треугольник QMR, в котором прямая MR параллельна прямой МгО,
подобен треугольнику QYMXO, так как
QW
Ш~ ~~ (Ж
д2
ОО[
2 + 2OQтcos
F.72)
Таким образом находим центр Мх лежащим также и на прямой QXM±,
параллельной QM\ следовательно, Мх является пересечением прямых
ОМХ и Q±M±.
82
Точка В± круга Кг, соответствующая точке В (£в = —ОВе~{?>)
круга К, имеет аффиксом
^ = ^=-Х-^=-ЙВ^, F.73)
откуда следует
Cr — 4- = — OBer-W + ОВ^е1® = BiBeio F 74)
Таким образом, равенство F.63) принимает вид
qia t • к ^^ ) =ЩВе*°, F.75)
2 О ^В А' ^ *
и мы непосредственно получаем необходимое условие для того, чтобы
точка В соответствовала задней кромке профиля: геометрическая
сумма отрезков
должна быть равна В1Ве1"' (фиг. 6.12).
Одновременно получаем коэффициент q.h:
F.76)
q =i-l)nlf. Щ^е^р**,-»,) , F.77)
где
уу = т, + р. F.78)
Не ограничивая области практического применения, можем заменить
двойную сумму в правой части равенства F.61) одним членом:
2 I—^ = -i=—. F.79;
Получающееся преобразование
2==C + -f- + —^Чг F.80)
достаточно, чтобы покрыть всю область практических применений к аэро-
аэротехнике.
Согласно предыдущему, коэффициент третьего члена
яп = (-1)" ^
ОБ
н преобразование вполне определено. Очевидно, что в зависимости от
положения точки Ц мы получаем бесконечное множество семейств про-
профилей. Однако интересны два положения этой точки, при которых по-
83
строение профиля упрощается. Этими двумя положениями являются начало
координат (kj = 0) и центр М образующей окружности (Ху — OMei8 = те18).
В первом случае можно написать
z = C + -£- + — F.82)
и соответственно
?п = (— 1)п ^— (ВО)пе1 (°-пЫ у F.83)
во втором случае
г = С + |-+ (|;_^.И)И, F-84)
причем, обозначив через а радиус образующей окружности, получим
следующее выражение для коэффициента при третьем члене:
(a+nT+v) ■ F.85)
7. ПОСТРОЕНИЕ И СИСТЕМАТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ
ОБОБЩЕННЫХ ПРОФИЛЕЙ
7.1. Построение профиля и определение геометрических параметров
Рассмотрим преобразование F.80), обозначив через К образующую
окружность, которую надо преобразовать.
Возьмем в качестве характерной длины отрезок OQ, который до из-
известной степени определяет масштаб чертежа и, как мы увидим в дальней-
дальнейшем, приблизительно равен четверти хорды профиля. Прежде всего от-
отметим, что предыдущее преобразование зависит от нескольких параметров,
изменение которых дает столько же семейств профилей. Дадим геометри-
геометрическую интерпретацию этих параметров. Для этого положим
h G.1)
и пусть х, / и [г — числовые коэффициенты, определяемые соотношениями
G.2)
Обозначим далее через
т — угол, образуемый осью нулевой подъемной силы ВМ с осью
абсцисс;
"kj^OLj-e18]—положение точки Lj\
п — степень третьего члена в выражении F.,80).
Все эти независимые параметры (х, /, р., т, Х;-, п) влияют на форму,
а также на геометрические и аэродинамические характеристики профи-
«4
лей. Нетрудно понять, как много различных типов или семейств профи-
профилей и какое разнообразие форм можно получить изменением этих пара-
параметров. Прежде чем установить влияние каждого из них, мы изложим
способ построения профиля обобщенной формы, давая каждому параметру
известное априори значение, выведенное из характеристик профиля, ко-
который мы хотим построить.
Ниже мы укажем последовательные операции построения. Выберем в.
качестве единицы масштаба отрезок OQ = Z, как было уже сказано выше, и
пусть Мо — точка на оси ординат, для которой OM0 = fl. Возьмем также
на прямой QM0 отрезок М0М = \il и пусть М будет центром образующей
окружности. Обозначим через Qx точку на оси абсцисс с положительной
или отрицательной стороны по отношению к (?, для которой OQ-OQ± = q2,
и положим, что QQi = у-l. Окружность К19 являющаяся образом К при
инверсии, проходит через точку Qlt и центр ее лежит в М19 т. е. в точке
пересечения прямых Q±MX и ОМг, причем Q^MX параллельна QM, &ОМг
симметрична ОМ по отношению к оси ординат.
Теперь мы можем определить аффиксы, следующие из двух первых
членов выражения F.80):
z = C+£- = С + *2A~Х) , G.3)
Так, например, точка Р образующей окружности преобразуется в
точку Рг\ аналогично отображаются все точки этой окружности. В ре-
результате такого преобразования мы получим контур Clt который назовем
базисным контуром, или профилем; форма его определяется тремя
параметрами: /, р и х.
7.2. Профили с точкой возврата
Чтобы из базисного контура получить требуемый контур, мы должны
определить третий член в выражении F.80). Для этого ищем сначала
точку нулевой скорости, т. е. В. Эта точка определяется из аэродина-
аэродинамических соображений. В самом деле, угол т, образуемый прямой ВМ
с осью абсцисс, определяет момент при нулевой подъемной силе или его
безразмерный коэффициент Ст^ трт. Так как в современных профилях
этот коэффициент изменяется в пределах от нуля до —0,05, то угол т
не превосходит 2°; таким образом, точку В легко определить, фиксируя
заранее значение коэффициента Ст9. В этом заключается большое пре-
преимущество профилей обобщенной формы. Прямая ВМ является одновре-
одновременно осью нулевой подъемной силы профиля.
Точка Вг окружности К19 являющаяся образом точки В, определяет
отрезок ВХВ, образующий с осью абсцисс угол 6. Отсюда следует значе-
значение третьего члена:
EJL (^ЬХ^и^ (o+n^+^noj) ,7Л)
ов v ;
85
которое надо добавить к аффиксу p'l9 чтобы получить точку Р' искомого
профиля (фиг. 6.12). Этот новый член называется поправкой базис-
базисного контура; его модуль и аргумент соответственно
р-р =
ОВ
G.5)
Изменение положения точки Lj дает двупараметрическое бесконечное
множество профилей, определяемых изменением модуля и аргумента
числа Х?:
)ч = ОЬ/8>. G.6)
Среди положений точки Lj два представляют особенный интерес, так
как упрощают построение, а именно: начало координат и центр образую-
образующей окружности. Соответственно мы получим
ВХВ (ов\п
для первого случая и
<7п
= а — пр
G.7)
G.8)
для второго; из последнего выражения видно, что модуль поправки во
втором случае есть величина постоянная для всех точек профиля.
7.2.1. Распределение скоростей. Модуль производной
можно представить в виде
q2 пЯп К
dz
dz
KI
который
G.9)
дает непосредственно графическое решение задачи.
В самом деле, нетрудно заметить, что первые два члена числителя
дают результирующую, равную РгР (см. фиг. 6.12). Третий же член
может быть представлен последовательно в виде
.^^ntiP'ebll + ^e"'^]^
+
G.10)
Следовательно, надо прибавить к точке Рг аддитивный член P±S,
одинаково направленный с поправкой Р[Р профиля, но в п раз больший
ее по величине. Второй аддитивный член ST равен первому, уменыпен-
OL
ному в отношении д
и повернутому на угол (Зу —
и дает от-
86
резок РТ, входящий в выражение для скорости
G.11)
Если Lj — начало координат (Х;- = 0), то из G.10) очевидно, что от-
отрезок ST равен нулю, следовательно,
PN OP
а PS
G.12)
Фиг. 7.1 Фиг. 7.2
7.2.2. Примеры построения. Используя преобразование
и изменяя параметры р., к, т, / и п, получим профили, весьма разнооб-
разнообразные по форме и по аэродинамическим характеристикам [23].
Так, например, изменяя / и оставляя постоянными остальные пара-
параметры (р. = 0,125; х = 0; tgT = 0,015 и п = 3), получим семейство про-
профилей с одинаковым коэффициентом Ст9, имеющих одинаковую толщину
но при кривизне профилей, изменяющейся в зависимости от / (фиг. 7.1).
Если же изменять х и р. и оставлять постоянными т и п, полагая
т = 0,015 и п = 3, то получим такое распределение толщины вдоль хорды,
87
при котором с увеличением х задняя кромка расширяется (фиг. 7.2).
Изменяя п, получим все более и более волнистые формы, но одинаковой
максимальной относительной толщины и обладающие одинаковыми аэро-
аэродинамическими характеристиками (фиг..7-3). Лучшие профили получа-
получаются при п = 3. Наконец, меняя jx, получим профили различной макси-
максимальной относительной толщины (фиг. 7.4), как это будет показано ниже
при более подробном изучении этого вопроса.
л =2
Фиг. 7.3
Фиг. 7.4
На основании приведенных выше примеров можно заключить, что
влияние параметров сводится приблизительно к следующему:
/ определяет кривизну профиля;
|г определяет максимальную относительную толщину;
х устанавливает распределение толщины вдоль хорды (этот параметр
влияет также и на максимальную относительную толщину, как мы это
увидим дальше);
т определяет момент при нулевой подъемной силе:
п влияет на форму (лучшие формы получаются при га==3);
Ху тоже влияет на форму. Значения )чу = О и Ху = mei8 наиболее часто
принимаются при, построении профилей.
7.2.3. Геометрические и аэродинамические характеристики. Хорду
профиля, или его глубину, получим непосредственной заменой С в выра-
выражении для z на
= I + 2m cos 8; Св = —
— Z.
G.13)
88
Для упрощения возьмем выражение F.84) соответственно G.8), т. е.
полагая Ху = те18. Тогда получим
с =
Z + 2m cos8
4- ? (— l)n^i£. = е*<«-™> G.14)
^ / v ; n OB K J
или, заменяя ?2 на ^2 = ^2A—x),
с « 3/ + 2^ - Ы + I A - 2ц + V) A- x) - A + p) M cos a [1- (-1)"],
G-15)
или, так как BXB cos a « — xZ, в окончательном виде
G.16)
В общем случае (при произвольном Ху) результат был бы приближенно
тот же, так как для обычных профилей модуль числа Ху весьма мал по
сравнению с д.
Для фокуса находим
£*/(l_x-,i + F« + t»a)«» *(!-*-I*)- G.17)
Следовательно, обозначая заднюю кромку через В\ а через А' — пе-
переднюю кромку, запишем
У.1 , Ц./Х , у 1 X ^_^ |
—2x+ £ + !« +|1»)«/(з—2х+ 21) I G.18)
Пjф1 jj
Отсюда непосредственно получаем аэродинамические характеристики:
: = 2ir —- sin (a + *) « 2тг A + р.) (а + т)
^ о2
СШл = — 4тг -^ sin 2т ж
• с2
«U-.W-rx-V-l-WV + rt*)***-^ 1G.19)
2\rr 2n У 2 rv
„.— 0,25 Cz.
7.3. Обобщенные профили с закругленной задней кромкой
Метод, который мы изложили выше, может быть распространен и на
профили с закругленной кромкой. В самом деле, обозначим через С точку,
расположенную на малом расстоянии СВ от образующей окружности
89
(фиг. 7.5), и предположим, что производная функции z обращается в дан-
данной точке в нуль. Мы видели, что в этом случае точка В соответствует
закругленной задней кромке В1 профиля. Два первых члена отображаю-
отображающей функции
G.20)
К
Фиг. 7.5
так же как и в случае профилей с точкой возврата, дают тот же базис-
базисный контур. Третий член определяем аналогичным способом, принимая
во внимание, что производная обращается в нуль в точке С:
dz\ r д*
-пг L = ^С — у
■- = 0.
G.21)
Отсюда следует соотношение, которое дает дп:
= (_!)• Л?- • В- e~i(n<+V. G.22)
CL
Следовательно, модуль и аргумент третьего члена для точки Р окруж-
окружности будут соответственно
= CCT(CLAnCL^
п \PLJ ОС '
G.23)
©' = а'
пк.
Для случаев л;- = 0 и Х;- = meis эти равенства превращаются соответ-
соответственно в следующие:
ССг (ОС_
\ОР
п Л a J ОС ' V '
?; == о' — ир — лгб + гстт; ср^ = о' + (п + 1) *' + ,8 — п6г + Цк.
Графический способ определения скоростей тот же, что и в случае
профилей с точкой возврата, с той единственной разницей, что вместо qn сле-
следует пользоваться коэффициентом q'n, который мы, только что определили.
В качестве примеров построе-
построения на фиг. 7.6 дан ряд профилей
с различной степенью закруглен-
закругленности задней кромки, определя-
емои отношением
к— — — —
OQ
I
G.25)
Остальные параметры остаются
постоянными: / = 0,06; р. = 0,09;
tgT = 0,015; гс = 3; Х;- = 0.
Геометрические и аэродина-
аэродинамические характеристики почти
те же, что и в случае соответст-
соответствующих профилей с точкой воз-
возврата.
Фиг. 7.6
7.4. Обобщенные профили с угловой точкой
Профили Кармана — Трефтца с угловой точкой, которые мы изучали
выше, являются обобщением профилей Жуковского. Поэтому они имеют
те же характеристики и одинаковую область практического применения.
Метод, который мы подробнее изложим ниже, является обобщенным и
позволяет строить профили с угловой точкой, обладающие заданными
геометрическими и аэродинамическими характеристиками, так же как
и в случае профилей общей формы, метод построения которых изложен
выше.
Исходя опять из преобразования E.5), перенесем координатные оси,
принимая угловую точку В1 профиля за начало новой системы В'ху
(в плоскости z профиля). Обозначим через Ъ аффикс этой точки в перво-
первоначальной системе координат; введя при этом (фиг. 7.7) систему отсчета
O'h'vf (плоскость С), мы можем написать отображающую функцию в но-
новой системе
G.26)
Принимая во внимание D.33), можем эту функцию представить также
в форме
Н1 +
±
G.27)
откуда видно, что угол, образуемый касательными в задней кромке,
равен нулю.
91
Положим далее, что
z1=z[l
G.28)
Отсюда следует, что zx в точке В обращается в нуль B J раз;
следовательно, новый профиль в плоскости z2 будет иметь в задней,
кромке угловую точку с углом Ь.
<РГ<Р
Фиг. 7.7
Если начало системы осей в плоскости образующей окружности на-
находится в центре этой окружности, как в случае системы Л/Syj, парал-
параллельной системе O'^rf (см. фиг. 7.7), и если а — радиус окружности, та
получим слегка отличную форму (о чем указано в наших предыдущих
работах [3]), а именно:
G.29)
Эта формула упрощает расчеты построения. В самом деле, пусть
z = гв(ф есть аффикс точки исходного профиля, a zl = гхе{^ является
аффиксом точки нового профиля. Полагая C = aeie, получим следующие
соотношения:
8 \
G.30)
92
где
61 = 6 —т. G.31)
Так как i мало (от нуля до 2°), то им в этих формулах можно пренебречь.
Таким образом, мы можем посредством этих формул перейти от произ-
произвольного профиля с точкой возврата, построенного по изложенному выше
.методу, к профилю с угловой точкой, в которой касательные к профилю
образуют заранее данный угол 8, не равный нулю.
Геометрические и аэродинамические характеристики полученного
таким преобразованием профиля выводятся из характеристик исходного
профиля при помощи этих же формул. Например.
а) Хорда нового профиля, соответствующая приблизительно Ь1^0,
дается соотношением
с1 = сB)"«сA-0,7 4")' G.32)
•следовательно, коэффициент подъемной силы
£= 2« £(се +-с)« 2«A+ц +0,7-£)(« + *)• G.33)
б) Чтобы вычислить Ст0, положим сначала
)-f: + ... G.34,
Вместо С в выражении G.26) подставив С = С + meir, где meir — аффикс
центра, получим
6 + £ + ... + ^. G.35)
Разложив затем выражение для zx G.28), находим коэффициент при-р-:
q\ ж q2 — — (те* — Ъ) ае1' + £- а2е^ ж q2 — - (р./ +
*■ ТС ZTC ТС \
Ч-11-<£=£- xZ)I8 A + х + ^) + ± q*A -х)A + 2к + 2ft)«
откуда следует, что
Ст. =-4«-4sin2x = : '4h'Cm'f*t[i~~0'ii)Cm'- G'37)
в) Фокус помещается в F, причем
hlLy G.38)
Расстояние фокуса От передней кромки выводится из соотношения
-^-1,3 А), G.39)
93
и мы можем написать
р' г' ™i
Ст(А'1) = С™° 3T
1 + 3 (-1)"
G.40)
откуда видно, что момент по отношению к Передней кромке имеет то же
выражение, что и при исходном профиле.
Влияние угла в задней кром-
кромке на форму профиля показано на
рис, 7.8, на котором даны про-
профили с различными углами (от
нуля до 25°). Чтобы при этом со-
сохранялась максимальная относи-
относительная толщина, надо изменять
также и р., так как толщина, как
мы это увидим ниже, является
функцией от jt, х и 8.
Остальные параметры постоян-
постоянны: х = 0; /-0,06; tgT = 0,015;
7.4.1. Распределение скоро-
скоростей. Скорость определяется слож-
сложнее; ее получают путем дифферен-
дифференцирования равенства G.29):
Фиг. 7.8
J
8*
«iT
G.41)
или, обращаясь к фиг. 7.9, можем написать
е—т
ае
G.42)
Так как угол т весьма мал, его можно не учитывать. После простых
преобразований получим окончательно
dzx
= BcosT
OP
COS -r-
Графическое построение очевидно. В самом деле, пусть
I dz
= . G.43)
OP
G.44)
94
соответствует исходному профилю с точкой возврата; положим, что
8 Г ~ОР
cos —
G.45)
Фиг. 7.9
/ 3 \
Направление PU образует угол (ср — -^В) с радиусом-вектором ОР;
отсюда следует, что
-~ = 2 cos — . ■=• ,
и мы можем вычислить скорость по общеизвестной формуле.
G.46)
8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЛЩИНЫ ВДОЛЬ ПРОФИЛЯ И ПОЛОЖЕНИЕ ГЛАВНОГО
СЕЧЕНИЯ (СООТВЕТСТВУЮЩЕГО МАКСИМАЛЬНОЙ ТОЛЩИНЕ)
Эта задача имеет особенно большое значение ввиду ее связи со скоро-
скоростями современных самолетов. Поэтому относящиеся сюда вопросы мы
исследуем более подробно, имея в виду практическое применение к со-
современным профилям, рассчитанным на большие скорости.
8.1. Изменение толщины
Для упрощения возьмем отображающую функцию в виде F.82)
J- + -S-. (8-1)
Полагая С = rei0 и подставляя вместо qn ее значение из F.83), получим:
Для общего случая Ху ф 0 последний член был бы несколько иным,
но в обычных профилях модуль числа Xj мал, так как точка Lj нахо-
95
дится вблизи начала координат, поэтому результат был бы почти такой
же, как для рассматриваемого случая Х; — 0.
Возвращаясь к равенству (8.1'), можем написать
(8.2)
Обозначая попрежнему через а радиус образующей окружности, по-
положим (см. фиг. 6.12)
а2 = г2 + т2 — 2mr cos F -- 8), (8.3)
откуда следует
г= а ]/1 — ^ sin2 F — 8) + т cos F — о) ж а + т cos 8 cos 6 +
+ т sin 8 sin 6 « QM0 + MQM + MQM cos 6 + OM0 sin б (8.4)
или, деля на I и принимая во внимание соотношения G.2),
-у ж 1 + ц A + cos 6) + / sin 6. (8.5)
Положив далее
q* = OQ Щг = Z2 A — х); OB ^OQ (8.6)
и заметив, что
^fi cos (a — и?) ж — QQX = — xZ; fijfi sin (а — wp) ж 2 (/ — т) /, (8.7)
где Z, х, т обозначают то же, что и раньше, мы можем написать для абс-
абсцисс точек верхней стороны профиля
(8.8)
Для точек нижней стороны профиля следует вместо 6 подставить—6.
Результат слегка отличен, но разница столь мала, что можно взять сред-
среднюю абсциссу.
Не учитывая членов второго порядка, получим окончательно для
средней абсциссы следующее выражение:
i = B — х) cos 6 — (—l)n~ cos гЛ. (8.9)
Абсциссы удобно выражать в долях хорды профиля, обозначая, на-
например, вводимые отношения через X. Поэтому мы представим выраже-
выражение (8.9) в функции от X. Хорда, как мы видели, дается выражением G.16):
[(gj\ (8.10)
96
откуда
= v_^o = l д «0,5A —cos6). (8.11)
4 * Л 1A)П
4 * Л
2 \х 2п
Обратимся теперь к ординатам. Аналогичным способом находим
Ц- = U + и + и cos 6 + / sin 0 — — , 1~~ка , . . а) sin G +
/ V l r ' r l ' 1 + [l + [l cos 0 + / sin 0 у '
+ (-l)n^(^ysin(a~^)cosn6-(-l)n^(^ncos(a~^)smn6(8d
или после разложения, отбросив члены более высокого порядка,
1. = (ji + p. cos 6 + / sin G) [2— х — (р + f* cos 6 + / sin 6)] sin б + x sin G +
+(-1)" J-(i-)"Bin пв. (8.13)
Принимая среднюю абсциссу для точек профиля, как было отмечено
выше, и обозначая через уе и ?/i соответствующие ординаты верхней и
нижней сторон профиля, получим выражение для толщины профиля:
~|LA + cos6) —|-] sin6A +cos6) +
— 2/2 sin3 6 + (—If ^A — n\i — щ cos G) sin n6 +
+ (—1)п4(т —/)/sin6cosn6. (8.14)
Это и есть общая формула для толщины в данной точке профиля*.
8.2. Максимальная толщинд и ее положение
Формула (8.14) неудобна для нахождения максимальной толщины;
поэтому мы отбросим члены второго порядка, чтобы получить более про-
простое выражение
L. =4fi(l + cos 6) sin 6+ 2xsin6 + (—l)n~sin/26, (8.15)
производная которого, приравненная нулю, приводит к решению задачи:
i-g = Dр. + 2х) cos G + 4р. cos 2G + (—l)n 2x cos пЬ = 0. (8Л6)
Это уравнение дает значение 6, обозначаемое далее через Ьт и соот-
соответствующее положению максимальной толщины (главного сечения); под-
подставив его в (8.14), получим максимальную толщину.
При п = 0 (тогда и х = 0, что соответствует профилю Жуковского),
п = 2, 72 = 4 получим -cosGm = у ; следовательно, согласно (8.11) макси-
максимальная толщина (главное сечение) отстоит от передней кромки прибли-
приблизительно на четверть хорды.
97
Таким образом, при п = 2 и п = 4 положение главного сечения такое
же, как и в профилях Жуковского.
Интересно вычислить максимальную толщину для п = 2 при помощи
формулы (8.14). Так как хорда согласно (8.10) равна
c«4*(l—J)» (8.17)
то мы получаем простое выражение
) ]( ^ (8Л8)
Для профилей Жуковского (х = 0, га = 0) это выражение принимает
вид
ет« 1,3 j» A-0,75,1), (8-19)
откуда fi может быть выражено как функция от ет:
(82°)
(Эту формулу мы уже рассматривали раньше.)
8.2.1. Профили с п = 3. Профили, получаемые при п>4, не приме-
применимы на практике ввиду волнистости задней кромки (фиг. 7.3). Та-
Таким образом, остается рассмотреть только профили с п = 3, у которых
положение максимальной толщины может варьироваться. В самом деле,
в этом случае уравнение (8.16) принимает вид
([X + 2х) COS 6 + 2[х COS2 6 — 2* COS3 б — ji =
= A + cos 6) [2 ([х + х) cos 6 — 2х cos2 6 — р.] = 0, (8.21)
где первый множитель этого выражения показывает, что толщина мини-
минимальна в задней кромке F = тг), что очевидно также и из первоначальной
формы уравнения (8.16) для любого п.
Второй множитель уравнения (8.21) обладает некоторыми интересными
особенностями:
а) если х = 0 (точки Q и Qx совпадают, как и у профилей Жуков-
Жуковского), то cos6m = Y> и, следовательно, главное сечение отстоит на чет-
четверть длины хорды от передней кромки и максимальная толщина дается
формулой (8.19), найденной выше:
б) если [х = 0, то cos6m = 0 и максимальная толщина расположена
посредине профиля. В этом случае, так как хорда
(8.22)
(8.23)
\
то максимальная толщина определяется формулой
В общем случае корень второго множителя в (8.21) есть
cos 0m = ^2^ + * • (8.24)
Это значение для cos 6m (и соответствующее для sin 6m) подставляется
в выражение для относительной толщины, которое в рассматриваемом
случае (п = 3) принимает вид
+ |>c(l-cos6m)}. (8.25)
В этом же случае (п == 3), применяя формулу (8.11) и замечая, что
cos 6m изменяется от нуля до у, мы придем к более простому выраже-
выражению, определяющему положение максимальной толщины:
1 1— 0,33 х — A-х) cos б^ —0,67 х cos3 0m л
^=4 : llo,33x — ~~y[l-(l-0,67*)cosGm].
(8.26)
Так как максимальная относительная толщина и ее положение имеют
большое значение для профилей высокоскоростных самолетов, нам следует
остановиться на этом вопросе более подробно.
При х = 0 максимальная толщина расположена на расстоянии чет-
четверти хорды от передней кромки, а при р< = 0 она приходится на середину
хорды.
Задача в основном состоит в том, чтобы построить профиль с задан-
заданным положением максимальной толщины и с заданным значением отно-
относительной максимальной толщины. Теоретические и экспериментальные
исследования показали, что обычные профили должны быть существенно
изменены при больших скоростях ввиду явлений, имеющих место при
быстром движении самолета. В частности, положение наибольшей тол-
толщины должно быть сдвинуто к заднему концу. При дозвуковых скоростях
у контура профиля образуется пограничный слой, ламинарный или тур-
турбулентный, а при сверхзвуковых скоростях в некоторых точках профиля
возникают сильные возмущения.
Следует различать три категории профилей.
1) Обычные теоретические профили с положением макси-
максимальной толщины около Хт = -г • В этих профилях х мало по сравне-
сравнению с [а и соответственно
A-0,33х) е» = 1,3,1 (l --§-!*—§■*) + 0,44 х. (8.27)
Эти формулы достаточно справедливы при
и-
2) Средние профили, получаемые когда величины х и р. одного
порядка, а именно
1 4
Для этих профилей применяют непосредственно соотношения (8.24),
(8.25) и (8.26). Положение максимальной толщины изменяется вблизи
значения \т = 0,35, в пределах от 0,31 до 0,375. Последнее положение
соответствует переходу к нижеследующей категории профилей.
3) Ламинарные профили, характеризуемые сдвинутым
назад положением максимальной толщины. Название их связано с л а-
минарным течением, имеющим место в пограничном
слое на большом протяжении контура; они представляют наибольший
интерес для приложения в современной авиации при больших дозвуко-
дозвуковых скоростях, так как уменьшают сопротивление в связи с наличием
ламинарного трения.
При отношении — <; -г выражение для cos 6m может быть представ-
представлено в виде
1_«.£+^ «j.^.. (8.28)
2x
Отсюда следует
(8.29)
Это выражение можно подставить в уравнение толщины (8.25) и,
отбросив члены второго порядка, получить простую формулу
sin em
Фиг. 8.1
При помощи этой формулы легко строить ламинарные профили. В са-
самом деле, предположим, что надо построить профиль с максимальной
толщиной sm, расположенной на данном расстоянии Хт. Находим
1—2 Хт
cos6m=-j—— и из выражений (8.30) и (8.29) находим последовательно
х и ji.. Таким образом профиль вполне определен.
В качестве примера на фиг. 8.1 вычерчен профиль на основании сле-
следующих данных: sm = 0,115; Xm = 0,455; следовательно, cos 6m = 0,10.
Отсюда определяются параметры х = 0,126 и jjl = 0,028. Даны также и
другие параметры: / = 0,02; т = 0.
100
Примечание. Следует отметить, что при [х = 0 передняя кромка
заостряется; случай этот интересен при сверхзвуковых скоростях. Для
практического применения следует брать р. ^0,1 Ох, что соответствует
cos 6m> 0,0475 и Xm = 0,48. '
8.3. Ламинарные профили с закругленной задней кромкой
(д'\
Добавочный член [•=$-) пропорционален С±С; поэтому, полагая
CC^cos а' = — (х — 2А), (8.31)
где к — степень закругленности по G.25), можно написать следующее
выражение для абсцисс точек профиля:
j = B — х) cos б + ^Цр? cos 36. (8.32)
Так как хорда профиля с закругленной кромкой
с' = 4Z [1—0,33(х + *)], (8.33)
то после некоторых упрощений, аналогичных сделанным нами в случае
профиля с точкой возврата, получим окончательно
Х = -|.[1—A —x + *)cos6]. (8.34)
Нетрудно заметить, что уравнение (8.21), относящееся к профилям
с точкой возврата, слегка видоизменяется вследствие закругления задней
кромки:
Dji -f 2х) cos 6 + 4jjl cos 26 —2 (х — 2А) cos 36 «
«A + cos6) [2(p. + x —1,5A:)—2(x—l,5A)cos26 —p.] =0. (8.35)
В самом деле, полагая х'= х—1,5А, получим решение, принимающее
приблизительно ту же форму, что и в предыдущем случае:
(836)
Из этой формулы видно, что при том же значении х закругление
сдвигает положение максимальной толщины по направлению к передней
кромке. Если мы желаем сохранить приблизительно то же положение,
что и в профиле с точкой возврата, то следует увеличить и так, чтобы
значение х'— х—1,5/с оставалось постоянным; при этом и cos 6^ остается
постоянным. Надо выяснить, сохраняет ли толщина в этом случае свое
значение.
Для этого вернемся к выражению (8.14) и отметим, что влияние
закругления задней кромки сказывается только на предпоследнем члене.
101
где 2х должно быть заменено на 2(х— 2к). Произведя вычисления для
п = 3, приходим к выражению
sin b'm(l+ cos tfm
[l — -£- A + cos 6™) + (x - 2k) cos 26'm] +
(8.37)
1 — 0,33 (х
Из этого равенства видно, что толщина сохраняет приблизительно
то же значение, если не изменяется величина х' = х — 1,5ft = (х—2к) + 0,5&.
Предположим поэтому, что мы сохраняем постоянным значение х' (уве-
(увеличивая х); одновременно мы должны считать [х малым по сравнению
с х', чтобы положение максимальной толщины было надлежащим образом
сдвинуто к заднему концу профиля. Тогда, так же как и в предыдущем
случае, мы получим
2 cos
cos 0m =
2х' +
откуда приближенно следует
(8.38)
(8.39)
Таким образом, задавшись значением cos 6^ [или Х^ согласно (8.34)]
и значением максимальной относительной толщины, сначала выводят х,
1 - cos 61
к sin 6m cos i
Фиг. 8.2
предполагая, разумеется, известной степень закругленности задней
кромки, потом вычисляют [х, и это вполне определяет профиль.
В качестве примера на фиг. 8.2 представлен профиль с закругленной
кромкой, имеющий следующие характеристики: к = 0,02; cos 0^ = 0,128;
Х^ = 0,44; х = 0,126; р = 0,028; / = 0,02 и т = 0. Толщина остается
такой же, как и в предыдущем случае sm = 0,115.
Примечание. Если значение х' = х — 1,5А: уменьшается вследствие
' 1 / У.' \
закругления и становится меньше, чем fx, получим cos6m = yfl — J ,
и главное сечение будет отстоять от передней кромки приблизительно
на четверть хорды. Таким образом, мы вернемся к свойству, характери-
характеризующему обычные профили.
8.4. Ламинарные профили с угловой точкой
В произвольной точке хорды толщина профиля (фиг. 7.7) дается
формулой
102
Так как профиль сравнительно тонок, можно считать г равным своей
проекции, которая выражается соотношением
г ж г cos cp ^ IJ 2 — х + у + B — х) cos б + у cos 36 =
= 21 [l — j + A — х) cos 6 + |- x cos3e] , (8.41)
где 9 отсчитывается в первоначальной системе координат в плоскости
профиля.
Пренебрегая членами второго порядка, получим окончательное выра-
выражение для относительной толщины:
+ 0,7 Щв + 4 Р + A — ^)cos6J |б}. (8.42)
Так как cos 6 весьма мал, полагаем
6 ~ £ _ cos 6; sin 8 ^ 1. (8.43)
При подстановке этого значения в (8.42) вх становится максимальной
при таком значении 0, которое обращает в нуль выражение для про-
производной:
J ^ x)cos6}=0. (8.44)
Отметим далее, что
— 0,57 + 1,57х + 2A — х) cos 9 ^
жA +cos6){— 0,57 + 1,57* + B,57 — 3,57x)cos9 — B,57 — 3,57x)cos26},
(8.45)
и, принимая во внимание выражения (8.16) и (8.21), получим вместо
(8.44) следующее уравнение:
—2 [х + 1 @,64 —0,87х)] cos26 + 2 [|х + х + А @,64 —0,87х)] cos 6 -
— Р — ^ @,12 — 0,4х) = 0. (8.46)
Полагая для упрощения
х1 = х + @,64-0,87х)А, (8.47)
получим значение cos 9lm :
^ + К1 _ 1/ ^2 + Х2 _ @,24 — 0,8х) х А
cos 9lm = 1 — 1. (8.48)
Так как мы исходили из предположения, что рассматриваем лами-
ламинарные профили, то cos0lm —малая величина, следовательно, ^ мало по
сравнению с х1# Мы можем также считать ja2 — @,24 — О^х)*^— весьма
103
малым по сравнению с xj[. Преобразовав соответствующим образом вы-
выражение под знаком радикала, получим окончательно
@,12 — 0,4х) —
cos 0lm = Ji- (l - -£) + ^—Л. , (8.49)
откуда следует
2х cos 6lm — @,12 — 0,4х) —
(8.50)
Что касается положения максимальной толщины, то, считая г± рав-
равным его проекции х±, можно написать
h = SLZLli = 1 _ Л = 1 _ Л fCos 4)". (8.51)
Положим
(cos-|) " = 2^ (l+cosS) 2Tr^(l+0,35^)A-0,5-^-cos6]; (8.52)
заменяя далее г и с и пренебрегая членами второго порядка, получим
окончательно:
s
. __ , 1 / 6\—S" I— 0,33x(l — x)cos6 + O,66xcos20
Al - -1"" т Vcos T;
т Vcos T; 1-о,ззх ~
«JLFl — fl—х— 0,5— "\ cos el— 0,175 — «X — 0,175- . (8.53)
Таким образом, положение максимальной толщины сдвигается по
направлению к передней кромке.
Выведенные, формулы позволяют вычертить профиль для данного
Xlm . Пусть 8 — угол между касательными в задней кромке; формула
(8.53) при среднем значении х дает cos б (соответственно cos6lm); вводя
этот результат в (8.50), получим р в функции от х [соответственно от
z1=x+@,64 — 0,87 х)-~].
Окончательно получим значение х из следующего выражения:
) И' -*<'
— у. cos 26lm )+ j * A — cos6m)J -^ [1 4- A — x) cos 6lm ] ^|- — cos 6lm jj ,
(8.54)
и профиль будет вполне определен. В качестве примера на фиг. 8.3
представлен профиль со следующими характеристиками: — = 0,10; ет =
= 0,11; cos 61т = 0,04; Х1т = 0,46; отсюда следует, что х == 0,06;
104
{л = —0,018. Остальные параметры имеют те же значения, что и в пре-
предыдущем случае: / = 0,02, т — 0.
Фиг. 8.3
8.4.1. Изменение р.. Мы видели уже, что в случае профилей с точкой
возврата или с закругленной задней кромкой р, положительно. Иначе
профиль образовывал бы петлю в передней кромке и не осуществлялось
бы конформное отображение. Но в случае профилей с угловой точкой
дело обстоит не так. Здесь мы можем построить профиль с отрицательным ^,
но это отрицательное значение не должно быть меньше определенной вели-
величины. Чтобы показать это, рассмотрим в качестве простого примера про-
профиль Жуковского, отнесенный к системе координат с началом в задней
кромке:
(8.55)
и пусть
— соответствующий профиль с угловой точкой. Тогда получим
(8.56)
(8.57)
откуда видно, что второй корень производной лежит в точке А± (фиг. 8.4)
с абсциссой OA1=q(l 1 . Ось абсцисс пересекает окружность в точ-
точке А, и Ш = q + 2\iq = q(l + 2fx). Что-
Чтобы Аг лежала внутри окружности, должно
соблюдаться неравенство
или
1 А
2 71
Полагая, что значением [х является
нижний предел ее возможных значений,
мы при помощи формулы (8.49) получим
приближенное равенство
COS 6lm «-
—0,4-
0,
2
Фиг.
8
.4
(8.
60)
105
и далее
К ^24L (^)А, (8.61)
откуда следует, что положение максимальной толщины может быть
сдвинуто за центр профиля по направлению к задней кромке.
9. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА
Теория крыльев бесконечного размаха, или, что то же самое, теория
аэродинамических профилей, основана на принципах механики жидко-
жидкостей, и очевидно, что если предположения этой теории справедливы, то
они должны подтверждаться опытом. Чтобы выяснить применимость этой
теории, были предприняты многочисленные исследования в различных
аэродинамических лабораториях.
Автор этой книги тоже провел в Сенсирском институте аэротехники
ряд экспериментов, основанных на следующих отправных пунктах:
а) выбор трехчленной функции отображения
б) выбор параметров построения профиля: / = 0,10; р. = 0,10;
0,05; i = 2°\
Фиг. 9.1
в) создание плоскопараллельного потока;
г) измерение подъемной силы и момента;
д) изучение распределения давления на контуре профиля.
Параметры выбирались так, чтобы получить профиль наиболее общей
формы, например, двоякоизогнутый (с точкой перегиба), с довольно боль-
большой стрелой выгиба (фиг. 9.1).
Полученные результаты весьма интересны. Теоретические данные как
для давлений (фиг. 9.2, а, б, «?, г), так и для подъемной силы (фиг. 9.3)
хорошо согласуются с экспериментальными, а экспериментальная кривая
моментов в зависимости от Cz почти совпадает с теоретической кривой
(фиг. 9.4).
Напомним, что коэффициент давлений Ср зависит от скорости wv
в точке профиля:
V
(9.2)
106
Экспериментальные кривые для подъемной силы и давлений несколько
отклоняются от теоретических кривых, но отклонение это системати-
систематического характера и может быть объяснено тем, что мы рассматривали
19,65
Теоретическая кривая
—о-—Экспериментальная
кривая
-1
-0,75
-0,50
-0,25
О
Теоретическая кривая
•Экспериментальная
кризая
130 Cz=123,5
Теоретическая кривая '
—о—Экспериментальная
кривая
4.75
Фиг. 9.2
идеальную жидкость, т. е. лишенную вязкости и связанных с нею возму-
возмущающих явлений: трения, вихревого слоя вблизи контура, отрыва потока
от верхней стороны профиля и т. д.
Интересно отметить, что наша гипотеза, касающаяся профилей с за-
закругленной задней кромкой, и полученные нами теоретические результаты
также подтверждаются опытом. В самом деле, в случае такого профиля
107
(фиг. 9, 5), построенного при значениях параметров / = 0,094; ^ = 0,094;
* = 0,121 и со степенью закругленности к = 0,0625, теоретические пред-
предположения могли оказаться довольно далекими от экспериментальных
/
/у
А/
■У
' -i
-120
-too
-80
-60,
/
//
<У
-20
>° О
100Сг
I
//
у
/
//
/
/
/
/
/
Теоретическая А/
—о—Экспериментам*)
криеая
" 4° 6
I
f /
0° /
\
7иеая
'ДЯ
Фиг. 9.3
WOCZ
120
WO
80
60
¥0
20
0
\
1
/
Л '
-о- экс пер.
теор.
/
V
0 1
/
/
1 Т г
/
5 3
У
7
/
о —г*-
Фиг. 9.4
Фиг. 9.5
результатов вследствие намеренного завышения значений некоторых
параметров, особенно степени закругленности. Между тем опытные дан-
данные находятся и здесь в хорошем согласии с теорией, как видно из
фиг. 9.6, а, б, в, на которых показано распределение давления вдоль
контура.
108
Эти результаты имеют особенное
значение для аэродинамических
исследований лопастей воздушных
винтов, при конструировании кото-
которых часто применяют профили с за-
закругленной задней кромкой.
10. ТЕОРИЯ ПРОФИЛЕЙ С ЗАДАННЫМ
КОНТУРОМ
(ЭМПИРИЧЕСКИЕ ПРОФИЛИ)
Проблема аэродинамического
профиля, как мы ее рассматривали
до сих пор, связана с изучением
некоторой отображающей функции,
коэффициенты которой и систему
отсчета мы меняли соответствующим
образом по нашему выбору, чтобы
найти такое множество семейств
WOCi-80
—•Теоретическая кривая
—Экспериментальная
кривая
б
■/
-0,50
0,40
OJO
О
-о, го
-0,40
-0/0
-0J0
—140
Теоретическая кривая
—о—Экспериментальная
кривая
а
100Сг=Ю0 А
-Теоретическая кривая
-Экспериментальная I
кривая
Фиг. 9.6
профилей, которое покрыло бы область практического применения. Это зада-
задача обратная; она исследуется без особого труда и приводит к резуль-
результатам, удовлетворяющим практическим требованиям. Однако нам часто
приходится иметь дело и с заданными, так называемыми эмпи-
эмпирическими, профилями, отображающая функция для кото-
которых и аэродинамически^ характеристики нам заранее не известны. Эта
прямая задача, заключающаяся в нахождении распределения
10 9
давления, оси нулевой подъемной силы, момента при нулевой подъемной
силе и т. д., представляет значительные трудности.
Тем не менее мы укажем методы, более или менее трудоемкие, которые
приводят к решению этой задачи.
10.1. Методы, основанные на использовании известных отображений
Метод Мюллера, развитый Карманом и Бюргерсом, состоит в исполь-
использовании известного преобразования, например, отображения Кармана —
Трефтца
z-xq _ (£' — qf МОП
T+^q ~ ф + дГ ' ( '
причем х получается по формуле
х = 2—-i, A0.2)
где 8 — угол между касательными к контуру в задней кромке, a q опре-
определяется из соотношения
= 5717. A0.3)
Отрезок В'А' приближенно равен хорде (точка А1 лежит внутри профиля
около передней кромки). Этим путем контур профиля может быть ото-
отображен на почти круговой контур К' при помощи известных соотноше-
соотношений F.50):
/ -' \ X
Ф = х?\ A0.4)
Предположим, что точка В соответствует задней кромке, и проведем
нормаль ВМ к контуру К' (фиг. 10.1), которая образует угол а с осью
абсцисс. Проведем круг К, касающийся контура К' в точке В и имею-
имеющий площадь, равную площади плоской области, ограниченной конту-
контуром К'.
Обозначим через М центр круга К, а через а — его радиус. Аффикс
точки почтикругового контура будет иметь модуль
г'=а[1+еF)], A0.5)
где е (б) — функция от б, абсолютная ,величина которой весьма мала по
сравнению с единицей; функция е(б) удовлетворяет равенству
2л
\ eF)d6 = O. (Ю.6)
Отобразим контур К1 на окружность К, и пусть
С = С [1 + / (С)] A0.7)
110
отображающая функция, где /(С) тоже мала по модулю по сравнению
с единицей. Это позволяет записать приближенное равенство
A0.8)
Фиг. 10.1
Отсюда, полагая С = rreiQt и С = aeiQ, получим
6'=6 + м. ч. /(С) j {10-9)
и, следовательно, согласно A0.5),
еF) = д. ч. /(С). A0.10)
Перед нами задача Дирихле: найти функцию /(С), действительная
часть которой принимает определенные значения еF) на окружности.
Функция эта голоморфна вне окружности и обращается в нуль на бес-
бесконечности. Поэтрму ее можно представить в виде
Я
/(С) = Яо+ 2 Я =
qk=ak(ak
где qk заменено на
Далее получим
п
s F) = д. ч. / (С) = 2 (oft cos kb + bk sin Щ,
A0.11)
A0.12)
A0.13)
111
так как действительная часть числа qo=ao+ibo равна нулю согласно A0.6).
Отсюда следует:
ак = ^ е F) cos Ш6; 6ft = I J г F) sin Ш0. A0.14)
о
Разность между углами радиусов-векторов гомологических точек
Р и Рг находится непосредственно из A0.9) и A0.11):
п
6' _ 6 = р F) = &0 + 2 F* cos A0 — afc sin *6). A0.15)
1
По предположению точка В на К' совпадает со своим образом на К;
этим точкам соответствуют 6' = 6 = тг и [г1 = г = а [г (тс) = 0]. Отсюда
следуют равенства
п п
2(-l)*a, = 0; bo+2(-l)kbic = 0. A0.16)
1 1
Замечая далее, что
2 (- 1)*Ьк = ± \ е @) [2 (~1)Л sin W] db я, - ± ^ (б) tg i d6, A0.17)
1 0 1
получим значение постоянной qQ = i60 путем вычисления простого
интеграла.
10.1.1. [Характеристики профиля. Аэродинамические характеристики
профиля, таким образом, определены.
а) Ось нулевой подъемной силы образует угол а с первоначальной
хордой.
б) Коэффициент при -р- в разложении z = z(fy9 определяющий момент
при нулевой подъемной силе, легко получить, написав сначала на осно-
основании F.42)
*!?.. A0.18)
и затем заменив С на С [1 + / (С)]. Окончательно получим
, A0.19)
откуда следует коэффициент при у :
_ ibo) ф + а* (a2 + ib2) « д'2^^ . A0.20)
Вторая ось профиля образует угол ^ с первоначальной осью построе-
построения (см. фиг. 10.1), и коэффициент СШо будет пропорционален sin 2т =
112
= sin 2 (a — y) b согласии с общей теорией, изложенной выше, если,
кроме того, принять во внимание, что
т = с — т. A0.21)
в) Скорость wp в точке профиля дается формулой
где WK — скорость в соответствующей точке на окружности.
Мы видели (см. 6.57), что
Кроме того, на круге
dz
A0.23)
-g], (ю.24)
de
и так как (i F) и jx весьма малы по сравнению с единицей и потому
при отбрасывании члена i [3 F) — -rr\ модуль числа -т=- существенно не
изменяется, то можно написать окончательно
dX,
Следовательно,
A0.25)
A0.26)
Эта формула позволяет вычислить распределение давления вдоль
контура.
10.2. Прямой метод
Метод, который мы только что изложили, является принципиально весь-
весьма строгим, но довольно сложным в применении к конкретным примерам.
В самом деле, построение почти кругового контура К' при первом
отображении — операция очень трудоемкая, и графическое вычисление
коэффициентов аЛ, Ъи часто бывает затруднительным. Поэтому опишем
прямой метод [5], отличающийся большой простотой и приводящий
непосредственно к определению аэродинамических характеристик эмпи-
эмпирического профиля.
Пусть дан произвольный профиль, отнесенный к системе координат
Оху, начало которой лежит посредине хорды А'В' = с, а ось абсцисс
параллельна хорде. Предположим, что этот профиль получен отображением
= С + Яо +
A0.27)
ИЗ
окружности К радиуса а, отнесенной к той же системе координат
и с центром, лежащим в начале системы (фиг. 10.2).
Обозначим через В точку окружности, соответствующую задней
кромке В' профиля, и через а — угол, образуемый прямой ВО (ось ну-
нулевой подъемной силы) с осью Ох. Положим z == zxeia и С = С Vе; при
этом мы повернули систему координат на угол а, и ось абсцисс Охх
новой системы соответствует оси нулевой подъемной силы.
Фиг. 10.2
В новой системе Оххух функция отображения принимает вид
_ •
A0.28)
Пусть Кi — окружность, концентрическая с К и с радиусом а± = -2- .
Положим
Соотношение
A0.29)
A0.30)
являющееся простым преобразованием подобия, переводит окружность К
в окружность К1г причем равенство A0.28) принимает вид
.±. A0.31).
и ставит данный профиль в соответствие окружности Кг.
Рассмотрим далее отображение этой окружности Кг на прямолинейный
отрезок BXAX посредством функции
A0.32),
114
и пусть
Д*х = Zl - z± = pd + <?0 + ^ + • • • + -^ , (Ю.ЗЗ)
где
a,e~2ia a e~~i{n+1)a
-А <?* = ^ + и)Ж • (Ю.34)
a,e~2ia
Для точек окружности К1 положим Сх = а^1* и, заменив (?0, Q±... ^п
посредством соотношений
Qk=ai+1(Ak + iBk), A0.35)
напишем вместо A0.33) следующее равенство:
^ = це" + ^0 + Шо + (Л + Ш^ е-« + ...+(Ап + iBn) e~™, A0.36)
откуда следует
n
Ax vi
—I = ja cos 0 + ^40+ 2j (-^л cos kb + Вк sin A0)
ai i
/г
■^ = [г sin 0 + £0+ 2 № cos AG — ^л: sin
l
A0.37)
При определенном значении 6 абсциссы профиля приблизительно
соответствуют абсциссам прямолинейного отрезка
ххжх[ = 2axcos 0; A0.38)
поэтому можно пренебречь изменениями &хг. Однако должно выполняться
следующее условие: хорда профиля должна быть равна длине отрезка
(с = 4ах). Это условие будет удовлетворено, если
(ДзД, — (Дяа)« = 0. A0.39)
Отсюда следует
п п
Р + Л + 2 А* ~ Г- J* + Л + 2 (- l)*4tl = 0, A0.40)
1 L I J
или, иначе,
... = 0. A0.40')
При помощи этого равенства мы в дальнейшем сможем определить [х.
Чтобы вычислить коэффициенты Ак, Вк, заметим (фиг. 10.2), что
кух^у — 2аа2 cos0. A0.41)
115
Следовательно, из второго равенства A0.37) можно вывести сле-
следующие соотношения:
2.тг
2тг
2тс
A0.42)
2тг
1
; Вк = —
J
10.2.1. Аэродинамические свойства. Чтобы определить а, заметим
сначала, что в точке В19 которая соответствует точке В' профиля, про-
производная zt no Ci равна нулю:
dZl
Далее, заменив 0 на тс
получим
A0.43)
A0.44)
A0.45)
Первое из этих равенств является тождеством. В самом деле, мы
можем написать последовательно
2Я
2Я
7 Л ^ . 7л7д к ( — у COS /С0 \2я If /D, .
— Mfc = \ у sin кЫЬ = —^—г Н \ cos кЫу •
- 2 (- l)k cos ft6 - T
и получим окончательно
A0.46)
A0.45')
Второе уравнение A0.45) дает значение а. Мы получим, как прежде,
2п 2п
кВк =Л-[уcosШ0 = — -^J si
[
sin
A0.47)
* Пределы интегрирования соответствуют изменению переменной 0.
116
Далее, заменяя 2isinA:0 на (eikQ — е~т) и принимая во внимание
A0.42), после упрощений получим окончательно
2тг
A0-48)
Таким образом, угол а, который ось нулевой подъемной силы обра-
образует с первоначальной осью Ох профиля, дается следующей формулой.
2тс 2тг
1 г *■ - е 7 1 f y 70, A0.49)
тис J & 2 ^ тис J 1+
о о
где с = 4ах — хорда профиля.
Однако, если число коэффициентов Вк лежит в пределах 3—5 и они
легко вычисляются, то лучше пользоваться второй формулой A0.45) в
первоначальном виде
Вг — 2В2 + ЗВ3 — 4#4 + . . . = 0, A0.50)
которая неявно содержит 2а. Этот результат был уже получен нами в
прежней работе.
Для коэффициента \i, определяемого равенством A0.40), если не опре-
определены коэффициенты Alt А3,' Аъ . . ., можно, как и для a A0.49), найти
аналогичную формулу, записав последовательно
2тг
ц + Аг + А3 + Аъ + . . . + (|л - Аг) = ^ J у sin Grf6, A0.51)
о
2тг
0 A0.52)
о
и, наконец,
О
Этим результатом можно пользоваться, если у выражается аналитиче-
аналитической кривой или если приходится прибегать к графическому интегриро-
интегрированию .
Таким образом, когда вычислены \х и а, коэффициент подъемной силы
определяется выражением
Сг = 8тс | (а + а) = 2тг A + р) (а + а). A0.54)
117
Другим инвариантом профиля является коэффициент момента при
нулевой подъемной силе и в некоторых случаях — фокус. При помощи
формул A0.28) и A0.34) получим по отношению к оси нулевой подъем-
подъемной силы (Охг)
qie-z™ = A + v) (а\ + Qx) = A + у) а* A + Аг + iBJ =
;в)е***, A0.55)
где Аг и Вх определяются первыми уравнениями A0.42), и соответ-
соответственно
Если мы хотим, чтобы коэффициент A0.55) был действительным
числом, надо повернуть координатные оси на угол fl тогда в новой
системе угол, образуемый осью абсцисс со второй осью профиля, и, сле-
следовательно, угол, образуемый осью нулевой подъемной силы со второй
осью, будет —f Мы обозначали этот угол через т, т. е.
т = — т. A0.57)
Подставив это значение в первую из формул E.25), получим
Ст0 = 4тс A+ \ +£) sin 2? ж -у A + р + 4i) Т- (Ю.58)
1
Чтобы найти фокус, надо осуществить перенос профиля, определяе-
определяемый равенством
"\ — ■"О ~Т~ iO > {l\J»Ooi
так, чтобы отображающая функция A0.28) не содержала постоянного
члена. Другими словами, центр образующей окружности смещается
на величину goe~ia, которая согласно A0.34) и A0.35) равна
доег*а = Qo = аг (Ао + iB0), A0.60)
причем в соответствии с A0.42):
Что касается Ао, то эта величина определится, если мы положим,
что выражение A0.37) для —— обращается в нуль при G = тс:
Ао = р + Аг — А2 + Аз - А, + . . . = - (А2 + At + AG + . ..). A0.62)
В том случае, если разложение в ряд Фурье содержит бесконечное
число членов, мы можем, используя равенство
2 sin 2р0 = — у ( g2l62.e е—^ш ^ = 1 ct? G» (Ю.63)
118
выразить Ао в виде следующего интеграла:
Л = -2Лр=-^$ УBв1п2рв)Л = ^^ */ctg6d6. A0.64)
о о
Пусть С — смещенный таким образом центр, аффикс которого Qo =
= ai(-40 + Шо); фокус находится на прямой CF, симметричной оси
Ох[ относительно некоторой прямой, параллельной второй оси (фиг. 10.2),
на расстоянии
- = ^=
соответствует расстоянию
ж A + А±) аг + Аоаг
A0.65)
A0.66)
от начала координат.
10.2.2. Вычисление скоростей. Чтобы найти распределение скоростей,
нужно знать все коэффициенты Аг ... Ап, Вг ... Вп. Задача сводится к
„ dz
вычислению модуля производной -^г:
*L\\*h\\*k\\*L
dz
Мы можем написать равенства
или, иначе,
COS 0 —
n г
— 2 A (ilft cos AG -Ь ЛЛ sin A6)+ i [B + fi)si
В этом случае скорость определяется формулой
dzx
соэАб — Ак sin АбI #
A0.69)
A0.70)
10.2.3. Проверка. Чтобы проверить метод, который мы изложили
выше, возьмем для примера согласно F.19) и F.25) профиль Жуковского
со следующими характеристиками: хорда: с = Ааг = 4д; радиус образую-
образующей окружности: а = q + т cos 8 = q (I -f- ji0); коэффициент кривизны
(стрела): /0.
Хорошо известное преобразование такого профиля, отнесенное к обыч-
обычной системе координат (фиг. 6.1), выражается функцией
119
а в другой системе, параллельной первой и с началом в центре образую-
образующей окружности, если принять во внимание, что
C' = C + ?(t»o + i/e)f A0.71)
это выражение принимает последовательно вид
Л + гш ~
+ , (ро + г/о) + -f - «•<»" + "»> , (Ю.72)
следовательно, для точек окружности [С = #A + Ро)е1е] получим
окончательно
f = A + Со) eie + (|»о + г/о) + A - Но) e~ie - (ft, + i/o) e-2le- (Ю.73)
Отсюда следует, что
£ = 2fi.o sin 6 + fi0 sin 26 — /0 cos 26 + /0, A0.74)
откуда получаем
[л — Л = 2^о; Л2 = —ц0; fi! = -2a; 52 = -/0; Яо = /о- (Ю.75)
При помощи соотношений A0.40) и A0.50) и только что полученных
нами результатов найдем, что
P = h>; о = /0 = т, A0.76)
т. е. точные характеристики профиля Жуковского.
Кроме того, 2^ = Вг = — 2а; е = А± = — [л0; Ао = ji0.
Вообще говоря, ординаты произвольного профиля не выражаются
достаточно простой аналитической зависимостью; поэтому аэродинами-
аэродинамические характеристики приходится определять более или менее простым
графическим интегрированием. Можно также провести через различные
точки контура гладкую аналитическую кривую, весьма близкую к дей-
действительному контуру (как к верхней, так и к нижней его части); тогда
легко будет вычислить интегралы A0.40), A0.53) и A0.42), определяя
величины a, ji, (?0 = аг (^40 + iB0) и Qx = а\ (Ах + iBx).
10.3. Применение метода к тонким эмпирическим профилям
Применение описанного выше метода к тонким эмпирическим профи-
профилям приводит к очень интересным результатам. В самом деле, тонкий
профиль может быть заменен средней линией, которую мы назвали
скелетом (фиг. 10.3). Так как при -f- 6 и при —6 ординаты профиля
равны, разложение у в тригонометрический многочлен содержит только
члены с cos к 6:
4 -£- = % + рх cos 6 + р2 cos 26 + рз cos 36 + . . . A0.77)
120
Чтобы у принимало значение нуль на концах, т. е. в точках А @ = 0)
и J?F = tt), коэффициенты $к должны удовлетворять равенствам
■ Рг + ?4 + • • • = О
Рз + h + ■ ■ ■ = О
A0.78)
Отсюда
= Аг = А2 = . . . = Ап
В
0
A0.79)
A0.80)
#1 = Pi — 2а, 2?2 = ра, . . ., Вп = рп-
Подставив эти результаты в A0.50), получим значение а.
Если разложение A0.77) неизвестно, достаточно прибегнуть к форму-
формулам A0.42) и A0.49) в несколько измененной форме:
2я тс
#2 = JL С у cos 0d6 — 2а = А С у cos 0rf
A0.81)
■ cos 6
Часто предпочтительнее провести через точки профиля гладкую ана-
аналитическую кривую, возможно более приближающуюся к действитель-
-0J 0 0,2 ОА 0,6 0,6 10
с
Фиг. 10.4
ному контуру, и затем после отображения определить коэффициенты по
формулам A0.81). Таким образом, например, тонкий профиль, показан-
показанный на фиг. 10.4, мог бы быть весьма точно представлен гладкой кри-
кривой
4 -J = 0,2324 + 0,137 Ц - 0,2228 (^J - 0,1274 (^J; A0.82)
121
последнее уравнение после замены х на -тгсовб согласно A0.38) прини-
принимает вид
4^ = 0,125 — 0,0414 cos 6 — 0,1114 cos 26 + 0,03184 cos 36. A0.83)
с
Мы можем, следовательно, написать
#! = — 0,0414 — 2а; £2 = — 0,1114; Вв = 0,03184; A0.84)
использовав A0.50), получим
а = 0,1385 = 8°. A0.85)
Для определения коэффициента момента при нулевой подъемной силе
вычислим if по формуле A0.56):
tg 2? = Вг = — 0,3184; sin 2? = — 0,305 = — sin 2т A0.86)
и таким образом найдем
Ст% = - i sin 2т = — 0,305 ~ . A0.87)
И наоборот, можно исходить от многочлена вида A0.77) или много-
многочлена относительно
5 = -^-, A0.88)
полагая, например,
4 £ = а0 + а^ + а2^ + а3|з + « gt, A0.89)
О
О
и изменять коэффициенты а| [соответственно fa в A0.77)] так, чтобы по-
получить целое семейство профилей, односторонне или двояко изогнутых
(см. фиг. 5.4, а и б). В последнем случае профиль мог бы быть пред-
представлен простой функцией
J e), A0.90)
где s определяется так, чтобы получить заданный коэффициент Ст#.
10.4. Деформированные профили
Одним из наиболее интересных применений теории эмпирических
профилей, несомненно, является изучение вопроса о деформации контура
профиля. В самом деле, всякий профиль, как теоретический, так и такой,
аэродинамические характеристики которого вполне определены, стано-
становится эмпирическим профилем, после того как тем или иным способом
деформируют его контур. К числу таких способов, деформирующих
первоначальный контур профиля, относятся, например, элероны крыльев,
закрылки у нижней стороны профиля, эластичные стенки, которыми
.122
снабжают переднюю кромку, чтобы предохранить крыло от оледенения,
и т. д.
Влияние этих деформаций можно определить изложенным выше мето-
методом, считая, что абсциссы первоначального профиля приблизительно
равны абсциссам деформированного. Отнесем деформированный профиль
к системе Ох'у', где Ох' совпадает с хордой этого профиля (фиг. 10.5). Обо-
Фиг. 10.5
значим далее через у ординаты недеформированного профиля в его системе
координат, через v — угол, образуемый хордой деформированного про-
профиля с осью Ох, и через А?/ — деформации контура по отношению к той
же оси.
Полагая, что хорда с деформированного профиля равна хорде неде-
недеформированного, получим
При помощи формул A0.42) получим такое решение:
27Т
27Т
-(А'к - Ак) =
Ay sin Ш8;
27Т
— Вг = — 2v + -^-
cos
2 (а' — а);
27T
— Bk = \ Дг/ cosA6d6.
о
A0.92)
Обозначив через А разности между характеристиками деформирован-
деформированного и первоначального профилей, можем написать в окончательном виде
123
главные формулы, которые мы будем применять в дальнейшем:
Ар + ААг + &Аг + АА5 + ... = О,
?! — 2Д5а + ЗДВ3 — 4Д£4 + • •. = О,
—
пс
2Л
- COS 0
—v,
A0.93)
ДСто = — -г- A + Ар- + As) Д#х « — т
Из вопросов, относящихся к деформации профилей, ниже рассмотрим
несколько случаев, представляющих практический интерес.
10.5. Поворот подвижной части
Подвижная часть В1О1 на стороне задней кромки (которую называют
элероном в случае крыла и рулем — в случае оперения) поворачивается
на угол р вокруг шарнира Ог. Поворот этот деформирует профиль и вно-
вносит следующие изменения (фиг. 10.6):
Д?/ = 0
от
до
и &y=(j—
dx
dx
от Ог до В]
от Ох до В
A0.94)
Фиг. 10.6
2тт
Таковы же изменения
на нижней стороне про-
профиля, так что коэффици-
коэффициенты Д^4П тождественно
равны нулю. Отсюда сле-
следует, что Др = 0 и ось
нулевой подъемной силы
образует с осью ВгА де-
деформированного профиля
угол
6 .
(Ю.95)
Пусть далее в = ср — угол, соответствующий точке О±; прибавляя к
результату угол v, чтобы выразить Да по отношению к первоначаль-
первоначальной оси В А профиля, получим из предыдущего следующее соотношение:
124
Если х± — абсцисса точки О± (см. фиг. 10.6), а сг — подвижная часть
хорды (на стороне задней кромки), получим последовательно
| cos|- = sin(j--|-) = ]/I1. A0.97)
Отсюда легко вывести
= 2 1 [arc sin |/' J + ]/Щ^Щ] - A0.99)
l-, A0.98)
откуда следует
Да:
Другим способом эта же формула была получена М. Мунком для
тонких профилей. Выше мы показали, что она справедлива также и для
толстых профилей. Вообще — мало по сравнению с единицей и не пре-
с
восходит 0,50, поэтому предыдущее выражение можно разложить и пред-
представить в более простом виде, а именно:
A0.100)
Экспериментальные значения в соответствии с обычной заниженностью
опытных результатов, как правило, меньше, что справедливо для про-
профилей вообще и особенно для сильно искривленных профилей. Поэтому
полученные результаты лучше выражаются следующей формулой, кото-
которая может быть выведена из предыдущей путем упрощения коэффициентов:
Да =
В дальнейшем мы часто будем пользоваться этой удобной для вычис-
вычислений формулой.
Чтобы определить коэффициент СШо, надо вычислить Д-f:
2тг
1 2 С
Д Y = у A#i = — v — Д а -] \ Ay cos 6d6 =
A0.102)
о
Кроме того,
тгс J ч у tzc J [ dx
о
125
Следовательно,
(Ю.Ю4)
10.6. Ламинарные профили
Предыдущие результаты, относящиеся к деформированным профилям,
имеют еще и другие важные приложения в связи с некоторыми специ-
специальными видоизменениями контура. Пусть
j^ A0.105)
о
с с
тельная в интервале —у <#<y ,
хорда профиля. Приняв
с с
— функция от 6, положительная в интервале —у <#<y , где с —
у' = ух, A0.Ю6)
где у представляет ординаты некоторого профиля, получим новый про-
профиль с совершенно иными геометрическими и аэродинамическими харак-
характеристиками. Как мы увидим в дальнейшем, вычисление этих характе-
характеристик не представляет труда, если X — простая функция.
1. Например, если X = к = const, все ординаты получаемого профиля
уменьшаются пропорционально. Интегралы A0.42) показывают, что и
коэффициенты Ах. . . Ап и Вх. .. Вп уменьшаются в той же пропорции,
так же как и р и а. Этот замечательный результат позволяет опреде-
определить аэродинамические характеристики и отображающую функцию лю-
любого профиля, полученного уменьшением в одном и том же отношении
ординат известного теоретического профиля. Рассмотрим, например, про-
профиль Жуковского, определенный соотношением A0.74), и предположим,
что коэффициенты уменьшаются наполовину. Тогда получим
(*' = §; /'=§; *' = ?' A0Л07>
и новый профиль будет приближенно профилем Жуковского, представ-
представляемым той же функцией
но при радиусе образующей окружности К' (фиг. 10.7), равном
(Ю.108)
Центр М' этой окружности будет иметь аффиксом
OM'e* = д ((*' + if) = q (|° + i Щ ■ A0.109)
126
2. Интересно приложение к ламинарным профилям. Предположим,
что множитель X имеет вид
X
A0.110)
тогда ординаты нового профиля будут связаны с ординатами первона-
первоначального равенством
у' = уХ = kQy + AjlJ/cosO. A0.111)
Деформации первоначального
профиля определяются равенством
ty = У' — У = (^о — 1) у-\-кхУ cos 6,
A0.112)
откуда при помощи формул A0.92)
и A0.93) получим соответствую-
соответствующие изменения характеристик но-
нового профиля, ось которого на-
налагается на ось первоначального
профиля (v = 0): фиГв 10.7
ААп = (к0 - 1) Ап + I1
П = (Ао - 1) Вп + -£
где ^40 дается интегралом A0.64).
Возьмем в качестве примера профиль общей формы, построенный
описанным раньше (см. раздел 7.1) методом, со следующими числовыми
значениями параметров:
^ = 0,107; х = 0,07; т = 0,015; /==0,06; A0.114)
такой профиль представлен на фиг. 10.8, а. Предположим, что множи-
множитель определяется выражением
Х = 1,12 -0,56 cose. A0.115>
Положение максимальной толщины в полученном профиле сдвинуто по
направлению к задней кромке (фиг. 10.8,6). Таким образом, исходя из
произвольного профиля и изменяя коэффициент множителя, можно полу-
получить ламинарные профили. Положение максимальной толщины и макси-
максимальная относительная толщина зависят от коэффициентов к0 ж кг.
12?
3. В качестве третьего примера рассмотрим случай, когда множитель
изменяется по параболическому закону:
X = к0 + kt cos 0 + к2 cos 26, A0.116)
и предположим, что он положителен в интервале от 6 = 0 до 6 = ти.
-0,233с
-л——*^
а
A0.118)
Фиг. 10.8
Отсюда следует
Ау = у' — у = (ко—1)у + кгу cos 6 + &2t/cos20. A0.117)
Таким же способом, как и в предыдущем случае, находим
ДО* -ill) = (*0 - 1)(р - А) + у4> + yD>-4l)
ААп = (к0 -1)Ап + I1 {An-i + Ап+1) + -J (Лп-2 + Лп+2)
Д Bа + В±) = (к0 - 1) Bа + Вх) + %В2+ ^ {Вг + В3)
A D /Т. Л\ Г> I 1 / D 17? \ I 2 / Г? ID \
^■^п = (^0 — IJ ^n -Г " l^n-1 + -^n+l) "Г * V^*n—2 "Г &п+2)
Др, = (А:о + А2 — 1) ^ + у -40 — т -^1
Да = (к0 — кг -\- к2 — 1) а ■
Беря тот же профиль, что и раньше, и пользуясь множителем
X = 1,3 — 0,77 cos e + 0,29 cos 20, A0.119)
получим профиль, в котором положение максимальной толщины значи-
значительно сдвинуто назад (фиг. 10.8, в).
Следует отметить, что все три профиля на фиг. 10.8 имеют одну и
ту же максимальную относительную толщину: sm = 0,15.
10.6.1. Максимальная толщина и ее положение. Чтобы избежать
затруднительных вычислений, мы ограничимся основными формулами.
128
Те
2 Т)
Так, например, положение максимальной толщины определяется равен-
равенством
(у'е — у\) de' v de , dX n
dx dx ' dx
dx
A0.120)
Обозначив через хп (соответственно б„, еп) решение этого уравнения,
можно написать выражение для максимальной относительной толщины:
\ _
= Хп-±, A0.121)
где ет — максимальная толщина нового профиля.
Можно получить приближенное решение уравнения A0.120), прини-
принимая для е во втором члене правой части этого равенства среднее зна-
значение.
11. ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ ТОНКИХ ПРОФИЛЕЙ
Рассмотрим произвольный тонкий профиль, который можно заменить
его средней линией (скелетом). Пусть а — угол, образуемый скоростью
в бесконечности с хордой О А, которую мы примем совпадающей с осью
абсцисс. Согласно представлению, о котором мы говорили в начале книги
У\
Фиг. 11.1
(раздел 2.3), средний контур профиля может быть заменен вихревым слоем,
элементы которого сохраняют всегда те же положения, какие имеют
элементы замещаемой стенки. В силу этой связанности вихревой слой
подчиняется установленным ранее законам.
В самом деле, если f — вихревое напряжение на единицу длины, то
на элемент ds профиля действует элементарная сила, определяемая тео-
теоремой Кутта — Жуковского:
qds = p^Vds, A1.1)
где V — скорость потока непосредственно на рассматриваемом элементе,
q — сила на единицу длины.
Таким образом, чтобы определить действие потока на профиль, надо
знать значение у.
129
11,1. Определение аэродинамических характеристик
Предположим теперь; что распределение величины f нам известно и
что кривизна профиля достаточно мала для того, чтобы элементарные
дуги ds можно было считать совпадающими с их проекциями dx(ds^dx).
Вихревое напряжение ^ является в этом случае функцией от х:
Y = 7 (ж)- Вихрь, расположенный в точке с координатой xf напряжен-
напряженность которого равна ydx, индуцирует в точке с координатой S (фиг. 11.1)
элементарную скорость, направленную вдоль Оу и определяемую законом
Био—Савара:
Полная индуцированная скорость
Обозначим через Vo скорость потока в бесконечности (образующую
угол а с осью Ox), a через и — проекцию на ось Ох дополнитель-
дополнительной скорости, вызываемой вихревым слоем (направленной у верхней
стороны контура в отрицательную сторону оси Ох, а у нижней — в поло-
положительную). Эта дополнительная скорость связана с вихревой напряжен-
напряженностью т следующим соотношением (см. фиг. 11.1):
Тсй = 2ибК; Т = 2гг. A1.4)
Очевидно, что полная горизонтальная скорость в той же точке Р
будет
u^VQ + u A1.5)
на верхней стороне профиля и
Vi = Vo cos a — и « Vo — и A1.6)
на нижней стороне.
Предполагая, что вихревой слой имеет некоторую толщину, сколь
бы мала она ни была, мы получаем для горизонтальной скорости в
середине слоя следующее среднее значение:
4-G. + ГО = У0сов<х«70. (И.7)
Результирующая скорость касательна к стенке профиля и образует
со скоростью Vo средний угол г, равный
Так как угол s мал, мы можем заменять тангенс этого угла самим
углом, как мы и поступили выше; таким образом, е = —-у- равен углу
130
атаки а плюс угол, образуемый касательной к профилю с осью Ох в
точке с координатой \ (см. фиг. 11.1):
—F7 = S- + a- A1-9)
Это уравнение, полученное В. Бирнбаумом [1] и использованное, как
мы увидим ниже, Г. Глауертом [11], дает решение задачи, заключаю-
заключающейся в том, чтобы найти аэродинамические характеристики тонкого
профиля. В самом деле, положим, что
х = у A — cos 6); 5 = ~ A — cos cp) A1.10)
и представим вихревое напряжение f в виде
inkb). A1.11)
Это последнее выражение может быть связано с разложением напря-
напряжения -у в ряд Фурье; первый член в правой части выражения A1.11)
мы объясним ниже.
Отметим, что потенциал, дающий обтекание круга,
£lnC, A1.12)
представляет движение вокруг тонкой пластинки, если мы применим
отображение
где а = ^- (с — хорда профиля).
В этом случае циркуляция равна
Г = 47raFosina = 7rcFosina. A1.14)
Скорость в точке плоскости тонкой пластинки
а на самой пластинке, полагая С = aei8 = -г ei8,
тг sin a -f sin (8 -f a) JT f , . Ь \ tA л л а,
U=~ F° sins = — ^o (cosa + smactg YJ . A1.16)
Обозначив через us и щ соответствующие скорости на верхней и ниж-
нижней сторонах пластинки и через fo — вихревое напряжение в точке на
тонкой пластинке, по аналогии с у — символом, принятым нами для
тонкого профиля, получим
Yo dx= —(us — m)dx = 2V0 sin a ctg у dx. A1.17)
131
Отметим далее, что начало координат в случае тонкой пластинки,
как это мы видели ранее, лежит на середине хорды, тогда как при рас-
рассмотрении профиля мы помещали начало его в заднюю кромку. В резуль-
результате получим
Ъ = к-Ъ; ctgj = tg-|-. A1.18)
Следовательно,
To=2Fosinatgy«27oatg|. A1.19)
Таким образом, первый член в выражении A1.11) пропорционален
члену, соответствующему обтеканию плоской пластинки, а все это выра-
выражение в полном виде соответствует обтеканию тонкого профиля с иско-
искомыми аэродинамическими характеристиками.
Напишем далее
= cV0 [л0 A — cos 6) + ^ Ак sin kb sin б] db. A1.20)
i
Подставив вместо х и £ их значения из A1.10), получим для инду-
индуцированной скорости из A1.3) следующее выражение:
_ 0
тс
тс j cos ф — cos 0
о
-4 Los/-со8еГ|Чсов(*-1)й-со5(& + 1NI. A1.21)
L J
о
Но мы имеем
_d6 = u
J cos 6 — cos 9 sin 9 '
о
v '
и поэтому предыдущий интеграл выражается окончательно в таком
впде:
п
1 Va sin (Л; — 1)ф — sin (к + 1) Ф "]
' 2A*3 J =
п
= -V0(A0+ 2^fccos&<p). A1.23)
Из соотношения A1.9), вводя снова вместо ср текущую переменную
О, получим
1
Другими словами, коэффициенты Ао — ос, Alf A2...An те же, что и
в разложении ~ в ряд Фурье. Следовательно,
A1.25)
о о
132
Чтобы вычислить аэродинамическую результирующую силу, отметим
Сначала, что действия двух элементов вихревого слоя друг на друга равны
и противоположны по знаку. Таким образом, полная подъемная сила
для отрезка крыла, равного единице, нормальна к потоку и выражается
равенством
А
р = pVQ \ ^dx = p^cFo (Ao + y^i) — prccFof ос + А + v^1) (H-26)
о
пли также
Cz = 2k(a0+ ±А1) = 2к(* + А + 1гА1) = 2к(к+ а). A1.27)
Угол нулевой подъемной силы, который мы, как и прежде,
обозначаем через а, определяется формулой
d d6. A1.28)
о о
Это та же формула, что и найденная нами другим способом [формула
A0.81)]; в этом можно убедиться, если заменить 6 на тг — 0.
Так же и для момента относительно передней кромки, полагая, что
результирующая скорость непосредственно на вихревом элементе f dx
яочти равна скорости потока в бесконечности (Fo), найдем следующее
выражение:
А п
М = — pV0 \ ^ (с — х) cos a dx^pV0 ~ \ A + cos 6) ^ dx =
о
%(Аг + А2) A1.29)
или для коэффициента момента
Ст = - \ (Л + А2) -{Cz = Cmo -0,25 Сz. A1.30)
Так же как и в случае угла нулевой подъемной силы, значение Сто
легко выводится следующим образом:
о о
A1.31)
11.2. Влияние поворота подвижной части
Если подвижная часть длиной сх поворачивается на угол |3, то, при-
принимая во внимание, что
cv-c^S A1.32)
133
координаты нового профиля (фиг. 11.2) будут приблизительно
от О до Ох и
от Ог до А.
; у'
A1.33)
A1.34)
О
Фиг. 11.2
Как и прежде, обозначим через ср значение угла 6, определяемого
равенством A1.10), где \ равно сг:
= -p-(l — cos<p)
A1.35)
и используем равенства A1.25) для нового, деформированного, профиля;
соответственно получим
- ij* (H.36)
ТС ТС
А'п= -[%cosnbdb = -[p cos
л J dx' n J dx
nb
7Г
- -[cos пМЪ.
Следовательно,
I A1.37)
I
Для угла нулевой подъемной силы с осью Ох' и с первоначальной
осью Ох получаем соответственно значения
9 -f- sin 9
P-
A1.38)
A1.39)
134
Коэффициент момента при нулевой подъемной силе выражается равен-
равенством
Cm.= -!D + 4) = Cmo--L(sincp+ *^»)р. A1.40)
Нетрудно заметить, что Да = ах—а и ДСто=СГПо — Сто имеют те же
выражения, что и найденные нами прежде, а именно A0.99) и A0.104),
если подставить вместо ср его значение, полученное из выражения A1.35)
в функции от сх.
11.3. Сила и шарнирный момент, действующие на подвижную часть
Для практического применения существенный интерес представляет
определение результирующей силы и шарнирного момента, действующих
на подвижную часть крыла. Элементарные силы нормальны к скорости
потока, рассматриваемой непосредственно на каждом элементе, и поэтому
можно считать, что результирующая сила нормальна к поверхности по-
подвижной части и почти нормальна к скорости VQ потока в бесконечности.
Она выражается интегралом
Ох ф
рг = pF0 ^ idx = pcV2Q ^ [а0 A — cos 6) + ^ Ак sin kb sin б!
о о х
Если подвижная часть повернута на угол р, коэффициенты Ло, Лх. . .
г . . Ап в предыдущем выражении должны быть заменены соответственно
коэффициентами AQi А±. . . Лп, и результирующая сила
Р^Рг + pcVl* g-p. A1.42)
Таким образом увеличение силы в зависимости от угла поворота
выражается весьма просто. Аналогично для коэффициентов подъемной
силы получим, разделив обе части уравнения A1.42) на ypFo, сле-
следующее соотношение
C'Zx=CZx + 2n^$. A1.43)
Из этого равенства видно, что если весь профиль (ср = тс) поворачивает*
€Я вокруг передней кромки на угол C, то увеличение коэффициента подъ-
подъемной силы на 2тгC соответствует известному соотношению, связывающему
СТ с углом атаки.
Аналогичным способом получим выражение для шарнирного момента.
Oi
Л
О
cos OXO'A
Ф
= Pl-|.coscp —p-yF j[ | ]
о i
135
sin?) cos ср + y
/sin (Л—1)ф sin (fc -f-1) Ф
^ Ь^Т
А ( . 1 1 .
Ао ^sincp- т?_ т si
sin (A: —
sin
При угле поворота
A1.44)
l, A1.45)
откуда выводится выражение для коэффициента момента
Cm^^ + ^COScp-cpsiricp+i ср2- 1 sin2 ср) 1 .
A1.46)
Формулы A1.42) и A1.45), соответственно A1.43) и A1.46), получен-
полученные впервые в одной из наших предыдущих работ [6], будут нами прак-
практически использованы в другой форме. Чтобы упростить вычисление вы-
выражений для Рх и Mlt рассмотрим сначала тонкий симметричный двояко-
двояковыпуклый профиль. При помощи предыдущих формул легко получим
1/1 1 \
Рг = pcVl (ср — sin ср) а; М± = -~- ocWl (ср cos ср -\- -тг ср — sin ср -г sin 2 ср) а.
A1.47)
Следовательно,
1
A1.48)
'г =ypc2Fo j^coscp + ycp — sincp — — sin2cpja
cp2 cos cp — cp sin ср + -«г- cp2 2" sin2 cp ]—г
В этом виде формулы показывают, что коэффициенты при а и fi
выражены в форме, которая часто может повлечь к ошибкам при вычис-
вычислениях. Поэтому разложим эти выражения, чтобы получить более удоб-
удобные для вычислений:
77 == CD
= ■ ■ — -
з! 5!
20
11
т = ср cos cp -f y?~~ sin<p — -г si
1
y —™ср5A —0,154^2)
п = ср2 cos ср - ср sin ср + -Iср2 — -1 sin2 ср ж — -i ср4 A — 0,067 ср2)
> A1.49)
Эти формулы справедливы для ср ^ ~ ; при больших значениях ср
лучше пользоваться формулами первоначального вида.
136
ж л , т* г С cos1
11.4. Вычисление интеграла 7п = \—^г
cos п0
COS ф
Главное значение этого интеграла определится следующим выраже-
выражением:
/„ =
cosraO
ф—£
COS 0 — COS ф
cosraO
COS 0 — COS ф
■+ s
COS П0
cos 0 — cos
A1.50)
причем e должно быть устремлено к нулю.
Для его вычисления прежде всего исходим от следующего неопреде-
неопределенного интеграла, вычисляемого элементарным путем:
— cos ф
0 •
sin
Вычисляя главное значение интеграла этого вида в промежутке @, тс),
получаем последовательно:
ТС ф—£ ТС
0 ~~ J COS 0 — COS ф J COS 0 — COS ф J COS 0 — COS 9
о о ф-{-£
ф -f 0 -j Ф—£
1
sm<p
In
sin
1
sin 9
In
sin
Sin
0
sin
Sill
Ф / e \
sin ( ф -f- ~2~ J
В общем случае можно поэтому написать
тс тс
j Г cos гс 0 ,,. f cos n0 — cos пф
n j cos 0 — cos 9 J
= 0.
A1.52)
~
COS 0 — COS ф
а при /2 = 1 получим
Г COS 0 — COS
\
r Г COS 0 — COS ф 7Л
/i = \ 5 ^Й6 = 7Г.
1 J COS 0 — COS ф
С другой стороны, из соотношения
cos(m + 1) + cos(m — 1N = 2 cos мб cos 6 =
= 2 COS /20 (COS 6 — COS cp) + 2 COS /26 COS <p
выводим равенство:
A1.53)
A1.54)
A1.55)
A1.56)
137
откуда, замечая, что первый интеграл в правой части равен нулю, по-
получаем уравнение в конечных разностях [19]:
1п+1 + /п_х = 2 In cos ср. A1.57)
Но, не ссылаясь на свойства этих уравнений, достаточно заметить,
что существует частное решение вида:
1п = Схп, A1.58)
если х удовлетворяет уравнению
х2 — 2zcoscp + l =0, A1.59)
т. е., если имеем
A1.60)
Обозначая через С = A' -f- iB' и С" = A" + iB" две произвольные
комплексные величины, для определения интеграла A1.50) сможем на-
написать:
1п = С'ёхп* + C"e-in* = (А' + iB') ein* +
+ (А" + iB")e-in*. A1.61)
Но так как нас интересует только действительная часть этого выраже-
выражения, то, обозначая через А я В две произвольные действительные по-
постоянные, получим
In = A sin мер + В cos мер. A1.62)
Постоянные А и В определятся, если учесть условия A1.52) (/0 =
= 0) и A1.54) A± = тг); таким образом найдем
откуда окончательно выводится
/sin пф , л л г» /\
п = 7Г . . A1.64)
Б1ПФ V '
12. ПОСТРОЕНИЕ ПРОФИЛЯ СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ
С ДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ДАВЛЕНИЯ ВДОЛЬ КОНТУРА
Чтобы сохранить общий характер задачи, рассмотрим профиль обоб-
обобщенной формы с закругленной задней кромкой (профиль тица Карафоли).
Предположим, что хорда профиля В А = с почти нормальна и к перед-
передней и к задней кромкам в точках максимальной кривизны, которые мы
обозначим через А и В (фиг. 12.1).
Строго это условие может выполняться только в случае симметрич-
симметричных двояковыпуклых профилей, однако так как углы, которые хорда
образует с действительными нормалями в точках Аи В, чрезвычайно
малы, мы можем считать наше приближение достаточным при проведении
дальнейших исследований. Выберем за начало координат центр хорды
138
и положим
X = — у С COS 6.
A2.1)
Тогда ордината точек контура и угол наклона касательной к нему будут
функциями от 6:
Фиг. 12.1
12.1. Основные соотношения
Разложим ~- в ряд Фурье. Так как в обеих крайних точках конту-
контура производная, согласно нашему предположению, обращается в беско-
бесконечность, разложение будет иметь вид
J, A2.3)
11
где аа и аь — коэффициенты, связанные с радиусами кривизны ра и рь
передней и задней кромок равенствами
а2 = 2— а2 = 2— A2.4)
^а с ' ъ с -
Эти равенства легко выводятся из выражения для радиуса кривизны
« dx dy
который легко вычислить, представляя сначала -^ и -jf в виде
n
+ sin 6 2 Ak cos A6 + sin 6 2 Bk sin A 6),
A2.6)
а затем полагая б = тг для определения ра и 6 = 0 для определения рь.
139
Отметим далее, что коэффициенты аа и аь должны удовлетворять
следующему условию:
ттс J rf0 1 а
О
Если мы теперь обозначим через и и v дополнительные скорости в
некоторой точке Р профиля (фиг. 12.1), то компоненты полной скорости
в этой точке будут
U = — Vo cos a + Щ V = Vo sin а + v. A2.8)
Направление этой скорости параллельно касательной в точке Р.
Замечая далее, что угол атаки а, а также и и v очень малы, мы можем
написать
dy _ V __ Vo sin ос -f- v ^ v_ A2 9Y
Это соотношение совпадает с полученным ранее равенством A1.9).
Наше предположение о том, что скорости и и v малы по сравнению
с Fo, вполне справедливо для профилей средней толщины и при малых
углах атаки. Следует, однако, отметить, что на передней кромке, осо-
особенно в точке нулевой скорости, где и = F0cosa да Fo, предположение
это перестает быть верным, и приближенная связь A2.9) нарушается.
Но эта исключительная область весьма мала, и недостоверность скорости
и связанных с нею величин в этой области не может оказывать сущест-
существенного влияния на общий результат. Поэтому, принимая указанное
упрощающее предположение, будем считать скорости и и v очень малыми
и пренебрегать квадратами этих величин. Тогда, заменяя компоненты ско-
скорости выражениями A2.8) и замечая, что углы атаки малы, получим
следующее уравнение для давления в точке Р:
р — р0 = р-р (—F0cosoc + mJ + (Fosina -f vJ — V2A да pVou A2.10)
или также
Теперь задача заключается в том, чтобы построить профиль, давление
на который и, следовательно, скорость и согласно A2.10) были бы из-
известны вдоль контура (например, как функции от 6).
Используя разложение A2.3) для ~, можно представить уравнение
A2.9) в виде
v (dy \ 1 е 1 . е ~
v0 = ~ [тх + aJ = т *а^ т"УGbct£y -с»-
п п
— ^Akcoskb —^Bksinkb—oL. A2.12)
i i
140
Если известно v вдоль контура, это уравнение определяет -р, и зада-
задача решена. Чтобы вычислить v, когда известно и, прежде всего следует
принять во внимание, что обе эти величины определяют значения, при-
принимаемые на контуре дополнительной комплексной скоростью
w = u — iv, A2.13)
которая является аналитической функцией от ъ.
Таким образом, наша задача сводится к задаче Дирихле: найти ана-
аналитическую функцию w(z), голоморфную во всей области вне профиля,
действительная часть которой принимает на контуре определенные
значения.
12.2. Распределение скоростей при обтекании круга
Чтобы решить поставленную задачу, отобразим плоскость z (внешнюю
относительно профиля часть плоскости) на внешнюю область окружности
радиуса а = ~г и определим функцию w в этой области.
Будем рассматривать профиль приближенно как тонкую пластинку
с хордой с. В этом случае отображающая функция
и аффиксами точек окружности будут значения
— С = -J-^ie. A2.15)
Принятое нами приближение вполне допустимо, так как преобразо-
преобразование A2.14) переводит действительный профиль в почти круговой кон-
контур, очень близко приближающийся к окружности, и поэтому распреде-
распределение скоростей вокруг этого контура может приближенно рассматри-
рассматриваться как одинаковое с распределением вокруг окружности.
При этом преобразовании дополнительная комплексная скорость в
плоскости окружности
A2.16)
Отсюда, обозначая через w(z) скорость в точке действительной плос-
плоскости (т. е. в плоскости профиля), получим
w{z) = и — iv = W^ = W (С) —--»- = w(l). A2.17)
^ "6
Функция w(V) голоморфна во всей области вне окружности, обращает-
обращается в нуль на бесконечности и становится бесконечной в точках С =
может быть представлена в виде следующего разложения:
»<С) = -^ + ~^V + S§ . A2.18)
141
где мы можем положить
С1 = а1 + ф1; C2 = oc2 + i$2\ Qk = ak + ibk. A2.19)
Заменив С на — -г eiQ, произведя разложение и отделив действитель-
действительные и мнимые части, получим
) 2Pi 0 2р2 0
с
п
т) Л-
ifjOC-i . у) —<&2 « О ^Г» _* рг»с i'A I ^V' _________ ci тл lc$\ i /л о о/ч\
___ -*• т pi , ___-m ^_ рт pi ___ . 7 j~ UU»3 Лу/ J 7. , OX.1A. n\J \ I 1 / -"Mil
c 2 c 2 »(-t) 'H) J'
Приравняв выражение для v тому, которое получается из соотноше-
соотношения A2.12), найдем:
-2a1 = yaoF0 I
A2.21)
• к / -**
Отсюда, если принять во внимание A2.11) и A2.20), следует;
п
р C^S т + 2 2 ( — ^л cos Аб + Ак sin A6). A2.22)
cv° z i
Коэффициент 462 в этой формуле не определен, но его можно опреде-
определить, учитывая, что давление в случае тонкой пластинки может тео-
теоретически иметь бесконечное значение в передней кромке; но, с другой
стороны, принятое определение величины циркуляции вокруг пластинки
дает конечное значение давления в задней кромке. То же предположение
мы можем сделать и в случае искомого нами действительного профиля,
который мы приближенно заменили тонкой пластинкой.
Отсюда вытекает, что
A2.23)
и выражение A2.22) уже не будет содержать члена с ctg —.
142
12.3. Характеристики полученного профиля
Предыдущее уравнение, которое можно переписать в виде
Ср = 2 £ = (а« + аь) + 2(С0 + а) tg|- +
2 г
п
+ 2 ^i(Aksinkb—Bkcos Щ, A2.24)
показывает, что коэффициенты Ajc, B^ те же, что и в разложении в ряд
Фурье величины Ср, взятой совместно со слагаемым, содержащим tg у .
Если дано, таким образом, распределение давления вдоль контура иг
следовательно, можно определить коэффициенты разложения, то коорди-
координаты профиля определяются при помощи уравнений A2.3) и A2.6).
Вернемся к первому из этих уравнений и заметим, что оно может
быть разбито на два других уравнения:
A2.25)
dVe 1 .6.1 , 6
5- = — у ^a tg у + ab CtS 2"
из которых первое определяет четную функцию ys, принимающую одина-
одинаковое значение как при 6, так и при — б, а второе — нечетную функцию
уе, которая принимает значения, равные по величине, но противополож-
противоположные по знаку при 6 и при — 6.
Нетрудно заметить, что первое из них является уравнением средней
линии профиля (скелета), а второе — уравнением толщины. В самом деле,
заменяя dx на
dx= у с sin6 db A2.26>
и интегрируя дифференциальные уравнения A2.25), получим выражения,
удовлетворяющие следующим условиям:
Так как по определению средняя линия разделяет профиль на две
части, одинаковые по толщине, то функция ys представляет скелет про-
профиля, а функция уе — его толщину, причем действительные ординаты
профиля даются равенством
y = ys + ye. A2.28)
Сравнивая A2.25) с уравнениями A1.24) и A1.25), полученными
для тонких профилей, легко найдем
тс 7
~db. A2.29)
143.
Разобьем также и Ср A2.24) на две функции от 6: четную СРе и не-
нечетную CPs:
A2.30)
°a + аЬ — 2 2j Bk C0S * (
1
Зная CPs, можно вычислить коэффициенты iix .. . An средней линии
(скелета), а имея СРе — коэффициенты В1...Вп толщины.
Так, например, при любом данном распределении давления вдоль
контура, как на фиг. 12.2, тол-
толщина определяется следующей по-
полусуммой:
п _L
(-б)]) A2.31)
а средняя линия — полуразностью
п JL \Г (h\ Г ( h\\ (\ 9 ЧР^
Разлагая эти две функции в
Фиг. 12.2 ряд Фурье графическим или ана-
аналитическим способом, определяют
коэффициенты Ап, Вп, и поставленная задача оказывается решенной.
Полагая далее
2тс
- Cm = 4r$ Cp(-f - x)% db = 2L {Al + A2) + lT
A2.33)
находим, с одной стороны, Cz и Ст, зависящие от Ср, а с другой сторо-
стороны, угол нулевой подъемной силы и Ст% в функции от коэффициентов
А А А -
Л, Al9 Ji2.
о = А+^А1; Ст.=—^(А1 + А2). A2.33')
12.4. Пример построения
Этот пример заимствован из работы Бренана и Стивенсона [2] и
касается профиля, имеющего ламинарное обтекание. К тому же основ-
основной интерес изложенного выше метода заключается как раз в его при-
применении к построению ламинарных профилей. Предположим, что коэф-
коэффициент давления CPs распределен на верхней стороне профиля, как
144
показано на фиг. 12.3:
A2.34)
На нижней стороне профиля CPs принимает те же значения по вели-
величине, но с отрицательным знаком, следовательно, на верхней стороне
имеется разрежение и его действие прибавляется к эффекту поджатия
на нижней стороне.
m 4
В
0
л
t
e
f X
Фиг. 12.3
Далее получим
A2.34')
Заметим также, что построение профиля, соответствующего данным
условиям, приводит к определенному значению Cz, которое мы выберем,
руководствуясь практическими соображениями, а именно: учетом вели-
величины подъемной силы, при которой мы хотим сохранить ламинарные
свойства профиля.
Чтобы упростить задачу, возьмем в качестве координатной оси ось,
образующую угол А A2.29) с рассматривавшейся вначале осью. Тогда,
обозначая через у' и х' новые координаты, получим
X ^ X, у — у АХ \16»ОО)
и первое уравнение A2.25), где Со заменяется на А, принимает вид
г П
—- = /\Ajc cos к 6. A2.36)
1
Обозначим через а' угол атаки относительно новой оси, причем
а' = Л-Ьа. A2.37)
Вместо первого уравнения A2.30) можно написать теперь следующее
соотношение:
A2.38)
145
Из этого уравнения видно, что первый член правой части соответ-
соответствует распределению давления на тонкой пластинке при угле атаки а\
Остальные члены (слагаемые суммы) выражают влияние выгиба профиля.
Если а' = Л + а=0, давление конечно во всех точках пластинки. По-
Поэтому А называют идеальным углом атаки.
При сравнении выражений A2.36) и A2.38) легко заметить, что пер-
первое выражает изменение скелета относительно тонкой пластинки, а члены
суммы второго уравнения — влияние этого изменения. Поэтому коэф-
коэффициенты Аг. . . Ап могут быть определены при помощи уравнения
п
C'Ps = CPs-2x'tg^=2^iAksinkb. A2.39)
1
Из этого уравнения с учетом условий нашего примера следует, что
Ак = 1- J 6р8 sin kb db = -SsJ A — cos 6) sin kb db + -£ J sin &6 d9, A2.40)
0
если принять во внимание распределение давления (фиг. 12.3) относи-
относительно новой оси, как это было определено выше.
Подставляя вместо СРо его выражение из A2.34), получаем
( л\к л , sm —+-1 sm-^-—1
^T^ + T-ntri т-т^т-И12-
Когда коэффициенты Аг. . . Ап определены, можно интегрировать
уравнение A2.36) и таким образом найти выражение для y's в виде до-
довольно сложного тригонометрического ряда. Для упрощения положим
1
СЮ
A2.42)
Предположив, что в разложении CVs в ряд Фурье п стремится к
бесконечности, получим
A2.43)
146
Приняв далее
2 + 4-f ;
; 1+*2 = — eie-4- , A2.44)
С
С
можно на основании A2.36) написать
|] A2.45)
и, интегрируя, получить окончательно
1 . х С г 1 хг хг 1 х
2/^ + [ln4+
— -д1 - 2 7) ln(l - 2 ^J + const.. A2.46)
Чтобы определить постоянную интегрирования, заметим, что ys = О
при х = +■ -j , откуда следует
const = -^ In2; ^ = -||. A2.47)
Угол нулевой подъемной силы и момент при нулевой подъемной силе
определяются соответственно равенствами
о = А + \А1 = ^кСг = -2А; Ст. = - \{АХ + А2)= -|Gг. A2.48)
При С2 = 0,8 получим тонкий профиль, изображенный на фиг. 12.4.
Фиг. 12.4
Чтобы учесть толщину профиля, находим, возвращаясь к диаграмме
на фиг. 12.3:
Сю = т — d cos 6 от 0 до ~ I
A2.49)
Cv — ш 4- е cos 6 от -^- до ти
Эти значения, справедливые для верхней стороны профиля, равны и
противоположны по знаку значениям для нижней стороны.
Из второго уравнения A2.30) видно, что коэффициенты аа + аь,
Вг. . .Вп те же, что и в разложении СРе в ряд Фурье; поэтому получим
147
последовательно
1 1
= т — — {d + e)\ B1 = ^{d — e);
1
[sin (n + l)~ sin (n — 1) ~1
-ТТГ1 + ^rr^J
На основании A2.7) находим также, что
отсюда получаем аа и аь, а тем самым и радиусы кривизны
A2.50)
A2.51)
= V ТРь
A2.52)
Чтобы найти функцию, определяющую толщину и задаваемую вторым
уравнением A2.25), поступаем аналогичным способом, полагая
A2.53)
далее получаем
3 + 5 —
()| f4 t6
t3 . ts
+
Отсюда вытекает следующее выражение:
l ., l—it
С12.54)
или также
d + e
A2.56)
Принимая во внимание второе уравнение A2.25), можно написать
i_^£ —JL dll dx —
с dQ ~~ с' dx ' dQ ~~~
i_^e A257)
148
После интегрирования получим
j±£« A2.58)
Постоянная интегрирования равна нулю, что легко доказать, заметив,
что уе = 0 при 6 = 0 и 6 = ти.
Интересно отметить, что если d = е = 0, т.е. если давление постоян-
постоянно вдоль контура, то мы найдем, что
уе = -|-msin6; х = 1- sin 6; A2.59)
следовательно, профиль принимает форму эллипса.
Профиль, построенный Бреннаном и Стивенсоном и показанный на
фиг. 12.5, характеризуется значениями т = 0,40; d = 0,625; е = 0,075;
радиусы кривизны получаются такими: ра = 0,0124с; рь = 0,0002с.
Фиг. 12.5
Максимальная относительная толщина равна 0,15, а сечение макси-
максимальной толщины находится на расстоянии 0,05с от центра.
Фиг. 12.6
Если объединить оба профиля, т. е. прибавить к скелету профиля,
представленному на фиг. 12.4, значения толщин, определяемые из урав-
уравнения A2.58) и представленные на фиг. 12.5, то в итоге получим оконча-
окончательный профиль, изображенный на фиг. 12.6.
ЛИТЕРАТУРА
1. В irnbaum W. Die tragende Wirbelflache als Hilfsmittel. zur Behandhmg
des ebenen Problems der Tragflugeltheorie (Вихревая несущая поверхность как
вспомогательный метод для исследований плоской задачи теории несущих крыль-
крыльев). Zeitschr. fur angew. Mathem. u. Mech., 1923.
2. Brennan M. J. a. Stevenson A. G. Simplified two-dimensional aerofoil
theory (Упрощенная теория несущих двухмерных крыльев). Aircraft Eng., XVIII
A946).
3 Garafoli E. a) Methode generale pour le trace des profils d' aviation (Общий
метод построения авиационных профилей). G.R.A.S.deParis, 1.185. b) Sur les profils
aerodynamiques de forme generale (Об аэродинамических профилях общего вида).
G.R.A.S. de Paris, t. 185 A927). с) Trace generale des profils avec diedre a la pointe
(Общее построение профилей с угловой точкой на задней кромке), t. 186.
149
4. Garafoli E. Recherches experimentales sur les ailes monoplanes' (Эксперимен-
(Экспериментальные исследования монопланных крыльев). Publ. scientifiques et techniques
du Ministere de Г Air, Gauthier-Villars, Paris, 1928.
5. Garafoli E. Despre teoria profilelor cu contur dat (О теории профилей задан-
заданного контура). Gomunicare la Academia RPR, Bui. stiintific, Nr. 5, Apr. 1949.
6 Garafoli E. Influence des ailerons sur les proprietes aerodynamiques des sur-
surfaces sustentatrices (Влияние элеронов на аэродинамические свойства несущих по-
поверхностей). Centre de Documentation aeronautique international de Г Aero-Club
de France, Paris, 1929.
7. Чаплыгин С. А. О давлении плоскопараллельного потока на преграждаю-
преграждающие тела. Собр. соч., т. II, 1948.
8. Чаплыгин С. А. К общей теории крыла моноплана. Собр. соч., т. II, 1948.
9. G е с к е 1 е г. Zeitschr. fur Flug. u. Motorluft, 1922.
10. G i r a u 1 t. Methode geometrique de traces de profils d'ailes et de corps fuselees
(Геометрический метод построения профилей крыльев и обтекаемых тел). Publ.
scientifiques du Ministere de l'Air, Nr. 4, Paris, 1931.
11. Glauert H. The elements of aerofoil and airscrew theory (Основы теории крыла
и винта). Cambridge University Press, 1926.
12. Голубев В. В. Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке.
ГТТИ, 1938.
13. Голубев В. В. О применении формулы Шварца—Кристоффеля к построению
аэродинамических профилей. Труды ЦАГИ, № 493, 1940.
14. Голубев В. В. Лекции по теории крыла. Гостехиздат., М.—Л., 1949.
15. J о u k о w s к у N. Е. Aerodynamique (Аэродинамика), 2-е ed., Gauthier-Vil-
lars, Paris, 1931.
16. Жуковский Н. Е. Геометрические исследования о течении Кутта. Собр.
соч., т. V, 1937.
17. Ж у к о в с к и й Н. Е. Определение давления плоскопараллельногл потока
жидкости на контур, который в пределе переходит в отрезок прямой. Собр. соч.,
т. V, М., 1937.
18. Karman a. Burgers. Aerodynamic theory vol. II, Durand edit., Julius
Springer, Berlin, 1935. Карман и Бюргере: Аэродинамика, т. II, под
общ. ред. Дюрэнда, пер. под ред. В. В. Голубева.
19. Milne a. Thomson L. M. Theoretical Aerodynamics (Теоретическая аэро-
аэродинамика), MacMillan a. Go. Ltd., London, 1948.
20. М ises R. Zur Theorie des Tragf lachenauftriebs (К теории подъемной силы крыла),
Zeitschr. fur Flug. u. Motorluft., Nr. 8, 1917.
21. M u 1 1 e г W. Konstruktion von Tragf lachenprofilen (Построение профилей кры-
крыльев), Zeitschr. fur angew. Mathem. u. Mech., 1924 (S. 218).
22 Toussaint et Carafoli E. Theorie et traces des profils d'ailes susten-
sustentatrices (Теория и построение профилей несущих крыльев). Librairie Chiron Editeur,
Paris, 1928.
23. С a r a f о 1 i E. Travaux du Laboratoire aerodynamique (Труды аэродинамиче-
аэродинамической лаборатории). Publ. scientifiques del'Ecole polytechnique de Bucarest, Impri-
meria Nationals, Bucuresti, 1938.
Глава III
ТЕОРИЯ БИПЛАНА БЕСКОНЕЧНОГО РАЗМАХА
В предыдущей главе мы изложили теорию моноплана бесконечного
размаха как основу для изучения действительных крыльев монопланов
конечного размаха. В практике используются также самолеты с двумя
парами крыльев, образующими бипланную коробку (и очень редко —
многопланы). Для установления характеристик действительных бипла-
бипланов с конечным размахом крыльев необходимо изложить аналогичным
образом результаты, относящиеся к бипланам бесконечного размаха,
рассматривая их, следовательно, с точки зрения теории плоского движения.
13. БИПЛАНЫ С ТОНКИМИ КРЫЛЬЯМИ, ИМЕЮЩИМИ РАВНЫЕ ХОРДЫ
И ОДИНАКОВЫЕ УГЛЫ АТАКИ
Мы видели, что при помощи конформного отображения односвязных
областей можно решать все задачи, относящиеся к плоскому движению.
Однако при переходе к областям двусвязным, как это имеет
место, например, в случае бипланов бесконечного размаха, полученные
ранее результаты становятся неприменимыми.
Отображение внешней области биплана по методу А. Вилла на кру-
круговое кольцо дало бы точное решение задачи, однако это серьезно за-
затруднило бы явное выражение результатов. В связи с этим мы ограничимся
некоторыми частными случаями или приближенными методами, которые
позволили бы изучить прикладные вопросы задачи о биплане, пригод-
пригодные для практического использования в аэротехнике.
13.1. Движение вокруг плоской пластинки
Начнем с рассмотрения движения вокруг плоской пластинки, распо-
расположенной в потоке со скоростью Vo в бесконечности и образующей с
пластинкой угол а. Обозначим через
U = — F0cosa и V = V0 sin a A3.1)
составляющие скорости по направлениям, параллельному и нормальному
151
к пластинке. Первая составляющая не претерпевает возмущений, вы-
вызванных наличием пластинки. Наряду с этим движение, порождаемое вто-
второй составляющей, полностью изменяет характер течения вокруг пло-
плоской пластинки.
Можно непосредственно установить потенциал движения, рассматри-
рассматривая комплексный потенциал течения вокруг круга
A3.2)
и заменяя С ее значением, определяемым функцией, отображающей
внешность пластинки на внешность окружности
— 4a2, С — j- = "|/z2 — 4a2 , A3.3)
С
где а = -г-, с — попрежнему хорда пластинки.
Отсюда следует:
|/"z2_4a2 —^ln
£L = u—iv= —V0coscc — iV0sincc—. z — ^
z-\-Vz2—4a2
2
—4a2
A3.4)
Из приведенных выражений видно, что для у —0 и —
т. е. на самой пластинке, скорости параллельны пластинке. Последняя
является, как и следовало ожидать, линией тока. Для у = 0 и х—+2а
скорость становится бесконечной, кроме случая, когда циркуляция Г
равна 4iraF0sina, для которого скорость получается конечной при
х=—2а и бесконечной при х= + 2а. Для очень больших значений z
скорость приближается к скорости потока Vo. Если a = -к-, то в случае
отсутствия циркуляции скорость равна нулю при z = 0.
Приведенные замечания изложены с тем, чтобы использовать их при
решении задачи о биплане.
13.2. Биплан-тандем (Последовательное расположение плоскостей)
Рассмотрим биплан-тандем с хордами, равными с, отнесенный к си-
системе осей, начало которой расположено в середине между плоскостями
биплана, а ось абсцисс совпадает с линиями плоскостей (фиг. 13.1).
Пусть будут р, q и соответственно —р и —q — абсциссы крайних
точек двух отрезков (планов), причем р — q = c. По аналогии с моно-
монопланом можно отметить, что для q<C\x\<^p и у = 0 скорости должны
быть параллельны оси абсцисс, т. е. оба плана должны совпадать с ли-
линиями тока. При я = 4-/?, x = z\zq и у = 0, т. е. на острых кромках
обоих планов, скорости становятся бесконечными. Для очень больших
152
значении z комплексная скорость должна приводиться к значению
—F0e~7iot; Для а=="о" и ^ ~ ® ПОЛУЧИМ Дв^ точки с нулевой скоростью,
симметричные по отношению к оси Оу и расположенные на обеих
плоскостях биплана. Пусть будут z — ±m абсциссами этих двух точек.
Рассматривая циркуляцию Г вокруг системы, образованной обеими
плоскостями, получим, что член в выражении комплексной скорости,
отвечающий этой циркуляции (по аналогии с обтеканием пластинки),
дает бесконечную скорость для г/= 0, х — ±Р и Х — ±Я- Скорость,
обусловленная циркуляцией, стремится к нулю при очень больших зна-
значениях Z.
С"
Фиг. 13.1
Обозначая в дальнейшем через Г' и Г" циркуляции соответственна
вокруг обеих плоскостей, передней и задней (Г = Г' + Г"), получим, что
в некоторой точке z = n на оси абсцисс скорость, вызванная только
циркуляцией, будет равна нулю.
Все изложенные условия строго удовлетворяются следующими выра-
выражениями для комплексной скорости и для потенциала, которые опреде-
ляют движение вокруг биплана-тандем:
df_
dz
= и — iv = — Vo cos a — iV0 sin а ■
_ iT z-n^
27C 1Л/Г2 эт2\/>2 n
z* — m*
f (z) = cp + гФ =— F0cosa-z—iF0sina\
jvv-j
2tz
: — 7i) dz
A3.5)
Слагаемые в этих выражениях аналогичны членам соответствующих
выражений в случае обтекания моноплана A3.4). Эта аналогия была
нами использована при установлении выражения для комплексной ско-
скорости.
Для определения констант ш, п и циркуляции Г отметим, что если
движение лишено циркуляции, то необходимо, чтобы она была тождест-
тождественно равна нулю вокруг каждой плоскости, т. е. Г' = Г" = 0. Отсюда
следует
—v
= 0
153.
или
р V
Г» J~ (* г,1Л~
==.. A3.7)
Положим, что
*5"; 1 4
(А Ь.2\ +2 A-'2f2 (\ Q Q\
Тогда приведенное выше соотношение примет вид:
1 1
т'
о у ' х х о
^ - ^ 1/V7 Л. A3.9)
Первый член является эллиптическим интегралом первого рода; мы
обозначим его через К'. Второй член, обозначенный далее через Е',
является эллиптическим интегралом второго рода. Используя принятые
обозначения, можем записать
m» = pa|l. A3.10)
Значения Е' и К', отвечающие модулю /с', могут быть найдены в
обычных таблицах эллиптических интегралов.
13.2.1. Циркуляция. Рассмотрим теперь обтекание биплана при наличии
циркуляции и определим последнюю, а также константу /г, пользуясь усло-
условием, чтобы в концевых (задних) точках обеих плоскостей (z = q и z= — р)
скорость была конечной. Получим уравнения
A3.11)
Fo sin а (р2 — т2) — ^— '
1 Z.TZ
Отсюда следует
что точно совпадает со значением циркуляции для моноплана с двойной
хордой
cm = 2(p-q) = 2c. A3.13)
Подставляя найденные значения в уравнение для определения ско-
скорости A3.5), находим более простое выражение:
w = -г- = —
Отметим далее, что для больших по модулю значений z можно на-
написать
154
Следовательно, скорость могла бы быть разложена в ряд по степе-
1
ням — :
Z
W-. 70cosa —iVosina(l + Zz=± + {Р7,Ч? + • ■ ■) ■ A3.16)
\ Z ZZ J
13.2.2. Силы и момент. Подсчет интегралов Чаплыгина — Блазиуса,
распространенных на контур С с большим радиусом, дает результирую-
результирующую аэродинамическую силу и результирующий момент:
R = RX — iRv =~-ip[-±df=: — йтир Foeia (p — q) sin a
Zi J (ZZ
A3.17)
Получены те же результаты, что и для моноплана с полной двойной
хордой.
Следует еще вычислить результирующие силы R =RX — iRv и R =
= Rx —^ iRy соответственно для передней и задней плоскостей. Для этого
надлежит распространить интегралы Чаплыгина — Блазиуса на контуры
С и С", окружающие каждую плоскость:
С' q С —V
Обращаясь к выражению квадрата скорости
и отмечая, что
получим с учетом соотношений A3.8) следующее выражение:
/!'tPw(l"g! dz = f ^-^Г=Г7^ + ^1-^2)-^ dt. A3.21)
Написанные выше интегралы вычисляются применительно ко второму
и третьему членам выражения для w2. Для последнего (третьего члена),
учитывая A3.20) и отмечая, что внутри контура С содержится полюс
z = p, берем для подсчета вычета Коши слагаемое с —— (см. фиг. 13.1).
155
Соответственно для контура С", внутри которого содержится единствен-
1
ныи полюс z = — q, нужно взять слагаемое с .
Таким образом находим действительные части величин R' и /?",
равные соответственно
22}
Пользуясь вторым членом правой части выражения A3.19) для w2,
находим с учетом A3.21) мнимые части величин R' и R", равные соот-
соответственно
где v определяется выражением
A3.23)
■ = -£- p (p — q) Vl sin 2a A — v)
A3-24)
Можно констатировать, что передняя плоскость является более
«несущей», чем последующая, и это легко объясняется тем фактом,
что передняя плоскость имеет больший угол атаки, обусловленный частично
циркуляцией вокруг задней плоскости.
Примечание. Если последовательно расположенные плоскости
(тандем) не равны между собой, рассмотрение вопроса будет аналогичным
изложенному выше, однако решение задачи при этом сильно усложняется
и не представляет практического интереса.
13.3. Биплан с плоскостями, расположенными друг над другом
Если плоскости расположены по высоте одна над другой, получим
собственно биплан. Предположим, как мы это уже делали ранее для уп-
упрощения задачи, что обе плоскости одинаковы. Пусть расстояние меж-
между ними будет й, а оси ОХ и OY будут осями симметрии биплана
(фиг. 13.2).
При помощи конформного отображения плоскости z, соответствующей
биплану-тандем, движение вокруг которого мы рассмотрели выше, най-
найдем движение вокруг собственно биплана в плоскости Z.
Пусть будет
Z = Z{z) A3.25)
отображающей функцией и предположим, что обе области взаимно
накладываются друг на друга в бесконечности с точностью до вращения,
равного -к-.
156
В этом случае можно написать:
SU—'■
Отсюда следует, что поток, параллельный Оу в плоскости z,
У{ ^ = - Щ, A3.27)
a
Р"
~
преобразуется на плоскости
Z в поток, параллельный ОХ:
- -*.,A3.28)
т
O\
!
i
„
*
д"
.
Mi
и соответственно горизонталь-
горизонтальный ПОТОК Wq = Uq В ПЛОСКО-
ПЛОСКОСТИ z становится вертикальным
потоком Wo = — iu0 в плос-
плоскости Z.
Мы заключаем, таким
образом, что рассмотренное
отображение поворачивает в
бесконечности плоскость z на
угол -к- для ее наложения на
плоскость Z.
В области Z все линии
тока, отвечающие горизон-
горизонтальному потоку, будут парал-
параллельны ОХ, и сами плоскости биплана, как верхняя, так и нижняя,
являются при этом линиями тока.
Следовательно, Z = Z[z) является таким отображением, при котором
линиям тока, вызванным вертикальным потоком в плоскости z, отвечают
горизонтальные линии Y = const в плоскости z. Отсюда следует, что
отображающая функция с точностью до некоторого действительного
постоянного множителя идентична комплексному потенциалу для
вертикального потока в плоскости
Фиг. 13.2
dz
Мы обозначили через Ф и Т потенциал скорости и функцию тока
для течения в плоскости z9 порожденного вертикальным потоком
со скоростью, равной единице. Соответственно прямые Y = const отоб-
отображают линии тока Т^ const.
Y = T.
A3.30)
157
Таким образом, например, ось Оу (х = 0) отображается осью OX (Y = 0),
линии Тт и —Тт, частью которых являются обе плоскости тандема,
становятся горизонталями 7 = 4-4^, включающими обе расположенные
друг над другом плоскости биплана. Точки с нулевой скоростью т[ и
т'е и соответственно т4 и те, отвечают оконечностям плоскостей биплана
М\ и М'е, соответственно М\ и Ме. Этого можно было ожидать, ибо -г-
становится равной нулю при z =+m, следовательно, отмеченным точкам
будут соответствовать в плоскости Z точки возврата.
Вследствие симметрии точки р' и q' (соответственно р" и q") отвечают
точкам Р' и Q' (соответственно Р" и Q") (см. фиг. 13.2).
Для того чтобы определить геометрические характеристики дей-
действительного биплана по отношению к биплану-тандем, заметим
сначала, что можно написать
. h . Г (г2 —m2)dz .Г (z2—-m2)dz
0 0
г р г
^_ —. • f • f — • f (z2 — ™>2) dz
о о
A3.31)
Е'
Имеем m2 = p2 -дт. Обозначим далее через К и Е эллиптические
интегралы первого и второго рода, соответствующие модулю А = —, т.е.
К
? <** Е =
1~~
. —«а
•Л.
A3.32)
Тогда первый интеграл A3.31) дает /г в виде следующей функции
от р:
:. A3.33)
Для последнего интеграла A3.31), учитывая выражение A3.8) и за-
замечая, что t = 0 для z = р и
* = I/ 1 —
A3.34)
для zz = т* = р^ =;■, получим в конечном итоге выражение
/ dt
A3.35)
158
df
dZ
df
dz
dz
dZ ~
.V(z
?-p"-)
z2 —
(a*
-дг)
df
dz
в котором значения обоихн еполных эллиптических интегралов
могут быть найдены по обычным таблицам.
Вернемся к движению в плоскости Z, которое мы должны изучить, и
заметим, что
A3.36)
где /(z) обозначает потенциал движения в плоскости z A3.5). Отсюда
вытекает, что выражение для скорости в плоскости Z представится в
следующем виде:
df т/ • , т/ V(z2 — p2)(z2 — д2) Г z — п ,4oqh\
^ = -y0sma + i70cosa 22^2 ^-^,——-, A3.37)
Из этого выражения видно, что движение в действительной плоско-
плоскости Z (биплан с плоскостями, расположенными одна над другой) под-
подразделяется натри части, вызванные соответственно: 1) горизонталь-
горизонтальной скоростью (—Fosina), которая не претерпевает никаких воз-
возмущений, обусловленных самимбипл. юм; 2) вертикальной опуск-
опускной скоростью (—F0cosa), потенциал которой дается втор^щ
членом второй части уравнения; 3) полной циркуляцией Г.
Обозначим через [$ угол атаки биплана с перекрывающимися плоско-
плоскостями (плоскость Z) и через Uo — скорость потока в бесконечности (см..
фиг. 13.2).
— Uo cos р — составляющая параллельная ОХ
C/Osin£— » » OY
Применяя установленную ранее зависимость, можем выразить ско--
рость в функции Uo и [5 следующим образом:
A3.38)
Для очень больших значений z находим поток в бесконечности:
W = — Uo cos р — iU0 sin p = — Uoe% A3.39)
Можно убедиться, что для2 = Чгт (задние кромки обеих плоскостей)
скорость становится бесконечной. Чтобы избежать этого, нужно обратить
в нуль в этих точках также и числитель выражения A3.38). Отмечая,
что Ут2 — р2 = + i Yp2 — m2 и что положительный знак отвечает верх-
верхней (z=-f-m)> 9 отрицательный — нижней (z=—т) плоскостям, полу-
получим '
—Шо sin p Y(jP—m2)(m2 — q2) (± i) — ^ (± т — п) = 0 A3.40)
159?
и, следовательно,
К(^2 — т2) (т2 —
A3.41)
Для того чтобы подсчитать полную подъемную силу, достаточно при-
применить теорему Кутта — Жуковского. Однако это же можно сделать,
непосредственно распространяя интегралы Чаплыгина — Блазиуса по
очень большому контуру, в точках которого скорость может быть пред-
представлена в следующем виде:
^=-[^_£.1+...=-^-;|4 + ---' A3.42)
что приводит к уже известному результату
R = Rx — iRy= — ipU0Te*. A3.43)
Сравнивая полученное с аналогичным результатом для моноплана с
равной площадью, а стало быть, с хордой ст = 2с и циркуляцией Гт =
= 2т:с Uo sin [J, получим, что отношение подъемных сил равно отношению
циркуляции:
Учитывая соотношения A3.33) и A3.35), можем выразить это отно-
отношение в функции —. Вследствие симметрии циркуляции Г' и Г" вокруг
с
каждой плоскости равны.
Аналогичным образом могут быть подсчитаны результирующие R' и
/?", действующие на каждую плоскость. Однако эти подсчеты весьма
трудоемки и лишены интереса, ибо этот и д е а л ь н ы й^случай встречается
в практике крайне редко. Но интерес качественного результата приве-
приведенного исследования очевиден, и в дальнейшем мы будем применять
полученные результаты при рассмотрении некоторых других задач.
14. ПРИБЛИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ БИПЛАНА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Задача биплана в общем случае чрезвычайно сложна, и ее решения,
которые давались различными авторами, являются приближенными.
Все примененные методы отличаются в целом тем, что влияние одного
крыла на другое заменяется определенными особенностями, которые
должны представлять основной эффект влияния крыла (это крыло на-
назовем активным). Так, например, Прандтль предложил заменять крыло
вихрем с такой же циркуляцией, как и вокруг самого крыла. Другие
авторы, например Бетц [1] и Пистолеци [2], развили эту мысль и полу-
получили конкретные и интересные результаты. Дальнейшее углубление этих
изысканий было достигнуто Туссеном [10] и Милликеном [7], получившими
160
результаты, подтвержденные экспериментом, Туссен показал, в частности,
очень ясно влияние толщины. Другие исследования, основанные на пре-
преобразовании двух кругов в два профиля, были произведены некоторыми
другими учеными; среди них упомянем Дюпона [3] и Феррари [4]. В не-
недавно вышедшей работе Н. Ф. Сахарный [9] применил метод тонких про-
профилей и дал конкретные решения задачи о биплане с тонкими крыльями.
Ниже мы изложим приближенное решение задачи, основанное на изы-
изыскании особых точек, заменяющих влияние крыла, как это
уже сделали некоторые из перечисленных выше авторов.
14.1. Особенности, заменяющие активное крыло
Рассмотрим, например, одно из крыльев биплана; воздействие, ока-
оказываемое им на другое крыло, проявляет себя посредством поля до-
дополнительных скоростей, которое создается вблизи вто-
второй плоскости вследствие наличия течения вокруг первой плоскости.
Предположим ^то движение вокруг первой плоскости вызвано пото-
потоком со скоростью, равной Fo в бесконечности, и с полной циркуляцией
Г, в величину которой мы включили часть, обусловленную влиянием
другого крыла.
Обозначим через а — радиус образующей окружности, v — аффикс ее
центра, а— угол атаки потока по отношению к оси Ох. Согласно D.10)
выражение потенциала может быть представлено в следующем виде:
iT r(\ v \~ T/ (r i* _i_ a2<r~ig I iT v I
A4.1)
Ниже мы используем это выражение. Однако до этого необходимо при-
привести некоторые замечания о геометрических характеристиках профиля.
14.1.1. Базисный контур профиля. Предположим, что преобразующая
функция, конформно отображающая на образующий круг К профиль
активного крыла, влияние которого изучается, имеет общий вид функ-
функций, изученных ранее.
z' = C' + f + ^-, A4.2)
где q'2 — действительная величина. Примем также, что основные геомет-
геометрические характеристики профиля, а именно: толщина, кривизна, коор-
координата сечения, отвечающего наибольшей толщине, и т. п. — являются
функциями параметров р, х, /, определенных выше посредством G.2).
Обозначив через с хорду профиля, можем записать:
I = 0,25 с; а = I A + Р); д'2 = Z2 A - х); v = / fa + if). A4.3)
161
Примем в первом приближении, что влияние, связанное с геометри-
геометрическими характеристиками профиля, сводится к влиянию базисного
контура G.3):
z' = C' + £. A4.4)
Это уравнение является достаточным для того, чтобы выразить в ве-
величинах первого порядка толщину, кривизну и приближенно — поло-
положение наибольшей толщины. Пренебрежем влиянием членов второго
порядка на геометрические характеристики профиля. Для упрощения
изложения можно также считать, что ось абсцисс системы координат па-
параллельна оси нулевой подъемной силы.
Пусть будет Ох'у' (плоскость z') система осей, к которым отнесен
профиль, и т — угол, образованный осью нулевой подъемной силы с Ох\
Если повернуть систему на угол т так, чтобы ось абсцисс стала парал-
параллельной оси нулевой подъемной силы, то получим
z1 = ze*\ С == Се* A4.5)
и можно будет написать последовательно:
Так как значение т очень мало и для современных профилей не пре-
превышает 1°, можно окончательно принять
Таким образом, мы не учитываем влияния угла т: или, что то же
самое, коэффициента момента при нулевой подъемной силе (Стох—VTr
В заключение примем, что геометрическая форма профиля, опреде-
определенная выше посредством базисного контура, будет оказывать аэроди-
аэродинамическое влияние на соседнюю плоскость, приближенно равное
влиянию точного контура.
В этом случае для более точного определения контура предпоч-
предпочтительнее явно установить наибольшую относительную толщину и поло-
положение главного сечения (Хт)*.
Обозначим через 0т угол, отвечающий положению наибольшей тол-
толщины [этот угол дается формулой (8.11): Хтж0,5A—cos6m)], и через
ет — наибольшую относительную толщину. Согласно (8.15) и пренебрегая
членами второго порядка, можем написать
sm«sin6m[jx(l + cos6m) + у] . A4.7)
* Xm представляет отношение расстояния главного сечения до передней кромкв
профиля к длине хорды.
162
Кроме этого, из (8.16) следует, что
Bр. + х) cos &m + 2ji cos 26m = 0, A4.8)
откуда в конечном итоге получаем
X COS28m . cosem ,,, QN
Таким образом, ja и х определяют наибольшую относительную тол-
толщину и ее положение. Эти результаты в равной мере применимы и к
эмпирическим профилям, у которых sm и \т могут быть легко замерены.
В случае профилей Жуковского (х = 0) значение р. может быть получено
более точно из формулы
"-га-кг- <14Л0>
Вегнемся к рассмотрению базисного контура и представим С как
фуНК1 1Ю ОТ Z.
Если расстояние между двумя плоскостями достаточно велико, можно
пренебречь членами высших порядков по отношению к — и написать
C^z-fsz-y. A4,12)
Это приближенное выражение вполне применимо и для сильно сбли-
сближенных крыльев.
14.1.2. Определение особенностей и их расположения. Рассмо-
Рассмотрим теперь потенциал A4.1) в плоскости С, учитывая при этом A4.3).
Примем
Г = 4raFoa; a? + q* ж 2aZ; a2 - q* ж 2al{^ + ~j, A4.13)
где I представляет четверть хорды.
Пренебрегая членами второго порядка, можно последовательно на-
написать
(с + f){• ^]-
— ^ 1л С ж — Foze** — Fo Г( a2— g2) cos a — i (a2 + g2) sin al ■—-., —
-■£ln«. A5.14)
163.
14.2. Геометрические характеристики биплана
Пусть будут два крыла 1 и 2 (фиг. 14.1) отнесены каждое к своей
системе координат О1х1у1 и соответственно ОчХгуг\ центры крыль-
крыльев совпадают с началами координат, а оси О1х1 и О2х2 параллельны
осям нулевой подъемной силы. Пусть далее сг = 4^ и с2 = 4Z2 будут
хордами профилей биплана, ах и а2 — углами атаки, причем со = а2 — ах
определяет наклон нижней плоскости по отношению к верхней.
Расстояние h между двумя плоскостями называется высотой би-
биплана. Вследствие наличия относительного наклона со цолучаем две раз-
ч
Фиг. 14.1
яые высоты: hx и h2, в зависимости от того, опускается ли перпендику-
перпендикуляр O±Hi на О2х[ или О2Н2 на Охх2.
Можно принять за величину h среднюю высоту, т. е.
Однако обычно принимают
A4.15)
A4.16)
как будем часто делать и мы в дальнейшем изложении.
Если соединить центры крыльев, прямая ОХО2 образует с нормалью
OxHi к О2х'± угол р. Расстояние s = О2Н[ ж ОгН2 называют выносом
биплана; оно связано с углом [J, называемым углом выноса, следую-
следующей формулой:
* = utgp. A4.17)
Точки с нулевой скоростью на образующих окружностях соответ-
соответствуют тачкам профиля, имеющим согласно A4.3) и A4.4) аффиксы
' 4
4 #
A4.18)
Зги точки обозначены через ^ и В2,
Среди прочих геометрических характеристик биплана определим
&S4
также отрезок О±О2 и его положение в зависимости от высоты/г и выноса
s биплана:
Щ% = D2 = /г2 + s2; tg (8 + со) =Л = ctgf. A4.19)
Эти геометрические данные будут использованы в дальнейшем при рас-
расчетах циркуляции и аэродинамических сил, действующих на крылья
биплана.
14.3. Определение циркуляции на нижнем крыле
Из предшествующего видно, что воздействие одного крыла на другое
выражается посредством действия системы вихрь — диполь, заменяю-
заменяющей активное крыло. Последнее оказывает влияние на течение вокруг
крыла, подвергающегося воздействию.
В сравнении с обтеканием одного изолированного крыла, крыло, под-
вер» >нное воздействию, испытывает изменения в распределении скоро-
скоростей по длине его контура. Соответственно изменяются также и условия
обтекания на задней кромке.
Поскольку скорость у кромки должна быть всегда конечной, цирку-
циркуляция, равная для изолированного крыла величине Г, в нашем случае
становится равной Г -|-ДГ. При этом разница между ними отвечает действию,
особенностей, заменяющих активное крыло.
Фиг. 14.2
Рассмотрим плоскость крыла, воспринимающего воздействие (крыло 2)\
обозначим ее через z2 = x2 -f- iy2 и произведем преобразование, опреде-
определенное выражением A4.12)
C2 = z2— -j£f .,A4.20)
с тем, чтобы вернуться к плоскости образующей окружности, обозна-
обозначенной через С2 = £2 + frfe (Фиг- 14.2). В результате этого преобразова-
преобразования центр активного крыла, в котором сосредоточены определеннее
выше особенности, переходит bQj.
165,
В плоскости Сг дополнительное течение по отношению к тому, которое
было вызвано потоком со скоростью Vo, будет определяться системой
визфь — диполь, расположенной в С1г. Для того чтобы установить их
влияние, заметим, что в точке В2 (?2 = — h)y отвечающей кромке профиля,
вызванная дополнительным течением скорость Av2 будет равна по вели-
величине и обратна по знаку скорости v0, обусловленной наличием дополни-
дополнительной циркуляции АГ2, возникшей в результате этого течения.
Эта скорость должна быть касательной в В2 к окружности, следова-
следовательно, она будет параллельной <98у2. Стало быть, достаточно будет под-
подсчитать Дг?2, чтобы найти дополнительную циркуляцию ДГ2.
14.3.1. Влияние вихря. Пусть Т\ будет изолированный вихрь, распо-
расположенный в точке £lv с аффиксом Reip (см. фиг. 14.2). Выражение для
потенциала в системе осей координат, проходящих через центр М2 об-
образующего круга, получается из соотношения C.29). Для упрощения
подсчетов можно предположить, что центр совпадает с началом коорди-
координат. Это допущение не вносит ощутимой погрешности и позволяет выра-
выразить потенциал и скорость следующим образом:
A4.22)
i
В точке В2 (С2 = — а2) скорость примет значение
С учетом A4.21) отсюда следует, что
Ь
cos x, A4.24)
где V21 — полная скорость, вызванная вихрем в точке B2t F2icosx — ее
вертикальная составляющая.
Теперь остается определить положение точки Qx по отношению к
соответствующей ей точке Ог действительной области (области биплана).
Проекции вектора ОгОч легко получаются из следующего соотношения
(см. фиг. 14.2):
166
16
Получаем для К и tg* следующие выражения:
A4.25)
tgx =
14.? 2. Влияние диполя и обобщение задачи. Выше было показано,
что расчет дополнительной циркуляции Г^, вызванной расположенным
в точке Оч вихрем, сводится к расчету вертикальной составляющей ско-
скорости, возникшей в точке В2 благодаря действию вихря (фиг. 14.2).
Аналогичные расчеты для источника с расходом, равным Qu приво-
приводят к сходному результату:
g ^ - A™2V'2l sin x, A4.27)
где F21sin х — вертикальная составляющая скорости в точке В2, инду-
индуцированная источником.
Те же соображения будут справедливы и в случае диполя, образо-
образованного двумя источниками или двумя вихрями, равными между собой,
имеющими обратные знаки и бесконечно сближенными, равно как и
в случае параллельного потока, который может считаться обусловлен-
обусловленным диполем, удаленным в бесконечность. Отсюда следует общий вывод:
циркуляция вокруг профиля равна взятой 4тса2 раз составляющей общей
скорости в точке В2 по направлению О2у2.
Необходимо также установить, как все отмеченные особенности ото-
отображаются с действительной плоскости на плоскость круга. Точка Ох
активного крыла 1 переходит в соответствующую ей точку Qx; мы ви-
видели, что циркуляция, так же как и расход, сохраняются. Что же
касается диполя, то его момент, как было показано соотношением D.54),
помножится на производную ^?, отвечающую точке Ог.
С учетом A4.20) получаем
4 (hi+)i 16(^ + 2) Ла + «2
167
Если пренебречь величиной 5 по отношению к /г, получим более
простое выражение:
\ 1 с 1
AM6 £>2
Приведенные формулы применимы лишь для обычно используемых
высот биплана. Если высота по отношению к хорде достаточна мала
(А<0,5 с), надо пользоваться формулой A4.28). Для большей точности
следует выявить производную от С по z, дсходя непосредственно из вы-
выражения A4.5'). Этим путем находим, что
где Са должна быть заменена своим точным значением в функции ъг\
Ъ = у(** + VZ-bf) ' A4-30')
Для обычных бипланов может быть использована формула A4.29).
Изложенное позволяет перейти к определению дополнительной* цир-
циркуляции Т%1\ вызванной диполем.
Представим момент диполя, расположенного в точке С1г (с аффиксом
Rei9)y в следующем виде:
(V + т-ki) = -(л-
Его потенциал имеет выражение
откуда следует значение скорости в точке
Однако согласно фиг. 14.2
12 + Де*р = | + /?^ = Ке™, A4.34)
следовательно,
^i />icos2x— glsin2x
Вертикальная скорость г?2х будет, стало быть, равна
' sin 2k cos 2&
^2i = Pi —р- + ?i ~^2~ •
Отсюда получаем выражение для дополнительной циркуляции Г^\ вы-
вызванной диполем:
A4.36)
A4.37)
168
14.3.3. Дополнительная циркуляция вокруг верхнего крыла. Для
определения дополнительной циркуляции вокруг крыла 1 (фиг. 14.3)г
вызванной крылом 2, отметим, что центр последнего переходит в точку
Q2; аффикс центра равен R'eipt и, в свою очередь, определяется приме-
применением к точке О2 отображения
Полагая о' = тс + 8 +
(8'«s л + 8), находим:
C1==Zl_^-. A4.38)
и пренебрегая относительным наклоном
- ih 1 +
±1)
16 Dy '
A4.39)
Отсюда следует (см. фиг. 14.3
выражение
/х + R'e* = Aeix' = Ле-^, A4.40
которое заменит ifeilt в предшест-
предшествующих уравнениях.
Для дополнительной циркуля-
циркуляции, вызванной вихрем, получаем
соотношение
A4.41)
где Л и X определяются следую-
следующими выражениями:
Фиг. 14.3
tgX =
А1+А-1
A4.42)
Принимая далее
A4.43)
16 £>2
1
16
можно аналогичным образом установить дополнительную циркуляцин>
Г12, вызванную диполем, расположенным в точке Q2-
— А
sin 2X
cos 2X \
-дГ-J •
A4.43')
14.3.4. Расчет циркуляции 1\ и Г2. Обозначим через Гц цирку-
циркуляцию вокруг верхнего крыла 1 в изолированном состоянии, через Г12 =
— Г^ +Г12* — полную дополнительную циркуляцию вокруг этого крыла,
вызванную воздействием нижнего крыла 2. Для крыла 2 соответственно—
Г2
22
Полные циркуляции 1\ и Г2 представятся как
1 — 1 11 "Г 112» 1 2 — х 22 "Г А 21-
A4.44)
Если ах и а2 = ах + со будут углами атаки по отношению к осям ну-
нулевой подъемной силы, можно будет написать в общем виде
A4.44')
Гц = *aV>i"> Г22 = /r2c2Foa2,
где кг и к2 — коэффициенты, теоретически равные теA + ^)> однако прак-
практически не выходящие за ориентировочные пределы от 87 до 90% этой
величины.
Точно так же вместо 4тса2 = ъсх A + Pi) и 4тса2 = ъс^ A + р2) можно
будет принять соответственно к±с± и А2с2, написав в итоге два уравне-
уравнения, из которых можно определить 1\ и Г2:
ЛЗведем следующие обозначения:
с2 cos X # с
COSX
8"
sin2X
16 D2
16 D2
cos2X
16 &
sin2x
cos 2k
Тогда предшествующие уравнения примут следующий вид:
Эти уравнения решаются легко.
170
A4.45)
A4.46)
A4.47)
Обозначив через sm наибольшую относительную толщину, можно
согласно A4.9) и A4.10) написать
A + Pi) (н + %)= ^т>; A +14) (ъ + -у) = V... A4-48)
где 7]х и соответственно ч\2 изменяются от 0,8 до 1.
С целью упрощения можно также принять, что
A + рг) л± « alf A + f*2) a2 « a2. A4.49)
В итоге из уравнений A4.47) вытекает
- gUg21 1^12^21 ( - -
=
&2C2F0 1 —
Эти формулы могут быть упрощены в еще большей степени, если для
больших значений h пренебречь произведениями g12g2i:> £12*21; £21^12; gi2eii\
g21e12. Это приведет нас к следующим простым соотношениям:
r^V — al + (г>12 —§12) <*2— 6ia 7J2Sm2
<14-51>
ж a2 + (i21 —g21) ax + e217jlSmi j
14,4, Упрощение задачи для случая тонцих крыльев
Если крылья биплана тонкие (принимаем всегда небольшой коэффици-
коэффициент момента, соответствующего нулевой подъемной силе: (Сто= — ^т ~ ^)»
можно использовать более простой метод, заменяя вихрь и диполь, кото-
которые расположены в центре крыла, оказывающего воздействие, лишь одним
вихрем, расположенным в центре тяжести вихревого слоя;
определение этого центра приводится ниже.
14.4.1. Центр тяжести вихревого слоя. Предположим, что стенки
крыльев удаляются и заменяются вихревым слоем. Воздействие одного
крыла на другое идентично влиянию вихревого слоя, распределенного
л о всему контуру крыла.
Если крылья не слишком сближены, можно предположить, что дей-
действие вихревого слоя эквивалентно действию бесконечно тонкой вихревой
трубки с тем же полным напряжением, расположенной в центре тяжести
вихревого слоя [8], и действию диполя, имеющего напряжение, пропор-
пропорциональное толщине профиля.
Обозначим через С контур профиля, через 7 — циркуляцию, отне-
отнесенную к единице длины, и через V — скорость, касательную к контуру
в некоторой его точке. Учитывая, что функция тока на контуре постоянна
r что согласно B.33) можно написать, что 7 = V,
Г = $ТЛ = ^Vds= \*Zds = J (d<? + Иф) = $d/ = (/)с. A4.52)
с с с
171
Обозначив далее через zg — хд + iyg аффикс центра тяжести вихревого
слоя, можем написать
\ \f. A4.53)
Для определения zg вернемся к выражению A4.1) потенциала вокруг
круга. Получим
5s(
С К
= 2kV0 [(a2 + q2) sin a + i (а2 — g2) cos а] + IY A4.54)
Учитывая, что ось нулевой подъемной силы составляет с Ох (ось по-
построения) угол т и что, следовательно, Г = 47raF0-sin(a + т) *> можно
далее написать применительно к системе осей Мх'у\ проходящих через,
центр образующей окружности:
' 1 Г/ . о2\ sin
z0 = Zg - v = т [(a + -^rjsin(a
sina . ./ д2\ cos a
Полученное уравнение свидетельствует о том, что геометрическим
местом центров тяжести вихревых слоев при различных значениях угла
атаки а является прямая.
Приняв согласно A4.13), что
£( ^ A4.56)
находим, что координаты центра тяжести будут определяться следующими
выражениями:
(a + т) ~ a.+ т \*'°')
Если помножить первое из приведенных уравнений на cost, второе —
на sinT и затем сложить полученные результаты, можно будет исклю-
исключить а и получить уравнение прямой, являющейся третьей осью
профиля.
3^^ A4.58)
Так как согласно принятой гипотезе толщина и момент, отвечающий
нулевой подъемной силе, малы ffx + v~O> Сто = — j'z^^
* Эта гипотеза применима только к крыльям в изолированном состоянии. Если
учитывать воздействие соседнего крыла в случае биплана, следует добавить еще
одно слагаемое, связанное с этим воздействием.
Если крылья тонкие и углы атаки равны, взаимное воздействие проявляется
посредством дополнительной циркуляции, величина которой пропорциональна углу
атаки.
172
получаем
A4.59)
Следовательно, влияние активного крыла равнозначно влиянию вихря,
расположенного примерно на расстоянии четверти хорды крыла от пе-
передней кромки (в фокусе профиля)*. Этот результат в значительной мере
упрощает задачу в целом и расчеты.
14.4.2. Определение циркуляции вокруг каждого крыла. Как и ранее,
задача состоит в том, чтобы найти вертикальные скорости в точках Вх
и В2 и вычислить циркуляции, исходя из выражений A4.24) и A4.41).
Новое положение заменяющего вихря ничего не меняет в этих форму-
формулах, однако вместо выноса s, входящего в выражения К и х для ниж-
нижнего крыла и в выражения Л и X для верхнего крыла, следует соответ-
соответственно подставить s2 или s1. Их определение согласно фиг. 14.4 при-
приводится ниже:
S2==s + ^; Sl = s-*L. A4.60)
Этим путем находятся новые выражения для К' и х' вместо A4.26)
и для Л' и )/ вместо A4.42). Подставляя их в две первые формулы
A4.46), находим следующие соотношения:
с2 cosX'
Tl2 — "о" в
Л'
*-(-«(-
-D*
—,)]
721 — "о"
COS х'
2 К'
A4.61)
+ D5 + С
Для бипланов обычного типа (когда h и с — величины одного порядка)
полученные формулы могут быть упрощены путем отбрасывания членов
второго порядка* Если принять i12 = i21 = e12 = е21 = 0, формулы для
подсчета 1\ и Г2 принимают следующий вид:
^1 *1 Tl2a2 . А 2 (Х-2 T21al /л / /?О\
1 тГ = 1 » 1 тГ = "л • A4.OZ)
&iciJo I—T12T21 ¥2^0 !— Т12Т21
Рассмотрим теперь, в какой мере описанная приближенная методика
расчета воспроизводит теоретическую картину обтекания крыла, испыты-
испытывающего воздействие, выявленную при помощи приведенной выше точной
методики.
* Если учитывать взаимное влияние крыльев, то положение центра будет не-
несколько иным.
173
Возьмем для этого случай биплана с тонкими крыльями, без выноса
E = 0) и относительного наклона (ах = а2 = а), и с равными хордами
(сх = с2 = с). Полагая далее для упрощения, что h = с, согласно A4.61)
находим у12 = T2i =0,177 и, применяя формулы A4.62), получаем 1\ =
= Г2 = 0,85Гт. Величина Гт равна циркуляции моноплана, имеющего
те же характеристики.
Точная теория биплана с крыльями, расположенными одно над другим,
привела к формуле A3.44). Для нашего случая последняя дает Г^0,857Гт.
Можно констатировать, что совпадение получается прекрасным; это даег
нам основание применять в дальнейшем эту же методику и для бипланов
с конечным размахом крыльев.
14.4.3. Геометрическое толкование результатов. Кривизна потока.
При более подробном рассмотрении структуры полученных формул можно
отметить, что воздействие вихря (заменяющего активное крыло) выра-
выражается в появлении индуцированного угла атаки, значение которого для
каждого из крыльев получается из следующих формул:
Т12 ■
Tl2
ТИ = T21
klClV0 '
A4.63)
Приближенно эти же результаты можно получить иным, более прямым
путем, рассматривая с геометрической точки зрения условия обтекания
вокруг одного крыла, возму-
возмущенного присутствием второго
крыла.
Пусть будет v2l вертикаль-
вертикальной составляющей индуцирован-
индуцированной скорости (составляющей по
оси ординат) в точке Р2 (х2)
крыла 2, испытывающего воз-
воздействие. Эта скорость обус-
обусловлена вихрем Гх (заменяющим
крыло, оказывающее воздейст-
воздействие), расположенным на рассто-
расстоянии одной четверти хорды от
передней кромки профиля (фиг.
14.4). Легко получаем величи-
величину v21
Фиг. 14.4
и ее изменение по длине хорды
Г1 *-(*-.-£
E
2тг
A4.64)
A4.65>
174
Следовательно, прямолинейный поток Fo испытывает искривление
радиуса р2; между двумя точками Рг и Р2 изменение вертикальной ско-
скорости легко получается согласно фиг. 14.5:
A4.66)
A4.67),
7 XT 7Л UdO XT 7 ' 0
P2 P2
откуда находим величину, обратную радиусу кривизны:
Г!
h2-
р2 ^0 ^2
В точке 6>о(#о = 0), т. е. в цент-
ре крыла 2, имеем гл
= Ji-
p2
A4.67')
Если бы крыло имело такую
кривизну, то при отсутствии всякого
другого угла атаки подъемная сила
крыла была бы равна нулю. Будучи
прямым, крыло испытывает такое
воздействие, как если бы оно искрив-
искривлялось в сторону, обратную по от-
отношению к кривизне потока. Отсюда
вытекает, что угол атаки уменьшается на величину, определяемую фор-
формулой
Фиг. 14.5
Х™ -с,- 4р2 -
•(•+*;
A4.68>
Здесь согласно F.15) посредством t2 обозначена стрела такого искри-
искривленного крыла,
Таким же образом для верхней плоскости 1 находим
'12~ ~4
-а-г
8tzV0
A4.69).
Однако среднее направление потока горизонтально, и оно должна
соответствовать касательной к аэродинамическому центру крыла,
расположенному, например, в точке G2 (фиг. 14.6). Соответствие должно-
быть выдержано в том смысле, чтобы искривленный поток не воздейст-
воздействовал на крыло, если оно повернуто на угол е21, при котором эта каса-
касательная совпадала бы с направлением потока. Легко убедиться, чта
175,
-значение е21 получается из следующего выражения:
A4.70)
оде d2 — расстояние от аэродинамического центра до передней кромки.
Если крыло прямолинейно, это отвечает дополнительному уменьше-
уменьшению угла атаки, равному s21. В итоге полное уменьшение угла атаки
ъ, =
= (з - 41) £а
Фиг 14.6
Аналогичным образом определяется индуцированный угол атаки <fi2
верхнего крыла 1, вызванный воздействием нижнего крыла 2:
Если G2 (соответственно и Gx) является центром давлений, то согласно
•формуле, дающей коэффициент момента по отношению к передней кромке,
получаем
г — ^lr — С А- —С *
mi — ~с[ Zl— m°» "•" Т 1 )
A4.73)
Для устойчивых профилей (с неизменным центром давлений) имеем
СтйХ = Ст02 = 0; следовательно, — = — = -г- Принимая это предположе-
предположение, которое очень близко к действительности для современных профилей f
пренебрегая выносом s и полагая, что высота h значительна в сравнении
с ^-, получим
Vo
A4.74)
176
Эти формулы могут быть сравнены с ранее полученными A4.63). Если
принять те же упрощения (например, что высота достаточно велика, а
вынос относительно мал), выражения A4.61) преобразуются к виду
1
Tl2 *
Отсюда следует, после замены Ах и А2 через п
+ С A4
Принимая, что хорды сх и с2 являются величинами одного порядка,
приходим к выводу, что эти выражения подобны выведенным при по-
помощи приближенной методики, учитывающей кривизну потока. Это
оправдывает использование данной методики рядом авторов.
14.5. Силы и моменты, действующие на крылья биплана
После замены активного крыла 1 системой, состоящей из вихря и ди-
диполя, расположенных в центре крыла Ох, надлежит определить движе-
движение вокруг крыла 2, испытывающего воздействие, и далее — давление
на контур и аэродинамическую результирующую. С этой целью приме-
применяем обратное преобразование A4.12) с тем, чтобы вернуться к плоскости
образующего круга.
В этой плоскости течение вызывается общим потоком Fo с циркуля-
циркуляцией Г2 и системой упомянутых выше особенностей, расположенных в
точке Qx, отвечающей точке Ог. Отображения вихря либо диполя по от-
отношению к окружности известны (см. 3.2 и 3.3), поэтому потенциал те-
течения вокруг круга может быть установлен без труда. Далее, применяя
формулы Чаплыгина — Блазиуса, можно будет получить аэродинамиче-
аэродинамическую результирующую и результирующий момент.
Однако перечисленные расчеты чрезвычайно трудоемки, и подобное
рассмотрение задачи лишено практического интереса. Поэтому целесо-
целесообразно вернуться к методике, основанной на использовании располо-
расположенной в центре системы вихрь — диполь, как было указано выше. В этом
случае задача не становится менее трудной, но сохраняется возможность
ее упрощения.
14.5.1. Расчет сил. Помимо общего потока, система вихрь — диполь
верхнего крыла 1 вызывает на нижнем крыле 2 поле скоростей, опреде-
определяемое следующим выражением (фиг. 14.7):
w
21 " 2тг
21 2тг j_£>ei<«.+«.) (z-De^+^f
117
причем рсь абсцисс ст^стемы координат О2ху параллельна общей скорости.
В начале координ^аТ (z __ Q) скорость w21 приобретает значение
— и21 — ^2i = 2^5 sin
|lcos 2
g sin 2 (8а + a2) + g cos 2 (82 + a2) J.
A4.78)
Таким же путем устанавливается величина скорости w12 на кры-
крыле 1 в точке Ог, вызванная крылом 2:
- § sin 2 (8;
cos
g sin 2 (8;
A4.79)
Следует отметить, что ри р2, Qi
и q2 не содержат множителя -=—
(соответственно
Положим
Ь[ + ai = 82 + <*2 = Ь2 + со + лг = 8.
A4.80)
Для упрощения пренебрегаем
выносом в слагаемых, связанных с
действием диполя
(-1).
после
Фиг. 14.7
Ul2-iv12= _
чего можно написать для случая
малых углов атаки:
A4.81)
Как обычно,< через Z) обозначено расстояние ОгО2 = ]/^2 + s2.
Учитывая взаимодействие между вихрем одного крыла и диполем
другого, на основании приведенного выше получаем для подъемной силы
A4.82)
178
Отсюда следует:
P=P1 + P2 = PV0 (I\ + Г2). A4.83)
Обозначив через RQ1 и R02 сопротивления формы каждого из
крыльев, получаем следующие выражения для полных сопротивлений:
= ~ #02 — Р ЙГО
ZJ
Отсюда вытекает следующая величина суммарного сопротивления обоих
крыльев:
R = R1 + R2 = -R01- Д02; A4.85)
этого результата и следовало ожидать.
Заменив 8 через 8А ■+- аг (соответственно через 82 "Ь а2) в соответствии
с A4.80), замечаем, что угол атаки ах мал.
sin
D(sin 8[ 4 «1 cos ^ ) ^
5 ^
cos S __ ^(cos si — ai sin 8j
Эти выражения могут быть подставлены в A4.82) и A4.84).
Если крылья тонкие (Р1 = р2~0), то согласно A4.50) ясно, что цир-
циркуляция зависит только от угла атаки и определяется при помощи фор-
формул A4.50) или, что проще, из формул A4.62). В этом случае Т1 и Г2
разнятся очень мало; при этом третий член выражения сопротивления
A4.84) и второй член выражения подъемной силы A4.82) будут равны
нулю.
Для обычных бипланов, характеризуемых значением высоты, заклею-
ченным в пределах т<-<т, коэффициенты е12 и е21 из A4.46) ста-
о с Z
новятся малыми, и слагаемые в выражении циркуляции, связанные с
толщиной, также становятся пренебрежимо малыми.
В случае толстых крыльев и малых расстояний между ними (А < 0,6 с)
необходимо учитывать члены,- связанные с влиянием толщины. Мы при-
приведем их к обычному и более удобному для использования виду. С этой
целью рассмотрим выражения A4.50) для циркуляции и подставим а2 =
= a1 + w в первую формулу, а ах = а2 — со во вторую формулу. Тогда
можно будет написать
где At и А2 определяются из соотношений
1^(^ +*)+* 1 # A + *) + *21 1ЛА ОО\
, ll't.OO)
а углы тх и т2, названные нами углами нулевой циркуляции,
179
определяются выражениями
х ~ (*12 ~ gu) <»> \
A4.89)
2 1 — #21 A + *12) "И *21
Если эти соотношения подставить в формулы для определения подъ-
подъемной силы A4.82) и сопротивления A4.84) и принять для членов вто-
второго порядка к1 = к2 = тг, получим следующие выражения безразмерных
коэффициентов:
С21 = 2Mi A + НГТ ^*2) * + Т И V"*4 А ~ Ж W*A*\ |
V У L 9 J \ A4.90)
для коэффициентов подъемной силы и
Г. '2 ' А
а2ах
A4.91)
2 ±
для коэффициентов сопротивления.
Эти формулы могут быть упрощены. Так, для биплана с одинаковыми
крыльями, без выноса и относительного наклона получим:
с cos X #
: ? — "о" " ~д~ » в12 — ^21 :
1 c2 cos 2X
+ 16 A3
1 с2 sin 2X
~8~ 1 с2 Л15
1+16Л^
A4.92)
A + g) ет)ет
= Та = Т = 71 \,л . ,-ч | а1 = а Т5
откуда следуют выражения для коэффициентов подъемной силы
СЪх = 2кА |Yl + \-^А (а + т)) (а — т) — i J 7]гтт1 *
A4.93)
я для коэффициента сопротивления
— r Л А - xa
Ж2 — ьж„ — у л ^ та
A4.94)
180
14.5.2. Расчет моментов. Определение потенциального течения вокруг
крыла, подверженного воздействию, весьма трудоемко. Применение теоре-
теоретических формул для подсчета моментов оказывается еще более трудным
и сложным. Приближенная методика, основанная на учете кривизны
потока, не дает достаточного совпадения с экспериментом, показывающим
слабые изменения момента, соответствующего нулевой подъемной силе,
и малоощутимые смещения центра давления. Поэтому можно без суще-
существенной погрешности принимать тот же момент, что и для крыла в изо-
изолированном состоянии.
ЛИТЕРАТУРА
1. В etz A. Berechnung der Luftkrafte auf eine Doppeldeckerzelle aus den entsprechen-
den Werten fur Eindeckertragflachen (Расчет аэродинамических сил, действующих
на крыло биплана, при помощи соответствующих значений для крыльев моно-
моноплана). Techn. Berichte, 1926.
2. Чаплыгин С. А. Схематическая теория разрезного крыла аэроплана. Собр.
соч., т. II, 1948.
3. D и р о n t. Theorie du biplan indefini (Теория бесконечного биплана). Comp-
tes Rendus du III Congres International de Mechanique appliquee. Stockholm,
1930.
4. Ferrari. Sulla determinazione delle caratteristiche aerodinamiche di un biplano
indefinito constituito da due profile alari dati (Об определении аэродинамических
характеристик биплана бесконечного размаха из двух заданных профилей крыла),
Memorie della R. Асе. delle Scienze di Torino, 1931.
5. Голубев В. В. Исследования по теории разрезного крыла, ч. I, ЦАГИ,
№ 147, 1933; ч. II, ЦАГИ, № 306, 1937.
6. Голубев В. В. Обтекание цилиндра в присутствии неподвижной вихревой си-
системы, Уч. зап. МГУ, т. VII, 1937.
7. Millikan С. В. An extended theory of thin airofoils and its application to
the biplane problem (Распространение теории тонких крыльев и ее применение к
теории биплана), Nat. Advis. Comm. for Aeronautics. Washington. Rep., Nr. 326
A930).
8. Pistolesi E. Aerodinamica (Аэродинамика). Unione Tipografieo—-Editrice
Torinese, Torino, 1942.
9. Сахарный Н. Ф. Безотрывное обтекание системы двух дужек заданной
формы. ПММ, т. XIII, вып. 4, 1949.
10. Toussaint A. Theorie approchee des callules sustentatrices biplanes d'enver-
gure infinie (Приближенная теория несущих крыльев биплана бесконечного разма-
размаха). Publ. scientifiques et techn. du Ministere de l'air, Nr. 53, Gauthier-Villars, Pa-
Paris, 1934.
11. G i r e r d H. Contribution a l'etude du biplan d'envergure infinie (К исследованию
биплана бесконечного размаха). Publ. scientifiques et techn. du Ministere de l'air,
Gauthier-Villars, Paris, 1934.
Глава IV
ТЕОРИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО КРЫЛА (МОНОПЛАНА)
КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
До сих пор мы рассматривали бесконечное крыло цилиндрической
формы, движение которого в направлении, перпендикулярном к обра-
образующим цилиндра, вызывает плоскопараллельное течение окружающей
крыло жидкости. Такое представление является, разумеется, идеализа-
идеализацией и не осуществляется в действительности. Реальные крылья не яв-
являются ни бесконечными, ни цилиндрическими, а обладают конечным
размахом, и профили их изменяются от сечения к сечению. Говоря о се-
сечениях, мы имеем в виду сечения, параллельные некоторой средней пло-
плоскости, перпендикулярной к образующим центральной части крыла;
последняя, вообще говоря, симметрична, и, таким образом, средняя пло-
плоскость является плоскостью симметрии.
Течение, возникающее вокруг крыла, представляет собой трехмерный
поток, отклонение которого от плоскопараллельного движения зависит
от оконечностей крыла и от формы профиля в каждом сечении. Однако
при такой постановке задача не может быть решена современ-
современными средствами, поэтому необходимо ввести некоторые упрощающие
предположения, которые свели бы задачу к исследованным нами простым
случаям.
15. УСЛОВИЯ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛА С КОНЕЧНЫМ РАЗМАХОМ
(ТЕОРИЯ ПРАНДТЛЯ)
15.1. Свободные вихри и присоединенные вихри
Сначала представим себе отрезок крыла бесконечного размаха; подъем-
подъемная сила возникает вследствие увеличения давления на нижней стороне
и уменьшения давления на верхней стороне (фиг. 15.1). То же явление
наблюдается и у крыла с конечным размахом, однако благодаря свобод-
свободным концам избыточное давление на нижней стороне гонит частицы жид-
жидкости в область пониженного давления наверху, и возвгикает поток, парал-
параллельный размаху, причем внизу движение направлено к концам крыла,
182
ъ на верхней стороне — к центру (фиг. 15,2). Э\от поток продолжает су-
существовать далеко позади крыла, образуя плоскун* пелену весьма малой
толщины, поперек которой скорость переходит от значеякД +27 на нижней
стороне к значению —v на верхней стороне. В гл. I настоящей работы
\1 _ ■ _ й\
Фиг. 15.1
(см. раздел 2.3, фиг. 2.6) мы уже говорили о том, что эта поверх-
поверхность разрыва может быть заменена вихревым слоем, парал-
параллельным направлению главного потока.
Таким образом, позади крыла появляется система вихрей, параллель-
параллельных главной скорости, в виде бесконечных свободных нитей, ко-
1 —--!-_
-i \
v
Фиг. 15.2
торые сбегают с задней кромки и простираются в бесконечность позади
крыла. Вследствие законов, которыми управляются вихри, эти вихре-
вихревые нити не остаются, однако, изолированными, а соединяются друг с дру-
другом вихрями, локализованными на крыле, которые поэтому называют
присоедин£иными вихрями.
Фиг. 15.3
В самом деле, мы видели, что при изучении явлейий обтекания стенки
крыла могли бы быть отброшены при услойии их замены вихревый слоем,
принудительно сохраняющим одно и то же положение относительно крыла
(раздел 2.3).
Рассмотрим сечение крыла, параллельное главному направлению
потока (фиг. 15.3). Предположим, что скорости приблизительно распола-
располагаются в плоскости сечения; при этом пренебрегаем, разумеется,
183
поперечным потоком г;, о котором мы говорили выше и значение которого
весьма мало по сравнению с главным потоком. Предположим далее, что
внутренность крыла заполнена той же жидкостью, которая обтекает
крыло, но -находится в состоянии покоя и сообщается с окружающей
жидкостью через щель, прорезанную в точке ^4[14], что соответствует
нулевой скорости. Давление внутри крыла совпадает, таким образом,
с давлением в точке А.
Обозначив через р0 и Vo давление и скорость потока в бесконечности,
через рА — давление в точке А, где скорость равна нулю, и через р и
V — соответственно давление и скорость в произвольной точке, получим
по формуле Бернулли
P + f-F2 = po+f-*1 = />A = const, A5.1)
пренебрегая при этом внешними силами, которые незначительны.
Так как вне крыла движение повсюду невихревоз, постоянная Бер-
Бернулли везде одинакова.
Устраняя стенки крыла, заменим его вихревым слоем AAXBXB и
АА2В2В толщиной 8, на внешней поверхности которого (на АгВх и
А2В2) скорость совпадает со скоростью V потенциального потока,
на внутренней же (прилегающей к крылу) поверхности АВ скорость равна
нулю. С внешней стороны слой граничит с линиями тока, простираю-
простирающимися за точки А19 А2 в бесконечность впереди крыла и за точки В1г
В2 — в бесконечность позади крыла. Так как, по нашему предположе-
предположению, этот слой не увлекается течением, а сохраняет постоянным свое
положение относительно крыла, то очевидно, что внешние силы дейст-
действуют на него, уравновешивая разность давлений на верхнюю и на ниж-
нижнюю стброны слоя.
Вследствие удаления стенок пространство становится односвязным,
и мы можем повсюду пользоваться уравнениями движения при условии,
что вводим внешние силы, действующие на вихревой слой и заставляю-
заставляющие его сохранять свое положение. Обозначим через q эту внешнюю силу,
отнесенную к единице объема; она должна быть учтена в уравнениях
движения, и мы можем написать в этом случае согласно B.35):
+ grad(i> + £_#) = -1, A5.2)
rot их и
где и — скорость в любой точке пространства и в вихревом слое.
Мы указывали выше, что постоянная Бернулли не меняется в про-
пространстве вне крыла. Но она сохраняет свое значение также и внутри
крыла, где условия одинаковы с существующими в точке А; следова-
следовательно, она остается неизменной во всем пространстве, без ограничения,
даже внутри вихревого слоя, на внутренней поверхности которого она
согласно равенству A5.1) равна />А(и==0). Давление внутри слоя изме-
изменяется от рл до р по закону, который зависит от изменения скорости
в вихревом слое. Так как последний очень тонок, мы можем считать>
184
что скорость в нем изменяется с высотой (с изменением расстояния ^
от внутренней поверхности слоя) линейно (фиг. 15.3):
и = -р. A5.3)
Мы предположили, что обусловленные тяжестью внешние силы можно
не учитывать (£7жО) и что жидкость несжимаема (р = const). В этом
случае, как мы видели, уравнение Бернулли сводится к уравнению A5.1):
/> + ^_ £/=£ + -£ = const, A5.4}
следовательно, уравнение A5.2) принимает вид
q = p rot и х и = pQ, X и, A5.5)
где О. означает вектор rot и, который мы назвали вихрем. Из соотно-
соотношения A5.3), обозначив через п единичный вектор, нормальный к по-
поверхности слоя, получим
rotw = ti=yXF; Q=J, A5.6)
откуда видно, что вихрь постоянен по всей высоте слоя, касается поверх-
поверхности и перпендикулярен к скорости V, а следовательно, приблизительно
параллелен главному направлению размаха.
Учитывая всю высоту S, находим, что вихревое напряжение на еди-
единицу длины слоя выражается равенством
T==£}8 = F. A5.7)
Возвращаясь к равенству A5.5), отметим, что сила на единицу объема
перпендикулярна к и и Q и, следовательно, нормальна к поверхности
профиля. Абсолютное значение ее равно
q = pu^-. A5.8}
Интегрируя по высоте, получим силу на единицу поверх-
поверхности:
8 8
\qdrl = pL^ud,l = -LV^pA-p, A5.9}
О О
которая, как и следовало ожидать, равна разности давлений на нижнюю
и верхнюю стороны слоя.
За точками В19 В2 позади крыла давления рх и р2 равны, так как
должно сохраняться равновесие и здесь нет удаленной стенки или другого
препятствия, которые позволяли бы давлению изменяться. Это, впрочем,
является и общим условием, движения вокруг профиля, требующим не-
непрерывности давления во всех точках. Поэтому скорости Vx и V2 (см.
фиг. 15.3) равны и отличаются только направлениями, что обусловливается
поперечными потоками: v — на нижней стороне профиля и — г; на
185*
верхней (см. фиг. 15.2). Проектируя эти скорости на плоскость, парал-
параллельную крылу и главному потоку и считая попрежнему ось Оу напра-
направленной вдоль размаха (фиг. 15.4), видим, что скорости изменяются по
высоте свободного вихревого слоя от Fx в точке Рг до F2 в точке Р2,
лринимая промежуточные значения, определяемые формулой
A5.10)
откуда следует
O
в Рг
И'
Фиг. 15.4
— — XV, 12 — -у. A5.11)
Таким образом, свободный вихрь, сбе-
сбегающий с задней кромки крыла, паралле-
параллелен главному направлению потока F» ко-
который преобладает в рассматриваемых точ-
точках (фиг. 15.4).
С учетом полной толщины вихревого
слоя получим
7 = 280 = 2*, A5.12
т. е. вихревое напряжение пелены сво-
свободных вихрей, приходящееся на единицу
ее длины в поперечном направлении.
В то же время мы можем заключить,
что, как и следовало ожидать, свободные
вихри не находятся под действием внешних сил. В самом деле, рассмат-
рассматривая попарно вихри в точках т^ и т]2 =' — ^i (см. фиг. 15.3), получим
последовательно
qx + q2 = PQ х К + и2) = 2pQ X V = О, (О || V). A5.13)
Из сказанного следует, что крыло конечного размаха эквивалентно
двум системам вихрей: системе присоединенных вихрей Q,a, лока-
локализованных на верхней и нижней поверхностях крыла и направленных
приблизительно параллельно размаху, и системе свободных вихрей
Qi> сбегающих с задней кромки, простирающихся параллельно главной
скорости потока и образующих вихревую пелену, уходящую в бесконеч-
бесконечность позади крыла.
15.2. Аэродинамическая результирующая
Картина обтекания крыла конечного размаха, которую мы описали,
ж предыдущие результаты позволяют вычислить результирующую сил
давления, действующих на крыло. В самом деле, элементарная сила,
действующая на элемент объема с?т, равна qd'z. Эта сила равна по ве-
величине и противоположна по направлению силе, с которой жидкость
действует на крыло. Полная сила, называемая аэродинамической
186
результир>ующей, будет, следовательно,
~ 15.14)
т т
где интеграл берется по всему вихревому объему т.
Но так как этот интеграл, взятый по объему, заключающему свобод-
свободные вихри, тождественно равен нулю, то мы можем переписать это равен-
равенство в виде
^ W A5.15)
где iia обозначает присоединенный вихрь, а та — объем, занятый этими
вихрями.
Мы можем разбить этот интеграл на части, если разложим скорость
и на три составляющие: скорость главного потока Vo, которая постоянна,
скорость, вызванную системой свободных вихрей, ю, и скорость w\ вы-
вызванную системой присоединенных вихрей; таким образом,
H = V0 + w + w', A5.16)
тде выражения для w и w' получаются из формулы B.21):
^; п*Г1*ДЛ. A5.17)
г3 ' 4тг) г3 v '
Здесь tj—объем, занятый свободными вихрями.
Тогда для результирующей получим следующее выражение:
(Г=р70 х \uadt — р \па х w'dt — p ^Q,a x~wdz, A5.18)
или, иначе,
A5.19)
Первый интеграл имеет простой смысл. Чтобы уяснить его, отнесем
крыло к системе координат Oxyz, где Оу направлена по размаху крыла,
Ох — по направлению главного потока и Оъ — по нормали к плоскости
хОу (фиг. 15.8). В каком-нибудь сечении, параллельном средней пло-
плоскости xOz, как показано на фиг. 15.3, вихревой слой, заменяющий
профиль, имеет общую площадь своего поперечного сечения, равную оа.
Таким образом, можно написать
uadz = Uaaady = fdy, A5.20)
где Г — циркуляция вокруг крыла в рассматриваемом сечении. Отсюда
«следует
А А
р = pF0 X \ Uadz = pF0 X J Tdy, P = pF0 ^Tdy. A5.21)
ta В В
1S7
Это формула Кутта — Жуковского в обобщенной форме. Она выражает
силу, нормальную к потоку и к главному направлению размаха, назы-
называемую подъемной, или поддерживающей, силой.
Вернемся к выражению для результирующей и отметим, что второй
интеграл в выражении A5.18) равен нулю, если вихри Qa параллельны
размаху.
В самом деле, рассмотрим два
таких вихря, а именно Пх и Q2, и
пусть dox и do2 — элементарные
сечения соответствующих вихре-
вихревых трубок (фиг. 15.5). Вихревые
напряжения соответственно равны
dTx = Q,1dc1 и dT2 = Q2do2, а эле-
элементарная сксфость dv21, вызыва-
вызываемая элементом dsx непосредственно
Фиг. 15.5 на элементе ds2t и элементарная
скорость dv12, вызываемая элемен-
элементом ds2 на элементе dsly выражаются соответственно согласно закону Био —
Савара B.25):
sin
A5.22)
В результате получаем выражения для элементарных сил, действую-
действующих на эти два элемента:
2— p
dY\ • С
smv
откуда видно, что силы эти попарно равны и противоположны по знаку,
и, следовательно, второй интеграл в A5.17) равен нулю.
Теперь нам надо выяснить, можно ли считать параллельными при-
присоединенные вихри Qa. Мы видели из выражения A5.6), что эти вихри
перпендикулярны к скорости V в рассматриваемой точке профиля (см.
фиг. 15.3). Но, поскольку крыло можно приближенно считать прямым
и размах достаточно велик в сравнении со средней хордой крыла, а
скорость v поперечного потока весьма мала по сравнению с V, последняя
сохраняет направление, приблизительно параллельное средней плоскости,
т. е. перпендикулярное к размаху. Следовательно, вихри О,а приблизи-
приблизительно параллельны размаху* Таким образом, наше предположение ока-
оказывается приемлемым, однако оно неверно для стреловидных, крыльев
и потому в этом случае для решения задачи нам придется, как мы уви-
увидим в дальнейшем, прибегнуть к другим предположениям.
Чтобы вычислить третий интеграл, отметим сначала, что направление
свободных вихрей параллельно скорости потока позади крыла, начиная
с задней кромки. Это направление весьма мало отличается от главного
направления потока, и можно предположить, что свободные вихри обра-
188
зуют с крылом одну плоскость, параллельную скорости VQ. В таком слу-
случае скорость Та A5.17) перпендикулярна к этой плоскости и, следова-
следовательно, направлена по Oz; отсюда следует, что интеграл
R =
A5.24)
следовательно, противодействует поступа-
У
выражает силу, перпендикулярную к О,а и к w, а следовательно, па-
параллельную потоку. А так как среднее значение скорости w представляет
вектор, направленный в отрицательную сторону оси Oz, когда вихрь £1а
направлен в положительную сторону оси Оу, то сила эта имеет то же
направление, что и поток, и,
тельному движению крыла.
Ее называют лобовым, а
также индуктивным со-
сопротивлением, так как
она обусловлена скоростью,
индуцированной свободными
вихрями.
Вернемся к выражению
для индуцированной скорости
A5.17), которую, учитывая
наше предположение, легко
вычислить. В самом деле,
обозначим через ^dy напря-
напряжение узкой полоски вихрей
шириной dy, выделенной в
вихревом слое, и одинаковой с ним толщины B8 на фиг. 15.3), и также про-
простирающейся в бесконечность позади крыла. Скорость, вызываемая этим
вихревым шнуром в точке Р крыла (фиг. 15.6), перпендикулярна к
плоскости крыла (направлена в отрицательную сторону оси Oz) и оп-
определяется по формуле Био — Савара:
A5.25)
х
Фиг. 15.6
4тг у — г\
Полная скорость, индуцированная всей вихревой пеленой, выражается
равенством
А А
w =г — т-\ —-— dy + т-\ ^ osv dv. A5.26)
в в
В случае крыла с большим размахом по сравнению с хордой, v при-
принимает значения, по величине весьма близкие к -^ . Поэтому при вычис-
вычислении среднего значения скорости w в сечении т] второй интеграл можно
считать равным нулю и взять это среднее значение равным
А
W = — т-^
у —
dy.
A5.27)
189
В этом случае, обозначив через Г = С2а • °а вихревое напряжение всего
.рассматриваемого сечения (равное циркуляции вокруг крыла в этом се-
сечении) и заменив dz на аайт], получим для интеграла A5.24) выражение*
A5.28)
При этом мы неявно допускаем, что вихревое напряжение Г = Оа.со
сосредоточено в тонкой прямолинейной вихревой нити и что вихревая
пелена непосредственно отделяется от этой нити.
Таким образом, мы приходим к представлению о несущей нити
или несущей линии, вместо несущей поверхности (фиг. 15.7).
15.3. Основания теории Прандтля
Обращаясь к фиг. 15.8, проведем в сечении с координатой у контур С,
охватывающий крыло, а в сечении с координатой у + dy — контур С";
соответствующие циркуляции Г и Г' связаны равенством
Г1 "р | dl 7 /л г 9Q\
=== 1 -4- —r~ CLV. ( lO.Zt/}
dy
Обозначим через do поверхность, натянутую на эти два контура.
Разность ЙГ = Г"—Г равна потоку свободных вихрей, сбегающих с зад-
задней кромки, а именно:
Очевидно, что
dT
dT
A5.30)
A5.31)
190
Следовательно индуктивная скорость и индуктивное сопротивление
принимают соответственно вид
4тт ) dy у — т] 4тг J ) dy у — 7) ^ /
В В В
Мы видим, что эта скорость зависит от распределения Г вдоль раз-
махд, и так как каждая вихревая полоска является продолжением
z
рей крыла, скорость w называют автоиндуктивнай. Таким образом,,
пелена свободных вихрей, напряжение которой в каждой точке размаха,
равно
Т~~ dy '
индуцирует на самом крыле скорость w, перпендикулярную к потоку;
все происходит так, как если бы скорость потока была Vo вместо Vo
(фиг. 15.9). Из этого факта вы-
вытекают два важных следствия
для элементарного отрезка кры-
крыла, расположенного по размаху
в точке с координатой у.
1. Условия обтекания отрез-
отрезка крыла те же, что при плос-
плоскопараллельном потоке, движу-
движущемся со скоростью Vo] элемен-
элементарная аэродинамическая ре-
результирующая dQ перпендику-
перпендикулярна к направлению этой ско-
скорости и равна
dQ dP
Фит. 15.9
dQ = PTV'ody.
A5.33)
Обозначая через i угол, который это новое направление скорости
образует с первоначальным направлением Vo и который называют инду-
индуцированным углом, можно написать для проекций эдемедтарной
191
аэродинамической результирующей dQ на направление Vo , и на
перпендикулярное к Fo направление следующие равенства:
dP яг dQ cos i =; рГ7о cos idy == pTV0 dy )
ю > A5.34)
dR = dQ sin i = pTV0 sin irfy = pTwdy = —dP\
При этом мы берем гр до абсолютному значению^
Таким образом, в сущности, нет соцротивления в собственном смысле
этого слова, так как главная результирующая перпендикулярна к ре-
результирующей скорости Vq. Индуктивное сопротивление является всего
лишь проекцией главной результирующей на первоначальное направление
скорости.
Следует заметить, что индуцированная скорость w мала по сравне-
сравнению с Fo, следовательно, индуцированный угол i тоже мал; поэтому
доожно написать
tgi«»=j^, A5.35)
2. Циркуляция вокруг профиля возникает в соответствии с новыми
условиями обтекания. В самом деле, результирующая скорость образует
уже не угол а с осью нулевой подъемной силы / профиля, а эффектив-
эффективный угол ае (см. фиг. 15.9).
Мы видели из выражения E.13), что циркуляция вокруг крыла
бесконечного размаха выражается равенством
Г = 47raFosina^7r-cFoa = гсA + e)cFoa = £cFoa, A5.36)
с
где a — полный угол атаки относительно оси нулевой подъемной силы,
jol — радиус образующей окружности, с — хорда крыла. Однако опыт по-
показывает, что это значение циркуляции преувеличено и что действитель-
действительная ее величина составляет приблизительно 0,85—0,90 теоретического
значения; поэтому для большей точности следует заменить тгA + s), как
мы это и сделали выше, коэффициентом /с, определяемым эксперимен-
экспериментальным путем. Для циркуляции вокруг рассматриваемого отрезка крыла
конечного размаха получим такую же формулу, но с заменой угла ата-
атаки а на эффективный угол атаки ае:
Г = kcVoxe = kcV0 (a - i) = kcV0 (a - £) , A5.37)
где величина w берется положительной, если индуцированная скорость
направлена вниз (см. фиг. 15.9).
Подставляя вместо w ее выражение A5.32) с учетом ориентации ско-
скорости, окончательно получим следующее основное интегро-дифференциаль-
дое уравнение:
A5.38)
x в i
Д92
Это схематическое описание вихревого течения позади крыла конеч-
конечного размаха, так же как и уравнение, к которому оно приводит, даны
Прандтлем.
16. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ, КАСАЮЩИЕСЯ КРЫЛЬЕВ КОНЕЧНОГО
РАЗМАХА, И ПРАКТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
16.1. Предварительные соображения
Рассмотрим движение вокруг вихревой пелены на большом расстоя-
расстоянии позади крыла, не учитывая скорости потока Fo, что вполне соответ-
соответствует действительности в том случае, когда крыло перемещается в не-
неподвижной среде.
Обозначим через wr вертикальную индуцированную скорость непосред-
непосредственно на пелене; в рассматриваемом случае она в 2 раза больше зна-
значения (wr= 2w), определяемого по фор-
формуле A5.32), потому что в этом случае
можно принять пелену свободных вихрей,
4 простирающейся в бесконечность как впе-
вперед, так и назад. ~~# е О
След ВА пелены на нормальной по
отношению к ней плоскости Oyz (фиг.
16.1) представляет собой линию разрыва фиг#
для компоненты г/ скорости по оси Оу.
В самом деле, эта скорость переходит от значения v' в точке Рг
к значению — г/ в точке Р2, где точки Рх и Р2 лежат соответст-
соответственно на нижней и на верхней поверхностях вихревого слоя (пеле-
(пелены) и имеют одну и ту же абсциссу у. В силу симметрии эти скорости
равны по абсолютной величине. В той же точке с абсциссой у вихревое
напряжение полоски dy, значение которого на единицу длины обознача-
лось через Y (т = — j~)» возникает вследствие циркуляции вокруг пря-
прямоугольного элемента, высотой которого является толщина слоя г, а
шириной dy (см. фиг. 16.1):
= v'dy — sw' + v'dy + sw' = 2v'dy\ A6.1)
следовательно,
T = - f = 2v>. A6.2)
Течение вокруг плоской пелены есть плоскопараллёльное безвихревое дви-
движение, т. е. управляемое потенциалом скоростей; обозначив этот потен-
потенциал через ср, получим
»--2„-|2; «=%, A6-3)
193
откуда видно, что производная от ср по у претерпевает разрыв при пере-
пересечении отрезка В А:
1д*\ г/;(^) е = -гЛ A6.4)
2 2
Рассмотрим контур С с крайними точками в Р± и P2i окружающий
все вихревые полоски от точки с координатой у до точки А. Циркуля-
Циркуляция вокруг этого контура равна Г, так как общее напряжение охваченных
контуром полосок равно полной циркуляции вокруг крыла в сечении с ко-
координатой у. Принимая во внимание A.35) и A,36), получим следующее
важное равенство:
I 1
Г = \(v'dy + w'dz) = J (d^dy + g dz ) = Jdcp = ъ -ъ. A6.5)
С С ч ' 3
Другими словами, ср — многозначная функция для всякого контура,
пересекающего отрезок В А; между тем, для контура, окружающего пол-
полностью весь след В А, ср является однозначной функцией, так как цирку-
циркуляция вокруг этого контура равна нулю. Потенциал ср однозначен и стре-
стремится к нулю в бесконечности, соответственно величине —, где г — рас-
расстояние от начала координат, скорость же стремится к нулю, как — .
Равенством A6.5) мы воспользуемся еще в дальнейшем.
16.2. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия, соответствующая отрезку вихревой пелены,
имеющему длину, равную единице, порождаемая движением, которое
определяется потенциалом ср, конечна и согласно A.47) выражается ра-
равенством
А А А
E = -\§4d£dy=={\{41-^)d£dy = -L^w'Tdy = 9\Ywdy. A6.6)
ВА В В В
Первый интеграл распространяется по нижней и верхней сторонам
отрезка ВА, а второй и третий — только по одной стороне, в направлении
положительных значений у. Отсюда видно, что кинетическая энергия
равна индуктивному сопротивлению крыла. Из этого очень важного ре-
результата вытекает ряд следствий. Так, например, любой несущий эле-
элемент Ау может быть смещен в направлении потока без изменения сопро-
сопротивления, если, разумеется, при этом не изменяется циркуляция вокруг
этого элемента, чего можно достигнуть соответствующим изменением
его угла атаки.
Этот результат был подучен Мунком в общем случае любой несущей
системы. В самом деле, перемещение несущего элемента, поскольку со-
сохраняется его циркуляция, не влияет на условия течения далеко поза-
позади крыла; индуцированная скорость не меняется в бесконечности и со-
согласно A6.6) кинетическая энергия также остается постоянной. Следо-
194
вательно, с индуктивным сопротивлением дело обстоит так же. Важ-
Важным приложением в этом отношении являютря стреловидные крылья*
при которых индуктивное сопротивление зависит только от распределе-
распределения величины Г вдоль размаха, точно так же, как и в случае прямых
крыльев.
16.3. Распределение циркуляции при заданной
индуцированной скорости
Мы видели, что циркуляция, соответствующая точке с координатой у,
равна разности <рх — ср2 между значениями потенциала скоростей A6.5).
Следовательно, задача заключается в том, чтобы найти функцию ср., регу-
регулярную во всей внешней области вне отрезка ВА и принимающую по-
постоянное значение в бесконечности, причем ее производная должна иметь
заданные значения на контуре В A (-^■ = w'=2w). Мы будем решать эту
задачу элементарным способом, тем же методом, который применяется
при решении задач, связанных с уравнением A5.38) Прандтля.
Обозначим через Ъ размах крыла и положим, что
у = — \ cos 6. A6.7)
Разложим Г в ряд Фурье. Так как циркуляция является нечетной
функцией от 6 (т. е. меняет знак, когда 6 меняет знак), мы можем на-
написать
т т
Г = 2bV0 У>Ап sinn6; ^ = 2bV 0^nAn cos пЬ. A6.8)
1 1
Обозначим через w индуцированную скорость в произвольной точке г\
размаха, причем координату т] можно также представить в форме A6.7)
ri = — ycos^. A6.9)
В этом случае значение w дается уравнением A5.32):
А ТС /ч
> cos n®
de A6Ю)
47Т J dy 7) — у те j cos 0 — cos ф
в о
Но мы видели уже из выражения A1.22), что можно написать
cosnO изшпф
COS0 — COS ф Б1Пф ' V ;
о
откуда следует:
195
Таким образом, если w задано вдоль размаха (фиг. 16.2), то
надо разложить в ряд Фурье:
A6.13)
и коэффициенты Аг, А2. . . Аш в выра-
выражении для Г определятся из равенств
А =^ Аг„ = — .
16*3.1. Примеры. Предположим, что индуцированная скорость изме-
изменяется вдоль размаха по параболическому закону
w = WQ\l + (^Jj = kV0(l + cos2 ф) = *70A,5 + 0,5 соз2ф). A6.15)
Отсюда
w Sin ф == Fo A,25A sin ф + 0,25А sin Зф). A6.16)
Следовательно
Л!» 1,25*; A3 = °^;A2 = Ai=A6 = ...=:Am=0. A6.17)
В этом случае циркуляция Г определяется равенством
Г = 2hV0 (i ,25k sin^ + °-^-ks in3<H . A6.18)
Если индуцированная скорость постоянна, именно w = wo = AF0=const,
то можно положить, что
wsinb = Vop- sin <1>, A6.19)
откуда следует эллиптический закон изменения циркуляции
Г = Ш9 й. sin ф = 2bw0 |/l-^J - Го ]/(!-$/. A6.20)
16.4. Крыло с минимальным индуктивным сопротивлением
Чрезвычайно важно определить, как должна изменяться циркуляция
вдоль размаха, чтобы индуктивное сопротивление крыла было минималь-
минимальным при заданной подъемной силе. Впервые решение этой задачи было
дано Мунком методом вариационного исчисления, но мы предпочитаем
элементарное доказательство Бетца.
Пусть Р и R — соответственно подъемная сила и сопротивление крыла
А А
P-=pV0 [ rdy = const; R = AwTdy. A6.21)
в в
196
Нам надо найти при заданной полной подъемной силе такое распреде-
распределение циркуляции Г, которое соответствовало бы минимальному сопро-
сопротивлению.
Предположим, что нам заранее известно это оптимальное распре-
распределение; через 8РХ обозначим дополнительный несущий элемент, добав-
добавляемый в некоторой точке с координатой ух. Чтобы полная подъемная
сила сохраняла заданное значение, необходимо добавить еще другой не-
несущий элемент ЬР2 в точке с координатой у2, равный по величине пер-
первому элементу, но имеющий противоположный знак:
■ 8Р1 + 8Р2 = 0. A6.22)
Добавление этих двух элементов не меняет распределения индуциро-
индуцированных скоростей далеко позади крыла, точнее, можно пренебречь из-
изменением индуцированной скорости, как величиной второго порядка.
В результате, обозначив через w1 и w2 соответствующие индуцированные
скорости, получим добавочное индуктивное сопротивление, значение ко-
которого согласно A5.34) будет следующим:
Ш = тт-ъРг + v~uP* ^~~f OjPi* A0.23)
v 0 У О У 0
Но мы заранее предположили, что распределение циркуляции
оптимально, т. е. .что оно соответствует минимальному сопротивлению.
Следовательно, всякое элементарное изменение индуктивного сопротив-
сопротивления относительно этого минимального значения равно нулю (87? = 0),
откуда следует, что
wx = w2 = Wq = const. A6.24)
Мы получили замечательный результат: индуктивное со-
сопротивление крыла будет минимальным, если
индуцированная скорость постоянна вдоль
размаха. Из установленного нами выше выражения A6.20) следует,
что Г в этом случае изменяется по эллиптическому закону:
j2. A6.25)
Из этого выражения выводится циркуляция в среднем сечении как
функция от индуцированной скорости, а также индуцированная ско-
скорость как функция циркуляции в центре крыла:
Го = 26м7о; м;0 = ^. A6.26)
Теперь обратимся к уравнению Прандтля A5.37) и обозначим через с0
центральную хорду крыла; получим
Го = kc0V0 (« - ^) = *c0F0 (ос - 2-^) • A6.27)
197
Следовательно,
г **oF> _2Ь 2 w v^_2bV A6.28)
+ 2Ь 6
Обозначим через ст среднюю хорду, через S — поверхность и через
X — удлинение крыла, определяемое отношением
Ъс
т
A6.29)
и положим [обозначение, введенное ранее в формуле A6.28)], что
Принимая во внимание A6.7), окончательно можно написать форму-
формулы для циркуляции в нескольких видах:
Г = ibV^ sin 6 = 2bV0 j-^_) sin б
Из этих формул видно, что циркуляцию, изменяющуюся по эллипти-
эллиптическому закону, можно получить: для крыла с эллиптическим контуром
(с = с0 sin 6) и с постоянным углом атаки; для крыла прямоугольной
формы (с = с0) с изменяющимся углом атаки oc'=ocsin6; для крыла
с произвольным контуром или произвольным углом атаки, причем
coc'=c0ocsine. A6.32)
Первый случай наиболее важен и представляет большой интерес для
практического применения. Поэтому мы остановимся на нем подробнее
и установим основные формулы, которыми пользуются в аэротехнике.
16.4Л. Аналогия с обтеканием пластинки, перпендикулярной к по-
потоку. Можно доказать непосредственно, что если индуцированная ско-
скорость постоянна вдоль размаха (—w0), то циркуляция распределена по
эллиптическому закону. В самом деле, на бесконечно далеком расстоянии
позади крыла индуцированная скорость равна —2w0. Предположим, что
во всех точках жидкости добавляется скорость, которая имеет ту же абсо-
абсолютную величину, но противоположна по знаку, т.е. равна 2w0. В этом слу-
случае течение вокруг вихревого слоя идентично обтеканию тонкой пластинки,
поставленной перпендикулярно к направлению потока, движущегося со
скоростью 2w0. Мы видели, что в отсутствии горизонтальной скорости и
циркуляции потенциал движения определяется согласно A3.4) выражением
f(x) = -2шо|/ (У + izY-b^=-2iw^x*-^ , A6.33)
198
где х — комплексная переменная;
x = y + iz A6.34)
(у — абсцисса, z — ордината).
Комплексная скорость принимает вид
■j- = v — iw =—, A6.35)
и при z = О принимает следующие значения:
п== -2iwny_= -2Woy _ A636)
Согласно A6.2) отсюда следует, что
1 = -§ = 2v= ~^-- A6-37)
Таким образом, мы приходим к тому же эллиптическому распреде-
распределению:
Г = Aw0 ]/| - у» = 2w0b /"l-(|J. A6.38)
16.5. Аэродинамические характеристики эллиптических крыльев
Рассмотрим крыло с эллиптическим контуром (с = с0 sin 6) и с углом
атаки ос, постоянным вдоль размаха. Как было указано раньше, угол
атаки берется по отношению к оси нулевой подъемной силы.
Беря для циркуляции третье выражение из A6.31) и подставляя зна-
значение у в функции от б согласно A6.7), можем при помощи выражений
A5.21) и A5.28) легко вычислить подъемную силу и индуктивное сопро-
сопротивление.
}
A6.39)
Подставляя вместо w0 ее выражение A6.26), а вместо Го ее выраже-
выражение в функции от подъемной силы A6.39), можем выразить сопротивле-
сопротивление в другом виде:
p £ P2 . A6.40)
0 2.
2
2.
2
199
Отсюда получаем выражения коэффициентов
г* } A6.41)
R с\\
Согласно A6.30) для эллиптического крыла
Следовательно, можно написать
Закон изменения коэффициента подъемной силы линеен, как q в слу-
случае крыла с бесконечным размахом, но угловой коэффициент 2АХ
является функцией удлинения:
*х=-Лг- A6.44)
Выше мы видели, что теоретическое значение к (кЛ равно 4 —тг =
с
= ir(l+s), где s изменяется в пределах от нуля до 0,1; эксперимен-
экспериментальное, или действительное, значение (ке) приблизительно составляет
0,87 теоретического; в общем же можно считать, что
ке ж 0,85тг A + е) « 0,9тг A6.45)
или следует непосредственно брать экспериментальное значение ке, когда
это возможно. Коэффициент индуктивного сопротивления Сх изменяется
в зависимости от Cz по параболическому закону, поэтому эту зависи-
зависимость называют параболой индуктивного сопротивления.
Если к Сх прибавить профильное сопротивление E.24), получим форму-
формулу для коэффициента полного сопротивления
Кривая Cx = f(Cz) называется полярой крыла, и предыдущая
формула A6.46) позволяет перейти от поляры, соответствующей крылу
с удлинением Хъ к поляре, соответствующей крылу с удлинением Х2.
Действительно, так как СХо имеет одинаковое значение для обоих
крыльев, то для одного и того же коэффициента подъемной силы С2
можно вычислить разность индуктивных сопротивлений:
С*,-Ся, = -^-^). A6.47)
200
Аналогичным способом можно вывести формулу для углов атаки:
если для крыла бесконечного размаха угол атаки а0 соответствует задан-
заданному коэффициенту подъемной силы Cz, то для крыла с удлинением X
угол атаки, необходимый, чтобы вызвать ту же подъемную силу, будет
больше, чем ос0, на величину индуцированного угла. Таким образом, мы
получим
« = а0 + ^ = а0+3. A6.48)
Следовательно, для двух крыльев с удлинениями Хг и Х2 разность
между их углами атаки при той же самой подъемной силе дается фор-
формулой
° 1
16.6. Практические формулы для крыльев конечного размаха
Хотя эллиптические крылья являются лишь частным случаем крыльев
конечного размаха, тем не менее формулы A6.46) — A6.49) можно рас-
рассматривать как основные для практического применения в технической
аэродинамике.
В самом деле, как мы увидим ниже, аналогичные формулы для
обычных, неэллиптических, крыльев очень мало отличаются от только
что выведенных нами. Таким образом, мы вправе пользоваться этими
формулами для любого крыла конечного размаха с обычным контуром.
Поэтому к этим формулам и прибегают обычно в практических случаях.
17. РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КРЫЛЬЕВ
С ЗАДАННЫМ КОНТУРОМ
Для крыльев произвольной формы определение циркуляции более
сложно. Использование уравнения Прандтля A5.38) связано с непре-
непреодолимыми трудностями, которых стараются избежать посредством
упрощающих приближений. Очень многие авторы занимались изу-
изучением этого уравнения, применяя более или менее сложные методы и
находя интересные решения для некоторых форм крыльев, однако обычно
для случаев с ограниченной областью применения.
Можно указать, например, на работы Бетца, исследовавшего прямо-
прямоугольное крыло, Фукса, Мунка, Трефтца. Перэ и Малавар дали экспери-
экспериментальный метод решения уравнения Прандтля, основанный на анало-
аналогии гидродинамических и электродинамических явлений.
Метод Бетца и Фукса заключается в разложении Г в ряд вида
Г = j/ 1 - (|/ (Го + Г2^ + Т^ + ...), A7.1)
где выражение под знаком корня представляет эллиптическое распреде-
распределение, а аддитивные дополнительные члены в скобках считаются обычно
201
малыми. Сложность вычислений и медленная сходимость разложений
ограничивают применение этого метода несколькими простыми случаями.
Метод Трефтца оказался более плодотворным. Он был оригинально
разработан и усовершенствован Глауертом, работы которого имеют боль-
большое значение для практического применения. Поэтому ниже мы изложим
основы этого метода, а также других, связанных с ним.
17.1. Метод Глауерта
Метод Глауерта состоит в разложении Г в ряд Фурье соответственно
тому, как мы уже поступали раньше A6.8):
т
Г = 2bV0 2 An sin n6, A7.2)
i
где 6, как и прежде, определяется соотношением
Индуцированная скорость в точке tj = — -^ cos ty дается установленной
выше формулой A6.12):
m
A 7t E лЛп COS 710 m
4тс j di/ Y)—i/ ти j cos 0 — cos ф ° 2j n sin ф \ ' )
BO 1
Вводя снова текущую переменную 6 вместо ф и подставляя это зна-
значение скорости в уравнение Прандтля A5.38), легко получим другое
уравнение, содержащее 6:
т
sin6 V^nsinn6 + p. Vn4nsinn0 = [i-asin б, A7.5)
i i
где
КС К Сп С С .t r-i r>\
р = т-т = ?-т-ь=*>Ъ' A7-6)
причем \i0 обозначает то же, что в выражении A6.30):
Это уравнение было основой многих исследований, начало которым
положил сам автор, изучавший проблему прямоугольных и трапецои-
трапецоида льных крыльев.
Другие авторы также неоднократно пользовались этим методом,
весьма продуктивным при решении некоторых специальных проблем.
Метод состоит в том, что берут некоторое число m точек на крыле и
удовлетворяя уравнению A7.5) в каждой из выбранных точек, получают,
таким образом, m уравнений с m неизвестными; А1} А2. .. Аш. Если
202
контур крыла прост и само крыло не деформировано элеронами,
число т может быть мало C или 4) и решение системы т уравнений
не представляет труда. Однако в некоторых специальных случаях число
т по необходимости велико, и тогда решение становится практически
почти невозможным. Поэтому в этих случаях надо пользоваться другими,
адэкватными методами.
17.2. Метод Ирмгарда Лотца
Решение уравнения Глауерта A7.5) было дано Ирмгардом Лотцом ме-
методом итерации; этот метод был с успехом применен также и другими
авторами к различным задачам, относящимся к крылу конечного разма-
размаха. Он заключается в делении каждого члена уравнения A7.5) на — :
со
т т
^ sin 6 ^ Ап sin п б + [х0 ^ пАп sin nb = \i0ol sin б A7.8)
1 1
и в разложении в ряд Фурье членов —sin б и a sin 6. Таким образом,
можно написать
т
^Sin6 = po + Picos6+ . . . + k6mcos7n6 = 2?ncosn6 A7.9)
с
о
для первого члена и
га
a sin 6 = ах sin 6 + a2sin26 + . . . + amsinm6 = 2ansinrc6 A7.10)
l
для второго.
Далее, производя вычисления, получают два равных многочлена,
причем каждый коэффициент при sin n 6 в первом многочлене равен соот-
соответствующему коэффициенту во втором (т. е. an). Таким образом полу-
получают неограниченное число уравнений с неограниченным числом неиз-
неизвестных: Alt А2. . . Ап. . .
Соответствующие упрощения приводят к решениям методом последо-
последовательных приближений. Методом итерации определяют в первом при-
приближении п коэффициентов, выбирая число п достаточно большим, чтобы
с надлежащей точностью представить исследуемое явление; с значениями,
полученными при этой первой оценке, снова производят вычисления,
определяя те же коэффициенты во втором приближении, уже более точном.
Этот весьма эффективный и остроумный метод связан, однако, с неко-
некоторыми трудностями: нельзя определить, какое число членов должно быть
выбрано, чтобы получить лучшее приближение; вычисления очень сложны,
и их приходится производить каждый раз снова для данного частного
случая из-за невозможности ^получить простое аналитическое выражение,
которое давало бы общее решение задачи.
203
17.3. Метод Фукса
Указанные трудности частично устраняются при применении метода
Фукса, который дает ряд весьма интересных результатов. Этот метод
состоит в том, что контур крыла представляют тригонометрическим мно-
многочленом и уравнение A7.5) преобразуется в более или менее сложную
систему уравнений с конечными разностями,— в систему, допускающую
приближенное решение. Несмотря на трудность вычислений, до сих пор
еще не пришли к общему решению, которое можно было бы представить
в виде алгебраического выражения, что позволило бы упростить вычисле-
вычисление аэродинамических характеристик крыла.
17.4. Общий метод
Ниже мы даем общий метод [2], строгий и приводящий к простым
решениям, легко применимым ко всем случаям, интересующим авиастроение.
В основном метод состоит в представлении функции —sin6 в обыч-
с
ных случаях симметричной относительно -^-, конечным тригонометриче-
тригонометрическим многочленом следующего вида:
■ w .„.-..--- b...+2p2icos2/0, A7.11)
или, иначе,
Так как распределение величины хорды крыла с симметрично относи-
относительно начала координат (у = 0, 6 = -^-), то коэффициенты $2и которые
мы будем называть коэффициентами формы, имеют четные ин-
индексы, что является необходимым условием для получения одинаковых
значений длины хорды при 0 = 0Х и 6 = тг — 0Х.
ение для F(Q) =
последнее примет вид
Если ввести выражение для F(Q) = — sin6 в уравнение A7.5), то
с
I I \ m
пАпsin 0+ (Ро+ 22?2/с cos Ik 0 I ^Ansmnb = ^asin 0. A7.13)
V l / i
Если a изменяется вдоль размаха, полагаем, что
asin0 = axsin0 + a2sin20 + . . . +amsinm0, A7.14)
Замечая далее, что можно написать
2 sin гс0 cos 2kb = sin (n + 2к) 0 + sin (п — 2А) 0 A7.15)
и что коэффициенты при sinn0 в первой и во второй частях A7.13) равны,
получаем уравнение в конечных разностях степени 4/:
$0)Ап + Р2(ЛП_2 + Лп+2) + . . . + р2г (Лп_2/ + Ап+21) = ^oan. A7.16)
204
Это симметричное уравнение неоднородно, но оно становится одно-
однородным, если угол атаки а постоянен вдоль размаха. В этом случае
(*Ч*в + МАп + h (Лп-2 + Ап+2) + . . . + р2* (Ап-21 + Ап+21) = 0, A7.17)
или, если прибавить 21 к каждому индексу, чтобы привести уравнение
к обычному виду,
+ . . . + hiAn-Hi = 0, A7.18)
мы получаем однородное уравнение с переменными коэффициен-
коэффициентами степени 4/, которое, как мы это увидим в дальнейшем, можно
привести к степени 21.
Форма этого уравнения показывает, что четные члены можно отделить
от нечетных и таким образом получить два различных уравнения.
Современными методами это уравнение решить трудно за исключением
случая, когда I = 1. В этом случае уравнение A7Л7) сводится к уравне-
уравнению, которому удовлетворяют цилиндрические функции:
р0) Ап + [32 (Ап„2 + Ап+2) = 0; A7.19)
решение дается интегралом Лапласа вида [2]
\ A7.20)
V
где
/(*) = J-lV11^ ' . A7.20')
В случае симметричных крыльев циркуляция одинакова для 6 и для
тс — 6, поэтому члены нечетны (п — 2р — 1), и интеграл Лапласа, если
положить t2 = т, примет вид
A7.21)
причем
Ро— И-о Ь . Ро^ 1 M7 99^
~2^> а ' 2sx0- 2а • (Ч.-&)
Значение этого интеграла дается функцией Бесселя
An = Ap-i = CJ^p+ ^ (- 4") . A7.23)
205
которую можно выразить сходящимся рядом
л - л _ С v (~1)г
A7.24)
где Г — гамма-функция, а С — постоянная, определяемая первым неодно-
неоднородным уравнением
(l*o + PoMi + Р,(Л-^) = (*„«• A7.25)
Из уравнения A7.24) видно, что члены быстро убывают, поэтому
можно ограничиться тремя членами, самое большее — четырьмя.
Однако это трансцендентное выражение не обладает преимуществами
алгебраического выражения, анализ которого был бы возможен элемен-
элементарными средствами. При решении более сложных случаев, приводящих
к уравнениям с более высокой степенью, трудности становятся непре-
непреодолимыми, и получаемые решения не представляли бы никаких пре-
преимуществ для их применения на практике. Поэтому ниже мы даем при-
приближенный элементарный метод решения уравнения в конечных разно-
разностях A7.17).
17.5. Приближенное решение общей задачи
В предыдущем примере, исследованном с помощью функций Бесселя,
обнаружилась природа коэффициентов Ах . . . Ап и выяснилась картина их
OJ 0,2 0,3 Ц4 0,5 ОМ 47 48 0,9 Pl,00
' ' ' ~ f I
Фиг. 17.1.
изменения: они убывают более или менее быстро. Но пример этот яв-
является только частным случаем и представляет весьма ограниченную
категорию контуров крыла (очертаний крыла в плане), изображенных
206
диаграммами на фиг. 17.1, где отношение между хордой произвольного
сечения и хордой среднего сечения крыла дается равенством
g _ sin0 (M 9(\\
с0 — р+
В случае других применяемых в авиации форм крыльев в плане (на-
(например, прямоугольных, трапецоида льных, двоякотрапецоидальных,
почти-эллиптических, правильно деформированных и т. п.) приходится
прибегать к приближенным решениям.
Сначала отметим,— в дальнейшем мы это докажем,— что все эти формы
могут быть представлены тригонометрическим многочленом
— sin 6 = ро + 2?2 cos 26 + 2t84 cos 46 + 2|36 cos 66. A7.27)
Со
В этом случае система уравнений A7.17) принимает вид:
[(»■
[(в-
(п-г
РоМпН
-h 2) |»0 -
4- 4) Ро ■
•6)Ро +
- j32 (Лп__2 4" Ап^.2) Ч~ р4 (Ап—4: ~h
+ Ап+в) = 0,
Т PoJ ^п+2 1 Р2 V^n "Г ^71+4^ "Т" У4
"Н ?о] ^п+4 + ?2 (^п+2 + ^гг+б) +
+ Рб (Ап—2 + -4п+ю) = 0,
D 1 /1 _J_ft/'J _L_J \ 1 f
PoJ лп+6 ~t~ г2 1лп+4 Г лп-)-8^ "т" 1
+ рв (Л„ + Ап+хд = 0
^П+4)
Мп-2
h(An
+ h(An-e+ '
+ Ап+в) +
4- ^п+8) + |
2 + Лп+ю) +
A7.28)
Начиная с некоторого индекса п + 2, коэффициенты Лп+г, ^п+4 • • •
становятся настолько малыми, что можно пренебречь во втором из урав-
уравнений A7.28) коэффициентами Ап^.А по сравнению с Ап, коэффициентами
An+Q по сравнению с Ап—2, коэффициентами -4^+8 по сравнению с коэф-
коэффициентами Ап—4 и т. д.; поэтому можно написать
[(п + 2) \i0 + 80] Лп_(.2 + $2Ап + Мп-2 + Рв^п-4 = 0
\\П -f- 4) p.Q -f- PoJ -^n+4 "T" r2^n-{-2 ~4~ p4^*n "T" гб-^п—2 == 0 l /Л П OQ\
[(П + 6) p0 + Pol Лч-6 + p2-4n+4 + Mn+2 + Рб^п = О
Если вместо А„^.2 во втором из уравнений A7.29) подставить его зна-
значение, полученное из первого уравнения, а вместо Ап+2 и -4n+4 B третьем
уравнении подставить их значения, полученные из первого и второго
уравнений, то можно выразить Ап+2, Ап+4, Ап+в в функции от Ап, Л„_2
и .4П_4. Введя эти значения для Ап+2, An±it Ап+в в первое общее урав-
уравнение системы A7.28), получим для члена Ап рекуррентную формулу
ЬопАп + ЬгпАп-2 + btnAn-t, + Ь6пА„^ = 0. A7.30)
Положим далее, что
■ = (« + 1>о + Ро; A7.31)
20T
коэффициенты bQn, b2n, bm, bm даются следующими выражениями:
4n
hh
iV2
'4r6
A7.32)
В дальнейшем мы увидим, что предыдущие выражения достаточно
просты для практических применений, но мы дали их в виде A7.32),
чтобы сохранить общность задачи.
Применяя рекуррентную формулу A7.30) для и = 1; 3; 5, увидим,
что три первых уравнения имеют неодинаковую форму. В самом деле,
если заметить, что А-г = — Al9 А_^ =
3,
_б = —Аъ, то
Из второго и третьего уравнений легко получим
A7.33)
Ьоя — i
Л
603-
Л
X
A7.34)
После введения этих выражений в первое уравнение A7.33) опреде-
определится коэффициент Alt и мы получим окончательно:
■_ Ьш%* IV *_ 4WIS *ri" 1U
4Г 6^^" °пЬ^ ' Ь^^
= 0
A7.35)
Эти формулы являются общим решением задачи, практически легко
применимым, если известны коэффициенты формы j30, j32> j34, P6. Тем не
менее определение циркуляции (т. е. определение коэффициентов Ап)
весьма сложно, если формулы A7.35) применять в таком виде. Поэтому
ниже мы даем подробный анализ контуров употребляемых на практике
крыльев и выводим для каждой формы в плане упрощенные формулы.
18. ИССЛЕДОВАНИЕ КРЫЛЬЕВ, УПОТРЕБЛЯЕМЫХ В АВИАЦИИ
Контуры, или формы в плане, крыльев, ^применяемых в аэро-
аэронавигационной технике, довольно точно укладываются в рамки четырех-
четырехчленного разложения A7.27). В зависимости от числа членов разложе-
разложения наиболее важные из контуров, практически используемых в авиации,
208
можно разбить на 4 категории: простые контуры, соответствующие дву-
двучленному разложению, прямоугольные и трапецоидальные контуры, двоя-
кстрапецоидальные и произвольные [2].
18.1. Контуры, соответствующие двучленному разложению
Эти контуры определяются равенствами
sin 0 с sin 0
с
"со"
, -f 2p2 cos 20 '
A8.1)
в которых изменение коэффициента j32» соответственно р4, дает различные
формы контуров этой категории, как показано на диаграммах фиг. 17.1
и 18.1.
Фиг. 18.1
Полагая j32 = 0, соответственно {34 = 0 и j30 = 1, получим эллиптиче-
эллиптический контур, который мы исследовали в предыдущем разделе.
Из уравнений A7.16) и A7.17) можно в последнем случае непосред-
непосредственно заключить, что Л3 = Л5 = ... = Ап = 0; следовательно, остается
только член
В общем случае, при помощи равенств A7.32) и A7.35), пренебрегая
членами второго порядка, получим
, + Ро^Р2-
A8.3)
209
для контуров, представленных на диаграммах фиг. 17.1, и соответственно
A8.4)
для контуров, представленных на фиг. 18.1.
Контуры этой категории имеют ограниченную область применения;
они могут варьироваться между формой, близкой к прямоугольной, и фор-
формой почти эллиптической, приплюснутой на концах.
18.2. Прямоугольные и трапецеидальные крылья
Эта категория крыльев [3] наиболее часто применяется в аэротехнике,
поэтому изучение таких крыльев особенно важно. Они почти точно пред-
представляются трехчленным тригонометрическим многочленом вида A7.11),
где коэффициенты формы зависят от отношения между концевой и средней
хордами.
Формулы для коэффициентов 4пив этом случае просты, если пре-
пренебречь членами второго порядка:
+ Ро —
G1 + 2) (Х0 +
(п + 2) [х0 + I
+ 4) (Х0 +
A8.5)
Чтобы выяснить, как широка область их применения, надо исследо-
исследовать более подробно эту категорию крыльев. Прежде всего отметим, что
для трапецоидального и прямоугольного контуров разложение функции
— sin 6 в тригонометрический многочлен весьма просто, и~ достаточно
трех членов для вполне удовлетворительного приближения1. Следова-
Следовательно, выбрав надлежащим образом три точки на полуразмахе крыла,
из которых каждая должна удовлетворять равенству
-sin 6 = р0 +2p2cos 26 + 2р4 cos 46,
A8.6)
1 Это удачное совпадение позволяет получить простое и строгое решение задачи
в случае прямоугольных и трапецеидальных крыльев.
210
получим три уравнения для определения трех коэффициентов формы"
Лучшие результаты получаются при следующем выборе трех точек:
Ц- = 0,924; 0,707; 0,383;
6 = 22с30'; 45°; 67°30'.
A8.7)
Если обозначить через — (фиг. 18.2) отношение между концевой хор-
со
дой и хордой среднего сечения,
а через q — коэффициент, рав-
равный
? = 1--5-,. A8.8)
то получим из этих трех урав-
уравнений следующие выражения
для коэффициентов формы (80,
о о .
Р2> Р4-
0,383
Фиг. 18.2
0,924
— о с;
°'383 °>924 \
0924 - _ о,383 J
A8.9)
1— 0,924?^ 1—0,383?; 1—0,707?
Например, если применить предыдущие формулы к частным случаям
— = 1 (прямоугольное крыло); — = 0,75; 0,50; 0,25; 0,10 (трапецои-
дальные крылья), то соответствующие контуры вполне хорошо представ-
представляются тригонометрическим выражением
J = sin_e М Я 1ГП
со Ро + 2p2cos 20 + 2р4 cos 40 ' ^io.iu;
как это видно из фиг. 18.3, а, б, <?, г, д. Так же и в случае треуголь-
ного крыла (— = 0) можно было бы определить коэффициенты при
помощи равенств A8.9), однако в этом специальном случае предпочти-
предпочтительнее пользоваться следующими коэффициентами:
р —9 R74- 2S —1 71 * 2S 0 171 М8 1^
которые позволяют еще лучше представить контур треугольного крыла,
как это видно из фиг. 18.4.
Применим формулы A8.5) к случаю прямоугольного крыла, которое
было главным объектом исследований, проведенных различными авто-
авторами. Беря для удлинения значения
находим для jx0 = — соответственно:
1
1 1
Т ; 4
5 ' 6 ' 7
211
a
-ш
-D,B
-8,2
6
x=f
q=0
po=O,B535
~2/Зг= 8,384
-ZfcQpttB
Z OJ 0,
\
\
\
J
J
I
I
* f f f J^§h >f
in
Co
\0,8
ill
n P
U,u
—o,z
——
—-—-
" **
q=0,Z5
0O=O,753
Zp2=-0,37f
zp4=-o,os3
1 ■
0 OJ 0,2 OJ 0Л OJ 0,
—
^г
\
I
\
\
J
5 Д7 0,8 OJ I,
70
в
t
-ол
-OJ
L
-—.
X-0,5
zfo'°f4
1 0,
1—-^
r3 0Л 0,5 0,
fO /(
\
\
\
i
7 0,8 OJ I
0
Фиг. 18.3
212
■/ n
III
Л С
U,D
n /.
£/,¥
П Q
0
o,
(f-ll>7S
0O=1,Z7O5
2/32=-0,№S
2fa-
7 Or
г or
3 0,4- 01 0,8 0,
7 0,
\
V
8 0,8 1,0
г
n n
0,0
0
4
1
Zfir
'1 4
—0.1
2 6
7
WO
W2
13 6,
ч 4
'S (j
^^
18 4
7 4
78 0,9 100
Фиг. 18.3
<
1
-0,6
-0,2
3
o,
x=3
fio=2,873
1 0,
-+0,1)
г о,
7
«7 4
4 0,
^ 4
4
s
7 0,
^ ^ 1,00
Фиг. 18.4
213
Мы выразили удлинение в функции от коэффициента к:
A8.12)
который, как это очевидно, зависит от наклона графика коэффициента
подъемной силы, соответствующего крылу бесконечного размаха. Угловой
коэффициент этого графика, теоретически равный 2rc(l-[-s)? в действитель-
действительности, как было показано в предыдущих разделах, равен 0,84—0,90 тео-
теоретического значения* Поэтому при числовых расчетах следует брать
для к приближенное значение, определяемое соотношением A6.45), а
именно:
А^0,90тг, A8.13)
если только мы не можем использовать действительного (эксперименталь-
(экспериментального) наклона графика, соответствующего данному профилю крыла бес-
бесконечного размаха. Это позволяет определить выбранные удлинения,
выраженные в функции от к.
Таблица 18.1
1
2
3
4
5
6
7
А
0,750
0,859
0,929
0,976
1,001
1,037
А*
[iocc
0,0585
0,0881
0,113
0,134
0,151
0,167
А,
0,0100
0,0177
0,0250
0,0324
0,0393
0,0489
[10СС
0,00086
0,00196
0,00336
0,00490
0,00655
0,00867
т
0,100
0,138
0,171 ,
0,203
0,232
0,260 !
•
\ 0,023
0,036 '
0,049
0,061
0,072
0,082
Приводим коэффициенты формы прямоугольного крыла: р0 = 0,6535;
2р2 == — 0,384; 2р4 = —0,0536. Введя их в выражения A8.5), получим
значения, указанные в табл. 18.1, которые хорошо согласуются с резуль-
результатами, полученными Глауертом.
Чтобы продолжить сравнение, мы вычислили также коэффициенты
трапецеидальных крыльев со следующими характеристиками: q = 0,25;
0,50; 0,75; 1 при Х = 2к. В результате для р0, которое можно выразить
в функции от q
к сф 1 1 cob 1
^° ~ 2" ' Т * Т "~ Т7 ~ 2B —q) '
A8.14)
получаем соответственно следующие значения:
1
3,5
1
2,5
Результаты даны в табл. 18.2; они так же хорошо согласуются с вы-
вычислениями Глауерта. Мы можем заключить, что формулы A8.5) имеют
214
общий характер и дают общее решение задачи для прямоугольных и
трапецеидальных крыльев.
Таблица 18.2
я
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
0,2323
0,2342
0,2366
0,2377
0,2298
ос
0,02825
0,02045
0,00924
—0,00957
—0,04310
а
0,00625
0,00765
0,00810
0,00849
0,00331
а •
0,000840
0,000893
0,000624
—0,000240
0,000150
т
0,17100
0,12341
0,08141
0,06841
0,20891
8
0,04900
0,02562
0,00974
0,01146
0,10807
18.3. Почти эллиптические контуры
Следует отметить, что существует категория непрерывных и почти
эллиптических контуров, которая тоже может быть представлена трех-
трехчленным полиномом
F F) = р0 + 2р2 cos 26 + 2р4 cos 46,
где коэффициенты формы даются равенствами
,= 0,1915-^-4-0,462-
С3
A8.15)
= fi —0,707-^-
A8.16)
где с0 — средняя хорда, а сь с2, с3 — хорды, соответствующие сечениям
с координатами:
Ц- = 0,383; 0,707; 0,924;
ео = 67о30'; 45°; 22°30'.
18.4. Двоякотрапецоидальные крылья [2]
Крылья эти, часто применяемые в авиации, в общем случае представ-
представляются четырехчленным многочленом
F F) = ро + 2?2 cos 26 + 2р4 cos 46 + 2% cos 66,
A8.17)
причем коэффициенты формы выбираются надлежащим образом.
Вообще говоря, (Зв мало, как мы это увидим ниже из примеров; так
же мало и (J4. После обычных упрощений, пренебрегая членами второго
215
порядка, получим следующие общие формулы:
L ft 02 — Р4K ■ о Р4-Р
3
A8.18)
В зависимости от рассматриваемого случая формулы эти можно еще
более упростить, пренебрегая членами, которые оказываются весьма ма-
малыми. В обычных случаях, например, р4 и Р6 малы, поэтому можно от-
отбросить (ЗЦ и Ре и их произведение j34j36.
Обозначив через
A8.19)
отношение между длиной средней прямоугольной части крыла и разма-
размаем
хом (фиг. 18.5), а через q — попрежнему A8.8) величину q=l -,
Фиг. 18.5
можем написать выражение для длины хорды в трапецоидальнои части
контура:
-*),-Ч- A8-20>
Это выражение справедливо только в трапецоидальнои части; в прямо-
с л
угольной же части отношение — = 1.
Cq
Обозначив через е обратное отношение
e=:T-===i-x-1GoS>Ce-x)?' A8-21>
216
I
> A8.22)
получим следующие выражения для коэффициентов формы1
ро= 0,0637^+0,347е2+0,0935в3+0,1467 e4 \
2р2 = —0,449 е± — 0,201 ег + 0,2508 е4
2р4 = 0,0637 ех + 0,347 е2 — 0,614 е3 + 0,1467 в4
2C6 = — 0,539 ег + 0,815 е2 —0,334 е3 + 0,0434 е4 )
где еь е2, е3, в4 определяются равенством A8.21), если взять для 6 и
cos б соответственно значения
6 = 84°; 67°30'; 45°; 20° л
Ц- = cosG = 0,105; 0,383; 0,707; 0,940 } A8-23>
Для точек в прямоугольной части контура соответствующие значения
е±, е2. . . равны единице.
Пользуясь формулами A8.22), можно вычертить диаграммы, представ-
представленные на фиг. 18.6, а, б, в, г, д, е, соответственно для у. = 0,2; 0,4, 0,8 *.
Наблюдается очень хорошее согласие между контурами действитель-
действительными и построенными путем использования коэффициентов формы, опре-
определенных выражениями A8.22).
Таким образом, эти выражения имеют общий характер и могут быть
использованы для построения любого двоякотрапецоидального контура,
а также в случае контура общей формы, который мы рассмотрим ниже.
Однако при значениях *, лежащих около х = 0,6, предпочтительнее
выбрать другие точки по размаху, а именно:
Ц- = cose =0,105; 0,500; 0,707; 0,924 1
84° 60° 45° 22°30' I
В этом случае коэффициенты формы даются следующими формуламиг
несколько отличными от предыдущих:
ро= 0,1304^+0,4085*2 — 0,0792*3+0,1972*4 ^
2к82 == — 0,502 е± +0,175 е2 — 0,397е3 + 0,330 е4 I
2р4= 0,1304^ +0,4085е2—0,787е3 +0,1972 е4 [ ^ * 5>
2^в = — 0,3155 ег +0,750е2 — 0,511 е3 + 0,0665 е4 I
Диаграммы, полученные для х=0,6, представлены на фиг. 18.7, а, б, в, г\
они указывают на отличное согласие между действительным и вычислен-
вычисленным контуром.
18.5. Крылья произвольного контура
Часто формы крыльев в плане отличаются от рассмотренных выше кон-
контуров. В этом случае также необходимо определить коэффициенты формы
каким-нибудь способом. Вообще говоря, всякий правильный контур или
1 В выражении A8.22) для 2р2 коэффициент при е2 мал и потому слагаемое,
содержащее этот коэффициент, опускается.
* Вычисления и диаграммы были выполнены инж. Тарзиу, которому автор очень
обязан за точность и за превосходный выбор точек на контуре крыла, дающий наи-
наилучшие результаты.
217
a
1П
f
-Us
■ пс
U,o
-о/
0
о,
7t=0,Z0
17=0,90
Z/3S—0,0325
7 0,
Z 0,
3 0,
\
В 0
7 4
\
'^ ^ 7,00
1П
TB
Л 0.8
Ks
—0,2
0
0,
7t=0,20
?=0,50
Po=0,869
Z/10=-0,273
2fy=-0J71
26^-0,0272
I
3 04 05 D,
в о,
\
v
7 0,8 0.9 7,0
I -T^l
—1,0
b,s
-0,B
0
2fo=-0,706
Z0B=-O,O12
1
01 OJ OJ OJ 05 i,
\
6 0
.
/ o,
\
\
\
\
8 OJ 1,0
Фиг. 18.6
218
-in
7fU
c_
Co
yj
0,6
n/
П 9
0,6
0
f=0,0
грг=+цш
2fa=+0,0428
2fo=-0,117
oj Y oj o,
\
>
N
4 OJ- Off 07 0.
4
V
sos to
1П
JL
Kb
u,0
П A
Of
no
0
0,
Cf=0J5
&=D,709
2p2=-0,3$7
2A--0M
Zp6=-0,053
1 0,
з a* ot
,
5 0,6 0,
—**
/ o,
\
\
i
i
8 OJ tt0
1П
7,U
K.0
flu
i/,r
П7
0
o,
H^0t8
2Pz=-0J21
2/$.=+0,10$
2/3B=+0,0394
1 0,
г 0,3 o,
* о,
s o,
6 0}
7 0,
\
\
\
9 OJ #7
Фиг. 18.6
219
a
1П
1,8
L
up
/7 /.
0,4
—0,2
0
D,
x=8,8B
?=/,88
Po=W8
грг=+В№9
ZA=*+BJ9B
2Pe=+8,B885
/ 8/ 8,
\
л
\
\
V
\
\
3 0,4 0/ 0,8 8,7 0,8 W IB
1 1 1 1 l~*-4fri
с
■ 1 -/Iff
—в,в
пи
.... лр
0
^^ —— п nttuc
6и ~ U,UvtO
0J 0,
1
Z 0%
3 0,
1
У 0,
S О,
ч
В 0,
\
7 Ц
J
\
\
В 0,3 1,00'
if)
f
П /i
/77
0
8,
x=8,6B
q-8,5B
Po=0J93
г/зг—bjm
2fa=-B,83775
2/3s=-0,0432
/ o.
4
>
Z 8,3 04 OJ 0,8 8,7 0,
V
\
V
\
V
8_ U, 1,
0
Фиг. 18.7
220
-1,0
г
п с
U,D
п /.
-0,2
0
0,
(f-0,25
2&=-6,оез
ZPS=-0,031
1 0,
2 0J 0,
4 0,5 0
'S 0,
—,
N
V
\
\
\
1
1
\
7 0,0 0,0 7,0
Фиг. 18.7
1П
c''u
Co
<0,8
-0,2
i
ч
\
\
\
' f f f У Г У f 1MWf
Фиг. 18.8
получаемый из правильного однородной деформацией (фиг. 18.8) может
быть легко представлен четырехчленным многочленом i^F), коэффициенты
которого определяются выражениями A8.22), выведенными для предше-
предшествующего случая.
Указанные формулы и в общем случае дают хорошие результаты, как
это видно из фиг. 18.8, дающей возможность сравнить действительный
контур с вычисленным.
Как и раньше, числа е±, е2, е3, е4 выражают отношения — , где с —
хорды, соответствующие точкам, указанным в табл. 18.2. Очень часто,
однако, контур может быть представлен тремя членами; тогда коэффи-
коэффициенты формы даются соотношениями A8.16).
19. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ И МОМЕНТЫ
Интегралы, дающие аэродинамические силы и моменты, очень легко
рассчитать посредством преобразования у = ^cosG, как мы это уви-
увидим ниже [2].
22
19.1. Подъемная сила
Подъемная сила зависит только от коэффициента Аг:
2 тс
P=PV0^ Гdy = 9b2V20^(^Ansinпе)йтей6 = -|-7^21гЛ- A91)
2~
Обозначая попрежнему через S поверхность крыла, а через X — удли-
удлинение
>* = — , A9.2)
находим для коэффициента подъемной силы весьма простое выражение
Через 2кх мы обозначили наклон графика Cz(a) для крыла с удлине-
удлинением X; величина к^ дается следующей формулой:
, _ тиХ{х0 А1 1 тгХ(Хо . Q ,
где вместо Лх стоит его, значение, полученное из уравнений A8.5), кото-
которые соответствуют прямоугольным и трапецоидальным крыльям или
почти эллиптическим, наиболее употребительным на практике. Поэтому
мы будем пользоваться ими в наших задачах, оговаривая специальные
случаи, когда будут рассматриваться другие контуры.
Например, имея дело с двоякотрапецоидальными крыльями или с
крыльями произвольного контура, мы будем получать коэффициент Ах
из общих уравнений A8.18). Полученные такими различными способами
значения Аг отличаются друг от друга только членами второго порядка.
Подставляя вместо jj.o ее значение, установленное равенством A6.30)
можем написать окончательно чрезвычайно важное соотношение, которым
мы воспользуемся для построения кривой изменения Cz в зависимости
от угла атаки:
А = ILSft * A9.6)
Л 4о о (р2 — Р4;
1^о + Ро — Р2 — о», +В
«э^о "г Ро
Индуцированный угол изменяется от сечения к сечению; для эллипти-
эллиптического крыла он постоянен. В случае других крыльев по аналогии
определяют средний индуцированный угол крыла, т. е. угол i, который
надо вычесть из геометрического угла а, чтобы получить эффективный
угол
ае = а-г; A9.7)
222
этот угол в случае крыла бесконечного размаха соответствует тому же
значению Cz, какое получено для крыла с удлинением X:
Cz = 2kxx A9.8)
2кЫ = 2Ые = 2к (а — i). A9.9)
Следовательно,
Это основное соотношение обычно записывают в виде
а = ае + A+т)^, A9.11)
причем
или также1
т = ± Гз0 _ р2 - (f»-y _ JL Щ A9.13)
Полученное выражение для т очень важно, так как дает возможность
построить график изменения Cz для крыла с удлинением )/ как функции
от Cz для крыла с удлинением X.
В самом деле, разность между геометрическими углами атаки а' — а
двух крыльев при одинаковом коэффициенте подъемной силы Cz выра-
выражается равенством
В общем случае, считая |36 достаточно большим, можно дать более
общее выражение для т с учетом значения коэффициента Аг, получаемого
из первого уравнения A8.18):
t2
A9.15)
Мы вычислили т для прямоугольных и трапецоидальных крыльев
(см. табл. 18.1 и 18.2) по формуле A9.13). Часто пользуются также
следующей формулой:
4Ха _4(х0а1_4Г ~ р (Р2 — Э4J1
1Т5 со6 2
1 В случае трапецоидальных крыльев —±— можно заменить на т> , где д
определяется соотношением A8.8).
В случае прямоугольных крыльев она принимает вид
^ = 1,,273 + igg- Мз°^50>65) = 1,273 + ^ + ^03522 , A9.17)
и чтобы привести ее к форме, указанной в некоторых работах, преобра-
преобразуют третий член во второй части равенства (который можно и вовсе
отбросить ввиду его малости), беря для р0 среднее значение jj.0»0,25:
0,0535 _ 0,02675 0,0275 _ 0,014 -
0.22 ~ / 022
Таким образом получают формулу, приводимую в упомянутых выше
работах, а именно:
i^ = l,33 + ~, A9.19)
Иногда бывает нужно установить для прямоугольного крыла также
значение -т— , которое легко получается по формуле A9.4):
Л
X .2/ 08043. 0042М
кх tz \ ' 1х0 (хо + О,22; v '
ИЛИ
^ 2 I /| пос: ^ | 0,0269 — 2_ I л о^ ^L MQ91^
19.2. Сопротивление
Обозначив через w индуцированную скорость, можем получить для
индуктивного сопротивления, которое мы будем обозначать символом i?i,
следующее выражение:
или также для коэффициента индуктивного сопротивления
П Г2 т
A
Cxi = _f!_ = % V Ц± = A + S) % , A9.23)
где
Из этого равенства опять видим, что при данной подъемной силе
сопротирление минимально для крыла эллиптической формы.
224
Вернемся к выражению для коэффициента сопротивления и положим
согласно A9.24), что
8 =
A9-25)
Заметим, что для симметричных крыльев коэффициенты с четными
индексами равны нулю, а начиная с некоторого п коэффициенты Ап пре-
пренебрежимо малы; таким образом, на основании A8.18) выражение для 8
может быть записано в виде
8=3
МР4-Рб)
Р2(Р4—Эб)
7(^0 + Ро
5^0 + Ро
. A9.26)
Для прямоугольных и трапецоидальных крыльев, пренебрегая членами
второго порядка, получим более простое выражение:
Р4 Р4 У
При помощи этой формулы получаются результаты, приведенные
в табл. 18.1 и 18.2..
19.2.1. Оптимальное трапецеидальное крыло. Интересно выяснить, при
какой форме трапеции сопротивление будет минимальным. Для этого
надо приравнять нулю производную от выражения A9.27).
Прежде всего следует отметить, что согласно этому выражению мини-
минимальному значению 8 соответствует приблизительно такое отношение
—, при котором Р2~?4- Из выражений для. ра и ?4 A8.9) легко найти,
со
что в этом случае имеем р2 = р4 = — 0,105 и ро = 1,07. Если представить
8 в функции от s
s = р2 — р4> A9.28)
то, считая, что надо принимать во внимание только изменение е, получим
= 3/о„ °.р)»+5[C^ +
de
C{х0
ю р2
+ Ро)
+ Эо
Ро)
О ~1
+ Ро) 5^о + Ро J = '
A9.30)
225
Следовательно,
10 3{х0 + ft0 ft R _nmno 3(A0 4-1,07
или для среднего удлинения X = 2k(\i0 =-у—= 0,25J, подставляя ц0
в предыдущее выражение, получим окончательно
s = р2 ^- р4 = 0,00623. A9.32)
При помощи A8.9) легко вычислить отношение —, удовлетворяющее
этому условию. Таким образом находим оптимальное отношение
— «0,35. A9.33)
19.2.2. Полное сопротивление. Чтобы получить полное сопротивление,
надо к индуктивному сопротивлению прибавить сопротивление формы,
или йрофильное сопротивление, вызываемое трением и возмущениями у
верхней стороны крыла
A9.34)
Таким образом, выражение для полного сопротивления имеет вид
R = Яо + i?t = -jL SVlCx, A9.35)
где коэффициент сопротивления
Сх = СХо + A + Ъ)-^. A9.36)
Нетрудно заметить, что можно установить следующую зависимость
между сопротивлением Сх крыла с удлинением X' и сопротивлением
Сх крыла подобной формы с удлинением X:
При помощи этой формулы мы можем перейти от крыла с удлинением
X к крылу с удлинением У.
Формулы A9.14) и A9.37) являются основными для крыльев моно-
моноплана конечного размаха и очень мало отличаются от практических
формул A6.47) и A6.49), установленных нами ранее.
19.3. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ
Если отнести крыло к прямоугольной системе координат Oxyz (фиг. 19.1),
где Ох параллельна продольной оси самолета, Oz перпендикулярна
к этой оси (вертикальная ось), а Оу параллельна размаху, то аэродина-
226
мические моменты L, М и N относительно осей Ох, Оу и Oz выражаются
следующим образом:
Фиг. 19.1
19.3.1. Момент относительно продольной оси Ox (Z). Этот момент,
называемый моментом крена, дается интегралом
2
=pF0 \
--^^3^Л2. A9.38)
Если обозначить через ст среднюю хорду, коэффициент момента может
быть выражен очень просто;
= _^-ХМа. A9.39)
В дальнейшем мы будем пользоваться этими формулами; надо только
иметь в виду, что в случае симметричных крыльев момент этот равен
нулю (А2 = 0).
19.3.2. Момент относительно оси Оу (М). Надо прежде всего фиксиро-
фиксировать начало координат, чтобы выразить момент Му вокруг поперечной
оси, называемый также моментом тангажа, или моментом пи-
киройания. Возьмем за начало фокус профиля в среднем сечений.
Момент Мо, соответствующий нулевой подъемной силе, или, вернее,
коэффициент момента КШь, выражается интегралом
2 2
где Сто обозначает коэффициент момента профиля в каждом сечении.
Если профили геометрически подобны (Сто =± const), то, положив
22?
получим
2
^ 5 A9-42)
Фокус Fa крыла лежит в плоскости симметрии крыла на расстоя-
расстоянии /« от фокуса среднего сечения; расстояние это дается выражением
A9.43)
где / обозначает расстояние фокуса F каждого сечения от прямой, па-
параллельной Оу и проходящей через фокус среднего сечения Fo (F в каж-
каждом сечении отстоит от передней кромки на расстоянии, приблизительно
равном 0,25 хорды этого сечения).
Очевидно, что фокус Fa крыла является центром тяжести линии фо-
фокусов, плотность которой в каждой точке равна Г.
Равенство A9.43) можно представить также в виде
A9.44)
и, предположив, что линия фокусов представляет собой прямую, обра-
образующую угол v с осью Foy (трапецоидальное крыло, прямоугольное стре-
стреловидное крыло и т. д.), можно написать
/ = у tg v = — -|- tg v cos 6; A9.45)
тогда предыдущее равенство примет вид
_ 2X6 tg v (А± А_А1__Аь_л_А1_л_ \^ 2btgv fA_± fo — fa \ г^щ
Таким образом коэффициент полного момента тангажа ^т(рв) относи-
относительно координатной оси (проходящей через фокус среднего сечения)
дается выражением
_к 2 i tgv „ Л 3 Р2 — Рд Л MQA7^
где ст попрежнему обозначает среднюю хорду.
1Q.3.3. Момент относительно оси О& (Ж). Момент относительно вер-
вертикальной оси Oz, называемый моментом рысканья, вычисляется
аналогичным способом при помощи формулы
228
2 тс
nAn sinп6)(УАпЫЪnb\cos6d6
2
m—l
p=l
Обычно выражение для момента рысканья представляется в виде
N 1 "Г
--J— yxx^j-g -j- iuix7/ | • • • AУ.4У)
Для симметричных крыльев момент N равен нулю, так же как и
момент L. Иначе обстоит дело в случае крыльев, деформированных эле-
элеронами, кЪгда эти формулы находят непосредственное применение. Вообще
при всяком возмущении или явлении, нарушающем симметрию движе-
движения, моменты L и N отличны от нуля и даются формулами A9.48)
и A9.49).
20. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ФОРМУЛ
ДЛЯ КРЫЛЬЕВ КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
Теоретические формулы, выведенные нами в предыдущих разделах,
находятся в очень хорошем согласии с опытом, как мы это увидим ниже,
при сравнении экспериментальных результатов с теоретическими. Вос-
Воспользуемся результатами опытов, проведенных нами в Сенсирском ин-
институте аэротехники [4], чтобы сравнить их с полученными теоретиче-
теоретическими формулами для распределения подъемной силы вдоль размаха, для
изменения давления в зависимости от удлинения, для подъемной силы,
для индуктивного сопротивления, для моментов и т. д. Другая серия
исследований, проведенных в аэродинамической лаборатории при Буха-
Бухарестском политехническом институте, относится к суммарным измерениям
подъемной силы, сопротивления и момента для прямоугольных крыльев
удлинения 5 [16].
20.1. Распределение подъемной силы
Как мы уже видели выше, эллиптическое крыло представляет большой
интерес и для практики и для теории. Поэтому важно было выяснить,
подчиняется ли на практике распределение циркуляции эллиптическому
закону, как это строго установлено теорией.
В разделе 9 было указано, что экспериментальные значения подъем-
подъемной силы ниже теоретических для крыла бесконечного размаха, и, чтобы
избежать влияния этого понижения, следует рассматривать полную подъ-
подъемную силу, получаемую в опыте, сравнивая ее действительное распре-
распределение с теоретическим.
229
Обозначая через Ге экспериментальную циркуляцию, получим для
каждого сечения крыла
B0.1)
dP
где -т— получается графическим интегрированием давлений. Чтобы по-
получить безразмерные значения, положим
dP
Vo
B0.2)
Зксперимеигпальн.
—Теоретическая
Это соотношение выражает экспериментальное изменение коэффици-
коэффициента подъемной силы. Как видно из фиг. 20.1, экспериментальные кривые
хорошо согласуются с теоретическими.
20.2« Изменение давления в зависимости от удлинения
Рассмотрим какое-нибудь сечение прямоугольного крыла с удлинением
^например, среднее сечение, и построим график изменения давления
в точке контура в функции от угла атаки. Изменение это зависит от уд-
удлинения. В самом деле, беря для профиля, показанного на фиг. 9,1, дав-
давления в точках 2 и 3на верхней стороне, мы видим (фиг. 20. 2, а, б), что
кривые изменения коэффициента давления
Г —
P — Po
~2 9Vo
= 1 —
JL
B0.3)
в функции от угла атаки а различны при различных удлинениях. Если же
построить график тех же давлений (т. е. коэффициента давления Ср)
в функции от эффективного угла атаки ае = а — i, где индуцированный
угол i меняется в зависимости от удлинения, то точки группируются
приблизительно около одной и той же кривой, что согласуется с теорией.
230
a
ff 2°S 5° 7*5 10° - J2?5 f5
-p -5" -Z°S
*%l -0,25
/?=oo
/?=/
AA=-J
A=l
7
© -Ц5
2 -^
D 4,75
® -/■
I -^
C, J J
\
1
f V
-Z,°5
-0,25-
7-
7/.Я
-/-
if
о
^ Q
V
С
7,°5 W° /2JS 15
Точка 3
о
0
e
Фиг. 20.2
231
20.3. Полная подъемная сила
На фиг. 20.3 представлены графики Cz = /(a) для прямоугольных
крыльев с различным удлинением: от Х = 2 до Х = оо. При помощи фор-
формулы A9.14) экспериментальные точки, соответствующие этим различным
удлинениям, приводятся к соответствующим значениям для удлинения
X = оо (фиг. 20.4, а) или X = 5 (фиг. 20.4,6). Можно констатировать
очень хорошее согласие между теорией и опытом. Отсюда следует, что
теоретические формулы строго применимы ко всем практическим задачам
аэронавигационной техники. Интересное подтверждение находит также
формула A9.21):
T" = V + 1>05T- B0'4>
Экспериментальный наклон Ае, выведенный из измерений коэффициента
полной подъемной силы Cz = / (a) для крыла бееконечного размаха
(фиг. 9.3), равен 3,01, т. е. приблизительно 0,86 от теоретического зна-
значения. Если взять значение ке = 3,01 и значение Ах, получаемое из
экспериментальных кривых, то значения -т—, пред став ленные в функции
от -г—, точно ложатся на теоретическую кривую (фиг. 20.5).
20.4. Индуктивное сопротивление
Кривые Cz=f (Cx), называемые полярами, представлены на фиг. 20.6.
При помощи формулы A9.37) экспериментальные точки, соответствующие
различным удлинениям, приводятся к положениям приблизительно вдоль
одной кривой, соответствующей удлинению Х = 5 (фиг. 20.7). И здесь
согласие вполне удовлетворительно. Таким образом, полученные нами
теоретические формулы вполне пригодны для практического применения,
20.5. Момент (И)
Согласно формуле A9.40) коэффициент момента крыла Кт равен
коэффициенту момента профиля Ст9 при любом удлинении. В случае прямых
прямоугольных крыльев фокус Fa крыла совпадает с фокусом среднего сече-
сечения Fo, и, таким образом, коэффициент момента Ст имеет одно и то же
выражение СтжСт9 + 0,25 Сг независимо от удлинения. Этот результат
превосходно подтверждается экспериментом (фиг. 20.8).
20.6. Заключительное замечание
Для обычных углов атаки теория крыльев конечного размаха находит-
находится в хорошем согласии с опытом. Однако гипотеза о возможности за-
замены несущей поверхности несущей линией является несколько смелым
приближением; тем не менее она приводит к довольно близким к дейст-
232
вительности результатам для удлинений X ^>2, так как опыты показывают*
что в этом случае влияние хорды незначительно и им можно пренебрегать*
Фиг. 20.3
Но приХ<< 2 такое предположение несостоятельно и полученные на этом
основании результаты могут оказаться совершенно не годными для прак-
практического использования, как мы это увидим в дальнейшем, исследуя
проблему крыльев с малым удлинением.
21. ПОЛЕ ИНДУЦИРОВАННЫХ СКОРОСТЕЙ И ОТКЛОНЕНИЕ ПОТОКА
ПОЗАДИ КРЫЛА
Для различных практических применений, например, для биплана
с конечным размахом, или при исследовании течения вблизи оперений
необходимо знать поле скоростей, индуцированных системой
присоединенных и свободных вихрей. Поэтому мы выведем некоторые
формулы, относящиеся к этому вопросу, рассматривая различные случаиг
встречающиеся на практике.
Прежде всего надо отметить, что система присоединенных и свободных
вихрей очень сложна и что упрощения, которые мы сделали, рассматри-
рассматривая несущую вихревую нить (гипотеза несущей линии) и плоскую вихре-
вихревую пелену позади крыла, являются всего лишь первым приближением,
дающим решение задачи, равным образом приближенное, но тем не менее
достаточное для практических применений.
WOCZ
•га
-80
if
a
«Д
D\
* 00 Q
--2 о
--3 А
--4 а
8°
Я*
-Ш-
-too
-75
-50
%
O|Y
О
шосг
\
Л
•8т
+ 0
ъ
Я=оо ©
>? = ^ о
Л=3 А
у? = -^ D
/1=5 +
>? = / г
Я=8 •
-flT
Г
70°
/j°
Фиг. 20.4
о Экспериментальная крива*
• Теоретическая кривая
/7
о
1 Z
Фиг. 20.5
Фиг. 20.6
СО
/ffffr
720
700
70
7OOCZ
\
Л=2 о
Я=3 Д
Я = 4 а
Я=0 +
Я=0 ®
/? = / г
А=8 •
-700 Сх
S 7,0 70
72,0 70
фиг. 20J
. 20.8
Мы будем неоднократно пользоваться этим приближением при опре-
делейии поля скоростей вокруг крыла; однако для этой цели можно поль-
пользоваться еще и другой упрощающей гипотезой и вместо вихревой пелены
позади крыла рассматривать два вихревых шнура по ее краям. Это прибли-
приближение основано на реальном явлении, о котором будет речь ниже.
21.1. Свертывание пелены свободных вихрей в два вихревых шнура
на ее краях
Свободные вихри, теоретически образующие плоскую пелену, не на-
находятся в устойчивом равновесии. Пелена разрывается, свертывается,
Фиг. 21.1
как показано на фиг. 21.1, и на небольшом расстоянии открыла трансфор-
трансформируется в два вихревых шнура. На большом расстоянии позади крыла, в
плоскости, перпендикулярной к осям вихревых шнуров, имеет место дви-
движение, изученное нами ранее
(см. 3.6); следовательно, нетрудно
установитьполескоростей,посколь-
ку расстояние достаточно велико,
чтобы не учитывать влияния
присоединенных вихрей. В плос-
плоскости крыла явление может быть
схематически представлено так,
как на фиг. 21.2, где расстояние
между осями вихревых шнуров
определяется из следующего про-
простого рассуждения.
Вихревое напряжение одного
шнура равно циркуляции Го в
среднем сечении. Поэтому можно
представить крыло в виде вихре-
вихревого шнура с постоянным напря-
напряжением, равным Го, вдоль всего
приведенного размаха 6', откуда следует выражение для подъемной
«СИЛЫ
237
Фиг. 21.2
A
p = pVtTJ)' = pV0 5 Г rfy « | Fjft2^. B1.1)
в
Подставляя далее вместо Го ее значение из A7.2), где 6= -^-,
Г— OV h (A A JU А АЛ- \ (9\ 9\
получим следующее отношение между приведенным ра!змахом Ъ' и дей-
действительным размахом Ь:
Ъ' ТС А\ /(лл п\
Таким образом, чтобы определить поле скоростей вокруг крыла, можно
представить систему свободных и присоединенных вихрей в виде вихре-
вихревого шнура в форме подковы с раз-
— махом Ь' и с напряжением Го,
равным циркуляции в среднем се-
сечении (фиг. 21.3). Однако в неко-
некоторых специальных задачах, кото-
которые будут отмечены, когда мы
с ними встретимся, такая подкова
будет иметь размах Ъ и напряже-
напряжение Гт, равное средней циркуля-
Фиг. 21.3 ции, равномерно распределенной
по всему размаху.
21.1.1. Диаметр вихревого шнура. При определении действительного
поля скоростей часто бывает необходимо вычислить радиус вихревых
шнуров, возникших как результат свертывания вихревой пелены. С этой
целью обратимся к выражению C.59), определяющему кинетическую энер-
энергию, обусловленную двумя вихревыми шнурами, и к соотношению A6.6)
между кинетической энергией и индуктивным сопротивлением. По этим
двум формулам, полагая Ь'=у.Ь, получим
где 8 дается формулой A9.25).
Но мы имеем в соответствии с A9.1) и B1.1)
238
откуда Л]..может быть выражено в функции от Го, и это выражение под-'
ставлено в равенство B1.4). Тогда получим окончательно
In Ы-j- — 1 ] + j = 4x2(! + 8)# Bi.6)
Применим эту формулу к эллиптическому крылу, где х = -^- и 8=0.
Обозначив через d — 2г0 диаметр шнура, получим
Так как при других контурах крыла коэффициент х весьма мало
отклоняется от значения -т-, а величина 8 незначительна, то формулу
B1.6') можно считать справедливой для любого симметричного крыла
с конечным размахом.
21.2. Индуцированные скорости в случае циркуляции,
равномерно распределенной вдоль размаха
Если циркуляция распределена равномерно вдоль размаха, система
вихрей, как мы видели, принимает форму подковы, образуемой крылом
и двумя краевыми вихрями одинаковой напряженности. В принятой нами
символике Г обозначает циркуляцию, а Ъ — размах; когда речь будет
итти о циркуляции в среднем сечении и о приведенном размахе, мы
будем оговаривать это и обозначать эти величины соответственно симво-
символами Го и Ь'.
Рассматривая точку Р с координатами х, у, z, мы можем написать
следующие соотношения (фиг. 21.4):
Vx' + z* . Vx* + «а , V (-2"~~У) +Z*
B1.7)
Применяя формулу Био—Савара к каждому прямолинейному вихрюг
В А, АА', В В'у получим для скорости, направленной по нормали к плос-
плоскости РАВ,
г_ (cos Ti + cos тг2), B1.8)
23»
для скорости, направленной по нормали к плоскости РАА',
Г
У 2 "
: A + COS Y8)
B1.9)
B1.10)
Обозначив компоненты полной скорости (У =1^1 + F2+ F3) по осям
Ox, Oy, Oz соответственно через и, v, w, получим (фиг. 21.4):
и для скорости, направленной по нормали к плоскости РВВ1;
тг Г
■A+COSfj).
w = F1sina1; v~ — F2 sin a2 -f- Vz sin a3; гг;=—FiCosoj—F2cosa2—F3cosa3.
B1.11)
Фиг 21.4
Заменяя тригонометрические функции их выражениями, полученными
из соотношений B1.7), а Vl9 F2, F3 — выражениями, даваемыми равен-
равенствами B1.8), B1.9) и B1.10), можно получить компоненты полной
скорости к, v, w, выраженными как функции от х, у, z.
Если точка Р находится в плоскости Оху, то и = v = 0 и полная
скорость сводится к одной компоненте w\
w = —
4тс
, B1.12)
причем знак плюс соответствует положительному х, а знак минус —
отрицательному х.
Если точка Р лежит на оси Ох (у ~ 0), предыдущая формула прини-
принимает вид
w = —
. B1.13)
Мы будем пользоваться этими формулами для определения отклоне-
отклонения потока вблизи оперений.
240
Далеко позади потока влиянием присоединенного вихря можно пре-
пренебрегать и имеющее здесь место плоское течение считать обусловлен-
обусловленным двумя бесконечными вихрями. В этом случае, обозначая через
х = у -f- iz комплексную переменную, можно написать хорошо известное
выражение для комплексной скорости
B1.14)
откуда легко определяются v и w:
v =
W = —
2тг
B1.15)
Этими формулами мы будем пользоваться: при изучений биплана.
Следует отметить, что индуцированная скорость в плоскости Оух
(фиг. 21.4) равна половине предыдущего значения.
21.3. Индуцированные скорости в случае эллиптического распределения
циркуляции
Весьма трудно вывести общую формулу для индуцированной скоро-
скорости в любой точке, однако задача эта становится очень простой, если
точка находится далеко позади крыла. В этом случае можно пренебречь
влиянием несущей линии, и течение становится плоским.
Потенциал движения тот же, что и в случае тонкой пластинки,
поставленной перпендикулярно к потоку, движущемуся со скоростью
2w0t только надо вычесть потенциал поступательного потока, обуслов-
обусловленного этой скоростью:
/(£)=— 2iw0
Отсюда следует
-j— = v — iw = — 2iw0
dx °
2iw
ox = — 2iw0 (l/x* — -¥- —x\ B1.16)
B1.17)
241
Положим (фиг. 21.5)
Тогда
v-iw = — 2iw0
= rxe^\ х + ~ =
JQ
B1.18)
На л4Б имеем 6 1-L 2 = + -у* следовательно,
дится в согласии с исходным предположением.
-^t±2V B1.19)
2 /
—2гг;0, что нахо-
нахоO
Фиг. 21.5
А У
Чтобы выразить скорость в функции от циркуляция в среднем сече-
сечении, применим соотношение A6.26):
»„ = -§-. B1.20)
Вне АВ, но попрежнему на оси Оу, имеем v — 0 и
B1.21)
21.4. Отклонение потока вблизи оперений
Для аэротехники большой интерес представляет изучение действия
потока на оперение. Последнее находится в поле скоростей, вызванных
присоединенными и свободными вихрями, находящегося впереди крыла.
Следовательно, задача заключается в том, чтобы установить влияние
индуцированных скоростей, налагающееся, как это очевидно, на влияние
главного потока, движущегося со скоростью Fo. Пусть и, v, w — эти
индуцированные скорости, которые мы полагаем малыми по сравнению
с Vo. Вызываемым ими увеличением скорости главного потока можно
пренебрегать; это справедливо даже для скорости и, хотя она параллельна
Vo. Боковая скорость v дает только боковое отклонение потока, но это
отклонение не оказывает никакого влияния на горизонтальное оперение,
а также на вертикальное, если последнее расположено в центре. Если
же вертикальное оперение находится сбоку, на некотором расстояшш от
центра, то благодаря скорости v оно может оказаться под небольшим
углом бокового наклона к направлению набегающего потока.
242
Что касается вертикальной индуцированной скорости w, то она не
оказывает никакого влияния на вертикальные оперения, но влияет не-
непосредственно и очень существенно на горизонтальные.
В самом деле, скорость w отклоняет вниз поток Vo на угол о, который
называют углом отклонения:
8»^-. B1.22)
Для вычисления этого угла мы произведем исследование на основе
двух различных предположений.
Предположим, что свободные вихри образуют вихревую пелену по-
позади крыла, которую мы уже рассматривали в предыдущих задачах.
Другое предположение основано на том, что вихревая пелена вследствие
своей неустойчивости разрывается надвое и каждая часть свертывается,
так что по краям образуются два вихревых шнура, которые были изучены
в разделе 21.1.
21.4.1. Отклонение потока при гипотезе о существовании позади крыла
плоской вихревой пелены. Как уже было показано выше, позади крыла
образуется вихревая пелена, которая отделяется от задней кромки крыла
и простирается назад в бесконечность параллельно потоку.
Предположим, что оперение находится в некоторой точке Е этого
плоского слоя; нам надо вычислить компоненту w индуцированной ско-
скорости в этой точке. В общем случае эта задача чрезвычайно сложна,
с одцой стороны, потому, что распределение циркуляции вдоль размаха
произвольно, с другой стороны, потому, что расстояние до оперения
позади крыла не может считаться достаточно большим, чтобы мы могли
рассматривать течение вокруг пелены как плоское. Поэтому в общем
случае не рекомендуется пользоваться соответствующими формулами.
Но в случае, если положение Е оперения находится на оси вихревой
пелены, вычисления приводят к конкретным результатам. Этим мы
и займемся ниже.
Рассмотрим полоску dV на расстоянии у от центра и обозначим че-
через D расстояние до точки Е позади крыла (фиг. 21.6); индуцированная
скорость, перпендикулярная к плоскости вихревой пелены, определяется
известной формулой:
i±f^r, B1.23)
причем положительным считается направление вниз.
Присоединенный вихрь также индуцирует скорость, одинаково направ-
направленную с предыдущей и равную
243
где 7 — угол, образуемый с осью пелены прямой, соединяющей точку Е
с точкой у размаха. Вместо крыла мы рассматриваем несущую линию,
представляемую вихрем Г.
Предположим, что несу-
несущая линия является гео-
геометрическим местом центров
давлений. Эта линия изме-
изменяется в зависимости от фор-
формы крыла и от угла атаки.
Чтобы упростить задачу, на-
надо ввести среднюю прямую
линию, параллельную разма-
размаху (т. е. перпендикулярную к
плоскости симметрии), про-
проходящую через центр тя-
тяжести несущей линии дей-
действительного крыла, прибли-
приблизительно на расстоянии од-
одной трети длины хорды от
передней кромки среднего
сечения. Таким образом, рас-
расстояние D имеет смысл толь-
только в том случае, если отойти дальше назад от задней кромки среднего
сечения1, на которой его значение Do для обычного крыла с удли-
удлинением X = 6 приблизительно определяется соотношением
Фиг. 21.6
2 2 Ъ _ 1
3 ст - 3 . — - -д- о.
B1.25)
Теперь вернемся к индуцированной скорости и отметим, что она от-
отклоняет поток позади крыла на угол о:
5~TL = T1 + -FL = 5i + ^- B1-26)
1 о v о v о
Чтобы вычислить скорости юг и w2, заменим Г ее выражением A7.2);
получим
о cos 0 j/ 1 + ^-cos2 0
n W ) ЛГ 55
о J/ 1 + -^j
r cos- 0
B1.27)
1 В дальнейшем мы вычислим индуцированную скорость вблизи самого крыла дру-
другом способом.
244
Полагая
s = -^ B1.28)
получим следующее выражение для полного угла отклонения:
тс
B1.29)
Заметим далее, что число п нечетно (п = 2р + 1 Для симметричных
крыльев). Следовательно,
COS Jib COS Bd + 1) 0 or О ft /О о\ л , /о /ч л 1
■ = —v д ; = 2 [cos 2р6 — cos Bр — 2) 6 + cos Bp—4) 6 — ...],
cose
B1.30)
откуда следует:
+ 2 E^5 — 1А1 + 9А9 — ...) cos 46 + 2 GА7 — 9А9 + . . .) cos 66 + . . . .
B1.31)
Разлагая в ряд Фурье радикал из выражения B1.29)
1
ограничиваясь т = 3, получим окончательно
B1.33)
или, иначе,
- 7 J(C0-C2 + C4-C6) +...]}. B1.34)
Принимая во внимание, что величины 5 -А 7 j и т. д. малы, ачле-
ны С4, С6, С8 и т. д. также становятся все меньше и меньше, можем
заменить выражение во вторых скобках следующим:
243
и получим окончательно
B1-35)
Нетрудно заметить, что коэффициенты Со и С2 даются следующими
выражениями:
г _л 1_ _l__fl A—1 JL Л JL ^4 4'3__
°~" 2 ' Т2 " Т"' Т ' "о" ' Т ' 2* ' П2~~
-i i 1 1 1 1 il 6-5-4-3 т оГч
2 " 4 ' 6 ' 8 * 10 ' 12 " 26 " 1-2-3-4 '" ^1.30)
Г = — 4- — — — 1^4-— 1'3'7 il 6-5-4-3
2~ 2 б+ 2 '4-б' 23'Ь2+ 2 ' 4-6-8-10 ' 25 " 1-2-3-4 + ' ' * '
где
е= 1 _j-2s2 • B1.37)
Согласно B1.25) максимальное значение е равно
е-—±— ~ Ш 0 91
6
и так как практические значения -ут— весьма мало отличаются от еди-
ницы, то е^ -77-, поэтому величины Со и С2 могут быть определены
о
следующим образом:
е2 е
Со = 1 — -jb"' ^2 = "- B1.38)
Подставляя далее вместо А±. . . Лп их значения, полученные ранее,
находим окончательно
5= С^ ffi , ^Т2^л 1 1 1 1 УК ,
B1.39)
где v
Аг Л1 А1
= 1 . ^2 — Р4 Го , g2 / gQ \ g4 1
(^) <2'-40)
В случае эллиптического распределения циркуляции это выражение
сводится к следующему:
При помощи выведенных здесь формул были вычислены значения о
для прямоугольных, эллиптических п трапецоидальных крыльев. Полу-
Полученные результаты приведены в табл. 21.1 и показаны на фиг. 21.7.
246
Таблица 21.1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2
oo
a
q==l
6,2062
4,3192
3,7949
3,5763
3,4682
3,4028
3,3632
3,3344
3,3153
3,0077
3,2366
1,6183
Коэффициент
? = 0,75
5,3303
3,6288
3,1439
2,9373
2,8331
2,7696
2,7308
2,7028
2,6840
2,6697
2,6066
1,3033
? = 0,5(
4,6119
3,0627
2,6101
2,4133
2,3122
2,2504
2,2122
2,1849
2,1664
2,1523
2,0700
1,0450
отклонения -
3
q = 0,25
4,1331
2,6853
2,2542
2,0639
1,9650
1,9043
1,8664
1,8397
1,8213
1,8074
J,7456
0,8728
*X *
С
q = 0
3,8016
2,4241
2,0079
1,8221
1,7246
1,6647
1,6271
1,6007
1,5824
1,5687
1,5072
0,7536
эллипс
4,4868
2,9641
2,5171
2,3220
2,2215
2,1600
2,1218
2,0947
2,0762
2,0622
2,0000
1,0000
0 0,2 ОЛ 0,6 0,8 1 1,2
1 I
Фиг. 21.7
247
Следует, однако, заметить, что при определении а по формуле B1.40)
надо брать приближенно для X среднее значение, равное 2тс. Так как
влияние удлинения незначительно при значениях X, используемых на
практике, то вносимой при этом погрешностью можно пренебречь.
21.4.2. Отклонение потока при наличии двух краевых вихрей поза-
позади крыла. Мы уже упоминали раньше, что вихревая пелена не остается
плоской и не простирается идентично в бесконечность позади крыла;
она разрывается посредине, и каждая половина свертывается, образуя
два вихревых шнура с напряжением Го, равным циркуляции в среднем
сечении (см. фиг. 21.2). В этом случае индуцированная скорость в точке
Е обусловлена двумя свободными вихрями, расположенными по краям
V
на расстоянии -^ от средней линии, и присоединенным вихрем длиной
V с тем же напряжением Го. Нетрудно найти выражение для этой
индуцированной скорости, а также для угла отклонения, который она
вызывает:
3 = JW4 +
) = % . ■' + ^+^, B1.42)
где, согласно B1.3) и B1.28)
2D 2D £
S — — — —r — —, A — ^ — s — ХЛ, (^Zl.^J
причем х выражается как функция от коэффициентов формы1:
4 Al — A3-{-A5 —;
T^ 1
4 ' й , So— S4 /. , So
B1.44)
Заменяя далее в выражении B1.42) г' и >/ их выражениями из соот-
соотношений B1.43), получаем для угла отклонения следующую зависимость
от s, х и л:
Эта формула по сравнению с B1.39) и B1.41) дает меньшие значения
для угла о, как это видно из табл. 21.2 и соответствующих графиков
(фиг. 21.8).
1 Иногда необходимо пользоваться более точным выражением для х:
тс
т
1 +
3^o+ Pol 5^jl0 + Po V 7^о + Po/ 7tJ-o + PoJ 5И-о+Ро\ 7Н-о +
Т аб лица 21.2
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
оо
X
q = l
3,950
2,924
2,655
2,540
2,484
2,414
2,416
2,398
2,385
2,372
2,316
0,657
q = 0,75
3,646
2,513
2,246
2,120
2,050
2,006
1,980
1,960
1,943
1,932
1,876
0,730
Коэффициент отклонения
9 = 0,5
3,450
2,330
2,010
1,870
1,793
1,749
1,718
1,695
1,674
1,666
1,612
0,7876
q = 0,25
3,390
2,200
1,860
1,712
1,625
1,581
1,552
1,528
1,513
1,500
1,446
0,832
тсХ
7Г-8
<7=0
3,275
2,108
1,761
1,607
1,525
1,473
1,440
1,420
1,403
1,390
1,332
0,866
эллипс
3,455
2,335
2,011
1,871
1,796
1,750
1,720
1,700
1,685
1,670
1,618
0,7854
Лункшрше /сраше атасятся y
ярисаедияемага ааяря а #алряо/се//ием Гт,
рашмер/м щлределешш~ мш ffc&a ражая
6:зллилс
О 0,2 4*
Фиг. 21.8
249
Относительно определения х следует сделать замечание, аналогичное
тому, которое мы делали раньше относительно определения а B1.40),
а именно: для X надо брать среднее значение, равное 2тс.
Примечание. Что касается влияния присоединенного вихря, то
вместо длины V и вихревого напряжения Го было бы столь же правиль-
правильно взять полный размах Ъ и среднее напряжение Гт. В этом случае
отклонение потока имеет несколько иной вид, который легко найти:
B1.46)
При использовании этой формулы (см. фиг. 21.8) результаты полу-
получаются пониженными для малых значений е.
21.5. Влияние высоты
Предыдущие уравнения давали угол отклонения в плоскости вихре-
вихревой пелены, т. е. в плоскости, которая приближенно определяется зад-
задней кромкой крыла и направлением скорости потока. Оперения, вообще
говоря, не лежат в этой плоскости, поэтому надо определить еще откло-
отклонение потока в точке Eh, находящейся на высоте h над точкой Е.
Фиг. 21.9
Мы будем исходить из предыдущего предположения, рассматривая
«систему, состоящую из вихря В'А', присоединенного к крылу, длиной 6',
и из двух свободных вихрей по краям А'А и В'В с одинаковым напря-
напряжением Го. Таким образом, наша задача будет аналогична одной из
предыдущих (см. фиг. 21.4), причем точка Р, которую мы теперь обо-
обозначаем через Eh, лежит в средней плоскости. Обозначая попрежнему
через Dly -у- расстояния до Eh от присоединенного вихря и от свобод-
свободных вихрей (фиг. 21.9), легко получить выражение для вертикальной
компоненты скорости, индуцированной нашей подковообразной системой
250
вихрей, при помощи формул B1.8) и B1.11), где вместо fi и ^2 надо
подставить fa, вместо ах— подставить aa, вместо а2 и а3 подставить ае,
л Тз и Т4 заменить на ^е:
wh = А- A + cos Te) cos ae + j
cos Ta cos aa.
B1.47)
В этой формуле положительным считается нисходящее направление
•скорости.
Заменив теперь Ьг и D± их выражениями в функции от Ъ и е, полу-
получим на основании предыдущих соотношений:
B1.48)
COS Go COS Go
cos aa 2 cos aa '
следовательно,
wh = -Ц- A + cos т ) A — sin2 a ) + -Ц- cos т A — sin2 a ). B1.49)
Далее, считая, что h мало сравнительно с --- и D, что соответствует
реальным случаям, и полагая
можно написать следующие соотношения:
_ 2h__ X .
sin aa ж tg aa = -i- = -f;
_____
2£>
_O
1 x 1
£ COS Go
; Sin2 OP «
cos т = -
6'
cos cra
X. COS CT_
+ x2 cos2 Ga
________ i / si
х2 - £2 I/ X2 -f-£2
2 sir aa :
2 x2-
B1.50)
B1.51)
Введя эти величины в выражение для индуцированной скорости, по-
получим следующую формулу для угла отклонения:
+ •
Л 1 г- \U
B1.52)
251
Если для упрощения положить
x = ^1 + ^- B1-53>
то выражение для 8д можно представить в следующем общем виде:
Это выражение можно упростить, если, раскрыв скобки, пренебречь
величиной х4, значение которой очень мало. Тогда мы получим форму-
формулу, очень удобную для практического применения:
где 8 — отклонение потока при h = 0.
Эта формула показывает, что высота практически но имеет значения
для оперений, чаще всего применяемых в конструкциях самолетов.
ЛИТЕРАТУРА
1. В е t z A. Beitrage zur Tragfltigeltheorie mit besonderer Berticksichtigung des
einfachen rechteckigen Flugels (К теории крыла, особенно простого пря-
прямоугольного крыла). Dissertation, Gottingen, 1919.
2. Garafoli E. Theorie des ailes monoplanes d'envergure finie (Теория моноплан-
ных крыльев конечного размаха). Memoriile Academiei Romine, Imprimeria
Nationals, BucureHi, 1945.
3. Garafoli E. Sur les caracteristiques aerodynamiques des ailes trapezoidales
et rectangulaires (Об аэродинамических характеристиках трапецоидальных
и прямоугольных крыльев). Gomunicare facuta la Academia de Stiin^e din Romi-
nia, 19 Martie 1943.
4. Garafoli E. Recherches experimen tales sur les ailes monoplanes d'envergure
finie (Экспериментальные исследования монопланных крыльев конечного размаха).
Publ. scientifiques et techniques du Ministere de Tair,Librairie Gauthier-Villars,
Paris, 1932.
5. Ч а п л ы г и н С. А. Результаты теоретических исследований о движении аэро-
аэропланов. Собр. соч., т. II, 1948.
6. F u с hs R. Aerodynamik, Theorie der Luftkrafte, Band II (Аэродинамика. Теория
аэродинамических сил). Verlag Julius Springer, Berlin, 1930.
7. Glauert H. The elements of Aerofoil and Airscrew theory (Основы теории крыла
и винта). Cambridge, University press, London, 1930.
8. Голубев В. В. Теория самолетного крыла с конечным размахом. ЦАГИ,
№ 108, 1931.
9. Голубев В. В. Лекции по теории крыла. Гос. изд-во техн. теор. лит-ры.
M.— JL, 1949.
10. Joukowsky N. Е. Theorie tourbillonnaire de l'helice propulsive (Вихре-
(Вихревая теория гребного винта), traduit par A. Apostol, revue par Wettchinkine et
W. Margoulis, Gauthier-Villars, Paris, 1929.
252
11. Lotz Irmgard. Berechnung der Auftriebsverteilung beliebig geformter
Fltigel (Расчет распределения подъемной силы для крыла любого вида). Zeitschr.
fur Flugtechnik und Motorluftschiffahrt, H. 7, 14 April 1941.
12. M a 1 a v а г d L. Applications des analogies electriques a la solution de quelques
problemes de I'Hydrodynamique (Применение электрической аналогии к решению
некоторых задач гидродинамики). Paris, 1936.
13. М unk M. Elements of the wing section theory and of the wing theory (Основы
теории профилей крыла и теории крыла). NACA, Report 191, Washington.
14. Roy M. Stir l'aerodynamique des ailes sustentatrices et des helices (Аэродинамика
несущих крыльев и винтов). Gauthier-Villars, Paris, 1928.
15. Trefftz E. Prandtlsche Tragflachen und Propellertheorie (Теория Прандтля
для крыла и винта), ZAMM, 1921.
16. Garafoli E. Travaux du Laboratoire aerodynamique (Работы аэродинамической
лаборатории). Publ. scientifiques de l'Ecole polytechnique de Bucarest, Imprimeria
Na^ionala, Bucure^ti, 1938.
Глава V
ТЕОРИЯ ЗАКРУЧЕННЫХ ИЛИ ДЕФОРМИРОВАННЫХ КРЫЛЬЕВ,
ТЕОРИЯ РАВНОМЕРНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ДВИЖЕНИЙ
В этой главе будут рассматриваться крылья с переменным углом атаки,
крылья, деформированные элеронами или вырезами, и, наконец, крыло
при равномерном криволинейном движении. До сих пор мы изучали
крылья с вполне определенным контуром и с углом атаки, не изменяю-
изменяющимся вдоль размаха, что не всегда имеет место в действительности. По
конструктивным соображениям, или во время маневрирования в полете,
крылья подвергаются кручению или деформациям, совершенно изменяю-
изменяющим их аэродинамические характеристики, и нашей задачей теперь яв-
является определение этих характеристик.
22. КРЫЛЬЯ С ПЕРЕМЕННЫМ УГЛОМ АТАКИ
Вообще говоря, угол атаки ос изменяется вдоль размаха; это измене-
изменение может быть связано с конструктивными соображениями; другими
причинами его изменения могут быть кручение крыла вследствие упругости
материала, вызванное действием аэродинамических моментов, или пере-
перемещение элеронов, поворот которых в одну или другую сторону изме-
изменяет угол атаки части крыла, где расположены элероны.
22.1. Основные формулы
Чтобы выяснить влияние изменения угла атаки, вернемся к урав-
уравнению A7.16) и используем его в случае общего контура, представляемого
многочленом с четырьмя членами A7.27):
B2.1)
Ро) Ап+ h {Ап-2+ ^п+2) + Р4 (Л-4 ) В ЛА
Коэффициенты ап входят в разложение в ряд Фурье согласно равен-
равенству A7.14):
a sin 6 = а-L sin 6 -f- а2 sin 2G -f- а3 sin 38 + • • • + ап sin w6, B2.2)
где угол атаки а изменяется вдоль размаха по определенному закону.
254
Рассуждай так же, как и в случае крыла с постоянным углом атакиг
будем считать, что, начиная с некоторого индекса (п + 2), коэффициенты
Ап+29 Ап+±... достаточно малы, чтобы в скобках в левой части равенства
B2.1) можно было пренебрегать членом с высшим индексом по сравнению
с членом, имеющим низший индекс. Тогда мы можем написать следую-
следующее равенство:
[(П + i) [Х0 + Pol An+i + P2-4n+i-2 + Р^п+г-4 + Э6^4п+-г—6 = Ро^п+г- B2.3)
Полагая i = 2; 4; 6, получим систему трех уравнений, которая поз-
позволяет определить %Ап+2, Ап+± и Ап+6:
[(Л + 2) |*о + Pol ^п+2 + Р2^п + Мп-2 + Рб^п-4 = ]
[(Л + 4) |Х0 + Ро] Лп+4 + Р2^п+2 + Р4^п + P(A-2 = f^o^n+4 | B2.4)
[(И + 6) fl0 + Pol -4n+6 + P2^n+4 + Mn+2 + Рб^п J
Очевидно, что цервое уравнение дает Ап+2, второе дает Ап^, а третье
дает An+Q.
Введя эти коэффициенты, выражения которых содержат также ап+25
* ап+б5 в уравнение B2.1), получим следующую рекуррентную формулу:
B2.5)
где con дается выражением вида
и где Ni имеет то же значение, что и раньше, а именно
#1 = (л + *>о + Ро- B2.7)
При определении первых пяти членов, которые имеют различную
форму, следует прежде всего заметить, что А_! = —А19 А~2 ==—А2 и
т. д. и что нечетные члены вполне отделены от четных. Таким образом,,
мы получаем следующие формулы для первых трех нечетных членов:
|_!*о + Ро - h - з^ + Ро + Р« 5^+|0 f1 -^+
«5
Po - Pe -
B2.8)-
255-
и две другие формулы для четных членов:
B2.9)
Таково общее решение задачи. Для практического применения эти
выражения следует упростить. Заметим, что C6 очень мало, так же как
и 84, и что общность решения практически не нарушается, если будут
установлены формулы, применимые к крыльям прямоугольным, трапецои-
трапецоида льным, почти-эллиптическим и т. д., которые чаще всего употреб-
употребляются в авиации.
Упрощенные формулы имеют вид
Ю А* ~
B2.10)
где
2)
р0
1 ОСп+2
Хп+4
(п + 4) и* + I
. B2.11)
Нетрудно заметить, что нечетные члены представляют симметричное
распределение циркуляции, а четные — антисимметричное. В самом деле,
для бит: — 6 имеем соответственно
sinBp + 1N = sin [т. — Bр + 1) в]; sin2р6 = — sin [2/?(тг — в)]. B2.12)
Из вида этих выражений ясно, что нечетные и четные члены образуют
две различные системы, не зависимые одна от другой. Поэтому мы рас-
рассмотрим отдельно симметричное и антисимметричное изменения.
Важное замечание. Формулы B2.5), B2.8), B2.9) и B2.10) от-
отличаются от прежде выведенных формул для постоянного угла атаки толь-
только вторыми частями равенств.
256
22.2. Симметри чное изменение.
Предположим, что среднее сечение остается неизмененным, а крайние
сечения поворачиваются в положительном направлении углов атаки на
угол s0. К коэффициентам А[...А'п, определенным для постоянного
угла атаки а, надо прибавить коэффициенты Аг. . . Ап (всегда с нечет-
нечетными индексами вследствие симметрии), обусловленные кручением на
угол е0.
Предположим, что дополнительный угол атаки изменяется по формулам
s = s0 -j- — — sg cos C от -х- до тг
2v « * B2ЛЗ)
е = — sft т- = s0 cos 6 от 0 до -тг
Если кручение уменьшает углы атаки, то следует брать отрицатель-
отрицательные значения для е.
Разлагая ssinG в ряд Фурье1 и полагая /г = 2р + 1, получим
г sin 6 = ег sin 6 + £3 sm 36 + . . . + sn sin /гО = Ц- sin 0 —
— -^ sin 36 + — # sin 56 % sin 76 +
7Г
— — -^ sin 36 + — # sin 56 — — % sin 76 + — ^f sin 96 — . ..
■••+(-'>'4 •;&§£-?)• <22Л4>
Следовательно,
4 Г1 Р2 Л
1 11
0 + р0 ^ 5^0 + р0 ' 21J
х0 -4- Ро/21 7f*0 + % 45j
| ^ . ri р2 л р« \i р4 11 (
~ "Г тг "о [21^71*0+ре V 7[х0+ро/45 9ц0 + р0 77J
- я w° L45 ^ 9[i0 + Ро V 9[xo + poj77 11[х0 + C0 117J j
[i0 + Ро V 9[xo + poj77 11[х0
Введя эти выражения для ып в B2.10), получим коэффициенты Ап
выраженными в функции от г0. Для прямоугольного крыла с удлинением
л = 2к (ц0 = 0,25) найдем
А] = — 0,105 е0, а = — 0,058 80, Аь = 0,0032 s0,
4 = —0,0033 s0,. B2.16)
следовательно, полный коэффициент
Ах = А[ + А[ = 0,232 « — 0,105 е0 и т. д. B2.17)
Можно привести еще много примеров, когда нетрудно получить
решения; для этого достаточно определить значения соп.
1 Буква s заменяет а в выражениях A7.14).
257
22.3. Антисимметричное изменение
Предположим, что кручение линейно (угол кручения изменяется по
линейному закону) и
£=^s0^ = s0cos6, B2.18)
откуда следует
£sin6 = s2sin26 + . . . + snsinrc6 = -^-sin26; B2.19)
следовательно,
<*>2 = -у ; ^4 = •••== со2р = 0. B2.20)
В случае прямоугольного крыла с удлинением X = 7 берем для к
среднее значение, а именно Л: = 0,85 тг, что дает у0 = 0,1905. Тогда по-
получим
А2 = 0,184 §.; АА = 0,0254 ^ ; А6 = 0,0055 -^ . B2.21)
22.4. Применение к эллиптическому крылу
В случае эллиптического крыла имеем C0 = 1, [32 = j34 = 0, и формулы
B2.10) и следующие приводятся к очень простым выражениям:
<*п = «п; ^п = -£§7 » B2-22)
а соответствующие расчеты значительно упрощаются.
23. ТЕОРИЯ ЭЛЕРОНОВ [1]
Деформация крыльев при повороте элеронов приводится к задаче^
которую мы рассмотрели в предыдущем параграфе. В самом деле, поворот
элеронов изменяет угол атаки той части крыла, где расположены элероны,,
причем изменение это симметрично, если элероны повернуты в одну сто-
сторону, и антисимметрично, если элероны повернуты на одинаковый угод
в противоположные стороны.
Обозначим через (J угол поворота в направлении положительных уг-
углов атаки; известно, что угол атаки данного сечения увеличивается на
- i- [arc sia УЦ. + /*\уЩ Р, B3.1)
где сх — подвижная часть, ас — хорда профиля в рассматриваемом сечении-
Практически угол дается более простым выражением A0.101):
G = y iLp. B3.2>
Предположим, как это и бывает на практике, что элероны располо-
расположены симметрично относительно продольной оси и что отношение —
с
258
остается постоянным на всей части крыла, снабженной элеронами. В про-
противном случае можно взять среднее значение отношения.
Как мы уже упоминали, следует различать два случая: 1) закрылки,
когда поворот происходит в одну сторону, и 2) элероны направления,
поворот которых совершается в противоположные стороны.
Очевидно, что в обоих случаях в результате поворота возникает до-
добавочная циркуляция, которую можно определить независимо от перво-
первоначального постоянного угла атаки крыла.
23.1. Закрылки
Изменение угла атаки разрывно:
от у =
= О) до у = -
от у=-ух F = 6!) до у =
8 = 0, ОТ у=У1 F = ТГ — ex) ДО у = А
J
— В1) J>
B3.3)
Фиг. 23.1
в случае закрылков, расположенных в центре (фиг. 23.1), и соответственно
LP B3.3')
в случае боковых закрылков (фиг. 23.2). Точка ух = — -^ cosOj отмечает
начало или конец части с элеронами; разлагая е sin 6 в ряд
s sin 6 = ех sin 6 + s3 sin 36 + . . . + s2p+1 sin Bp + 1) 6, B3.4)
получаем
_
33 ~
2ct /sin 46j sin 20!
__ 2g_ Г sin(ra-MNx sin(n —1N,1
B3.5)
259
для центральных закрылков и
2а
sin 20!
sin 40i
B3.6)
2а ("sin (n — 1H!
3in(n + lHil
-4-1 Ji
для боковых закрылков.
■<
Фиг. 23.2
Мы употребили здесь опять символ е вместо а в A7.14), чтобы не
смешивать обозначаемый им угол с первоначальным углом атаки крыла.
При помощи равенств B2.11) легко вывести формулы для соп:
VI sin 20г
&J 2
\ _
З
sin 46t
sin 66i] ,2o 74
в первом случае и
р4 Vlsin20i
1 —т
sin 46!
+
sin 60!
во втором случае.
Остальные члены выводятся ещё легче:
Y| sin 40i —
[л Р^ \ Р4 1 sin 68t —
' I ■*■ — Ч ZiTfi" / — 7 I б" —6
sin
X
2а Г_ sin (n- 1Hг Г, ,
1 == "jT 1 гс 1— — (л~
з1п(д + 1) 01 -— Г C2
. i—.— 1— j —
(»+2)|
г.)]
L B3.9)
X
sin (n + 3) 0i
ц.
260
где верхний знак соответствует закрылкам, расположенным в центре,
а нижний — боковым закрылкам, симметричным по отношению к ,центру.
Число п всегда нечетно G2 = 2р + 1). Выражения эти можно упростить,
пренебрегая величиной дроби
-——^——^-
{п -\- L) [lq -\- р0
Вводя далее полученные выражения для
определяем искомые коэффициенты циркуляции.
по сравнению с единицей.
в уравнения B2.10),
г
-од
чую
О
о,
_——
/ v о,
/
/
/
^—
J 0,4 0J 0,6 О,
1 1 1
/ о,
8-Л
\
\
\
9 Г,
0
Фиг. 23.3
Применяя эти результаты к случаю крыла с удлинением X = 2 к и с
боковыми закрылками, простирающимися до точки ^ = 0,5-2" (^ = 60°)„
мы найдем без труда, что
^ = 0,1015, ^ = 0,0842, 4» = - 0,00875
СГ (J СГ
^ = — 0,0061, &.= 0,00994, ^ = — 0,00366
С (J СГ
d" = _ 0,00245, ^ = 0,004, ^ = — 0,00165.
B3.10)
Соответствующее изменение циркуляции вдоль размаха представлено
на фиг. 23.3.
Проверяя полученные результаты, мы можем констатировать, что они
достаточно строго удовлетворяют основной формуле B2.1) и, следова-
следовательно, точны.
Коэффициент дополнительной подъемной силы Cz можно выразить в
функции от а:
С; = ,Ы[ = «Xft, (^) а = ^ (А) 0', • B3.11)
где первый коэффициент, обусловленный поворотом закрылков, обозначен
через А'и чтобы не смешивать его с коэффициентом Ах не деформирован-
деформированного крыла. По аналогии с обычным крылом, в котором подвижная часть про-
простирается вдоль всего размаха и поворот увеличивает угол атаки на вели-
величину о = у — C, определим теперь угол а', на который увеличивается
261
угол атаки, в предположении, что крыло снабжено закрылками только
на части размаха, как в рассмотренных выше случаях.
Этот угол о' является частью угла а, как это легко усмотреть из
его выражения
Для эллиптического крыла результаты получаются непосредственно,
путем применения формулы B2.22).
Что касается индуктивного сопротивления, то нелегко найти для
него общее простое выражение, как и в случае недеформированного
крыла, ввиду сложности соответствующих членов. Это сопротивление
выражается формулой
причем
Htn(A 4- А' У-
- • B3.14)
Примечание. При повороте закрылков увеличивается также и
сопротивление формы, так что коэффициент Сх0 увеличивается на вели-
величину ДСХ0, определяемую из опыта.
23.2. Элероны направления
Два элерона направления, расположенные всегда один справа, дру-
другой— слева, на концевых частях крыла (фиг. 23.4), играют основную
роль в боковом управлении самолетом. Поэтому мы подробно рассмотрим
их влияние на подъемную силу, на сопротивление и в особенности на
аэродинамические моменты. Изменение угла атаки антисимметрично,
и разложение esinG имеет вид
ssinG = e2sin26 + s4sin46 + . . . +snsin/26, B3.15)
где п — четное число (п = 2р).
Для коэффициентов s2, s4 . . . sn получаем следующие выражения:
___ 2а /'sin 6i sin 3
S
__ 2а /sin 30! sin 58Д
£* ~~ ~тГ V 3 5 )
.__ е __ 2а rsm(n — 1)вх sin(n + ^)Qi]
7и[_ п — 1 тг-f-l J
262
Далее следует:
\ _
_p4 VI sin 30i ,
+ Q J I О 1
Po / J
, p4 sin 70!
X
sin(
2a (sin(д —lHx Г,
= i , I
7U [ П — 1 |_
1 —-
X
5^(^ + 3H!
irT+3
1 —■
P4
I B3.17)
Фиг. 23.4
Подставляя эти выражения в уравнения B2.10) с четными коэффи-
коэффициентами, получим общее решение задачи для элеронов направления.
Применим эти результаты к прямоугольному крылу с удлинением
= 2к
при
a
'1 = 0,5y (^ = 60°). Получим:
= 0,1215, ^- = 0,002885, ^ = — 0,01738
= 0,00668, -^-° = 0,00388, ^ = — 0,00595
-^i = 0,00236, -^-=0,00169
B3.18)
На фиг. 23.5 показано изменение циркуляции.
Эти результаты находятся в строгом согласии с общей формулой
B2.1), что свидетельствует об их точности.
Полученные выше выражения могут быть еще упрощены, если пре-
пренебречь р4 по сравнению с единицей. Отсутствие члена Аг показывает,
что элероны направления не оказывают никакого влияния на подъемную
силу. Сопротивление, напротив того, увеличивается из-за прибавления
новых четных членов. Например, к коэффициенту о, определенному вы-
выражениями A9.24) и A9.25), для недеформированного крыла прибавляет-
прибавляется новый коэффициент о', отображающий влияние элеронов
л2
B3.19)
263
Следует также отметить, что для эллиптического крыла расчеты зна-
значительно упрощаются.
Примечание. Как и в предыдущем случае, поворот элеронов
изменяет сопротивление формы. Трудно, однако, определить это измене-
0J OJ 0,3 Of Of 0,0 0,7 0,8 OM f.O
Фиг. 23.5
ние, так как оно различно в зависимости от того, будет ли поворот элерона
положителен или отрицателен.
23.3. Аэродинамические моменты
Самым важным эффектом элеронов направления является их влияние
на аэродинамические моменты.
Момент относительно продольной оси Ох, т. е. момент крена, обо-
обозначенный нами буквой L и вычисляемый по формуле A9.38), пропорциона-
пропорционален только коэффициенту А2) обычно определяют другой коэффициент £г
выражение которого легко вывести из соотношений
T r T72l"Z. г Т72Ъ3 Л
■ L = -к-УфЬз — -^ vob -r A2,
B3.20)
откуда на основании уравнений B2.10), пренебрегая коэффициентом 84
по сравнению с единицей, получаем
7U
4
sin 70!
Рп '
B3.21 )
Эта формула весьма важна для аэротехнических приложений. В слу-
случае прямоугольного крыла из предыдущего примера мы получили при
ее помощи значения, приведенные в табл. 23.1.
264
Таблица 23Д
По B3.21) ....
По Визельсбергеру
По B3.31) ....
По Визельсбергеру
40°
0,0497
0,04715
1,015
1,045
60°
0,0954
0,0942
0,904
0,895
90°
0,1377
0,1345
0,80
0,81
Для момента вокруг вертикальной оси Oz, т. е. момента рысканья,
обозначаемого нами буквой N, можно также определить коэффициент С,
выражение которого получаем на основании A9.48) из соотношения
N = £
A)AVAV+1,
V=l
откуда
B3.22)
B3.23)
С практической точки зрения важнее определить отношение Двух мо-
моментов, общее выражение для которого дает формула A9.49):
B3.24)
Для коэффициентов Alt A3, Аь, А7 ... недеформированного крыла
можно написать соответственно
- ( 3 - 5
_ 7
G -
_ l
7
5 ft2 —
Г
B3.25)
, = и (i _ ||-
Далее после некоторых упрощений получаем из уравнений B2.10)
равенства
B3.26>
265-
«следовательно,
Эо W2 4[X0 + Ро
__ 2^о + Ро— Р4 сов Р2 2^о + Ро— Р4 «4
6^0 +
Р4
)) (б1Хо+ Ро) 6рЦ) 4- Ро
Введя эти выражения в A9.49), получим окончательно
N
B3.27)
11
3
7
3 3
Р2
И-о + Ро
1
^о + Ро
Л 13
V И 7^о
Ро
5.28)
«ли, иначе,
ЗСГ
= —^. х, B3.29)
где х стоит вместо выражения в фигурных скобках.
Для эллиптического крыла получаем формулу Мунка
ЗСГ
avj = ЪА1 = -^- . B3.30)
Формула B3.28) несложна для применения, но неудобна, так как
-слишком длинна; ее можно значительно упростить, заметив, что третья
группа членов может быть не учитываема вследствие малости и что j34
тоже мало при обычных формах крыльев. Тогда, заменив при этом а>4 и
со2 главными членами их выражений, придем к следующей простой фор-
формуле:
Р2-Р4Г5 7Л 9 р2 V sin 38!-0,6811158!
3jx0 + Ро L 3 ^ 9 V1 7 5[х0 + РоЛ sin0! — 0,33sin30X
B3.31)
Q
которая может быть также представлена в форме B3.29): 7]<х = 3—у-к.
Для прямоугольного крыла в предыдущем примере (C0 = 0,654;
р2 = — 0,192; р4 — — 0,0268; X = 2к) эта формула дает коэффициенты,
приведенные в табл. 23.1. Для сравнения в этой таблице приведены
также результаты, полученные Визельсбергером посредством метода
Глауерта; в рассматриваемом случае прямоугольного крыла этот метод
приводит к определителям восьмого порядка. Как видно из таблицы,
данные наши и Визельсбергера хорошо согласуются друг с другом.
Выражение для т] весьма важно, так как оно позволяет вычислить
момент рысканья N:
.266
N = - Lyjoc = |- Fj&'fy (ao) = |-F^3C(oca). B3.32)
Следовательно, C = £vj(cm. также 23.24).
Полученными формулами можно пользоваться даже в общем случае
контуров крыльев, представляемых четырехчленным многочленом с коэф-
коэффициентами 60, р2, р4 и рб. В самом деле, коэффициент j36 весьма мал
при формах крыльев, обычно применяемых на практике, поэтому вычис-
вычисления и в общем случае привели бы нас практически к найденным вы-
выше результатам. Однако в специальных случаях следует пользоваться
-формулами A8.18), B2.9), B2.6).
Примечание. Выше мы отметили, что при повороте элеронов из-
изменяется также Сх0 части крыла с элероном (обычно Сх0 увеличивается
при увеличении угла поворота). Следует учитывать влияние этого из-
изменения, определяя его из опыта. Однако вычисление дополнительного
момента, вызванного приращением ДС^о, представляет трудности, так
как значение, принимаемое AC^0, различно в зависимости от того, поло-
положителен или отрицателен угол поворота элерона.
23.4. Сила и шарнирный момент, действующие на элероны
В разделе 11.3 мы определили силу и шарнирный момент, действую-
действующие на подвижную часть крыла бесконечного размаха. В самом деле,
определяя угол ср по формуле A1.35)
= 1 — 2-^-, B3.33)
где сх —подвижная часть, найдем следующие выражения:
P'i = pcVl (tp — sin 9) a + pcVl ^- 8 + />01
B3.34)
92 cos <p — <p sin 9 5 h -y-
p — угол поворота, а Ро1 и Af01 — постоянные, зависящие только от
<формы профиля и равные нулю для симметричных двояковыпуклых
профилей.
23.4.1. Преобразование формул. Представим предыдущие равенства
в несколько ином, более удобном виде. Пусть 2ft — наклон графика
подъемной силы для крыла бесконечного размаха, как мы его опреде-
определили вначале; получим
Эа + -J PP + Pol, B3-35)
267
где Ра — полная подъемная сила крыла бесконечного размаха, соответ-
соответствующая углу атаки a, a Р$— та же сила, соответствующая углу ата-
атаки, равному углу поворота В. Отметим, что полный угол атаки крыла
равен углу ос, сложенному с углом а, обусловленным поворотом, причем
на основании A1.39)
Полагая
а' = ос + а = а + *±£!Е*. [3, B3.37)
мы можем представить предыдущее выражение для Рг также в виде
B3.38)
или, вводя безразмерные коэффициенты,
z + s-i$5L Cz, + Colf B3.39).
где Р (соответствующая коэффициенту Cz)—полная подъемная сила,,
отнесенная к отрезку крыла, равному единице длины, и соответствую-
соответствующая полному углу атаки а' = а + а, a P$ — подъемная сила того же
отрезка, соответствующая углу атаки, равному углу поворота р.
Для шарнирного момента найдем аналогичное выражение, которое,
пользуясь соотношениями A1.49), можно записать в следующем виде:
или,
m p
тГС а ~
иначе,
л/г т
М01 =—
"B3.40)
= Ст1 =^Сг— -^ Cz$ + Ст01, B3.41
где
g = sin ср (ср — sin cp) (I -f cos cp). B3.42)
Теперь применим эти результаты к крылу конечного размаха.
23.4.2. Элероны, простирающиеся вдоль всего размаха. В случае
крыла с конечным размахом, если элероны распространяются на весь
размах, мы, очевидно, получим аналогичные формулы, замечая, что вместо
геометрического угла атаки а' = а -f- а будет фигурировать эффективный
угол атаки а^ = а -|- а — г, где i — угол, индуцированный в каждом се-
268
чении. Поэтому формулы B3.38) и B3.39) можно применять также и в
этом случае, только Р (соответственно и Cz) будет представлять полную
подъемную силу крыла конечного размаха, а Р$ (соответственно и Cz$)—
подъемную силу, соответствующую эффективному углу атаки, равному
углу поворота р.
Аналогичным образом получим соответствующие выражения для шар-
шарнирного момента:
M\ = тт— \ cdP —
2тг J
1, B3.43)
где для упрощения вычисления мы заменили хорду с через среднюю
хорду ст. В безразмерных коэффициентах получим
_ Г' — m Г ^ i
Z7T 4TU*
B3.44)
Если хорда изменяется в широких пределах, то приближение недо-
недостаточно и требуется точное интегрирование:
\ cdP - 9Vl ^ cFdy = 9V20b2 с0 J у- (Т,Ап sin nb) sin 6dG. B3.45)
Для трапецоидального крыла, полагая попрежнему
можем выразить изменение хорды следующим соотношением:
B3.46)
B3.47)
где знак минус берется при изменении 6 от нуля до -^-, а знак плюс—
при изменении б от -^- до тт.
Предыдущие интегралы принимают в этом случае соответственно вид
Bp-l)Bp
8g
Зтс
B3.48)
269
и аналогично
B3.49>
В применении к эллиптическому крылу аналогичное вычисление при-
приводит к следующему результату:
х = х3= JL . B3.50>
Окончательно получаем уравнение, соответствующее B3.44) (действи-
(действительное при постоянной хорде) в виде
= Ст1 = тг-кСг— TZ2~
2тс
"Ь
B3.51)
23.4.3. Элероны на части размаха. Если элероны занимают только*
часть размаха, например Ьа, то получим для сил
<?-sin9pa+sjp_Pafi + Poia
B3.52),
7Т
> — sincp
х 7Т
и для шарнирного момента
1 01а
L
cQba
S
S
B3.53>
где Pa — полная подъемная сила подвижной поверхности крыла, Sa —
площадь этой поверхности, а Ра$ — подъемная сила той же поверхности^
обусловленная поворотом В. В интегралах
ох в,
{ cdP и { cdP$
о о
с
мы взяли для с среднее значение -^- , чтобы не усложнять формулы.
Однако подъемная сила Ра, соответствующая подвижной поверхности!
Sa, имеет непростой вид, а именно
= X
, B3.54>
270
где коэффициенты Аъ А2, А3 . . . Ап содержат одновременно члены, обус-
обусловленные углом атаки а, и члены, обусловленные поворотом элеронов.
24. ВЛИЯНИЕ ВЫРЕЗОВ
В технике самолетостроения из соображений пилотажа или по конст-
конструктивным соображениям часто приходится делать вырезы в средней части
крыла (фиг. 24.1). Эти нарушения формы обычного контура, разумеется,.
У
Фиг. 24.1
отражаются на аэродинамических характеристиках крыла. Для тога
чтобы установить характеристики такого крыла, надо определить в каж-
каждом сечении нарушенной части контура ось нулевой подъемной силы соот-
соответствующего профиля и после этого воспользоваться известными мето-
методами для вычисления циркуляции вдоль размаха.
24. 1. Постановка задачи и общие формулы
Чтобы можно было пользоваться методом Глауерта, надо было бы*
взять очень большое число сечений, для которых должно удовлетворяться
соотношение A7.5); столь же велико, следовательно, было бы число не-
известных и число уравнений, которые надо решать, что было бы не
только неудобно, но даже невозможно осуществить обычными элементар-
элементарными способами.
Методом Ирмгарда Лотца задача может быть всегда решена, но трудно
найти общее решение в явной форме вследствие весьма сложных вычис-
вычислений; поэтому приходится вновь производить вычисления для каждого
частного случая. Чтобы избежать этих трудностей хоть отчасти, мы из-
излагаем ниже метод, аналогичный примененному в предыдущих разделах,
который приводит к приближенному решению в явной форме.
Пусть дано крыло с контуром, определенным основным уравнением
A7.27)
-^- sin 8 = р0 + 282 cos 0 + 2434 cos 46 + 28б cos 60,
с
B4.1)
и предположим, что хорда с' этого крыла, деформированного наруше-
нарушениями контура, определяется равенством
с'= с A + 0, B4.2)
где t не равно нулю только в нарушенной вырезами части контура.
271
Обозначая далее через а угол атаки нормального крыла (с ненару-
ненарушенным контуром), а через е — изменение угла атаки на нарушенной
части контура, можем написать выражение для полного угла атаки ос':
а' = а + е. B4.3)
Точно так же и полная индуцированная скорость w' разделяется на
две: на индуцированную скорость нормального крыла w и на скорость,
вызванную изменениями нарушенной части, которую мы будем обозна-
обозначать через ws:
w'^=w-{-ws. B4.4)
В этом случае уравнение Прандтля принимает вид
откуда видно, что деформация контура вводит дополнительный угол
атаки е', изменяющийся вдоль размаха:
Таким образом, задача сводится к случаю изменения угла атаки.
При обычных крыльях угол атаки а, так же как и индуцированный
угол атаки, мало изменяются в окрестности данной точки размаха.
Поэтому можно приписать а и w те -значения, которые они принимают
у оси выреза, обозначив их через аа и wa.
Рассматривая угол атаки е нарушенной части контура, мы будем
учитывать его изменение в первом члене правой части равенства B4.6);
что же касается третьего члена, то, так как t мало по сравнению с еди-
единицей, можно взять для s среднее значение гт или значение еа> кото-
которое е принимает в центре нарушенной части контура.
Однако большие трудности возникают при определении дополнитель-
дополнительной индуцированной скорости ws, которая зависит от распределения
циркуляции вдоль размаха. Представим дополнительную циркуляцию
в обычном виде A7.2):
т
r,= 26F02ansinn6. B4.7)
1
Индуцированная дополнительная скорость в центре нарушенной части
контура F = 6а, ws = wsa) будет в этом случае выражаться в соответ-
соответствии с равенством A7.4):
откуда видно, что скорость эта зависит от коэффициентов аг. . . ат, ко-
272
торые являются неизвестными нашей задачи. Эти коэффициенты убывают
очень медленно, и вычисления оказываются весьма трудоемкими даже
в случае эллиптического крыла, для которого можно при соответствую-
соответствующих условиях получить строгое решение.
В общем случае недопустимо ограничиваться несколькими членами,
поэтому надо обойти затруднение, беря для wsa приближенное значение,
которое устанавливается следующим рассуждением. Мы можем предпо-
предположить, что уменьшение циркуляции благодаря вырезу сосредоточено
и равномерно распределено на отрезке длины ег, зависящей от ширины
выреза е. Приближенное выражение индуцированной скорости wsa будет
в этом случае:
То Г
2* т * т /о/ nt
Значение Гт выводится из величины добавочной полной подъемной
силы, определяемой в соответствии с A9.1), и из величин гипотетиче-
гипотетических подъемных сил, равномерно распределенных, по нашему предполо-
предположению, на отрезке, имеющем длину ег\
^a1. B4.10)
Отсюда следует окончательно
Отметим далее, что аа, wa, ea и wsa были взяты на оси возмущения
и положим, что
щ - «а - ^г + е„; ^- = ках. B4.12)
Тогда уравнение B4.6) принимает вид
= s+OLtt — ka1t, B4.13)
и разложение в ряд Фурье выражений s sin 6 и t sin 6
s sin 6 = 8! sin 6 + e2 sin 26 + . . . + en sin nb \ ,
t sin 6 = tx sin 6 + t2 sin 26 -f- . . . + tn sin 726 J
дает решение задачи.
Пользуясь B2.11) и, следовательно, ограничиваясь при этом эллип-
эллиптическими, почти эллиптическими, трапецеидальными и прямоугольными
крыльями, можно написать
- Ч «■ - *• *+'$+* - л тг™йпг] - "" -""- B4'15)
273
где
Vn+2
£n+t
^4 (» + 4) ^ + p0 J j
\ B4.16)
Подставляя эти значения в формулы B2.10), получим окончательно
.J ai == ^о^з;
+ Po-
(п
Ро
B4.17)
Эти формулы можно упростить, пренебрегая в обеих частях уравне-
уравнений членами второго порядка: §\, £4, C2j34 и величиной j34.
Примечание. Чтобы вычислить к в формулах B4.11), надо опре-
определить длину е1. Предположим, что подъемная сила на большей части
размаха с обеих сторон вне е будет уменьшена. Тогда простое практи-
практическое рассуждение приведет нас к следующей формуле:
^1 = 4" № + (п — 1)е], B4.18)
где п принимает значения, зависящие от е. Практически можно считать
п ^ 3.
24.2. Применение к эллиптическому крылу
В случае эллиптического крыла 48О = 1; [В2 = j34 = 0, и предыдущие
формулы принимают вид
2[i0) а2
^ах = ji0 (s2 + att2)
A + n\i0) an + poking = \i0 (sn + xttn)
или, иначе, после некоторых элементарных преобразований, мы можем
274
придти к соотношению
Часто s и t изменяются по одному и тому же закону; поэтому
можно написать
в этом случае выражение для ап упрощается:
■ лц0 h
B4.21)
B4.22)
Если первоначальный угол атаки а остается постоянным вдоль всего
размаха, т. е. если е = 0, то
ап =
B4.23)
24.21. Пример. В этом последнем виде мы применим формулу к кон-
конкретному случаю выреза постоянной глубины (t = const).
Разложение в ряд Фурье дает
B4.24)
2
sin4cp
2t0 rsin(n + 1) 9 sin (n — 1) Ф 1
где ф выражается как функция от выреза е
е
Т" в
B4.25)
Г = 2bV0A1 sin б = 2bV0 (j-£L_ a ) sin 6,
V1 + И-о /
откуда согласно A7.4) следует, что
Далее при помощи последних формул A6.31) получим первоначальное
распределение циркуляции
B4.26)
B4.27)
B4.28)
Следовательно,
Vn 1 + 1
В этом случае коэффициент ап имеет простое выражение:
1+i
B4.29)
275
24.3. Приближенный метод расчета крыльев
заданного контура [3]
Изложенный выше метод определения влияния вырезов может быть
распространен и на расчет крыльев заданного контура.
Пусть дано крыло, хорда
которого с' изменяется вдоль
—-^ I j. размаха по некоторому закону,
Рассмотрим одновременно эл-
\\ липтическое крыло с поверх-
поверхностью такой же площа-
площади и с таким же размахом,
как у действительного крыла
(фиг. 24.2) и с хордой с; тогда
ФИГ* 24'2 с = с0 sin 6 = -i- -j- sin 6, B4.30)
где S — площадь поверхности крыла.
Положим далее, что
с'=*сA +t), B4.31)
откуда
о
Л У
t = — • -JL-_i; £Sin6 = — — sin6. B4.32)
c0 sin 8 ' c0 v '
Хорду можно разложить в ряд Фурье или выразить конечным три-
тригонометрическим полиномом (например, состоящим только из четырех
чяенов); в этом случае получим для симметричного крыла
А -у- [sin 6 + tz sin 36 + ... + WisinBP + l)Q]. B4.33)
с = А -у
Это выражение для с1 можно подставить во второе из равенств
B4.32); тогда получим
t sin 0 = sin 6 + £3 sin 36 + . . . + t2v+1 sin Bp + 1H — sin 6 ==
= ts sin 36 + . . . + £2P+1 sin Bp + 1) 6. B4.34)
Обозначим далее через а угол атаки, а через wr — индуцированную
скорость действительного крыла, через w — индуцированную скорость
эквивалентного эллиптического крыла, имеющего тот же угол атаки.
Разность между этими скоростями обозначим через ws, т. е.
w* = w + ws. B4.35)
Тогда уравнение Прандтля A5.38) можно представить в виде
[(^)^^] B4.36)
276
1де первое выражение во второй части равенства соответствует нормаль-
нормальному эллиптическому крылу с постоянным углом атаки, а второе —
эллиптическому крылу с переменным углом атаки:
-t~. B4.37)
Для эллиптических крыльев находим
a-^=lf]To; B4-38>
для добавочной скорости we можно взять среднее значение:
А
w \ e w
S7TI -I V S 7 I | I /О/ ОП\
~Тт— = ~~т~ \ ~77~ dy = fll т fl3 Т • • • т а2р-\-1- {Ач.оЩ
В
В случае обычных крыльев коэффициенты ап быстро убывают; при
этом аг равно нулю, как это будет выяснено ниже, a t мало; поэтому
можно без большой погрешности написать, что
^ = as+a5+...=a. B4.40)
Отсюда следует, что уравнение B4.37) можно представить в виде
т sin 6 = (fqr^ — а) Рз sin 36 +. . . + £2P+1 sin Bp -f 1) 6] =
= т3 sin 36 + . . . + т2р+1 sin Bp + 1) 6, B4.41)
где
B4.42)
Следовательно, обозначая попрежнему через Ts добавочную циркуля-
циркуляцию, значение которой надо прибавить к циркуляции эллиптического
крыла, можем написать:
т
Ts = 2bV0 2 an sin пв = AcF0 (т — ^-) =
m
= kcQVQx sin 6 — kc0V0 2 ^«n sin /26. B4.43)
1
Полагая далее
где Цо, так же как и средняя хорда с'о, соответствует действительному
крылу, мы, пользуясь равенствами B4.41), B4.42), B4.43), найдем
окончательное решение задачи:
^п = 1—; = —i—; * ^— ^з ai = vJ- (Z4.4O)
277
Чтобы вычислить а3, надо сначала определить а. Так как для обычных
крыльев достаточно трех членов разложения B4.34), то можно на-
написать:
откуда следует, что
— «, 4 I О..
B4.47)
1 + {Jto l + ^o 1 + (З + ^з + ^5 + *7)
и далее
24.3.1. Применение к прямоугольным и трапецеидальным крыльям.
Сначала рассмотрим трапецоидальное или прямоугольное крыло и огра-
ограничим разложение B4.33) четырьмя членами
с' = -^- • -у- (sin 6 + *з sin 36 + tb sin 56 -f Ц sin 76). B4.49)
Обозначим через с0 и се соответственно среднюю и крайние хорды и,
попрежнему полагая
9 = 1—-^-, B4.50)
со
проведем кривую B4.49) через надлежащим образом выбранные точки
на контуре F = 22°30'; 45°; 67°30'), оставляя площадь поверхности без
изменения. Тогда окончательно найдем
- 0,274 - i_0
эти значения достаточно хорошо отображают контур трапецоидальных
крыльев.
Для первого члена эквивалентного эллиптического крыла найдем
1 + Ио 1 , J ^_
B4.52)
7Г
Остальные члены находятся при помощи формул B4.45) и B4.48).
Заметим далее, что для центральной хорды имеем
, B4.53)
278
откуда в случае прямоугольного кры*ла следует с0 = 0,83— • -т-. В этом
случае вычисления (при \i0 = 0,25) приводят к следующим результатам:
4^ = 0,926; 4^- = 0,124; -^- = 0,046; 4^ = 0,008.
Мы видим, что первые два члена находятся в очень хорошем согласии
с ранее приведенными данными (табл. 18.1), другие же два члена обна-
обнаруживают значительные отклонения, которые, однако, малы по срав-
сравнению со значениями двух первых членов.
24.3.2. Применение к крыльям произвольного контура. Как и в пре-
предыдущем случае, мы можем провести через надлежащим образом выбран-
выбранные точки кривую, приближающуюся к действительному контуру и пред-
представляемую тригонометрическим многочленом B4.33) из четырех членов.
Далее следует выполнить элементарные вычисления для определения
коэффициентов Alt a3, аъ
25. ВРАЩЕНИЕ КРЫЛА ВОКРУГ ОСИ
В этом разделе мы коснемся некоторых специальных вопросов, имею-
имеющих непосредственное отношение к динамике самолета.
25.1. Плоский круговой вираж [2]
Представим себе крыло, поворачивающееся вокруг оси, перпендику-
перпендикулярной к его плоскости, причем эта ось пересекает линию размаха. Обо-
Обозначим через Q угловую скорость вращения и через Ro — радиус виража
относительно средней плоскости крыла. В любом сечении крыла скорость
равна
V = О (До + у) = Ш?о (l + JL) = V, (l - A-cos 6 ), B5.1)
где VQ = Q.R0— скорость среднего сечения.
Таким образом, скорость изменяется вдоль размаха; при этом свобод-
свободные вихри располагаются по концентрическим окружностям вокруг оси.
В результате изменяется угол атаки, и индуцированная скорость отли-
отличается от той, какую вызывает вихревая пелена, образованная прямоли-
прямолинейно расположенными вихрями.
Предположим, что только полукруг более позднего происхождения
образовавшейся вихревой пелены участвует в индуцировании скорости,
другая же половина вихрей рассеивается вследствие трения, деформации
и т. д. При этом условии индуцированная скорость в произвольной точке,
вызываемая вихревым полукольцом с напряжением dY, дается третьим
из равенств B.27):
dw = — [ W-V)dy-{y-r{)dx
4* ] [(xr ._ 5Т + {yr _ VJ + (zr _ О2]3/а '
279
где х\ у\ z' — координаты элемента кольца (фиг. 25.1),
£', т]', С— координаты рассматриваемой точки.
Кольцо лежит в плоскости х'О'у', поэтому z' = С = 0; так как рас-
рассматриваемая точка лежит на размахе, то и 'V = 0.
Положим далее (фиг. 25.1), что
a' = i?sinv; y' = R cos v; B5.3)
тогда предыдущий интеграл принимает вид
dT f D
= у— 4 — i?
2
?2
( + ) )' COS V)
?cosWv
Примем также, что
B5.5)
тогда, с одной стороны, имеем
ТС ТС ТС
\ тг = 2 \ г, г \ гг ' B5.6)
0 0 0
а с другой стороны,
тс тс
ch 1 Г 'v2 — g2 cos v)'/2 dv. B5.7)
(p gSv)
Подставим эти соотношения в B5.4) и положим далее, что
___;
z^l . B5.8
Окончательно найдем два полных эллиптических интеграла первого
(К) и второго (£") рода:
sin2
Из фиг. 25.1 видно, что
B = JR0 + y; т]'^До + v, Д_г/ = у —•*]; B5.10)
кроме того, мы замечаем, что А'2 весьма мало:
(Л + Ч')* ~ BЛо + У + Ч)* ~^2Be У ' ^0.11)
280
Это позволяет нам разложить К и Е как функции от к' по Лежандру:
k'\
B5.12).
Фиг. 25.1
Подставляя эти выражения в B5.9) и интегрируя, получим искомую
индуцированную скорость:
1 ( Г ! .
к* J b) — 3/
B5.13)
Заметим, что можно написать последовательно
1П | YI — у | dr = Г 1П | YJ —
+ J Г^ =
= ? Г
J
B5.14)
Затем, подставляя вместо Г ее выражение от 6, мы представим со-
соотношение B5.13) для индуцированной скорости в виде
т
1„ [sin Gг — 1) 6 — sin (n + 1N], B5.15)
и, если мы теперь введем это значение скорости в новое уравнение
281
циркуляции
Г = kcV (a —-£-) = kcVoL - kcw = kcV0 [(l — щ cos 6 j а — ^-] , B5.16)
то придем в конечном счете к следующему соотношению:
m m
— sin в 24 sinтгб + |х0 2 ft-4n sin /26 +
1 1
т
+ ^2 ^n[sin(/2 — 1N — sin (n+ 1)8] =jioasine —^-asin26. B5.17)
Решить это уравнение в общем случае трудно, поэтому мы рассмот-
рассмотрим сначала частный случай эллиптического крыла. В дальнейшем же
мы дадим приближенное решение и для общего случая.
25.1.1. Эллиптическое крыло. Решение дается уравнением в конечных
разностях второго порядка
n+^(Ar^1 — An^1) = 0, B5.18)
причем первые два уравнения являются неоднородными:
) B519)
^ D,-А) =-§£ 1
Пользуясь тем же методом, который был применен и в разделе 17.4,
увидим, что решение дается интегралом
Ап = С ^ tn+ нТ -1 вайГ^+т)^ B5.20)
который после замены переменной t = i/z становится характеристическим
интегралом функции Бесселя:
y + ^о >д. ^ т> dz, B5.21)
или, иначе,
чч t ъ \2ш 1 B5.22)
х
Замечая, что ^— весьма мало, можем написать
( ъ Y
B5.23)
Г ( п + —
282
где Г обозначает гамма-функцию (а не циркуляцию, которую мы обычно
обозначаем этим же символом).
Вместо постоянной С возьмем коэффициент А2 в качестве постоянной,
которую надо определить:
\B5.24)
В этом случае коэффициент Ап принимает вид
Лп ~ Ur ) A + З^о) A
откуда видно, что коэффициенты Ап быстро убывают вследствие малости
Ь
члена-щ •
Первый и второй коэффициенты (Alt A2) выводятся из уравнений
B5.19)
. __ [хоа 1 Aaq6\2 A 4- 0,5[х0) а
Л ^ 2
Пренебрегая членами, содержащими -j~- во второй или высшей сте-
пени, можно без большой погрешности ограничиться первыми двумя
членами, и тогда мы придем к результатам Визельсбергера:
Г = 2bV0 (Аг sin 6 + А> sin 26) ==
sin 0 (l +- 2 ^2 cos б) =
<25-27>
который с самого начала исходит из распределения циркуляции, огра-
ограниченного этой формой:
-Г. УТЯ?}-(!+,*), <25'28>
где определяемый коэффициент v предполагается известным заранее.
Тот же результат можно получить непосредственно без помощи бес-
бесселевых функций, так как ^U^-i в уравнении с конечными разностями
B5.18) можно заменить приближенным значением, пренебрегая коэффи-
коэффициентом Ап+ъ как малым сравнительно с Ап:
[1 + (п + 1) jg A+i -щ;Ап = i*o«n+i- B5.29)
283
Поступая так, мы получим
B5.30I
причем
ос± = а; а2 = -^-а; а3 = . .. = ап = 0. B5.31),
25.1.2. Прямоугольные и трапецоидальные крылья. Вернемся к общему
уравнению B5.17) и представим его в виде
т т
— sin 6 2 Ansinnb + jjlo2 nAn sin п 6 = ji0oc sin 6 — J^- a sin 26 +
1 m ' ° B5.32>
+ §^2^ [sin (n-f 1N — sin (n —1N].
Предположим, что вторая часть равенства представляет разложение-
в ряд Фурье произведения a'sin 6 и а' изменяется вдоль размаха
a' sin 6 = <*! sin 6 + <*2 sin 26 + а3 sin 36 + . . . + <*n sin n 6, B5.33>
где коэффициенты соответственно
_(А3-А5)Ъ _(АП_1-АП+1)Ъ | ^
В этом случае уравнения в конечных разностях распадаются на
группы — с четными и с нечетными членами:
fBp ' 4X" '^1^ I Q / /I i Л . \ \ Q Г Л \ A \ i \&O.50\
Из первого уравнения видно, что четные члены пропорциональны?
[ХпЬ
~j- и что, следовательно, правая часть во втором уравнении пропор-
циональна(-|^-) и поэтому ее можно не учитывать. В самом деле, Во,
больше у , и, начиная с а3, можно пренебрегать влиянием этих членов,,
а также влиянием второго члена в выражении B5.34) для а2 и считать,,
следовательно, что коэффициенты Alt A3, A5...A2p+i сохраняют те же
значения, что и в случае обычного прямолинейно перемещающегося
крыла.
284
Отсюда получаем приближенные соотношения
B5.36)
Аь — А7 ~ —
5н-о + Ро
«следовательно, согласно B5.34)
р2 —р4 \ 6а
8Я0
_ ^ (>\ 4-2
' 8^ V "^
3(х0
о^о 3[Xq "~f~ Ро
oJ\q 5(Xq -f- Pq
Отсюда следует, что
B5.37)
8Л0
i
1
2(х0 + ро -P
[0,5[х0 + (Ро— ра)]
4-
Ро — Ра)
Ро —
-М. 4-
4й0 L2(xo+ ро "*" (х0 B(х0 + Ро)
1———. . .
B5.38)
можно заменить на
^0 t- Ро — Р2 '
Для эллиптического крыла (ро = 1, j32 = |34 = 0) мы снова получаем
^предыдущие результаты B5.26).
25.2. Силы и моменты, вызываемые виражом
.Интеграл подъемной силы дает последовательно:
2
si ли, иначе,
B5.39)
B5.40)
Отсюда видно, что вираж влияет на подъемную силу весьма незна-
незначительно.
Что касается сопротивления, то следует отметить, что индуцирован-
индуцированная скорость, входящая в интеграл
2
R =р \ wTdy, B5.41)
2
285
отличается от индуцированной скорости, вызываемой простым поступа-
поступательным движением, следующим дополнительным членом:
B5.42)
Но соответствующий интеграл равен нулю:
п т т *
=pbW20~ ^ 2 Ап [sin (п—\) 6 — sin (л + 1) 6] B Лп sin я 6 W6 = 0. B5.43)
° о 1 М /
Следовательно, общее выражение для о такое же, как и найденное
раньше:
А2
^"> B5.44)
2
откуда видно, что влияние четных членов, которое можно выразить в.
виде
А2 А2
t*0 "Г PO P4 /
( ъ V
не имеет значения из-за малости множителя (-то~) •
Аналогичным образом находим момент L:
2
= -TFoY^(l - ^-cos б) B-4п sin n 6) sin 2 6^6 =
о 1
f. FS&3 J Л+ 1 V> ^ • х (^ + А>) = ~ 1 Fo^:« B5.46)
и, следовательно,
откуда получаем общую формулу для с:
4
@,55^+ ро-Рз fe-p4 , л B5 48)
28И
Для эллиптического крыла эта формула сводится к более простому вы-
выражению:
ь __ тс У-оь 1 2,55[х0 + 2 _ ти 6 [х0 Bе) 4Я'\
Применяя формулу B5.48) к прямоугольному крылу с удлинением
л = 2 /с(|х0 = 0,25), получаем
5 = 0,Ш*77Г- B5-49>
Это значение находится в хорошем согласии с результатом, полу-
полученным Глауертом.
Перейдем теперь к моменту N. В выражении этого момента будут
два члена, соответствующие двум членам выражения B5.15) для ско-
скорости, именно:
% 1 1
B5.50)
или, иначе,
п—1
2р+1)ЛрЛр+1- 8^^i] = l^3C«2, B5.51)
причем
4/^
4 4R0 ЛМ\ ° 3(jL0 + pJ 2tx0 4- Эо —Э4 L
1
2
Для прямоугольного крыла с теми же характеристиками, что и рань-
раньше, найдем:
£=0,0468тт-^г-> B5.53)
что находится в хорошем согласии со значением коэффициента F2 у
Глауерта, который он определяет, представляя выражение момента в
другом виде:
Действительно, согласно нашему вычислению коэффициент F2 должен
быть равен 0,870, а у Глауерта он равен 0,864.
287
Следует, однако, отметить, что момент N содержит новый член iV0,
обусловленный сопротивлением формы, который можно записать в виде
NQ = —^-Cm \ V2cydy = — ^СХ0-^ \ суЧу. B5.55)
25. 3. Вращение вокруг оси Oz
Эта задача аналогична предыдущей и относится специально к изу-
изучению боковой динамической устойчивости самолетов.
Скорость изменяется вдоль размаха по тому же закону:
V = Fo + ту = VQ (l + £- у) =V0 (l-щ cos б), B5.56)
где г — угловая скорость вращения вокруг оси Oz.
Если вместе с поворотом крыло совершает круговой вираж, то задача
та же, что и в рассмотренном выше случае; если ше поворот не сопро-
сопровождается виражом, как при возникновении этого движения1, то можно
предположить, что вихревая пелена остается прямолинейной. В этом
случае выражение для индуцированной скорости B5.13) не содержит
-логарифмического члена и сохраняет тот же вид, что и в общем случае.
При этих условиях задача сводится к антисимметричному изменению
угла атаки
Г = £сК U--f )^kcV0 1 — -^cos 6 a — kcw = kcV0 a'— Tf , B5.57)
причем
a' sin 6 = af 1 — -^- cos 6 J sin 6 = a sin 6—а-^тг- sin 26. B5.58)
Мы получаем два независимых уравнения: одно — для четных членов,
„другое — для нечетных. Второе идентично уравнению для обычного кры-
крыла без вращения, для которого мы определили коэффициенты в преды-
предыдущих разделах.
Для определения четных членов пользуемся равенством B2.9). Так,
например, первые два члена даются соотношениями
^о
B5.59)
Влияние вращения на подъемную силу и индуктивное сопротивление
1 Здесь следует заметить, что движение перестает быть установившимся, од-
однако мы будем пренебрегать изменением вихревой системы во времени и считать
движение установившимся в рассматриваемый момент.
88
можно не учитывать. Для аэродинамических моментов, вернее, для со-
соответствующих коэффициентов, получим следующие формулы:
Разумеется, надо учесть также и дополнительный момент 7V0 B5.55)
обусловленный сопротивлением формы.
25. 4. Вращение вокруг оси Ох
При вращении с угловой скоростью р вокруг оси Ох точка у разма-
размаха приобретает добавочную скорость ру =—р -^ cos S, перпендикуляр-
перпендикулярную к скорости Fo главного потока.
Начнем с предположения, что скорость вращения мала сравнительно
с главной скоростью; поэтому увеличение скорости можно не учитывать:
y«- B5-61)
Зато добавочный угол атаки может принимать существенные значения
вдоль размаха:
^ ^ B5.62)
откуда следует
е Sin 6=-^- sin 26. B5.63)
Таким образом, эта задача (которая, так же как и предыдущая, свя-
связана с вопросом боковой динамической устойчивости самолетов) сводится
к линейному антисимметричному изменению угла атаки, и ее решение
дается равенствами B5.59), разумеется, с заменой правой части первого
равенства на
Подъемная сила не меняется, а индуктивное сопротивление получает
приращение
АСХ{ = тгл BА\ + 44 + . .. + 2тAim) B5.65)
л2 ( РЬ \2
и так как члены А2п пропорциональны ( -^- 1 и, следовательно, малы,—
\ * о /
второго порядка,—то этим увеличением можно пренебречь.
Момент L вокруг оси Ох выражается равенством
L= - р У*Ь*(п А2)~ Р т^6я 4 4F° B5>66)
289
Момент же относительно оси Oz получается из хорошо известного со-
соотношения B3.28):
ЛИТЕРАТУРА
1. Garafoli E. Sur la theorie des ailerons (О теории элеронов). Comunicare la Aca-
demia de Stiiirfe din Rominia, Bucure^ti, Ianuarie 1944.
2. Carafoli E. Influence du virage circulaire plan sur les proprietes aerodynami-
que des ailes (Влияние плоского кругового поворота на аэродинамические свойства
крыльев). Comunicare la Academia Romina, Bui. Sec^ici Stiintifice, Nr. 2, t. XXVII,
Septembrie 1944.
3. Carafoli E. Metoda practica pentru calculul aripilor de avion (Практический
метод расчета крыльев самолета). Bui. Stiin^ific al Academiei RPR, t. 1, Nr. 9,
1949.
4. Чаплыгин С. А. и Голубев В. В. О теории предкрылка и закрылка.
Работы ЦАГИ, '№ 171, 1935.
5. Голубев В. В. Лекции по теории крыла. Гос. изД-во техн. теор. лит-ры. М.—Л.,
1949.
6. Karman a. Burgers. Aerodynamic theory (Аэродинамика, т. II, под общ.
ред. Дюрэнда, пер. под ред. В. В. Голубева), vol. II, Durand-Editor, Julius Springer,
Berlin, 1945.
7. Wieselsberger C. Zeitschr. fur angew. Matem. u. Mech., 1922.
Глава VI
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИСОЕДИНЕННЫХ ВИХРЕЙ
ПО ПОВЕРХНОСТИ КРЫЛА И ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ ВОКРУГ КРЫЛА
В этой главе мы рассмотрим несколько задач, относящихся к крылу
конечного размаха, причем будем заменять крыло эквивалентным ему
слоем присоединенных вихрей, распределенных по всей поверхности крыла.
Этот способ позволит легко рассчитывать крылья не только с малымиг
но и с очень малыми удлинениями.
26. КРЫЛО, ЗАМЕНЕННОЕ ТОНКИМ ВИХРЕВЫМ СЛОЕМ
До сих пор мы приближенно рассматривали несущую поверхность
крыла как несущую линию, которую мы представляли в виде вихревого
шнура с меняющимся вдоль размаха напряжением. В любой точке раз-
размаха это изменение равно напряжению свободных вихрей, сбегающих
с крыла в этой точке. Такое упрощающее предположение вполне допу-
допустимо, если удлинение (т. е. отношение размаха к средней хорде), доста-
достаточно велико; поэтому результаты, полученные на основе этого предпо-
предположения, подтверждаются опытом. Однако в действительности несущие
вихри распределены по поверхности крыла (верхней и нижней) в соответст-
соответствии с условиями обтекания.
26.1. Постановка задачи
Предположим, что толщина крыла очень мала; мы можем представить
тогда крыло в виде тонкого вихревого слоя такой же формы в плане, как
и крыло, причем сечением такого слоя будет скелет действительного про-
профиля. Распределение вихревого напряжения по поверхности и направ-
направлений вихрей весьма сложно. Поэтому решить эту задачу можно только
с некоторым приближением, вводя упрощающие предположения.
Предположим, например, что при большом отношении размаха к хорде
присоединенные вихри простираются от одного конца к другому в виде
элементарных вихревых нитей с напряжением *[dx, где f зависит от х и
291
от у. Для вычисления индуцированных скоростей можно пренебречь кри-
кривизной этих нитей и рассматривать их как прямолинейные.
При этом мы неявно допускаем, что крыло имеет приблизительно
прямоугольную форму. Это предположение может быть реализовано,
если мы будем рассматривать пря-
прямоугольник с площадью cQb, где
с0 — центральная хорда (фиг. 26.1, а),
или прямоугольник с площадью
cmb, где ст — осредненная хорда
(фиг. 26.1, б). В первом случзГе
напряжение f вне крыла, но внут-
внутри прямоугольника cob равно ну-
нулю, во втором случае оно распре-
распределено непрерывно от одного конца
к другому и отлично от нуля.
Предположение второе обладает
тем недостатком, что его трудно
применить н крыльям с малым
удлинением, тогда как первое предположение является в этом отношении
более точным. Однако задачу с малыми удлинениями мы будем исследо-
исследовать другим путем, для больших же удлинений буДем пользоваться спо-
способом среднего прямоугольника, как показано на фиг. 26,1, б. При этом
крыло заменяется слоем почти прямолинейных вихрей. В каждой точке
этих вихревых нитей с них сбегает в направлении оси Ох свободный
вихрь (фиг. 26.2) с напряжением
— -—dxdy. B6.1)
Таким образом, вихревая нить ^k dx играет роль элементарного крыла
с очень большим удлинением. В любом сечении CD сумма элементарных
напряжений вдоль хорды этого сечения равна полной циркуляции
B6.2)
а полное напряжение полоски свободных вихрей, сбегающих в этом се-
сечении с крыла, считая от передней до задней кромки, выражается интег-
интегралом
B6.3)
В общем схема обтекания крыла приблизительно такова:
а) тонкий вихревой слой одинакового контура с крылом, сохраняю-
сохраняющий неизменным свое положение (т. е. неподвижный), представляет собой
систему так называемых присоединенных вихрей;
292
б) свободные вихри, отделяющиеся от этого слоя в каждой точке и
параллельные скорости общего потока в этой точке, образуют пелену,
простирающуюся в бесконечность вниз по течению;
в) к течению, обусловленному указанными вихрями, присоединяется
главный поток, движущийся со скоростью Vq.
Фиг. 26.2
Для уточнения этой схемы требовалось бы учитывать еще и толщину
крыла, т. е. распределение вихревых нитей по высоте. Однако при этом
задача становится практически не разрешимой из-за осложнений, воз-
возникающих при вычислении индуцированных скоростей. Поэтому мы не
учитываем толщины, и это упрощение позволяет найти достаточно строгое
решение задачи.
Пусть, в самом деле, дана некоторая произвольная точка крыла Р с
координатами х, у. (Так как кривизна профилей — величина второго
порядка по отношению к величине, обратной хорде, то подъем поверх-
поверхности, или высота, Z будет тоже величиной второго порядка сравни-
сравнительно с х и у.) Индуцированная скорость в этой точке, которую по-
прежнему мы полагаем малой по сравнению с главной скоростью потока
VQ, разлагается по осям на компоненты и, v, w. Если ось Ох парал-
параллельна главному потоку, то компоненты полной скорости будут соответ-
соответственно
U = Vo + и, г, w. B6.4)
Скорости и и v весьма мало влияют на аэродинамическую результи-
результирующую, компонента же w является важным фактором, воздействующим
на распределение эффективного угла атакп вдоль размаха, и поэтому
оказывает на аэродинамическую результирующую непосредственное вли-
влияние. Предположим, что нам известна эта скорость w в точке Р(х, уг
293
Z = 0), лежащей на поверхности крыла. Тогда угол результирующей
скорости с главной скоростью потока определяется соотношением
. t W . /л^ ^\
Угол этот рфвен углу, который касательная к профилю в точке Р
образует с осью Ох.
Обозначим через Z подъем поверхности над плоскостью хОу, т. е.
ее высоту. Тогда
3Z
"дх
X'
Фиг 26.3
B6.6)
По отношению к оси Ох',
параллельной хорде (фиг.
26.3), получим
£-■*+•• B6Л)
В общем это та же задача, что и при плоском движении около
тонких профилей A1.9), но индуцированная скорость w создается здесь
более сложной системой вихрей, именно:
а) присоединенными вихрями, рассматриваемыми
приближенно как прямолинейные в случае прямых крыльев с большим
удлинением (это упрощающее предположение можно, впрочем, распростра-
распространить и на малые удлинения) (фиг. 26.1);
б) свободными вихрями, отделяющимися от крыла в
каждом сечении начиная с передней и далее до задней кромки,
параллельными скорости потока и простирающимися в
вниз по течению.
Разумеется, присоединенные и
свободные вихри связаны между
собой на поверхности крыла не-
непрерывно и образуют кривые без
точек излома, но трудности вычи-
вычисления не позволяют нам рассмат-
рассматривать распределение вихревых
нитей в том виде, в каком оно
осуществляется в действительно-
действительности. Их расположение в виде
подковы, как указывалось выше,
является упрощающей схемой.
В случае очень неправильных
бесконечность
Фиг. 26.4
контуров такое упрощение было бы
недопустимым. Например, в случае стреловидных крыльев расположение
присоединенных вихрей иное (фиг. 26,4).
В общем случае мы будем учитывать индуцированные скорости и>
v, w и граничные условия будут выражены уравнениями, обеспечиваю-
294
щими параллельность между скоростью и поверхностью крыла, а также
между свободным или присоединенным вихрем и этой поверхностью.
Если попрежнему обозначить через Z подъем поверхности крыла,
который измеряется ее высотой над плоскостью хОу, т^ условия эти вы-
выражаются равенствами
/ТГ f \ Об , Oil ~ \
^° ~г U'~dx "» V~dy~~ W~U ^
,dZ dZ __ , I
B6.8)
где X, [x, v — проекции вихря £i.
Заметив, что и, v весьма малы и что можно пренебречь также вели-
« dZ „
чиной -^— так как Z почти не изменяется вдоль размаха, мы придем к
уравнению B6.6), рассмотренному нами в самом начале, когда мы исхо-
исходили из упрощающих предположений.
26. 2. Вычисление индуцированных скоростей.
Вернемся к уравнению B6.6). Задача заключается в вычислении w
по прямоугольному расположению вихревой системы, как показано на
фиг. 26.5. Обозначим через £, ч\ координаты точки Р на поверхности
Фиг. 26.5
крыла (С ~ 0), через х — расстояние прямолинейного присоединенного
вихря т dx от оси Оуу через у — расстояние до оси Ох пучка свободных
вихрей, сбегающих с крыла в сечении у от передней до задней кромки.
Напряжение элемента пучка, сбегающего в точке (х, у), равно
а полное напряжение пучка, образующегося от передней кромки до
точки с абсциссой х, равно
B6.9)
295
и на всем сечении г/, как мы указывали выше B6.3), равно
с
т- dy = — dy\ -^- dx. B6.10)
dy * л ду ч '
о
По этой схеме (см. фиг. 26.5) индуцированная скорость может быть
легко вычислена при помощи формулы Био-Савара. Скорость эта со-
составляется из двух членов: w1 и w2, которые выводятся следующим об-
образом.
1. Первый член обусловлен присоединенными вихрями, параллельными
размаху. Элементарная вихревая нить, расположенная на расстоянии х
от передней кромки, имеет напряжение ^dx, причем ^ изменяется вдоль
размаха. Элементарная скорость в точке P(s, tj) дается следующей фор-
формулой (см. фиг. 26.5):
А А
dw±= 4^7=g \ тsin v dv= - 4^r \ uxllf+d-wp*' B6Л1)
В В
откуда, беря интеграл по всей хорде, получим полную индуцированную
скорость
С А С А
wi == х~ \ =Wsinvav=— т—\\ L-1-; —гг • (ib.lz)
о в о в^ ' ' ^
Если размах достаточно велик по сравнению с хордой и точка Р рас-
расположена достаточно далеко от концов А и В, можно взять для f сред-
ее значение, и предыдущий интеграл B6.12) примет вид
о
Однако вблизи концов Л к В формула эта перестает быть верной
даже для крыльев с большим размахом, и скорость в этих точках умень-
уменьшается больше чем наполовину по сравнению с ее значением в центре»
При малых же удлинениях влияние концов сказывается во всех точках
крыла; поэтому необходимо строгое применение формулы B6.12).
2. Второй член обусловлен свободными вихрями, перпендикулярными
к размаху, которые сбегают с точки поверхности крыла и простираются
в бесконечность вниз по течению.
Если мы будем рассматривать присоединенную вихревую трубку f dxt
то в точке (х, у) от нее отделяется элементарная полоска — dx -?-dy\ ско-
скорость, индуцированная в точке P(i, у}) пучком полосок, отделившихся
в сечении у (фиг. 26.5), определяется равенством
du;a= ^—^- ? |3L A — sin v) rfa: =
2 4л: у — т] J ду v ;
о
= ±-^-[^ Г1- х~г 1 dx. B6.14)
296
Следовательно, полная скорость
1= C^L
2 4тт iy — 7]
о
Вследствие изменения f как функции от я и у выражение для w2
весьма сложно; при этом выполнить интегрирование B6.15) очень трудно.
Для специальных задач, которые мы рассмотрим ниже, можно предполо-
предположить для упрощения, что f распределено равномерно вдоль хорды.
Тогда можно написать
с с
sin v dx= (у — тЛ \ ъ— == -—- = — —.— = — (г0 — г ), B6.16)
vy и J coo3v Vcosvyo vsinv/o с
о
и интеграл B6.15) сводится к более простому выражению
COS Tc ' С \COSTo COSTC/J dy у — 7]
A
+ r-^-^-)^. J*-9 B6.17)
С J dy у 7]
Приняв гипотезу о несущей линии, получим выражение, найденное
уже раньше:
1 tlL.^_. B6.18)
Полная скорость в точке P(S, т}), удовлетворяющая соотношению
B6.6) или B6.7), окончательно определяется равенством
о J5
С А
1_ Г Г
о в
С А
Э-. l К \ J 7..
B6.19)
Несмотря на упрощенную схему (фиг. 26.5), вычисление скорости по
этой формуле очень сложно. Упрощение, которое дает формула Кармана
297
и Бюргерса
В о
о
снова приводит задачу к классической теории несущей линии.
26. 3. Применение к прямоугольным крыльям.
Метод Бленка [1]
Рассматривая формулу изменения циркуляции в зависимости от г/,
предложенную Бетцом, Бленк исходит из выражения
/H?f|(%)"• B6-21>
где
«„ -
Ь. /Н^У+ С (=■ - *) |/f(^D" B6.22)
и п — целое положительное число. Затем он вычисляет скорость, инду-
индуцированную в точке P(i, 7]), и вводит значение этой скорости в выраже-
выражение B6.7), где х' заменяется на текущую переменную х, причем ось Ох
направлена вдоль хорды профиля:
— — -4- — B(к 23)
В качестве применения он берет профиль «Гетинген 389» и опреде-
определяет его скелет известными способами, что позволяет вычислить ^—
в каждой точке. Ставя условие, чтобы уравнение B6.23) удовлетворя-
удовлетворялось в шести точках
у=Ъ_ . = 36. х== ± . х =
и беря для п значения п = О и п = 2, находим шесть уравнений с шестью
неизвестными а0, Ьо, с0, а2, Ь2, с2, зависящими от угла атаки а. Этим
определяется подъемная сила Сг и индуктивное сопротивление Сх%.
Для прямоугольных крыльев с удлинениями Х = 6; 4; 2 получаем
такие же аэродинамические характеристики, какие дает метод Прандтля
(метод несущей линии), но для X <[ 2 результаты перестают быть иден-
идентичными, и в этом случае метод Бленка дает возможность более точного
вычисления.
Бленк при помощи своего метода исследовал также и другие крылья,
кроме прямоугольного, расположенного перпендикулярно к направлению
движения: например, крылья в виде параллелограма или прямоугольника,
отклоняющиеся на угол 8 (фиг. 26.6,6 и в), стреловидное крыло (фиг. 26.6, г)
и др. Ниже мы вернемся к этим случаям, применяя к ним метод, более
простой, быстрее приводящий к результатам и дающий общие формулы.
298
Замечание. Распределение циркуляции в каждом сечении вдоль
хорды, которое дает уравнение B6.21), является частным случаем об-
общего соотношения A1.11), приведенного в разделе 11. Действительно,
считая ось Ох направленной от передней кромки к задней, а не наоборот,
как в упомянутом разделе, можно написать
я=~A +cos6).
B6.25)
Подставляя это значение х в выражение B6.22),получим разложение
у.п как функции от 6:
*п = ап tg -j- + -у sin 6 + -^ sin 26.
B6.26)
26.4. Прямоугольные крылья с небольшим удлинением
Выше было указано, что теория Прандтля, основанная на представ-
представлении о несущей линии, не дает удовлетворительных результатов для
крыльев с малыми удлинениями. Поэтому, чтобы получить результаты,
более согласные с опытом, необходимо учитывать распределение вихрей
по поверхности.
Здесь также метод Бленка дает возможность найти приближенное
решение задачи, если принять для распределения циркуляции следующее
простое выражение, получаемое из B6.21):
Подставляя это значение i в выражение B6.19) для скорости, полу-
чшм эллиптические интегралы, которые почти не поддаются эффективно-
эффективному представлению. Бленк обошел это препятствие, прибегнув к прибли-
приближенному интегрированию выражения B6.19). Интегрируя это выражение
по у, он получает равенство
x—Z)], B6.28)
299
где коэффициенты А, В. . . являются функциями от Y]:
B6.29)
Подставляя вместо к0 ее значение, указанное выше B6.27), и интегри-
интегрируя по х, получим окончательно скорость w, которая должна удовлетво-
удовлетворять соотношению B6.23).
Таким способом мы находим, что поток искривляется и подвергается
новому отклонению, причем соответствующий индуцированный угол
атаки (сверх получаемого по теории несущей линии Прандтля) и радиус
кривизны даются формулами
Да = 0,059 ^ ; Д (~-) = 0,056 \ . B6.30)
Следует отметить, что этот довольно сложный, но остроумный метод
оставляет не определенными значения скорости у концов крыла, и поэтому
возникают сомнения относительно полученного значения добавочного
угла атаки B6.30), которое представляется нам несколько завышенным.
26.5. Крылья с очень малым удлинением.
Предыдущие результаты, полученные методом Б ленка, не применимы
к крыльям с очень малыми удлинениями, так как явления здесь более
сложны и не подчиняются элементарной теории несущей линии. Учесть
все эти явления очень трудно, поэтому, чтобы найти решение задачи, надо
свести ее к упрощенной схеме, более или менее приближающейся к дей-
действительности и вместе с тем легко доступной для математического анализа.
На этом пути В. Боллей [2], например, исходит из предположения,
что присоединенные вихри с напряжением 7> постоянным вдоль всего
размаха, простираются параллельно размаху от одного края до другого.
Пусть ydx — вихревая полоска, образующая подкову CCDD' (фиг. 26.7)
со стороной CD, прислоненной к крылу и представляющей присоеди-
присоединенный вихрь, и сторонами СС и DD', представляющими свободные
вихри, сбегающие с краев и простирающиеся в бесконечность позади
крыла (фиг. 26.7) параллельно местной скорости в каждой точке. Угол а,
который свободные вихри образуют с плоскостью крыла, меняется вдоль
хорды и, следовательно, отличается от угла атаки ос. Это обстоятельство
очень осложняет вычисление индуцированной скорости, но, чтобы упро~
стить операции, можно взять средний угол.
Полученная таким образом упрощенная схема не позволяет, однаког
вычислить индуцированную скорость у концов, где она становится беско-
бесконечной. Поэтому надо предположить, что система вихрей, образующая
300
цодкову, которою мы заменили крыло, эквивалентна действительной
системе в отношении средней скорости, за которую мы принимаем ско-
скорость в точках средней линии Ох. Следовательно, элементарная скорость
Фиг. 26.7
в точке P(q, 0, 0) на оси Ох, индуцированная полоской
ся по формуле Био-Савара:
7 1 у dx п г^тл
dw1 = - —- 2 cos PCD =
1 4тт х — ^
откуда, интегрируя по всей хорде, получим
, определяет-
B6.31)
dx
B6.32)
"с (г-5I/ (х-Ц)* + "т
vT ' 4'.
Полоска свободных вихрей СС дает элементарную скорость, перпен-
перпендикулярную к плоскости РСС', определяемую согласно фиг. 26.7 сле-
следующим выражением:
у dx
(х - 5J Sin^ а
1 —
(х — $) cos a
B6.33)
Компонента по PN, нормальная к плоскости CCDD' свободных
вихрей, имеет величину
2
у (х— 5Jsin2c -Ь-у-
B6.34)
301
а ее компонента, перпендикулярная к плоскости крыла,
С1Щ = COS О dVt = — gjj-
у cos a dx
В результате, принимая во внимание и другую полоску DDr9 которая
индуцирует точно такую же компоненту, перпендикулярную к плоскости
крыла, получим, распространяя интеграл на всю хорду,
2
4тс )
у cos adx
(х — Ъ) sin2 a +
__ Г (*-S)cosa I
Так как скорость на плоскости должна касаться поверхности, то
нормальные скорости, обусловленные соответственно главным потоком
(Fosina) и вихревой системой, замещающей крыло (г^ + ^г)» имеют
результирующую, равную нулю. Следовательно,
w1 + w2 = — Vo sin a, B6.37)
откуда получаем интегро-дифференциальное уравнение
±
4ти
y'cos a dx
1 —
(х — £) coscr
0,80
O.SO
0,40
OJO
О
4тс J
у dx
B6.38)
A-t/30
/
/
/
———
У
у
С этим уравнением трудно опери-
оперировать из-за изменения т» с одной
стороны, а с другой — из-за взаимо-
взаимозависимости между а и f- Поэтому
Боллей принимает для 7 распределе-
распределение в виде
■V
ч±
B6.39)
О Ю°
20° 30°
Фиг. 26.8
2Г
и производит вычисления (весьма
длинные), беря для а среднее значе-
значение.
Несмотря на упрощения, посред-
посредством которых реальные явления
сводятся к элементарной схеме, по-
полученные результаты очень интересны, как это видно из графика —
фиг. 26.8, где сопоставлены результаты опытов Винтера с теорией Бол-
302
лея: через Сп обозначен коэффициент компоненты, нормальной к плос-
плоскости крыла:
Сп = 4 Fn . B6.40)
При удлинении ^=-30 экспериментальные значения Сп (точки) хорошо
ложатся на теоретическую кривую, показывающую зависимость Сп от
угла атаки а.
В связи с этим надо отметить работу Голубева [8], разработавшего
теорию, основанную на более практической и наглядной схеме. Вероятно,
предложенная им упрощающая схема получит далее математическое раз-
развитие, соответствующее анализу такого сложного явления, тем более что
полученные до сих пор результаты хорошо согласуются с опытом1.
27. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА ПРИ ОБТЕКАНИИ КРЫЛЬЕВ КОНЕЧНОГО
РАЗМАХА
До сих пор задачи, относящиеся к крыльям конечного размаха, изу-
изучались нами на основании теории вихрей, которые мы рассматривали об-
образующими несущую линию или распределенными по поверхности. Не-
Непосредственно обтекания крыла трехмерным потоком мы не рассматри-
рассматривали ввиду непреодолимых трудностей, стоящих на пути к решению таких
задач. Однако попытки некоторых авторов продвинуться в этом направле-
направлении, несмотря на трудоемкость и сложность вычислений, привели к кон-
конкретным и весьма интересным результатам, которые мы изложим здесь
вкратце.
27.1. Постановка задачи
Пусть V — скорость в некоторой точке пространства. Положим
V=Vu + v, B7.1)
где Fo— скорость потока, a v — добавочная скорость, обусловленная
присутствием крыла. Обозначим через и, v> w проекции v на оси Ох,
Оу, Oz и будем считать ось Ох направленной в сторону, противополож-
противоположную движению потока. Тогда компоненты полной скорости будут
— Fo + B, v,w. B7.2)
Предположим далее, что скорость v мала по сравнению с Fo. В этом
случае первое уравнение движения, если пренебрегать весом воздуха,
приводится к следующему простому виду:
Вне крыла и вихревой пелены движение не вихревое; следовательно,
1 Теории крыла малого удлинения посвящены также работы В. В. Голубева [15]и[16].
303
существует потенциал <р, т. е.
V = grad z
и уравнение B7.3) принимает вид
- dV rr д
(grad <р) = — grad (vo ||-j = — grad Ф,
где функция
"" * ° дх
B7.4)
B7.5)
B7.6)
представляет собой потенциал ускорений. Легко заметить, что потен-
потенциал Ф удовлетворяет уравнению Лапласа
С другой стороны, на основании B7.3) получим
6 Ж = Й«и* Ф = —grad p,
откуда следует
B7.7)
B7.8)
B7.9)
где /?0 — постоянная, которую
мы примем равной значению
давления в бесконечности.
Таким образом, если нам
известен потенциал Ф в каждой
точке, мы будем также знать и
значение давления, а следова-
следовательно, также силы и моменты.
В самом" деле, если мы пред-
предположим для упрощения, что
крыло обладает очень малой
толщиной и может быть рас-
рассматриваемо как тонкая поверх-
поверхность, и обозначим через ре, Фе
значения давления и потенциала на верхней стороне крыла, а через pi,
Фг — то же на нижней стороне крыла, то получим для подъемной силы и
момента следующие соотношения:
B7.10)
М = р ^Х {Pi — Ре)
р J Ж (Фг —
Для индуктивного сопротивления, обозначив через w компоненту
индуцированной скорости по оси Oz (фиг. 27.1), получим
&,_Фв) "AS. B7.11)
304
Остается определить iv, которая легко выводится из равенства B7.6):
дФ т/ д ( дер \ т/ д [ дер \ т/ dw
так как w = О при #=оо, то отсюда следует, что
Таким образом, задача сводится к нахождению потенциала ускоре-
ускорений, который мы обозначили символом Ф и который является гармони-
гармонической функцией.
27.2. Применение к круглому крылу
Весьма остроумен способ, при помощи которого В. Киннер [10]
решает эту задачу; метод этот основан на замене переменныхг. От декар-
декартовых координат x,y,z автор переходит к другим переменным X, [x,v,
определяемым равенствами
х = а 1 [ У + |
/Г=^/ГТ^ B7.13)
J
где а — радиус изучаемого кругового контура.
Таким образом, три ортогональные координатные плоскости — хОу,
yOz, zOx — заменяются тремя другими поверхностями: гиперболоидом
вращения (fx = const), эллипсоидом вращения (v = const) и плоскостью,
проходящей через Oz (X = const).
Для всякой точки (х, у, z) пространства новые переменные заключены
в следующих пределах:
—1<|*<1; 0<v<oo; 0<Х<2тс.
Искомый нами потенциал Ф должен удовлетворять уравнению Лапласа
B7.7); очевидно, что в новых переменных это уравнение принимает вид
Несомненно, найти решение уравнения Лапласа в этом виде
трудно, тем не менее после длинных вычислений приходим к конкретным
решениям. Выражая коэффициенты подъемной силы, момента и сопро-
сопротивления в зависимости от тангенса угла атаки, и обозначая через xv
1 Совершенно отличный метод изучения теории круглого крыла был применен
Н. Кочиным [4, 5, 6]. Глубокие исследования Н. Кочина, дающие в законченном
виде решение задач о поступательном, прямолинейном, равномерном движении и
об установившихся колебаниях круглого крыла, автором настоящей книги не
рассматриваются.
305
абсциссу центра давлений, получаем для плоского крыла следующие
результаты:
Cz = l,82tga; Cw = 0,44tga; Cxi = 0,82 tg2a;
xv = 0,515; a = 0,26c0,
B7.15)
где с0 = 2 а — центральная хорда круглого крыла.
В случае тонкой пластинки передняя кромка теоретически является
местом подсасывания, и благодаря подсасыванию к индуктивному сопро-
сопротивлению прибавляется величина
Ca:8 = tg2a. B7.16)
Для сравнения ниже даются результаты, полученные на основе теории
несущей линии
Сг = 2,44a; Cm = -j-Ct\ Cxi = ^- = 1,49a2. B7.17)
Результаты расходятся, и опыт в пределах систематической ошибки
скорее подтверждает последние данные, чем предыдущие результаты
B7.15). Таким образом, налицо существенное расхождение между обоими
методами, и это приводит нас к заключению, что метод, предлагаемый Кин-
нером, весьма изобретательный и изящный по форме, тем не менее не от-
отражает достаточно хорошо действительного явления.
27.3. Применение к эллиптическому крылу
Изложенный нами выше метод Киннера был разработан К. Кринесом
[11], который ввел эллиптические функции Вейерштраса. Несмотря на
встретившиеся трудности и весьма сложные вычисления, которые мы не
будем здесь приводить, автор пришел, однако, к интересным результатам
в отношении эллиптического крыла.
Обозначим через с0 центральную хорду, а через Ъ — размах крыла,
которые одновременно являются осями эллиптического контура; полу-
полученные результаты приведены в табл. 27.1.
Таблица 27.1
Со
Ъ
0,0
0,2
0,5
1,0
2,0
X
оо
6,37
2,55
1,27
а, 64
Cytga
метод Кринеса
2 7Г
4,55
2,99
1,82
0,99
CJ*
метод Прандтля
су
4,77
3,55
2,44
—
От
0,435
0,466
0,242
—
Из табл. 27.1 видно, что метод Кринеса при больших удлинениях
находится в довольно хорошем согласии с теорией Прандтля. При срав-
306
нении с экспериментальными результатами данные теории Прандтля
представляются более убедительными, как это было указано в разделе 20.3.
Приходим к заключению, что метод потенциала в этом виде не яв-
является еще достаточно точным орудием исследования и требует сложных и
длинных вычислений. Следует, однако, отметить, что этим методом можно
пользоваться в случае эллиптического крыла, главная ось которого от-
отклоняется от перпендикулярного положения к направлению движения.
Полученные автором результаты для такого крыла с удлинением X == 6,37
приведены в табл. 27.2, где 8— угол отклонения.
Таблица 27.2
15°
30°
cjtg*
4,16
3,26
0,440
0,439
0,009
0,023
Через С\ мы обозначили коэффициент момента относительно оси Ох
согласно данному раньше определению A9.39).
Принимая во внимание, что для больших удлинений результаты сов-
совпадают с теорией Прандтля и с достаточной точностью подтверждаются
также опытными данными, можно заключить, что и результаты, полу-
полученные для отклоненного эллиптического крыла, удовлетворительно отоб-
отображают действительное положение вещей. Однако в следующем разделе
мы дадим общее исследование этой задачи более простым путем.
28. ТЕОРИЯ СТРЕЛОВИДНЫХ И ОТКЛОНЕННЫХ КРЫЛЬЕВ [3]
В предыдущих разделах было показано, что представление крыла
в виде несущей линии, перпендикулярной к скорости потока, вполне до-
допустимо при удлинениях Х>1, и это подтверждается также результатами
опытов, приведенными в разделе 20. Естественно возникает мысль о при-
применении того же метода к крыльям, средняя линия которых имеет произ-
произвольные форму и положение по отношению к потоку, т. е. несущая ли-
линия не является прямой или не перпендикулярна к скорости.
Однако в этом случае возникает большое затруднение: скорость в
точке несущей линии становится бесконечной.
В самом деле, в точке г\ размаха элементарная скорость, индуциро-
dY ,
ванная полоской — "Т'^у, определяется равенством
йгил = т г- • .—-—, A — sin 8), B8.1)
Х ДТГ fill II f\ ^ '* * '
если
зот
и равенством
, 1 dT
dlV9 = ; г- •
2 4тт dy
dy
A + sino),
B8.2)
если
Для
Двух
dT 7
симметричных полосок одинаковой напряженности
= -т- dr\ получим (фиг. 28.1)
dw =
2 sin
4тт
B8.3)
откуда видно, что индуцированная скорость возрастает беспредельно при
|y_7]| = S-»0.
Предполагая вихри распределенными по поверхности, мы избегаем
этого в действительности не возможного результата, но вычисления ста-
становятся чрезвычайно сложными, и не-
несколько вариантов, рассмотренных
Бленком (см. фиг. 26.6), представляют
особые случаи; мы не имеем возмож-
возможности получить простую формулу для
общего случая, которая была бы удоб-
удобна для практического применения. По-
Поэтому мы прибегнем к смешанному ме-
методу: с одной стороны, будем рассмат-
рассматривать индуцированную скорость в
точках несущей линии, с другой сторо-
стороны, чтобы избежать бесконечного зна-
значения скорости, предположим, что сво-
свободные вихри в любом сечешш сбегают
с крыла последовательно, начиная с пе-
передней кромки и кончая задней кром-
кромкой, т. е. по всей хорде крыла, подчи-
подчиняясь при этом закону, согласованному с распределением присоединен-
присоединенных вихрей. Чтобы упростить вычисления, предположим, что присоеди-
присоединенные вихри распределены по хорде равномерно. И все же, несмотря на
эти упрощения, задача остается сложной. Тем не менее мы попытаемся
установить возможно более простую формулу для индуцированной ско-
скорости, не нарушая при этом строгости вывода.
28.1. Индуцированная скорость
Будем рассматривать среднюю линию крыла как несущую линию и
обозначим через 7 равномерное распределение циркуляции по всей хорде.
Это предположение не нарушает общности задачи, так как прежде всего
нам надо избежать бесконечного значения, принимаемого скоростью по
формуле B8.3), а не искать влияния распределения по хорде, которое
308
Фиг. 28.1
к тому же не имеет существенного значения. При этом следует отметить,
что для современных профилей, называемых ламинарными, это равно-
мерное распределение достаточно близко соответствует действительностиг
по крайней мере на части хорды.
Пусть у\ — рассматриваемое сечение, а Р — точка на несущей линии.
Элементарная скорость, индуцируемая свободными вихрями, сбегающими
вдоль сечения г/, имеет согласно B6.17) следующее выражение:
dw<
= 1 (i i r°~Mrfr *»
B8.4)
(расстояния r0 и rc показаны на фиг. 28.2).
В случае прямой несущей линии (г0 = гс) скорость эта определяется
равенством
у —
B8.5)
Фиг. 28.2
откуда следует выражение для разности индуцированных скоростей
d (iv2 — w±) = dw8= -у- ГЛИИ . ^1 . _^_ B8.6)
которую мы будем рассматривать как добавочную индуцированную
скорость стреловидного крыла по сравнению с прямым крылом того
же удлинения.
Для вычисления г0 — гс заметим сначала, что (см. фиг. 28.2)
sin 8
= г2 + 4 + 2 \ г sin 8 = (г» + -f) Г1 +
sin о
B8.7)
Далее отметим, что значение sin 8 меньше единицы; практически оно
не больше, чем. sin 45°^ 0,71. Отношение-
сг
тоже меньше единицы, за
исключением случая г = -г- , когда это отношение становится равным
единице, достигая своего максимального значения. В связи с этим имеет
309
место равенство
+ "" inb^f^Yi4=f.. B8.8)
, . с ^^
и, следовательно,
или, иначе,
'о "'с г sin 8
B810)
Подставим вместо г его выражение в функции от у — г\
Тогда соотношение B8.10) можно представить в виде
= , B8.12)
(У-У]J . с2
cos2 S 4
откуда согласно B8.6) следует выражение добавочной индуцированной
скорости:
А
L tg* =. ?- dy. B8.13)
К cos2 8+4
Эта формула значительно отличается от формулы Вейнига [12], полу-
полученной иным путем; но обе формулы становятся одинаковыми, если о
мало, и можно считать cos8 = l и sin8^tg8. Вообще же в современных
скоростных самолетах 8 может достигать 35°—45°, и в этом случае такое
допущение неприемлемо.
Замечание. Можно исходить также и из другого распределения
вихревого напряжения f, например, из параболического, следующего
вида:
T==To + Tl-^L + T2-|L. B8.14)
При этом вычисления не представляют затруднений, но сложен резуль-
результат, и это, разумеется, не облегчает решения задачи. Кроме того, не
следует придавать особого значения форме распределения, так как
индуцированная скорость в каждой точке несущей линии обусловлена
310
главным образом общим пучком -z- dy всего сечения и распределение при-
присоединенных вихрей по хорде влияет только на члены второго порядка.
Однако можно учитывать это распределение приближенно следующим
образом.
Возьмем, например, в качестве несущей линии геометрическое место
центров тяжести систем вихрей, распределенных вдоль хорды, и пусть
~ наименьшее расстояние этих центров от одной из кромок — перед-
передней или задней.
В этом случае мы можем предположить, что циркуляция Г распреде-
распределена равномерно по хорде cx<^c\ таким образом, значение сх может
быть подставлено вместо с в формулу B8.13). Если мы, например,
предположим, что распределение циркуляции линейно, с максимальным
значением в передней кромке и с нулевым в задней, то центр тяжести
лежит на трети хорды; следовательно, сх = -^- с. Поэтому мы можем
поставить под знак радикала член
4-=-г- <28-15>
Таким образом, влияние распределения ? по хорде крыла выражается
коэффициентом А2, который влияет на член, содержащий хорду в фор-
формуле B8.13):
28.1.1. Рационализация формулы. В некоторых случаях при прак-
практическом использовании формулы удобнее иметь рациональное выраже-
выражение, при том условии, разумеется, что новая формула будет практически
совпадать в рассматриваемом интервале с точной формулой B8.13).
Положим
и определим kx и k2 способом наименьших квадратов, так, чтобы можно
было пренебречь вторым членом в фигурных скобках. Тогда приближенно
найдем, что
к± - 0,85 и к2 = — 0,04 » 0, B8.18)
откуда следует, что в интервале практического применения
1 1
B8.19)
' 0,85г + 0,5с '
311
Следовательно, выражение добавочной скорости принимает оконча-
окончательно такой вид:
А
)
В
0,85
у —у]
cos 8
+ 0,5с
dT_
dy
dy.
B8.20)
28.2. Стреловидное или отклоненное крыло, замененное прямым крылом
с переменным углом атаки
Вернемся к выражению B8.13) добавочной индуцированной скорости.
Соответствующий индуцированный угол
is = ^ B8.21)
будем рассматривать как кручение прямого крыла, чтобы было обеспе-
обеспечено точное соответствие условиям стреловидного крыла.
Для решения задачи надо применить к прямому крылу с таким же
удлинением формулы, соответствующие изменению угла атаки вдоль
размаха. Однако большие трудности представляет интеграл
tg8
dT
o£j/(,-
B8.22)
значение которого может быть получено только приближенными спо-
способами.
Один из таких способов заключается в том, что циркуляцию и хорду
считают постоянными вдоль размаха и поэтому заменяют вихревую
пелену двумя краевыми вихрями со средним напряжением Гт, а хорду
заменяют средней величиной ст. В этом случае выражение добавочного
индуцированного угла принимает окончательно вид
у
[У — Ч? , ст
cos2 8 "*" 4
g-^2 , с2т i/i
юз»8а "^4 V
cos28b ' 4 J
B8.23)
где oa и оь — значения, принимаемые углом 8 на концах А и В
(фиг. 28.3).
Обычные крылья, вообще говоря, симметричны; следовательно, можно
положить
1
1
B8.24)
312
Беря далее для Г разложение A6.8) по sin пв, где п нечетно, находим
B8.25)
Окончательно получаем для добавочного угла атаки следующую
формулу:
tg^a tgSb
Г
cos2Sa
Примечание. В случае от-
отклоненных прямых крыльев оче-
очевидно, что, кроме нечетных чле-
членов (п = 2р -\г 1) разложения Г
A6.8), имеются еще четные члены
(п = 2/?), соответствующие анти-
антисимметричному распределению цир-
циркуляции.
Для нечетных членов добавоч-
добавочный угол атаки is дается той же
формулой B8.26). Влиянием чет-
четных членов можно пренебречь, но
ниже мы вычислим для них соот-
соответствующий добавочный угол ата-
ни (П.
B8.26)
Фиг. 28.3
28.3. Применение к отклоненным крыльям
Очевидно (см. фиг. 28.4 и фиг. 28.5), что 8а и 8Ь в формуле B8.26)
определяются равенствами
8а = 8; 8Ь = * + 8. B8.27)
Полагая
А Ь 1
ст cos 8
B8.28)
и подставляя в равенство B8.26) вместо tj его выражение в функции
от б (т) = 2~ cos 6), получим
1 1 1
1 Г
— АгА sin о ■
Vl + Л2 A + cos 0J Vl -f Л2 A — cos 0J J '
B8.29)
Разложение этого выражения в ряд Фурье было бы довольно длинной
процедурой, поэтому мы представим его простым тригонометрическим
313
многочленом. Заметим, что выражение в скобках может быть достаточно
точно представлено в видег
1 1 =
У1 + Л2 A -f cos бJ Vl + Л2 A — cos 0J
3 3 3
= _1,54 УХ (У1 + cos6 — у 1—cos 6) + @,312Л — 0,01Л2) cos в. B8.30)
При этом имеем
з з
У1 + cos 6 — У\ — cos в =
= 2 [-L cos 6 + ^-cos3 в + ||cos5 6 + . . .] ж
ж 2 @,40 cos в + 0,025 cos 36 + 0,0019 cos 58 + ...)« 0,8 cos 6. B8.31)
Вместо B8.29) можно написать окончательно
i8 sin 0 ж
4 3 —
да -j- Ailx sin 8 @,156Л — 0,005А2 — 0,616 У A) sin 26 = i2 sin 26. B8.32)
Обозначим теперь через Г8 добавочную циркуляцию, возникающую
из-за изменения угла атаки
Ts = 2bV0 {a2 sin 26 + а4 sin 46 + . . . + a2V sin 2рЪ). B8.33)
Коэффициенты а2, а4. . . а2р легко определяются при помощи уравне-
уравнений B2.4). Так, например, главный член дается выражением
где [х0, Ро, ?2» ?4 — геометрические характеристики крыла, уже определен-
определенные в предыдущих главах. Другие коэффициенты, а4» ав • • • находятся
легко, но они малы по сравнению с главным членом.
28.3.1. Геометрические соображения об отклоненных крыльях.
Выведенные выше формулы относятся к теоретическому отклоненному
крылу, которое получается из прямого крыла прямолинейным переносом
каждого профиля, пропорционально величине у (фиг. 28.4). Сечения,
параллельные потоку (перпендикулярные к Оу), дают на отклоненном
крыле те же профили, что и на прямом, одинаково также и изменение
хорды в зависимости от у. Размах Ъ крыла, встречавшийся в наших
формулах, является проекцией действительного размаха, который мы
обозначим через Ъ''.
1 Если х изменяется от нуля до 20, выражение может быть удовле-
V 1 +х2
j[ 3
творите л ьно представлено следующим многочленом: - = 2,1—1,54]/~# +
У 1 -fca:2
+ 0,156а; — 0,0025х2.
314
Но этот идеальный случай не встречается в обычной практике,
поэтому практически мы должны рассматривать отклонение как поворот
крыла на угол о (фиг. 28.5 и 28.6). Отсюда вытекают следующие обстоя-
обстоятельства.
Фиг. 28.4
1. Сечения, проведенные параллельно потоку, дают профили, отлич-
отличные от профилей крыла в его первоначальном положении.
2. Сечения + у и —у у некоторых крыльев, например, у эллипти-
эллиптического крыла (фиг. 28.6), неидентичны, так же как и заштрихованные
части прямоугольного кры-
крыла (см. фиг. 28.5); однако
приближенно считают, что
изменение хорды симмет-
симметрично относительно на-
направления потока.
3. Кажущийся размах
b не всегда является точ-
точной проекцией действитель-
действительного размаха 6', как это
видно из [фиг. 28.5, но
обычно его берут попросту,
без оговорок, совпадающим
с этой проекцией.
4. Угол атаки сущест-
существенно изменяется. Если а'— угол атаки некоторого прямого сечения
(s1) относительно скорости потока в плоскости этого сечения, то угол
атаки а соответствующего сечения s относительно нового направления по-
потока дается (фиг. 28.7) соотношением
а = а' cos о. B8.35)
315
На основании этих геометрических соображений мы можем написать
равенства
с' = с cos о; ст = ст cos 8; b=bf cos о, B8.36)
откуда следует, что
A = ±. i
Cm
cos S
-1— cos 8 = Xr"coso,
B8.а7)
где Xr — действительное удлинение крыла.
Z
Далее получим
к _£o_
2 ' b
Фиг. 28.7
1
cos2
о cos2
B8.38)
где ц'—коэффициент действР1тельного крыла.
Коэффициент^4ь входящий в предыдущие формулы, также отличен от
Ai, соответствующего прямому крылу. В самом деле, мы легко найдем
из первой формулы A8.5), что
Р0-Р2-
(Р2-Р4J
cos2
+ 1
cos 8
a .
B8.39)
Остальные члены получим путем замены в A8.5) [х0 на —г$ и а
на ос' cos 8.
28.3. 2. Влияние антисимметричных членов. Для вычисления инте-
интеграла B8.22) мы рассматривали выше симметричную циркуляцию и
получили четные члены, соответствующие антисимметричному изменению
дополнительной циркуляции: 2bV0 (a2 sin 26 + «4 s^n 46 + • • • +^2Р sin 2/?6).
Члены эти, в свою очередь, дают добавочный угол атаки i89 который сим-
симметричен и изменяет коэффициенты Аъ А3, .. . , ^2p+i первоначальной
симметричной циркуляции. Однако изменение это незначительно для
коэффициента А1у входящего в предыдущие формулы.
316
Чтобы показать это, вычислим приближенно изменение коэффициен-
коэффициентов А1У . . ., А2р±ъ которое мы будем обозначать соответствующими адди-
аддитивными членами аъ а3, . . ., а2р-н-
Для этого рассмотрим линейное антисимметричное изменение
Га5 = Тт), B8.40)
причем мы определим f, пред-
предполагая, что среднее напряже-
напряжение циркуляции на полураз-
полуразмахе крыла (фиг. 28.8) равно
•среднему напряжению действи-
действительного распределения цирку-
циркуляции, которое мы задаем, ог-
ограничиваясь двумя первыми чле-
членами [2bV0 (a2 sin 20 + a4 sin 46)]:
Фиг. 28.8
У
= 2bV0 -|- ^ (a2 sin 26 + a4 sin 46) sin 6 M = bWQ (-Laa+jg a\. B8.41)
Отсюда следует
16
Т
16
Т
B8-42)
где вместо а4 стоит его приближенное выражение в функции от а2,
выведенное из общих соотношений:
пл tt
+ %
a2.
B8.42')
Если приписать циркуляции линейное изменение, то интеграл B8.22)
для линейной части принимает последовательно вид
_
4
4тг70
Y !
4
b
2
Y tg S Г
^ A/
-(■*-+')+
«v. Ну1
COS2 S '
[/D—
hAl(i+i
c2
4
v 4- —— соч2 8
^OS 6J +
+ Л A +cos 6I Г]/1 + Л2 A — cos бJ + Л A — cos 6I }
B8.43)
317
С другой стороны, для краевых сосредоточенных вихрей в А и В
найдем посредством рассуждения, аналогичного предыдущему случаю,
У sin s Г Л , л 1 B8.44>
-Г
4ttF0 L Vl + Л2 A + cos 0J Vl + Л2 A — cos 0J
Складывая B8.43) и B8.44), получим добавочный угол атаки i's,
который симметричен. Среднее значение этого угла очень мало. В самом
деле, если среднее действительное удлинение равно Хт = 6 и 8 ^ 30°, та
добавочный угол атаки имеет среднее значение порядка 0,01^, т. е.
столь малое, что его можно не учитывать. Поэтому мы можем пренебре-
пренебрегать влиянием антисимметричного распределения циркуляции на рас-
распределение подъемной силы.
28.3. 3. Пример вычисления. Чтобы проверить результаты, конкре-
конкретизированные в формулах B8.32) и B8.34), простых и общих, мы возьмем
в качестве примера прямоугольное крыло с действительным удлинением
Хг = 6 и с отклонением 8 = 0,5. Элементарные вычисления приводят к
результату
а2=— 0,0575 Аъ B8.45)
который почти одинаков с результатом, полученным Бленком при помощи
его метода:
а2 = —0,057 Ах.
28.4. Применение к стреловидным крыльям
Случай этот очень важен для построения современных скоростных
самолетов. В самом деле, благодаря стреловидной форме избегается по
х
Фиг. 28.9
возможности возникновение сверхзвуковых скоростей на верхней стороне
крыла и этим уменьшается лобовое сопротивление.
Пусть 8 — угол стрелы; из фиг. 28.9 видно, что
Од ^^ О О5 = ТС — 6 • у£о.*±0)
318
Из формулы B8.26), полагая попрежнему tj = o"~cos Q получим
i. = 4-ЫхГ „ tgS + tg§/ I, B8.47)
4 Ч П + Л* A + cos вJ Г1 + Л'2 A — cos 0J J V '
+
+ Л* A + cos вJ Г1 + Л'2 A — cos 0J
где
А = -i^-, А' = ~^V . B8.48)
cos 8 ' cos 8' v '
Далее имеем
tg У = *=*- = -§—\ 8 = J±^J- tg 8. B8.49)
Следовательно,
[1 + cos 6 -i
1 + 1~cos6 - .
Kl+A2(l + cos0J 1^1+Л'*A — cos6JJ
1 + cos 6
B8.50)
Это соотношение справедливо для б, изменяющегося в пределах от
-^- до те, т. е. для правой части крыла. Для левой части F изменяется
от нуля до -т>-] посредством простого рассуждения получим следующую
формулу:
I — cos 6 j
1 B8.51)
II — cos 6 -j
1 + cos6 ■ + 1 .
l^l+A/2(l + cos0J Kl + A2(l —cos0JJ
В первой формуле преимущественное влияние на результат оказывает
первый член (cos6<;0), во второй формуле превалирует второй член
(cos6>0); следовательно, значение А преимущественно влияет на ре-
результат. При этих условиях можно положить
и добавочный индуцированный угол дается только одной формулой:
6 -L-,1 B8-53)
— cos 0JJ 1 + I cos 0 | v >
Отметим снова, что для х, лежащего в пределах от нуля до 20, мож-
можно написать соотношение
\ 3 -
2,1 — 1,54 Ух + 0,156я — 0,0025л:2 + • • • B8.54)
V1 + х2
С другой стороны, можно принять приближенно
3 3
]Л + cos 6 + ]Л — cos 6 да 1,7 — 0,3 cos 26. B8.55)
319
По формуле B8.54) получим
1
■ +
Vl + Л2 A + cos 0J Vl + Л2 A — cos 0J
ж D,2 — 2,78 У"А + 0,312А — 0,0075А*) + @,262 У А —
3 __
— 0,0025А2) cos 26 + 0,03 У A cos 46. B8.56)
Пользуясь B8.30) и B8.31), получим далее
cos 0 cos 0
I
B8.60)
V 1 + Л2 A — cos 0J у 1 + Л2 A + cos в)а
= @,616 У А - ОД 56А + 0,005А2) A + cos 26). B8.57)
Отметим еще, что функция ^-. может быть достаточно точно
1 ~~\~ I COS U |
представлена тригонометрическим многочленом
, si.Iie fl, = 0,75 sin 6 — 0,10 sin 36. B8.58)
1 -[- | cos 6| ' v '
Вводя эти соотношения в B8.53) и заменяя X на A cos 8, получим
окончательно
U sin 6 = ix sin 6 + i3 sin 36 + ih sin 56 + i7 sin 76, B8.59)
где
i± = \ AAX sin 8 C,15 — 1,99 j/A + 0Д83А — 0,0029A2)
1 3 -
i3 = ~ AA± sin 8 (— 0,42 -f 0,61 У A — 0,074A + 0,0012A2)
i5 = ~ AA± sin 8 (— 0,034 У A + 0,008A — 0,00013A2)
1 3 -
i7 = -j АЛХ sin 8 (—0,0015 V'AJ^O j
Представим далее дополнительную циркуляцию Г5 в обычной форме
Г5 == 2bV0 (аг sin 6 + а3 sin 36 + ...); B8.61)
коэффициенты аъа3 • « « определяются при помощи формул B2.10) и B2.11).
28.4.1. Влияние присоединенных вихрей. В предыдущих рассуждениях
мы учитывали только свободные вихри. В действительности же, если
несущая линия, представляющая присоединенные вихри, не прямая, то
различные части ее влияют друг на друга в смысле индуцирования
скорости. Например, присоединенный вихрь левой стороны индуцирует
в точке Р на правой стороне (фиг. 28.10) добавочную скорость, опреде-
определяемую законом Био — Савара:
и>' = — Д^- (cos p — cos 28). B8.62)
4тг PN V ' У
320
Далее можно положить
PN = OP sin 2o = 2т) sin 8.
B8.63)
Так как cosjS, изменяющийся от 1 до cos 8, когда tj изменяется от
Ъ ' ~
нуля до -х-, может быть заменен линейным выражением
cosp=l— 2sin2-4-4r>
B8.64)
Фиг 28.10
то получим окончательно формулу для нового добавочного индуцирован-
индуцированного угла атаки
^(LL) B8.65)
В силу симметрии скорость должна быть такой же и в точке — vj
следовательно,
ъ 1 "] __ 1 А . . г 1 1 1
]^Т ~ 1 + cos 8 J 4" Л1 Sin 6 L I cos 0 | ~~" 2 A + cos S)J
B8.66
Формула эта справедлива вне окрестности центрального сечения, так
как в этом сечении явление более сложно. Для упрощения предположим,
что индуцированная скорость постоянна на центральной части В'А1 (см
фиг. 28.10) и равна скорости, индуцированной в точках 5' и 4', абсцис-
абсцисса которых
WO = 7JA' = 7]х = ~y ctg 8 B8.67)
подставляется в B8.66), чтобы окончательно получить значение индуци-
индуцированного угла атаки на центральной части В'А1:
l= - 4- ^sin 8 [
A sin 8 -
B8.68)
Принимая во внимание это значение в центре и соотношение B8.66),
мы можем при обычных удлинениях представить выражение is sin б с до-
321
0.008
0,0OS
0,004
0,0ОZ
- Г —
ж
• Экспериментальная кридая
-ни-— Теоретическая кридая
Cz=o]i585
0,2
0,04
0,03
0,02
0,0/
Г
2bVn
-Экспериментальная кридая .
Теоретическая кридая 4-
Ж
0,6
0,8
1 2л
b
0.05
0,0¥:
0,03-
0,02-
0,01-
г
2bVD
• Экспериментальная кридая
■ Теоретическая кридая
ав-11*655
Cz = 0,834
8-45°
в
0,2°
0,6
0,8
1 2,
¥
Фиг. 28.11
322
статочной точностью тригонометрическим многочленом:
i8 sin6 = r^lSin 8[(Asin 8~1 +соз8 + Ml) sin 6—
— A(Asin8 — 1,15)sin36 +-L(Лsin8 —1,92) sin5б] B8.69)
получаемым элементарными вычислениями.
Далее легко определить коэффициенты! добавочной циркуляции
T's = 2bV0 (а[ sin 6 + а3 sin 36 + . . . + ап sin лб) B8.70)
тем же способом, что и в предыдущем случае.
Ш V ШШ
Фиг. 28.12
Линии I, II, III, ... показывают сечения
крыла, в которых производилось измерение
давлений
Замечание. Распределенная полная циркуляция Г равна сумме
циркуляции, обусловленных прямым крылом (Г'), свободными вихрями
(Fs) и присоединенными вихрями (Г'8):
Г = Г' + Г8 + Г1, B8.71)
откуда, обозначая через А1у А3, . . . Ап коэффициенты, соответствующие
прямому крылу, получим коэффициенты полной циркуляции:
An = A'n + an 4-a'n. B8.72)
Установленные выше теоретические формулы для вычисления этих
коэффициентов широко подтверждаются опытом [13], как это показано
на графиках (фиг. 28.11, а, б, в), представляющих испытания, прове-
проведенные на эллиптическом крыле со стрелой, определенной углом 8 = 45°г
и с удлинением Х = 6 (фиг. 28.12).
32а
ЛИТЕРАТУРА
1. В 1 en к Н. Zeitschr. fur angew. Mathem. u. Mech., Nr 5, 1925.
2. В о 1 1 а у W. Zeitschr. fur angew. Mathem. u. Mech., vol. 19, 1939.
3. Garafoli E. § i Tipei N. Asupra teoriei aripei in s&geata sau in derivS
(О теории стреловидного и дрейферного крыльев). Bui. stiintific al Academiei
RPR, t. Nr. 4, 1948.
4. К о чин Н. Е. Теория крыла конечного размаха круговой формы в плане.
ПММ, № 1, 1940.
5. Кочин Н. Е. Об установившихся колебаниях крыла круговой формы в плане.
ПММ, т. VI, № 4, 1942.
6. К о ч и н Н. Е. Теория круглого крыла. ПММ, т. IX, № 1, 1945.
7. Дородницын А. А. Обобщение теории несущей линии для случая крыла с
искривленной осью и с осью, не перпендикулярной потоку. ПММ, т. VIII,№ 1, 1944.
8. Голубев В. В. О теории крыла малого удлинения. Изв. АН СССР, № 3,
1947.
9. Голубев В. В. Лекции по теории крыла. Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры,
М.—Л., 1949.
10. К i n n e r W. Die kreisformige Tragflache auf potentialtheoretischer Grundlage
(Несущая круговая поверхность в теории потенциала). Zeitschr. »fur angew.
Mathem. u. Mech., vol. 18, 1937.
11. Krienes K. Die elliptische Tragflache auf potentialtheoretischer Grund-
Grundlage (Несущая эллиптическая поверхность в теории потенциала). Zeitschr. fur
angew. Mathem. u. Mech., vol. 20, 1940.
12. Weinig F. Schiebende und gepfeilte Tragflugel (Стреловидные и дрейферные
крылья). Luftfahrtforschung, 20, Februar 1937.
13. Marine scu Al. siSavulescu St. Cercet&ri experimentale asupra repar-
ti^iei circula^iei pe aripa in sageata (Экспериментальные исследования распределе-
распределения циркуляции на стреловидном крыле). Неопубликованная работа.
14. Karman a. Burgers. Aerodynamic theory (Аэродинамика, т. II, под об-
общей ред. Дюрэнда, пер. под ред. В. В. Голубева). Durand Editor, Julius Springer,
Berlin, 1935.
15. Голубев В. В. К теории крыла малого удлинения. Учен. зап. МГУ,
в. 122. Механика, т. И, 1948.
16. Голубев В. В. К теории крыла малого удлинения. ПММ, т. XIX,
в. 2, 1955.
Глава VII
ТЕОРИЯ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ ПРИ НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ
ДВИЖЕНИИ
До сих пор мы предполагали движение установившимся, поэтому
полученные результаты относятся к прямолинейному и равномерному
перемещению крыла. Если же скорость не сохраняет своего направления
и не равномерна, или если движение носит более общий характер, пред-
представляя собой, например, поступательный перенос, сопровождающийся
поворотом, то течение окружающей жидкости не будет установившимся.
Этот более общий вид движения не представляет трудностей для исследо-
исследователя, по крайней мере в случае плоской задачи, и соответствующие ре-
решения даны в наших предыдущих работах [2] и [3], где мы специально
и с достаточной полнотой изучали поступательное движение, сопровож-
сопровождающееся вращением. Но решения, которые мы там получили, относились
исключительно к однозначному потенциалу, многозначный же член, обу-
обусловленный циркуляцией, который мы прибавляли К общему результату,
рассматривался нами как не изменяющийся в зависимости от времени,
согласно закону циркуляции Кельвина. Однако это предположение не-
недопустимо в некоторых задачах аэродинамики, например, когда рассмат-
рассматривается изменение течения вокруг крыла, начинающего движение из
состояния покоя, при изучении движения вокруг машущих крыльев,
полета птиц и других явлений, где объяснение подъемной силы ипропуль-
сивного эффекта основано на существовании циркуляции и ее изменении.
29. ЦИРКУЛЯЦИЯ И ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ ВОКРУГ КРЫЛА
ПРИ ПЕРЕМЕННОМ ДВИЖЕНИИ
Теорема Жуковского объясняет подъемную силу возникновением цир-
циркуляции вокруг крыла. Определение циркуляции, в свою очередь, основано
на физическом требовании, чтобы скорость в задней кромке профиля была
конечна. В случае установившегося движения циркуляция, будучи оп-
определена, остается все время постоянной, т. е. не зависит от времени.
Но каким образом она возникает и как она изменяется в процессе уста-
325
новления или при изменении движения — в этом и заключается вопрос,
который мы исследуем ниже.
Фиг. 29.1
29.1. Возникновение циркуляции и образование вихревого слоя
позади крыла
Когда жидкость в покое, то циркуляция равна нулю, но при зарожде-
зарождении движения возникает и циркуляция, изменяясь непрерывно со време-
временем. Это изменение циркуляции, подчиненное также теореме Кельвина,
имеет весьма сложный механизм,
который мы постараемся объяс-
объяснить на простой схеме.
Пусть дано крыло, которое в
некоторый начальный момент
времени находится в покое и из
этого состояния приходит в дви-
движение, которое мы для упроще-
упрощения будем считать поступатель-
поступательным и прямолинейным. В первый
момент возникшее течение управ-
управляется однозначным потенциалом,
который, как мы уже видели рань-
раньше, допускает две точки нуле-
нулевой скорости (^4 и В) и точку
бесконечной скорости в задней
кромке (фиг. 29.1, а.) В дейст-
действительности, т. е. в физических условиях, эта бесконечная ско-
скорость не может возникнуть в жидкости (при этом падение давления
должно было бы быть также бесконечным), но частички жидкости,
находящиеся на нижней стороне крыла, стремятся обогнуть зад-
заднюю кромку при начинающемся ее перемещении; при этом скорость их
возрастает, и у кромки возникает разрыв скоростей между струйками,
стекающими с нижней и верхней сторон профиля (фиг. 29.1,6). Образую-
Образующаяся таким образом поверхность разрыва является, по существу,
вихревым слоем, полное напряжение которого — А Г компенсируется цир-
циркуляцией АГ, которая возникает вокруг профиля. Благодаря скорости,
вызываемой этой циркуляцией на контуре, точка нулевой скорости В
сдвигается к острому концу профиля (к задней кромке). Вследствие этого
исчезает стремление частиц обогнуть острый задний конец приходящего
в движение крыла, и скорость становится конечной, направленной по ка-
касательной к задней кромке, но вихревой слой остается и простирается от
первоначальной точки (t =0) до нового положения задней кромки
(t = tx). Явление это продолжается, причем циркуляция Г, образую-
образующаяся вокруг профиля, равна полному напряжению вихревого слоя.
Частицы, образующие в первоначальном состоянии замкнутый контур С,
образуют в момент t = tx контур Cl9 вокруг которого полная циркуляция
•326
согласно закону Циркуляции всегда равна нулю. После того как скорость
достигла своего постоянного значения при данном режиме, изменение
Г зависит исключительно от положения крыла по отношению к вихревому
слою.
В самом деле, вихревой слой, который мы представляем себе прямо-
прямолинейным и параллельным скорости или свернутым частично в форме
вихревого шнура (фиг. 29.1, в), индуцирует у крыла вертикальную ско-
скорость, которая, в свою очередь, вызывает добавочную циркуляцию
вокруг крыла. Эта добавочная циркуляция изменяется с течением вре-
времени, благодаря чему продолжает образовываться вихревой слой, однако
его напряжение и соответствующее этому напряжению изменение цир-
циркуляции становятся все более и более слабыми, стремясь к нулю, по мере
удаления крыла. Когда расстояние до вихревого шнура, становится до-
достаточно большим,— что происходит весьма скоро,— его влияние пре-
прекращается и вокруг контура устанавливается циркуляция, характери-
характеризующая данный режим, которую мы изучали с разных точек зрения в пре-
предыдущих разделах.
При переменном режиме за промежуток времени от момента t до мо-
момента t + dt циркуляция вокруг профиля меняется на dT\ следовательно,
напряжение вихревого слоя, образующегося за задней кромкой, равно — dY.
За этот интервал времени задняя кромка, перемещающаяся со скоростью V^
по предположению — приблизительно прямолинейно, переместится по
своей траектории из точки s в точку s + ds = s + Vdt. Если мы обозна-
обозначим через f вихревое напряжение на единицу длины, то получим
Tds= — dT. B9.1)
Если вначале циркуляция вокруг профиля равна нулю,— что бывает,
когда движение возникает из состояния покоя или когда мы полагаем,
что оно периодическое и начинается с нулевого угла атаки,—то в момент*,
после того как крыло прошло расстояние s, циркуляция будет
равна
S
Г = — \ Trfs. B9.2)
о
За начало координат мы принимаем исходное положение задней кромки),
Следовательно, полное напряжение вихревого слоя, образующего
нечто вроде хвоста за крылом, равно —Г, и этот слой, в свою очередь,
влияет на движение вокруг крыла; последнее, таким образом, оказы-
оказывается в поле скоростей, индуцированных всей этой системой вихрей.
При этом оказывается влияние и на циркуляцию Г, что значительно ос-
осложняет задачу. Поэтому изучение этой проблемы возможно только бла-
благодаря вносимым упрощениям. На этом пути замечательные результаты,
проливающие свет на указанную сложную проблему, были получены раз-
различными авторами, среди которых можно назвать Прандтля, Бирнбаума,
Вагнера, Глауерта, Чаплыгина. В последнее время Некрасов [9] сделал
обзор этого вопроса, дополнив его выдающимися результатами своих
исследований.
327
Все эти авторы рассматривали плоское движение. При этом движение
считалось мало отличающимся от прямолинейного и поступательного
движения; вертикальные скорости или скорости при колебаниях вокруг
некоторой оси принимались весьма малыми сравнительно со скоростью
поступательного переноса. Принималось также, что поверхность крыла
параллельна направлению скорости и что вихревой слой, предполагаемый
всюду плоским, является ее продолжением (фиг. 29.2).
/
Фиг. 29.2
Поместим начало координат в заднюю кромку профиля и обозначим
через х расстояние, пробегаемое задней кромкой за время t. Предполо-
Предположим, что элементарный слой ^di, возникший в тот момент, когда кромка
была в точке с абсциссой s = х — 5, остается все время в месте своего
образования. Тогда вихревое напряжение в точке s определяется в соот
ветствии с формулой B9.1)
B9.3)
T- \dx)~ \dx.
V \dt)t
где т — время, за которое задняя кромка проходит расстояние 6. Это
соотношение легко выводится, если принять во внимание, что dY соответ-
соответствует отходу кромки от точки s = х — $; поэтому в выражение произ-
производной вместо х (соответственно вместо t) надо поставить х — ? (соответ-
(соответственно t — т).
29.2. Определение циркуляции вокруг профиля
Обозначим через V горизонтальную скорость профиля, который мы
представим себе в виде тонкой пластинки, через v — вертикальную ско-
скорость поступательного движения, а через со — угловую скорость враще-
вращения вокруг оси, проходящей через центр профиля. Скорости, связанные
с двумя последними движениями, малы сравнительно с V и имеют пе-
периодический характер. Предположим далее, что вертикальное перемеще-
перемещение крыла направлено вниз и что, таким образом, относительное движе-
движение воздуха происходит в положительном направлении и что положите-
положителен также соответствующий угол атаки -^~.
Если в некоторый момент угол атаки крыла относительно потока V
есть а, то полный угол атаки крыла
328
и соответствующая циркуляция, если учитывать только влияние скоро-
скорости поступательного переноса, выражается как
Гх = tccF (a + -f) = тсс (Fa + г;), B9.4)
где с —хорда крыла.
Точно также и вращение со = -т- приводит к бесконечному значе-
значению скорости в задней кромке, которого мы, разумеется, избежим, если
введем соответствующую циркуляцию, определенную формулой, установ-
установленной в нашей предшествующей работе [2]:
Г.-гш-J-^-J-c»^. B9.5)
Это выражение можно получить и другим способом, основанным на
рассуждении, изложенном в разделе 11 и связанным с теорией тонких
профилей.
В самом деле, возьмем за ось абсцисс хорду профиля, а за начало
координат ее центр и положим х! = ^ cos 0\ Тогда скорость каждого
элемента пластинки в перпендикулярном к ней направлении дается вы-
выражением
vn = соя' = — ~- со cos 0'. B9.6)
С другой стороны, пластинка замещается вихревым слоем с напряже-
напряжением у', имеющим конечное значение также и на концах пластинки, где
скорость тоже конечна; это напряжение может быть разложено в ряд
Фурье:
T = coc2ansintt0', B9.7)
причем
с
~2~
Г2= ^ Т'^' = ^-^Ч- B9.8)
Индуцированная скорость, нормальная к пластинке, выражается в со-
соответствии с формулой A1.23)
v' = — -|- со 2 ап cos nW. B9.9)
Так как эта скорость идентична vn B9.6), то легко находим ах = 1,
и соотношение B9.8) тоже становится идентичным B9.5), выведенным
нами непосредственно.
Теперь остается вычислить влияние вихревого следа, сопровождаю-
сопровождающего крыло, который вызывается изменением циркуляции в зависимости
от времени.
329
Для этого воспользуемся способом Вагнера, отображая прямолиней-
прямолинейный профиль на плоскость круга и определяя потенциал движения, вы-
вызываемый вихрем напряженностью — ДГ, помещенным на расстоянии £
от задней кромки профиля. При помощи хорошо известного преобразова-
0
t
1
-а—
У
•*-
г +
- Т7
,^"
/Т7
а
—v.
Л
-АГ j
с ^_
б
Фиг. 29.3
ния F.1), устанавливающего связь между переменными S и а (фиг. 29.3),
положение того же вихря в плоскости круга выводится из формулы
С2
откуда следует
а = •
v
B9.10)
B9.11)
! — 1
Движение вокруг круга дается потенциалом, вызываемым тремя вих-
вихрями, расположенными, как показано на фиг. 29.3, б, где а0 опреде
ляется по следующей формуле, выведенной из соотношения C.26):
<29-12>
Но для того чтобы в плоскости профиля скорость в задней кромке
(в точке О) не принимала бесконечного значения, надо прибавить цир-
циркуляцию ДГ2, которая в плоскости круга аннулирует скорость в точке £1:
B9.13)
Отсюда
Полагая
АГ2
с
2п —
следует
далее
АГ>
2М
ЛГ
ш2
' 1
с
С*
л
с
т
1
+
-АГ
7ГС7
= x — S, ds = —
B9.14)
B9.15)
330
заменяя затем АГ на — ^ds = yd? и принимая во внимание B9.2), полу-
получим окончательно
о о
Таким образом, полная циркуляция вокруг профиля
Г^Го + Гх + Га B9.17)
и при помощи соотношений B9.4), B9.5) и B2.16) получим основное
уравнение циркуляции
C-^ldt + Kc(Vx + v)+^c*^=O. B9.18)
Это — интегральное уравнение, которым трудно пользоваться, за
исключением простых случаев, о которых мы вкратце скажем ниже.
29.3. Ускоренное прямолинейное движение, возникающее
из состояния покоя
Эта задача была изучена Вагнером, о методе которого мы упоминали
выше. Уравнение B9.18) принимает вид
B9-19)
При этом мы попрежнему принимаем s = x — 5. Однако решение не ста-
становится легче. Поэтому Вагнер разлагает у в специальные ряды, внося
в то же время надлежащие упрощения, и получает таким образом инте-
интересные решения для различных частных случаев. Например, в случае,
когда х мало по сравнению с хордой, получаем интегральное уравнение
типа уравнений Абеля
j = —i:c Vex.. B9.20)
6
Предполагая, что движение возникает импульсивно и что скорость,
переходя от значения нуль к значению Vo за время dt, продолжает далее
оставаться постоянной, получим первое решение в виде
^Foa; B9.21)
это выражение становится бесконечным при 5 = 0 и затем быстро убы-
убывает по модулю при увеличении s.
Чтобы окончательное значение Г было kcV0<x., решение должно быть
исправлено и представлено, в виде
-ЗТ7». B9.22)
331
Детали этих вычислений читатель найдет в работе Вагнера, упоминав-
упоминавшейся нами вначале.
29.4. Колебательное движение при постоянной скорости поступательного
переноса
Задача эта, изученная Глауертом и развитая Некрасовым, имеет боль-
большое значение и более легко поддается исследованию. В самом деле, выбрав
соответствующим образом начало координат, мы можем написать уравнение
B9.18) в наиболее простой форме
Й+О0 + Огзт^=0. B9.23)
О
Мы предполагаем, разумеется, что как v, так и а изменяются по за-
закону простого гармонического колебания.
Изменение Г также будет периодическим и может быть представлена
в виде
Г = Го + I\ sin \it + Г2 cos \it, B9.24)
откуда при помощи B9.3) и полагая
* = 4- , B9.25)
* о
получим последовательно
/dY \ 1 fdT
~~ It
+ Г2 cos pt) sin \i ф- -f (T1 cos \it — Г2 sin pt) cos p -J-l. B9.26)
Это выражение для -у надо ввести в B9.23). Отметим сначала, что мы
имеем дело с периодическим изменением режима и что влияние началь-
начального состояния предполагается пренебрежимо малым; поэтому мы можем
принять, что х очень велико (ж->оо). В этом случае, прибавляя к обеим
частям равенства B9.23) полную циркуляцию Г, получим уравнение
ic, + Go + Gi sin P* = Го + I\ sin p.^ + Г2 cos p.£. B9.27)
0
Положим
oo
0
Подставляя вместо -у его выражение из B9.26), получим
оо
0 B9.29)
332
Предыдущий интеграл примет окончательно вид
Го + I\ sin pt + Г2 cos pt =
= GQ + Gx sin \it — X [а A\ sin \it + Г2 cos \it) + x (Гх cos \it—Г2 sin pf)]. B9.30)
Это уравнение должно тождественно удовлетворяться в каждой точке
я или в любой момент времени t; поэтому в обеих его частях постоян-
постоянные, а также коэффициенты при sinjU и cosja* должны быть соответст-
соответственно равны. Таким образом, получим уравнения
Го = Go; A + Ха) 1\ - ХхГ2 = Gx; Xxl\ + A + Ха) Г2 = 0, B9.31)
откуда следуют формулы:
B9.32)
A + ХаJ + Х2х2
A + ХаJ + Х2х2 "
Нам остается преодолеть еще одну трудность: определить х и а. Эти
коэффициенты могут быть определены при помощи функций Бесселя.
В самом деле, полагая %i = ~2~(t — 1) и X = 2iz, можно написать
4 е~ Т [jf0 (_ ,-4) + iiT, (_ i А.)] ,
. B9.33)
где Ко и jfiTj — функции нулевого и первого порядка, согласно определе-
определению, данному Грэем, Мэтьюзом и Макробертом в их трактате о бесселевых
функциях.
В табл. 29.1 приведены значения для х и а.
Таблица 29.1
х
X
а
= 0
= оо
= 0,785
0,
1,
0,
200
745
711
0
1
0
,400
,429
,667
0,
1,
0,
600
254
635
0
1
0
,800
,135
,608
1
1
0
,000
,047
,586
29.5. Потенциал скорости
Чтобы упростить задачу, мы, как и раньше, вместо профиля будем
рассматривать его скелет.
Обозначим через а угол, который ось нулевой подъемной силы обра-
образует с осью Ох, через V и — v — горизонтальную и вертикальную ско-
скорости, равные и противоположные по знаку значениям скоростей крыла,
через о — угловую скорость вращения профиля вокруг его оси.
Общее движение, возникающее вокруг крыла, разлагается на три
части: 1) движение, обусловленное плоскопараллельным потоком со ско-
333
ростью V + iv\ 2) движение, обусловленное вращением профиля с угло-
угловой скоростью о; 3) движение, обусловленное вихревым следом, протя-
протянувшимся за задней кромкой крыла.
29.5.1. Потенциал, вызываемый скоростью поступательного движе-
движения. Пусть OV*t\' — система координат, начало которой совпадает с цент-
центром образующей окружности, а ось абсцисс параллельна горизонтальной
скороети V. При помощи
формулы C.36) для горизон-
горизонтальной скорости и C.31)
для вертикальной скорости,
обозначая через £' = ?'+ щг
<£ аффикс точки в плоскости С
(фиг. 29.4), получим
Фиг. 29.4
+ fo(C--£). B9.34)
В системе (Ущ, поверну-
повернутой на угол а вокруг начала,
можно написать
C' = Ceia. B9.35)
Следовательно, предыдущее выражение для потенциала после прибав-
прибавления многозначного члена, обусловленного циркуляцией, принимает вид
= (V
iT
B9.36)
29.5.2. Потенциал, вызываемый угловой скоростью. Пусть ср — потен-
потенциал абсолютных скоростей вокруг крыла, которое мы уподобляем тон-
тонкой пластинке, а и и v — эти скорости; тогда
д<р . дер
дх ' ду
B9.37)
Обозначая далее через ие и ve скорости увлечения жидкой частицы
при переносном движении системы Оху, связанной с пластинкой
(фиг. 29,4, б), определяемые равенствами
ие = сог/ и ve = — сож, B9.38)
получим следующие выражения для относительных скоростей:
*-■£+«* *-£-«" B9.39)
334
или, иначе,
wr=ur — ivr= |J — i^ + i<*(x — iy) = ^ + *«*> B9.40)
где z = x— iy число, сопряженное с z = х-\- iy.
В этом относительном движении все происходит так, как если бы
оси и контур были неподвижны, а воздух вращался бы со скоростью о
вокруг начала.
Уравнение линий тока
d4Tr = urdy - vrdx = 0 B9.41)
выполняется автоматически на контуре, который является линией тока
в этом относительном движении. Заметив далее, что
urdy — vrdx^E:M. ч. (иг — vr)(dx + idy) — м. ч. f-~- + wazjdz, B9.42)
можно написать основное соотношение:
м. ч. {df+i<x>zdz)c = O, B9.43)
где С—-контур профиля.
Для тонкой пластинки отображение на внешность круга дается выра-
выражением
z = C + -£, z = C+y> B9-44>
где а — радиус образующего круга, равный -т-.
Заметим, что на контуре
I = -^ B9.45)
и подставим вместо z и dz их выражения, полученные из B9.44); тогда
на границе /Г круга соотношение B9.43) примет вид
м. ч. [dF+U*(t + -£)(l - -^Л^еееО. B9.46)
Функция F(C) однозначна и голоморфна во всем пространстве вне
круга; ее производная, представляющая абсолютную скорость, равна
нулю в бесконечности. Следовательно, F(C) можно представить в виде
2-^r- B9-47>
1 ^
где Qm — комплексная постоянная величина
Qm = Am + iBm. B9.48)
Далее имеем
^ = -t-S-^- B9-49>
1 ^
335
На круге это соотношение, если принять, что
С = ае* B9.50)
и рассматривать только мнимую часть, принимает вид
м. ч. {dF)K = —db\ ^i—^ cosmb + 2j-1T sin™6 • B9-51)
1
61 •
J
С другой стороны, имеем
м. ч. [мо (С + £Vc — Q ^ = - 2<оа2 sin 26d6, B9.52)
откуда на основании B9.46) вытекают следующие равенства:
£2 = --соа4; Лх = 42 = ... = Лт = 0; Вг = В3= ... =Вт = 0. B9.53)
Таким образом, потенциал, вызываемый вращением, который мы будем
обозначать через ^2(£)> определяется равенством
^, (С) = -**£, B9.54)
что является частным случаем общего решения, данного нами в прежних
работах [2].
Примечание. Прибавляя к выражению B9.54) член ~l 2 In С, обу-
обусловленный циркуляцией, находим
B9.55)
и скорость на тонкой пластинке определяется как
^- B9.56)
При C = zba эта скорость становится бесконечной; конечные значе-
значения она принимает только, если
Г2 = 4тга2а> = j с2а>
— соотношение, которое уже было найдено нами выше B9.5) и B9.8).
29.5.3. Потенциал, вызываемый вихревым следом позади крыла.
Выражения B9.36) и B9.54) представляют движение, вызываемое только
скоростями поступательного переноса (V и —г;), угловой скоростью о и
циркуляцией Г:
F (С) = (v + iv) Се** + (V - iv) £ е~>* - ш £ - ~ In С, B9.57)
где а равно попрежнему четверти хорды Dа = с).
336
Чтобы получить полный потенциал, надо прибавить потенциал, вызы-
вызываемый вихревым следом; последний мы представляем себе приближенно
как продолжение тонкой пластинки. Для элементарного вихря — ДГ,
расположенного, как показано на фиг. 29.4,а, элементарный потенциал
имеет вид
А^з (С) = ^- In ^-_%-a) , B9.58)
где а0 дается формулой B9.12). Чтобы получить потенциал всего вихре-
вихревого следа, надо заменить ДГ на ^dH и так как а и а0 тоже зависят
от S, то очевидно, что F3(Z) получается путем интегрирования. Но нет
необходимости в том, чтобы выполнять это интегрирование, так как
в дальнейшем мы воспользуемся потенциалом в дифференциальной форме
B9.58).
30. СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА КРЫЛО
ПРИ ПЕРЕМЕННОМ РЕЖИМЕ ОБТЕКАНИЯ
Формулы Чаплыгина — Блазиуса для сил и моментов применимы
только к установившемуся движению. Поэтому, чтобы вычислить аэро-
аэродинамическую результирующую и результирующий момент, которые
действуют на крыло при неустановившемся движении, необходимо пред-
предварительно найти общие выражения для давления, силы и момента в
этих условиях обтекания.
30.1. Уравнение, определяющее давление
Пусть О1х1у1 — неподвижная система координат, Оху — система,
связанная с движущимся телом. Обозначим через срх (хъ уъ t) и ср (х, у, t)
потенциалы абсолютного движения соответственно в неподвижной и
подвижной системах, а через и и v — абсолютные скорости в подвижной
системе. Тогда уравнение Лагранжа для давления примет вид
р+|(И2+г;2) + р|1=С(г)> C0.1)
где та часть величины C(t), которая зависит от времени, может быть
включена в выражение для -^.
Заменой переменных можно перейти от ^>1{х1, yly t) к ср(ж, г/, £), при-
причем система Оху получается из системы О1х1у1 путем переноса и пово-
поворота осей.
Таким образом,
?1(*ьУь t) = <f(x,y, t). C0.2)
Следовательно,
dt "*" дхг' dt "Г дуг' dt ж dt "*" dxdt "Г dy'dt '
dx dv
Далее, так как тг и -~ представляют соответственно относительные
скорости иг и vr частиц жидкости относительно подвижной системы, то
337
предыдущее равенство принимает вид
_|р + U2 + V2 = g_ + UUr + VVr % C0.4)
После соответствующей подстановки в уравнение C0.1) получим
P+j D + v2r) - | [К - uf + (vr~ vf] + 9 |f = С (t). C0.5)
Заметим теперь, что иг — и и vr—v представляют соответственно
скорости увлечения ие и ve частиц жидкости в подвижной системе. Пусть
и0 и v0 — скорости поступательного переноса подвижной системы, а
со — угловая скорость вращения этой системы вокруг начала. Тогда
скорости увлечения будут выражаться как
ие = щ — и = — (и0 — <ог/), ve = vr — v = — (г;0 + ых) C0.6)
и будут равны и противоположны по знаку скоростям увлечения, свя-
связанным с переносным движением системы осей, скрепленной с телом.
Далее заметим, что потенциал ср представляет абсолютное движение
и обозначим через Ф потенциал, соответствующий предположению, что
воздух имеет скорость поступательного переноса, равную и противо-
противоположную по знаку скорости крыла, т. е. что — и0 и — v0 являются
проекциями скорости переноса. Тогда
? (я, У, 0 = Ф (^, У, 0 + V + voy |
дер дФ , дип , dvn ( C0.7)
Если ввести выражения C0.6) и C0.7) в C0.5), то получим уравне-
уравнение для давления в окончательном виде:
■п jl. _!_(-- ■ -— ■ ---■ dUn ^ ■ -^ dVn
— -f со2 (х2 + г/2) + р £f = С @ — ± (в? + ^) = К {t). C0.8)
Так выражается давление при неустановившемся режиме, если мы
предполагаем, что жидкость движется прямолинейно со скоростью
Wo = ■— и0 + iv0, а тело вращается вокруг начала координат с угловой
скоростью со.
30.2. Главная результирующая
Вернемся к рассуждению, изложенному в разделе 4.5 и к фиг. 4.6.
Обозначив через R сопротивление, а через Р — подъемную силу, полу-
получаем
dR = — pdy\ dP = pdx C0.9)
или, иначе D.56):
dQ = dR — idP = — ip (dx — idy) = — ipdz. C0.10)
338
Подставим вместо р его выражение C0.8) и возьмем интеграл по
контуру С. Получим
<? = — ij pdz= — iK(t) \^dz + ^^ (u2r + v\)dl +
с ее
Г
C0.11)
причем первый интеграл в правой части равен нулю, так как z прини-
принимает на контуре одинаковое значение в начале и конце обхода.
Далее имеем C0.6):
м =и —и 4-со =?Ф , . v =— — о C0 12}
или, иначе,
дФ .дФ . / . . ч dF . . - /on 4оч
иг — ivr = 7г- — 1-х |-w(y + ia;) = ^—(- zcoz, (oO.lo)
где F(z) представляет комплексный потенциал
F(z) = O + iT. C0.14)
Кроме того, так как контур представляет собою линию тока в отно-
относительном движении (cfFr = vrdx — urdy = 0), можно записать
/ 7 Тр \
(иг + ivr) (dx — idy) = (ur — ivr) (dx + idy) = \-^ + ioz Jdz, C0.15)
откуда получаем окончательно на контуре
(и£ + v*r) <fz = (•£ + fwz Y &. C0.16)
Таким образом, второй интеграл в правой части уравнения C0.11)
принимает вид
!§-^ (и? + v2r) dz= ^^dF-p^zdF-^tf J(i)a dz. C0.17)
С COG
Третий и четвертый интегралы имеют простое значение. Обозначив
через А площадь, ограниченную контуром профиля, получим соответ-
соответственно
i \ xdz = \ xdy = A] i \ ydz = i \ ydx = — ii4. C0.18)
Следовательно,
ffi )\ \(^ ), C0.19)
где
w0 = u0-iv0. C0.20)
339
Обозначив через xg и yg координаты центра тяжести площади, огра-
ограниченной контуром, можно написать для пятого интеграла
=^ со2 J (zz) dT= — paPATg. C0.21)
с
Наконец, чтобы найти последний интеграл, заметим сначала, что
согласно C0.12) имеем на контуре
— d4?r = vrdx — urdy = — dx — txcdx — g— dy — u>ydy =
= — ЙТ—j d (zz) = 0 C0.22)
или, иначе,
[ ^i ] = 0, C0.23)
где k(t) — величина, зависящая только от времени,
Таким образом, можно написать
(ф)с = [ф ± i(Y + f (z"z) + к @)]о =
= F (z) + у (zz) + ik (t) = F(z) — у (zz) — ik (t), C0.24)
откуда следует
" } dt " J dt " dt g'
С С
Последний член в C0.17) принимает последовательно вид
• г* __ г* __
—«— со2 \ (zJ dz = i'poJ \ zzdz = 2pu>2Azg. C0.26)
Учитывая и последнее равенство C0.24) получим главную результи-
результирующую окончательно в таком виде:
+ РА (%?-i<*w0) - PAig {<* + i g?) , C0.27)
что уже было установлено нами в предшествующей работе [2].
30.3. Результирующий момент
Обращаясь снова к фиг. 4.6 и к выражению D.66), можем написать
для элементарного момента
dM = p{xdx f ydy) =^д. ч. (pzdz) = д. ч. (izdQ). C0.28)
340
Отметим сначала существование следующих равенств:
д. ч. \ (ах + by) zdz = pA (ayg — bxg)
с
д. ч.
д. ч.
. ч. \ (zz) zdz = 0
с
д. ч. \ zdz = О
Пользуясь далее равенствами C0.11) и C0.17), получим окончатель-
окончательно следующее выражение для момента [2]:
C0.29)
М
= д. ч. i \ 2Й<2 =
C0.30)
30.4. Силы, действующие на тонкое крыло
В предыдущем разделе мы нашли выражения потенциалов вокруг
крыла при неустановившемся движении. Для применения формулы, оп-
определяющей результирующую C0.27), лучше рассматривать потенциал,
вызываемый прямолинейным движением и вращением отдельно от потен-
потенциала, вызываемого вихревым слоем, вводя, разумеется, необходимые
приближения, связанные с таким разделением.
Прежде всего при помощи B9.36) и B9.54) найдем выражение для
потенциала, не учитывая влияния вихревого следа:
F (С) = (V + iv)
+ {V — iv) -г е-™ - ш £ — iT in С, C0.31)
и применим формулу для результирующей, пользуясь этим выражением^
заметив при этом, что для тонкой пластинки площадь А равна нулю.
Кроме того, так как интегралы C0.27) следует брать по круговому
контуру К в плоскости С, то выражение для результирующей сводится
к следующим трем членам:
2 ) dt ' dz
к
к
C0.32)
341
Первый член легко вычисляется:
к ч
При определении второго члена следует прежде всего отметить, что
отображение тонкого профиля на круг дается равенством
если, разумеется, задняя кромка профиля совпадает с началом коорди-
координат. Следовательно, для точек окружности получим
z + ~ = z+ ~ = С +"С = д. ч. 2С. C0.35)
В случае искривленного профиля, ось нулевой додъемной силы кото-
которого образует с хордой угол т, можно приближенно рассматривать его
как прямолинейный отрезок, повернутый на угол т; тогда отображающая
функция принимает вид
z + с- = &* + -£е-* C0.36)
или соответственно для точек самой окружности
z + i = z + 2- = ^ + 1е~* = д. ч. 2Се-*т. C0.37)
На основании этих соотношений можно написать далее
Q2 = — сор
C0.38)
Следовательно, полагая sin а ^^ а и cosa^il, находим
Q2 = рсо [|- с2 (Fa - Ft + v) + -| г] . C0.39)
Определяя третий член, заметим, что интеграл берется по контуру,
начальной точке которого соответствует 0 = 0; следовательно,
К
X
= м. ч. 2ip^[(V-iv)Ze-i« + (V + iv)fQ.^ +ioi
в-*'Л = Ф 4 [-J с2 (Fa — Ft + ») + -г Г] . C0.40)
342
Это выражение можно было бы легко получить из предыдущего
результата, так как в нашем специальном случае
J Fdz = (zF)-^ -^zdF=-^zdl\ C0.41)
с ее
Вернемся к движению, вызываемому вихревым слоем, и предположим
сперва, что в наличии один только действительный вихрь вне круга
B9.58). Два образа этого вихря внутри круга равны между собой и
противоположны по знаку, главный поток V + iv не оказывает ника-
никакого влияния. Силовое воздействие на эти два вихря, направленное по
оси Ох и обусловленное скоростью, индуцированной внешним действи-
действительным вихрем, может быть найдено следующим образом.
Действие на центральный образ вихря, полное напряжение которого
есть —Г, уничтожается действием, соответствующим действительному
вихрю, полное напряжение которого есть + Г.
На элементарный слой *[dr, расположенный на радиусе (на расстоянии
г от центра), воздействие будет следующим (фиг. 29.3):
1
О
а на весь слой, распределенный по всему радиусу
(з(ш)
Интеграл этот довольно сложен, и притом мы получаем результат
второго порядка (по величине). Поэтому рассмотрим средний результат,
распределив циркуляцию так, чтобы половина ее находилась в центре
круга, а другая половина — в точке П. Предположение это в особенности
допустимо для колебательного движения1.
Тогда при помощи B9.11) и B9.12) найдем
'2n'
о
X
dX
C0.44)
Это выражение представляет результат, связанный с наличием пер-
первого интеграла C0.32).
1 В случае ускоренного прямолинейного движения можно для начала движения
распределить Г так, чтобы 2/3 от Г было в П и х/з —в центре, но, после того как
крыло пробежало достаточное расстояние, —большее, чем его хорда, —ошибка
будет меньше, если мы распределим 2/3 Г в центре и х/з Г в Q.
343
Полученные интегралы довольно сложны, но в некоторых задачах их
можно рассчитать при помощи бесселевых функций.
Перейдем теперь к двум другим членам результирующей C0.32) и
заметим в то же время, что циркуляция вокруг круга равна нулю, так
как оба образа вихря внутри окружности равны и противоположны по
знаку. Следовательно, потенциал однозначен; принимая также во внима-
внимание C0.41), мы можем написать
— сорJ zd~F' + ф -| J F'dz = — р[со + i-|^z(QdF', C0.45)
се к
J J [ ^
се к
где F' обозначает новый потенциал.
Применим эту формулу к потенциалу единственного действительного
вихря, расположенного вне окружности B9.58 и фиг. 29.3). Представим
для этого d(AF') в виде разложения
+ i?R. + ---+-f + •■■]*• <3(|-46>
я не будем учитывать кривизну профиля (t»0). Тогда легко найдем
Ад, = -р (со+i-ft)
AF' + 2/ра0 ± ДГ. C0.47)
Подставляя вместо а0 ее значение B9.12) и заменяя ДГ на ^еЙ, а со
на ~ , получим
C0.48)
Окончательно получаем следующее выражение для аэродинамической
результирующей в общем случае:
о
X
(^ ^[T \]- C0.49)
о
344
В последнем из этих интегралов if должна дифференцироваться по
времени. Если рассматривать т в системе, связанной с крылом, то ее
значение меняется с изменением £ и t. В действительности в неподвиж-
неподвижной системе f постоянна. Отсюда следует, что в точке % (с& = Vdt)
имеемг
Из этого уравнения получаем значение -^ и подставляем его в
последний интеграл. Интегрируя затем по частям, находим последова-
последовательно
о
- <30-51)
Принимая во внимание B9.18), мы можем также написать
- та (Fa + г;) - ~ с2 ^ .
C0.52)
Вводя эти соотношения в выражение для результирующей, найдем
окончательно формулы, определяющие подъемную силу и сопротив-
1 Это соотношение может быть, кроме того, выведено из общих уравнений дви-
движения A.18). В самом деле, в случае плоского движения (w = 0) эти уравнения
сводятся к следующим двум выражениям, где у является проекцией вихря на ось
Oz, перпендикулярную к плоскости движения:
ди д A \ 1 dp dv д A
+ [V2) £ + [
Дифференцируя первое уравнение по у, а второе — по х и вычитая из обеих
частей второго соответствующие части первого, находим соотношение C0.50):
Tt +u dx+vdry^Tt+Vdi = 0'
полагая, разумеется, и ж V.
345
ление:
« +Vc)+ I pcW £ + |
x) f + *]
C0.53)
p
тч 1
Г
с
\
-о
0
Т / с ~Ь
Т V ?
-Ус
4
с
-ь
X
\
0
т
*]+
E — Vc5 + 5»)d5
Знак минус перед символом подъемной силы объясняется обратным
направлением координатных осей (см. фиг. 29.3).
Ограничиваясь рассмотрением подъемной силы, применим первую из
формул C0.53) к двум предыдущим случаям: 1) ускоренному прямо-
прямолинейному движению, 2) колебательному движению с постоянной основ-
основной скоростью.
1. При ускоренном прямолинейном движении берем подъемную
силу с положительным знаком; в этом случае ее выражение сводится к
следующему:
Р =
| pC2(a —с) § + р °T
C0.54)
Расчет подъемной силы производится просто для начальной стадии
движения, пока перемещение крыла х еще мало сравнительно с хордой;
в этом случае, т. е. при %<^_х<^с, можно приближенно принять
C0.55)
C0.56)
С другой стороны, равенство B9.19) дает нам
После подстановки этого выражения в C0.54) получаем формулу
подъемной силы в виде
Р « J pcF2a+ | рс* (« - т) ^.
C0.57)
Таким образом, мы можем констатировать, что в первые моменты
возникновения ускоренного движения сила, обусловленная динамическим
давлением, вдвое меньше, чем при установившемся движении.
346
2. В случае простых гармонических колебаний мы тоже можем пред-
представить подъемную силу в виде
Р =
*«+ Vv) + I 9*BV£ + d£
. C0.58)
Подставим вместо ^ ее выражение B9.26) и положим, как и раньше,
£ 1
^ = — = -у (t — 1). Тогда интеграл можно вычислить при помощи бес-
С tU
селевых функций. В самом деле, при вычислении появляются два коэф-
коэффициента, хх и alt выражаемые в виде интеграла нулевого порядка,
введенного нами уже раньше B9.33):
Г2°°
_dt _ 1_
7П7\ ~ 2
C0-59)
Эти значения можно получить, проведя некоторые преобразования
путем использования различных специальных таблиц. Ниже мы даем
значения хх и ах.
Таблица 30.1
X
X!
°>
Q
= оо
= 1,
571
0
2
1
,2
,554
,318
0,
1,
1,
4
973
187
0
1
1
,6
,665
,092
0,
1,
1,
8
464
019
1
1
0
,000
,320
,959
Если рассматривать простой случай вертикальных колебаний
v = v0 sin \it C0.60)
и, следовательно, предположить, что оо = -^ = 0, то, полагая Го =
= Go = tccFoc, получим
Г = tzcVol + I\ sin \it + Г2 cos f*«, C0.61)
где 1\ и Г2 даются равенствами B9.32).
Отсюда следует
7 = [(I\ sin р,^ + Г2 cos \it) sin X6X + (Гх cos p,^ — Г2 sin p,^) cos XSJ.
с
C0.61')
Вводя это выражение под знак интеграла в правую часть C0.58),
получим окончательно значение подъемной силы
Р = 7rpcF2a + |
sin
C0.62)
30.4.1. Замечание о сопротивлении или пропульсивной (тянущей) силе.
Вторая из формул C0.53) выражает лобовое сопротивление, т. е.
347
сопротивление поступательному движению крыла. Но если уподобить
профиль тонкой прямолинейной пластинке, то задача становится довольно
сложной из-за особенностей, связанных с этим предположением. Между
тем нам представляется ненужным рассматривать подсасывающую силу,
приложенную к передней кромке, так как мы всегда можем предположить,
что последняя имеет некоторую толщину и закруглена.
Вычисление R имеет важное значение только в случае колебательного
движения. В самом деле, дам известны все члены, кроме интеграла
оо оо
= с2 5 T*i«i ~ с2 ^ Т VT+H «ь C0.63)
о о
где 5Х = \ .
Мы видели, что т содержит sin>£i и cos Х^ B9.26). В этом случае
при вычислении первого интеграла во второй части равенства мы
встречаем коэффициенты х2 и а2> которые даются интегралом известного
типа
с»
х2 + io2 = J е^Ч^. C0.64)
Во втором интеграле содержатся коэффициенты х3 и а3, выражаемые
интегралами бесселева типа, получаемыми с помощью подстановки
4
<30-в5>
где iiro и if2 означают то же, что и раньше B9.33).
Дальнейшие вычисления довольно длинны, поэтому мы ограничимся
этими несколькими замечаниями, предоставляя читателю самому найти
полное решение задачи в каком-либо конкретном случае.
ЛИТЕРАТУРА
1. BirnbaumW. Zeitschr. fur angew.Mathem. u. Mech., 1923, S. 290; 1924, S.278.
2. CarafoliE. Aerodynamique des ailes d' avion (Аэродинамика крыла самолета).
Paris, Librairie Chiron-Editeur, 1928.
3. Garafoli E. Sur le mouvement general autour d'un contour (Общее движение
вокруг контура). СRAS de Paris, t. 186, p. 1196, 30 april. 1928.
348
4. Чаплыгин С. А. О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на дви-
движущееся в нем цилиндрическое крыло. Собр. соч., т. 3, 1935.
5. Glauert H. Techn. Rep. Aeron. Res. Gomittee (Teddington) R. and. M. Nr.
1215, 1242, и Vortrage auf dem Gebiete der Hydro- and Aerodynamik (Лекции по во-
вопросам гидро- и аэродинамики), стр. 88. Aachen, 1929.
6. Голубев В. В. Теория машущего крыла и общая проблема тяги и сопротив-
сопротивления. Общ. собр. АН СССР, 14—17, X, 1944. Изд-во АН СССР, 1945.
7. Г о л у б е в В. В. Тяга машущего крыла. Изв. АН СССР, отд. техн. наук,
№ 5, 1946.
8. Karman a. Burgers. Aerodynamic theory (Аэродинамика, т. II, под общ.
ред. Дюрэнда, пер. под ред. В. В. Голубева), vol. II, Durand-Editor, Julius Sprin-
Springer, Berlin, 1935.
9. H e к р а с о в А. И. Теория крыла в нестационарном потоке, Изд. АН СССР,
1947.
10. Р г a n d 11 L. Uber die Enstehung von Wirbeln in einer idealen Fliissig-
keit (О возникновении вихрей в идеальной жидкости). Vortrage zur Hydro-und
Aerodynamik. Berlin, 1924.
И. Седов Л. И. О теории неустановившихся движений крыла и жидкости. Ра-
Работы ЦАГИ, № 229, 1935.
12. Седов Л. И. Теория плоского течения идеальной жидкости. ГТТИ, 1940.
13. Wagner H. Zeitschr. fur angew. Mathem. u. Mech., 1925.
Глава VIII
БИПЛАН КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
Задача о биплане с конечным размахом представляет затруднения
из-за двух обстоятельств: во-первых, оба крыла, которые можно пред-
представить себе как две системы присоединенных вихрей, действуют друг
на друга; во-вторых, одно из крыльев находится под действием свободных
вихрей другого.
Мы видели, насколько трудна задача даже в случае бипланов с бес-
бесконечным размахом. Эти трудности еще значительно возрастают, когда
приходится учитывать наличие концов у крыльев. И если еще принять
во внимание действие свободных вихрей, то задача представляется нам
почти не разрешимой. Поэтому надо ввести такие упрощения, которые
дали бы возможность приближенного, но достаточного для практических
применений решения. Этим мы и займемся в следующих разделах.
31. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ БИПЛАНОВ
Обтекание каждого крыла биплана составляется из рассмотренного
нами в предыдущих разделах движения жидкости вокруг изолированного
крыла (т. е. такого же крыла моноплана) и течения, связанного с взаим-
взаимным влиянием между крыльями, которое выражается в том, что каждое
из двух крыльев индуцирует поле скоростей на другом крыле. Следова-
Следовательно, задача заключается в том, чтобы определить условия этого взаимо-
взаимодействия крыльев и выяснить его следствия.
31.1. Взаимодействие между элементами биплана
Так же как и при изучении крыла моноплана, мы будем представ-
представлять себе каждое из крыльев биплана как несущую линию, обозначая
через ds1 элемент верхнего крыла 7, а через ds2 — элемент нижнего
крыла 2 (фиг. 31.1). Приняв гипотезу о несущей линии, перпендику-
перпендикулярной к главной скорости потока, мы должны рассмотреть два случая:
1) когда оба крыла лежат в одной плоскости, перпендикулярной
к скорости потока, или, иначе, когда имеем биплан без выноса (т. е.
ни одно из крыльев не вынесено вперед другого крыла);
350
//Л
2) когда крылья лежат в разных плоскостях, перпендикулярных
к скорости, или, иначе, когда имеем биплан с выносом (т. е. одно
крыло находится несколько впереди другого).
31.1.1. Биплан без выноса. Элементы ds± и ds2 расположены в одной
плоскости (см. фиг. 31.1). К этой плоскости перпендикулярны свободные
вихри каждого из крыльев.
Обозначим через wl2
компоненту индуцирован-
индуцированной свободными вихрями
нижнего крыла 2 скорости
в точке элемента ds±, по
нормали п± к этому эле-
элементу. Если 1\ — цирку-
циркуляция вокруг dsly то ин-
индуктивное сопротивление
крыла 1, возникающее в
связи с действием крыла 2,
дается интегралом
#i2 =p \w12rlds1. C1.1)
(i)
Фиг. 31.1
Аналогично выражается и индуктивное сопротивление крыла 2, обу-
обусловленное влиянием крыла 1:
>21T2ds2. C1.2)
B)
Далее, обозначая через г расстояние между двумя рассматриваемыми
элементами, можем последовательно получить
Girl (Ч-. л/Гп 1 (* 4171 R-i л/Ул
Ну) L_i . f Wo • 7/7 —— \ Li . £ rjо ( ~\\ 4 1
П B)
или, интегрируя по частям и замечая, что Г2 равна нулю на концах
крыла, получим
1 Г n d /sin рЛ 7 /пл /ч
B)
откуда можно получить следующее выражение для индуктивного сопро-
сопротивления:
1
_ Р С Г г г d /'sinPi
(DB)
C1.5)
Но можно также написать
1 / • r> dr t
= -i- — sin Si -r- +
г cos
C1.6)
351
Заметив, что (см. фиг. 31.1)
dr = ds2 sin |32; rd$± = ds2 cos |32,
получим следующее соотношение:
_d_ /sm£x\ __
ds2\ r J~ r2
C1.7)
C1.8)
Подставляя это соотношение в выражения C1.4) и C1.5), получим
окончательно для индуцированной скорости
1 4тг J
2>
3
B)
а для индуктивного сопротивления
R _ Р [ [ г г
■2 — 4гё" J J х 2
cos (fi! Н-
* 2"
C1.9)
C1.10)
A) B)
/27-
к
у,
Фиг. 31.2
Для вычисления R21 надо взять радиус-вектор г = PiP2 в обратном
направлении Р2Рг (от нижнего элемента к верхнему); другими словами,
надо заменить (^ и C2 на тс + (^ и тс-f Р2 (Фиг- 31.1). Таким образом мы
получим замечательный результат, впервые найденный Мунком:
Л12 = #21, C1.11)
т. е. индуктивное сопротивление плоскости 7, возникшее под влиянием
плоскости 2, равно индуктивному сопротивлению плоскости 2, связан-
связанному с влиянием плоскости 1.
В случае биплана с прямыми параллельными крыльями (фиг. 31.2)
имеем
рх = |32 := |3; h = r cos |3; ds± = dyx\ ds2 = dy2i C1.12)
откуда следует более простая формула
ГХГ2 cos2 p cos 2Bdyidy2.
C1.13)
(DB)
352
31.1.2. Биплан с выносом. Предположим, что крылья находятся
в двух различных параллельных плоскостях, расположенных одна от
другой на расстоянии а (фиг. 31.3). Как и в предыдущем случае, обо-
обозначим через ds1 и ds2 элементы соответственно верхнего и нижнего
крыльев, а через R — расстояние между ними, проекцию которого на
Фиг. 31.3
первую плоскость обозначим через г. Угол а между Лиг дается отно-
отношением
tga = y-. C1.14)
Нетрудно заключить, что в точках элемента ds± свободный вихрь
-rJds2 вызывает скорость, нормальная компонента которой равна
7 — 1 —sin a dT ,
12 4тсг ds2 2>
C1Л5)
т. е. той же величине, что и в случае крыльев без выноса, но умножен-
умноженной на A — sin a).
Так же, как и раньше, мы находим, что
^12 = "
чsin
C1.16)
B)
Одновременно мы можем написать равенства
C1.17)
353
и далее на основании соотношения C1.14)
d . . ч dec dec dr Q a o
-j— sin a) = cos a -7— = cos a — -j— = — sin p2 —r cosd a =
ds2 v ' g?s2 c?r ds2 гг г2
= — sin {32 -щ-sm a> C1.18)
откуда получим
-1 [A _ sin a) 1^] = A _ sin a)cos ^ + P*> + sin a sin ^2sin ^ . C1.19)
Окончательно получим выражения для скорости и индуктивного
сопротивления в виде
1 С -л Г/л • \COS(P!+P2) ■ • Sin Pi Sinful 7 /o^ oav
^12 = 4^- J Г2 |^A - sm a) VPrV + sm a —Р1Д2 H2J d52 C1.20)
B)
5 5[^^] C1.21)
A) B)
Для нижнего крыла подставим, как и в предыдущем случае, тг +
тг + р2, тг -J- а вместо рх, ^2 и а. Получим
P f f-п -п Г/л i • \COs(Pi + p2) • sin Px sin В21 7 ? /o/i oo\
1= ^-^ ^^[A + sma) — 7 sma ^gs—^J^i^a- C1.22)
A) B)
Следовательно, полное индуктивное сопротивление
\\ ^b) dSi ds2 C1 23)
A) B)
не зависит от выноса.
Этот результат приводит к следующей теореме, установленной Мун-
ком: полное индуктивное сопротивление остается неизменным при пере-
перемещении одного или обоих крыльев в направлении скорости, если при
этом не изменяются циркуляции 1\ и Г2, что может быть достигнуто
надлежащим изменением углов атаки. Эта теорема справедлива также
для любого элемента крыла.
Таким образом, при вычислении полного сопротивления биплана
с выносом мы можем рассматривать оба крыла лежащими в одной пло-
плоскости, перпендикулярной к главной скорости потока, как это имеет
место в случае биплана без выноса.
31.1.3. Влияние присоединенных вихрей. Чтобы ввести взаимодей-
взаимодействие присоединенных вихрей, рассмотрим, следуя Прандтлю, две беско-
бесконечно тонкие вихревые трубки с напряжениями 1\ и Г2, заменяющие
крыло (несущие линии), и вычислим элементарную скорость, которую
элемент T2ds2 вихревой трубки индуцирует в точке элемента ds±.
По формуле Био—Савара находим, что скорость лежит в вертикальной
плоекости PiQ^Pi, направлена по нормали к PiQ2 (фиг. 31.3) и равна
Г2 с^2 siii ф п ,
354
Компонента этой скорости по направлению РхРх выражается как
C1.25)
а компонента по нормали к dsu только и интересующая нас в данном
случае, как
dK = "fe • Ж sin f sin «' cos (P« - Pi)- C1 -26)
Замечая далее, что
R sin cp sin a' = i? sin a = a, C1.27)
находим
d< = - й- S sin a cos (Pi - &>• C1 -28>
откуда следует выражение для полной индуцированной скорости, вызы-
вызываемой присоединенными вихрями крыла 2:
B)
и для соответствующего индуктивного сопротивления:
*12 — —— i IX чХ о -rtn ы-o-t uon, I*-'-*- •'Jv/il
A) B)
Прибавив C1.29) и C1.30) соответственно к выражениям индуцира-
ванной скорости C1.20) и индуктивного сопротивления C1.21), полу-
получим окончательно полное действие крыла 2 на крыло 1:
1 С -п Г/л • \ cos (Pi + B2) sin a cos Pi cos S21 7
^12 = 7— \ Г2 A — Sin a) v^i-r vi) м. ^2 ^
B) [ C1.31)
ч cos(Si + S2) sinrn"nD л^—° n
— sin a) — 2
(I) B)
и аналогичные два выражения для действия на крыло 2, в которых он
заменено на a + п (или sin a на — sin a).
Полученные формулы позволяют решить общую задачу о биплане;
однако для случаев, обычно встречающихся на практике, мы дадим
ниже упрощенные методы, удобные для вычисления индуктивного сопро-
сопротивления биплана.
31.2. Минимальное сопротивление несущей системы
Выше мы видели (теорема Мунка), что несущий элемент может быть
смещен в направлении главного потока без изменения полного индуктив-
индуктивного сопротивления; при этом должно, разумеется, соблюдаться условие,
что для элемента сохраняется прежнее значение циркуляции, чего модою
достигнуть надлежащим изменением угла атаки. При этих условиях мы
355
можем перенести всю несущую систему в одну плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную к главной скорости. Значения индуцированных скоростей в этой
z плоскости будут вдвое меньше скоро-
скоростей, индуцируемых системой свобод-
свободных вихрей в параллельной ей пло-
плоскости, расположенной очень далеко
позади крыла(теоретически — в беско-
бесконечности).
Предположим, что следы свободных
вихрей на этой бесконечно удален-
удаленной плоскости состоят из некоторого
числа линий /х, /2. . . 1к, иден-
идентичных несущим линиям действи-
действительной системы, перемещенным в
одну плоскость путем переноса, па-
параллельного скорости Fo (фиг. 31.4).
Следы эти представляют вихревые
слои, образованные свободными * вих-
вихрями. В бесконечности позади кры-
крыла течение плоское и управляется
потенциалом скоростей ср.
Напряжение вихревого слоя в
произвольной точке равно
's, C1.32)
где ф и <р. — значения потенциала ср соответственно на верхней и нижней
сторонах вихревого слоя. Отсюда следует
r = ?s—ср.. C1.33)
Элементарная подъемная сила dP, нормальная к элементу ds9 разла-
разлагается по осям Оу и Oz на компоненты, выражаемые равенствами
dPy = — PFor dz; dPz = PFor dy, C1.34)
откуда путем учета всех несущих линий получаем
к
Фиг. 31.4
m=i lm
к
)
1 I*
<f dy
1 8„
C1.35)
где первые интегралы распространяются один раз по линиям Zm, а вто-
вторые берутся по обеим сторонам этих линий. Кинетическая энергия
бесконечного плоского слоя жидкости единичной толщины выражается по
формуле A.47), примененной к случаю плоского движения
C1.36)
1 In
356
где ип = ~- нормальна к s и направлена внутрь жидкости. Значение
скорости ип вдвое больше ее значения в плоскости несущей системы.
Но в таком случае последний интеграл представляет полное индук-
индуктивное сопротивление системы, откуда следует, что это сопротивление
равно кинетической энергии плоского слоя жидкости, толщина которого
равна единице длины.
Из этого выражения кинетической энергии видно также то, что мы
уже обнаружили в случае моноплана, а именно, что перемещение несу-
несущего элемента в направлении потока не влияет на ип, а следовательно,
й на кинетическую энергию C1.36). Полное индуктивное сопротивление
также остается постоянным, если только не изменяется циркуляция
вокруг элемента.
Найдем теперь условие, при котором это сопротивление будет мини-
минимальным для заданной полной подъемной силы. Согласно предыдущему
соотношению C1.36) полное индуктивное сопротивление зависит от
распределения Г и, следовательно, от изменения скорости ип вдоль размаха.
Предположим, что распределение Г соответствует минимальному
сопротивлению; мы можем теперь прибегнуть к элементарному рассужде-
рассуждению, которым пользовались в случае одного прямого крыла (раздел 16.4).
Рассмотрим элемент несущей системы Asx с проекциями Ау1 и Azx.
Обозначим через 8(ДР1) изменение подъемной силы этого элемента,
которое может быть осуществлено надлежащим изменением его угла
атаки путем поворота элемента вокруг его оси. По направлению 8 (APi)
нормальна к Asb и ее компоненты по осям Оу и Oz определяются соот-
соответственно выражениями
8 (АР1У) = - pVoO^ • A
Так К£К по предположению полная подъемная сила остается постоян-
постоянной, то надо одновременно изменить подъемную силу некоторого другого
элемента системы As2, проекции которого на оси Оу и Oz мы обозначим
соответственно через А?/2 и Az2. Ничего не изменится в несущей систе-
системе, если заменить As2 на А?/2 и Az2 (фиг. 31.4), сохранив прежнее зна-
значение циркуляции Г2 на замещающих элементах. Но изменяя подъемную
силу элемента As± на величину 8(Д/>1), необходимо также ввести соот-
соответствующие изменения циркуляции 8Г2у и 8Г22 на элементах Д?/2 и
Az2, чтобы получить соотношения, удовлетворяющие условию постоян-
постоянства подъемной силы:
8ГХ. ДУ1 + 8IV Ау2 = 0; 81> Д% + 8Г22. Az2 = 0. C1.38)
Эти изменения циркуляции на элементах Asb Д?/2 и Az2 изменяют
индуцированную скорость позади крыла только на величины второго
порядка малости; поэтому скорости, индуцированные в точках элемен-
элементов Asx и Д$2, мы будем считать неизменными.
Обозначим далее через v1} — w1 и соответственно через v2, — w2 компо-
компоненты индуцированных скоростей по оси Оу и по отрицательному направ-
357
лению оси Oz. На основании предыдущих равенств C1.38) можно на-
написать следующее выражение для изменения 8i?i индуктивного сопро-
сопротивления:
Гу^ + w2\T2y\y2 + г?2ДГ22. £±z2) =
Wl - w2) + AZl (Vl - v2)}. C1.39)
Мы предположили, что распределение циркуляции оптимально, или,
другими словами, что минимально индуктивное сопротивление. Следо-
Следовательно всякое элементарное возмущение 8Г этого оптимального распре-
распределения дает нулевое изменение индуктивного сопротивления, т. е.
8/?i = 0. Таким образом, мы получаем
%i К — мъ) + Azi (г7х — г?2) - 0. C1.40)
Так как это равенство справедливо для любого элемента Asx или
А52, то отсюда следует искомое нами условие, имеющее весьма простой
вид
w1 = w2 =. . .= const, v± = v2 =. . .= const. C1.41)
Таким образом, индуцированная скорость постоянна по величине
и направлению во всех точках несущих линий Zlf l2, lz, . . .,/&, совокуп-
совокупность которых составляет несущую систему.
Вернемся к выражению для сопротивления C1.36) и обозначим через а
угол, образуемый ds с Оу\ получим c?5cosa = c?2/, ds sin a = c?z; следова-
следовательно (см. фиг. 31.4),
кп = v sin a + w cos a. C1.42)
Полагая w = 2w0 и г; = 2г;0, где w0 и v0 — индуцированные скорости
в плоскости несущей системы, можно написать выражение индуктивного
сопротивления в следующем виде:
m=llm 1 1Ш 1 lm
C1.43)
Предположим далее, что полная подъемная сила системы направлена
по Oz, откуда следует
к /с
Pz = Р = р^о 2 J rd2/' ^у = ° ~ 2 j rdz» C1 *44)
I'm I lm
и предыдущее выражение сводится к следующему простому соотношению:
д. = |о.р. C1.45)
358
Что касается индуцированной скорости, то она входит в расчет только
своей составляющей, направленной одинаково с подъемной силой, т. е.
в соответствии со сделанным нами предположением, по оси Oz.
Положим теперь, что —w есть индуцированная скорость в точках
линий 1и 12. . . несущей системы. Все происходит так, как если бы
1Ъ 12. . . были твердыми дугами, движущимися со скоростью поступа-
поступательного переноса —w. Благодаря этому результату задача об индуктив-
индуктивном сопротивлении решается весьма просто.
В самом деле, течение вокруг вихревых слоев llt l2. . . идентично
в этом случае течению, возникающему при поступательном движении
твердых дуг ll9 l2--. Это — задача о плоском движении, и решение ее
всегда возможно обычными методами, которые мы изложили выше.
Чтобы найти более удобное решение, рассмотрим пространство, заня-
занятое жидкостью, движущейся со скоростью w. Линии 1Ъ 12. . . неподвижны,
и совокупность этих линий находится, таким образом, в потоке, ско-
скорость которого в бесконечности равна w.
31.2.1. Случай замкнутой линии. Рассуждение остается тем же и в
случае замкнутой линии С (фиг. 31.5). Так же находим мы, что цирку-
циркуляция в точке этой линии опреде-
ляется, как и раньше C1.33), разно-
разностью потенциалов во внутренней об-
области 2 и во внешней области 1:
г = Ъ —
C1.46)
Если мы попрежнему обозначим
через п нормаль, направленную внутрь
области 7, то кинетическая энергия
жидкости дается тем же выражением
C1.47)
где интеграл берется по замкнутому контуру С.
Мы приходим к тем же заключениям и получаем то же условие для
минимального сопротивления, что и в предыдущем случае, с единствен-
единственной оговоркой относительно индуцированной скорости внутри контура С,
т. е. в области 2. Очевидно, что во всей этой области индуцированная
скорость та же, что и в точках контура С, т. е. равна —w.
В самом деле, замкнутая кривая С ведет себя как твердый контур,
движущийся со скоростью —?/;, и вся внутренняя область 2 жестко
связана с контуром и, следовательно, движется с той же скоростью.
Если в бесконечности существует прямолинейное и равномерное те-
течение со скоростью w, то контур С и ограниченная им масса неподвижны,
и течение совпадает с обтеканием цилиндра (с тем же поперечным сече-
сечением С), помещенного в поток, движущийся со скоростью w, В этом
359
случае можно считать, что внутри контура, где жидкость неподвижна,
потенциал имеет постоянное значение
ср2 = const. C1.48)
Таким образом, мы приходим к заключению, что условие минималь-
минимального сопротивления для всякой несущей линии, как открытой, так и зам-
замкнутой, сводится к нахождению условий движения вокруг твердых кон-
контуров, представляемых этими линиями и расположенных в прямолиней-
прямолинейном и равномерном потоке. При этих условиях индуктивное сопротив-
сопротивление, так же как и распределение циркуляции, вычисляется весьма
просто, как мы это увидим ниже.
31.3. Вычисление минимального сопротивления
Обратимся к выражениям C1.44) и C1.45). Можно написать после-
последовательно
Р = pVQ 2 \ TdV = ?Vo 2 \ (?s - ?,) dy=- 9V0 2 ) <?dy. C1.49)
! l
Последний интеграл распространяется на обе стороны несущей линии 1т
в положительном направлении. Для замкнутого контура С, так как
внутри него потенциал постоянен (ср2 = const), подъемная сила имеет
то же выражение:
с с
= pF0cp2 \dy — 9VQ \ ®\dy = — 9V0 \ ydy, C1.49')
с с с
где мы заменили потенциал внешней области срх общим символом ср.
Положим, что
ср = юФ = 2м;0Ф, C1.50)
где Ф имеет размерность длины. Выражение подъемной силы принимает
вид
к р
= 29Vowog, C1.51)
где а — площадь, определяемая интегралом
к
а = — ^)Ody. C1.52)
На основании C1.51) выражение наименьшего индуктивного сопро-
сопротивления может быть записано в виде
Ri = %z.p= *" , C1.53)
360
и коэффициент сопротивления принимает очень простую форму:
С* = С*£, C1.54).
где S — полная поверхность несущей системы.
Таким образом, достаточно найти потенциал Ф вокруг несущих ли-
линий 1т или несущего контура, помещенных в поток, скорость которого
равна единице.
31.4. Распределение циркуляции
Распределение циркуляции вытекает из соотношений C1.33) и C1.46);
следовательно, задача сводится снова к нахождению потенциала ср.
В случав несущей линии разность Г = <ps — ср. между значениями по-
потенциала на верхней и на нижней сторонах, в той же точке, равна
циркуляции. В случае замкнутого контура значение потенциала ср2 внутри
контура неопределенно, однако это обстоятельство не отражается на
подъемной силе, как мы это видели выше C1.49'), потому что ср2 сохра-
сохраняет постоянную величину. Так как эта постоянная не влияет на подъем-
подъемную силу, то можно положить ср2 = 0.
32. НЕСУЩИЕ СИСТЕМЫ С НАИМЕНЬШИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ
Задача о наименьшем сопротивлении имеет двоякое значение: во-пер-
во-первых, важно найти наилучшую несущую систему с точки зрения практи-
практических приложений, во-вторых, само вычисление индуктивного сопро-
сопротивления связано с этой задачей. В самом деле, мы уже видели в случае
мопоплана, что индуктивное сопротивление любой несущей системы очень
мало отличается, вообще говоря, от наименьшего сопротивления, которым
обладает эквивалентная система, имеющая ту же подъемную силу. При
этом в некоторых случаях наименьшее сопротивление находится весьма
просто, и его определение является лучшим методом вычисления индук-
индуктивного сопротивления рассматриваемой системы.
Эквивалентная система с минимальным сопротивлением имеет вполне
определенный потенциал ср; поэтому распределение циркуляции в соот-
соответствии с формулой C1.33) будет тоже вполне определенным. Если из-
изменить распределение циркуляции, сохраняя постоянной полную подъ-
подъемную силу, то, разумеется, изменится и сопротивление, однако измене-
изменение это очень незначительно и им можно пренебречь в первом прибли-
приближении.
Так, например, если известны подъемная сила и геометрическая кон-
конфигурация некоторой произвольной несущей системы, то приближенным;
методом вычисления сопротивления является отыскание площади а C1.52)
для эквивалентной системы с минимальным сопротивлением, с той же
подъемной силой и той же геометрической конфигурацией, что и у дей-
действительной рассматриваемой системы. Однако следует заметить, что*
в дальнейшем мы изложим еще и другие методы, более общие, при помощи
361
которых можно решать с достаточной точностью различные задачи, свя-
связанные с бипланом. Поэтому мы ограничим применение формулы C1.52)
несколькими частными случаями, допускающими простое решение и легко
исследуемыми.
32.1. Моноплан
Потенциал ср соответствует случаю тонкой пластинки в потоке, дви-
движущемся со скоростью w. Комплексный потенциал этого движения
дается равенством A3.4), где а = у иГ = 0, но система осей коорди-
координат иная: у— абсциссы, z — ординаты, и, следовательно, комплексная
переменная имеет выражение х = у -f- iz. При этих условиях
/ (х) = ср + £ф = - iw [А2 - ~ , C2.1)
где Ъ — размах крыла моноплана.
Обозначив через С замкнутый контур, проведенный вблизи пластинки
и окружающий ее, можем написать
= 2 [ y¥- — y*dy, C2.2)
где последний интеграл берется по размаху от одного конца (у = —?Н
до другого (у = + -тг) • Но интеграл этот одновременно выражает и
Ь
площадь круга радиуса -у . Следовательно, имеют место хорошо извест-
известC2.3)
ные соотношения:
где S — площадь поверхности крыла.
32.2. Моноплан с центральным вырезом
Пусть Ъ — полный размах крыла, a (J — ширина выреза, сделанного
посередине размаха (фиг. 32.1). Комплексный потенциал движения
/ == ср -f- jib, вызываемый скоростью w в бесконечности (в направлении Oz),
соответствует случаю биплана-тандем, который мы уже изучали в разде-
разделе 13.2. Таким образом, полагая f = wF, где F обозначает тот же по-
потенциал, вызываемый скоростью, равной единице, и пользуясь формулой
iA3.5), где а = -^, Г = 0, а комплексная переменная попрежнему # =
= у + iz7 можем написать:
и
362
C2.4)
Площадь а получает следующее выражение:
C2.5)
Очевидно, что р = ~, # = Т ($иг* *3.1 и 32.1). Контур С должен
охватывать обе части крыла; он мог бы, например, состоять из конту-
контуров Сг и С2 (см. фиг. 32.1) с обходом в одном направлении, что равно-
равносильно одному обходу контура С Так как во внешней области нет
Фиг. 32.1
других особенностей, то предыдущий интеграл может быть распростра-
распространен на сколь угодно большой контур С, и, таким образом, возможно
следующее разложение при очень большом х = у + iz:
Р- + о'-2.»- ' +... C2.6)
Принимая во внимание вычет, который дает это выражение, можно
представить интеграл C2.5) в виде
^( ^^) C2.7)
Согласно A3.8) примем
Л =-£- = -£-; *' = /!— А2 C2.8)
и обозначим через К1 и Е1 эллиптические интегралы первого и второго
рода
К'=[у dt ; E'=\Vl^y dt. C2.9)
Пользуясь далее соотношением A3.10)
т* = р*^, C2.10)
363
получим окончательно выражение для а в виде
C2.11)
причем значения х даются следующей таблицей:
Таблица 32.1
ъ
У.
= 0
= 1
0
0
,001
,76
0,
0,
01
665
0
0
,05
,54
0
0
,25
,295
0,
0,
5
127
1
0
32.3. Биплан с равными крыльями
Потенциал, вызываемый потоком, параллельным оси Oz при обтекании
двух одинаковых тонких пластинок с хордой Ь и высотой h (фиг. 32.2, а),
выводится из потенциала вокруг биплана-тандем, обтекаемого потоком,
параллельным плоскостям
последнего (фиг. 32,2, б)г
как это было показано в раз-
разделе 13.
Пусть х = у + iz есть пло-
плоскость действительного тече-
течения, а £ = т] + £С — соответ-
соответствующая плоскость биплана-
тандем; отображение этих
плоскостей одна на другую
определяется согласно A3.29)
функцией
а
h
1
/г
Z
1.
О
1
У
) >-
Фиг. 32.2
C2.12)
Потенциал течения в плоскости биплана-тандем, вызываемого ско-
скоростью, равной единице и направленной по оси сот], имеет следующий
простой вид:
Отсюда следует для а такое же выражение, как и в предыдущем
случае:
а=:— ^Fdx= — i[ (f "2)"!~^Т = ^(P2 + g2~ 2m2), C2.14)
где Сх — контур интегрирования в плоскости х, а Се, — контур интегри-
интегрирования в плоскости 5. В бесконечности эти плоскости совмещаются с точ-
точностью до поворота. Как и в предыдущем случае, мы можем написать
+ &-2§г). C2-15)
364
Теперь нам предстоит определить р и к. Обозначим через
1 , 1 ,
C2Л6)
полные эллиптические интегралы первого и второго рода с модулем к,
а. через К1 и Е1 — те же интегралы с модулем к1 = j/l — А2, определяе-
определяемые соотношениями C2.9), и, наконец, через
К'М = [ dt ; Е'М = С У1~к'
Vl — к'Ч2
IF
C2.17)
соответствующие неполные эллиптические интегралы, где т дается сле-
следующим соотношением:
C2.18)
Тогда, пользуясь соотношениями A3.33) и A3.35), в которые надо
подставить т вместо tmn b вместо с, получим
C2.19)
Во втором из равенств C2.19) отношение -г выражено как функция от
к, соответственно от кг = |/—к2; таким образом, мы можем определить
модуль к и ввести его в формулу для а. Окончательно получим
Ь2
a = тс —
4
Я-(т)-|,Л7
C2.20)
Числовые расчеты довольно трудоемки, для их выполнения надо
пользоваться таблицами эллиптических интегралов; ниже мы даем зна-
значения х в функции от -г .
Таблица 32.2
h
ъ
X
= 0
= 1
0
1
,05
,124
0
1
ДО
,213
0
1
,15
,300
о,
1,
20
353
0,
1,
30
463
0
1
,40
,550
0
1
,50
,625
365
32.4* Биплан в виде четырехугольника
Биплан этого вида с равными крыльями DD и СС отличается от
предыдущего случая наличием вертикальных стенок DC, которые соеди-
соединяют крылья (фиг. 32.3, а). Чтобы найти потенциал течения вокруг
такого прямоугольника, помещенного в поток, движущийся с равномер-
1
i
ш
ш
а
ш
h
■J
ш
ж
[ j;=y+iz
\£
0
h >
\w
D
У
Л'
б
-р
С
со
-г
Фиг.
32.
4
Л'
3
it
р
/"
2& >
7*
ной скоростью w, параллельной Oz, отобразим внешнюю область много-
многоугольника ABCDEF в плоскости х = у + iz на верхнюю полуплоскость
£ = т] + й. Применяя преобразование Шварца-Христофеля
где в нашем случае (см. фиг. 32.3)
получим окончательно
- Л1
C2.21)
C2.22)
C2.23)
Чтобы определить h±i заметим сначала, что в бесконечности ось Oz
соответствует оси сот], откуда следует
dx
dl
= г.
C2.24)
В плоскости 5 при скорости, параллельной сот] и равной единице,
потенциал будет
F = Ф + iW = 6. C2.25)
366
Таким образом, а выражается таким же интегралом, как и в преды-
предыдущем случае:
Л/*Э 1 5f'« ■ C2.26,
Контур С^, соответствующий контуру Сх в действительной плоскости,
заключает внутри себя все особенности плоскости $, следовательно, его можно
безгранично расширять. В этих условиях, замечая, что последний инте-
интеграл в C2.26) идентичен с C2.14) при т2 = q2, получим
а = л (р2 + q2 — 2q2) = ър2 A — к2).
По формуле C2.10) получим
:E1.
к'
C2.27)
C2.28>
Е'
Следовательно, вместо jp в формулах C2.18), C2.19) и C2.20) надо под-
подставить к2, откуда следует т = 1, и далее
_ Ъ 1 h _ Е — к'*К
Р~ 2 Е' — к2К' Ь ~ E'—WK1 *
Окончательно можем написать для а выражение
G~'K 4 (Ег—к?К'У — ^ 4
где х дается следующей таблицей:
C2.29)
C2.30>
Таблица 32.3
h
ъ
У.
= 0
= 1
0
1
,05
,155
0,
1,
10
270
0
1
,15
,370
0,
1,
20
470
0
1
,30
,664
0,
1,
40
835
0,50'
2:
32.5. Моноплан с щитками на концах крыла
Опыт показывает, что, добавляя к концам крыла моноплана щитки
в виде дисков, перпендикулярных к размаху, мы уменьшаем индуктив-
индуктивное сопротивление. Теоретическое объяснение этого явления заключается
в следующем.
Пусть Ъ — размах крыла, a h — высота щитков; отобразим область
х = у + iz (фиг. 32.4, а) на область & = т\ + й (фиг. 32.4, б) тем же способом,,
как и в предыдущем случае. Мы получим равенство
dx
C2.31)
аналогичное соответствующему равенству для биплана C2.12), с той только
разницей, что для биплана q<^m <Cp- Отсюда и для а получим прежнее
выражение: а = тс (р% + q2 — 2m2).
367
Положим опять q = kp и, рассуждая так же, как и в предыдущем
случае, найдем
' -ft b = PY • C2-32)
ш
1
1
Ж
ш
'//л. а
1
■фж
в
ш
щ
1
ж
г
0
т
t Ff а1 н1
Фиг. 32.4
откуда следует
Значения коэффициента х указаны в табл. 32.4
Таблица 32.4
h
р =
х =
0,
1,
07
14
0,
1,
175
34
0,
1,
347
64
0,
2,
690
23
33. ПОЛНОЕ ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО БИПЛАНА
Выше мы видели, что полное индуктивное сопротивление биплана
C1.23) не зависит от выноса; поэтому, чтобы вычислить индуктивное
сопротивление произвольного биплана, надо найти эквивалентный биплан
без выноса, обладающий теми же геометрическими характеристиками
и тем же распределением циркуляции вдоль размаха каждого из крыльев,
что и у действительного биплана с выносом. Но от этого задача не стано-
становится проще. С одной стороны, распределение циркуляции вдоль размаха
крыла, оказывающего влияние на другое крыло, определяется еще труд-
труднее, чем в случае крыла моноплана; кроме того, вычисление скоростей и
индуктивного сопротивления на крыле, находящемся под действием дру-
другого крыла, весьма сложно и обычными методами почти не осуществимо.
С другой стороны, взаимное влияние вихрей, присоединенных к крыльям,
368
весьма трудно определимое даже в случае биплана бесконечного размаха,
становится совершенно не определимым при конечном размахе крыльев,
если только не ввести упрощающих предположений, как это и делается
при использовании применительно к данному случаю приближенных
методов.
33.1. Эллиптическое распределение циркуляции
Один из методов, притом весьма интересный, принадлежит Прандтлю.
Метод основан на предположении, что распределение циркуляции вдоль
каждого из крыльев весьма мало отличается от эллиптического, и, так
как даже довольно существенная разница в распределении циркуляции
мало отражается на индуктивном сопротивлении, то это предположение
не может внести ощутительной ошибки.
Обозначим через Гх и Г2 соответственно циркуляции вокруг верхнего
и нижнего крыльев, через Рг и Р2 — соответствующие подъемные силы,
через Ъг и Ь2 — соответствующие размахи, а через h — высоту, или рас-
расстояние между плоскостями крыльев (фиг. 33.1).
Попрежнему выберем си-
систему координат так, чтобы
ось Оу была направлена
вдоль размаха крыла, ось
Oz — по нормали к поверх-
поверхности крыла, а ось Ох — вдоль
направления скорости.
Если отвлечься от глав-
главного потока Vo, то течение
в бесконечности позади кры-
крыла, обусловленное исключи-
исключительно слоем свободных вих-
вихрей, будет плоским, и комп-
комплексная переменная будет определяться посредством х = у + iz.
Предположим, Гх изменяется по эллиптическому закону, что влечет
за собой значение Г10 = — Гх в центре крыла; тогда мы получим в точ-
точках крыла 1 постоянную индуцированную скорость, определяемую по
формуле A6.26):
Wl = 2h ~ ъЬ ~ лт гЛ * C3.1)
3, #
Уг
Фиг. 33.1
В бесконечности позади крыла, где течение строго плоское, значение
этой скорости вдвое больше, т. е. ги'г = 2гог. Поле скоростей в точках
крыла 2, находящегося под влиянием крыла 1, выводится из рассмотре-
рассмотрения течения около тонкой пластинки с хордой Ьи движущейся со ско-
скоростью — wly нормальной к ее поверхности. В случае движущейся
пластинки скорость в бесконечности равна нулю, и абсолютное движение
369
дается следующим потенциалом:
(^) <33-2>
где знак плюс берется при z^>0, а знак минус — при z<0. Выше мы
указали, что в бесконечности позади крыла, где индуцированная
скорость равна w'x = 2wlt течение строго плоское; отсюда следует, что
C3.2) является выражением потенциала поля скоростей, индуцированных
в плоскости крыльев.
Так, например, в точке х2 = у2 — ih нижней плоскости 2 эта скорость
определяется следующим равенством:
— v —iw — (dS\ — __ i
— 9i 9.1 — ,.. — KpVobiy л/ г ь\ )
C3.3)
/
Следует заметить, что нас интересует только скорость по Oz; обозна-
обозначая через w21 эту скорость в той же точке размаха нижнего крыла 2,
можем написать
— и>21 = -^rii f1 + д- ч- У2 — lh_ . C3.4)
V B/2 — ihf — -£
Индуктивдое сопротивление крыла 2, вызываемое крылом 1, которое
мы обозначим через R21, получается далее автоматически:
в2
#21 = — Р [ ^21 Г2 dy2 =
причем согласно первоначальному предположению циркуляция Г2 также
предполагается распределенной по эллиптическому закону. Примем
далее, что
в таком случае мы можем написать
370
где коэффициент о дается следующим интегралом:
а = —
6 A + Е) + *
—1
C3.8)
Как мы уже показали выше, индуктивное сопротивление /?12 крыла 7,
вызываемое крылом 2, равно R21, т. е. /?12 = R2i- Отсюда следует, что
а имеет то же значение, если интеграл в правой части рав енства C3.8)
относится к верхнему крылу. Можно
всегда предположить, что Ь2 <! Ьг1
т. е. что ja<^1; если же размах
верхнего крыла меньше размаха
нижнего,т. е. если bx<^b2, то следует
взять т]х = ^ и fi/ = ^. Тогда вычи-
вычисления будут относиться к верхнему
крылу и выражение для а будет
идентично выражению C3.8).
Нахождение интеграла в правой
части этого равенства представляет
значительные трудности; однако их
можно избежать путем преобразова-
преобразований и приближенного вычисления.
Этот интеграл можно свести к не-
нескольким интегралам эллиптического типа, положив
п en
ОАО
№
\
\
\
V
/
-•0,6
0.1 Ц2
0,4 0J)
Фиг. 33.2
*• ^~~
iT ; Sm ? ~
C3.9)
Вычисления, довольно трудоемкие, приводят к следующей формуле
для а, выведенной Фуксом:
. 4
C3.10)
В табл. 33.1 даны числовые значения а как функции от s для ц = 1;
0,8; 0,6; на фиг. 33.2 эта зависимость показана графически кривыми,
построенными по формуле C3.10).
371
Таблица 33.1
Значения а
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
1,0
0,8
0,6
1,000
0,800
0,600
0,780
0,690
0,540
0,655
0,600
0,485
0,561
0,523
0,437
0,485
0,459
0,394
0,420
0,401
0,351
0,370
0,355
0,315
0,327
0,315
0,285
0,290
0,282
0,255
0,258
0,252
0,231
0,230
0,225
0,210
33.2. Циркуляция, не изменяющаяся вдоль размаха
Другой приближенный метод, очень простой, основан на предположении,
что циркуляция сохраняет постоянное значение вдоль размаха. В самом
деле, мы можем предположить, что средняя циркуляция Гт распростра-
распространена по всему размаху крыла и что два свободных вихря сбегают с концов;
но значения с, получаемые этим методом, существенно ниже тех, кото-
которые вытекают из предположения эллиптического распределения цир-
циркуляции.
С другой стороны, мы можем представить себе вихревую пелену за
каждым из крыльев разрывающейся и дающей на некотором расстоянии
позади крыла начало двум вихревым шнурам, напряжение которых
одинаково с напряжением в центре крыла (Го) и которые как бы отде-
отделяются в двух точках внутри размаха (фиг. 21.2). Можно считать, что
реальное действие одного крыла на другое получается как промежуточ-
промежуточное между действиями, определяемыми в соответствии с указанными
двумя гипотезами. В первом случае мы предполагаем, что свободные
краевые вихри сбегают с концов и что, следовательно, расстояние между
ними равно 6, т. е. равно длине размаха, во втором же случае это рас-
расстояние равно хо6, где х0 определяется ранее установленной форму-
формулой B1.44):
Мы будем обозначать этот коэффициент через х^ для крыла 1 и через
х* — для крыла 2.
Если мы теперь предположим, что реальное действие соответствует
среднему положению краевых вихрей, т. е. что
или для крыльев 1 и 2
2 '
C3.12)
C3.13)
372
то получим следующее выражение для направленной по вертикали вниз
скорости ги21, индуцируемой крылом 1 в точке у2 размаха крыла 2:
C314)
где Г^, или средняя циркуляция крыла 1, распределенная на эквива-
эквивалентном размахе *i&i, может быть заменена на1
Гт=?^^жк- (ЗЗЛ5)
Формулой C3.14) не учитывается влияние угла атаки, благодаря
которому вводится вынос, и несущие линии биплана не лежат в одной
плоскости, перпендикулярной направлениям свободных вихрей, т. е. на-
направлению скорости. В следующем разделе мы установим общую формулу
с учетом и выноса и угла атаки.
• Далее, обозначая через Т"т среднюю циркуляцию крыла 2, получим
Я21 = Prm J w21 dy2 = r^y \ w21dy2 »
B) 2 2 2B)
lX2 ЪгЪ2 (хА
откуда, вводя параметры \i и е, определяемые соотношениями C3.6),
получим
Преимущество этой формулы в ее простоте и симметричности, а также
в том, что она, повидимому, лучше представляет действительное явление.
Вычисленные при ее помощи значения с весьма близки к приведенным
в предыдущей таблице. Если положить
П==
где т и п—^коэффициенты, которыми мы будем пользоваться чаще в
следующем разделе, то формулу C3.17) можно представить в еще более
удобном виде:
C3.19,
1 В действительности, как мы увидим дальше, средние скорости Уг и V2 отличны от
Vo. Обозначив через и12 и щ\ средние скорости по направлению Ох, вызываемые взаимодей-
взаимодействием крыльев, можно положить Vx = Vo + u12 и V2 = Vo + u2i. Так как, кроме того,
«12 » —1*21» то УгУ2 ж V%, и, следовательно, формула C3.15) имеет оправдание.
373
33.3. Оптимальное распределение подъемной силы на обоих
крыльях биплана
Представляя индуктивное сопротивление каждого крыла в виде A6.40),
можно написать следующее выражение для полного сопротивления
биплана:
C3.20)
Теперь нам надо найти оптимальное распределение при заданной
полной подъемной силе jP = Рг + P%- Пусть
Р — \Рт Р- — D - Х\/^ / Q о о л \
лг2 — лх-, гг — ^1 л; r% (oo.Zl)
причем отношение \ подлежит определению. Сопротивление, которое в
этом случае выражается как функция от X, в виде
C3.22)
1,0
х
at
at
— —
* 1—1
— .-
Фиг. 33.3
втановится минимальным при
X =
Следовательно,
где
C3.23)
C3.24)
C3.25)
Значения коэффициента х, а также X даны в табл. 33.2; зависимость
х от -у при различных значениях ji изображена графически на фиг. 33.3.
374
Таблица 33.2
Значения к
\ h
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0
1
1
1
1
1
0,05
0,990
0,982
0,974
0,950
0,890
0,10
0,974
0,956
0,932
0,893
0,827
0,15
0,954
0,926
0,892
0,847
0,779
0,20
0,932
0,897
0,855
0,807
0,742
0,25
0,911
0,871
0,825
0,773
0,710
0,30
0,892
0,849
0,800
0,744
0,684
0,35
0,875
0,830
0,778
0,719
0,662
0,40
0,861
0,812
0,758
0,699
0,645
0,45
0,848
0,797
0,740
0,683
0,629
0,50
0,839
0,783
0,728
0,671
0,615
Значения X •.
\ h
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0
0
0
0
0
0
0,05
0,060
0,105
0,172
0,303
0,500
0,10
0,104
0,164
0,246
0,359
0,500
0,15
0,134
0,202
0,285
0,387
0,500
0,20
0,157
0,228
0,310
0,402
0,500
0,25
0,176
0,248
0,327
0,412
0,500
0,30
0,191
0,262
0,338
0,419
0,500
0,35
0,202
0,272
0,347
0,425
0,500
0,40
0,211
0,281
0,355
0,429
0,500
0,45
0,218
0,288
0,361
0,431
0,500
0,50
0,224
0,294
0,364
0,433
0,500
Обозначим далее через Ro профильное сопротивление, вызываемое
трением и отрывом потока сзади, у верхней стороны профиля. Прибавив
Ro к выражению C3.24), получим полное сопротивление биплана:
Яъ =
2Р2
х.
C3.26)
Обозначим через S общую поверхность биплана, через S± — поверхность
крыла 1, через S2 — поверхность крыла £, через С2ъ — коэффициент подъ-
подъемной силы биплана я через Схь — коэффициент сопротивления. Тогда
мы можем написать соотношение, сходное с соотношением для моно-
моноплана, а именно
= Схо +
— -ь**
'ХО
C3.27)
где Хх — удлинение верхнего крыла.
Если обозначить через X удлинение крыла моноплана того же профиля,
а через Сг и Сх — коэффициенты соответственно подъемной силы и сопро-
375
тивления, то разность между сопротивлениями при одинаковой подъемной
силе определится формулой
C328)
В общем случае, обозначив через Схъ С^, Czl и Cz2 аэродинамиче-
аэродинамические характеристики первого и второго крыльев, взятых отдельно, получим
+ +2С С22 -gj-f. C3.29)
Эта формула предполагает, что коэффициенты подъемной силы Czl и
Cz2 заранее известны; задачу, связанную с их определением, мы рассмот-
рассмотрим в следующем разделе.
34. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КРЫЛЬЕВ БИПЛАНА
В настоящем разделе мы установим аэродинамические характеристики-
крыльев биплана с выносом. Задача заключается в том, чтобы определить
влияние одного крыла на другое. Это трудная и сложная задача даже в слу-
случае биплана с бесконечным размахом, при конечном же размахе крыльев
она становится почти не разрешимой, если не ввести необходимые упро-
упрощения, посредством которых могут быть получены приближенные решения,
достаточные для практического применения.
34.1. Определение средних циркуляции
Чтобы установить взаимодействие крыльев, допустим, как и в случае
биплана с бесконечным размахом, что действие влияющего крыла являет-
является простым налЬжением на те аэродинамические характеристики, ко-
которые присущи другому крылу в изолированном состоянии. Таким об-
образом, для каждого крыла в отдельности имеем:
а) средние циркуляции крыльев в изолированном состоянии;
б) влияние свободных вихрей одного крыла на другое;
в) влияние присоединенных вихрей одного крыла на другое.
34.1.1. Циркуляции крыльев в изолированном состоянии. Для упро-
упрощения предположим, что угол атаки постоянен вдоль размаха; тогда
распределение циркуляции будет зависеть только от формы рассматри-
рассматриваемого крыла в плане.
Обозначим через Ги и Г22 средние циркуляции, распределенные по
всему размаху соответственно верхнего A) и нижнего B) крыльев, а через
h и h — соответствующие средние индуцированные углы. Замечая, что
в случае крыла конечного размаха коэффициент подъемной силы, который
376
мы будем обозначать через Kz, связан со средней циркуляцией Гт соот-
соотношением
b 2Ыт
-~^' C4Л)
и, пользуясь формулой A9.3), выражающей коэффициент подъемной силы
как функцию угла атаки1
Кг = 2кх*9 C4.2)
можем написать окончательно следующие выражения для циркуляции
Ги и Г22:
Гн = *xi -§■ *W, Г22 = h2 A Foa2, C4.3)
где коэффициенты к^ и &Х2 даются формулой A9.6) в функции от коэф-
коэффициента крыла бесконечного размаха, теоретическое значение которого
kt = тс A + е) ж тс,
а экспериментальное
К = у (^g-) я* 0,87 (u + s)» 0,9*.
По причине, которая станет понятной ниже, мы примем среднюю
циркуляцию на приведенном размахе у-фъ соответственно х2Ь2, где *х и
х2 определяются формулами C3.13); вводя значения средних хорд сх =
= -тг и с2 = -—-, можем написать в этом случае
^ ^-F0«2. C4.4)
34.1.2. Влияние свободных вихрей. Как и в предшествующем параграфе,
крылья будут представлены отрезками AXBX и ^42J52 с длинами х±Ь± и
х2Ь2, причем вдоль всего их размаха крылья имеют одинаковые (средние)
циркуляции, равные соответственно 1\ и Г2. Вихревые слои представятся
двумя парами краевых вихревых шнуров с одинаковым напряжением
(фиг. 34.1).
Скорость, индуцированная в точке Рх верхнего крыла 1, обусловлен-
обусловленная свободным вихрем, срывающимся с конца В2 нижнего крыла 2, со-
содержится в плоскости A-JB^A^B^ нормальной к главному потоку, перпен-
перпендикулярна отрезку Р±В'2 и равна
7и=£. *гA-со8Т). C4.5)
1 В формуле A9.3) коэффициент подъемной силы обозначен обычным символом
Сх вместо Kz, как мы его обозначаем здесь, чтобы особенно выделить коэффициент
подъемной силы моноплана, т. е. изолированного крыла.
377
Ее проекция на вертикаль является единственно интересующей нас
составляющей; она равна
— Г2
= Va cos v =
—■COST).
C4.6)
Фиг. 34.1
Отмечая далее наличие соотношений
cosv.
-2 — Ui
Л*
hsinfi
I
}C4.
7)
; cost =
легко найти следующее выражение для вертикальной составляющей:
C4.8)
Эта индуцированная скорость уменьшает угол атаки крыла 1 на пе-
переменную величину, равную -тг~» что обусловливает соответственное
уменьшение циркуляции вокруг крыла. Если учитывать изменение этого
индуцированного дополнительного угла вдоль всего размаха крыльев,
задача значительно усложнится и будет лишена практического интереса.
Поэтому принимают средний дополнительный индуцированный угол i12»
определяемый по формуле
~ *p-dyi. C4.9)
Полученный интеграл легко рассчитывается элементарным путем. Для
того чтобы привести его к более удобному виду, введем новую перемен-
переменную Yl9 которая определяется соотношением
h sin p = ]Л2 + (ЪЬ. -
C4.10)
378
и выразим ух в функции Г1# Принимая во внимание соотношение C3.18)
и удвоив полученный результат с тем, чтобы учесть второй свободный
вихрь, срывающийся с конца А2 (воздействие второго вихря идентично
первому), после элементарных преобразований находим:
= ~~Г2 ln]Al + m2cos2P + sinP C411)
12 гтгххЬ^о Kl + n2Cos2p+sinp ' '
Для среднего индуцированного угла i211 обусловленного свободными
вихрями верхнего крыл& 7, в точках нижнего крыла 2 получим анало-
аналогичным образом, заменив (J на —[5, следующее равенство:
-^£U 1п>
а?7тх2&270 Kl -f /г2 cos2 p — sin
C4.12)
Пусть далее
cos» p. C4.13)
По аналогии с коэффициентом с, который определяется выражением
C3.19), примем
, р — sinp
ln gsmp • C4.14)
Легко убедиться в том, что при E = 0, как аь так и с2 сводятся тож-
тождественно к коэффициенту с, соответствующему прямому биплану C3.19).
Этот коэффициент в то же время равен полусумме сх и о2
В приведенных выше формулах расстояние h между плоскостями
(фиг. 34.1) и определяемая посредством tgfl величина выноса зависят от
направления потока и, следовательно, от угла атаки. В связи с этим
последняя величина называется аэродинамическим выносом.
Чтобы установить влияние угла атаки, определим высоту h0 и вынос E0>
отвечающие нулевому углу атаки. Пусть Ог и О2 — центры крыльев1,
-1 В действительности Ог и О2 представляют следы несущих линий, которые сле-
следовало бы при более строгом рассмотрении считать совпадающими с линиями цен-
центров давления. Однако положение последних меняется с изменением угла атаки,
что в значительной мере усложняет задачу. К тому же современные крылья отли-
отличаются очень слабым моментом при нулевой подъемной силе (т. е. малым коэффи-
коэффициентом £то). Можно принять, что центры давления расположены на передней
четверти профиля. В итоге, если хорды не слишком различны, получаем, что отно-
относительное расположение центров давления приближенно совпадает с относительным
расположением центров крыльев. Напомним, что именно это было принято нами
выше, главным образом для ясности рассуждений. Что бы ни понималось под О\,
О2,— центры крыльев, фокусы, либо иные промежуточные положения, конечные
формулы будут иметь неизменную структуру, а изменением а в функции этого по-
положения можно пренебречь. Действительно, пренебрегая практически изгибом со-
379
Аг и А2 — их оси нулевой подъемной силы (фиг. 34.2). Обычно Аг при-
принимают в качестве координатной оси биплана, и тогда высота опреде-
определяется как h0 = О±Н0. Таким образом мы поступили, в частности,
в главе, посвященной бипланам с бесконечным размахом, где мы обозна-
обозначили эту высоту буквой h без каких-либо индексов. Угол [50, образован-
образованный отрезками ОхН0 и О±О2, является начальным выносом биплана, или
геометрическим выносом.
Рассматривая фиг. 34.2, можем без труда вывести соотношения
= Ро — <*■
1»
sin р; ^ sin р0 — clx cos [50;
cos p cos p0
Полагая далее
C4.16)
получим
C4.17)
mcos|5 = m0cosj50;
C4.18)
Отсюда следует, что р и д,
определяемые формулами C4.13),
не зависят от угла атаки. По со-
фиг 34 2 ображениям симметрии обозначим
их через р0 и q0.
Рассмотрим теперь выражения C4.14); замечаем, что угол атаки мал.
Можно представить разложения этих выражений в функции от угла в виде
Ш
q + sin р — Ш ^0 + sin р0
, р — sin р ^, р0 — sin Po
Ш ^sinp ~ 1П ^sinp
o /
0 ai C0S ?0
1 1 \
-sin р0 — g0 -sinp0;
U +
^о + sin Р
C4.19)
Обозначая далее через а10 и a20 значения ax и a2, соответствующие
геометрическому выносу |50, получим
а2 = а20 аЗ C0S E
д0 + sin р0 ро + sin р0
1 1
д0 — sin р0 р0 — sin р0.
C4.20)
Для малых углов атаки можно, в сущности, пренебречь членами
с ах и сохранить простой вид выражений C4.14), заменив при этом р на [50.
временных профилей и считая, следовательно, что центр давлений расположен
на расстоянии четверти хорды от передней кромки, получим разницу выносов
С\ — С2
As = —т—. Для с2 ~ 0,6 ci, hQ ~ сх будем иметь Ар ^ sin Ар -^ 0,1, что мало вли-
влияет на величину а, определяемую формулой C4.15). Вместе с этим, возможно, была
бы также достаточно принять в качестве несущих линий линии фокусов.
380
Вернемся к выражениям C4.11) и C4.12) для индуцированных дополни-
дополнительных углов атаки. Последние лишь уменьшают геометрические углы <хх и
а2, что влечет за собой соответственное уменьшение циркуляции. Для каждо-
каждого крыла биплана это уменьшение может быть записано в следующем виде:
i2i = — i
°2
V i h Сз
V 0*21 = — #А2 —
C4.21)
34.1.3. Влияние присоединенных вихрей. Для упрощения задачи за-
заменяем воздействующее крыло бесконечно тонкой вихревой трубкой и
вычисляем индуцированную скорость в точках крыла, испытывающего
Фиг. 34.3
воздействие; заменим также последнее его несущей линией. Следователь-
Следовательно, полное воздействие одного крыла на другое будет в этом случае
выражено действием системы вихревых нитей в форме подковы, пред-
представляющей свободные вихри, объединенные со связанным вихрем (см.
фйг. 34.1). Между тем это упрощающее допущение не воспроизводит дей-
действительного явления. Поэтому целесообразнее применять методику,
использованную для бипланов с бесконечным размахом и тонкими пло-
плоскими крыльями. Мы считаем, что этим путем, как было показано на
конкретном примере A4.4.1), лучше описываются свойства течения вокруг
крыла, подверженного воздействию другого.
Заменим, стало быть, воздействующее крыло единственным вихрем
длиной хб, расположенным на передней четверти хорды (совпадающей
с центром циркуляции, если заменить крылья тонкими плоскостями),
и вычислим индуцированную вертикальную скорость в точках, распо-
расположенных на задней части хорды крыла, испытывающего воздействие
{фиг. 34.3). Таким образом, учитывая конечную длину присоединенных
381
вихрей, можно применять формулы, полученные для биплана с беско-
бесконечным размахом, с точностью до коэффициента, связанного как раз с
ограничением длины вихря.
Все же следует заметить, что действие заменяющего вихря различно
в каждом сечении крыла, испытывающего воздействие. Это обусловлено
тем, что индуцированная скорость, как мы ее определили выше A4.64),
а стало быть, и дополнительная циркуляция в равной мере различны для
каждого сечения. При такой трактовке задача становится очень трудной
и усложняется еще дополнительно вследствие изменения циркуляции,
вызываемого ограниченным размахом.
Поэтому мы будем рассматривать среднее постоянное воздействие для
всего размаха крыльев (что эквивалентно постоянной индуцированной
скорости) и предположим для данного случая, что соответственный инду-
индуцированный угол атаки лишь изменяет на постоянную величину геометри-
геометрический угол атаки. Следовательно, можно будет принять, что допол-
дополнительная циркуляция, обусловленная этим индуцированным углом атаки,
изменяется по тому же закону, что и для изолированного крыла моно-
к
плана. Эта гипотеза сама по себе определяет коэффициент — , который
заменит коэффициент к в формулах A4.62).
Для того чтобы найти среднее воздействие одного крыла на другое,
возьмем точку Рг (у^ крыла 1, расположенную на четверти хорды со сто-
стороны задней кромки (фиг. 34.3). Скорость в этой точке, обусловленная
присоединенным вихрем А2В2, заменяющим воздействующее крыло 2 и
расположенным на четверти хорды со стороны передней кромки, как раз
отражает влияние одного крыла на другое. Эта скорость имеет выражение
/\ /\
Г2 cos Р1А2В2 + cos РХВ2А2 .о / г>9д
4тс 7ГТГ » \
где QxG2 равно расстоянию от Рг до отрезка А2В2. Полагая далее
/\ ^ + 2/1 )
cos P^Bz =
|
*А \ C4.23)
ВА
/
cos РгВ2А2:
можем вычислить среднюю скорость посредством простой квадратуры»
Выполняя расчеты и заменяя QxGl через
)a <34-24>
находим, что средняя скорость имеет то же выражение, что и для би-
382
плана с бесконечным размахом, но значение скорости уменьшается благо-
благодаря наличию множителя
-]/(
'"bl-xJ-J+ H + (Ц^-ч)'} C4.25)
Таким же образом находим аналогичный множитель для средней
екорости в точках нижнего крыла 2, вызванной верхним крылом 1:
C4.26)
После коррективов формулы A4.61) для биплана с ограниченным раз-
размахом приобретают в конечном итоге вид
Ti2 = £12712; Т'21 = g2iT2i> C4.27)
где 7i2 и T2i определяются выражениями A4.61) после подстановки h9
и s0 вместо h и s, причем последние величины обозначают для биплана
бесконечного размаха то же, что первые для биплана конечного размаха.
Для дополнительных циркуляции получаем окончательно следующие
значения:
C4-28)
34.1.4. Полные средние циркуляции. Основываясь на формулах C4.4),
C4.21) и C4.28), можем написать
Гх - Ги + Тп + Ти - А„ - 0[ ^ ^^J 2J
Г — Г -1- Г' _1_ Г* —t ^fL А*1£з , JsiTai \ Г 1 I '
1«-1в + 1и +Г21 -ftxi ^Г i+JrJ
Эти уравнения разрешаются легко. Полагая
находим следующие соотношения:
х2г2 __ а2 — /2«i
-/1 /2 ? К* ^0 1 - /1/2
К ' ^
Они имеют такой же вид, как и в случае биплана бесконечного раз-
размаха A4.62), но, естественно, содержат разные коэффициенты.
383
34.2. Результирующие силы
Представим крылья, как это сделано на фиг. 34.1, несущими линия-
линиями А1В1 и А2В2 длиной соответственно у.фг и х2&2 со средней постоянной
циркуляцией 1\ и Г2. Пусть будут и12 и и21 составляющими по направ-
направлению потока средних скоростей, индуцированных в точках верхнего
крыла 1 и нижнего крыла 2, а го12 и го21 — соответствующими состав-
составляющими по восходящей вертикали (О& и O2z2).
Для подъемной силы и сопротивления можно будет записать следую-
следующие выражения:
А = Р (Р0 + К12) 1>А/* /?1 = #
01
где /?oi и R02 — сопротивления формы, вызванные трением и отрывом
потока от верхней поверхности крыла, a i?n и R22 — индуктивные со-
сопротивления крыльев 1 и 2, возникающие при изолированном положении
крыльев, как в случае моноплана.
В задаче о вычислении индуцированных скоростей мы наталкиваемся
на трудность, связанную с определением положения несущих линий А1В1
и А2В2.
Как это принималось нами ранее, можно в принципе считать, что заме-
заменяющие вихри располагаются в центрах давления и что взаимодействие
крыльев сводится (помимо наложения дополнительной циркуляции, кото-
которую мы определили выше иным путем) к воздействию индуцированных
скоростей, оказывающих влияние на подъемную силу и сопротивление
каждого крыла.
Чтобы избежать неопределенности, связанной с положением центров
давления, и учитывая, что современные профили характеризуются очень
малым (почти нулевым) изгибом, мы можем принять, что эти центры
отвечают фокусам профилей, т. е. располагаются в точках, отстоящих
на четверть хорды от передней кромки. Это предположение позволяет
определить положение центров Ог и О2, представляющих крылья (фиг. 34.2).
Возвращаясь к индуцированным скоростям, отметим, что свободные
вихри дают лишь вертикальные составляющие. Их средние значения
были подсчитаны выше C4.11, 34.12 и 34.14):
C4.33)
4
Что же касается присоединенных вихрей, то применение формулы
Био-Савара позволяет без труда определить скорость в точке Р1у обус-
обусловленную вихрем А2В2. Она перпендикулярна к плоскости
384
(следовательно, и к прямой ОгО2) и имеет такое выражение (см. фиг. 34.1):
[Х262
—2/1
'' (у-Ф<
о*-*/+•*■ J
/(=
C4.34)
Вычисляя элементарный интеграл, взятый вдоль всего размаха хгЬ1у
получим
it/ f^i^7^ /гтрц^; ]. C4.35)
Введя обозначения, принятые в C4.13), получаем для составляющих
«12 И Ч2
Го cos р , ч " ri!3
(p — q); C4.36)
Кроме того,
cos (
Принимая далее
cos p, ч sin p
получим окончательно
w12 =
Описанные результаты позволяют вычислять подъемную силу и со-
сопротивление следующим образом.
34.2.1. Подъемная сила. Уравнения C4.32) напишутся в таком виде:
Отсюда следует, что полная подъемная сила Р = Рх -\- Р2 не зависима
от относительного положения крыльев:
Р = р70(хАГ1+х2й2Г2). C4.41)
385
Далее из формул C4.31) выводим
г — /2ai т/
_ ,- ,• v о
C4.42)
Полученные выражения подставляем в равенства C4.40) и находим
—^- = Сп = )
= 2к
/1/2
— /1/2
C4.43)
Эти основные формулы могут быть представлены в различных видах,
удобных для использования. Так, например, заметив, что второй член
суммы в скобках мал, можем написать приближенно
- 1—/1/2 4
СО 7 2 /2 1 /о / / /\
z2 ^^Z/Cx2 -1 ^- . C4.44)
1—/1/2 V 7
Введем эти выражения в скобки и обозначим, как обычно, через со
угол относительного наклона, что позволит нам заменить а2 на ах -f- со.
Тогда
i
1 —/1/2
/2) а2 + /2'
A—/
—
C4.45)
Наконец, если согласно C4.2) обозначить через
iiTzl = 2 *xi «i; i^z2 = 2 АХ2 а2 C4.46)
коэффициенты подъемной силы верхней 1 и нижней 2 плоскостей в изо-
изолированном состоянии (как в случае моноплана), и принять также
C4.47)
^ 1-/1/2
то можно будет написать
—/1/2
C4.48)
386
Для коэффициента подъемной силы биплана, учитывая C4.41) и полагая
S = St + 6*2, получаем следующую простую формулу:
Sl IT
wo
C4.49)
которая выводится также непосредственно из соотношений C4.48), если
записать
ZbS — Czl S±
C4.50
Для биплана с одинаковыми крыльями (сх = с2 — с, Ьх = Ъ2 = Ь) без
выноса ф = 0) и относительного наклона (со = 0) получим хх = х2 = х;
7i2 = 72i = Т5 ai = а2 = а; к1 = к2 = к\ Axi = АХ2 = *х-
Отсюда
2а , /су\ 1
+ ^J; § ^ §
xf-1
p — q ^ h
4x2 ~ 4x2
Kz \ К
1 H- /7 1 + / 1 + /"
^.
C4.51)
г+7
34.2.2. Сопротивление. Представим Ru и /?22 в обычном виде A6.40)
и заметил! далее, что можно записать
C4.52)
Формулы C4.32) для сопротивлений представятся соответственно
Ч
№]
C4.53)
Учитывая согласно C4.15), что 2а = ax + a2, находим следующее
выражение для полного сопротивления:
C4.54)
которое отличается от ранее найденного иным путем выражения C3.20)
лишь членом i?0, обусловленным сопротивлением формы.
387
Для безразмерных коэффициентов, разделив уравнения C4.53) соответ-
2 2
ственно на —-— и —-— , получим
СXI =
откуда следует, что коэффициент биплана
г % + # % +2о то Czl с« • C4'56)
Мы приняли для коэффициента формы среднее значение:
SCx0b = SxCxoi + S2Cxo2' C4.57)
Формула C4.56) идентична формуле C3.29) для прямого биплана, без
выноса, что и должно иметь место, поскольку согласно теореме Мунка
полное сопротивление не зависит от выноса.
Для биплана с равными крыльями, без выноса и относительного накло-
наклона получим также
Сх1 = Сх2 =Сх = Сх0 + ^A + с)= СхЪ. C4.58)
Разница в сопротивлении относительно моноплана с удлинением 1т
будет определяться формулой, аналогичной A3.23),
Cxb-Cxm = ^-[y^-~j, C4.58')
которая позволит нам перейти от поляры моноплана к поляре биплана.
34.3. Эффективные углы атаки
В ряде случаев бывает полезным рассмотреть эффективные углы атаки
для каждого из крыльев биплана. Ранее для вычисления циркуляции C4.29)
мы уже определили эти углы атаки общим способом. Теперь мы пред-
представим их в иной форме, аналогичной случаю моноплана.
Обозначим, например, через а12 полный индуцированный угол в точках
верхнего крыла 1, обусловленный присутствием нижнего крыла 2, и через
а21 — полный индуцированный угол в точках нижнего крыла 2, обуслов-
обусловленный присутствием верхнего крыла 1, Согласно C4.29)
388
Стало быть, можно считать, что каждое крыло является изолирован-
изолированным, если видимые геометрические углы атаки будут умень-
уменьшены в соответствии с равенствами
*1 = а1 — а12 И а2 = а2 — а21 * C4.60)
Обозначая через а1е и а2е эффективные углы, можно будет принять,
так же как и для крыльев монопланов A9.10),
=«■! — «1
C4.61)
Для того чтобы выразить а12 и а21 в явном виде как функции коэф-
коэффициентов подъемных сил Czl и Cz2, примем приближенно
T- = 2 = -§7Сг2 • C4.62)
и, обозначив через Ех и Б2 соответственно
? 1 C4.63)
запишем в окончательном виде
a2e=«2-(l+,2)^--S2^L. C4.64)
В случае биплана с равными крыльями (Х1 = Х2 = Х), без выноса
(^ = 0) и относительного наклона (со = 0), полагая
S1 = £2 = £ = a+*J-.A C4.65)
и отмечая, что Czl = Cz2 = Cz C4.51), можно записать
as = ab — A + т + S) % . C4.66)
Рассмотрим моноплан с удлинением Хт, имеющий ту же подъемную
силу и, следовательно, тот же эффективный угол. Обозначим через am
его геометрический угол атаки; мы можем получить формулу, анало-
аналогичную формуле для монопланов A9.14):
389
которая позволит перейти от моноплана к прямому биплану с одинаковыми
крыльями.
34.4. Некоторые усовершенствования теории
Чтобы разработать теорию биплана конечного размаха, оказалось
необходимым принять ряд существенных упрощений, которые, по нашему
предположению, не исказили основных выводов. Так, например, мы за-
заменили воздействующее крыло вихрем, расположенным на передней чет-
четверти хорды. Это неточно, но тем не менее является первым приближением.
Мы пренебрегли, следовательно, влиянием распределения вихревого слоя
по глубине (хорде) воздействующего крыла, а также толщиной и кривиз-
кривизной последнего.
Для биплана с бесконечным размахом мы пытались приближенно
определить влияние толщины и изгиба, однако мы не пробовали приложить
полученные результаты к изучению биплана с конечным размахом. По-
Последнее обусловлено тем, что расчеты становятся чрезвычайно трудоем-
трудоемкими и к тому же лишенными практического интереса. Средства совре-
современного математического анализа не позволяют нам рассмотреть данную
задачу во всей ее полноте и сложности.
Вместе с этим пока можно удовлетвориться достигнутыми результа-
результатами, так как они вполне достаточны для решения прикладных задач.
Есть все же два вопроса, которые не были нами затронуты вовсе: это,
прежде всего, влияние на изолированное крыло распределения по поверх-
поверхности присоединенных вихрей и затем — кривизна потока в точках под-
подверженного воздействию крыла, обусловленная влиянием другого крыла.
34.4.1. Кривизна потока на изолированном крыле. Мы уже устано-
установили, что распределение по поверхности крыла присоединенных вихрей
проявляется посредством искривления потока и уменьшения угла атаки
на ощутимую величину, особенно при малых удлинениях.
Так, например, обозначая через о<х.г и оа2 уменьшения угла атаки,
мы пришли выше к следующим формулам:
8а1 = 0,059 -^- ; оа2 = 0,059-%~ . C4.68)
Геометрические углы ах и а2 уменьшаются, следовательно, на эти
величины, которые, таким образом, надлежит ввести в выражения C4.64)
для эффективных углов атаки.
Основное влияние проявляется в изменении коэффициента кх C4.2).
В самом деле, если учесть данное уточнение, то угол аЛ крыла с удли-
удлинением \ должен увеличиться на Да, чтобы можно было получить
прежнюю величину Cz:
, 0,059^ / 1 , 0,059\r /o/ cm
а = аЛ -г — Cz = ^ + -г") С» <34-69>
откуда вытекает
390
Следовательно, коэффициенты kXi и
быть соответственно заменены через
2, в выражениях C4.29) должны
= к
C4.71)
Л2
Х2 + 0,12&Л2 j
34.4.2. Кривизна потока, обусловленная взаимодействием крыльев.
Непосредственным путем строгих выводов мы включили в формулы C4.27)
эффект кривизны, обусловленной присоединенным вихрем воздействующего
крыла. Следовательно, остается оценить действие свободных вихрей. Для
этого рассмотрим вновь формулы
C4.11) и C4.12), из которых ПОЛу-
чаются соответственно -г— и __ .
В эти формулы входит величина
выноса р (фиг. 34.4).
Средние индуцированные скоро-
скорости, которые входили в предшеству-
предшествующие расчеты, соответствуют точкам
Сх и С2, т. е. центрам давления
крыльев. Изменение же скорости по
длине хорды, не оказывающее замет-
заметного влияния на эти средние величи-
величины (отнесенные согласно предположе-
предположению к точкам Сх и С2), тем не менее оказывает существенное воздействие,
связанное с искривлением потока. Действительно, в соответствии с форму-
формулой для радиуса кривизны
1 1 дм? /п, _„у
Фиг. 34.4
мы должны взять производную от In (/? Ч: sin £5) и ln^ + sin j3) C4.14)
по переменному х. В точке Piix^) верхнего крыла 7угол <3 задан следующим
соотношением (фиг. 34.4):
tg £ = l^L ; d$ = — cos2 p Щ± . C4.73)
С учетом C3.18) это позволяет нам написать
д Л
~di \ П
cos3 p / m2sin P—р
~" h \p(p+ Sinp)
п2 sin Р — q
C4.74)
q(q + sin\
Отмечая, что sin fi вблизи центра крыла достаточно мал, и обозначая
его через sin рх, можно разложить по степеням этого синуса предше-
предшествующее выражение, получая последовательно:
cos3 Е
/Г
•cos3
m2
cos3
1 + m2
1
sin3 Pi — ( —— ^-jsiri2
Pi
C4.75)
39)
Аналогичным образом находим для нижнего крыла 2 точно такой же
результат, заменив только индекс 1 индексом 2. Положим далее, что
_ cos3 Рг ( 1 1
У-1
4*1*2 \Я1 Pi.
C4.76)
q2
Учитывая соотношения C4.11) и C4.12) и заменяя 1\ и Г2 их прибли-
приближенными значениями C4.62), получим для подсчета изменений угла
атаки следующие равенства:
21~ Р» [i
Cml\_2x2T2 чгсх[-6 ^mi\_V! c2
C4.77)
Са
Следует указать, что для малых выносов j32 ^ px ^r ^ а следовательно,
;v = -^-^ — — — Ь^т-^— - • C4.78)
4xxx2 \ q pi 4XiX2 v n n ' ч '
Эти новые уменьшения угла атаки следует ввести в выражения C4.29)
для определения циркуляции или в выражения C4.64) для эффективных
углов.
Отметим все же, что приведенные уточнения незначительны и в прак-
практических приложениях их можно не учитывать.
34.4.3. Изменения аэродинамических моментов. Аэродинамические
моменты не претерпевают ощутимых изменений относительно случая
моноплана, кроме изменений, обусловленных кривизной потока. Напо-
Напомним прежде всего, что в результате распределения по поверхности присо-
присоединенных вихрей незначительно меняется коэффициент момента при
нулевой подъемной силе. Взаимодействие крыльев вызывает новое искрив-
искривление потока, отчасти обусловленное присоединенными и частично —
свободными вихрями. Отсюда должны были бы следовать и соответствен-
соответственные изменения аэродинамических моментов, однако опыт показывает, что
коэффициенты этих моментов претерпевают незначительные изменения
в сравнении с таковыми в случае изолированно расположенного крыла,
по крайней мере для бипланов с обычными высотами. Поэтому мы считаем,
что теоретические формулы, получаемые при изучении данного вопроса,
не представляют практического интереса и что результаты, полученные
для крыла моноплана (в изолированном положении) должны практически
использоваться и для бипланов.
392
ЛИТЕРАТУРА
1. Fuchs R. Aerodynamik (Аэродинамика), В. II, Julius Springer, Berlin, 1935-
2. M u n k M. Isoperimetrische Aufgaben aus der Theorie des Fluges (Изопериметри-
ческие задачи в теории полета). Dissertation, Gottingen, 1919.
3. Р г a n d t 1 L. Tragfliigeltheorie (Теория несущего крыла). Techn. Berichte der
Flugzeugmeisterei, III, 7.
4. Prandtl L. Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Gottingen
(Результаты Геттингенского института аэродинамических испытаний) В. 2.
5. Р i s t о 1 е s i E. Aerodinamica (Аэродинамика). Unione Tipografico — Editrice
Torinese, Torino, 1942.
Глава IX
ВЛИЯНИЕ ГРАНИЦ НА ДВИЖЕНИЕ ВОКРУГ
НЕСУЩИХ СИСТЕМ
При изучении влияния фюзеляжа на аэродинамические характеристики
крыльев, или влияния струи от винта, или, наконец, влияния свободных
или твердых стенок аэродинамических труб, задача состоит в том, чтобы
определить изменения движения, вызываемые наличием рассматриваемой
границы.
Определив эти изменения, мы легко можем получить аэродинамиче-
аэродинамические характеристики несущих систем; при этом мы можем или исходить
из характеристик, определенных в случае ограниченных областей, и от
них перейти к соответствующим характеристикам для безграничных
областей, или же, наоборот, исходить из этих последних, чтобы получить
такие характеристики, которые соответствуют ограниченным областям.
Именно эта проблема и разбирается ниже.
35. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ ПОТОК, ВЫЗВАННЫЙ НАЛИЧИЕМ ГРАНИЦ
Предположим, что несущая система помещена в две различные области/)
и D', разделенные поверхностью разрыва, которая как бы образует
границу между ними. Предположим, что в бесконечности впереди крыла
скорости Vo и Vo постоянны внутри каждой области и параллельны.
В любой точке возмущающие скорости, вызванные несущей системой,
очень малы относительно Fo (соответственно и Fo), если эта точка располо-
расположена достаточно далеко от системы. При этой гипотезе можно допустить,
что границы образуют почти цилиндрическую поверхность.
Это приближение принимается для случая свободных поверхностей,
в случае же твердых стенок наше предположение удовлетворяется авто-
автоматически. Форма твердых стенок может быть произвольной, в общем
случае, однако, в дальнейшем мы будем рассматривать цилиндрические
•стенки.
35.1. Граничные условия и основные формулы
Рассмотрим две области: D и D' (фиг. 35.1), разделенные почти цилин-
цилиндрической поверхностью, средняя образующая которой параллельна
главному потоку Vo области D и соответственно Vo — области Df. Проведем
394
через точку О этой цилиндрической границы плоскость Юп, перпенди-
перпендикулярную к скорости, и пусть С будет контуром прямого сечения. Примем,
что Ot будет касательной к контуру, a On — нормалью к нему; пусть Ох,
параллельная скорости, будет третьей осью трехгранника Oxtn.
Плоскость хОп пересекает почти цилиндрическую поверхность F по
криволинейной образующей, весьма близкой к Ох, согласно сделанному
выше предположению. Нормаль пр в точ-
точке О поверхности почти совпадает с нор-
нормалью п к контуру С.
Пусть
Fix,
t, n) = 0
уравнение поверхности и
dF
~дх~~>
dF dF
dt ' dn
C5.1)
— направляющие косинусы нормали к
поверхности. Обозначим через и, vv vn^ фиг 35 l
соответственно и1, v'v v'n — возмущающие
скорости в той же точке (9, лежащей на границе; компоненты полной
скорости будут соответственно
C5.2)
Так как граница образована линиями тока, эти скорости параллельны F
и, следовательно, перпендикулярны к пр, откуда следует
dF
dF
dF
dn
dF
= 0
C5.3)
Для точек границы, расположенных достаточно далеко от несущей
системы (как, например, точка О), мы сделали допущение, что возмущающие
скорости очень малы сравнительно с Vo и соответственно с Vo\ кроме
dF dF
того, так как направляющие косинусы ~х— и -^— малы в сравнении
dF
dF
с -7^-, то мы можем пренеоречь и-т—
получим следующее соотношение:
vn _ v'n
Vn — v' '
vt
dF ,dF
dF
vt —~— и тогда
C5.4)
которое является первым условием, справедливым для всех таких точек
границы F. Отметим, что vn, соответственно v'n, приблизительно равны
проекциям скорости на нормаль к поверхности (nF).
Легко заметить, что в случае неподвижных стенок скорость, направленная
395
по нормали к
простое условие:
стенке,
равна
нулю,
^п = 0,
откуда
вытекает
следующее
C5.5)
которое одновременно является граничным условием для всех движений
вокруг различных препятствий или вдоль неподвижных стенок. Это
соотношение могло бы быть выведено из равенства C5.4), если предпо-
предположить, что неподвижная стенка эквивалентна бесконечному значению
скорости.
Из уравнения Бернулли следует еще одно условие. Так как граница
образуется линиями тока, вдоль которых постоянная Бернулли остается
неизменной повсюду — от бесконечности впереди крыла до бесконечности
позади крыла, то, следовательно, в точках границы имеют место следующие
равенства:
Р + jrl(VQ + uf + г* + vl\= po j )
} C5.6)
-£■ F2 J
vn2] = Po + -£■ F02
из которых первое соответствует стороне границы, примыкающей к обла-
области D, а второе — стороне, примыкающей к области D!.
При установившемся движении граница находится в равновесии,
и, следовательно, давление на обе ее стороны одинаково, т. е.
р = р'. C5.7)
Пренебрегая квадратами возмущающих скоростей, которые очень малы
сравнительно с Vo или Fo, мы получаем из C5.6) второе условие, которое
должно удовлетворяться на границе:
VoU = V',ur. C5.8)
В обеих областях D и D' движение безвихревое и имеет потенциал
скоростей ср, соответственно ср'; следовательно,
и =22-, и'=4г-- C5-9)
ах дх \ г
Отметив затем, что в бесконечности впереди крыла значения ср и ср'
сводятся к произвольным постоянным, которые можно считать равными
нулю, мы можем проинтегрировать соотношение C5.8) и получить более
общую формулу
V0'? = V'tf'. C5.10)
Если Vq равно нулю, т. е. если мы имеем дело с наличием струи
(область D) в среде неподвижной жидкости (область D'), то выражение C5.8)
приводит к следующему интересному результату
и = 0; C5.11)
кроме того, из выражения C5.4) находим
»; = 0. C5.12)
396
Это указывает, в соответствии с действительностью, что в области D'
движение отсутствует.
Аналогичный результат мы получаем, интерпретируя соотношение
C5.8) в случае неподвижных стенок (Fo = ос). Действительно, так как
произведение Vou конечно, следовательно,
и' = 0, C5.13)
то это соотношение, так же как и предыдущее, полученное для случая
жидкой струи, свидетельствует о том, что в пространстве за неподвиж-
неподвижными стенками отсутствует возмущающее движение.
35.2. Индуктивное сопротивление
Как и в случае безграничной жидкости, который привел нас к теоре-
теоремам Мунка, мы можем установить аналогичное соотношение между ки-
кинетической энергией и индуктивным сопротивлением, однако из-за на-
а\ *Г z\ \w f
11/
J vo
щ
Фиг. 35.2
личия границ представляется более удобным выбрать иной путь, чем тот,
который был использован в первом случае.
Пусть Oxyz (фиг. 35.2)— система координат, где ось Ох параллельна
скорости Vo потока, обозначим далее через F почти призматическую
границу, образующая которой также приблизительно параллельна Vo.
Предположим, что несущая система Е помещена в этот поток; позади
системы сбегают свободные вихри, которые приблизительно параллельны
Fo. В результате этого явления, а также тех стеснений потока, которые
обусловлены наличием границ, возникает возмущающая скорость, состав-
составляющие которой по координатным осям обозначим через и, v, w. Очень
далеко позади крыла влияние Е (системы присоединенных вихрей) равно
нулю и осевая скорость и также равна нулю. Остаются только две со-
составляющие v и w, предельные значения которых обозначим соответ-
соответственно через
=^ Vm И (W)x==a> = ZZW C5.14)
Скорости при входе и при выходе через сечения, расположенные на
— оо и +оо, равны Fo; следовательно, эти два сечения также равны.
Применим теперь теорему о количестве движения к массе жидкости,
заключенной между этими двумя сечениями и границей.
397
Так как количество движения в направлении Ох одинаково при вхо-
входе и при выходе, индуктивное сопротивление (без учета трения и отры-
отрывов потока позади) будет уравновешивать результирующую давлений
в том же направлении.
Обозначим давление в — оо через р0, давление в какой-либо точке
потока — через р, составляющие скорости по координатным осям — через
Vo + и, v, w. Тогда по формуле Бернулли
Р + у К^о + иJ + ^ + w*] = р0 + | VI C5.15)
откуда получаем выражение для разности давлений в данной точке и в
бесконечности впереди крыла
*Р = Р - Ро = - у BТ> + и2 + г;2 + гг;2), C5.16)
которое в бесконечности позади крыла, где и = О, принимает вид
(Ър)+а> = - f (i& + ^). C5.17)
Интегрируя последнее выражение по всему сечению а, получаем ре-
результирующую горизонтальных давлений
vlo + ivl)dG. C5.18)
На границе F в случае неподвижных стенок давления направлены
точно по нормали к оси Ох, и, следовательно, нет составляющих, парал-
параллельных этой оси. В случае свободных стенок давления приблизительно
перпендикулярны к тому же направлению Ох; следовательно, здесь мы
тоже можем пренебречь горизонтальными составляющими. В последнем
случае следует еще отметить некоторую симметрию относительно поло-
положения несущей системы. Действительно, допуская для упрощения, что
несущая система сконцентрирована в одной несущей линии, перпендику-
перпендикулярной к потоку (на фиг. 35.3 изображен ее след S), мы видим, что
скорости vx и г;2, индуцированные этой несущей линией в двух симмет-
симметричных точках Рг и Р2, равны, как равны и их горизонтальные состав-
составляющие иг и и2:
иг = и2. C5.19)
Так как возмущающие скорости малы по сравнению с VO1 как уже
было указано вначале, мы можем пренебречь квадратами этих скоростей
в выражении C5.15) и записать для давлений р± и р2\
Pi = Ро — рУ0Щ = Ро — р V0u2 ^= р2. C5.20)
Заметим также, что направления действия давлений приблизительно
симметричны по отношению к вертикальной плоскости, следовательно,
результирующая горизонтальных проекций равна нулю.
398
Итак, в итоге остается лишь горизонтальная результирующая, опре-
определяемая выражением C5.18); она равна индуктивному сопротивлению..
Следовательно, мы можем записать
i%o + ufio)da, C5.21)
откуда видно, что индуктивное сопротивление зависит только от распре-
распределения свободных вихрей в бесконечности позади крыла, а следовательно,
и от распределения циркуляции, а не от положения несущего элемента
на оси Ох.
Фиг. 35.3
Следует отметить, что соотношение C5.17) сводится к установленному
ранее для кинетической энергии безграничной жидкости. Действительно,
если умножить обе части равенства C5.17) на Fo, то правая часть в данном
случае выражает кинетическую энергию жидкой струи. Таким образом,
соотношение A6.6) является общим и может быть распространено также
на ограниченные области.
Из полученных результатов следует, что все элементы несущей системы
можно переместить в одну плоскость, параллельную yOz, не изменяя при
этом значения сопротивления и сохраняя, разумеется, прежнюю цирку-
циркуляцию. Этим значительно упрощается вычисление скоростей и индуктив-
индуктивного сопротивления.
Таким образом, можно рассматривать несущую систему сконцентриро
ванной в плоскости yOz и в качестве компонент скорости в точках этой
системы брать половину соответствующих компонент скорости в беско-
бесконечности:
»о = тг7«» m>o = t^«- C5-22)
Как и в случае безграничной жидкости, задача, следовательно, со-
состоит в том, чтобы установить распределение циркуляции.
Рассмотрим, например, несущую линию S в плоскости yOz, циркуля-
циркуляция Г вокруг которой, изменяющаяся вдоль этой линии, известна. В соот-
соответствии с теоремой Кутта.—Жуковского мы можем записать
^{vodz + wody), C5.23)
399
предполагая, разумеется, что скорость w0 направлена вниз, т. е. в отри-
отрицательном направлении оси Oz. Если несущая линия является прямой,
параллельной Оу, как это имеет место на практике, то мы приходим
к ранее найденному соотношению A5.28), а именно:
C5.24)
где пределы интегрирования соответствуют концам крыла, приведенного
к несущей линии АВ.
Таким образом, формулы индуктивного сопротивления ничем не отли-
отличаются от тех, которые соответствуют случаю безграничной жидкости.
Но от этого задача не становится легче, так как присутствие границ
влечет за собой изменение в распределении циркуляции, которое тре-
требуется найти. Однако теперь благодаря полученным результатам проб-
проблема индуктивного сопротивления сведена к нахождению возмущающих
скоростей в бесконечности позади крыла: Voa и г#со. Это является значи-
значительным упрощением задачи, так как возмущающее течение в бесконеч-
бесконечности позади крыла плоскопараллельно и потому легче поддается мате-
математическому анализу.
35.3. Добавочный потенциал, вызываемый присутствием границ*
Метод зеркальных изображений
Влияние стенок приводит к наличию граничных условий течения,
выраженных установленными выше соотношениями C5.4) и C5.10).
Нахождение потенциалов ср и <р' — операция очень сложная, в общем
случае даже не осуществимая. Задачу можно упростить, отметив, что
для определения индуктивного сопротивления необходимо только знать
возмущающие скорости в бесконечности позади крыла: &«, = 0, v<x>, Woe-
В плоскости, параллельной yOz, движение является плоским, и граница
сводится к контуру С, лежащему в той же плоскости.
Если обозначить нормаль к контуру через п, потенциалы в бесконеч-
бесконечности позади крыла через ср^ и ср^, то условия в некоторой точке Р
границы (фиг. 35.4) примут следующий вид:
М¥-)Р = Г;(<*.)Р. C5.25)
Задача, сведенная таким образом к определению плоского течения,
тем не менее весьма трудна для решения в общем случае.
Для удобства исследования положим
?со = Ф + Фа; ?« = Ф' + Фа, C5.26)
где Ф и Ф' обозначают потенциалы, обусловленные исключи-
исключительно несущими системами, расположенными соответственно в обла-
400
Фиг. 35.4
стях D или D1 (фиг. 35.4) при отсутствии всякой границы, а Фа, Ф^—
соответствующие добавочные потенциалы, обусловленные исключительно
влиянием стенок. Если мы, кроме того, отметим, что это последнее дви-
движение связано исключительно с наличием системы свободных вихрей,
следы которых находятся внутри
контура, в области D(l>), или вне
его, в области Z)'(D'), или, наконец,
одновременно в обеих областях, то
задача может быть легко решена для
некоторых контуров (прямых линий,
соответствующих плоским границам,
окружности, соответствующей цилин-
цилиндрической границе, и т. д.) с по-
помощью метода зеркальных изображе-
изображений. Для этого достаточно решить
задачу для одной бесконечно тонкой
вихревой трубки (вихревой нити) напряжением Г в следующих двух случаях,
а именно: при наличии 1) круглого цилиндра и 2) плоских поверхностей.
35.3.1. Круглый цилиндр. Пусть круглый контур с радиусом /^от-
/^отнесенный к системе координат Oyz, имеет своим центром ее начало, и
предположим, что точка А (ОА = а) внутри круга или точка В(ОВ= Ь)
вне его является следом вихревой трубки напряжения Г (фиг. 35.5).
Зеркальным изображением точки А будем называть (в чисто условном
смысле метода зеркальных изображений, используемого ниже) точку О,
центр круга, и точку В, расположенную на той же оси Оу, на расстоя-
расстоянии ft, определяемом соотношением
6 = -|-- C5.27)
И наоборот, назовем зеркальным изображением точки В точку О и
точку А, расстояние а которой от начала координат определяется, как
а=-^-. C5.28)
Беря точку Р на окружности, находим, что треугольники О АР и ОРВ
подобны, так как угол О у них общий и равны отношения сторон, как
это следует из предыдущих равенств:
ОА
ОР
ОР
ОВ
го
т
Имеем также
ОРА = ОВР = т. — Ьъ\ ОРВ = ОАР = к — ба;
АР _ ra _ a
далее выводим
C5.29)
C5.30)
C5.31)
в. = ^
401
и, наконец,
sin
sin 6а
sin OP A
sin6b
''о
C5.32)
С помощью этих соотношений мы можем решить задачу о влиянии
границ, предположив, что в каждой из точек О, А и В находится по
вихрю различного напряжения, причем только один из них действитель-
действительный: либо тот, что расположен
в точке А (внутри круга), ли-
либо тот, что в точке В (вне круга).
1. Действительный вихрь
внутри круга. Если действи-
действительный вихрь расположен внут-
внутри круга в точке А, то для по-
потенциала Ф течения внутри кру-
круга при отсутствии границы лег-
легко найти следующее простое
выражение:
Фиг. 35.5
А-
C5.33)
Где Q — произвольная постоянная.
Предположим, что дополнительный потенциал Фа, обусловленный
наличием круглого контура, представляющего границу, определяется
вихрем vor, расположенным в точке О, а также другим вихрем vbl\
расположенным в точке В. Так как течение внутри круга не имеет дру-
других особенностей, кроме той, которая расположена в точке А, то, следо-
следовательно, v0 = 0. Остается вихрь в точке В,
C5.34)
и, следовательно,
фот = Ф + фа = L Fа + Vb6b) + С = ^ [vb6 + A - vb) 6а) + К, C5.35)
где К — произвольная постоянная.
Вне круга, где не существует действительного вихря, потенциал Ф',
при отсутствии границы, является величиной постоянной
Ф' = С". C5.36)
Добавочный потенциал возникает благодаря вихрю vor, расположен-
расположенному в точке О, и вихрю var, расположенному в точке А:
-
следовательно,
с.
C5.37)
C5.38)
402
Применим теперь второе из соотношений C5.25). С этой целью будем
попрежнему обозначать скорость внутри круга через Vo и скорость вне
его — через Fo; кроме того, для упрощения записи разделим выражения
C5.35) и C5.38) на ^. Обозначив через К и С" постоянные, получен-
полученные в результате этих делений, можем записать в окончательном виде
[A — vb) Vo — vaV'o] 6а + (vbF0 - v0 Vo) 8 + KV0 -r- C'V'O = 0. C5.39)
Так как постоянные К и С' произвольны, мы можем подобрать их
с таким расчетом, чтобы привести к нулю постоянный член этого выра-
выражения. Так как, кроме того, само это выражение тождественно равно
нулю для любой точки на границе круга, получаем следующие условия:
— vb) Vo =
vbF0 =
C5.40)
Для удовлетворения первого из соотношений C5.25) составим следую-
следующие равенства, применяя формулу Био — Савара:
дп
~дп~
Отсюда следует
Г sin0b
' 2тг
vlr sin0;
+
sin6^
2п
2т:
C5.41)
Из соотношений C5.40) и C5.42) получаем окончательно
V2 — V' а
К
v о y о
/'2
C5.42)
C5.43)
Прежде чем приступить к рассмотрению полученных результатов,
отметим, что последний коэффициент не оказывает никакого влияния.
Действительно, совокупность свободных вихрей несущей системы дает
полную циркуляцию, равную нулю. Следовательно, вихрю Г, располо-
расположенному в точке А, должен соответствовать другой вихрь —Г, располо-
расположенный в какой-либо другой точке внутри круга, из чего следует, что
зеркальные изображения вихрей в центре, vor и —vor, взаимно унич-
уничтожаются.
Следовательно, мы должны учитывать вихри, расположенные в точ-
точках А и В] поэтому интересно определить коэффициенты vb и va для
некоторых частных случаев: Vo = 7q, V'o = 0 и Vo = сю (неподвижные
стенки).
В первом случае vb = 0 и Vo = l, что соответствует безграничной жид-
жидкости при отсутствии разделяющих границ. Во втором случае vb = l,
иначе говоря, зеркальное изображение, расположенное в точке В, имеет
403
одинаковый знак с действительным вихрем (А)\ в то же время va=0, что
указывает на то, что в области D' отсутствует движение, как это и происхо-
происходит в действительности. Наконец, в случае неподвижных стенок (Fo = oo)
имеем vb = — 1, т. е. знак зеркального изображения противоположен знаку
действительного вихря (А), и Va = 0, что также указывает на отсутствие
возмущающего движения вне границы.
2. Действительный вихрь вне круга. Предположим теперь, что дей-
действительный вихрь находится вне круга, в точке В. Мы моя£ем записать
аналогично предыдущему случаю:
С = £ (Vb 6 -
С = £ [A + vi
К
C5.44)
откуда, применяя второе из условий C5.25), получаем первое соотноше-
соотношение
A —ъ)Р; = *ь70. C5.45)
Для скоростей, нормальных к контуру (направленных по радиусу
круга), имеем также
дп
_Г
2n
*
sin6b
sin 6a
-г va;
C5.46)
откуда, применяя первое из условий C5.25), получаем второе соотноше-
соотношение
1 4- v« Vl
~vf = r0- C5-47)
Сравнивая это соотношение с C5.45), находим окончательно:
т' 2
Эти соотношения отличаются от установленных выше C5.43) только
сменой областей D и D' в смысле положения действительного вихря
либо внутри круга, в точке А (область D), либо вне его, в точке В (область
D'). Поэтому мы получаем аналогичные результаты для частных случаев:
а) V = Fo, б) Fo = 0, в) Foo = оо, для которых мы имеем соответственно:
а) Va = 0, Vb = 1, б) Va = 1, Vb = 0, в) Va = — 1, Vb = 0.
35.3.2. Плоские поверхности. Найденное нами выше решение для
круглого контура не зависит ни от радиуса, ни от положения вихря
относительно контура. Следовательно, выражения C5.43) и C5.48) также
применимы в случае бесконечного радиуса, что соответствует прямоли-
404
нейному контуру, т. е. плоской границе. Обозначим такую границу
через F и предположим, что действительный вихрь находится выше нее
(фиг. 35.6). Движение в этой области (D), так же как и в другой (D')f
управляется соответствующими комплексными потенциалами
= — \j- [In (x — ib) + v In (x + ib)]
f'(x)=-l^Vln(x-ib)
C5.49)
где x = у -\- iz — комплексное перемен-
переменное и коэффициенты v и v' определяют-
определяются формулами, идентичными формулам
C5.43):
Т/2 — Т/'2 2V V'
иг*
У
Эти коэффициенты приобретают со-
соответственно следующие значения: v = 1,
v' = 0 в случае свободных стенок (Vo = 0)
hv = — 1, v' = 0 в случае неподвижных
твердых стенок (V'o= oo).
При наличии двух или нескольких плоских поверхностей задача
очень усложняется и трудно получить ее решение, пользуемся ли мы мето-
методом зеркальных изображений или каким-либо другим возможным методом.
Прежде всего следует отметить, что зеркальные изображения не дол-
должны попадать в область действительных вихрей, где эти вихри являются
единственными особенностями.
Как оказывается, в случае двух параллельных поверхностей (фиг. 35.7)
мы можем пользоваться методом зеркальных изображений, хотя и встре-
встретим некоторые затруднения. Так, например, зеркальное отражение
точки О относительно верхней границы (Fs) и нижней границы (Fi) дает
множество точек-образов Sn . . . S2, S±J расположенных в верхней части
плоскости, и соответственно множество точек-образов /х, 12 . . . /п, рас-
расположенных в нижней части плоскости.
Для нахождения потенциала в области D действительного вихря,
расположенного для упрощения вычислений в центре, необходимо поме-
поместить в каждой точке-образе Sn, соответственно и в 1п, вихрь интенсив-
интенсивности vnF. Действительно, при построении течения внутри полосы в со-
соответствии с методом зеркальных изображений напряжение вихрей, по-
помещенных в точках S± и 1г (первые изображения), получается путем ум-
умножения интенсивности Г на коэффициент v (Гх = vF). Точка S^ является
зеркальным изображением точки /х относительно верхней границы. Та-
Таким образом, вихревое напряжение в этой точке будет тоже отличаться
коэффициентом v от напряжения в точке 1Х (Г2 = v Тх = v2F). To же спра-
справедливо и для вихревого напряжения в точке /2. Применяя и дальше
405
это рассуждение, мы находим, что в точках Sn и /п напряжение будет
Обозначим в дальнейшем ширину полосы через 2/г, величину отрица-
отрицательного угла, образуемого радиусом SnP с осью Snyn, через 6П и поло-
положительный угол, образованный радиусом 1пР
с 1пУп, через 6^. Отметив затем, что
С-1=6„, C5.51)
можем записать для потенциала в точке Р
со
(<р \-р = — A — v) 2 v ^n« C5.52)
i
В области D1 (верхняя часть плоскости)
движение также управляется всем рядом
вихрей vnr, которые находятся снизу от гра-
границы F8, причем напряжения умножаются
на коэффициент v'. В этом случае соответ-
соответствующий потенциал
со
(?»)р= £ V 2 v™ 6П- C5.53)
1
Подобным же образом мы можем записать
для скоростей, нормальных к границе:
дп
--£(.
дп
C5.54)
Фиг. 35.7
Применяя условия C5.25), получаем окон-
окончательно для v и v' формулы, аналогичные
тем, которые соответствуют одной поверхности разрыва C5.50) или слу-
случаю цилиндрической границы C5.43) и C5.48); отсюда явствует, что
коэффициенты v и v' имеют общий характер.
Если стенки свободны, то v = l, v'= 0; если они неподвижны, то
v = — 1 и v' = 0. Таким образом, мы снова получаем необходимые усло-
условия для свободных или неподвижных стенок, которые мы можем легко
вывести и непосредственно.
То же будет справедливо и для прямоугольника со свободными или
неподвижными стенками. Однако задача становится очень трудной и
сложной, если Fo конечно и отлично от нуля. В этом случае для опре-
определения движения внутри прямоугольника, где находится действитель-
действительный вихрь, следует в каждой точке двойного бесконечного ряда зеркаль-
зеркальных изображений поместить бесконечно тонкие вихревые трубки с на-
напряжением, равным v^r, как это показано на фиг. 35.8.
406
Полагая v = 1 (Vo = 0), получаем расположение вихрей-образов в слу-
случае свободных стенок, а полагая v = — 1 (Fo = oo),—в случае непо-
неподвижных стенок. Мы не будем здесь останавливаться на деталях этой
V2
V2
V2
уг
V2
уг
V
V
V
уг
уг
V
/
V
V2
V2
V
V
V
V2
уг
V2
У*
vz
Уг
Фиг. 35.8
задачи, очень сложной в общей постановке, но имеющей в перечислен-
перечисленных выше случаях очень важное применение при вычислении поправок
на влияние стенок аэродинамических труб.
35.4. Применение метода зеркальных изображений
к крылу с цилиндрическим фюзеляжем
Результаты, полученные в предыдущем разделе, могут быть применег
ны к некоторым практическим задачам, связанным с несущими поверх-
поверхностями. Так, например, в настоящем разделе мы исследуем теорети-
теоретическую и практическую стороны задачи о крыле, пересекающем бесконеч-
бесконечный цилиндрический фюзеляж, используя при этом метод зеркальных
изображений.
Этой задачей займемся сновав следующем разделе, используя другие
общие методы, более эффективные применительно к некоторым случаям,
имеющим практическое значение. Ниже исследуем простой случай крыла
с бесконечным фюзеляжем, направленным параллельно оси Ох. Так как
в бесконечности позади крыла течение вокруг прямого сечения цилиндра
плоское, мы можем легко определить его для некоторых простых контуров,
таких, как окружность, эллипс, овал и т. д.
35.4.1. Бесконечный фюзеляж с круглым сечением. В первом прибли-
приближении заменим крыло прямой несущей линией, пересекающей ось круг-
круглого цилиндра (фиг. 35.9). Пусть точка пересечения О будет началом
системы координат Oxyz и Ъ — полным размахом крыла. Для упрощения
задачи предположим, что циркуляция распределена равномерно по все-
всему размаху. В этом случае вместо пелены свободных вихрей, прости-
простирающейся по всему размаху вне фюзеляжа, мы будем рассматривать два
краевых вихря в точках В и В', отстоящих друг от друга на расстоянии
407
В'В, равном Ъ\ которое выводится из выражения B1.44):
Ъ' = у.Ъ = Ъ—г-
4 Л1-
C5.55)
где Alt As, А5, А7,...—коэффициенты разложения циркуляции в ряд,
представленный равенством A6.8). Вполне очевидно, что присутствие фю-
фюзеляжа ведет к некоторому изменению коэффициента х, однако этим
изменением можно пренебречь, тем более, что диаметр фюзеляжа, вооб-
вообще говоря, очень мал по сравнению с размахом. Ниже мы увидим, что
для х справедлива та же формула даже в случае довольно большого
диаметра.
z
Фиг. 35.9
Обозначая через Г циркуляцию, которая, по нашему предположению,
постоянна вдоль размаха, и рассматривая две точки (-4 и А'), располо-
расположенные на положительной и отрицательной сторонах оси Оу (см. фиг.
35.9), на расстоянии а', определяемом формулой
а' =
3
C5.56)
найдем, что движение вокруг круга в бесконечности вниз по течению
будет управляться следующим комплексным потенциалом:
V
C5.57)
_
где X = у + iz — комплексная переменная.
Добавочная скорость, вызванная зеркальными изображениями вихрей,
может быть легко выведена из формулы Био — Савара, если принять во
внимание, что на самом крыле эта скорость в 2 раза меньше скорости
408
в бесконечности позади крыла:
Г / 1 1 \
ого = -г- I : \
C5.58)
Интегрируя в пределах от у = г0 до у = -у , получаем среднее зна-
чение:
C5-59)
где мы обозначили через от следующее выражение:
В результате получаем соответствующее увеличение индуктивного
сопротивления:
bRi = ■£■а- = 4" pf^ ет °«»• C5-61>
Последнее выражение получается после замены Г на
r~^ = !S-c*- C5-62>
Что касается подъемной силы, то она уменьшается, во-первых, вслед-
вследствие индуцирования добавочного угла атаки Ыт
Г m _ zm
2„(Ь,_2го) у; - -^-J—Щ C5.63)
и, во-вторых, из-за присутствия цилиндрического фюзеляжа.
Первому уменьшению соответствует уменьшение коэффициента подъем-
подъемной силы, которое мы получим из формулы, определяющей коэффициент
подъемной силы крыла без фюзеляжа Cz = 2&Ла, где кх дается соотно-
соотношением A6.44)
ЬСг = 2кхЫт = 2кх ^-^- • C5в64)
Обозначим через 2к'х наклон графика, выражающего зависимость Съ
от угла атаки a (Cz = 2АЛа); он несколько отличен от соответствующего
наклона в случае крыла без фюзеляжа
*'* = sh—• C5-65)
Уменьшение подъемной силы из-за наличия фюзеляжа можно опре-
определить путем интегрирования давлений, воздействующих на бесконечный
цилиндр. Если пренебречь квадратами добавочной скорости (u2=v2=w2x0),
то уравнение C5.15), определяющее давление, сведется к следующему
простому соотношению:
P = Po — pVou. C5.66)
Обозначим элементарную площадку поверхности цилиндра через dS,
а элемент длины круглого контура С — через ds\ имеем dS = dxds, и
результирующая давлений на цилиндр определится цак
\
+ f
Рс = — \ \ V sin 6 dx ds = — pF0 \dy \ wdx =
СС —с»
oody + #, C5.67)
С—oo
С
причем постоянная К будет пояснена ниже. Действительно, прежде все-
всего следует отметить, что несущий вихрь выходит из цилиндра и
что отрезки В'В± и ВХВ фактически представляют слой свободных вих-
вихрей. Следовательно, потенциал ср^, непрерывный вдоль контура круга,
в соответствии с формулой C5.57), изменяется скачком в точках Вг и
Вг (см. фиг. 35.9), т. е. между нижними и верхними точками вихревой
пелены (между точками 4—i, в Вг, и точками 2—3, в j?i).
Таким образом, выполнив интегрирование C5.67) вдоль контура от
точки 1 до точки 4, можем написать
[«>dy + 2р70г0Г, C5.68)
с
где ера, под знаком интеграла является непрерывным потенциалом, по-
полученным из выражения C5.57).
Вдоль контура функция тока равна нулю (<!>«> = 0), и мы можем
написать
^ ?оо dy == { (сроо + ityco) dy=
с с
= д. 4.\Fm(X)(dy + idz) = п. 4.[Fm(X) dX. C5.69)
с с
Далее имеем
\Fao(X)dX=[XFoa(X)]c-\
2r2
= 2Г —
2
Ь'
откуда следует окончательно значение подъемной силы, действующей
на цилиндр:
Рс = 2Р70Г (г0 -Щ = ?VQY Bг0 - 2а'). C5.71)
Таким образом, все происходит подобно тому, как если бы равно-
равномерно нагруженная несущая линия имела разрыв между А! и А и,
410
следовательно, полная подъемная сила была распределена по отрезкам
В'А' и АВ:
C5.72)
Для вычисления распределения подъемной силы по ширине цилинд-
цилиндра следует прежде всего заметить, что
?«(—в) = — срооСб) C5.73)
и, следовательно,
= 2г0Г -2
= 2г0Г + 2 ^ ?QO dy,
C5.74)
В У
Фиг. 35.10
откуда вытекает (фиг. 35.10)
1 dPr
= Гс = 2с?0О= ^-(бь —
:_б;) = J-(v+v'). C5.75)
Эта формула позволяет установить распределение подъемной силы
вдоль диаметра В[Вг.
35.4.2. Бесконечный фюзеляж с овальным сечением. Путем соответ-
соответствующего выбора отображающей функции можно преобразовать круглый
контур в какой-либо симметричный овальный контур и обратно. Так как
течение вокруг круглого контура было установлено нами выше, мы мо-
можем вывести из него при помощи отображающей функции течение вокруг
овального контура. Таким образом, мы можем изучить подъемную силу,
действующую на фюзеляж с овальным сечением, и полное индуктивное
сопротивление; не будем останавливаться на этих вычислениях, не приво-
приводящих к каким-либо особым затруднениям.
35.5. Минимальное сопротивление крыла с цилиндрическим
фюзеляжем круглого сечения
В предыдущих разделах мы нашли для одного крыла без фюзеляжа,
что индуктивное сопротивление минимально, если индуцированная ско-
скорость вдоль размаха, равная, скажем, w0, постоянна. В случае крыла с
фюзеляжем это условие нарушается, так как подъемная сила фюзеляжа
411
не вызывается несущей системой, порождающей свободные
вихрп позади крыла, как это имеет место в случае двух несущих от-
отрезков {В'В1 и ВХВ).
Приходится иметь в виду, что в составе данной полной подъемной
силы следует учитывать подъемную силу, вызванную цилиндром, вели-
величину которой мы установили выше C5.71). Для минимального сопро-
сопротивления распределение циркуляции вдоль размаха (вне фюзеляжа)
следует некоторому закону, который мы и намерены установить.
Вследствие указанной особенности формула C5.71) не применима для
всей подъемной силы, но она вполне справедлива для двух элементар-
ных полосок свободных вихрей с напряжением — -т— ау, расположен-
расположенных в + У и ■*- У* В этом случае, заменив в формуле C5.71) -у-
на у и Г на — с?Г, получим
D) C5-76>
Отсюда подъемная сила, действующая на весь цилиндр, может быть
найдена интегрированием по частям
Ь -^ -2-
— 2 2 2 2
'о —— )l +2pF0 [V \dy = 2oV0 [т^-dy. C5.77)
Так как подъемная сила, действующая на крыло, определяется сле-
следующим интегралом
C5.78)
то мы легко найдем и полную подъемную силу:
Pt = Ра + Рс = 2PF0 jjr (l + -£) dy. C5.79)
Также и для индуктивного сопротивления, обозначая через w инду-
индуцированную скорость в точках крыла, мы можем написать
= 2p \Twdy, C5.80)
412
откуда непосредственно вытекает необходимое и достаточное условие,
при котором индуктивное сопротивление минимально:
C5.81)
здесь wQ~постоянная, которую мы определим ниже.
В этих условиях для индуктивного сопротивления мы получаем ту
же формулу, что и в случае эллиптического распределения:
7? —
Яг —
va
C5.82)
Вернемся к условию C5.81), чтобы найти течение, которое удовле-
удовлетворяло бы такому распределению индуцированной скорости вдоль
Фиг. 35.11
размаха. В бесконечности позади крыла, где течение плоское, имеем
+ 4-)' C5.83)
и, таким образом, задача заключается в нахождении плоского течения
вокруг круга и двух отрезков вихревого слоя BqB± и В±Во (фиг. 35.11).
Решение этой задачи было дано И. Леннертцом [3]. Обозначая комп-
комплексный потенциал через F(X), он находит
= — 2ш0
?г2
C5.84)
где первый и второй члены комплексного потенциала обозначены через
Р1 = Ф1-\- iy¥1 и F2 — Ф2 + iT2. Отсюда мы получаем комплексную ско-
скорость:
C5.85)
413
Эти выражения говорят о том, что
1) скорость в бесконечности равна нулю;
2) на несущей линии (z == 0, го< |?/| <-тр) первый член в выраже-
выражении C5.85) является действительным числом, и скорости, таким обра-
образом, параллельны оси Оу, второй же член аналогичен выражению
C5.83) для скоростей в бесконечности позади крыла или выражению
C5.81) для скоростей на самом крыле.
При выполнении этих двух условий течение, представленное выра-
выражением C5.84), и является, следовательно, искомым решением.
Первый член потенциала, Fl9 представляет течение вокруг круга
и двух отрезков В0В1 и ВХВО, расположенных в восходящем потоке,
скорость которого 2юо\ второй член по-
потенциала, F2 представляет течение во-
вокруг круга, расположенного в вертикаль-
вертикальном потоке, скорость которого —2w0
(фиг. 35.12). Как видно, для точек ок-
окружности (X=roeie) и для точек на раз-
размахе ( X = | у | < ~2~ ) Z7! является дей-
действительным числом, откуда у¥1 = 0;
следовательно, отрезки и окружность
являются линиями тока.
Для вычисления циркуляции в точ-
точке Р размаха обозначим через Ф8 и Ф*
значения потенциала в одной и той же
точке на верхней и нижней сторонах по-
поверхности. Принимая во внимание, во-
первых, соотношение
Г = Ф8 — Фи C5.86)
Фиг. 35.12
а во-вторых, отмечая, что знак перед корнем положителен для верхней
стороны поверхности и отрицателен для нижней, следовательно,
Oi = - Ф., C5.87)
мы можем записать в окончательном виде выражение для циркуляции
Г = 2Ф8 - 2Ф =
и для подъемной силы
4 + Щ~ [У + f
<35-88>
Pt = 2PF0 \ Г (l + -i) dy = 2pV0w0k
4--41) • C5-89)
Вводя в уравнение C5.82) w0, определенное из последнего выраже-
выражения, получим
414
или также
с!
Cxi =
z
C5.91)
По отношению к эллиптическому крылу отмечается некоторое увели-
увеличение минимального индуктивного сопротивления, которое становится
существенным, только если отношение между диаметром фюзеляжа и
размахом крыла превышает 10%, что на практике случается очень ред-
редко, за исключение^ специальных конструкций (летающие бомбы и т. д.).
36. ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ НЕСУЩИХ СИСТЕМ
Будем называть комплексной несущей системой крылья и фюзеляж
(в совокупности), которые образуют корпус («ячейку») самолета.
С учетом различия форм и размеров фюзеляжа влияние фюзеляжа на
крыло является очень сложной задачей, которой не отвечают результаты,
полученные до настоящего времени аэродинамикой. Поэтому, чтобы обойти
трудности, сведем задачу к простой схеме, поддающейся рассмотрению
обычными методами анализа, что нами и было сделано в предшествующем
разделе для частного случая этой задачи.
Итак, будем рассматривать один или несколько цилиндрических неог-
неограниченных фюзеляжей, параллельных оси Ох.
Практически будем допускать неявно, что цилиндрические фюзеляжи
достаточно длинны для того, чтобы можно было их считать бесконечны-
бесконечными. В бесконечном удалении следы полотен свободных вихрей на плос-
плоскости, нормальной к общему потоку, при наличии прямых сечений фюзе-
фюзеляжей в той же плоскости порождают плоское движение, имеющее эти
сечения своими линиями тока.
Действительно, нормальная скорость на поверхности фюзеляжа равна
нулю, следовательно, контур сечения является линией тока.
С другой стороны, хотя подъемная сила фюзеляжа вполне определенна,
все же не существует никакого срыва свободного вихря, что легко обна-
обнаруживается, если принять во внимание физическую невозможность суще-
существования таких вихрей.
Перед нами встает следующая задача: найти движение вокруг системы,
образованной слоями вихрей, представляющих следы крыльев, и конту-
контурами сечений цилиндрических фюзеляжей.
В такой постановке эта задача очень трудна, если не сводить ее к опре-
определенным более простым частным практическим случаям. Вообще она
будет иметь два аспекта: 1) нахождение условий, при которых индуктив-
индуктивное сопротивление системы было бы минимальным, и 2) расчет аэродина-
аэродинамических характеристик некоторой заданной комплексной системы.
415
36.1. Теорема минимального индуктивного сопротивления,
распространенная на комплексные несущие системы [4]
Обычно задача минимального индуктивного сопротивления форму-
формулируется следующим образом; найти циркуляцию вокруг крыльев не-
несущей системы так, чтобы при заданной полной подъемной силе индуктив-
индуктивное сопротивление было минимальным.
Обобщим эту формулировку, вводя еще одно условие и дополняя ее
следующим образом: найти условия обтекания крыльев комплексной
несущей системы так, чтобы при заданной полной подъемной силе на
крыльях и фюзеляжах и при некотором заданном моменте крена (взятом
относительно некоторой произвольной точки) индуктивное сопротивле-
сопротивление было минимальным.
До рассмотрения задачи для оптимальной комплексной несущей си-
системы начнем с рассмотрения той же задачи для простой системы, без фю-
фюзеляжей.
36.1.1. Оптимальная несущая система без фюзеляжей. Пусть дана
некоторая система, образованная несущими линиями 1Ъ 12 ... 1п (фиг.
36.1), и предположим, что полная
подъемная сила Р по некоторому
направлению D, так же как и мо-
момент крена L относительно неко-
некоторой точки О, заданы.
Если через Г обозначена цир-
циркуляция вокруг элемента ds кры-
крыла, то соответствующая элементар-
элементарная подъемная сила dPn по нор-
нормали п к элементу и соответствен-
соответственно dP по направлению D будут
dPn = pV0Tds, dP = dPn cos 6,
C6.1)
где б — угол между нормалью и
направлением D.
Полная подъемная сила по то-
тому же направлению будет равна
Г cos 6 ds.
C6.2)
U, In
Полный момент крена L относительно точки О будет выражаться:
d-dPn = pV0 [ r sin v Yds. C6.3)
416
Если обозначить далее через ип нормальную составляющую индук-
индуктивной скорости, то индуктивное сопротивление запишется в таком
виде:
R = р [
Tunds = i- [ undPn. C6.4)
ln li....ln
Задача состоит в том, чтобы найти минимум этого выражения, когда
заданы Р и L.
Обозначим через w0 и еоо две постоянные величины, которые будут
определены позднее. Минимум, связанный двойным условием, приводит
к следующему соотношению:
ип — ^о cos ^ + <V sin v — ип + ип- C6.5)
Это соотношение выполняется, если несущая система ведет себя как
жесткая система, движение которой состоит из параллельного перемеще-
перемещения wQ по направлению D (последнее можно принять, впрочем, совпа-
совпадающим с направлением оси OZ) и вращения оH вокруг точки О.
Движение, порождаемое параллельным перемещением и вращением,
определено потенциалом скорости <р, который может быть найден обыч-
обычными методами и который дает циркуляцию в любой точке несущей
линии. Действительно, обозначая через cpg и cpi значение этого потенциала
в некоторой точке на верхней и на нижней сторонах линий ll9 l2, . . . , 1п
(фиг. 36.1), будем иметь
r = ?s — ?i. C6.6)
Замечая, что потенциал ср пропорционален wQ и оH и может быть пред-
представлен в виде
ср = гг70Ф^ + оHФг, C6.7)
где Ф* — потенциал, полученный от параллельного перемещения со ско-
скоростью, равной единице, а Фг соответствует потенциалу, происходящему
от единичного врашения, получаем далее
Г = «?0 (Ф„ - Ф«) + «0 (ФГ8 - Ф„), C6.8)
где показатели s и i обозначают соответственно верхнюю и нижнюю
стороны.
Интегралы C6.2) и C6.3) приводят в этом случае к двум уравнениям:
. = w0 \ (ivfs — ч?ц) cos о as -f- oH \ ^rs — 4>ri) cos о an
C6.9)
(Ф<8 — Ф/i) r sm v as + oH \ (Фг* — Фг|) ^ sin v
^.-«n 'i гп
из которых выражаем постоянные w0 и оH.
Если потребуем выполнения только одного условия, а именно Р =const,
без какого-либо ограничения на L, тогда найдем соотношение
ип = ?^0cos6 = и'п, C6.10)
417
Фиг. 36.2
установленное ранее Мунком, о котором мы говорили в предыдущих
разделах.
В итоге, следовательно, задача состоит в нахождении потенциала
движения вокруг несущих линий при их равномерном поступательном
движении wQ и равномерном вращении о>в вокруг точки О.
36.1.2. Оптимальная комплексная несущая система. Несущие линии
1±,... , 1п рассматриваются при наличии контуров С1%...,Ст (фиг. 36.2),
которые изображают сечения фюзеляжей и обладают особенностью не
создавать индуктивного сопротивления,
так как нормальная скорость на контуре
равна нулю.
О~ ^^^^ Чтобы найти условие минимального
—■"■"■ г сопротивления для заданной подъемной
силы Р и заданного момента крена L,
будем рассматривать две оптимальные не-
несущие системы.
Первая система А образована
линиями ll9 . . . , 1п и контурами С1у. . ., Ст.
Все они являются несущими, образуя вмес-
вместе жесткую систему, имеющую по рассматриваемому направлению D по-
постоянную индуктивную скорость w0 и постоянную скорость вращения со0
всей жесткой системы вокруг точки О,
Вторая система В образована только контурами Сг, ... . ,Ст и рас-
рассматривается так же, как жесткая система, имеющая скорости парал-
параллельного перемещения и вращения, равные по величине и противо-
противоположные по направлению скоростям первой системы, т. е. —wQ и —со0.
Каждая из этих двух систем, взятая отдельно, представляет собой
оптимальную систему в соответствии с тем, что было установлено в пред-
предшествующем разделе C6.1.1), причем первая имеет подъемную силу Ра
и момент La, а вторая соответственно Ръ и Lb, и все эти величины
зависят линейно от w0 и о>0.
Полная подъемная сила и полный момент будут соответственно
р = ра + рь, L = La + Lb, C6.11)
и мы сможем определить w0 и со0 так, чтобы Р и L принимали заданные
значения в соответствии с предположением, сделанным в начале.
При наложении этих двух систем контуры Cl9. . . ,CW не обладают
более никакой скоростью, следовательно, они становятся просто линиями
тока, в соответствии, впрочем, с условиями на границе фюзеляжей.
Полным индуктивным сопротивлением этих двух систем будет сумма,
составленная из собственных индуктивных сопротивлений Ra и /?& каж-
каждой из систем и из сопротивлений взаимной индукции 2Rab = 2Rba (так
же как у бипланов с крыльями без выноса); в итоге, следовательно,
ту ту | о I op /Q£l А О\
/I = Jt\a -f- rib ~Г ^-"аЪ- (оОЛА)
418
Индуктивная скорость системы А на уровне контуров Съ. . .,Ст равна
по величине и противоположна по направлению индуктивной скорости
системы В на уровне таких же ее контуров; следовательно, индуктивное
сопротивление последней системы, вызываемое наличием первой системы А,
т. е. i?iba, равно по величине и противоположно по знаку собственному
индуктивному сопротивлению системы В, т. е. Нь- Поэтому
Rba — Rah — — Rbi C6.13)
откуда следует, в конечном счете, что
R = Ra-Rb. C6.14)
Так как В.ъ можно считать заданной произвольной постоянной, а Ra
минимально для заданных Ра и La, то следует, что и R минимально.
Из изложенного выше вытекает, что комплексная несущая система,
полученная благодаря параллельному перемещению w0 и вращению «а
системы А и соответственно благодаря параллельному перемещению — w0
и вращению—со0 системы В является оптимальной системой, откуда по-
получаем следующую общую теорему: минимальное индуктивное сопротив-
сопротивление комплексной системы крылья — фюзеляжи для заданных полной
подъемной силы и момента крена соответствует системе, которая порож-
порождает в бесконечности вниз по течению некоторый потенциал, соответ-
соответствующий двум движениям:
1) параллельному перемещению w0 и вращательному движению вокруг
точки О всей системы, образованной линиями Z1?. . .,Zn и сечениями фюзе-
фюзеляжей C-l,. . .,Cm;
2) перемещению и вращению со скоростями, равными по величине
и противоположными по направлению соответственным скоростям первого
движения, совершаемыми жесткой системой, образованной только конту-
контурами d,. . .,Cm[4].
Когда задается только подъемная сила, а момент не ограничивается
никаким условием, задача упрощается и решение соответствует парал-
параллельному перемещению (w0) жесткой системы крылья — фюзеляжи (Zb . . .,Zn,
Clf...,Cm) и параллельному перемещению со скоростью, равной по вели-
величине и противоположной по направлению (—wo)y жесткой системы,
образованной только сечениями фюзеляжей (Сь.. .,Ст).
Когда крыло прямое, а центр кругового сечения фюзеляжа находится
на середине крыла, получаем частный случай Леннерца, рассмотренный
в предыдущем разделе.
Для определения констант w0 и оH по аналогии со случаем простых
систем C6.9) замечаем, что подъемная сила и момент являются линей-
линейными функциями от wQ и оH:
Р = woPt + °W L = Щи + °Vr, C6.15)
где ptj pr, lv lr суть константы, которые могут быть определены одно-
одновременно с установлением потенциала движения для систем А и В;
419
при этом в качестве скорости параллельного перемещения и вращения
принимаются соответствующие единицы измерения.
В действительности крылья симметричны, центр вращения попадает
в плоскость продольной симметрии и может быть даже центром тяжести
самолета.
Тогда видно, что вследствие симметрии pt = lt = О и, следовательно,
P = woPt, L = o0Zr. C6.16)
В этом случае полное сопротивление будет суммой отдельных сопро-
сопротивлений, порождаемых параллельным перемещением w0 и вращением оH,
а взаимное индуктивное сопротивление равно нулю.
Заметим теперь, что всегда рг = 1Г Действительно, обозначим через
dprn и соответственно dptn элементарные несущие силы, порождаемые
соответственно вращением и параллельным переносом. Тогда
Рг = \ cos ЫРгп, lt = ^r sin v dp
ptn.
C6.17)
Первый интеграл представляет собой индуктивное сопротивление не-
несущей системы при вращении под действием скорости, индуцированной
системой от параллельного передвижения, а второй интеграл — обратное
воздействие; если они равны, то
Pr = lv C6.18)
36.1.3. Приложение к оптимальной несущей системе, образованной
одним крылом и центральным фюзеляжем эллиптического сечения.
Так как интерес представляет задача нахождения оптимальной несущей
Фиг. 36.3
системы для заданной подъемной силы, рассмотрим ниже в качестве при-
приложения практический случай.
Полученные выше результаты могут быть применены без особого труда
к любой комплексной системе. Трудность состоит только в определении
потенциала движения вокруг несущих линий и сечений фюзеляжей.
Для того чтобы все же упростить задачу, будем рассматривать фюзеляж
эллиптического сечения, имеющего своими осями тип (фиг. 36.3). Най-
Найдем условия, при которых система была бы оптимальной при заданной
420
подъемной силе. Для этого положим
а =
1 г
= ~гУ п т
C6.19)
и преобразуем действительную плоскость х = у + iz в другую плоскость
X = Y + iZ последовательными преобразованиями
x=i — -j, X = l + ~ C6.20)
эллипса в окружность радиуса а во вспомогательной плоскости 6 и этой
окружности — в плоскую пластинку. Это приводит в итоге к следующе-
следующему неявному преобразованию:
(X _ х) (с2Х + а?х) - (а2 + с2J = 0, C6.21)
из которого выражаем X как функцию х (фиг. 36.4).
Фиг. 36.4
Как вытекает из следующего соотношения:
(В — Ъ) (с2 В + a2b) — 4 (а2 + с2J = 0,
линия крыла (Z) и контур фюзеляжа (к) преобразуются в пластинку ши-
шириной В (линии L и К).
Если обозначить через 2wQ индуктивную скорость вниз по течению
в бесконечности, то потенциал движения и скорость в новой плоскости
X будут задаваться следующими выражениями:
F(X) = - 2iw
X
-? v*-*,
C6.23)
где
M = 4a = m + n. C6.24)
Можем заменить далее X как функцию х для того, чтобы выразить
потенциал и скорость в действительной плоскости; все же для вычисле-
вычисления циркуляции и индуктивной скорости предпочтительней пользоваться
записанным выше выражением.
Далее можно записать (фиг. 36.4), что
421
= -2iw\)/'R1R2
e - \f R& e % J =Ф + *Т, C6.25)
откуда следует потенциал
ф = 2w0 [\^R^2 sin ^L+A _ [/^й; sin 6l ^ °2 j . C6.26)
В некоторой точке на крыле (у в действительной плоскости и 7 во
вспомогательной плоскости), замечая, что 6lf соответственно и b[ прини-
принимают на нижней и верхней сторонах равные по величине и противопо-
противоположные по знаку значения, получим
Г, = Ф8 - Ф4 = 4w0 j/вд, = 4w01/^1 - 72. CR.27)
На фюзеляже, в некоторой точке Г' (соответствующей точкам х' шх' на
действительном фюзеляже), тоже будем иметь
^—Y'Z- j/^._y«] . C6.28)
Эти две формулы дают возможность рассмотреть вариацию циркуля-
циркуляции на крыле и на сечении фюзеляжа.
При определении подъемной силы, замечая, что на фюзеляже ф — О,
получим последовательно:
= —pV0 ^<?dy— д.ч.Р70
LtK С
= д. ч. 9V0 \ XdF=fKw0VQ(B* — M*)\ C6.29)
с
здесь интеграл распространяется вдоль контура очень большого радиуса,
dx A
где ~^tf~-*u; затем находится вычет.
Что касается сопротивления, то, обозначая через Ра подъемную силу
несущей системы крыло — фюзеляж, через Рь — подъемную силу фюзеля-
фюзеляжа, рассматриваемого как изолированная несущая система, получаем
полную подъемную силу:
р — р p. HR Ч0\
Применяя далее соотношения C6.4) и C6.14), получаем
ту Т) ту *^0 / ту т\ \ *^0 т\ /Qfi Qi| \
422
36.2. Аэродинамические характеристики крыла с центральным
фюзеляжем
Выше мы анализировали оптимальную комплексную несущую систему.
Теперь рассмотрим характеристики заданной комплексной несущей си-
системы без требования оптимальности. Задача не так проста, если крылья
и фюзеляжи расположены произвольно. Если будем рассматривать один
центральный фюзеляж и симметричные крылья, так как это имеет место
на практике, то получим очень простое решение.
36.2.1. Уравнение циркуляции и основные формулы [5]. Рассмотрим
симметричное крыло с центральным фюзеляжем симметричного относи-
относительно Oz сечения (фиг. 36.5). В бесконечности вниз по течению движе-
движение плоское. Обозначая, как и ранее, через ип составляющую скорости
по нормали к крылу в некоторой произвольной точке, индуцированную
вихрями крыла, с одной стороны, и порождаемую также влиянием фюзе-
фюзеляжа, с другой стороны, получаем циркуляцию Г из уравнения Прандтля:
C6.32)
Если потенциал движения равен ср в бесконечности вниз по течении^
то, обозначая через cps и у. значения потенциала на верхней и нижней
сторонах, выразим циркуляцию на крыле (Гг) и фюзеляже (Тк):
Ti = (?s — 9v тк = Ь — <?1 C6.33)
Нужно, следовательно, найти этот потенциал ср. Для этого заметим
сначала, что контур к фюзеляжа и ось Oz являются линиями тока.
Путем отображения
Х = Х(х) C6.34)
можем преобразовать эти линии, лежащие в плоскости х = у + iz в ось
OZ некоторой вспомогательной плоскости X = Y + iZ (фиг. 36.6), где
контур фюзеляжа представлен разрезом К. Плоское движение вокруг
линии I вихревого слоя, происходящее в области, внешней по отношению
к сечению фюзеляжа, превращается в новой преобразованной плоскости
в движение вокруг линии L вихревого слоя.
423
Это движение будет определено потенциалом
Р(Х) = Ф + №. C6.35)
Нормальная индуцированная скорость Un связана с соответствующей
скоростью ип в гомологичной точке действительной плоскости соотношением
dX
ип = Un
dx
C6.36)
Так как индуктивной скоростью, входящей в уравнение циркуляции,
будет скорость, лежащая в действительной плоскости, и так как, кроме
того, имеет место тот факт, что циркуляция сохраняется в обеих плоско-
плоскостях, уравнение C6.32) представится в виде
C6.37)
или
= kcV(]
YnZ
dx
dx
C6.38)
Весь процесс происходит так,
как если бы мы имели изолиро-
изолированное крыло L, симметричное
относительно оси OZ (фиг. 36.6),
имеющее переменные хорду и угол
атаки, заданные следующими вы-
выражениями
dx
Фиг. 36.6
С — С
dx
~dX
C6.39)
изученному в предшествую-
Задача сводится к монопланному крылу,
щих параграфах.
Важное замечание. Линии Z и L, лежащие в действительной
и во вспомогательной плоскостях, незначительно отклоняются от прямой
линии. Так же как и в задаче тон-
тонких профилей (раздел 11), можно
допустить с достаточной точностью,
что индуктивная скорость в не-
некоторой точке несущей линии
АСВ отличается от соответствую-
соответствующей скорости в точке прямой
линии АО В, имеющей ту же абс-
абсциссу (фиг. 36.7), только членами
высшего порядка малости. Пред-
Предполагая, что распределение циркуляции в зависимости от абсциссы ос-
остается неизменным, будем иметь)
W^W. C6.40)
Беря соответствующую составляющую по нормали, которая образует
угол v с вертикалью, и замечая, что этот угол в практических случаях
424
Фиг. 36.7
очень мал (значения угла варьируются от нуля до 20°, а его косинус из
меняется от 1 до 0,94), можно принять, что
Un = W cos v « W. C6.41)
Таким образом, задача нахождения индуктивной скорости приводится
к той же задаче для прямого крыла.
Вычисление циркуляции. Примем, следовательно, что
линия L во вспомогательной плоскости есть прямая, и применим к этому
фиктивному крылу результаты, полученные в предшествующих разделах.
Итак, обозначая через В преобразованный размах (фиг. 36.6) и через
6 новую переменную, положим:
7=-|!cos6; C6.42)
для циркуляции и индуктивной скорости имеем выражения
r = 25F02^nSinrce; W = — —^ ^\пАпБтпв. C6.43)
Обозначая далее через
Зй = -Ц, 2Я0=-^-, дл = дло~-, C6.44)
представим основное уравнение A7.8) в виде
-^- sin 9 Е Ап sin п 6 + 9Я0 Е пАп sin пв = 9ЯО21 sin 6. C6.45)
Можно определить п коэффициентов А19 ...,Ап, выбирая п точек 6Х,
в2,. . . , 6/гИ строя затем п уравнений с п неизвестными (А1У..., Ап) для
определения этих неизвестных.
Для того чтобы найти общее решение в явном виде, определим
коэффициенты р0, р2, |34. . . из разложения
■^ sin в = рв + 2р2 cos 26 + 2р4 cos 46 + • • • , C6.46)
которое можно получить элементарным способом, и коэффициенты Ши
213 • • • ^2/4-i из разложения
Ш sin 6 - «! sin 6 + % sin 36 Н \- %р+1 sin Bp + 1) 6, C6.47)
после чего для определения коэффициентов А19...,Ап применим ранее
полученные результаты B2.6) и B2.8).
Циркуляция Г в некоторой точке Yl9 соответственно 6Х, отвечает по
C6.34) точке 2/х действительной плоскости. Таким образом, мы сможем
построить диаграмму распределения циркуляции по действительному
размаху.
Вычисление индуктивного сопротивления. Принимая
во внимание, что расход течения в плоскостях X и х сохраняется, и
обозначая через ds и dS элементарные дуги в действительной и во вспо-
вспомогательной плоскостях, будем иметь
d*> = unds = UndS = dW. C6.48)
425
= - f- J Tunds = -1J ГСГлйдУ, C6.49)
На этом основании индуктивное сопротивление можно записать в виде
2 ..
где интеграл распространен только вдоль линии /, соответственно L, так
как фюзеляж не дает индуктивного сопротивления.
Принимая далее во внимание C6.41) и замечая, что в условиях прак-
практики можно положить
dS^dY, C6.50)
можно записать в конечном счете
Ri = — -f \TWdY = ^-izBWl^nAl, C6.51)
точно так же, как и для простого крыла без фюзеляжа.
Вычисление подъемной силы. Исходя из интеграла подъ-
подъемной силы в действительной плоскости
фР«*У, C6.52)
X/
который нужно распространить по обеим сторонам несущей линии I и
по контуру фюзеляжа (/), и замечая, что на этом контуре dty = 0, а на
несущей линии I
p C6.53)
можно будет записать последовательно
Р = -рУоф(<? + Щ dy = —л.ч.9Уоф f(x)(dy + idz) =
f lf
C6.54)
здесь через д. ч. обозначена действительная часть записанного выше
выражения, а
/(*) = ? + ** C6-55)
есть потенциал в физической плоскости.
Преобразуя C6.54), будем иметь далее
^dX, C6.56)
к
где интеграл берется по некоторому контуру if, заключающему внутри
себя всю несущую систему.
Из соотношений C6.35) и C6.43) можно выразить в явном виде F(X)
в следующей форме:
F(X) = i^-.^ + ^n, C6.57)
426
где коэффициенты Qn суть константы, непосредственно связанные с Ап\
замечая, с другой стороны, что для очень больших расстояний от начала
координат можно разложить функцию преобразования обычным способом
D.27)
(dX\
\ dx)o
= 1,
C6.58)
найдем, что интеграл C6.56) в конечном итоге дает
C6.59)
т. е. то же, что было получено для простого крыла без фюзеляжа, так
как влияние последнего включено в В и Аг.
Вариация подъемной силы по сечениям фюзеляжа.
Заменяя в выражении C6.43) в через Y C6.42) и Y через у C6.34), полу-
получаем без труда вариацию циркуляции вдоль размаха.
Мы видели, однако, что
выражение подъемной силы на
фюзеляже может быть записано
(фиг. 36.5, 36.6) последователь-
последовательно в виде
pV0 ^ Tkdy,
к
C6.60)
где через Г^ по аналогии с
крылом обозначена эквива-
эквивалентная циркуляция:
Итак , зная потенциал F{X),
из которого выводим Ф, будем Фиг. 36.8
знать Г.
Ниже на конкретном примере мы увидим, как вычисляется этот по-
потенциал.
36.2.2. Применение к трапецоида льном у крылу с фюзеляжем круг-
круглого сечения1. Возьмем трапецоид а льное крыло, для которого отношение
экстремальной хорды к центральной хорде равно 0,5 (се/с0=0,5),
пересеченное фюзеляжем диаметра d = O,Ab (фиг. 36.8). Получим соот-
соответственно:
0,04Ь2 dX
= х ; —г— =
х dx
0,0462
C6.62)
1 Применение было разработано аспирантом Ст. Саву леску.
427
Задача сводится к расчетам для прямого крыла, имеющего размах
Ъ
В = 2^-0,16-) = 0,846,
соответственно хорду и угол атаки
С=с
C6.63)
dx
dx
Tx
= а •
C6.64)
где нужно заменять у через Y в соответствии с C6.62).
Поступая как и ранее, находим без труда разложения C6.46) и
C6.47), где имеем
ро = 1,18; 2р2 = —0,32; 2464=—0,24, . . .\
21, = 0,674; % = 0,083; % = — 0,057, . . .) C6'65>
кс 1
Мы брали для простого крыла без фюзеляжа ^0 = -^ = -о-1 откуда
следует
5Ш0 = §=■§- 'Т" 4" = [1о*1'6*О»84 = 0»448- ^36-66)
Пользуясь далее уравнениями B2.10) и соотношением B2.11), полу-
получаем в конечном счете коэффициенты разложения циркуляции Al9 A3f
Аъ . . ., которые мы приведем ниже, сравнивая их с коэффициентами для
изолированного крыла а19 а3, а5 . . . (табл. 18.2):
Ах = 0,217а; As = 0,028а; Аъ = — 0,0013а ж 0 . . .
аг = 0,237а; а3 = 0,00924а; а5 = 0,0081а . . .
Что касается полной подъемной силы, то соответственно
1 C6.67)
C6-68>
откуда получаем коэффициент подъемной силы CZf несущей системы с
фюзеляжем по отношению к коэффициенту изолированного крыла:
~CZ = 0,635 Cz. C6.69)
Индуктивное сопротивление запишется соответственно в таком виде:
где
пА*
C6.70)
C6.71)
428
Для коэффициента индуктивного сопротивления получаем
C6.72)
где >ч есть удлинение реального изолированного крыла.
Исходя из выражения циркуляции C6.43), где коэффициенты
Alt . . . ,Ап определены, можно легко построить ее вариацию по размаху
реального крыла у, заменяя О через Y C6.42) и Y через г/, применив
соотношение C6.62).
36.2.3. Вариация подъемной силы на фюзеляже. Мы видели выше,
что подъемная сила на фюзеляже пропорциональна эквивалентной цир-
циркуляции. Для вариации послед-
последней на диаметре фюзеляжа при-
придется найти значения cps и cpi
потенциала <р в плоскости х
(см. фиг. 36.8) или Ф'8 и Ф[
потенциала Ф в соответствующих
точках плоскости X (фиг. 36.9).
В силу симметрии приходим к
соотношению
Фз = — ф{ = ф2. C6.73)
Чтобы найти этот потенциал, Фиг. 36.9
выразим движение по единично-
единичному кругу, лежащему в новой вспомогательной плоскости 6, задаваемой
соотношением
C6.74)
Так как потенциал в этой плоскости голоморфен на круге и в бес-
бесконечности, то он будет представлен выражением
На круге 5 = е{® будем^иметь
В
Y = -f- cos О,
C6.75)
C6.76)
что соответствует, впрочем, замене переменной, допущенной вначале
[выражение C6.42)], пользуясь которой мы записали выражение цирку-
циркуляции C6.43). Отсюда
оо
F = Ф -f VY = 2{Рп + iqn)(cosn& — isinnB).
C6.77)
i
Приравниваем далее выражение C6.43) циркуляции соответствую-
429
рп = 0, gn = BV0An {n = 1, 3, 5. . .)
щему выражению, получаемому из указанного выше соотношения,
оо
2Ф = 2 ^{рпcosпв + qnsinn®) = 2BV0^AnsinnS, C6.78)
C6.79)
C6.80)
C6.81)
C6.82)
откуда следует
и, следовательно,
Заменяя £ его значением, полученным из C6.74),
будем иметь:
2bVoa
\
0,20
ffJB
ОД
0,00
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0J 0,8 0,9 #
Фиг. 36.10
а для точек, расположенных на оси ординат (£ = z'C), где
- ' ^
— — —
\
Изолированное крыл;,
Крыло с фюзеляокел
V
1
получаем
(-1)
п—1
2
C6.83)
430
Заменяя далее Z его значением, полученным из C6.62), которое дает
нам (см. фиг. 36.8)
Z = 0,4 Ъ sin0, C6.84)
найдем в конечном счете Гк = 2Ф вдоль диаметра реального фюзеляжа.
Производя необходимые вычисления как для крыла, так и для фюзе-
фюзеляжа, находим следующие значения:
Таблица 36.1
ъ
г
2bVo«
0
0
,077
0,1
0,079
0
0,2
,0835
0,3
0,097
0,4
0,160
0
0,5
,1605
0
0,6
,1605
0,7
0,156
0,8
0,145
0,9
0,117
1
0
Диаграмма 36.10 изображает вариацию циркуляции вдоль размаха и
на фюзеляже по сравнению с той же вариацией на изолированном тра-
трапецоида льном крыле.
37. КРЫЛО, ПЕРЕСЕКАЮЩЕЕ СВОБОДНЫЕ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Различные части крыла часто расположены в областях, внутри кото-
которых скорости имеют разные значения Fo и Vo; эти области разделены
свободными поверхностями. В связи с этим возникает множество задач,
из которых мы рассмотрим воздействие жидкой струи на крыло и влия-
влияние потока от винта.
37.1. Воздействие струи с круглым сечением на крыло [2]
Предположим, что крыло пересекает круглую струю, диаметр кото-
которой равен 6, и заменим, как это делали выше, пелену свободных вих-
вихрей двумя вихревыми шнурами с напряжением Го, равным напряжению
в центре крыла. Расстояние между этими двумя вихрями Ъ' = хб,
где х определяется формулой B1.44). Чтобы учесть влияние
свободных стенок, след которых на плоскости, перпендикулярной
к струе, представляет собой окружность, следует поместить в точках
A is. А' шА = А'О = кр = y~ )два ВИХРЯ Го и —Го. Эти два вихря вы-
вызывают добавочную скорость w8, значение которой в точке у размаха
определяется формулой
_
26'
^ б2
■у w
1 г 1
f- cos 0 cos 0
X X
C7.1)
где Аг имеет то же значение, что и в предыдущих формулах.
Добавочный индуцированный угол атаки &s = — , помноженный на
0
sin 6, разлагается в ряд Фурье:
is sin 6 = гх sin 0 + е3 sin 30 +
+ s2m+1 sin Bm + 1H,
C7.2)
431
причем
Аг 2
о\— 4-cose — — cose
Лх Г sin e sin Bm +
—h cos e
X
Отметим далее, что
2 sin 6 sin Bm + 1N = cos 2mb — cos 2 (m + 1) 6,
и положим
— = chx.
C7.3)
C7.4)
C7.5)
Фиг. 37.1
Второй интеграл C7.3) можно представить в виде разности двух ин-
интегралов, которые легко рассчитываются:
Г
sine sin Bm + 1) 9
ch т + cos e
1 Г cos 2га6 с?е 1 Г
^ Т J ch т + cos 6 ~~ " )
ch т + cos e *
о о
Поступая так же, как в разделе 11.4, вычислим интеграл
COS
спт Н- cose
db.
Замечая, что
cos (га + 1) 6 4- cos (n — 1) 6 = 2 cos габ (cos 9 + ch т) — 2 cos габ ch t,
приходим к следующему уравнению в конечных разностях:
432
C7.6)
C7.7)
C7.8)
C7.9)
Решение такого уравнения дается выражением
1п = Ахп, C7.10)
подставляя которое в C7.9), приходим к следующему уравнению:
я2 + 2сЬ'и.я + 1 =0. C7.11)
Это уравнение имеет два решения:
хг = — е-" и х2 = — е+т, C7.12)
из которых берем только первое, так как второе приводит нас к воз-
возрастающим (с возрастанием т) членам 1п, что не соответствует зави-
зависимости C7.7).
Следовательно, положим
1п = А(—1)пе~™ C7.13)
и, замечая, что
'о = \ ^Щ7 = Ыт ^ (th Г * Ш = ^ ' C7Л4)
О
выводим:
Можем записать окончательно [2]:
Из этого выражения очевидно, что коэффициенты s2m-|-i быстро убы-
убывают, что позволяет нам ограничить число членов в C7.2), избегнув тем
самым сложных вычислений.
Коэффициенты Аи А3 . . . Ап для циркуляции определяются путем
применения формул B2.8) или B2.10), где сох . . . со2т+1 даются выра-
выражениями B2.6) или B2.11). Следует, однако, заметить, что вместо
oclf <х3 . . . ап надо подставить соответственно
ах = а —Si, а3= — г3 . . . ап = — е„. C7.17)
Для вычисления подъемной силы достаточно одного коэффициента А^.
С этой целью воспользуемся первым уравнением B2.10) для прямо-
прямоугольных и трапецоид а льных крыльев; получим
Это уравнение можно еще упростить, отбросив второй член в правой
части и приближенно положив
1(йЬ- <37Л9>
433
В этих условиях находим, что
а наклон графика Cz иак функции от а получается из формулы
\ а. C7.21)
Труднее вычислить сопротивление. Действительно, помимо сам о ин-
индуктивного сопротивления, вызванного скоростью, которую индуци-
индуцируют реальные свободные вихри, следует также учитывать добавочную
скорость ws, индуцированную зеркальными изображениями вихрей. Та-
Таким образом, возникает добавочное индуктивное сопротивление
2 тг тп
= P ^ WsTdy - Pb2V20 \j B sn sinn6) B ^nsin лв) dG =
__ b
2
тп
= |-^2^2Sn4»- C7.22)
1
Обозначая через CXiS коэффициент добавочного сопротивления, можем
записать окончательно
в г2 т л
п
С™ 1 т/2 с
2" Р^о ^ 1
37.1.1. Элементарный способ разложения i3sin6. Выше мы опреде-
определили коэффициенты вг, s3 . . . sn с помощью специальных интегралов
C7.7). Интересно отметить, что тот же результат может быть получен
путем элементарных алгебраических вычислений. В самом деле, выра-
выражение скорости C7.1) может быть записано следующим образом:
и далее приведено к виду
5 Sin 6 =-оГ -^Z :
At Г g^e+iT) g-i(e-iT) I _
"" 2гх 1_ е2гF+гт) 1 __ e-2i(8-ix) ~
=^- 2 e-^+^sin Bm + 1) 6. C7.25)
о
Именно это выражение было получено нами выше C7.16).
434
37.1.2. Определение коэффициента х. Члены sn C7.16) зависят от
коэффициента х, который мы предположили заранее известным. В дей-
действительности, как видно из его выражения
_ jk 1
*~ 4 i_dL 4.^.-^2- 4- ' C7.26)
Аг ^ А± Аг ~Г'"
коэффициент х изменяется в зависимости от А1 . . . Ап, которые, в свою
очередь, зависят от *. Поэтому необходимо определить этот коэффици-
коэффициент независимо от Аг . . . Ап. С этой целью заметим, что можно пре-
пренебречь А5, А7 . . . , так как они малы по сравнению с^и А3; следо-
А3
вательно, остается только рассмотреть отношение -j-, которое может
быть выведено из следующего приближенного равенства, полученного из
выражения B2.10):
C^0 + Ро)А* + (?2 - к) Л1 = цо"з « - Ио4г бт. C7.27.)
Вводя значение --— в выражение для х, находим окончательно:
А\
7Г
х = -, f_ . C7.28)
1 +
Чтобы применить эту формулу, сначала задаются значением х, со-
соответствующим, например, крылу, расположенному в неограниченном
пространстве, и вводят это значение в правую часть выражения C7.28).
Исходя из полученного таким образом значения х, можно повторить
вычисление, но обычно достаточно и первой операции.
37.2. Метод конформного преобразования, примененный к крылу,
пересекающему струю кругового сеченияг
В предшествующих разделах мы представляли влияние границы двумя
вихрями-образами, сосредоточенными в точках А и А' (см. фиг. 37.1).
Это предположение вполне законно, и полученные результаты полностью
согласуются с опытом. Но задачу можно рассматривать более строго,
пользуясь конформным преобразованием, которое сводит эту задачу к за-
задаче для изолированного крыла. Так, например, путем преобразования
X = 2 ^-—^ C7.29)
граничная окружность преобразуется в линию абсцисс, которая стано-
становится одновременно и линией равного потенциала, а крыло занимает то же
положение, что и в физической плоскости (фиг. 37.2).
Из неопубликованных исследований Карафоли и Патрауля.
435
Вычисляя производную от X по х, получаем
В новой плоскости, производя замену переменной так же, как и
в предшествующих случаях,
У = — -|-cos6, C7.30)
можно записать циркуляцию
т
6. C7.31)
C7.32)
Заметим теперь, что для точек крыла
(z = 0 и х = у) можно вывести из C7.29) по-
последовательно
2у _ sin 0 — 1 /^2аЛ2_ 1—sinO ,Q7 qo\
Ъ ~~ cosB ; \Ъ~) — 1 + sine ' W'-**)
dx
X
«' !
о
D
откуда следует выражение для производной
в той же точке:
! i?;
= sin6A+sin в).
C7.34)
Фиг. 37.2
Индуктивная скорость в соответствую-
соответствующих точках вспомогательной плоскости и
физической плоскости будет представлена
известными выражениями
C7.35)
|
Ло A + sin 6) ^ пАп sin пв
1 )
В этом случае уравнение Прандтля — Глауерта принимает следующий
вид:
m
АпsinnQ = ^0[1+".пв - У/iAnsin/гв], C7.36)
сA + sinO)
где с0 — средняя хорда, с — хорда в произвольной точке у на размахе
(соответственно Y во вспомогательной плоскости), а Ро^к'ъг имеет т0
же значение, что и в предыдущих случаях.
Вводя далее разложения
1-f sine
°
c(l+sine)
= Ро + 2t82 cos 26 + 2?4 cos 46 + 2t36 cos 66, C7.37)
436
можем тотчас же определить коэффициенты Аг . . . Ап, применяя уравне-
уравнения B2.5), B2.6), B2.8) или B2.10), B2.11).
37.2.1. Применение к прямоугольному крылу. Рассмотрим прямо-
прямоугольное крыло, имеющее постоянный угол атаки. В этом случае разло-
разложения C7.37) могут быть выполнены следующим образом.
Заметим сначала, что выражение
\ = 0,622 + 0,144 cos 26 + 0,035 cos 40 C7.38)
1 \
дает с очень хорошим приближением функцию, стоящую в первой части
равенства. Будем иметь, следовательно,
Ро = 0,622; 232 = 0,144; 2^ = 0,035. C7.39)
С другой стороны, для угла атаки используем другую формулу
1 ! ^ ~ 1-0,55 sin в — 0,053 sin 30 -0,025 sin 50.
1 + sin в 1 + sin в ,~7 aq\
Разложение единицы в ряд Фурье дает очень медленно сходящийся ряд
1 = - (sine + 4-sin 39 +... + - sin пв\ C7.41)
ТС \ О ТЬ J
но все же оно не представляет никакой существенной трудности, так как
все коэффициенты разложения известны, а в вычислениях они встре-
встречаются в более сложной форме, как это видно из выражений B2.10)
и B2.11).
Более или менее простыми приемами можно получить тригонометри-
тригонометрический многочлен с ограниченным числом членов. Так, можно положить
с достаточной точностью, что
1 ж -i- (sin в + 0,297 sin 39 + 0,098 sin 50); C7.42)
это соответствует для угла атаки разложению
% = а. = а@,722 sin в + 0,325 sin 30 + 0,100 sin 50), C7.43)
JL —\~ Sin w
откуда следуют коэффициенты
3tx = 0,722а; 213 = 0,325а, Щ = 0,100а.
При этих условиях применим уравнения B2.10), в которых отбросим
члены высшего порядка малости:
C7.44)
437
(ра - р4) А± =
Мз +
= ^0Wn = 0
где
| C7.45)
Замечание. Из выражения правой части уравнения C7.36) видно, что
на концах эффективный угол атаки не становится равным нулю; это
говорит о том, что коэффициенты Аъ . . . , Ап убывают очень медленно и
что, следовательно, разложение C7.31) сходится очень медленно. Ввиду
этого может случиться, что результаты дадут не очень хорошее прибли-
приближение, однако метод имеет то преимущество, что он прост.
37.2.2. Вычисление подъемной силы и сопротивления. Принимая
во внимание C7.34), легко видеть, что
ъ_ _ь_
2 2 тп тс .
P=9V0\ Tdy = pV0 [ T^dY=pVtb2^An[£T^~Qde. C7.46)
Заметим, что каждый интеграл, стоящий в правой части C7.46), пред-
представляет собой член -7Г ^- из разложения C7.37) в ряд Фурье, откуда
А ОС
следует
или, учитывая разложение в тригонометрический многочлен C7.43),
можно записать:
р = -P-FjbVi! @,722 + 0,325 ^ + 0,1 ^\ C7.48)
Для сопротивления будем иметь:
Twdy = p ^ YW dY = ±. Vlb\ ^ пАп, C7.49)
^ Ь Ь_ 1
Y 2
точно так же, как и для случая изолированного крыла, причем влияние
границы содержится в членах Ап.
37.2.3. Случай антисимметричной вариации циркуляции. В этом слу-
случае число п в общем члене первого выражения C7.37) четное (п = 2р) и,
следовательно, по C7,36) коэффициенты Ап имеют четные индексы:
Лп —
438
В общем случае уравнение C7.36) распадается на два: одно содержит
члены с четными индексами (ЛП = Л2Р), другое — члены с нечетными
индексами (Ап = -42p+i) соответственно членам из разложения выраже-
выражения а.—тг- в ряд Фурье или в тригонометрический многочлен.
37.3. Влияние струи винта
Жидкая масса, проходящая через «диск винта», образует впереди и
позади диска почти цилиндрическую струю, где господствует средняя
осевая скорость Fo, превышающая относительную скорость Vo бесконечной
среды. В сущности, скорость Vo является скоростью самолета, a Vo сла-
слагается из Vo и добавочной средней осевой скорости, приобретаемой
жидкими частицами при прохождении через диск винта (см. фиг. 37.2).
Граница, т. е. поверхность раздела между двумя областями D и D\
имеет цилиндрическую форму лишь очень далеко позади крыла. С другой
стороны, составляющие скорости по координатным осям, а именно V0+u,
v, w, зависят от положения точки внутри струи и являются, следова-
следовательно, функциями от х, у, z. Таким образом, крыло, пересекающее
подобную струю, оказывается в поле скоростей, весьма сложном и трудно
определяемом, к тому же еще нестационарном. Поэтому задачу сводят
к элементарной схеме путем упрощающих предположений, которые мы
перечисляем ниже.
A. Полагаем, что струя имеет цилиндрическую форму и круглое
сечение, причем радиус круга зависит от средней осевой скорости
Vo = V0 + ит.
Б. Осевая скорость и изменяется по вполне определенному закону
например, по закону, соответствующему винту с оптимальной характери-
характеристикой, или по закону и = const. В последнем случае имеем Vo = Vo +
-f. и = const по всему сечению.
B. Скорость вращения жидких частиц вокруг оси Ох также изме-
изменяется по вполне определенному закону, например, по закону, который
соответствует винту с оптимальной характеристикой, или по закону
постоянства скорости на всем сечении. Однако следует заметить, что
последнее предположение не соответствует действительности.
Г. Радиальная скорость равна нулю; при этом предполагается, что
речь идет о цилиндрической части струи.
Перечисленные предположения облегчают вычисление составляющих
скорости в любой точке потока. При этих условиях задача была иссле-
исследована С. Конингом для крыла с эллиптическим контуром, причем он
полагал и, а следовательно, и Vo постоянными по всему сечению, а так-
также считал постоянной и скорость вращения частиц вокруг оси Ох.
В общем виде задача может быть легко исследована методом, который
мы применяли до сих пор. Однако для сокращения вычислений и не на-
нарушая общности задачи, мы можем рассмотреть следующий простой случай:
1) крыло проходит через ось струи, и следовательно, радиальная
скорость не оказывает никакого влияния;
439
2) осевая скорость и постоянна по всему сечению, и следовательно,
^о = ^о + и также постоянна;
3) скорость вращения может быть исследована отдельно как случай
антисимметричного распределения угла атаки; при изучении симметрич-
симметричных явлений можно, следовательно, считать скорость вращения равной
нулю.
37.3.1. Уравнение циркуляции. Обозначая через i?0 радиус цилиндри-
цилиндрической струи, через V — осевую скорость, изменяющуюся вдоль размаха,
через wt — полную индуцированную скорость (совпадающу ю с отрица-
отрицательным направлением оси Oz), включая влияние границы струи, мы
можем записать уравнение для циркуляции в виде
Г = kcV (к—Щ = kcV* - kcwt. C7.50)
Выражение для циркуляции Г C7.50) несколько изменится, если
учесть влияние разрыва на границе.
Согласно предположению, сделанному нами для упрощения, V равно Vo
снаружи струи (от -^ до —RQ и от i?0 до -к~) и равно Vo внутри
струи (от — Ro до + Ro). Положим
C7.51)
где о равно нулю за пределами струи, а внутри струи
V —V
У 0 V °
V V
о = о0 = —т . C7.52)
vt
о
Тогда вместо C7.50) можно написать следующее уравнение, относящееся
к крылу с изменяющимся углом атаки:
а A+8) pr-J + G, C7.53)
где G и есть член, учитывающий эффект разрыва. Здесь, однако, инду-
индуцированная скорость wt имеет иной смысл и состоит из иных слагаемых.
В самом деле, пусть D будет внешней областью относительно струи
винта и D' — внутренней областью. В предыдущем разделе мы устано-
установили, что поле скоростей на крыле, в точке т] размаха, будет слагаться
следующим образом (фиг. 37.3).
Во внешней области D (см. фиг. 37.3, а):
1) скорость, вызванная пеленой внешних свободных вихрей
wel =
1 -«•
[ dT dy [ dT . dy
) dy'y — r\ ) dy' y — t]
C7.54)
440
2) скорость, вызванная зеркальными изображениями вихрей, располо-
расположенными во внутренней области D',
-До
С
C7.55)
где ve может быть определена следующей формулой на основании C5.43)
и C7.51) и ввиду малости величины 80:
Л
Фиг. 37.3
3) скорость, вызванная внутренними вихрями,
ч», — \ . &
Wes~ 4я J dy У-Ч '
-й.
где на основании C5.43) и C7.51)
Vfi =
к 0 ^ r 0
Во внутренней области Z)' (см. фиг. 37.3,6):
1) скорость, вызванная внутренними вихрями,
■ L Г ?L dy ■
C7.56)
C7.57)
C7.58)
C7.59)
441
2) скорость, вызванная зеркальными изображениями вихрей, располо-
расположенными во внешней области,
г,12=-М £•-&—, C7.60)
-До
где
''-Vl
Vi =
3) скорость, вызванная внешними вихрями,
г Г—Ro 2
«* I J dy у — т\ J
I ь +Д,
L r-
rfy
причем
B итоге для внешней области!) получим
-До
C7.61)
C7.62)
C7.63)
), C7.64)
где г^ — собственно индуцированная скорость, получаемая без учета
границ.
Для внутренней области D' мы также имеем
dT
dy'
7
dy
У
■ +
b
2
До
Г dy
У _^_
71 у
+До
: = w%1 + w;i3 + wi2 = гг; + ^ \ 4г
dy
C7.65)
Далее, обозначая через is добавочный индуцированный угол атаки,
изменяющийся вдоль размаха, отметим, что вне струи винта его значение
определяется выражением
ь
-R.
, C7.66)
а внутри струи — выражением
^s =1= Isi == "~~7 =
W'o-l/'
dy
C7.67)
442
Теперь можно записать уравнение циркуляции в окончательном виде:
Г - kcV0 [а A + 8) - -ji- - гв] + G. C7.68)
В общем все происходит, как в случае изолированного крыла, поме-
помещенного в однородный поток, движущийся со скоростью Vo при геомет-
геометрическом угле атаки а^ = а A -|- 8), изменяющемся вдоль размаха,
и дополнительном индуцированном угле атаки — is, также изменяющемся
вдоль размаха. Чтобы решить эту задачу обычным методом, который мы
применяли до сих пор, рассмотрим сначала крыло, расположенное в по-
потоке, скорость которого Fo, без учета влияния струи винта, и затем при-
прибавим воздействие изменяющегося угла атаки а8; этот угол можно пред-
представить в виде разложения в ряд Фурье. Так, например, положим
ао sin б = а [8Х sin 6 + 83 sin 36 + . . . + 8apfl sin Bp + 1N], C7.69)
где 8Х . .. 8П выражаются аналогично формулам B3.5)
280 / sin 40! sin 26i
= ~Г~4 ~) I C7.70)
и где 6Х дается соотношением
cos 6! = — i^-. C7.71)
Рассмотрим затем дополнительный угол атаки — i$ и эффект разрыва
при переходе от внешней области к внутренней области C5.10). Разло-
Разложим циркуляцию вокруг крыла на три части:
а) циркуляция нормального крыла, помещенного в поток со ско-
скоростью Fo,
т
Та = 2bV0 2 Ап sin nO, C7.72)
1
где коэффициенты А1...Ап выводятся из уравнений A8.5);
б) циркуляция, вызванная струей винта и эквивалентная циркуляции,
соответствующей углу атаки а8, изменяющемуся вдоль размаха
т
Г„ = 2bV0^Вп sin nb; C7.73)
1
коэффициенты в этом выражении определяются с помощью уравнений
B2.10) и B2.11), где ап заменяется на а8п; решение задачи такое же,
как и в случае закрылка, расположенного в центре (раздел 23.1);
в) дополнительная циркуляция от вихрей-изображений, индуцирующих
443
дополнительный угол атаки — is и от эффекта разрыва:
Гс = /(8); C7.74)
эта функция имеет разрыв в точках ±Ro> соответствующих углам 6Г
и тс — 6Х.
Действительно, из установленного выше условия C5.10) вытекает,,
что если обозначить через Кг некоторый коэффициент, меньший единицы,,
то циркуляция на границе должна удовлетворять соотношению (фиг. 37.4)-
- A _ Кг) GJ A + 80) = Тг + Kfil9
C7.75)
откуда, из-за малости So, получаем
[l s «о01\, C7.76)
где Гг — циркуляция на границе, представляющая сумму двух частей
циркуляции в той же точке, Га1 и Гы, выводимых из C7.72) и C7.73)
заменой угла 6 через 61? т. е.
Т" т j_ Т /Q7 77Y
1 1 — А ах ~т~ А bl • W ' * ' '
Задаемся целью найти дополнительную циркуляцию Гс простым вы-
вычислением.
37.3.2. Определение дополнительной циркуляции Гс. Рассмотрим
распределение Гс без разрыва, полученное передвижением центральной
кривой на постоянную величину Gj (фиг. 37.4); притом вычтем эту
постоянную циркуляцию Gx на центральном участке для получения на
этом участке реального распределения
ГС = Г* —Glf C7.78>
справедливого от — Ro до Ro.
Вычислим теперь дополнительный индуцированный угол атаки — iSr
обусловленный вихрями-изображениями. Так как вычисление трудоемко^
сделаем сначала необходимые упрощения. Заметим, что вихри-изображе-
444
ния уменьшены ввиду наличия коэффициента v0, который, ввиду малости
<о0, становится равным
C7.79)
Далее, вместо того чтобы рассматривать каждую вихревую нить dl\
возьмем суммарный эффект концевых сосредоточенных вихрей. Так,
исследуем концевой вихрь циркуляции Га, циркуляции Гь и, наконец,
диркуляции Гс- Влиянием этих последних можно пренебречь, так как
они порядка §о-
Действительно, эквивалентный угол атаки ао0 в области струи может
дать только циркуляцию Гь порядка 80Га, а вихри-изображения будут
порядка 8q, т. е. ими можно пренебречь. Аналогичным путем Гс порядка
£0Га и вихри-изображения порядка ОоГа, следовательно, также пренебре-
яшмы в первом приближении.
Остается только Га, изменением которой на участке струи можно
пренебречь; поэтому на этом участке не будем рассматривать вихри-изо-
вихри-изображения. Иначе обстоит дело с концевыми вихрями, расположенными
Ъ Ь
в точках размаха х—- и —*-^-, напряженность которых определяется
соотношением
Г«о = 2bV0(A1—A3 + А5 — А7+...)жТг. C7.80)
Для коэффициента х возьмем значение х = 0,80, среднее между зна-
значениями соответствующих коэффициентов в случае эллиптического крыла
и в случае прямоугольного крыла.
В этих условиях дополнительный индуцированный угол, обусловлен-
обусловленный вихрями-изображениями внешних вихрей, расположенными в точках
ziz —г- внутри круга, будет иметь выражение
> C7-81)
Обозначим далее через G изменение циркуляции, которое вычитается
из Гс согласно C7.78), а именно: G = 0 от ^- до —Ro и от Ro до
у и G = Gj от — Ro до Ro; тогда общее уравнение дополнительной
циркуляции примет вид
Г* = G + Гс = G — kcV (is + ^f] = G - AcF0 ff8 A + 8) + -J^l, C7.82)
m
где wc — индуцированная скорость от циркуляции Гс. Положим далее
?nsinnb. C7.83)
445
При этом приведенное выше уравнение принимает вид
т т
— sin 6 V С*п sin гсб -(- [а0 2 n^
1 1
= 2ЙГ0 • Т Sin в - ^ ts A + §) Sin 6' C7*84)
где с0 —средняя хорда, а Ро = $-
Это уравнение решается легко при помощи изложенных выше мето-
методов (раздел 22). Действительно, полагая
26F = S; 26П = &oS ^37-8°>
и записав разложения в ряды Фурье
s — sin 6 = SjSinG +s3sin36 + . . .+ smsinm6
с
C7.86)
приходим опять к задаче о крыле с изменяющимся углом атаки, нахо-
находящемся в однородном потоке со скоростью Fo:
a = 8os-5L-ftoie(l+8). C7.87)
G
После определения коэффициентов Ап, Вп, Сп вычисление подъемной
силы и сопротивления не представляет никаких затруднений.
Найдем теперь коэффициент Кг; при этом заметим, что в точках Чт/?0,
соответствующих углу 8Х, будем иметь
KXGX = К^Т, = Гс\ = 2bV0^CnS\anb1. C7.88)
1
Отсюда выводим Кг и, следовательно, циркуляцию Гс.
Примечание. В вышеизложенном предполагалось, что изучаемое
явление симметрично, однако метод можно применить и к антисиммет-
антисимметричному явлению, причем нужно выразить is в надлежащей форме;
в остальном можно поступать, как указано выше. В общем случае рас-
расчленяем циркуляцию на две части, одна из которых симметрична, а
другая антисимметрична, и далее ведем расчет отдельно для обеих частей.
37.3.3. Применение к эллиптическому крылу. Будем иметь последо-
последовательно:
Га = 2bV0Al sin 6 = 2bV0 #- sin 6 C7.89)
для нормального крыла без струи и
^ C7.90)
1
446
учитывая влияние струи, без эффекта разрыва; коэффициенты Вп выво-
выводятся из аналогичных задач об изменениях угла атаки, т. е.
2 rsin(n- + lNi sin (м-1N11
I J
C7 91Л
Затем вычислим дополнительный угол атаки is, после чего сделаем
второе разложение C7.86).
Первое же разложение очень легко дает
т
Сп . Л Fi 4 v-i COS 7101 .л /огт ЛО\
8— Sin 6 — Tnjr = У, -SlIinG. C/.92)
с 2bV0 n jLJ n v ;
1
При учете изменения хорды эллиптического крыла
c = cosin6 C7.93)
уравнение C7.84) упрощается и дает непосредственно:
Г* — ri Sp J_ cos пВг _ V-oisn ,o7 q/\
z n
Для определения коэффициентов fsn можно применить различные при-
приближенные методы расчета, которые могут привести нас к простому раз-
разложению в ряд Фурье дополнительного угла атаки is.
Следует отметить, что члены в правой части не убывают быстро;
однако можно оценить число п> необходимое для того, чтобы изменение
полной циркуляции
Г = Га + Гь + Гс C7.95)
представить в виде, наиболее соответствующем действительности.
ЛИТЕРАТУРА
1. В a ran of f A. Beitrag zur Frage der Beeinflussung des Abwindes durch den Schrau-
benstrahl (К задаче влияния струи винта на поток вниз по течению). Luftfahrt-
Forschung, В. 19, Januar 1942, Lfg. 1.
2. Garafoli E. $i Oroveanu T. Aripa traversed un curent de sec^iune
circulara (Обтекание крыла потоком круглого сечения). Bui. stiin^ific al Academiei
RPR., t. I, Nr. 7, 1949.
3. Lennertz J. Beitrag zur theoretischen Behandlung des gegenseitigen Ein-
flusses von Tragflache und Rumpf (К теоретической трактовке взаимного влияния
крыла и фюзеляжа). Abhand. aus dem Aerod. Inst d. Techn. Hochschule Aachen, H. 8.
4. Garafoli E. $i Patraulea N. Teorema rezistentei minime la sistemele
portante complexe (Теорема минимального сопротивления для комплексных не-
несущих систем). Gomunicarile Academiei RPR, t. II, Nr. 7—8, 1952.
5. Garafoli E. §i Patraulea N. Ecuatia circula^iei tn jurul unei aripi
cu fuzelaj central (Уравнение циркуляции вокруг крыла с центральным фюзеля-
фюзеляжем). Comunicarile Academiei RPR, t. II, Nr. 3—4, 1952.
6. Паничкин И. А. О задаче влияния границ потока с круглым поперечным
сечением на аэродинамические характеристики крыла. «Прикладная математика
и механика», т. IX, № 2, 1945.
Глава X
ПОПРАВКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ,
ПОЛУЧЕННЫХ ПРИ ОПЫТАХ В АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ТРУБАХ
ИЛИ ПУТЕМ ПРОТАСКИВАНИЯ МОДЕЛЕЙ НА ТЕЛЕЖКАХ
Полученные в предыдущих разделах результаты относительно влия-
влияния границ находят важное применение при внесении поправок в резуль-
результаты опытов, произведенных в аэродинамических трубах, где струя дви-
движущейся жидкости ограничена неподвижными или свободными стенками.
На опыты с аэродинамическими тележками также оказывает влияние
близость земной поверхности. Поэтому необходимо оценить влияние
свободных или неподвижных поверхностей, ограничивающих струю жид-
жидкости, и внося соответствующие поправки, вывести из данных опыта
аэродинамические характеристики крыльев, находящихся в безграничной
жидкости, т. е. в условиях, в которых находится в действительности са-
самолет, летящий над Землей на достаточной высоте.
Современные опыты обычно проводятся в жидкости, ограниченной
одной поверхностью, или двумя параллельными поверхностями, или,
наконец, цилиндрической поверхностью прямоугольного, круглого или
эллиптического сечения, а также сечения с контуром, произведенным из
этих форм.
38. ОПЫТЫ С ЧАСТИЧНО ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУЕЙ
В специальных опытах струя жидкости нередко бывает частично
ограничена какими-либо поверхностями, из которых мы рассмотрим пло-
плоские поверхности.
38.1. Жидкость, ограниченная одной плоской поверхностью.
Влияние Земли.
Этот случай охватывает опыты с тележками и влияние земной поверх-
поверхности при приземлении самолета. В этом случае добавочный потенциал
дается зеркальным изображением действительного крыла относительно
земной поверхности, которая играет, таким образом, роль зеркала. За-
448
дача сводится к случаю биплана с равными крыльями, без выноса и с рав-
равными по величине, но противоположными по знаку углами атаки.
Если обозначить через Г среднюю циркуляцию вокруг действительного
крыла и, следовательно, через —Г среднюю циркуляцию вокруг его
зеркального изображения, то добавочный индуцированный угол г8, вызы-
вызываемый зеркальным изображением, дается выражением C4.11), в котором
Г2 надо заменить на —Г и принять1
sin В = 0, cos {3 = 1, x>i = х2 = х, bi = b2 — b, т = х — п = 0.
h
Тогда
w* Г Г W
и^т~ъ^ ~ъ^пи У 1 + *2 wm C8Л)
Далее, заменяя Г на
г, Р SVn „
и попрежнему обозначая через а коэффициент взаимного влияния крыльев
биплана, который определяется из C4.15)
а =^ Ш у 1 +^2^Г» C8.3)
можем написать окончательно
1. = -%а. C8.4)
ТТЛ v '
Следует отметить, что этот угол увеличивает угол атаки и должен
отсчитываться в положительном направлении. Таким образом, эффектив-
эффективный угол, который для биплана в неограниченном потоке дается равен-
равенством C4.66), в данном случае будет равен
С
ае = а -LM -f. т _ о), C8.5)
ТТЛ
а выражение для коэффициента индуктивного сопротивления получим из
соотношения C4.58):
С*,= ;^A+8-о). C8.6)
1 Как и в случае биплана, коэффициент х представляет среднее значение
где х0 дается хорошо известной формулой
Щ 4 Л1 — AzArAb — A7+. .. *
В действительности это последнее значение справедливо скорее для задней части
свободных вихрей, тогда как влияние вихревой пелены, представляющей переднюю
часть свободных вихрей, можно скорее считать эквивалентным влиянию средних
вихрей, помещенных ближе к краю. Но так как очень трудно установить эффектив-
эффективное воздействие свободных вихрей в их действительных положениях, мы будем
брать в дальнейшем указанное выше среднее значение коэффициента х.
449
С другой стороны, горизонтальная скорость в точках крыла умень-
уменьшается на значение щ, определяемое из C4.11):
—Г
2
где ъх дается выражением
C8.7>
C8.8)
Вычисляя далее выражения C4.25), C4.27), C4.30) и C4.47) в при-
применении к биплану, показанному на фиг. 38.1, найдем соответственно
, ,/л-, 1 1 ,/2Л\2 ,/~1 1 , / 2А
с2 +16
C8.9)
1 — / = 1 —
2кХ
причем
2Ах = -г5-, C8.10)
где K*z — коэффициент подъемной си-
силы, соответствующий одному изоли-
"ГТ" рованному крылу.
-' К Отсюда следует выражение для
коэффициента подъемной силы
Фиг. 38.1
и для коэффициента индуктивного сопротивления
C8.11)
C8.12)
По сравнению с соответствующими значениями для изолированного
крыла мы получаем, таким образом, следующие приращения подъемной
силы и сопротивления, вызываемые присутствием плоской границы:
C8.13)
450
Эти выражения могут быть упрощены, если принять во внимание, что
о — величина весьма незначительная и что при достаточно большом h
весьма малы также к и у. Пренебрегая членами второго порядка, полу-
получим
C8.14)
38.2. Плоская граница в общем случае
Предположим, что вместо земной поверхности имеется поверхность
раздела (см. фиг. 35.6). В этом случае напряжение зеркального изобра-
изображения вихря равно vF и добавочные индуцированные скорости будут
соответственно
vct
C8.15)
где v определяется из формулы C5.50).
Вычисления подъемной силы и сопротивления производятся так же,
как и в предыдущем случае, где вместо v мы имели —1. На подробно-
подробностях этих вычислений мы здесь не будем останавливаться, так как они
не представляют особенного интереса.
38.2.1. Вертикальная граница. Пусть D — расстояние от центра С
крыла до вертикальной поверхности. Тогда добавочная индуцированная
Фиг. 38.2
скорость в точке у крыла, вызываемая зеркальными изображениями
вихрей, определится выражением
1 1 \
We =•
C8.16)
где направление вниз принято за положительное. Среднее значение w* этой
скорости дается равенством
W* ЧГ \ VG 4
^S VI 1 1 vy^z i 1
, ivJb у
\2D]
1 _ _
\2DJ
C8.17)
451
откуда, полагая
1 — —
\2D
C8.18)
получаем эффективный угол атаки и полное индуктивное сопротивление
крыла
ае = а - A + т + vcj) §- ]
C8.19)
В случае неподвижных стенок (v = —1) индуктивное сопротивление
уменьшается, а в случае свободных поверхностей (v = 1) увеличивается.
38.3. Плоское течение, ограниченное двумя параллельными плоскостями.
Этот опыт применяется специально при изучении крыльев бесконеч-
бесконечного размаха.
Пусть Г — циркуляция вокруг крыла бесконечного размаха, помещен-
помещенного в начале координат на расстоянии h± от нижней границы Рг. В дей-
действительности крыло находится между дву-
двумя неподвижными стенками, перпендикуляр-
перпендикулярными к плоскости хОу, причем ось Ох на-
направлена в сторону, противоположную на-
направлению скорости Fo, а ось Оу — вверх по
в ртикади (фиг. 38.3). Через Vo обозначена
скорость в экспериментальной струе, а через
Vo — скорость по ту сторону границ. В
общем случае, когда скорость VQ конечна и
отлична от нуля, добавочный потенциал
движения в экспериментальной струе дается
вертикальной цепочкой зеркальных изобра-
изображений вихря, как это показано на фиг. 38.3.
Если обозначить через п порядковый номер
зеркального изображения, то соответствую-
соответствующее вихревое напряжение, как уже указы-
указывалось в разделе 35 (фиг. 35.7), будет vnr,
где v определяется формулой C5.50). Общий
случай редко встречается на практике; по-
поэтому мы рассмотрим сначала два интересных
частных случая: неподвижные стенки (v =
= —1) и свободные поверхности (v = 1).
Позже мы рассмотрим еще третий слу-
случай, когда одна из стенок неподвижна (на-
(например, нижняя Fi), а другая свободна (верхняя F8).
38.3.1. Неподвижные стенки и свободные поверхности. Добавочная
комплексная скорость wa, вызываемая влиянием стенок, определяется
452
выражением
(Г 1
, (Г 1 /Г^ 1 ,
где z — x + iy— комплексная переменная (фиг. 38.3). Знак плюс перед
последним членом соответствует неподвижным поверхностям, а знак ми-
минус — свободным поверхностям.
Замечая далее, что суммы в правой части могут быть выражены
гиперболическими функциями, найдем для добавочной скорости более
простое выражение:
Wa = Ua- Wa = ^ . ___coth^±^COth-^_ii; C8.21)
значение добавочной скорости на крыле (z = 0) будет
lim wa = ± ^г ctg -x-71- C8.22)
Если крыло находится в центре струи (/г = 2/гх), добавочная скорость
равна нулю.
Влияние стенок на крыло выражается, однако, в искривлении потока
у крыла. Согласно фиг. 14.5 радиус кривизны, который мы обозначим
через /?, дается выражением
±L(S] _м чЦ^±
R Vo \дх )x=v=o - Ы- Ч- Vo [ dz
тгГ Г 1 1/2fey
I 2=0
C8.23)
где знак минус перед вторым членом в скобках соответствует неподвиж-
неподвижным стенкам, а знак плюс — свободным.
Если крыло помещается в центре струи (h = 2/гх), получим
ТГ = ШЗР <4 + 3) = (* + 3) £ f с C824)
что соответствует увеличению угла атаки на
ъ&с' C8'25)
в случае неподвижных стенок и уменьшению на
в случае свободных поверхностей.
453
Из этих формул видно, что искривление потока не имеет существен-
существенного влияния и его можно не учитывать, если хорда мала по сравнению
с шириной струи.
Обозначая попрежнему через к половину углового коэффициента
в выражении Cz как функции от угла атаки для крыла бесконечного
размаха, можно написать
Сг = 2к(«.± Да) = С2оо ± 2£Да, C8.27)
где С20О — коэффициент подъемной силы в случае неограниченной жид-
жидкости. Отсюда следует
()* C8-28)
при неподвижных стенках и
С2ОО = (i + £!Llpjcz C8.29)
в случае свободных поверхностей.
38.3.2. Кажущиеся индуцированные угол атаки и сопротивление.
Вернемся к выражению добавочной скорости C8.21). Мы видели, что
эта скорость равна нулю на крыле, если последнее находится в сере-
середине струи.
Рассмотрим теперь полную скорость в бесконечности впереди или
позади крыла (z = ±oo), вызываемую всей цепочкой вихрей. Мы можем
написать для нее выражение
1» гГ / .-. tzz— ,, тг (z -f- 2ihi)\ /оо ОАЧ
hmw = — j-r coth^т-нcoth—~т—-I , C8.30)
2=±ОО 4/i V Z/i АП /2=±ОО
которое при /г = 2/гх принимает вид
lim w = WoQ = и** - ivn = =F S A + 1)» C8.31)
2=±OO
где знак минус в скобках соответствует неподвижным стенкам, а знак
плюс — свободным. Очевидно, что эта -скорость в первом случае равна
нулю, во втором же случае она равна ^т- в бесконечности впереди крыла
и —оТ в бесконечности позади крыла.
В результате индуцируется угол £<„, значение которого определяется
равенством
— 2hV0 3Z
C8.32)
где знак плюс соответствует -j- оо, а знак минус —оо.
Тот же результат можно получить более простым рассуждением.
В самом деле, применяя теорему количества движения к струе жидкости
от бесконечности впереди крыла до бесконечности позади крыла и по
всей ее ширине /г, найдем: oV0T = pVoh-2va>r что идентично выражению
C8.32).
454
Каково же влияние этого угла атаки, индуцированного в бесконеч-
бесконечности? На самом крыле добавочная скорость равна нулю, как и инду-
индуцированный угол, но по отношению к направлению потока, в свою оче-
очередь параллельному неподвижным стенкам аэродинамической трубы
(фиг. 38.4), с которыми связана система отсчета, угол атаки крыла умень-
уменьшается на величину, которую мы будем называть кажущимся индуциро-
индуцированным углом атаки и которая определяется следующим образом.
Фиг. 38.4
Предположим, что крыло помещено в центре струи (h = 2/гх); ком-
комплексная скорость в точке z определяется выражением
w =—^rCOth-r-. (оо.оо)
Так как искривление потока весьма незначительно, то в первом при-
приближении можно считать, что свободные стенки параллельны оси Ох.
т-> . ih *
Ь сечении на входе потока в точках z = х ± -у на обеих стенках ско-
скорость равна
ih \ — iT
*Г ., п ( . ih\
; = Пх - ivx = - Yh coth j [x± -j-J =
2JJ
tgh T ,
C8.34)
откуда определяются кажущийся индуцированный угол атаки на крыле
C8.36)
ж кажущееся индуктивное сопротивление
tgh™ = С\^ tghf.
Результаты эти, которые уже были получены нами в предыдущих
работах [1], могут служить для внесения поправок в данные испытаний,
произведенных в аэродинамических трубах. Следует ртметить, что при
il = 0,5 имеем tghY = 0,92. Таким образом, если модель помещена на
h
расстоянии х > -^, то можно считать индуцированный угол атаки по-
постоянным и равным тгСг-
455
Обозначая и здесь через С2ОО коэффициент подъемной силы в безгра-
безграничном потоке, мы можем на основании C8.29) и C8.35) написать
C8.37)
38.3.3* Случай разных границ: внизу — неподвижная стенка,
наверху — свободная поверхность. При изучении влияния земной поверх-
поверхности посредством испытаний в аэродинамических трубах со свободной
струей (с открытой рабочей частью), поверхность земли представляется
неподвижной стенкой. Граничные условия
удовлетворяются цепочкой зеркальных изобра-
изображений вихря, показанной на фиг. 38.5. Комп-
Комплексная добавочная скорость дается следующим
выражением [1]:
w =•
sh
п (z — i
2/г
sh
2k
которое на крыле (z = 0) принимает вид
C8.38)
Г
■ = в0| C8.39)
S1I17U.
что соответствует уменьшению скорости:
U0 = V0-u0.
Аналогично для радиуса кривизны потока
на крыле находим
Фиг. 38.5
■ 12F0u2
л £_
п
C8.40)
38.4. Крыло конечного размаха между плоскими параллельными
поверхностями
При помощи метода зеркальных изображений эта задача сводится к
бесконечному числу бипланов без выноса с равными крыльями (фиг, 38.6
и 38.7). Мы будем различать два случая: плоские горизонтальные и пло-
плоские вертикальные поверхности.
38.4.1. Плоские горизонтальные поверхности. Расположение бипланов
показано на фиг. 38.6. Если не учитывать влияния присоединенного вихря,
которое в случае надобности может быть оценено приближенно, то мы
можем следующим образом определить среднее значение добавочной ско-
скорости, вызываемой зеркальными изображениями свободных вихрей с до-
рядковым номером 72. Согласно C3.18) положим
у.Ъ г.
C8.41)
456
и согласно C3.19),
C8.42)
Тогда среднее значение добавочной скорости, выведенное из выражения
C4.12), будет
^ ™ 1п N + B*Y1 = *£? вп. C8.43)
Отсюда мы получаем полный индуцированный добавочный угол атаки:
n=l
Но приближенно можно положить
-vf
й «4-=hr. C8-45) i
4хГ
поэтому
Это выражение в случае свободных поверх-
поверхностей (v = 1) принимает вид
а в случае неподвижных стенок (v = — 1)
. _ хЬГ _ти_ __ __
l* ~~ ~ 2nh2Vn 12 ~ "~
Z7
-уГ\
шшшш
У
Фиг. 38.6
C8.48)
Окончательные выражения для полного индуцированного угла атаки
и для полного индуктивного сопротивления будут соответственно при
неподвижных стенках
:-°-2о5^)тс-г
C8.49)
а в случае свободных поверхностей
C8.50)
При этом, как было указано вначале, мы пренебрегли действием при-
присоединенных вихрей. Это действие выражается, с одной стороны, в искрив-
искривлении потока, набегающего на крыло. Его можно вычислить приближенно,
определяя индуцированную скорость, вокруг центра действительного^
457
крыла, обусловленную каждым зеркальным изображением присоединен-
присоединенного вихря. С другой стороны, действие присоединенных вихрей выражается
через кажущийся индуцированный угол атаки сравнительно с началь-
начальным (на входе) сечением струи жидкости, как мы это определили выше
для плоского течения (см. фиг. 38.4).
38.4.2. Плоские вертикальные поверхности. Добавочная скорость вы-
вызывается цепочкой зеркальных изображений вихря, расположенных, как
%уГ -vf- _
-H-
Фиг. 38.7
показано на фиг. 38.7. В полосе с порядковым номером п пара вихрей
« напряжением (—l)nvnF вызывает в точках на крыле скорость
C8.51)
направленную вниз по вертикали, среднее значение которой wsn по всему
размаху определяется равенством
где
пН
<за52)
C8.53)
Как и в предыдущем случае, вычисления приводят к следующим
результатам.
1. При неподвижных стенках (v = — 1) угол атаки увеличивается на
Да = 0,41^-- -j~, C8.54)
следовательно, эффективный угол атаки и полное индуктивное сопротив-
сопротивление определяются выражениями
т __ о 41 — ^ — \
C8.55)
2. В случае свободных поверхностей угол атаки уменьшается на
C8.56)
Aa"°>205|r-S-'
458
Следовательно, можем написать соответствующие формулы для эффектив-
эффективного угла атаки и полного индуктивного сопротивления
C8.57
38.5. Влияние плоских параллельных поверхностей, установленное
прямым методом
Выше мы исследовали эту задачу при помощи теории бипланов. Те же
результаты можно получить непосредственно, притом более легко, рассмат-
рассматривая комплексную скорость системы вихрей-изображений, заменяющих
влияние границ.
Например, в случае свободных горизонтальных поверхностей
{см. фиг. 38.6, v = 1) комплексная скорость дается следующим рядом:
/г Г+о° 1 +0°
J 2 ,1
-^—inh -_оох + у — inh
C8.58)
который можно заменить простой гиперболической функцией
C8-59>
Следует отметить, что ось Оу направлена вдоль размаха крыла, а
ось Oz—-по вертикали вверх; таким образом, х является комплексной
л временной х = у + iz. В центре крыла (х = 0) имеем
v0 — iw0 = ±^L coth J ~ = - iwQ. C8.60)
Если вычесть скорость, вызванную собственно крылом (попрежнему
в центре), и равную
-£. C8-61)
получим окончательное выражение добавочной скорости w8 или добавоч-
добавочного индуцированного угла атаки is:
В случае горизонтальных неподвижных стенок расположение зеркаль_
ных изображений вихря (см, фиг. 38.6, v = — 1), так же как и в пре-
предыдущем случае, позволяет написать выражение комплексной скорости
в виде
v -lw = "Ж" [coth 2а(ж- tJ - coth гл (ж+Т) +
+ coth J (л— ^ - гй) - coth i (ж + у - »А)] . C8.63)
45»
После вычитания из этого выражения скорости, индуцируемой соб-
собственно крылом, получим добавочный угол атаки, индуцированный
в центре крыла (х = 0):
1.= ^- Г Г «^ «^_4А-| 3864)
Vo 4hV0[_ Ah1 Ah 7tx6j v r
Интересно отметить, что после надлежащих преобразований формулы
C8.62) и C8.64) сводятся соответственно к формулам C8.47) и C8.48).
Аналогичное рассуждение можно применить и в случае вертикальных
границ. Не останавливаясь на вычислениях, которые идентичны преды-
предыдущим, найдем окончательно
h = + j\ • IT cotn Т Т и) C8.65)
* АусЬ h \ 2 h izY.bj ч Л
при неподвижных вертикальных стенках и
8x6 h \ Ah1 Ah тгхбу
при свободных вертикальных поверхностях.
Эти результаты уже были получены нами в предыдущих работах [1]»
39. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТРУБЫ, СОЗДАЮЩИЕ ПОТОК, ОГРАНИЧЕННЫЙ
БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ СО ВСЕХ СТОРОН
На практике сечения рабочей части аэродинамических труб имеют
конечные контуры, представляющие обычно простые геометрические фи-
фигуры: прямоугольник, круг, эллипс и т. д. Опыты, производимые в этих
аэродинамических трубах, приводятся к действительным условиям в не-
неограниченной жидкости внесением поправок на влияние стенок; значения
поправок мы установим для некоторых обычных случаев.
39.1. Прямоугольное сечение
Пусть Н и h — длины горизонтальной и вертикальной сторон прямо-
прямоугольника, представляющего сечение аэродинамической трубы. Чтобы
упростить вычисления, предположим, что крыло помещено в центре сече-
сечения, и обозначим, как всегда, через уЪ приведенный размах крыла.
Нам надо рассмотреть следующие четыре случая:
а) все стенки неподвижны;
б) горизонтальные стенки свободны, а вертикальные неподвижны;
в) все стенки свободны;
г) горизонтальные стенки неподвижны, а вертикальные свободны.
Расположение зеркальных изображений вихрей, удовлетворяющих
граничным условиям в этих четырех случаях, показано на фиг. 39.1 г
а, б, в, г.
Случаи (а) и (б). Если обозначить через п порядковый номер го-
горизонтальной полосы, то комплексная скорость, вызываемая рядом
460
~r
-I + 1 г-
Л-
~l_
Фиг. 39.1
зеркальных изображений вихрей в этой полосе, будет иметь в бесконеч-
бесконечности позади крыла следующее выражение: C9.1)
ип — ivn = — (q= l)n ^ £ctg -^- (z — шА — ^—) — ct§ IT (z ~~ г"лА + IT")] y
-^- (z — шА — ^—) — ct§ IT (z ~~ г"
где знак минус соответствует первому случаю (фиг. 39.1, а), а знак
плюс — второму (фиг, 39.1, б); z = х + iy — комплексная переменная,
причем крыло отнесено к обычной системе координат.
Это выражение можно представить также в виде
sin TC 7
f
-ъ
cos 7c
уЪ
C9.2)
-ъ f-h тх,
jj- — ch тс (In -jj + i -g- J
что приводит для всех полос к полной скорости, равной
_
(+ 1)П /оо оч
C9.3)
-ъ 7—h гг.
cos 7с -^- — ch 7c I 2n -jj + i -^-1
Из этого выражения следует, что в любой точке размаха (у = О,
z = х) существует только вертикальная составляющая v\ горизонтальная
составляющая скорости равна нулю (гг = 0).
Если, кроме того, отношение -^- достаточно мало, мы можем в ка-
качестве приближения допустить, что скорость, индуцированная во всех
точках крыла, та жег что в его центре (z = 0).
В этом случае уравнение C9.3) принимает вид
—оо cos 7c —jrj- — ch 2пп -77"
причем v положительно, когда направление скорости совпадает с поло-
положительным направлением оси у.
Вычитая далее скорость, индуцированную в центре собственно вих-
вихрями действительного крыла,
и принимая во внимание, что скорость в плоскости хОу вдвое меньше,
чем в бесконечности, получим окончательно формулу для добавочной
индуцированной скорости, уже выведенную в более ранних работах [1]:
г. =-зЫ sin «-гг У! J^IZ -+^]. C9.6)
т *н
cos к -jj- — ch l-кп -g-
Отметим теперь, что слагаемые под знаком суммы при п= + к и
п=—к имеют одинаковые значения; это позволяет выразить добавочную
462
скорость в более удобной форме:
у Ь у.Ь
г 9
^ уЬ h + у.Ь
1 cos к -у- — ch 2nn -jj- cos к —у- — 1
C9.7)
Сумма внутри скобок представляет собою весьма быстро сходящийся
ряд даже при малом отношении —; поэтому можно ограничить разло-
разложение числом т = 2.
Заменяя далее Г ее выражением через Cz (pV0Vy.b = -у pSVlCz), полу-
получим следующую формулу для добавочной индуцированной скорости или
добавочного угла атаки
* 2Н
3^Г
1 COS ТС -7J" — Ch 27Ш -77"
где /5 — площадь поверхности крыла, а И — площадь сечения трубы.
Формула эта зависит одновременно и от отношения —г и от -^— , что
объясняет небольшие расхождения значений, получаемых при ее исполь-
использовании, с результатами Глауерта, который учитывает только отно-
отношение -77- .
£1
В самом деле, после надлежащего преобразования и упрощений,
основанных на предположении, что отношение -^- мало, автор приходит
к следующей формуле:
У»
C9.9)
Впрочем, значения, получаемые по той и по другой формуле, весьма
близки даже при отношениях -77->0,5.
Напомним еще, что множитель (н1!O1 в формуле C9.8) берется с отри-
отрицательным знаком в случае (а), т. е. при неподвижных стенках, и с по-
положительным —- в смешанном случае (б), т. е. когда боковые стенки не-
неподвижны, а горизонтальные поверхности свободны. В последнем случае,
как и при плоской струе со свободными поверхностями C8.32), следует
учитывать также кажущийся индуцированный угол атаки.
В самом деле, если начальное (на входе) сечение потока достаточно
удалено от модели, то относительно направления потока существует ин-
индуцированный кажущийся угол атаки, величину которого можно вы-
вывести из теоремы о количестве движения:
P=9V0Tyb = pF0E2va. C9.10)
463
При этом мы, разумеется, предполагаем, что отклонения потока спереди
и сзади крыла равны и противоположны по знаку. В результате угол
атаки уменьшается:
la ~ V ^~
C9.11)
Мы поставили знак минус, чтобы получить формулу, однородную с
формулой C9.8).
Кроме того, искривление потока у крыла также оказывает влияние,
которое можно оценить приближенно, но которым можно и пренебречь
при сравнении с предыдущими, более важными, поправками.
Вернемся к формуле C9.8) и представим ее в виде
is = Дос = £— CZ9
C9.12)
где е — коэффициент, получаемый из той же формулы. При положитель-
положительном £ угол атаки увеличивается, что соответствует случаю неподвижных
стенок (множитель (Ч1!)™ берется со знаком минус), а при отрицатель-
отрицательном— уменьшается, что соответствует случаю (б).
Аналогично получим для индуктивного сопротивления уменьшение,
равное
ACxi = — исг = — е-£-С1. C9.13)
Для сравнения ниже приведена таблица значений е, относящихся
к случаю неподвижных стенок (а).
Таблица 39.1
Значение е
"^\ h
н ^\
0,5
0,75 . .
По Глауерту .
По Туссэну . .
0,
0,
1
т
112
063
262
1
0
0
0
0
1
Т
,113
,090
,137
,105
Vl
2
0,114
0,110
0,119
0,122
0,
ft,
0,
0,
1
140
150
137
14
0
0
0
0
2
,270
,290
,262
,275
0,
0,
0,
0,
4
540
580
524
5
Случаи (в) и (г). Чтобы вычислить комплексную скорость, вызы-
вызываемую всей системой вихрей, как действительных, так и их зеркаль-
зеркальных изображений, рассмотрим сначала горизонтальную полосу с номером
п (фиг. 39.1, в и г). Легко заметить, что вихри этой полосы индуци-
индуцируют скорость, которую можно представить в виде
|t [ nk) +^ lh
un — Wri = — D- 1)"ш |ctg 2h[z — ink 2Г) +^2Н\* — lnh Г] ~"
C9.14)
TZ { . , , У.Ь\ , TZ ( . 7
— ctg 2h[z~ inh + ~J ~ tg 2tf \z ~ inh
У.Ь \1
464
где знак плюс относится к свободным поверхностям (в), а знак минус —
к случаю различных границ (г). После простых преобразований это урав-
уравнение принимает вид C9.15)
Ип — ivn = — (±l)n 2jf [cosec -^(z — inh — y-J — cosec j[[z —inh + 4pY],
и его можно еще представить в другом виде, более удобном для вычи-
вычислений. Именно, рассматривая все горизонтальные полосы, мы можем
написать следующее выражение полной комплексной скорости:
+OO
п уЪ п
sin ~2~~fj ch~77" (nh— z)
уЪ 2ти
cos 7Г -jj- — ch -г?- (nh — z)
C9.16)
В центре крыла (z = 0) добавочная скорость равна половине значе-
значения этого выражения (при z = 0), из которой нужно вычесть скорость,
вызываемую собственно вихрями действительного крыла C9.5). Заметив,
что при п= -\-к и п = — к слагаемые под знаком суммы C9.16) (в слу-
случае z = 0) имеют одинаковые значения, можем написать окончательно
Г
Н
5
tz уЬ h
sin -~2~ ~~£[~ ch n -jg-
COS 7Г -TF Ch 27Ш "TF
Jtl Jo.
Положим далее
2 уЪ
п уЪ h
sin ~2 ~~тГ ch тш -яг
уЪ
cos n -ту — ch 27U71
-1
—
А Г
Я J
C9.17)
C9.18)
Индуцированные добавочные угол атаки и сопротивление будут соответ-
соответственно
= s'
C9.19)
Из формулы C9.17) видно, что в случае свободных поверхностей (в)
угол атаки уменьшается, а сопротивление возрастает, в случае же раз-
разных границ (г) — наоборот.
Для сравнения ниже приведена таблица значений коэффициента е'
в зависимости от -=- и -тт •
Таблица 39.2
Значения е'
Н
0 5.. ...
По Tvcc9HV . .
h
Н
1
2
0,218
0,262
0,202
0
0
0
1
,131
,137
,113
0,
0,
2
141
155
465
Отметим еще, что в случае свободных поверхностей следует учитывать
кажущиеся индуцированные угол атаки и сопротивление, которые за-
зависят от расстояния между моделью и начальным (на входе) сечением
потока. Формула C9.11) вполне применима также и здесь.
Что касается искривления потока, то его влияние можно оценить
приближенно, но так как оно несущественно, то нет смысла приводить
здесь эти вычисления.
39.1.1. Средние добавочные скорости. Мы предположили, что приве-
приведенный размах крыла уЬ достаточно мал, чтобы добавочная скорость,
индуцируемая во всех точках размаха, была приближенно равна скоро-
скорости, индуцируемой в центре. Вычисления показывают, что это предпо-
vh . 2 Y Y
ложение вполне справедливо для -^- < —; и так как коэффициент х не
превышает значения х = 0,90, то применимость этой формулы распро-
распространяется до отношения -77-^0,75. Очевидно, что выведенные вы-
выше соотношения отвечают всем обычным случаям, встречающимся
в практике. Тем не менее для большей точности и для достаточно боль-
ших отношении -тт- надо рассматривать среднюю добавочную скорость
C9.20)
xb
вместо скорости в центре крыла, которую мы определяли выше.
Этот метод применялся Туссэном, который вычислил среднюю доба-
добавочную скорость для всех рассмотренных выше случаев.
Не останавливаясь на деталях этих вычислений, дадим только окон-
окончательные формулы:
— 1
Я /хЬ\2
1Г{н)
In
п xb
~2~h
sb =
— 1
At:
H (xbV
h [hJ
In
th-
xb
IT
xb
th -^ (mH + xb) th -Tjjr (mH — xb)
C9.21)
466
где еа, sb, sc, ed — коэффициенты, соответствующие случаям а, б, в и г.
Для сравнения в табл. 39.2 мы привели значения е, вычисленные по
формулам Туссэна. Они находятся в довольно хорошем согласии со зна-
значениями, вычисленными по нашим формулам, полученным путем исполь-
использования величины скорости в центре крыла.
39.2. Аэродинамические трубы с круглым сечением
Пусть D — диаметр трубы, a vh— приведенный размах крыла, кото-
которое предполагается помещенным в центре. Зеркальные изображения
вихрей находятся в точках А'
и В' на расстоянии, соответ-
соответственно равном
zp^l C9.22)
от начала координат (фиг. 39.2).
Добавочная индуцированная
скорость в точке у размаха
определяется выражением
vr / 1 , 1 \
Фиг. 39.2
C9.23)
откуда следует среднее значение для всего размаха
w
- vF In
~~ 2™Ь ш
~~~ г» т 1П
C9.24)
Вводя реальный размах Ъ и среднюю циркуляцию Гт, получим инду-
индуцированную скорость в виде
Ш2
C9.25)
Далее, разлагая логарифм и выражая Г и соответственно Тт через Cz,
получаем окончательно формулы для индуцированных добавочных углов
атаки и сопротивления в двух предположениях:
. v^z S Г4 1 / уЪ Y 1 / у-Ъ \8 ]
— 8~" " ~2Г|_ —3~\15~/ —5V~5~/ * ' ' |
■—
C9.26)
где S — площадь сечения трубы.
467
В случае неподвижных стенок (v =—1) угол атаки увеличивается,
а сопротивление уменьшается; для свободных поверхностей (v = 1), на-
наоборот, сопротивление увеличивается, а угол атаки уменьшается.
Установленные выше формулы основаны на предположении, что рас-
распределение циркуляции равномерно вдоль приведенного размаха» Однако
они дают результаты, мало отличающиеся от тех, которые соответствуют
действительному распределению вдоль размаха.
39.2.1. Влияние положения крыла внутри круглого сечения трубы.
Если крыло находится на расстоянии а от центра, то и зеркальные ото-
,/ бражения будут расположены экс-
эксцентрично (фиг. 39.3), в точках А'
и В'. При этом
■/ _ L и . 77аг — i JJ
4 OB 4 OA
C9.27)
у.Ь
a' =
Фиг. 39.3
Положим далее
\2 "»
. C9.28)
C9.29)
Нетрудно видеть, что влияние цилиндрической границы сводится
к влиянию верхнего крыла биплана А'В! на нижнее крыло АВ. Обозна-
Обозначая через а коэффициент взаимодействия, можно написать согласно
C3.17) и C3.19)
C9.30)
а=8^1п4/^Н
V—хЬJ'
Следовательно, индуцированный добавочный угол атаки и добавочное
сопротивление будут соответственно
2xIV v^z Kr vCz HQ41\
где v = — 1в случае неподвижных стенок и v = 1 для свободных поверх-
поверхностей.
Отметим далее, что если а стремится к нулю, мы придем к форму-
формулам для крыла, помещенного в центре трубы C9.25), полученным в пре-
предыдущем случае. В самом деле, разлагая выражение C9.30), находим
1 , _ \уЪЧ +V Ъ' ) 1
468
откуда следует
т. е. как раз первая из формул C9.25).
39.2.2. Эллиптическое распределение. Установленные выше формулы
основаны на равномерном распределении циркуляции вдоль размаха.
Практически результаты будут те же для любого распределения, кото-
которое не слишком сильно отличается от реального. Чтобы доказать это,
возьмем эллиптическое изменение циркуляции. Автоиндуцированная ско-
скорость т0 на уровне крыла постоянна, и в этом случае потенциал движе-
движения в плоскости, нормальной к вихревой пелене, будет [раздел 16.4.1
A6.33)]
f(x) = — iwQ jA2 - -£ + шох; C9.34)
здесь х = у + iz — комплексная переменная, а скорость wQ равна поло-
половине скорости в бесконечности BwQ) ввиду того, что скорости у крыла
равны половине скоростей в бесконечности.
Чтобы окружность радиуса /?, представляющая контур круглого
сечения аэродинамической трубы, была линией тока (или линией равного
потенциала в случае свободных поверхностей), нужно добавить дополни-
дополнительный потенциал:
Ш = ± iw0 j/£ - -f =F too-?- > C9-34')
где верхние знаки должны быть приняты в случае жестких стенок,
а нижние — в случае свободных поверхностей.
В самом деле, если разложим потенциал движения по степеням пере-
переменной ж, то некоторому члену
будет соответствовать дополнительный член
я2п
-iBn)~,
ОС
который нужно добавить к первому члену для удовлетворения вышеука-
вышеуказанных условий. Действительно, обозначая через х = Reib точку на окруж-
окружности, будем иметь соответственно
, B1N ) IJ, | C9-35)
\ X J \ X J J
откуда видно, что в первом случае на контуре ф =0 и во втором ср = О.
Вообще, если f(x) является потенциалом движения в неограниченной
469
жидкости, то после введения окружности радиуса R с центром в начале
координат следует добавить новый дополнительный потенциал вида
/.(*) = ±7. (^г)* C9-36)
причем знак плюс соответствует жесткой окружности, а знак минус —
свободному контуру.
Используя этот результат в нашем случае, мы получили выражение
C9.34'), из которого можно вывести индуцированную дополнительную
скорость вокруг крыла:
dfs —. R2 ( 1 Л
8 • dx x [-if Ь2х2
Произведя деление на Fo и заменяя -^- через общее выражение A6.43)
СП С
окончательно получим в некоторой точке крыла (х = г/, z = 0) дополни-
дополнительный индуцированный угол атаки
^=^=±¥-A+з^!+---)- C9-39)
Здесь Е — площадь кругового сечения. Если возьмем усредненный допол-
дополнительный угол атаки, то получим
Л / 1 \ Я -1
C9.40)
что ненамного отличается от второй формулы C9.26).
Для вычисления дополнительного индуктивного сопротивления, при-
принимая для циркуляции эллиптическое изменение
1 -10|/ ! —^т/ - ~w~V a —'^-i
можем написать
±1
-*i = т—г
C9.42)
ь_
2
470
b
откуда получаем, заменяя у через у = тг-
и интегрируя
C9.43)
что очень близко к значению, определяемому четвертой формулой C9.26).
39.3. Эллиптическое сечение
Для того чтобы не изменять систему координат, примем Оу за ось
абсцисс (параллельную большой оси эллипса), a Oz — за ось ординат
(фиг. 39.4, а), и обозначим через а и р
две полуоси, а через
ОА2 = ОБ2 = т2 = а2 — р2, C9.44)
квадрат расстояний фокусов А и В до
начала. В этом случае эллипс будет
выражаться следующим уравнением:
JL_ J- — —
а2 "Г Q2 —
C9.45)
39.3.1. Движение в плоскости кру-
круга. Предположим, что размах крыла
занимает все расстояние ВА между
фокусами (Ь = В А = 2?) и что цирку-
циркуляция будет выражаться обычной фор-
формулой
Г = 2bVQ ЪАп sin 7i8; C9.46)
предположим также в первом прибли-
приближении, что циркуляция совпадает с ее
значением в случае неограниченного
потока.
Для того чтобы представить движение, происходящее от вихре-
вихревой пелены на вспомогательной плоскости круга (& = т\ -f- £C = reiQ), при-
применим хорошо нам известное преобразование:
Фиг. 39.4
C9.47)
при этом круг KQ радиуса -^-представляет образ выреза В А (фиг. 39.4, б).
Действительно, для точки -г eiQ круга будем иметь
У = — -о" cos 6,
C9.48)
471
что как раз совпадает с той заменой переменной у через 6, которой мы
пользовались при исследовании проблемы крыла конечного размаха.
Движение вокруг этого круга будет выражаться голоморфным потен-
потенциалом вне круга и в бесконечности:
т
= 2^4-^- C9-49)
Потенциал примет следующие значения на контуре круга (£0 = —eiej:
m
рк. = 2 (тГ (р* +^ (cos nb -l sin ^e) = ф +iXp-
Как было видно из предыдущих параграфов, в произвольно взятой
точке 6 на контуре будем иметь Г^2Ф, откуда следует
qnsinnb), C9.51)
и, таким образом, приравнивая коэффициенты обеих сторон, получим
(|)п?„ = 2bV0An; qn = 2b(tJAn; Pn = o. C9.52)
Потенциал движения получает в этом случае выражение
в котором мы заменили Аг его значением, полученным из соотношения
A9.3), Cz = izkA1 и обозначили через ап следующее выражение:
Путем преобразования C9.47), при котором вырез ВА становится
кругом Ко радиуса -^-, контур С эллипса также переходит в круг К
радиуса R (фиг. 39.4, б); значение радиуса выводится из формул
Установленный выше потенциал в отсутствии границы, представленной
кругом /Г (образ эллипса С, расположенного на реальной плоскости),
должен быть пополнен дополнительным потенциалом F8(%) так, чтобы
сумма F + Fs удовлетворяла краевым условиям на границе К. Этот
дополнительный потенциал Fs = <&s-\- iTs согласно ранее сделанному
предположению не должен вносить новую циркуляцию на крыле.
472
В этом случае на круге Ко радиуса г = -г- плоскости *5 потенциал Ф8
должен быть равен нулю, т. е. должны иметь
п
F, F) = Ф8 + ГС. = г 2 Тп [5" + (|JП |j] • C9.56)
[ (|) |]
Очевидно, что для £0 = -г eiQ (на круге Ко) получим Ф3 = 0.
Коэффициенты fn должны быть определены так, чтобы круг К был
или линией тока в случае жестких стенок или линией равного потенциала
в случае свободных поверхностей. Обозначая через Rei0 некоторую точку
на круге К, будем иметь соответственно
в первом случае;
V°SC* пп ' -n ' u v" x ' - C9.58)
во втором случае.
Следовательно,
причем верхние знаки должны быть взяты для первого случая, а
нижние — для второго.
39.3.2. Дополнительный индуцированный угол атаки. Для нахож-
нахождения индуцированной скорости возьмем мнимую часть комплексной
дополнительной скорости, выведенной из потенциала Fs; произведя не-
необходимые замены, получим формулу Переса и Малавара:
т
ws I dF dl \\
16
b \n—i sin П0
a . , sine
SCZ 1 K) An (a — B)n sin Tie
Для усредненного дополнительного угла атаки находим более простую
формулу:
Ism = ± 2^(JJ=p5) ZJ ^ (a + pJP~l± (a __ рJр-1 ' (П = 2Р — 1). C9.61)
473
В случае эллиптического распределения (/г = 1) будем иметь соот-
соответственно
для жестких стенок и
SC
<39-62')
для свободной струи. В этих формулах мы обозначили через £ = тсоф
площадь эллиптического сечения. В первом случае угол атаки увеличи-
увеличивается, а во втором случае уменьшается. Следует отметить, что допол-
дополнительный угол атаки постоянен по всему размаху и, следовательно,
изменение циркуляции остается строго эллиптическим.
Если крыло простирается только на одном участке фокусного рас-
расстояния, то можем считать, что циркуляция имеет постоянное значение
на размахе и ее можно разложить в ряд Фурье вдоль фокусного расстояния.
Обозначая таким образом АВ = 2f и у = — f cos 6, концы размаха (— у, у]
будут соответствовать величинам 6 = т и 6 = ти — т, определяемым соот-
соотношением
COST = A.
Заменяя при этом Ъ в формуле C9.46) через 2f cost, определим коэффи-
коэффициенты Ап формулой
*j -■-■ « J — « - <39-63>
О т
и, следовательно,
^n COS/IT /QO £Q/4
A± cost v '
Применяя далее формулу C9.61) для среднего дополнительного угла
атаки, найдем:
. __ § scz 1 с а_р
, cos Зт (а — РK , cos 5т (а — fiN
' 3 cos т (а + рK + (а — (ЗK ' 5 cos т (а + РN + (а — [
Если считать теперь, что оси эллипса практически не отличаются
очень значительно одна от другой, так как в большинстве случаев
В 1
отношение— не меньше значения-^ , то членами, начиная с третьего,
ос Z
можно пренебречь; заменяя при этом cost через приведенное выше его
значение, найдем:
^ = ж'^[1 + &тж*(з?-1) + --\1 C9-65)
474
для жестких стенок и
(а —
W -*)+ • • • J
для свободных поверхностей. Если Ъ = 2f, приходим к случаю вихрей,
сосредоточенных на концах крыла, и констатируем, что формулы мало
отличаются от случая эллиптического распределения C9.62) и C9.62').
Практически можно использовать эти последние формулы для всех
случаев, так как второй член в скобках является пренебрежимо малым.
Фиг. 39.5
Примечание. Задачи, касающиеся эллиптического и прямоугольно-
го сечений, можно решить с помощью эллиптических функций, но при этом
нужно было бы заняться введением в теорию эллиптических функций,
что не входит в рамки настоящей работы.
39.4. Контур сечения, состоящий из двух дуг окружности [3]
Для испытания крыльев большого размаха часто используют часть
круглого сечения аэродинамической трубы, ограниченную вертикальной
стенкой (фиг. 39.5,а).
Опыты, произведенные на половине крыла, соответствовали бы, таким
образом, опытам, произведенным на целом крыле, расположенном сим-
симметрично в сечении трубы с контуром, состоящим из двух дуг окружности*
475
Для вычисления взаимодействий преобразуем область между двумя
дугами окружности в действительной плоскости х = у 4- iz на неограни-
неограниченную вертикальную полосу в плоскости S = yj -J- /С (фиг. 39.-5, б).
Это можно осуществить с помощью функции преобразования
x = htg%, £ = arctg-r-. C9.67)
Второе соотношение можно также написать и в ином виде; действи-
действительно, прибавляя к S постоянную тс, что не приведет к изменению
положения вещей, так как тс есть период тангенса, будем иметь после-
последовательно:
h — ix
Ь-^-, C9.68)
откуда вытекает (фиг. 39.5):
ч = у-е = <с, z = ~ln^- <39-69)
Нетрудно видеть из зависимостей в этой форме, что вертикальные
линии в плоскости 5(yj = const) преобразуются в дуги окружностей, прохо-
проходящих через две точки ;+- ih действительной плоскости х\ горизонтальные
линии преобразуются в окружности Аполлония, ортогональные по отно-
отношению к первым окружностям.
В частности, две дуги окружностей, которые являются границами
в действительной плоскости, определенные углами ■+- 2т0, превращаются
в вертикальные границы + т0 в плоскости S.
Действительная ось {у = 0) в плоскости х соответствует оси абсцисс
(tj = 0) в плоскости 5.
Концы крыла + у соответствуют значениям rf= db^i* гДе
Как и в предыдущих случаях, можем заменить Ъ через уЬ для боль-
большей точности.
Полное движение в плоскости \ можно очень легко установить^ При
жестких стенках (фиг. 39.6,а), применяя формулу C.43), получим
ln^<3971>
а в случае свободных стенок (фиг. 39.6,6) будем иметь
ln — ™ + ln
er( + ) sin
476
in _(£ + 2t0 — Tl)
^T0 ^
in
1Z
4Тп
C9.72)
Для нахождения дополнительного потенциала F8(%) нужно вычесть
потенциал, происходящий от двух концевых вихрей, а также, если необ-
необходимо, постоянную
- C9.73)
sin
ZTo
-Г Г
T7
Фиг. 39.6
Если прибавить дополнительную постоянную, она будет определена из
условия Ф = 0 для случая свободной струи и *F = 0 для жестких
стенок.
Дополнительный потенциал, таким образом, в этих случаях соответ-
соответственно будет
Fs==Ft-Fi Fs = F't-F. C9.74)
Производные этих потенциалов дадут дополнительные индуцирован-
индуцированные скорости; из них возьмем только вертикальные, которые будут
создаваться у крыла и будут равны половине скоростей, выводимых из
вышеуказанных соотношений, установленных для движения в бесконеч-
бесконечности вниз по течению.
Для средней скорости проще всего найти поток (или расход), прохо-
проходящий через отрезок — ъ1У i:lf и затем разделить на удвоенный полный
размах Ь. Действительно, мы указали в главе I D.51), что поток сохра-
сохраняется и после преобразования, и он равен разности между значениями
функции тока в точках А и В. Замечая, с другой стороны, что на
линии абсцисс Ф3 = 0 hFs = £Ys,— средний угол атаки у крыла будет
дан соответственно следующими формулами [3]:
ms
sin -к- (ri — тх) sin (т) +
sin (t)~ T^sm—
sin
2t0
0
/39 75ч
sin ти
477
в случае жестких стенок и
ig -;— {у — п) sin {71 -t- n;
^sm == ~?7 == /_ltt- 1П Z
C9#76)
tgJIJL
в случае свободной струи.
Отметим также, что можно заменить Ъ через xb с лучшим соответ-
соответствием действительному явлению.
Если две дуги образуют полную окружность радиуса А (*с0 = у), то
дополнительные углы атаки равны по величине и противоположны по
знаку (igm= — i'sm), что согласуется с найденным выше результатом
для случая круга C9.25).
ЛИТЕРАТУРА
1. Garafoli E. Aerodynamique des ailes d' avion (Аэродинамика крыла самолета),
Etienne Chiron Editeur, Paris, 1928.
2. Glauert M. The elements of aerofoil and airscrew theory (Основы теории крыла
и винта), Cambridge University Press.
3. Kondo Kazuo. The wall interference of wind tunnels with boundaries of
circular arcs (Влияние стенок аэродинамических труб с границами в виде дуг ок-
окружностей). Rep. of the Aeronaut. Researche Inst. Tokyo Imperial Univ. (vol. X,
Nr. 8) Nr. 126, 1935.
4. MalavardL. Etude de quelques problemes techniques relevant de la theorie
des ailes (Исследование некоторых технических задач, связанных с теорией крыль-
крыльев). Gauthier-Villars, Paris, 1939.
5. Паничкин И. А. Определение циркуляции вокруг размаха крыла в откры-
открытой и полуоткрытой струях прямоугольного сечения. ПММ, т. X, № 4, 1946.
6. Toussaint A. Aerodynamic theory (Теория аэродинамики). W. F. Durand-
Editeur, vol. Ill, Julius Springer, Berlin, 1935.
7. Malavard L. Applications des analogies electriques a la solution de quel-
quelques problemes del'Hydrodynamique (Применение электрических аналогий к ре-
решению некоторых задач гидродинамики). Paris, 1936.
8. Munk M. Elements of the wing section theory and of the wing theory (Основы
теории профилей и теории крыла), NACA, Report 191, Washington.
9. Roy M. Sur Г Aerodynamique des ailessustentatricesetdes Helices (Об аэродина-
аэродинамике несущих крыльев и винта). Gauthier-Villars, Paris, 1928.
10. Trefftz E. Prandtlsche Tragflachen und Propellertheorie (Теория Прандтля
для крыла и винта). ZAMM, 1921.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Предисловие редактора 5
Глава I. Краткое изложение принципов и основных теорем классической
гидродинамики 7
Глава II. Теория изолированного крыла (моноплана) бесконечного размаха 57
Глава III. Теория биплана бесконечного размаха 151
Глава IV. Теория изолированного крыла (моноплана) конечного размаха 182
Глава V. Теория закрученных или деформированных крыльев. Теория рав-
равномерных непрямолинейных движений 254
Глава VI. Распределение присоединенных вихрей по поверхности крыла
и теория потенциального движения жидкости вокруг крыла 291
Глава VII. Теория подъемной силы при неустановившемся движении . . 325
Глава VIII. Биплан конечного размаха 350
Глава IX. Влияние границ на движение вокруг несущих систем .... 394
Глава X. Поправки экспериментальных данных, полученных при опытах
в аэродинамических трубах или путем протаскивания моделей на тележках 448
ИСПРАВЛЕНИЯ И ОПЕЧАТКИ
Страница
5
65
72
173
191
281
288
304
305
393
396
414
462
471
Строка
2 сн.
12 св.
6—5 сн.
Ф-ла A4.59)
18 сн.
Ф-ла B5.14)
Ф-ла B5.55)
9 сн.
16 св.
5 св.
17 сн.
Ф-ла C5.88)
Ф-ла C9.3)
Ф-ла C9.43)
Напечатано
сил моментов
вне окружности
как / =
ов ~"Т
была Fo
9.
rinh-a/|
Ъ
Т
~" 2
2~
V2cydy
Ре>Ф
излучаемого
Tragleugeltheorie
Fo или VQ
/ Ь 2Г£
\ 2 Ь
v — iv
82
Должно быть
сил и моментов
вне и на окружности
ОМа та
ОВ Я
с
была V'o
Г In | >) — t/1
b
2
Ъ
2
ъ
2
\ Vhydy
Ъ
~~ 2*
Ре>Фе
изучаемого
Tragfliigeltheorie
VQ или Р^
(Ь . Ч
\2 ' Ъ
■У
и — iv
Е. Карафоли