/
Author: Лойцянский Л.Г.
Tags: физика математическая физика механика газовая динамика гидромеханика
Year: 1950
Text
л. г. лойцянский
МЕХАНИКА
ЖИДКОСТИ и ГАЗА
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................ 10
Введение..................................................... 13
§ 1. Предмет механики жидкости и газа. Основные свойства „макро-
модели" жидкости и газа: сплошность и подвижность .... 13
§ 2. Основные методы механики жидкости и газа. Области при-
менения и главнейшие задачи ................ 15
§ 3. Краткий очерк исторического развития механики жидкости и
газа. От гидромеханики древних до установления воззрений
ньютонианской эпохи...................................... 17
§ 4. Эпоха Эйлера и Бернулли. Гидроаэродинамика в XIX в. . . . 20
§ 5. Современный этап развития механики жидкости и газа ... 30
Глава I. Элементы теории поля. Кинематика сплошной среды
§ 6. Поле физической величины. Скалярное и векторное поля.
Поверхности уровня. Векторные линии и трубки............. 39
§ 7. Мера однородности поля в данном направлении и в данной
точке. Градиент скалярного поля и дифференциальный тен-
зор векторного поля как меры неоднородности поля......... 43
§ 8. Задание движения сплошной среды. Поле скоростей. Лнини
тока и траектории........................................ 50
§ 9. Поле ускорений. Разложение ускорения частицы на локаль-
ную и конвективную составляющие.......................... 53
§ 10 Скоростное поле сплошной среды в окрестности данной точки.
Угловая скорость и вихрь. Тензор скоростей деформаций и
его компоненты.......................................... 56
§ 11. Скорость объемного расширения жидкости. Интегральные
представления дифференциальных операторов поля. Основные
интегральные формулы..................................... 62
§ 12. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца. Интен-
сивность вихревой трубки................................. 71
§ 13. Выражение интенсивности вихревой трубки через циркуля-
цию вектора по контуру, охватывающему трубку. Теорема об
изменении циркуляции скорости во времени................. 75
1*
Редактор А. И. Чекмарев Техн, редактор К. М Волчок
Подписано к печати 24/XI 1950 г. Формат бумаги 60х92/1в. Бум. л. 21,25.
Печ. л. 42,25 + 1 вклейка. Уч.-ттзд. л. 43,07. Тип. зн. в печ. л. 45370. Т-09134. Тираж 5000 экз.
Цена 28 р. 75 к., переплет 2 р. Заказ № 1841.
4-я типография им. Евг. Соколовой Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Ленинград, Измайловский пр, 29-
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 29. Стоячая ударная волна или скачок уплотнения. Ударная адиабата 173
§ 30. Критические величины в одномерном потоке газа. Связь между
скоростями до и после скачка. Изменение давления, плотности
и температуры в скачке уплотнения.............................178
§ 31. Скорость распространения ударной волны. Спутное движение
газа за ударной волной............................•. . • ... 182
§ 32. Влияние интенсивности скачка уплотнения на сжатие газа.
Измерение скоростей и давлений в до* и сверхзвуковых
потоках.......................................................186
§ 33. Одномерное движение газа по трубе переменного сечения.
Истечение из резервуара большой емкости сквозь сходящееся
сопло.........................................................198
§ 34. Одномерное течение в сопле Лаваля. Движение газа с при-
током тепла ............................................... 205
Г л а в а V. Безвихревое движение жидкости. Плоское движение
несжимаемой жидкости
§ 35. Сохранение циркуляции скорости в потоке идеальной
жидкости. Теорема Кельвина и Лагранжа. Безвихревое дви-
жение. Потенциал скоростей....................................211
§ 36. Интеграл Лагранжа — Коши уравнений безвихревого движе-
ния. Теорема Бернулли. Некоторые общие свойства безвихре-
вого движения идеальной несжимаемой жидкости в односвяз-
ной области................................................. 218
§ 37. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости.
Потенциал скоростей и функция тока. Применение функций
комплексного переменного. Комплексный потенциал и сопря-
женная скорость...............................................222
§ 38. Построение полей течения по заданной характеристической
функции. Простейшие плоские потоки и их наложение .... 229
§ 39, Бесциркуляционное и циркуляционное обтекания круглого
цилиндра......................................................239
§ 40. Применение криволинейных координат. Бесциркуляционное и
циркуляциоииое обтекания эллиптического цилиндра и пла-
стинки. Задача Жуковского об обтекании решетки пластин . 249
§ 41. Плоское движение с отрывом струй. Разрывное обтекание
пластинки и протекание жидкости сквозь отверстие.............262
§ 42. Прямая задача в теории плоского движения идеальной не-
сжимаемой жидкости. Применение метода конформных ото-
бражений. Гипотеза Чаплыгина о безотрывном обтекании
задней кромки профиля. Формула циркуляции.....................269
§ 43. Теорема Жуковского о подъемной силе крыла. Зависимость
подъемной силы От угла атаки. Коэффициент подъемной силы 277
§ 44. Применение метода комплексных переменных к выводу тео-
ремы Жуковского. Формулы Чаплыгина для главного вектора
и момента сил давления потока иа крыло........................284
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава II. Основные уравнения движения и равновесия сплошной
среды
§ 14. Распределение массы в сплошной среде. Плотность н удель-
ный вес. Напряжения. Тензор напряженности и его симметрич-
ность ....................................................... 82
§ 15. Общие уравнения динамики сплошной среды. Уравнение
неразрывности. Уравнения динамики в напряжениях............. 90
§ 16. Тепловые явления в жидкостях и газах. Закон сохранения
энергии и уравнение баланса энергии...........................100
§ 17. Общие уравнения равновесного состояния жидкости и газа.
Равновесие воздуха в атмосфере. Приближенные барометри-
ческие формулы. Стандартная атмосфера........................104
§ 18. Равновесие несжимаемой жидкости. Уравнение поверхности
раздела. Равновесие вращающейся жидкости.....................112
§ 19. Давление тяжелой несжимаемой жидкости на поверхность тела.
Сила и момент, приложенные к телу, плавающему в тяжелой
жидкости. Случай вращающейся жидкости........................117
Глава III. Динамика идеальной жидкости и газа. Основные
уравнения и общие теоремы
§ 20. Идеальная жидкость. Основные уравнения движения.......123
§ 21. Закон сохранения энергии в движущейся идеальной жидкости.
Адиабатическое движение. Сохранение энтропии.................131
§ 22. Эйлерово представление конвективного изменения объемного
интеграла. Перенос величины сквозь контрольную поверх-
ность .......................................................136
§ 23. Эйлерова форма законов сохранения массы и энергии, тео-
ремы количеств движения и момента количеств движения при
стационарном движении идеальной жидкости.....................139
§ 24. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа и мощ-
ность внутренних сил. Эйлерова форма уравнения изменения
кинетической энергии ............................ .......... 143
§ 25. Теорема Бернулли о сохранении полной механической энергии
при стационарном баротропном движении идеальной жидкости
и газа..................................................... 145
Глава IV. Одномерный поток идеальной жидкости
§ 26. Одномерное течение идеальной сжимаемой жидкости. Линеа-
ризированные уравнения. Скорость распространения малых
возмущений в жидкости или газе...............................152
§ 27. Изотермическая и адиабатическая скорости звука. „Конус
возмущений" при сверхзвуковом движении источника возмуще-
ния. Число М и его связь с углом конуса возмущений .... 158
§ Рас пространение непрерывных возмущений конечной интен-
сивности. Характеристики. Образование разрывной ударной
волны........................................................164
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 45. Выражение главного момента сил давления потока через коэф-
фициенты конформного отображения. Фокус крыла. Независи-
мость от угла атаки момента относительно фокуса. Парабола
устойчивости.................................................289
§ 46. Частные случаи конформного отображения крылового про-
филя на круг. Преобразование Жуковского — Чаплыгина. Тео-
ретические крыловые профили..................................294
§ 47. Задача об обтекании слабо изогнутой дужки произвольной
формы (теория тонкого крыла).................................301
§ 48. Определение обтекания крылового профиля произвольной формы 308
§ 49. Обобщение теоремы Жуковского на случай плоской решетки
с бесчисленным множеством профилей...........................317
Глава VI. Плоское безвихревое движение сжимаемого газа
§ 50. Основные уравнения плоского стационарного безвихревого
движения сжимаемого газа. Линеаризированные уравнения . . 324
§ 51. Линеаризированный до- и сверхзвуковой газовый поток вдоль
волнистой стенки.............................................327
§ 52. Тонкое крыло в линеаризированном до- и сверхзвуковом
потоках. Влияние сжимаемости газа иа коэффициент подъем-
ной силы в дозвуковом потоке. Коэффициенты подъемной
силы и волнового сопротивления при сверхзвуковом потоке . 334
§ 53. Нелииеаризированные уравнения движения идеального сжи-
маемого газа. Переход в плоскость годографа. Уравнения
Чаплыгина....................................................340
§ 54. Метод С. А. Христиановича. Приближенные формулы учета
влияния сжимаемости иа распределение давления................344
§ 55. Критическое число М и его определение по заданному рас-
пределению давления в несжимаемом обтекании. Поведение
коэффициента подъемной силы и момента при около- и закри-
тических значениях числа М...................................356
§ 56. Решетка профилей в плоском докритическом потоке сжимае-
мого газа. Обобщение теоремы Жуковского . . ................360
§ 57. Нелинеаризированный сверхзвуковой поток. „Характеристики”
уравнений плоского сверхзвукового потока. Линии возмуще-
ния и их основные свойства...................................366
§ 58. Обтекание выпуклого угла сверхзвуковым потоком. Влияние
угла поворота струи на ее газодинамические элементы . . . 372
§ 59. Сверхзвуковой поток внутри тупого угла. Косой скачок уплот-
нения. Связь между газодинамическими элементами до и за
косым скачком................................................377
Глава VII. Пространственное безвихревое движение
§ 60. Ортогональные криволинейные координаты в пространстве.
Основные дифференциальные операторы поля в криволиней-
ных координатах.......................................... , 387
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 61. Потенциал скоростей. Поле источника и диполя. Непрерывное
распределение источников и диполей. Ньютонов потенциал.
Потенциал простого и двойного слоев . . . . •............392
§ 62. Поле скоростей вокруг заданной системы вихрей. Формула
Био — Савара. Потенциал скоростей замкнутой вихревой нити.
Аналогия с потенциалом двойного слоя.....................399
§ 63. Функция тока и ее связь с векторным потенциалом скоростей.
Функции тока простейших течений...............................403
§ 64. Обтекание сферы. Давление однородного стационарного потока
идеальной несжимаемой жидкости на погруженное в нее тело.
Парадокс Даламбера.......................................407
§ 65. Общие уравнения осесимметричного движения. Применение
цилиндрических координат. Течение сквозь каналы..............413
§ 66. Осесимметричное продольное обтекание тел вращения. Слу-
чай эллипсоида вращения.......................................419
§ 67. Поперечное обтекание тел вращения. Пример эллипсоида
вращения......................................................425
§ 68. Продольное и поперечное обтекание тел вращения большого
удлинения. Приближенные выражения граничных условий.
Применение тригонометрических сумм для сп еделения коэф-
фициентов Ап и Сп.............................................430
§ 69. Метод „особенностей". Применение непрерывно распределен-
ных источников (стоков) и диполей для решения задачи
о продольном и поперечном обтекании тел вращения .... 433
§ 70. Общий случай движения твердого тела сквозь несжимаемую
идеальную жидкость. Определение потенциала скоростей. Г лав-
ный вектор и главный момент сил давления потока на тело . 437
§ 71. Коэффициенты „присоединенных масс". Свойство симметрии.
„Присоединенная" кинетическая энергия. Определение „при-
соединенных масс" поступательно движущегося цилиндра,
шара и эллипсоида..............•...............................441
§ 72. Элементы теории крыла конечного размаха. Вихревая си-
стема крыла. Гипотеза плоских сечений. Геометрические и
действительные углы атаки. Подъемная сила и „индуктивное"
сопротивление.......................•..........................449
§ 73. Основные формулы теории „несущей линии". „Индуктивная
скорость" и „индуктивный угол". Прямая задача определения
подъемной силы и индуктивного сопротивления по заданному
распределению циркуляции.......................................455
§ 74. Крыло с минимальным индуктивным сопротивлением. Эллипти-
ческое распределение циркуляции. Связь между коэффициен-
тами индуктивного сопротивления и подъемной силы. Основ-
ное уравнение теории крыла и понятие о его интегрировании 460
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VIII. Динамика вязкой жидкости и газа
§ 75. Внутреннее трение и теплопроводность в жидкостях и газах.
Законы Ньютона и Фурье. Влияние температуры на коэф-
фициенты вязкости и теплопроводности. Число а................467
§ 76. Обобщение закона Ньютона иа случай произвольного дви-
। жения среды. Закон линейной связи между тензорами
/ напряжений и скоростей деформации...........................471
V § 77. Общие уравнения движения вязкой жидкости. Динамические
уравнения и уравнение баланса энергии. Граничные условия
движения жидкости с трением и теплопроводностью............475
§ 7Й . Понятие о подобии гидродинамических явлений. Безразмер-
1у ные уравнения движения вязкой жидкости и газа. Условия
подобия................................................481
§ 79. Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости по
цилиндрической трубе.........................................487
§ 80. Обтекание шара при очень малых значениях числа Рейнольдса.
Формула сопротивления шара по Стоксу и ее обобщения . . 496
§ 81. Вихревые линии в идеальной и вязкой жидкости. Сохраняе-
мость вихревых линий при отсутствии внутреннего трения.
Диффузия вихря в вязкой жидкости.........................503
§ 82. Одномерное прямолинейное движение сжимаемого вязкого
газа. Движение внутри скачка уплотнения. Понятие о толщине
скачка.......................................................510
§ 83. Работа внутренних сил и диссипация механической энергии
в движущейся вязкой среде....................................516
§ 84. Обтекание тел жидкостью и газом при больших значениях
числа Рейнольдса. Основные уравнения теории ламинарного
пограничного слоя............................................519
§ 85. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно об-
текаемой несжимаемой жидкостью. Неизотермическое движение 531
§ 86. Ламинарный пограничный слой при степенном задании ско-
рости внешнего потока U — схт................................540
§ 87. Ламинарный пограничный слой в общем случае задания ско-
рости внешнего потока. Применение уравнения импульсов для
приближенного расчета ламинарного пограничного слоя . . . 549
§ 88. Способы определения функций £(/), H(f) и Прибли-
женный метод расчета ламинарного пограничного слоя . . . 556
§ 89. Ламинарный пограничный слой на пластинке, продольно об-
текаемой сжимаемым газом при больших скоростях. Случай
линейной зависимости коэффициента вязкости от темпера-
туры»^ = 1)..................................................565
§ 90. Ламинарный пограничный слой на пластинке при любом
законе связи между вязкостью и температурой и при числе
а=1. Обтекание крылового профиля потоком больших ско-
ростей ................................................... . . 575
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
Глава IX. Турбулентное движение
§ 91. Переход ламинарного движения в турбулентное. Критиче-
ское рейнольдсово число.......................................581
§ 92. Область и „точка" перехода. Явление „кризиса обтекания" . 587
§ 93. Основные уравнения осредненного турбулентного движения.
Тензор турбулентных напряжений..........................594
§ 94. Турбулентное движение жидкости в плоской и круглой трубе.
Логарифмические формулы скоростей.......................602
§ 95. Формулы сопротивления гладких труб при турбулентном
движении жидкости. Ламинарный подслой.........................609
§ 96. Влияние шероховатости стеиок трубы на ее сопротивление.
Предельные режимы течения. Режим установившейся шеро-
ховатости ....................................................616
§ 97. Турбулентный пограничный слой на продольно обтекаемой
пластине. Сопротивление пластины..............................621
§ 98. Турбулентный пограничный слой на крыловом профиле при
малом продольном перепаде давлений............................629
§ 99. Турбулентный пограничный слой иа крыловом профиле при
значительных продольных перепадах давления....................634
§ 100. Профильное сопротивление крыла. Разложение профильного
сопротивления на сопротивление трения и сопротивление
давлений. Обратное влияние пограничного слоя на распре-
деление давлений по поверхности обтекаемого профиля . . . 638
§ 101. Приближенные формулы профильного сопротивления крыла
и крылового профиля в решетке.................................645
§ 102. Основные закономерности „свободной турбулентности".
Плоская турбулентная струя в пространстве, заполненном
той же жидкостью..............................................654
§ ЮЗ. Турбулентный след за обтекаемым телом..................664
§ 104. Рассеяние турбулентных возмущений в жидкости. Случай
изотропной и однородной турбулентности. Закон сохране-
ния момента возмущений........................................668
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу настоящего курса положены лекции, читанные автором
в Ленинградском политехническом институте им. М. И. Калинина.
Название книги подчеркивает, что содержание этих лекций является
естественным продолжением общего курса теоретической механики и
не претендует на удовлетворение специализированных программ авиа-
ционных, судостроительных, машиностроительных и других втузов.
В наше время техника каждый день выдвигает перед механикой жид-
юсти и газа новые и разнообразные задачи, требуя от инженера
умения самостоятельно и творчески применять самые разнохарактер-
ные как теоретические, так и экспериментальные приемы для их
решения.
Опыт многолетнего общения автора с лицами, занимающимися
практическими применениями гидродинамики, показывает, что главной
причиной встречающихся у них затруднений является по большей части
не столько отсутствие специальных знаний, сколько недостаточное
понимание общих физических основ.
Воспитание советского инженера, исследователя и рационализатора,
активного борца за новую технику, ставит перед преподаванием общего
курса гидроаэродинамики прежде всего задачу серьезного и четкого
изложения основных представлений механики жидкости и газа, вы-
яснения своеобразия ее методов и создания у учащегося правильного
понимания физической сущности используемых техникой гидроаэро-
динамических процессов. Только такое, направленное вглубь, а не
вширь, изложение может дать в руки инженера способность легко
осваивать новое и самому это новое создавать.
Отсюда, с другой стороны, конечно, не следует, что общий курс
механики жидкости и газа должен содержать лишь теоретическое
изложение основных законов и быть оторванным от практических
применений. Приходится, однако, ввиду крайнего разнообразия совре-
менных применений гидроаэродинамики, довольствоваться лишь изло-
жением отдельных, наиболее важных областей приложения теории. Так,
например, настоящий курс подчинен в этом смысле общей для пода-
вляющего большинства технических приложений гидроаэродинамики
проблеме взаимодействия жидкости или газа с движущимися в них
твердыми телами или со стенками труб и каналов, сквозь которые
ПРЕДИСЛОВИЕ
11
жидкость и газ протекают. Это направление определило и все содер-
жание курса.
Первые три главы курса посвящены изложению общих положений
кинематики, статики и динамики жидкостей и газов, установлению
основных уравнений, формулировке главнейших законов и теорем.
Стремление к максимальному приближению к процессам, происходя-
щим при движениях с большими скоростями, заставляет тесно связы-
вать динамические явления с термодинамическим балансом энергии
в них.
В четвертой главе излагается простейшая задача одномерного дви-
жения сжимаемого газа по трубе и распространение в газе возмущений
как малой, так и конечной интенсивности; здесь же даются элемен-
тарные представления о скачке уплотнения, о явлениях в сверхзвуковом
сопле, о влиянии притока тепла на одномерное течение газа и др.
Пятая глава содержит изложение классических результатов теории
плоского безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости,
в частности, элементов теории крылового профиля в плоскопарал-
лельном потоке.
Шестая глава дает элементарное представление о плоском без-
вихревом потоке сжимаемого газа при больших до- и сверхзвуковых
скоростях. Содержание этой главы не может претендовать на полноту
изложения столь быстро развивающейся и сложной с теоретической
стороны области.
Седьмая глава содержит основные вопросы теории пространствен-
ного потока идеальной несжимаемой жидкости. В качестве практиче-
ских приложений излагаются задачи о протекании жидкости сквозь
осесимметричный канал, о стационарном и не стационарном простран-
ственном обтекании тела и, наконец, элементы теории крыла конеч-
ного размаха.
Восьмая глава посвящена выяснению влияния вязкости жидкости
и газа на взаимодействие их с движущимся твердым телом. Эта глава,
содержащая также изложение основ учения о пограничном слое,
является введением в теорию профильного сопротивления и подъемной
силы крыла.
Заключительная, девятая, глава курса содержит самые необходи-
мые сведения о турбулентном движении жидкости сквозь гладкие и
шероховатые трубы и полуэмпирическую теорию турбулентного по-
граничного слоя, позволяющую решить вопрос о разыскании профиль-
ного сопротивления отдельного профиля и профиля в решетке. Глава
заканчивается изложением близких к теории пограничного слоя вопро-
сов турбулентного движения в струях и следе за телом, а также
затухания возмущений в однородном изотропном турбулентном потоке.
С чувством законной гордости можем мы, советские механики, выпу-
скать курсы, почти целиком посвященные изложению замечательных
достижений наших знаменитых ученых, основоположников современ-
ной гвдроаэродинамики. Цель помещенного во введении исторического
12 ПРЕДИСЛОВИЕ
очерка заключается в том, чтобы показать, как на протяжении двух
веков, благодаря работам создателя гидродинамики, петербургского
академика Леонарда Эйлера и замечательным исследованиям осново-
положника аэродинамики, по словам В. И. Ленина, „отца русской
авиации" Н. Е. Жуковского, его гениального соратника С. А. Чаплыгина
и славной плеяды их последователей—советских ученых, наша страна
заняла ведущее место в развитии современной гидроаэродинамики.
Автор выражает надежду, что его курс окажется полезным для
лиц, занимающихся техническими приложениями механики жидкости
и газа, а также сможет послужить введением для изучения специаль-
ных разделов гидроаэродинамики, которые не нашли себе освещения
в настоящем курсе.
Ленинград,
29 апреля 1950 г.
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Предмет механики жидкости и газа. Основные свойства
„макромодели* жидкости и газа: сплошность
и подвижность
Успех научного исследования во многом зависит от удачного выде-
ления главной части явления и умелого отвлечения от деталей, быть
может и важных самих по себе, но с точки зрения целей данного
исследования играющих второстепенную роль. Так, инженер, изучающий
движение некоторого механизма, будет сначала рассматривать отдель-
ные звенья этого механизма как „абсолютно твердые* тела, определит
кинематическую картину движения механизма и действие сил в нем,
после этого, желая рассчитать механизм на прочность, откажется от
„абсолютной твердости* звеньев, учтет их упругость, а при некоторых
условиях, и пластичность. При этих расчетах ему придется восполь-
зоваться существующими схемами упругого и пластичного тела, осно-
ванными на рассмотрении реальных твердых тел как сплошных, не-
прерывных образований, подчиняющихся законам теории упругости
или пластичности. Основные элементарные законы „макромеханики*
твердого тела, принимаемые в классической теории как некоторые
фундаментальные допущения, могут быть с тем или другим прибли-
жением выведены из законов „микромеханики* атомов.
В задачи механики твердого тела или системы твердых тел не
входит изучение внутренней микроструктуры тела; объектом исследо-
вания являются лишь „внешние* движения, которые определяются изме-
нением взаимного расположения „макротел* или их деформациями.
Механика жидкости и газа, так же как и механика твердого тела,
является разделом общей механики, изучающим „макродвижения* жид-
ких и газообразных сред и их взаимодействие с твердыми телами.
Оставляя з стороне вопрос о „микроструктуре® реальной жидкости
или газа, т. е. о том хаотическом тепловом движении дискретных
молекул, которое на самом деле происходит и служит предметом изуче-
ния кинетической теории жидкости и газа, „макромеханика* жидкости
и газа использует в качестве основных своих допущений закономер-
ности, выведенные из статистических соображений кинетической тео-
рии, а также некоторые опытные факты.
14
ВВЕДЕНИЕ
С точки зрения „макромеханики" жидкость и газ, так же, как И
твердое тело, представляют собою некоторые сплошные среды с не-
прерывным, как' правило, распределением в них основных физических
величин.1 Наряду с понятием отдельной частицы жидкой или газооб-
разной среды, представляющим своеобразный аналог „материальной
точки" общей механики, в механике жидкости или газа могут рассма-
триваться также совокупности этих частиц: „жидкие линии", „жидкие
поверхности" и „жидкие объемы". Следует особо пояснить понятие
„элементарного объема".
Под бесконечно малым, или элементарным, объемом жидкости
или газа следует понимать объем, ничтожно малый по сравнению
с размерами русла, в котором течет жидкость, или с размером об-
текаемых ею тел, но вместе с тем достаточно большой по сравнению
с длиной свободного пробега молекулы и содержащий настолько
большое число молекул, что к ним можно применять статистическое
осреднение, связанное с понятием „сплошности" среды. В ряде слу-
чаев (тонкие пленки, области скачкообразного изменения кинематиче-
ских и динамических характеристик потока) приходится иметь дело
со столь малыми областями, что уже принципиально недопустимо
применять обычные законы механики сплошной среды; в этих слу-
чаях необходимо обращаться непосредственно к кинетической теории
жидкости и газа.
Основное отличие макроскопического представления о жидкости
от соответствующего представления о твердом теле, которое также
схематизируется сплошной средой, заключается в легкой подвижности
жидкости и газа. В то время как твердое тело, двигаясь как угодно
в целом, претерпевает лишь сравнительно малые деформации, т. е.
малые смещения точек относительно их положений, соответствующих
поступательному и вращательному движениям тела, жидкость (газ),
наоборот, получает произвольно большие деформации, „течет" по
руслу, ограниченному твердыми стенками, или образует поверхности
раздела на границе с другой жидкостью или газом.
Как жидкость, так и газ оказывают значительное противодействие
всестороннему их сжатию и вместе с тем сравнительно слабо сопро-
тивляются относительному скольжению частиц, причем силы противо-
действия этому скольжению (вернее, касательные напряжения) исче-
зают вместе с относительной скоростью взаимного скольжения.
Таким образом, достаточно сколь угодно малой силы, чтобы нару-
шить состояние взаимного покоя частиц жидкости.
В этом—принципиальное отличие жидкости или газа, например,
от сыпучего тела, между частицами которого образуются силы „сухого
трения". Для приведения сыпучей среды в движение необходимо пре-
одолеть некоторую конечную силу „трения покоя" между частицами:
1 Исключением могут служить лишь некоторые „особые" точки, линии
и поверхности.
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
15
§ 21
только после этого начнутся взаимные смещения частиц сыпучего тела.
В жидкости и газе такая постоянная, независящая от относительной
скорости соседних частиц сила отсутствует.
Как вскоре будет выяснено, указанных двух основных свойств
„макромодели" жидкости или газа—непрерывности и легкой по-
движности — достаточно, чтобы установить основные уравнения
равновесия и движения жидкости и газа.
Уточнение этих уравнений и приведение их к замкнутой форме
потребуют некоторых дальнейших качественных и количественных
допущений, соответствующих тем или другим более специфическим
физическим свойствам жидкости и газа.
§ 2. Основные методы механики жидкости и газа.
Области применения и «лавнейшие задачи
Для решения большинства своих задач гидроаэро- и газодинамика
применяют строгие математические приемы интегрирования основных
дифференциальных уравнений при установленной системе граничных
и начальных условий или другие эквивалентные им математические
методы (например, конформное отображение в задачах плоского дви-
жения идеальной жидкости). Для получения суммарных характеристик
используются такие общие теоремы механики, как теорема количества
и моментов количеств движения, энергии и др. Однако большая слож-
ность и недостаточная изученность многих явлений вынуждают меха-
нику жидкости и газа не довольствоваться применением строгих методов
теоретической механики и математической физики, столь характерных,
например, для развития механики твердого тела, но и широко поль-
зоваться услугами всевозможных эмпирических приемов и так назы-
ваемых „полуэмпирических" теорий, в построении которых большую
роль играют отдельные опытные факты. Такие отклонения от чисто
дедуктивных методов классической „рациональной" механики есте-
ственны для столь бурно развивающейся науки, как современная
механика жидкости и газа.
Даже в вопросах движения идеальной (без внутреннего трения)
несжимаемой жидкости, где классическая теория давно уже дала совер-
шенно строгую постановку задач и чрезвычайно глубокие и остроумные
методы их решения, современная гидроаэродинамика, отвечая на неот-
ложные запросы практики, применяет различные специфические прибли-
женные приемы, в частности, например, электрогидроаэродинамические
аналогии (ЭГДА), заменяющие вычисление скоростных полей в потоке
жидкости непосредственным замером разностей электрических потен-
циалов в электролитической ванне. Аналогичный метод применяется
при изучении движения идеального сжимаемого газа при дозвуковых
скоростях.
При решении конкретных практических задач широко исполь-
зуются графические и графоаналитические приемы (нелинейные задачи
16
ВВЕДЕНИЕ
газодинамики сверхзвуковых скоростей, обтекания систем тел — реше-
ток крыльев и др.).
Невозможность и бесполезность точного удовлетворения сложных
граничных и, по существу, случайных начальных условий, имеющих
место при так называемом „турбулентном" движении жидкости, при-
вели к замене строгой постановки задачи грубой моделью „осреднен-
ного" движения с простыми элементарными законами силовых взаимо-
действий между слоями жидкости в этом „осреднением" движении.
Такая грубая модель позволила, однако, уловить главную часть явле-
ния и привела к исключительно важным практическим результатам.
Но, что особенно отличает с методической стороны современную
механику жидкости и газа от других разделов механики—это исклю-
чительное развитие экспериментальных методов исследования.
Гидроаэродинамический эксперимент прочно вошел в повседневную
работу специальных лабораторий вузов, исследовательских институтов
и заводов. Стало привычным изучать теоретически лишь простейшие
схематизированные случаи движения жидкости или газа и обтекания
тел, иа этих теоретических расчетах выяснять принципиальную сущ-
ность явления, основные тенденции в развитии явления и Влияние
важнейших факторов на это развитие, что же касается более сложных
случаев, ближе подходящих к реальным условиям движения, то здесь
на помощь приходит эксперимент, дающий искомые количественные
закономерности. При этом теория учит, как ставить эксперимент, как
проводить измерения и, что особенно важно, как обобщать резуль-
таты отдельных экспериментов на целые классы явлений (теория
подобия гидроаэродинамических и тепловых явлений). В этом непре-
рывном взаимодействии теории и эксперимента—необычайная мощь
современной механики жидкости и газа, причина ее блестящего разви-
тия как науки, тесно связанной с практическими запросами, с техникой.
Трудно сейчас указать отрасль техники, развитие которой не
находилось бы в теснейшей связи с разрешением задач движения
жидкости или газа. Не говоря уже об авиации и кораблестроении,
основные проблемы которых—полет, устойчивость и управляемость
самолета, ходкость, остойчивость и управляемость судна — неразрывно
связаны с аэро-газодинамикой и гидродинамикой, а также смежных
с авиацией отраслей техники, отметим особо важное значение гидроаэро-
динамики и газодинамики в турбостроении и, вообще, энергомашино-
строении. Рабочее колесо гидротурбины, паровой и газовой турбин,
компрессора или насоса представляет собою сложную конструкцию,
состоящую из ряда профилированных лопаток, иногда имеющих тот
же профиль, что и крыло самолета (компрессор, насос), иногда зна-
чительно отличающуюся от него по своей форме. При вращении
рабочего колеса его лопатки обтекаются с большими относительными
скоростями водой, газом или паром. От правильного гидроаэродина-
мического расчета формы профилей и общей конструкции рабочих
колес зависит получение достаточной мощности машины, высокого ее
3J КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОВИЧЬСКОГО РМВИ1ИЯ 17
коэффициента полезного действия. Надо уметь также рассчитывать
с гидроаэродинамической стороны и лопастные аппараты, направляющие
водяной, воздушный или газовый поток на рабочие колеса, анализи-
ровать и улучшать другие элементы проточной части турбомашины,
от гидроаэродинамического совершенства которых зависит* ее высокое
качество.
Гидротехника и гидрология все более и более сближаются с такими
проблемами гидродинамики, как волновые и турбулентные движения
жидкости, а также фильтрационные движения воды в грунтах. По-
следняя проблема представляет фундаментальное значение для строи-
тельства гидротехнических сооружений и техники добычи нефти.
С вопросами этого рода граничат задачи подземной газификации и по-
лучения естественных газов из-под земли. Передача газа на большие
расстояния по трубам выдвигает тайке ряд интересных задач перед
газовой динамикой.
Весьма актуальные вопросы ставит перед гидроаэродинамикой
химическая индустрия, которую интересует интенсификация процессов
турбулентного перемешивания газов, движущихся по трубам и в спе-
циальных камерах, где производятся химические реакции. Металлургия
выдвигает проблемы создания наиболее рациональных печей и других
металлургических агрегатов; движение горячих газов в этих агрегатах
заслуживает серьезного внимания аэродинамиков. Движение распла-
вленного металла, температура которого, а следовательно, и вязкость
быстро меняются при растекании по формам, также нуждаются в гидро-
динамическом расчете, так как однородность и чистота металла
во многом зависят от его движения при остывании. Аналогичная про-
блема стоит перед производством оптического стекла и многими дру-
гими.
Современная метеорология видит свой прочный научный фундамент
в динамике атмосферы, изучающей турбулентное движение воздуха
на поверхности Земли при наличии различных физических факторов
(солнечная радиация, испарение и др.). К этим проблемам оказываются
близки требования современной вентиляционной техники, озабоченной
созданием наиболее гигиенических условий в промышленных предприя-
тиях и жилищах.
§ 3. Краткий очерк исторического развития механики жидкости
и газа. От гидромеханики древних до установления воззрений
ньютонианской эпохи
История развития механики жидкости и газа полностью подтвер-
ждает известное материалистическое положение о глубокой взаимной
связи между Наукой и запросами практики, между научной теорией
и бытием.общества, условиями его материальной жизни.
Если античная механика твердого тела зародилась главным образом
в связи с грандиозными строительными работами древних и необхо-
димыми для этих работ подсобнцрпг-^ыдиааами, то созданию первых
2 Зак. 1841. Л Г* Лойцянский»
18
ВВЕДЕНИЕ
иней механики жидкости и газа способствовали, естественно, вопросы,
возникающие при наблюдении и использовании движения твердых тел
в воде и воздухе, т. е. в первую очередь вопросы судостроения,
мореплавания и полета метательных снарядов.
Основной гидроаэродинамической проблемой того времени явилось
выяснение сущности взаимодействия между твердым телом и окружаю-
щей его средой — воздухом jили водой—-например, при полете или
плавании тела.
Замечательно, что первые высказывания древних философов на
этот счет относятся к движению тел, а не к равновесию их. Сравни-
тельная медленность движений, наблюдавшихся в то время, при полном
отсутствии правильных представлений об инертности тел и движении
по инерции (материя косна, всякое движение поддерживается силой
и прекращается после ее исчезновения), не позволили древним обна-
ружить основное гидроаэродинамическое явление— сопротивление воды
и воздуха движущимся в них телам. Наоборот, практика использо-
вания ветра для приведения в движение парусных кораблей, точно
так же как и применение весел для той же цели в безветрие, натал-
кивали наблюдателя на мысль о движущей, роли воздуха и воды. Не
удивительно поэтому, что в известном трактате „Физика" великого
античного философа Аристотеля (384—322 гг. до н. н. э.), где можно
найти первые в истории науки следы аэродинамических идей, выска-
зывается утверждение о пропульсивном, как мы сейчас говорим, т. е.
двигательном действии воздуха на метательный снаряд. По воззрениям
того времени снаряд не мог двигаться сам, без непрерывного при-
ложения к нему силы. Аристотель находит источник этой силы в дей-
ствии на снаряд воздуха, смыкающегося за снарядом и толкающего
его вперед. Вместе с тем Аристотель ничего не говорит о направлен-
ном против движения действии воздуха на лобовую часть — сопро-
тивлении снаряда. Пройдет много веков и Ньютон создаст теорию
сопротивления, основанную на ударном действии частиц воздуха на
лобовую часть обтекаемого тела, но при этом не будет учитывать
указанную Аристотелем силу, действующую на кормовую часть тела,
и только в середине XVIII в. Даламбер соединит эти две силы и придет
к поразившему в свое время умы парадоксу об отсутствии сопротивления
в идеальной жидкости. В свете этого исторического факта можно
правильно оценить глубину идей Аристотеля, как бы они ни каза-
лись нам в настоящее время односторонними и далекими от действи-
тельности.
Общеизвестны заслуги Архимеда (287—212 гг. до н. н. э.) как
создателе теории равновесия жидкости и, в частности, плавания тел;
знаменитый его закон и по настоящее время служит основой гидро-
статики.
Работы Архимеда послужили толчком к созданию ряда замечатель-
ных гидравлических аппаратов. Наиболее известны: поршневой насос
Ктезибия, сифон Герона и мн. др.
КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ 19
Идеи Архимеда были возрождены и продолжены Стевином
(1548—1620), Галилеем (1564—1642) и Паскалем (1623—1662). Сте-
вин первый строго проформулировал известный в механике принцип
затвердевания, позволяющий в гидростатике применять обычные
приемы статики твердого тела. При пользовании этим принципом закон
Архимеда доказывается крайне просто. Галилей и Паскаль исполь-
зовали для решения задач гидростатики принцип возможных пере-
мещений.
Большое принципиальное значение для дальнейшего развития всей
механики жидкости и газа сыграл известный закон Паскаля о неза-
висимости силы давления жидкости на расположенную внутри нее пло-
щадку от ориентации этой площадки в данной точке покоящейся
жидкости. Этот закон был в дальнейшем обобщен и на случай дви-
жения жидкости.
Под сильным влиянием Аристотеля долгое время находился
Леонардо да Винчи (1452—1519), первый установивший существо-
вание сопротивления жидкой или газообразной среды движущемуся
в ней телу. Это сопротивление объяснялось им сжатием воздуха
в лобовой части тела.
Аналогичное объяснение давал Л. да Винчи и происхождению подъем-
ной силы, поддерживающей птицу в воздухе, считая, что воздух,
сжимаясь под крылом, становится как бы твердым и создает опору
для крыла. Изучая полет птиц, Леонардо да Винчи правильно сформу-
лировал два основных принципа их полета: машущий полет и парение
(планирование).
Вопрос о сущности сопротивления среды и, особенно, выяснение
количественных законов сопротивления представляли долгое время
непреодолимые затруднения. Даже основоположник экспериментальной
механики Галилей дал, по существу, лишь качественную оценку
сопротивления; поставив опыты с колебанием маятников, Галилей
вывел из этих опытов заключение о пропорциональности сопротивления
первой степени скорости движения тела.
Только Гюйгенс (1629—1695) на основании более точных опытов
указал более близкий к действительности (для тел плохо обтекаемой
формы) закон пропорциональности сопротивления квадрату скорости
движущегося тела.
Ньютон (1642—1727) в своих знаменитых „Началах" приводит
теоретический вывод квадратичного закона сопротивления. В этой
первой в истории механики попытке выяснения сущности явления
сопротивления уже можно найти зародыши идей, близких к нашим
современным представлениям.
Полное сопротивление тела, по Ньютону, складывается из сопро-
тивления, зависящего от инертности жидкости (это соответствует
современному представлению о сопротивлении давления), и сопро-
тивления, определяемого трением жидкости о поверхность обтекаемого
тела (ныне называемого сопротивлением трения); наряду с этими
2*
50 ВВЕДЕНИЕ
двумя основными составляющими сопротивления отмечается также более
слабое влияние упругости жидкости и сил сцепления в ней.
Исходя из представления об изменении количества движения окру-
жающей тело жидкости за счет действия на нее лобовой части тела,
Ньютон получает квадратичный закон зависимости первой составляющей
сопротивления от скорости. Что касается второй составляющей сопро-
тивления, зависящей от трения, то для ее определения Ньютон дал
уже ставшую классической формулу пропорциональности напряжения
трения между двумя слоями жидкости относительной скорости сколь-
жения этих слоев. Последняя формула носит имя Ньютона, обобщена
на любой случай движения как несжимаемой жидкости, так и сжи-
маемого газа и служит основой всей современной механики вязкой
жидкости. Сопротивление трения, по Ньютону, оказывается пропор-
циональным первой степени скорости, остальные составляющие сопро-
тивления (упругость газа, силы сцепления в нем) Ньютон оценивает
некоторой постоянной величиной, вследствие чего для полного сопро-
тивления получает трехчленную формулу, состоящую из квадратичного
члена, линейного члена и постоянного слагаемого. В настоящее время
эта формула уже не представляет особого интереса, но свою исто-
рическую роль она несомненно сыграла. Следует отметить, что Ньютон
определил коэффициенты своей формулы на основании целого ряда
тщательно проведенных опытов.
Таким образом, Ньютон и его последователи связывали проис-
хождение квадратичной части сопротивления с ударом жидкости в лобо-
вую часть обтекаемого тела, совершенно не считаясь с давлением
жидкости на кормовую его часть. Наоборот, противники Ньютона,
ссылаясь на Аристотеля, указывали, что жидкость, смыкаясь за кор-
мовой частью тела, должна оказывать противоположное по напра-'
влению действие, что может привести к ослаблению и даже уни-
чтожению сопротивления.
Этот, на первый взгляд парадоксальный, результат был в дальней-
шем доказан Даламбером. Дискуссия, возникшая вокруг этого вопроса,
много способствовала установлению правильного понимания природы
сопротивления, так как направила внимание ученых на изучение влия- .
ния физических свойств жидкости и, в первую очередь, вязкости ее
на возникновение сопротивления.
§ 4. Эпоха Эйлера и Бернулли. Гидроаэродинамика
в XIX в.
Фундаментальные открытия Галилея, Гюйгенса и Ньютона, привед-
шие к небывалому расцвету общей механики в конце XVII в., подго-
товили все предпосылки к мощному скачку в развитии механики
жидкости и газа. Особенное значение имело установление Ньютоном
основных законов и уравнений динамики. Отныне и гидродинамика
начинает переходить от рассмотрения отдельных, подчас не связанных
§ 4] ЭПОХА ЭЙЛЕРА И БЕРНУЛЛИ. ДЕНЯ ГНАДЦА1ЫЙ BUC 21
между собою, задач к систематическому изложению своих специфиче-
ских законов и методов, что превращает ее в самостоятельный раздел
механики.
Честь создания теоретической гидродинамики, как специальной науки
с широкими задачами и строгими методами их разрешения, принад-
лежит Российской Академии наук в лице ее двух академиков — Лео-
нарда Эйлера (1707—1783) и Даниила Бернулли (1700—1783). За
краткостью очерка остановимся лишь на самых главных достижениях
этих двух основоположников
механики жидкости.
В своем трактате „Общие
принципы движения жидко-
стей" (1755) Эйлер первый вы-
вел основную систему урав-
нений . движения идеальной
жидкости, положив начало ана-
литической механике сплош-
ной среды. Эйлеру гидродина-
мика обязана введением поня-
тия давления и противопоста-
влением этого понятия ныо-
тонианским „ ударам “ частиц
жидкости о поверхность тела.
Следует заметить, что и л на-
стоящее время часто прихо-
дится встречаться с неправиль-
ными воззрениями на этот счет;
стоит поэтому вспомнить слова
Эйлера относительно того, что
жидкость „до достижения тела Леонард Эйлер
изменяет свое направление и (1707—1783)
скорость так, что, подходя
к телу, протекает мимо него вдоль его поверхности и не прилагает
к телу никакой другой силы, кроме давления, соответствующего от-
дельным точкам соприкосновения" (курсив наш), Эйлеру принадлежит
первый вывод уравнения сплошности жидкости (в частном случае
Движения жидкости по трубе этот закон был дан задолго до Эйлера
в 1628 г. Кастелли — учеником Галилея), своеобразная и ныне обще-
принятая формулировка теоремы об изменении количества движения
применительно к жидким и газообразным средам, вывод знаменитого
«турбинного уравнения", создание теории реактивного колеса Сегнера
и мн. др. Велйка роль Эйлера в продолжающейся дискуссии о проис-
хождении сопротивления. Эйлер совершенно отчетливо показывает
значение понятия давления и разъясняет парадокс Даламбера о равен-
стве нулю равнодействующей сил давления идеальной жидкости на
плавно обтекаемое тело, подчеркивая отличие действительной жидкости
22
ВВЕДЕНИЕ
с внутренним трением в ней от идеальной. „Если некоторые люди
увлекутся и будут думать, — говорит Эйлер, — что можно продвигать
1ела через жидкость, не встречая сопротивления, так как сила, с кото-
рою жидкость действует на переднюю часть тела, будет уничтожаться
действием такой же силы на заднюю часть, что не имеет места при
течении действительных жидкостей, то такой вывод будет неправи-
лен" (курсив наш). В ряде своих работ Эйлер отмечает влияние трения
в действительных жидкостях на создание сопротивления —взгляд, кото-
рый лег в основу позднейших работ XIX в. и полностью оправдан
современной механикой жидкости и газа.
Роль Эйлера как основоположника теоретической гидродинамики,
предопределившего своими исследованиями развитие гидродинамики
более чем на столетие вперед, в настоящее время общепризнана.
Можно с удовлетворением отметить, что этот мощный скачок, под-
готовленный накопленными теоретическими и экспериментальными
достижениями ньютоновского и посленьютоновского периодов, был
осуществлен выдающимся ученым, вся жизнь и научная деятельность
которого была тесно связана с Российской Академией наук, ныне
Академией наук СССР. Приехав в Россию в двадцатилетием возрасте,
швейцарец Эйлер отдал Петербургской Академии всю силу молодого
таланта, способствуя гениальными исследованиями поднятию научного
авторитета тогда еще молодой Академии своей второй родины.
В мрачную эпоху „бироновщины", когда Академия засорилась чуже-
странными авантюристами и лжеучеными, с которыми смело боролся
М. В. Ломоносов, Эйлер решил временно уехать из России. Однако
Эйлер не порывает с Петербургом, печатает в академических изда-
ниях свои фундаментальные сочинения по основам гидродинамики, по
теории реактивного сегнерова колеса и др., помогает М. В. Ломоно-
сову, другом и защитником которого он всегда был, бороться с ино-
странной кликой и, наконец, в 1761 г. возвращается в Петербург,
где продолжает плодотворно работать до самой смерти1.
Забегая несколько вперед, отметим, что второй мощный скачок
в развитии механики жидкости и газа, приведший к созданию тео-
ретической аэродинамики, был столетие спустя произведен вели-
кими нашими соотечественниками Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплы-
гиным.
Рядом с Эйлером должно быть поставлено имя другого выдаю-
щегося механик), петербургского академика Даниила Бернулли,
выходца из Голландии, сына знаменитого математика Иоганн? Бер-
нулли.
Наибольшее значение для развития механики жидкости и газа имел
замечательный трактат Бернулли „Гидродинамика" — „академический
труд, выполненный автором во время работы в Петербурге", как
Могила Эйлера находится в Ленинграде на Смоленском кладбище.
§ 4] ЭПОХА ЭЙЛЕРА И БЕРНУЛЛИ. ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ ВЕК 23
значится на титульном листе этой книги, опубликованной в 1738 г.
С выходом этого трактата связано, между прочим, появление термина
„гидродинамика".
Основываясь на законе сохранения „живой силы", открытом для
частного случая колебания маятника еше Гюйгенсом и получившем широ-
кое распространение в первой половине XVIII в., Бернулли изла-
гает в „Гидродинамике" свою знаменитую теорему, устанавливающую
общую связь между давлением, высотой и скоростью движения жид-
кости. Теорема эта, частный
случай которой был ука-
зан Торичелли (1608—-1647)
в 1644 г., в настоящее вре-
мя является фундаментальной
теоремой гидродинамики,
обобщенной в XIX в. на слу-
чай сжимаемого газа.
Согласно теореме Бер-
нулли, в тех точках потока,
где понижается скорость,
должно возрастать давле-
ние — результа г, который
вначале казался парадо-
ксальным. Действительно, в
эго же время в связи как
с ньютоновскими воззре-
ниями на давление жидко-
сти на обтекаемое тело, гак
и с исследованиями самого
Бернулли о давлении жидко-
сти на преграду, прочно
установился как будто про-
тивоположный ВЗГЛЯД О ВОЗ- ДаН700 Г7К^ЛИ
(1 /VV—1 /©О)
растании давления жидкости
с возрастанием ее скорости. Эйлер, которому, кста1и говоря, мы
обязаны современной формулировкой теоремы Бернулли (напоминаем,
что Эйлер первый ввел в гидродинамику четкое понятие давления),
пояснил кажущуюся парадоксальность теоремы Бернулли следующими
словами: „вся сложность понимания этого предложения устраняется,
если считать, что здесь сравнение производится не между скоростями
двух разных течений, а между разными скоростями вдоль данной
струи, которая обтекает поверхность тела" (курсив наш)-—поясне-
ние, заслуживающее быть приведенным в любом современном руко-
водстве по гидродинамике.
Великий русский ученый М. В. Ломоносов (1711—1765), совре-
менник Эйлера и Бернулли, еще в сороковых годах XVIII столетия
заложил основы учения об упругости газов и теплоте, высказав
24
ВВЕДЬНИГ
глубокие мысли о физической сгрукгуре газа и кинетической природе
происходящих в нем процессов. Вместе с тем М В. Ломоносов много
сделал для развития изучения верхних слоев атмосферы, не только само
лично изобретая необходимые приборы (например, анемометр), но и
создавая смелые проекты летательных аппаратов для исследования
атмосферы.
В развитии аналитической механики жидкосги и газа большую
роль сыграл также Даламбер (1717—1783), применивший к сплошным
средам свой знаменитый общий принцип, и поныне носящий его имя.
„Парадокс" Да.’юмбера, о котором уже неоднократно была речь выше,
появился в свет в 1744 г. в „Трактате о равновесии и движении
жидкости". Сам Даламбер не д^л удовлетворительного объяснения
обнаруженному им факту отсутствия сопротивления тел при теорети-
ческом его определении. „Странный парадокс, объяснение которого
предоставляю математикам", — пишет Даламбер.
Даламбер возглавлял обширные экспериментальные исследования
сопротивления тел, предпринятые им в связи с задачей о сопротивле-
нии кораблей в каналах. Эти оиыГы подтвердили квадратичную зави-
симость сопротивления от скорости движения тела, пропорцио-
нальность сопротивления тела площади его миделевого сечения,
мт.юе влияние вязкости жидкосги на сопротивление при больших ско-
ростях и мн. др.
Работы Эйлера, Бернулли и Даламбера завершили большой эгап
развития гидродинамики идеальной жидкосги, приведший к почти
законченному формированию этого основного раздела механики жид-
кости и гача. Лагранж (1736—1813) в своих гидродинамических
работах усовершенствовал методы Эйлера и Даламбера и дтл даль-
нейшее развитие аналитическим методам гидродинамики.
Следующий этап истории механики жидкости и газа, относящийся
уже гла вным образом к XIX в., знаменуется, с одной стороны, даль-
нейшей математической разработкой гидродинамики идеальной жид-
кости, в частности, решением таких задач ее, как плоское и простран-
ственное безвихревое движение, струйное разрывное движение, вихре-
вое движение, волновое движение тяжелой жидкости, с другой —
зарождением двух новых разделов, имеющих особое значение для
современной гидроаэродинамики: динамики вязкой жидкости и газо-
вой динамики.
Простейшим и наиболее глубоко и всесторонне изученным случаем
интегрирования уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости является
гак называемое безвихревое движение с потенциалом скоростей.
Понятие потенциала скоростей было введено самим Эйлером. Лагранж
в 1781 р. первый нашел те динамические условия, при выполнении
которых будет существовать безвихревое движение с потенциалом
скоростей. Теорема Лагранжа, лежащая в основе всей теории без-
вихревого течения и оправдывающая практическое применение теории,
была в 1815 г» более строго доказана Коши (1789—1857),
§ 4J
ЭПОХА ЭЙЛЕРА И БЕРНУЛЛИ. ДЕВЯ1НАДЦАТЫЙ BLK
25
Наибольший интерес представляет плоское безвихревое движение,
для которого, кроме потенциала скоростей, существует еще функция
тока, введенная впервые Лагранжей в 1781 г.; кинематическая интер-
претация функции тока, связанная с понятием линии тока, была дана
значительно позднее (в 1864 г.) Рэнкиным. Наличие этих двух функ-
ций — потенциала скоростей и функции тока, удовлетворяющих
в отдельности уравнениям Лапласа, позволило свести решение гидро-
динамической задачи к разысканию одной комплексной функции —
комплексного потенциала. Подробное изложение этого метода, весьма
близкого к современному, можно найти в двадцать первой лекции
классических „Лекций по математической физике** (ч. 1, Механика)
Кирхгоффа (1876). Отдельные задачи плоского безвихревого потока
решались и ранее самим Кирхгоффом в 1845 г. и Гельмгольцем в 18681.
Заметим, что с математической стороны эти задачи эквивалентны анало-
гичным задачам электростатики. Наряду с плоским стационарным
безвихревым движением были изучены некоторые простейшие задачи
нестационарного движения (Рэлей в 1878 г., Лэмб в 1875 г. и др.).
Особенно больших успехов метод комплексной переменной достиг
в теории обтекания тел со срывом струй, созданной трудами Гельм-
гольца, Кирхгоффа и Жуковского. Подлинного своего расцвета пло-
ская задача безвихревого стационарного и нестационарного движения
достигла в первую четверо нашего столетия в замечательных работах
ученых московской школы, о чем еще буде! речь впереди.
Пространственная задача о движении несжимаемой жидкоеiи с
потенциалом скоростей исследовалась параллельно с плоской. Отсут-
ствие в пространстве комплексного переменного привело к необходи-
мости непосредственного решения уравнения Лапласа при заданных
граничных, а в случае нестационарного движения, и начальных усло-
виях. Пространственная задача развивалась в тесном контакте с близ-
кими ей задачами теории потенциала. Первая задача о пространствен-
ном безвихревом обтекании тела (шара) была разрешена Пуассоном
в 1828 г. и затем обобщена и уточнена Стоксом в 1843 г. и Лежен —
Дирихле в 1852 г. Безвихревое течение несжимаемой жидкости
в эллипсоидальном сосуде и обтекание эллипсоида при поступа-
тельном и вращательном его движении было изучено в период 1843—
1883 гг. целым рядом ученых, в числе которых можно отметить
Клебша, Бельграми, Грина и др.
Продольное обтекание осесимметричных тел, для которого, как
показал Стокс еще в 1842 г., существует функция тока, допускает
приближенное исследование простым методом наложения однородного
поступательного потока на систему источников, стоков или диполей;
метод этот, иногда называемый „методом особенностей", был предло-
жен впервые Рэнкиным в 1868 г. и получил широкое распростра-
нение.
Общая теория движения твердого тела в жидкости была дана
'ирхгоффом в 1869 г. и изложена в его ранее уже упомянутых
26
ВВЕДЕНИЕ
„Лекциях". Теория эта Является одним из наиболее изящных раз-
делов аналитической механики.
Фундаментальные результаты в этой области принадлежат русским
ученым, в числе которых такие всемирно известные имена, как
Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин, А. М. Ляпунов и В. А. Стек-
лов; С. А. Чаплыгин дал движению твердого тела в жидкости геоме-
трическую интерпретацию, не уступающую по глубине и наглядности
классической интерпретации Пуансо движения твердого тела по инер-
ции в пустоте.
В разработке теории движения твердого тела в жидкости прини-
мали участие крупнейшие зарубежные ученые XIX в.: Томсон и Тэт,
Максвелл, Клебш и др.
Два новых существенных раздела гидродинамики идеальной жид-
кости: волновое и вихревое движения — были созданы в рассматри-
ваемый период времени. Теория волнового движения развивалась
главным образом в связи с вопросами качки волнового сопротивления
корабля, а также теории приливных волн в каналах и реках.
Первые исследования, связанные с приближенной теорией „длин-
ных" волн на поверхности тяжелой жидкости, принадлежат Лагранжу
и относятся к 1781 г.; имя Лагранжа носит основное дифференциаль-
ное уравнение распространения волн и первая формула скорости
их распространения. Классическим мемуаром, содержащим строгую
теорию волн малой амплитуды, является появившийся в 1815 г.
мемуар Коши. Среди лиц, способствовавших развитию теории волн
малой амплитуды, мы находим имена Лапласа, Пуассона, Эри, Стокса,
Рэнкина и др. Теорию волнового сопротивления дал Митчелл и, неза-
висимо от него, несколько позднее — Н. Е. Жуковский.
Во второй половине XIX в. появилось учение о вихревом движе-
нии жидкости, создателем которого справедливо считают Гельмгольца,
указавшего в 1858 г. основные свойства вихрей в идеальной жидко-
сти. Само понятие вихря и его интерпретация, как угловой скорости
вращения жидкого элемента в целом, были даны раньше: Коши
в 1815 г. и Стоксом в 1847 г.; возможность движения без поген-
циала скоростей была указана Эйлером еще в 1775 г. Теория вих-
рей имеет обширную литературу, в которой тесно переплетаются
вопросы гидродинамики с аналогиями в области электричества и
магнетизма. Магнитные линии вокруг электрического проводника
эквивалентны линиям тока вокруг вихревой нити (теорема Био —
Савара служит основой как для расчета движения жидкости вокруг
вихревых линий, так и для расчета магнитного поля вокруг электри-
ческого тока). Теория вихрей сыграла большую роль в развитии
динамики» атмосферы, теории крыла самолета, теории пропеллера и
корабельного винта и др. Об этих приложениях, получивших особен-
ное развитие в работах русских ученых (Н. Е. Жуковского — по вих-
ревой теории винта и А. А. Фридмана — по вихрям в атмосфере), будет
упомянуто в следующем параграфе.
§ 4J ЭПОХА ЭЙЛЕРА И БЕРНУЛЛИ. ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ ВЕК 27
Особенно принципиальное значение для развития всей современ-
ной гидроаэродинамики имело возникновение в начале XIX в. меха-
ники вязкой жидкости и сжимаемого газа.
Теория движения вязкой жидкости в форме, весьма близкой
к современной, была опубликована в 1845 г. Стоксом (1819—1903),
который, выделив из общего перемещения элемента жидкости дефор-
мационную часть, указал простую линейную зависимость возникающих
в жидкости напряжений от скоростей деформаций, т. е. дал обобще-
ние ранее уже упомянутого закона Ньютона. До Стокса, основываясь
на некоторых специальных молекулярных гипотезах относительно
свойств реальных газов, уравнения движения вязкого газа выводили:
в 1826 г. Навье (1785—1836), в 1831 г. Пуассон (1781—1846) и
в 1843 г. Сен-Венан (1797—1856).
Развитие механики вязкой жидкости отвечало практическим запро-
сам со стороны энергично развивавшихся в XIX в. гидравлики и
гидротехники, учения о трении в машинах, физики и химии нефтяных
и других смазочных веществ. Первые опыты, показавшие преобладаю-
щее влияние сил вязкости на сопротивление при малых скоростях,
принадлежали Кулону (1801), Дюбуа (1779) и Дюшемену (1829).
Основное значение имели теоретические и экспериментальные иссле-
дования сопротивления в трубах и каналах при движении в них воды
и других вязких жидкостей. Теоретическое решение этой задачи было
дано самим Стоксом в 1846 г. и Стефаном в 1862 г. Обстоятельные
экспериментальные исследования движения вязкой жидкости в трубах
очень малого диаметра были проведены Ж. Пуазейлем в 1840—-1842 гг.
и О. Рейнольдсом в период 1876—1883 гг. Более ранние опыты были
проведены Хагеном и опубликованы в 1839 г. Ко времени работ
Пуазейля и Рейнольдса относится открытие двух различных режимов
движения вязкой жидкости в трубах — ламинарного и турбулент-
ного. Работы Рейнольдса послужили началом создания теории турбу-
лентного движения, применение которой в вопросах гидравлики,
гидротехники, метеорологии, теории сопротивления и теплопередачи
оказалось весьма обширным и плодотворным.
Изучение движения вязкой жидкости между двумя вращающимися
цилиндрами привело в 1883 г. знаменитого русского инженера
Н. П. Петрова к созданию гидродинамической теории трения обильно
смазанных подшипников. Строгое решение той же задачи было ука-
зано Н. Е. Жуковским в работах, опубликованных в 1886 и 1887 гг.
Уточнение и обобщение этой теории трения было проведено в работах
Рейнольдса, Зоммерфельда, Митчелла и др.
Рассмотрение движения вязкой жидкости по капиллярным трубкам
легло в основу создания теории фильтрации жидкости сквозь песча-
ные грунты и трещиноватые породы. Первые шаги в этом направле-
нии были сделаны французским гидравликом Дарси в 1856 г., показав-
шим пропорциональность скорости фильтрации потере напора. Прак-
тические задачи о фильтрационных движениях воды в грунтах под
28
ВВЕДЕНИЕ
гидротехническими сооружениями, нефти сквозь почву и другие соста-
вили предмет огромного числа исследований; особенно надо отметить
замечательные работы Н. Е. Жуковского в 1889 и 1890 гг., а также
теорию плоского фильтрационного движения академика Н. Н. Павлов-
ского, опубликованную в 1921 г.
О дальнейшем развитии этого направления в советских работах
речь будет еще впереди.
Параллельно с развитием гидродинамики вязкой жидкости про-
текало и создание динамики, сжимаемого газа. Первоначальные
исследования в этой области были тесно связаны с зарождением двух
основных разделов физики: термодинамики и акустики; первый из них
развивался в связи с появлением паровой техники, второй стимули-
ровался главным образом теорией музыкальных инструментов и
физиологией слуха.
Первое теоретическое определение скорости звука — скорости
распространения упругих волн малой амплитуды — дал Ньютон, пока-
завший, что скорость распространения звука в воздухе, если рас-
сматривать этот процесс как изотермический, пропорциональна корню
квадратному из отношения давления воздуха к его плотности. На
самом деле, как показал значительно позднее Лаплас, процесс распро-
странения звуковых колебаний приближается к адиабатическому, что
привело Лапласа к формуле, применяемой и в настоящее время. Фор-
мула эта, данная Лапласом в первом десятилетии прошлого века, отли-
чается от формулы Ньютона коэффициентом под знаком корня, рав-
ным отношению теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном
объеме.
Основная система дифференциальных уравнений динамики сжимае-
мого газа появилась примерно в середине прошлого века, после того
как к системе уравнений Эйлера и уравнения неразрывности было
присоединено уравнение баланса энергий, выведенное из первого начала
термодинамики, а также уравнение состояния газа. Несмотря на стро-
гую математическую постановку задачи и наличие к тому времени
развитых методов решения дифференциальных уравнений, решение
уравнений газодинамики представило, даже при простейших предпо-
ложениях об отсутствии вихрей, об адиабатичности потока и др.,
непреодолимые трудности. И в настоящее время имеется лишь неболь-
шое число случаев точного решения задач газодинамики, зато значи-
тельную разработку получили приближенные методы, принадлежащие,
главным образом, советским ученым.
Принципиальные особенности движения газа со сверхзвуковыми
скоростями были отмечены впервые в середине прошлого века Доп-
плером. •
Выдающийся геометр Риманн (1826—1866) в классическом
мемуаре, относящемся к 1860 г., теоретически доказал возможность
возникновения поверхностей разрыва в газовом потоке, вначале непре-
рывном; эти разрывы были названы ударными волнами.
29
ЭПОХА ЭЙЛЕРА И ВЕРНУЛЛЙ. ДЕВЯТНАДЦАТЫЙ ВЕЙ
§ 4J
Наибольшее развитие, в связи с задачами, вставшими Перед со-
здателями паровых турбин, получила газовая гидравлика, предметом
изучения которой явились одномерные течения сжимаемого газа с боль-
шими до- и сверхзвуковыми скоростями по трубам и соплам, вопросы
истечения газа из резервуаров и тому подобные явления. Это напра-
вление механики сжимаемого газа нашло опору в общих теоремах:
количеств движения, теореме Бернулли, баланса энергии, а также
в основных закономерностях термодинамики газа. Наиболее популяр-
ным и важным результатом этого направления следует признать клас-
сическую формулу Сен-Венана и Ванцеля (1839), связывающую ско-
рость адиабатического истечения газа с давлением и плотностью газа
в резервуаре и с противодавлением.
Элементарная газогидравлическая теория скачка уплотнения, уста-
новившая связь между давлением и плотностью до и после скачка,
была дана Рэнкиным в 1870 г. и Гюгонио в 1887 г.; явление обра-
зования скачков уплотнения в сопле Лаваля было обнаружено и изу-
чено Стодола.
Полного своего расцвета газовая динамика достигла лишь в первой
половине нашего века в связи с вставшими перед нею запросами
авиации, турбостроения и техники реактивного движения. Об этом
этапе развития газовой динамики и особенно большом значении совет-
ских исследователей в этом направлении будет сказано в следующем
параграфе.
Конец XIX в. ознаменовался высоким подъемом всеобщего интереса
к воздухоплаванию. Не преследуя в настоящем курсе цель изложени
специальных вопросов аэромеханики самолета, мы не будем останавли-
ваться и на истории авиации, неразрывно связанной с историей раз-
вития аэродинамики. Упомянем лишь, что в первых рядах борцов за
создание авиации, наряду с Жуковским и Лилиенталем, должны быть
поставлены имена Д. И. Менделеева (1834—1907) и К. Э. Циолков-
ского (1857—1935).
Широко известна роль Д. И. Менделеева в развитии учения о газах
при больших и малых давлениях, его теоретические и эксперимен-
тальные заслуги в области метеорологии высоких слоев атмосферы.
Д. И. Менделееву принадлежит опубликованная в 1880 г. фундамен-
тальная монография „О сопротивлении жидкостей и воздухоплавании",
в которой не только дается систематическое и критическое изложе-
ние существовавших к тому времени работ по теории сопротивления,
но и приводятся оригинальные идеи Менделеева в этом направлении,
в частности, указывается на важное значение вязкости жидкости
при определении сопротивления трения хорошо обтекаемого тела.
Н. Е. Жуковский высоко ценил эту книгу.
Д- И. Менделеев, всегда служивший образцом ученого, тесно
связывающего все свои открытия с запросами народного хозяйства
своей родины, не отрывал научные интересы в области аэродинамики
От задач воздухоплавания и не только сам лично создавал проекты
30 ЙВЕДЕНЙЁ
новых летательных аппаратов, но и всемерно помогал изобретателям,
работавшим в том же направлении. Так, в 1877 г. Д. И. Менделеев
помог известному конструктору первого самолета А. Ф. Можайскому,
в 1890 г. представил Русскому техническому обществу проект цельно-
металлического дирижабля К. Э. Циолковского.
Выдающийся русский ученый и изобретатель К. Э. Циолковский,
создал в 1896 г. первую аэродинамическую трубу, на которой прово-
дил опыты по определению сопротивления тел. Ему принадлежит целый
ряд смелых технических идей: возможность завоевания мирового про-
странства при помощи ракет, первые проекты ракетопланов, проекты
цельнометаллических дирижаблей и др. К. Э. Циолковский установил
первые формулы реактивного движения снаряда с переменной массой.
§ 5. Современный этап развития механики жидкости
и газа
Первое место среди создателей современной механики жидкости
и газа принадлежит по праву советским ученым, которые не только
продвинули далеко вперед теорию, но и разработали замечательные
методы экспериментального исследования гидроаэродинамических
явлений.
Крупнейшим событием, обусловившим прогресс авиации и турбо-
строения, было появление в начале нашего века теории крыла
самолета, созданной гением двух величайших русских ученых —
Н. Е. Жуковского (1847—1921) и С. А. Чаплыгина (1869—1942).
Н. Е. Жуковский является основоположником учения о подъемной
силе крыла в плоскопараллельном потоке. Знаменитая формула Жу-
ковского, выражающая подъемную силу крыла в виде произведения
плотности жидкости на скорость движения в ней крыла и на напря-
жение „присоединенных вихрей" или „циркуляцию", опубликованная
в 1906 г., получила всеобщее признание как основа теории подъемной
силы крыла. Зарубежные историки аэродинамики пытаются без доста-
точных к тому оснований поделить приоритет Жуковского на эту фор-
мулу с немецким ученым Кутта, работа которого по вопросу о подъем-
ной силе частного вида крыла была опубликована несколько ранее
работы Жуковского. При этом затушевывается тот основной истори-
ческий факг, что только Жуковский дал первую общую теорию подъем-
ной силы, основанную на смелой и оригинальной идее „присоединен-
ного вихря". Приоритет на циркуляционную теорию подъемной силы
великого русского ученого, далеко продвинувшего вперед разрешение
почти bcqx основных гидроаэродинамических проблем своего времени
и открывшего новые пути развития современной механики жидкости
и газа, совершенно неоспорим.
Способ определения величины циркуляции, входящей в формулу
Жуковского, долго занимал умы аэродинамиков всего мира, пока
в самом конце 1909 г. С. А. Чаплыгин, ученик и ближайший сотруд-
§ 5)
СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП РАЗВИТИЯ
31
ник Н Е. Жуковского, не предложил простой прием определения
шпкуляции на основании дополнительного предположения о безот-
рывном обтекании острой задней кромки крыла; этот прием в настоя-
щее время общепринят и носит обычно наименование „постулата
Жуковского — Чаплыгина".
В 1912 г. Н. Е. Жуковский начал опубликование серии статей,
в которых излагалась новая, созданная им вихревая теория гребного
винта. Дальнейшее разви-
тие методов аэродинами-
ческого расчета винтов
идет по пути, указан-
ному Жуковским.
С именем Н. Е. Жу-
ковского связано заро-
ждение динамики полета.
Первой работой в этом
направлении является зна-
менитый мемуар „О паре-
нии птиц", относящийся
еще к 1892 г. В этом ме-
муаре приводится иссле-
дование траектории цен-
ipa тяжести птицы при
свободном ее скольжении
в воздухе, здесь же дано
первое обоснование „мер-
ной петли". Идеи этой
замечательной работы бы-
ли завершены Н. Е. Жу-
ковским в ряде статей и
монографий по динамике
аэроплана (1913—1916)—•
новой в то время отрасли
аэромеханики, творцом ко-
торой является И Е. Жу-
ковский.
Николай Егорович
Жуковским
(1847—1921)
Н. Е. Жуковский по праву может рассматриваться также как
создатель современной экспериментальной аэродинамики. Им был орга-
низован ряд аэродинамических лабораторий: при Московском универ-
ситете, в Кучино под Москвой, и, наконец, он был основателем Цен-
трального аэрогидродинамического института (ЦАРИ). Руководимые
. Е. Жуковским лаборатории сыграли громадную роль в создании
отечественной авиации, в развитии основных аэродинамических воззре-
ний. Наша страна свято хранит память о Н. Е. Жуковском — гени-
альном основоположнике современной гидроаэродинамики, по словам
• Ленина, „отце русской авиации". Именем Жуковского назван
32
ВВГДЕНИС
центр советской авиационной мысли — ЦАРИ, его имя присвоено
Военно-воздушной академии в Москве.
После смерти Н. Е. Жуковского продолжение начатого им дела
создания передовой советской авиационной науки оказалось в надеж-
ных руках его ученика и соратника С. А. Чаплыгина.
С именем С. А. Чаплыгина связано начало систематического при-
менения комплексных функций и конформных отображений в теории
плоского безвихревого движения
жидкости. В 1910 г. С. А. Чаплы-
гин опубликовал первые формулы
силы и момента, действующих на
крыло со стороны жидкости, вы-
ражающие их через контурные
интегралы, содержащие производ-
ные от комплексного потенциала.
К тому же 1910 г. относится со-
здание Жуковским и Чаплыгиным
первых в мире теоретических
крыловых профилей с закруглен-
ной передней кромкой, причем
авторы дали способы построения
этих профилей, вычислили их гео-
метрические и аэродинамические
характеристики.
Наряду с созданием общей тео-
рии крыла С. А. Чаплыгину при-
надлежат первые теоретические
Сергеи Алексеевич
Чаплыгин
(1869 — 1942)
изыскания так называемого „меха-
низированного" крыла, т. е.
разрезного крыла, крыла с
предкрылком и с закрылком.
В 1914 г. С. А. Чаплыгин изложил новую теорию решетчатого крыла,
схематизирующего лопастной аппарат турбомашины.
Теоретические исследования С. А. Чаплыгина, появившиеся после
смерти Н. Е. Жуковского, содержат продолжение работ по применению
метода комплексного переменного к теории крыла в плоскопараллель-
ном потоке; сюда относится установление теоремы о параболе устойчи-
вости крылового профиля, о приведении давления потока на крыло
к силе, приложенной в фокусе, и паре с независящим от угла атаки
моментом. К тому же периоду относятся новые исследования С. А. Ча-
плыгина по разрезному крылу, в которых он показал, что сово-
купности двух надлежащим образом раздвинутых дуг одного и
того же радиуса имеет большую подъемную силу, чем одна дуга
той же длины, дал характеристическую функцию обтекания любой
системы дуг одной и той же окружности или любого числа отрезков
прямой.
.. Г-. СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП РАЗВИТИЯ 33
§ •>!
В 1926 г. С. А. Чаплыгин обобщил свои замечательные формулы
сипы и момента на случай нестационарного движения крыла при
постоянной во времени циркуляции, чем положил основу нового на-
правления теории крыла, в дальнейшем широко развитого и углублен-
ного его последователями.
Уже почти перед самой смертью С. А. Чаплыгин предложил новый
класс теоретических профилей, отвечающих современным требованиям,
предъявляемым к крылу скоростного самолета.
Известно, что еще в 1910 г. С. А. Чаплыгин пришел к вполне
законченным общим представлениям о вихревой системе крыла конеч-
ного размаха, а в 1913 г. ему удалось преодолеть математические
трудности и дать основные формулы подъемной силы и индуктив-
ного сопротивления. Примерно в то же время (начиная с 1912 г.)
Н. Е. Жуковский создал свою вихревую теорию винта, содержавшую
как частный случай вихревую теорию крыла конечного размаха.
Однако ни Чаплыгин, ни Жуковский не выпустили специальных публи-
каций по теории крыла конечного размаха; это дало возможность
зарубежным ученым приписать приоритет создания общей теории крыла
конечного размаха немецкому аэродинамику Л. Прандтлю, опублико-
вавшему свою теорию значительно позднее.
Таков весьма краткий перечень наиболее важных результатов
Жуковского и Чаплыгина по теории крыла; их фундаментальные идеи
были в дальнейшем развиты учениками и последователями—-молодыми
советскими аэродинамиками.
Значительное развитие и углубление получила гидродинамика пло-
ского безвихревого потока в работах М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева,
Л. И. Седова и других, продолжавших с успехом применять в теории
крыла методы теории функций комплексного переменного, в свое
время выдвинутые Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Исследо-
вания Жуковского по обсеканию тел с отрывом струй были обобщены
и получили новые применения в работах М. А. Лаврентьева,
А. И. Некрасова и др.
М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев свели задачу о колеблющемся
профиле к определению обтекания крыла со скачком потенциала на
прямолинейном вихревом следе за крылом, обобщив, таким образом,
метод Чаплыгина на случай крыла с переменной циркуляцией. Л. И. Седов
дал общие формулы силы и момента, действующих на произвольно
движущееся крыло. В этой работе, а также в монографии, относя-
щейся к 1939 г., Л. И. Седов дал систематическое изложение
новых применений метода комплексного переменного к исследованию
движения крыла, систем крыльев и бесконечных решеток их, завер-
шив этим большой исторический этап развития теории плоского
безвихревого движения, начатой работами Чаплыгина.
Н. Е. Кочин предложил строгое решение задачи об установившемся
движении круглого в плане крыла и о его колебаниях. А. А. Дород-
ницын разработал теорию расчета стреловидного крыла и крыла,
3 Зак 1841. Л Г- Лопцннский
34
ВВЕДЕНИЕ
летящего со скольжением. В. В. Голубев создал теорию машущего
крыла и решил ряд задач теории крыла в плоском потоке. Задача
об обтекании „теоретических профилей", выдвинутая Н. Е. Жуковским
и С. А. Чаплыгиным, обогатилась новыми решениями и была обоб-
щена на случай обтекания изолированного профиля произвольной
формы и произвольной решетки профилей в работах Я. М. Сере-
брийского, Л. А. Симонова, Э. Л. Блоха и др.
Созданная Н. Е. Жуковским вихревая теория винта получила
в работах советских ученых (В. П. Ветчинкин, Н. Н. Поляхов и др),
дальнейшую глубокую разработку; М. В. Келдыш и Ф. И. Франкль
дали строгое обоснование вихревой теории Жуковского.
Теория волнового движения тяжелой жидкости, волнового сопро-
тивления, а также теория движения тела вблизи свободной поверхности
жидкости достигли своего подлинного расцвета в работах русских
ученых послереволюционного периода. Ряд фундаментальных исследо-
ваний по классической теории волн, по волнам в жидкости конечной
глубины, по теории волн конечной амплитуды и другим вопросам
принадлежит акад. Н. Е. Кочину и акад. А. И. Некрасову. Теория волно-
вого сопротивления получила развитие в исследованиях Л. Н. Сретен-
ского. Движение твердого тела вблизи свободной поверхности, в част-
ности, движение подводного крыла, составило предмет изысканий
М. В. Келдыша, Н. Е. Кочина, М. А. Лаврентьева и др. Л. И. Седов
первый строго поставил и разрешил задачу о глиссировании тела по
поверхности тяжелой жидкости. Всемирную известность получили
ставшие уже классическими исследования выдающегося советского
механика и кораблестроителя акад. А. Н. Крылова — основоположника
теории качки корабля на волнении.
Явление удара тела о свободную поверхность тяжелой жидкости,
изученное впервые Н. Е. Жуковским еще в 1910 г., было с исчер-
пывающей полнотой исследовано М. А. Лаврентьевым, М. В. Келды-
шем, Л. И. Седовым и другими в период 1932—1934 гг.; работы
этих ученых показали всю силу метода теории комплексного пере-
менного в задачах гидродинамики.
В современной механике жидкости и газа центральное место как
по принципиальной глубине основных идей, так и по практической
значимости разрешаемых проблем занимает сравнительно молодой, но
бурно развивающийся отдел — газовая динамика. Подобно многим
другим отделам гидроаэродинамики, развитие газодинамики в настоя-
щее время находится почти целиком в руках советских ученых.
Фундаментальное значение для создания всей современной газодина-
мики имеет исключительная по глубине идей работа С. А. Чаплыгина
„О газовых струях", написанная им в 1901 г. и представленная
к защите на соискание ученой степени доктора в 1902 г. Прошло
почти пятьдесят лет со дня появления диссертации С. А. Чаплыгина,
но и сейчас мы продолжаем быть свидетелями все возрастающего
интереса к этой работе со стороны советских и зарубежных ученых.
с к, СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАН РАЗВИТИЯ 35
$ .
Причина этого заключается в том, что применение изложенного
в работе метода годографа скоростей выходит далеко за рамки той
сравнительно узкой пели обобщения теории струйного обтекания тел
Кирхгоффа — Жуковского на случай сжимаемого газа, которую по-
ставил перед собой С. А. Чаплыгин. Метод этот получил дальнейшее
развитие в известных исследованиях акад. С. А. Христиановича,
относящихся к определению влияния сжимаемости газа на обтекание
крылового профиля при больших докритических скоростях потока.
В области теории дозвуковых течений серьезные достижения при-
надлежат М. В. Келдышу и Ф. И. Франклю, давшим в 1934 г. стро-
гую постановку вопроса об обтекании крыла сжимаемым газом и
обобщившим на этот случай теорему Жуковского, Н. А. Слезкину,
в 1935 г. показавшему применение метода Чаплыгина к расчету бес-
циркуляционного обтекания крыла. Академик А. И. Некрасов пред-
ложил в 1946 г. новый метод непосредственного интегрирования урав-
нений газовой динамики, превосходящий по эффективности старый
метод Янзена—Релея.
Велики заслуги советской науки в области теории сверхзвуковых
и смешанных течений. С. А. Христианович в 1941 г. дал общий
анализ сверхзвуковых течений вблизи линий перехода дозвукового
течения в сверхзвуковое и предложил систематическую классифика-
цию этих течений. Идеи С. А. Христиановича послужили основой
к плодотворным изысканиям в том же направлении его учеников
А. А. Никольского и Г. И. Таганова. С. А. Христианович создал
в 1947 г. новый метод приближенного расчета сверхзвуковых течений,
являющийся дальнейшим развитием его метода расчета дозвуковых
потоков. С. А. Христиановичу принадлежит также методика построения
„безударного" сопла Лаваля, метод расчета сверхзвуковых эжек-
торов и много других важных теоретических и практических
результатов.
Графические методы (метод характеристик) расчета сверхзвуковых
плоских и осесимметричных обтеканий тел обязаны своим разви-
тием главным образом усилиям двух советских ученых — И. А. Ки-
беля и Ф. И. Франкля. Им, а также В. В. Татаренчику, удалось по-
строить ряд точных решений уравнений газодинамики. Ф. И. Франкль
добился значительных результатов в постановке и разрешении „сме-
шанной" задачи газодинамики о газовом потоке с до- и сверх-
звуковыми областями. Теория стационарного и нестационарного
движения крыла в сверхзвуковом потоке достигла своего расцвета
в исследованиях группы советских ученых: Л. А. Галина, М. И. Гуре-
вича, Е. А. , Красилыциковой, С. В. Фальковича, Ф. И. Франкля и
М. Д. Хаскинда.
Вместе с газовой динамикой больших скоростей развивалась и
олее старинная ее отрасль — динамика сжимаемого газа при малых
скоростях, служащая основой динамической метеорологии. Обще-
признанным основоположником этой области газовой динамики
36
СВЕДЕНИЕ
заслуженно считается безвременно погибший в 1925 г. талантливый
советский механик А. А. Фридман. В своей, ставшей классической,
диссертации „Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости", вышедшей
в свет в 1922 г., А. А. Фридман дал исчерпывающее систематическое
изложение основных законов движения сжимаемого газа и, в частности,
атмосферного воздуха при наличии дневного притока тепла от Солнца
и ночного излучения в мировое пространство. Этот, исключительный
по капитальности и идейному содержанию труд, стал на много лет источ-
ником дальнейшего развития динамики атмосферы. Особого упоминания
заслуживают фундаментальные исследования учеников А. А. Фридмана:
акад. Н. Е. Кочина и чл.-корр. И. А. Кибеля.
Из наиболее важных работ в области, смежной между гидро-
динамикой и гидравликой, отметим прежде всего фундаментальные
исследования акад. С. А. Христиановича по теории длинных волн
в каналах. Эти исследования, относящиеся к периоду 1933—1936 гг.,
послужили основой создания целого ряда прикладных методов рас-
чета, сыгравших большую роль в практике строительства гидросоо-
ружений.
Теория фильтрационного движения грунтовых вод и близкая к этой
проблеме теория подземного движения нефти далеко продвинулись
вперед в работах советских ученых. Пользуясь методом комплексного
переменного, еще в 1922 г. использованным акад. Н. Н. Павловским,
большое число конкретных практических задач решили Б. Б. Деви-
сон, П. Я. Кочина и др. Академик Л. С. Лейбензон создал теорию
движения газов в пористых средах и разрешил ряд других вопросов,
связанных с теорией и практикой нефтедобычи.
Теория движения вязкой жидкости за последние пятьдесят ,'iei
стала разрабатываться главным образом в направлении изучения дви-
жения жидкости в тонком „пограничном" слое, образующемся вблизи
поверхности тела при практически ишересных скоростях и размерах
тел. Повидимому, Рэнкин первый ввел понятие о пограничном слое.
В своей записке, относящейся к 1864 г., Рэнкин в следующих сло-
вах выражает происхождение сопротивления трения: „Это сопроти-
вление представляет сочетание прямых и косвенных действий прилипа-
ния частиц воды к поверхности корабля, которую они обтекают;
прилипание вместе с взаимной вязкостью частиц и производит бес-
численное множество мелких водоворотов в слое воды, непосредственно
прилегающем к бортам судна".
Первое систематическое руководство по вопросу о сопротивлении
жидкостей относится к 1880 г. и принадлежит нашему гениальному
соотечественнику Д. И. Менделееву. В этой, уже ранее упоминав-
шейся монографии мы находим отчетливое разграничение трения
жидкости о гладкие и шероховатые стенки. Говоря о сопротивлении
трения гладких поверхностей, Д. И. Менделеев отмечает основную
роль „прилипшего" к твердому телу слоя жидкости, который „движется
и увлекает соседние".
е е, СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП РАЗВИТИЯ 37
Сопротивление же неровностей (шероховатостей!), — пишет
II Й Менделеев, — того же рода, как и сопротивление нормально
движущейся пластинки". Эти взгляды Менделеева вполне совпадают
с современными воззрениями в теории сопротивлений.
Особенно следует отметить критический анализ Менделеева резуль-
татов экспериментальных определений сопротивлений жидкости с точки
зрения точности измерений — вопрос, в котором Менделеев, осново-
положник метрологии, был непревзойденным специалистом.
Глубоко анализируя и критикуя „фрикционную" теорию сопроти-
вления и, в частности, теорию Рэнкина, Д. И. Менделеев с предель-
ной ясностью устанавливает энергетическую сторону явления, отсут-
ствующую в весьма схематической и формальной теории Рэнкина.
Н. Ё. Жуковский в докладе, сделанном 23 декабря 1907 г. па
Первом Менделеевском съезде, высоко оценил монографию Менделеева,
назвав ее „капитальной монографией по сопротивлению жидкостей,
которая и теперь может служить ^основным руководством для лиц,
занимающихся кораблестроением, воздухоплаванием или баллистикой".
Н. Е. Жуковский в 1890 г. в своей работе „О форме судов"
дает первый пример учета влияния формы тела на сопротивление
трения, а в своих более поздних лекциях отмечает основные свой-
ства пограничного слоя. Однако ни Жуковский, ни его ближайшие
ученики не занялись разработкой приближенных уравнений движения
жидкости в пограничном слое, установленных Л. Прандтлем только
в 1904 г.
Не следует забывать, что еще в недалеком прошлом шла дискус-
сия по вопросу о том, равняется ли нулю скорость реальной жидкости
на поверхности обтекаемого ею тела или нет. Жуковский и Прандтль
первые решительно встали на точку зрения прилипания жидкости
к стенке; правильность этого воззрения, лежащего в основе теории
пограничного слоя, в дальнейшем была подтверждена многочисленными
опытами. Работы советских ученых в области теории ламинарного и
турбулентного пограничного слоя, а также по общей теории турбулент-
ности представляют исключительный интерес; работы Л. Е. Калих-
мана, Л. Г. Лойцянского, А. П. Мельникова и К. К. Федяевского
по плоскому и пространственному, ламинарному и турбулентному
пограничному слою в несжимаемой жидкости, относящиеся к периоду
1930—1945 гг., замечательные исследования А. А. Дородницына
1939—1940 гг. по теории пограничного слоя в сжимаемом газе, практи-
ческие методы расчета турбулентных струй, указанные Г. Н. Абра-
мовичем, и другие результаты советских ученых оставили далеко
позади зарубежные исследования в этой области. Все практические
расчеты пограничного слоя, необходимые для определения профиль-
НОг° сопротивления крыла и фюзеляжа самолета, сопротивления кор-
пуса корабля, потерь энергии в лопастных аппаратах турбомашин,
также расчеты различных струйных механизмов (эжекторов и др.)
Дутся у нас в Союзе по методам, принадлежащим советским ученым.
38
ВВЕДЕНИЕ
Современная теория турбулентного движения и ее многочисленные
применения в гидравлике труб и каналов, динамической метеорологии,
теории взвешивания и осаждения наносов, горения и перемешивания
топлива в струях и во многих других практических вопросах техники
составили предмет глубоких изысканий советских ученых. Останавли-
ваясь лишь на главнейших принципиальных достижениях, заметим,
что после классических работ Рейнольдса наиболее важную роль
сыграли замечательные исследования А. А. Фридмана и Л. В. Келлера,
выдвинувших в 1924 г. новый статистический метод изучения турбу-
лентного потока. Идеи А. А. Фридмана и Л. В. Келлера послужили
фундаментом для ряда теоретических исследований акад. А. Н. Кол-
могорова, Л. Г. Лойцянского, М. Д. Миллионщикова, А. М. Обухова
и Л. И. Седова.
На этом, по необходимости, заканчивается краткий обзор достиже-
ний советской науки в области механики жидкости и газа. Обзор
содержит только перечисление наиболее значительных работ наших
ученых. Многие из этих результатов еще настолько свежи, что не
могут найти себе место в историческом очерке. Но уже и из того
материала, который помещен в настоящем обзоре, отчетливо видно, что
советская гидроаэродинамика по праву занимает ведущее место в миро-
вой науке.
В настоящем, заключительном, параграфе очерка почти ничего
не говорилось об иностранных работах за рассматриваемый период
времени. Это объясняется не только краткостью очерка, но и тем
замечательным фактом, что в последнее время, за весьма немногими
исключениями, все основные проблемы механики жидкости и газа
самостоятельно выдвигались и разрешались советскими учеными, по-
ставившими нашу Родину в совершенно независимое положение от
зарубежной науки.
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 6. Поле физической величины. Скалярное и векторное поля.
Поверхности уровня. Векторные линии и трубки
*
Совокупность скалярных или векторных величин, заданных в не-
которой конечной или бесконечной области так, что каждой точке
области соответствует одно определенное значение скаляра или век-
тора, образует поле скалярной или векторной величины, короче —
скалярное или векторное поле. 1 Таковы скалярные поля: температур-
ное поле нагретого тела, поле плотности в неоднородном твердом
теле, и векторные поля: силовое поле, например, поле тяготения,
поле скоростей во вращающемся твердом теле и др.
Поле называется стационарным, если распределение физических
величин в пространстве не изменяется с течением времени. Так, на-
пример, поле скоростей в равномерно вращающемся вокруг непо-
движной оси твердом теле будет стационарным; в противном случае
поле называется не стационарным.
Если во всех точках пространства, где задано поле физической
величины, значения этой величины равны между собою (соответственно
в скалярном или векторном смысле), то такое поле называется одно-
родным, в противном случае — не однородным. Скалярное поле
плотности в однородном твердом теле однородно. В поступательно
движущемся твердом теле векторное поле перемещений так же, как и
скоростей или ускорений, — однородно. Само собой разумеется, что
однородное поле может быть как стационарным, так и не стацио-
нарным.
Аналитически поле некоторой скалярной величины © или вектор-
ной а задается соответственно скалярной или векторной функцией
1 В настоящей главе, так же как и в других главах курса, напоминаются
необходимые для дальнейшего элементы векторного и тензорного анализа;
оыло бы желательно предварительное ознакомление с этими элементами,
апример, по прекрасной книге Н. Е. Кочина, Векторное исчисление и
ачала тензорного исчисления, ОНТИ ГТТИ, 1934 или последующие издания.
40 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [|Л. I
01 каких-нибудь, в частости декартовых, координа! и времени: 1
о = о (х, у, г; f) = ® (Ж; f), |
а — а (х, у, г; f) = а (Ж, f) ]
Условившись в этих простейших определениях, поемтрим icuepi,
каким образом характеризовать пространственную изменчивость
величин поля (изменение со временем величины в данной точке про-
странства характеризуется, очевидно, частной производной от этой
величины по времени) Для этого следует упорядочить рассмотрение
бесконечного многообразия величин, образующих поле, расположив
эти величины сообразно некоторому признаку: численной их вели-
чине — для скалярной функции, направлению — для векторной функции.
Рассматривая скалярное поле, расслоим часть пространства, в ко-
тором задано поле, поверхностями уровня, т. е. такими поверхностями,
вдоль каждой из которых скалярная величина сохраняет одинаковое
значение. Таковы, например, изотермы, изобары и др.
Уравнение семейства поверхностей уровня скалярной функции
v (х, у, г; f) в данный момент времени, если поле не стационарно, и
в любой момент, если поле стационарно, будет
о (х, у, г; f) = С, (2)
где величина С принимает некоторый непрерывный ряд значений.
Если задано значение величины <р в некоторой точке Жо (х0, у0, г0)
и в данный момент времени /0, то уравнение поверхности уровня,
проходящей через точку Жо в момент /0, будет, очевидно,
® (х, У, г; Z) = Со = о (х0, у0, г0; 10) = ф (Жо, Q (3)
Смысл рассмотрения поверхностей уровня заключается в приве-
дении вопроса об изменяемости скалярной величины в пространстве
к более простому—изменению ее при переходе с одной поверхности
уровня на другую.
Возьмем какую-нибудь одну поверхность уровня, например (3).
Эта поверхность делит все пространство на две области: внешнюю,
где
® (х, у, z, t) > Со,
и внутреннюю, где
® (х> У, 0 < Со.
Термины эти, конечно, условны, так как, например, если
поверхность уровня представляет сферу радиуса а с центром в начале
координат, го при выборе функции
о (х, у, г) == х2 -J- у2 ф- z1— а?
1 Буква М символически представляет здесь совокупность координат
точки Ж, если поле стационарно, то время t в характеристике функции
отсутствует.
ПОЛЕ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ
41
§61
внешняя область по только что введенному определению совпадает
с внешней областью в обычном геометрическом смысле, если же
положить
<э (х, у, г) = а2 — х2 —у2 — z2,
го предыдущее определение с геометрическим не совпадет.
Условимся положительное направление нормали, проведенной через
некоторую точку данной поверхности уровня, выбирать в сторону
внешней области и называть
такую ось внешней нормалью',
противоположно направленную
ось — внутренней нормалью.
Проведем (рис. 1) две смеж-
ные поверхности уровня со = С
и ср = С и через точку М
одной из них — внешнюю нор-
маль с единичным вектором-ор-
том п и какую-нибудь на-
клонную ось с ортом 1; от-
резки ММ' и MMt обозначим
через dn и dl. Напомним, что
.. d'l
производной от скалярной
функции -р по какому-нибудь
шепия
lim "~ У -= dtf
да, -> да ММ1 dl
направлению I называют предел огно-
dn = dl • cos (1, n),
<7 у dn di
Замечая что, по определению поверхносш уровня, (MJ = <э(М')
и что, кроме того,
будем иметь
__ — . _ — LUS.у.
dl dn dl dn v v 1
Оiсюда сразу следует, что, в силу положительности —(вспом-
нить определение внешней нормали):
di d'i
dn dl ’
*• e. направление внешней нормали к поверхности уровня пред-
ставляет направление наибольшего изменения скалярной функции
110 сравнению с любым другим направлением.
Рассмотрим (рис. 1) несколько смежных поверхностей уровня:
? = С, аг = с', ф = С" и т. д. Проведем через точку М внешнюю
42
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СИ ДЫ
fl л. г
нормаль п, через точку М' пересечения ее со смежной поверхностью
уровня — нормаль п', через точку М" пересечения этой нормали со
следующей поверхностью уровня — нормаль п" и т. д. В пределе
получим кривую LL, нормальную ко всем поверхностям уровня
в । очках их пересечения с нею. Зная закон изменения скалярной ве-
личины вдоль такого рода линии, тем самым по формуле (5) опре-
делим и общую картину изменения рассматриваемой величины в про-
странств. В существовании этих линий максимального изменения
заданной скалярной величины наряду с нормальными к ним поверх-
ностями уровня, вдоль которых рассматриваемая величина сохраняет
постоянное значение, и заключается смысл того упорядочения картины
изменяемости скалярной величины в пространстве, о котором ранее
упоминалось.1
Перейдем теперь к рассмотрению с той же точки зрения вас-
торного поля. В этом случае задача осложняется наличием изменяемости
векторов поля как по величине, так и по направлению.
Чтобы лучше разобраться в многообразии векторов, заданных
в точках пространства, поступим так. В данный момент времени, если
поле не стационарно, или в любой, если поле стационарно, проведем
через выбранную точку М (рис. 2) соответствующий ей вектор поля а,
отложим вдоль положительного направления этого вектора малый
отрезок ММ', затем в тот же момент времени, если поле не стацио-
нарно, проведем через
точку М' соответствую-
щий ей вектор а', точно
так же отметим вектор а"
в точке М", расположен-
ной на направлении век-
тора а', и т. д. Если
взять точки М, М’, М"...
достаточно близкими друг
к другу, то указанным
путем можно прочертить
свойством, что в каждой
в просгрансгве линию, обладающую тем
ее точке вектор поля направлен по касательной к ней. Такая
линия называется векторной линией поля (вспомнить например,
силовые линии электрического или магнитного поля, вдоль которых
направлен вектор напряжения поля).
Через каждую точку поля можно провести, вообще говоря, лишь
одну векторную линию; исключением являются так называемые особые
1 Всякому семейству поверхностей соответствует система нормальных
линий; обратная теорема о существовании поверхностей, нормальных к дан-
ному семейству линий, верна лишь при выполнении некоторых условий. По
этому поводу см., например, Л. Г. Л о й ц я н с к и й и А. И. Л у р ь е, Курс
теоретической механики, ч. II, 1940, изд. 3, стр. 164.
§ 7J
МГРЛ однородноеIи ПОЛЯ
43
точки поля, через которые могут проходи!ь несколько и даже
бесчисленное множество векторных линий. Так, например, из „точеч-
ного заряда", образующего электростатическое поле, выходит бесчис-
ленное множество силовых линий поля.
Легко написать дифференциальные уравнения векторных линий
поля вектора а(х, у, г; f). Обозначим через 8г направленный по ка-
сательной элемент векторной линии и запишем в векторной форме
только что указанное свойство совпадения по направлению вектора
поля с касательной к векторной линии в данной точке:
аХ8г=0. (6)
Здесь и далее символ „Х“ обозначает векторное умножение, точка
обозначает скалярное умножение.
В декартовой системе координат векторное равенство (6) экви-
валентно системе дифференциальных уравнений,
определяющих семейство векторных линий:
Вх ______ By ___________# Bz #
«а, (х, у, z, t) ау (х, у, z, t) az (х, у, z,f) ’ '
при решении этой системы двух уравнений первого
порядка время t следует рассматривать как задан-
ный фиксированный параметр. Проинтегрировав
систему (7), получим конечное уравнение семейства
векторных линий с двумя произвольными постоян-
ными, которые можно найти из условия прохождения
векторной линии через заданную точку пространства.
Проведем в данный момент в части простран-
ства, где задано векторное поле, какой-нибудь за- Рис. 3.
мкнутый контур С (рис. 3) и через все точки этого
контура — векторные линии; часть пространства, ограниченная по-
верхностью а, образованной векторными линиями, называется вектор-
ной трубкой.
Выделение в векторном поле векторных линий и, особенно, век-
торных трубок значительно упорядочивает и облегчает, как мы далее
увидим, представления о характере изменчивости векторов, образую-
щих данное поле.
§ 7. Мера однородности поля в данном направлении и в данной
точке. [Градиент скалярного поля и дифференциальный тензор
векторного поля как меры неоднородности поля
Подобно тому как количественной мерой изменчивости (быстроты
изменения) функции одной переменной при данном значении ее аргу-
мента является производная этой функции по аргументу, точно так
Же и в случае скалярного или векторного поля за меру неоднород-
ности поля или изменчивости величин поля в данном направлении
44
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[ГЛ. I
в пространстве можно принять производные этих величии ио вы-
бранному направлению, причем в общем случае пространственного
распределения производные эти зависят от направления дифферен-
цирования. Таким образом, за меру неоднородности поля по напра-
влению 1 можно принять величины:
d<p da
~dl И ~dT'
где первая представляет ранее определенную формулой (4) производ-
ную от скалярной функции ®(7И) по направлению 1, вторая опреде-
ляется аналогичным образом как предел
lim (8)
подчеркнем, что в обеих частях равенства (8) в числителе стоит
векторная разность, а не скалярная, как в случае равенства (4); при
этом производная (8) является вектором. Естественно встает вопрос,
d? da
образуют ли величины и , соответственно, скалярные и век-
торные поля.
Через каждую точку пространства можно провести бесчисленное
множество направлений, а, следовательно, каждой точке пространства
будет соответствовать бесчисленное множество значений производных
скалярной и векторной функций по направлению. Отсюда заключаем,
de> da
что скаляр и вектор не образуют полей, так как между их
значениями и точками пространства отсутствует взаимно-однозначное
соответствие; можно сказать, что эти производные являются функ-
циями положения точки (вектор г), в которой они вычисляются, и
направления (вектора 1). Поставим вопрос о разыскании такой обра-
зующей поле однозначной функции точек пространства, чтобы
рассматриваемые производные выражались через нее и орт 1, опре-
деляющий направление дифференцирования. С физической стороны
разыскивается мера неоднородности поля в данной точке, не зави-
сящая от отдельных направлений в пространстве, но такая, что
неоднородность поля в данном направлении будет выражаться через
нее и орт выбранного направления.
В случае скалярного поля такая мера неоднородности поля в дан-
ной точке напрашивается сама собою при одном взгляде на фор-
мулу (5). Проведем через заданную точку поля вектор, равный по
величине производной скалярной функции по направлению внешней
пормали’К поверхности уровня в данной точке и направленный по
внешней нормали. Этот вектор называется градиентом скалярной
функции и обозначается символом grades; тогда, по определению,
grades = -^-n, (9)
(ч 2 [ Мера однородности поля 45
•1 формула (5) эквивалентна следующей (рис. 4):
= | grad а | cos (1, n) = (grad ®)z = 1 • grad <р. (10)
Градиент скалярной функции представляет меру неоднородности
поля этой функции в данной точке. Мера неоднородности поля
в данном направлении — производная скалярной функции по этому
направлению — является проек-
цией градиента на рассматривае-
мое направление.
Из формулы (10) сразу выте-
кают выражения проекций гра-
диента на оси декартовых коор-
динат:
(grad^^lj,
(gradc^-g-,
(grad?)s=g-,
(П)
так как частные производные <э рпс. 4.
ио х, у, z являются ни чем иным,
как производными от а> по направлениям осей координат. Далее, по
обычным формулам векторной алгебры найдем величину градиента
(£)’+Ш + (Й)’ 02)
и косинусы углов, образованных вектором градиента или, чго все
равно, внешней нормалью к поверхности уровня с осями координат:
cos(n, х) —
дх
cos(n, у)
cos(n, z)
(13)
46
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ- КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
(гл. t
д'?__. /
ду s dz ’
Пользуясь (11) и известным выражением скалярного произведения,
можем переписать (10) еще так:
dl x dxr‘ dytz dz ’
где, по определению единичного вектора 1,
= cos (1, х), ly = cos (1, у), L — cos (1, z).
(И)
(15)
Из формулы (14) следует, что с аналитической точки зрения бес-
численное множество производных по всевозможным направлениям
в данной точке поля однозначно выражается через совокупность
значений трех величин и в этой точке. Само собой разу-
меется, что совершенно
безразлично называть ли мерой неоднород-
ности поля в данной точке вектор grad ®
или эквивалентную ему совокупность
dz d<s
величин
Несколько сложнее решается анало-
гичный вопрос о мере неоднородности
векторного поля в данной точке.
Пусть в данный момент времени задано
поле вектора а в функции декартовых
координат, т. е. вектор-функция а (х, у, z).
Приращение вектора а при каком-то
бесконечно малом изменении координат
по формуле полного дифференциала:
. да. . .да . .da .
dx 4- ау -4- -v- dz.
дх 1 ду 1 дг
(16)
Если точка М (х, у, г) переместилась в смежное положение (рис. 5)
М' (х -(- dx, y-\-dy, z'-\-dz) по направлению 1 на расстояние dl, то
dx — dl • cos (1, х), dy = dl cos (1, у), dz =dl cos (1, г)
и, следовательно, векторное равенство (16) может быть переписано
так:
da . 5а . , da , . da
dl ~ х дх "г « ду ' - dz’
или в проекциях
dax __dag, । , daa. । , da
• dl * дх ' У~ду~ ' z~dr’
day day day day
-dT^^'dr + ^-djr + ^-dT^
da% _ , da^ । , da# f , da...
dl ~1х~дГ~^1У'^'^^~дГ-
(17)
(18)
МЕРА ОДНОРОДНОСТИ ноля
47
Сравнивая (18) с (16), видим, что, в отличие от скалярного поля,
di
где мерой неоднородности служит совокупность трех величин
мерой неоднородности в данной точке векторного поля
является совокупность девяти величин:
Вах
ду
дау
~ду~
daz
ду
(19)
Отдельные величины таблицы (матрицы) (19) характеризуют измен-
чивость проекций вектора по направлениям координатных осей,
а в своей совокупности эти девять величин определяют одну физи-
ческую величину — меру неоднородности векторного поля в данной
точке.
Напомним,1 что, вообще, всякая совокупность девяти величин
7’^, Т№у ..., линейно связывающая по формулам:
ах — ^х^хх *~Г ^ip'yx "Т"
ау == ^x^teyН” W'yy ~F bzl"zy>
az = baJxz + ЬуТуе + bzTes,
(20)
проекции физического2 вектора b с проекциями физического же
вектора а, определяет физическую величину, называемую тензором
второго ранга-, при этом правые части системы уравнений (20) соот-
ветствуют операции умножения вектора на тензор, символически
представляемой так:
а=Ь7'. (21)
Имея в виду дальнейшие применения формул (20), укажем про-
стой прием для их запоминания: составляя проекцию hi некоторую
ось произведения вектора и тензора, умножаем проекции вектора
на компоненты тензора с тем же первым индексом и вторым инде-
ксом, соответствующим оси проектирования произведения.
Операция умножения вектора на тензор не обладает, вообще
говоря, свойством переместительности, т. е. аТ ф Та. Обозначим
через Г* тензор, сопряженный с тензором Т, т. е. такой, у которого
1 См., например, Н. Е. Кочни, Векторное исчисление и начала тензор-
ного исчисления. ОНТИ, ГТТИ, 1934, стр. 304.
Вектор называется физическим, если его величина и направление в про-
ппо₽ ТВе не зависят от выбора системы координат; при этом отдельные его
Р екции, конечно, зависят от выбора направления осей проектирования.
48 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [|Л. I
индексы компонентов переставлены, например, T&v — Туз1, т'^ = Т:е-,
и т. д. Тензор самосопряженный, для которого Т* = Т и, следова-
тельно, Т^у = Тух, Tyz — TZJ), 7fa. = 7^, называется симметричным,
так как в таблице такого тензора компоненты, симметричные отно-
сительно главной диагонали, равны между собой. Операция умноже-
ния тензора на вектор эквивалентна операции (20) или (21) умножения
вектора на сопряженный тензор, т. е. 7'а=а7'*. Если тензор сим-
метричен, то 7а = а7', и формулы проекций произведения Та совпа-
дают с (20).
В дальнейшем, при изложении механики жидкости и газа, так же
как это имеет место и в механике твердого и упругого тела, придется
неоднократно иметь дело с примерами различных тензоров. Подчеркнем
важный для дальнейшего факт: хотя отдельные компоненты тензора (19)
и зависят от выбора направления осей координат в пространстве, где
задано поле, сам тензор от этого зависеть не должен, так как он
характеризует определенное физическое свойство конкретного поля
величии.
Назовем тензор, представленный таблицей (19), поскольку он
состоит из всевозможных производных от проекций вектора поля по
координатам, дифференциальным тензором векторного поля.1 Тогда,
согласно (18), придем к выводу, что мерой неоднородности (изменчи-
вости) векторного поля служит дифференциальный тензор ноля.
Обозначая дифференциальный тензор поля буквой D и, полагая
да« дх ’ дау да, дх ’
Г) — dax П дау D ~ дах (22)
L' ус ду > ду ’ “ ду ’
да,,. да,/ дг ’ ди, дг ’
будем иметь вместо (17) и (18), согласно (20) и (21):
da 7» = Ю. (23)
Последняя формула -отчетливо показывает, что, независимо от
выбора той или другой системы координат, физическая величина —
производная физического вектора по определенному направлению
в пространстве — выражается как произведение физического вектора —
орта выбранного направления — на физический же тензор — меру не-
однородности поля в данной точке пространства.
Для облегчения запоминания формул настоящего и следующих
параграфов можно предложить простой символический прием. Обо-
1 По аналогии градиент можно было бы назван, дифференциальным
вектором скалярного поля.
§ 7J МЕРА ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ 49
значим через V некоторый условный вектор с проекциями:
¥_=•/-, Va = ~, V. = ^-, (24)
я дх' У ду’ г дг ’ х г
представляющий символически оператор дифференцирования.
Тогда градиент скалярной функции ® можно рассматривать условно,
как произведение вектора-оператора V на скаляр ©:
grad 9 = V©, (25)
и формулы (11), принимая во внимание (24), писать просто по пра-
вилам проектирования произведения вектора на скаляр:
(grad и др.
При этом равенство (10) по (25) можно представить в виде
^- = Ь¥© (26)
и рассматривать операцию дифференцирования по направлению 1, как
символическое произведение
^- = 1-V, (27)
вынося дифференцируемую функцию, безразлично скалярную, вектор-
ную или тензорную, за знак символического дифференцирования так:
д—а-Па. (28)
Принимая указанную символику, можно дифференциальный тен-
зор D изобразить как диадное произведение двух векторов: симво-
лического V и дифференцируемого а:
D = Va, (29)
понимая под этой „диадой" тензор, составляющие которого легко
определяются по простому правилу:
, dag. дау
(Va)^=V^e = -^- и т. д.
Равенство (23), сообразно второму равенству (28) и (29), может
ыть еще написано так:
^- = (l-V)a = l(Va). (30)
4 Зак. 184 Е Л Г. Лойцянский.
50
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
(ГЛ. t
Формулы (17) и (18) можно легко запомнить при помощи (30) и
правила раскрытия скалярного произведения;
= (1 • V) а = (4^ + +№ а =
, д ,, J_____, д \ . За , , да . да
® дх' V ду ' г дг)л * дх~Т~ V ду' * дг ‘
§ 8. Задание движения сплошной среды. Поле скоростей.
Линии тока и траектории
В отличие от кинематики отдельной точки или системы конечного
числа точек механика сплошной среды имеет свои специфические
приемы задания движения.
Ближе всего к обычным способам задания движения подходит
способ, связанный с именем Лагранжа.
Пусть некоторая частица жидкости или газа М (х, у, г) в момент
времени t=t0 занимала положение М0(х0, у0, г0), тогда ее коорди-
наты х, у, z в любой момент t можно рассматривать как функции
от времени t и параметров х0, у0, £0, определяющих выбор данной
индивидуальной частицы М. Более обще, вместо декартовых коорди-
нат точки М можно рассматривать любые ее криволинейные коор-
динаты а, Ь, с, связанные с х0, у0, z0 соотношениями:
х0 = х0(я, Ь, с), у0=у0(а, b, с), z0 = z0(a, b, с).
Положение любой частицы М жидкости в момент времени t за-
дается выражениями ее декартовых координат через величины t, а, Ь, с,
называемые переменными Лагранжа-.
x = х0, у0, = а, Ь, с),
J=/2(^ *о> ^о) = %(А «, с)>
г=М1', хо> Ув’ *о) = ®з(4 а> ь> с)-
(31)
Задавая определенные значения параметрам а, Ь, с, получим обыч-
ные, принятые в кинематике точки уравнения движения данной инди-
видуальной частицы жидкости, откуда уже нетрудно найти уравнения
траектории частицы и выражения проекции вектора ее скорости V
• r/V
и ускорения V = -тг’.
V — ,, — dx dti\ V du d^x _ d^i
v а> “ dt dt ’ dt dfl dt2 ’
dy dt _ dgs dt ’ dv ‘ dt (32)
dz dt _ дцл dt ’ v* dw dt dfi ‘
ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
51
§ 8]
Производную по времени, вычисляемую в переменных Лагранжа
«ля индивидуально движущейся частицы жидкости, называют индиви-
дуальной или еще субстанциональной (относящейся к определенной
частице субстанции).
Другой, получивший более широкое применение прием задания
движения среды, предложенный Эйлером, заключается в выражении
скоростей частиц в функции от времени и координат х, у, z точек
пространства, т. е. в задании поля скоростей. Совокупность величин
/ х, у, z называют переменными Эйлера- движение среды, по Эйлеру,
задается так:
и = и (х, у, г; t),
‘V = ‘v(x, у, г; t),
w = w(x, у, z; t).
(33)
В методе Лагранжа величины х, у, z являются переменными
координатами одной и той же движущейся частицы жидкости, в методе
Эйлера — это координаты точек пространства, мимо которых прохо-
дят различные частицы жидкости. Рассмотрим подробнее метод Эйлера,
которым, по преимуществу, и будем пользоваться.
Векторные линии поля скоростей, т. е. такие линии, в каждой
точке которых скорость в данный момент направлена по касательной
к ним, называются линиями тока. Следующий простой опыт даст
наглядное представление о линиях тока. Предположим, что на по-
верхность воды в канале насыпан легкий и хорошо видимый порошок,
частицы которого будут двигаться вместе с потоком, не опережая и
не отставая от частиц воды. Тогда на фотографии, произведенной
с малым временем экспозиции, каждая частичка порошка изобра-
зится в виде небольшой черточки, а черточки эти сольются в отчет-
ливо видимые линии, которые и будут линиями тока в момент про-
изводства снимка.
По самому определению, линия тока поля не совпадает с траек-
торией частицы^ представляющей пространственный след движу-
щейся во времени частицы. Составим дифференциальные уравнения
линии тока.
По общему уравнению векторной линии (7) будем иметь следую-
щую систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
____—____ =□= ву __
и (х, у, z; t) v (х, у, z; f) w (х, у, z; t) ’ v }
причем разыскиваются конечные связи между переменными х, у, г,
? время t играет роль фиксированного параметра; величины же 8х,
У-> представляют проекции произвольного бесконечно малого
отрезка 8г, направленного вдоль линии тока.
в противоположность этому, проекции направленного элемента dr
траектории dx, dy, dz представляют проекции перемещения частицы
4*
52
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИЙ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[гл. t
жидкости за время dt, т. е.:
dx = udt, dy = v dt, с г = io dt;
отсюда получаем систему трех обыкновенных дифференциальных урав-
нений траектории:
dX я = dy- А = —7~^-----------Л = (35)
> и (х, у, z, t) v (х, у, z\ f) w (х, у, z\t) ’ 7
причем в этой системе уравнений координаты х, у и z являются
неизвестными функциями одного аргумента — времени.
Сравнивая уравнения (34) и (35), видим, что они принципиально
отличаются друг от друга, а следовательно, линии тока и траектории
не совпадают. Исключение представляет случай стационарного поля,
г. е. случай, когда время t не входит явно в задание скоростного
поля (33). В этом случае уравнения (34) совпадут с уравнениями (35),
если в этих уравнениях откинуть дифференциал времени dt, не вхо-
дящего явно при стационарном движении в остальные уравнения
системы (35). Отсюда следует, что при стационарном движении,
т. е. движении со стационарным полем скоростей, линии тока со-
впадают с траекториями.
К этому результату легко придти и из геометрических сообра-
жений. На рис. 6 показаны построения линии гока ММХМ^М^. ..
и траектории ММ'М"М"'..., проходящих через одну и ту же точку М.
Для построения линии тока фиксируем время и проводим вектор V
скорости точки М, откладываем на нем малый отрезок MMt,
через точку Мх проводим вектор скорости Vx, соответствующий
§ 9]
ПОЛЕ УСКОРЕНИЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ УСКОРЕНИЯ
53
тому же моменту времени, на векторе Vt откладываем отрезок AftAfs
и скорость Ve точки Л12 и т. д., причем все это делаем в один и
тОт же фиксированный момент времени. При построении траектории
вновь отмечаем скорость точки М и, пользуясь произволом в выборе
интервала времени, откладываем на ней отрезок ММ' = ММ{; по
прошествии времени dt, если поле не стационарно, скорость V'
точки М', несмотря на совпадение точки М' с точкой Afn уже
не будет равна скорости Vt точки Мг в момент t. Следовательно,
траектория отклонится от линии тока, и кривые разойдутся в про-
странстве. Если же поле стационарно, то, несмотря на то, что время
изменилось на dt, скорости совпадающих точек М' и будут оди-
наковы, точки А12 и М", так же как их скорости, совпадут, и траекто-
рия ничем не будет отличаться от линии тока.
Векторная трубка, образованная линиями тока, называется трубкой
тока; часть пространства, ограниченная траекториями частиц, обра-
зующих в некоторый момент замкнутый контур, называется струей.
Из предыдущего следует, что п^и стационарном движении трубка
тока и струя, выходящие из одного и того же замкнутого контура,
совпадают.
§ 9. Поле ускорений. Разложение ускорения частицы
на локальную н конвективную составляющие
При лагранжевом представлении движения (31) ускорение индиви-
дуальной частицы легко находится повторным дифференцированием
по времени согласно формулам (32). Следуя Эйлеру, необходимо найти
распределение в пространстве ускорений всех частиц жидкости, т. е.
поле ускорений; для этого надо объединить лагранжев и эйлеров
методы, иными словами, с одной стороны, следить за индивидуальной
жидкой частицей, с другой, принять во внимание наличие заданного
поля скоростей, т. е. распределение скоростей в пространстве,
в котором движется точка.
Рассмотрим изменение d\J скорости данной индивидуальной ча-
стицы Af за время dt, или, как иногда для краткости говорят, инди-
видуальное изменение скорости частицы.
Это изменение скорости, следуя методу Эйлера, можно рассматри-
вать как состоящее из двух: 1) локального (местного) изменения,
происходящего из-за изменения скорости в данной точке вследствие
нестационарности поля и равного
(Й¥)ЛОВ = ^Л, (36)
и 2) конвективного, “являющегося следствием неоднородности поля
скоростей, в котором вдоль по траектории переместилась за время dt
Рассматриваемая частица; это изменение, если обозначить через ds
54
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[ГЛ. I
дифференциал дуги траектории, будет равно:
dV У dS ,zdV^, /Q7A
(rfV)bOHB — d& ds — dt — V dt, (37)
или по формулам (28) для производной вектора по направлению
(орт касательной к траектории, очевидно, равен V/V):
(dV)BOHB = • V) V dt = (V • V) V dt. (38)
Формула полного ускорения будет:
dV (dV)JIOK + (dV)KOBB д\
v= - = +(V.V)V. (39)
В проекциях на оси декартовых координат будем иметь:
du ~~'dt du ~ dt . du , du —г— U —1— V ~ * dx 1 dy du
do dv ~"dt , do . dv do dz
Уе dw dw . dw , dw + « «757 dw — <701 „
~"~~dt ‘ dz
(40)
Производные типа —, — , вычисленные вдоль траектории
индивидуальной частицы среды (субстанции) по формулам (40), назы-
вают, как уже ранее упоминалось, индивидуальными, или, иногда,
субстанциональными производными.
Аналитически те же формулы легко было бы получить по (32)
и (33), вычисляя полные производные по времени от проекций ско-
рости:
ди ди , ди дх , ди ду . ди dz
л dt dt ' дх dt ду dt ‘ dz dt
du . du , du , du
= И----I Ф ----H W Д- ИТ. Д.
dt 1 dx 1 dy 1 dz
По заданному полю скоростей (33) и формулам (40) ускорение
легко вычисляется.
Используя равенство (30) и сохраняя для дифференциального тен-
зора поля скоростей, являющегося мерой неоднородности скоростного
поля, обозначение D, причем таблица (матрица) составляющих тензора
будет иметь вид:
D
dx’
до
дх ’
dw
\ дх’
ди
ду’
до
ду’
dw
ФГ’
ди \
dz
до
д!
dw
dz J
§ 9] ПОЛЕ УСКОРЕНИЙ. РАЗЛОЖЕНИЕ УСКОРЕНИЯ 55
получим формулу ускорения в форме
V = ^+VO, (39')
подчеркивающей роль неоднородности скоростного поля в образовании
конвективного ускорения.
Локальная часть ускорения равна нулю при стационарности ско-
ростного поля, конвективная часть равна нулю, если поле однородно.
Предположим, например, что жидкость участвует, как одно целое,
в ускоренном поступательном движении, при котором скорости всех
ее точек в любой момент равны между собой, но меняются во времени;
в этом случае конвективное ускорение равно нулю и полное ускоре-
ние сводится к локальному.
Предположим теперь, что в покоящейся жидкости или жидкости,
движущейся поступательно и равномерно, т. е. и в том и другом
случае в однородном скоростном поле, мгновенно возникают ускоре-
ния, как это имеет, например, место при явлениях удара тела о по-
верхность жидкости, при начале движения тела в неподвижной жидкости
и др. В этом случае ускорение сведется к локальному и только после
того, как от действия локальных ускорений возникнет неоднород-
ность поля скоростей, появится конвективное ускорение. Указанное
соображение упрощает рассмотрение мгновенных явлений и лежит
в основе теории удара.
Разложение ускорения на локальную и конвективную части может
быть обобщено и на определение индивидуальной (субстанциональной)
производной от некоторой скалярной, векторной или тензорной вели-
чины, связанной с индивидуальным движением жидкой частицы. Пусть,
например, какдому положению частицы жидкости или газа в про-
странстве в определенный момент времени приписывается некоторая
величина <р (например, температура частицы, плотность), тогда сово-
купность значений величины <р образует некоторое поле, и при дви-
жении жидкой частицы величина © будет изменяться как в силу
нестационарности поля (локальное изменение ©), так и вследствие
перемещения частицы с течением времени из одного пункта поля
в другой (конвективное изменение ©). Полная индивидуальная про-
изводная по времени ог величины <р будет складываться из локальной
производной dy'dt и конвективной производной, равной [ср. с (37)]:
d<f ds ..da
dS'dt~ V3s V(jF • grad ®) = v • grad © = (¥•¥)©.
Окончательно для индивидуальной производной от скалярной
функции © будем иметь:
¥ • grad © = (¥ • V) <р.
(41)
56
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (ГЛ. I
Для любой векторной или тензорной функции а или Т, связанной
с движущейся индивидуальной частицей, получим:
^>-V)a,
g = ^ + (V-V)T.
(42)
§ 10. Скоростное поле сплошной среды в окрестности данной
точки. Угловая скорость и вихрь. Тензор скоростей деформаций
и его компоненты
Желая изучить скоростное поле движущейся жидкости в деталях,
применим обычный прием математического анализа — рассмотрим
в данный момент времени поле скоростей жидкости в окрестности
какой-нибудь точки Л10 пространства, причем координаты и все
величины, определенные в этой точке, будем отмечать индексом
нуль.
Разлагая проекции скорости любой частицы М, движущейся
в окрестности точки Л/о, в ряд, будем иметь с точностью до малых
высших порядков:
« = «о + (X - х0) + g)u(y -Jo) + (g)o (z-z0),
w = w* + -хо) + (©„О'J
Подчеркнем, что здесь все величины с подстрочным индексом
нуль являются постоянными величинами или функциями только о г
времени, проекции же скорости и, -v, w рассматриваемой точки М
являются линейными функциями координат х— х0, у—у0, z—z0
точки М относительно точки Л/о.
Сравним линейное поле скоростей (43) с простейшим, известным
нам еще из кинематики твердого тела полем (распределением) скоро-
стей в общем случае движения твердого тела:
и= и^^(г — z0) — (у — yD),
v= п0-+ <“г(х~ хо)~ М* — 2о)>
™ == w0 + СОа- (у — у0) — (х — Х0),
(44)
или в векторной форме
v = V04-ti)x(r—r0),
(45)
§ 10J
СКОРОСТНОЕ ПОЛЕ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ
57
где ©(«д» “г/, “г)—вектор угловой скорости тела в данный момент,
одинаковый для всех точек тела (рис. 7), т. е. не зависящий от век-
тора-радиуса г(х, у, z} точек тела или от вектора-радиуса_г0(х0,_у0,г0)
полюса О, a Vo («0, ®0, ®у0) —
скорость полюса, так же как
и угловая скорость, зависящая
только от времени.
Пользуясь этим, составим
разности накрест взятых произ-
водных от проекций скорости
по координатам и легко най-
дем-
_ 1 /дю до\
_ I /ди dw\
-"2 W ~дх)’
_ 1 /ду_ди\
“ 2\.дх~ду)’
после чего поле скоростей (44) примет вид:
. 1 /ду ди\ , . 1 (dw dv\ , х
•и — 5-----т- (х — хп) — о- -д-------г- (г —
и 1 2\дх ду/ох w % \ду dzj^ °'’
„„ । 1 l^w ^v\ г . \ 1 /ди dw\ . ..
® — 2\ду dzjft 2 U? dx)v^X Х°^’
индекс нуль у скобок, содержащих производные, введен для удобства
сравнения с системой (43); это допустимо, так как скобки имеют
одинаковые значения во всех точках.
Сравнивая (43) и (47), видим, что поле скоростей в окрестности
данной точки может быть разбито на две части: 1) соответствующую
равенствам (47), т. е. полю скоростей в движущемся твердом теле
(условимся называть эту часть квазитвердым движением), и 2) де-
формационную часть, отличающую поле скоростей движущейся жид-
кости или газа от движения твердого тела, так что будем иметь:
И --- Пд.т Кдеф,
•П = «к.т -Ь-Лдеф,
+ «’деф-
(48)
Система равенств (48) заключает в себе проекции «Е.т, «Е.т,
СкоРости VK.T в квазитвердом движении, определяемые формулами (47),
и проекции Идеф, ®деф, Тодеф скорости деформационного движения ¥де$,
58
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ 1ГЛ. I
вычисляемые как разности и—и,.т, v— vK.r, w—Wg_, и равные:
[du\ , ч 1 (dv , du\ , , , 1 [ди , dw\ , ,
)0(х—хо)+ у (а^+эу)о Cy-Jo)+ 2 +йх jo (г—zo)’
1 [dv .du\, . [dv\, .1 [dw . dv\ , ,
ЧгеФ = ~2 2 \dy+dzJ0^Z~Z^’
1 [du . dw\ , . 1 [dw . dv\ , . , (dw\ , ,
= "2 \dz Ydx X (x~xo)+ 2 (dy +dz X^’-'3'0^ \ dz
(49)
Отсюда следует первая теорема Гельмгольца: всякое дви-
жение жидкости или газа в окрестности некоторой точки
(полюса) можно разложить на квазитвердое движение, состоящее
из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг
полюса, и деформационное движение.
Заслуга выделения из общего движения элемента жидкости части,
отвечающей движению твердого тела, принадлежит Коши, который
в 1815 г. впервые ввел понятие о „среднем вращении жидкости
в точке". Однако, имея в виду дальнейшее развитие и применение
понятия вращения в теории вихрей, созданной Гельмгольцем, мы со-
храним общепринятое наименование только что доказанной теоремы.
Вектор Й с проекциями:
Q«=2w.
dw dv )
ду dz ’
r, „ du dw
ыл, = = -t-----— -ч—.
8* dz dx ’
г» n dv du
z z dx dy J
(50)
равный удвоенной угловой скорости вращения твердого тела, следуя
терминологии Гельмгольца, назовем „вихрем" или „ротацией" ско-
ростного поля квазитвердого движения и условимся обозначать сим-
волом rotV (иногда пользуются еще символом curlV). В рассмотрен-
ном частном случае поля скоростей твердого тела вихрь скорости
есть вектор, одинаковый для всех точек тела в данный момент вре-
мени, в общем же случае любого скоростного поля этот вектор будет
изменяться от точки к точке.
Вектор вихря (50) можно рассматривать как некоторую диффе-
ренциальную операцию, произведенную над векторной функцией V;
аналогичную операцию можно производить над любой другой вектор-
ной функцией, образующей поле. Так, например, в общей механике
условие потенциальности силового поля F(Fx,Fy,Fz) сводилось к вы-
полнению равенств:
dFz dFy dFx dFz dFv _~dFx
dy dz ’ dz dx ’ Эл dy ’
t. e. к равенству нулю вихря силы.
§10] СКОРОСТНОЕ ПОЛЕ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ
59
Для облегчения запоминания выражений проекций вихря скорости Q
или проекции вектора угловой скорости ю можно предложить сле-
дующие простые символические формулы:
Q = rotV = VXV, ]
w = lQ = XrotV = 4VXV, |
(51)
составление проекции которых по правилам векторного произведения
сразу дает (50) и (46).
Распределение скоростей, соответствующее квазитвердому дви-
жению жидкости, можно, согласно (45) и (51), представить в виде:
VK..1 = V0 + l(rotV)0X(r-~r0), (52)
где под (rotV)0 следует понимать значение вектора rotV в точке Л70.
Что касается вектора скорости деформационного движения ¥деф,
то его, согласно (49) и введенному ранее правилу умножения вектора
на тензор [§ 7, равенства (20) и (21)], можно представить в форме
^еф=(г — Го) 5, ’ (53)
где S — тензор (опускаем для упрощения письма индекс нуль):
[ ди дх ’ 1 (д® । 2 (дх ' ду)’ 1 /ди , дот\\ 2 (дг дх)
1 (до . ди \ до 1 /dw , до \
2 < дх ' ду) ’ ду’ 2 (ду > дг)
(Т fdu . dw \ k dz ' дх ) ’ 1 1'^w 1 &v \ 2 \ ду ' дг ) ’ dw dz /
(54)
называемый тензором скоростей деформации. Аналогичной таблицей
определяется в кинематике упругого тела „тензор деформаций" S,
если под и, v, ни понимать не проекции скорости, а малые переме-
щения упругой среды. Между этими двумя тензорами существует
очевидное соотношение:
S = Sdt, (55)
где dt — элемент времени, в течение которого произошли малые пере-
мещения тела.
Тензор скоростей деформаций так же, как и тензор деформаций,
симметричен. Так называется тензор, компоненты которого в таб-
лице симметричны относительно главной диагонали, т. е. SXy~ SJIX,
$2Ж = Аа.£.; из девяти компонент симметричного тензора
Различны только шесть.
62
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
(гл. I
а) для направления MqAIi:
х'у Vj 1 / dv ди\ 1 /ди дш\
~х^ 1’ ~х^ ~2 \дх ~^~~ду)о^’ Xi 2 \д.г + дх/о
б) для направления Л407И2:
x'v 1 /dv . ди\ у', г, 1 /dw , dv\
== "o’ ( “л F *А— ) —~~ === 1-~ === О’ ( "А Ь "А— )
у%-----------------------------2 \<Ъс 1 ду /о уг Уч 2 1 дг /о
получим
. 1 /dv . ди\ 1 1 / dv . ди\ п
Тэд=1 *-2 ^беск. мал. 2-го пор.
Окончательно найдем (опуская индекс нуль) для скорости i№y сно-
шения угла хОу.
• । ^._о< • < —±’
la® dt дх' ду 2 law
и аналогичные формулы для других направлений.
§ 11. Скорость объемного расширения жидкости. Интегральные
представления дифференциальных операторов поля. Основные
интегральные формулы
Деформационная часть поля скоростей характеризуется еще одной
важной величиной — скоростью относительного объемного расшире-
ния в данной точке, которую можно определить как предел
где Дт—малый объем, в котором взята точка. Эта физическая ска-
лярная величина носит наименование дивергенции (расходимости) ско-
ростного поля и обозначается символом divV, так что можно на-
писать
diVV== д5о^^(Лт)- (58)
Чтобы не смешивать бесконечно малые приращения в пространстве
с приращениями во времени, условимся в тех случаях, когда это может
повести к недоразумениям, . обозначать пространственные дифферен-
циалы символом 8, временные—d. Тогда (58) дает
divV==^4^)- <59)
В дальнейшем часто придется находить производную по времени
от элементарного объема жидкости. По (59) имеем:
£(8z) = div V • 6т. (59')
§ 11)
СКОРОСТЬ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОСТИ
63
Для определения величины div V воспользуемся приемом, идея
которого восходит еще к Эйлеру. Возьмем в данный момент вре-
мени I элементарную трубку тока и двумя произвольно наклонными
сечениями (рис. 9) do, и da2 выделим некоторый объем ABCD = n.
За время dt объем сместится в положение А'В'C'D' и, вообще го-
воря, изменится, причем, как легко сообразить, полное изменение
объема ABCD в этом случае будет равно:
d (8т) = объем А'В'CD' — объем ABCD =
= объем DD'CC —объем АА'В'В,
так как объем А'В'CD является общей частью объема трубки в на-
чальный и следующий моменты. Проведем внешние по отношению
к объему ABCD нормали п, и п2 и
внутреннюю нормаль п^, а также отме-
тим векторы скоростей V, и V2 в сече-
ниях dat и da2. Тогда будем иметь:
объем АА'В'В = dcj =
= dcj • dt • cos (V,, nJ)
= —Vj cos (Vj, Hj) dt • dap
объем DD’CC = da2 • /г2 =
= V2 cos (V2, n2) dl • da.2
и, следовательно,
^=Vln^1+V2ndo2. (60)
Возьмем теперь в поле скоростей
любой конечный объем т, разобьем его
поверхностями трубок тока на бесчис-
ленное множество элементарных объе-
мов 8т; при этом входные и выход-
ные сечения da заполнят всю поверх-
ность а, ограничивающую объем т.
Просуммируем равенства, подобные (60), по всем трубкам тока; тогда,
очевидно, получим общую формулу для любого конечного объема:
Vnd<}= j Vcos(V, ri)da= | п-Vda. (61)
<7 CT
Согласно (58), получим теперь следующее интегральное предста-
вление дивергенца скорости:
div V = lim -L (
Дт-^О^ J
Да
Vnda= lim i ( n • V da,
д— -> о J
Д(7
(62)
64
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[ГЛ. I
где Да — поверхность, ограничивающая малый объем Дг, заключаю-
щий в себе точку, в которой определяется divV; при стремлении Дт
к нулю поверхность Да стягивается в эту точку.
Замечая, что выражение
J V„rfa
Да
представляет секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутую
поверхность Да, ограничивающую объем Дг, содержащий внутри себя
точку, в которой опре-
координатный параллелепипед (рис. 10);
делится дивергенция, мо-
жем еще определить вели-
чину div V как предел от-
ношения секундного объ-
емного расхода жидко-
сти сквозь замкнутую
поверхность к объему,
ограниченному этой по-
верхностью, когда по-
верхность стягивается к
точке, в которой опре-
деляется дивергенция. Как
видно из хода доказа-
тельства, объем Дт со-
вершенно произволен по
форме. Выберем за Дт
элементарный декартов
тогда, составляя непосред-
ственно поверхностный интеграл в правой части (62) от значения Vn
по всем шести граням (эти значения показаны на рисунке), получим:
div V = lim
Дх —> О
_1___
йх Ду Дг
ди
дх
kxjkybz—иДуДг-J-
++ -jj; Ду) Дх Дг—Дх Дг
-j- (w -J- ~ Дг^ Дх Ьу — даДхДу-[-б. м. выс. nop.J,
откуда найдем искомое выражение дивергенции скорости в прямо-
угольных декартовых координатах:
ди . до । dw
div V = з—к- з—I—и— . (63)
дх 1 ду 1 dz v 7
По заданным уравнениям поля скоростей divV в данный момент
легко вычисляется. Для облегчения запоминания формулы (63) приведем
§ И]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
65
ее символический вид
div V = V • V.
(64)
Раскрывая правую часть по правилу скалярного произведения и
вспоминая (24), получим формулу (63).
Заметим, что дивергенция может рассматриваться как некоторая
общая дифференциальная операция, совершаемая над любой вектор-
ной функцией и определяемая формулами (62) и (63), куда вместо
вектора V надлежит вставить дифференцируемый вектор а. В этом
случае уже нельзя говорить о скорости объемного расширения, а вы-
ражение
J ап da = J* п • a da,
а п
где интеграл берется по некоторой (вообще говоря, не замкнутой)
поверхности а, называют потоком вектора а через поверхность а.
Если вектор а представляет скорость жидкости, то поток вектора а
совпадает с объемом жидкости, протекающим через поверхность а
в единицу времени, т. е. с секундным объемным расходом жидкости
сквозь сечение а, что приводит к ранее данному определению дивер-
генции скорости. *
В общем случае дивергенция вектора определяется как предел
отношения потока вектора сквозь замкнутую поверхность к объему,
ограниченному этой поверхностью, когда поверхность стягивается
к точке, в которой определяется дивергенция, т. е.
diva = lim i I anda= lim I n-arfo. (62')
Дт->0 Дт-»О •'
Да До
Выражение дивергенции вектора а в декартовых прямоугольных
координатах будет, аналогично (63), иметь вид:
diva
dax । dav . дае
дх ' ду дг ‘
(63')
Приведенный ранее вывод формулы (63) почти буквально можно
повторить для элемента объема в любой системе криволинейных коор-
динат (полярных, цилиндрических, сферических и др.) и получить,
таким образом, выражение дивергенции вектора-функции в криво-
линейной системе координат; это будет сделано далее в гл. VII.
Из формулы (62') легко выводится важная для дальнейшего инте-
гральная формула, впервые указанная в 1834 г. знаменитым русским
академиком М. В. Остроградским (1801—1861).
Разобьем любой конечный объем т на большое число малых
объемов Дт; обозначим поверхность, ограничивающую т, через а,
а Дт-через Да..
5 За*. 1841. Л Г. ЛойцвдседЯ'
66 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (ГЛ. t
Тогда, согласно (62'), будем иметь для элементарного объема Дт:
J П • a rfa = div а • Дт + е • Дт, (65)
Д(7
где е — малая величина, идущая к нулю с уменьшением Дт.
Просуммируем обе части равенства (65) по всем объемам Дт,
образующим конечный объем; получим:
2 J* п • = 2 div а • Дт 2 е •
Да
В сумме, стоящей слева, взаимно сократятся все элементы инте-
гралов, взятые по общим границам двух соседних малых объемов,
так как сама вектор-функция а в силу непрерывности имеет одина-
ковое значение на границе со стороны какого объема не совершался
бы подход к граничащей поверхности, в то же время внешняя нор-
маль к поверхности, ограничивающей один из малых объемов, является
внутренней нормалью к той же поверхности для смежного малого
объема; поэтому в рассматриваемой сумме часть слагаемых, равных
между собою по величине и противоположных по знаку, сократится.
Останутся лишь элементы интеграла, распространенные по внешним
частям поверхности а, окружающей объем т, т. е. поверхностный
интеграл по поверхности а. С правой стороны, если устремить к нулю
малые объемы Дт, останется объемный интеграл от diva, взятый по
объему т, так как второй член справа, как сумма малых четвертого
порядка, обратится в нуль. Таким образом, получим интегральную
формулу:
J* и • a ds = J div a dt (66)
(7 X
ИЛИ
J an ds = J div a dt. (66')
Q T
Эта интегральная формула Остроградского выражает объемный
интеграл от дифференциального оператора div а векторного поля
через интеграл от проекции вектора на внешнюю нормаль, взятый по
поверхности, ограничивающей выбранный объем. На первый взгляд
кажется странным, что при любом виде векторной функции а (под-
чиненной лишь ограничению .непрерывности и существования первых
производных по координатам) объемный интеграл, вычисление кото-
рого требует знания функции во всех точках внутри объема, выра-
жается .общей формулой через поверхностный интеграл, определяемый
значениями вектора-функции лишь на поверхности объема. Дело здесь
в том, что под знаком объемного интеграла стоит не сама функция,
а некоторый дифференциальный оператор от нее. Аналогично, беря
определенный интеграл от производной функции, получают разность
=Ш(
б)
) dz. (66")
§ 11J ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ 67
значений функции на краях интервала, независимо от того, каков был
непрерывный закон изменения функции внутри интервала.
Формула (66) в декартовой системе координат принимает обыч- •
ный вид формулы Остроградского:
J* j [axcos(n, х)^ aycos(n,y)-[-aecos(n,z)]da —
(о)
дау дае
дх ' ду ‘ dz
Если положить а = V, т. е. применить формулу (66') к скорост-
ному полю, то левая часть представит секундный объемный расход
жидкости сквозь замкнутую поверхность а, а правая часть определит
скорость увеличения объема т жидкости со временем; естественно,
что скорость увеличения объема равна секундному объемному рас-
ходу жидкости сквозь поверхность, окружающую этот объем.
Для облегчения запоминания формулы Остроградского, заметим,
что равенство (66) можно представить символически так:
J п • a da = J V • a dz, (67)
С * Т7
как будто орту внешней нормали в поверхностном интеграле соот-
ветствует дифференциальный оператор в объемном.
Из формулы (66) можно вывести одно, необходимое для дальней-
шего равенство, если применить ее к произвольному, но однородному
векторном» полю постоянного по величине и направлению вектора а.
Тогда получим
J” п • a da = О,
Ж
или, вынося постоянный вектор а за знак интеграла,
а * J п de = О,
Q
откуда, в силу произвольности вектора а, сразу следует, что для
всякой замкнутой поверхности можно написать:
J*n<fc=O, (68)
Q
Чисто геометрическое доказательство этой формулы можно найти,
например, в ранее указанном руководстве по векторному исчисле-
нию Н. Е. Кочина (изд. 1934 г., стр. 49). В геометрической трактовке
Формула (68) представляет предельную форму теоремы о равенстве
нулю геометрической суммы векторов, представляющих площади гра-
Ней замкнутого многогранника.
S*
68
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
(гл. i
Покажем теперь, что и для остальных двух, ранее введенных
дифференциальных операторов — градиента и вихря — можно вывести
интегральные представления и интегральные формулы, аналогичные
только что выведенным формулам (62) и (66).
Рассмотрим в поле скалярной функции <р произвольный малый
объем Дт (рис. 11) с поверхностью Да и рассечем его двумя смеж-
ными поверхностями уровня <р и dn, находящимися друг отно-
сительно друга на расстоянии dn,
отсчитанном по внешней нор-
мали и, проведенной через точ-
ку М первой поверхности уровня.
Рассмотрим поверхностный инте-
грал
J* n'tpda',
распространенный на поверхность,
окружающую объем dz, заклю-
ченный между проведенными по-
верхностями уровня и равный,
в силу малости всех величин, про-
изведению площади основания на
высоту dn-, под знаком интеграла
п'—внешняя нормаль к поверх-
ности интегрирования, dz'— эле-
мент площади поверхности.
Этот интеграл может быть представлен как сумма своих элемен-
тов, рассчитанных по площадкам fw.f-{-df, и, кроме того, инте-
грала по боковой поверхности, являющейся частью (пояском) поверх-
ности Да. Будем иметь:
j n'cpda' —— (/?^--^dn)(f-\-df)-]- J n'tpda' =
(бок)
==^n/dw-(-<p J n'da) ,
(бок)
так как можно считать, что по боковой поверхности рассматривае-
мого объема ® сохраняется. постоянным; с другой стороны, применяя
к той же поверхности формулу (68), получим
. —n/-{-n(/+rf/)+ fn'dz=O,
(бок)
откуда сразу следует, что выражение в скобках в правой части
предыдущего равенства равно нулю, а само равенство имеет вид:
| n'c rfa' = grad yfdn=* grad ® dz.
§ 11]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
69
Составим аналогичные равенства для всех бесконечно малых объе-
мов, образованных из объема Дт сечением его поверхностями уровня
функции ср, и просуммируем эти равенства по всему объему Дт; тогда
в сумме
2 J n'cpda'
останутся лишь слагаемые, относящиеся к боковым пояскам поверх^
ностей бесконечно малых объемов, на которые рассечен объем Дт,
т. е. не что иное, как поверхностный интеграл
J a'cpda'.
Да
Справа будем иметь объемный интеграл
J grad ® dz,
который в силу малости объема Дт будет равен
J grad ® dz = grad ® • Дт -|- е Дт,
ДТ7
причем е -> О, когда Дт 0.
Отсюда сразу получим (опуская ненужный уже сейчас индекс штрих)
искомое интегральное представле-
ние градиента
grad ср = 11m
Дт->0
1 |
Дт J
Да
и путем, совершенно аналогичным
примененному для операции ди-
вергенции, выведем вторую инте-
гральную формулу:
*
У п® da = у grad ср dz. (70) v
q т
Аналогичного типа формулы
можно установить и для операции
вихря. Рассмотрим в поле квази-
твердого вращения жидкости с
угловой скоростью to, равной по
предыдущему [формула (51) § 10]
~2 rot V, малый цилиндр с осью,
Рис. 12.
параллельной оси вращения,
Радиусом г, высотой h, объемом и поверхностью, соответственно
равными Д-t и Да (рис. 12). Составим поверхностный интеграл от
70
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ
[гл. I
векторного произведения орта внешней нормали п к поверхности
этого цилиндра на вектор вращательной скорости V. Тогда, выбирая,
как показано на рисунке, за элемент боковой поверхности цилиндра
полоску, ограниченную двумя образующими на расстоянии ds друг от
друга, а в плоскостях оснований — симметричные элементы, убедимся,
что искомый поверхностный интеграл сведется к следующему:
J nXVdo= J (nXV)Arfs,
Аа (бок)
так как элементы интеграла по основаниям цилиндра взаимно со-
кратятся.
Замечая, далее, что на боковой поверхности цилиндра вектор
nXV параллелен вектору to и равен по величине V = <ог, будем
иметь с точностью до малых высших порядков:
J пХ V da — tar J hds = ‘Inr^h-ta = rot V At.
До (бок)
Отсюда следует точное равенство:
rot V = lim i I nXV da,
Дт-э-О21’1 '
(71)
обобщая которое на случай любого векторного поля вектора а и
произвольный закон стягивания поверхности Да, окружающей элемен-
тарный объем Ат, к данной точке пространства, получим следующее
интегральное определение вихря вектора:
rota= lim
Дх->0
1 г
Ди ,1
Да
п х a da.
(72)
Пользуясь этим определением, легко получить выражение вихря
в декартовых координатах. Для этого воспользуемся тем же прие-
мом, что и для выражения дивергенции в декартовых координатах.
Применим формулу (72) к координатному параллелепипеду с малыми
сторонами Дх, Ду, Дз (рис. 13). Тогда, проводя непосредственное
интегрирование по поверхности параллелепипеда, будем иметь в силу
малости граней:
f nXadc = ^ — (iXa)4-ix(a+|^ Дх^ДуДг-f-
4-[-0Ха) + )Х(а + ^Д^)]ДхДг +
-f- —(кХа)-[-кХ^а-|-||-Лг^Дх Ду -f-б. м. выс. пор. =
=[(' x£)+(Jx®)+(kx£)] А*
§ 12]
ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ
71
Отсюда по формуле (72), переходя к пределу, будем иметь
rota==ixg-HXg + kx£.
Проектируя на отдельные оси по правилам проектирования век-
торного произведения, найдем:
dzz2 da,t
(rota)^
ду dz ’
(rot а)у _ dag, dz д«2 дх ’ |
да,, dzr,. I
(rot a)s
дх ду • J
(72')
Легко видеть, что формулы (50) являются частным случаем этих фор-
мул при ах — и, ау = v, az = -w.
Приемом, аналогичным ранее использованному при выводе инте-
гральных формул для диверген-
ции и градиента, из равенства (72)
получим
J п X а = J rot a dx. (73)
Q
Здесь, согласно прайму (51),
вновь оправдывается символиче-
ский прием для запоминания инте-
гральных формул: орт п в по-
верхностном интеграле заменяется
оператором V в объемном
J П X ada = J VXarft. (74)
О т
Интегральные формулы (66),
(70) и (73) будут играть важ-
ную роль в выводе основных уравнений динамики жидкости и газа,
а также и в некоторых кинематических вопросах.
§ 12. Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца.
Интенсивность вихревой трубки
Как было ранее (§ 10) уже выяснено, элементарный объем жид-
кости или газа, совершая свое поступательное движение в пространстве,
непрерывно при этом деформируется и поворачивается, как одно целое,
вокруг мгновенной оси, направление которой совпадает с вихрем ско-
рости; угловая скорость мгновенного поворота равна половине вели-
чины вихря скорости. Чтобы лучше представить себе эту бесконечную
72
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМА ГИКА СРЕДЫ
[гл. I
совокупность мгновенно вращающихся элементарных объемов жидкости,
введем в рассмотрение векторные линии поля угловых скоростей
вращения о) или, что все равно, векторные линии поля вихря ско-
рости rot V = 2(0. Эти векторные линии назовем вихревыми линиями
или вихревыми нитями.
Напомним общий способ построения векторных линий, особо
поучительный в данном конкретном случае.
Рассмотрим в данный момент t вблизи точки М (рис. 14) вращаю-
щийся элементарный объем 8т и отметим вектор угловой скорости (о
его вращения. Переместившись вдоль этого вектора на малый отре-
зок ММ', • проведем в тот же момент времени t вектор о/ угловой
скорости вращения элементарного объема в точке М', затем вектор
угловой скорости и" в точке М" и
т. д. Полигон ММ'М"... в пределе
образует вихревую линию. Элементар-
ные жидкие объемы, расположенные
вдоль линии, вращаются вокруг каса-
тельных к ней в соответствующих точ-
ках. Вихревая линия играет роль кри-
волинейной оси вращения этих объемов.
Представим себе элементарные объемы
жидкости как „бусинки" с заранее
проделанными в них отверстиями для
продевания нитки. Непрерывность поля
скоростей в жидкости приводит к та-
кой ориентации „бусинок", что нитка,
продетая в одну „бусинку", попадет
отверстие следующей „бусинки" и т. д. Нитка, проходящая
отверстия „бусинок" (рис. 14, справа), дает представление
«
В
ТОЧНО
через
о вихревой нити или линии. Конечно, образ твердых „бусинок
отражает лишь вращательное движение элементарных объемов жидко-
сти и ничего не говорит о непрерывной деформации этих объемов.
Кроме того, вращение объема жидкости вокруг данной оси нельзя
рассматривать как некоторый длительный процесс во времени; вих-
ревая линия является огибающей мгновенных осей вращения. Рас-
положение этих мгновенных осей во вращающихся жидких объемах
все время изменяется. Вместе с тем изменяется и конфигурация самих
объемов, так как жидкость совершает еще деформационное движение.
Вектор G) = -g-rotV представляет мгновенную угловую скорость
некоторого воображаемого твердого тела, которое образовалось бы
при мгновенном затвердевании рассматриваемого жидкого элементар-
ного объема.
Можно дать еще другую интерпретацию вектора угловой скорости
жидкого объема. В любой точке деформационного скоростного поля
§ 12J
ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ И ТРУБКИ
73
жидкости в данный момент времени существуют такие три взаимно
перпендикулярные оси (главные оси тензора скоростей деформаций),
скорости скошения которых равны нулю. Такой, для разных точек
пространства различный „жесткий скелет“ будет в данный момент
времени иметь угловую скорость, как раз равную1
w = у rot V == у 9.
Проведя вихревые линии через точки замкнутого элементарного
контура, образуем элементарную вихревую трубку; аналогичным при-
емом получим вихревые трубки конечного размера.
Вихревые трубки обладают общим свойством, выражаемым вто-
рой теоремой Гельмгольца: поток вихря вектора через
сечение вихревой трубки одинаков для всех сечений трубки.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим сначала конечную
вихревую трубку (рис. 15) в поле любого вектора а и отсечем от
Рис. 15.
нее двумя произвольными сечениями Cj и os некоторый конечный
объем т; боковую поверхность вихревой трубки, ограниченную кон-
турами этих сечений, обозначим через авок- Тогда, применяя к выде-
ленному объему трубки интегральную формулу Остроградского (66),
получим для вектора rota:
J* (rot а)га- dz J (rot a)nz Ас ф- (rot а)„» da = J div rot a dt,
°* °бок x
ГГГИ^194^’ Г" Лойцянский, Аэродинамика пограничного слоя. ОГИЗ
74 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ (ГЛ. 1
где п' — внешняя нормаль к поверхности ингещирования; заметим,
что, по определению потока вектора, первые два интеграла в левой
части определяют потоки вихря вектора а сквозь два произвольных
сечения вихревой трубки в направлении изнутри объема наружу,
третий интеграл равен нулю, так как на поверхности вихревой трубки
нормаль перпендикулярна вихрю вектора; наконец, легко подсчитать,
что интеграл в правой части тождественно равен нулю, так как
.. . д /даг dav\ д (дах
div rot а = -г~ (-5----л-|-з—
дх \ ду dz J 1 ду \ дг
д (дау___даху __
дх ) * дг \ дх ду )
Обозначим через п нормаль к поверхностям сечений aj и а2, на-
правленную в сторону вектора вихря, т. е. внутрь объема для сече-
ния и наружу — для з2; тогда найдем
J (rot a)n da = J (rot а)и da, (75)
с
что и доказывает вторую теорему Гельмгольца, проформулированную
для любого векторного поля.
Полагая:
a = V, rot а = rot V = й, -^-rotV — w,
получим гидродинамическую форму равенства (75):
У t2n rfc = const или у <ои da — const. (76)
в а
Из равенств (76) вытекает следующая гидродинамическая форму-
лировка второй теоремы Гельмгольца: поток вихря скорости сквозь
сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени для
всех сечений трубки, или иначе: поток угловой скорости сквозь
сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени для
всех сечений трубки.
Доказанная теорема приобретает особенно простой и наглядный
смысл, если ее применить к элементарной вихревой трубке. В этом
случае можно провести плоские сечения нормально к вихревым линиям
трубки, и, в силу малости площадей этих сечений dax и da%, напи-
сать:
ojj dar — w2 da2 или w da — const. (76')
Отсюда следует, что в меньшем по площади сечении трубки
угловая скорость вращения больше, и наоборот.
Одинаковость потока вихря вектора сквозь любое сечение вихре-
вой трубки позволяет принять поток вихря за меру интенсивности
§ 13J ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУВКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ
75
вихревой трубки и положить
i = I (rot а)га da.
В кинематике жидкости под интенсивностью вихревой трубки пони-
мают поток вихря скорости
i = I" (rot V)„ da = J 2n da. (77)
В некоторых курсах под интенсивностью
вихревой трубки скоростного поля жидко-
сти понимают поток вектора угловой ско-
рости
fa)„da==|z. (77')
Важным следствием доказанной теоремы
Гельмгольца является невозможность окон-
Рис. 16.
Рис. 17.
чания вихревой трубки в жидкости, так как
при уменьшении площади сечения трубки до
превратилась
(рис. 16). Как показывают опыты,
вихревые трубки либо образуют зам-
кнутые кольца, либо заканчиваются
на стенках сосудов или на свобод-
ных поверхностях (рис. 17).
Подчеркнем еще раз, что вто-
рая теорема Гельмгольца говорит
об одинаковости потока вихря вдоль
трубки в данный момент времени;
о том, будет ли интенсивность
трубки постоянной во времени или
нет, можно судить лишь на основа-
нии рассмотрения динамического процесса движения трубки, характера
приложенных к жидкости сил, физических свойств жидкости и др.
нуля угловая скорость
бы в бесконечность
§ 13. Выражение интенсивности вихревой трубки через цирку-
ляцию вектора по контуру, охватывающему трубку. Теорема
об изменении циркуляции скорости во времени
Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается
непосредственному измерению. Сравнительно просто можно мерить
скорости частиц жидкости. Естественно встает вопрос об установле-
нии связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением
76 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [ГЛ. I
Для решения этого вопроса введем характерную для поля ско-
ростей величину — циркуляцию скорости вдоль некоторой линии;
понятие циркуляции скорости представляет одно из самых основных
понятий современной гидромеханики.
Напомним сначала общее определение циркуляции: циркуляцией
вектора по некоторому контуру называется вычисленный вдоль
контура криволинейный интеграл от проекции вектора на каса-
тельную к контуру. Примем обозначение (рис. 18):
в в
Гав (а) = J а • dr— f a cos (a, dr) ds —
А А
в в
= f aBds — J (axdxA- ау dy -f- аг dz). (78)
А А
Если точки А и В совпадают, циркуляция вектора по замкнутому
в этом случае контуру будет обозначаться так:
Г(а) = фа« dr — §a8ds и т. п. (79)
Вспомним, что такого рода формулами приходилось уже пользо-
ваться в теоретической механике при вычислении работы, равной цир-
куляции силы.
В случае замкнутого контура необходимо условиться в выборе
положительного направления интегрирования вдоль контура. Для этого
Рис. 18.
рассмотрим некоторый себя не пересекающий замкнутый контур С
(рис. 18) и проведем через него разомкнутую поверхность а, опираю-
щуюся на этот контур. Будем различать у поверхности а две стороны,
например, выпуклую и вогнутую. Одну из них, на рисунке выпуклую,
выберем произвольно за положительную и условимся в ту же сто-
рону откладывать и положительное направление нормали к поверх-
ности. Выбрав положительную сторону поверхности и направление
§ 131
ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУБКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ
11
нормали к ней, примем за положительное направление обхода по
контуру такое, при котором для наблюдателя, смотрящего вдоль поло-
жительной нормали, при обходе контура поверхность остается слева.
При рассмотрении контура, лежащего в одной плоскости, можно
дать более простое правило: положительное направление обхода пло-
ского контура совпадает с на-
правлением вращения головки
винта, когда сам винт пере-
мещается в направлении поло-
жительной нормали к плоско-
сти контура.
Чтобы установить связь
между интенсивностью вихре-
вой трубки в поле вихря не-
которого вектора и циркуля-
цией этого вектора по контуру,
возьмем сначала плоский малый
контур ДС (рис. 19) с пло-
щадью Да и построим на нем
цилиндр, высота которого h
также мала. Применяя к этому
цилиндру интегральное опреде-
ление вихря (72), получим:
rot а == lim 4-1 n' X a rfa,
причем поверхностный интеграл распространяется на полную поверх-
ность цилиндра.
Проектируя обе части этого равенства на нормаль п к элементу Да,
получим:
(rot a)„ = lim J- I п • (n' X a) cfa.
Д-г О «/
Согласно известному свойству тройного произведения
n . (n' X а) = а • (n X п'),
позволяющему заменять циклически порядок сомножителей, можно
полученное выражение проекции вихря на нормаль переписать в виде
(rota)„ = lim г- a-(nX n')da.
Дт->Оцг •!
I °
Поверхностный интеграл, стоящий в правой части под знаком пре-
ела» может быть в силу малости цилиндра вычислен непосредственно.
7 8 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гЛ. I
Заметим для этого, что вектор n X п' не равен нулю только на боко-
вой поверхности цилиндра, причем для заштрихованного на рисунке
элемента этой поверхности будет:
(п X п/)= (п X п') h ds = hdr,
тогда найдем (е — малая величина, стремящаяся к нулю при уменьше-
нии Да)
(rot а),г • г/г • Л + е,
АС
откуда следует
(rot а)„ Да ~ а • dr -f- s Да, (80)
дс
т. е. с точностью до малых высших порядков поток вихря вектора
через площадку Да равен циркуляции вектора вдоль контура, огра-
ничивающего эту площадку.
Из формулы (80) предельным переходом можно получить следую-
щее интегральное представление проекции вихря вектора на любое
направление
(rota)„== lim J-fa-rfr, (81)
д,-»о
где Да — некоторая малая плоская площадка, перпендикулярная к напра-
влению п, а ДС—окружающий ее контур.
Пользуясь этим определением, легко вы-
вести формулы проекций вихря на оси
декартовых или криволинейных координат,
непосредственно вычисляя контурный инте-
грал по сторонам координатных элементар-
ных прямоугольников и переходя затем
к пределу.
Возьмем теперь какой-нибудь себя не
пересекающий контур С конечной длины и
опирающуюся на него разомкнутую поверх-
ность а (рис. 20). Разобьем поверхность а
на большое число малых площадок Да про-
извольной формы и, написав для каждой
ство (80), просуммируем обе части этих
гкам. Будем иметь:
2 (r°tа),Л До = 2 J а • dr-'r
АС
Первая сумма в правой части равенства приводится к контурному
интегралу по замкнутому контуру С, так как слагаемые суммы, под-
считанные для отрезка контура, по которому граничат две смежные
rota
Рис. 20.
такой площадки
равенств по всем
13] ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУБКИ И ЦИРКУЛЯЦИЯ
79
Рис. 21.
площадки (рис. 21), при непрерывности вектора а будут иметь оди-
наковую величину, но разные знаки, в зависимости от того, к какой
из площадок слагаемое относится (на рис. 21 элементарные площадки
несколько раздвинуты, чтобы можно было показать противоположное
направление обхода контуров вдоль
общей границы двух смежных пло-
щадок).
Переходя к пределу при беско-
нечно большом числе площадок,
образующих поверхность а, найдем:
f (rot а)и da = I” а • dr. (82)
с С
Интегральное соотношение (82)
показывает, что поток вихря век-
тора сквозь некоторую разомкну-
тую поверхность равен циркуля-
ции вектора по контуру, ограничивающему эту поверхность. Этот
результат, представляющий содержание теоремы Стокса, позволяет
сводигь определение интенсивности вихревой трубки в поле вихря
скорости к вычислению циркуляции скорости по замкнутому контуру,
охватывающему вихревую трубку
(например по контуру С1т охваты-
вающему вихревую трубку и ограни-
чивающему поверхность а, сечения
трубки на рис. 15).
Если в односвязном 1 простран-
стве заданы (рис. 22) несколько изо-
лированных вихревых трубок с ин-
тенсивностями /j, z2, ..., т. е. таких,
что повсюду в области вне трубок
(на поверхности а вне заштрихован-
ных площадок aj, а2, <з3,_) вихрь
вектора равен нулю, то циркуляция
вектора (в частности вектора скоро-
сти) по контуру, опоясывающему рас-
сматриваемые вихревые грубки, равна сумме интенсивностей этих
тРубок, как об этом можно непосредственно заключить из рис. 22:
zZr = z'j z2
ст T. е. таком, что любой замкнутый контур, расположенный в этом про-
об « СТВе’ М01кет быть непрерывной деформацией сведен в точку (подробнее
этом будет сказано в начале гл. V).
80 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СРЕДЫ [гЛ.
В заключение настоящей главы, посвященной элементам кинематиш
сплошной среды, рассмотрим еще одну важную для дальнейшего ^.тео-
рему об изменении во времени
циркуляции скорости по движу-
щемуся вместе с жидкостью
контуру.
Рассмотрим некоторую „ жид-
кую “ линию АВ (рис. 23),
направленный элемент которой
обозначим через 8г. Циркуля-
ция скорости по этой кривой,
равная
в
ГдВ(¥)= fv-бг,
А
будет изменяться во времени
как в силу перемещения и
деформации контура (конвек-
тивное изменение), так и из-за
нестационарное™ поля (локаль-
ное изменение). Определим индивидуальную производную по времени
от этой циркуляции. По определению интеграла, производная от него
будет складываться из двух частей:
в в
^ГлвОО-=/^.«г+/у> (83)
А А
Первый интеграл представляет не что иное, как циркуляцию уско-
рения по контуру АВ’.
в в
J^.8r= fv. 8Г_Гав(¥). (84)
А А
Второй* интеграл легко преобразуется, если заметить, что порядок
взятия операций производной по времени ~ и дифференцирования
в пространстве 6 может быть изменен:
s8r-s * * 8ff=8v- <86>
Действительно, рассмотрим два последовательных положения жид-
кого отрезка (рис. 23): 6г — в момент времени t и 8r -1- d 8г—
в момент t-\-dt. Перемещения концов жидкого отрезка будут соот-
ветственно: V dt (начало отрезка) и (V-j-6V)<# (конец отрезка).
^13] ИНТЕНСИВНОСТЬ ВИХРЕВОЙ ТРУБКИ И {ЦИРКУЛЯЦИЯ 81
Из векторного четырехугольника сразу следует
V dt 4- 8r -f- d 8r = 8r -f- (V + 8 V) dt,
или, после простых сокращений, искомое равенство (85).
Подставляя теперь в (83) значения интегралов, по (84) и (85)
получим:
в в
£Гав(У) = Гав(У) J- fv-8V=--rAB(V) f =
(IT * »' \ *• J
A A
= Гдв(У) + у(^—1/1).
Предположим теперь, что кошур АВ замкнут, т. е. точки А и В
совпадают. Тогда предыдущая формула дает
^Г(¥) = Г(¥). (86)
Отсюда следует теорема Кельвина: производная по времени
от циркуляции скорости по замкнутому контуру, движущемуся
вместе с жидкостью, равна циркуляции ускорения по тому же
контуру.
Такая формулировка теоремы Кельвина делает ее чисто кинемати-
ческой, не зависящей ни от физических свойств жидкости, ни от
характера приложенных к жидкосги сил. В динамике будут изложены
важные следствия этой теоремы, в частности будут выяснены условия,
при выполнении которых циркуляция скорости сохраняется во вре-
мени; с кинематической точки зрения важна сама связь (86) между
циркуляциями скорости и ускорения.
Подчеркнем, что как последняя, так и все предыдущие теоремы
настоящей главы основаны лишь на допущении о непрерывности
поля скоростей в жидкости или газе и существовании первых произ-
водных от скоростей по времени и координатам; теоремы, изложен-
ные в этой главе, верны для любой сплошной среды.
6 Зак. 1841. л г, Лойцянский.
1'ЛАВА II
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 14. Распределение массы в сплошной среде. Плотность
и удельный вес. Напряжения. Тензор напряженности и его
симметричность
В динамике сплошной среды, так же как и в кинематике, при*
меняется общий прием замены значений физических величин, относя-
щихся к отдельным частицам среды, непрерывным распределением
этих величин в пространстве.
Возьмем некоторый малый объем жидкости или газа Дт, содер-
жащий внутри себя данную точку М пространства, и пусть масса
этого объема будет Д/«; скалярная величина, определяемая предельным
выражением
причем предполагается, что при стремлении объема Дт к нулю точка М
все время остается внутри объема, называется плотностью распре-
деления массы или, короче, плотностью среды в данной точке Ж.
Обратную величину v = ~~ называют удельным объемом. Плотность
движущейся или покоящейся жидкости (газа) зависит о г различных
обстоятельств: температуры, давления, а также от характера движения
среды. В конечном счете плотность представляется некоторой функ-
цией координат и времени
р = р(х, у, z; t)
и образует, следовательно, скалярное поле, которое может быть как
стационарным, так и нестационарным.
В* технических вопросах часто вместо плотности предпочитают
иметь дело с удельным весом, определяемым как предел отношения
веса малого объема к величине объема. Удельный вес равен
Д/и
1= lun §-д7 = ^Р< G)
д~-»о
$ 14]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ М\ССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ
где g — ускорение силы тяжести, принимаемое в дальнейшем равным
9,81 mJ сек2.
Из формул (1) и (2) следует:
dm = pdx = — dx.
(3)
Поверхности или, в частном случае плоского распределения,
линии уровня скалярного поля плотностей называют изостерическими
поверхностями или линиями, короче, изостерами (от греческого слова
steros, что означает плотный).
Плотность, как масса, отнесенная к единице объема, измеря*
в технических единицах кг • сек2)м\ удельный вес — в кг[мЛ.
Приводим несколько наиболее употребительных средних величин и
костей и удельных весов жидкостей и гавов.
Удельный вес жидкостей
Таблица 1
Жидкость 7 кг!мя Жидкость при 20° С 7 кг/лг’
Вода при
0°С 1000 Спирт 800
20°С ... 998 Бензин 720
70° С . 978 Керосин 816
100° С 958 Смазочное мае по 912
Вода морская 1024 Глицерин 1248
Таблица 2
Плотность и удельный вес воздуха при 760 мм рт. ст.
1емп. °C —20 —10 0 10 20 40 60 80 100
г кг сек" м* 0,142 0,137 0,132 0,127 0,123 0,114 0,108 0,101 0,09b
кг 7 — 1,39 1,34 1,29 1,24 1,20 1,12 1,06 0,99 0,94
При оценочных расчетах можно принимать для воздуха значение плот-
ности при 15° С
р = 0,125 = кг • сек^/м4,
Для воды при той же температуре
9 = 102 кг • сек^м*.
6*
84 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [гЛ. 11
Таблица 3
Удельные веса некоторых газов при 0°С и 760 мм рт. ст.
Название газа 7 кг/лг8 Название газа 7 кг/м3
Кислород Водород Азот Воздух Перегретый пар . . . 1,43 0,090 1,25 1,29 0,803 Метан Окись углерода . . Углекислый газ . . Г елий 0,717 1,25 1,98 0,179
Согласно закону Авогадро, килограммолекулы всех газов при одинаковых
условиях (давление, температура) занимают один и тот же объем, ниыми сло-
вами, каков бы ии был газ с молекулярным весом М кг, его удельный
вес у кг/м8 равен отношению молекулярного веса к объему килограммоле-
кулы, одинаковому для всех газов и при 0° С и 760 мм рт. ст. равному 22,4 м3,
т. е.
А1 . ..
Кг1м ’
так, например, для водорода Н2 имеем М = 2 кг, следовательно, 7 = 2:22,4 =
— 0,09 кг) к3, для кислорода О» будет М = 32 кг, следовательно, f — 32:22,4=
= 1,43 и т. д.
Плотность воды, так же как и других капельных жидкостей,
слабо зависит от температуры и почти не зависит от давления,
так как под влиянием даже больших давлений объем жидкости
меняется сравнительно мало.
Так, например, относительное изменение объема воды при увели-
чении давления на одну атмосферу и при сохранении темпера-
туры несколько менее 0,00005, глицерина — 0,000025, керосина —
0,000077, спирта — 0,00011.
Наоборот, плотность газов сильно меняется с давлением и
температурой. Напомним, что по закону Бойля — Мариотта при дан-
ной температуре плотность газа прямо пропорциональна давлению,
а по закону Гей-Люссака при данном давлении плотность газа растет
пропорционально его абсолютной температуре.
Силы, приложенные к частицам жидкости или газа, можно разбить
на два класса: 1) массовые или объемные силы и 2) поверхностные
силы.
К первому классу относятся силы, приложенные ко всем части-
цам ср^ды, заполняющим некоторый объем, как, например, силы веса,
тяготения, электростатического притяжения, а также, в известном
условном смысле слова, силы инерции; ко второму классу — силы,
непосредственно действующие лишь на боковую поверхность выделен-
ного жидкого объема, как, например, давление твердого тела на
обтекающую его жидкость, трение жидкости о поверхность тела и др.
§14] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ
85
Массовые силы будем задавать вектором F интенсивности, или
плотности их распределения, который можно определить как
предел
„ дрл 1 др'
F = lim -т— = — lim -г—
Р Аг->0 Дг
(4)
отношения главного вектора AF' массовых сил, приложенных к части-
цам объема Дт, к массе этого объема Дт. Тогда массовая сила,
приложенная к элементу объема dx в данной точке, будет равна pF dx.
В случае, например, силы веса плотностью распределения массовых
сил будет служить вектор ускорения силы тяжести g.
Поверхностные силы, аналогично, будут задаваться плотностью
своего распределения или напряжением
р = Нт ~~,
Р д0->о До
(5)
где Др'— главный вектор сил, приложенных к некоторой площадке До.
Вектор поверхностной силы, приложенной к площадке da в данной
точке пространства, равен prfc, т. е. произведению вектора напря-
жения на величину элементарной площадки.
Отметим основное различие между векторами F и р: в то время
как вектор F является однозначной векторной функцией точек про-
странства и времени, т. е. образует векторное поле, вектор р
принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество
значений в зависимости от ориентировки плащадки, к которой
приложено напряжение. Можно сказать, что напряжение представляет
функцию двух векторов: век-
тора-радиуса* г точки и орта
нормали п к площадке в выбран- / \ s'
ной точке. {
Возьмем в точке М сплошной 1 _р d(J \ ~ \ Р~ва '
среды площадку de, ориентация г \ ? п
которой в пространстве опреде- \ /
ляется ортом п нормали к пло-
щадке (рис. 24). Откинем мы- Рис. 24.
сленно часть жидкости с поло-
жительной стороны площадки, куда направлен орт п, и заменим
Действие откинутой части жидкости на площадку da некоторой
поверхностной силой ри da, где значок п отмечает, что сила при-
ложена к площадке с ортом нормали п. Если бы, наоборот, была
откинута часть жидкости с отрицательной стороны, то эквивалент-
ная действию откинутой жидкости сила, приложенная к площадке,
оьша бы, согласно закону действия и противодействия, равна —ри da.
Вектор напряжения рп, как уже упоминалось, зависит от ориен-
тации площадки в данной точке 7И. Попытаемся определить такую
величину, которая была бы однозначной функцией положения
86
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. П
точки М, т. е. не зависела бы от ориентировки площадки, и
вместе с тем служила бы для определения напряжения р.„ в зави-
симости от заданного орта п площадки.
Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале § 7 пре-
дыдущей главы. Скаляр и вектор зависели не только от поло-
жения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления
дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и
векторного полей, ио выражались простыми формулами (10) и (23)
как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или
дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины
были уже однозначными функциями и образовывали соответственно
векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно
выразить как произведения орта п нормали площадки и некото-
рого тензора, представляющего однозначную функцию точек про-
странства.
Рассмотрим вырезанный в среде элементарный ' тетраэдр МАВС
(рис. 25), с вершиной в данной точке 7И, основанием — треуголь-
ником АВС, образованным пересечением наклонной плоскости тремя
координатными плоскостями и имеющим площадь dan, и боковыми
гранями в координатных плоскостях с площадями ida9, d<?v, dc?.
§ 14]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ
87
Значок при элементарных площадках, так же как и при напряжениях,
приложенных к ним, обозначает ось, перпендикулярную площадке.
Рассматривая взятый бесконечно малый тетраэдр как жидкий, т. е.
состоящий из частиц движущейся жидкости, напишем уравнение дви-
жения центра тяжести этой системы частиц, общая масса которых
пусть равна будем иметь
Vc dm = F dm -f- ри dan — pT — p?/ day—p£ dag, (6)
где Vc —вектор ускорения центра тяжести тетраэдра, F — плотность
распределения объемных сил в жидкости, ри, рж, ру, рг — векторы
напряжений, приложенные к положительным сторонам площадок dan,
dax, day и dae, т. е. с той стороны, куда направлены векторы n, i,
j и к (на рис. 25 показаны векторы ориентированных площадок i dax,
jday, kdcs и ncfcj; в правой части уравнения (6) при последних
трех членах стоят знаки минус, так как внешние стороны площадок da^.,
day, daz при принятом направлении ортов осей оказываются отрица-
тельными.
В уравнении (6) член слева и первый член справа, как величины
третьего порядка- малости, содержащие элемент массы, пропорцио-
нальной объему, можно откинуть по сравнению с остальными членами,
пропорциональными элементам поверхности; тогда будем иметь
Ри dan = Рж dy + Р?/ doy рг
Замечая, что:
da,e == dancos(n, х) — dan,
• day — da п cos (п, y) = nydan,
das = dan cos (n, z) = iie dan, {
получим:
Pn = «ЖРЖ + nypy 4- nspg,
или в проекциях на оси декартовых координат:
Рпх ^хРсех
+ пуРух
Р ну ^хРху ~4~ ПуРуу 4“ ftzPzyi '
P„Z ~ ' ftxPxZ “1” ftyPyg Г ^zPzz' I
(7)
(8)
(9)
(10)
Припоминая определение напряжений рж, ру, рг, заметим, что при
принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжении р
обозначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка,
второй индекс — ось, на которую спроектировано это напряжение;
так> например, pxz обозначает проекцию на ось z напряжения, при-
ложенного к площадке, перпендикулярной оси х.
88
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
(ГЛ. II
Величины рях, рУу, Рег называют нормальными напряжениями,
рху, Pyzj Pzx---—касательными напряжениями.
Система равенств (10) показывает, что проекции на оси коор-
динат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке,
выражаются простой линейной зависимостью через проекции напря-
жений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам,
лежащим в координатных плоскостях, т. е. через совокупность девяти
величин:
Рух>
(Рха> Рух<
Рху> Руу>
Ptoz> Руг’
Руг’
Ргя\
Риу 1>
Риз /
(11)
причем зайисимость эта совершенно аналогична системе равенств
(20) § 7.
Вспомним данное в § 7 гл. I общее определение тензора 2-го
ранга, как совокупности девяти величин, которые, будучи умножены
на проекции физического вектора по формулам типа (20) § 7 гл. I
или, что все равно, по формулам (10) настоящей главы, определяют
проекции также физического вектора.
Согласно этому определению, совокупность девяти напряже-
ний (11) образует тензор 2-го ранга, который обозначим заглавной
буквой Р и назовем тензором напряженности или тензором напря-
жений.
Вектор напряжения ри, приложенный к любой наклонной площадке
с ортом и, определяется как произведение этого орта на тензор
напряженности по формулам (10) или, в синтетической форме,
Р» = пР.
(12)
Итак, в каждой точке жидкости или газа имеется бесчисленное
множество векторов напряжений рп, зависящих от выбора наклона
площадки в этой точке, и один тензор Р, характеризующий напря-
женность жидкости в данной точке. Напряжения, приложенные
к различно направленным площадкам, выражаются по формулам (10)
или (12) через значение тензора напряженности в данной точке.
Отдельные компоненты тензора Р, образующие таблицу (11), зависят
от выбора направлений осей координат, но тензор в целом пред-
ставляет физическую величину, выражающую определенное состоя-
ние жидкости или газа — их напряженность, и не зависит, конечно,
от выбора координат.
Применим теперь теорему моментов к движению жидкого тетра-
эдра, причем, по предыдущему, пропустим, как малые высшего порядка,
члены, выражающие момент количества движения тетраэдра и момент
массовых сил, пропорциональные объему тетраэдра. Тогда, обозначая
через г, г,, г2 и г3 (рис. 25) векторы-радиусы по отношению
к точке М точек N, Nj, Ng и Na приложения векторов напряжении.
§ 14] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕННОСТИ 89
граней, будем иметь:
г X ри dan = ri X Рш + r2 X Ру doy + r9 X Рг daz,
или по (8):
г X Рп = Г1 X Pa-Wfl. -j- r2 х Pytly + Гв X РЛ,
с другой стороны, умножая векторно на г обе части равенства (9),
получим:
Г X Рп = Г X Рл + Г X РуПу+г х рл;
отсюда почленным вычитанием найдем:
(г--Г]) X РхПл: + (г--Г2) X Рупу 4~ (г — ^з) X РЛ. = 0.
С ошибкой тем меньшей, чем меньше размеры граней, можно
считать, что напряжения распределяются по граням равномерно, и,
следовательно, главные векторы их приложены в центрах тяжести
граней, т. е. на пересечениях медиан соответствующих треугольников,
в точка*х N, Nr, 1\у и N&, причем точки N% и Ns будут проек-
циями точки N на координатные плоскости; отсюда следует:
г —Г] = х1, г — г8=д г—г3-=гк,
так что предыдущее равенство переписывается в виде:
хпаЛ X Р® +уПу! X Ру 4- Zn^k X Рг = 0- 4 3)
Докажем, наконец, чго
~ У пу = гпе>
для этого заметим, что плоскость NtN2Na параллельна плоскости
NiN2Ns или, что все равно, плоскости АВС, так как по определению
ючек пересечения медиан треугольников:
MN1: 2ЙМ = MNz: = MN-a : 2: 3.
При этом нормаль и будет нормалью и для плоскости A/jA^/Vg, так
что
Г] • п г2 • п - г3 - и
или
У Пу 4- Ztls — ХПх 4- znz — ХПх 4- Упу>
а следовательно,
xnx=yny = znz.
После этого равенство (13) переходит в соотношение
’Хргг+1Хр^4-КХрг=о»
90
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. II
проектируя которое на оси координат, получим:
Рху Рух’ Руг Ргуг Ргх ' Pass
(14)
Система равенств (14) выражает теорему о взаимности
касательных напряжений: если в некоторой точке сплошной
среды провести две взаимно перпендикулярные элементарные пло-
щадки, то проекции напряжений, приложенных к каждой из пло-
щадок, на ось, перпендикулярную к другой площадке, будут между
собою равны. Еще иначе эту теорему можно проформу пировать так
тензор напряженности симметричен.
§ 15. Общие уравнения динамики сплошной среды. Уравнение
неразрывности. Уравнения динамики в напряжениях
Переходя к составлению общих уравнений динамики жидкости
или газа, начнем с вывода уравнения неразрывности (сплошности).
Будем исходить из основного закона классической механики о сохра-
нении массы при ее движении; используя понятие индивидуальной
производной, можем написать:
±1т = ^) = <>. (15)
Желая получить уравнение неразрывности в переменных Лагранжа
(§ 8), перепишем (15) в виде
— (15')
где р и Вт — текущие значения плотности и элемента объема и оп, 6т0—на-
чальные их значения в момент времени t = /0. Представим себе элементарный
объем Вт как координатный параллелепипед в системе криволинейных коор-
динат — переменных Лагранжа — а, Ь, с, тогда стороны этого параллелепипеда
будут определяться направленными элементами координатных линий. 1 6гй
6г&, 6гс, равных частным дифференциалам вектора-радиуса г (t у, z) по коор
динатам а, Ь, с
дг „ дг . дг „
г,г = —— Of. = —- Со, ОГи — ОС
° да ° дЬ дс
И по известному свойству скалярно-векторного произведения, будем иметь
6т = ±6ra.(6rbXorc) = :t-—& х~)бя6Ь6с =
дх дх дх
да ’ дЬ ’ дс
ду ду ду
да’ дЬ ’ дс
дг дг дг
да’ дЬ’ дс
<. >14 , D(x, у, г) . „
оа 66 6с = ± -д—»- ои cb ас,
~ D (а, Ь, с)
где использовано общепринятое
обозначение для якобиана,
1 Подробнее см об этом гл VII, § 60,
§ 15]
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
91
Аналогично получим в момент времени t = tn:
” * 1 А-л, zp) — г‘ I <*
Otfi ~ ± —К'Т.~7—оа ОС
" D (а, Ь, с)
и, следовате 1ьио, ио (15')’
(<; а, Ь, с)
D (л, у, г)
D (а, Ь, с)
(16)
Это и есть уравнение неразрывности в лагранжевых переменных-, ею
было бы правильнее называть уравнением сохранения массы.
В частном случае жидкости постоянной плотности — несжимаемой
жидкости—р —ро и уравнение (16) принимает форму уравнения несжимае-
мости в лагранжевых переменных-
D (х, у, z) D (хп, у0, zn)
D {а, Ь, с) D (а, Ь, с)
(17)
или, полагая хп = а, у0~ b, z0 = с,
D (х, У.х) .
D (а, Ъ, с)
(17')
В эйлеровых переменных уравнение неразрывности можно полу-
чить, производя дифференцирование в формуле (15) и используя пред-
ставление о дивергенции скоростного поля как скорости относитель-
ного расширения объема [вспомнить формулу (59') § 11]:
5т-4-р8т = 8т 4-р div V Вт е= 0,
at ‘ at at 1 '
откуда и найдем уравнение непрерывности в эйлеровых переменных
^4-pdivV = 0.
at 1 ‘
(18)
К тому же выводу можно было придти,
массы для конечного объема т в виде:
записав закон сохранения
57 |’Р8т=0;
(19)
производя дифференцирование, получим по предыдущему:
f(^ + fHvv)8I = 0,
Откуда, в силу произвольности объема интегрирования, вновь полу-
чим уравнение (18). К тому же результату можно придти, разделив
обе части последнего уравнения на объем т, содержащий внутри себя
заданную точку, и переходя к пределу при стремлении объема к нулю
И стягивании его к данной точке.
92 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. li
В дальнейшем нам придется встречаться с двумя различными
видами уравнений механики сплошной среды: 1) интегральным, выра-
жающим связи между величинами в некоторых конечных объемах и
на ограничивающих их поверхностях, и 2) дифференциальным, связы-
вающим значения величин и их производных в данной точке. Примером
уравнений в интегральной форме может служить уравнение сохранения
массы (19) и в дифференциальной форме — (18).
Переход от интегрального вида уравнения к дифференциальному
совершается одним из следующих двух приемов: делением обеих частей
уравнения на величину объема с последующим стягиванием объема
к выбранной точке пространства или сведением всех интегралов к одному
объемному и приравниванием подинтегрального выражения нулю вслед-
ствие произвольности объема. Оба эти приема были только что приме-
нены при выводе уравнения (18).
Основной особенностью дифференциальной формы уравнений дина-
мики жидкости и газа является то, что входящие в них величины пред-
ставляют плотности распределения массы, объемных и поверхностных
сил и т. п., а не сами величины, относящиеся к элементарному или
конечному объему.
Обратный переход от дифференциальной формы к интегральной
совершается умножением на элемент объема и интегрированием по
конечному объему.
Интегральная форма имеет преимущество перед дифферен-
циальной, если входящие в уравнение величины претерпевают
внутри среды разрывы непрерывности. В этом случае дифферен-
циальная форма уравнений не может быть использована во всем
пространстве, заполненном жидкой средой, в го время как интеграль-
ная форма с успехом используется.
Заменяя в уравнении (18) индивидуальную производную по времени
от плотности известным ее выражением через локальную и конвек-
тивную производные [§ 9, формула (41)], получим:
—у • grad р —|— р div V 0, (20)
вспоминая затем формулу векторного анализа
div (pV) = V • grad р р div V,
окончательно найдем уравнение неразрывности в эйлеровом предста-
влении в наиболее употребительном виде:
J-|div(PV) = 0 (21)
или в декартовых координатах:
^ + ^(Р«)+-^;(Р®) + ^(Р®) = О. (22)
15] ОЁЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЬ1
93
В частном случае несжимаемой жидкости (р — const) уравнение
неразрывности переходит в уравнение несжимаемости'.
.. ди . dv , dw п
uiv v — дх -j- ду -г dz
(23)
Для вывода основного динамического уравнения движения жид-
кости или газа применим к объему т (рис. 26) теорему об изменении
количеств движения системы материальных частиц. Заметим, что глав-
ный вектор количеств движения частиц объема К равен интегралу от
произведений их элементарных масс dm на
векторы скоростей частиц V:
К== JpVrfT.
Приравнивая индивидуальную производ-
ную главного вектора количеств движения
главному вектору внешних массовых и по-
верхностных сил, получим:
f J pFrfT+ [ p„do. (24)
т т а
Рис. 26.
Индивидуальная производная от главного вектора количеств дви-
жения равна
iJpv*=j'pg*+fvA(p*)=JP^*, (25)
так как на основании закона сохранения массы (15) второй интеграл
пропадает.
Чтобы преобразовать поверхностный интеграл, стоящий в правой
части (24), в объемней, спроектируем обе части интегральной фор-
мулы (70) предыдущей главы на ось х и положим в ней <а равным
попеременно ах, ау, а.;, тогда получим:
Г > Г дах , Г Г да„ .
J ^a-dc— J J nxayda= j
a * x a t
f . f dae ,
nxa!.dc= I -^df,
G X
Умножая после этого обе части первого равенства на i, второго—•
На J, третьего — на к и складывая, будем иметь:
f л f да ,
I de —— I
J J дх
G t
94
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
(гл. И
Повторяя аналогичные выкладки с производными по у и z,
чим окончательно следующую группу интегральных формул:
а
полу-
(26)
Пользуясь (9), перепишем поверхностный интеграл в уравнении (24)
в виде:
f Р« J "жРх da + / «?/Ру/ d° + J «гРг
а а а а
или, по (26), окончательно:
(27)
Подставляя в (24) значения входящих в него величин, согласно
формулам (25) и (27), и перенося все члены в одну сторону, получим
основное динамическое уравнение движения сплошной среды в инте-
гральной форме'.
С( dV
J л ““PF
дРж
дх
фу
dpg\
dz )
dx =
О,
(279
или, используя произвольность объема т и приравнивая подинтеграль-
ную функцию нулю во всех точках области движения, будем иметь
то же уравнение в дифференциальной форме:
. dPa . ^P«, .
Р dt ~ Рь -Г дх ' ду ' dz ’
(28)
Это векторное дифференциальное уравнение, или эквивалентная
ему система трех дифференциальных уравнений в проекциях:
du r, , дрх;е dPya: .
р at ~~‘x * dx &У ‘ dz ’
d‘o dpm , dPzt)
‘ dt I dx 1 dy 1 dz ’
dw r, , dPicz дРуг , dPzz
Pit P^+ dx H r iy + dz ’
(29)
§ 15J
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЬ}
95
носит наименование уравнений динамики в напряжениях и играет
основную роль при выводе всевозможных частных видов уравнений
динамики жидкости и газа.
Если выразить индивидуальные производные от проекций скорости
по времени, входящие в левую часть уравнения (29), по (40) § 9, то
уравнения (29) запишутся в развернутой форме:
— F — зсх дРух . дрzx
Р ж I дх * ду * dz
Р . dpxs друг dpgz
Р z дх ' ду ' dz
Для дальнейшего Существенно подробнее рассмотреть механиче-
ский смысл входящего в правую часть уравнения (28) вектора
држ । । дрг
дх ' ду ' dz ’
который, согласно (27), можно представить как предел
if v 1 f n .
lim -т— n„ da — lira tlP da
Да Да
отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к боко-
вой поверхности Да "произвольно выбранного в данной точке М
элементарного обьема Дт, к самому объему Дт, при стягивании
поверхности Да к точке М. Этот предел можно было бы назвать
главным вектором поверхностных сил, приведенным к единице
объема в данной точке потока, а вектор
главным вектором поверхностных сил, приведенным к единице
массы в данной точке потока.
В отличие от напряжений поверхностных сил р.,,, р^, ря, величины
и направления которых зависели от выбора направления осей коор-
динат в данной точке или направления наклонной площадки, главный
вектор поверхностных сил, приведенный к единице массы или объема,
96 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
представляет однозначную векторную функцию координат данной точки
пространства, не зависящую ни от выбора системы координат, ни от
формы стягивающейся к точке поверхности, к которой были при-
ложены поверхностные силы, сведенные в главный вектор. Иными сло-
вами, приведенные к единице объема или массы главные векторы
поверхностных сил образуют векторное поле, в то время как сами
поверхностные силы поля не образуют.
В теории электричества и магнетизма силу, с которой поле действует
на „единичное тело" (единица заряда, единица магнитной массы и т. п.),
помещенное в поле, называют напряжением поля; произведение напря-
жения поля на величину помещенного в поле „тела“ (заряд, магнитная
масса и т. п.) с тем или другим знаком дает вектор силы, действующей
со стороны поля на это „тело" (заряд, массу).
Точно так же и главный вектор поверхностных сил, приведенный
к единице массы или объема, представляет „напряжение", или, чтобы
не спутать с использованным ранее термином напряжения для поверх-
ностной силы, отнесенной к единице площади, лучше скажем, интен-
сивность поля главных векторов поверхностных сил в потоке.
Эту величину можно было бы еще иначе назвать интенсивностью
объемного действия поверхностных сил. Умножая эту интенсивность
соответственно на элемент объема или массы, получим главный
вектор поверхностных сил, приложенных к выбранному элементу
объема или массы.
Могут быть случаи, когда при наличии поверхностных сил объем-
ное их действие во всем потоке равно нулю; это имеет место, как
в дальнейшем будет показано, например, при безвихревом движении
вязкой жидкости.
Введем следующую дифференциальную операцию над тензором
напряженности Р в предельном интегральном представлении (при стре-
млении Дт к нулю Да, как всегда, стягивается к данной точке про-
странства):
DivP= lim j1 nP ds (31)
и назовем этот вектор дивергенцией тензора Р. Заглавная буква
в символе Div поставлена, чтобы подчеркнуть отличие операции Div
от операции div, производимой над векторной функцией.
Как было показано в предыдущем параграфе, тензор напряжен-
ности Р характеризует напряженное состояние сплошной среды в дан-
ной точке.
Только что введенный в рассмотрение вектор представляет собою
векторную* меру неоднородности напряженного состояния среды.
Этой мерой, как видно из предыдущего, служит отнесенный к еди-
нице объема главный вектор сил, приложенных к поверхности, огра-
ничивающей выделенный в среде объем, если этот объем устремить
к нулю, стягивая его боковую поверхность к рассматриваемой точке
§ 15] общие Уравнения динамики сплошной среды
97
Если тензорное поле однородно, то вектор дивергенции повсюду будет
равен нулю. Обратное заключение, конечно, не имеет места: из равен-
ства нулю дивергенции тензора в некоторой области еще не следует
постоянство тензора в этой области.
Применяя принятую терминологию, можем еще сказать, что дивер-
генция тензора напряженности определяет вектор интенсивности
объемного действия поверхностных сил в данной точке потока.
Произведение вектора Div Р на элемент объема dt дает главный вектор
поверхностных сил, приложенных к поверхности, ограничивающей
элемент dx, а интеграл
J" DivPdt
—главный вектор поверхностных сил, приложенных к замкнутой
поверхности а, ограничивающей конечный объем х, причем по (24) и (12):
I DivPJ,c= Г pnrfc= | nPdti.
Отсюда вытекает формула
J nPdi = J DivPrft,
a т
(32)
верная для любого тензора 2-го ранга и представляющая тензорное
обобщение формулы Остроградского [(66) гл. I].
Задаваясь той или другой координатной формой элементарного
объема Дт, можно по формуле (31) найти координатное представление
вектора Div А Так, например, примем за Дт декартов прямоугольный
параллелепипед со сторотми Дх, Ду, Дг, тогда, поступая аналогично
тому, как это уже неоднократно делалось в предыдущей главе (напри-
мер, в § 11), будем им£ть:
Г 1Р+д-^1 Дх-ipl ДуДг-р... -ь[ Дг—kpl ДхДу
Divp= нт 1______д~*_____LrLLJlLLJg---------------1----=
ДхДуДг
d(iP) , d(jP) , d(kP).
dx 1 dy 1 dz ’
но по основному равенству (12), верному для любого наклона пло-
щадки, и, в частности, при n — i, n — j и п — к:
= = kP==ps,
следовательно, в декартовой системе координат:
DivP =
др<с . дРц . дРг
дх ’ ду I dz
(33)
Зак. 1841. Л. Г. Лавиянскив.
98
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
|гл. И
или в проекциях:
дРла? дРюн
(U1V / *- ~ дх Г ду дг ’
др&у дРт дРгу (33')
\M1V ~ дх ду dz ’
fDiv Р\ - dpicz друг dPzz
дх ду дг '
Формула (33) с внешней стороны несколько напоминает выражение
дивергенции вектора в декартовых координатах [формула (63') гл. IJ:
дах да.„ daz
diva = -5--г ----k-д—,
дх 1 ду 1 дг
однако сходство это чисто внешнее. Действительно, в формуле дивер-
генции тензора (33) под знаком производных стоят зависящие от выбора
системы координат векторы рж, ру, рг напряжений, приложенных
к площадкам, перпендикулярным осям х, у, z, а сама величина Div Р
представляет физический вектор-, в формуле же дивергенции век-
тора diva под знаком производных стоят алгебраические величины
проекций вектора a, a diva представляет физический скаляр.
Полученные формулы дивергенции тензора несколько трудны для
запоминания; в связи с этим можно предложить простое символическое
их выражение, основанное на символическом равенстве:
DivP^VP, (34)
где справа стоит произведение условного „вектора"-оператора V
с проекциями g-p gj, на тензор Р. Применяя формулы (20) гл. I
умножения вектора на тензор, без труда составим проекции (33') DivP
на оси координат; для целей запоминания, наряду с формулой (34),
можно предложить еще формулу (33), легко запоминающуюся по своей
внешней аналогии с формулой дивергенции вектора.
Интегральная формула (32) допускает символическое представление:
f nPda= fVPdt. (35)
9 Ъ
„Пользуясь введенным понятием дивергенции тензора, можем пред-
ставить основное уравнение динамики сплошной среды (28) в форме
P-^-==PF4-DivP. (36)
Применение к объему т теоремы об изменении момента коли-
чества движения приводит к выполнению уже ранее выведенных
соотношений взаимности касательных напряжений или, что все
§ 15] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 99
равно, к симметричности тензора напряженности. Действительно,
теорема об изменении главного момента количеств движения может
быть записана так:
JrXpVrfT=j rXPFrf?+ |гХр«йа, (37)
Т СТ
где г—вектор-радиус центров элементарных объемов dx и площадок do,
к которым приложены векторы количеств движения, массовых внешних
сил и внешних напряжений.
Объемный интеграл, стоящий слева, равен
£frXpVd?= pgXpVdT-l- frXp^t+ |rXv4dt).
dt J •’ ML ,i III J III
X T T X
Первый интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль,
dr
так как = V, последний интеграл равен нулю по условию сохране-
ния массы элемента жидкости (15), так что будем иметь:
i[rxpv*=|’rxfy*. (38)
X X
Далее, поверхностный интеграл, стоящий справа в формуле (37),
легко по предыдущему преобразуется в объемный. По (9) будем иметь:
f (« X Р„) de = J г х {пхрх + nvpv + пгре) da =
ст с
= / [«а, О’ X Рт) + % (r X Ру) -+ nz (Г X рг) I da,
<3
откуда по формулам (26) следует:
f ч/ A fP<rXPJ . д(гХРу) . д(ГХРг)1
.1 rXр.*=| Е—+—- -г,-1
о X
= .lrX^ + ^+-ar)dT
X
или, замечая еще, что
g = ^(xi+^4-zk) = i,
5г _ .
7*
100
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
|1Л. И
будем иметь:
+ J l(i X Рт) + О X ру) + (к X Рг)1 dt. (39)
Собирая теперь вместе результаты преобразований, представленные
формулами (38) и (39), можем переписать основное уравнение момен-
тов (37) в виде:
f dp,, dps\
I r X (Р -п —- pF — "з---з--т- 1 dt =
J V dt ‘ дх ду dz J
= f [(»X pj + 0 X Ру) + (к x рг)1 dt.
(40)
Интеграл, стоящий слева, равен нулю, так как по (28) равно
нулю выражение, стоящее в скобке под знаком интеграла; отсюда,
в силу произвольности объема интегрирования в правой части, по-
лучим:
(1ХРш) + 0’ х Ру) 4~ (к X Рг) = о,
после чего проектированием на оси координат нетрудно вновь полу-
чить равенства (14), выражающие симметричность тензора напряжен-
ности или теорему о взаимности касательных напряжений. Только что
изложенное доказательство является не зависящим от приведенного
в предыдущем параграфе и основанного на использовании частного
вида объема — элементарного тетраэдра. Если же принять предыдущее
доказательство и считать теорему о взаимности касательных напря-
жений уже доказанной, то применение теоремы моментов к конечному
объему приводит просто к тождеству, т. е. нового уравнения дина-
мики не дает-
§ 16. Тепловые явления в жидкостях и газах. Закон сохранения
энергии и уравнение баланса энергии
Уравнение непрерывности и уравнения движения в напряжениях
представляют систему динамических уравнений, описывающих взаимную
связь между изменениями плотности и скорости, с одной стороны,
и приложенными к жидкости или газу поверхностными и массовыми
силами — с другой.
Для решения вопросов движения жидкости или газа этих дина-
мических уравнений оказывается недостаточно, так как рассматри-
ваемые обычно движения тесно связаны с непрерывными взаимными
превращениями механической энергии в тепловую. Так, например,
УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ
101
§ 161
хорошо известно, что газ при сжатии его поршнем в цилиндре разо-
гревается, при расширении, наоборот, остывает. В первом случае
механическая работа сжатия переходит в тепло, во втором — работа
расширения происходит за счет тепла газа. Аналогичные, только
гораздо менее интенсивные процессы происходят и в капельных жидко-
стях (вода, масло). Широко распространено явление заметного разо-
гревания движущихся по трубам жидкости или газа за счет внутрен-
него трения. Снаряд, летящий с большой скоростью в воздушной
атмосфере, сильно разогревается, значительно повышается при этом
и температура воздуха вблизи поверхности снаряда.
Вот почему к уравнениям предыдущего параграфа необходимо
присоединить еще уравнение баланса энергии в потоке.
Чтобы составить уравнение баланса энергии в движущихся жидкости
или газе, вспомним общий закон сохранения энергии, который в при-
менении к движущемуся индивидуальному объему можно формули-
ровать так: изменение полной энергии объема жидкости или газа
за бесконечно малый промежуток времени равно сумме элементар-
ных работ внешних массовых и поверхностных сил, приложенных
к выделенному объему и его поверхности, сложенной с элементар-
ным количеством тепла, подведенным извне к объему за тот же
промежуток времени.
В дальнейшем будем считать движущиеся жидкость или газ совер-
шенными, т. е. будем предполагать, что внутреннее молекулярное
движение в них сводится к свободному соударению абсолютно упру-
гих шариков, не подверженных действию межмолекулярных сил и
столь малых по величине, что можно пренебречь их вращением. В этом
, предположении можно считать внутреннюю энергию равной произве-
дению абсолютной температуры Т на коэффициент теплоемкости при
постоянном объеме cv— для сжимаемого газа или на коэффициент
теплоемкости с — в случае несжимаемой жидкости. Уравнению баланса
энергии жидкости или газа в индивидуально движущемся объеме т
с поверхностью а мо&но придать следующую интегральную форму:
4 f = J pF • V rfr-4- f p„ • Vda+JQ. (41)
* г a t
Слева в уравнении (41) стоит индивидуальная производная по вре-
мени от суммы внутренней и кинетической энергий объема, справа —
сумма мощностей массовых Сил, приложенных к объему (первый инте-
1рал), поверхностных сил (второй интеграл) и выраженное в механи-
ческих единицах количество тепла, подводимое (отводимое) в единицу
ремени к индивидуальному объему извне за счет теплопроводности
• и лучеиспускания; множитель J в левой и правой частях обозначает
Вс^анический эквивалент тепла (J = 427 кг • м/кал), позволяющий
Члены уравнения (41) выражать в одинаковых механических еди-
ницах мощности,
102 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
Следуя приемам предыдущего параграфа, выразим обе части урав-
нения (41) как объемные интегралы от соответствующих величин.
Левую часть уравнения (41), используя закон сохранения элемен-
тарной массы (15), преобразуем так:
+ J т)4 (Р = J р 4 (^Т'+т) dz-
т т
Поверхностный интеграл в правой части (41) можно на основании
формул (9) преобразовать к виду:
f pn-Vda^f [»жрж-V+^py.V + /z2ps-V]&==
- / [«ж (PV)* + (PV)v + (PV)J da = J n (PV) da,
о а
или, воспользовавшись формулой Остроградского (66) гл. I,
J рп • V da = J div (РУГ) dx. (43)
о т
Введем обозначение:
Q = У р<7 dx, (44)
где под q условимся понимать секундный приток тепла к бесконечно
малому объему в данной точке, отнесенный к массе этого объема.
Подставляя в уравнение (41) найденные выражения поверхностных
интегралов через объемные и используя произвол в выборе объема т,
получим уравнение баланса энергии в дифференциальной форме:
pA(KT+^) = pF.V+div(PV) + JP9. (45)
В декартовой системе координат, если выписать явно значения
индивидуальной производной и дивергенции, уравнение (45) примет
вид:
pfAи 5--|- х> — -А-хт [jc„74- —-(и0 + »2 + ’и;3)1 —
' \dt ' дх ‘ ду 1 dz) L v 2 v 1 1 ' |
= Р (“^ + vPy 4- ®Fg) + (р^и + pxyv 4-p^XD) 4-
+ “ + Рт° + Р^ + + Ргу” + Р^ + JP£-
§ 16]
УРАВНЕНИЕ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ
103
Величина q секундного притока тепла, отнесенного к единице
массы, может быть определена, если известен сам процесс притока
тепла.
Основным механизмом распространения тепла в жидкости или
газе является теплопроводность. Замечая, что количество тепла dQ,
проходящего в единицу времени через площадку da, равно по извест-
ной формуле Фурье
dQ = л da = X (grad Т)п da,
где X — коэффициент теплопроводности, а производная берегся по
направлению нормали к площадке da, будем иметь:
Q = J (> grad
о а
откуда по формуле Остроградского (66) гл. 1:
Q= div (X grad Т) dx,
(47)
или, сравнивая с равенством (44), определяющим q,
pq = div (X grad T). (48)
Коэффициент теплопроводности в газах зависит от температуры,
так что в общем случае величину X за знак дифференциального опе-
ратора div выносить нельзя; об этом подробнее будет сказано в гл. VIII.
Заметим, что при малых разностях температур в потоке можно
в первом приближении положить X = const; в этом случае будем
иметь
pq — X div grad Г = XV2 Т, (49)
Л2 Л2 Л2
где V2 = V • V — -J- — символ оператора Лапласа.
Приток (положительный или отрицательный) тепла может проис-
ходить также благодаря лучеиспусканию (например, в топках котлов,
в металлургических печах, в атмосфере под влиянием солнечной
радиации и др.) и по другим физическим (конденсация, парообразова-
ние и др.) и химическим (горение и др.) причинам.
Полученная система динамических — (22) и (30) — и энергетиче-
ского (46) уравнений, как легко заключить по внешнему их виду,
крайне сложна, кроме того, число входящих в систему уравнений на
много меньше числа неизвестных, так что система является незамкну-
той, неопределенной. Для доопределения системы и возможного ее
Упрощения приходится делать ряд дополнительных допущений, при-
водящих к бодее или менее отвлеченным схемам движения жидкости
104 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. II
или газа. Таковы, например, схемы идеальной, т. е. не обладающей
внутренним трением (вязкостью) несжимаемой жидкости и идеального
сжимаемого газа, вязкой ньютоновской и неньютоновских жидкостей
и мн. др. Основные из этих схем будут рассмотрены в дальнейшем на
протяжении настоящего курса.
Остановимся сначала на одном практически важном и интересном
случае применения выведенных общих уравнений — на учении о равно-
весии жидкости и газов. В этом случае, как будет показано, состав-
ленных уравнений достаточно для любой жидкой или газообразной
среды, удовлетворяющей лишь двум основным принципам, изложенным
во введении: непрерывности и легкой подвижности.
§17. Общие уравнения равновесного состояния жидкости и газа.
Равновесие воздуха в атмосфере. Приближенные барометрические
формулы. Стандартная атмосфера
Согласно основному свойству жидкостей и газов — легкой подвиж-
ности,— при равновесии отсутствуют касательные силы сопро-
тивления взаимному скольжению жидких объемов друг по отношению
к другу по площадкам их соприкосновения, а действуют лишь нор-
мальные к этим площадкам силы.
Таким образом, при равновесии жидкости или газа векторы напря-
жений, приложенные к трем координатным и одной наклонной к ним
площадке (§ 14), будут равны:
Р® Рхз^> Py^^Pyyii Рг==Ргг^ Pn РпЪ (50)
а касательные компоненты напряжений равны нулю:
Рагу Руа> == Руг == Pay Рга>:== Раш == 0» (оО )
Подставляя значения напряжений в основную систему равенств (10),
найдем:
Р'пРх == ^xPasai’ РпРу МуРуу’ РпРг == MzPzzi
откуда сразу следует
Рхх~' Руу~ Pzz^ Рп' (51)
Общ(?е значение нормальных напряжений, приложенных в данной точке
жидкости к площадке любого направления, назовем давлением в данной
точке жидкости или газа и обозначим через я—р“ в знак того, что
вектор напряжения направлен противоположно орту нормали к пло-
щадке: •
р„ = — рп, (52)
что соответствует сжатию выделенного объема. Давление р — такой
же физический скаляр, как плотность, температура и др.
§ 171
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ
105
Тензор напряженности Р при равновесии
среды имеет таблицу.
/—р, 0, °\ /1, 0, 0\
Р 0, —р, ° |=-р(о, 1, о] = —/>£. (53)
\ 0, о, —р) \0, 0, 1 /
Симметричный тензор g, компоненты которого отвечают условиям:
= 1, = ^„г = = °,
«С/Л- У У Чч ' уЧ ЧЛг '
называют единичным тензором или тензорной единицей. Последние
равенства должны выполняться, очевидно, независимо от выбора си-
стемы координат, т. е. единичный тензор должен оставаться единичным
при любом направлении взаимно перпендикулярных декартовых осей
координат; эго можно было бы показать и непосредственно на осно-
вании формул преобразования компонент тензора при изменении на-
правления осей координат (см., например, ранее цитированный курс
векторного и тензорного исчисления Н. Е. Кочина).
Формула (12) вместе с (52) и (53) дает очевидную систему равенств:
р„ = пР = —/mg= /?n, (54)
из которых, между прочим, видно, что
ng = п,
(55)
так что умножение орта п на тензорную единицу приводит к тому
же вектору, — общее свойство умножения любого вектора на тензор-
ную единицу, в чем легко убедиться, проделав операцию умножения
по ранее установленному в гл. I правилу (20).
Чтобы вывести уравнения равновесия среды, т. е. ее относитель-
ного покоя, рассмотрим уравнения движения, частным случаем которых
при равенстве нулю всех скоростей должны являться уравнения равно-
весия.
Уравнение неразрывности (22) сведется при этом к первому усло-
вию равновесия
т- е. к стационарности поля плотностей среды.
Уравнения в напряжениях (29) на основании таблицы (53) дают
следующую систему основных уравнений равновесия среды'.
= (56)
У ду ’ I v '
106 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IJ
называемых уравнениями Эйлера равновесия жидкости или газа.
Система (56), очевидно, эквивалентна одному векторному уравнению
pF = grad р, (57)
которое можно было и сразу вывести из (37), заметив, чго по (53),
(31), (55) и интегральной формуле (70) гл. I:
Div Р = Div ( — р%>) = lim I — nS/7 do —
Дт~>0 J
<У
= ~lim i npd0 = —gradp.
Дт->0 •>
a
Наконец, уравнение баланса энергии (45) дает тепловое условие
равновесия жидкости или газа
дТ ,
с*~д1=<1, (58)
которое, при наличии только теплопроводности приводится по (48)
к уравнению:
PQ ЭГ = div grad ^59')
а при возможности считать коэффициент теплопроводности постоян-
ным (см. формулу (49)] — к уравнению:
^=aV2r, (60)
где постоянный коэффициент а называют коэффициентом темпе-
ратуропроводности.
Рассмотрим подробнее основное уравнение равновесия в векторной
форме (57). Простыми операциями из него можно исключить плотность
и давление. Для этого возьмем сначала от обеих частей векторного
равенства (57) операцию вихря rot, тогда р пропадет, так как
rot grad р s0; будем иметь
rot (pF) = 0
или, раскрывая скобки по известному правилу векторного анализа,
получаем
protF-j-gradpXF —0. (61)
Умножим теперь обе части этого равенства скаляр но на F; тогда,
заметив, что второе слагаемое, как векторное произведение, перпен-
дикулярно своему сомножителю F, найдем следующее общее ограни-
чение, накладываемое на класс сил, под действием которых возможно
равновесие жидкости или газа:
F.rotF=0, (62)
§ 17] ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ
107
ИЛИ, В проекциях на оси декартовых координат
dFy\ /дЕ^ dFA , ,
^Кду dz)~F 'H\dz dx / ' ®\dx dy )
К числу объемных сил, удовлетворяющих условию (62), относятся
прежде всего силы, имеющие потенциал II, так как для них
F — — grad П, rot F = 0.
В этом случае, как легко усмотреть из равенства (61),
gradpX gradll = 0, (63)
откуда следует, что силовые линии поля потенциальных объемных
сил ортогональны изостерам (поверхностям одинаковой плотности),
а также, что изостеры совпадают с изопотенциальными поверх-
ностями силового поля.
Из (57) следует еще, что при равновесии среды силовые линии
перпендикулярны изобарам (поверхностям одинакового давления). Та-
ким образом, вообще, при равновесии жидкости или газа под дей-
ствием потенциального поля объемных сил изопотенциальные поверх-
ности поля совпадают с изобарами и изостерами.
Можно доказать и обратное предложение: если изобары совпадают
с изостерами, то равновесие жидкости или газа возможно только
под действием потенциального поля объемных сил. Действительно,
по условию,
grad р X grad р = 0
или по (57)
FXgradp = 0,
отсюда, на основании (61), вытекает
rot F = 0, F = — grad П.
Если в движущемся или покоящемся газе плотность является
функцией только давления, то такой процесс движения или равно-
весия называется баротропным. Из предыдущего следует, что баро-
тропное равновесие газа возможно при наличии только потенциаль-
ных сил, так как при условии р — р (р) изобары и изостеры, очевидно,
совпадут; следовательно, как только что было показано, силовое
поле должно быть потенциальным.
Более общее условие (62) имеет смысл требования существования
в силовом поле поверхностей, ортогональных к силовым линиям,1
причем эти поверхности в общем случае не должны совпадать
с изостерами.
1 См. Л. Г. Л о йцянский и А. И. Лурье, Курс теоретической меха-
Вики, ч. И. 1940, изд. 3, стр. 164,
108 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖ1НИЯ И РАВНОВЕСИЯ [гл. п
Система уравнений (57), как уравнений в полных дифференциалах,
представляет лишь одну связь между двумя неизвестными величи-
нами р и р, уравнение (59) — также одно уравнение с двумя неизвест-
ными к и Т. Чтобы сделать систему уравнений равновесия определен-
ной, необходимо добавить еще уравнение состояния газа, называемое
обычно уравнением Клапейрона:
| = (64)
и уравнение зависимости коэффициента теплопроводности от темпе-
ратуры:
к = к (7). (65)
Если равновесие баротропно, то
Р = Р (». (66)
Это имеет место, например, в следующих случаях:
1) газ несжимаем, г. е. имеет повсюду одинаковую плотность
р — const;
2) равновесие изотермическое, при котором
Т = const — То,
а следовательно, по (64):
3) равновесие адиабатическое (без притока тепла извне), отве-
чающее известной из курса термодинамики адиабате'.
р = const • р* = ^-pfe, (68)
Ро
1де k—показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа
при постоянном давлении и постоянном объеме с,.; для воз-
духа k— 1,405. Значения величин р0, р0, То относятся к какой-нибудь
одной характерной точке покоящегося газа.
Задача сводится, таким образом, к решению уравнений (57) и (59)
при тех или иных дополнительных связях между термодинамическими
элементами р, р и Т.
Останавливаясь лишь на случае баротропного равновесия газа
в потенциальном силовом поле, напишем уравнение равновесия в виде:
‘ —р grad П == grad р. (69)
Введем в рассмотрение функцию давления
р
я»)
§ 1?| ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОС'1'ОЯНИЯ 109
градиент ее по (70) равен:
grad = grad p = jgradp. (70')
При баротропности равновесия газа функция давлений S’ играет
роль потенциала или потенциальной энергии поля отнесенных к еди-
нице массы главных векторов поверхностных сил, сводящихся в слу-
чае равновесия к силам давления. Можно сказать также, что
функция давлений представляет потенциальную энергию интен-
сивности объемного действия поля давлений.
Действительно, в полном соответствии с обычной связью между
векторным силовым полем и его потенциальной энергией, имеем
по (70'):
— i grad р = —grads’.
Итак, при баротропном равновесии среды объемное действие
среды на выделенное в ней „единичное тело* (единицу объема или
массы) образует потенциальное поле с потенциалом, зависящим
только от характера баротропности процесса.
Уравнение равновесия (69) может быть переписано в форме
grad П -ф- grad S’ = 0,
откуда следует, что при равновесии среды во всех точках ее выпол-
няется равенство
П + S’= const. (71)
В качестве иллюстрации рассмотрим приближенные уравнения
равновесия атмосферы под действием силы тяжести. В этом случае,
направляя ось z вертикально вверх и помещая начало координат
на уровне моря, будем иметь (z0— некоторая высота над уровнем
моря):
П = g(g—г0).
Функция S’ для изотермического случая будет определяться на
основании (66) так:
р
PoJ Р Ро Ро
з>
(72)
Ро. Ро
Условие приближенного равновесия атмосферы между пунктами zt
и г2 по (71) можно написать в виде:
^(г2-г1)+а1п£1==о, (73)
Где Ръ Pi и р2, р2—значения давления и плотности на высотах
и г2 над уровнем моря. Формула (73) представляет простейшую
110 Основные Уравнения движения и равновесия |гл. й
барометрическую формулу, позволяющую приближенно определять
высоту га пункта над уровнем моря по измеренному барометром
давлению в этом пункте, если известны и pj при z = zt.
Полагая zt = 0, pY = ра, pt = ро, -га = г, р% = р, ра = р, можем
придать формуле (73) простой вад:
-J^s
р = рае р<* . (73')
Формулу (73) или (73') можно применять с большой точностью,
если разбить весь интервал ее применения на малые промежуточные
интервалы (У, У') и в начале каждого следующего интервала z = z"
пользоваться новым значением отношения /?"/р", исправленным на
новую температуру Т" по формуле
=: RT",
р
и новым значением р", вычисленным по (73) из равенства
^(У'—У) 4-^7 In ~ = о.
Обычно поступают несколько проще. Обозначим разность двух близких
высот х2— Zt через Дх, разность соответствующих им давлений рг—р2
через Др; тогда равенство (73), согласно (66), примет вид:
g&z-ф- RT In ^1 = 0,
где под Т будем понимать среднюю температуру воздуха в интервале
(Xi, xj + Дх):
Т — (71 + Ту.
Отсюда найдем _
л RT, /, ,ДМ
g \ Pi J
или, пользуясь разложением логарифма в ряд,
^RT Др Up RT Ьр
g P1 ё pi—^-Ap g ^(pi+pi)
Можно еще перейти от абсолютных температур к обычным по формуле
— - 1 1 - 1
+ —0+“0, « = 275.
и получить приближенную формулу:
дг^21^.2-£1_-£1 (1
8 Р1+Р2 к
(74)
§ 1?1
ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНЙЯ
111
Замечая, что для сухого воздуха
7? = 29,27 g м21секЧрад,
приведем формулу (74) к такому окончательному виду:
Да =£= 16 (1 + а?) м,
удобному для практических измерений.
(75)
При технических расчетах пользуются обычно так называемой
стандартной атмосферой, согласно которой в нижних слоях атмо-
сферы — в тропосфере (0 < z < 11 км) — температуру принимают
падающей от значения 15° С вблизи уровня моря иа 6,5° С на каж-
дый километр, а давление на уровне моря — равным 760 мм рт. ст.
В стратосфере (£>11 км) температура считается одинаковой и рав-
ной — 56,5° С.1
Формулы расчета для тропосферы получаются из следующей си-
стемы уравнений:
“L = — gdz, — = RT, T—Tc. — cz,
р ' р 0
где газовая постоянная R для сухого воздуха равна 29,27g м^сек^град,
То = 273°4- 15° = 288°, с = & = 0,0065 град/м.
и * luvU '
Интегрирование этой системы уравнений не составляет труда.
Имеем:
RT , , dp
—— ар =.— g az, —
gdz
Н(Тй-сг) >
Отсюда следует {ра — атмосферное давление на уровне моря,
принимаемое равным 760 мм рт. ст.)5 что
Р h с ASlRe
Ра К Т/J ’
или, подставляя числа,
Z. = f1_____£_ГГ>
Ра V 44300/ •
Для стратосферы начальная температура принимается равной
56,5° С и интегрирование проводится так же, как и для изо-
термического случая.
и г-Д Таблицы международной атмосферы можно найти в специальных курсах
«фавочннках.
112
Основные уравнения движения и равновесия
[гл. и
Не составляет груда получение барометрической формулы и для
адиабатического равновесия.
В этом случае, обозначая через ра и ра— давление и плотность
на уровне моря (z = 0), по (68) и (70) легко найдем
k
„1/й / 1с—1 7г — 1
—\р ,с —рпк
Ра' fa
после чего по (71) получим барометрическую формулу:
к ___1 Ра „~
- k PagZ
В рассмотренном одноразмерном случае (безграничная атмосфера,
изменяющаяся вдоль оси г) тепловое условие равновесия в предпо-
ложении стационарности температурного поля примет вид
сРТ
dz2
= 0,
что приводит к линейному распределению температуры, в частности,
к постоянству ее по высоте. Это условие выполняется как при изо-
термическом равновесии, так и в случае „стандартной" атмосферы.
При адиабатичности процесса условие теплового равновесия не
выполняется.
Нетрудно построить барометрическую формулу изотермического
равновесия и с учетом поля тяготения, если заметить, что в этом
случае потенциал массовых сил может быть принят равным
П __ —1------------J____
ы Ь -f- z0 а 4- z
где а—радиус Земли, р— ускорение на уровне моря. По (71)
будем иметь
— In — -I- (fig (—1-------i—= 0. (76)
Ро Ро ' б\« + г0 a + zj 1 7
§ 18. Равновесие несжимаемой жидкости. Уравнение поверхности
раздела. Равновесие вращающейся жидкости
Рассмотрим равновесие несжимаемой жидкости (р = const) в потен-
циальном поле объемных сил. Уравнение равновесия по (57) будет
— р grad П= grad р
или
р -ф- рП = const. (77)
Пусть две несмешивающиеся жидкости разной плотности pt и р2
находятся во взаимном равновесии, причем вблизи поверхности раздела
§ 18]
РАВНОВЕСИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
ИЗ
этих жидкостей, несмотря на наличие скачка плотности, давление р
и потенциал П непрерывны, т. е. принимают одни и те же значения
независимо ot того, со стороны какой жидкости подойти к данной
точке поверхности раздела. Производная от левой части равенства
(77) по любому направлению s,
к поверхности раздела, должна
дующим двум равенствам:
dp . dll п
-г—к р< -у- — О,
ds 1 ds ’
лежащему в касательной плоскости
удовлетворять одновременно сле-
dp . ___
ds +’ p2 ds ~ U’
откуда вычитанием получим
(pi —== Q»
последнее равенство при принятом условии pj ф р2 приводит к постоян-
ству потенциала объемных сил П на поверхности раздела. По (77)
при этом и давление р будет сохранять постоянное значение вдоль
поверхности раздела. Отсюда вывод: при равновесии двух несмеши-
вающихся несжимаемых жидкостей разной плотности в потен-
циальном поле объемных сил граница раздела жидкостей будет
одновременно изопотенциальной поверхностью и изобарой.
Так, при равновесии жидкости в поле тяжести, если ось z на-
править по вертикали вниз, равенство (77) дает
р —• pgz = const
или, заменяя произведение pg на удельный вес 7,
р — 72 = const.
Обозначим давление над свободной поверхностью жидкости
(обычно, атмосферное), через ра; тогда, помещая начало координат
в точку на горизонтальной свободной поверхности, найдем
p = pe4-pgz = po + H. (78)
Давление в данной точке на глубине z, за вычетом дополнитель-
ного давления столба воздуха на свободную поверхность, т. е. давле-
ние р' = р—ра> будем называть давлением жидкости. Тогда, для
расчетов давления жидкости на тело можно, опуская штрих, пользо-
ваться формулой
р = (78')
понимая под р превышение давления в жидкости над атмосферным
давлением на свободной поверхности.
Поверхностью раздела—свободной поверхностью жидкости —
служит горизонтальная плоскость z = const; на всей этой пло-
скости р == const.
8 Зак, 1841.
Л Г. Лойцянский.
114
ОСНОВНЫЕ уравнения движения и равновесия
[гл. и
Предположим теперь, что жидкость вращается с постоянной угло-
вой скоростью си вокруг некоторой оси, сохраняющей в простран-
стве постоянное направление. Чтобы написать условие относительного
равновесия вращающейся жидкости, как известно, следует к непосред-
ственно приложенным силам с потенциалом П присоединить еще
отнесенную к единице массы центробежную силу равную
F(4) = <o2r'= (79)
и имеющую потенциал
№> = —(79')
где г* — вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси
вращения к рассматриваемой точке жидкости и равный по величине
этому расстоянию; этот вектор гл не следует смешивать с вектор-
Рис. 27.
радиусом точки г относительно начала
координат. Если ось z совпадает с осью
вращения, то
г* = Ух3+у2,
в то время как вектор-радиус г по вели-
чине равен
г — ]/ х‘2 -}-у2 г2.
Уравнение относительного равновесия
вращающейся жидкости будет иметь по
(77) вид
р -j- pH — i рсо2/"*2 — const. (80)
Уравнение свободной поверхности
(р = const) будет
рЛ — ! рси2г*2 = const. (81)
Так, например, свободная поверхность тяжелой жидкости, вращаю-
щейся (рис. 27) вокруг вертикальной оси Oz, направленной вверх,
будет иметь уравнение
— у P“2 (х2 у2) = const,
или, обозначая через z0 координату точки пересечения поверхности
с осью Ozjx = 0, у = 0),
z-~z0 = ^(x2+y2).
Это — параболоид вращения с параметром g/cu2, зависящим от угло-
вой скорости вращения жидкости; с возрастанием угловой скорости
РАВНОВЕСИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
115
Лтах = А) 4
§ 18]
вращения параметр убывает и ветви параболы в меридиональном
сечении параболоида сближаются.
Легко найти связь между высотой воды h0 в сосуде при отсут-
ствии вращения и величинами йтах и /zlnin при вращении с угловой
скоростью о. Простое определение объемов дает (а — радиус цилин-
дрического сосуда)
"4F’
ь ь ш2а2
"min —"О
Таким образом, измеряя по шкале, помещенной на внешней поверх-
ности стеклянного цилиндра, полную глубину воронки в жидкости
. , ___ы2а2
"max "min — " 2g ’
можно определить угловую скорость вращения цилиндра, т. е. исполь-
зовать прибор, как тахометр.
В качестве другой иллюстрации применения выведенного условия равно-
весия, рассмотрим вопрос о фигуре равновесия вращающегося объема одно-
родной жидкости, тяготеющей к неподвижному центру силой, обратно
пропорциональной квадрату расстояния до центра.
Примем (рис. 28) ось z за ось вращения и начало координат О за центр
притяжения. Потенциал сил тяготения, отнесенных к единице массы жидкости,
будет равен
стояние частицы жидкости М
от центра тяготения — начала
координат О. Потенциал цен-
тробежных сил, отнесенных к
единице массы жидкости, бу-
дет по предыдущему равен
( 1 9 а:2
I —
где С — некоторая константа, г = _У2 + z2— рас-
<о — угловая
скорость вращения жидкого
объема, г* = — рас.
стояние жидкой частицы от
оси вращения Oz. Условие рав-
новесия вращающейся жидко-
сти, если отвлечься от сил вза-
имного тяготения между части-
цами, будет по (80)
р Г ~ ’g’ P“2r*2= const ,(82)
з Уравнение свободной поверх-
ности, ограничивающей враща-
поЧ(81)°^ЪеМ жпдкости от окружающей его среды другой плотности, будет
С , <№
_ -----------------------------— = const .
(83)
8«
116
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. П
Это уравнение и дает искомую форму поверхности фигуры равновесия,
тяготеющей к центру жидкости при вращении ее вокруг неподвижной оси.
Имея в виду приложения формулы (82) к вопросу о форме Земли, предста-
вляющей в грубом приближении вращающуюся однородную жидкость, тяго-
теющую к центру, зададим ускорение g0 тяготения масс на полюсе, находя-
щемся на расстоянии г0 от центра Земли, тогда будем иметь:
— = £о> C = rogo,
го
и уравнение поверхности фигуры равновесия будет
£Ь»о , “2''*2
г + 2 ~
const,
причем const определяется из условия, что на полюсе: г = г0, г* — 0, откуда
следует
= const.
Окончательное уравнение свободной поверхности будет иметь вид
ёого ,
г + 2
или, вводя полярный угол 6,
3 2 •
О) rosin и
----2-----
(84)
(85)
ЗУо
2
= 5iZo
Если бы Земля не вращалась (<о = 0), уравнение свободной поверхности
свелось к равенству
г = г0
и фигурой равновесия служила бы сфера. За счет весьма малого вращения,
1
«° ~ 13700 Х!сек)> ФигУРой
совершаемого Землей
равновесия служит тело
вращения, представляющее несколько сплющенную у полюсов сферу — сфе-
роид, уравнение поверхности которого (85) может быть в силу малости без-
размерной величины
= ( ¥*._¥. ±2^. _2_ - о 0034,
go \24-60-60/ 2п 9,83 ’ ’
приближенно представлено так:
(86)
Отсюда легко найти относительную сплюснутость Земли
* Г max '"min 1 w?r0 . 1
~ '’min ~ 2 g0 600 ’
Геодезические измерения приводят к величине в два раза большей. Такое
расхождение теории с опытом объясняется грубостью принятого приближе-
ния об однородности Земли и, что самое главное, неучетом взаимного притя-
жения частиц, изменяющего в корне самый закон притяжения к центру. При
§ 19] ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА 117
этом закон притяжения частиц становится зависящим от самой формы отно-
сительного равновесия вращающейся жидкости, что делает строгое решение
задачи весьма сложным. Наряду с решением задачи о разыскании равновесных
фигур вращающейся жидкости встает вопрос об устойчивости равновесия этих
фигур, так как только устойчивые фигуры могут существовать в действи-
тельности.
Проблема разыскания устойчивых форм вращающихся жидких объемов
способствовала развитию многих теоретических вопросов математики и меха-
ники, особенно же теории потенциала и общего учения об устойчивости дви-
жений. Мировую известность приобрели работы в этом направлении созда-
теля современной теории устойчивости движения академика А. М. Ляпунова
(1857—1918), который нашел бесчисленное множество фигур равновесия вра-
щающейся жидкости, близких к эллипсоидальным, открытым ранее в 1742 г.
Маклореном (эллипсоид вращения) и в 1834 г. Якоби (трехосный эллипсоид).
А. М. Ляпунов исследовал также фигуры равновесия вращающейся неодно-
родной жидкости, что особенно существенно для проблем космогонии.
Результаты А. М. Ляпунова оставили далеко позади все что было сделано
в том же направлении зарубежными учеными и в том числе известным фран-
цузским математиком А.‘Пуанкаре (1854—1912).
Ряд классических задач теории устойчивости вращающихся жидких масс
был разрешен также нашими великими соотечественниками: П. Л. Чебыше-
вым, Софьей Ковалевской и В. А. Стекловым.
§ 19. Давление тяжелой несжимаемой жидкости на поверхность
тела. Сила и момент, приложенные к телу, плавающему
в тяжелой жидкости. Случай вращающейся жидкости
Главный вектор и главный момент сил давления жидкости на
некоторую твердую поверхность а определяются интегралами (п — орт
нормали к поверхности а, направленный внутрь жидкости)
R==—пр da, L— — ^r^npda, (87)
СТ ст
причем поверхность о, вообще говоря, незамкнута. В частном случае
тяжелой жидкости, заменяя давление р его выражением (78'), получим:
пг da, L = — -у г X пг da. (88)
ст ст
Если поверхность а представляет как угодно наклоненную пло-
скую стенку, то п == const и первая из формул (88) дает
R = — -упге - а, /? = -угс • а, (89)
где гс (рис. 29) обозначает вертикальную координату центра тяжести С
площади а. Равенство (89) показывает, что главный вектор сил да-
вления жидкости на любую плоскую площадку, как угодно накло-
ненную к горизонту, равен по величине весу цилиндрического столба
жидкости, имеющего своим основанием площадку, а высотой — глу-
инУ центра тяжести площадки под свободной поверхностью
118
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. П
Этот факт независимости давления жидкости на стенку сосуда от
формы сосуда, в который жидкость налита, был открыт Паскалем и
получил естественное для своего времени наименование гидроста-
тического парадокса.
Вектор-радиус гц и координаты центра давления Ц—так назы-
вают точку приложения равнодействующей R системы параллельных
сил давления на площадку — можно найти по теореме о моменте
равнодействующей:
Гц X R = — 7 J" Г х 42 da. (90)
а
Возьмем в плоскости расположения площадки а следующую си-
стему координат: ось Оу' проведем вдоль линии пересечения плоскости
со свободной поверхностью, ось Ох'—по перпендикуляру к оси Оу'
вглубь жидкости, ось Oz'—по нормали к площадке вниз. Замечая, что
п = — к', и что, кроме того, для всех точек наклонной плоскости:
х = х' cos 6, z = х' sin 6, у — у',
получим, проектируя (90) на новые оси,
У Ji — 1 у'z da, x\R — y^x'z da, г'ц = О,
СТ ст
или по (89):
(x'2dc fx'y'da
х'==--^—у—, у'=-—т----------, г'— 0. (91)
ц Х(у ц Х(.с ч v 7
Обращает на себя внимание факт независимости положения центра
давления от наклона площадки. Как показывают формулы (91),
§19] ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА 119
задача об определении центра давления жидкости на наклонную пло-
щадку сводится к разысканию центра тяжести, момента инерции и
центробежного момента площади.
Если поверхность а замкнута и ограничивает некоторый конечный
объем х, то по (87) и интегральной формуле (70) гл. I получим:
R = — npda — — grad р dx. (92)
СТ X
В случае тяжелой жидкости имеем, согласно уравнению Эйлера (57),
grad р = pg, (93)
где g—вектор ускорения силы тяжести, р — плотность жидкости.
Подставляя в (89), найдем
R = —fpg<fc = —О. (94)
Равенство (94) показывает, что главный вектор сил давления
жидкости на поверхность погруженного в нее тела равен по вели-
чине весу жидкости в объеме тела и направлен в сторону, противо-
положную силе веса. Это — классический закон Архимеда. Силу R
иногда называют архимедовой или гидростатической подъемной си-
лой в знак того, что эта сила стремится вытолкнуть тело из жидкости,
заставить его всплыть. Тяжелое тело, погруженное в жидкость, „теряет"
в своем весе столько, сколько весит вытесненная телом жидкость.
Легко находится также и главный момент сил давления жидкости
на погруженное тело. Имеем по (87) и интегральной формуле(73) гл. I:
L = — J г X пр da = п X pr da = rot (pr) dx
стат
или, применяя известную формулу векторного анализа
rot (pr) = р rot г -[ grad р X г,
приводящую в данном конкретном случае к равенству
rot (pr) = — г X grad р,
так как
rot г = 0,
получим
L — — J г X grad р dx,
или, согласно (93),
L —— JrXpg^. <95)
120
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
[гл. ц
Замечая еще, что вектор-радиус гц центра тяжести Ц вытеснен-
ного объема равен
Гц==(7 I rp^dT
и что, очевидно,
G
получим по (94):
L= — g-Jrpg-diX G = — r4XG = ruXR- (96)
Полученная формула показывает, что линия действия главного
вектора R сил давления жидкости на погруженное в нее тело про-
ходит через центр тяжести Ц (рис. 30) вытесненного телом
объема жидкости. Не следует, конечно, смешивать центра тяже-
сти погруженного твердого тела С
с центром тяжести вытесненного
объема жидкости Ц. Погруженное
тело, например корабль, может
быть неоднородным, с переменным
размещением масс в нем; при этом
центр тяжести будет занимать
различные положения по отноше-
нию к твердому телу, центр же
тяжести вытесненного жидкого
объема зависит от формы внешней
поверхности твердого тела и при
данной форме этой поверхности
будет занимать вполне определен-
ное положение. Если данное твер-
дое тело будет занимать различ-
ные положения в жидкости (на-
пример качка корабля), го поло-
жение центра его тяжести по
отношению к челу не меняется,
центр же тяжести вытесненного
объема будет при этом переме-
щаться.
По терминологии, установившейся в статике корабля, центр тя-
жести вытесненного объема жидкости называют центром величины.
Твердое .тело, погруженное в жидкость, будет в равновесии, если
вес тела равен весу вытесненной им жидкости и, кроме того, центр
величины окажется на одной вертикали с центром тяжести. Если при
этом центр величины лежит выше центра тяжести, то такое равно-
|Весие будет, очевидно, устойчивым (рис. 30, наверху), если же центр
величины окажется расположенным ниже центра тяжести, то такое
§ 19] ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА 121
равновесие будет неустойчивым и пара сил (R, G) опрокинет тело
(рис. 30, внизу).
Отклоним плавающее тело на малый угол а от положения равно-
весия, при котором точки С кЦ лежали на одной вертикальной пря-
мой LL. Через новое положение центра величины Ц' проведем верти-
каль до пересечения с отклоненным положением прямой L'U в точке /И,
называемой метацентром.1 Расстояние h между метацентром и центром
тяжести тела определяет метацентрическую высоту. Пара сил (R, G),
в случае устойчивого равновесия восстанавливающая равновесие, а
в случае неустойчивого равновесия опрокидывающая тело, будет иметь
момент
L=Gh sin а.
Если метацентр выше центра тяжести, тело вернется в положение
равновесия, если метацентр ниже центра тяжести, тело опрокинется.
Рассмотрим в заключение еще вопрос об определении главного
вектора сил давления однородной тяжелой жидкости на погруженное
в нее тело при равномерном вращении жидкости вместе с погру-
женным в нее телом.
Применим вновь формулу (89), но заметим, что в настоящем слу-
чае градиент давления по (80) будет равен:
grad р = — р grad П -J- рсо2г* grad г* = pg -J- ро»2г*; (97)
тогда получим
R — — J pg dx — I* po>2r dz = — G — p<osr* • x, (98)
где под r‘ подразумевается вектор, направленный по кратчайшему
расстоянию от оси вращения до центра тяжести вытесненного объема Ц
и равный по величине этому расстоянию
r;(=4jrrfT- (")
Формула (98) показывает, что при равномерном вращении жидкости
с полностью увлекаемым ею во вращение телом давление жидкости на
поверхность тела складывается из архимедовой подъемной силы, ана-
логичной той, которая была бы в неподвижной жидкости, и еще до-
полнительной архимедовой силы,
R' = — р«/2гЧ = — Af<u2r*, (100)
играющей роль центростремительной силы притяжения тела к оси
вращения и равной по величине произведению массы жидкости М
Предполагается, конечно, что в силу материальной симметрии пересе-
чение Действительно осуществится,
122 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. Ц
в объеме тела на квадрат угловой скорости вращения и кратчайшее
расстояние от оси до центра тяжести вытесненного объема жидкости.
Полученный результат можно положить в основу объяснения мно-
гих явлений и прежде всего описания процесса центрифугирования.
Пусть плотность находящегося в жидкости тела равна р, причем тело
будем считать однородным и полностью погруженным. Тогда, прикла-
дывая к такому, вращающемуся вместе с жидкостью, телу центро-
бежную силу, равную (М— масса тела)
F — 7Исо2г* = р<в2тг’,
ц 1 ц’
и учитывая вес этого тела О = Mg, можем судить об относительном
равновесии тела в жидкости по разности векторов приложенных к нему
сил: веса О и центробежной силы F, с одной стороны, и архимедовых
подъемной и центростремительной сил — с другой; эта разность равна:
G — G (р — р) о>2~г* = (р — р) gr 4~ (р — р) сАг* =
= (Р—-Р)(£+‘и2гц)т-
Из рассмотрения этой разности сразу видно, что: 1) если плот-
ность вращающихся вместе с жидкостью тел р больше плотности
жидкости р, то такие тела будут тонуть во вращающейся жидкости
и отбрасываться на периферию, 2) если же плотность тел р меньше
плотности жидкости р, то такие тела будут всплывать и приближаться
к оси вращения. Так, например, в маслобойных центрифугах зерна
образовавшегося масла, более легкие, чем окружающая их водянистая
сыворотка, всплывают наверх и собираются вблизи оси центрифуги.
Как непосредственно следует из последней формулы, равновесие
возможно лишь при условии одинаковой плотности жидкости и погру-
женных в нее тел (р = р).
ГЛАВА Ш
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
§ 20. Идеальная жидкость. Основные уравнения
движения
Наиболее простой схемой движущейся жидкости является так
называемая идеальная жидкость. Принимая эту схему, отвлекаются
от наличия внутреннего трения—вязкости, считая что по пло-
щадкам соприкасания двух, друг относительно друга движущихся,
объемов действуют лишь нормальные к площадке силы давления и
полностью отсутствуют лежащие в плоскости площадки касательные
силы трения.
Применяя это допущение к координатным площадкам, будем иметь
Рху== Pyai^2 Pyz^^ Pzy== Pzas^^ Рая^^ (О
то же допущение отсуктвия касательных напряжений на наклонной
к координатным осям площадке дает
Рпя> ~ Рппа>’ Рпу = Рппу> Pnz ~ PtPz-
Отсюда, согласно системе равенств (10) гл. И, будем иметь:
Рж — Руу^Ргг — Рп' (2)
Из системы равенств (1) и (2) следует основное свойство идеаль-
ной жидкости — независимо о г выбора осей координат касательные
напряжения в любой точке движущейся идеальной жидкости равны
нулю, нормальные — равны между собой, иными словами, нормальное
напряжение в данной точке не зависит от направления площадки,
к которой оно приложено.
Обозначим это общее значение нормальных напряжений в данной
точке потока через „—р“. Скалярную величину р будем называть
явлением в данной точке потока; знак минус, как и в случае равно-
весия, выделяется специально, чтобы подчеркнуть противоположность
направления вектора нормального напряжения рп направлению орта нор-
лик положительной стороне площадки. Таким образом, напряжение,
124 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Ш
приложенное к положительной стороне любым образом наклоненной
элементарной площадки в идеальной жидкости, определяется формулой
Рп = Рпп = —Рп- (3)
Вспоминая предыдущую главу, видим что полученные только что
формулы, верные лишь в случае движения идеальной жидкости или
газа, совпадают с соответствующими формулами равновесия любой
реальной сплошной среды.
Совокупность равенств (3) эквивалентна тензорному равенству
Р =—р$, (4)
которое также совпадает с аналогичным равенством (53) гл. II для
находящейся в равновесии неидеальной сплошной среды.
При отсутствии касательных сил трения, два параллельно движу-
щихся слоя идеальной жидкости могли бы иметь совершенно произ-
вольные скорости, свободно скользить друг относительно друга. Этот
факт находится в явном противоречии с принципом непрерывности
поля скоростей, положенным ранее в основу кинематики и динамики
жидкости и газа. Можно было бы ожидать при этом, что схема
идеальной жидкости должна привести к результатам, далеким от
реальности, бесполезным для практики. Однако это не так. Теория
идеальной жидкости в большинстве случаев с достаточной для прак-
тики точностью описывает обтекание тел, оценивает распределение
давлений по поверхности обтекаемых тел, дает суммарную силу
давления потока на тело и мн. др. Причиной достаточного совпадения
с опытом столь, на первый взгляд, отвлеченной, „идеализированной"
схемы служит дополнительное допущение о сохранении и для идеаль-
ной жидкости принципа непрерывности распределения механических
и термодинамических величин в движущейся среде. В этом фундамен-
тальном принципе механики сплошной среды заложена главная каче-
ственная сторона физического механизма молекулярного обмена в жид-
костях и газах, приводящего, с одной стороны, к непрерывности полей
физических величин и, с другой, к наличию трения и теплопроводности.
Отвлекаясь в схеме идеальной жидкости от количественной стороны
влияния внутреннего молекулярного обмена, проявляющейся в виде
трения и теплопроводности, сохраняют в силе главную, качественную
сторону явления — непрерывность распределения физических величин.
Принцип непрерывности движения среды приходится нарушать
лишь в некоторых особых случаях: на границах двух идеальных
жидкостей разной плотности (поверхности раздела), на поверхности
твердого тела, обтекаемого идеальной жидкостью, а также на неко-
торых специальных поверхностях, где физические величины или их
производные могут претерпевать разрывы непрерывности (поверхности
разрыва). В первых двух из указанных случаев допускается свободное
скольжение жидкостей друг по отношению к другу и скольжение
жидкости по поверхности твердого тела, причем ставится условие
§ 20]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
125
отсутствия взаимного проникновения жидкостей или протекания жид-
кости сквозь поверхность твердого тела (условие непроницаемости).
Как далее будет показано, в наиболее важных для практики случаях
эти нарушения основного принципа непрерывности обычно сосредото-
чиваются в тонких слоях (пограничный слой, граница струи, ударная
волна или скачок уплотнения и др.), принимаемых за поверхность
или в случае плоского движения, за линию. Вне этих поверхностей
или’ линий все величины считаются непрерывными, что позволяет при-
менять обычные приемы составления и решения уравнений динамики
идеальной жидкости или газа.
Реальная жидкость не допускает наличия разрывов непрерывности
элементов ни внутри движущегося потока, ни на границах его
с твердым телом. В действительности жидкость или газ не могут сколь-
зить вдоль поверхности твердого тела; скорости тех частиц, которые
граничат с твердой стенкой, равны нулю, жидкость, как бы „прили-
пает" к поверхности тела. Однако эта скорость резко возрастает
при удалении от поверхности тела и на внешней границе весьма тонкого,
по сравнению с размерами тела, пограничного слоя достигает зна-
чений, соответствующих схеме свободного скольжения идеальной
жидкости. В этом вторая причина возможности применения схемы
идеальной жидкости для расчета обтекания важных для практики тел
плавной, вытянутой формы (крыло, фюзеляж, лопатка рабочего колеса
турбомашины и др.). В случае плохо обтекаемого тела пограничный
слой отрывается от поверхности тела и значительно искажает картину
обтекания тела идеальной жидкостью.
Основные дифференциальные уравнения движения идеальной жид-
кости получаются путем упрощения согласно равенствам (1), (2), (3)
или (4) общих уравнений движения, выведенных в гл. II.
Уравнение неразрывности, как не заключающее напряжений, сохра-
нит ту же форму: (16), (17) или (17') гл. II при лагранжевом спо-
собе определения движения и (18), (21), (22) или (23) той же главы—
при эйлеровом представлении движения.
Уравнения в напряжениях (28), (29) или (30) гл. II также упростятся
и приведут к одному из следующих двух векторных уравнений:
dV dt d\ _ dt 4-(v.v)v = F~ 7 grad p, 1 . F grad p, (5) (5')
или в проекциях на оси декартовых прямоугольных коорд du ди , ди . ди . ди „ 1 др dt ~Т~и дх ду W dz ® р дх ’ инат:
dv аГ~ dw dt ~ dv "dt dw dt + “ 4~ и dv । dv. , -5 Г V 4 dx 1 dy 1 dw , dw , dv c, - w — = — dz У dw d - w — = F — dz ® 1 dp ~~dy’ \_dp_ P dz ' . (6)
126 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Щ
Уравнения (5), (5') или (6) представляют различные формы урав-
нений Эйлера динамики идеальной жидкости или газа.
Вектор (------ grad р\, стоящий в правой части (5) и равный
1 f ,
hm —— I — рп ас,
дг->о рД\,1 г
согласно терминологии предыдущей главы, представляет отнесенный
к единице массы главный вектор сил давления или иначе силу объем-
ного действия давлений в данной точке. Вектор F дает, как обычно,
отнесенную к единице массы собственно объемную силу.
Движение идеальной жидкости можно исследовать также в лагранжевых
переменных t, а, Ь, с (§ 8). Для этого заменим в уравнениях Эйлера ускорение
на его лагранжево выражение:
du d~x dv _ d2y dw d2z
~dt~~dP’ ~dt~~dfl~’ ~dt ~~dfi
и перепишем уравнения так:
д~х _ 1 др
dfi ~t'as р дх’
д2у _ Р 1 др
дР V р ду’
d2z 1 др
dfl z р дг ‘
Будем предполагать, что Fx, Fy, Fz, так же как и р, рассматриваются как
сложные функции t, а, Ь, с через х, у, z. Умножим обе части первого урав-
дх ду дг « т „
нения на , второго на , третьего на и сложим между собою. Тогда,
вводя обозначения:
Qa(t-, а, Ь, с) = Fx^- + Fy-^-+ Fz^~,
w ’ ' > х да ‘ У да да
Qb(i; a, b, c) = Fx^- + Fy^--YFl.^-,
’ 7 х дЬ 1 У дЬ ’ л дЬ
Qc(f, a, b, c)-=Fa.^--\-Fy^+F,s^-,
4:0' ’ ’ дс у дс г дс ’
и замечая, что по формулам производной от сложной функции:
др дх др ду . др дг _ др
дх ’ да ' ду ’ да ' dz да да ’
др дх др ду , др дг _ др
дх ’ дЪ ду’ дЪ дг дЬ ~ дЬ ’
др дх .др ду . др дг др
§ 20] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 127
получим, повторяя Аг ... И -т— , •• ~дЬ’ дс нений, уравнения указанную операцию умножения . с последующим сложением левых динамики идеальной жидкости уравнений Эйлера на и правых частей урав- лагранжевой форме-.
д-х дх а2у ду . д-'z дг п 1 др
dfi * да 1 dfi да । дР да ~Qa р да ’
д-х дх a2v ду , д^г дг 1 др
дР дЬ 1 dfi дЬ + dfi дЬ "Qb р дЬ ’ и)
д-х дх a!v д.у д*г дг 1 др
df‘ ’ дс "г дР дс dfi дс Vc Р дс'
Рассматривая переменные Лагранжа а, Ъ, с, как криволинейные коорди-
наты точки М(х, у, г), можем придать величинам Qa, Qb, Qc смысл приве-
, , , 1 др
денных к единице массы обобщенных объемных сил, величинам-------—,
1 др 1 др , , г
____-у-,------~----приведенных к единице массы обобщенных сил объем-
р дЬ р дс
кого действия давлений; выражения, стоящие в левых частях уравнений,
• д2г
представят, с этой точки зрения, проекции ускорения V = на оси криво-
линейных координат а, Ъ, с в точке М (х, у, г), умноженные на соответствую-
щие параметры Ляме На
1/ (дх^ । ।
V \да) ~г\д«/ 'уда/
и др.
Поскольку в уравнениях (7) неизвестными являются функции:
х (f; а, Ь, с), у (t, a, b, с), z (t; а, Ъ, с) и р (t, а, Ь, с),
то направления криволинейных осей наперед не известны, поэтому дальней-
шие преобразования, аналогичные тем, которые в теоретической механике
производят при составлении уравнений Лагранжа второго рода, не предста-
вляют интереса.
Отметим, что при наличии потенциала объемных сил П (/; х, у, г) =
= П (t; а, Ь, с) и функции давления § (rf; а, Ь, с) уравнения (7) полезно еще
преобразовать дополнительно, представляя левые части по формулам
/дх дх \ Гдх д {дх\ 1
dt \.~дГд^+ •••]-
— & (&х &х д- _ Г ®х д (дх\ 4.
dt \ dt ~да ' '' / [ dt da\dt )'
__ д (дх дх , \ д 1 f(dx\~ ,
~ dt\dt да ' да 2 |Д dt ) 4
и замечая, что:
0________эп _ ап ______ап
Ча~ да' Qh~ db‘ дс ’
1_др_____д§ 1 dj/ _ dg1 г дР _ д&
р да ~ да ’ р дЬ ~ дЬ ’ р дс ~~ дс ’
128
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
(гл. Ш
будем иметь:
д dt fdx dy u-?— \ da * da , dz' 4- да у da
_L dt ( dx , dy \ db ' db = _L( db (7х)
— ( dt f dx , dy +«$) de J = —( de
Выражение L, стоящее в скобках справа, представляет разность приве-
денных к единице массы кинетической энергии движущейся среды и суммы
потенциальных энергий силовых полей объемного действия сил давления н
внешних объемных сил. Это выражение может быть названо приведенной
к единице массы лагранжевой функцией или кинетическим потенциалом,
а интеграл этой величины за некоторый интервал времени (f0, t)
t
A — J" Ldt
t<>
— приведенным к единице массы действием.
Уравнения (7Z), после интегрирования их по времени в интервале (/<„ t)
могут быть приведены к виду:
дх . ду . dz дх0
и -д- + v + w -ч- — Ц0
да 1 да 1 да v да
дх ду . dz дх0
db'db дЬ и дЬ
дх , ду . dz дх0
и-—h v-^- + w ---«о
де де дс дс
ду\, дгй дА
° дЬ 1 v дЬ
дуо dz0
v0-^--w0 —
да ’
дА
дЬ ’
_____дА
дс дс * j
(7")
Уравнениям Эйлера можно придать иной, полезный для дальнейших
выводов, вид, указанный впервые казанским профессором И. С. Гро-
мека (1851—1889). Для вывода этого уравнения выделим в левой
части уравнения Эйлера (5') из выражения конвективного ускорения
потенциальную часть. Вспомним легко проверяемую по проекциям общую
формулу векторного анализа
grad(a- b) = (b-V)a + (a • V)b-[-b X rota-f-a X rotb
и положим в ней: a = b==V; тогда получим:
grad (-£) = (V • V) V + V X rot V.
Пользуясь этим общим векторным соотношением, придадим уравнению
Эйлера (5 х) форму уравнения Громека
^-f-grad(^) + rotVXV = F—jgradp. (8)
Для дальнейшего наибольший интерес представляет случай, когда
объемные силы имеют потенциал П и движение баротропно, т. е.
§ 20]
УРХВНШИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОЕ 1)1
124
существует функция давления
§(р) = | ^£- -
J Р(Р)
Ро
при выполнении этих условий будем иметь:
у grad р = grad §
и уравнение Громека (8) перейдет в следующее:
~ + grad + § + П) + rot V X V = 0.
Введем обозначения:
Е = —[- S’ + П,
Й = rot V.
(9)
(10)
(И)
(12)
Величину Е, равную сумме приведенных к единице массы кинети-
ческой энергии среды и потенциальных энергий силовых полей объем-
ного дейсгвия сил давлений и собственно объемных сил, можно было
бы назвать приведенной к единице массы полной механической энер-
гией. Величину Е не следует смешивать с ранее введенной лагранже-
вой функцией L.
Уравнение (10) может быть представлено в более краткой форме
так
-ф-grad Е-ф й X V = 0,
(13)
или в проекциях на декартовы оси:
ди , Ж . „ о ]
-Sl + d^+Qyw-^v = 0’
~dt ду ^г-'М — = 0’
dw . дЕ , n о п
dt “Ь дг + ~~ °’
(14)
Уравнение (13) или его аналитическое представление (14) связы-
вает чисто кинематические величины V и Й = rot V с динамическими
характеристиками силовых полей П и S’. Переписывая это уравнение
в форме
дм
^- + eXV = -gradE,
видим, что при баротропном движении идеальной жидкости или газа,
независимо от характера и физической сущности действующих
9 Вак' 1841. Л Г. Лойцянский.
130 динамика идеальной жидкости и Газа |гл. щ
силовых полей объемных и поверхностных сил, левая, чисто кине-
матическая, часть этого равенства представляет потенциальный вектор.
Следовательно, не всякое поле скоростей может быть создано в баро-
тропно движущейся идеальной жидкости под действием потенциального
поля объемных сил, а только удовлетворяющее равенству
fot(^+SXv) = °,
или, что все равно,
g + rot(2XV) = 0.
Раскрывая дифференциальную операцию вихря от векторного произ-
ведения по правилу векторного анализа:
rot (Й X V) == (V • V) Й--(Q • V) V + Q div V — V div Й
и откидывая в этом равенстве последний член, как тождественно рав-
ный нулю, будем иметь
§ + (V • V) 2 = (Й • V) V — Й div V.
Вспоминая, наконец, определение индивидуальной производной по
времени, получим
^ = (Й • V)V — fidivV.- (15)
Уравнение это, составленное для частного случая несжимаемой
жидкости еще Гельмгольцем, было указано известным советским
механиком А. А. Фридманом и названо им уравнением динамиче-
ской возможности движения. Итак, при принятых ограничениях
оказываются возможными только поля скоростей, удовлетворяющие
уравнению (15). Само собой разумеется, что поля скоростей, полу-
ченные в результате интегрирования уравнений движения, будут удо-
влетворять уравнению динамической возможности (15); важно, что, не
решая основной системы уравнений динамики, можно наперед указать
общее условие, связывающее кинематические элементы движения.
Другой важный физический смысл уравнений динамической возмож-
ности движения (15) будет указан позднее в связи с динамикой
вихревых движений.
Полагая в уравнениях Эйлера или Громека вектор скорости рав-
ным нулю, вновь получим указанные в предыдущей главе уравнения
равновесия, являющиеся, естественно, частным случаем уравнений дви-
жения; подчеркнем еще раз, что уравнения равновесия верны не только
для идеальной, но и для любой реальной жидкости или газа.
В случае баротропного движения уравнения движения (13) или (14)
не содержат явно плотности, так как плотность исключается при помощи
2 j | ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 1 3 1
«равнения баротропного процесса. Этот факт не представляет специ-
фического преимущества уравнений Громека; уравнения Эйлера в слу-
чае баротропного движения также могут быть переписаны в векторной
форме:
AV
^- + (V.V)V = F — gradS1
или, в проекциях, в виде системы уравнений:
ди . ди , ди . ди д$
-^-7“ U Г—— +- V -т-1— W -Т— 2= /’ « —•яг-" <»
dt 1 дх * ду 1 dz 1 дх’
dv dv . dv , dv o d&
-7—- и -т-I— *v д— + w -4— — Ftl ~~ r——
dt 1 dx 1 dy ‘ dz J dy
dt dx ' dv' dz * dz ’
не зависящих явно от плотности.
§ 21. Закон сохранения энергии в движущейся идеальной
жидкости. Адиабатическое движение. Сохранение энтропии
В основе явлений вязкости и теплопроводности лежит один и тот
же механизм молекулярного переноса: в первом случае — количества
движения, во втором — кинетической энергии хаотического движения
молекул. Естественно поэтому, приняв модель идеальной жидкости,
как жидкости без трения, отказаться одновременно и от теплопровод-
ности, сохраняя возможность наличия других видов теплопередачи
(например, лучеиспускания). >
Изложенный в предыдущей главе общий закон сохранения энергии
в применении к совершенному идеальному газу будет иметь следую-
щую интегральную форму:
J р (]cvT-\- dz = J pF • V dx - Jpn • V da + J pjq dz. (16)
т т cf г
Вспомним основную в термодинамике совершенного газа формулу
связи между теплоемкостями газа ср, сг и газовой постоянной
J(cp — c^ = R. (17)
Формула (17) легко -выводится из определения теплоемкости при
постоянном давлении ср, как отношения элементарного приращения
отнесенного к единице массы.газа количества тепла q к приращению
температуры при сохранении постоянного давления
Jc =
JCP \дТ/р’
9
132
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
|ГЛ. ГН
если это отношение вычислить, используя уравнение первого начала
термодинамики совершенного газа (v = --удельный объем)
dq = Jcv dT-\-p dv,
по формуле
(^L\ — -Un/ЗД
\дТ)р~™^Р\.дт)р
и применить уравнение Клапейрона
pv —= RT,
согласно которому
’ду\ _____7?
.dTjP~ р •
Тогда будем иметь:
/Ср — Jcp -J- р • ? ,
откуда и следует формула (17).
Пользуясь формулой (17), можно значительно упростить выражение
закона сохранения энергии (16), если выразить отнесенную к единице
массы внутреннюю энергию JcrT газа через так называемое тепло-
содержание (энтальпию) или, как еще иногда говорят, тепловую функ-
цию i=JcpT по (17) так:
JcT — JcpT— RT = JcpT~-£- = i — (17')
V V jP р р Ч Z
После этого уравнение (16) может быть записано в виде
i Jр (z+•¥)dx=J pF ‘ V dx ~ J dlv dx+
+ J p dr 4- J p Jq dz.
Второй и третий интегралы в правой части соединяются вместе и,
в силу уравнения непрерывности (18) гл. II, оказываются в сумме
равны’
Д—w+p* (£.)]* _]•[_ di, (pv)+£-£.i] л _
=== F [ (PV) Н~31Г Ч™ V • grnd р div vl йт =s
•я «
§21]
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
133
Итак, будем иметь следующую интегральную форму закона сохра-
нения энергии в движущемся идеальном и совершенном газе:
^.(р(г + PF> VdT+,ff?d'!:+,fp^di:’ (18)
т -с т %
из которой обычным приемом получим и дифференциальную форму
того же закона
^(i+-)=F.v+^+/9.
(19)
Предположим теперь, что объемные силы отсутсгвуюг и движение
стационарно; кроме того, отвлечемся от притока тепла извне, т. е.
будем считать движение газа адиабатическим. Тогда закон сохранения
энергии приведется к равенствам:
dt (* + ~г) ~ °’ ^')
Из (19') сразу следует, что вдоль траектории или линии тока
(для стационарного движения это одно и то же) будет выполняться
равенство
* ТГ “ cons*» (20)
выражающее известную теорему Бернулли для сжимаемого газа
(см. § 25): в адиабатическом, стационарном потоке идеального со-
вершенного газа при отсутствии объемных сил сумма отнесенных
к единице массы теплосодержания и кинетической энергии сохраняет
постоянное значение вдоль траектории или линии тока частицы.
Если в правую часть общего уравнения (19) подставить, согласно
уравнению Эйлера,
„ dV . 1 ,
р —-Ч------Srad А
at 1 р ° 1
то можно получить равенство
a+v-^ = v-y+l(|+v-s™i p)+Ji
или, после сокращения слева и справа на член V • , следующее
не зависящее от характера, поля объемных сил выражение того же
закона сохранения энергии
di 1 dp .
134 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Ill
Если движение баротропно, то по предыдущему
1 rfp __ dg1
Р dt ~~~ dt ’
после чего уравнение баланса энергии приобретает вид
= (21)
Из равенства (21) вытекает, что в случае баротропного движения,
а к такого типа движению сводится большинство разбираемых в настоя-
щем курсе движений, приток тепла определяет изменение разности
тепловой функции и функции давлений. При адиабатическом движе-
нии q = Q и уравнение (21) приводи! к соотношению
/ = +const, (22)
справедливому вдоль траектории данной частицы при любом силовом
поле действующих на движущийся газ объемных сил. Докажем, что
уравнение (22) представляет ни что иное как уравнение известной из
курса термодинамики адиабаты
р = Ср* (23)
с показателем А, равным отношению теплоемкостей ср/се и постоян-
ной С, определяемой по заданным значениям: р = р0, р = р0 — в неко-
торой точке адиабаты.
Действительно, переписывая (22) в виде
7'
Jcn Jc„ р dp
JcpT —-~sr’RT—-j-r-j- const (22')
1 R R p p(p) 1 v 7
л»
и замечая, что ‘ио (17),
Jcp k
~R = ’
будем иметь, дифференцируя (22') по давлению р:
k d fp\ _ k 1 k p dp I *
A —1 dp\p)~k— 1 p 7’
откуда следует дифференциальное равенство
dp . dp
-- - к---,
p p
которое после интегрирования и приводит к (23).
Наряду с функциями состояния i и <§ введем в рассмотрение еще
одну функцию состояния — отнесенную к единице массы газа энтро-
пию S, определяемую известным дифференциальным соотношением
dS = J?£, (24)
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
135
§21]
где в общем случае, под бесконечно малой величиной dq будем пони-
мать отнесенное к единице массы количество тепла, образовавшееся
обратимым путем за время dt в элементарном объеме газа.
Если вдоль траектории движения частицы выполняется равенство
dS = 0, т. е. энтропия сохраняет вдоль траектории свою величину,
то такое движение называется изэнтропическим.
Как известно, возрастание энтропии в изолированной (адиабатиче-
ской) системе показывает, что внутри этой системы происходят не-
обратимые процессы преобразования механической энергии в тепло,
связанные с „потерями" механической энергии.
Примером образования таких механических noiepb могут служи1ь
hoi ери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах.
Следует четко разграничивать понятия адиабатического и изэнтро-
пического движений среды. Процесс движения жидкости и газа может
быть адиабатическим и вместе с тем не изэнтропическим, если при от-
сутствии теплопроводности и лучеиспускания, принимаемом в идеальных
схемах, или, более обще, при отсутствии теплоотдачи в потоке почему-
либо возникает необратимым образом гепло. Движение может быть,
наоборот, неадиабатическим, но изэнтропическим, если тепловыделе-
ния, связанные с превращением механической энергии в тепло, ком-
пенсируются пугем теплопроводности или лучеиспускания. Само
собою разумеется, что реальные движения являются неадиабати-
ческими и неизэнтропическими и могу г рассматриваться в качестве
адиабашческих или изэнтропических лишь в известном приближении.
В идеальном газе непрерывное адиабатическое движение является
вместе с тем и изэнтропическим, так как при отсутствии внутреннего
I рения и теплопроводности все процессы в нем обратимы.
Можно вывести общую формулу для энтропии совершенного газа,
если в правую часть равенства (24) подставить выражение Jdq из
уравнения первого начала термодинамики
Jdq~ Jcv dT-\- pdv — Jcv dT -f- pd = Jcr dT —- dp
и разделить обе части таким образом полученного равенова на Т;
тогда получим
Р
11 ,и> ,амечая еще, что на основании (17)
Л, 1
/? ~ k— 1’
136 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. Щ
найдем искомое выражение для бесконечно малого приращения
энтропии
(25)
откуда интегрированием получим
S = In const. (26)
Значение константы здесь не существенно, так как приходится иметь
дело лишь с приращениями энтропии, а не с абсолютными ее значе-
ниями.
Из уравнения (26) вытекает вновь, что адиабатическое движение
идеального газа, подчиняющееся соотношению (23), является изэнтро-
пическим. Соотношение (23) можно было бы назвать изэнтропической
адиабатой или, короче, изэнтропой
§ 22. Эйлерово представление конвективного изменения
объемного интеграла. Перенос величины сквозь
контрольную поверхность
Рассмотрим движение некоторого индивидуального жидкого
объема т с поверхностью о. К такому объему, представляющему систему
материальных жидких частиц, можно применять общие законы сохра-
нения массы и энергии, теоремы об изменении количеств движения,
моментов количеств движения, кинетической энергии и др. При соста-
влении выражений изменения со временем соответствующих величин
приходится вычислять индивидуальную производную от объемного
интеграла, представляющего эту величину. По предыдущему, индиви-
дуальная производная может быть представлена как сумма локальной
производной, учитывающей нестационарность поля дифференцируемой
величины, и конвективной производной, характеризующей неоднород-
ность поля.
Эйлеру принадлежит общепринятый в настоящее время прием
выражения изменения некоторой величины в объеме через перенос этой
же величины сквозь поверхность, ограничивающую объем (об этом уже
упоминалось в § 11).
Условимся в дальнейшем называть „контрольной поверхностью",
соответствующей некоторому движущемуся индивидуальному жидкому
объему, неподвижную в пространстве поверхность, ограничивающую
рассматриваемый движущийся объем в данный момент времени. Кон-
1 рольная поверхность представляет зафиксированную мгновенную форму
поверхности тела в пространстве. Перемещаясь в просфанстве, дефор-
мирующийся жидкий обьем в каждый данный момент времени про-
текает сквозь собственную контрольную поверхность, соответ-
ствующую рассматриваемому моменту времени.
§ 22] ЭЙЛЕРОВО ИЗМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 137
Введем понятие о переносе физической величины сквозь замкнутую
или разомкнутую поверхность а. Возьмем в пространстве, заполнен-
ном движущейся средой, элементарную площадку de с ортом нормали и,
направленным в положительную сторону площадки. Произведение
фУ физической величины Ф, безразлично скалярной, векторной
или”тензорной, на секундный расход среды сквозь площадку da опре-
деляет перенос величины Ф сквозь площадку da, а интеграл J Ф Vnda —
о
перенос той же величины скозь поверхность а.
Полагая, например, Ф равным отнесенному к единице объема век-
гору количества движения pV, получим вектор переноса количества
движения сквозь поверхность а, равный интегралу J pVV„da.
а
Протекающую сквозь поверхность а секундную массу среды j* pVn da
О
можно рассматривать как перенос плотности р через поверхность о;
Г V2
величину I р -g- Vn da —• как перенос кинетической энергии и т. п.
СТ
Докажем теперь, что конвективное изменение интеграла от
некоторой величины, взятого по движущемуся объему, равно пере-
носу той же величины сквозь „контрольную* поверхность, огра-
ничивающую этот объем в данный момент времени.
Для доказательства поступим так же, как в § 11 при выводе
формулы Остроградского, а именно, разобьем выбранный объем на
большое число элементарных трубок тока и для каждой из них (см. рис. 9)
подсчитаем секундное конвективное изменение объемного интеграла от
рассматриваемой величины Ф. Для этого, отвлекаясь о г локального
д С
изменения — I ф dx, составим разность интегралов по смещенному
к моменту t-^dt и первоначальному в момент t объемам:
| — f <bdt. (27)
A'D'C'B’ ADCB
Эта разность интегралов, в силу непрерывности Ф, може1 быть с точ-
ностью до малых высшего порядка приведена к разности таких двух
величин:
Ф2 • объем CC'D'D — Ф1 • объем АА'В'В, (28)
так как при вычислении конвективного изменения следует отвлечься
от нестационарности и сократить интеграл по общему для уменьшаемого
и вычитаемого в разности (27) объема A'DCB'. Искомое секундное
конвективное изменение интеграла, распространенного по объему эле-
ментарной трубки, будет равно:
^2 ^2я^°2—daj = $5H2ado2-j- Ф1 Vlndaj.
138 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. III
Суммируя эги секундные конвективные изменения по всему объему т
с поверхностью а, полупим полное секундное конвективное изменение
объемного интеграла в виде
f Ф d-c = f Ф da, (29)
W/bobbJ J ’
т о
что и доказывает предложение.
Желая избежать возможных недоразумений, подчеркнем, что в только
что проведенном доказательстве определялась индивидуальная конвек-
тивная производная от объемного интеграла, т. е. вычислялось изменение
во времени интеграла, распространенного на конкретный движущийся
объем, состоящий все время из одних и тех же частиц жидкости или
газа. Это означает, что внутри объема не могло быть источников
притока (стока) новых масс жидкости или газа. Если же такие —
„особые"—точки в потоке (источники или стоки) существуют, то их
следует дополнительно выделять контрольными поверхностями,
например, окружать сферами, и включать поверхности этих сфер
в общую совокупность поверхностей, ограничивающих обьем интегри-
рования; таким приемом приходится постоянно пользоваться при рас-
смотрении движения жидкости.
Итак, полная индивидуальная производная от рассматриваемого
объемного интеграла может быть предпавлена следующей суммой-
d f , , д f т , . Г т
— J ф dx = J Ф dt -|- J Ф da. (30)
Т * О
Полагая в этой формуле последовательно:
Ф = р, Р^Т'+тг), pv, rxpv, Р^-,
получим выражения индивидуального изменения во времени: массы,
энергии, количества движения, момента количепва движения и кинети-
ческой энергии жидкости в рассматриваемом объеме.
Примечание. Непрерывность распределения в пространстве
величины Ф была использована при выводе формулы (29) лишь
в области входного и выходного сечений элементарной трубки тока.
Что же касается объема трубки A'DCB', общего для начального
и смещенного положений движущегося объема ADCB и выпадаю-
щего при вычислении приращения объемного интеграла, то внутри
этого объема величина Ф может изменяться произвольным, непре-
рывным или прерывным, образом, лишь бы только интеграл
сохранял определенный смысл.
Предположим, чю внутри объема, ограниченного „контроль-
ной" поверхнос1ью, имеются поверхносги разрыва непрерывное!и
интегрируемой величины, причем на Э1их поверхностях величина
§ 23J ЭЙЛЕРОВА ФОРМА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ 139
претерпевает при переходе с одной стороны поверхности на другую
конечный скачок. Будем предполагать, кроме того, что эта поверх-
ность разрыва ни целиком, ни частью не совпадает с контрольной
поверхностью, а если пересекается с ней, то на участках, где расход
жидкости сквозь контрольную поверхность равен нулю (часть кон-
трольной поверхности совпадает с поверхностью тока).
Из проведенного в настоящем параграфе вывода формулы (29)
непосредственно следует, что формула сохраняет свою силу и
в только что указанном случае наличия поверхностей разрыва.
Такого рода поверхности разрыва встретятся в следующей главе при
рассмотрении ударных волн в сжимаемом газе.
§ 23. Эйлерова форма законов сохранения массы и энергии,
теоремы количеств движения и момента количеств движения
при стационарном движении идеальной жидкости
Останавливаясь на случае стационарного движения жидкости,
можем, пользуясь эйлеровым выражением конвективной производ-
ной (29), представить закон сохранения массы
в следующей интегральной форме:
(31)
имеющей простой физический смысл: в стационарном потоке полный
массовый расход жидкости или газа через неподвижную замкну-
тую поверхность, не заключающую внутри себя ни источников, ни
стоков, равен нулю.
Применим этот закон для элементарной трубки тока с двумя какими-
нибудь нормальными сечениями da2, в которых скорости соот-
ветственно равны по величине Vj и П2, а плотности: и р2; тогда,
замечая, что на боковой поверхности трубки тока Vn = 0, получим
вместо (31) равенство
p1V1da1 = paV2da2. (32)
В этой форме закон сохранения массы можно проформулировать
так: при стационарном движении жидкости или газа секундный
массовый расход сквозь сечение элементарной трубки тока оди-
наков вдоль всей трубки.
Если плотность жидкосги повсюду одинакова, т. е. жидкость
несжимаема, то формула (32) переходит в более прощую:
Vj daj = V2 da2, (32')
140 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. ц
утверждающую сохранение объемного расхода вдоль элементарно!
трубки. В силу этого закона в суживающихся сечениях трубки токе
скорость возрастает и, наоборот, в расширяющихся сечениях — убы-
вает. Столь простого соотношения между скоростью и площадью сече-
ния при течении сжимаемого газа указать нельзя, так как имеется еще
третий переменный фактор — плотность.
Формулы (32) и (32') легко обобщаются и на случай трубки любогс
поперечного размера. Назовем через Сц и о2 два каких-нибудь, вообще
говоря, неплоских поперечных сечения трубки; поверхности а, и а5
в общем случае не ортогональны к линиям тока, более того, ортого-
нальных к линиям тока поверхностей, как уже ранее указывалось,
может и не существовать. Производя суммирование обеих частей
равенств (32), написанных для отдельных элементарных трубок, по всем
трубкам, составляющим данную конечную трубку, получим:
Jpl/Wda= f pV„da, (33)
«1 «2
т. е. для трубки тока конечного размера при стационарном движении
справедлив закон сохранения секундного массового расхода вдоль
всей трубки. Обозначая этот секундный массовый расход сквозь любое
сечение трубки о через М, будем иметь:
М = J рVn da = const. (34)
О’
Величину А/, по аналогии с величиной потока вихря сквозь любое
сечение вихревой трубки (вторая теорема Гельмгольца, гл. I, § 12),
можно было бы назвать интенсивностью трубки тока.
Закон сохранения массы, не связанный, как видно из приведенных
выводов, с представлением об идеальности жидкости, справедлив и
в случае неидеальной жидкости.
Закон сохранения энергии в случае стационарного, адиабати-
ческого движения идеальной жидкости при отсутствии объемных сил,
согласно равенству (IS7) и принятому эйлерову представлению, можно
записать в интегральной форме так:
| р (jcpTVn da = 0. (35)
* о
Применяя этот закон для элементарной трубки гока, так же как
и в случае закона сохранения массы, получим:
( Г2\ ( Г2\
Pl Vt МСрЛ + -у ) Pj v2 I JC]>Tt2 + ) '/a2> (36)
ggj ЭЙЛЕРОВА ФОРМА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ 141
или, учитывая равенство (32):
<37)
Это равенство ничем не отличается от закона сохранения (20).
Теорема об изменении количества движения жидкого объема уже
применялась в предыдущей главе при выводе основного уравнения
динамики жидкости; равенство (24) гл. II в случае стационарного дви-
жения идеальной жидкости может быть в эйлеровом представлении
написано в форме
JpFdT—Jpndo—JpVVn<Za = 0. (38)
Последний интеграл, взятый с отрицательным знаком, можно тракто-
вать, как перенос количества движения через поверхность а, на-
правленный внутрь объема т. Действительно, орт внешней нормали и
направлен наружу объема, так что, если
в некоторой точке поверхности вектор ско-
рости V направлен также наружу объема
(Vs>0), то элемент интеграла —pV„Vda
направлен внутрь объема; если же век-
тор V направлен внутрь объема, то Vn < 0
и элемент интеграла направлен в ту же
сторону, что и вектор V, т. е. опять
внутрь объема.
Равенство (38) дает следующую фор-
мулировку теоремы об изменении количе-
ства движения: если в стационарном
потоке идеальной жидкости выделить
некоторый объем, то сумма главного
вектора объемных сил, приложенных к
выделенному объему, главного вектора
сил давления, приложенных к его по-
верхности, и переноса количества дви-
жения через эту поверхность, напра-
вленного внутрь объема, равна нулю.
Применим равенство (38) к объему элементарной трубки тока между
Двумя ее ортогональными сечениями (рис. 31): 1) da1} где скорость
равна Vj, плотность рп давление орт внешней нормали п1; и
I ^°2> гДе, соответственно, скорость равна V2, плотность р2, давле-
НИе р2 и орт внешней нормали п2. Тогда, выделяя из общего поверх-
ностного интеграла сил давления интеграл по боковой поверхности
Рубки абок и замечая, что перенос количества движения сквозь боковую
поверхность трубки равен нулю, получим:
J pFri-c— Jpnda-pjnidai-p^da^VjVi^-pa^Vado^O, (39)
абок
J 42
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОС1И И ГАЗ\
(гл. in
или, произведя замену:
Vs=V2n2, (40)
найдем следующую, важную для дальнейшего, форму уравнения ко-
личеств движения для элементарной трубки тока при стационар-
ном движении идеальной жидкости (газа):
j*pFdx—Jpnda— (Pi + piVi) Hida!—(р2-(-р3П1)п^сз = 0. (41)
т a
бок
Предполагая наличие в поле скоростей поверхностей, ортогональ-
ных к линиям тока, просуммируем равенства (41) по всем элементар-
ным трубкам, составляющим некоторую трубку конечной ширины;
получим уравнение количеств движения для любой трубки конечной
ширины:
J pFd-c— Jpn da — I" (p -|-pIZ2)n da — J (p -f-p V2) n da= 0, (42)
иоъ
где Oj и a2—-два ортогональных к линиям тока сечения трубки.
Интеграл давлений по боковой поверхности трубки выделен особо,
так как в приложениях этот интеграл имеет самостоятельное значение
(главный вектор сил давления на стенки канала, по которому течет
жидкость, и др.).
Элементарные приложения формулы (42) к вычислению реакции
струи, давления жидкости на стенку и др. приводятся обычно в кур-
сах теоретической механики и гидравлики; специальные приложения
этой формулы будут часто встречаться на протяжении следующих глав.
Принимая во внимание сделанное в конце § 22 примечание о воз-
можности применения эйлерова представления конвективной производ-
ной в том Случае, когда внутри объема, ограниченного контрольной
поверхностью, имеются поверхности разрыва интегрируемой величины,
можем заключить о применимости в этом случае и эйлеровых форм зако-
нов сохранения массы и энергии, а также теоремы количеств движения.
Аналогичным путем найдем формулы, соответствующие при стацио-
нарном движении идеальной жидкости теореме об изменении момента
количеств движения:
J(tXpF)da—J”(rXnp)da — J (г X Р HnV) da — 0 (43)
Т с V
и для элементарной трубки тока:
J (rXpF)dT — J (г X пр) da—(p1-|-pi’l/i)r1 X —
°бок
— (P2+P2^2)r3Xn2^2=0, (44)
где векторы rt и г2 представляют векторы-радиусы центров тяжестей
нормальных сечений dat и da2 трубки тока.
•4J -1E0PI MA on ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 148
§ 24. Теорема об изменении кинетической энергии. Работа
и мощность внутренних сил. Эйлерова форма уравнения
изменения кинетической энергии
Теорема об изменении кинетической энергии индивидуального
жидкого объема должна, как известно из теоретической механики,
формулироваться так: „производная по времени от кинетической энер-
гии движущегося жидкого объема равна сумме мощностей внешних
(объемных и поверхностных) и внутренних сил". Отсюда следует
А pF-VrfT— pn-Vrfa+ =
-t т а
pF • V dx
div (pV) dx -j~ j p/Vm dx,
(45)
i де Nin представляет отнесенную к единице массы мощность внутрен-
них сил давлений, равную отнесенной к единице массы секундной
работе расширения элементарного объема в данной точке. Действи-
тельно, умножим обе части основного уравнения Эйлера (5) скалярно
на V dx и проинтегрируем по объему т; получим:
~~ | JpF-VdT—Jv-gradp.
Т 'С
Вычтем почленно обе части последнего уравнения из уравнения (45),
тогда найдем
J pNtn dx = J {div (pV) — V • grad p] dx = j~ p div Vdx. (46)
Отсюда в силу произвольности выбранного объема т следует:
—-^divV, (47)
Г
или по уравнению неразрывности (18) гл. II:
7V = (47')
!П р2 dt " dt\p) г dt '
-выражение, в котором нетрудно узнать отнесенную к единице массы
и времени работу расширения газа, входящую в уравнение первого
начала термодинамики (г<—удельный объем):
J dq = Jc^dT -J- pdv—JcrdT-+- pd(—\
X P f
ни Щ3ультат ЭТ°Т можно было ожидать заранее, так как уравне-
г«е п Легк0 выв°Дится как следствие уравнения сохранения энер-
и (16) и уравнения первого начала. Действительно, переписав
144
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГДЗА
[1 Л. Ill
уравнение сохранения энергии и первого начала в следующем не-
сколько преобразованном виде:
рр (jc,,T + dt = j*pF • V dt — I" div (pV) dr-f- |*pJq dt,
«5 X T
и вычтя одно из другого, получим:
d
dt
dt,
т. е., согласно (47'), ни что иное, как уравнение (45).
Можно было бы и наоборот вывести уравнение баланса энергии (16)
из первого начала и теоремы об изменении кинетической энергии, не
основываясь на законе о сохранении энергии движущегося газа. В этом
смысле закон сохранения энергии представляет первое начало термо-
динамики, примененное к движущемуся газу, так как уравнение изме-
нения кинетической энергии является простым следствием уравнений
динамики газа.
В заключение найдем эйлерову форму теоремы об изменении кине-
тической энергии индивидуального объема жидкости или газа. В слу-
чае стационарного движения уравнение (45) можно переписать в виде
Ndt —
рп • V da -J- I р div V dt
а
(48)
откуда следует формулировка теоремы об изменении кинетической
энергии в эйлеровом представлении: при стационарном движении
идеальной жидкости или газа сумма мощностей объемных сил и
мощностей внешних и внутренних сил давлений, сложенная с пе-
реносом кинетической энергии внутрь движущегося объема, равна
нулю.
Применим эту теорему к объему элементарной трубки тока между
двумя произвольными ортогональными сечениями da^ ndo,2. Будем иметь,
из тех же соображений, что и при выводе теоремы количеств движения:
f f / 1
• I pF • V dt I p div V dt -f- I pt Vt pr 1 dat —
X Z
/ vf)
(Pa^a i Pa “2“ I da2 = 0.
(49)
В том случае, когда линии тока допускают проведение ортого-
нальных поверхностей к ним, получим для трубки тока конечной
§25]
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
145
толщины:
|PF-VrftH- р div V dx -j-
4-J(p^+P — j (p^+p-y) = 0,
01
(50)
где oj и o2— Два неплоских сечения трубки, ортогональные во всех
своих точках линиям тока, т— ограниченный ими и боковой поверх-
ностью трубки объем трубки тока. Заметим, что, в отличие от тео-
ремы количеств движения и момента количеств движения, в формулах
(49) и (50) отсутствует интеграл мощностей сил давлений, приложен-
ных к боковой поверхности трубки тока; это и естественно, так как
сила давления,на боковой поверхности направлена перпендикулярно
к скорости частиц.
Формулы типа (49) и (50) практически могут применяться лишь
в случае идеальной несжимаемой жидкости, так как при этом инте-
грал, представляющий секундную работу (мощность) расширения,
обращается в нуль; необходимость вычисления этого интеграла в общем
случае сжимаемого газа делает формулы слишком сложными для при-
менения.
§ 25. Теорема Бернулли о сохранении полной механической
энергии при стационарном баротропном движении идеальной
жидкости и газа
Пусть некоторая идеальная жидкость или газ под действием потен-
циального поля объемных сил с потенциалом П совершает стационар-
ное баротропное движение с функцией давлений $*. Тогда, опуская
в уравнении Громека (13) первый член, равный при стационарном
движении нулю, и умножая обе части (13) скалярно на вектор ско-
рости V, получим, в силу перпендикулярности последнего слагаемого
вектору V:
• V • grad Е = V • grad = О,
или, что все равно (вспомнить определение конвективной части инди-
видуальной производной в конце § 9 гл. I):
' ^ = 0, (51)
где символ d/ds означает производную, взятую вдоль траектории или
линии тока, что при стационарном движении одно и то же. Из равен-
ства (51) сразу следует, что вдоль траектории или линии тока вели-
чина Е сохраняет одно и то же значение:
V2
Е — -g- S’ П = const (вдоль линии тока). (52)
10 Зак. 1841. л. Г. Лойцямский.
146 ДИНАМИ <А ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА [ГЛ. It!
Отдельные слагаемые этой суммы представляют отнесенные к еди-
нице массы: 1) кинетическую энергию частицы, 2) потенциальную
энергию поля объемного действия сил давления в данной точке
потока и 3) потенциальную энергию поля объемных сил. Сумма Е
этих трех слагаемых представляет, как уже ранее упоминалось, отне-
сенную к единице массы полную механическую энергию потока в дан-
ной точке. Равенство (52) дает следующую формулировку теоремы
Бернулли: при стационарном, баротропном движении идеальной
жидкости или газа под действием потенциального поля объемных
сил приведенная к единице массы полная механическая энергия
потока сохраняет постоянную величину вдоль любой траектории
или линии тока.
Из уравнения Громека (13) в случае стационарного движения сразу
следует постоянство полной механической энергии Е также и вдоль
любой вихревой линии. Действительно, откидывая в случае стацио-
нарного движения первый член и умножая обе части (13) скалярно
на 6, получим:
б • grad Е = Q f-S- • grad = Q == 0,
\ w / di
где dl — дифференциал дуги вихревой линии. Отсюда сразу следует,
что вдоль вихревой линии величина Е имеет одно и то же значение:
V2
Е = — 4- s’ ФII = const (вдоль вихревой линии). (53)
При стационарном движении вектор, равный произведению Q X V,
образует потенциальное векторное поле, так как по (13)
rot (Q X V) — —rot grad Е = 0;
при 'этом, как известно, через каждую точку пространства можно
провести поверхность, ортогональную к векторной линии, проходящей
через эту точку. Эти ортогональные
——е=const поверхности будут поверхностями
W у уровня полной механической энергии,
так как гРадиент энергии направлен
/ / п0 Н0Рмали к ним- Иными словами,
полная механическая энергия сохра-
Г ‘г_ у'няет одинаковь1е значения на всех
поверхностях, ортогональных к век-
р ' / тору S X V в данной точке, или, что
Ф все равно, на поверхностях, касатель-
' Рис. 32. ные плоскости к которым в любой
loire пространства содержат векторы
S и V. Эти поверхности уровня полной механической энергии можно
получить, взяв (рис. 32) какую-нибудь линию тока и проведя через
все ее точки вихревые линии; эти вихревые линии образуют вихревую
| 25j tEOPEMA БЕРНУЛЛЙ 14?
поверхность—поверхность уровня энергии, проходящую через данную
линию тока.
Можно поступить и иначе: взять некоторую вихревую линию и
чепез все ее точки провести линии тока; тогда эти линии тока обра-
зуют поверхность тока, проведенную через данную вихревую линию.
Следовательно, любые вихревые поверхности, содержащие в себе линии
тока или поверхности тока, содержащие вихревые линии, будут по-
верхностями уровня приведенной к единице массы полной механиче-
ской энергии стационарного, баротропного потока идеальной жид-
кости находящейся под действием потенциального поля объемных сил.
Резюмируем предыдущие положения так: если в стационарном баро-
тропном потоке идеальной жидкости, находящемся под действием
потенциального поля объемных сил, поверхность тока совпадает
с вихревой поверхностью, то эта поверхность служит поверхно-
стью уровня приведенной к единице массы полной механической
энергии потока.
Таким образом, все пространство, заполненное стационарно дви-
жущейся идеальной жидкостью или газом, может быть расслоено на
поверхности, причем вдоль каждой из них полная механическая энер-
гия имеет некоторое постоянное значение, изменяющееся при переходе
от одной поверхности к другой.
Точно так же константы, стоящие в правых частях равенств (52)
и (53), имеют в общем случае разные значения вдоль разных линий
тока или вихревых линий. Одинаковые значения констант имеют лишь те
линии тока, которые проходят через точки одной и той же вихревой
линии, или вихревые линии, проведенные через точки одной и той же
линии тока.
Значения констант в равенствах (52) и (53) определяются величи-
ной полной механической энергии в какой-нибудь одной, почему-либо
характерной или заданной наперед точке линии тока или вихревой
линии. Еще раз подчеркнем, что в общем случае константы эти раз-
личны для линий тока или вихревых линий, не лежащих на одной и
той же поверхности тока, являющейся одновременно и вихрезой по-
верхностью.
Если во всех точках пространства выполняется векторное равенство
Q X V = О,
(54)
то поверхностей уровня нет, но в этом случае, по (13) и условию
стационарности,
gradE=O, (55)
т. е. полная механическая энергия сохраняет одно и то же значение
° всем пространстве, занятом потоком жидкости или газа.
Равенство (54) выполняется в следующих двух случаях:
1' ~ 0—движение безвихревое-, подробному рассмотрению этого
нейшего случая будут посвящены специальные главы курса;
10*
148
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ и газа
(гл. и
2) S || V — вихревые линии совпадают с линиями тока; при таком
движении частицы в своем мгновенном вращении поворачиваются вокруг
касательных к линиям тока. Такое движение называется винтовым
С винтовым движением приходится иметь дело при рассмотрении так
называемых свободных вихрей, сходящих с поверхности крыла конеч-
ного размаха.
Рассмотрим частные случаи теоремы Бернулли, относящиеся
к отдельным, простейшим баротропическим процессам: 1) несжимаемому
движению, 2) изотермическому движению и 3) адиабатическому,
а следовательно, ио предыдущему, и изэнтропическому движению.
В случае движения несжимаемой жидкости (р = const) имеем по (9):
g> Го Р I const.
Р Р '
Довольствуясь случаем наличия в качестве объемных сил только
сил веса и направляя вертикальную ось г вверх, получим:
__dll _ ___
g-_ g,
П —+ const.
Тогда теорема Бернулли примет следующий простой вид (сим-
вол const обозначает сохранение величины вдоль линии тока или
вихревой линии):
E = -i- —= const, (56)
2 р
или, переходя от плотности р к удельному весу 7 —
_ = = —-|-;z = const. (57)
g 2^ I f 1 v
Отдельные члены равенства (57) имеют размерность длины и
V2 „ р
называются соответственно: —скоростной,-^—пьезометрической
и г—нивелирной высотами. Сумма этих высот Н называется
гидравлической высотой.
Формула (57) приводит к классической формулировке теоремы
Бернулли: при стационарном движении тяжелой идеальной несжи-
маемой жидкости гидравлическая высота, равная сумме скорост-
ной, пьезометрической и нивелирной высот, сохраняет постоянное
значение вдоль любой линии тока или вихревой линии.
Эта форма теоремы Бернулли имеет основное значение в гид-
равлике открытых русел (каналов, водосливов и др.).
Предположим, что силы веса в рассматриваемом случае движения
имеют ничтожное влияние по сравнению с давлениями. Таково, напри-
мер, движение газа по трубе, при котором вес газового столба,
§ ggj ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ • 149
определяемого площадью сечения трубы и разностью высот частиц
газа, пренебрежим сравнительно с перепадом давлений, приводящим
газ в движение.
В этом случае потенциал сил веса может быть опущен и уравне-
ние Бернулли приобретает более простой вид:
р = const. (58)
Первый член, представляющий давление, иногда называют пьезо-
метрическим напором, второй—скоростным или динамическим напо-
ром, сумму их — полным напором.
В этом случае теорему Бернулли (58) формулируют так: при ста-
ционарном движении идеальной несжимаемой жидкости в отсут-
ствии объемных сил полный напор, равный сумме скоростного и
пьезометрического, сохраняет свою величину вдоль любой линии
тока или вихревой линии.
При изотермическом движении сжимаемого газа Т — const,
•£•= const функция давлений S по (72) гл. II равна (индекс О
означает некоторую произвольную точку изотермы):
Ро Ро
Пренебрегая в этом случае объемными силами, получим уравне-
ние Бернулли в виде:
“ + — In — = const,
2 ро Ро
или
Гф£21п£ = ^
2 ' Ро Ро 2 •
(59)
(60)
Уравнение (58) несжимаемого (хотя, быть может, и изотермического)
движения нельзя рассматривать как частный случай уравнений (59)
или (60) изотермического движения сжимаемого газа, так как из
предположений р = const и Т= const по уравнению Клапейрона следо-
вало бы и р == const, что привело бы к постоянству скорости дви-
жения.
Рассмотрим, наконец, адиабатическое, а следовательно, как было
показано в § 21, и изэнтропическое движение идеального газа
const, pp~fe = const). В этом важном для практики случае, если
отвлечься от действия объемных сил, теорема Бернулли приведет
к соотношению:
— -J-g1 = const.
(61)
150
ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
[ГЛ. HI
Функцию давления S’ можно при желании заменить по формуле (22)
на тепловую функцию i = JcpT-, тогда уравнение (61) перейдет в сле-
дующее:
j tssx —JCpi ’-= const j (62^
аналогичное ранее выведенному из закона сохранения энергии урав-
нению (20).
Вычисляя, с другой стороны, функцию давления S’ по уравнению
изэнтропы
р р
f dp Р1^ Г . k РТ(
J р(р) Ри J р ар k-1 PoV р0 ,
Ро Ро
(63)
получим еще следующее выражение теоремы Бернулли:
J2______
2 k— 1рв
(64)
Пусть в выбранной пока совершенно произвольно точке линии
тока, где давление, плотность и температура принимают значения р0,
р0 и скорость движения равна нулю {V — 0); если в действительно
происходящем движении на данной линии тока или вихревой линии
такой точки нет, то всегда можно представить некоторое воображае-
мое адиабатическое движение идеального газа, переводящее его в со-
стояние покоя, адиабатически его затормаживающее. Величины р0,
Ро и 7), в этом случае называют соответственно давлением, плотностью
и температурой адиабатически заторможенного газа. Используя вы-
бранные таким образом постоянные величины р0, р0 и 70, можно пере-
писать уравнение (62) в виде:
или
2 ~Н JcpT. — JcpTo
уз
2/Ср7'0
(65)
(66)
Уравнение (64) при принятом обозначении переходит в известную
формулу Сен-Венана и Вантцеля:
Г ft—1 -I
^ ]• (67)
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
151
§25)
Заметим еще раз, что полученные в настоящем параграфе фор-
мулы движения несжимаемой жидкости (р = const) нельзя рассматри-
вать, как простые частные случаи изотермического или изэнтропи-
ческого движений сжимаемого газа, хотя несжимаемое движение может
происходить при постоянной температуре и энтропии. Условие несжи-
const ) или изэнтропичности
маемости (р = const) при сопоставлении с условием изотермичности
/'£.=
\Р
вости давления, а следовательно, температуры и скорости во всем
потоке. В следующей главе будут выяснены условия, при которых
формулы изэнтропического движения будут приближаться к формулам
движения несжимаемого газа.
Мы не будем приводить в настоящей главе примеров использования
общих теорем динамики идеальной жидкости или газа, так как бли-
жайшая и следующие за нею главы заключают в себе большое число
такого рода примеров.
— const} приводит к одинако-
ГЛАВА IV
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
§ 26. Одномерное течение идеальной сжимаемой жидкости.
Линеаризированные уравнения. Скорость распространения
малых возмущений в жидкости или газе
Если в потоке все динамические и термодинамические величины
являются функциями только одной, в общем случае, криволинейной
координаты и времени, то такой поток называется одномерным.
Простейшими примерами одномерных потоков могут служить: про-
странственный, параллельный некоторой оси координат поток, в кото-
ром скорость, давление, плотность и температура являются функциями
только этой координаты и времени, пространственный радиальный
поток с радиальной скоростью, давлением, плотностью и температу-
рой, представляющими функции только радиуса-вектора г и I, и др.
Обратимся к рассмотрению прямолинейного потока идеальной
жидкости или газа, все линии тока которого параллельны оси х,
а единственная составляющая скорости и, так же как давление р,
плотность р и температура Т, являются функциями х и /; при этом
будем пренебрегать действием объемных сил.
Уравнения Эйлера и уравнение неразрывности сводятся в эгом
случае к нелинейной системе дифференциальных уравнений первого
порядка в частных производных:
ди . ди 1 др 1
dt'adx 7^’1 m
др , д , ч n I U
с тремя неизвестными функциями и, р, р. Чтобы сделать систему
определенной, необходимо добавить уравнение связи между р и р,
если движение баротропно, или уравнение Клапейрона и уравнение
баланса энергии — в общем случае произвольного движения идеаль-
ного, совершенного газа. Интегралы таким образом составленной
системы уравнений должны удовлетворять определенным начальным
и граничным условиям.
§ 26] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 153
Задача о разыскании решений нелинейной системы уравнений (1)
для простейших баротропных процессов очень сложна.
ДаЖС м г
Случай движения несжимаемой жидкости (р = const) исследуется
просто, но не представляет интереса, так как при р — const уравне-
ние неразрывности приводится к условию независимости скорости от
координаты = О), что соответствует квазитвердому поступатель-
ному движению жидкости вдоль оси х.
•Начнем с решения следующей математически не сложной, но прин-
ципиально важной задачи: в находящемся в равновесии, покоящемся
идеальном газе создаются весьма малые возмущения скоростей, давле-
ний и плотности так, что возникающее при этом движение является
одномерным, параллельным оси х баротропным движением, зависящим
лишь от координаты х и времени /; требуется разыскать элемент
возмущенного движения. Обозначим через и, р и р скорость, давление
и плотность возмущенного движения, черезр0ир0—давление и плот-
ность при равновесном состоянии газа, причем отвлечемся от действия
объемных сил; тогда, вводя еще обозначения и', р', р' для малых
возмущений скорости, давления и плотности, будем иметь:
и = и',
P = Pq -j— p'i
(2)
р == Pq pz.
Подставим эти значения возмущенных элементов в систему урав-
нений (1) и откинем в них произведения малых величин и их произ-
водных по координатам, как малые высших порядков. Тогда, замечая,
что в силу баротропности движения
др dp др
дх dp дх
^(Ро + Р )
__f(dP\ । (&Р\ , । Idp fdp\ dp' , л n
(xr) P + • • • = -X— + M. 2-ro nop.,
IA«p/o 1 \dp2/o 1 J dx \dp)odx 1 1
получим вместо нелинейной системы (1) следующую линейную систему
Двух уравнений с двумя неизвестными и' и р':
ди',, 1 (dP\ дР' л
dt ~ р0 \dp /о дх
др' . ди' _
^истема (3) может быть названа линеаризированной по сравнению
нелинейной системой (1), так как она получена из нее путем линеа-
₽ завди, заключающейся в откидывании малых второго и высших
порядков.
154
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[1Л. IV
На первый взгляд непонятно, каким образом неопределенная си-
стема (1) стала определенной, хотя связь между р и р явно не задана.
Очевидно, что при малых отличиях возмущенных значений р и р от
невозмущенных, равновесных р0 и р0, любая аналитическая связь между р
и р вполне определяется заданием равновесного значения производной
от плотности
газа по давлению или обратной величины .
~ всегда существенно положительна, введем обозначение
Замечая,
что величина
= Оо
(4)
и перепишем систему (3) в форме:
ди' 2 др' )
Ро~дГ~ ай~д^’ I
ди'_______ др' ।
Ро дх dt ' I
(5)
В системе уравнений (5) переменные и' и р' могут быть легко
разделены. Дифференцируя обе части первого уравнения системы (5)
по времени t, а второго по х, умножая после этого обе части второго
уравнения на «о и вычитая его почленно из первого, получим:
дШ
дР
з д"-и' „
«о-ЭР- = °-
Аналогично найдем уравнение для определения р':
а замечая, что
д2р' а д2р' „
Ж-*о^==°,
р«) — 4р ,
найдем и уравнение для pf‘.
<гР' 2 д’-р' „
(6)
Ю
(6")
Одномерные волновые уравнения (6), (6Л) или (6") являются клас-
сическими уравнениями математической физики. К такого рода урав-
нениям приводит решение задачи о продольных и крутильных коле-
баниях упругого стержня и др. Общее решение каждого из этих
уравнений, как известно, можно представить в виде суммы двух
произвольных функций:
/1 (х а<$ Ч~ А (х 4“
вид которых зависит от начальных условий задачи.
§ 26] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДК0С1И 155
Введем новые координаты и связанные со старыми при
помощи равенств:
= х — aot,
t." = atf.
Новая ось координат О'Ц движется поступательно в сторону поло-
жительного направления старой оси Ох со скоростью а0, точно так
же ось О'%" движется поступательно в сторону отрицательного напра-
вления оси Ох с той же скоростью а0.
Функция /i(S') в подвижной системе ОТ предшавляет некоторое,
не зависящее от времени распределение возмущений скорости, плот-
ности или давления. Эта фиксированная форма одномерного возмуще-
ния (например, синусоида или другая какая-нибудь непрерывная
кривая) перемещается, согласно полученному решению волнового урав-
нения, как одно целое, вдоль положительного направления неподвижной
оси Ох со скоростью а0. Аналогично этому, функция /2(;"), характе-
ризующая определенное, не зависящее от времени распределение
возмущений в подвижной системе O'V, представляет вторую фиксиро-
ванную форму возмущения, отличную, вообще говоря, по своему виду
от первой и распространяющуюся также как одно целое в отрица-
тельную ст орону неподвижной оси Ох с той же скоростью а0.
Общая для обеих форм скорость распространения одномерных
малых возмущений в неподвижной сжимаемой среде а0 опреде-
ляется, согласно (4), формулой
“»=/'ш,- «
С такой скоростью будет, например, распространяться вдоль цилин-
дрической, заполненной газом трубы созданное внезапно начавшим
двигаться поршнем малое сжатие газа (малый перепад давления).
Перемещаясь в виде некоторой продольной волны, сжатие это будет
изменять плотность газа; до прихода волны в газе будет сохраняться
старое давление, как будто движение поршня не возникало.
С той же скоростью будут распространяться малые колебания
давления в жидкости или газе, создающие звук, если считать явле-
ние распространения звука баротропным; величина а0, заданная равен-
ством (7), называется поэтому скоростью распространения звука
или, короче, скоростью звука.
Согласно общему принципу классической механики, приведенное
рассуждение остается верным и в случае жидкости или газа, равно-
весным состоянием которых является квазитвердое поступательное и
равномерное движение. В галилеевой системе координат, связанной
с этой квазитвердо движущейся средой, уравнения гидроаэродинамики
сохраняют свой вид и все предыдущие выводы остаются справедли-
выми, если под скоростью распространения Звука всегда подразумевать
156 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
скорость по отношению к движущейся среде, а не к неподвижному
пространству, в котором среда совершает свое движение.
Если двум равномерным состояниям: покою и квазитвердому посту-
пательному и равномерному движению, соответствуют одни и те же
термодинамические характеристики р0, р0 и То, то скорости распро-
странения звука по отношению к газу в том и другом случае будут
одинаковыми. Если же жидкость или газ движутся не квазитвердым
образом, то различным точкам потока будут соответствовать различные
термодинамические состояния и разные скорости звука, которые
в этом случае придется рассматривать, как некоторые местные ско-
рости звука, представляющие функции координат и времени.
Подчеркнем еще раз, что скорость распространения звуковой
волны в среде не следует смешивать со скоростью движения самой
среды. Так, при покоящемся газе звуковая волна бежит по отношению
к газу со значительной скоростью (например, в воздухе со скоростью
порядка 330 м!сек), в то время как сам газ при этом остается почти
неподвижным.
Подставляя в первое уравнение системы (5) выражение возмущения
скорости и' в форме „волны", бегущей в положительном направлении
оси Ох'.
u'=fi {x — aGf),
получим уравнение
— роЯоЛ (х — aot) = — ао ,
где точкой над буквой обозначена производная по всему аргументу
(х— по0. Интегрируя это уравнение по х, получим:
/1 (х — а^) = «' = -£- а0, (8)
гО
или в дифференциальной форме еще такое соотношение:
(8')
Из условия баротропности процесса распространения малых воз-
мущений (звуковых колебаний) легко вывести соотношение
' а '
р =«оР ,
вместе с (8), приводящее к следующему выражению скорости и':
или в дифференциальной форме:
Po«# Pi
§ 26] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 157
Из равенств (8) и (9) можно заключить, что при данных значе-
ниях физических величин в невозмущенном газе изменения скорости
движения газа по отношению к неподвижной системе координат Ох
после прохождения звуковой волны тем больше, чем больше отно-
сительное уплотнение газа
Р' Р — Ро
Ро Ро
или относительное его сжатие
Р' _.Р—Ро
Ро Ро ’
т. е. чем больше интенсивность возмущения.
Если звуковая волна несет с собой сжатие (уплотнение) газа,
то р' > 0 и и' > 0; следовательно, проходящая сквозь газ звуковая
волна сжатия увлекает (с очень малой скоростью!) газ за собой,
звуковая волна разрежения (р' < 0), наоборот, дает дополнительную
малую скорость и' < 0, направленную в сторону, противоположную
распространению звуковой волны, а. е. звуковая волна разрежения
вызывает встречное малое движение газа. Это явление легко себе
представить, если вообразить поршень, имеющий возможность дви-
гаться вдоль открытой в обе стороны длинной цилиндрической трубы,
заполненной газом. Приведем поршень в слабое движение, например,
слева направо. Газ сожмется справа от поршня, и вправо побежит
звуковая волна, несколько уплотняющая газ. При этом образуется
слабое движение газа вместе с поршнем слева направо. Наоборот,
влево от поршня появится некоторое разрежение, которое будет
распространяться со скоростью звука влево от поршня, увлекая газ
за поршнем вправо.
Конечно, описанное только что явление, так же как и формулы (8),
(8'), (9) и (9'), относится лишь к случаю распространения слабых
возмущений в газе. Однако для дальнейшего не столько существенны
изложенные факты или формулы, как сама тенденция возрастания
абсолютной скорости потока газа при прохождении вниз по его
течению звуковой волны сжатия или вверх по течению волны
разрежения и, наоборот, убывания той же скорости при про-
хождении вверх по течению волны сжатия или вниз по течению
волны разрежения.
Так, при колебаниях звучащего тела в воздухе образуются попе-
ременно то сжатия, то разрежения, вследствие чего в пространство
уходят как волны сжатия, так и разрежения. Распространяясь сквозь
окружающий источник звука воздух, эти волны не только создают
колебания плотности и давления в воздухе, но и приводят в состоя-
ние малых перемещений и сами частицы воздуха.
Обратим внимание на еще одну, представляющую интерес для даль-
нейшего тенденцию. Пусть после прохождения звуковой волны вместо
158 одномерный поток идеальной жйд кости [гл. it-
равновесных значений давления и плотности р0 и р0 установились
значения р04~р' и р0-|-р', тогда изменится и скорость распростра-
нения звука, которая станет равной
Отсюда следует, что приращение скорости распространения звука
в газе за счет прохождения сквозь него звуковой волны представляет
малую величину того же порядка, что и относительное уплотнение
газа в волне р', а именно:
, 1 Хйр®/0 ,
2
X dp )0
Если предположить, что в рассматриваемом баротропном процессе,
вместе с ранее сделанным естественным допущением > 0, выпол-
няется еще неравенство О (это имеет место, например, для
изотермического и адиабатического процессов), то можно придти
к существенному для дальнейшего выводу о наличии тенденции
к возрастанию скорости распространения звука после уплотнения
среды звуковой волной сжатия и, наоборот, убыванию скорости
распространения звука после прохождения волны разрежения.
§ 27. Изотермическая и адиабатическая скорости звука. „Конус
возмущений" при сверхзвуковом движении источника возмущения.
Число М и его связь с углом конуса возмущений
Скорость звука, согласно формуле (9), зависит от характера баро-
тропности процесса.
Если предположить, что жидкость несжимаема, т. е. р = const,
то rto (7) а0 = со. Это означает, что в модели несжимаемой жидкости,
с которой в дальнейшем придется неоднократно иметь дело, возмуще-
ния давления должны были бы распространяться с бесконечной ско-
ростью, т. е. всякое изменение в данном месте потока должно
мгновенно сказаться в любом другом месте. В ряде случаев, такое
отличающееся от действительности предположение может с достаточным
для практики-приближением приниматься для расчетов, в других, как
далее будет показано, от него приходится отказываться и пользоваться
р = Ср*, — kCpk
а = лГ k — .
г р
§ 27J скорость звука, число М 159
схемами с конечной скоростью распространения малых возмущений
или что все равно, с конечной скоростью распространения звука.
Принимая процесс распространения звука изотермическим и вспо-
миная, что при изотермическом процессе (опускаем значок януль“)
р^ср, 0£- = с=Р-,
r dp р ’
получим скорость звука, соответсгвующую изотермическому процессу,
или, короче, изотермическую скорость звука
« = (10)
Если предположить, что процесс распространения звука происходит
без отвода тепла, т. е. адиабатически, то будем иметь:
1 _ ь £-
k Р ’
следовательно, адиабатическая скорость звука равна
(П)
Формула (10) была впервые выведена Ньютоном, а формула (11) —
Лапласом. Многочисленные эксперименты подтвердили правильность
формулы Лапласа (11). Физически это означает, что слабое сжатие
газа звуковой волной происходит очень быстро и образовавшееся при
этом тепло не успевает перейти в соседние части газа, что и приводит
к адиабатичности процесса распространения звука. В настоящее время
пользуются именно этой адиабатической скоростью звука, в даль-
нейшем для краткости называемой просто скоростью звука.
Применяя формулу Клапейрона, перепишем равенство (11) в виде:
a=\'kRT-, (12)
отсюда следует, что скорость распространения звука в совершенном
газе зависит лишь от абсолютной температуры и физических
свойств газа. Замечая, что газовая постоянная /? может быть выражена
через молекулярный вес газа т и ускорение силы тяжести g по
формуле
п __ 848g м*
т сек2град ’
Получим
а=]/~ м/сек. (13)
Для воздуха k = 1,4, т — 28,86; g — 9,81 м/сек и, следовательно,
.корость распространения звука в воздухе равна
с = 20,1/Т м/сек, (14)
160
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. и
’ в частности, при Т = 273 (0°С) скорость звука достигает величинь
332 м/сек. Скорость звука в воздушной атмосфере меняется с высотой
над уровнем моря. Применяя „стандартную атмосферу", получил
табл. 4 „стандартных" скоростей звука, в зависимости от высоты нал
уровнем моря.
Таблица 4
Н км ГК а м/сек И км т° к а м/сек И км т° к а м/сек
—1,0 294,5 345 5,0 255,5 322 11,0 216,5 296
0,0 288,0 341 6,0 249,0 317 12,0 216,5 296
1,0 281,5 337 7,0 242,5 313 13,0 216,5 296
2,0 275,0 333 8,0 236,0 309 14,0 216,5 296
3,0 268,5 329 9,0 229,5 306 15,0 216,5 296
4,0 262,0 326 10,0 223,0 300
Для газов с высоким молекулярным весом скорость звука сравни-
тельно с воздухом принимает весьма малые значения.
Наряду с только что рассмотренным случаем одномерного, парал-
лельного некоторой оси возмущенного движения, при котором в газе
происходит перемещение плоских звуковых волн, перпендикулярных
оси течения, можно было бы разобрать и случай одномерного радиаль-
ного распространения круговых в плоскости или сферических в про-
странстве звуковых волн. В этом случае линеаризированные уравнения
несколько усложняются, но так же легко решаются.1 Существенно,
что в случае круговых и сферических звуковых волн скорость рас-
пространения их будет определяться той же формулой (9), что и
в случае распространения плоской звуковой волны.
Предположим, что в неподвижной сжимаемой среде движется
прямолинейно и равномерно со скоростью и некоторый точечный
источник малых возмущений (в частности источник звука) А. Примем
прямолинейную траекторию движения источника звука за ось х,
выберем на ней начало координат О (рис. 33 а и б) и будем считать,
что точка А вышла из начала координат в момент времени / = 0.
Пусть в некоторый момент времени t = t точка А займет положе-
ние А; определим в этот момент границы области газа, возмущенного
движущимся источником, вышедшим из точки О при t = 0.
• Если источник возмущений движется со скоростью и, меньшей
скорости а распространения звука в данном газе при заданных термо-
динамических его характеристиках, или, короче, с дозвуковой ско-
ростью, то сферическая звуковая волна, вышедшая из начала координат
вместе с источником возмущений А, обгонит его и к моменту £ =
1 См., например, Г. Ламб, Гидродинамика. Гостехиздат, М. 1947, стр. 611-
27} скорость звука; число М 161
областью возмущенного газа будет являться, очевидно, вся внутренняя
часть сферы радиуса г = at (рис. 33 а).
Рассмотрим теперь случай сверхзвукового движения источника
возмущений («> а). При движении со сверхзвуковой скоростью
точка А сразу же обгонит образованную ею звуковую волну (рис. 33 б),
вышедшую в начальный момент времени из точки О, и будет непре-
рывно играть роль центра образования новых сферических волн. Чтобы
Рис. 33.
найти область возмущенной среды в случае сверхзвукового движения
источника возмущений, напишем в момент времени t—t уравнение
поверхности сферической волны, вышедшей из точки А в момент
времени t, и найдем огибающую всех таких сфер к моменту t=t.
Замечая, что в момент t центр рассматриваемой сферы будет занимать
на оси к положение х—ut, а радиус сферы, как легко сообразить,
°УДет равен r = a(t~— f), получим уравнение сферы в виде
(х — «02-|~_у2 -ф-z2 = а2 (Г—О2. (15)
Чтобы найти огибающую этого семейства сфер с параметром t, соста-
частную производную от обеих частей (15) по t и исключим t
Зак. I84J. jj р, Лойцянскнй.
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ |1'Л. IV
из совокупности полученного таким образом уравнения
(х — uf)u = a2(t — f) (1G)
и предыдущего уравнения (15). Из уравнения (16) получим:
их — аЧ
„2—д2 >
, fl2 (ut — х)
х — ut~—\-------
7 ..u{ut — x),
zz2— a2
после подстановки этих величин в уравнение (15) найдем:
<17)
или, перенося начало координат в точку x = x — ut,
+ = (18)
где 5—новая координата, заменяющая х по формуле
x~^-y-x = ^^-ut.
Равенство (18) при и>« представляет уравнение кругового конуса
с вершиной в точке А, осью симметрии Ох и углом раствора «,
удовлетворяющим равенству
ctga
откуда следует
. а
а — аге sin—,
и
(19)
(20)
. а
sina= —,
и ’
Условимся в дальнейшем обозначать
„числом М“ отношение скорости движения
газ к скорости распространения звука в
скорости движения газа в данной точке к
символом М и называть
тела сквозь неподвижный
нем, а также отношение
местной скорости звука.1
1 Отношение это не имеет установившегося наименования. В загранич-
ной литературе его называют „числом Маха“, иногда „числом Бэрстоу"-
Согласно новым данным, имеются основания именовать это отношение „числом
Маиевского" в честь известного русского баллистика Н. В. Маиевского. Ана-
логичное, по существу, отношение рассматривалось задолго до перечислен-
ных авторов Эйлером (см. по этому поводу нашу монографию „Аэродинамика
пограничного слоя", Гостехиздат, 1941, стр. 42—49, а также статью
Ф. И. Франкля в ДАН, т. LXX, № 1, 1950, стр. 39—42).
§
CkdPOcTb звука; число М 16'3
Формулы (20) при принятом обозначении перепишутся так:
sina = 3f> а = а^8>п-]5р (21)
причем в рассматриваемом случае сверхзвукового движения источника
возмущения и > а, М > 1.
Определяемый уравнением (18) конус будем называть конусом
возмущений, а угол а —углом возмущений. В случае плоского дви-
жения газа роль „конуса возмущений“ будут играть две пересекаю-
щиеся прямые — линии возмущений.
Область вне конуса возмущений представляет область газа, куда
к моменту (£ = 0 прихода источника возмущений в точку А распро-
страняющиеся в газе возмущения еще не успеют дойти.
Если, например, источником возмущений служит самолет, летя-
щий в воздухе со сверхзвуковой скоростью, то в области вне конуса
возмущений звукоулавливатель 3 (рис. 33) не обнаружит самолета,
как бы близко к самолету ни был расположен звукоулавливатель.
В области вне конуса возмущений воздух будет иметь невозмущенные
давление и плотность.
Иная картина получится при движении самолета, если скорость его
еще не достигла скорости звука. В этом случае возмущения, созда-
ваемые самолетом, опережают движущийся самолет и создают возму-
щенное поле скоростей, давлений и плотностей впереди самолета.
При принятии модели несжимаемого воздуха, возмущения, как было
ранее сказано, распространяются с бесконечно большой скоростью,
т. е. мгновенно; в этом случае возмущения, производимые полетом
самолета, передавались бы мгновенно в сколь угодно удаленные точки
воздуха, окружающего самолет.
Рассмотрим теперь обращенное движение: сообщим неподвижному
газу мысленно скорость и, равную по величине скорости движения
источника А а противоположную по направлению его движению. Тогда
источник А станет неподвижным, а газ будет набегать на него со ско-
ростью и.
Такого рода стационарные потоки наблюдаются в сверхзвуковых
аэродинамических трубах при продувке в них тел столь неболь-
шого размера по сравнению с полем трубы, что тела эти можно рас-
сматривать, как точечные источники возмущения.
Поверхность конуса возмущений представляет оптическую неодно-
родность, хотя и слабую’ по интенсивности, но все же достаточно
заметную при исследовании специальными оптическими приборами. Эта
оптическая неоднородность (изменение показателя преломления) объяс-
няется изменением плотности воздуха под действием сжатия или раз-
режения его в звуковой волне. Измеряя углы возмущений, по фото-
снимкам обтеканий можно определить соответствующие числа М,
а зная скорость распространения звука в среде,—и абсолютные ско-
рости потока.
11*
164 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
На рис. 34 и 35 показаны схематически конусы возмущения, вызван-
ные носиком и пояском летящего снаряда при двух различных числах М.
Звуковые волны, распространяясь в ограниченных стенками каналах,
отражаются от стенок и образуют сложные сетки линий возмущения.
§ 28. Распространение непрерывных возмущений конечной
интенсивности. Характеристики. Образование разрывной
ударной волны
В предыдущих параграфах рассматривались лишь очень малые
возмущения сжимаемой среды, сопровождаемые ничтожными отклоне-
ниями давления, плотности и температуры от их равновесного значе-
ния и очень малой по сравнению со скоростью распространения звука
возмущенной скоростью. При однородности полей невозмущенных
элементов (давления, плотности и т. п.) в неподвижном или квази-
твердо поступательно движущемся газе скорость распространения
звуковых волн была всюду одинакова и зависела только от физиче-
ских констант k, R и абсолютной температуры газа. Как это следует
из формул (8) и (9), с возрастанием по абсолютной величине интен-
сивности возмущений того или другого знака (относительного сжатия
или разрежения газа) растут или убывают и скорости абсолютного
движения частиц в возмущенном газе. Можно предугадать, что рас-
пространение возмущений конечной интенсивности вызовет в покоя-
щемся или движущемся поступательно как одно целое газе появление
новых скоростей, отличающихся от старых, невозмущенных, на ко-
нечную величину. Такое конечное изменение поля скоростей, согласно
закону сохранения энергии, приведет к конечному изменению термо-
динамических элементов потока, а следовательно, и к изменению самой
скорости распространения возмущений в газе. Если вспомнить ука-
занную в конце § 27 тенденцию увеличения скорости распростране-
ния звука (и, вообще, малых возмущений) при прохождении волны
§ 281
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
165
жатия и, наоборот, уменьшения этой скорости при прохождении
воины разрежения, го можно себе представить, что последовательно
образующиеся слабые волны сжатия должны будут догонять друг
д0уга. Наоборот, образующиеся волны разрежения будут иметь все
меиьшие и меньшие скорости распространения, т. е. будут друг от
друга отставать.
Распространяющаяся в газе вначале слабая волна сжатия будет,
таким образом, повышать свою интенсивность за счет догоняющих
ее волн. Это приведет к образованию плоской (в рассматриваемом
одномерном случае) волны конечной интенсивности, распространяю-
щейся со скоростью, превышающей скорость звука, и тем большей,
чем больше интенсивность волны. Такую движущуюся по отношению
к газу поверхность (в нашем случае плоскость) разрыва — конечного
скачка скорости, давления, температуры и плотности газа — назы-
вают ударной волной.
Изложенные качественные соображения о механизме возникновения
ударной волны можно, следуя Риманну,1 подтвердить и с количе-
ственной стороны.
Вернемся для этого к основной нелинейной системе уравнений (1).
Принимая движение баротропным, введем в рассмотрение величину а,
равную по предыдущему величине местной скорости распростране-
ния звука в газе, соответствующей данному значению плотности газа
в рассматриваемой точке потока
Пользуясь функцией давления S’, которую можно рассматривать и как
функцию плотности по формуле
р р р
$ = Г ^Р-= [ Г (23)
J Р J др р J р ’ v ’
Ро Ро Ро
преобразуем второе уравнение системы (1)
др . ди , д? ,,
dt 1 г дх 1 дх
к виду
^Р/Р . ди . dp др 1 д§ । ди , 1 д§ _
dp dt +рдх + “dp ' дх ~ dt + р дх + “ дх ~' °’
после чего система (1) перейдет в следующую:
ди । ди_______dg1 ]
dt + “ дх ~ дх’ I
1 dg . и dg ди ।
a dt • а дх дх' J
SchwiP^ ie m an n> Uber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher
w,ngnngsweite. Abhandl. d. Ges. d. Wiss. zu Gottingen, 1860.
(24)
— а,—
166
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
Введем теперь вместо функции давления
связанную с нею простым дифференциальным
d§ = -d§.
а
S’ новую функцию S’,
соотношением
(25)
Тогда система (1) может быть переписана в форме:
ди . ди д§
-57- 4- «5— = —
dt 1 дх дх’
(26)
первом
дуальные производные. в
г
Рис. 36.
откуда сложением и вычитанием легко получить более удобную для
последующих выводов систему уравнений:
(S’+«) + (« +й)(S’--}-в) = 0> j
а - д ~ > <27>
^(S-u)4(B-B)i(^-«) = o. j
Левые части уравнений (27) представляют одномерные индиви-
нии от величины § и для
точки, движущейся со ско-
ростью « + «, и во втором
уравнении от величины S’ — и
для точки, движущейся со
скоростью и — а. Равенство
нулю этих индивидуальных
производных говорит о со-
хранении величины § и
в точке, движущейся со ско-
ростью и -ф а, -и величины
S— и в точке, движущейся
со скоростью и — а.
Полученный результат
имеет следующий геометри-
ческий смысл. Рассмотрим
в плоскости аргументов (х, О
семейщво (С:) (рис. 36) кривых, определяемое дифференциальным
уравнением
J^tgO^a+o, (28)
О
и второе семейщво (С2), отвечающее решениям дифференциального
уравнения
> = tgO2 = «-C. (29)
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
167
§28]
Действительный вид этих кривых определится только после реше-
системы (1), так как справа стоят неизвестные функции и(х, I)
и а(х, f)> существенно, однако, что в каждой точке плоскости
(с /) 'известно направление касательных к этим кривым, если за-
даны7 значения « и р в этой точке.
Из уравнений (27) следует, что:
1) на кривых семейства (С\)
сР-|- и = const,
2) на кривых семейства (С2)
S’ — и — const.
(30)
(31)
Таким образом, вдоль кривых, принадлежащих семействам (С()
и (^я)» существуют определенные соотношения (30) и (31) между
функциями и и а при заданном характере баротропного про-
цесса, и между основными неизвестными функциями « и р.
Семейства (Q) и (С2), образующие в основной плоскости аргу-
ментов (х, t) сетку кривых, обладающих тем замечательным свой-
ством, что вдоль них интегралы уравнений в частных производных
удовлетворяют определенной системе обыкновенных уравнений [в на-
шем частном случае уже проинтегрированным конечным соотноше-
ниям (30) и (31)], называются характеристиками системы уравнений
в частных производных; угловые коэффициенты этих кривых, опре-
деляемые равенствами (28) и (29), представляют характеристические
направления.
Примером характеристик в простейшем случае линеаризированных
уравнений распространения звуковых волн (5) служат семейства пря-
мых: х — at — const и х-\-at= const, вдоль которых сохраняют
одинаковое значение скорости возмущений и остальные физические
величины.
Равенства (30) и (31), при заданном уравнении баротропного про-
цесса р=р(р), образуют в плоскости («, р) также два семейства
кривых, которые можно рассматривать, как „изображения" характе-
ристик (Cj) и (Са) в плоскости («, р) или как характеристики
6 плоскости (и, р).
Покажем на конкретном примере рассматриваемой системы (1),
как существование характеристик позволяет свести задачу разыскания
интеграла системы уравнений в частных производных, отвечающего
заданным начальным условиям, к простым графо-аналитическим прие-
мам, основанным на использовании системы дифференциальных урав-
нений (28), (29) и системы уравнений в конечном виде (30) и (31).
Предположим, что нам задано начальное условие в виде значений
орости и плотности u(s) и p(s) вдоль некоторой кривой (S), не
впадающей ни целиком, ни частью с кривыми характеристической
168
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. JV
сетки (рис. 37). В частном случае могут быть заданы значения этих
величин в функции от х при 1—0, т. е. начальное возмущение
при t = 0, « = «0 (*), р = Ро (х).
Определив по (28) и (29) угловые коэффициенты кривой (Cj)
в точке А и кривой (С2) в точке В по формулам:
проведем соответствующие характеристические направления и построим
треугольник AAtB.
На отрезке АА1 характеристики (Ct) выполняется, согласно (30),
равенство
$(рд? иЛ, = ® (Рд) + иА'
с другой стороны, на отрезке АгВ характеристики (С2), согласно (31),
будет:
$ <РА) — иА, = (Рв) — UB-
Из полученной сложением и вычитанием системы равенств:
£(рл) = i I® (р J+ua.+(Рв) ~ Ч-
ид ~ Y Р + иА — + ив] ’
легко находятся значения рА и «д.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
169
§281
Повторяя точно такое же рассуждение о треугольнике ВВгС, по-
поенном по значениям угловых Коэффициентов характеристики (С,)
вточке В и характеристики (С2) в точке С, найдем значения и
р в точке Bv Но по полученным значениям иА, рл и ив, рв^ легко
наметить дальнейшие направления характеристик, построить, таким
образом, треугольник AjA^ и по предыдущему определить значе-
ния и и р в точке Ai. Аналогичным приемом можно было найти зна-
чения и и р в точках А2, В2 и т. д. Задаваясь достаточно густым
делением кривой (S) в точках А, В, С и т. д., найдем указанным
только что графо-аналитическим приемом значения неизвестных функ-
ций и и р в сколь угодно близких друг к другу точках плоскости (х, t),
что и решает поставленную задачу. В этой возможности при помощи
характеристик построить полное решение системы уравнений, удо-
влетворяющее некоторому заданному начальному распределению неиз-
вестных функций, и заключается важное принципиальное значение
идеи применения характеристик.1
В рассматриваемом частном случае одномерного движения газа,
согласно уравнениям (1) или (27), характеристики (CJ и (С2) в про-
странственно-временной плоскости (х, /) имеют простой физический
смысл. Это — движущиеся вдоль оси Ох со скоростью и-%-а или
и — аи перпендикулярные к этой оси плоскости, причем в плоскости,
движущейся вниз по течению со скоростью и-\-а, сохраняет свое
значение сумма § и, а в плоскости, движущейся вверх по течению
со скоростью и — а, сохраняется разность § — и. Если вместо абсо-
лютного движения этих плоскостей рассмотреть их движения относи-
тельно газа, то эти движения представятся как распространение
в противоположные стороны двух волн со скоростями ±а, равными
по абсолютной величине местной скорости звука.
Чтобы составить себе общее впечатление о характере рассматри-
ваемого движения газа, обратимся к изучению одного простого част-
ного решения системы (27).
Будем предполагать движение газа баротропным и закон связи
между давлением и плотностью р = р (р) заданным; тогда, согласно (25)
Несколько подробнее метод характеристик в приложениях к сверхзву-
вьш задачам будет изложен в гл. VI.
едии"ТР°ГОе Изложение теории характеристик и доказательство теоремы
вых ственности решения уравнений характеристик можно найти в спецналь-
примеп^т?Х "'ФФеренциальных уравнений в частных производных. См., на-
т и г курант и Д. Гильберт, Методы математической физики,
*• 11. 1 остехиздат, 1945, стр. 66.
задачам™01^611116 метода характеристик к нелинейным газодинамическим
ъТеопв ДОСтаточно подробно и полно изложено во втором томе курса
Н R ™ческой гидромеханики" И. А, Кибеля, Н. Е. Кочина и
°- Р о з е.
170
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. IV
и (23), функция § определигся как функция р из соотношения
р
§ (р) = а ,
Ра
(32)
где по (22) а является также заданной функцией р. Примем, например,
рассматриваемое одномерное движение за адиабатическое и изэнтро-
пическое; тогда будем иметь
а следовательно, по (22) получим:
Построим частное решение системы (27), положив во всей пло-
скости (х, t)
где а0 и р0 — значения скорости звука и плотности в покоящемся
невозмущенном газе.
При р > Ро будем иметь сжатие газа и возмущенное движение
вдоль положительного направления оси х, при р < р0— разрежение
газа и движение в противоположном направлении.
Второе уравнение системы (27) в силу (35) тождественно удовле-
творяется, а первое переходит в следующее:
Это уравнение можно, по предыдущему, трактовать, как условие
сохранения скорости и, а по (35), следовательно, и плотности р в пер-
пендикулярной к оси Ох плоскости, движущейся с абсолютной ско-
ростью и -|- а, а по отношению к газу — с местной скоростью звука а.
По (33) и (35) местная скорость звука равна
fc—1
CL . Uq j * —— Uq ”—2— ’ /
§ ggj РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 171
Полученное решение будем называть простой волной. Скорость
м j. а распространения простой волны в неподвижном пространстве,
которую, напоминаем, не следует смешивать с абсолютной скоростью и
самих частиц газа, будет равна по (37):
и - j- а = а0 4- --g--- и. (38)
Как относительная скорость распространения простой волны по
отношению к газу (37), так и абсолютная скорость распространения
простой волны (38) в неподвижном пространстве растут с увеличением
сжатия газа (р > р0) и убывают при его разрежении (р < р0).
Таким образом, подтверждается указанное ранее из качественных
соображений важное свойство нелинейных (конечных) возмущений
в одномерно текущем газе: если в покоящемся (или в квазитвердо
поступательно движущемся газе) создать в начальный момент вдоль
оси трубы некоторое непрерывное конечное неравномерное распре-
деление возмущений определенной формы, то возмущения бдльшей
интенсивности будут перемещаться быстрее, а менее интенсив-
ные —медленнее.
Отсюда вытекает основное отличие нелинейного распространения
конечных по величине возмущений от линейного: при распростра-
нении конечных возмущений форма их начального распределения
изменяется.
Если, например, неподвижный вначале поршень (рис. 38) придет
в движение и с некоторого момента времени будет двигаться равно-
мерно со скоростью и, то передача этого движения покоящемуся
газу, заполняющему цилиндрическую трубу, в которой движется пор-
шень, произойдет не мгновенно. Вызванные поршнем давление р и плот-
ность р будут распространяться в невозмущенном газе, имеющем да-
вление pQ и плотность р0. Процесс этого распространения показан
на рис. 38. Скорость поршня равна и, скорость точки С равна ско-
рости звука а0 в невозмущенном покоящемся газе, точка В имеет
скорость и 4~ а, превышающую скорость звука а0, и нагоняет точку С.
Наклон кривой ВС при перемещении возмущения увеличивается
(рис. 38 6). При приближении этого уклона к вертикали производ-
ные и, р, р по х становятся бесконечно большими, и предыдущие
формулы теряют свою силу. Можно, однако, утверждать, что тен-
денция к увеличению крутизны склона кривой возмущений имеет
место, а это приводит к образованию (рис. 38 а) малой по протяжен-
ности движущейся области, на границах которой значения р, р и и
будут: слева—р, р, и, справа—рй, р0, и$. Эта область стремится
нийТЬ бесконечно тонкой и превратиться в плоскость разрыва давле-
, плотности и скорости. Такая движущаяся поверхность (плоскость)
рыва физических величин в газе называется, как уже упоминалось,
арной волной или, иногда, движущимся скачком уплотнения.
172
ОДНОМЕРНЫЙ поток идеальной жидкости
[гл. IV
Последнее наименование станет понятным, если вместо абсолют-
ного возмущенного движения газа рассмотреть его движение относи-
>ельно распространяющейся ударной волны.
Из графиков на рис. 38 легко сделать заключение, что газ, про-
ходя сквозь ударную волну, уплотняется. Действительно (рис. 38в),
невозмущенный, менее плотный газ (р0, р0) входит сквозь ударную
волну В"С" в область возмущенного (р, р), более плотного газа;
вот почему ударная волна называется движущимся скачком уплот-
нения.
Предположим теперь, что поршень, двигавшийся равномерно слева
направо с некоторой скоростью и и гнавший перед собой газ с давле-
нием р и плотностью р, мгновенно уменьшил свою скорость или
остановился. Тогда перед поршнем образовалось бы разрежение,
которое также стало бы распространяться направо вдоль трубы. Легко
сообразить, что в этом случае разрыв непрерывности элементов
не может осуществиться и ударной волны разрежения не обра-
зуется. В самом деле, в непосредственной близости от поршня (рис. 39)
173
СГОЯЧАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ИЛИ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
§ 291
ность газа меньше, чем впереди от него, поэтому фронт области
пл0 ущения (точка D) будет опережать распространение волны раз-
В°^неения соответствующей участку кривой AD. При этом склон DA
Ре 39 б б) будет становиться все более и более пологим. Область
исхода газа от больших плотностей к меныпим будет растягиваться,
сплываться; разрыва непрерывности—„ударной волны разрежения"—
Рис. 39.
при этом не образуется. Невозможность образования ударной волны
разрежения будет далее подтверждена общими термодинамическими
соображениями. Перейдем к более детальному изучению явления рас-
пространения ударной волны сжатия.
§ 29. Стоячая ударная волна или скачок уплотнения.
Ударная адиабата
Как уже указывалось в конце предыдущего параграфа, ударная
волна является некоторым предельным образованием, соответствующим
Разрыву непрерывности основных физических величин, характери-
зующих движущийся газ, и обращению в бесконечность производных
174
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЙ
Дл. IV
о г этих величин. По этой причине исследовать явления распростра-
нения ударной волны при помощи дифференциальных уравнений дина-
мики газа нельзя, приходится искать обходные пути и в первую
очередь пытаться использовать общие теоремы динамики газа в их
интегральном представлении.
Для конкретности рассмотрим (рис. 40) цилиндрическую трубу
бесконечной длины, вдоль которой может перемещаться поршень.
Пусть вначале газ неподвижен, а затем внезапно поршень получает
мгновенное ускорение влево, и достигнув скорости V, продолжает
двигаться равномерно с этой скоростью. Возникает вопрос, как прои-
е
зойдет передача движения поршня находящемуся перед ним газу.
Созданное непосредствен-
но перед поршнем возму-
щение — сжатие газа —
начнет распространяться
влево, причем, в силу вне-
запности перехода порш-
ня от покоя к движению
со скоростью V, протя-
в
u-V
С=0 .
женность начального уча-
Рис. 40. стка возмущения по оси
трубы будет очень мала.
В результате известного уже нам явления обгона проходящими через
участки более плотного газа волнами возмущения волн в менее плот-
ном газе, образуется плоская ударная волна, показанная на рис. 40
пунктиром, которая побежит по неподвижному, невозмущенному газу
(на рис. 40 влево) с некоторой скоростью 6, оставляя за собою
(на рис. 40 справа) возмущенный газ, выведенный -из состояния
покоя и приведенный к скорости и — V, одинаковой со скоростью
поршня.
Замечая, что бегущая по газу ударная волна встречает перед собой
газ с одними и теми же значениями давления, плотности и темпера-
туры и, точно так же, оставляет за собою газ с новыми, но также
все время одними и теми же термодинамическими параметрами возму-
щенного состояния газа, можем утверждать, что скорость распростра-
нения ударной волны 0 будет величиной постоянной. Из приведенного
ранее рассуждения ясно, что ударная волна будет обгонять движение
поршня, т. е. всегда
О > V.
Одномерное движение газа в трубе является нестационарным, та»
как при прохождении ударной волны скорости и основные термоди-
намические параметры газа изменяются. Для целей дальнейшего рас-
чета удобнее иметь дело со стационарным явлением. Поэтому обрати»
рассматриваемое движение, сообщив мысленно всей трубе в целой,
вместе с движущимся в ней газом, поступательное движение слев<
g 2i)j СТОЯЧАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ИЛИ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ 175
„право со скоростью 6. Иначе говоря, будем рассматривать проис-
ходящее в трубе явление с точки зрения галилеевой системы коор-
инат движущейся поступательно вдоль оси трубы вместе с ударной
волной. Тогда ударная волна окажется как бы остановленной, а дви-
жение газа — стационарным. Такую „стоячую11 ударную волну по
предыдущему будем называть скачком уплотнения. Невозмущенный
газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит к скачку
уплотнения слева направо (рис. 41) со скоростью V1 = b, а за скачком
движется со скоростью V2 = 0 — V. Давление, плотность и темпе-
ратура в этой галилеевой системе сохраняют свои прежние значения;
7/////////////,.^///////////////77//77^///////////7///////7^^///7//7'77///А
v,=e । vz=b~v
а, Р-Р^ р-р, I Р-Рг. р-рг а
' т-т, I г=г2
I
I
Рис. 41.
условимся обозначать индексом „1“ величины перед скачком, ин-
дексом „2“—после скачка.
Чтобы найти связь между Vlt plt рг, Т, и V2, р.2, р2, Т2, восполь-
зуемся стационарностью потока и применим к нему теоремы сохра-
нения массы, количества движения и энергии в форме Эйлера. Согласно
соображениям, приведенным в конце § 23, эйлеровы формы этих
теорем могут быть применимы и в случае наличия в потоке поверх-
ностей разрыва (например, скачка уплотнения). Следует только выбрать
„контрольную поверхность" так, чгобы те ее части, на которых нор-
мальная составляющая скорости отлична от нуля, не совпали и не
пересеклись с поверхностью разрыва.
Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверх-
ности цилиндрической трубы и двух равных между собою по площади
нормальных сечений а, и а2 (рис. 41). Поверхность разрыва пересе-
кает только ту часть контрольной поверхности, где Vn — 0. В силу
принятой одномерности движения будем считать, что в сечениях Cj
и °2 поля скорости и других величин однородны.
Закон сохранения массы, согласно (32) гл. III, дает после сокра-
щения на 0!==^:
p1K1 = p2F2. (39)
Теорема об изменении количеств движения в форме (42) гл. III
приводит, аналогично, к равенству
/’l l Pi^i =Р2 + Р2^2 (40)
176
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. IV
и, наконец, закон сохранения энергии (37) гл. III позволяет написан,
третье соотношение:
К системе уравнений (39), (40), (41) можно еще присоединить
уравнение Клапейрона, вследствие которого, используя еще равен-
ство (17) гл. III, можно написать:
— fT— JcPP1_ k pi
H—JCp1!— R p-—pi
и, аналогично,
t — k El
2 k — 1 pg ’
после чего равенство (41) заменяется следующим:
k tir Vi k p% Vi
Т7ГТТГ+-21 = -^1-^ + -Т- (42)
Таким образом, составлена система трех уравнений: (39), (40)
и (42) с тремя неизвестными величинами V2, р2, р2.
Найдем сначала связь между давлениями и плотностями до и за
скачком уплотнения, исключив из рассмотрения скорости и К2.
Для этого, согласно (39), перепишем уравнение изменения количеств
движения (40) в виде
А р2 = р2 Иг р1 Vi — pi 1^1 ( И2 1"1)
и умножим обе части этого равенства справа на выражение
Иг ~Н И1
рДТ ’
а слева на равную ему величину
PlKj ‘ pl pl ~ Р2К2 pi ‘ р2 ’
тогда получим
С другой стороны, из уравнения энергии (42) следует:
так что, приравнивая левые части двух последних равенств, найдем:
$ 29]
СТОЯЧАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА ИЛИ СКАЧОК УПЛОТНЕНИЯ
177
Группируя
в этом равенстве члены с рг и р2, будем иметь:
р.2 __ (fc-Hlp-j —(fe — l)Pt = (fe + DPa/Pi —(^—1)
Pl (^ + 1) Pl — -------О P2 k + 1 — --------- 1) Ps/Pl
(43)
Это важное соотношение, установленное впервые Гюгонио, опре-
деляет связь между давлением и плотностью в газе после прохождения
им скачка уплотнения и давлением и плотностью до скачка. Вспо-
миная связь между давлением и плотностью в непрерывном адиаба-
тическом движении
идеального газа, опре-
деляемую изэнтропи-
ческой адиабатой
A—APf)*
Pt \Р«/
видим, что уравнение
Гюгонио (43) предста-
вляет адиабату, отлич-
ную от изэнтропиче-
ской; эту адиабату
обычно называют удар-
ной или еще адиабатой
Гюгонио в отличие от
изэнтропической адиа-
баты Пуассона (44).
Полученный резуль-
тат на первый взгляд
противоречит доказан-
ному в предыдущей главе положению об изэнтропичности адиабати-
ческого движения идеального газа. Не следует, однако, забывать, что,
в отличие от рассмотренного ранее непрерывного вдоль трубки тока дви-
жения, в настоящем параграфе рассматривается разрывное движение
с конечным скачком всех величин в некотором сечении трубки тока.
Отсюда следует только сделать естественное заключение, что про-
хождение идеального газа сквозь скачок уплотнения не является
изэнтропическим процессом, а сопровождается переходом механи-
ческой энергии в тепловую. При этом должна возрастать отнесенная
единице массы энтропия газа, в чем нетрудно убедиться, если
вспомнить, что по формуле (26) гл. III:
/P1V1 (45)
A—1L \ Ра / \Pi/J /г“! \Ра/ J
>f Рис- 42 показаны для сравнения графики двух адиабат: изэн-
&тогИЧеСК°Й И неизэнтРопической, ударной адиабаты. Как видно из
графика, при p2/pj > 1 ударная адиабата располагается выше
12 Зак 184] л г л
178
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. lV
изэнтропической, откуда и следует, что выражение, стоящее в ква-
дратной скобке под знаком логарифма в формуле (45), больше
единицы, логарифм положителен, так что, действительно:
> Sj.
Из формулы (45) сразу следует, что скачка разрежения быть
не может. Действительно, повторяя формально все предыдущие рас-
суждения относительно воображаемого скачка разрежения, можно
было бы получить те же самые формулы и при pt < Pi < Ре- Но
при p2/Pi < 1 кривая, соответствующая ударной адиабате, ложится
ниже изэнтропической адиабаты, так что в этом случае
S2 ^i>
это означает, что при прохождении газом воображаемого „скачка раз-
режения" отнесенная к единице массы энтропия газа должна была
бы уменьшаться, что приводит к противоречию со вторым началом
термодинамики. Таким образом, и из общих термодинамических сообра-
жений следует, что в рассматриваемом случае движения совершен-
ного газа „скачок разрежения" невозможен. При наличии в движу-
щемся газе химических процессов (горение, детонация) последний
вывод не имеет места.
Заметим, что ударная адиабата имеет асимптоту
р2 k 4-1
Pi ~ k~-^ ’
так как при этом отношении плотностей отношение давлений, со-
гласно (43), обращается в бесконечность. Отсюда следует, что, в отличие
от обычного адиабатического и изэнтропического сжатия газа,1 как
бы ни была велика интенсивность ударной волны p^pt, созданное
ею уплотнение газа рд/рх не может превзойти величины - j~-. Так,
например, воздух, пройдя сквозь скачок уплотнения, не может по-
высить свою плотность более, чем в шесть раз.
§ 30. Критические величины в одномерном потоке Газа. Связь
между скоростями до и после скачка. Изменение давления,
плотности и температуры в скачке уплотнения
Введем в рассмотрение важное для последующего понятие кри'
тической скорости движения газа. Из уравнения сохранения энергий
идеального газа (37) гл. Ш при стационарном адиабатическом его
движении путем, аналогичным примененному при выводе равенства (42)
из (41), получим:
const (46)
*—1 р । 2 П V
1 Например, в теплоизолированном цилиндре с поршнем.
ИЗМЕНЕНИЕ V, Р, р, Т В СКАЧКЕ УПЛОТНЕНИЯ
179
§ 30]
вспомнив определение адиабатической скорости звука (11):
ИЛИ’ А р . Vs «2 , V2 .
А —1 р + 2 “ А— 1 + 2 — Const (47)
Формула (47) дает непосредственное выражение местной скорости
звука в некотором сечении одномерного стационарного потока через
скорости частиц потока в этом сечении. Критической скоростью газа
называется такая его, скорость а*, при которой скорость распро-
странения звука по отношению к движущемуся газу равна абсо-
лютной скорости самого потока. Полагая в равенстве (47)
а==я*, получим:
а2 . V2____ a*s t а*2___ А -|-1
k— 1 k— 1 “Г 2~~2(А — 1) а •
(48)
Критическая скорость а* представляет постоянную вдоль всего
потока величину, характеризующую данный одномерный поток в целом,
и может быть легко выражена через скорость звука а0 в адиабати-
чески и изэнтропически заторможенном газе. Для этого достаточно
в (48) положить V = 0, а = «0; Тогда получим:
= j/~ yqTj- а0. (49)
Значения давления, плотности и температуры в „критическом”
сечении одномерного потока, т. е. в таком сечении, где скорость
равна критическому своему значению, назовем также критическими
и обозначим через р*, р* и 7**. Из определения критической ско-
рости следует
a* = VkRT*. (50)
Сравнивая это выражение с аналогичным выражением скорости Звука
в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе
ао — У
и> принимая во внимание (49), получим:
<6”
CIq К —А
НайИсполь3Уя Уравнение адиабаты и формулу Клапейрона, нетрудно
ти и остальные критические величины:
н 1
Сопоставляя равенство (42) с формулами (47) и (48), приходим
“«ному результату
и' — а>
12*
180
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖЙДК0С1Й
[ГЛ. IV
или по (49)
_ ‘Т'*
1 1 7 2’
т. е. при прохождении газа сквозь скачок уплотнения критические
значения скорости и температуры потока сохраняются. Сохра-
няются при этом и отношения критических давлений и плотностей,
ко не критические давления и плотности, взятые в отдель-
ности.
Согласно (51) и (52), при прохождении газа сквозь скачок уплот-
нения сохраняется также температура адиабатически и изэнтро-
пически заторможенного газа и отношение „заторможенных*
давления и плотности'.
Ло— ^20 >
Рю_Рго
Рю Рго
Перепишем уравнение количеств движения (40) на основании (39)
в виде
Рч.
Pl
P1V1'
(53)
Уравнения энергии (47) и (48), примененные до и после скачка,
дают:
k Pi_ *+1 VI
k — 1 Р1 2(А — 1) а 2 ’
k Р2
________ ......_ fl Л'С
k — 1 Psi 2{k — 1)_2 •
Определяя из последних двух уравнений отношения —, и под-
ставляя их значения в уравнение (53), получим после простых пре-
образований равенство:
а* •
ViVi
откуда в силу неравенства ф V2 сразу следует:
У^^а*2. (54)
Из уравнения неразрывности (39) и условия р2 > рх вытекает, что
скорость до скачка всегда больше, чем скорость после скачка
(Vj > У2). Равенство (54) уточняет этот результат и показывает, что
Vi > a l/2 < a*i иными словами, перед скачком уплотнения газ
движется со скоростью больше критической, а за скачком — меньше
критической. Можно доказать также, что перед скачком газ движется
со сверхзвуковой скоростью, за скачком — с дозвуковой скоростью>
Т. е., что имеют место неравенства:
а2>
(55)
§ 30J ИЗМЕНЕНИЕ V, р, р, Т В СКАЧКЕ УПЛОТНЕНИЯ 181
где «1 и “2 — местные скорости распространения звука в газе до и
после скачка. Для этого используем равенство (48) и напишем по
предыдущему.
, .2 . *3 2 3 । k 1,-2
Vi>a — ft + 1 + + 1 У1,
,,2 ' *3 2 2 . k — 1 lz2
< fl = -Г-Гл «3-f VTT Ka‘
/V “Г* Ж /V —t— 1
Разрешая эти неравенства относительно Vi и vf, докажем требуе-
мые неравенства (55).
Пользуясь составленными основными уравнениями скачка (39), (40)
и (41), можно выразить изменения давления, плотности и температуры
газа при прохождении его через скачок уплотнения
Др=/>2-Р1, Др = р2-Р1, ДТ=Т2-Т1
через начальные параметры газа и критическую скорость.
Имеем по (40) и (39):
&Р ~Р% — Pi — Pi^l —'РаИа = Pi — Pi
или, пользуясь формулой (54):
Др = р1И —P1a*3=piIZ^l—(56)
Аналогично найдем по (39) и (54):
дР = Р2-Р1=^~-Р1==-^---Р1’=Р1(^— 1)’ <57>
И по (41) и (54):
Уср(Г2—• Fj) = — (V{— Vl)— -~-(1-
Используя ранее принятые обозначения числа М:
«1 ’
3 Os
заменим в только что выведенных формулах (56), (57) и (58) квадрат
критическцй скорости a*s через его выражение (48); тогда после
182 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСГИ [гл. IV
простых выкладок получим выражения Др, Др и ДТ через начальныv
параметры газа (до скачка) и число М,:
Из неравенств (55) следует, что М3 > 1; при этом все рассматри-
ваемые изменения величин р, р и Т будут положительны.
Чем больше отличается от единицы число М1( тем больше будут
разности Др, Др и ДТ и тем интенсивнее будет скачок уплотнения.
Значения числа М3 перед скачком можно принять за меру его интен-
сивности.
При очень больших интенсивностях (М3 1) формулы (59) могут
быть заменены следующими более простыми приближенными (асимпто-
тическими) выражениями:
ДР = TCTPi,
, 2k Vt 2k(k — 1) „
Д Т ---------- =--------- Тл м?
(fe+ovc,, (*4-1)2
(60)
Вторая из этих формул еще раз подтверждает известный уже нал
факт возможности сжатия газа при помощи скачка уплотнения не более
чем в —Ц раз (в шесть раз в случае воздуха, для которого й = 1,4).
§ 31. Скорость распространения ударной волны. Спутное
движение газа за ударной волной
Изучив основные соотношения в скачке уплотнения, вернемся те-
перь к рассмотрению явления распространения ударной волны в про-
странстве.
Задаваясь интенсивностью ударной волны, которую в случае дви-
жущейся волны лучше всего характеризовать отношением давле-
ния р%, устанавливаемого волной, к давлению в газе до приход3
^31] СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНОЙ волны 183
волны, определим прежде всего скорость 6 распространения ударной
волны в невозмущенном, в частности, покоящемся газе. Для этого вер-
немся от стационарного движения газа по отношению к „остановлен-
ной" ударной волне обратно к нестационарному явлению распро-
странения ударной волны в неподвижном газе. Вспомним принятые
в начале § 29 обозначения:
V, == О, V2 = 6 — V, (61)
где 6 — скорость распространения ударной волны в покоящемся газе,
у___абсолютная скорость частиц газа, следующего за ударной вол-
ной; эгу скорость естественно назвать скоростью спутного движения
газа за волной.
Воспользуемся первым равенством системы (59), которое предва-
рительно перепишем в виде
- 2* Л_ (1_________L\____Иг 1 __ 2Й гм2— 11
a+iwpA м2/ нч" м2> л
и заменим в нем, согласно (61),
тогда, разрешая предыдущее равенство относительно Mv получим
искомую формулу скорости распространения ударной волны;
О = «j j/*+ • (62)
Из этой формулы вытекают два важные следствия:
1°. Скорость распространения ударной волны в невозмущенном
газе тем больше, чем интенсивнее волна, т. е. чем больше устана-
вливаемое ею сжатие р2/рг
2°. При уменьшении интенсивности ударной волны скорость ее
распространения стремится к скорости звука в невозмущенном газе:
6 = at при р2 — рГ
Звуковую волну можно, таким образом, рассматривать как удар-
ную волну очень малой интенсивности. Отсюда следует, что удар-
ная волна всегда опережает' распространение звука в невозмущенном
газе; так, ударная волна, образовавшаяся вследствие взрыва (ее назы-
вают обычно взрывной волной), обгоняет звук взрыва.
Перейдем к определению скорости спутного движения V. Восполь-
зуемся для этого основным соотношением непрерывности (39), кото-
Рое в силу (61) перепишется так:
Р1б = р? (0 — V).
184
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. IV
Из этого равенства можно определить V в функции от известной
уже величины 6 и отношения плотностей до и за ударной волной:
V=(l—(63) X Pl/
Заменяя отношение Pi/p2, согласно формуле Гюгонио (43), выра-
жением Pt &+1 + (&— P)PilPl Z'64'I Р2 (* + 1 »
и используя для 0 равенство (62), получим:
_ £* _] у = —уг.—;,t - . (65) k —— 1 -Р “4“ 0
Как легко заключить из полученного выражения скорости спутного
движения, в звуковой волне =^= 1) скорость спутного потока ни-
чтожна, что было показано и ранее. С ростом интенсивности ударной
волны скорость спутного потока возрастает (при очень больших интен-
сивностях, примерно, пропорционально корню квадратному из сжа-
тия p2/pj.
Приведем табл. 5 численных значений относительных сжатий и
уплотнений газа ударной волной, распространяющейся в неподвижном
воздухе (k — 1,4) при 15° С (Т = 288°) и нормальном атмосферном
давлении; в той же таблице помещены соответствующие этим сжатиям
значения О, V и перепада температур.
Таблица 5
bp/Pl Ар/Р1 дт°с 0 м)сек V Арсен Др/Рх aiPC 0 мрек V м/гек
0 0 0 340 0 40,3 4,20 1925 2000 1611
0,47 0,30 33 400 93 92,3 4,58 5940 3000 2880
1,39 0,81 87 500 224 165 4,72 7 750 4000 3300
9,20 22,20 2,77 3,74 465 1075 1000 1500 734 1181 258 4,78 12100 5000 4135
Таблица составлена в предположении об адиабатичности (но не
изэнтропичности!) процесса. В действительности, при столь высоких
температурах, как указанные в конце таблицы, станет заметным
рассеяние энергии, в частности теплоотдача путем лучеиспускания,
что в корне изменит всю картину явления. Кроме того, расчеты
сделаны для распространения плоской ударной волны; в сферической
ударной волне интенсивность будет падать еще в связи с увеличением
§ 31 j СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНОЙ волны 185
поверхности волны при удалении ее о г центра образования. Все же
в тенденции указанные числа представляют интерес. Обратим внима-
ние, например, на то, что при отсутствии рассеяния энергии и при
относительном сжатии -^==10 скорость распространения ударной
волны должна была бы примерно в три раза превзойти скорость звука,
при этом за ударной волной возникало бы мощное спутное движение
воздуха со скоростью, более чем вдвое превосходящей скорость рас-
пространения звука в невозмущенном воздухе. Надо заметить, что
даже при сравнительно небольших сжатиях воздуха ударной волной
возникает сильный „звуковой ветер". Так, например, легко подсчи-
тать по предыдущим формулам, что ударная волна, несущая относи-
тельное сжатие воздуха = 0,22, распространяясь со скоростью
370 м/сек, могла бы вызвать „звуковой ветер" со скоростью 50м/сек,
т. е. сильный ураган. Отсюда видно, сколь ничтожные сжатия воз-
духа несут с собой обычные звуковые волны, почти совершенно не
смещающие частицы воздуха.
Образованием ударных волн, как движущихся в пространстве, так
и „стоячих" скачков уплотнения, сопровождаются многие важные
для техники процессы, связанные с большими около- и сверхзвуко-
выми движениями газа или с распространением местных сжатий (повы-
шений давления) в неподвижном газе.
При полете самолета или снаряда даже с дозвуковыми, но близкими
к звуковым, скоростями на поверхности крыла и фюзеляжа образуются
зоны сверхзвуковых скоростей, причем обратный переход этих сверх-
звуковых скоростей к дозвуковым сопровождается возникновением
скачков уплотнения. Сверхзвуковой поток, набегающий на лобовую
часть тела, движущегося со скоростью, большей скорости звука,
будег тормозиться до нулевой относительной скорости в точке раз-
ветвления воздушной струи; переход от сверхзвуковой скорости к до-
звуковой будет сопровождаться образованием „головной волны" перед
лобовой частью летящего тела. Такого же рода скачки образуются
в соплах, когда сверхзвуковой поток переходит в дозвуковой, и др.
Отметим громадную интенсивность ударных волн в тяжелых
жидкостях, например в воде. Примером можег служить явление ги-
дравлического удара, появляющееся в трубопроводе, если мгновенно
остановить движущуюся по нему воду, закрыв кран. Возникающие
при этом резкие повышения давления moi ут служить причиной серьез-
ных аварий в водопроводных сетях, в подводящих аппаратах гидра-
влических турбин и др.
Гидравлический удар представляет по своей природе не что иное
как результат возникновения и распространения ударной волны сжатия
в воде. Значительная эффективность гидравлического удара объясняется,
во-первых, значительной плотностью воды (в 800 раз превышающей
Плотность воздуха), а также большими скоростями распространения
186 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
возмущений (скорость звука в воде примерно в 4х/а раза больше чем
в воздухе).
Теория гидравлического удара аналогична теории ударной волны
в газе, но имеет и некоторые специфические особенности, связанные
с существенной деформацией стенок трубы при тех громадных давле-
ниях, которые возникают при гидравлическом ударе.
Создателем современной теории гидравлического удара по праву
может быть назван наш великий ученый Н. Е. Жуковский, который
исследовал распространение ударных волн вдоль труб, наполненных
водой, и провел замечательные наблюдения гидравлического удара
в трубах по заданиям московского водопровода. 1 Н. Е. Жуковским
предложена простая формула повышения давления Др при гидравли-
ческом ударе:
где т?0— потерянная скорость воды, А — скорость распространения
ударной волны, равная
___ / Ро > 2/?оро Х~
' \ k еЕ J
Здесь р0 и k — плотность и модуль упругости воды, Ro и е — радиус
и толщина стенки трубы, Е — модуль упругости материала трубы.
§ 32. Влияние интенсивности скачка уплотнения на сжатие
газа. Измерение скоростей и давлений в до- и сверхзвуковых
потоках
Рассмотрим одномерное стационарное адиабатическое течение
идеального газа и предположим, что где-то вдоль трубки тока
или струи газа происходит изэнтропическое (без скачка уплотнения
или других причин для превращения механической энергии в тепло-
вую) торможение газа, приводящее газ к покою. Установим простые
формулы связи параметров изэнтропически заторможенного газа То, р0,
р0, а0 с текущими их значениями Т, р, р, а в сечениях рассматри-
ваемой трубки тока.
Возьмем основную формулу закона сохранения энергии
V2
-J- 4- ЛрТ = const
и определим константу из условия: при V = О, Т = тогда по-
лучим:
•р — t'_j_ И — j ............Е2 \
'о —' 4~ 2JCp — щ 4- 2/Cy7j,
1Н. Е. Жуковский, О гидравлическом ударе в водопроводных тру-
бах. Бюлл. Политехнич. об-ва № 5, 1899, стр. 255—290. См. также „Избран*
ИЫе сочинения", т. II, ОГИЗ, 1948,
§ 32] ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА 187
или, замечая, что по (17) гл. III и по определению местной адиаба-
тической скорости звука
Jc„ (Р
найдем искомое выражение температуры изэнтропически заторможен-
ного газа:
Т'о-Г^Н-^^)=7’(1 + А^11м2), (66)
а следовательно, и соответствующую скорость звука
йо~а^Н--------------------------g—М2) • (67)
Из уравнения изэнтропической адиабаты и уравнения Клапейрона
Р _/ Р ? р = р т То
РО \PoJ ’ Ро Ро '
сразу следует: к 1
Р _ Ро т -1—0- Ро у—1 (68)
откуда, используя (66), найдем выражения остальных параметров
изэнтропически заторможенного газа:
к
/>» = ₽(!+(69)
(70)
Формулы (66), (69) и (70) являются основными во всех расчетах
одномерных течений газа.
Из формулы (70) следует, что при значениях числа М, меньших
единицы, имеет место разложение в рад:
р __ М2 ,
Ро 2 + • •
Отсюда можно сделать вывод, что, полагая в модели несжимаемой
жидкости р = const = ро, ’ делают тем меньшую ошибку, чем меньше
число М в движущемся газе. Так, например, для того чтобы ошибка
не превосходила 1°/0, число М должно быть меньше 0,14, а это
соответствует в случае воздуха при нормальных условиях верхней
границе допустимых скоростей 50 м'сек. Следует заметить, что даже
при скорости в 100 Mjceic ошибка не превосходит 4%.
Легко также видеть, что при малых значениях числа М формула (69)
переходит в обычную формулу Бернулли (58) гл. Ш для несжимаемого
188
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. IV
газа. Действительно, разлагая при малых М правую часть (69) в ряд,
получим:
р«=41+4мз+4^г(и--1)-^м4+ ]=
=р(1 + 4м*+4м*4- •••),
или, замечая еще, что по определению числа М и адиабатической
скорости звука
Р
получим
= 1 м2+ ...
|р^
При М = 01 будем иметь формулу (58) гл. III для несжимаемой
жидкости:
р-\- ^-pV2 — р0 — const.
Ошибка, которую при этом делают, принимая’газ несжимаемым,
имеет порядок уМ2, т. е. в два раза меньше ошибки в изменении
плотности. Так, применяя теорему Бернулли для несжимаемой жидкосги
в случае воздуха, движущегося при нормальных условиях со скоростью
100 м'[сек, сделаем ошибку порядка 2%. Как известно, в капель-
ных жидкостях скорость звука больше, чем в газах. В воде, напри-
мер, скорость звука достигает значения 1500 м)сек, т. е. почти в 5 раз
превышает скорость звука в воздухе. Таким образом, воду можно
рассматривать как несжимаемую жидкость при скоростях, дохо-
дящих до 500 м-сек’, такие скорости на практике еще не наблюдаются.
При переходе ог сверхзвуковых скоростей (Mi>l) к дозвуковым
(М2 < 1), как было ранее показано, газ проходит через скачок уплот-
нения. В этом случае величины р0, р0 и То для заторможенного газа
уже не могут вычисляться по указанным только что формулам (69),
(70) и (66), так как процесс в целом не изэнтропичен; расчет
приходится вести иначе.
Следуя принятым ранее обозначениям, будем считать, что газ до
скачка имел параметры рх, рп 7\, после скачка—р2, р2, 7’2; соот-
ветствующие значения параметров изэнтропически заторможенного газа
до и после скачка обозначим через рк„ pJ0, 710, pw, р20, Т^.
1 Число М может равняться нулю в двух случаях: 1) когда скорость
движения газа равна нулю и 2) когда скорость звука равна бесконечности,
Т, е, газ несжимаем; полагая М = 0, подразумевают всегда второй случай-
ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА
$ 321
Как было показано в § 30:
т10=т^
Рю Гао.
Рю Рао
189’
следовательно, по (68):
РЮ Рю __ Р1 .
АО Рао Р2
Zw?7*"1
tJ pi rjx?7*-1
raW'J
(71)
2
С другой стороны, из первых двух равенств системы (59) легко
вывести следующие соотношения:
Г1_==_________1_______
Рч лл 2 1
*4-1 1 *4-1
, , * — 1 м2
~2-М;
±-1ма
2 1
Замечая, что по формуле Клапейрона
?2 __Ра . _р?_
7)
(72)
_Pi__
P2
(73)
разделим почленно обе части
получим:
Pi * Pi ’
равенств (72) и (73) друг на друга и
k— 1
М1 *Ч-1Д
*4-1
k—l
2
(74)
Л
Чтобы получить искомые отношения давлений и плотностей изэн-
тропически заторможенного газа за и перед скачком уплотнения,
остается подставить выражения (72) и (74) в равенство (71); тогда
будем иметь;
к
1 / fi + 1 »д2 \к~1
£?*!. — Р20 ( М? . 1 \ —1 / ___2 1 I zygx
рю p10~U+iM1 ъ+v • (7}
На рис. 43 представлен график этого соотношения для воздуха
(«=1,4); на том же графике показано сжатие воздуха в скачке р2/Р1
пРи разных Mj. Как видно из графика, чем больше число Mt набе-
гак,шего воздуха, тем меньшее давление можно получить за счет
190 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ • 1гЛ. IV
изэнтропического торможения газа, прошедшего через скачок
уплотнения. Причина этого явления была выяснена раньше —в скачке
уплотнения имеет место необратимое превращение механической
энергии в тепловую, вследствие чего полная механическая энергия,
в заторможенном газе сводящаяся к энергии давлений, становится
меньше.
Из кривой следует также, что потери давления в скачке малой
интенсивности, т. е. при числе Мх, близком к единице, весьма незначи-
тельны. Легко исследовать поведение кривой на рис. 43 при малых
значениях разности —1. Преобразуем равенство (75) следующим
образом:
Рю Р20 _
Pill Р10
2k
k+1
1+±=1+^±(М2-1)
Ь + ттт^-1)]
1 + (М|—1) 1
'1 + тТГ<ир-'>
32} ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА 191
Произведя разложение по степеням малой величины (Mi — 1),
убедимся, что коэффициенты при Mi—1 и (Mi—I)2 обращаются
в нуль, а разложение величины будет иметь вид:
Р10
Pw 2k (MS — I)8
Г10 3 ~ v '
Из последнего разложения видно, что скачки малой интенсивности
не приводят к заметной потере давлений, так как при Мп близком
к единице, /?20 совпадет с pw с точностью до очень малой величины
2k (М8 — I)3
(W 3 ‘
Так, Для воздуха (fe== 1,4)эта величина имеет порядок 0,16 (Mi— I)8
и, например, при превышении скорости звука на 10% (М, = 1,1)
будет равна 0,0015.
Можно показать, что такова же величина приращения в скачке
уплотнения энтропии, являющейся мерой превращения механической
энергии в тепло (потерь механической энергии). С этой целью при-
меним равенство (45) к параметрам изэнтропически заторможенного
газа, что допустимо, так как изэнтропическое торможение не должно
повлиять на приращение энтропии в скачке; тогда получим:
$2— Si____1 . I Рча ( Рю У" !.
R - k-i 1’
по, по предыдущему, = Al®., следовательно, по (75'):
Р20 Р‘№
S2~Si 1 , r/Pa.V'-h , ?20 . 2^ (Mf-1)8
R ~k—l lnlAp10> J- %io (* + l)2 3 • <76>
Отсюда следует важный общий вывод: скачки малой интенсив-
ности приводят к ничтожным изменениям энтропии, так что
с Достаточной степенью приближения околозвуковые явления можно
Рассматривать как изэнтропические.
Из равенства (74) легко найти также соотношение между числами М,
и М2 до и за скачком уплотнения. Заметив, что 7\ и Т2 связаны
простыми соотношениями (66) с температурами и изэнтропи-
чески заторможенного газа, причем, как было еще показано в § 30,
Ао ~Т<^, получим:
1 + ~—q~~ М|
fe+1-M8
2^ М2 k-~’
k + \ fe-pl
192
одномерный поток Идеальной жидкости
[гл. IV
откуда следует
к— 1
2
М^
_ _ _о k — 1
ж;-----
(77)
1
Из последней формулы видно, как убывает число М2 за скачком
с возрастанием числа М, перед скачком. Чем больше интенсивность
скачка, т. е. чем больше отношение сверхзвуковой скорости газа
перед скачком к местной скорости звука, тем меньше отношение
дозвуковой скорости за скачком к своей скорости звука. Но не
следует думать, что дозвуковое значение числа М2 за скачком будет
беспредельно убывать с ростом интенсивности скачка Mt. Как пока-
зывает формула (77), при беспредельном росте величина М2
остается больше величины
(м^1=0О=/^
для воздуха (k =1,4) равной 0,378.
Приводим табл. 6 значений М2 и отношения давлений р^р^ за
и перед скачком в интервале наиболее употребительных значений
чисел Mj для воздуха.
Таблица 6
Ml М2 PtJPi Mi м2 prfpi ! Mi i м2 PdPi
1,0 1,000 1,000 1,6 0,668 2,820 2,1 0,561 4,970
1,1 0,912 1,246 1,7 0,640 3,200 2,2 0,546 5,480
1,2 0,842 1,520 1,8 0,616 3,604 2,3 0,534 6,000
1,3 0,779 1,824 1,9 0,595 4,043 2,4 0,522 6,550
1,4 1,5 0,739 0,701 2,120 2,455 2,0 0,577 4,500 2,5 0,512 7,400
Рассмотрим в качестве примера простейшую схему воздушно-
реактивного двигателя (ВРД) без компрессора (рис. 44), установленного
на самолете, который летит на высоте Нх со сверхзвуковой скоростью
l/1>«i(«1 — скорость звука на высоте /7j). Обозначим давление
воздуха на высоте Н1 через pt; давление в камере горения (К. Г.) р'2
будет значительно превышать давление рх, так как в камере горе-
ния скорость сравнительно невелика. Пренебрегая этой скоростью,
можем считать /?' == рж. Для улучшения сгорания горючего и повы-
шения к. п. д. двигателя важно иметь в камере горения, по возможности,
более высокое давление. Подсчитаем это давление сначала в предпо-
ложении изэнтропичности процесса входа внешнего воздуха внутрь ВРД.
§32J
ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА
193
Будем иметь:
Р20 = Р10=Р1(1 +
к
k— 1
2
или для воздуха:
p2O==a(i + o,2M?)s'g.
Если число Mj полета равно Мл = 2, то
= 1 83,в = 7,9.
Pi
На высоте //5=10000 м по таблице международной стандарт-
ной атмосферы (MCA) находим pt = 0,2606 ата и, следовательно,
/?20= 2,06 ата,
т. е., несмотря на большую высоту и разреженность атмосферы, за
счет скоростного напора набегающего воздуха в камере горения
должно было бы наблюдаться
сжатие воздуха ^=8 и дав-
ление в 2 ата.
На самом деле торможение
воздуха от сверхзвуковой ско-
рости Vj при //[ = 10 000,
Mj = 2, по MCA равной =
= б00л«/се/с, или 2160 км/час,
до почти нулевой скорости
в камере горения вызовет по-
явление скачка уплотнения, по-
казанного на рис. 44 жирным
пунктиром. Этот скачок всегда
садится впереди тупоносого
тела, движущегося со сверх-
звуковой скоростью, и назы-
вается головной волной. Участок
/
/
/
Рис. 44.
головной волны перед входом в ВРД
можно рассматривать приближенно как плоский скачок уплотнения
в одномерном течении и определять р20 по заданному р10 при по-
мощи графика рис. 43. Давление в изэнтропически заторможенном
газе Рю определится опять по формуле
Рю = р1 (1 -j- 0,2 М1)3,Б = 7,9 Р1 ~ 2,06 ата,
Давление в камере горения при Mt = 2 будет по графику равно:
Р20 — °>75 р10 — 0,75 • 2,06 = 1,55 ата,
£ е- на 25% меньше, чем то давление р20, которое установилось
ы при изэнтропическом (бесскачковом) торможении. При меньших
13 Зак. 1841. л, р. Лойцянский.
194
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
{гл. IV
значениях числа Mj (малых интенсивностях скачка) этот эффект
был бы гораздо более слабым. Например, при Mj = 1,2, что на высоте
Hi = 10 ООО м соответствует по MCA скорости 360 м/сек, т. е.
около 1300 км/час, по (75') разница между давлением изэнтропи-
чески заторможенного воздуха в камере горения и давлением воздуха,
прошедшего сквозь скачок уплотнения малой интенсивности, не
превзошла бы 1,5°/0.
Наоборот, при полете с большими значениями числа Mt вредное
влияние скачка уплотнения сильно увеличивается. Как это следует
из графика, при Mj = 3 давление в камере сгорания будет равно 35%
от давления, соответствующего изэнтропическому, при Mj — 4 — уже
только 15%, при Mj = 5 — всего 5% и т. д.
Повышение давления за счет скоростного напора набегающей
струи при сравнительно небольших числах М полета оказывается
недостаточным, и в современных ВРД для сжатия воздуха в камере
горения используют дополнительный компрессор.
Для создания значительно повышенных давлений в бескомпрес-
сорных реактивных двигателях при движениях самолета с большими
числами М необходимо решительно бороться с образующимся перед
входом в двигатель скачком уплотнения. О мерах этой борьбы—
замене плоского прямого скачка уплотнения, перпендикулярного
направлению движения, системой наклонных, косых скачков, будет
рассказано в гл. VI, посвященной плоскому движению сжимаемого
газа.
^2] ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА 19!>
Для измерения скоростей движения газа или движения тела по
отношению к газу применяют особые измерительные трубки (их
называют обычно скоростными трубками), основная идея работы
которых заключается в следующем. Газ набегает на носик трубки,
где имеется так называемое динамическое отверстие D (рис. 45а),
и обтекает боковую поверхность трубки, с расположенным на ней
статическим отверстием (щелью) S. При надлежащей конструкции
трубки — достаточном удалении ножки трубки F от статического
отверстия 5 и статического отверстия S от носика трубки D (обычно
принятые размеры показаны на рис. 456) можно считать, что вблизи
отверстия D давление равно (рис. 45 а) давлению заторможенной
жидкости или газа pw, а вблизи статической щели—давлению про-
ходящего мимо трубки газа. Последнее обстоятельство может вы-
звать недоумение, так как в реальной жидкости или газе существует
грение, приводящее скорость частиц на стенке к нулю, т. е. также
тормозящее газ. Однако это торможение совершенно иное, чем тормо-
жение набегающего потока в лобовой точке D измерительной трубки.
В конце курса при изложении теории вязкого движения жидкости
в пограничном слое на поверхности обтекаемого тела будет показано,
что при этом неизэнтропическом торможении давление в любой точке
поверхности совпадает с давлением в жидкости или газе в сечении
пограничного слоя, проведенном через эту точку. Таким образом,
действительно, если щель S располагается заподлицо к стенкам трубки
достаточно аккуратно для того, чтобы жидкость проходила мимо
щели, не подвергаясь подпору со стороны выступающих стенок этой
щели, то давление в щели будет равно давлению в невозмущенной
трубкой жидкости вдалеке от трубки.
Условимся в дальнейшем обозначать через pr, рр аг и ]/\ давление,
плотность, скорость звука и скорость набегающего на трубку потока.
Если жидкость или газ движутся со столь малыми скоростями,
точнее говоря, с малыми значениями числа М, что можно их дви-
жение рассматривать как несжимаемое, то по теореме Бернулли для
несжимаемой жидкости, выражаемой равенством (58) гл. Ш, можно
написать
pl — р! Hi = const — р№ — pw,
откуда сразу следует
V — j <Ao~-.Pi)
1 г ₽1
или, опуская индекс „1“, так как скорость, плотность и давление
в этом случае повсюду вдалеке от трубки одинаковы, и заменяя еще
плотность р на удельный вес 7 = pg, будем окончательно иметь
основную формулу теории скоростной трубки:
(78)
13*
196
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
(гл. IV
Измеряя разность давлений р0—р при помощи дифференциального
манометра и зная удельный вес движущейся среды, можно найти
и ее скорость. На самом деле, при неточностях изготовления отдель-
ных измерительных трубок величины р0 и р могут несколько отли-
чаться от действительных своих значений; для учета этих поправок
на практике в формулу (78) вводят некоторый дополнительный,
близкий к единице коэффициент, который определяют тарировкой,
сравнивая в воздушной струе аэродинамической трубы данную трубку
с некоторой образцовой.
Предположим теперь, что газ движется с большими, но дозвуко-
выми скоростями (М < 1). В этом случае „головной волны“ перед
трубкой нет, и если нет скачков уплотнения на участке поверхности
трубки DS (смысл этой оговорки станет далее понятным), то можно
применять формулы изэнтропического движения. Таким образом найдем:
к
(л I k~1 маА*-1
Р2о=“ Р1О = Р1(1 Н-2~М1/ ’
P2==Pv
(79)
Регистрируя микроманометром отдельно давление р20 в динами-
ческом и давление рг в статическом отверстии, определим число М;
движущегося газа, а Зная температуру газа, найдем скорость звука аг
в движущемся газе, а следовательно, и саму скорость Vt. Измере-
ние температуры можно производить, например, термопарой или
другим термометрическим элементом, помещенным в такое место
скоростной трубки или специального измерителя, где скорость равна
нулю и можно быть уверенным, что измеряется температура изэн-
тропически заторможенного газа То. Таким местом является точка
в лобовой части обтекаемого тела (например точка D на скоростной
трубке), где поток разветвляется, — так называемая критическая
точка потока. Замеряя непосредственно То, найдем 7\ по ранее вы-
веденной формуле:
7'0=7’1(1+±=1м!). (80)
Определив Mj по формуле (79) и Го—непосредственным замером,
получим по (80) Т1г а следовательно, и скорость звука
— У kRT\
и искомую скорость
Ил — М^.
Показание давления р20 в динамическом отверстии D можно считать
надежным, что же касается работы статического отверстия, то отно-
сительно него следует сделать оговорку. При достаточно больших,
но меньших единицы значениях числа М на сферической поверхности
§ 32]
ВЛИЯНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СКАЧКА НА СЖАТИЕ ГАЗА
197
носика и за нею могут возникнуть зоны местных сверхзвуковых
скоростей. Последующее уменьшение скорости вызовет возникнове-
ние на поверхности трубки перед статическим отверстием S скачков
уплотнения и местные искажения давления р2. Значение числа < 1
набегающего потока, при котором на поверхности обтекаемого тела
(в данном случае измерительной трубки) возникают сверхзвуковые
зоны, называют критическим числом М и обозначают Мкр.1
Если число М, набегающего потока превосходит число Мкр, то
пользование статическим отверстием становится ненадежным и необхо-
димо каким-нибудь независимым путем определять давление pt в дви-
жущемся газе, например, при движении
газа по цилиндрической трубе измерять
давление на стенке трубы в сечении, близ-
ком к носику скоростной трубки.
Применять статическое отверстие S
при измерении скоростей в сверхзвуковом
потоке также нельзя; и в этом случае
давление за головной волной может не
совпадать с показаниями микроманометра,
соединенного со статическим отверстием.
Скачки уплотнения, садящиеся на участок
поверхности трубки DS, искажают поле
давлений в газе и, кроме того, как в даль-
нейшем будет объяснено, изменяют дви-
жение в пограничном слое, что, в свою
очередь, оказывает влияние на характер
обтекания лобовой части трубки и распре-
деления в ней давления.
Используя показание р20 динамического
отверстия D за скачком уплотнения (го-
ловной волной), показанным на рис. 45а пунктиром, и измеряя каким-
нибудь другим путем ръ найдем их отношение p^/Pi- Это отно-
шение в силу (75) и (79) связано с искомым числом Мг набегающего
потока формулой Релея:
Рао Р20 . Рю
Pl Pio' Pl
k
oXfc-~—1
U+i 1 k+i)
(81)
На рис. 46 приводится график функциональной связи (81) между
Pio
JfHMj для воздуха (k =1,4).
1 Об этом подробнее будет сказано в гл. VI.
198 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
Определив величину р^ по показанию динамического отверстия
измерительной трубки, а ръ например, при помощи отверстия в стенке
канала, по которому движется газ, найдем отношение р20/Рп а п0 гра-
фику рис. 46 — и искомое значение МР
§ 33. Одномерное движение газа по трубе переменного сечения.
Истечение из резервуара большой емкости сквозь сходящееся
сопло
Для приближенного расчета движения жидкости или газа по тру-
бам можно отвлечься от весьма сложных деталей этого движения
(об этом будет сказано в заключительных главах) и удовольство-
ваться следующей упрощенной схемой. Примем поток за одномерный,
т. е. будем пренебрегать изменением величины и направления ско-
рости, а также изменениями других элементов потока (давления,
плотности, температуры и др.) по сечению, перпендикулярному к оси
потока; будем лишь учитывать изменение средних по сечениям вели-
чин и, р, р, Т и др. в зависимости от координаты х, определяющей
положение сечения вдоль оси трубы. Площадь сечения А будем
считать заданной функцией х. Отвлечемся от сил трения внутри
жидкости и жидкости о стенку, а также от теплопроводности; иными
словами, как повсюду в настоящей главе, будем считать жидкость
идеальной.
‘Начнем с простейшего случая—движения несжимаемой жид-
кости.
В этом случае из уравнения неразрывности сразу следует
и А — const = «0Д0, (82)
где и0—средняя скорость в некотором начальном сечении (х = 0)
с площадью Ло; иными словами, средняя скорость движения жидкости
в любом сечении трубы обратно пропорциональна площади этого
сечения.
Отсюда вытекает общеизвестное свойство движения несжимаемой
жидкости по трубе переменного сечения: в сужающейся трубе
жидкость движется ускоренно, в расширяющейся — замедленно.
Это очевидное свойство одномерного движения теряет свою силу
при движении сжимаемого газа со сверхзвуковыми скоростями,
в чем легко убедиться, составив основные уравнения одномерного
стационарного движения газа:
а) уравнение Эйлера:
б) уравнение неразрывности:
риА = const. (84)
§ 33]
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
199
Вспоминая определение местной скорости звука
а______________________________dp
Яр ’
перепишем уравнение Эйлера (83) в виде:
udu =------------------------♦ d? — — а2—. (85)
Р dp 1 р v 7
Составляя логарифмический дифференциал от обеих частей равен-
ства (84), получим:
(86)
Р 1 и 1 А 4 7
Исключая — из уравнений (85) и (86), найдем-
Р
dA______________dp____du___и du du____Л du
А р и о2 и \а2 lJ и
или, вводя местное число М = — :
du I dA
и М2—1 ~А'
Из этого простого уравнения вытекают важные следствия:
1. Если М < 1, знак du противоположен знаку dA, т. е. при дозву-
ковом движении газа сохраняется то же свойство движения, что и
в случае несжимаемой жидкости: с возрастанием площади сечения
трубы скорость в одномерном движении уменьшается и, наоборот,
при уменьшении сечения — скорость увеличивается.
2. Если М > 1, знак du одинаков со знаком dA, т. е. при сверх-
звуковом движении газа в сужающейся трубе движение заме-
дляется, в расширяющейся трубе—ускоряется. Этот парадоксаль-
ный на первый взгляд результат объясняется тем, что при расширении
газа плотность его настолько сильно уменьшается, что произведение рА
в равенстве (84), несмотря на увеличение площади А, все же умень-
шается и приводит к возрастанию скорости и.
3. Если М=1, dA = 0. Сечение трубы, в котором число М до-
стигает значения единицы, называется критическим сечением, так
как в нем скорость движения и равна местной скорости звука а.
Из равенства (87) следует, что критическое сечение может быть
как максимальным, так и минимальным по, сравнению со смеж-
ными сечениями. Легко сообразить, что критическое сечение будет
минимальным, так как при подходе к максимальному сечению дозву-
ковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не
может привести к течению со скоростью звука в критическом сечении.
4. Если dA = О и сечение экстремально (максимально или мини-
мально), то по (87) либо М = 1 и, следовательно, это сечение —
200 ОДНОМЕРНЫЙ ПОЮК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
критическое, либо М -ф 1 и du = О. В последнем случае, каково бы ни
было движение — дозвуковое или сверхзвуковое — скорость в экстре-
мальном сечении принимает также экстремальное значение: при дозву-
ковом течении газа—минимальное в максимальном сечении и макси-
мальное в минимальном сечении, при сверхзвуковом течении, наоборот,
в максимальном сечении скорость максимальна, в минимальном — мини-
мальна.
Переходя к более ^детальному изучению одномерного адиабати-
ческого и изэнтропического движения газа, заметим, что к нему
применимы все ранее выведенные соотношения, связывающие между
собою термодинамические параметры газа и скорость движения или
число М. Необходимо только установить связь между одним каким-
нибудь из этих параметров и сечением трубы А.
Примем за основную, например, связь между М и А. Чтобы вывести
уравнение этой связи возьмем уравнение
М____du__da
М" и а"’
получаемое логарифмическим дифференцированием равенства
М = -,
а ’
и уравнение Бернулли в форме (47):
и2 . сА ,
которое после дифференцирования дает
2
udu-\—т—г a da —О,
1 k—1 ’
или, после деления обеих частей на а2 и замены а = Д,
da k — 1 du.
а 2 и ‘
Подставляя это значение в (88), получим
— = f 1 -4- k * М2^—
М \ 2 т) и •
Сравнивая это уравнение с уравнением (87), будем иметь:
/
Ml
М2—1
, k— 1
+ 2
— Ж =
М2)
dA
А •
§33]
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
201
Уравнение это нетрудно проинтегрировать и получить искомое
уравнение связи между числом М и площадью сечения А:
fc+i
(89)
где yj — произвольное начальное сечение трубы и Mj — число М
в этом сечении.
Предположим, что роль начального сечения играет критическое
сечение = т. е. такое сечение, в котором Mj = l, тогда равен-
ство (89) приводится к более простому виду:
(1 -1- —__
‘-Г 2 м
' k+1
2
к+1
2 (к—1)
(90)
1,0 в
0,8
0,6
0,0
о,г
о
Рис. 47.
На рис. 47 приведен график этой важной зависимости для воз-
духа (/г = 1,4). График подтверждает ранее отмеченный факт: в дозву-
ковом потоке (М < 1) для
увеличения числа М сече-
ние А следует уменьшать,
в сверхзвуковом потоке
(М > 1), наоборот, увели-
чивать; вместе с тем гра-
фик показывает количествен-
ное соотношение между
изменениями чисел М и Д.
Так, например, из рис. 47
следует, что для повыше-
ния числа М от 0,2 до 0,8
газ должен пройти через
участок суживающейся тру-
бы—конфузора—с сече-
нием, уменьшающимся в три
Раза; чтобы увеличить число
М от значения 1 в крити-
ческом сечении до 3,2, не-
обходимо построить расши-
ряющуюся трубу—диффузор — с площадью на выходе, в пять раз
превышающей площадь критического сечения.
Присоединим к формуле (90) известные уже по предыдущему фор-
мулы (69), (70), (66) изэнтропической связи давления, плотности
и Температуры с числом М, которые, в силу (51) и (52) полезно
202
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. IV
переписать в виде:
к
1
(91)
Совокупность равенств (90) и (91) представляет полное решение
задачи об одномерном стационарном адиабатическом и изэнтропиче-
ском движении газа по трубе переменного сечения; решение это пред-
ставлено в удобном параметрическом виде, причем роль параметра
играет число М. Задавшись законом изменения площади сечения
трубы А (х), определим М (х) по (90), а затем и искомые р (х), р (х)
и Т(х) по (91).
Из уравнения неразрывности или сохранения массы (84) следует,
что при наличии в одномерном потоке критического сечения А* будет
существовать
соотношение
А р*и* 1_
А* ри 0 ’
(92)
где величина
ри ри
р*и* р*а* Уkp*p'
предшавляет отношение массового расхода газа через единицу пло-
щади сечения трубы к его критическому значению. Этот безразмерный
массовый расход данного газа является функцией только числа М и,
согласно (90), равен:
fc •+• 1
А*
А
(93)
График зависимости 0 от М для воздуха (k = 1,4) приведен на
том же рис. 47.
В качестве первого примера приложения выведенных формул рас-
смотрим классическую задачу об изэнтропическом истечении газа из
резервуара (котла) очень большой вместимости.
Предположим сначала, что сопло, из которого происходит истече-
ние, имеет вид конфузора, т. е. канала с уменьшающимся вниз по
потоку сечением. Обозначим через р0, р0, То термодинамические пара-
метры газа в котле, где газ, в силу большой вместимости котла, может
рассмагриваться как покоящийся (м = 0, М = 0), через р, р, Т, М—"
соответствующие параметры в выходном сечении, площадь которого
§ 33J ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ПО ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ 203
пусть будет А, и через р'—давление в среде, куда происходит исте-
чение; это давление р’ в теории истечения называют противодав-
лением.
Определим прежде всего основную характеристику одномерного
потока в целом — секундный массовый расход газа т, одинаковый
для всех сечений потока и равный
т = риА = p*u*AQ = р*а*Д0 — V kp*p*A<d,
или, на основании формул (52):
а-и
т:=(т^т)2(к (94)
При заданных параметрах газа в котле и геометрической форме
сопла секундный массовый расход газа т является функцией только
числа М в выходном сечении, определяемой выражением 0 (М) в фор-
муле (93). Что касается выходного числа М, то оно, в силу принятой
наперед адиабатичности и изэнтропичности потока, определяется за-
данием давления на выходе р, согласно известной формуле (69):
— — (1 7£"1.
Ро V 1 2 )
Определяя отсюда М в функции от — и подставляя это значе-
_ Ро
ние М в выражение 0, получим после простых приведений формулу:
представляющую, очевидно, простое приложение ранее указанной фор-
мулы Сен-Венана и Ванцеля [(67) гл. III].
Пользуясь одновременно формулами (94) н (95), легко исследо-
вать изменение секундного массового расхода истечения т в функции
от_противодавления р', которое при р'^р* совпадает практически
с Р, или числа М в выходном сечении.
Составив логарифмическую производную
1 dm _ 1 —М2
легко заключить, что величина т достигает своего максимального зна-
чения прн М = 1, т. е. в тот момент, когда выходное сечение станет
критическим и давление примет свое критическое значение // = />
204 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
при любых других противодавлениях секундный расход не может
превзойти своего критического и вместе с тем максимального значения
Ь4-1
= (гГг)2<Й-1> П) =
к+1
= (т|тУ VkP^A- (96)
Этот результат производит на первый взгляд несколько парадо-
ксальное впечатление. В самом деле, пусть вначале противодавление р'
было равно давлению в котле
Рис. 48.
р0, тогда, согласно (95) и
(69), /га = 0, М=0; будем
теперь уменьшать противо-
давление, тогда расход т
будет увеличиваться, стре-
мясь к своему максималь-
ному значению, число М при
этом будет стремиться к еди-
нице, противодавление —
к критическому давлению р*.
Если давление будет про-
должать уменьшаться, то, со-
гласно (95), расход, перейдя
через свой максимум, дол-
жен начать уменьшаться,
а число М продолжать воз-
растать. Такое явление фи-
зически невозможно; совер-
шенно очевидно, что с ростом разрежения на выходе и сохранении
давления в котле ^расход не может уменьшаться. На самом деле
расход т, число М и давление р в выходном сечении сохранят
свои критические значения m*=mmsx, М* = 1 и ~р=р*, хотя
противодавление р' в среде, куда происходит истечение, продолжает
убывать, становясь все меньше и меньше критического. Этот факт
имеет простое физическое объяснение: поскольку в выходном сечении
сопла установилась критическая скорость, равная местной скорости
звука, внешнее возмущение давления (возрастание разрежения!) не
может проникнуть сквозь критическое сечение, так как скорость
распространения разрежения не превосходит скорости движения
газа в критическом сечении.
На рис. 48 приводится график отношения
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В СОПЛЕ ЛАВАЛЯ
205
§34j
зависимости от безразмерного противодавления р'/Ро- Из предыду-
щего ясно, что физический смысл имеет лишь правая часть графика,
относящаяся к давлениям, большим критического, левая часть, пока-
занная пунктиром, при р' < р* должна быть заменена горизонтальным
к т 1
отрезком прямой = 1.
То же отношение mint*
зуется на рис. 47 отрезком
как, очевидно, что по (94)
т _
™ т*
в функции от М на выходе характери-
кривой 0, в интервале 0<М<1, так
_^ = 0(М).
'"max
Заметим, что при работе конфузорного сопла в нерасчетном режиме,
т. е. в таком, что противодавление среды р' меньше критического
давления истечения, переход от давления р'( в выходном сечении
сопла к противодавлению р' < р* будет происходить путем расшире-
ния струн за выходным сечением сопла с переходом к сверхзвуковым
скоростям и последующим угасанием струи через систему скачков
уплотнения. Этот сложный процесс не может уже рассматриваться ни
как одномерный, ни как изэнтропический.
§ 34. Одномерное течение в сопле Лаваля. Движение газа
с притоком тепла
Явление истечения газа в среду с заданным противодавлением р'
протекает несколько иначе, если сопло имеет как начальную сужи-
вающуюся (конфузорную), так и выходную расширяющуюся (диф-
фузорную) части. В этом случае, при достаточно малом противодав-
лении, в сечении, отграничивающем конфузорную часть от диффузорной,
скорость газа достигнет своего критического значения, равного местной
скорости звука, и при дальнейшем расширении газа в диффузорной
части сопла образуется сверхзвуковой поток. Такого рода сопла назы-
вают соплами Лаваля.
Рассмотрим одномерное адиабатическое и изэнтропическое течение
газа в сопле Лаваля. Ход изменения площади А вдоль оси сопла
задан верхней кривой а на рис. 49, соответствующее изменение
числа М—на кривых б того же рисунка и, наконец, кривые давле-
ния, отнесенного к критическому его значению, — в нижней части
графика в.
Кривые хода М и р/р* построены по ранее выведенным форму-
лам (90) и (91) изэнтропического течения.
Из хода кривых на рис. 49 можно сделать основные качественные
выводы о явлениях, происходящих в сопле Лаваля. Если в наиболее
узком сечении сопла Д = число М достигло значения М = 1,
то дальнейшее развитие потока может идти по кривым как М>1,
так и М < т. е. поток может или стать сверхзвуковым или остаться
206
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. 1V
дозвуковым. Эта альтернатива разрешается заданием противодавления
рг на выходе из сопла. Рассчитав величину р/р* по первой из фор-
мул (91) и сверхзвуковой ветви (рис. 47) основного соотношения (90),
найдем такое „расчетное" противодавление р' = р', при осуществлении
которого на выходе из сопла поток преобразуется внутри сопла
в сверхзвуковой и достигает на выходе требуемого числа Mz > 1;
если же взять противодавление равным р' = р", соответствующим при
той же площади выходного сечения А дозвуковой ветви А!А* (рис. 47),
то поток останется дозвуковым и число М" на выходе будет мень-
шим единицы.
Замечательно, что существует только одно, определенное для
каждого сопла, противодавление р'—р', которое может привести
к сверхзвуковому потоку в выходном сечении сопла. Это — специфи-
ческое свойство сверхзвукового потока; в самом деле, как видно из
рис. 49 в, при р' > р" имеется бесчисленное множество дозвуковых
течений газа в сопле данной формы, в то время как сверхзвуковое
(изэнтропическое!) движение является единственным и соответствует
противодавлению р' == р'.
§ 34] ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В СОПЛЕ ЛАВАЛЯ 207
Естественно возникает вопрос, что же будет с газом, если на выходе
из сопла создать противодавление р', лежащее между расчетными значе-
ниями 'р' и ~р". На этот вопрос может быть один лишь ответ: движение
газа не будет изэнтропическим. Как показано на графике рис. 49 в
пунктиром, в этом случае в расширяющейся части сопла появится
скачок уплотнения или система скачков, что приведет к неизэнтропи-
ческому процессу. Если, наконец, взять р' < р', то в выходном
сечении трубы давление примет свое расчетное значение р' и уже
затем сложным неизэнтропическим путем (система скачков уплотнения,
нарушающая одномерность потока) снизится до выходного противо-
давления р'.1
Секундный массовый расход т через сопло Лаваля, так же как
и в случае чисто конфузорного сопла, не может превзойти своего
максимального значения, равного тому расходу, который пройдет
сквозь сопло, если в наиболее узком его сечении, на границе между
конфузорной и диффузорной частями, будет достигнута местная ско-
рость звука. Но в отличие от конфузорного сопла скорость на выходе
из сопла Лаваля превосходит соответствующую выходу скорость звука
и может быть подбором длины сопла сделана тем больше, чем меньше
противодавление. Можно условно рассчитать такое „идеальное“ сопло
Лаваля, что оно будет работать на расчетном режиме р — 0, т. е.
в полный вакуум. Найдем выходную скорость такого истечения.
Согласно формуле Сен-Венана и Ванцеля (67) гл. III, скорость исте-
чения возрастает с уменьшением давления, и при р = р = 0 скорость
истечения примет свое максимальное значение
“„„-/га®. т
зависящее лишь от начальных параметров газа в котле, из которого
происходит истечение. Вспоминая определения адиабатической скорости
звука в неподвижном газе и критической скорости, получим вместо (97)
следующие равенства:
Kmax — j/~а0 = k—\ ^0 ~ а*’ (98)
из которых следует, что максимально возможная скорость истечения,
так же как и критическая скорость, зависят только от природы газа
и его температуры в котле; т. е. температуры изэнтропически затор-
моженного газа.
Для воздуха (/г = 1,4), при 7’0=273°+15° = 288°, итах=757 м/сек.
При рассматриваемом „расчетном “ истечении в вакуум давление,
плотность и температура в выходном сечении равны нулю, равна нулю
и скорость звука в этом сечении, так что Мгаах = оо.
Об этом подробнее будет сказано в конце гл. VI, посвященной плоским
адовым течениям.
208 ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл. IV
Все изложенное, конечно, верно лишь для идеального газа, лишен-
ного внутреннего трения, и в случае полной адиабатичности про-
цесса, т. е. отсутствия притока или отвода тепла в сопле. На самом
деле явление движения газа в сопле неизмеримо сложнее.
Во-первых, даже и для идеального газа, лишенного внутреннего
трения, движение в сопле не одномерно, а представляет на самом
деле сложное до- и сверхзвуковое пространственное течение.
Во-вторых, при наличии трения частицы газа, движущиеся около
стенок сопла, имеют меньшие скорости, чем частицы, удаленные от
стенок; образующийся вблизи стенок сопла пограничный слой утол-
щается вниз по потоку, а иногда даже отрывается от стенок, искажая
тем самым всю картину потока и делая невозможным применение
гидравлической схемы одномерного потока; возникающие в потоке
скачки уплотнения вызывают появление отрывов пограничного слоя
и, наоборот, пограничный слой стимулирует зарождение скачков уплот-
нения. Это взаимное влияние вязкости и сжимаемости газа также
искажает изэнтропичность и превращает расчетный режим в нера-
счетный.
И, наконец, в-третьих, существенной причиной нарушения адиаба-
тичности потока является теплопередача через стенки сопла, что также
сильно усложняет расчеты. Вот почему даже в настоящее время, когда
многие из только что перечисленных обстоятельств хорошо изучены,
все же практически после расчета вновь спроектированного сопла
приходится его дополнительно исследовать на опытной установке
в лаборатории. Рассчитанное сопло может не дать желательного уве-
личения числа М на выходе, кроме того, за счет неизэнтропичности
движения газа возникают дополнительные потери механической энер-
гии, коэффициент полезного действия при этом падает, что для не-
прерывно действующих установок большой мощности, конечно, недо-
пустимо.
Оставляя пока в стороне вопросы, связанные с внутренним трением
в газе и образованием пограничного слоя на стенках сопла (об этом
будет еще идти речь в заключительных главах), остановимся вкратце
на оценке влияния внешнего подогрева или охлаждения потока
в сопле.
Рассмотрим опять одномерный стационарный поток идеального
газа, адиабатичность которого нарушается тем, что на некотором
весьма коротком участке к газу подводится извне тепло. Это вызы-
вает изменение температуры газа 7\ или температуры изэнтропически
заторможенного газа То до участка подогрева на величину ДГ= Т2—
и, соответственно, ДТ), = — Тю, причем за участком подогрева
вновь устанавливается адиабатическое течение с температурами Т2 и Т20.
Отвлекаясь от эффекта переменности сечения трубы на участке
подогрева, определим изменение числа М на этом участке, после чего
уже нетрудно будет найти по обычным изэнтропическим формулам и
изменения всех остальных величин.
§ 34J
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В СОПЛЕ ЛАВАЛЯ
209
Основные уравнения поставленной задачи легко получить, если
написать, что приток тепла не мог нарушить баланса массы и
количества движения, т. е. при прохождении газом участка подогрева
остаются в силе следующие два равенства:
ри = const,
р -|-ри2 = const.
(99)
Припоминая известные уже формулы связи адиабатической скорости
звука с температурой, давлением и плотностью газа, а также опре-
деление числа М, будем иметь:
рк==А5=/г^==/г/?м’ /?M/'^=corlst’
F (100)
p + pZZS = p(l + ^~)=р(1 +k^) = Р О + ^2) = COnst-
Отсюда, деля одно равенство на другое, получим искомую связь
числа М с обычной температурой Т или температурой изэнтропически
заторможенного газа Т^.
— Vт = const’
1 -4~ t
•---/r0 = const. I
MJ/ j
(101)
Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим
участок подогрева, тогда будем иметь:
Зная отношения:
£3_ 14*1 1 г дг»
Г1о— Т'ю
и число Mj до прохождения участка подогрева, по формулам (102)
найдем Ма, а уже затем по второй из формул (100)—и отношение
Давлений
Pi
(103)
14 Зак, 1841. л. Г. Лойцянский.
210
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
|гл. IV
а также и все остальные термодинамические параметры. Наконец,
зная число М2 и температуру Т2, легко найдем и скорость газа за
участком подогрева.
Введем в рассмотрение функцию
М]/" 1-|-Ц^М2
, (Ю4)
входящую во вторую расчетную формулу (102).
Вычислив производную
_____1—м2
(1 +AM2)(1+^=J
/'(М) = -
м
видим, что функция /(М) имеет максимум при М = 1, и этот макси-
мум равен
/(1)=-7=L=-.
/2(^ + 1)
На рис. 50 приведен график функции /(М) для воздуха (& = 1,4).
Как видно из графика, подогрев газа при < 1 вызывает возраста-
ние числа М2, а при
Mj>l, наоборот, убы-
вание числа Ма. Следо-
вательно, приток тепла
к дозвуковому потоку
ускоряет его, отвод теп-
ла — замедляет. В слу-
чае сверхзвукового пото-
ка, наоборот, приток
тепла замедляет поток,
отвод—ускоряет. Так,
например, при 7,10=540°К
и М( = 0,5 увеличение температуры на 20% приводит к возрастанию
числа М до значения М2 = 0,6. При той же начальной температуре
и числе Mi = 1,4 подогрев на 7% приведет к уменьшению числаМ
до М2 = 1, при этом давление увеличится более чем на 50%.
Одномерное течение газа в связи с многочисленными его приложе-
ниями к расчету реактивных двигателей и других газовых аппаратов
представляет в настоящее время едва ли не самый разработанный
раздел современной механики газа. Литература в этой области весьма
обширна и разнообразна.
Г Л А В A V
БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ.
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 35. Сохранение циркуляции скорости в потоке идеальной
жидкости. Теорема Кельвина и Лагранжа. Безвихревое
движение. Потенциал скоростей
Рассмотрев в предыдущей главе одномерное движение в идеальной
жидкости, перейдем теперь к следующим в порядке сложности клас-
сам движений — двух- и трехмерным. Таковы, прежде всего, плоское
движение жидкости, затем осесимметричное и, наконец, общее про-
странственное движение. Исследование этих случаев представляет, по
сравнению с одномерным потоком, большие математические трудности.
Чтобы сделать решение возможным для интересующих практику кон-
кретных задач, необходимо принять некоторые дополнительные упро-
щающие допущения об общем характере движения. В обосновании
выбора этих допущений основную роль играют следующие две общие
теоремы динамики идеальной жидкости.
Теорема Кельвина о сохранении циркуляции ско-
рости: при баротропном движении идеального газа под действием
потенциального поля объемных сил циркуляция скорости по лю-
бому замкнутому жидкому контуру сохраняет свое значение.
Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в конце §13
кинематической теоремы Кельвина об изменении во времени циркуляции
скорости. Согласно этой теореме, индивидуальния производная по
времени от циркуляции скорости равна циркуляции ускорения'.
(V 8г) = (V • 8г).
Подставим в правую часть выражение ускорения по основному
Уравнению Эйлера (5) гл. III, которое в случае потенциальных объем-
ных сил и баротропности движения может быть переписано в виде
т°гда получим
V = — grad (ПSP);
~ £ (V • 8г) = - $ grad (П + S?) • 8г = — f 8 (П-Ш
14s-'
212
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
|гл. V
так как скалярное произведение градиента от некоторой функции на
ориентированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что
иное как полный дифференциал этой функции, взятый вдоль дуги
кривой.
При однозначности функций II и контурный интеграл по за-
мкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю, так что
£f(V-M=o
и, следовательно,
(V • 8г) = const,
что и доказывает теорему Кельвина. Вспоминая, что циркуляция ско-
рости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихре-
вых трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы
Кельвина заключить, что при принятых оговорках о баротропности
движения и потенциальности объемных сил сохраняются и интен-
сивности вихревых трубок'.
J (rot V)nda = const. (1)
СТ
Предположим теперь, что в данный момент времени во всех точ-
ках некоторого жидкого объема отсутствует завихренность (rot V = 0),
т. е. жидкость в этом объеме движется без вращения, совершая лишь
поступательное и деформационное движение; тогда, согласно (1), и
в любой другой момент времени
J(rotV)„<Zo = 0. (2)
В силу произвольности выбора величины и ориентации поверх-
ности а из равенства (2) вытекает, что в любой момент времени
в рассматриваемом движущемся объеме жидкости или газа будет
выполняться условие отсутствия завихренности
rotV = 0. (3)
Это чрезвычайно важное следствие теоремы Кельвина приводит
ко второй теореме — теореме Лагранжа о сохранении без-
вихревого движения: если во всех точках некоторой баро-
тропно движущейся под действием объемных сил с однозначным
потенциалом идеальной жидкости вихрь скорости в данный момент
равен нулю, то и в любой другой момент движение будет без-
вихревым.
Предположим, например, что твердое тело совершает движение
сквозь неподвижную идеальную жидкую или газообразную среду»
^35] СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 213
или что все равно, среда обтекает неподвижное тело, причем в том
и другом случае вдалеке от тела поток не возмущен и поле скоро-
стей однородно (жидкость покоится или движется как одно целое со
скоростью, равной скорости движения тела по отношению к непо-
движной среде). При этом вдалеке от тела вихрь скорости равен нулю
и следовательно, по теореме Лагранжа, при баротропности движения
и* потенциальности объемных сил не завихренные частицы идеальной
жидкости не могут приобрести завихренность в процессе обтекания
тела. Несмотря на наличие возмущающего поток тела, движение по-
всюду будет безвихревым.
Из теоремы Лагранжа следует, что в идеальной жидкости, нахо-
дящейся под действием объемных сил с однозначным потенциалом и
движущейся баротропно, не может быть вихрей, так как нет условий
для их образования. Можно сказать и наоборот, что, если вихри путем
нарушения ранее перечисленных условий были созданы в идеальной
жидкости, то они уже не смогут исчезнуть, и движение сохранит свою
вихревую структуру. В действительности приходится постоянно наблю-
дать как образование, так и исчезновение вихревых движений. Глав-
ной причиной этих явлений служит неидеальность жидкости, наличие
в ней внутреннего трения. Как уже ранее упоминалось, в практически
интересующих нас случаях внутреннее трение играет роль лишь в тон-
ком пограничном слое на поверхности обтекаемого тела и в „аэро-
динамическом следе" тела, т. е. в жидкости, которая прошла сквозь
область пограничного слоя и образовала течение за кормой обтекае-
мого тела. Здесь, в тонком пограничном слое и образуется за-
вихренность жидкости. Иногда в следе за телом завихренность быстро
угасает, и поток в достаточном удалении за телом становится вновь
безвихревым. В других случаях сошедший с поверхности тела слой
завихренной жидкости распадается на отдельные вихри, которые
сносятся уходящим потоком и сохраняются даже на сравнительно
больших расстояниях от тела. Таковы, например, отдельные вихри,
наблюдаемые в виде воронок в реках за мостовыми „быками", или
пыльные смерчи, возникающие в ветреную погоду. Внутреннее трение
не является единственной причиной возникновения вихрей. Так, в сво-
бодной атмосфере вдалеке от твердых поверхностей возникают непо-
средственно в воздухе грандиозные вихри — циклоны и антициклоны.
Причиной этих вихреобразований служит отклонение движения воздуха
от баротропности: плотность воздушных слоев зависит не только от
Давления, но и от температуры, определяемой солнечной радиацией,
от количества водяных паров и других причин.
Несмотря на наличие всех этих факторов, нарушающих существо-
пание безвихревого движения, схема безвихревого движения во многих
практических случаях дает близкую к действительности картину. Эта
схема и положена в основу настоящей главы. Итак, сделаем допущение
отсутствии завихренности потока и обратимся к рассмотрению
сновных свойств безвихревого потока.
214
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. V
В силу равенства (3) во всей области безвихревого потока суще-
С1вует некоторая функция координат ®(х, у, г) — при стационарном
движении или функция координат и времени <р (х, у, г; t) — при не
стационарном движении—такая, что
V = grad ®,
(4)
или в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы коор
дина г:
w —
и
дх ’
ду
ду
dz ’
(5)
Функцию и назовем потенциалом скоростей и будем предпола-
гать, что она непрерывна вместе со своими первыми двумя производ-
ными по времени и координатам.
Потенциал скоростей или, как иногда говорят, потенциал скоро-
стного поля, так же как и потенциал силового поля, определяется
с точностью до аддитивной по-
стоянной, как это видно из ра-
венств (4) или (5).
Равным значениям потенциала
скоростей в различных точках про-
странства соответствуют поверх-
ности уровня потенциала или
изопотенциальные поверхности.
Уравнение семейства изопотен-
циальных поверхностей будет
® (х, У> — const,
причем время t рассматривается как
параметр в случае нестационар-
ного движения и отсутствует—при
стационарном движении. Из опре-
деления потенциала скоростей (4)
следует, что линии, нормальные
Рис. 51.
к изопотенциальным поверхностям скоростного поля, являются линиями
гока и, обратно, при выполнении условия (4) линиям тока соответ-
ствуют нормальные поверхности—изопотенциальные поверхности.
Имея заданным потенциальное скоростное поле, легко найти его
потенциал, проинтегрировав уравнения в полных дифференциалах
(4) или (5).
В самом деле, рассмотрим в данный момент времени в односвяз-
ной области1 течения кривую линию С (рис. 51), выходящую из
точки /Ио и оканчивающуюся в некоторой точке М. Умножив скалярно
1 О влиянии „связности'* области будет сказано в конце настоящего
параграфа.
§ 35|
СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ
215
обе части равенсгва (4) на ориентированный элемент дуги 8г кривой (?
и проинтегрировав по этой кривой от точки 7И0 до М, будем иметь
ЛГ М N
j” v • 8г — J grad <р . 8г — J 8<р — щ(7И) — <р (Л40), (6)
if, wa ж„
(С) (С) (С)
откуда сразу следует выражение для потенциала в любой точке М
через потенциал в некоторой начальной точке Мо и заданные значе-
ния вектора скорости V или его проекций и, •»:
М ЛГ
<Р (УИ) = И (/Ио) 4- Р V • 8г — <Р (Мо) 4- {и 8х 4- V 8_у). (7)
ж„ ir,
(О) (С)
Если течение во всей области безвихревое, то, замкнув (на рисунке
пунктиром) кривую С при помощи кривой С' так, чтобы точка М
совпала с Лт0, получим, согласно (7):
«(2И) = «(Л40), (8)
лг->лга
так как циркуляция скорости по замкнутому контуру (С 4* С'), рав-
ная сумме интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок,
в рассматриваемом скоростном поле, где нет вихрей, обращается
в нуль. Отсюда вытекают два важные следствия:
1°. Если в области течения нет вихрей (даже отдельных, изоли-
рованных вихревых нитей), то, согласно (8), потенциал скоростей
представляет однозначную функцию координат;
2°. Интеграл в выражении (7) не зависит от формы кривой инте-
грирования С, так как в силу равенства нулю интеграла по замкну-
тому контуру, состоящему (рис. 51) из участка 7ИОС7И, представлен-
ного на рисунке сплошной кривой, и Д'! С'Д'!0, нанесенного пунктиром,
следует;
ял, ж ж
f 4~ J = 0 или | = Р .
ж, ж ж„ ж0
(С) (С') (С) (С")
Иное получится, если в безвихревом движении имеется изолиро-
ванная вихревая трубка (рис. 51). Производя в этом случае ин-
тегрирование по контуру С, вновь получим равенство (8); но другой
результат будет иметь место, если вместо контура С взять контур С„
охватывающий вихревую трубку. Интеграл, стоящий в правой
части равенства (7), вычисленный по замкнутому контуру (Q Q)
(замыкание показано на рисунке пунктиром), как это следует из тео-
ремы Стокса (§ 13), будет равен интенсивности вихревой трубки
£ V-8r = r
216 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. V
и, согласно (7), потенциал в точке Мо после обхода вихревой трубки
окажется равным
<Р С^о) + Г.
Выйдя из точки 'Мо и взяв за контур интегрирования петлеобраз-
ную кривую (не показанную на рисунке), несколько раз опоясывающую
вихревую трубку, вернемся в точку 7И0 со значением потенциала,
отличающимся от первоначального на величину, кратную интенсив-
ности Г:
?(Ж0)+А.Г.
Таким образом, если в области безвихревого движения жидкости
имеется отдельная вихревая трубка, то потенциал скоростей, выра-
женный через скорости по формуле (7), определяется, как много-
значная функция точек поля. Значение потенциала скоростей в точке М
будет зависеть от формы кривой, вдоль которой производится инте-
грирование:
ш it
?W+Jv.8r#:<?(yW0)4- fv-8r.
it,, it0
(Ci) (С')
К вопросу о многозначности потенциала в безвихревом движении с изо-
лированными трубками можно подойти и иначе. Выделим из области течения
жидкости чисто безвихревую часть, рассматривая боковые поверхности изоли-
рованных трубок как границы течения, например, как твердые стенки. При
таком рассмотрении движения в жидкости уже не будет изолированных вих-
ревых трубок, ио зато сама область течения станет многосвязной. Действи-
тельно, как уже упоминалось в следствиях второй теоремы Гельмгольца (§ 12),
вихревые трубки не могут заканчиваться в самой жидкости: они образуют
либо замкнутые трубки — вихревые кольца, либо опираются иа граничные
поверхности (твердые стенки, свободные поверхности раздела). Во всех этих
случаях замкнутый контур, опоясывающий трубку, оставаясь в области
безвихревого течения, не может быть непрерывным преобразованием
сведен в точку (рис. 52); это и доказывает, что область чисто безвихревого
движения при наличии изолированных вихревых трубок не односвязиа. Для
многосвязиых областей в ранее проформулированную (§ 13) теорему Стокса
должно быть внесено исправление. Как видно из только что приведенного на
примере вихревых трубок рассуждения, циркуляция скорости по замкну-
тому контуру, опоясывающему кольцевую или трубчатую поверхность,
нарушающую односвязность области течения, может быть отлична от
нуля. Эта циркуляция, очевидно, зависит лишь от того, сколько раз контур
охватывает трубчатую поверхность, и не зависит от формы контура интегри-
рования. Значения циркуляций при однократном охвате поверхностей, нару-
шающих связность области, называют циклическими постоянными много-
связной области. В частном случае нарушения связности области поверхностями
вихревых трубок циклические постоянные оказываются совпадающими с интен-
сивностями вихревых трубок.
В общем случае при наличии отдельных вихревых трубок в безвихревом
потоке жидкости в миогосвязной области теорема Стокса должна быть сфор-
мулирована так: циркуляция скорости по замкнутому контуру, прове-
денному произвольным образом в многосвязной области, отличается
от суммы интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок на
сумму целых кратных циклических постоянных области.
§ 35] СОХРАНЕНИЕ ЦИРКУЛЯЦИИ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 217
Проводя дополнительные ограничивающие поверхности, можно превра-
ти многосвязиую область в односвязиую. Так, например (рис. 53а), дву-
™ ю область вне кольца (тора) можно сделать односвязнон, если дополни-
Сельно провести поверхность а, закрывающую отверстие кольца. При наличии
Рис. 52.
поверхности а проведение замкнутого контура С, охватывающего кольцо,
становится невозможным. Если циклическая постоянная рассмотренной до
проведения а двусвязнон области была отлична от нуля, то значение потен-
циала скорости <р + (Ж) на одной, скажем передней, стороне поверхности а
будет отличаться от значения (Ж) на задней стороне поверхности а на
величину циклической постоянной, хотя значение потенциала взято в одной
и той же точке Ж (рис. 536). В этом случае говорят, что потенциал скоро-
стей <р (Ж) при прохождении
Рис. 53.
через поверхность а пре-
терпевает конечный скачок
¥+—<j>_, а поверхность а
называют поверхностью раз-
рыва потенциала. Рассматри-
вая поверхность а вместе
с поверхностью S как гра-
ницу области, можно счи-
тать потенциал непрерыв-
ным во всей области.
Изложенные здесь уточ-
нения представлений об
однозначности и многознач-
ности потенциала, а также о влиянии связности области течения, играют
основную^ роль в понимании важнейших представлений теорий обтекания тел
идеальной жидкостью и, в частности, теории крыла бесконечного и конечного
Размаха. Особенное значение имеет, лежащая в основе теории подъемной
1 Лы крыла, идея интерпретации неоднозначности потенциала скоростей в
ногосвязиой области при помощи введения .присоединенной" изолированной
“хревой трубки или вихревой поверхности.
218 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСГИ [ГЛ. у
§ 36. Интеграл Лагранжа — Коши уравнений безвихревого
движения. Теорема Бернулли. Некоторые общие свойства
безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости
в односвязной области
В случае безвихревого движения идеальной жидкосги легко указать
один из первых интегралов движения. Для этого возьмем уравнение
Эйлера в форме Громека (13) гл. III:
U + grad(-^4-S’ + ll) + rotVXV = 0 (9)
и положим в нем, согласно (4),
V = grad ю, rot V = 0.
Тогда, замечая, что, в силу независимости операций частного или
,, д ‘
локального дифференцирования по времени и пространственного
„grad“:
dV д . .(дч\
w==^grad?==grad(JJ,
будем иметь вместо (9) равенство:
grad®+’¥+s’+n)==0’ * (1о)
которое приводит к выражению первого интеграла уравнений дви-
жения
+ (11)
где F (/) — произвольная функция времени, определяемая из гранич-
ных условий. Полученное соотношение (11) называют интегралом
Лагранжа — Коши.
Интеграл Лагранжа — Коши играет в теории нестационарного дви-
жения идеальной жидкости такую же роль, как теорема Бернулли
при стационарном движении. В последнем случае
= О, F (f) = const,
и равенство (11) превращается в обычное соотношение Бернулли
-^--ф-й’ + П = consl, (12)
причем, как уже указывалось в § 25 гл. III, при безвихревом дви-
жении константа, стоящая в правой части, будет иметь одно и
то же значение во всех точках движущейся жидкости, а не только
вдоль линий тока, вихревых линий и поверхностей уровня механи-
ческой энергии.
§ 35j ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА КОШИ И ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ 219
Если жидкость может рассматриваться как несжимаемая и обьем-
ных сил нет, то уравнение (12) принимает простой вид:
р -|—у- = const. (12 )
Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и уравнение Бернулли (12),
в случае безвихревого движения служит главным образом для выраже-
ния давления р через кинематические элементы ®, V и координаты,
от которых зависит П. Выражая V через проекции grad <э на оси
декартовых координат, будем иметь:
I+4[O'+(>y+®']+s+n=f<«- ("'>
В простейшем случае несжимаемой жидкости при отсутствии
объемных сил получим:
(13)
при наличии сил веса добавляется еще член TL — gz:
4f+IV2 + 7+^==F(^ (14>
При безвихревом движении жидкости или газа три неизвестные
величины — проекции скорости u, V, w — выражаются через одну неиз-
вестную функцию — потенциал скоростей о (х, у, z\ /). Принятое
допущение об отсутствии завихренности вместе с допущением о баро-
гропности движения (р = р (л)) сводит решение задачи о движении
жидкости или газа к разысканию двух неизвестных величин и и р.
Для этой цели достаточно двух уравнений.
В качестве первого уравнения возьмем уравнение сохранения массы
•^ + div(pV) = O,
которое по формуле
div (pV) = div (р grad и) — pV2® grad р • grad и,
где символ V2 означает оператор Лапласа
+ (15)
дх2 1 ду* 1 dz- ' '
преобразуется к виду:
4- pV2® grad р • grad ® = 0. (16)
Совокупность уравнений (11) и (16) вместе с уравнением связи
между плотностью и давлением в баротропном процессе дает искомую
220
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
систему уравнений движения;^ пользоваться непосредственно уравне-
ниями Эйлера при изучении безвихревого движения не приходится.
Для дальнейшего особый интерес представит безвихревое движение
несжимаемой жидкости. В этом случае неизвестные функции разде-
ляются: уравнение неразрывности (16) превращается в уравнение
Лапласа для определения потенциала скоростей
= J-. ^ = 0
’ дх2 ду'1 ' дг^
(17)
а давление р найдется после этого из равенства (14), которое можно
переписать в виде:
<18>
Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает мно-
гими интересными свойствами. Докажем следующую теорему Кельвина:
если на границе некоторой односвязной области вихревое движение
совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движе-
ния в рассматриваемой области меньше кинетической анергии соответ-
ствующего вихревого движения.
Эту важную по своей общности теорему легко доказать, основываясь
лишь на том, что скорости в безвихревом движении представляются градиен-
том потенциала скоростей и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости
равна нулю как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом
деле, условимся обозначать символом Д разность между соответствующими
элементами вихревого и безвихревого движения. Тогда будем иметь следую-
щее выражение для разницы кинетических энергий:
[(У-|-ДУ)г — Vf]dt = p J v-AVdr + -|-
(19)
Первый интеграл справа равен
J V • Д V dt — J" grad у • ДУ dt
T т
и по известной, неоднократно уже применявшейся формуле
div (ya) = <f div а + grad ср • а (20)
может быть преобразован так:
J* V • ДУЛ = J grad <р ДУ dt = J* div (уДУ) dt — j* div (ДУ) dt ==
тт т т
= J ср(ДУ)„Л — j" <fd(divV)dx,
a r
где s — поверхность, ограничивающая односвязный объем, а дивергенция раз-
ности двух векторных функций заменена на разность дивергенций этих функ-
ций. По условию теоремы, движения на поверхности а совпадают, т. е.
§ 36]
ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА—КОШИ И ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ
221
.у = 0 на а, кроме того, из условия несжимаемости div V = 0. Таким образом,
первый интеграл в равенстве (19) оказывается равным нулю, и остается
равенство
дг=±.рду|2л>о,
из которого и следует высказанная Кельвиным теорема. Иначе еще теорему
Кельвина можно трактовать с вариационной точки зрения как утверждение
о минимальности кинетической энергии при безвихревом движении
(на „прямом пути*) по сравнению с любым другим вихревым движением
(„окольным путем"), если только эти движения совпадают на границе
области движения.
Из теоремы Кельвина можно сделать следующее заключение: если на
границе односвязной области скорости равны нулю, то единственным воз-
можным безвихревым движением несжимаемой Жидкости внутри области
является покой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное
(вихревое!) сколь угодно медленное движение, при котором на границах
скорости равны нулю; кинетическая энергия такого вихревого движения будет
как угодно мала, а кинетическая энергия соответствующего по теореме
Кельвина безвихревого движения, будучи положительной величиной, меньшей
другой сколь угодно малой величины, должна быть тождественно равна нулю
во всей области. К тому же результату можно придти и непосредственно,
не пользуясь теоремой Кельвина. Для этого выведем общую формулу для
кинетической энергии односвязного объема несжимаемой жидкости, движу-
щейся безвихревым образом с однозначным потенциалом скоростей.
Имеем
7--if
t т
Применим вновь только что использованную формулу дивергенции про-
изведения скаляра на вектор (20), тогда получим:
ср div grad у dz =
т т
grad ср. grad ср dz.
= -gf div (¥ grad <р) dr —i
T =
В поверхностном интеграле, полученном из объемного по известной фор-
муле Остроградского, под п понимается орт внутренней нормали, направлен-
ной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен
знак минус.
Замечая, что по (17) второй интеграл пропадает, будем окончательно
иметь
<21>
Из этой формулы сразу следует, что, если на ограничивающей односвяз-
ный объем жидкости поверхности с скорость равна нулю, то и Vn — — 0,
откУда по (21) сразу будет следовать, что и Г=0. Таким образом, вновь
приходим к тому же результату, который следовал из теоремы Кельвина.
222 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (гл. V
Невозможность существования безвихревого движения с однозначным
потенциалом в односвязной области, иа границе которой скорости равны
нулю, производит на первый взгляд парадоксальное впечатление. В дальней-
шем станет ясно, что такого рода движения в идеальной жидкости образуются
и происходят за счет создания внутри объема некоторых „особенностей"
вихрей, нарушающих однозначность потенциала скоростей, источников, стоков
или диполей, приводящих к нарушению конечности значений потенциала
в точках внутри области течения и др. Вместе с тем отсюда вытекает и
важность рассмотрения безвихревых потоков с „особенностями" для прибли-
жения к действительно существующим движениям.
§ 37. Плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости.
Потенциал скоростей и функция тока. Применение функций
комплексного переменного. Комплексный потенциал
и сопряженная скорость
Изучение безвихревых движений начнем с простейшего класса
такого рода движений — плоского стационарного движения несжимаемой
жидкости.
Определение плоского движения в гидродинамике ничем не отли-
чается от соответствующего определения кинематики твердого тела.
При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения,
параллельные некоторой плоскости, которую примем за плоскость хОу.
Поскольку во всех параллельных плоскостях движения тождественны,
будем рассматривать лишь движение в плоскости хОу, подразумевая,
конечно, что на самом деле разговор идет о движении слоя жидкости,
бесконечной в направлении, перпендикулярном к плоскости течения,
толщины. Каждая линия в таком плоском движении, проведенная
в плоскости хОу, является на самом деле направляющей цилиндри-
ческой поверхности с образующими, перпендикулярными к плоско-
сти хОу. Контур обтекаемого тела представится некоторой линией
в плоскости, хотя на самом деле происходит обтекание цилиндри-
ческого тела и т. д. Все величины расходов жидкости, сил, приложенных
к обтекаемым телам, и др. будем относить к единице длины
в направлении перпендикуляра к плоскости хОу, т. е. в направлении
оси Oz.
Как уже упоминалось в предыдущем параграфе, в рассматриваемом
случае задача сводится прежде всего к решению уравнения Лапласа,
которое для плоского случая имеет вид;
V’? =₽+$ = О- (22)
Граничные условия в задаче обтекания тела плоским, однородным
на бесконечности потоком со скоростью VTO будут состоять из усло-
вия непроницаемости границ тела’.
на К0НТУРе тела (23)
§ ^71 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЙ 223
и условий на бесконечности-.
И = COS Ооо, v = == 14о sin Осо, (24)
где Ос»—-угол между вектором скорости ¥«, и осью Ох.
Такого рода задача представляет классическую задачу Неймана,
и решению ее посвящены многочисленные математические исследова-
ния. В настоящем курсе удовольствуемся изложением одного, наиболее
мощного метода решения этой задачи — метода теории функций
комплексного переменного.
Из уравнения неразрывности
div V = 4—4^-— 0 (25)
дх 1 ду 47
вытекает, что всегда можно найти функцию ^(х,у), тождественно
удовлетворяющую уравнению (25) и связанную с проекциями ско-
рости и и v равенствами:
действительно, подстановка этих величин в уравнение (25) превращает
его в тождество. Функция ф(х, у) имеет простой гидродинамический
смысл. В самом деле, напишем дифференциальное уравнение линий
тока {формула (34) гл. 1]
dx dy
и v
и подставим в него значения проекций скорости по (26), тогда будем
иметь:
dx dy
diddy —д'-ddx
или
dx -f- 4^- dy = di) = 0.
dx 1 dy 1
Из последнего равенства следует, что функция ф сохраняет
постоянное значение вдоль линий тока, иными словами, семейство
линий уровня функции ф •
ф(х,^) = С (27)
представляет совокупность линий тока. Функция ФО^у) в связи
С этим называется функцией тока.
Проведем в плоскости течения контур М0МЛ (рис. 54) и вычислим
секундный объемный расход Q (отнесенный, конечно, к единице длины
направлении, перпендикулярном к плоскости течения) через это
224
Плоское безвихревое движение жидкости
(гл. у
сечение; будем иметь (пх, пу — направляющие косинусы нормали п
к элементу 8s):
X, м, м,
Q = f 8s = [ (ипх vny) 8s = [ (и 8s • nv -j- v 8s . л(/) =
M„ w,
м,
= I” (« 8у — v ox),
Д
или по (26):
м, т,
Q = Г(Й>+Й8х)= (8<р = .ИЛ11)-4(М0) = ^ — %. (28)
м0 ' м0
Следовательно, разность значений функции тока в двух каких-
нибудь точках потока равна секундному объемному расходу сквозь
сечение трубки тока, ограниченной линиями тока, проходящими
через выбранные точки.
Напомним, что в плоском движении часть плоскости, ограничен-
ная двумя линиями тока, например, проходящими через точки Й40 и Мх
Рис. 54.
на рис. 54, представляет на самом деле трубку тока, образованную
двумя цилиндрическими поверхностями, тока, имеющими в качестве
направляющих линии тока в плоскости хОу, а образующих — перпен-
дикуляры к этой плоскости, и двумя плоскостями, параллельными
координатной плоскости хОу и отстоящими друг от друга на рас-
стоянии, равном единице длины.
Плоское везйихреное движение
225
§ 37J
Условимся в дальнейшем совершенно произвольно одну какую-
нибудь линию тока рассматривать как нулевую, полагая
И*, j) = °>
что можно всегда сделать, так как, согласно системе равенств (26),
функция тока определяется с точностью до аддитивной постоянной.
Если принять такое условие, то можно сказать, что значение кон-
станты в (27) на некоторой линии тока равно секундному объемному
расходу жидкости сквозь сечение трубки тока, образованной
линией тока и выбранной произвольно нулевой линией.
Сопоставим выражения проекций скорости через потенциал
ростей (5) предыдущего параграфа, которые в случае плоского
жения сводятся к системе двух равенств
д? ду
U——L ч) = —Ь
дх’ ду ’
этой
ско-
дви-
(29)
и выражения (26) тех же проекций через функцию тока ф; будем
иметь следующую систему соотношений:
__ду_____ дф
U дх ду *
д< а. <3°)
у =3 —— =----i_,
ду дх
Функции и ф не являются независимыми друг от друга функ-
циями, они связаны дифференциальными соотношениями (30), обычно
называемыми условиями Коши—Риманна, при выполнении которых
комплексная величина
х = <р+/4 = <Р (х, у) + (х, у) (31)
будет не просто функцией двух переменных (координат х, у), а функ-
цией одной комплексной переменной z=x-\-iy. Действительно, если
величина у есть функция только положения точки М с координатой z,
то производная от нее в этой точке в свою очередь должна быть
функцией только положения точки, т. е. координаты z, и не зависеть
от направления дифференцирования в плоскости. Иными словами,
можно, например, утверждать равенство производной по любому
направлению — производным по направлениям действительной и мни-
мой осей:
& = .&= А. (32)
dz dx d (iy) v 7
Замечая, что:
d'L __ а (у + ь» _ jfyi
dx dx dx ' dx ’
dt . a (y -f- /ф) д<Ь . df
d(iy)~" 1 dy ~~ dy 1 dyf
15 Зак. 1841. JJ. Г. Лойцямскни»
226 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. \|
и приравнивая, согласно равенству (32), друг Другу правые части
этих равенств, получим ге же выражения условий Коши — Риманна (30).
Отсюда сразу следует, что, отделяя в любой функции комплексного
аргумента у (г) действительную (д. ч.) и мнимую (м. ч.) части, получим
потенциал скоростей <?(х, у/) и функцию тока ф(х,_у) некоторого
плоского безвихревого движения:
ф(х,_у) = д. ч. у (г), ф(х,_у) = м. ч. у (г).
Приравнивая функцию <э(х,_у) различным постоянным значениям
ф (х, у) = С,
получим семейство изопотенциальных линий (следов пересечения
плоскости хОу цилиндрическими изопотенциальными поверхностями);
аналогично совокупность равенств
1р(х,7) = С/,
согласно (27), представит семейство линий тока.
Легко убедиться, что изопотенциальные линии и линии тока
взаимно ортогональны, т. е. пересекаются под прямым углом. Для
этого достаточно вычислить скалярное произведение между ортами п
и п' нормалей к рассматриваемым линиям в любой точке потока:
n . = £rad? .
I grad <р | ‘ | grad ф | ’
Вычисляя скалярное произведение градиентов и применяя соотно-
шения Коши—Риманна (30), получим:
nrad ф • nrad Ф = Г—4-0
£ • £ дх дх* ду ду дх \ ду) ‘ ду дх ’
что и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий
и линий тока.
Совокупность равенств:
<p = <p(x,j), ф = ф(х,уг)
можно рассматривать как формулы перехода от декартовых коорди-
нат х, у некоторой точки к криволинейным ее координатам ф и 'Ь
При этом изопотенциальные линии <р — С и линии тока ф = С пред-
ставят ортогональную сетку координатных линий, т. е. криволинейные
координаты ф и ф, полученные путем отделения действительной и
мнимой частей в некоторой функции комплексного переменного, будут
всегда ортогональными координатами. Установление взаимной связи
между двумя, на первый взгляд разнородными вопросами — плоским
безвихревым движением и ортогональными криволинейными коорди-
натами на плоскости — окажется в дальнейшем полезным.
§371
ПЛОСКОЕ ЁЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ
227
Если вместо функции у {г) рассмотреть функцию Zy (z), го в новом
движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока,
а изопотенциальные линии — с линиями тока; этим приемом часто при-
ходится пользоваться при построении обтеканий. Отсюда следует, что
функция тока ф(х, у) всегда играет сопряженную роль с функцией
с(х,_у) потенциала ско-
ростей: каждая из этих г
функций может быть 1
как функцией тока,
так и потенциалом ско-
ростей в двух сопря-
женных между собою
безвихревых плоских
движениях идеальной
жидкости.
Заметим, что функ-
цию тока ф (-*, Д') в пло-
ском движении можно
рассматривать как проек-
цию на перпендикуляр-
ную к плоскости движе-
ния ось Oz векторного
потенциала А, связанно-
го с вектором скорости V
равенством
V = rot А, (33)
Рис. 55.
если предположить, что
вектор А перпендикуля-
рен плоскости движения. В самом деле, при Ла; = Ау = О, А, — у б) дем
в полном согласии с формулой (26):
иметь
дА„ дАу
ду
дАг
V dz
дАу
w =
I
(34)
опре-
бф
дг ~ ду ’
дАг _ 5Ф
дх ~~ дх ’
дА,,.
-------~ =
дх ду
В теории магнетизма напряженность магнитного поля можно опре-
делять как градиент скалярного потенциала или как вихрь векторного потен-
циала; так и в гидродинамике плоского движения поле скоростей может быть
определено заданием либо скалярного потенциала ср, либо проекцией на ось г
векторного потенциала А. Пользуясь представлением о векторном потен-
циале, легко дать простой и непосредственный вывод формулы расхода (28).
рассмотрим секундный объемный расход жидкости Q сквозь сечение потока а
(рнс. 55), образованное некоторой поверхностью, опирающейся на контур
•44о'441Л11Л4о, составленный из двух одинаковых контуров и рас-
положенных в параллельных плоскостях, и из отрезков перпендикуляров Л40Л^
15*
2‘28 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ |ГЛ. (I
и Л^АТ, к плоскости хОу, равных по длине единице. Будем иметь по (33)
и формуле Стокса:
Q — J Vnda = J* iota A da = (j) А • dr, (35)
а а
где контурный интеграл берется по замкнутому контуру Заметив,
что криволинейные интегралы по отрезкам контура -М0М1 и по опре-
делению плоского движения, взаимно сократятся и что по той же причине
вдоль всего отрезка будет Аг = 60, а вдоль отрезка AJjA^, соответ-
ственно, Az = ф1, получим по (35) при h = 1:
< М. Ч
Q= J Иг6д4- J*лг5г= J* 'Mz — J ф08г = ф1 —ф0.
И, м' М,
т. е. ту Же самую формулу (28).
О своеобразной аналогии между магнитными и гидродинамическими явле-
ниями будет сказано в гл. VII в связи с решением задачи о поле скоростей
вокруг вихрей, где понятие векторного потенциала будет иметь особо суще-
ственное значение.
Функцию х(г)’ объединяющую, согласно (31), в один комплекс
оба „потенциала": скалярный — потенциал скоростей и проекцию
векторного — функцию тока, называют комплексным потенциалом
или характеристической функцией течения.
Покажем как, зная комплексный потенциал х(г), определить
вектор скорости V или его проекции и и v. Как известно, каждому
комплексному числу можно сопоставить в плоскости вектор с про-
екциями, соответственно равными действительной и мнимой частям
этого комплексного числа. Условимся при изложении плоского дви-
жения обозначать через V комплексную скорость
V = и iv,
а для величины скорости сохраним обычное обозначение модуля ком-
плексного числа:
| V| = -f-/M2 + 'y2.
Наряду с комплексной скоростью У, введем в рассмотрение
сопряженную скорость У, равную
V = и —- iv.
Если 6— угол, образованный вектором (комплексной скоростью V)
с действительной осью, то будем иметь:
У — u-\-iv = | V|(cos0-ф-i:sin6) = [ У|е™, I
V =zu—iv = l y|(cos0 — Zsin6) = | V[e-™. J
ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ НОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ
229
§ 38] --------------------
d/
Рассмотрим теперь производную ~ комплексного потенциала по
комплексному аргументу. По основному свойству функции комплексной
переменной
d'k d'k ^d(v + 4)__
dz dx dx dx * dx ’
oi куда, согласно (30), сразу следует:
iv = V = | V\e~i!>,
(37)
г е. производная от комплексного потенциала (характеристической
функции) по комплексной координате равна сопряженной скорости.
'' Проекции скорости и и v определятся,
соответственно, как действительная и с обрат-
ным знаком мнимая части производной от
характеристической функции по комплексной
координате
и — д.ч.-^-, v =— м. ч.-^-. (38)
dz dz '
Сопряженная скорость имеет ту же ве-
личину (модуль), что и комплексная скорость,
но направлена по зеркальному отображению
комплексной скорости относительно действительной оси (рис. 56).
Обратная величина
С = - ==i = —L_= (39)
d/ V и—iv | У |
имеет обратный модуль, но направлена так же, как и комплексная
скорость.
Совокупность комплексных координат частиц жидкости г образует
область течения жидкости в плоскости хОу, которую в связи с этим
называют физической плоскостью или плоскостью течения. Сово-
купность значений комплексной скорости V образует плоскость
годографа скорости или просто плоскость годографа', в этой пло-
скости расположатся годографы скорости, т. е. геометрические места
проведенных из начала О (рис. 56) концов векторов скорости частиц
жидкости.
§ 38. Построение полей течения по заданной характеристической
Функции. Простейшие плоские потоки и их наложение
Будем задаваться некоторыми простейшими выражениями для
комплексного потенциала и посмотрим, каким плоским безвихревым
Движениям такое задание будет соответствовать.
ны 1 • Линейная функция у (г) — az -f- b, где а и b—комплекс-
постоянные, причем, как уже ранее упоминалось, аддитивная
ОСтояцная b без ущерба для дела может быть просто опущена.
230
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. V
Составляя сопряженную скорость
V = = а — const = и0 — iv0 = | Vo [ (cos 0о — i sin 0о),
видим, что комплексная константа представляет одинаковую по вели-
чине и направлению во всем потоке сопряженную скорость. Одина-
ковой будег и комплексная скорость
v= у0 = «0+га0 = |и0|Л.
Следовательно, линейная функция
однородного потока со скоростью
!/
Рнс. 57.
определяет комплексный потенциал
| Vo|, наклоненного к действитель-
ной оси физической плоскости
под углом 0о = а (рис. 57):
X=(“о — гЧ) *=1 I ei" z =
= | Vo | (cos a — г sin а) г. (40)
Отделяя дейс гвительную и
мнимую части, найдем потен-
циал скоростей
г с = и0т-4- voy ==
— I Vo | (х cos a 4-у sin a)
и функцию тока
ф — 1)ох 4- иоу =
== | Ц, | (— х sin «4~J cos “)•
В частных случаях а = 0 и а — , получим:
при а = 0 о = | Vo | х, ф = | Уо | у,
при а = -£ ф = | V0|_y, ф = — | Vjx.
Эго будут потенциалы скоростей и функции тока однородных
потоков, направленных вдоль осей х и у.
2°. Степенная функция^ (г) = агп (п—действительная вели-
чина). Заметим, что в этом случае сопряженная скорость
у=^ = пагп~1
будет стремиться к бесконечности при г->оо, если л> 1, и к нулю
при «< 1; случай л—1 уже рассмотрен в 1°,
Введем полярные координаты, положив
«у — fpis*
§ 38]
ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТ! ЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ
2
тогда:
у (г) — arn (cos пг -j i sin ле),
ю(г, e) = arn cos ле, <p(r, e) = «/“ sin ле.
Линии тока будут представляться семейс1вом
rn sin пг — С.
Полагая здесь s^-0,
_ __ -+- — — а, видим,
е п
что при этом С—О,
г. е. роль нулевой ли-
нии тока играет сово-
купность лучей, выхо-
дящих из начала ко-
ординат. Областью те-
чения являются части
плоскости, заключен-
ные в углах а = .
Рассмотрим простей-
шие случаи.
При л=1, 2, 3
потоки будут иметь
вид, изображенный на
рис. 58. При дальней-
шем возрастании п угол
o' будет уменьшаться,
количество ячеек воз-
растать.
Изопотенциальные
линии имеют уравне-
нием
rn cos ле = С
или, что все равно,
r" sin (ле + у) = С'.
Это уравнение —
того же семейства кри-
вых, что и линии тока,
но повернутого на угол Изопотенциальные линии показаны
2 2л
на том же рис. 58 пунктиром. При л = 1 оба семейства—прямые,
при л еа 2-гиперболы,
232
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
Ь'Л. у
Больший интерес для дальнейшего представляет случай п = — 1,
Уравнение линий тока будет
——— = С.
sin s
Это, как легко сообразить, семейство окружностей, проходящих
через начало координат (рис. 59) и соприкасающихся в этой точке
с осью Ох. Физический смысл кон-
Рис. 59.
станты а в выражении комплексного
потенциала
и более глубокое представление о са-
мом движении будет дано в следующем
пункте. Скорость течения обращается
в бесконечность в начале координат и
в нуль при г —> со. Изопотенциаль-
ные линии, по предыдущему, предста-
вятся той же сеткой окружностей (на
рис. 59 показанных пунктиром), но по-
вернутой по предыдущему на . Оба
семейства окружностей взаимно орто-
гональны.
О гметим еще случай п = -^ с характеристической функцией
X = V z и углом а — 2т. Чтобы найти линии тока, в этом случае
лучше всего поступить так. Перепишем уравнение, определяющее
характеристическую функцию, в виде
z = х -ф- ly = х8 = ®2 — ф2 ~Ь 2г©ф;
тогда, сравнивая действительные и мни-
мые части и полагая в полученных при
этом равенствах ф = с, найдем уравне-
ние семейства линий тока в параметри-
ческом виде
х = »2-------С2,
у — 2с<». рис. бо.
Исключая параметр ф,
получим семейство парабол
х •— J— v2 г2
Х — 4С2 J с
с вершинами на отрицательной части оси х, являющейся для парабол
осью симметрии (рис. 60),
§ -эд] ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ 233
По общему свойству степенных комплексных потенциалов изопотен-
циальные линии получатся поворотом линий тока на
или **го в данном случае все равно, зеркальным отображением
в оси Оу. Рассматривая положительную часть оси Ох как некоторую
твердую стенку, получим картину перетекания жидкости из верхней
части полуплоскости в нижнюю при наличии огибания стенки Ох.
Заметим, что скорость течения в точке г = 0 равна бесконечности:
L=o L=o 2 1г=о
вблизи этой точки наблюдается резкое сгущение линий тока.
3°. Логарифмическая функция у = A In z.
Предположим сначала, что А— действительная величина. Полагая
z = reit, получим
у = © /ф = A In г /Ле,
откуда:
ф = A In г,
ф= Ав.
Линиями тока служат лучи е = const, выходящие из начала коор-
динат; изопотенциальными линиями — ортогональные к ним окружности
г —const (рис. 61а). Картина линий тока соответствует плоскому
Рис. 61.
истечению жидкости из точечного источника, находящегося в на-
чале координат (на самом же деле — из источников, непрерывно рас-
пределенных по оси Ог). Чтобы найти гидродинамическое значение
коэффициента А, введем в рассмотрение мощность или интенсив-
ность источника q, определив эту величину как секундный объемный
234 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. у’
расход жидкости, отнесенный, конечно, к единице длины в перпен-
дикулярном к плоскости течения направлении. Имеем:
а ~ 2г. г I VI = 2лг • I 1 = 2 т. г А •12-1= 2~гЛ • 2 — 2-Л,
v 11 I dz I z г ’
откуда следует
А ~~ 2к
Условимся наряду с источником рассматривать сток, отличающийся
лишь направлением стрелок на линиях тока (рис. б!#). Тогда в общем
случае будем иметь характеристическую функцию для расположенного
в начале координат источника или
У стока мощности q в виде
| Х(^) = ±^-1пг, (41)
причем верхний знак относится
/'у/''\ к источнику, нижний — к стоку,
[ [ \ при желании знак можно включать
Il / ЧМ 1^1 ? в опРеделение величины q, считая q
\ i \ J Т / положительным в случае источника
\ \ / ] и отрицательным — в случае стока.
Пусть теперь А — чисто мнимая
। величина, равная Bi, где В—уже
I—действительная величина. Комплекс-
I ному потенциалу
X = 6Zlnz,
Рис* 62‘ как уже ранее было указано, будет
соответствовать та же сетка кривых
линий, что и в случае источника (стока), но линии тока и изопо-
тенциальные линии поменяются местами (рис. 62). Картина линий
тока соответствует так называемому циркуляционному движению
жидкости вокруг изолированного точечного вихря, расположенного
в начале координат, или, правильнее сказать, вокруг вихревой нити,
совпадающей с осью Oz.
Чтобы найти смысл действительной постоянной В, вычислим цир-
куляцию Г скорости по некоторой окружности радиуса г.
Будем иметь:
г
piкуда вытекает
§ 3£>| ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ 235
В зависимости от направления движения частиц будем иметь:
причем верхний знак, как легко сообразить, будет соответствовать
вращению по часовой стрелке, нижний — обратному вращению. Можно
знак включить в определение величины Г и считать циркуляцию
положительной тогда, когда при обходе частицей жидкости окруж-
ности площадь круга остается слева; этому соответствует комплексный
потенциал циркуляционного потока
х=-£1пг==^|пг- (42>
Заметим, что как в случае источника (стока), 'так и в случае
вихря распределение скоростей по абсолютной величине отвечает
формуле
|У| = М Или | =
т. е. величина скорости обратно пропорциональна расстоянию от
источника или вихря. В начале координат, где источник или вихрь
расположены, скорость бесконечно велика; начало координат является
особой точкой поля скоростей, а сами образы источника (стока) или
вихря называют гидродинамическими особенностями потока. В даль-
нейшем нам придется иметь дело и с другими „особенностями11 потока:
диполем, вихреисточником.
Рассмотренные только что течения являются безвихревыми дви-
жениями несжимаемой жидкости, т. е. во всех точках области течения,
исключая начало координат, которое является особой точкой, выпол-
няются соотношения:
ди __dv___ Ли . dv_______„
ду дх ’ дх • ду ’
в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием. В на-
чале координат производные приобретают бесконечные значения.
Если источник (сток) или вихрь находятся не в начале координат,
и в некоторой точке 7И0 с комплексной координатой г0, то выраже-
ния характеристических функций будут:
источник (сток):
(41')
вихрь
Х(*) = -£1п О “*<))• (42')
Рассмотрим, наконец, случай комплексного коэффициента при
Логарифме, а именно:
236
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
где А и В—действительные величины. Такой комплексный потен-
циал можно рассматривать как результат наложения друг на друга
двух потоков с комплексными потенциалами:
Xi ~ Alnz,
у2 (z) — Bl
т. e. наложение на источник (сток) вихря. Сложное движение,
составленное из этих двух движений, представляет течение жидкости
вокруг вихреисточника (вихресгока) со^
спиралевидными линиями
тока (логарифмическими
спиралями), показанными
на рис. 64.
Если, вообще,
У(*) = У1(*Н-У2(г),
то в составном потоке
комплексный вектор ско-
рости будет равен сумме
комплексных векторов
скоростей слагаемых по-
токов Vj и V2. Действи-
тельно,
V= iL = [ ЁЬ =
dz dz ' dz
~ Vl + ^2>
а следовательно, пере-
ходя от сопряженных ком-
плексов к основным, по-
лучим:
v=i/1+v2.
На этом основан простой графический прием построения линий
тока сложного потока по линиям тока слагаемых потоков.
Рассмотрим (рис. 63) две пары смежных линий тока двух сла-
гаемых потоков: <pt, ф1-}-Дф1 и ф2, ф2-J- Дф2, пересекающихся под
некоторым углом, причем предположим, что эти линии тока прове-
дены так, чтобы расходы жидкости сквозь трубки тока были
одинаковы, т. е. Дф, = Дф2; отсюда, конечно, не следует, что рассто-
яния между линиями тока в каждой из двух пар должны быть
равны между собою. Можно лишь утверждать, что, если MN\ I Vj
и MN' Vs, то ___
ЛДУ1-1 = Va|.
построение простейших полей течений 23?
С другой стороны, площадь малого параллелограма УИТИ ЛДЛД
равна одному из следующих равных между собою выражений:
....ii.ii» .... » . I *...
ТИ/Vi • ММ' = MN' • MMt.
Деля обе части этого равенства соответственно на обе части пре-
дыдущего, получим
ММ': | | = MMj: | У21,
откуда следует, что отрезки ММ' и ММг в некотором масштабе
выражают скорости или элементарные перемещения частиц слагаемых
движений. Проведя диагональ ТИЛД параллелограма ТИТИ MiMlt по-
лучим в том же масштабе величину и направление скорости V, или
элементарного перемещения сложного движения. Отрезок MMi вместе
с тем дает элемент дуги линии тока ф = const сложного движения.
Таким образом, построив достаточно плотную сетку линий тока
двух налагаемых друг на друга движений, простым проведением
диагоналей элементарных параллелограмов найдем сетку линий тока
сложного движения. Единственную трудность представляет выполне-
ние построения сеток линий тока слагаемых движений, удовлетворяю-
щих условию одинаковости расхода.
На рис. 64 приводится построение линий тока в случае вихре-
источника или вихрестока. Лучи (линии тока источника), выходящие
из центра, проведены друг по отношению к другу под углами в 10°,
расстояния между окружностями (линиями тока вихря) подобраны
так, чтобы расходы между каждыми двумя смежными окружностями
были равны между собой и одинаковы с расходами между двумя
смежными линиями тока источника.
Другим любопытным случаем наложения потоков является диполь.
Возьмем на положительной части оси х источник мощности q, нахо-
дящийся на расстоянии h от начала координат, и эквивалентный ему
по мощности сток на том же расстоянии от начала, но с отрицатель-
ной стороны оси х. Комплексный потенциал такой системы источника
и стока будет, очевидно, равен
х=£In (г ~ —§7 1п +А)-
Если, сохраняя неизменным q, устремить h к нулю, то сток
поглотит жидкость из источника и никакого движения не произойдет.
Поступим иначе: устремив h к нулю, одновременно будем увели-
чивать q до бесконечности так, чтобы произведение мощности q на
расстояние между источником и стоком осталось конечным и равным
некоторой величине т:
lira q '2h=a tn.
h-»o
5 -> co
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
Тогда комплексный потенциал у приобретет следующее предель-
ное выражение:
X = lim In (г
q->co
— — ~ lira а • 2h • lim
2л ?.-»о л~»о
In (z-\-h) — ln(z—ft)
— _
([ -> OO
m d - m
= -2^57(In*) = -.2^- <43)
Такой поток был уже разобран в предыдущем пункте, его линии
тока и изопотенциальные линии показаны на рис. 59.
Предельный образ двух бесконечно близких особых точек — источ-
ника и стока с бесконечно большими интенсивностями — называют
диполем, а величину т (она может быть как положительной, так и
отрицательной) — моментом диполя.
§ 3<)|
bBlIKAHHL КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
№
§ 39. Бесциркуляционное и циркуляционное обтекания
круглого цилиндра
Наложим плоский, параллельный оси х однородный поток со
скоростью Ко (Ко — действительная положительная величина) и
комплексным потенциалом
Ул = Ко*
на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом
т 1
fa — 2л * z
и составим комплексный потенциал сложного движения
1 TZ т 1
Z — Ул + У.2 — VcoZ —
Чтобы найти уравнение семейства линий тока, составим функцию
тока
ф (х> У) =
। ™ у
г 2л х2
Полагая правую часть равной различным постоянным, найдем
уравнение линий тока
^pyr)^ = const-
Нулевая линия тока
Ziz । т 1 \ п
распадается на две кривые: 1) окружность:
= («<0)
и 2) ось х:
у — 0.
Выбирая произвольную до сих пор величину момента диполя
равной
2л Ко
т ~-------,
а4
получим нулевую линию тока в виде совокупности окружности
Радиуса а с центром в начале координат и оси Ох (рис. 65).
стальные линии тока легко получить, задавая различные значения
констант в уравнении
240
ПЛОСКОЕ безйихрейое ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
(гл. V
Полная картина движения состоит из двух областей — вне и внутри
круга. Первую область можно рассматривать как обтекание круглого
цилиндра радиуса а плоскопараллельным потоком, имеющим на беско-
нечности скорость Vm; этот поток имеет комплексный потенциал
| z | а.
(44)
Вторая область представляет картину течения, образуемого нахо-
дящимся в начале координат диполем с моментом т внутри круга
радиуса а- этому потоку соответствует комплексный потенциал
|г|^а.
Остановимся несколько подробнее на первом потоке. Найдем
распределение скоростей. Имеем, по предыдущему:
По этой формуле можно найти сопряженную скорость V, а сле-
довательно, и комплексный вектор скорости V в любой точке потока
с комплексной координатой г. Определим, например, распределение
скоростей по контуру обтекаемого цилиндра. Для этого положим
(0 — угол между радиусом контура цилиндра и осью Ох)
z = aeih
§ 39| ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 24 1
и будем иметь по предыдущей формуле:
(V)|g|=« = ^(1 - *~2Й) = Veoe-n — = 2ZK^-*esin О,
откуда определим модуль скорости на контуре круга
| V | = 2 Vco sin 0. (45)
Из этой формулы следует, что при плоском безвихревом обте-
кании круглого цилиндра идеальной жидкостью скорости на его
поверхности распределяются по закону синуса. В точках А и В раз-
ветвления потока 0 = ~ и 0 = 0 скорость обращается в нуль. Точки
потока, где скорость движения обращается в нуль, называют крити-
ческими точками потока. При направлении движения, указанном
на рис. 65, точка А называется „передней" критической точкой,
точка В —„задней".
Скорость на поверхности цилиндра принимает свое максимальное
значение при 0 = ± — в точках С и О миделевого сечения ци-
линдра; это максимальное значение скорости равно
I Итах = 2П№,
т. е. удвоенной скорости набегающего потока (скорости на беско-
нечности).
Иногда приходится иметь дело с обтеканием цилиндра плоско-
параллельным потоком, скорость которого направлена под неко-
торым углом 0оо к оси Ох.
Заметим, что в этом более общем случае комплексный потенциал
обтекания будет иметь вид:
— а2
y^V^z-JpV^-, (46)
где К» является уже не действительной величиной, а комплексным
вектором, равным
к»=| пю|гЧ
Выражение комплексного потенциала (46) легко получить из
равенства (44), если ввести в рассмотрение дополнительную пло-
скость z', действительная ось которой наклонена к действительной
ОСИ ПЛОСКОСТИ Z ПОД углом 0оо. Тогда в плоскости z' скорость на
бесконечности будет представляться действительной величиной | Ц»!,
и по (44) получим:
Z(Z) = |VcoP'+|Ko|p.
Подставляя сюда выражение z' через z:
I —
г = ге °°,
Докажем правильность формулы (46):
X (*) = | V», | е~г0°° • z 1 | ~
16 Зак. 1841. Л Г. Лойпятеккй.
242 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВ01 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [iji V
Обратимся теперь к рассмотрению соответствующего формуле (45)
распределения давлений по контуру цилиндра. Для этого вспомним,
что при безвихревом движении несжимаемой жидкости давление р
связано с величиной скорости | V| формулой Бернулли [§ 36, равен-
ство (12QJ:
. p|VT ,
р + — — const.
Константу определим из условия на бесконечности [возвращаемся
к обозначению 1И= и
'''от
р<х> —р 2 const,
тогда будем иметь, вводя безразмерный коэффициент давления р:
— р —рт / V \2
р _ —-------=: 1 — (—_) = 1 — 4 sin2 0. (47)
1 lz2 \ Уоо/
Из формулы (47) следует, что распределение по контуру цилиндра
безразмерного коэффициента давления р не зависиг ни от размеров
цилиндра, ни от величины скорости и давления на бесконечности.
Вот почему так удобно пользоваться этим коэффициентом при изу-
чении давления потока на поверхности обтекаемого жидкостью ци-
линдра. В дальнейшем будет показано, как эти свойства коэффициента
давления распространяются и на тела других форм.
Вернемся к формуле (47) и условимся угол 6 отсчитывать от
передней критической точки А против часовой стрелки. Тогда график
теоретического распределения р, согласно (47), представится нижней
кривой на рис. 66. В лобовой критической точке А (б = 0) имеем
р = 1; размерное давление р в этой точке равно полному напору
набегающего потока, т. е. сумме давления рт и скоростного напора
у р VL набегающего потока. При б = ± , т. е. в миделевой пло-
скости, коэффициент р приобретает максимальное по абсолютной
величине отрицательное значение рт = — 3. В э гих точках на поверх-
ности цилиндра наблюдается максимальное разрежение. Давление
здесь меньше чем рт (например, атмосферное при продувке цилиндра
в аэродинамической трубе с открытой рабочей частью) на три скоростных
напора. На участке я/2 б я теоретическая кривая повторяет кри-
вую для ОЗэбЗ=я/2.
Экспериментально замеренное распределение давления не под-
тверждает эту теоретическую кривую. В зависимости от некоторых
условий, о которых будет идти речь в конце курса, на опыте полу-
чаются две разных формы кривых распределения давления (/ и II
на рис. 66), но даже и более близкая к теоретической кривая I
§ 39J
ОЫЬКАНИЕ КРУГЛОЮ ЦИЛИНДРА
‘213
все же находится в резком расхождении с теорией. Причиной этого
расхождения служит отсутствие в действительности безотрывного
плавного обтекания цилиндра, подобного теоретическому обтеканию,
показанному на рис. 65. На самом деле цилиндр представляет собою
плохо обтекаемое тело. Набегающий поток, разветвившись в передней
критической точке А (рис. 66), омывает поверхность цилиндра лишь
до точек SS, находящихся примерно на 0 = 84°, т. е. до миде-
левой плоскости—в случае кривой давлении / и на 6=120°-—
в случае II, после чего поток отрывается, уступая место жидкости,
подсасывающейся из кормовой области. И в том и в другом
случае получаются картины обтекания, далекие от безотрывного обте-
кания всей поверхности от передней А до задней В критических
точек, предписываемого теорией безвихревого движения идеальной жид-
кости.
Как будет показано в дальнейшем, образовавшийся из-за наличия
внутреннего трения в жидкости пограничный слой не выдерживает
резкого восстановления давления при 6 > 90°, отрывается и искажает
всю картину обтекания. Об этом подробно будет рассказано в главе
о движении вязкой жидкости.
Было бы, однако, неправильно сделать отсюда вывод, что теория
безвихревого движения идеальной жидкости вообще не может при-
меняться для описания действительных обтеканий. На рис. 67 при-
ведены кривые распределения давления по поверхности двух „хорошо
обтекаемых" симметричных профилей Жуковского. Один профиль
имеет относительную толщину -—=15%, другой — = 40%. Как
16*
‘244 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. V
показывают кривые, в этих случаях теория дает прекрасное совпадение
с опытом. Более или менее значительное расхождение наблюдается
только у толстого сорокапроцентного профиля, да и то главным
образом вблизи кормовой области, где пограничный слой не удержи-
вается на поверхности профиля и отрывается. Можно утверждать,
что теоретический расчет распределения давления вполне удовле-
творительно совпадает с опытом для хорошо обтекаемых тел
и тем более расходится с опытом, чем толще пограничный слой, чем
ближе обтекание подходит к отрывному. С этой оговоркой и следует
воспринимать все последующие теоретические расчеты распределения
скоростей или давлений по
поверхности обтекаемых тел.
Заметим, что теоретиче-
ское распределение давле-
ний по цилиндру не дает
результирующей силы; это
прямо следует из симметрии
обтекания относительно двух
взаимно перпендикулярных
осей: оси потока и перпен-
дикулярной к ней оси (ри-
сунок 65). На самом деле,
в действительном обтека-
нии, как это следует из
кривых I и II (рис. 66),
главный вектор сил давле-
ний будет отличен ог нуля и направлен по оси течения в сторону
движения набегающей жидкости. Эга равнодействующая нормальных
сил, сложенная еще с равнодействующей касательных сил трения
жидкости о поверхность цилиндра, даст полную силу сопротивления.
Теоретическое безотрывное обтекание силы сопротивления не дает и,
как в дальнейшем будет показано, принципиально дать не может.
Перейдем к рассмотрению несколько более сложного потока.
Возьмем только что изученное теоретическое обтекание круглого
цилиндра и наложим на него круговой циркуляционный поток вокруг
вихря (42), причем сам вихрь поместим в центр контура цилиндра.
Такое обтекание в отличие от предыдущего, „бесциркуляционного11,
будем называть циркуляционным обтеканием цилиндра. Подобный
поток будет наблюдаться в действительности, если обтекаемый цилиндр
вращать вокруг оси; тогда окружающая цилиндр жидкость, увле-
каемая внутренним трением, придет в круговое, циркуляционное
движение, которое сложится с бесциркуляционным обтеканием цилиндра
и даст картину, напоминающую рассматриваемое теоретическое обтека-
ние; основное отличие между теоретическим и действительным обте-
канием произойдет из-за отрыва жидкости от поверхности, а также
за счет возникновения поперечных, перпендикулярных к плоскости
§ 39] ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 245
1еорегического течения вторичных потоков, сопровождающих в дей-
ствительности циркуляционное течение.
Комплексный потенциал циркуляционного обтекания цилиндра
напишем в виде
+ + (48)
что при Г>0 соответствует направлению циркуляционного движения
по часовой стрелке.
Определим сопряженную скорость
~%)+£ («)
и найдем положение критических точек, решая уравнение
Ц1—S)4-£t=°
или, что то же, квадратное уравнение
Корни его будут:
z =-----------------------— 1/ а2 — „ .
В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обте-
кания:
1°. Циркуляция достаточно велика, а именно
Г > 4тга Ко.
В этом случае под знаком радикала будет стоять отрицательная
величина, и можно написать
z = I-----1/ ——a2 11.
Оба корня квадратного уравнения мнимы, причем модуль одного
больше радиуса цилиндра, другого — меньше; действительно, корень
z — 1 11/ 1
имеет модуль
—---f- I/ —--а2 > —-— > а
246
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. у
второй корень
имеет модуль
11 Г , Г~1? а
21 4к17да V г Г Р
4^т Г 16^
меньший чем выражение, которое получим справа, если заменим в зна-
менателе Г/4~ i/со на меньшую величину а, т. е.
। । «2
iZo < — = а.
1 21 а
Первый корень zx дает критическую точку А (рис. 68а), лежа-
щую на отрицательной стороне мнимой оси вне цилиндра, второй —
критическую точку В, лежащую на той же оси внутри цилиндра.
2°. Предельный случай
Г — ir.aVa/
дает двойной корень
Г
в этом случае обе критические точки А и В попадают в одну, рас-
положенную на контуре цилиндра в точке пересечения контура с мни-
мой осью (рис. 686).
Зэ. Наконец, в случае малой циркуляции
Г < 4ка Ко
комплексные корни
Г~ р Г
z = ± 1/ а------г-5-------1
У 4^
имеют общую ординату — мнимую часть:
Г
4пУю > а
и отличающиеся знаками абсциссы:
— я<±1/ а2— < д,
’ 16я21^
также по модулю меньшие а.
Положение критических точек А и В показано на рис. 68в. При
дальнейшем уменьшении циркуляции Г точки А и В будут раздви-
гаться, стремясь занять свои предельные положения на диаметре круга
при Г = 0.
§ 391
ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
247
Неравенства
Г^4яа14о,
ограничивающие величину циркуляции для трех типов движения, имеют
простой физический смысл. Вспомним, что в точках пересечения ми-
делевой плоскости с мнимой
осью скорости в бесциркуля-
ционном течении равны удвоен-
ной скорости на бесконечно-
сти, т. е. 2Усо5 с другой
стороны, при чисто циркуля-
ционном обтекании скорости
точек на контуре цилиндра
равны Следовательно, при
выбранном направлении цирку-
ляционного движения
вой стрелке при
Г
2^>2^
Рис. 68.
по часо-
поверх-
некого-
частицы жидкости на
ности цилиндра и в
рой области ниже цилиндра
(рис. 68а) будут двигаться
вспять, а линии тока будут
замкнутыми кривыми вокруг
цилиндра. При (рис. 686 и в)
Г Г
2^ = 21/оо и 2^<2Ко
критические точки будут нахо-
диться на контуре цилиндра.
Как видно из рис. 68,
при циркуляционном обтекании
круглого цилиндра сохраняется
симметрия относительно оси
Qy> но нарушается симметрия
относительно оси Ох. В связи
с этим главный вектор сил да-
вления жидкости на поверх-
ность цилиндра будет отличен
°т нуля и направлен вдоль
°си Оу. Заметим, что в слоях
бесциркуляционного обтекания ______„ __________ _____________
потока вокруг цилиндра складываются, а снизу от цилиндра
жидкости над цилиндром скорости
цилиндра и чисто циркуляционного
248
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[1Л. V
вычитаются. Отсюда следует, что над цилиндром скорости больше
чем снизу; это видно и по плотности линий тока — над цилиндром
линии тока сгущаются, под цилиндром, наоборот, разрежаются.
При этом, согласно теореме Бернулли, давление на верхней половине
цилиндра меньше, на нижней — больше, следовательно, главный вектор
сил давления должен быть направлен по оси Оу вверх. Найдем вели-
чину этой, перпендикулярной к направлению движения силы R. Имеем
R = — § pads,
где контурный интеграл вычисляется по положительному обходу окруж-
ности. По теореме Бернулли
Р-с-Еф!.
На контуре круга, согласно (49):
V= Kofi —e-2fc) -4-5^- ie~ie~ ie-fc f2KoSins
v ' 1 2гя \ 1 2г.я / ’
cos е ds,
откуда
что интеграл по замкнутому контуру от постоянной co-
давления С, как архимедова сила в однородном поле
Замечая,
ставляющей
давлений, равен нулю, получим:
2к 2л
| V|2cos8de= — J ^2Иоо sin е
о
2
) coss de.
2 J
о
2п
, . , Г
“ЯП£ + 2^
р — £2 !
о
Интегралы легко вычисляются; имеем:
2тс
==t^-4V^> f sin2 s cose fife• 4Уоо •
О
00 2па J
о
JsinSerfe + f
о
2гс
•4V“'2^.[ siniWe +
0
2л
Г2 Г
4rfa* J
о
2я
, р«. г2
2 W
о
s 40] ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР. 249
Из всех интегралов отличен от нуля лишь второй в выражении
pl/^Г f
= —^2— I Sjn2 g /is = рУсоГ. (50)
о
Как и в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при цир-
куляционном обтекании сопротивления нет (7?ж = 0), но зато появи-
лась поперечная сила Ry, равная, по (50), произведению плотности
жидкости на скорость набегающего потока и на циркуляцию. Фор-
мула (50) является частным случаем общей теоремы Жуковского,
относящейся к любому обтекаемому контуру; доказательство этой тео-
ремы будет дано ниже.
Возникновение поперечной силы при обтекании вращающегося
артиллерийского снаряда набегающим воздухом было обнаружено еще
в середине XVIII в.
Роторы Флетнера, представляющие собою вращающиеся цилиндри-
ческие башни, размещенные на палубе корабля, создают при наличии
набегающего ветра перпендикулярную к направлению ветра силу, дви-
жущую корабль. Аналогичный эффект наблюдается на закрученных
теннисных и футбольных мячах и во многих других случаях.
Как будет показано в дальнейшем, задача о циркуляционном обте-
кании круглого цилиндра имеет основное значение. К этой задаче будут
сводиться все остальные случаи обтекания замкнутых контуров и,
в частности, задача об обсекании крыла.
§ 40. Применение криволинейных координат. Бесциркуляционное и
циркуляционное обтекания эллиптического цилиндра и пластинки.
Задача Жуковского об обтекании решетки пластин.
В некоторых, более сложных, чем рассмотренные в предыдущих
параграфах, случаях задача об определении комплексного потен-
циала облегчается, если потенциал искать не в физической плоскости
z=>x-^-iy} а в плоскости другого вспомогательного переменного
- = связанного с г некоторой аналитической зависимостью
г=4)- (51)
Геометрически это можно трактовать как решение задачи обтека-
ния в криволинейной системе координат (?, т;), т. е. разыскание ком-
плексного потенциала в виде
Х = Х(С). (52)
Совокупность уравнений (51) и (52) определяет искомую связь
между у и z в параметрическом виде, причем роль параметра играет
комплексная переменная С- Поясним это примером.
250
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. у
Уравнение (с—действительная постоянная)
z — cchZ (5 Г)
даст переход от декартовых координат х, у к эллиптическим коор-
динатам Е, т]. В самом деле, отделяя в равенстве (51') действительную
и мнимую части, будем иметь:
х ty — с ch (Е -J- /т]) = с ch Е cos т) -f- ic sh Е sin т],
•x = c ch E cos т;, |
у = c sh E sin 7). J
Полагая здесь E — a = const, получим семейство эллипсов (рис. 69)
х2 । У _ 1
с2 ch2 а ' с2 sh2 а
с полуосями a = ccha, £ = csh а и фокусным расстоянием с=]/о2—й2;
полагая tj = (3 = const, получим
семейство
х2_______У2 1
с2 cos2 [' с2 sin2 р
софокусных с предыдущими эл-
х липсами гипербол, имеющих по-
луоси с cos р и с sin р. Рассмо-
трим теперь комплексный потен-
циал
у = Лс11(С— 7), (52')
Рис. 69. где А и у--а-|-/р— действи-
тельная и комплексная постоян-
ные. Переписывая этот комплексный потенциал в форме
® -ф. /ф == A ch [(Е — а) 4- Z (т) — Р)],
сразу видим, что
ф = 0, если Е == а или т) = р,
т. е. нулевая линия тока состоит из эллипса Е = а и гиперболы т] == Р
(на рис. 69 показанных жирной линией). Чтобы найти значение по-
стоянной А, составим выражение сопряженной скорости
р___ dy __ dy # dz__Hsh(C—у)
v ~ dz ~ dZ ' rfC ~ cshC
и вычислим ее на бесконечном удалении от эллипса Е = а. Будем иметь
(%о— угол между вектором и осью Ох):
К
-А» А .. sh(C—7) А А
= — lim \= -— lirm—т-=— е I
с С-э-® sh5 с ^®t с
4QJ ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР. 251
откуда получаем
| | е“ге°° = -у- е~а е~®.
Из последнего равенства вытекает:
6оо = ₽, А = с[ Voo|eB,
причем постоянная а может быть, по предыдущему, выражена через
полуоси обтекаемого эллипса по одной из следующих формул:
а а . b b b
cha = — = —===, sh а =— — —====, tha= —,
с У «2 — & с Vа1—Ь2 а
так что
е» = ch a -)-sh a = —А = (а b) | У»|.
Итак, совокупность равенств
Х==(«-Н)1 K»|ch(C —|
г = с ch С, J
где, напоминаем,
f = а -|- ф = аг th i0oo, c = j/«2—Ь2,
дает параметрическое выражение комплексного потенциала у (г)
обтекания эллиптического
цилиндра с полуосями а и b
плоским безвихревым пото-
ком несжимаемой жидкости,
имеющим скорость на беско-
нечности, равную по величи-
не | Уж | и направленную под
углом Йсо к большой оси
эллипса; угол р=6(Х) принято
называть углом атаки
Картина линий тока по-
казана на рис. 70.
Для построения линий
тока и изопотенциальных
линий можно использовать функцию тока и потенциал скоростей,
которые получатся исключением Е и т; из системы уравнений:
? = (e-J-6)| Уоо| ch(;—«)cos(tq — р),
$ = (<? + £)] Уоо|зЬ($ — «)sin(vj—Р),
х = с ch $ cos 7j,
у = с sh Е sin к;.
252
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. у
Можно также исключить С непосредственно из уравнений (53). Для
этого перепишем первое из уравнений (53) в виде
X = (а 4~ Ь) | Ко | (ch у ch С — sh у sh С),
а из второго найдем
chC = —, shC=J/ -=•—1;
с ’ г с2
тогда будем иметь
Х = (« + ^)| ^оо|(у сЬт —1 Shy), (54)
или, заменяя:
ch у — ch (а -|- i₽) = у (<?°+iP-4- «-“-*₽),
sh у = sh (а -|- /р) = -i- (е° — £-«-*₽),
ео. = -]-
с ’
е-а=__£—
а + Ъ ’
получим еще такое выражение для у:
Х=-|-(а+ 6)| — Vz2 — с2) 4-
+ ТТТ e~f? (*+ V^^)l = i Ко (г +
+ ^(а4^Уоо(г_у^=Г^)> (55)
Из последнего выражения легко вновь получить комплексный по-
тенциал обтекания круга (46). Для этого достаточно заметить, что
в случае круга а — b и с = О и что, кроме того,
z— У г2— с2 I _ 1
1с=о"^;
тогда (55) даст
7^4K'2H|Wk4=K*+ Коу.
Если положить в (55) b = О, а = с, то получим потенциал обте-
кания пластинки (рис. 71), расположенной по отношению к набегаю-
щему потоку под углом атаки В = 6^:
X = у Ко (г — У г®— с2) + у Исо(«+ У г2-— с2) =
= 4- ( Ко + Ко) г — 4 ( К, — Ко) /г-2—с2 =
= ticoZ — iVoc У-г2—с2, (55')
где «с», “Осо — проекции Ко на оси координат.
§ 40]
ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР.
253
По составу выражения комплексного потенциала (55') можно за-
ключить, что косое обтекание пластинки складывается из двух тече-
ний: 1) вдоль пластинки, по направлению действительной оси со ско-
ростью «оо! комплексный потенциал этого обтекания равен
X! (г) = «со*;
и 2) перпендикулярно к пластинке со скоростью ivx, направленной
вдоль мнимой оси; комплексный потенциал этого движения равен
7.2 (?) — — V^2 —с2, (55")
в чем можно было бы убедиться и непосредственно, строя линии тока
по этой простой формуле.
Определим сопряженную скорость рассматриваемого косо набе-
гающего на пластинку потока; будем иметь
77 dy . z
V = -Ь.= ит IVoo .
dz у г2_с2
(56)
Приравняв правую часть нулю, найдем координаты критических
точек А и В (рис. 71):
z = x =
± с cos р,
где, напоминаем, с —- половина длины пластинки; при р = — обе кри-
тические точки сходятся
в начале координат.
При z = ± с, т. е. на
передней и задней кромках
пластинки, скорость, со-
гласно (56), обращается
в бесконечность, что видно
и по сгущению линий тока
на концах пластинки. На са-
мом деле инертная жидкость
не может безотрывно обте-
кать острые кромки пла-
стинки, так как при обра-
зующихся бесконечно боль-
ших скоростях должны (со-
гласно теореме Бернулли)
появляться бесконечно боль-
шие разрежения, что физи-
чески невозможно. Как вскоре будет показано, в таких случаях
можно теоретически получить обтекание с отрывом струй. При этом
скорость на острых кромках станет конечной, но потенциал обте-
кания уже не будет непрерывным во всей физической плоскости.
ПЛОСКОЕ ВЕЗВИХРЕВОЬ ДВИЖЕНИ1 жидкое in
(ГЛ. V
Покажем, как построить обтекание пластинки с бесконечной ско-
ростью лишь на одной, например, передней острой кромке и с ко-
нечной скоростью на задней кромке. Этот прием является общим
приемом теории крыла и будет в дальнейшем подробно изложен (по-
стулат Чаплыгина, § 42).
Рассмотрим комплексный потенциал чисто циркуляционного дви-
жения жидкости вокруг эллиптического цилиндра. Для этого напишем
равенство
z = с stay = с sin (© -j- гф) = с (sin © ch ф-j- icos « sh ф).
Подобно тому, как это делалось по отношению к равенству (51),
легко заключить, что софокусные эллипсы ф == const будут линиями
тока в некотором движении жидкости вокруг любого эллипса. Такое
движение и будет чисто циркуляционным движением вокруг эллипса
или, в частности, вокруг пластинки — отрезка, соединяющего фокусы
семейства эллипсов (рис. 72). Зададим комплексный потенциал чисто
циркуляционного движения вокруг эллипса функцией
г z
•/ = г- arc sin—, (57)
2л с ’ v ’
где постоянная Г пока не определена.
Выражение это совпадает с выражением комплексного потен-
циала (42) единичного вихря, если фокусное расстояние 2с устремить
к нулю. Действительно, по известным формулам теории гиперболи-
ческих функций от комплексного аргумента будем иметь:
Г .г Г . (lz \ Г , (iz , _ z2 \
у = л— arc sin — = "сг~. аг sh (—) = 1п (—(-1/ 1-у ),
' 2л с 2ri \cj 2~i \с 1 г с2 /’
или, используя свободу в выборе аддитивной постоянной в выраже-
нии комплексного потенциала,
р
у = — г-—- 1п
л 2w
Yc^ — z^—iz'
с2
Переходя в этом выражении к пределу при с -> 0, получим, при-
меняя обычное правило раскрытия неопределенностей:
2с
Г . f/Y^^ — izy 1 Г. Г/2 Yc2 — z^\ 1
2W n[( c2 /c=oJ 2Wn[( 2c )e=0]“
= -£lni = £ln^+C0Dst’
т. e. равенство (42).
Чисто циркуляционный поток вокруг пластинки (Ь = 0, а = с)
будет иметь тот же комплексный потенциал, что и эллиптический
цилиндр, для которого пластинка служит фокусным расстоянием.
ОЫЬКАНИЬ ЭЛЛИПСА, ПЛА11ИНКИ И ДР.
§ 40!
Сопряженная скорость будет равна
2л | с2 — z2
25Г,
па поверхности пластинки (7 = 0,
рость действительна и равна:
— Г
и, —-----. .
2п Ус2 — х2
— с < х < -|- с) сопряженная ско-
(при Г > 0, и ! < 0)
на верхней поверхности и
Г
и_ —---------—.
2 л Ус2 —х2
на нижней.
Отвлечемся от того, что отрезок
(при Г > 0, и_ > 0)
FF' представляет некоторую
твердую стенку — обтекаемую циркуляционным потоком пластинку
и представим себе всю плоскость
хОу занятой жидкостью. Тогда
линия FF' представит линию раз-
рыва скоростей в потоке. В самом
деле, по только что доказанному,
при переходе через линию FF'
(рис. 72) по перпендикулярному
к этой линии бесконечно малому
отрезку Л4_Л4+, концы которого
расположены по обе стороны от
линии FF’, скорость и претерпе-
вает конечный скачок
— Г
= —г-----.
л Ус2 — х2
Рис. 72.
В отличие от скачка уплотнения, где разрыв непрерывности про-
исходил в скорости, нормальной к поверхности разрыва, в настоящем
8.-----------
М
-----1-------
Й5
С -----л
и-
Рис. 73.
случае разрыв происходит в ско-
рости, направленной вдоль линии
F разрыва. Рассмотрим ближе при-
< роду такого касательного скачка
скорости.
Окружим некоторую точку М
(рис. 73) на линии разрыва FF'
бесконечно малым прямоугольным
_______ ___ контуром, состоящим из отрез-
ков АВ = CD —ds, параллельных линии FF', и AD — BC, перпен-
дикулярных к ней. Циркуляция скорости по этому замкнутому контуру
(н+ — u_)ds —
— Vds
л УCa — X2
256 ПЛ0СК01 БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ v
отлична от нуля; следовательно, на отрезке ds линии разрыва ско-
ростей расположены вихри с общей интенсивностью, равной этой
циркуляции.
Обозначим через у плотность распределения вихрей, г. е. интен-
сивность непрерывного их распределения, приходящуюся на единицу
длины отрезка FF'.
Тогда получим
7<Zs = (h„ — u+)ds
и, следовательно,
г
7 = и_ — и — —— :.. (58)
‘ + г/с2 —X2 4 ’
Непрерывное распределение вихрей вдоль некоторой линии при
плоском движении (в пространстве этому соответствует распределение
прямолинейных вихревых нитей на цилиндрической поверхности) обра-
зует вихревой слой.
Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное движе-
ние (57) вокруг некоторого эллиптического цилиндра (в част-
ности— пластинки) эквивалентно потоку, образованному вихревым
слоем, расположенным вдоль линии, соединяющей фокусы эллипса,
причем плотность распределения вихрей в слое определяется фор
мулой (58).
Суммарная интенсивность вихревого слоя будет равна
что и определяет физический смысл константы в формуле (57). Таким
образом, комплексный потенциал (57) является обобщением комплекс-
ного потенциала (42) плоского циркуляционного движения жидкости
вокруг единичного вихря на случай прямолинейного вихревого слоя
конечной длины, но той же суммарной интенсивности, что и единич-
ный вихрь.
Подобно тому, как в предыдущем параграфе было найдено обте-
кание круглого цилиндра с циркуляцией, так же можно найти и
обтекание эллиптического цилиндра с циркуляцией. Для этого доста-
точно сложить комплексные потенциалы бесциркуляционного обтека-
ния эллиптического цилиндра и чисто циркуляционного его обте-
кания.
Так, например, в случае косою циркуляционного обтекания пла-
стинки будем иметь комплексный потенциал
/ — и^г — tvo |/г2 — с2 5“arc sin ~• (59)
§ 40|
ОЬТЕКАЙИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИЙКЙ Й ДР»
257
Составляя производную по г, найдем сопряженную скорость
IZ = Нсо----- if со
z . Г 1
/г2— «2 ' 2л ]Лс2—22
у z* — с* ‘
^СО
(60)
Пользуясь произволом в выборе „наложенной“ циркуляции Г,
можем подобрать ее так, чтобы скорость на задней (по направлению
обтекания) кромке пластинки F стала конечной. Для этого, очевидно,
достаточно положить
Г = — 2-м>юс = — 2-ас [ Vo, [ sin O^,
(61)
где 0co — угол атаки. Соответствующая плавному обтеканию задней
кромки сопряженная скорость будет по (60) и (61) равна:
(60')
При этом скорость на задней кромке F пластины будет равна
(«)г==с = «со — | Vcol созвео. Картина циркуляционного обтекания пла-
стинки с плавным сходом струй с задней кромки показана на рис. 74.
Сравнивая эту картину с со-
ответствующим бесциркуляцион-
ным обтеканием пластинки на
рис. 71, видим, что при выбран-
ном значении циркуляции (61)
задняя критическая точка В со-
вместилась с задней кромкой F
пластинки; на передней кромке F'
скорость остается равной беско-
нечности, что при действительном
обтекании приведет к отрыву
потока.
Как заметил впервые С. А. Ча-
плыгин, задние острые кромки
крыловых профилей обтекаются,
как правило, без отрыва, если то
Дели некоторого интервала. Иными словами, при действительном обте-
кании профилей в потоке возникает как раз такая циркуляция, которая
необходима для создания непрерывного обтекания задней кромки
с конечной скоростью. Об этом подробнее будет сказано в § 42.
Что касается наличия передней острой кромки, то оно нежелательно;
обычно эту кромку закругляют, создавая плавный „носок* профиля.
17 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянскнй.
258
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
(гл. v
Рассмотренная только что задача об обтекании пластинки может быть
обобщена на случай системы бесконечного числа пластинок ширины 2с
(рис. 75), расположенных вдоль оси х на равных друг от друга расстоя.
ниях 2а.
Н. Е. Жуковский! указывает следующие интегральные выражения для
комплексных потенциалов:
а) обтекания решетки пластин потоком, направленным в бесконечности
в положительную сторону мнимой оси (рис. 75):
(62)
б) чисто циркуляционного потока вокруг пластинок (рис. 76):
Ха W = Я
TZZ ,
cos dz
2а
. 9 ТСС 9
sin2 -----sin2 ~
2а 2а
в) плоскопараллельного потока вдоль действительной оси:
Ха (*) = ««/>
(63)
(64)
сложение которых приводит к общему косому циркуляционному обтеканию
указанной решетки пластин.
1 Н. Е. Жуковский, Вихревая теория гребного винта. Статья вторая.
Избр. соч., т. И, стр. 257.
ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР.
259
dz
Применение символов неопределенных интегралов предскшляет го удоб-
ство, что позволяет сразу найти скорости потоков:
. *z
VcaS,m2a
sin2 —sin2
2а 2а
nz
9cos2-
(65)
az
о TZ
-- Sin2 ZT-
2с
Vs ~ dz ~ ‘
Перед корнями поставлены знаки i,чтобы напомнить известную особен-
ность корня квадратного как функции комплексного переменного. Точки А
и В с координатами z = zt с, в которых подкоренные величины обращаются
в нуль (а скорости в бесконечность), являются точками разветвления
в плоскости комплексного аргумента. При обходе этих точек по окружностям
бесконечно малого радиуса (рис. 77) значения корня меняют свой знак, так
что двум бесконечно близким точкам М и М', находящимся с разных сторон
действительной оси на от-
резке АВ, будут соответ-
ствовать одинаковые по
абсолютной величине, но
разные по знаку действи-
тельные значения корня.
Отсюда следует, что на от-
резке АВ рассматриваемые
корни являются двузначны-1
ми функциями, а сам отре-
зок—линией разрыва функ-
ции. Чтобы избегнуть этой двузначности, можно представить отре юк АВ, как
.разрез" в плоскости г. Тогда точки М и М' окажутся расположенными по
обе стороны от разреза и непрерывный переход от одной к другой станет
возможным лишь по кривым, обходящим точки разветвления (на рис. 77
показанным пунктирами). Такое рассмотрение физической плоскости z, как
17*
м'
Рис. 77.
м
260
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
(гл. V
плоскости с бесконечной системой „разрезов" АВ, А'В' и т. д., позволяет
считать корень квадратный, входящий в выражение скоростей, однозначной
функцией, но при этом сама плоскость z становится многосвязной, вернее
сказать, бесконечно связной. Исследуемое обтекание решетки пластин дает
пример плоского безвихревого движения в многосвязной области.
Формулы (65) позволяют составить полисе впечатление о картине обте-
кания рассматриваемой решетки пластин. Прежде всего заметим, что при
замене г на Z2r2na, где zz=l, 2,..., формулы (65) не изменяются. Это
говорит о периодичности картины обтекания, причем периодом служит
величина 2а, называемая шагом решетки.
При z = 1у тригонометрические функции перейдут в гиперболические ог
действительного аргумента, так что для точек оси Оу будем иметь:
= 0, =
+ sh^
1 2а
(66)
щ> = 0,
»з = 0.
«s =
«1Со = °.
«ою = — Ч,
и3 — ися> — и»
При у — — со, согласно сделанному замечанию о знаках перед корнем:
^со’
V> = 0’
®3oo=°;
при у = + со:
«!со = °>
«2со= + 9>
«33> ~ «со»
При г = 0 в точке О первый поток
сительно к тому, с какой стороны разреза взята точка О; таким образом,
точки О, О', О".... буд}т служить критическими для первого потока.
Критическими точками второго потока будут точки, абсциссы которых
являются корнями уравнения
г.х
cos — = 0.
2а
^1СО Чл»
®2оо=0,
г'дсо ~ О-
имеет скорость, равную нулю безотно-
т. с. точки С, D и др.
На отрезке АВ действительной оси (— с<х<4-с), как можно непо-
средственно заключить по формулам (65), в первом и втором потоках скоросги
будут направлены вдоль пластинки, но они будут иметь разное направление
сверху и снизу пластинки (рис. 75 и 76). .аежду пластинками (с<^х<'2а с)
действительные части сопряженных скоростей (65) первого и второго потоков
обращаются в щ ль, скорости направлены перпендикулярно оси Ох.
Накладывая рассмотренные потоки а, б, в друг на друга, можно получить
различные обтекания решетки. Так, соединяя комплексные потенциалы (62)
и (64) получим бесциркуляционный поток (рис. 78), аналогичный ранее рас-
смотренному обтеканию единичной пластинки (рис. 71). Складывая чисто
циркуляционный поток (63) с параллельным оси Ох потоком (64), можно
получить поток, показанный на рис. 79.
101
ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР.
261
Рис. 80.
262
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
Если сложить все три потока, то можно так подобрать скорость н2со= ±д
чисто циркуляционного потока, чтобы на задней (по направлению течения)
кромке пластинки скорость была конечной. Для этого, согласно (65), доста-
точно удовле!верить условию
лс . пс
приг = с tfcos^^t^snig-.
При выполнении этого равенства, т. с. при
ЛС
обтекание будет иметь вид, представленный на рис. 80.0 силовом воздействии
потока на пластинку в решетке, так же как и на изолированную пластинку,
будет сказано далее в связи с применением теоремы Жуковского.
§41. Плоское движение с отрывом струй. Разрывное обтекание
пластинки н протекание жидкости сквозь отверстие
Рис. 81.
В предыдущем параграфе уже указывалось, что жидкость не может обте-
кать острые кромки тел. Образующиеся в этих точках бесконечные скорости
вызывают физически невозможные бесконечные отрицательные давления; на
самом деле жидкие струи отбываются с острых кромок, создавая сложные
вихревые движения. Простейшая схема безвихревого описания такого рода
движений приводит к необходимости отказа от основной гипотезы непрерыв-
ности поля скоростей и введения в рассмотрение линий разрыва скоростей,
которыми служат сорвавшиеся с острых кромок линии тока.
Идея этой схемы, предложенной впервые Гельмгольцем в классической
монографии „О разрывных течениях жидкости", относящейся к 1868 г.,
заключается, недопущении, что сорвавшиеся с острых кромок линии тока —
так называемые свобод-
ные линии тока — ухо-
дят на бесконечность,
ограничивая за телом
бесконечную мертвую
зону покоящейся жидко-
сти. Если отвлечься от
влияния объемных сил, то
давление внутри „мерт-
вой зоны" будет повсюду
одинаковым. Как легко
сообразить, оно будет
одинаковым и на грани-
цах зоны, на „свободных"
линиях тока. Отсюда, по
теореме Бернулли, при-
мененной к свободным
линиям тока со стороны
движущейся жидкости,
следует, что вдоль свободных линий тока скорость сохраняет постоян-
ную величину. Нулевая линия тока (рис. 81) приходит в критическую точку О,
где разветвляется на две линии тока, расположенные на поверхности обте-
каемого тела. В точках А и В, соответствующих острым кромкам, линии
тока (<р = 0) сходят с тела и образуют две свободные линии тока АК' и
ВК", вдоль которых давление равно давлению в „мертвой зоне", а скорости
постоянны. В этом отличие свободной линии тока от твердой стенки, кото-
рая также может рассматриваться как линия тока, но с переменными, КЗК
правило, давлением и скоростью,
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ
263
(67)
(68)
$ 411 ----------------- -
Гельмгольц указал на простой класс примеров построения таких отрыв-
ных обтеканий со „свободными" линиями тока и „мертвыми зонами".
Рассмотрим следующую дифференциальную связь между комплексной
координатой z и комплексным потенциалом ч'-
^ = Г(х)±1</-'Чх)-ь
где F(y)— пока произвольная функция комплексного потенциала у. Поль-
зуясь независимостью производной от направления дифференцирования, мо-
жем написать дифференциальное уравнение линий тока (ф = const) в виде:
По предыдущему [равенство (39) § 37]:
dz дх , .ду 1
— =-----Н-г-—= ,
rfy ду ду V
1
I УГ
На свободной линии тока, где скорость постоянна, должно выполняться
условие
откуда
= const.
(69)
Предположим теперь, что функция F (у) при некоторых значениях 6=const,
иными словами на некоторых линиях тока, принимает только действительные
значения. Тогда в области значений у, при которых /72('}>)>1> правая часть
равенства (68) будет иметь действительное значение, так что уравнение (68)
приведется к системе:
дх
ду
ду
ду
Из второго уравнения
сток линии тока состоит из отрезков, параллельных оси Ох (у = const).
Часть линий тока, представленная системой равенств (70), не удовлетво-
ряет условию (69), следовательно, эти отрезки линий тока не являются „сво-
бодными*.
Возьмем теперь ту часть линий тока, на которой f^(y)<^l. По (68) будем
иметь;
^=±У1_Р2(Т).
Эта часть линий тока удовлетворяет условию (69) и, следовательно,
является свободной линией тока.
Различные функции F(y), удовлетворяющие только что указанным усло-
виям, будут давать примеры отрывных обтеканий. Средн них можно выделить
некоторые, представляющие практический интерес. Конечно, такой метод
решения задач нельзя назвать „прямым", так как ои не дает возможности
= 0.
(70)
этой системы следует, что рассматриваемый уча-
(71)
264 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. V
непосредственного получения обтекания наперед заданных контуров. Прямой
метод требует применения метода конформных преобразований.1
Положим, например,
Эта функция действительна только при ф = О и <р > 0; кроме того’
/•^(cpi^l при OS=<pS=l и при При <{><0 функция .F((f)
принимает чисто мнимые значения.
Имеем по (68) при ф = 0 и ср < 0:
^ = о, =-----------+
d<f dcp J' - ср ’ — ср
что дает x = const, или, в силу произвольности выбора начала отсчета, х — 0,
это — положительная часть оси Оу, в чем легко убедиться, проинтегрировав
второе уравнение при —со<ср<4).
Далее, на той же линии тока при 0 < <р 1, согласно (68), будем иметь:
- = 4= + /IZi. (72)
6<р У <р ' <р д<р
Из этой системы равенств следует:
х = 2 У7+агсзш(УТ)+ _У=0, (72')
где константы интегрирования выбраны так, чтобы в начале координат было:
х = 0, у — 0, <р = 0.
Равенство (72') показывает, что участок линии тока 0 < <р g=1, ф = 0
представляет отрезок АВ (рис. 82я) оси Ох между точками А и В с абсцис-
сами, соответствующими двум значениям корня Уф" при tp = 1:
х = ± (2 + arc sin 1) = ± (% -ф- Y
Наконец, в области значений у 1 будем иметь дифференциальные урав-
нения свободных линий тока АК' и ВК"-.
которые интегрируются в конечном виде и дают
х = 2У^
у = J" j/ 1 rfcp = — аг ch У^ + У? !•
Уравнение свободной линии тока будет
. х । х Cifi ~
v=_archy + —|/
1 По этому поводу см., например, Н. Е. К о ч и и, И. А. К и б е л ь и
Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханика, ч. I. Гостехиздат, 1948,
стр. 312—345, а также монографию Л. И. Седова „Плоские задачи гидро-
динамики и аэродинамики”. Гостехиздат, 1950, стр. 200—230, где приводятся
ц схемы отрывного обтекания, отличные от изложенных,
§ 411
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ
265
При tp -> + оо, так же как и при <р -> — оо, имеем
/0>у\* 2 *_1_ <
.ду) +\дЧ) “| У|2
Подчеркнем, что скорости на острых кромках, где происходит сход
с пластинки свободных линий тока, равны единице, а не бесконечности, как
это имело место при безотрывном обтекании.
Полученное решение определяет разрывное обтекание пластинки шири-
ной 4+* набегающим на нее нормальным потоком, имеющим скорость на
Рис. 82.
1 I VI2
2 2
бесконечности, равную единице (рис. 82 а). Легко найти полную силу давле-
ний жидкости на пластинку. Со стороны набегающей жидкости на участке
пластинки АВ действует давление р, которое по теореме Бернулли равно
(примем р == 1):
. Pl VI5
р = const----------
со стороны „мертвой зоны” давление
( । 1
Ро = (Рсо + у —
равно р0, причем
I VI2'
Разность давлений, действующих
стинки, будет, согласно (72),
р-р =±_ 1П!=1
2 2 2
Рсо*
I У|=1
на элемент dx с обеих сторон пла-
2 2 \ /<р
Элемент длины пластинки dx по (72) равен
dx = — =
266
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. V
так что элементарная результирующая сила давлений будет:
Отсюда, в силу симметрии обтекания относительно оси Оу, найдем пол-
ную силу давления в виде
7? = 2 —* dy == тс.
б
Представим силу сопротивления в плоском движении в общей форме:
ри
где С — коэффициент сопротивления, р — плотность жидкости, Voo — величина
скорости на бесконечности, b — характерный размер обтекаемого тела в пло-
скости течения (ширина пластинки в рассматриваемом сейчас случае); еди-
ница, стоящая в конце формулы сопротивления, напоминает, что сила сопро-
тивления рассчитывается на единицу длины в направлении, перпендикулярном
к плоскости течения. Сравнивая между собою последние две формулы, полу-
чим уравнение для определения С:
~~~~ С • '
откуда найдем:
С — . ' == 0,88,
так что в общем случае обтекания пластинки ширины b жидкостью с плот-
ностью р при скорости набегающего потока Vco будем иметь формулу сопро-
тивления
7?
4-|-л
0,44рУ^.
Заметим, что полученная теоретическая формула дает значение сопро-
тивления, в два раза меньшее действительного, хотя распределение давления
по передней части пластинки близко к опытному. Объяснение этого факта
лежит в неучете вихревых явлений в „мертвой зоне" (рис. 82 в), уменьшаю-
щих среднее давление на тыльную часть пластинки и тем самым увеличи-
вающих сопротивление.
Если сравнить только что разобранное разрывное обтекание пластинки
с непрерывным (55), имеющим комплексный потенциал
Х(г)=7»оо У г2 —с2,
то можно заключить, что симметричное относительно обеих осей координат
непрерывное обтекание с бесконечными скоростями на острых краях пла-
СТИНКИ (рис. 82 б) должно давать сопротивление, равное нулю, и распределение
g 41] ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ 267
павлений, резко отличающееся от экспериментального. Простое сравнение
каотин обтекания (рис. 82 а и б) со -схемой действительного обтекания
(пис. 82 в) показывает, что применение теории разрывного потенциала дает
более правильную форму течения, чем теория непрерывного потенциала.
Следует подчеркнуть, что разрывные картины обтекания с кинемати-
ческой стороны ближе подходят к опыту, чем с динамической. Общий вид
линий тока и распределение скоростей вне „мертвой зоны* обычно полу-
чаются весьма схожими с реальным обтеканием, силовые же характеристики,
зависящие от структуры потока в мертвой зоне и наличия сил трения, полу-
чаются, как правило, резко заниженными. Подтвердим это заключение еще
одним характерным примером.
Рассмотрим функцию
F (х) = — е~== е~? (cos ф — i sin ф),
сохраняющую действительное значение при ф = О и ф = г. и имеющую чисто
мнимое значение при Ф = у.
Составляя вновь основное дифференциальное уравнение (68)
(cos ф — Zsin ф) + Уе 2'р (cos 2ф—i sin 2ф),
будем иметь для линии тока ф=-2-:
^ = 0, + Уе-'* + Ь
о<р df
это — линия х — const, которую выбором положения осей координат можно
принять за ось Оу (х = 0). Вдоль этой линии скорость не остается постоян-
ной, при —оо скорость равна нулю, при <р— оо— единице; следова-
тельно, линия тока Ф = -§-—не „свободная*.
Линии тока ф = 0 соответствует дифференциальное уравнение
g+/^==e-. + 1/e^-I (73)
Если ¥ = 0, то подкоренное выражение не отрицательно и уравнение
(73) приводится к системе двух уравнений:
|£==е-?4-Уе-2т_ 1,
ду *
Интегрируя, найдем:
х = — а—е~~~ч — У е~2tf — 1 — arc tg У —1,
у = const = 0,
выб Я неопРеДелсниая константа интегрирования, а линия тока у = const
то?Рана за ось х' Определим, какая часть Ох совпадает с рассматриваемым
у стком линии тока ф = 0. Для этого заметим, что:
при tp == — со, х = — оо;
при ср = 0, д: = —e-rl,
268
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[ГЛ. у
Это означает, что отрезок линии тока ф = О, соответствующий s о
представляется отрицательной стороной В'В оси Ох (рис. 83 а), причем пока
можно только утверждать, что —(«4-1X0, так как в противном случае
линия тока ф = 0 пересеклась бы с линией тока ф — .
Рнс. 83.
При === 0 уравнение (73) дает систему дифференциальных уравнений
свободной струи:
ду
Интегрируя и определяя константы из условия непрерывного перехода
предыдущего участка линии тока в свободную линию, найдем:
х = — а — е 9, _у == V1 — е 2’ 4"гг l°g —------------С •
2 ] + j/’i — e-a'P
Кривая ВК’ выходит из точки В [<р = 0, х = — (а 4-1)] по касательной
к оси Ох и опускается вниз, стремясь при tp = -|-co к асимптоте х =—
причем по условию непересекаемости линий тока а > 0. Аналогично ведет
себя и свободная линия тока ф = к, являющаяся зеркальным отображением
линии ф = 0 в осн Оу (рис. 83«),
^2] ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИЙ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЙ 26Й
Чтобы найти положительную постоянную а, заметим, что расход через
олное сечение струи, по определению функции тока [формула (28), § 27],
б дет равен с другой стороны, при удалении от выходного отверстия
° сечениях струи асимптотически устанавливается однородный поток со ско-
ростью, равной единице; отсюда следует
„ . тс
я = 2а-1, а —~2 •
Полученная картина течения представляет, таким образом, вытекание
жидкости из безграничного горизонтального резервуара сквозь отверстие АВ
ширины 2(a-f-1) = 2^- 4-1). Как видно из рисунка, струя при выходе из
отверстия сжимается, причем коэффициент сжатия струи равен
2а _ я
2(а + 1) jc-f-2 ’
Эта цифра с большой точностью совпадает с действительно наблюдаемым
значением коэффициента сжатия при плоских истечениях водяной струи в воз-
дух. На рис. 83 б приведена для сравнения другая теоретическая картина
вытекания жидкости, рассчитанная при помощи непрерывного комплексного
потенциала, который легко получить из (57), если поменять местами линии
тока и изопотенциальные линии; для этого, как известно, достаточно заме-
нить х иа z'x-
Будем иметь для отверстия с полушириной, равной единице,
X = i arc sin г.
Линиями тока являются гиперболы, причем в точках отверстия А н В,
в отличие от разрывного вытекания, скорости обращаются в бесконечность
а давление — в отрицательную бесконечность, что физически невозможно.
При одном взгляде на обе картины течения сразу видно преимущество разрыв-
ного течения, почти точно отражающего действительную картину истечения.
§ 42. Прямая задача в теории плоского движения идеальной
несжимаемой жидкости. Применение метода конформных отобра-
жений. Гипотеза Чаплыгина о безотрывном обтекании задней
кромки профиля. Формула циркуляции
В предыдущих параграфах рассматривалась простейшая задача пло-
ского движения. По заданному комплексному потенциалу определя-
лась форма линий тока, часть которых принималась за контуры обте-
каемых тел, часть — за обыкновенные жидкие линии тока и, наконец,
в случае разрывных обтеканий некоторые линии тока играли особую
роль „свободных" линий тока, сорвавшихся с острых кромок обте-
каемых тел. Такая задача определения формы обтекаемого тела по
заданному комплексному потенциалу течения могла бы быть названа
..обратной" задачей.
Гораздо большее значение имеет прямая задача разыскания пло-
ского обтекания тел заданной формы. Для решения этой основной
задачи существуют два пути: 1) непосредственное решение уравнений
апласа, которым удовлетворяют потенциал скоростей и функция тока,
270
ЙЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
(гл. V
или заменяющих эти уравнения интегральных уравнений и 2) примене-
ние методов конформных отображений. Второй метод, как практи-
чески наиболее простой, получил в последнее время широкое распро-
странение. Основная идея метода заключается в следующем. Желая
определить обтекание тела заданной, подчас очень сложной формы
в физической плоскости комплексного переменного г, производят кон-
формное отображение течения на вспомогательную плоскость ком-
плексного переменного С при помощи некоторой аналитической функции
*=/(9. (74)
причем предполагается, что преобразованное течение в плоскости С
проще, чем в плоскости г, и комплексный его потенциал у* (С) уже
известен.
Искомый комплексный потенциал у (z) течения в физической пло-
скости z находится как результат исключения вспомогательного пере-
менного С из системы равенств:
x=xl/G)I=x*(a
причем в некоторых случаях это исключение не представляет труда
и приводит к равенству
X —Х(2)»
(75)
в других случаях оказывается проще пользоваться параметрическим
а; вантовой профиль
0) Крыловой, профиль
Рис. 84.
колес в, г и направляющих
определением у (z) при помощи системы
(75). В последнем случае сопряженная
скорость V определится в результате
исключения С из системы равенств:
v — iL — dx* с1~ х*'(О
dz Л dz f'(Q ’
*=/©•
Наконец, в некоторых особо слож-
ных случаях приходится для упрощения
решетки прибегать к нескольким вспо-
могательным плоскостям.
Остановимся подробнее на наиболее
важной для дальнейшего задаче внеш-
него обтекания замкнутого гладкого
контура с одной или двумя угловыми
точками. Такого типа контуры (рис. 84)
используются как профили винта а и
крыла б самолета, лопаток рабочих
аппаратов турбомашин и др. Набегаю-
щий поток зададим вектором скорости на бесконечности.
§ 42) ййямай Задача ФеОрИИ плоского ДвиЖеййй 271
В этом конкретном случае будем предполагать, что аналитическая
функция (74) дает конформное отображение внешней по отношению
к контуру С (рис. 85) части плоскости z, включая и „бесконечно уда-
ленную точку® г = оо, на внешнюю, по отношению к контуру С*
круга радиуса а, часть плоскости С также со включением точки С — со.
Для того чтобы такое отображение было взаимно-однозначным, необ-
ходимо, как известно, потребовать, чтобы бесконечно удаленная точка
Рис. 85.
z~oo переходила в бесконечно удаленную точку С = оо и чтобы
в этой точке сохранялось направление некоторой прямой, например,
направление скорости на бесконечности Vm:
при С -> со, z -> co, arg == arg У».
Замечая, что по первому равенству (76)
у _(<Ъ\ — (^LX . 1 — у* . _L
— \dz)m — k dC L (d«/dC)oo “ ” «оо ’
где под комплексной величиной т здесь и в дальнейшем будем пони-
мать коэффициент конформного преобразования
заключим, что условие
Oqq — arg Vco — Ooq === arg Усо
эквивалентно требованию, чтобы коэффициент конформного преобра-
зования в бесконечно удаленной точке т:а был действительной и
положительной величиной
ZMoo = f (co) > О,
И, следовательно,
^,70. ПЛОСКОЕ ВЕЗВИХРЕЙОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (гл. V
Комплексный потенциал обтекания круга в плоскости С извещен
и будет равен, по (46) и (48):
(77)
где Г* — произвольная, наложенная на круговой цилиндр циркуляция;
одну из постоянных (коэффициент преобразования или радиус
круга а) можно задавать совершенно произвольно, например, пола-
гать равной единице.
Таким образом, решение задачи внешнего обтекания контура С
свелось к исключению параметра С из системы уравнений:
z=z«(g = ».„(vj;+v„^)+£inc,|
z=f(Q. ’
Докажем, что циркуляция скорости Г по любому замкнутому кон-
туру Q (на рис. 85 показанному пунктиром), один раз опоясывающему
крыловой контур С, будет равна наложенной на обтекание круга
в плоскости С циркуляции Г*. Для этого заметим, что по определению
циркуляции и по (78) можно написать (д. ч.—символ действительной
части):
Г ----- ф (и dx v dy) — ф do — д. ч. ф dy =
<7, с, с,
= д. ч. Ф4? = Д- ч- (Gdy* =Г*.
_у J
в' с*
Эта общая для обеих плоскостей постоянная Г является характер-
ной для данного течения в двусвязной области и может (см. § 35)
рассматриваться как „циклическая постоянная" двусвязной области
плоскости z вне контура С. При конформном отображении этой дву-
связной области на плоскость С циклическая постоянная сохраняет
свое значение.
Из системы равенств (78) следует, что задача об обтекании про-
филя С потоком заданной по величине и направлению скорости на
бесконечности имеет бесчисленное множество решений, зависящих от
выбора величины циркуляции Г. С точки зрения математической тео-
рии идеальной жидкости такой произвол отвечает сущности вопроса.
Как уже было показано раньше для случая обтекания окружности,
налагая ту или другую циркуляцию, можно получить бесчисленное
множество форм обтекания кругового цилиндра с различным распо-
ложением критических точек (типичные обтекания показаны на рис. 68).
Точно так же для одного и того же крылового профиля с угловой
§ 421
ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ
273
точкой на задней кромке и при той же по величине и направлении ско-
рости на бесконечности теоретически возможны три указанные на
рис. 86 типа обтекания. В случае а, так же как и в случае в, жид-
кость должна перетекать с одной стороны поверхности крыла на дру-
гую: с верхней на нижнюю в случае вис нижней на верхнюю в слу-
чае а- При этом на острой кромке должны образовываться либо
бесконечно большие скорости, что приводит к физически невозмож-
ным бесконечно большим отрицательным давлениям, либо происходить
срывы потока с поверхности профиля и
вихреобразования. Среди трех указанных
возможных форм обтекания только одна
форма „6“ приводит к плавному сте-
канию струй жидкости с задней острой
кромки крыла с конечной скоростью
в этой угловой точке В. Естественно,
встают вопросы: осуществляется ли такая
форма обтекания в действительности,
устойчива ли она и сохраняется ли при
достаточно широком диапазоне углов
атаки. На эти важные вопросы впервые
ответил С. А. Чаплыгин, выдвинувший
в конце 1909 г. в дискуссии по докладу
Н. Е. Жуковского новый постулат, полу-
чивший широкое применение под именем
постулата Жуковского — Чаплыгина.
Согласно этому, в настоящее время хо-
рошо проверенному на опыте постулату,
для каждого крылового профиля с остр
ствует более или менее широкий диапазон углов атаки, при
котором профиль обтекается без отрыва струй, с конечной скоро-
стью на задней кромке. Крыловые, так же как и винтовые, лопаточные
и другие профили, отвечающие постулату Чаплыгина, будем в даль-
нейшем называть хорошо обтекаемыми, остальные — „плохо обте-
каемыми". Само собой разумеется, что обтекаемость не есть чисто
геометрическое свойство профилей. В дальнейшем будет показано, что
на самом деле обтекаемость зависит не только от формы профиля, но
и от угла атаки, скорости потока, присутствия вблизи профиля дру-
гих тел и т. п. Профиль „хорошо обтекаемый" при одних условиях
может стать „плохо обтекаемым"—при других. В дальнейшем, говоря
об обтекании тел идеальной жидкостью, будем предполагать, что это
обтекание происходит с конечными скоростями во всех точках поверх-
ности тела.
Принятие постулата Жуковского—Чаплыгина позволяет однозначно
определить величину циркуляции Г, наложение которой приводит к без-
отрывной форме обтекания с конечной скоростью на задней острой
кромке.
18 Зак. 1841. Л г. Лойцянскиа.
274 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ |ГЛ. ;
Для определения этой циркуляции, вернемся к рассмотрению коц
формного отображения внешней по отношению к профилю С (рис. 87)
области физической плоскости г на внешнюю по отношению к кругу С
часть вспомогательной плоскости С. Пусть угловой точке В на про-
филе С соответствует некоторая точка В* на окружности круга С.
Эти точки являются особыми точками преобразования, так как в них
нарушается основное свойство конформного преобразования—сохра-
нение углов. Действительно, внешний угол с вершиной в точке В на
задней кромке, равный 2к— 5, где 8—острый угол задней кромки,
переходит в плоскости С в неравный ему угол к с вершиной в точке В*.
Легко составить аналитическое выражение функции, совершающей такое
отображение, в областях, близких к особым точкам В и В* в пло-
скостях г и С Покажем, что это будет функция
2п—8
z—zB = M(C — CB^~ (79)
где гв и Св* — комплексные координаты точек В и В*, М—некото-
рое действительное число.
Для этого проведем вокруг точек В и В* окружности произволь-
ных малых радиусов г и г* и обозначим через р и углы, образо-
ванные этими радиусами с осями х и L Тогда предыдущее равенство
перейдет в такое:
2п—8 . 2к — 8
-------------- ъ — я*
геч — Mr* к е « .
Приравнивая аргументы левой и правой частей, убедимся что,
действительно, изменению В* на к соответствует изменение {3 на
2к—8.
421 ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ 275
Имея преобразующую функцию (79), можем теперь установить
связь между скоростями в точках В и В*. По ранее выведенным
формулам получим:
или, вычисляя производную по (79),
п—Ь
vB*^ VS. g-Cb.), jT
Ч — Ч D
Согласно гипотезе Чаплыгина, скорость должна быть конечна,
последний же сомножитель, поскольку 8<тг, обращается в нуль;
следовательно, все произведение равно нулю. Отсюда вытекает важ-
ное заключение: если задняя острая кромка является точкой плав-
ного стекания струй с конечной скоростью, то соответствующая
задней кромке точка круга во вспомогательной плоскости должна
быть критической.
Из этого условия найдем циркуляцию Г, если, используя (77),
напишем, что скорость в точке В* равна нулю:
/«со К
Цз* 2iti
0.
Полагая здесь:
Св* = aeie°,
Ко = |
где е0 — полярный угол точки В*, а — радиус круга С*, бо,— угол,
образованный скоростью на бесконечности с осями Ох или 0*5, по-
лучим
М К» I | К» | <0=°~2Sj) + — = О,
откуда найдем
/(всо—е0) —i<eco—е0)
Г = — Ажато, ] Voo I------------2i----------’
или, переходя от показательных функций к тригонометрическим,
Г — 4ип/лсо | Им | sin (е0 — 0^). (80)
Легко сообразить, что при обтекании, показанном на рис. 87,
00 ео> так как направление скорости на бесконечности параллельно
линии, соединяющей критические точки А* и В*; в этом случае
1 <3 0, т. е. наложенная циркуляция должна соответствовать вихрю,
18*
276
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (гл. v
вращающему жидкость по часовой стрелке для наблюдателя, смотря,
щего на чертеж.
Введем обозначение
Ооо — = а
и перепишем формулу (80) в виде:
Г = — 4эта/иоо | Га, | sin а. (81)
Повернем по отношению к заданному потоку профиль так, чтобы
и без наложения циркуляции (Г = 0) задняя кромка оказалась точкой
плавного схода струй. Отметим на самом профиле в виде некоторой
прямой КК (рис. 88а) направление скорости на бесконечности, соот-
ветствующее этому бесциркуляционному безотрывному обтеканию.
Жестко связанную с профилем
прямую КК будем называть на-
правлением бесциркуляционного
обтекания, а соответствующее
значение угла 0^ — углом
бесциркуляционного обтекания
профиля.
Повернув профиль на угол а
(рис. 886), получим вновь безот-
рывное, но уже циркуляционное
обтекание с циркуляцией, опре-
деляемой равенством (81).
Острый угол а между напра-
влением скорости набегающего по-
тока и направлением бесциркуля-
ционного обтекания КК будем
в дальнейшем называть теоретическим углом атаки, в отличие от
других общепринятых практических углов атаки, определяемых как
углы между направлением скорости на бесконечности и „хордами*1
крыла, задаваемыми разнообразными способами.
Сравним между собою формулу (81) и формулу (61), которая
давала значение циркуляции, накладываемой на пластинку для того,
чтобы задняя ее кромка была точкой плавного схода струй. Формулы
эти станут тождественными, если заметить, что направление бесцир-
куляционного обтекания пластинки совпадает с направлением самой
пластинки, а теоретический угол атаки а равен углу бсо скорости
на бесконечности с осью Ох. В этом случае, производя отображение
пластинки длины 2с на круг радиуса а, убедимся, что произведе-
1
ние аШо, равно -% с.
Прежде чем перейти к иллюстрации метода конформных отобра-
жений, выведем общие выражения главного вектора и момента сил
давления, приложенных к обтекаемому контуру со стороны потока.
§ 43]
ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА
277
S 43. Теорема Жуковского о подъемной силе крыла. Зависимость
подъемной силы от угла атаки. Коэффициент подъемной силы
Создание общей теории воздействия плоского потока идеальной
жидкости на помещенный в него крыловой профиль является заслу-
гой великого русского ученого Н. Е. Жуковского, опубликовавшего
свою известную теорему о подъемной силе крыла в 1906 г. в клас-
сическом мемуаре „О присоединенных вихрях 1 Н. Е. Жуковский
первый установил вихревую природу сил, действующих со стороны
потока на крыло, и указал на наличие простой пропорциональности
между этой силой и интенсивностью вихря, „присоединенного“ к обте-
каемому телу.
В предыдущем параграфе уже указывалось, что решение задачи
об обтекании любого профиля содержит некоторый произвол: один и
гот же профиль, при заданной по величине и направлению скорости
набегающего на него потока, может обтекаться бесчисленным множе-
ством образов. Все зависит от величины циркуляции скорости, вычи-
сленной по замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый профиль.
Величина этой циркуляции, так же как и природа возникновения
в идеальной жидкости вихрей, сумма интенсивностей которых должна
быть равна этой циркуляции, представляла долгое время неразреши-
мую задачу.
Физическая причина возникновения циркуляции связана с наличием
трения (вязкости) в жидкости. Как уже неоднократно упоминалось
ранее, в реальной жидкости, обладающей внутренним трением, ча-
стицы, проходящие в непосредственной близости к поверхности про-
филя, образуют тонкий пограничный слой. В этой области резко про-
является неидеальность жидкости, движение жидкости будет вихревым,
причем интенсивность вихрей может достигать больших значений, так
как скорость частиц в пограничном слое резко меняется от нуля на
поверхности обтекаемого тела до величины порядка скорости на беско-
нечности на внешней границе слоя. Так, например, на крыле самолета
максимальная толщина пограничного слоя не превосходит нескольких
сантиметров, в то время как разность скоростей на поверхности крыла
и на внешней границе пограничного слоя досгигает величины 100—200 л
в секунду.
При таких значительных неоднородностях скоростного поля суммар-
ная интенсивность вихрей по всему крылу, а следовательно, и цир-
куляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему крыло,
может достигать больших значений.
Теория идеальной жидкости, не учитывающая наличия трения, есте-
ственно, не могла объяснить возникновения вихрей в набегающем на
тело безвихревом потоке. Для того чтобы, оставаясь в рамках теории
идеального безвихревого потока, определить величину воздействия
1 См. Избр. соч., т. II, стр. 97.
278
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл. V
потока на помещенное в него тело, заменим, следуя Жуковскому, кон.
тур тела замкнутой линией тока и предположим, что внутри
нее происходит движение жидкости с ,, особенностью “ — вихрем,
имеющим ту же интенсивность, что и сумма интенсивностей вихрей,
которые образовались бы на самом деле в тонком слое на поверх-
ности тела при обтекании его реальной жидкостью. Такой вихрь
Н. Е. Жуковский назвал присоединенным к рассматриваемому твер.
дому телу. Интенсивность „присоединенного вихря", или, что то же,
циркуляция скорости по контуру, окружающему крыловой профиль,
могла бы быть принципиально вычислена только при помощи расчета
движения реальной жидкости в пограничном слое или при помощи
некоторого дополнительного допущения об общем характере обтекания
тела. По последнему пути пошел, как было указано в предыдущем
параграфе, С. А. Чаплыгин, предложивший свой замечательный посту-
лат конечности скорости на задней острой кромке крыла, позво-
ливший определить величину „ наложенной “ циркуляции, или, что то
же, интенсивность „присоединенного вихря".
Эти две глубокие идеи великих русских аэродинамиков Н. Е. Жу-
ковского и С. А. Чаплыгина: присоединенный вихрь а постулат
конечности скорости
на задней кромке кры-
ла — легли в основу
всей современной тео-
рии крыла.
Начнем с доказа-
тельства теоремы Жу-
ковского о подъемной
силе крыла в пло-
скопараллельном no-i
токе. Предлагаемое ни-1
же векторное доказа-|
тельство теоремы Жу-
ковского только по
форме отличается от
классического доказа-
Рис. 89. тельства этой теоремы,
данной ее автором.1
Применим теорему количеств движения в форме Эйлера [§ 23,
формула (38)] к объему жидкости, заключенному между поверхностью
обтекаемого контура С (рис. 89) и проведенной в удалении от кон-
тура С окружностью круга Сг с центром в точке О и радиусом г. Пре-
небрегая объемными силами, будем иметь, заменяя в формуле (38) § 23,
1 См. предыдущую сноску, а также статью Н. Е. Жуковского „О кон-
турах поддерживающих поверхностей аэропланов". Избр. соч., т. **>
стр. 117.
§ 43] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 279
в силу плоского характера течения, da на ds • 1:
— J* рп' ds — J* pnds — f pV Vn ds = 0.
G Cr Cr
В этом равенстве опущен, как равный нулю, перенос количества
движения сквозь твердую поверхность профиля С. Первый интеграл
представляет главный вектор сил давления со стороны обтекаемого
тела на жидкость. Та же величина с обратным знаком определит иско-
мый главный вектор сил давления жидкости на тело
R = J" рп' ds,
о
где и' — нормаль, внешняя по отношению к рассматриваемому объему
жидкости. Таким образом, по предыдущей формуле получим выраже-
ние искомой силы R через главный вектор давлений и перенос коли-
чества движения, относящийся к контуру удаленного от профиля
круга Ср.
R = — f pnds — f PVIZ„ ds. (82)
Gr °r
По теореме Бернулли
, PV2
P — const ---i-y,
причем, как мы уже знаем, постоянная, стоящая справа, имеет в слу-
чае безвихревого движения одинаковое значение во всей области тече-
ния, а следовательно, и на круге Сг, так что
R = А | V2n ds _ | pV Vn ds. (82')
Разложим вектор скорости V на два слагаемых, положив
V = Vra-|-V',
где Vo, — скорость в бесконечном удалении от профиля, а V' — ско-
рость возмущения, вносимого профилем в однородный плоскопарал-
лельный поток. Относительно этой убывающей до нуля с удалением
от обтекаемого тела скорости возмущений будем предполагать, что
ее модуль V’ убывает с ростом расстояния г от начала координат,
вблизи которого помещен профиль, как —. Это предположение соот-
ветствует наличию „присоединенного" к телу вихря и конечности
Циркуляции скорости по любому замкнутому контуру, например,
окружности Сг длины 2тгг; подробнее о порядке скорости возмуще-
ния будет сказано далее.
280 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [1Л. V
Подставляя указанное разложение скорости в равенство (82'),
получим:
R = lpC fnds+p pVco-VOnds+lpj’ V"W —
'Cr br
—pVoo Vnds—p V Vcojjds—p V Vnds.
Cr cr cr
По предыдущему [гл. I, формула (68)], первый интеграл равен
нулю; пропадает также четвертый интеграл, так как при отсутствии
источников—стоков и несжимаемости жидкости полный расход жид-
кости сквозь контур Сг равен нулю:
J Vnds = 0.
Сг
Рассмотрим совокупность второго и пятого интегралов:
/ [(VTO • V') n — V' Vmn] ds = f [(Vo, • V') n — (Vco • n) V'J ds,
r
которую по известной формуле разложения тройного векторного
произведения можно представить как
f v^x^xv7)^,
с
t
или, заменяя V' на V'-]-Voo = V, что можно сделать, так как при
этом добавится интеграл
f VraX(nXVra)<fc = VTOX(f nrfsXVcA
Cr ‘
тождественно равный нулю, получим
VOT X (n X V)<fc = Vco X j* n X V ds.
Cr
Таким образом, будем иметь следующее выражение для главного
вектора сил давления потока на профиль С:
R = pVooX fnXVrfs+ypf V'2n<fe — р (83)
Ьг dr 6r
Вектор
§ ^2j ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 281
плавлен по перпендикуляру к плоскости движения, а его проекция Гг
этот перпендикуляр, которую мы обозначим просто через Г и
будем считать знак входящим в определение величины Г, окажется
равной (рис. 89)
Г = J V sin (n, V) ds = J Vcos (n, t) ds — J" VK ds,
Cr Cr Cr
t. e. циркуляции скорости по контуру Сг или по любому другому
контуру, охватывающему обтекаемый профиль. Таким образом, пер-
вое слагаемое в выражении главного вектора сил R не зависит от
положения контура Сг, остальные два имеют порядок — , так как
подинтегральные функции представляют величины порядка , а длина
контура интегрирования равна 2w. Отсюда при переходе к пределу,
когда окружность Сг удаляется на бесконечность (г -> оо), следует
искомая формула
R = pVOTXr, (84)
где вектор Г определяется как криволинейный интеграл
Г=[иХ¥&, (85)
с0
взятый по любому контуру Со, охватывающему обтекаемый профиль С,
в частности по самому профилю С. Величина этого вектора равна
циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему
профиль.
Из равенства (84) находим величину главного вектора сил давле-
ния потока на тело'.
« = рИет|Г|. (86)
Главный вектор, как показывает формула (84), лежит в плоскости
течения и направлен перпендикулярно к скорости на бесконечности
в с 1 орону, определяемую векторным произведением (84). Обычно
бывает очень трудно заранее определить, в какую сторону направлен
вектор Г: внутрь или наружу относительно плоскости чертежа. Если
известно направление обхода контура, при котором Г > 0, это
направление условно называют направлением положительной цир-
куляции, или, короче, „направлением циркуляции11—тогда по общим
правилам принятого у нас в курсе „правого винта11 легко найти и
сторону, в которую направлен вектор Г. Так, если направление цир-
куляции совпадает с вращением по часовой стрелке, а поток набегает
слева, вектор Г направлен вглубь чертежа, а сила R — вверх; это
Же можно получить, если вектор скорости Vco повернуть на 90°
в сторону, противоположную циркуляции.
282 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [ГЛ. у
Таким образом, приходим к классической формулировке теоремы
Жуковского, данной самим автором: сила давления невихревого
потока, текущего со скоростью и обтекающего контур с цир-
куляцией Г, выражается формулой'.
R = pV^',
направление этой силы мы получим, если вектор V<» повернем на
прямой угол в сторону, противоположную циркуляции.1
Первый вывод, который следует сделать из теоремы Жуковского,
заключается в отсутствии составляющей силы, направленной вдоль
движения жидкости, или, что все равно, направления движения тела
по отношению к жидкости, т. е. отсутствии силы сопротивления. Этот
важный факт составляет содержание парадокса Даламбера, о котором
была речь в историческом очерке, помещенном во вводной части
курса. Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для
любого плоского безвихревого движения идеальной жидкости как при
наличии „присоединенных вихрей", так и при отсутствии их. Един-
ственной силой, действующей на обтекаемый профиль, оказывается
поперечная движению тела сила, которая может быть названа подъем-
ной или поддерживающей силой, так как именно эта сила обеспечи-
вает подъем аэроплана в воздух, поддерживает его крыло при
горизонтальном полете.
Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуков-
ского— Чаплыгина, можно по формулам (86), (80) или (81) получить
выражение величины подъемной силы в виде
R = ^тсатсор | Voo |2 sin (е0 — 0^) == 4т:ата^ | Voo |а sin а, (87)
впервые указанном Чаплыгиным.
Входящее в эту формулу произведение a/«co зависит от формы
обтекаемого контура, так, например, по предыдущему (см. конец § 42)
для пластинки атш = ^ с, и подъемная сила оказывается равной
R — 2этрс | К» [аsin а. (87')
В общем случае подъемная сила, согласно (87), оказывается про-
порциональной плотности жидкости, квадрату скорости набегающего
потока и синусу угла атаки.
Введем коэффициент подъемной силы как отношение подъемной
силы R к скоростному напору набегающего потока и длине
хорды. Обычно ось 0$ направляют по скорости Vco, тогда подъемная
сила будет направлена по оси Оу и может быть обозначена через /
или Ry. Вот почему коэффициент подъемной силы в нашей литера-
1 См. ранее цитированные работы Н. Е. Жуковского,
§ 43] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА 283
туре принято обозначать через Су, а коэффициент сопротивления.—
через Сд..
При этом обозначении будем иметь (Ь — хорда):
Са = ----—----= 8тс —sin а, (88)
yPlKol’fc
или в частном случае пластинки (Ь = 2с):
Су = 2it sin а.
(88')
Как показывают многочисленные опыты, при сравнительно малых
углах атаки, при которых только и выполняется условие плавного
схода струй с задней кромки, формула (88'), переписанная в виде
(sin а == а)
Су = 6,28а,
довольно хорошо отражает действительную закономерность: коэффи-
циент подъемной силы прямо пропорционален углу атаки, отсчитан-
ному от бесциркуляционного направления, но коэффициент пропор-
циональности 2it = 6,28 оказы-
вается несколько завышенным.
На рис. 90 представлены для
сравнения теоретическая пря-
мая и экспериментальная кри-
вая Су (а) для симметричного
профиля с отношением макси-
мальной толщины к хорде,
равным 9°/0. Как видно из ри-
сунка, в интервале углов ата-
ки — 13° < а < 13° (область
отрицательных углов на рисунке
не представлена, но она в силу
симметричности профиля ничем
не отл