Author: Лойцянский Л.Г.
Tags: физика математическая физика механика газовая динамика гидромеханика
Year: 1950
Text
л. г. лойцянский
МЕХАНИКА
ЖИДКОСТИ и ГАЗА
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................ 10
Введение..................................................... 13
§ 1. Предмет механики жидкости и газа. Основные свойства „макро-
модели" жидкости и газа: сплошность и подвижность .... 13
§ 2. Основные методы механики жидкости и газа. Области при-
менения и главнейшие задачи ................ 15
§ 3. Краткий очерк исторического развития механики жидкости и
газа. От гидромеханики древних до установления воззрений
ньютонианской эпохи...................................... 17
§ 4. Эпоха Эйлера и Бернулли. Гидроаэродинамика в XIX в. . . . 20
§ 5. Современный этап развития механики жидкости и газа ... 30
Глава I. Элементы теории поля. Кинематика сплошной среды
§ 6. Поле физической величины. Скалярное и векторное поля.
Поверхности уровня. Векторные линии и трубки............. 39
§ 7. Мера однородности поля в данном направлении и в данной
точке. Градиент скалярного поля и дифференциальный тен-
зор векторного поля как меры неоднородности поля......... 43
§ 8. Задание движения сплошной среды. Поле скоростей. Лнини
тока и траектории........................................ 50
§ 9. Поле ускорений. Разложение ускорения частицы на локаль-
ную и конвективную составляющие.......................... 53
§ 10 Скоростное поле сплошной среды в окрестности данной точки.
Угловая скорость и вихрь. Тензор скоростей деформаций и
его компоненты.......................................... 56
§ 11. Скорость объемного расширения жидкости. Интегральные
представления дифференциальных операторов поля. Основные
интегральные формулы..................................... 62
§ 12. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца. Интен-
сивность вихревой трубки................................. 71
§ 13. Выражение интенсивности вихревой трубки через циркуля-
цию вектора по контуру, охватывающему трубку. Теорема об
изменении циркуляции скорости во времени................. 75
1*
Редактор А. И. Чекмарев Техн, редактор К. М Волчок
Подписано к печати 24/XI 1950 г. Формат бумаги 60х92/1в. Бум. л. 21,25.
Печ. л. 42,25 + 1 вклейка. Уч.-ттзд. л. 43,07. Тип. зн. в печ. л. 45370. Т-09134. Тираж 5000 экз.
Цена 28 р. 75 к., переплет 2 р. Заказ № 1841.
4-я типография им. Евг. Соколовой Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Ленинград, Измайловский пр, 29-
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 29. Стоячая ударная волна или скачок уплотнения. Ударная адиабата 173
§ 30. Критические величины в одномерном потоке газа. Связь между
скоростями до и после скачка. Изменение давления, плотности
и температуры в скачке уплотнения.............................178
§ 31. Скорость распространения ударной волны. Спутное движение
газа за ударной волной............................•. . • ... 182
§ 32. Влияние интенсивности скачка уплотнения на сжатие газа.
Измерение скоростей и давлений в до* и сверхзвуковых
потоках.......................................................186
§ 33. Одномерное движение газа по трубе переменного сечения.
Истечение из резервуара большой емкости сквозь сходящееся
сопло.........................................................198
§ 34. Одномерное течение в сопле Лаваля. Движение газа с при-
током тепла ............................................... 205
Г л а в а V. Безвихревое движение жидкости. Плоское движение
несжимаемой жидкости
§ 35. Сохранение циркуляции скорости в потоке идеальной
жидкости. Теорема Кельвина и Лагранжа. Безвихревое дви-
жение. Потенциал скоростей....................................211
§ 36. Интеграл Лагранжа — Коши уравнений безвихревого движе-
ния. Теорема Бернулли. Некоторые общие свойства безвихре-
вого движения идеальной несжимаемой жидкости в односвяз-
ной области................................................. 218
§ 37. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости.
Потенциал скоростей и функция тока. Применение функций
комплексного переменного. Комплексный потенциал и сопря-
женная скорость...............................................222
§ 38. Построение полей течения по заданной характеристической
функции. Простейшие плоские потоки и их наложение .... 229
§ 39, Бесциркуляционное и циркуляционное обтекания круглого
цилиндра......................................................239
§ 40. Применение криволинейных координат. Бесциркуляционное и
циркуляциоииое обтекания эллиптического цилиндра и пла-
стинки. Задача Жуковского об обтекании решетки пластин . 249
§ 41. Плоское движение с отрывом струй. Разрывное обтекание
пластинки и протекание жидкости сквозь отверстие.............262
§ 42. Прямая задача в теории плоского движения идеальной не-
сжимаемой жидкости. Применение метода конформных ото-
бражений. Гипотеза Чаплыгина о безотрывном обтекании
задней кромки профиля. Формула циркуляции.....................269
§ 43. Теорема Жуковского о подъемной силе крыла. Зависимость
подъемной силы От угла атаки. Коэффициент подъемной силы 277
§ 44. Применение метода комплексных переменных к выводу тео-
ремы Жуковского. Формулы Чаплыгина для главного вектора
и момента сил давления потока иа крыло........................284
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава II. Основные уравнения движения и равновесия сплошной
среды
§ 14. Распределение массы в сплошной среде. Плотность н удель-
ный вес. Напряжения. Тензор напряженности и его симметрич-
ность ....................................................... 82
§ 15. Общие уравнения динамики сплошной среды. Уравнение
неразрывности. Уравнения динамики в напряжениях............. 90
§ 16. Тепловые явления в жидкостях и газах. Закон сохранения
энергии и уравнение баланса энергии...........................100
§ 17. Общие уравнения равновесного состояния жидкости и газа.
Равновесие воздуха в атмосфере. Приближенные барометри-
ческие формулы. Стандартная атмосфера........................104
§ 18. Равновесие несжимаемой жидкости. Уравнение поверхности
раздела. Равновесие вращающейся жидкости.....................112
§ 19. Давление тяжелой несжимаемой жидкости на поверхность тела.
Сила и момент, приложенные к телу, плавающему в тяжелой
жидкости. Случай вращающейся жидкости........................117
Глава III. Динамика идеальной жидкости и газа. Основные
уравнения и общие теоремы
§ 20. Идеальная жидкость. Основные уравнения движения.......123
§ 21. Закон сохранения энергии в движущейся идеальной жидкости.
Адиабатическое движение. Сохранение энтропии.................131
§ 22. Эйлерово представление конвективного изменения объемного
интеграла. Перенос величины сквозь контрольную поверх-
ность .......................................................136
§ 23. Эйлерова форма законов сохранения массы и энергии, тео-
ремы количеств движения и момента количеств движения при
стационарном движении идеальной жидкости.....................139
§ 24. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа и мощ-
ность внутренних сил. Эйлерова форма уравнения изменения
кинетической энергии ............................ .......... 143
§ 25. Теорема Бернулли о сохранении полной механической энергии
при стационарном баротропном движении идеальной жидкости
и газа..................................................... 145
Глава IV. Одномерный поток идеальной жидкости
§ 26. Одномерное течение идеальной сжимаемой жидкости. Линеа-
ризированные уравнения. Скорость распространения малых
возмущений в жидкости или газе...............................152
§ 27. Изотермическая и адиабатическая скорости звука. „Конус
возмущений" при сверхзвуковом движении источника возмуще-
ния. Число М и его связь с углом конуса возмущений .... 158
§ Рас пространение непрерывных возмущений конечной интен-
сивности. Характеристики. Образование разрывной ударной
волны........................................................164
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 45. Выражение главного момента сил давления потока через коэф-
фициенты конформного отображения. Фокус крыла. Независи-
мость от угла атаки момента относительно фокуса. Парабола
устойчивости.................................................289
§ 46. Частные случаи конформного отображения крылового про-
филя на круг. Преобразование Жуковского — Чаплыгина. Тео-
ретические крыловые профили..................................294
§ 47. Задача об обтекании слабо изогнутой дужки произвольной
формы (теория тонкого крыла).................................301
§ 48. Определение обтекания крылового профиля произвольной формы 308
§ 49. Обобщение теоремы Жуковского на случай плоской решетки
с бесчисленным множеством профилей...........................317
Глава VI. Плоское безвихревое движение сжимаемого газа
§ 50. Основные уравнения плоского стационарного безвихревого
движения сжимаемого газа. Линеаризированные уравнения . . 324
§ 51. Линеаризированный до- и сверхзвуковой газовый поток вдоль
волнистой стенки.............................................327
§ 52. Тонкое крыло в линеаризированном до- и сверхзвуковом
потоках. Влияние сжимаемости газа иа коэффициент подъем-
ной силы в дозвуковом потоке. Коэффициенты подъемной
силы и волнового сопротивления при сверхзвуковом потоке . 334
§ 53. Нелииеаризированные уравнения движения идеального сжи-
маемого газа. Переход в плоскость годографа. Уравнения
Чаплыгина....................................................340
§ 54. Метод С. А. Христиановича. Приближенные формулы учета
влияния сжимаемости иа распределение давления................344
§ 55. Критическое число М и его определение по заданному рас-
пределению давления в несжимаемом обтекании. Поведение
коэффициента подъемной силы и момента при около- и закри-
тических значениях числа М...................................356
§ 56. Решетка профилей в плоском докритическом потоке сжимае-
мого газа. Обобщение теоремы Жуковского . . ................360
§ 57. Нелинеаризированный сверхзвуковой поток. „Характеристики”
уравнений плоского сверхзвукового потока. Линии возмуще-
ния и их основные свойства...................................366
§ 58. Обтекание выпуклого угла сверхзвуковым потоком. Влияние
угла поворота струи на ее газодинамические элементы . . . 372
§ 59. Сверхзвуковой поток внутри тупого угла. Косой скачок уплот-
нения. Связь между газодинамическими элементами до и за
косым скачком................................................377
Глава VII. Пространственное безвихревое движение
§ 60. Ортогональные криволинейные координаты в пространстве.
Основные дифференциальные операторы поля в криволиней-
ных координатах.......................................... , 387
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 61. Потенциал скоростей. Поле источника и диполя. Непрерывное
распределение источников и диполей. Ньютонов потенциал.
Потенциал простого и двойного слоев . . . . •............392
§ 62. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей. Формула
Био — Савара. Потенциал скоростей замкнутой вихревой нити.
Аналогия с потенциалом двойного слоя.....................399
§ 63. Функция тока и ее связь с векторным потенциалом скоростей.
Функции тока простейших течений...............................403
§ 64. Обтекание сферы. Давление однородного стационарного потока
идеальной несжимаемой жидкости на погруженное в нее тело.
Парадокс Даламбера.......................................407
§ 65. Общие уравнения осесимметричного движения. Применение
цилиндрических координат. Течение сквозь каналы..............413
§ 66. Осесимметричное продольное обтекание тел вращения. Слу-
чай эллипсоида вращения.......................................419
§ 67. Поперечное обтекание тел вращения. Пример эллипсоида
вращения......................................................425
§ 68. Продольное и поперечное обтекание тел вращения большого
удлинения. Приближенные выражения граничных условий.
Применение тригонометрических сумм для сп еделения коэф-
фициентов Ап и Сп.............................................430
§ 69. Метод „особенностей". Применение непрерывно распределен-
ных источников (стоков) и диполей для решения задачи
о продольном и поперечном обтекании тел вращения .... 433
§ 70. Общий случай движения твердого тела сквозь несжимаемую
идеальную жидкость. Определение потенциала скоростей. Г лав-
ный вектор и главный момент сил давления потока на тело . 437
§ 71. Коэффициенты „присоединенных масс". Свойство симметрии.
„Присоединенная" кинетическая энергия. Определение „при-
соединенных масс" поступательно движущегося цилиндра,
шара и эллипсоида..............•...............................441
§ 72. Элементы теории крыла конечного размаха. Вихревая си-
стема крыла. Гипотеза плоских сечений. Геометрические и
действительные углы атаки. Подъемная сила и „индуктивное"
сопротивление.......................•..........................449
§ 73. Основные формулы теории „несущей линии". „Индуктивная
скорость" и „индуктивный угол". Прямая задача определения
подъемной силы и индуктивного сопротивления по заданному
распределению циркуляции.......................................455
§ 74. Крыло с минимальным индуктивным сопротивлением. Эллипти-
ческое распределение циркуляции. Связь между коэффициен-
тами индуктивного сопротивления и подъемной силы. Основ-
ное уравнение теории крыла и понятие о его интегрировании 460
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VIII. Динамика вязкой жидкости и газа
§ 75. Внутреннее трение и теплопроводность в жидкостях и газах.
Законы Ньютона и Фурье. Влияние температуры на коэф-
фициенты вязкости и теплопроводности. Число а................467
§ 76. Обобщение закона Ньютона иа случай произвольного дви-
। жения среды. Закон линейной связи между тензорами
/ напряжений и скоростей деформации...........................471
V § 77. Общие уравнения движения вязкой жидкости. Динамические
уравнения и уравнение баланса энергии. Граничные условия
движения жидкости с трением и теплопроводностью............475
§ 7Й . Понятие о подобии гидродинамических явлений. Безразмер-
1у ные уравнения движения вязкой жидкости и газа. Условия
подобия................................................481
§ 79. Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости по
цилиндрической трубе.........................................487
§ 80. Обтекание шара при очень малых значениях числа Рейнольдса.
Формула сопротивления шара по Стоксу и ее обобщения . . 496
§ 81. Вихревые линии в идеальной и вязкой жидкости. Сохраняе-
мость вихревых линий при отсутствии внутреннего трения.
Диффузия вихря в вязкой жидкости.........................503
§ 82. Одномерное прямолинейное движение сжимаемого вязкого
газа. Движение внутри скачка уплотнения. Понятие о толщине
скачка.......................................................510
§ 83. Работа внутренних сил и диссипация механической энергии
в движущейся вязкой среде....................................516
§ 84. Обтекание тел жидкостью и газом при больших значениях
числа Рейнольдса. Основные уравнения теории ламинарного
пограничного слоя............................................519
§ 85. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно об-
текаемой несжимаемой жидкостью. Неизотермическое движение 531
§ 86. Ламинарный пограничный слой при степенном задании ско-
рости внешнего потока U — схт................................540
§ 87. Ламинарный пограничный слой в общем случае задания ско-
рости внешнего потока. Применение уравнения импульсов для
приближенного расчета ламинарного пограничного слоя . . . 549
§ 88. Способы определения функций £(/), H(f) и Прибли-
женный метод расчета ламинарного пограничного слоя . . . 556
§ 89. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно об-
текаемой сжимаемым газом при больших скоростях. Случай
линейной зависимости коэффициента вязкости от темпера-
туры»^ = 1)..................................................565
§ 90. Ламинарный пограничный слой на пластинке при любом
законе связи между вязкостью и температурой и при числе
а=1. Обтекание крылового профиля потоком больших ско-
ростей ................................................... . . 575
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
Глава IX. Турбулентное движение
§ 91. Переход ламинарного движения в турбулентное. Критиче-
ское рейнольдсово число.......................................581
§ 92. Область и „точка" перехода. Явление „кризиса обтекания" . 587
§ 93. Основные уравнения осредненного турбулентного движения.
Тензор турбулентных напряжений..........................594
§ 94. Турбулентное движение жидкости в плоской и круглой трубе.
Логарифмические формулы скоростей.......................602
§ 95. Формулы сопротивления гладких труб при турбулентном
движении жидкости. Ламинарный подслой.........................609
§ 96. Влияние шероховатости стеиок трубы на ее сопротивление.
Предельные режимы течения. Режим установившейся шеро-
ховатости ....................................................616
§ 97. Турбулентный пограничный слой на продольно обтекаемой
пластине. Сопротивление пластины..............................621
§ 98. Турбулентный пограничный слой на крыловом профиле при
малом продольном перепаде давлений............................629
§ 99. Турбулентный пограничный слой иа крыловом профиле при
значительных продольных перепадах давления....................634
§ 100. Профильное сопротивление крыла. Разложение профильного
сопротивления на сопротивление трения и сопротивление
давлений. Обратное влияние пограничного слоя на распре-
деление давлений по поверхности обтекаемого профиля . . . 638
§ 101. Приближенные формулы профильного сопротивления крыла
и крылового профиля в решетке.................................645
§ 102. Основные закономерности „свободной турбулентности".
Плоская турбулентная струя в пространстве, заполненном
той же жидкостью..............................................654
§ ЮЗ. Турбулентный след за обтекаемым телом..................664
§ 104. Рассеяние турбулентных возмущений в жидкости. Случай
изотропной и однородной турбулентности. Закон сохране-
ния момента возмущений........................................668
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу настоящего курса положены лекции, читанные автором
в Ленинградском политехническом институте им. М. И. Калинина.
Название книги подчеркивает, что содержание этих лекций является
естественным продолжением общего курса теоретической механики и
не претендует на удовлетворение специализированных программ авиа-
ционных, судостроительных, машиностроительных и других втузов.
В наше время техника каждый день выдвигает перед механикой жид-
юсти и газа новые и разнообразные задачи, требуя от инженера
умения самостоятельно и творчески применять самые разнохарактер-
ные как теоретические, так и экспериментальные приемы для их
решения.
Опыт многолетнего общения автора с лицами, занимающимися
практическими применениями гидродинамики, показывает, что главной
причиной встречающихся у них затруднений является по большей части
не столько отсутствие специальных знаний, сколько недостаточное
понимание общих физических основ.
Воспитание советского инженера, исследователя и рационализатора,
активного борца за новую технику, ставит перед преподаванием общего
курса гидроаэродинамики прежде всего задачу серьезного и четкого
изложения основных представлений механики жидкости и газа, вы-
яснения своеобразия ее методов и создания у учащегося правильного
понимания физической сущности используемых техникой гидроаэро-
динамических процессов. Только такое, направленное вглубь, а не
вширь, изложение может дать в руки инженера способность легко
осваивать новое и самому это новое создавать.
Отсюда, с другой стороны, конечно, не следует, что общий курс
механики жидкости и газа должен содержать лишь теоретическое
изложение основных законов и быть оторванным от практических
применений. Приходится, однако, ввиду крайнего разнообразия совре-
менных применений гидроаэродинамики, довольствоваться лишь изло-
жением отдельных, наиболее важных областей приложения теории. Так,
например, настоящий курс подчинен в этом смысле общей для пода-
вляющего большинства технических приложений гидроаэродинамики
проблеме взаимодействия жидкости или газа с движущимися в них
твердыми телами или со стенками труб и каналов, сквозь которые
ПРЕДИСЛОВИЕ
11
жидкость и газ протекают. Это направление определило и все содер-
жание курса.
Первые три главы курса посвящены изложению общих положений
кинематики, статики и динамики жидкостей и газов, установлению
основных уравнений, формулировке главнейших законов и теорем.
Стремление к максимальному приближению к процессам, происходя-
щим при движениях с большими скоростями, заставляет тесно связы-
вать динамические явления с термодинамическим балансом энергии
в них.
В четвертой главе излагается простейшая задача одномерного дви-
жения сжимаемого газа по трубе и распространение в газе возмущений
как малой, так и конечной интенсивности; здесь же даются элемен-
тарные представления о скачке уплотнения, о явлениях в сверхзвуковом
сопле, о влиянии притока тепла на одномерное течение газа и др.
Пятая глава содержит изложение классических результатов теории
плоского безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости,
в частности, элементов теории крылового профиля в плоскопарал-
лельном потоке.
Шестая глава дает элементарное представление о плоском без-
вихревом потоке сжимаемого газа при больших до- и сверхзвуковых
скоростях. Содержание этой главы не может претендовать на полноту
изложения столь быстро развивающейся и сложной с теоретической
стороны области.
Седьмая глава содержит основные вопросы теории пространствен-
ного потока идеальной несжимаемой жидкости. В качестве практиче-
ских приложений излагаются задачи о протекании жидкости сквозь
осесимметричный канал, о стационарном и не стационарном простран-
ственном обтекании тела и, наконец, элементы теории крыла конеч-
ного размаха.
Восьмая глава посвящена выяснению влияния вязкости жидкости
и газа на взаимодействие их с движущимся твердым телом. Эта глава,
содержащая также изложение основ учения о пограничном слое,
является введением в теорию профильного сопротивления и подъемной
силы крыла.
Заключительная, девятая, глава курса содержит самые необходи-
мые сведения о турбулентном движении жидкости сквозь гладкие и
шероховатые трубы и полуэмпирическую теорию турбулентного по-
граничного слоя, позволяющую решить вопрос о разыскании профиль-
ного сопротивления отдельного профиля и профиля в решетке. Глава
заканчивается изложением близких к теории пограничного слоя вопро-
сов турбулентного движения в струях и следе за телом, а также
затухания возмущений в однородном изотропном турбулентном потоке.
С чувством законной гордости можем мы, советские механики, выпу-
скать курсы, почти целиком посвященные изложению замечательных
достижений наших знаменитых ученых, основоположников современ-
ной гвдроаэродинамики. Цель помещенного во введении исторического
12 ПРЕДИСЛОВИЕ
очерка заключается в том, чтобы показать, как на протяжении двух
веков, благодаря работам создателя гидродинамики, петербургского
академика Леонарда Эйлера и замечательным исследованиям осново-
положника аэродинамики, по словам В. И. Ленина, „отца русской
авиации" Н. Е. Жуковского, его гениального соратника С. А. Чаплыгина
и славной плеяды их последователей—советских ученых, наша страна
заняла ведущее место в развитии современной гидроаэродинамики.
Автор выражает надежду, что его курс окажется полезным для
лиц, занимающихся техническими приложениями механики жидкости
и газа, а также сможет послужить введением для изучения специаль-
ных разделов гидроаэродинамики, которые не нашли себе освещения
в настоящем курсе.
Ленинград,
29 апреля 1950 г.
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Предмет механики жидкости и газа. Основные свойства
„макромодели* жидкости и газа: сплошность
и подвижность
Успех научного исследования во многом зависит от удачного выде-
ления главной части явления и умелого отвлечения от деталей, быть
может и важных самих по себе, но с точки зрения целей данного
исследования играющих второстепенную роль. Так, инженер, изучающий
движение некоторого механизма, будет сначала рассматривать отдель-
ные звенья этого механизма как „абсолютно твердые* тела, определит
кинематическую картину движения механизма и действие сил в нем,
после этого, желая рассчитать механизм на прочность, откажется от
„абсолютной твердости* звеньев, учтет их упругость, а при некоторых
условиях, и пластичность. При этих расчетах ему придется восполь-
зоваться существующими схемами упругого и пластичного тела, осно-
ванными на рассмотрении реальных твердых тел как сплошных, не-
прерывных образований, подчиняющихся законам теории упругости
или пластичности. Основные элементарные законы „макромеханики*
твердого тела, принимаемые в классической теории как некоторые
фундаментальные допущения, могут быть с тем или другим прибли-
жением выведены из законов „микромеханики* атомов.
В задачи механики твердого тела или системы твердых тел не
входит изучение внутренней микроструктуры тела; объектом исследо-
вания являются лишь „внешние* движения, которые определяются изме-
нением взаимного расположения „макротел* или их деформациями.
Механика жидкости и газа, так же как и механика твердого тела,
является разделом общей механики, изучающим „макродвижения* жид-
ких и газообразных сред и их взаимодействие с твердыми телами.
Оставляя з стороне вопрос о „микроструктуре® реальной жидкости
или газа, т. е. о том хаотическом тепловом движении дискретных
молекул, которое на самом деле происходит и служит предметом изуче-
ния кинетической теории жидкости и газа, „макромеханика* жидкости
и газа использует в качестве основных своих допущений закономер-
ности, выведенные из статистических соображений кинетической тео-
рии, а также некоторые опытные факты.
14
ВВЕДЕНИЕ
С точки зрения „макромеханики" жидкость и газ, так же, как И
твердое тело, представляют собою некоторые сплошные среды с не-
прерывным, как' правило, распределением в них основных физических
величин.1 Наряду с понятием отдельной частицы жидкой или газооб-
разной среды, представляющим своеобразный аналог „материальной
точки" общей механики, в механике жидкости или газа могут рассма-
триваться также совокупности этих частиц: „жидкие линии", „жидкие
поверхности" и „жидкие объемы". Следует особо пояснить понятие
„элементарного объема".
Под бесконечно малым, или элементарным, объемом жидкости
или газа следует понимать объем, ничтожно малый по сравнению
с размерами русла, в котором течет жидкость, или с размером об-
текаемых ею тел, но вместе с тем достаточно большой по сравнению
с длиной свободного пробега молекулы и содержащий настолько
большое число молекул, что к ним можно применять статистическое
осреднение, связанное с понятием „сплошности" среды. В ряде слу-
чаев (тонкие пленки, области скачкообразного изменения кинематиче-
ских и динамических характеристик потока) приходится иметь дело
со столь малыми областями, что уже принципиально недопустимо
применять обычные законы механики сплошной среды; в этих слу-
чаях необходимо обращаться непосредственно к кинетической теории
жидкости и газа.
Основное отличие макроскопического представления о жидкости
от соответствующего представления о твердом теле, которое также
схематизируется сплошной средой, заключается в легкой подвижности
жидкости и газа. В то время как твердое тело, двигаясь как угодно
в целом, претерпевает лишь сравнительно малые деформации, т. е.
малые смещения точек относительно их положений, соответствующих
поступательному и вращательному движениям тела, жидкость (газ),
наоборот, получает произвольно большие деформации, „течет" по
руслу, ограниченному твердыми стенками, или образует поверхности
раздела на границе с другой жидкостью или газом.
Как жидкость, так и газ оказывают значительное противодействие
всестороннему их сжатию и вместе с тем сравнительно слабо сопро-
тивляются относительному скольжению частиц, причем силы противо-
действия этому скольжению (вернее, касательные напряжения) исче-
зают вместе с относительной скоростью взаимного скольжения.
Таким образом, достаточно сколь угодно малой силы, чтобы нару-
шить состояние взаимного покоя частиц жидкости.
В этом—принципиальное отличие жидкости или газа, например,
от сыпучего тела, между частицами которого образуются силы „сухого
трения". Для приведения сыпучей среды в движение необходимо пре-
одолеть некоторую конечную силу „трения покоя" между частицами:
1 Исключением могут служить лишь некоторые „особые" точки, линии
и поверхности.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
15
§ 21
только после этого начнутся взаимные смещения частиц сыпучего тела.
В жидкости и газе такая постоянная, независящая от относительной
скорости соседних частиц сила отсутствует.
Как вскоре будет выяснено, указанных двух основных свойств
„макромодели" жидкости или газа—непрерывности и легкой по-
движности — достаточно, чтобы установить основные уравнения
равновесия и движения жидкости и газа.
Уточнение этих уравнений и приведение их к замкнутой форме
потребуют некоторых дальнейших качественных и количественных
допущений, соответствующих тем или другим более специфическим
физическим свойствам жидкости и газа.
§ 2. Основные методы механики жидкости и газа.
Области применения и «лавнейшие задачи
Для решения большинства своих задач гидроаэро- и газодинамика
применяют строгие математические приемы интегрирования основных
дифференциальных уравнений при установленной системе граничных
и начальных условий или другие эквивалентные им математические
методы (например, конформное отображение в задачах плоского дви-
жения идеальной жидкости). Для получения суммарных характеристик
используются такие общие теоремы механики, как теорема количества
и моментов количеств движения, энергии и др. Однако большая слож-
ность и недостаточная изученность многих явлений вынуждают меха-
нику жидкости и газа не довольствоваться применением строгих методов
теоретической механики и математической физики, столь характерных,
например, для развития механики твердого тела, но и широко поль-
зоваться услугами всевозможных эмпирических приемов и так назы-
ваемых „полуэмпирических" теорий, в построении которых большую
роль играют отдельные опытные факты. Такие отклонения от чисто
дедуктивных методов классической „рациональной" механики есте-
ственны для столь бурно развивающейся науки, как современная
механика жидкости и газа.
Даже в вопросах движения идеальной (без внутреннего трения)
несжимаемой жидкости, где классическая теория давно уже дала совер-
шенно строгую постановку задач и чрезвычайно глубокие и остроумные
методы их решения, современная гидроаэродинамика, отвечая на неот-
ложные запросы практики, применяет различные специфические прибли-
женные приемы, в частности, например, электрогидроаэродинамические
аналогии (ЭГДА), заменяющие вычисление скоростных полей в потоке
жидкости непосредственным замером разностей электрических потен-
циалов в электролитической ванне. Аналогичный метод применяется
при изучении движения идеального сжимаемого газа при дозвуковых
скоростях.
При решении конкретных практических задач широко исполь-
зуются графические и графоаналитические приемы (нелинейные задачи
16
ВВЕДЕНИЕ
газодинамики сверхзвуковых скоростей, обтекания систем тел — реше-
ток крыльев и др.).
Невозможность и бесполезность точного удовлетворения сложных
граничных и, по существу, случайных начальных условий, имеющих
место при так называемом „турбулентном" движении жидкости, при-
вели к замене строгой постановки задачи грубой моделью „осреднен-
ного" движения с простыми элементарными законами силовых взаимо-
действий между слоями жидкости в этом „осреднением" движении.
Такая грубая модель позволила, однако, уловить главную часть явле-
ния и привела к исключительно важным практическим результатам.
Но, что особенно отличает с методической стороны современную
механику жидкости и газа от других разделов механики—это исклю-
чительное развитие экспериментальных методов исследования.
Гидроаэродинамический эксперимент прочно вошел в повседневную
работу специальных лабораторий вузов, исследовательских институтов
и заводов. Стало привычным изучать теоретически лишь простейшие
схематизированные случаи движения жидкости или газа и обтекания
тел, иа этих теоретических расчетах выяснять принципиальную сущ-
ность явления, основные тенденции в развитии явления и Влияние
важнейших факторов на это развитие, что же касается более сложных
случаев, ближе подходящих к реальным условиям движения, то здесь
на помощь приходит эксперимент, дающий искомые количественные
закономерности. При этом теория учит, как ставить эксперимент, как
проводить измерения и, что особенно важно, как обобщать резуль-
таты отдельных экспериментов на целые классы явлений (теория
подобия гидроаэродинамических и тепловых явлений). В этом непре-
рывном взаимодействии теории и эксперимента—необычайная мощь
современной механики жидкости и газа, причина ее блестящего разви-
тия как науки, тесно связанной с практическими запросами, с техникой.
Трудно сейчас указать отрасль техники, развитие которой не
находилось бы в теснейшей связи с разрешением задач движения
жидкости или газа. Не говоря уже об авиации и кораблестроении,
основные проблемы которых—полет, устойчивость и управляемость
самолета, ходкость, остойчивость и управляемость судна — неразрывно
связаны с аэро-газодинамикой и гидродинамикой, а также смежных
с авиацией отраслей техники, отметим особо важное значение гидроаэро-
динамики и газодинамики в турбостроении и, вообще, энергомашино-
строении. Рабочее колесо гидротурбины, паровой и газовой турбин,
компрессора или насоса представляет собою сложную конструкцию,
состоящую из ряда профилированных лопаток, иногда имеющих тот
же профиль, что и крыло самолета (компрессор, насос), иногда зна-
чительно отличающуюся от него по своей форме. При вращении
рабочего колеса его лопатки обтекаются с большими относительными
скоростями водой, газом или паром. От правильного гидроаэродина-
мического расчета формы профилей и общей конструкции рабочих
колес зависит получение достаточной мощности машины, высокого ее
3J КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОВИЧЬСКОГО РМВИ1ИЯ 17
коэффициента полезного действия. Надо уметь также рассчитывать
с гидроаэродинамической стороны и лопастные аппараты, направляющие
водяной, воздушный или газовый поток на рабочие колеса, анализи-
ровать и улучшать другие элементы проточной части турбомашины,
от гидроаэродинамического совершенства которых зависит* ее высокое
качество.
Гидротехника и гидрология все более и более сближаются с такими
проблемами гидродинамики, как волновые и турбулентные движения
жидкости, а также фильтрационные движения воды в грунтах. По-
следняя проблема представляет фундаментальное значение для строи-
тельства гидротехнических сооружений и техники добычи нефти.
С вопросами этого рода граничат задачи подземной газификации и по-
лучения естественных газов из-под земли. Передача газа на большие
расстояния по трубам выдвигает тайке ряд интересных задач перед
газовой динамикой.
Весьма актуальные вопросы ставит перед гидроаэродинамикой
химическая индустрия, которую интересует интенсификация процессов
турбулентного перемешивания газов, движущихся по трубам и в спе-
циальных камерах, где производятся химические реакции. Металлургия
выдвигает проблемы создания наиболее рациональных печей и других
металлургических агрегатов; движение горячих газов в этих агрегатах
заслуживает серьезного внимания аэродинамиков. Движение распла-
вленного металла, температура которого, а следовательно, и вязкость
быстро меняются при растекании по формам, также нуждаются в гидро-
динамическом расчете, так как однородность и чистота металла
во многом зависят от его движения при остывании. Аналогичная про-
блема стоит перед производством оптического стекла и многими дру-
гими.
Современная метеорология видит свой прочный научный фундамент
в динамике атмосферы, изучающей турбулентное движение воздуха
на поверхности Земли при наличии различных физических факторов
(солнечная радиация, испарение и др.). К этим проблемам оказываются
близки требования современной вентиляционной техники, озабоченной
созданием наиболее гигиенических условий в промышленных предприя-
тиях и жилищах.
§ 3. Краткий очерк исторического развития механики жидкости
и газа. От гидромеханики древних до установления воззрений
ньютонианской эпохи
История развития механики жидкости и газа полностью подтвер-
ждает известное материалистическое положение о глубокой взаимной
связи между Наукой и запросами практики, между научной теорией
и бытием.общества, условиями его материальной жизни.
Если античная механика твердого тела зародилась главным образом
в связи с грандиозными строительными работами древних и необхо-
димыми для этих работ подсобнцрпг-^ыдиааами, то созданию первых
2 Зак. 1841. Л Г* Лойцянский»
18
ВВЕДЕНИЕ
иней механики жидкости и газа способствовали, естественно, вопросы,
возникающие при наблюдении и использовании движения твердых тел
в воде и воздухе, т. е. в первую очередь вопросы судостроения,
мореплавания и полета метательных снарядов.
Основной гидроаэродинамической проблемой того времени явилось
выяснение сущности взаимодействия между твердым телом и окружаю-
щей его средой — воздухом jили водой—-например, при полете или
плавании тела.
Замечательно, что первые высказывания древних философов на
этот счет относятся к движению тел, а не к равновесию их. Сравни-
тельная медленность движений, наблюдавшихся в то время, при полном
отсутствии правильных представлений об инертности тел и движении
по инерции (материя косна, всякое движение поддерживается силой
и прекращается после ее исчезновения), не позволили древним обна-
ружить основное гидроаэродинамическое явление— сопротивление воды
и воздуха движущимся в них телам. Наоборот, практика использо-
вания ветра для приведения в движение парусных кораблей, точно
так же как и применение весел для той же цели в безветрие, натал-
кивали наблюдателя на мысль о движущей, роли воздуха и воды. Не
удивительно поэтому, что в известном трактате „Физика" великого
античного философа Аристотеля (384—322 гг. до н. н. э.), где можно
найти первые в истории науки следы аэродинамических идей, выска-
зывается утверждение о пропульсивном, как мы сейчас говорим, т. е.
двигательном действии воздуха на метательный снаряд. По воззрениям
того времени снаряд не мог двигаться сам, без непрерывного при-
ложения к нему силы. Аристотель находит источник этой силы в дей-
ствии на снаряд воздуха, смыкающегося за снарядом и толкающего
его вперед. Вместе с тем Аристотель ничего не говорит о направлен-
ном против движения действии воздуха на лобовую часть — сопро-
тивлении снаряда. Пройдет много веков и Ньютон создаст теорию
сопротивления, основанную на ударном действии частиц воздуха на
лобовую часть обтекаемого тела, но при этом не будет учитывать
указанную Аристотелем силу, действующую на кормовую часть тела,
и только в середине XVIII в. Даламбер соединит эти две силы и придет
к поразившему в свое время умы парадоксу об отсутствии сопротивления
в идеальной жидкости. В свете этого исторического факта можно
правильно оценить глубину идей Аристотеля, как бы они ни каза-
лись нам в настоящее время односторонними и далекими от действи-
тельности.
Общеизвестны заслуги Архимеда (287—212 гг. до н. н. э.) как
создателе теории равновесия жидкости и, в частности, плавания тел;
знаменитый его закон и по настоящее время служит основой гидро-
статики.
Работы Архимеда послужили толчком к созданию ряда замечатель-
ных гидравлических аппаратов. Наиболее известны: поршневой насос
Ктезибия, сифон Герона и мн. др.
КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ 19
Идеи Архимеда были возрождены и продолжены Стевином
(1548—1620), Галилеем (1564—1642) и Паскалем (1623—1662). Сте-
вин первый строго проформулировал известный в механике принцип
затвердевания, позволяющий в гидростатике применять обычные
приемы статики твердого тела. При пользовании этим принципом закон
Архимеда доказывается крайне просто. Галилей и Паскаль исполь-
зовали для решения задач гидростатики принцип возможных пере-
мещений.
Большое принципиальное значение для дальнейшего развития всей
механики жидкости и газа сыграл известный закон Паскаля о неза-
висимости силы давления жидкости на расположенную внутри нее пло-
щадку от ориентации этой площадки в данной точке покоящейся
жидкости. Этот закон был в дальнейшем обобщен и на случай дви-
жения жидкости.
Под сильным влиянием Аристотеля долгое время находился
Леонардо да Винчи (1452—1519), первый установивший существо-
вание сопротивления жидкой или газообразной среды движущемуся
в ней телу. Это сопротивление объяснялось им сжатием воздуха
в лобовой части тела.
Аналогичное объяснение давал Л. да Винчи и происхождению подъем-
ной силы, поддерживающей птицу в воздухе, считая, что воздух,
сжимаясь под крылом, становится как бы твердым и создает опору
для крыла. Изучая полет птиц, Леонардо да Винчи правильно сформу-
лировал два основных принципа их полета: машущий полет и парение
(планирование).
Вопрос о сущности сопротивления среды и, особенно, выяснение
количественных законов сопротивления представляли долгое время
непреодолимые затруднения. Даже основоположник экспериментальной
механики Галилей дал, по существу, лишь качественную оценку
сопротивления; поставив опыты с колебанием маятников, Галилей
вывел из этих опытов заключение о пропорциональности сопротивления
первой степени скорости движения тела.
Только Гюйгенс (1629—1695) на основании более точных опытов
указал более близкий к действительности (для тел плохо обтекаемой
формы) закон пропорциональности сопротивления квадрату скорости
движущегося тела.
Ньютон (1642—1727) в своих знаменитых „Началах" приводит
теоретический вывод квадратичного закона сопротивления. В этой
первой в истории механики попытке выяснения сущности явления
сопротивления уже можно найти зародыши идей, близких к нашим
современным представлениям.
Полное сопротивление тела, по Ньютону, складывается из сопро-
тивления, зависящего от инертности жидкости (это соответствует
современному представлению о сопротивлении давления), и сопро-
тивления, определяемого трением жидкости о поверхность обтекаемого
тела (ныне называемого сопротивлением трения); наряду с этими
2*
50 ВВЕДЕНИЕ
двумя основными составляющими сопротивления отмечается также более
слабое влияние упругости жидкости и сил сцепления в ней.
Исходя из представления об изменении количества движения окру-
жающей тело жидкости за счет действия на нее лобовой части тела,
Ньютон получает квадратичный закон зависимости первой составляющей
сопротивления от скорости. Что касается второй составляющей сопро-
тивления, зависящей от трения, то для ее определения Ньютон дал
уже ставшую классической формулу пропорциональности напряжения
трения между двумя слоями жидкости относительной скорости сколь-
жения этих слоев. Последняя формула носит имя Ньютона, обобщена
на любой случай движения как несжимаемой жидкости, так и сжи-
маемого газа и служит основой всей современной механики вязкой
жидкости. Сопротивление трения, по Ньютону, оказывается пропор-
циональным первой степени скорости, остальные составляющие сопро-
тивления (упругость газа, силы сцепления в нем) Ньютон оценивает
некоторой постоянной величиной, вследствие чего для полного сопро-
тивления получает трехчленную формулу, состоящую из квадратичного
члена, линейного члена и постоянного слагаемого. В настоящее время
эта формула уже не представляет особого интереса, но свою исто-
рическую роль она несомненно сыграла. Следует отметить, что Ньютон
определил коэффициенты своей формулы на основании целого ряда
тщательно проведенных опытов.
Таким образом, Ньютон и его последователи связывали проис-
хождение квадратичной части сопротивления с ударом жидкости в лобо-
вую часть обтекаемого тела, совершенно не считаясь с давлением
жидкости на кормовую его часть. Наоборот, противники Ньютона,
ссылаясь на Аристотеля, указывали, что жидкость, смыкаясь за кор-
мовой частью тела, должна оказывать противоположное по напра-'
влению действие, что может привести к ослаблению и даже уни-
чтожению сопротивления.
Этот, на первый взгляд парадоксальный, результат был в дальней-
шем доказан Даламбером. Дискуссия, возникшая вокруг этого вопроса,
много способствовала установлению правильного понимания природы
сопротивления, так как направила внимание ученых на изучение влия- .
ния физических свойств жидкости и, в первую очередь, вязкости ее
на возникновение сопротивления.
§ 4. Эпоха Эйлера и Бернулли. Гидроаэродинамика
в XIX в.
Фундаментальные открытия Галилея, Гюйгенса и Ньютона, привед-
шие к небывалому расцвету общей механики в конце XVII в., подго-
товили все предпосылки к мощному скачку в развитии механики
жидкости и газа. Особенное значение имело установление Ньютоном
основных законов и уравнений динамики. Отныне и гидродинамика
начинает переходить от рассмотрения отдельных, подчас не связанных
§ 4] ЭПОХА ЭЙЛЕРА И БЕРНУЛЛИ. ДЕНЯ ГНАДЦА1ЫЙ BUC 21
между собою, задач к систематическому изложению своих специфиче-
ских законов и методов, что превращает ее в самостоятельный раздел
механики.
Честь создания теоретической гидродинамики, как специальной науки
с широкими задачами и строгими методами их разрешения, принад-
лежит Российской Академии наук в лице ее двух академиков — Лео-
нарда Эйлера (1707—1783) и Даниила Бернулли (1700—1783). За
краткостью очерка остановимся лишь на самых главных достижениях
этих двух основоположников
механики жидкости.
В своем трактате „Общие
принципы движения жидко-
стей" (1755) Эйлер первый вы-
вел основную систему урав-
нений . движения идеальной
жидкости, положив начало ана-
литической механике сплош-
ной среды. Эйлеру гидродина-
мика обязана введением поня-
тия давления и противопоста-
влением этого понятия ныо-
тонианским „ ударам “ частиц
жидкости о поверхность тела.
Следует заметить, что и л на-
стоящее время часто прихо-
дится встречаться с неправиль-
ными воззрениями на этот счет;
стоит поэтому вспомнить слова
Эйлера относительно того, что
жидкость „до достижения тела Леонард Эйлер
изменяет свое направление и (1707—1783)
скорость так, что, подходя
к телу, протекает мимо него вдоль его поверхности и не прилагает
к телу никакой другой силы, кроме давления, соответствующего от-
дельным точкам соприкосновения" (курсив наш), Эйлеру принадлежит
первый вывод уравнения сплошности жидкости (в частном случае
Движения жидкости по трубе этот закон был дан задолго до Эйлера
в 1628 г. Кастелли — учеником Галилея), своеобразная и ныне обще-
принятая формулировка теоремы об изменении количества движения
применительно к жидким и газообразным средам, вывод знаменитого
«турбинного уравнения", создание теории реактивного колеса Сегнера
и мн. др. Велйка роль Эйлера в продолжающейся дискуссии о проис-
хождении сопротивления. Эйлер совершенно отчетливо показывает
значение понятия давления и разъясняет парадокс Даламбера о равен-
стве нулю равнодействующей сил давления идеальной жидкости на
плавно обтекаемое тело, подчеркивая отличие действительной жидкости
22
ВВЕДЕНИЕ
с внутренним трением в ней от идеальной. „Если некоторые люди
увлекутся и будут думать, — говорит Эйлер, — что можно продвигать
1ела через жидкость, не встречая сопротивления, так как сила, с кото-
рою жидкость действует на переднюю часть тела, будет уничтожаться
действием такой же силы на заднюю часть, что не имеет места при
течении действительных жидкостей, то такой вывод будет неправи-
лен" (курсив наш). В ряде своих работ Эйлер отмечает влияние трения
в действительных жидкостях на создание сопротивления —взгляд, кото-
рый лег в основу позднейших работ XIX в. и полностью оправдан
современной механикой жидкости и газа.
Роль Эйлера как основоположника теоретической гидродинамики,
предопределившего своими исследованиями развитие гидродинамики
более чем на столетие вперед, в настоящее время общепризнана.
Можно с удовлетворением отметить, что этот мощный скачок, под-
готовленный накопленными теоретическими и экспериментальными
достижениями ньютоновского и посленьютоновского периодов, был
осуществлен выдающимся ученым, вся жизнь и научная деятельность
которого была тесно связана с Российской Академией наук, ныне
Академией наук СССР. Приехав в Россию в двадцатилетием возрасте,
швейцарец Эйлер отдал Петербургской Академии всю силу молодого
таланта, способствуя гениальными исследованиями поднятию научного
авторитета тогда еще молодой Академии своей второй родины.
В мрачную эпоху „бироновщины", когда Академия засорилась чуже-
странными авантюристами и лжеучеными, с которыми смело боролся
М. В. Ломоносов, Эйлер решил временно уехать из России. Однако
Эйлер не порывает с Петербургом, печатает в академических изда-
ниях свои фундаментальные сочинения по основам гидродинамики, по
теории реактивного сегнерова колеса и др., помогает М. В. Ломоно-
сову, другом и защитником которого он всегда был, бороться с ино-
странной кликой и, наконец, в 1761 г. возвращается в Петербург,
где продолжает плодотворно работать до самой смерти1.
Забегая несколько вперед, отметим, что второй мощный скачок
в развитии механики жидкости и газа, приведший к созданию тео-
ретической аэродинамики, был столетие спустя произведен вели-
кими нашими соотечественниками Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплы-
гиным.
Рядом с Эйлером должно быть поставлено имя другого выдаю-
щегося механик), петербургского академика Даниила Бернулли,
выходца из Голландии, сына знаменитого математика Иоганн? Бер-
нулли.
Наибольшее значение для развития механики жидкости и газа имел
замечательный трактат Бернулли „Гидродинамика" — „академический
труд, выполненный автором во время работы в Петербурге", как
Могила Эйлера находится в Ленинграде на Смоленском кладбище.
§ 4] ЭПОХА ЭЙЛЕРА И БЕРНУЛЛИ. ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ ВЕК 23
значится на титульном листе этой книги, опубликованной в 1738 г.
С выходом этого трактата связано, между прочим, появление термина
„гидродинамика".
Основываясь на законе сохранения „живой силы", открытом для
частного случая колебания маятника еше Гюйгенсом и получившем широ-
кое распространение в первой половине XVIII в., Бернулли изла-
гает в „Гидродинамике" свою знаменитую теорему, устанавливающую
общую связь между давлением, высотой и скоростью движения жид-
кости. Теорема эта, частный
случай которой был ука-
зан Торичелли (1608—-1647)
в 1644 г., в настоящее вре-
мя является фундаментальной
теоремой гидродинамики,
обобщенной в XIX в. на слу-
чай сжимаемого газа.
Согласно теореме Бер-
нулли, в тех точках потока,
где понижается скорость,
должно возрастать давле-
ние — результа г, который
вначале казался парадо-
ксальным. Действительно, в
эго же время в связи как
с ньютоновскими воззре-
ниями на давление жидко-
сти на обтекаемое тело, гак
и с исследованиями самого
Бернулли о давлении жидко-
сти на преграду, прочно
установился как будто про-
тивоположный ВЗГЛЯД О ВОЗ- ДаН700 Г7К^ЛИ
(1 /VV—1 /©О)
растании давления жидкости
с возрастанием ее скорости. Эйлер, которому, кста1и говоря, мы
обязаны современной формулировкой теоремы Бернулли (напоминаем,
что Эйлер первый ввел в гидродинамику четкое понятие давления),
пояснил кажущуюся парадоксальность теоремы Бернулли следующими
словами: „вся сложность понимания этого предложения устраняется,
если считать, что здесь сравнение производится не между скоростями
двух разных течений, а между разными скоростями вдоль данной
струи, которая обтекает поверхность тела" (курсив наш)-—поясне-
ние, заслуживающее быть приведенным в любом современном руко-
водстве по гидродинамике.
Великий русский ученый М. В. Ломоносов (1711—1765), совре-
менник Эйлера и Бернулли, еще в сороковых годах XVIII столетия
заложил основы учения об упругости газов и теплоте, высказав
24
ВВЕДЬНИГ
глубокие мысли о физической сгрукгуре газа и кинетической природе
происходящих в нем процессов. Вместе с тем М В. Ломоносов много
сделал для развития изучения верхних слоев атмосферы, не только само
лично изобретая необходимые приборы (например, анемометр), но и
создавая смелые проекты летательных аппаратов для исследования
атмосферы.
В развитии аналитической механики жидкосги и газа большую
роль сыграл также Даламбер (1717—1783), применивший к сплошным
средам свой знаменитый общий принцип, и поныне носящий его имя.
„Парадокс" Да.’юмбера, о котором уже неоднократно была речь выше,
появился в свет в 1744 г. в „Трактате о равновесии и движении
жидкости". Сам Даламбер не д^л удовлетворительного объяснения
обнаруженному им факту отсутствия сопротивления тел при теорети-
ческом его определении. „Странный парадокс, объяснение которого
предоставляю математикам", — пишет Даламбер.
Даламбер возглавлял обширные экспериментальные исследования
сопротивления тел, предпринятые им в связи с задачей о сопротивле-
нии кораблей в каналах. Эти оиыГы подтвердили квадратичную зави-
симость сопротивления от скорости движения тела, пропорцио-
нальность сопротивления тела площади его миделевого сечения,
мт.юе влияние вязкости жидкосги на сопротивление при больших ско-
ростях и мн. др.
Работы Эйлера, Бернулли и Даламбера завершили большой эгап
развития гидродинамики идеальной жидкосги, приведший к почти
законченному формированию этого основного раздела механики жид-
кости и гача. Лагранж (1736—1813) в своих гидродинамических
работах усовершенствовал методы Эйлера и Даламбера и дтл даль-
нейшее развитие аналитическим методам гидродинамики.
Следующий этап истории механики жидкости и газа, относящийся
уже гла вным образом к XIX в., знаменуется, с одной стороны, даль-
нейшей математической разработкой гидродинамики идеальной жид-
кости, в частности, решением таких задач ее, как плоское и простран-
ственное безвихревое движение, струйное разрывное движение, вихре-
вое движение, волновое движение тяжелой жидкости, с другой —
зарождением двух новых разделов, имеющих особое значение для
современной гидроаэродинамики: динамики вязкой жидкости и газо-
вой динамики.
Простейшим и наиболее глубоко и всесторонне изученным случаем
интегрирования уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости является
гак называемое безвихревое движение с потенциалом скоростей.
Понятие потенциала скоростей было введено самим Эйлером. Лагранж
в 1781 р. первый нашел те динамические условия, при выполнении
которых будет существовать безвихревое движение с потенциалом
скоростей. Теорема Лагранжа, лежащая в основе всей теории без-
вихревого течения и оправдывающая практическое применение теории,
была в 1815 г» более строго доказана Коши (1789—1857),
§ 4J
ЭПОХА ЭЙЛЕРА И БЕРНУЛЛИ. ДЕВЯ1НАДЦАТЫЙ BLK
25
Наибольший интерес представляет плоское безвихревое движение,
для которого, кроме потенциала скоростей, существует еще функция
тока, введенная впервые Лагранжей в 1781 г.; кинематическая интер-
претация функции тока, связанная с понятием линии тока, была дана
значительно позднее (в 1864 г.) Рэнкиным. Наличие этих двух функ-
ций — потенциала скоростей и функции тока, удовлетворяющих
в отдельности уравнениям Лапласа, позволило свести решение гидро-
динамической задачи к разысканию одной комплексной функции —
комплексного потенциала. Подробное изложение этого метода, весьма
близкого к современному, можно найти в двадцать первой лекции
классических „Лекций по математической физике** (ч. 1, Механика)
Кирхгоффа (1876). Отдельные задачи плоского безвихревого потока
решались и ранее самим Кирхгоффом в 1845 г. и Гельмгольцем в 18681.
Заметим, что с математической стороны эти задачи эквивалентны анало-
гичным задачам электростатики. Наряду с плоским стационарным
безвихревым движением были изучены некоторые простейшие задачи
нестационарного движения (Рэлей в 1878 г., Лэмб в 1875 г. и др.).
Особенно больших успехов метод комплексной переменной достиг
в теории обтекания тел со срывом струй, созданной трудами Гельм-
гольца, Кирхгоффа и Жуковского. Подлинного своего расцвета пло-
ская задача безвихревого стационарного и нестационарного движения
достигла в первую четверо нашего столетия в замечательных работах
ученых московской школы, о чем еще буде! речь впереди.
Пространственная задача о движении несжимаемой жидкоеiи с
потенциалом скоростей исследовалась параллельно с плоской. Отсут-
ствие в пространстве комплексного переменного привело к необходи-
мости непосредственного решения уравнения Лапласа при заданных
граничных, а в случае нестационарного движения, и начальных усло-
виях. Пространственная задача развивалась в тесном контакте с близ-
кими ей задачами теории потенциала. Первая задача о пространствен-
ном безвихревом обтекании тела (шара) была разрешена Пуассоном
в 1828 г. и затем обобщена и уточнена Стоксом в 1843 г. и Лежен —
Дирихле в 1852 г. Безвихревое течение несжимаемой жидкости
в эллипсоидальном сосуде и обтекание эллипсоида при поступа-
тельном и вращательном его движении было изучено в период 1843—
1883 гг. целым рядом ученых, в числе которых можно отметить
Клебша, Бельграми, Грина и др.
Продольное обтекание осесимметричных тел, для которого, как
показал Стокс еще в 1842 г., существует функция тока, допускает
приближенное исследование простым методом наложения однородного
поступательного потока на систему источников, стоков или диполей;
метод этот, иногда называемый „методом особенностей", был предло-
жен впервые Рэнкиным в 1868 г. и получил широкое распростра-
нение.
Общая теория движения твердого тела в жидкости была дана
'ирхгоффом в 1869 г. и изложена в его ранее уже упомянутых
26
ВВЕДЕНИЕ
„Лекциях". Теория эта Является одним из наиболее изящных раз-
делов аналитической механики.
Фундаментальные результаты в этой области принадлежат русским
ученым, в числе которых такие всемирно известные имена, как
Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин, А. М. Ляпунов и В. А. Стек-
лов; С. А. Чаплыгин дал движению твердого тела в жидкости геоме-
трическую интерпретацию, не уступающую по глубине и наглядности
классической интерпретации Пуансо движения твердого тела по инер-
ции в пустоте.
В разработке теории движения твердого тела в жидкости прини-
мали участие крупнейшие зарубежные ученые XIX в.: Томсон и Тэт,
Максвелл, Клебш и др.
Два новых существенных раздела гидродинамики идеальной жид-
кости: волновое и вихревое движения — были созданы в рассматри-
ваемый период времени. Теория волнового движения развивалась
главным образом в связи с вопросами качки волнового сопротивления
корабля, а также теории приливных волн в каналах и реках.
Первые исследования, связанные с приближенной теорией „длин-
ных" волн на поверхности тяжелой жидкости, принадлежат Лагранжу
и относятся к 1781 г.; имя Лагранжа носит основное дифференциаль-
ное уравнение распространения волн и первая формула скорости
их распространения. Классическим мемуаром, содержащим строгую
теорию волн малой амплитуды, является появившийся в 1815 г.
мемуар Коши. Среди лиц, способствовавших развитию теории волн
малой амплитуды, мы находим имена Лапласа, Пуассона, Эри, Стокса,
Рэнкина и др. Теорию волнового сопротивления дал Митчелл и, неза-
висимо от него, несколько позднее — Н. Е. Жуковский.
Во второй половине XIX в. появилось учение о вихревом движе-
нии жидкости, создателем которого справедливо считают Гельмгольца,
указавшего в 1858 г. основные свойства вихрей в идеальной жидко-
сти. Само понятие вихря и его интерпретация, как угловой скорости
вращения жидкого элемента в целом, были даны раньше: Коши
в 1815 г. и Стоксом в 1847 г.; возможность движения без поген-
циала скоростей была указана Эйлером еще в 1775 г. Теория вих-
рей имеет обширную литературу, в которой тесно переплетаются
вопросы гидродинамики с аналогиями в области электричества и
магнетизма. Магнитные линии вокруг электрического проводника
эквивалентны линиям тока вокруг вихревой нити (теорема Био —
Савара служит основой как для расчета движения жидкости вокруг
вихревых линий, так и для расчета магнитного поля вокруг электри-
ческого тока). Теория вихрей сыграла большую роль в развитии
динамики» атмосферы, теории крыла самолета, теории пропеллера и
корабельного винта и др. Об этих приложениях, получивших особен-
ное развитие в работах русских ученых (Н. Е. Жуковского — по вих-
ревой теории винта и А. А. Фридмана — по вихрям в атмосфере), будет
упомянуто в следующем параграфе.
§ 4J ЭПОХА ЭЙЛЕРА И БЕРНУЛЛИ. ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ ВЕК 27
Особенно принципиальное значение для развития всей современ-
ной гидроаэродинамики имело возникновение в начале XIX в. меха-
ники вязкой жидкости и сжимаемого газа.
Теория движения вязкой жидкости в форме, весьма близкой
к современной, была опубликована в 1845 г. Стоксом (1819—1903),
который, выделив из общего перемещения элемента жидкости дефор-
мационную часть, указал простую линейную зависимость возникающих
в жидкости напряжений от скоростей деформаций, т. е. дал обобще-
ние ранее уже упомянутого закона Ньютона. До Стокса, основываясь
на некоторых специальных молекулярных гипотезах относительно
свойств реальных газов, уравнения движения вязкого газа выводили:
в 1826 г. Навье (1785—1836), в 1831 г. Пуассон (1781—1846) и
в 1843 г. Сен-Венан (1797—1856).
Развитие механики вязкой жидкости отвечало практическим запро-
сам со стороны энергично развивавшихся в XIX в. гидравлики и
гидротехники, учения о трении в машинах, физики и химии нефтяных
и других смазочных веществ. Первые опыты, показавшие преобладаю-
щее влияние сил вязкости на сопротивление при малых скоростях,
принадлежали Кулону (1801), Дюбуа (1779) и Дюшемену (1829).
Основное значение имели теоретические и экспериментальные иссле-
дования сопротивления в трубах и каналах при движении в них воды
и других вязких жидкостей. Теоретическое решение этой задачи было
дано самим Стоксом в 1846 г. и Стефаном в 1862 г. Обстоятельные
экспериментальные исследования движения вязкой жидкости в трубах
очень малого диаметра были проведены Ж. Пуазейлем в 1840—-1842 гг.
и О. Рейнольдсом в период 1876—1883 гг. Более ранние опыты были
проведены Хагеном и опубликованы в 1839 г. Ко времени работ
Пуазейля и Рейнольдса относится открытие двух различных режимов
движения вязкой жидкости в трубах — ламинарного и турбулент-
ного. Работы Рейнольдса послужили началом создания теории турбу-
лентного движения, применение которой в вопросах гидравлики,
гидротехники, метеорологии, теории сопротивления и теплопередачи
оказалось весьма обширным и плодотворным.
Изучение движения вязкой жидкости между двумя вращающимися
цилиндрами привело в 1883 г. знаменитого русского инженера
Н. П. Петрова к созданию гидродинамической теории трения обильно
смазанных подшипников. Строгое решение той же задачи было ука-
зано Н. Е. Жуковским в работах, опубликованных в 1886 и 1887 гг.
Уточнение и обобщение этой теории трения было проведено в работах
Рейнольдса, Зоммерфельда, Митчелла и др.
Рассмотрение движения вязкой жидкости по капиллярным трубкам
легло в основу создания теории фильтрации жидкости сквозь песча-
ные грунты и трещиноватые породы. Первые шаги в этом направле-
нии были сделаны французским гидравликом Дарси в 1856 г., показав-
шим пропорциональность скорости фильтрации потере напора. Прак-
тические задачи о фильтрационных движениях воды в грунтах под
28
ВВЕДЕНИЕ
гидротехническими сооружениями, нефти сквозь почву и другие соста-
вили предмет огромного числа исследований; особенно надо отметить
замечательные работы Н. Е. Жуковского в 1889 и 1890 гг., а также
теорию плоского фильтрационного движения академика Н. Н. Павлов-
ского, опубликованную в 1921 г.
О дальнейшем развитии этого направления в советских работах
речь будет еще впереди.
Параллельно с развитием гидродинамики вязкой жидкости про-
текало и создание динамики, сжимаемого газа. Первоначальные
исследования в этой области были тесно связаны с зарождением двух
основных разделов физики: термодинамики и акустики; первый из них
развивался в связи с появлением паровой техники, второй стимули-
ровался главным образом теорией музыкальных инструментов и
физиологией слуха.
Первое теоретическое определение скорости звука — скорости
распространения упругих волн малой амплитуды — дал Ньютон, пока-
завший, что скорость распространения звука в воздухе, если рас-
сматривать этот процесс как изотермический, пропорциональна корню
квадратному из отношения давления воздуха к его плотности. На
самом деле, как показал значительно позднее Лаплас, процесс распро-
странения звуковых колебаний приближается к адиабатическому, что
привело Лапласа к формуле, применяемой и в настоящее время. Фор-
мула эта, данная Лапласом в первом десятилетии прошлого века, отли-
чается от формулы Ньютона коэффициентом под знаком корня, рав-
ным отношению теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном
объеме.
Основная система дифференциальных уравнений динамики сжимае-
мого газа появилась примерно в середине прошлого века, после того
как к системе уравнений Эйлера и уравнения неразрывности было
присоединено уравнение баланса энергий, выведенное из первого начала
термодинамики, а также уравнение состояния газа. Несмотря на стро-
гую математическую постановку задачи и наличие к тому времени
развитых методов решения дифференциальных уравнений, решение
уравнений газодинамики представило, даже при простейших предпо-
ложениях об отсутствии вихрей, об адиабатичности потока и др.,
непреодолимые трудности. И в настоящее время имеется лишь неболь-
шое число случаев точного решения задач газодинамики, зато значи-
тельную разработку получили приближенные методы, принадлежащие,
главным образом, советским ученым.
Принципиальные особенности движения газа со сверхзвуковыми
скоростями были отмечены впервые в середине прошлого века Доп-
плером. •
Выдающийся геометр Риманн (1826—1866) в классическом
мемуаре, относящемся к 1860 г., теоретически доказал возможность
возникновения поверхностей разрыва в газовом потоке, вначале непре-
рывном; эти разрывы были названы ударными волнами.
29
ЭПОХА ЭЙЛЕРА И ВЕРНУЛЛЙ. ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ ВЕЙ
§ 4J
Наибольшее развитие, в связи с задачами, вставшими Перед со-
здателями паровых турбин, получила газовая гидравлика, предметом
изучения которой явились одномерные течения сжимаемого газа с боль-
шими до- и сверхзвуковыми скоростями по трубам и соплам, вопросы
истечения газа из резервуаров и тому подобные явления. Это напра-
вление механики сжимаемого газа нашло опору в общих теоремах:
количеств движения, теореме Бернулли, баланса энергии, а также
в основных закономерностях термодинамики газа. Наиболее популяр-
ным и важным результатом этого направления следует признать клас-
сическую формулу Сен-Венана и Ванцеля (1839), связывающую ско-
рость адиабатического истечения газа с давлением и плотностью газа
в резервуаре и с противодавлением.
Элементарная газогидравлическая теория скачка уплотнения, уста-
новившая связь между давлением и плотностью до и после скачка,
была дана Рэнкиным в 1870 г. и Гюгонио в 1887 г.; явление обра-
зования скачков уплотнения в сопле Лаваля было обнаружено и изу-
чено Стодола.
Полного своего расцвета газовая динамика достигла лишь в первой
половине нашего века в связи с вставшими перед нею запросами
авиации, турбостроения и техники реактивного движения. Об этом
этапе развития газовой динамики и особенно большом значении совет-
ских исследователей в этом направлении будет сказано в следующем
параграфе.
Конец XIX в. ознаменовался высоким подъемом всеобщего интереса
к воздухоплаванию. Не преследуя в настоящем курсе цель изложени
специальных вопросов аэромеханики самолета, мы не будем останавли-
ваться и на истории авиации, неразрывно связанной с историей раз-
вития аэродинамики. Упомянем лишь, что в первых рядах борцов за
создание авиации, наряду с Жуковским и Лилиенталем, должны быть
поставлены имена Д. И. Менделеева (1834—1907) и К. Э. Циолков-
ского (1857—1935).
Широко известна роль Д. И. Менделеева в развитии учения о газах
при больших и малых давлениях, его теоретические и эксперимен-
тальные заслуги в области метеорологии высоких слоев атмосферы.
Д. И. Менделееву принадлежит опубликованная в 1880 г. фундамен-
тальная монография „О сопротивлении жидкостей и воздухоплавании",
в которой не только дается систематическое и критическое изложе-
ние существовавших к тому времени работ по теории сопротивления,
но и приводятся оригинальные идеи Менделеева в этом направлении,
в частности, указывается на важное значение вязкости жидкости
при определении сопротивления трения хорошо обтекаемого тела.
Н. Е. Жуковский высоко ценил эту книгу.
Д- И. Менделеев, всегда служивший образцом ученого, тесно
связывающего все свои открытия с запросами народного хозяйства
своей родины, не отрывал научные интересы в области аэродинамики
От задач воздухоплавания и не только сам лично создавал проекты
30 ЙВЕДЕНЙЁ
новых летательных аппаратов, но и всемерно помогал изобретателям,
работавшим в том же направлении. Так, в 1877 г. Д. И. Менделеев
помог известному конструктору первого самолета А. Ф. Можайскому,
в 1890 г. представил Русскому техническому обществу проект цельно-
металлического дирижабля К. Э. Циолковского.
Выдающийся русский ученый и изобретатель К. Э. Циолковский,
создал в 1896 г. первую аэродинамическую трубу, на которой прово-
дил опыты по определению сопротивления тел. Ему принадлежит целый
ряд смелых технических идей: возможность завоевания мирового про-
странства при помощи ракет, первые проекты ракетопланов, проекты
цельнометаллических дирижаблей и др. К. Э. Циолковский установил
первые формулы реактивного движения снаряда с переменной массой.
§ 5. Современный этап развития механики жидкости
и газа
Первое место среди создателей современной механики жидкости
и газа принадлежит по праву советским ученым, которые не только
продвинули далеко вперед теорию, но и разработали замечательные
методы экспериментального исследования гидроаэродинамических
явлений.
Крупнейшим событием, обусловившим прогресс авиации и турбо-
строения, было появление в начале нашего века теории крыла
самолета, созданной гением двух величайших русских ученых —
Н. Е. Жуковского (1847—1921) и С. А. Чаплыгина (1869—1942).
Н. Е. Жуковский является основоположником учения о подъемной
силе крыла в плоскопараллельном потоке. Знаменитая формула Жу-
ковского, выражающая подъемную силу крыла в виде произведения
плотности жидкости на скорость движения в ней крыла и на напря-
жение „присоединенных вихрей" или „циркуляцию", опубликованная
в 1906 г., получила всеобщее признание как основа теории подъемной
силы крыла. Зарубежные историки аэродинамики пытаются без доста-
точных к тому оснований поделить приоритет Жуковского на эту фор-
мулу с немецким ученым Кутта, работа которого по вопросу о подъем-
ной силе частного вида крыла была опубликована несколько ранее
работы Жуковского. При этом затушевывается тот основной истори-
ческий факг, что только Жуковский дал первую общую теорию подъем-
ной силы, основанную на смелой и оригинальной идее „присоединен-
ного вихря". Приоритет на циркуляционную теорию подъемной силы
великого русского ученого, далеко продвинувшего вперед разрешение
почти bcqx основных гидроаэродинамических проблем своего времени
и открывшего новые пути развития современной механики жидкости
и газа, совершенно неоспорим.
Способ определения величины циркуляции, входящей в формулу
Жуковского, долго занимал умы аэродинамиков всего мира, пока
в самом конце 1909 г. С. А. Чаплыгин, ученик и ближайший сотруд-
§ 5)
СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП РАЗВИТИЯ
31
ник Н Е. Жуковского, не предложил простой прием определения
шпкуляции на основании дополнительного предположения о безот-
рывном обтекании острой задней кромки крыла; этот прием в настоя-
щее время общепринят и носит обычно наименование „постулата
Жуковского — Чаплыгина".
В 1912 г. Н. Е. Жуковский начал опубликование серии статей,
в которых излагалась новая, созданная им вихревая теория гребного
винта. Дальнейшее разви-
тие методов аэродинами-
ческого расчета винтов
идет по пути, указан-
ному Жуковским.
С именем Н. Е. Жу-
ковского связано заро-
ждение динамики полета.
Первой работой в этом
направлении является зна-
менитый мемуар „О паре-
нии птиц", относящийся
еще к 1892 г. В этом ме-
муаре приводится иссле-
дование траектории цен-
ipa тяжести птицы при
свободном ее скольжении
в воздухе, здесь же дано
первое обоснование „мер-
ной петли". Идеи этой
замечательной работы бы-
ли завершены Н. Е. Жу-
ковским в ряде статей и
монографий по динамике
аэроплана (1913—1916)—•
новой в то время отрасли
аэромеханики, творцом ко-
торой является И Е. Жу-
ковский.
Николай Егорович
Жуковским
(1847—1921)
Н. Е. Жуковский по праву может рассматриваться также как
создатель современной экспериментальной аэродинамики. Им был орга-
низован ряд аэродинамических лабораторий: при Московском универ-
ситете, в Кучино под Москвой, и, наконец, он был основателем Цен-
трального аэрогидродинамического института (ЦАРИ). Руководимые
. Е. Жуковским лаборатории сыграли громадную роль в создании
отечественной авиации, в развитии основных аэродинамических воззре-
ний. Наша страна свято хранит память о Н. Е. Жуковском — гени-
альном основоположнике современной гидроаэродинамики, по словам
• Ленина, „отце русской авиации". Именем Жуковского назван
32
ВВГДЕНИС
центр советской авиационной мысли — ЦАРИ, его имя присвоено
Военно-воздушной академии в Москве.
После смерти Н. Е. Жуковского продолжение начатого им дела
создания передовой советской авиационной науки оказалось в надеж-
ных руках его ученика и соратника С. А. Чаплыгина.
С именем С. А. Чаплыгина связано начало систематического при-
менения комплексных функций и конформных отображений в теории
плоского безвихревого движения
жидкости. В 1910 г. С. А. Чаплы-
гин опубликовал первые формулы
силы и момента, действующих на
крыло со стороны жидкости, вы-
ражающие их через контурные
интегралы, содержащие производ-
ные от комплексного потенциала.
К тому же 1910 г. относится со-
здание Жуковским и Чаплыгиным
первых в мире теоретических
крыловых профилей с закруглен-
ной передней кромкой, причем
авторы дали способы построения
этих профилей, вычислили их гео-
метрические и аэродинамические
характеристики.
Наряду с созданием общей тео-
рии крыла С. А. Чаплыгину при-
надлежат первые теоретические
Сергеи Алексеевич
Чаплыгин
(1869 — 1942)
изыскания так называемого „меха-
низированного" крыла, т. е.
разрезного крыла, крыла с
предкрылком и с закрылком.
В 1914 г. С. А. Чаплыгин изложил новую теорию решетчатого крыла,
схематизирующего лопастной аппарат турбомашины.
Теоретические исследования С. А. Чаплыгина, появившиеся после
смерти Н. Е. Жуковского, содержат продолжение работ по применению
метода комплексного переменного к теории крыла в плоскопараллель-
ном потоке; сюда относится установление теоремы о параболе устойчи-
вости крылового профиля, о приведении давления потока на крыло
к силе, приложенной в фокусе, и паре с независящим от угла атаки
моментом. К тому же периоду относятся новые исследования С. А. Ча-
плыгина по разрезному крылу, в которых он показал, что сово-
купности двух надлежащим образом раздвинутых дуг одного и
того же радиуса имеет большую подъемную силу, чем одна дуга
той же длины, дал характеристическую функцию обтекания любой
системы дуг одной и той же окружности или любого числа отрезков
прямой.
.. Г-. СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП РАЗВИТИЯ 33
§ •>!
В 1926 г. С. А. Чаплыгин обобщил свои замечательные формулы
сипы и момента на случай нестационарного движения крыла при
постоянной во времени циркуляции, чем положил основу нового на-
правления теории крыла, в дальнейшем широко развитого и углублен-
ного его последователями.
Уже почти перед самой смертью С. А. Чаплыгин предложил новый
класс теоретических профилей, отвечающих современным требованиям,
предъявляемым к крылу скоростного самолета.
Известно, что еще в 1910 г. С. А. Чаплыгин пришел к вполне
законченным общим представлениям о вихревой системе крыла конеч-
ного размаха, а в 1913 г. ему удалось преодолеть математические
трудности и дать основные формулы подъемной силы и индуктив-
ного сопротивления. Примерно в то же время (начиная с 1912 г.)
Н. Е. Жуковский создал свою вихревую теорию винта, содержавшую
как частный случай вихревую теорию крыла конечного размаха.
Однако ни Чаплыгин, ни Жуковский не выпустили специальных публи-
каций по теории крыла конечного размаха; это дало возможность
зарубежным ученым приписать приоритет создания общей теории крыла
конечного размаха немецкому аэродинамику Л. Прандтлю, опублико-
вавшему свою теорию значительно позднее.
Таков весьма краткий перечень наиболее важных результатов
Жуковского и Чаплыгина по теории крыла; их фундаментальные идеи
были в дальнейшем развиты учениками и последователями—-молодыми
советскими аэродинамиками.
Значительное развитие и углубление получила гидродинамика пло-
ского безвихревого потока в работах М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева,
Л. И. Седова и других, продолжавших с успехом применять в теории
крыла методы теории функций комплексного переменного, в свое
время выдвинутые Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Исследо-
вания Жуковского по обсеканию тел с отрывом струй были обобщены
и получили новые применения в работах М. А. Лаврентьева,
А. И. Некрасова и др.
М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев свели задачу о колеблющемся
профиле к определению обтекания крыла со скачком потенциала на
прямолинейном вихревом следе за крылом, обобщив, таким образом,
метод Чаплыгина на случай крыла с переменной циркуляцией. Л. И. Седов
дал общие формулы силы и момента, действующих на произвольно
движущееся крыло. В этой работе, а также в монографии, относя-
щейся к 1939 г., Л. И. Седов дал систематическое изложение
новых применений метода комплексного переменного к исследованию
движения крыла, систем крыльев и бесконечных решеток их, завер-
шив этим большой исторический этап развития теории плоского
безвихревого движения, начатой работами Чаплыгина.
Н. Е. Кочин предложил строгое решение задачи об установившемся
движении круглого в плане крыла и о его колебаниях. А. А. Дород-
ницын разработал теорию расчета стреловидного крыла и крыла,
3 Зак 1841. Л Г- Лопцннский
34
ВВЕДЕНИЕ
летящего со скольжением. В. В. Голубев создал теорию машущего
крыла и решил ряд задач теории крыла в плоском потоке. Задача
об обтекании „теоретических профилей", выдвинутая Н. Е. Жуковским
и С. А. Чаплыгиным, обогатилась новыми решениями и была обоб-
щена на случай обтекания изолированного профиля произвольной
формы и произвольной решетки профилей в работах Я. М. Сере-
брийского, Л. А. Симонова, Э. Л. Блоха и др.
Созданная Н. Е. Жуковским вихревая теория винта получила
в работах советских ученых (В. П. Ветчинкин, Н. Н. Поляхов и др),
дальнейшую глубокую разработку; М. В. Келдыш и Ф. И. Франкль
дали строгое обоснование вихревой теории Жуковского.
Теория волнового движения тяжелой жидкости, волнового сопро-
тивления, а также теория движения тела вблизи свободной поверхности
жидкости достигли своего подлинного расцвета в работах русских
ученых послереволюционного периода. Ряд фундаментальных исследо-
ваний по классической теории волн, по волнам в жидкости конечной
глубины, по теории волн конечной амплитуды и другим вопросам
принадлежит акад. Н. Е. Кочину и акад. А. И. Некрасову. Теория волно-
вого сопротивления получила развитие в исследованиях Л. Н. Сретен-
ского. Движение твердого тела вблизи свободной поверхности, в част-
ности, движение подводного крыла, составило предмет изысканий
М. В. Келдыша, Н. Е. Кочина, М. А. Лаврентьева и др. Л. И. Седов
первый строго поставил и разрешил задачу о глиссировании тела по
поверхности тяжелой жидкости. Всемирную известность получили
ставшие уже классическими исследования выдающегося советского
механика и кораблестроителя акад. А. Н. Крылова — основоположника
теории качки корабля на волнении.
Явление удара тела о свободную поверхность тяжелой жидкости,
изученное впервые Н. Е. Жуковским еще в 1910 г., было с исчер-
пывающей полнотой исследовано М. А. Лаврентьевым, М. В. Келды-
шем, Л. И. Седовым и другими в период 1932—1934 гг.; работы
этих ученых показали всю силу метода теории комплексного пере-
менного в задачах гидродинамики.
В современной механике жидкости и газа центральное место как
по принципиальной глубине основных идей, так и по практической
значимости разрешаемых проблем занимает сравнительно молодой, но
бурно развивающийся отдел — газовая динамика. Подобно многим
другим отделам гидроаэродинамики, развитие газодинамики в настоя-
щее время находится почти целиком в руках советских ученых.
Фундаментальное значение для создания всей современной газодина-
мики имеет исключительная по глубине идей работа С. А. Чаплыгина
„О газовых струях", написанная им в 1901 г. и представленная
к защите на соискание ученой степени доктора в 1902 г. Прошло
почти пятьдесят лет со дня появления диссертации С. А. Чаплыгина,
но и сейчас мы продолжаем быть свидетелями все возрастающего
интереса к этой работе со стороны советских и зарубежных ученых.
с к, СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАН РАЗВИТИЯ 35
$ .
Причина этого заключается в том, что применение изложенного
в работе метода годографа скоростей выходит далеко за рамки той
сравнительно узкой пели обобщения теории струйного обтекания тел
Кирхгоффа — Жуковского на случай сжимаемого газа, которую по-
ставил перед собой С. А. Чаплыгин. Метод этот получил дальнейшее
развитие в известных исследованиях акад. С. А. Христиановича,
относящихся к определению влияния сжимаемости газа на обтекание
крылового профиля при больших докритических скоростях потока.
В области теории дозвуковых течений серьезные достижения при-
надлежат М. В. Келдышу и Ф. И. Франклю, давшим в 1934 г. стро-
гую постановку вопроса об обтекании крыла сжимаемым газом и
обобщившим на этот случай теорему Жуковского, Н. А. Слезкину,
в 1935 г. показавшему применение метода Чаплыгина к расчету бес-
циркуляционного обтекания крыла. Академик А. И. Некрасов пред-
ложил в 1946 г. новый метод непосредственного интегрирования урав-
нений газовой динамики, превосходящий по эффективности старый
метод Янзена—Релея.
Велики заслуги советской науки в области теории сверхзвуковых
и смешанных течений. С. А. Христианович в 1941 г. дал общий
анализ сверхзвуковых течений вблизи линий перехода дозвукового
течения в сверхзвуковое и предложил систематическую классифика-
цию этих течений. Идеи С. А. Христиановича послужили основой
к плодотворным изысканиям в том же направлении его учеников
А. А. Никольского и Г. И. Таганова. С. А. Христианович создал
в 1947 г. новый метод приближенного расчета сверхзвуковых течений,
являющийся дальнейшим развитием его метода расчета дозвуковых
потоков. С. А. Христиановичу принадлежит также методика построения
„безударного" сопла Лаваля, метод расчета сверхзвуковых эжек-
торов и много других важных теоретических и практических
результатов.
Графические методы (метод характеристик) расчета сверхзвуковых
плоских и осесимметричных обтеканий тел обязаны своим разви-
тием главным образом усилиям двух советских ученых — И. А. Ки-
беля и Ф. И. Франкля. Им, а также В. В. Татаренчику, удалось по-
строить ряд точных решений уравнений газодинамики. Ф. И. Франкль
добился значительных результатов в постановке и разрешении „сме-
шанной" задачи газодинамики о газовом потоке с до- и сверх-
звуковыми областями. Теория стационарного и нестационарного
движения крыла в сверхзвуковом потоке достигла своего расцвета
в исследованиях группы советских ученых: Л. А. Галина, М. И. Гуре-
вича, Е. А. , Красилыциковой, С. В. Фальковича, Ф. И. Франкля и
М. Д. Хаскинда.
Вместе с газовой динамикой больших скоростей развивалась и
олее старинная ее отрасль — динамика сжимаемого газа при малых
скоростях, служащая основой динамической метеорологии. Обще-
признанным основоположником этой области газовой динамики
36
СВЕДЕНИЕ
заслуженно считается безвременно погибший в 1925 г. талантливый
советский механик А. А. Фридман. В своей, ставшей классической,
диссертации „Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости", вышедшей
в свет в 1922 г., А. А. Фридман дал исчерпывающее систематическое
изложение основных законов движения сжимаемого газа и, в частности,
атмосферного воздуха при наличии дневного притока тепла от Солнца
и ночного излучения в мировое пространство. Этот, исключительный
по капитальности и идейному содержанию труд, стал на много лет источ-
ником дальнейшего развития динамики атмосферы. Особого упоминания
заслуживают фундаментальные исследования учеников А. А. Фридмана:
акад. Н. Е. Кочина и чл.-корр. И. А. Кибеля.
Из наиболее важных работ в области, смежной между гидро-
динамикой и гидравликой, отметим прежде всего фундаментальные
исследования акад. С. А. Христиановича по теории длинных волн
в каналах. Эти исследования, относящиеся к периоду 1933—1936 гг.,
послужили основой создания целого ряда прикладных методов рас-
чета, сыгравших большую роль в практике строительства гидросоо-
ружений.
Теория фильтрационного движения грунтовых вод и близкая к этой
проблеме теория подземного движения нефти далеко продвинулись
вперед в работах советских ученых. Пользуясь методом комплексного
переменного, еще в 1922 г. использованным акад. Н. Н. Павловским,
большое число конкретных практических задач решили Б. Б. Деви-
сон, П. Я. Кочина и др. Академик Л. С. Лейбензон создал теорию
движения газов в пористых средах и разрешил ряд других вопросов,
связанных с теорией и практикой нефтедобычи.
Теория движения вязкой жидкости за последние пятьдесят ,'iei
стала разрабатываться главным образом в направлении изучения дви-
жения жидкости в тонком „пограничном" слое, образующемся вблизи
поверхности тела при практически ишересных скоростях и размерах
тел. Повидимому, Рэнкин первый ввел понятие о пограничном слое.
В своей записке, относящейся к 1864 г., Рэнкин в следующих сло-
вах выражает происхождение сопротивления трения: „Это сопроти-
вление представляет сочетание прямых и косвенных действий прилипа-
ния частиц воды к поверхности корабля, которую они обтекают;
прилипание вместе с взаимной вязкостью частиц и производит бес-
численное множество мелких водоворотов в слое воды, непосредственно
прилегающем к бортам судна".
Первое систематическое руководство по вопросу о сопротивлении
жидкостей относится к 1880 г. и принадлежит нашему гениальному
соотечественнику Д. И. Менделееву. В этой, уже ранее упоминав-
шейся монографии мы находим отчетливое разграничение трения
жидкости о гладкие и шероховатые стенки. Говоря о сопротивлении
трения гладких поверхностей, Д. И. Менделеев отмечает основную
роль „прилипшего" к твердому телу слоя жидкости, который „движется
и увлекает соседние".
е е, СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП РАЗВИТИЯ 37
Сопротивление же неровностей (шероховатостей!), — пишет
II Й Менделеев, — того же рода, как и сопротивление нормально
движущейся пластинки". Эти взгляды Менделеева вполне совпадают
с современными воззрениями в теории сопротивлений.
Особенно следует отметить критический анализ Менделеева резуль-
татов экспериментальных определений сопротивлений жидкости с точки
зрения точности измерений — вопрос, в котором Менделеев, осново-
положник метрологии, был непревзойденным специалистом.
Глубоко анализируя и критикуя „фрикционную" теорию сопроти-
вления и, в частности, теорию Рэнкина, Д. И. Менделеев с предель-
ной ясностью устанавливает энергетическую сторону явления, отсут-
ствующую в весьма схематической и формальной теории Рэнкина.
Н. Ё. Жуковский в докладе, сделанном 23 декабря 1907 г. па
Первом Менделеевском съезде, высоко оценил монографию Менделеева,
назвав ее „капитальной монографией по сопротивлению жидкостей,
которая и теперь может служить ^основным руководством для лиц,
занимающихся кораблестроением, воздухоплаванием или баллистикой".
Н. Е. Жуковский в 1890 г. в своей работе „О форме судов"
дает первый пример учета влияния формы тела на сопротивление
трения, а в своих более поздних лекциях отмечает основные свой-
ства пограничного слоя. Однако ни Жуковский, ни его ближайшие
ученики не занялись разработкой приближенных уравнений движения
жидкости в пограничном слое, установленных Л. Прандтлем только
в 1904 г.
Не следует забывать, что еще в недалеком прошлом шла дискус-
сия по вопросу о том, равняется ли нулю скорость реальной жидкости
на поверхности обтекаемого ею тела или нет. Жуковский и Прандтль
первые решительно встали на точку зрения прилипания жидкости
к стенке; правильность этого воззрения, лежащего в основе теории
пограничного слоя, в дальнейшем была подтверждена многочисленными
опытами. Работы советских ученых в области теории ламинарного и
турбулентного пограничного слоя, а также по общей теории турбулент-
ности представляют исключительный интерес; работы Л. Е. Калих-
мана, Л. Г. Лойцянского, А. П. Мельникова и К. К. Федяевского
по плоскому и пространственному, ламинарному и турбулентному
пограничному слою в несжимаемой жидкости, относящиеся к периоду
1930—1945 гг., замечательные исследования А. А. Дородницына
1939—1940 гг. по теории пограничного слоя в сжимаемом газе, практи-
ческие методы расчета турбулентных струй, указанные Г. Н. Абра-
мовичем, и другие результаты советских ученых оставили далеко
позади зарубежные исследования в этой области. Все практические
расчеты пограничного слоя, необходимые для определения профиль-
НОг° сопротивления крыла и фюзеляжа самолета, сопротивления кор-
пуса корабля, потерь энергии в лопастных аппаратах турбомашин,
также расчеты различных струйных механизмов (эжекторов и др.)
Дутся у нас в Союзе по методам, принадлежащим советским ученым.
38
ВВЕДЕНИЕ
Современная теория турбулентного движения и ее многочисленные
применения в гидравлике труб и каналов, динамической метеорологии,
теории взвешивания и осаждения наносов, горения и перемешивания
топлива в струях и во многих других практических вопросах техники
составили предмет глубоких изысканий советских ученых. Останавли-
ваясь лишь на главнейших принципиальных достижениях, заметим,
что после классических работ Рейнольдса наиболее важную роль
сыграли замечательные исследования А. А. Фридмана и Л. В. Келлера,
выдвинувших в 1924 г. новый статистический метод изучения турбу-
лентного потока. Идеи А. А. Фридмана и Л. В. Келлера послужили
фундаментом для ряда теоретических исследований акад. А. Н. Кол-
могорова, Л. Г. Лойцянского, М. Д. Миллионщикова, А. М. Обухова
и Л. И. Седова.
На этом, по необходимости, заканчивается краткий обзор достиже-
ний советской науки в области механики жидкости и газа. Обзор
содержит только перечисление наиболее значительных работ наших
ученых. Многие из этих результатов еще настолько свежи, что не
могут найти себе место в историческом очерке. Но уже и из того
материала, который помещен в настоящем обзоре, отчетливо видно, что
советская гидроаэродинамика по праву занимает ведущее место в миро-
вой науке.
В настоящем, заключительном, параграфе очерка почти ничего
не говорилось об иностранных работах за рассматриваемый период
времени. Это объясняется не только краткостью очерка, но и тем
замечательным фактом, что в последнее время, за весьма немногими
исключениями, все основные проблемы механики жидкости и газа
самостоятельно выдвигались и разрешались советскими учеными, по-
ставившими нашу Родину в совершенно независимое положение от
зарубежной науки.
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 6. Поле физической величины. Скалярное и векторное поля.
Поверхности уровня. Векторные линии и трубки
*
Совокупность скалярных или векторных величин, заданных в не-
которой конечной или бесконечной области так, что каждой точке
области соответствует одно определенное значение скаляра или век-
тора, образует поле скалярной или векторной величины, короче —
скалярное или векторное поле. 1 Таковы скалярные поля: температур-
ное поле нагретого тела, поле плотности в неоднородном твердом
теле, и векторные поля: силовое поле, например, поле тяготения,
поле скоростей во вращающемся твердом теле и др.
Поле называется стационарным, если распределение физических
величин в пространстве не изменяется с течением времени. Так, на-
пример, поле скоростей в равномерно вращающемся вокруг непо-
движной оси твердом теле будет стационарным; в противном случае
поле называется не стационарным.
Если во всех точках пространства, где задано поле физической
величины, значения этой величины равны между собою (соответственно
в скалярном или векторном смысле), то такое поле называется одно-
родным, в противном случае — не однородным. Скалярное поле
плотности в однородном твердом теле однородно. В поступательно
движущемся твердом теле векторное поле перемещений так же, как и
скоростей или ускорений, — однородно. Само собой разумеется, что
однородное поле может быть как стационарным, так и не стацио-
нарным.
Аналитически поле некоторой скалярной величины © или вектор-
ной а задается соответственно скалярной или векторной функцией
1 В настоящей главе, так же как и в других главах курса, напоминаются
необходимые для дальнейшего элементы векторного и тензорного анализа;
оыло бы желательно предварительное ознакомление с этими элементами,
апример, по прекрасной книге Н. Е. Кочина, Векторное исчисление и
ачала тензорного исчисления, ОНТИ ГТТИ, 1934 или последующие издания.
40 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [|Л. I
01 каких-нибудь, в частости декартовых, координа! и времени: 1
о = о (х, у, г; f) = ® (Ж; f), |
а — а (х, у, г; f) = а (Ж, f) ]
Условившись в этих простейших определениях, поемтрим icuepi,
каким образом характеризовать пространственную изменчивость
величин поля (изменение со временем величины в данной точке про-
странства характеризуется, очевидно, частной производной от этой
величины по времени) Для этого следует упорядочить рассмотрение
бесконечного многообразия величин, образующих поле, расположив
эти величины сообразно некоторому признаку: численной их вели-
чине — для скалярной функции, направлению — для векторной функции.
Рассматривая скалярное поле, расслоим часть пространства, в ко-
тором задано поле, поверхностями уровня, т. е. такими поверхностями,
вдоль каждой из которых скалярная величина сохраняет одинаковое
значение. Таковы, например, изотермы, изобары и др.
Уравнение семейства поверхностей уровня скалярной функции
v (х, у, г; f) в данный момент времени, если поле не стационарно, и
в любой момент, если поле стационарно, будет
о (х, у, г; f) = С, (2)
где величина С принимает некоторый непрерывный ряд значений.
Если задано значение величины <р в некоторой точке Жо (х0, у0, г0)
и в данный момент времени /0, то уравнение поверхности уровня,
проходящей через точку Жо в момент /0, будет, очевидно,
® (х, У, г; Z) = Со = о (х0, у0, г0; 10) = ф (Жо, Q (3)
Смысл рассмотрения поверхностей уровня заключается в приве-
дении вопроса об изменяемости скалярной величины в пространстве
к более простому—изменению ее при переходе с одной поверхности
уровня на другую.
Возьмем какую-нибудь одну поверхность уровня, например (3).
Эта поверхность делит все пространство на две области: внешнюю,
где
® (х, у, z, t) > Со,
и внутреннюю, где
® (х> У, 0 < Со.
Термины эти, конечно, условны, так как, например, если
поверхность уровня представляет сферу радиуса а с центром в начале
координат, го при выборе функции
о (х, у, г) == х2 -J- у2 ф- z1— а?
1 Буква М символически представляет здесь совокупность координат
точки Ж, если поле стационарно, то время t в характеристике функции
отсутствует.
ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
41
§61
внешняя область по только что введенному определению совпадает
с внешней областью в обычном геометрическом смысле, если же
положить
<э (х, у, г) = а2 — х2 —у2 — z2,
го предыдущее определение с геометрическим не совпадет.
Условимся положительное направление нормали, проведенной через
некоторую точку данной поверхности уровня, выбирать в сторону
внешней области и называть
такую ось внешней нормалью',
противоположно направленную
ось — внутренней нормалью.
Проведем (рис. 1) две смеж-
ные поверхности уровня со = С
и ср = С и через точку М
одной из них — внешнюю нор-
маль с единичным вектором-ор-
том п и какую-нибудь на-
клонную ось с ортом 1; от-
резки ММ' и MMt обозначим
через dn и dl. Напомним, что
.. d'l
производной от скалярной
функции -р по какому-нибудь
шепия
lim "~ У -= dtf
да, -> да ММ1 dl
направлению I называют предел огно-
dn = dl • cos (1, n),
<7 у dn di
Замечая что, по определению поверхносш уровня, (MJ = <э(М')
и что, кроме того,
будем иметь
__ — . _ — LUS.у.
dl dn dl dn v v 1
Оiсюда сразу следует, что, в силу положительности —(вспом-
нить определение внешней нормали):
di d'i
dn dl ’
*• e. направление внешней нормали к поверхности уровня пред-
ставляет направление наибольшего изменения скалярной функции
110 сравнению с любым другим направлением.
Рассмотрим (рис. 1) несколько смежных поверхностей уровня:
? = С, аг = с', ф = С" и т. д. Проведем через точку М внешнюю
42
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СИ ДЫ
fl л. г
нормаль п, через точку М' пересечения ее со смежной поверхностью
уровня — нормаль п', через точку М" пересечения этой нормали со
следующей поверхностью уровня — нормаль п" и т. д. В пределе
получим кривую LL, нормальную ко всем поверхностям уровня
в । очках их пересечения с нею. Зная закон изменения скалярной ве-
личины вдоль такого рода линии, тем самым по формуле (5) опре-
делим и общую картину изменения рассматриваемой величины в про-
странств. В существовании этих линий максимального изменения
заданной скалярной величины наряду с нормальными к ним поверх-
ностями уровня, вдоль которых рассматриваемая величина сохраняет
постоянное значение, и заключается смысл того упорядочения картины
изменяемости скалярной величины в пространстве, о котором ранее
упоминалось.1
Перейдем теперь к рассмотрению с той же точки зрения вас-
торного поля. В этом случае задача осложняется наличием изменяемости
векторов поля как по величине, так и по направлению.
Чтобы лучше разобраться в многообразии векторов, заданных
в точках пространства, поступим так. В данный момент времени, если
поле не стационарно, или в любой, если поле стационарно, проведем
через выбранную точку М (рис. 2) соответствующий ей вектор поля а,
отложим вдоль положительного направления этого вектора малый
отрезок ММ', затем в тот же момент времени, если поле не стацио-
нарно, проведем через
точку М' соответствую-
щий ей вектор а', точно
так же отметим вектор а"
в точке М", расположен-
ной на направлении век-
тора а', и т. д. Если
взять точки М, М’, М"...
достаточно близкими друг
к другу, то указанным
путем можно прочертить
свойством, что в каждой
в просгрансгве линию, обладающую тем
ее точке вектор поля направлен по касательной к ней. Такая
линия называется векторной линией поля (вспомнить например,
силовые линии электрического или магнитного поля, вдоль которых
направлен вектор напряжения поля).
Через каждую точку поля можно провести, вообще говоря, лишь
одну векторную линию; исключением являются так называемые особые
1 Всякому семейству поверхностей соответствует система нормальных
линий; обратная теорема о существовании поверхностей, нормальных к дан-
ному семейству линий, верна лишь при выполнении некоторых условий. По
этому поводу см., например, Л. Г. Л о й ц я н с к и й и А. И. Л у р ь е, Курс
теоретической механики, ч. II, 1940, изд. 3, стр. 164.
§ 7J
МГРЛ однородноеIи ПОЛЯ
43
точки поля, через которые могут проходи!ь несколько и даже
бесчисленное множество векторных линий. Так, например, из „точеч-
ного заряда", образующего электростатическое поле, выходит бесчис-
ленное множество силовых линий поля.
Легко написать дифференциальные уравнения векторных линий
поля вектора а(х, у, г; f). Обозначим через 8г направленный по ка-
сательной элемент векторной линии и запишем в векторной форме
только что указанное свойство совпадения по направлению вектора
поля с касательной к векторной линии в данной точке:
аХ8г=0. (6)
Здесь и далее символ „Х“ обозначает векторное умножение, точка
обозначает скалярное умножение.
В декартовой системе координат векторное равенство (6) экви-
валентно системе дифференциальных уравнений,
определяющих семейство векторных линий:
Вх ______ By ___________# Bz #
«а, (х, у, z, t) ау (х, у, z, t) az (х, у, z,f) ’ '
при решении этой системы двух уравнений первого
порядка время t следует рассматривать как задан-
ный фиксированный параметр. Проинтегрировав
систему (7), получим конечное уравнение семейства
векторных линий с двумя произвольными постоян-
ными, которые можно найти из условия прохождения
векторной линии через заданную точку пространства.
Проведем в данный момент в части простран-
ства, где задано векторное поле, какой-нибудь за- Рис. 3.
мкнутый контур С (рис. 3) и через все точки этого
контура — векторные линии; часть пространства, ограниченная по-
верхностью а, образованной векторными линиями, называется вектор-
ной трубкой.
Выделение в векторном поле векторных линий и, особенно, век-
торных трубок значительно упорядочивает и облегчает, как мы далее
увидим, представления о характере изменчивости векторов, образую-
щих данное поле.
§ 7. Мера однородности поля в данном направлении и в данной
точке. [Градиент скалярного поля и дифференциальный тензор
векторного поля как меры неоднородности поля
Подобно тому как количественной мерой изменчивости (быстроты
изменения) функции одной переменной при данном значении ее аргу-
мента является производная этой функции по аргументу, точно так
Же и в случае скалярного или векторного поля за меру неоднород-
ности поля или изменчивости величин поля в данном направлении
44
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[ГЛ. I
в пространстве можно принять производные этих величии ио вы-
бранному направлению, причем в общем случае пространственного
распределения производные эти зависят от направления дифферен-
цирования. Таким образом, за меру неоднородности поля по напра-
влению 1 можно принять величины:
d<p da
~dl И ~dT'
где первая представляет ранее определенную формулой (4) производ-
ную от скалярной функции ®(7И) по направлению 1, вторая опреде-
ляется аналогичным образом как предел
lim (8)
подчеркнем, что в обеих частях равенства (8) в числителе стоит
векторная разность, а не скалярная, как в случае равенства (4); при
этом производная (8) является вектором. Естественно встает вопрос,
d? da
образуют ли величины и , соответственно, скалярные и век-
торные поля.
Через каждую точку пространства можно провести бесчисленное
множество направлений, а, следовательно, каждой точке пространства
будет соответствовать бесчисленное множество значений производных
скалярной и векторной функций по направлению. Отсюда заключаем,
de> da
что скаляр и вектор не образуют полей, так как между их
значениями и точками пространства отсутствует взаимно-однозначное
соответствие; можно сказать, что эти производные являются функ-
циями положения точки (вектор г), в которой они вычисляются, и
направления (вектора 1). Поставим вопрос о разыскании такой обра-
зующей поле однозначной функции точек пространства, чтобы
рассматриваемые производные выражались через нее и орт 1, опре-
деляющий направление дифференцирования. С физической стороны
разыскивается мера неоднородности поля в данной точке, не зави-
сящая от отдельных направлений в пространстве, но такая, что
неоднородность поля в данном направлении будет выражаться через
нее и орт выбранного направления.
В случае скалярного поля такая мера неоднородности поля в дан-
ной точке напрашивается сама собою при одном взгляде на фор-
мулу (5). Проведем через заданную точку поля вектор, равный по
величине производной скалярной функции по направлению внешней
пормали’К поверхности уровня в данной точке и направленный по
внешней нормали. Этот вектор называется градиентом скалярной
функции и обозначается символом grades; тогда, по определению,
grades = -^-n, (9)
(ч 2 [ Мера однородности поля 45
•1 формула (5) эквивалентна следующей (рис. 4):
= | grad а | cos (1, n) = (grad ®)z = 1 • grad <р. (10)
Градиент скалярной функции представляет меру неоднородности
поля этой функции в данной точке. Мера неоднородности поля
в данном направлении — производная скалярной функции по этому
направлению — является проек-
цией градиента на рассматривае-
мое направление.
Из формулы (10) сразу выте-
кают выражения проекций гра-
диента на оси декартовых коор-
динат:
(grad^^lj,
(gradc^-g-,
(grad?)s=g-,
(П)
так как частные производные <э рпс. 4.
ио х, у, z являются ни чем иным,
как производными от а> по направлениям осей координат. Далее, по
обычным формулам векторной алгебры найдем величину градиента
(£)’+Ш + (Й)’ 02)
и косинусы углов, образованных вектором градиента или, чго все
равно, внешней нормалью к поверхности уровня с осями координат:
cos(n, х) —
дх
cos(n, у)
cos(n, z)
(13)
46
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ- КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
(гл. t
д'?__. /
ду s dz ’
Пользуясь (11) и известным выражением скалярного произведения,
можем переписать (10) еще так:
dl x dxr‘ dytz dz ’
где, по определению единичного вектора 1,
= cos (1, х), ly = cos (1, у), L — cos (1, z).
(И)
(15)
Из формулы (14) следует, что с аналитической точки зрения бес-
численное множество производных по всевозможным направлениям
в данной точке поля однозначно выражается через совокупность
значений трех величин и в этой точке. Само собой разу-
меется, что совершенно
безразлично называть ли мерой неоднород-
ности поля в данной точке вектор grad ®
или эквивалентную ему совокупность
dz d<s
величин
Несколько сложнее решается анало-
гичный вопрос о мере неоднородности
векторного поля в данной точке.
Пусть в данный момент времени задано
поле вектора а в функции декартовых
координат, т. е. вектор-функция а (х, у, z).
Приращение вектора а при каком-то
бесконечно малом изменении координат
по формуле полного дифференциала:
. да. . .да . .da .
dx 4- ау -4- -v- dz.
дх 1 ду 1 дг
(16)
Если точка М (х, у, г) переместилась в смежное положение (рис. 5)
М' (х -(- dx, y-\-dy, z'-\-dz) по направлению 1 на расстояние dl, то
dx — dl • cos (1, х), dy = dl cos (1, у), dz =dl cos (1, г)
и, следовательно, векторное равенство (16) может быть переписано
так:
da . 5а . , da , . da
dl ~ х дх "г « ду ' - dz’
или в проекциях
dax __dag, । , daa. । , da
• dl * дх ' У~ду~ ' z~dr’
day day day day
-dT^^'dr + ^-djr + ^-dT^
da% _ , da^ । , da# f , da...
dl ~1х~дГ~^1У'^'^^~дГ-
(17)
(18)
МЕРА ОДНОРОДНОСТИ ноля
47
Сравнивая (18) с (16), видим, что, в отличие от скалярного поля,
di
где мерой неоднородности служит совокупность трех величин
мерой неоднородности в данной точке векторного поля
является совокупность девяти величин:
Вах
ду
дау
~ду~
daz
ду
(19)
Отдельные величины таблицы (матрицы) (19) характеризуют измен-
чивость проекций вектора по направлениям координатных осей,
а в своей совокупности эти девять величин определяют одну физи-
ческую величину — меру неоднородности векторного поля в данной
точке.
Напомним,1 что, вообще, всякая совокупность девяти величин
7’^, Т№у ..., линейно связывающая по формулам:
ах — ^х^хх *~Г ^ip'yx "Т"
ау == ^x^teyН” W'yy ~F bzl"zy>
az = baJxz + ЬуТуе + bzTes,
(20)
проекции физического2 вектора b с проекциями физического же
вектора а, определяет физическую величину, называемую тензором
второго ранга-, при этом правые части системы уравнений (20) соот-
ветствуют операции умножения вектора на тензор, символически
представляемой так:
а=Ь7'. (21)
Имея в виду дальнейшие применения формул (20), укажем про-
стой прием для их запоминания: составляя проекцию hi некоторую
ось произведения вектора и тензора, умножаем проекции вектора
на компоненты тензора с тем же первым индексом и вторым инде-
ксом, соответствующим оси проектирования произведения.
Операция умножения вектора на тензор не обладает, вообще
говоря, свойством переместительности, т. е. аТ ф Та. Обозначим
через Г* тензор, сопряженный с тензором Т, т. е. такой, у которого
1 См., например, Н. Е. Кочни, Векторное исчисление и начала тензор-
ного исчисления. ОНТИ, ГТТИ, 1934, стр. 304.
Вектор называется физическим, если его величина и направление в про-
ппо₽ ТВе не зависят от выбора системы координат; при этом отдельные его
Р екции, конечно, зависят от выбора направления осей проектирования.
48 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [|Л. I
индексы компонентов переставлены, например, T&v — Туз1, т'^ = Т:е-,
и т. д. Тензор самосопряженный, для которого Т* = Т и, следова-
тельно, Т^у = Тух, Tyz — TZJ), 7fa. = 7^, называется симметричным,
так как в таблице такого тензора компоненты, симметричные отно-
сительно главной диагонали, равны между собой. Операция умноже-
ния тензора на вектор эквивалентна операции (20) или (21) умножения
вектора на сопряженный тензор, т. е. 7'а=а7'*. Если тензор сим-
метричен, то 7а = а7', и формулы проекций произведения Та совпа-
дают с (20).
В дальнейшем, при изложении механики жидкости и газа, так же
как это имеет место и в механике твердого и упругого тела, придется
неоднократно иметь дело с примерами различных тензоров. Подчеркнем
важный для дальнейшего факт: хотя отдельные компоненты тензора (19)
и зависят от выбора направления осей координат в пространстве, где
задано поле, сам тензор от этого зависеть не должен, так как он
характеризует определенное физическое свойство конкретного поля
величии.
Назовем тензор, представленный таблицей (19), поскольку он
состоит из всевозможных производных от проекций вектора поля по
координатам, дифференциальным тензором векторного поля.1 Тогда,
согласно (18), придем к выводу, что мерой неоднородности (изменчи-
вости) векторного поля служит дифференциальный тензор ноля.
Обозначая дифференциальный тензор поля буквой D и, полагая
да« дх ’ дау да, дх ’
Г) — dax П дау D ~ дах (22)
L' ус ду > ду ’ “ ду ’
да,,. да,/ дг ’ ди, дг ’
будем иметь вместо (17) и (18), согласно (20) и (21):
da 7» = Ю. (23)
Последняя формула -отчетливо показывает, что, независимо от
выбора той или другой системы координат, физическая величина —
производная физического вектора по определенному направлению
в пространстве — выражается как произведение физического вектора —
орта выбранного направления — на физический же тензор — меру не-
однородности поля в данной точке пространства.
Для облегчения запоминания формул настоящего и следующих
параграфов можно предложить простой символический прием. Обо-
1 По аналогии градиент можно было бы назван, дифференциальным
вектором скалярного поля.
§ 7J МЕРА ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ 49
значим через V некоторый условный вектор с проекциями:
¥_=•/-, Va = ~, V. = ^-, (24)
я дх' У ду’ г дг ’ х г
представляющий символически оператор дифференцирования.
Тогда градиент скалярной функции ® можно рассматривать условно,
как произведение вектора-оператора V на скаляр ©:
grad 9 = V©, (25)
и формулы (11), принимая во внимание (24), писать просто по пра-
вилам проектирования произведения вектора на скаляр:
(grad и др.
При этом равенство (10) по (25) можно представить в виде
^- = Ь¥© (26)
и рассматривать операцию дифференцирования по направлению 1, как
символическое произведение
^- = 1-V, (27)
вынося дифференцируемую функцию, безразлично скалярную, вектор-
ную или тензорную, за знак символического дифференцирования так:
д—а-Па. (28)
Принимая указанную символику, можно дифференциальный тен-
зор D изобразить как диадное произведение двух векторов: симво-
лического V и дифференцируемого а:
D = Va, (29)
понимая под этой „диадой" тензор, составляющие которого легко
определяются по простому правилу:
, dag. дау
(Va)^=V^e = -^- и т. д.
Равенство (23), сообразно второму равенству (28) и (29), может
ыть еще написано так:
^- = (l-V)a = l(Va). (30)
4 Зак. 184 Е Л Г. Лойцянский.
50
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
(ГЛ. t
Формулы (17) и (18) можно легко запомнить при помощи (30) и
правила раскрытия скалярного произведения;
= (1 • V) а = (4^ + +№ а =
, д ,, J_____, д \ . За , , да . да
® дх' V ду ' г дг)л * дх~Т~ V ду' * дг ‘
§ 8. Задание движения сплошной среды. Поле скоростей.
Линии тока и траектории
В отличие от кинематики отдельной точки или системы конечного
числа точек механика сплошной среды имеет свои специфические
приемы задания движения.
Ближе всего к обычным способам задания движения подходит
способ, связанный с именем Лагранжа.
Пусть некоторая частица жидкости или газа М (х, у, г) в момент
времени t=t0 занимала положение М0(х0, у0, г0), тогда ее коорди-
наты х, у, z в любой момент t можно рассматривать как функции
от времени t и параметров х0, у0, £0, определяющих выбор данной
индивидуальной частицы М. Более обще, вместо декартовых коорди-
нат точки М можно рассматривать любые ее криволинейные коор-
динаты а, Ь, с, связанные с х0, у0, z0 соотношениями:
х0 = х0(я, Ь, с), у0=у0(а, b, с), z0 = z0(a, b, с).
Положение любой частицы М жидкости в момент времени t за-
дается выражениями ее декартовых координат через величины t, а, Ь, с,
называемые переменными Лагранжа-.
x = х0, у0, = а, Ь, с),
J=/2(^ *о> ^о) = %(А «, с)>
г=М1', хо> Ув’ *о) = ®з(4 а> ь> с)-
(31)
Задавая определенные значения параметрам а, Ь, с, получим обыч-
ные, принятые в кинематике точки уравнения движения данной инди-
видуальной частицы жидкости, откуда уже нетрудно найти уравнения
траектории частицы и выражения проекции вектора ее скорости V
• r/V
и ускорения V = -тг’.
V — ,, — dx dti\ V du d^x _ d^i
v а> “ dt dt ’ dt dfl dt2 ’
dy dt _ dgs dt ’ dv ‘ dt (32)
dz dt _ дцл dt ’ v* dw dt dfi ‘
ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
51
§ 8]
Производную по времени, вычисляемую в переменных Лагранжа
«ля индивидуально движущейся частицы жидкости, называют индиви-
дуальной или еще субстанциональной (относящейся к определенной
частице субстанции).
Другой, получивший более широкое применение прием задания
движения среды, предложенный Эйлером, заключается в выражении
скоростей частиц в функции от времени и координат х, у, z точек
пространства, т. е. в задании поля скоростей. Совокупность величин
/ х, у, z называют переменными Эйлера- движение среды, по Эйлеру,
задается так:
и = и (х, у, г; t),
‘V = ‘v(x, у, г; t),
w = w(x, у, z; t).
(33)
В методе Лагранжа величины х, у, z являются переменными
координатами одной и той же движущейся частицы жидкости, в методе
Эйлера — это координаты точек пространства, мимо которых прохо-
дят различные частицы жидкости. Рассмотрим подробнее метод Эйлера,
которым, по преимуществу, и будем пользоваться.
Векторные линии поля скоростей, т. е. такие линии, в каждой
точке которых скорость в данный момент направлена по касательной
к ним, называются линиями тока. Следующий простой опыт даст
наглядное представление о линиях тока. Предположим, что на по-
верхность воды в канале насыпан легкий и хорошо видимый порошок,
частицы которого будут двигаться вместе с потоком, не опережая и
не отставая от частиц воды. Тогда на фотографии, произведенной
с малым временем экспозиции, каждая частичка порошка изобра-
зится в виде небольшой черточки, а черточки эти сольются в отчет-
ливо видимые линии, которые и будут линиями тока в момент про-
изводства снимка.
По самому определению, линия тока поля не совпадает с траек-
торией частицы^ представляющей пространственный след движу-
щейся во времени частицы. Составим дифференциальные уравнения
линии тока.
По общему уравнению векторной линии (7) будем иметь следую-
щую систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
____—____ =□= ву __
и (х, у, z; t) v (х, у, z; f) w (х, у, z; t) ’ v }
причем разыскиваются конечные связи между переменными х, у, г,
? время t играет роль фиксированного параметра; величины же 8х,
У-> представляют проекции произвольного бесконечно малого
отрезка 8г, направленного вдоль линии тока.
в противоположность этому, проекции направленного элемента dr
траектории dx, dy, dz представляют проекции перемещения частицы
4*
52
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИЙ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[гл. t
жидкости за время dt, т. е.:
dx = udt, dy = v dt, с г = io dt;
отсюда получаем систему трех обыкновенных дифференциальных урав-
нений траектории:
dX я = dy- А = —7~^-----------Л = (35)
> и (х, у, z, t) v (х, у, z\ f) w (х, у, z\t) ’ 7
причем в этой системе уравнений координаты х, у и z являются
неизвестными функциями одного аргумента — времени.
Сравнивая уравнения (34) и (35), видим, что они принципиально
отличаются друг от друга, а следовательно, линии тока и траектории
не совпадают. Исключение представляет случай стационарного поля,
г. е. случай, когда время t не входит явно в задание скоростного
поля (33). В этом случае уравнения (34) совпадут с уравнениями (35),
если в этих уравнениях откинуть дифференциал времени dt, не вхо-
дящего явно при стационарном движении в остальные уравнения
системы (35). Отсюда следует, что при стационарном движении,
т. е. движении со стационарным полем скоростей, линии тока со-
впадают с траекториями.
К этому результату легко придти и из геометрических сообра-
жений. На рис. 6 показаны построения линии гока ММХМ^М^. ..
и траектории ММ'М"М"'..., проходящих через одну и ту же точку М.
Для построения линии тока фиксируем время и проводим вектор V
скорости точки М, откладываем на нем малый отрезок MMt,
через точку Мх проводим вектор скорости Vx, соответствующий
§ 9]
ПОЛЕ УСКОРЕНИЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ УСКОРЕНИЯ
53
тому же моменту времени, на векторе Vt откладываем отрезок AftAfs
и скорость Ve точки Л12 и т. д., причем все это делаем в один и
тОт же фиксированный момент времени. При построении траектории
вновь отмечаем скорость точки М и, пользуясь произволом в выборе
интервала времени, откладываем на ней отрезок ММ' = ММ{; по
прошествии времени dt, если поле не стационарно, скорость V'
точки М', несмотря на совпадение точки М' с точкой Afn уже
не будет равна скорости Vt точки Мг в момент t. Следовательно,
траектория отклонится от линии тока, и кривые разойдутся в про-
странстве. Если же поле стационарно, то, несмотря на то, что время
изменилось на dt, скорости совпадающих точек М' и будут оди-
наковы, точки А12 и М", так же как их скорости, совпадут, и траекто-
рия ничем не будет отличаться от линии тока.
Векторная трубка, образованная линиями тока, называется трубкой
тока; часть пространства, ограниченная траекториями частиц, обра-
зующих в некоторый момент замкнутый контур, называется струей.
Из предыдущего следует, что п^и стационарном движении трубка
тока и струя, выходящие из одного и того же замкнутого контура,
совпадают.
§ 9. Поле ускорений. Разложение ускорения частицы
на локальную н конвективную составляющие
При лагранжевом представлении движения (31) ускорение индиви-
дуальной частицы легко находится повторным дифференцированием
по времени согласно формулам (32). Следуя Эйлеру, необходимо найти
распределение в пространстве ускорений всех частиц жидкости, т. е.
поле ускорений; для этого надо объединить лагранжев и эйлеров
методы, иными словами, с одной стороны, следить за индивидуальной
жидкой частицей, с другой, принять во внимание наличие заданного
поля скоростей, т. е. распределение скоростей в пространстве,
в котором движется точка.
Рассмотрим изменение d\J скорости данной индивидуальной ча-
стицы Af за время dt, или, как иногда для краткости говорят, инди-
видуальное изменение скорости частицы.
Это изменение скорости, следуя методу Эйлера, можно рассматри-
вать как состоящее из двух: 1) локального (местного) изменения,
происходящего из-за изменения скорости в данной точке вследствие
нестационарности поля и равного
(Й¥)ЛОВ = ^Л, (36)
и 2) конвективного, “являющегося следствием неоднородности поля
скоростей, в котором вдоль по траектории переместилась за время dt
Рассматриваемая частица; это изменение, если обозначить через ds
54
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[ГЛ. I
дифференциал дуги траектории, будет равно:
dV У dS ,zdV^, /Q7A
(rfV)bOHB — d& ds — dt — V dt, (37)
или по формулам (28) для производной вектора по направлению
(орт касательной к траектории, очевидно, равен V/V):
(dV)BOHB = • V) V dt = (V • V) V dt. (38)
Формула полного ускорения будет:
dV (dV)JIOK + (dV)KOBB д\
v= - = +(V.V)V. (39)
В проекциях на оси декартовых координат будем иметь:
du ~~'dt du ~ dt . du , du —г— U —1— V ~ * dx 1 dy du
do dv ~"dt , do . dv do dz
Уе dw dw . dw , dw + « «757 dw — <701 „
~"~~dt ‘ dz
(40)
Производные типа —, — , вычисленные вдоль траектории
индивидуальной частицы среды (субстанции) по формулам (40), назы-
вают, как уже ранее упоминалось, индивидуальными, или, иногда,
субстанциональными производными.
Аналитически те же формулы легко было бы получить по (32)
и (33), вычисляя полные производные по времени от проекций ско-
рости:
ди ди , ди дх , ди ду . ди dz
л dt dt ' дх dt ду dt ‘ dz dt
du . du , du , du
= И----I Ф ----H W Д- ИТ. Д.
dt 1 dx 1 dy 1 dz
По заданному полю скоростей (33) и формулам (40) ускорение
легко вычисляется.
Используя равенство (30) и сохраняя для дифференциального тен-
зора поля скоростей, являющегося мерой неоднородности скоростного
поля, обозначение D, причем таблица (матрица) составляющих тензора
будет иметь вид:
D
dx’
до
дх ’
dw
\ дх’
ди
ду’
до
ду’
dw
ФГ’
ди \
dz
до
д!
dw
dz J
§ 9] ПОЛЕ УСКОРЕНИЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ УСКОРЕНИЯ 55
получим формулу ускорения в форме
V = ^+VO, (39')
подчеркивающей роль неоднородности скоростного поля в образовании
конвективного ускорения.
Локальная часть ускорения равна нулю при стационарности ско-
ростного поля, конвективная часть равна нулю, если поле однородно.
Предположим, например, что жидкость участвует, как одно целое,
в ускоренном поступательном движении, при котором скорости всех
ее точек в любой момент равны между собой, но меняются во времени;
в этом случае конвективное ускорение равно нулю и полное ускоре-
ние сводится к локальному.
Предположим теперь, что в покоящейся жидкости или жидкости,
движущейся поступательно и равномерно, т. е. и в том и другом
случае в однородном скоростном поле, мгновенно возникают ускоре-
ния, как это имеет, например, место при явлениях удара тела о по-
верхность жидкости, при начале движения тела в неподвижной жидкости
и др. В этом случае ускорение сведется к локальному и только после
того, как от действия локальных ускорений возникнет неоднород-
ность поля скоростей, появится конвективное ускорение. Указанное
соображение упрощает рассмотрение мгновенных явлений и лежит
в основе теории удара.
Разложение ускорения на локальную и конвективную части может
быть обобщено и на определение индивидуальной (субстанциональной)
производной от некоторой скалярной, векторной или тензорной вели-
чины, связанной с индивидуальным движением жидкой частицы. Пусть,
например, какдому положению частицы жидкости или газа в про-
странстве в определенный момент времени приписывается некоторая
величина <р (например, температура частицы, плотность), тогда сово-
купность значений величины <р образует некоторое поле, и при дви-
жении жидкой частицы величина © будет изменяться как в силу
нестационарности поля (локальное изменение ©), так и вследствие
перемещения частицы с течением времени из одного пункта поля
в другой (конвективное изменение ©). Полная индивидуальная про-
изводная по времени ог величины <р будет складываться из локальной
производной dy'dt и конвективной производной, равной [ср. с (37)]:
d<f ds ..da
dS'dt~ V3s V(jF • grad ®) = v • grad © = (¥•¥)©.
Окончательно для индивидуальной производной от скалярной
функции © будем иметь:
¥ • grad © = (¥ • V) <р.
(41)
56
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (ГЛ. I
Для любой векторной или тензорной функции а или Т, связанной
с движущейся индивидуальной частицей, получим:
^>-V)a,
g = ^ + (V-V)T.
(42)
§ 10. Скоростное поле сплошной среды в окрестности данной
точки. Угловая скорость и вихрь. Тензор скоростей деформаций
и его компоненты
Желая изучить скоростное поле движущейся жидкости в деталях,
применим обычный прием математического анализа — рассмотрим
в данный момент времени поле скоростей жидкости в окрестности
какой-нибудь точки Л10 пространства, причем координаты и все
величины, определенные в этой точке, будем отмечать индексом
нуль.
Разлагая проекции скорости любой частицы М, движущейся
в окрестности точки Л/о, в ряд, будем иметь с точностью до малых
высших порядков:
« = «о + (X - х0) + g)u(y -Jo) + (g)o (z-z0),
w = w* + -хо) + (©„О'J
Подчеркнем, что здесь все величины с подстрочным индексом
нуль являются постоянными величинами или функциями только о г
времени, проекции же скорости и, -v, w рассматриваемой точки М
являются линейными функциями координат х— х0, у—у0, z—z0
точки М относительно точки Л/о.
Сравним линейное поле скоростей (43) с простейшим, известным
нам еще из кинематики твердого тела полем (распределением) скоро-
стей в общем случае движения твердого тела:
и= и^^(г — z0) — (у — yD),
v= п0-+ <“г(х~ хо)~ М* — 2о)>
™ == w0 + СОа- (у — у0) — (х — Х0),
(44)
или в векторной форме
v = V04-ti)x(r—r0),
(45)
§ 10J
СКОРОСТНОЕ ПОЛЕ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ
57
где ©(«д» “г/, “г)—вектор угловой скорости тела в данный момент,
одинаковый для всех точек тела (рис. 7), т. е. не зависящий от век-
тора-радиуса г(х, у, z} точек тела или от вектора-радиуса_г0(х0,_у0,г0)
полюса О, a Vo («0, ®0, ®у0) —
скорость полюса, так же как
и угловая скорость, зависящая
только от времени.
Пользуясь этим, составим
разности накрест взятых произ-
водных от проекций скорости
по координатам и легко най-
дем-
_ 1 /дю до\
_ I /ди dw\
-"2 W ~дх)’
_ 1 /ду_ди\
“ 2\.дх~ду)’
после чего поле скоростей (44) примет вид:
. 1 /ду ди\ , . 1 (dw dv\ , х
•и — 5-----т- (х — хп) — о- -д-------г- (г —
и 1 2\дх ду/ох w % \ду dzj^ °'’
„„ । 1 l^w ^v\ г . \ 1 /ди dw\ . ..
® — 2\ду dzjft 2 U? dx)v^X Х°^’
индекс нуль у скобок, содержащих производные, введен для удобства
сравнения с системой (43); это допустимо, так как скобки имеют
одинаковые значения во всех точках.
Сравнивая (43) и (47), видим, что поле скоростей в окрестности
данной точки может быть разбито на две части: 1) соответствующую
равенствам (47), т. е. полю скоростей в движущемся твердом теле
(условимся называть эту часть квазитвердым движением), и 2) де-
формационную часть, отличающую поле скоростей движущейся жид-
кости или газа от движения твердого тела, так что будем иметь:
И --- Пд.т Кдеф,
•П = «к.т -Ь-Лдеф,
+ «’деф-
(48)
Система равенств (48) заключает в себе проекции «Е.т, «Е.т,
СкоРости VK.T в квазитвердом движении, определяемые формулами (47),
и проекции Идеф, ®деф, Тодеф скорости деформационного движения ¥де$,
58
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ 1ГЛ. I
вычисляемые как разности и—и,.т, v— vK.r, w—Wg_, и равные:
[du\ , ч 1 (dv , du\ , , , 1 [ди , dw\ , ,
)0(х—хо)+ у (а^+эу)о Cy-Jo)+ 2 +йх jo (г—zo)’
1 [dv .du\, . [dv\, .1 [dw . dv\ , ,
ЧгеФ = ~2 2 \dy+dzJ0^Z~Z^’
1 [du . dw\ , . 1 [dw . dv\ , . , (dw\ , ,
= "2 \dz Ydx X (x~xo)+ 2 (dy +dz X^’-'3'0^ \ dz
(49)
Отсюда следует первая теорема Гельмгольца: всякое дви-
жение жидкости или газа в окрестности некоторой точки
(полюса) можно разложить на квазитвердое движение, состоящее
из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг
полюса, и деформационное движение.
Заслуга выделения из общего движения элемента жидкости части,
отвечающей движению твердого тела, принадлежит Коши, который
в 1815 г. впервые ввел понятие о „среднем вращении жидкости
в точке". Однако, имея в виду дальнейшее развитие и применение
понятия вращения в теории вихрей, созданной Гельмгольцем, мы со-
храним общепринятое наименование только что доказанной теоремы.
Вектор Й с проекциями:
Q«=2w.
dw dv )
ду dz ’
r, „ du dw
ыл, = = -t-----— -ч—.
8* dz dx ’
г» n dv du
z z dx dy J
(50)
равный удвоенной угловой скорости вращения твердого тела, следуя
терминологии Гельмгольца, назовем „вихрем" или „ротацией" ско-
ростного поля квазитвердого движения и условимся обозначать сим-
волом rotV (иногда пользуются еще символом curlV). В рассмотрен-
ном частном случае поля скоростей твердого тела вихрь скорости
есть вектор, одинаковый для всех точек тела в данный момент вре-
мени, в общем же случае любого скоростного поля этот вектор будет
изменяться от точки к точке.
Вектор вихря (50) можно рассматривать как некоторую диффе-
ренциальную операцию, произведенную над векторной функцией V;
аналогичную операцию можно производить над любой другой вектор-
ной функцией, образующей поле. Так, например, в общей механике
условие потенциальности силового поля F(Fx,Fy,Fz) сводилось к вы-
полнению равенств:
dFz dFy dFx dFz dFv _~dFx
dy dz ’ dz dx ’ Эл dy ’
t. e. к равенству нулю вихря силы.
§10] СКОРОСТНОЕ ПОЛЕ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ
59
Для облегчения запоминания выражений проекций вихря скорости Q
или проекции вектора угловой скорости ю можно предложить сле-
дующие простые символические формулы:
Q = rotV = VXV, ]
w = lQ = XrotV = 4VXV, |
(51)
составление проекции которых по правилам векторного произведения
сразу дает (50) и (46).
Распределение скоростей, соответствующее квазитвердому дви-
жению жидкости, можно, согласно (45) и (51), представить в виде:
VK..1 = V0 + l(rotV)0X(r-~r0), (52)
где под (rotV)0 следует понимать значение вектора rotV в точке Л70.
Что касается вектора скорости деформационного движения ¥деф,
то его, согласно (49) и введенному ранее правилу умножения вектора
на тензор [§ 7, равенства (20) и (21)], можно представить в форме
^еф=(г — Го) 5, ’ (53)
где S — тензор (опускаем для упрощения письма индекс нуль):
[ ди дх ’ 1 (д® । 2 (дх ' ду)’ 1 /ди , дот\\ 2 (дг дх)
1 (до . ди \ до 1 /dw , до \
2 < дх ' ду) ’ ду’ 2 (ду > дг)
(Т fdu . dw \ k dz ' дх ) ’ 1 1'^w 1 &v \ 2 \ ду ' дг ) ’ dw dz /
(54)
называемый тензором скоростей деформации. Аналогичной таблицей
определяется в кинематике упругого тела „тензор деформаций" S,
если под и, v, ни понимать не проекции скорости, а малые переме-
щения упругой среды. Между этими двумя тензорами существует
очевидное соотношение:
S = Sdt, (55)
где dt — элемент времени, в течение которого произошли малые пере-
мещения тела.
Тензор скоростей деформаций так же, как и тензор деформаций,
симметричен. Так называется тензор, компоненты которого в таб-
лице симметричны относительно главной диагонали, т. е. SXy~ SJIX,
$2Ж = Аа.£.; из девяти компонент симметричного тензора
Различны только шесть.
62
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
(гл. I
а) для направления MqAIi:
х'у Vj 1 / dv ди\ 1 /ди дш\
~х^ 1’ ~х^ ~2 \дх ~^~~ду)о^’ Xi 2 \д.г + дх/о
б) для направления Л407И2:
x'v 1 /dv . ди\ у', г, 1 /dw , dv\
== "o’ ( “л F *А— ) —~~ === 1-~ === О’ ( "А Ь "А— )
у%-----------------------------2 \<Ъс 1 ду /о уг Уч 2 1 дг /о
получим
. 1 /dv . ди\ 1 1 / dv . ди\ п
Тэд=1 *-2 ^беск. мал. 2-го пор.
Окончательно найдем (опуская индекс нуль) для скорости i№y сно-
шения угла хОу.
• । ^._о< • < —±’
la® dt дх' ду 2 law
и аналогичные формулы для других направлений.
§ 11. Скорость объемного расширения жидкости. Интегральные
представления дифференциальных операторов поля. Основные
интегральные формулы
Деформационная часть поля скоростей характеризуется еще одной
важной величиной — скоростью относительного объемного расшире-
ния в данной точке, которую можно определить как предел
где Дт—малый объем, в котором взята точка. Эта физическая ска-
лярная величина носит наименование дивергенции (расходимости) ско-
ростного поля и обозначается символом divV, так что можно на-
писать
diVV== д5о^^(Лт)- (58)
Чтобы не смешивать бесконечно малые приращения в пространстве
с приращениями во времени, условимся в тех случаях, когда это может
повести к недоразумениям, . обозначать пространственные дифферен-
циалы символом 8, временные—d. Тогда (58) дает
divV==^4^)- <59)
В дальнейшем часто придется находить производную по времени
от элементарного объема жидкости. По (59) имеем:
£(8z) = div V • 6т. (59')
§ 11)
СКОРОСТЬ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОСТИ
63
Для определения величины div V воспользуемся приемом, идея
которого восходит еще к Эйлеру. Возьмем в данный момент вре-
мени I элементарную трубку тока и двумя произвольно наклонными
сечениями (рис. 9) do, и da2 выделим некоторый объем ABCD = n.
За время dt объем сместится в положение А'В'C'D' и, вообще го-
воря, изменится, причем, как легко сообразить, полное изменение
объема ABCD в этом случае будет равно:
d (8т) = объем А'В'CD' — объем ABCD =
= объем DD'CC —объем АА'В'В,
так как объем А'В'CD является общей частью объема трубки в на-
чальный и следующий моменты. Проведем внешние по отношению
к объему ABCD нормали п, и п2 и
внутреннюю нормаль п^, а также отме-
тим векторы скоростей V, и V2 в сече-
ниях dat и da2. Тогда будем иметь:
объем АА'В'В = dcj =
= dcj • dt • cos (V,, nJ)
= —Vj cos (Vj, Hj) dt • dap
объем DD’CC = da2 • /г2 =
= V2 cos (V2, n2) dl • da.2
и, следовательно,
^=Vln^1+V2ndo2. (60)
Возьмем теперь в поле скоростей
любой конечный объем т, разобьем его
поверхностями трубок тока на бесчис-
ленное множество элементарных объе-
мов 8т; при этом входные и выход-
ные сечения da заполнят всю поверх-
ность а, ограничивающую объем т.
Просуммируем равенства, подобные (60), по всем трубкам тока; тогда,
очевидно, получим общую формулу для любого конечного объема:
Vnd<}= j Vcos(V, ri)da= | п-Vda. (61)
<7 CT
Согласно (58), получим теперь следующее интегральное предста-
вление дивергенца скорости:
div V = lim -L (
Дт-^О^ J
Да
Vnda= lim i ( n • V da,
д— -> о J
Д(7
(62)
64
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[ГЛ. I
где Да — поверхность, ограничивающая малый объем Дг, заключаю-
щий в себе точку, в которой определяется divV; при стремлении Дт
к нулю поверхность Да стягивается в эту точку.
Замечая, что выражение
J V„rfa
Да
представляет секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутую
поверхность Да, ограничивающую объем Дг, содержащий внутри себя
точку, в которой опре-
координатный параллелепипед (рис. 10);
делится дивергенция, мо-
жем еще определить вели-
чину div V как предел от-
ношения секундного объ-
емного расхода жидко-
сти сквозь замкнутую
поверхность к объему,
ограниченному этой по-
верхностью, когда по-
верхность стягивается к
точке, в которой опре-
деляется дивергенция. Как
видно из хода доказа-
тельства, объем Дт со-
вершенно произволен по
форме. Выберем за Дт
элементарный декартов
тогда, составляя непосред-
ственно поверхностный интеграл в правой части (62) от значения Vn
по всем шести граням (эти значения показаны на рисунке), получим:
div V = lim
Дх —> О
_1___
йх Ду Дг
ди
дх
kxjkybz—иДуДг-J-
++ -jj; Ду) Дх Дг—Дх Дг
-j- (w -J- ~ Дг^ Дх Ьу — даДхДу-[-б. м. выс. nop.J,
откуда найдем искомое выражение дивергенции скорости в прямо-
угольных декартовых координатах:
ди . до । dw
div V = з—к- з—I—и— . (63)
дх 1 ду 1 dz v 7
По заданным уравнениям поля скоростей divV в данный момент
легко вычисляется. Для облегчения запоминания формулы (63) приведем
§ И]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
65
ее символический вид
div V = V • V.
(64)
Раскрывая правую часть по правилу скалярного произведения и
вспоминая (24), получим формулу (63).
Заметим, что дивергенция может рассматриваться как некоторая
общая дифференциальная операция, совершаемая над любой вектор-
ной функцией и определяемая формулами (62) и (63), куда вместо
вектора V надлежит вставить дифференцируемый вектор а. В этом
случае уже нельзя говорить о скорости объемного расширения, а вы-
ражение
J ап da = J* п • a da,
а п
где интеграл берется по некоторой (вообще говоря, не замкнутой)
поверхности а, называют потоком вектора а через поверхность а.
Если вектор а представляет скорость жидкости, то поток вектора а
совпадает с объемом жидкости, протекающим через поверхность а
в единицу времени, т. е. с секундным объемным расходом жидкости
сквозь сечение а, что приводит к ранее данному определению дивер-
генции скорости. *
В общем случае дивергенция вектора определяется как предел
отношения потока вектора сквозь замкнутую поверхность к объему,
ограниченному этой поверхностью, когда поверхность стягивается
к точке, в которой определяется дивергенция, т. е.
diva = lim i I anda= lim I n-arfo. (62')
Дт->0 Дт-»О •'
Да До
Выражение дивергенции вектора а в декартовых прямоугольных
координатах будет, аналогично (63), иметь вид:
diva
dax । dav . дае
дх ' ду дг ‘
(63')
Приведенный ранее вывод формулы (63) почти буквально можно
повторить для элемента объема в любой системе криволинейных коор-
динат (полярных, цилиндрических, сферических и др.) и получить,
таким образом, выражение дивергенции вектора-функции в криво-
линейной системе координат; это будет сделано далее в гл. VII.
Из формулы (62') легко выводится важная для дальнейшего инте-
гральная формула, впервые указанная в 1834 г. знаменитым русским
академиком М. В. Остроградским (1801—1861).
Разобьем любой конечный объем т на большое число малых
объемов Дт; обозначим поверхность, ограничивающую т, через а,
а Дт-через Да..
5 За*. 1841. Л Г. ЛойцвдседЯ'
66 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (ГЛ. t
Тогда, согласно (62'), будем иметь для элементарного объема Дт:
J П • a rfa = div а • Дт + е • Дт, (65)
Д(7
где е — малая величина, идущая к нулю с уменьшением Дт.
Просуммируем обе части равенства (65) по всем объемам Дт,
образующим конечный объем; получим:
2 J* п • = 2 div а • Дт 2 е •
Да
В сумме, стоящей слева, взаимно сократятся все элементы инте-
гралов, взятые по общим границам двух соседних малых объемов,
так как сама вектор-функция а в силу непрерывности имеет одина-
ковое значение на границе со стороны какого объема не совершался
бы подход к граничащей поверхности, в то же время внешняя нор-
маль к поверхности, ограничивающей один из малых объемов, является
внутренней нормалью к той же поверхности для смежного малого
объема; поэтому в рассматриваемой сумме часть слагаемых, равных
между собою по величине и противоположных по знаку, сократится.
Останутся лишь элементы интеграла, распространенные по внешним
частям поверхности а, окружающей объем т, т. е. поверхностный
интеграл по поверхности а. С правой стороны, если устремить к нулю
малые объемы Дт, останется объемный интеграл от diva, взятый по
объему т, так как второй член справа, как сумма малых четвертого
порядка, обратится в нуль. Таким образом, получим интегральную
формулу:
J* и • a ds = J div a dt (66)
(7 X
ИЛИ
J an ds = J div a dt. (66')
Q T
Эта интегральная формула Остроградского выражает объемный
интеграл от дифференциального оператора div а векторного поля
через интеграл от проекции вектора на внешнюю нормаль, взятый по
поверхности, ограничивающей выбранный объем. На первый взгляд
кажется странным, что при любом виде векторной функции а (под-
чиненной лишь ограничению .непрерывности и существования первых
производных по координатам) объемный интеграл, вычисление кото-
рого требует знания функции во всех точках внутри объема, выра-
жается .общей формулой через поверхностный интеграл, определяемый
значениями вектора-функции лишь на поверхности объема. Дело здесь
в том, что под знаком объемного интеграла стоит не сама функция,
а некоторый дифференциальный оператор от нее. Аналогично, беря
определенный интеграл от производной функции, получают разность
=Ш(
б)
) dz. (66")
§ 11J ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 67
значений функции на краях интервала, независимо от того, каков был
непрерывный закон изменения функции внутри интервала.
Формула (66) в декартовой системе координат принимает обыч- •
ный вид формулы Остроградского:
J* j [axcos(n, х)^ aycos(n,y)-[-aecos(n,z)]da —
(о)
дау дае
дх ' ду ‘ dz
Если положить а = V, т. е. применить формулу (66') к скорост-
ному полю, то левая часть представит секундный объемный расход
жидкости сквозь замкнутую поверхность а, а правая часть определит
скорость увеличения объема т жидкости со временем; естественно,
что скорость увеличения объема равна секундному объемному рас-
ходу жидкости сквозь поверхность, окружающую этот объем.
Для облегчения запоминания формулы Остроградского, заметим,
что равенство (66) можно представить символически так:
J п • a da = J V • a dz, (67)
С * Т7
как будто орту внешней нормали в поверхностном интеграле соот-
ветствует дифференциальный оператор в объемном.
Из формулы (66) можно вывести одно, необходимое для дальней-
шего равенство, если применить ее к произвольному, но однородному
векторном» полю постоянного по величине и направлению вектора а.
Тогда получим
J” п • a da = О,
Ж
или, вынося постоянный вектор а за знак интеграла,
а * J п de = О,
Q
откуда, в силу произвольности вектора а, сразу следует, что для
всякой замкнутой поверхности можно написать:
J*n<fc=O, (68)
Q
Чисто геометрическое доказательство этой формулы можно найти,
например, в ранее указанном руководстве по векторному исчисле-
нию Н. Е. Кочина (изд. 1934 г., стр. 49). В геометрической трактовке
Формула (68) представляет предельную форму теоремы о равенстве
нулю геометрической суммы векторов, представляющих площади гра-
Ней замкнутого многогранника.
S*
68
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
(гл. i
Покажем теперь, что и для остальных двух, ранее введенных
дифференциальных операторов — градиента и вихря — можно вывести
интегральные представления и интегральные формулы, аналогичные
только что выведенным формулам (62) и (66).
Рассмотрим в поле скалярной функции <р произвольный малый
объем Дт (рис. 11) с поверхностью Да и рассечем его двумя смеж-
ными поверхностями уровня <р и dn, находящимися друг отно-
сительно друга на расстоянии dn,
отсчитанном по внешней нор-
мали и, проведенной через точ-
ку М первой поверхности уровня.
Рассмотрим поверхностный инте-
грал
J* n'tpda',
распространенный на поверхность,
окружающую объем dz, заклю-
ченный между проведенными по-
верхностями уровня и равный,
в силу малости всех величин, про-
изведению площади основания на
высоту dn-, под знаком интеграла
п'—внешняя нормаль к поверх-
ности интегрирования, dz'— эле-
мент площади поверхности.
Этот интеграл может быть представлен как сумма своих элемен-
тов, рассчитанных по площадкам fw.f-{-df, и, кроме того, инте-
грала по боковой поверхности, являющейся частью (пояском) поверх-
ности Да. Будем иметь:
j n'cpda' —— (/?^--^dn)(f-\-df)-]- J n'tpda' =
(бок)
==^n/dw-(-<p J n'da) ,
(бок)
так как можно считать, что по боковой поверхности рассматривае-
мого объема ® сохраняется. постоянным; с другой стороны, применяя
к той же поверхности формулу (68), получим
. —n/-{-n(/+rf/)+ fn'dz=O,
(бок)
откуда сразу следует, что выражение в скобках в правой части
предыдущего равенства равно нулю, а само равенство имеет вид:
| n'c rfa' = grad yfdn=* grad ® dz.
§ 11]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
69
Составим аналогичные равенства для всех бесконечно малых объе-
мов, образованных из объема Дт сечением его поверхностями уровня
функции ср, и просуммируем эти равенства по всему объему Дт; тогда
в сумме
2 J n'cpda'
останутся лишь слагаемые, относящиеся к боковым пояскам поверх^
ностей бесконечно малых объемов, на которые рассечен объем Дт,
т. е. не что иное, как поверхностный интеграл
J a'cpda'.
Да
Справа будем иметь объемный интеграл
J grad ® dz,
который в силу малости объема Дт будет равен
J grad ® dz = grad ® • Дт -|- е Дт,
ДТ7
причем е -> О, когда Дт 0.
Отсюда сразу получим (опуская ненужный уже сейчас индекс штрих)
искомое интегральное представле-
ние градиента
grad ср = 11m
Дт->0
1 |
Дт J
Да
и путем, совершенно аналогичным
примененному для операции ди-
вергенции, выведем вторую инте-
гральную формулу:
*
У п® da = у grad ср dz. (70) v
q т
Аналогичного типа формулы
можно установить и для операции
вихря. Рассмотрим в поле квази-
твердого вращения жидкости с
угловой скоростью to, равной по
предыдущему [формула (51) § 10]
~2 rot V, малый цилиндр с осью,
Рис. 12.
параллельной оси вращения,
Радиусом г, высотой h, объемом и поверхностью, соответственно
равными Д-t и Да (рис. 12). Составим поверхностный интеграл от
70
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[гл. I
векторного произведения орта внешней нормали п к поверхности
этого цилиндра на вектор вращательной скорости V. Тогда, выбирая,
как показано на рисунке, за элемент боковой поверхности цилиндра
полоску, ограниченную двумя образующими на расстоянии ds друг от
друга, а в плоскостях оснований — симметричные элементы, убедимся,
что искомый поверхностный интеграл сведется к следующему:
J nXVdo= J (nXV)Arfs,
Аа (бок)
так как элементы интеграла по основаниям цилиндра взаимно со-
кратятся.
Замечая, далее, что на боковой поверхности цилиндра вектор
nXV параллелен вектору to и равен по величине V = <ог, будем
иметь с точностью до малых высших порядков:
J пХ V da — tar J hds = ‘Inr^h-ta = rot V At.
До (бок)
Отсюда следует точное равенство:
rot V = lim i I nXV da,
Дт-э-О21’1 '
(71)
обобщая которое на случай любого векторного поля вектора а и
произвольный закон стягивания поверхности Да, окружающей элемен-
тарный объем Ат, к данной точке пространства, получим следующее
интегральное определение вихря вектора:
rota= lim
Дх->0
1 г
Ди ,1
Да
п х a da.
(72)
Пользуясь этим определением, легко получить выражение вихря
в декартовых координатах. Для этого воспользуемся тем же прие-
мом, что и для выражения дивергенции в декартовых координатах.
Применим формулу (72) к координатному параллелепипеду с малыми
сторонами Дх, Ду, Дз (рис. 13). Тогда, проводя непосредственное
интегрирование по поверхности параллелепипеда, будем иметь в силу
малости граней:
f nXadc = ^ — (iXa)4-ix(a+|^ Дх^ДуДг-f-
4-[-0Ха) + )Х(а + ^Д^)]ДхДг +
-f- —(кХа)-[-кХ^а-|-||-Лг^Дх Ду -f-б. м. выс. пор. =
=[(' x£)+(Jx®)+(kx£)] А*
§ 12]
ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ
71
Отсюда по формуле (72), переходя к пределу, будем иметь
rota==ixg-HXg + kx£.
Проектируя на отдельные оси по правилам проектирования век-
торного произведения, найдем:
dzz2 da,t
(rota)^
ду dz ’
(rot а)у _ dag, dz д«2 дх ’ |
да,, dzr,. I
(rot a)s
дх ду • J
(72')
Легко видеть, что формулы (50) являются частным случаем этих фор-
мул при ах — и, ау = v, az = -w.
Приемом, аналогичным ранее использованному при выводе инте-
гральных формул для диверген-
ции и градиента, из равенства (72)
получим
J п X а = J rot a dx. (73)
Q
Здесь, согласно прайму (51),
вновь оправдывается символиче-
ский прием для запоминания инте-
гральных формул: орт п в по-
верхностном интеграле заменяется
оператором V в объемном
J П X ada = J VXarft. (74)
О т
Интегральные формулы (66),
(70) и (73) будут играть важ-
ную роль в выводе основных уравнений динамики жидкости и газа,
а также и в некоторых кинематических вопросах.
§ 12. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца.
Интенсивность вихревой трубки
Как было ранее (§ 10) уже выяснено, элементарный объем жид-
кости или газа, совершая свое поступательное движение в пространстве,
непрерывно при этом деформируется и поворачивается, как одно целое,
вокруг мгновенной оси, направление которой совпадает с вихрем ско-
рости; угловая скорость мгновенного поворота равна половине вели-
чины вихря скорости. Чтобы лучше представить себе эту бесконечную
72
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМА ГИКА СРЕДЫ
[гл. I
совокупность мгновенно вращающихся элементарных объемов жидкости,
введем в рассмотрение векторные линии поля угловых скоростей
вращения о) или, что все равно, векторные линии поля вихря ско-
рости rot V = 2(0. Эти векторные линии назовем вихревыми линиями
или вихревыми нитями.
Напомним общий способ построения векторных линий, особо
поучительный в данном конкретном случае.
Рассмотрим в данный момент t вблизи точки М (рис. 14) вращаю-
щийся элементарный объем 8т и отметим вектор угловой скорости (о
его вращения. Переместившись вдоль этого вектора на малый отре-
зок ММ', • проведем в тот же момент времени t вектор о/ угловой
скорости вращения элементарного объема в точке М', затем вектор
угловой скорости и" в точке М" и
т. д. Полигон ММ'М"... в пределе
образует вихревую линию. Элементар-
ные жидкие объемы, расположенные
вдоль линии, вращаются вокруг каса-
тельных к ней в соответствующих точ-
ках. Вихревая линия играет роль кри-
волинейной оси вращения этих объемов.
Представим себе элементарные объемы
жидкости как „бусинки" с заранее
проделанными в них отверстиями для
продевания нитки. Непрерывность поля
скоростей в жидкости приводит к та-
кой ориентации „бусинок", что нитка,
продетая в одну „бусинку", попадет
отверстие следующей „бусинки" и т. д. Нитка, проходящая
отверстия „бусинок" (рис. 14, справа), дает представление
«
В
ТОЧНО
через
о вихревой нити или линии. Конечно, образ твердых „бусинок
отражает лишь вращательное движение элементарных объемов жидко-
сти и ничего не говорит о непрерывной деформации этих объемов.
Кроме того, вращение объема жидкости вокруг данной оси нельзя
рассматривать как некоторый длительный процесс во времени; вих-
ревая линия является огибающей мгновенных осей вращения. Рас-
положение этих мгновенных осей во вращающихся жидких объемах
все время изменяется. Вместе с тем изменяется и конфигурация самих
объемов, так как жидкость совершает еще деформационное движение.
Вектор G) = -g-rotV представляет мгновенную угловую скорость
некоторого воображаемого твердого тела, которое образовалось бы
при мгновенном затвердевании рассматриваемого жидкого элементар-
ного объема.
Можно дать еще другую интерпретацию вектора угловой скорости
жидкого объема. В любой точке деформационного скоростного поля
§ 12J
ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ
73
жидкости в данный момент времени существуют такие три взаимно
перпендикулярные оси (главные оси тензора скоростей деформаций),
скорости скошения которых равны нулю. Такой, для разных точек
пространства различный „жесткий скелет“ будет в данный момент
времени иметь угловую скорость, как раз равную1
w = у rot V == у 9.
Проведя вихревые линии через точки замкнутого элементарного
контура, образуем элементарную вихревую трубку; аналогичным при-
емом получим вихревые трубки конечного размера.
Вихревые трубки обладают общим свойством, выражаемым вто-
рой теоремой Гельмгольца: поток вихря вектора через
сечение вихревой трубки одинаков для всех сечений трубки.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим сначала конечную
вихревую трубку (рис. 15) в поле любого вектора а и отсечем от
Рис. 15.
нее двумя произвольными сечениями Cj и os некоторый конечный
объем т; боковую поверхность вихревой трубки, ограниченную кон-
турами этих сечений, обозначим через авок- Тогда, применяя к выде-
ленному объему трубки интегральную формулу Остроградского (66),
получим для вектора rota:
J* (rot а)га- dz J (rot a)nz Ас ф- (rot а)„» da = J div rot a dt,
°* °бок x
ГГГИ^194^’ Г" Лойцянский, Аэродинамика пограничного слоя. ОГИЗ
74 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (ГЛ. 1
где п' — внешняя нормаль к поверхности ингещирования; заметим,
что, по определению потока вектора, первые два интеграла в левой
части определяют потоки вихря вектора а сквозь два произвольных
сечения вихревой трубки в направлении изнутри объема наружу,
третий интеграл равен нулю, так как на поверхности вихревой трубки
нормаль перпендикулярна вихрю вектора; наконец, легко подсчитать,
что интеграл в правой части тождественно равен нулю, так как
.. . д /даг dav\ д (дах
div rot а = -г~ (-5----л-|-з—
дх \ ду dz J 1 ду \ дг
д (дау___даху __
дх ) * дг \ дх ду )
Обозначим через п нормаль к поверхностям сечений aj и а2, на-
правленную в сторону вектора вихря, т. е. внутрь объема для сече-
ния и наружу — для з2; тогда найдем
J (rot a)n da = J (rot а)и da, (75)
с
что и доказывает вторую теорему Гельмгольца, проформулированную
для любого векторного поля.
Полагая:
a = V, rot а = rot V = й, -^-rotV — w,
получим гидродинамическую форму равенства (75):
У t2n rfc = const или у <ои da — const. (76)
в а
Из равенств (76) вытекает следующая гидродинамическая форму-
лировка второй теоремы Гельмгольца: поток вихря скорости сквозь
сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени для
всех сечений трубки, или иначе: поток угловой скорости сквозь
сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени для
всех сечений трубки.
Доказанная теорема приобретает особенно простой и наглядный
смысл, если ее применить к элементарной вихревой трубке. В этом
случае можно провести плоские сечения нормально к вихревым линиям
трубки, и, в силу малости площадей этих сечений dax и da%, напи-
сать:
ojj dar — w2 da2 или w da — const. (76')
Отсюда следует, что в меньшем по площади сечении трубки
угловая скорость вращения больше, и наоборот.
Одинаковость потока вихря вектора сквозь любое сечение вихре-
вой трубки позволяет принять поток вихря за меру интенсивности
§ 13J ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУВКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ
75
вихревой трубки и положить
i = I (rot а)га da.
В кинематике жидкости под интенсивностью вихревой трубки пони-
мают поток вихря скорости
i = I" (rot V)„ da = J 2n da. (77)
В некоторых курсах под интенсивностью
вихревой трубки скоростного поля жидко-
сти понимают поток вектора угловой ско-
рости
fa)„da==|z. (77')
Важным следствием доказанной теоремы
Гельмгольца является невозможность окон-
Рис. 16.
Рис. 17.
чания вихревой трубки в жидкости, так как
при уменьшении площади сечения трубки до
превратилась
(рис. 16). Как показывают опыты,
вихревые трубки либо образуют зам-
кнутые кольца, либо заканчиваются
на стенках сосудов или на свобод-
ных поверхностях (рис. 17).
Подчеркнем еще раз, что вто-
рая теорема Гельмгольца говорит
об одинаковости потока вихря вдоль
трубки в данный момент времени;
о том, будет ли интенсивность
трубки постоянной во времени или
нет, можно судить лишь на основа-
нии рассмотрения динамического процесса движения трубки, характера
приложенных к жидкости сил, физических свойств жидкости и др.
нуля угловая скорость
бы в бесконечность
§ 13. Выражение интенсивности вихревой трубки через цирку-
ляцию вектора по контуру, охватывающему трубку. Теорема
об изменении циркуляции скорости во времени
Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается
непосредственному измерению. Сравнительно просто можно мерить
скорости частиц жидкости. Естественно встает вопрос об установле-
нии связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением
76 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
Для решения этого вопроса введем характерную для поля ско-
ростей величину — циркуляцию скорости вдоль некоторой линии;
понятие циркуляции скорости представляет одно из самых основных
понятий современной гидромеханики.
Напомним сначала общее определение циркуляции: циркуляцией
вектора по некоторому контуру называется вычисленный вдоль
контура криволинейный интеграл от проекции вектора на каса-
тельную к контуру. Примем обозначение (рис. 18):
в в
Гав (а) = J а • dr— f a cos (a, dr) ds —
А А
в в
= f aBds — J (axdxA- ау dy -f- аг dz). (78)
А А
Если точки А и В совпадают, циркуляция вектора по замкнутому
в этом случае контуру будет обозначаться так:
Г(а) = фа« dr — §a8ds и т. п. (79)
Вспомним, что такого рода формулами приходилось уже пользо-
ваться в теоретической механике при вычислении работы, равной цир-
куляции силы.
В случае замкнутого контура необходимо условиться в выборе
положительного направления интегрирования вдоль контура. Для этого
Рис. 18.
рассмотрим некоторый себя не пересекающий замкнутый контур С
(рис. 18) и проведем через него разомкнутую поверхность а, опираю-
щуюся на этот контур. Будем различать у поверхности а две стороны,
например, выпуклую и вогнутую. Одну из них, на рисунке выпуклую,
выберем произвольно за положительную и условимся в ту же сто-
рону откладывать и положительное направление нормали к поверх-
ности. Выбрав положительную сторону поверхности и направление
§ 131
ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУБКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ
11
нормали к ней, примем за положительное направление обхода по
контуру такое, при котором для наблюдателя, смотрящего вдоль поло-
жительной нормали, при обходе контура поверхность остается слева.
При рассмотрении контура, лежащего в одной плоскости, можно
дать более простое правило: положительное направление обхода пло-
ского контура совпадает с на-
правлением вращения головки
винта, когда сам винт пере-
мещается в направлении поло-
жительной нормали к плоско-
сти контура.
Чтобы установить связь
между интенсивностью вихре-
вой трубки в поле вихря не-
которого вектора и циркуля-
цией этого вектора по контуру,
возьмем сначала плоский малый
контур ДС (рис. 19) с пло-
щадью Да и построим на нем
цилиндр, высота которого h
также мала. Применяя к этому
цилиндру интегральное опреде-
ление вихря (72), получим:
rot а == lim 4-1 n' X a rfa,
причем поверхностный интеграл распространяется на полную поверх-
ность цилиндра.
Проектируя обе части этого равенства на нормаль п к элементу Да,
получим:
(rot a)„ = lim J- I п • (n' X a) cfa.
Д-г О «/
Согласно известному свойству тройного произведения
n . (n' X а) = а • (n X п'),
позволяющему заменять циклически порядок сомножителей, можно
полученное выражение проекции вихря на нормаль переписать в виде
(rota)„ = lim г- a-(nX n')da.
Дт->Оцг •!
I °
Поверхностный интеграл, стоящий в правой части под знаком пре-
ела» может быть в силу малости цилиндра вычислен непосредственно.
7 8 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гЛ. I
Заметим для этого, что вектор n X п' не равен нулю только на боко-
вой поверхности цилиндра, причем для заштрихованного на рисунке
элемента этой поверхности будет:
(п X п/)= (п X п') h ds = hdr,
тогда найдем (е — малая величина, стремящаяся к нулю при уменьше-
нии Да)
(rot а),г • г/г • Л + е,
АС
откуда следует
(rot а)„ Да ~ а • dr -f- s Да, (80)
дс
т. е. с точностью до малых высших порядков поток вихря вектора
через площадку Да равен циркуляции вектора вдоль контура, огра-
ничивающего эту площадку.
Из формулы (80) предельным переходом можно получить следую-
щее интегральное представление проекции вихря вектора на любое
направление
(rota)„== lim J-fa-rfr, (81)
д,-»о
где Да — некоторая малая плоская площадка, перпендикулярная к напра-
влению п, а ДС—окружающий ее контур.
Пользуясь этим определением, легко вы-
вести формулы проекций вихря на оси
декартовых или криволинейных координат,
непосредственно вычисляя контурный инте-
грал по сторонам координатных элементар-
ных прямоугольников и переходя затем
к пределу.
Возьмем теперь какой-нибудь себя не
пересекающий контур С конечной длины и
опирающуюся на него разомкнутую поверх-
ность а (рис. 20). Разобьем поверхность а
на большое число малых площадок Да про-
извольной формы и, написав для каждой
ство (80), просуммируем обе части этих
гкам. Будем иметь:
2 (r°tа),Л До = 2 J а • dr-'r
АС
Первая сумма в правой части равенства приводится к контурному
интегралу по замкнутому контуру С, так как слагаемые суммы, под-
считанные для отрезка контура, по которому граничат две смежные
rota
Рис. 20.
такой площадки
равенств по всем
13] ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУБКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ
79
Рис. 21.
площадки (рис. 21), при непрерывности вектора а будут иметь оди-
наковую величину, но разные знаки, в зависимости от того, к какой
из площадок слагаемое относится (на рис. 21 элементарные площадки
несколько раздвинуты, чтобы можно было показать противоположное
направление обхода контуров вдоль
общей границы двух смежных пло-
щадок).
Переходя к пределу при беско-
нечно большом числе площадок,
образующих поверхность а, найдем:
f (rot а)и da = I” а • dr. (82)
с С
Интегральное соотношение (82)
показывает, что поток вихря век-
тора сквозь некоторую разомкну-
тую поверхность равен циркуля-
ции вектора по контуру, ограничивающему эту поверхность. Этот
результат, представляющий содержание теоремы Стокса, позволяет
сводигь определение интенсивности вихревой трубки в поле вихря
скорости к вычислению циркуляции скорости по замкнутому контуру,
охватывающему вихревую трубку
(например по контуру С1т охваты-
вающему вихревую трубку и ограни-
чивающему поверхность а, сечения
трубки на рис. 15).
Если в односвязном 1 простран-
стве заданы (рис. 22) несколько изо-
лированных вихревых трубок с ин-
тенсивностями /j, z2, ..., т. е. таких,
что повсюду в области вне трубок
(на поверхности а вне заштрихован-
ных площадок aj, а2, <з3,_) вихрь
вектора равен нулю, то циркуляция
вектора (в частности вектора скоро-
сти) по контуру, опоясывающему рас-
сматриваемые вихревые грубки, равна сумме интенсивностей этих
тРубок, как об этом можно непосредственно заключить из рис. 22:
zZr = z'j z2
ст T. е. таком, что любой замкнутый контур, расположенный в этом про-
об « СТВе’ М01кет быть непрерывной деформацией сведен в точку (подробнее
этом будет сказано в начале гл. V).
80 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гЛ.
В заключение настоящей главы, посвященной элементам кинематиш
сплошной среды, рассмотрим еще одну важную для дальнейшего ^.тео-
рему об изменении во времени
циркуляции скорости по движу-
щемуся вместе с жидкостью
контуру.
Рассмотрим некоторую „ жид-
кую “ линию АВ (рис. 23),
направленный элемент которой
обозначим через 8г. Циркуля-
ция скорости по этой кривой,
равная
в
ГдВ(¥)= fv-бг,
А
будет изменяться во времени
как в силу перемещения и
деформации контура (конвек-
тивное изменение), так и из-за
нестационарное™ поля (локаль-
ное изменение). Определим индивидуальную производную по времени
от этой циркуляции. По определению интеграла, производная от него
будет складываться из двух частей:
в в
^ГлвОО-=/^.«г+/у> (83)
А А
Первый интеграл представляет не что иное, как циркуляцию уско-
рения по контуру АВ’.
в в
J^.8r= fv. 8Г_Гав(¥). (84)
А А
Второй* интеграл легко преобразуется, если заметить, что порядок
взятия операций производной по времени ~ и дифференцирования
в пространстве 6 может быть изменен:
s8r-s * * 8ff=8v- <86>
Действительно, рассмотрим два последовательных положения жид-
кого отрезка (рис. 23): 6г — в момент времени t и 8r -1- d 8г—
в момент t-\-dt. Перемещения концов жидкого отрезка будут соот-
ветственно: V dt (начало отрезка) и (V-j-6V)<# (конец отрезка).
^13] ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУБКИ И {ЦИРКУЛЯЦИЯ 81
Из векторного четырехугольника сразу следует
V dt 4- 8r -f- d 8r = 8r -f- (V + 8 V) dt,
или, после простых сокращений, искомое равенство (85).
Подставляя теперь в (83) значения интегралов, по (84) и (85)
получим:
в в
£Гав(У) = Гав(У) J- fv-8V=--rAB(V) f =
(IT * »' \ *• J
A A
= Гдв(У) + у(^—1/1).
Предположим теперь, что кошур АВ замкнут, т. е. точки А и В
совпадают. Тогда предыдущая формула дает
^Г(¥) = Г(¥). (86)
Отсюда следует теорема Кельвина: производная по времени
от циркуляции скорости по замкнутому контуру, движущемуся
вместе с жидкостью, равна циркуляции ускорения по тому же
контуру.
Такая формулировка теоремы Кельвина делает ее чисто кинемати-
ческой, не зависящей ни от физических свойств жидкости, ни от
характера приложенных к жидкосги сил. В динамике будут изложены
важные следствия этой теоремы, в частности будут выяснены условия,
при выполнении которых циркуляция скорости сохраняется во вре-
мени; с кинематической точки зрения важна сама связь (86) между
циркуляциями скорости и ускорения.
Подчеркнем, что как последняя, так и все предыдущие теоремы
настоящей главы основаны лишь на допущении о непрерывности
поля скоростей в жидкости или газе и существовании первых произ-
водных от скоростей по времени и координатам; теоремы, изложен-
ные в этой главе, верны для любой сплошной среды.
6 Зак. 1841. л г, Лойцянский.
1'ЛАВА II
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 14. Распределение массы в сплошной среде. Плотность
и удельный вес. Напряжения. Тензор напряженности и его
симметричность
В динамике сплошной среды, так же как и в кинематике, при*
меняется общий прием замены значений физических величин, относя-
щихся к отдельным частицам среды, непрерывным распределением
этих величин в пространстве.
Возьмем некоторый малый объем жидкости или газа Дт, содер-
жащий внутри себя данную точку М пространства, и пусть масса
этого объема будет Д/«; скалярная величина, определяемая предельным
выражением
причем предполагается, что при стремлении объема Дт к нулю точка М
все время остается внутри объема, называется плотностью распре-
деления массы или, короче, плотностью среды в данной точке Ж.
Обратную величину v = ~~ называют удельным объемом. Плотность
движущейся или покоящейся жидкости (газа) зависит о г различных
обстоятельств: температуры, давления, а также от характера движения
среды. В конечном счете плотность представляется некоторой функ-
цией координат и времени
р = р(х, у, z; t)
и образует, следовательно, скалярное поле, которое может быть как
стационарным, так и нестационарным.
В* технических вопросах часто вместо плотности предпочитают
иметь дело с удельным весом, определяемым как предел отношения
веса малого объема к величине объема. Удельный вес равен
Д/и
1= lun §-д7 = ^Р< G)
д~-»о
$ 14]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ М\ССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ
где g — ускорение силы тяжести, принимаемое в дальнейшем равным
9,81 mJ сек2.
Из формул (1) и (2) следует:
dm = pdx = — dx.
(3)
Поверхности или, в частном случае плоского распределения,
линии уровня скалярного поля плотностей называют изостерическими
поверхностями или линиями, короче, изостерами (от греческого слова
steros, что означает плотный).
Плотность, как масса, отнесенная к единице объема, измеря*
в технических единицах кг • сек2)м\ удельный вес — в кг[мЛ.
Приводим несколько наиболее употребительных средних величин и
костей и удельных весов жидкостей и гавов.
Удельный вес жидкостей
Таблица 1
Жидкость 7 кг!мя Жидкость при 20° С 7 кг/лг’
Вода при
0°С 1000 Спирт 800
20°С ... 998 Бензин 720
70° С . 978 Керосин 816
100° С 958 Смазочное мае по 912
Вода морская 1024 Глицерин 1248
Таблица 2
Плотность и удельный вес воздуха при 760 мм рт. ст.
1емп. °C —20 —10 0 10 20 40 60 80 100
г кг сек" м* 0,142 0,137 0,132 0,127 0,123 0,114 0,108 0,101 0,09b
кг 7 — 1,39 1,34 1,29 1,24 1,20 1,12 1,06 0,99 0,94
При оценочных расчетах можно принимать для воздуха значение плот-
ности при 15° С
р = 0,125 = кг • сек^/м4,
Для воды при той же температуре
9 = 102 кг • сек^м*.
6*
84 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [гЛ. 11
Таблица 3
Удельные веса некоторых газов при 0°С и 760 мм рт. ст.
Название газа 7 кг/лг8 Название газа 7 кг/м3
Кислород Водород Азот Воздух Перегретый пар . . . 1,43 0,090 1,25 1,29 0,803 Метан Окись углерода . . Углекислый газ . . Г елий 0,717 1,25 1,98 0,179
Согласно закону Авогадро, килограммолекулы всех газов при одинаковых
условиях (давление, температура) занимают один и тот же объем, ниыми сло-
вами, каков бы ии был газ с молекулярным весом М кг, его удельный
вес у кг/м8 равен отношению молекулярного веса к объему килограммоле-
кулы, одинаковому для всех газов и при 0° С и 760 мм рт. ст. равному 22,4 м3,
т. е.
А1 . ..
Кг1м ’
так, например, для водорода Н2 имеем М = 2 кг, следовательно, 7 = 2:22,4 =
— 0,09 кг) к3, для кислорода О» будет М = 32 кг, следовательно, f — 32:22,4=
= 1,43 и т. д.
Плотность воды, так же как и других капельных жидкостей,
слабо зависит от температуры и почти не зависит от давления,
так как под влиянием даже больших давлений объем жидкости
меняется сравнительно мало.
Так, например, относительное изменение объема воды при увели-
чении давления на одну атмосферу и при сохранении темпера-
туры несколько менее 0,00005, глицерина — 0,000025, керосина —
0,000077, спирта — 0,00011.
Наоборот, плотность газов сильно меняется с давлением и
температурой. Напомним, что по закону Бойля — Мариотта при дан-
ной температуре плотность газа прямо пропорциональна давлению,
а по закону Гей-Люссака при данном давлении плотность газа растет
пропорционально его абсолютной температуре.
Силы, приложенные к частицам жидкости или газа, можно разбить
на два класса: 1) массовые или объемные силы и 2) поверхностные
силы.
К первому классу относятся силы, приложенные ко всем части-
цам ср^ды, заполняющим некоторый объем, как, например, силы веса,
тяготения, электростатического притяжения, а также, в известном
условном смысле слова, силы инерции; ко второму классу — силы,
непосредственно действующие лишь на боковую поверхность выделен-
ного жидкого объема, как, например, давление твердого тела на
обтекающую его жидкость, трение жидкости о поверхность тела и др.
§14] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ
85
Массовые силы будем задавать вектором F интенсивности, или
плотности их распределения, который можно определить как
предел
„ дрл 1 др'
F = lim -т— = — lim -г—
Р Аг->0 Дг
(4)
отношения главного вектора AF' массовых сил, приложенных к части-
цам объема Дт, к массе этого объема Дт. Тогда массовая сила,
приложенная к элементу объема dx в данной точке, будет равна pF dx.
В случае, например, силы веса плотностью распределения массовых
сил будет служить вектор ускорения силы тяжести g.
Поверхностные силы, аналогично, будут задаваться плотностью
своего распределения или напряжением
р = Нт ~~,
Р д0->о До
(5)
где Др'— главный вектор сил, приложенных к некоторой площадке До.
Вектор поверхностной силы, приложенной к площадке da в данной
точке пространства, равен prfc, т. е. произведению вектора напря-
жения на величину элементарной площадки.
Отметим основное различие между векторами F и р: в то время
как вектор F является однозначной векторной функцией точек про-
странства и времени, т. е. образует векторное поле, вектор р
принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество
значений в зависимости от ориентировки плащадки, к которой
приложено напряжение. Можно сказать, что напряжение представляет
функцию двух векторов: век-
тора-радиуса* г точки и орта
нормали п к площадке в выбран- / \ s'
ной точке. {
Возьмем в точке М сплошной 1 _р d(J \ ~ \ Р~ва '
среды площадку de, ориентация г \ ? п
которой в пространстве опреде- \ /
ляется ортом п нормали к пло-
щадке (рис. 24). Откинем мы- Рис. 24.
сленно часть жидкости с поло-
жительной стороны площадки, куда направлен орт п, и заменим
Действие откинутой части жидкости на площадку da некоторой
поверхностной силой ри da, где значок п отмечает, что сила при-
ложена к площадке с ортом нормали п. Если бы, наоборот, была
откинута часть жидкости с отрицательной стороны, то эквивалент-
ная действию откинутой жидкости сила, приложенная к площадке,
оьша бы, согласно закону действия и противодействия, равна —ри da.
Вектор напряжения рп, как уже упоминалось, зависит от ориен-
тации площадки в данной точке 7И. Попытаемся определить такую
величину, которая была бы однозначной функцией положения
86
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. П
точки М, т. е. не зависела бы от ориентировки площадки, и
вместе с тем служила бы для определения напряжения р.„ в зави-
симости от заданного орта п площадки.
Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале § 7 пре-
дыдущей главы. Скаляр и вектор зависели не только от поло-
жения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления
дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и
векторного полей, ио выражались простыми формулами (10) и (23)
как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или
дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины
были уже однозначными функциями и образовывали соответственно
векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно
выразить как произведения орта п нормали площадки и некото-
рого тензора, представляющего однозначную функцию точек про-
странства.
Рассмотрим вырезанный в среде элементарный ' тетраэдр МАВС
(рис. 25), с вершиной в данной точке 7И, основанием — треуголь-
ником АВС, образованным пересечением наклонной плоскости тремя
координатными плоскостями и имеющим площадь dan, и боковыми
гранями в координатных плоскостях с площадями ida9, d<?v, dc?.
§ 14]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ
87
Значок при элементарных площадках, так же как и при напряжениях,
приложенных к ним, обозначает ось, перпендикулярную площадке.
Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как жидкий, т. е.
состоящий из частиц движущейся жидкости, напишем уравнение дви-
жения центра тяжести этой системы частиц, общая масса которых
пусть равна будем иметь
Vc dm = F dm -f- ри dan — pT — p?/ day—p£ dag, (6)
где Vc —вектор ускорения центра тяжести тетраэдра, F — плотность
распределения объемных сил в жидкости, ри, рж, ру, рг — векторы
напряжений, приложенные к положительным сторонам площадок dan,
dax, day и dae, т. е. с той стороны, куда направлены векторы n, i,
j и к (на рис. 25 показаны векторы ориентированных площадок i dax,
jday, kdcs и ncfcj; в правой части уравнения (6) при последних
трех членах стоят знаки минус, так как внешние стороны площадок da^.,
day, daz при принятом направлении ортов осей оказываются отрица-
тельными.
В уравнении (6) член слева и первый член справа, как величины
третьего порядка- малости, содержащие элемент массы, пропорцио-
нальной объему, можно откинуть по сравнению с остальными членами,
пропорциональными элементам поверхности; тогда будем иметь
Ри dan = Рж dy + Р?/ doy рг
Замечая, что:
da,e == dancos(n, х) — dan,
• day — da п cos (п, y) = nydan,
das = dan cos (n, z) = iie dan, {
получим:
Pn = «ЖРЖ + nypy 4- nspg,
или в проекциях на оси декартовых координат:
Рпх ^хРсех
+ пуРух
Р ну ^хРху ~4~ ПуРуу 4“ ftzPzyi '
P„Z ~ ' ftxPxZ “1” ftyPyg Г ^zPzz' I
(7)
(8)
(9)
(10)
Припоминая определение напряжений рж, ру, рг, заметим, что при
принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжении р
обозначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка,
второй индекс — ось, на которую спроектировано это напряжение;
так> например, pxz обозначает проекцию на ось z напряжения, при-
ложенного к площадке, перпендикулярной оси х.
88
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
(ГЛ. II
Величины рях, рУу, Рег называют нормальными напряжениями,
рху, Pyzj Pzx---—касательными напряжениями.
Система равенств (10) показывает, что проекции на оси коор-
динат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке,
выражаются простой линейной зависимостью через проекции напря-
жений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам,
лежащим в координатных плоскостях, т. е. через совокупность девяти
величин:
Рух>
(Рха> Рух<
Рху> Руу>
Ptoz> Руг’
Руг’
Ргя\
Риу 1>
Риз /
(11)
причем зайисимость эта совершенно аналогична системе равенств
(20) § 7.
Вспомним данное в § 7 гл. I общее определение тензора 2-го
ранга, как совокупности девяти величин, которые, будучи умножены
на проекции физического вектора по формулам типа (20) § 7 гл. I
или, что все равно, по формулам (10) настоящей главы, определяют
проекции также физического вектора.
Согласно этому определению, совокупность девяти напряже-
ний (11) образует тензор 2-го ранга, который обозначим заглавной
буквой Р и назовем тензором напряженности или тензором напря-
жений.
Вектор напряжения ри, приложенный к любой наклонной площадке
с ортом и, определяется как произведение этого орта на тензор
напряженности по формулам (10) или, в синтетической форме,
Р» = пР.
(12)
Итак, в каждой точке жидкости или газа имеется бесчисленное
множество векторов напряжений рп, зависящих от выбора наклона
площадки в этой точке, и один тензор Р, характеризующий напря-
женность жидкости в данной точке. Напряжения, приложенные
к различно направленным площадкам, выражаются по формулам (10)
или (12) через значение тензора напряженности в данной точке.
Отдельные компоненты тензора Р, образующие таблицу (11), зависят
от выбора направлений осей координат, но тензор в целом пред-
ставляет физическую величину, выражающую определенное состоя-
ние жидкости или газа — их напряженность, и не зависит, конечно,
от выбора координат.
Применим теперь теорему моментов к движению жидкого тетра-
эдра, причем, по предыдущему, пропустим, как малые высшего порядка,
члены, выражающие момент количества движения тетраэдра и момент
массовых сил, пропорциональные объему тетраэдра. Тогда, обозначая
через г, г,, г2 и г3 (рис. 25) векторы-радиусы по отношению
к точке М точек N, Nj, Ng и Na приложения векторов напряжении.
§ 14] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ 89
граней, будем иметь:
г X ри dan = ri X Рш + r2 X Ру doy + r9 X Рг daz,
или по (8):
г X Рп = Г1 X Pa-Wfl. -j- r2 х Pytly + Гв X РЛ,
с другой стороны, умножая векторно на г обе части равенства (9),
получим:
Г X Рп = Г X Рл + Г X РуПу+г х рл;
отсюда почленным вычитанием найдем:
(г--Г]) X РхПл: + (г--Г2) X Рупу 4~ (г — ^з) X РЛ. = 0.
С ошибкой тем меньшей, чем меньше размеры граней, можно
считать, что напряжения распределяются по граням равномерно, и,
следовательно, главные векторы их приложены в центрах тяжести
граней, т. е. на пересечениях медиан соответствующих треугольников,
в точка*х N, Nr, 1\у и N&, причем точки N% и Ns будут проек-
циями точки N на координатные плоскости; отсюда следует:
г —Г] = х1, г — г8=д г—г3-=гк,
так что предыдущее равенство переписывается в виде:
хпаЛ X Р® +уПу! X Ру 4- Zn^k X Рг = 0- 4 3)
Докажем, наконец, чго
~ У пу = гпе>
для этого заметим, что плоскость NtN2Na параллельна плоскости
NiN2Ns или, что все равно, плоскости АВС, так как по определению
ючек пересечения медиан треугольников:
MN1: 2ЙМ = MNz: = MN-a : 2: 3.
При этом нормаль и будет нормалью и для плоскости A/jA^/Vg, так
что
Г] • п г2 • п - г3 - и
или
У Пу 4- Ztls — ХПх 4- znz — ХПх 4- Упу>
а следовательно,
xnx=yny = znz.
После этого равенство (13) переходит в соотношение
’Хргг+1Хр^4-КХрг=о»
90
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. II
проектируя которое на оси координат, получим:
Рху Рух’ Руг Ргуг Ргх ' Pass
(14)
Система равенств (14) выражает теорему о взаимности
касательных напряжений: если в некоторой точке сплошной
среды провести две взаимно перпендикулярные элементарные пло-
щадки, то проекции напряжений, приложенных к каждой из пло-
щадок, на ось, перпендикулярную к другой площадке, будут между
собою равны. Еще иначе эту теорему можно проформу пировать так
тензор напряженности симметричен.
§ 15. Общие уравнения динамики сплошной среды. Уравнение
неразрывности. Уравнения динамики в напряжениях
Переходя к составлению общих уравнений динамики жидкости
или газа, начнем с вывода уравнения неразрывности (сплошности).
Будем исходить из основного закона классической механики о сохра-
нении массы при ее движении; используя понятие индивидуальной
производной, можем написать:
±1т = ^) = <>. (15)
Желая получить уравнение неразрывности в переменных Лагранжа
(§ 8), перепишем (15) в виде
— (15')
где р и Вт — текущие значения плотности и элемента объема и оп, 6т0—на-
чальные их значения в момент времени t = /0. Представим себе элементарный
объем Вт как координатный параллелепипед в системе криволинейных коор-
динат — переменных Лагранжа — а, Ь, с, тогда стороны этого параллелепипеда
будут определяться направленными элементами координатных линий. 1 6гй
6г&, 6гс, равных частным дифференциалам вектора-радиуса г (t у, z) по коор
динатам а, Ь, с
дг „ дг . дг „
г,г = —— Of. = —- Со, ОГи — ОС
° да ° дЬ дс
И по известному свойству скалярно-векторного произведения, будем иметь
6т = ±6ra.(6rbXorc) = :t-—& х~)бя6Ь6с =
дх дх дх
да ’ дЬ ’ дс
ду ду ду
да’ дЬ ’ дс
дг дг дг
да’ дЬ’ дс
<. >14 , D(x, у, г) . „
оа 66 6с = ± -д—»- ои cb ас,
~ D (а, Ь, с)
где использовано общепринятое
обозначение для якобиана,
1 Подробнее см об этом гл VII, § 60,
§ 15]
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
91
Аналогично получим в момент времени t = tn:
” * 1 А-л, zp) — г‘ I <*
Otfi ~ ± —К'Т.~7—оа ОС
" D (а, Ь, с)
и, следовате 1ьио, ио (15')’
(<; а, Ь, с)
D (л, у, г)
D (а, Ь, с)
(16)
Это и есть уравнение неразрывности в лагранжевых переменных-, ею
было бы правильнее называть уравнением сохранения массы.
В частном случае жидкости постоянной плотности — несжимаемой
жидкости—р —ро и уравнение (16) принимает форму уравнения несжимае-
мости в лагранжевых переменных-
D (х, у, z) D (хп, у0, zn)
D {а, Ь, с) D (а, Ь, с)
(17)
или, полагая хп = а, у0~ b, z0 = с,
D (х, У.х) .
D (а, Ъ, с)
(17')
В эйлеровых переменных уравнение неразрывности можно полу-
чить, производя дифференцирование в формуле (15) и используя пред-
ставление о дивергенции скоростного поля как скорости относитель-
ного расширения объема [вспомнить формулу (59') § 11]:
5т-4-р8т = 8т 4-р div V Вт е= 0,
at ‘ at at 1 '
откуда и найдем уравнение непрерывности в эйлеровых переменных
^4-pdivV = 0.
at 1 ‘
(18)
К тому же выводу можно было придти,
массы для конечного объема т в виде:
записав закон сохранения
57 |’Р8т=0;
(19)
производя дифференцирование, получим по предыдущему:
f(^ + fHvv)8I = 0,
Откуда, в силу произвольности объема интегрирования, вновь полу-
чим уравнение (18). К тому же результату можно придти, разделив
обе части последнего уравнения на объем т, содержащий внутри себя
заданную точку, и переходя к пределу при стремлении объема к нулю
И стягивании его к данной точке.
92 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. li
В дальнейшем нам придется встречаться с двумя различными
видами уравнений механики сплошной среды: 1) интегральным, выра-
жающим связи между величинами в некоторых конечных объемах и
на ограничивающих их поверхностях, и 2) дифференциальным, связы-
вающим значения величин и их производных в данной точке. Примером
уравнений в интегральной форме может служить уравнение сохранения
массы (19) и в дифференциальной форме — (18).
Переход от интегрального вида уравнения к дифференциальному
совершается одним из следующих двух приемов: делением обеих частей
уравнения на величину объема с последующим стягиванием объема
к выбранной точке пространства или сведением всех интегралов к одному
объемному и приравниванием подинтегрального выражения нулю вслед-
ствие произвольности объема. Оба эти приема были только что приме-
нены при выводе уравнения (18).
Основной особенностью дифференциальной формы уравнений дина-
мики жидкости и газа является то, что входящие в них величины пред-
ставляют плотности распределения массы, объемных и поверхностных
сил и т. п., а не сами величины, относящиеся к элементарному или
конечному объему.
Обратный переход от дифференциальной формы к интегральной
совершается умножением на элемент объема и интегрированием по
конечному объему.
Интегральная форма имеет преимущество перед дифферен-
циальной, если входящие в уравнение величины претерпевают
внутри среды разрывы непрерывности. В этом случае дифферен-
циальная форма уравнений не может быть использована во всем
пространстве, заполненном жидкой средой, в го время как интеграль-
ная форма с успехом используется.
Заменяя в уравнении (18) индивидуальную производную по времени
от плотности известным ее выражением через локальную и конвек-
тивную производные [§ 9, формула (41)], получим:
—у • grad р —|— р div V 0, (20)
вспоминая затем формулу векторного анализа
div (pV) = V • grad р р div V,
окончательно найдем уравнение неразрывности в эйлеровом предста-
влении в наиболее употребительном виде:
J-|div(PV) = 0 (21)
или в декартовых координатах:
^ + ^(Р«)+-^;(Р®) + ^(Р®) = О. (22)
15] ОЁЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЬ1
93
В частном случае несжимаемой жидкости (р — const) уравнение
неразрывности переходит в уравнение несжимаемости'.
.. ди . dv , dw п
uiv v — дх -j- ду -г dz
(23)
Для вывода основного динамического уравнения движения жид-
кости или газа применим к объему т (рис. 26) теорему об изменении
количеств движения системы материальных частиц. Заметим, что глав-
ный вектор количеств движения частиц объема К равен интегралу от
произведений их элементарных масс dm на
векторы скоростей частиц V:
К== JpVrfT.
Приравнивая индивидуальную производ-
ную главного вектора количеств движения
главному вектору внешних массовых и по-
верхностных сил, получим:
f J pFrfT+ [ p„do. (24)
т т а
Рис. 26.
Индивидуальная производная от главного вектора количеств дви-
жения равна
iJpv*=j'pg*+fvA(p*)=JP^*, (25)
так как на основании закона сохранения массы (15) второй интеграл
пропадает.
Чтобы преобразовать поверхностный интеграл, стоящий в правой
части (24), в объемней, спроектируем обе части интегральной фор-
мулы (70) предыдущей главы на ось х и положим в ней <а равным
попеременно ах, ау, а.;, тогда получим:
Г > Г дах , Г Г да„ .
J ^a-dc— J J nxayda= j
a * x a t
f . f dae ,
nxa!.dc= I -^df,
G X
Умножая после этого обе части первого равенства на i, второго—•
На J, третьего — на к и складывая, будем иметь:
f л f да ,
I de —— I
J J дх
G t
94
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
(гл. И
Повторяя аналогичные выкладки с производными по у и z,
чим окончательно следующую группу интегральных формул:
а
полу-
(26)
Пользуясь (9), перепишем поверхностный интеграл в уравнении (24)
в виде:
f Р« J "жРх da + / «?/Ру/ d° + J «гРг
а а а а
или, по (26), окончательно:
(27)
Подставляя в (24) значения входящих в него величин, согласно
формулам (25) и (27), и перенося все члены в одну сторону, получим
основное динамическое уравнение движения сплошной среды в инте-
гральной форме'.
С( dV
J л ““PF
дРж
дх
фу
dpg\
dz )
dx =
О,
(279
или, используя произвольность объема т и приравнивая подинтеграль-
ную функцию нулю во всех точках области движения, будем иметь
то же уравнение в дифференциальной форме:
. dPa . ^P«, .
Р dt ~ Рь -Г дх ' ду ' dz ’
(28)
Это векторное дифференциальное уравнение, или эквивалентная
ему система трех дифференциальных уравнений в проекциях:
du r, , дрх;е dPya: .
р at ~~‘x * dx &У ‘ dz ’
d‘o dpm , dPzt)
‘ dt I dx 1 dy 1 dz ’
dw r, , dPicz дРуг , dPzz
Pit P^+ dx H r iy + dz ’
(29)
§ 15J
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЬ}
95
носит наименование уравнений динамики в напряжениях и играет
основную роль при выводе всевозможных частных видов уравнений
динамики жидкости и газа.
Если выразить индивидуальные производные от проекций скорости
по времени, входящие в левую часть уравнения (29), по (40) § 9, то
уравнения (29) запишутся в развернутой форме:
— F — зсх дРух . дрzx
Р ж I дх * ду * dz
Р . dpxs друг dpgz
Р z дх ' ду ' dz
Для дальнейшего Существенно подробнее рассмотреть механиче-
ский смысл входящего в правую часть уравнения (28) вектора
држ । । дрг
дх ' ду ' dz ’
который, согласно (27), можно представить как предел
if v 1 f n .
lim -т— n„ da — lira tlP da
Да Да
отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к боко-
вой поверхности Да "произвольно выбранного в данной точке М
элементарного обьема Дт, к самому объему Дт, при стягивании
поверхности Да к точке М. Этот предел можно было бы назвать
главным вектором поверхностных сил, приведенным к единице
объема в данной точке потока, а вектор
главным вектором поверхностных сил, приведенным к единице
массы в данной точке потока.
В отличие от напряжений поверхностных сил р.,,, р^, ря, величины
и направления которых зависели от выбора направления осей коор-
динат в данной точке или направления наклонной площадки, главный
вектор поверхностных сил, приведенный к единице массы или объема,
96 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
представляет однозначную векторную функцию координат данной точки
пространства, не зависящую ни от выбора системы координат, ни от
формы стягивающейся к точке поверхности, к которой были при-
ложены поверхностные силы, сведенные в главный вектор. Иными сло-
вами, приведенные к единице объема или массы главные векторы
поверхностных сил образуют векторное поле, в то время как сами
поверхностные силы поля не образуют.
В теории электричества и магнетизма силу, с которой поле действует
на „единичное тело" (единица заряда, единица магнитной массы и т. п.),
помещенное в поле, называют напряжением поля; произведение напря-
жения поля на величину помещенного в поле „тела“ (заряд, магнитная
масса и т. п.) с тем или другим знаком дает вектор силы, действующей
со стороны поля на это „тело" (заряд, массу).
Точно так же и главный вектор поверхностных сил, приведенный
к единице массы или объема, представляет „напряжение", или, чтобы
не спутать с использованным ранее термином напряжения для поверх-
ностной силы, отнесенной к единице площади, лучше скажем, интен-
сивность поля главных векторов поверхностных сил в потоке.
Эту величину можно было бы еще иначе назвать интенсивностью
объемного действия поверхностных сил. Умножая эту интенсивность
соответственно на элемент объема или массы, получим главный
вектор поверхностных сил, приложенных к выбранному элементу
объема или массы.
Могут быть случаи, когда при наличии поверхностных сил объем-
ное их действие во всем потоке равно нулю; это имеет место, как
в дальнейшем будет показано, например, при безвихревом движении
вязкой жидкости.
Введем следующую дифференциальную операцию над тензором
напряженности Р в предельном интегральном представлении (при стре-
млении Дт к нулю Да, как всегда, стягивается к данной точке про-
странства):
DivP= lim j1 nP ds (31)
и назовем этот вектор дивергенцией тензора Р. Заглавная буква
в символе Div поставлена, чтобы подчеркнуть отличие операции Div
от операции div, производимой над векторной функцией.
Как было показано в предыдущем параграфе, тензор напряжен-
ности Р характеризует напряженное состояние сплошной среды в дан-
ной точке.
Только что введенный в рассмотрение вектор представляет собою
векторную* меру неоднородности напряженного состояния среды.
Этой мерой, как видно из предыдущего, служит отнесенный к еди-
нице объема главный вектор сил, приложенных к поверхности, огра-
ничивающей выделенный в среде объем, если этот объем устремить
к нулю, стягивая его боковую поверхность к рассматриваемой точке
§ 15] общие Уравнения динамики сплошной среды
97
Если тензорное поле однородно, то вектор дивергенции повсюду будет
равен нулю. Обратное заключение, конечно, не имеет места: из равен-
ства нулю дивергенции тензора в некоторой области еще не следует
постоянство тензора в этой области.
Применяя принятую терминологию, можем еще сказать, что дивер-
генция тензора напряженности определяет вектор интенсивности
объемного действия поверхностных сил в данной точке потока.
Произведение вектора Div Р на элемент объема dt дает главный вектор
поверхностных сил, приложенных к поверхности, ограничивающей
элемент dx, а интеграл
J" DivPdt
—главный вектор поверхностных сил, приложенных к замкнутой
поверхности а, ограничивающей конечный объем х, причем по (24) и (12):
I DivPJ,c= Г pnrfc= | nPdti.
Отсюда вытекает формула
J nPdi = J DivPrft,
a т
(32)
верная для любого тензора 2-го ранга и представляющая тензорное
обобщение формулы Остроградского [(66) гл. I].
Задаваясь той или другой координатной формой элементарного
объема Дт, можно по формуле (31) найти координатное представление
вектора Div А Так, например, примем за Дт декартов прямоугольный
параллелепипед со сторотми Дх, Ду, Дг, тогда, поступая аналогично
тому, как это уже неоднократно делалось в предыдущей главе (напри-
мер, в § 11), будем им£ть:
Г 1Р+д-^1 Дх-ipl ДуДг-р... -ь[ Дг—kpl ДхДу
Divp= нт 1______д~*_____LrLLJlLLJg---------------1----=
ДхДуДг
d(iP) , d(jP) , d(kP).
dx 1 dy 1 dz ’
но по основному равенству (12), верному для любого наклона пло-
щадки, и, в частности, при n — i, n — j и п — к:
= = kP==ps,
следовательно, в декартовой системе координат:
DivP =
др<с . дРц . дРг
дх ’ ду I dz
(33)
Зак. 1841. Л. Г. Лавиянскив.
98
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
|гл. И
или в проекциях:
дРла? дРюн
(U1V / *- ~ дх Г ду дг ’
др&у дРт дРгу (33')
\M1V ~ дх ду dz ’
fDiv Р\ - dpicz друг dPzz
дх ду дг '
Формула (33) с внешней стороны несколько напоминает выражение
дивергенции вектора в декартовых координатах [формула (63') гл. IJ:
дах да.„ daz
diva = -5--г ----k-д—,
дх 1 ду 1 дг
однако сходство это чисто внешнее. Действительно, в формуле дивер-
генции тензора (33) под знаком производных стоят зависящие от выбора
системы координат векторы рж, ру, рг напряжений, приложенных
к площадкам, перпендикулярным осям х, у, z, а сама величина Div Р
представляет физический вектор-, в формуле же дивергенции век-
тора diva под знаком производных стоят алгебраические величины
проекций вектора a, a diva представляет физический скаляр.
Полученные формулы дивергенции тензора несколько трудны для
запоминания; в связи с этим можно предложить простое символическое
их выражение, основанное на символическом равенстве:
DivP^VP, (34)
где справа стоит произведение условного „вектора"-оператора V
с проекциями g-p gj, на тензор Р. Применяя формулы (20) гл. I
умножения вектора на тензор, без труда составим проекции (33') DivP
на оси координат; для целей запоминания, наряду с формулой (34),
можно предложить еще формулу (33), легко запоминающуюся по своей
внешней аналогии с формулой дивергенции вектора.
Интегральная формула (32) допускает символическое представление:
f nPda= fVPdt. (35)
9 Ъ
„Пользуясь введенным понятием дивергенции тензора, можем пред-
ставить основное уравнение динамики сплошной среды (28) в форме
P-^-==PF4-DivP. (36)
Применение к объему т теоремы об изменении момента коли-
чества движения приводит к выполнению уже ранее выведенных
соотношений взаимности касательных напряжений или, что все
§ 15] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 99
равно, к симметричности тензора напряженности. Действительно,
теорема об изменении главного момента количеств движения может
быть записана так:
JrXpVrfT=j rXPFrf?+ |гХр«йа, (37)
Т СТ
где г—вектор-радиус центров элементарных объемов dx и площадок do,
к которым приложены векторы количеств движения, массовых внешних
сил и внешних напряжений.
Объемный интеграл, стоящий слева, равен
£frXpVd?= pgXpVdT-l- frXp^t+ |rXv4dt).
dt J •’ ML ,i III J III
X T T X
Первый интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль,
dr
так как = V, последний интеграл равен нулю по условию сохране-
ния массы элемента жидкости (15), так что будем иметь:
i[rxpv*=|’rxfy*. (38)
X X
Далее, поверхностный интеграл, стоящий справа в формуле (37),
легко по предыдущему преобразуется в объемный. По (9) будем иметь:
f (« X Р„) de = J г х {пхрх + nvpv + пгре) da =
ст с
= / [«а, О’ X Рт) + % (r X Ру) -+ nz (Г X рг) I da,
<3
откуда по формулам (26) следует:
f ч/ A fP<rXPJ . д(гХРу) . д(ГХРг)1
.1 rXр.*=| Е—+—- -г,-1
о X
= .lrX^ + ^+-ar)dT
X
или, замечая еще, что
g = ^(xi+^4-zk) = i,
5г _ .
7*
100
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
|1Л. И
будем иметь:
+ J l(i X Рт) + О X ру) + (к X Рг)1 dt. (39)
Собирая теперь вместе результаты преобразований, представленные
формулами (38) и (39), можем переписать основное уравнение момен-
тов (37) в виде:
f dp,, dps\
I r X (Р -п —- pF — "з---з--т- 1 dt =
J V dt ‘ дх ду dz J
= f [(»X pj + 0 X Ру) + (к x рг)1 dt.
(40)
Интеграл, стоящий слева, равен нулю, так как по (28) равно
нулю выражение, стоящее в скобке под знаком интеграла; отсюда,
в силу произвольности объема интегрирования в правой части, по-
лучим:
(1ХРш) + 0’ х Ру) 4~ (к X Рг) = о,
после чего проектированием на оси координат нетрудно вновь полу-
чить равенства (14), выражающие симметричность тензора напряжен-
ности или теорему о взаимности касательных напряжений. Только что
изложенное доказательство является не зависящим от приведенного
в предыдущем параграфе и основанного на использовании частного
вида объема — элементарного тетраэдра. Если же принять предыдущее
доказательство и считать теорему о взаимности касательных напря-
жений уже доказанной, то применение теоремы моментов к конечному
объему приводит просто к тождеству, т. е. нового уравнения дина-
мики не дает-
§ 16. Тепловые явления в жидкостях и газах. Закон сохранения
энергии и уравнение баланса энергии
Уравнение непрерывности и уравнения движения в напряжениях
представляют систему динамических уравнений, описывающих взаимную
связь между изменениями плотности и скорости, с одной стороны,
и приложенными к жидкости или газу поверхностными и массовыми
силами — с другой.
Для решения вопросов движения жидкости или газа этих дина-
мических уравнений оказывается недостаточно, так как рассматри-
ваемые обычно движения тесно связаны с непрерывными взаимными
превращениями механической энергии в тепловую. Так, например,
УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ
101
§ 161
хорошо известно, что газ при сжатии его поршнем в цилиндре разо-
гревается, при расширении, наоборот, остывает. В первом случае
механическая работа сжатия переходит в тепло, во втором — работа
расширения происходит за счет тепла газа. Аналогичные, только
гораздо менее интенсивные процессы происходят и в капельных жидко-
стях (вода, масло). Широко распространено явление заметного разо-
гревания движущихся по трубам жидкости или газа за счет внутрен-
него трения. Снаряд, летящий с большой скоростью в воздушной
атмосфере, сильно разогревается, значительно повышается при этом
и температура воздуха вблизи поверхности снаряда.
Вот почему к уравнениям предыдущего параграфа необходимо
присоединить еще уравнение баланса энергии в потоке.
Чтобы составить уравнение баланса энергии в движущихся жидкости
или газе, вспомним общий закон сохранения энергии, который в при-
менении к движущемуся индивидуальному объему можно формули-
ровать так: изменение полной энергии объема жидкости или газа
за бесконечно малый промежуток времени равно сумме элементар-
ных работ внешних массовых и поверхностных сил, приложенных
к выделенному объему и его поверхности, сложенной с элементар-
ным количеством тепла, подведенным извне к объему за тот же
промежуток времени.
В дальнейшем будем считать движущиеся жидкость или газ совер-
шенными, т. е. будем предполагать, что внутреннее молекулярное
движение в них сводится к свободному соударению абсолютно упру-
гих шариков, не подверженных действию межмолекулярных сил и
столь малых по величине, что можно пренебречь их вращением. В этом
, предположении можно считать внутреннюю энергию равной произве-
дению абсолютной температуры Т на коэффициент теплоемкости при
постоянном объеме cv— для сжимаемого газа или на коэффициент
теплоемкости с — в случае несжимаемой жидкости. Уравнению баланса
энергии жидкости или газа в индивидуально движущемся объеме т
с поверхностью а мо&но придать следующую интегральную форму:
4 f = J pF • V rfr-4- f p„ • Vda+JQ. (41)
* г a t
Слева в уравнении (41) стоит индивидуальная производная по вре-
мени от суммы внутренней и кинетической энергий объема, справа —
сумма мощностей массовых Сил, приложенных к объему (первый инте-
1рал), поверхностных сил (второй интеграл) и выраженное в механи-
ческих единицах количество тепла, подводимое (отводимое) в единицу
ремени к индивидуальному объему извне за счет теплопроводности
• и лучеиспускания; множитель J в левой и правой частях обозначает
Вс^анический эквивалент тепла (J = 427 кг • м/кал), позволяющий
Члены уравнения (41) выражать в одинаковых механических еди-
ницах мощности,
102 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
Следуя приемам предыдущего параграфа, выразим обе части урав-
нения (41) как объемные интегралы от соответствующих величин.
Левую часть уравнения (41), используя закон сохранения элемен-
тарной массы (15), преобразуем так:
+ J т)4 (Р = J р 4 (^Т'+т) dz-
т т
Поверхностный интеграл в правой части (41) можно на основании
формул (9) преобразовать к виду:
f pn-Vda^f [»жрж-V+^py.V + /z2ps-V]&==
- / [«ж (PV)* + (PV)v + (PV)J da = J n (PV) da,
о а
или, воспользовавшись формулой Остроградского (66) гл. I,
J рп • V da = J div (РУГ) dx. (43)
о т
Введем обозначение:
Q = У р<7 dx, (44)
где под q условимся понимать секундный приток тепла к бесконечно
малому объему в данной точке, отнесенный к массе этого объема.
Подставляя в уравнение (41) найденные выражения поверхностных
интегралов через объемные и используя произвол в выборе объема т,
получим уравнение баланса энергии в дифференциальной форме:
pA(KT+^) = pF.V+div(PV) + JP9. (45)
В декартовой системе координат, если выписать явно значения
индивидуальной производной и дивергенции, уравнение (45) примет
вид:
pfAи 5--|- х> — -А-хт [jc„74- —-(и0 + »2 + ’и;3)1 —
' \dt ' дх ‘ ду 1 dz) L v 2 v 1 1 ' |
= Р (“^ + vPy 4- ®Fg) + (р^и + pxyv 4-p^XD) 4-
+ “ + Рт° + Р^ + + Ргу” + Р^ + JP£-
§ 16]
УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ
103
Величина q секундного притока тепла, отнесенного к единице
массы, может быть определена, если известен сам процесс притока
тепла.
Основным механизмом распространения тепла в жидкости или
газе является теплопроводность. Замечая, что количество тепла dQ,
проходящего в единицу времени через площадку da, равно по извест-
ной формуле Фурье
dQ = л da = X (grad Т)п da,
где X — коэффициент теплопроводности, а производная берегся по
направлению нормали к площадке da, будем иметь:
Q = J (> grad
о а
откуда по формуле Остроградского (66) гл. 1:
Q= div (X grad Т) dx,
(47)
или, сравнивая с равенством (44), определяющим q,
pq = div (X grad T). (48)
Коэффициент теплопроводности в газах зависит от температуры,
так что в общем случае величину X за знак дифференциального опе-
ратора div выносить нельзя; об этом подробнее будет сказано в гл. VIII.
Заметим, что при малых разностях температур в потоке можно
в первом приближении положить X = const; в этом случае будем
иметь
pq — X div grad Г = XV2 Т, (49)
Л2 Л2 Л2
где V2 = V • V — -J- — символ оператора Лапласа.
Приток (положительный или отрицательный) тепла может проис-
ходить также благодаря лучеиспусканию (например, в топках котлов,
в металлургических печах, в атмосфере под влиянием солнечной
радиации и др.) и по другим физическим (конденсация, парообразова-
ние и др.) и химическим (горение и др.) причинам.
Полученная система динамических — (22) и (30) — и энергетиче-
ского (46) уравнений, как легко заключить по внешнему их виду,
крайне сложна, кроме того, число входящих в систему уравнений на
много меньше числа неизвестных, так что система является незамкну-
той, неопределенной. Для доопределения системы и возможного ее
Упрощения приходится делать ряд дополнительных допущений, при-
водящих к бодее или менее отвлеченным схемам движения жидкости
104 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
или газа. Таковы, например, схемы идеальной, т. е. не обладающей
внутренним трением (вязкостью) несжимаемой жидкости и идеального
сжимаемого газа, вязкой ньютоновской и неньютоновских жидкостей
и мн. др. Основные из этих схем будут рассмотрены в дальнейшем на
протяжении настоящего курса.
Остановимся сначала на одном практически важном и интересном
случае применения выведенных общих уравнений — на учении о равно-
весии жидкости и газов. В этом случае, как будет показано, состав-
ленных уравнений достаточно для любой жидкой или газообразной
среды, удовлетворяющей лишь двум основным принципам, изложенным
во введении: непрерывности и легкой подвижности.
§17. Общие уравнения равновесного состояния жидкости и газа.
Равновесие воздуха в атмосфере. Приближенные барометрические
формулы. Стандартная атмосфера
Согласно основному свойству жидкостей и газов — легкой подвиж-
ности,— при равновесии отсутствуют касательные силы сопро-
тивления взаимному скольжению жидких объемов друг по отношению
к другу по площадкам их соприкосновения, а действуют лишь нор-
мальные к этим площадкам силы.
Таким образом, при равновесии жидкости или газа векторы напря-
жений, приложенные к трем координатным и одной наклонной к ним
площадке (§ 14), будут равны:
Р® Рхз^> Py^^Pyyii Рг==Ргг^ Pn РпЪ (50)
а касательные компоненты напряжений равны нулю:
Рагу Руа> == Руг == Pay Рга>:== Раш == 0» (оО )
Подставляя значения напряжений в основную систему равенств (10),
найдем:
Р'пРх == ^xPasai’ РпРу МуРуу’ РпРг == MzPzzi
откуда сразу следует
Рхх~' Руу~ Pzz^ Рп' (51)
Общ(?е значение нормальных напряжений, приложенных в данной точке
жидкости к площадке любого направления, назовем давлением в данной
точке жидкости или газа и обозначим через я—р“ в знак того, что
вектор напряжения направлен противоположно орту нормали к пло-
щадке: •
р„ = — рп, (52)
что соответствует сжатию выделенного объема. Давление р — такой
же физический скаляр, как плотность, температура и др.
§ 171
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ
105
Тензор напряженности Р при равновесии
среды имеет таблицу.
/—р, 0, °\ /1, 0, 0\
Р 0, —р, ° |=-р(о, 1, о] = —/>£. (53)
\ 0, о, —р) \0, 0, 1 /
Симметричный тензор g, компоненты которого отвечают условиям:
= 1, = ^„г = = °,
«С/Л- У У Чч ' уЧ ЧЛг '
называют единичным тензором или тензорной единицей. Последние
равенства должны выполняться, очевидно, независимо от выбора си-
стемы координат, т. е. единичный тензор должен оставаться единичным
при любом направлении взаимно перпендикулярных декартовых осей
координат; эго можно было бы показать и непосредственно на осно-
вании формул преобразования компонент тензора при изменении на-
правления осей координат (см., например, ранее цитированный курс
векторного и тензорного исчисления Н. Е. Кочина).
Формула (12) вместе с (52) и (53) дает очевидную систему равенств:
р„ = пР = —/mg= /?n, (54)
из которых, между прочим, видно, что
ng = п,
(55)
так что умножение орта п на тензорную единицу приводит к тому
же вектору, — общее свойство умножения любого вектора на тензор-
ную единицу, в чем легко убедиться, проделав операцию умножения
по ранее установленному в гл. I правилу (20).
Чтобы вывести уравнения равновесия среды, т. е. ее относитель-
ного покоя, рассмотрим уравнения движения, частным случаем которых
при равенстве нулю всех скоростей должны являться уравнения равно-
весия.
Уравнение неразрывности (22) сведется при этом к первому усло-
вию равновесия
т- е. к стационарности поля плотностей среды.
Уравнения в напряжениях (29) на основании таблицы (53) дают
следующую систему основных уравнений равновесия среды'.
= (56)
У ду ’ I v '
106 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IJ
называемых уравнениями Эйлера равновесия жидкости или газа.
Система (56), очевидно, эквивалентна одному векторному уравнению
pF = grad р, (57)
которое можно было и сразу вывести из (37), заметив, чго по (53),
(31), (55) и интегральной формуле (70) гл. I:
Div Р = Div ( — р%>) = lim I — nS/7 do —
Дт~>0 J
<У
= ~lim i npd0 = —gradp.
Дт->0 •>
a
Наконец, уравнение баланса энергии (45) дает тепловое условие
равновесия жидкости или газа
дТ ,
с*~д1=<1, (58)
которое, при наличии только теплопроводности приводится по (48)
к уравнению:
PQ ЭГ = div grad ^59')
а при возможности считать коэффициент теплопроводности постоян-
ным (см. формулу (49)] — к уравнению:
^=aV2r, (60)
где постоянный коэффициент а называют коэффициентом темпе-
ратуропроводности.
Рассмотрим подробнее основное уравнение равновесия в векторной
форме (57). Простыми операциями из него можно исключить плотность
и давление. Для этого возьмем сначала от обеих частей векторного
равенства (57) операцию вихря rot, тогда р пропадет, так как
rot grad р s0; будем иметь
rot (pF) = 0
или, раскрывая скобки по известному правилу векторного анализа,
получаем
protF-j-gradpXF —0. (61)
Умножим теперь обе части этого равенства скаляр но на F; тогда,
заметив, что второе слагаемое, как векторное произведение, перпен-
дикулярно своему сомножителю F, найдем следующее общее ограни-
чение, накладываемое на класс сил, под действием которых возможно
равновесие жидкости или газа:
F.rotF=0, (62)
§ 17] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ
107
ИЛИ, В проекциях на оси декартовых координат
dFy\ /дЕ^ dFA , ,
^Кду dz)~F 'H\dz dx / ' ®\dx dy )
К числу объемных сил, удовлетворяющих условию (62), относятся
прежде всего силы, имеющие потенциал II, так как для них
F — — grad П, rot F = 0.
В этом случае, как легко усмотреть из равенства (61),
gradpX gradll = 0, (63)
откуда следует, что силовые линии поля потенциальных объемных
сил ортогональны изостерам (поверхностям одинаковой плотности),
а также, что изостеры совпадают с изопотенциальными поверх-
ностями силового поля.
Из (57) следует еще, что при равновесии среды силовые линии
перпендикулярны изобарам (поверхностям одинакового давления). Та-
ким образом, вообще, при равновесии жидкости или газа под дей-
ствием потенциального поля объемных сил изопотенциальные поверх-
ности поля совпадают с изобарами и изостерами.
Можно доказать и обратное предложение: если изобары совпадают
с изостерами, то равновесие жидкости или газа возможно только
под действием потенциального поля объемных сил. Действительно,
по условию,
grad р X grad р = 0
или по (57)
FXgradp = 0,
отсюда, на основании (61), вытекает
rot F = 0, F = — grad П.
Если в движущемся или покоящемся газе плотность является
функцией только давления, то такой процесс движения или равно-
весия называется баротропным. Из предыдущего следует, что баро-
тропное равновесие газа возможно при наличии только потенциаль-
ных сил, так как при условии р — р (р) изобары и изостеры, очевидно,
совпадут; следовательно, как только что было показано, силовое
поле должно быть потенциальным.
Более общее условие (62) имеет смысл требования существования
в силовом поле поверхностей, ортогональных к силовым линиям,1
причем эти поверхности в общем случае не должны совпадать
с изостерами.
1 См. Л. Г. Л о йцянский и А. И. Лурье, Курс теоретической меха-
Вики, ч. И. 1940, изд. 3, стр. 164,
108 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖ1НИЯ И РАВНОВЕСИЯ [гл. п
Система уравнений (57), как уравнений в полных дифференциалах,
представляет лишь одну связь между двумя неизвестными величи-
нами р и р, уравнение (59) — также одно уравнение с двумя неизвест-
ными к и Т. Чтобы сделать систему уравнений равновесия определен-
ной, необходимо добавить еще уравнение состояния газа, называемое
обычно уравнением Клапейрона:
| = (64)
и уравнение зависимости коэффициента теплопроводности от темпе-
ратуры:
к = к (7). (65)
Если равновесие баротропно, то
Р = Р (». (66)
Это имеет место, например, в следующих случаях:
1) газ несжимаем, г. е. имеет повсюду одинаковую плотность
р — const;
2) равновесие изотермическое, при котором
Т = const — То,
а следовательно, по (64):
3) равновесие адиабатическое (без притока тепла извне), отве-
чающее известной из курса термодинамики адиабате'.
р = const • р* = ^-pfe, (68)
Ро
1де k—показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа
при постоянном давлении и постоянном объеме с,.; для воз-
духа k— 1,405. Значения величин р0, р0, То относятся к какой-нибудь
одной характерной точке покоящегося газа.
Задача сводится, таким образом, к решению уравнений (57) и (59)
при тех или иных дополнительных связях между термодинамическими
элементами р, р и Т.
Останавливаясь лишь на случае баротропного равновесия газа
в потенциальном силовом поле, напишем уравнение равновесия в виде:
‘ —р grad П == grad р. (69)
Введем в рассмотрение функцию давления
р
я»)
§ 1?| ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОС'1'ОЯНИЯ 109
градиент ее по (70) равен:
grad = grad p = jgradp. (70')
При баротропности равновесия газа функция давлений S’ играет
роль потенциала или потенциальной энергии поля отнесенных к еди-
нице массы главных векторов поверхностных сил, сводящихся в слу-
чае равновесия к силам давления. Можно сказать также, что
функция давлений представляет потенциальную энергию интен-
сивности объемного действия поля давлений.
Действительно, в полном соответствии с обычной связью между
векторным силовым полем и его потенциальной энергией, имеем
по (70'):
— i grad р = —grads’.
Итак, при баротропном равновесии среды объемное действие
среды на выделенное в ней „единичное тело* (единицу объема или
массы) образует потенциальное поле с потенциалом, зависящим
только от характера баротропности процесса.
Уравнение равновесия (69) может быть переписано в форме
grad П -ф- grad S’ = 0,
откуда следует, что при равновесии среды во всех точках ее выпол-
няется равенство
П + S’= const. (71)
В качестве иллюстрации рассмотрим приближенные уравнения
равновесия атмосферы под действием силы тяжести. В этом случае,
направляя ось z вертикально вверх и помещая начало координат
на уровне моря, будем иметь (z0— некоторая высота над уровнем
моря):
П = g(g—г0).
Функция S’ для изотермического случая будет определяться на
основании (66) так:
р
PoJ Р Ро Ро
з>
(72)
Ро. Ро
Условие приближенного равновесия атмосферы между пунктами zt
и г2 по (71) можно написать в виде:
^(г2-г1)+а1п£1==о, (73)
Где Ръ Pi и р2, р2—значения давления и плотности на высотах
и г2 над уровнем моря. Формула (73) представляет простейшую
110 Основные Уравнения движения и равновесия |гл. й
барометрическую формулу, позволяющую приближенно определять
высоту га пункта над уровнем моря по измеренному барометром
давлению в этом пункте, если известны и pj при z = zt.
Полагая zt = 0, pY = ра, pt = ро, -га = г, р% = р, ра = р, можем
придать формуле (73) простой вад:
-J^s
р = рае р<* . (73')
Формулу (73) или (73') можно применять с большой точностью,
если разбить весь интервал ее применения на малые промежуточные
интервалы (У, У') и в начале каждого следующего интервала z = z"
пользоваться новым значением отношения /?"/р", исправленным на
новую температуру Т" по формуле
=: RT",
р
и новым значением р", вычисленным по (73) из равенства
^(У'—У) 4-^7 In ~ = о.
Обычно поступают несколько проще. Обозначим разность двух близких
высот х2— Zt через Дх, разность соответствующих им давлений рг—р2
через Др; тогда равенство (73), согласно (66), примет вид:
g&z-ф- RT In ^1 = 0,
где под Т будем понимать среднюю температуру воздуха в интервале
(Xi, xj + Дх):
Т — (71 + Ту.
Отсюда найдем _
л RT, /, ,ДМ
g \ Pi J
или, пользуясь разложением логарифма в ряд,
^RT Др Up RT Ьр
g P1 ё pi—^-Ap g ^(pi+pi)
Можно еще перейти от абсолютных температур к обычным по формуле
— - 1 1 - 1
+ —0+“0, « = 275.
и получить приближенную формулу:
дг^21^.2-£1_-£1 (1
8 Р1+Р2 к
(74)
§ 1?1
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНЙЯ
111
Замечая, что для сухого воздуха
7? = 29,27 g м21секЧрад,
приведем формулу (74) к такому окончательному виду:
Да =£= 16 (1 + а?) м,
удобному для практических измерений.
(75)
При технических расчетах пользуются обычно так называемой
стандартной атмосферой, согласно которой в нижних слоях атмо-
сферы — в тропосфере (0 < z < 11 км) — температуру принимают
падающей от значения 15° С вблизи уровня моря иа 6,5° С на каж-
дый километр, а давление на уровне моря — равным 760 мм рт. ст.
В стратосфере (£>11 км) температура считается одинаковой и рав-
ной — 56,5° С.1
Формулы расчета для тропосферы получаются из следующей си-
стемы уравнений:
“L = — gdz, — = RT, T—Tc. — cz,
р ' р 0
где газовая постоянная R для сухого воздуха равна 29,27g м^сек^град,
То = 273°4- 15° = 288°, с = & = 0,0065 град/м.
и * luvU '
Интегрирование этой системы уравнений не составляет труда.
Имеем:
RT , , dp
—— ар =.— g az, —
gdz
Н(Тй-сг) >
Отсюда следует {ра — атмосферное давление на уровне моря,
принимаемое равным 760 мм рт. ст.)5 что
Р h с ASlRe
Ра К Т/J ’
или, подставляя числа,
Z. = f1_____£_ГГ>
Ра V 44300/ •
Для стратосферы начальная температура принимается равной
56,5° С и интегрирование проводится так же, как и для изо-
термического случая.
и г-Д Таблицы международной атмосферы можно найти в специальных курсах
«фавочннках.
112
Основные уравнения движения и равновесия
[гл. и
Не составляет груда получение барометрической формулы и для
адиабатического равновесия.
В этом случае, обозначая через ра и ра— давление и плотность
на уровне моря (z = 0), по (68) и (70) легко найдем
k
„1/й / 1с—1 7г — 1
—\р ,с —рпк
Ра' fa
после чего по (71) получим барометрическую формулу:
к ___1 Ра „~
- k PagZ
В рассмотренном одноразмерном случае (безграничная атмосфера,
изменяющаяся вдоль оси г) тепловое условие равновесия в предпо-
ложении стационарности температурного поля примет вид
сРТ
dz2
= 0,
что приводит к линейному распределению температуры, в частности,
к постоянству ее по высоте. Это условие выполняется как при изо-
термическом равновесии, так и в случае „стандартной" атмосферы.
При адиабатичности процесса условие теплового равновесия не
выполняется.
Нетрудно построить барометрическую формулу изотермического
равновесия и с учетом поля тяготения, если заметить, что в этом
случае потенциал массовых сил может быть принят равным
П __ —1------------J____
ы Ь -f- z0 а 4- z
где а—радиус Земли, р— ускорение на уровне моря. По (71)
будем иметь
— In — -I- (fig (—1-------i—= 0. (76)
Ро Ро ' б\« + г0 a + zj 1 7
§ 18. Равновесие несжимаемой жидкости. Уравнение поверхности
раздела. Равновесие вращающейся жидкости
Рассмотрим равновесие несжимаемой жидкости (р = const) в потен-
циальном поле объемных сил. Уравнение равновесия по (57) будет
— р grad П= grad р
или
р -ф- рП = const. (77)
Пусть две несмешивающиеся жидкости разной плотности pt и р2
находятся во взаимном равновесии, причем вблизи поверхности раздела
§ 18]
РАВНОВЕСИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
ИЗ
этих жидкостей, несмотря на наличие скачка плотности, давление р
и потенциал П непрерывны, т. е. принимают одни и те же значения
независимо ot того, со стороны какой жидкости подойти к данной
точке поверхности раздела. Производная от левой части равенства
(77) по любому направлению s,
к поверхности раздела, должна
дующим двум равенствам:
dp . dll п
-г—к р< -у- — О,
ds 1 ds ’
лежащему в касательной плоскости
удовлетворять одновременно сле-
dp . ___
ds +’ p2 ds ~ U’
откуда вычитанием получим
(pi —== Q»
последнее равенство при принятом условии pj ф р2 приводит к постоян-
ству потенциала объемных сил П на поверхности раздела. По (77)
при этом и давление р будет сохранять постоянное значение вдоль
поверхности раздела. Отсюда вывод: при равновесии двух несмеши-
вающихся несжимаемых жидкостей разной плотности в потен-
циальном поле объемных сил граница раздела жидкостей будет
одновременно изопотенциальной поверхностью и изобарой.
Так, при равновесии жидкости в поле тяжести, если ось z на-
править по вертикали вниз, равенство (77) дает
р —• pgz = const
или, заменяя произведение pg на удельный вес 7,
р — 72 = const.
Обозначим давление над свободной поверхностью жидкости
(обычно, атмосферное), через ра; тогда, помещая начало координат
в точку на горизонтальной свободной поверхности, найдем
p = pe4-pgz = po + H. (78)
Давление в данной точке на глубине z, за вычетом дополнитель-
ного давления столба воздуха на свободную поверхность, т. е. давле-
ние р' = р—ра> будем называть давлением жидкости. Тогда, для
расчетов давления жидкости на тело можно, опуская штрих, пользо-
ваться формулой
р = (78')
понимая под р превышение давления в жидкости над атмосферным
давлением на свободной поверхности.
Поверхностью раздела—свободной поверхностью жидкости —
служит горизонтальная плоскость z = const; на всей этой пло-
скости р == const.
8 Зак, 1841.
Л Г. Лойцянский.
114
ОСНОВНЫЕ уравнения движения и равновесия
[гл. и
Предположим теперь, что жидкость вращается с постоянной угло-
вой скоростью си вокруг некоторой оси, сохраняющей в простран-
стве постоянное направление. Чтобы написать условие относительного
равновесия вращающейся жидкости, как известно, следует к непосред-
ственно приложенным силам с потенциалом П присоединить еще
отнесенную к единице массы центробежную силу равную
F(4) = <o2r'= (79)
и имеющую потенциал
№> = —(79')
где г* — вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси
вращения к рассматриваемой точке жидкости и равный по величине
этому расстоянию; этот вектор гл не следует смешивать с вектор-
Рис. 27.
радиусом точки г относительно начала
координат. Если ось z совпадает с осью
вращения, то
г* = Ух3+у2,
в то время как вектор-радиус г по вели-
чине равен
г — ]/ х‘2 -}-у2 г2.
Уравнение относительного равновесия
вращающейся жидкости будет иметь по
(77) вид
р -j- pH — i рсо2/"*2 — const. (80)
Уравнение свободной поверхности
(р = const) будет
рЛ — ! рси2г*2 = const. (81)
Так, например, свободная поверхность тяжелой жидкости, вращаю-
щейся (рис. 27) вокруг вертикальной оси Oz, направленной вверх,
будет иметь уравнение
— у P“2 (х2 у2) = const,
или, обозначая через z0 координату точки пересечения поверхности
с осью Ozjx = 0, у = 0),
z-~z0 = ^(x2+y2).
Это — параболоид вращения с параметром g/cu2, зависящим от угло-
вой скорости вращения жидкости; с возрастанием угловой скорости
РАВНОВЕСИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
115
Лтах = А) 4
§ 18]
вращения параметр убывает и ветви параболы в меридиональном
сечении параболоида сближаются.
Легко найти связь между высотой воды h0 в сосуде при отсут-
ствии вращения и величинами йтах и /zlnin при вращении с угловой
скоростью о. Простое определение объемов дает (а — радиус цилин-
дрического сосуда)
"4F’
ь ь ш2а2
"min —"О
Таким образом, измеряя по шкале, помещенной на внешней поверх-
ности стеклянного цилиндра, полную глубину воронки в жидкости
. , ___ы2а2
"max "min — " 2g ’
можно определить угловую скорость вращения цилиндра, т. е. исполь-
зовать прибор, как тахометр.
В качестве другой иллюстрации применения выведенного условия равно-
весия, рассмотрим вопрос о фигуре равновесия вращающегося объема одно-
родной жидкости, тяготеющей к неподвижному центру силой, обратно
пропорциональной квадрату расстояния до центра.
Примем (рис. 28) ось z за ось вращения и начало координат О за центр
притяжения. Потенциал сил тяготения, отнесенных к единице массы жидкости,
будет равен
стояние частицы жидкости М
от центра тяготения — начала
координат О. Потенциал цен-
тробежных сил, отнесенных к
единице массы жидкости, бу-
дет по предыдущему равен
( 1 9 а:2
I —
где С — некоторая константа, г = _У2 + z2— рас-
<о — угловая
скорость вращения жидкого
объема, г* = — рас.
стояние жидкой частицы от
оси вращения Oz. Условие рав-
новесия вращающейся жидко-
сти, если отвлечься от сил вза-
имного тяготения между части-
цами, будет по (80)
р Г ~ ’g’ P“2r*2= const ,(82)
з Уравнение свободной поверх-
ности, ограничивающей враща-
поЧ(81)°^ЪеМ жпдкости от окружающей его среды другой плотности, будет
С , <№
_ -----------------------------— = const .
(83)
8«
116
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. П
Это уравнение и дает искомую форму поверхности фигуры равновесия,
тяготеющей к центру жидкости при вращении ее вокруг неподвижной оси.
Имея в виду приложения формулы (82) к вопросу о форме Земли, предста-
вляющей в грубом приближении вращающуюся однородную жидкость, тяго-
теющую к центру, зададим ускорение g0 тяготения масс на полюсе, находя-
щемся на расстоянии г0 от центра Земли, тогда будем иметь:
— = £о> C = rogo,
го
и уравнение поверхности фигуры равновесия будет
£Ь»о , “2''*2
г + 2 ~
const,
причем const определяется из условия, что на полюсе: г = г0, г* — 0, откуда
следует
= const.
Окончательное уравнение свободной поверхности будет иметь вид
ёого ,
г + 2
или, вводя полярный угол 6,
3 2 •
О) rosin и
----2-----
(84)
(85)
ЗУо
2
= 5iZo
Если бы Земля не вращалась (<о = 0), уравнение свободной поверхности
свелось к равенству
г = г0
и фигурой равновесия служила бы сфера. За счет весьма малого вращения,
1
«° ~ 13700 Х!сек)> ФигУРой
совершаемого Землей
равновесия служит тело
вращения, представляющее несколько сплющенную у полюсов сферу — сфе-
роид, уравнение поверхности которого (85) может быть в силу малости без-
размерной величины
= ( ¥*._¥. ±2^. _2_ - о 0034,
go \24-60-60/ 2п 9,83 ’ ’
приближенно представлено так:
(86)
Отсюда легко найти относительную сплюснутость Земли
* Г max '"min 1 w?r0 . 1
~ '’min ~ 2 g0 600 ’
Геодезические измерения приводят к величине в два раза большей. Такое
расхождение теории с опытом объясняется грубостью принятого приближе-
ния об однородности Земли и, что самое главное, неучетом взаимного притя-
жения частиц, изменяющего в корне самый закон притяжения к центру. При
§ 19] ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА 117
этом закон притяжения частиц становится зависящим от самой формы отно-
сительного равновесия вращающейся жидкости, что делает строгое решение
задачи весьма сложным. Наряду с решением задачи о разыскании равновесных
фигур вращающейся жидкости встает вопрос об устойчивости равновесия этих
фигур, так как только устойчивые фигуры могут существовать в действи-
тельности.
Проблема разыскания устойчивых форм вращающихся жидких объемов
способствовала развитию многих теоретических вопросов математики и меха-
ники, особенно же теории потенциала и общего учения об устойчивости дви-
жений. Мировую известность приобрели работы в этом направлении созда-
теля современной теории устойчивости движения академика А. М. Ляпунова
(1857—1918), который нашел бесчисленное множество фигур равновесия вра-
щающейся жидкости, близких к эллипсоидальным, открытым ранее в 1742 г.
Маклореном (эллипсоид вращения) и в 1834 г. Якоби (трехосный эллипсоид).
А. М. Ляпунов исследовал также фигуры равновесия вращающейся неодно-
родной жидкости, что особенно существенно для проблем космогонии.
Результаты А. М. Ляпунова оставили далеко позади все что было сделано
в том же направлении зарубежными учеными и в том числе известным фран-
цузским математиком А.‘Пуанкаре (1854—1912).
Ряд классических задач теории устойчивости вращающихся жидких масс
был разрешен также нашими великими соотечественниками: П. Л. Чебыше-
вым, Софьей Ковалевской и В. А. Стекловым.
§ 19. Давление тяжелой несжимаемой жидкости на поверхность
тела. Сила и момент, приложенные к телу, плавающему
в тяжелой жидкости. Случай вращающейся жидкости
Главный вектор и главный момент сил давления жидкости на
некоторую твердую поверхность а определяются интегралами (п — орт
нормали к поверхности а, направленный внутрь жидкости)
R==—пр da, L— — ^r^npda, (87)
СТ ст
причем поверхность о, вообще говоря, незамкнута. В частном случае
тяжелой жидкости, заменяя давление р его выражением (78'), получим:
пг da, L = — -у г X пг da. (88)
ст ст
Если поверхность а представляет как угодно наклоненную пло-
скую стенку, то п == const и первая из формул (88) дает
R = — -упге - а, /? = -угс • а, (89)
где гс (рис. 29) обозначает вертикальную координату центра тяжести С
площади а. Равенство (89) показывает, что главный вектор сил да-
вления жидкости на любую плоскую площадку, как угодно накло-
ненную к горизонту, равен по величине весу цилиндрического столба
жидкости, имеющего своим основанием площадку, а высотой — глу-
инУ центра тяжести площадки под свободной поверхностью
118
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. П
Этот факт независимости давления жидкости на стенку сосуда от
формы сосуда, в который жидкость налита, был открыт Паскалем и
получил естественное для своего времени наименование гидроста-
тического парадокса.
Вектор-радиус гц и координаты центра давления Ц—так назы-
вают точку приложения равнодействующей R системы параллельных
сил давления на площадку — можно найти по теореме о моменте
равнодействующей:
Гц X R = — 7 J" Г х 42 da. (90)
а
Возьмем в плоскости расположения площадки а следующую си-
стему координат: ось Оу' проведем вдоль линии пересечения плоскости
со свободной поверхностью, ось Ох'—по перпендикуляру к оси Оу'
вглубь жидкости, ось Oz'—по нормали к площадке вниз. Замечая, что
п = — к', и что, кроме того, для всех точек наклонной плоскости:
х = х' cos 6, z = х' sin 6, у — у',
получим, проектируя (90) на новые оси,
У Ji — 1 у'z da, x\R — y^x'z da, г'ц = О,
СТ ст
или по (89):
(x'2dc fx'y'da
х'==--^—у—, у'=-—т----------, г'— 0. (91)
ц Х(у ц Х(.с ч v 7
Обращает на себя внимание факт независимости положения центра
давления от наклона площадки. Как показывают формулы (91),
§19] ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА 119
задача об определении центра давления жидкости на наклонную пло-
щадку сводится к разысканию центра тяжести, момента инерции и
центробежного момента площади.
Если поверхность а замкнута и ограничивает некоторый конечный
объем х, то по (87) и интегральной формуле (70) гл. I получим:
R = — npda — — grad р dx. (92)
СТ X
В случае тяжелой жидкости имеем, согласно уравнению Эйлера (57),
grad р = pg, (93)
где g—вектор ускорения силы тяжести, р — плотность жидкости.
Подставляя в (89), найдем
R = —fpg<fc = —О. (94)
Равенство (94) показывает, что главный вектор сил давления
жидкости на поверхность погруженного в нее тела равен по вели-
чине весу жидкости в объеме тела и направлен в сторону, противо-
положную силе веса. Это — классический закон Архимеда. Силу R
иногда называют архимедовой или гидростатической подъемной си-
лой в знак того, что эта сила стремится вытолкнуть тело из жидкости,
заставить его всплыть. Тяжелое тело, погруженное в жидкость, „теряет"
в своем весе столько, сколько весит вытесненная телом жидкость.
Легко находится также и главный момент сил давления жидкости
на погруженное тело. Имеем по (87) и интегральной формуле(73) гл. I:
L = — J г X пр da = п X pr da = rot (pr) dx
стат
или, применяя известную формулу векторного анализа
rot (pr) = р rot г -[ grad р X г,
приводящую в данном конкретном случае к равенству
rot (pr) = — г X grad р,
так как
rot г = 0,
получим
L — — J г X grad р dx,
или, согласно (93),
L —— JrXpg^. <95)
120
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[гл. ц
Замечая еще, что вектор-радиус гц центра тяжести Ц вытеснен-
ного объема равен
Гц==(7 I rp^dT
и что, очевидно,
G
получим по (94):
L= — g-Jrpg-diX G = — r4XG = ruXR- (96)
Полученная формула показывает, что линия действия главного
вектора R сил давления жидкости на погруженное в нее тело про-
ходит через центр тяжести Ц (рис. 30) вытесненного телом
объема жидкости. Не следует, конечно, смешивать центра тяже-
сти погруженного твердого тела С
с центром тяжести вытесненного
объема жидкости Ц. Погруженное
тело, например корабль, может
быть неоднородным, с переменным
размещением масс в нем; при этом
центр тяжести будет занимать
различные положения по отноше-
нию к твердому телу, центр же
тяжести вытесненного жидкого
объема зависит от формы внешней
поверхности твердого тела и при
данной форме этой поверхности
будет занимать вполне определен-
ное положение. Если данное твер-
дое тело будет занимать различ-
ные положения в жидкости (на-
пример качка корабля), го поло-
жение центра его тяжести по
отношению к челу не меняется,
центр же тяжести вытесненного
объема будет при этом переме-
щаться.
По терминологии, установившейся в статике корабля, центр тя-
жести вытесненного объема жидкости называют центром величины.
Твердое .тело, погруженное в жидкость, будет в равновесии, если
вес тела равен весу вытесненной им жидкости и, кроме того, центр
величины окажется на одной вертикали с центром тяжести. Если при
этом центр величины лежит выше центра тяжести, то такое равно-
|Весие будет, очевидно, устойчивым (рис. 30, наверху), если же центр
величины окажется расположенным ниже центра тяжести, то такое
§ 19] ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА 121
равновесие будет неустойчивым и пара сил (R, G) опрокинет тело
(рис. 30, внизу).
Отклоним плавающее тело на малый угол а от положения равно-
весия, при котором точки С кЦ лежали на одной вертикальной пря-
мой LL. Через новое положение центра величины Ц' проведем верти-
каль до пересечения с отклоненным положением прямой L'U в точке /И,
называемой метацентром.1 Расстояние h между метацентром и центром
тяжести тела определяет метацентрическую высоту. Пара сил (R, G),
в случае устойчивого равновесия восстанавливающая равновесие, а
в случае неустойчивого равновесия опрокидывающая тело, будет иметь
момент
L=Gh sin а.
Если метацентр выше центра тяжести, тело вернется в положение
равновесия, если метацентр ниже центра тяжести, тело опрокинется.
Рассмотрим в заключение еще вопрос об определении главного
вектора сил давления однородной тяжелой жидкости на погруженное
в нее тело при равномерном вращении жидкости вместе с погру-
женным в нее телом.
Применим вновь формулу (89), но заметим, что в настоящем слу-
чае градиент давления по (80) будет равен:
grad р = — р grad П -J- рсо2г* grad г* = pg -J- ро»2г*; (97)
тогда получим
R — — J pg dx — I* po>2r dz = — G — p<osr* • x, (98)
где под r‘ подразумевается вектор, направленный по кратчайшему
расстоянию от оси вращения до центра тяжести вытесненного объема Ц
и равный по величине этому расстоянию
r;(=4jrrfT- (")
Формула (98) показывает, что при равномерном вращении жидкости
с полностью увлекаемым ею во вращение телом давление жидкости на
поверхность тела складывается из архимедовой подъемной силы, ана-
логичной той, которая была бы в неподвижной жидкости, и еще до-
полнительной архимедовой силы,
R' = — р«/2гЧ = — Af<u2r*, (100)
играющей роль центростремительной силы притяжения тела к оси
вращения и равной по величине произведению массы жидкости М
Предполагается, конечно, что в силу материальной симметрии пересе-
чение Действительно осуществится,
122 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. Ц
в объеме тела на квадрат угловой скорости вращения и кратчайшее
расстояние от оси до центра тяжести вытесненного объема жидкости.
Полученный результат можно положить в основу объяснения мно-
гих явлений и прежде всего описания процесса центрифугирования.
Пусть плотность находящегося в жидкости тела равна р, причем тело
будем считать однородным и полностью погруженным. Тогда, прикла-
дывая к такому, вращающемуся вместе с жидкостью, телу центро-
бежную силу, равную (М— масса тела)
F — 7Исо2г* = р<в2тг’,
ц 1 ц’
и учитывая вес этого тела О = Mg, можем судить об относительном
равновесии тела в жидкости по разности векторов приложенных к нему
сил: веса О и центробежной силы F, с одной стороны, и архимедовых
подъемной и центростремительной сил — с другой; эта разность равна:
G — G (р — р) о>2~г* = (р — р) gr 4~ (р — р) сАг* =
= (Р—-Р)(£+‘и2гц)т-
Из рассмотрения этой разности сразу видно, что: 1) если плот-
ность вращающихся вместе с жидкостью тел р больше плотности
жидкости р, то такие тела будут тонуть во вращающейся жидкости
и отбрасываться на периферию, 2) если же плотность тел р меньше
плотности жидкости р, то такие тела будут всплывать и приближаться
к оси вращения. Так, например, в маслобойных центрифугах зерна
образовавшегося масла, более легкие, чем окружающая их водянистая
сыворотка, всплывают наверх и собираются вблизи оси центрифуги.
Как непосредственно следует из последней формулы, равновесие
возможно лишь при условии одинаковой плотности жидкости и погру-
женных в нее тел (р = р).
ГЛАВА Ш
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
§ 20. Идеальная жидкость. Основные уравнения
движения
Наиболее простой схемой движущейся жидкости является так
называемая идеальная жидкость. Принимая эту схему, отвлекаются
от наличия внутреннего трения—вязкости, считая что по пло-
щадкам соприкасания двух, друг относительно друга движущихся,
объемов действуют лишь нормальные к площадке силы давления и
полностью отсутствуют лежащие в плоскости площадки касательные
силы трения.
Применяя это допущение к координатным площадкам, будем иметь
Рху== Pyai^2 Pyz^^ Pzy== Pzas^^ Рая^^ (О
то же допущение отсуктвия касательных напряжений на наклонной
к координатным осям площадке дает
Рпя> ~ Рппа>’ Рпу = Рппу> Pnz ~ PtPz-
Отсюда, согласно системе равенств (10) гл. И, будем иметь:
Рж — Руу^Ргг — Рп' (2)
Из системы равенств (1) и (2) следует основное свойство идеаль-
ной жидкости — независимо о г выбора осей координат касательные
напряжения в любой точке движущейся идеальной жидкости равны
нулю, нормальные — равны между собой, иными словами, нормальное
напряжение в данной точке не зависит от направления площадки,
к которой оно приложено.
Обозначим это общее значение нормальных напряжений в данной
точке потока через „—р“. Скалярную величину р будем называть
явлением в данной точке потока; знак минус, как и в случае равно-
весия, выделяется специально, чтобы подчеркнуть противоположность
направления вектора нормального напряжения рп направлению орта нор-
лик положительной стороне площадки. Таким образом, напряжение,
124 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Ш
приложенное к положительной стороне любым образом наклоненной
элементарной площадки в идеальной жидкости, определяется формулой
Рп = Рпп = —Рп- (3)
Вспоминая предыдущую главу, видим что полученные только что
формулы, верные лишь в случае движения идеальной жидкости или
газа, совпадают с соответствующими формулами равновесия любой
реальной сплошной среды.
Совокупность равенств (3) эквивалентна тензорному равенству
Р =—р$, (4)
которое также совпадает с аналогичным равенством (53) гл. II для
находящейся в равновесии неидеальной сплошной среды.
При отсутствии касательных сил трения, два параллельно движу-
щихся слоя идеальной жидкости могли бы иметь совершенно произ-
вольные скорости, свободно скользить друг относительно друга. Этот
факт находится в явном противоречии с принципом непрерывности
поля скоростей, положенным ранее в основу кинематики и динамики
жидкости и газа. Можно было бы ожидать при этом, что схема
идеальной жидкости должна привести к результатам, далеким от
реальности, бесполезным для практики. Однако это не так. Теория
идеальной жидкости в большинстве случаев с достаточной для прак-
тики точностью описывает обтекание тел, оценивает распределение
давлений по поверхности обтекаемых тел, дает суммарную силу
давления потока на тело и мн. др. Причиной достаточного совпадения
с опытом столь, на первый взгляд, отвлеченной, „идеализированной"
схемы служит дополнительное допущение о сохранении и для идеаль-
ной жидкости принципа непрерывности распределения механических
и термодинамических величин в движущейся среде. В этом фундамен-
тальном принципе механики сплошной среды заложена главная каче-
ственная сторона физического механизма молекулярного обмена в жид-
костях и газах, приводящего, с одной стороны, к непрерывности полей
физических величин и, с другой, к наличию трения и теплопроводности.
Отвлекаясь в схеме идеальной жидкости от количественной стороны
влияния внутреннего молекулярного обмена, проявляющейся в виде
трения и теплопроводности, сохраняют в силе главную, качественную
сторону явления — непрерывность распределения физических величин.
Принцип непрерывности движения среды приходится нарушать
лишь в некоторых особых случаях: на границах двух идеальных
жидкостей разной плотности (поверхности раздела), на поверхности
твердого тела, обтекаемого идеальной жидкостью, а также на неко-
торых специальных поверхностях, где физические величины или их
производные могут претерпевать разрывы непрерывности (поверхности
разрыва). В первых двух из указанных случаев допускается свободное
скольжение жидкостей друг по отношению к другу и скольжение
жидкости по поверхности твердого тела, причем ставится условие
§ 20]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
125
отсутствия взаимного проникновения жидкостей или протекания жид-
кости сквозь поверхность твердого тела (условие непроницаемости).
Как далее будет показано, в наиболее важных для практики случаях
эти нарушения основного принципа непрерывности обычно сосредото-
чиваются в тонких слоях (пограничный слой, граница струи, ударная
волна или скачок уплотнения и др.), принимаемых за поверхность
или в случае плоского движения, за линию. Вне этих поверхностей
или’ линий все величины считаются непрерывными, что позволяет при-
менять обычные приемы составления и решения уравнений динамики
идеальной жидкости или газа.
Реальная жидкость не допускает наличия разрывов непрерывности
элементов ни внутри движущегося потока, ни на границах его
с твердым телом. В действительности жидкость или газ не могут сколь-
зить вдоль поверхности твердого тела; скорости тех частиц, которые
граничат с твердой стенкой, равны нулю, жидкость, как бы „прили-
пает" к поверхности тела. Однако эта скорость резко возрастает
при удалении от поверхности тела и на внешней границе весьма тонкого,
по сравнению с размерами тела, пограничного слоя достигает зна-
чений, соответствующих схеме свободного скольжения идеальной
жидкости. В этом вторая причина возможности применения схемы
идеальной жидкости для расчета обтекания важных для практики тел
плавной, вытянутой формы (крыло, фюзеляж, лопатка рабочего колеса
турбомашины и др.). В случае плохо обтекаемого тела пограничный
слой отрывается от поверхности тела и значительно искажает картину
обтекания тела идеальной жидкостью.
Основные дифференциальные уравнения движения идеальной жид-
кости получаются путем упрощения согласно равенствам (1), (2), (3)
или (4) общих уравнений движения, выведенных в гл. II.
Уравнение неразрывности, как не заключающее напряжений, сохра-
нит ту же форму: (16), (17) или (17') гл. II при лагранжевом спо-
собе определения движения и (18), (21), (22) или (23) той же главы—
при эйлеровом представлении движения.
Уравнения в напряжениях (28), (29) или (30) гл. II также упростятся
и приведут к одному из следующих двух векторных уравнений:
dV dt d\ _ dt 4-(v.v)v = F~ 7 grad p, 1 . F grad p, (5) (5')
или в проекциях на оси декартовых прямоугольных коорд du ди , ди . ди . ди „ 1 др dt ~Т~и дх ду W dz ® р дх ’ инат:
dv аГ~ dw dt ~ dv "dt dw dt + “ 4~ и dv । dv. , -5 Г V 4 dx 1 dy 1 dw , dw , dv c, - w — = — dz У dw d - w — = F — dz ® 1 dp ~~dy’ \_dp_ P dz ' . (6)
126 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Щ
Уравнения (5), (5') или (6) представляют различные формы урав-
нений Эйлера динамики идеальной жидкости или газа.
Вектор (------ grad р\, стоящий в правой части (5) и равный
1 f ,
hm —— I — рп ас,
дг->о рД\,1 г
согласно терминологии предыдущей главы, представляет отнесенный
к единице массы главный вектор сил давления или иначе силу объем-
ного действия давлений в данной точке. Вектор F дает, как обычно,
отнесенную к единице массы собственно объемную силу.
Движение идеальной жидкости можно исследовать также в лагранжевых
переменных t, а, Ь, с (§ 8). Для этого заменим в уравнениях Эйлера ускорение
на его лагранжево выражение:
du d~x dv _ d2y dw d2z
~dt~~dP’ ~dt~~dfl~’ ~dt ~~dfi
и перепишем уравнения так:
д~х _ 1 др
dfi ~t'as р дх’
д2у _ Р 1 др
дР V р ду’
d2z 1 др
dfl z р дг ‘
Будем предполагать, что Fx, Fy, Fz, так же как и р, рассматриваются как
сложные функции t, а, Ь, с через х, у, z. Умножим обе части первого урав-
дх ду дг « т „
нения на , второго на , третьего на и сложим между собою. Тогда,
вводя обозначения:
Qa(t-, а, Ь, с) = Fx^- + Fy-^-+ Fz^~,
w ’ ' > х да ‘ У да да
Qb(i; a, b, c) = Fx^- + Fy^--YFl.^-,
’ 7 х дЬ 1 У дЬ ’ л дЬ
Qc(f, a, b, c)-=Fa.^--\-Fy^+F,s^-,
4:0' ’ ’ дс у дс г дс ’
и замечая, что по формулам производной от сложной функции:
др дх др ду . др дг _ др
дх ’ да ' ду ’ да ' dz да да ’
др дх др ду , др дг _ др
дх ’ дЪ ду’ дЪ дг дЬ ~ дЬ ’
др дх .др ду . др дг др
§ 20] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 127
получим, повторяя Аг ... И -т— , •• ~дЬ’ дс нений, уравнения указанную операцию умножения . с последующим сложением левых динамики идеальной жидкости уравнений Эйлера на и правых частей урав- лагранжевой форме-.
д-х дх а2у ду . д-'z дг п 1 др
dfi * да 1 dfi да । дР да ~Qa р да ’
д-х дх a2v ду , д^г дг 1 др
дР дЬ 1 dfi дЬ + dfi дЬ "Qb р дЬ ’ и)
д-х дх a!v д.у д*г дг 1 др
df‘ ’ дс "г дР дс dfi дс Vc Р дс'
Рассматривая переменные Лагранжа а, Ъ, с, как криволинейные коорди-
наты точки М(х, у, г), можем придать величинам Qa, Qb, Qc смысл приве-
, , , 1 др
денных к единице массы обобщенных объемных сил, величинам-------—,
1 др 1 др , , г
____-у-,------~----приведенных к единице массы обобщенных сил объем-
р дЬ р дс
кого действия давлений; выражения, стоящие в левых частях уравнений,
• д2г
представят, с этой точки зрения, проекции ускорения V = на оси криво-
линейных координат а, Ъ, с в точке М (х, у, г), умноженные на соответствую-
щие параметры Ляме На
1/ (дх^ । ।
V \да) ~г\д«/ 'уда/
и др.
Поскольку в уравнениях (7) неизвестными являются функции:
х (f; а, Ь, с), у (t, a, b, с), z (t; а, Ъ, с) и р (t, а, Ь, с),
то направления криволинейных осей наперед не известны, поэтому дальней-
шие преобразования, аналогичные тем, которые в теоретической механике
производят при составлении уравнений Лагранжа второго рода, не предста-
вляют интереса.
Отметим, что при наличии потенциала объемных сил П (/; х, у, г) =
= П (t; а, Ь, с) и функции давления § (rf; а, Ь, с) уравнения (7) полезно еще
преобразовать дополнительно, представляя левые части по формулам
/дх дх \ Гдх д {дх\ 1
dt \.~дГд^+ •••]-
— & (&х &х д- _ Г ®х д (дх\ 4.
dt \ dt ~да ' '' / [ dt da\dt )'
__ д (дх дх , \ д 1 f(dx\~ ,
~ dt\dt да ' да 2 |Д dt ) 4
и замечая, что:
0________эп _ ап ______ап
Ча~ да' Qh~ db‘ дс ’
1_др_____д§ 1 dj/ _ dg1 г дР _ д&
р да ~ да ’ р дЬ ~ дЬ ’ р дс ~~ дс ’
128
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
(гл. Ш
будем иметь:
д dt fdx dy u-?— \ da * da , dz' 4- да у da
_L dt ( dx , dy \ db ' db = _L( db (7х)
— ( dt f dx , dy +«$) de J = —( de
Выражение L, стоящее в скобках справа, представляет разность приве-
денных к единице массы кинетической энергии движущейся среды и суммы
потенциальных энергий силовых полей объемного действия сил давления н
внешних объемных сил. Это выражение может быть названо приведенной
к единице массы лагранжевой функцией или кинетическим потенциалом,
а интеграл этой величины за некоторый интервал времени (f0, t)
t
A — J" Ldt
t<>
— приведенным к единице массы действием.
Уравнения (7Z), после интегрирования их по времени в интервале (/<„ t)
могут быть приведены к виду:
дх . ду . dz дх0
и -д- + v + w -ч- — Ц0
да 1 да 1 да v да
дх ду . dz дх0
db'db дЬ и дЬ
дх , ду . dz дх0
и-—h v-^- + w ---«о
де де дс дс
ду\, дгй дА
° дЬ 1 v дЬ
дуо dz0
v0-^--w0 —
да ’
дА
дЬ ’
_____дА
дс дс * j
(7")
Уравнениям Эйлера можно придать иной, полезный для дальнейших
выводов, вид, указанный впервые казанским профессором И. С. Гро-
мека (1851—1889). Для вывода этого уравнения выделим в левой
части уравнения Эйлера (5') из выражения конвективного ускорения
потенциальную часть. Вспомним легко проверяемую по проекциям общую
формулу векторного анализа
grad(a- b) = (b-V)a + (a • V)b-[-b X rota-f-a X rotb
и положим в ней: a = b==V; тогда получим:
grad (-£) = (V • V) V + V X rot V.
Пользуясь этим общим векторным соотношением, придадим уравнению
Эйлера (5 х) форму уравнения Громека
^-f-grad(^) + rotVXV = F—jgradp. (8)
Для дальнейшего наибольший интерес представляет случай, когда
объемные силы имеют потенциал П и движение баротропно, т. е.
§ 20]
УРХВНШИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОЕ 1)1
124
существует функция давления
§(р) = | ^£- -
J Р(Р)
Ро
при выполнении этих условий будем иметь:
у grad р = grad §
и уравнение Громека (8) перейдет в следующее:
~ + grad + § + П) + rot V X V = 0.
Введем обозначения:
Е = —[- S’ + П,
Й = rot V.
(9)
(10)
(И)
(12)
Величину Е, равную сумме приведенных к единице массы кинети-
ческой энергии среды и потенциальных энергий силовых полей объем-
ного дейсгвия сил давлений и собственно объемных сил, можно было
бы назвать приведенной к единице массы полной механической энер-
гией. Величину Е не следует смешивать с ранее введенной лагранже-
вой функцией L.
Уравнение (10) может быть представлено в более краткой форме
так
-ф-grad Е-ф й X V = 0,
(13)
или в проекциях на декартовы оси:
ди , Ж . „ о ]
-Sl + d^+Qyw-^v = 0’
~dt ду ^г-'М — = 0’
dw . дЕ , n о п
dt “Ь дг + ~~ °’
(14)
Уравнение (13) или его аналитическое представление (14) связы-
вает чисто кинематические величины V и Й = rot V с динамическими
характеристиками силовых полей П и S’. Переписывая это уравнение
в форме
дм
^- + eXV = -gradE,
видим, что при баротропном движении идеальной жидкости или газа,
независимо от характера и физической сущности действующих
9 Вак' 1841. Л Г. Лойцянский.
130 динамика идеальной жидкости и Газа |гл. щ
силовых полей объемных и поверхностных сил, левая, чисто кине-
матическая, часть этого равенства представляет потенциальный вектор.
Следовательно, не всякое поле скоростей может быть создано в баро-
тропно движущейся идеальной жидкости под действием потенциального
поля объемных сил, а только удовлетворяющее равенству
fot(^+SXv) = °,
или, что все равно,
g + rot(2XV) = 0.
Раскрывая дифференциальную операцию вихря от векторного произ-
ведения по правилу векторного анализа:
rot (Й X V) == (V • V) Й--(Q • V) V + Q div V — V div Й
и откидывая в этом равенстве последний член, как тождественно рав-
ный нулю, будем иметь
§ + (V • V) 2 = (Й • V) V — Й div V.
Вспоминая, наконец, определение индивидуальной производной по
времени, получим
^ = (Й • V)V — fidivV.- (15)
Уравнение это, составленное для частного случая несжимаемой
жидкости еще Гельмгольцем, было указано известным советским
механиком А. А. Фридманом и названо им уравнением динамиче-
ской возможности движения. Итак, при принятых ограничениях
оказываются возможными только поля скоростей, удовлетворяющие
уравнению (15). Само собой разумеется, что поля скоростей, полу-
ченные в результате интегрирования уравнений движения, будут удо-
влетворять уравнению динамической возможности (15); важно, что, не
решая основной системы уравнений динамики, можно наперед указать
общее условие, связывающее кинематические элементы движения.
Другой важный физический смысл уравнений динамической возмож-
ности движения (15) будет указан позднее в связи с динамикой
вихревых движений.
Полагая в уравнениях Эйлера или Громека вектор скорости рав-
ным нулю, вновь получим указанные в предыдущей главе уравнения
равновесия, являющиеся, естественно, частным случаем уравнений дви-
жения; подчеркнем еще раз, что уравнения равновесия верны не только
для идеальной, но и для любой реальной жидкости или газа.
В случае баротропного движения уравнения движения (13) или (14)
не содержат явно плотности, так как плотность исключается при помощи
2 j | ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 1 3 1
«равнения баротропного процесса. Этот факт не представляет специ-
фического преимущества уравнений Громека; уравнения Эйлера в слу-
чае баротропного движения также могут быть переписаны в векторной
форме:
AV
^- + (V.V)V = F — gradS1
или, в проекциях, в виде системы уравнений:
ди . ди , ди . ди д$
-^-7“ U Г—— +- V -т-1— W -Т— 2= /’ « —•яг-" <»
dt 1 дх * ду 1 dz 1 дх’
dv dv . dv , dv o d&
-7—- и -т-I— *v д— + w -4— — Ftl ~~ r——
dt 1 dx 1 dy ‘ dz J dy
dt dx ' dv' dz * dz ’
не зависящих явно от плотности.
§ 21. Закон сохранения энергии в движущейся идеальной
жидкости. Адиабатическое движение. Сохранение энтропии
В основе явлений вязкости и теплопроводности лежит один и тот
же механизм молекулярного переноса: в первом случае — количества
движения, во втором — кинетической энергии хаотического движения
молекул. Естественно поэтому, приняв модель идеальной жидкости,
как жидкости без трения, отказаться одновременно и от теплопровод-
ности, сохраняя возможность наличия других видов теплопередачи
(например, лучеиспускания). >
Изложенный в предыдущей главе общий закон сохранения энергии
в применении к совершенному идеальному газу будет иметь следую-
щую интегральную форму:
J р (]cvT-\- dz = J pF • V dx - Jpn • V da + J pjq dz. (16)
т т cf г
Вспомним основную в термодинамике совершенного газа формулу
связи между теплоемкостями газа ср, сг и газовой постоянной
J(cp — c^ = R. (17)
Формула (17) легко -выводится из определения теплоемкости при
постоянном давлении ср, как отношения элементарного приращения
отнесенного к единице массы.газа количества тепла q к приращению
температуры при сохранении постоянного давления
Jc =
JCP \дТ/р’
9
132
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
|ГЛ. ГН
если это отношение вычислить, используя уравнение первого начала
термодинамики совершенного газа (v = --удельный объем)
dq = Jcv dT-\-p dv,
по формуле
(^L\ — -Un/ЗД
\дТ)р~™^Р\.дт)р
и применить уравнение Клапейрона
pv —= RT,
согласно которому
’ду\ _____7?
.dTjP~ р •
Тогда будем иметь:
/Ср — Jcp -J- р • ? ,
откуда и следует формула (17).
Пользуясь формулой (17), можно значительно упростить выражение
закона сохранения энергии (16), если выразить отнесенную к единице
массы внутреннюю энергию JcrT газа через так называемое тепло-
содержание (энтальпию) или, как еще иногда говорят, тепловую функ-
цию i=JcpT по (17) так:
JcT — JcpT— RT = JcpT~-£- = i — (17')
V V jP р р Ч Z
После этого уравнение (16) может быть записано в виде
i Jр (z+•¥)dx=J pF ‘ V dx ~ J dlv dx+
+ J p dr 4- J p Jq dz.
Второй и третий интегралы в правой части соединяются вместе и,
в силу уравнения непрерывности (18) гл. II, оказываются в сумме
равны’
Д—w+p* (£.)]* _]•[_ di, (pv)+£-£.i] л _
=== F [ (PV) Н~31Г Ч™ V • grnd р div vl йт =s
•я «
§21]
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
133
Итак, будем иметь следующую интегральную форму закона сохра-
нения энергии в движущемся идеальном и совершенном газе:
^.(р(г + PF> VdT+,ff?d'!:+,fp^di:’ (18)
т -с т %
из которой обычным приемом получим и дифференциальную форму
того же закона
^(i+-)=F.v+^+/9.
(19)
Предположим теперь, что объемные силы отсутсгвуюг и движение
стационарно; кроме того, отвлечемся от притока тепла извне, т. е.
будем считать движение газа адиабатическим. Тогда закон сохранения
энергии приведется к равенствам:
dt (* + ~г) ~ °’ ^')
Из (19') сразу следует, что вдоль траектории или линии тока
(для стационарного движения это одно и то же) будет выполняться
равенство
* ТГ “ cons*» (20)
выражающее известную теорему Бернулли для сжимаемого газа
(см. § 25): в адиабатическом, стационарном потоке идеального со-
вершенного газа при отсутствии объемных сил сумма отнесенных
к единице массы теплосодержания и кинетической энергии сохраняет
постоянное значение вдоль траектории или линии тока частицы.
Если в правую часть общего уравнения (19) подставить, согласно
уравнению Эйлера,
„ dV . 1 ,
р —-Ч------Srad А
at 1 р ° 1
то можно получить равенство
a+v-^ = v-y+l(|+v-s™i p)+Ji
или, после сокращения слева и справа на член V • , следующее
не зависящее от характера, поля объемных сил выражение того же
закона сохранения энергии
di 1 dp .
134 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Ill
Если движение баротропно, то по предыдущему
1 rfp __ dg1
Р dt ~~~ dt ’
после чего уравнение баланса энергии приобретает вид
= (21)
Из равенства (21) вытекает, что в случае баротропного движения,
а к такого типа движению сводится большинство разбираемых в настоя-
щем курсе движений, приток тепла определяет изменение разности
тепловой функции и функции давлений. При адиабатическом движе-
нии q = Q и уравнение (21) приводи! к соотношению
/ = +const, (22)
справедливому вдоль траектории данной частицы при любом силовом
поле действующих на движущийся газ объемных сил. Докажем, что
уравнение (22) представляет ни что иное как уравнение известной из
курса термодинамики адиабаты
р = Ср* (23)
с показателем А, равным отношению теплоемкостей ср/се и постоян-
ной С, определяемой по заданным значениям: р = р0, р = р0 — в неко-
торой точке адиабаты.
Действительно, переписывая (22) в виде
7'
Jcn Jc„ р dp
JcpT —-~sr’RT—-j-r-j- const (22')
1 R R p p(p) 1 v 7
л»
и замечая, что ‘ио (17),
Jcp k
~R = ’
будем иметь, дифференцируя (22') по давлению р:
k d fp\ _ k 1 k p dp I *
A —1 dp\p)~k— 1 p 7’
откуда следует дифференциальное равенство
dp . dp
-- - к---,
p p
которое после интегрирования и приводит к (23).
Наряду с функциями состояния i и <§ введем в рассмотрение еще
одну функцию состояния — отнесенную к единице массы газа энтро-
пию S, определяемую известным дифференциальным соотношением
dS = J?£, (24)
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
135
§21]
где в общем случае, под бесконечно малой величиной dq будем пони-
мать отнесенное к единице массы количество тепла, образовавшееся
обратимым путем за время dt в элементарном объеме газа.
Если вдоль траектории движения частицы выполняется равенство
dS = 0, т. е. энтропия сохраняет вдоль траектории свою величину,
то такое движение называется изэнтропическим.
Как известно, возрастание энтропии в изолированной (адиабатиче-
ской) системе показывает, что внутри этой системы происходят не-
обратимые процессы преобразования механической энергии в тепло,
связанные с „потерями" механической энергии.
Примером образования таких механических noiepb могут служи1ь
hoi ери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах.
Следует четко разграничивать понятия адиабатического и изэнтро-
пического движений среды. Процесс движения жидкости и газа может
быть адиабатическим и вместе с тем не изэнтропическим, если при от-
сутствии теплопроводности и лучеиспускания, принимаемом в идеальных
схемах, или, более обще, при отсутствии теплоотдачи в потоке почему-
либо возникает необратимым образом гепло. Движение может быть,
наоборот, неадиабатическим, но изэнтропическим, если тепловыделе-
ния, связанные с превращением механической энергии в тепло, ком-
пенсируются пугем теплопроводности или лучеиспускания. Само
собою разумеется, что реальные движения являются неадиабати-
ческими и неизэнтропическими и могу г рассматриваться в качестве
адиабашческих или изэнтропических лишь в известном приближении.
В идеальном газе непрерывное адиабатическое движение является
вместе с тем и изэнтропическим, так как при отсутствии внутреннего
I рения и теплопроводности все процессы в нем обратимы.
Можно вывести общую формулу для энтропии совершенного газа,
если в правую часть равенства (24) подставить выражение Jdq из
уравнения первого начала термодинамики
Jdq~ Jcv dT-\- pdv — Jcv dT -f- pd = Jcr dT —- dp
и разделить обе части таким образом полученного равенова на Т;
тогда получим
Р
11 ,и> ,амечая еще, что на основании (17)
Л, 1
/? ~ k— 1’
136 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Щ
найдем искомое выражение для бесконечно малого приращения
энтропии
(25)
откуда интегрированием получим
S = In const. (26)
Значение константы здесь не существенно, так как приходится иметь
дело лишь с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее значе-
ниями.
Из уравнения (26) вытекает вновь, что адиабатическое движение
идеального газа, подчиняющееся соотношению (23), является изэнтро-
пическим. Соотношение (23) можно было бы назвать изэнтропической
адиабатой или, короче, изэнтропой
§ 22. Эйлерово представление конвективного изменения
объемного интеграла. Перенос величины сквозь
контрольную поверхность
Рассмотрим движение некоторого индивидуального жидкого
объема т с поверхностью о. К такому объему, представляющему систему
материальных жидких частиц, можно применять общие законы сохра-
нения массы и энергии, теоремы об изменении количеств движения,
моментов количеств движения, кинетической энергии и др. При соста-
влении выражений изменения со временем соответствующих величин
приходится вычислять индивидуальную производную от объемного
интеграла, представляющего эту величину. По предыдущему, индиви-
дуальная производная может быть представлена как сумма локальной
производной, учитывающей нестационарность поля дифференцируемой
величины, и конвективной производной, характеризующей неоднород-
ность поля.
Эйлеру принадлежит общепринятый в настоящее время прием
выражения изменения некоторой величины в объеме через перенос этой
же величины сквозь поверхность, ограничивающую объем (об этом уже
упоминалось в § 11).
Условимся в дальнейшем называть „контрольной поверхностью",
соответствующей некоторому движущемуся индивидуальному жидкому
объему, неподвижную в пространстве поверхность, ограничивающую
рассматриваемый движущийся объем в данный момент времени. Кон-
1 рольная поверхность представляет зафиксированную мгновенную форму
поверхности тела в пространстве. Перемещаясь в просфанстве, дефор-
мирующийся жидкий обьем в каждый данный момент времени про-
текает сквозь собственную контрольную поверхность, соответ-
ствующую рассматриваемому моменту времени.
§ 22] ЭЙЛЕРОВО ИЗМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 137
Введем понятие о переносе физической величины сквозь замкнутую
или разомкнутую поверхность а. Возьмем в пространстве, заполнен-
ном движущейся средой, элементарную площадку de с ортом нормали и,
направленным в положительную сторону площадки. Произведение
фУ физической величины Ф, безразлично скалярной, векторной
или”тензорной, на секундный расход среды сквозь площадку da опре-
деляет перенос величины Ф сквозь площадку da, а интеграл J Ф Vnda —
о
перенос той же величины скозь поверхность а.
Полагая, например, Ф равным отнесенному к единице объема век-
гору количества движения pV, получим вектор переноса количества
движения сквозь поверхность а, равный интегралу J pVV„da.
а
Протекающую сквозь поверхность а секундную массу среды j* pVn da
О
можно рассматривать как перенос плотности р через поверхность о;
Г V2
величину I р -g- Vn da —• как перенос кинетической энергии и т. п.
СТ
Докажем теперь, что конвективное изменение интеграла от
некоторой величины, взятого по движущемуся объему, равно пере-
носу той же величины сквозь „контрольную* поверхность, огра-
ничивающую этот объем в данный момент времени.
Для доказательства поступим так же, как в § 11 при выводе
формулы Остроградского, а именно, разобьем выбранный объем на
большое число элементарных трубок тока и для каждой из них (см. рис. 9)
подсчитаем секундное конвективное изменение объемного интеграла от
рассматриваемой величины Ф. Для этого, отвлекаясь о г локального
д С
изменения — I ф dx, составим разность интегралов по смещенному
к моменту t-^dt и первоначальному в момент t объемам:
| — f <bdt. (27)
A'D'C'B’ ADCB
Эта разность интегралов, в силу непрерывности Ф, може1 быть с точ-
ностью до малых высшего порядка приведена к разности таких двух
величин:
Ф2 • объем CC'D'D — Ф1 • объем АА'В'В, (28)
так как при вычислении конвективного изменения следует отвлечься
от нестационарности и сократить интеграл по общему для уменьшаемого
и вычитаемого в разности (27) объема A'DCB'. Искомое секундное
конвективное изменение интеграла, распространенного по объему эле-
ментарной трубки, будет равно:
^2 ^2я^°2—daj = $5H2ado2-j- Ф1 Vlndaj.
138 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
Суммируя эги секундные конвективные изменения по всему объему т
с поверхностью а, полупим полное секундное конвективное изменение
объемного интеграла в виде
f Ф d-c = f Ф da, (29)
W/bobbJ J ’
т о
что и доказывает предложение.
Желая избежать возможных недоразумений, подчеркнем, что в только
что проведенном доказательстве определялась индивидуальная конвек-
тивная производная от объемного интеграла, т. е. вычислялось изменение
во времени интеграла, распространенного на конкретный движущийся
объем, состоящий все время из одних и тех же частиц жидкости или
газа. Это означает, что внутри объема не могло быть источников
притока (стока) новых масс жидкости или газа. Если же такие —
„особые"—точки в потоке (источники или стоки) существуют, то их
следует дополнительно выделять контрольными поверхностями,
например, окружать сферами, и включать поверхности этих сфер
в общую совокупность поверхностей, ограничивающих обьем интегри-
рования; таким приемом приходится постоянно пользоваться при рас-
смотрении движения жидкости.
Итак, полная индивидуальная производная от рассматриваемого
объемного интеграла может быть предпавлена следующей суммой-
d f , , д f т , . Г т
— J ф dx = J Ф dt -|- J Ф da. (30)
Т * О
Полагая в этой формуле последовательно:
Ф = р, Р^Т'+тг), pv, rxpv, Р^-,
получим выражения индивидуального изменения во времени: массы,
энергии, количества движения, момента количепва движения и кинети-
ческой энергии жидкости в рассматриваемом объеме.
Примечание. Непрерывность распределения в пространстве
величины Ф была использована при выводе формулы (29) лишь
в области входного и выходного сечений элементарной трубки тока.
Что же касается объема трубки A'DCB', общего для начального
и смещенного положений движущегося объема ADCB и выпадаю-
щего при вычислении приращения объемного интеграла, то внутри
этого объема величина Ф может изменяться произвольным, непре-
рывным или прерывным, образом, лишь бы только интеграл
сохранял определенный смысл.
Предположим, чю внутри объема, ограниченного „контроль-
ной" поверхнос1ью, имеются поверхносги разрыва непрерывное!и
интегрируемой величины, причем на Э1их поверхностях величина
§ 23J ЭЙЛЕРОВА ФОРМА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ 139
претерпевает при переходе с одной стороны поверхности на другую
конечный скачок. Будем предполагать, кроме того, что эта поверх-
ность разрыва ни целиком, ни частью не совпадает с контрольной
поверхностью, а если пересекается с ней, то на участках, где расход
жидкости сквозь контрольную поверхность равен нулю (часть кон-
трольной поверхности совпадает с поверхностью тока).
Из проведенного в настоящем параграфе вывода формулы (29)
непосредственно следует, что формула сохраняет свою силу и
в только что указанном случае наличия поверхностей разрыва.
Такого рода поверхности разрыва встретятся в следующей главе при
рассмотрении ударных волн в сжимаемом газе.
§ 23. Эйлерова форма законов сохранения массы и энергии,
теоремы количеств движения и момента количеств движения
при стационарном движении идеальной жидкости
Останавливаясь на случае стационарного движения жидкости,
можем, пользуясь эйлеровым выражением конвективной производ-
ной (29), представить закон сохранения массы
в следующей интегральной форме:
(31)
имеющей простой физический смысл: в стационарном потоке полный
массовый расход жидкости или газа через неподвижную замкну-
тую поверхность, не заключающую внутри себя ни источников, ни
стоков, равен нулю.
Применим этот закон для элементарной трубки тока с двумя какими-
нибудь нормальными сечениями da2, в которых скорости соот-
ветственно равны по величине Vj и П2, а плотности: и р2; тогда,
замечая, что на боковой поверхности трубки тока Vn = 0, получим
вместо (31) равенство
p1V1da1 = paV2da2. (32)
В этой форме закон сохранения массы можно проформулировать
так: при стационарном движении жидкости или газа секундный
массовый расход сквозь сечение элементарной трубки тока оди-
наков вдоль всей трубки.
Если плотность жидкосги повсюду одинакова, т. е. жидкость
несжимаема, то формула (32) переходит в более прощую:
Vj daj = V2 da2, (32')
140 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. ц
утверждающую сохранение объемного расхода вдоль элементарно!
трубки. В силу этого закона в суживающихся сечениях трубки токе
скорость возрастает и, наоборот, в расширяющихся сечениях — убы-
вает. Столь простого соотношения между скоростью и площадью сече-
ния при течении сжимаемого газа указать нельзя, так как имеется еще
третий переменный фактор — плотность.
Формулы (32) и (32') легко обобщаются и на случай трубки любогс
поперечного размера. Назовем через Сц и о2 два каких-нибудь, вообще
говоря, неплоских поперечных сечения трубки; поверхности а, и а5
в общем случае не ортогональны к линиям тока, более того, ортого-
нальных к линиям тока поверхностей, как уже ранее указывалось,
может и не существовать. Производя суммирование обеих частей
равенств (32), написанных для отдельных элементарных трубок, по всем
трубкам, составляющим данную конечную трубку, получим:
Jpl/Wda= f pV„da, (33)
«1 «2
т. е. для трубки тока конечного размера при стационарном движении
справедлив закон сохранения секундного массового расхода вдоль
всей трубки. Обозначая этот секундный массовый расход сквозь любое
сечение трубки о через М, будем иметь:
М = J рVn da = const. (34)
О’
Величину А/, по аналогии с величиной потока вихря сквозь любое
сечение вихревой трубки (вторая теорема Гельмгольца, гл. I, § 12),
можно было бы назвать интенсивностью трубки тока.
Закон сохранения массы, не связанный, как видно из приведенных
выводов, с представлением об идеальности жидкости, справедлив и
в случае неидеальной жидкости.
Закон сохранения энергии в случае стационарного, адиабати-
ческого движения идеальной жидкости при отсутствии объемных сил,
согласно равенству (IS7) и принятому эйлерову представлению, можно
записать в интегральной форме так:
| р (jcpTVn da = 0. (35)
* о
Применяя этот закон для элементарной трубки гока, так же как
и в случае закона сохранения массы, получим:
( Г2\ ( Г2\
Pl Vt МСрЛ + -у ) Pj v2 I JC]>Tt2 + ) '/a2> (36)
ggj ЭЙЛЕРОВА ФОРМА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ 141
или, учитывая равенство (32):
<37)
Это равенство ничем не отличается от закона сохранения (20).
Теорема об изменении количества движения жидкого объема уже
применялась в предыдущей главе при выводе основного уравнения
динамики жидкости; равенство (24) гл. II в случае стационарного дви-
жения идеальной жидкости может быть в эйлеровом представлении
написано в форме
JpFdT—Jpndo—JpVVn<Za = 0. (38)
Последний интеграл, взятый с отрицательным знаком, можно тракто-
вать, как перенос количества движения через поверхность а, на-
правленный внутрь объема т. Действительно, орт внешней нормали и
направлен наружу объема, так что, если
в некоторой точке поверхности вектор ско-
рости V направлен также наружу объема
(Vs>0), то элемент интеграла —pV„Vda
направлен внутрь объема; если же век-
тор V направлен внутрь объема, то Vn < 0
и элемент интеграла направлен в ту же
сторону, что и вектор V, т. е. опять
внутрь объема.
Равенство (38) дает следующую фор-
мулировку теоремы об изменении количе-
ства движения: если в стационарном
потоке идеальной жидкости выделить
некоторый объем, то сумма главного
вектора объемных сил, приложенных к
выделенному объему, главного вектора
сил давления, приложенных к его по-
верхности, и переноса количества дви-
жения через эту поверхность, напра-
вленного внутрь объема, равна нулю.
Применим равенство (38) к объему элементарной трубки тока между
Двумя ее ортогональными сечениями (рис. 31): 1) da1} где скорость
равна Vj, плотность рп давление орт внешней нормали п1; и
I ^°2> гДе, соответственно, скорость равна V2, плотность р2, давле-
НИе р2 и орт внешней нормали п2. Тогда, выделяя из общего поверх-
ностного интеграла сил давления интеграл по боковой поверхности
Рубки абок и замечая, что перенос количества движения сквозь боковую
поверхность трубки равен нулю, получим:
J pFri-c— Jpnda-pjnidai-p^da^VjVi^-pa^Vado^O, (39)
абок
J 42
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОС1И И ГАЗ\
(гл. in
или, произведя замену:
Vs=V2n2, (40)
найдем следующую, важную для дальнейшего, форму уравнения ко-
личеств движения для элементарной трубки тока при стационар-
ном движении идеальной жидкости (газа):
j*pFdx—Jpnda— (Pi + piVi) Hida!—(р2-(-р3П1)п^сз = 0. (41)
т a
бок
Предполагая наличие в поле скоростей поверхностей, ортогональ-
ных к линиям тока, просуммируем равенства (41) по всем элементар-
ным трубкам, составляющим некоторую трубку конечной ширины;
получим уравнение количеств движения для любой трубки конечной
ширины:
J pFd-c— Jpn da — I" (p -|-pIZ2)n da — J (p -f-p V2) n da= 0, (42)
иоъ
где Oj и a2—-два ортогональных к линиям тока сечения трубки.
Интеграл давлений по боковой поверхности трубки выделен особо,
так как в приложениях этот интеграл имеет самостоятельное значение
(главный вектор сил давления на стенки канала, по которому течет
жидкость, и др.).
Элементарные приложения формулы (42) к вычислению реакции
струи, давления жидкости на стенку и др. приводятся обычно в кур-
сах теоретической механики и гидравлики; специальные приложения
этой формулы будут часто встречаться на протяжении следующих глав.
Принимая во внимание сделанное в конце § 22 примечание о воз-
можности применения эйлерова представления конвективной производ-
ной в том Случае, когда внутри объема, ограниченного контрольной
поверхностью, имеются поверхности разрыва интегрируемой величины,
можем заключить о применимости в этом случае и эйлеровых форм зако-
нов сохранения массы и энергии, а также теоремы количеств движения.
Аналогичным путем найдем формулы, соответствующие при стацио-
нарном движении идеальной жидкости теореме об изменении момента
количеств движения:
J(tXpF)da—J”(rXnp)da — J (г X Р HnV) da — 0 (43)
Т с V
и для элементарной трубки тока:
J (rXpF)dT — J (г X пр) da—(p1-|-pi’l/i)r1 X —
°бок
— (P2+P2^2)r3Xn2^2=0, (44)
где векторы rt и г2 представляют векторы-радиусы центров тяжестей
нормальных сечений dat и da2 трубки тока.
•4J -1E0PI MA on ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 148
§ 24. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа
и мощность внутренних сил. Эйлерова форма уравнения
изменения кинетической энергии
Теорема об изменении кинетической энергии индивидуального
жидкого объема должна, как известно из теоретической механики,
формулироваться так: „производная по времени от кинетической энер-
гии движущегося жидкого объема равна сумме мощностей внешних
(объемных и поверхностных) и внутренних сил". Отсюда следует
А pF-VrfT— pn-Vrfa+ =
-t т а
pF • V dx
div (pV) dx -j~ j p/Vm dx,
(45)
i де Nin представляет отнесенную к единице массы мощность внутрен-
них сил давлений, равную отнесенной к единице массы секундной
работе расширения элементарного объема в данной точке. Действи-
тельно, умножим обе части основного уравнения Эйлера (5) скалярно
на V dx и проинтегрируем по объему т; получим:
~~ | JpF-VdT—Jv-gradp.
Т 'С
Вычтем почленно обе части последнего уравнения из уравнения (45),
тогда найдем
J pNtn dx = J {div (pV) — V • grad p] dx = j~ p div Vdx. (46)
Отсюда в силу произвольности выбранного объема т следует:
—-^divV, (47)
Г
или по уравнению неразрывности (18) гл. II:
7V = (47')
!П р2 dt " dt\p) г dt '
-выражение, в котором нетрудно узнать отнесенную к единице массы
и времени работу расширения газа, входящую в уравнение первого
начала термодинамики (г<—удельный объем):
J dq = Jc^dT -J- pdv—JcrdT-+- pd(—\
X P f
ни Щ3ультат ЭТ°Т можно было ожидать заранее, так как уравне-
г«е п Легк0 выв°Дится как следствие уравнения сохранения энер-
и (16) и уравнения первого начала. Действительно, переписав
144
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГДЗА
[1 Л. Ill
уравнение сохранения энергии и первого начала в следующем не-
сколько преобразованном виде:
рр (jc,,T + dt = j*pF • V dt — I" div (pV) dr-f- |*pJq dt,
«5 X T
и вычтя одно из другого, получим:
d
dt
dt,
т. е., согласно (47'), ни что иное, как уравнение (45).
Можно было бы и наоборот вывести уравнение баланса энергии (16)
из первого начала и теоремы об изменении кинетической энергии, не
основываясь на законе о сохранении энергии движущегося газа. В этом
смысле закон сохранения энергии представляет первое начало термо-
динамики, примененное к движущемуся газу, так как уравнение изме-
нения кинетической энергии является простым следствием уравнений
динамики газа.
В заключение найдем эйлерову форму теоремы об изменении кине-
тической энергии индивидуального объема жидкости или газа. В слу-
чае стационарного движения уравнение (45) можно переписать в виде
Ndt —
рп • V da -J- I р div V dt
а
(48)
откуда следует формулировка теоремы об изменении кинетической
энергии в эйлеровом представлении: при стационарном движении
идеальной жидкости или газа сумма мощностей объемных сил и
мощностей внешних и внутренних сил давлений, сложенная с пе-
реносом кинетической энергии внутрь движущегося объема, равна
нулю.
Применим эту теорему к объему элементарной трубки тока между
двумя произвольными ортогональными сечениями da^ ndo,2. Будем иметь,
из тех же соображений, что и при выводе теоремы количеств движения:
f f / 1
• I pF • V dt I p div V dt -f- I pt Vt pr 1 dat —
X Z
/ vf)
(Pa^a i Pa “2“ I da2 = 0.
(49)
В том случае, когда линии тока допускают проведение ортого-
нальных поверхностей к ним, получим для трубки тока конечной
§25]
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
145
толщины:
|PF-VrftH- р div V dx -j-
4-J(p^+P — j (p^+p-y) = 0,
01
(50)
где oj и o2— Два неплоских сечения трубки, ортогональные во всех
своих точках линиям тока, т— ограниченный ими и боковой поверх-
ностью трубки объем трубки тока. Заметим, что, в отличие от тео-
ремы количеств движения и момента количеств движения, в формулах
(49) и (50) отсутствует интеграл мощностей сил давлений, приложен-
ных к боковой поверхности трубки тока; это и естественно, так как
сила давления,на боковой поверхности направлена перпендикулярно
к скорости частиц.
Формулы типа (49) и (50) практически могут применяться лишь
в случае идеальной несжимаемой жидкости, так как при этом инте-
грал, представляющий секундную работу (мощность) расширения,
обращается в нуль; необходимость вычисления этого интеграла в общем
случае сжимаемого газа делает формулы слишком сложными для при-
менения.
§ 25. Теорема Бернулли о сохранении полной механической
энергии при стационарном баротропном движении идеальной
жидкости и газа
Пусть некоторая идеальная жидкость или газ под действием потен-
циального поля объемных сил с потенциалом П совершает стационар-
ное баротропное движение с функцией давлений $*. Тогда, опуская
в уравнении Громека (13) первый член, равный при стационарном
движении нулю, и умножая обе части (13) скалярно на вектор ско-
рости V, получим, в силу перпендикулярности последнего слагаемого
вектору V:
• V • grad Е = V • grad = О,
или, что все равно (вспомнить определение конвективной части инди-
видуальной производной в конце § 9 гл. I):
' ^ = 0, (51)
где символ d/ds означает производную, взятую вдоль траектории или
линии тока, что при стационарном движении одно и то же. Из равен-
ства (51) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока вели-
чина Е сохраняет одно и то же значение:
V2
Е — -g- S’ П = const (вдоль линии тока). (52)
10 Зак. 1841. л. Г. Лойцямский.
146 ДИНАМИ <А ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. It!
Отдельные слагаемые этой суммы представляют отнесенные к еди-
нице массы: 1) кинетическую энергию частицы, 2) потенциальную
энергию поля объемного действия сил давления в данной точке
потока и 3) потенциальную энергию поля объемных сил. Сумма Е
этих трех слагаемых представляет, как уже ранее упоминалось, отне-
сенную к единице массы полную механическую энергию потока в дан-
ной точке. Равенство (52) дает следующую формулировку теоремы
Бернулли: при стационарном, баротропном движении идеальной
жидкости или газа под действием потенциального поля объемных
сил приведенная к единице массы полная механическая энергия
потока сохраняет постоянную величину вдоль любой траектории
или линии тока.
Из уравнения Громека (13) в случае стационарного движения сразу
следует постоянство полной механической энергии Е также и вдоль
любой вихревой линии. Действительно, откидывая в случае стацио-
нарного движения первый член и умножая обе части (13) скалярно
на 6, получим:
б • grad Е = Q f-S- • grad = Q == 0,
\ w / di
где dl — дифференциал дуги вихревой линии. Отсюда сразу следует,
что вдоль вихревой линии величина Е имеет одно и то же значение:
V2
Е = — 4- s’ ФII = const (вдоль вихревой линии). (53)
При стационарном движении вектор, равный произведению Q X V,
образует потенциальное векторное поле, так как по (13)
rot (Q X V) — —rot grad Е = 0;
при 'этом, как известно, через каждую точку пространства можно
провести поверхность, ортогональную к векторной линии, проходящей
через эту точку. Эти ортогональные
——е=const поверхности будут поверхностями
W у уровня полной механической энергии,
так как гРадиент энергии направлен
/ / п0 Н0Рмали к ним- Иными словами,
полная механическая энергия сохра-
Г ‘г_ у'няет одинаковь1е значения на всех
поверхностях, ортогональных к век-
р ' / тору S X V в данной точке, или, что
Ф все равно, на поверхностях, касатель-
' Рис. 32. ные плоскости к которым в любой
loire пространства содержат векторы
S и V. Эти поверхности уровня полной механической энергии можно
получить, взяв (рис. 32) какую-нибудь линию тока и проведя через
все ее точки вихревые линии; эти вихревые линии образуют вихревую
| 25j tEOPEMA БЕРНУЛЛЙ 14?
поверхность—поверхность уровня энергии, проходящую через данную
линию тока.
Можно поступить и иначе: взять некоторую вихревую линию и
чепез все ее точки провести линии тока; тогда эти линии тока обра-
зуют поверхность тока, проведенную через данную вихревую линию.
Следовательно, любые вихревые поверхности, содержащие в себе линии
тока или поверхности тока, содержащие вихревые линии, будут по-
верхностями уровня приведенной к единице массы полной механиче-
ской энергии стационарного, баротропного потока идеальной жид-
кости находящейся под действием потенциального поля объемных сил.
Резюмируем предыдущие положения так: если в стационарном баро-
тропном потоке идеальной жидкости, находящемся под действием
потенциального поля объемных сил, поверхность тока совпадает
с вихревой поверхностью, то эта поверхность служит поверхно-
стью уровня приведенной к единице массы полной механической
энергии потока.
Таким образом, все пространство, заполненное стационарно дви-
жущейся идеальной жидкостью или газом, может быть расслоено на
поверхности, причем вдоль каждой из них полная механическая энер-
гия имеет некоторое постоянное значение, изменяющееся при переходе
от одной поверхности к другой.
Точно так же константы, стоящие в правых частях равенств (52)
и (53), имеют в общем случае разные значения вдоль разных линий
тока или вихревых линий. Одинаковые значения констант имеют лишь те
линии тока, которые проходят через точки одной и той же вихревой
линии, или вихревые линии, проведенные через точки одной и той же
линии тока.
Значения констант в равенствах (52) и (53) определяются величи-
ной полной механической энергии в какой-нибудь одной, почему-либо
характерной или заданной наперед точке линии тока или вихревой
линии. Еще раз подчеркнем, что в общем случае константы эти раз-
личны для линий тока или вихревых линий, не лежащих на одной и
той же поверхности тока, являющейся одновременно и вихрезой по-
верхностью.
Если во всех точках пространства выполняется векторное равенство
Q X V = О,
(54)
то поверхностей уровня нет, но в этом случае, по (13) и условию
стационарности,
gradE=O, (55)
т. е. полная механическая энергия сохраняет одно и то же значение
° всем пространстве, занятом потоком жидкости или газа.
Равенство (54) выполняется в следующих двух случаях:
1' ~ 0—движение безвихревое-, подробному рассмотрению этого
нейшего случая будут посвящены специальные главы курса;
10*
148
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ и газа
(гл. и
2) S || V — вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком
движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг
касательных к линиям тока. Такое движение называется винтовым
С винтовым движением приходится иметь дело при рассмотрении так
называемых свободных вихрей, сходящих с поверхности крыла конеч-
ного размаха.
Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся
к отдельным, простейшим баротропическим процессам: 1) несжимаемому
движению, 2) изотермическому движению и 3) адиабатическому,
а следовательно, ио предыдущему, и изэнтропическому движению.
В случае движения несжимаемой жидкости (р = const) имеем по (9):
g> Го Р I const.
Р Р '
Довольствуясь случаем наличия в качестве объемных сил только
сил веса и направляя вертикальную ось г вверх, получим:
__dll _ ___
g-_ g,
П —+ const.
Тогда теорема Бернулли примет следующий простой вид (сим-
вол const обозначает сохранение величины вдоль линии тока или
вихревой линии):
E = -i- —= const, (56)
2 р
или, переходя от плотности р к удельному весу 7 —
_ = = —-|-;z = const. (57)
g 2^ I f 1 v
Отдельные члены равенства (57) имеют размерность длины и
V2 „ р
называются соответственно: —скоростной,-^—пьезометрической
и г—нивелирной высотами. Сумма этих высот Н называется
гидравлической высотой.
Формула (57) приводит к классической формулировке теоремы
Бернулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжи-
маемой жидкости гидравлическая высота, равная сумме скорост-
ной, пьезометрической и нивелирной высот, сохраняет постоянное
значение вдоль любой линии тока или вихревой линии.
Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в гид-
равлике открытых русел (каналов, водосливов и др.).
Предположим, что силы веса в рассматриваемом случае движения
имеют ничтожное влияние по сравнению с давлениями. Таково, напри-
мер, движение газа по трубе, при котором вес газового столба,
§ ggj ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ • 149
определяемого площадью сечения трубы и разностью высот частиц
газа, пренебрежим сравнительно с перепадом давлений, приводящим
газ в движение.
В этом случае потенциал сил веса может быть опущен и уравне-
ние Бернулли приобретает более простой вид:
р = const. (58)
Первый член, представляющий давление, иногда называют пьезо-
метрическим напором, второй—скоростным или динамическим напо-
ром, сумму их — полным напором.
В этом случае теорему Бернулли (58) формулируют так: при ста-
ционарном движении идеальной несжимаемой жидкости в отсут-
ствии объемных сил полный напор, равный сумме скоростного и
пьезометрического, сохраняет свою величину вдоль любой линии
тока или вихревой линии.
При изотермическом движении сжимаемого газа Т — const,
•£•= const функция давлений S по (72) гл. II равна (индекс О
означает некоторую произвольную точку изотермы):
Ро Ро
Пренебрегая в этом случае объемными силами, получим уравне-
ние Бернулли в виде:
“ + — In — = const,
2 ро Ро
или
Гф£21п£ = ^
2 ' Ро Ро 2 •
(59)
(60)
Уравнение (58) несжимаемого (хотя, быть может, и изотермического)
движения нельзя рассматривать как частный случай уравнений (59)
или (60) изотермического движения сжимаемого газа, так как из
предположений р = const и Т= const по уравнению Клапейрона следо-
вало бы и р == const, что привело бы к постоянству скорости дви-
жения.
Рассмотрим, наконец, адиабатическое, а следовательно, как было
показано в § 21, и изэнтропическое движение идеального газа
const, pp~fe = const). В этом важном для практики случае, если
отвлечься от действия объемных сил, теорема Бернулли приведет
к соотношению:
— -J-g1 = const.
(61)
150
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. HI
Функцию давления S’ можно при желании заменить по формуле (22)
на тепловую функцию i = JcpT-, тогда уравнение (61) перейдет в сле-
дующее:
j tssx —JCpi ’-= const j (62^
аналогичное ранее выведенному из закона сохранения энергии урав-
нению (20).
Вычисляя, с другой стороны, функцию давления S’ по уравнению
изэнтропы
р р
f dp Р1^ Г . k РТ(
J р(р) Ри J р ар k-1 PoV р0 ,
Ро Ро
(63)
получим еще следующее выражение теоремы Бернулли:
J2______
2 k— 1рв
(64)
Пусть в выбранной пока совершенно произвольно точке линии
тока, где давление, плотность и температура принимают значения р0,
р0 и скорость движения равна нулю {V — 0); если в действительно
происходящем движении на данной линии тока или вихревой линии
такой точки нет, то всегда можно представить некоторое воображае-
мое адиабатическое движение идеального газа, переводящее его в со-
стояние покоя, адиабатически его затормаживающее. Величины р0,
Ро и 7), в этом случае называют соответственно давлением, плотностью
и температурой адиабатически заторможенного газа. Используя вы-
бранные таким образом постоянные величины р0, р0 и 70, можно пере-
писать уравнение (62) в виде:
или
2 ~Н JcpT. — JcpTo
уз
2/Ср7'0
(65)
(66)
Уравнение (64) при принятом обозначении переходит в известную
формулу Сен-Венана и Вантцеля:
Г ft—1 -I
^ ]• (67)
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
151
§25)
Заметим еще раз, что полученные в настоящем параграфе фор-
мулы движения несжимаемой жидкости (р = const) нельзя рассматри-
вать, как простые частные случаи изотермического или изэнтропи-
ческого движений сжимаемого газа, хотя несжимаемое движение может
происходить при постоянной температуре и энтропии. Условие несжи-
const ) или изэнтропичности
маемости (р = const) при сопоставлении с условием изотермичности
/'£.=
\Р
вости давления, а следовательно, температуры и скорости во всем
потоке. В следующей главе будут выяснены условия, при которых
формулы изэнтропического движения будут приближаться к формулам
движения несжимаемого газа.
Мы не будем приводить в настоящей главе примеров использования
общих теорем динамики идеальной жидкости или газа, так как бли-
жайшая и следующие за нею главы заключают в себе большое число
такого рода примеров.
— const} приводит к одинако-
ГЛАВА IV
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
§ 26. Одномерное течение идеальной сжимаемой жидкости.
Линеаризированные уравнения. Скорость распространения
малых возмущений в жидкости или газе
Если в потоке все динамические и термодинамические величины
являются функциями только одной, в общем случае, криволинейной
координаты и времени, то такой поток называется одномерным.
Простейшими примерами одномерных потоков могут служить: про-
странственный, параллельный некоторой оси координат поток, в кото-
ром скорость, давление, плотность и температура являются функциями
только этой координаты и времени, пространственный радиальный
поток с радиальной скоростью, давлением, плотностью и температу-
рой, представляющими функции только радиуса-вектора г и I, и др.
Обратимся к рассмотрению прямолинейного потока идеальной
жидкости или газа, все линии тока которого параллельны оси х,
а единственная составляющая скорости и, так же как давление р,
плотность р и температура Т, являются функциями х и /; при этом
будем пренебрегать действием объемных сил.
Уравнения Эйлера и уравнение неразрывности сводятся в эгом
случае к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого
порядка в частных производных:
ди . ди 1 др 1
dt'adx 7^’1 m
др , д , ч n I U
с тремя неизвестными функциями и, р, р. Чтобы сделать систему
определенной, необходимо добавить уравнение связи между р и р,
если движение баротропно, или уравнение Клапейрона и уравнение
баланса энергии — в общем случае произвольного движения идеаль-
ного, совершенного газа. Интегралы таким образом составленной
системы уравнений должны удовлетворять определенным начальным
и граничным условиям.
§ 26] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 153
Задача о разыскании решений нелинейной системы уравнений (1)
для простейших баротропных процессов очень сложна.
ДаЖС м г
Случай движения несжимаемой жидкости (р = const) исследуется
просто, но не представляет интереса, так как при р — const уравне-
ние неразрывности приводится к условию независимости скорости от
координаты = О), что соответствует квазитвердому поступатель-
ному движению жидкости вдоль оси х.
•Начнем с решения следующей математически не сложной, но прин-
ципиально важной задачи: в находящемся в равновесии, покоящемся
идеальном газе создаются весьма малые возмущения скоростей, давле-
ний и плотности так, что возникающее при этом движение является
одномерным, параллельным оси х баротропным движением, зависящим
лишь от координаты х и времени /; требуется разыскать элемент
возмущенного движения. Обозначим через и, р и р скорость, давление
и плотность возмущенного движения, черезр0ир0—давление и плот-
ность при равновесном состоянии газа, причем отвлечемся от действия
объемных сил; тогда, вводя еще обозначения и', р', р' для малых
возмущений скорости, давления и плотности, будем иметь:
и = и',
P = Pq -j— p'i
(2)
р == Pq pz.
Подставим эти значения возмущенных элементов в систему урав-
нений (1) и откинем в них произведения малых величин и их произ-
водных по координатам, как малые высших порядков. Тогда, замечая,
что в силу баротропности движения
др dp др
дх dp дх
^(Ро + Р )
__f(dP\ । (&Р\ , । Idp fdp\ dp' , л n
(xr) P + • • • = -X— + M. 2-ro nop.,
IA«p/o 1 \dp2/o 1 J dx \dp)odx 1 1
получим вместо нелинейной системы (1) следующую линейную систему
Двух уравнений с двумя неизвестными и' и р':
ди',, 1 (dP\ дР' л
dt ~ р0 \dp /о дх
др' . ди' _
^истема (3) может быть названа линеаризированной по сравнению
нелинейной системой (1), так как она получена из нее путем линеа-
₽ завди, заключающейся в откидывании малых второго и высших
порядков.
154
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[1Л. IV
На первый взгляд непонятно, каким образом неопределенная си-
стема (1) стала определенной, хотя связь между р и р явно не задана.
Очевидно, что при малых отличиях возмущенных значений р и р от
невозмущенных, равновесных р0 и р0, любая аналитическая связь между р
и р вполне определяется заданием равновесного значения производной
от плотности
газа по давлению или обратной величины .
~ всегда существенно положительна, введем обозначение
Замечая,
что величина
= Оо
(4)
и перепишем систему (3) в форме:
ди' 2 др' )
Ро~дГ~ ай~д^’ I
ди'_______ др' ।
Ро дх dt ' I
(5)
В системе уравнений (5) переменные и' и р' могут быть легко
разделены. Дифференцируя обе части первого уравнения системы (5)
по времени t, а второго по х, умножая после этого обе части второго
уравнения на «о и вычитая его почленно из первого, получим:
дШ
дР
з д"-и' „
«о-ЭР- = °-
Аналогично найдем уравнение для определения р':
а замечая, что
д2р' а д2р' „
Ж-*о^==°,
р«) — 4р ,
найдем и уравнение для pf‘.
<гР' 2 д’-р' „
(6)
Ю
(6")
Одномерные волновые уравнения (6), (6Л) или (6") являются клас-
сическими уравнениями математической физики. К такого рода урав-
нениям приводит решение задачи о продольных и крутильных коле-
баниях упругого стержня и др. Общее решение каждого из этих
уравнений, как известно, можно представить в виде суммы двух
произвольных функций:
/1 (х а<$ Ч~ А (х 4“
вид которых зависит от начальных условий задачи.
§ 26] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДК0С1И 155
Введем новые координаты и связанные со старыми при
помощи равенств:
= х — aot,
t." = atf.
Новая ось координат О'Ц движется поступательно в сторону поло-
жительного направления старой оси Ох со скоростью а0, точно так
же ось О'%" движется поступательно в сторону отрицательного напра-
вления оси Ох с той же скоростью а0.
Функция /i(S') в подвижной системе ОТ предшавляет некоторое,
не зависящее от времени распределение возмущений скорости, плот-
ности или давления. Эта фиксированная форма одномерного возмуще-
ния (например, синусоида или другая какая-нибудь непрерывная
кривая) перемещается, согласно полученному решению волнового урав-
нения, как одно целое, вдоль положительного направления неподвижной
оси Ох со скоростью а0. Аналогично этому, функция /2(;"), характе-
ризующая определенное, не зависящее от времени распределение
возмущений в подвижной системе O'V, представляет вторую фиксиро-
ванную форму возмущения, отличную, вообще говоря, по своему виду
от первой и распространяющуюся также как одно целое в отрица-
тельную ст орону неподвижной оси Ох с той же скоростью а0.
Общая для обеих форм скорость распространения одномерных
малых возмущений в неподвижной сжимаемой среде а0 опреде-
ляется, согласно (4), формулой
“»=/'ш,- «
С такой скоростью будет, например, распространяться вдоль цилин-
дрической, заполненной газом трубы созданное внезапно начавшим
двигаться поршнем малое сжатие газа (малый перепад давления).
Перемещаясь в виде некоторой продольной волны, сжатие это будет
изменять плотность газа; до прихода волны в газе будет сохраняться
старое давление, как будто движение поршня не возникало.
С той же скоростью будут распространяться малые колебания
давления в жидкости или газе, создающие звук, если считать явле-
ние распространения звука баротропным; величина а0, заданная равен-
ством (7), называется поэтому скоростью распространения звука
или, короче, скоростью звука.
Согласно общему принципу классической механики, приведенное
рассуждение остается верным и в случае жидкости или газа, равно-
весным состоянием которых является квазитвердое поступательное и
равномерное движение. В галилеевой системе координат, связанной
с этой квазитвердо движущейся средой, уравнения гидроаэродинамики
сохраняют свой вид и все предыдущие выводы остаются справедли-
выми, если под скоростью распространения Звука всегда подразумевать
156 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
скорость по отношению к движущейся среде, а не к неподвижному
пространству, в котором среда совершает свое движение.
Если двум равномерным состояниям: покою и квазитвердому посту-
пательному и равномерному движению, соответствуют одни и те же
термодинамические характеристики р0, р0 и То, то скорости распро-
странения звука по отношению к газу в том и другом случае будут
одинаковыми. Если же жидкость или газ движутся не квазитвердым
образом, то различным точкам потока будут соответствовать различные
термодинамические состояния и разные скорости звука, которые
в этом случае придется рассматривать, как некоторые местные ско-
рости звука, представляющие функции координат и времени.
Подчеркнем еще раз, что скорость распространения звуковой
волны в среде не следует смешивать со скоростью движения самой
среды. Так, при покоящемся газе звуковая волна бежит по отношению
к газу со значительной скоростью (например, в воздухе со скоростью
порядка 330 м!сек), в то время как сам газ при этом остается почти
неподвижным.
Подставляя в первое уравнение системы (5) выражение возмущения
скорости и' в форме „волны", бегущей в положительном направлении
оси Ох'.
u'=fi {x — aGf),
получим уравнение
— роЯоЛ (х — aot) = — ао ,
где точкой над буквой обозначена производная по всему аргументу
(х— по0. Интегрируя это уравнение по х, получим:
/1 (х — а^) = «' = -£- а0, (8)
гО
или в дифференциальной форме еще такое соотношение:
(8')
Из условия баротропности процесса распространения малых воз-
мущений (звуковых колебаний) легко вывести соотношение
' а '
р =«оР ,
вместе с (8), приводящее к следующему выражению скорости и':
или в дифференциальной форме:
Po«# Pi
§ 26] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 157
Из равенств (8) и (9) можно заключить, что при данных значе-
ниях физических величин в невозмущенном газе изменения скорости
движения газа по отношению к неподвижной системе координат Ох
после прохождения звуковой волны тем больше, чем больше отно-
сительное уплотнение газа
Р' Р — Ро
Ро Ро
или относительное его сжатие
Р' _.Р—Ро
Ро Ро ’
т. е. чем больше интенсивность возмущения.
Если звуковая волна несет с собой сжатие (уплотнение) газа,
то р' > 0 и и' > 0; следовательно, проходящая сквозь газ звуковая
волна сжатия увлекает (с очень малой скоростью!) газ за собой,
звуковая волна разрежения (р' < 0), наоборот, дает дополнительную
малую скорость и' < 0, направленную в сторону, противоположную
распространению звуковой волны, а. е. звуковая волна разрежения
вызывает встречное малое движение газа. Это явление легко себе
представить, если вообразить поршень, имеющий возможность дви-
гаться вдоль открытой в обе стороны длинной цилиндрической трубы,
заполненной газом. Приведем поршень в слабое движение, например,
слева направо. Газ сожмется справа от поршня, и вправо побежит
звуковая волна, несколько уплотняющая газ. При этом образуется
слабое движение газа вместе с поршнем слева направо. Наоборот,
влево от поршня появится некоторое разрежение, которое будет
распространяться со скоростью звука влево от поршня, увлекая газ
за поршнем вправо.
Конечно, описанное только что явление, так же как и формулы (8),
(8'), (9) и (9'), относится лишь к случаю распространения слабых
возмущений в газе. Однако для дальнейшего не столько существенны
изложенные факты или формулы, как сама тенденция возрастания
абсолютной скорости потока газа при прохождении вниз по его
течению звуковой волны сжатия или вверх по течению волны
разрежения и, наоборот, убывания той же скорости при про-
хождении вверх по течению волны сжатия или вниз по течению
волны разрежения.
Так, при колебаниях звучащего тела в воздухе образуются попе-
ременно то сжатия, то разрежения, вследствие чего в пространство
уходят как волны сжатия, так и разрежения. Распространяясь сквозь
окружающий источник звука воздух, эти волны не только создают
колебания плотности и давления в воздухе, но и приводят в состоя-
ние малых перемещений и сами частицы воздуха.
Обратим внимание на еще одну, представляющую интерес для даль-
нейшего тенденцию. Пусть после прохождения звуковой волны вместо
158 одномерный поток идеальной жйд кости [гл. it-
равновесных значений давления и плотности р0 и р0 установились
значения р04~р' и р0-|-р', тогда изменится и скорость распростра-
нения звука, которая станет равной
Отсюда следует, что приращение скорости распространения звука
в газе за счет прохождения сквозь него звуковой волны представляет
малую величину того же порядка, что и относительное уплотнение
газа в волне р', а именно:
, 1 Хйр®/0 ,
2
X dp )0
Если предположить, что в рассматриваемом баротропном процессе,
вместе с ранее сделанным естественным допущением > 0, выпол-
няется еще неравенство О (это имеет место, например, для
изотермического и адиабатического процессов), то можно придти
к существенному для дальнейшего выводу о наличии тенденции
к возрастанию скорости распространения звука после уплотнения
среды звуковой волной сжатия и, наоборот, убыванию скорости
распространения звука после прохождения волны разрежения.
§ 27. Изотермическая и адиабатическая скорости звука. „Конус
возмущений" при сверхзвуковом движении источника возмущения.
Число М и его связь с углом конуса возмущений
Скорость звука, согласно формуле (9), зависит от характера баро-
тропности процесса.
Если предположить, что жидкость несжимаема, т. е. р = const,
то rto (7) а0 = со. Это означает, что в модели несжимаемой жидкости,
с которой в дальнейшем придется неоднократно иметь дело, возмуще-
ния давления должны были бы распространяться с бесконечной ско-
ростью, т. е. всякое изменение в данном месте потока должно
мгновенно сказаться в любом другом месте. В ряде случаев, такое
отличающееся от действительности предположение может с достаточным
для практики-приближением приниматься для расчетов, в других, как
далее будет показано, от него приходится отказываться и пользоваться
р = Ср*, — kCpk
а = лГ k — .
г р
§ 27J скорость звука, число М 159
схемами с конечной скоростью распространения малых возмущений
или что все равно, с конечной скоростью распространения звука.
Принимая процесс распространения звука изотермическим и вспо-
миная, что при изотермическом процессе (опускаем значок януль“)
р^ср, 0£- = с=Р-,
r dp р ’
получим скорость звука, соответсгвующую изотермическому процессу,
или, короче, изотермическую скорость звука
« = (10)
Если предположить, что процесс распространения звука происходит
без отвода тепла, т. е. адиабатически, то будем иметь:
1 _ ь £-
k Р ’
следовательно, адиабатическая скорость звука равна
(П)
Формула (10) была впервые выведена Ньютоном, а формула (11) —
Лапласом. Многочисленные эксперименты подтвердили правильность
формулы Лапласа (11). Физически это означает, что слабое сжатие
газа звуковой волной происходит очень быстро и образовавшееся при
этом тепло не успевает перейти в соседние части газа, что и приводит
к адиабатичности процесса распространения звука. В настоящее время
пользуются именно этой адиабатической скоростью звука, в даль-
нейшем для краткости называемой просто скоростью звука.
Применяя формулу Клапейрона, перепишем равенство (11) в виде:
a=\'kRT-, (12)
отсюда следует, что скорость распространения звука в совершенном
газе зависит лишь от абсолютной температуры и физических
свойств газа. Замечая, что газовая постоянная /? может быть выражена
через молекулярный вес газа т и ускорение силы тяжести g по
формуле
п __ 848g м*
т сек2град ’
Получим
а=]/~ м/сек. (13)
Для воздуха k = 1,4, т — 28,86; g — 9,81 м/сек и, следовательно,
.корость распространения звука в воздухе равна
с = 20,1/Т м/сек, (14)
160
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. и
’ в частности, при Т = 273 (0°С) скорость звука достигает величинь
332 м/сек. Скорость звука в воздушной атмосфере меняется с высотой
над уровнем моря. Применяя „стандартную атмосферу", получил
табл. 4 „стандартных" скоростей звука, в зависимости от высоты нал
уровнем моря.
Таблица 4
Н км ГК а м/сек И км т° к а м/сек И км т° к а м/сек
—1,0 294,5 345 5,0 255,5 322 11,0 216,5 296
0,0 288,0 341 6,0 249,0 317 12,0 216,5 296
1,0 281,5 337 7,0 242,5 313 13,0 216,5 296
2,0 275,0 333 8,0 236,0 309 14,0 216,5 296
3,0 268,5 329 9,0 229,5 306 15,0 216,5 296
4,0 262,0 326 10,0 223,0 300
Для газов с высоким молекулярным весом скорость звука сравни-
тельно с воздухом принимает весьма малые значения.
Наряду с только что рассмотренным случаем одномерного, парал-
лельного некоторой оси возмущенного движения, при котором в газе
происходит перемещение плоских звуковых волн, перпендикулярных
оси течения, можно было бы разобрать и случай одномерного радиаль-
ного распространения круговых в плоскости или сферических в про-
странстве звуковых волн. В этом случае линеаризированные уравнения
несколько усложняются, но так же легко решаются.1 Существенно,
что в случае круговых и сферических звуковых волн скорость рас-
пространения их будет определяться той же формулой (9), что и
в случае распространения плоской звуковой волны.
Предположим, что в неподвижной сжимаемой среде движется
прямолинейно и равномерно со скоростью и некоторый точечный
источник малых возмущений (в частности источник звука) А. Примем
прямолинейную траекторию движения источника звука за ось х,
выберем на ней начало координат О (рис. 33 а и б) и будем считать,
что точка А вышла из начала координат в момент времени / = 0.
Пусть в некоторый момент времени t = t точка А займет положе-
ние А; определим в этот момент границы области газа, возмущенного
движущимся источником, вышедшим из точки О при t = 0.
• Если источник возмущений движется со скоростью и, меньшей
скорости а распространения звука в данном газе при заданных термо-
динамических его характеристиках, или, короче, с дозвуковой ско-
ростью, то сферическая звуковая волна, вышедшая из начала координат
вместе с источником возмущений А, обгонит его и к моменту £ =
1 См., например, Г. Ламб, Гидродинамика. Гостехиздат, М. 1947, стр. 611-
27} скорость звука; число М 161
областью возмущенного газа будет являться, очевидно, вся внутренняя
часть сферы радиуса г = at (рис. 33 а).
Рассмотрим теперь случай сверхзвукового движения источника
возмущений («> а). При движении со сверхзвуковой скоростью
точка А сразу же обгонит образованную ею звуковую волну (рис. 33 б),
вышедшую в начальный момент времени из точки О, и будет непре-
рывно играть роль центра образования новых сферических волн. Чтобы
Рис. 33.
найти область возмущенной среды в случае сверхзвукового движения
источника возмущений, напишем в момент времени t—t уравнение
поверхности сферической волны, вышедшей из точки А в момент
времени t, и найдем огибающую всех таких сфер к моменту t=t.
Замечая, что в момент t центр рассматриваемой сферы будет занимать
на оси к положение х—ut, а радиус сферы, как легко сообразить,
°УДет равен r = a(t~— f), получим уравнение сферы в виде
(х — «02-|~_у2 -ф-z2 = а2 (Г—О2. (15)
Чтобы найти огибающую этого семейства сфер с параметром t, соста-
частную производную от обеих частей (15) по t и исключим t
Зак. I84J. jj р, Лойцянскнй.
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ |1'Л. IV
из совокупности полученного таким образом уравнения
(х — uf)u = a2(t — f) (1G)
и предыдущего уравнения (15). Из уравнения (16) получим:
их — аЧ
„2—д2 >
, fl2 (ut — х)
х — ut~—\-------
7 ..u{ut — x),
zz2— a2
после подстановки этих величин в уравнение (15) найдем:
<17)
или, перенося начало координат в точку x = x — ut,
+ = (18)
где 5—новая координата, заменяющая х по формуле
x~^-y-x = ^^-ut.
Равенство (18) при и>« представляет уравнение кругового конуса
с вершиной в точке А, осью симметрии Ох и углом раствора «,
удовлетворяющим равенству
ctga
откуда следует
. а
а — аге sin—,
и
(19)
(20)
. а
sina= —,
и ’
Условимся в дальнейшем обозначать
„числом М“ отношение скорости движения
газ к скорости распространения звука в
скорости движения газа в данной точке к
символом М и называть
тела сквозь неподвижный
нем, а также отношение
местной скорости звука.1
1 Отношение это не имеет установившегося наименования. В загранич-
ной литературе его называют „числом Маха“, иногда „числом Бэрстоу"-
Согласно новым данным, имеются основания именовать это отношение „числом
Маиевского" в честь известного русского баллистика Н. В. Маиевского. Ана-
логичное, по существу, отношение рассматривалось задолго до перечислен-
ных авторов Эйлером (см. по этому поводу нашу монографию „Аэродинамика
пограничного слоя", Гостехиздат, 1941, стр. 42—49, а также статью
Ф. И. Франкля в ДАН, т. LXX, № 1, 1950, стр. 39—42).
§
CkdPOcTb звука; число М 16'3
Формулы (20) при принятом обозначении перепишутся так:
sina = 3f> а = а^8>п-]5р (21)
причем в рассматриваемом случае сверхзвукового движения источника
возмущения и > а, М > 1.
Определяемый уравнением (18) конус будем называть конусом
возмущений, а угол а —углом возмущений. В случае плоского дви-
жения газа роль „конуса возмущений“ будут играть две пересекаю-
щиеся прямые — линии возмущений.
Область вне конуса возмущений представляет область газа, куда
к моменту (£ = 0 прихода источника возмущений в точку А распро-
страняющиеся в газе возмущения еще не успеют дойти.
Если, например, источником возмущений служит самолет, летя-
щий в воздухе со сверхзвуковой скоростью, то в области вне конуса
возмущений звукоулавливатель 3 (рис. 33) не обнаружит самолета,
как бы близко к самолету ни был расположен звукоулавливатель.
В области вне конуса возмущений воздух будет иметь невозмущенные
давление и плотность.
Иная картина получится при движении самолета, если скорость его
еще не достигла скорости звука. В этом случае возмущения, созда-
ваемые самолетом, опережают движущийся самолет и создают возму-
щенное поле скоростей, давлений и плотностей впереди самолета.
При принятии модели несжимаемого воздуха, возмущения, как было
ранее сказано, распространяются с бесконечно большой скоростью,
т. е. мгновенно; в этом случае возмущения, производимые полетом
самолета, передавались бы мгновенно в сколь угодно удаленные точки
воздуха, окружающего самолет.
Рассмотрим теперь обращенное движение: сообщим неподвижному
газу мысленно скорость и, равную по величине скорости движения
источника А а противоположную по направлению его движению. Тогда
источник А станет неподвижным, а газ будет набегать на него со ско-
ростью и.
Такого рода стационарные потоки наблюдаются в сверхзвуковых
аэродинамических трубах при продувке в них тел столь неболь-
шого размера по сравнению с полем трубы, что тела эти можно рас-
сматривать, как точечные источники возмущения.
Поверхность конуса возмущений представляет оптическую неодно-
родность, хотя и слабую’ по интенсивности, но все же достаточно
заметную при исследовании специальными оптическими приборами. Эта
оптическая неоднородность (изменение показателя преломления) объяс-
няется изменением плотности воздуха под действием сжатия или раз-
режения его в звуковой волне. Измеряя углы возмущений, по фото-
снимкам обтеканий можно определить соответствующие числа М,
а зная скорость распространения звука в среде,—и абсолютные ско-
рости потока.
11*
164 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
На рис. 34 и 35 показаны схематически конусы возмущения, вызван-
ные носиком и пояском летящего снаряда при двух различных числах М.
Звуковые волны, распространяясь в ограниченных стенками каналах,
отражаются от стенок и образуют сложные сетки линий возмущения.
§ 28. Распространение непрерывных возмущений конечной
интенсивности. Характеристики. Образование разрывной
ударной волны
В предыдущих параграфах рассматривались лишь очень малые
возмущения сжимаемой среды, сопровождаемые ничтожными отклоне-
ниями давления, плотности и температуры от их равновесного значе-
ния и очень малой по сравнению со скоростью распространения звука
возмущенной скоростью. При однородности полей невозмущенных
элементов (давления, плотности и т. п.) в неподвижном или квази-
твердо поступательно движущемся газе скорость распространения
звуковых волн была всюду одинакова и зависела только от физиче-
ских констант k, R и абсолютной температуры газа. Как это следует
из формул (8) и (9), с возрастанием по абсолютной величине интен-
сивности возмущений того или другого знака (относительного сжатия
или разрежения газа) растут или убывают и скорости абсолютного
движения частиц в возмущенном газе. Можно предугадать, что рас-
пространение возмущений конечной интенсивности вызовет в покоя-
щемся или движущемся поступательно как одно целое газе появление
новых скоростей, отличающихся от старых, невозмущенных, на ко-
нечную величину. Такое конечное изменение поля скоростей, согласно
закону сохранения энергии, приведет к конечному изменению термо-
динамических элементов потока, а следовательно, и к изменению самой
скорости распространения возмущений в газе. Если вспомнить ука-
занную в конце § 27 тенденцию увеличения скорости распростране-
ния звука (и, вообще, малых возмущений) при прохождении волны
§ 281
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
165
жатия и, наоборот, уменьшения этой скорости при прохождении
воины разрежения, го можно себе представить, что последовательно
образующиеся слабые волны сжатия должны будут догонять друг
д0уга. Наоборот, образующиеся волны разрежения будут иметь все
меиьшие и меньшие скорости распространения, т. е. будут друг от
друга отставать.
Распространяющаяся в газе вначале слабая волна сжатия будет,
таким образом, повышать свою интенсивность за счет догоняющих
ее волн. Это приведет к образованию плоской (в рассматриваемом
одномерном случае) волны конечной интенсивности, распространяю-
щейся со скоростью, превышающей скорость звука, и тем большей,
чем больше интенсивность волны. Такую движущуюся по отношению
к газу поверхность (в нашем случае плоскость) разрыва — конечного
скачка скорости, давления, температуры и плотности газа — назы-
вают ударной волной.
Изложенные качественные соображения о механизме возникновения
ударной волны можно, следуя Риманну,1 подтвердить и с количе-
ственной стороны.
Вернемся для этого к основной нелинейной системе уравнений (1).
Принимая движение баротропным, введем в рассмотрение величину а,
равную по предыдущему величине местной скорости распростране-
ния звука в газе, соответствующей данному значению плотности газа
в рассматриваемой точке потока
Пользуясь функцией давления S’, которую можно рассматривать и как
функцию плотности по формуле
р р р
$ = Г ^Р-= [ Г (23)
J Р J др р J р ’ v ’
Ро Ро Ро
преобразуем второе уравнение системы (1)
др . ди , д? ,,
dt 1 г дх 1 дх
к виду
^Р/Р . ди . dp др 1 д§ । ди , 1 д§ _
dp dt +рдх + “dp ' дх ~ dt + р дх + “ дх ~' °’
после чего система (1) перейдет в следующую:
ди । ди_______dg1 ]
dt + “ дх ~ дх’ I
1 dg . и dg ди ।
a dt • а дх дх' J
SchwiP^ ie m an n> Uber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher
w,ngnngsweite. Abhandl. d. Ges. d. Wiss. zu Gottingen, 1860.
(24)
— а,—
166
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
Введем теперь вместо функции давления
связанную с нею простым дифференциальным
d§ = -d§.
а
S’ новую функцию S’,
соотношением
(25)
Тогда система (1) может быть переписана в форме:
ди . ди д§
-57- 4- «5— = —
dt 1 дх дх’
(26)
первом
дуальные производные. в
г
Рис. 36.
откуда сложением и вычитанием легко получить более удобную для
последующих выводов систему уравнений:
(S’+«) + (« +й)(S’--}-в) = 0> j
а - д ~ > <27>
^(S-u)4(B-B)i(^-«) = o. j
Левые части уравнений (27) представляют одномерные индиви-
нии от величины § и для
точки, движущейся со ско-
ростью « + «, и во втором
уравнении от величины S’ — и
для точки, движущейся со
скоростью и — а. Равенство
нулю этих индивидуальных
производных говорит о со-
хранении величины § и
в точке, движущейся со ско-
ростью и -ф а, -и величины
S— и в точке, движущейся
со скоростью и — а.
Полученный результат
имеет следующий геометри-
ческий смысл. Рассмотрим
в плоскости аргументов (х, О
семейщво (С:) (рис. 36) кривых, определяемое дифференциальным
уравнением
J^tgO^a+o, (28)
О
и второе семейщво (С2), отвечающее решениям дифференциального
уравнения
> = tgO2 = «-C. (29)
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
167
§28]
Действительный вид этих кривых определится только после реше-
системы (1), так как справа стоят неизвестные функции и(х, I)
и а(х, f)> существенно, однако, что в каждой точке плоскости
(с /) 'известно направление касательных к этим кривым, если за-
даны7 значения « и р в этой точке.
Из уравнений (27) следует, что:
1) на кривых семейства (С\)
сР-|- и = const,
2) на кривых семейства (С2)
S’ — и — const.
(30)
(31)
Таким образом, вдоль кривых, принадлежащих семействам (С()
и (^я)» существуют определенные соотношения (30) и (31) между
функциями и и а при заданном характере баротропного про-
цесса, и между основными неизвестными функциями « и р.
Семейства (Q) и (С2), образующие в основной плоскости аргу-
ментов (х, t) сетку кривых, обладающих тем замечательным свой-
ством, что вдоль них интегралы уравнений в частных производных
удовлетворяют определенной системе обыкновенных уравнений [в на-
шем частном случае уже проинтегрированным конечным соотноше-
ниям (30) и (31)], называются характеристиками системы уравнений
в частных производных; угловые коэффициенты этих кривых, опре-
деляемые равенствами (28) и (29), представляют характеристические
направления.
Примером характеристик в простейшем случае линеаризированных
уравнений распространения звуковых волн (5) служат семейства пря-
мых: х — at — const и х-\-at= const, вдоль которых сохраняют
одинаковое значение скорости возмущений и остальные физические
величины.
Равенства (30) и (31), при заданном уравнении баротропного про-
цесса р=р(р), образуют в плоскости («, р) также два семейства
кривых, которые можно рассматривать, как „изображения" характе-
ристик (Cj) и (Са) в плоскости («, р) или как характеристики
6 плоскости (и, р).
Покажем на конкретном примере рассматриваемой системы (1),
как существование характеристик позволяет свести задачу разыскания
интеграла системы уравнений в частных производных, отвечающего
заданным начальным условиям, к простым графо-аналитическим прие-
мам, основанным на использовании системы дифференциальных урав-
нений (28), (29) и системы уравнений в конечном виде (30) и (31).
Предположим, что нам задано начальное условие в виде значений
орости и плотности u(s) и p(s) вдоль некоторой кривой (S), не
впадающей ни целиком, ни частью с кривыми характеристической
168
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. JV
сетки (рис. 37). В частном случае могут быть заданы значения этих
величин в функции от х при 1—0, т. е. начальное возмущение
при t = 0, « = «0 (*), р = Ро (х).
Определив по (28) и (29) угловые коэффициенты кривой (Cj)
в точке А и кривой (С2) в точке В по формулам:
проведем соответствующие характеристические направления и построим
треугольник AAtB.
На отрезке АА1 характеристики (Ct) выполняется, согласно (30),
равенство
$(рд? иЛ, = ® (Рд) + иА'
с другой стороны, на отрезке АгВ характеристики (С2), согласно (31),
будет:
$ <РА) — иА, = (Рв) — UB-
Из полученной сложением и вычитанием системы равенств:
£(рл) = i I® (р J+ua.+(Рв) ~ Ч-
ид ~ Y Р + иА — + ив] ’
легко находятся значения рА и «д.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
169
§281
Повторяя точно такое же рассуждение о треугольнике ВВгС, по-
поенном по значениям угловых Коэффициентов характеристики (С,)
вточке В и характеристики (С2) в точке С, найдем значения и
р в точке Bv Но по полученным значениям иА, рл и ив, рв^ легко
наметить дальнейшие направления характеристик, построить, таким
образом, треугольник AjA^ и по предыдущему определить значе-
ния и и р в точке Ai. Аналогичным приемом можно было найти зна-
чения и и р в точках А2, В2 и т. д. Задаваясь достаточно густым
делением кривой (S) в точках А, В, С и т. д., найдем указанным
только что графо-аналитическим приемом значения неизвестных функ-
ций и и р в сколь угодно близких друг к другу точках плоскости (х, t),
что и решает поставленную задачу. В этой возможности при помощи
характеристик построить полное решение системы уравнений, удо-
влетворяющее некоторому заданному начальному распределению неиз-
вестных функций, и заключается важное принципиальное значение
идеи применения характеристик.1
В рассматриваемом частном случае одномерного движения газа,
согласно уравнениям (1) или (27), характеристики (CJ и (С2) в про-
странственно-временной плоскости (х, /) имеют простой физический
смысл. Это — движущиеся вдоль оси Ох со скоростью и-%-а или
и — аи перпендикулярные к этой оси плоскости, причем в плоскости,
движущейся вниз по течению со скоростью и-\-а, сохраняет свое
значение сумма § и, а в плоскости, движущейся вверх по течению
со скоростью и — а, сохраняется разность § — и. Если вместо абсо-
лютного движения этих плоскостей рассмотреть их движения относи-
тельно газа, то эти движения представятся как распространение
в противоположные стороны двух волн со скоростями ±а, равными
по абсолютной величине местной скорости звука.
Чтобы составить себе общее впечатление о характере рассматри-
ваемого движения газа, обратимся к изучению одного простого част-
ного решения системы (27).
Будем предполагать движение газа баротропным и закон связи
между давлением и плотностью р = р (р) заданным; тогда, согласно (25)
Несколько подробнее метод характеристик в приложениях к сверхзву-
вьш задачам будет изложен в гл. VI.
едии"ТР°ГОе Изложение теории характеристик и доказательство теоремы
вых ственности решения уравнений характеристик можно найти в спецналь-
примеп^т?Х "'ФФеренциальных уравнений в частных производных. См., на-
т и г курант и Д. Гильберт, Методы математической физики,
*• 11. 1 остехиздат, 1945, стр. 66.
задачам™01^611116 метода характеристик к нелинейным газодинамическим
ъТеопв ДОСтаточно подробно и полно изложено во втором томе курса
Н R ™ческой гидромеханики" И. А, Кибеля, Н. Е. Кочина и
°- Р о з е.
170
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. IV
и (23), функция § определигся как функция р из соотношения
р
§ (р) = а ,
Ра
(32)
где по (22) а является также заданной функцией р. Примем, например,
рассматриваемое одномерное движение за адиабатическое и изэнтро-
пическое; тогда будем иметь
а следовательно, по (22) получим:
Построим частное решение системы (27), положив во всей пло-
скости (х, t)
где а0 и р0 — значения скорости звука и плотности в покоящемся
невозмущенном газе.
При р > Ро будем иметь сжатие газа и возмущенное движение
вдоль положительного направления оси х, при р < р0— разрежение
газа и движение в противоположном направлении.
Второе уравнение системы (27) в силу (35) тождественно удовле-
творяется, а первое переходит в следующее:
Это уравнение можно, по предыдущему, трактовать, как условие
сохранения скорости и, а по (35), следовательно, и плотности р в пер-
пендикулярной к оси Ох плоскости, движущейся с абсолютной ско-
ростью и -|- а, а по отношению к газу — с местной скоростью звука а.
По (33) и (35) местная скорость звука равна
fc—1
CL . Uq j * —— Uq ”—2— ’ /
§ ggj РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 171
Полученное решение будем называть простой волной. Скорость
м j. а распространения простой волны в неподвижном пространстве,
которую, напоминаем, не следует смешивать с абсолютной скоростью и
самих частиц газа, будет равна по (37):
и - j- а = а0 4- --g--- и. (38)
Как относительная скорость распространения простой волны по
отношению к газу (37), так и абсолютная скорость распространения
простой волны (38) в неподвижном пространстве растут с увеличением
сжатия газа (р > р0) и убывают при его разрежении (р < р0).
Таким образом, подтверждается указанное ранее из качественных
соображений важное свойство нелинейных (конечных) возмущений
в одномерно текущем газе: если в покоящемся (или в квазитвердо
поступательно движущемся газе) создать в начальный момент вдоль
оси трубы некоторое непрерывное конечное неравномерное распре-
деление возмущений определенной формы, то возмущения бдльшей
интенсивности будут перемещаться быстрее, а менее интенсив-
ные —медленнее.
Отсюда вытекает основное отличие нелинейного распространения
конечных по величине возмущений от линейного: при распростра-
нении конечных возмущений форма их начального распределения
изменяется.
Если, например, неподвижный вначале поршень (рис. 38) придет
в движение и с некоторого момента времени будет двигаться равно-
мерно со скоростью и, то передача этого движения покоящемуся
газу, заполняющему цилиндрическую трубу, в которой движется пор-
шень, произойдет не мгновенно. Вызванные поршнем давление р и плот-
ность р будут распространяться в невозмущенном газе, имеющем да-
вление pQ и плотность р0. Процесс этого распространения показан
на рис. 38. Скорость поршня равна и, скорость точки С равна ско-
рости звука а0 в невозмущенном покоящемся газе, точка В имеет
скорость и 4~ а, превышающую скорость звука а0, и нагоняет точку С.
Наклон кривой ВС при перемещении возмущения увеличивается
(рис. 38 6). При приближении этого уклона к вертикали производ-
ные и, р, р по х становятся бесконечно большими, и предыдущие
формулы теряют свою силу. Можно, однако, утверждать, что тен-
денция к увеличению крутизны склона кривой возмущений имеет
место, а это приводит к образованию (рис. 38 а) малой по протяжен-
ности движущейся области, на границах которой значения р, р и и
будут: слева—р, р, и, справа—рй, р0, и$. Эта область стремится
нийТЬ бесконечно тонкой и превратиться в плоскость разрыва давле-
, плотности и скорости. Такая движущаяся поверхность (плоскость)
рыва физических величин в газе называется, как уже упоминалось,
арной волной или, иногда, движущимся скачком уплотнения.
172
ОДНОМЕРНЫЙ поток идеальной жидкости
[гл. IV
Последнее наименование станет понятным, если вместо абсолют-
ного возмущенного движения газа рассмотреть его движение относи-
>ельно распространяющейся ударной волны.
Из графиков на рис. 38 легко сделать заключение, что газ, про-
ходя сквозь ударную волну, уплотняется. Действительно (рис. 38в),
невозмущенный, менее плотный газ (р0, р0) входит сквозь ударную
волну В"С" в область возмущенного (р, р), более плотного газа;
вот почему ударная волна называется движущимся скачком уплот-
нения.
Предположим теперь, что поршень, двигавшийся равномерно слева
направо с некоторой скоростью и и гнавший перед собой газ с давле-
нием р и плотностью р, мгновенно уменьшил свою скорость или
остановился. Тогда перед поршнем образовалось бы разрежение,
которое также стало бы распространяться направо вдоль трубы. Легко
сообразить, что в этом случае разрыв непрерывности элементов
не может осуществиться и ударной волны разрежения не обра-
зуется. В самом деле, в непосредственной близости от поршня (рис. 39)
173
СГОЯЧАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ИЛИ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
§ 291
ность газа меньше, чем впереди от него, поэтому фронт области
пл0 ущения (точка D) будет опережать распространение волны раз-
В°^неения соответствующей участку кривой AD. При этом склон DA
Ре 39 б б) будет становиться все более и более пологим. Область
исхода газа от больших плотностей к меныпим будет растягиваться,
сплываться; разрыва непрерывности—„ударной волны разрежения"—
Рис. 39.
при этом не образуется. Невозможность образования ударной волны
разрежения будет далее подтверждена общими термодинамическими
соображениями. Перейдем к более детальному изучению явления рас-
пространения ударной волны сжатия.
§ 29. Стоячая ударная волна или скачок уплотнения.
Ударная адиабата
Как уже указывалось в конце предыдущего параграфа, ударная
волна является некоторым предельным образованием, соответствующим
Разрыву непрерывности основных физических величин, характери-
зующих движущийся газ, и обращению в бесконечность производных
174
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЙ
Дл. IV
о г этих величин. По этой причине исследовать явления распростра-
нения ударной волны при помощи дифференциальных уравнений дина-
мики газа нельзя, приходится искать обходные пути и в первую
очередь пытаться использовать общие теоремы динамики газа в их
интегральном представлении.
Для конкретности рассмотрим (рис. 40) цилиндрическую трубу
бесконечной длины, вдоль которой может перемещаться поршень.
Пусть вначале газ неподвижен, а затем внезапно поршень получает
мгновенное ускорение влево, и достигнув скорости V, продолжает
двигаться равномерно с этой скоростью. Возникает вопрос, как прои-
е
зойдет передача движения поршня находящемуся перед ним газу.
Созданное непосредствен-
но перед поршнем возму-
щение — сжатие газа —
начнет распространяться
влево, причем, в силу вне-
запности перехода порш-
ня от покоя к движению
со скоростью V, протя-
в
u-V
С=0 .
женность начального уча-
Рис. 40. стка возмущения по оси
трубы будет очень мала.
В результате известного уже нам явления обгона проходящими через
участки более плотного газа волнами возмущения волн в менее плот-
ном газе, образуется плоская ударная волна, показанная на рис. 40
пунктиром, которая побежит по неподвижному, невозмущенному газу
(на рис. 40 влево) с некоторой скоростью 6, оставляя за собою
(на рис. 40 справа) возмущенный газ, выведенный -из состояния
покоя и приведенный к скорости и — V, одинаковой со скоростью
поршня.
Замечая, что бегущая по газу ударная волна встречает перед собой
газ с одними и теми же значениями давления, плотности и темпера-
туры и, точно так же, оставляет за собою газ с новыми, но также
все время одними и теми же термодинамическими параметрами возму-
щенного состояния газа, можем утверждать, что скорость распростра-
нения ударной волны 0 будет величиной постоянной. Из приведенного
ранее рассуждения ясно, что ударная волна будет обгонять движение
поршня, т. е. всегда
О > V.
Одномерное движение газа в трубе является нестационарным, та»
как при прохождении ударной волны скорости и основные термоди-
намические параметры газа изменяются. Для целей дальнейшего рас-
чета удобнее иметь дело со стационарным явлением. Поэтому обрати»
рассматриваемое движение, сообщив мысленно всей трубе в целой,
вместе с движущимся в ней газом, поступательное движение слев<
g 2i)j СТОЯЧАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ИЛИ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ 175
„право со скоростью 6. Иначе говоря, будем рассматривать проис-
ходящее в трубе явление с точки зрения галилеевой системы коор-
инат движущейся поступательно вдоль оси трубы вместе с ударной
волной. Тогда ударная волна окажется как бы остановленной, а дви-
жение газа — стационарным. Такую „стоячую11 ударную волну по
предыдущему будем называть скачком уплотнения. Невозмущенный
газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит к скачку
уплотнения слева направо (рис. 41) со скоростью V1 = b, а за скачком
движется со скоростью V2 = 0 — V. Давление, плотность и темпе-
ратура в этой галилеевой системе сохраняют свои прежние значения;
7/////////////,.^///////////////77//77^///////////7///////7^^///7//7'77///А
v,=e । vz=b~v
а, Р-Р^ р-р, I Р-Рг. р-рг а
' т-т, I г=г2
I
I
Рис. 41.
условимся обозначать индексом „1“ величины перед скачком, ин-
дексом „2“—после скачка.
Чтобы найти связь между Vlt plt рг, Т, и V2, р.2, р2, Т2, восполь-
зуемся стационарностью потока и применим к нему теоремы сохра-
нения массы, количества движения и энергии в форме Эйлера. Согласно
соображениям, приведенным в конце § 23, эйлеровы формы этих
теорем могут быть применимы и в случае наличия в потоке поверх-
ностей разрыва (например, скачка уплотнения). Следует только выбрать
„контрольную поверхность" так, чгобы те ее части, на которых нор-
мальная составляющая скорости отлична от нуля, не совпали и не
пересеклись с поверхностью разрыва.
Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверх-
ности цилиндрической трубы и двух равных между собою по площади
нормальных сечений а, и а2 (рис. 41). Поверхность разрыва пересе-
кает только ту часть контрольной поверхности, где Vn — 0. В силу
принятой одномерности движения будем считать, что в сечениях Cj
и °2 поля скорости и других величин однородны.
Закон сохранения массы, согласно (32) гл. III, дает после сокра-
щения на 0!==^:
p1K1 = p2F2. (39)
Теорема об изменении количеств движения в форме (42) гл. III
приводит, аналогично, к равенству
/’l l Pi^i =Р2 + Р2^2 (40)
176
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
и, наконец, закон сохранения энергии (37) гл. III позволяет написан,
третье соотношение:
К системе уравнений (39), (40), (41) можно еще присоединить
уравнение Клапейрона, вследствие которого, используя еще равен-
ство (17) гл. III, можно написать:
— fT— JcPP1_ k pi
H—JCp1!— R p-—pi
и, аналогично,
t — k El
2 k — 1 pg ’
после чего равенство (41) заменяется следующим:
k tir Vi k p% Vi
Т7ГТТГ+-21 = -^1-^ + -Т- (42)
Таким образом, составлена система трех уравнений: (39), (40)
и (42) с тремя неизвестными величинами V2, р2, р2.
Найдем сначала связь между давлениями и плотностями до и за
скачком уплотнения, исключив из рассмотрения скорости и К2.
Для этого, согласно (39), перепишем уравнение изменения количеств
движения (40) в виде
А р2 = р2 Иг р1 Vi — pi 1^1 ( И2 1"1)
и умножим обе части этого равенства справа на выражение
Иг ~Н И1
рДТ ’
а слева на равную ему величину
PlKj ‘ pl pl ~ Р2К2 pi ‘ р2 ’
тогда получим
С другой стороны, из уравнения энергии (42) следует:
так что, приравнивая левые части двух последних равенств, найдем:
$ 29]
СТОЯЧАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ИЛИ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
177
Группируя
в этом равенстве члены с рг и р2, будем иметь:
р.2 __ (fc-Hlp-j —(fe — l)Pt = (fe + DPa/Pi —(^—1)
Pl (^ + 1) Pl — -------О P2 k + 1 — --------- 1) Ps/Pl
(43)
Это важное соотношение, установленное впервые Гюгонио, опре-
деляет связь между давлением и плотностью в газе после прохождения
им скачка уплотнения и давлением и плотностью до скачка. Вспо-
миная связь между давлением и плотностью в непрерывном адиаба-
тическом движении
идеального газа, опре-
деляемую изэнтропи-
ческой адиабатой
A—APf)*
Pt \Р«/
видим, что уравнение
Гюгонио (43) предста-
вляет адиабату, отлич-
ную от изэнтропиче-
ской; эту адиабату
обычно называют удар-
ной или еще адиабатой
Гюгонио в отличие от
изэнтропической адиа-
баты Пуассона (44).
Полученный резуль-
тат на первый взгляд
противоречит доказан-
ному в предыдущей главе положению об изэнтропичности адиабати-
ческого движения идеального газа. Не следует, однако, забывать, что,
в отличие от рассмотренного ранее непрерывного вдоль трубки тока дви-
жения, в настоящем параграфе рассматривается разрывное движение
с конечным скачком всех величин в некотором сечении трубки тока.
Отсюда следует только сделать естественное заключение, что про-
хождение идеального газа сквозь скачок уплотнения не является
изэнтропическим процессом, а сопровождается переходом механи-
ческой энергии в тепловую. При этом должна возрастать отнесенная
единице массы энтропия газа, в чем нетрудно убедиться, если
вспомнить, что по формуле (26) гл. III:
/P1V1 (45)
A—1L \ Ра / \Pi/J /г“! \Ра/ J
>f Рис- 42 показаны для сравнения графики двух адиабат: изэн-
&тогИЧеСК°Й И неизэнтРопической, ударной адиабаты. Как видно из
графика, при p2/pj > 1 ударная адиабата располагается выше
12 Зак 184] л г л
178
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. lV
изэнтропической, откуда и следует, что выражение, стоящее в ква-
дратной скобке под знаком логарифма в формуле (45), больше
единицы, логарифм положителен, так что, действительно:
> Sj.
Из формулы (45) сразу следует, что скачка разрежения быть
не может. Действительно, повторяя формально все предыдущие рас-
суждения относительно воображаемого скачка разрежения, можно
было бы получить те же самые формулы и при pt < Pi < Ре- Но
при p2/Pi < 1 кривая, соответствующая ударной адиабате, ложится
ниже изэнтропической адиабаты, так что в этом случае
S2 ^i>
это означает, что при прохождении газом воображаемого „скачка раз-
режения" отнесенная к единице массы энтропия газа должна была
бы уменьшаться, что приводит к противоречию со вторым началом
термодинамики. Таким образом, и из общих термодинамических сообра-
жений следует, что в рассматриваемом случае движения совершен-
ного газа „скачок разрежения" невозможен. При наличии в движу-
щемся газе химических процессов (горение, детонация) последний
вывод не имеет места.
Заметим, что ударная адиабата имеет асимптоту
р2 k 4-1
Pi ~ k~-^ ’
так как при этом отношении плотностей отношение давлений, со-
гласно (43), обращается в бесконечность. Отсюда следует, что, в отличие
от обычного адиабатического и изэнтропического сжатия газа,1 как
бы ни была велика интенсивность ударной волны p^pt, созданное
ею уплотнение газа рд/рх не может превзойти величины - j~-. Так,
например, воздух, пройдя сквозь скачок уплотнения, не может по-
высить свою плотность более, чем в шесть раз.
§ 30. Критические величины в одномерном потоке Газа. Связь
между скоростями до и после скачка. Изменение давления,
плотности и температуры в скачке уплотнения
Введем в рассмотрение важное для последующего понятие кри'
тической скорости движения газа. Из уравнения сохранения энергий
идеального газа (37) гл. Ш при стационарном адиабатическом его
движении путем, аналогичным примененному при выводе равенства (42)
из (41), получим:
const (46)
*—1 р । 2 П V
1 Например, в теплоизолированном цилиндре с поршнем.
ИЗМЕНЕНИЕ V, Р, р, Т В СКАЧКЕ УПЛОТНЕНИЯ
179
§ 30]
вспомнив определение адиабатической скорости звука (11):
ИЛИ’ А р . Vs «2 , V2 .
А —1 р + 2 “ А— 1 + 2 — Const (47)
Формула (47) дает непосредственное выражение местной скорости
звука в некотором сечении одномерного стационарного потока через
скорости частиц потока в этом сечении. Критической скоростью газа
называется такая его, скорость а*, при которой скорость распро-
странения звука по отношению к движущемуся газу равна абсо-
лютной скорости самого потока. Полагая в равенстве (47)
а==я*, получим:
а2 . V2____ a*s t а*2___ А -|-1
k— 1 k— 1 “Г 2~~2(А — 1) а •
(48)
Критическая скорость а* представляет постоянную вдоль всего
потока величину, характеризующую данный одномерный поток в целом,
и может быть легко выражена через скорость звука а0 в адиабати-
чески и изэнтропически заторможенном газе. Для этого достаточно
в (48) положить V = 0, а = «0; Тогда получим:
= j/~ yqTj- а0. (49)
Значения давления, плотности и температуры в „критическом”
сечении одномерного потока, т. е. в таком сечении, где скорость
равна критическому своему значению, назовем также критическими
и обозначим через р*, р* и 7**. Из определения критической ско-
рости следует
a* = VkRT*. (50)
Сравнивая это выражение с аналогичным выражением скорости Звука
в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе
ао — У
и> принимая во внимание (49), получим:
<6”
CIq К —А
НайИсполь3Уя Уравнение адиабаты и формулу Клапейрона, нетрудно
ти и остальные критические величины:
н 1
Сопоставляя равенство (42) с формулами (47) и (48), приходим
“«ному результату
и' — а>
12*
180
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖЙДК0С1Й
[ГЛ. IV
или по (49)
_ ‘Т'*
1 1 7 2’
т. е. при прохождении газа сквозь скачок уплотнения критические
значения скорости и температуры потока сохраняются. Сохра-
няются при этом и отношения критических давлений и плотностей,
ко не критические давления и плотности, взятые в отдель-
ности.
Согласно (51) и (52), при прохождении газа сквозь скачок уплот-
нения сохраняется также температура адиабатически и изэнтро-
пически заторможенного газа и отношение „заторможенных*
давления и плотности'.
Ло— ^20 >
Рю_Рго
Рю Рго
Перепишем уравнение количеств движения (40) на основании (39)
в виде
Рч.
Pl
P1V1'
(53)
Уравнения энергии (47) и (48), примененные до и после скачка,
дают:
k Pi_ *+1 VI
k — 1 Р1 2(А — 1) а 2 ’
k Р2
________ ......_ fl Л'С
k — 1 Psi 2{k — 1)_2 •
Определяя из последних двух уравнений отношения —, и под-
ставляя их значения в уравнение (53), получим после простых пре-
образований равенство:
а* •
ViVi
откуда в силу неравенства ф V2 сразу следует:
У^^а*2. (54)
Из уравнения неразрывности (39) и условия р2 > рх вытекает, что
скорость до скачка всегда больше, чем скорость после скачка
(Vj > У2). Равенство (54) уточняет этот результат и показывает, что
Vi > a l/2 < a*i иными словами, перед скачком уплотнения газ
движется со скоростью больше критической, а за скачком — меньше
критической. Можно доказать также, что перед скачком газ движется
со сверхзвуковой скоростью, за скачком — с дозвуковой скоростью>
Т. е., что имеют место неравенства:
а2>
(55)
§ 30J ИЗМЕНЕНИЕ V, р, р, Т В СКАЧКЕ УПЛОТНЕНИЯ 181
где «1 и “2 — местные скорости распространения звука в газе до и
после скачка. Для этого используем равенство (48) и напишем по
предыдущему.
, .2 . *3 2 3 । k 1,-2
Vi>a — ft + 1 + + 1 У1,
,,2 ' *3 2 2 . k — 1 lz2
< fl = -Г-Гл «3-f VTT Ka‘
/V “Г* Ж /V —t— 1
Разрешая эти неравенства относительно Vi и vf, докажем требуе-
мые неравенства (55).
Пользуясь составленными основными уравнениями скачка (39), (40)
и (41), можно выразить изменения давления, плотности и температуры
газа при прохождении его через скачок уплотнения
Др=/>2-Р1, Др = р2-Р1, ДТ=Т2-Т1
через начальные параметры газа и критическую скорость.
Имеем по (40) и (39):
&Р ~Р% — Pi — Pi^l —'РаИа = Pi — Pi
или, пользуясь формулой (54):
Др = р1И —P1a*3=piIZ^l—(56)
Аналогично найдем по (39) и (54):
дР = Р2-Р1=^~-Р1==-^---Р1’=Р1(^— 1)’ <57>
И по (41) и (54):
Уср(Г2—• Fj) = — (V{— Vl)— -~-(1-
Используя ранее принятые обозначения числа М:
«1 ’
3 Os
заменим в только что выведенных формулах (56), (57) и (58) квадрат
критическцй скорости a*s через его выражение (48); тогда после
182 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСГИ [гл. IV
простых выкладок получим выражения Др, Др и ДТ через начальныv
параметры газа (до скачка) и число М,:
Из неравенств (55) следует, что М3 > 1; при этом все рассматри-
ваемые изменения величин р, р и Т будут положительны.
Чем больше отличается от единицы число М1( тем больше будут
разности Др, Др и ДТ и тем интенсивнее будет скачок уплотнения.
Значения числа М3 перед скачком можно принять за меру его интен-
сивности.
При очень больших интенсивностях (М3 1) формулы (59) могут
быть заменены следующими более простыми приближенными (асимпто-
тическими) выражениями:
ДР = TCTPi,
, 2k Vt 2k(k — 1) „
Д Т ---------- =--------- Тл м?
(fe+ovc,, (*4-1)2
(60)
Вторая из этих формул еще раз подтверждает известный уже нал
факт возможности сжатия газа при помощи скачка уплотнения не более
чем в —Ц раз (в шесть раз в случае воздуха, для которого й = 1,4).
§ 31. Скорость распространения ударной волны. Спутное
движение газа за ударной волной
Изучив основные соотношения в скачке уплотнения, вернемся те-
перь к рассмотрению явления распространения ударной волны в про-
странстве.
Задаваясь интенсивностью ударной волны, которую в случае дви-
жущейся волны лучше всего характеризовать отношением давле-
ния р%, устанавливаемого волной, к давлению в газе до приход3
^31] СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНОЙ волны 183
волны, определим прежде всего скорость 6 распространения ударной
волны в невозмущенном, в частности, покоящемся газе. Для этого вер-
немся от стационарного движения газа по отношению к „остановлен-
ной" ударной волне обратно к нестационарному явлению распро-
странения ударной волны в неподвижном газе. Вспомним принятые
в начале § 29 обозначения:
V, == О, V2 = 6 — V, (61)
где 6 — скорость распространения ударной волны в покоящемся газе,
у___абсолютная скорость частиц газа, следующего за ударной вол-
ной; эгу скорость естественно назвать скоростью спутного движения
газа за волной.
Воспользуемся первым равенством системы (59), которое предва-
рительно перепишем в виде
- 2* Л_ (1_________L\____Иг 1 __ 2Й гм2— 11
a+iwpA м2/ нч" м2> л
и заменим в нем, согласно (61),
тогда, разрешая предыдущее равенство относительно Mv получим
искомую формулу скорости распространения ударной волны;
О = «j j/*+ • (62)
Из этой формулы вытекают два важные следствия:
1°. Скорость распространения ударной волны в невозмущенном
газе тем больше, чем интенсивнее волна, т. е. чем больше устана-
вливаемое ею сжатие р2/рг
2°. При уменьшении интенсивности ударной волны скорость ее
распространения стремится к скорости звука в невозмущенном газе:
6 = at при р2 — рГ
Звуковую волну можно, таким образом, рассматривать как удар-
ную волну очень малой интенсивности. Отсюда следует, что удар-
ная волна всегда опережает' распространение звука в невозмущенном
газе; так, ударная волна, образовавшаяся вследствие взрыва (ее назы-
вают обычно взрывной волной), обгоняет звук взрыва.
Перейдем к определению скорости спутного движения V. Восполь-
зуемся для этого основным соотношением непрерывности (39), кото-
Рое в силу (61) перепишется так:
Р1б = р? (0 — V).
184
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. IV
Из этого равенства можно определить V в функции от известной
уже величины 6 и отношения плотностей до и за ударной волной:
V=(l—(63) X Pl/
Заменяя отношение Pi/p2, согласно формуле Гюгонио (43), выра-
жением Pt &+1 + (&— P)PilPl Z'64'I Р2 (* + 1 »
и используя для 0 равенство (62), получим:
_ £* _] у = —уг.—;,t - . (65) k —— 1 -Р “4“ 0
Как легко заключить из полученного выражения скорости спутного
движения, в звуковой волне =^= 1) скорость спутного потока ни-
чтожна, что было показано и ранее. С ростом интенсивности ударной
волны скорость спутного потока возрастает (при очень больших интен-
сивностях, примерно, пропорционально корню квадратному из сжа-
тия p2/pj.
Приведем табл. 5 численных значений относительных сжатий и
уплотнений газа ударной волной, распространяющейся в неподвижном
воздухе (k — 1,4) при 15° С (Т = 288°) и нормальном атмосферном
давлении; в той же таблице помещены соответствующие этим сжатиям
значения О, V и перепада температур.
Таблица 5
bp/Pl Ар/Р1 дт°с 0 м)сек V Арсен Др/Рх aiPC 0 мрек V м/гек
0 0 0 340 0 40,3 4,20 1925 2000 1611
0,47 0,30 33 400 93 92,3 4,58 5940 3000 2880
1,39 0,81 87 500 224 165 4,72 7 750 4000 3300
9,20 22,20 2,77 3,74 465 1075 1000 1500 734 1181 258 4,78 12100 5000 4135
Таблица составлена в предположении об адиабатичности (но не
изэнтропичности!) процесса. В действительности, при столь высоких
температурах, как указанные в конце таблицы, станет заметным
рассеяние энергии, в частности теплоотдача путем лучеиспускания,
что в корне изменит всю картину явления. Кроме того, расчеты
сделаны для распространения плоской ударной волны; в сферической
ударной волне интенсивность будет падать еще в связи с увеличением
§ 31 j СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНОЙ волны 185
поверхности волны при удалении ее о г центра образования. Все же
в тенденции указанные числа представляют интерес. Обратим внима-
ние, например, на то, что при отсутствии рассеяния энергии и при
относительном сжатии -^==10 скорость распространения ударной
волны должна была бы примерно в три раза превзойти скорость звука,
при этом за ударной волной возникало бы мощное спутное движение
воздуха со скоростью, более чем вдвое превосходящей скорость рас-
пространения звука в невозмущенном воздухе. Надо заметить, что
даже при сравнительно небольших сжатиях воздуха ударной волной
возникает сильный „звуковой ветер". Так, например, легко подсчи-
тать по предыдущим формулам, что ударная волна, несущая относи-
тельное сжатие воздуха = 0,22, распространяясь со скоростью
370 м/сек, могла бы вызвать „звуковой ветер" со скоростью 50м/сек,
т. е. сильный ураган. Отсюда видно, сколь ничтожные сжатия воз-
духа несут с собой обычные звуковые волны, почти совершенно не
смещающие частицы воздуха.
Образованием ударных волн, как движущихся в пространстве, так
и „стоячих" скачков уплотнения, сопровождаются многие важные
для техники процессы, связанные с большими около- и сверхзвуко-
выми движениями газа или с распространением местных сжатий (повы-
шений давления) в неподвижном газе.
При полете самолета или снаряда даже с дозвуковыми, но близкими
к звуковым, скоростями на поверхности крыла и фюзеляжа образуются
зоны сверхзвуковых скоростей, причем обратный переход этих сверх-
звуковых скоростей к дозвуковым сопровождается возникновением
скачков уплотнения. Сверхзвуковой поток, набегающий на лобовую
часть тела, движущегося со скоростью, большей скорости звука,
будег тормозиться до нулевой относительной скорости в точке раз-
ветвления воздушной струи; переход от сверхзвуковой скорости к до-
звуковой будет сопровождаться образованием „головной волны" перед
лобовой частью летящего тела. Такого же рода скачки образуются
в соплах, когда сверхзвуковой поток переходит в дозвуковой, и др.
Отметим громадную интенсивность ударных волн в тяжелых
жидкостях, например в воде. Примером можег служить явление ги-
дравлического удара, появляющееся в трубопроводе, если мгновенно
остановить движущуюся по нему воду, закрыв кран. Возникающие
при этом резкие повышения давления moi ут служить причиной серьез-
ных аварий в водопроводных сетях, в подводящих аппаратах гидра-
влических турбин и др.
Гидравлический удар представляет по своей природе не что иное
как результат возникновения и распространения ударной волны сжатия
в воде. Значительная эффективность гидравлического удара объясняется,
во-первых, значительной плотностью воды (в 800 раз превышающей
Плотность воздуха), а также большими скоростями распространения
186 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
возмущений (скорость звука в воде примерно в 4х/а раза больше чем
в воздухе).
Теория гидравлического удара аналогична теории ударной волны
в газе, но имеет и некоторые специфические особенности, связанные
с существенной деформацией стенок трубы при тех громадных давле-
ниях, которые возникают при гидравлическом ударе.
Создателем современной теории гидравлического удара по праву
может быть назван наш великий ученый Н. Е. Жуковский, который
исследовал распространение ударных волн вдоль труб, наполненных
водой, и провел замечательные наблюдения гидравлического удара
в трубах по заданиям московского водопровода. 1 Н. Е. Жуковским
предложена простая формула повышения давления Др при гидравли-
ческом ударе:
где т?0— потерянная скорость воды, А — скорость распространения
ударной волны, равная
___ / Ро > 2/?оро Х~
' \ k еЕ J
Здесь р0 и k — плотность и модуль упругости воды, Ro и е — радиус
и толщина стенки трубы, Е — модуль упругости материала трубы.
§ 32. Влияние интенсивности скачка уплотнения на сжатие
газа. Измерение скоростей и давлений в до- и сверхзвуковых
потоках
Рассмотрим одномерное стационарное адиабатическое течение
идеального газа и предположим, что где-то вдоль трубки тока
или струи газа происходит изэнтропическое (без скачка уплотнения
или других причин для превращения механической энергии в тепло-
вую) торможение газа, приводящее газ к покою. Установим простые
формулы связи параметров изэнтропически заторможенного газа То, р0,
р0, а0 с текущими их значениями Т, р, р, а в сечениях рассматри-
ваемой трубки тока.
Возьмем основную формулу закона сохранения энергии
V2
-J- 4- ЛрТ = const
и определим константу из условия: при V = О, Т = тогда по-
лучим:
•р — t'_j_ И — j ............Е2 \
'о —' 4~ 2JCp — щ 4- 2/Cy7j,
1Н. Е. Жуковский, О гидравлическом ударе в водопроводных тру-
бах. Бюлл. Политехнич. об-ва № 5, 1899, стр. 255—290. См. также „Избран*
ИЫе сочинения", т. II, ОГИЗ, 1948,
§ 32] ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА 187
или, замечая, что по (17) гл. III и по определению местной адиаба-
тической скорости звука
Jc„ (Р
найдем искомое выражение температуры изэнтропически заторможен-
ного газа:
Т'о-Г^Н-^^)=7’(1 + А^11м2), (66)
а следовательно, и соответствующую скорость звука
йо~а^Н--------------------------g—М2) • (67)
Из уравнения изэнтропической адиабаты и уравнения Клапейрона
Р _/ Р ? р = р т То
РО \PoJ ’ Ро Ро '
сразу следует: к 1
Р _ Ро т -1—0- Ро у—1 (68)
откуда, используя (66), найдем выражения остальных параметров
изэнтропически заторможенного газа:
к
/>» = ₽(!+(69)
(70)
Формулы (66), (69) и (70) являются основными во всех расчетах
одномерных течений газа.
Из формулы (70) следует, что при значениях числа М, меньших
единицы, имеет место разложение в рад:
р __ М2 ,
Ро 2 + • •
Отсюда можно сделать вывод, что, полагая в модели несжимаемой
жидкости р = const = ро, ’ делают тем меньшую ошибку, чем меньше
число М в движущемся газе. Так, например, для того чтобы ошибка
не превосходила 1°/0, число М должно быть меньше 0,14, а это
соответствует в случае воздуха при нормальных условиях верхней
границе допустимых скоростей 50 м'сек. Следует заметить, что даже
при скорости в 100 Mjceic ошибка не превосходит 4%.
Легко также видеть, что при малых значениях числа М формула (69)
переходит в обычную формулу Бернулли (58) гл. Ш для несжимаемого
188
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. IV
газа. Действительно, разлагая при малых М правую часть (69) в ряд,
получим:
р«=41+4мз+4^г(и--1)-^м4+ ]=
=р(1 + 4м*+4м*4- •••),
или, замечая еще, что по определению числа М и адиабатической
скорости звука
Р
получим
= 1 м2+ ...
|р^
При М = 01 будем иметь формулу (58) гл. III для несжимаемой
жидкости:
р-\- ^-pV2 — р0 — const.
Ошибка, которую при этом делают, принимая’газ несжимаемым,
имеет порядок уМ2, т. е. в два раза меньше ошибки в изменении
плотности. Так, применяя теорему Бернулли для несжимаемой жидкосги
в случае воздуха, движущегося при нормальных условиях со скоростью
100 м'[сек, сделаем ошибку порядка 2%. Как известно, в капель-
ных жидкостях скорость звука больше, чем в газах. В воде, напри-
мер, скорость звука достигает значения 1500 м)сек, т. е. почти в 5 раз
превышает скорость звука в воздухе. Таким образом, воду можно
рассматривать как несжимаемую жидкость при скоростях, дохо-
дящих до 500 м-сек’, такие скорости на практике еще не наблюдаются.
При переходе ог сверхзвуковых скоростей (Mi>l) к дозвуковым
(М2 < 1), как было ранее показано, газ проходит через скачок уплот-
нения. В этом случае величины р0, р0 и То для заторможенного газа
уже не могут вычисляться по указанным только что формулам (69),
(70) и (66), так как процесс в целом не изэнтропичен; расчет
приходится вести иначе.
Следуя принятым ранее обозначениям, будем считать, что газ до
скачка имел параметры рх, рп 7\, после скачка—р2, р2, 7’2; соот-
ветствующие значения параметров изэнтропически заторможенного газа
до и после скачка обозначим через рк„ pJ0, 710, pw, р20, Т^.
1 Число М может равняться нулю в двух случаях: 1) когда скорость
движения газа равна нулю и 2) когда скорость звука равна бесконечности,
Т, е, газ несжимаем; полагая М = 0, подразумевают всегда второй случай-
ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА
$ 321
Как было показано в § 30:
т10=т^
Рю Гао.
Рю Рао
189’
следовательно, по (68):
РЮ Рю __ Р1 .
АО Рао Р2
Zw?7*"1
tJ pi rjx?7*-1
raW'J
(71)
2
С другой стороны, из первых двух равенств системы (59) легко
вывести следующие соотношения:
Г1_==_________1_______
Рч лл 2 1
*4-1 1 *4-1
, , * — 1 м2
~2-М;
±-1ма
2 1
Замечая, что по формуле Клапейрона
?2 __Ра . _р?_
7)
(72)
_Pi__
P2
(73)
разделим почленно обе части
получим:
Pi * Pi ’
равенств (72) и (73) друг на друга и
k— 1
М1 *Ч-1Д
*4-1
k—l
2
(74)
Л
Чтобы получить искомые отношения давлений и плотностей изэн-
тропически заторможенного газа за и перед скачком уплотнения,
остается подставить выражения (72) и (74) в равенство (71); тогда
будем иметь;
к
1 / fi + 1 »д2 \к~1
£?*!. — Р20 ( М? . 1 \ —1 / ___2 1 I zygx
рю p10~U+iM1 ъ+v • (7}
На рис. 43 представлен график этого соотношения для воздуха
(«=1,4); на том же графике показано сжатие воздуха в скачке р2/Р1
пРи разных Mj. Как видно из графика, чем больше число Mt набе-
гак,шего воздуха, тем меньшее давление можно получить за счет
190 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ • 1гЛ. IV
изэнтропического торможения газа, прошедшего через скачок
уплотнения. Причина этого явления была выяснена раньше —в скачке
уплотнения имеет место необратимое превращение механической
энергии в тепловую, вследствие чего полная механическая энергия,
в заторможенном газе сводящаяся к энергии давлений, становится
меньше.
Из кривой следует также, что потери давления в скачке малой
интенсивности, т. е. при числе Мх, близком к единице, весьма незначи-
тельны. Легко исследовать поведение кривой на рис. 43 при малых
значениях разности —1. Преобразуем равенство (75) следующим
образом:
Рю Р20 _
Pill Р10
2k
k+1
1+±=1+^±(М2-1)
Ь + ттт^-1)]
1 + (М|—1) 1
'1 + тТГ<ир-'>
32} ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА 191
Произведя разложение по степеням малой величины (Mi — 1),
убедимся, что коэффициенты при Mi—1 и (Mi—I)2 обращаются
в нуль, а разложение величины будет иметь вид:
Р10
Pw 2k (MS — I)8
Г10 3 ~ v '
Из последнего разложения видно, что скачки малой интенсивности
не приводят к заметной потере давлений, так как при Мп близком
к единице, /?20 совпадет с pw с точностью до очень малой величины
2k (М8 — I)3
(W 3 ‘
Так, Для воздуха (fe== 1,4)эта величина имеет порядок 0,16 (Mi— I)8
и, например, при превышении скорости звука на 10% (М, = 1,1)
будет равна 0,0015.
Можно показать, что такова же величина приращения в скачке
уплотнения энтропии, являющейся мерой превращения механической
энергии в тепло (потерь механической энергии). С этой целью при-
меним равенство (45) к параметрам изэнтропически заторможенного
газа, что допустимо, так как изэнтропическое торможение не должно
повлиять на приращение энтропии в скачке; тогда получим:
$2— Si____1 . I Рча ( Рю У" !.
R - k-i 1’
по, по предыдущему, = Al®., следовательно, по (75'):
Р20 Р‘№
S2~Si 1 , r/Pa.V'-h , ?20 . 2^ (Mf-1)8
R ~k—l lnlAp10> J- %io (* + l)2 3 • <76>
Отсюда следует важный общий вывод: скачки малой интенсив-
ности приводят к ничтожным изменениям энтропии, так что
с Достаточной степенью приближения околозвуковые явления можно
Рассматривать как изэнтропические.
Из равенства (74) легко найти также соотношение между числами М,
и М2 до и за скачком уплотнения. Заметив, что 7\ и Т2 связаны
простыми соотношениями (66) с температурами и изэнтропи-
чески заторможенного газа, причем, как было еще показано в § 30,
Ао ~Т<^, получим:
1 + ~—q~~ М|
fe+1-M8
2^ М2 k-~’
k + \ fe-pl
192
одномерный поток Идеальной жидкости
[гл. IV
откуда следует
к— 1
2
М^
_ _ _о k — 1
ж;-----
(77)
1
Из последней формулы видно, как убывает число М2 за скачком
с возрастанием числа М, перед скачком. Чем больше интенсивность
скачка, т. е. чем больше отношение сверхзвуковой скорости газа
перед скачком к местной скорости звука, тем меньше отношение
дозвуковой скорости за скачком к своей скорости звука. Но не
следует думать, что дозвуковое значение числа М2 за скачком будет
беспредельно убывать с ростом интенсивности скачка Mt. Как пока-
зывает формула (77), при беспредельном росте величина М2
остается больше величины
(м^1=0О=/^
для воздуха (k =1,4) равной 0,378.
Приводим табл. 6 значений М2 и отношения давлений р^р^ за
и перед скачком в интервале наиболее употребительных значений
чисел Mj для воздуха.
Таблица 6
Ml М2 PtJPi Mi м2 prfpi ! Mi i м2 PdPi
1,0 1,000 1,000 1,6 0,668 2,820 2,1 0,561 4,970
1,1 0,912 1,246 1,7 0,640 3,200 2,2 0,546 5,480
1,2 0,842 1,520 1,8 0,616 3,604 2,3 0,534 6,000
1,3 0,779 1,824 1,9 0,595 4,043 2,4 0,522 6,550
1,4 1,5 0,739 0,701 2,120 2,455 2,0 0,577 4,500 2,5 0,512 7,400
Рассмотрим в качестве примера простейшую схему воздушно-
реактивного двигателя (ВРД) без компрессора (рис. 44), установленного
на самолете, который летит на высоте Нх со сверхзвуковой скоростью
l/1>«i(«1 — скорость звука на высоте /7j). Обозначим давление
воздуха на высоте Н1 через pt; давление в камере горения (К. Г.) р'2
будет значительно превышать давление рх, так как в камере горе-
ния скорость сравнительно невелика. Пренебрегая этой скоростью,
можем считать /?' == рж. Для улучшения сгорания горючего и повы-
шения к. п. д. двигателя важно иметь в камере горения, по возможности,
более высокое давление. Подсчитаем это давление сначала в предпо-
ложении изэнтропичности процесса входа внешнего воздуха внутрь ВРД.
§32J
ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА
193
Будем иметь:
Р20 = Р10=Р1(1 +
к
k— 1
2
или для воздуха:
p2O==a(i + o,2M?)s'g.
Если число Mj полета равно Мл = 2, то
= 1 83,в = 7,9.
Pi
На высоте //5=10000 м по таблице международной стандарт-
ной атмосферы (MCA) находим pt = 0,2606 ата и, следовательно,
/?20= 2,06 ата,
т. е., несмотря на большую высоту и разреженность атмосферы, за
счет скоростного напора набегающего воздуха в камере горения
должно было бы наблюдаться
сжатие воздуха ^=8 и дав-
ление в 2 ата.
На самом деле торможение
воздуха от сверхзвуковой ско-
рости Vj при //[ = 10 000,
Mj = 2, по MCA равной =
= б00л«/се/с, или 2160 км/час,
до почти нулевой скорости
в камере горения вызовет по-
явление скачка уплотнения, по-
казанного на рис. 44 жирным
пунктиром. Этот скачок всегда
садится впереди тупоносого
тела, движущегося со сверх-
звуковой скоростью, и назы-
вается головной волной. Участок
/
/
/
Рис. 44.
головной волны перед входом в ВРД
можно рассматривать приближенно как плоский скачок уплотнения
в одномерном течении и определять р20 по заданному р10 при по-
мощи графика рис. 43. Давление в изэнтропически заторможенном
газе Рю определится опять по формуле
Рю = р1 (1 -j- 0,2 М1)3,Б = 7,9 Р1 ~ 2,06 ата,
Давление в камере горения при Mt = 2 будет по графику равно:
Р20 — °>75 р10 — 0,75 • 2,06 = 1,55 ата,
£ е- на 25% меньше, чем то давление р20, которое установилось
ы при изэнтропическом (бесскачковом) торможении. При меньших
13 Зак. 1841. л, р. Лойцянский.
194
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
{гл. IV
значениях числа Mj (малых интенсивностях скачка) этот эффект
был бы гораздо более слабым. Например, при Mj = 1,2, что на высоте
Hi = 10 ООО м соответствует по MCA скорости 360 м/сек, т. е.
около 1300 км/час, по (75') разница между давлением изэнтропи-
чески заторможенного воздуха в камере горения и давлением воздуха,
прошедшего сквозь скачок уплотнения малой интенсивности, не
превзошла бы 1,5°/0.
Наоборот, при полете с большими значениями числа Mt вредное
влияние скачка уплотнения сильно увеличивается. Как это следует
из графика, при Mj = 3 давление в камере сгорания будет равно 35%
от давления, соответствующего изэнтропическому, при Mj — 4 — уже
только 15%, при Mj = 5 — всего 5% и т. д.
Повышение давления за счет скоростного напора набегающей
струи при сравнительно небольших числах М полета оказывается
недостаточным, и в современных ВРД для сжатия воздуха в камере
горения используют дополнительный компрессор.
Для создания значительно повышенных давлений в бескомпрес-
сорных реактивных двигателях при движениях самолета с большими
числами М необходимо решительно бороться с образующимся перед
входом в двигатель скачком уплотнения. О мерах этой борьбы—
замене плоского прямого скачка уплотнения, перпендикулярного
направлению движения, системой наклонных, косых скачков, будет
рассказано в гл. VI, посвященной плоскому движению сжимаемого
газа.
^2] ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА 19!>
Для измерения скоростей движения газа или движения тела по
отношению к газу применяют особые измерительные трубки (их
называют обычно скоростными трубками), основная идея работы
которых заключается в следующем. Газ набегает на носик трубки,
где имеется так называемое динамическое отверстие D (рис. 45а),
и обтекает боковую поверхность трубки, с расположенным на ней
статическим отверстием (щелью) S. При надлежащей конструкции
трубки — достаточном удалении ножки трубки F от статического
отверстия 5 и статического отверстия S от носика трубки D (обычно
принятые размеры показаны на рис. 456) можно считать, что вблизи
отверстия D давление равно (рис. 45 а) давлению заторможенной
жидкости или газа pw, а вблизи статической щели—давлению про-
ходящего мимо трубки газа. Последнее обстоятельство может вы-
звать недоумение, так как в реальной жидкости или газе существует
грение, приводящее скорость частиц на стенке к нулю, т. е. также
тормозящее газ. Однако это торможение совершенно иное, чем тормо-
жение набегающего потока в лобовой точке D измерительной трубки.
В конце курса при изложении теории вязкого движения жидкости
в пограничном слое на поверхности обтекаемого тела будет показано,
что при этом неизэнтропическом торможении давление в любой точке
поверхности совпадает с давлением в жидкости или газе в сечении
пограничного слоя, проведенном через эту точку. Таким образом,
действительно, если щель S располагается заподлицо к стенкам трубки
достаточно аккуратно для того, чтобы жидкость проходила мимо
щели, не подвергаясь подпору со стороны выступающих стенок этой
щели, то давление в щели будет равно давлению в невозмущенной
трубкой жидкости вдалеке от трубки.
Условимся в дальнейшем обозначать через pr, рр аг и ]/\ давление,
плотность, скорость звука и скорость набегающего на трубку потока.
Если жидкость или газ движутся со столь малыми скоростями,
точнее говоря, с малыми значениями числа М, что можно их дви-
жение рассматривать как несжимаемое, то по теореме Бернулли для
несжимаемой жидкости, выражаемой равенством (58) гл. Ш, можно
написать
pl — р! Hi = const — р№ — pw,
откуда сразу следует
V — j <Ao~-.Pi)
1 г ₽1
или, опуская индекс „1“, так как скорость, плотность и давление
в этом случае повсюду вдалеке от трубки одинаковы, и заменяя еще
плотность р на удельный вес 7 = pg, будем окончательно иметь
основную формулу теории скоростной трубки:
(78)
13*
196
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
(гл. IV
Измеряя разность давлений р0—р при помощи дифференциального
манометра и зная удельный вес движущейся среды, можно найти
и ее скорость. На самом деле, при неточностях изготовления отдель-
ных измерительных трубок величины р0 и р могут несколько отли-
чаться от действительных своих значений; для учета этих поправок
на практике в формулу (78) вводят некоторый дополнительный,
близкий к единице коэффициент, который определяют тарировкой,
сравнивая в воздушной струе аэродинамической трубы данную трубку
с некоторой образцовой.
Предположим теперь, что газ движется с большими, но дозвуко-
выми скоростями (М < 1). В этом случае „головной волны“ перед
трубкой нет, и если нет скачков уплотнения на участке поверхности
трубки DS (смысл этой оговорки станет далее понятным), то можно
применять формулы изэнтропического движения. Таким образом найдем:
к
(л I k~1 маА*-1
Р2о=“ Р1О = Р1(1 Н-2~М1/ ’
P2==Pv
(79)
Регистрируя микроманометром отдельно давление р20 в динами-
ческом и давление рг в статическом отверстии, определим число М;
движущегося газа, а Зная температуру газа, найдем скорость звука аг
в движущемся газе, а следовательно, и саму скорость Vt. Измере-
ние температуры можно производить, например, термопарой или
другим термометрическим элементом, помещенным в такое место
скоростной трубки или специального измерителя, где скорость равна
нулю и можно быть уверенным, что измеряется температура изэн-
тропически заторможенного газа То. Таким местом является точка
в лобовой части обтекаемого тела (например точка D на скоростной
трубке), где поток разветвляется, — так называемая критическая
точка потока. Замеряя непосредственно То, найдем 7\ по ранее вы-
веденной формуле:
7'0=7’1(1+±=1м!). (80)
Определив Mj по формуле (79) и Го—непосредственным замером,
получим по (80) Т1г а следовательно, и скорость звука
— У kRT\
и искомую скорость
Ил — М^.
Показание давления р20 в динамическом отверстии D можно считать
надежным, что же касается работы статического отверстия, то отно-
сительно него следует сделать оговорку. При достаточно больших,
но меньших единицы значениях числа М на сферической поверхности
§ 32]
ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА
197
носика и за нею могут возникнуть зоны местных сверхзвуковых
скоростей. Последующее уменьшение скорости вызовет возникнове-
ние на поверхности трубки перед статическим отверстием S скачков
уплотнения и местные искажения давления р2. Значение числа < 1
набегающего потока, при котором на поверхности обтекаемого тела
(в данном случае измерительной трубки) возникают сверхзвуковые
зоны, называют критическим числом М и обозначают Мкр.1
Если число М, набегающего потока превосходит число Мкр, то
пользование статическим отверстием становится ненадежным и необхо-
димо каким-нибудь независимым путем определять давление pt в дви-
жущемся газе, например, при движении
газа по цилиндрической трубе измерять
давление на стенке трубы в сечении, близ-
ком к носику скоростной трубки.
Применять статическое отверстие S
при измерении скоростей в сверхзвуковом
потоке также нельзя; и в этом случае
давление за головной волной может не
совпадать с показаниями микроманометра,
соединенного со статическим отверстием.
Скачки уплотнения, садящиеся на участок
поверхности трубки DS, искажают поле
давлений в газе и, кроме того, как в даль-
нейшем будет объяснено, изменяют дви-
жение в пограничном слое, что, в свою
очередь, оказывает влияние на характер
обтекания лобовой части трубки и распре-
деления в ней давления.
Используя показание р20 динамического
отверстия D за скачком уплотнения (го-
ловной волной), показанным на рис. 45а пунктиром, и измеряя каким-
нибудь другим путем ръ найдем их отношение p^/Pi- Это отно-
шение в силу (75) и (79) связано с искомым числом Мг набегающего
потока формулой Релея:
Рао Р20 . Рю
Pl Pio' Pl
k
oXfc-~—1
U+i 1 k+i)
(81)
На рис. 46 приводится график функциональной связи (81) между
Pio
JfHMj для воздуха (k =1,4).
1 Об этом подробнее будет сказано в гл. VI.
198 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
Определив величину р^ по показанию динамического отверстия
измерительной трубки, а ръ например, при помощи отверстия в стенке
канала, по которому движется газ, найдем отношение р20/Рп а п0 гра-
фику рис. 46 — и искомое значение МР
§ 33. Одномерное движение газа по трубе переменного сечения.
Истечение из резервуара большой емкости сквозь сходящееся
сопло
Для приближенного расчета движения жидкости или газа по тру-
бам можно отвлечься от весьма сложных деталей этого движения
(об этом будет сказано в заключительных главах) и удовольство-
ваться следующей упрощенной схемой. Примем поток за одномерный,
т. е. будем пренебрегать изменением величины и направления ско-
рости, а также изменениями других элементов потока (давления,
плотности, температуры и др.) по сечению, перпендикулярному к оси
потока; будем лишь учитывать изменение средних по сечениям вели-
чин и, р, р, Т и др. в зависимости от координаты х, определяющей
положение сечения вдоль оси трубы. Площадь сечения А будем
считать заданной функцией х. Отвлечемся от сил трения внутри
жидкости и жидкости о стенку, а также от теплопроводности; иными
словами, как повсюду в настоящей главе, будем считать жидкость
идеальной.
‘Начнем с простейшего случая—движения несжимаемой жид-
кости.
В этом случае из уравнения неразрывности сразу следует
и А — const = «0Д0, (82)
где и0—средняя скорость в некотором начальном сечении (х = 0)
с площадью Ло; иными словами, средняя скорость движения жидкости
в любом сечении трубы обратно пропорциональна площади этого
сечения.
Отсюда вытекает общеизвестное свойство движения несжимаемой
жидкости по трубе переменного сечения: в сужающейся трубе
жидкость движется ускоренно, в расширяющейся — замедленно.
Это очевидное свойство одномерного движения теряет свою силу
при движении сжимаемого газа со сверхзвуковыми скоростями,
в чем легко убедиться, составив основные уравнения одномерного
стационарного движения газа:
а) уравнение Эйлера:
б) уравнение неразрывности:
риА = const. (84)
§ 33]
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
199
Вспоминая определение местной скорости звука
а______________________________dp
Яр ’
перепишем уравнение Эйлера (83) в виде:
udu =------------------------♦ d? — — а2—. (85)
Р dp 1 р v 7
Составляя логарифмический дифференциал от обеих частей равен-
ства (84), получим:
(86)
Р 1 и 1 А 4 7
Исключая — из уравнений (85) и (86), найдем-
Р
dA______________dp____du___и du du____Л du
А р и о2 и \а2 lJ и
или, вводя местное число М = — :
du I dA
и М2—1 ~А'
Из этого простого уравнения вытекают важные следствия:
1. Если М < 1, знак du противоположен знаку dA, т. е. при дозву-
ковом движении газа сохраняется то же свойство движения, что и
в случае несжимаемой жидкости: с возрастанием площади сечения
трубы скорость в одномерном движении уменьшается и, наоборот,
при уменьшении сечения — скорость увеличивается.
2. Если М > 1, знак du одинаков со знаком dA, т. е. при сверх-
звуковом движении газа в сужающейся трубе движение заме-
дляется, в расширяющейся трубе—ускоряется. Этот парадоксаль-
ный на первый взгляд результат объясняется тем, что при расширении
газа плотность его настолько сильно уменьшается, что произведение рА
в равенстве (84), несмотря на увеличение площади А, все же умень-
шается и приводит к возрастанию скорости и.
3. Если М=1, dA = 0. Сечение трубы, в котором число М до-
стигает значения единицы, называется критическим сечением, так
как в нем скорость движения и равна местной скорости звука а.
Из равенства (87) следует, что критическое сечение может быть
как максимальным, так и минимальным по, сравнению со смеж-
ными сечениями. Легко сообразить, что критическое сечение будет
минимальным, так как при подходе к максимальному сечению дозву-
ковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не
может привести к течению со скоростью звука в критическом сечении.
4. Если dA = О и сечение экстремально (максимально или мини-
мально), то по (87) либо М = 1 и, следовательно, это сечение —
200 ОДНОМЕРНЫЙ ПОЮК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
критическое, либо М -ф 1 и du = О. В последнем случае, каково бы ни
было движение — дозвуковое или сверхзвуковое — скорость в экстре-
мальном сечении принимает также экстремальное значение: при дозву-
ковом течении газа—минимальное в максимальном сечении и макси-
мальное в минимальном сечении, при сверхзвуковом течении, наоборот,
в максимальном сечении скорость максимальна, в минимальном — мини-
мальна.
Переходя к более ^детальному изучению одномерного адиабати-
ческого и изэнтропического движения газа, заметим, что к нему
применимы все ранее выведенные соотношения, связывающие между
собою термодинамические параметры газа и скорость движения или
число М. Необходимо только установить связь между одним каким-
нибудь из этих параметров и сечением трубы А.
Примем за основную, например, связь между М и А. Чтобы вывести
уравнение этой связи возьмем уравнение
М____du__da
М" и а"’
получаемое логарифмическим дифференцированием равенства
М = -,
а ’
и уравнение Бернулли в форме (47):
и2 . сА ,
которое после дифференцирования дает
2
udu-\—т—г a da —О,
1 k—1 ’
или, после деления обеих частей на а2 и замены а = Д,
da k — 1 du.
а 2 и ‘
Подставляя это значение в (88), получим
— = f 1 -4- k * М2^—
М \ 2 т) и •
Сравнивая это уравнение с уравнением (87), будем иметь:
/
Ml
М2—1
, k— 1
+ 2
— Ж =
М2)
dA
А •
§33]
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
201
Уравнение это нетрудно проинтегрировать и получить искомое
уравнение связи между числом М и площадью сечения А:
fc+i
(89)
где yj — произвольное начальное сечение трубы и Mj — число М
в этом сечении.
Предположим, что роль начального сечения играет критическое
сечение = т. е. такое сечение, в котором Mj = l, тогда равен-
ство (89) приводится к более простому виду:
(1 -1- —__
‘-Г 2 м
' k+1
2
к+1
2 (к—1)
(90)
1,0 в
0,8
0,6
0,0
о,г
о
Рис. 47.
На рис. 47 приведен график этой важной зависимости для воз-
духа (/г = 1,4). График подтверждает ранее отмеченный факт: в дозву-
ковом потоке (М < 1) для
увеличения числа М сече-
ние А следует уменьшать,
в сверхзвуковом потоке
(М > 1), наоборот, увели-
чивать; вместе с тем гра-
фик показывает количествен-
ное соотношение между
изменениями чисел М и Д.
Так, например, из рис. 47
следует, что для повыше-
ния числа М от 0,2 до 0,8
газ должен пройти через
участок суживающейся тру-
бы—конфузора—с сече-
нием, уменьшающимся в три
Раза; чтобы увеличить число
М от значения 1 в крити-
ческом сечении до 3,2, не-
обходимо построить расши-
ряющуюся трубу—диффузор — с площадью на выходе, в пять раз
превышающей площадь критического сечения.
Присоединим к формуле (90) известные уже по предыдущему фор-
мулы (69), (70), (66) изэнтропической связи давления, плотности
и Температуры с числом М, которые, в силу (51) и (52) полезно
202
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. IV
переписать в виде:
к
1
(91)
Совокупность равенств (90) и (91) представляет полное решение
задачи об одномерном стационарном адиабатическом и изэнтропиче-
ском движении газа по трубе переменного сечения; решение это пред-
ставлено в удобном параметрическом виде, причем роль параметра
играет число М. Задавшись законом изменения площади сечения
трубы А (х), определим М (х) по (90), а затем и искомые р (х), р (х)
и Т(х) по (91).
Из уравнения неразрывности или сохранения массы (84) следует,
что при наличии в одномерном потоке критического сечения А* будет
существовать
соотношение
А р*и* 1_
А* ри 0 ’
(92)
где величина
ри ри
р*и* р*а* Уkp*p'
предшавляет отношение массового расхода газа через единицу пло-
щади сечения трубы к его критическому значению. Этот безразмерный
массовый расход данного газа является функцией только числа М и,
согласно (90), равен:
fc •+• 1
А*
А
(93)
График зависимости 0 от М для воздуха (k = 1,4) приведен на
том же рис. 47.
В качестве первого примера приложения выведенных формул рас-
смотрим классическую задачу об изэнтропическом истечении газа из
резервуара (котла) очень большой вместимости.
Предположим сначала, что сопло, из которого происходит истече-
ние, имеет вид конфузора, т. е. канала с уменьшающимся вниз по
потоку сечением. Обозначим через р0, р0, То термодинамические пара-
метры газа в котле, где газ, в силу большой вместимости котла, может
рассмагриваться как покоящийся (м = 0, М = 0), через р, р, Т, М—"
соответствующие параметры в выходном сечении, площадь которого
§ 33J ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ 203
пусть будет А, и через р'—давление в среде, куда происходит исте-
чение; это давление р’ в теории истечения называют противодав-
лением.
Определим прежде всего основную характеристику одномерного
потока в целом — секундный массовый расход газа т, одинаковый
для всех сечений потока и равный
т = риА = p*u*AQ = р*а*Д0 — V kp*p*A<d,
или, на основании формул (52):
а-и
т:=(т^т)2(к (94)
При заданных параметрах газа в котле и геометрической форме
сопла секундный массовый расход газа т является функцией только
числа М в выходном сечении, определяемой выражением 0 (М) в фор-
муле (93). Что касается выходного числа М, то оно, в силу принятой
наперед адиабатичности и изэнтропичности потока, определяется за-
данием давления на выходе р, согласно известной формуле (69):
— — (1 7£"1.
Ро V 1 2 )
Определяя отсюда М в функции от — и подставляя это значе-
_ Ро
ние М в выражение 0, получим после простых приведений формулу:
представляющую, очевидно, простое приложение ранее указанной фор-
мулы Сен-Венана и Ванцеля [(67) гл. III].
Пользуясь одновременно формулами (94) н (95), легко исследо-
вать изменение секундного массового расхода истечения т в функции
от_противодавления р', которое при р'^р* совпадает практически
с Р, или числа М в выходном сечении.
Составив логарифмическую производную
1 dm _ 1 —М2
легко заключить, что величина т достигает своего максимального зна-
чения прн М = 1, т. е. в тот момент, когда выходное сечение станет
критическим и давление примет свое критическое значение // = />
204 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
при любых других противодавлениях секундный расход не может
превзойти своего критического и вместе с тем максимального значения
Ь4-1
= (гГг)2<Й-1> П) =
к+1
= (т|тУ VkP^A- (96)
Этот результат производит на первый взгляд несколько парадо-
ксальное впечатление. В самом деле, пусть вначале противодавление р'
было равно давлению в котле
Рис. 48.
р0, тогда, согласно (95) и
(69), /га = 0, М=0; будем
теперь уменьшать противо-
давление, тогда расход т
будет увеличиваться, стре-
мясь к своему максималь-
ному значению, число М при
этом будет стремиться к еди-
нице, противодавление —
к критическому давлению р*.
Если давление будет про-
должать уменьшаться, то, со-
гласно (95), расход, перейдя
через свой максимум, дол-
жен начать уменьшаться,
а число М продолжать воз-
растать. Такое явление фи-
зически невозможно; совер-
шенно очевидно, что с ростом разрежения на выходе и сохранении
давления в котле ^расход не может уменьшаться. На самом деле
расход т, число М и давление р в выходном сечении сохранят
свои критические значения m*=mmsx, М* = 1 и ~р=р*, хотя
противодавление р' в среде, куда происходит истечение, продолжает
убывать, становясь все меньше и меньше критического. Этот факт
имеет простое физическое объяснение: поскольку в выходном сечении
сопла установилась критическая скорость, равная местной скорости
звука, внешнее возмущение давления (возрастание разрежения!) не
может проникнуть сквозь критическое сечение, так как скорость
распространения разрежения не превосходит скорости движения
газа в критическом сечении.
На рис. 48 приводится график отношения
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В СОПЛЕ ЛАВАЛЯ
205
§34j
зависимости от безразмерного противодавления р'/Ро- Из предыду-
щего ясно, что физический смысл имеет лишь правая часть графика,
относящаяся к давлениям, большим критического, левая часть, пока-
занная пунктиром, при р' < р* должна быть заменена горизонтальным
к т 1
отрезком прямой = 1.
То же отношение mint*
зуется на рис. 47 отрезком
как, очевидно, что по (94)
т _
™ т*
в функции от М на выходе характери-
кривой 0, в интервале 0<М<1, так
_^ = 0(М).
'"max
Заметим, что при работе конфузорного сопла в нерасчетном режиме,
т. е. в таком, что противодавление среды р' меньше критического
давления истечения, переход от давления р'( в выходном сечении
сопла к противодавлению р' < р* будет происходить путем расшире-
ния струн за выходным сечением сопла с переходом к сверхзвуковым
скоростям и последующим угасанием струи через систему скачков
уплотнения. Этот сложный процесс не может уже рассматриваться ни
как одномерный, ни как изэнтропический.
§ 34. Одномерное течение в сопле Лаваля. Движение газа
с притоком тепла
Явление истечения газа в среду с заданным противодавлением р'
протекает несколько иначе, если сопло имеет как начальную сужи-
вающуюся (конфузорную), так и выходную расширяющуюся (диф-
фузорную) части. В этом случае, при достаточно малом противодав-
лении, в сечении, отграничивающем конфузорную часть от диффузорной,
скорость газа достигнет своего критического значения, равного местной
скорости звука, и при дальнейшем расширении газа в диффузорной
части сопла образуется сверхзвуковой поток. Такого рода сопла назы-
вают соплами Лаваля.
Рассмотрим одномерное адиабатическое и изэнтропическое течение
газа в сопле Лаваля. Ход изменения площади А вдоль оси сопла
задан верхней кривой а на рис. 49, соответствующее изменение
числа М—на кривых б того же рисунка и, наконец, кривые давле-
ния, отнесенного к критическому его значению, — в нижней части
графика в.
Кривые хода М и р/р* построены по ранее выведенным форму-
лам (90) и (91) изэнтропического течения.
Из хода кривых на рис. 49 можно сделать основные качественные
выводы о явлениях, происходящих в сопле Лаваля. Если в наиболее
узком сечении сопла Д = число М достигло значения М = 1,
то дальнейшее развитие потока может идти по кривым как М>1,
так и М < т. е. поток может или стать сверхзвуковым или остаться
206
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. 1V
дозвуковым. Эта альтернатива разрешается заданием противодавления
рг на выходе из сопла. Рассчитав величину р/р* по первой из фор-
мул (91) и сверхзвуковой ветви (рис. 47) основного соотношения (90),
найдем такое „расчетное" противодавление р' = р', при осуществлении
которого на выходе из сопла поток преобразуется внутри сопла
в сверхзвуковой и достигает на выходе требуемого числа Mz > 1;
если же взять противодавление равным р' = р", соответствующим при
той же площади выходного сечения А дозвуковой ветви А!А* (рис. 47),
то поток останется дозвуковым и число М" на выходе будет мень-
шим единицы.
Замечательно, что существует только одно, определенное для
каждого сопла, противодавление р'—р', которое может привести
к сверхзвуковому потоку в выходном сечении сопла. Это — специфи-
ческое свойство сверхзвукового потока; в самом деле, как видно из
рис. 49 в, при р' > р" имеется бесчисленное множество дозвуковых
течений газа в сопле данной формы, в то время как сверхзвуковое
(изэнтропическое!) движение является единственным и соответствует
противодавлению р' == р'.
§ 34] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В СОПЛЕ ЛАВАЛЯ 207
Естественно возникает вопрос, что же будет с газом, если на выходе
из сопла создать противодавление р', лежащее между расчетными значе-
ниями 'р' и ~р". На этот вопрос может быть один лишь ответ: движение
газа не будет изэнтропическим. Как показано на графике рис. 49 в
пунктиром, в этом случае в расширяющейся части сопла появится
скачок уплотнения или система скачков, что приведет к неизэнтропи-
ческому процессу. Если, наконец, взять р' < р', то в выходном
сечении трубы давление примет свое расчетное значение р' и уже
затем сложным неизэнтропическим путем (система скачков уплотнения,
нарушающая одномерность потока) снизится до выходного противо-
давления р'.1
Секундный массовый расход т через сопло Лаваля, так же как
и в случае чисто конфузорного сопла, не может превзойти своего
максимального значения, равного тому расходу, который пройдет
сквозь сопло, если в наиболее узком его сечении, на границе между
конфузорной и диффузорной частями, будет достигнута местная ско-
рость звука. Но в отличие от конфузорного сопла скорость на выходе
из сопла Лаваля превосходит соответствующую выходу скорость звука
и может быть подбором длины сопла сделана тем больше, чем меньше
противодавление. Можно условно рассчитать такое „идеальное“ сопло
Лаваля, что оно будет работать на расчетном режиме р — 0, т. е.
в полный вакуум. Найдем выходную скорость такого истечения.
Согласно формуле Сен-Венана и Ванцеля (67) гл. III, скорость исте-
чения возрастает с уменьшением давления, и при р = р = 0 скорость
истечения примет свое максимальное значение
“„„-/га®. т
зависящее лишь от начальных параметров газа в котле, из которого
происходит истечение. Вспоминая определения адиабатической скорости
звука в неподвижном газе и критической скорости, получим вместо (97)
следующие равенства:
Kmax — j/~а0 = k—\ ^0 ~ а*’ (98)
из которых следует, что максимально возможная скорость истечения,
так же как и критическая скорость, зависят только от природы газа
и его температуры в котле; т. е. температуры изэнтропически затор-
моженного газа.
Для воздуха (/г = 1,4), при 7’0=273°+15° = 288°, итах=757 м/сек.
При рассматриваемом „расчетном “ истечении в вакуум давление,
плотность и температура в выходном сечении равны нулю, равна нулю
и скорость звука в этом сечении, так что Мгаах = оо.
Об этом подробнее будет сказано в конце гл. VI, посвященной плоским
адовым течениям.
208 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
Все изложенное, конечно, верно лишь для идеального газа, лишен-
ного внутреннего трения, и в случае полной адиабатичности про-
цесса, т. е. отсутствия притока или отвода тепла в сопле. На самом
деле явление движения газа в сопле неизмеримо сложнее.
Во-первых, даже и для идеального газа, лишенного внутреннего
трения, движение в сопле не одномерно, а представляет на самом
деле сложное до- и сверхзвуковое пространственное течение.
Во-вторых, при наличии трения частицы газа, движущиеся около
стенок сопла, имеют меньшие скорости, чем частицы, удаленные от
стенок; образующийся вблизи стенок сопла пограничный слой утол-
щается вниз по потоку, а иногда даже отрывается от стенок, искажая
тем самым всю картину потока и делая невозможным применение
гидравлической схемы одномерного потока; возникающие в потоке
скачки уплотнения вызывают появление отрывов пограничного слоя
и, наоборот, пограничный слой стимулирует зарождение скачков уплот-
нения. Это взаимное влияние вязкости и сжимаемости газа также
искажает изэнтропичность и превращает расчетный режим в нера-
счетный.
И, наконец, в-третьих, существенной причиной нарушения адиаба-
тичности потока является теплопередача через стенки сопла, что также
сильно усложняет расчеты. Вот почему даже в настоящее время, когда
многие из только что перечисленных обстоятельств хорошо изучены,
все же практически после расчета вновь спроектированного сопла
приходится его дополнительно исследовать на опытной установке
в лаборатории. Рассчитанное сопло может не дать желательного уве-
личения числа М на выходе, кроме того, за счет неизэнтропичности
движения газа возникают дополнительные потери механической энер-
гии, коэффициент полезного действия при этом падает, что для не-
прерывно действующих установок большой мощности, конечно, недо-
пустимо.
Оставляя пока в стороне вопросы, связанные с внутренним трением
в газе и образованием пограничного слоя на стенках сопла (об этом
будет еще идти речь в заключительных главах), остановимся вкратце
на оценке влияния внешнего подогрева или охлаждения потока
в сопле.
Рассмотрим опять одномерный стационарный поток идеального
газа, адиабатичность которого нарушается тем, что на некотором
весьма коротком участке к газу подводится извне тепло. Это вызы-
вает изменение температуры газа 7\ или температуры изэнтропически
заторможенного газа То до участка подогрева на величину ДГ= Т2—
и, соответственно, ДТ), = — Тю, причем за участком подогрева
вновь устанавливается адиабатическое течение с температурами Т2 и Т20.
Отвлекаясь от эффекта переменности сечения трубы на участке
подогрева, определим изменение числа М на этом участке, после чего
уже нетрудно будет найти по обычным изэнтропическим формулам и
изменения всех остальных величин.
§ 34J
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В СОПЛЕ ЛАВАЛЯ
209
Основные уравнения поставленной задачи легко получить, если
написать, что приток тепла не мог нарушить баланса массы и
количества движения, т. е. при прохождении газом участка подогрева
остаются в силе следующие два равенства:
ри = const,
р -|-ри2 = const.
(99)
Припоминая известные уже формулы связи адиабатической скорости
звука с температурой, давлением и плотностью газа, а также опре-
деление числа М, будем иметь:
рк==А5=/г^==/г/?м’ /?M/'^=corlst’
F (100)
p + pZZS = p(l + ^~)=р(1 +k^) = Р О + ^2) = COnst-
Отсюда, деля одно равенство на другое, получим искомую связь
числа М с обычной температурой Т или температурой изэнтропически
заторможенного газа Т^.
— Vт = const’
1 -4~ t
•---/r0 = const. I
MJ/ j
(101)
Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим
участок подогрева, тогда будем иметь:
Зная отношения:
£3_ 14*1 1 г дг»
Г1о— Т'ю
и число Mj до прохождения участка подогрева, по формулам (102)
найдем Ма, а уже затем по второй из формул (100)—и отношение
Давлений
Pi
(103)
14 Зак, 1841. л. Г. Лойцянский.
210
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
|гл. IV
а также и все остальные термодинамические параметры. Наконец,
зная число М2 и температуру Т2, легко найдем и скорость газа за
участком подогрева.
Введем в рассмотрение функцию
М]/" 1-|-Ц^М2
, (Ю4)
входящую во вторую расчетную формулу (102).
Вычислив производную
_____1—м2
(1 +AM2)(1+^=J
/'(М) = -
м
видим, что функция /(М) имеет максимум при М = 1, и этот макси-
мум равен
/(1)=-7=L=-.
/2(^ + 1)
На рис. 50 приведен график функции /(М) для воздуха (& = 1,4).
Как видно из графика, подогрев газа при < 1 вызывает возраста-
ние числа М2, а при
Mj>l, наоборот, убы-
вание числа Ма. Следо-
вательно, приток тепла
к дозвуковому потоку
ускоряет его, отвод теп-
ла — замедляет. В слу-
чае сверхзвукового пото-
ка, наоборот, приток
тепла замедляет поток,
отвод—ускоряет. Так,
например, при 7,10=540°К
и М( = 0,5 увеличение температуры на 20% приводит к возрастанию
числа М до значения М2 = 0,6. При той же начальной температуре
и числе Mi = 1,4 подогрев на 7% приведет к уменьшению числаМ
до М2 = 1, при этом давление увеличится более чем на 50%.
Одномерное течение газа в связи с многочисленными его приложе-
ниями к расчету реактивных двигателей и других газовых аппаратов
представляет в настоящее время едва ли не самый разработанный
раздел современной механики газа. Литература в этой области весьма
обширна и разнообразна.
Г Л А В A V
БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ.
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 35. Сохранение циркуляции скорости в потоке идеальной
жидкости. Теорема Кельвина и Лагранжа. Безвихревое
движение. Потенциал скоростей
Рассмотрев в предыдущей главе одномерное движение в идеальной
жидкости, перейдем теперь к следующим в порядке сложности клас-
сам движений — двух- и трехмерным. Таковы, прежде всего, плоское
движение жидкости, затем осесимметричное и, наконец, общее про-
странственное движение. Исследование этих случаев представляет, по
сравнению с одномерным потоком, большие математические трудности.
Чтобы сделать решение возможным для интересующих практику кон-
кретных задач, необходимо принять некоторые дополнительные упро-
щающие допущения об общем характере движения. В обосновании
выбора этих допущений основную роль играют следующие две общие
теоремы динамики идеальной жидкости.
Теорема Кельвина о сохранении циркуляции ско-
рости: при баротропном движении идеального газа под действием
потенциального поля объемных сил циркуляция скорости по лю-
бому замкнутому жидкому контуру сохраняет свое значение.
Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в конце §13
кинематической теоремы Кельвина об изменении во времени циркуляции
скорости. Согласно этой теореме, индивидуальния производная по
времени от циркуляции скорости равна циркуляции ускорения'.
(V 8г) = (V • 8г).
Подставим в правую часть выражение ускорения по основному
Уравнению Эйлера (5) гл. III, которое в случае потенциальных объем-
ных сил и баротропности движения может быть переписано в виде
т°гда получим
V = — grad (ПSP);
~ £ (V • 8г) = - $ grad (П + S?) • 8г = — f 8 (П-Ш
14s-'
212
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
|гл. V
так как скалярное произведение градиента от некоторой функции на
ориентированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что
иное как полный дифференциал этой функции, взятый вдоль дуги
кривой.
При однозначности функций II и контурный интеграл по за-
мкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю, так что
£f(V-M=o
и, следовательно,
(V • 8г) = const,
что и доказывает теорему Кельвина. Вспоминая, что циркуляция ско-
рости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихре-
вых трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы
Кельвина заключить, что при принятых оговорках о баротропности
движения и потенциальности объемных сил сохраняются и интен-
сивности вихревых трубок'.
J (rot V)nda = const. (1)
СТ
Предположим теперь, что в данный момент времени во всех точ-
ках некоторого жидкого объема отсутствует завихренность (rot V = 0),
т. е. жидкость в этом объеме движется без вращения, совершая лишь
поступательное и деформационное движение; тогда, согласно (1), и
в любой другой момент времени
J(rotV)„<Zo = 0. (2)
В силу произвольности выбора величины и ориентации поверх-
ности а из равенства (2) вытекает, что в любой момент времени
в рассматриваемом движущемся объеме жидкости или газа будет
выполняться условие отсутствия завихренности
rotV = 0. (3)
Это чрезвычайно важное следствие теоремы Кельвина приводит
ко второй теореме — теореме Лагранжа о сохранении без-
вихревого движения: если во всех точках некоторой баро-
тропно движущейся под действием объемных сил с однозначным
потенциалом идеальной жидкости вихрь скорости в данный момент
равен нулю, то и в любой другой момент движение будет без-
вихревым.
Предположим, например, что твердое тело совершает движение
сквозь неподвижную идеальную жидкую или газообразную среду»
^35] СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 213
или что все равно, среда обтекает неподвижное тело, причем в том
и другом случае вдалеке от тела поток не возмущен и поле скоро-
стей однородно (жидкость покоится или движется как одно целое со
скоростью, равной скорости движения тела по отношению к непо-
движной среде). При этом вдалеке от тела вихрь скорости равен нулю
и следовательно, по теореме Лагранжа, при баротропности движения
и* потенциальности объемных сил не завихренные частицы идеальной
жидкости не могут приобрести завихренность в процессе обтекания
тела. Несмотря на наличие возмущающего поток тела, движение по-
всюду будет безвихревым.
Из теоремы Лагранжа следует, что в идеальной жидкости, нахо-
дящейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом и
движущейся баротропно, не может быть вихрей, так как нет условий
для их образования. Можно сказать и наоборот, что, если вихри путем
нарушения ранее перечисленных условий были созданы в идеальной
жидкости, то они уже не смогут исчезнуть, и движение сохранит свою
вихревую структуру. В действительности приходится постоянно наблю-
дать как образование, так и исчезновение вихревых движений. Глав-
ной причиной этих явлений служит неидеальность жидкости, наличие
в ней внутреннего трения. Как уже ранее упоминалось, в практически
интересующих нас случаях внутреннее трение играет роль лишь в тон-
ком пограничном слое на поверхности обтекаемого тела и в „аэро-
динамическом следе" тела, т. е. в жидкости, которая прошла сквозь
область пограничного слоя и образовала течение за кормой обтекае-
мого тела. Здесь, в тонком пограничном слое и образуется за-
вихренность жидкости. Иногда в следе за телом завихренность быстро
угасает, и поток в достаточном удалении за телом становится вновь
безвихревым. В других случаях сошедший с поверхности тела слой
завихренной жидкости распадается на отдельные вихри, которые
сносятся уходящим потоком и сохраняются даже на сравнительно
больших расстояниях от тела. Таковы, например, отдельные вихри,
наблюдаемые в виде воронок в реках за мостовыми „быками", или
пыльные смерчи, возникающие в ветреную погоду. Внутреннее трение
не является единственной причиной возникновения вихрей. Так, в сво-
бодной атмосфере вдалеке от твердых поверхностей возникают непо-
средственно в воздухе грандиозные вихри — циклоны и антициклоны.
Причиной этих вихреобразований служит отклонение движения воздуха
от баротропности: плотность воздушных слоев зависит не только от
Давления, но и от температуры, определяемой солнечной радиацией,
от количества водяных паров и других причин.
Несмотря на наличие всех этих факторов, нарушающих существо-
пание безвихревого движения, схема безвихревого движения во многих
практических случаях дает близкую к действительности картину. Эта
схема и положена в основу настоящей главы. Итак, сделаем допущение
отсутствии завихренности потока и обратимся к рассмотрению
сновных свойств безвихревого потока.
214
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. V
В силу равенства (3) во всей области безвихревого потока суще-
С1вует некоторая функция координат ®(х, у, г) — при стационарном
движении или функция координат и времени <р (х, у, г; t) — при не
стационарном движении—такая, что
V = grad ®,
(4)
или в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы коор
дина г:
w —
и
дх ’
ду
ду
dz ’
(5)
Функцию и назовем потенциалом скоростей и будем предпола-
гать, что она непрерывна вместе со своими первыми двумя производ-
ными по времени и координатам.
Потенциал скоростей или, как иногда говорят, потенциал скоро-
стного поля, так же как и потенциал силового поля, определяется
с точностью до аддитивной по-
стоянной, как это видно из ра-
венств (4) или (5).
Равным значениям потенциала
скоростей в различных точках про-
странства соответствуют поверх-
ности уровня потенциала или
изопотенциальные поверхности.
Уравнение семейства изопотен-
циальных поверхностей будет
® (х, У> — const,
причем время t рассматривается как
параметр в случае нестационар-
ного движения и отсутствует—при
стационарном движении. Из опре-
деления потенциала скоростей (4)
следует, что линии, нормальные
Рис. 51.
к изопотенциальным поверхностям скоростного поля, являются линиями
гока и, обратно, при выполнении условия (4) линиям тока соответ-
ствуют нормальные поверхности—изопотенциальные поверхности.
Имея заданным потенциальное скоростное поле, легко найти его
потенциал, проинтегрировав уравнения в полных дифференциалах
(4) или (5).
В самом деле, рассмотрим в данный момент времени в односвяз-
ной области1 течения кривую линию С (рис. 51), выходящую из
точки /Ио и оканчивающуюся в некоторой точке М. Умножив скалярно
1 О влиянии „связности'* области будет сказано в конце настоящего
параграфа.
§ 35|
СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ
215
обе части равенсгва (4) на ориентированный элемент дуги 8г кривой (?
и проинтегрировав по этой кривой от точки 7И0 до М, будем иметь
ЛГ М N
j” v • 8г — J grad <р . 8г — J 8<р — щ(7И) — <р (Л40), (6)
if, wa ж„
(С) (С) (С)
откуда сразу следует выражение для потенциала в любой точке М
через потенциал в некоторой начальной точке Мо и заданные значе-
ния вектора скорости V или его проекций и, •»:
М ЛГ
<Р (УИ) = И (/Ио) 4- Р V • 8г — <Р (Мо) 4- {и 8х 4- V 8_у). (7)
ж„ ir,
(О) (С)
Если течение во всей области безвихревое, то, замкнув (на рисунке
пунктиром) кривую С при помощи кривой С' так, чтобы точка М
совпала с Лт0, получим, согласно (7):
«(2И) = «(Л40), (8)
лг->лга
так как циркуляция скорости по замкнутому контуру (С 4* С'), рав-
ная сумме интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок,
в рассматриваемом скоростном поле, где нет вихрей, обращается
в нуль. Отсюда вытекают два важные следствия:
1°. Если в области течения нет вихрей (даже отдельных, изоли-
рованных вихревых нитей), то, согласно (8), потенциал скоростей
представляет однозначную функцию координат;
2°. Интеграл в выражении (7) не зависит от формы кривой инте-
грирования С, так как в силу равенства нулю интеграла по замкну-
тому контуру, состоящему (рис. 51) из участка 7ИОС7И, представлен-
ного на рисунке сплошной кривой, и Д'! С'Д'!0, нанесенного пунктиром,
следует;
ял, ж ж
f 4~ J = 0 или | = Р .
ж, ж ж„ ж0
(С) (С') (С) (С")
Иное получится, если в безвихревом движении имеется изолиро-
ванная вихревая трубка (рис. 51). Производя в этом случае ин-
тегрирование по контуру С, вновь получим равенство (8); но другой
результат будет иметь место, если вместо контура С взять контур С„
охватывающий вихревую трубку. Интеграл, стоящий в правой
части равенства (7), вычисленный по замкнутому контуру (Q Q)
(замыкание показано на рисунке пунктиром), как это следует из тео-
ремы Стокса (§ 13), будет равен интенсивности вихревой трубки
£ V-8r = r
216 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
и, согласно (7), потенциал в точке Мо после обхода вихревой трубки
окажется равным
<Р С^о) + Г.
Выйдя из точки 'Мо и взяв за контур интегрирования петлеобраз-
ную кривую (не показанную на рисунке), несколько раз опоясывающую
вихревую трубку, вернемся в точку 7И0 со значением потенциала,
отличающимся от первоначального на величину, кратную интенсив-
ности Г:
?(Ж0)+А.Г.
Таким образом, если в области безвихревого движения жидкости
имеется отдельная вихревая трубка, то потенциал скоростей, выра-
женный через скорости по формуле (7), определяется, как много-
значная функция точек поля. Значение потенциала скоростей в точке М
будет зависеть от формы кривой, вдоль которой производится инте-
грирование:
ш it
?W+Jv.8r#:<?(yW0)4- fv-8r.
it,, it0
(Ci) (С')
К вопросу о многозначности потенциала в безвихревом движении с изо-
лированными трубками можно подойти и иначе. Выделим из области течения
жидкости чисто безвихревую часть, рассматривая боковые поверхности изоли-
рованных трубок как границы течения, например, как твердые стенки. При
таком рассмотрении движения в жидкости уже не будет изолированных вих-
ревых трубок, ио зато сама область течения станет многосвязной. Действи-
тельно, как уже упоминалось в следствиях второй теоремы Гельмгольца (§ 12),
вихревые трубки не могут заканчиваться в самой жидкости: они образуют
либо замкнутые трубки — вихревые кольца, либо опираются иа граничные
поверхности (твердые стенки, свободные поверхности раздела). Во всех этих
случаях замкнутый контур, опоясывающий трубку, оставаясь в области
безвихревого течения, не может быть непрерывным преобразованием
сведен в точку (рис. 52); это и доказывает, что область чисто безвихревого
движения при наличии изолированных вихревых трубок не односвязиа. Для
многосвязиых областей в ранее проформулированную (§ 13) теорему Стокса
должно быть внесено исправление. Как видно из только что приведенного на
примере вихревых трубок рассуждения, циркуляция скорости по замкну-
тому контуру, опоясывающему кольцевую или трубчатую поверхность,
нарушающую односвязность области течения, может быть отлична от
нуля. Эта циркуляция, очевидно, зависит лишь от того, сколько раз контур
охватывает трубчатую поверхность, и не зависит от формы контура интегри-
рования. Значения циркуляций при однократном охвате поверхностей, нару-
шающих связность области, называют циклическими постоянными много-
связной области. В частном случае нарушения связности области поверхностями
вихревых трубок циклические постоянные оказываются совпадающими с интен-
сивностями вихревых трубок.
В общем случае при наличии отдельных вихревых трубок в безвихревом
потоке жидкости в миогосвязной области теорема Стокса должна быть сфор-
мулирована так: циркуляция скорости по замкнутому контуру, прове-
денному произвольным образом в многосвязной области, отличается
от суммы интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок на
сумму целых кратных циклических постоянных области.
§ 35] СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 217
Проводя дополнительные ограничивающие поверхности, можно превра-
ти многосвязиую область в односвязиую. Так, например (рис. 53а), дву-
™ ю область вне кольца (тора) можно сделать односвязнон, если дополни-
Сельно провести поверхность а, закрывающую отверстие кольца. При наличии
Рис. 52.
поверхности а проведение замкнутого контура С, охватывающего кольцо,
становится невозможным. Если циклическая постоянная рассмотренной до
проведения а двусвязнон области была отлична от нуля, то значение потен-
циала скорости <р + (Ж) на одной, скажем передней, стороне поверхности а
будет отличаться от значения (Ж) на задней стороне поверхности а на
величину циклической постоянной, хотя значение потенциала взято в одной
и той же точке Ж (рис. 536). В этом случае говорят, что потенциал скоро-
стей <р (Ж) при прохождении
Рис. 53.
через поверхность а пре-
терпевает конечный скачок
¥+—<j>_, а поверхность а
называют поверхностью раз-
рыва потенциала. Рассматри-
вая поверхность а вместе
с поверхностью S как гра-
ницу области, можно счи-
тать потенциал непрерыв-
ным во всей области.
Изложенные здесь уточ-
нения представлений об
однозначности и многознач-
ности потенциала, а также о влиянии связности области течения, играют
основную^ роль в понимании важнейших представлений теорий обтекания тел
идеальной жидкостью и, в частности, теории крыла бесконечного и конечного
Размаха. Особенное значение имеет, лежащая в основе теории подъемной
1 Лы крыла, идея интерпретации неоднозначности потенциала скоростей в
ногосвязиой области при помощи введения .присоединенной" изолированной
“хревой трубки или вихревой поверхности.
218 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСГИ [ГЛ. у
§ 36. Интеграл Лагранжа — Коши уравнений безвихревого
движения. Теорема Бернулли. Некоторые общие свойства
безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости
в односвязной области
В случае безвихревого движения идеальной жидкосги легко указать
один из первых интегралов движения. Для этого возьмем уравнение
Эйлера в форме Громека (13) гл. III:
U + grad(-^4-S’ + ll) + rotVXV = 0 (9)
и положим в нем, согласно (4),
V = grad ю, rot V = 0.
Тогда, замечая, что, в силу независимости операций частного или
,, д ‘
локального дифференцирования по времени и пространственного
„grad“:
dV д . .(дч\
w==^grad?==grad(JJ,
будем иметь вместо (9) равенство:
grad®+’¥+s’+n)==0’ * (1о)
которое приводит к выражению первого интеграла уравнений дви-
жения
+ (11)
где F (/) — произвольная функция времени, определяемая из гранич-
ных условий. Полученное соотношение (11) называют интегралом
Лагранжа — Коши.
Интеграл Лагранжа — Коши играет в теории нестационарного дви-
жения идеальной жидкости такую же роль, как теорема Бернулли
при стационарном движении. В последнем случае
= О, F (f) = const,
и равенство (11) превращается в обычное соотношение Бернулли
-^--ф-й’ + П = consl, (12)
причем, как уже указывалось в § 25 гл. III, при безвихревом дви-
жении константа, стоящая в правой части, будет иметь одно и
то же значение во всех точках движущейся жидкости, а не только
вдоль линий тока, вихревых линий и поверхностей уровня механи-
ческой энергии.
§ 35j ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА КОШИ И ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ 219
Если жидкость может рассматриваться как несжимаемая и обьем-
ных сил нет, то уравнение (12) принимает простой вид:
р -|—у- = const. (12 )
Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и уравнение Бернулли (12),
в случае безвихревого движения служит главным образом для выраже-
ния давления р через кинематические элементы ®, V и координаты,
от которых зависит П. Выражая V через проекции grad <э на оси
декартовых координат, будем иметь:
I+4[O'+(>y+®']+s+n=f<«- ("'>
В простейшем случае несжимаемой жидкости при отсутствии
объемных сил получим:
(13)
при наличии сил веса добавляется еще член TL — gz:
4f+IV2 + 7+^==F(^ (14>
При безвихревом движении жидкости или газа три неизвестные
величины — проекции скорости u, V, w — выражаются через одну неиз-
вестную функцию — потенциал скоростей о (х, у, z\ /). Принятое
допущение об отсутствии завихренности вместе с допущением о баро-
гропности движения (р = р (л)) сводит решение задачи о движении
жидкости или газа к разысканию двух неизвестных величин и и р.
Для этой цели достаточно двух уравнений.
В качестве первого уравнения возьмем уравнение сохранения массы
•^ + div(pV) = O,
которое по формуле
div (pV) = div (р grad и) — pV2® grad р • grad и,
где символ V2 означает оператор Лапласа
+ (15)
дх2 1 ду* 1 dz- ' '
преобразуется к виду:
4- pV2® grad р • grad ® = 0. (16)
Совокупность уравнений (11) и (16) вместе с уравнением связи
между плотностью и давлением в баротропном процессе дает искомую
220
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
систему уравнений движения;^ пользоваться непосредственно уравне-
ниями Эйлера при изучении безвихревого движения не приходится.
Для дальнейшего особый интерес представит безвихревое движение
несжимаемой жидкости. В этом случае неизвестные функции разде-
ляются: уравнение неразрывности (16) превращается в уравнение
Лапласа для определения потенциала скоростей
= J-. ^ = 0
’ дх2 ду'1 ' дг^
(17)
а давление р найдется после этого из равенства (14), которое можно
переписать в виде:
<18>
Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает мно-
гими интересными свойствами. Докажем следующую теорему Кельвина:
если на границе некоторой односвязной области вихревое движение
совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движе-
ния в рассматриваемой области меньше кинетической анергии соответ-
ствующего вихревого движения.
Эту важную по своей общности теорему легко доказать, основываясь
лишь на том, что скорости в безвихревом движении представляются градиен-
том потенциала скоростей и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости
равна нулю как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом
деле, условимся обозначать символом Д разность между соответствующими
элементами вихревого и безвихревого движения. Тогда будем иметь следую-
щее выражение для разницы кинетических энергий:
[(У-|-ДУ)г — Vf]dt = p J v-AVdr + -|-
(19)
Первый интеграл справа равен
J V • Д V dt — J" grad у • ДУ dt
T т
и по известной, неоднократно уже применявшейся формуле
div (ya) = <f div а + grad ср • а (20)
может быть преобразован так:
J* V • ДУЛ = J grad <р ДУ dt = J* div (уДУ) dt — j* div (ДУ) dt ==
тт т т
= J ср(ДУ)„Л — j" <fd(divV)dx,
a r
где s — поверхность, ограничивающая односвязный объем, а дивергенция раз-
ности двух векторных функций заменена на разность дивергенций этих функ-
ций. По условию теоремы, движения на поверхности а совпадают, т. е.
§ 36]
ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА—КОШИ И ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
221
.у = 0 на а, кроме того, из условия несжимаемости div V = 0. Таким образом,
первый интеграл в равенстве (19) оказывается равным нулю, и остается
равенство
дг=±.рду|2л>о,
из которого и следует высказанная Кельвиным теорема. Иначе еще теорему
Кельвина можно трактовать с вариационной точки зрения как утверждение
о минимальности кинетической энергии при безвихревом движении
(на „прямом пути*) по сравнению с любым другим вихревым движением
(„окольным путем"), если только эти движения совпадают на границе
области движения.
Из теоремы Кельвина можно сделать следующее заключение: если на
границе односвязной области скорости равны нулю, то единственным воз-
можным безвихревым движением несжимаемой Жидкости внутри области
является покой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное
(вихревое!) сколь угодно медленное движение, при котором на границах
скорости равны нулю; кинетическая энергия такого вихревого движения будет
как угодно мала, а кинетическая энергия соответствующего по теореме
Кельвина безвихревого движения, будучи положительной величиной, меньшей
другой сколь угодно малой величины, должна быть тождественно равна нулю
во всей области. К тому же результату можно придти и непосредственно,
не пользуясь теоремой Кельвина. Для этого выведем общую формулу для
кинетической энергии односвязного объема несжимаемой жидкости, движу-
щейся безвихревым образом с однозначным потенциалом скоростей.
Имеем
7--if
t т
Применим вновь только что использованную формулу дивергенции про-
изведения скаляра на вектор (20), тогда получим:
ср div grad у dz =
т т
grad ср. grad ср dz.
= -gf div (¥ grad <р) dr —i
T =
В поверхностном интеграле, полученном из объемного по известной фор-
муле Остроградского, под п понимается орт внутренней нормали, направлен-
ной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен
знак минус.
Замечая, что по (17) второй интеграл пропадает, будем окончательно
иметь
<21>
Из этой формулы сразу следует, что, если на ограничивающей односвяз-
ный объем жидкости поверхности с скорость равна нулю, то и Vn — — 0,
откУда по (21) сразу будет следовать, что и Г=0. Таким образом, вновь
приходим к тому же результату, который следовал из теоремы Кельвина.
222 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (гл. V
Невозможность существования безвихревого движения с однозначным
потенциалом в односвязной области, иа границе которой скорости равны
нулю, производит на первый взгляд парадоксальное впечатление. В дальней-
шем станет ясно, что такого рода движения в идеальной жидкости образуются
и происходят за счет создания внутри объема некоторых „особенностей"
вихрей, нарушающих однозначность потенциала скоростей, источников, стоков
или диполей, приводящих к нарушению конечности значений потенциала
в точках внутри области течения и др. Вместе с тем отсюда вытекает и
важность рассмотрения безвихревых потоков с „особенностями" для прибли-
жения к действительно существующим движениям.
§ 37. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости.
Потенциал скоростей и функция тока. Применение функций
комплексного переменного. Комплексный потенциал
и сопряженная скорость
Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса
такого рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой
жидкости.
Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отли-
чается от соответствующего определения кинематики твердого тела.
При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения,
параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость хОу.
Поскольку во всех параллельных плоскостях движения тождественны,
будем рассматривать лишь движение в плоскости хОу, подразумевая,
конечно, что на самом деле разговор идет о движении слоя жидкости,
бесконечной в направлении, перпендикулярном к плоскости течения,
толщины. Каждая линия в таком плоском движении, проведенная
в плоскости хОу, является на самом деле направляющей цилиндри-
ческой поверхности с образующими, перпендикулярными к плоско-
сти хОу. Контур обтекаемого тела представится некоторой линией
в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание цилиндри-
ческого тела и т. д. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных
к обтекаемым телам, и др. будем относить к единице длины
в направлении перпендикуляра к плоскости хОу, т. е. в направлении
оси Oz.
Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемом
случае задача сводится прежде всего к решению уравнения Лапласа,
которое для плоского случая имеет вид;
V’? =₽+$ = О- (22)
Граничные условия в задаче обтекания тела плоским, однородным
на бесконечности потоком со скоростью VTO будут состоять из усло-
вия непроницаемости границ тела’.
на К0НТУРе тела (23)
§ ^71 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЙ 223
и условий на бесконечности-.
И = COS Ооо, v = == 14о sin Осо, (24)
где Ос»—-угол между вектором скорости ¥«, и осью Ох.
Такого рода задача представляет классическую задачу Неймана,
и решению ее посвящены многочисленные математические исследова-
ния. В настоящем курсе удовольствуемся изложением одного, наиболее
мощного метода решения этой задачи — метода теории функций
комплексного переменного.
Из уравнения неразрывности
div V = 4—4^-— 0 (25)
дх 1 ду 47
вытекает, что всегда можно найти функцию ^(х,у), тождественно
удовлетворяющую уравнению (25) и связанную с проекциями ско-
рости и и v равенствами:
действительно, подстановка этих величин в уравнение (25) превращает
его в тождество. Функция ф(х, у) имеет простой гидродинамический
смысл. В самом деле, напишем дифференциальное уравнение линий
тока {формула (34) гл. 1]
dx dy
и v
и подставим в него значения проекций скорости по (26), тогда будем
иметь:
dx dy
diddy —д'-ddx
или
dx -f- 4^- dy = di) = 0.
dx 1 dy 1
Из последнего равенства следует, что функция ф сохраняет
постоянное значение вдоль линий тока, иными словами, семейство
линий уровня функции ф •
ф(х,^) = С (27)
представляет совокупность линий тока. Функция ФО^у) в связи
С этим называется функцией тока.
Проведем в плоскости течения контур М0МЛ (рис. 54) и вычислим
секундный объемный расход Q (отнесенный, конечно, к единице длины
направлении, перпендикулярном к плоскости течения) через это
224
Плоское безвихревое движение жидкости
(гл. у
сечение; будем иметь (пх, пу — направляющие косинусы нормали п
к элементу 8s):
X, м, м,
Q = f 8s = [ (ипх vny) 8s = [ (и 8s • nv -j- v 8s . л(/) =
M„ w,
м,
= I” (« 8у — v ox),
Д
или по (26):
м, т,
Q = Г(Й>+Й8х)= (8<р = .ИЛ11)-4(М0) = ^ — %. (28)
м0 ' м0
Следовательно, разность значений функции тока в двух каких-
нибудь точках потока равна секундному объемному расходу сквозь
сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими
через выбранные точки.
Напомним, что в плоском движении часть плоскости, ограничен-
ная двумя линиями тока, например, проходящими через точки Й40 и Мх
Рис. 54.
на рис. 54, представляет на самом деле трубку тока, образованную
двумя цилиндрическими поверхностями, тока, имеющими в качестве
направляющих линии тока в плоскости хОу, а образующих — перпен-
дикуляры к этой плоскости, и двумя плоскостями, параллельными
координатной плоскости хОу и отстоящими друг от друга на рас-
стоянии, равном единице длины.
Плоское везйихреное движение
225
§ 37J
Условимся в дальнейшем совершенно произвольно одну какую-
нибудь линию тока рассматривать как нулевую, полагая
И*, j) = °>
что можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств (26),
функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной.
Если принять такое условие, то можно сказать, что значение кон-
станты в (27) на некоторой линии тока равно секундному объемному
расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной
линией тока и выбранной произвольно нулевой линией.
Сопоставим выражения проекций скорости через потенциал
ростей (5) предыдущего параграфа, которые в случае плоского
жения сводятся к системе двух равенств
д? ду
U——L ч) = —Ь
дх’ ду ’
этой
ско-
дви-
(29)
и выражения (26) тех же проекций через функцию тока ф; будем
иметь следующую систему соотношений:
__ду_____ дф
U дх ду *
д< а. <3°)
у =3 —— =----i_,
ду дх
Функции и ф не являются независимыми друг от друга функ-
циями, они связаны дифференциальными соотношениями (30), обычно
называемыми условиями Коши—Риманна, при выполнении которых
комплексная величина
х = <р+/4 = <Р (х, у) + (х, у) (31)
будет не просто функцией двух переменных (координат х, у), а функ-
цией одной комплексной переменной z=x-\-iy. Действительно, если
величина у есть функция только положения точки М с координатой z,
то производная от нее в этой точке в свою очередь должна быть
функцией только положения точки, т. е. координаты z, и не зависеть
от направления дифференцирования в плоскости. Иными словами,
можно, например, утверждать равенство производной по любому
направлению — производным по направлениям действительной и мни-
мой осей:
& = .&= А. (32)
dz dx d (iy) v 7
Замечая, что:
d'L __ а (у + ь» _ jfyi
dx dx dx ' dx ’
dt . a (y -f- /ф) д<Ь . df
d(iy)~" 1 dy ~~ dy 1 dyf
15 Зак. 1841. JJ. Г. Лойцямскни»
226 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. \|
и приравнивая, согласно равенству (32), друг Другу правые части
этих равенств, получим ге же выражения условий Коши — Риманна (30).
Отсюда сразу следует, что, отделяя в любой функции комплексного
аргумента у (г) действительную (д. ч.) и мнимую (м. ч.) части, получим
потенциал скоростей <?(х, у/) и функцию тока ф(х,_у) некоторого
плоского безвихревого движения:
ф(х,_у) = д. ч. у (г), ф(х,_у) = м. ч. у (г).
Приравнивая функцию <э(х,_у) различным постоянным значениям
ф (х, у) = С,
получим семейство изопотенциальных линий (следов пересечения
плоскости хОу цилиндрическими изопотенциальными поверхностями);
аналогично совокупность равенств
1р(х,7) = С/,
согласно (27), представит семейство линий тока.
Легко убедиться, что изопотенциальные линии и линии тока
взаимно ортогональны, т. е. пересекаются под прямым углом. Для
этого достаточно вычислить скалярное произведение между ортами п
и п' нормалей к рассматриваемым линиям в любой точке потока:
n . = £rad? .
I grad <р | ‘ | grad ф | ’
Вычисляя скалярное произведение градиентов и применяя соотно-
шения Коши—Риманна (30), получим:
nrad ф • nrad Ф = Г—4-0
£ • £ дх дх* ду ду дх \ ду) ‘ ду дх ’
что и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий
и линий тока.
Совокупность равенств:
<p = <p(x,j), ф = ф(х,уг)
можно рассматривать как формулы перехода от декартовых коорди-
нат х, у некоторой точки к криволинейным ее координатам ф и 'Ь
При этом изопотенциальные линии <р — С и линии тока ф = С пред-
ставят ортогональную сетку координатных линий, т. е. криволинейные
координаты ф и ф, полученные путем отделения действительной и
мнимой частей в некоторой функции комплексного переменного, будут
всегда ортогональными координатами. Установление взаимной связи
между двумя, на первый взгляд разнородными вопросами — плоским
безвихревым движением и ортогональными криволинейными коорди-
натами на плоскости — окажется в дальнейшем полезным.
§371
ПЛОСКОЕ ЁЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
227
Если вместо функции у {г) рассмотреть функцию Zy (z), го в новом
движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока,
а изопотенциальные линии — с линиями тока; этим приемом часто при-
ходится пользоваться при построении обтеканий. Отсюда следует, что
функция тока ф(х, у) всегда играет сопряженную роль с функцией
с(х,_у) потенциала ско-
ростей: каждая из этих г
функций может быть 1
как функцией тока,
так и потенциалом ско-
ростей в двух сопря-
женных между собою
безвихревых плоских
движениях идеальной
жидкости.
Заметим, что функ-
цию тока ф (-*, Д') в пло-
ском движении можно
рассматривать как проек-
цию на перпендикуляр-
ную к плоскости движе-
ния ось Oz векторного
потенциала А, связанно-
го с вектором скорости V
равенством
V = rot А, (33)
Рис. 55.
если предположить, что
вектор А перпендикуля-
рен плоскости движения. В самом деле, при Ла; = Ау = О, А, — у б) дем
в полном согласии с формулой (26):
иметь
дА„ дАу
ду
дАг
V dz
дАу
w =
I
(34)
опре-
бф
дг ~ ду ’
дАг _ 5Ф
дх ~~ дх ’
дА,,.
-------~ =
дх ду
В теории магнетизма напряженность магнитного поля можно опре-
делять как градиент скалярного потенциала или как вихрь векторного потен-
циала; так и в гидродинамике плоского движения поле скоростей может быть
определено заданием либо скалярного потенциала ср, либо проекцией на ось г
векторного потенциала А. Пользуясь представлением о векторном потен-
циале, легко дать простой и непосредственный вывод формулы расхода (28).
рассмотрим секундный объемный расход жидкости Q сквозь сечение потока а
(рнс. 55), образованное некоторой поверхностью, опирающейся на контур
•44о'441Л11Л4о, составленный из двух одинаковых контуров и рас-
положенных в параллельных плоскостях, и из отрезков перпендикуляров Л40Л^
15*
2‘28 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ |ГЛ. (I
и Л^АТ, к плоскости хОу, равных по длине единице. Будем иметь по (33)
и формуле Стокса:
Q — J Vnda = J* iota A da = (j) А • dr, (35)
а а
где контурный интеграл берется по замкнутому контуру Заметив,
что криволинейные интегралы по отрезкам контура -М0М1 и по опре-
делению плоского движения, взаимно сократятся и что по той же причине
вдоль всего отрезка будет Аг = 60, а вдоль отрезка AJjA^, соответ-
ственно, Az = ф1, получим по (35) при h = 1:
< М. Ч
Q= J Иг6д4- J*лг5г= J* 'Mz — J ф08г = ф1 —ф0.
И, м' М,
т. е. ту Же самую формулу (28).
О своеобразной аналогии между магнитными и гидродинамическими явле-
ниями будет сказано в гл. VII в связи с решением задачи о поле скоростей
вокруг вихрей, где понятие векторного потенциала будет иметь особо суще-
ственное значение.
Функцию х(г)’ объединяющую, согласно (31), в один комплекс
оба „потенциала": скалярный — потенциал скоростей и проекцию
векторного — функцию тока, называют комплексным потенциалом
или характеристической функцией течения.
Покажем как, зная комплексный потенциал х(г), определить
вектор скорости V или его проекции и и v. Как известно, каждому
комплексному числу можно сопоставить в плоскости вектор с про-
екциями, соответственно равными действительной и мнимой частям
этого комплексного числа. Условимся при изложении плоского дви-
жения обозначать через V комплексную скорость
V = и iv,
а для величины скорости сохраним обычное обозначение модуля ком-
плексного числа:
| V| = -f-/M2 + 'y2.
Наряду с комплексной скоростью У, введем в рассмотрение
сопряженную скорость У, равную
V = и —- iv.
Если 6— угол, образованный вектором (комплексной скоростью V)
с действительной осью, то будем иметь:
У — u-\-iv = | V|(cos0-ф-i:sin6) = [ У|е™, I
V =zu—iv = l y|(cos0 — Zsin6) = | V[e-™. J
ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ НОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ
229
§ 38] --------------------
d/
Рассмотрим теперь производную ~ комплексного потенциала по
комплексному аргументу. По основному свойству функции комплексной
переменной
d'k d'k ^d(v + 4)__
dz dx dx dx * dx ’
oi куда, согласно (30), сразу следует:
iv = V = | V\e~i!>,
(37)
г е. производная от комплексного потенциала (характеристической
функции) по комплексной координате равна сопряженной скорости.
'' Проекции скорости и и v определятся,
соответственно, как действительная и с обрат-
ным знаком мнимая части производной от
характеристической функции по комплексной
координате
и — д.ч.-^-, v =— м. ч.-^-. (38)
dz dz '
Сопряженная скорость имеет ту же ве-
личину (модуль), что и комплексная скорость,
но направлена по зеркальному отображению
комплексной скорости относительно действительной оси (рис. 56).
Обратная величина
С = - ==i = —L_= (39)
d/ V и—iv | У |
имеет обратный модуль, но направлена так же, как и комплексная
скорость.
Совокупность комплексных координат частиц жидкости г образует
область течения жидкости в плоскости хОу, которую в связи с этим
называют физической плоскостью или плоскостью течения. Сово-
купность значений комплексной скорости V образует плоскость
годографа скорости или просто плоскость годографа', в этой пло-
скости расположатся годографы скорости, т. е. геометрические места
проведенных из начала О (рис. 56) концов векторов скорости частиц
жидкости.
§ 38. Построение полей течения по заданной характеристической
Функции. Простейшие плоские потоки и их наложение
Будем задаваться некоторыми простейшими выражениями для
комплексного потенциала и посмотрим, каким плоским безвихревым
Движениям такое задание будет соответствовать.
ны 1 • Линейная функция у (г) — az -f- b, где а и b—комплекс-
постоянные, причем, как уже ранее упоминалось, аддитивная
ОСтояцная b без ущерба для дела может быть просто опущена.
230
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. V
Составляя сопряженную скорость
V = = а — const = и0 — iv0 = | Vo [ (cos 0о — i sin 0о),
видим, что комплексная константа представляет одинаковую по вели-
чине и направлению во всем потоке сопряженную скорость. Одина-
ковой будег и комплексная скорость
v= у0 = «0+га0 = |и0|Л.
Следовательно, линейная функция
однородного потока со скоростью
!/
Рнс. 57.
определяет комплексный потенциал
| Vo|, наклоненного к действитель-
ной оси физической плоскости
под углом 0о = а (рис. 57):
X=(“о — гЧ) *=1 I ei" z =
= | Vo | (cos a — г sin а) г. (40)
Отделяя дейс гвительную и
мнимую части, найдем потен-
циал скоростей
г с = и0т-4- voy ==
— I Vo | (х cos a 4-у sin a)
и функцию тока
ф — 1)ох 4- иоу =
== | Ц, | (— х sin «4~J cos “)•
В частных случаях а = 0 и а — , получим:
при а = 0 о = | Vo | х, ф = | Уо | у,
при а = -£ ф = | V0|_y, ф = — | Vjx.
Эго будут потенциалы скоростей и функции тока однородных
потоков, направленных вдоль осей х и у.
2°. Степенная функция^ (г) = агп (п—действительная вели-
чина). Заметим, что в этом случае сопряженная скорость
у=^ = пагп~1
будет стремиться к бесконечности при г->оо, если л> 1, и к нулю
при «< 1; случай л—1 уже рассмотрен в 1°,
Введем полярные координаты, положив
«у — fpis*
§ 38]
ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТ! ЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ
2
тогда:
у (г) — arn (cos пг -j i sin ле),
ю(г, e) = arn cos ле, <p(r, e) = «/“ sin ле.
Линии тока будут представляться семейс1вом
rn sin пг — С.
Полагая здесь s^-0,
_ __ -+- — — а, видим,
е п
что при этом С—О,
г. е. роль нулевой ли-
нии тока играет сово-
купность лучей, выхо-
дящих из начала ко-
ординат. Областью те-
чения являются части
плоскости, заключен-
ные в углах а = .
Рассмотрим простей-
шие случаи.
При л=1, 2, 3
потоки будут иметь
вид, изображенный на
рис. 58. При дальней-
шем возрастании п угол
o' будет уменьшаться,
количество ячеек воз-
растать.
Изопотенциальные
линии имеют уравне-
нием
rn cos ле = С
или, что все равно,
r" sin (ле + у) = С'.
Это уравнение —
того же семейства кри-
вых, что и линии тока,
но повернутого на угол Изопотенциальные линии показаны
2 2л
на том же рис. 58 пунктиром. При л = 1 оба семейства—прямые,
при л еа 2-гиперболы,
232
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
Ь'Л. у
Больший интерес для дальнейшего представляет случай п = — 1,
Уравнение линий тока будет
——— = С.
sin s
Это, как легко сообразить, семейство окружностей, проходящих
через начало координат (рис. 59) и соприкасающихся в этой точке
с осью Ох. Физический смысл кон-
Рис. 59.
станты а в выражении комплексного
потенциала
и более глубокое представление о са-
мом движении будет дано в следующем
пункте. Скорость течения обращается
в бесконечность в начале координат и
в нуль при г —> со. Изопотенциаль-
ные линии, по предыдущему, предста-
вятся той же сеткой окружностей (на
рис. 59 показанных пунктиром), но по-
вернутой по предыдущему на . Оба
семейства окружностей взаимно орто-
гональны.
О гметим еще случай п = -^ с характеристической функцией
X = V z и углом а — 2т. Чтобы найти линии тока, в этом случае
лучше всего поступить так. Перепишем уравнение, определяющее
характеристическую функцию, в виде
z = х -ф- ly = х8 = ®2 — ф2 ~Ь 2г©ф;
тогда, сравнивая действительные и мни-
мые части и полагая в полученных при
этом равенствах ф = с, найдем уравне-
ние семейства линий тока в параметри-
ческом виде
х = »2-------С2,
у — 2с<». рис. бо.
Исключая параметр ф,
получим семейство парабол
х •— J— v2 г2
Х — 4С2 J с
с вершинами на отрицательной части оси х, являющейся для парабол
осью симметрии (рис. 60),
§ -эд] ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ 233
По общему свойству степенных комплексных потенциалов изопотен-
циальные линии получатся поворотом линий тока на
или **го в данном случае все равно, зеркальным отображением
в оси Оу. Рассматривая положительную часть оси Ох как некоторую
твердую стенку, получим картину перетекания жидкости из верхней
части полуплоскости в нижнюю при наличии огибания стенки Ох.
Заметим, что скорость течения в точке г = 0 равна бесконечности:
L=o L=o 2 1г=о
вблизи этой точки наблюдается резкое сгущение линий тока.
3°. Логарифмическая функция у = A In z.
Предположим сначала, что А— действительная величина. Полагая
z = reit, получим
у = © /ф = A In г /Ле,
откуда:
ф = A In г,
ф= Ав.
Линиями тока служат лучи е = const, выходящие из начала коор-
динат; изопотенциальными линиями — ортогональные к ним окружности
г —const (рис. 61а). Картина линий тока соответствует плоскому
Рис. 61.
истечению жидкости из точечного источника, находящегося в на-
чале координат (на самом же деле — из источников, непрерывно рас-
пределенных по оси Ог). Чтобы найти гидродинамическое значение
коэффициента А, введем в рассмотрение мощность или интенсив-
ность источника q, определив эту величину как секундный объемный
234 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. у’
расход жидкости, отнесенный, конечно, к единице длины в перпен-
дикулярном к плоскости течения направлении. Имеем:
а ~ 2г. г I VI = 2лг • I 1 = 2 т. г А •12-1= 2~гЛ • 2 — 2-Л,
v 11 I dz I z г ’
откуда следует
А ~~ 2к
Условимся наряду с источником рассматривать сток, отличающийся
лишь направлением стрелок на линиях тока (рис. б!#). Тогда в общем
случае будем иметь характеристическую функцию для расположенного
в начале координат источника или
У стока мощности q в виде
| Х(^) = ±^-1пг, (41)
причем верхний знак относится
/'у/''\ к источнику, нижний — к стоку,
[ [ \ при желании знак можно включать
Il / ЧМ 1^1 ? в опРеделение величины q, считая q
\ i \ J Т / положительным в случае источника
\ \ / ] и отрицательным — в случае стока.
Пусть теперь А — чисто мнимая
। величина, равная Bi, где В—уже
I—действительная величина. Комплекс-
I ному потенциалу
X = 6Zlnz,
Рис* 62‘ как уже ранее было указано, будет
соответствовать та же сетка кривых
линий, что и в случае источника (стока), но линии тока и изопо-
тенциальные линии поменяются местами (рис. 62). Картина линий
тока соответствует так называемому циркуляционному движению
жидкости вокруг изолированного точечного вихря, расположенного
в начале координат, или, правильнее сказать, вокруг вихревой нити,
совпадающей с осью Oz.
Чтобы найти смысл действительной постоянной В, вычислим цир-
куляцию Г скорости по некоторой окружности радиуса г.
Будем иметь:
г
piкуда вытекает
§ 3£>| ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ 235
В зависимости от направления движения частиц будем иметь:
причем верхний знак, как легко сообразить, будет соответствовать
вращению по часовой стрелке, нижний — обратному вращению. Можно
знак включить в определение величины Г и считать циркуляцию
положительной тогда, когда при обходе частицей жидкости окруж-
ности площадь круга остается слева; этому соответствует комплексный
потенциал циркуляционного потока
х=-£1пг==^|пг- (42>
Заметим, что как в случае источника (стока), 'так и в случае
вихря распределение скоростей по абсолютной величине отвечает
формуле
|У| = М Или | =
т. е. величина скорости обратно пропорциональна расстоянию от
источника или вихря. В начале координат, где источник или вихрь
расположены, скорость бесконечно велика; начало координат является
особой точкой поля скоростей, а сами образы источника (стока) или
вихря называют гидродинамическими особенностями потока. В даль-
нейшем нам придется иметь дело и с другими „особенностями11 потока:
диполем, вихреисточником.
Рассмотренные только что течения являются безвихревыми дви-
жениями несжимаемой жидкости, т. е. во всех точках области течения,
исключая начало координат, которое является особой точкой, выпол-
няются соотношения:
ди __dv___ Ли . dv_______„
ду дх ’ дх • ду ’
в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием. В на-
чале координат производные приобретают бесконечные значения.
Если источник (сток) или вихрь находятся не в начале координат,
и в некоторой точке 7И0 с комплексной координатой г0, то выраже-
ния характеристических функций будут:
источник (сток):
(41')
вихрь
Х(*) = -£1п О “*<))• (42')
Рассмотрим, наконец, случай комплексного коэффициента при
Логарифме, а именно:
236
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
где А и В—действительные величины. Такой комплексный потен-
циал можно рассматривать как результат наложения друг на друга
двух потоков с комплексными потенциалами:
Xi ~ Alnz,
у2 (z) — Bl
т. e. наложение на источник (сток) вихря. Сложное движение,
составленное из этих двух движений, представляет течение жидкости
вокруг вихреисточника (вихресгока) со^
спиралевидными линиями
тока (логарифмическими
спиралями), показанными
на рис. 64.
Если, вообще,
У(*) = У1(*Н-У2(г),
то в составном потоке
комплексный вектор ско-
рости будет равен сумме
комплексных векторов
скоростей слагаемых по-
токов Vj и V2. Действи-
тельно,
V= iL = [ ЁЬ =
dz dz ' dz
~ Vl + ^2>
а следовательно, пере-
ходя от сопряженных ком-
плексов к основным, по-
лучим:
v=i/1+v2.
На этом основан простой графический прием построения линий
тока сложного потока по линиям тока слагаемых потоков.
Рассмотрим (рис. 63) две пары смежных линий тока двух сла-
гаемых потоков: <pt, ф1-}-Дф1 и ф2, ф2-J- Дф2, пересекающихся под
некоторым углом, причем предположим, что эти линии тока прове-
дены так, чтобы расходы жидкости сквозь трубки тока были
одинаковы, т. е. Дф, = Дф2; отсюда, конечно, не следует, что рассто-
яния между линиями тока в каждой из двух пар должны быть
равны между собою. Можно лишь утверждать, что, если MN\ I Vj
и MN' Vs, то ___
ЛДУ1-1 = Va|.
построение простейших полей течений 23?
С другой стороны, площадь малого параллелограма УИТИ ЛДЛД
равна одному из следующих равных между собою выражений:
....ii.ii» .... » . I *...
ТИ/Vi • ММ' = MN' • MMt.
Деля обе части этого равенства соответственно на обе части пре-
дыдущего, получим
ММ': | | = MMj: | У21,
откуда следует, что отрезки ММ' и ММг в некотором масштабе
выражают скорости или элементарные перемещения частиц слагаемых
движений. Проведя диагональ ТИЛД параллелограма ТИТИ MiMlt по-
лучим в том же масштабе величину и направление скорости V, или
элементарного перемещения сложного движения. Отрезок MMi вместе
с тем дает элемент дуги линии тока ф = const сложного движения.
Таким образом, построив достаточно плотную сетку линий тока
двух налагаемых друг на друга движений, простым проведением
диагоналей элементарных параллелограмов найдем сетку линий тока
сложного движения. Единственную трудность представляет выполне-
ние построения сеток линий тока слагаемых движений, удовлетворяю-
щих условию одинаковости расхода.
На рис. 64 приводится построение линий тока в случае вихре-
источника или вихрестока. Лучи (линии тока источника), выходящие
из центра, проведены друг по отношению к другу под углами в 10°,
расстояния между окружностями (линиями тока вихря) подобраны
так, чтобы расходы между каждыми двумя смежными окружностями
были равны между собой и одинаковы с расходами между двумя
смежными линиями тока источника.
Другим любопытным случаем наложения потоков является диполь.
Возьмем на положительной части оси х источник мощности q, нахо-
дящийся на расстоянии h от начала координат, и эквивалентный ему
по мощности сток на том же расстоянии от начала, но с отрицатель-
ной стороны оси х. Комплексный потенциал такой системы источника
и стока будет, очевидно, равен
х=£In (г ~ —§7 1п +А)-
Если, сохраняя неизменным q, устремить h к нулю, то сток
поглотит жидкость из источника и никакого движения не произойдет.
Поступим иначе: устремив h к нулю, одновременно будем увели-
чивать q до бесконечности так, чтобы произведение мощности q на
расстояние между источником и стоком осталось конечным и равным
некоторой величине т:
lira q '2h=a tn.
h-»o
5 -> co
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
Тогда комплексный потенциал у приобретет следующее предель-
ное выражение:
X = lim In (г
q->co
— — ~ lira а • 2h • lim
2л ?.-»о л~»о
In (z-\-h) — ln(z—ft)
— _
([ -> OO
m d - m
= -2^57(In*) = -.2^- <43)
Такой поток был уже разобран в предыдущем пункте, его линии
тока и изопотенциальные линии показаны на рис. 59.
Предельный образ двух бесконечно близких особых точек — источ-
ника и стока с бесконечно большими интенсивностями — называют
диполем, а величину т (она может быть как положительной, так и
отрицательной) — моментом диполя.
§ 3<)|
bBlIKAHHL КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
№
§ 39. Бесциркуляционное и циркуляционное обтекания
круглого цилиндра
Наложим плоский, параллельный оси х однородный поток со
скоростью Ко (Ко — действительная положительная величина) и
комплексным потенциалом
Ул = Ко*
на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом
т 1
fa — 2л * z
и составим комплексный потенциал сложного движения
1 TZ т 1
Z — Ул + У.2 — VcoZ —
Чтобы найти уравнение семейства линий тока, составим функцию
тока
ф (х> У) =
। ™ у
г 2л х2
Полагая правую часть равной различным постоянным, найдем
уравнение линий тока
^pyr)^ = const-
Нулевая линия тока
Ziz । т 1 \ п
распадается на две кривые: 1) окружность:
= («<0)
и 2) ось х:
у — 0.
Выбирая произвольную до сих пор величину момента диполя
равной
2л Ко
т ~-------,
а4
получим нулевую линию тока в виде совокупности окружности
Радиуса а с центром в начале координат и оси Ох (рис. 65).
стальные линии тока легко получить, задавая различные значения
констант в уравнении
240
ПЛОСКОЕ безйихрейое ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
(гл. V
Полная картина движения состоит из двух областей — вне и внутри
круга. Первую область можно рассматривать как обтекание круглого
цилиндра радиуса а плоскопараллельным потоком, имеющим на беско-
нечности скорость Vm; этот поток имеет комплексный потенциал
| z | а.
(44)
Вторая область представляет картину течения, образуемого нахо-
дящимся в начале координат диполем с моментом т внутри круга
радиуса а- этому потоку соответствует комплексный потенциал
|г|^а.
Остановимся несколько подробнее на первом потоке. Найдем
распределение скоростей. Имеем, по предыдущему:
По этой формуле можно найти сопряженную скорость V, а сле-
довательно, и комплексный вектор скорости V в любой точке потока
с комплексной координатой г. Определим, например, распределение
скоростей по контуру обтекаемого цилиндра. Для этого положим
(0 — угол между радиусом контура цилиндра и осью Ох)
z = aeih
§ 39| ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 24 1
и будем иметь по предыдущей формуле:
(V)|g|=« = ^(1 - *~2Й) = Veoe-n — = 2ZK^-*esin О,
откуда определим модуль скорости на контуре круга
| V | = 2 Vco sin 0. (45)
Из этой формулы следует, что при плоском безвихревом обте-
кании круглого цилиндра идеальной жидкостью скорости на его
поверхности распределяются по закону синуса. В точках А и В раз-
ветвления потока 0 = ~ и 0 = 0 скорость обращается в нуль. Точки
потока, где скорость движения обращается в нуль, называют крити-
ческими точками потока. При направлении движения, указанном
на рис. 65, точка А называется „передней" критической точкой,
точка В —„задней".
Скорость на поверхности цилиндра принимает свое максимальное
значение при 0 = ± — в точках С и О миделевого сечения ци-
линдра; это максимальное значение скорости равно
I Итах = 2П№,
т. е. удвоенной скорости набегающего потока (скорости на беско-
нечности).
Иногда приходится иметь дело с обтеканием цилиндра плоско-
параллельным потоком, скорость которого направлена под неко-
торым углом 0оо к оси Ох.
Заметим, что в этом более общем случае комплексный потенциал
обтекания будет иметь вид:
— а2
y^V^z-JpV^-, (46)
где К» является уже не действительной величиной, а комплексным
вектором, равным
к»=| пю|гЧ
Выражение комплексного потенциала (46) легко получить из
равенства (44), если ввести в рассмотрение дополнительную пло-
скость z', действительная ось которой наклонена к действительной
ОСИ ПЛОСКОСТИ Z ПОД углом 0оо. Тогда в плоскости z' скорость на
бесконечности будет представляться действительной величиной | Ц»!,
и по (44) получим:
Z(Z) = |VcoP'+|Ko|p.
Подставляя сюда выражение z' через z:
I —
г = ге °°,
Докажем правильность формулы (46):
X (*) = | V», | е~г0°° • z 1 | ~
16 Зак. 1841. Л Г. Лойпятеккй.
242 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВ01 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [iji V
Обратимся теперь к рассмотрению соответствующего формуле (45)
распределения давлений по контуру цилиндра. Для этого вспомним,
что при безвихревом движении несжимаемой жидкости давление р
связано с величиной скорости | V| формулой Бернулли [§ 36, равен-
ство (12QJ:
. p|VT ,
р + — — const.
Константу определим из условия на бесконечности [возвращаемся
к обозначению 1И= и
'''от
р<х> —р 2 const,
тогда будем иметь, вводя безразмерный коэффициент давления р:
— р —рт / V \2
р _ —-------=: 1 — (—_) = 1 — 4 sin2 0. (47)
1 lz2 \ Уоо/
Из формулы (47) следует, что распределение по контуру цилиндра
безразмерного коэффициента давления р не зависиг ни от размеров
цилиндра, ни от величины скорости и давления на бесконечности.
Вот почему так удобно пользоваться этим коэффициентом при изу-
чении давления потока на поверхности обтекаемого жидкостью ци-
линдра. В дальнейшем будет показано, как эти свойства коэффициента
давления распространяются и на тела других форм.
Вернемся к формуле (47) и условимся угол 6 отсчитывать от
передней критической точки А против часовой стрелки. Тогда график
теоретического распределения р, согласно (47), представится нижней
кривой на рис. 66. В лобовой критической точке А (б = 0) имеем
р = 1; размерное давление р в этой точке равно полному напору
набегающего потока, т. е. сумме давления рт и скоростного напора
у р VL набегающего потока. При б = ± , т. е. в миделевой пло-
скости, коэффициент р приобретает максимальное по абсолютной
величине отрицательное значение рт = — 3. В э гих точках на поверх-
ности цилиндра наблюдается максимальное разрежение. Давление
здесь меньше чем рт (например, атмосферное при продувке цилиндра
в аэродинамической трубе с открытой рабочей частью) на три скоростных
напора. На участке я/2 б я теоретическая кривая повторяет кри-
вую для ОЗэбЗ=я/2.
Экспериментально замеренное распределение давления не под-
тверждает эту теоретическую кривую. В зависимости от некоторых
условий, о которых будет идти речь в конце курса, на опыте полу-
чаются две разных формы кривых распределения давления (/ и II
на рис. 66), но даже и более близкая к теоретической кривая I
§ 39J
ОЫЬКАНИЕ КРУГЛОЮ ЦИЛИНДРА
‘213
все же находится в резком расхождении с теорией. Причиной этого
расхождения служит отсутствие в действительности безотрывного
плавного обтекания цилиндра, подобного теоретическому обтеканию,
показанному на рис. 65. На самом деле цилиндр представляет собою
плохо обтекаемое тело. Набегающий поток, разветвившись в передней
критической точке А (рис. 66), омывает поверхность цилиндра лишь
до точек SS, находящихся примерно на 0 = 84°, т. е. до миде-
левой плоскости—в случае кривой давлении / и на 6=120°-—
в случае II, после чего поток отрывается, уступая место жидкости,
подсасывающейся из кормовой области. И в том и в другом
случае получаются картины обтекания, далекие от безотрывного обте-
кания всей поверхности от передней А до задней В критических
точек, предписываемого теорией безвихревого движения идеальной жид-
кости.
Как будет показано в дальнейшем, образовавшийся из-за наличия
внутреннего трения в жидкости пограничный слой не выдерживает
резкого восстановления давления при 6 > 90°, отрывается и искажает
всю картину обтекания. Об этом подробно будет рассказано в главе
о движении вязкой жидкости.
Было бы, однако, неправильно сделать отсюда вывод, что теория
безвихревого движения идеальной жидкости вообще не может при-
меняться для описания действительных обтеканий. На рис. 67 при-
ведены кривые распределения давления по поверхности двух „хорошо
обтекаемых" симметричных профилей Жуковского. Один профиль
имеет относительную толщину -—=15%, другой — = 40%. Как
16*
‘244 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. V
показывают кривые, в этих случаях теория дает прекрасное совпадение
с опытом. Более или менее значительное расхождение наблюдается
только у толстого сорокапроцентного профиля, да и то главным
образом вблизи кормовой области, где пограничный слой не удержи-
вается на поверхности профиля и отрывается. Можно утверждать,
что теоретический расчет распределения давления вполне удовле-
творительно совпадает с опытом для хорошо обтекаемых тел
и тем более расходится с опытом, чем толще пограничный слой, чем
ближе обтекание подходит к отрывному. С этой оговоркой и следует
воспринимать все последующие теоретические расчеты распределения
скоростей или давлений по
поверхности обтекаемых тел.
Заметим, что теоретиче-
ское распределение давле-
ний по цилиндру не дает
результирующей силы; это
прямо следует из симметрии
обтекания относительно двух
взаимно перпендикулярных
осей: оси потока и перпен-
дикулярной к ней оси (ри-
сунок 65). На самом деле,
в действительном обтека-
нии, как это следует из
кривых I и II (рис. 66),
главный вектор сил давле-
ний будет отличен ог нуля и направлен по оси течения в сторону
движения набегающей жидкости. Эга равнодействующая нормальных
сил, сложенная еще с равнодействующей касательных сил трения
жидкости о поверхность цилиндра, даст полную силу сопротивления.
Теоретическое безотрывное обтекание силы сопротивления не дает и,
как в дальнейшем будет показано, принципиально дать не может.
Перейдем к рассмотрению несколько более сложного потока.
Возьмем только что изученное теоретическое обтекание круглого
цилиндра и наложим на него круговой циркуляционный поток вокруг
вихря (42), причем сам вихрь поместим в центр контура цилиндра.
Такое обтекание в отличие от предыдущего, „бесциркуляционного11,
будем называть циркуляционным обтеканием цилиндра. Подобный
поток будет наблюдаться в действительности, если обтекаемый цилиндр
вращать вокруг оси; тогда окружающая цилиндр жидкость, увле-
каемая внутренним трением, придет в круговое, циркуляционное
движение, которое сложится с бесциркуляционным обтеканием цилиндра
и даст картину, напоминающую рассматриваемое теоретическое обтека-
ние; основное отличие между теоретическим и действительным обте-
канием произойдет из-за отрыва жидкости от поверхности, а также
за счет возникновения поперечных, перпендикулярных к плоскости
§ 39] ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 245
1еорегического течения вторичных потоков, сопровождающих в дей-
ствительности циркуляционное течение.
Комплексный потенциал циркуляционного обтекания цилиндра
напишем в виде
+ + (48)
что при Г>0 соответствует направлению циркуляционного движения
по часовой стрелке.
Определим сопряженную скорость
~%)+£ («)
и найдем положение критических точек, решая уравнение
Ц1—S)4-£t=°
или, что то же, квадратное уравнение
Корни его будут:
z =-----------------------— 1/ а2 — „ .
В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обте-
кания:
1°. Циркуляция достаточно велика, а именно
Г > 4тга Ко.
В этом случае под знаком радикала будет стоять отрицательная
величина, и можно написать
z = I-----1/ ——a2 11.
Оба корня квадратного уравнения мнимы, причем модуль одного
больше радиуса цилиндра, другого — меньше; действительно, корень
z — 1 11/ 1
имеет модуль
—---f- I/ —--а2 > —-— > а
246
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. у
второй корень
имеет модуль
11 Г , Г~1? а
21 4к17да V г Г Р
4^т Г 16^
меньший чем выражение, которое получим справа, если заменим в зна-
менателе Г/4~ i/со на меньшую величину а, т. е.
। । «2
iZo < — = а.
1 21 а
Первый корень zx дает критическую точку А (рис. 68а), лежа-
щую на отрицательной стороне мнимой оси вне цилиндра, второй —
критическую точку В, лежащую на той же оси внутри цилиндра.
2°. Предельный случай
Г — ir.aVa/
дает двойной корень
Г
в этом случае обе критические точки А и В попадают в одну, рас-
положенную на контуре цилиндра в точке пересечения контура с мни-
мой осью (рис. 686).
Зэ. Наконец, в случае малой циркуляции
Г < 4ка Ко
комплексные корни
Г~ р Г
z = ± 1/ а------г-5-------1
У 4^
имеют общую ординату — мнимую часть:
Г
4пУю > а
и отличающиеся знаками абсциссы:
— я<±1/ а2— < д,
’ 16я21^
также по модулю меньшие а.
Положение критических точек А и В показано на рис. 68в. При
дальнейшем уменьшении циркуляции Г точки А и В будут раздви-
гаться, стремясь занять свои предельные положения на диаметре круга
при Г = 0.
§ 391
ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
247
Неравенства
Г^4яа14о,
ограничивающие величину циркуляции для трех типов движения, имеют
простой физический смысл. Вспомним, что в точках пересечения ми-
делевой плоскости с мнимой
осью скорости в бесциркуля-
ционном течении равны удвоен-
ной скорости на бесконечно-
сти, т. е. 2Усо5 с другой
стороны, при чисто циркуля-
ционном обтекании скорости
точек на контуре цилиндра
равны Следовательно, при
выбранном направлении цирку-
ляционного движения
вой стрелке при
Г
2^>2^
Рис. 68.
по часо-
поверх-
некого-
частицы жидкости на
ности цилиндра и в
рой области ниже цилиндра
(рис. 68а) будут двигаться
вспять, а линии тока будут
замкнутыми кривыми вокруг
цилиндра. При (рис. 686 и в)
Г Г
2^ = 21/оо и 2^<2Ко
критические точки будут нахо-
диться на контуре цилиндра.
Как видно из рис. 68,
при циркуляционном обтекании
круглого цилиндра сохраняется
симметрия относительно оси
Qy> но нарушается симметрия
относительно оси Ох. В связи
с этим главный вектор сил да-
вления жидкости на поверх-
ность цилиндра будет отличен
°т нуля и направлен вдоль
°си Оу. Заметим, что в слоях
бесциркуляционного обтекания ______„ __________ _____________
потока вокруг цилиндра складываются, а снизу от цилиндра
жидкости над цилиндром скорости
цилиндра и чисто циркуляционного
248
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[1Л. V
вычитаются. Отсюда следует, что над цилиндром скорости больше
чем снизу; это видно и по плотности линий тока — над цилиндром
линии тока сгущаются, под цилиндром, наоборот, разрежаются.
При этом, согласно теореме Бернулли, давление на верхней половине
цилиндра меньше, на нижней — больше, следовательно, главный вектор
сил давления должен быть направлен по оси Оу вверх. Найдем вели-
чину этой, перпендикулярной к направлению движения силы R. Имеем
R = — § pads,
где контурный интеграл вычисляется по положительному обходу окруж-
ности. По теореме Бернулли
Р-с-Еф!.
На контуре круга, согласно (49):
V= Kofi —e-2fc) -4-5^- ie~ie~ ie-fc f2KoSins
v ' 1 2гя \ 1 2г.я / ’
cos е ds,
откуда
что интеграл по замкнутому контуру от постоянной co-
давления С, как архимедова сила в однородном поле
Замечая,
ставляющей
давлений, равен нулю, получим:
2к 2л
| V|2cos8de= — J ^2Иоо sin е
о
2
) coss de.
2 J
о
2п
, . , Г
“ЯП£ + 2^
р — £2 !
о
Интегралы легко вычисляются; имеем:
2тс
==t^-4V^> f sin2 s cose fife• 4Уоо •
О
00 2па J
о
JsinSerfe + f
о
2гс
•4V“'2^.[ siniWe +
0
2л
Г2 Г
4rfa* J
о
2я
, р«. г2
2 W
о
s 40] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР. 249
Из всех интегралов отличен от нуля лишь второй в выражении
pl/^Г f
= —^2— I Sjn2 g /is = рУсоГ. (50)
о
Как и в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при цир-
куляционном обтекании сопротивления нет (7?ж = 0), но зато появи-
лась поперечная сила Ry, равная, по (50), произведению плотности
жидкости на скорость набегающего потока и на циркуляцию. Фор-
мула (50) является частным случаем общей теоремы Жуковского,
относящейся к любому обтекаемому контуру; доказательство этой тео-
ремы будет дано ниже.
Возникновение поперечной силы при обтекании вращающегося
артиллерийского снаряда набегающим воздухом было обнаружено еще
в середине XVIII в.
Роторы Флетнера, представляющие собою вращающиеся цилиндри-
ческие башни, размещенные на палубе корабля, создают при наличии
набегающего ветра перпендикулярную к направлению ветра силу, дви-
жущую корабль. Аналогичный эффект наблюдается на закрученных
теннисных и футбольных мячах и во многих других случаях.
Как будет показано в дальнейшем, задача о циркуляционном обте-
кании круглого цилиндра имеет основное значение. К этой задаче будут
сводиться все остальные случаи обтекания замкнутых контуров и,
в частности, задача об обсекании крыла.
§ 40. Применение криволинейных координат. Бесциркуляционное и
циркуляционное обтекания эллиптического цилиндра и пластинки.
Задача Жуковского об обтекании решетки пластин.
В некоторых, более сложных, чем рассмотренные в предыдущих
параграфах, случаях задача об определении комплексного потен-
циала облегчается, если потенциал искать не в физической плоскости
z=>x-^-iy} а в плоскости другого вспомогательного переменного
- = связанного с г некоторой аналитической зависимостью
г=4)- (51)
Геометрически это можно трактовать как решение задачи обтека-
ния в криволинейной системе координат (?, т;), т. е. разыскание ком-
плексного потенциала в виде
Х = Х(С). (52)
Совокупность уравнений (51) и (52) определяет искомую связь
между у и z в параметрическом виде, причем роль параметра играет
комплексная переменная С- Поясним это примером.
250
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. у
Уравнение (с—действительная постоянная)
z — cchZ (5 Г)
даст переход от декартовых координат х, у к эллиптическим коор-
динатам Е, т]. В самом деле, отделяя в равенстве (51') действительную
и мнимую части, будем иметь:
х ty — с ch (Е -J- /т]) = с ch Е cos т) -f- ic sh Е sin т],
•x = c ch E cos т;, |
у = c sh E sin 7). J
Полагая здесь E — a = const, получим семейство эллипсов (рис. 69)
х2 । У _ 1
с2 ch2 а ' с2 sh2 а
с полуосями a = ccha, £ = csh а и фокусным расстоянием с=]/о2—й2;
полагая tj = (3 = const, получим
семейство
х2_______У2 1
с2 cos2 [' с2 sin2 р
софокусных с предыдущими эл-
х липсами гипербол, имеющих по-
луоси с cos р и с sin р. Рассмо-
трим теперь комплексный потен-
циал
у = Лс11(С— 7), (52')
Рис. 69. где А и у--а-|-/р— действи-
тельная и комплексная постоян-
ные. Переписывая этот комплексный потенциал в форме
® -ф. /ф == A ch [(Е — а) 4- Z (т) — Р)],
сразу видим, что
ф = 0, если Е == а или т) = р,
т. е. нулевая линия тока состоит из эллипса Е = а и гиперболы т] == Р
(на рис. 69 показанных жирной линией). Чтобы найти значение по-
стоянной А, составим выражение сопряженной скорости
р___ dy __ dy # dz__Hsh(C—у)
v ~ dz ~ dZ ' rfC ~ cshC
и вычислим ее на бесконечном удалении от эллипса Е = а. Будем иметь
(%о— угол между вектором и осью Ох):
К
-А» А .. sh(C—7) А А
= — lim \= -— lirm—т-=— е I
с С-э-® sh5 с ^®t с
4QJ ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР. 251
откуда получаем
| | е“ге°° = -у- е~а е~®.
Из последнего равенства вытекает:
6оо = ₽, А = с[ Voo|eB,
причем постоянная а может быть, по предыдущему, выражена через
полуоси обтекаемого эллипса по одной из следующих формул:
а а . b b b
cha = — = —===, sh а =— — —====, tha= —,
с У «2 — & с Vа1—Ь2 а
так что
е» = ch a -)-sh a = —А = (а b) | У»|.
Итак, совокупность равенств
Х==(«-Н)1 K»|ch(C —|
г = с ch С, J
где, напоминаем,
f = а -|- ф = аг th i0oo, c = j/«2—Ь2,
дает параметрическое выражение комплексного потенциала у (г)
обтекания эллиптического
цилиндра с полуосями а и b
плоским безвихревым пото-
ком несжимаемой жидкости,
имеющим скорость на беско-
нечности, равную по величи-
не | Уж | и направленную под
углом Йсо к большой оси
эллипса; угол р=6(Х) принято
называть углом атаки
Картина линий тока по-
казана на рис. 70.
Для построения линий
тока и изопотенциальных
линий можно использовать функцию тока и потенциал скоростей,
которые получатся исключением Е и т; из системы уравнений:
? = (e-J-6)| Уоо| ch(;—«)cos(tq — р),
$ = (<? + £)] Уоо|зЬ($ — «)sin(vj—Р),
х = с ch $ cos 7j,
у = с sh Е sin к;.
252
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. у
Можно также исключить С непосредственно из уравнений (53). Для
этого перепишем первое из уравнений (53) в виде
X = (а 4~ Ь) | Ко | (ch у ch С — sh у sh С),
а из второго найдем
chC = —, shC=J/ -=•—1;
с ’ г с2
тогда будем иметь
Х = (« + ^)| ^оо|(у сЬт —1 Shy), (54)
или, заменяя:
ch у — ch (а -|- i₽) = у (<?°+iP-4- «-“-*₽),
sh у = sh (а -|- /р) = -i- (е° — £-«-*₽),
ео. = -]-
с ’
е-а=__£—
а + Ъ ’
получим еще такое выражение для у:
Х=-|-(а+ 6)| — Vz2 — с2) 4-
+ ТТТ e~f? (*+ V^^)l = i Ко (г +
+ ^(а4^Уоо(г_у^=Г^)> (55)
Из последнего выражения легко вновь получить комплексный по-
тенциал обтекания круга (46). Для этого достаточно заметить, что
в случае круга а — b и с = О и что, кроме того,
z— У г2— с2 I _ 1
1с=о"^;
тогда (55) даст
7^4K'2H|Wk4=K*+ Коу.
Если положить в (55) b = О, а = с, то получим потенциал обте-
кания пластинки (рис. 71), расположенной по отношению к набегаю-
щему потоку под углом атаки В = 6^:
X = у Ко (г — У г®— с2) + у Исо(«+ У г2-— с2) =
= 4- ( Ко + Ко) г — 4 ( К, — Ко) /г-2—с2 =
= ticoZ — iVoc У-г2—с2, (55')
где «с», “Осо — проекции Ко на оси координат.
§ 40]
ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР.
253
По составу выражения комплексного потенциала (55') можно за-
ключить, что косое обтекание пластинки складывается из двух тече-
ний: 1) вдоль пластинки, по направлению действительной оси со ско-
ростью «оо! комплексный потенциал этого обтекания равен
X! (г) = «со*;
и 2) перпендикулярно к пластинке со скоростью ivx, направленной
вдоль мнимой оси; комплексный потенциал этого движения равен
7.2 (?) — — V^2 —с2, (55")
в чем можно было бы убедиться и непосредственно, строя линии тока
по этой простой формуле.
Определим сопряженную скорость рассматриваемого косо набе-
гающего на пластинку потока; будем иметь
77 dy . z
V = -Ь.= ит IVoo .
dz у г2_с2
(56)
Приравняв правую часть нулю, найдем координаты критических
точек А и В (рис. 71):
z = x =
± с cos р,
где, напоминаем, с —- половина длины пластинки; при р = — обе кри-
тические точки сходятся
в начале координат.
При z = ± с, т. е. на
передней и задней кромках
пластинки, скорость, со-
гласно (56), обращается
в бесконечность, что видно
и по сгущению линий тока
на концах пластинки. На са-
мом деле инертная жидкость
не может безотрывно обте-
кать острые кромки пла-
стинки, так как при обра-
зующихся бесконечно боль-
ших скоростях должны (со-
гласно теореме Бернулли)
появляться бесконечно боль-
шие разрежения, что физи-
чески невозможно. Как вскоре будет показано, в таких случаях
можно теоретически получить обтекание с отрывом струй. При этом
скорость на острых кромках станет конечной, но потенциал обте-
кания уже не будет непрерывным во всей физической плоскости.
ПЛОСКОЕ ВЕЗВИХРЕВОЬ ДВИЖЕНИ1 жидкое in
(ГЛ. V
Покажем, как построить обтекание пластинки с бесконечной ско-
ростью лишь на одной, например, передней острой кромке и с ко-
нечной скоростью на задней кромке. Этот прием является общим
приемом теории крыла и будет в дальнейшем подробно изложен (по-
стулат Чаплыгина, § 42).
Рассмотрим комплексный потенциал чисто циркуляционного дви-
жения жидкости вокруг эллиптического цилиндра. Для этого напишем
равенство
z = с stay = с sin (© -j- гф) = с (sin © ch ф-j- icos « sh ф).
Подобно тому, как это делалось по отношению к равенству (51),
легко заключить, что софокусные эллипсы ф == const будут линиями
тока в некотором движении жидкости вокруг любого эллипса. Такое
движение и будет чисто циркуляционным движением вокруг эллипса
или, в частности, вокруг пластинки — отрезка, соединяющего фокусы
семейства эллипсов (рис. 72). Зададим комплексный потенциал чисто
циркуляционного движения вокруг эллипса функцией
г z
•/ = г- arc sin—, (57)
2л с ’ v ’
где постоянная Г пока не определена.
Выражение это совпадает с выражением комплексного потен-
циала (42) единичного вихря, если фокусное расстояние 2с устремить
к нулю. Действительно, по известным формулам теории гиперболи-
ческих функций от комплексного аргумента будем иметь:
Г .г Г . (lz \ Г , (iz , _ z2 \
у = л— arc sin — = "сг~. аг sh (—) = 1п (—(-1/ 1-у ),
' 2л с 2ri \cj 2~i \с 1 г с2 /’
или, используя свободу в выборе аддитивной постоянной в выраже-
нии комплексного потенциала,
р
у = — г-—- 1п
л 2w
Yc^ — z^—iz'
с2
Переходя в этом выражении к пределу при с -> 0, получим, при-
меняя обычное правило раскрытия неопределенностей:
2с
Г . f/Y^^ — izy 1 Г. Г/2 Yc2 — z^\ 1
2W n[( c2 /c=oJ 2Wn[( 2c )e=0]“
= -£lni = £ln^+C0Dst’
т. e. равенство (42).
Чисто циркуляционный поток вокруг пластинки (Ь = 0, а = с)
будет иметь тот же комплексный потенциал, что и эллиптический
цилиндр, для которого пластинка служит фокусным расстоянием.
ОЫЬКАНИЬ ЭЛЛИПСА, ПЛА11ИНКИ И ДР.
§ 40!
Сопряженная скорость будет равна
2л | с2 — z2
25Г,
па поверхности пластинки (7 = 0,
рость действительна и равна:
— Г
и, —-----. .
2п Ус2 — х2
— с < х < -|- с) сопряженная ско-
(при Г > 0, и ! < 0)
на верхней поверхности и
Г
и_ —---------—.
2 л Ус2 —х2
на нижней.
Отвлечемся от того, что отрезок
(при Г > 0, и_ > 0)
FF' представляет некоторую
твердую стенку — обтекаемую циркуляционным потоком пластинку
и представим себе всю плоскость
хОу занятой жидкостью. Тогда
линия FF' представит линию раз-
рыва скоростей в потоке. В самом
деле, по только что доказанному,
при переходе через линию FF'
(рис. 72) по перпендикулярному
к этой линии бесконечно малому
отрезку Л4_Л4+, концы которого
расположены по обе стороны от
линии FF’, скорость и претерпе-
вает конечный скачок
— Г
= —г-----.
л Ус2 — х2
Рис. 72.
В отличие от скачка уплотнения, где разрыв непрерывности про-
исходил в скорости, нормальной к поверхности разрыва, в настоящем
8.-----------
М
-----1-------
Й5
С -----л
и-
Рис. 73.
случае разрыв происходит в ско-
рости, направленной вдоль линии
F разрыва. Рассмотрим ближе при-
< роду такого касательного скачка
скорости.
Окружим некоторую точку М
(рис. 73) на линии разрыва FF'
бесконечно малым прямоугольным
_______ ___ контуром, состоящим из отрез-
ков АВ = CD —ds, параллельных линии FF', и AD — BC, перпен-
дикулярных к ней. Циркуляция скорости по этому замкнутому контуру
(н+ — u_)ds —
— Vds
л УCa — X2
256 ПЛ0СК01 БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ v
отлична от нуля; следовательно, на отрезке ds линии разрыва ско-
ростей расположены вихри с общей интенсивностью, равной этой
циркуляции.
Обозначим через у плотность распределения вихрей, г. е. интен-
сивность непрерывного их распределения, приходящуюся на единицу
длины отрезка FF'.
Тогда получим
7<Zs = (h„ — u+)ds
и, следовательно,
г
7 = и_ — и — —— :.. (58)
‘ + г/с2 —X2 4 ’
Непрерывное распределение вихрей вдоль некоторой линии при
плоском движении (в пространстве этому соответствует распределение
прямолинейных вихревых нитей на цилиндрической поверхности) обра-
зует вихревой слой.
Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное движе-
ние (57) вокруг некоторого эллиптического цилиндра (в част-
ности— пластинки) эквивалентно потоку, образованному вихревым
слоем, расположенным вдоль линии, соединяющей фокусы эллипса,
причем плотность распределения вихрей в слое определяется фор
мулой (58).
Суммарная интенсивность вихревого слоя будет равна
что и определяет физический смысл константы в формуле (57). Таким
образом, комплексный потенциал (57) является обобщением комплекс-
ного потенциала (42) плоского циркуляционного движения жидкости
вокруг единичного вихря на случай прямолинейного вихревого слоя
конечной длины, но той же суммарной интенсивности, что и единич-
ный вихрь.
Подобно тому, как в предыдущем параграфе было найдено обте-
кание круглого цилиндра с циркуляцией, так же можно найти и
обтекание эллиптического цилиндра с циркуляцией. Для этого доста-
точно сложить комплексные потенциалы бесциркуляционного обтека-
ния эллиптического цилиндра и чисто циркуляционного его обте-
кания.
Так, например, в случае косою циркуляционного обтекания пла-
стинки будем иметь комплексный потенциал
/ — и^г — tvo |/г2 — с2 5“arc sin ~• (59)
§ 40|
ОЬТЕКАЙИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИЙКЙ Й ДР»
257
Составляя производную по г, найдем сопряженную скорость
IZ = Нсо----- if со
z . Г 1
/г2— «2 ' 2л ]Лс2—22
у z* — с* ‘
^СО
(60)
Пользуясь произволом в выборе „наложенной“ циркуляции Г,
можем подобрать ее так, чтобы скорость на задней (по направлению
обтекания) кромке пластинки F стала конечной. Для этого, очевидно,
достаточно положить
Г = — 2-м>юс = — 2-ас [ Vo, [ sin O^,
(61)
где 0co — угол атаки. Соответствующая плавному обтеканию задней
кромки сопряженная скорость будет по (60) и (61) равна:
(60')
При этом скорость на задней кромке F пластины будет равна
(«)г==с = «со — | Vcol созвео. Картина циркуляционного обтекания пла-
стинки с плавным сходом струй с задней кромки показана на рис. 74.
Сравнивая эту картину с со-
ответствующим бесциркуляцион-
ным обтеканием пластинки на
рис. 71, видим, что при выбран-
ном значении циркуляции (61)
задняя критическая точка В со-
вместилась с задней кромкой F
пластинки; на передней кромке F'
скорость остается равной беско-
нечности, что при действительном
обтекании приведет к отрыву
потока.
Как заметил впервые С. А. Ча-
плыгин, задние острые кромки
крыловых профилей обтекаются,
как правило, без отрыва, если то
Дели некоторого интервала. Иными словами, при действительном обте-
кании профилей в потоке возникает как раз такая циркуляция, которая
необходима для создания непрерывного обтекания задней кромки
с конечной скоростью. Об этом подробнее будет сказано в § 42.
Что касается наличия передней острой кромки, то оно нежелательно;
обычно эту кромку закругляют, создавая плавный „носок* профиля.
17 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянскнй.
258
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
(гл. v
Рассмотренная только что задача об обтекании пластинки может быть
обобщена на случай системы бесконечного числа пластинок ширины 2с
(рис. 75), расположенных вдоль оси х на равных друг от друга расстоя.
ниях 2а.
Н. Е. Жуковский! указывает следующие интегральные выражения для
комплексных потенциалов:
а) обтекания решетки пластин потоком, направленным в бесконечности
в положительную сторону мнимой оси (рис. 75):
(62)
б) чисто циркуляционного потока вокруг пластинок (рис. 76):
Ха W = Я
TZZ ,
cos dz
2а
. 9 ТСС 9
sin2 -----sin2 ~
2а 2а
в) плоскопараллельного потока вдоль действительной оси:
Ха (*) = ««/>
(63)
(64)
сложение которых приводит к общему косому циркуляционному обтеканию
указанной решетки пластин.
1 Н. Е. Жуковский, Вихревая теория гребного винта. Статья вторая.
Избр. соч., т. И, стр. 257.
ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР.
259
dz
Применение символов неопределенных интегралов предскшляет го удоб-
ство, что позволяет сразу найти скорости потоков:
. *z
VcaS,m2a
sin2 —sin2
2а 2а
nz
9cos2-
(65)
az
о TZ
-- Sin2 ZT-
2с
Vs ~ dz ~ ‘
Перед корнями поставлены знаки i,чтобы напомнить известную особен-
ность корня квадратного как функции комплексного переменного. Точки А
и В с координатами z = zt с, в которых подкоренные величины обращаются
в нуль (а скорости в бесконечность), являются точками разветвления
в плоскости комплексного аргумента. При обходе этих точек по окружностям
бесконечно малого радиуса (рис. 77) значения корня меняют свой знак, так
что двум бесконечно близким точкам М и М', находящимся с разных сторон
действительной оси на от-
резке АВ, будут соответ-
ствовать одинаковые по
абсолютной величине, но
разные по знаку действи-
тельные значения корня.
Отсюда следует, что на от-
резке АВ рассматриваемые
корни являются двузначны-1
ми функциями, а сам отре-
зок—линией разрыва функ-
ции. Чтобы избегнуть этой двузначности, можно представить отре юк АВ, как
.разрез" в плоскости г. Тогда точки М и М' окажутся расположенными по
обе стороны от разреза и непрерывный переход от одной к другой станет
возможным лишь по кривым, обходящим точки разветвления (на рис. 77
показанным пунктирами). Такое рассмотрение физической плоскости z, как
17*
м'
Рис. 77.
м
260
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
(гл. V
плоскости с бесконечной системой „разрезов" АВ, А'В' и т. д., позволяет
считать корень квадратный, входящий в выражение скоростей, однозначной
функцией, но при этом сама плоскость z становится многосвязной, вернее
сказать, бесконечно связной. Исследуемое обтекание решетки пластин дает
пример плоского безвихревого движения в многосвязной области.
Формулы (65) позволяют составить полисе впечатление о картине обте-
кания рассматриваемой решетки пластин. Прежде всего заметим, что при
замене г на Z2r2na, где zz=l, 2,..., формулы (65) не изменяются. Это
говорит о периодичности картины обтекания, причем периодом служит
величина 2а, называемая шагом решетки.
При z = 1у тригонометрические функции перейдут в гиперболические ог
действительного аргумента, так что для точек оси Оу будем иметь:
= 0, =
+ sh^
1 2а
(66)
щ> = 0,
»з = 0.
«s =
«1Со = °.
«ою = — Ч,
и3 — ися> — и»
При у — — со, согласно сделанному замечанию о знаках перед корнем:
^со’
V> = 0’
®3oo=°;
при у = + со:
«!со = °>
«2со= + 9>
«33> ~ «со»
При г = 0 в точке О первый поток
сительно к тому, с какой стороны разреза взята точка О; таким образом,
точки О, О', О".... буд}т служить критическими для первого потока.
Критическими точками второго потока будут точки, абсциссы которых
являются корнями уравнения
г.х
cos — = 0.
2а
^1СО Чл»
®2оо=0,
г'дсо ~ О-
имеет скорость, равную нулю безотно-
т. с. точки С, D и др.
На отрезке АВ действительной оси (— с<х<4-с), как можно непо-
средственно заключить по формулам (65), в первом и втором потоках скоросги
будут направлены вдоль пластинки, но они будут иметь разное направление
сверху и снизу пластинки (рис. 75 и 76). .аежду пластинками (с<^х<'2а с)
действительные части сопряженных скоростей (65) первого и второго потоков
обращаются в щ ль, скорости направлены перпендикулярно оси Ох.
Накладывая рассмотренные потоки а, б, в друг на друга, можно получить
различные обтекания решетки. Так, соединяя комплексные потенциалы (62)
и (64) получим бесциркуляционный поток (рис. 78), аналогичный ранее рас-
смотренному обтеканию единичной пластинки (рис. 71). Складывая чисто
циркуляционный поток (63) с параллельным оси Ох потоком (64), можно
получить поток, показанный на рис. 79.
101
ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР.
261
Рис. 80.
262
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
Если сложить все три потока, то можно так подобрать скорость н2со= ±д
чисто циркуляционного потока, чтобы на задней (по направлению течения)
кромке пластинки скорость была конечной. Для этого, согласно (65), доста-
точно удовле!верить условию
лс . пс
приг = с tfcos^^t^snig-.
При выполнении этого равенства, т. с. при
ЛС
обтекание будет иметь вид, представленный на рис. 80.0 силовом воздействии
потока на пластинку в решетке, так же как и на изолированную пластинку,
будет сказано далее в связи с применением теоремы Жуковского.
§41. Плоское движение с отрывом струй. Разрывное обтекание
пластинки н протекание жидкости сквозь отверстие
Рис. 81.
В предыдущем параграфе уже указывалось, что жидкость не может обте-
кать острые кромки тел. Образующиеся в этих точках бесконечные скорости
вызывают физически невозможные бесконечные отрицательные давления; на
самом деле жидкие струи отбываются с острых кромок, создавая сложные
вихревые движения. Простейшая схема безвихревого описания такого рода
движений приводит к необходимости отказа от основной гипотезы непрерыв-
ности поля скоростей и введения в рассмотрение линий разрыва скоростей,
которыми служат сорвавшиеся с острых кромок линии тока.
Идея этой схемы, предложенной впервые Гельмгольцем в классической
монографии „О разрывных течениях жидкости", относящейся к 1868 г.,
заключается, недопущении, что сорвавшиеся с острых кромок линии тока —
так называемые свобод-
ные линии тока — ухо-
дят на бесконечность,
ограничивая за телом
бесконечную мертвую
зону покоящейся жидко-
сти. Если отвлечься от
влияния объемных сил, то
давление внутри „мерт-
вой зоны" будет повсюду
одинаковым. Как легко
сообразить, оно будет
одинаковым и на грани-
цах зоны, на „свободных"
линиях тока. Отсюда, по
теореме Бернулли, при-
мененной к свободным
линиям тока со стороны
движущейся жидкости,
следует, что вдоль свободных линий тока скорость сохраняет постоян-
ную величину. Нулевая линия тока (рис. 81) приходит в критическую точку О,
где разветвляется на две линии тока, расположенные на поверхности обте-
каемого тела. В точках А и В, соответствующих острым кромкам, линии
тока (<р = 0) сходят с тела и образуют две свободные линии тока АК' и
ВК", вдоль которых давление равно давлению в „мертвой зоне", а скорости
постоянны. В этом отличие свободной линии тока от твердой стенки, кото-
рая также может рассматриваться как линия тока, но с переменными, КЗК
правило, давлением и скоростью,
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ
263
(67)
(68)
$ 411 ----------------- -
Гельмгольц указал на простой класс примеров построения таких отрыв-
ных обтеканий со „свободными" линиями тока и „мертвыми зонами".
Рассмотрим следующую дифференциальную связь между комплексной
координатой z и комплексным потенциалом ч'-
^ = Г(х)±1</-'Чх)-ь
где F(y)— пока произвольная функция комплексного потенциала у. Поль-
зуясь независимостью производной от направления дифференцирования, мо-
жем написать дифференциальное уравнение линий тока (ф = const) в виде:
По предыдущему [равенство (39) § 37]:
dz дх , .ду 1
— =-----Н-г-—= ,
rfy ду ду V
1
I УГ
На свободной линии тока, где скорость постоянна, должно выполняться
условие
откуда
= const.
(69)
Предположим теперь, что функция F (у) при некоторых значениях 6=const,
иными словами на некоторых линиях тока, принимает только действительные
значения. Тогда в области значений у, при которых /72('}>)>1> правая часть
равенства (68) будет иметь действительное значение, так что уравнение (68)
приведется к системе:
дх
ду
ду
ду
Из второго уравнения
сток линии тока состоит из отрезков, параллельных оси Ох (у = const).
Часть линий тока, представленная системой равенств (70), не удовлетво-
ряет условию (69), следовательно, эти отрезки линий тока не являются „сво-
бодными*.
Возьмем теперь ту часть линий тока, на которой f^(y)<^l. По (68) будем
иметь;
^=±У1_Р2(Т).
Эта часть линий тока удовлетворяет условию (69) и, следовательно,
является свободной линией тока.
Различные функции F(y), удовлетворяющие только что указанным усло-
виям, будут давать примеры отрывных обтеканий. Средн них можно выделить
некоторые, представляющие практический интерес. Конечно, такой метод
решения задач нельзя назвать „прямым", так как ои не дает возможности
= 0.
(70)
этой системы следует, что рассматриваемый уча-
(71)
264 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. V
непосредственного получения обтекания наперед заданных контуров. Прямой
метод требует применения метода конформных преобразований.1
Положим, например,
Эта функция действительна только при ф = О и <р > 0; кроме того’
/•^(cpi^l при OS=<pS=l и при При <{><0 функция .F((f)
принимает чисто мнимые значения.
Имеем по (68) при ф = 0 и ср < 0:
^ = о, =-----------+
d<f dcp J' - ср ’ — ср
что дает x = const, или, в силу произвольности выбора начала отсчета, х — 0,
это — положительная часть оси Оу, в чем легко убедиться, проинтегрировав
второе уравнение при —со<ср<4).
Далее, на той же линии тока при 0 < <р 1, согласно (68), будем иметь:
- = 4= + /IZi. (72)
6<р У <р ' <р д<р
Из этой системы равенств следует:
х = 2 У7+агсзш(УТ)+ _У=0, (72')
где константы интегрирования выбраны так, чтобы в начале координат было:
х = 0, у — 0, <р = 0.
Равенство (72') показывает, что участок линии тока 0 < <р g=1, ф = 0
представляет отрезок АВ (рис. 82я) оси Ох между точками А и В с абсцис-
сами, соответствующими двум значениям корня Уф" при tp = 1:
х = ± (2 + arc sin 1) = ± (% -ф- Y
Наконец, в области значений у 1 будем иметь дифференциальные урав-
нения свободных линий тока АК' и ВК"-.
которые интегрируются в конечном виде и дают
х = 2У^
у = J" j/ 1 rfcp = — аг ch У^ + У? !•
Уравнение свободной линии тока будет
. х । х Cifi ~
v=_archy + —|/
1 По этому поводу см., например, Н. Е. К о ч и и, И. А. К и б е л ь и
Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханика, ч. I. Гостехиздат, 1948,
стр. 312—345, а также монографию Л. И. Седова „Плоские задачи гидро-
динамики и аэродинамики”. Гостехиздат, 1950, стр. 200—230, где приводятся
ц схемы отрывного обтекания, отличные от изложенных,
§ 411
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ
265
При tp -> + оо, так же как и при <р -> — оо, имеем
/0>у\* 2 *_1_ <
.ду) +\дЧ) “| У|2
Подчеркнем, что скорости на острых кромках, где происходит сход
с пластинки свободных линий тока, равны единице, а не бесконечности, как
это имело место при безотрывном обтекании.
Полученное решение определяет разрывное обтекание пластинки шири-
ной 4+* набегающим на нее нормальным потоком, имеющим скорость на
Рис. 82.
1 I VI2
2 2
бесконечности, равную единице (рис. 82 а). Легко найти полную силу давле-
ний жидкости на пластинку. Со стороны набегающей жидкости на участке
пластинки АВ действует давление р, которое по теореме Бернулли равно
(примем р == 1):
. Pl VI5
р = const----------
со стороны „мертвой зоны” давление
( । 1
Ро = (Рсо + у —
равно р0, причем
I VI2'
Разность давлений, действующих
стинки, будет, согласно (72),
р-р =±_ 1П!=1
2 2 2
Рсо*
I У|=1
на элемент dx с обеих сторон пла-
2 2 \ /<р
Элемент длины пластинки dx по (72) равен
dx = — =
266
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. V
так что элементарная результирующая сила давлений будет:
Отсюда, в силу симметрии обтекания относительно оси Оу, найдем пол-
ную силу давления в виде
7? = 2 —* dy == тс.
б
Представим силу сопротивления в плоском движении в общей форме:
ри
где С — коэффициент сопротивления, р — плотность жидкости, Voo — величина
скорости на бесконечности, b — характерный размер обтекаемого тела в пло-
скости течения (ширина пластинки в рассматриваемом сейчас случае); еди-
ница, стоящая в конце формулы сопротивления, напоминает, что сила сопро-
тивления рассчитывается на единицу длины в направлении, перпендикулярном
к плоскости течения. Сравнивая между собою последние две формулы, полу-
чим уравнение для определения С:
~~~~ С • '
откуда найдем:
С — . ' == 0,88,
так что в общем случае обтекания пластинки ширины b жидкостью с плот-
ностью р при скорости набегающего потока Vco будем иметь формулу сопро-
тивления
7?
4-|-л
0,44рУ^.
Заметим, что полученная теоретическая формула дает значение сопро-
тивления, в два раза меньшее действительного, хотя распределение давления
по передней части пластинки близко к опытному. Объяснение этого факта
лежит в неучете вихревых явлений в „мертвой зоне" (рис. 82 в), уменьшаю-
щих среднее давление на тыльную часть пластинки и тем самым увеличи-
вающих сопротивление.
Если сравнить только что разобранное разрывное обтекание пластинки
с непрерывным (55), имеющим комплексный потенциал
Х(г)=7»оо У г2 —с2,
то можно заключить, что симметричное относительно обеих осей координат
непрерывное обтекание с бесконечными скоростями на острых краях пла-
СТИНКИ (рис. 82 б) должно давать сопротивление, равное нулю, и распределение
g 41] ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ 267
павлений, резко отличающееся от экспериментального. Простое сравнение
каотин обтекания (рис. 82 а и б) со -схемой действительного обтекания
(пис. 82 в) показывает, что применение теории разрывного потенциала дает
более правильную форму течения, чем теория непрерывного потенциала.
Следует подчеркнуть, что разрывные картины обтекания с кинемати-
ческой стороны ближе подходят к опыту, чем с динамической. Общий вид
линий тока и распределение скоростей вне „мертвой зоны* обычно полу-
чаются весьма схожими с реальным обтеканием, силовые же характеристики,
зависящие от структуры потока в мертвой зоне и наличия сил трения, полу-
чаются, как правило, резко заниженными. Подтвердим это заключение еще
одним характерным примером.
Рассмотрим функцию
F (х) = — е~== е~? (cos ф — i sin ф),
сохраняющую действительное значение при ф = О и ф = г. и имеющую чисто
мнимое значение при Ф = у.
Составляя вновь основное дифференциальное уравнение (68)
(cos ф — Zsin ф) + Уе 2'р (cos 2ф—i sin 2ф),
будем иметь для линии тока ф=-2-:
^ = 0, + Уе-'* + Ь
о<р df
это — линия х — const, которую выбором положения осей координат можно
принять за ось Оу (х = 0). Вдоль этой линии скорость не остается постоян-
ной, при —оо скорость равна нулю, при <р— оо— единице; следова-
тельно, линия тока Ф = -§-—не „свободная*.
Линии тока ф = 0 соответствует дифференциальное уравнение
g+/^==e-. + 1/e^-I (73)
Если ¥ = 0, то подкоренное выражение не отрицательно и уравнение
(73) приводится к системе двух уравнений:
|£==е-?4-Уе-2т_ 1,
ду *
Интегрируя, найдем:
х = — а—е~~~ч — У е~2tf — 1 — arc tg У —1,
у = const = 0,
выб Я неопРеДелсниая константа интегрирования, а линия тока у = const
то?Рана за ось х' Определим, какая часть Ох совпадает с рассматриваемым
у стком линии тока ф = 0. Для этого заметим, что:
при tp == — со, х = — оо;
при ср = 0, д: = —e-rl,
268
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. у
Это означает, что отрезок линии тока ф = О, соответствующий s о
представляется отрицательной стороной В'В оси Ох (рис. 83 а), причем пока
можно только утверждать, что —(«4-1X0, так как в противном случае
линия тока ф = 0 пересеклась бы с линией тока ф — .
Рнс. 83.
При === 0 уравнение (73) дает систему дифференциальных уравнений
свободной струи:
ду
Интегрируя и определяя константы из условия непрерывного перехода
предыдущего участка линии тока в свободную линию, найдем:
х = — а — е 9, _у == V1 — е 2’ 4"гг l°g —------------С •
2 ] + j/’i — e-a'P
Кривая ВК’ выходит из точки В [<р = 0, х = — (а 4-1)] по касательной
к оси Ох и опускается вниз, стремясь при tp = -|-co к асимптоте х =—
причем по условию непересекаемости линий тока а > 0. Аналогично ведет
себя и свободная линия тока ф = к, являющаяся зеркальным отображением
линии ф = 0 в осн Оу (рис. 83«),
^2] ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИЙ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЙ 26Й
Чтобы найти положительную постоянную а, заметим, что расход через
олное сечение струи, по определению функции тока [формула (28), § 27],
б дет равен с другой стороны, при удалении от выходного отверстия
° сечениях струи асимптотически устанавливается однородный поток со ско-
ростью, равной единице; отсюда следует
„ . тс
я = 2а-1, а —~2 •
Полученная картина течения представляет, таким образом, вытекание
жидкости из безграничного горизонтального резервуара сквозь отверстие АВ
ширины 2(a-f-1) = 2^- 4-1). Как видно из рисунка, струя при выходе из
отверстия сжимается, причем коэффициент сжатия струи равен
2а _ я
2(а + 1) jc-f-2 ’
Эта цифра с большой точностью совпадает с действительно наблюдаемым
значением коэффициента сжатия при плоских истечениях водяной струи в воз-
дух. На рис. 83 б приведена для сравнения другая теоретическая картина
вытекания жидкости, рассчитанная при помощи непрерывного комплексного
потенциала, который легко получить из (57), если поменять местами линии
тока и изопотенциальные линии; для этого, как известно, достаточно заме-
нить х иа z'x-
Будем иметь для отверстия с полушириной, равной единице,
X = i arc sin г.
Линиями тока являются гиперболы, причем в точках отверстия А н В,
в отличие от разрывного вытекания, скорости обращаются в бесконечность
а давление — в отрицательную бесконечность, что физически невозможно.
При одном взгляде на обе картины течения сразу видно преимущество разрыв-
ного течения, почти точно отражающего действительную картину истечения.
§ 42. Прямая задача в теории плоского движения идеальной
несжимаемой жидкости. Применение метода конформных отобра-
жений. Гипотеза Чаплыгина о безотрывном обтекании задней
кромки профиля. Формула циркуляции
В предыдущих параграфах рассматривалась простейшая задача пло-
ского движения. По заданному комплексному потенциалу определя-
лась форма линий тока, часть которых принималась за контуры обте-
каемых тел, часть — за обыкновенные жидкие линии тока и, наконец,
в случае разрывных обтеканий некоторые линии тока играли особую
роль „свободных" линий тока, сорвавшихся с острых кромок обте-
каемых тел. Такая задача определения формы обтекаемого тела по
заданному комплексному потенциалу течения могла бы быть названа
..обратной" задачей.
Гораздо большее значение имеет прямая задача разыскания пло-
ского обтекания тел заданной формы. Для решения этой основной
задачи существуют два пути: 1) непосредственное решение уравнений
апласа, которым удовлетворяют потенциал скоростей и функция тока,
270
ЙЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
(гл. V
или заменяющих эти уравнения интегральных уравнений и 2) примене-
ние методов конформных отображений. Второй метод, как практи-
чески наиболее простой, получил в последнее время широкое распро-
странение. Основная идея метода заключается в следующем. Желая
определить обтекание тела заданной, подчас очень сложной формы
в физической плоскости комплексного переменного г, производят кон-
формное отображение течения на вспомогательную плоскость ком-
плексного переменного С при помощи некоторой аналитической функции
*=/(9. (74)
причем предполагается, что преобразованное течение в плоскости С
проще, чем в плоскости г, и комплексный его потенциал у* (С) уже
известен.
Искомый комплексный потенциал у (z) течения в физической пло-
скости z находится как результат исключения вспомогательного пере-
менного С из системы равенств:
x=xl/G)I=x*(a
причем в некоторых случаях это исключение не представляет труда
и приводит к равенству
X —Х(2)»
(75)
в других случаях оказывается проще пользоваться параметрическим
а; вантовой профиль
0) Крыловой, профиль
Рис. 84.
колес в, г и направляющих
определением у (z) при помощи системы
(75). В последнем случае сопряженная
скорость V определится в результате
исключения С из системы равенств:
v — iL — dx* с1~ х*'(О
dz Л dz f'(Q ’
*=/©•
Наконец, в некоторых особо слож-
ных случаях приходится для упрощения
решетки прибегать к нескольким вспо-
могательным плоскостям.
Остановимся подробнее на наиболее
важной для дальнейшего задаче внеш-
него обтекания замкнутого гладкого
контура с одной или двумя угловыми
точками. Такого типа контуры (рис. 84)
используются как профили винта а и
крыла б самолета, лопаток рабочих
аппаратов турбомашин и др. Набегаю-
щий поток зададим вектором скорости на бесконечности.
§ 42) ййямай Задача ФеОрИИ плоского ДвиЖеййй 271
В этом конкретном случае будем предполагать, что аналитическая
функция (74) дает конформное отображение внешней по отношению
к контуру С (рис. 85) части плоскости z, включая и „бесконечно уда-
ленную точку® г = оо, на внешнюю, по отношению к контуру С*
круга радиуса а, часть плоскости С также со включением точки С — со.
Для того чтобы такое отображение было взаимно-однозначным, необ-
ходимо, как известно, потребовать, чтобы бесконечно удаленная точка
Рис. 85.
z~oo переходила в бесконечно удаленную точку С = оо и чтобы
в этой точке сохранялось направление некоторой прямой, например,
направление скорости на бесконечности Vm:
при С -> со, z -> co, arg == arg У».
Замечая, что по первому равенству (76)
у _(<Ъ\ — (^LX . 1 — у* . _L
— \dz)m — k dC L (d«/dC)oo “ ” «оо ’
где под комплексной величиной т здесь и в дальнейшем будем пони-
мать коэффициент конформного преобразования
заключим, что условие
Oqq — arg Vco — Ooq === arg Усо
эквивалентно требованию, чтобы коэффициент конформного преобра-
зования в бесконечно удаленной точке т:а был действительной и
положительной величиной
ZMoo = f (co) > О,
И, следовательно,
^,70. ПЛОСКОЕ ВЕЗВИХРЕЙОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (гл. V
Комплексный потенциал обтекания круга в плоскости С извещен
и будет равен, по (46) и (48):
(77)
где Г* — произвольная, наложенная на круговой цилиндр циркуляция;
одну из постоянных (коэффициент преобразования или радиус
круга а) можно задавать совершенно произвольно, например, пола-
гать равной единице.
Таким образом, решение задачи внешнего обтекания контура С
свелось к исключению параметра С из системы уравнений:
z=z«(g = ».„(vj;+v„^)+£inc,|
z=f(Q. ’
Докажем, что циркуляция скорости Г по любому замкнутому кон-
туру Q (на рис. 85 показанному пунктиром), один раз опоясывающему
крыловой контур С, будет равна наложенной на обтекание круга
в плоскости С циркуляции Г*. Для этого заметим, что по определению
циркуляции и по (78) можно написать (д. ч.—символ действительной
части):
Г ----- ф (и dx v dy) — ф do — д. ч. ф dy =
<7, с, с,
= д. ч. Ф4? = Д- ч- (Gdy* =Г*.
_у J
в' с*
Эта общая для обеих плоскостей постоянная Г является характер-
ной для данного течения в двусвязной области и может (см. § 35)
рассматриваться как „циклическая постоянная" двусвязной области
плоскости z вне контура С. При конформном отображении этой дву-
связной области на плоскость С циклическая постоянная сохраняет
свое значение.
Из системы равенств (78) следует, что задача об обтекании про-
филя С потоком заданной по величине и направлению скорости на
бесконечности имеет бесчисленное множество решений, зависящих от
выбора величины циркуляции Г. С точки зрения математической тео-
рии идеальной жидкости такой произвол отвечает сущности вопроса.
Как уже было показано раньше для случая обтекания окружности,
налагая ту или другую циркуляцию, можно получить бесчисленное
множество форм обтекания кругового цилиндра с различным распо-
ложением критических точек (типичные обтекания показаны на рис. 68).
Точно так же для одного и того же крылового профиля с угловой
§ 421
ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ
273
точкой на задней кромке и при той же по величине и направлении ско-
рости на бесконечности теоретически возможны три указанные на
рис. 86 типа обтекания. В случае а, так же как и в случае в, жид-
кость должна перетекать с одной стороны поверхности крыла на дру-
гую: с верхней на нижнюю в случае вис нижней на верхнюю в слу-
чае а- При этом на острой кромке должны образовываться либо
бесконечно большие скорости, что приводит к физически невозмож-
ным бесконечно большим отрицательным давлениям, либо происходить
срывы потока с поверхности профиля и
вихреобразования. Среди трех указанных
возможных форм обтекания только одна
форма „6“ приводит к плавному сте-
канию струй жидкости с задней острой
кромки крыла с конечной скоростью
в этой угловой точке В. Естественно,
встают вопросы: осуществляется ли такая
форма обтекания в действительности,
устойчива ли она и сохраняется ли при
достаточно широком диапазоне углов
атаки. На эти важные вопросы впервые
ответил С. А. Чаплыгин, выдвинувший
в конце 1909 г. в дискуссии по докладу
Н. Е. Жуковского новый постулат, полу-
чивший широкое применение под именем
постулата Жуковского — Чаплыгина.
Согласно этому, в настоящее время хо-
рошо проверенному на опыте постулату,
для каждого крылового профиля с остр
ствует более или менее широкий диапазон углов атаки, при
котором профиль обтекается без отрыва струй, с конечной скоро-
стью на задней кромке. Крыловые, так же как и винтовые, лопаточные
и другие профили, отвечающие постулату Чаплыгина, будем в даль-
нейшем называть хорошо обтекаемыми, остальные — „плохо обте-
каемыми". Само собой разумеется, что обтекаемость не есть чисто
геометрическое свойство профилей. В дальнейшем будет показано, что
на самом деле обтекаемость зависит не только от формы профиля, но
и от угла атаки, скорости потока, присутствия вблизи профиля дру-
гих тел и т. п. Профиль „хорошо обтекаемый" при одних условиях
может стать „плохо обтекаемым"—при других. В дальнейшем, говоря
об обтекании тел идеальной жидкостью, будем предполагать, что это
обтекание происходит с конечными скоростями во всех точках поверх-
ности тела.
Принятие постулата Жуковского—Чаплыгина позволяет однозначно
определить величину циркуляции Г, наложение которой приводит к без-
отрывной форме обтекания с конечной скоростью на задней острой
кромке.
18 Зак. 1841. Л г. Лойцянскиа.
274 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ |ГЛ. ;
Для определения этой циркуляции, вернемся к рассмотрению коц
формного отображения внешней по отношению к профилю С (рис. 87)
области физической плоскости г на внешнюю по отношению к кругу С
часть вспомогательной плоскости С. Пусть угловой точке В на про-
филе С соответствует некоторая точка В* на окружности круга С.
Эти точки являются особыми точками преобразования, так как в них
нарушается основное свойство конформного преобразования—сохра-
нение углов. Действительно, внешний угол с вершиной в точке В на
задней кромке, равный 2к— 5, где 8—острый угол задней кромки,
переходит в плоскости С в неравный ему угол к с вершиной в точке В*.
Легко составить аналитическое выражение функции, совершающей такое
отображение, в областях, близких к особым точкам В и В* в пло-
скостях г и С Покажем, что это будет функция
2п—8
z—zB = M(C — CB^~ (79)
где гв и Св* — комплексные координаты точек В и В*, М—некото-
рое действительное число.
Для этого проведем вокруг точек В и В* окружности произволь-
ных малых радиусов г и г* и обозначим через р и углы, образо-
ванные этими радиусами с осями х и L Тогда предыдущее равенство
перейдет в такое:
2п—8 . 2к — 8
-------------- ъ — я*
геч — Mr* к е « .
Приравнивая аргументы левой и правой частей, убедимся что,
действительно, изменению В* на к соответствует изменение {3 на
2к—8.
421 ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ 275
Имея преобразующую функцию (79), можем теперь установить
связь между скоростями в точках В и В*. По ранее выведенным
формулам получим:
или, вычисляя производную по (79),
п—Ь
vB*^ VS. g-Cb.), jT
Ч — Ч D
Согласно гипотезе Чаплыгина, скорость должна быть конечна,
последний же сомножитель, поскольку 8<тг, обращается в нуль;
следовательно, все произведение равно нулю. Отсюда вытекает важ-
ное заключение: если задняя острая кромка является точкой плав-
ного стекания струй с конечной скоростью, то соответствующая
задней кромке точка круга во вспомогательной плоскости должна
быть критической.
Из этого условия найдем циркуляцию Г, если, используя (77),
напишем, что скорость в точке В* равна нулю:
/«со К
Цз* 2iti
0.
Полагая здесь:
Св* = aeie°,
Ко = |
где е0 — полярный угол точки В*, а — радиус круга С*, бо,— угол,
образованный скоростью на бесконечности с осями Ох или 0*5, по-
лучим
М К» I | К» | <0=°~2Sj) + — = О,
откуда найдем
/(всо—е0) —i<eco—е0)
Г = — Ажато, ] Voo I------------2i----------’
или, переходя от показательных функций к тригонометрическим,
Г — 4ип/лсо | Им | sin (е0 — 0^). (80)
Легко сообразить, что при обтекании, показанном на рис. 87,
00 ео> так как направление скорости на бесконечности параллельно
линии, соединяющей критические точки А* и В*; в этом случае
1 <3 0, т. е. наложенная циркуляция должна соответствовать вихрю,
18*
276
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (гл. v
вращающему жидкость по часовой стрелке для наблюдателя, смотря,
щего на чертеж.
Введем обозначение
Ооо — = а
и перепишем формулу (80) в виде:
Г = — 4эта/иоо | Га, | sin а. (81)
Повернем по отношению к заданному потоку профиль так, чтобы
и без наложения циркуляции (Г = 0) задняя кромка оказалась точкой
плавного схода струй. Отметим на самом профиле в виде некоторой
прямой КК (рис. 88а) направление скорости на бесконечности, соот-
ветствующее этому бесциркуляционному безотрывному обтеканию.
Жестко связанную с профилем
прямую КК будем называть на-
правлением бесциркуляционного
обтекания, а соответствующее
значение угла 0^ — углом
бесциркуляционного обтекания
профиля.
Повернув профиль на угол а
(рис. 886), получим вновь безот-
рывное, но уже циркуляционное
обтекание с циркуляцией, опре-
деляемой равенством (81).
Острый угол а между напра-
влением скорости набегающего по-
тока и направлением бесциркуля-
ционного обтекания КК будем
в дальнейшем называть теоретическим углом атаки, в отличие от
других общепринятых практических углов атаки, определяемых как
углы между направлением скорости на бесконечности и „хордами*1
крыла, задаваемыми разнообразными способами.
Сравним между собою формулу (81) и формулу (61), которая
давала значение циркуляции, накладываемой на пластинку для того,
чтобы задняя ее кромка была точкой плавного схода струй. Формулы
эти станут тождественными, если заметить, что направление бесцир-
куляционного обтекания пластинки совпадает с направлением самой
пластинки, а теоретический угол атаки а равен углу бсо скорости
на бесконечности с осью Ох. В этом случае, производя отображение
пластинки длины 2с на круг радиуса а, убедимся, что произведе-
1
ние аШо, равно -% с.
Прежде чем перейти к иллюстрации метода конформных отобра-
жений, выведем общие выражения главного вектора и момента сил
давления, приложенных к обтекаемому контуру со стороны потока.
§ 43]
ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА
277
S 43. Теорема Жуковского о подъемной силе крыла. Зависимость
подъемной силы от угла атаки. Коэффициент подъемной силы
Создание общей теории воздействия плоского потока идеальной
жидкости на помещенный в него крыловой профиль является заслу-
гой великого русского ученого Н. Е. Жуковского, опубликовавшего
свою известную теорему о подъемной силе крыла в 1906 г. в клас-
сическом мемуаре „О присоединенных вихрях 1 Н. Е. Жуковский
первый установил вихревую природу сил, действующих со стороны
потока на крыло, и указал на наличие простой пропорциональности
между этой силой и интенсивностью вихря, „присоединенного“ к обте-
каемому телу.
В предыдущем параграфе уже указывалось, что решение задачи
об обтекании любого профиля содержит некоторый произвол: один и
гот же профиль, при заданной по величине и направлению скорости
набегающего на него потока, может обтекаться бесчисленным множе-
ством образов. Все зависит от величины циркуляции скорости, вычи-
сленной по замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый профиль.
Величина этой циркуляции, так же как и природа возникновения
в идеальной жидкости вихрей, сумма интенсивностей которых должна
быть равна этой циркуляции, представляла долгое время неразреши-
мую задачу.
Физическая причина возникновения циркуляции связана с наличием
трения (вязкости) в жидкости. Как уже неоднократно упоминалось
ранее, в реальной жидкости, обладающей внутренним трением, ча-
стицы, проходящие в непосредственной близости к поверхности про-
филя, образуют тонкий пограничный слой. В этой области резко про-
является неидеальность жидкости, движение жидкости будет вихревым,
причем интенсивность вихрей может достигать больших значений, так
как скорость частиц в пограничном слое резко меняется от нуля на
поверхности обтекаемого тела до величины порядка скорости на беско-
нечности на внешней границе слоя. Так, например, на крыле самолета
максимальная толщина пограничного слоя не превосходит нескольких
сантиметров, в то время как разность скоростей на поверхности крыла
и на внешней границе пограничного слоя досгигает величины 100—200 л
в секунду.
При таких значительных неоднородностях скоростного поля суммар-
ная интенсивность вихрей по всему крылу, а следовательно, и цир-
куляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему крыло,
может достигать больших значений.
Теория идеальной жидкости, не учитывающая наличия трения, есте-
ственно, не могла объяснить возникновения вихрей в набегающем на
тело безвихревом потоке. Для того чтобы, оставаясь в рамках теории
идеального безвихревого потока, определить величину воздействия
1 См. Избр. соч., т. II, стр. 97.
278
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
потока на помещенное в него тело, заменим, следуя Жуковскому, кон.
тур тела замкнутой линией тока и предположим, что внутри
нее происходит движение жидкости с ,, особенностью “ — вихрем,
имеющим ту же интенсивность, что и сумма интенсивностей вихрей,
которые образовались бы на самом деле в тонком слое на поверх-
ности тела при обтекании его реальной жидкостью. Такой вихрь
Н. Е. Жуковский назвал присоединенным к рассматриваемому твер.
дому телу. Интенсивность „присоединенного вихря", или, что то же,
циркуляция скорости по контуру, окружающему крыловой профиль,
могла бы быть принципиально вычислена только при помощи расчета
движения реальной жидкости в пограничном слое или при помощи
некоторого дополнительного допущения об общем характере обтекания
тела. По последнему пути пошел, как было указано в предыдущем
параграфе, С. А. Чаплыгин, предложивший свой замечательный посту-
лат конечности скорости на задней острой кромке крыла, позво-
ливший определить величину „ наложенной “ циркуляции, или, что то
же, интенсивность „присоединенного вихря".
Эти две глубокие идеи великих русских аэродинамиков Н. Е. Жу-
ковского и С. А. Чаплыгина: присоединенный вихрь а постулат
конечности скорости
на задней кромке кры-
ла — легли в основу
всей современной тео-
рии крыла.
Начнем с доказа-
тельства теоремы Жу-
ковского о подъемной
силе крыла в пло-
скопараллельном no-i
токе. Предлагаемое ни-1
же векторное доказа-|
тельство теоремы Жу-
ковского только по
форме отличается от
классического доказа-
Рис. 89. тельства этой теоремы,
данной ее автором.1
Применим теорему количеств движения в форме Эйлера [§ 23,
формула (38)] к объему жидкости, заключенному между поверхностью
обтекаемого контура С (рис. 89) и проведенной в удалении от кон-
тура С окружностью круга Сг с центром в точке О и радиусом г. Пре-
небрегая объемными силами, будем иметь, заменяя в формуле (38) § 23,
1 См. предыдущую сноску, а также статью Н. Е. Жуковского „О кон-
турах поддерживающих поверхностей аэропланов". Избр. соч., т. **>
стр. 117.
§ 43] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 279
в силу плоского характера течения, da на ds • 1:
— J* рп' ds — J* pnds — f pV Vn ds = 0.
G Cr Cr
В этом равенстве опущен, как равный нулю, перенос количества
движения сквозь твердую поверхность профиля С. Первый интеграл
представляет главный вектор сил давления со стороны обтекаемого
тела на жидкость. Та же величина с обратным знаком определит иско-
мый главный вектор сил давления жидкости на тело
R = J" рп' ds,
о
где и' — нормаль, внешняя по отношению к рассматриваемому объему
жидкости. Таким образом, по предыдущей формуле получим выраже-
ние искомой силы R через главный вектор давлений и перенос коли-
чества движения, относящийся к контуру удаленного от профиля
круга Ср.
R = — f pnds — f PVIZ„ ds. (82)
Gr °r
По теореме Бернулли
, PV2
P — const ---i-y,
причем, как мы уже знаем, постоянная, стоящая справа, имеет в слу-
чае безвихревого движения одинаковое значение во всей области тече-
ния, а следовательно, и на круге Сг, так что
R = А | V2n ds _ | pV Vn ds. (82')
Разложим вектор скорости V на два слагаемых, положив
V = Vra-|-V',
где Vo, — скорость в бесконечном удалении от профиля, а V' — ско-
рость возмущения, вносимого профилем в однородный плоскопарал-
лельный поток. Относительно этой убывающей до нуля с удалением
от обтекаемого тела скорости возмущений будем предполагать, что
ее модуль V’ убывает с ростом расстояния г от начала координат,
вблизи которого помещен профиль, как —. Это предположение соот-
ветствует наличию „присоединенного" к телу вихря и конечности
Циркуляции скорости по любому замкнутому контуру, например,
окружности Сг длины 2тгг; подробнее о порядке скорости возмуще-
ния будет сказано далее.
280 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [1Л. V
Подставляя указанное разложение скорости в равенство (82'),
получим:
R = lpC fnds+p pVco-VOnds+lpj’ V"W —
'Cr br
—pVoo Vnds—p V Vcojjds—p V Vnds.
Cr cr cr
По предыдущему [гл. I, формула (68)], первый интеграл равен
нулю; пропадает также четвертый интеграл, так как при отсутствии
источников—стоков и несжимаемости жидкости полный расход жид-
кости сквозь контур Сг равен нулю:
J Vnds = 0.
Сг
Рассмотрим совокупность второго и пятого интегралов:
/ [(VTO • V') n — V' Vmn] ds = f [(Vo, • V') n — (Vco • n) V'J ds,
r
которую по известной формуле разложения тройного векторного
произведения можно представить как
f v^x^xv7)^,
с
t
или, заменяя V' на V'-]-Voo = V, что можно сделать, так как при
этом добавится интеграл
f VraX(nXVra)<fc = VTOX(f nrfsXVcA
Cr ‘
тождественно равный нулю, получим
VOT X (n X V)<fc = Vco X j* n X V ds.
Cr
Таким образом, будем иметь следующее выражение для главного
вектора сил давления потока на профиль С:
R = pVooX fnXVrfs+ypf V'2n<fe — р (83)
Ьг dr 6r
Вектор
§ ^2j ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 281
плавлен по перпендикуляру к плоскости движения, а его проекция Гг
этот перпендикуляр, которую мы обозначим просто через Г и
будем считать знак входящим в определение величины Г, окажется
равной (рис. 89)
Г = J V sin (n, V) ds = J Vcos (n, t) ds — J" VK ds,
Cr Cr Cr
t. e. циркуляции скорости по контуру Сг или по любому другому
контуру, охватывающему обтекаемый профиль. Таким образом, пер-
вое слагаемое в выражении главного вектора сил R не зависит от
положения контура Сг, остальные два имеют порядок — , так как
подинтегральные функции представляют величины порядка , а длина
контура интегрирования равна 2w. Отсюда при переходе к пределу,
когда окружность Сг удаляется на бесконечность (г -> оо), следует
искомая формула
R = pVOTXr, (84)
где вектор Г определяется как криволинейный интеграл
Г=[иХ¥&, (85)
с0
взятый по любому контуру Со, охватывающему обтекаемый профиль С,
в частности по самому профилю С. Величина этого вектора равна
циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему
профиль.
Из равенства (84) находим величину главного вектора сил давле-
ния потока на тело'.
« = рИет|Г|. (86)
Главный вектор, как показывает формула (84), лежит в плоскости
течения и направлен перпендикулярно к скорости на бесконечности
в с 1 орону, определяемую векторным произведением (84). Обычно
бывает очень трудно заранее определить, в какую сторону направлен
вектор Г: внутрь или наружу относительно плоскости чертежа. Если
известно направление обхода контура, при котором Г > 0, это
направление условно называют направлением положительной цир-
куляции, или, короче, „направлением циркуляции11—тогда по общим
правилам принятого у нас в курсе „правого винта11 легко найти и
сторону, в которую направлен вектор Г. Так, если направление цир-
куляции совпадает с вращением по часовой стрелке, а поток набегает
слева, вектор Г направлен вглубь чертежа, а сила R — вверх; это
Же можно получить, если вектор скорости Vco повернуть на 90°
в сторону, противоположную циркуляции.
282 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. у
Таким образом, приходим к классической формулировке теоремы
Жуковского, данной самим автором: сила давления невихревого
потока, текущего со скоростью и обтекающего контур с цир-
куляцией Г, выражается формулой'.
R = pV^',
направление этой силы мы получим, если вектор V<» повернем на
прямой угол в сторону, противоположную циркуляции.1
Первый вывод, который следует сделать из теоремы Жуковского,
заключается в отсутствии составляющей силы, направленной вдоль
движения жидкости, или, что все равно, направления движения тела
по отношению к жидкости, т. е. отсутствии силы сопротивления. Этот
важный факт составляет содержание парадокса Даламбера, о котором
была речь в историческом очерке, помещенном во вводной части
курса. Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для
любого плоского безвихревого движения идеальной жидкости как при
наличии „присоединенных вихрей", так и при отсутствии их. Един-
ственной силой, действующей на обтекаемый профиль, оказывается
поперечная движению тела сила, которая может быть названа подъем-
ной или поддерживающей силой, так как именно эта сила обеспечи-
вает подъем аэроплана в воздух, поддерживает его крыло при
горизонтальном полете.
Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуков-
ского— Чаплыгина, можно по формулам (86), (80) или (81) получить
выражение величины подъемной силы в виде
R = ^тсатсор | Voo |2 sin (е0 — 0^) == 4т:ата^ | Voo |а sin а, (87)
впервые указанном Чаплыгиным.
Входящее в эту формулу произведение a/«co зависит от формы
обтекаемого контура, так, например, по предыдущему (см. конец § 42)
для пластинки атш = ^ с, и подъемная сила оказывается равной
R — 2этрс | К» [аsin а. (87')
В общем случае подъемная сила, согласно (87), оказывается про-
порциональной плотности жидкости, квадрату скорости набегающего
потока и синусу угла атаки.
Введем коэффициент подъемной силы как отношение подъемной
силы R к скоростному напору набегающего потока и длине
хорды. Обычно ось 0$ направляют по скорости Vco, тогда подъемная
сила будет направлена по оси Оу и может быть обозначена через /
или Ry. Вот почему коэффициент подъемной силы в нашей литера-
1 См. ранее цитированные работы Н. Е. Жуковского,
§ 43] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 283
туре принято обозначать через Су, а коэффициент сопротивления.—
через Сд..
При этом обозначении будем иметь (Ь — хорда):
Са = ----—----= 8тс —sin а, (88)
yPlKol’fc
или в частном случае пластинки (Ь = 2с):
Су = 2it sin а.
(88')
Как показывают многочисленные опыты, при сравнительно малых
углах атаки, при которых только и выполняется условие плавного
схода струй с задней кромки, формула (88'), переписанная в виде
(sin а == а)
Су = 6,28а,
довольно хорошо отражает действительную закономерность: коэффи-
циент подъемной силы прямо пропорционален углу атаки, отсчитан-
ному от бесциркуляционного направления, но коэффициент пропор-
циональности 2it = 6,28 оказы-
вается несколько завышенным.
На рис. 90 представлены для
сравнения теоретическая пря-
мая и экспериментальная кри-
вая Су (а) для симметричного
профиля с отношением макси-
мальной толщины к хорде,
равным 9°/0. Как видно из ри-
сунка, в интервале углов ата-
ки — 13° < а < 13° (область
отрицательных углов на рисунке
не представлена, но она в силу
симметричности профиля ничем
не отличается от области поло-
жительных углов) расхожде-
ние между теоретическим коэф-
фициентом подъемной силы пла-
стинки и экспериментальным
Для тонкого профиля невелико.
Применять формулы Жуков-
ского и Чаплыгина (86) и (87)
к пластинке, строго говоря, нельзя, так как на переднем остром крае
пластинки скорость обращается в бесконечность, что нарушает непре-
рывность обтекания. Становится непонятным, как вообще на пластинке
может возникнуть сила, перпендикулярная направлению ее движения.
284
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
Действительно, при отсутствии трения нормальные к поверхности
пластинки силы давления должны дать главный вектор, направленный
также по перпендикуляру к плоскости пластинки, а не к скорости
на бесконечности, как этого требует теорема Жуковского. При этом,
наряду с подъемной силой, имелась бы и сила сопротивления. Этот
парадокс был разъяснен Жуковским во второй из ранее цитированных
статей. При действительном обтекании пластинки передний ее край
представляет собою на самом деле некоторую поверхность очень
малого радиуса кривизны, на которой возникает значительное разре-
жение, приводящее к направленной против течения „подсасывающей"
силе, уничтожающей сопротивление.1
§ 44. Применение метода комплексных переменных к выводу
теоремы Жуковского. Формулы Чаплыгина для главного вектора
и момента сил давления потока на крыло
Вывод теоремы Жуковского, основанный на применении теории
функций комплексного переменного, был дан в 1910 г. С. А. Чаплы-
гиным, 2 который по-
лучил общие формулы
главного вектора и
главного момента сил
давления потока на
крыло.
Рассмотрим крыло-
вой контур С (рис. 91)
в безвихревом плоско-
параллельном потоке
идеальной несжимае-
мой жидкости, набе-
гающей на профиль со
СКОРОСТЬЮ Vco-
Составим выраже-
ния главного вектора
R и главного момента
относительно пер-
пендикулярной к пло-
скости течения оси,
проходящей через начало координат. Используя теорему Бернулли
р = const — ,
1 Подробнее см. цитированные сочинения Н. Е. Жуковского, а также
В. В. Г олу бев, Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке. Гос-
техиздат, 1938, стр. 154.
2 С. А. Чаплыгин, О давлении плоскопараллельного потока на пре-
граждающие тела (к теории аэроплана). Матем. сб., т. XXVIII, 1910.
§ 44]
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
285
будем иметь, как и в предыдущем параграфе, выражение главного
вектора:
R = —рп ds = -g- (jj | V |2 n ds
и главного момента:
£0 = — ф проек. (г X n) р ds = | (хпу —упх) | V |2 ds.
Переходя в этих формулах к комплексным величинам, заметим,
что (рис. 91):
п = — ге'го, ds — dz • е~®,
хпу—упх = л. ч. (/.гтг); (д. ч. — действительная часть)
кроме того, на контуре С можно положить
V=±| V|e«
Тогда предыдущие формулы силы и момента приведутся к виду:
= = V\*dz,
£0 = —-|-д. ч. j | V\2e~™zdz.
Заменим в этих формулах
| V| = ± Ve-w = ± Veib;
тогда получим:
R = Rx—iRy = £ £ | V|2dz = 4$ dz>
с c
Lq = —^д. 4. (£ V^zdz.
(89)
Таковы известный формулы Чаплыгина, выражающие сопряженный
вектор силы и момент сил давления потока на тело.
Вспоминая, что по предыдущему
dz ’
перепишем формулы Чаплыгина еще в таком виде:
(90)
286 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл, \
Сопряженная скорость V == ^— является голоморфной функцие!
переменного г во внешней по отношению к контуру С части физи
ческой плоскости г. Следовательно, интегралы (90) можно вычислят!
по любому контуру, охватывающему контур С, в частности по окру»
ности круга С. Вместе с тем функция V (г) = может быть н;
этом контуре С' и во всей внешней по отношению к нему облает!
разложена в ряд по отрицательным степеням z:
+ J + •••’ <91
в котором свободный член представляет, очевидно, сопряженнук
скорость на бесконечности:
П0 = (Юг=ео= Veo. (91'
Остальные члены, как известно, могут быть найдены при помощг
контурного интегрирования по формулам:
Угп~г dz = Дт dz.
2nz у dz
d~/
Значения этих коэффициентов зависят от вида функции , т. е.
от характера обтекания профиля и от его формы. Просто вычисляется
коэффициент а,; он оказывается равным
dz = Дт <£ dy = Дт <£ d<a == Дг, (91")
dz 2та т '• 2яг У • 2т’ ' '
д'
т. е. зависит только от циркуляции скорости вокруг профиля.
Покажем, что сила и момент при обтекании произвольного про-
филя зависят лишь от первых трех коэффициентов разложения (91):
п0, ах и п2. Для этого подставим в выражение (90) разложение (91),
причем сохраним под знаком интеграла лишь те слагаемые, которые
дают отличные от нуля значения; вспоминая, что
2т:г,
0,
при «=1,
при пф1,
будем иметь:
— — тер д. ч. [г (а?2ооЛ2)]-
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
287
§44)
Используя выражения (91') и (91") первых двух коэффициентов а0
и Пр получим:
(92)
R _ — ,
Lo =— 2itp д. ч. (iVcoa^.
В первой из этих формул нетрудно узнать формулу Жуковского.
Величина подъемной силы равна |/?| = р| Ко]Г; множитель (—г)
показывает, что направление комплексного вектора R можно получить
поворотом комплексного вектора Ко на 90° в сторону, противопо-
ложную „положительному направлению циркуляции11. Используя полу-
ченное раньше выражение циркуляции (81), будем иметь:
R = | Ко Sin (е0-бсо) ==
= 2кр«гсо« | К» |2 [^* (е°_2еоо) — е~iS°]- (93)
Что касается выражения момента Lo, то для его вычисления необ-
ходимо знать величину коэффициента «2 в разложении сопряженной
скорости (91). Подчеркнем еще раз, что для вычисления силы и
момента не нужно знать полностью обтекание крыла, т. е. все коэф-
фициенты разложения (91),—достаточно располагать лишь первыми
тремя коэффициентами а0, ал и «2.
Рассмотрим для иллюстрации вновь обтекание пластинки (§ 40),
представленное формулой сопряженной скорости (60'). Составим раз-
ложение скорости в ряд по отрицательным степеням г:
cvmi 1 c^i
z 2 z2 1 ‘ •
Сравнивая это разложение с рядом (91), получим:
«0 — «со Й»СО Ко,
Gj = ciVco = ci | Ko | sin a,
«2 = — ~ c2i I Ko | sin a.
Находим no (92):
Яг + («оо + ТОсо) Г = pt/соГ--/р«соГ,
ИЛИ ПО (61):
Ra = — 2лрсг^о, R7J — 2itpc«co»co.
Момент Lo по второй из формул (92) будет равен:
2 C^lVoa • i (Ucx> ^Псо)^ —
=-----Ttpc^oo Д. Ч. («со--Й»со) = — ярс2«со®а>.
— / Z с
V (z) = «со---й>оа I p = и°°
-о
288 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. у
Переходя от проекций скорости ит, vm к их выражениям через
модуль скорости и угол атаки а = 0со, окончательно получим:
= — 2тсрс | Ко Is sins а,
Ry = 2тгрс | И» |2 sin a cos a,
Lq — — itpc21 Ko |2 sin a cos a.
Имея выражение проекций подъемной силы и момента относительно
точки О, можем найти уравнение линии действия равнодействующей.
Обозначим через х и у текущие координаты точки на линии действия
равнодействующей; тогда уравнение этой линии будет
XRg == Ер,
или, используя предыдущие выражения и произведя очевидные сокра-
щения:
1 • 9 1 •
х sin a cos a -у у sin2 a = — у c sin a cos a.
(рис. 92) пересечения линии действия подъемной силы
называется центром давления. Если привести все силы
давления потока на
пластинку к одной силе
R, то эта сила будет
приложена в центре
давления Ц. Полагая
в последнем уравнении
у — О, найдем абсцис-
су положения центра
давления
стинке:
Точка Ц
с пластинкой
// на пла-
Рис. 92.
с
X— — у-
Центр давления
потока на пластинку
находится на четвер-
ти ее длины от перед-
ней кромки, причем,
как показывает последняя формула, положение центра давления не
зависит ни от скорости набегающего потока, ни от угла атаки.
Вводя в рассмотрение коэффициент момента
Ц
Ст— 1
будем иметь при малых углах атаки (sin a =?= a, cos a == 1):
t* = — a.
---------- *
§ 45) ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИЯ 289
Сравнивая с формулой коэффициента подъемной силы Су — Чпа,
видим, что
ст • су “ 1 • 4‘
Интересно отметить, что эго соотношение, обычно выражаемое
dc<m dcy
через коэффициенты и — в виде
dcm dcy 1
dcy da ‘ da 4 ’
оказывается справедливым не только для косого обтекания пластинки,
но довольно хорошо соогвегствует опытным данным и для тонких
симметричных профилей. Если принять точку —-^-,0^ за точку,
относительно которой берется главный момент сил давлений, го
момент Ьц будет равен нулю.
§ 45. Выражение главного момента сил давления потока
через коэффициенты конформного отображения. Фокус
крыла. Независимость от угла атаки момента относи-
тельно фокуса. Парабола устойчивости
Формулы Жуковского и Чаплыгина позволяют сделать некоторые
общие выводы, относящиеся к задаче об обтекании плоскопараллель-
ным потоком крылового профиля произвольной формы. Особенности
формы крылового профиля можно охарактеризовать коэффициентами
разложения функции / (С), преобразующей (рис. 87) контур профиля С
в круг С* [§ 42, формула (74)), в ряд по отрицательным степеням
комплексной переменной С во вспомогательной плоскости. Как сейчас
будет показано, здесь вновь обнаруживается замечательный факт
зависимости силы и момента лишь от первых трех коэффициентов
разложения, аналогичный тому, как это имело место при использова-
нии разложения комплексной скорости.
Разложим голоморфную в области вне круга С* отображающую
Функцию г—/(Q в ряд Лорана
? = f (0 = »ТсоС+то + 71 + -^+ (94)
где тт, т0, т1...—некоторые комплексные коэффициенты. Тогда
Для сопряженной скорости V будем иметь выражение:
v г 1
7= . dz = Wco Гро «со Уа р -t- 2к. • £ _
dz mi 2т^ ~~
тоз £2
=г-+^т+(^г.-«т.)^+...
19 Зак. 1841. д Г. Л<йшшский.
290 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ |гЛ. у
Недостающее для вычисления момента значение коэффициента аа
можно найти контурным интегрированием в плоскости С:
as=^jVzdz^^&fVeo+^—^ + ^Vco~-a^Vco^+ .. .]х
Раскрывая в подинтегральном выражении скобки и сохраняя лишь
член с С"1, так как остальные слагаемые после интегрирования
обратятся в нуль, получим:
1
2itf
2я/
—— П^Шоо Voo ~~ t^ecf^ Vco,
после чего выражение момента (92) примет вид:
—2 2 о — \
1 —j— IfTtcxjCl VcoVco1>
или, замечая еще, что тл, а и V<X>VOO = | Vj»]2 действительны,
Lo = — 2тф д. ч. imimm .
Подставим сюда выражение (80) циркуляции Г, соответствующее
безотрывному обтеканию задней кромки, тогда выражение момента
приведется к виду:
Lo — — 2кр д. ч. [2с/»оот0 [ Ц» ] Vm sin (е0— 0ет) -|- V«],
или, производя замену:
Ven=I Vco(•е sin(s0—0co) = -i-[e,(s<‘
и собирая вместе члены, содержащие е~<8°0,
Ц=—гтр/Лоз I к» [2 д. ч. i [(нг,—amoeis°) е~2/9°°-|- amQe~{^]. (95)
Таково общее выражение главного момента сил относительно про-
извольно выбранного начала координат. Возьмем за центр момен-
тов другую какую-нибудь точку О' плоскости г с комплексной коор-
динатой z0, и посмотрим, как будут связаны между собою величины
и Lo,. По известной формуле статики будем иметь:
А) = LOr ХО’^у Уо'^х
$ ГллйныЙ момент сил Да6ЛЕЙИЯ 2S1
или, используя комплексные величины:
L0 = Lo,-^-r. 4.(iz0,R).
Подставляя сюда выражения £0 по (95) и R по (93), получим,
производя простые преобразования:
£о, = £0-Д. ч.(/г0,/?) =
еа—2лр«со | Va> |2 • Д. ч. I {(тг — e~2i6°° + ат^'1 -J-
-j-az0, [е^-26^ — } =
s — 2кртоэ | Vm |« д. ч. i {[Mj — a (m0 — z0} e^] e-3<e“ -f-
-j- a(m0—z0, )«“*••}. (96)
Выберем за центр моментов такую точку О', чтобы выполнялось
равенство
— а (т0—z0,) eie“ = О
или
^=^0—Те"4’ (97)
тогда момент Lo, относительно этой точки будет равен
Lo,=>—2лр»1соя| Vool2 Д. ч. г(/ио—го^е~~
= — 2т^тсо\ Пю|3 д. ч. toi1e~3,ej, (96')
т. е. окажется независимым от угла набегания потока 0«, а сле-
довательно, и от угла атаки а.
Связанная с крыловым профилем и характерная для него точка О',
обладающая тем свойством, что вычисленный относительно нее главный
момент сил давления потока не зависит от угла атаки, называется
фокусом крылового профиля', координаты фокуса определяются ком-
плексным равенством (97).
Повернем ось Ох так, чтобы ее направление совпало с направле-
нием бесциркуляционного обтекания или, что все равно, с напра-
влением нулевой подъемной силы', тогда угол нулевой подъемной
силы е0 обратится в нуль, угол набегания потока Ьоэ станет равным углу
атаки а и выражение момента относительно фокуса станет равным
£0, = — 2тгр/й<и | Vco |2 д. ч. zwij,
а выражение подъемной силы (93) приведется к виду
/? 2‘прп»о0а | Vo, |г(е~'а<’1 — 1),
19*
292 Плоское безвихревое движение жидкости (гл. v
Найдем уравнение линии действия равнодействующей сил давле-
ния; для этого, поместив начало координат в фокус О', напишем
очевидное соотношение:
xRy— yRx = L0„
где х, у — координаты текущей точки на линии действия равнодей-
ствующей, а Ry имеют значения:
= ‘Угцт^а | Ии, |2 Д. ч. (Гй“— 1)= — 4тгр7Мооа | К» |s sin2 а,
Ry = — Зтр/Лсой | К» |2 м. ч. (е~2!° — 1) — 4тср;мооа| К» |S sin a cos a.
Уравнение линии действия равнодействующей будет иметь вид:
X sin a cos a -f-j/sin2a = — д.
При выборе начала координат в фокусе О' и направления оси О'х
по бесциркуляционному направлению, будем, согласно (97), иметь:
„ ,ni
zof^Q = m0——,
так что уравнение линии действия перепишется окончательно так:
xsinacosa-]-_ysin2a =— ~ д. ч. (imo) — o.
Найдем огибающую линий действия равнодействующей. Для этого
по общему правилу исключим а из совокупности предыдущего равенства
и полученного из него дифференцированием по а равенства
xcos 2a ~^~у sin 2a = 0.
Будем иметь систему равенств:
х sin 2a —у cos 2a =28 —у,
х cos 2a 4~у sin 2a = 0,
откуда следует
x2+js = (28—j)2
или
x2 = 48(8—y).
Огибающая линий действия равнодействующей, соответствующих
разным углам атаки, представляет параболу, названную С. А. Чап-
лыгиным параболой устойчивости или параболой метацентров.1
1 С. А. Чаплыгин, К общей теории крыла моноплана. Собр. сот., Т.Н»
Гостехиздат, 1948, стр. 246—299.
§ 45J
ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИЛ ДАВЛЕНИЯ
293
расположение параболы устойчивости относительно профиля показано
на рис. 93. Фокус крыла служит фокусом параболы, директрисса ее
проходит параллельно оси О'х на расстоянии
у = 28 = — д. ч. (йя0) = м. ч. т0.
На директриссе находится точка О", с комплексной координатой
zo„ = m0} эта характерная точка профиля, называемая конформным
центром, имеет наравне с фокусом важное значение в теории крыла,
особенно в теории нестационарного движения.
Для построения линии действия равнодействующей нет необходи-
мости строить параболу устойчивости. Известно, что всякую параболу
можно построить как огибающую перпендикуляров, восстановленных
У
ния крыла
Крыловые
к лучам, проведенным из фокуса, в точках их пересечения с директрис-
сой. Поэтому, если известно положение фокуса и конформного центра,
то построение линии действия равнодействующей производится без
труда. Проведем через конформный центр прямую, параллельную бес-
циркуляционному направлению, — это будет директрисса параболы
устойчивости; затем из фокуса проводим луч, параллельный направле-
нию набегания потока до пересечения с директриссой, и, наконец,
перпендикуляр к лучу в точке его пересечения с директриссой. Этот
перпендикуляр и представит линию действия равнодействующей сил
давления потока на крыло.
Таким образом, полная сила давления потока может быть сведена
к одной силе, равной по величине и направлению подъемной силе.
Эту силу можно переносить вдоль линии действия в любую точку
крыла, например в точку пересечения линии действия равнодействую-
щей с линией хорды, называемую центром давления. Центр давле-
при изменении угла атаки перемещается вдоль хорды.
профили, у которых положение центра давления не зависит
°т изменения угла атаки, — так называемые профили с постоянным
центром давления—представляют ряд конструктивных преимуществ.
Примерами могут служить рассмотренная ранее пластинка или близкие
294 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
к ней симметричные профили, постоянный центр давления у которых
лежит примерно на четверти расстояния от передней кромки. В этом
случае фокус совпадает с центром давления, а парабола превращается
в точку. Вообще, если момент сил относительно фокуса равен нулю,
то фокус совпадает с постоянным центром давления.
§ 46. Частные случаи конформного отображения крылового
профиля на круг. Преобразование Жуковского—Чаплыгина.
Теоретические крыловые профили
Среди многообразия функций (94), отображающих физическую пло-
скость течения г на вспомогательную плоскость С, рассмотрим неко-
торые простейшие, преобразующие в круг С* такие замкнутые кон-
туры С, которые могут по своей форме подойти к требованиям,
предъявляемым к крыловым профиля-1.
Рис. 94.
Первое такого рода преобразование было указано Н. Е. Жуков-
ским и С. А. Чаплыгиным еще в 1910 г. и имеет вид:
г = 1(с + 4). (98)
Окружность С* радиуса с в плоскости С преобразуется в пло-
скости г в отрезок FF' (рис. 94) на оси Ох с концами в точках
(— с, 0) и (4~ с, 0). В самом деле, полагая
С = ceie,
найдем
г=(ей -J- е_л) = с cos е,
так что полному обходу окружности (Ogeg2it) соответствует!
двойной обход отрезка FFr, справа налево и слева направо. ОкруЖ'1
§ 46] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 295
костям Ci, ^2 в плоскости С будут соответствовать в плоскости z
софокусные эллипсы Си С2 с фокусами F и F'; действительно, пола-
гая, например, в (98)
С = beie, (b с),
получим
1 / 1 С" • \
г = (Ь&* 4- -г- е~г*),
z \ * о /
откуда следует
1 /, . сг\
-|“~)cose,
Составляя коэффициент конформного отображения
dz 1
с2_\
&)’
т ~ Л ~ 2
видим, что точки F* и F'* с координатами С = rt с являются особыми,
так как в этих точках т — 0, и конформность преобразования на-
рушается. В самом деле, углу тс в точке F* соответствует угол 2тс
в точке F, в чем легко убедиться, переписывая преобразование (98)
в форме
и производя сравнение аргументов левой и правой частей для z и С,
мало отличающихся от ±с (см. (79) § 42]. Показатель степени
в правой части (99) приводит к удвоению углов, имеющих вершины
в особых точках. В точках Ai и А2, как видно из рис. 94, конформность
не нарушается.
Основная идея построения теоретических профилей Жуковского—
Чаплыгина заключается в следующем. Возьмем в плоскости С круг К*,
Центр которого несколько смещен влево так, чтобы круг К* сопри-
касался с кругами С и Сг в точках на оси 0$. В силу непрерывности
преобразования легко сообразить, что кругу К* в плоскости С, рас-
положенному в кольце между кругами С и Си будет соответствовать
некоторый замкнутый контур К в плоскости z, расположенный
в области между эллипсом Сг и отрезком FF'. При этом в точке F
контур к б)дет иметь острую кромку с нулевым внутренним углом
и внешним углом, равным 2тс. Симметричный контур К с задней
острой кромкой, известный под названием „руля Жуковского", имеет
обтекаемую форму и представляет первый пример крыловых профилей
296 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГЛ. v
Жуковского—Чаплыгина. Проводя другие окружности со смещенными
относительно начала координат ^центрами, причем такие, чтобы
всегда по крайней мере одна их точка совпадала с особой точкой Г*,
получим всевозможные профили Жуковского—Чаплыгина.
Вместо (98) и (99) иногда рассматривают преобразования:
z--2c /С—с ’
? + 2с \Л + с/ ’
(98')
(99')
§ 46J
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
297
отличающиеся от предыдущих масштабным коэффициентом 1/2; так,
преобразования (98') и (99') переводят основной круг С* в отрезок
на оси Ох, в два раза больший чем диаметр круга.
Не вдаваясь в детали геометрического построения профилей
Жуковского—Чаплыгина,1 приводим на рис. 95 различные типы про-
филей. Если центр круга К* находится в точке оси 0$, то
в плоскости z получим „руль Жуковского" Кг (показанный на рисунке
пунктиром). Круг С* переходит в отрезок FF' (круг С* и отрезок FF'
показаны пунктиром), служащий „скелетом" руля Жуковского в том
смысле, что при уменьшении относительной толщины руля контур
его Kt будет стягиваться к отрезку FF'.
Поместив центр круга Ко в точку No на оси От], получим в пло-
скости z круговую дужку /Со, опирающуюся в концы отрезка FF'.
В самом деле, соединяя точку М окружности К*о отрезком
0*Л4 = г с началом координат О* и обозначая полярный угол через v,
будем иметь:
г.=-геь
и, согласно (98),
Сравнивая в этом равенстве действительные и мнимые части,
получим:
1 / . С2 \ 1 { С2 \ .
х=2-(г + — ycosv, y = — -----------—Jsinv.
Исключая из этих двух равенств г, найдем, что
х2 sin2 v —у2 cos2 v = с2 sin2 v cos2 v. (*)
С другой стороны, соединив точку М с центром А'о круга /Со
радиусом а0, получим
2 = б*М 3 + O*N о ~ 2О*7И • O*A/q sin v,
или, как видно из чертежа ({? — угол между линией центров Л/о, N
смещенных окружностей и осью 0*5),
г2
—— = г2 + с2 tg2 Р — 2cr tg Р sin v,
откуда следует
sin2v — —, cos2v = 1-----------
c-tgP’ c-tg^
1 См. Кибел ь, К о чип и Розе, Курс теоретической гидромеханики,
'• 1, 1948, стр. 278—288; „Аэродинамика", под ред. Дюрэнда, т. II. Обо-
Ронгиз, 1939, стр. 92.
298
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. у
Подставляя эти величины в равенство (*), после простых приведе-
ний получим уравнение круга:
х2 -J- (у -j- с • ctg 2р)2 с2 • esc8 2р,
с центром в точке (0, —с ctg2p) и радиусом ccsc2|3, что и дока-
зывает ранее сделанное утверждение. Полагая в уравнении круга
к — 0, найдем стрелку прогиба 6 дужки (рис. 95, снизу):
8 = c-tg₽.
Отношение стрелки прогиба 8 к хорде FF' = 2с определяет
вогнутость дужки
или, при малых £,
Наконец, круг К* с центром в любой точке N плоскости С, про-
ходящий через особую точку F*, переходит в изогнутый профиль
Жуковского—Чаплыгина К. Дужка /Со служит скелетом для про-
филя К, так же как отрезок FF' — для руля Вогнутость дужки Ко
представляет вместе с тем и вогнутость профиля К- Если, сохраняя
вогнутость профиля К, уменьшать его толщину, то профиль будет
стягиваться к своему „скелету"—дужке Ко.
Рассмотрим теперь задачу об обтекании профиля К потоком со
скоростью Роэ, направленной под углом 6^ к оси Ох. Проведем
во вспомогательной плоскости С оси №' и Nt\' с началом в центре
смещенного круга N. Плоскость комплексного переменного С = V -]- й/
повернута относительно плоскости С на угол —£, так что, положив
приходим к соответствию между плоскостями С и С" с параллельными
осями координат:
Таким образом, получим:
1 Л . с2 \ 1 / —гв । , с2 \
г~~ "2 + — ае + с_.йе-*₽ + с''.) —
1 „„ 1 . _jfc .lc2 1 с2 (с — .
откуда, сравнивая с (94), найдем:
1 1 / --1 О
= *2“, WIq == “gr \С G-в j, == c .
fltgssss •--------------g- (c — )•
46J ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 299
Согласно (80), будем иметь (§0 BSS —— Р):
Г == — 2ка | Ко | sin (р -f- 0^),
а следовательно, подъемная сила будет равна:
j R | =р| KJ •}Г| = 2тгра| Voo|2sin(P-|-0co).
Направление бесциркуляционного обтекания найдем, положив
|/?|==0; будем иметь (0м)вц = — р.
Коэффициент подъемной силы можно получить, если задаться
каким-нибудь характерным размером крыла, через который выра-
зилась бы величина а. Так, если обозначить расстояние 7V0/V через Д,
то легко найти:
(а — Д) cos Р = с, а — —4- Д;
v ’ r ’ cos р 1 ’
р и Д обычно очень малые величины: первая характеризует вогну-
тость профиля К и просто связана со стрелой прогиба] дужки /Со,
вторая зависит от толщины профиля.
Примем условно за хорду профиля К отрезок FF' длиной 2с,
стягивающий скелет профиля /Со. Тогда для коэффициента подъем-
ной силы получим выражение:
2 ₽ I — со ' ^с
или, принимая р, у и угол атаки 6^, малыми, будем иметь:
су = 2ir (Р -ф- бсо);
при р = 0, Д — 0 получим известный уже результат для пластинки.
Фокус слабо изогнутого тонкого крыла расположен в непосред-
ственной близости фокуса пластинки, т. е. на четверти длины FF'
от точки F'. Действительно, по (97) при малых р и Д:
1 1
——- ITIq g~~~ CIS sxs
л £>' £ a
= [c—(с + Д) (cos p — i sin P)J — (c — Д) (cos p Ц- i sin p) =
=4k-(c+A)(i-$)l-|(c—Д)(1+Ф)=
• = — X c вел. 2-го пор. малости.
300
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. у
Независящий от угла атаки постоянный момент Lo> относительно
фокуса О' равен по (96'):
£0, = — 2пр Wco | VTO |2 д. ч. im^e—2^ —
= — 2пр • -у | Ц» |2 • е® д. ч. =
= 4кр'1 Vco|sc’sin22₽ = irP| ИТО|М₽,
а коэффициент момента относительно фокуса —
т jplKjW
ТС
7
₽.
У симметричного профиля (руля Жуковского) р == 0, и фокус
является постоянным центром давления. Результат этот позволяет
пользоваться симметричным профилем как удобной формой для рулей.
При этом ось вращения руля проводят через постоянный центр
давления О', что дает сравнительно малые вращательные моменты.
Преобразование (99) или (99') приводит всегда, как было пока-
зано, к крыловым профилям с нулевым углом на задней кромке.
Такая кромка недостаточно прочна и при фактическом выполнении
профилей приходится несколько утолщать кромки. Чтобы избежать
этого недостатка, можно пользоваться обобщенными профилями Жу-
ковского — Чаплыгина, соответствующими обобщенному преобразова-
нию [при а = 2 это преобразование сводится к обычному преобразо-
ванию Жуковского — Чаплыгина (ЭЭ')]:
г —ос
2 4-ОС
(100)
Выясним геометрический смысл параметра т. Вблизи точек С = с и
z — ас положим:
С = с Ц- ре^*,
г — асreie;
тогда с точностью до малых высших порядков получим
откуда следует:
Углу г* — л в точке С = с соответствует угол e = 2it — т вблизи
z — ac. Отсюда вытекает, что круг, проходящий в плоскости С через
§47J
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ СЛАБО ИЗОГНУТОЙ ДУЖКИ
301
точку С = с> преобразуется в плоскости z в профиль с углом на
задней кромке, равным т. Пример такого профиля показан на рис. 96.
j4e останавливаясь на выводе,1 заметим, что наклон кривой сй(а)
у обобщенных профилей несколько больше, чем у обычных профилей
Жуковского — Чаплыгина, т. е. 2те, а именно
Отношение моментов относительно фокуса для обобщенного про-
филя и обычного равно 1—.
§ 47. Задача об обтекании слабо изогнутой дужки
произвольной формы (теория тонкого крыла)
Для оценочных расчетов крыловых профилей авиационного типа,
имеющих, как правило, сравнительно малую относительную толщину
и вогнутость, допустимо заменять эти профили дужкой, уравнение
которой
можно, например, получить, строя полусумму ординат = F, (х) и
У$ = Р2(х) верхней и нижней поверхностей заданного крылового
профиля
У = 014-Л) = 4 (Л (*) + Лэ (*)!•
Задача об обтекании дужки малой вогнутости потоком, набегаю-
щим на дужку под небольшим углом атаки, может быть сравнительно
легко разрешена для любой заданной формы дужки.
Рассмотрим обтекание дужки К, опирающейся своими концами на
отрезок АВ длины 2с оси Ох, потоком со скоростью Vm, образующей
стр’^.Аэродинамика», под ред.
Дюрэнда, т. И. Оборонгиз, 1939,
302
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. у
с осью Ох угол бсо. Сравним поставленную задачу с ранее раз-
решенной в [§ 40 задачей об аналогичном обтекании пластинки АВ
(рис. 92), причем и в том и в другом случае будем предполагать,
что задняя кромка В с координатой z = с обтекается безотрывно.
В случае пластинки, согласно формуле (60'), такого рода обтекание
будет происходить с сопряженной скоростью
V == Soo IVcoy „ । с,
причем на самой пластинке (у = 0, — с х < -[- с) сопряженная
скорость будет иметь проекции:
где верхний знак относится к верхней поверхности пластинки, а
нижний — к нижней.
Разобьем, как уже это делалось ранее, вектор скорости V на
вектор скорости плоскопараллельного потока ¥«, и вектор скорости
возмущений V*. Тогда в случае обтекания пластинки будем иметь:
-у*==ф —Фоо = —Woo.
Рассматривая обтекание дужки К, можно утверждать, что проек-
ция Vn полной скорости V на нормаль к дужке должна быть равна
нулю вдоль дужки, так как дужка является линией тока; таким образом,
получим
О = V<xm, -j- Vn,
или, вводя угол 6 между касательной к дужке и осью х,
Vn = — Vcon = — [«оо cos (И, X) ©со COS (и, j)J =
=----(---Uco sin 6 -j- ©oo COS 0) = Seo sin 0-OooCOS 6.
Будем предполагать, что угол 6 вдоль всей дужки весьма мал,
так что
sin 6 = tg 6 = F'(x), cos 6 = 1;
кроме того, в силу малости ординат дужки, будем считать граничное
условие Уя = 0 выполненным не на дужке, а на хорде АВ. Тогда
предыдущее выражение нормальной к дужке компоненты скорости
приведется к следующему граничному условию:
при —с<х<-4-с, у==0, )
f i , х ,1 ло2)
®* = swF (х)-—»«,. J 1
$ 47] ЗАДАЧА ОБ обтекании слабо ИЗОГНУТОЙ ДУЖКИ 303
Таким образом, задача об обтекании слабо изогнутой дужки при-
водится к задаче разыскания возмущенной скорости V',; по граничному
условию (102) для проекции ее на ось Оу и к очевидному условию
у* 0 при х -> оо и у -> оо или, в комплексном виде, к разыска-
нию голоморфной, исчезающей на бесконечности функции У*(г),
мнимая часть которой на отрезке действительной оси (—с<;х<;с)
удовлетворяет заданному условию
м. ч. V* == Voo —- WcoF'(x), (103)
или, что все равно, условию (102).
Условия (101) на пластинке соответствуют наличию на отрезке АВ
вихревого слоя с интенсивностью (§ 40)
7(х) = «1(х) — и+(х) = — 2vm]/~
причем по основному свойству вихревого слоя:
и+ (х) =---и- (х), (Х) — (х) = (Х) = — ®оо-
Задача об обтекании дужки К является обобщением задачи об
обтекании пластинки АВ. В случае обтекания дужки можно пред-
ставить себе на отрезке АВ вновь некоторый вихревой слой, но уже
с неизвестной интенсивностью ^(х) и нормальной составляющей
скорости, заданной равенством (102), превращающимся во второе
равенство (101) при F'(x)~G.
Рассматривая отрезок АВ как вихревой слой, будем иметь, как
и в случае пластинки, следующие соотношения между касательными
и нормальными компонентами скорости возмущения жидкости вихревым
слоем сверху и снизу слоя:
и+ (х) = — (х)> (х) = (х) = ©* (х). (104)
В настоящее время существует несколько методов решения поста-
вленной задачи. Можно было бы составить общее выражение сопря-
женной скорости потока, индуцированной вихревым слоем неизвестной
интенсивности 7 (х):
4-с
1 f у (*') dx1
2iti J z— x’
—c
и> совершив предельный переход z -* x в некоторую точку М (х)
Сл°я, написать условие равенства мнимой части этого предельного
значения скорости заданной функции ф*(х), согласно (102).
Такой путь решения задачи привел бы к необходимости решать от-
носительно неизвестной интенсивности f (х) сингулярное интегральное
304
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. v
уравнение первого рода
-4"С
27 J х — х' dx'= UcoF' ~ 'Оо°-
—с .
Уравнение это будет иметь единственное решение, если потребо-
вать дополнительно, чтобы у(с) = О, т. е. чтобы задняя кромка пла-
стинки была бы точкой плавного схода струи с конечной скоростью.
Решение указанного сингулярного уравнения может быть представлено
несобственным интегралом типа Коши от правой части уравнения. Имея
в виду, что после разыскания функции у(х) необходимо производить
еще дополнительные и довольно сложные расчеты скорости, естественно
• обратиться к методам, позволяющим непосредственно находить ско-
рость движения (интенсивность вихревого слоя может быть после
этого при желании легко найдена как разность касательных скоро-
стей на нижней и верхней границах слоя).
Такой метод решения рассматриваемой задачи был разработан
Л. И. Седовым.1
Представим искомую сопряженную скорость возмущенного дви-
жения как произведение
= (105)
где /(г) — ограниченная голоморфная вне отрезка АВ и исчезающая
на бесконечности функция; при таком выборе вида функции V* будут
выполняться условия: V* (с) = О, V (с) — ит безотрывного обтекания
задней кромки (z = c). На передней кромке (х =—с) скорость
в общем случае обращается в бесконечность.
По известной формуле Коши будем иметь следующее интегральное
представление функции /(х) через ее значения на контуре:
о»6)
где L — контур выреза АВ с двумя бесконечно малыми кружками,
выделяющими точки разветвления А и В подинтегральной функции
причем в верхней части разреза АВ у корня следует брать знак плюс
и считать
» См. Л. И. Седов, Теория плоских движений идеальной жидкости.
Оборонгиз, 1939, стр. 37—40; подробный анализ решения Л. И. Седова при-
веден также в курсе Кибель, Кочин и Розе, Теоретическая гидР0'
механика, ч. 1, Гостехиздат, 1948, стр. 288—296.
§ 47J
ЗАДАЧА ОБ ОБТЕКАНИИ СЛАБО ИЮГНУТОЙ ДУЖКИ
305
на
нижней половине разреза
/(9
6 + с
0) — iv_ (£)] = I j/' ..........~"'g \ii_ (£) — ЙД (5)J>
тогда, согласно (104), (106) и граничному условию (102), сможем при-
вести’равенство (105) к виду:
1 % С Г ^со т/"*^
«Д z + с J 5 — z ' с — 5
— е
(К
(Ю7)
представляющему искомое выражение возмущенной сопряженной ско-
рости. Возвращаясь к полной скорости V и замечая, что в силу
малости угла 6а, можно положить:
Uco = I Vco |,
окончательно получим:
V(z) = VooH- И*(г) =
Гл ГА/©-6оо
Ы Г 2+С J i — Z
—• G
с + 5
с—-5
di.
(Ю8)
Имея общее выражение сопряженной скорости, можно вычислить
главный вектор и главный момент сил давления потока на дужку.
Для этого следует лишь произвести разложения в ряд по отрица-
тельным степеням выражений:
z — с — c!z fi 2с , у'« . с
У 2 + С У 1- [ c/Z \ Z 1 ‘ ' 'J Z
1 1 ___!_____1_
§ — z z(l—i/z) z z^
и, подставив их в (108), сравнить результат подстановки с разло-
жением сопряженной скорости (91) § 44. Таким образом, найдем зна-
чения основных коэффициентов разложения:
И'(*) = —
Т^со — | | • 6«,
20 Зак. 1841. Л Г. ЛоПцянскнй.
§оё
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖВДЙббТЙ
[гл. V
а следовательно, и общие выражения главного вектора и главного
момента
+с _____
/?* = — 2тгРс I |л-(44- 2рI I2 J F (0Л,
—С
Ч"С
Ry = 2irpc I Vm |2 ()«,—2p | I2 [ F' © )/dl,
—c
4*c
Lo = — тгрс21 Гоо I2 Ooo + 2p I Vm I2 J F’ ©
—c
(109)
В случае пластинки F'(E)sO, и равенства (109) приводят к изве-
стным уже формулам (с точностью до f)m в первой степени):
Ras=0, Ry = 2тгрс| VooIs0го, Lo — — ~pc21 Гео j2
Замечая, что, согласно основным допущениям теории тонкой дужки,
в общем случае функция F' © представляет малую величину того же
порядка, что и видим, что Rx является величиной второго порядка
малости.
При заданной форме дужки y=F(x) величины Rv и £0 могут
быть вычислены по (109); при этом удобно пользоваться заменой
переменной:
cross, 0 -< s к.
Заметим, что интегральные члены в правых частях выражений (109)
для Ry и £0 определяют влияние вогнутости дужки. Так, например,
для дужки параболы
(5*2 \
где 3 — стрелка прогиба, будем иметь:
Ry = 2itpc | К» |2 +y),
£0 — — пре21 Vm |s Oog.
Как видно из этих формул, в принятом приближении относитель-
ная вогнутость f = увеличивает подъемную силу, но не влияет
на момент относительно начала координат О, расположенного
на середине отрезка АВ. Найдем положение фокуса О'; для этого
вспомним, что
Lo “ LO' +
§ 471
!АЙАЧЛ Ofi ОВТГЙАЙИЙ бЛАЙО ИЗОГНУТОЙ ДУЖРМ
ЙО?
о гкуда
Lo, = h — XRy = ~^ I voo I2 0ю — Х • 2jZPC I I2 (°oo + 7) •
Приравнивая нулю часть момента, зависящую от угла атаки, полу-
чим, как и ранее для пластинки:
с
2’
момент относительно фокуса будет равен
А0/ = яр| |88 . е —тгр| UoJ2c2-y.
Выражения и Lo, для параболической дужки ничем не отли-
чаются от аналогичных формул для слабо изогнутой дужки круга.
Это и не удивительно, так как с выбранной степенью точности урав-
нение дужки круга совпадает с уравнением параболической дужки.
Чтобы в этом убедиться, перепишем уравнение дуги круга (§ 46)
х8 -f- (у + с etg 2Р)8 = е8 esc8 2р
в виде:
у — У с1 esc8 2(3— х8—cctg 2(3=ecsc 2(3^1— sin82pj —cctg2{3 =
— с esc 2(3 — с etg 2(3 — -i- с sin 2(3 ... =
=== с • tg? — f-y)acsin₽cos₽ = 8[l — (jT-)2]-
Согласно формуле для Ry, направление бесциркуляционного обте-
кания (К = — совпадает с направлением прямой, проведенной
через вершину дужки и заднюю кромку. Это свойство у круговой
Дужки сохраняется при любых вогнутостях.
Распределение скоростей по поверхности дужки можно вычи-
слить по формуле (108). Следует только иметь в Виду, что при
2х(— с < х < с) интеграл, стоящий в правой части, становится
^собственным и должен вычисляться в смысле своего главного зна-
чения и что, кроме того, предельный переход к точкам отрезка АВ
Должен производиться по известным формулам анализа для предель-
ных значений интеграла Коши.1
,, См., «>апримср, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. IV
°СТехиздат, 1941, стр. 252—253. Несколько подробнее о „несобственных"
нтегралах будет сказано в гл. VII.
20*
S68 ПЛОбкОЕ БЕЗВЙ1РЁЁОЕ ДВЙЖЁЙИЕ ЖЙДКОСТЙ [ГЛ. V
Опуская промежуточные выкладки,1 приведем лить окончательную
формулу распределения скоростей в случае параболического отрезка:
Tz lull'll/ if2'jZ i 28 i 282\i/~2—С1
V ~ Voo + г и» т — ''co -H--------—r 1/ —i— .
I “II I । £2 \ " ' c 1 c2/r 2+cj
Легко видеть, что при бСО О, т. е. при набегающем потоке,
направленном вдоль хорды АВ дужки, обе острых кромки будут
точками безотрывного обтекания с конечными скоростями. Такое обте-
кание дужки называют обтеканием с безударным входом. Подъемная
сила в этом случае будет равна
(^)eco=o = 27:Pl Иоо|й8 = 4тгрс| Voo|ajp
т. е. станет пропорциональной относительной вогнутости дужки.
Действительно, при этом значении Ос» формула скоростей принимает
вид:
V = l Vool + Zl 7
и при г = ± с дает:
^(—C) = l lZoo|(l =±=Z^),
причем тангенс угла наклона касательной к дужке в точках z = ±c
равен у' — При малых углах тангенс может быть заменен па
синус, и предыдущая формула показывает, что направление натекания
и стекания струй на концах дужки совпадает с касательными к ней.
§ 48. Определение обтекания крылового профиля
произвольной формы
В современных расчетах крыльев и винтов самолета, лопаток рабочих
колес и направляющих аппаратов турбомашин, вентиляторов и др. приходится
определять обтекания разнообразного типа профилей, значительно отличаю-
щихся от .теоретических" профилей и имеющих настолько большую отно-
сительную толщину п вогнутость, что уже нельзя применять изложенную
в предыдущем параграфе теорию тонкой слабо изогнутой дужки. Для решения
этих задач встал вопрос о создании практического метода расчета обтекания
крылового профиля произвольной заданной формы; основной целью такого
расчета является определение распределения скоростей и давлений по поверх-
ности профиля, причем технические требования к точности расчета оказы-
ваются по необходимости весьма высокими.
В настоящее время существует большое число методов такого расчета:
одни методы используют идею приближенного конформного отображения
заданного профиля на контур, обтекание которого заранее хорошо известно,
другие сводят задачу к определению такой Интенсивности размещаемого на
1 Отсылаем интересующихся к ранее цитированному разделу курс2
Кнбеля, Кочина и Розе.
§ 48] ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ 309
поверхности крыла вихревого слоя, чтобы в результате наложения плоско-
параллельного набегающего потока на течение, индуцированное слоем, полу-
чилось обтекание заданного профиля. Последний путь крайне сложен, так
как приводит к необходимости приближенного решения интегральных уравне-
ний и тем самым—к большому числу трудоемких вычислений. Наиболее
оправдавшим себя, без сомнения, является первый путь, основанный на ис-
пользовании конформных отображений. У нас в Союзе широко используются
удачно доведенные до практических вычислительных приемов методы Я. М. Се-
пебрийского,1 С. Г. Нужина2 и Л. А. Симонова.3 За границей принят метод
Теодорсена и его модификации.4
Отсылая за деталями отдельных методов к цитируемым работам, остано-
вимся здесь на основной идее применения метода конформных отображений
и общем характере вычислительного анализа, приводящего к решению постав-
ленной задачи. Начнем с метода Я. М. Серебрийского. Как уже было выяс-
нено в § 46, формула конформного отображения Жуковского — Чаплыгина (98)
преобразует систему софокусных эллипсов, стягивающихся к отрезку FF'
(рис. 94) физической плоскости z, в систему кругов с общим центром в на-
чале координат во вспомогательной плоскости С Далее было показано, что
в плоскости z существуют такие крыловые профили с нулевым углом на
задней кромке (профили Жуковского — Чаплыгина), которые при выполне-
нии того же конформного отображения (98) преобразуются в плоскости С
в круги со смещенными относительно начала координат центрами (рис. 95).
Если вместо отображения (98) взять обобщенное отображение (100), то ана-
логичному преобразованию в круг будут подвергаться и крыловые про-
фили— обобщенные профили Жуковского — Чаплыгина, — заканчивающиеся
острым углом, отличным от нуля (рис. 96).
Возьмем теперь крыловой профиль „произвольной" формы. Наметим сред-
нюю линию („скелет") этого профиля и определим его относительную
вогнутость н толщину; после этого совместим, насколько это окажется
возможным, профиль произвольной формы с подходящим к нему по во-
гнутости н толщине обычным или обобщенным профилем Жуковского — Чап-
лыгина. Из непрерывности отображающей функции (98) или (100) следует,
что профили, близкие друг к другу в физической плоскости z, окажутся
близкими и во вспомогательной плоскости С. Но один из этих профилей —
профиль Жуковского — Чаплыгина — отображается на круг со смещенным
центром, следовательно, второй — профиль произвольной формы — отобразится
на некоторый близкий к кругу контур, который в дальнейшем изложении
будем называть почти-кругом. Для того чтобы „почти-круг" был по воз-
можности близок к точному кругу, следует особо внимательно отнестись
к вопросу о расположении передней и задней кромок относительно фоку-
сов F и F' эллипсов в плоскости z.
Так, при пользовании обобщенным преобразованием (100), если за -с
взят угол на задней кромке исследуемого профиля, то заднюю кромку профиля
следует помещать точно в один из фокусов. При использовании обычного
преобразования (98) это можно делать только в том случае, когда угол на
1 Я. М. Серебрийский, Обтекание крыловых профилей произвольной
формы. Инженерный сб., т. III, вып. 1, 1946, стр. 105.
2 С. Г. Н ужин, Построение потенциального потока несжимаемой жид-
кости около крыловых профилей произвольной формы. Прикл. ыатем. и
механ., т. XI, вып. 1, 1947, стр. 55.
3 Л. А. Симонов, Расчет обтекания крыловых профилей и построение
профиля по распределению скоростей на его поверхности. Прикл. матем. и
механ„ т. XI, вып. 1, 1947, стр. 69.
* Theodorsen Т. General Potential Theory of Arbitrary Wing Sections,
NACA Report № 452 (1933).
ЗЮ
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. V
задней кромке очень близок к нулю, в противном случае следует угол на
задней кромке исследуемого профиля закруглить и помещать фокус на поло-
вине расстояния от закругленной кромки до Центра ее кривизны.
Что касается расположения передней закругленной кромки (носка про-
филя), то при пользовании преобразованием (98) можно сохранить ту же
рекомендацию, что и для задней кромки. Основанием для этой рекомендации
служит известное геометрическое свойство носка достаточно тонкого эллипса.
фокус такого эллипса близок к середине радиуса кривизны носка. При
использовании обобщенного преобразования (100) фокус рекомендуется раз-
мещать между только что указанной точкой и носком профиля.
При выполнении этих требований „почти круг” будет представлять кри-
вую, весьма близкую к кругу.
Произведя указанное размещение исследуемого профиля по отношению
к точкам F н F'— особым точкам преобразований 98) и (100), перейдем
к самим преобразованиям. Будем для общности пользоваться преобразова-
нием (100)
а = 2——, (100)
z-j—ас j с / л
имея в виду, что при -г = 0 преобразование (100) переходит в обычное пре-
образование Жуковского — Чаплыгина (99').
Я. М. Серебрийский использует более простое преобразование (99'),
однако с точки зрения выгодного для дальнейших расчетов максимального
приближения „почти-круга” к кругу можно рекомендовать для профилей
с конечным углом на задней кромке применение преобразования (100), учиты-
вающего наличие этого угла.
Обозначим (рис. 97) через л'о, j’o декартовы координаты точек Л1С на
профиле Д' в плоскости z, через ;0, т;0 — декартовы и через ри> е— полярные
Рис. 97.
координаты соответствующих точек „почти-круга* К* в плоскости С и че-
рез а — радиус близкого к „почти-кругу” точного круга L в плоскости “>
на рис. 97, совмещенной с плоскостью С. Наиболее трудоемкими в смысле
вычислений операциями являются: определение уравнения „почти-круга“
в полярных координатах и представление логарифма отношения радиуса-век-
тора pj,(e) к радиусу круга а в виде ряда Фурье
ОО
1п^-°=я0+ У, (ап cos ле -f- Z^sinne), (ПО)
§ 48]
ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ
311
Для этой цели следовало бы применять математические механизмы: кон-
формный трансформатор для преобразования заданного профиля в „почти-
круг“ и гармонический анализатор для определения коэффициентов Фурье ап,
b . Механизмы, осуществляющие Конформные преобразования (99') и (100), уже
давно изобретены советскими учеными,1 но еще не внедрены в аэродинами-
ческую практику.
Аналитическое установление связи (НО) между р0 и s не представляет
каких-либо трудностей, но требует кропотливых вычислений.
Перепишем соотношение (100) в виде (опускаем индекс нуль)
, z ч 1/а . z ч 1»
£ _ (г + ас)1/о + (г — V _
Т~ (2-|-аС)1/а_(г_сС)1/» “ +
\сС ' J \ас /
и будем считать, что координаты заданного профиля х, у выражены в частях
длины ас, а радиус-вектор р — в частях длины с. Сохраняя обозначение С, р,
z, х, у для этих безразмерных величин, будем иметь:
. > = (*+l)1/a + (z~l)v.
Р (г+1)^_(г_1)1/’’
положим:
(Z | 1)1/о = lnp'4-Zs', (z—l)l/a=-ln/' + ^"
2у1=г'е{‘’, z—I=r"e1‘",
тогда б>дем иметь расчетные формулы:
in о — A-in +J*1 ~ь
н 2 (In р' — In р")2 + (£' — е")2 ’
где:
s' + е" е' — б"
е = arc tg —т-f-j—— arc tg -j—,
b In p' -|~ In p" b In p' — In p" ’
In p' = (rz)1/e cos , In p" = {r")x!a cos (y),
cz = (M)1/’ sin z" — sin Ji
r' = l'"(x -j- I)2 + y1, r" — У(х — l)2 + y2,
f = arctg-^-j, /'= arctg-^-p
1 с. А. Г e p ш г о p и н, Механизм для построения функции комплексного
| / ^»2 \
переменного С — -g- (г -ф- — j. Изв. Ленингр. технолог, ин-та, т. II (XXVI),
юбилейный, 1928; О механическом построении профилей аэропланных крыльев
типа проф. Мизеса. Вести, механ. и прикл. матем., т. 1, 1929.
Л. Г, Л о й ц я н с к и й, О некоторых общих типах конформных трансфор-
маторов движения. Изв. Ленингр. политехи, ин-та, 1925; Приближенное кон-
формное преобразование и его применение в теории механизмов. Журнал
пРикладн. физики, т. V, вып. 3—4, 1928; Основания синтетической теории
конформных трансформаторов движения. Журнал прикладн, физики, т. V, 1928.
312
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. у
Задаваясь парами значений координат профиля (х, у), последовательно
вычисляем г', г", у', у", а затем р', f>", г', е." и р, е. При а = 2, т. е. в случае
обычного преобразования Жуковского — Чаплыгина, формулы упрощаются.
По вычисленным значениям In р, s строим график In . Для обработки
полученной кривой к виду (ПО) можно применять любые известные приемы
гармонического анализа. В ранее цитированной работе Я- М. Серебрийского
излагаются остроумные приемы, позволяющие легко получать тригонометриче-
ские представления резких местных отклонений на кривой вблизи точки е =
при помощи комплексов вида
[1 -|- COS (е— ej) 1»
2 J ’
названных автором „горками*. Применение широко затабулированных авто-
ром „горок" сильно сокращает объем вычислений, необходимых для опреде-
ления коэффициентов ап и Ьп.
Опуская изложение практических деталей вычислительного характера —
их можно найти в ранее цитированной работе Я. М Серебрийского, — будем
считать, что ряд (ПО) уже составлен и коэффициенты его ап, Ьп определены.
Обратимся к установлению приближенных формул конформного отображения
области вне „почтн-круга" К* в плоскости комплексного переменного С на
область вне круга L в плоскости <о.
Введем обозначения:
С = ре1е, <а = Хае®, (111)
где р, е являются полярными координатами точек плоскости С, а величины
Ха и 6 соответственно полярными координатами точек плоскости <о; в послед-
нем случае радиус-вектор выражен как произведение радиуса круга а на
переменный коэффициент X, причем окружности L соответствует значение
X = 1.
Следуя Я. М. Серебрийскому, будем искать функцию, отображающую
внешнюю по отношению к „почти-кругу" К* часть плоскости С на внешнюю
по отношению к кругу L часть плоскости ш, в виде
ОО
С = ш ехр 2 (а~п> (112)
и=0
(112')
(112")
где при п>0 коэффициенты Сп являются комплексными величинами, а Со
представляет действительную величину.
Тогда, согласно (111), найдем
. „ . , , со
In (— j = In f ~ j + i (е — 6) = 2 Сяа—йе—ЯЙХ~Л,
' ' ' ' гг—О
или, полагая
Спа~п = чп ibn, Со = ад,
и сравнивая в (112') действительные н мнимые части, будем иметь:
. . 00
In (Л-) = «о + S (ап cos л0 + 6wsin л0) Х~"»
0 — е х= 2 (ап Si** — Ьп св6 яб) X "•
л=1
Как уже ранее указывалось, при достаточно тщательном расположении
преобразуемого крылового контура К относительно точек F и F' и удачном
§ 48] ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ 313
подборе угла т, а следовательно, и о, контур „почти-круга“ Д'* будет мало
отличаться от контура круга L, соответствующие точки будут близки друг
к другу и' как показал Я М. Серебрийский, можно с достаточной для прак-
тики точностью пренебречь в первом приближении разницей между поляр-
ными углами е и 6 соответствующих точек в плоскостях С и <в. При желании
метод позволяет получить следующие приближения, учитывающие разницу
между углами е и 0.
Замечая, что для точек, лежащих на контурах К* и L, будет: X = 1,
р ==р0(е), перепишем в принятом приближении (0 = е) первое равенство пре-
дыдущей системы в виде
In = й() 2 (ап cos пг + bn Sin Пе).
П=1
Это равенство полностью совпадает с ранее установленным разложе-
нием (110). Таким образом, искомые коэффициенты ап и Ьп, входящие в пре-
образование (112) через комплексные коэффициенты Сп, оказываются уже
известными. После этого не трудно по (112") вычислить комплексные коэф-
фициенты С„, тем самым полностью определить основное преобразова-
ние (112) и решить поставленную задачу. Опыт многочисленных расчетов
показал, что для употребительных на практике крыловых профилей изложен-
ное первое приближение оказывается вполне достаточным.
Совокупность равенств (100) и (112) дает преобразование части плоско-
сти z вне крылового контура К на внешнюю по отношению к окружности
круга L часть плоскости <в, т. е. как раз то основное конформное преобра-
зование (74), о котором говорилось в § 42 (вспомнить рис. 85).
Желая найти распределение скоростей по поверхности крылового про-
филя К или вне его, используем комплексный потенциал у(ш) обтекания
кругового контура L с наложенной на него циркуляцией. Будем иметь
I/ (z) - йг - d(a dt. dz .
Величину наложенной циркуляции определим, пользуясь постулатом Чап-
лыгина о плавном обтекании задней кромки крыла, представленным форму-
лой (80). Заметим, что последние два сомножителя в только что составлен-
ном выражении комплексной скорости имеют чисто геометрический характер
и не зависят от кинематических условий обтекания — скорости и угла атаки.
Это делает простым пересчет распределений скоростей с одного угла атаки
на другой, если комплексные величины и ~ для заданной формы кры-
лового профиля уже определены. Расчет поля скоростей вокруг профиля
представляет особые вычислительные трудности, удачно обойденные Я. М. Се-
ребрийским путем применения специальных приемов.
В методе С. Г. Нужина промежуточное отображение иа „почтн-круг"
отсутствует н решение задачи сводится к непосредственному отображению
области, внешней по отношению к крыловому контуру К, на область вне
круга L (см. рис. 97).
Для этого между физической плоскостью течения z и вспомогательной
плоскостью <о устанавливается соответствие в форме ряда Лорана
। X?спап
c0-f-<e-f-
л=1
(113)
с неизвестными комплексными коэффициентами сп — 1ч№
314 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. v
Пола1 ая в (113) <о = аеЛ и выделяя в нем действительную и мнимую
части, получим систему двух действительных равенств:
СО х (0) = р0 + a cos 0 •)- 2 (Ри cos 'I0 + ''я sm л0)> СО (113')
J (0) = v01 a sin 0 4- 2 bn Cos /ifi — P-)Z Sin n0), n=l
представляющих параметрическое уравнение крылового контура, выражен-
ное через параметр 6 — угол в плоскости <о между радиусами-векторами
точек на круге L, соответствующих точкам на контуре К, н действительной
осью.
Разобьем координаты х (0) н у (В) на полусуммы и полуразности их зна-
чений иа Kpyie L в точках с угловыми координатами 6 и 2п— 0, положив
х(В) = Л1 (В) -j- (0) j(0) =J'i (В) +_У2(0),
1 Г 1 00
*1(0)= у Н(0) + х(2п — 0) = и, -f- 2а cos В — 2 Вп cos Л0,
L J й==1
х2(0) = -^-[х(0) —х(2я —0)1 = У Ansmn),
2 L J л=1
- (0) - 4 р (°) + У & - 6)1 = А) I 2 Ап ccs «°>
5'2 (0) = V Р (0)-У (2^ ~ 0)1 = 2 ВП sin лО.
2 L J n==i
(Н4)
Входящие сюда новые коэффициенты Фурье:
Ап = Вп = Pw В^ = а — pi
могуг быть определены по обычным формулам:
те гс
1 f 2 Г
А = — 5’1 (°) АП — — J'l (0) COS Л0 <Z0,
*W ,! «V f
О о
Неизвестные коэффициенты Лп, Вп определяются следующим процессом
последовательных приближений. За нулевое приближение принимается.
xl°) = ±cos0, У°) = 0, 4°)== £<эу = (Л<0)==0
что соответствует отображению на круг пластинки. Затем, задаваясь последо-
вательными значениями 0 и соответствующими Значениями х^, определяют по
чертежу крылового профиля величины ординат_у(1) (6), а также у^ (В) и (0)>
проведенных через выбранные абсциссы. Пользуясь интегральными выраже-
ниями коэффициентов Фурье (115), по найденным значениям у^ (&) н $
§ 481
ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КРЫЛОВОГО ПРОФИЛЯ
315
определяют новые значения коэффициентов А$К А$ и в первом прибли-
жении. Эти значения коэффициентов позволяют найти новые функции
X(D(8), Х;Р(в)« а это в свою очередь по предыдущему приведет к уточнен-
ным значениям ординат и т. д.
Не останавливаясь на весьма интересных деталях метода С. Г. Нужина,
облегчающих проведение выкладок и делающих их наглядными, заметим, что
автору метода удалось провести доказательство сходимости процесса после-
довательных приближений, что выгодно характеризует метод с теоретической
стороны.
Можно заметить, что наибольшие вычислительные трудности в обоих
только что рассмотренных методах связаны с необходимостью определения
коэффициентов ряда Фурье, выражающего логарифм огношеиия радиуса-век-
тора точек „почти-круга“ к радиусу круга через угол в промежуточной пло-
скости в методе Серебрийского. или координаты крылового профиля в физи-
ческой плоскости в функции от полярного угла в вспомогательной плоскости
в методе Нужина. В первом из указанных методов для этой цели с успехом
используется способ „горок", во втором приходится непосредственно вычи-
слять квадратуры (115).
В методе Л А. Симонова основную роль играет преобразование внеш-
ней по отношению к контуру крыла К части плоскости г на часть плоско-
сти ш вне круга L, аналогичное (113), с той лишь разницей, что при ш
в первой степени сохраняется комплексный коэффициент. Замечая, что из
первых Членов разложения (113) можно выделить группу, представляющую
отображение некоторой „эквивалентной" пластинки, имеющей одинаковую
с рассматриваемым крыловым контуром подъемную силу, Л. А. Симонов
интерпретирует указанный комплексный коэффициент, как одну четверть
комплексного вектора, совпадающего по величине и направлению с экви-
валентной пластинкой. Ряд (113) может быть представлен при этом в виде
((в и 1у — проекции эквивалентной пластинки)
1 00 п
z = •
(П6)
Отделение действительной и мнимой частей приводит к рядам, аналогич-
ным (113'), которые, пользуясь известными формулами теории функции ком-
плексного переменного, удается представить в интегральной форме:
2тс
х (е) = — 4 [-Н®') etg 6 2 dfi' + -g- lx cos 0 — -i- ly sin 0 -ф const,
о
У = 4 f х C,g в + 4"sin 6 + у 1У cos 6 “1” const
0
Определенные в точках крылового контура производные
Удовлетворяют системе равенств:
21г
(б)=- к J ctg d0/ - 4sm 6 - 4 iu c°s °'
о
2л
Ч (е) — Г (6') etg -....---в dV -ф- 4 cos 0 — sin 6,
о
(116')
(117)
316 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
аналогичной (116'). Расчет функций: х(6), (6), Xj; Гб), X^(fl) может быть
произведен путем последовательных приближений в системах (116') и (117)
причем входящие в правые части этих уравнений интегралы могут быть
сведены к суммам, аналогичным применяемым в механических квадрд.
турах.
Основной особенностью метода Л. А. Симонова является установленная
нм тесная связь между параметрическими выражениями координат крылового
профиля х (6), у (6) и величинами Хж (6) и ).& (6), входящими в основную
формулу распределения скоростей. Это позволяет при пользовании методом
Рис. 98.
разрешать как прямую задачу разыскания распределения скоростей на по-
верхности заданного профиля, так и обратную задачу определения формы
крылового профиля по заданному распределению скоростей или давлений
по его поверхности.
Расчет по методу Симонова становится особенно простым, если иссле-
дуемый произвольный профиль сравнивать с близким ему профилем, обте-
кание которого уже известно. В этом случае ^ело сводится лишь к опреде-
лению малых поправок.
В оригинальной статье Л. А. Симонова можно найти интересные мате-
риалы, иллюстрирующие применение метода к конкретным крыловым про-
филям. Весьма существенен указанный автором прием составления нового
। 49] Теорема Жуковского Для плоской реШеТки 317
профиля путем сложения комплексных координат или пропорциональных нм
величин двух известных профилей, и определения скоростей по поверхности
такого составного профиля.
На рис. 98 сплошными кривыми представлены рассчитанные по методу
Серебрийского распределения давления по верхней и нижней поверхностям
некоторого симметричного профиля, имеющего сравнительно с профилем
Жуковского смещенное назад миделево сечение (место максимальной тол-
щины).
По оси ординат отложена уже знакомая нам безразмерная величина раз-
ности давлений в данной точке поверхности профиля и на бесконечности,
отнесенная к скоростному напору набегающего потока
- Р —Роо
р== -------,
-PVa
2 F 00
по оси абсцисс — безразмерная координата, равная отношению абсциссы точки
на профиле, отсчитываемой по оси симметрии профиля от носика, к длине
профиля.
Как видно из графика, смещение назад места максимальной толщины
симметричного профиля приводит при нулевом угле атаки к более плавному
распределению давлений по поверхности профиля, чем у симметричного про-
филя Жуковского (на рис. 98 — пунктир) той же относительной толщины.
В дальнейшем будет показано, что при прочих равных условиях, в частности,
при том же коэффициенте подъемной силы, плавность распределения является
положительным признаком крылового профиля с точки зрения его сопроти-
вления н поведения при больших скоростях. Далее нз графиков видно, как
меняется распределение давления при возрастании угла атаки, как возникает
пик разрежения j»min на верхней поверхности и насколько он быстро разви-
вается (на рис. 98 пик разрежения, при а — 10° равный />ntin = 4,5, не поме-
стился на чертеже).
Как можно заключить нз предыдущего, задача об определении обтекания
крылового профиля произвольной формы не представляет теоретических
трудностей. Существующие в настоящее время работы посвящены, главным
образом, улучшению вычислительных приемов.
Для той же цели может служить специальный электрический прибор,
использующий для определения потенциала скоростей обтекания электро-
гидродинамическую аналогию (ЭГДА) между этим потенциалом и электриче-
ским потенциалом, создаваемым в специальной электролитической ванне.
§ 49. Обобщение теоремы Жуковского на случай плоской
решетки с бесчисленным множеством профилей
Под плоской решеткой профилей (рис. 99) обычно понимают сово-
купность одинаковых крыловых профилей, каждый из которых полу-
чается из смежного параллельным переносом на некоторую, называемую
шагом, длину t, в заданном направлении, определяющем ось решетки.
Угол р между хордой профиля и перпендикуляром к оси решетки
иногда называют углом выноса, дополнительный угол р' —углом уста-
новки профиля в решетке. Вектор t, равный по длине шагу и напра-
вленный перпендикулярно оси решетки в сторону течения, назовем
вектором-шагом‘ такое векторное представление шага позволит нам
ж
НЛОСЙОЕ ЁЕЗВИХРГ.ВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДЙОб'1'Й
|гл. v
в дальнейшем получить формулы действующих сил, не зависящие от
выбора направления осей координат.
В отличие от одиночного профиля, в бесконечном удалении впе-
реди и позади решетки
скорости в общем случае различны как по
величине, так и по направлению. Решетка
не только меняет скорость набегающего
на нее потока, но и поворачивает поток
в целом.
Обозначим (рис. 100) вектор скорости
потока в бесконечности перед решеткой
через Vt, давление — через р1г соответ-
ственно вектор скорости и давление
в бесконечном удалении за решеткой —
через V2 и р2; будем считать жидкость
несжимаемой и плотность ее р повсюду
одинаковой.
Рассмотрим в плоскости чертежа трубку
тока, образованную двумя какими-нибудь
линиями тока, сдвинутыми друг по отно-
шению к другу в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу.
Весь поток можно, очевидно, разбить на такие равные между собою
трубки тока, так как обтекание обладает свойством пространственной
периодичности с периодом, равным шагу.
Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за
контрольную поверхность только что выделенную трубку тока и два
бесконечно удаленные сечения трубки и а2, параллельные оси
решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая через R главный
вектор сил давления потока на профиль, будем иметь:
(Pi-PaJt + pa-V^Vj—p(t.Va)Va-R = O, (118)
4<j] ТЕОРЕМА ЖУК0ЙСК01 б ДЛЯ ПЛОСКОЙ РЕШЕТКИ 519
где t — уже введенный ранее вектор-шаг, равный по длине Cj = а2 и
направленный по перпендикуляру к этим сечениям; величины
tv1=t-v2
представляют равные между собою объемные расходы жидкости сквозь
сечения трубки тока, (—R) — главный вектор сил давления профиля
на поток.
Предполагая поток безвихревым и применяя теорему Бернулли,
получим
или, представляя разность квадратов скоростей как скалярное произ-
ведение суммы векторов скоростей на их разность,
p1-p2=4p(v1+v2)(v2-v1).
Введем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю
векторную скорость
и скорость девиации потока
Vd==
характеризующую отклонение потока решеткой. Тогда будем иметь:
Pl Р2 РЧ„ '
t.V1 = t.V2==t.V,„, t.Vd = t.(V2-V1) = 0,
и равенство (118) перепишется в форме
R = p(v„-vd)t~p(vM-t)vd,
представляющей известное разложение двойного векторного произве-
дения
R = X (t X Vd). (119)
Вектор
r=txvd=txv2—txv, (1199
равен по величине циркуляции скорости по замкнутому контуру, охва-
тывающему один профиль. Действительно, оба вектора справа имеют
одинаковые направления (перпендикулярно плоскости чертежа), так
Г = 1|*Х V2|— |tXVj| = |b V1Sin(CVi) — t- V2 sin (О2) | =
- | tV. cos (a^VJ —ft^cos (CV2) |,
320 ЙЛбсИОЕ ЬЕЗЙИХРЕЙбЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (Гл. V
с другой стороны, вычисляя циркуляцию по замкнутому контуру вокруг
профиля, например по обводу контрольной поверхности, в направле-
нии, указанном на рис. 100 отдельными стрелками, заметим, что сла-
гаемые циркуляции, рассчитанные по отрезкам линий тока, в силу
периодичности движения взаимно сократятся, и циркуляция сведется
к разности
Г = |/IZj c°s (аг, VJ— /V2cos(c2, V2)|.
Итак,
R = pv,„xr. (119")
В силу взаимной перпендикулярности V,„ и Г найдем величину
главного вектора в виде:
/? = pVmr, (120)
аналогичном формуле Жуковского (86) § 43. Вектор R направлен пер-
пендикулярно средней векторной скорости Nm, играющей при обтека-
нии решетки профилей ту же роль, что скорость на бесконечности
в случае одиночного профиля. Направление вектора R можно опреде-
лять как непосредственно построением произведения (119) по заданным
направлениям t, V,HJ и Vd, так и путем использования поворота век-
тора V,„ на 90° в сторону, противоположную „положительному напра-
влению циркуляции".
Введение средней векторной скорости V,B представляет большое
удобство для сравнения подъемных сил крыловых профилей: одиноч-
ных и в решетке. Сопоставляя обтекание профилей одной и той же
жидкостью при равенстве скорости на бесконечности — в случае
одиночного профиля и средней векторной скорости Vm — при обтека-
нии профиля в решетке, будем иметь для отношения подъемных сил
равенство:
k — /?реш ^одпн === Греш • Годин-
Направление подъемных сил при Vo, = Vm также будет одинаковым.
Замечая, что, в силу равенства
t • Vd = t • V2 —t • Vt = 0,
вектор t перпендикулярен к Vd (вектор Vd, следовательно, имеет то
же направление, что и ось решетки), а вектор t X Vd перпендикулярен
к плоскости течения, т. е. и к VTO, можем переписать равенство (120)
в виде
R = ?tVmVd.
Это скалярное равенство, так же как и векторное равенство (119),
имеет то преимущество, что указываем- в явной форме зависимость
(прямую пропорциональность) главного вектора R от плотности жидко-
сти, шага решетки и двух характерных скоростей — средней вектор-
ной и скорости девиации потока решеткой.
49] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО ДЛЯ ПЛОСКОЙ РЕШЕТКИ 321
Таким образом, теорема Жуковского обобщается на случай без-
вихревого обтекания плоской решетки профилей. Легко видеть, что
при беспредельном увеличении шага обобщенная теорема Жуковского
переходит в теорему для одиночного профиля. При / —> оо циркуля-
ция Г стремится к циркуляции вокруг одиночного профиля, следова-
тельно, по (119')*.
при/—> со, V(l—>0, Vj Vg V„>,
так что
V4» = y(VJ4-V2)^Vco,
и мы вновь приходим к обычной формулировке теоремы Жуковского
о подъемной силе одиночного крылового профиля.
Изложенный вывод теоремы не был связан с выбором системы
осей координат. Если задать систему координат, направив ось Ох по
вектору-шагу, а ось Оу по оси решетки, то в обычных обозначениях
будем иметь, согласно только что выведенным векторным формулам:
= ргЦ? = у р fa 4- v2) Г,
+ [ (121)
Постановка прямой задачи об обтекании решетки такова: задается
вектор скорости перед решеткой геометрические параметры решетки
(шаг, угол выноса или установки), форма профиля и угол между осью
решетки и направлением потока перед решеткой или какой-нибудь
другой, связанный с ним угол. Следует определить направление и вели-
чину скорости на бесконечности за решеткой при условии выполнения
постулата Жуковского — Чаплыгина о безотрывном обтекании задних
острых кромок профилей, а также силовое действие потока на решетку.
В качестве иллюстрации применения выведенных общих формул рас-
смотрим обтекание пластин, расположенных вдоль оси х (рис. 80). Согласно
теории, изложенной в § 40, скорости на бесконечности V] до и V? за решет-
кой будут в этом случае иметь проекции (выбранное в § 40 направление осей
координат отличается от настоящего):
— Ч-
где 3
КС
а и<х> и —проекции иа оси координат (рис. 80) скоростей на бесконеч-
ности до и за решеткой при бесциркуляционном обтекании рассматриваемой
решетки.
21 Зак, ниц Д р. Лойцлаский.
3^2
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
Средняя векторная скорость Vm будет иметь, очевидно, проекции:
uim = и“’ »' = 4 (г1 + = V°°’
равные проекциям скорости, соответству ющей бесциркуляционному обтеканию
решетки пластинок.
Замечая, что шаг в данном случае равен t = 2а, будем иметь по послед-
ней из формул (121):
Г = 2а [(«ет + q) — («ет — q)\ = 4aq = Aav^ tg ~ = 2tvm tg ,
где 1 = 2c — длина пластинки. Вспоминая формулу (61) § 40, найдем по (120)
отношение подъемных сил пластинки в рассматриваемой решетке и одиночной
пластинки:
, *Геш _ греш _4<W“tg "2а _ 2я т.с __2t я1
Годин 2те»ет лС g 2а ~l g 2Г
Как видно из полученной формулы, коэффициент k пересчета подъемной
силы с одиночной пластинки на соответствующее обтекание пластинки
в решетке представляет функцию относительного шага ///. В случае решетки
пластинок, ориентированных перпенди-
кулярно оси решетки Ох, соответ-
ствующая формула пересчета имела бы
вид
(123)
я/ zt
На рис. 101 приведены графики
зависимости коэффициента k от отно-
сительного шага решетки пластинок при
различных углах установки ₽ (рис. 99)
пластинок в решетке. Соотношениям
(122) и (123) на графике соответствуют
крайняя верхняя и крайняя нижияя кри-
вые. Интересно отметить, что при углах
(3, меньших 50°, и при любых относи-
тельных шагах коэффициент k меньше
единицы, т. е. подъемная сила пластинки
в решетке меньше, чем у одиночной
пластинки. Наоборот, при углах уста-
новки, приближающихся к ₽ = 90°, и не
очень малых относительных шагах ко-
эффициент k становится значительно
превосходящим единицу. При больших
относительных шагах
коэффи-
циент k, естественно, независимо от угла
установки р, стремится к единице.
Разыскание комплексного потенциала обтекания решетки профилей пред-
ставляет задачу, значительно более трудную, чем соответствующий вопрос
теории обтекания одиночного профиля; объем настоящего курса не позволяет
становиться на изложении даже простейшей задачи об обтекании решетки ,
ставленной из пластин. Отсылаем интересующихся к недавно вышедшей
49] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО ДЛЯ ПЛОСКОЙ РЕШЕТКИ 323
в свет монографии Н. Е. Кочина.1 В этой краткой, но весьма содержатель-
ной монографии излагается теория обтекания плоских решеток, составленных
как из пластин и тонких дужек, так и из теоретических профилей конечной
толщины. В настоящее время созданы различные методы расчета обтекания
решеток, составленных из профилей произвольной формы,2 однако эти
методы еще только начинают получать практическое применение. Точно так
же, как и в случае одиночного профиля, большие услуги в деле определения
потенциала обтекания и распределения скоростей и давлений по поверхности
Дюфиля в решетке оказывает метод электро-гидродинамических аналогий
(ЭГДА).3
I Н. Е. К о ч и н, Гидродинамическая теория решеток. Серия „Современ-
ные проблемы механики", Гостехиздат, 1949.
2 Н. Е. К о ч и н, Влияние шага решетки на ее гидродинамические хара-
ктеристики. Прикл. матем. и механ., т. V, вып. 2, 1941;
Л. А. Симонов, Построение профилей по годографу скоростей. Прикл.
матем. и механ., т. V, вып. 2, 1941;
Э. Л. Блох, Исследование плоской решетки, составленной из теорети-
ческих профилей конечной толщины. Труды ЦАГИ, вып. 611, 1947;
3 Желающим углубить свои знания в области теории плоского движения
рекомендуем монографию Л. И. Седова, Плоские задачи гидродинамики.
Гостехиздат, 1950.
21*
ГЛАВА VI
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
§ 50. Основные уравнения плоского стационарного безвихревого
движения сжимаемого газа. Линеаризированные уравнения
Общие уравнения изэнтропического плоского стационарного без-
вихревого движения идеального сжимаемого газа при отсутствии объем-
ных сил и отвода тепла, согласно изложенному в гл. 111, можно свести
к интегралу Бернулли:
Г2 . & V- , k р V'2 । а) ,
2 2 + А — 1 р~ 2 — 1 “ COnS ’ W
уравнению неразрывности:
= (2)
дх 1 ду v ’
и уравнению изэнтропы:
const; (3)
к этим уравнениям присоединяется еще уравнение отсутствия вихря:
Перепишем уравнение неразрывности (2) в виде:
дм । др . др I dv п ,п/\
г дх 1 дх 1 ду 1 1 ду
и произведем в этом равенстве замену:
др dp др р 1 др р д$
1Д- * ,.) , . им ,/Л
дх dp дх а2 р дх а2 дх ’
др _ dp . др____ р . 1 др____р_
ду dp ду ~ а2 р ду ~ а1 ду ’
или по (1):
др р / ди * dv\
дх а2 \ дх 1 дх)
др р{ ди . д&\
ду а2\ ду 1 ду)
§ 50] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ БЕЗВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ 325
Тогда уравнение (2') после простых преобразований сведется
к такому:
В этом уравнении две неизвестных функции и и v могут быть
сведены к одной—потенциалу скоростей © (х, у), так как, согласно (4),
будем, очевидно, иметь:
Что касается величины а2, то связь ее со скоростью газа V в дан-
ном месте определяется интегралом Бернулли
V2 . а2 .
^-+r3TT==const’
так что
— 1 г s । 2\ , * — 1 Г/ д-р \2 . / д?
«2 = const----(и2 + v2) = const-------2“ [(df) + (dy) J’
Уравнение (5) представляет сложное нелинейное дифференциальное
уравнение второго порядка в частных производных относительно неиз-
вестной функции © (х, у), вопрос об интегрируемости которого при
заданных граничных условиях представляет непреодолимые трудное™.
Как это уже было сделано в гл. IV при рассмотрении одномерного
нестационарного движения, попытаемся линеаризировать уравнение (5j,
сделав предположение, что в рассматриваемом движении поле скоро-
стей, плотностей, давлений и др. мало отличается от некоторого одно-
родного движения со скоростью Vm, плотностью р^, давлением рт
и т. д.
Выбирая ось х параллельной этому однородному потоку, будем
иметь:
ы=1/оо-|-ц', v = v, р = Рсо+р', р^Рсо-|-/, а = аю^-а',
где величины и', v , р', р' и а', так же как и их производные по
координатам, считаются настолько малыми, что можно пренебрегать
их квадратами и произведениями.
В этом предположении будем иметь вместо (5) следующее линей-
ное уравнение:
которое, после введения числа Моо = —, перепишется так:
аоо
(1 — М5э) — = О* (8)
v ’ дх 1 ду ' 7
326 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Разбивая потенциал скоростей <р на потенциал однородного потока
и малый потенциал <р' возмущений,, будем иметь:
после чего уравнение (8) приведется к виду:
(1—М^)
д2д' I д2&'____
дх2 * ду2
0.
(Ю)
Из уравнения неразрывности (2) следует, что существует такая
функция ф(х, у), по аналогии с несжимаемым потоком называемая
функцией тока, что
Р ____д<Ь р ______ дф к
Р«/“"ФУ’ Роо
В условиях принимаемой линеаризации уравнений движения сжи-
маемого газа разобьем функцию тока 4», аналогично (9), на функцию
тока однородного потока и функцию тока возмущений, соответ-
ствующую отклонению действительного потока от однородного, по-
ложив
6=17^4-,}/; (12)
тогда, согласно (11), будем иметь:
или, откидывая малые второго порядка:
р' I/
— V qq ------- —-
Рсо оу
(13)
дх ‘ ,
Освободимся в первом из этих равенств от р', выразив его через
добавочную скорость и', согласно формуле Бернулли, переписанной,
в силу уравнения изэнтропы, в виде:
V2 k р V2 k / р ’
у+-р = -у + й~г ’ у; (
V2
Т
k— 1
ft —1
= const,
§51] ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ ГАЗОВЫЙ поток 327
Будем имегь, задавая константу на бесконечности,
(К» + «')2 в“ h Д_ Р' V”1 - _L
2 "г А —1 »“рот/ 2 ' k — Г
или
2
V^u' +f^pZ = °-
гео
Исключая из этого равенства — и подставляя в (13), найдем:
Рсо
, 1 ЙФ' 1
// ’ »" 1.»»'«“ 1 ' *.. I
1-<йу’1
Если последние выражения и' и # подсгавить в условие отсут-
ствия завихренности (4), то получим уравнение относительно Ф,;
й2/ . 1 й^/
йх2 ' 1 — 1'С йу2 = °> (15)
аналогичное уравнению (10) относительно добавочного потенциала </.
Уравнения (10) и (15) представляют линеаризированные уравне-
ния плоского безвихревого движения сжимаемого газа-, их следует
решать при обычных граничных условиях для скорости на бесконеч-
ности и на поверхности обтекаемого тела (условие непроницаемости).
Покажем ход решения линеаризированных уравнений на простейших
примерах.
51. Линеаризированный до- и сверхзвуковой газовый поток
вдоль волнистой стенки
В качестве первого примера решений линеаризированных уравне-
ний рассмотрим поток вдоль безграничной волнистой стенки (рис. 102)
в виде синусоиды с амплитудой в, весьма малой по сравнению с дли-
ной волны X. Уравнение такой стенки будет
. y = esin— х. (16)
к
Определим возмущения и', v', р', р', вносимые твердой стенкой
в однородный поток со скоростью К», направленный вдоль оси Ох.
Начнем с рассмотрения дозвукового потока, при котором Мто < 1,
Обозначим через <п2 величину:
W2= 1 — Мед;
328
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХР1ВОЬ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГЛ.ЗА
Ггл. VI
будем искать решение уравнения (15) при следующих
условиях:
при у = е sin -у- ф =• О,
или, согласно (12):
. 2лх ,, ,. . 2лх
при у — е sin -у- 4 = — Vme sin --у-
и
при у —> оо ф' -> к конечной величине.
граничных
’ (17)
Рис. 102.
условиям (17), в форме произведения двух функций от отдельных аргу-
ментов Х(х) и У (у):
¥ = Х(х).У(у); (18)
подставив это выражение в (15), получим
Х'(х)У(у) + ±Х(х)У"(у) = О,
или
Х"(х) У" (у}
Л (л) Ш2УО') *’
где 72—-некоторая постоянная.
Отсюда находим систему частных решений
vz х/sin-ух,
Х(х)~ | у(у) — L-w
из которых можно составить комбинацию, удовлетворяющую гранич-
ным условиям (17),
ф' == A sin-ух е~ (19)
2л
если положить -у = —.
Действительно, на стенке (у = е sin должно по (17) выпол-
няться равенство
ф' — A sin-ух • е~T“sln г® ^=А sin ух (1—у<ое sin jx-f-.. .)=—VTOe sin fX,
§51) ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ ГАЗОВЫЙ ПОТОК
329
Это граничное условие будет выполнено приближенно, если положить
А = - (20)
и отбросить в предыдущем равенстве, согласно принятой линеариза-
ции, члены с е2 и высшими степенями а. Можно еще поступить иначе:
выполнить первое граничное условие (17) точно, но не на поверх-
ности стенки, а на оси Ох, положив
при у — 0, у = — Vco® sin ух.
Подобный прием, характерный для всех методов рассмотрения
движений, мало уклоняющихся от некоторого прямолинейного, приме-
нялся уже в предыдущей главе при рассмотрении задачи об обтекании
тонкой мало вогнутой дужки потоком несжимаемой жидкости, набе-
гающей на дужку под малым углом атаки.
Второе граничное условие, очевидно, также выполняется.
Итак, по (19) и (20), имеем решение поставленной задачи:
ф'=— 1/С()г sin-рг • е (19')
а используя (14), находим искомые проекции скорости:
1 <)Ф'
;--—j- —- = ту===- sin ух е
ду /1-м^ 1
, di>' — (]/1—mIv
1 — — уг— = Кое-у cos рс • е “ .
(21)
Как видно из этих решений, при удалении от волнистой стенки
(у —> со) дополнительные скорости и' и У быстро, по показательному
закону, убывают до нуля, т. е. движение вдалеке от стенки перехо-
дит в невозмущенный однородный поток со скоростью К» (рис. 103).
Сравнивая полученное дозву-
ковое движение газа с соответ-
ствующим движением несжи-
маемой жидкости со скоростью
Ул около той же волнистой
сгенки (Моо=0):
и' = sin ух • е~ iy>
v' = VcoST COS ух • e~iv>
Рис. 103.
которое можно получить из (21), полагая в нем Мсо = 0, заметим
существенный для дальнейшего физический факт: в дозвуковом по-
токе с ростом числа Мю область возмущающего влияния стенки уве-
личивается.
330 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
Отношения добавочных скоростей в сжимаемом и несжимаемом
газе равны:
и
иох в
Множ 1--Mjo
Фнсж
Таким образом, линии тока при Ма, —0 выпрямляются скорее,
чем при больших М.т (рис. 103).
Определим распределение давления дозвукового потока на волни-
стую стенку.
Для этого введем, как обычно, коэффициент давления
который в случае линеаризированной теории равен
(22)
2
По теореме Бернулли
Vs k Р k Роо
2 > k — 1 р ~ 2 ‘ Л-— 1 рю’
исключая плотность при помощи изэнтропы,
__ ( р \1,к
Р -- Рсо I — J ,
'Роу
получим
или, вводя малые отклонения и', v' и р':
V‘i= + 2VcOU' | k Ра>(, k~} Р } k Poo
2 I ft—1 prav+ k Pa) 2 "I k— I Poo’
Voozz/ -P— — 0,
Pco
p’ ~-----PcoVooW',
§ 51] ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ ГАЗОВЫЙ поток 331
Подставляя это значение р' в формулу (22), найдем общее выра-
жение коэффициента давления р в линеаризированной теории
р = ~. (23)
F со
В частном случае волнистой стенки будем, согласно первой из
формул (21), иметь
— 2ет . —t —Ма у
р =------1 -sin -tx • е ‘ г °° .
/1-М^о
Давление на волнистую стенку получим, если, следуя принятому
приближению, положим в последней формуле у ~ 0; будем иметь
(р)у~ь = - 2еТ — sin
Сравнивая коэффициент давлений на стенке в сжимаемом газе при
данном Мк и несжимаемом (Мот = 0), получим
( Pons. \1
'Раож' у = 0 И 1 —
— важное соотношение, показывающее, что в принятом приближении
коэффициент давления по поверхности обтекаемой стенки растет
с числом Мео по закону
р^ = -^=. (24)
Это соотношение в дальнейшем будет обобщено и уточнено.
Перейдем к рассмотрению сверхзвукового потока (М^ > 1). Вводя
в этом случае обозначение
= Моо---- 1 >
перепишем уравнение (15) в виде:
дх? <О« ду? ‘ '
Это волновое уравнение имеет, как известно, общее решение
С/i и /2— символы произвольных функций)
ф' =ft(x — ту) +/а (А- + ту),
в чем легко убедиться простой подстановкой.
Рассмотрим решение, соответствующее первому слагаемому
(х — шу),
332 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
Полагая
х—wj — Cj,
убедимся, что вдоль прямых этого семейства (CJ величины ф', и',
v', р' и т. д. принимают постоянные значения (/(GJ, и’ (С,) и т. д.
Вспоминая сказанное в § 28 гл. IV, видим, что семейство прямых (С,)
представляет одно из двух семейств характеристик волнового
уравнения (159. Аналогично, семейство прямых (С2)
х+<оу = С2
представляет второе семейство характеристик того же волнового
уравнения.
Уравнение (15') — линейное уравнение с постоянными коэффи-
циентами; в силу этого характеристики (Cj) и (С2), в отличие от рас-
смотренной в § 28 гл. IV нелинейной системы (27), определяются
в простой конечной форме. Вспоминая ранее изложенные свойства
характеристик, убеждаемся, что и в настоящем частном случае, зная
распределение характеристик в плоскости х, у, можно по заданным
значениям ф', и', v’, р’ и т. д. вдоль некоторой линии, не принадле-
жащей к семействам характеристик, найти значения этих величин
во всей плоскости:
и" (х — wy) = и' (С\), v' (х — <ву) = vf (<?i),
и' (х -f- <оу) — и' (С2), v' (х <ву) = К (С2) и т. д.
Принимая во внимание необходимость выполнения граничных
условий:
/ 2л \
при у = 0 ф = — К»е sin ух, (у = -у-)
при у -> со ф' -> к конечной величине,
будем искать функцию ф' в виде
ф' = A sin [у (х — <оу)].
Тогда из первого граничного условия будет вытекать
А = — Ков,
что приведет к следующим окончательным результатам:
ф' = — Kossin[y(x — a>v)],
1 <Эф'
ur —-----z------- =----===== COS ly (x -— wv)l,
M^-1 dy VX-I 1 J
W (25)
v = “ 337 = l/«,ey cos [y (x — <^I,
p = ~7=== cos [y (X —
VC-i
§ 51]
ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ ГАЗОВЫЙ ПоТОк
333
2еТ
Прежде всего отме-
- i+ccwst
Мт>!
Рис. 104.
на поверхности волнистой стенки в выбранном приближении
(у s 0) будем иметь:
= 77=™=-cos Iх-
у
Проанализируем полученные результаты (25).
тим следующее специфическое свой-
ство сверхзвуковых потоков: воз-
мущающее влияние стенки на по-
ток не исчезает при удалении от
стенки, как это имело место в до-
звуковых потоках. Наоборот, возму-
щения, создаваемые стенкой, сохра-
няют свою величину вдоль наклонных
к стенке прямых линий (рис. 104):
х— <s>y = const.
Угловой коэффициент этого семейства
вого уравнения (15') равен
dy 1 1
-i. = t сг а — — = . .:=т—
dx ь ш -J/M2 — 1
(26)
характеристик волно-
arc sin J-
Л 1
а =
в рассматриваемом
тем меньше „угол
с осью Ох. На рис.
По § 27 гл. IV заключаем, что характеристики играют роль линий
возмущения
число Моо,
возмущений
8=0
8=0
Рис. 105.
сверхзвуковом потоке. Чем больше
возмущения" а, образуемый линиями
104 показано взаимное расположение
линий тока и „линий возмущения" —
характеристик сверхзвукового по-
тока.
Сравним между собою распределе-
ния давления по поверхности стенки
в дозвуковом (23') и сверхзвуко-
вом (26) потоках. Распределения
эти сдвинуты по фазе друг относи-
тельно другана-^- (рис. 105), чго
приводит к принципиально отлич-
ным распределениям давлений в до-
и сверхзвуковом потоках.
полном согласии с обычными представле-
В дозвуковом потоке, в
ниями о сгущении линий тока при обтекании выступов и, наоборот,
разрежении линий тока при омывании впадин, р достигает своего
максимального и минимального значений во впадине и на гребне
волны (рис. 103). В сверхзвуковом потоке, как видно из (26), на
гребне волны, так же как и во впадине, коэффициент давления р
334
Плоское йезви^ревое Движение снимаемого Газа [гл. у.
равен нулю, т. е. р = ра,; давление достигает своего максимального
значения (рис. 105) по середине восходящей ветви синусоиды (х — 0),
в точке перегиба синусоиды, и минимального — по середине склона
Формулы (23') и (26) можно переписать в виде:
2fh (х)
(Р)у=о
(Мет<1),
(М« > 1),
(27)
определяет ординату волни-
м2
со
. 2 dh
где функция Л (х) == е sin № е sin р;
стой стенки. Как видно из выражений (27), распределение давлений
при дозвуковом потоке находится в противофазе с профилем волни-
стой стенки, т. е. следует за изменением ординаты, но в противо-
положном направлении. Распределение давления в сверхзвуковом по-
токе оказывается пропорциональным угловому коэффициенту профиля
стенки, т. е. тангенсу угла наклона профиля стенки к оси Ох, или,
в силу малости углов, пропорциональным самому углу наклона. Назо-
вем угол между направлением скорости в данной точке и осью Ох
местным углом атаки. Тогда из второй формулы системы (27)
следует, что коэффициент давления на поверхности стенки
в линеаризированном сверхзвуковом потоке пропорционален мест-
ному углу атаки:
2
(P)y=o ~ 77 f • °-
(28)
Полученные на простом и наглядном примере волнистой стенки
результаты обобщаются и на общий случай линеаризированного по-
тока— на задачу об обтекании тонкого крыла.
§ 52. Тонкое крыло в линеаризированном до- и сверхзвуковом
потоках. Влияние сжимаемости газа на коэффициент подъемной
силы в дозвуковом потоке. Коэффициенты подъемной силы
и волнового сопротивления при сверхзвуковом потоке
Линеаризированные уравнения движения сжимаемого газа могут
быть использованы для приближенного исследования обтекания до-
и сверхзвуковым потоком тонкого, мало изогнутого крыла при малых
углах атаки.
Начнем с дозвукового обтекания. Обратим прежде всего внимание
на следующее свойство уравнений (10) и (15): если в этих уравнениях
от аргументов х и у перейти к новым переменным:
Ч = х, (29)
ТОНКОЕ ЙРЫЛО В ЛИНЕАРИЗИРОВАННОМ ПОТОКЕ
§35
§ 52]
г0 уравнения (10) и (15) во вспомогательной плоскости Ц примут
ВИЛ' д*?' t dV n । п
д& । дц* — и’ д? dtp ~ г
(30)
ничем не отличающийся от соответствующих уравнений для потенциала
скоростей и функции тока несжимаемой жидкости.
В результате преобразования (29) отрезки, параллельные оси Ох,
останутся в плоскости неизменными, отрезки же, параллельные
оси Оу, — сократятся в —= ..L-= . раз.
И1-м2ет
Такая „анаморфоза" физической плоскости ху во вспомогательную
плоскость Ь) приведет к изменению граничных условий обтекания:
во-первых, преобразованный профиль будет иметь измененную форму,
так как все его ординаты в плоскости 5^ сократятся в — 1
раз, а абсциссы останутся неизменными; во-вторых, угол атаки набе-
гающего потока на бесконечности в плоскости 5т] по той же причине
I
уменьшится в —===== раз.
у 1—М^
Если с самого начала взять в плоскосги ху вспомогательный
тонкий крыловой профиль, у которого ординаты в - „ 1.....— раз
больше, чем у исследуемого профиля, а угол атаки в то же число раз
превосходит заданный угол атаки, то после проведения преобразова-
ния (29) задача об определении обтекания заданного профиля сжи-
маемым потоком сведется к задаче обтекания того же профиля
с теми же условиями на бесконечности, но уже во вспомогательной
плоскости т. е., согласно уравнениям (30), в некотором „фиктив-
ном" несжимаемом потоке. Замечая, что при М№ = 0 плоскости $т;
и ху совпадают, и обозначая индексами „сж“ и „нсж“ соответствую-
щие величины в сравниваемых между собою сжимаемом (Мх ф 0) и
несжимаемом (Мю = 0). потоках, будем иметь:
________ ^'?нож , д1!1НОЖ
й? дх ’ dig ду ‘
(31)
Таким образом, согласно (14), (29) и (31), получим для сравни-
ваемых обтеканий:
Щ»К =
1___ д’Иж___1 у" | ____Ииож (32)
1-М^ ду “ dq ~ }
336 ПЛОСКОЕ ЙЕЗЙИХРЕЙ0Е ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гЛ. VI
Вспоминая выражение (23) для коэффициента давления, составим
выражения:
- 2и
Рож у v оо
(33)
— AUHCiK
Рнож у
и, разделив первое на второе, согласно (32), получим основное
в теории дозвукового линеаризированного потока соотношение
рсж---
Р нож
(34)
представляющее обобщение формулы (24') на случай любого слабо
изогнутого тонкого крылового профиля.
Сделанный вывод об увеличении в отношении 1 : V 1 —-М„ коэф-
фициента давления р при переходе от движения с числом Мс,;, = О
к движению с данным значением Мео можно также интерпретировать
как увеличение коэффициента давления в несжимаемом газе за счет
увеличения ординат верхней и нижней поверхностей обтекаемого тон-
кого крыла и, соответственно, угла атаки потока.
Предыдущее рассуждение было основано на предположении, что
поток повсюду дозвуковой и что, кроме того, допустима его линеари-
зация, г. е. имеет место малость величин и', р', р' и др. Не оста-
навливаясь на количественной стороне вопроса, укажем, что чем ближе
будут условия обтекания рассматриваемого профиля к условиям
линеаризации потока, тем при больших < 1 поток будет повсюду
дозвуковым — местное значение числа М во всем потоке будет мень-
шим единицы (М < 1).
Условие малости и’, я' ... и связанное с ним по (33) условие
малости рож и ртх не выполняются в критических точках на про-
филе, где:
У= -[_«'== 0, u' = — Voc;
pneiK — 1-
Строго говоря, применение формулы (34) для всей поверхности
профиля допустимо лишь при безударном входе на тонкую, мало
искривленную дужку и плавном сходе потока с задней ее кромки.
Вспоминая, что подъемная сила представляется главным вектором
сил давлений на поверхность профиля, заключим, что соотношение (34)
сохраняет свою силу и для коэффициента подъемной силы, так что
Гу сяг
с
'-у нож
/1-<*
(35)
ТОНКОЕ КРЫЛО В'-ЛИНЕАРИЗИРОЙАННОМ ПОТОКЕ
33?
§ 52J
Заметим, что последнее соотношение, как „суммарное" (по по-
верхности профиля), оказывается верным в более широком диапазоне
чисел Моо, чем „местное" соотношение (34). На рис. 106 приведены для
Су СЖ
Су НСЖ
Рис. 106.
сравнения теоретическая кривая по формуле (35) и экспериментальные
пунктирные кривые по
(6,5%) мало изогнутым
винтовым профилем при
углах атаки 2 7 и 4°.
Как видно из ри-
сунка, при сравни-
тельно небольших зна-
чениях числа Mo, со-
впадение только что
изложенной простей-
шей теории с опытом
вполне удовлетвори-
тельно; при больших
значениях числа Maj
намечаются принципи-
альные расхождения
кривых.
Очень просто решается вопрос об определении обтекания тон-
кого крыла или дужки сверхзвуковым потоком (М.л%1), если встать
на путь применения линеаризированного уравнения (15'). Рассмотрим,
например, обтекание тонкого крылового профиля (рис. 107), образо-
ванного из двух кривых, имеющих уравнениями:
А. <ь е р р и, Исследования и испытания в аэродинамической трубе
сверхзвуковых скоростей в Гвидоиии. Сб. статей „К вопросу о максимальной
корости самолета", Оборонгиз, 1941, стр. 198.
22 Зак. 1841. Л Г. Лондонский.
ЗЗВ ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
1) верхняя поверхность
2) нижняя поверхность
_у2 = Л2 (х).
Замечая, что общее решение задачи об обтекании тонкого профиля
сверхзвуковым потоком складывается из двух функций:
Ф'=71(*—<°У) и <{/ = /2(x4-<oj), (ш=Ум«— 1),
проведем через точки верхней поверхности характеристики первого
семейства
X“ <йу к®
а через точки нижней поверхности—характеристики второго семей-
ства
х -j- ioji == С2.
Характеристики (линии возмущения) AAt и ДД2, проведенные
через переднюю кромку А, отделяют невозмущенный плоскопарал-
лельный поток слева от крыла. Поток, расположенный за характери-
стиками BBj и ВВ2, проведенными через заднюю кромку В, также
плоскопараллелен. Между этими крайними линиями возмущения нахо-
дится поток, возмущенный поверхностью крыла, причем вдоль каждой
из полос между двумя бесконечно близкими характеристиками поток
одинаков с потоком в непосредственной близости к соответствующему
элементу поверхности крыла.
Согласно второй из формул (27), будем иметь для верхней (в. п.)
и нижней (н, п.) поверхностей (здесь штрих обозначает производную
от йл, h.2 по х):
— 2h{(xj
причем отрицательный знак соответствует положительному знаку
перед у в уравнении второго семейства характеристик.
Найдем коэффициенты сопротивления и подъемной силы %
Имеем для элемента поверхности крыла ds следующее выражение
проекций сил давления:
dR.x — Р * sin 0 == р dy = р^ • dx — ph' (х) dx,
dR.v = —р ds cos Й = — p dx.
§ 52] тонкое Крыло в линеаризированном потоКК
Суммируя для верхней и нижней поверхностей, получим:
хв
Ra=-~j==:- f {[^(x)]s4-[^(x)]2}ifx--lpTOV«,
2 f / * 1 ,
/? .... г [hi (X) -j- hi (X)] dx - pmV^.
I/ — 1 z
» со а>,
А
Разность абсцисс хв — хА точек В и А обозначим через Ь и
примем за хорду, разность ординат ув —уА положим равной вели-
чине — h, при этом отношение h]b можно в выбранном приближении
рассматривать как угол атаки а. Тогда, переходя к коэффициентам
сопротивления сх и су, равным:
Rv
Г — ' '— /» —,— ,—,— ' __
ж 1 ’ у I ’
2-Poo1Z5ofc
получим окончательно
Г ([»;(*)]’+
*vX,-iaJ (37)
4 h 4а
С ---- --ф
* /Mi-1 Ь /Mi-1
Из формул (37) можно сделать следующие два основных вывода:
1) в линеаризированной теории тонкого крыла коэффициент
подъемной силы не зависит от формы крыла, а только от угла
атаки и числа Мет набегающего потока, 2) в отличие от дозву-
кового потока, тело, находящееся в сверхзвуковом потоке идеаль-
ного газа, испытывает сопротивление-, это сопротивление называют
волновым.
Коэффициент волнового сопротивления сх по сравнению с коэф-
фициентом подъемной силы су представляет малую величину второго
порядка. Так, например, если взять пластинку длины Ь, то
hi (х)== hi (х) =s —— а.
По первой из формул (37) получим:
/M*i-Г
22*
&4б ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
Коэффициент волнового сопротивления пластинки пропорционален
квадрату угла атаки.
Можно легко показать, что у крыла, имеющего вид чечевицы,
состоящей из двух дуг круга одинакового радиуса, коэффициент
волнового сопротивления будет равен (t—максимальная толщина
t \
крыла, у — относительная его толщина):
с = —--------------:Л__ - (4?, (38)
т. е. сумме коэффициента сопротивления пластинки и добавочного
слагаемого, зависящего от относительной толщины крыла. Как это
следует из первой формулы (37), пластинка, по сравнению с другими
тонкими профилями при том же угле атаки, имеет наименьший коэф-
фициент волнового сопротивления.
§ 63. Нелинеаризированные уравнения движения идеального
сжимаемого газа. Переход в плоскость годографа.
Уравнения Чаплыгина
В предыдущем параграфе рассматривались лишь те простейшие
случаи до- и сверхзвуковых течений, которые приводили к возмож-
ности использования линеаризированных уравнений движения. Малость
возмущений, создаваемых обтекаемыми телами, позволяла отбрасывать
вторые и старшие степени, а также произведения возмущенных эле-
ментов потока и их производных. При обтекании крыловых профилей
сравнительно большой толщины и вогнутости уже нельзя пользоваться
линеаризированными уравнениями и граничными условиями, а прихо-
дится обращаться к общим, нелинеаризированным уравнениям течения
сжимаемого газа.
Объем настоящего курса не позволяет останавливаться на изло-
жении различных существующих методов приближенного решения
нелинеаризированных уравнений.1 Наибольшее применение для решения
газодинамических задач в последнее время получили уравнения Ча-
плыгина, открытые им еще в 1901 г. и опубликованные в известной
докторской диссертации,2 представленной к защите в Московский
университет в 1902 г. С. А. Чаплыгин показал, что, если в уравне-
ниях движения сжимаемого газа перейти от независимых перемен-
ных х, у в физической плоскости к новым независимым переменным:
модулю скорости движения | V |, в дальнейшем обозначаемому через на,
1 См. И. А. К и б е л ь, Н. Е. КТ> чин и Н. В. Р о з е, Теоретическая
гидромеханика, ч. И, гл. I, Гостехиздат, 1948, а также Р. Зауэр, Введение
в газовую динамику. Гостехиздат, 1947.
2 С. А. Ч а и л ы г и н, О газовых струях. Учеи. записки Моск, универе-»
отд. физ.-мат., вып. 21, 1904.
§ 53] НЕЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА 341
и углу 6 вектора скорости с осью Ох, в плоскости годографа ско-
рости, то нелинейные в физической плоскости (х,у) уравнения газо-
вой динамики становятся в плоскости „годографа скорости" (w, 6)
линейными.
Для доказательства этого важного результата используем введен-
ные ранее потенциал скоростей и функцию тока, положив:
и дх ’
Р д<1>
Ро ду
V ду ’
Р
— V =
Ро дх
(39)
где р0 — плотность в покоящемся газе; отсюда следует:
и dx -y-vdy = dtp, |
— v dx -ф- и dy = у dty, i
или, умножая второе уравнение на / = — 1 и складывая с первым,
{и — iv) d (х iy) = d<p -ф- i— й!ф.
?
Заменяя в последнем равенстве:
и — iv = we~a, х -J- iy ~ г,
получим соотношение
dz == (dtp + i & -1- e*,
(41)
обобщающее на случай сжимаемого газа известную уже по предыду-
щей главе связь между сопряженной скоростью и производной от
комплексного потенциала по координате.
Чтобы перейти к новым независимым переменным w и 6, будем
считать z, ® и ф функциями w и 6; тогда равенство (41) перейдет
в следующее:
4^- dw -ф- t/б = Г^- dw -ф- Cl-rfS -ф- i — (4^ dw -ф- — eih =
dw 1 dG |_d® '06 p \dw ' dO ) J w
w \dw- • p dw) * w \ 06 ' p 06)
Сравнивая в этом равенстве коэффициенты при одинаковых диф-
ференциалах новых независимых переменных, получим:
fe __ 1 ,'д<? , f.p0 0Ф\
dw w ' dw ' р dw)
dz______\_{дч । ,-Ро
йб — w ' дб • р дб)
ei6, j
)
е16. I
1
(42)
342
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[гл. VI
Напомним, что входящая в систему (42) величина —, равная по
Р
известной формуле изэнтропического движения
1
= (1 4- м2)*- \ (43)
зависит только от величины скорости ив, а не от ее направления 0.
Чтобы исключить из системы уравнений (42) старую независимую
переменную г, продифференцируем первое уравнение (42) по 6, вто-
рое— по w и результаты вычтем друг из друга, тогда, в силу оче-
видного соотношения
дгг _ д^г
dtidw dwdd ’
получим равенство:
JL (дЧ \ ie । 1 1е^ Ро 1 еА =
wxdftdw р d®dw)e ' wl dw р w dw
.... If -Ро. J_/eie_LflPoW
р MF ~ w3 dw\w p)dV’
которое после очевидных сокращений и выделения действительных
и мнимых частей приведет к следующей системе уравнений:
1 ду __ rf /1 рр\дф
w dw dw \w р ) ’
1 df р0 Эф '
w дб р dw '
Замечая, что
d fPH — р0 dp = Ро_^Р_ d/> —________Ро 1 dP
dw \ p / p2 dw p2 dp dw p2 я2 dw ’
а по теореме Бернулли
rndw — —
P
найдем
d ( PO P° W
dw \ p ) pa3’
после чего система (44) окончательно перепишется в форме:
*Р=_ ₽о±л_ м2)^
dw р w ' ' Э0 ’
, (45)
оо р dw
Введем вместо w переменную Чаплыгина т, равную
_________________________ k — 1 w3
~ 1 а*2 ’
где а* — критическая скорость.
НЕЛИНЕАРИЗИРОВАНИЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
§ 53J
Заменяя в формуле Бернулли (гл. IV)
343
w2 . as k -|-1
2 k— I 2(k— 1)
согласно предыдущему равенству
k + 1 w2
к— I t
получим:
2 &
—------
k— 1
откуда следует:
_?____г__
~ а2 ~ k — 1 1—т ’
, k 1
{ ----7
1—м2 Л — 1
а но (43)
fa
P
к—1
кроме того,
dt d-f ___
dw dt
k — I w дф
dw
— =2--------5-
dw k 4 1 a*2 dt
2 . -_
k 4-1 a*2 dt ’
Подставляя только что
получим систему уравнений
найденные выражения в систему (45),
Чаплыгина'.
t k + 1 _
1 fe—1 “ дф
Jx =________________
дт 2т (л _ x);
d^
dG
2t _____________
i fit,
t дв ’
дф
(46)
k — 1
2
1 —т
1
k—1 w df
Перекрестным дифференцированием и вычитанием уравнений си-
причем
в част-
тока ф
-темы (46) можно по лучить* раздельные уравнения для ® и ф,
пи уравнения будут линейными уравнениями второго порядка
1ЫХ производных. Так, например, уравнение для функции
имеет вид:
дх
1 * + l z
k— I д?ф „
fc Э62 °’
2t (1 — t)*-1
(47j
344 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
или, если вернуться к координатам tv, 6 и ввести местную скорость
звука а,
W* ys ( 1 ~ч-------«г J 1 — —& I == (47/j
dw2 1 \ 1 а? / dw 1 \ а2 / дЬ2 v )
Диссертация С. А. Чаплыгина содержит изложение ряда приме-
нений предыдущих уравнений к расчету струйных обтеканий тел.
Для решения этой задачи устанавливаются общие разложения в ряд,
которые позволяют непосредственно судить о влиянии сжимаемости
газа при дозвуковом течении на струйное обтекание тел. Отсылая
интересующихся к оригиналу,1 обратимся к рассмотрению другой
задачи—о дозвуковом безотрывном обтекании крылового профиля
§ Б4. Метод С. А. Христиановича. Приближенные формулы учета
влияния сжимаемости на распределение давления
•
Следуя С. А. Христиановичу,2 введем прежде всего в уравнения
Чаплыгина (46) вместо независимой переменной т новую переменную X,
равную
х __ а' _, Г±±JL !/“•
Л а* ~ V k—\ * ’
тогда, замечая, что
д _ЭХ д -j f k + Г 1 а *4-1 1 д
dt dt д\ ~ Г k— 1 2 ~ k— 1 2К ЭХ ’
перепишем уравнения Чаплыгина (46) в виде:
Эф X дб
Ж-/ А-i ’Эх’
FRX2j
Э? =1 —Х2 Эф
(49)
Если теперь ввести вместо X независимую переменную s, связан'
ную с X дифференциальным соотношением
1 В настоящее время вышло новое издание работы С. А. Чаплыгина
„О газовых струях" в серии „Классики естествознания*, Гостехиздат, 1949.
8 С. А. X рист и анов ич, Обтекание тел газом при больших дозву-
ковых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940, а также С. А. Кристиано-
вич и И. М. Юрьев, Обтекание крылового профиля при докрнтическои
скорости потока. Прикл. матем. и механ., т. XI, вып. 1, 1947.
(50)
§ 54J метод христиановича. приближенные формулы 345
то система уравнений (49) приобретет „каноническую" форму:
df _ т/P i
дв К ds ’ I
ds Г Л d0 ’ J
где величина К представляет следующую функцию А:
1 — X2
i±l ’
k— 1 ,\fc—1
(51)
(51')
Решение задачи о бесциркуляционном обтекании профиля сжимае-
мым газом при сравнительно малых дозвуковых скоростях, основан-
ное на применении упрощенной системы уравнений, было дано впер-
вые проф. Н. А. Слезкиным в 1935 г.1
С. А. Христианович исследовал общий случай циркуляционного
обтекания крылового профиля и предложил метод интегрирования
строгой системы уравнений (51) путем последовательных приближений.
В настоящем курсе мы принуждены опустить изложение глубокого
по идеям, но весьма сложного с математической стороны метода
С. А. Христиановича и удовольствоваться лишь простейшим при-
ближением, дающим при не слишком больших дозвуковых скоро-
стях2 удовлетворительную точность.
Выразим величину К в функции числа М. Для этого заметим, что
по формулам (66) гл. IV:
а следовательно:
1 —X2 — 1 —- А±1 № - 1-№
1 А __ 1 — . ,
. k — 1 2 1 k + 1 ЛГ _ 1
л+1'-1 Л + 1- 2 -1 + А_1М2 1+^-м2’
1 Н. А. С л е з кин, К вопросу о плоском движении газа. Труды МГУ,
1435, а также ДАН, нов. сер., т. 1П, № 9, 1936
8 См. только что цитированные работы С. А. Христиановича и осо-
бенно последнюю из них, в которой дан подробный анализ первого прибли-
жения. Вопрос об области применимости рассматриваемого приближения
Далее несколько уточняется.
346
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
Таким образом, К, как функция от числа М, равна:
/f=(l—М2)^! М2)*=>.
(51")
Приводим график зависимости величины У К от к и М (рис. 108),
а также табл. 7 значений У К для воздуха (k =1,4).
Таблица 7
X м Ук А М Ук X м Ук
0 0 1,0000 0,35 0,3228 0,9965 0,70 0,6668 0,9221
0,05 0,0457 1,0000 0,40 0,3701 0,9940 0,75 0,7192 0,8925
0,10 0,0913 1,0000 0,45 0,4179 0,9899 0,80 0,7727 0,8416
015 0,1372 0,9999 0,50 0,4663 0,9840 0,85 0,8274 0,7740
0,20 0,1832 0,9996 0,55 0,5152 0,9754 0,90 0,8834 0,6788
0,25 0,2294 0,9991 0,60 0,5649 0,9632 0,95 0,9409 0,5092
0,30 0,2759 0,9982 0,65 0,6154 0,9461 1,00 1,0000 0
Как видно из графика и таблицы, ]/ К при не слишком близких
к единице значениях X и М мало огличаегся от единицы; так, напри-
мер, при Х = 0,65, М=0,61
величина У~К только на 5%
отличается от единицы.
Заменим в системе (51)
У К постоянной величиной, ко-
юрую включим в состав функ-
ции ф. В частности, можно
ПОЛОЖИТЬ К = 1 ИЛИ к = Ко-
Тогда вместо точной системы
уравнений (51) получим в пло-
скости ($, в) приближенную
систему уравнений
йу ЭФ d<f_____йф хкоч
М йб ds’ ds йй * '
О о,? 0,4 0,6 0,0 10 X. ничем не отличающуюся от
Рис. 108. условий Коши — Риманна, свя-
зывающих ср и ф в плоском
движении несжимаемой жидкости. Равенства (53) естественно сравнить
с аналогичной системой уравнений в плоскости годографа ($, 0) для
несжимаемой жидкости (Х = 0) („змейка11 над буквой показывает, что
соответствующая величина относится к потоку несжимаемой жидкости):
ds> _ йф йу йф (53')
йО ds ds йб ,
§ 54]
МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
347
Здесь под 0 понимается угол вектора скорости несжимаемого потока
с осью абсцисс, а под s — величина, определяемая равенством
ds
dw__ dk
w X
(54)
вытекающим из (50) при Х = 0.
Предположим теперь, чго в физической плоскости течения не-
сжимаемой жидкости г определено обтекание заданного крылового
профиля С с циркуляцией, отвечающей плавному сходу струй с задней
кромки профиля. Вычисляя w, к, 6, s, ? и ф в функции от х, у,
можем определить и все элементы в плоскости годографа (6, s),
в частности граничные условия задачи в этой плоскости.
Переходя к приближенному решению задачи обтекания контура
сжимаемым газом, потребуем, чтобы:
6 = 6, s = £ (55)
Для этого, согласно (50) и (54), достаточно связать скорости w
и w или, что все равно, безразмерные скорости ли), соотношением:
dk
т
Jdk • ,
— 4- c°nst,
х
(55')
в котором константу можно определить из условия, чтобы отноше-
ние — стремилось к единице, когда к стремится к нулю. Соотвег-
X
ствующая связь К (К) или Х(М), ввиду некоторой громоздкости ее
аналитического выражения, приводится в табл. 8 и в виде графика —
на рис. 108.
Таблица 8
1 w Л. =5 - . а* М 1 ejt к ~~~ М ~ w К ~~а* W л = Г а* М 1 § |*« II
0 0 0 0,35 0,3228 0,3410 0,70 0,6668 0,6251
0,05 0,0457 0,0500 0,40 0,3701 0,3862 0,75 0,7192 0,6568
0,10 0,0913 0,0998 0,45 0,4179 0,4307 0,80 0,7727 0,6857
0,15 0,1372 0,1493 0,50 0,4663 0,4734 0,85 0,8274 0,7110
0,20 0,1832 0,1983 0,55 0,5152 0,5144 0,90 0,8834 0,7324
0,25 0,2294 0,2467 0,60 0,5649 0,5535 0,95 0,9409 0,7483
0,30 0,2759 0,2943 0,65 0,6154 0,5904 1,00 1,0000 0,7577
348 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
Заметим, что при рассматриваемом допущении К= const соот-
ношение (55') могло бы быть заменено более простым приближенным
При выполнении требования (55) система равенств (53) позволяет
обычными приемами теории плоского несжимаемого потока найти
в плоскости годографа (s, 6) поток сжимаемого газа, отвечающий тем
же граничным условиям, что несжимаемый поток в плоскости ($, 6).
Однако отсюда еще не следует, что и в физической плоскости тече-
ния z контур С совпадет по форме с изученным в плоскости г не-
сжимаемого потока контуром С.
Как показывает основное равенство (41), элементы дуг контуров,
а следовательно, и сами контуры С и С не будут одинаковы. Можно
было бы доказать, что при не слишком больших дозвуковых скоро-
стях разница в форме профилей невелика. В ранее цитированных работах
С. А. Христиановича вопрос об указанном различии между профилями,
о возникающих при этом изменениях в потребной для плавного об-
текания задней кромки профиля циркуляции и другие относящиеся
сюда вопросы подробно исследованы.
В дальнейшем, в порядке простейшего приближения, будем пре-
небрегать указанной разницей между формой профилей в физических
плоскостях сжимаемого и несжимаемого потоков.
Чтобы получить интересующее нас соотношение между распреде-
лениями давлений по поверхности профиля при сжимаемом и несжи-
маемом обтекании, составим выражения для соответствующих коэф-
фициентов давления рпо и рси;.
сжимаемого газа:
__ Рно Рио со
2 'НССО Н0ОО
имеем по теореме оернулли для не-
/и» \2 / 'К \2
1 — (——) = 1 ) (56)
\ ®нс оо / \ /
и для сжимаемого:
- = Рожоо = 2Р . Р /w\2 __ 2/1 >3
05К 4- °®2 \даоо/
2 • ОЖ СО ОЖ СО
г ________________________?
k№ у1ГЦ1м2/ Uco)
Замечая, что по (52)
М2 =------—_____
k-j-1— (k— 1)/2’
получим:
2 + (А—1)х2 . 1
— — 2-----, 1 4____М2г= -
1 Йф-1 ’
§ 54]
МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
349
И следовательно,
* 1
k +1 _(k — 1)к® / 1 ~т+т ' V 1 *а _ ^ + 1-(й—
Ра^ ж L k-1 2
\ А-4-i
или, после простых приведений:
Задаваясь скоростью на бесконечности в сжимаемом обтека-
нии Woo или величиной найдем по табл. 8 соответствующее зна-
чке таблице К, определим связь между рож и рпо при помощи пара-
метрических формул (56) и (57), что и дает искомое решение.
На рис. 1G9 и ПО представлены рассчитанные по первому при-
ближению Христиановича [формулы (56) и (57)] номограммы связи
-0,1 -0,2 -0,3 -0,9 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 -Ц -1,2 -1,3 -1,9 -1,5 -1,6 -1,7 -1,8 -1,9 -2,0
Оа.зпежени.я
541 МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ 351
между Рож и Рк для различных значений числа Мся набегающего
потока. 1
Пунктиром на рис. 110 указана граница применимости первого при-
ближения; вправо от этой линии А > 0,85 и первое приближение уже
недостаточно для учета влияния сжимаемости.
На рис. 109 дана номограмма пересчета положительных давле-
ний (разрежений), на рис. ПО — отрицательных давлений. Пересчет
по этим номограммам рн0 в рвж при заданном Мет не составляет
труда.
Как показывают номограммы, влияние сжимаемости газа на распреде-
ление коэффициента давления в первом приближении сказывается в уве-
личении абсолютной величины коэффициента давления. С ростом
числа Mo, картина распределения давлений как бы обостряется: растут
разрежения и давления, кривые распределения давления по верхней и
нижней поверхностям раздвигаются, ограничивая все большую пло-
щадь; так что, естественно, возрастает циркуляция Г и коэф-
фициент подъемной силы су.
Существенно отметить, что при этом становятся более высокими
и крутыми пики разрежения.
Рассмотренное приближение не позволяет обнаружить замеченного
на опыте добавочного смещения пиков разрежения вниз по потоку,
аналогичного тому, которое имеет место в потоке несжимаемой жидко-
сти при увеличении относительной толщины профиля (рис. 111).
1 В. С. Полядский. Расчет распределения давления при больших ско-
ростях полета. Издательство Бюро новой техники НКАП, 1943; там же см.
таблицы пересчета и указание поправок по второму приближению.
352 ПЛОСКОЕ безвихревое движение сжимаемого газа [гл. VI
Примером влияния числа Моо на распределение коэффициента
давления могут служить кривые, показанные на рис. 112, относящиеся
к верхней поверхности некоторого крылового профиля. 1
Можно разыскать и непосредственную, явную связь между рсж и рно, если
воспользоваться указанным Чаплыгиным приближенным приемом замены
действительной изэнтропы касательной к ней прямой.
Возьмем точку (рй, — изэнтропы (рис. 113)
\ Ро/
= Р7 <58>
Ро \ Р /
и проведем касательную к изэнтропе в этой точке; вычисляя угловой коэф-
фициент
Г-dp — — k^- oft+* 1 — — д2о2
z 1 \ _ к к ро “ аоРо>
d(—\ Ро
- \₽/ р —Ро
получим уравнение касательной в виде
Р-Ро = Ро«о(-“7)- &'>
Используя приближенную изэнтропу (587) и вводя вместо л новую пе-
ременную
Р=®=/<59)
а0 Г А 1
получим;
гг>2 — я3 =—я3 — = — = т/"1 + р2,
0 «о Р F
1 —М2 = 1 М = 7 ,
1 + Р У14-1»2
1 Я. И. Левинсон, Аэродинамика больших скоростей. Оборонгиз, 1948,
стр. 266—277.
МЕТОД ХРИСТИАНОВИЧА. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ
§ 54]
после чего система уравнений (45) § 53 примет вид:
dy ,гТ~1—в
- р У! + р d[i >
ду____ 1 64
др У1 4- р2 дб ’
и, после замены переменных,
dp. ,
---. - = ds
Р У1 4- р2
совпадет с системой уравнений (53); при этом К= 1- Соотношение безраз-
мерных скорое гей (55') заменится простым приближенным равенством
f dp f dp
Р р
которое легко интегрируется и дает
1п р. = In-------------------------у
Подчиняя постоянную интегрирования С условию:
Р
Р
прн р->0
1,
найдем, что С = 2 и, следовательно, окончательная форма приближенной связи
между скоростями обтекания крылового профиля несжимаемым н сжимаемым
газом будет иметь вид:
2р
1У У1-НР2’
(60)
или, разрешая относительно р,
Р = ~~7- (60')
4--р2
Выведенные только что приближенные соотношения вытекают из пре-
дыдущих точных, если положить в них k = — 1, предварительно, где это
надо, заменив л на р по (59). Такой формальный прием полезен для сокра-
щения выкладок и будет далее использован.
Выразим />вс и р(..к через эти новые переменные. Будем иметь непосред-
ственно по (56) и (59)4
Н • (61)
Р-со/
Далее, пользуясь определением (59), получим при k — — 1 вместо (57)
<4
(62)
23 Зак. 1841. Л Г. Лойштнский.
ЗГ>4 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВО1 ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
Но, согласно (60'):
н р=1
16р2
(4—^2)2
так что
+ Рет I 4 + Р2 4 + Рет \
А-ь =-2------;------=-------г)
Рет \4—Р“ 4~Рет/
_ 2 1/1+ . 8£2-^>
Р2о (4-Р2) (4-Рет)
(62')
Из (61) сразу следует:
Г* Рсо Рет/'нс ’ Р*1 Рет О /?ио)*
кроме того, при k = — 1*
Подставляя эти выражения в равенство (62'), получим
р = 2!_ ]/ 1 -
Наконец, заменяя еще в последней формуле, по (60),
~ = 2|Лсо = 2Мет
1 + У1 + Рет 1 + У1 —
после простых приведении, окончательно получим искомую приближенную
формулу:1
1 Г. В. Липман и А. Е. Пакет Введение в аэродинамику сжимаемой
жидкости. Изд. иностр, лит., 1949, стр. 226 — 243.
§ 541
МГТОД ХРИСТИАНОВИЧ \. ПРИБЛИЖЕННЫ Г ФОРМУЛЫ
355
Если при малых значениях рш., что соответствует теории тонкого крыла,
пренебречь вторым слагаемым в знаменателе, то формула эта перейдет в ранее
указанное соотношение Прандтля:
— Рве
Рсж = , г-
У1 — дг
(63')
Формула Жуковского
подъемной силы крылового профиля
Я-ГЛГ,,
(64)
остается справедливой и и случае дозвукового обтекания профиля
сжимаемым газом, причем циркуляция, соответствующая этому обте-
канию, может быть получена из цир-
куляции, соответствующей несжи-
маемому обтеканию, ио формуле 1
Рис. 114.
Аналогичные формулы имеют ме-
сто и для коэффициентов подъемной
силы и момента. 2 * *
На рис. 114 приведено сравнение
с опытом результатов расчета коэф-
фициента давления р(ж в одной точ-
ке верхней поверхности крылового
профиля NACA 4412, находящейся
на расстоянии 30% хорды от носика,
при угле атаки а = — 27 и при раз-
личных значениях числа М».
Как видно из рисунка, примерно
до Мю = 0,2 все методы, включая
и приближенную формулу Пранд-
тля (63'), совпадают. Профиль NACA 4412 имеет двенадцатипроцен г-
ную относительную толщину и сравнительно большую (4%) вогну-
тость; этим объясняется, почему приближенная формула Прандтля,
пригодная лишь для тонких, мало изогнутых профилей при малых
углах атаки, оказывается неприменимой даже при сравнительно не-
больших значениях числа Мот. Кривая, рассчитанная по Христиановичу,
1 См. ранее цитированную работу С. А. X р и сти ано внча 1940,
а также М. В. Келдыш и Ф. И. Ф р а н к л ь, Внешняя задача Неймана
для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла
в сжимаемом газе. Изв. АН СССР, отд. матем. и естеств. наук, 1934.
2 В. С. П о л я д с к и й, Влияние сжимаемости на аэродинамические харак-
теристики профиля крыла при больших скоростях полета. Издательство Бюро
новой техники НКАП, вып. 21, 1943.
23
356
плоског безвихревог движение сжимаемого газа
|ГЛ. vt
совпадает с кривой, соответствующей формуле (63), до чисел
Мет = 0,5, а затем располагается несколько выше; следует отметить,
что, как это видно из номограммы на рис. 110, при рвс=—0,6 и
Моо = 0,6 мы уже выходим за границы применимости принятою при-
ближения. На том же рисунке показаны жирными точками результаты
экспериментов.1
§ бб. Критическое число М и его определение по заданному
распределению давления в несжимаемом обтекании. Поведение
коэффициента подъемной силы и момента при
около- и закритических значениях числа М
В предыдущем параграфе предполагалось, что в рассматриваемых
условиях обтекания крылового профиля и при выбранном значении
числа Мм в набегающем потоке нигде, ни на поверхности профиля,
ни вне его, не образуется область сверхзвукового течения, или, точнее,
не возникает скорость движения газа, равная местной скорости звука.
Число Мд, в набегающем потоке, при котором хотя бы в одной
точке потока возникает скорость, равная местной скорости звука
(М=1), называется критическим и обозначается Мкр.
Все рассуждения предыдущего параграфа, таким образом, верны
только при Мд, < Мкр. Более того, поскольку было использовано лишь
простейшее приближение, применимость изложенных методов расчета
ограничивается значениями не слишком близкими к Мкр.
Изложенные соображения показывают, насколько важно уметь опре-
делять критическое число Мкр для заданных условий обтекания кры-
лового профиля. Для вычисления Мкр составим формулу связи между
давлением рт и числом М[О в бесконечном удалении от крылового
профиля, с одной стороны, и соответствующими величинами в точках
на профиле -— с другой. Принимая поток в целом адиабатическим и
изэнтропическим (при М < 1 скачков уплотнения быть не может!),
составим выражения:
/ k—1 „AS—-1
Ро = Р(1 П--2—
/. , k—1 \S—1
Ро = + ~2“ Мео}
и разделим их одно на другое; тогда получим искомую связь
1 Г. В. Липман н А. Е. Пакет, Введение в аэродинамику сжимаемой
жидкости. Изд. иностр, лит., 1949, стр. 312.
§ 55J КРИТИЧЕСКОЕ Число М И ЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЕ 357
из которой определим коэффициент давления р:
Предположим теперь, что где-нибудь на профиле скорость достигла
местной скорости звука и местное число М стало равным единице;
тогда р достигает минимального по сравнению с другими точками
потока значения рт, а число Мао становится равным Мкр. Следова-
тельно, если в предыдущей формуле положить:
Р :: Ры'ЛКу Маа == Мкр, М z - 1,
то тем самым определится искомая связь между Мкр и рК1Ш:
Здесь величина рмив обозначает, конечно, истинный коэффициент
давления, уже учитывающий влияние сжимаемости газа, т. е.
Дмнн —(Реж) мин •
Формула (66) в связи с этим не представляег практического инте-
реса, так как пересчет с (р.ю)мин на (Рож)мин по формулам первого
приближения в этом случае недопустим; действительно, при Мот = Мкр
в точке, где Рик = (Рсж)^, скорость газа равна скорости звука,
М = 1 и, следовательно, первое приближение уже неприменимо.
Приводим более удобный для практики график (рис. 115),1 позво-
ляющий определять критическое число Мкр по заданному значению
(Ри0)мив, рассчитанному по обтеканию пр’офиля несжимаемым газом
(гл. V, § 48).
При приближении числа Мто к критическому его значению Мкр влия-
ние сжимаемости увеличивается, а при переходе через критическое
значение — сущее 1венно изменяв юя. Вблизи точки минимума давления
1 См. В. С, П о л я д с к и и, Влияние сжимаемости на аэродинамические
характеристики профиля крыла при больших скоростях полета. Издательство
ь?оро новой техники НКДП, вып. 21, 1943, Стр. 1.
358 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
на поверхности крыла зарождается сверхзвуковая зона, в которой,
так же как и в сопле Лаваля, давление меньше (а разрежение больше),
чем в дозвуковой зоне. Обратный переход от сверхзвуковых скоро-
стей к дозвуковым за сверхзвуковой зоной происходит, как правило,
путем скачка уплотнения, как
это можно, например, видеть
на кривой (рис. 112), соответ-
ствующей закритическому числу
= 0,835. Обращает на себя
внимание на первый взгляд
парадоксальный факт — макси-
мальное разрежение при Мм=
= 0,835 оказывается меньшим,
чем при Мео = 0,64. Есте-
ственно возникает вопрос, каким
образом в этом случае (Мс,,=
= 0,835) при давлении, пре-
вышающем давление в потоке
с Мео = 0,64, образовалась
сверхзвуковая зона. Чтобы ра-
зобраться в этих вопросах, за-
ме1им, прежде всего, чю
при сверхкритических потоках
(Мсо>МЕр) скорость звука
имеет место уже не в точке ми-
нимума давления р=ра1М, а на некоторой изотахе (рис. 116), вдоль
которой местное число М равно единице, а р достигает своего кри-
тического значения, определяемого по юй же формуле (66), чю и рт1а,
но с заменой Мкр на произвольное Мсо^М^:
/>кр
А—1
2
7.
(67)
Рассматривая соответствующую кривую на рис. 115, видим, чю
критическое давление уменьшается с ростом закритических значе-
ний Mo,, т. е. сверхзвуковая зона (на рис. 116 заштрихованная) начи-
нается при тем меньших значениях р, чем больше Мм; с росюм Мк>
сверхзвуковая зона расширяется. Опыты показывают, что в закрити-
ческой области сверхзвуковая зона на самом деле не имеет симметрич-
ного расположения, как на схеме рис. 116. Как только что указыва-
лось, сверхзвуковая зона обычно заканчивается скачком уплотнения,
резко обрывающим развитие сверхзвуковой зоны. В дальнейшем будет
показано, что скачкообразное восстановление давления вызывает осо-
бенно значительное торможение потока в пограничном слое (вслед-
ствие внутреннего трения в газе); при эюм пограничный слой и трубки
§ 55]
КРИТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО М И ЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЕ
359
тока в нем расширяются, линии тока удаляются, а иногда и резко
отрываются от поверхности профиля. Появляющееся вследствие этого
ухудшение обтекания профиля вызывает также уменьшение пика раз-
режения. Это явление аналогично перестройке распределения давления
в несжимаемом газе при возникновении отрыва пограничного слоя (вспо-
мнить, например, графики давления на рис. 66).
Вопрос о движении газа, обтекающего крыловой профиль при сверх-
критических значениях числа М, представляет значительные трудности,
гак как связан с необходимостью совместного рассмотрения дозвуко-
вого и сверхзвукового течений, подчиняющихся совершенно различным
и даже, как мы уже знаем, противоречивым закономерностям. Мате-
матически это выражается в различном характере дифференциальных
уравнений движения: в дозву-
ковой зоне уравнения движения
принадлежат к так называе-
мому эллиптическому типу,
в сверхзвуковой зоне — к ги-
перболическому. Необходи-
мость сращивания решений
уравнений эллиптического и
гиперболического типов вдоль
границы (М=1) обеих зон,
представляющей звуковую изо-
таху, служит основной теоре-
шческой трудностью при ре-
шении этой, так называемой
смешанной задачи газодинамики. Советские ученые много сделали
в направлении разрешения „смешанной11 задачи; отсылаем интересую-
щихся к специальным статьям.1
Образование сверхзвуковых зон и замыкающего их скачка уплот-
нения вызывает нарушение роста коэффициента подъемной силы крыла
с Мм. На рис. 117 показан общий характер кривой зависимости су (Мм).
Сначала су рас те г примерно по закону (35), затем при приближении
1 С. А. X р н с т и а и о в и ч, О сверхзвуковых течениях газа. Труды ЦА1 И
№ 543, 1941;
А. А. Н и к о л ь с к и й и Г. И. Таганов, Движение газа в местной
сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потенциального тече-
ния. Прикл. матем. и механ., т. X, вып. 4, 1946;
Ф. И. Ф р а н к л ь, К теории сопел Лаваля. Изв. АН СССР, сер. матем.,
т. IX, 1945;
Ф. И. Ф р а н к л ь, О задаче Кошн для уравнений смешанного эллиптнко-
гиперболического типа с начальными данными на переходной линии. Изв. АН
СССР, 8, 1944, стр. 195—224;
Ф. И. Ф р а н к л ь, О задаче С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверх-
звуковых течений. Изв. АН СССР, 9, 1945, стр. 121—143;
С. В. Ф а л ь ко в и ч, К теории сопла Лаваля, Прикл. матем. и механ.,
т. X, вып. 4, 1946,
360
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
к критическому значению числа быстрота роста убывает и су,
перейдя через максимум, начинает уменьшаться. Объясняется это резким
за скачком уплотнения на верхней поверх-
восстановлением давления
область же восстановленного давления за
ноет и и возрастанием
разрежения на нижней.
При дальнейшем росте
числа Мот скачок на верх-
ней поверхности отодви-
гается к хвостику крыла,
так как сверхзвуковая
зона (рис. 116) расши-
ряется. При этом область
разрежений на верхней
поверхности возрастает,
скачком убывает. Кроме
того, сверхзвуковая зона возникает
чок уплотнения, замыкающий эту
сверхзвуковую зону, увеличивает
давление на нижней поверхности,
и су вновь начинает возрастать.
Столь резкие перераспределения да-
вления от сильных разрежений
в сверхзвуковой зоне до значитель-
ного восстановления давления за
скачком не могут не повлиять на
коэффициен! момента. Как видно из
диаграммы на рис. 118, при заднем
расположении скачка на верхней
поверхности и среднем расположении
скачка на нижней на крыле должны
возникать силы, показанные на диа-
грамме давлений стрелками, приво-
дящие к пикирующему моменту, ко-
юрый, если его не компенсировать
может служить причиной серьезных
и на нижней поверхности, а ска-
снециальными приспособлениями,
аварий самолета.
§ 56. Решетка профилей в плоском докритическом потоке
сжимаемого газа. Обобщение теоремы Жуковского
В § 49 было выведено обобщение теоремы Жуковскою о подь-
емной силе изолированного крылового профиля на случай профиля
в решеше, обтекаемой несжимаемым газом. Попьпаемся обобщить1
1 Л. Г. Лои ц я и с к и и, Обобщение формулы Жуковского на случай
профиля в решетке, обтекаемой сжимаемым газом, прп дозвуковых скоростях,
Прикл. млем. и механ,, т. XIII, № 2, 1949,
§ 56]
РЕШЕТКА ПРОФИЛЕЙ В ДОКРИТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ
361
последнюю теорему на случай решетки в докритическом потоке сжи-
маемого газа.
Рассмотрим (рис. 119) плоскую решетку в сжимаемом газе и усло-
вимся обозначать величины в бесконечном удалении перед решеткой
индексом я1“, а за ре-
шегкой— индексом „2“.
Выберем в качестве кон-
трольной поверхности (на
рис. 119 показана пункти-
ром), так же как и в слу-
чае несжимаемой жидко-
сти, две линии тока,
смещенные друг по отно-
шению к другу на шаг t,
и два сечения а, и а2
трубки тока, ограничен-
ной этими линиями тока.
Применяя теорему коли-
честв движения в форме
Эйлера (гл. III) к кон-
гуру контрольной по-
верхности, будем иметь
выражение главного вектора сил давления потока на профиль в виде
(t — вектор-шаг):
R = (Pi-pa)t + P1(t.V1)V1 — P2(t-V2)V2, (68)
причем, coiласно закону сохранения массы,
Pi(t-V1) = p2(t-V2).
(69)
Вектор R на основании (69) принимает значение
R = (^i—p2)t-pi(t- vovrf,
(68')
где Vd обозначает ранее
скорости потока решеткой
введенный векюр девиации (отклонения)
Vd = V2-V1.
(70)
По теореме Бернулли
потоков имеем:
для адиабатическою и изэнтропического
Pi ~-Ра==Ро[(1
к к
k—l /. k— 1,2V-Л
-ГнХ7 ]>
362 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
где X представляет скорость потока, отнесенную к критической ско-
рости:
а* —
-Г 2
V k+ia°-
l=-F
Производя разложение в ряд по степеням X, получим вместо пре-
дыдущего равенства
Pi —Pq — kZfl Ро (^з — X?) р
(XI4-Х|)-f- .. .J. (71)
Составим еще среднюю арифметическую из плотностей до и за
решеткой
Рот — 2" (Pi 4" Ря) — Ро Н1
fe—1
k 1
__
k — 1 ч 2\^—’ *
которая после разложения в ряды примет вид:
Р/» — Ро
1 — ______ (X-t Х0 ... j.
Сравнивая последнее выражение с равенством (71), убеждаемся,
чго с точностью до величин X4 имеет место приближенное равенство
Pi—P‘1
k рп
Й-f- 1 Ро
2й,Т 1 , , I
= '-2 *= i (V2 + V х) • (V2 - Vj),
(к -4- 1 izr* * л
или, вводя, как и ранее, среднюю векторную скорость
V„8=4(Vi + V2)
и скорость девиации потока решеткой (70), получим следующее при-
ближеное выражение для разности давлений до и за решеткой
Pi — Р2 Л • Vtf. (72)
Обратимся к рассмотрению второго слагаемого в правой части
равенства (68'). Имеем по (69):
Рт (t • VO s Pw(t. VJ + P1 (t • Vj) - Pe (t • Vm) =
== Р» (* • V J+- Pm) (t • V J =
= (1 “ P« (t • Vw) = I 1 - (^)81 Pot (t • V,n). (73)
\ / U * * и Г J
§ 56J РЕШЕТКА ПРОФИЛЕЙ В ДОКРИТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ 363
Легко видеть, что вычитаемое в квадратной скобке представляет
величину порядка X4; действительно, по предыдущему:
Р1—р2 = —I1 ~ + • • • ],
Р1 + Р2 = 2Ро —2(^ + 1) О'? ^) + • • • ] ’
(74)
Итак, с ранее принятой степенью приближения
Pi (t - Vi) = Pm(t- vj.
Подставляя полученные выражения pi — р% и pj (t • VJ в основное
соотношение (68'), окончательно получим следующее приближенное
равенство:
• Vd)t-p„(t • VJ V4 = pTOVwX (t X 4J, (75)
представляющее искомое обобщение теоремы Жуковского на случай
решетки, обтекаемой сжимаемым газом при не слишком близких
к докритическим значениям чисел М, и М2 вдалеке до и за решеткой.
В ранее цитированной нашей работе приводится анализ порядка
ошибки, возникающей при пользовании этой приближенной формулой.
Относительная ошибка не превышает величины
0,2 (Mj — М|)2.
Таким образом, приходим к следующему выводу: при докрити-
ческих скоростях подъемная сила профиля в решетке, обтекаемой
сжимаемым газом, может приближенно определяться по формуле
Жуковского для несжимаемой жидкости, если плотность этой
жидкости приравнять среднему арифметическому плотностей
газа вдалеке перед и за решеткой.
Как показал Э. М. Берзон,1 аналогичное обобщение теоремы Жу-
ковского будет иметь место с той же степенью приближения, если
вместо среднего арифметического плотностей взять среднее арифмети-
ческое v'm соответствующих удельных объемов газа до и за решеткой
или, что все равно, среднее гармоническое ф плотностей
Заметим, прежде всего, что в этом случае равенство (73), в кото-
ром р,!( заменено на рт, выполняется точно. Действительно, прибавляя
1 Э. М. Берзон, О силе, действующей на профиль в решетке. Труды
Ленинградской военно-воздушной инж. академии, вып. 27, 1949.
364 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
к обеим частям (69) по равному количеству (t • V2), будем иметь:
или, деля обе части на 2pjp2,
It Vi + V2^ 1 (l 1 j Vt vy
Ps* ' 2 “ 2 \p! 'Г'Рг’ V®'’
отсюда сразу следует искомое точное равенство
P;(bVw) = p1(t.VJl)S=p2(t.V2). (73')
Составляя разность
0 • _ Pi 4- ps 2pip3 _ (pi Ра)2 — 4pjp2 __
Vm 2 Р1+Рг 2(Р1 + р2)
... (Pi — Pg)3 _ п ( Pi—Ра\2
2 (pi + Р2) \ Pi + Ра / ’
и вспоминая (74), видим, что с выбранной степенью точности рто
совпадает с р'от.
Можно доказать, что теорема Жуковского для решетки в сжи-
маемом газе выполняется точно, если заменить адиабату (изэнтропу)
на касательную прямую в точке
равным среднему арифметическому удельных объемов газа до и за
решеткой.
а удельный объем принять
Для этого, подобно тому, как это делалось в § 54, прежде всего перейдем
от переменной X к переменной р, равной
V
р =—
Со
тогда уравнения изэнтропического движения примут вид:
Р =/'о(>
к
k— 1
2
а замена изэнтропы касательной к ней будет эквивалентна использованию
равенства k = —1; в силу этого получим:
3 2
V1 —f— Iх j V1Ч-
Pl Р2—“Ьй! —Ро
§ 56j f РЕШЕТКА ПРОФИЛЕЙ И ДОКРИТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ 365
Отсюда будет следовать:
УЛ
Р1—/’2 = —-----1-3--з- >
2р0 \«о «о/
« 1 2 Ро
что при w = — 1 и » —— - дает
Pi —Рг= тг Рда (Из — VJ) =
Подставляя в равенство (68') полученное значение р2, а также зна-
чение pT(t-Vi) из (73'), окончательно найдем:
r=<4 (V« • vd) t - Р; (t • v,„) Vd=X (t • vd). (76)
Итак, главный вектор сил давления потока на профиль в решетке,
обтекаемой сжимаемым газом, при докритических числах М выражается
той же формулой Жуковского, что и в случае обтекания несжимаемым газом,
это оказывается верным постольку, поскольку изэитропа заменена касатель-
ной к ней в некоторой промежуточной точке, а плотность газа положена всюду
равной среднему гармоническому из плотностей газа вдалеке перед и за ре-
шеткой. При расчете решеток в дозвуковом потоке можно с достаточной сте-
пенью приближения использовать линейную изэнтропу, как это делалось в
§ 54; при этом естественно пользоваться и предлагаемым обобщением теоремы
Жуковского. Относительная разница между средней арифметической Рт
и средней гармонической р'и из плотностей до и за решеткой не суще-
ственна, так как
Рт Рт Р2 А . 1 rt2
к Р1 + Р2> 8
например, для воздуха (k = 1,4) это отношение не превосходит 4% от малой
величины (Л|—Xj)a.
Вопрос об учете влияния сжимаемости газа на распределение
давления по поверхности профиля произвольной формы в решетке
с данными параметрами еще не доведен до практического решения.
Принципиальной особенностью задачи об обтекании решетки сжи-
маемым газом по сравнению с изолированным профилем служит
наличие в решетке взаимного влияния профилей друг на друга.
Как было показано в § 51 (рис. 103), при возрастании числа М
в дозвуковом потоке размеры области влияния обтекаемого профиля
также возрастают. Поэтому, если попытаться в грубом прибли-
жении свести обтекание профиля сжимаемым газом к некоторому
условному потоку несжимаемой жидкости (вспомнить § 52), то сле-
дует: 1) увеличить, как и в случае единичного профиля, в. ... 1.
У 1-м^
раз ординаты заданного профиля в решетке и 2) уменьшить взаимное
расстояние между профилями в то же число -7=—раз, т. е.
У1-М^
1
уменьшить в -^==== раз относительный шаг. Таким образом, влияние
ПЛОСКО1 Г.ЕЗВИХРЕВОГ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[гл. VI
Абб
сжимаемости газа на обтекание профиля в решетке оказывается
более значительным, чем в случае единичного профиля.1
Аналогичное явление повышенного влияния сжимаемости имеет
место и при продувке единичного крылового профиля в аэродинами-
ческой трубе с рабочим участком, ограниченным твердыми стенками.
Влияние увеличения стеснения потока помещенным в него крылом
на аэродинамические характеристики профиля быстро возрастает с уве-
личением числа Мот набегающего потока.
§ 57. Нелинеаризированный сверхзвуковой поток. „Характе-
ристики" уравнений плоского сверхзвукового потока. Линии
возмущения и их основные свойства
Теория сверхзвуковых течений представляет в настоящее время
наиболее хорошо разработанный отдел газовой динамики. Существуют
графические и аналитические методы приближенного решения задач
сверхзвукового обтекания, опубликованы также и некоторые случаи
точных решений простейших задач. Изложению этих вопросов посвя-
щены специальные курсы газовой динамики.2
Основное значение для понимания сверхзвуковых процессов дви-
жения сжимаемого газа имеют „линии возмущения", представление
о которых уже было дано в § 28 гл. IV при изложении нестационар-
ного одномерного движения газа и в § 51 настоящей главы при
исследовании линеаризированного движения. Рассмотрим некоторые
общие свойства линий возмущения в плоском безвихревом сверхзву-
ковом потоке.
Вернемся к основной системе дифференциальных уравнений пло-
ского потока сжимаемого газа (4) и (5). Обобщая прием, изложенный
в § 28 гл. IV при решении задачи Риманна о распространении „ко-
нечных возмущений", составим линейную комбинацию уравнений (4)
и (5); умножим соответственно первое из этих уравнений на вто-
рое— на л2 и сложим их между собой. Тогда получим:
л2 (а2— и^-{- (X, - l2uv) (Л, + мт,) g + Х2 (а2 — т,2) g = О
ИЛИ
ч z п ] ди . Xi — \uv dzzl
-(At + ^1 = o. (77)
' 1 1 2 ’ Ldx A-1 + \uv dy J v
1 См. ранее цитированную книгу Липмана и Пакета, стр. 206.
2 Подробный и полный обзор опубликованных исследований по вопросам
сверхзвуковой аэродинамики как советских, так и зарубежных ученых см.
в курсе Кибел ь, Ко чин и Розе, Теоретическая гидромеханика ч. П,
гл. I. Гостехиздат, 1948. См. также A. Ferri, Elements of Aerodynamics
of Supersonic Flows. New York, 1949.
f)7| ПЕЛИН1ЛРИЗИР0ВМ1НЫЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК 367
Попытаемся теперь найти в каждой точке плоскости (х, у) такое
направление с угловым коэффициентом
dy
dx’
чтобы выражения в квадратных скобках равенства (77) представили
производные по этому направлению соответственно от и и v:
ди 1 > i — \цу ди _ди . ди dy_ди_ цйд _du ]
дх ' Х2 («2 — tf) ду дх ' ду dx дх 1 ду т dx ’ I
dv Х2 (а-— v2) dv_dv ц dv dy_dv . dv _dv |
~дх ^av dy dx 1 dy dx dx'dy dx' J
(78)
Для выполнения этих условий необходимо подчинить величины Д
и Х2 очевидной пропорции:
лг—л,ир Х2(я2 —а2) __
л2(а2 — if) “ —(Х^рлзнр)
или, что все равно, удовлетворить системе равенств:
Xj — \2uv — тл2 (а2— и2),
Х2 («2 —-п2) = — т (Xj X2z«p).
Собирая здесь члены с Xt и Х2, получим однородную систему
уравнений:
Xj — Х2 [и (д2 — д2) tiv] = О,
тХ1 Х2 [а.2—v- -|- u-v] = О,
имеющую отличные от нуля решения только при равенстве нулю
определителя системы, т. е. при выполнении следующего квадратного
уравнения относительно т:
(и2 — д2) /я2 — 2uz>m -j- (-v2 — д2) = 0. (80)
Составляя дискриминант уравнения (80)
Д2Р3--(К2---д2) ^2---Д2) __ а2 (и2 ^2-а2) = Д2 ( V2-д‘2),
убедимся, что уравнение (80) будет иметь действительные решения
только в сверхзвуковом по'гоке при выполнении условия
V^a или Mas 1.
В каждой точке сверхзвукового потока можно указать два соот-
ветствующих сопряженным корням квадратного уравнения (80)
368 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [ГЛ. VI
направления (будем их в дальнейшем называть „характеристиче-
скими"), вдоль каждого из которых функции U К V должны,
согласно (77) и (78), удовлетворять соотношению
Ag (fl® —- tfi) (Aj —J- Agttu) = 0. (82)
Заметив, что произведение корней квадратного уравнения (80)
равно
о2—а-
т,т2 = —-----
1 2 и- — а2
перепишем уравнение (82) в виде:
dv Х2(а2—и2) Х2 (я2 — у2)
du Xj -f- X2in? m\m2 (Xj -p X2uw) ’
или, согласно (79), так:
dv m wo±aYVs -— a2 , .
du mimz о2 — «2 }
Уравнение (83) может быть проинтегрировано в конечном виде
(что и будет сделано в дальнейшем), так как местная скорость звука
представляет известную функцию скорости движения V = ]/ и2 чР.
Таким образом, совершенно аналогично случаю нелинеаризированного
распространения конечных возмущений в задаче Риманна, вдоль кривых,
представленных дифференциальным уравнением (81), неизвестные
функции и и v оказываются связанными известным наперед соотно-
шением (83) или его интегралом.
Семейства (С,) и (С2) интегральных кривых уравнения (81), соот-
ветствующие наличию разных знаков перед радикалом, образуют
характеристики в плоскости (х, у), а величины тА и т2, опреде-
ляемые тем же уравнением (81), представляют угловые коэффициенты
касательных к характеристикам или характеристические направле-
ния в плоскости (х, у).
Будем называть для определенности кривые, соответствующие
дифференциальному уравнению (81) с положительным знаком перед
радикалом _______
dy uv4- а У V2 —d2
dx и2—а2 ’
характеристиками первого семейства, интегральные кривые уравнения
dy uv — а У2 —— а2
dx~~ и2 —а2 ’’
характеристиками второго семейства.
Точно так же равенство (83) определяет в каждой точке плоскости
годографа скоростей (и, о) два семейства Нх и Н2 кривых, опреде-
§ 57J нелинеаризированный сверхзвуковой поток
369
ляемых дифференциальным уравнением (83) с тем или другим знаком
перед радикалом в правой части. Каждое из этих семейств также
представляет „характеристики", но уже в плоскости годографа (и, -н).
Знаку плюс перед радикалом соответствуют характеристики первого
семейства, знаку минус — второго семейства. Обозначая через п угло-
вой коэффициент „характеристических направлений" в точках пло-
скости (и, V), будем иметь по (83):
Щ,2
т1,2
iiv rt у JZ2 — д?
V1 — cP
т
Характеристические направления в плоскостях (х, у) и (и, v), как
это сразу следует из (83'), связаны между собой очевидными соотно-
шениями:
fflj 1 I 1 п
п. ---------— =--------, или n,mQ Ч- 1 = 0:
1 mtm2 тл i a । ’
n —--------£_ ==-------или n m -4-1=0.
* m^niv mt ‘ 1 1
Отсюда следует, что при выборе осей х и у параллельными осям
и и v, характеристические направления первого семейства в некоторой
точке плоскости (х, у) будут перпендикулярны характеристическим
направлениям второго семейства в соответствующей точке плоскости
{и, v) и, наоборот, характеристические направления второго семей-
ства в плоскости (х, у) окажутся перпендикулярными характеристи-
ческим направлениям первого семейства плоскости (н, v). Это важное
свойство характеристик позволяет, если наперед известно семейство
характеристик в одной плоскости, указывать характеристические
направления в соответствующей точке другой плоскости. При поль-
зовании графическими методами интегрирования основных уравнений
движения, известными уже нам по гл. IV, такое свойство характе-
ристик значительно облегчает построение решения.
Обобщим на случай произвольного нелинеаризированного сверх-
звукового потока понятие о линиях возмущения. Будем по аналогии
с линеаризированным потоком называть „линиями возмущения" такие
линии в физической плоскости (х, у), касательные к которым
образуют с направлением скорости угол zta, синус которого
обратен числу М в данной точке [вспомнить формулу (21) § 27 гл. IV,
а также §§ 51 и 52 настоящей главыр
, 1
sin а = ± V7
Докажем, что характеристики нелинеаризированных уравнений
движения в плоскости (х, у) образуют „линии возмущения" сверх-
звукового потока. Для этого составим выражение тангенса угла между
вектором скорости и касательной к характеристике в плоскости (х, у);
24 Зак. 1841. Л Г. ЛойцяискаА.
Й70 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА (гл. VI
тогда по известной формуле аналитической геометрии будем иметь:
V m и tg a — = 1 4- m — и пр ± я У V’2 — я2 v tfl — а2 и . uv гг а У I/2 — я2 v >+ ^-Я2
a2v ± ян У V2 — а-_t а_________j 1
и (К2 — я2) ±av У И3 —я2 ~~ ~~ у V2 — я3 ~ ~ УМ2—1
ИЛИ Sino- = =tl. (84)
Из этой формулы вытекает, что: 1) характеристики уравнений
сверхзвукового движения являются „линиями возмущения11 в потоке
и 2) вектор скорости образует с характеристиками в плоско-
сти (х, у) одинаковые по величине и разные по знаку углы, т. е.
вектор скорости направлен по бисектриссе угла между характе-
Рис. 120.
Н2*в плоскости (и, у. Как уже
ристиками оооих семейств
в данной точке (рис. 120), и,
наконец 3) проекция Vn ско-
рости на нормаль к харак-
теристике равна местной
скорости звука’.
Vn = Vcos(90° — а) =
= V sin а — V • — а.
Определим теперь закон
изменения скорости вдоль ха-
рактеристик С\ и С2 плоско-
сти (х, у) или, что все равно,
уравнения характеристик и
г было указано, уравнение (83)
может быть проинтегрировано в общем случае. Для упрощения инте-
грирования уравнения (83) перейдем от проекций скорости и и Ф
к величине скорости V и углу 6, образованному вектором скорости
с осью Ох, положив:
и = V cos 6,
v ~ V sin 6.
Имеем, согласно (83х) и рис. 120:
'dv.
,du у
'dv\
.duj2
^ = -ctg(b-«),
A. = —cig (6-J-a),
§ 57]
НЕЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
371
т. е.
g- = ~ctg(0^a).
Произведем в этом уравнении замену:
du = d V • cos 0 — V sin ft d0,
dv = dV • sin 0 + Vcos 0 d0;
тогда получим:
[sin 0 ctg (0 qz a) cos 0] d V -|- [cos 0 — ctg (0 zfz a) sin 0] 1/dO = 0,
откуда после простых приведений найдем:
d0 zjz ctg a . = 0. (85)
Вводя, по (84), число М, перепишем уравнение (85) в виде:
d0 = ± /М2- 1 , (85')
или, совершая переход от числа М — — к числу л — — по ранее
выведенной формуле (52), которую можно еще переписать так:
окончательно получим простое дифференциальное соотношение:
Интегрируя, найдем:
0 — zt а (к) -}- const,
где введено обозначение
(85")
(86)
(86')
24»
372 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА |гЛ. VI
Переходя по обычным формулам обратных тригонометрических
функций от арктангенсов к арксинусам, приведем выражение а (л)
к несколько более простому виду:
0(л) = |/’4^-агсып(/1) —
arcsltlkV ----------X---)’
(86")
заметим, что а (к) при л=1 обращается в нуль.
Функция о (л) является сверхзвуковым аналогом функции х(Х),
определявшей основное преобразование (50) в методе Хрисгиановича.
Задавая различные значения постоянной в формуле (86), получим
семейства характеристик и Н2 в плоскости годографа V, 6 или л, 6.
Безразмерная скорость л меняется в пределах 1 < у ;
левая граница представляет критическую скорость У=а*, правая —
предельную максимальную скорость П,„ах, при которой давление,
плотность и температура обращаются в нуль (полный вакуум). Про-
ведя концентрические окружности X = 1 и
можем
V k—i ’
заполнить всё пространство между ними сеткой кривых (86). По-
дробный анализ показывает, • что эти кривые представляют собою
семейство эпициклоид, описываемых точками окружности радиуса
2~(1/ 1 ~ V ’ катящейся по кругу Л=1. Имея раз навсегда
указанную сетку эпициклоид, нетрудно методом, аналогичным изло-
женному в § 28, производить расчеты плоских сверхзвуковых обтека-
ний. Не останавливаясь на изложении существующих в этой области
графических приемов, покажем аналитическое применение только что
изложенной теории к основной задаче газовой динамики о сверхзву-
ковом обтекании угла.
§ 58. Обтекание выпуклого угла сверхзвуковым потоком.
Влияние угла поворота струи на ее газодинамические
элементы
Рассмотрим задачу о повороте сверхзвукового потока вокруг
острой кромки выпуклого угла О (рис. 121) на угол 9.1 Как станет
вскоре ясным, нисколько не нарушая общности, можно предполагать,
что начальный поток слева от прямой ОС0 — звуковой (л = 1, 6 = 0);
окончательному состоянию потока после поворота на угол соот-
1 Th. Meyer, Ober zweidimensionale Bewegungsvorgange in einem Gas,
das mit Oberschallgeschwindigkeit stromt. Forschungsheft des VDI, Vol. 62,
1908, S. S. 31—67.
§ 58] СВЕРХЗВУКОВОЕ ОЬТЕКАНИЕ ВЫПУКЛОГО УГЛА
373
ветствуег однородное течение справа от прямой ОСг с безразмерной
скоростью Поворот на конечный угол Oj можно рассматривать
как результат последовательных малых поворотов в области С0ОС,
затем в обласги С'ОС" и т. д.; нелинеаризированная задача расчле-
няется, таким образом, на ряд линеаризированных. Отсюда сразу
следует, что лучи ОС0, ОС, ОС", ... являются „линиями возму-
щения* нелинеаризированной задачи, или характеристиками пер-
вого семейства. Вдоль каждой из этих прямых линий угол возмуще-
ния а, а следовательно, и числа Ми), будут принимать некоторые
постоянные значения. В силу (86) постоянное значение будет сохра-
нять и угол 0 между век-
тором скорости V и
начальным направлением
потока.
Определим газодина-
мические элементы потока
после поворота его на
угол 6р
Согласно (86) и приня-
тому условию 0 = 0 при
А=1, получим:
(87)
где а (/.) задается одним из
равенств (86') или (86").
Разыскав по выбранному значению 0 = величину безразмерной
скорости движения X = Aj и используя обычные формулы изэнтропи-
ческого потока, найдем также и М„ р1г и т. д.
Значения эти приведены в табл. 9, рассчитанной для воздуха
(6=1,4). Об общем характере изменения величин можно судить по
кривым рис. 122.
Огибая внешнюю часть выпуклого угла, поток, как это следует
из приводимых кривых и табл. 9, расширяется, скорость его возра-
стает, давление и плотность уменьшаются. Явление в целом несколько
напоминает расширение газа в сопле Лаваля, но, в отличие от при-
нятого в гл. IV одномерного подхода, настоящая теория позволяет
судить как о суммарном эффекте поворота потока, так и о деталях
заключенного в угле C0OCt плоского потока, переводящего однород-
ный поток слева от линии возмущения ОС0 в однородный поток
справа о г линии ОСГ Чтобы исследовать это движение, введем
в рассмотрение угол е между некоторой промежуточной характери-
стикой ОС и начальной характеристикой ОС0.
Как легко заключить из рис. 121, угол е будет связан с углами
“ и 0 простым соотношением:
е + «-й=
(88)
374
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[гл.
Таблицг
6° e° a° M X PlPo e° e° a° M X Pl
0 0,00 90,00 1,000 1,000 0,527 28 89,02 28,98 2,062 1,657 0,1
1 23,72 67,28 1,084 1,068 0,477 29 90,58 28,42 2,098 1,673 0,1
2 30,04 61,96 1,133 1,107 0,449 30 92,12 27,88 2,135 1,688 0,1
3 34,82 58,18 1,178 1,141 0,424 31 93,66 27,34 2,174 1,704 o.c
4 38,88 55,12 1,220 1,173 0,401 32 95,18 26,82 2,214 1,720 0,(
5 42,34 52,66 1,258 1,201 0,381 33 96,68 26,32 2.251 1,735 o,c
6 45,42 50,58 1,295 1,227 0,363 34 98,20 25,80 2,296 1,752 o,c
7 48,30 48,70 1,332 1,253 0,345 35 99,67 25,33 2,339 1,767 o.c
8 50,93 47,07 1,366 1,276 0,329 36 101,13 24,87 2,378 1,781 o,c
9 53,46 45,54 1,401 1,299 0,313 37 102,58 24,42 2,422 1,795 o,c
10 55,84 44,16 1,435 1,322 0,298 38 104,02 23,98 2,466 1,810 0,0
II 58,16 42,84 1,470 1,344 0,284 39 105,46 23,54 2,508 1,824 0,0
12 60,38 41,62 1,505 1,366 0,270 40 106,88 23,12 2,550 1,837 0.0
13 62,49 40,51 1,539 1,387 0,257 41 108,30 22,70 2,595 1,851 0,0
14 64,52 39,48 1,572 1,407 0,245 42 109,71 22,29 2,640 1,864 0,0
15 66,53 38,47 1,608 1,428 0,233 43 111,11 21,89 2,689 1,878 0,0
16 68,47 37,53 1,641 1,448 0,221 44 112,51 21,49 2,734 1,891 0,0
17 70,33 36,67 1,675 1,467 0,210 45 113,89 21,11 2,778 1,903 0,0
18 72,18 35,82 1,710 1,486 0,199 46 115,27 20,73 2,826 1,917 o.o
19 73,98 35,02 1,744 1,504 0,189 47 116,63 20,37 2,873 1,928 0,0
20 75,74 34,26 1,779 1,523 0,179 48 118,00 20,00 2,920 1,939 0,0
21 77,49 33,51 1,815 1,541 0,170 49 119,36 19,64 2,968 1,951 0,0
22 79,20 32,80 1,850 1,559 0,161 50 120,71 19,29 3,021 1,963 0,0
23 80,90 32,10 1,884 1,576 0,153 51 122,07 18,93 3,074 1,975 0,0
24 82,55 31,45 1.918 1,592 0,145 52 123,41 18,59 3,131 1,987 0,0
25 84,20 30,80 1,954 1,609 0,137 53 124,74 18,26 3,188 1,999 0,0
26 85,81 30,19 1,989 1,625 0,130 54 126,03 17,97 3,250 2,012 0,0
27 87,42 29,58 2,025 1,641 0,123 129,32 219,32 0,000 ОЭ 2,437 0,0
По определению угла возмущения а имеем:
. 1
а = arc sin = arc sin
k — 1
Используя это равенство, а также (87) и (86"), получим по (81
arc sin (j/”-fe у— УA2 — 1) —
— arc sin
— arc sin
s
fe -f” 1
(8S
§ 58]
СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛОГО УГЛА
375
Применяя известную теорему сложения арксинусов
arc sin и arc sin v = arc sin (и ]/1 — v2 v |/1 — и2),
легко убедиться, что сумма двух последних членов в равенстве (88')
равна , так что будем иметь:
s = j/lr^arcsin(j/" V^2— 1),
(89)
Рассчитанные по этой формуле при k = 1,4 значения углов е,
отвечающие данным значениям О, X или М, помещены в табл. 9.
Последнее из равенств (89) позволяет по заданному углу е опре-
делить величину скорости'движения газа; скорость эта, так же как
и все остальные газодинамические элементы, не зависит от расстоя-
ния г между взятой на характеристике точкой N и вершиной угла О.
Каждый из углов е, а, 0 может быть связан попарно с другим.
Замечая, что первая из формул (89) на основании известного соот-
ношения
arc sin х = arc tg
х
У1—Л2
376
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
переходи! в формулу:
а —
и сравнивая ее с выражением для угла а;
arcctg |/Ме— 1 = arc ctg
>2—1
1 ? а
видим, 'по между а и г сущещвуег соотношение
ctga==|/r|xltg(j/|__|.e);
(90)
позволяющее определить угол а между скоростью и линией возму-
щения по заданному углу е линии возмущения с перпендикуляром
к направлению начального потока. По формуле (88) найдем связь
между в и е:
O = e + arcctg(j/I±Itgj//'A^l.e)_|. (91)
Найдем, наконец, форму линий тока в области C0OCt. Для этого
по (90) и по известной формуле для котангенса угла между касатель-
ной к кривой, заданной в полярных координатах, и радиусом-векто-
ром составим дифференциальное уравнение
1 dr t t \
__ = ctga = |/
которое легко интегрируется и дает:
/г 4-1
^гДсо5(/^в)] * \ (92)
где г0 = г (0). Как видно из последнего равенства, все линии тока
подобны между собою относительно центра О.
Таким образом, задача полностью разрешена. Обратим внимание
на следующий интересный физический факт. Согласно (87) и (86"),
чем больше угол 6( полного поворота струи, тем больше безразмер-
ная скорость Х2 в конце поворота ее. По формуле (89) максимальное
значение X будет равно
(для воздУха лтах = 2,437).
Этому максимальному значению X соответствует движение с макси-
мальной скоростью в абсолютном вакууме:
— а' /, । /’ б, Т — 0, р — 0.
СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА
377
§ 59]
Максимальное значение угла поворота струи 6тах определится, со-
гласно (86"), при этом так:
°гаЮ = ° (А'пах) = ]/ 4^4 аГС Я’П 1 “ аГС Sitl 1 = (1^Т=Т ~ 1) ¥’
для воздуха (k = 1,4) получим:
= 129,32°.
Характеристика (линия возмущения), соответствующая максимально
возможному углу отклонения струи, будет образовывать, согласно (89),
с осью ОС0 угол: _____
__ Г k 4-1 я .
smax = У /. _ J
для воздуха (k =1,4):
sLx = 219,32°.
Заме гим, наконец, ч 1 о при М = оо угол возмущения а равен нулю,
т. е. линия возмущения совпадет с линией тока. Таково предельно
возможное расширение потока при огибании угла.
Изложенное общее решение задачи об обтекании угла может быть
использовано для начального потока с любыми значениями чисел А > 1
или М > 1. В этом случае следует начинать с характеристики (линии
возмущения), соответствующей заданному начальному значению X или М,
и подводить к ней однородный прямолинейный поток под соответ-
ствующим углом 6 или а. Точно так же и конец поворота сгруи
определяется заданием 6 или X и М на выходе и построением выход-
ного однородного прямолинейного потока со скоростью и углами,
рассчитанными по изложенной теории или взятыми по табл. 9.
Поворот сгруи определяется тем противодавлением (разрежением),
которое имеет месго за поворотом. Чем больше разрежение за пово-
ротом, тем на больший угол повернется струя. Явление происходит
так же, как на выходе из сопла Лаваля: если давление в камере,
куда происходит истечение, меньше расчетного на выходе из сопла,
поток расширяется, огибая край сопла на тем больший угол, чем
больше разрежение в камере. Посмотрим теперь, чго будет происхо-
дить в противоположном случае — при повышении давления и сопро-
вождающем его замедлении сверхзвукового потока.
§ 59. Сверхзвуковой поток внутри тупого угла. Косой скачок
уплотнения. Связь между газодинамическими элементами
до и за косым скачком
Рассмотрим сверхзвуковое обтекание внутренней части тупого
угла (рис. 123). В отличие от предыдущего случая после прохож-
дения вершины угла О скорость потока должна уменьшиться, поэтому
будем предполагать, что на участке слева от линии возмущения ОС,
поток был сверхзвуковым, число Mi было больше единицы, а угол
378
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
04 = arc sin jrr- меньше прямого. Так как при повороте потока скорость
его и число М, уменьшаются, то угол возмущения а2 = arc sin
должен
увеличиться, что в связи с поворотом потока в целом навстречу ли-
нии OCt должно было бы привести
О
Рис. 123.
к физически нелепому выводу —
линия возмущения ОСа ока-
залась бы лежащей выше по
потоку, чем линия ОС,.
Отсюда следует, что непре-
рывное сверхзвуковое дви-
жение внутри тупого угла
невозможно. Если угол О
поворота потока предста-
вляет конечную величину, то
внутри тупого угла обра-
зуется линия разрыва, анало-
гичная ранее уже рассмотрен-
с направлением набегающего потока
v(n
L___
Рис. 124.
ному скачку уплотнения; но в отличие от прямого, перпендикуляр-
ного направлению движения потока скачка, в этом случае возникает
косой скачок, образующий
острый угол (рис. 124).
Угол этот, как будет
сейчас показано, зави-
сит от начальных пара-
метров движения до
скачка и подлежит
определению.
Анализ прохожде-
ния газа сквозь косой
скачок уплотнения ни-
чем не будет отли-
чаться от соответству-
ющего анализа в случае
прямого скачка. По-
добно тому', как это
делалось в гл. IV, применим для установления связи между элемен-
тами движения до и за скачком три основных уравнения механики:
закон сохранения массы, энергии и закон изменения количества
движения.
Условимся обозначать в дальнейшем индексом ,1“ все величины до
скачка, индексом „2“—после скачка; кроме того, применим индекс t
для обозначения составляющей скорости в плоскости скачка и
индекс п—для нормальной составляющей скорости.
Выбирая контрольную поверхность так, как показано на рис. 124,
будем иметь:
§ 59] СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА 379
а) согласно закону сохранения массы:
Р1 Vnl = Р2^»2>
б) по закону количеств движения в проекции на касательную
к поверхности раздела:
Р1 Р2У12У2’
в) по тому же закону в проекции на нормаль к поверхности раз-
дела:
Pi + Pi Vni — Pz Р2 Vnz ’
г) на основании закона сохранения энергии:
4 + ~2 (Уп 4~ Уп) = 4 _h 4“ Угг)-
Из уравнений пп. „а“ и „б“ сразу вытекает основное для теории
косого скачка равенство
Vn=Vn=Vt, (93)
утверждающее, что при прохождении газа сквозь косой скачок уплот-
нения составляющая скорости, касательная к поверхности скачка, сохра-
няется; скачкообразно изменяется лишь нормальная составляющая.
Переписывая уравнение энергии (п. яг“) в виде
4 4~ ~2 4 “г, ^«2
и сравнивая последнее уравнение, а также уравнения пп. „а“ и „в“
с соответствующими уравнениями теории прямого скачка, убеждаемся,
что уравнения косого скачка совпадают с уравнениями прямого
скачка, составленными для нормальной скорости.
Отсюда можно заключить прежде всего, что между отношениями
давлений р2/р1 и плотностей p2'pt до и после скачка будет существо-
вать та же связь, что и при прямом скачке, это — известная уже нам
ударная (неизэнтропическая) адиабата, определяемая равенством (43)
§ 29 гл. IV и показанная на рис. 42.
Приводя поток перед и за косым скачком уплотнения каким-
нибудь адиабатическим и изэнтропическим процессом к покою
(индекс „0“), получим на Основании уравнения п. „г“:
4о = 4о = *о> Ло ~ ^20 ~ ^о>
fl10 ~ а20 ~ а0’
отсюда сразу следует также, что:
Т* = 7^ = Г, а*. (94)
380
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[ГЛ. VI
Итак, при прохождении газа сквозь косой скачок уплотнения
сохраняются температура и скорость звука в адиабатически и
изэнтропически заторможенном газе, а также критические значе-
ния температуры и скорости звука.
Переписывая уравнение Бернулли
V2 । а* _ k±l
2 п 2(fe—1) а
в виде
- k+1 k + l (a-2 k + 1
2 ' k— 1 — 2(Л — 1) 2 2(k — 1) V k—lVt)
заключаем, что, как ранее было уже указано, для расчета косого
скачка можно с успехом использовать формулы расчета прямого
скачка, если только за скорость принять нормальную составляющую
действительной скорости V„, а за критическую скорость величину
так же как и истинная критическая скорость сохраняющуюся, со-
гласно (93) и (94), при переходе газа сквозь косой скачок уплотне-
ния. При этом вместо известного соотношения для прямого скачка
[формула (54) гл. IV]
V\V2 = o:*2
получим обобщение этого соотношения на случай косого скачка:
(95)
Замечая, что, согласно рис. 124:
sin V2n = va silq (P — e),
Vt = cos p = V2 cos (p — 0),
получим no (95):
V\V2sinpsin(p — 6) = a*2 — Vicos2p,
откуда
_______________________________________________________________
„#а — 1 — “I k — 1 1
a cos P • | sin p sin (8 — 6) cos p cos (p — 0 )J
~V=COSp • [sinptg(P — 6)4-
A. L
cos (р — 6)
fc—1
-----COS
(97)
Номограмма для расчета косого скачка.
Зак 1841. Л Г. Лойиянский.
59] СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА 381
Перейдем еще обычным образом от ).] к М?, тогда будем иметь:
1 __ £4 1 _1______fe —1 __
м[ 2 *'4 2 ~~
= —д— sin р cos р tg (р -— 0]---= sin2 р. (93)
£ л
Это соотношение является основным для теории расчета косого
скачка. Задаваясь числом Мх и углом 0 поворота потока, по (98)
найдем угол р скачка с начальным направлением потока. Заменяя
в формуле прямого скачка (72) гл. IV число Mj на M1sinp, соот-
ветствующее нормальной составляющей скорости, получим отношение
давлений в потоке за и перед косым скачком:
2k -.2 . 2П
. , , Mi sin р
«41 г
Ра
Р1
k 4" 1
(99)
Перейдем к давлениям рю и р20 адиабатически и изэнтропически
заторможенного газа до и за скачком. В полном согласии с ранее
выведенной для прямого скачка формулой (75) и заменяя в ней М?
на Misinap, получим:
Рю
Рю
(*ТТМ^‘"2₽
k—1
£41
-h—g- - Mi sin2 £
•H--M2sin2p
%
. (100)
Напомним, что натуральный логарифм этого отношения пропор-
ционален возрастанию энтропии газа при прохождении его сквозь
скачок уплотнения.
Аналогичным путем выведем выражение числа М2 за скачком через
число М, до скачка и угол р:
. . k'—1 -.2
14-2-mi
Mg =------—Г---Г + -
PM, sin2 р-2— 1
M|cos2p
Mi sin8 &
(101)
Пользование формулами (98), (99) и (101) требует сложных вычи-
слений, для избежания которых предложены различные графические
приемы. Рекомендуем номограмму,1 позволяющую по заданному
числу Mj до скачка и углу поворота струи 0 определять угол р
скачка с начальным направлением потока и величины М2 и ~ в по-
токе за скачком. Поясним пользование номограммой на схеме (рис. 125),
где жирной линией показана одна из кривых зависимости р от
1 См. вклейку, а также ранее цитированную книгу Г. В. Липмана и
А. Е. Пакета.
382 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА |ГЛ. VI
при 0 = %. Выбираем на верхней горизонтальной шкале точку =
соответствующую начальному состоянию потока до скачка, и проводим
через эту точку вертикальную прямую до пересечения с кривой,
представляющей зависимость р от МР Получаем в пересечении две
точки, которым соответствуют два наклона линии скачка: р = р0
и р = ₽о, отсчитываемые, как показывают стрелки, по левой верти-
кальной шкале номограммы, а также две пары значений: Мао и М»о,
и ("^’) » которые можно найти на правой вертикальной шкале
чисел М2 и горизонтальной шкале Из указанных двух физи-
чески возможных наклонов косого скачка в действительности, как
будет пояснено далее, может осуществляться лишь тот, при котором
происходит более слабое уменьшение скорости и числа М, а следо-
вательно, более слабое увеличение давления; такому скачку соответ-
ствует меньший из двух указанных на номограмме углов р0 и р0 •
Если проследить за направлением возрастания величин р, М2 и p2IPi
по шкалам номограммы (на схеме рис. 125 эти направления указаны
стрелками), то пригодным решением окажется система значений Ро »
__/7 /П®\
М20 и 1 , соответствующая нижней, „рабочей", точке номограммы.
§ 59] СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК ВНУТРИ ТУПОГО УГЛА 383
Рассматривая номограмму более подробно, заметим, что не при
всяком начальном значении числа можно найти величину угла р
скачка с начальным направлением потока. Каждому значению угла
отклонения потока 0О соответствует некоторое значение М*, при кото-
ром вертикаль Мх = Mj пересечет кривую р (М,) только в одной
точке Р = Р (рис. 125). При заданном 0О и получить косой
скачок вообще нельзя.
Этот факт можно про- /
интерпретировать и не- /
сколько иначе: при лю- / у
бом заданном числе Мх / /
набегающего потока мож- /
но указать такое макси- / f
п /-гггтТТ7' I осотах I 1 ° ° max
мальное значение 0гаах .- --- j---------------_----
угла отклонения потока, \ х^5^
ЧТО при 0О > етах ПО' \
строить косой скачок \ X.
нельзя. В этом случае \ х
явление усложняется тем, \
что скачок перемещается \ * нс‘
вверх по потоку, отходит
от вершины угла, образуя так называемую головную волну, о которой
уже была речь в гл. IV. Схема такой волны на примере обтекания
клина показана на рис. 126. При 0 > 0тах обтекание остроносого
профиля становится аналогичным обтеканию тупоносого.
Если угол поворота потока 6 устремить к нулю, то семейство
кривых p(Mt; 0), показанных на номограмме жирными линиями, све-
дется к нижней кривой (0 = 0). Как это следует из уравнения (98),
будем иметь при 0 = 0:
1 о о , .1
—т == sin 0, 8 = ± arc sin —,
v М
т. е. в этом случае косой скачок превращается в „линию возму-
щения". Обращаясь теперь вновь к вопросу о двузначности решения
задачи о наклоне косого скачка, можем сказать, что в действитель-
ности осуществляется тот из двух возможных скачков уплотнения,
который ближе к „линии возмущения".
Соединим между собою на номограмме вершины кривых (3 (М,),
соответствующие значениям М, = М^; тогда между этой кривой р* (Mt)
(на номограмме и схеме рис. 125 показанной жирным пунктиром) и
линией p(Mt, 0) окажется заключенной вся рабочая часть номограммы.
Возьмем точку пересечения кривой (3 (Мп 0) с вертикалью
в верхней части номограммы и, не уменьшая числа Мг, устремим 0
к нулю; тогда р станет равным 90°, а косой скачок — прямым. Но
384 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА [гл. VI
при стремлении 6 к нулю, т. е. при непрерывном исчезновении причины
возмущения (наличия угла), нет никаких физических оснований обра-
зовываться прямому скачку с характерным для него резким изменением
параметров движения; наоборот, естественным является вырождение
косого скачка уплотнения в „линию возмущения", которое и про-
изойдет, если точку пересечения кривой (3 (М1; 6) с вертикалью Mj
взять в нижней (рабочей) части номограммы.
Номограмма наглядно показывает ход изменения параметров дви-
жения газа при прохождении его сквозь косой скачок уплотнения.
Обратим внимание на специфическое отличие косого скачка от прямого.
Каков бы ни был начальный сверхзвуковой поток за прямым скачком,
движение становилось дозвуковым, в случае косого скачка это уже
не так. Пользуясь рабочей частью номограммы, легко заключить, что
каковы бы ни были начальные числа М, > 1 до скачка, значения М2
за скачком хотя и уменьшаются, но оказываются все же большими
единицы; за косым скачком, таким образом, поток остается сверх-
звуковым.
Отсюда следует, что в косых скачках не должны происходить
столь резкие изменения в параметрах газа (давлении, плотности, темпе-
ратуре), как в прямом скачке.1 Это приводит и к более слабым
превращениям механической энергии в тепловую, к меньшему возра-
станию энтропии, а следовательно, и к меньшим потерям. Значительно
меньшая по сравнению с прямым скачком интенсивность косых скачков
с успехом используется для борьбы с потерями в прямых скачках,
например, в головной волне перед тупоносым обтекаемым телом
(§ 32 гл. IV).
Идея замены прямого скачка, переводящего сверхзвуковой поток
с высоким значением числа М сразу в дозвуковой, системой косых
скачков, последовательно уменьшающих число М, оказывается весьма
1 См., например, табл. 5 § 31, гл. IV.
§ 59J СВЕРХЗВУКОВОЙ IIOIOK ВНУТРИ ТУПОЮ УГЛА 3S5
полезной для практики. Так, например, для гою, чтобы ослабить
вредное влияние головной волны, образующейся на входе в реактив-
ный двигатель самолета (вспомнить рис. 44) и уменьшающей есте-
ственное и полезное сжатие воздуха в камере горения, конструкцию
входа изменяют. Помещая на входе в двигатель (рис. 127) „иглу",1
вызывают появление системы косых скачков, которые способствуют
Рис. 129.
менее резкому, чем при
; одном прямом скачке, пе-
~ реходу набегающего по-
77W ' тока от сверхзвукового
к дозвуковому движению.
рнс 128 Указанные на рисунке че-
тыре косых скачка пере-
водят сверхзвуковой поток
со значительным числом М постепенно в сверхзвуковой поток с чи-
слом М, близким к единице, а уже после этого прямой скачок малой
мощности совершает с ничтожными потерями окончательное превра-
щение набегающего потока в дозвуковой. При такой конструкции
входа в реактивный двигатель потери напора значительно уменьшаются.
Изложенная в настоящем и предыдущем парагра-
фах теория сверхзвукового течения внутри и вне вер-
шины угла может быть положена в основу описания
сверхзвукового движения газа около выпуклой или во-
гнутой поверхности. Действительно, заменяя непре-
рывную плавную поверхность (в плоском движении —
линию) ломаной с доста-
точно малыми гранями, мо-
жно для каждого такого угла
построить системы „линий
возмущений" и таким об-
разом установить течение
в целом. На рис. 128 пока-
зано построение расширяю-
щегося потока около вы-
пуклой стенки, на рис. 129 — около вогнутой стенки. В первом слу-
чае поток ускоряется, местное число М растет, и „линии возмущения"
расходятся веером, гак как с ростом вниз по течению числа М
углы линий возмущения с линиями тока убывают. Во втором случае,
наоборот, поток замедляется, число М убывает, и углы линий возму-
щения с направлением потока возрастают; это приводит к взаимному
пересечению линий возмущения и к образованию огибающей их в не-
котором удалении от поверхности тела; эта огибающая представляет кри-
волинейный скачок уплотнения, показанный жирной линией на рис. 129.
1 R. Courant and К. Friedrichs. Supersonic Flow and Shock
Waies 1948, p. 285.
25 Зак. 1841. Л Г. Лойшшский.
386
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА
[гл. Vi
Перечисленные только что два характерных типа сверхзвуковых
течений: 1) ускоряющегося и расширяющегося потока, проходящего
сквозь непрерывные совокупности линий возмущения, служащие
Рис. 130.
линиями плавного разрежения по-
тока, и 2) замедляющегося и су-
жающегося потока, скачкообразно
изменяющего свои параметры при
прохождении через системы ди-
скретных косых скачков, постоян-
но наблюдаются как при сверх-
звуковых обтеканиях крыловых
или лопаточных профилей, так и
при протекании газа сквозь сопла
и насадки. В частности, эти явле-
ния имеют место на выходе из
сверхзвукового сопла, если противодавление в камере не совпадает
с расчетным давлением в выходном сечении сопла. В том случае,
когда давление в камере не-
сколько больше, чем в выход-
ном сечении, струя сужается, и
на выходе образуются косые
скачки, повышающие давление
выходящего из сопла газа
(рис. 130, а). Если же давление
в камере меньше, чем в выход-
ном сечении, то поток продол-
жает расширяться, плавно
уменьшая свое давление при
прохождении через пучок линий
возмущения (рис. 130,6).
Аналогичные явления про-
Рис. 131.
исходят и при внешнем обтекании профилей. На рис. 131 для примера
показана схема обтекания идеальным сверхзвуковым потоком пла-
стинки, образующей с направлением потока конечный угол атаки.
Действительно происходящие явления усложняются как наличием
отраженных волн от стенок каналов или смежных тел, так и не-
идеальностыо газа, приводящей к образованию пограничного слоя,
создающего принципиальные изменения в картине скачков.
ГЛАВА Vll
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 60. Ортогональные криволинейные координаты в пространстве.
Основные дифференциальные операторы поля в криволинейных
координатах
При исследовании пространственных течений постоянно приходится
пользоваться различными криволинейными системами координат: цилин-
дрической, сферической и др. Такой подход не только упрощает
описание картины движения, но иногда просто неизбежен: от удачного
выбора системы координат зависит возможность разделения перемен-
ных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворе-
ния граничных условий и многое другое. В плоском движении роль
криволинейных координаг, как это было показано в § 40 гл. V,
играет метод функций комплексного переменного и конформных отобра-
жений; переход от физической плоскости z = x-\-iy к вспомогательной
плоскости С = ? -f- tv] был эквивалентен пользованию криволинейными
координатами £, т] вместо прямолинейных х, у.
Имея в виду сказанное, напомним вкратце основные формулы
теории ортогональных криволинейных координат.1
Положение точки в пространстве трех измерений можно определи гь
как заданием трех ее декартовых координат х, у, z или вектора-
радиуса г с проекциями х, у, z, так и любой другой тройкой чисел qt,
q^, q$—криволинейных координат — связанных взаимно-on позначным
функциональным соответствием с координатами х, у, г:
x==x(qu q2, qs),
У=У(Я1, Яъ Яъ),
z^=z(qu q2 ,qs),
или эквивалентным векторным соотношением
г = г(?1, q* ^3).
(1)
(И
1 За подробностями отсылаем к курсу Н. Е. К о чин, Векторное исчис-
ление и начала тензорного исчисления. ОНТИ, 1934, стр. 202—220.
25*
388
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
(гл. V11
Изменяя (рис. 132) одну из криволинейных координат qt и сохра-
няя постоянными остальные две, получим некоторую кривую линию
в пространстве, называемую координатной линией (qt). Через каждую
точку М пространства можно провести, таким образом, три коорди-
натные линии: (<7t), (</2) и (</3).
Каждая координатная линия
представляет годограф вектора
г, соответствующий изменению
одной из криволинейных коор-
динат. Проводя через точку М
касательные к координатным
линиям в сторону возрастания
отдельных координат, получим
координатные оси в точке М.
Легко понять, что орты (еди-
ничные векторы) этих коорди-
натных осей будут равны
. ___dr_. I дг_ I
l~~ dq,’ 1 Г
т=1, 2, 3,
так как векторная производная
от вектора-радиуса г по ска-
лярному аргументу qt напра-
влена по касательной к со-
ответствующему годографу, а в результате деления вектора на ею
модуль получим вектор единичной длины, т. е. орт.
Введем так называемые коэффициенты Ляме:
н.=й1=+/(^+ш+(а)^ <2>
тогда предыдущая
динатных осей:
формула даст следующее выражение ортов коор-
1 дг
Нгдцг‘
Условие взаимной ортогональности
координатных осей будет:
(3)
или
дх дх ду ду , дг dz .
-г— +- + — — 0, если
dqtdq} dqtdqj * dq.dqj
Дифференциал дуги dst координатной линии (<?$) равен модулю
частного дифференциала вектора-радиуса по аргументу qp.
dst = | dq Т | = | | dq, = H,dqt.
§ 60J ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 389
В ортогональной системе координат дифференциал любой дуги ds
складывается из дифференциалов дут координатных линий по правилу
прямоугольного параллелепипеда:
ds2 = dsf + ds2 + ds2 = Hldqt 4- H23dq2 + rfdql. (4)
Наряду с координатными линиями и касательными к ним — коор-
динатными осями — вводят в рассмотрение координатные поверх-
ности \дг] и касательные к ним координатные плоскости. Уравнения
координатной поверхности получим из (1) или (1'), если будем
считать постоянной координату qt, а менять остальные две коорди-
наты. В случае ортогональной системы координат через каждую
точку М пространства можно провести три взаимно перпендикулярные
координатные поверхности и три координатные плоскости. Легко
проверить, что каждая координатная линия (</г) будет перпендикулярна
соответствующей ей координатной поверхносги [</$]; аналогично рас-
положатся и координатные оси по отношению к координатным плос-
костям.
Попарным перемножением дифференциалов дуг координатных линий
получим элементарные координатные площадки:
rfoj = ds2 ds3 — Н2Н3 dgs dq3,
da2 = ds3 dst = H3Hy dq3 dqv
da3 = dst ds2 == dqx dq2,
(5)
а также и выражение для элемента объема:
dx — dsx ds2 ds3 — HXH2H3 dqx dq2 dg3. (6)
В цилиндрической (рис. 133) системе координат (г*, г, z), связан-
ной с декартовой очевидными соотношениями:
х = г* cos е, у = г* sin е, z — z,
г* — х2 -|-
и сферической (г, в, 6):
х = г cos е sin 6,
j = / sine sin 0,
z = r cos 0,
отличающейся от цилиндрической заменой:
г' = г sin 6 и z — г cos О,
будем иметь:
Hr, = 1, Цв — г*, Нг=1;
Н, = 1, Нв = г sin 0, Hlt = г;
ds2 = dr*2 -f- г*2 de2 -j- dz2 — dr2 r2 sin2 0 de2 -|- r2 dt)2. (7)
dcr = r' de dz, dae = dr* dz, dcz = r* de dr*; 1
dar = r2 sin 0 de dt), daB=~ r dr dt), dec = r sin 0 dr de; | (8)
dx — r* dr* dedz= r2 sin 0 dr de dt), ’
390 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
По определению градиента скалярной функции будем иметь:
, , ч , 1 , дг
(grad = grad ? . кг = — grad ? • =
____1 /dy dx . dy dy r dtp dz \ _ 1 dy ,
Hi\dx ’ dqt ' dy ’ dqt* dz ' dqt) Hidqf ' -
Дивергенция вектора может быть вычислена в ортогональной криво-
линейной системе по формуле
Ш(1= ' +Iй<«»/";>], (10)
Н1НЛ L ' dqt “ dqs J v
которую проще всего вывести, применяя известное нам по гл. I
интегральное определение дивергенции
div а = lim — f а„ da
г->0 ’ J П
а
к элементарному криволинейному координатному объему di. Будем
иметь (рис. 132):
1 f г , Э(«ОТД<31) т т
div а == Jim j — -[----j— j + ... J =
= I dqi dqi d^dq^-r • • • J ’
а после сокращения на dq^dq^dq^, получим формулу (10),
§ 60J
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
391
Проекции вихря вектора rota на оси криволинейных координат
получим, применяя для отдельных составляющих вихря по направле-
ниям осей и соответствующих элементарных площадок известную
теорему Стокса (гл. I) о связи между интенсивностью вихря вектора
и циркуляцией вектора по элементарному контуру, охватывающему
координатную площадку (направление обхода показано стрелками на
рис. 132):
rot^aJOi= a-dr.
Будем иметь приближенно, а в пределе и точно, для одной из
составляющих, например rot^a:
rotffj a da3 = rot5j а • dqx dq^ —
= dSi + ds2 -------------7dqxj —
I , . 6(«Cid4i) -i
4----------^2J aqs dS^ —
d(agiydq2) dtflgl^dqd J
=------------------------
откуда, сокращая на dqxdq2 и повторяя то же вычисление для других
составляющих, найдем:
rotffI а
rotff, а
rot,7>a
1 d (,aqaHs~) d(agaHsy
Н2н8 L dqs dq&
1 d{aqHd d(ag_H3y
- dq3 dQi J
1 6 («<7,^)1
L dqj. 6% J
(И)
Наконец, пользуясь (10) и (9), напишем еще общее выражение
для оператора Лапласа в любой ортогональной системе криволиней-
ных координат:
V2® = div grad ® —
1
[ d /^2^3 бу \ д ду\ . д ПУН., dy\l
I dqx \ Нг dqj dq2 \ Н2 dqj *Т" dqA \ Н8 dqjJ ‘
(12)
Приведем в заключение формулы градиента, дивергенции, вихря
и оператора Лапласа в наиболее употребительных цилиндрических
И сферических- координатах;
392
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
а) цилиндрические координаты:
л д-%
gradg® = gj;
да
! S •
pradr’® = ^-. grad.® =4-^,
е> г , дг* > » в . гя gs
1 д(г*аг„) 1 да
(1IV а = -, 575 Ь777 т77 >
ci*
го V- а
__1 дае дае
г* де dz ’
rotca
rot. а
даг' даг
dz дг' ’
1 д (r*ae) 1 даг
р» _ ....,
V2®=1
. ri
1 Э3ср , д2у
~7)е3 ' Лг3’
б) сферич£ские координаты:
л ds> , 1 Эф , 1 Эср
gratV®^^, grad,®-^^^, ^ = 7^
div я = 1 d(rgg>.)____1 dat J____1 d(«8sin fl).
rs Qr । rsin fl de • rsinfl dfl ’
. 1 d (a, sin fl) _ 1 дац
r r sin fl Э6 r sin 6 de ’
rnt a _ 1 Й ('"«о) 1 dar
6 r dr r do
_ 1 dar 1 d (ras).
г01еа-7да'эГ-7'^Г'’
, ,2 dfsinfl^—
— 1 I dr'- ! 1 a ; 1 v J
• rz dr ’ r2 sin2 fl de2 ‘ r2sinfl ЭА
Выведенные формулы представляют необходимый справочный мате-
риал для дальнейшего.
§ 61. Потенциал скоростей. Поле источника и диполя. Непрерыв-
ное распределение источников и диполей. Ньютонов потенциал.
Потенциал простого и двойного слоев
На основании общих соображений, приведенных в гл. V, задачу
о внешнем обтекании тела потоком с однородным полем скоростей
в бесконечном удалении от тела можно значительно упростить, сделав
наперед предположение о безвихревом характере движения. В этом
предположении во всей области движения имеем
rotV=0
ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА, ДИПОЛЯ И ДР.
393
и, следовательно, вектор скорости имеет потенциал ©, именуемый
потенциалом скоростей и связанный с вектором скорости равенством:
V = grad«. (13)
Предполагая еще, что жидкость несжимаема, будем иметь условие
divV = О, (14)
ито вместе с (13) приводит к равенству
div grad ® = V2® = 0, (15)
представляющему известное уравнение Лапласа.
Итак, искомый потенциал скоростей является решением уравне-
ния Лапласа, удовлетворяющим определенным граничным условиям.
Рассмотрим задачу о внешнем обтекании некоторого твердого тела
с поверхностью о и ортом внешней нормали и однородным на бес-
конечности потоком с заданной скоростью VOJ. Тогда граничными
условиями будут:
а) условие непроницаемости поверхности тела:
= gradn <s = |^ == 0 на поверхности а,
б) условие на бесконечности
V == grad ® = Voo при г —> сю,
где г—радиус-вектор точек области течения относительно начала
координат, расположенного вблизи обтекаемого тела.
Как доказывается в теории потенциала, при весьма широких пред-
положениях о виде поверхности а, уравнение Лапласа (15) при только
что указанных граничных условиях имеет единственное решение;
функция ®, представляющая это решение, называется гармонической
функцией. Не останавливаясь на общей теории решения уравнения
Лапласа, приведении его к интегральному уравнению и других отно-
сящихся сюда общих вопросах математической физики, перейдем к рас-
смотрению некоторых частных гидродинамических задач, а затем из-
ложим метод расчета пространственного обтекания осесимметричных
тел — наиболее важной для практики пространственной задачи. Что
касается вопроса об обтекании тел произвольной формы, то, в отличие
от плоского движения, соответствующая задача в пространстве пред-
ставляет непреодолимые трудности.
Начнем, как и в случае плоского движения, с установления по-
тенциалов наиболее простых движений.
1°. Однородный прямолинейный поток, параллельный
некоторой прямой, имеющий повсюду одинаковую заданную скорость V
с проекциями и, v, w, будет удовлетворять очевидной системе равенств:
4^- = и = const, 4^ = ®= const, ^- = w — const,
Фу ду ’ д?
394
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
Следовательно, потенциал скоростей в этом случае равен
© = их <иу -wz = V (х cos а -f-У cos 3 Ц- z cos 7), (16)
где а, р, — углы заданного направления потока с осями коорди-
нат Ох, Оу и Oz.
2°. Поток источника (стока) мощности Q будет симметричен
относительно положения источника и даст поле скоростей, отвечаю-
щее очевидному условию сохранения расхода
V. 4№ = Q,
где г — радиус-вектор некоторой точки потока относительно источника;
отсюда получим:
Замечая, что в сферической системе координат
V V = —o
г дг 4№
1 п
Г Sin 6 ре :
Vo
1^=0
г 06
найдем искомый потенциал скоростей
Q
4~г’
(17)
причем, в случае источника Q>0, в случае стока Q<0. В выра-
жении (17) нетрудно узнать простейший
случай ньютонова потенциала, встречаю-
щийся в теории притяжения, электроста-
тике и др.
3°. Поток диполя получим, исполь-
зуя допустимое в силу линейности уравне-
ния Лапласа (15) наложение частных реше-
ний уравнения. Определим сначала по-
тенциал скоростей поля, создаваемого
совокупностью источника и стока с рав-
ными по абсолютной величине мощно-
стями ztQ.
Расположим сток (рис. 134) в точке Л
прямой линии AL, источник — в смежной
точке А', находящейся от точки А на
расстоянии А А' = As. Определим потен-
циал скоростей © в некоторой точке М
с вектором-радиусом Д7И = г, образующим угол 6 с направлением
прямой ЛА; будем иметь:
4тгг' 1
§ 611
ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА, ДИПОЛЯ И ДР.
395
Предположим геперо, что, аналогично тому, как это имело место
в случае плоского диполя (§ 38), источник сближается ср стоком, но
гак, что мощность увеличивается до бесконечности и при этом выпол-
няется равенство:
lim Q • АА' — т (конечная величина).
А'->Д
С~>оо
Тогда, переписывая потенциал скоростей © в виде
---L Q . АА'
4п
АА'
и переходя к пределу, получим следующее выражение потенциала
скорое 1 ей:
т d
4л ds
или, вычисляя производную и замечая, чго, согласно рис. 134,
d / 1 \_________1 dr_______cos в
~ds\rj r*~ds~ г*" ’
получим еще такое его выражение:
т со§ О
4лг2
(18')
© —
Полученный предельный поток с потенциалом скоростей ©, опре-
деленным формулами (18) или (18z), называют потоком диполя, нахо-
дящегося в точке А, имеющего ось AL и момент т. Иногда момент
диполя рассматривают как вектор ш, имеющий величину т и напра-
вленный по оси диполя AL', при этом потенциал диполя можно пред-
ставить в виде:
т- г
4лг3"
(18")
4°. Непрерывное распределение источников в про-
странстве. Предположим, что внутри некоторого объемам (рис. 135)
непрерывно распределены источники (стоки)
так, что на единицу объема приходится
мощность q. Величина q, представляющая
функцию координат точек в объеме т,
играет роль объемной плотности рас-
пределения источников (д > 0) или сто-
ков (q < 0). Элементу объема ch, находя-
щемуся в некоторой точке А объема т,
будет соответствовать источник мощно-
сти qth, и потенциал скоростей этого элементарного источника
В любой точке М пространства, заполненного жидкостью как внутри,
396
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
так и вне объема т, будет равен:
d<p =
q dz
4w ’
где г — длина вектора-радиуса АМ=г, соединяющего элементарный
источник в точке А с текущей точкой пространства М. Пользуясь
идеей наложения потоков, определим полный потенциал скоростей
в точке М от непрерывно распределенных в объеме т источников
в виде:
1
© — —__
• 4л
q dz
г
(19)
Подчеркнем, что интегрирование производится по всем элементар-
ным объемам, образующим объем т, т. е. по переменным координатам
точки А, в то время как точка М является фиксированной, в которой
определяется потенциал скоростей. Если обозначить через {а, Ъ, с)
декартовы координаты точки А, а через (х, у, z)—координаты точки /И,
то формулу (19) можно переписать явно так:
<р(х, у, = Г Г f- 9^b,c)dadbdc--------- ,
‘v л ’ 4л J J J V^x — «)2 + (у — b)^+(z — c? v
Если область течения жидкости безгранична, то функция ср при
удалении точки М в бесконечность будет стремиться к нулю. Обозначим
через R среднее расстояние точки М от частиц конечного объема т;
тогда при достаточном удалении точки М можно сказать, что потен-
циал скоростей со будет стремиться к нулю, как -i- при R -> оо, или
еще иначе, что функция ср обращается в нуль первого порядка на
бесконечности:
Полученный потенциал скоростей представляет общее выражение
ньютонова потенциала. Если под q понимать плотность распределения
массы в объеме т, то выражение (19) даст потенциал сил тяготения
единичной массы в точке М к неоднородной массе, заключенной
в объеме т; если под q понимать плотность распределения электри-
ческих зарядов, то ср будет потенциалом электростатического поля.
Это же выражение играет роль потенциала скоростей непрерывно рас-
пределенных в объеме z источников в рассматриваемом нами гидро-
динамическом случае. Широкие связи, существующие между, казалось
бы, столь различными физическими областями, как гидродинамика,
тяготение, электричество и др., позволяют использовать эти „аналогии"
§ 611 ПОТЕНЦИАЛ ИСТОЧНИКА, ДИПОЛЯ И ДР.397
для практического изучения процессов па тех объектах, которые по-
зволяют проще и точнее изучать явления. 1
Вспоминая определение величины дивергенции вектора скорости
как отнесенного к единице объема расхода жидкости из непрерывно
распределенных источников (§ 11), можем, очевидно, в любой точке
объема т написать:
div V = q
или, заменяя V = grad <р, div V = V9©:
V2<a == q. (20)
Отсюда вытекает, что функция ф, определенная формулой (19)
в некоторой безграничной области, заключающей в себе заполнен-
ный источниками конечный объем т, является решением уравнения
Пуассона (20) внутри объема; в остальной области, где q = 0, функ-
ция ф представляет решение уравнения Лапласа
V2© — 0,
причем это решение таково, что обращается на бесконечности в нуль
первого порядка.
В теории потенциала доказывается, что ньютонов потенциал (19)
представляет единственное конечное, непрерывное, однозначное, с такой
же первой производной по координатам решение уравнения Пуас-
сона (20), обращающееся в бесконечности в нуль первого порядка.
Наряду с объемным распределением источников, в гидродинамике,
так же как и в других отделах физики, рассматривают еще поверх-
ностные и линейные распределения источников. Сохраняя для поверх-
ностной и линейной плотности распределения мощности источников то
же обозначение q, будем иметь соответствующие потенциалы скоро-
стей в виде поверхностного и линейного интегралов:
• 4" J г
j ’ Г2П
i
Первое из этих выражений, представляющее потенциал скоростей
непрерывного распределения источников по некоторой поверхности а,
дает гидродинамическую интерпретацию известного в теории тяготения
и электростатического притяжения потенциала простого слоя. Потен-
циал простого слоя так же, как и ньютонов потенциал объемного рас-
пределения (19), является решением уравнения Лапласа, причем, как
Доказывается в теории потенциала, потенциал простого слоя конечен
1 Вспомнить, например, метод ЭГДА (конец гл. V).
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ безвихревое ДВИЖЕНИЕ
(гл. VII
и непрерывен во всей области, включая и поверхность а.1 Производная
от потенциала простого слоя по направлению нормали к поверхности с
претерпевает при переходе текущей точки М через поверхность а раз-
рыв непрерывности — конечный скачок.
Подобно тому, как только что рассматривались потенциалы ско-
ростей непрерывных распределений источников, можно ввести аналогич-
ные понятия и для непрерывного распределения диполей. Остановимся
на одном, наиболее интересном
Рис. 136.
распределении диполей, образую-
щем так называемый двойной
слой. Возьмем некоторую поверх-
ность а и покроем ее непрерывно
распределенными диполями так,
чтобы моменты их (или оси) со-
впали по направлению с внешними
нормалями п к поверхности а.
Обозначив плотность распределе-
ния диполей через т, получим
вектор элементарного момента ди-
поля, приходящегося на элементарную площадку do с ортом внешней
нормали п, в виде mdan, а элементарный потенциал скоростей d<o,
согласно (18) или (18х), будет равен
dw = — т~т =—(—) da —
‘ 4л дп \ г J
1 т cos 6 ,
--------— da.
4л г2
где 6 (рис. 136) — угол между внешней нормалью к поверхности о и
вектором-радиусом г = AM текущей точки М относительно точки А,
взятой на поверхности.
Полный потенциал скоростей от всей покрытой диполями поверх-
ности с:
If д ! 1 \ . 1 f т cos 0 ,
<р = — т- I da = — -г- -----s— da (22)
т 4л ] дп \ г) 4п | г" v '
а а
служит гидродинамической аналогией известного в теории электриче-
ства и магнетизма потенциала двойного слоя. Если потенциал простого
слоя представляет, например, электростатический потенциал заряжен-
ной поверхности, то потенциал двойного слоя дает магнитный потен-
циал намагниченной поверхности (магнитного листка).
Упомянем, что потенциал двойного слоя (22) также является реше-
нием уравнения Лапласа, но, в отличие от простого слоя, потенциал
1 В точках поверхности а потенциал простого слоя выражается, со-
гласно (21), через несобственный интеграл, который берется в смысле своего
главного значения.
§ 62] Лоле скоростей вокруг системы вихрей 39§
двойного слоя претерпевает разрыв непрерывное ги при переходе теку-
щей точки М через поверхность о.
Комбинируя потенциалы простого и двойного слоев, можно разре-
шать различные задачи обтекания тел.
§ 62. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей. Формула
Био — Савара. Потенциал скоростей замкнутой вихревой нити.
Аналогия с потенциалом двойного слоя
Наряду с основными „особенностями" скоростного поля: источни-
ками, стоками и диполями, рассмотрим еще вихревые трубки и линии.
Предположим, что в "некотором объеме т (конечном или беско-
нечном, как, например, в случае бесконечно длинной вихревой трубки)
задано непрерывное распределение завихренности У и требуется разы-
скать распределение скоростей во всей области течения. Простейшей
задачей такого рода является определение по заданному полю вихрей
поля скоростей в безграничной области. В этом случае вопрос сводится
к составлению такого решения относительно V уравнения
rotV = y, (23)
которое стремилось бы к нулю при удалении на бесконечность от
области, занятой вихрями.
Введем в рассмотрение так называемый векторный потенциал А
[вспомнить формулу (33) § 37 гл. V), связанный с вектором скорости V
соотношением
V = rotA, (24)
причем подчиним векторный потенциал дополнительному условию
div А — 0.
Тогда уравнение (23), если вспомнить основную формулу вектор-
ного анализа
rot rot А — grad div А — V2A,
превратится в
V2A = — У. (25)
Рассматривая это уравнение как векторный аналог уравнения Пуас-
сона (20), можем составить решение уравнения (25) в форме вектор-
ного обобщения ньютонова потенциала (19):
где г—радиус-вектор текущей точки поля М по отношению к эле-
менту объема т.
Согласно (24), для вектора скорости V получим искомое значение
V==±rotf—. (27)
J г ' '
400
Пространственное безвихревое движение
1гл. V11
Остановимся ближе на случае отдельной элементарной вихревой
I рубки, окружающей
вихревую нить L (рис. 137), с циркуляцией Г.
Обозначим через dr элемент нити, ориен-
тированный в ту же сторону, что и 8,1;
тогда, производя под знаком интеграла (27),
по известной теореме о связи между интен-
сивностью вихревой трубки и циркуля-
цией скорости по охватывающему трубку
контуру, замену
Й dt = Й da • ds = Q da • dr — Г dr,
получим вместо (27):
w Г .fl. Г f v 1 . \
V - ---- rot — dr — у- rot — dr .
4и I r 4?t I \ r j
rot
L Ъ
Используя формулу векторного анализа
у rot (dr) -f- grad (у) X dr
и замечая, что dr является потенциальным
вектором, так ч го rot (г/г) = 0, сможем
переписать в виде:
V =
(28)
ъ
Это решение
вихревой нити L
личными путями.
Первый путь заключается в непосредственном вычислении градиента
под знаком интеграла
задачи о построении поля скоростей вокруг заданной
с циркуляцией Г можно еще упростить двумя раз-
1 . . 1 r
—grad r = —у • у
г
г3
и приводит к гидродинамическому аналогу известной в теории электро-
магнетизма формулы Био — Савара-.
(29)
V = ~
4r. J
i
Если рассмотреть элементарную скорость dV, образованную („инду-
цированную", как принято говорить) в точке М элементом вихревой
нити dr, то можно вместо (29) написать:
dv= rdrXr
4и г3
§ 621
ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ ВОКРУГ СИСТЕМЫ ВИХРЕЙ
401
или, переходя к величине элементарной скорости:
|dV| =
Г
4л
| rfr X ГI___ Г As-sin fl
гз 4к /-2
(29')
По аналогичной формуле Био — Савара определяют магнитное поле
от элемента электрического тока.
Чтобы проиллюстрировать применение формулы (29), определим
скорость, индуцированную в различных точках пространства прямоли-
нейным отрезком АВ вихревой нити с циркуляцией Г (рис. 138).
Замечая, что все элементы прямолинейного вихря будут в данной
элементарные скорости dN
точке М давать одинаково направленные
(по перпендикуляру к плоскости, прове-
денной через отрезок АВ и точку М,
в сторону вращения, создаваемого вихрем),
найдем сначала по (29'):
. Г sin fl .
\d V — ------ds,
1 1 4п гг
|dV|=^sin0’sin28
а затем, пользуясь очевидными равенствами
(h—кратчайшее расстояние точки Ж от
отрезка АВ):
/г- г sin О, ds— — d(hctgb) = h -~® ,
' z Sinz и
получим выражение для | dN |:
. ~ -г-7 Sin 0 Си.
sin2 fl 4~/z
Г
№
Интегрирование
жение скорости V,
по 6 от 0 — « до 6 = тг — р дает искомое
индуцированной вихревым отрезком АВ'.
ГС — р
V = -^r f sin6 М
4r.h J
4^(cosa + cos₽).
выра-
(30)
Формула (30) играет основную роль в расчетах поля скоростей
вокруг вихревых линий и будет в дальнейшем использована в теории
крыла конечного размаха.
Полагая в формуле (30)’ а = р = 0, получим вновь известную из
теории плоского движения формулу скорости, индуцированной беско-
нечно длинной прямолинейной вихревой нитью
Второй путь преобразования формулы (28) полезен в том случае, когда
приходится^иметь дело с замкнутой вихревой линией конечной длины, огра-
ничивающей (рис. 139) некоторую разомкнутую поверхность о. В этом случае
26 Зак. 1841. Л Г. Лойцянский.
402 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЙ [гл. VII
второй путь приводит к установлению формулы потенциала поля скоростей,
индуцированного замкнутой вихревой нитью.
В полной аналогии с приведенным в § 13 гл. I выводом формулы Стокса
для циркуляции вектора по замкнутому контуру
J" а • dr = У rot„ a da
I а
рассмотрим теперь, вместо циркуляции вектора, представляющей криволиней-
ный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора
иа элемент контура, подобный же интеграл, по от векторного произведения
J а X dr.
L
Построив элементарный
цилиндр с образующими,
параллельными орту нор-
мали п к поверхности а, и
с направляющей L', огра-
ничивающей элементарную
площадку da, сможем напи-
сать:
а X (и X n') da',
где о' — полная поверхность цилиндра, состоящая из боковой поверхности и
двух оснований da, а dr' и da' обозначают, соответственно, элементы кон-
тура L' и поверхности а' элементарного цилиндра (на рис. 139 da' представлено
заштрихованной полоской). Применив формулу тройного векторного произ-
ведения, получим:
Г if л , 1 f , , dt,.
J aXdr' = y j n«w,da' — -J n «?Jdc' = n--^-diva —
I/ a'
ап~р~) ~n dlv a —grad
Суммируя обе части последнего равенства по всем элементарным кон-
турам L' слева и по всем элементарным площадкам da справа, получим:
У aXrfr= J rl divada —gTad^ J" a„dc^- (31)
L a a
Полагая в этой формуле
а
будем иметь, вместо (28):
v =
dc~^rgrad
da.
§ 631 функция тока, векторный нотейциал 4оЗ
Но, как уже ранее упоминалось, функция представляет простейший
случай ньютонова потенциала, удовлетворяющего уравнению
= О
(в чем легко убедиться и непосредственным дифференцированием), так что
окончательно найдем:
V = -i8"dJ ™
а
Сравнивая эту формулу скорости с определением потенциала скоростей
ср (13), видим, что искомый потенциал скоростей равен
<33)
а
а припоминая выражение потенциала двойного слоя (22), заключаем, что
потенциал скоростей замкнутой вихревой нити L с циркуляцией Г совпа-
дает с потенциалом двойного слоя диполей, расположенных по поверх-
ности с, опирающейся на контур L, и имеющих одинаковую по всей
поверхности плотность распределения момента, равную циркуляции
вихревой нити-, совпадают при этом, конечно, и поля скоростей.
Доказанная только что гидродинамическая теорема представляет аналог
известной теоремы электродинамики об эквивалентности кругового электри-
ческого тока полю магнитного листка.
Прежде чем перейти к другим примерам пространственных течений,
введем в рассмотрение функцию тока.
§ 63. Функция тока и ее связь с векторным потенциалом
скоростей. Функции тока простейших течений
Согласно (10) § 60 уравнение несжимаемости жидкости будет
иметь вид
(И,И, vj+4- («л г«)+-4- (И.Н. V») =. 0.
Предположим, что одна из составляющих скоростей движения,
например 1/вз, повсюду равна нулю; тогда предыдущее уравнение све-
дется к более простому:
В этом случае можно утверждать существование такой величины ф,
что будет выполняться система равенств:
HJ19VQ = 4^,
2 ® dq2
дф
dq-i'
26*
(34)
404
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ЬЕЗВИХРЕВОЁ ДВИЖЕНИЕ
(гл. VII
или:
V =_1_Л
dqz>
V 1
5- — ад
(34')
Такого рода величина ф, через которую могут быть выражены
две неизвестные проекции скорости на оси криволинейных координат,
называется функцией тока.
Потенциал скоростей <р связан с функцией тока, если она суще-
ствует, следующими соотношениями:
1 1 дф
dqi dq-> ’
1___д<? 1 дф
Hafti dqi ’
которые легко получить, приравняв проекции скорости Ув и Vq ,
выраженные через ©, согласно (13) и (9), и через ф, согласно (34').
Простейшим примером существования функции тока служит плоское
движение несжимаемой жидкости.
Рассмотрим осесимметричное относительно оси Oz движение несжи-
маемой жидкости, протекающее в меридиональных плоскостях, про-
ходящих через ось Oz. При таком движении существуют все три
декартовы проекции скорости и, ® и ® и все они зависят от трех
координат х, у, z, так что из уравнения несжимаемости
ди I । __л
дх “г ду dz ~ и
не следует существования функции тока. Между тем, если условиться
исследовать указанное осесимметричное движение в цилиндрической
или сферической системе координат, то, написав, согласно формулам,
помещенным в конце § 60, уравнения несжимаемости в одном из
следующих видов:
д(г*^) дУ* d(r*V£
' де ' 02
d(r2Krsine) , д(г14) , f)(rl/()sin 6)
dr “Г де ~г де
и заметив, что, в силу сделанного предположения о меридиональ-
ности движения, члены с Ve пропадут, будем иметь следующие выра-
жения проекций скорости через функцию тока:
а) в цилиндрической системе координат:
г* У,
Я
дф* . _ 1 дф*
dz ’ Vt*~ г* dz ’
дф* v 1 дф*.
(36)
§ 63J
ФУНКЦИЯ ТОКА. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
405
б) в сферической системе координат:
1
r2Vsine = 4r>
г дб Г r2 sin 0 j)fi
rVesin6 = —Vj -----------------“"пТТ"-
“ dr ’ “ r sin 6 dr
(37)
Введенная уравнениями (34) или (34') функция тока обладает
свойствами, аналогичными функции тока в плоском движении.
Замечая, что:
= v,.=//s*-=o,
по (34') найдем:
Следовательно, вдоль линии тока ф = const.
В случае ранее рассмотренного осесимметричного движения жид-
кости по меридиональным плоскостям (е = const) равенства ф = const
представят некоторые поверхности, которые можно было бы образо-
вать вращением линий тока вокруг оси Oz. Эти поверхности называют
поверхностями тока; на самой оси Oz можно положить ф = О,
тогда значения ф будут определять объемный расход жидкости через
любое ортогональное к оси Oz сечение трубки тока, ограниченной
данной поверхностью тока.
Функцию тока можно рассматривать как одну из составляющих вектор-
ного потенциала А скоростей, связанного с вектором скорости равенством (24).
Действительно, согласно этому равенству и формулам (11) имеем:
.. , * 1 Р^А)
V<H Г01щА H^5\_ dqt dq3 J’
v _rot *___LW_W1
V 4,-t0l4.A- L dq3 dqt J’
V -rt * 1 \d^A^ ^1
V <7( rot^A | J.
Выбирая вектор А перпендикулярным во всем пространстве координат-
ным поверхностям q3 = const, будем иметь:
А = Аа =0, V„ =0,
Qi
1
~ Н3Н3 dq3 ’
v _ 1 d«W.
Ц3НХ dqx ’
406
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
положив Н3Ац = ф (^р д), а коэффициенты Ляме и величину — не зави-
сящими от ^з, получим формулы (34'). Так, например, в сферической или
цилиндрической системах координат вектор А должен быть направлен по
касательной к параллельным кругам, соответствующим изменению одного е,
и не зависеть от е.
Найдем функцию тока в случае нескольких ранее рассмотренных
простейших движений. Для этого используем формулы (36) и (37).
1°. Однородный прямолинейный поток со скоростью V,
параллельной оси Ог.
В цилиндрической системе координат имеем:
v^ = o=-L-«i, v,~v-------------------L*
г* dz* z
г* дг* ’
следовательно:
ф* = — ~
В сферической системе координат
V — Vcos 0 =_____!___
vr— кcoso — r2gin6 м ,
1 ЭФ
г sin 6 дг '
Простое интегрирование этой системы уравнений в полных диффе-
ренциалах дает:
Уе = —Vsin0
ф = Vr2 sin2 0.
2°. Источник (сток) дает простое выражение для функции тока
в сферической системе координат. Имеем:
v _ Q 1 дф
4№ sin 6 Эв ’
Ve = 0 =---------
° г sin 0 Эг
(38)
откуда нетрудно получить
, Q cos 6 , ,
Ф = —----------k const,
или, подбирая константу из условия ф = 0 при 0 — 0:
ф = ^-(1-со8 0). (39)
3°. Диполь. Используя выражение потенциала скоростей (18'),
будем иметь по (37) систему уравнений;
, r _ т cos 6 1 Эф
_ —2г^3 — г2£.ш6
__ от sin 6 ______1 Эф
4 4^ г sin 6 дг ’
§ 64]
ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАМБЫ’Л
407
откуда следуек
ЙФ т о г.
— — -=— sin 0 cos 6,
2кг
<Э6
dii
дг
Ш
---; S1H2 0.
4кг2
Легко найти интеграл этой системы, обращающийся в нуль при
6 = 0:
, т sin2 6
(40)
§ 64. Обтекание сферы. Давление однородного стационарного
потока идеальной несжимаемой жидкости на погруженное в нее
тело. Парадокс Даламбера
Точно так же, как это имело место в случае плоского обтекания
круглого цилиндра, можно найги пространственное обтекание сферы,
накладывая однородный поток, параллельный, например, оси Oz, со
Рис. 140.
скоростью Ко на поток от диполя, ориентированного вдоль этой оси
(рис. 140). Складывая функции тока (38) и (40), найдем функцию
тока составного потока:
Ф = 4 V°^ sin2 6 + 4^-sin2 6 = (I v“r2 + 4^) sin2
(41)
Нулевая поверхность тока
ф-(| Veor3+44)sin®6 = 0
разбивается на уравнение поверхности сферы:
408 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ |1Л. VII
где а — радиус сферы, и уравнение оси Огх
6 = 0, тг, ...
Отсюда следует, что, желая получить обтекание сферы радиуса а
потоком со скоростью Vo, на бесконечности, направленным вдоль
оси Oz, надо положить в выражении функции тока (41)
т —— 2ла3Усо,
тогда будем иметь
ф = | Voor2 [ 1 — (у-)"] sin2 6. (42).
После этого уже нетрудно при желании найти и потенциал ско-
ростей. Можно было бы проинтегрировать систему уравнений связи
потенциала у с функцией тока ф, но проще непосредственно составить
сумму потенциалов слагаемых потоков (16) и (18')
,, mcosfi Г . 1 /в\31 о
(р — **00^ ~ I I \ "г/ I COS v —
- Vo^fl+‘ИтТ]- (43)
Исследуем полученный поток. Прежде всего найдем распределение
скоростей:
Сразу видно, что на поверхности сферы (г = а) выполняется
основное граничное условие Непроницаемости твердой стенки:
vn= Vr = 0,
а на бесконечности (г —> со):
К= KTOcos0, Ке =— Vo, sin 0,
т. е. скорость однородного потока на бесконечности равна по вели-
чине Ко и направлена по оси Oz в положительную сторону.
Как это уже делалось ранее при изучении плоского движения,
разобьем рассматриваемый поток на два: 1) однородный невозмущен-
ный сферой поток со скоростями
Кеог —• Коо cos 6, VccO — Коо sin 0
и 2) поток от диполя, представляющий возмущение однородного
потока сферой;
— VoJ-y) cos0,
V't) — — j Ko, (^rj sin 0.
§ 64j ОЬТЕКАНИЕ СФЕРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА
409
Скорости возмущения, как видно из последних равенств, быстро
убывают с удалением от возмущающей поток сферы. Убывание имеет
порядок обратной пропорциональности кубу расстояния.
Распределение скорости по поверхности сферы характеризуется
равенством
Ц = — | Vrosin 6.
Точки А и В (рис. 140) будут критическими, в них скорость
обращается в нуль. Максимальная скорость будет иметь место в мвде-
левой плоскости при 0 = -^-,— она равна по величине
(ЦОтах = 4 Vco-
Сравнивая этот результат со случаем обтекания круглого цилиндра
(§ 38 гл. V), видим, что в пространственном случае обтекания сферы
максимальная скорость на ее поверхности достигает только трех
вторых скорости набегающего потока, в то время как в случае пло-
ского обтекания круглого цилиндра максимальная скорость в два раза
превышает скорость набегающего потока. Заметим, что (так же как
и в случае плоского потока) в действительности максимальная скорость
не достигает столь большого значения; сфера представляет плохо
обтекаемое тело, с которого набегающий поток реальной жидкости
срывается, не доходя при одних условиях даже до миделевой пло-
скости, при других — несколько заходя за нее (об этом подробнее
будет сказано в дальнейшем).
Распределение давления по поверхности сферы получим по теореме
Бернулли
2
pV2
Р Н---2~ ===/’оо~1--2“’
из которой следует выражение коэффициента давления:
9 „
— sin2 6.
4
со
Т Р—Роо . ,
”---j 1
JL рУ2
2 р °°
Как видно непосредственно из последней формулы, в силу сим-
метрии главный вектор сил давления потока идеальной жидкости на
поверхность сферы будет равен нулю. Сфера при своем равномерном
движении в идеальной жидкости не испытывает со стороны послед-
ней никакого сопротивления. В этом заключается частный случай
известного парадокса Даламбера, о котором уже была речь во вве-
дении и в гл. V о плоском безвихревом движении. В рассмотренном
только что случае сферы этот парадокс следует из соображений
симметрии распределения давления по поверхности сферы, однако пара-
докс верен и при несимметричных обтеканиях.
410 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [1Л. VII
Приведем общее доказательство парадокса Даламбера для слу-
чая пространственного безвихревого обтекания конечного по размерам
тела произвольной формы. Для этого определим прежде всего порядок
убывания скоростей возмущения однородного потока некоторым огра-
ниченным замкнутой поверхностью о телом (рис. 141) при удалении
от этого тела.
Разобьем потенциал <р обтекания тела на потенциал однородною
потока со скоростью Vm, параллельной, например, оси Oz, и на
Рис. 141.
потенциал скоростей возмущения </. Последний потенциал удовле-
творяет уравнению Лапласа, которое в сферических координатах можно
написать в виде:
dr \ dr ) ' sin2 6 de- ' sin 6 56 \ 56 / '
Желая разыскать общий вид решения этого уравнения, положйм
<о'(г, е, 6) = R(r)X(e, 0),
где /?(г)— функция только от г, Х(г, 6) — только от е и 6. Под-
ставляя это произведение в предыдущее уравнение, будем иметь:
v d / 9dR\ , R д-Х R d ( . (1 dXX „
X -г- -T- -4 ГяТ?—------------г -SE- Sln "5ГJ = 0,
dr \ dr / 1 sin2 S 5e2 1 sin 6 56 \ 56 /
или, отделяя функции г от остальных переменных:
1 d / й dR\ 1 Г 1 д*Х . 1 д ( . . 5ХД
R dr V dr )~ X [sin26 5е2 i~ sin 6 56 (,sin0 56 JJ'
Слева стоит функция только г, справа — только s и 0. Поскольку
переменные г, е и 6 независимы друг от друга, из предыдущего
§ 64]
ОБТЕКАНИЕ СФЕРЫ. ПАРАДОКС ДАЛАМБЕРА
411
равенства следует:
1 d / я dF> \
JR dr V dr )
= const.
Легко видеть, что в число решений этого уравнения будут входить
целые положительные или отрицательные степени переменного г:
/?(r) = r”,
если только произвольную константу положить равной п (п -|-1).
Останавливаясь лишь на целых отрицательных значениях чисел
п = — k, так как потенциал возмущения <р' должен убывать с ростом г,
получим систему частных решений уравнения Лапласа (45) в виде:
*=1,2,... оо,
г* ’ ’ ’
причем функции ^.(s, 0) — их называют сферическими функциями —
должны удовлетворять уравнению в частных производных:
+ 6®+ *(*—1)^=0.
sin2 6 de2 1 sin 6 дб \ <?(J ) 1 v ' к
При k = 1 решением этого уравнения, ограниченным при всех зна-
чениях будет Хх= const, что соответствует простейшему
const
частному решению —-—, представляющему не что иное, как извест-
ный уже нам ньютонов потенциал единичного источника (стока). При
* = 2 уравнение имеет решением const -cos0, что приводит к потен-
циалу скоростей диполя.
В силу линейности уравнения Лапласа искомый потенциал можно
представить как сумму частных решений:
оо оо
= (45')
6=1 fc = 2
Докажем, что постоянная С равна нулю. Для этого окружим обте-
каемое тело сферой Со большого радиуса г0 и, предполагая, что между
поверхностью тела о и поверхностью сферы о0 нет источников или
стоков, напишем условие равенства нулю суммарного расхода жидкости
сквозь поверхность о0:
„ » со
.1 J ¥d°o = —J 0)<Ч = О.
а0 0 а0 6=3 0 яа
Замечая еще, что:
daQ = г® sin 6 М de,
f da0 = ^rr
’о
412
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
получим:
°° 2* 7
— 4лС— J ds J 6)sin 6= О,
Й=2 Г° 6 О
откуда при г0 —> со и следует, что С = О.
Итак, окончательно общий вид потенциала скоростей будет:
СО
fc=3
и, следовательно, действительно при больших г скорости возмущения
имеют порядок
г = 0(4
После этого уже нетрудно доказать и парадокс Даламбера. При-
меним теорему количества движения в форме Эйлера к объему жидкости,
заключенному между контрольными поверхностями а и а0. Будем иметь,
обозначая через F главный вектор сил давления, действующих со сто-
роны жидкости на тело:
— J Р vn^ dao— J pn da0 — F = 0,
% a„
так как перенос количества движения через поверхность твердого
тела о равен нулю.
При отсутствии вихрей в рассматриваемой области течения спра-
ведлива теорема Бернулли, дающая формулу связи давления и ско-
рости:
, pV2
р = const -Еу- .
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим:
F==—- /PV„Vrfa0 + f ^-nda0.
°Q °0
Разбивая по предыдущему скорость потока на основную скорость
натекания ¥<*> и скорость возмущения Vz, будем иметь:
F = -pVcoJ V„rfa0 —pj VnV'^o +
°0 ®O
+ f J (Voo + V') • (Voo 4- Vz) П da0 =
®o
= - pj VnVzda04-p J (Voo-Vz)nrfa0 + ^-J Vz®nrfa0,
®ti ®o a0
§ 65] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
413
что следует в силу очевидных равенств:
J l4dao = O,
*0
J* n da0 == 0.
°0
По ранее доказанному скорость возмущения V' имеет при боль-
1
ших г величину порядка -у, в то время как элемент интегрирова-
ния da0— порядок г2; отсюда сразу вытекает, что при стремлении г
к бесконечности главный вектор F сил давления потока должен быть
равен нулю, что и доказывает парадокс Даламбера: при безвихревом
обтекании тела конечного размера идеальной несжимаемой жид-
костью, в отсутствие вокруг
тела источников либо сто-
ков, главный вектор сил давле-
ния потока на тело равен
нулю.
Парадокс Даламбера дока-
зан только для тела конечных
размеров, ограниченного зам-
кнутой поверхностью. Главный
Рис. 142.
вектор сил давления потока на
гело, распространяющееся до бесконечности, например, на „полутело"
(рис. 142), зависит от закона возрастания ширины d сечения этого
„полутела", с увеличением расстояния z до бесконечности. Так сопро-
тивление полутела, образованного наложением однородного потока на
источник, равно нулю.
Параболоид вращения дает пример полутела бесконечно большого
сопротивления. Среди полутел, ширина которых возрастает медленнее,
чем у параболоида, могут быть тела конечного сопротивления. 1
§ 65. Общие уравнения осесимметричного движения. Применение
цилиндрических координат. Течение сквозь каналы
Одним из наиболее распространенных видов пространственных те-
чений является движение, симметричное относительно некоторой оси
(например, оси Oz), кратко называемое „осесимметричным". Сюда отно-
сятся всевозможные движения в соплах круглого сечения, в конфу-
зорах и диффузорах, осевого обтекания тел вращения, сигарообразных,
дирижабельных и других форм.
Составим общие уравнения осесимметричного движения. Предпо-
ложим, что в меридиональных плоскостях (рис. 143), образующих
с плоскостью xOz угол е, выбрана некоторая, не зависящая от угла е
1 Тщательное исследование вопроса о влиянии формы „полутела" на его
сопротивление см. М. И. Гуревич, Обтекания осесимметричного полутела
конечного сопротивления. Прикладн. матем. и механ., т. XI, № 1, 1947.
414 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. Vii
система ортогональных криволинейных координат qlt qs. Тогда будем
иметь в каждой из меридиональных плоскостей:
г* = г*(91, z = z(q1}qj,
и вообще для любой точки М:
х = гг(71, qjcose,
y^r*(qv 92)sine,
z = z{qx, q^;
отсюда по формулам (2) § 60 легко найти коэффициенты Ляме:
(46)
Уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей будет,
согласно равенству (12) § 60, иметь вид:
Л (Ъ г* + А & г* = О, (47)
\Ht dqj 1 dq2 XJh dqj
так как третий член равенства (12), заключающий производную
по координате е, в силу
принятой осевой симмет-
рии движения обращается
в нуль.
Во избежание недора-
зумений следует подчерк-
нуть, что уравнение осе-
- симметричного движения
(47), составленное в ко-
ординатах qr и q2, не
совпадает с уравнением
плоского движения в тех
же координатах; точно
так же и сами движения:
пространственное осесимметричное течение вдоль тела вращения и
плоское обтекание меридионального сечения этого тела отличаются
друг от друга и не могут даже приближенно сопоставляться. Так, на-
помним, что распределение скоростей по поверхности сферы оказалось
совершенно отличным от соответствующего распределения в плоском
обтекании круглого цилиндра: максимальная скорость в первом случае
§ figj бЬЩИЬ УРАЙИЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЮ ДВИЖЕНИЯ 4i5
равнялась трем вторым от скорости набегающего потока, во втором —
удвоенной скорости того же потока. Разница в уравнениях такого
рода движений сразу видна из уравнений (46) и (47). В случае пло-
ского движения коэффициент Ляме Нй оказался бы равным единице,
а не г* (qlt q)}, и уравнение (47) приняло бы вид:
д д 0
dqi \НХ dqj ~Г dq2 \Н.г dqj
Наличие в уравнении (47) существенного множителя г* (qu q2) под
знаком производных создает значительную разницу между уравнением
осесимметричного движения (47) и только что написанным уравнением
плоского движения в тех же координатах.
Выбирая, например, в меридиональных плоскостях в качестве
криволинейных координат обычные прямоугольные координаты (г*, г),
будем иметь: //^ = 1, Hs—1 и, следовательно, уравнение движения
приведется к простому виду:
+ & (''!)=°- <48>
соответствующему уравнению Лапласа в цилиндрических координатах
при отсутствии зависимости движения от е.
Интегрирование этого уравнения проводится обычными приемами
анализа. Можно, например, составить такой, хорошо известный инте-
грал уравнения (48):
ГС
а> (г *, г) = -i- j «0 (/г* cos 6 - z) rfO, (49)
b
где ф0(/)—-аналитическая во всей области течения (г*, г) функция.
Действительно, если ф0 — аналитическая функция, то она сама удовле-
творяет уравнению Лапласа (48). Имеем, рассматривая 6 как пара-
метр и применяя штрих для обозначения дифференцирования по всему
аргументу:
— = o'icos0 = —с" cos2 0 ^ = <₽"
дг* Т(Гдг** тоQZ2 TO ’
И, подставляя в (48),
г*«" sin2 0 -ф- cos 0 = 0.
Вычисляя теперь аналогичные производные от функции 9, пред-
ставленной интегралом (49), найдем в силу предыдущего равенства:
J_.fr* I д (г*дч\ *дЪу . д<р ,
dr* \ dr*) ‘ dz \ дг) дг*2 • дг* ’ дг%
ГС
= -~ f sin2 0 + cos 6)^6 — 0.
о
416
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
Функция ф0 (/) имеет в нашем случае простой физический смысл.
Составим выражение составляющей скорости, параллельной оси течения:
К
К (г*, *) = ^ = 7/ 9о (/r* cos 6 + г)d<i
О
и определим ее на оси потока (г* — 0). Тогда будем иметь:
п
V%= if ?о(г)г/е = '?о(г)-
о
Таким образом, первая производная от <р0 (г) представляет собою не
что иное как распределение скорости Уя вдоль оси симметрии течения.
Задаваясь видом функции
vSo==t₽;c^)==70(^b
найдем по (49) распределение скоростей течения:
=Й- = Т ро cos ° +
\ (5°)
= “ J /о cos ° + г)cos 6 db’
о
а при желании и функцию тока:
г п г
. = J г* Vr->. dz = 1 cos 6 df) | /0 (ir* cos 0 z)dz. (51)
b
Нулевой линией тока == 0 служит ось течения г' = 0.
Простейший пример такого осесимметричного течения получим',
если положим
Ko=/o(*) = —
т. е. потребуем, чтобы жидкость имела бесконечную скорость на
отрицательной бесконечности (z = — оо) и нулевую скорость в начале
координат (z = 0), причем зададим линейный закон уменьшения ско-
рости. В этом случае легко найдем:
14 = ~ J (Ir* COS 6 —Jg) = —Z,
о
ж к
У^ =-----— I tr* cos2 0 dft — — f cos 0 = -i
7! J nJ Z
0 0
<[»* = — r'^z.
§ 05|
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
417
Поверхности ижа имеют уравнением
г*гг — const;
общее Их расположение показано на рис. 144. Картина течения Соот*
ветствует растеканию приходящей из бесконечности с бесконечной
скоростью жидкости, встречающей препятствие в виде безграничной
Рис. 144.
плоскости, перпендикулярной направлению потока на бесконечности.
Поверхности тока, очевидно, асимптотически сходятся к оси Oz
при z —> — оо и к плоскости хОу при z -> 0.
Вычисление интегралов (49), (50) и (51) может представить иногда слож-
ность, которую можно обойти, если, воспользовавшись аналитичностью функ-
ций tp0 и Л» разложить их в ряды:
9() (ir cos 6 4- z) = <р0 (г) + ir cos 6 • <j>' (z) + ...
f0 (ir cos 0 4- z) = f0 (z) 4- ir' cos 6 •/' (z) 4- ...
Подставим эти разложения в рассматриваемые формулы и, замечая, что
ТС
— I cos2» fl dfl = 9^2?!|Л2
tz J • (n!)2
о
it
i-J cos2»-1 6 dB == 0,
о
27 Зак. 1841. Л Г. Лойшискнй.
418
Пространственное безвихревое двйженйе
[гл. vh
получим:
m (r* _ V _С—г*2»т(з») tz\
'Ро V ! z) ^2п (и])2 r \z>>
п=о
со
*>(>*. *) = £ (г),
П=1
со
Уг ('*. *) = £ г^п) (г)>
п*=о
оо
Ф*(г*. z)= V (-^-2»^^^
п=>1
(52)
Пользуясь этими формулами, можно строить различные формы конфузоров,
диффузоров и других каналов. Так, например, положим:1
Z
fa (z) = 0,55 4- 0,90J Ф (z) dz,
о
1 -j-
Ф(г)=—е 2 ,
•/2тс
что дает плавное изменение скорости Vz
на графике (рис. 145). Последовательные
Рис. 145.
вдоль оси Oz, показанное
производные функции /0 (z)
определяются очевидным ра-
венством:
4“+1)(z) = 0,90®‘")(z),
причем
Ф(») (z) = — (е~~ *’).
V2r. dz»
Вспоминая определение по-
линомов Эрмита Н„:2
H„(z) =
будем иметь такое выражение для последовательных производных заданной
функции /0(z):
4"+1) (г) = 0,90 • (-1)” Ф (г) Нп (z) = 0,90 Hn(z).
V 2гс
1 Н s u e-S hen Т s 1 е n, On the Design of the Contraction Cone for a Wind
Tunnel. Journ. Aeion. Sc. Vol. 10, № 2, 1943; pp. 68—70.
2 См. Янке и Эмде, Таблицы функций. Гостехиздат, 1948, стр. 122,
§ 66]
ПРОДОЛЬНОЕ ОВТЕКАНЙЕ тел вращений
419
г
I
0,6
1,2
2,8
-Z
На рис. 146 приводятся линии тока и распределение продольных ско-
ростей, соответствующие рассматриваемому осесимметричному потоку.
Римскими цифрами отмечены сечения трубок тока, а римскими цифрами
со штрихами — соответствующие этим сечениям эпюры скоростей. Принимая
линию тока за твердую
стенку, получим профиль
конфузора, причем эпюры
покажут, насколько одно-
родно "поле скоростей в раз-
личных сечениях конфузора.
Так, например, видно, что
профиль конфузора, пока-
занный на рис. 146 штри-
ховкой, имеет достаточно
хорошую форму: некоторое
повышение скорости к стей-
кам конфузора не вредит
делу, так как подтормажи-
вание жидкости из-за вяз-
кости вблизи стенок должно
выправить поле. Рассчитан-
ный конфузор, как видно
из рис. 145 и 146, удваивает
скорость движения. Изложенный только что метод может
меняться для расчета конфузоров аэродинамических труб, сопел и других
каналов, если скорости в них значительно меньше скорости звука.
о
&
Рис. 146.
с успехом при-
§ 66. Осесимметричное продольное обтекание тел вращения.
Случай эллипсоида вращения
Для расчета внешнего осесимметричного обтекания тел вращения
(рис. 147 а) возьмем в меридиональных плоскостях (г*, z) эллипти-
ческую систему координат (;, rj, связанную с (г*, z) соотношениями
[вспомнить формулы (51") § 40 гл. V]:
z = с ch £ COS 7],
оо,
г* = с sh $ sin т],
0 sg т] 2тс,
где величина с представляет расстояние фокусов семейства координат-
ных линий — софокусных эллипсов и гипербол — от начала координат.
Положим:
ch $ = X, cos 7] = р,
1 ckcoo,
-1<|х<+1;
Тогда связь между координатами (г*, z) и (X, р) будет иметь вид:
Г* = сУ X2 — 1 /1—р.2,
z — сХр.
(53)
27»
420
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
1гл. vii
Определив производные:
найдем, согласно (46), коэффициенты Ляме:
Яе=Г* = С]А2—1 J/1 — р2
(53')
После этого уже нетрудно составить и основное дифференциальное
уравнение Лапласа для потенциала скоростей. По (47) получим:
д Г(Х2__1) <Ц(1_ 2)5^1 0 (54)
Ok 7 <)/. I 1 Op р 1 ' фи. ] '
Будем искать частное решение этого уравнения в виде произведе-
ния двух функций от переменных X и р в отдел!ности:
<? = А(Х)Ж(р);
тогда в уравнении (54) переменные разделятся и из равенства
1 d Г -» ч dJL. ~| 1 d
Дл) ~dk |Д — ' Ж] = ” Л4(р.)
[/1 2 \ dM. "|
§ 66J ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 421
в силу независимости А и и. будет следовать, что каждая из частей
равенства должна быть постоянной, которую можно выбирать совер-
шенно произвольно. Полагая эту постоянную равной п(п-]- 1), где п —
целое положительное число, получим для определения L и М два
обыкновенных линейных уравнения второго порядка лежандрова типа:
1)£=0’ I
и г } (54)
Этим уравнениям удовлетворяют* 1 два класса независимых решений:
1) функции Лежандра 1-го рода, в частности полиномы
Лежандра Рп(х), определяемые равенствами:
Р0(х)=1, Pi(x) = x, Р2(х)=Д(Зх2—1),
Р3(х) = ~-(5х3—Зх), • •
и реккурентным соотношением для вычисления последующих поли-
{п + 1) Ри+1 (х) = (2я -f-1) хРп (х) - «Р„_1 (х);
2) функции Лежандра 2-го рода Qn (х), определяемые ра-
венствами:
<?оС*) = у1п JZTf , Qi (.лг) == Д-JV hi “Try — 1,
С2 (*) = Т (-3%2 — 1),п 7ZTT — 4 Х’
Q3 (х) = 1 (5x2 _ Зх) 1п |±1 X2 + |
и, вообще,
= - ..._£^-lpw(x).
' 7 [2 х— 1 х Зх 5х 7х (2п—l)xj п v 7
При желании можно пользоваться реккурентным соотношением
(п -j— 1) Q„i_ j (х) = (2п —|— 1) xQn (х) СА
совершенно аналогичным реккурентному соотношению для полиномов
Лежандра.
Функция Рп, как полином л-ой степени, обращается в бесконеч-
ность при бесконечно возрастающем аргументе, функция же Qn при
этом стремится к нулю, но зато обращается в логарифмическую
1 Е. Уиттекер и Г. Ватсон, Курс современного анализа, ч. II.
I остехиздат, 1934, стр. 91 и сл.
422
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
1гл. VII
бесконечность при х — -±2 1. В случае внешнего обтекания тела коор-
дината А = ch £ может достигать бесконечных значений, а координата р
ограничена. Принимая во внимание, что потенциал скоростей возму-
щенного движения (т. е. полного обтекания за вычетом однородного
потока со скоростью, равной скорости на бесконечности) должен
стремиться к нулю при удалении от поверхности тела, можно вне
отрезка оси Oz (— с < z < с) представить полный потенциал скоростей
в виде суммы потенциалов скоростей возмущенного движения и одно-
родного потока, набегающего на тело со скоростью, на бесконечности
равной Vaj и направленной вдоль Oz:
(А, р) = с И» [ J AnQn (А) Рп (р) 4- Ар];
Я=0
(55)
здесь Ап— неопределенные коэффициенты, значение которых зависит
от формы обтекаемого тела.
Для определения коэффициентов Ап найдем прежде всего выраже-
ние функции тока $•
По общим формулам (35) § 63 и (53') будем иметь:
Эф„ НМ д? _ , й.д<?
дХ~" Ну дц ~ Р'Эр’
Эр — ЭХ с ЭХ ’
или, после подстановки разложения (55):
^ = - [(1 - P®) 2 + А (1 - pS)] ,
ПжгО
СО
[р_ 1) £ Ап^~Рп + р(А9-—1)].
п ss О
Переписывая второе равенство в виде
СО
£214,0 (Xs—1)
п = 1
и полагая коэффициент Ао = 0, подставим под знак суммы выраже-
ние для Рп из основного дифференциального уравнения функций
Лежандра (54'):
р —. 1___fL
Л(л + 1) Эр
Л_____,,е\
* Эр ]•
§ 66]
ПРОДОЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
423
Тогда будем иметь:
CQ
__ с2т/ Z.2 1 \ I V Ап dQn d I , __________________ 2 dP„ )
C l/co(A + dv- JO f-
tts=1
Интегрируя no p, получим окончательное выражение для функ-
ции тока:
СО
(56)
п^=1
Уравнение „нулевой" поверхности тока будет:
У 2Ап dQn dP„ f
Li п (п + 1) dX dp- •
(57)
Сравнивая его с заданным уравнением профиля тела вращения
в эллиптических координатах, можно определить величины коэффи-
циентов Ап, что и решает задачу. Конечно, именно этот пункт и
является наиболее сложным с вычислительной стороны.1
Имея выражение потенциала скоростей, найдем и саму скорость
по формуле:
V"— Их-ф- ---------—g-|
лх
V2
F со
^^2...
8К) ‘
[(^2 *—!)[ -^'7Э»(|л) + н] +
П—1
+(1-р2)[2аА^)^г
П = 1
Проиллюстрируем метод простейшим примером. Рассмотрим обте-
кание эллипсоида вращения, меридиональное сечение которого имеет
уравнением
Х>.... >ч().
Полагая в уравнении (57) Ап—0 при л>1 и 1==^, получим:
, 1 ______________1______
fdQi\ 1 . >41 +- 1 _ >-о
\dxA=4 2 Хо—1 Х^-1
1 См. С. Kaplan, Potential Flow about Elongated Bodies of Revolution.
NACA Rep. № 516, 1935 г.; в этой статье вопрос об определении коэффи-
циентов Ап сводится к решению линейной системы алгебраических уравне-
ний; более простой приближенный метод, применимый к удлиненным телам,
будет изложен далее в § 68.
424
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
(ГЛ. VII
Потенциал скоростей будет равен по (55):
Этому выражению можно придать несколько иной вид, если ввести
явно полуоси эллипсоида а и /> < а, расположенные, соответственно,
по осям Oz и Or*, Будем иметь, согласно (53), уравнение эллипса
Х = Х0 в виде:
с2(Хо— V
откуда следует:
сХ0 = а, с У Хр — 1 — b
Тг«2— й2 с
или, введя эксцентриситет е==Д—------== —
В этих обозначениях получим:
Для проверки можно, пользуясь этим выражением, получить потен-
циал обтекания сферы радиуса а, если заметить, что по определению
эллиптических координат:
при с -> 0 е ->• 0, сл —> г, р. -> cos 6,
где г и 6 — сферические координаты. Производя разложения:
1 + —
« A -f-1 1 Л п /1 . 1 } \ 1 1
1п5ГЛ = 1п~Т = 2(т + з^+ •••) Х>1’
1 л
1пт^=2(е+4ез+•••) e<i>
с -
и заменяя е на убедимся, что
при с —> О о -» УсоЯр
т. е. к известному уже по § 64 выражению (43).
§ 67]
ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
425
Проекции скорости на оси эллиптических координат будут:
/1 , Х-Ы X \
.. _ 1 д<? __ I/ ЛГ—1 | 2 Х“1 Х2— 1 1 I ,
Ну dl VcQ V Х2—p2l I 1 + е е 1 Р’
к 1 \ —In----.---=- /
\ 2 1 — е 1 — е2 /
f I ? , X + I< \
v — 1 д* - г -.Л1-'12 ( 2 ' Х~1 1 I
Vv- Ну. dl* °° V /2 —p2l 1 14-е е Г
\2 П1— е 1—еа /
Полагая здесь X = Ло = —, убедимся, что на поверхности эллип-
соида р\ = 0; это и естественно, так как координатные линии (X)
перпендикулярны к поверхности эллипсоида и условие V, = 0 экви-
валентно условию равенства нулю нормальной к поверхности соста-
вляющей скорости. Распределение скоростей по поверхности эллип-
соида определится равенством:
e^Voo I f 1 —р.2
1 „ 14-е Г 1— е2р2 •
Полученное только что решение относится к обтеканию эллипсоида
вращения, удлиненного вдоль по течению. Подобным же образом
можно было бы исследовать и менее интересный с практической сто-
роны случай обтекания сплюснутого эллипсоида, фокусы меридио-
нального сечения которого лежат не на оси Oz, а в меридиональных
плоскостях.1 В только что цитированных курсах приводится также
решение более общей задачи об обтекании эллипсоида, у которого
все оси различны.
§ 67. Поперечное обтекание тел вращения. Пример
эллипсоида вращения
Наряду с продольным обтеканием тела вращения, параллельным
его оси (рис. 147 а), представляет интерес и поперечное обтекание,
перпендикулярное (рис. 147 б) к оси симметрии тела. Из сложения
этих двух потоков можно получить обтекание тела вращения под
любым углом атаки, что весьма существенно. Выясним идею решения
задачи о поперечном обтекании тела вращения.
В этом случае уже не получается осесимметричного движения.
Уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в
1 См., например, И. А. Кибел ь, Н. Е. Кочин и Н. В. Розе, Теоре-
тическая гидромеханика, ч. I. Гостехиздат, 1948, стр. 358—359, а также
Г. Ламб, Гидродинамика. Гостехиздат, 1947, стр. 175—181,
426
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИ1 [1.1 уп
ортогональной системе криволинейных координат, согласно (12) § 60,
иметь вид:
д df) । д fll-jlh d _ 0
dqi\ dqi)~^ dq2\ Нг dqj‘ dq$\ H3 dqj
Сохраняя ту же систему координат (Л, р, е), что и в случае осе-
симметричного обтекания тела вращения, и припоминая выражения
коэффициентов Ляме (53'), перепишем предыдущее уравнение в форме:
^[(Х8 — 1)|г1+/-Г(1— !*2)^ АЙ = °- (59)
dX(' zdAJ 1 op L z dp J 1 \Х2—1 1—р2/ de2 ' '
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух
функций
<p=/V(X, р)£(е);
тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (59) и разделяя
функции независимых переменных, получим систему уравнений
(k — произвольное число, которое будем считать положительным и
целым):
I (К2 — О I + Л 0 “ Н8) Tri — fe2^--"^ W= 0.
dX[v ok I 1 dp [ v dp | (X2—1) (1—p2)
Первое уравнение имеет решение
Е — A cos ke-\~ В sin fee,
второе, если положить /V =-= L (X) М (р) и разделить переменные ана-
логично тому, как это ранее было сделано в уравнении (54), может
быть приведено к системе уравнений’
г [о - *’) гг]+[»<» + »>-г^п]1 = °.
^]+[“<»+»-гщг]
имеющей в качестве частных решений так называемые присоединен-
ные функции Лежандра'.1
А*(р) = (1— рУ/2
Q* (X) == (Ха — l)fcM —
1 См., например, Е. Уиттекер и Г. Ватсон, Курс современного
анализа, ч. П. Гостехнздат, 1934, стр. 119,
§ 67] ПОПЕРЕЧНОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ 427
Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала ско-
ростей возмущенного движения было ограниченным при А. -> оо, по-
лучим общее выражение потенциала скоростей:
® = S S Qn (0 Рп (р) (АПк cos k& + впк sin ks) ~Ь ^сох;
п=0 к=0
здесь последнее слагаемое представляет собою потенциал скоростей
набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконеч-
ности Ко, направленной параллельно оси Ох (рис. 1476).
Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала:
= 0, Ли2 = Апз = ... = О,
Впо = вт = Bns ~ ... = О,
Ani = cVooCB,
т. е. довольствуясь решением, содержащим cos е, и, кроме того,
представляя х по формулам, помещенным в начале предыдущего пара-
графа, как функцию X, р и е:
х — г* cos е = с sh Е sin т] cos е — сУXs — 1 У1 — р2 cos е,
получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набе-
гающего со скоростью вдоль оси Ох потока:
<р = с Vco cos е 2 £иС?п (X) Рп (р) + с Vco У^ — 1 У1 — р2 cos е,
n = l
или, используя определение присоединенных функций Лежандра (60),
ОО
? = l)cose. (61)
n=l
Для определения постоянных С„, как и ранее, следует составить
граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом
случае не осесимметричного движения функция тока отсутствует и
приходится непосредственно вычислять нормальную скорость Vn =
и приравнивать ее нулю.
Несколько облегчая вычисления, выпишем в выбранной системе
координат (X, р) условие, что при непроницаемости поверхности обте-
каемого тела элемент дуги его меридионального сечения параллелен
составляющей скорости в меридиональной плоскости (условие сколь-
жения жидкости на поверхности тела)
<?sx ds^
428
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[гл. VII
или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и
проекций градиента потенциала на направления этих линий,
и 1 дч U . 1 <Э-Р
t-г?-— rLdu.: -tj-
A Ну Ok a ’ Hp Op
Отсюда вытекает искомое граничное условие
нА=НгМ, (62)
1дК op dp 4 1
в котором X является заданной функцией р, согласно уравнению кон-
тура обтекаемого тела в меридиональной плоскости. Составляя частные
производные от выражения (61), будем иметь:
------~ = А 1/~V С Лд-
сУооСозбЛ л V K*—l\£indl dp^1)'
n=»l
+ /(XS-l)(l-p3) V Cn 'J ,
n=l
_ 1 ц ./^-VV c OQnWn' Л i
cVeoCossdp 1 r 1 — p2\^J n dK dp ‘ J '
n=l
Ussta J
Заменив входящие сюда выражения вторых производных на осно-
вании дифференциальных уравнений функций Рп и Qn:
(1-Х=)^ = 2Х^-В(п + 1)Ч„,
получим после простых приведений
1 d<f___ i , /"1 — Р2 X1 dQn dPn ।
СУ» COS е ах “ Г У-1 “ Л dp
n—i
п=1 1
1 d-P_ Vz. dQndPn
cVooCOSe 1 —p®^ ” dK dp
, /~X® — I . -i \ dQn n Г k2 — 1
“F г—Г2^«(«-г1)Сп-^-Л»—ну j—
»I=X r
§ 671
ЙОЙЕЙЁЧЙОЁ Ofe-fEKAHliE ТЕЛ ВРАЩЕНИЙ
429
Подставляя эти выражения производных в (62) и используя ранее
выведенные значения коэффициентов Ляме (53'):
Н^с^,
№ - 1 7 г I --|Х* 7
получим после очевидных сокращений .
ly(Q^ + ^P^ =
= * + р~^.
г ар.
Имея в виду, что л представляет заданную функцию от р, пере-
пишем граничное условие в окончательной форме так:
ОО
У П(П j. J) (Q р )| = ^)# (63)
п I dp Лк dp ' 1 } rfp п'j Лр ' '
п=1
Рассмотрим поперечное обтекание эллипсоида вращения X = Хо,
продольное осесимметричное обтекание которого было рассмотрено
в предыдущем параграфе.
В этом случае граничное условие (63) можно выполнить, положив
Сп — 0 при п > 1; тогда будем иметь (f\ — р):
C1[ko®x = K~2Q1M = K°’
откуда, согласно ранее приведенному выражению СДХ), следует:
С _
2-~хКТ~2 °
(64)
Напомним, что здесь ).0== —, где е—эксцентриситет эллдпса,
представляющего меридиональное сечение эллипсоида. Потенциал ско-
ростей рассматриваемого поперечного обтекания эллипсоида вращения
равен по (61):
¥ = с Vo ф ).2 — 1 |/ 1 — p2cos в
X — 1
2____
^о-1 2
1+1 — W
1 1 1 1
°1пх“
1 , (65)
Скорости определятся простым дифференцированием (65):
I/____L& iz - 1 I/ —
— Ну.д'к’ НЛду.’ Vl~
43б пространственное ВЕЗВИХЙЕЙОЙ ДВИЖЕНИЕ (гл. Vn
Решение задачи о продольном и поперечном обтекании тела вра-
щения приводит, как это видно из содержания настоящего и преды-
дущего параграфов, к необходимости проведения в каждом отдельном
случае трудоемких вычислений.
Эти вычисления могут быть значительно облегчены, если рассма-
триваемое тело имеет значительное удлинение.
§ 68. Продольное и поперечное обтекание тел вращения большого
удлинения. Приближенные выражения граничных условий.
Применение тригонометрических сумм для определения
коэффициентов А„ и Сп
В большинстве практических приложений приходится иметь дело
с телами вращения, удлинение которых, т. е. отношение длины к макси-
мальной толщине, довольно велико (порядка 8—12). Так же как и
в теории крылового профиля, это объясняется хорошей обтекаемостью
такого рода тел реальной жидкостью.
Расчет обтекания тел вращения большого удлинения может быть
произведен приближенным методом, значительно более простым, чем
изложенный в предыдущих параграфах. Изложим вкратце основную идею
этого приближенного метода, принадлежащего Я. М. Серебрийскому.1
Как уже было упомянуто ранее, основным затруднением в решении
задачи является определение коэффициентов А„ при продольном и
Сп—при поперечном обтеканиях тела. Чем проще будет связь между X
и р, определяющая форму контура в меридиональной плоскости, тем
меньше коэффициентов Ап, Сп можно брать в разложениях потен-
циала скоростей. Самая простая связь представляется равенством
X — const, т. е. разобранным ранее случаем обтекания эллипсоида.
Отсюда следует вывод: чем ближе по форме исследуемое, тело
к эллипсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи
с этим решим прежде всего вопрос о выборе положения начала коор-
динат на продольной оси тела. Совершенно так же, как при решении
плоской задачи об обтекании крылового профиля произвольной формы
(§ 48 гл. V), заметим, что фокусы удлиненного эллипсоида вращения
находятся посредине отрезка, соединяющего точки пересечения наи-
большей оси с поверхностью эллипсоида и центры кривизны поверх-
ности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпадающим
с серединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала
координат, чем ближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше
уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства X=const.
Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность
его располагается в области значений X, мало превышающих значе-
ние X = ch £ = 1 или 5 = 0, соответствующее отрезку оси Oz, соеди-
1 Я. М Серебрийский, Обтекание тел вращения. Прикладн. матем.
и механ., т. VIII» 1944.
§ 68] обтекание -Гел йрмЦенйя большого УДЛИНЕНИЯ 431
дающему фокусы. Рассматривая значения функций Qn (?.) и при X,
лишь немного превышающих единицу, убедимся, что при достаточно
малых $ будут иметь [место равенства:
Си = 1п| + Тя, ^=_^ + 8я> (б6)
где и Вя — малые по сравнению с первыми членами поправки.
Замечательно, что, согласно равенствам (66), при малых Е все функ-
ции Qn И в первом приближении не зависят от индекса п.
Основное граничное условие (57) продольного обтекания в первом
приближении будет, согласно (66), иметь вид:
S2 __ К1 (C’JX
Li п (П + 1)
>1=1
dPn
где производная представляет известную функцию величины
р. = cost;. Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом чле-
нов n = «i, можно, пользуясь приведенными в § 66 выражениями
полиномов Лежандра, написать тождество:
У ап cos (и — 1)т], (67')
из которого можно вывести выражения коэффициентов Ап через ап.
Так, например, при т = 5 имеем:
л 3.3. 9
Zlj flj g °3 “J- gg «б, flg у a4,
. 8 32 . 16 . 64
^3—5 as Tg a6’ ^4—ya<> A&-—2\aB‘
Представив контур меридионального сечения приближенным триго-
нометрическим разложением в эллиптических координатах
Е2 = cos -1)т], (68)
’ П=1
определим тем самым числа ап, а уже после этого, согласно тожде-
ству (67х), и величины коэффициентов Ап, что и дает первое прибли-
жение к решению задачи об осесимметричном продольном обтекании
Удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико,
то указанное приближение оказывается для практики достаточным.
При желании можно учесть в формулах (66) остаточные члены чп
и 8„, что приведет ко второму и следующим приближениям.
432
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЙ |ГЛ. V11
Аналогичным путем решается вопрос о поперечном обтекании
удлиненного тела вращения. При плавности контура координата X
изменяется вдоль всего контура также плавно в пределах от 1 у Ст
до 1 -j- -1 Сах, при этом |г остается в пределах zt 1; таким образом,
rfX
можно считать, что производная — имеет порядок ;тах, т. е. сравни-
тельно мала. Отсюда следует, что величина
d fotO _ )
dy * dy
имеет порядок единицы.
Рассматривая граничное условие (63), видим, что стоящая в квад-
ратной скобке слева величина
»(«+!> £«2Л) = »(»+>) (<?»^
„ d (Xu) dQn dPn Tt „
мала по сравнению с величиной —• Действительно,
dQ dk . 1 ptj -|
~аГ' d^ 52’«==
Qa — In g •
Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (63)
первый одночлен имеет при малых £ порядок р, второй — 1п-~.
Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности удли-
ненного тела вращения, где £ мало, точное граничное условие попе-
речного обтекания (63) может быть заменено на приближенное:
___1 __ 1
52 '-п dy
П=1
ИЛИ
СО
52„£СЙ^. (69)
Сравнивая это граничное условие с приближенным граничным усло-
вием продольного обтекания (67), видим, что между искомыми коэф-
фициентами Ап и Сп существует простое соотношение:
""" л(п+1)‘
В первом приближении обе задачи — продольного и поперечного
обтекания — решаются одновременно и сравнительно легким путем.
(69')
МЕТОД „ОСОБЕННОСТЕЙ
433
§ 69]
Изложение приемов построения второго и следующих приближений
можно найги в ранее цитированной статье Я. М. Серебрийского.
Определив коэффициенты Ап и Сп, найдем выражения потенциалов
и компонентов скоростей для продольного и поперечного обтеканий,
после чего уже нетрудно разыскать и распределение скоростей и
давлений по поверхности заданного тела вращения или вне его при
любом угле атаки. Отметим, что при всех вычислениях на поверхности
удлиненного тела и вблизи ее можно пользоваться для Qn и
приближенными выражениями (66). Само собой разумеется, что при
удалении от поверхности обтекаемого тела X возрастает, и формулы (66)
становятся все менее и менее точными.
§ 69. Метод „особенностей". Применение непрерывно распре-
деленных источников (стоков) и диполей для решения задачи
о продольном и поперечном обтекании тел вращения
Изложенный в предыдущих параграфах метод исследования продольного
и поперечного обтеканий тел вращения, основанный на непосредственном
решении уравнения Лапласа в эллиптических координатах, не является
единственным методом решения этой задачи. Первоначально формы обтекае-
мых тел вращения для дирижаблей определялись наложением однородного,
параллельного некоторой оси потока на поток от системы источников (стоков),
распределенных вдоль той же оси. Для этой цели применялись вначале
дискретные „особенности" потока — системы источников (стоков) или диполей,
а впоследствии — непрерывные их распределения.
Предположим для определенности, что на отрезке (—с, + с) оси Oz
задано непрерывное распределение источников (стоков) интенсивности q(z).
Тогда потенциал возмущенного движения, созданного этой системой „осо-
бенностей", будет, согласно второй из формул (21) § 61, равен (знак минус
введем в определение интенсивности д')-.
<р (г*, z) ==
+ с
1 f q (z') dz'
4nJc (z — z’F
(70)
Если задаться видом функции q (zz), то, вычисляя интеграл (70), получим
потенциал скоростей, а дифференцирование по г* и z позволит вычислить
и проекции скорости и оа. Наоборот, задаваясь формой обтекаемого тела,
можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному
потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной
скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверх-
ности тела, получить интегральное уравнение, в котором q (z’) будет неиз-
вестной функцией. Заменяя потенциал скоростей на функцию тока, Карман1
разработал метод приближенного интегрирования соответствующего инте-
грального уравнения, основанный на замене интеграла коиечвой суммой.
,, 1 Th. V. Karman, Berechnung der Druckverteilung an LuftschiffkOrpern.
Abhandl. aus dem Aerodyn. Inst. Aachen, 1927, Heft 6.
Подробное изложение этого и других методов, а также применение их
к расчетам см. Н. Я. Фабрикант, Курс аэродинамики, ч. I, гл. Ш. Гостех-
издат, 1938.
28 За*. 1841. Л Г. ЛвйцяадШ,
434 Пространственйое Безвихревое двйжеййе [гл. vn
Одиако метод Кармана не был общим и требовал решения в каждом отдель-
ном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений,
что делало его на практике слишком трудоемким и мало точным.
Аналогично, пользуясь выражением потенциала диполя (22) § 61, можно
составить и потенциал поперечного обтекания тела вращения, складывая
однородное натекание с заданной скоростью на бесконечности с потенциалом
скоростей возмущенного движения жидкости от непрерывно распределенных
по отрезку — с < z < + с диполей интенсивности т (zr):
¥т (г*, г, е) =
+с
г* cos е Р m(z')dz'
4r. J [г*2-(- (* —«')2f/s"
—с
(71)
Здесь также можно задаваться распределением интенсивности m(z')
или, наоборот, определять эту интенсивность нз интегрального уравнения,
представляющего условие непроницаемости заданной поверхности тела по
отношению к потоку, складывающемуся из возмущенного и однородного на
бесконечности.
Не останавливаясь на изложении этих, в настоящее время уже мало-
употребительных методов, укажем лишь на простую их связь с "методами,
изложенными в предыдущих параграфах. Покажем, что при заданной форме
поверхностей обтекаемых тел вращения неизвестные функции q (z') и т (z')
могут быть выражены через ранее введенные коэффициенты Ап и Сп.
Разобьем ось симметрии тела вращения Oz на две области: одну, опре-
деляемую интервалом
заполненным „особенностями", и вторую, представляющую остальную часть
оси Oz, где | z I > с. С точки зрения эллиптических координат X, р, введен-
ных в начале § 66, отрезок, на котором расположены „особенности", можно
представить, согласно второй из формул (53), так:
Х = 1 — l^pgl.
а остальную часть оси Oz, как
Р = ±1> 1<^Х<^оо.
Тогда, сравнивая между собою вне отрезка (—с <?'<<:) выражения
потенциалов возмущений (70) и (71) с соответственными выражениями тех же
потенциалов, взятыми из формул (55) и (61), получим следующие два равен-
ства:
—1 П=0 ,
+1 оо
1 f от (ср7) rip7 TZ &Qn
W J (X—p.')3 ~ “ Ai 2 n ~dT »
—1 n=l
(72)
(73)
которые при заданных коэффициентах Ап и Сп можно рассматривать как
два интегральных уравнения для определения неизвестных функций q и от.
§ g9j Метод „особенностей"
Интегральное уравнение (72) может быть легко решено, если искать
решение в виде ряда
Ч (с,л) ~ 2] апРп (Р'Э* 1 == t*z - 1-
п=о
Подставляя это разложение в (72), получим:
СО со
ЗДка»О ——1 М=0
Замечая, что по известной формуле теории функций Лежандра»
J а^=2М),
—1
перепишем предыдущее интегральное уравнение в виде
со оо
2^ anQn W “ С Кзо ^nQn О*)»
n=Q л—О
откуда будет сразу следовать искомое решение:
q (z') = 2пс £ ^пРп (z'/c). (74)
и=о
Для разыскания второй неизвестной функции т (г') продифференцируем
раз по X н другой раз по р' известное разложение1 2
= 2 (2л +1) Qn (X) Рп (И'),
тогда получим
1_______2. v /ой>.п^2”
(X — |л')8“ ’ dK d^’•
Подставляя это разложение в интегральное уравнение (73), преобразуем
его к вцду;
оо +» со
И=1 —1 я=1
1 См. Уиттекери В а т с о и. Курс современного анализа, ч. II, стр. 114
2 Там же, стр. 117.
28*
436
пространственное безвихревое движение
(гл. VH
Подставляя сюда разложение неизвестной функции в форме
СО
т (ср/) = - 2яс2 Ую (1 — р.'2) сй^-
ft=l
и замечая, что в силу ортогональности полиномов Лежандра:
р'2)
dP„ dP.
П к
dp' dp'
dp'
О, при кфп,
2w(n + l) .
-2л+Г > пРиА = «’
убедимся в справедливости равенства
ся » Сп.
Итак, имеем:
ОО
т(ф') = »’(И = -2пс2РО0^1—(yjl • (75)
fc=i
Совокупности формул (70) с (74) и (71) с (75) позволяют при желании
пользоваться потенциалами скоростей возмущений в цилиндрических коорди-
натах, если уже заранее вычислены коэффициенты Ап и С„. Заметим, что
эти коэффициенты проще определять при помощи разложений уравнения
контура меридионального сечения в ряды по функциям от эллиптических
координат, а уже затем доводить расчеты до скоростей в эллиптических
или цилиндрических координатах. Так, например, как было показано в пре-
дыдущем параграфе, в случае удлиненных тел вращений со значительным
удлинением коэффициенты Ап и Сп легко определяются путем разложения
уравнения контура в тригонометрический ряд по косинусам эллиптической
координаты ig.
Заметим еще в заключение, что для тел с очень большим удлинением
можно определить q (а) и т (z) из следующих двух простейших предполо-
жений:
1) в случае продольного обтекания считать нормальную к поверхности
тела составляющую скорости возмущения У'Л равной скорости плоского дви-
жения от источника, расположенного в ближайшей точке оси. Тогда условие
непроницаемости поверхности даст:
. g (z) .. v dr*
и 2nr* °0 dz 9
откуда
' 9^) = 2Л^^, (76)
причем г* (г) представляет заданное уравнение контура меридионального
сечения;
2) в случае поперечного обтекания тела вращения выберем m(z) из
условия, чтобы элемент тела, вырезанный плоскостями г и г -|- dz, обтекался
так же, как элемент цилиндра бесконечного размаха в плоском движении.
Это приведет к равенству:
(77)
иг(г) = 2^РО0г*2(г).
§ 70J
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА СКВОЗЬ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ
437
§ 70. Общий случай движения твердого тела сквозь несжимаемую
идеальную жидкость. Определение потенциала скоростей. Главный
вектор и главный момент сил давления потока на тело
При рассмотрении внешнего обтекания твердого тела до сих пор
всегда предполагалось, что или тело неподвижно, а набегающий на
него поток однороден и стационарен, или же жидкость вдалеке от
тела неподвижна, а тело движется сквозь нее поступательно и равно-
мерно. Именно в этом предположении был доказан парадокс Далам-
бера о равенстве нулю главного вектора сил давления жидкости на
поверхность тела конечных размеров.
Обратимся теперь к рассмотрению общего случая неравномерного
и непоступательного движения тела сквозь несжимаемую идеальную
жидкость, предполагая, что центр тяжести тела (или как-нибудь
иначе выбранный полюс) движется с данным ускорением, а само тело
заданным образом вращается вокруг мгновенной оси, проходящей
через полюс.
Основываясь на доказанной в самом начале гл. V теореме Лагранжа,
можем считать движение жидкости вокруг тела безвихревым, что,
вместе с условием несжимаемости, приводит, как и в случае равно-
мерного поступательного движения, к равенству нулю лапласиана
потенциала скоростей возмущения жидкости твердым телом:
= 0.
Рассмотрим граничные условия. В силу непроницаемости поверх-
ности движущегося в жидкости тела, составляющая скорости движе-
ния частиц, соприкасающихся с поверхностью а движущегося тела,
по нормали к с должна в любой момент времени совпадать с нор-
мальной составляющей скорости соответствующей точки поверхности,
так как в противном случае жидкость или проникала бы сквозь по-
верхность тела или отрывалась бы от нее. Обозначим через Vo скорость
полюса твердого тела, а через (о —угловую скорость тела. Тогда,
по известной формуле кинематики твердого тела, скорость V любой
точки тела, имеющей вектор-радиус относительно полюса г, будет
равна:
V — Vo + ®> X г>
а граничное условие на поверхности тела напишется в виде:
= = Vte4-(wXr)„ =
= —zny) +
+ u>y(znx — xns)-j-me(xny — упх). (78)
Здесь и0, v0, и шу, — проекции векторов Vo и ю на
оси неподвижной системы координат Oxyz с началом О, в данный
438 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [Гл
момент времени совпадающим с полюсом тела; пх, пу, пе—проек.
ции орта внешней нормали к поверхности о, направленной внутрь
обтекающей тело жидкости.
Кроме граничного условия (78), потенциал скоростей удовлетворяет
еще условию обращения в нуль при удалении на бесконечность, Где
жидкость покоится:
® -> О при г -» оо,
причем, как уже было показано ранее, стремление это имеет поря-
док 1'г2 или более высокий порядок.
Следуя Кирхгоффу, 1 представим искомый потенциал », как сумму
® == и0®[ т»офй -ф -|- юа!®4 -{- аур. -j- а>г®6, (79)
где функции <ог предполагаются гармоническими, т. е. удовлетворяю-
щими каждая в отдельности уравнению Лапласа, и стремящимися к нулю
при удалении от тела; для выполнения граничного условия (78) функ-
ции <ot должны на поверхности тела о удовлетворять условиям:
d-Fi_ dfi______ д^________ )
дп ~~ дп ~ & дп ~~ г’
, , , } (80)
= упг~ zn^ = гпа—хпг, = хпу —ynx. j
Задача о составлении потенциала скоростей возмущенного движе-
ния 9 сводится, таким образом, к определению гармонических, убываю-
щих в бесконечности до нуля функций ®t, каждая из которых, кроме
того, удовлетворяет своему граничному условию (80) на поверхности о.
Функции ®4 имеют простой физический смысл. Как это следует из (80),
функции ®j, <р2 и ®3 в каждый данный момент времени представляют
потенциалы скоростей того возмущенного движения жидкости, кото-
рое возникает при поступательном движении рассматриваемого тела
с единичной скоростью, параллельной, соответственно, осям Ох, Оу
или Oz-, функции ®4, ®5 и ое аналогично представляют потенциалы
возмущений от чисто вращательных движений тела также с единич-
ными угловыми скоростями вокруг осей Ох, Оу и Oz.
Представим себе теперь связанную с твердым телом подвижную
систему координат Oxyz, которая в данный момент времени мгно-
венно совпадает с неподвижной системой Oxyz. В этой подвижной
системе величины пу, пг не будут зависеть от времени и, следова-
тельно, потенциалы -Oj, ®2, . , ®6 окажутся функциями только
координат.
Первые три из этих функций могут быть разысканы приемами,
изложенными в предыдущих параграфах, остальные, соответствующие
1 См восемнадцатую лекцию из классических „Vorlesungen uber Matheffla-
[ische Physik von G Kirchhoff", Erster Band, Mechanik, Leipzig, 1897, стр. 222r
§ 70]
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА СКВОЗЬ НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ
439
ашательным движениям, определятся как решения уравнения Лапласа,
^овлетворяющие своим граничным условиям (80) на поверхности тела а,
^также условиям обращения в нуль на бесконечности.
3 Перейдем теперь к разысканию главного вектора и главного момента
сил давления жидкости на движущееся в ней твердое тело. Заключим
движущееся тело внутрь некоторой неподвижной сферы очень боль-
шого радиуса г0 с поверхностью а0 и применим теорему количеств
движения к жидкой массе, находящейся в переменном во времени
объеме т между поверхностями о и о0. Обозначим через К вектор
количества движения жидкости в объеме т, через R—искомый глав-
ный вектор сил давления жидкости на поверхность тела а и через
R'—-главный вектор сил давления, приложенных извне к поверхности а0;
тогда будем иметь:
откуда следует, что
R
(81)
Вектор R' найдем по формуле
R ...... ptl@
°0
куда вместо давления р следует, согласно интегралу Лагранжа —
Коши (13) (§ 36 гл. V), подставить выражение:
с-/Л pV2 &F
p=pf(O-p—-р-^,
причем, по условию покоя жидкости на бесконечности:
при г -> оо р -» рет, V О, ф -> О,
функция F(t) в последнем равенстве может быть заменена на постоян-
ную величину pjp. Отбрасывая интеграл от постоянного слагаемого р
получим:
R' = р A J фй0 йо0 -J- J V^OodoQ. (82)
®О О»
Секундное изменение главного вектора количеств движения ~
составим как сумму локальной производной количества движения
в объеме т, заключенном между поверхностями о и а0, и количеств
Движения, переносимых в единицу времени сквозь „контрольные по-
верхности" а и о0 [вспомнить формулу (30) § 22 гл. Ш]:
wPv^~ J + f₽
•5 9 %
440 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Первый интеграл, стоящий справа, в силу равенства V = grad ? и
известной интегральной формулы, может быть преобразован к виду:
д f д f <3 f
P77J grad«xfc = —p^J <рп <£<5р-57 J <pn0<fc0,
1 as,
причем знаки минус, стоящие перед интегралами по поверхности о
в обеих предыдущих формулах, объясняются тем, что орт направлен
внутрь жидкости, т. е. является по отношению к жидкому объему т
ортом внутренней нормали. Отсюда следует, что производная от глав-
ного вектора количеств движения может быть представлена в виде:
= — p^l’emdc— pj V„Vrfo-|-p-^ ^no&o + pj V„Vda0 =
a a a, s„
= ~p if<?nda + p ЭГ J?»orf°o + р/ VnVda0.
9 «0 ®0
dK
Подставляя полученные выражения R' и в равенство (81),
получим после очевидных сокращений:
R = Р if ?И rfo + P J (4 W)da0.
° ®0
Замечая, что поверхность сферы а0 возрастает с удалением от
начала координат как г£, а подинтегральная функция убывает как -i-,
го
заключим о стремлении второго интеграла к нулю и в пределе при
г0 = со найдем окончательно:
R == р f on da. (83)
Аналогичные рассуждения приводят к выражению главного момента
сил [давлений:
L = p^-J<prXn£fa. (84)
9
Действующие со стороны жидкости на тело силу R и момент L
можно интерпретировать как секундные изменения некоторых „при-
соединенных'' к движущемуся телу количества и момента коли-
чества движения.
Обозначим через К* и Q* главный вектор и главный момент
количеств движения самого твердого тела, а через F и М—главный
вектор и главный момент внешних сил, приложенных к телу, помимо
§ 71] КОЭФФИЦИЕНТЫ „ПРИСОЕДИНЕННЫХ масс' 441
реакций жидкости-, тогда по теоремам количеств движения и момен-
тов количеств движения, примененным к твердому телу, будем иметь:
dK* DIP d<?* I IM
^- = R + F, ^r = L + M,
или, что все равно:
“(К* — pj ?n<fc) = F,
(Q* — P J <p (г X n) da) = M.
O'
(85)
Сравнивая систему уравнений движения твердого тела в жид-
кости (85) с аналогичной системой движения того же тела в пустоте
<№* р dQ* _ м
dt =г> dt ~~т>
заключаем, что движение тела в жидкости происходит так, как будто
к главному вектору количеств движения его К*, благодаря наличию
возмущаемой телом жидкости, присоединилось добавочное количество
движения
В = — р Jwnrfo, (86)
а к главному моменту количеств движения твердого тела Q* „при-
соединился" добавочный момент количества движения
J = -p J®(rXn)rfo. (87)
в
Уравнения движения (85) можно переписать в форме
^(K*4-B) = F, ^-(QHJ) = M, (88)
а векторы В и J назвать, соответственно, „присоединенными" коли-
чеством движения и моментом количества движения.
§ 71. Коэффициенты „присоединенных масс". Свойство симметрии.
„Присоединенная" кинетическая энергия. Определение „присоеди-
ненных масс" поступательно движущегося цилиндра, шара и
эллипсоида
Изменим обозначение проекций векторов скорости полюса тела Vo
и угловой скорости w вращения тела на связанные с телом оси коор-
динат, пронумеровав их по порядку так:
= *w0 = qs; m9 = qif <»v~q5, we = qv>
442
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
Аналогично положим:
Вд, — Вх, By— В2, Вг-— В8; Jx— Bit Jу — BG, Jz—B6.
В новых обозначениях выражение потенциала скоростей (79) будет:
?= (89)
4 = 1
Воспользуемся теперь выполняющейся в любой момент времени на
поверхности тела о системой равенств (80), тогда в новых обозначе-
ниях вместо (86) и (87) будем иметь:
Bi = — р J da---------р J У] q^k ~^da = 2
о а Л=1 к=1
(*=1,2, ...,6),
где введено обозначение:
а
/i=l, 2, ...,6\
\А:= 1, 2, ...,6/
(90)
(91)
Величины li]c> вычисленные в связанной с твердым телом коорди-
натной системе, представляют некоторые постоянные, зависящие лишь
от формы поверхности тела, так как по ранее доказанному ф,-
от времени не зависят.
Являясь коэффициентами в выражении „присоединенных" коли-
чества и момента количеств движения через обобщенные скорости
величины играют роль инерционных коэффициентов, „присоеди-
няющихся" к инерционным коэффициентам, входящим в аналогичные
выражения количества движения и момента количества движения
самого твердого тела.
Так, например, проекция количества движения твердого тела, массу
которого обозначим через т*, на ось Ох будет равна:
= J Vx dm = f (и0 + V—dm =
9П* ЧП*
— m*uG -f- ы>у J z dm* —o>s J у dm* =
= m*u0 + m*zc(oy — m*ycwe,
где yc и гс — координаты центра тяжести тела; отсюда в новых
Обозначениях следует:
= tn qx + т гсдъ — т ycq^.
§ 71J КОЭФФИЦИЕНТЫ „ПРИСОЕДИНЕННЫХ масс" 443
Проекция на ось Ох суммы количества движения К* и „присоеди-
ненного" количества движения будет равна:
Ki + = (т —J— Х12<72 -f- Л13<7а -}- Хн<?4 -ф-
+ + М 7в + (— т*ус + *ie) 76-
Как видно из структуры этого выражения, инерционные коэффи-
циенты „присоединяются" к инерционным коэффициентам в выра-
жении проекции количества движения твердого тела: ).и—к массе,
Х1Б и ^ie —к статическим моментам масс; остальные коэффициенты
в общем случае дополняют члены, отсутствующие в выражении проек-
ции главного вектора количества движения твердого тела. Вот почему
инерционные коэффициенты \ik обычно называют коэффициентами
присоединенных масс.
Тридцать шесть коэффициентов „присоединенных масс"
обладают свойством симметрии, т. е. не зависят от порядка индек-
сов. Чтобы это доказать, составим применительно к рассматривае-
мому объему т следующее известное соотношение:
j* dz = J div (grad dz =
= J div (<Pi grad ?») dz — J grad <pt- • grad % dz,
и вычтем из него аналогичное соотношение с измененным порядком
индексов; тогда получим общую формулу:
f dz =
= J div (<?f grad y^dz— J div (akgrad ^dz.
X x
Замечая, что в силу гармоничности функций и интеграл слева
обращается в нуль, и применяя в правой части формулу Остроград-
ского, приходим к равенству:
J (% •&- ~ dao-
СГ
Примем во внимание, как и раньше, что интеграл справа, при
удалении поверхности сферы на бесконечность, стремится к нулаз
444
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[гл. vn
имеет порядок — порядок -у); тогда будем иметь:
\ Гд дп г0 /
J
а а
или, по определению коэффициентов „присоединенных масс",
что и доказывает свойство симметрии этих величин. Таким образом,
из тридцати шести коэффициентов, имеющих место в общем случае
движения твердого тела, различных оказывается лишь двадцать один.
Присоединенные массы \к входят коэффициентами в выражение
квадратичной зависимости кинетической энергии Т возмущенного дви-
жения жидкости от скоростей движения твердого тела.
Подсчитывая кинетическую энергию жидкости как объемный инте-
грал:
T=y J* IZ® dr = у | grad <р • grad a>dt =
= -£ J* div (® grad cp) dt — ©V2® dt =
= — 75- j* J
» «0
и вновь замечая, что при удалении поверхности с0 на бесконечность
второй интеграл обратится в нуль, получим аналог известной уже нам
по § 36 гл. V формулы (21) на случай внешнего обтекания тела:
—4 Г V&ds. (92)
2 J • дп
а
Подставим сюда разложение потенциала скоростей <р по потенциалам
составных движений тогда, перемножая суммы, найдем искомое
выражение кинетической энергии возмущенного движения жидкости
через скорости тела и „присоединенные массы":
в в
7 =4 2 2 (93)
»=1 fc=l
Сравнивая это выражение с (90), получим связь между „присоеди-
ненной" кинетической энергией возмущенного движения Т и „присо-
единенным" количеством движения:
= (94>
§ ?1] КОЭФФИЦИЕНТЫ „ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС* 445
Если написать в развернутом виде выражение кинетической энергии
самого движущегося твердого тела:
Т* = у j И dm*=— [тге* (a® -J- «о+«4) + 2/ге*хс (•nowe—Wqw^) +
?n*
4- 2m*ye (w^—u0<%) + +
"l” “4“*4^ ^аву^а^у!»
то легко убедиться, что при „присоединении* кинетической энергии
возмущенной телом жидкости Т к энергии самого движущегося тела
Т* коэффициенты kik так же, как и в случае векторов количеств и
моментов количеств движения, „присоединятся* к соответствующим
инерционным коэффициентам в выражении Т*: массе, статическим
моментам, моментам инерции и центробежным моментам. Это еще раз
поясняет смысл коэффициентов кгк и происхождение их названия
„присоединенных масс*. Конечно, термин „масса* здесь следует пони-
мать в обобщенном смысле как величину, характеризующую инерцион-
ность вообще.
Поясним изложенное несколькими примерами. Пусть круглый
цилиндр радиуса а, окруженный идеальной несжимаемой жидкостью
плотности р, совершает поступательное движение вдоль оси Ох, пер-
пендикулярной оси цилиндра, со скоростью и0, являющейся заданной
функцией времени t. В этом случае [вспомнить формулу (44) § 39
гл. V и выделить из нее потенциал возмущенного движения]:
® ==—д. ч.(и0-у) =— а0(£)а2д. ч. =—«0 (/) a2—
/Л о х /А И COS е
= —•— Uq (t) Qr —=====-Uq (t) Or ,
и коэффициент при а0(/) будет играть роль „единичного потенциала*
равного
я8
cos ©•
Единственный коэффициент „присоединенной массы* будет равен
по (91):
2тт 2к
Хн = — р г* ds = ра2 J cos2 е de = этра2 = m,
о о
где m—масса жидкости в объеме цилиндра, приходящемся на еди-
ницу его длины.
Давление жидкости на цилиндр будет определяться по формуле:
п_______dfix ____, d ZA —. m
—------лГ K^dt ио w — m ц •
446
Пространственной йезвйхревое Дьи>Кеййе [гЛ. Vh
В случае равномерного движения цилиндра эта сила пропадает,
и имеет место парадокс Даламбера- при ускоренном движении ци-
линдра реакция жидкости существует, причем она тем больше,
чем больше ускорение цилиндра.
Составляя дифференциальное уравнение движения цилиндра (т* —
масса единицы длины цилиндра, F—внешняя сила, помимо реакции
жидкости):
видим, что его можно еще переписать так:
{m^-Ym)^-==Fa..
Под действием приложенной силы F цилиндр будет двигаться
в жидкости так же, как в пустоте, если только массу его увеличить
на „присоединенную массу“ жидкости в объеме цилиндра.
Столь же просто решается задача о прямолинейном движении
шара. В этом случае, сохраняя те же обозначения, что и для цилиндра,
имеем по (43) § 64:
a8 cos 6 ,as cos 6
?==------,
2tt a
, f j f / aJ cos fi \ / л8 2 cos й\ „ й ... 2 ч 1
Xn = —Pj rfej ГТДГДТ "Д'? 5!п6Й=Т^‘г =2'га’
о 0
где m — масса жидкости в объеме шара.
Дифференциальное уравнение движения шара будет;
at na!Tra! 2 at ' я
или
Сравнивая это уравнение с уравнением прямолинейного движения
шара под действием той же силы F в пустоте
т*£Цу. = р
at
приходим к заключению, что движение шара в жидкости можно рас-
сматривать как происходящее в пустоте, если только к массе шара
„присоединить" дополнительную массу, равную половине массы жид-
кости в объеме шара
Если масса жидкости в объеме движущегося тела мала по сравне-
нию с массой самого движущегося тела (например, снаряд или самолет
в воздухе), то „присоединенной массой" можно пренебрегать. В других
§ 71] КОЭФФИЦИЕНТЫ „ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС*1
44?
случаях (дирижабль в воздухе, корабль или торпеда в воде и др.),
наоборот, роль „присоединенных масс" оказывается первостепенной.
Имея в виду особенно большое прикладное значение понятия „присоеди-
ненной массы* для тел вращения (дирижабельные и торпедные формы),
выведем общие формулы „присоединенных масс* для продольного относи-
тельно оси симметрии и поперечного по отношению к ней движения тела
вращения.
В случае продольного движения вдоль оси Oz имеем:
<3
или, в силу граничного условия (80) на поверхности тела и очевидного
равенства dc = 2w*ds:
^зз = — Р J ?inada =
— 2пр I
ds = — 2лр I cpjT* dr*.
Используя (53), получим:
Согласно (55), для потенциала возмущенного движения с единичной ско-
ростью будем иметь:
СО
41 = с 2} AnQn О1) Рп (lx) >
п=0
так что для „присоединенной массы* в продольном движении, или, короче,
продольной присоединенной массы получим следующее общее выражение:
+1
Хзз = -2крСз f Я(1 - ^)X
—1
0 Iх J ArQn (X) Рп О1)
71 = 0
dp,
где подразумевается, что координата X есть заданная функция р, согласно
уравнению обвода меридионального сечения тела.
В случае эллипсоида вращения с большей осью а, направленной вдоль
осн Oz, имеющего уравнением обвода X = Хо = (е — эксцентриситет), пре-
дыдущий интеграл легко вычисляется. По формулам § 66 получим:
К83 = 4 ,'Рс®0-о—В
1 , .
-g- ло1п
= — т.рао2
4г1пт~7~ 1
-L--±etal±£’
1 — g- 2g 1 — g
где, напоминаем, а и Ь — большая и малая полуоси, е — эксцентриситет.
Полагая в последней формуле е = 0 и раскрывая неопределенность, получим
448
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
вновь «присоединенную массу* шара:
(Азз)е==0
Аналогичным путем определим и присоединенную массу тела вращения
при поперечном его поступательном движении вдоль оси Ох, или попе-
речную присоединенную массу.
Сохраняя обозначения § 67, найдем:
р1 2)(Х2— 1)(р.
dPn dQn
dy- d'f.
dy,
и в частном случае поперечного движения эллипсоида вращения-.
J____I— е2 1+е
, 4 е» 1 — е .
Mi - 3 ^pab j 1_еа 1_|_е >
2 е2 + 2е3 1П1— е
при c = 0 последняя формула также переходит в „присоединенную массу*
шара.
Другие примеры вычисления „присоединенных масс* можно найти в спе-
циальных книгах по динамике корабля или дирижабля, а также в общих
курсах и монографиях по гидродинамике.1
Ограниченность объема настоящей книги не позволила остановиться
на специальных вопросах теории плоского нестационарного движения
крыла, созданной гением С. А. Чаплыгина и столь блестяще в даль-
нейшем развитой в работах М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и
Л. И. Седова,2 а также на вопросах динамики плоского и простран-
ственного движения твердого тела в тяжелой идеальной несжимаемой
жидкости при наличии свободной поверхности. Последняя область
особенно обязана своим расцветом глубоким исследованиям
Н. Е. Ко чина, 3 М. В. Келдыша и Л. И. Седова.4
1 См., например, монографию А. М. Басина, Теория устойчивости па
курсе и поворотливости судиа. Сер. „Современные проблемы механики",
Гостехиздат, 1949.
В этой монографии можно найти графики „присоединенных масс* для
эллипсоидов и других тел, а также изложение теории неравномерного дви-
жения тела в несжимаемой идеальной жидкости. См. также К и б е л ь,
Кочин и Розе, Теоретическая гидромеханика, ч. 1, гл. VII; Н. Я. Фабри-
кант, Курс аэродинамики, ч. I, 1938 и Г. Лам б, Гидродинамика, гл. VI.
2 Обзор этих работ можно найти в монографии А. И. Некрасова,
Теория крыла в нестационарном потоке. Изд. АН СССР, 1947.
3 Н. Е. Кочин, Собр. соч., т. II. Изд. АН СССР, 1949.
* См. „Труды конференции по теории волнового сопротивления", ЦАГИ,
1937,
§ 72J элементы теории крыла конечного размаха 449
§ 72. Элементы теории крыла конечного размаха. Вихревая
система крыла. Гипотеза плоских сечений. Геометрические и
действительные углы атаки. Подъемная сила и „индуктивное
сопротивление"
При рассмотрении плоского обтекания цилиндрического крыла
бесконечного размаха уже указывалось, что на самом деле нельзя
полностью пренебрегать наличием в жидкости трения. За счет вну-
треннего трения, особенно сильно развивающегося в тонком погра-
ничном слое, образуются мощные вихри, совокупность которых, по
гениальной идее Жуковского, можег быть заменена одним „присоеди-
ненным вихрем", поясняющим возникновение подъемной силы крыла.
Этот „присоединенный вихрь", в полном согласии с классической
теоремой Гельмгольца (§ 12 гл. I) об одинаковости интенсивности
вихревой трубки вдоль всей ее длины, не может начинаться или
заканчиваться в жидкости. Совпадая по направлению с осью крыла
'бесконечного размаха, „присоединенный вихрь" приходит из беско-
нечности и б бесконечность же уходит. Интенсивность „присоеди-
ненного вихря" одинакова вдоль размаха цилиндрического крыла,
одинакова и циркуляция скорости по контуру, охватывающему любое
сечение крыла, и подъемная сила единицы длины крыла.
Опыт показывает, что на крыле конечного размаха, например, на
крыле самолета, циркуляция не сохраняется вдоль размаха, достигая
[максимального своего значения где-то посередине крыла и обращаясь
в нуль на его концах. Такая переменность циркуляции говорит вместе
с тем и об изменениях интенсивности „присоединенной" вихревой
трубки, что, как будто, находится в противоречии с ранее упомянутой
[теоремой Гельмгольца.
С. А. Чаплыгин еще в 1910 г.1 нашел причину возможности изме-
нения интенсивности „присоединенного вихря" в сходе вихрей с по-
верхности крыла и дал первую теорию крыла конечного размаха;
[изложение этой теории появилось, невидимому, впервые лишь в спе-
циальной монографии В. В. Голубева,2 выпущенной в свет в 1931 г.
[Только спустя много лет после создания теории Чаплыгина появилась
теория несущей линии Прандтля.3
Сущность простейшей схемы крыла конечного размаха заключается
в следующем. От основного „присоединенного" вихревого шнура крыла
(отделяются и уносятся потоком так называемые „свободные" вихри,
оси которых в некотором ’ удалении от крыла совпадают с линиями
1 См. „Механику в СССР за XXX лет", стр. 352, а также „Вихревую
теорию гребного винта" Н. Е. Жуковского, Избр. соч., т. П, стр. 191.
2 В. В. Голубев, Теория крыла аэроплана конечного размаха. Труды
|1ДАГИ, вып. 108, 1931. См. также В. В. Голубев, Лекции по теории крыла.
Гостехиздат, 1949, стр. 258.
3 См. только что цитированные „Лекции по теории крыла" В. В. Г о л у-
б ев а, а также Г. Г л ау э р т, Основы теории крыльев и винта. ГНТИ, 1931,
29 3*к. 1841- Л Г. Лойаяиский.
450 пространственное безвихревое движение (гл. VII
юка уносящей их жидкости. При поступательном равномерном дви-
жении крыла конечного размаха в перпендикулярном к оси крыла
направлении или, что то же, при набегании однородного потока на
крыло, можно заме-
нить крыло некоторой
воображаемой стацио-
нарной системой непо-
движных вихрей, со-
стоящей из „присоеди-
ненных" вихрей крыла
и сошедших с крыла
„свободных" вихрей;
эта схема показана на
рис. 148.
Несколько идеали-
Рис. 148. зируя схему, заменим
присоединенный вихрь
крыла несущей вихревой линией, представленной отрезком —l^ z^l
оси Oz, а „свободные вихри" расположим в плоскости xOz в виде
уходящих в бесконечность лучей, параллельных оси Ох (рис. 149).
„Свободные" вихри образуют вниз по потоку за „несущей линией"
вихревую пелену, представляющую, гтак же как и „вихревой слой"
(§ 40 гл. V), поверхность разрыва составляющих скоростей, парал-
лельных плоскости пелены.
Пусть непрерывная и дифференцируемая функция Г (г) характеои-
зует распределение циркуляции вдоль несущей линии (—l^z^t).
Изменению циркуляции „присоединенного вихря" от значения Г (С)
в точке ,г = Сдо Г(С)+~в точке М' (г = С -}- dC) HadF = -^-dC
§ ^2]
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
451
соответствует сход вихревой полоски (на рис. 149 заштрихованной),
образующей элемент „вихревой пелены", циркуляция которого равна
также dE
Учитывая сошедшую, „освободившуюся" от крыла циркуляцию,
убедимся, что совокупность „связанной* с крылом, „присоединен-
ной* циркуляции и сошедшей с крыла „свободной* циркуляции при
стационарном движении жидкости, в полном согласии с теоремой
Гельмгольца, сохраняется неизменной.
Вихревая система крыла конечного размаха индуцирует вокруг
себя некоторое поле скоростей, которое складывается с однородным
набегающим потоком. В результате такогд наложения создается неко-
торое сложное неоднородное поле скоростей, требующее для своего
исследования дополнительных приближенных приемов.
Проведем через точки „несущей линии" перпендикулярные к ней
плоскости, одна из которых Щх'О'у') показана на рис. 149. Рас-
смотрим проекцию действительного поля скоростей в точках плоско-
сти П на .эту плоскость и назовем соответствующий, лишенный попе-
речных скоростей w поток сечением действительного потока плоско-
стью И, или, для краткости, плоским сечением потока.
Плоские сечения потока только далеко впереди от „несущей ли-
нии" представляют однородные поля скоростей; в остальной области
поток неоднороден, так как отдельные его точки находятся на разных
расстояниях от вихревой системы крыла. Заметим еще, что плоские
сечения потока отлич-
ны друг от друга, так
что совокупность их
не определяет плоского
потока.
Рассмотрим подроб-
нее ту часть плоского
сечения, которая распо-
ложена вблизи точки О'
пересечения несущей
линии с плоскостью
сечения, или, схемати-
чески, поток вблизи
сечения крыла той же
плоскостью (рис. 150).
Отвлечемся на мгновение от возмущений, создаваемых крыловым
профилем, т. е. элементом несущего „присоединенного" вихря.
Если бы крыло имело бесконечный размах и поток был бы
строго плоским, то, удалив крыло и производимые им возмущения,
мы получили бы однородное поле набегающего потока с некоторой
скоростью на бесконечности Vco- В случае крыла конечного раз-
маха это не так. Если в плоском сечении из полного поля скоростей
вычесть поле возмущений от элемента несущей линии, то оставшееся
29*
452 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. Vtt
поле плоского сечения потока будет содержать как однородную
часть Voo от набегающего потока, так и добавочную неоднородную
часть Nt, индуцируемую „свободными вихрями" пелены, расположен-
ными в плоскости хОг. Неоднородность поля этих индуктивных
скоростей V; является следствием различия расстояний отдельных
точек плоскости от элементов „свободных вихрей" пелены.
Анализируя с количественной стороны порядок разности между
рассчитанными по формуле Био — Савара индуктивными скоростями
в точках плоскости П вблизи точки О' и в самой точке О', можно
было бы доказать,1 что во всех плоских сечениях потока, удаленных
от концов А и В несущей линии (крыла), неоднородность поля
индуктивных скоростей вблизи сечения крыла тем меньше, чем
больше удлинение крыла, т. е. отношение его размаха к средней
хорде.
Таким образом, представляется допустимым для каждого пло-
ского сечения потока ввести понятие о своей местной скорости на
бесконечности Nm (рис. 150), равной сумме скорости потока на
бесконечности перед крылом и „индуктивной скорости" V,-, создан-
ной „свободными вихрями" пелены в точке О' несущей линии:
Vm = Veo+V,. (95)
Имея это в виду, примем следующую „гипотезу плоских
сечений": при достаточно больших удлинениях крыла конечного
размаха каждое плоское сечение потока, удаленное от концов
крыла, можно рассматривать как плоское обтекание получен-
ного в пересечении крыла плоскостью крылового профиля, с „мест-
ной скоростью на бесконечности*, равной сумме скоростей потока
на бесконечности впереди крыла и скорости, индуцированной
„свободными вихрями* пелены в соответствующей точке несущей
линии.
Принятое допущение, сообщающее условным плоским сечениям
потока смысл подлинных плоских движений, сводит расчет крыла
конечного размаха к решению изложенной в гл. V задачи о плоском
обтекании крыловых профилей и к последующему суммированию
результатов по всем плоским сечениям крыла. Такое допущение имеет
смысл только для крыльев значительного удлинения. Изложенная
гипотеза плоских сечений неприемлема для крыльев малого удлинения.
Обозначим через а (рис. 151) угол атаки набегающего потока на
бесконечности перед крылом, т. е. угол между вектором Voo и хор-
дой сечения крыла. Этот угол назовем геометрическим углом атаки.
Введем в рассмотрение также действительный (или эффективный)
угол атаки ае, как угол между „местной скоростью на бесконеч-
1 См. А. А. Д о р о д н и ц ы н, Обобщение теории несущей линии иа
случай крыла с изогнутой осью и осью, ие перпендикулярной потоку. Прикл.
матем. и мехаи., т. VIII, 1944
§72] ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА 453
носги“ Vw и той же хордой. Угол между скоростями ¥«> и VTO обо-
значим через и назовем углом скоса потока или индуктивным
углом. Как видно из рис. 151,
ае= *—-«»•
(96)
Давление плоского потока на крыловой профиль, согласно гипо-
тезе плоских сечений и теореме Жуковского, определяется отнесен-
ным к единице длины крыла по размаху главным вектором R, равным
по величине
я=рад
где Г должно быть определено, как было указано в гл. V, путем
использования постулата Чаплыгина о безотрывном обтекании зад-
ней кромки сечения крыла. Вектор R направлен (рис. 150) по пер-
пендикуляру к „местной
скорости на бесконечно-
сти “ Vto-b соответствую-
щую сторону.
В каждом плоском се-
чении вектор R будет
иметь свою величину и
свое направление. Желая
найти подъемную силу
крыла в целом, определим
сначала подъемную силу сечения, как отнесенную к единице длины
крыла составляющую Ry вектора R на направление, перпендикулярное
вектору скорости потока на бесконечности Voo впереди крыла, а
уже затем просуммируем эти составляющие, умноженные на длину
элемента крыла, по всему размаху. Такое определение подъемной
силы представляется вполне естественным, если обратить движение
и рассматривать движение крыла конечного размаха в неподвижной
жидкости. Замечательно, что при этом, наряду с подъемной силой
сечения Ry, появляется еще составляющая Rx главного вектора R
по направлению движения, г. е. сила сопротивления. Эту, также
отнесенную к единице длины крыла по размаху силу Rx называют
индуктивным сопротивлением сечения, а сумму величин Rx, умно-
женных на элемент длины крыла, вычисленную по всему размаху
крыла, называют индуктивным сопротивлением крыла. Как это сле-
дует из рис. 150, имеем:
/?a, = /?sina„ |
Ry — R cosa/. J
(97)
Возникновение в идеальной жидкости сопротивления движению
тела представляет лишь кажущееся противоречие с парадоксом Да-
ламбера. При доказательстве правильности парадокса Даламбера (§ 64)
454
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
было оговорено, что тело имеет ограниченные размеры и возмущаю-
щее влияние его не распространяется на бесконечность. В рассматри-
ваемом же случае движения крыла конечного размаха образовавшаяся
за крылом
возмущения
вихревая пелена тянется до бесконечности, производя
в бесконечном
Рис. 152.
удалении вниз по потоку от крыла. Легко
себе представить, что в некоторой
аналогии с обтеканием решетки про-
филей скорость на бесконечности перед
крылом конечного размаха не равна
скорости на бесконечности за крылом
в области вихревой пелены. В этом —
основное отличие теории крыла ко-
нечного размаха от теории простран-
ственного обтекания тел вообще.
Прежде чем перейти к изложению
методов расчета крыла конечного раз-
маха, заметим, что не следует в даль-
нейшем забывать о важной физической
стороне явления обтекания крыла ко-
нечного размаха, совершенно не учи-
тываемой гипотезой плоских сечений, —
о наличии вблизи поверхности крыла
поперечных токов. Эти поперечные
токи можно легко наблюдать на поверхности модели крыла, уста-
новленной в аэродинамической трубе, если покрыть верхнюю и ниж-
нюю поверхности крыла тонкими шелковинками. Отклонение шелко-
винок (рис. 152) от среднего продольного направления потока оказы-
вается максимальным вблизи концов
крыла, причем, как показывают фото-
графии такого рода „спектров обте-
кания", на верхней поверхности
крыла шелковинки скашиваются к се-
редине крыла, а на нижней — к кон-
цам крыла. Такое расположение
шелковинок говорит о наличии тен-
денции к перетеканию воздуха
с нижней поверхности на верхнюю,
что и естественно, так как на верхней поверхности создается разре-
жение, а на нижней давление (рис. 153). Поперечные токи тем боль-
ше, чем больше перепад давлений между нижней и верхней поверх-
ностями крыла, т. е. чем больше коэффициент подъемной силы крыла
и чем интенсивнее вихревая пелена. При малых значениях коэффи-
циента подъемной силы (что соответствует малым углам атаки) пре-
небрежение поперечными токами допустимо, при больших углах атаки,
особенно при возникновении отрыва пограничного слоя с поверхности
Крыла, роль поперечных токов увеличивается.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ „НЕСУЩЕЙ ЛИНИИ
455
§ 73J
При дальнейшем изложении методов расчета крыла конечного раз-
маха будем предполагать, что коэффициент подъемной силы невелик,
вихревая пелена имеет малую интенсивность, а следовательно, малы
все индуктивные скорости, малы и поперечные токи.
§ 73. Основные формулы теории „несущей линии". „Индуктивная
скорость" и „индуктивный угол". Прямая задача определения
подъемной силы и индуктивного сопротивления по заданному
распределению циркуляции
Перейдем к определению величины „индуктивной скорости"
в плоском сечении потока, отстоящем на расстоянии г от основной
координатной плоскости хОу (рис. 149). Найдем сначала элементар-
ную скорость, индуцированную в точке (У „свободным вихрем" —
бесконечным вихревым лучом, выходящим из точки М. Для этого
следует вспомнить формулу (30) § 62 скорости, индуцированной
вихревым-отрезком, и положить в чей:
а —90э, ₽ = 0, r = = Л=|С~г|.
Принимая во внимание направление элементарной индуцированной
скорости z/Vj по оси ОУ вниз, будем иметь (dty < 0 при < О,
z < с):
. , 1 di 1 dl’ dC
dvi~ 4л z — С 4s dCz—Г •
Полную „индуктивную скорость" -Vi в точке О' от всей системы
„свободных вихрей" получим, если просуммируем элементарные
индуктивные скорости dv{ по переменной С по всему отрезку несу-
щей линии от точки В(С =—0 до точки A(^ = Z). Будем иметь
следующее выражение индуктивной скорости:
/ч 1 f dr dC
4„ J dC г —Г
—I
Интеграл, стоящий справа, является, очевидно, несобственным,
так как подинтегральная функция обращается в бесконечность при
С —z; поскольку эта бесконечность имеет порядок первой степени,
возникает сомнение в существовании интеграла (99). Чтобы рассеять
это сомнение, уточним вопрос о применимости формулы (98) и об
Интегрировании в формуле (99).
Как известно, формулу (98) для скорости, индуцируемой вихрем,
нельзя применять в той особой точке безвихревого потока, где
расположен сам вихрь-, в этой точке с координатой г = С скорость
456
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[гл. VII
обращается в бесконечность. Формула (98) определяет скорости без-
вихревого потока лишь вокруг данного „изолированного вихря “,
т. е. при г ф С. Сообразно с этим и интеграл (99) следует понимать
в специальном смысле и вычислять особым образом, исключая при
интегрировании точку z = С. Разобьем для этого интеграл (99) на два
интеграла, взятые соответственно по интервалам (е > 0): — I < С <
<^z-—е и не заключающим внутри себя точку С = г,
которая остается в интервале (г—е <£<?-[-е), расположенном
между принятыми интервалами интегрирования. Значение интеграла (99),
определенное как предел:
2 — е
Г f rfr rfC
Ы J
— I
(100)
следуя Коши, называют главной частью интеграла (99).1 *
Предел (100) существует и представляет определенную функ-
цию (г), если, например, функция удовлетворяет в промежутке
— / < С <2 / так называемому условию Липшица:
где k и а — некоторые постоянные и, кроме того, 0 < «< 1.
г; dV ,
Если, например, const, то
-Н
гл. часть I
lim
с —0
— I—’° —^4=—i— (1п —*))c=«+J — 1° •
В дальнейшем, встречаясь с „несобственными“ интегралами типа (99),
будем помнить, что такого рода интегралы должны вычисляться
в смысле их „главного значения“ по формуле (100).
Если непрерывная, один раз дифференцируемая функция Г (Q задана
вдоль всего размаха крыла, то, вычисляя главное значение инте-
грала (99), определим для всех плоских сечений индуктивную ско-
рость vit а затем и „углы скоса“ а*. Предполагая „углы скоса“
малыми, будем иметь:
+i
(101)
в * Кео 4" Исо J dZz-----С v 7
—I
1 См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III,
Гостехиздат (1933), стр. 415 и т. IV (1941), стр. 240.
§ 73] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ „НЕСУЩЕЙ линии" 457
Составим теперь формулы, позволяющие по заданному уравнению
распределения циркуляции Г (С) найти подъемную силу и индуктивное
сопротивление. Согласно (97), имеем для элемента длины крыла
конечного размаха:
Л?* = Р VMr ds sin af ~ р УЮГ (г) ds,
dRy = p VmV dz cos a{ =4= p УтГ (z) dz,
где, в отличие от предыдущего параграфа, будем под Rx и Ry пони-
мать проекции индуктивного сопротивления и подъемной силы всего
крыла.
Заменяя величину Vm на так как по (101) с точностью до
вторых степеней af:
V^o-ф- Vi == К» ~\f 1 -f- «i =5= Vco,
получим следующие выражения элементарных сил:
dRx = — рГ (z) vi(z) dz,
. ' dRy = рГ (z) Ко dz.
Интегрируя эти дифференциальные выражения вдоль всего отрезка
несущей линии (—l^,z^I), получим формулы индуктивного сопро-
тивления и подъемной силы крыла:
+г
/?а. = —р V(z)vt(z)dz,
(Ю2)
Rv = ?Vm f V(z)dz.
-i '
Подставляя в первую из этих формул значение ^(г), согласно
равенству (99), получим формулу:
-J-Z 4- 2
J J f (юз)
—I —I
явно выражающую индуктивное сопротивление через распределение
циркуляции Г (С).
Для фактического вычисления интегралов (99), (101), (102) и (ЮЗ)
зададимся распределением циркуляции в виде тригонометрического ряда:
Г (0) = 4 V«> / 2 sin W0, (104)
где угол 0 связан с переменной по размаху координатой z равенством:
Z- — /cos0,
<0<д. —Д.
(104')
(0
458 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Если распределение циркуляции симметрично относительно начала
координат (г = 0, 0 = у), то должно быть
Г(6) = ГО —0),
а следовательно:
= At = ... = А$а = ... = О.
Заметим еще, что, согласно распределению (104), значения цирку-
ляции на концах „несущей линии“ (z =— /, 0 = 0) и (z = l, 6= л)
равны нулю.
Вычислим по (104) производную^-, полагая параллельно с (104')
С = — I cos О'; будем иметь:
dr dr dC .. V л с/ 1
^rM?(COsfi0 =
n=l
оо
= 4Ко£«Дй-^61. (105)
1» = 1
Подставляя эю выражение в формулу (99), получим выражение
индуктивной скорости:
п со
* ' ' It J ЛяЬ cos 0Z — cos 0
о n=l
______ZsV' Л f COSW0Z d(/.
— „ J cosO' —cosO
I»=l 0
Интеграл, стоящий под знаком суммы, вычисляется в смысле своего
„главного значения“ и равен
*
f COS H0Z ,, , It sin Л 0
J cos6'—cose"0 — sme ’
0
так что окончательно получим следующее выражение индуктивной
скорости:
<,<(0) = -Цо2йДл^, (106)
а по (101) — и угла скоса:
ОО
О-*-’’!
§ 73] ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ „несущей линии" 459
Определим подъемную силу. Имеем по второй из формул (102)
* ОО
/?y = pVo= j Г(г)дг = 4pl/l/2 J У А„ sin «0 sin 6 4Й =
—I 0 «=1
со
= 4р Vtj2 Ап I sin л 6 sin 0 rf0.
Я = 1 О
Но по известному свойству ортогональности синусов кратных дуг:
sin «0 sin 0 dfi —
при п — 1,
при п > 1,
следовательно, в сумме, входящей в только что найденное выражение
подъемной силы, сохранится лишь один член, что даст такое окон-
чательное выражение для подъемной силы:
₽Va
= п . (2/)а • Аг (108)
Замечательно, что величина подъемной силы зависит только от
первого коэффициента Л, в разложении циркуляции (104); напом-
ним, что аналогичным свойством обладало и выражение подъемной
силы крыла бесконечного размаха, которое зависело только от первых
двух членов разложения комплексной скорости в ряд по отрицательным
степеням комплексной переменной (§ 44 гл. V).
Имея выражение подъемной силы (108), легко найти коэффициент
подъемной силы крыла конечного размаха с^, определяемый отноше-
нием:
Ry
где S — площадь крыла в плане. Подставляя сюда выражение (108),
получим:
су — лХД, (109)
где величина А, представляющая отношение площади квадрата, построен-
ного на размахе крыла, к площади крыла в плане
Х=<^, (109')
называется удлинением крыла. В случае прямоугольного крыла удли-
нение имеет простой геометрический смысл отношения размаха к хорде:
2Z
Х = р (Ю9")
460
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. VII
Индуктивное сопротивление найдем, подставляя величину цир-
куляции (104) и индуктивной скорости (106) в первое из равенств (102).
Будем иметь:
СО оо
/?я, = р-4. V^/a J 2 Ап sin «0 ^тАт^- sin Od0 =
0 n=sl Ш—1
оо *
— pV^(2Z)a тАпАт | sin «О sin mb rf0.
n, m=l 0
Замечая, что по свойству ортогональности функций синуса
j sin«0sinmOd0 =
b
если n = m,
О, если п-ф-т,
получим:
oV2 °°
= ^пА^.
(ИО)
§ 74. Крыло с минимальным индуктивным сопротивлением.
Эллиптическое распределение циркуляции. Связь между
коэффициентами индуктивного сопротивления и подъем-
ной силы. Основное уравнение теории крыла и понятие
о его интегрировании
Индуктивное сопротивление представляет существенно положи-
тельную величину, независимо от того, каковы будут значения коэф-
фициентов Ап. Отсюда сразу вытекает важное следствие: индуктив-
ное сопротивление крыла конечного размаха при отличной от
нуля подъемной силе (Аг фг 0) будет минимальным, если все коэф-
фициенты в разложении циркуляции, кроме первого, равны нулю.
Это, согласно равенству (104), соответствует распределению цирку-
ляции:
Г = 4 VcoZ^j sin 0 (Д2 = Л3= ... =0), (Ш)
или, возвращаясь к переменной z по (104''):
Г = 41/оо/41|Л 1—(у/-
(11 Г)
Переписывая последнее равенство в виде
Г2 . ^2
(4И00/Л1)2-Г'/2
КРЫЛО С МИНИМАЛЬНЫМ ИНДУКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ 461
убедимся, что эпюрой распределения циркуляции по размаху крыла
(несущей линии) будет эллипс (рис. 154) с полуосями: по оси z рав-
ной полуразмаху крыла I, по оси Г—-максимальной по размаху цир-
куляции Го, причем коэффициент At можно выразить через эту ма-
ксимальную циркуляцию Го:
4КыМ1 = Г0, А = (112)
Полученное распределение циркуляции называется эллиптическим.
По только что доказанному при эллиптическом распределении цир-
куляции индуктивное сопротивление минимально-, в связи с этим
Рис. 154.
крыло с эллиптическим распределением циркуляции играет централь-
ную роль во всей теории крыла конечного размаха. Всякое другое
крыло стараются конструировать так, чтобы распределение циркуля-
ции на нем, по возможности, приближалось к эллиптическому. Рас-
смотрим ближе особые свойства крыла с эллиптической циркуляцией.
Прежде всего из формул (106) и (107) сразу следует важное
заключение: при эллиптическом распределении циркуляции индук-
тивная скорость и индуктивный угол (скос) одинаковы вдоль всего
размаха. Действительно, подставляя в формулы (106) и (107) зна-
чения коэффициентов Ап:
А. = А2 = Д3 ==...= 0,
1 41^/’ 2 3
получим:
а<=4&- <11з>
Из этих формул, между прочим, видно, что с возрастанием раз-
маха при заданной максимальной циркуляции индуктивная ско-
рость и угол скоса стремятся к нулю, как это и должно быть
при переходе к крылу бесконечного размаха.
4б2 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ЁЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ (гЛ. Vlt
Если у крыла с эллиптическим распределением циркуляции „гео-
метрические" углы атаки а по размаху не меняются, то будут сохра-
няться неизменными и „действительные" углы атаки ае. Крыло
с постоянным по размаху геометрическим углом атаки называют
геометрически незакрученным или плоским-, крыло с постоянным по
размаху действительным углом атаки называют аэродинамически
незакрученным.
Геометрически незакрученное крыло с эллиптическим распре-
делением циркуляции будет и аэродинамически незакрученным.
Докажем теперь, что геометрически незакрученное крыло с эллип-
тическим распределением циркуляции и одинаковыми по всему
размаху аэродинамическими характеристиками сечений имеет
эллиптическую форму в плане.
Для доказательства свяжем прежде всего коэффициент подъемной
силы отдельного сечения с с соответствующим ему значением цир-
куляции Г (г). По теореме Жуковского будем иметь для единицы
длины крыла (Ь — хорда):
г р
р VcoT = Су 2 Ь,
или, вспоминая еще, что для малых углов атаки, отсчитываемых от
направления нулевой подъемной силы,
, fdcy\
cy~\da Л?/=о' “е ~~ й°“е’
где ае—действительный угол атаки, отличающийся' от геометриче-
ского а на постоянный скос а{, найдем искомую связь в виде:
Г = —- aob 14»%. (114)
Отсюда сразу следует, что при постоянной вдоль размаха аэро-
динамической характеристике а0 и отсутствии геометрической закру-
ченности (а = const) закон изменения вдоль размаха хорды b совпа-
дает с законом изменения циркуляции Г, т. е. также будет эллип-
тическим. Форма крыла в плане представится уравнением эллипса:
b2 , z2
(4Г0/Д0Кооаея+^ = 1- О15)
На первый взгляд можно подумать, что с изменением угла атаки ае
или скорости К» набегающего потока максимальная хорда такого
эллиптического в плане крыла должна изменяться. На самом деле,
как это сразу следует, например, из равенства (81) § 42 гл. V, при
малых а циркуляция Г, определенная на основании постулата Чаплы-
гина, будет пропорциональна произведению Vco«e:
Гр = Ср <хДе>
§ 74] КРЫЛО С МИНИМАЛЬНЫМ ИНДУКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ 463
где с0— некоторая константа, характеризующая форму крыловых
профилей в сечениях исследуемого крыла, так что форма крыла
в плане определится чисто геометрическим равенством:
-^- + ^=1.
/4сп\2^ /2
\«о/
Итак, При принятых условиях геометрической незакруценности и
одинаковости аэродинамических характеристик вдоль размаха крыло
с эллиптическим распределением циркуляции будет иметь и эллипти-
ческую форму в плане, подобную кривой распределения циркуляции.
Вот почему такое крыло называется эллиптическим.
Найдем еще связь между коэффициентами подъемной силы и
индуктивного сопротивления эллиптического крыла.
Имеем по (ПО) и (108):
= л ' (2() >
^ = я^(2/)Мр
или, вводя коэффициенты индуктивного сопротивления и подъемной
силы:
__ Ry
v
с_______R&
саЛ — i
и вспоминая определение удлинения
ca»i
X крыла (109'):
су =
Отсюда следует важная формула связи между коэффициентами
индуктивного сопротивления и подъемной силы крыла:
с - — — с2
(116)
показывающая, что индуктивное сопротивление эллиптического крыла
быстро падает с убыванием коэффициента подъемной силы.
Аналогичную формулу можно вывести и для крыла любой дру-
гой формы в плане. Введем обозначение
2 пА1
(117)
где 8 будет тем меньше, чем ближе рассматриваемое крыло к эллип-
тическому.
464
ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
Тогда, повторив те же выкладки, получим для крыла любой формы
в плане:
__ 1 -f" <* 2 /1 1О1
= О18)
При полете современного скоростного самолета на режиме макси-
мальной скорости потребные для поддержания самолета в воздухе су
не велики (<^ = 0,15—0,20). При этом коэффициенты индуктивного
сопротивления c:ci становятся малыми по сравнению с коэффициентами
профильного сопротивления схр, обусловленными сопротивлением тре-
ния и сопротивлением давления, возникающими из-за неидеальности
воздуха (об этом будет сказано подробнее
в
заключительной главе).
Наоборот, при полете
со сравнительно малы-
ми скоростями основ-
ное значение приобре-
тает индуктивное со-
противление. Приводим
на рис. 155 для иллю-
страции типичную кри-
вую полного лобового
сопротивления Q истре-
бителя с выделением
роли индуктивного со-
противления (заштри-
хованная полоска) при
различных скоростях
полета. ] При полете
со сравнительно большими значениями су (например, транспортные само-
леты с большой дальностью) выгодно увеличивать удлинение, границы
выбора которого ставятся прочностью крыла и другими конструктив-
ными соображениями.
Все эти вопросы, так же как и вопросы применения формулы (118)
к конкретным крыльям, рассматриваются в специальных курсах теории
крыла и аэродинамики самолета.
Обратимся теперь к рассмотрению обратной задачи теории крыла,
а именно к задаче определения циркуляции, образующейся на крыле задан-
ной формы в плане с заданными аэродинамическими характеристиками
сечений.
Сохраним обозначения Ъ (г), а (г) и а0 (г) для заданных наперед пере-
менных вдоль размаха величин: хорды, геометрического угла атаки и произ-
водной коэффициента под емкой силы по углу атаки. Тогда для циркуляции Г (z)
получим по формулам (114) и (96):
Г (z) = А а0 (z) b (z) V^e = ~а0 (z) b (z) [a (z) — at (z)]. (П9)
1 См. Б. Т. Г о р о щ е н к о, Аэродинамика скоростного самолета. Оборон-
гиз, 1948, стр. 25.
§ 74] КРЫЛО С МИНИМАЛЬНЫМ ИНДУКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ 465
Если в этом равенстве заменить индуктивный угол щ (г), согласно его
выражению (101), то для определения неизвестной циркуляции Г (г) найдем
следующее основное интегро-дифференциальное уравнение:
+1
Г(г)=|т70(г)Н^)Исо[«(г)-^ J (120)
—I
В лом уравнении, подчеркнем еще раз, под геометрическим углом
атаки a (z), так же как и под „действительным" углом в предыдущем равен-
стве, подразумевается угол, отсчитанный от направления нулевой подъемной
силы.
В настоящее время существует много приближенных методов интегри-
рования уравнения (120). Простейший из них, пригодный лишь для немехани-
зированпых, мало отличающихся от эллиптических, крыльев, принадлежит
Глауэрту и основан на непосредственном использовании три: онометрическо! о
разложения циркуляции (104). Подставляя это разложение в уравнение (120)
или, использовав выражение индуктивного у!ла (107),- в уравнение (119),
будем иметь:
X) СО
4 V ol V Ап sin «О = 1 (0) b (6) Ро I а (0) - V пА„ ^1,
- лкяЛ Л | лшЛ Sin v [
И —I М = 1
откуда после простых приведений получим уравнение:
[лр (0) + sin 6J Ап sin лО = [>. (0) а (0) sin 0, (121)
п=j
где величина ;> (0) представляет сокращенное обозначение известной функции
угла 0.
(6) = Д «о (0) * (6)- (1219
oZ
Ограничиваясь случаем симметричного распределения циркуляции по раз-
маху крыла, сохраним в разложении (104) лишь члены с неизвестными коэф-
фициентами Лр Л3, Л г, и Л7. Разобьем полуразмах крыла I четырьмя сече-
ниями в точках:
~ = 0,924, 0,707, 0,383, О
с соответственными значениями угла 6 в градусах:
0 = 22,5°, 45°, 67,5° 90°
и напишем уравнение (121) для каждого сечения. Тогда будем иметь для
определения четырех неизвестных коэффициентов Aj, Л3, Лй и Л7 следую
щую линейную алгебраическую систему четырех уравнений:
0,383 (pi + 0,383) Ai 4- 0,924 (Зр, + 0,383) Л3 + 0,924 (5pi + 0,383) Л5 |-
4- 0,383 (7р.! + 0,383) Л7 = 0,383p!«i,
(1'2 4- 0,707) At +• (Зр2 + 0,707) Л3 — (5р2 + 0,707) Аъ — (7р2 -|- 0,707) Л7 = (ма2,
0,924 (р3 + 0,924) Л1 — 0,383 (Зр3 + 0,924) Л3 — 0,383 (5р3 + 0,924) Л6 +
+ 0,924 (7р3 + 0,924) Л7 = 0,924р3а3,
(!*♦+ 1) Л1— (Зр4 -|- 1) Л3 (5р4 + 1) ЛБ — (7ра 1) Л7 = р4а4.
30 Зак. 1841. Л Г. Лойцянский.
466 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. VII
В этой системе уравнений p.j, сц, р.2, а2 и т. д. представляют значения
известных функций р. (6) и а (0) в последовательных четырех сечениях крыла.
Для оценки распределения циркуляции по крыльям простейшей формы
изложенный прием является достаточным. Довольствуясь этими краткими
указаниями, отсылаем интересующихся к специальным курсам теории крыла .*
Изложение вопроса о влиянии сжимаемости газа при до- и сверхзву-
ковых скоростях на пространственное обтекание тел идеальным газом
выходит за пределы настоящего курса. За последнее время такие
основные в этой области проблемы, как осесимметричное и наклонное
обтекание тел вращения (например, снаряда) и обтекание крыла конеч-
ного размаха, подробно исследованы многими учеными. Подробное
освещение теории линеаризированных пространственных течений можно
найти в монографии Ф. И. Фр анк л я и Е. А. Карповича „Газо-
динамика тонких тел“ в серии „Современные проблемы механики"
(Гостехиздаг, 1948 г.). Методы решения нелинеаризированных про-
странственных задач изложены в „Теоретической гидромеханике"
Кибел я, Ко чина и Розе (ч. II, изд. 1948 г.).
1 См., например, ранее цитированные курсы В. В. Голубева и
Г. Г л а у э р т а.
ГЛАВА VIII
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
§ 75. Внутреннее трение и теплопроводность в жидкостях
и газах. Законы Ньютона и Фурье. Влияние температуры
на коэффициенты вязкости и теплопроводности. Число с
Основное отличие реальных жидкостей и газов от идеальных
заключается в наличии внутреннего трения (вязкости) и теплопровод-
ности. Эти явления обусловлены молекулярной структурой жидкости
и газа; основные закономерности, связывающие напряжение трения и
количество переносимого тепла с распределением скоростей и темпе-
ратур, могут быть строго выведены из кинетической теории совер-
шенной жидкости или газа.1 2 С макроскопической точки зрения эти
закономерности должны быть заданы наперед как некоторые допол-
нительные физические законы.
Ньютон3 * * сформулировал общеизвестный сейчас закон, согласно
которому касательное напряжение трения между двумя слоями прямо-
линейно движущейся вязкой жидкости пропорционально отнесенному
к единице длины изменению скорости по нормали к направлению
движения. Так, например, в случае плоского движения, параллельного
плоскости хОг, со скоростями, параллельными оси Ох, касательное
напряжение трения рХ!, (вспомнить принятую в § 14 гл. II индексацию
напряжений) будет равно:
__ /'1\
V /7жг = !х^‘> V1)
где коэффициент вязкости у. не зависит от характера движения
а зависит лишь от физических свойств жидкости и от ее температуры
(влияние давления практически ничтожно).3
1 См. Л. Л а н д а у и Е. Лифшиц, Механика сплошных сред. Гостех-
издат, 1944, стр. 431.
2 И. Ньютон, Математические начала натуральной философии, отд. IX,
Предположение. (Перевод А. Н. Крылова, изд. Морской академии, 1915 г.,
стр. 436).
3 Жидкости, не подчиняющиеся закону Ньютона, называют часто
„не ньютоновскими", — таковы многие жидкости со сложным молекулярным
строением.
30-.
468 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл. VIII
Наряду с этим динамическим коэффициентом вязкости р в даль-
нейшем придется еще постоянно иметь дело с кинематическим коэф-
фициентом вязкости v, равным отношению динамического коэффи-
циента вязкости к плотности жидкости:
Размерность динамического коэффициента вязкости р, согласно
формуле (1), будет:
сила • длина ________сила
длина2•скорость скорость • длина'
За единицу вязкости в физической системе единиц принимаю)
пуаз (по фамилии французского исследователя Пуазейля), равный
Обычно пользуются в сто раз меньшей единицей — центипуазом,
которой соответствует динамическая вязкость воды при 20,5° С.
В технической системе за единицу вязкости можно принять вели-
чину
кГ сек
лА
Коэффициент кинематической вязкости выражается в см2/сек;
величину, равную 1 см2/сек, иногда называют кинематическим пуазом,
единицу, в сто раз меньшую — кинематическим центипуазом.
Динамический и кинематический коэффициенты вязкости как жидко-
оей, так и газов значительно зависят от температуры; приводим
табл. 10 и 11 этих зависимостей. Заметим, что, как видно из этих
таблиц, оба коэффициента вязкости воды убывают с возрастанием
температуры, коэффициенты вязкости воздуха при этом, наоборот,
возрастают.
Существуют очень вязкие жидкости, как, например, глицерин, для
которого при 3°С значения 42,20 г1 см • сек, v== 33,40 см2/сек; ма-
шинное масло, при 10° С имеющее р = 6,755 г/см • сек, v—7,34 см?/сек.
Вязкость этих жидкостей, как правило, быстро уменьшается
с ростом температуры. Так, для глицерина:
/°C 3° 18° 21°
г и см-сек 42,20 10,69 7,78
см% s сек 33,40 8,48 6,18
§ 751
ВНУТРЕННЕЕ ТРЕНИЕ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
469
Таблица 10
Зависимости коэффициентов вязкости воды от температуры
Темпе- ратура в °C р 10« см • сек V — • 102 сек j Темпе- i ратура в СС [Л - 102 см • сек v • 102 сек
0 1,792 1,792 40 0,656 0,661
5 1,519 1,519 45 0,599 0,605
10 1,308 1,308 50 0,549 0,556
15 1,140 1,141 60 0,469 0,477
20 1,005 1,007 70 0,406 0,415
25 0,894 0,897 80 0,357 0,367
30 0,801 0,804 90 0,317 0,328
35 0,723 0,727 100 0,284 0,296
Таблица 11
Зависимости коэффициентов вязкости воздуха от температуры
Темпе- ратура в ЬС р — 10* см сек СМ2 сек Темпе- ратура в °C р — 10* см • сек С Л/2 v сек
0 1,709 0,132 260 2,806 0,424 '
20 1,808 0,150 280 2,877 0,451
40 1,904 0,169 300 2,946 0,481
60 1,997 0,188 320 3,014 0,507
80 2,088 0,209 340 3,080 0,535
100- 2,175 0,230 360 3,146 0,565
120 2,260 0,252 380 3,212 0,595
140 2,344 0,274 400 3,277 0,625
160 2,425 0,298 420 3,340 0,656
180 2,505 0,322 440 3,402 0,688
200 2,582 0,346 460 3,463 0,720
220 2,658 0,371 480 3,523 0,752
240 2,733 0,397 500 3,583 0,785
Зависимость коэффициента вязкости газа от температуры может
быть с достаточной степенью приближения представлена степенной
формулой
причем показатель степени п различен для разных газов и, кроме
того, слабо зависит от температуры; для воздуха л— 0,79, для
гелия п == 0,64, для водорода п = 0,69, для углекислого газа п = 0,95;
470 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл. VIII
при приближенных расчетах иногда принимают п — 0,5 для более
высоких ип=1 для меньших температур.
Наряду с вязкостью газа следуе! рассматривать и его теплопро-
водность, которая связана с вязкостью общностью молекулярною
механизма.
Количество тепла, проходящего через единицу площади в единицу
времени, выражается формулой Фурье
совершенно аналогичной закону Ньютона (1). Здесь коэффициен!
теплопроводности Л также представляет характерную для данной
жидкости или газа физическую величину, зависящую главным образом
от температуры.
Как доказывается в кинетической теории совершенных газов,
величина о, равная отношению
Р-р
X
(5)
(ср—коэффициент теплоемкости газа при постоянном давлении),
почти не зависит от температуры среды, а зависит лишь от физи-
ческих свойств (атомности) газа. Теоретически величина а может быть
выражена через известное отношение k = — теплоемкостей при по-
стоянном давлении и постоянном объеме по формуле:
В табл. 12 помещены некоторые цифры, показывающие, насколько
верна формула (6), и дающие представление о величине о для раз-
личных газов.
Таблица 12
Название газа й=-^- С, 4k 9k —5 с(экспери- мент)
/ Гелий . . Ч Азот .... Водород . . . Окись углерода Кислород . . Окись азота . . Хлор Углекислый 1аз 1,659 1,408 1,408 1,403 1,398 1,380 1,340 1,310 0,668 0,734 0,734 0,736 0,737 0,742 0,761 0,771 0,691 0,739 0,717 0,765 0,731 0,738 0,743 0,805
§ 76] ОБОБЩЕНИЕ ЗАКОНА НЬЮТОНА 471
Для многоатомных тазов при приближении k к единице о, как эго
видно из формулы (6), также приближается к единице. Для воздуха а
представляет слабую функцию температуры и равно а = 0,72 при 0°;
при высоких температурах а несколько возрастает (а — 0,727 при 1000°).
У несовершенных газов а можег сильно зависеть ог температуры, так,
например, у сухого насыщенного пара при 1 ата и изменении тем-
пературы от 100 до 300° коэффициент а увеличивается вдвое Пере-
гретый пар, приближающийся по своим свойствам к идеальному газу,
имеет значение а = 0,9 (при температурах порядка 250—300°).
При приближенных расчетах удобно, как далее будет показано, при-
нимать для газов а=1, иногда о = 0,75.
Совершенно иначе обстоит дело с величиной о для жидкостей",
в этом случае о имеет совсем другой порядок величин и, кроме того,
сильно зависит от температуры. Так, например, для воды о быстро
убывает ог значения 13,7 при 0° до 1,75 при 100°, трансформаторное
масло имеет о = 220 при 40° и о = 100 при 80°. Отсюда следует,
что при рзучении движения вязких жидкостей в неизотермических
условиях приходится считаться с сильным влиянием температуры на
величину а, при движении совершенных газов этим влиянием можно
пренебрегать
§ 76. Обобщение закона Ньютона на случай произвольного
движения среды. Закон линейной связи между тензорами
напряжений и скоростей деформации
Возвращаясь к формуле (1), можем ее трактовать как закон про-
порциональности одной из касательных компонент тензора напряжения,
соответствующей рассматриваемому частному случаю плоского прямо-
линейного движения, компоненте тензора скоростей деформаций
Обобщая закон Ньютона (1) на случаи произвольного движения
жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений
в движущейся жидкой или газообразной среде представляет линейную
функцию тензора скоростей деформации. Эту, хорошо оправдывае-
мую на опыте для большинства употребительных жидкостей и газов
гипотезу можно было бы назвать обобщенным законом Ньютона.
Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать,
если дополнительно предположить движущуюся среду „изотропной",
J. е. такой, что физические ее свойства не зависят от каких-либо
особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом коэф-
фициенты линейной связи между тензором напряжений Р и тензором
скоростей деформаций 5 должны быть скалярами, и искомая связь
сводится к форму те
Р = aS -j- №.
(7)
472
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
где а и b — скаляры, aS — тензорная единица, т. е. тензор с ком-
понентами: 1
( 0 при ,
L . . (i, 7=1, 2,3),
J [ 1 при г=/,
сохраняющий свойство сферической симметрии в любой ортогональной
системе координат и соответствующий принятой изотропии среды. По
условию линейности связи скаляр а не может зависеть от компонент
тензоров Р и S и поэтому является физической константой среды,
не зависящей от формы ее движения; имея в виду, что формула (7)
является обобщением закономерности (1), примем для коэффициента а
обозначение:
а — 2р.
Скаляр b может быть связан линейным образом с компонентами
тензоров Р V. S только через скалярные линейные комбинации этих
компонент.
Как уже упоминалось в гл. I, всякая физическая скалярная вели-
чина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту осей
координат. Таким образом, в выражение скаляра b могут входить лишь
такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоро-
стей деформации, которые инвариантны по отношению к повороту
осей координат. Единственной такого рода линейной комбинацией для
тензора 2-го ранга является его линейный инвариант, равный сумме
компонент, расположенных по главной диагонали, в чем легко убе-
диться, составляя указанную сумму в двух произвольно повернутых
друг по отношению к другу системах координат и используя связь
между компонентами тензора в этих системах координат.
Линейным инвариантом тензора напряжений будет сумма трех нор-
мальных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным
площадкам в данной точке потока, г. е. величина
Р11 Ч Р22“Ь Раз-
Линейным инвариантом тензора скоростей деформации буде! слу-
жить сумма
с — c)l/i I с)у2 । dv*
11 I 22 I 8В gXt ~Г fa-? “Г ’
равная, очевидно, дивергенции скорости divV.
1 При выводе основных уравнений движения неидеальною юза для упро-
щения вида формул представляется удобным принять следующее обозначение
координат: х = хь у = х2, z = х3 и аналогичным образом нумеровать ком-
поненты векторов и тензоров. Так, проекции скорости дальше будут обозна-
чаться Vi(i = 1, 2, 3) вместо обычных у нас (и, у, w); компоненты тензора
напряжений р^(1, j = 1, 2, 3) вместо ранее применявшихся рхх, . . .,руХ, • •
§ 76] ОБОБЩЕНИЕ ЗАКОНА НЬЮТОНА 473
Принимая, как наиболее общую, связь между величиной b и этими
инвариантами в форме
Ь = Ь' (рп + />ва-ф-р33) + b" div V -ф- Ь"',
где У, Ь", V"— некоторые константы, получим
Р = 2р5 + [У (рп -ф- р22+р88) 4- b" div V ф- U"\ К (7')
Взяв сумму трех диагональных компонент левой и правой частей
равенства (7'), будем иметь:
Рн Ч Раз 4~ Раз = div V -ф- 3b' (ptl -f-P22 4~P33) 4~ ЗУ' div V -ф- 3b"',
или, совершив приведение подобных членов:
(1 - ЗУ) (pn + Р22 Ч~ Рзз) = (2Н + ЗУ') div V + ЗУ". (8)
Предположим теперь, что рассматриваемая среда находится в покое,
тогда div V = 0, а сумма нормальных напряжений, как было доказано
в гидростатике (гл. II, § 17), станет равной
Ри Ч~ Р22 Ч-Рзз = — 3Ро>
где /^ — гидростатическое давление, и равенство (8) приведется к виду:
(1-ЗУ)р0 = ЗУ".
Из этого равенства в силу произвольности величины гидростати-
ческого давления сразу вытекает:
Ь' = i, Ь"’ = 0.
О
После этого из'равенства (8), верного при любом divV^fcO, сле-
дует, что
./л 2
Ь ——~ в.
О
Окончательно общая форма линейной связи (7) между тензорами
напряжений и скоростей деформаций будет иметь вид: .
У = 2р£+[1(ри + Р22 + р33)-.Jpdivv]®. I/ (9)
Сделаем наиболее простое дополнительное допущение, что среднее
арифметическое трех нормальных напряжений представляет дав-
ление в данной точке. Смысл этого допущения заключается в воз-
можности рассмотрения величины (рц -j- р22 -ф-Рзз) как функции
плотности и температуры, определенной, в случае совершенного
газа, по формуле Клапейрона. Такое предположение является новым
допущением или дополнительной гипотезой к обобщенному закону
474 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл. VIII
Ньютона. Приняв 9iy 1ипогезу, сохраним для давления в вязком газе
прежнее обозначение, положив* 1
у(Рн+р22 + Рзз)=-~Р- (10)
Формула связи (9) приме! после этого вид:
Р = 2<х.8' — (р -j- -g" И div 8.
(И)
В качестве другого, более общего допущения можно принять, что среднее
арифметическое трех нормальных .лпряженнй отличается от только что опре-
деленного давления в данной точке на величину, пропорциональную скорости
объемного расширения divV При этом вместо равенства (10) будем иметь
-§-(Ри + />м+/>вз) = — p + ^'divV, (10)
где р' — новый коэффициент вязкости, называемый вторым коэффициентом
вязкости, а соответствующее ему явление — второй вязкостью.2
Сделанное допущение преобразует формулу связи (9) к виду
P = 2p.S-(p+-|p.divV— p'dwVjS (11')
Вторая вязкость приобретает особо важное значение при изучении мед-
ленно развивающихся процессов, время релаксации которых велико, напри-
мер, при образовании в движущемся газе химических реакций, скорость
которых мала Как показывает теоретическое исследование, коэффициент
второй вязкости равен нулю, если газ одноатомен 2
Во всем дальнейшем изложении удовольствуемся предположением, что
вторая вязкость отсутствует ([<•' = 0)
Связь между компонентами тензора напряжения и 1ензора скоро-
стей деформации, согласно формуле (11), имеет вид-
в частном случае движения
(12)
Формулы упрощаются
жидкости, koi да
несжимаемой
J Фч
divV
dVi дУл . dlZ;^0
дх± • dx2 ‘ dx3 ’
1 Выбор отрицательного знака в правой части уже был пояснен в § 17,
1 л И.
2 На возможность такого допущения указывал еще Сток< и после него
в своих лекциях по теории тепла — Кнрхгофф Современное изложение этого
специальною вопроса см Л Ландау нР Л и ф ш и Ц, Механика сплошных
сред Гостехиздат, 1944, стр 46—47
2 См цитированную книгу Л Ландау и F Лифшица, стр 434
§ 77J ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ вязкой жидкосги 475
в эюм случае имеем-
fdVt ,
дх^ (13)
-р+2*-д^ при J='-
При квазитвердом движении, лишенном деформаций:,
V = VofwXr; »
К1 = ^014“ Ш2Л3 Ш3Л'2> j
р02 4~шзх1—“1хз> I
Уд= V03-j-“l-^2 - Ш2Л'1>
скорости сдвига (скошений углов), стоящие в первой строке системы (13),
и скорости относительных удлинений, входящие слагаемыми во вто-
рой строке, обращаются в нуль, и напряжения сводятся к давле-
нию — р, так же, как в идеальной жидкости.
В плоском прямолинейном движении, рассмотренном в начале
настоящей главы, будем иметь:
V1==«, V2=V3 = 0, и = и(г);
du
P^-Pa^-V*
т. е. формулу (1).
§ 77. Общие уравнения движения вязкой жидкости. Динамические
уравнения и уравнение баланса энергии. Граничные условия
движения жидкости с трением и теплопроводностью
Вернемся к выведенным еще в гл. II уравнениям динамики сплош-
ной среды (29), которые именовались „уравнениями в напряжениях",
и заменим в них напряжения но формулам (12) настоящей главы.
Тогда получим основную динамическую систему уравнений движения
вязкого газа:
(14)
476 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл. VIII
Стоящие в левой части системы проекции ускорения должны быть
известным уже образом разложены на локальные и конвективные
части. Основная сложность системы (14), кроме нелинейности конве-
ктивных членов, заключается еще в том, что коэффициент вязкости р.
является функцией температуры Т, а распределение температур,
в свою очередь, как это уже известно из динамики идеального газа,
зависит от поля давлений и скоростей.
Система (14) может быть записана в компактной векторной форме,
если в основное уравнение динамики сплошной среды (36) гл. II
подставить выражение тензора напряжений в форме (11). Тогда, вспо-
миная (§17 гл. II), что (о — скалярная функция)
Div (©S) = grad ср,
будем иметь:
р -X = pF 2 Div (pS) — grad (j) -f- р. div . (15)
Система уравнений (14) значительно упрощается в случае изотер-
мического движения несжимаемой жидкости. Вынося в первом уравне-
нии системы р за знак производной, получим:
du__ р др । /д2и , д2и , д2и\ . д /ди . д» , dw\
Р dt Р ж дх ‘ \с)х2 ‘ ду2 ' дг2)"Г" дх \дх ' ду 1 дг)’
или, замечая, что в силу уравнения несжимаемости последняя скобка
в правой части обращается в нуль:
р — — pF№ — 4^ + pVs«.
• dt 1 ж дх 1 1
Преобразовав аналогичным образом остальные два уравнения, будем
иметь следующую систему уравнений изотермического движения несжи-
маемой жидкости:
P^=pF.-^-+hV«, I
Щ')
p$=pe=—j
или в векторном виде:
P^ = pF —gradp-f-pV2V, (16)
где под символом V2V понимается вектор с проекциями
V2«, V2», V2w.
Используя легко проверяемое непосредственным дифференцирова-
нием векторное соотношение
V2V = grad div V — rot rot V,
§ 77] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ вязкой жидкости 477
которое в случае несжимаемой жидкости (div V = 0) переписывается
в виде:
V2V = —rotrot V,
будем иметь еще такую векторную форму того же уравнения (16):
яг
p-^- = pF— grad р— р, rot rot V. (16 )
К выведенным динамическим уравнениям присоединяется уравнение
сохранения массы (или уравнение неразрывности) (21) гл. II
~ -j- р div V = T~ div (pV) — 0,
не зависящее, очевидно, от того, принимается ли в расче! вязкость
или нет.
Уравнение баланса энергии (45) той же главы (§ 16) преобразуем
в случае наличия вязкости, подставляя в него вместо Р выражение (9)
настоящей главы.
Предварительно находим:
PV = 2|a5V — (р 4--|p.div v)gV = 2p,5V —(p + yp.divV^) V.
Произведение SV можно раскрыть, составив z-yro проекцию
(W)<= V( VJ =
г=1 j=i
з з
= 1 У у V vf)
2 Li VJ dx. 2 dXi\2 Li 3)
3 = 1 a-=i
и заключив по последнему выражению, что
SV = |(V.V)V + |grad(^);
с другой стороны, по известной формуле векторного анализа будем
иметь:
(V • V) V = grad 0^—V х rot V,
так что
SV = grad | V X rot V.
Произведем еще в уравнении (45) гл. II замену:
JcrT~ JcpT— —
а по (48) гл. II:
Jpg = J div (Л grad Т) — div grad
478
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. vni
Тогда уравнение баланса энергии примет вид:
= pF V + div grad (У2)—pV XrotV —
^.m + div(^g
2 1
—"• p\ yj div V I •—|— p
Но, согласно уравнению (16):ч
.—С г™ ~JL y^ . g’fsdp ""j-* p divV div(p\Q,
P at ot от
п d (ЕЛ —
1 dt 1 р J dt
следовательно, после простых приведений получим такую окончатель-
ную форму уравнения баланса энергии:
р ^0+-т) = pF v +
div [pgrad (У2) — pVXfot V — -Я pV div V-4- — grad iI. (17)
L ° cp I
В дальнейшем удовольствуемся рассмотрением преимущественно
стационарных движений, причем в таких условиях, когда можно пре-
небречь влиянием объемных сил. В этих предположениях уравнение
баланса энергии упростится. Действительно, при стационарном движении
или, вспоминая неоднократно ранее употреблявшуюся формулу вектор-
ного анализа
div (®а) = div а Д а • grad ®,
получим
d f , 1/2\ Г / IZ2' 1 / 1/2 \
р _ Д,—J = div JpV (i -j- -g- J J 4- div (pV).
Далее, при стационарном движении, согласно уравнению неразрыв-
ности (16):
div (pV) => О,
следовательно,
Уравнение баланса энергии (17) в сделанных предположениях отсут-
ствия объемных сил (F = 0) и стационарности примет удоб-
ный для дальнейших применений вид:
div [PV (i‘ 4- — р grad 0--ф- У2^ —
— protVXV4-^-|AVdivv] = 0. (18)
<5 I
(19)
(20)
§ 77] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ вязкой жидкости 479
В этом уравнении использовано принятое в § 75 обозначение (5)
числа с; число с для совершенных газов будем считать постоянным.
Если к выведенной системе уравнений присоединить уравнение
Клапейрона
£- = ЦТ,
р
которое можно переписать в виде
Р___ R ir т_____ &
(,~Jcp JcPl — k
и уравнение (3) в форме:
йв V0 /
го в результате будем иметь общую систему семи уравнений с семью
неизвестными:
и. v, ш; р, р, I, р.
Система уравнений движения сжимаемого вязкого газа, таким обра-
зом, оказывается замкнутой — число уравнений совпадает с числом
неизвестных.
Для решения этой, в общем виде весьма сложной нелинейной
системы уравнений в частных производных необходимо еще знать
начальные и граничные условия задачи. Укажем, что в своей общей
постановке вопрос об условиях существования и единственности реше-
ния составленной системы уравнений до сих пор не решен. Соответ-
ствующие условия обычно указываются в каждом отдельном случае.
Отметим лишь одну характерную физическую особенность движения
жидкостей и газов с внутренним трением. При обтекании неподвижного
твердого тела вязкой жидкосгью обращается в нуль не только нор-
мальная компонента скорости (условие непроницаемости, имеющее место
и в идеальной жидкости), по также и касательная компонента (условие
„прилипания" жидкости к стенке или отсутствия скольжения жидкости
по стенке).
В число граничных условий рассматриваемой задачи входит, таким
образом, равенство нулю скорости жидкости на неподвижной твердой
границе или, при движении тела в жидкости, совпадение с соответ-
ствующими скоростями точек поверхности тела скорости частиц жид-
кости, прилегающих к поверхности тела. Это граничное условие долгое
время (еще в середине XIX в.) оспаривалось некоторыми исследовате-
лями, но в настоящее время подтверждено многочисленными прямыми
и косвенными опытами. 1 Оговоримся, одиако, что в разреженных
1 См. по этому поводу специальный очерк: „Заметка об условиях на поверх-
ности соприкосновения жидкости с твердым телом", помещенный в конце вто-
рого тома монографии „Современное состояние гидроаэродинамики вязкой
жидкости” (под ред. С. Гольдштейна). Гос. изд. иностр, л-ры, М., 1948, стр. 356.
480
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
газах условие „прилипания" газа к твердой стенке, не имеет
места; в этих условиях наблюдается „скольжение" газа по стенке,
которое можно считать пропорциональным производной по нормали
к поверхности обтекаемого тела от касательной составляющей ско-
рости. Не приходится и говорить о том, что условие „прилипания"
совершенно теряет свою силу в сильно разреженных газах и, вообще,
в тех случаях, когда длина свободного пробега молекулы становится
велика по сравнению с размерами тела. В этом случае основное зна-
чение по сравнению с соударением молекул друг о друга приобретают
удары молекул о поверхность тела, и предположение о „прилипании"
газа к твердой поверхности теряет всякий смысл. Впрочем, такого рода
„движения" газа выходят уже за рамки механики в узком смысле слова
и составляют скорее предмет изучения кинетической теории газов. 1
Заметим, что вопросы обтекания тел разреженными газами приобре-
тают в последнее время практическое значение в связи с полетами
реактивных снарядов на больших высотах, где разрежение воздуха
очень велико2.
Граничные условия для температуры могут быть весьма разно-
образны. Наиболее часто встречается задание распределения темпера-
туры по поверхности обтекаемых тел или на стенках каналов, по
которым происходит течение жидкости (газа), а также температуры
набегающей жидкости „на бесконечности". В других случаях задается
распределение теплоотдачи, т. е. секундного количества тепла, проходя-
щего через единицу площади поверхности. Согласно закону Фурье (4),
последнее эквивалентно заданию производной от температуры по на-
правлению нормали к поверхности обтекаемого тела или канала. В та-
кого рода граничных условиях заложено предположение об отсутствии
„скачка температур" между обтекаемой стенкой и „прилипающими"
частицами жидкости. Эти граничные условия хорошо подтверждаются
опытными исследованиями в жидкостях и неразреженных газах (точнее,
при малой величине длины свободного пробега молекул по сравнению
с размерами обтекаемых тел или каналов). В случае же разреженных
и, особенно, сильно разреженных газов изложенные граничные усло-
вия теряют свой смысл. В разреженных газах параллельно со „сколь-
жением" газа образуется „скачок" температур, который, так же как
и скорость скольжения, можно принять пропорциональным темпера-
турному градиенту в жидкости вблизи стенки. В сильно разреженных
газах само понятие температуры (так же как и скорости) нуждается
в некотором уточнении, чго и делается в кинетической теории газов.
В число граничных условий входит еще задание давления в какой-
нибудь одной точке, обычно вдалеке от обтекаемого тела, во входном
сечении канала или др.
1 См. Л. Ландау и Е. Лифшиц, Механика сплошных сред. Гостех-
издат, 1944, стр. 444.
2 По этому поводу см. две статьи Тзяна в сб. статей „Газовая дина-
мика". Изд. иностр, л-ры, I960, стр. 310 — 357.
§ 78] ПОДОБИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 481
Начальные условия фигурируют лишь в нестационарных задачах
и представляют собою задание пространственных распределений ско-
ростей и температур в некоторый „начальный" момент времени.
Прежде чем перейти к иллюстрации характерных особенностей
решения уравнений движения неидеальной жидкости, остановимся на
важном для практики вопросе об условиях подобия двух движений
реальной жидкости.
§ 78. Понятие о подобии гидродинамических явлений.
Безразмерные уравнения движения вязкой жидкости
и газа. Условия подобия
Два физических явления называют подобными, если величины одного
явления могут быть получены из соответствующих величин другого,
взятых в сходственных пространственно-временных точках, простым
умножением на одинаковые для всех точек множители, называемые
коэффициентами подобия.
Пусть /' — некоторая характерная величина для первого явления,
/'" — значение той же величины в сходственной пространственно-вре-
менной точке второго, сравниваемого с первым и подобного ему, явле-
ния. Тогда одинаковое для всех пар сходственных точек отношение
величин
и определит коэффициент подобия kf. Выберем теперь совершенно
произвольно какую-нибудь одну пару сходственных точек, почему-
либо особенно характерную для сравниваемых явлений, например, „бес-
конечно удаленную" или „критическую" точку в случае обтекания тел,
точку на оси трубы в установившемся протекании жидкости и т. п.
Пусгь значения величины в этой характерной паре точек будут, соот-
ветственно, /' и Тогда по определению подобия имеем:
или, исключая коэффициент подобия,
Назовем пару величин f /’ масштабами величин f в сравниваемых
между собою двух явлениях. Из последнего равенства вытекает, что
в любых двух сходственных точках подобных между собой явле-
ний безразмерные отношения величин к своим масштабам одина-
ковы. Иначе говоря, два подобных явления различаются лишь
масштабами величин.
Выделим в данном явлении характерные для него масштабы: вре-
мени, линейных размеров, скоростей, плотностей, давлений, температур
и других определяющих явление величин. Масштабом времени может
31 Зак. 1841. Л Г. Лойштский
482 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл. V1IT
служить, например, период колебательного процесса, время прохожде-
ния телом какой-нибудь характерной длины (в частности, длины самого
гела) и др.; масштабом длин — линейный размер тела, диаметр трубы
и др.; масштабами скоростей, давлений, плотности, температуры и др.—
соответствующие их значения в набегающем потоке „на бесконечности"
или те же величины, построенные по заданным объемным, массовым,
тепловым расходам, мощностям и другим характерным для явления и
Известным наперед величинам. Разнообразие выбора масштабов явле-
ния велико и не может быть заранее ограничено какими-то общими
указаниями.
Если выразить все величины, служащие для описания явления,
в частях своих „масштабов", то эти величины станут безразмерными.
Такими же безразмерными окажутся и уравнения, характеризующие
явление, и граничные и начальные условия, если входящие в них вели-
чины заменить произведениями масштабов на соответствующие безраз-
мерные величины.
Сделаем это в только что выведенной системе уравнений динамики
вязкой жидкости, причем удовольствуемся для простоты случаем ста-
ционарного обтекания тела при отсутствии объемных сил. В этом слу-
чае время явно не входит и масштаб времени можно не вводить; точно
так же не придется вводить масштаб объемных сил. Примем за мас-
штабы: один из размеров тела I и величины „на бесконечности" V^,
р<х>, poo, Тт, То и г. д. Условимся временно (это не приведет здесь
к путанице) обозначать безразмерные величины теми же буквами, что
и размерные. Тогда замена размерных величин на безразмерные све-
дется к замене:
х на 1х, у на ly, z на lz\
и на v на Ко®, w на И»®;
р на poop, Т на Та,Т, i на ia,i.
Исключение сделаем лишь для давления р, приняв вместо отноше-
ния pjpm известный уже нам по предыдущему коэффициент давления р:
Р~Роо
2 ‘СО v оо
Это выражение и примем за безразмерное давление. Таким образом,
для давления произведем замену:
। 1 т/*~
р на роо + тгРсоК^р.
Подчеркнем, что эта уступка общепринятым обозначениям не имеет
существенного значения и не ставит давление в какое-то особенное
положение.
§ 78]
ПОДОБИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
483
Замечая, что масштабы являются величинами постоянными, не за-
висящими от координат, легко проведем указанную замену в системе
уравнений динамики вязкого сжимаемого газа; будем иметь:
1 РоЛ« дР , ^ооК»
2 I дх ' Z2
[д ( ди\ 1
дх V дх) ~1~ ‘ ’ j ’
div(pV) — О,
у div | QooVccpV {i^i -f--у vfo V2J — ~;* grad f-y- i -f- V~m V2] —
Ут, / 2 \i
----Sy^lx^otVXV —yVdivVH=O,
?co + ~ X"
k lmt’ ft, “UJ
p Vs
Разделим обе части первых трех равенств на коэффициент -
при безразмерном конвективном ускорении. В четвертом равенстве
масштабный множитель пропадек Обе части пятого равеншва разде-
РсО Ко т~.
лим на выражение -----j--. В шестом равенстве произведем приве-
дение к одному знаменателю и простые сокращения. В седьмом вос-
пользуемся произволом в выборе р0, /0 и положим р.о = рет, i0 = гот.
Тогда будем иметь в безразмерных величинах:
ди ,
О// ч"“ “i • • •
дх 1
1 др , 1лсо
2 дх ‘ ?O3VJ
div (pV)
д (ри) . d (pt>) a д (w)
dx “> dy “ dz ~ ’
div Lv ii 4-V2 ) — - v T u grad i— -I- V2} —
L‘ 1 2 im J 1 s ' im J
V2
--p, frot VX V—--у V div v)l = 0,
P==2—-гр —2——р = г»
31*
484
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Й ГАЗА
{гл. VIII
Величина: .
р —
Йо Ч) ’
где Vo, р0, jj.o, I—- некоторые характерные для данного движения вели-
чины, называется по имени известного гидродинамика XIX в., кото-
рый впервые ввел и рассмотрел эту величину, числом Рейнольдса
(кратко, „число Р“). Входящее в предыдущие уравнения число
Рсо^оо^ ^оо^
__
обозначим через Ru> и будем называть „числом R на бесконеч-
ности" или „числом R набегающего потока". Далее, заметим, что
в бесконечном удалении от тела скоростное поле однородно, скорости
деформаций отсутствуют и движение вязкой жидкости совпадает
с аналогичным движением идеальной жидкости. Следовательно, „на
бесконечности" можно применять газодинамические формулы, изло-
женные ранее в гл. IV и VI для идеального г£за. Будем, в частности,
иметь (здесь в промежуточных выкладках временно появляется газо-
вая постоянная R, обозначение которой не должно быть спутано
с числом Рейнольдса):
____Уео
•fСт
~kR'kRTm
V
(k— i)-^- = (fe— i) м;
fl.—— t 2 1
Рсо 1 Рое 1 «со 1
Роо^ k k' ‘
Заметив это, получим окончательно следующую систему безраз-
мерных уравнений стационарного движения вязкого газа:
(21)
§ 78J
ПОДОБИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
485
д(рн) । д (ри) . ()(pw)
дх ду ' дг
2 д 1
у •gyfcdiv’V)},
(21)
divjpv(/4-^lMLv3)
р-р grad
— 1)М^П2
k — 1
M^p(rotV X V — yVdivV)} = 0,
— 9
p =------— (ip — 1), u = in.
К этой системе уравнений присоединяются безразмерные граничные
условия, о которых было в общих чертах сказано раньше. Для кон-
кршного случая обтекания тела эти граничные условия приведутся
к заданию в безразмерном виде уравнения поверхности, равенства
нулю на ней величины скорости, заданию распределения безразмерной
температуры (теплосодержания) или нормальной ее производной, а также
безразмерных значений скорости и температуры на бесконечности,
равных при ранее выбранных масштабах единицам, и коэффициента
давления, равного на бесконечности нулю. Безразмерная система уравне-
ний и граничных условий движения жидкости или газа представляет
некоторый самостоятельный интерес, гак как позволяет изучать не
только отдельное единичное движение, но одновременно весь класс
движений, отличающихся от данного масштабами линейных размеров
тел, скоростей, температур и т. д.
Вместе с тем безразмерная система уравнений позволяет просто
и наглядно установить условия подобия двух движений жидкости или
газа, что полезно для моделирования натурных явлений в лаборатор-
ных условиях, для обобщения результатов эксперимента и др.
Предположим, например, что рассматриваются два подобных ста-
ционарных обтекания вязким газом тела или системы тел, причем
влиянием объемных сил можно пренебречь. Границы обтекаемых тел
в обоих движениях будут геометрически подобны и подобно распо-
ложены по отношению к набегающим потокам, что входит в опреде-
ление геометрического подобия, представляющего часть условий общего
подобия явлений. При наличии геометрического подобия безразмерные
(т. е. отнесенные к масштабам длин в сравниваемых явлениях)
координаты в сходственных точках будут выражаться одинаковыми
отвлеченными числами. Безразмерные граничные условия будут также
486 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл. VIII
одинаковы; одинаковыми окажу кя и безразмерные величины скоро-
стей, давлений и другие в сходственных i очках потока, представляю-
щие решения безразмерной системы уравнений (21). Следовательно,
одинаковы должны быть и сами безразмерные системы уравнений.
Как видно из структуры системы (21), при этом в двух подобных
сиоемах должны иметь одно и то же значение величины М1>;,
k и а; если задана температура на поверхности обтекаемого тела, ю
из безразмерных граничных условий для темпера 1уры будет еще вьпе-
кать одинаковость отношения размерных (емперагур на пенке в ка-
ких-нибудь сходственных iочках к температуре на бесконечности.
Это отношение Tw: Тт температуры на стенке об1екаемого тела Tw
к температуре набегающего потока Тт называют температурным
фактором.
Отсюда следуеi прямая i еорема подобия: если два стацио-
нарных движения вязкой жидкости или газа при отсутствии объемных
сил и лучеиспускания подобны между собой, то соответствующие
этим движениям числа 1^, Мет, k, о и одинаковы для обоих
* со
рассматриваемых движении. Естественно возникает вопрос об обраще-
нии этой теоремы, т. е. об установлении необходимых и достаточных
условий подобия двух гидроаэродинамических явлений. Однако реше-
ние этого вопроса упирается в необходимость строгого доказательства
теоремы о существовании и единственности решений уравнений, что
в настоящее время сделано лишь в ряде простейших случаев. Кроме
того, разнообразие постановок задач о движении жидкоеiи и газа
также вызывает некоторые трудности. В случае изо1ермического cia-
нионарного об1екания тел несжимаемой вязкой жидкое 1ыо необходи-
мыми и дос га I очными условиями подобия обтекания двух ie.i
являются: 1) геометрическое подобие 1ел и их расположения ио
отношению к набегающему потоку и 2) одинаковоеib числа Еет. При
обтекании тел сжимаемым газом, при отсутствии 1еплоогдачи на
fdT
поверхности 1ел к предыдущим условиям присоединяю ня
еще условия одинаковосш в обоих движениях чисел М, и k. Число о
при этом можно считать одинаковым, согласно равеныву (6), или
включая одинаковость а отдельным условием в iex случаях, когда
это равенство не справедливо, например, в случае жидкостей. При
задании температуры на стенке Tw к числу условий присоединяется
еще условие одинаковости „ температурного факюра".
Аналогичное рассуждение, проведенное в более общем случае
наличия объемных сил, например, сил веса, привело бы еще к необ-
ходимости введения числа Фруда F = —у- (g — ускорение силы тя-
g К»7'
жести), а при нестационарное! и движения—числа Струхала S--=~р—
§ 79] ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ГРУБЕ 487
/ М -г
(иногда J, где / — харак герный для нестационарного движения,
заданный наперед промежуток времени (например, время полного
оборота винта и др.), п— число оборотов, или угловая скорость.
Указанные только чго величины: R, М, k, о, F, S входят
в число необходимых и достаточных условий подобия двух движений
жидкости или газа. Наряду с этими, как иногда говорят, „определяю-
щими критериями*' подобия имеются и другие также характерные для
явления безразмерные величины, одинаковость которых в двух подоб-
ных явлениях является следствием подобия. Примером таких величин
могут служить коэффициенты подъемной силы, волнового и индуктив-
ного сопротивления крыла, коэффициент сопротивления трубы (см.
далее) и др. Для двух подобных обтеканий тел эти коэффициенты
имеют одинаковое значение, однако они являются лишь косвенными,
„неопределяющими*1 критериями подобия. В неподобных обтеканиях
геометрически подобных и подобно расположенных тел „неопределяю-
щие “ критерии являются функциями „определяющих**. Вспомним,
например, формулы зависимости коэффициентов подъемной силы и
волнового сопротивления пластинки от числа М.
Установлением условий подобия, как строгих, гак и приближенных
(не все условия подобия на самом деле одинаково важны), занимается
специальная теория подобия, которая в последнее время, в связи
с развитием экспериментальных исследований, получила большое рас-
пространение. 1
§ 79. Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости
по цилиндрической трубе
Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой
жидкосги является так называемое ламинарное (слоистое) движение
по цилиндрической трубе произвольного сечения, при котором линии
тока — прямые линии, параллельные оси трубы.
Как показывают опыты, такое движение осуществляется в цилин-
дрических трубах с различными формами сечений, если только число
Рейнольдса не превосходит некоторого определенного „критического**
своего значения, после чего движение перестает быть ламинарным,
частицы жидкости приобретают сложные траектории, и приводимое
в настоящем параграфе решение геряег свою силу. Практически изла-
гаемые сейчас результаты имеют значение лишь при движениях с очень
1 Литература по теории подобия и моделирования в разных областях
механики весьма обширна. Удовольствуемся рекомендацией книги Л. И. С е-
дова, „Методы теории размерностей и теории подобия в механике", Гос-
техиздат, 1944. Изложение гидроаэродинамической теории подобия можно
найти в нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя'*, Гостехиздат,
1941, стр. 37.
488
ДИНАМИКТ ВЯЗКОЙ жидкости и глзт
[гл. VIII
малыми скоростями, или в гонких капиллярах, или, наконец, при
движении очень вязких жидкостей. Потробнее об условиях существо-
вания ламинарного режима течения и явлений перехода его в более
сложный, турбулентный
режим будет сказано
далее.
Направим (рис. 156)
ось Oz по оси грубы и
будем предполагать тру-
бу бесконечно длинной,
а по ток — направленным
вдоль оси грубы, так что
из грех компонент ско-
рости (и, v, w) остается
лишь одна хи, а осталь-
ные две равны нулю
Отвлекаясь от темпера-
турных влияний, т. е. считая поток изотермическим, а следовательно,
плотность р и коэффициент вязкости у. — постоянными, будем иметь,
согласно (14) и уравнению неразрывности, систему уравнений
0 =
о дх
0 = —1-^,
р бу
dw_____1_ др , , d2w . d2w \
dz р dz ~ г ' дх2 ' ду2 ' dz2) ’
дг
Из этой системы сразу следует, что w представляет функцию
только х и у, а р— функцию только г. Иными словами, если про-
вести нормальные к оси трубы сечения, то во всех таких сечениях
распределения скоростей одинаковы, а поля давлений однородны,
давление меняется только от сечения к сечению, сохраняя повсюду
в данном сечении одинаковое значение.
Предыдущая система равенств сводится к одному:
f d2w , d2w \_dp
H I-d^J~ dz'
(22)
Левая часть этого равенства представляет функцию только от х и у,
правая — только от 2; при независимости коорцинат друг от друга
это может быть лишь в случае постоянства левой и правой частей
равенства.
§ 79J
ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ТРУБЕ
489
Введем удобное для дальнейшего обозначение:
dp г
~ — const =------р, (22)
где Д/2—-падение давления на участке грубы длины I.
При равномерном движении вязкой жидкости по цилиндрической
ipy6e перепад давления Др играет роль движущего перепада, уравно-
вешиваемого силами сопротивлений трения, направленными против дви-
жения жидкости. Отсюда непосредственно вытекает, что давление
в цилиндрической трубе должно падать вниз по течению, а следова-
тельно, Др > 0. Для трубы переменного сечения, где движение может
быть как ускоренным, так и замедленным, такое заключение наперед
сделать нельзя.
В конкретных расчетах перепад давления Др на участке грубы
длины / либо задается непосредственно, либо, как далее будет пока-
зано, может быть легко выражен через другие заданные величины:
секундный расход жидкости сквозь трубу, среднюю по сечению или
максимальную скорость.
Уравнение (22) сводится к линейному уравнению в частных произ-
водных второго порядка в плоскости хОу:
д.г2 ' ду2 -л/ ’
которое должно бьпь решено при следующем граничном условии на
контуре С нормального к оси сечения цилиндра:
w = 0 на С. (23')
Поставленная задача с математической стороны совершенно ана-
логична известной задаче теории упругости о кручении призматиче-
ского стержня и легко решается для простейших контуров сечения
трубы.
Если сечение грубы представляет элхипс с полуосями а и Ь,
уравнение которого в плоскости хОу будет
— I 11 = 1
ю решение уравнения (23) можно представить в форме:
w^= Д(1— =Q, (24)
причем постоянная А определяется из условия удовлетворения этого
выражения уравнению (23):
__од Г— -4- -—'i —_
и будет равна
Д/j а2Ь2
а2~уь2'
490
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. VIII
Таким образом, получим эпюру скоростей в любом сечении элли-
птической трубы:
Ду? а2& /, х3 , ,,
W ~ 2[л/ ’ a2-f- Ь2 V а2 Ь2)' (24)
Граничное условие (23') при этом, очевидно, удовлетворяется.
Заметим, что изотахами служат подобные контуру С (не софокусные)
эллипсы.
В случае круглой цилиндрической грубы радиуса а будем вместо
(24') иметь, полагая Ь = а и г' = |/х2-]-_у2:
да = -^-(«2 —Xs —_у2) = -^у («а—г 2). (24")
Как показывают формулы (24') и (24"), скорости по сечению эл-
липтической трубы распределяются по закону эллиптического пара-
болоида, а по сечению круглой трубы — по параболоиду вращения.
Последнее распределение иногда называют „параболой Пуазейля“ по
фамилии французского ученого, известного своими исследованиями
движения жидкости сквозь капиллярные трубки (1840 г.).
Из распределения скоростей (24') определим максимальную по
сечению скорость на оси эллиптической трубы:
(25)
п»х 2р/ а2+Ь2’ '
после чего распределение скоростей (24') перепишется в ваде:
w — w„, ,х fl — . (25')
шлх \ qa fyia j х
Аналогично для круглой грубы
причем
® —Чпахр — ('£)'] (26')
Определим теперь обьемный расход сквозь сечения рассматривае-
мых труб и связь между расходом и перепадом давления на единицу
длины грубы. Совсем просто вычисляется расход сквозь сечение
круглой трубы.
Для этого достаточно проинтегрировать элементарные расходы по
кольцевым участкам, написав
а а
Q-= | 'W.Zvr'dr = [ (es — г ')2r dr',
P о
ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ТРУБЕ
491
§ 79}
и получить
р
~8рГ'
(27)
Эго приводит к известному закону Нуазейля: при ламинарном
движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь круглую цилиндри-
ческую трубу секундный объемный расход пропорционален перепаду
давления на единицу длины фубы и четвертой степени ее радиуса
и обратно пропорционален коэффициенту вязкости.
Зная расход Q и площадь сечения трубы а == то8, найдем среднюю
скорость:
Q т.а*Ьр а-йр
а "8|л/.яй2 8р7 ’
(27')
сравнив с (26), получим важное соотношение между средней по сече-
нию и максимальной на оси скоростями:
те01)=1датах- (27")
Определение расхода сквозь эллиптическую трубу сведем к опре-
делению расхода сквозь круглую трубу, если в интегральном выра-
жении расхода
Г С f Г / х" v2\
Q= J J wdxdy — wmaxJ J (1-^— tydxdy
ts a
положим:
x — ax', у — by', r' — Vx'2 ~p~y'";
тогда интеграл по площади эллипса сведется к интегралу по пло-
щади з' единичного круга и легко вычислится:
Q = wBia]t-«6 | (1 — х'2—y’2)dx'dy' —
а*
I
= “’max (1.......Г'3) dr' = -J abWem.
О
Будем иметь по (25):
1‘ ь калЬ3&р
Q — 2 "О^’тах — 4^ (а2_р &2) ‘ '
Средняя скорость wcp, согласно (28), окажется равной:
S..= — . (28z)
°Р nab 2 ша>
Таким образом, как в случае круглой, так и в случае эллипти-
ческой трубы средняя скорость равна половине максимальной.
492
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
Из выведенных формул заключаем, что по заданным геометри-
ческим параметрам грубы, коэффициенту вязкости и одной из харак-
терных для потока в трубе величин расхода, средней или максималь-
ной скорости, можем определить потребный для создания движения
перепад давления Др на некотором участке длины /. Этот перепад
давления Др уравновешивает сопротивление движению жидкое!и, со-
здаваемое силами вязкости на стенках грубы, благодаря чему и полу-
чается равномерное и прямолинейное движение жидких частиц. Вели-
чину перепада давления Др можно рассматривать как количественное
выражение сопротивления участка трубы длины /.
Общеприняты следующие два выражения величины сопротивления
круглой трубы через скоросгной напор, составленный по средней или
максимальной скорости:
1 Р®ср
d 2 ’
, (29)
I Р®шах
^^-“2-’
где rf==2«— диаметр трубы, а А и ф—-так называемые „коэффи-
циенты сопротивления“. Чтобы определить коэффициенты сопротивле-
ния А или ф в рассматриваемом конкретном случае ламинарного дви-
жения в круглой трубе, заменим в (29) Др его выражениями черет
среднюю или максимальную скорости по (27/) или (27"). После про-
стых сокращений будем иметь
, 64(1
pwP1rf ’
,_____4;i
Р®тахй
Введем в рассмотрение следующие два „числа Рейнольдса":
pwcpd wepd
Кер — —- —,
Р ^=3 Р^п\аха __ wmaxa
Тогда окончательно получим формулы сопротивления:
,64 , 4
Х Rcp ’ 7 R ’
еР max
Из этих формул следует, что коэффициенты сопротивлений А
или ф, представляющие по (29) не что иное, как особым образом
составленные безразмерные сопротивления или перепады давлений
в трубе, являются функциями соответствующего числа Рейнольдса R.
Если два ламинарных течения в цилиндрических круглых трубах
(30)
4j 79]
ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ТРУБЕ
493
подобны между собою, то соответствующие им числа R равны друг
другу. Если же эти числа не равны, а следовательно, движения не
подобны, то, в полном соответствии с тем, что было сказано в конце
предыдущего параграфа, коэффициенты сопротивлений представятся
некоторой функцией (30) числа R, по которой может быть вычислено
сопротивление при любом ламинарном движении.
Зная диаметр трубы и среднюю или максимальную скорость, по
формулам (29) и (30) можем определить сопротивление Др движению
жидкости с заданными коэффициентами вязкости ц и плотности р на
любом участке длины I. Наиболее употребительны первые формулы
равенств (29) и (30), заключающие коэффициент А и среднюю ско-
рость -Шер.
Введем теперь в рассмотрение напряжение трения на стенке круг-
лой грубы, равное по закону Ньютона
(31)
В силу равномерности и осесимметричности движения можно соста-
вить простое условие равновесия столба жидкости (рис. 157) в трубе
под действием движущего перепада давления Др, приложенного к сече-
нию трубы с площадью па2,
и сопротивления трения иа I
стенке, равного произведе- р---------- -т------т-ч
иию напряжения трения тю (р^Др)лаг | ........./ р лаг
иа боковую поверхность Т; ______ I Т
2пп • I участка I трубы: у-------— *----V
Др • тга2 = 2па/ • тги. I—-------1--------—I
Отсюда следует, что между Рис. 157.
движущим перепадом и напряжением трения существует простое
соотношение
= <31')
которое можно сформулировать так: напряжение трения иа поверх-
ности круглой цилиндрической трубы равно перепаду давления на
участке длиной в половину радиуса.
Формулы (29) на основании (31') дают следующие выражения на-
пряжения трения:
л з ]
---g’PW» I
ф 2
= "2" рИ’тах • j
Для дальнейшего важно отметить, чго формулы (29) и (32), так
же как и соотношение (31'), являются общими формулами движения
444
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
(гл. VIII
в круглой цилиндрической трубе, справедливыми не только для ла-
минарного, но и для так называемого „турбулентного" движения,
о котором будет речь впереди; формулы же сопротивления (30)
верны только для ламинарного режима. Подставляя значения л и ф
из (30) в (32), получим:
__ 4llffi’Cp 1
~ а ’ I
2„да > <32')
т«' — _ . I
Эти же результаты получим, вычисляя по формулам (31), (24"),
(27') и (27").
В случае трубы эллиптического сечения напряжение трения на
стенке меняется по периметру сечения, так как поток не симме-
тричен. Интересно отметить, что среднее значение напряжения трения
по периметру эллипса меньше, чем напряжение трения в круглой
трубе той же площади сечения. Аналогичный результат имеет место
и по отношению к объемному расходу: при том же перепаде давле-
ния расход сквозь трубу эллиптического сечения меньше, чем через
равновеликое ему по площади сечение круглой трубы.
Распределение скоростей по сечению круглой цилиндрической
трубы (24") можно получить и иначе. Составим вместо (23) уравне-
ние движения в полярных координатах г , е. Для этого выразим
лапласиан в полярных координатах и опустим, в силу осесимметрич-
ности движения, члены с производными по углу е. Тогда получим
в качестве основного уравнения:
1 d / rfw \ _ Др mi
г* dr* V dr* Д7 ' '
Интегрируя, найдем общее решение
w = -Lc2. (330
Из условия ограниченности скорости на оси трубы при г"- — 0
следует, что Q = 0; вторая постоянная найдется из условия
w = 0 при г' — а,
чю приведет к полученной ранее „параболе скоростей" (24"). Ре-
шение (33') представляет преимущество по сравнению с ранее при-
веденным. Так, например, пользуясь равенством (33')< легко полу-
чить распределение скоростей в кольцеобразной области между двумя
соосными круглыми цилиндрами радиусов а и Ь>а. Подчиняя реше-
ние (33') граничным условиям:
w — 0 при г* — а и г — Ь,
§ 74]
ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ТРУБЕ
495
получим эпюру скоростей
•W
Г 9 i I 62—й2 , /г1
___ й<г — r I— 1п(—
4р/ 1 In (ba) \ а /] ’
а 1акже формулы расхода и средней скорости:
л Др
Ж
(£,2 —д2)а-|
In (b/a) ] ’
®>ср
Др
8pZ
р>2+«2
62—й2]
In (b/d) J ‘
Задача о ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь
цилиндрическую трубу произвольного сечения не представляет принципиаль-
ных затруднении Дело сводится к решению уравнения Пуассона (23) с постоян-
ным свободным членом. Зная частное решение уравнения (23) w = w( и заме-
няя w на сумму w-|- ®0, сведем уравнение (23) к плоскому уравнению Лапласа,
для решения которою можно применять метод комплексною переменного
или другие приемы
Приведем без доказательства заимствованные из теории кручения призма-
тических стержней прямоугольного сечения формулы скоростей и расхода
в ламинарном движении несжимаемой вязкой жидкости сквозь призматиче-
скую трубу прямоугольного сечения (—ау^х'Уа, —Ь^У-^b, а>Ь).
=
|Т/
, 1СХ
ch 2Г
, т.а
С1~2б"
Ьр>аЬ- Г 16 10246 /. да 1 Зтга
е = 26 J + •••)]•
Среднюю по сечению скорость можно определить формулой
Др-62
max 16,uZ Z к 6 ) ’
где функция
j, f а\ 16 1024 b f па , 1 . Зий ,
TVh16 + 3Tth^r + ---,
имеет следующие значения:
а/Ь 1 2 3 5 10 12 100 СО
f(ajb) 2,253 3,661 4,203 4,665 5,000 5,059 5,299 5,333
Простые формулы получаются для призматической трубы с сечением
в виде равностороннего треугольника и др.
496
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
§ 80. Обтекание шара при очень малых значениях числа
Рейнольдса. Формула сопротивления шара по Стоксу
и ее обобщения
Чтобы показать значительную математическую сложность решения
задач внешнего обтекания тел вязкой жидкостью, обратимся к рас-
стационарным. Основное дифференциальное
смотрению простейше-
го примера — обтека-
ния шара.
Поместим центр ша-
ра радиуса а в начало
координат (рис. 158)
и рассмотрим обтека-
ние шара однородным
потоком со скоростью
Vco, параллельной оси
Ох и направленной в
положительную сторо-
ну оси.
Пренебрежем влия-
нием объемных сил и бу-
дем считать движение
уравнение (16') § 77
можно при этих условиях переписать в виде:
р (V • V) V — — grad р — u rot 12.
где 12, как и ранее, обозначает вектор вихря:
’ S2== rot V.
Интегрирование этого уравнения в его общем виде даже для слу-
чая обтекания шара представляет непреодолимые затруднения из-за нали-
чия в нем нелинейных членов — конвективного ускорения в левой части.
Значительно суживая область применения решения, поступим так.
Откинем нелинейные члены в левой части уравнения, решим со-
вокупность линеаризированного таким образом уравнения с линейным
уравнением несжимаемости:
0 = gradp-f- р rot 12, div V — 0,
(34)
а затем, чтобы выяснить область применимости решения, оценим по-
рядок откинутых нелинейных членов. Такой не строгий прием позво-
ляет значительно упростить решение рассматриваемой классической
задачи Стокса об обтекании шара.
Исключим из первого уравнения рассматриваемой системы (34)
давление р, для чего возьмем от обеих частей уравнения операцию rot;
будем имен.:
rot rot 12 = 0.
(35)
§ 80] обтекание Шара И формула стокса
497
Заметим, что, в силу осевой симметрии обтекания, вихревые линии
представляют окружности в плоскостях, перпендикулярных оси Ох,
с центрами на этой оси. Вводя сферическую систему координат (г, е, 6),
заключим о наличии у вектора вихря лишь одной составляющей 2е,
которую для краткости обозначим просто 2, включая в это обозна-
чение знак zt; составляющие 2Г и й0, очевидно, равны нулю, так
как вихрь вектора направлен по касательной к вихревой линии.
В силу той же симметрии имеем:
-^ = 0, 2 = 2(г, 0).
Вспоминая помещенные в конце § 60 выражения компонент вихря
вектора в сферической системе координат, будем иметь:
rot S2 = —J-e- (S sin 0), rote Q ---— , rote Q = 0,
r rsino db v 7’ ° r dr ’ e ’
и, повторяя ту же операцию:
rot,. (rot Q) = 0, rot0 (rot Q) — 0,
rote (rot S) = у (r rote S) — | (rotrfi) =
1 —1 d(rS)l LA
r dr[ r r dr J r dO
—I—(2 sin 6'
r sin 0 db v
_ 1 d^(rtl)____\_d_
r dr2 r2 36
—J-r X (2 sin 0’
sin 0 do v
Таким образом, уравнение (35), если обе его части спроектировать
на оси сферической системы координат, сведется к одному уравнению:
[Ai^(Ssin0)l ==°> (36)
dr2 1 dOpsinOdO4 7 J ’ v 7
решение которого 2 (г, 0) можно пока подчинить лишь одному гра-
ничному условию:
2-> 0 при г—>со. (36')
Разыскивая решение уравнения (36) в виде произведения двух
функций R (г) и 0(0), каждая из которых зависит лишь от одной
переменной, и подставляя значение
2 = /? (г) 6(0)
в уравнение (36), получим:
ЛЧПЗг2 Ir^(r)] =—0^55{5-5-035 [0(0)sin0]|.
В силу назависимости координат г и 0, левая и правая части
этого равенства должны быть порознь постоянными; отсюда следует
32 Зак. 1841. Л. Г. Лойцямский.
498
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Й ГАЙА
[гл. Virt
(а—произвольная постоянная):
Ег^(г)] — а>
26 { ИпТ d0 ^sin 01} = —«
Используя произвол в выборе постоянной, подберем ее так, чтобы
второе из только что полученных уравнений имело по самому смыслу
задачи периодическое решение. Заметим, что при а = 2 уравнение
имеет очевидное решение:
в (6) = sin О,
а первое уравнение системы превращается в
[г/? (г)] = у /? (г);
легко видеть, что единственное решение этого уравнения, удовле-
творяющее условию обращения в нуль при г -> оо, будет . Обо-
значая константу через А, получим искомое решение для вихря О
в виде:
Q =(37)
Обращаясь теперь к задаче разыскания сферических составляющих
скорости Vr и У8 (составляющая V, = 0, в силу симметрии обтекания),
имеем для их определения два уравнения: 1) уравнение (37), которое,
пользуясь выражением вихря скорости О через составляющие скорости
в сферических координатах Vr и Vt, можно переписать в форме:
I d(rV6) 1 dVr Zsine
г дг г дй 3 г2 ’ <38'
и 2) уравнение несжимаемости в сферических координатах (при 1/, = 0):
J_ д(^Уу) _1 g (14 sin 6) __
№ дг “г г sin 6 00 “’
Систему уравнений (38) и (39) надо решить при граничных усло-
виях:
приг=а, Vr — Q, У0 = О, |
при г = оо, Vr = VooCosO, V(j = —К»sin6. J 1 '
Принимая во внимание эти граничные условия, будем искать ре-
шения в форме:
”1 ”1’
Гг = (|/оо+ 2^)COS6’ = 2^)Sin0’ (41)
й-=1
§ 80j
ОБТЕКАНИЙ ШАРА И ФОРМУЛА СТОКСА
4§§
где число п считаем неопределенным. Подставляя выражения (41)
в уравнения (38) и (39) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
тригонометрических функциях, получим:
п
ft—1
2 [(2 — А) Х*+2М/*-* = ().
В силу произвольности величины г будем иметь при k = 1:
Xj = A, Xj Ц— 2X1 s==- О,
1 , I .
М = — ^-Х1 = — j А,
а при k > 1:
Xft (1 —~ A) Xft ess О,
(2 — k) Хй-|-2Хй = 0.
Последняя однородная система имеет решения, отличные от нуля,
только при равенстве нулю определителя системы
2 —— (1 ..»д*) (2./fe) --» 0.
Корни этого уравнения: k — 0 и k = 3, причем первый отбрасы-
вается, так как k > 1. Отсюда следует равенство
все остальные Хй и Хй тождественно равны нулю.
Возвращаясь теперь к (41), составляем общие выражения скоро-
стей:
Vr =(^о>+4 + -R) cos е’
подчиняя которые граничным условиям (40), получим следующие два
уравнения для определения коэффициентов А и Х8:
А , Х8 V
а • а3
__— у
2а'2а-~ Уа”
Найдем:
А = —-g-aVoo, Х8 = |С8УТО.
32*
566
Динамика вязкой жидкости и йаЗА
[гл.' Vni
после чего окончательно получим:
(4]')
Выделяя из полученных выражений составляющие скорости на бес-
конечности: К» cos би — Ко sin 0, получим составляющие „ скорости
возмущения" шаром безграничной вязкой жидкости
Подчеркнем, что, в отличие от обтекания шара идеальной жидко-
стью, где порядок этих скоростей возмущения (вспомнить § 64) был Д;,
в вязкой жидкости имеет место гораздо более сильное возмущение,
убывающее при удалении от шара лишь как
Распределение завихренности определится по (37) в виде
2==_^вцзо®-^. (37')
Остается найти распределение давления в потоке и трение на по-
верхности шара, а затем и полное сопротивление шара. Из первого
уравнения (34) имеем
grad р = — р rot Й
или в сферических координатах:
dz? 1 d о < , cos 0
-----sin0) = 3paVOo-75-,
1 др 1 д , 3 sinti
Эта система уравнений в полных дифференциалах легко интегри-
руется и дает искомое выражение р
3 .. cos 6 .
р = -j- ц«К» — + Рт, (42)
или, составляя по предыдущему коэффициент давления
- р — p^ Зр cos Й 6 cos О
= (42/)
2 р “
где под Ro, подразумевается характерное для обтекания шара число
Рейнольдса (d = 2a— диаметр шара):
Л\оо ‘—- 1 •—" •
§ 80] ОБТЕКАНИЕ ШАРА И ФОРМУЛА СТОКСА 501
Отметим некоторые характерные отличия обтекания шара вязкой
жидкостью от обтекания его идеальной жидкостью: 1) в идеальной
жидкости коэффициент давления зависит только от относительного
положения точки, в которой давление определяется, и не зависит от
величины тела, скорости и плотности жидкости; в вязкой жидкости
коэффициент давления является функцией числа Рейнольдса обтекания,
т. е. зависит от размера тела, от скорости, плотности и вязкости жид-
кости, 2) распределение давления по поверхности шара, согласно (42),
не симметрично относительно миделевой плоскости, так что главный
вектор сил давления при обтекании шара вязкой жидкостью отличен
от нуля.
Касательная составляющая напряжения трения на поверхности
шара будет равна
. 1 dVr Ve\ (dVb\ 3 К» .
= U, I —2 -4---x-----2. —= --N — sin 6.
- r\6r 1 г 00 r )r^a dr Jr_a 2 1 a
Взяв на поверхности шара поясок (на рис. 158 показанный, штри-
ховкой) с площадью Чтга sin 6 - a dO = 2~а2 sin 9 dfi, умножим на эту
площадь напряжение трения и давление р; полученные таким обра-
зом элементарные силы спроектируем на ось Ох и просуммируем по
всей поверхности шара (от 9 — 0 до 6 = я). Тогда получим силу
сопротивления в виде
ТС
Wx = J* (— pr^ sin 0—р cos 6) • 2кй2 sin 0 d<) —
о Е
= ЗтсраУео sin 0 dft = 6лра Vm. (43)
о
Это — известная формула Стокса.
Получив искомое решение, оценим порядок откинутого нелиней-
ного члена р (V • V) V по сравнению с сохраненными членами справа,
в частности с членом р rot 12, так как grad р равен ему по величине.
Имеем (—знак пропорциональности)
P|(V-V)V|
p|r0tQ| «.ро
причем коэффициент пропорциональности представляет некоторую функ-
цию безразмерных величин r/а и 6.
Из приведенного соотношения видно, что роль нелинейного чле-
на— конвективного ускорения — тем меньше, чем меньше число Рей-
нольдса обтекания.
Полученное решение оказывается пригодным лишь для достаточно
малых чисел ROT. Количественная стррона этого вопроса будет сейчас
выяснена.
502
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. VIII
Заметим, что только что приведенное рассуждение применимо и
для любых других движений. Можно вообще утверждать, что число R
служит мерой сравнительной роли инерционных и вязкостных членов
в уравнениях движения. Чем меньше число R, тем больше роль сил
вязкости в рассматриваемом движении.
Переходя в формуле (43) от силы сопротивления к коэффициенту
сопротивления с^, будем иметь:
W* бярлУсо 24
Более точная теория Озеена — Гольдштейна дает вместо (43') раз-
ложение в ряд по степеням малого параметра Rjo
= (l+-i6-Rco —-^280 Rco+•••)• (437)
Сохраняя первый член ряда, получим решение Стокса; два члена
дают формулу Озеена
‘-=£(1+4к4 <43">
Чтобы дать представление о порядке совпадения этих теоретических
формул с опытными данными и, вместе с тем, чтобы выяснить диапазон
значений числа Ro,, для которого допустимо пользование формулами
(43й) и (43'"), приводим табл. 13.
Таблица 13
'co
Стокс Озеен опыт
0,0531 451,2 456,5 475,6
0,2437 98,5 103,1 109,6
0,7277 32,98 38,23 38,82
1,493 16,07 22,32 19,40
Из этой таблицы видно, что формулу Стокса можно применять
только в случае очень малых значений чисел Рейнольдса (Rco <С2 1)
(пыль в воздухе, мелкие шарики в масле и др.).
В настоящее время хорошо изучены стационарное и нестационарное
движения шара, эллипсоида и других тел как в неограниченной, так
и в ограниченной жидкости, а также вращательные их движения при
малых значениях числа Рейнольдса.1
1 См., например, W. Muller, Elnfflhrung in der Theorie der zahen Fliis*
sigkeiten. Leipzig, 1932,
§ 81] ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ В ИДЕАЛЬНОЙ и вязкой жидкости 503
Значительный практический интерес представляет рассмотрение вра-
щательных движений цилиндра в цилиндре и сферы в сфере, когда
малый зазор между ними заполнен вязкой жидкостью. Эти движения
лежат в основе гидродинамической теории смазки подшипников,
основоположником которой по праву считается знаменитый русский
ученый и инженер Н. П. Петров. Рассмотрение этой теории, однако,
представляет самостоятельный интерес и не может найти место в настоя-
щем курсе.1
В заключение настоящего параграфа подчеркнем важный для даль-
нейшего факт. Вязкая жидкость оказывает движущемуся в ней посту-
пательно, равномерно и прямолинейно шару сопротивление, следова-
тельно, для продвижения шара в вязкой жидкости необходимо
непрерывно совершать работу, которая идет на создание возмущений
в покоящейся жидкости. В отличие от идеальной жидкости кинети-
ческая энергия этих возмущений угасает, рассеивается, превращаясь,
благодаря наличию сил внутреннего трения, в тепло. Вот почему при
движении шара в вязкой жидкости уже не справедлив парадокс
Даламбера.
Аналогичное явление имеет место и при равномерном и прямо-
линейном движении вязкой жидкости в цилиндрической трубе. Если
бы жидкость была идеальна, то для поддержания равномерного и
прямолинейного движения не надо было бы затрачивать энергии. При
наличии вязкости необходимо непрерывно сообщать жидкости энергию
в виде, например, перепада давления; эта энергия будет рассеиваться
(диссипироваться) в жидкости, превращаясь в тепло. Подсчет коли-
чества диссипированной энергии при заданном движении вязкой жид-
кости будет приведен в одном из следующих параграфов.
§ 81. Вихревые линии в идеальной и вязкой жидкости. Сохра-
няемость вихревых линий при отсутствии внутреннего трения.
Диффузия вихря в вязкой жидкости
Ограничиваясь для простоты случаем несжимаемой жидкости, срав-
ним между собою поведение вихревых линий в потоке идеальной и
вязкой жидкостей. Вообразим, что в некоторый момент времени в дви-
жущейся жидкости существует вихревая линия (/, /) (рис. 159), т. е.
векторная линия вектора Q=rotV, и рассмотрим жидкую линию (//, II),
образованную в момент t~\~dt теми же жидкими частицами, что и
линия (/, Г) в момент t.
Если жидкая линия (//, II), представляющая новое положение
вихревой линии (/, I) к моменту времени t~\- dt, является также вихре-
вой линией, т. е. векторной линией вектора-вихря Й', отличающегося
от вектора Й на соответствующее индивидуальное изменение вектора-
1 Некоторое представление об этой теории можно получить, ознакомив-
шись с § 27 части второй курса Ки'беля, Кочииа'иРозе, изд. 1948 г.
504
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
вихря за тот же промежуток времени, то будем говорить, что вихревая
линия сохраняется, в противном случае — что она разрушается.
Выясним, при каких условиях имеет место сохраняемость вихревых
линий.
Докажем прежде всего теорему Гельмгольца: в движущейся
под действием консервативных объемных сил идеальной несжимаемой
ffj жидкости вихревые линии сохраняются.
91/ 9'1 Рассмотрим два смежных положения
| / М одной и той же жидкой линии (рис. 159):
I/ V (/, Г)— в момент времени t и {II, 1Г) —
V \ f в момент t + dt’, пусть (/, I) представляет
W'I ~~ ~вихревую линию, соответствующую век-
7 1 тору £1 = rot V. Сравним между собою
I \ бесконечно малый „жидкий", т. е. состоя-
| \ щий из определенных частиц жидкости,
м-------\ вектор Af/Wj и его перемещенное и де-
(/) (jy) формированное положение М'М^ (при бес-
Рис. 159. конечно малых перемещениях жидкости
с точностью до малых высших порядков
прямолинейные отрезки остаюгся прямолинейными). Имеем из вектор-
ного многоугольника :
m'm’i=ММг 4- MtMi—ММ’,
или, замечая, чго по условию (X — произвольный бесконечно малый
скаляр):
MMj = XS,
ЛЬИ' = V dt,
лЙ = (V 4- (Ш • V) VI dt,
получим
М'Mi = AQ 4- V d/ 4 X (Q • V) V dt—N d/ = X [S 4- (S • V) V dt].
Вспомним теперь указанное еще в гл. III уравнение (15) Гельм-
гольца-— Фридмана, которое в случае несжимаемой жидкости прини-
мает упрощенную форму:
^. = (S.V)V. (44)
Тогда предыдущее равенство принимает вид:
Л fl X
ММ\ = X. Ш 4- ~ dd = XQ*,
§ 81] ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ В ИДЕАЛЬНОЙ и вязкой жидкости 505
что и доказывает теорему Гельмгольца, так как элемент жидкой
линии (II, II) оказывается направленным по вектору (1', представляю-
щему приращенный за время dt вектор Й.
Теорема о сохраняемости вихревых линий в идеальной жидкости
была обобщена А. А. Фридманом на случай сжимаемого газа.1
Рассмотрим теперь ту же вихревую линию (/, I) в несжимаемой,
но вязкой жидкости. Прежде всего выведем в случае вязкой несжи-
маемой жидкости уравнение, аналогичное уравнению Гельмгольца. Для
этого, взяв основное динамическое уравнение (16') § 77 и предполо-
жив объемные силы потенциальными, произведем в левой его части
известное уже нам по гл. III преобразование:
(V • V) V = grad (-у-)-j- Й X V.
Тогда.будем иметь уравнение:
4™ grad 2™*^ 4™ ® X Vs= — grad П — grad jp — v rot £2,
которое после проведения над обеими его частями операции rot даег:
rot 4* rot (Q X V) = — v rot rot Й.
Если использовать формулу (жидкость несжимаема)
rot(fiX V) = (V • ¥)Й —(Й • V) V
и заметить, что в силу независимости операций частного дифференци-
рования по времени и в пространстве
.3V d ...
ГО1-дГ =-чт rot V =-гг,
dt dt dt ’
получим следующее обобщение уравнения Гельмгольца на случай не-
сжимаемой вязкой жидкости:
^4-(V- ¥)Й — (Й- V)V = — v rot rot Й,
или, собирая первые члены в общий символ индивидуальной произ-
водной,
^ = (fl-V)V — vrotrotfi. (45)
1 А. А. Фридман, Опыты гидромеханики сжимаемой жидкости. 1934.
506 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл. vni
В силу ранее уже применявшейся формулы векторного анализа
rot rot Й = grad div Й — Vй!},
перепишем (45) еще в таком виде:
g=s(S.V)V+vV2e. (45')
Сравнивая уравнения индивидуального изменения вихря в вязкой
жидкости (45) или (45') с уравнением соответствующего изменения
вихря в идеальной жидкости (44), видим, что в уравнениях вязкой
жидкости присутствует дополнительный член
— v rot rot О = vV22,
пропорциональный кинематическому коэффициенту вязкости. Как сей-
час будет показано на простом примере, этот член характеризует рас-
сеяние или диффузию вихря в вязкой жидкости.
Если бы мы попытались повторить только что приведенное дока-
зательство теоремы Гельмгольца о сохраняемости вихревых линий
в идеальной жидкости в случае вязкой жидкости, то легко убедились бы,
что в результате появления дополнительного члена диффузии м?2й
жидкий отрезок 7И'Л1', представляющий новое положение рассматривае-
мой вихревой линии, уже не соответствовал бы индивидуальному изме-
нению вихря, характеризующему сохранение вихря, как некоторого
индивидуального образования. Завихренность в вязкой жидкости пере-
дается смежным жидким частицам и постепенно рассеивается
во всем объеме жидкости. В вязкой жидкости вихревые линии раз-
рушаются.
Если в покоящейся вязкой жидкости создать изолированную вих-
ревую трубку, то жидкие частицы, расположенные внутри трубки,
увлекут за собой во вращение частицы окружающей трубку жидкости,
так что постепенно весь объем жидкости придет во вращательное дви-
жение. Вместе с тем механическая энергия будет рассеиваться, пре-
вращаться за счет работы сил внутреннего трения в тепло, а враща-
тельное движение ослабевать до тех пор, пока жидкость не станет
неподвижной. В этом процессе, частный случай которого сейчас бу-
дет рассмотрен подробнее с количественной стороны, имеет место как
разрушение начально созданных вихревых линий, так и создание новых,
затем в свою очередь разрушающихся вихревых линий.
Чтобы проиллюстрировать применение общего уравнения (45'), рас-
смотрим простейшую задачу о диффузии прямолинейной вихревой
линии в безграничной вязкой жидкости.
Дадим следующую постановку этой задачи. Пусть в некоторый
начальный момент времени t = 0 в несжимаемой вязкой жидкости
имеется бесконечная прямолинейная вихревая нить с циркуляцией Г»
§81] ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ В ИДЕАЛЬНОЙ и вязкой жидкости 507
Легко убедиться в том, что хорошо известное нам по теории
плоского безвихревого движения решение, представленное круговым
движением частиц с распределением скоростей
v_____г_
2«г* ’
имеет место и в случае движения безграничной вязкой жидкости.
В самом деле, движение это безвихревое, а следовательно, повсюду
вокруг вихревой линии Й = 0; уравнения вязкой жидкости при этом
ничем не отличаются от уравнений Эйлера, а единственное граничное
условие V—» 0 при г* —> со одинаково выполняется в обоих случаях.
Разница лишь в том, что в идеальной жидкости, где нет диссипации
энергии за счет работы сил внутреннего трения, такой вихрь не диф-
фундирует в толщу всего объема жидкости и может сохраняться бес-
конечно долго, поддерживая указанное только что установившееся
круговое движение частиц без притока энергии извне; в вязкой же
жидкости для поддержания такого движения необходимо сообщение
энергии извне от источника завихренности, например, от вращающе-
гося в жидкости тонкого цилиндра.
Сущность рассматриваемой нами задачи как раз и заключается
в рассмотрении того нестационарного процесса, который произойдет,
если в некоторый момент времени t = 0 удалить источник завихрен-
ности.
Перепишем основное уравнение (45') в развернутом виде:
-f-(V • 7)Й = (fi • V) V-4-vVB0
и, предполагая движение плоским и в силу симметрии круговым, опу-
стим оба нелинейных члена (V • V) Й и (Й • V) V, так как первый из
них равен нулю как производная от завихренности по направлению
скорости движения, т. е. вдоль окружности, на которой, в силу пред-
положенной симметрии, завихренность одинакова, а второй равен нулю
как производная от скорости в плоском движении по направлению
вектора й, перпендикулярного плоскости движения. Обозначим проек-
цию вектора й на перпендикуляр к плоскости движения через 2 и
перепишем основное уравнение задачи в виде:
или в полярных координатах
dt г* dr* \ dry'
(46)
508
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. УП1
Это уравнение 2-го порядка в частных производных должно быть
разрешено при начальном условии
при t= О и г* > О, 2 — О
и граничном условии (t любое)
при г* —> со, 2 — 0.
Уравнение (46), которое может быть еще переписано в форме
широко известного уравнения теории распространения тепла
да /д2е . 1 дй\
dt \дг*2~1~г*дг*)’
принадлежит к параболическому типу. Нашей задаче удовлетворяет
простейшее его решение (А = const):
Q=^e ™ , (47)
в чем легко убедиться простой подстановкой этого выражения в урав-
нение (46') и ранее указанные начальное и граничное условия. Чтобы
найти величину А, воспользуемся теоремой Стокса и напишем, что
в любой момент времени интенсивность вихревой трубки радиуса г*
j" 2 • 2w* dr*
о
равна циркуляции скорости по окружности радиуса г*
V • 2ет*.
Будем иметь:
1 Л О Л Г*2
V = s-L I 4 е~ы . 2кг* dr* = (1 _ (48)
2гсг* J t г* 4 \ /
о
или, сравнивая с начальным распределением скоростей
при /=0 V =
найдем
Л = -Г“-
Таким образом, будем иметь окончательные формулы:
распределения вихря
§ 81] ВИХРЕВЫЕ ЛЙНЙИ Ё ИДЕАЛЬНОЙ И ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
509
и распределения скоростей
1/= г (1__е ivty
2кг* 4
т
Рис. 160.
а?
Проанализируем полученные результаты. В начальный момент вре-
мени f = O движение повсюду (г1- >0) было безвихревым. После уда-
ления источника завихренности, т. е. в любой момент t > 0, во всем
пространстве мгновенно возникла завихренность, распределение кото-
рой представляется быстро убывающей с возрастанием расстояния г*
функцией (47'). Завихренность в центре (г* = 0) монотонно убывает
с ростом времени, а в точке, находящейся на некотором расстоянии
от центра, сначала возрастает, а затем убывает до нуля при t— оо.
Рассмотрим какую-
нибудь окружность ра-
диуса г* = а; изменение
со временем завихренно-
сти в точках этой окруж-
ности представится функ-
цией (47') в виде:
(Q)r*=o == е
Исследуя эту функ-
цию на максимум или ми-
нимум, легко заключим,
что в момент времени
й2
завихренность
достигнет своего макси-
мального значения:
Q Г Г •
“ 4кчеСт г.еа? ’
при дальнейшем возра-
стании времени завихрен-
ность будет убывать.
Об общем характере зависимости от времени завихренности в точ-
ках, находящихся на разных расстояниях от центра, можно судить
по кривым, приведенным на рис. 160.
Кривые распределения скоростей в различные последовательные
моменты времени приведены на рис. 161.
Пользуясь полученными формулами и графиками, можно составить
общее представление о явлении диффузии единичного вихря в безгра-
ничной вязкой жидкости. Несколько более сложно с математической
стороны решается вопрос о диффузии в безграничной вязкой жидкости
вихревой трубки конечных размеров, а также плоского и цилиндри-
516
Динамика вйзкой жидкости и газа
[гл. vni
ческого вихревого слоя.1 Отметим интересное физическое явление:
диффузия вихревой трубки тем значительнее, чем меньше ее диа-
метр. Благодаря вязкости, быстрее всего затухают мелкие вихри.
Обратим вновь внимание на тот
существенный факт, что при лю-
бом г* и / -> оо 2 -> О и И -> О.
Иными словами, заданное в началь-
ный момент движение с течением
времени затухает, а вся его кине-
тическая энергия рассеивается, пре-
вращаясь в тепло.
Рис. 161.
§ 82. Одномерное прямолинейное
движение сжимаемого вязкого
газа. Движение внутри скачка
уплотнения. Понятие о толщине
скачка
В предыдущих простейших приме-
рах движения по цилиндрической трубе,
равномерного и прямолинейного движе-
ния шара, диффузии вихревой нити
были рассмотрены движения несжимае-
мой вязкой жидкости. Интегрирование
уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости представляет большие
математические трудности. Простейшим примером такого^рода движения слу-
жит одномерное прямолинейное движение; этот, иа первый взгляд совершенно
тривиальный случай оказывается, однако, весьма интересным, так как пояс-
няет внутренний механизм явления „скачка уплотнения” или „ударной волны".
Рассмотрим прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа, парал-
лельное оси Ох и направленное в положительную сторону оси; из трех
компонент скорости (и, v, w) при этом остается лишь одна и; будем пред-
полагать движение стационарным и одномерным, зависящим лишь от одной
координаты х. Выведенные в § 77 дифференциальные уравнения движения,
вместе с уравнениями баланса энергии, уравнением Клапейрона и уравнением
зависимости коэффициента вязкости от температуры в этом случае зна-
чительно упростятся и примут вид:
du____dp . 4 d / du\
pUdx~~ dx + 3 dxV'dx)’
(49)
1 См. по этому поводу: И. А. К и б e л ь, H. E. К о ч и и и Н. В. Ро з е,
Теоретическая гидромеханика, ч. II, стр. ,350—357; W. М title г, Einfiih-
rung in die Theorie der zahen Fltissigkeiten. Leipzig, 1932, стр. 113—120.
§ 82] ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГО ГаЗА
511
Имеем замкнутую систему пяти уравнений с пятью неизвестными: и, р,
р, j», I. Исследуем интегралы этих уравнений, конечные прн х = ± со.
Прежде всего заметим, что уравнения (49) допускают тривиальные инте-
гралы:
u = u1, />=/>!, p = pi, р. = Н, i = ii,
где индексом ,1“ обозначены и будут в дальнейшем обозначаться постоянные,
равные соответствующим значениям всех величин при х = — со. Этим три-
виальным интегралам соответствует однородный поток во всем пространстве
(— оо х -f- оо).
Однако это решение, удовлетворяющее условию конечности всех элемен-
тов при х = ± °о, не единственное-, существует и другое — не тривиальное
решение системы (49). Для разыскания этого решения заметим, что второе
уравнение системы (49) имеет очевидный интеграл
Р« = Pi«i.
3
а третье, если в нем положить для простоты о = —, интеграл
, ц2 . И?
Пользуясь предыдущим интегралом и уравнением Клапейрона, пере-
пишем первое уравнение системы (49) в интегрируемой форме:
Pt«i
du
dx
k—\ d
k dx
(p04
4 d
3 dx
что сразу даст интеграл
ИЛИ k — 1 . 4 du . ч , k — 1 Pl«l« = £ pt 4- g- [Л — + Pjtt* 4 P1«! 4 du , . , k— 1 , . T^dx^ plU1 (и “ И1) ~~ ₽Л)’
При составлении последнего интеграла, кроме ранее принятых граничных
условий, использовано еще условие равенства нулю производной при
х — — ос, вытекающее из конечности скорости на бесконечности.
Выражая в последнем уравнении р. через I, согласно последнему равен-
ству (49), a Z и р — через «, согласно предыдущим интегралам, получим
основное дифференциальное уравнение для определения скорости и как
функции от х-.
1 2 У*du _
3 j- dx ~
k— If р,и, / «? zz3\ 1
= Pi«i (« — Uj) 4--k— u + ~2-----------2~J — P A J • (50)
Прежде чем интегрировать полученное обыкновенное уравнение 1-го по-
рядка, упростим его, перейдя к безразмерным координатам:
«1
512
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
{гл. vin
Будем иметь, деля обе части уравнения (50) на p^f:
или, замечая, что по формулам гл. IV:
Ч___^ср^1______а1
и3 uf (k—l)«i
1
(Л—l)Mp
получим
4 ( k — 1 ,о k — I . .о —o\w du
-------------------2^“ ) =
W- M|B 2 - (1 + ЛМ2) и + 1 + M3
Определим корни числителя в правой части, чтобы узнать, при каких
значениях и производная от скорости обращается в нуль; для этого решим
квадратное уравнение
£+1мЗй2__(1 4-&м2)«+ 1+AzzIm2 = о.
Корни этого уравнения будут:
(1 + feM2)3 — 4-Ц^-М*
“ (A+l)Mf =
j I до2
__ 1 -НгМ2 ±(1 — M|) 2 1 ?
(/г+1)М2
1.
Введем пока лишь для краткости обозначение
1+£=1М2
‘z:—=------= /7л.
смысл которого вскоре станет ясен. Тогда дифференциальное уравнение (50z)
можно переписать в следующем, более компактном виде:
\^~ Л4-1 и ) udu з zz>4-i\i-« _
(П-1)(« — й2) С=4/гМ21‘\ 2 ) Х'
(50")
§ 82]
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГО ГАЗЧ
513
Предположим, что и2<^1 или, согласно принятому обозначению,
Mi>l;
иными словами, предположим, что вначале, при х = —со, поток был сверх-
звуковым. _Тогда, как это_ видно непосредственно из уравнения (50"), прн
изменении п в_ интервале u2<u<l аргумент х будет изменяться в интер-
вале — со < х < со. Рассматриваемые дифференциальные уравнения (49)
имеют, следовательно, и не тривиальное решение, соответствующее убыванию
безразмерной скорости и от значения = 1 на бесконечности вверх по
течению с числом_Mi большим единицы (движение сверхзвуковое) до неко-
торого значения «2 на бесконечности вниз по течению. Легко показать, что
при /z == «2 поток будет дозвуковым (Ма<4). Для этого используем получен-
ный в числе первых интегралов интеграл энергии
U2 ui
из которого по предыдущему сразу следует.
1 = Г 1 П J_______=
(Л—1)1^ [(£—l)Mf+2] й* 2
И-Ц^-м* / V 1
~ (й-ом* ' ^ £=±^12 J~~ +
или
. . Л— 1
П----л-— м;
-----7--г
В последней формуле нетрудно узнать выведенное еще в § 32 гл. IV соот-
ношение между числами Mj и М2 до и после прямого скачка уплотнения
[формула (77) § 32]. Отсюда сразу следует, что М2<1.
Итак, рассматриваемое не тривиальное решение системы (49) предста-
вляет не что иное как переход от сверхзвукового движения к дозвуковому
в прямолинейном одномерном потоке вязкого сжимаемого газа. Нетрудно
Убедиться в том, что не только числа М, ио и температуры, плотности и
давления на бесконечности вверх и вниз по течению связаны между собою
теми же соотношениями, что в теории прямого скачка уплотнения, изложен-
ной в гл. IV для газа без внутреннего трения. Разница здесь в том, что
в идеальном газе скачок уплотнения представлял некоторую нормальную
к линиям тока поверхность разрыва элементов движущегося газа, причем
само явление скачка приходилось рассматривать как предельное образование,
33 Зак. 1841. Л Г. Лойцянский
514
Динамика вязкой жидкости и Газа
[гл. vnt
не допускающее описания Ври помощи непрерывных решений уравнений
движения. В вязком газе, наоборот, явление перехода сверхзвукового потока
в дозвуковой описывается непрерывным решением уравнений движения,
а именно интегралом дифференциального уравнения (50") в области движе-
ния (—оэ < х < 4- со). Покажем, что, практически, эта область перехода
сверхзвукового потока в дозвуковой имеет очень малую протяженность,
зависящую от параметров потока и, в первую очередь, от Mj. Вернемся
к уравнению (50") и, пользуясь имеющимся произволом в выборе начала
отсчета абсцисс х, поместим начало координат в ту точку, где скорость и
равна критической скорости а*, соответствующей параметрам потока вверх
по течению. Тогда, вводя еще для краткости дополнительное обозначение
3 /Л-ЦХ1-”,
4/,’М^1 \ 2 / Х~С'
будем иметь:
Интегрируя от этих значений и — Vh2 и ; = 0, получим:
“ /— £-1 — \я _ _
f ^~-k+T^)udu
j (7z—1)(н —н2)
Выполнение квадратуры справа зависит от числового значения величины п.
Общий характер кривой скорости и(?) по-
казан на рис. 162. Левая и правая ветви
, кривой настолько быстро асимптотически
стремятся к значениям = 1 и zz2, что на
самом деле фактическая ширина области,
где происходит' переход, очень мала. При-
мем за меру толщины левого переходного
участка среднюю интегральную величину
о
1
отношению заштрихованной на
левой части площади к максн-
разностн ординат I — на
равную
рис. 162
мальной
этом участке. Аналогично определим толщину правого переходного участка
как
Д2 — ——— f (ц — «,) rfS.
V «2— «2 У
§ 82]
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОГО ГАЗА
515
Полная „толщина" области перехода сверхзвукового течения в дозвуко-
вое будет равна:
О СО
Д = Д1 + Д» =------* _ f (1— ;=!—— f (и—zzs) de. (52)
1 — Пд V У U% ^2 Q
от значения показателя
вязкости и температуры
ie квадратур зависит
между коэффициентом
Фактическое выполи
степени п в законе свя;
или теплосодержания.
На рис. 163 приведе-
ны составленные А. Е. Го-
ловиной кривые измене-
ния толщины скачка Д,
выраженной в частях дли-
ны свободного пробега
молекулы
/, = 1,255 Vk - -^1-
Pi«i
(р-р ръ — скорость зву-
ка, вязкость, плотность
на бесконечности вверх
по течению), в функции
от числа М( при различ-
ных и. На основании при-
веденных графиков мож-
но заключить, что „тол-
щина" скачка уплотнения
имеет порядок длины сво-
бодного пробега, исключая значения М(, близкие к единице, или очень боль-
шие Мт (при п — 1). Экспериментальная проверка этого факта очень затруд-
нительна, так как границы скачка в силу его колебательных перем» цений
бывают обычно размыты и не поддаются фотографированию даже при очень
малых временах экспозиции.
С точки зрения изложенной только что теории становится ясной причина
указанного еще в гл. IV возрастания в скачке уплотнения энтропии. Прирост
энтропии служит указанием на наличие в области перехода сверхзвукового
потока в дозвуковой потерь механической энергии, превращающейся за
счет внутреннего трения в тепло. Общая формула диссипируемой в тепло
энергии при движении вязкого сжимаемого газа будет выведена в следу-
ющем параграфе.
Тот факт, что „толщина" скачка уплотнения имеет порядок длип - свобод-
ного пробега молекулы, может вызвать сомнение в возможности вообще поль-
зоваться в этом случае обычными уравнениями движения вязкого сжимае-
мого газа.
Частные случаи рассмотренной задачи были исследованы Гамелем (с = со)
(3
а = — , п = 0, коэффи-
циент вязкости не зависит от температуры).1
1 См. Handbttcli der Physik, Bd. VII, 1927, S. 328—330.
33*
516
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
(гл. Viii
§ 83. Работа внутренних сил и диссипация механической ввергни
в движущейся вязкой среде
Работа внутренних сил трения (вязкости) вызывает в движущейся
жидкости затрату некоторой мощности, превращающейся (диссипирую-
щейся) в тепло. Чтобы найти количественное выражение этой мощ-
ности, применим прием, аналогичный принятому в § 24 гл. Ill для
идеального газа.
Составим выражение изменения кинетической энергии в некотором
объеме жидкости т, ограниченном поверхностью о:
Т/= Jpf • Wx+ /р« • Vd0+ J
Z 'Z CT T
здесь Nin представляет величину отнесенной к единице массы мощности
всех внутренних поверхностных сил, включая сюда как давления, так
и силы трения (внутренними объемными силами, как например, силами
тяготения, пренебрегаем).
Преобразуя полученную формулу известным уже по предыдущему
образом, найдем:
JnP’Vrf0+J =
' T О 'Г
pMn di =
dt.
Используя произвольность выбора объема т, получим то же выра-
жение в дифференциальной форме:
р i Ст)=pF •V+di v (PV)+p^- (53)
С другой стороны, умножая скалярно обе части основного дина-
мического уравнения „в напряжениях"
р = pF-j-DivP
на V, будем иметь:
pV . = р 4г (4г = pF • V + V • Div Р.
‘ at г dt \ 2 / г 1
(53')
§ 83]
РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ И ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ
517
Вычитая почленно обе части уравнения (53') из уравнения (53) >
получим искомое выражение Nin в виде:
Рд/.п = V - Div Р — div (PV).
(54)
Выразив правую часть через декартовы компоненты входящих в нее
векторов и тензоров, проведем следующее упрощение (координаты
х, у, z заменены на х2, х3):
8 8
V.DivP-div(PV) = 2 ^(DivP).-^ A(pv),.=
i=i j=l J
3 3
V — ___V n dVi
Zi \ idx. Vi dx. ^dxJ~ Za #дхР
i,j=i j j j .j=i j
Последняя двойная сумма, если вспомнить принятое в гл. I обозначе-
ние дифференциального тензора —
комбинацию компонент тензоров Р и D:
, представляет инвариантную
в
2 Р— Р'Р,
i,j=l
(55)
называемую скалярным произведением двух тензоров.
В частном случае двух равных тензоров такое произведение дает
квадрат модуля тензора, определяемый как сумма квадратов всех
компонент тензора:
8
= 2 Р%-
£#(У=з1
Формула эта по своей конструкции аналогична известной формуле
квадрата модуля вектора.
Разложим дифференциальный тензор D на симметричную и анти-
симметричную части, положив (звездочка, так же как и в гл. I, обо-
значает сопряженный тензор):
D=5+ A, S=-i-(r>+D*), Д=у(О — D*),
или в проекциях:
Dij ~ дх{ — 2 k дХ} + dXj) ' 2 к дх{ dXj) ~~ Sii "г
518 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
Тогда будем иметь (Рц — Рф:
аза
S S р<л+2 p^p-s+p-a.
«,J=1 i.3=l i,3=l
Легко сообразить, что, в силу условия антисимметричности
== /1?^,
последняя сумма равна нулю:
з
р . л = 2 P^Afy О-
i, 3 = 1
Таким образом, вместо (54) получим
з
р^„=- р • s=— 2 ^Д, (56>
*.3=1
т. е. отнесенная к единице объема мощность внутренних поверх-
ностных сил равна взятому с обратным знаком скалярному про-
изведению тензора напряжений на тензор скоростей деформаций.
Этот, представленный формулой (56) результат имеет общее зна-
чение для любого течения сплошной среды, независимо от того, под-
чиняются ли напряжения обобщенному закону Ньютона или нет.
Обращаясь теперь к случаю ньютоновской жидкости или газа,
для которых справедливо линейное соотношение (И) § 76 настоящей
главы, будем иметь по (56) и (11):
= — 2pS24~ (р у. div v) S • S'.
Вычислим скалярное произведение тензорной единицы S на тензор
скоростей деформаций S; тогда получим ($# = 0 при 1ф], 62i=l):
з зз
£ • ®*Д = X ^=2^=divV’
г=^1 i=l
и, окончательно, найдем искомое выражение мощности:
= - 2uSs + р div V+~ у (div V)2. (57)
Во втором слагаемом pdivV узнаем мощность, затраченную силами
давления на расширение газа (вспомнить § 24). Остальные два сла-
гаемых представляют отнесенную к единице объема мощность, дисси-
пированную за счет работы сил вязкости (внутреннего трения):
• 9
г:-~ — 2uS2 4—г {* (div V)2. (58)
О
§ 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО слоя 519
В частном случае движения несжимаемой жидкости будем иметь:
з
рА/днс — 2 pi'2 = - 2р. =
= —2|х[(^) +(^-) + (^) +
< 2\ду ' dz) 2\dz^ дх) < 2\дх> ду) ]' 'оо '
Как видно из последней формулы, представляющей диссипирован-
ную мощность в форме суммы квадратов, энергия в несжимаемой
жидкости не диссипируется только при квазитвердом движении жид-
кости, т. е. в том единственном случае, когда все отдельные скорости
деформации (удлинений, сдвигов) порознь равны нулю. Отсутствие
завихренности не предохраняет вязкую жидкость от потерь энергии
на трение.
Вернемся теперь к общему уравнению теплового баланса, выведен-
ному еще во второй главе [формула (45) § 16]. Согласно (53), урав-
нение теплового баланса принимает вид:
Р СЗД = № — PNin
или, подставляя явные выражения для q [формула (48) гл. И] и Nin
по (57),
р ^(JcvT) = Jdiv (X grad Т) — р div V -J- 2pS2—-| p. (div V)2. (59)
Из уравнения (59) следуем, чго индивидуальное изменение отне-
сенной к единице массы внутренней энергии (а следовательно, темпе-
ратуры) движущейся частицы вязкого сжимаемого газа происходит за
счет: 1) теплопроводности, 2) нагревания газа вследствие его сжатия
и 3) превращения в гепло работы сил вязкого iрения.
§ 84. Обтекание тел жидкостью и газом при больших значениях
числа Рейнольдса. Основные уравнения теории ламинарного
пограничного слоя
В основных задачах, выдвигаемых перед гидроаэродинамикой,
авиацией, кораблестроением, турбомашиностроением и другими обла-
стями техники, приходится иметь дело с обтеканием тел при боль-
ших значениях числа Рейнольдса.
Представим себе некоторое тело (рис. 164), плавно обтекаемое
вязкой жидкостью или газом. Будем увеличивать число Рейнольдса,
изменяя для этого соотвешвующим образом или плотность и вязкость
520
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VTH
среды, или переходя к геометрически подобному и подобно располо-
женному телу большего размера, или, наконец, увеличивая скорость
набегающего потока. Ограничим способы увеличения рейнольдсового
числа лишь одним условием, чтобы число М, характеризующее влияние
сжимаемости среды, при этом либо сохраняло неизменное значение,
либо менялось в области тех малых своих значений, когда влияние
сжимаемости не существенно. Наблюдаемое вблизи поверхности непо-
движного обтекаемого тела возрастание скорости от нуля непосред-
ственно на самой поверхности тела до величины порядка скорости
набегающего потока в некотором удалении от тела будет при боль-
ших значениях числа Рейнольдса сосредоточено в весьма тонкой
по сравнению с размерами обтекаемого тела области, причем при росте
Рис. 164.
числа Рейнольдса толщина области все более и более уменьшается.
Эта образующаяся только при больших значениях числа Рейнольдса,
расположенная вблизи поверхности тела область движения вязкой
жидкости называется пограничным слоем.
С кинематической стороны область пограничного слоя замечательна
тем, что в ней практически сосредоточено все вихревое движение
набегающей жидкости, а вне ее движение можно считать потенциаль-
ным, безвихревым. Действительно, в пограничном слое, как только
что было отмечено, касательные к поверхности тела скорости меняются
очень резко, а следовательно, их производные по нормали к поверх-
ности обтекаемого тела очень велики, что приводит к большой интен-
сивности завихренности жидкости, проходящей сквозь область погра-
ничного слоя. Наоборот, на внешней границе пограничного слоя и
вне его эти производные становятся сравнительно малыми, и завихрен-
ностью внешнего по отношению к пограничному слою потока можно
пренебрегать. Как уже упоминалось в начале гл. V, именно этим
объясняется, почему при реальных обтеканиях столь хорошо оправды-
ваются результаты расчетов обтеканий, произведенных по теории
безвихревого движения идеальной жидкости. При движении тела сквозь
неподвижную жидкость или, что все равно, при набегании на него
однородного на бесконечности потока, скорости деформаций, входящие
в члены уравнений (14) настоящей главы и содержащие коэффициент
§ 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО слоя 521
вязкости, вдалеке от тела окажутся очень малы, и уравнения (14)
будут мало отличаться от уравнений Эйлера для „идеальной" жид-
кости. При этом „идеальном" движении реальной жидкости вихри,
как мы уже знаем, образовываться не могут. Только пройдя сквозь
область пограничного слоя на поверхности обтекаемого тела, поток
становится вихревым и затем, уже оставив тело и попав в закормо-
вую „кильватерную" область за телом или, как еще иногда говорят,
в область „аэродинамического следа", постепенно теряет полученную
завихренность, исчезающую вследствие диффузии, причем энергия
вихрей превращается в тепло, рассеивающееся благодаря теплопро-
водности.
Следующий простой опыт наглядно показывает возникновение
пограничного слоя. Насыпем на поверхность воды в резервуаре какой-
нибудь несмачиваемый порошок. Погружая вертикально в воду пла-
стинку и медленно ее перемещая в продольном направлении, заметим,
что не только близлежащие к пластинке частички порошка, но и
далеко расположенные от нее частички будут увлекаться пластинкой
в движение. При значительном увеличении скорости пластинки, казалось
бы на первый взгляд, скорости частичек жидкости (а с ними и частиц
порошка) должны были бы увеличиться как вблизи пластинки, так и
вдалеке от нее. Между тем, отчетливо видно, что за пластинкой
следуют лишь частички, расположенные в непосредственной близости
к ней, находящиеся в пограничном слое и в „спутном потоке", как
называют аэродинамический „след" за движущимся сквозь неподвижную
жидкость телом, перемещения же удаленных частиц становятся пре-
небрежимо малыми.
Как показывают непосредственные измерения, пограничный слой
при тех больших значениях чисел Рейнольдса, с которыми приходится
иметь дело на практике, очень тонок. Возрастая по толщине от носка
крыла к его хвосту, пограничный слой (см. рис. 164, где граница
пограничного слоя показана пунктиром, причем размеры пограничного
слоя для наглядности сильно преувеличены и совсем не соответствуют
масштабу тела даже в точке максимальной толщины вблизи хвоста
крыла) достигает обычно лишь порядка сотых частей хорды. Так, на
крыле самолета с хордой 1,5—2 м пограничный слой на режиме
максимальной скорости имеет порядок нескольких сантиметров. На
корабле, длина которого имеет порядок 100 м, „спутный поток"
может достигать толщины 1 м.
Если попытаться вычертить в одном и том же линейном масштабе
крыло и пограничный слой на нем, то на участке поверхности крыла
от носика до точки минимума давления граница пограничного слоя
практически сольется с поверхностью крыла и только вблизи хвостика
заметно отойдет от нее.
Чтобы сделать картину движения в пограничном слое сравнимой
по масштабу с внешним потоком, можно применить анаморфозу, сохра-
няя для продольных длин тот же масштаб, что и для тела, например,
522 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл. V1H
взяв для этого за масштаб хорду крыла, для поперечных же раз-
меров, перпендикулярных к поверхности крыла, принять за масштаб
специальную убывающую с числом Рейнольдса длину, закон убывания
которой должен быть найден из рассмотрения уравнений движения
вязкой жидкости.
То же относится и к скоростям. Продольные, параллельные поверх-
ности тела скорости имеют тот же порядок, что и скорости внешнего
потенциального потока, достигаемые вблизи внешней границы погра-
ничного слоя. Поэтому за масштаб продольных скоростей можно
принять хотя бы скорость набегающего потока. Совершенно иначе
обстоит дело с поперечными, нормальными к поверхности тела скоро-
стями. В тонком пограничном слое, в силу непроницаемости поверхности
тела, поперечные скорости так же малы по сравнению с продольными
скоростями, как поперечные размеры слоя по сравнению с продольными.
Желая, скажем, на одном графике показать кривые продольных и
поперечных скоростей, придется для последних принять особый масштаб,
убывающий вместе с толщиной пограничного слоя при возрастании
рейнольдсова числа. Оговоримся, что в приведенном рассуждении
терминам „толщина" и „внешняя граница" пограничного слоя не при-
дается определенного геометрического количественного смысла. Эти
понятия имеют лишь качественный смысл, как характеристики порядка
поперечного размера области, где скорости от нулевого значения на
стенке изменяются до величин порядка скоростей внешнего потока.
Так, например, под „толщиной" пограничного слоя можно подразу-
мевать такое расстояние от стенки, на котором скорость будет от-
личаться о г скоросги внешнего ногока на 1°/0.
Во избежание дальнейших недоразумений следует подчеркнуть,
что граница пограничного слоя нс совпадает с линиеи тока жид-
кости. Как видно из рис. 164. линии тока входят в область погра-
ничного слоя, пересекаясь сего границей. Вопрос о характере смыкания
течения в пограничном слое и во внешнем потенциальном потоке
будет далее количественно уточнен.
Установим систему уравнений плоского стационарного движения
вязкого сжимаемого газа в потраничном слое на цилиндрическом теле,
имеющем плавную крыловую форму Такой пограничный слой, движе-
ние жидких частиц в котором имеет упорядоченный характер, в отличие
от турбулентного (см. следующую главу) называется ламинарным.
Условимся обозначать через х, у и и, v (рис. 164) соответственно
продольные и поперечные координаты и составляющие скоросги
в области пограничного слоя. Координаты х и у на самом деле криво-
линейны, но при малом значении отношения толщины пограничного
слоя к радиусу кривизны поверхности обтекаемого тела, имеющем
место на профилях типа крыловых, можно в уравнениях движения
пренебречь дополнительными членами, характерными для уравнений
в криволинейных координатах, и пользоваться координатами х, у как
обычными прямолинейными декартовыми координатами.
§ 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО слоя 523
При принятом условии стационарности уравнения плоского движе-
ния при отсутствии объемных сил приводят к замкнутой системе
уравнений [вспомнить систему (14) § 77]:
(60)
Подобно тому, как это было сделано в § 78, перейдем к безраз-
мерной форме этих уравнений, выражая все величины в некоторых
характерных для них масштабах, но только в настоящем случае примем
во внимание ранее приведенные соображения о различии в погранич-
ном слое масштабов продольных и поперечных координат и ско-
ростей. Поэтому сохраним для х и и масштабы: I (какой-то харак-
терный для обтекаемого тела размер, например хорда крыла) и Vm
(скорость набегающего потока), а для у к v примем свои, пока еще
не определенные масштабы Y и V. Сохраняя остальные обозначения,
как в § 78, и не меняя обозначений для безразмерных величин,
будем иметь:
। (5,г 1 ^V'^dp f 4 йооУсо э / ди\
I р дх । У pv ду “* 2 I дх~*~ 3 Р дхудх)
2 HooV д ( dvy (
3 ГУ dxV-dyj'Y
эо ^ 'со
У®......~ду
dux д / dv\
ду) ’ ГУ dyv дх)’’
524
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. vin
р V Р
I со F со v
-
Sv , PmV2 dv 1 pcoV«, dp p-oX-o д ( day
pK__j--_pc,_e=_____r
PaV d / 4 d / dv\ 2 d / da\
1 p-fjxV'W + 3 F2 dyV'dy) 3 IY dyV dx)’
PcoK»5(p«) PmV d(pv) _
I dx "I" Y dy
2 du
-------.---
dv
у,Ц_—
1 dx
2 Рос^оо
где, напоминаем, р, и,
- 1 . Pa, 1 k—l _
P----1__------------- t . ---
k 1И
2 co
p =
v, i, pi, x, у, p — безразмерные величины,
a p = -?—представляет известный из предыдущего коэффи-
2-Рсо^
циент давлений.
Разделим теперь обе части первых трех уравнений на постоянные
коэффициенты при первых членах в левой части, обе части четаер-
Рсоу i
того — на выражение ” ^°°Ю', и заметим еще, как и ранее в § 78,
что:
Ра, = 1 /со = 1
Роо^ ’ VI (A-DMt ’
о V I
ГОО V СО* р
— . х\со^
Нсо
§ 84J уравнения Ламинарного пограничного слоя
тогда будем иметь следующую систему уравнений:
525
да , IV ди 1 др ( 4 1 д ( ди \
дх "г dy ~ 2 "йх ' 3 Rra дх кИ дх )
2 IV 1 д / dv \ t 1 ( 1\% д / da\ ,
з кю dx кр к*, к у) v
. IV 1 д 7 dv\
"Г" YVm ' ROT dy dx)’
dv IV dv 1 lVm др 1 lVm d / dux
. 1 д / йо\ | 4 1 / I \2 d [ dv\
~r R^ dx (J* dx) ’ 3 Rm к У J dy dy)
2 1 IV i t dux
_________________I u__)
3 R№ YV ду V dx/’
d(pu) I IV d(pv) _
йх YV^ dy ~ u’
Z-|_(A:—i)M£
(60Э
- + (A —1)M^
a
1 > d
-- •-LL--
Koo dX
1 IV
yy
co
’ f v pv [i+(*—i)M;
R<
У dy ( Vm
1 I d
Rco У P dy
1
3 2 Ф Vl, 2 J]
/i. ^4^*2 ( du 2 dv\| ।
(й— 1)Мет hw--+
\ dy 3 dy ] j
2 / Ц? \
~(T+TfT/
/и8 , 4 yg p2\
к 2 Ф 3 V^ 2 /
dv 2 du
У^—зУ'0^
----jp. M-cc
a
-- p--------(ft----- 1) Mi ~77—
“co---------’'co
2
p —------- (M — n u, — /я.
r AM* U h ' •
Приведя, таким образом, уравнения плоского стационарного дви-
жения вязкого сжимаемого газа к безразмерному виду, допустим, что
анаморфоза, о которой шла речь в начале вывода, действительно воз-
можна: иными словами, допустим, что выбором разных маштабов для
размерных продольных и поперечных длин и скоростей в пограничном
слое можно добиться конечности всех входящих в уравнения (60')
526 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА |ГЛ. V11I
безразмерных величин и их безразмерных производных, как бы ни
стало велико рейнольдсово число RM.
Обращаясь прежде всего к безразмерному уравнению непрерыв-
ности (третьему уравнению предыдущей системы), видим, что для этого
следует произвольные пока масштабы У и V подчинить условию:
IV . , 1 \
~yV = const -f- О (-р— I,
•'оо \ *'оо /
после чего из первого уравнения системы будет следовать необхо-
димость равенства:
Д-(Х)2=const+ о(Д-).
так как в противном случае из уравнения продольного движения
в пограничном слое совершенно исчезне! влияние вязкости. Выбирая
в двух предыдущих равенствах константы равными единицам, поло-
жим, чтобы удовлетворить обоим равенствам:
Отсюда следует закон убывания масштабов толщин и поперечных
скоростей в пограничном слое: с возрастанием рейнольдсова числа
поперечные размеры и скорости в пограничном слое изменяются
обратно пропорционально корню квадратному из рейнольдсова числа.
Это соотношение прекрасно подтверждается опытом.
Обращаясь ко второму уравнению системы (60'), легко убедимся,
что, в силу (61),
откуда вытекает второе важное свойство пограничного слоя: при
больших значениях рейнольдсова числа можно пренебрегать попе-
речным изменением давления в пограничном слое. Давление во всех
точках поперечного сечения пограничного слоя одно и то же и может
изменяться лишь при переходе от сечения к сечению; следовательно,
в плоском стационарном слое
р = р (х). (62')
Иначе говоря, давление внешнего потока передается сквозь по-
граничный слой без изменения. Этот важный физический факт разъяс-
няет, почему распределение давлений, рассчитанное по теории без-
вихревого движения идеального газа, хорошо совпадает с действительно
наблюдаемым на опыте при плавном обтекании тел. Некоторое расхо-
ждение теоретического и экспериментального распределений давлений,
4? 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОЮ ПОГРАНИЧНОГО^слоя 527
имеющее место в кормовой части обтекаемого тела, объясняется обрат-
ным влиянием сравнительно толстого вблизи кормы пограничного слоя
на внешний поток (см. далее § 100).
Выведенное только что свойство распределения давлений в потоке
вязкой жидкости при больших значениях рейнольдсова числа объяс-
няет также происхождение наблюдаемого иногда явления отрыва по-
граничного слоя с поверхности обтекаемого тела.
В кормовой области цилиндрического крыла вниз по течению за точ-
кой минимума давления происходит возрастание давления и
при этом жидкость движется из области меньшего давления в область боль-
шего давления против подтормаживающего влияния перепада давлений.
Если бы поток был идеален и скорость на поверхности крыла не равня-
лась нулю, то запас кинетической энергии жидкости оказался бы доста-
точным для преодоления укатанного тормозящего влияния поля давлений.
В пограничном слое поле давлений по предыдущему мало отличается
от поля давлений в идеальной жидкости, между гем, вблизи поверх-
ности крыла скорости, а следовательно, и кинетическая энергия частиц
жидкости ничтожны. Торможение жидкости вызывает остановку,
а далее и попятное (рис. 165) движение под действием направленного
против движения перепада давления. Встреча набегающего потока
с попятно движущейся в пограничном слое жидкостью приводит
к резкому оттеснению линий тока от поверхности тела, к утолщению
пограничного слоя, а затем и к отрыву его от поверхности тела.
До точки отрыва 5, как видно из рис. 165, > 0, за точкой
отрыва о < 0; в самой точке отрыва имеем условие отрыва:
(ЗД =0.
\ду/у—о
528
ДИЙАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. VIII
Из приведенных соображений ясно, что отрыв может произойти
только в области замедляющегося внешнего потока, где давление
восстанавливается, г. е. только в кормовой части крыла вниз по те-
чению за точкой М минимума давления, в которой = 0.
На рис. 165 показан примерный вид профилей скорости (жирные
линии), линий тока (тонкие линии) и „границы" пограничного слоя
(пунктир) вблизи отрыва. На крайнем правом профиле скоростей часть
отрицательных скоростей, соответствующих попятному движению, за-
штрихована. Подробнее об явлении отрыва будет сказано далее.
Возвращаясь к выводу основных уравнений пограничного слоя,
произведем в безразмерной системе (60') замену масштабов Y и V
согласно (61), тогда получим:
ди । ди
ри-s—крф—=
г дх 1 г dv
1 др . д ( ди\ , г,! 1 \
2 дх + \ Rm ' ’
— 2
—0- Y = in-
Таким образом, удается выделить в общих уравнениях движения
вязкого сжимаемого газа те члены, которые при больших значениях
рейнольдсова числа имеют главное значение, и оценить порядок чле-
нов, которые При больших Коо можно отбросить.
Отбросим в полученной системе уравнений члены, имеющие поря-
1 гт др
док малости *5— и выше. После этого частная производная -г-
*'СО uX
в правой части первого уравнения системы может быть, согласно вто-
рому уравнению системы, заменена полной производной , а вто-
рое уравнение опущено. Далее, левая часть четвертого уравнения
системы в силу третьего уравнения может быть преобразована *к более
простому виду:
§ 84] УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
529
В результате получим следующую безразмерную систему уравне-
ний плоского стационарного ламинарного пограничного слоя в сжимае-
мом газе:
ди . ди 1 dp , д ( ди\
ри -д—I- рч> д— =-=- 4- ( и д— ),
г дх 1 г ду 2 dx 1 ду \' ду /’
д (ри) д(ру) _
дх ' ду' “и’
/ д । д \ /, . k— 1 ..а
р = 1п.
(63)
Уравнения неизотермического ламинарного пограничного слоя в не-
сжимаемой жидкости можно получить из этих общих уравнений,
полагая число Мо,, характеризующее влияние сжимаемости, равным
нулю. Отбрасывая в третьем и четвертом уравнениях системы (63)
члены с Мао, получим следующие уравнения неизотермического погра-
ничного слоя в несжимаемой жидкости:
ди । ди 1 dp , д / ди >
Э (рц) , д (pv) _
дх ' ду
дТ , дТ 1 д / дГ\
‘JU дх ду я дуу ду)’
(64)
р — Тп.
Безразмерная плотность р в этой системе, так же как и вязкость »х,
предполагаются функциями Т. Пренебрегая, наконец, в случае малых
перепадов температур влиянием температуры на плотность и вязкость,
т. е. полагая р = 1, р==1) получим упрощенную систему уравнений:
ди ( ди 1 dp , д-и
U дх > ® ду 2 dx ' ду1 ’
ЙН . ЙО _ „ t
дх * ду ’
дТ . дТ 1 дгТ
uд^+v^==T'д^,
(65)
34 Зек. 1841. Л. Г. Лойцянский.
530
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И Г АЙА
[гл. vm
в ко горой последнее уравнение может служить для определения темпе-
ратуры, если из первых двух уравнений уже предварительно опреде-
лено поле скоростей.
Если первые два уравнения системы (65) переписать в размерном
виде, то они примуг вид (для размерных величин сохранены те же
обозначения, что и для безразмерных):
ди . ди 1 dp , д^и
дх ' оу р dx 1 оу2
ди , dv „
дх ' ду
(65')
В этой форме уравнения плоского ламинарного слоя были полу-
чены впервые Л. Прандтлем в 1904 г.
Установленные системы уравнений на первый взгляд представляются
незамкнутыми, так как число неизвестных в них как будто на единицу
превышает число уравнений. Так, например, в простейшем случае
уравнений (65) имеем три уравнения с четырьмя неизвестными: и,
v, р, Т.
На самом деле — и в этом характерная особенность теории погра-
ничного слоя — при больших значениях числа Roo распределение дав-
лений в любых точках поперечного сечения пограничного слоя, в том
числе и на поверхности обтекаемого тела, совпадает с распределением
давлений на внешней границе пограничного слоя, где происходит смы-
кание пограничного слоя с внешним потенциальным потоком; это рас-
пределение давлений р = р (х) предполагается заданным, определен-
ным заранее путем решения задачи о потенциальном обтекании или
измеренным экспериментально при помощи дренажных отверстий,
расположенных на поверхности обтекаемого цилиндрического тела.
Обозначим через U(х) размерную скорость, соответствующую
размерному давлению р (х); тогда, замечая, что по теореме Бернулли
dp । r.dU
d^ + PU-dJF
0,
и переходя к безразмерному коэффициенту давления р и безразмерной
скорости и координате, для которых сохраним то же обозначение,
чго и для размерных, получим:
dp
dx
(66)
Подставляя это выражение безразмерной производной давления
в систему уравнений пограничного слоя, заменим в них давление на
известную функцию U(х).
§ 85]
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
531
Последнее более удобно, так как функция U(x) входи 1, очевидно,
в гидродинамические, граничные условия задачи:
при у — 0 а = 0, V — О,
при у -> оо u-+U (х),
(67)
подробнее о которых будет сказано ниже в связи с рассмотрением
простейших задач теории ламинарного пограничного слоя.
§ 85. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно
обтекаемой несжимаемой жидкостью. Неизотермическое
движение
Представим себе пластинку АВ длины I (рис. 166), продольно
обтекаемую безграничным плоским потоком несжимаемой жидкости
плотности р со скоростью V'№. При этом внешний потенциальный поток
можно рассматривать как однородный с безразмерной скорое гью U = 1
и давлением р = 0. Система уравнений (65) сводится к следующей:
ди , ди д2и
дх 1 ду ду-
о
дх ду ~ и’
(68)
а граничные условия будут:
при у — 0 и
если х < 0 или х > /, то
при у = со и любых х
п = 0, V — 0;
ди п „
д- — 0, D — 0;
ду
и — 1.
Решение такой задачи представляет непреодолимые трудносш в силу
наличия необходимости удовлетворения условий по оси Ох. Задача эта
34*
552
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЙА
(гл. Vttt
была упрощена Блязиусом, предложившим рассматривать обтекание
бесконечно длинной пластины — луча Ох — и затем уже применять
полученное решение к отрезку АВ, т. е. удовлетворять приближенным
граничным условиям:
при у = 0 и
при у = оо
х > 0 и
и=1.
О, v — О,
(68')
При таком подходе к задаче исчезает характерная длина I, между
тем, эта величина входит в определение масштаба поперечных длин
I I у V
Y = == ——- - и поперечных скоростей V = = -
V к Г v i Vr Г v i
г 'со 1/ ОО “ 'ОО " / * оо
Отсюда сразу следует, что искомые безразмерные функции и и v должны
зависеть не просто от безразмерных координат х и у, а от такой их
комбинации, чтобы при возвращении к размерным координатам выпа-
дала величина /. Такой комбинацией будет:
« =/(ylV *), -о = -?=-7 (у1 К*)-
У х
(69)
Действительно, переходя при этом к размерным величинам, по-
лучим:
так что длина I в решениях выпадет. Конечно, в заключительном этапе,
при подсчетах сопротивления трения для пластинки длины I, эта длина
вновь появится и займет свое место в числе Рейнольдса.
Чтобы свес 1 и две неизвестные функции и и v или / и f к одной,
воспользуемся вторым уравнением системы (68) и введем безразмерную
функцию тока ф, положив:
д<!>
и = —т ® = —
ду1 дх
(70)
§ 85]
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
533
>1
о
Тогда, вводя новый аргумент — будем иметь:
?/
О
причем предположено, что при у = 0, ф — О.
Используя для краткости обозначение:
Т1
2 j /(^^^©(ц),
6
найдем такое выражение для ф:
ф=Ух<р(Т|).
Вычисляя (штрих означает производную по т]):
= (70-^ = -© (70
ду ду 2
ду 2 ‘ 47 ду
. д2и 1 т. ч
ду* 8х V и
ди 1 ^dr,
--------- = — « (71) —
дх 2 * дх
di 1 ,
У — — __- ~ , _©(
1 J-.
8 У-*3
1
4х
дх
дх
1
(70')
|/ х 2х
и подставляя эти выражения в первое уравнение системы (68), полу-
чим обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение третьего
порядка
<р"' -j- = 0,
которое надо
решить при очевидных граничных условиях:
при т; — 0, = 0, а' = 0 1
При 7] = ОО о' = 2. J
(71)
(71')
Уравнение (71) и граничные условия (71'), благодаря использова-
нию безразмерных величин, приведены к чисто численному виду, не
534 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [гл. VIII
содержащему никаких параметров (плотность, вязкость, скорость, раз-
мер). Решение задачи может быть закончено численным интегрирова-
нием уравнения с той или другой точностью. Приводим табл. 14
значений безразмерной скорости и — ф' (vj) в функции от т] с точ-
ностью до четырех знаков.
Таблица 14
Г1 « = т, /(т()
0 0 0,8 0,5168
0,1 0(664 0,9 0,5748
0,2 0.1328 1,0 0,6298
0,3 0 1989 1,1 0,6813
0.4 0,2647 1,2 0,7290
0,5 0 3298 1,3 0,7725
0,6 0,3°38 1,4 0,8115
0,7 0,4563 1,5 0,8460
ц 1 // ' « = y'f'C'l) 1 л/ I
1,6 0,8761 2,3 0,9827
1.7 0,9018 24 0,9878
1,8 0,9233 2,5 0,9915
1.9 0,9411 2,6 0,9942
2.0 0,9555 2.7 0,9962
2,1 0,9670 2,8 0,9975
2,2 0,9759 2,9 0,9984
Пользуясь этим табличным решением задачи, найдем прежде всего
напряжение трения на поверхности пластинки, равное в размерных
величинах:
/<Эй\ 1 "(ПХ
= = V (°)’
Определял 1Риближенно по таблице
<о" (0) = ?'(0) = 1,328,
будем иметь распределение трения по поверхности пластинки
0,332 1/^. (72)
Эта формула (ход изменения т№ показан на рис. 166) дает очень
хорошее совпадение с опытными данными, исключая области, непо-
средственно близкие к носику и хвостику пластинки, где по (72)
имеем:
(^=0 = 00, (Sz)Uz=0,332]/^“,
на самом же деле и при х = 0 и при х = I из соображений не-
прерывности и симметрии потока должно быть равно нулю,
§ 85|
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
535
Суммируя напряжение трения по обеим сторонам пластинки вдоль
всей ее длины, получим полную силу сопротивления трения (Ski'll 1 —
смоченная поверхность, Q—коэффициент сопротивления грения):
wf^crs~^
-cwdx= 1,328 VWlV3m
(72')
и выражение коэффициента сопротивления грения:
„ 1,328 1,328
(72")
Экспериментальное определение сопротивления пластинки, погранич-
ный слой которой полностью ламинарен, представляет большие труд-
ности, связанные с невозможностью создания достаточно тонкой пла-
стинки с острыми носиком и хвостиком, необходимостью измерения
малой силы, малых скоростей и др. Наиболее точные эксперимен-
тальные значения коэффициен-
та сопротивления пластинки ока-
зываются близкими к теорети-
ческому (72").
Рассмотрим еще безразмер-
ное распределение скоростей по
сечениям пограничного слоя.
Согласно формуле,
1 ч г
(7J)
.или в размерных координатах
и скоростях
можно дать одну кривую рас-
пределения скорости во всех сечениях слоя. Такая теоретическая
кривая проведена на рис.-167 сплошной линией. На том же рисунке
приводятся экспериментальные точки,1 которые хорошо совпадают с тео-
ретической кривой в различных сечениях пограничного слоя (х = 3 см,
10 см и 15 см). Некоторое заметное отклонение при х = 3 см
объясняется близостью этого сечения к носику, который представлял
1 По опытам Ханзена. См. М. Hansen, Die Geschwindigkeits verteilung
in der Grenzschtcht an einer eingetauchten Platte. Zeitschr. fiir Angew. Mathein,
Utid Mechanik, Bd- 8, H. 3, 1928.
536
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
на самом деле клин с постепенным переходом на параллельные стенки.
Как далее увидим, в таком потоке профиль скоростей в сечении
пограничного слоя должен иметь больший уклон, чем на пластинке.
Уже ранее упоминалось, что понятие „толщины" пограничного слоя
весьма условно.
Если под толщиной пограничного слоя понимав такое размерное
расстояние у==3 от стенки, где продольная размерная скорость и
лишь, например, на один процент отличается от скорости внешнего
потока Vm, то по табл. 14 найдем приблизительно
...................................... ...
8 = 5,01/
* со
а если повышать точность совпадения и и К», то толщина будет
соответственно увеличиваться. Так, если потребовать, чтобы откло-
нение не превышало 0,2%, то коэффициент 5,0 в предыдущей фор-
муле заменится на 5,8 и т. д. В настоящее время избегают пользо-
ваться этим приближенным понятием (ход возрастания 8 вдоль пластинки
показан на рис. 166), вводя для характеристики „толщины “ слоя неко-
торые интегральные определения.
Так, общеприняты: „толщина вытеснения" 8*, равная
СО
**=/(* -€>=1'721/?>
и „толщина потери импульса"
СО
8** = ( “ fl = 0,664 1/"
J "со V ^со ' ' ‘'со
Формулы этих величин для общего случая обтекания любого ци-
линдрического тела и физический их смысл, объясняющий происхожде-
ние наименований, дадим несколько далее, а сейчас лишь укажем, что
такое интегральное определение, хотя и не имеет той наглядности,
как представление о толщине слоя (8 38* = 7,5 8**), но зато слабо
зависит от неточности учета совпадения а и при больших у. Так,
из формулы
К» • 8* = J (Ко— и) dy
о
видно, что выраженная в безразмерных величинах правая часть пред-
ставляет заштрихованную на рис. 167 площадь, заключенную между
кривой скоростей, „осью ординат" и прямой и = Vm; величина этой
площади (1,72) мало зависит от ошибки, которая будет сделана, если
интегрирование производить до конечной абсциссы, равной, например,
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
537
§ 85]
пяти, а не шести, семи и т. д. Аналогичное замечание .можно сделать
и относительно величины 8**.
Интересно отметить, что в рассматриваемом случае продольного
обтекания пластинки кривые изменения условных толщин пограничного
слоя вдоль пластинки представляют собою изотахи потока. В самом
деле, при:
_у = о(х), _у = 3*=(х) или у == 3** (х)
будем иметь:
и = ~ (const) == const • Vm.
Отсюда не следует делать вывода, что и при обтекании любого
тела граница пограничного слоя совпадает с изотахой; этим свойством
обладает лишь пограничный слой на пластинке.
Если поток изотермичен, то решение задачи о продольном обтекании
пластинки с ламинарным пограничным слоем заканчивается проведенным только
что определением скоростей напряжения трения и коэффициента сопротив-
ления. Если же поток не изотермичен, как это будет, например, иметь место
при искусственном поддержании на поверхности пластинки размерной темпе-
ратуры Tw, отличной от температуры набегающего потока Тт, то в этом
случае представляет интерес разыскание также распределения температур
в потоке и количества тепла, снимаемого потоком с пластинки или, наоборот,
отдаваемого потоком пластинке.
' Введем вместо размерной температуры Т безразмерную температуру 6,
равную
т __т
я _ 1
" “ т — Т ’
г ги со
и будем опять вместо задачи о пластинке решать задачу об обтекании пло-
скости, уходящей на бесконечность вниз по потоку и нагретой до постоянной
температуры Tw. Предположим, что перепад температур TVJ — Тт настолько
мал, что можно пренебречь влиянием температуры на плотность и вязкость
«жидкости.
Положим в третьем уравнении системы (65)1
r=rw-(re-U0(Tj
и заменим по предыдущему и и v на их выражения через функцию sp:
и = (*]), v = 1 (т)/ — <р),
2 2 ух
тогда после простых приведений будем иметь линейное относительно 6
уравнение
6" + af6' = 0, (73)
решение которого по заданному <р (т,) не представляет труда.
1 В силу однородности этого уравнения по отношению к температуре
безразлично считать Т размерным или безразмерным.
538
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
Имея в виду граничные условия:
при т] = 0 0 = 0,
при = си 0=1,
легко получим:
Ч
’I —а .[
J" е ° dt]
(73')
со —а [
J" е 0 dt]
о
Это выражение можно еще упростить, если заметить, что по (71):
f (Tj)
(0) ’
а следовательно,
Окончательно будем иметь:
0(т;) =
j [<?"(0]°^
О
со
J
о
(74)
Особенно простой результат получается, если жидкость такова, что при-
ближенно можно положить с=1, тогда квадратуры берутся легко и из
равенства (74) следует:
е((1)=-^Ц,
<р' (с)
или в размерных величинах:
(74')
Таким образом, если число
РСр
близко к единице, что в некотором приближении имеет место, например, для
многоатомных газов, то распределение температуры в неизотермическом
пограничном слое вблизи пластинки с постоянной вдоль ее поверхности
температурой подобно распределению продольных скоростей.
Т№—Г _ и
Тад 7^ Vv
§ 85]
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
539
В случае жидкостей, как было указано в начале настоящей 1лавы,
число с во много десятков, а иногда и сотен раз превышает единицу.
В этом случае 0 (»]) приходится вычислять непосредственно по формуле (74).
На рис. 168 показаны кривые для нескольких значений чисел с.
Вычислим количество тепло-
ты Q, отдаваемое в единицу
времени одной стороной поверх-
ности пластинки, если для опре-
деленности Т<х>. Будем
иметь по формуле Фурье:
I
dx,
причем предполагается, что,
в силу плоского характера по-
тока, расчет ведется на еди-
ницу длины в направлении,
перпендикулярном к плоскости
движения. Введем в рассмотрение безразмерное число Нусссльта N, равное
al
X ’
где величина а определяет коэффициент теплоотдачи, равный секундному
количеству тепла, отдаваемому единицей площади пластинки и отнесенному
к единице температурного напора:
Q = —
X
аг \
N =
_или в принятых безразмерных величинах:
n-(Ц_. • / 5# •
Здесь функция /(а), равная
f (О) = = = 1
J v ’ \dt\)n' “ ’
/[?$) P71
b b
(75)
(75')
может быть, как показал Польгаузен,1 приближенно представлена формулой
/(с) = 0,664 р'Т; (75")
1 В. Pohlhausen, Zeitschr. fiir Angew. Math, und Mechanik»Bd. 1,1921,
540
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VHI
о степени приближения можно судить по цифрам табл. 15.
Таблица 15
a /(=) 0,664 c a /(») 0,664 a a /(°) 0,664 a
0,6 0,552 0,560 0,9 0,640 0,641 7,0 1,29 1,26
0,7 0,585 0,589 1,0 0,664 0,664 10,0 1,46 1,43
0,8 0,614 0,616 1,1 0,687 0,685 15.0 1,67 1,64
Таким образом, вместо (75) можно пользоваться простой приближенной
формулой:
N = 0,664 ^7 /^7= 0,664 1/ i^l/ (76)
* К * v
Зная число N, коэффициент теплопроводности X и температурный напор
Гад — 7^, легко определим и отнесенное к единице ширины пластинки попе-
рек потока количество теплоты Q, отдаваемое в единицу времени потоку одной
стороной пластинки:
Q = X(Tw-rjN.
Исследование ламинарного аэродинамического и теплового следа непо-
средственно за пластинкой представляет большие математические трудности.
Сравнительно просто решается вопрос о движении жидкости вдалеке вниз
по потоку от задней кромки пластинки.1
§ 86. Ламинарный пограничный слой при степенном задании
скорости внешнего потока U=cxm
Другим более общим случаем сводимости уравнений в частных
производных (65) к обыкновенному уравнению является такое движе-
ние жидкости в пограничном слое, при котором размерная скорость
внешнего потока на границе пограничного слоя определяется степен-
ным равенством2
U =схт. (77)
Этот случай интересен, как пример ускоренного (т > 0) или
замедленного (т < 0) движения во внешнем потоке; анализ решения
этой задачи позволяет сделать выводы об особенностях поведения по-
граничного слоя в такого рода потоках.
Обозначая, как и раньше, через I и V масштабы длин и скоро-
стей, будем иметь:
V=clm (11')
1 См. Л. Г. Лойцянский, Аэродинамика пограничного слоя. Гостех-
издат, 1941, стр. 118—124.
2 V. М. Fal kn е г and S. W. S к а п, ARC R&M № 1314 (1930), а также
Р. R. Hartree, Proceed, of the Cambridge Phil. Soc. 33 (1937),
§ 86] СТЕПЕННОЙ ЗАКОН СКОРбСТИ ВНЕШНЕГО ПОТОКА 541
и, взяв отношение левых и правых частей,
U _ / х_\т
V I )
или, сохраняя для безразмерных величин те же обозначения, что и
для размерных:
U—xm.
Уравнения ламинарного пограничного слоя (65) в силу равенства (66)
при безразмерном р==1 буду г иметь вид:
U дх + ® ду тХ ду*
ди .dv _
гт г,п| " lmTI .1 V"
дх J ду
(78)
В данном случае имеем масштабы
/, У —.... 1 __,
УН
причем в силу (77х)
Vl с1™+1 г
*\ , I I/
i V 1
с/’"-1"
Из условия независимости решений уравнений (78) от масштаба I,
который отсутствует в условиях задачи, следует, что искомые функ-
ции должны зависеть не от безразмерных х и у отдельно, а от такой
их комбинации, чтобы при переходе к размерным величинам масштаб I
выпал.
* Сравнивая выражение X и Y, видим, что искомой комбинацией
безразмерных х и у является
т—1
iq = ух 2 . (79)
Полагая в безразмерных величинах
т,—1
и = Uf (7)) = О%~), (79')
введем, чтобы удовлетворить второму уравнению системы (78), без-
размерную функцию тока тогда будем иметь:
V V т—1 т+1 %
/Г* ..... ..11
udy~xmjf(yx 2 )dy =
о о
т+1
- 2 <?(»!)• (80)
о
542
ДЙНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. VTH
Составляя выражения (штрих — производная по Т|):
2
Дф w+1 л । Wl’~1
£/ ...X (р ~ <р у
Эг/ и, 1 / г tn — 1 wi i и *, *! f \ т — 1 j
— ~|--—X^TQX-1^^Хт~х\Т№ 4"~2
2m—1 а_
<*L = х-Т-^ xsm-iw"'
ду Х Ч ’ ду* ® ’
и подставляя их в первое уравнение системы (78), получим после
простых сокращений:
iff । Н~ 1 п i fl i \
<э -|---g—*FP = лг(? —1).
Уравнение это можно еще дополнительно упростить, если сделать
замену: _____ _____________
? = ^+ТФ’ *1= V лГф-1 5- (81)
Простые вычисления приведут после этого к такой окончательной
форме основного дифференциального уравнения задачи:
“Г® d&
(82)
где положено для краткости
2т
(82')
Заметим, что из соотношений (79'), (80) и (81) следует;
т+1 1
3 Ф(0,
2
п=х’«Ф'О),
(83)
<и =
х~~*~
~<2~ 6 Ф 1
где $ связано с размерными координатами х, у соотношением:
»»—1
е =
^гУ\/ —=У
(83')
§ 86] СТЕПЕННОЙ ЗАНОЙ СКОРОСТИ ВНЕШНОГО ПОТОКА
S43
Пользуясь этими равенствами, легко установим граничные условия
задачи:
Ф (О) = Ф'(0) = О, Ф'(оо) = 1. (84)
Уравнение (82) представляет обыкновенное нелинейное уравнение
третьего порядка, решение которого при граничных условиях (84)
может быть проведено либо приближенным численным методом, либо на
специальной интегрирующей машине, как это сделал Хартри в цити-
рованной на стр. 540 работе.
Рёзультаты численного интегрирования сведены в табл. 16 зна-
чений отношения скоростей u/U или функции Фх($) при различных
величинах параметра £.
Некоторые качественные выводы можно непосредственно сделать
из рассмотрения табл. 16. Заметим прежде всего, что положительным т
соответствуют ускоренные внешние потоки (U' > 0), имеющие место
в конфузорных (сходящихся) каналах, а отрицательным т— замед-
ленные потоки (U' < 0), наблюдаемые в диффузорах, (расширяющихся
каналах). Соответственно знаку т будет положительным или отрица-
тельным параметр р. Случаю т = 0 отвечает известное уже нам про-
дольное обтекание пластинки с равномерным внешним потоком (£7=1,
U' = 0).
Первое, что сразу следует из табл. 16, это убывание с увеличе-
нием параметра £ безразмерной „толщины" пограничного слоя Е6,
определенной значением 6, при котором u/U отличается от единицы
на данную малую величину, например, на 0,1%. Так, при р = — 0,1988
«5 = 6,0, при р = 0 $8 = 4,8, при р = 0,2 £8 = 4,4, а при р = 2,4
= 3,0. К аналогичному результату придем, вычисляя размерные
условные толщины слоя; толщину вытеснения 8* и толщину потери
импульса 8**, определенные интегралами:
СО ©о
о о
или, согласно (83'):
со ’
8* = /[1-Ф'@1 ^•]/’-^- = Д(р)|/~
\ _ (85>
8«= J Ф'(5)[1-ф'(9|^.|Л^ = В(₽)-|/'А.
о }
Входящие сюда функции А (Р) и В (р), равные:
со со
А (р) = J [ 1 — Ф' (01 dt, В (р) = / Ф' © 11 — Ф' (В)] dt,
О о
544
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ жидкости И ГАЗА
(гл. Vltl ,
Значения
е\ -0,1988 -0,19 -0,18 -0,16 -0,14 —0,10 0 0,1 0,2 0,3
0,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,1 0,0010 0,0095 0,0137 0,0198 0,0246 0,0324 0,0469 0,0582 0,0677 0,0760
0,2 0,0040 0,0209 0,0293 0,0413 0,0507 0,0659 0,0939 0,1154 0,1334 0,1490
0,3 0,0089 0,0343 0,0467 0,0643 0,0781 0,1003 0,1408 0,1715 0,1970 0,2189
0,4 0,0158 0,0495 0,0659 0,0889 0,1069 0,1356 0,1876 0,2265 0,2584 0,2858
0,5 0,0248 0,0665 0,0868 0,1151 0,1370 0,1718 0,2342 0,2803 0,3177 0,3495
0,6 0,0358 0,0855 0,1094 01427 0,1684 0,2088 0,2806 0,3328 0 3747 0,4100
0,7 0,0487 0,1063 0,1338 0,1719 0,2010 0,2466 0,3266 0,3839 0,4294 0,4672
0,8 0,0636 0,1289 0,1598 0,2023 0,2347 0,2849 0,3720 0,4335 0,4816 0,5212
0,9 0,0803 0,1533 0,1874 0,2341 0,2694 0,3237 0,4167 0,4815 0,5312 0,5718
1,0 0,0991 0,1794 0,2166 0,2671 0,3050 0,3628 0,4606 0,5274 0,5782 0,6190
1,2 0,1423 0,2364 0,2791 0,3362 0,3784 0,4415 0,5453 0,6135 0,6640 0,7033
1,4 0,1927 0,2991 0,3463 0,4083 0,4534 0,5194 0,6244 0,6907 0,7383 0,7743
1,6 0,2498 0,3665 0,4170 0,4820 0,5284 0,5948 0,6967 0,7583 0,8011 0,8326
1.8 0,3126 0,4372 04896 0,5555 0,6016 0,6660 0,7610 0,8160 0,8528 0,8791
2,0 0,3802 0,5095 0,5621 0,6269 0,6712 0,7314 0,8167 0,8637 0,8940 0,9151
2,2 0,4509 0,5814 0,6327 0,6944 0,7354 0,7896 0,8633 0,9019 0,9260 0,9421
2,4 0,5230 0,6509 0,6995 0,7561 0,7927 0,8398 0,9011 0,9315 0,9500 0,9617
2,6 0,5946 0,7162 0,7605 0,8107 0,8422 0,8817 0,9306 0,9537 0,9612 0,9754
2,8 0,6635 0,7754 0,8146 0,8574 0,8836 0,9153 0,9529 0,9697 0,9792 0,9847
3,0 0,7278 0,8273 0,8607 0,8959 0,9168 0,9413 0,9691 0,9808 0,9873 0,9908
3,2 0,8158 0,8713 0,8986 0,9265 0,9425 0,9607 0,9804 0,9883 0,9924 0,9946
3,4 0,8364 0,9071 0,9286 0,9499 0,9616 0,9746 0,9880 0,9931 0,9957 0,9970
3,6 0,8789 0,9352 0,9515 0,9669 0,9752 0,9841 0,9929 0,9961 0,9976 0,9984
3,8 0,9132 0,9563 0,9681 0,9789 0,9845 0,9904 0,9959 0,9978 0,9987 0,9991
4,0 0,9399 0,9716 0,9798 0,9871 0,9907 0,9944 0,9978 0,9988 0,9993 0,9995
4,2 0,9598 0,9822 0,9876 0,9924 0,9946 0,9969 0,9988 0,9994 0,9996 0,9997
4,4 0,9741 0,9893 0,9927 0,9957 0,9970 0,9983 0,9994 0,9997 0,9998 0,9999
4,6 0,9839 0,9938 0,9959 0,9977 0,9984 0,9991 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999
4,8 0,9904 0,9965 0,9978 0,9988 0,9992 0,9996 0,9999 0,9999
5,0 0,9945 0,9981 0,9988 0,9994 0,9996 0,9998 0,9999
5,2 0,9969 0,9990 0,9994 0,9997 0,9998 0,9999
5,4 0,9984 0,9995 0,9997 0,9999 0,9999
5,6 0,9992 0,9997 0,9999 0,9999
5,8 0,9996 0,9999 0,9999
6,0 0,9998 0,9999
6,2 0,9999
6,4 1,0000
§ 86] СТЕПЕННОЙ ЗАКОН СКОРОСТИ ВНЕШНЕГО ПОТОКА 545
Таблица 16
НКЦИИ Ф' (g).
м 0,5 0,6 0,8 1,0 1,2 1,6 2,0 2,4 /^/
ЮОО 0,6000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0
1834 0,0903 0,0966 0,1080 0,1183 0,1276 0,1441 0,1588 0,1720 0.1
628 0,1756 0,1872 0,2081 0,2266 0,2433 0,2726 0,2980 0,3206 0,2
’382 0,2558 0,2719 0,3003 0,3252 0,3475 0,3859 0,4186 0,4472 0,3
097 0,3311 0,3506 0,3848 0,4144 0,4405 0,4849 0,5219 0,5537 0,4
(771 0,4015 0,4235 0,4619 0,4946 0,5231 0,5708 0,6096 0,6424 0,5
403 0,4670 0,4907 0,5317 0.5662 0,5959 0,6446 0,6834 0,7155 0,6
994 0,5276 0,5524 0,5947 0,6298 0,6596 0,7076 0,7449 0.7752 0,7
545 0,5834 0,6086 0,6512 0,6859 0,7150 0,7610 0,7858 0,8235 0,8
055 0,6344 0,6596 0,7015 0,7350 0,7629 0,8058 0,8376 0,8624 , 0,9
526 0,6811 0,7056 0,7460 0,7778 0,8037 0,8432 0,8717 0,8934 1.0
351 0,7615 0,7837 0,8194 0,8467 0,8682 0,8997 0,9214 0,9373 1,2
027 0,8258 0,8449 0,8748 0,8968 0,9137 0.9375 0,9530 0,9640 1.4
568 0,8860 0,8917 0,9154 0,9324 0,9450 0,9620 0,9726 0,9799 1,6
988 0,9141 0,9264 0,9443 0,9569 0,9658 0,9775 0,9845 0,9892 1,8
Ь05 0,9421 0,9514 0,9644 0,9732 0,9793 0,9871 0,9914 0,9944 2,0
537 0,9621 0,9689 0,9779 0,9841 0,9879 0,9928 0,9954 0,9970 2,2
700 0,9760 0,9807 0,9867 0,9905 0,9931 0,9961 0,9976 0,9985 2,4
812 0,9852 0,9884 0,9922 0,9946 0,9962 0.9980 0,9989 0,9993 2,6
886 0,9913 0,9933 0,9956 0,9971 0,9980 0,9990 0,9994 0,9996 2,8
933 0,9952 0,9962 0,9976 0,9985 0,9989 0,9995 0,9997 0,9998 3,0
962 979 989 994 Ю7 999 Ю9 — 0.9974 0,9986 0,9993 0,9997 0,9999 0,9979 0,9989 0,9995 0,9997 0,9999 0,9987 0,9993 0,9997 0,9998 0,9999 0,9992 0,9996 0,9998 0,9999 0,9995 0,9997 0,9999 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 6,0 6,2 6,4
35 Зак. 1841. Л Г. Лойнянский.
546
Динамика вязкой жидкости и газа
[гЛ. VIII
могут быть найдены численным интегрированием по табл. 16 функ-
ции Ф' (Е) = -j- и даны в табл. 17.
Таблица 17
>4(₽) В(?) Ф"(0) Ф" (0)
—0,1988 2,359 0,585 0,0000 0,30 0,911 0,386 0,7748
—0,19 2,007 0,577 0,086 0,40 0,853 0,367 0,8542
—0,18 1,871 0,568 0,1285 0,50 0,804 0,350 0,9277
—0,16 1,708 0,552 0,1905 0,60 0,764 0,336 0,996
—0,14 1,597 0,539 0,2395 0,80 0,699 0,312 1,120
—0,10 1,444 0,515 0,3191 1,00 0,648 0,292 1,2326
0,00 1,217 0,470 0,4696 1,20 0,607 0,276 1,336
0,10 1,080 0,435 0,5870 1,60 0,544 0.250 1,521
0,20 0,984 0,408 0,6869 2,00 0,498 0,231 1,687
Переписывая выражения 8* и 8’* в форме:
___________1—»>
8* =- А (В) 1/ х - ,
w г (т -f- 1) с ’
___________1—in j
(8S-)
видим, что при т == 1 (р = 1) обе „толщины" слоя 8* и 8** ока-
зываются не зависящими от х постоянными величинами:
= « 0,648
4-=0’292 /-Ь
Случай т—1 имеет простой физический смысл, это—движение
в пограничном слое вблизи точки разветвления потока в передней
критической точке крыла (U = сх).
Согласно формулам (85'), при m< 1 толщина пограничного слоя
растет вниз по течению, подобно тому, как это имело место, напри-
мер, на пластинке (т — 0), причем чем меньше т, тем этот рост
сильнее. Особенно быстро растет толщина пограничного слоя в замед-
ленных потоках при т < 0, что имеет место в течениях в диффу-
зорных каналах. Интересно отметить, что, при m > 1, т. е. в резко
ускоряющихся потоках (конфузорные каналы), толщина пограничного
слоя будет убывать вниз по течению.
§ 861 СТЕПЕННОЙ ЗАКОН СКОРОСТИ ВНЕШНЕГО ПОТОКА 54?
Рассмотрим теперь напряжение трения на стенке представлен-
ное в размерном виде1 равенством
\оу/уг=о У М0 \ Об /5=0 ’ р
Безразмерная величина Ф"(0) приводится как функция [3 в табл. 17.
Примечателен факт, что при р = — 0,1988 (т —— 0,0904), т. е. при
законе убывания скорости внешнего потока
£У=СХ-°-09М,
величина Ф"(0) становится равной нулю. При этом во всех точках
на поверхности канала (х > 0, у = 0) трение обращается в нуль
и будет выполняться условие начала отрыва:
Рассматриваемый частный случай (р — — 0,1988) представляет пре-
дельное безотрывное движение жидкости в пограничном слое. При
р<—0,1988 пограничный слой уже не может существовать и заме-
нится попятно движущейся жидкостью, а предыдущее решение поте-
ряет свою силу.
Таким образом, исследованное в настоящем параграфе движение
со степенным распределением скорости во внешнем потоке предста-
вляет своеобразный практический интерес. Выбирая для показателя
степени т (или Р) различные убывающие значения от т — 1 до
т — —0,0904, мы тем самым рассматриваем движения, похожие на
происходящие в различных сечениях пограничного слоя на крыле: вблизи
лобовой критической точки 0(яг=1, р = 1), точки минимума давле-
ния 7И(/и = 0, р — о) и, наконец, точки отрыва S (т = — 0,0904,
Р = — 0,1988). Для дальнейшего, однако, важно понять, что рас-
смотренный в настоящем параграфе класс течений соответствует фи-
ксированным значениям т или р при всех значениях абсциссы х,
в то время как в пограничном слое при различных значениях х при-
ходится иметь дело как с ускоренным потоком в лобовой части крыла,
так и с замедленным — в кормовой части. Чтобы использовать для
приближенного описания движения в пограничном слое на крыле про-
фили скоростей и другие величины, представленные в предыдущих
таблицах, пришлось бы для каждого сечения пограничного слоя на
крыле брать из таблиц значения этих величин, соответствующие своему,
характерному для данного сечения слоя значению |3 или т. Для уста-
новления связи между необходимым значением р (или т) и абсцис-
сами х различных сечений слоя в этом случае потребовались бы
некоторые дополнительные соображения, которые будут изложены
в следующих параграфах, посвященных приближенным методам тео-
рии ламинарного пограничного слоя.
35*
548
Динамика ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
{гл. vm
Обращаясь к вопросу о неизотермическом движении жидкости в по-
граничном слое при степенном законе скорости во внешнем потоке, удо-
вольствуемся, как и в случае пластинки, простейшим предположением о неза-
висимости плотности и вязкости жидкости от температуры. Это предположение
имеет силу, если разность между постоянной по всей поверхности тела тем-
пературой Tw и температурой внешнего потока Т^, также принимаемой
одинаковой во всем внешнем потоке, т. е. перепад температур AT— Т — Тт
невелик.
Составим вновь безразмерную температуру
т _______________________________т
а _ 1
у —
и попытаемся удовлетворить последнему из безразмерных уравнений си-
стемы (65), переписанному в форме:
йв . дО 1 й26
и -д—{- v "з— — —j-s, (87)
дх 1 ду a djft
и очевидным граничным условиям:
при у=0 6 = 0, |
при у = ОО 6 = 1, J
считая 6 функцией только Е. Имеем-.
------- Ш—1
1_=6'(;)А=1/
ду ду г 2 ' ' йуа 2 ' ’
После подстановки этих величин, а также и и v, приведенных в системе (83),
в уравнение (87) и простых вычислений получим уравнение:
6«'(Е)Ч-оФ(?)6'(Е) = 0, (88)
совершенно аналогичное уравнению (73) для случая пластинки. Интегрирова-
ние этого уравнения при граничных условиях (87') приводит к решению
в форме квадратуры:
Е
Е —a f ФеЙ
/е °
б(=) = ------------, (88')
СО —О Г Ф
f в ° di
зависящей как от аргумента s, так н от параметров а и ₽. Таблицу значений
функции Ф(5) можно составить численным интегрированием функции Ф'(£)
или пользоваться приближенной формулой
Ф(?) =1ф"(0)«
со значениями Ф"(0), взятыми по ранее приведенной табл. 17.
§ 87] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 549
К численному интегрированию сводится и несколько более общая не-
нзотермнческая задача; отличающаяся от предыдущей тем, что температура
стенкн не постоянна, а является также степенной функцией абсциссы х:1
Tw=T^Ax-.
Следует отметить, что опыты хорошо подтверждают результаты теоре-
тического расчета теплоотдачи.
§ 87. Ламинарный пограничный слой в общем случае задания
скорости внешнего потока. Применение уравнения импульсов
для приближенного расчета ламинарного пограничного слоя
Согласно (66), уравнения (65) изотермического ламинарного погра-
ничного слоя можно переписать в размерной форме так:
ди । ди т, dU > й5« )
j ( '
дх J
В общем случае задания I) (х), как некоторой произвольной функ-
ции, уравнения в частных производных (89) не могут быть сведены
к обыкновенному. Существующие методы интегрирования уравне-
ний (89), основанные на разложении U(х) в степенной ряд и разы-
скании неизвестных функций и и v также в виде степенных рядов, 8
сложны с вычислительной стороны и мало точны. В последнее время
широкое практическое применение получили приближенные методы,
сводящие решение общей задачи к вычислению простых квадратур.
Изложению этих методов и посвящен настоящий параграф.
Начнем с вывода основного уравнения количеств движения или
„уравнения импульсовкак принято его называть.
Пользуясь вторым уравнением системы (89), преобразуем систему
к виду:
’ д . о. । д , Т1 dU । д2 * *и
ан! f W “ j j UfQ I fj . ’у >——
дх v ’ 1 ду v ' dx 1 dy2 ’
~-(t7n)4- ^(tA») = «
после чего вычтем почленно обе части первого уравнения преобра-
зованной системы из второго; тогда будем иметь:
(U—«)] + {оу- «)] + и) % = - .
1 A. Fage and V. Falkner, ARC R&M № 1408 (1931).
См. также „Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости”,
т. II, ИЛ, Москва, 1948, стр. 313.
2 Обзор методов этого рода см. Л. Г'. Л о й ц я и с к и й. Аэродинамика
пограничного слоя. Гостехиздат, 1941, стр. 151, а также „Современное состоя-
ние гидроаэродинамикн вязкой жидкости”, т. 1, ИЛ, 1948.
550
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. VIII
Проинтегрируем обе части полученного уравнения по у в пределах
от нуля до со или до некоторой конечной величины, принимаемой
с той степенью условности, о которой уже была речь в предыдущих
параграфах, за меру „толщины" пограничного слоя. В последнем
случае точные условия асимптотического стремления и (х, у) к U (х):
при у -> оо « -» U (х), -> 0,
заменяются приближенными’.
при ji = 8(x) ы = £7(х), g- = 0.
Производя в том или другом предположении указанное интегри-
рование, будем иметь:
СО, 6
б
о "
Используем граничные условия и заметим, что при существовании
интеграла с бесконечным верхним пределом будет:
со со
fu(t7—a)dy;
b
точно так же в случае переменного конечного верхнего предела 8 (х):
о (а>) 5 (as)
о б
= «(£/—tt)dy.
О
Таким образом, будем иметь:
со,§ СО, 6
“г- I u(U—dy '“J- -~~z— * I uj dy = v • (90)
UX •> J ХОУ/у =Q
Введем условные „толщины" пограничного слоя: „толщину вы-
теснения"
со, В
S*=J
о
d
dx
о
§ 87] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 551
и „толщину потери импульса"
и вспомним, что по определению напряжения трения на стенке tw:
vf—) = ^S.
\dy/v=u Р ‘
Уравнение (90) преобразовывается к виду
= (90')
или, после раскрытия производной,
^ + ^(2^+И = >- (91)
Уравнение (91) представляет основное интегральное соотношение
теории пограничного слоя и называется „уравнением импульсов".
Уравнению импульсов придают еще форму
dx ' U v ' ' ри2
где под Н понимают отношение:
(91')
а*
5** •
Уравнения (91) или (91') могли бы быть получены непосредственно
из теоремы количеств движения (теоремы импульсов), примененной
к объему жидкости, заключенному между двумя бесконечно близкими
смежными сечениями пограничного слоя, чем и объясняется наимено-
вание этих уравнений.
_ В 1921 г. Карман и Польгаузен предложили приближенный метод
интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя, основанный
на использовании уравнения импульсов. Идея метода заключается
в следующем. Заменим неизвестные действительные профили скоро-
стей и(х, у) в сечениях пограничного слоя семейством парабол
четвертой степени
и _12 + л у К(У\ъ 4 —//уу । 6 —Х/уМ
U ~~6~Т~"2 \ 8? 2 6 W ( ’
с параметром X, равным
Легко проверить, чю это семейство профилей скорости удовле-
творяет ранее указанным граничным условиям
Qu
при у — 0 и = 0, при у — 8 u = U, — 0,
552
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
и, кроме того, еще двум
дополнительным условиям:
при у = О
при у ~ 8
д2и _ ии'
ду2 \ ’
&и п
ау =°’
из которых первое непосредственно вытекает из первого уравнения
системы (89), а второе требует, чтобы соприкасание кривых семейства
с прямой -jj~= 1 при у — В было второго порядка. Рассматривая пара-
метр X, или, тем самым, по (92') 6, как неизвестную функцию х, можем
эту неизвестную определить, пользуясь уравнением импульсов (91). Для
этого достаточно подставить многочленное представление скорости (92)
в выражения 8* и 8** и вычислить эти „толщины"; простое интегри-
рование многочленов дает:
j. = 0,3000—0,008333Х,
= 0,1175 — 0,001058Х — 0,0001102Х2,
кроме того,
° 1]\ __ V 12 + Х
аХ / “778 6 ’
8 »=0
Подставляя полученные значения 8*, 8й '-=; и iJpU2 в уравнение (91),
получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для
определения X:
dX U' ... . U" , ... ,п„.
dx ~ U и’
где функции g'(X) и й(Х) определяются равенствами:
... _7257,6 — 1336.32Х + 37,92)2 + о,8/.з |
ё{)~ 213,12—5,76Х—X2 ’ I
h(\\— 21ЗЛ2Х—1,92X2 —0,2).з j I9 ’
— 213,12 —5,76Х — Х2 • j
Определив по (93) Х(х), тем самым найдем и 8(х), после чего
станут известными профили скоростей (92) во всех сечениях погра-
ничного слоя, трение на стенке и „толщины" 8*, 8**. К сожале-
нию, метод Польгаузена оказывается крайне сложным с вычисли-
тельной стороны, так как требует приближенного интегрирования
нелинейного уравнения (93) с особыми точками при U = 0 и U' = 0.
Кроме того, и это наиболее существенно, метод оказывается непри-
менимым к исследованию пограничного слоя при замедленном движении
§ 87] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 553
во внешнем потоке, например, в кормовой части крылового профиля,
если слой близок к предотрывному своему состоянию или отрывается. 1
О точности метода Польгаузена в областях, где метод допустим
к использованию, можно судить на основании следующего простей-
шего примера его применения к продольному обтеканию пластинки.
В этом случае 1 = 0, так как Z7= Vo, U'— 0; подставляя значения:
PVl " KJ!
в котором второй член в левой
8=5-* = 0,11758,
непосредственно в уравнение (91),
части пропадет, будем иметь:
0,Ц75-^ = -=Д-.
dx
Уравнение легко интегрируется и даег:
8 = 5,831/'8* = 0,38 = ]
* * т
= 0,11758 = 0,6851/'
хи, = 0,343
Таблица 18
Коэффициенты Точный Приближенный
1,72 1,75
0,664 0,685
0,332 0,343
Что касается формулы для толщины слоя 8, то она имеет чисто
вспомогательный и условный характер; остальные результаты до-
пускают сравнение с точными формулами § 85. Приведем сравне-
ние числовых коэффициентов
в этих формулах (табл. 18).
В настоящее время раз-
работаны значительно более
простые и вместе с тем
вполне приемлемые для прак-
тики методы расчета погра-
ничного слоя, основанные на
применении преобразован-
ного уравнения импульсов
и более близкого к действительности, но также однопараметриче-
ского семейства профилей скорости. 2
1 Подробное изложение метода Польгаузена с критикой недостатков и
иллюстрацией примеров неприменимости метода можно найти в ранее цити-
рованной нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя*, стр. 170—189.
2 Л. Г. Л о йця н с к и й, Приближенный метод расчета ламинарного
пограничного слоя на крыле. Доклады АН СССР, т. XXXV, № 8, 1942;
Н. Е. КочиниЛ. Г. Лойцянский, Об одном приближенном методе
расчета ламинарного пограннчнго слоя. Доклады АН СССР, т. XXXVI,
№ 9,1942.
554
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. vin
Предположим, что семейство профилей скорости в сечениях по-
граничного слоя задано функцией
удовлетворяющей тем или другим граничным условиям и имеющей
в качестве параметра величину X, определенную
Используя эту функцию, убедимся, что вообще:
л u ’
д U
равенством (92').
»b (X)
»/=о
1- = Н*(Л), V=H**(X), ^2=7^
о 4 7 б v 7 ри2 СО
04-
О ,
где И*, Н** и b — некоторые функции X, зависящие от вида функ-
ции X).
Подставляя эти значения В*, 6** и в уравнение импульсов (91),
получим вновь уравнение (93), с той лишь разницей, что входящие
в него функции g(X) и Л (Л) будут представлять следующую явную
зависимость от Н*, Н*' и Ь:
— X/7**
. fe-(2H** + H*)k 2*
dH** 1 ’ dH** 1
d\ H 2 dX + 2
Введем теперь в рассмотрение две новые функции X:
f = и F==2W»*[^—X(2H**-)-№)),
связанные с g'(X) и /г(Х) простыми соотношениями:
г(Ч = £,
dX
(94)
(л) —— 9
Зх
тогда уравнение (93) может быть переписано так:
dX U' F .U" f
dx~~ U df^U'df'
dk dk
Умножая обе части этого уравнения на получим обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка
dl-^F±
dx U U' J
относительно неизвестной функции:
S**2 -
> ~ ~' V 62 v
(95)
(96)
§ 87] ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 555
Таким образом, параметр к, заключающий в себе условную вспо-
могательную величину 8, исключается и заменяется новым параметром /,
образованным по тому же закону, что и к, но имеющим в качестве
характерной длины „толщину потери импульса" о**.
Замечая, что равенства (94) можно рассматривать как параметри-
ческую связь между F и f через параметр к, а параметр X выражается
через / при помощи первого из уравнений (94), будем предполагать,
что к исключено и повсюду заменено своим выражением через /.
Переписывая F в виде:
Р(/) = 2^ЬН** — ^2кН^-]-кН**2
и вводя обозначения:
C(/) = W/** =
Н*
(97)
получим такое выражение для функции F(f):
(97')
Приведенный вывод уравнения (95) и общего выражения (97')
входящей в него функции F(f) несколько сложен, но зато имеет
то достоинство, что связывает новый метод со старым и естественно
из него вытекает.
Уравнение (95) можно вывести непосредственно из уравнения им-
пульсов (91) или (91'), не прибегая к помощи параметра X и толщине
слоя 8. Предположим заранее, что профили скоростей в пограничном
слое могут быть представлены однопараметрическим семейством ско-
ростей в форме:
н _ ( У . f 1
где 8** — толщина потери импульса, а /—некоторый, пока неопре-
деленный параметр. Вычисляя толщину вытеснения 8*, убедимся, что
т. е., что отношение 8й,о** представляет функцию одного /:
556
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. VIII
Далее заметим, что напряжение трения может быть представлено
как
причем квадратная скобка представляет также функцию одного /.
Обозначая эту функцию через (.(f), получим:
^=^(/)-
После этого, умножая обе части уравнения (91'), переписанного
в виде
do** , £7'8** г_ , „/Л1 v „
ЦЪ**
на 2 ---? будем иметь:
2£^^+2Z^[2 + h(/)j = 2C(/)
ИЛИ
.. d/tn>**2 Ь „г,ж _ и'Ъ**2 .
Vdx\y------— 2(.(f)— 2 • —-— [2+ Я(/)].
£/'о**2
Отсюда сразу видно, что, если положить —-— = /, то последнее
уравнение перейдет в уравнение (95); при этом также получается и
формула (97') для F (/).
§ 88. Способы определения функций £ (/), H(f) и F(f).
Приближенный метод расчета ламинарного пограничного
слоя
Для определения функций (,(f), H(f) и F (f) следует задаться
семейством профилей скорости, в той или другой степени апроксими-
рующим скорости в сечениях пограничного слоя. Так, если вернуться
к семейству профилей скорости (92), то функции (.(f), H(f) и F(f)
определятся для польгаузеновского приближения. Имея в виду, что
это приближение недостаточно для описания кормовых течений в погра-
ничном слое вблизи отрыва, примем вместо (92) в качестве апрокси-
мирующих функций следующее семейство:
§ 88]
способы определения функций С, Н и F 557
причем входящие в правую часть равенства три коэффициента аи а2,
as определим из условия подчинения (у; Лj граничным условиям на
стенке:
при у = О
( д*и __ _ UU' д3и _
’ ду2 у ’ ду3'
Первые два условия уже известны нам по предыдущему, а по-
следнее легко выводится из основных дифференциальных уравнений (89)
дифференцированием первого из них по у и последующей заменой у=0.
Коэффициенты а2 и as при этом выразятся через параметр л
и показатель степени п:
== 2* "g’ (и “I- -О (я ~f~ 2),
йз“2(и + 1)Х б-(« —Ни-
}
Имея в виду, что семейство (98) должно быть однопараметри-
ческим, так как мы располагаем для определения параметра / или
связанного с ним параметра Л лишь одним уравнением (95), выразим
показатель степени п через параметр X. При этом используем имею-
щийся произвол в выборе п для того, чтобы по возможности прибли-
зить семейство (98) к тем профилям скорости, которые в действитель-
ности имеют место при некоторых, хотя бы и частных, условиях
движения (распределения скоростей во внешнем потоке). Можно ожи-
дать, что такое уточнение формы профилей скорости приблизит нас
к искомому решению. Естественно обратиться к семейству профилей
скорости, полученному в § 86, так как оно заключает в себе про-
фили, относящиеся как к ускоренному внешнему потоку (лобовая
часть профиля), так и к замедленному (кормовая часть), т. е. по общему
своему характеру близко ко всякому пограничному слою на крыле.
Согласно (83) и (833 имеем:
следовательно, по определению условной толщины пограничного слоя 3,
в этом случае при данном р должно выполняться равенство-
8
откуда следует, что ™ = 0. Тогда из уравнения (93) при U — схт
вытекает: 1
mb — т). (2Н** -f- И*) —% (т — 1)Х/У**
mg (X) + (т — 1) h (X) ==-----------------------j---------------= О,
558
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. VHI
что дает уравнение связи между Ь, Л, п и {Э:
b = Ш* * + кН*. (99)
Потребуем, чтобы безразмерная величина Ф" (0), заданная форму-
лой (86) и представленная на основании приближенного профиля (98)
и равенства (99) в форме:
Ф"(0) = /'= + (993
была равна помещенным в табл. 17 точным значениям Ф"(0). Исполь-
зуем следующие очевидные выражения №, Н** и b через к и п:
1
Н*= — = f(l—=------------------------5-9-----ГГо,
о Jv л + 2 л + 3’
о
Н**=^ = /<?(1-?)</(|) =
о
= гг* _ а1_______________аз _ aia2 __ 20^3___ айа-А
2л+1 2n-f-3 2п+5 п + 1 2п + 3 п + 2’
(д и \
Z7 I 11
---- I = tui, (л 1) йд (zz "ф~ 2) й,,—* у к — (и~|~2)
з .V / п+1 о
° 8 /j/=o
и пользуясь еще формулами (98'), попытаемся подобрать такую связь
между пик, чтобы желательное совпадение точных (табл. 17) и при-
Т аблица 19
п Л. b Н* f F
3,0 —6,667 0,0000 0,4444 0,1154 —0,08884 1,0395
3,1 -6,000 0,2366 0,4219 0,1176 —0,08305 0,9835
3,2 —5,333 0,4635 0,4014 0,1188 —0,07523 0,9195
3,3 -4,667 0,6814 0,3825 0,1190 —0,06618 0,8517
3,4 —4,000 0,8909 0,3651 0,1187 —0 05632 0,7833
3,5 —3,333 1,0926 0,3491 0,1178 —0,04624 0,7165
3,6 —2,667 1,2870 0,3344 0,1165 —0,03620 0,6526
3,7 -2,000 1,4745 0,3208 0,1150 —0,02644 0,5924
3,8 —1,333 1,6556 0,3082 0,1132 —0,01709 0,5363
3,9 —0,667 1,8306 0,2965 0,1113 —0,00826 0,4847
4,0 0 2,0000 0,2857 0,1093 -0,00000 0,4373
4,5 3,333 2,7727 0,2418 0,0990 —0,03267 0,2587
5,0 6,667 3,4444 0,2103 0,0895 —0,05338 0,1520
5,5 10,000 4,0385 0,1870 0,0814 —0,06628 0,0879
6,0 13,333 4,5714 0,1693 0,0748 0,07451 0,0477
6,5 16,667 5,0556 0,1555 0,0693 0,08000 0,0214
7,0 20,000 5,5000 0,1444 0,0648 0,08394 0,0025
§ 88]
СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ С, Н И F
559
Таблица 20
f Ц/) //(/) F(f) f C(/) ШП Р1Л
—0,089 0,000 3,85 1,04 0,01 0,236 2,55 0,38
—0,085 0,019 3,66 1,00 0,02 0,253 2,50 0,33
—0,08 0,039 3,50 0,96 0,03 0,270 2,46 0,275
—0,07 0,071 3,28 0,88 0,04 0,286 2,41 0,22
-0,06 0,097 3,12 0,81 0,05 0,302 2,36 0,17
—0,05 0,120 3,00 0,74 0,06 0,318 2,32 0,12
—0,04 0,142 2,90 0,68 0,07 0,335 2,28 0,07
—0,03 0,162 2,82 0,615 0,08 0,350 2,24 0,02
—0,02 0,181 2,74 0,55 0,084 0,003
—0,01 0,200 2,67 0,495 0,085 -0,002
0,00 0,219 2,61 0,44
ближенных (99') значений Ф"(0) осуществилось. Как показывают
вычисления, для этого достаточно положить
п = 0,15k + 4. (100)
На рис. 169 сплошной кривой показана точная величина Ф (0)
при различных 8, а крестиками—рассчитанная согласно системе
уравнений (99) и (99') при
линейной связи (100) между п
и X; совпадение получается
вполне удовлетворительное.
В табл. 19 сведены значе-
ния п, к, b, Н*, Н**, f и F.
Пользуясь этой таблицей,
легко разыскать и величины
ЦД и /=(/), заданные
равенствами (97) и (97'). Эти
функции приведены в табл. 20.
Большое удобство для прак-
тических вычислений предста-
вляет тот факт, что функция
F (/) оказывается мало отли-
чающейся от линейной функции
F(J) = a—bf, '
где: а — 0,44, /> = 5,75.
Благодаря этому уравнение (95) может быть приближенно заменено
линейным уравнением:
df U' (U" ,U'\f
dx~a U + (.£/' bu)f’
Ш)
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
имеющим интеграл
а?
о
Если при х = О U = О, го из условия конечности f при х = О
следует С — 0, и окончательное решение будет иметь вид:
а?
/(%) = WwF / [^©]ь_1^; (Ю1)
при этом / в начальной точке % = 0 принимает значение:
г (0) = ГaU> (х) ‘(х) 1 == -
ь'
При желании можно последовательно учитывать ошибку, получаю-
щуюся при замене Г(/) линейной функцией, однако практически со-
вершенно достаточно пользоваться формулой (101).
Используя систему уравнений „моментов"1 основного дифференциального
уравнения пограничного слоя, можно, применяя совсем простые семейства про-
филей скорости, получать вполне удовлетворительные решения задачи. Под
уравнениями „моментов" здесь подразумеваются результаты интегрирования
по у в интервале от 0 до оо или 8 обеих частей первого уравнения погра-
ничного слоя, умноженных на последовательные целые степени у.
Так, например, используя три первых „момента" и профили скоростей,
соответствующие сечениям пограничного слоя на пластинке, не заключающие
параметра, удается получить следующие простые формулы для функций С (/),
H(f) и Г(/):
t (У) = 0,22ф-1,85/ —7,55/2, 1
H(f) = 2,59 — 7,55/, I (Ю2)
/’(/) = 0,441 — 5,48/, J
с достаточной степенью приближения заменяющие ранее приведенные таб-
лицы С(/) и F(f) и сильно упрощающие расчет. На рис. 170 приведены для
сравнения основные кривые С (/) и H(f), рассчитанные по семейству про-
филей (98) при соотношении (100) между и и Л (сплошные кривые) и построен-
ные по только что приведенным формулам (пунктирные кривые). Величина Н
вблизи отрыва получается несколько заниженной.
А. М. Басин2 выбрал семейство профилей скорости в сечениях слоя
в форме:
1 J1. Г. Лойцянский, Приближенный метод интегрирования уравнений
ламинарного пограничного слоя в несжимаемом газе. Прикл. матем. и механ.,
т. ХШ, 1949.
2 А. М. Басин. Об одном новом приближенном методе расчета лами-
нарного пограничного слоя. Доклады АН СССР, т. XL, № 1, 1943.
§ 881
СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ С, Н и F
561
хорошо отображающей изменение характера профилей скорости в сечениях
слоя. Соответствующую таблицу функций И*, Н** Ь, / и F (/) можно найти
в цитированной работе А. М. Васина.
В только что перечисленных работах точные решения уравнений погра-
ничного слоя или использовались частично или совсем не использовались.
Рис. 170.
Можно было бы и, наоборот, полностью использовать точные профили ско-
ростей, соответствующие классу U = cxm (табл. 16).1
В этом случае, согласно формулам (85), будем иметь:
/ = = Я(/) = ^ = >.
а, используя (86), (97) и (97').
в (/) = - (5>) — 2₽А (₽) В (₽) + 2В (₽) Ф" (0).
1 Н. Е. К о ч и н и Л. Г. Л о й ця н с к и й, Об одном приближенном методе
'асчета ламинарного пограничного слоя. Доклады АН СССР, т. XXXVI,
& 9, 1942.
36 Зак 1841. Л. Г. Лойцянсы|й
S62
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЙА
|гл. Vin
Задаваясь различными значениями р, получим табл. 21 искомых функций
С(/). W) и F(f).
Таблица 21
/ ?(/) //(/) А(/) | f С(/) я СО
—0,0681 0,0000 4,03 0,821 0,02 0,257 2,48 0,336
—0,06 0,064 3,35 0,772 0,03 0,274 2,43 0,283
—0,05 0,098 3,12 0,715 0,04 0,291 2,38 0,232
-0,04 0,130 2,96 0,658 0,05 0,307 2,34 0,180
—0,03 0,155 2,84 0,602 0,06 0,323 2,30 0,130
-0,02 0,178 2,74 0,548 0,07 0,338 2,26 0,078
-0,01 0,200 2,66 0,495 0,08 0,352 2,23 0,028
0,00 0,221 2,59 0,441 0,09 0,366 2,20 -0,023
0,01 0,240 2,53 0,388 0,10 0,380 2,18 —0,074
А. П. Мельников1 2 для лобовой части крыла сохранил полиномиальное
Приближение Польгаузена (92), а для кормовой, где необходимо уточнение,
использовал профили скоростей, соответствующие классу точных решений
Хоуорта для линейного закона убывания скорости U — с0— с^х. - Получен-
ные решения сращиваются в точке минимума давлений.
Изложенный метод расчета ламинарного пограничного слоя про-
водится по следующей схеме. Распределение скоростей во внешнем
потоке (J (х) определяется или расчетом по теории, изложенной в конце
гл. V, что можно рекомендовать лишь в случаях, когда можно зара-
нее ручаться за безотрывное обтекание, или путем пересчета по
теореме Бернулли с экспериментально замеренного распределения
давлений.
Пользуясь так или иначе определенной функцией U (х), можем,
вычисляя квадратуру (101), найтн толщину потери импульса
2= (х)=1/
Для определения /(х) необходимо иметь значения U'(х), которые
приходится, как правило, вычислять приближенно по графику £/(х),
что ослабляет точность результатов; подчеркнем, что для разыска-
ния 3** знания U' (х) не требуется.
1 А. П. Мельников, Ламинарный пограничный слой крыла и его рас-
чет. Труды Ленингр. военно-возд. академии, вып. 1, 1942.
2 L. Howarth, On the solution of the laminar boundary layer equations,
Proceed, of the Royal Society, Ser. A, Vol. 164, № 919, 1938, стр. 547. Введен-
ная Хоуортом величина у эквивалентна У/ или, в обозначениях А. П. Мель-
никова, см. также ранее цитированную нашу монографию „Аэродина-
мика пограничного слоя", стр. 161—163.
88) способы ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ d, Й И F 5бЗ
Определив 8«*(х) и f(x) по (101), легко найдем остальные инте-
ресующие нас величины:
8^(х) = й[/(х)]8‘"(х),
SJ*) ==рД£} С [ГМ]-
Практически приходится иметь дело с безразмерными величинами,
которые временно отметим черточками сверху:
U — — — х
— х = — (Ио — скорость на бесконечности, с—хорда);
при этом будем иметь следующие формулы:
о (х) = —
/(х)=-^-| (/'"’(М.
и о
(103)
8- (х) = ^=Н[/(х)]8 Чх),
-г«
- —Cf
2 _4Z?)]_
К» U(x)^(x) ’
зричем последнее выражение представляет местный коэффициент сопро-
гивления грения, который будем в дальнейшем отличать от полного
<оэффициента сопротивления трения Cf, выражающего в безразмерном
зиде суммарное трение по всей поверхности обтекаемого тела.
Абсцисса xs точки отрыва пограничного слоя от поверхности обтекае-
fdu\
лого тела определится из условия = О, как корень системы
сравнений:
зричем fs находится прямо по табл. 20 или 21.
Многочисленные расчеты показали, что выбор постоянных а и Ь, входя-
цих в основную квадратуру (101), и зависимостей £(/) и //(/) мало влияет
за ход кривых -Си» В* и й** по х в лобовой области крыла, где внешний
зоток ускоряется, а начинает резко сказываться лишь в кормовой части по-
раничного слоя за минимумом давления, где внешний поток замедляется.
36*
564
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЙА
[ГЛ. VIII
Разница становится особенно заметной непосредственно вблизи отрыва
пограничного слоя и оказывает существенное влияние на определение
абсциссы xs точки отрыва.
В табл. 22 помещены значения констант a, b, fs для различных изложен-
ных выше методов, а также сравнительные значения абсциссы xs отрыва
для чисто замедленного движения с внешней скоростью, заданной формулой
U —I — х. Для этого частного случая имеется точное решение Хоуорта
(см. ссылку па стр. 562), дающее xs = 0,12.
Таблица 22
Авторы а ь 4 *8 ДЛЯ U=l— х
Лойцянский (1942) 0,44 5,75 — 0,089 0,126
Кочии и Лойцянский (1942) . . . 0,45 5,35 — 0,068 0,106
Басин (1943) 0,44 5,85 — 0,077 0,114
Лойцянский (1949), формулы (102) 0,441 5,48 — 0,088 0,125
Польгаузен (1921) — — . 0,156
Точное решение — —- — 0,120
Метод А. П. Мельникова в сравнительную табл. 22, естественно, не
вошел, так как базируется на точном решении Хоуорта, выбранном в каче-
стве образца для сравнения.
Из сопоставления цифр последнего столбца табл. 22 можно сделать вывод,
что метод Польгаузеиа дает сильно завышенную абсциссу отрыва, отличаю-
щуюся от точной иа 30%; первый из изложенных в настоящем параграфе
метод также дает некоторое завышение, но всего только на 5%. Остальные
методы приводят к преуменьшенным абсциссам.
Изложенный приближенный метод легко обобщается на случай
пограничного слоя на теле вращения, обтекаемом осесимметричным
потоком.1
При этом параметр / и все зависимости £(/)> H(f) и F(f)
остаются теми же, что и в плоском случае. Отличие получается
лишь в форме основной квадратуры (101), которая в случае тела
вращения с контуром меридионального сечения, заданным уравне-
нием г0 = г0(х) (х отсчитывается по обводу меридионального сече-
ния), будет иметь вид:
X
f- TFTx^^ f (ЮП
* о и;
1 Л. Г. Л ой ця нс кий, Ламинарный пограничный спой на теле враще-
ния. Доклады АН СССР, т. XXXVI, № 6, 1942.
§ 89]
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (п — 1)
565
§ 89. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно
обтекаемой сжимаемым газом при больших скоростях. Случай
линейной зависимости коэффициента вязкости от температуры
(« = !)
д (ри) । д (ри) „
дх ’ ду ’
du । du^______
57 ~г Pvdy)-^
p. = i”,
В качестве простейшего примера применения уравнений (63) рас-
смотрим продольное обтекание пластинки. В этом случае р = рт, р = 0
и, следовательно, в принятых безразмерных величинах система (63)
может быть переписана в виде:
ди . ди д ( ди\
pu dx-t-pw dy\S dyj’
pu d7 “j~ pv — 1) ^p«
pi= 1,
или, производя очевидное сокращение в третьем равенстве при помощи
первого:
оц^£4-га —== —fu—^4-^ = 0
‘U дх PV ду ду V ду)’ дх ' ду ’
‘ дх 1 * г ду о ду v ду/ 7 \ду/ {
I
(Ю4)
А. А. Дородницын 1 указал общее преобразование координат, по-
зволяющее придавать уравнениям пограничного слоя в сжимаемом газе
форму, напоминающую уравнения пограничного слоя в несжимаемой
жидкости. Преобразование это определяется системой равенств в раз-
мерных величинах
ж у
(105)
л го J Ро
о о
где р0 и р0—давление и плотность в адиабатически и изэнтропическн
заторможенном внешнем потоке.
Используя в (105) вместо р0 и р0 величины рт и рю, будем иметь
в случае пластинки (р = рт) в принятых ранее безразмерных вели-
чинах:
у
$ = X, 7] — j* pdy. (105')
о
1 А. А. Дородницын, Пограничный слой в сжимаемом газе. Прикл.,
цат ем. и механ., т. VI, (942.
566
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
Формулы перехода от дифференцирования по х, у к
пированию по 5, т] будут:
д д t дч д д _ д
д! ~ 96 д-ц ’ ду ~~рдч’
дифферен-
(Ю6)
так как р является функцией не только у, но и х.
Первое равенство системы (104) преобразуется к виду:
„ ди . дт. ди , ди д ( ди\
р 9? + рМ дх ду + pW' р д'ч Р 9т; v р "(h))’
и, после сокращения на р и принятия в расчет последних двух равенств
системы, дает:
, ди . ( 9т( \ди 9 , 9и\ /ш-л
U -аг+{«-ч-Л + ри)-3- = -д- • (107)
95 1 \ дх 1 г ) 9т| 9т, \ 9vj7 7
Из второго равенства (уравнения неразрывности) вытекает наличие
функции тока <Ь, причем:
__9Ф 9ф 9ф 94 дц 9ф 94 9 т
P« ду 1\дч’ P dx 95 9x 9i) 95 dx
Отсюда можно заключить о справедливости соотношений:
9Ф 9тд . 94 г,оч
и=а2-, = — -д^-. (108)
дц дх ' ' 9$ v ’
Сравнивая с уравнением (107), видим, что, если ввести обозна-
чение
(Ю9)
то уравнения (107) и (108) приведутся к виду:
ди , ди 9 /.п_19ц\
95 1 9vj 9i]\ 9vj/
9ф ~ 9Ф
и = —< (по)
1? + ^0-
96 ' д'ч
Аналогичному преобразованию подвергнем и третье уравнение
системы (104) — уравнение энергий; будем иметь:
, di 9v) di , di 1 9 f di\ । o/duX2
рМж + ри9^д^ + ^‘Р-д~ч= 7р9^1рр9^)+^-1)М“ррЛд^) ’
или, сокращая обе части на р и используя обозначение (109) и послед-
ние два соотношения в системе (104):
Ид Л„_1 9£\_|_(А_ 1)М^п-1^у. (Ш)
9? 9т] a 9i] \ 9т]/ 1 ' ’ \di]J 4 7
§ 89J ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ газе (и = 1) 567
Принимая во внимание общие соображения об упрощении гранич-
ных условий путем перехода от пластинки (0 < х < /) к бесконечной
плоскости (0 < х < оо), приведенные подробно в начале § 85 при
изложении задачи о пограничном слое на пластинке в потоке несжи-
маемой жидкости, будем искать выражение для продольной ско-
рости м(5, ?j) и теплосодержания 1$, у) в функции от одного аргу-
мента С, представляющего комплекс
(112)
Тогда, согласно второму равенству системы (ПО), получим;
Введем для краткости обозначение
2 J «(C)dC = «(C);
о
югда, как и в § 85, будем иметь следующие выражения функции
гока ф, скоростей и и V, а также производных (обозначаемых в даль-
нейшем штрихом) о г скорости и и теплосодержания i по С:
ф = $<р (Q,
ди
55
1
45
ди 1 „ д2и 1
дг, 4/б' дч2 85
di________ 1 £
й ~ 25
di 1
Подставляя эги выражения в первое из уравнений (ПО) и в урав-
нение (1И), получим следующие два уравнения, служащие для опре-
деления неизвестных функций ю и I:
(in ‘ср")' -j- ерю" = О,
(tn-1i')' -ф- ~ (k — 1) ‘ср"2 Ц- acpf = 0.
(113)
Граничные условия для ср
маемой жидкости:
при С = 0
при С = со
будут те же, что и в случае несжи-
ср — 0,
4 = 2.
ср' = о,
(114)
568
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
Граничные условия для безразмерного теплосодержания i могут
быть разнообразны. Если задана постоянная вдоль всей пластинки
безразмерная температура Tw, то граничные условия запишутся в виде:
при С = О
при С = со
i=Tw, 1
г=1. J
(115)
Если на пластинке отсутствует теплоотдача, то граничные условия
сведутся к следующим равенствам:
при С = О
при С = со
(П6)
i = 1.
Интегрирование уравнений (113) в общем случае представляет
большие затруднения, так как приходится производить численное
интегрирование уравнений с несколькими характерными параметрами:
п, a, k, Moo.
Рассмотрим простейший случай, когда связь между коэффициентом
вязкости и температурой линейна (п = 1). В этом случае вместо (113)
получим систему уравнений:
г 4- зф/+(k—1) Mt?"2 = О-
(П7)
Первое из этих уравнений, разрешаемое при граничных усло-
виях (114), ничем формально не отличается от соответствующего
уравнения (71) и граничных условий (7 Г) задачи о пограничном
сдое на пластинке в несжимаемой жидкости, так что для опреде-
ления функции © (С) можно пользоваться приведенной ранее табл. 14.
Но тогда, интегрируя второе уравнение системы (117), подобно тому
как эго было сделано в конце § 85, найдем значение г (С) в форме:
д(С) == | (А— 1)М„8(С) J (С)]°<4-Q, (118)
где введено обозначение
О (С) = — 2о J [©" (С)] ° dC J [©" (С*)]dC*, (И9)
со О
а произвольные постоянные интегрирования С и C.t должны быть
определены из начальных условий (115) или (116). Полагая С = °°»
§ 89] ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (я = 1) 569
найдем значение постоянной С\ == 1; полагая С = О, получим
1 —- -j" tj- — 1) (0)
С==---------№--------------- (120)
~ f
о J
о
Обозначим теперь через it и Tt значения теплосодержания и тем-
пературы пластинки в условиях (116) отсутствия теплоотдачи, т. е.
тогда, когда пластинка играет роль измерителя температуры по-
тока — пластинчатого термометра. Условие отсутствия теплоотдачи
будет:
при С = 0 Г = 0.
Дифференцируя (118) и замечая, что по (119) будет &' (0) = 0,
найдем в этом частном случае <7=0, т. е. по (120) при iw — it
получим
—l)M^O(o) (121)
или, переходя к размерным температурам:
7'i=7’cop + -bO(0)(A—1)М1о], (122)
где
_ с
a/'(C)f< J [<о"(С*)]2"’^*. (123)
О
&(0)=2б J
о
Тогда постоянную С в общем случае наличия теплоотдачи
с поверхности пластинки можно представить, согласно (120) и (121),
в следующем виде:
C=~^~iw----------• (124)
4/[</'(£)? dC
о
Проанализируем полученные результаты. Прежде всего легко убе-
диться, что при Мш -> 0 соотношение (118) в переменной С совпадет
с ранее выведенной формулой (74) для несжимаемой жидкости в пе-
ременной т(, принятой в § 85; полученное таким путем равенство
с
Tw~ т __ О (125)
'г- 'р оо
/w ico р _ __
J
а
570
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
даег распределение температур в пограничном слое на пластинке,
обтекаемой несжимаемой жидкостью при учете линейного закона связи
между коэффициентом вязкости и температурой.
Возвращаясь к случаю газа, движущегося с большими скоростями,
когда влиянием сжимаемости (числа М^,) пренебрегать нельзя, будем
предполагать, что функция &(') затабулирована для различных а.
Для дальнейшего особенно важно знать величины 8(0); приводим их
значения при нескольких о:
а = 0,6 0,8 1,0 10 15
; 8(0) =3,08 3,58 4,00 11,86 14,14
Обращаясь теперь к формуле (122), видим, что она представляет
для случая п — 1 решение задачи об измерении температуры газового
потока Г = Ди, при помощи непосредственного замера температуры
Т = Tw = Tt поверхности продольно обтекаемой этим газом пластинки,
при условии, что тепло от пластинки не отводится 4(нет теплоотвода
через державку н проволочки измерительной термопары). Как наглядно
показывает формула (122), такой пластинчатый термометр будет вместо
температуры потока Та:, показывать тем большую температуру 7),
чем больше число Мто. Это и естественно, так как пластинка тормо-
зит поток и, вследствие перехода энергии потока в тепло, должна
дополнительно нагреваться. Конечно, это торможение будет не изэн-
тропическим, так как связано с переходом механической энергии
в тепловую и повышением энтропии. Однако, как это сразу следует
из формулы (122), при о=1 и 8(0) = 4 термометр будет показывать
температуру адиабатического и изэнтропического торможения
(Т#)о=! = та (I + —Mt) = То-
при других значениях о эго уже не так:
при о < 1
при о > 1
Ъ<Т0,
Формула (122) может служить для вычисления поправок на ука-
зания пластинчатого термометра в газе с заданным числом о, отлич-
ным от единицы.
Температуру, определенную по формуле (122), будет также иметь
поверхность самолета или снаряда в установившемся их движении.
При больших значениях Мео эти температуры достигали бы катастро-
фических для металла и материалов значений; для борьбы с этим не-
обходимо применять охлаждение поверхностей изнутри. Имеющее
место при высоких температурах влияние лучеиспускания также спо-
собствует понижению поверхностной температуры. 1
1 И. А. К и б е л ь, Пограничный слой в сжимаемой жидкости с учетом
Излучения. Докл. АН СССР, т. XXV, № 4> 1939.
§ 89J
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗЕ (п = 1)
571
Для того чтобы определить коэффициент теплоотдачи пластинки,
имеющей температуру Т = Тт, вычислим размерную производную от
' дТ
температуры по нормали к пластинке на поверхности пластинки.
Имеем, переходя к размерным величинам:
di 1 о,/-? дТ_ 2 , / ...W Рсо дТ
Я ~ |/ * р ду,
откуда следует:
/ О Т \ _ ^оо 1 /" Ко Рэд f dt \
UuU<K~2|/ мюх ' 7^V<KA = o'
Но по (118)
di ___£
<КЛ = о~ 8
[?"(0)Р,
кроме того, в случае пластинки, по формуле Клапейрона:
Р«; 2“.
Используя ранее выведенное значение С (124) и исключая it или
Tt, получим:
j [1 + |»(0)(*-^] т№~-тю
дТ ..
ду Jij^o
; (126)
отсюда уже нетрудно в том или другом виде рассчитать теплоотдачу.
Обращаясь к вопросу о сопротивлении пластинки, найдем сначала
напряжение трения xw. Имеем, переходя к размерным величинам:
откуда следует:
'V—9"(0).
Р™И„,х • 1 7
Г~±Р
Q ГСО сс
причем ©"(0) имеет то же значение, что в несжимаемом газе, и равно
по предыдущему (§ 85) ®"(0)= 1,328. Итак, если при и=1 кон-
станты р. и о в формуле коэффициента местного трения определены
572 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. VIII
для набегающего потока, то коэффициент местного трения остается
тем же, что и в случае несжимаемой жидкости'.
0.664
f FRco
тгр= 0,332 ]/"
Как можно заключить из проведенных выкладок, для вычисления
коэффициента сопротивления и теплоотдачи нет необходимости иметь
явные формулы связи между новым переменным С и обычным yl]fx,
так как в окончательные выражения входят лишь значения величин
при у = 0 или у = оо.
Несколько сложнее решается вопрос о распределении скоростей
и температур в сечениях пограничного слоя, так как полученные рас-
пределения скоростей = у </ (С) и температур (118) отнесены
•'со £
к переменному С, выражающемуся через обычные размерные коорди-
наты по формуле:
^- = -1/
dy 2 |/
в свою очередь зависящей от распределения температур. Дифференци-
руя по у, получим:
~ 1
' i Ф)'
Связь между С и ylY х определится интегральным соотношением:
На рис. 171 и 1721 приводим графики влияния числа на про-
фили скоростей и температур при п = 1, с =0,7 и k =1,4 для пла-
стинки, температура которой путем охлаждения поддерживается равной
температуре набегающего потока. На обеих кривых обращает на себя
внимание факт возрастания с числом Mf<> толщины пограничного слоя
1 Графики заимствуем из работы Хантше и Вендта (См. W. W. Hantz-
sche und Н. Wendt, Die laminate Grenzschicht det ebener Platte mit tmd
ohne Warmeubertragung ... Jahrbuch 1942 det Deutschen Luftfahtorschung,
S. 40—51). Отметим, что изложенный выше метод, основанный иа преобразо-
вании Дородницына, отличен от метода иностранных авторов и превосходит
его по простоте и наглядности
9] ламинарный слой в сжимаемом газе”(л = 1) 573
Рис. 173.
574
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. VIII
(скоростного и температурного). Профиль скоростей с ростом числа Мю
урезывается, становится более пологим. Температура при удалении от
источника охлаждения — стенки — сначала возрастает, а затем возвра-
щается к прежнему зна-
чению, причем максимум
отношения
(Т— Тео): (То-Тео),
где То—температура ади-
абатически и изэнтропи-
чески заторможенного
газа, следуя расширению
пограничного слоя, ото-
двигается от стенки, но
сохраняет неизменной
свою величину.
Сравнение этих кри-
вых с кривыми, показан-
ными на рис. 173 и 174, соответствующими случаю сильного охлаждения
пластинки говорит о некотором уменьшении толщин
пограничных слоев и естественном снижении максимумов температуры.
На рис. 175 демонстрируется факт спрямления кривых распреде-
ления скоростей в координатах (u/Va,, у по мере роста Мэ>
в случае отсутствия теплоотдачи с поверхности пластины.
$ 901
ЛАМИНАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ ГАЗГ (а = 1)
575
§ 90. Ламинарный пограничный слой на пластинке при любом
законе связи между вязкостью и температурой и при числе с = 1.
Обтекание крылового профиля потоком больших скоростей
Откажемся теперь от ограничения п = 1 и рассмотрим систему урав-
нений (ИЗ) в предположении <г= 1, что довольно близко к значению с = 0,72
для воздуха. О влиянии отклонений а от единицы можно в известной
степени судить по результатам предыдущего параграфа при п = 1 и раз-
личных а.
Исключим при <г = 1 из системы (ИЗ) величину у, для чего умножим пер-
вое равенство на V, второе - на и вычтем одно из другого. Получим
или, вычисляя производные и проводя сокращения.
i’4m _ ^lfl k\ м^,/3=0_
о 1 ,
Возвращаясь к скорости м “ — перепишем последнее равенство в виде:
i'u" - u'i" — (k — 1) 0
и произведем в нем замену.
тогда получим
[;g+.(»~1) Mi] 0
Отсюда вытекает равенство.
интегрирование которого приводит к важному соотношению-
Постоянные интегрирования легко определяются из условий:
при и = 0 i = i№,
при и = 1 i = 1,
так что будем иметь:
i = —+ M^)n+iw (127)
или, переходя к размерным температурам и скоростям
L = + (127').
/со Z 1 со z °0' vco со
576
ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[гл. VIII
Последнему равевству можно придать простой ц наглядный смысл. Обо-
значим значком (0) сверху ту температуру, которую газ получил бы, будучи
каким-то адиабатическим и изэнтропическим процессом переведен из данной
точки потока к покою.
Тогда для любой точки пограничного слоя получим:
k~x — т( 1 f k~~1 uS =
2 ) к 2 kRTJ
= r(i-F
k-1 С Tm «S /
2 kRTm' T 'V4 Ц
и, следовательно, на внешней границе слоя (и — V^) и на поверхности пла-
стинки (и — 0) будет:
т(0)___ ’Г
* СО ‘ 1 со
7<0) •т
*W W
Переписывая (127') в форме:
получим равенство:
и
(128)
служащее обобщением известного уже вам по § 85 соотношения подобия (74')
на случай движения сжимаемого газа при больших скоростях. Согласно (128),
можно утверждать, что в любом сеченни слоя, при с = 1 и произвольном по-
казателе степени п в законе зависимости вязкости от температуры, поле
перепадов температур газа, адиабатически и изэнтропически пересчитан-
ных на покоящийся газ, подобно полю скоростей.
Разыскание профиля скоростей по сечению пограничного слоя, а вместе
с тем по (127) и профиля температур, представляет значительные трудности,
так как приводит к необходимости для каждого значения п численно интегри-
ровать нелинейное уравнение второго порядка. Для составления этого урав-
нения возьмем первое уравнение системы (113), один раз его продифферен-
цируем по С и из таким образом полученной системы:
(jn-У')' -J- = о,
цп-щу/ _]_ <у// = 0
исключим величину ср; для этого умножим первое из этих уравнений на <fr",
второе на <р" и вычтем одно из другого. Получим:
(pi-i/9'у' -}- с/?"2 _ (j«i-y)y" — о.
§ 90}
Ламинарный слой в снимаемом газе (с = 1)
577
Имея в виду, что I представляет по (127) известную функцию и и что
= 2и, перепишем последнее уравнение в форме:
(/п-1ы')"и' 4- 2aa/S — (z" - 'и')' и" — 0
и введем новую неизвестную функцию
s = in-iu' (129)
и новое независимое переменное и. Тогда будем иметь искомое нелинейное
дифференциальное уравнение
d2s _ 2a
S "du2 7^’
в котором i предполагается замененным, согласно (127). Из первого уравне-
ния системы (113) при С = 0, и = 0и? = 0 следует граничное условие
(130)
(130')
при a = 0 — 0,
так как и' ф 0. При и — 1 s = 0 и уравнение (130) имеет особую точку.
Исследуем поведение интегральных кривых вблизи особой точки. Для этого
положим в правой части (130) a = 1; будем иметь, согласно (127), уравнение
da2
которое приводится к квадратуре следующим путем (а — постоянная инте-
грирования):
ds d2s _ 1 ds
.........* ...... -**-*— У. -w—. Й——
du du* s du ’
/ ds \2 .. , .
(—— 1 = — 4 In (as),
\duj ' "
f _______1-
J V— in (as)
_1_
2
»(i)
и.
Полагая здесь:
2 «J
— In (as) = z2, as = ё~ , ads = — 2ze~* dz,
(аидем:
a = 1
erf [ У — In (as)],
(131)
не принято обычное обозначение
erf/ = —i
e~ dt.
t
_ Задаваясь различными а, подбираем такое его звачеиие, чтобы инте-
4>альиая кривая, выйдя из точки a = 1, s = 0 вдоль кривой (131) и численно
ds
затем рассчитанная до и = 0, дала = 0, т. е, удовлетворила граничному
условию (130'). Определив таким образом s как функцию от и, сможем по (129)
найти и (t), а следовательно, и трение.
37 За* 1М1" Л- Г- ЛойцяискяЛ.
Динамика вязкой жидкости и Газа
[гл. Viii
Так же как и в предыдущем параграфе, получим:
г
, ___ w
с{-----i---------
J_ i/2
2 Рсо^оо
и' (0),
откуда, согласво (129), будет следовать: *
(132)
здесь s (0) в свою очередь зависит от температурвого фактора и числа .
На рис. 176 приводим рассчитанный полный коэффициент сопротивления
пластинки в функции от числа М<о при отсутствии теплоотдачи и при раз-
личных значениях числа п. Влияние
существенным даже при числах
числа п на коэффициент сопротивления
при малых невелико и возрастает
с ростом Мся. Как показывают расчеты,
влияние п на распределение скоростей
невелико даже при больших .
Можно сделать общий вывод: при
отсутствии теплоотдачи и ве слишком
больших значениях Мю 2 влияние
сжимаемости воздуха на характеристики
пластинки сравнительно мало. Иное
наблюдается при сильном охлаждении
пластинки. Как было показано еще в
предыдущем параграфе, при этих усло-
виях изменение числа Мю значительно
сказывается на полях скоростей и тем-
ператур.
Влияние сжимаемости на движение
газа в пограничном слое становится
1^, меньших единицы, при обтекании
телесного крылового профиля. В этом случае влияние сжимаемости про-
является главным образом за счет изменения распределения скоростей во
внешнем потоке, о котором говорилось еще в гл. VI.
При отсутствии теплоотдачи с поверхности крылового профиля и числе
о=1 расчет ламинарного пограничного слоя ве представляет труда и про-
водится методом, служащим простым обобщением изложенного в § 88. Пара-
метр у, определенный формулой
£Л6**2
в которой производная U' и 6** вычислены в переменных Дородницына inf)
о
§ 901
ЛАМИЙАРНЫЙ СЛОЙ В СЖИМАЕМОМ газе (а == 1)
579
а го—теплосодержание адиабатически и изэнтропически заторможенного
потока, может быть выражев через известную функцию U (х) приближен-
ным соотношением (в обычном аргументе х)
/(х) = а
U^\m~1
dx,
(133)
где а и Ь — те же самые константы, что и в § 88, а т имеет значение
т = 2 +
k
/г — I
Ь
2 ’
для воздуха близкое к числу 2,5. В зависимости от выбора чисел а н b сле-
дует выбирать и отрывное значение /е.1
На рис. 177 приведен вспомогательный график, позволяющий по задан-
ному распределению коэффициента давлений рис в несжимаемом обтекании
сразу определять величину ulV‘2i0 при докритических значениях числа
График составлен на основании изложенного в гл. VI приближения теории
Христиановича.
1 А. А. Дородницын и Л. Г. Лойцявский, К теории перехода
ламинарного слоя в турбулентный. Прикл. матем. н механ., т. IX, вып. 4,
1945. См. также Кибел ь, Кочин и Розе, Теоретическая гидромеханика,
ч. Ц, стр. 515 — 520.
37*
580 ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖВДКбСТИ И ГАЗА [гЛ. Vttt
Как 'было еще показано в гл. VI, возрастание числа в дозвуковой
области вывивает увеличение разрежений и вместе с тем углов наклона
кривой U (х) за точкой минимума давления, т. е. увеличение по абсолютной
величине производной Как можно заметить по структуре формулы (133),
это приведет к ускорению возрастания f и, следовательно, к перемещению
точки отрыва в сторону точки минимума давления. Можно поэтому думать,
что сжимаемость газа при дозвуковых скоростях предваряет отрыв, ухудшая
обтекание крылового профиля. Расчеты подтверждают такое мнение. В даль-
нейшем будет указано экспериментальное подтверждение того же факта.
Удовольствуемся этими краткими сведениями о ламинарном погра-
ничном слое в сжимаемом газе.1 Применение к сжимаемому газу при-
ближенных методов теории ламинарного пограничного слоя (см. § 87)
произодилось многими авторами. Для пластинки первое исследование
в этом направлении было проведено Ф. И. Франклем.2 При отсутствии
теплоотдачи и числе а = 1 теми же приближенными приемами для
крылового профиля пользовался А. А. Дородницын в ранее цитиро-
ванной работе. При более общих предположениях (наличие тепло-
отдачи) тот же вопрос был исследован Л. Е. Калихманом.3
1 Обзор советских работ по теории пограничного слоя дав в нашем
очерке „Пограничный слой" в сборнике „Механика в СССР за тридцать лет“,
Гостехиздат, 1950.
2 Ф. И. Ф р а в к л ь, Теория ламинарного пограничного слоя в сжимае-
мом газе. Труды НАГИ, К» 176, 1934.
3 Л. Е. Калихман, Сопротивление и теплоотдача плоской пластины
в потоке газа при больших скоростях. Прикл. матем. и механ., т. IX, 1945,
а также — Газодинамическая теория теплопередачи, Прикл. матем. и механ.,
т. X, вып. 4, 1946.
ГЛАВА IX
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
§ 91. Переход ламинарного движения в турбулентное.
Критическое рейнольдсово число
Подкрашивая жидкость или впуская в движущийся газ облачка,
отличного от него по цвету дыма, можно непосредственно наблюдать
за движением отдельных малых объемов жидкости или газа. При этом,
как показывают опыты, в одних случаях наблюдаемые струйки сохра-
няют отчетливую форму на большом протяжении и медленно рассеи-
ваются в потоке, а в других, наоборот, сразу же размываются, окра-
шивая или задымляя окрестные объемы жидкости или газа.
Первый вид движения, при котором частицы следуют по отчетливо
видимым траекториям, представляющим плавные, лишь слегка изме-
няющиеся со временем, кривые, называется ламинарным-, этот вид
движения был рассмотрен в предыдущей главе.
Более распространен второй вид движения с хаотически переплетен-
ными и быстро изменяющимися во времени траекториями, с поперечными
и, даже, попятными по отношению к общему движению жидкости пере-
мещениями отдельных малых объемов. Такое нерегулярное, имеющее
в малых своих частях случайный характер движение называется тур-
булентным
Характерные особенности турбулентного движения удобно наблю-
дать, например, в городских каналах при малых скоростях движущейся
в них воды. Если посмотреть с моста на поверхность воды в канале,
обычно засоренную листьями, щепками и другими мелкими плавающими
телами или налетом нефти, то можно заметить, как отдельные объемы
воды, участвуя в общем поступательном движении, совершают весьма
замысловатые движения поперек общего направления потока, а вблизи
берегов, где скорости особо малы, даже попятные движения.
Ламинарные и турбулентные движения при некоторых условиях
переходят одно в другое. Повышая, например, скорость ламинарно
движущейся по цилиндрической трубе жидкости, заметим, как на под-
крашенную и хорошо видимую вначале прямолинейную струйку начи-
нают накладываться волны, распространение которых вдоль струйки
говорит о появлении возмущений в ранее спокойном прямолинейном
582 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [гл. IX
движении. Постепенно число таких волн и их амплитуды начинают
возрастать, пока, наконец, струйка не разобьется на нерегулярные пере-
мешивающиеся между собой змеевидные мелкие струйки; хаотический
характер этого перемешивания позволяет судить о переходе ламинар-
ного движения в турбулентное. Описанная только что картина перехода
(наблюдения такого рода впервые систематически производились Рей-
нольдсом во второй половине XIX в.) с полной отчетливостью вскры-
вает природу происходящего в жидкости явления. С возрастанием
скорости ламинарное движение теряет свою устойчивость; при этом
любые случайные малые возмущения, которые вначале вызывали лишь
малые колебания вокруг устойчивого ламинарного движения, начинают
быстро развиваться и приводят к новой форме движения жидкости —
к турбулентному ее движению.
Законы движения потерявшей устойчивость жидкости, при котором
самые ничтожные, возникшие от совершенно случайных причин воз-
мущения развиваются и накладываются одно на другое, естественно,
крайне сложны.
В некоторых исследованиях по турбулентному движению даже
ставился вопрос: можно ли вообще рассматривать турбулентное дви-
жение как непрерывное движение, удовлетворяющее гидродинамиче-
ским уравнениям, или это совокупность случайных движений отдельных
малых объемов жидкости, аналогичных, например, движению молекул.
В связи с этим неоднократно делались попытки чисто статистического
изучения турбулентных движений, не основанного на использовании
гидродинамических уравнений. Однако все эти попытки не привели
пока еще к ощутительным для практики результатам.
На самом деле, как показывают многочисленные исследования,
турбулентное движение, как бы ни было оно сложно по своей вну-
тренней структуре, подчиняется общим законам динамики непрерывной
среды, в частности установленным в предыдущей главе уравнениям
динамики вязкой сжимаемой или несжимаемой жидкости в нестацио-
нарной их форме. В то же время не имеет смысла точная постановка
вопроса о разыскании решений этих уравнений при строго поставлен-
ных начальных и граничных условиях. Действительно, в обстановке
неограниченного роста сколь угодно малых возмущений самые ничтож-
ные отклонения от поставленных граничных и начальных условий
(неточности в изготовлении поверхности обтекаемого тела, предыдущая
история потока и др.) могут привести к столь значительным измене-
ниям решений уравнений, что за ними исчезнут все достоинства
„строгой*' постановки задачи. Пользоваться упрощенной геометриза-
цией формы обтекаемых тел или каналов и не учитывать наличия на-
чальных возмущений в потоке можно лишь в тех случаях, когда
поток устойчив и существует уверенность, что сделанные малые
ошибки в постановке задачи приведут к столь же малым ошибкам в ее
решении; это и делалось ранее при рассмотрении ламинарных движе-
ний, Для исследования турбулентных движений приходится применять
§ 91] ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ 583
особые, характерные для существа рассматриваемого явления приемы,
связанные с заменой действительного движения некоторой упрощенной
схемой осредненного в пространстве и времени движения, которое
примерно так же относится к истинному, как ламинарное движение —
к представляющему его внутреннюю структуру хаотическому молеку-
лярному. Эта аналогия сыграла свою роль в истории создания законов
осредненного турбулентного движения жидкости.
Прежде чем перейти к выводу основных уравнений осредненного
движения, рассмотрим несколько детальнее явление перехода ламинар-
ного движения в турбулентное.
Из предыдущего вытекает, что вопрос об определении условий
перехода ламинарного движения в турбулентное сводится к решению
задачи об устойчивости ламинарного движения и указанию границы
потери этой устойчивости. Не имея возможности останавливаться
на весьма сложной математической теории устойчивости ламинарных
движений,1 удовольствуемся изложением некоторых важных для
практики выводов этой теории.
Еще в 1883 г. О. Рейнольдс, на основании большого числа систе-
матических наблюдений за движением воды в круглой цилиндрической
трубе, заметил, что существует некоторое характерное для режима
движения критическое число
впоследствии названное критическим числом Рейнольдса (иор — средняя
скорость движения в трубе, d — диаметр трубы, v — кинематический
коэффициент вязкости), служащее основным критерием перехода лами-
нарного движения в турбулентное. В дальнейшем было установлено
существование нижней границы, значений числа Рейнольдса, или ниж-
него критического числа Рейнольдса, для круглой трубы приблизи-
тельно равного
RKp = 2200,
причем при R < RKj, поток сохраняет свою устойчивую ламинарную
форму. Наблюдения показали, что при таких ограниченных сверху
значениях числа Рейнольдса любое внешнее возмущение, как бы
интенсивно оно ни было, должно затухать и не может изменить общего
ламинарного характера движения с параболическим распределением
скоростей и пуазейлевым законом сопротивления. Вместе с тем было
замечено, что путем удаления возмущений или уменьшения начальной
их интенсивности можно искусственно затянуть ламинарное движение
в область значительно больших значений чисел Рейнольдса. При этом,
однако, не удалось получить определенного значения для верхней
1 Обширный обзор работ по теории устойчивости ламинарных движений
можно найти во втором томе неоднократно цитированного курса |Кибеля,
R очи на и Розе (стр. 547—572, изд. 1948 р,),
584 ТУРВУЛЕНГНОГ ДВИЖЕНИЕ [гл. IX
границы критического числа; эта граница многократно оюдвигалась
все более и более тщательными опытами и была доведена чуть ли
ни до числа 150000. Конечно, такое „затянутое" ламинарное движе-
ние не терпит появления даже очень небольших возмущений и сразу
же переходит в турбулентное. Для дальнейшего представляет интерес
лишь нижняя граница RK], которую и будем всегда подразумевать,
говоря о критическом числе Рейнольдса.
Оставляя в стороне вопрос об опытных значениях критического
рейнольдсова числа для цилиндрических труб с различной формой
сечений (об этом подробно рассказывается в курсах гидравлики),
заметим лишь, что на величину критического числа сильно влияет всякое
отклонение трубы от цилиндричности, т. е. диффузорность или кон-
фу зорность грубы.
Так, в сходящихся фубах (конфузорах) Rb) значительно превышает
соответствующее число для цилиндрической трубы, причем гем больше,
чем больше конфузорное гь, и, наоборот, в расширяющихся каналах
(диффузорах) Ри очень мало, особенно в трубах со значительной диф-
фузорное гью.
Отметим, что шероховатость стенок не влияет на величину
критического числа Рейнольдса, что и естественно, так как „нижнее"
число Рейнольдса связано с внутренней устойчивостью потока, а не
наличием или отсутствием возмущений.
Можно провести некоторую аналогию между явлением перехода
ламинарного движения в турбулентное в трубе и переходом ламинар-
ного пограничного слоя в турбулентный на крыле. Если грубо каче-
ственно сопоставлять скорость на внешней границе пограничного слоя
со скоростью на оси трубы, а „толщину" пограничного слоя с радиу-
сом трубы, то следует ввести в рассмотрение рейнольдсово число
пограничного слоя
характеризующее поток в данном сечении слоя.
Многочисленные опыты по определению критического числа R<,K{>
для пограничного слоя на пластинке привели к значениям, близким
к критическому числу трубы. Тот же порядок R?KP был найден и при
обтеканиях круглого цилиндра, шара и крыловых профилей. При этом
было обнаружено и некоторое принципиальное отличие явления пере-
хода в пограничном слое от соответствующего явления в трубе.
Относительное расположение на поверхности пластинки или другого
обтекаемого тела „критического" сечения пограничного слоя, в кого-
ром ламинарный слой теряет устойчивость и переходит в турбулент-
ный, оказалось существенно зависящим от степени возмущенности
или, как иногда говорят, от „интенсивности турбулентности" набегаю-
щего на тело внешнего потока. При изменении этого фактора изме-
нялась и величина критического числа Рейнольдса пограничного
СЛОЯ,
§ 91] ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ 585
При малой интенсивности турбулентности внешнего потока в опытах
как с пластинками, так и с крыльями удавалось „затянуть" переход
на большие значения RgKp, чем в случае сильно возмущенных потоков.
Так, например, в пограничном слое на пластинке, помещенной в мало
турбулентную аэродинамическую трубу, наблюдалось ламинарное дви-
жение вплоть до „критического" сечения пограничного слоя, где
RgKp = 629O, а на полированных металлических крыльях аэроплана
в полете R?Kp доводилось даже до величины 9300.1
Относительный размер ламинарного участка пограничного слоя на
крыле, особенно при малой турбулентности набегающего потока,
зависит также от степени шероховатости крыла вблизи передней его
кромки и от наличия производственных недостатков обработки поверх-
ности в этой области крыла. Такое отличие движения жидкости в по-
граничном слое от движения в трубе может быть легко объяснено.
Ламинарное движение жидкости в длинной трубе в области, достаточно
удаленной от входа в трубу, не может зависеть от условий втекания
жидкости в трубу, так как возмущения, зародившиеся вблизи входа
или вошедшие вместе с внешней жидкостью, должны затухать. Иначе
обстоит дело с пограничным слоем, через внешнюю границу которого
вдоль всего слоя поступает внешняя жидкость. Кроме того, как уже
ранее упоминалось, вблизи носика крыла пограничный слой еще очень
гонок, и любые даже очень незначительные по размеру бугорки
шероховатости проникнут сквозь пограничный слой, нарушая его
движение.
Вместо RE, заключающего в себе неточную величину 8, можно
рассматривать числа:
R»» - U***
составленные по более строго определяемым величинам: толщине
вытеснения и толщине потери импульса. Соответствующие критические
их значения могут быть найдены непосредственно по замерам скоро-
стей в сечениях слоя или пересчетом. В настоящее время наиболее
широко используется число К . Значение RKP по опытам на различных
крыльях и в различных аэродинамических трубах колеблется от 600
в сильно турбулентных трубах до 1300 в мало турбулентных (по
некоторым данным, относящимся к трубам с очень малой турбулент-
ностью, число RKp достигало значения 2300).
_ _ —Я*
Наблюдающееся различие в значениях RPn для разных крыльев
имеет еще одну важную причину. Подобно тому, как это имеет место
в трубе, критическое значение RK|1 в пограничном слое зависит еще
от того, попадет ли критическое сечение в конфузорную или диффу-
1 См. Л. Г. Лойцянский, Аэродинамика пограничного слоя, Гостех-
издат 1941, стр, 241—249,
586
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
зорную часть пограничного слоя. В области ускоренного течения во
внешнем потоке можно ожидать более высоких значений RKp, чем
в области замедленного движения. В качестве величины, учитывающей
указанный чрезвычайно существенный фактор влияния распределения
давлений в ламинарном пограничном слое на переход его в турбулентное
состояние, примем введенный в конце предыдущей главы параметр
1РЪ**2
V
Результаты многочисленных теоретических исследований устойчи-
вости движения в ламинарном пограничном слое, на которых мы не
можем здесь остановиться,
рис. 178 приближенную кривую
позволили установить показанную на
зависимости RKp от значений пара-
метра /кр в критических сечениях
ламинарного слоя. Этой кривой
можно пользоваться для прибли-
женного определения абсциссы
точки потери устойчивости лами-
нарного движения на крыловом
профиле. Методика расчета этой
„критической" абсциссы крайне
проста. В каждом конкретном
случае обтекания данного крыла
с известным распределением U (х)
скорости внешнего потока можно
по формулам (101) и (103) пре-
дыдущей главы установить функ-
циональные связи между f и R **,
с одной стороны, и безразмерной
абсциссой точки крыла—с другой:
f=zf(x} и R** = R**(x). (1)
Исключая отсюда х, найдем связь между R** и f в любых (а не
только критических) точках поверхности данного крыла, которую не
следует смешивать с кривой рис. 178, определяющей соотношение
между критическими значениями тех же величин. Легко видеть, что
кривая рис. 178 представляет изменение, противоположное по направ-
лению изменению R*1 (/), согласно (1). Действительно, при положитель-
ных /, т. е. в лобовой части пограничного слоя, 8**, возрастающее с х,
будет меньше, чем в кормовой области, где / отрицательны; следова-
тельно, при одном и том же распределении скоростей U (х) рернольдсово
число R** будет возрастать вниз по течению от положительных f
к отрицательным, в то время как на рис. 178 происходит обратное.
Таким образом, кривая R** (/), построенная по параметрическим равен-
§ 92]
„точка* ПЕРЕХОДА И „КРИЗИС ОБТЕКАНИЯ*
587
ствам (1), будет пересекаться с кривой рис. 178. Определив в точке
пересечения этих двух кривых Икр или /кр, сможем по (1) найти и
хКр = , т. е. определим положение точки потери устойчивости
ламинарного пограничного слоя на конкретном крыле.
§ 92. Область и „точка" перехода. Явление „кризиса
обтекания"
Непосредственно в критическом сечении и в ближайших за ним
сечениях пограничного слоя движение жидкости еще нельзя рассма-
тривать как турбулентное. Вниз по течению за критическим сечением
простирается область, в которой происходит развитие возмущений и
где поток перестраивается из ламинарного в турбулентный; эта область
носит наименование „области перехода". В тех случаях, когда размеры
области перехода малы по сравнению с хордой крыла, можно пренебре-
гать протяженностью области перехода и говорить о „точке перехода",
в других случаях следует ука-
зывать положение границ обла-
сти перехода: начала ее — кри-
тического сечения слоя (границы
потери устойчивости), вверх по
течению от которого движение
ламинарно, и конца — ниже по
течению расположенной гра-
ницы перехода, за которой по-
ток уже турбулентен. .
Экспериментальное опреде-
ление границ области перехода
производят обычно так. Микро-
трубку полного напора, отвер-
стие которой направлено на-
встречу потоку, заставляют
перемещаться вдоль погранич-
ного слоя, оставляя все время
носик трубки D (динамическое
отверстие) на одном и том же
малом расстоянии h (рис. 179)
от поверхности крыла. Вычитая
из полного напора, регистрируе-
мого отверстием D трубки, давление в соответствующем сечении погра-
ничного слоя, замеряемое при помощи отверстия на поверхности крыла,
находящемся как раз под носиком микротрубки, можем определить
скорость на выбранном фиксированном расстоянии от поверхности
в различных сечениях пограничного слоя. В связи с утолщением лами-
нарного пограничного слоя от сечении К сечению вниз по потоку,
588
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
безразмерная скорость р, измеряемая на одном и том же расстоянии
от поверхности крыла внутри слоя, должна убывать. Действительно,
относительная координата у точки замера при этом уменьшается,
а сама точка как бы все глубже погружается в пограничный слой,
переходя к относительно меньшим скоростям. На рис. 179 для примера
показаны экспериментальные профили скоростей в последовательных
сечениях (/, II, III, IV) ламинарного пограничного слоя на крыле
при одном и том же значении Rjo. Вертикальная прямая соответствует
выбранному расстоянию y—h носика микрогрубки от поверхности
крыла. Точки А/, Ац, А]т1 и Ап- дают ряд убывающих значений
регистрируемых микротрубкой. Профили скоростей в турбулентном
пограничном слое по своей форме резко отличаются от профилей
скорости в ламинарном пограничном слое (пунктирные профили на
том же рисунке). Когда носик трубки попадет в турбулентный погра-
ничный слой, величина
от сравнительно малого зна-
чения (точка AiV) резко под-
нимется до значения В/,
а затем будет опять падать,
проходя значения Вц, Вщ,
Bjy. Если отложить на оси
ординат (рис. 180)i, а на
оси абсцисс — относитель-
ные (в частях хорды) рас-
стояния по обводу крыла,
то в результате такого рода
замеров можно получить
кривые, подобные приведен-
ным на рис. 180. Область
слева от вертикальной пунк-
тирной линии соответствует
ламинарному пограничному
слою, между пунктирной ли-
нией и вертикальной чер-
точкой располагается пере-
ходная область и, наконец,
справа от вертикальной черточки имеет место турбулентное движение.
На рис. 180 приведено несколько таких кривых, относящихся к раз-
личным числам Рейнольдса Roo= в интервале От 1,7 • 106 до
5,1 • 106. Из рассмотрения этих кривых видно, что протяженность
Области перехода убывает с ростом рейнольдсова числа набегающего
§ 921
„ТОЧКА.“ ПЕРЕХОДА И „КРИЗИС ОЁТЕКАНИЯ1,
потока, но все же имеет вполне сравнимые с хордой крыла значения.
Экспериментальное определение „точки перехода“ заключает в себе
некоторый произвол; одни авторы определяют точку перехода как
середину области перехода, другие—как точку минимума на кривой
третьи—как точку максимума.
Положение точки перехода на поверхности крыла, так же как и
точки потери устойчивости слоя, зависит от степени турбулентности
набегающего потока, от ускоренное™ или замедленности внешнего
потока, от наличия на поверхности крыла источников возмущения—•
различных шероховатостей, неровностей, щелей и др.
Для иллюстрации влияния указанных факторов приведем результаты
опытов Е. М. Минского1 (рис. 181). На оси ординат отложена отно-
сительная дуговая абсцисса точки пе-
рехода на верхней поверхности че-
тырнадцатипроцентного крылового
профиля, а на оси абсцисс — степень
турбулентности е, под которой сле-
дует понимать выраженное в про-
центах отношение отклонения скоро-
сти набегающего потока от среднего
ее значения к самой средней ско-
рости.
Как показывает график, наблю-
дается отчетливое смещение точки
перехода к носику крыла при воз-
растании интенсивности турбулент-
ности набегающего потока. Протя-
женность ламинарного участка резко
сокращается также при увеличении угла
относятся к различным, отмеченным на них
Это естественно, так как при возрастании
атаки (кривые рис. 181
значениям угла атаки а),
угла атаки увеличивается
быстрота восстановления давления, что приводит к повышению диф-
фузорности пограничного слоя, а это, как было ранее указано,
вызывает ослабление устойчивости ламинарного участка пограничного
слоя. Заметим, что опыты Е. М. Минского проводились при сравни-
тельно малых рейнольдсовых числах.
В настоящее время еще 'не существует достаточно обоснованной
теории определения границ области перехода и приходится довольство-
ваться для этой цели различными приближенными приемами.2
1 Е. М. Минский, Влияние турбулентности набегающего потока на
переход. Труды ЦАГИ, вып. 415, 1939.
2 Изложение довоенных работ в этом направлении можно найти в гл. I
третьего отдела нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя".
I остехиздат, 1941, стр. 227. Новый полу эмпирический метод определения
положения точки перехода изложен в работе А. А. Дородницына и
S90
Турбулентное движений
[гл. IX
Некоторые соображения насчет расчета перехода ламинарного слоя
в турбулентный при больших скоростях набегающего потока (при
больших дозвуковых значениях числа Мо ) можно найти в только что
цитированной статье А. А. Дородницына и автора настоящего курса.
Задача об определении положения точки перехода имеет большое
практическое значение, так как от положения точки перехода на
крыле зависят его сопротивление и подъемная сила (особенно макси-
мальная, соответствующая критическому углу атаки).
Влияние положения точки перехода на сопротивление хорошо обте-
каемого крыла будет показано несколько дальше, а сейчас обра-
тимся к другому, не ме-
нее важному вопросу о
влиянии положения точки
перехода на сопротивле-
ние плохо обтекаемых
тел.
Если рассмотреть кри-
вые зависимости коэффи-
циента лобового сопро-
тивления от рейнольд-
сова числа R для какого-
нибудь плохо обтекаемого
тела, например цилиндра
или шара, то можно за-
метить, что существует
такое значение числа Рей-
нольдса Rfc, вблизи кото-
рого происходит резкое уменьшение сопротивления (в четыре-пять
раз). Величина Rfc сильно зависит от степени турбулентности набе-
гающего потока. На рис. 182 приводим кривые сж(Р) для шара,
помещенного в аэродинамические трубы с различной турбулентностью;
на рисунке помещены лишь те участки кривых сопротивления, где
происходит указанное резкое падение сопротивления. Разница между
кривыми настолько отчетлива, что по значению R/t можно судить об ин-
тенсивности турбулентности. Чтобы уточнить определение величины Rt
было принято полагать:
R = Rfc при сх = 0,3.
Чем выше качество трубы, чем менее турбулентен в ней поток,
тем выше величина Rfc, достигаемая при измерениях сопротивления
шара в этой трубе. Так, кривая V (Rs = 270 000) соответствует опытам
Л. Г. Лойцянского „К теории перехода ламинарного слоя в турбулент-
ный". Прикл. матем. и механ., т. IX, 1945. См. также А. П. Мельников,
О переходе ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Труды Ленингр.
военно-возд. академии, вып. 3, 1943.
§ 92]
„ТОЧКА* ПЕРЕХОДА И „КРИЗИС ОБТЁКАНИЯ*
591
в трубе, в которой средние отклонения мгновенных скоростей потока
отличаются от средней скорости потока не более чем на 0,5%,
кривая I (Rft = 125 000) соответствует потоку с аналогичными от-
клонениями, достигающими почти 2,5%. В настоящее время такой
косвенный метод описания турбулентности аэродинамической трубы
заменен более точными, прямыми замерами средних отклонений мгно-
венных скоростей (см. конец § 104).
Чтобы понять причину отмеченного явления резкого уменьшения
сопротивления шара, обратимся к рассмотрению кривых распределения
давлений по его поверхности (рис. 183). Из этих кривых (особенно
см. I и II) следует, что уменьшение сопротивления шара связано
с коренной перестройкой всего окружающего потока. Резкое воз-
растание максимального разрежения, смещение вниз по потоку точек
минимума давления М и точек отрыва пограничного слоя S говорит
592
ТУРЁУЛЕНГНОЕ ДВИЖЕНИЙ
[гл. IX
об улучшении обтекания шара с) го объясняет уменьшение коэффи-
циента сопротивления, гак как при лучшем охвате поверхности шара
потоком распределение давлений как бы приближается к тому идеаль-
ному, при котором, согласно парадоксу Даламбера, сопротивление
должно равняться нулю.
Следует заметить, что визуальные наблюдения (рис. 184) под-
тверждают описанную картину улучшения обтекания шара в указан-
ной области рейнольдсовых чисел.
Явление это, получившее наименование „кризиса сопротивления“
или „кризиса обтекания", объясняется изменением расположения точки
перехода ламинарного пограничного слоя на шаре в турбулентный.
Рис. 184.
При R меньших 1,5 • 106 во всех рассмотренных трубах на поверх-
ности шара происходит отрыв ламинарного пограничного слоя, пере-
ходящего в турбулентный где-то вне шара в оторвавшемся слое.
При возрастании рейнольдсова числа точка перехода, отметим ее бук-
вой Т, перемещается навстречу потоку и приближается к поверхности
шара. Как только точка Т достигнет точки S ламинарного отрыва
слоя, внешний поток, благодаря возникновению вблизи точки отрыва
турбулентного перемешивания, увлечет за собою пограничный слой,
обтекание улучшится, и точка отрыва сместится вниз по потоку.
Теперь уже точка отрыва S будет соответствовать отрыву турбу-
лентного слоя, так как точка перехода Т будет находиться выше
по потоку, чем точка отрыва. Судя по характеру кривых рис. 183,
можно думать, что в точке перехода Т происходит местный, не
получающий дальнейшего развития отрыв ламинарного слоя, сопрово-
ждающийся обратным прилипанием пограничного слоя к поверхности
шара с последующим развитым отрывом уже турбулентного погра-
ничного слоя. Указанный местный отрыв ламинарного слоя служит
источником возмущений (вихреобразований), заполняющих поток за
точкой Т.
Приведенное объяснение явления „кризиса обтекания", основанное
на представлении о переходе пограничного слоя из ламинарного состоя-
ния в турбулентное, прекрасно подтверждается применением искусствен-
§ 92]
точка" ПЕРЕХОДА и „кризис Оы екания
593
ной турбулизации слоя при помощи различных специально вводимых
в слой источников возмущений (проволочное ко шчко на поверхности
шара, перегородочка, выступы шероховатости и др) в условиях потока
с рейнольдсовыми числами, значительно меньшими критических
Этим специально пользуются, когда, не имея возможности достигнуть
больших значений чисел Рейнольдса, хотят все же получить картину
обтекания, близкую к той, которая имеет место при больших чис-
лах Рейнольдса. Для этого
в пограничный слой поме-
щают различные, очень ма-
ленькие по своим размерам
турбулизаторы.
Явление „кризиса обте-
кания" сильно зависит от
сжимаемости газа при боль-
ших скоростях его движе-
ния. Как уже было указано
в самом конце предыдущей
главы, возрастание докрити-
ческих чисел М набегающего
потока вызывает ухудшение
обтекания тела, поэтому
можно ожидать, что для
улучшения обтекания шара,
происходящего при кризисе
обтекания, потребуются тем
большие рейнодьдсовы числа,
чем больше число М. Наблюдения Ферри над обтеканием шара при
разных М, результаты которых приведены на рис. 185, блестяще под-
тверждают это предположение. С возрастанием числа М от 0,3 до 0,67
принятое ранее условное значение R7t возрастает от 400000 примерно
до 740000.
Этот фак1 служит вместе с тем косвенным подтверждением выска-
занного ранее предположения об ухудшении обтекаемости тел при
появлении влияния сжимаемости.
В заключение отметим, что явление кризиса обтекания играет
существенную роль в лабораторных определениях максимального зна-
чения коэффициента подъемной силы крыла с1т„. При критических
углах атаки обтекание носика крыла похоже на обтекание круглого
цилиндра. При малых рейнольдсовых числах с носика легко срывается
ламинарный слой, что приводит к резкому падению су и необходи-
мости уменьшения критических углов атаки, а следовательно, и умень-
шения Cj,max. С ростом рейнольдсова числа и достижением тех его
значений, при которых возникает кризис обтекания, начинается отме-
ченное выше улучшение обтекания носика и появляется возможность
повышать критические углы атаки и вместе с тем сувца.
38 Зак. 1841. Л г. Лойцянский.
594
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЙ
(ГЛ. IX
трубах при сравнительно небольших рейнольдсовых числах, не позво-
ляют судить о подлинных возможностях крыловых профилей с точки
зрения их максимальной подъемной силы.1
§ 93. Основные уравнения осредненного турбулентного движения.
Тензор турбулентных напряжений
На рис. 187 показаны осциллограммы колебаний скорости в раз-
личных точках потока перед продольно обтекаемой пластинкой и
внутри пограничного слоя на ней. Электрический измеритель скорости
был неподвижен, а поток набегал на него со средней скоростью
15 м!сек.
Верхняя осциллограмма показывает чрезвычайно малые по ам-
плитуде пульсации скорости во внешнем потоке, не превышаю-
щие 0,5% от скорости набегающего потока, причем частота их, судя
по шкале времени, велика. Эта осциллограмма 1 дает общее пред-
ставление об установившемся турбулентном воздушном потоке в аэро-
динамической трубе. Если бы измерительный прибор не был так
точен, пульсации скорости остались бы незамеченными, и поток в трубе
мог быть назван стационарным. Следующая осциллограмма 2 относится
1 Вопросы влияния рейнольдсова числа и турбулентности потока на
максимальную подъемную силу крыла подробно рассмотрены в нашей моно-
графии „Аэродинамика пограничного слоя", Гостехиздат, 1941, стр. 250—262.
Там же можно найти и результаты некоторых опытов по искусственной
турбулизации потока.
§ 93J
Основное уравнения осредненного движения
595
к точке пограничного слоя, находящейся на расстоянии 20 см о г
передней кромки пластинки. На самой кромке образуются возмущения
(типа завихрений); они интенсивны, но, перемещаясь вдоль пограничного
слоя, который в этой области устойчив и ламинарен, быстро затухают;
эти пульсации, имеющие сравнительно небольшую частоту и довольно
регулярный характер, напоминают малые колебания потока около
устойчивого движения. Такое представление хорошо подтверждается
следующей осциллограммой 3, зарегистрированной прибором, находя-
щимся в пограничном слое на расстоянии 50 см от носика пластинки.
Возмущения от носика затухли, только изредка приходят отдельные,
очень значительные по интенсивности возмущения, не нарушающие,
Масштаб Времени_______
' д/ сел '
Рис. 187.
однако, общего ламинарного^ характера^пограничного слоя. Природа
этих возмущений связана, невидимому, с началом потери устойчивости,
так как осциллограмма 4 в точке на 60 см от носика уже носит явно
переходный характер. Наконец, на расстоянии от носика пластинки,
превышающем 100 см, наблюдается (осциллограмма 5) типичная турбу-
лентная картина пульсаций большой частоты и довольно значительной
интенсивности (3—4%).
Приведенные осциллограммы 1 еще раз подтверждают изложенные
в предыдущем параграфе общие представления о явлении перехода
ламинарного слоя в турбулентный. Вместе с тем они имеют для нас
и самостоятельное значение. Из этих осциллограмм непосредственно
видно, что, описывая турбулентное движение приемом Эйлера, т. е.
1 „Аэродинамика" (под редакцией Дюрэнда), т. VI, Оборонгиз, 1941.
38*
596
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЙ
[гл. IX
регистрируя во времени скорости потока в данной точке пространства,
можно положить:
w = «4~hz, v = v-\-4)', w = w-^-w', (2)
где и, ч), w — действительные мгновенные скорости потока в данной
точке, и, ч>, чю—осредненные во времени скорости, а и’, ч/, чю'—
отклонения действительных скоростей от осредненных, которые будем
называть пульсационными скоростями или, короче, пульсациями.
Будем в дальнейшем предполагать, что в развитом турбулентном дви-
жении пульсации очень малы по сравнению со средними скоростями
потока и что величины осредненных скоростей мало зависят от
способа осреднения. Условимся обозначать черточкой, поставленной
над величиной, среднее ее значение, определенное, как обычное инте-
гральное среднее
<р(х, у, г; /) =
у, г; x)dt
(3)
за промежуток времени Т, называемый периодом осреднения.
Будем предполагать, что для каждого рассматриваемого турбулент-
ного движения существует такой, достаточно большой по сравнению
с периодом пульсаций, но малый по сравнению с характерным для
осредненного движения интервалом времени (периодом колебательного
процесса, временем прохождения телом своей длины или др.), не
зависящий от времени период осреднения Т, что приведенное сгла-
живание во времени (3) приводит к осредненной величине, при
повторном сглаживании уже не изменяющейся. Это значит, что
w == «. (4)
Если в результате осреднения (3), проведенного в данной точке
в разные моменты времени t, будут получаться одни и те же зна-
чения ср, то такое осредненное движение называется стационарным,
а само турбулентное движение квазистационарным.
Предположение (4) эквивалентно утверждению о равенстве нулю
средних значений пульсаций величины <s, равных
ч>' ~ V — ч>.
t 1 1
Действительно, в силу линейности операции осреднения (3) и
равенства (4), имеем:
ср' = ср — ® = 0. (5)
В дальнейшем придется иметь дело исключительно с квазиста-
ционарными турбулентными движениями. В этом случае осредненное
§ 93] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 597
значение а> будет функцией только координат, так что, если ф озна-
чает еще одну пульсирующую функцию времени и координат, то,
согласно (3), получим [черта сверху означает операцию осреднения (3),
проведенную над всем выражением, стоящим под этой чертой]:
<рф = ®ф.
(6)
Если турбулентное движение не квазистационарно, то равенство (6)
приходится постулировать как дополнительное свойство осредне-
ния (3).
По определению осреднения (3) сразу следует, что среднее зна-
чение производной от некоторой функции по координате равно про-
изводной от среднего значения функции по той же координате
д<Р др
dx dx
и т. д.,
(7)
так как операции дифференцирования по координате и интегрирования
по времени независимы. Таким же свойством обладает и производная
по времени. Действительно, по известной формуле дифференцирования
интеграла с переменными пределами получим:
и, следовательно,
dtp____dtp
~di~"dF'
(8)
Пользуясь частью постулированными, частью выведенными из опре-
деления закона осреднения (3) свойствами,1 можно получить дифферен-
циальные уравнения осредненного движения несжимаемой жидкости.
Возьмем для этой цели основную систему (14') гл. VIII уравнений
1 Закон осреднения (3), использованный для турбулентного движения
впервые Рейнольдсом, является простейшим из возможных законов осре-
днения.
Несколько подробнее вопрос об осреднении (сглаживании) пульсирующих
функций изложен во втором томе курса Кибел я, Кочина и Розе
(стр. 575, изд. 1948 г.).
598
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
движения вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил:
du HF . du , du , 4- u-к—k -4- no 1 dx 1 dy 1 du ~dz -^ + vV% p dx 1 ’
dv , dv , dv . 4- U-s—k —г w 1 dx 1 dy 1 dv * [ '. V2?.'
dF dz p a>+vV
dw . dw , dw , 1 dx 1 dy 1 dw _
dt dz p dz +VV W’
du . dv . dw „
дх'ду' dz
(9)
и, пользуясь уравнением несжимаемости, перепишем первое из уравне-
ний системы (9) в виде:
. д (ии) . d(uv) d(uw)
dt ' дх ' ду дг
Р дх
Произведем над обеими частями этого равенства операцию осредне-
ния (3), тогда, согласно (7) и (8), при р —const, v = const, будем
иметь:
ди I &ии । 'iuv । дгда J_ др_ । _2—
~di ' дх 1 ду " дг р дх ' v
(9')
Рассмотрим входящие сюда средние значения от произведений
проекций скорости. Заменим в них и, и и ®> разложениями на осред-
ненные и пульсационные скорости (2), тогда по определению опера-
ции (3) и (6) будем иметь:
ии — («-{- и') («-J- и') — ии-\-2ии и'1 ~ии-}-2и и' -j- и,г,
uv — (« -j- и') (v -j- v') — uv-\~ uv' -ф- vu -j- u'v' —
— uv-\- uv' -ф-0«/-\-u'v'>
uw = («-[“ u') (w-j- w') = uw-j- uw'-j-wu' u'w' =
= и w uw' -f- W w'®»',
или, используя (5):
K«=«34-U/2, uv — uv-}- u'v', UW = U1B + u' w'.
Уравнение (9') может быть после этого переписано в форме:
ди । ди2 duv , duw 1 др . -о— ди'2 du'v' du'w'
dt ~ dx dy ‘ dz p dx dx dy dz
§ 93J ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 599
Замечая, что осреднение уравнения несжимаемости дает
4.^=.- о, по)
дх 1 ду 1 dz ’ v 1
перепишем предыдущее уравнение в виде:
ди . — ди . — ди , — ди 1 др , ди'2 du'v’ du'w'
dt * дх 1 ду 1 dz р дх 1 дх ду dz
Повторяя совершенно аналогичные преобразования с остальными
двумя динамическими уравнениями (9), получим искомую систему
дифференциальных уравнений осредненного движения (уравнения Рей-
нольдса):
(ди , — ди , —ди . — ди >
(dv . — dv I — dv । —
r\dt 1 dx 1 dy 1 dz J
= — + pV2t> -4- (— paV) + ^(— P®'2)+'^ (— p5W),
(dw । — dw , — dw . —dw\
P I I U -=;-r~ 1> -1- w -ЧГ- I =
* \ dt 1 dx 1 dy 1 dz /
(И)
= — ^ + 4- ^(— pz/w') + ^ (— fw'wz) + -^ (— pw'2),
j du . dw_______
dx ' dy ' dz
Сравнивая эги уравнения с общими уравнениями „в напряжениях"
(30) гл. II:
(ди ,dU ! п | an \_______дрхх [ др say I dpscz
t\dTrudJc+VTy W-d-z) = ~dT^-dy +~дГ’
можем представить себе правые части системы (11), как результат
подстановки в уравнения „в напряжениях" на место величин р^,
Рад • • суммы вязких напряжений, определенных обобщенным законом
Ньютона, и дополнительных турбулентных напряжений, возникших
за счет наличия в потоке пульсаций:
Р™ = — р + 2|х д£+р’™, Рху и т- д->
600 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ (ГЛ. IX
причем дополнительные турбулентные напряжения образуют, так
же как и вязкие напряжения, свой симметричный тензор второго
ранга:
/ — ри'2 —ри'®' —pu'wr^
——ри^ч/ ———рчУчл/ (12)
\ — ри'чи)' — pv'w' — pw'2 /
Итак, приходим к выводу: уравнения осредненного турбулент-
ного движения могут быть написаны в той же форме, что и
уравнения действительного движения, если только, помимо вязких
(ньютоновских) напряжений, учесть еще дополнительные турбу-
лентные напряжения.
Система уравнений (11), состоящая из четырех уравнений, со-
держит в себе, кроме четырех неизвестных—‘Давления и трех проек-
ций осредненной скорости, — еще шесть неизвестных турбулентных
напряжений рхх, рху.--, относительно которых остается сделать
какие-то дополнительные предположения; в противном случае си-
стема (11) будет неопределенной.
Уравнения Рейнольдса (11), так же как и входящие в них ком-
поненты турбулентных напряжений, можно было бы представить
в любой системе криволинейных координат;1 для дальнейших целей
достаточно уравнений в декартовых координатах.
Если попытаться подчинить турбулентные напряжения закону,
представляющему аналог обобщенного закона Ньютона, то, например,
в случае плоского прямолинейного и параллельного оси х осреднен-
ного движения со скоростью и, являющейся функцией только от у,
будем иметь:
рху = — pu'v'~A~t. (13)
Величину А можно при этом рассматривать как коэффициент
некоторой воображаемой „турбулентной" вязкости, обусловленной не
микропереносом количеств движения молекул, а возникающим между
слоями осредненного движения за счет поперечных пульсаций макро-
переносом количеств движения конечных объемов жидкости, и назвать
коэффициентом турбулентного обмена. Если в данном частном
случае движения в плоской трубе предположить, что Л есть неко-
торая постоянная величина и, подсчитав сопротивление трубы, подобно
тому, как это было сделано ранее в случае ламинарного движения,
непосредственно измерить действительное сопротивление и сравнить
1 Л. Г. Лойцямский, Аэродинамика ио1раничного слоя. Гостехиздат
1941, стр. 273, а также „Современное состояние гидроаэродинамики вязкой
жидкости", т. 1. Гостехиздат, 1943, стр. 224.
§-931
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
601
результаты между собой, то полученные таким образом величины А
окажутся в десятки тысяч раз превосходящими величину коэффи-
циента молекулярной вязкости р. Образно говоря, коэффициент
турбулентной вязкости А воздуха оказывается равен коэффициенту
обычной молекулярной вязкости сиропа, а соответствующий кинема-
А
тический коэффициент турбулентной вязкости е = -------кинематиче-
р
скому коэффициенту молекулярной вязкости v сапожной ваксы.1
Однако измерения показывают, что величина А, кроме того,
в отличие от р, не является постоянной, характерной для жидкости
или ее турбулентного движения. Коэффициент А резко меняется по
сечению трубы от очень малых значений вблизи стенки трубы до
некоторого максимума примерно на расстоянии полурадиуса трубы
от ее стенки и затем вцрвь убывает до некоторого минимума на оси
трубы.
Рассмагривая осредненное движение в трубе, можно написать
выражение полного касательного напряжения „трения", понимая под
последним как ламинарное (молекулярное), так и турбулентное трение,
в виде:
= + (И)
Только в непосредственной близости к стенке трубы слагаемое р
сравнимо по величине с А, причем на самой стенке А = 0, и напря-
жение трения совпадает с принятым в теории ламинарного движения
(см. предыдущую главу) выражением
(15)
При удалении от стенки величина А очень быстро возрастает,
доходя до тех больших значений, о которых была речь ранее. В связи
с этим почти повсюду в потоке, исключая только область, непосред-
ственно прилегающую к стенке трубы, можно пренебрегать вязкими
напряжениями по сравнению с турбулентными; в дальнейшем этим
выводом придется пользоваться постоянно.
Подчеркнем, что высказанное положение совсем не означает воз-
можности вообще пренебрегать вязкостью жидкости в турбулентных
процессах; дело идет лишь о пренебрежении членами
сравнению
du
dy ’
где «— осредненная скорость.
вида и.-?- по
1 dy
Влияние же
с
А
’ Заимствуем этот образ из доклада И. А. Кибеля на совещании но
1урбулентности в Научио-иссл. ин-те гидротехники в январе 1933 г. (См. Из-
вестия НИИГ, т. IX.)
602 ГУРБУЛЬНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ fl Л. IX
вязкости на внутренние процессы (затухание и зарождение возмущений,
нагрев потока и др.) сохраняет чрезвычайно важное значение в любом
пункте турбулентного потока.
Предположение (13) (или аналогичные предположения, относящиеся
к турбулентным потокам общего типа) содержит величину „коэффи-
циента турбулентного обмена" А в качестве переменной по сечению
трубы неизвестной величины, нуждающейся для своего определения
в дополнительных теоретических соображениях.
Современная измерительная техника в гидроаэродинамике позволяет
получать не только осредненные во времени и пространстве, но и
мгновенные значения скороеiей и давлений.1
Пример такого рода замеров был показан в начале настоящего
параграфа (рис. 187).
В дальнейшем при сравнении результатов теоретических расчетов
осредненного турбулентного движения с опытными материалами всегда
в скрытом виде будет предполагаться, что пространственно-времен-
ное осреднение, производимое приборами, совпадает с принятым
законом осреднения (3). Конечно, такое предположение является
новым дополнительным допущением и может вызвать сомнение
в возможности сравнения результатов теоретических расчетов турбу-
лентных течений и опытных замеров. Этот факт, а также встречаю-
щаяся в дальнейшем необходимость принятия ряда других дополни-
тельных допущений, возникающая по ходу изложения теоретических
методов расчета турбулентных потоков, накладывает на все содер-
жание настоящей главы общий отпечаток незаконченности и нестро-
гости. На современном этапе своего развития динамика турбулентного
движения является, без сомнения, одним из наиболее эмпирических
разделов теоретической гидроаэродинамики. Актуальность практиче-
ских приложений теории турбулентного движения, относящихся к самым
разнообразным разделам современной техники, заставляет исследо-
вателя не пренебрегать и такими эмпирическими путями.
§ 94. Турбулентное движение жидкости в плоской и круглой
трубе. Логарифмические формулы скоростей
В основу всего последующего положим рассмотрение осреднен-
ного турбулентного движения в плоской трубе (рис. 188). Принимая
движение установившимся, будем считать единственную составляющую
осредненной скорости и (черточку сверху в дальнейшем опускаем,
так как неосредненные скорости больше встречаться не будут)
функцией только поперечной координаты у.
1 Рекомендуем для ознакомления с этим вопросом помещенный на
стр. 387—396 нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя" параграф
„Методы экспериментального исследования турбулентных течений", состав^
ленный Е. М. Минским. См. также заключительный параграф настоящей
книги.
§ 94]
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ И КРУГЛОЙ ГРУБЕ
603
Разобьем1 осредненный поток в области от стенки до оси трубы
на параллельные оси слои ширины lt и рассмотрим каждый такой
слой отдельно с его скоро-
стями и (у)— и (уд по отноше-
нию к „дну" слоя у =У£
верхняя половина потока сим-
метрична нижней и может
отдельно не рассматриваться.
Если пренебречь влиянием вяз-
ких членов, роль которых, как
это указывалось в предыдущем
параграфе, при удалении от
стенки резко убывает, то
можно попытаться подобрать
величины /4 так, чтобы кривые
относительных скоростей в раз-
личных слоях были бы по-
добны ' между собой. Для этого составим очевидное разложение
« (у) — и (уД
и (Л+1) — и (Л)
«' (л) (У ~Уд + у и" (л) (у —уд* 4- ...
и' (Л) Ц + у и" (уд % + • • •
1 Д-1 /<ц" у~~у* . 1 (Уд ,(y—yi\ ,
У—yi ‘2 и'(уд ’ lj +6 n'(y,) \ lj / +
k 1 hu (yd 1 " (yd
+ ”2 W (yd + "6 ~u' (уд г ’ ’ ’
(16)
и потребуем,
ковых для
и (j) — и(уд
чтобы в сходственных точках слоев, т. е. при одина-
У— Vi
всех слоев значениях отношения , , величины
ч
—-----г----—г также имели бы одно и то же значение. Отсюда выте-
«(Л+1) — и (уд
кает требование, чтобы каждая из величин:
(Уд liu (Уд
и'(уд ’ и'(Уд ’
была одна и та же для всех слоев lt. Это требование можно пере-
писать в виде (опускаем индекс „г" и обозначаем символом — про-
порциональность):
/ и и'
1~а" и'"
(16')
1 Л. Г. Л о й ц я н с к и й, Турбулентное движение жидкости и внутренняя
задача. Изв. Научно-исслед. ин-та гидротехники, т. IX, 1933 и того же автора
„О некоторых приложениях метода подобия в теории турбулентности",
Прикл. матем. и мехаи., т. II, вып. 2, 1935.
604 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
Не составит труда убедиться, что всему этому бесконечному ряду
условий удовлетворяют как степенная, так и логарифмическая функ-
ции вида:
• и^А(у—у0)™ + В, и = С1п(у —Jo) + A (17)
и при этом длина интервала I оказывается линейной функцией
/ = х(_у—_у0). (17')
Здесь А, В, С, D, у0 и х — некоторые константы. Динамическим след-
ствием такого подобия будег служить, как было указано в конце § 78,
одинаковость для всех слоев коэффициента сопротивления, определяе-
мого как отношение напряжения трения (или перепада давления) к ха-
рактерному скоростному напору:
________________________________________________________
“ 2 11+ ...]’
i 2 » «' (у») J
По предыдущему отсюда следует
т = const • (18)
Подставляя в выражение напряжения трения (18) полученные сте-
пенные и логарифмические выражения (17), будем иметь:
т = const рх2 (у —j0)2/ге2Д2 (у—Jo)2”*-8 = const • (у —Уо)3гп,
с2 (19)
т = const • рх2 (у — Jo)2 • = const.
Сравним эти выражения с легко непосредственно выводимым рас-
пределением напряжения трения if плоской трубе. Для этого применим
теорему количеств движения к объему жидкости, заключенному между
двумя линиями тока, находящимися на расстояниях у и 2Л—у от
нижней стенки трубы, и двумя сечениями трубы, расстояние между
которыми £; будем иметь:
Др • 2 (Л —у) — ‘lt.L.
Деля это равенство почленно на частный его вид при у = 0, т. е.
для полного сечения трубы, когда т — (трение на стенке),
Др ‘Ih —
получим:
’=’-(>-f)- <20)
Сравнивая (20) с (19), убеждаемся, что логарифмическим распре-
делением скоростей (17) можно пользоваться приближенно в области
значений у, значительно меньших h, но в то же время в некотором
удалении от стенки, где влияние вязких членов пренебрежимо.
§ 94J Движение жидкости в плоской и круглой трубё бОб
Примером движения, в котором условия подобия выполняются точно
и действительно имеет место логарифмический профиль скоростей,
может служить предельное движение жидкости вдоль одной из стенок
трубы, когда вторая стенка удалена на бесконечность (й -» оо при
фиксированном у). Легко убедиться, что в этом случае во всем потоке
будет выполняться условие т = const — и логарифмический про-
филь скоростей станет единственно возможным.
Что же касается степенного выражения (17), то оно, как будто,
может дать совпадение (19) с (20) приу0 — h и т = ~, но приво-
дит при этом к профилю скоростей с бесконечным наклоном на оси
грубы. При малом т величина т будет слабой функцией у, что при-
ближает степенной закон к закону т — const
Итак, точное выполнение системы равенств (16') невозможно.
Если пренебречь влиянием производных от осредненной скорости
порядка выше второго, то условия точного подобия (16') заменятся
одним приближенным условием подобия относительных осреднен-
ных скоростей в слоях
du
I (21)
и" dtu ’ v 7
где х — некоторая постоянная, а знак минус выбран из условия, чтобы
при выпуклости профиля скоростей в сторону положительных у (и' > О,
и" < 0) величина I была бы положительной. При этом формула напря-
жения трения (18), если константу включить в определение величины/,
можег быть переписана в виде:
’=fp0- <22»
Предлагаемая интерпретация длины /, как величины, выражающей
приближенный закон дробления потока на слои с подобными
распределениями относительных осредненных скоростей, оказы-
вается совершенно достаточной для построения решения задачи
о турбулентном движении жидкости в трубе и пограничном слое.
Формула (22) была предложена Прандтлем, 1 исходившим из пред-
ставления о сходстве между явлением переноса количества движения
при турбулентном перемешивании и при столкновении молекул в лами-
нарном движении. Величина I трактуется Прандтлем как турбулент-
ный аналог „пути свободного пробега молекулы и называется путем
перемешивания.
1 L. Prandtl, Untersuchungen zur ausgeb’ldeten Turbulenz. Zeitschrift
fur angewandte Mathem. und Mechanik, 5 (1925), и обзор того же автора
„Результаты работ последнего времени по изучению турбулентности",
помещенный в начале сборника статей „Проблемы турбулентности", Гостех-
издат, 1936.
606
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
На наш взгляд, нет необходимости придавать величине I, входя-
щей в формулу (22), именно такое физическое истолкование. Формула,
аналогичная формуле (21), была на основании неоправданно сложных
теоретических построений выведена Карманом. 1
В связи с равенствами (20) и (21) формула (22) приводит к сле-
дующему дифференциальному уравнению для определения м(у):
о U? ft /, у \
рх =тЦ1 —
Уравнение это может быть переписано в форме (знак минус в пра-
вой части выбран в связи с тем, что и" < 0):
где обозначение ___
= С23')
введено для величины, имеющей размерность скорости, но не являю-
щейся вместе с тем скоростью какой-то конкретной точки; в силу
своего чисто динамического определения через величины и р, вели-
чина <0* могла бы быть названа динамической скоростью. Уравне-
ние (23) легко интегрируется и дает первый интеграл:
_1 = 2 —/г1/~ 1-1-4-С. (24)
и' v* г h 1 v ’
Для определения постоянной интегрирования С потребуем, чтобы
при малых у, когда подобие становится выполнимым точно, величина I,
определенная по формулам приближенного подобия (21), (23) и (24),
совпала бы с формулой (17') точного подобия. Подставляя значения
и' и и" из (23) и (24) в (21), будем иметь:
/=_ к 4=-х^ 1Л i-х (2^~h 1Л i-i+с\=
и" v. V h \ о* У h 1 /
= — 2v.h (1 4) Cv* 1 у
и, согласно поставленному условию, при любых y<^h должно вы-
полняться равенство:
-2х/г(1 -1-) — = —Уо)-
1 Т. Карман, Механическое подобие и турбулентность. Сборник статей
„Проблемы турбулентности", Гостехиздат, 1936, стр. 271—286.
§ 94] ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ Ё ПЛОСКОЙ И КРУГЛОЙ ТРУБЕ
607
Отсюда следует:
и по (24):
(25)
приводит к распределению ско-
Интегрирование этого уравнения
ростей
На рис. 189 приводится сравне-
ние теоретической кривой (26) при
к =0,40 с экспериментальными точ-
ками, полученными Никурадзе в кру-
глой цилиндрической трубе в широ-
ком диапазоне значений чисел Рей-
нольдса (от R = 4-108 до Р =
= 3240 • 10s), построенных по сред-
ней скорости в трубе и ее диаметру
й?=2й. 1
Как видно из графика, теория,
относящаяся к плоской трубе, ока-
зывается пригодной и для круглой
трубы; некоторое отклонение экспе-
риментальных точек вблизи стенки
при сравнительно малых рейнольдсо-
вых числах объясняется отмеченным
уже ранее влиянием молекулярной
вязкости, не учитываемым теорией.
Заметим, что более простое, чем (26), и очень близкое к нему
выражение распределения скоростей можно получить, если, используя
основное равенство (22), положить в нем приближенно
/=хд/, -r = Sc.
Тогда будем иметь:
1 И. Ннкурадзе, „Закономерности турбулентного движения жидкостей
в гладких трубах"—указанный на предыдущей странице сборник статей
„Проблемы турбулентности", стр. 75- 150.
608
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
или после интегрирования:
и = In у 4- С.
Полагая здесь:
у — h,
U = «max
и исключая С, получим:
цтах ц |п У
х h •
(27)
Полученная формула практически совпадает с (26) и так же
хорошо согласуется с опытными материалами при значении х — 0,40.
Рис. 190.
Применим формулы (26) и (27') для круглых цилиндрических груб,
считая h равным радиусу трубы а.
Определим среднюю скорость в трубе «ор как
а
— у)dy.
о
Совершая указанное осреднение над обеими частями формулы (27'),
получим при х = 0,40:
а
Нтах_~ % =-L f 1п(—) 2г. (а-—у) dy==
р* миг J \ а / v
о
“-тр-ШО—МН5- (28)
95] ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ 1РУВ
609
Эта формула связи между максимальной (на оси трубы) и средней
скоростью по сечению трубы хороню подтверждается на опыте, как
это видно из рис. 190. В отличие от ламинарного движения в круг-
лой грубе, при котором (§ 79) итах: иер = 2, в турбулентном движе-
нии эго отношение
уменьшаемся с ростом
рейнольдсова числа от
1,3 при малых его
значениях (R = 5000)
до 1,15 при сравни-
тельно больших (R =
^3 000 000).
Отсюда следует, что
при турбулентном ре-
жиме профиль скоро-
стей (рис. 191) распо-
лагаемся гораздо выше
ламинарного или, как
говорят, гораздо более
„заполнен", чем при
ламинарном, который
является более „ урезан-
ным", причем заполне-
ние увеличивается сро-
стом рейнольдсова чи-
сла; на рис. 191 этот
факт виден достаточно
отчетливо.
Все формулы рас-
пределения скоростей,
приведенные в настоя-
щем параграфе, содержат
фением на стенке трубы,
ходимо найти дополнительную связь между величинами и итах
или нср. Такая связь задается формулой сопротивления трубы тур-
булентному движению жидкости.
величину V*, связанную с неизвестным пока
Чтобы сделать задачу определенной, необ-
и и.
§ 95. Формулы сопротивления гладких труб при турбулентном
движении жидкости. Ламинарный подслой
При приближении к стенке грубы турбулентное грение, как было
уже ранее выяснено, должно быстро ослабевать и непосредственно на
стенке обращаться в нуль, гак как в силу непроницаемости стенки
поперечные по отношению к потоку и перпендикулярные к стенке
пульсации v' не могут осуществляться. Вместе с тем возрастает роль
вязких членов, пропорциональных нормальной к стенке производной
39 Зак 1841- Л. Г- Лондонским
610
ТУРБУЛЕНТНО Г ДВИЖЕНИЕ
[I Л. IX
от продольной скорости. Как видно из рис. 191, эти производные при
турбулентном режиме движения в трубе имеют гораздо более высокий
порядок, чем при ламинарном, что соответствует большему значению
ламинарного трения на стенке. Можно в грубом приближении пред-
положить, что весь поток в трубе разбивается на две характерные
области: 1) ядро течения, где поток чисто турбулентен и влияние вяз-
кости пренебрежимо мало, и 2) пристеночный слой, где движение,
наоборот, целиком определяется силами вязкости, а члены, предста-
вляющие турбулентное трение, ничтожны. В отличие от турбулентного
ядра течения пристеночный слой называют ламинарным подслоем
Не следует смешивать понятия пристеночного, ламинарного под-
слоя в трубе с ранее введенным представлением о ламинарном погра-
ничном слое. Напомним, что движение вязкой жидкости в пограничном
слое определялось как силами вязкости и давлений, так и инерцион-
ными влияниями: движение в пограничном слое не было равномерным,
а сам слой нарастал по толщине вниз по потоку. В рассматриваемом
сейчас ламинарном подслое движение равномерно и происходи! под
действием только движущего перепада давлений и сил вязкости. По-
граничный слой граничи! с внешним безвихревым потоком, ламинар-
ный подслой располагается под турбулентным ядром течения, законы
движения которого не имеют ничего общего с потенциальным потоком.
Нам придется в дальнейшем иметь дело с турбулентным пограничным
слоем; в этом случае вблизи стенки, на дне турбулентного погранич-
ного слоя, будет существовать ламинарный подслой.
Сделаем следующее допущение относительно толщины ламинарного
подслоя 8Л, будем предполагать, что толщина подслоя может быть
представлена в виде степенного одночлена, зависящего лишь от физи-
ческих констант жидкости р и р и напряжения трения на стенке
8 — ар/1рйтс,
1 I *
где a — некоторая безразмерная константа. Составляя уравнение связи
размерностей
и сравнивая показатели степени при одинаковых размерностях слева
и справа, получим систему уравнений
a —j— b —с О,
— а — ЗЬ — с—1,
— а — 2с — О,
имеющую корнями:
§ 95J
ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ
611
Из этих соображений вытекает, что толщина ламинарного под-
слоя 8Л должна определяться формулой:
—А 1
8л = аи.р %, а,
или, пользуясь представлением о динамической скорости —
= (29) -
Представляя это выражение в виде
заключим, что при больших R,H величина 8Л должна составлять ничтож-
ную часть диаметра круглой трубы или расстояния между стенками
плоской трубы. В связи с этим с пренебрежимо малой ошибкой можно
считать на всем протяжении подслоя профиль скоростей прямолиней-
ным и определить скорость ил на внешней границе подслоя, как
Подставляя сюда выражение 8Л, согласно (29), получим:
ил = av:.
(29')
Формулы (29) и (29') заключают в себе новую константу а, кото-
рая вместе с уже ранее введенной константой х представляет совокуп-
ность двух характерных констант турбулентности. Определить
эти две константы в настоящее время можно только из опытов, причем
только опыты могут подтвердить тот основной факт, что х и а дей-
ствительно представляют постоянные величины, не зависящие ни от
физических свойств жидкости, ни от скорости движения, ни от раз-
меров трубы, или, более точно, не зависят от рейнольдсова числа.
Используем для определения констант формулу распределения ско-
ростей (27), правильность которой в турбулентном ядре течения вблизи
ламинарного подслоя (у <s^ h) подтверждается и точными и прибли-
женными соображениями подобия. Полагая в равенстве (27) у = 8Л,
и — ип, определяя С и исключая его из (27), будем иметь:
= _» In ~--4-осп..------1п а.
х v 1 '• х
или, переходя от натуральных логарифмов к десятичным,
и 2,303. yv* , 2,303.
— = ~—log'^—---------------log а, (30)
39*
612
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЙ
1ГЛ. IX
На рис. 192 приводится сводка результатов ранее цитированных
опытов Никурадзе, проведенных в широком диапазоне рейнольдсовых
_ - и , yv* ,,
чисел и обработанных в координатах о — —, тр-log2-^. Как это
следует из графика, экспериментальные точки вполне удовлетвори-
тельно располагаются по прямой
— = 5,75 log + 5,5.
(31)
Сравнивая экспериментально полученные коэффициенты в фор-
муле (31) с соответствующими теоретическими величинами, входящими
1
0-
со <*> **> **> TL со со сэ Сэ Сэ ix S S. ter; ^4 cqT <*-Г S3 1 <O Q»’ S <Xj , II H II II и II II II . Ct; Сщ Cfc Cfc Ct Ct; Cc о э a • Ф 9 о ф CO co co Sb» sSa ® a s §. §. § ; C4- »• <\| N 1 » II II И И |f II II CCQcCcCGCtCcCcCk; | • ♦ 4 -> ° •
«>•
® о
с l2j l9^l\
Рис. 192.
в коэффициенты формулы (30), найдем вновь / — 0,40, а значение а.
оказывается близким к 11,5.
Невозможность чисто теоретического определения констанг у и а
делает изложенную теорию турбулентною движения в трубе полу-
эмпирической.
Располагая формулами распределения скоростей и выражением для
толщины ламинарного подслоя и скорости на внешней его границе,
легко выведем и искомые формулы сопротивления.
Напомним, что, аналогично тому, как это было сделано в теории
ламинарного движения в трубах (§ 79), задача сводится к определе-
нию зависимости коэффициентов сопротивлений Z или <|>, входящих
§ 95]
ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ
613
в формулы (29) или (32) § 79, от рейнольдсова числа. Нет никакой
необходимости повторять выводы этих формул для турбулентного дви-
жения, так как предыдущий вывод не заключал в себе ничего специ-
фического для ламинарного движения и относился, очевидно, к обеим
формам движения.
Согласно (32) § 79, используя величину «4 = т/ , будем имей:
или:
, Ф >
= f «тх,
"<-1 __ 2/2 Цщах __ Г‘-
V* /^ ’ Т»# Уф
(32)
(32')
Для получения формул сопротивления можно использовать любой
из следующих двух путей: или применяя к оси трубы формулу
скоростей (31), в которой коэффициенты определены при помощи
значения скорости на границе ламинарного подслоя, или, наоборот,
применяя к границе ламинарного подслоя формулу (27') с постоян-
ными, определенными через скорощь на оси трубы.
И тем и другим приемом получим одну и ту же формулу
-^ = lln(^) + a-l|na=--5,751og(-^) + 5,5, (33)
которую, пользуясь (32'), можно преобразовать еще к виду:
1/~ ~ = 5,75 logfJ^.-^->) + 5,5 =
= 5,75 log(Rw/'J) 4-5,5.
Будем иметь окончательный вид формулы сопротивления:
-А==Д'1О§(КОТУФ)4-В'. (34)
у ф
Линейность связи между ~ф= и log (Rm ]/ф) хорошо подтвер-
/Ф
ждается опытными точками, как об этом можно заключить из рассмо-
трения графика на рис. 193. Прямая / проведена при А' —3,77;
В' = 4,75, прямая 2—при А' = 3,90; Д'= 4,16.
Переписывая (33) в тождественной форме
Ы”»ах_4- = 5,75 log ....иАР. . .) 4-5 5
о* щ. км 2нор/ 1 ’
614 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [1'Л. IX
и используя (28) и (32), получим:
-U = Clog (R ]/!)-}-£), (35)
И л
1де
R — Цор'2г
)
Многочисленные опыты хорошо подтверждают следующую фор-
мулу с округленными коэффициентами:
J=-21og(RyT)4-0,8, (35')
представляющую связь между коэффициентом сопротивления трубы Л
пользоваться предложенной Никурадзе приближенной явной зависи-
мостью
>=0,0032+-^, (36)
близость которой к эксперименту иллюстрируется сплошной кривой
на рис. 194. На том же рисунке пунктиром приведена для сравнения
прямая, соответствующая широко используемой в гидравлике формуле
Блязиуса'
__ 0.3164
R0.25 ’
применимость которой, как показывает рис. 194, ограничена значе-
ниями R<106.
§ 95]
ФОРМУЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ГЛАДКИХ ТРУБ
615
Из приведенных формул вытекает следующий пуп, расчета уста-
новившегося турбулентного движения жидкоеiи в круглой трубе.
Обычно задается диаметр трубы d., коэффициент кинематической
вязкости жидкости t и потребный объемный расход. По расходу и
Рис. 194.
после этого определяется по (36) коэффициент сопротивления X, а затем
и перепад давления Др на заданном участке трубы длины Lt
Р«ор
2 ‘
Определив по полученной величине Др перепад на у час же длиной
в половину радиуса трубы, найдем:
и
X 2
Sp g РМО?
Остается воспользоваться формулой скоростей (31), чтобы задача
была полное п,ю решена.
Сопротивление трубы глубоко связано с явлениями, происходящими
в ламинарном подслое в непосредственной близости к стенке. Именно
этим объясняется, почему, несмотря на пренебрежение вязкими членами
в уравнениях движения в турбулентном ядре течения, распределение
скоростей и сопротивленце грубы оказываются зависящими от числа
Рейнольдса.
616
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
§ 96. Влияние шероховатости стенок трубы на ее сопротивление.
Предельные режимы течения. Режим установившейся
шероховатости
Все, что было изложено в предыдущем параграфе, относилось
лишь к движению в „гладкой" трубе, со строго цилиндрической
поверхностью. На практике приходится иметь дело с более или менее
„шероховатыми" трубами, а также с трубами с неточной цилиндрич-
ностью внутренней поверхности (волнистость).
Изучением влияния различного типа шероховатостей на сопроти-
вление труб занимается гидравлика,’.располагающая большим числом
Рис. 195.
разнообразных практических формул для определения сопротивлений
применяемых в технике труб.
Несколько идеализируя и вместе с тем обобщая понятие шерохо-
ватости, представим себе, что внутренняя поверхность трубы покрыта
бугорками, имеющими вид зерен примерно одинакового размера. Обо-
значим через k высоту бугорка шероховатост (практически, среднюю
высоту) и условимся называть величину k, выраженную в мм, абсо-
лютной шероховатостью, а отношение высоты бугорка k к радиусу
грубы а — относительной шероховатостью. В дальнейшем предпо-
лагается, что относительная шероховатость сравнительно невелика
(01 0,2 до 5%).
Рассмотрение типичных для труб с указанной „зернистой" шеро-
ховатостью эксперимен!альных кривых сопротивления, показанных на
рис. 195, приводит к следующим заключениям (нагкривых рис. \195
§ 96J ВЛИЯНИЕ ШЕРОХОВАТОСТИ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ 617
за параметр принята величина, обратная относительной шерохова-
тости):
1) относительная шероховаюсть не влияет на критическое число RK1
перехода ламинарного режима в турбулентный; для различных кри-
вые сходят с известной уже нам ламинарной прямой \ = 64/R при
одном и том же значении RKp, примерно равном 2 • 103 (логарифм
критического числа Рейнольдса близок к 3,3);
2) переходный режим также почти не зависит от относительной
шероховатости;
3) чем меньше относительная шероховатость, 1ем в большем диа-
пазоне рейнольдсовых чисел наблюдается обычное турбулентное дви-
жение, соответствующее гладким трубам; так, при относительной шеро-
ховатости порядка 0,2% кривая сопротивления почти до R = 5- 104
„ , 0,3164
совпадает с кривой л — —сопротивления гладких труб; наоборот,
R ’
при у порядка 3—5% кривые сопротивления пересекаются с кри-
выми гладких труб и резко от них отличаются;
4) при тем больших числах Рейнольдса, чем меньше относитель-
ная шероховатость, коэффициент сопротивления перестает зависеть о г
числа Рейнольдса и определяется только относительной шерохова-
юс1ью, при этом значения коэффициента сопротивления растут вместе
с относительной шероховатостью.
Этим основным результатам можно дать наглядное теоретическое
истолкование, если сопоставить высоту бугорка шероховатости k
с глубиной ламинарного подслоя 8Л.
Схематизируя явление, рассмотрим следующие три случая:
Iе. Бугорки шероховатости глубоко погружены в ламинарный под-
слой (k <d 8Л); наличие этих бугорков не нарушает ламинарное™
подслоя, причем бугорки обтекаются без отрывов и вихреобразований
(первый режим течения). В этом случае не г никакой разницы между
т ладкой и шероховатой трубами и сохраняются те же формулы ско-
ростей и сопротивлений, чго и для гладких труб. Заметим, что выра-
женная в частях радиуса грубы толщина ламинарного подслоя может
быть в силу (29), (32') и (36) представлена в виде:
8л „ " „ 2иор
a avf. ^u,.v v*
а 4 /2 ф
___==
_________65________
R (0,0032-1- 0,221 R-®’-37) ’
(37)
Таким образом, как и ранее, заключим, чго относительная толщина
1аминарного подслоя с ростом рейнольдсова числа убывает, а следо-
вательно, чем меньше число R течения в трубе, гем в более широ-
ком диапазоне относительных шероховатостей можно рассматривать
618 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
шероховатую трубу, как гладкую. Понятие относительной шерохова-
тости трубы 1еряег при этом свой геометрический характер и приобре-
тет чисто гидродинамический смысл. Количественные границы первого
режима течения, при котором формулы гладких труб остаются верны
для шероховатых труб, будут указаны в дальнейшем.
2°. Бугорки шероховатости выходят за пределы ламинарного под-
слоя (k 8Л)- Отрывное обтекание бугорков сводит тормозящее
влияние поверхности трубы к сопротивлению плохо обтекаемых тел
(бугорков шероховатости), которое, подобно тому, как это имело
место при отрывном обтекании пластинки (§41, гл. V), не зависит от
рейнольдсова числа и пропорционально скоростному напору набегаю-
щей жидкости (режим развитой шероховатости или третий режим).
Обозначим через ик скорость потока на уровне средней высоты
бугорков шероховатости (у = Иу, приравнивая сумму сопротивлений
бугорков, расположенных (на единице площади, касательному напря-
жению на стенке, получим (—знак пропорциональности):
откуда следует, что
_2____ S/> „з
г, = —
или
И/. = const • V. .
Замечая, что, как это следует из изложенной в предыдущем пара-
графе теории, в турбулентном ядре течения, безотносительно к при-
роде касательных сил на стенке, сохраняется логарифмический про-
филь скоростей (27') и соотношение (28), будем иметь при у — k:
ит^ — ик =5751Оо«
V* ъ k ь k’
и . 2 VT
max _Q 7К I °Р____Q '7К I г
О, / О п-- — О,/ О —
О*---------------------------1-V к
и, следовательно,
7r = ^^=!ogf+const = 21og|+const- <38)
Опытное значение стоящей справа константы равно 1,74, так что
для режима развитой шероховатости имеем:
— 2 log — 1,74, (39)
и окончательный вид формулы зависимости коэффициента сопроти-
вления от относительной шероховатости в рассматриваемом предель-
ном случае будет:
X =---------1-1. - - . (40)
(21og-J +1,74)
§ 96]
ВЛИЯНИЕ ШЕРОХОВАТОСТИ НА СОПРОТИВЛЕНИ1
619
3°. В промежуточном (втором) режиме, когда k имеет тот же
порядок, чго и 8Л, отношение ijpafc должно зависеть oi рейнольдсова
kUi
шсла —гак что приходится принять
__у /
ЯИА \ v /
или, что все равно,
( v* =.f(Ult - kVi' у
\ик) ' ’ v /’
этсюда следует, что должна выполняться зависимость вида (Д — не-
известная функция):
«it _ f fkv»\
^- — 711— )
Повторяя для этого
ТВ п. 2° при постоянном
случая полностью го же рассуждение, что
Uif
отношении-^-, получим:
-Ц-21оеА=А(^.
(41)
На рис. 196 приведен график функции по опытам Ни-
сурадзе.1
Наклонная прямая слева соответствует первому режиму течения,
те зависящему от относительной шероховатости; при этом
/a(-^) = 21og(^) + 0,65.
Подставляя это выражение функции в равенство (41)
и собирая члены, получим формулу (35х) для гладкой трубы. Это
гще раз подтверждает высказанное ранее положение о существова-
нии таких режимов течения, при которых шероховатая труба ведет
себя, как гладкая.
Горизонтальная прямая .справа отвечает предельному, третьему
режиму, не зависящему от влияния вязкости,—режиму, который
был ранее назван „режимом развитой шероховатости". При этом
функция принимает ранее уже указанное постоянное значе-
ние 1,74.
1 См. нашу монографию „Аэродинамика пограничного слоя", Гостехиздат,
1941, стр. 339—343.
6 20
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Как видно из графика (рис. 196), первый режим имеет место до
значения
log ^<0,47, -^<3.
Граница возможности использования формул гладких труб для расчета
шероховатых может быть, согласно (29), при а = 11,5, оценена
неравенством:
4- < 0,25,
°л
или, если воспользоваться формулой (37), неравенством:
— <------------—------------. (42)
a R (0,0032-j-0,221R~ 0,237)
Другой предельный случай, когда для расчета шероховатых труб
можно пользоваться простой формулой (40), определится по тому же
графику рис. 196 условием:
log 1,8, —^->60,
или
что приведет к следующей оценке границы области развитой шеро-
ховатости:
. (43)
« R (0,0032 4- 0.221R ~0,287)
97] Турбулентный пограничный слой ил пластине 621
Таким образом, каждому значению рейнольдсова числа соответствуют
определенные границы относигельной шероховатости, в которых можно
пользоваться теми или другими формулами.
Отметим, что приведенные формулы теории идеализированной
шероховатости могут применяться для практических расчетов труб,
если знать величину эквивалентной относительной шероховатости k;ija,
которую для различных поверхностей можно установить экспери-
ментально. 1
§ 97. Турбулентный пограничный слой на продольно обтекаемой
пластине. Сопротивление пластины
В начале настоящей главы было показано, что в развивающемся
вдоль поверхности крыла пограничном слое наблюдается как лами-
нарная, так и турбулентная части. Расположенная между ними пере-
ходная область, внутри которой законы движения жидкости еще мало
изучены, при больших рейнольдсовых числах невелика и в первом
приближении может быть заменена „точкой перехода". Эго позволяет
порознь рассчитывать сначала ламинарный участок пограничного слоя,
для чего применяются методы, изложенные в конце гл. VIII, затем
турбулентный слой — по законам „установившейся" турбулентности
и, наконец, сращивать оба решения вдоль сечения, проведенного
через точку перехода.
Обобщим прежде всего на случай турбулентного пограничного
слоя основное интегральное соотношение (91) § 87 предыдущей главы.
Для этого заметим, что уравнения турбулентного пограничного слоя
могут быть составлены из уравнений Рейнольдса (11) совершенно
аналогично тому, как уравнения ламинарного пограничного слоя были
составлены из уравнений движения вязкой жидкости. Будем иметь
аналогично (89) § 87:
ди . ди .. dU . 1 d-z
и-ч--Г® = U~z;--------------ч—,
дх дУ dx 1 ? ду
ди , дг> п
дх ~“и>
где х обозначает касательное напряжение трения между струями
осредненного течения, причем т заключает в себе как турбулентное,
так и обычное, вязкостное трение.
1 Более подробное изложение теории турбулентного движения жидкости
при наличии шероховатости стенок можно найти в следующих статьях:
Л. Г. Лойцянский, Об универсальных формулах в теории сопротивле-
ния шероховатых труб. Труды ЦАГИ, вып. 250, 1936; К. К. Федяевскнй
Примерный расчет интенсивности трения и „допускаемых" высот шерохо-
ватости для крыла. Расчет треиия поверхностей с местной и общей шеро-
ховатостью. Там же, вып. 250, 1936; К. К. Федяевский и Н. Н. Фомина,
Исследование влияния шероховатости на сопротивление и состояние погра-
ничного слоя. Там же, вып. 441, 1939.
622
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
(ГЛ. IX
Повторяя рассуждение начала § 87 предыдущей главы и вводя
те же самые обозначения для условных толщин слоя 6* и 8*х,
получим вновь уравнение (91) с той лишь разницей, что 8а и
должны составляться при помощи осредненных скоростей. Величина
напряжения трения на стенке будет определяться обычной форму-
лой вязкого трения = , так как на стенке турбулентные
\ J у=0
пульсации, нормальные к стенке, вместе с турбулентным трением
обращаются в нуль. Таким образом, действительно, уравнение импуль-
сов сохраняет в случае турбулентного пограничного слоя тот же вид,
что и в случае ламинарного слоя.
Рассмотрим задачу о продольном обтекании пластины. В этом
случае U= К», U' = 0, и уравнение (91) § 87 приведется к виду:
Следуя принятому в теории ламинарного пограничною слоя при-
ближенному методу и предполагая, что во всех сечениях турбулент-
ного пограничного слоя наблюдается установившаяся турбулентность,
выберем в качестве семейства профилей продольных скоростей в се-
чениях турбулентного пограничного слоя те же логарифмические про-
фили скоростей:
^--2,5In ^-4-5,5, = (46)
что и в сечении трубы, но в отличие от трубы будем считаться
с переменностью величины напряжения трения а следовательно,
и v* вдоль поверхности пластины.
Составим входящую в уравнение (45) величину 8*А. Для этого
применим сначала соотношение (46) к внешней границе у = 8 турбу-
лентного пограничного слоя; тогда будем иметь:
V м?.. rV 6 v \
— = 2,51п —— 4-5,5 = 2,5 1п (-2- • 4- 5,5 =
/ v \ 17 В
= 2,51п (Rg • —М + 5,5, Rg = . (47)
' * со' *
Простые выкладки приведут к выражениям:
i = 2,5 In + 5,5 = 2,5 in (RS . i . Л-) + 5,5.
2,5 In-r-.
0
§ 97]
ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОИ НА ПЛАСТИНЕ
623
После этого найдем:
причем постоянные At и А2 легко вычисляются:
1
А> = —6,25 I ln2fiW-=^) = - 12,5.
w J X 0 / \ 0 /
о
Переходя в предыдущей формуле
у г,**
— и
к рейнольдсовым числам
V 8
получим:
2
.ii— —25_____
Rs Vt
Определяя отсюда Rs и подставляя в равенство (47), найдем связь
между и R**:
"со
к»
(48)
2,5-12,5-^
* rr
Заменяя в этом выражении натуральный логарифм на десятичный
и —=- на
получим:
₽К»
;-7== = V5 logR^ -5,75 log(l —5 V*m) + 3,22. (49)
V \>!pvm
Равенство (49) представляет в неявном виде связь между местным
коэффициентом сопротивления пластины
cf ~~
1 о!/2
2 Г r оо
624
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ IX
и рейнольдсовым числом R**. Соотношение (49) может быть значи-
тельно упрощено, если, определив из (49) путем последо-
вательных приближений или графически, заметить, что последние два
слагаемые предоавляюг слабо изменяющуюся функцию R-=*; их сумма
в широком диапазоне чисел R’r от 10s до 10Б можег быть заменена
своим средним значением 3,8. Эго приведет к следующему простому
выражению коэффициента местного сопротивления пластины через
рейнольдсово число Rr':
2 Cf “ ~ (5,75 log R* +3,8)- ’
Обработав большое число экспериментов различных авторов над
длинными пластинами при больших значениях рейнольдсовых чисел,
Фолкнер1 предложил простой эмпирический степенной закон ско-
ростей и сопротивлений, который при пересчете на принятые у нас
величины может быть
представлен в виде
'•и:
= 0,00655 R- 7. (51)
Эта формула при
больших R1' с успехом
заменяет более сложное
выражение (50).
На рис. 197 приво-
дится в логарифмическом
масштабе для сравнения прямая (51) и несколько точек, рассчитан-
ных по предлагаемой выше формуле (50). При больших рейнольд-
совых числах совпадение можно признать более чем удовлетвори-
тельным и в дальнейшем пользоваться формулой (51). Уравнение (45)
после этого легко интегрируется. Имеем:
dx
= 0,00655R‘ -“z,
интегрирование дает:
R 7/0 = ~ • 0,00655 Ra,+ C.
(52)
Предположим сначала, что ламинарный участок пренебрежимо мал
и турбулентный слой устанавливается прямо с передней кромки пла-
стины. Тогда при х = 0 8х * == 0 или, что все равно, при Ra,==0,
RJ- * = 0; это означает, что С = 0.
1 V. М. Falkner, Aircraft Engineering, March, 1943.
§ 97] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 625
При таком предположении будем иметь:
R* = 0,0153 R^. (53)
Возвращаясь от рейнольдсовых чисел RJ 5 и R^ к толщине потери
импульса 8** и абсциссе х, получим:
8* * = 0,015 (54)
\ *СО'
Отношение толщины потери импульса к абсциссе представляет
слабую функцию рейнольдсова числа R^:
^-= 0,015 R^\ (54')
Толщина потери импульса в турбулентном пограничном слое на пла-
стине растет пропорционально абсциссе в степени шесть седьмых; этот
закон мало отличается от линейного. Вспомним, что в случае лами-
нарного слоя на пластине толщина потери импульса возрастала про-
порционально корню квадратному из абсциссы, т. е. гораздо медлен-
нее, чем в турбулентном слое.
Соотношение (53) дает хорошее совпадение с формулой Фолкнера,
полученной в результате обработки опытов на воде, и подтверждается
опытами, проведенными в аэродинамических трубах.
Для определения толщины вытеснения 8* при больших значениях
числа Рейнольдса можно предложить эмпирическую формулу:
« = (55)
С убыванием рейнольдсова числа величина Н несколько возра-
стает; некоторые авторы принимают //=1,4.
Определив Rw, по (51) и (53) найдем:
_ i_ _ 1 _ 1
с=_Е»_^0,0131 R''* “ =0,0131 • 0,0153 e R„ 7 ,
• 1 iz2 ®
2 Р^оо
что дает следующую формулу местного коэффициента трения
cf = 0,0263 R^7’. (56)
Отсюда уже легко получить и выражение полного коэффициента
сопротивления пластины длины /:
40 Зак 1841. Л. Г. Лойцянский.
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IX
§ 97] ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНЕ 627
Имеем:
i
1 R
Q = 1-----== J J cfd^
~2 ₽ KJ о 0
и в силу (56):
Cf=. 0,0307 R~v’, (57)
где под R понимается рейнольдсово число обтекания пластины:
Теоретические (правильнее сказать полуэмпирические) формулы (56)
и (57) хорошо совпадают с результатами различных опытов при боль-
ших значениях чисел Рейнольдса и могут с успехом применяться для
расчета сопротивления пластин при тех режимах обтекания их, когда
ламинарный участок мал.
На рис. 198 приводится сводный график, на котором нанесены
экспериментальные точки, относящиеся к самым различным условиям
опытов в воздухе и в воде на пластинах, как полностью гладких,
так и со специально помещенными вблизи носовой точки шерохова-
тостями, служащими для преждевременного создания турбулентного
пограничного слоя; опыты проведены в широких пределах рейнольд-
совых чисел.1 Предлагаемая степенная формула (57) практически
совершенно не отличается от старой логарифмической формулы
Прандтля (на рисунке — сплошная кривая)
Cf— 0,455 (logR)2,58 (58)
и прекрасно соответствует опытным точкам чисто турбулентного
обтекания пластинки без ламинарного участка в носовой части. Пока-
занная пунктиром степенная зависимость
Q=0,74R-V" (59)
пригодна лишь при сравнительно малых R, примерно до R = 5-10* * s 6.
При больших R эта прямая резко отходит от экспериментальных точек,
как это хорошо видно на второй половине рис. 198. Полуэмпириче-
ское обоснование формулы (59) связано с использованием степенного
профиля скоростей в сечениях пограничного слоя, соответствующего
степенному профилю скоростей в трубе, приводящему к ранее упо-
мянутой формуле сопротивления Блязиуса к —0,3164 R .2
1 Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости, т. II. Гос.
издат. иностр, л-ры, 1948, стр. 40—42.
s См., например, Л. Г. Лойцянский, Аэродинамика пограничного
слоя. Гостехиздат, 1941, стр. 306.
40*
628
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЙ
[гл. 1х
Из графика, приведенного на рис. 198, вытекает важное следствие:
коэффициент сопротивления пластины с полностью ламинарным слоем
значительно меньше, чем коэффициент сопротивления пластины с пол-
ностью турбулентным слоем. Так, например, если бы каким-нибудь
образом удалось получить обтекание пластины с полностью ламинар-
ным слоем при R = 500 000, то коэффициент сопротивления ее
был бы равен С)>лам = 0,0018; при полностью турбулентном слое и
гом же R имеем QTyp6== 0,005, т. е. примерно в два с половиной раза
больше. При больших числах Рейнольдса эта разница становится еще
разительнее. Отсюда следует важность борьбы за „затягивание" лами-
нарного слоя на поверхности обтекаемого тела путем придания повы-
шенной гладкости в лобовой части тела и др.
Желая рассчитать сопротивление пластины, имеющей в носовой
части значительный участок ламинарного пограничного слоя, будем
суммировать сопротивления трения ламинарного и турбулентного участ-
ков, причем сопротивление ламинарного участка найдем по формулам
предыдущей главы, а турбулентного — по формулам (51) и (52). Вопрос
осложняется необходимостью разыскания в этом случае постоянной С,
входящей в уравнение (52).
Заменяя область перехода одной точкой, необходимо условиться
о способе сращивания решений задачи для области ламинарного и
турбулентного движений. Наиболее естественным с точки зрения при-
нятых в предыдущей и настоящей главах приемов является исполь-
зование предположения об одинаковости толщины потери импульса
в сечении, где происходит смыкание ламинарного и турбулентного
участков. Это условие заключается в приравнивании 8** или К'!'‘
в начальной точке турбулентного пограничного слоя их значениям
в конце ламинарного участка, рассчитанным по теории ламинарного
пограничного слоя.
Обозначая эти общие для обоих участков пограничного слоя в точке
перехода величины через R.^ и R/, будем иметь по (52):
R — R“7" = 0,00765 (Кж— RJ, (60)
причем, согласно § 85,
₽Г = 0,664 /R^. ’ (60')
Не останавливаясь на простых деталях, укажем, что учет влияния
величины R^f на полное сопротивление пластины приводит к переход-
ным кривым, показанным на рис. 198 жирными пунктирными линиями.
Для различных аэродинамических труб или других искусственных
потоков положение и форма этих переходных кривых зависят от
изменения значений параметра R^. Величина R.r/ определяется, как
уже указывалось в § 92, в Зависимости от турбулентности набегаю-
щего потока, шероховатости поверхности вблизи передней кромки и
других причин.
§ 98] ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛОЙ НА КРЫЛОВОМ ПРОФИЛЕ 629
На рис. 198 правая пунктирная переходная кривая относится
к случаю сравнительно большой протяженности ламинарного участка
в носовой части пластины, левая — к случаю малого ламинарного
участка. Из рассмотрения переходных кривых вновь вытекает, что чем
больше, при одном и том же рейнольдсовом числе, относительная
длина ламинарного участка, тем коэффициент сопротивления меньше.
Отсюда следует уже высказанное ранее положение о выгодности
тщательной полировки лобовой части пластины или крылового профиля
с целью затягивания ламинарного режима течения в пограничном слое.
Что такое затягивание практически возможно, следует из указанных
в § 91 численных значений RsKp (от 3100 до 9300). Крылья с затя-
нутым ламинарным пограничным слоем называют ламинизирован-
ными.1
Полуэмпирическая теория турбулентного пограничного слоя на
пластине в сжимаемом газе была дана для случая отсутствия тепло-
отдачи А. А. Дородницыным,2 * * * * а позднее, с учетом теплоотдачи,
Л. Е. Калихманом.8 Обе работы используют преобразование Дородни-
цына, известное уже нам по предыдущей главе.
§ 98. Турбулентный пограничный слой на крыловом профиле
при малом продольном перепаде давлений
Пользуясь ранее выведенным (уравнение (91') § 87] интегральным
соотношением (уравнением импульсов)
G'6** _ г№
dX “Г и (2 + — р(_/2
(61)
можно разработать простой приближенный метод расчета основных
величин турбулентного пограничного слоя на крыловом профиле
малой относительной толщины и вогнутости при движении его с ма-
( dP\
лыми углами атаки (малые
С этой целью умножим обе части уравнения (61) на некоторую
функцию G(R**) рейнольдсова числа R** и введем обозначения:
. G (R**) = /,
(62)
pG2
G(R**) = C
1 Подробнее см. Б. Т. Горощенко, Аэродинамика скоростного само-
лета. Оборонгиз, 1948, стр. 47—50.
а А. А. Дородницын, Пограничный слой в сжимаемом газе. Прщсл.
матем. и механ., т. VI, 1942.
в Л. Е. Калихман, Газодинамическая теория теплопередачи. Прикл.
матем. и механ., т. X, вып. 4. 1946. . .
630 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
Уравнение (61) при этом примет вид:
(63)
Первый член можно преобразовать так:
=*(f. ") _e..O' (R..) =
dxJ U'J v '\ч dx 1 v J
_f. G \ T>**Qr fP* __________D** Gz (R**) ,
~ dx\J U') < 7 dx K G(R**)y__
_ d (. U\ W(R**)fn„«d&’’ R»*G'(R**).
dxy’U') G(R ») ' dx G(R**) '*
Вводя обозначение
m fR^4 - R**G'(R**) _ dlog G(R**) . 64>
лг(К )— 0(R**) — d(ogR¥* > Vм)
найдем из предыдущего уравнения:
[1 + т (R**)] G (R**) ± (f. - т (R**)/.
d8**
Исключим отсюда величину G (R**) , пользуясь равенством (63);
тогда получим:
(Z Й = <1 + “(2 + т + <1 + Н} f
илиг после раскрытия производной в левой части,
d/ V'(fx . G",
dl=UFW+-[j,f, (65)
где для краткости введено обозначение
F (/) = (! +от) С—[34-/п + (1 + /п)Н]/. (65')
Уравнение (65) представляет турбулентный аналог известного
уже нам из теории ламинарного пограничного слоя уравнения (95)
§ 87, которое легло в основу приближенных методов расчета лами-
нарного слоя.
I
§ 98]
ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛОЙ НА КРЫЛОВОМ ПРОФИЛЕ
631
Если положить функцию G(R**) равной
G (R**) = R**,
то, согласно (62), f и С станут равными своим ламинарным анало-
гам (96) и (97) § 87, величина т примет значение т = 1 и уравне-
ние (65), так же как и функция F(f), перейдет в известные соотно-
шения ламинарного пограничного слоя (95) и (97') § 87. В случае
G'B** tw d*..
ламинарного пограничного слоя умножение величин —и на R*"
делало их независимыми от рейнольдсова числа, причем первая при
этом превращалась в основной, характеризующий форму профилей
скорости в сечениях слоя параметр /, а вторая — в функцию £(/) от
этого параметра, который можно было бы назвать формпараметром.
Предположим, что и в случае турбулентного пограничного слоя суще-
ствует функция G(R**), обладающая аналогичным свойством, так
что величина f, определенная первым из равенств (62), будет форм-
параметром, а величина С—функцией формпараметра. Точно так же
и величину Н — будем рассматривать, как функцию формпара-
метра /. Сделав эти допущения, остается найти вид функции G (R**).
Исходя из аналогии с ламинарным пограничным слоем, для которого
множитель R**, согласно (97) § 87, при /=0 будет равен
R-* = C(O)(^) 0,
г. е. является величиной обратно пропорциональной местному коэф-
фициенту трения на пластине, обобщим этот результат на случай
турбулентного пограничного слоя, положив, что при всех значе-
ниях f вид функции G(R**) совпадает с таковыми для пластины
(66)
причем R** берется действительное для крылового профиля.
Пользуясь для простоты равенством (51), будем иметь искомое
выражение для функций G(R! r):
G(R**) = 153,2 R**7”;
(67)
подчеркнем еще раз, что только форма функции G(R**) взята из
закона сопротивления для пластины, аргумент же R** предполагается
взятым для соответствующего сечения пограничного слоя на рассма-
триваемом крыловом профиле.
Приняв для определения функции O(R**) равенс!во (67), полу-
чим для /«(R”5") по (64) постоянную величину:
632 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ . [ГЛ. IX
так что функция F(f) будет равна:
= (68)
Если крыловой профиль не слишком толст и вогнут, а обтека-
ние происходит на малых углах атаки при малых коэффициентах
подъемной силы Су, то движение в пограничном слое будет происхо-
дить при малых продольных перепадах давления и скоростей внеш-
него потока, а следовательно, при малых значениях величины /.
В этом случае не произойдет большой ошибки, если в равенстве (68)
заменить С(/) и H(f) их значениями при /=0. Согласий (62) и (66)
имеем:
Величина Н(0) может быть принята равной Н = 1,4—для срав-
нительно малых рейнольдсовых чисел и /7=1,3—для больших
[вспомнить равенство (55) предыдущего параграфа]. Тогда величина,
заключенная в круглой скобке правой части (68), будет иметь зна-
чение, заключенное в пределах 4,7 = 4,8. Функцию (68) можно заме-
нить, таким образом, на линейную функцию:
F(f) = a — bf, (69)
с коэффициентами а и Ь, равными:
«=1,17,
6 = 4,7-*-4,8.
Уравнение (65) приводит к простой квадратуре для неизвестной
функции /(х):
/w=J +4
Если принять ламинарный участок на поверхности крылового про-
филя отсутствующим, то будем иметь просто:
о
если же учитывать наличие ламинарного участка в интервале абсцисс
(О < х < xt), то выражение для f несколько усложнится и примет
вид:
/(х) = (a f +=* /#); (71)
*
ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛОЙ НА КРЫЛОВОМ ПРОФИЛЕ
633
§ 98]
здесь Ut, U’t и ft представляют значения U, U' и f в точке пере-
хода x — xt, причем ft вычисляется по формуле (62):
l/л? 'iU'f
= (КГ) = КГС (КГ). (71')
Окончательно будем иметь:
а?
j 67^1(0^+ (72)
Согласно принятому уже ранее для пластины условию смыкания
ламинарного и турбулентного пограничного слоя, величина R*’ может
быть рассчитана по теории ламинарного пограничного слоя.
Пользуясь формулами (70) или (72), найдем f(x), после чего,
согласно (62), получим следующее уравнение для определения R** (х)
(или 8** (х)):
772
R-G(R**) = ^-/(x).
Так, например, для полностью турбулентного пограничного слоя на
всей поверхности профиля будем иметь по (67) и (70):
а?
R**G(R**) = 153,2 R**% = J ЦЪ-i (|) (73)
о
Выполнив квадратуру, определим Rx* (х), а следовательно, и 8;'(х).
В принятом приближении (С—1), согласно второму равенству
системы (62), найдем;
0,0131 R**~%. (74)
Определив или cf как функции от х, вычислим коэффициент
сопротивления трения крыла в целом. Для этого остается просум-
мировать по всей поверхности крыла проекции элементарных сил
трения twdx на направление набегающего потока.
Для дальнейшего представит еще интерес определение толщины
вытеснения 8* (х). В принятом приближении эта величина может быть
определена как
8* (х) = 7/8** (х) = (1,3 — 1,4) 8** (х); (75)
величины, стоящие в скобках, показывают границы значения Н при
различных значениях рейнольдсова числа натекания: первое соответ-
ствует высшим значениям, второе — низшим.
634 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
Все изложенное выше предполагает, что для рассматриваемого
случая обтекания наперед задано распределение скоростей U(x) на
внешней границе пограничного слоя. Вспомним, что теоретическое рас-
пределение скорости, получаемое из условия безвихревого обтекания
крылового профиля идеальной жидкостью, приводит к полному вос-
становлению давления и обращению скорости в нуль на задней кромке
профиля. При этом, как показывают предыдущие формулы, величины /,
8**, 8* обращаются в бесконечность.
Как будет доказано в дальнейшем (§ 100), на самом деле, бла-
годаря наличию явления оттеснения линий тока от поверхности крыла,
в действительном течении такое восстановление давления и обращение
в нуль скорости не имеет места; там же указывается путь избежания
этого недостатка теории.
Изложенный упрощенный прием расчета пограничного слоя пригоден
лишь для режимов обтекания крыловых профилей, не связанных с отры-
вом турбулентного слоя. Этот прием может с успехом применяться,
например, для расчета сопротивления крыла самолета на режиме
максимальной скорости, но совершенно не пригоден для расчета по-
садочных режимов. Этот же прием полезен для расчета сопротивле-
ния решетки профилей, имитирующей рабочее колесо турбины, но
не достаточен для аналогичного расчета компрессорной решетки,
отдельные профили которой работают обычно на режимах, близких
к отрывным.
§ 99. Турбулентный пограничный слой на крыловом профиле
при значительных продольных перепадах давления
Существует много полузмлирических методов расчета турбулентного
пограничного слоя, основанных на обобщении формул (21) и (22) на случай
наличия значительных продольных перепадов давления. Таковы, например,
методы К. К. Федяевского, А. П. Мельникова и Л. Е. Калихмана.1 Крайне
простой метод был предложен автором настоящей книги.2 Метод основан на
дальнейшем развитии предположения об аналогии между ламинарным и тур-
булентным пограничными слоями, широко использованной в рассуждениях
предыдущего параграфа. Для сравнения ламинарных и турбулентных законо-
мерностей в пограничном слое нормируем формпараметр f в том и другом
1 К. К. Федяевский, Турбулентный пограничный слой крыла: ч. I—
О профиле напряжения треиия и скоростей. Труды ЦАГИ, вып. 282, 1936;
ч. II — О законе сопротивления. Труды ЦАГИ, вып. 316, 1936.
А. П. Мельников, Турбулентное трение на крыле и его расчет с уче-
том влияния градиента давления. Труды Леиингр. ин-та инженеров гражд.
возд. флота, вып. 19, 1939, а также „Турбулентный пограничный слой крыла
и его расчет”, Труды ЛЕВА, вып. 5, 1944.
Л. Е. К а л и х м а н, Новый метод расчета турбулентного пограничного
слоя и определения точки срыва. Докл. АН СССР, т. XXXVIII, №№ 5—6,
1943.
2 Л. Г. Лойцянский, Приближенный метод расчета турбулентного
пограничного слоя на профиле крыла. Прикл. матем. и механ., т. IX, 1945,
стр. 433—448.
§ 99] ВЛИЯНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ 635
случае так, чтобы в точке отрыва его значение равнялось единице; для этого
перейдем к новому формпараметру:
где fn — значение не нормированного параметра f в точке отрыва (х — хь).
Нормируем также и С с тем, чтобы при f=0 или f—О значение С
было бы равно единице; для этого положим
У- “ - с
(Of=o ^0 ’
Наконец, введем еще в рассмотрение нормированную величину
Н- Н -Н
(H)f=0 “ Но’
обращающуюся в единицу при/=О.
Основное допущение о подобии между закономерностями ламин арного_и
пограничного слоев заключается при этом в утверждении, что функции С(/)
и H(f) имеют одинаковый вид как для ламинарного, так и для турбулентного
слоя. Это утверждение было экспериментально проверено для функции Н (/)
и хорошо подтвердилось во всей области значений /, исключая непосред-
ственную близость к точке отрыва. Вблизи отрыва, невидимому, нельзя поль-
зоваться идеей однопараметричиости; веерообразный рассев точек показывает
наличие влияний, не учитываемых параметром /.
Предлагаемая гипотеза подобия представляется нам естественной как
первый шаг, следующий за более грубым предположением о постоянстве
величин Н и С (Н = 1, С = 1), сделанным в предыдущем параграфе.
Согласно принятому допущению о подобии, можно как для ламинарного
так и для турбулентного слоев пользоваться табл. 23 зависимости нормиро-
ванных величин £ и Н от /, рассчитанной по приведенной в предыдущей
главе табл. 20.
Таблица 23
f tv Н f Г в Н f С н
—0,95 1,63 0,85 —0,30 1,21 0,95 0,40 0,69 1,10
—0,90 1,60 0,86 —0,20 1,14 0,97 0,50 0,60 1,125
—0,80 1,53 0,87 —0,10 1,08 0,985 , 0,60 0,515 1,16
—0,70 1,47 0,88 0 1,00 1,00 0,70 0,42 1,20
—0,60 1,41 0,90 0,10 0,93 1,02 0,80 0,31 1,26
—0,50 1,34 0,915 0,20 0,85 1,04 0,90 0,175 1,35
—0,40 1,28 0,93 0,30 0,77 1,07 1,00 0 1,48
Обращаясь к уравнению (65), которое в нормированных величинах после
разделения обеих чистей на fb может быть переписано в виде:
.. dx U'1
(76)
636
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
где
7(7) = (7) - [3 + т + (1 + т) (76')
J S
видим, что функции F(f) для ламинарного и турбулентного пограничных
слоев будут совершенно различны; в случае ламинарного слоя имеем:
____ 2.022 ___ — - —
F(/) =ЗГда-^/)-2[2 + 2-61/7(/)]/==
= - 4,9(К (7) - [4 + 5,22/7(7)) 7 (77)
в случае же турбулентного слоя, принимая во внимание, что С(|= 1, получим;
Й7) =—^Г(/)- [3,167 4-1,167-1,4/7(7)17=
= f(7) — [3,167 4- L65 77(7)7. (78)
fs
Величину fs можно рассматривать как некоторый неопределенный пара-
метр, быть может, и не имеющий одной и той же величины при всех про-
цессах отрыва турбулентного пограничного слоя с крыловых профилей раз-
нообразной формы. Существенно отметить, что принятие различных значений
этого параметра должно совершенно ничтожио_сказываться на поведении
решения в области малых f, так как при f—0, Н=1, t = 1 (приближенный
метод предыдущего параграфа) величина fs исключается из уравнения (78).
Выбор величины параметра fs скажется особенно сильно на поведении
решения вблизи отрыва и может оказаться зависящим от типа отрыва; этот
вопрос еще нуждается в дальнейшем исследовании.
В ранее цитированной нашей работе было принято fs = — 2; по другим
данным для_Д получается средняя величина fs^ — 3,3. Замена в уравне-
нии (78) F (f) прямой линией
Г(7) = -й-б7 (789
приводит, так же как и в случае ламинарного слоя, к простой квадратуре:
аг
7(лг) — a j* /У6"1 (6)£?е]-
о
Из условия конечности f при х = 0 и U = 0 следует, что при полностью
турбулентном слое С = 0; тогда получим:
а?
7 = —иъ~Ч^ас. (79)
о
При учете ламинарного участка будем, как и раньше, иметь несколько
более сложную формулу:
а?
7= « J Ub~l (6) Я]. (80)
1 “7
Постоянные а и Ь, которые следует выбирать из условия приближения
кривой 7(/) прямой линией (78'), зависят от принятого значения fa.
§ 99) йлйянйе продольного перепада давления 637
Полагая fs = —2, будем иметь для турбулентного пограничного слоя
а = - l+^L^o.6;
Js
если принять fa — — 3,3, то а =£= 0,35. Что касается значения Ь, то оно может
быть приближенно принято равным
Ъ == 3 -f- т (1 -j- w) Но ==» 4,8.
Сравнивая значения коэффициентов а и b с соответствующими значе-
ниями в ламинарном слое
2-С0 2 - 0,22 . 0_ . fdp\ , dF\
fs —0,089 \df Jo \df Jo
можем сделать следующий важный вывод: при одном и том же распределе-
нии скоростей внешнего потока ламинарный слой должен отрываться
раньше турбулентного.
Действительно, нз (79) следует, что в ламинарном слое при а = 4,95 и
примерно том же показателе степени Ь, отрывное значение f = 1 будет
достигаться при меньших х, чем в случае турбулентного слоя при а — 0,35
нли а = 0,6.
Вопрос об определении положения точки отрыва турбулентного погра-
ничного слоя нуждается еще в дополнительных теоретических и эксперимен-
тальных исследованиях. Можно все же думать, что предложенное приближенное
решение правильно оценивает характер явления. Сформулированный только
что вывод относительно взаимного расположения точек отрыва ламинарного
и турбулентного пограничных слоев хорошо подтверждается опытами. Доста-
точно вспомнить явление „кризиса обтекания', объяснение которого было
дано в § 92. Точка отрыва ламинарного слоя при больших докритических
значениях рейнольдсова числа не меняет своего расположения, что приводит
практически к установившейся картине „плохого* обтекания шара и сохра-
нению коэффициента сопротивления на уровне сравнительно большого его
значения. Как только точка перехода в своем движении вверх по течению
достигнет точки отрыва, отрыв теряет свой ламинарный характер и сразу же
начинает перемещаться вниз по потоку, улучшая тем самым обтекание тела
и уменьшая его сопротивление. В конце Кризиса точка отрыва установив-
шегося турбулентного пограничного слоя располагается значительно ниже
по потоку, чем точка отрыва ламинарного слоя, и в дальнейшем уже, если
и перемещается, то крайне незначительно (за счет косвенных причин, связан-
ных с изменением давлений при утолщении слоя и др.).
Если встать на точку зрения указанных выше аналогий между ламинар-
ным и турбулентным слоями, то легко заключить об отрицательном влиянии
числа М (сжимаемости газа) .потока на обтекаемость крылового профиля.
Подобно тому, как это имело место в случае ламинарного слоя (вспомнить
сказанное в конце § 91), увеличение числа М, приводящее к обострению пи-
ков разрежений (увеличению отрицательных значений (]'), должно, согласно (79),
вызвать отрыв, расположенный ближе к лобовой точке разветвления потока,
чем при М = 0. Это объясняет, почему, наряду с явлением затягивания „кри-
зиса обтекания* на большие R, с ростом М возрастают также и докрити-
ческие величины коэффициента сопротивления шара (рис. 185). Аналогичное
объяснение можно дать наблюдаемому на многих крыловых профилях явле-
нию убывания максимального коэффициента подъемной силы с ростом влия-
ния сжимаемости (числа М).
638 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. IX
§ 100. Профильное сопротивление крыла. Разложение профиль-
ного сопротивления на сопротивление трения и' сопротивление
давлений. Обратное влияние пограничного слоя на распределение
давлений по поверхности обтекаемого профиля
Изложенные в предыдущих параграфах упрощенные методы рас-
чета турбулентного пограничного слоя позволяют с достаточной для
практики точностью рассчитать отнесенное к единице длины вдоль
размаха сопротивление цилиндрического крыла при плоском его обте-
кании безграничным потоком. Это сопротивление крылового профиля
называют профильным сопротивлением.
Профильное сопротивление крыла конечного размаха можно полу-
чить, складывая профильные сопротивления „плоских" сечений крыла
(в смысле, разъясненном в гл. VII). Полное лобовое сопротивление
крыла конечного размаха равно сумме профильного и индуктивного
его сопротивлений. На режиме максимальной скорости самолета ин-
дуктивное сопротивление крыла, пропорциональное квадрату коэффи-
циента подъемной силы, невелико, и главную часть лобового сопро-
тивления крыла составляет его профильное сопротивление (вспомнить
диаграмму сопротивлений, показанную на рис. 155, и разъяснения
к ней, изложенные в § 74 гл. VII).
Прежде чем перейти к изложению методов расчета профильного
сопротивления, введем понятие о двух основных составляющих про-
фильного сопротивления: сопротивлении трения и сопротивлении
давлений.
Все силы, приложенные к элементам поверхности крыла со сто-
роны набегающего на него безграничного потока, можно разбить на
касательные и нормальные.
Первые из этих сил обыкновенно называют, несколько обобщая
это понятие, „трением". Такой термин полностью соответствует лишь
случаю „гладкой" (в аэродинамическом, как было указано в § 95,
смысле этого слова) стенки крыла, когда касательные силы опреде-
ляются действительно трением в жидкости— вязкостью.
Мы сохраним тот же термин и для случая шероховатой стенки,
понимая в этом случае под напряжением „трения" отнесенную к еди-
нице площади крыла сумму сил сопротивлений отдельных бугорков
шероховатости.
Проекцию главного вектора приложенных к крылу касательных
на направление потока на бесконечности будем называть сопротивле-
нием трения.
Нормальные силы давления потока на поверхность крыла образуют
в своей совокупности главный вектор сил давлений, проекция кото-
рого на направление потока на бесконечности называется сопроти-
влением давлений.
Профильное сопротивление крыла представляется суммой сопро-
тивления трения и сопротивления давлений.
§ 100] ПРОФИЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КРЫЛА 639
В случае безвихревого обтекания тела конечного размера безгра-
ничным потоком идеальной жидкости сопротивление давлений рав-
няется нулю; это составляет, как известно, содержание парадокса
Даламбера.
В реальной вязкой жидкости парадокс Даламбера не имеет места.
Для случая очень малых рейнольдсовых чисел в этом можно было
убедиться на примере задачи Стокса об обтекании шара. Для тече-
ний с большими рейнольдсовыми числами, при наличии пограничного
слоя, вопрос становится менее ясным. Основное свойство погранич-
ного слоя передавать без искажений на стенку крыла давления внеш-
него, безвихревого потока может навести на мысль, что парадокс
Даламбера для движений с пограничным слоем сохраняет свою силу.
Если бы распределение давлений во внешнем потоке в точности Со-
впадало с тем, которое получается при безотрывном безвихревом обте-
кании крыла идеальной жидкостью, то сопротивление давлений, дей-
ствительно, равнялось бы нулю. Однако на самом деле наблюдается
следующее явление. Линии тока, вследствие подтормаживающего
влияния стенки, оттесняются от поверхности крыла. Такое искаже-
ние картины течения приводит к нарушению идеального распределения
давлений по поверхности крыла.
Пограничный слой, таким образом, оказывает обратное влияние
на внешний поток, а не только управляется внешним потоком, как
предполагалось до сих пор. Строго говоря, вообще нельзя задавать
наперед распределение давлений или скоростей во внешнем потоке,
так как это распределение зависит от развития пограничного слоя,
а следовательно, является функцией рейнольдсова числа и других
факторов обтекания (например, шероховатости поверхности). Практи-
чески, если тело обтекается без срывов и рейнольдсовы числа доста-
точно велики, а изменения их происходят не в слишком большом
диапазоне, то пренебрежение обратным влиянием пограничного слоя
на распределение давлений и скоростей во внешнем потоке оказы-
вается допустимым.
Следует подчеркнуть, что обратное влияние пограничного слоя
на внешнее обтекание особенно сильно проявляется на тех участках
пограничного слоя, где слой наиболее толст, например, вблизи хво-
стика крыла.
С этой точки зрения полезно вернуться к рассмотрению распре-
делений давлений по симметричному крыловому профилю, пока-
занных на рис. 67 гл. V. Если на пятнадцатипроцентном профиле
экспериментальные точки (крестики) вблизи хвостика лишь слабо
отходят от расчетной теоретической кривой, то на сорокапроцентном
профиле отклонения измеренных (на рисунке — точки) давлений от
рассчитанных уже очень велики. Особенно разительно сказывается
обратное влияние пограничного слоя на внешний поток в случае
плохо обтекаемых тел. Для иллюстрации этого факта достаточно
вспомнить кривые распределения давления по круглому цилиндру,
640 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [гЛ. IX
показанные на рис. 66 гл. V. В этом случае только непосредственно
в лобовой части цилиндра, не далее чем на 30—40° по обе стороны
от передней критической точки, можно говорить о совпадении теоре-
тического расчета с опытом. На остальной части поверхности ци-
линдра распределение давлений, рассчитанное по теории безвихревого
обтекания, не имеет ничего общего с экспериментальным.
Не удивительно, что в этом случае парадокс Даламбера не вы-
полняется, и лобовое сопротивление цилиндра определяется почти
целиком сопротивлением давлений, сопротивление же трения — незна-
чительно.
Такую же картину обратного влияния пограничного слоя на
внешнее обтекание имеем и в случае шара (рис. 183). И в этом
случае распределение давления оказывается сильно зависящим от
рейнольдсова числа. Особенно это, конечно, сказывается вблизи
„кризиса обтекания".
Распределение давлений, показанное на рис. 67, приводит к заклю-
чению, что при продольном (с нулевым углом атаки) обтекании сим-
метричного пятнадцатипроцентного профиля сопротивление давлений
будет невелико и основное значение в общем профильном сопро-
тивлении имеет сопротивление трения. Для сорокапроцентного про-
филя роль сопротивления давления более велика, а сопротивления
трения значительно меньше. На рис. 199 показаны для сравнения
кривые зависимости коэффициентов профильного сопротивления и
сопротивления трения серии симметричных профилей Жуковского от
относительной их толщины. На диаграмме рис. 199 сила сопро-
тивления отнесена к миделевой площади крыла, а не к площади
в плане; этим объясняется, почему при уменьшении относительной
толщины коэффициенты профильного сопротивления и сопротивления
трения возрастают. Показанная вертикальными штрихами разность
между коэффициентами профильного сопротивления и сопротивления
трения определяет коэффициент сопротивления давлений. Рассмотре-
ние диаграммы, составленной при фиксированном числе Рейнольдса
§ 100]
ПРОФИЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КРЫЛА
641
/ v^b \
(—— =4 • 10Б), приводит к отчетливому выводу о росте роли сопроти-
вления давления с увеличением относительной толщины профиля и,
наоборот, о повышении значения сопротивления трения при переходе
к тонким профилям.1
Как показывают опыты, сопротивление давлений хорошо обтекае-
мого крылового профиля убывает с ростом рейнольдсова числа, что
и естественно, так как при возрастании рейнольдсова числа толщина
пограничного слоя уменьшается и внеш-
ний поток приближается к безвихре-
вому обтеканию профиля идеальной
жидкостью.
Обратное влияние пограничного слоя
на внешний поток поддается не только
качественному объяснению, но и коли-
чественной оценке. Поскольку в даль-
нейшем это не приведет к большому
усложнению, будем считать жидкость
не только вязкой, но и сжимаемой.
Рассмотрим какую-нибудь действи-
тельную линию тока (рис. 200а, сплош-
ная линия), приходящую в точку М
данного сечения M0Mt пограничного
слоя и совпадающую с ней в беско-
нечном удалении впереди тела, и по-
казанную на рис. 200а пунктиром ли-
нию тока безвихревого потока идеаль-
ной жидкости. Отрезок ММ' предста-
вляет подлежащее определению смеще-
ние действительной линии тока по
отношению к идеальной. Из условия одинаковости массового расхода
жидкости в сравниваемых движениях сквозь сечения М0М=у и
М()М'=у—ММ', являющегося следствием совпадения обеих линий
тока вдалеке от тела, заключим, что (через р и U обозначены плот-
ность и продольная скорость на внешней границе слоя)
» _ _______________
J" ри dy pU (у — ММ')\
о
при составлении правой части этого равенства принято во внимание,
что на протяжении малой толщины слоя плотность и скорость в без-
вихревом потоке идеальной жидкости могут быть приняты постоян-
ными. Согласно последнему равенству, искомое смещение линии тока
Ч Подробнее см. „Современное состояние гидроаэродинамики вязкой
жидкости', т. II, ИЛ, 19ч8, стр. 78—85.
41 Зак 1841. Л. Г. Лойцянский.
64Й Турбулентное движений |гл. 1х
в точке М с координатой у будет равно:
у
ММ'= J (1—(81)
о
На поверхности обтекаемого тела (_у = 0) смещение линии тока
исчезает; у обоих сравниваемых потоков—действительного и идеаль-
ного безвихревого—-общая нулевая линия тока. При удалении от
поверхности крыла смещения действительных линий тока по отношению
к идеальным возрастают.
На границе пограничного слоя (у = 8) величина смещения дости-
гает своего максимального значения
8
(ЖР)^6 = J (1 -dy. (82)
о
Если бы жидкость была несжимаема (р = р — const), то это сме-
щение линии тока было бы равно известной уже по предыдущему
„ толщине вытеснения “:
8
о
Правую часть формулы (82) естественно рассматривать как обоб-
щение понятия толщины вытеснения 8 на случай сжимаемой жидкости
Итак, смещения действительных линий тока относительно линий
тока безвихревого обтекания тела идеальной жидкостью опреде-
ляются интегралами вида (81); на внешней границе пограничного
слоя эти смещения равны по величине толщине вытеснения 8*.
Из сказанного становится понятным происхождение термина „толщина
вытеснения". Полученный результат, очевидно, одинаково применим
как для ламинарного, так и для турбулентного движения.
Пользуясь определением толщины вытеснения, докажем, что дей-
ствительное распределение давления по поверхности крылового
профиля при плоском его обтекании вязким сжимаемым газом
совпадает с распределением давления при безвихревом обтекании
идеальным газом полутела (рис. 201), образованного наращиванием
на профиль крыла и по обе стороны от нулевой линии тока в его
следе толщины вытеснения, рассчитанной по действительному
распределению давления.
Для подтверждения правильности только что высказанного поло-
жения предположим, что задано плоское обтекание крылового про-
филя реальным (вязким и сжимаемым) газом, сопровождаемое обра-
зованием на теле пограничного слоя (а за телом — аэродинамического
следа), толщина которого предполагается малой по сравнению с про-
дольными размерами тела.
§ 100] ПРОФИЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КРЫЛА 643
Наряду с этим действительным потоком в пограничном слое рас-
смотрим в гой же области воображаемый потенциальный поток (в
общем случае сжимаемой жидкосги), который являлся бы непрерывным
продолжением действительного внешнего потенциального потока
на область, занятую пограничным слоем. В силу принятого пред-
положения о малости толщины пограничного слоя, давления в по-
строенном таким образом потенциальном по i оке, а следовательно,
и продольные скорости будут совпадать с давлениями и скоростями
в Потоке на внешней границе области пограничного слоя. Вместо
характерного для движения в пограничном слое убывания скорости
от некоторого значения на внешней границе слоя до нулевого зна-
чения на поверхности крыла в эквивалентном по давлениям потен-
циальном потоке повсюду на данной нормали будет одинаковая
скорость, равная скорости на внешней границе слоя.
Отсюда сразу следует, чго рассматриваемый потенциальный поток,
являющийся непрерывным продолжением внешнего потенциального
потока и поэтому обладающий тем же массовым расходом через
сечение рассмагриваемой струйки, что и действительный поток в по-
граничном слое, не сможет заполнить всю область пограничного
слоя (включая в понятие пограничного слоя и аэродинамический
след).
Для определения новой области течения рассмотрим (рис. 2006)
некоторую точку М сечения пограничного слоя. Отметим сплошной
линией действительную линию тока, проходящую через точку М, а
пунктиром, идущим в некоторую точку М' на той же нормали, —
линию тока потенциального потока, совпадающую с только что ука-
занной действительной вдалеке перед телом.
Обратим внимание на отличие фигурирующего воображаемого
потенциального потока, совпадающего с действительным повсюду
вне пограничного слоя, от ранее рассмотренного потенциального
потока, имеющего с действительным лишь общую нулевую линию тока.
Как видно из рис. 200, действительные линии тока располагаются
в одном случае выше идеальных, в другом, наоборот, ниже.
Составляя условие одинаковости расхода в действительном и
воображаемом потенциальном потоках сквозь сечения М^М и МгМ',
отсчитанные от внешней границы пограничного слоя, получим:
J* ри dy = pU (S —у — ММ'),
v
так что расстояние между сравниваемыми линиями тока в действи-
тельном и воображаемом движениях будет равно:
8
У
4И
644
1'УРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[Ел. l£
На границе пограничного слоя (у = о) ММ' — 0, и обе линии тока
совпадут. При углублении в пограничный слой величина ММ' будет
возрастать, а воображаемые линии тока оттесняться. Когда, наконец,
действительная линия тока совпадет с поверхностью крылового про-
филя, линия тока воображаемого безвихревого потока окажется от-
тесненной от поверхности на расстояние
8
(Жу=о = J (1 —4У = 8%
О
равное „толщине выiecненияТаким образом, основная, нулевая, линия
тока действительного движения, разветвляющаяся в передней крити-
ческой точке контура тела и в дальнейшем проходящая сквозь аэро-
динамический след тела, должна быть в воображаемом безвихревом
потоке заменена на некоторое бесконечное „полутело", образованное
наращиванием по нормали на нулевую линию тока величины „тол-
щины вытеснения", рассчитанной по действительному распределе-
нию давления.
На рис. 201 показаны сплошной линией основной профиль и ну-
левая линия тока в следе за ним, а пунктиром — контур полутела,
обтекание которого потенциальным потоком эквивалентно по рас-
пределению давления обте-
| канию профиля реальной
«I жидкостью. Воображаемый
—-----безвихревой поток, входя-
~4- — щий в пограничный слой
I через внешнюю его границу
Рис. 201. (на рисунке не показанную)
с теми же скоростями, что
и действительный поток, но в дальнейшем не подвергающийся дей-
ствию торможения трением, имеет внутри пограничного слоя большие
скорости, чем действительный поток. При .этом воображаемый поток
не может заполнить всю область пограничного слоя, часть плос-
кости между нулевой линией тока и границей полутела в вообра-
жаемом течении остается не заполненной жидкостью и линия у = 8*
является граничной линией тока. Таким образом, правильность вы-
сказанного ранее суждения о количественной стороне обратного влия-
ния пограничного слоя на распределение давлений во внешнем потоке
подтверждается.
Практически определение формы полутела и распределения давления
по его поверхности следует вести по методу последовательных при-
ближений, принимая, например, в первом приближении распределение
давления соответствующим обтеканию крылового профиля и хвостовой
нулевой линии тока потенциальным потоком с выполнением условия
плавного обтекания задней кромки по гипотезе Жуковского.
§ 101] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
645
Как уже было указано в конце § 97, приближенное определение
о* (х) по теоретическому распределению U (х) в задней критической
точке крылового профиля, где скорость обращается в нуль, а давле-
ние восстанавливается до давления в покоящейся жидкости, становится
невозможным. Опираясь на только что доказанную теорему, утверждаю-
щую, что в действительности, благодаря оттеснению линий тока указан-
ное полное восстановление давления фактически не происходит, можем
при расчете первого приближения заменить теоретическое распреде-
ление скоростей вблизи задней кромки профиля, проведенной „на глаз",
прямой, экстраполирующей распределение скоростей в кормовой части
профиля в точку, совпадающую с задней кромкой.
Используя в первом приближении теоретическое распределение
давления на поверхности тела и хвостовой нулевой линии тока, соот-
ветствующее гипотезе Жуковского и исправленное только что указан-
ным приемом вблизи задней кромки, определим по теории пограничного
слоя толщину вытеснения, а затем и форму полутела в первом при-
ближении. После этого найдем теоретическое распределение давления
на поверхности полутела, новое распределение толщины вытеснения
и т. д. Такого рода расчеты проводились неоднократно, но практика
показала, что они связаны с исключительно трудоемкими вычисле-
ниями.
Определение сопротивления давления как проекции главного вектора
сил давлений (исправленных согласно указанному выше или факти-
чески замеренных путем дренажа поверхности крыла) на направление
набегающего потока крайне неточно, так как приводит к вычислению
малой разности двух сравнительно больших величин. Сопротивление
давлений точнее всего определяется как разница между профильным
сопротивлением и сопротивлением трения.
Доказанная только что теорема об обратном влиянии пограничного
слоя на внешний поток и основанный на ней метод введения попра-
вок на теоретическое распределение давлений устраняет недостаток
формул, предложенных в § 98 и 99 для расчета элементов турбулент-
ного пограничного слоя, и позволяет с успехом вычислять сопроти-
вление трения.
Та же теорема оказывается полезной и для определения профиль-
ного сопротивления по излагаемому ниже приближенному методу.
§ 101. Приближенные формулы профильного сопротивления
крыла и крылового профиля в решетке
Рассмотрим крыловой профиль (рис. 202) в безграничном плоском
потоке жидкости (в общем случае сжимаемой) со скоростью на беско-
нечности равной К» и плотностью р<о. Сравним опять два эквивалентных
по распределению давлений потока: 1) действительный, сопрово-
ждающийся образованием на поверхности крылового профиля погра-
ничного слоя (а затем следа), и 2) воображаемый безвихревой поток
646
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
идеальной жидкости, набегающий на „полутело" (на рис. 202 пока-
занное пунктиром) и совпадающий с действительным вне пограничного
слоя.
Возьмем какое-нибудь перпендикулярное к направлению скорости
на бесконечности сечение а2 аэродинамического следа за телом, про-
ведем через крайние точки этого сечения соответствующие им линии
тока во внешнем потоке и рассмотрим образованную таким образом
трубку тока.
Обозначим через с, сечение этой трубки тока, проведенное па-
раллельно сечению а2 вдалеке перед обтекаемым телом. Тогда,
применяя к отрезку трубки тока между сечениями aj и а2 в дей-
с тигельном и воображаемом потоках теорему количеств движения
в форме Эйлера в проекции на ось х, направленную по скорости на-
бегающего потока, будем иметь:
1) для действительного потока:
f рд24у— J p«arfy —
2) для воображаемого потока:
f P«24y-(a2-8Pp^-/?fe+^ = 0.
В этих равенствах Rx обозначает сопротивление крылового про-
филя в действительном движении, т. е. искомое профильное сопроти-
вление, Riso — сопротивление давлений части боковой поверхности полу-
гела, отсеченной плоскостью а2, — одинаковую для обоих потоков
проекцию на ось х главного вектора сил давлений, приложенных (как
показано на рис. 202 стрелками) к боковой поверхности выделенного
объема трубки, р2, д2—плотность и продольную скорость в потен-
циальном потоке в сечении а?, а б* — толщину вытеснения в том же
сеченищ
§ 10] | ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЙ
Вычитая почленно друг из друга левые части составленных равенств',
получим:
(Д; — 82) — J Р«' dy 4- Rix — ^ = 0.
(3
Заметим, чго по определению толщины вытеснения 8‘:
тогда из предыдущего равенства будет следовать
= J Р« («2 — «) ЛУ +
Устремим теперь сечение а2 на бесконечность вниз по течению.
Как было указано в конце § 64, сопротивление давлений изображен-
ного на рис. 202 пунктиром бесконечного полутела со стремящейся
к некоторому конечному пределу 8га толщиной 83 (последнее вытекает из
физического определения величины 3*) будет равно нулю; предель-
ный переход в предыдущем равенстве дает при этом:
+ ОО
/?са= Inn [ри(и2 — u)dy-j~ lim Rlas— Гр«(И« — u)dy. (83)
a ffco
00 з c —co
Введем обозначение:
4" co
f £-)dy = C, (84)
v 1 co v co ' v co'
— co
где pco и Vco — плотность и скорость потока на бесконечности. Обоб-
щая ранее введенное для случая несжимаемой жидкости понятие о тол-
щине потери импульса, сохраним этот термин и для выражения, пред-
ставленного формулой (84).
Тогда, обозначая через b хорду профиля, из равенства (83) найдем
выражение коэффициента профильного сопротивления через толщину
потери импульса на бесконечности:
R
<85)
^РсоИ>
Формула (85) имеет вспомогательное значение, как промежуточная
формула, необходимая для дальнейших выводов. Дело в том, что не-
-•ft*
посредственное определение ни теоретически, ни экспериментально
провести нельзя. Общепринятый сейчас приближенный прием расчета
648
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
профильного сопротивления 1 основан на идее установления связи между
величинами толщин потери импульса на бесконечности Ci и на задней
кромке исследуемого крылового профиля . Желая обобщить эту
идею на общий случай движения сжимаемого газа, установим сначала
уравнение импульсов для области следа за крыловым профилем. Урав-
нения турбулентного движения сжимаемого газа в области следа за
телом в осредненных скоростях и плотностях будут иметь тот же
вид, что и уравнения пограничного слоя, частным случаем которого
является след (т —напряжение турбулентного трения):
г„ди , ________________ди , dt
рй ’’""I Р©1 ***“~™' ptz Г I j
в (Р«) [ (р») __ п
дх ' ду ~~
причем ось х направлена вдоль нулевой линии тока, сходящей с зад-
ней кромки крылового профиля, ось у — нормально к ней.
Подобно тому как это уже делалось ранее с уравнениями дви-
жения несжимаемой жидкости, перепишем предыдущую систему в виде
(второе уравнение умножено на U)-.
д , \ t д , ч dU . dt
й +57 -PU^=Q’
вычтем почленно первое уравнение из второго и проинтегрируем обе
части таким путем полученного равенства
I [₽« (Ч- «И+g [Р» (U- «Я + Q,u-fu} % - - g
поперек следа по у от нижней границы следа до верхней.
Вспомним, что след за телом представляет тот же пограничный
слой, причем на внешних границах его (у = ~t.8 или ±оо) соответ-
ствующие значения и — U равны между собою и, кроме того, т = 0.
Таким образом, получим после интегрирования:
+ со» $
d Г
dx J
——со»—Й
ри (U—u)dy-j-
dU
dx
{pU—ри) dy =s 0,
1 Сборник „К вопросу о максимальной скорости самолета* под редак-
цией Б. Т. Горошенко и Д. В. Халезова, Оборонгиз, 1941, статья
Г. Б. Сквайра и Д. Д. Ю ц г а, Расчет профильного сопротивления
крыла.
§ 101] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
649
или, используя вновь ранее принятые обозначения для толщины вы-
теснения и толщины потери импульса:
Ц-оо, <5
составим следующее выражение для уравнения импульсов:
<Го** . ,2 dU । £ fo-Xg* 1
dx \U dx 1 p dx) U dx
Разделим обе части этого уравнения на 8** и проинтегрируем его
по х вдоль следа от сечения (х = х^, соответствующего задней
кромке крылового профиля, до бесконечно удаленного от него сечения
следа за крылом. Будем иметь:
в**
1П -£==1П
h
Введем обозначение Н = 8*/8** и, заменяя под знаком интеграла
переменную вдоль следа величину Н ее средним значением, для чего
положим, например,
HOp = y(HS+Heo),
найдем
—|(Hfc4Wco)ln(^). (87)
Xw \РсЛ«/ 2
Равенство (87) может быть, таким образом, приведено к виду
з+~(ЯА+Яю)
(88)
Подставляя полученное выражение в равенство (85), получим
следующую общую формулу профильного сопротивления:
с
хр
/rr*4 (**+*»>
РсД V'oo /
(89)
Формула (89) упрощается в случае изотермического движения
несжимаемой жидкости, когда рк = рот. В этом случае, если обтека-
ние не слишком толстого и слабо изогнутого крылового профиля про-
исходит при малых углах атаки, когда продольный перепад давлений
650 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
невелик, можно, следуя приближенному методу § 98, положить Я — 1,4,
а С* определять, пользуясь простыми формулами (70) или (72).
Величина в случае движения несжимаемого газа постоянной
плотности равна единице, в чем легко убедиться, полагая u=U — и'
в выражениях 8s- и 8*“ и пренебрегая в .достаточном удалении
от задней кромки крыла второй и старшими степенями малой до-
бавки и'.
Формула профильного сопротивления будет при этом иметь упро-
щенный вид
. П .3,2 5?'
(90)
широко употребляемый на практике. Заметим, что значение скорости
на задней кромке берется или из опытного распределения давлений
по поверхности крыла или при помощи той экстраполяции теоретиче-
ской кривой, о которой шла речь в конце предыдущего параграфа.
Для определения £?. производится расчет толщины потери импульса !
отдельно по верхней и нижней поверхностям крылового профиля,
а затем найденные значения на задней кромке складываются. Полу-
ченная таким образом величина и будег толщиной потери импульса
в сечении следа на задней кромке крыла.
Сложнее обстоит дело с расчетом сопротивления при неизотерми-
ческом движении сжимаемого газа. В этом случае необходимо допол-
нительно рассчитать тепловой пограничный слой на поверхности крыла,
а также учитывать тепловые явления в следе.1
Для избежания недоразумений отметим, что используемое нами опреде-
ление толщины вытеснения в пограничном слое или следе
СО, 6
f (\-^-}dy (91)
о к Ри)
отличается от принятого другими авторами и более удобного с точки зрения
применения преобразования Дородницына определения
СО, 3
f JL(l—!L\dy (92)
J р к и J
на величину
оо, 5
зависящую от распределения температур в пограничном слое, вследствие
чего величина Нт, входящая в формулу (89), в случае неизотермического
движения ие будет равна единице.
1 Л. Е. Калихман, Газодинамическая теория теплопередачи. Прикл.
,матем. и механ., т. X, вып. 4, 1946,
§ 101] ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРОФИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
651
В изотермическом движении несжимаемой жидкости оба определения
величины 6* совпадают, в случае же неизотермического движения сжимаемого
газа необходимо делать соответствующий пересчет. Принимаемое нами опре-
деление (91) точно соответствует представлению о „толщине вытеснения",
связанной с ранее доказанной теоремой об обратном влиянии пограничного
слоя на внешний поток. Толщина потери импульса 6** всеми авторами опре-
деляется одинаково.
*
Формула (90) лежи г в основе практических расчетов профильного
сопротивления крыльев и дает хорошее совпадение с опытными мате-
риалами. Были составлены специальные номограммы (сетки), по кото-
рым, задаваясь геометрическими параметрами крылового профиля и
положением точки перехода, можно легко определить коэффициенты
профильного сопротивления крыла при данном рейнольдсовом числе
набегающего на него потока. Эти сетки, составленные сперва для
случая обтекания профилей несжимаемой жидкостью (М = 0), были
в дальнейшем обобщены и для различных значений чисел М. Соот-
ветствующие данные можно найти в специальных справочниках и
курсах аэродинамического расчета.1
Аналогично решается вопрос и о сопротивлении тела вращения
при осесимметричном его обтекании.
Изложенный только что метод расчета профильного сопротивления крыла
можно обобщить на случай решеток профилей, обтекаемых несжимаемой
жидкостью и сжимаемым газом.2
Довольствуясь для простоты движением несжимаемой жидкости, рассмо-
трим обтекание плоской решетки профилей (рис. 203) с давлениями и скоро-
стями на бесконечности: р1со, Vlaj — до решетки и р2оо, V2co — за решеткой.
Обозначим плотность жидкости через р, вектор шага — через t; тогда, исполь-
зуя теорему количеств движения, будем в случае вязкой жидкости иметь,
очевидно, ту же самую формулу (116) § 49 гл. V для определения главного
вектора приложенных к профилю в решетке сил, что и в случае идеальной
жидкости, а именно:
R = (Д1ОО - Д2ОО) t + Р (t • v10o) (Vloo - V^).
Разница здесь будет лишь в том, что, в силу наличия потерь энергии
за счет работы диссипативных сил трения, полные напоры перед и за решет-
кой не будут равны между собою, а дадут разность;
Р = + у р ^Тоо^ (Рзсо "2 Р >
1 А. А. Дородницын, Расчет коэффициентов сопротивления крыловых
профилей с учетом сжимаемости воздуха. Труды ЦАГИ, № 549, 1944.
Б. Т. Торощ енко, Аэродинамика скоростного самолета. Оборонгиз,
1948.
И. В. О с т о с л а в с кн й, В. М. Титов, Аэродинамический расчет
самолета, Оборонгиз, 1947.
2 Л. Г. Лойцянский, Сопротивление решетки профилей, обтекаемой
вязкой несжимаемой жидкостью. Прикл. матем. и механ., т. XI, вып. 4, 1947.
Л. Г. Л о й ц я и с к и й, Сопротивление решетки профилей в газовом потоке
р докрнтическими скоростями. Прикл. матем. и механ., т. XIII, 19^9, •
652
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
называемую потерей напора. Таким образом, искомый главный вектор R
представится как сумма
R=4р < - Исо) * + р (* • vlco) (Vlco - v2O0)+pt,
или в принятых в § 49 гл. V обозначениях:
R = Р (Nm • Vd) t - р (t • Vm) Vd +p't = pVTO x (t X vd) 4-p't. (94)
В первом слагаемом суммы узнаем силу Жуковского, которую обозна-
чим через Ry, второе слагаемое можно было бы назвать силой сопротивле-
ния профиля в решетке R7. Итак,
R = Ry + R'. (95)
Поскольку все аэродинамические элементы до и после решетки заданы,
определение силы действия потока на профиль в решетке сводится к вычи-
слению силы сопротивления R' или потери напора р', связанного с силой
сопротивления простым соотношением:
R' = р'1. (96)
По сравнению с единичным крыловым профилем, задача о расчете
профильного сопротивления решетки усложняется тем, что пограничные
слои, сходящие с отдельных профилей в решетке, на некотором расстоянии
вниз по потоку смыкаются (рис. 203), образуя в дальнейшем движение, не
подчиняющееся уравнениям пограничного слоя. Обозначая это сечение
индексом „2“ без значка оо и предполагая, что неоднородность поля ско-
ростей в этом сечении следа за решеткой уже мала, легко показать,1 что
потеря напора может быть выражена формулой:
' 9
Р — f^2oo/cos
1 См. цитированные выше наши работы.
§ 161J приближенные формулы прОфильнОго с6протибления 65Й
где — толщина потери импульса в рассматриваемом сечении следа, ₽аоо —
угол между вектором скорости V2oo и перпендикуляром к оси решетки.
Используя, как и в случае единичного профиля, изложенный ранее прием
перехода от сечения в следе к сечению на задней кромке профиля
(о’ = 8^, U = Ur), будем иметь следующие формулы для потери напора р'
и силы сопротивления /?':
(п \3,2 ,** 1
<-4 у 4
v I * / cos е ’ I
^2оо/ *COSP2oo I (97)
'""Ми I
В формулах (97) фигурирует скорость на бесконечности за решеткой V
а не средняя векторная скорость VTO, обычно принятая в теории решеток.
Замечая, что
V, r cos = IZ cos 3 ,
где — угол между VJ(l и перпендикуляром к оси решетки, будем иметь:
v W 8ь
т I 4
Ksoo/ Zc0S₽»n
p’ = ?V3m
\VJ
(98)
и соответствующую формулу для силы сопротивления.
Рассматривая среднюю векторную скорость V,n как некоторую условную
„скорость на бесконечности", можно было бы принять за сопротивление
составляющую D силы R' на направление скорости на бесконечности:
\0-2
D = /?cos?,„=₽v:i^ 4' (99)
и соответствующий ей коэффициент сопротивления писать в виде:
D fV \0’3 8”
сп = 1----",------\Vm UJ b
— ''Vs b-1 4 7 \
2 / vmv
(100)
Формула (100) совершенно аналогична формуле (90) для изолированного
» / |/ \ 0,2
крылового профиля; отличием является лишь множитель (т^-1 > практи-
\ *'2оо/
чески мало отличающийся от единицы.
Произведенные по формуле (100) расчеты сопротивлений профилей
в турбинной решетке показали хорошее совпадение с непосредственно
замеренными опытными величинами.
Некоторые трудности, возникающие при расчете компрессорных реше-
ток, связаны с наличием в такого типа решетках отрывов пограничного
слоя в области задней кромки и не позволяют применять только что изло-
женную теорию без необходимых видоизменений.
654
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
|гл. tx
Определение действительных потерь в рабочих колесах и напра-
вляющих аппаратах турбомашин не может быть сведено к простому
расчету по формулам (97) и (98), так как наряду с учитываемыми
этими формулами потерями в плоской безграничной решетке суще-
ственное влияние оказывают еще: конечность высоты лопаток и тол-
щина их задних кромок, наличие радиального зазора между лопатками
и кожухом и аксиального зазора между рабочим колесом и напра-
вляющими аппаратами, а также центробежные эффекты на вращающемся
колесе. Теоретическое изучение роли этих важнейших источников
вредных сопротивлений и потерь в гурбомашинах представляет осно-
вную задачу современной гидроаэродинамики турбомашин; можно
ожидать, что теория пограничного слоя принесет большую пользу на
пути решения этих задач.
§ 102. Основные закономерности „свободной турбулентности".
Плоская турбулентная струя в пространстве, заполненном
той же жидкостью
Своеобразным аналогом пограничного слоя служат движения
жидкости в струях, в следе за телом и, вообще, движения вблизи
границы раздела двух потоков, имеющих различные скорости. Так же
как и пограничный слой, эти области характеризуются сосредоточен-
ным действием внутреннего трения — ламинарного или турбулентного,
в зависимости от того, какова общая структура потока. Вместе с тем
обращает на себя внимание и некоторое отличие задач этого рода от
задач пограничного слоя, заключающееся в отсутствии влияния твер-
дой стенки, непроницаемой для жидкости и тормозящей ее движе-
ние силами вязкости. Такого рода движения, происходящие в значи-
тельном удалении от поверхности твердых тел, называют свободными.
Для ламинарных движений своеобразие „свободных" движений
сводится лишь к отсутствию характерного для твердой стенки гра-
ничного условия равенства нулю скорости жидкости на обтекаемой
поверхности. В случае же турбулентного движения, как сейчас будет
показано, специфическая форма эпюры скоростей позволяет упростить
основную закономерность трения.
Рассматриваемые в настоящем и следующем параграфах случаи
турбулентной струи и турбулентного следа за телом являются иллю-
страциями общих методов теории свободной турбулентности. В за-
дачи этой теории входит, наряду с перечисленными выше, изучение
турбулентных движений в свободной атмосфере, воздушных и морских
течений, различных вентиляционных потоков и др.
Механизм „свободных" турбулентных движений полностью сво-
дится к чисто турбулентному перемешиванию; влияние обычной „мо-
лекулярной" вязкости при этом совершенно пренебрежимо, так что
рассматриваемые ниже движения оказываются независимыми от рей-
нольдсова числа, в каком бы прямом или косвенном виде оно ни
составлялось.
§ 102]
СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ*•; ПЛОСКАЯ СТРУЯ
655
Установим прежде всего формулу для касательной составляющей
турбулентного трения т. Для этой цели используем вновь ту же ги-
потезу приближенного подобия осредненных движений в отдельных
слоях, что и при движении в трубе (§ 94). Распределение осреднен-
ных скоростей в нормальных по направлению к потоку сечениях для
всех рассматриваемых случаев подходит под общий тип, показанный
на рис. 204. В сечении М}М2 скорость
непрерывно переходит от некоторого зна-
чения и — «j для нижнего однородного по-
тока к значению и = и2 в верхнем одно-
родном потоке. Так, в струе, распростра-
няющейся сквозь затопляющую безгранич-
ное пространство неподвижную жидкость,
скорость «j на внешней границе струи
равна нулю, скорость «2 представляет
максимальную скорость ит на оси струи
(в этом случае роль „однородного" потока
в точке М2 играет элементарная струйка
на оси симметрии струи). В случае аэро-
динамического следа вдалеке за телом
Рис. 204.
скорость «j соответствует минимальной скорости на оси следа,
образовавшегося благодаря тормозящему влиянию тела, а и2 = 14о —
скорости невозмущенного внешнего потока, набегающего на тело.
Производная на краях интервала МГМ2 обращается в нуль
как при переходе к однородным потокам, так и в тех случаях, когда
точки и соответствуют максимуму или минимуму скорости.
При этом эпюра скоростей должна иметь в рассматриваемом интер-
д2и
вале точку перегиба, где -^^- = 0, и применение формулы (21) § 94
для длины I становится невозможным. Возникшую трудность легко
обойти, если заметить, что в этом случае эпюра скоростей близка
к прямой линии повсюду за исключением областей, прилежащих
к краям интервала. Такой характер эпюры скоростей позволяет счи-
т 'ть осредненные движения в отдельных слоях подобными при
любом закон” дробления потока на слои толщины I и, в частности,
на слои одинаковой толщины, так что I не будет зависеть от у.
Формула касательного напряжения турбулентного трения при этом
сохранит ранее указанный вид (22) § 94:
ди
~ду
А = р/2
(Ю1)
с той лишь разницей, что символ полной производной заменен на
символ частной производной, гак как, аналогично случаю пограничного
656
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[гЛ. IX
слоя, вдоль струи (при изменении абсциссы х) поле скоростей дефор-
мируется. Пользуясь близостью эпюры скоростей к прямой линии,
можем в выражении (101) коэффициента турбулентного обмена А про-
извести приближенную замену
(102)
и положить
— р/2 I **2 — Ы1 I
(ЮЗ)
где /> = AfjAf2—ширина области турбулентно! о перемешивания. Воз-
никающая при этом на краях области ошибка несущественна, так
как в выражении турбулентного трения (101) величина А умножается
на —обращающуюся на краях области в нуль. Таким образом,
коэффициент турбулентного обмена в задачах свободной турбу-
лентности может быть принят постоянным по сечению, т. е.
не зависящим от у (но, вообще говоря, зависящим от х, т. е. пере-
менным вдоль течения). Принимая постоянную по сечению толщину
слоев I пропорциональной размеру области обмена Ь, окончательно
получим следующую общую для большинства задач теории „свобод-
ной турбулентности" формулу коэффициента турбулентного обмена:
А = ApZ>| «2—«j |,
(Ю4)
где k — некоторый одинаковый для всех рассматриваемых движений
постоянный коэффициент пропорциональности; величины b и | «2 — их |
меняются в общем случае от сечения к сечению и представляют не-
известные функции координаты х, отсчитываемой вдоль по течению.
Гипотеза постоянства коэффициента турбулентного перемешивания
неоднократно применялась в задачах турбулентного движения в сво-
бодной атмосфере, в океанах и реках. Для случая турбулентного
движения жидкости в аэродинамическом и тепловом следе та же
гипотеза была отчетливо сформулирована еще в 1938 г. Б. Я. Труб-
никовым, 1 принявшим А за постоянную величину, не зависящую ни
от х ни от у. Как далее будет показано, такое допущение действи-
тельно верно для турбулентного следа, но непригодно, например, для
струи. Формула, аналогичная (104), была предложена в 1942 г.
Л. Прандтлем, 2 исходившим из соображений, отличных от использо-
ванной нами гипотезы подобия. Первые применения новой формулы
Прандтля были выполнены Гертлером. 3
1 Ь. Я. Трубников, Тепловой метод измерения турбулентности в аэро-
динамических трубах. Труды UA1 И, вып. 372, Москва, 1938, стр. 16.
2 L. Prandtl, Beuierkungen zur Theone der freien Turbulenz. Zeitscbr.
fur Angew. Mathem. und Meeh. Bd. 22, H. 5, 1942, S. 241.
3 H. G or tier, Berechnung von Aufguben der freien Turbulenz auf Grund
ernes neuen Naherungsansatzes. Zeitschr. tur Angew. Math, und Meeh., Bd. 22,
H. 5, 1942, S 244.
§ 102] „свободная турбулентность"; плоская струя 657
Остановимся на некоторых простейших применениях формулы (104).
Рассмотрим прежде всего пример плоской турбулентной струи, бьющей
из бесконечно тонкой щели в безграничное пространство, затоплен-
ное той же неподвижной жидкостью. Для дальнейшего существенно,
что источник плоской струи представляется бесконечно тонкой щелью.
Такая схематизация упрощает решение, так как, благодаря отсутствию
характерной длины (ширины щели) в граничных условиях, задача,
аналогично тому, как это имело место в теории ламинарного слоя
(§ 85), может быть сведена к решению одного обыкновенного диф-
ференциального уравнения, взамен сложной системы уравнений в част-
ных производных, к которой сводится общая постановка задачи.
Рассматривая область струи, где продольная осредненная ско-
рость и(х, у) не равна нулю, как „пограничный слой" (на рис. 205
Рис. 205.
сраница этой области в обычном для теории пограничного слоя смысле
показана пунктиром), будем считать давление постоянным вдоль
сзчений струи, а так как давление в затопленном пространстве вне
гтруи повсюду одинаково, го и одинаковым, во всей области течения.
Уравнения движения примут вид, аналогичный (44) § 97, а именно:
ди . ди 1 д ( . ди \ A dft-u i
и—-----и® =----------— [А -5—1 =-------5-=.,
дх 1 ду ? ду \ ду J р оу2 |
ди . dv ________ |
дх "• ду ~~U’ J
или, согласно (104):
ди . ди ,, . ч z \ дРи ]
ди . dv _____„ |
дх ' ду ‘ ]
(Ю5)
42 Зак 1841. Л. Г. Лойцянский.
(105')
658
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Задача представляется вначале неопределенной, поскольку наперед
неизвестны законы изменения ширины струи b (х) и максимальной
скорости на оси струи ит (х). Эта неопределенность исчезает, если
выражение продольной скорости искать в форме семейства подобных
между собою кривых
2L=/(Z)=/W> (Ю6)
где под Ь(х) понимается некоторая условная (в том же смысле, как
„толщина" пограничного слоя) ширина струи, а т] — 2-—новый
аргумент. Пользуясь выражением (106), вычисляем (штрих означает
дифференцирование по Т|):
~дх = ~dx~f^~~~b ~dxUmf
7] 7J
b Jf (П> dl3-
о о
Подставим эти выражения в первое уравнение (105'), тогда после
простых приведений получим:
дит
т dx
ч
[у2 (П> —f (Т)) J/ (*)) ^ ] +
о
2 j , 9
Г . Г . 1 kU™
Н—г J dri ~ f' J = ~Т~? 07>
о
Введем в рассмотрение функцию F(vj, положив
ч
^01)= (108)
о
Функция F (щ) связана простым соотношением с функцией тока
ф (х, у). Действительно, по определению функции тока, если при-
нять ф (х, 0) = 0,
v ч
ф = J и dy = umb J*/(tq) dTj = uJ)F (•»]).
о о
(108')
§ 1021 „СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ “ J ПЛОСКАЯ СТРУЯ 65&
7|
f fd^ = vF' 01) — F (ч)>
о
Будем иметь:
о
так что уравнение (107) может быть переписано в виде
u^(F'e~FFa)-^^FF"=k^Fm. 009)
Замечая, что, в силу одинаковости давления во всей области тече-
ния, проекция на ось Ох вектора количества движения, протекающего
сквозь любое сечение струи, должна быть одна и та же, получим
J ри2 dy — const = Jo, (110)
—ОО
где Jo представляет заданное количество движения струи при выходе
ее из щели, или интенсивность струи. Подставляя сюда значение и
из формулы (106), найдем:
-f-OO
ри^ь J /З(ч)^ч=-/Ь
или
i?nt> = const. (ПО')
Дифференцируя обе части этого равенства по х, получим:
2«»-^-^+'45==0’
в силу чего уравнение (109) перепишется окончательно в виде:
~ (F'2 + FF") = — 2kF(Ill)
Из условия независимости аргументов х и т] следует, что
—— = с, /? = гх, (112)
где с — некоторая не зависящая от граничных условий константа,
характеризующая турбулентнйй характер струи. Как показывает послед-
нее равенство, „ширина“ струи возрастает пропорционально расстоянию
от источника, а границами струи служат прямолинейные лучи, выхо-
дящие из источника (на рис. 205 они показаны пунктиром).
Из равенства (ПО') можно найти закон убывания максимальной
скорости на оси при удалении от источника струи:
const
Um~ у * •
(113)
42*
660
ТУРБУЛЕНТНОЙ ДВИЖЕНИЙ
[гл. IX
Найдя закон (112) изменения ширины струи b и (113) — осевой
скорости ит, можем определить и закон изменения коэффициента
турбулентного трения А. Имеем по (104) и только что указанным
равенствам:
А = kpumb = kcpxum — const Ух. (104')
Коэффициент турбулентного обмена, не изменяясь по сечению струи,
возрастает пропорционально корню квадратному из расстояния сечения
до источника струи.
Основное дифференциальное уравнение (111) приводится к виду:
р'2 f р" — р’"
(П4)
и легко может быть непосредственно два раза проинтегрировано.
Действительно, имеем:
и, следовательно,
= —(И5)
Постоянные интегрирования С и
ных условий:
Cj найдем из очевидных гранич-
при т) == О
при т] = О
при т} = О
Р =0, ]
F" = 0, I
Fz==l, j
(116)
выражающих: что ось струи принята за нулевую линию тока, что
в силу симметрии
ди
производная
вдоль оси и — ит. Уравнение (115)
обращается на оси в нуль и что
при этом переходит в легко инте-
грируемое уравнение
F'=l
с
4k
F\
которое, при принятых граничных условиях (116), имеет решение:
Отсюда получаем
/~k У *ч —1
F = 2F тЪг---------1,
У * 44-1
§ 102j „СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬПЛОСКАЯ CTPjht
или, переходя к гиперболическим функциям,
Отсюда находим продольную составляющую скорости к:
и поперечную составляющую v:
ч> = — Д. F(tj) -f- ит [цР' (т0 — F(iq)] =
=т а«* £ w7'—F =
= (У' — р) = сит (т]Г -1f) =
Tjch-2^]/ ~^ — у у TVT
6б1
(И7)
(П8)
(И9)
Чтобы сравнить теоретические формулы с опытными материалами,
обозначим через У такое значение у, при котором и — ит, тогда
из равенства __
1 и 9/ 1 с У \
2Um— umCh- [2У k сх)
будет следовать:
---= 0,88, У= 1,76 Vkc х.
2 Уkc х
При этом равенство (118) может быть переписано в виде:
« = ит ch-2 ^0,88 "у"У
(120)
На рис. 206 соответствующая кривая показана пунктиром. Совпа-
дение этой теоретической кривой с опытными точками1 вполне удо-
влетворительное. При таком сравнении неизвестные константы с и k
входят в определение величины У.
1 FOrthmann, Ingenieur-Archiv, 5 (1934), S. 42—54.
662
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[гл. IX
Пользуясь формулой (118), можно вычислить массовый расход
жидкости через любое сечение струи, расположенное на расстоянии х
от источника струи.
Имеем
4-00 4" СО 4" СО
Q = p J udy = pumb J f (tq) d-q — pumb J F'(^dt\ =
“•co —oo —co
= [F (v))] - pumb • 2j/A . 2 = 4 |/~A Pumb, (121)
откуда no (110') и (112) следует, что
Q = const ]/3c,
(122)
т. e. что расход жидкосги сквозь сечение струи растет при удалении
сечения от источника струи; при х = О Q = 0. Причина этого явле-
ния отчетливо видна из общей картины течения, показанной на
рис. 205. Струя целиком состоит из жидкости, подсасываемой из
затопленного пространства. Чем дальше сечение отстоит от источника
<//¥
Рис. 206.
струи, тем большее количество жидкости^ увлекается ею. Парадо-
ксальный на первый взгляд факт равенства нулю расхода жидкости
через бесконечно тонкую щель при конечном количестве движения
легко понять, рассматривая движение жидкости в струе как предель-
ное при уменьшении ширины щели. Сравнивая (121) или (122) с (104'),
видим, что расход Q изменяется по тому же закону, как и коэф-
фициент турбулентного обмена А.
Рассмотренное явление увлечения струей окружающей жидкости
лежит в основе работы разнообразных водяных, воздушных и паро-
вых насосов, называемых инжекторами и эжекторами. Во всех аппа-
ратах такого рода струя со значительным количеством движения, но
малым расходом, создает значительные расходы жидкости, что и
делает насос полезным.
§ 102] „СВОБОДНАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ"; плоская струя 663
Для расчета плоской струи необходимо задать какие-то хара-
ктерные для струи параметры. Это могут быть: сохраняющееся вдоль
всей струи ее количество движения Jo, расход или осевая скорость
в некотором фиксированном сечении струи и др.
Заметим, что рассмотренное решение, как это следует из ранее
приведенных рассуждений, содержит произвольную постоянную с, суще-
ственно зависящую от турбулентности струи и являющуюся экспери-
ментальной константой данной струи. От этой константы зависит
угол расширения струи, который будет тем больше, чем интенсивнее
турбулентность в струе.
Изложенный метод решения задачи не единственный. Можно было
бы воспользоваться и непосредственно формулой (22) § 94, не опи-
раясь на приближеЙное постоянство коэффициента турбулентного
обмена. Такое решение задачи о плоской турбулентной струе ока-
зывается более сложным, так как приводит к дифференциальному
уравнению, требующему численного интегрирования. Результат такого
решения, выполненного в свое время Толлмином,1 приведен в виде
сплошной кривой на том же рис. 206. Можно заметить, что изложен-
ное ранее решение (пунктирная кривая) ближе к экспериментальным
данным в средней части струи, чем кривая Толлмина; по краям струи,
наоборот, кривая Толлмина оказывается более близкой к опытам.
Мы не излагали решения задачи о ламинарной струе, так как это
движение не представляет практического интереса. Решение задачи
о ламинарной струе имеет много общего с только что изложенным
решением задачи о турбулентной струе, так как и в том и в другом
случае предполагается, что коэффициент внутреннего трения (молеку-
лярной или турбулентной вязкости) постоянен по сечению струи.
Однако не следует забывать, что в ламинарной струе коэффициент
вязкости постоянен во всей области течения, а не только по сечению
струи. Кроме того, наличие влияния вязкости изменяет вид основного
аргумента т; и форму границы струи. Подробное изложение задачи
о ламинарной струе можно найти на стр. 124-—134 нашей монографии
„Аэродинамика пограничного слоя".
Не имея возможности останавливаться на изложении других задач
о струях (осесимметричная струя, пограничный слой на границе двух
движущихся жидкостей и др.), заметим, что все они могут быть раз-
решены теми же приближенными методами, что и задача о плоской
струе.2
Чрезвычайно важному вопросу об обобщении теории струй на
случай практически используемых в технике как изотермических, так
1 W. Toll mien, Berechnung turbulenter Ausbreitungsvorgange. Zeitschr.
fur Angew. Math, und Mechanik. Bd. IV, S. 468, 1926. Подробный разбор этого
решения приведен в нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя",
стр. 283—285.
2 См. нашу монографию „Аэродинамика пограничного слоя", а также
ранее цитированную (стр. 656) статью Гертлера,
664
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
и неизотермических струй, с учетом влияния сжимаемости газа, а
также конечности диаметров сопла, из которого происходит истечение,
и других обстоятельств, были посвящены заслуженно пользующиеся
широкой популярностью исследования Г. Н. Абрамовича. Сводку
этих исследований можно найти в специальной его монографии.1
§ 103. Турбулентный след за обтекаемым телом
К задаче о струе близко подходит другая важная задача теории
свободной турбулентности — об аэродинамическом следе вдалеке за
обтекаемым телом.
Ограничимся для простоты рассмотрением плоской задачи, причем
след будем считать изотермическим.
Тормозящее влияние тела приводит к наличию „провала" в эпюре
скоростей в области следа, как это показано на рис. 207. При
удалении от тела глубина этого провала и1И) уменьшается, а ширина b
увеличивается. Вне следа (на рис. 207 „границы" области следа,
в обычном для теории пограничного слоя смысле, показаны пункти-
ром) продольная скорость повсюду равна Voo.
Разложим поле скоростей в следе на две составляющих: поле ско-
ростей Ко основного потока, набегающего на тело, и поле возмуще-
ний (их, -о,), выражающее подтормаживающее влияние тела; положим:
«= Voo------«V
V = ©J.
(123)
Принимая поле возмущений в удалении от тела слабым по срав-
нению с полем скоростей набегающего потока, можем, подставив вели-
чины и и v в уравнения пограничного слоя (105), откинуть квадраты
1 Г. Н. Абрамович, Турбулентные свободные струи жидкостей н га»
goe, Госэнергоиздат, 1948.
§ 103] ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛЕД ЗА ОБТЕКАЕМЫМ ТЕЛОМ 665
возмущений и получить следующие линеаризированные уравнения:
__ А дгиг
дх ~pV„ ду2’
Sui । ..n
дх ду •
(124)
Такая упрощенная система уравнений имеет место только для
области следа, удаленной от обтекаемого тела. Задача о следе в не-
посредственной близости за телом представляет непреодолимые труд-
ности даже для хорошо обтекаемых тел, так как в этом случае возму-
щения уже не малы и, кроме того, возникает необходимость сращивать
решения в пограничном слое и следе, удовлетворяющие тем же урав-
нениям, но различным граничным условиям: и — 0, ® — 0 — на поверх-
ности тела, — т» = 0—на нулевой линии тока в следе.
При удалении от обтекаемого тела теряется значение формы тела
и, как далее будет показано, становится достаточным знание какой-
нибудь одной суммарной характеристики тормозящего влияния тела,
например, его сопротивления W.
Используем, как это уже делалось ранее (§ 101) при выводе фор-
мулы профильного сопротивления, уравнение импульсов в следе (86),
которое в случае несжимаемой жидкости имеет вид:
ла** IJr
^-4-^(28**-Н*) = 0,
и заметим, что вдалеке от тела U = Ко, V = 0, так что при
достаточно больших значениях х:
8** = J* -j^-^1—у-)dy — const.
—co
Вспоминая еще формулу (83), получим:
Р J « (К>— «) dy — const — W. (125)
—оо
Заменим в этом выражении и на Ко — и1 и откинем вновь малые
величины выше первого порядка. Тогда будем иметь:
4-00
рКо § uxdy=W. (126)
—со
Сделаем, как и прежде в теории струи, предположение о подо-
бии эпюр продольных скоростей возмущений в сечениях, удален-
ных от тела, т. е. положим
«1 =
(127)
666 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
где aJm—максимальная продольная скорость возмущения на оси
следа в данном его сечении, а b — некоторая условная ширина следа.
Подставляя последнее выражение в уравнение (126), получим:
4-00
pV^b . f f(j) d (f) = r. (128)
—co
Отсюда сразу вытекает, что во всех удаленных от тела сечениях
• b = const. (129)
Замечая, что по основной формуле коэффициента турбулентного
обмена (104) в рассматриваемом случае следа будем иметь:
А = kpb (Ко — ит) = /гпЬи}т, (130)
на основании (129) заключим о постоянстве коэффициента тур-
булентного обмена А во всей удаленной от тела области следа.
Таким образом, имеем вместо (129):
= = const. (129')
Отсюда следует, что линеаризированные уравнения (124) возму-
щений в турбулентном следе за телом совпадут с аналогичными урав-
нениями для ламинарного следа, если заменить коэффициент турбу-
лентного обмена А на обычный коэффициент молекулярной вязкости р.
Граничные условия как для турбулентного, так и для ламинарного
следа будут иметь вид:
при ^ = о 2й = о,| (131)
при у ~ ± оо ut = 0. J
Уравнениям (124) и граничным условиям (131) можно удовлетво-
рить простейшим, известным из теории распространения тепла
в стержне, фундаментальным решением типа „источника": 1
р 44®
«! = (?• -.-=.... (132)
1 Задача о ламинарном следе, с математической стороны ничем не отли-
чающаяся от рассматриваемой сейчас задачи о турбулентном следе, подробно
изложена в нашей монографии „Аэродинамика пограничного слоя“ на
стр. 118—124. Решение задачи о турбулентном следе, основанное на приме-
нении гипотезы о постоянстве коэффициента турбулентного обмена, было
дано впервые в указанной на стр. 656 работе Б. Я. Трубникова, помещенной
в Трудах ЦАГИ, вып. 372, 1938.
§1031
ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛЕД ЗА ОБТЕКАЕМЫМ ТЕЛОМ
667
Постоянная С может быть выражена через заданное сопротивле-
ние тела W, если указанное только что выражение их подставить
в равенство (126). Будем иметь:
fiy — де;
Простое выполнение квадратуры приводит к результату
2 У пр A Vm*
что дает вместо (132)
и,=— .е iAa! .
2 -fnpAV^x
(1329
Полагая здесь у = 0, найдем выражение скорости максимального
возмущения на оси:
W 1 * * z1QQ4
1т 2 Ух’ 7
которая, как показывает формула (133), убывает с удалением от тела
по закону обратной пропорциональности корню квадратному из рас-
стояния сечения следа до тела, образующего след. Согласно (129),
условная ширина следа b оказывается пропорциональной корню квад-
ратному из абсциссы х.
Разыскав выражение для г/j и пользуясь вторым уравнением
системы (124), найдем поперечную скорость
У рУрг?/'
Jd«l . IF J 4А®
= е - (134)
Л г i со г
Многочисленные опыты Б. Я. Трубникова, а также зарубежных
авторов (Рейхардт, Шлихтинг и др.) подтвердили пригодность фор-
мулы (132) в большом удалении от цилиндра (на расстоянии порядка
ста и более диаметров от обтекаемого цилиндра).
Ту же задачу о турбулентном следе за телом можно было бы
решить и непосредственным применением формулы Прандтля (22) § 94,
полагая, как и ранее, величину / пропорциональной ширине следа Ъ
в соответствующем сечении.1
1 См. нашу монографию .Аэродинамика пограничного слоя", стр. 317—326.
Там же приводится сравнение теоретического расчета с опытами Шлихтинга
и других исследователей.
668 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [ГЛ. IX
Как показывают расчеты, разница между результатами теоретиче-
ского расчета по двум методам очень мала.
Аналогичным путем решается задача о плоском турбулентном следе
вдалеке за решеткой, составленной из цилиндрических тел.1
§ Ю4. Рассеяние турбулентных возмущений в жидкости.
Случай изотропной и однородной турбулентности.
Закон сохранения момента возмущений
В предыдущих двух параграфах было показано, как происходит затуха-
ние неоднородности поля осредненных скоростей в турбулентной струе и
следе при удалении от источника возникновения их. Не следует, однако,
думать, что выравнивание поля осредненных скоростей приводит одновре-
менно и к исчезновению пульсаций скорости, т. е. к затуханию турбулент-
ности. Опыты показывают, что вдалеке за телом, уже после того, как прак-
тически исчезнет изображенный на рис. 207 провал скоростей, на значитель-
ном расстоянии вниз по потоку сохраняются турбулентные возмущения,
энергия которых сравнительно медленно рассеивается, превращаясь благодаря
вязкости жидкости в тепло.
Явление рассеяния турбулентных возмущений представляет особенно
большой интерес при изучении потоков, прошедших сквозь сетки с неболь-
шими размерами ячеек и малыми диаметрами проволоки. Такого рода сетки
применяются для создания однородных, мало турбулентных потоков в рабо-
чих участках аэродинамических труб.2 Возникшие в жидкости в силу
различных случайностей крупные вихри при прохождении сквозь сетку
разбиваются на мелкие, имеющие тот же порядок размера, что и ячейки
сетки. Как уже упоминалось ранее (§ 81), диффузия вихрей происходит тем
быстрее, чем вихри меньше по размерам. В силу этого обстоятельства измель-
ченные сеткой вихри быстро затухают и в рабочем участке трубы, распо-
ложенном в некотором удалении от „фильтрующей” сетки, создается спокой-
ный малотурбулентный поток. Потребное для успокоения потока расстояние
от сетки выражается в калибрах сетки и практически не превышает тысячи
калибров, что при малых размерах ячейки не является для аэродинамической
трубы слишком стеснительным с конструктивной точки зрения.
Теоретическое рассмотрение явления диффузии турбулентных возмущений
представляет большую сложность и требует применения тонких статистиче-
ских методов. Остановимся на некоторых результатах существующих в на-
стоящее время пока еще далеко не совершенных теорий, позволяющих все
же разобраться в основных тенденциях явления.
Остановимся на случае так называемой однородной турбулентности,
под которой подразумевают движение жидкости с однородным полем осред-
ненных во времени величин, определенных в данной точке пространства,
в том числе и поля осредненных скоростей. При этом предполагается, что
турбулентные пульсации скоростей существуют даже и в том частном слу-
чае, когда осредненные скорости повсюду равны нулю. Чтобы охарактери-
зовать распределение пульсаций в потоке и их взаимную связь, обозначим
через v' и у" векторы пульсаций скорости в двух каких-нибудь точках Мг
1 См. по этому поводу R. Gran Olsson, Geschwindigkeits — und Tem-
peraturverteilung hinter einem Gitter bet turbulenter StrCmung. Zeitschr. fiir
Angew. Math, und Mechanik, Bd. 16 (1936), S. 257—274, а также ранее цити-
рованную статью Гёртлера.
8 См., например, Е. М. Минский, О гашении турбулентности с по-
мощью сеточных фильтров. Издательство Бюро новой техники МАП, № 63,
§ 104] РАССЕЯНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЖИДКОСТИ
669
и М" и составим, следуя замечательной идее наших советских исследователей
А. А. Фридмана и Л. В. Келлера,1 моменты, связи между пульсационными
скоростями:
а) второго порядка ____
б) третьего порядка
- = Wfc-
Здесь подстрочные индексы означают перенумерованные оси координат,
а черта сверху — осреднение во времени, подчиняющееся тем же основным
равенствам, что и указанные ранее в § 93. Величины Фу и Пуц, характери-
зуют статистическую связанность между пульсациями скоростей в точках М'
и М". Совокупности нх образуют соответственно тензоры второго и третьего
рангов.
В общем случае однородной турбулентности компоненты Фу и
являются функциями вектора М'М" = г, характеризующего взаимное рас-
положение точек М' н М". Предположим теперь, что в некоторый начальный
момент в неподвижной жидкости, заполняющей безграничное пространство,
создано непрерывное однородное поле начальных возмущений, которое
с течением времени будет затухать (рассеиваться). Легко сообразить, что и
в любой последующий момент времени поле затухающих во времени возму-
щений останется однородным. Кроме того, при равноправности любых напра-
влений в пространстве поле возмущений окажется изотропным в том смысле,
что указанные выше тензоры моментов связи будут функциями только рас-
стояния М'М" — г между точками М' и М" и не будут зависеть от направ-
ления вектора г.
Как показывают простые вычисления,2 в случае такой, однородной и
изотропной, турбулентности компоненты тензора Фу могут быть выражены
через dee функции, представляющие моменты связи между составляющими
скоростей пульсаций в точках М' и AF: ^направленными вдоль отрезка Ж'ЛГ'
(продольные составляющие) н 2) нормально к этому отрезку (поперечные
составляющие). Точно так же и компоненты Пу^ могут быть выражены
через три величины моментов связей третьего порядка между продольными
н поперечными составляющими пульсационных скоростей в точках Мг и М".
Используя осреднение уравнения неразрывности и общих динамических
уравнений вязкой жидкости, удается получить одно дифференциальное урав-
нение в частных производных второго порядка:3
с двумя неизвестными функциями F (г, t) и H(r, t), из которых первая F(r,i)
представляет момент связи второго порядка между продольными компонен-
тами пульсационных скоростей в точках М' и М", а вторая H(r, t)—момент
связи третьего порядка между квадратом поперечной составляющей в точке М'
и продольной — в точке М".
Уравнение (135) можно рассматривать как уравнение рассеяния вели-
чины F, характеризующей структуру турбулентных возмущений в потоке.
1 См. их доклад на I-м Конгрессе по прикладной механике в Дельфте
в 1924 г. (Труды Конгресса, стр. 395—403).
2 Л. Г. Лойцянский, Некоторые основные закономерности изотроп-
ного турбулентного потока. Труды НАГИ, вып. 440, 1939.
3 Это уравнение было выведено впервые Карманом: см. Journ. of the
Aeron. Sc., J937, № 4,
670
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. IX
Рассмотрим эту функцию несколько ближе. Если устремить г к нулю, то
функция F, согласно ее определению и свойству изотропности потока, пре-
вратится в среднее значение квадрата пульсации в данной точке:
F(0, f) = tA (136)
Эту величину (или квадратный корень из нее) принимают за меру интен-
сивности турбулентности в данной точке. В рассматриваемом случае одно-
родной турбулентности величина »'а одинакова во всех точках потока
в данный момент времени и зависит лишь от времени. Примем в дальнейшем
для краткости обозначение о,а = о"2 = t>a и рассмотрим величину
/М =
у'у"
v'y" F(r, t)
(137)
носящую наименование коэффициента корреляции (связи) двух пульси-
рующих во времени функций о' н v". Коэффициент корреляции изменяется
в пределах от нуля до единицы, причем крайние его значения соответствуют:
нуль—отсутствию какой бы то ни было связи между пульсациями скорости
в точках № и Ж", единица — полной связи между этими пульсациями.
Очевидно, что при г — 0 будет /(0, /) = 1; при увеличении расстояния г
между точками М' и М" степень статистической связанности между пуль-
сациями скорости быстро ослабевает и функция / (г, t), так же как F(r, t)
и Н (г, t), резко спадает до нулевого значения. Используя коэффициент
корреляции f как статистическую меру связанности возмущений в двух точках
потока, можно ввести понятие о масштабе турбулентности. Для этого
построим интеграл
со со
£ = /(г, t) dr = — J F(r, t) dr, (138)
о 0
представляющий взвешенное суммирование бесконечно малых отрезков dr,
причем за „вес" принимается как раз степень связанности / (г, t) пульсаций
в точках Мг и М". Величину L можно принять за статистический масштаб
турбулентности; в дальнейшем будет указан также еще и другой воз-
можный масштаб турбулентности.
Возвращаясь к уравнению (135), можем следующим образом проннтер-
претировать отдельные его члены. Локальная производная — от величины F
по времени складывается из вязкостного (диффузионного) ее рассеяния,
представленного правой частью уравнения, и конвективного изменения, опре-
деляемого выражением в левой части, зависящим от функции Н (г, t). При
малых значениях рейнольдсова числа турбулентности (/—некоторый харак-
терный размер) _
конвективный член становится пренебрежимым, а задача — определенной,
так как уравнение (135) переходит в уравнение относительно одной функ-
ции F:
dt г dr)'
(139)
При больших значениях того же рейнольдсова числа оба члена сохра-
няют свое значение, и для решения задачи необходимо выдвигать дополни-
тельные допущения.
§ 1041 РАССЕЯНИЕ -турбулентных ВОЗМУЩЕНИЙ в жидкости 671
Прежде чем перейти к вопросу об интегрировании уравнения (139),
установим общее соотношение, выражающее закон сохранения одной, харак-
терной для турбулентных возмущений величины. Закон оказывается общим
для затухающей однородной и изотропной турбулентности, безотносительно
к тому, опускаются или нет конвективные члены.
Для вывода этого закона сохранения умножим обе части уравнения (135)
на г* и проинтегрируем в лределах от нуля до бесконечности. Тогда, пред-
полагая, что функции F и Н удовлетворяют условиям убывания на беско-
нечности:
dF
при г-» со г*ч—>0 и riH->О,
' Or
и что соответствующие интегралы существуют, после простого интегрирова-
ния по частям получим:
ОО
J F(r, i)r*dr — 0, (140)
О
откуда сразу следует искомый закон сохранения:
со со
А = J* F (г, t)ridr = const = F (г, 0) г* dr. (141)
о о
Величину А можно было бы назвать „моментом возмущений" и говорить
о законе сохранения момента возмущений. Переходя от функции F(r, i)
к коэффициенту корреляции f (г, t), перепишем предыдущее равенство в виде
СО
А = v2 • J* f (г, t) г* dr — const. (141')
о
Входящий в это соотношение интеграл имеет размерность длины в пятой
степени. Если вместо величины L, определенной равенством (138), ввести
в рассмотрение новый масштаб турбулентности L*, равный
СО
L* — ( $ f (r, t) г* drjk, (142)
4 о
то равенство (141) заменится простым соотношением
о3!*6 = const, (143)
выражающим закон сохранения момента возмущений в форме: произведение
средней квадратичной пульсации скорости (нли среднего значения отне-
сенной к единице массы жидкости кинетической энергии пульсационного
движения) на пятую степень масштаба турбулентности при затухании
однородной и изотропной турбулентности сохраняется.
Сохраняющаяся во времени величина момента возмущений А предста-
вляет своеобразную характеристику поля турбулентных возмущений и играет
такую же роль, как, например, общее количество тепла в задаче о распро-
странении тепла в жидкости или количество движения при удалении от
источника струи или тела, образующего след.
Тепловая аналогия в данном случае оказывается особенно интересной,
так как уравнение (139) можно рассматривать формально как аналог урав-
нения распространения тепла в пятимерном пространстве.1 Поскольку
1 См., например, А. Вебстер и Г. Сеге, Дифференциальные уравне-
ния в частных производных математической физики, ч. 1, Гостехиздат, 1933,
стр. 227.
6?2
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕЙИЁ
[Mt. IX
уравнение (139) справедливо лишь при малых рейнольдсовых числах турбу-
лентности, т. е. в последних стадиях затухания возмущений, что соответствует
большим значениям времени t, то достаточно построить простейшее решение
уравнения (139), отвечающее случаю .источника’. Это решение будет:
г3
8*4
Г(г,0= const(144)
Для определения константы воспользуемся теоремой о сохранении мо-
мента возмущений. Будем иметь:
оо оо---.-
/с р 8v4
F{r, t')ridr = const I , __ r^dr,
J f 1/ чл/ I5
откуда найдем:
const = —
48
Итак, имеем:
A e 8'lf
<l46>
Полагая здесь г = 0, получим, согласно (136), следующий закон убыва-
ния со временем интенсивности турбулентности:
<146)
Разделив обе части (145) соответственно на (146), определим коэффи-
циент корреляции
., л F (г, t)
f(r,t) = -L-i=e . (147)
После этого нетрудно найти н закон возрастания со временем масштаба
турбулентности L:
СО СО
L = f f (г, 0 dr — J е dr = V2тс\4. (148)
о о
Согласно (143) и (146), таков же и порядок возрастания масштаба £*:
L* = |/48 (148')
Рейнольдсово число турбулентности R, если в нем за линейный размер
принять масштаб L (нлн £*),' будет убывать со временем по закону:
L -.ГА У2Й 1
R_ _ у 48^ ’
т. е. действительно будет малым при больших t.1
1 Более детальное исследование решения уравнения (139) можно найти в
статье М. Д. Миллнонщикова .Вырождение однородной изотропной
турбулентности вязкой несжимаемой жидкости’. Докл. АН СССР, т. XXII,
№ 5, 1939, а также в ранее цитированной нашей работе (Труды ЦАГИ,
еып. 440, 1939).
§ 104] РАССЕЯНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЖИДКОСТИ 6?3
Случай больших значений рейнольдсова числа турбулентности, когда не-
допустимо пренебрежение конвективным членом, содержащим функцию Н, был
при допущении о .локальном подобии" турбулентности изучен акад. А. Н. Кол-
могоровым, 1 показавшим, что отвечающий формуле (142) масштаб турбу-
лентности L* в этом случае изменяется по закону:
-£* = 0£Ул‘А(г_/о)%,
(149)
где К и Iq — некоторые постоянные. Затухание интенсивности турбулентности
определяется при этом формулой:
ц2 sx А А /у* (150)
За доказательством этих двух важных соотношений отсылаем к цитиро-
ванным выше работам А. Н. Колмогорова.
Подробный и тщательный анализ возможных решений основного уравне-
ния (135) прн различных гипотезах относительно структуры однородного, изо-
тропного турбулентного потока был произведен Л. И. Седовым;2 некото-
рые соображения по тому же поводу в дальнейшем высказал Батчелор. 3 Со-
ветские ученые добились больших успехов в изучении структуры турбулент-
ных потоков; о главнейших достижениях в этой области можно прочесть
в обзоре А. М. Обухова. 4
Вопрос о возможности применения статистических теорий турбулентности
к прикладным вопросам нечетен еще окончательно. Некоторые приложения
этих теорий в динамическом метеорологии можно найти в работах Л. В. Кел-
лера, А. М. Обухова, М. И. Юдина, ссылки на которые помещены в только
что цитированном обзоре А. М. Обухова.
Современная техника аэродинамического эксперимента позволяет изме-
рять не только средние, но и действительные быстро пульсирующие значе-
ния скоростей и давлений в турбулентном потоке, а также различные осред-
ненные характеристики турбулентности потока. Для этой цели наиболее удобен
тепловой анемометр или, как его еще иногда называют, анемометр с нагре-
ваемой нитью. Устройство этого в настоящее время хорошо изученного
прибора не сложно. Кусочек тонкой платиновой нити (диаметром от 0,008
до 0,020 мм и длины от одного до нескольких миллиметров) подогревается
электрическим током и устанавливается перпендикулярно направлению воз-
Д}шного потока, который ее охлаждает. Включая нить в одну из ветвей
1 А. Н. Колмогоров, К вырождению изотропной турбулентности
в несжимаемой вязкой жидкости. Докл. АН СССР, т. XXXI, № 6, 1941. См.
также работы А. Н. Колмогорова: .Локальная структура турбулентности
в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса", Докл. АН
СССР, т. XXX, № 4, 1941; „Рассеяние энергии прн локально-изотропиой
турбулентности", Докл. АН СССР, т. XXXII, № 1, 1941.
2 Л. И. Седов, Вырождение изотропных турбулентных движений не-
сжимаемой жидкости. Докл. АН СССР, т. XLII, № 3, 1944, а также § 22
монографии того же автора .Методы теории размерностей и теории подобия
в механике", Гостехиздат, 1944.
3 G. К. Batchelor, Energy decay and self-preserving correlation func-
tions in isotropic turbulence. Quarterly of Applied Mathematics, Vol. VI, № 2,
July, 1948.
4 A. M. Обухов, Турбулентность. Статья в сб. .Механика в СССР за
тридцать лет". Гостехиздат, 1950, стр. 332—340.
3«. 1Ы1, Л. Г. Ло4цжвсжм1.
674
Турбулентное движение
(гл. IX
обычной измерительной схемы балансировочного .мостика” (рнс. 208), тари-
руют прибор на среднюю скорость потока по переменному сопротивлению
нити при постоянной силе то-
ка, или, наоборот, по перемен-
ной силе тока при постоянном
сопротивлении? второй способ
более удобен и широко упот-
ребляется иа практике для изме-
рения средних скоростей.
Желая записать пульсации
скорости потока около некото-
рого ее среднего значения,
вначале уравновешивают мос-
тик на этой средней скорости
при помощи обычного гальва-
нометра, слишком инерционно-
го, чтобы чувствовать малые
разности потенциалов, возни-
кающие на концах диагональ-
ной ветви при разбалансиро-
вании мостика от пульсаций
скорости, а затем переключают диагональную ветвь на усилитель и осцилло-
граф (рис. 208). Таким образом удается записать и протарировать быстрые
пульсации скорости. Обработка осцилло-
грамм позволяет сделать выводы о ча-
стоте и интенсивности пульсаций.
Если экспериментатора интере-
сует не полная осциллограмма,
а лишь средняя квадратичная пульсаций
скорости v2, то в качестве выходного
измерительного прибора пользуются
не осциллографом, а тепловым мил-
ливольтметром, который непосредст-
венно дает так называемое гэффектив-
ное” напряжение, т. е. как раз то сред-
нее квадратичное напряжение, которое
оказывается в достаточном приближении
пропорциональным искомому значению
средней квадратичной от пульсаций ско-
рости. Конечно, измерительная нить,
как бы она ни была мала и тонка, обла-
дает тепловой инерцией, искажающей
показания прибора; с этими искаже-
ниями можно в известной степени бо-
роться, подбирая соответствующим обра-
зом характеристики усилителя.
У нас в Советском Союзе метод
тепловой анемометрии был разработан
и внедрен в практику аэродинамическо-
го эксперимента, главным образом, дву-
мя исследователями — Ю. Г. Захаровым
и Е. М. Минским.1
к усилителю
1 См. статью Е. М. Минского, поме- Рис. 209.
щенную в конце нашей монографии
„Аэродинамика пограничного слоя” (стр. 387—402). Там же помещены ссылки
на оригинальные работы Ю. Г. Захарова, Е. М. Минского и др.
§ 104] РАССЕЯНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ в жидкости 675
Замечательно, что. тем же, но несколько усложненным методом тепловой
анемометрии можно измерять величину f коэффициента корреляции, пред-
ставленную формулой (137). Для этой цели используется двойная потенцио-
метрическая схема (рис. 209) с двумя измерительными нитями, помещенными
в двух смежных точках потока.1 Прибор позволяет непосредственно мерить
средние квадратичные от суммы и разности пульсирующих потенциалов е
и е" на концах нитей, т. е. величины (е' -р е")2 и (е' — е")2. Вычисляя после
этого отношение
(е'-|-с")2—(ez —е")2 2??'
(е' + е")2 -р (е‘ — е")2 ~ ё'+ ё"2 ’
в силу ранее упомянутой пропорциональности между напряжениями и скоро-
стями равное
2v'v"
г/2 ’
получим в изотропном турбулентном потоке (v'2 = v"2 = v2) искомое зна-
чение (137) коэффициента корреляции
j.v'v"
____ V2
1 См. только что цитированную статью Е. М. Минского, стр. 390—391.
43 *
676 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ [гл. ifl
Для проведения измерения коэффициента корреляции пользуются особым
зондом, в котором одна из нитей остается неподвижной в данной точке по-
тока, а другая может перемещаться по отношению к ней при помощи,
микрометрического приспособления. Такого рода прибор позволяет находить
величину f в функции от расстояния между нитями г. Имея такие
графики уже не трудно простым интегрнроваиием определить по ним
масштабы турбулентности L и /Л, заданные соответственно формулами,
(138) и (142).
На рис. 210 показаны для иллюстрации примеры кривых изменения коэф-
фициента корреляции /(/•), смеренных в некоторой точке потока за ту рбу -
лизирующими решетками с различными размерами ячеек М. По характеру
кривых сразу видно, что с увеличением размера ячеек растут и масштабы
турбулентности.1 К сожалению, до настоящего времени указанные измерения
еще нельзя считать в достаточной степени точными.
1 Результаты измерений масштабов турбулентности, а также эксперимен-
тальные кривые зависимости интенсивности и масштаба турбулентности от
размеров ячеек турбулизирующих решеток и расстояний до решетки можно
найти в ранее цитированной нашей монографии, а также в книге .Совре-
менное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости*, под ред. С. Гольд-
штейна, ИЛ, 1948, т. 1.
ОПЕЧАТКИ
j ‘dJD Строка Напечатано Должно быть По чьей вине
116 форм. (85) ХЛо , <Л-о5»п5° £oro , “Vsin20 Тип.
2 1 2 r ' 2
308 13 сверх} 2d с 28 с2 Авт.
353 3 „ _ 1 1 Корр.
У1+н2 h/H?
354 3 . 1 = 1 + Xo = Авт.
367 форм. (81) . . . . • •
“ 2 u2 — a2 и
389 1 снизу — г2 sin 6 dr dz d6 ; dt = r2 sm 6 dr de dft
446 2 сверху Даламбера: Даламбера; Тип.
465 форм. (120) ЛГ dz dr d; Авт.
500 9 снизу 3 = Ю |(N II Корр.
500 форм. (42) __ 3 ~ 2 CO |<N 1 li »
500 форм. (42') 3a cos fi 6 3р. cos fi 6
(r/a)2 ” PK»e (r/e)2 #co »
535 2 сверху sx 1 S = Тип.
Заказ 1841.