ТРУДЫ СЕМИНАРА
ПО ТЕОРИИ ГРУПП
К ДВАДЦАТИПЯТИЛЕТИЮ
НАУЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА
Академика
ОТТО ЮЛЬЕВИЧА ШМИДТА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТП СССР
РЕДАКЦИЯ ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1938 ЛЕНИНГРАД

Т 22-5-4
ТКК № 7
К ЧИТАТЕЛЮ
Издательство просит присылать Ваши замечания
и отзывы об этой книге по адресу: Москва,
Третьяковский проезд, д. 1. Редакция технико-
теоретической литературы ГОНТИ.
Редакция Д. А, Райкова. Оформление Е. Г. Шпак. Корректура 3. Л. Соколиной
Сдано в производство 11/1 1938 г. Подписано в печать 3/VI 1938 г.
Формат 62X94Vi6. Тираж 2500. Печ. л. 87/я Уч.-авт. л. 10. Тип. зн. в 1 бум
i. 107712. Уч. № 4793. Изд. № 84. Отпечатано на бумаге Камской ф-ки
Уполном. Главлита № Б-28033. Бум. л. 41/г+1 вкл. Заказ № 21
2-я типография ГОНТИ им. Енгешгк Оооооловой. Ленинград, пр. Красных Комаагдщров, 2$

О. Ю. ШМИДТ
в студенческие годы

Список опечаток
Стран. Строка Напечатано Следует читать По чьей вине
7 7 сн. ® Ф тип.
7 5 сн. £), ^3,
21 14 св. Р Pw
40 3 св. Хр* X?*
68 7 с и. ? — у

ОТ АВТОРСКОГО КОЛЛЕКТИВА
Работники семинара по теории групп пользуются настоящим случаем
для того, чтобы выразить чувства горячей любви и уважения своему
учителю Герою Советского Союза академику Отто Юльевичу Шмидту.
В энергичной и многосторонней деятельности Отто Юльевича мы видим
для себя образец самоотверженного служения науке и интересам нашей
великой родины.
Осенью 1937 г. исполнилось двадцатипятилетие научной деятельности
академика О. Ю. Шмидта.
Имя Отто Юльевича Шмидта воспринимается обычно вне связи
С математикой. Уже с первых лет революции трудящиеся нашей страны
анали О. Ю. Шмидта как крупного общественного деятеля,
выполнявшего по поручению партии большую работу на многочисленных
Ьтветственных постах. Небывалые в истории человечества победы
советских полярников, изумительные арктические экспедиции О. Ю. Шмидта —
ij,Седов", „Сибиряков", „Челюскин", экспедиция на полюс — сделали
имя Шмидта-полярника, Шмидта-Героя Советского Союза одним из
Популярных в нашей стране и принесли ему мировую известность.
Математики и работники соседних областей науки, советские и
иностранные, широко знают, однако, О. Ю. Шмидта и с другой стороны —
как крупного математика-алгебраиста, научного организатора, как
человека, до нынешнего дня сохранившего свои многочисленные и
разнообразные связи с математикой.
В дореволюционной России имелся ряд крупных ученых, работавших
в области алгебры и примыкающих к алгебре разделов математики
(Золотарев, Молин, Шатуновский и др.). Однако лишь одному из них —
академику Д. А. Граве — удалось создать многочисленную школу
алгебраистов, из которой вышел и О. Ю. Шмидт. О. Ю. Шмидту принадлежат
.^ледующие алгебраические исследования:
г 1. Ober die Zerlegung endlicher Gruppen in direkte unzerlegbare Fak-
toren. Отчет и протоколы физико-математического общества при
Киевском университете за 1912 г., стр. 1—6.
2. Об уравнениях, решаемых в радикалах, степень которых есть
степень простого числа. Киевские университетские известия, № 9 за
J913 г., стр. 1—60.
3. Sur les produits directs. Bulletin de la SocieteMathematique de France,
T. 41 (1913), стр. 161 — 164.
4. Группы, все подгруппы которых специальные. Математический
*борник, т. XXXI (1924), стр. 366—372.

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
От авторского коллектива 3
От издательства 3
О. Ю. Шмидт. Группы с двумя классами неинвариантных подгрупп . . 7
А. П. Дицман. Некоторые критерии непростоты групп 27
А. П. Дицман. О центре /ьгрупп 30
П. Е. Дюбюк. О фундаментальной теореме Фробениуса 35
А. А. Кулаков. Исследования nof теории р-групп, теории характеров и
теории представлений абстрактных групп подстановками .... 39
A. Г. Курош. О некоторых вопросах теории бесконечных групп ... 50
Л. Я. Окунев. О признаках, определяющих кольцо как
гиперкомплексную систему 80
B. К. Туркин. Исследования по теории конечных групп 97
C. А. Чунихин. О существовании подгрупп у конечной группы .... 106
Приложение /. О. Ю. Шмидт. Группы, все подгруппы которых
специальные 126
Приложение //. О. Ю. Шмидт. О бесконечных группах с конечной
цепью 133

ГРУППЫ С ДВУМЯ КЛАССАМИ НЕИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП.
О. Ю. ШМИДТ.
Как известно, всякая группа, все подгруппы которой инвариантны,
является абелевой или гамильтоновой группой. Автором настоящей
работы были исследованы группы, имеющие только один класс неинва-
фиантных подгрупп х). В настоящей работе определены все типы групп
с двумя классами неинвариантных подгрупп.
. Автор пользуется случаем выразить благодарность своему дорогому
ученику Владимиру Константиновичу Туркину за помощь при
подготовке настоящей статьи к печати.
§ Г. Лемма. Пусть © есть группа порядка g и ф — ее подгруппа
Шилова порядка р* (р — простое число). Пусть индекс нормализатора 91
подгруппы ф относительно группы © равен и Если ф входит в
инвариантную подгруппу ф, то индекс пересечения ф и $1
относительно ф также равен L
Доказательство. Подгруппы Силова порядка ра все сопряжены
ыежду собой; из этого следует, что число их равно /. Действительно,
если разложить группу © по модулю *№:
.то два элемента, принадлежащие к одной и той же смежной системе *RGk,
преобразуют подгруппу ф в одну и ту же сопряженную подгруппу,
я два элемента, принадлежащие к различным смежным системам,
переводят ф в различные сопряженные подгруппы. Таким образом число
родгрупп, сопряженных с ф, равно /. Если ф входит в инвариантную
Ьодгруппу ф, то и все подгруппы, сопряженные с ф, содержатся в ф.
мри этом все они сопряжены с ф внутри ф, так как ф является для
группы ф подгруппой Силова. Разлагая ф по модулю ©, где 2) есть
пересечение групп ф и % мы убедимся в том, что число подгрупп,
сопряженных с 25, равно индексу 25 относительно ф, что и доказывает
йашу лемму.
Следствие. Если ф не инвариантна в @, то и всякая
подгруппа ф, содержащая 91 (в частности, сама 9J), не может быть
инвариантной в ©.
1) О. Ю. Шмидт, Группы, имеющие только один класс неинвариантных
Подгрупп. Математический сборник, т. ХХХШ (1926), стр. 161—172.

8
О. Ю. ШМИДТ
Действительно, если ф инвариантна в О, то мы можем применить
доказанную лемму, причем теперь ® = 9?. Из равенства индексов 9J
относительно © и 55 относительно ф заключаем, что ф должна
совпадать с ©.
§ 2. Найдем неспециальные 2) искомые группы. Пусть © —
неспециальная группа. Тогда не все ее подгруппы Силова инвариантны.
Пусть ф порядка р* есть неинвариантная подгруппа Силова. Кроме
подгрупп, сопряженных с ф, в © должен иметься еще один класс
неинвариантных подгрупп. Пусть 2R есть одна из подгрупп, входящих в этот
другой класс. Возможны три случая: 1) 2К содержит одну из групп,
сопряженных с ф; 2) 2К содержится в одной из групп, сопряженных
с ф; 3) не имеет места ни то, ни другое. Согласно следствию из леммы
§ 1, в случаях 2) и 3) нормализатор $1 группы ф совпадает с этой
группой, так как в противном случае он входил бы в третий класс
неинвариантных подгрупп.
Докажем, что порядок группы © не может делиться более чем
на три различных простых числа. В самом деле, предположим, что этот
порядок делится более чем на два различных простых числа. Тогда
по крайней мере одна подгруппа Силова группы © должна быть
инвариантной; пусть это будет подгруппа G порядка q$ (q— простое число).
Очевидно, фО. есть группа порядка p*q$. Если ф£Э, является
инвариантной подгруппой группы @, то по лемме § 1 p*q? делится на /, т. е.
i = qp. Но тогда нормализатор 31 группы ф должен содержать одну
из подгрупп Силова, порядка, отличного от ра и q$y группы ©. Пусть
это будет группа 9? порядка П (г — простое число). Каждый элемент 9?
перестановочен с ф, следовательно, ф9? есть группа. Эта группа по лемме
§ 1 не может быть инвариантной, так как ее порядок не делится на
i = qp. Следовательно, ф9Ч входит во второй класс неинвариантных
подгрупп. Так как 3i входит в тот же класс (согласно следствию из леммы
§ 1, 31 не может быть инвариантной подгруппой), то мы можем
положить ф9? = 3£. Мы получили, что порядок 91 равен р*П и порядок ©
равен p«q$n.
Разберем случай, когда порядок группы © имеет вид p*q$n. В этом
случае подгруппы D и 9? инвариантны, £Ш есть прямое произведение
своих подгрупп Силова и, следовательно, всякий элемент группы D
перестановочен со всяким элементом группы 91. В группе ф9^ подгруппы
Силова также инвариантны, следовательно, всякий элемент подгруппы ф
перестановочен со всяким элементохм подгруппы 91. Следовательно
(подгруппа фС1 инвариантна в ©), © является прямым произведением
подгрупп ф& и 91. Подгруппа dt должна быть порядка г, так как в
противном случае она содержала бы собственную подгруппу dt{) ф9^ должно
было бы быть инвариантной подгруппой группы ©, а следовательно, и
ф9?19? = ф9^ было бы, вопреки вышедоказанному, инвариантной
подгруппой группы ©. Что касается подгруппы ф&, то это — группа
с одним классом неинвариантных подгрупп. На основании результатов
2) Группа называется специальной, если она является прямым
произведением своих подгрупп Силова.

ГРУППЫ С ДВУМЯ КЛАССАМИ НЕИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП 9
работы !) мы можем теперь записать определяющие равенства группы ©
в следующем виде:
1ррл=19 QQ = \, R' = l,
I { PQP-1 = Q\ Ip=1 (mod?), /ф1 (mod?),
\rq = qr, RP = PR.
Порядок группы равен paqr.
§ 3. Предположим теперь, что порядок группы © (попрежнемзг
неспециальной) делится только на два различных простых числа, т. е.
имеет вид p«q$.
Разберем сначала случай, когда нормализатор 3£ группы ф отличен
от ф. По следствию из леммы § 1 этот нормализатор не может быть,
инвариантным в ©. Пусть порядок 31 равен paqb. Подгруппа Силова Сц
порядка qb этого нормализатора и все подгруппы этой подгруппы
инвариантны в © (поскольку в один класс неинвариантных подгрупп
входит ф, а в другой $1). Пусть D2 есть какая-нибудь подгруппа группы D
(подгруппы Силова порядка q$ группы ©), не содержащаяся целиком
внутри Сц. Очевидно, 9Ш2 должно быть инвариантно в © (9?&2 есть
группа, поскольку &2 инвариантна в ©); это не противоречит следствию
из леммы § 1 лишь в случае 9Ш.2 = ©, т, е. СцС1.2 = d. Следовательно^
СЦ есть максимальная подгруппа группы D, т. е. 8 = р—1.
Подгруппа Сц не может иметь собственных подгрупп. Действительно,,
пусть D3 является такой подгруппой (очевидно, инвариантной в ©,
как и все подгруппы группы Dj). Тогда ф&3 есть инвариантная
подгруппа группы ©, а так как Dj тоже инвариантна, то мы получаем,,
что нормализатор
5к=фа1=фаА
является инвариантной подгруппой группы ©, чего, как уже было
сказано, быть не может. Мы получили, следовательно, что (3 —1 = 1,.
т. е. р = 2.
Пусть Q есть элемент порядка q группы ©, не входящий в 31.
Группа ф {Q} является, очевидно, группой с одним классом
неинвариантных подгрупп. На основании результатов работы !) мы получаем, что ф
является циклической группой:
ф={Я}, РР* = \.
Подгруппа Dj перестановочна с {Я}. Следовательно, она перестановочна
и с элементом Я, так как в противном случае должно было бы
выполняться условие
/? = 1 (mod q),
в то время как по второй теореме Силова мы имеем
q=l (modp).
Следовательно, группа © является прямым произведением:
© = {/>,Q}01,

10 О. Ю. ШМИДТ
;где {Р, Q} означает группу, порожденную элементами Р и Q.
Определяющие равенства группы @ запишутся следующим образом:
[ /*e=l, Q«=l, Q«=l,
-И J PQP~1 = Ql, f=l (modq),
\ PQl = QlP9 QQl = QlQ>
Порядок группы равен p«q2.
§ 4. Мы предположили при выводе типа II группы ©, что в ©
^имеется элемент Q порядка q, не входящий в 9?. Предположим теперь,
что такого элемента не существует. Тогда в © должен иметься
элемент Q порядка q2, не входящий в % причем Q« входит в У1.
Все подгруппы группы ф должны быть инвариантными в группе ©.
Отсюда вытекает, что группа ф— циклическая, так как в противном
случае ее можно было бы записать в виде произведения двух ее
подгрупп и, следовательно, она была бы инвариантной в ©.
Итак, ф = {Я}, причем \РР) есть инвариантная подгруппа группы ©.
'Следовательно, {Рр} D есть специальная группа, т. е. Рр
перестановочно с Q.
Очевидно (поскольку {Q} является инвариантной подгруппой группы ©),
PQP'1 = Q\ f=\ (mod q2),
откуда
PQ<iP-i = ф.
<] другой стороны, Q2 должно быть перестановочно с {Я}:
PQ<l=QQPx+l
»или
PQQP-1 = QQPx.
Очевидно, х = 0 и
lq ==q (mod q2).
Мы получаем, что
l=l+sq,
lP=zl-\-psq (mod q2).
"Но, как мы видели выше/
IP = 1 (mod q2).
Следовательно, 5 = 0 и 1=1, т. e. Q перестановочное Я, чего быть
не может, так как тогда группа © была бы специальной. Мы получили,
что групп © рассматриваемого типа не существует (если предположить,
что 31 ф ф).
§ 5. Переходим к случаю 91 = ф (подгруппа ф совпадает со своим
-нормализатором). В этом случае, согласно лемме § 1, всякая подгруппа,
содержащая ф, не является инвариантной в ©/Следовательно, все такие
подгруппы (если они существуют) входят в один класс.

ГРУППЫ С ДВУМЯ КЛАССАМИ НЕИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП 11
Предположим сначала, что подгруппа, содержащая ф, существует.
В этом случае, как уже сказано, она входит во второй класс
неинвариантных подгрупп. Следовательно, подгруппа Силова Q, (порядка,
равного степени простого числа д) группы © и все подгруппы этой
подгруппы Силова инвариантны в ®. Из этого следует, что D не может
иметь более одной собственной подгруппы, так как, если СЦ есть
такая подгруппа, то фСц— неинвариантная подгруппа группы ©.
Следовательно,
Что касается подгруппы Силова ф, то по тем же основаниям, что
и выше,
ф=>я}, рр« = 1.
Мы получаем, таким образом, следующие определяющие равенства
группы ©:
\ PQp-i = Q\ 1Р=\ (mod?2).
Выясним еще некоторые свойства чисел, входящих в эти формулы.
В рассматриваемом случае Q« не перестановочно с ф (поскольку 31 == ф).
Следовательно, в группе ф {Q«} будет q подгрупп Силова порядка ра,
откуда
<7= 1 (mod/?).
Далее,
PQ<ip-i = Q4y
причем, поскольку QQ не перестановочно с ф,
iq^pq (mod?2).
Следовательно,
/ = р р (mod?2),
где р — первообразный корень по модулю q2 и а не делится на р.
От числа а можно избавиться, если ввести вместо Р элемент Рх = Рху
где х удовлетворяет сравнению
ялг=1 (mod р).
Тогда
g(g-i)
pxQp-x = Qi*9 /» = р р (mod?2).
§ 6. Пусть теперь ф = 3^, причем не существует подгруппы,
содержащей ф. Тогда Q не должна иметь подгрупп, инвариантных в ©,
ргак как если бы имелась такая подгруппа Dp то ^Dt было бы
собственной подгруппой группы ©, содержащей ф.

12
О. Ю. ШМИДТ
Предположим сначала, что D неинвариантна в ©, т. е. входит
во второй класс неинвариантных подгрупп. Тогда D не имеет
собственных подгрупп, т. е.
a = {Q}, q<t = i.
Подгруппа ф попрежнему должна быть циклической группой:
$={Я}, ЯРв=1.
Подгруппа {Рр} инвариантна в ©, следовательно, Q перестановочно
с {Я**}. Значит, Q или перестановочно с Я, или производит внешний
автоморфизм группы {Рр}. Если бы Q производило внешний
автоморфизм группы {Я^}, то число q было бы делителем числа р*-1 (р — 1),
что невозможно, так как по второй теореме Силова q == 1 (mod р).
Следовательно, Q должно быть перестановочно с Pp. Но тогда {Рр} {Q}
есть инвариантная подгруппа группы ©. Отсюда следует, что
P~iQP = ppuQv,
и
p-iQQP = ppmQvq.
Но, с другой стороны,
p-lQqp = QQ,
Следовательно, и=0, т. е. D.= {Q} есть, вопреки предположению,
инвариантная подгруппа группы ©.
§ 7. Осталось разобрать случай, когда 5ft = ф и Q есть
инвариантная подгруппа группы ©, не имеющая подгрупп, инвариантных *в ©•.
Тогда D, очевидно, не имеет характеристических подгрупп^ т. е. является
элементарной группой. Разберем отдельно случаи р > 1 и р = 1 (#Р есть,
как и прежде, порядок группы &).
Пусть Р>1. Тогда подгруппы порядка q группы © неинвариантны
и, следовательно, все сопряжены между собой, образуя второй класс
неинвариантных подгрупп, ф попрежнему должна быть циклической
группой:
ф={Я}, Рр*=1.
Если а > 1, то {Рр} есть собственная инвариантная подгруппа группы ©.
{Рр} {Q}, где Q есть любой (отличный от 1) элемент группы D, также
инвариантна в ©. Элемент Я должен преобразовывать {Q} в некоторую
другую подгруппу группы D и в то же время оставлять внутри {Рр} {Q},
что невозможно. Следовательно, <х=1.
Все собственные подгруппы группы D неинвариантны в ©,
следовательно, все они входят в один класс сопряженных подгрупп. Но
в таком случае все они должны быть одного порядка, равного qy и
порядок О равен q2} т. е. р = 2.
Все подгруппы порядка q группы Q образуют, как уже сказано,
один класс и переходят друг в друга при преобразовании элементом Я.
Следовательно, число этих подгрупп равно р. В элементарной группе
порядка q2 число подгрупп порядка q равно
q — 1 v '

ГРУППЫ С ДВУМЯ . КЛАССАМИ НЕИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП 13
Следовательно,
p — q+1,
т. е.
р = 3, д = 2.
Мы получили, что группа © является группой тетраэдра:
| p3=i, q\ = \, q; = i,
IV j P-1QlP=Q2, P^Qf^QiQ»
[ Q1Qfk = Q2Qv
§ 8. Пусть теперь (3=1. Тогда порядок ® равен paq. Подгруппа
Силова Ct={Q} порядка q попрежнему инвариантна в ©. По крайней
мере одна из подгрупп, входящих во второй класс неинвариантных
подгрупп, должна заключаться в ф; обозначим эту подгруппу через фх.
Группа ф^, очевидно, инвариантна в ©. Следовательно, пересечение ф
и ф^, т. е. фх, должно быть инвариантно в ф. Группа ф не имеет
подгрупп, неинвариантных в ©, кроме фх и сопряженных с фх. Если фх—
нециклическая группа, то все циклические подгруппы ф инвариантны
в ©, а следовательно, и ф инвариантна в ©. Поэтому мы должны
считать фх циклической группой:
$, = {Л}-
Докажем, что фх является максимальной подгруппой группы ф.
Если бы ф имела собственную подгруппу ф2, содержащую ф1э то ф2
была бы инвариантна в ©. Следовательно, ф2 содержала бы и все
подгруппы, сопряженные с ф15 чего не может быть, так как эти подгруппы
содержатся в фх&. Мы получаем, таким образом, что порядок фх
равен р"-1, т. е. ф имеет циклическую подгруппу порядка р*-1.
Предположим, что ф — нециклическая группа. Пусть Р есть
элемент ф, не входящий в фг Группа {Р}, как не входящая в фхСц не
может быть сопряжена с фх, а потому является инвариантной в ©.
Группа {Р} D является прямым произведением своих подгрупп Силова,
следовательно, Р перестановочно с Q. Значит, Q преобразует РРг в РРХ'9
где Рхг входит в фхС1, но не в фх. Следовательно, {РРг} неинвариантна
в®, откуда следует, что {РРг} сопряжена с фх ({РР{} не может быть
сопряжена с ф, если ф — нециклическая группа). Но этого не может
быть, так как выше доказано, что все подгруппы, сопряженные с фр
входят в фхС1, т. е. не входят в ф. Итак, мы получили, что ф —
циклическая группа:
ф ={/>}, ЯРа = 1.
При этом [Рр] неинвариантна в ©, а {Р^} инвариантна. "Мы получаем
для группы © следующие определяющие равенства:
v {/^ = 1, Q«=l,
I P-1QP = Qby ftp" = i (mod q), Ы> ф 1 (mod q).

14
О. Ю. ШМИДТ
Эти равенства возможны, если р2 есть делитель числа q—1, т. е»
q = kp*+l;
например,
/7 = 2, <7 = 4£+1 (q = 5, 13, ...),
р = 3, ? = 9£+1 (?=19, 37, ...).
§ 9. Нами получены все возможные типы неспециальных групп
с двумя классами неинвариантных подгрупп. Переходим теперь к
случаю, когда © является специальной группой.
Пусть группа & специальна, т. е. является прямым произведением
своих подгрупп Силова:
(индексы внизу указывают порядок соответствующей подгруппы Си-
лова). Хотя бы в одной из этих подгрупп Силова должна иметься
подгруппа, неинвариантная в ©; пусть это будет подгруппа фр
содержащаяся в ф. Тогда SpjD тоже является неинвариантной подгруппой,
и притом входящей в другой класс. Следовательно, группа © не может
иметь более двух подгрупп Силова, т. е. ее порядок не может делиться
больше чем на два различных простых числа.
Пусть порядок © равен р^Р. Тогда подгруппа Силова ф порядка р*
содержит неинвариантную в © подгруппу фх, а подгруппа Силова &
порядка q$ не имеет подгрупп, неинвариантных в ©. Пусть Q есть
некоторый (отличный от единицы) элемент группы D. Тогда фх {Q}
не может быть инвариантна в ©, так как подгруппы, сопряженные с ф1э
заключены в ф, а пересечение ф и ф1 {Q} равно фг Следовательно,
фх {Q} должно иметь тот же порядок, что и ф^, что возможно только
в случае, если D = {Q}. Так как это равенство должно выполняться
для любого Q, то D должно иметь порядок q, т. е. р=1.
Что касается подгруппы Силова ф, то это — группа с одним
классом неинвариантных подгрупп. Действительно, если бы число классов
неинвариантных подгрупп в ф не было равно 1, то в ф имелись бы
подгруппы, сопряженные между собою посредством элемента Q. Но
это невозможно, так как из равенства
({Q} инвариантна в ©) следует, что
Элемент PQ*-1 содержится в ф только в случае <х=1, но тогда Р
и Q перестановочны.
Используя результаты работы *), мы можем записать определяющие
равенства группы ф в следующем виде:
p1p=p/>5

ГРУППЫ С ДВУМЯ КЛАССАМИ НЕИВВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП 15
Следовательно, определяющие равенства группы © будут такие:
w j P"=h РГ=1, Qq = h
I РхР=РР\+рП~\ PQ = QP, PXQ = QPV
Порядок © равен /?л+1#.
§ 10. Осталось рассмотреть случай, когда © является р-группойг
® = ф~. Ясно, что не все циклические подгруппы инвариантны, так
как в противном случае все подгруппы были бы инвариантны. Пусть.
{Я}, порядка рт, есть неинвариантная циклическая подгруппа, и при
этом не меньшая, если таких несколько. Относительно неинвариантной
подгруппы, входящей в другой класс, можно делать различные
предположения. Разберем сначала случай, когда она содержится в {Я}, т. е..
когда этой подгруппой является {Я*7}. Подгруппа {Р} должна
содержаться инвариантно в некоторой подгруппе ф порядка рт^~г, которая^
сама является, очевидно, инвариантной подгруппой группы ©.
Следовательно, число подгрупп, сопряженных с {Я}, равно р9 так как группа1
порядка рт+19 содержащая циклическую подгруппу порядка рт, имеет
или одну, или р подгрупп порядка рт 3).
Все подгруппы, сопряженные с {Р} или {Рр}, содержатся в ф ю
инвариантны в этой подгруппе. Следовательно, все подгруппы группы,
ф инвариантны, т. е. она является абелевой или гамильтоновой
группой 4). Если ф— гамильтонова группа, то она является группой
кватернионов, так как из всех гамильтоновых групп только группа
кватернионов является группой порядка pm+1, имеющей циклическую под*
группу порядка рт. Но если ф— группа кватернионов (т. е. р=2,,
т = 2), то {ЯР} = {Я2} есть характеристическая подгруппа группы ф,,
т. е. инвариантная подгруппа группы ©. Следовательно, ф должна
быть абелевой группой.
Так как {Я} не инвариантна в ©, то должен иметься элемент /?,
не перестановочный с {Я}. Так как подгрупп, сопряженных с {Р}%.
всего р, то 1? должно быть перестановочно с {Я}. Группа {/?},
очевидно, инвариантна в © (поскольку не содержится в ф). Следовательно,,
P~lRP = RQ,
где Q есть степень R. Из этого равенства следует, что
RPR~~l = PQ.
Но тогда мы получаем, что Q содержится в ф, т. е. перестановочно*
с Я (поскольку ф абелева).
3) См. W. В urn side, Theory of groups of finite order, 2-е изд., § 109. _
*) Если второй класс неинвариантных подгрупп группы ® содержится в ^,
то легко доказать (как это сделано выше для первого класса), что ^орядок
этого класса равен р. Следовательно, этот класс может распасться в ^только*
на классы порядка 1.

16 •
О. К). ШМИДТ
Очевидно,
RpPR-^pPQ"
и
RfpR-f^PQP.
Из второго из этих равенств следует (поскольку {Р} перестановочна
<: Rp), что Cf есть степень Р, и притом делящаяся на р, так как в
противном случае Q имело бы порядок рт+1 и ф была бы
циклической группой, из чего следовало бы, что {Р} есть характеристическая
подгруппа группы ф и инвариантная подгруппа группы ©. Итак,
^ = рпр. Но тогда
тл мы получаем, что [Рр] перестановочна с R. Так как R есть любой
элемент группы ©, не перестановочный с {Р}, то мы получаем, что,
вопреки нашим предположениям, {Р^} инвариантна в ©.Следовательно,
труппа © не может быть рассматриваемого типа.
§ И. Переходим к рассмотрению случая, когда имеется
неинвариантная подгруппа {Р} порядка рт, причем в этой подгруппе уже не
имеется подгрупп, неинвариантных в ©. Пусть попрежнему ф есть
подгруппа порядка рт~*~\ заключающая в себе {Р}. Эта подгруппа ф
либо инвариантна, либо неинвариантна в ©. Разберем сначала случай,
«огда ф инвариантна в О. ф либо содержит, либо не содержит
подгруппы, входящие во второй класс неинвариантных подгрупп.
Предположим сперва, что ф не содержит их. Тогда ф имеет только
инвариантные подгруппы, т. е. является абелевой или гамильтоновой
группой. Пусть ф гамильтонова группа. Тогда (см. выше) р = 2, т = 2 и
ф есть группа кватернионов. Мы можем записать определяющие
равенства группы ф в следующем виде:
Р*=1, &=\,
РВ = ВР*.
Пусть Т есть элемент группы ©, не перестановочный с {Р}. Очевидно,
Г преобразует {Р} в некоторую другую циклическую подгруппу
порядка 4 группы ф; мы можем предположить, что этой подгруппой
является {В}у поскольку выбор обозначений зависит от нас. В группе
ф имеются всего три циклические подгруппы порядка 4, а именно {P}t
[В], \РВ). Так как порядок элемента Т равен степени числа 2, то
при преобразовании посредством Т группа {РВ} должна переходить
сама в себя, так как в противном случае группа {Р} была бы
перестановочна с Т. Итак,
T~iPT = B,
Т~1ВТ = Р,
Т-1РВТ = ВР,

ГРУППЫ С ДВУМЯ КЛАССАМИ НЕИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП 17
ИЛИ
Т~1РТ = В>
Т-*РВТ = ВР*.
Второй случай приводится к первому, если вместо Т взять ТВ.
Поэтому достаточно разобрать первый случай.
Обозначим нормализатор подгруппы {Р} относительно группы ©
через ф. Это есть подгруппа индекса 2 группы © (поскольку {Р}
сопряжена только с {В}). В группе ф подгруппа {Р} инвариантна, точно
так же и подгруппа {В) инвариантна в ф, так как
т-!Щт=Щ.
Следовательно, ф имеет самое большее один класс неинвариантных
подгрупп. Но (см. работу 1)) группа с одним классом неинвариантных
подгрупп не может иметь в качестве подгруппы группу кватернионов.
Следовательно, все подгруппы ф инвариантны в ф, т. е. ф — гамиль-
тонова группа. Элемент Г, очевидно, будет порядка не выше 23, так
как Г2 содержится в ф, а гамильтонова группа порядка 2к не
содержит элементов порядка большего чем 22. На основании теории гамиль-
тоновых групп мы можем написать
f=$ {/>,} {D8}...{D,},
где все Di — порядка 2.
Если {Dl} неинвариантна в й, то Г преобразует {Dl} в одну из
других {Di), например, в {Z)2}. {PDX} должна быть инвариантна в @,
поскольку в один класс неинвариантных подгрупп входит {Р}, а в
другой— {£>!/. Но это невозможно, так как
T-^PDl\T={BDi).
Следовательно, {D{} должна быть инвариантна в ©. Тогда
TD1=D1T,
T-1(PD1)T==BDV
т. е. {PDt} принадлежит ко второму классу неинвариантных подгрупп.
Точно так же все {PD^ неинвариантны в ©. {РО{} и {PDk} не могут
быть сопряжены, если / ф к, так как {PD^} от преобразования
посредством элемента группы © может перейти только в {В04}.
Следовательно, & = 0 или А = 1.
Пусть к=1. Тогда {Т} инвариантна в © (поскольку {Г} не
может быть сопряжена ни с {Р\, ни с {PDX)). Следовательно, в
результате преобразования посредством элемента Р элемент Т переходит в
некоторую свою степень. Но из равенства
Т-*РТ = В

18
О. Ю. ШМИДТ
следует, что
РТР-1 = ТВР*,
т. е. ВР3 есть степень- Т:
ВР* = РВ= 74
Но
Т~1РВТ = ВР,
т. е. Т не перестановочно с РВ. Таким образом, положив £=1, мы
получили противоречие. Следовательно, надо взять k = 0. В этом
случае © имеет порядок 24=16. Подгруппа \Т), как только что
доказано, не может быть инвариантной в ©. Следовательно, она входит во
второй класс неинвариантных подгрупп. Так как Т не перестановочно
ни с Р, ни с Ву ни с РВ, то Т2 должно быть равно или 1, или_элементу
С=Р2 = В2 (напоминаем, что Т2 должно содержаться в ф). Если
Т2 = 1, то подгруппа, порожденная элементами Г и С, очевидно,
неинвариантна и не сопряжена с {Г}, так что мы получаем третий класс
неинвариантных подгрупп. Итак, Т^ = С. Группа © имеет следующие
определяющие равенства:
VII
Р±=\, £4=1, Г4—1,
р* = В2= Г2,
РВ = £Р3, РТ=ТВ, ВТ=ТР.
Порядок группы © равен 16. Первый класс неинвариантных подгрупп
состоит из подгрупп
а второй — из подгрупп
{T}v {TPB}t.
Кроме того, имеются инвариантные подгруппы
(значки внизу указывают порядки соответствующих подгрупп).
Подгруппы { Р, fij8 и {Г, Р#}8 являются группами кватернионов.
Подгруппа [ТР}8 состоит из элементов
ТР,
(ТР)2 = тртр = т2вр = тр=рв,
(ТРУ = ТРРВ = ТВ*,
(тру = РВРВ = Я^5Р3 = яя2яз = р2 = с,
(ГР)б=ГЯС=ГР3,
(7Р)6 = 7РГР* = 5ГГЯ3 == ВР~° = ВР,
(ТРУ = ГРВР = 7БР3Р = ТВ,
(ТРУ = ТВТР = ТТРР = Т2Р2 = Р4 = 1.
Таким образом в © содержится элемент восьмого порядка.

ГРУППЫ С ДВУМЯ КЛАССАМИ НЕИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП 19
§ 12. Рассмотрим теперь случай, когда подгруппа ф- порядка
рш+1, содержащая неинвариантную в © подгруппу {Р} порядка рп\ по-
прежнему инвариантна в ©, но уже не гамильтонова, а абелева. Так
как ф— нециклическая группа порядка pw+ , содержащая циклическую
подгруппу порядка рт (если^ф — циклическая группа, то {Р)
инвариантна в ©; см. выше), то в ф имеется только р циклических подгрупп
порядка рш, так что чж:ло подгрупп, сопряженных с {Я}, равно р.
Индекс нормализатора ф подгруппы [Р] равен, следовательно, р. ф
содержит не более одного класса неинвариантных подгрупп (поскольку
ф является нормализатором и для всех подгрупп, сопряженных с {Я))4).
Но ф не может быть группой с одним классом неинвариантных
подгрупп (см. работу !)), поскольку содержит абелеву нециклическую
подгруппу ф, причем Р не является р-й степенью другого элемента (если
Р есть степень другого элемента, то {/^содержится в большей
неинвариантной подгруппе). Следовательно, ф — абелева или гамильтонова
группа.
Пусть порядок группы © равен, как и выше, р*. Порядок ф равен
тогда р*~~\ так что в © имеется рх—р*~1 элементов, не
перестановочных с {Р}. Пусть р есть порядок подгрупп, входящих во второй
класс неинвариантных подгрупп. Число этих подгрупп не может,
очевидно, быть больше чем рх~ ""Л Следовательно, в © имеется не менее
р"-Рв-1-я"-х-1(Рх-1) = р"(1-))+р-х-1>/>*-1-1
элементов, не перестановочных с \Р) и не входящих ни в одну из
подгрупп второго класса неинвариантных подгрупп. Пусть Рх есть
такой элемент. Очевидно, [Рх] инвариантна в ©. Следовательно,
Р~1Р1Р = Р\+а,
Р1РР~1 = РР(^,
откуда следует, что Р" содержится в ф (ф инвариантна в ©). Далее,
Р^ содержится в ф (поскольку индекс ф относительно © равен р).
Очевидно, $={Р1Ра1).
Докажем, что Р}[ перестановочно с Р. Если группа ф абелева, то
это очевидно. Пусть теперь группа ф — гамильтонова. Тогда порядок
ф не может превышать 2 . Порядок элемента Р равен либо 2 (тогда
Р входит в центр группы ф и очевидно перестановочен с Р^), либо 4.
Порядок элемента Р^ = Р\ не может быть больше 4, поскольку он
содержится в гамильтоновой группе ф. Следовательно, порядок Рх не
может быть больше 8. Число а в рассматриваемом случае очевидно
делится на 2. Если оно не делится на 4, то элемент Р^ есть степень

20 о. ю. шмидт
элемента Ра и потому перестановочен с Р (напоминаем, что группа
ф абелева). Если же а делится на 4, то из равенства
р—1 р р_ р1 + а
получаем
Итак, мы доказали, что во всяком случае элементы Р и Р^
перестановочны.
Из равенств
р- 1 рРр pl)JraP
следует, что
Р-1Р*Р = Р>
P"JJ=1.
Если порядок элемента Р1 равен р7\ то очевидно
1 w — 1
a = kp ,
где k не делится на р. Мы можем положить для простоты k=l, т. е.
W—1
а = р
Подгруппы
/pi ippa\ f рр2а\ {рр(1> — ^а\
сопряжены друг с другом, образуя один класс неинвариантных под-
групп. Рассмотрим теперь подгруппу {РР^ } (я>-2, так как в
противном случае Р и Рх перестановочны). Эта подгруппа либо входит во
второй класс неинвариантных подгрупп, либо инвариантна. Пусть под-
группа {PPf "} инвариантна в ©. Тогда из равенства
p1{ppf~2\=(PPi^~2)pi1+a
следует, что
P^^PPf-y^p-pf-'2,
если л>2, и
gy(v-i)
Ра1={РР1У = Р'Р\Р1 2 ,
если п — 2.
Никакая степень элемента Р не может быть степенью элемента Pv
так как в противном случае Р* было бы степенью Р и Р{ было бы

ГРУППЫ С ДВУМЯ КЛАССАМИ НЕИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП 21
перестановочно с (Я). Следовательно, v = Ipm. Мы получаем, что
если п > 2, и
/ т . 1рт+1(/рт— 1) , . 9Ч
/?—//? + ^ ^ -' (mod р^),
если п = 2. И в том, и в другом случае мы получаем, что т=\.
Итак, если {РР^ "} инвариантна в ©, то н=\.
Пусть теперь [PF^ } входит во второй класс неинвариантных
подгрупп. Рассмотрим подгруппу {Р"Р^ }. Если эта подгруппа также
содержится во втором классе неинвариантных подгрупп, то Р Р^
есть степень одного из производящих элементов PF^ ^ ,
следовательно,
(PPf2P^)w = ^pf'\
Отсюда следует, что
р pwp"-2 рыка _ р*рРп-2
если п > 2, и
если л = 2. В обоих случаях
w(w—1)
pw pw ppuw + p ==p2p
W = 2 4- /pw,
так как никакая степень Я не может быть равна степени Рх (см. выше).
Мы получаем, что
(2 + 1рш)Рп'2 + и (2 + /pw) р"~! s pw-2 (mod р*),
если /г > 2, и
2 -{- /p«i + ри (2 + /р»9 + Р (2 + frw)2-(1 + frw) = 1 (mod р2),
если л = 2. В обоих случаях мы приходим к невозможному сравнению.
2 = 1 (mod р).
/j 2
Следовательно, подгруппа {ЯЯ^ } должна быть инвариантной в ©.
А в таком случае, как мы видели,
Рр=\.
Группа {Я, Рх\ является группой с одним классом неинвариантных
подгрупп. Исключение составляет случай р = 2, п = 2, разобранный
ниже. Попытаемся построить группу с двумя классами неинвариантных
подгрупп, заключающую в себе группу {Р, Р^}. Подгруппы, входящие

22
О. Ю. ШМИДТ
во второй (не содержащийся в {Р, Р{}) класс неинвариантных подгрупп,
очевидно, должны быть циклическими. Действительно, если такая
подгруппа не является циклической, то ее можно представить в виде
произведения нескольких циклических подгрупп. По крайней мере одна
из этих циклических подгрупп не должна быть инвариантной в ©. Но
подгруппа, входящая во второй класс неинвариантных подгрупп, не
должна заключать в себе {Р} или подгруппу, сопряженную с {Р), так
как мы разбираем сейчас случай, когда подгруппа порядка р2,
заключающая в себе {Р}, инвариантна в ©. Следовательно, если мы
предположим, что подгруппы, входящие во второй класс неинвариантных
подгрупп, не циклические, то в © будут по крайней мере три класса
неинвариантных подгрупп. Итак, мы можем считать, что одна из
подгрупп, входящих во второй класс неинвариантных подгрупп, порождается
элементом Р2 (очевидно, не входящим в [Ру Рг}). Относительно
элемента Р2 мы можем повторить все рассуждения, которые были
проведены выше применительно к элементу Р. Подгруппа ф2 порядка pws+i^
заключающая в себе подгруппу (Р2) порядка/?™^ очевидно, инвариантна
в ®, так как в противном случае в © имелся бы третий класс
неинвариантных подгрупп. Следовательно, мы можем доказать для элемента Р2
(подобно тому, как это было выше сделано для Р), что его порядок
равен р:
Если Р2 содержится в ф, то (так как порядок Р равен р) Р и Р2
перестановочны. Группа {Р, Р2}, порядка р2, очевидно, инвариантна в ©,
так что все подгруппы, сопряженные с [P]h содержатся в ней.
Следовательно, в нашем случае {Я, Р2}=ф. Но в таком случае Р2 содержится
в {Р, PJ, так как можно положить Р0 = Р®. Значит, Р2 не может
содержаться в ф. Аналогично, Р не может содержаться в подгруппе ф2 —
нормализаторе подгруппы {Р2}.
Выше было доказано, что {Р] входит в класс, состоящий из
подгрупп
{р\, {рр1\, \рр\а), ..., {рр{Г1)а\-
Рассмотрим теперь класс, в который входит {Р2). Как мы выяснили,
Р2 не содержится в ф. Следовательно, Р2 содержится в какой-либо
смежной системе вида Р*ф (к = 1, 2, ... , р — 1). Не уменьшая
общности мы можем предположить, что Р2 содержится в системе Р^. Тогда
р^р.р
(Р — элемент подгруппы ф) и
р-1Р2Р = Р2Р"
(подгруппа ф, как указывалось выше, абелева или гамильтонова, так
что Р входит в ее центр). Следовательно, {Р2} входит в класс, состоящий
из подгрупп
{р2\, {/у?ь (рАа\> ••■". i/vri)e}.

группы с двумя КЛАССАМИ НЕИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП 23
Элемент Р*, очевидно, содержится в ф2 и перестановочен с Р2
(рассуждаем по аналогии: выше доказано, что Рах содержится в ф и
перестановочен с Я).
Рассмотрим элемент РЯ2. Он не содержится ни в одной из
подгрупп, входящих в классы неинвариантных подгрупп. Следовательно,
подгруппа {РР2} инвариантна в ©. Из равенства
р-\рр2)р=рр2р?
мы получаем, что Р^ является степенью элемента РР2. С другой
стороны,
(PP/ = PpPl)Pal-4-.
Если р > 2, то р — 1 делится на 2 и
(РР2У = 1.
Но тогда элементы Р® и РР2 одного порядка, и РР2 является
степенью Р*. Отсюда следует, что Р2 содержится в {Р, Р±}, что
невозможно. Мы получили, что если р > 2, то {Р, Рг} не может входить
в группу с двумя классами неинвариантных подгрупп.
Переходим к случаю р = 2. Пусть п > 2. Элемент Р
перестановочен с элементами Р и Р2. Следовательно,
(P/yf" V = (PP2fPt = Р? = 1.
2П—2
С другой стороны, элемент РР0Р1 не содержится ни в одной из
подгрупп, входящих в классы неинвариантных подгрупп. Следовательно,
из равенства
1 nil—2 оП—2 п
р~\рр2р; )p = (ppj>i )/*
а 2 п~~2
вытекает, что элемент Р1 есть степень элемента РР2Р± • Но мы
выяснили, что порядки этих элементов одинаковы. Следовательно,
элемент РР2Р\ ' есть степень элемента Р^, т. е. Р2 содержится в [Р, Р }.
Мы опять получили противоречие.
Остался случай р = 2, п = 2. В этом случае группа {Р, Рг} сама
является, как легко проверить, группой с двумя классами
неинвариантных подгрупп. Мы получаем следующий тип группы ©:
\p2=h р\ = \,
VIII {
у р1р = рр*1.
Порядок группы равен 8. Один класс неинвариантных подгрупп состоит
из подгрупп {Р}, {РР\}, а другой — из подгрупп {РР1), [РР\\.

24
О. Ю. ШМИДТ
Докажем, что нельзя построить группу, содержащую в себе группу
VIII и имеющую два класса неинвариантных подгрупп (этими двумя
классами должны были бы, очевидно, являться все те же классы {Р)>
{РР1} и {РРг}, {РР\}). Допустим, что такая группа существует и что R
есть ее элемент, не входящий в [Р, Ру]. Элемент R либо
перестановочен с Р, либо переводит этот элемент в элемент РР^. Следовательно,,
из элементов R и RPX один перестановочен с Я. Пусть это будет
элемент R. Точно так же из элементов R и RP один должен быть
перестановочен с Pv Мы можем предположить, не уменьшая общности, что
это R. Итак, элемент R перестановочен с Р и Pv
Возьмем элемент PR. Он не содержится ни в одной из подгрупп,
входящих в классы неинвариантных подгрупп, следовательно, {PR} есть
инвариантная подгруппа. Из равенства
Pl(PR)P~1 = PRP2i
мы получаем, что элемент Р^ является степенью (очевидно, четной)
элемента PR. Но
(PR)2 = R2.
Следовательно, Р2 есть степень элемента /?. Если порядок R равен 2Г>
то мы можем положить
о ЛоГ—1
P\=R .
Рассмотрим элемент Р^г~2 (если г < 2, то R содержится в {Р, Р{}).
Этот элемент не содержится ни в одной из подгрупп, входящих в классьг
неинвариантных подгрупп, следовательно, подгруппа {P1R?r'~ }
инвариантна в ©. Из равенства
1 оГ—2 о Г—2 о
Я_1(/уГ )P=P1R2 Р\
2 w оГ~2
получаем, что элемент Р± является степенькгэлемента PtR~
Но
оТ—2 о о оУ—1 о*.
(P±r- )2 = p;r2 =R2r=i.
Следовательно, порядки элементов Р^ и P±R2 равны, т. е. элемент
PXR2 есть степень элемента Р\. Элемент Р2 инвариантен в @.
Следовательно, и элемент PxR^r~2 инвариантен в @, чего не может быть
в силу равенства
р-\р^г-2)р=р^г-2р\.
Мы доказали, таким образом, что группа © типа VIII не поддаете»
расширению.
§ 13. Пусть попрежнему {Р} есть неинвариантная подгруппа
порядка рт группы © и ф — подгруппа порядка/?w+1, содержащая в себе

ГРУППЫ С ДВУМЯ КЛАССАМИ НЕИНВАРИАНТНЫХ ПОДГРУПП 2S
подгруппу (Я). Нами уже разобран случай, когда подгруппа, входящая
во второй класс неинвариантных подгрупп, содержится в {Я}, и случай,
когда эта подгруппа лежит вне ф. Остается исследовать случай, когда
подгруппа, входящая во второй класс неинвариантных подгрупп, со-
держит в себе {Я), и когда она является циклической подгруппоид
входящей в ф, но не в {Я). Второй из этих случаев не представляет,,
однако, ничего нового, так как мы можем в этом случае применить
к подгруппе, о которой идет речь, все те рассуждения, которые имели
место применительно к [Я). Итак, мы можем предполагать в
дальнейшем, что {Р} содержится в одной из подгрупп, входящих во второй
класс неинвариантных подгрупп. Эта последняя подгруппа не должна
быть циклической, так как иначе мы будем иметь опять-таки уже
исследованный случай.
Предположим, что подгруппа ф инвариантна в ©. Тогда, повторяя:
рассуждения, изложенные выше, получаем
Рр=\.
Единственными коммутаторами элемента Р будут попрежнему
элементы р*а = р*р (k=l, 2, . . . , р—1). Одна из подгрупп,
входящих во второй класс инвариантных подгрупп, должна содержать Я;
обозначим эту подгруппу через ф.2; ф.2, очевидно, не содержит
элемента P", так как в противном случае мы могли бы представить ф2
в виде произведения инвариантных подгрупп, а именно подгруппы
{Я, Я^} и циклических подгрупп, отличных от {Я} и подгрупп,
сопряженных с {Я]. Следовательно, ф2 была бы сама инвариантна в ©.
Возьмем в подгруппе ф2 элемент Я2 порядка /?, не содержащийся,
в [Я, Рг}. Это возможно сделать, поскольку ф2 — нециклическая группа
и не содержит Я", так что пересечение ф„ и {Я, Рх] равно {Я}.
Подгруппа (Я, Я2} не может быть инвариантной, поскольку не содержит
коммутаторов Р*а. Следовательно,
причем порядок этой подгруппы равен р2 (поскольку [Я2] инвариантна
в ©).
Рассмотрим теперь циклическую подгруппу {РР2}» Она не
сопряжена с {Я), а потому должна быть инвариантной. Следовательно, Pt
перестановочно с Я., (поскольку Р^=\). Но тогда
Р1(РР2)Р-1 = РР2Р%
т. е. Я^ входит в ф9. Мы пришли к противоречию. Таким образом
доказано, что никакая подгруппа порядка pw+1, содержащая {Я}, не
инвариантна в ©.
Рассмотрим композиционный ряд группы ©:
®, .... g, % {Р}, ..., 1.

26
О. Ю. ШМИДТ
По доказанному ф не инвариантна в ®. Следовательно, g инвариантна
в ©. При этом g ф ©, так как в противном случае ф была бы
инвариантна в © (подгруппа порядка ра_1 инвариантна в группе порядка ра).
Все коммутаторы элемента Р и все подгруппы, сопряженные с ф,
очевидно, заключены в g.
Пусть U есть элемент, не входящий в §. Тогда подгруппы {U}
и {U, Р) инвариантны в ©, поскольку не содержатся в g. Пересечение
подгрупп g и {U, Я), очевидно, также инвариантно в ©.
Следовательно, это пересечение (содержащее {Р}) не сопряжено ни с {Р}, ни
с ф, т. е. является подгруппой g. Очевидно,
где /?v — показатель наименьшей степени U, являющейся степенью Р.
Порядок § равен ртг2.
Рассмотрим дополнительную группу ®1{Рр] (мы переходим к этой
группе от группы ©, положив рр = 1). Порядок группы §/{Р^} равен,
очевидно, /?3. В этой последней группе подгруппа {Upv~1, Р)\{Рр)
является характеристической подгруппой, поскольку содержит все
элементы порядка /?. Следовательно, {LJpv~1, Р)\{Рр) инвариантна в ©/{Р^}.
Но тогда {№v_1, Р) инвариантна в ©, чего быть не может, так как
эта подгруппа содержит {Я} и имеет порядок, равный pwil. Мы пришли
к противоречию; группы © исследуемого типа не существует.
Исследование закончено. Найдено восемь типов групп с двумя
классами неинвариантных подгрупп. Других типов таких групп не
существует.

НЕКОТОРЫЕ КРИТЕРИИ НЕПРОСТОТЫ ГРУПП.
А. П. ДИЦМАН.
Пусть © и ©'—две системы, содержащие одно и то же конечное
число различных элементов группы © и не совпадающие с ©.
Обозначим через 51 некоторый инвариантный комплекс элементов
группы ©, содержащий по крайней мере один отличный от единицы
элемент. Тогда имеем следующий критерий непростоты группы ©:
Теорема. Если произведение ©ft. содержит толь/со элементы
системы ©', то © — не простая группа [1].
Доказательство. Обозначим через К один из элементов
инвариантного комплекса $, отличный от единицы, через $-1—
инвариантный комплекс, состоящий из элементов, обратных элементам
комплекса $. По условию теоремы будем иметь
е/с=©',
откуда
Но вместо К можно взять любой другой из элементов $, т. е.
произведение ©'$-1 содержит только элементы системы ©. Следовательно,
в произведении
©'(Я-Щ)
содержатся только элементы системы ©', так что каждый элемент Q
инвариантного комплекса S_1$ удовлетворяет условию
©'Q = ©'.
Однако совокупность элементов группы ©, удовлетворяющих этому
условию, образует действительную подгруппу группы ©, так как из
равенств
©'* = ©', ©'К=©'
следует
©' (XY) = (©'*) Г = ©' Г = ©'
и из
©'*=©'
следует
©/=©/А'-1.
Таким образом инвариантный комплекс $-1$ входит в
действительную подгруппу группы ©, следовательно, элементы этого комплекса
порождают нормальный делитель группы ©.

28
А. П. ДИЦМАН
Отметим некоторые следствия этой теоремы. В дальнейшем будем
называть классы сопряженных элементов группы кратко классами
группы.
Следствие I. Если произведение двух классов Ci и Cj одного и
того же порядка h некоторой группы © содержит только элементы
класса Ск порядка h, т. е. если
Cfij = nCfo
то ©— не простая группа.
Для доказательства достаточно положить Q = S, Сл = ®', Cj=$L.
Частный случай следствия I представляет следующий критерий
непростоты конечной группы нечетного составного порядка, указанный
А. А. Кулаковым [2]:
Пусть ©2w+i—группа нечетного составного порядка 2п-\-\> р —
наименьший простой делитель 2л-|-1. Пусть Р—один из элементов
порядка р группы ©2п+1 и [Р] — циклическая подгруппа, порождаемая
элементом Р. Если классы группы ©2п+1, содержащие элементы
подгруппы {Р}, компонируются между собой по закону
С& = кСи^_0 (уф<"> *>1>У>1),
где h — порядок каждого класса С2, С3, ... , Ср1 то ©2п+1—не ПР°"
стая группа.
Этот результат был получен А. А. Кулаковым в виде следствия
более общей теоремы, доказываемой с помощью теории характеров.
Следствие II. Если произведение двух классов, порядки которых
взаимно просты, содержит элементы класса, порядок которого
взаимно прост с порядком одного из компонируемых классов конечной
группы ©, то © — не простая группа.
Действительно, пусть порядки классов Q и Cj конечной группы ©
взаимно просты и произведение C4Cj содержит элементы класса Ск,
порядок которого взаимно прост с порядком Cj. Известно [3, стр. 60,
Ex. 2], что произведение двух классов, порядки которых взаимно
просты, содержит элементы только одного класса, следовательно,
CiCj = hlCk.
Порядок класса Су, состоящего из элементов, обратных элементам
класса Q, равен порядку класса Cj и взаимно прост с порядком Ск.
Очевидно, имеем CkCj' = h2Ci. Но тогда произведение Ck(CfCj)
содержит только элементы класса Ск. Полагая <5 = (57 = Ск, &= CfCj
и пользуясь установленной выше теоремой, заключаем, что группа ©
имеет нормальный делитель, порождаемый инвариантным
комплексом CyCj.
Два класса Ci и Cj конечной группы © будем называть взаимно
изолированными, если порядки их отличны от единицы, взаимно просты
и порядок любого класса группы © взаимно прост с порядком одного
из классов Q или Cj.
Пользуясь следствием И, легко установить следующее предложение:
Если конечная группа © имеет два взаимно изолированных класса,
то © — не простая группа.

НЕКОТОРЫЕ КРИТЕРИИ НЕПРОСТОТЫ ГРУПП
29
Действительно, произведение двух взаимно изолированных классов
группы © содержит элементы класса, порядок которого взаимно прост
с порядком одного из компонируемых классов, и по следствию II
(Й — не простая группа.
Для группы © нечетного порядка это предложение было доказано
другим путем С. А. Чунихиным [4].
Цитированная литература.
[1] А. П. Дицман и А. А. Кулаков, Некоторые критерии непростоты
конечных групп. Доклады Академии наук СССР, т. III (VIII) (1935), № 1,
стр. 11—12.
[2] A. Kulak off, Einige Anwendungen der Theorie der Gruppencharaktere.
Mathematische Annalen, т. 113 (1936), стр. 216—225. См. также A. Kulak off,
Sur le probleme de Burnside. С R. Acad. Sci. Paris, т. 199 (1934), стр. 116—119.
[3] W. Burnside, Theory of groups of finite order (1911).
[4] Serge Tchounikhin, Sur - le probleme de deux classes d'un groupe
iini. С. Я Acad. Sci. Paris, т. 198 (1934), стр. 531-532.

О ЦЕНТРЕ р-ГРУПП.
Л. Л. ДИЦМАН.
Следуя Шуру [1], периодической группой будем называть группу,
каждый элемент которой есть элемент конечного порядка.
Относительно периодических групп известна следующая проблема Бернсайда:
Представляет ли всякая периодическая группа, порождаемая конечным
числом образующих, конечную группу? Для некоторых частных типов
периодических групп проблема Бернсайда имеет положительное
решение, например для периодических абелевых групп, для периодических
групп матриц, изучавшихся Бернсайдом' [2] и Шуром [1], и для
некоторых других типов периодических групп.
В настоящей статье устанавливается необходимое и достаточное
условие, при котором конечное множество элементов некоторой группы
порождает конечную подгруппу, и указывается еще один тип
периодических групп, для которых проблема Бернсайда имеет
положительное решение. Это — периодические группы с конечными классами, т. е.
периодические группы, у которых каждый класс сопряженных
элементов заключает лишь конечное число различных элементов.
Периодическую группу, порядок каждого элемента которой есть
некоторая степень простого числа /?, будем называть р-группой.
Очевидно, порядок конечной р-группы есть некоторая степень числа р.
Известно, что р-группа конечного порядка имеет отличный от единицы
центр. Пользуясь упомянутыми результатами, удается установить
необходимое и достаточное условие, при котором /7-группа имеет
отличный от единицы центр.
§ 1. Классы сопряженных элементов группы будем в дальнейшем
называть кратко классами группы) класс, заключающий конечное число
элементов, будем называть конечным классом.
Совокупность конечного числа элементов группы © будем
называть конечным комплексом группы 65. Множество St некоторых
элементов группы © называется инвариантным комплексом, если для
любого элемента G группы © имеет место равенство G_151G = &.
Очевидно, инвариантный комплекс $ группы © есть совокупность
некоторых классов группы ©. Множество © некоторых элементов
группы © будем называть самоинвариантным комплексом, если для
любого элемента 5 комплекса © имеет место равенство S-1©S = ©.
Очевидно, всякий инвариантный комплекс группы © является также
комплексом самоинвариантным.
Пусть имеем произведение G некоторых элементов Gp G2,..., Gm
группы ©:
(1) Q = Gl...Qi-lGiGirl...Gm.

О ЦЕНТРЕ /7-ГРУПП
31
Представим G в виде
(2) G=Gfi^. .Gi-iG^!. . ,Gmi
где G1 = G-^Gfii, ..., Gi_i = Gr1G<_1G<; в этом случае будем
говорить, что произведение (2) получается из произведения (1) путем
перемещения элемента Gi на перЕое место.
Если дЛ — множество элементов, порождающих группу ©, тогда
каждый элемент группы © есть произведение конечного числа
степеней некоторых элементов множества 9ft. Очевидно, всякое непустое
множество элементов группы © порождает некоторую подгруппу.
Лемма I. Пусть 5ft— множество некоторых элементов группы ©<
и Ш— множество элементов^ порождающих группу ©. Если «£> есть
подгруппа, порождаемая всеми элементами множества Ш, не
принадлежащими 5ft, Q, — подгруппа, порождаемая всеми элементами 5ft,
и $& = &,£, то «£>D совпадает с ©.
Доказательство. Пусть G — какой-либо элемент группы ©,
тогда G представляет собой произведение конечного числа степеней
элементов множества 9ft. Пусть Их — элемент подгруппы ф, Q, —
элемент D; по условию леммы «0G = £Щ>, т. е.
Hi Qi = Q2^>>
где Q2 — элемент С и Н2 — элемент ф. Отсюда вытекает, что элемент
G можно представить в виде произведения G = HQ, где И—элемент
ф и Q — элемент &, т. е. #Cl = ©.
В частности, если £ft есть инвариантный комплекс группы ©, то
подгруппа Ct, порождаемая всеми элементами 5ft, есть, очевидно,
инвариантная подгруппа ©. Получаем:
Следствие. Пусть 9ft — множество элементов, порождающих группу
©, и 5ft — инвариантный комплекс ©. Если ф есть подгруппа,
порождаемая всеми элементами множества 9ft, не принадлежащими 5ft,
С — подгруппа, порождаемая всеми элементами 5ft, то «g)D
совпадает с ©.
Теорема I. Если 9ft— множество некоторых элементов группы ®у
то элементы множества 9ft порождают тогда и только тогда под-
группу конечного порядка, когда все элементы 9ft являются
элементами конечного самоинвариантного комплекса ®, содержащего только
элементы конечного порядка.
Доказательство. Очевидно, условие необходимо; покажем, что
оно достаточно. Пусть все элементы 9ft являются также элементами
конечного самоинвариантного комплекса ©, заключающего только
элементы конечных порядков
Ор 02, . . . , Од..
Пусть D есть подгруппа, порождаемая всеми элементами <5; тогда
каждый элемент Q подгруппы Г- есть произведение конечного числа
элементов £:
Произведение SjSi9...Sj будем называть представлением элемента Q„

32
А. П. ДИЦМАН
число т — длиною рассматриваемого представ пения. Очевидно, среди
различных представлений элемента Q существуют представления
наименьшей длины /; каждое такое представление элемента Q будем
называть нормальным представлением Q. Длиной / элемента Q будем
называть длину / его нормального представления.
Для доказательства теоремы, очевидно, достаточно показать, что
длина любого элемента Q подгруппы Q, не превосходит некоторого
положительного целого числа п.
Пусть t — наивысший среди порядков элементов комплекса (5.
Покажем, что длина / любого элемента Q подгруппы D не превышает
n = (t—1)*. Рассмотрим некоторое нормальное представление Q;
в таком представлении любой элемент Si комплекса 3 повторяется
множителем не более t—1 раз. В самом деле, если бы элемент Si
порядка a (a^t) в нормальном представлении длины / элемента Q
повторялся множителем b раз, где b^>ty то, перемещая этот элемент S{
на первое место [см. (2)], мы получили бы представление элемента Q
вида
Но
b —aq -\-г,
где
0<y<a</<£; ?>0.
Следовательно, для элемента Q имеется представление
Q = Sr.Si...St, ,
^ * г1 Ь1-Ь
длины г-\-1—b < /, что невозможно.
Тем самым теорема доказана.
Следствие. Если $ — конечный инвариантный комплекс группы &у
заключающий только элементы конечного порядка, то элементы $
порождают инвариантную подгруппу Q, конечного порядка.
Теорема II. Если Ш — множество элементов у порождающих
группу ©, и Ж — конечный инвариантный комплекс, заключающий
только элементы конечных порядков группы &, то подгруппа,
порождаемая всеми элементами множества 3№, не принадлежащими
комплексу 51, есть подгруппа конечного индекса группы ®.
Доказательство. Пусть «§> — подгруппа, порождаемая всеми
элементами множества 9JJ, не принадлежащими комплексу Ж, и D —
инвариантная подгруппа, порождаемая всеми элементами комплекса 5t
По следствию леммы I имеем
© = £Ct.
Согласно следствию теоремы I, D — подгруппа конечного порядка,
следовательно, «£> — подгруппа конечного индекса группы ©. Теорема И
доказана.
Отметим одно из следствий теорем I и П.

О ЦЕНТРЕ р-ГРУПП
33
Группа, порождаемая п элементами конечного порядка, п—1
из которых принадлежат к конечным классам, есть группа конечная.
В частности, периодическая группа с конечными классами,
порождаемая конечным числом образующих, есть группа конечная.
§ 2. Установим теперь необходимое и достаточное условие, при
котором ^-группа имеет отличный от единицы центр. Предварительно
докажем следующее вспомогательное предложение:
Лемма И. Если ф — подгруппа конечного индекса некоторой р-груп-
пы ф, то индекс .£) есть степень р.
Доказательство. ф, очевидно, содержит конечное число
различных сопряженных с £> подгрупп. По теореме Пуанкаре [3]
пересечение двух и, следовательно, конечного числа подгрупп, каждая
из которых есть подгруппа конечного индекса группы ф, представляет
также подгруппу конечного индекса группы ф. Обозначим через 2)
пересечение всех подгрупп, сопряженных с ф; в силу только что
сказанного, 2> есть инвариантная подгруппа конечного индекса группы ф.
Очевидно, индексы связаны соотношением
(з) (<№ да)=($.$)•
Факторгруппа ф/£ есть группа конечного порядка; легко видеть, что
порядок каждого ее элемента есть степень числа р, т. е. факторгруппа
ф/£) есть конечная р-группа. Вследствие соотношения (3) индекс ф
есть степень числа р, что и требовалось доказать.
Теорема III. р-группа имеет отличный от единицы центр, если
она содержит по крайней мере один отличный от единицы конечный
класс [4].
Доказательство. Пусть Я — конечный класс /7-группы ф.
Элементы класса ft, по следствию теоремы I, порождают нормальный
делитель С конечного порядка рп группы ф. Обозначим через Q какой-
либо элемент нормального делителя Q. Элемент Q принадлежит к
конечному классу группы ф, так как множество всех элементов
нормального делителя D есть совокупность некоторых конечных классов
группы ф. Нормализатор ф элемента Q в группе ф есть, следовательно,
подгруппа конечного индекса группы ф. По лемме II индекс
подгруппы «р есть степень числа р. Следовательно, порядок класса
сопряженных с Q элементов группы ф есть степень числа р.
Пусть нормальный делитель Q, распадается на k классов группы ф,
причем порядки этих классов суть числа av я2,..., ак; тогда
Рп = «1 + «24- •••+**•
Числа ар а2,..., ак суть степени числа р\ предполагая, что через
их обозначен порядок класса, составленного единицей, следовательно,
tf1=l, заключаем, что кроме единицы группа ф должна иметь еще
и другие инвариантные элементы, что и доказывает теорему.
Из теоремы III следует, что /7-грунпа, центр которой равен единице,
не содержит ни одного отличного от единицы конечного класса.
Пример такой /j-группы, центр которой равен единице, найден А. Т. Ку-
рошем.

34
А. П. ДИЦМАН
Цитированная литература.
[1] I. Schur, Ober Gruppen periodischer linearer Substitutionen. Sitzungs-
berichte der preussischen Akademie der Wissenschaften, Jahrg. 1911, стр. 619—627.
[2] W. Burn side, Theory of groups of finite order (1911), стр. 491—495.
См. также W. В urn side, On criteria for the finiteness of the order of a group
of linear substitutions. Proc. London Math. Soc. (2), т. 3 (1905), стр. 435—440.
[3] H. P о i n с a г ё, Les fonctions fuchsiennes et l'Arithmetique, Journal des
mathematiques pures et appliquees (4), т. 3 (1887), стр. 409.
[4] А. П. Дицман, О р-группах. Доклады Академии наук СССР, т. XV
(1937), № 2, стр. 71—76.

О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ФРОБЕНИУСА.
Я. Е. ДЮБЮК.
Согласно известной теореме Фробениуса, если п есть делитель
порядка группы, то число элементов группы, л-я степень которых
входит в данный класс сопряженных элементов, кратно п. В частности,
если в качестве такого класса рассматривать единицу, то мы придем
к следующему "также хорошо известному предложению: Если п есть
делитель порядка группы, то число элементов группы, порядок
которых есть делитель я, кратно л.
В 1925 г., в интересной работе, опубликованной в Бюллетене
Американского Математического общества, Л. Вейснер [1] доказал
следующие предложения, дополняющие приведенные теоремы Фробениуса:
1. Пусть т — порядок элемента в классе сопряженных элементов %
группы ©. Тогда число элементов группы, какая-нибудь степень
которых входит в класс сопряженных элементов 91, кратно наибольшему
делителю порядка g группы, взаимно простому с т.
2. В группе порядка g число элементов, порядок которых кратен т,
делится на наибольший делитель числа g, взаимно простой с т.
Доказательство первой из своих теорем Л. Вейснер провел довольно
сложным путем, используя чисто теоретико-групповые методы и
опираясь на теорему Фробениуса. Вторая из приведенных теорем Вейс-
нера была им затем выведена как непосредственное следствие первой.
В 1931 г. В. К. Туркин [2] показал, что эта вторая теорема Вейс-
нера и второе из цитированных предложений Фробениуса могут быть
объединены и в то же время обобщены в такой формулировке:
Пусть п и т — делители порядка группы, причем п кратно т.
Число элементов группы, порядок которых есть делитель п и
кратное т, делится на наибольший делитель п, взаимно простой с т.
Существенно отметить, что при доказательстве своей теоремы
В. К. Туркин, в отличие от Л. Вейснера, воспользовался весьма
простым приемом, основанным на арифметическом принципе эратосфенова
решета. Разумеется, так же как и Л. Вейснер, В. К. Туркин в ходе
доказательства опирался на фундаментальную теорему Фробениуса.
Следуя методу В. К. Туркина, автор настоящей статьи доказал
такую теорему [3]:
Теорема 1. Пусть nv я2,.. ., пх — делители порядка g группы ©.
Число элементов группы, порядок которых есть делитель по
крайней мере одного из чисел п{) делится на общий наибольший делитель
этих чисел.
Эта теорема в известном смысле представляет собой обобщение
второй из цитированных теорем Фробениуса. Аналогичным образом

36
П. Е. ДЮБЮК
было установлено обобщение второй из приведенных теорем Л. Вейс-
нера:
Теорема 2. Пусть mv /;t2,..., ml — делители порядка g группы %.
Тогда число элементов группы, порядок которых есть кратное
по крайней мере одного из чисел mh делится на наибольший
делитель числа g, взаимно простой с общим наименьшим кратным чисел т{.
Комбинируя обобщенные таким образом теоремы Фробениуса и
Вейснера, можно получить различные обобщения теоремы Туркина.
Однако мне представилось более существенным расширить содержание
этой теоремы несколько иным способом. Исходя из теоремы 1
оказалось возможным чисто арифметическим путем получить такой
результат:
Теорема 3. Пусть п — произвольный делитель порядка g группы (§.
Положим п = ald/... а3к, где все а( — простые числа. Тогда число
элементов группы, порядок которых равен п, делится на
7, — 1 Ot., — 1 О у 1
а1 а - ... а/
1 I А-
При доказательстве рассматривалась система делителей числа п
(1) — — —
и замечалось, что число элементов, порядок которых есть делитель
по крайней мере одного из чисел (1), крагно a*1"1 (i.*~~l. . .а** *.
С другой стороны, имелось в виду, что по теореме Фробениуса число
элементов, порядок которых есть делитель я, кратно п = а*1а**. . •#"*•
Д1я завершения доказательства оставалось только отметить, что
единственным числом, которое делит п, не являясь делителем ни одного
из чисел —, будет само число п.
аг
Непосредственно используя этот результат, удалось несколько
дополнить приведенную выше теорему Туркина [4]:
Теорема 4. Пусть п и т — два различных делителя порядка
данной группы, причем п есть кратное т, так что
п = а^а? • • • °lkb*k+* b*k*'~ ' * • bT^ >
где все ai и bi— простые числа и Pt^at. для всех L Тогда число эле-
ментов группы, порядок которых есть делитель п и кратное ту
делится на число
а
lJ*-1 Ji-ih'
1 "2
<fc-\..(fL-1b9*+1b4+0-...b*W9
Что касается теоремы 3, то А. А. Кулаков заметил, что можно
простым образом получить следующее ее обобщение: Число элементов
группы, порядок которых равен п, кратно ©(я).

О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ФРОБЕНИУСА
37
Как будет показано ниже, последняя теорема может быть
включена как частный случай в теорему значительно более общую.
Далее, оказалось возможным формулировать следующее
предложение, включающее как частные случаи вторую из приведенных теорем
Фробениуса и первую теорему Вейснера [4]:
Теорема 5. Пусть т — порядок элемента в классе сопряженных
элементов Ч,Ч группы W. Пусть, далее, п есть число, кратное т и
в то же время делитель порядка g группы ©. Тогда число
элементов, порядок которых есть делитель п и какая-нибудь степень
которых входит в класс сопряженных элементов 4i, кратно
наибольшему делителю п, взаимно простому с т.
При т—1, т. е. если класс s}t сводится к единице, получаем
отсюда теорему Фробениуса.
Полагая n — g приходим к первой теореме Вейснера.
При доказательстве только что приведенной теоремы автор
использовал метод, примененный Л. Вейснером в его работе. Первоначально
рассматривается случай, когда класс 91 сводится к одному —
следовательно инвариантному — элементу S. Подсчитывается число элементов,
удовлетворяющих уравнению
t« = S
при условии, что порядок элемента t есть делитель п. При этом
устанавливается, что если существует один элемент, удовлетворяющий
условиям теоремы, то можно построить еще ряд элементов,
удовлетворяющих тем же условиям. Эти элементы можно расположить в виде
прямоугольной таблицы. Подсчет числа горизонталей и вертикалей
такой таблицы показывает, что интересующее нас число элементов
будет кратно наибольшему делителю п, взаимно простому с т. Далее,
опираясь на уже полученный результат, можно доказать теорему для
случая, когда класс сопряженных элементов состоит из степеней одного
элемента, и, наконец, — в самом общем виде.
Теорема 5 может быть дополнена следующим общим предложением:
Теорема 6. Пусть т и п — делители порядка группы, причем п
кратно пи Число элементов группы, порядок которых есть делитель
п и какая-нибудь степень которых принадлежит произвольной
системе элементов порядка т, кратно у(т).
Если, в частности, за систему элементов взять класс сопряженных
элементов, то мы придем к исходным положениям теоремы 5. Как
уже было указано, Л. Вейснер вторую из своих приведенных выше
теорем вывел как следствие первой. Следуя тому же пути можно из
более общей теоремы 5 вывести теорему Туркина, а из теоремы 6 —
следующее предложение:
Теорема 7. Пусть п и т — делители порядка группы, причем п
кратно т. Число элементов группы, порядок которых есть
делитель п и кратное т, делится на о (т).
Комбинируя теорему Туркина и теорему 7, мы вновь получаем
установленную выше теорему 4.
Легко видеть, с другой стороны, что теорема 6 эквивалентна
приведенному ранее предложению, высказанному Кулаковым. Как прило-

38
П. Е. ДЮБЮК
жеиие теоремы 7 можно, наконец, формулировать такой результат:
Теорема 8. Если порядок группы ® делится на взаимно простые
числа г и 5, если, далее, в © ровно о {г) элементов А порядка г и
ровно o(s) элементов В порядка s, и если, наконец, имеется по
крайней мере один элемент порядка rsy то всякий элемент А
перестановочен со всяким элементом В и в ® ровно ?(rs) элементов
порядка rs.
Теорема эта аналогична известному следствию из теоремы Фробе-
ниуса [5].
Цитированная литература.
[1]. L. Weisner, On the number of elements of a group which have a
power in a given conjugate set. Bulletin of the American Mathematical Society,
т. XXXI (1925), стр. 492—496.
[2] W. K. Turkin, Generalisation du theoreme de Frobenius C. R. Acad.
Sci. Paris, т. 193 (1931), стр. 1059—1061.
[3] P. E. Dubuque, La generalisation du theoreme de Turkin,
Математический сборник, т. 1 (43) (1936), стр. 603—606.
[4] P. Dubuque, Sur un theoreme de Frobenius Статья принята к
напечатайте) в .Математическом сборнике*.
[5] О. Ю. Шмидт, Абстрактная теория групп, 2-е изд., ГТТИ 1933,
стр. 93.

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ р-ГРУПП, ТЕОРИИ ХАРАКТЕРОВ
И ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АБСТРАКТНЫХ ГРУПП*
ПОДСТАНОВКАМИ.
А. А. КУЛАКОВ.
I. ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ /ьГРУПП.
§ 1. По известной теореме Силова число подгрупп порядка ра
группы G, где ра— наивысшая степень простого числа р, на которую
делится порядок g группы G, сравнимо с 1 по модулю р.
Эта теорема была впоследствии обобщена Фробениусом (G. Frobe-
nius) на случай подгрупп порядка р> ({3 ^ а), где р — попрежнему
простой делитель g. В дальнейшем для некоторых частных типов групп
удалось получить более точные результаты. Так, Миллер (G. A.
Miller) доказал [15], что во всякой нециклической абелевой группе
порядка рт (р — простое число, т > 1) число подгрупп порядка
рп (1<><;/л — 1) сравнимо с 1+р по модулю р2.
Эта теорема была почти полностью обобщена А. А. Кулаковым [6],
установившим аналогичный результат для любой нециклической р-группы
при р > 2. В случае р = 2 теорема сохраняет свою силу лишь при
некоторых дополнительных ограничениях.
Остановимся вкратце на первоначальном доказательстве этой
теоремы. Пусть О — данная нециклическая группа порядка рт (р > 2,
ж>1). Пусть G, и G2— две ее подгруппы порядка рт~1,
являющиеся, как известно, нормальными делителями G. Их пересечение D
также будет нормальным делителем группы G, откуда следует, что
порядок D равен рт~*. Таким образом дополнительная группа GJD—
абелева элементарная порядка р2. Легко убедиться, что число всех
подгрупп порядка р"*-1, содержащих £>, равно числу подгрупп
порядка р группы G/D, т.е. 1 ~\-р. Обозначим эти подгруппы порядка
pm-i через
(1) Gp G.„ . . ., G^p.
Разобьем теперь все подгруппы данного порядка р" (l^n^m—1)
на две категории, относя к первой категории те из них, которые
содержатся по крайней мере в одной из подгрупп ряда (1), и ко
второй— все остальные подгруппы порядка рп. Доказывается, что число
подгрупп первой категории сравнимо с 1 -\-р (mod р2), а число
подгрупп второй — с 0 (mod р2), откуда и следует наша теорема.
В случае р = 2 теорема остается верной только для некоторых
частных типов групп. Например, теорема верна для гамильтоновой
группы порядка 2т (т ;> 4).

40
А. А. КУЛАКОВ
Далее устанавливается теорема о числе элементов нециклической
группы порядка рт (р > 2, т > 1), порядки которых делят рь (1 < s<
<; т— 1). Именно, доказывается, что число решений уравнения Хръ = 1
делится не только на ps (что составляет содержание известной теоремы
Фробениуса), но даже на ps+1. Следует при этом заметить, что это верно
для любой нециклической группы, если только р > 2 и если подгруппы
Силова порядка р* нециклические. В самом деле, обозначим через
п8 (s < <х) число тех элементов данной группы G, порядки которых
делят р8у и через r\s — число элементов порядка р\ Ясно, что
(2) *e = /!e+1 —1)8_г
По теореме Фробениуса п8+1 делится на /?Srl. Если группа G не
содержит элементов порядка р8*1, т. е. ^^ = 0, то по (2) tis = ns^[y
так что п8 делится на р8+1.
Предположим теперь, что ч\8+1 > 0. По теореме Миллера [16] число
£s+1 циклических подгрупп порядка p8rl группы G делится на /?, так
что cs^l = kp, где k — целое число. Таким образом
так что г\8+1 делится на р8~1, значит, и п8 = пь х — гы { делится на
р^1 1).
§ 2. Доказательство теоремы о числе подгрупп данного порядка
в /7-группе, принадлежащее А. А. Кулакову, весьма сложно.
В дальнейшем О. Ю. Шмидтом [17] и затем Холлом (P. Hall) [4]
были даны более простые доказательства. В своей работе Холл вновь
доказывает не только теорему А. А. Кулакова, но и упоминавшиеся
в § 1 теоремы Фробениуса и Миллера, применяя установленное им
„правило перечисления" (enumeration principle), являющееся аналогом
известной теоретико-числовой теоремы Сильвестра [18].
Впоследствии, в другой работе Холл приводит теорему,
обобщающую теорему о числе подгрупп в р-группах на случай любой
нециклической группы [5, стр. 501]. Но его доказательство, по мнению
автора настоящей статьи, не может быть признано полным2).
Отметим еще работы М. Tazawa [19], в которых автор, пользуясь
„правилом перечисления" Холла и теоремой А. А. Кулакова,
устанавливает некоторые теоремы о р-группах.
Рассмотренное выше предложение о числе подгрупп данного
порядка в /7-группах усиливает в этом частном случае „вторую" теорему
Силова. Что касается „первой" теоремы (по которой всякая конечная
группа имеет по крайней мере одну подгруппу порядка /?», если ее
порядок делится на эту степень простого числа /?), то она была до-
2) Легко видеть, что вообще число элементов порядка п какой-либо группы
делится на ср (п). Это замечание усиливает некоторые результаты,
приведенные в работе Дюбюка „La generalisation du tlieoreme de Turkin"
(Математический сборник, т. 1 (43) (1936), стр. 603-605.
2) Более подробные соображения по этому вопросу приведены в заметке
Einige Bemerkungen zur Arbeit ,On a theorem of Frobenitis" von P. Hal],
печатающейся в Математическом сборнике.

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ ХАРАКТЕРОВ
41
полнена теоремами, устанавливающими наличие подгрупп составного
порядка, отличного от степени простого числа [7] :J). Но эти
результаты много уступают первой теореме Силова в точности
формулировки.
II. ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ ХАРАКТЕРОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯМ.
§ 3. В приложениях теории характеров групп основную роль играют
различные соотношения между характерами, установленные впервые
Фробениусом. А. А. Кулаков [8] показал, что не только сами
характеры, но и их действительные (соответственно мнимые) части связаны
между собой определенными соотношениями. Первоначальный вывод
был основан на методе Бернсайда (W. Burnside). Оказалось, однакск
что упомянутые соотношения могут быть выведены непосредственна
из формул Фробениуса, причем получаются и некоторые новые
результаты, что приводит к полному „расщеплению" классических
соотношение
Будем обозначать через /]* характер элемента Р данной группы G
порядка g в ее неприводимом представлении Гм. Пусть /? и S—два
элемента группы G, причем S не сопряжено с R~K Тогда имеет места
соотношение
где суммирование по и распространяется на все неприводимые
представления группы О. Если при этом и S"1 не сопряжено с /?~1, то
будет
(2) £ ■& ;U = o.
Из (1) и (2) следует
(3) 2 У.'п (7." +7.S-1) = 0.
Так как характеры взаимно обратных элементов суть сопряженные ком-
плексные числа, то
так что (3) принимает следующий вид:
(4) i/;^=o-
Но Ш'/% — действительное число при любом значении и, значит,
соотношение (4) равносильно следующим двум:
(4t) 2«&Юх$ = о
11 = 1
3) См. также статью С. А. Чунихина в настоящем сборнике.

42
А. А. КУЛАКОВ
<4а) 2 3Xr%V^=0,
и = 1
где Зх.е обозначает коэфициент при / в мнимой части характера у^.
Если же S~l сопряжено с Z?-1, а 5 и /?-* попрежнему не
сопряжены между собой, то на основании аналогичных соображений
получим
<5) Ж^-щ-
где hs — порядок класса, которому принадлежит S, и
(в) 2зхЖ=°-
и — 1
Подобным же образом можно установить следующие соотношения:
<7) 2 Щ« Я у* = О (« ф v, и ф г»') «),
(8) 2CK$a = -i (« Ф«'),
(9) 2 Зх" 9*7.5 = 0 («ф^.ифо')
■и
(10) 23xS9ty.5 = 0»
5
где во всех случаях суммирование по 6* распространяется на все
элементы группы G.
§ 4. Одним из наиболее важных понятий теории групп является
понятие нормального делителя (инвариантной подгруппы), введенное
впервые Э. Галуа. Известно, что при наличии нормального делителя
значительно упрощается исследование некоторых вопросов о структуре
различных групп. Кроме того, нормальные делители играют весьма
большую роль в приложениях теории групп, особенно в
приложениях к алгебре (теория Галуа). Естественно поэтому, что вопрос
о непростоте той или иной группы привлек к себе внимание ряда
ученых и стал предметом многочисленных исследований.
В 1897 г. Бернсайд впервые обратил внимание математиков на то
обстоятельство, что не существует ни одного примера простой группы
нечетного составного порядка. Вопрос, поставленный Бернсайдом,
приобретает особый интерес потому, что из непростоты групп нечетного
составного порядка следовала бы их разрешимость. Таким образом
положительное решение вопроса о наличии нормального делителя
4) В этом параграфе я следую обозначениям Бернсайда (В urn side,
Theory of groups of finite order, 1911).

ИССЛЕДОВАНИЯ НО ТЕОРИИ ХАРАКТЕРОВ ( 43
у групп составного нечетного порядка привело бы к следующей
замечательной теореме алгебры: Всякое алгебраическое уравнение, порядок
группы Галуа которого есть нечетное составное число, разрешимо
в радикалах.
Очень тонкие и сильные методы для решения вопроса о непростоте
различных групп дает теория характеров, созданная Фробениусом
(1896). Первое приложение теории характеров к указанным
вопросам принадлежит Бернсайду. В дальнейшем Фробениус и Бернсайд
установили при помощи теории характеров ряд весьма важных теорем
о непростоте и разрешимости групп.
В настоящей статье мы укажем некоторые результаты, полученные
в этой области за последнее время [9].
Введем следующие обозначения. Пусть G — абстрактная группа
порядка g. Пусть, далее, р — простой делитель g такой, что (g, р — 1) = 1,
и Р— один из элементов порядка р группы G. Фробениус доказал
[2, стр. 850], что элементы подгруппы {Р} принадлежат к различным
классам
группы G, причем С{ обозначает класс, состоящий из единицы Е этой
группы. Легко убедиться, что порядки классов С2, С., .. ., Ср равны
одному и тому же числу h.
Обозначим, далее, через
Г Г Г
V 2* • • • ? х г
различные неприводимые представления группы О (где}]^ — единичное
представление) и через Ги р — представление подгруппы {Я},
заключенное в Гм. Пусть во вполне приведенной форме Г р имеет вид
р
1 v— 1
причем fp Т->» •••> Т/; СУТЬ различные неприводимые представления
подгруппы {Р}.
Можно доказать [9] следующую теорему: Для того чтобы все
отличные от нуля числа knv, относящиеся к одному и тому же
неприводимому представлению Гм(и=1, 2, ..., г), были равны между
собой, необходимо и достаточно, чтобы имело место следующее
соотношение:
(с) £ £ qCjQCy^h £ £ QQC(fTi_,r +
г = 2 j = 2 i=z 2 j — 2
+ A2£c,C,« Wj-j- 1)ф1] 5),
причем мы полагаем (i-\-j—1) = /+У—1—Р или ^+7—1> смотря
по тому, будет ли г-f-y—1>р или нет. При доказательстве исполь-
й) Условие (/ + ; —1)4=1 относится к правой части этого соотношения.

44
А. А. КУЛАКОВ
зуется вышеупомянутая теорема Фробениуса, а также следующее
соотношение:
pKv = 2л Хв-i 'Ь? >
где tyvR — характер элемента R подгруппы [Р] в ее представлении ^г>
а суммирование по R распространяется на все элементы (Я).
Если при этом р— наименьший простой делитель g, то, при
выполнении условия (с), группа О не простая. В самом деле, известно,
что существует по крайней мере одно неприводимое не единичное
представление Тм, степень которого •/" не делится на /?. Но
р
7л == 2и Ruv == & и а«'
v = l
где zu — число различных неприводимых компонентов представления
Ти р, a k —индекс каждого из этих компонентов. Легко показать,
что ои=1. Действительно, /" как делитель g не может делиться на
число, большее 1 и меньшее р. Следовательно, если ак > 1, тоои = ру
т. е. •£ делится на р, что противоречит предположению. Итак, aw=l,
т. е. все матрицы группы Ги р скалярные. Таким образом, если
Ти р < Г , то G имеет нормальный делитель, заключающий {Р}. Если же
Ти р = Тп, то степень неприводимой абелевой группы Yu равна 1,
следовательно, число JX представлений первой степени группы G больше 1.
Но [а равно индексу коммутанта, значит, коммутант отличен от G, что
и доказывает нашу теорему.
Отметим одно следствие [11] этой теоремы. Предположим, что
0 = G2tl+l есть группа нечетного составного порядка 2/г —|— 1. Можно
доказать, что если классы С2, С3, ..., Ср группы Gi>;,rl компони-
руются между собой по закону
CiCJ = hC(irJ_1) (/>1,]>1,;фО,
то G2n_rl — не простая группа. Вопрос о том, насколько широким
является класс групп нечетного порядка, для которых это условие
фактически выполняется, остается открытым. Некоторые результаты
приведены в работе А. А. Кулакова [12].
Вышеприведенное следствие было обобщено А. П. Дицманом в
другом направлении. Дальнейшие обобщения принадлежат А. П. Дицману
и А. А. Кулакову [1] 6).
§ 5. Числа kuv связаны между собой соотношениями, которые
можно установить [9], пользуясь методом Фробениуса, примененным
им при доказательстве его известной теоремы о непростоте
транзитивной группы подстановок степени п и класса п— 1. Именно, если g и
;) См. также статью А. П. Дицмана в настоящем сборнике.

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ ХАРАКТЕРОВ
45
р — 1—взаимно простые числа, то имеют место следующие
соотношения:
г
Из (1) и (2) следуют некоторые соотношения, полученные впервые
Фробениусом [2, стр. 851] при помощи других соображений.
Отметим еще один критерий инвариантности подгруппы G'
порядка g группы G. Для того чтобы G' была инвариантной
подгруппой группы G,' необходимо и достаточно, чтобы имело место
равенство
S
k1 - £-
"! ~~ g''
где kul обозначает индекс единичного представления подгруппы Gr
во вполне приведенном представлении Г^ &г, т. е. в представлении G',
заключенном в Гм.
Пользуясь этим результатом, можно весьма просто доказать
следующую теорему, установленную впервые А. А. Кулаковым [13]: Если
G'—нормальный делитель группы G, то или все неприводимые
компоненты представления Ги G, отличны от единичного представления, или
все они тождественны с этим представлением.
§ 6. Вопрос о существовании нормального делителя у группы
нечетного составного порядка (поставленный Бернсайдом) остается до
сих пор открытым. А. А. Кулаков высказал предположение [14], что,
может быть, имеет место даже такая теорема: Если элементы
какой-либо подгруппы простого нечетного порядка данной
нециклической группы G конечного порядка не сопряжены между собой, то G —
не простая группа.
Если бы это предположение было верно, то отсюда непосредственно
следовало бы, что всякая группа нечетного составного порядка — не
простая. В самом деле, если G — группа нечетного порядка и Р —
какой-либо ее элемент порядка р, где р — наименьший простой
делитель порядка группы G, то элементы подгруппы [Р] не сопряжены
между собой [2, стр. 850], так что условие предполагаемой нами
теоремы выполняется.
Оно выполняется также и в известной теореме Бернсайда, по
которой группа — не простая, если одна из ее подгрупп Силова входит
в центр своего нормализатора. То же имеет место и в более общих
теоремах, установленных Фробениусом [2, стр. 855], В. К. Туркиным
[20] и О. Грюном (О. Grun) [3, стр. 8].
Заметим еще, что наше предположение можно высказать и в такой
форме: Во всякой нециклической простой группе элемент Р нечетного
простого порядка р сопряжен со своей степенью Р*, причем 1 < <х < р.

46
А. А. КУЛАКОВ
Это верно для известной бесконечной системы простых групп
порядка ~2р{р2— 1) и для знакопеременных групп степени п ;> 5 [14].
Другие системы простых групп в этом направлении пока не исследованы.
Отметим еще следующую теорему [14], имеющую связь с указанным
кругом вопросов: Если группа О содержит циклическую подгруппу
порядка ра (р — простое число, которое может быть равно и 2),
один из элементов которой S' порядка р$ ({3 <; а) не сопряжен со своей
степенью, и если —, где п обозначает порядок нормализатора эле-
Р
мента S', не делится на р, то G — не простая группа.
III. ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АБСТРАКТНЫХ
ГРУПП ПОДСТАНОВКАМИ.
§ 7. Теория конечных групп в первый период своего
существования имела своим предметом изучение групп подстановок. Правда,
некоторые методы, применявшиеся различными учеными, по существу не
зависели от тех или иных конкретных свойств подстановок, но это
обстоятельство было замечено и использовано лишь в дальнейшем,
когда начала развиваться абстрактная теория групп.
В абстрактной теории групп мы совершенно отвлекаемся от
конкретных свойств элементов данной группы, изучая лишь законы их
композиции. Благодаря глубоким, фундаментальным работам Фробениуса
и исследованиям других ученых абстрактная теория групп, по крайней
мере со стороны своей методики, кажется близкой к завершению.
Наконец, нужно заметить, что ряд важных результатов в теории
групп был получен на основе синтеза двух отмеченных направлений,
синтеза „конкретного" и „абстрактного". В самом деле, достаточно
вспомнить теорию представлений абстрактных групп обыкновенными и
линейными подстановками, чтобы получить понятие о той громадной
пользе, которую наука уже извлекла из упомянутого выше синтеза.
Напомним, что конечность числа неизоморфных между собою групп
данного порядка весьма просто устанавливается с помощью
представления данной группы подстановками.
Что касается теории характеров, то она нашла себе применение
главным образом в вопросах непростоты и разрешимости групп, причем
здесь с ее помощью был получен ряд исключительно сильных
результатов.
Тем не менее, идея одновременного использования абстрактных
свойств исследуемой группы и свойств подстановок, с помощью
которых она представляется, не получила еще, повидимому, должного
развития. В частности, не изучалось систематически регулярное
представление.
В своих последних работах7) А. А. Кулаков устанавливает ряд
новых свойств регулярного представления, причем основной целью
является возможно более глубокое проникновение в структуру под-
?) Ober die regulere Darstellung einer abstrakten Gruppe, I, Математический
сборник, т. 2 (44) (1937), стр. 357—359, и И (печатается в Математическом
сборнике).

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АБСТРАКТНЫХ ГРУПП ПОДСТАНОВКАМИ 47
становок этого представления. Мы приведем здесь наиболее
существенные результаты.
Пусть попрежнему G обозначает абстрактную группу порядка g.
Пусть Г — ее регулярное представление, т. е. изоморфная с О
транзитивная группа подстановок степени g. Обозначим, далее, через Я
элемент порядка р группы G, где р — простой делитель g, и
рассмотрим разложение G по модулю {Я}:
G={P} + {P}Ta+... + {P}T„.
Сопряженные системы этого разложения являются системами
импримитивности группы Г. Один из результатов указанных работ состоит
в следующем: Если А и В— два любых элемента G, причем порядок
В равен by то или все элементы
А, АВ, АВ\ ..., АВЬ~1
принадлежат к различным системам импримитивности, или совокупность
этих элементов состоит из нескольких систем импримитивности.
В одном частном случае можно получить более определенный
результат. Именно, пусть
N={P) + {P)T3+...-\-{P)Tn (1<я<т)
есть нормализатор подгруппы (Я) в G. Предположим при этом, что
элементы {Я} не сопряжены между собой. Тогда можно доказать, что
элементы
Р*Тп., /*7>Я,..., /*Tn./»-i (л'>л)
принадлежат к различным системам импримитивности.
Отметим еще некоторые свойства группы Г. Если Р—элемент
простого порядка р группы G и если Р не является степенью
элемента Q, то никакие два символа группы Г не могут входить
одновременно в какой-либо цикл подстановки Q8) и в какой-либо цикл
подстановки Q~iPHQi (при любых значениях f и s). Докажем это.
Допустим, что два символа группы Г входят в цикл подстановки Q и
в цикл подстановки Q-tP8Qt. Тогда некоторые степени этих
подстановок, в силу регулярности Г, должны совпадать между собой, таг
что, например,
Q> = (Q-tP*Qif = Q-tP*VQi,
откуда Qa = P*$. Но так как р — простое число, то будем иметь Р =
= Qax (х — целое число), что противоречит предположению.
Если Р и Q *не перестановочны и если элементы подгруппы (Я)
не сопряжены между собой, то аналогичное утверждение верно и для
подстановок Я и Q-1PiQ.
Далее, если 5 и Т—две любые подстановки группы Г, то или все
символы Г, принадлежащие к какому-либо циклу S, входят в различные
циклы подстановки Г, или те символы Г, которые входят одновременно
в цикл подстановки 5и в цикл подстановки Г, располагаются в
каждом из этих циклов на равных расстояниях друг от друга.
8) Мы обозначаем вообще через 5 подстановку группы Г, соответствующую
элементу S.

48
А. А. КУЛАКОВ
Рассмотрим один частный случай. Именно, пусть S и Т имеют
соответственно вид
и S = (a9 а, Э, Ь, ъ о, с, ...)(...)...
Г=(л,а/,*, ...)(...)...
Ясно, что S'] и Г2 обе переводят а в Ь, так чго, ввиду регулярности Г,
должно быть 5}=Г-. Но S* заменяет b на с, значит, то же должно
иметь место и для Г2, следовательно, цикл подстановки Г,
содержащий а> должен быть вида (я, а', Ь, ^', с, . . .). Продолжая это
рассуждение, докажем полностью наше утверждение в рассматриваемом
частном случае. Но ясно, что и в самом общем случае приведенные только
что соображения сохраняют свою силу.
Наконец, известно, что все циклы какой-либо подстановки группы Г
содержат одно и то же число символов.
Мы видим, таким образом, что подстановки группы Г
удовлетворяют ряду условий различного характера, а это естественно приводит
нас к предположению о наличии значительных правильноетей в структуре
этих подстановок. Действитетьно, в некоторых частных случаях
оказывается возможным так занумеровать символы группы Г, что цифры,
принадлежащие к различным циклам подстановки Р или Q, образуют
арифметические прогрессии по модулю, равному порядку данной группы.
Детальное изучение структуры подстановок группы Г привело бы,
несомненно, к важным результатам. Но исследование этих вопросов еще
только началось и представляет пока ряд значительных трудностей.
По всей вероятности исчерпывающее решение задачи может быть
лолучено лишь с привлечением соображений комбинаторного характера.
Цитированная литература,
[1] А. П. Дицман и А. А. Кулаков, Некоторые критерии непростоты
-конечных групп. Доклады Академии наук СССР, г. III (VIII) (1935), № 1,
сгр. 11—12.
[2J G. Frobenius. Ober auflosbare Gruppen. III. Sitzungsberichte der
preussischen Akademie der Wissenschaften, Jahrg. 1901, стр. 849—857.
[3] О G run, Beitrage zur Gruppentheorie. I. Journal fiir die reine und
•angewandte Mathematik, i. 174 (1935), стр. 1—14.
[4] P. Hall. A contribution to the theory of groups of prime-power order.
Proceedings of the London Matheraitical Society (2), т. 36 (1933), сгр. 29—95.
[5] P. Hall, On a theorem of Frobenius. Proceedings of the London
Mathematical Society, т. 40 (1935), стр. 468—501.
[6] \. Kulak off, Ober die Anzahl der eigentlichen Untergruppen und der
Elemente von gegebener Ordnung in p-Gruppen. Mathematische Annalen, т. 104
(1931). стр. 778—793.
[7] А. А. Кулаков и Сергей Чуни хин, О подгруппах составного
порядка конечной группы. Математический сборник, т. 39, №3 (1932), сгр. 67—69.
[8] A. Kulak off, Sur les relations entre les parties reelles des caracteres
de groupes. С R. Acad. Sci. Paris, т. 195 (1932), стр. 594—596. См. также А. К и-
lakoff, Ober Relationen zwischen den Realteilen der Gruppencharaktare.
Математический сборник, т. 1 (43) (1936), стр. 257—260.
[9] A. К u la koff, Einige Anwendungen der Theorie der Gruppencharaktere.
Mathematische Annalen, т. 113 (1936), стр. 216—225.
[10] А. К ul a koff, Verallgemeinerung eines Satzes von Frobenius.
Математический сборник, т. 1 (43) (1936), стр. 261.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
49
[11J A. Kula kof f, Sur le probleme de Burnside. С. R. Acad. Sci. Paris,
T- 199 (1934), стр. 116-119.
[12J А. Кулаков, О некоторых свойствах конечных групп.
Математический сборник, т. 1 (43) (1936), стр. 253—255.
[13J А. Кулаков, Об одной теореме теории характеров групп.
Математический сборник, т. 36 (1929), стр. 129—133.
[14] A. Kula k off, Sur quelques theoremes qui se rattachent a un probleme
de Burnside. С R. Acad. Sci. Paris, т. 200 (1935), стр. 2141—2143.
[15] G. A. Miller, Form of the number of subgroups of prime power groups.
Bulletin of the American Mathematical Society, т. 26, № 2 (1919), стр. 66—72.
[16] G. A. Miller, An extension of Sylow's theorem. Proceedings of the
London Mathematical Society (2), т. 2 (1904), стр. 142—143.
[17] О* Ю. Шмидт, Новое доказательство теоремы А. Кулакова в
теории групп. Математический сборник, т. 39 (1932), стр. 66—71.
[18] Sylvester, Note sur le theoreme de Legendre ... С R. Acad. Sci.
Paris, т. 96 (1883), стр. 463—465.
[19] M. Taza wa. Remarks on Frobenius' and Kulakoffs theorems on
/f-groups, I и II. Science reports of the Tohoku university, т. 23 (1934), стр. 449—
476, и т. 24 (1935), стр. 161—163.
[20] W. К. Т u г k i n, Ein neues Kriterium der Einfachheit einer endlichen
Gruppe. Matheraatische Annalen, т. Ill (1935), стр. 281—284.

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП.
А. Г. КУРОШ.
ВВЕДЕНИЕ.
В настоящей статье дается обзор теоретико-групповых результатов,
полученных автором до 1937 г. Этот обзор имеет целью некоторую
систематизацию указанных результатов и выделение основных
направлений, по которым шли исследования, но не претендует на замену
или дополнение тех работ, в которых эти результаты были
опубликованы. В обзоре отмечены поэтому все более или менее
существенные результаты, но методы, которыми эти результаты получены,
намечены лишь в самых общих чертах — чаще всего дается схема дока-
зательстЕа и опускаются все детали. Совершенно опускаются также
все доказательства, технически сложные, но принципиально не очень
интересные.
Вниманию читателя, интересующегося общим состоянием теории
бесконечных групп и очередной проблематикой этой теории,
рекомендуется статья автора „Пути развития и некоторые очередные проблемы
теории бесконечных групп", напечатанная в „Успехах математических
наук", вып. 3 (1937), стр. 5—15, и являющаяся изложением речи автора
на защите им докторской диссертации. Заметим, впрочем, что за время,
протекшее после написания этой статьи (т. е. с весны 1936 г.),
трудами советских и иностранных ученых произведены большие сдвиги
в теории бесконечных групп, в частности, и по некоторым из
направлений, намеченных в указанной статье.
I. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
[A. ZurZerlegung unendlicher Gruppen. Mathematische Annalen, т. 106
(1932), стр. 107—113.
Б. Ober absolute Eindeutigkeit der direkten Produktzerlegungen einer
Gruppe. Математический сборник, т. 1 (43) (1936), стр. 345—349.]
1. Изоморфизм двух разложений. Работа А содержит некоторое
обобщение теоремы Ремака-Шмидта. О. Ю. Шмидт (Uber unendl che
Gruppen mit endlicher Kette, Mathematische Zeitschrift, т. 29 (1928),
стр. 34—41) доказал изоморфизм двух прямых разложений группы G,
если эта группа обладает следующими двумя свойствами:
а) обрыв убывающих цепочек подгрупп, т. е. таких убывающих
последовательностей
Н0 = G => Н1 => Я2 =>...=) Ип =э...,

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 51
что всякая подгруппа Ип является нормальным делителем в Яп-1,
я = 1, 2, ...;
б) обрыв возрастающих цепочек.
В работе А доказывается, что на самом деле достаточно лишь
обрыва убывающих цепочек, т. е. доказывается следующая
Теорема. Если G — группа с обрывом убывающих цепочек подгрупп,
то всякие два разложения этой группы в прямое произведение
неразложимых множителей обладают равным числом множителей,
множители попарно центрально изоморфны и всякий множитель одного
из разложений может быть заменен некоторым ему центрально
изоморфным из другого разложения.
Для случая групп без операторов эта теорема обобщает теорему
Ремака-Шмидта. Ее доказательство, однако, существенно опирается на
некоторые факты из теории примарных абелевых групп и не может
быть поэтому проведено для групп с любым множеством операторов,
тогда как теорема Ремака-Шмидта справедлива для любых
операторных групп и даже, как это выяснилось в самое последнее время,
является по существу теоретико-множественной, относясь к так
называемой теории структур.
2. Доказательство теоремы. Как следует из некоторых
результатов Прюфера (Untersuchungen tiber die Zerlegbarkeit der abzahlbaren
primaren Abelschen Gruppen, Mathematische Zeitschrift, т. 17 (1923),
стр. 35—61), эта теорема справедлива для абелевых групп с обрывом
убывающих цепочек. Будем считать поэтому, что группа G
некоммутативна.
Пусть М есть множество подгрупп группы G, составленное
следующим образом: к нему принадлежат Есе нормальные делители группы G,
все их нормальные делители и т. д. Обрыв убывающих цепочек
позволяет снабдить всякую подгруппу из М некоторым трансфинитным
индексом. Мы полагаем, что единичная подгруппа имеет индекс 1. Если
подгруппы с индексами ос для всех а, меньших дашного {3, уже
установлены и если М^ есть множество всех этих подгрупп, то индекс р
мы приписываем тем подгруппам из М, которые лежат вне М^ но не
имеют Ене М^ истинных нормальных делителей; ввиду обрыва
убывающих цепочек такие подгруппы должны существовать. Понятно, что
группа G получает максимальный индекс.
Доказывается теорема индукцией, ведущейся по индексу группы.
Пусть даны два разложения группы G в прямое произведение
неразложимых множителей:
G = И{ X Я2 X • • . X Hk = Fx X F2 X . • . X Fi •
Число множителей будет конечным ввиду обрыва убывающих цепочек.
Пусть компонента подгруппы Нх в Fi есть /\, и
Тогда G* = Н1ХН> гДе Н содержится в произведении Н2 X ... X Нк*
Если хотя бы одна из компонент Fi отлична от соответствующей
подгруппы Fi9 то G* имеет меньший индекс, чем группа G, т. е. для G*

52
А. Г. КУРОШ
теорема уже считается доказанной. Тогда множитель Н{ из разложения
НХУ^Н может быть заменен некоторым неразложимым множителем F",
например из /7Г Отсюда легко следует, что G = /^'x#2 X . • • X Нк, а
поэтому f"x = Fv и подгруппы Н2 X • . • X Нк и /%Х.. . X ^
Центрально изоморфны. Для них теорема уже доказана и это приводит к
доказательству нашей теоремы.
Пусть теперь компонента подгруппы Hi во всяком F{ совпадает с Fr
Отсюда следует, что все множители Н2, ..., Нк коммутативны, т. е.
Нх является единственным некоммутативным множителем из первого
разложения. Начиная рассмотрение от Н2 вместо Н19 мы приходим
к уже рассмотренному случаю, т. е. получаем изоморфизм обоих
разложений. Возможность замещения множителя Н1 в первом разложении
доказывается последовательным замещением коммутативных множителей
из второго разложения.
3. Прямые множители без центра.
Теорема. Если G = Hi X Н% X ... X ^4 есть разложение группы G
в прямое произведение неразложимых множителей и И{ является
группой без центра, то во всяком другом разложении группы G
в прямое произведение неразложимых множителей G = Fx Х^Х • • • Х^
один из множителей, например Fv центрально изоморфен с Н{ и
может его замещать, а Н.2 X . • • X Ни ~ Р* X .. . X Pi-
Заметим, что эта теорема не требует никаких предположений
об обрыве цепочек подгрупп.
Доказательство. Пусть И\ есть компонента подгрупы Fi в Hv
Из отсутствия центра в Н1 следует, что эти компоненты образуют прямое
произведение, равное Hv Ввиду неразложимости Н1 отсюда следует, что
H\ = HV а все И[ = 1при/ф !>т. е. F2X- - .Х^<=#аХ--.Х#*- ЕслиО
■есть пересечение подгрупп Fx и Я2Х • • • ХНк, то G = tfjX^X^oX •. • X
X/7/, откуда следу^$, что Ft центрально изоморфно произведению Н{ X &•
Неразложимость подгруппы Ft приводит, наконец, к заключению, что
D = 1, F{ и И1 центрально изоморфны и Н2 X • • • Х^ = ^оХ • • • X Pi-
Из этой теоремы следует, что группа без центра может обладать
лишь одним единственным разложением в прямое произведение
неразложимых множителей и что вообще всякие два неразложимых далее
разложения группы, центр которой неразложим, всегда являются
изоморфными, т. е. для групп этого типа справедлива основная теорема
о разложимости в прямое произведение.
4. Единственность разложения в прямое произведение.
Определения. Выше рассматривался вопрос об изоморфизме двух разложений
группы в прямое произведение неразложимых множителей. В работе Б
ставится вопрос об условиях, при которых группа обладает лишь одним
единственным разложением этого рода. В этой работе объединяются
методы и результаты работы Фиттинга (Ober die direkten Produktzerle-
gungen einer Gruppe in direkt unzerlegbare Faktoren, Mathematische
Zeitschrift, т. 39 (1934), стр. 16—30), в которой вопрос о
единственности рассматривается для групп с обрывом возрастающих и убывающих
цепочек нормальных делителей, и работы Бера (The decomposition of

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 53
abelian groups into direct summands, Quarterly Journal of
mathematics, Oxford, т. 6 (1935), стр. 222—232), относящейся к абелевым
группам.
Пусть G есть группа с произвольным множеством операторов.
Автоморфизмами этой группы называем любые операторно-гомоморф-
ные отображения ее в себя. Автоморфизм называется собственным,
если он является изоморфным отображением группы G на себя.
Автоморфизм ^ называется нормальным, если он перестановочен со всеми
внутренними автоморфизмами группы, т. е. если
£-1(я?)£ = (£-1а£)?
для любых элементов а и b из G. Подгруппа Н из G называется
N*-характеристической (соотв. N-характеристическои), если она при
всех нормальных (соотв. при всех нормальных собственных)
автоморфизмах отображается на подгруппу самой себя. Автоморфизм ср
называется равностепенным, если 92 = ?-
Оказывается, что группа G будет тогда и только тогда
неразложимой в прямое произведение, если ее единственными нормальными
автоморфизмами являются тождественный автоморфизм е,
отображающий всякий элемент группы в самого себя, и нулевой
автоморфизм о), переводящий все элементы группы в единицу. Вообще, если
а
есть одно из разложений группы О (множители Ла могут быть
разложимыми, их множество может быть бесконечным), то всякому
множителю Л, может быть поставлен в соответствие отличный от е и о»
равностепенный нормальный автоморфизм о0, переводящий все элементы
группы G в их компоненты в Ла.
5. Единственность разложения. Основные результаты.
Лемма. Если G = Нх X Но есть разложение группы G в прямое
произведение двух множителей и если 0 есть нормальный
автоморфизм группы G, отображающий множитель Нх не в себя, то
существует нормальный собственный автоморфизм /, оставляющий
инвариантными элементы из Н2 и отображающий множитель Ht
также не в себя самого. Легко видеть, действительно, что если ох и ?2
являются нормальными равностепенными автоморфизмами,
соответствующими множителям Нх и Н,2 в разложении G =/И1ХН2Уто искомый
автоморфизм у получается при отображении всякого элемента g в
элемент g • gv^z.
Отсюда следует, что всякий АЛхарактеристический прямой
множитель группы G является и Af*-характеристическим. Это используется
при доказательстве следующей теоремы:
Если
являются разложениями группы G в прямое произведение и если все

54
А. Г. КУРОШ
множители Ла N-характеристичны, то имеет место разложение
где С^ есть пересечение подгрупп Ла и Во.
На этом основаны следующие теоремы:
Разложение G = J^J[_ Ла тогда и только тогда является един-
ственным разложением группы G в прямое произведение
неразложимых множителей, если все множители Ла N-характеристичны.
Первая половина этой теоремы непосредственно следует из
предыдущей теоремы. Вторая половина доказывается следующим образом:
если множитель Л, не ЛА-характеристичён, то указанная выше лемма
позволяет устроить разложение группвг G, отличное от XL^**
а
Разложение G = J[J_ Ла тогда и только тогда является един-
а
ственным разложением группы G в прямое произведение
неразложимых множителей, если отображение всех элементов из Аа в
единицу является единственным нормальным гомоморфизмом подгруппы Аа
в подгруппу Л3 пРи ? ф а* Заметим, что нормальным считается такой
гомоморфизм одной подгруппы в другую, который перестановочен
со всеми внутренними автоморфизмами группы G.
II. КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ.
[Eine Verallgemeinerung des Jordan-Holderschen Satzes, Mathema-
tische Annalen, т. Ill (1935), стр. 13—18.]
1. Постановка проблемы. Определения. Теорема Жордана-
Гельдера об изоморфизме композиционных рядов группы,
доказанная сперва лишь для конечных групп, на самом деле остается
справедливой для любых групп, обладающих композиционными
рядами. В излагаемой здесь работе понятие композиционного ряда
заменяется более общим понятием композиционного множества группы
и устанавливается условие, при котором для композиционных множеств
справедлива теорема, аналогичная теореме Жордана-Гельдера.
Пусть G есть группа с любым множеством операторов.
Множество N некоторых ее подгрупп Н назовем нормальным
множеством, если выполнены следующие условия:
а) N содержит единичную группу и группу G;
б) если подгруппы И' и Н" принадлежат к N, то одна из них
непременно содержится в другой, т. е. множество N является
упорядоченным;
в) всякая подгруппа И из N соединяется в N с группой G
конечным нормальным рядом, т. е. в N можно найти также подгруппы Hv
Я2, ..., //*_!, что
Н0 = НаН{аН2с: .. . czHk_lczHh = G
и Hi является нормальным делителем в HirV / = 0, 1, ..., k—1.

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 55
Упорядоченность, указанную в б), мы будем считать
упорядоченностью по возрастанию. Заметим, что если при этой упорядоченности
подгруппа И из N обладает в N непосредственно следующей
подгруппой Н\ то по в) И будет нормальным делителем в Н\
Нормальное множество N' назовем уплотнением нормального
множества Л/, если всякая подгруппа из N входит и в N'. Нормальное
множество, не имеющее дальнейших уплотнений, назовем
композиционным множеством. Так как теоретико-множественная сумма возрастающей
последовательности нормальных множеств группы сама является
нормальным множеством, то, применяя обычную трансфинитную индукцию,
можно доказать, что всякая группа обладает композиционными
множествами.
Если в нормальном множестве N подгруппа Н' непосредственно
следует за подгруппой Н, то факторгруппу Н'\Н мы будем называть
фактором множества N Нормальные множества N' и N" называются
изоморфными, если факторы этих двух множеств можно так поставить
во взаимно однозначное соответствие, что соответствующие факторы
будут изоморфными группами.
Возникает вопрос, всегда ли два любых композиционных множества
группы изоморфны. Простые примеры показывают, что в общем случае
ответ получается отрицательным. Действительно, уже в бесконечной
циклической группе, порожденной элементом а, подгруппы Нк = { 2ка \
и Fk= \Зка\, k = 0, 1, 2, ..., образуют вместе с единичной группой
два неизоморфных композиционных множества. В прямой сумме
счетного множества конечных циклических групп простого порядка р
имеются как счетные композиционные множества, упорядоченные по
типу множества натуральных чисел, так и континуальные,
упорядоченные по типу множества действительных чисел. Ниже (в п. 3) будет
указан о условие, при котором композиционные множества группы
изоморфны.
2. Уплотнения с повторениями. Будем рассматривать, помимо
определенных выше нормальных множеств, еще нормальные
множества с повторениями, допуская, что подгруппы Нх и Н.2 из
некоторого нормального множества могут быть равными между собою.
Понятия изоморфизма и уплотнения переносятся на множества с
повторениями без всяких затруднений.
Два любых нормальных множества произвольной группы обладают
изоморфными уплотнениями с повторениями.
Эта теорема является обобщением теоремы Шрейера для конечных
нормальных рядов (Uber den Jordan-Holderschen Satz, Abhandlungen
aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universitat, т. 6
(1928), стр. 300—302). В доказательстве используется метод,
одновременно примененный Цассенхаузом (Zum Satz von Jordan-Holder-
Schreier, там же, т. 10 (1934), стр. 106—108) для нового доказательства
теоремы Шрейера.
Пусть N' = { На ) и N" = { Fp} — два нормальных множества
группы G. Индексы аир пробегают некоторые упорядоченные
множества, а0<^а^ос, 30<;(3<;р. Если в N' имеется подгруппа,
непосредственно следующая за Н0, то мы будем обозначать ее через //ат.г

56
А. Г. КУРОШ
Если a -j- 1 существует, то обозначаем
Д*р = Дх^а+^^-
ЕсЛИ J3-J-1 существует, то обозначаем
Искомое уплотнение множества N' устраиваем теперь так: для
всякого ос, для которого а-4-1 существует, между Иа и Яа+1 вставляем
все подгруппы Н^у J30 < j3 < р. Получается, как легко проверить,
нормальное множество ЛГ, но, вообще говоря, с повторениями, ибо
из Pj < j32 следует лишь Н~ ^Н„. Аналогично устраивается
уплотнение с повторениями N" для N".
Множества N', N" являются изоморфными. Действительно, если
в^ имеется фактор Яа^ + 1/Яар, то в N" существует фактор Fa^u^jFa^
Эти факторы ставятся в соответствие друг другу и доказывается, что
они изоморфны. Последнее достигается использованием первой теоремы
об изоморфизмах (см. ван-дер-В а р д е н, Современная алгебра, ч. I, гл. VI).
3. Нормальные и композиционные последовательности. В
общем случае невозможно исключить повторения из построенных
выше множеств N' и N" без нарушения их изоморфизма. Это
возможно, однако, если множества N' и N" были вполне упорядоченными
по возрастанию.
Нормальное множество, вполне упорядоченное по возрастанию,
назовем нормальной последовательностью. Вполне упорядоченное
композиционное множество назовем композиционной последовательностью.
Нормальную последовательность назовем полной, если всякая
подгруппа Их с предельным порядковым числом X является теоретико-
множественной суммой всех предшествующих подгрупп. Легко видеть,
что всякая нормальная последовательность обладает полным уплотнением.
Две любые нормальные последовательности некоторой группы
обладают изоморфными уплотнениями без повторений.
Действительно, если нормальные последовательности N' и N" полные,
то в каждом из множеств Л/', N" всякое множество равных между
собой подгрупп обладает первым и последним элементом. Это позволяет
все эти равные между собою подгруппы заменить одной единственной
без нарушения изоморфизма между N' и N".
Отсюда следует обобщение теоремы Жордана-Гельдера: Всякие две
композиционные последовательности некоторой группы изоморфны
между собою. Заметим, что здесь не предполагается, что все
композиционные множества этой группы являются вполне упорядоченными.
III. СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
[A. Ober freie Produkte von Gruppen, Mathematische Annalen, т. 108
(1933), стр. 26—36.
Б. Die Untergruppen der freien Produkte von belie! igen G/uppen,
Mathematische Annalen, т. 109 (1934), стр. 647—660.

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 5?
В. Свободные произведения групп с объединенными подгруппами
центров, Доклады Академии наук СССР, т. I (1935), стр. 285
(совместно с В. А. Калашниковым).
Г. Zum Zerlegungsproblem der Theorie der freien Produkte,
Математический сборник, т. 2 (44) (1937), стр. 995—1001.]
1. Определение. Группа G называется свободным произведением своих.
подгрупп Яа,
а
если она является произведением этих подгрупп, т. е. минимальной
подгруппой, содержащей все Яа, и если нет никаких нетривиальных
соотношений, связывающих элементы из различных И0. Иными словами,,
всякий отличный от 1 элемент группы G должен одним и только
одним способом записываться в виде произведения
g = hlh2...kn9
где каждый из множителей h{ является отличным от 1 элементом одной
из подгрупп На и стоящие рядом множители hiy hiMl принадлежат
непременно к различным подгруппам Иа. Множество подгрупп Яа может
быть и бесконечным; индекс а пробегает в этом случае некоторое
(не обязательно вполне упорядоченное) множество.
Понятие свободного произведения является особенно важным потому.,
что можно, притом вполне однозначно, говорить о свободном
произведении любых наперед заданных групп. Пусть даны произвольные
группы Иа. Рассматриваем всевозможные „слова" hxh2.. .hn, т. е.
упорядоченные конечные системы элементов из групп Яа; каждый элемент hi
должен быть отличным от единицы соответствующей группы Иа. и<
соседние элементы /г,, hni принадлежат к различным группам Яв.
Множество всех таких слов — к этому множеству принадлежит, между
прочим, и „пустое" слово, не содержащее ни одного элемента /*„ —
оказывается группой при следующем определении умножения слов: если
даны слова hlh2. . .hn и Л^.../^, то пишем их друг за другом:
(1) А^.. •*„*&•■•*«•>
если элементы h и hx принадлежат к разным группам //а, то
получено слово, которое считается произведением первого из заданных
слов на второе. В общем случае, если элементы ^w__i+1 и /г,
i^k[Q ^k^min(n, т)] принадлежат к одной и той же группе Яа w
являются обратными друг для друга, то в (1) последовательно
выполняем k сокращений. Если стоящие рядом после этих сокращений
элементы hn_k и hk , ± принадлежат к одной группе Яа, но не
являются обратными друг для друга, то заменяем в (1) эти два элемента
их произведение?.?, т. е. производим объединение. Полученное слово
является искомым произведением.

58
А. Г. КУРОШ
Можно доказать, что это умножение слов является ассоциативным.
Единицей будет пустое слово, обратным для слова hlh2.,.h}1 — слово
/г"1.. .h~ А"1. Получена группа, являющаяся, очевидно, свободным
произведением некоторых своих подгрупп, изоморфных группам Яа.
Если g = hlh<2. . Мп, то число n = l(g) называется длиною
элемента^. Само произведение AjA2. . ,hn называется несократимой записью
элемента g. Если G = JJ^ Я7, то каждая из подгрупп Яа называется
а
компонентой этого разложения.
Заметим, что если G = J^j[ Иа и если каждая из компонент Ип
сама разложена в свободное произведение, Н0 = J^ И0^ то
° = П>«?-
а, р
2. Обзор теории. Теория свободных произведений является
частью теории групп, заданных соотношениями. Первоначально
преимущественно изучались свободные группы, т. е. свободные
произведения бесконечных циклических групп; образующие элементы
этих циклических множителей дают систему образующих без всяких
определяющих соотношений. Наиболее важной в теории
свободных групп является теорема Нильсена-Шрейера (см. О. Schreier,
Die Untergruppen der freien Gruppen, Abhandlungen aus dem mathe-
matischen Seminar der Hamburgischen Universitat, т. 5 (1927),
стр. 161—183) о том, что всякая подгруппа свободной группы
сама является свободной. Отметим также, что число свободных
образующих элементов свободной группы является инвариантом самой
группы, хотя сам выбор системы свободных образующих не является,
очевидно, однозначным.
В излагаемых здесь работах рассматриваются следующие три
проблемы о свободных произведениях групп:
I. Что можно сказать о подгруппах свободного произведения? Как
переносится сюда теорема Нильсена-Шрейера?
II. Как связаны между собою различные разложения группы в
свободное произведение неразложимых далее множителей?
III. Всякая ли группа разложима в свободное произведение
неразложимых далее множителей?
В работе А рассматриваются некоторые частные случаи первой и
второй проблем. Полное решение этих проблем дается в работе Б.
Работа В дает решение первой проблемы для некоторого обобщения
понятия свободного произведения — для так называемых свободных
произведений с объединенной подгруппой. Третья проблема
рассматривается в работе Г.
3. Подгруппы свободного произведения. Пусть группа G
является свободным произведением своих подгрупп Яа, G== JJ['На9 и
а
пусть F — произвольная подгруппа группы G. Тогда F сама

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 59
может быть разложена в свободное произведение таких
множителей F^ F = J^J[ Fr„ каждый из которых или является беско-
нечной циклической группой, или же сопряжен с некоторой
подгруппой одной из компонент На.
Для доказательства этой основной теоремы введем некоторые
определения. Если элемент g группы G имеет четную длину,
gz== n>i.. . Л2Н>
то его несократимая запись есть произведение двух слов одинаковой
длины—kl. . ,hn и ha^{. . .h.yn. Эти два слова назовем первой и второй
половиной элемента g. Если элемент g—нечетной длины, то его
несократимая запись распадается на первую половину, центральный
множитель и вторую половину. Если в этом случае первая и вторая
половины являются обратными друг для друга, т. е. если элемент g
сопряжен со своим центральным множителем, то g назовем
трансформацией. Если элемент g не есть трансформация, то он непременно
бесконечного порядка.
Для доказательства теоремы определяются рекуррентным путем
подгруппы Ф„ группы F (ja — порядковое число). Полагаем Ф0=1.
Пусть подгруппы Ф,, определены для всех jx < v, /С, — подгруппа из F,
порожденная всеми этими подгруппами Ф^ и Xv — минимальная длина
элементов из Z7, лежащих вне К.г Если среди таких элементов есть
трансформации, то пусть g~'hg (где h £ Н ) — одна из них; мы обо-
значим тогда через Н^ пересечение подгрупп F и g^H^g^- Если,
однако, в F, но вне К„ нет трансформаций длины Xv (например, при
четном >0, то полагаем Н'"=1.
Если в F, но вне минимальной подгруппы, содержащей /Cv и Н^,
имеются элементы длины \.„ вторая половина которых есть g„ а
центральный множитель принадлежит к компоненте Яа , то один из таких
элементов обозначаем через / . При H"t =1 в качестве /vl выбираем
любой элемент длины )N, лежащий в F, но не в /С./, его вторую
половину обозначаем через gv, компоненту, содержащую его центральный
множитель (при нечетном )s), — через На .
Пусть уже выбраны элементы /v5 для всех порядковых чисел 8 << а.
Тогда в качестве /VJ выбираем один из элементов длины \ из F,
лежащий вне минимальной подгруппы, содержащей /Cv, //v" и все /vS,
Ь < з, притом такой, что его вторая половина есть g^ а его
центральный множитель содержится в Я7>/ Этот процесс прекратится на
некотором порядковом числе з,,. В качестве Ф^ мы берем теперь подгруппу,
порождаемую подгруппой #.*' и всеми /vS, о < ov.
Для некоторого порядкового числа со будет достигнуто равенство
Кф = F, и на этом построение подгрупп Ф., закончится.
4. Простые слова. Мы будем считать образующими группы Ф^.
элементы /а?| (о < за), их обратные f~} и все отличные от 1 элементы

60
А. Г. КУРОШ
подгруппы Н'". Образующие всех подгрупп Ф^, jx < v, составляют
множество образующих для /С,.
Пусть А есть или одна из подгрупп Фи, или же одна из подгрупп /Cv.
Ее образующие будем обозначать через а с нижними индексами.
Произведение а{а2. . ,ак назовем словом в А, если никакие из двух
соседних множителей не являются обратными друг для друга и не
принадлежат к одной подгруппе Н'- Слово ага0.. ,ак назовем простым словом,
еСЛИ W ч w \
где длина берется, конечно, относительно свободного разложения группы G.
Если а' и а" — два простых слова из А, то мы различаем между ними
соседство первого, второго или третьего рода, в зависимости от того,,
будет ли \ (а*а") больше, равно или меньше шах (к (а'), \(а")).
5. Подгруппы Ф,. Ближайшей целью является установление того,
как все слова из Ф., записываются через простые слова. Оказывается,
что если f=blb2...bn есть любое слово из Ф„ то множители, в него
входящие, можно так объединить:
/=(*1...ft/i)(*<l+1...V---(Vi-«---*»)'
что каждое из слов bi ^rl...bi будет простым и между соседними
простыми словами будет соседство первого рода. Отсюда следует, что
во всяком слове из Ф„ после выполнения всех сокращений остается
отличная от 1 несократимая запись. Иными словами, подгруппа Фv есть
свободное произведение подгруппы Н^ и бесконечных циклических
подгрупп, порожденных элементами /va.
6. Подгруппы Ки. Пусть уже доказано, что подгруппа К, обладает
следующим свойством:
(А) Если а{а2.. .ап есть любое слово из Кн, то множители этого
слова можно по крайней мере одним способом так объединить:
аха2. ..ап = (а±. . .а.) (я. +1. . .а<) . . Л\_1+1- • -*л).
что всякое слово ai __ ,1#..аг- есть простое слово а^\
аха2. . .ап = а'а".. .а&\
и между всякими двумя соседними простыми словами а(н) и a(8+1J
имеется соседство первого рода.
Это свойство (А) тривиально для /(^ = 1, а его справедливость для
/Г2==Ф1 следует из сказанного в п. 5. Справедливость свойства (А)
для всех подгрупп /С, будет доказываться индуктивно. Но сперва мы
получим некоторые следствия из предположения, что подгруппа Ки
обладает свойством (А).
Из (А) вытекают следующие предложения: Длина всякого слова
а{а2. . .ап, не являющегося простым, больше длины каждого из его
множителей а„;. Никакое слово в К, не может поэтому быть равным
единице, т. е. подгруппа К, есть свободное произведение всех отлич-

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 61
ных от 1 подгрупп tf (jjl < v) и всех бесконечных циклических групп,
порожденных элементами Д-, \i < v, а < а^.
Если слово а^.. Лк из К, является простым, то простым будет
и всякий его отрезок ах.. .as, s^k, и at. . .ак, t^\.
Если слово аха2. . мк является простым, то в его несократимой
записи первая половина элемента а{ и вторая половина элемента ак
остаются без изменения, а их центральные множители (если они
вообще существуют) могут лишь замениться другими отличными от
1 элементами из тех же компонент.
Отсюда следует, что всякое слово / из /С,, несократимая запись
которого есть трансформация, имеет вид
/=fl-1...a^1a0fl1...fl/J,
где а0 есть трансформация, т. е. принадлежит к одной из подгрупп Н ,
jx<v. Поэтому, если подгруппа К, содержит трансформацию f = g~lhg,
где h £ Иа, то в К, содержится целиком и все пересечение
подгрупп g~lHag и F. Это приводит, наконец, к следующему очень
важному результату: пересечение подгрупп /Cv и Ht состоит только из
единицы.
Теперь можно перейти к доказательству свойства (А) для
подгруппы /С„м. Эта подгруппа порождается подгруппами /С, и <1\, поэтому
необходимо установить как простые слова в /С^ получаются из
простых слов в К( и в Ф^. Простые слова из Кн будем обозначать через
а', а", ..., простые слова из Ф,,— через br, Ь"\ . . .
Оказывается, что если X (а') < X (£'), то между а' и Ь' невозможно
соседство третьего рода. Если \(а') = \(Ь'), то между а' и Ъ'
возможно лишь соседство первого рода. Наконец, если между Ъ' и а' и
между а' и Ь" имеется соседство второго рода, то между Ь'а' и Ь"
возможно лишь соседство первого рода. Эти леммы позволяют легко
доказать справедливость условия (А) для подгруппы K^v Его
справедливость в подгруппах Ki с предельным индексом X следует из того,
что всякое слово из К\ уже содержится в некоторой подгруппе /Са,
Отсюда следует, что свойством (А) обладают все подгруппы /С,,
поэтому и сама подгруппа F. Иными словами, подгруппа F разлагается
в свободное произведение всех отличных от 1 подгрупп H)f v < со, и
всех бесконечных циклических подгрупп с образующими /vS, v < со,
о < ov.
Этим заканчивается доказательство теоремы о подгруппах свободного
произведения.
7. Свободные произведения с объединенной подгруппой.
Доказанная выше теорема о подгруппах свободного произведения допускает
дальнейшее обобщение (см. работу В). Еще Шрейером было введено
понятие свободного произведения с объединенной подгруппой. Оно
отличается от определенного выше понятия свободного произведения тем,
что в группе G существует подгруппа Z, входящая в каждую из
компонент rY« и являющаяся пересечением всяких двух из этих компонент.

62
А. Г. КУРОШ
Обычное свободное произведение получается при Z=l. Пусть Z
входит в центр каждой из компонент Яа, т. е. является центром группы G.
Тогда имеет место следующая теорема: Если F есть произвольная
подгруппа группы G, то она разлагается в свободное произведение двух
групп; одна из них является свободной группой, другая — свободным
произведением подгрупп /^ с объединенной подгруппой Z'. Всякая из
подгрупп Fo сопряжена с подгруппой одной из компонент На.
Подгруппа Z' является пересечением подгрупп Z и F и поэтому
содержится в центре каждой из групп /ч.
8. Изоморфизм двух разложений. Из основной теоремы о
подгруппах свободного произведения следует, что всякая неразложимая
подгруппа свободного произведения, где неразложимость следует
понимать в смысле свободных произведений, являекя или
бесконечной циклической, или же сопряженной с подгруппой одной из
компонент этого свободного произведения. Это используется в доказательстве
следующей теоремы:
Если группа G разложена двумя способами в свободное
произведение неразложимых компонент,
°=1Г".=П>-
то компоненты этих двух разложений можно так поставить во
взаимнооднозначное соответствие, что соответствующие будут
изоморфными. Если эти соответствующие друг другу множители не
являются бесконечными циклическими группами, то они будут даже
сопряженными в G.
Доказательство. Если Hi есть одна из компонент первого
разложения, не являющаяся бесконечной циклической группой, то она
сопряжена с подгруппой F[ одной из компонент Fx второго
разложения. Компонента Fx не будет поэтому бесконечной циклической
группой и, следовательно, она сама сопряжена с подгруппой //„ некоторой
компоненты Н2 из первого разложения. Отсюда следует, что сама
компонента Нх сопряжена с некоторой подгруппой из Я2, что, однако,
возможно лишь при Н2 = Н1. Компонента свободного произведения
не может быть, однако, сопряженной со своей истинной подгруппойэ
поэтому //, = //, т. е. множители // и Fx сопряжены между собою.
Пусть К есть произведение бесконечных циклических множителей
из первого разложения, L — произведение всех остальных множителей.
Группа G является свободным произведением этих подгрупп, G=L*K-
Второе разложение дает аналогично G = L'*K'. Из доказанного выше
следует, что подгруппы L и V порождают один и тот же нормальный
делитель. Свободные группы К и К'у каждая из которых изоморфна
факторгруппе группы G по этому нормальному делителю, будут
изоморфными между собой. Из теоремы об инвариантности числа
свободных образующих свободной группы следует, что подгруппы К и К'
обладают одинаковым числом бесконечных циклических свободных
множителей. Этим заканчивается доказательство теоремы.

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 63
Отсюда можно получить некоторые следствия относительно
свободных произведений циклических групп с объединенной подгруппой
(см. работу А).
В самое последнее время Р. Бер и Ф. Леви (Freie Produkte und
ihre Untergruppen, Compositio Mathematica, т. 3 (1936), стр. 391—398)
значительно усилили доказанную выше теорему. Если даны два
разложения группы G в свободное произведение, то второе разложение
будет называться продолжением первого, если оно получается из
первого дальнейшим разложением некоторых множителей в свободное
произведение. Будем, далее, называть два свободных разложения группы
(не обязательно с неразложимыми компонентами) изоморфными, если
они связаны между собою так, как это формулируется в доказанной
выше Teopeve. Оказалось, что два любых свободных разложения
произвольной группы обладают изоморфными продолжениями. Разложения
с неразложимыми компонентами не имеют, очевидно, продолжений,
отличных от самого себя, поэтому два свободных разложения группы
с неразложимыми компонентами сами изоморфны. Это и есть
доказанная выше теорема.
9. Проблема разложимости. Третья из поставленных выше
проблем— проблема разложимости всякой группы в свободное
произведение неразложимых множителей — решается отрицательно. Относящийся
сюда пример содержится в работе Г.
Пусть группа Т задана образующими
^0> ^V ^2' • • • » ^W ' ' • '
bv £2, . .., bm ...
и определяющими соотношениями
Легко видеть, что циклическая подгруппа [ Ьх } является свободным
множителем для Г,
где V есть подгруппа группы Г, порожденная элементами
а^у #2> • • • > &ni • • •»
Ь2, ..., Ьп, ...
Эта подгруппа изоморфна, очевидно, самой группе Г; группа Т не
имеет поэтому свободных разложений с конечным числом
неразложимых множителей. Действительно, пусть Т обладает такими
разложениями. Число множителей в каждом таком разложении, являющееся,
по теореме об изоморфизме, инвариантом самой группы, пусть б, дет k.
Но тогда и V обладает свободным разложением с k неразложимыми
множителями, что дает для Т разложение с k-\-\ множителями, в
противоречие с инвариантностью числа k.
Мы должны теперь показать, что группа Т не имеет свободных
разложений с бесконечным множеством неразложимых множителей.

64
А. Г. КУРОШ
Оказывается, что эта группа вообще неразложима в свободное
произведение с бесконечным множеством компонент. Это основано на
следующей лемме, доказательство которой излагается в следующем
лараграфе.
Лемма. Если группа G разложена в свободное произведение двух
множителей, G = Нх*Н2, и если коммутатор двух элементов gv g2
мз G отличен от единицы и содержится в компоненте Hv то
элементы gv g2 оба принадлежат к Нг
Пусть теперь группа Т обладает разложением с бесконечным
множеством факторов, Т= I J[ Fa. Элемент а0, как и всякий другой эле-
а
мент из Ту принадлежит к произведению конечного числа множителей Fa.
Если это произведение будет обозначено через Hv произведение всех
остальных множителей — через #2, то имеет место разложение
Т=Н1*НГ
Заметим, что Их является истинной подгруппой группы Г. Коммутатор
элементов ах и Ь{ является отличным от единицы и принадлежащим
к Нх элементом #0, поэтому, в силу леммы, элементы ах и Ьх оба
содержатся в Hv Отсюда следует далее, что к Нх принадлежат и
элементы а2 и Ь2, и т. д. Все образующие группы Т содержатся в Hv
т. е. Нх совпадает с Г, что невозможно.
Отсюда следует, что группа Т не может быть разложена в
свободное произведение неразложимых множителей.
10. Доказательство леммы о коммутаторе. Лемма о коммутаторе
двух элементов свободного произведения, использованная выше,
доказывается путем сложных комбинаторных рассмотрений. Мы укажем
здесь лишь общий путь доказательства.
Пусть элементы gt и g2 имеют вид
gl = аха2.. .ak, g2 = bxb2...bv
Тогда их коммутатор g^=g\g-2S7 &-Г име^т вид
g= (аЛ.. .ak) (bfa. . .Ьг)(^ . . .а2 a"1) (ft"1 . ..b~lb~l).
Пусть после выполнения всех сокращений и объединений л(#)=1.
Если k = l=\, то лемма, очевидно, справедлива: если бы элементы
g{ и g2 оба содержались в Я2, то и их коммутатор должен был бы
принадлежать к И2\ если бы один из этих элементов содержался в Hv
другой — в Я2, то было бы X (g) = 4. Для произвольных к и / лемма
доказывается индуктивно; индукция идет по max (k, /).
Пусть k^L Здесь приходится рассматривать отдельно случаи,
когда / четное и когда оно нечетное. При четном I элементы Ьх и Ьг
принадлежат к различным компонентам разложения G = Нг*Н2.
Элемент ак может лежать в одной компоненте лишь с одним из этих
множителей. Это дает две возможности, каждую из которых приходится
рассматривать отдельно. Пусть, например, ак лежит в одной
компоненте с bL. Производим в g сокращения на первом месте, т. е. между

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 65
ак и bv Если эти сокращения уничтожают Ьъ то легко применить
предположение индукции. Если элемент Ьг не сокращается, то X (g) > 2.
Аналогично рассматривается случай, когда ак лежит в одной
компоненте с Ьг.
Если / нечетно, то приходится рассматривать отдельно случаи
нечетного и четного k\ при этом можно считать, что /^3. При
нечетном k предположение \(g) = l легко привести к противоречию,
используя предположение индукции и рассматривая отдельно случаи,
когда g принадлежит к той же компоненте, которая содержит элементы
av аъ bv Ьь или же к другой. При четном k особых рассмотрений
требует случай, когда akbt ф 1; во всех других случаях длина
коммутатора больше чем 2, В этом особом случае удается доказать, что из
/,(£•) =1 следовало бы равенство bi=l, что невозможно.
IV. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ.
[Primitive torsionsfreie Abelsche Gruppen vom endlichen Range,
Annals of Mathematics, т. 38 (1937), стр. 175—203.]
1, Введение. Теория абелевых групп является одной из наиболее
разработанных глав в общей теории групп. Предположение
коммутативности групповой операции заметно облегчает исследования и
позволяет обычно ставить вопрос о полном описании того или иного
класса абелевых групп, о составлении полного каталога групп этого
класса. Такое описание было сперва устроено для конечных абелевых
групп (Фробениус) и перенесено затем на любые абелевы группы
с конечным числом образующих. Детальному исследованию
подверглись затем те абелевы группы, все элементы которых имеют конечный
порядок (Прюфер, Ульм). Основною является здесь теорема Ульма
(Н. Ulm, Zur Theorie der abzahlbar-unendlichen Abelschen Gruppen,
Mathematische Annalen, т. 107 (1933), стр. 774—803), дающая полный
каталог всех счетных групп этого типа.
Второй не менее естественный и еще более важный класс абелевых
групп составляют те группы, все элементы которых, кроме нуля,
имеют бесконечный порядок. Эти группы называются группами без
кручения; к ним принадлежит, между прочим, аддитивная группа
рациональных чисел. Изучение абелевых групп без кручения
представляет уже большие трудности и фактически лишь начинается. В
излагаемой здесь работе дана классификация абелевых групп без кручения
при некоторых дополнительных ограничениях, позволяющих установить
связь этих групп с матрицами, элементами которых являются целые
р-адические числа.
2. Ранг группы. Отсутствие в абелевой группе без кручения
отличных от нуля элементов конечного порядка позволяет
рассматривать линейные зависимости между элементами группы с
целочисленными коэфициентами. Группа G есть группа ранга п, если в ней
можно найти п линейно независимых элементов, т. е. п элементов,
циклические группы которых образуют прямую сумму, но всякие п -{- 1
элементов группы связаны линейной зависимостью. Легко видеть, что

66
А. Г. КУРОШ
всякая группа ранга п является или прямой суммой п бесконечных
циклических групп (т. е. п-членным модулем линейных форм), 'или
же теоретико-множественной суммой возрастающей
последовательности таких п-членных модулей. Аддитивная группа рациональных
чисел и всякая ее подгруппа имеют ранг 1, так как всякие два
рациональных числа имеют отличное от нуля общее кратное. Этим
исчерпываются все группы ранга 1. Заметим, наконец, что ранг прямой
суммы двух групп конечного ранга равен сумме рангов слагаемых.
Изучение абелевых групп без кручения естественно начинать
с групп конечного ранга. Уже здесь, оказывается, исследования
наталкиваются на большие трудности. Так, существуют группы ранга 2,
которые не могут быть разложены впрямую сумму двух групп ранга 1.
Первый пример такого рода построил Понтрягин (The theory of
topological commutative groups, Annals of Mathematics, т. 35 (1934),
стр. 361—388): абелева группа задается образующими а0, av а2, ...
и b и соотношениями
2n*ai = ai_l + b, 1 = \, 2, ...
Это будет группа без кручения ранга 2. Если, кроме того, показатели
п4 не имеют верхней границы, то группа будет, как показал
Понтрягин, неразложимой. Заметим, что из результатов рассматриваемой здесь
работы следует, что в действительности эта группа будет тогда
и только тогда разложимой, если последовательность показателей
^V ^'2> • • • •
является периодической с некоторым конечным отрезком до периода.
3. Примитивные группы. В дальнейшем изучаются абелевы группы
без кручения конечного ранга с предположением р-примитивности па
отношению к некоторому простому числу р. Для групп ранга 1 это
означает, что рассматривается не вся аддитивная группа рациональных
чисел, а ее подгруппа Rpf составленная из тех рациональных чисел,
знаменатель которых есть степень числа р. Общее определение имеет
следующий вид:
Пусть G есть группа ранга /г, Я0 — некоторый л-членный модуль
линейных форм, содержащийся в G, и р — простое число; тогда
G(H0, р) есть подгруппа группы G, состоящая из всех таких
элементов а, что элемент рта при некотором т^О принадлежит к Н^
Группа G называется р-примитивнойу если существует такое Н0, что
(1) G(H0,p) = G,
т. е. если все элементы факторгруппы G/#0 имеют порядками степени
числа р.
Легко видеть, что всякий модуль линейных форм примитивен по
отношению ко всякому простому числу. Если же группа G не имеет
конечного числа образующих, то она не может быть примитивной
относительно двух различных простых чисел. Действительно, пред*

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 67
положим, что G р- и ^-примитивна и (р, д)=1, и пусть Н*0 и н"0—те
модули линейных форм из G, для которых выполняется условие
G{H'0,p) = G{H';,q).
Сумма подгрупп Н0 и И0 сама является модулем линейных форм,
содержащим некоторые рт*- и #™*-кратные любого элемента группы, т.е.
совпадающим с G.
Всякая подгруппа р-примитивной группы сама р-примитивна.
Действительно, если U есть подгруппа группы G и Н0 есть модуль
линейных форм, удовлетворяющий условию (1), то пересечение
подгрупп U и Н0 есть модуль линейных форм, содержащий р™-кратное
всякого элемента из /7.
4. Редуцированный ранг. Главные подгруппы. Если G есть
р-примитивная группа ранга п, а Н0 — модуль линейных фора» из G,
удовлетворяющий условию (1), то все элементы из G, /7-кратное
которых содержится в Н0, составляют подгруппу Н^, являющуюся
модулем линейных форм. Факторгруппа Н0\Н0 разлагается в прямую сумму
циклических групп порядка р. Число этих прямых слагаемых,
обозначаемое через г (Я05*/Я0), 'удовлетворяет условию
V) 0<г(/£/Я0)<«.
Минимальное из чисел г (Я*/#0) при всех /У0, удовлетворяющих
условию (1), назовем редуцированным рангом группы G и обозначим
через г. Из (2) следует
Всякий модуль Я0, для которого имеет место равенство
г(Н*01Н0)=г,
назовем главной подгруппой группы G.
Легко доказать следующие предложения: Если Н0 есть главная
подгруппа группы G, то главной подгруппой будет и Н0. Более того,
всякая подгруппа группы G, обладающая конечным числом
образующих и содержащая некоторую главную подгруппу, сама является
главной подгруппой. Отсюда следует, что если модуль И0
удовлетворяет условию (1), то подгруппы
"о> Н\> • • • > "&> • • • >
где И =//2_i> будут, начиная с некоторого номера, главными
подгруппами.
Редуцированный ранг прямой суммы равен сумме редуцированных
рангов слагйемых.
5. Обзор теории. Целые р-адические числа. С каждой из групп
изучаемого нами типа инвариантно связаны три числа — простое число р,
относительно которого эта группа примитивна, ранг п и редуциро-

68
А. Г. КУРОШ
ванный ранг г, О^г^п. Нашей задачей является полное описание
всех групп с заданными р и п при различных возможных
значениях г.
Если г = 0, то группа совпадает со своими главными
подгруппами, т. е. является прямой суммой п бесконечных циклических
групп.
Если г = п, то всякий элемент из группы О содержится в
некоторой подгруппе типа Rp (см. определение в п. 3), т. е. группа G
является прямой суммой п подгрупп типа Rp.
Дальнейшего рассмотрения требует случай 0 < г < п. Сюда
относятся группы, разложимые в прямую сумму г групп типа JRp и п — г
циклических групп, но, как будет показано, всегда существуют группы,
неразложимые в прямую сумму групп ранга 1. Полное описание всех
этих групп достигается использованием матриц с целыми р-адическими
элементами. Определение и полную теорию р-адических чисел можно
найти в книге К. Hens el, Zahlentheorie, Berlin und Leipzig, 1913,
мы же укажем лишь самое необходимое.
Целое р-адическое число <р, записанное в редуцированной форме,
есть последовательность
ср = а°, а1, ..., а*, ..,,
где ак независимо друг от друга принимают значения 0, 1, 2, • •«,
р—1. Сумма числа с? и числа
ф = ро, р>, .... (}*, ...
есть р-адическое число
?-f-<l> = f, т1* •••> ?*> •••>
определяемое следующим образом:
Т° = «° + Р0 —v0P,
Tft==aft + P* + v*-i — ЧР,
где Vj. однозначно определяется из условия 0 <^ чк < р.
Это сложение ассоциативно и коммутативно. Нуль есть число <о =
= 0, 0, ..., 0, ... Если ак есть первый отличный от нуля элемент
редуцированной формы числа о, то
9 = 0,..., 0, (р *-«*), (р — «*+1—1), ..., (р —«*+•_ 1), ...
Произведение чисел <р и ф есть число
<рф = 8<>, 8i, ..., 8*, ...,
определяемое следующим образом:
8о = аоро_{Хо/7)
8* = 2«<Р' +ftfc-i— HP'
где [Хд. однозначно определяется из условия 0 ^ 8fe < р.

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 69
Легко видеть, что все целые р-адические числа составляют кольцо
с единицей
е=1, О,..., О,...
и без делителей нуля. Последнее замечание позволяет в случае, если
b = vly2, употреблять запись
р-кратное числа ср = ос°, а1,..., а^,...имеет вид
рср = о, а0, а1, ..., ос*-1, ...
Число ср называется делателем единицы, если существует целое
р-адическое число ср-1 такое, что ср-<р-1 = е. Необходимым и
достаточным условием для этого является выполнение неравенства
а°фО.
Множество всех целых р-адических чисел с периодической
редуцированной записью является кольцом, изоморфным кольцу тех
рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р.
6. Группа GM, соответствующая матрице М. Пусть
М:
есть матрица с г строчками и 5 столбцами, элементами которой
являются целые р-адические числа
0
а...
V1
1
а.., ..
гз>
к
., а ,
' if
Мы определяем группу GM следующим образом: это есть абелева группа
с образующими
а] (1</<г, * = 0, 1, 2, ...), bj (1 <;<*)'
которые для всех ink удовлетворяют условиям
A-fl
Р<*<
Если Нъ k = 0, 1, 2, ..., есть подгруппа группы GM, порожден-
к к к
ная элементами а , а^ ..., а , £р Ь2У ..., #s, то она является, как
легко показать, (г + 5)-членным модулем линейных форм. Группа
GM получается объединением возрастающей последовательности групп Нк,
т. е. является группой без кручения ранга r-f-s. Она даже р-при-
митивна, ибо рл-кратное всякого элемента из Нк принадлежит к Н0.
Наконец, Н*к = Ни+1 и число r(Hk+jHk) равно г при всех k. Отсюда
следует, что все подгруппы Нк являются главными подгруппами
группы GM и что редуцированный ранг группы GM есть г.

70
А. Г. КУРОШ
Отсюда следует, что всякая матрица М с целыми р-адическими
элементами, имеющая г строк и s столбцов, однозначно определяет
р-примитивную группу GM ранга r-\-s и редуцированного ранга г.
7. Матрица, соответствующая данной группе. Мы хотим показать
теперь, что группами GM исчерпываются все изучаемые нами группы.
Теорема. Для всякой р-примитивной группы G ранга п и
редуцированного ранга г, 0 < г < п, можно найти хотя бы одну такую
матрицу М с целыми р-адическими элементами, имеющую г строк
и п — г столбцов, что G изоморфна группе GM.
Доказательство основано на нескольких вспомогательных понятиях
и леммах.
Если Н0 есть главная подгруппа группы G и И = #0, то
r(HijH0) = r. База
(3) av а2, ..., ап
подгруппы #0 называется (при этом определенном упорядочении)
главной системой группы G, если подгруппа Ht может быть получена
присоединением к Н0 таких элементов а1э а2, ..., аг, что
п
(4) pai = ai-\- 2 °ЧЛ> /=1> 2> •••> г>
где все а^ являются положительными вычетами по модулю р.
Если (3) есть произвольная база группы Я0, а группа Н±
получается присоединением к Н0 некоторых элементов а , ау,. .., а , то
nl
ра' = 2 hfy *=1, 2, «... /"•
.7 = 1
Оказывается, что база (3) тогда и только тогда будет главной
системой группы G, если при всяком выборе таких элементов а
ао, ..., а первый минор r-го порядка из матрицы \\ kkj \\ не будет
сравнимым с нулем по модулю р. Отсюда следует, что всякая база (3)
будет при некотором специальном расположении главной системой
группы G.
Если элементы av а2, ..., аг удовлетворяют условиям (4), то они
вместе с элементами ar+v ..., ап составляют базу подгруппы Hv
Эта база
V 2* * * • > О'ул r-rl* • * * > н
будет при данном здесь расположении главной системой группы G.
Доказательство теоремы проводится теперь следующим образом.
Выбираем произвольную главную подгруппу Н0 и устраиваем подгруппы
Hv Hv ..., tfA, ... так, что ЯЛ+1 = Я*. Группа G будет теоретико-

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 71
множественной суммой этих групп. В Н0 выбираем базу,
упорядочиваем ее так, чтобы она была главной системой, и обозначаем через
(5) а°, а°, ..., я°, bi9 b2, ..., bs,
где s = n — г.
Если для некоторого k, k^>0, уже найдена главная система
\у %> •••> а1у ьх, b2J ..., b8,
являющаяся базой подгруппы Нк9 то в Нк+1 выбираем такие элементы
1
в;т. < . •••> «/, что
К+1 = <+2<Л-, '=1.2,..., г,
где 0^а..</7 при всех /, j. Элементы
u-J-l к+1 к+1 и и и
образуют базу подгруппы Hk±v являющуюся при этом упорядочении
главной системой.
Выполнив это для всех &, мы получаем возможность устроить целые
р-адические числа
0
о = а ,
4 ij if
1
<*.., ..
*/
к
., а...
О'
Они составляют искомую матрицу М.
8. Преобразования главных систем. Построенная выше матрица М
однозначно определяется главной системой (5): если в группе G будет
выбрана другая главная система, то она будет определять уже иную
матрицу. Группа О обладает счетным множеством главных систем, т. е.
может быть записана счетным множеством матриц. Так как множество
всех матриц с целыми /?-адическими элементами и с данным числом
строк и столбцов имеет мощность континуума, то множество всех
неизоморфных р-примитивных групп ранга п и редуцированного ранга г
имеет при всех р и п и при всех г, О < г < п, мощность
континуума.
Для завершения теории необходимо установить условия, при
которых две данных матрицы М и М определяют одну и ту же группу,
т. е. при которых группы GM и G^ изоморфны. Для этой цели
необходимо исследовать как изменяется матрица М при переходе от
главной системы (5) к некоторой другой главной системе группы G.
Всякий такой переход осуществляется изменением базы некоторой
главной подгруппы и переходом к некоторой другой главной
подгруппе. Первое приводит к следующим элементарным преобразованиям:
1. Изменение знака у одного из элементов базы.
2. Прибавление одного из элементов базы к другому.
Второе требует, помимо этих двух преобразований, еще следующих:
3. Замена одного из элементов базы через его /7-кратное.
4. Замена элемента х из базы через такой элемент у, что х = ру.

72
А. Г. КУРОШ
Теперь необходимо исследовать, когда можно выполнять эти
преобразования без нарушения свойства базы (5) быть главной системой и как
влияют они на матрицу М. Оказывается, что здесь существенную роль
играют операции над целыми р-адическими числами, т. е. что эти
числа появляются здесь не только как способ записи. Те.
элементарные преобразования матрицы, к которым мы приходим, получаются
путем громоздких вычислений, и мы укажем лишь окончательные
результаты.
9. Элементарные преобразования матрицы. Мы исходим от главной
системы (5) группы G и определяемой ею матрицы М. Перемена знака
у элемента а не отражается на свойстве базы (5) быть главной
системой, но производит следующее элементарное преобразование
матрицы М:
I. Перемена знака у всех элементов h-й строки.
Перемена знака у элемента Ьг также всегда допустима и приводит
к элементарному преобразованию
II. Перемена знака у всех элементов 1-го столбца.
Замена элемента а его суммой с элементом а>/, h' ф h, всегда
допустима и дает элементарное преобразование
III. Прибавление к h-й строке матрицы М ее h'-й строкиу
h*ф/г.
Замена элемента Ьг базы (5) элементом Ьг — Ьг>, V ф/, всегда
допустима и приводит к элементарному преобразованию
IV. Прибавление 1-го столбца матрицы М к ее V-му столбцу,
/'ф/.
Замена элемента а элементом а — b всегда допустима и приводит
к элементарному преобразованию
V. Прибавление к элементу уы матрицы М числа е, т. е.
единицы кольца целых р-адинеских чисел.
Последнее из элементарных изменений базы главной подгруппы Н0 —
прибавление элемента а0 к элементу b—оказывается допустимым
h 1
тогда и только тогда, если целое р-адическое число ум — е является
делителем единицы, т. е. если число (^пг — е)-1 целое. Если это
выполняется, то мы получаем новое элементарное преобразование
матрицы М:
VI. Замена всякого элемента <р^-, 1^/^r, l^y^s, через
— Vij
Указанные в предыдущем параграфе операции 3 и 4, дающие
переход от одной главной подгруппы к другой, допустимы лишь по
отношению к элементам а0. Они дают такие элементарные преобразования:
VII. Замена всех элементов h-й строки матрицы М их р-крат-
ными.
VIII. Деление всех элементов h-й строки, в случае если все они
являются р-кратными некоторого целого р-адического числа, на ре.

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 7$
Теорема. Группы GM и G-^, определенные матрицами Ми М, тогда
и только тогда изоморфны, если эти матрицы эквивалентны
относительно преобразований I—VIII, т. е. если одна из них может
быть превращена в другую применением конечной комбинации этих
преобразований.
Основным в доказательстве является рассмотрение влияния,
оказываемого на преобразования главных систем ограничением, наложенным
на применимость преобразования VI. Сперва доказывается следующая
лемма: Если в главной системе
о
.,, a, bv ..., bh ..., bs
коэфициент х (см. п. |7) отличен от нуля, то элементы a°h и bt
могут быть переставлены без применения запрещенного
преобразования. После этого легко получается, что переход от одной главной
системы группы G к любой другой ее главной системе достигается
элементарными преобразованиями I—VIII,
10. Приложения. Если группа G является р-примитивной ранга п
и редуцированного ранга п—1, то она записывается матрицами
с одним единственным столбцом. Для таких матриц условие
эквивалентности может быть дано в следующей форме:
Две (п—1)-строчные и одностолбцовые матрицы
<Pi
М--
и М =
Г?г-1 / * У«-1
эквивалентны тогда и только тогда, если
2 k*i VJ + liz
»* те—l
1, 2, ..., я —1,
2 *>,+Л
j=i
где все коэфициенты &.., Л, &., / являются целыми рациональными
числами и удовлетворяют условию
•^Ьи-1 ч
= ±р»
/и>0.
Если М есть матрица с одним столбцом, то группа Ом тогда
и только тогда обладает прямым слагаемым типа /?„, если один иа
элементов этой матрицы может быть превращен элементарными
преобразованиями I—VIII в число го— нуль кольца целых р-адических чисел.
Отсюда и из предыдущей теоремы следует, что необходимым и доста-

74 ч а. г. курош
точным условием для существования у группы GM, заданной
матрицей
-(:)
4 Ъь-х '
прямого слагаемого типа Rp является существование таких целых
рациональных чисел kv &2, .... kn__x и /, которые не все равны нулю
и удовлетворяют условию
Если группа ранга п и редуцированного ранга п — 1 не имеет прямых
слагаемых типа Rp, то она вообще неразложима в прямую сумму. Мы
получаем поэтому, что существуют неразложимые в прямую сумму
р-примитивные группы любого ранга.
В качестве второго приложения общей теории рассмотрим вопрос
о группах, разложимых в прямую сумму групп ранга 1. Всякая
такая группа может быть записана матрицей, все элементы которой
равны а). Мы должны поэтому описать все матрицы, в которые такая
матрица может быть превращена элементарными преобразованиями I—VIII.
Оказывается, что необходимым и достаточным условием для
эквивалентности матрицы М с матрицей, все элементы которой
равны ш, является периодичность (т. е. рациональность) всех
элементов матрицы М.
Первая половина этой теоремы очевидна, ибо число со является
периодическим, а каждое из преобразований I—VIII переводит матрицу
с периодическими элементами в матрицу с периодическими же
элементами. Вторая половина теоремы основана на следующей лемме: Если G
есть подгруппа р-примитивной группы G конечного ранга, составленная
из всех тех элементов группы G, которые содержатся в некоторой
подгруппе типа Rpi т\ е. делятся на любую степень числа р, то G
есть прямое слагаемое для G.
Доказательство второй половины теоремы проходит теперь
следующим образом. Если группа G задается матрицей М с
периодическими элементами, то все эти элементы можно сделать
преобразованиями V, I и VIII чисто периодическими. Пусть общее наименьшее
кратное длин периодов всех элементов есть /. Тогда
S
р1а\ = а] + 2 Uybp i = 1, 2, ..., г,
с целыми рациональными коэфициентами и^. Если
« 1 = (Р1 - 1) а] - 2 «<, Ьр k > О,
l*~l """0 1 ~~2l ~l ~~0 . 1 r»
то p a =a .. p a = а и т. д., т. е. элементы а , i = I, 2, ..., г, при-
Г г i Г г г_ г '
надлежат к подгруппе G. Эги элементы линейно независимы между
собою, поэтому ранг группы О не меньше г. Он не может быть

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 75
а больше, поэтому G есть прямая сумма г групп типа Rr Второе
слагаемое в разложении
имеет редуцированный ранг 0, т. е. разлагается в прямую сумму п—г
бесконечных циклических групп.
V. СТРУКТУРЫ.
[A. Durchschnittsdarstellungen mit irreduziblen Komponenten in Ringen
und in sogenannten Dualgruppen, Математический сборник, т. 42 (1935),
стр. 613—616.
Б. Теорема Жордана-Гельдера в произвольных структурах (печатается
в сборнике, посвященном юбилею акад. Д. А. Граве).]
1. Постановка проблемы. Если мы рассматриваем множество всех
подгрупп или всех нормальных делителей некоторой группы, множество
всех идеалов некоторого кольца и т. д., то каждое из этих множеств
можно считать частично упорядоченным, принимая в качестве порядка
теоретико-множественное включение. Весьма многие алгебраические
понятия — например понятие композиционного ряда группы — зависят
лишь от этой частичной упорядоченности; доказательство многих
важных алгебраических теорем может быть проведено так, что будет
использовываться лишь эта частичная упорядоченность. Это вызвало
потребность собрать все эти понятия и факты воедино, выделить то,
что по существу не зависит от алгебраических операций и является
теоретико-множественным.
Впервые вопросами этого рода во всей их общности занимался
Дедекинд (Ueber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe, Mathema-
tische Annalen, т. 53 (1900), стр. 371—403). Его работы долго
оставались незамеченными и не находили продолжения. Лишь в самые
последние годы различные математики независимо друг от друга и
часто независимо от Дедекинда стали работать в этом направлении
и сейчас можно говорить уже о новой математической науке, носящей
название теории структур. Ее значение далеко выходит за пределы
непосредственно алгебраических приложений: уже сейчас установлены
глубокие связи теории структур с функциональным анализом, с
топологией, с проективной геометрией, с математической логикой (где уже
давно используются так называемые булевские алгебры, являющиеся
частным случаем понятия структуры) и т. д.
Лучшее изложение основ теории структур можно найти в работе
О. Ore, On the foundation of abstract algebra, I, Annals of
Mathematics, т. 36 (1935), стр. 406—437.
2. Структуры. Множество 5 называется частично упорядоченным,
если для некоторых пар различных элементов из S определено
отношение я < £ {а предшествует Ь, а содержится в Ь, а меньше Ь)
со следующими свойствами:
а) Отношения а < Ъ и b < а исключают друг друга.
б) Из а < 6 и * < с следует я < с.
Символы a ^b, а > b и т. д. будут употребляться дальше в их
обычном смысле.

76
А. Г. КУРОШ
Частично упорядоченное множество S называется структурой, если
выполняются следующие два условия:
в) Для всяких двух элементов а и b из 5 существует в 5 такой
элемент d = ab9 — пересечение элементов а и Ьу — что d < a, d < £, и если
d' есть произвольный элемент, предшествующий а и Ь, то d'^ d.
г) Для всяких двух элементов а и b из 5 существует в 5 такой
элемент 5 = a-j-&, — сумма элементов а и £, — что s;>а, s^b%
и если 5' содержит оба элемента а и ^, то s' ^ 5.
Из этого определения следует, что если а1^а2, то агЬ^.а2Ь, а1-\-
-\- b ^а2-]-Ь. Пользуясь этим, легко доказать ассоциативность обеих
операций, что позволяет говорить о сумме и пересечении любого
конечного множества элементов из 5. Заметим, что из определения
пересечения и суммы следует их однозначность.
Понятие структуры можно определить и чисто алгебраическим
путем. Структура есть множество с двумя однозначными операциями,
удовлетворяющими следующим условиям:
a) a (be) = (jab) с, a -J- (b -+- с) = (а ~\~ Ь) -\- с,
р) ab = ba> a-\-b = b~\-a,
у) аа = а, а-\-а = а,
8) a -j- ab = я, а (а + Ь) = а.
Легко проверить, что определенные выше операции суммирования
и пересечения действительно обладают всеми этими свойствами.
Наоборот,' из а) — 8) следует, что если ab = af то a-]-b — b, и обратно.
Это позволяет следующим образом ввести частичную упорядоченность:
а ^Ь, если ab — а. Легко проверить, что таким образом
действительно получается структура с пересечением ab и суммой а-\-Ь.
Иногда структура обладает нулевым элементом 0,
предшествующим всем элементам структуры, и единичным элементом 1, следующим
за всеми элементами структуры. Иными словами,
0.я = 0, 0-\-a = a, l-a — a, l-j-a=l.
Подмножество S' структуры 5 является подструктурой в S, если
оно замкнуто по отношению к операциям, определенным в 5.
3. Дистрибутивные и дедекиндовы структуры. Легко видеть, что
множество всех подгрупп некоторой группы, равно как и множество
ее нормальных делителей, является структурой. Возникает
естественная потребность выделить из всех структур некоторый более узкий
класс, к которому принадлежали бы все структуры нормальных
делителей, но не принадлежали бы, вообще говоря, структуры всех
подгрупп. Это выделение можно осуществить путем наложения более
сильных условий, связывающих сумму и пересечение, чем условие 8).
Так, можно было бы предположить взаимную дистрибутивность обеих
операций, которая, ввиду полной двойственности, с которой входят
эти операции в определение структуры, имеет вид
а (Ь + с) = ab + ас, a~\-bc = (a-{-b) (a-J-с).
Такими дистрибутивными структурами являются, например,
структуры всех подмножеств произвольных множеств, структуры зам-

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП , 77
кнутых подмножеств ^топологических пространств и т. д. Для
алгебраических приложений предположение дистрибутивности было бы, однако,
слишком ограничительным. Так, уже структура всех подгрупп прямой
суммы двух циклических групп второго порядка не является
дистрибутивной. Необходимые для алгебраических приложений структуры
выделяются следующим образом:
Структура S называется дедекиндовой, если для элементов а
и а', удовлетворяющих условию а^.а', и произвольного элемента b из
ab = a'b, a-\-b = a'-\-b
следует а = а'.
Легко проверить, что всякая дистрибутивная структура является
дедекиндовой. Дедекиндовость структур нормальных делителей
доказывается следующим образом: пусть А, А' и В являются такими
нормальными делителями группы О, что АаА', А П В = А! П В и
АВ = А'В. Всякий элемент а' из Л', как лежащий в произведении
нормальных делителей А и В, допускает запись
a'=ab, aczA, ЬаВ.
Отсюда следует b = a~la', т. е. b содержится в пересечении А'С\В,
а потому и в пересечении А П В. Это показывает, что элемент а'
содержится в А.
Пример структуры подгрупп знакопеременной группы четвертой
степени показывает, что структура всех подгрупп некоторой группы
не всегда является дедекиндовой. Структура всех подгрупп
симметрической группы третьей степени является, однако, дедекиндовой, хотя
здесь не все подгруппы являются нормальными делителями.
Определение дедекиндовой структуры допускает много различных
формулировок. Так, эквивалентным первоначальному будет следующее
определение: структура 5 дедекиндова, если из b-^b' следует
ab'-\-b = (a-\-b)bf.
4. Разложения в пересечения с неприводимыми компонентами!
В дедекиндовых структурах могут быть доказаны многие важные
алгебраические теоремы, например теорема Ремака-Шмидта (см. О. Ore,
On the foundation of abstract algebra, II, Annals of Mathematics, т. 37
(1936), стр. 265—292). В работе А переносится на произвольные
дедекиндовы структуры теория разложимости в пересечения,
созданная Э. Нетер (Idealtheorie in Ringbereichen, Mathematische Annalen,
т. 83 (1921), стр. 24—66) для идеалов коммутативного кольца (см.
также названную здесь работу Оре).
Пусть S есть дедекиндова структура. Элемент а из S назовем
приводимым, если он является пересечением конечного числа отличных от него
элементов, и неприводимым — в противном случае. Разложение
а = а{а2 . .. ак
назовем несократимым, если ни одну из компонент аь нельзя
отбросить, т. е. если
а <ах ... ai_lai+l . . . ak (/==1,2, . . .,£).

78 а. г. курош
Дальше нас будут интересовать разложения с,неприводимыми
компонентами, которые всегда существуют, если все возрастающие цепочки
элементов в 5 обрываются.
Теорема 1. Если элемент а разложен двумя способами в
несократимые пересечения неприводимых компонент,
a = b1b2 ... bk==clc2 ... ct,
то для всякого Ь{ можно найти хотя бы одно такое Cj, что
a = bx... bi_xcjbiJrl ... bk.
Для доказательства вводим обозначения
bi = b\ ••• *<-A+i ••• bk>
**=!>& 0*=1> 2,...,/).
Если хотя бы один из элементов dj совпадает с а, то теорема
доказана. Пусть все dj больше а. Положим
/= (*< + <*i) (*< + do) ■ ■ ■ (*, + dd.
Очевидно, что /^ Ь{, но можно доказать, что /-}- Ь{ = bi -\- bi и fbi =
= bibi. Ввиду дедекиндовости структуры S будем иметь f=bi9 т. е.
bi = {bi + dl){bi + dj...{bi + dt).
Из dj^> а следует bi-\~dj^ Ьг при всех у, т. е. элемент bi
оказывается приводимым.
Эта теорема позволяет легко доказать следующую теорему:
Теорема 2. Все несократимые разложения элемента а дедекиндо-
вой структуры в пересечение конечного числа неприводимых
элементов обладают одинаковым числом компонент.
5. Нормальные элементы. Композиционные ряды. Если структура 5
не является дедекиндовой, то в ней можно выделить нормальные эле-
менты, играющие роль нормальных делителей в структурах подгрупп.
Элемент а назовем нормальным в структуре S, если при любом
элементе b из S и элементах Ь', си с\ удовлетворяющих условиям
из be = br с' следует b' = Ь, с' = с.
Легко видеть, что тогда и только тогда все элементы структуры S
будут нормальными, если структура 5 дедекиндова. Нулевой и единичный
элементы структуры, если они вообще имеются, непременно нормальны.
Элемент а назовем нормальным в элементе а, если а^а и если
элемент а нормален в подструктуре, составленной из всех элементов
структуры, предшествующих элементу а.
Если композиционным рядом в структуре S называть такую
конечную систему элементов из S,
а0 = 0<а1<а2< ••• <я*-1<ла==1>
что всякий элемент а4 является максимальным нормальным элементом
в ai+l9 и если считать факторами этого ряда подструктуры ai+lJait

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП 70
составленные из элементов, заключенных между ai и ai+19 то имеет
место следующая теорема, аналогичная теореме Жордана-Гельдера:
Всякие два композиционных ряда структуры S имеют
одинаковую длину, и их факторы можно так поставить во взаимно одно-
значное соответствие, что соответствующие факторы будут
структурно изоморфными.
Доказательство является дословным повторением принадлежащего
Шрейеру доказательства теоремы Жордана-Гельдера (см. ван-дер-Вар-
ден, Современная алгебра, ч. 1, § 41). При его проведении
приходится опираться на следующие свойства нормальных элементов:
а) Пересечение нормального элемента а и произвольного элемента с
нормально в с.
Р) Если элемент а нормален в S, а элемент с, с^а, нормален,
в подструктуре, составленной из всех элементов, следующих за а, то
элемент с нормален и в S.
у) Если а — нормальный и b — произвольный элементы структуры Sy
то подструктуры а-\-Ь\а и b\ab структурно изоморфны.
8) Сумма двух нормальных элементов структуры 5 сама
нормальна в S.
Заметим, однако, что пересечение двух нормальных элементов не
обязательно является нормальным.
Пусть А есть нормальный делитель группы G. Тогда А является
нормальным элементом в структуре всех подгрупп группы G.
Действительно, пусть подгруппы В, В', С и С из О удовлетворяют условиям
BGB'QAB, AQCGCQAB и ВПС=В' ПС.
Если V есть произвольный элемент из В', то из br £ АВ следует, чта
b' = ab> а£А, Ь£В, откуда а = Ь'Ь~г. Элемент а содержится поэтому
в пересечении А(\В' и тем более в С [\В\ а поэтому и в СОВ,
т. е. а содержится в Л. Это показывает, что bf содержится в В, т. е.
В' —В. Аналогично, если с' есть произвольный элемент из С', то
c' = ab, откуда Ь = а~1с'у т.е. b содержится в С'{)В = СП В, т. е. Ь
содержится в С. Поэтому и с' содержится в С, т. е. С = С.
Простые примеры показывают, что иногда нормальными в структуре
всех подгрупп бывают подгруппы, не являющиеся нормальными
делителями. Вопрос об алгебраических свойствах таких подгрупп остается
пока открытым.

О ПРИЗНАКАХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КОЛЬЦО КАК
ГИПЕРКОМПЛЕКСНУЮ СИСТЕМУ.
Л. Я. ОКУНЕВ.
§ Ь Постановка проблемы. Основные понятия и свойства*
Целью настоящей работы является установление необходимых и
достаточных условий для того, чтобы некоторое кольцо было
гиперкомплексной системой (конечной алгеброй) относительно некоторого
коммутативного поля Р 1).
Как известно, кольцо А называется гиперкомплексной системой
(конечной алгеброй) относительно коммутативного поля Р, если между
элементами а, Ь, с, ... кольца А и элементами <х, р, -у, ... поля Р
можно установить некоторую операцию, „скалярное" умножение,
обладающую следующими свойствами:
1. аа есть элемент кольца А;
2. аа = а<х\
3. а (а -(- д) = сна -{- ab\
4. (а-[-|3)а = аа-\-$а\
5. а ((За) = (а(3) а, а (а£) = (аа) £, a (cab) = (яа) £;
6: 1 • а = я, где 1 — единица поля Я;
7. Кольцо Л обладает конечным базисом относительно Я, т. е.
в А существует конечное число таких элементов vv v2> ..., vk, что
для любого и, содержащегося в А (и с: А),
и = axvx + ос.2г>2 + ... + °№>
где av — элементы поля Р [1, стр. 1].
Мы покажем, что если:
I. Кольцо А содержит подкольцо Z неделителей нуля,
перестановочных с любым элементом Л;
II. Во всяком подкольце Ai (Аг может, в частности, совпадать с А),
содержащем Z;
а) убывающая цепочка степеней идеала (правого, левого,
двустороннего)
91=>31а:Э ... zdWzd ...
юбрывается, т. е. существует такое целое положительное число k, что
Я* = «*+!= ...;
б) возрастающая цепочка идеалов (правых, левых, двусторонних)
%lcz%2c: ... c%cz ...
*) Полем мы все время будем называть кольцо, £в котором ^уравнения
ха = b, ay = Ь разрешимы для любого а Ц= 0.

О ПРИЗНАКАХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КОЛЬЦО
81
также обрывается, и длина цепочки не превосходит некоторого
целого положительного т, не зависящего от выбора цепи, иными
словами, существует такое целое положительное k ^ т, что
III. Возрастающая последовательность Z-модулей
P.C^C.cPjC...
обрывается, —
то тогда А есть гиперкомплексная система относительно некоторого
поля Р и притом система с единицей умножения. Обратно, мы
покажем, что любая гиперкомплексная система с единицей обладает только
что высказанными свойствами I—III.
Для дальнейшего нам придется ввести несколько определений.
Немаловажную роль будут играть так называемые идемпотентные
элементы, т. е. такие элементы е кольца Л, что е2 = е. В частности, О
есть идемпотентный элемент. Мы будем идемпотентный элемент и
называть главным, если мфО и не существует другого такого идемпотент-
ного е ф О, что ие = еи = 0.
Если ab = 0, а ф 0, b ф 0, то мы будем называть b правым
делателем нуля относительно я, а — левым делителем нуля
относительно Ь. Если, кроме того, и Ьа = 0, то мы будем говорить, что
элементы а и b взаимно уничтожаются. Может случиться, что ак = 0
при некотором целом положительном k, но а ф 0. Такое а принято
называть нилъпотентным элементом.
Все элементы некоторого идеала % ф (0) в кольце А (или в под-
кольце А{) могут оказаться, кроме нуля, нильпотентными. Для такого
идеала мы будем употреблять термин слабый нилыготентный идеал.
Под сильным нилъпотентным идеалом мы будем подразумевать такой
идеал 51 ф (0), что %к = (0) для некоторого целого положительного k.
Таким образом сильный нильпотентный идеал есть вместе с тем и
слабый; обратное, однако, не всегда верно.
Пример. Пусть А — кольцо, порожденное линейными формами
а = а1и1-{-а2и2-\- ... -\-ъпип,
где п — произвольное целое положительное число; о^ — элементы поля Р9
перестановочные с и:, наконец, и. ф 0, н^ + 1=0, и{и.= о (/фу).
Любой элемент а ф 0 кольца Л, очевидно, нильпотентен, а именно
ап+1 = 0. Тем не менее единичный идеал о, образованный из всех
элементов кольца А, не может быть сильным нильпотентным идеалом,
так как показатель k, при котором ак = 0, нельзя ограничить.
В тех случаях, когда это не может вызвать недоразумений, мы
вместо термина „слабый (сильный) нильпотентный идеал" будем ради
краткости употреблять термин „нильпотентный идеал".
Элементы а ф 0 нильпотентного идеала 91 обладают тем
характерным свойством, что не только а нильпотентно, но нильпотентны или
равны нулю и аггрегаты га-\-та, аг-\-та (г — некоторый элемент
кольца, т — некоторое целое число). Иными словами, главные левый
идеал (а)г и правый идеал (а)г нильпотентны.

82
Л. Я. ОКУНЕВ
В самом деле, пусть, например, % — левый нильпотентный идеал.
Тогда га-\-та, как элемент нильпотентного идеала, должно быть ниль-
потентным или нулем, т. е. (га -\- та)к = 0 для некоторого целого
положительного k. Но тогда
(аг + та)к+1 = а [(га-f-та)кг + т(га-f-та)к] = я . О = 0.
Мы будем называть нильпотентный элемент а, порождающий
главный левый (правый) нильпотентный идеал, (слабым) собственно нилъ-
потентным элементом; в частности, мы элемент а ф 0 будем
называть сильным собственно нильпотентным, если он порождает главный
левый (правый) сильный нильпотентный идеал.
Не следует думать, что всякий нильпотентный элемент есть также
и собственно нильпотентный элемент. Например, пусть А — кольцо всех
квадратных матриц второго порядка с элементами из поля
действительных чисел. Легко видеть, что матрица
/О (А
a = (ioJ
нильпотентна: а ф 0, а2 = 0. Однако, матрица а не будет собственно
нильпотентной, так как произведение ( JL J = f j есть идемпо-
тентная матрица, отличная от нуля.
Имеет место следующая теорема: совокупность всех сильных
собственно нильпотентных элементов кольца образует вместе с нулем
двусторонний (слабый) нильпотентный идеал.
Очевидно, для этого достаточно показать, что а) произведение аг
или га, где а — сильный собственно нильпотентный элемент, а г —
элемент кольца, равно нулю или собственно нильпотентно; б) сумма или
разность двух сильных собственно нильпотентных элементов равна нулю
или собственно (сильно) нильпотентна.
Докажем прежде всего справедливость утверждения а). Пусть,
например, га не равно нулю. Тогда га будет сильным собственно
нильпотентным элементом главного левого нильпотентного сильного идеала,
порожденного а. Аналогично рассуждаем и относительно
произведения аг 2).
Переходим к доказательству утверждения б). Пусть а -\- b отлично
от нуля и пусть 11 = (а)и 12 = (b)h I® = (0), I* = (0). Рассмотрим
левый идеал (tj + lg)8"7"*""1. Он равен сумме произведений s~\-t—1
сомножителей \х и 12. В каждом из таких произведений либо 1г
встречается по меньшей мере 5 раз, либо 12 встречается по меньшей мере t
раз. Пусть, например, 1х встречается s раз:
Точками мы здесь обозначили возможные множители 12. Но
...^...^...^...^...=(0).
2) Точно так же и г^аг есть сильный собственно нильпотентный элемент.
Действительно, гхаг лежит в сильном левом главном идеале, порожденном
сильным собственно нильпотентным элементом аг.

О ПРИЗНАКАХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КОЛЬЦО
83
Следовательно, (t1 + t2)s+f_1 = (0)> т- е- и^еал 1Ж —|— Lj есть сильный
левый нильпотентный идеал. Отсюда получается, что элемент а±Ь,
лежащий в идеале Ij-f"^' есть сильный собственно нильпотентный
элемент (ср. [2], стр. 150).
Совокупность всех собственно нильпотентных элементов (слабых и
сильных) мы будем в дальнейшем называть радикалом кольца и
обозначать через 3-
Кольцо А может и не обладать радикалом; очевидно, это будет
в том случае, когда в Л не будет существовать собственно
нильпотентных элементов. Такое кольцо А мы назовем полупростым; в
остальных случаях будет употребляться термин „неполупростое кольцо".
Наконец, для дальнейшего полезно ввести еще один термин.
Говорят, что кольцо (или подкольцо) простое, если оно не обладает
никаким двусторонним идеалом, кроме самого себя и нулевого идеала (0).
Точно так же левый идеал % называется простым, если 51 не
содержит накакого другого левого идеала, кроме самого себя и (0).
Соответственным образом дается определение простого правого и
двустороннего идеалов.
§ 2. Основные свойства кольца Л, вытекающие
из постулатов I—II.
Мы здесь будем предполагать, что для рассматриваемого кольца
выполняются первые два вышеприведенных постулата.
Посмотрим, что можно сказать относительно существования идем-
потентного и, в частности, главного идемпотентного элемента.
Теорема 1. Для всякого не нильпотентного элемента афО
существует такое идемпотентное е ф 0, что
аке — еак, е = акг = гак\
при этом, если а не лежит в Z,
r = z(fl»-)rzla»-i-{- ... +^4-^i^i + ^2«w-1+ • • • +*nn-i*>
где zi — элементы Z, mi — целые числа.
Доказательство. 1) Пусть а не лежит вZ.Строим подкольцо Аа
элементов вида
го^ + ^а»-! -j- ... +гд + тха» + т^"-1 + . . . + тп_ха.
Так как Аа содержит Z, то в Аа согласно постулату Па должна
обрываться цепочка степеней
(a)z)(a)23(a)3=) ...
главного двустороннего идеала (а). Иными словами, должно
существовать такое целое положительное^, что (а)к = (а)к+1=... В частности,
(а)к = (а)зк. Но АаУ очевидно, есть коммутативное подкольцо; поэтому
в Аа (a)i = (ai). Следовательно, (ак) = (а3к). Отсюда, в частности,
получается, что
или v ' '
(1) ак = ак(акг)у где r = akq-\-mak>

84
Л. Я. ОКУНЕВ
Положив акг равным е, получим в силу коммутативности Аа и
равенства (1)
е* = [ак (акг)] г = акг = е.
Кроме того, согласно равенству (1) и коммутативности Аа
аке = еак = ак, е = акг = гак*
При этом е ф О, так как в противном случае мы имели бы ак = аке =
= ак • 0 = 0. Наконец, г как элемент подкольца Аа должен
выражаться в виде
г = г(р»-{-г1ап-1-)г .. . -j-2rn + i»1a» + /it2a»-1 + ... + mn_1a.
2) Пусть а — элемент Z. Рассматриваем в кольце А цепочку
степеней
(a)=)(a)2=D(a)3=) ...
двустороннего главного идеала (а). Поскольку а перестановочно со
всеми элементами Л, эту цепочку можно переписать так:
(2) (а)з(а2)=э(а3)гэ ...
В силу постулата На цепочка (2) обрывается; поэтому, в частности,
(ак) = (адк). Рассуждая затем как в случае 1), придем к идемпотент-
ному элементу е = акг = гак ф 0 такому, что аке = еак = ак.
Теорема 2. Если идемпотентный элемент и0 разлагается на сумму
попарно уничтожающихся идемпотентных элементов, не равных
нулю:
е*=*.ф0, е.е.= 0 (<фД
то число слагаемых не должно превосходить т 3).
Доказательство. Пусть, напротив, я > т. Полагаем
ui = е2 ~т~ е» i • • • 1 ею
4= es+---+en>
Легко видеть, что
«J = «,. ui + iui= tti + i= ttiui+i (' = 0,1, ...,/i — 2).
Из соотношения uiJrlui = uiJs.l следует, что правые делители нуля
относительно щ являются правыми делителями нуля и относительно и<+1.
Поэтому, обозначив соответственно через 23* и 23^+1 правые идеалы
в Л, образованные из правых делителей нуля относительно и{ и ui+v
получаем 23^cz23*+1. 23^ не может быть равно 9Э<+1, так как тогда из
ui+i(ui—'ui+i) = ° следовало бы ui(ui — uii_1) = 0 = ui — uii.v т. е.
невозможное равенство ei+l = Q.
3) Отсюда, между прочим, получается, что и0ф0, так как в противном
случае и0е = 0 = е\ = е .

О ПРИЗНАКАХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КОЛЬЦО
85
Таким образом получается строго возрастающая цепочка идеалов
»0cz231c:a32c:...cza3w_1,
что противоречит постулату Нб, так как п > т.
Теорема 3. Если подколъцо Ах (в частности, само кольцо А)
содержит идемпотентный элемент е ф 0, то в Ах существует по
меньшей мере один главный идемпотентный элемент.
Доказательство. Если е — главный элемент, то все доказано.
Если е не является главным в Av то в Ах существует такое идемпо-
тентное £j ф 0, что еег = ехе = 0. Составляем и1 = е-\-е1\ если их—
главный элемент в Av то все доказано. В противном случае
существует такое идемпотентное е2 ф 0, что ихе2 = е2их = 0. Легко видеть,
что е, ev е2 попарно уничтожаются. В самом деле, надо только
показать, что уничтожаются е, е2 и ev е.2 (для е и ех это очевидно).
Действуем следующим образом:
е (ихе2) = 0 = [е (е + ег)] е2 = ее2, (е2их) е = 0 = е2 [(е + ех) е] = е2е\
ei («i*2) = 0 = [ег (е + ejl е2 = ехе2, (е2их) е1 = 0 = е2 [(е + et) ех] = e2ev
Составляем и2 —е-\-е1-\-е2. Либо и2 — главный элемент в Av либо
в Аг существует такое идемпотентное е3 ф 0, что и2е% = еъи2 = 0.
В последнем случае по предыдущему можно показать, что е, ev е2, ez
попарно уничтожаются, и т. д. В конце концов мы, на основании
теоремы 3, придем не более чем через т — 1 шагов к главному идем-
потентному элементу в Av
Идемпотентный элемент е ф. 0 играет существенную роль в теории
рассматриваемого кольца; если е содержится в некотором подкольце Ах
(в частности, в самом А), то
Ах = 1-\-еВ-\-Ве-\- еАхеу
где / — совокупность всех элементов Av обращающихся в нуль при
умножении слева и справа на е: eI=Ie — (Q); еВ — совокупность всех
элементов Av которые при умножении слева на е не меняются, а при
умножении справа на е обращаются в нуль: еВ • £ = (0); Be —
совокупность всех элементов Av обращающихся в нуль при умножении на е
слева и не меняющихся при умножении на е справа; наконец, еАхе —
совокупность всех элементов Av для которых е является единицей
(см. [3], стр. 98—99).
Пользуясь свойствами идемпотентного элемента, мы докажем
следующую теорему:
Теорема 4. Если Ах — полупростое подколъцо и в Ах существует
идемпотентный элемент е ф 0, то в Аг существует также единица
умножения.
Эта теорема вытекает из нижеследующих лемм.
Лемма 1. Если е — главный идемпотентный элемент подкольца А1У
то в разложении
Al = I-\-eB-\-Be-\-eAle
либо 1 = 0, либо I, кроме нуля, состоит только из нильпотентных
элементов.

86
Л. Я. ОКУНЕВ
Доказательство. В самом деле, если бы / содержало не ниль-
потентный элемент афО, то (см. теорему 1) существовал бы такой
идемпотентный элемент ei = акг = гак ф 0, что еех = еакг = О, ехе =
= гаке = 0. Поэтому е не было бы главным.
Лемма 2. Если подкольцо At полупростое и е — главный
идемпотентный элемент Av то
L = I-\-eB, N=l-\-Be
состоят только из нуля.
Доказательство. Пусть, например, L ф (0). Легко видеть, что
для любого я, принадлежащего NL, ае = еа = 0. Поэтому NL
содержится в /. Следовательно, в силу леммы 1 всякий элемент NL либо
равен нулю, либо нильпотентен. Отсюда следует, что всякий
элемент LN также либо равен нулю, либо нильпотентен. В самом деле,
если / — элемент L и п — элемент N, то я/, как элемент NL, либо
есть нуль, либо нильпотентен. Таким образом для некоторого целого
положительного k (nl)k = 0. Но тогда и (1п)к^1 = 1(п/)кп = 0.
Покажем теперь, что всякий элемент L, отличный от нуля,
собственно нильпотентен в Av
Элементы L обладают той отличительной особенностью, что они
обращаются в нуль при умножении на е справа: Le = Ie -f- еВе — (0).
Таким образом, если а ф 0 — элемент L, то га-\-та — также элемент L.
Действительно, (га -|- та) е = гае -\- таг = 0 -ф- 0 = 0. Далее, нетрудно
показать, что га-\-та равно нулю или нильпотентно. А именно,
так как
Al = N+eAv
то
LAl=LN+LeAl = LN\
иными словами, при умножении справа любого элемента L на произвольный
элемент подкольца At получается либо нуль, либо нильпотентный
элемент. В частности, (га ф- та) (га -\-та) = (га -\- та)2 либо равно нулю,
либо нильпотентно. Отсюда и га-\-та либо равно нулю, либо
нильпотентно. Тем самым доказано, что а есть собственно нильпотентный
элемент.
Получился результат, противоречащий условию леммы, так как
полупростое кольцо не может иметь собственно нильпотентных
элементов. Следовательно, предположение о том, что L ф (0), отпадает.
Аналогичным образом доказываем, что Л/=(0).
Теперь мы можем приступить к доказательству теоремы 4.
Доказательство теоремы 4. Подкольцо Ах во всяком случае
должно содержать главный идемпотентный элемент и (см. теорему 3).
Так как А1 по условию полупростое, то L = (0) и N = (0) (см. лемму 2).
Следовательно, разложения Ах = N-\-uAv Al=L-\-Alu принимают
такой вид: Al = uAv Al = Alu. Мы видим отсюда, что и есть единица
подкольца Av
Обращаясь к кольцу А, мы сейчас покажем, что А обладает
единицей.
Теорема 5. Кольцо А обладает единицей.

О ПРИЗНАКАХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КОЛЬЦО
87
Доказательство. Пусть z ф О — какой-нибудь элемент из под-
кольца Z. Согласно теореме 1 для z существует такое идемпотентное
е ф 0, что ezk = zke = zk. Легко видеть, что е не может быть делителем
нуля. Действительно, если, например, существует такое с ф 0, что ее — О,
то zk • с = zkec = 0. Но последнее невозможно, так как z и тем самым zk—
неделитель нуля. Точно так же е не может быть правым делителем
нуля.
Теперь разлагаем А по равностепенному е\ получаем А = еАе, так
как /, еВу Бе исчезают, поскольку е — неделитель нуля. Равенство
А = еАе свидетельствует как раз о том, что е — единица А.
Мы подошли вплотную к следующей теореме, играющей в нашей
теории решающую роль.
Теорема 6. Полупростое кольцо А всегда можно разложить на
сумму простых двусторонних идеалов:
А = % + %2-\-...+%к,
обладающих тем свойством, что %* =Щ ф (0), 51^51- = (0) (/ ф ;).
При этом число слагаемых не может превосходить т.
Предварительно докажем такую лемму:
Лемма 3. Если R — некоторое полупростое кольцо, то в R всякий
двусторонний идеал s)l ф 0 должен быть также полупростым.
Доказательство. Случай ?(==/? тривиален. Поэтому пусть %
не совпадает с /?. Предположим, в противоречие с утверждением леммы,
что SX неполупростое. Тогда в % должен существовать собственно
нильпотентный элемент а. Покажем, что а будет собственно нильпо-
тентным ив/?. Рассмотрим квадрат выражения аг -{-та, где г —
произвольный элемент /?, т — целое число. Легко видеть, что
{ar ф- may = а {гаг ф- mra -f- mar ф- т2а),
причем гаг ф- тга ф- таг -\- т2а есть, очевидно, элемент двустороннего
идеала 91. Следовательно, {аг-\-та)2 либо равно нулю, либо нильпо-
тентно. Отсюда и аг-\-та либо равно нулю, либо нильпотентно, т. е. а —
собственно нильпотентный элемент /?.
Но последнее невозможно, так как R — полупростое кольцо. Таким
образом % должно быть полупростым.
Теперь возвращаемся к теореме 6.
Доказательство теоремы 6. В случае А простого теорема
очевидна; при этом А обладает единицей еу независимо от простоты и
полупростоты (см. теорему 5). Если А полупростое и не простое, то
оно должно содержать двусторонний идеал 23t ф (0), образующий, в свою
очередь, полупростое подкольцо (см. лемму 3). Поскольку Ъх полупростое,
в Sj существует не нильпотентный элемент а ф 0, а потому существует
идемпотентное ех ф 0, именно ег = akr а 23х (см. теорему 1). Поэтому 23j,
как полупростое подкольцо, должно иметь единицу их (см. теорему 4).
Разложим А по идемпотентному элементу и^
А = I ~\- и{В -f- Вих ф- uxAuv
Но ut есть элемент двустороннего идеала 23А; следовательно, ихВ и Вих
содержатся в 2?г Далее, поскольку и{ есть единица 23р то и1В=и1В • их=0,

88 л. я. окунев
Ви1 = и1- Ви1 = 0. Наконец, игАи19 очевидно, равно 23г Таким образом
разложение А по идемпотентному элементу и1 принимает следующий
вид:
Л = / + »г
/ есть также двусторонний идеал кольца А. Действительно, во-первых,
сумма и разность любых двух элементов /, очевидно, принадлежит /.
Во-вторых,
Л/ = /2 + 231/=/2 с /, /Л = /2 + /©1 = /2 с /.
Таким образом, обозначив двусторонний идеал / через 232, получаем
Л = 931 + 232;
при этом
»х», = (0), зз2зз1 = (0), зз* = ззх, зз* = зз2.
Справедливость последних двух равенств следует из того, что ^ имеет
единицу uv а 232— единицу и2 = е — uv
Если ЗЗр 23.2 — простые двусторонние идеалы, то теорема доказана.
Если же, например, 23х — непростой двусторонний идеал, то, применяя
аналогичные рассуждения к 23р найдем, что 23t содержит двусторонний
полупростой идеал (в 23^ Я5Х ф (0)5 ПРИ этом, если b ф 0 — ненильпотент-
ный элемент 2Э1У то в 23х существует отличное от нуля идемпотентное
ех = bkr = bk (rbkr) cz 23^ (потому что rbkr — элемент 23х). Отсюда по
теореме 4 идеал 235 должен обладать единицей uv Разлагая далее 23t
по идемпотентному элементу и приходим, как и выше, к разложению
2з1=2з;+2з;/, 2з;2=2з;, 2з;2=<, 2зХ=(о), 2з;,2з1,==(°);
единицей 23х будет ut = и1— и[.
Следовательно,
(3) Л = »; + < + »8;
легко показать, что все слагаемые попарно уничтожаются. В самом деле,
мы только что нашли, что уничтожаются 33^ и 23". Далее,
(Зд) аз; = о=зз2 (»$)=зз2зз;2=зз2зз;,
аз; (аз.аз^ = о=(»&> аз2=зз;-'зз2=аз;зз2,
сад) аз;' = о = аз, (»Х) = ®а®Г=®з®Г«
зз" (зз^з) = о = (ззХ) аз2=зз"2аз2=зз;'зз2.
Очевидно, что аз;, аз; — двусторонние идеалы в Л. Это следует из того,
что в разложении (3) слагаемые попарно уничтожаются.
Продолжая эти рассуждения, мы получим разложение вида
(4) А = Ъ1 + Щ+...+%к, *48=Я,ф(0), ед = (0) (*ф;>

О ПРИЗНАКАХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КОЛЬЦО
89>
и
(5) * = И1 + н2+...+нА, u4Uj = 09
где щ — единица 51^.
Мы обязательно должны притти к такому разложению (4), в
котором все 51$— простые двусторонние идеалы; в противном случае
процесс разложения можно было бы продолжать без конца, и мы бы
имели равенство (5), в котором k > т, в противоречие с теоремой 2^
Посмотрим, что можно сказать о простом двустороннем идеале
21 ф (0).
Теорема 7. Всякий простой двусторонний идеал 51 ф (0)
полупростого кольца А обладает левым (правым) разложением.
Предварительное замечание. Говорят, что идеал 51 ф ФУ
обладает левым (правым) разложением, если
5t = ai + a2+ . . . + as,
где а{— простые левые (правые) идеалы в 51 и притом а^ = 5Ц^
е\ = е. ф 0, е.е. = 0 при / ф j ([2], стр. 156—157).
Доказательство. Если 51— простой левый идеал, то левое
разложение 21 будет состоять из одного лишь 51. По лемме 3 идеал 51
должен быть полупростым, в силу чего в 51 должен существовать не
нильпотентный элемент а ф 0. Отсюда следует, согласно теоремам 1 и 4Г
существование в 51 единицы е. Таким образом 51 = %е, и теорема в этом,
случае доказана полностью 4).
Пусть 51 — не простой левый идеал, т. е. пусть в 51 имеется левый
идеал а ф (0), отличный от 51. По лемме 3 51 является полупростым-
Отсюда на основании тех же рассуждений, что и выше, следует
существование в 51 единицы е. Далее, левый идеал а не может быть ниль-
потентным, так как по лемме 3 51 — полупростое. В силу этого в a
имеется ненильпотентный элемент а ф 0, порождающий отличное от нуля
идемпотентное ех = гак = акг (см. теорему 1). Идемпотентный элемент е19
как нетрудно видеть, содержится в 51 и не равен е. Действительно,,
51 — двусторонний идеал; следовательно, ех = гак а 51. Мало того„
e1 = e\= (гакг) ак с а, вследствие чего е± ф е.
Составляем теперь следующие левые идеалы:
ai = %>ei и а' == Я*2»
где е2 = е — ev Очевидно, идеалы at и с/ отличны от (0) и от 51.
Получаем
51 = а1 + а'.
Пересечение а1Г\а/ = (0), т. е. сумма ax -j- а', как говорят, — прямая б).
Если ъг и а' — простые левые идеалы, то все доказано. В противном.
случае пусть, например, аг — не простой левый идеал. Тогда ах будет
4) В случае, когда 2Г—простой левый идеал, существование в Ж единицы
можно обнаружить, не пользуясь даже теоремами 1 и 4. Достаточно иметь
в виду одну только лемму 3.
5) Вообще сумма идеалов ix1-\- сь + ... + $п называется прямой, если
а*Па, = (0)(*фу).

90
Л. Я. ОКУНЕВ
содержать левый идеал (в %) а", не равный (0) и аг По предыдущему
в а" найдется, наверное, идемпотентное v ф е\ при этом vex = v, так
как ех— правая единица для всех элементов аг Рассмотрим
произведение e1 — e1v. Оно, во-первых, отлично от нуля, так как если с ф 0 —
ненильпотентный элемент а", для которого ckv = vck = ck, то скер =
-=ckv — ck\ отсюда, предполагая elv = 01 получаем невозможный
результат ск = 0. Во-вторых, оно идемпотентно. В самом деле,
е* = (е1*)2 = ех (уед v = ei°2 = eiv = ev
В-третьих, е1 не равно е±, так как ех = е^о с а'' ф ах; при этом ev оче-
видно, является правой и левой единицей для е: е1е1 = ее = е
Теперь получаем новую прямую сумму
п . г/
где а" и а2—отличные от (0) и аА левые идеалы, а именно
через £.' мы здесь обозначим е2 = е1 — et. Легко заметить, что
/о / /2 / f г f ' л
*1 = *!' *2 = *2> V* = Vl = °«
Следовательно, 51 есть прямая сумма трех слагаемых <\v л,, а:
21 = ах + а, + а ,
^ попарно уничтожаются.
Продолжая этот процесс разложения, мы получим вообще сумму
левых идеалов:
(6) 5t = 6i + b2+...+bs>
где
Ь. = 2Ц, ^=е. ф0, ^. = 0 при /фу, * = £?i-j-*2-{-...-{-*в.
Обязательно рано или поздно получится такое разложение (6), в
котором все 1\ являются простыми левыми идеалами, так как иначе
процесс разложения продолжался бы до бесконечности и мы бы имели
сумму е = е1-\-е2-\-...-\-es с числом слагаемых, превосходящим т
(см. теорему 2).
Теоремы б и 7, как мы увидим впоследствии, имеют существенное
значение при исследовании структуры кольца А.
В постулатах I — II немаловажную роль играет подкольцо Z.
Поэтому необходимо заняться изучением его свойств.
Теорема 8. Под/сольцо Z либо образует коммутативное поле Р,
либо в кольце А существует коммутативное поле Р, содержащее Z
и состоящее из неделителей нуля, перестановочных с любым
элементом кольца.
Доказательство. Напомним прежде всего, что кольцо А должно
обладать единицей е (см. теорему 5).

О ПРИЗНАКАХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КОЛЬЦО
91
Представляются только следующие две возможности.
Либо для всякого элемента z ф 0 из Z существует такое г-1 тоже
из Z, что zz~l = eaZ. В этом случае Z будет коммутативным полем.
Либо в Z существует такое z ф 0, для которого zx = е не имеет
решения, лежащего в Z. Но в кольце А уравнение zx = е всегда
разрешимо, именно по теореме 1, x = zk~1r. Присоединим к Z
всевозможные аггрегаты
k = z0xn -\- ztxn-г -f- . .. -f- zn (zi —элементы Z).
Получим некоторое подкольцо Р. Мы утверждаем, что Р —
коммутативное поле. В самом деле, во-первых, х перестановочно с любым
элементом г кольца А:
гх = е • rx = (zx) rx = z (xr) х = (xr) (zx) = xr-e = xr.
В силу этого k также перестановочно с любым элементом кольца.
Во-вторых, единица е лежит в Я, так как e = zx. В-третьих, в Р для
любого k ф 0, не являющегося делителем нуля, уравнение ky = е
разрешимо. Действительно, поскольку подкольцо Р содержит Z, в Р
выполняется постулат Па, в силу чего (см. доказательство теоремы 1) ktki = е,
и y = kt~1kv
Наконец, остается показать, что элементы поля Р не могут быть
делителями нуля. Умножим обе части равенства kr = 0 (k ф 0 —
элемент Р, г — элемент А) на zn слева, получим (znk)r = Q. Но
*»А = *о (**)* + *!* (гх)»-1-^. .. +*n*n = *o + *i*+ • • • +*n*n с Z,
так как zx = e. Следовательно, z1lk — неделитель нуля и потому г = 0.
До сих пор мы рассматривали преимущественно полупростое кольцо А.
Если обратиться к неполупростому кольцу, удовлетворяющему
постулатам I — II, то может возникнуть следующий естественный вопрос —
не будут ли в подобном кольце совпадать понятия слабого и сильного
нильпотентного идеала.
Теоремд 9. В неполупростом кольце А всякий слабый нильпо-
тентный идеал является сильным, и обратно.
Доказательство. Пусть % — слабый нильпотентный идеал. Он,
очевидно, будет двусторонним идеалом в подкольце Av порожденном
элементами Z и 31. Согласно постулату На цепочка степеней идеала %
2l^2l2z) ... =D9t*= ...
обрывается в Av т. е., начиная с некоторого целого положительного &,
31* = 2(*+1= .. . В частности, %к = %2к. Обозначим %к через 23; тогда
232 = 9Э. Мы утверждаем, что 23 = (0).
Прежде всего 23 — идеал с конечным базисом, так как в А1 имеет
место постулат Пб. Пусть 23 = (w1, и2, ..., ип). Таким образом для
любого элемента а идеала 23 имеет место равенство
а = ихгг + и2г2 + ... + ипгп (гг — элементы Лх).
Но из соотношения 232 = 23 следует, что любой элемент идеала 35
можно выразить в виде суммы произведений элементов того же идеала,
т. е. а = 2 яА-
i

О ПРИЗНАКАХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КОЛЬЦО
93
§ 3. Основные свойства кольца Л, вытекающие из постулатов I—III.
В этом параграфе мы покажем, что кольцо Л, удовлетворяющее
всем трем постулатам, должно быть гиперкомплексной системой
относительно коммутативного поля Р, упомянутого в теореме 8.
Обозначим через Р некоторое поле в кольце Л, содержащее Zu
(и — единица Р). Оказывается, что Р есть гиперкомплексная система.
Теорема 10. Если имеют место постулаты I—III, то поле Р
есть гиперкомплексная система относительно поля Р.
Доказательство. Очевидно, что Р должно содержать и поле Ри.
Теорема будет доказана, если мы покажем, что Р есть конечный
Р-модуль.
Возьмем из Р какой-нибудь элемент iv не лежащий в Ри, и
рассмотрим совокупность всевозможных выражений вида
Poh+Pif
где /?0, рх— элементы поля Ри. Эту совокупность обозначим через Pv
Легко заметить, что Р1 образует Р-модуль, в силу чего Рх и подавно
является Z-модулем. Если Рх совпадает с полем Р, то теорема
доказана. В противном случае в Р будет существовать элемент /2, не
лежащий в Pv Совокупность всевозможных выражений
М+РЛ + Р*
где pi — элементы Ри, в свою очередь будет Р-модулем (и тем более
Z-модулем). Если Р2 совпадает с Р, то теорема доказана. В
противном случае снова строим Р-модуль Р3 и т. д. В результате получится
возрастающая последовательность Р-модулей
Ptcz/>2c:P3c...,
которая по аксиоме III должна обрываться. Следовательно, мы
неизбежно должны притти к РП9 совпадающему с Р, и теорема доказана.
Переходим к исследованию простого двустороннего идеала. Можно
высказать следующую теорему.
Теорема 11. Если имеют место постулаты I—III, то всякий
простой двусторонний идеал % полупростого кольца А есть
гиперкомплексная система относительно поля Р.
Доказательство. Известно, что если некоторое простое кольцо
с единицей допускает левое (правое) разложение, то это кольцо
изоморфно некоторому кольцу М всех квадратных матриц я-го порядка
в поле К ([2], стр. 166). Следовательно, идеал % по теореме 7 должен
быть изоморфен кольцу М: %^ М.
Но идеал 51 содержит поле Ри {и — единица 51); поэтому в силу
изоморфизма в М должно существовать поле К Ш Р. Обозначим через р
элемент поля/С, через Сц — матричные единицы и через k — элемент
поля /С По определению матричных единиц
(И) *<А* = 0 ПРИ -/ + *' cijcJk = cik

94
Л. Я. ОКУНЕВ
(12) * = 2!W
Умножим равенство (12) слева на cpq и справа на срг Тогда получим,
приняв в расчет перестановочность с^ с k и с J3 и соотношения (11), что
(13) cpqR = ^j cpqcijPij = ^J Cpj?qp
*, J J
U 4) ^C^ = ^j Yififpq = ^J CiQ™P'
Суммы (13) и (14) могут быть равными тогда и только тогда, когда
Но тогда элемент k принимает следующий вид:
* = (2'«)Ри=Рпй,
ч
где и— единица М.
Следовательно, поле Ки 6) содержит поле /С. Так как % изоморфно
с Му то в 21 должно существовать поле Р, содержащее поле Ри.
Согласно теореме 10 Р должно быть гиперкомплексной системой
относительно Р. Отсюда поле К также должно быть гиперкомплексной
системой относительно К, а потому и М есть гиперкомплексная
система относительно /С Но % изоморфно с М, а Р изоморфно с /С.
Следовательно, 51 есть гиперкомплексная система относительно
коммутативного поля Р.
Теперь мы подошли вплотную к основной нашей задаче.
Теорема 12. Если в кольце А выполняются постулаты I—III,
то А есть гиперкомплексная система относительно коммутативного
поля Р.
Доказательство. Если А есть полупростое кольцо, то А по
теореме 6 должно разлагаться на сумму простых двусторонних
идеалов:
A = %l+...+%t> «! = ««, %Щ = (0) 04А
Но каждое %i по теореме 11 есть гиперкомплексная система
относительно поля Р; следовательно, и их сумма А должна быть также
гиперкомплексной системой относительно поля Р.
Остается разобрать случай непростого и неполупростого кольца А,
Такое кольцо, как мы уже знаем, обладает единицей (см. теорему 5)
и радикалом $ = (vl9 t>2,..., vk) (см. § 1, определение
неполупростого кольца). При этом радикал 3 должен быть сильным нильпотент-
ным идеалом: Зл=(0) для некоторого целого положительного k (см.
теорему 9).
Поскольку в кольце А выполняется условие максимальности, кольцо
— А
А = -о~ системы вычетов по радикалу 3 должно быть полупростым
6) Ки — поле всех матриц вида ри.

О ПРИЗНАКАХ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ КОЛЬЦО
95
(см. [2], стр. 151); кроме того, в Л должно существовать поле Я,
гомоморфное с полем Р. Очевидно, что в Л выполняются постулаты I—III,,
а потому кольцо Л должно быть гиперкомплексной системой относи-
тельно поля Р. Отсюда следует, что любой элемент г кольца Л может
быть выражен в виде
г=и1х1 + и2х2+ ... + ири
где ul9 u2,...,ut — базис гиперкомплексной системы А относительна
Я, хг-— элементы поля Я.
Переходя от Л к Л, получаем, что любой элемент г кольца А
можно представить в виде
г = и1х1 + НН + • • • + uiH + s,
где и{ — фиксированные элементы кольца Л, х^ — элементы поля Я и
5 — элемент радикала 3- Но
5 = vxrx -J- . .. -f- vnrn> r4 — элементы Л.
Следовательно,
t п
(15) r= 2 «<*< + 2 *Vi
i=l i=l
для любого г. Подставляя в равенство (15) вместо ri их значения
t п
и = 2 и/ч/ + 2 «v«>
получаем
(16) /•=2 «л + 2 («<«/) *ц+2 (^) /•«•
г г, j *» J
В равенстве (16) вместо r{j подставляем их значения
t п
rij= 2 uk*ijk~f- 2 vjfijk-
k=l A=l
Получаем
i i, j i, j, к it j, к
Затем в последнее равенство подставляем
t п
rijk = 2 ulAijkl + 2 Vfijkl
и т. д. Этот процесс подстановки мы будем повторять k — 1 раз*
В результате получится, что
Г = 2«Л + 2(^)*<*+--- + 2 (Vflj... И8) *</...* +
+ . .2 (<^..-1>.)л0...

96
Л. Я. ОКУНЕВ
Но произведение k сомножителей vjo$...v8 равно нулю, так как
£к = (0); поэтому
т. е. кольцо Л есть гиперкомплексная система относительно поля Р.
В заключение остается показать, что, обратно, во всякой
гиперкомплексной системе Л с единицей умножения постулаты I—III
удовлетворяются. И действительно, постулат I, очевидно, выполняется,
так как роль подкольца Z может играть поле еР, где е — единица Л,
а Р — коммутативное поле, относительно которого Л образует
гиперкомплексную систему.
Далее, всякое подкольцо Л1 кольца Л, содержащее еР> есть модуль
относительно поля Р и притом модуль конечный, так как сама
гиперкомплексная система А есть конечный модуль относительно Р. Этот
вывод можно, очевидно, распространить на любые идеалы в Л (в Ах).
Следовательно, всякое подкольцо Ах должно быть гиперкомплексной
системой относительно Р; в частности, гиперкомплексными системами
•будут и идеалы в Л (в Лх). Назовем степенью гиперкомплексной системы
число элементов, входящих в линейно независимый базис системы.
Пусть степень Л равна т; тогда всякие т линейно независимых
элементов Л можно принять за базис гиперкомплексной системы Л.
Отсюда вытекает, что если гиперкомплексная система Л2 содержится
в другой гиперкомплексной системе Av то степень Л2 должна быть
строго меньше степени Лг Но в таком случае любая возрастающая
цепочка идеалов в Л (в Лх) должна обрываться и притом не более
чем через т шагов, т. е. имеет место постулат Пб. Аналогичным
образом убеждаемся в справедливости постулата На.
Наконец, в гиперкомплексной системе Л должен удовлетворяться и
постулат III. В самом деле, в Л удовлетворяется теорема о цепях
делителей для Р-модулей ([2], стр. 87).
Цитированная литература
[1] М. Deuring, Algebren, Berlin 1935.
12] В а н-д е р- В а р д е н, Современная алгебра, ч. II, ОНТИ 19
3] L. Dickson, Algebren und ihre Zahlentheorie, Zurich 1927.

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП.
В. К. ТУРКИН.
Почти все исследования автора в области конечных групп связаны
в той или иной мере с основной проблемой современной теории
конечных групп — проблемой, известной большинству математиков под
«званием проблемы Бернсайда. Вильям Бернсайд в первом издании
:воей классической книги „Theory of groups of finite order"
(Cambridge 1897) впервые указал на тот факт, что все группы нечетного
юрядка, известные математикам того времени, разрешимы. Естественно
возникает вопрос о том, существуют ли неразрешимые группы
нечеткого порядка, что и составляет проблему Бернсайда. За 40 лет,
которые прошли с того времени как появилась книга Бернсайда, не уда-
чюсь получить ни одного примера неразрешимой группы нечетного
порядка; однако и не удалось также доказать невозможность
существования таких групп. Таким образом проблема Бернсайда не решена
%о настоящего времени, несмотря на то, что над нею работали Фробе-
чиус, Бернсайд, Миллер, Бличфельдт и целый ряд других математиков.
Для того чтобы доказать, что всякая группа нечетного порядка
разрешима (справедливость этого утверждения представляется весьма
вероятной), достаточно доказать, что группа нечетного порядка не
ножет быть простою. Как известно, порядок простой группы, во-пер-
шх, должен делиться по крайней мере на три различных числа и,
ю-вторых, должен делиться на двенадцать или на куб наименьшего
1ростого числа, являющегося делителем этого порядка. Следовательно,
Нечетный порядок простой группы должен состоять по крайней мере
я^ пяти простых сомножителей. Фробениус доказал, что группа
нечеткого порядка, состоящего из пяти простых сомножителей, не может
5ыть простою. Для нечетного порядка, состоящего из шести простых
сомножителей, аналогичная теорема была доказана Бернсайдом. Случай
Учетного порядка, состоящего из семи простых сомножителей,
исследован автором настоящей статьи. В своих работах
\ 1) On the groups of order p6qr, Математический сборник, т. 36
:1929), стр. 383—384;
2) Die Nichtexistenz einfacher Gruppen der ungeraden Ordnungen
*V und /?V2r, Mathematische Annalen, т. 104 (1931), стр. 770—777;
- 3) Die Nichtexistenz einfacher Gruppen der ungeraden Ordnungen
l*q2rs, p*qrs und p^qrst, Mathematische Annalen, т. 107 (1933),
ftp. 767—773,
—г автор доказал, что группа нечетного порядка, состоящего
13 семи простых сомножителей, не может быть простою. При до-

98
В. К. ТУРКИН
казательстве пришлось рассмотреть отдельно каждый из порядков,
указанных в названиях работ. Метод исследования состоял
преимущественно в подсчете элементов группы при использовании различных
критериев простоты группы, полученных ранее Фробениусом и Берн-
сайдом. Произведя подсчет, удается наложить на простые числа,
являющиеся делителями порядка группы, определенные ограничения. Иногда же
подсчет сразу показывает, что группа данного порядка не может быть
простою. Так, например, в случае порядка p*q*r (р, q, г — простые
нечетные числа) можно доказать, что группа такого порядка может быть
простою лишь в том случае, если число элементов в ней не
превосходит одного из следующих чисел:
/>У (Г— 1) -\-Р*г (<73 — 1) + q*r (р* - 1) + 1,
/>У» (г - 1)+р»г (<Г* - 1) + q4p* - 1) + 1.
Поскольку р]>3, <7>р, г>/? (мы можем считать, что р—
наименьший простой делитель порядка группы), то каждое из
вышеприведенных двух чисел меньше чем ргдъг. Это доказывает, что группа данного
порядка не может быть простою.
В настоящее время методы доказательств, примененные в
названных работах, следует считать устаревшими, так как, после появления
некоторых позднейших работ (в частности, работы автора в 38-м томе
Mathematische Zeitschrift; см. ниже), невозможность существования
простой группы порядка, состоящего из семи нечетных простых
сомножителей, может быть доказана значительно проще. Однако различные
детали доказательств могут быть использованы и в более общих слу«
чаях. Так это сделано в работе автора
4) Разрешимость групп нечетного порядка вида p9qr,
Математический сборник, т. 40 (1933), стр. 229—235.
Разрешимость групп нечетного порядка вида p°qr (группа четного
порядка вида p«qr не обязательно, является разрешимой; достаточно
вспомнить группу икосаэдра порядка 60 = 22 • 3 • 5, являющуюся
простой группой) для частных случаев была доказана Фробениусом, Берн-
сайдом и Бличфельдтом. Общий случай впервые исследован автором;
однако доказательство, изложенное в упомянутой работе, является
весьма сложным. Впоследствии автором было дано значительно более
простое доказательство той же теоремы, основанное на методе монзд
миальных представлений (см. ниже).
Большая часть работ автора, посвященных проблеме Бернсайда ц
родственным ей вопросам, связана с методом мономиальных представ
влений. Сюда относятся следующие работы автора:
5) Eine neue Anwendung der Darstellung einer endlichen Grupptj
als monomiale Matrizengruppe, Mathematische Zeitschrift, т. 38 (1934),
стр. 301—305;
6) Ein neues Kriterium der Einfachheit einer endlichen Gruppe, Mathe?
matische Annalen, т. Ill (1935), стр. 281—284;
7) Ober monomiale Darstellungen endlicher Gruppen, Журнал Ihctb-
туту Математики Украшено? Академп наук, № 2 за 1935 г., стр. 101—104;
8) Ober Herstellung und Anwendungen der monomialen Darstellungeu
endlicher Gruppen, Mathematische Annalen, т. Ill (1935), стр. 743—74$

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 99
9) О простых группах четного порядка, Математический сборник,
т. 1 (43) (1936), стр. 341—344;
10) О квазинормализаторах элементов конечных групп, Доклады
Академии наук СССР, т. 3 (12) (1936), стр. 359—360.
Кроме того, ряд работ автора, связанных с методом мономиальных
представлений, еще не опубликован; часть содержащихся в этих
работах результатов также изложена ниже.
Понятие о мономиалькой матрице принадлежит Бернсайду. Так
называется квадратная матрица, у которой в каждой строке и каждом
столбце только один элемент отличен от нуля. Мономиальная матрица
я-й степени является понятием, обобщающим понятие подстановки п
символов: как известно, подстановка я символов может быть записана
в виде матрицы я-й степени, у которой в каждой строке и каждом
столбце один элемент равен единице, а все остальные — нулю. При
перемножении двух мономиальных матриц по обычным правилам
матричного умножения снова получается мономиальная матрица, так что
из мономиальных матриц можно составить группы. Изучение
представлений конечной группы в виде группы мономиальных матриц
позволило доказать ряд важных теорем о группах конечного порядка.
Бернсайд указал метод построения представления группы конечного
порядка в виде группы мономиальных матриц, причем элементы этих
матриц, отличные от нуля, являлись корнями из единицы. Шпайзер
доказал, что всякое транзитивное (см. ниже) мономиальное
представление группы конечного порядка может быть построено по методу
Бернсайда, Автор указал на возможность получать мономиальные
представления более общего типа: в матрицах таких представлений
элементы, отличные от нуля, являются элементами некоторой конечной
группы. Укажем коротко, каким образом получаются такие
представления. Пусть © есть некоторая группа конечного порядка, ф —
подгруппа группы © и 5?— нормальный делитель группы ф. Напишем
разложения по модулю:
®==$ + фг8н-фг8н-...+фг(.
Смежные системы &£г- образуют, как известно, группу —
дополнительную группу ф/SL Пусть (5 есть группа, изоморфная этой
дополнительной группе, причем Si есть элемент группы ©, соответствующий при
Ьтом изоморфизме элементу &£* группы ф/$. Напишем следующие
выражения:
Т1ри умножении справа на какой-либо элемент группы © каждое из
"этих выражений переходит само в себя или же в другое выражение
Щй же совокупности с умножением слева на некоторый элемент
[группы ©. Таким образом каждому элементу группы © будет
соответствовать мономиальная матрица, элементы которой, отличные от нуля,
являются элементами группы S. При этом матрица, соответствующая

100
в. к. ТУРКИН
произведению двух элементов группы ©, равна произведению матриц,
соответствующих сомножителям, т. е. мы получаем представление
группы © в виде группы мономиальных матриц. Полученное
представление является транзитивным; это означает, что какие бы два из
выражений 27^ ни выбрать, в группе © найдется элемент, при
умножении на который одно из этих выражений перейдет в другое (с
умножением на коэфициент, являющийся элементом группы 3).
Возникает вопрос, всякое ли транзитивное мономиальное
представление группы конечного порядка может быть получено таким образом.
Этот вопрос был разрешен в работе автора 8). В этой работе
доказано, что всякое транзитивное мономиальное представление группы
конечного порядка эквивалентно одному из представлений,
построенных вышеуказанным методом; два мономиальных представления
называются эквивалентными, если переменные
Р 2* • • • ) X t
одного из них и переменные
У» Л» •••> Л
другого связаны формулами вида
где коэфициенты Pi являются элементами некоторой конечной группы.
Интранзитивные мономиальные группы могут быть построены из
транзитивных совершенно таким же образом, как интранзитивные
группы подстановок строятся из транзитивных групп подстановок.
Если группа 3, элементы которой являются коэфициентами
мономиальных матриц, коммутативна, то можно говорить об определителях
этих матриц: мы будем называть в этом случае определителем моно-
миальной матрицы произведение элементов этой матрицы, отличных от
нуля. Определитель произведения мономиальных матриц равен
произведению определителей сомножителей. Таким образом при мономиаль-
ном представлении группы конечного порядка каждому элементу этой
группы соответствует элемент группы 3— определитель
соответствующей мономиальной матрицы; при этом произведению двух элементов
данной группы соответствует произведение соответствующих элементов
группы 3. Если хотя бы один из определителей, соответствующих
элементам группы ©, не равен единице, то мы имеем гомоморфизм
между группой © и некоторой группой меньшего порядка, отличной
от единицы. Но в этом случае группа © имеет нормальный делитель.
Мы получаем, таким образом, связь между теорией мономиальных
представлений и вопросом о простоте группы. С помодью
мономиальных представлений удалось получить ряд критериев простоты группы.
Основной критерий простоты группы, полученный при помощи
теории мономиальных представлений, может быть, на основании
вышесказанного, сформулирован следующим образом (см. работу автора 8)):
Пусть © есть группа а $ — ее подгруппа. Пусть

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
101
Пусть А есть некоторый элемент группы ©. Пусть
(И^ есть элемент группы ф). Если произведение
не содержится в коммутанте группы ф, то © имеет нормальный
делитель.
Налагая на группу © различного рода ограничения, можно
получить целый ряд критериев простоты конечной группы. Так, например,
в работе автора 6) доказана следующая теорема:
Пусть © есть группа порядка g и ф— ее подгруппа порядка h.
Пусть g=hm (h и т взаимно просты). Пусть $ есть коммутант
группы ф. Если в группе ф имеется не содержащийся в Ж элемент А,
для которого из каждого соотношения вида
G~lAG = H
(G — элемент группы ©, а И-—элемент группы ф) следует
соотношение вида
X *АХ = Н
(X — элемент группы ф), то группа © имеет нормальный делитель,
порядок которого делится на т.
Частным случаем этой теоремы является следующая:
Пусть © есть группа порядка р«т (р — простое число; т не
делится на р) и пусть подгруппа Силова ф порядка р« абелева. Если
в ф имеется элемент, входящий в центр нормализатора подгруппы ф
относительно группы ©, то группа © имеет нормальный делитель,
порядок которого делится на р.
Частным случаем этого последнего предложения является
следующая известная теорема (см. например О. Ю. Ш м и д т, Абстрактная теория
трупп, 2-е изд., стр. 168):
Если подгруппа Силова порядка ра группы порядка рит (т не
делится на р) входит в центр своего нормализатора, то группа имеет
нормальный делитель порядка /я.
В работе 7) автор доказал теорему, несколько более общую по
сравнению с теоремой, доказанной в работе 6).
Пусть © есть группа порядка g, ф — ее подгруппа порядка h и
g=ht. Пусть Ш — коммутант группы ф и St — характеристическая
подгруппа группы ф, порождаемая элементами, порядок которых
есть делитель t. Если в группе ф имеется не содержащийся в Я =
= ШУ1 элемент А, для которого из каждого соотношения вида
в-1АЮ = Н
(G — элемент группы ©, а' И-—элемент группы ф) следует
соотношение вида
Х-1А'Х=Н
(X—элемент группы И), то © имеет нормальный делитель, порядок
которого делится на t и на наибольший делитель числа h, взаимно
простой с порядком дополнительной группы ф/St

102
В. К. ТУРКИН
Пусть ft) есть простая группа порядка g = pym (р — простое число,
m не делится на р) и пусть ty есть подгруппа Силова порядка р9 этой
группы. Приведенные выше теоремы позволяют доказать, что всякий
элемент группы ty, не содержащийся в коммутанте этой группы,
должен входить по крайней мере в одну подгруппу вида
где О есть элемент группы ft), не содержащийся в ^ (в противном
случае группа ® не может быть простой, так как в мономиальном
представлении группы ©, построенном с помощью подгруппы %
некоторым элементам будут соответствовать определители, отличные от
единицы). Далее, нетрудно доказать, что всякий элемент группы ф, не
содержащийся в коммутанте этой группы, должен входить не менее
чем в q (q—-наименьший простой делитель числа т) подгрупп вида
причем никакие два из элементов G^ не являются сравнимыми по
модулю ф. Это дает возможность доказать следующую теорему (см.
работу автора 5)):
Пусть © есть группа порядка g. Пусть р% есть наивысшая
степень простого числа р, делящая g, и пусть q есть наименьший
делитель числа g, не делящийся на р. Группа № имеет нормальный
делитель, если в ней содержится более g[-r-\ ) элементов,
порядок которых есть делитель числа р*.
В работе автора 8) дано следующее обобщение этой теоремы:
Пусть (9 есть группа порядка g, $ — ее подгруппа порядка h и
g = hs (h и s взаимно просты). Пусть — есть порядок коммутанта
группы ф и q — наименьший делитель числа s. Если ft) содержит-
более g(-j-\ ) элементов, входящих в подгруппы, сопряженные
с ф, то ft) имеет нормальный делитель.
Эти теоремы указывают верхнюю границу для числа элементов
данного порядка в простой группе. Пользуясь этими теоремами, можно,
доказать разрешимость некоторых типов групп. Так, в работе 5) авто^
ром доказана следующая теорема:
Всякая группа порядка g==p\ptpi . . . р (Pv Р>, • • •> Рт~пР°т
стые числа) разрешима, если рх^т.
Частным случаем этой теоремы является уже упоминавшаяся
теорема о разрешимости групп нечетного порядка вида p*qr.
В еще не опубликованной работе автором получена более общая,
теорема:
Всякая группа порядка g = p\l р\* .. . р%п (р19 р ,„...,
Рт—простые числа, р{ < /?2 < . .. < рт) разрешима, если pi >- т.
Критерии простоты и разрешимости конечной группы, получаемые
при помощи мономиальных представлений, могут быть несколько
уточнены, если предположить, что порядок группы является четным. Моно-

ИССЛЕДОВАНИЯ НО ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП ЮЗ
зниальная матрица может быть разбита на циклы, подобно тому, как
это делается для обычных подстановок. Мономиальная матрица
называется четной или нечетной в зависимости от того, четным или
нечетным числом является разность между степенью матрицы и числом
^циклов. Если в мономиальном представлении какой-либо группы
некоторым элементам соответствуют нечетные мономиальные матрицы, то
группа имеет нормальный делитель, состоящий из элементов, которым
соответствуют четные мономиальные матрицы. Нечетная мономиальная
матрица может соответствовать элементу группы лишь в том случае,
если порядок этого элемента делится на два, так что рассматриваемый
критери^ простоты группы применим лишь к группам четного порядка.
Пользуясь этим критерием, автор доказал в своей работе 9)
следующую теорему:
Пусть Г есть простая группа порядка 2*т (т — нечетное число)
и К — ее подгруппа Силова порядка 2*. Пусть
Г = Л -}- ло2 + ло8 +... + ло,„.
Если элемент А группы Г содержится в \0 сопряженных
подгруппах вида
то
л0== т (mod 4).
В той же работе автор доказывает следующую теорему,
являющуюся уточнением для случая группы четного порядка
вышеприведенной теоремы о верхней границе числа элементов данного порядка
в простой группе:
Пусть Г есть простая груши порядка п = 2*т (т — нечетное
тело) и пусть q — ншменьший делипель числг т. Число
элементов порядка, делящего 2а, в группе Г должно быть меньше чем
п\Т ~f )' если У s ^ (mod 4), [и меныиг чем п (j -\ тгт) » если <7 — ^
[mod 4).
Дальнейшие исследования автора в области монэмиальных
представлений связаны с построенной автором теорией
квазинормализаторов. Пусть © есть группа порядка g — p*n (р—-простое число, п не
делится на р) и пусть А еегь элемент порядка рк^.р* этой группы.
Совокупность элементов X группы ®, удовлетворяющих условию
ХАХ-1=А*»,. ws=l (mod/?*)
(г^&), называется z-ым квазинормализатором элемента А и
обозначается через 9t^\ Всякий квазинормализатор является подгруппой
данной группы. Квазинормализатор 3v^ является нормализатором эле-
цента А. Основной теоремой в теории квазинормализаторов является
Й&дующая (см. работу автора 10)):
Пусть А есть элемент порядка рк (р — простое число) некоторой
группы. Если 9^}ф91д+1), то 9t^+2) есть подгруппа индекса р

104
В. К. ТУРКИН
группы WA \ Исключение может иметь место лишь в случае р = 2Т
Х = 1.
С помощью методов теории квазинормализаторов легко доказы-
ваются следующие теоремы:
Пусть © есть группа порядка р«п (р — простое число, п не
делится на р) и А — элемент порядка рк этой группы. Если в ©
содержится элемент X, удовлетворяющий условию
ХАХ-1 = Л»', т г* 1 + Pl (mod р>- >),
то рк -< Y Р* '' > шли р > 2 или \ > 1.
Пусть % есть группа порядка рчг (р — простое число, р(р—iy
взаимно просто с п) и А — элемент порядка рк группы ®. Если
отношение порядков нормализаторов A^k~l и А не делится на р, то А
не сопряжено ни с какой своей степенью.
Частным случаем этой теоремы является следующая теорема
С. А. Чунихина:
Пусть © есть группа порядка р'хп (р — простое число, р{р-—1)
взаимно просто с п). Если А есть инвариантный элемент подгруппы
Силова порядка ра, то А не сопряжено ни с какой своей степенью*
Комбинируя методы теории квазинормализаторов и теории моно-
миальных представлений, можно доказать следующую теорему:
Пусть & есть группа порядка р*п (р — простое число, р(р—1)
взаимно просто с п) и А — элемент порядка рк группы ®. Если по-
рядок нормализатора элемента А^к~х не делится на р-к, то & имеет
нормальный делитель, порядок которого делится на п.
Переходим, наконец, к двум работам автора, не связанным с
вопросом о критериях простоты и разрешимости конечной группы:
11) Generalisation du theoreme de Frobenius, Comptes Rendus Ac. ScL
Paris, т. 193 (1931), стр. 1059—1061;
12) Обобщение теоремы Ландау о конечных группах, Доклады
Академии наук СССР, т. 3 (8) (1935), стр. 59—62.
В первой из этих работ автор доказывает следующую теорему:
Пусть п и т — два делителя порядка группы, причем п делится
на т. Число элементов группы, порядок которых есть делитель п
и делится на т, делится на наибольший делитель п, взаимно про-
стой ст.
Частными случаями этой теоремы являются следующие предложения:
а) (Теорема Фробениуса). Если п есть делитель порядка
группы, то число элементов группы, порядок которых есть дели-'
тель п, делится на п.
б) (Теорема Л. Вейснера). В группе порядка g число
элементов, порядок которьис делится на т (т—делитель g), делится на
наибольший делитель g, взаимно простой с т.
Более общие теоремы были получены П. Е. Дюбюком (см. его-
статью в этом сборнике).
В работе 12) автор обобщает теорему Э. Ландау о конечности^
числа конечных групп с данным числом классов. Применяя тот жф

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
105
метод доказательства, который дан в работе Э. Ландау, автор
получает следующую теорему:
Пусть дано конечное множество целых положительных чисел
«П *2> ••" Ч-V Ч'
Существует лишь конечное число не изоморфных групп конечного
порядка} в которых можно найти такие k — 1 собственных подгруппг
что для индексов
iv i%2, . . ., *д.__1
этих подгрупп имеет место равенство
<Vi + v'a 4- • • • + ч-Л-1 4 ч = п>
где п — порядок группы»

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОДГРУПП У КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ.
С. А. ЧУНИХИН.
§ !. Предмет исследования и общая характеристика методов.
1. Задача изучения конечных групп может быть сформулирована
ъ основном так: Указать особенности групп, имеющих данное
натуральное число g своим порядком. Идеальное решение задачи: дать
квадраты Кэли всех таких групп.
На первый взгляд казалось бы наиболее естественным и исходить
етри решении этой задачи из тщательного изучения особенностей
квадратов Кэли данного размера („топология" квадрата Кэли) и
производящих равенств группы. До сих пор, однако, встретившиеся на таком
пути трудности, выражающиеся прежде всего в отсутствии общих
методов и в утомительных вычислениях, не были еще преодолены.
Практика все же показала, что для важнейших приложений полное знание
всего квадрата Кэли не является необходимым; во многих случаях
оказывается вполне достаточным знание „населенности" данной группы
группами меньших порядков, причем очень часто это даже влечет и
полное описание всего квадрата Кэли.
2. Среди групп меньших порядков („подгруппы"), „населяющих"
данную группу, особое место по важности для приложений в других
отделах алгебры и в геометрии занимают так называемые
инвариантные подгруппы или нормальнее делители. Поэтому разыскание
признаков, позволяющих судигь о наличии или отсутствии у группы
нормальных делителей, всегда состав1яло особую заботу при
исследованиях по теории конечных групп. В этой области, отличающейся особой
трудностью исследования, имеются до сих пор еще неразрешенные
проблемы, по свогй малой доступности вполне выдерживающие
сравнение с классическими задачами теории чисел. Такова, напрлмер,
задача Бернсайда о возможности существования про:тых (т. е. не
содержащих нормальных дзли гелей) групп нечетного порядка.
Далее, как мы увидим ниже, признаки непростоты позволяют судигь
т о существовании неинвариантных подгрупп.
3. В настоящей статье излагаются некоторые из найденных автором
^признаков существования подгрупп, в первую очередь инвариантных,
у конечной группы. При этом привлекаются в качестве приемов
исследования три следующие: метод индукции, способ композиции подгрупп
и способ абстрактного отображения данной группы нт группу
меньшего порядка. Все указанные приемы вполне абстрактны; автор нигде
не пользуется соображениями из теории характеров.

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОДГРУПП У КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ 107
§ 2. Методы исследования и принятые обозначения.
1. Одним из применяемых нами методов является метод
математической индукции, часто и весьма плодотворно употребляемый в алгебре
вообще. Здесь мы его применяем для наших целей, используя
найденный акад. О. Ю. Шмидтом [1] независимым от теории характеров
способом строй таких неспециальных групп, все подгруппы которых
уже специальны1). Важнейшие необходимые нам в дальнейшем свойства
таких групп суть следующие:
1) порядок их имеет вид р*ф\ т. е. является произведением
степеней лишь двух различных простых чисел]
2) подгруппа Силова порядка /?* циклическая', = [Р] ;
3) подгруппа Силова порядка ф инвариантна]
4) индексы главного ряда такой группы суть
/?, />,..., р} qb, q, . . ., ?, где qb = 1 (mod р),
при этом b — наименьшее число, удовлетворяющее сравнению такого
типа.
Докажем еще [2], что
5) подгруппа Силова & порядка ф является также
коммутантом всей такой группы.
Прежде всего ясно, что коммутант St будет содержаться в D, так
как £1 по 3) инвариантна в ® и дополнительная группа ®/0 — абе-
лева по 1). Следовательно, порядок 51 равен ф^. Покажем, что р1 = 13.
Допустим, что ,3j < 3; тогда { Р) St будет специальной группой и,
значит, элемент Р перестановочен с любым элементом коммутанта, т. е.
коммутант входит целиком в нормализатор элемента Р. В таком случае
этот нормализатор инвариантен в (D и из этого заключаем, что Р
был бы перестановочен со всеми своими сопряженными элементами.
Но тогда {Р} была бы в ® инвариантной, что невозможно, так как
% сама уже неспециальная группа.
Указанные свойства групп (9 позволят нам установить некоторые
критерии принадлежности данной группы к классу групп специальных,
т. е. к классу групп, пэ степени насыщенности нормальными
делителями следующих непосредственно за группами абелевыми и гамильто-
новыми.
2. При разыскании нормальных делителей способом композиции
подгрупт полезными являются следующие две леммы.
Лемма 1. Пусть системг <р£)р где •£> и ${ — некоторые
подгруппы ($, дает все элементы ©. Тогда 63 будет непростой группой,
если пересечение D групп «р и «&1 отлично от единицы и содержит
нормальный делитель какой-либо одной из групп $ или §1 [3].
Д о к аза те л ьс тво. Пусть 35 содержит фА — нормальный
делитель, например, группы .£>г Преобразуя .§> с помощью всех
элементов .£р мы среди получившихся таким образом подгрупп будем иметь,
очевидно, систему всех подгрупп, сопряженных с § в (I. Так как при
1) Специальной называется группа, являюдаяс* прямчм произведением
всех своих подгрупп Счлова разл шных порядков.

108
. С. А. ЧУНИХИН
этом подгруппа Ф{ преобразуется сама в себя, то совокупность всех
сопряженных с «£> подгрупп группы (ft будет иметь отличный от
единицы общий наибольший делитель (по крайней мере X>t), что и влечет
непростоту группы (ft.
Лемма 2. Если в нормализатор &} элемента А группы (ft входят
представители от всех классов сопряженных элементов ?руппы (ft,
то А входит в центр (ft [4, 5].
Доказательство, Действительно, в этом случае совокупность
всех сопряженных с i> подгрупп группы (ft (включая и саму Щ будет
содержать все элементы. Но максимально возможное число различных
элементов в системе всех сопряженных с 33 подгрупп не превысит
(Ъ—1) ^ —f- 1, где 1) — порядок, a h — индекс Ъ в (ft. В этом случае
(о— 1) А-|~ 1 = g— h-\- 1 будет равно g лишь когда /г — 1, т. е. когда
*Ц = ($3, что и требовалось доказать [6, стр. 62, Satz 63].
Если условия леммы 2 выполняются для нормализатора некоторой
подгруппы 21, то % в этом случае — нормальный делитель (ft
(необходимое и достаточное условие инвариантности подгруппы 91).
3. Перейдем теперь к третьему методу — отображению данной
группы (ft на группу меньшего порядка. Если (ft гомоморфно отображена
на группу (ftt меньшего порядка, причем имеется такой элемент А
из (ft, отображение |Л| которого в (ft, не равно единице, то в этом
случае совокупность элементов из (ft, отображающихся на единицу
группы (ft, (такая совокупность всегда при этом существует и является,
очевидно, инвариантным в (ft комплексом), порождает в & собственную
подгруппу %1, являющуюся нормальным делителем (ft. Разыскание
условий существования такого элемента А и является основной задачей при
применении метода отображений для нахождения нормальных делителей
группы. ~*
Само отображение может осуществляться весьма различными
способами. Мы не будем здесь касаться отображений на группы матриц
и связанных с этим арифметических теорий, а укажем простой
абстрактный прием. Идея этого приема восходит еще к Бернсайду [7, стр. 324—
326] и Шуру [8]. Первый употреблял отображение на циклическую
группу, образованную первообразным корнем из единицы, второй же
изложил свой способ абстрактно, но в несколько непрозрачной и
тяжелой форме.
В отличие от других авторов, строивших для каждого отдельного
случая отображение заново, мы выведем здесь сразу же формулу
отображения, позволяющую для всякого элемента А из (ft найти его
„образ" в ®р что упростит дальнейшие рассуждения и позволит
более систематически использовать этот метод [9, 10, 11]. К тому же
мы при этом не прибегаем к помощи „формальных" сумм и
произведений, а используем лишь закон композиции, установленный для
элементов основной группы (ft.
Пусть ф — некоторая, отличная от своего коммутанта Я подгруппа
группы (ft и пусть А — произвольный элемент из (ft (входящий или
не входящий в $). Пусть Di— некоторый элемент (равный или не
равный единице группы (ft) и ai — наименьшая степень DAD'.1, входящая

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОДГРУПП У КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ 109
в «£. Тогда системы £>D,-, $04А, £>£>/Л2, ..., $04Аа* г не имеют
попарно общих элементов, так как из НО{А* = 0{А$, а < р < а(, И cz <fr
следует H = DiA"~riDTly что по условию невозможно при |3— ое<а/.
Пусть D, — некоторый другой элемент из (У, но не входящий ни
в одну из систем фО,-, «£>£>И> <£>0?Л2, . .., «йО^Л^-1, и пусть а^ —
наименьшая степень DAD71, входящая в «&. Тогда ни одна из систем
а. -1
«v>D7, «бО;Л, «£>0,Л2, . .., &0,;Л •* не будет иметь общих элементов
с любой из систем $Df, фО,Л, фО^Л2, . . ., <£>£>,-Л ? .
В самом деле, из HD^ = DjA> следует НО{А*-$ = Djy A*-$ = A't,
где -у > 0, и если ? = /а, ■+■ г, то ЯО^Лт = Н^А*', Н1 сф, г > 0, т. е.
HiDjA1' = Dj, г < <?,-, — вопреки сделанному предположению о D?.
Возьмем теперь в качестве D, единицу группы №. Получим ряд
систем, не имеющих попарно общих элементов:
«\ фЛ, £>Л2, ..., йл"*-1.
Если совокупностью этих систем вся группа (S еще не исчерпается, то
в © найдется такой элемент D2, который не войдет ни в одну из систем
предыдущей совокупности. Этот элемент D0 порождает новую
совокупность систем
£D,2, .£02Л, £02Л2, ..., ^Л"-'"1,
попарно непересекающихся ни между собою, ни с любой из систем
предыдущей совокупности. Если и при этом группа © не исчерпается,
то продолжаем этот процесс дальше. В конце концов придем к
формуле
(S3 = *> + ы + £л2-4-... + %Aai~l +
+ фОа + *02Л -f •&ДИа + . . . 4- *>02Л''-'-1 -f
(1) {
+ w* + *ДИ + фо,л2 +... + ф£>И"*-1 •
Здесь все числа а,, а2, ..., ан, как наименьшие входящие в ф
степени элементов Л, D2AD~ , ..., D8ADJ , являются, очевидно,
делителями порядка элемента Л. При умножении справа на элемент Л
системы каждой строки нашего разложения испытывают циклическую
подстановку.
Введем для краткости следующие обозначения:
Т,=Е% Г2 = Л, Г3 = Л*, ..., 7^ = Л*1"1, ..., 7* = DS4V\
т. е. запишем разложение (S) по модулю ф так:
« = # + фГ2+...+£7),.
и пусть, кроме того,
* = Я + ЯД.2+...+Stfl,„.
2) £ обозначает здесь и в дальнейшем единицу группы ф.

по
С. А. "УНИХИН
Рассмотрим теперь следующую систему выражений:
(2) $, $Г2, . . ., ЯТк.
Умножим справа каждое из этих выражений на любой элемент С1 из ®.
Тогда для каждого значения / мы получим
Т{СХ = КВ,Т, К a St, или &Т<С{ = ДД7} = ДД&7},
т. е. выражения (2) испытают некоторую подстановку, причем каждое
из них при этом получает слева множитель типа ЛаЯ. Если
(3) В Я, BJ, ..., ввл
— все такие множители, соответствующие элементу С,, то и их
произведение будет того же типа, т. е. будет равно некоторому
выражению В$.
' Пусть теперь
(4)t Вь&, В(Л> •••> Bik&
— множители, приобретаемые слева всеми выражениями (2) при
умножении их справа на некоторый другой элемент С2 из ©, и пусть
В$—их произведение. Умножая систему (2) сначала на Cv получим
слева множители вида (3), а умножая затем нашу систему (2) на С2,
видим, что при этом каждый из множителей (3) умножится еще на
одно из выражений типа (4), причем каждое из выражений (4)
появится обязательно один и только один раз.
Поэтому произведение множителей, появляющихся при умножении
на СХС^ равно произведению Z^JtBgR.
Если произведение всех множителей, приобретаемых слева при
умножении на некоторый элемент С из ©, обозначить через |С|, то
из предыдущего следует, что
Таким образом, получается отображение группы © на собственную
или несобственную подгруппу абелевой группы £>/$.
Вычислим теперь окончательно „образ" любого элемента А группы ©.
При умножении справа на элемент А выражения 51, ЯГ2, ..., RTk
испытывают некоторую подстановку Sa, приобретая при этом слева
множители указанного нами типа. Подсчитаем произведение этих
множителей внутри каждого цикла нашей подстановки. Так как
разложение © по модулю ф может быть для всякого Л из © представлено,
как мы раньше выяснили, в виде (1), то ясно, что, каждый цикл
нашей подстановки будет иметь в этом случае вид
(RD, ЯОЛ, ..., ЯШ"-1)-
При умножении справа на А выражения DA1 переходят в DAir\ если
/фа—1, a DAa~l переходит в BtKxD> Кха&. Таким образом имеем
DAa = BtKfi, откуда DAaD~l = BtKv Следовательно, произведение
множителей, приобретаемых слева элементами цикла, будет равно
DAaD~1fR. Отсюда, подсчитывая эти произведения для всех циклов

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОДГРУПП У КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ 111
йодстановки Sa, получим следующую формулу для „образа"
элемента А:
(5) \A\ = AaiD2AatD71...D8AasD-1H.
Таким образом для всякого элемента Л из © можно так подобрать
вычеты разложения © по ф, что | А | будет представлен в виде (5).
Формулу (5) будем называть в дальнейшем основной формулой
абстрактного отображения. Напомним также, как это нами раньше уже
было отмечено, что
(A) DiAat'D~1 (i=l, 2, 3, ..., s) является наименьшей степенью
D.AD71, входящей в ф, и что поэтому ai — делитель порядка эле-
мента А, Очевидно также, что сумма а1 + Д2"Ь • • • ~T~as Равн^
индексу k подгруппы ф по отношению к ©.
Всякий раз, когда нам удастся установить, что | А \, вычисленное
по формуле (5), отлично от Я, мы сможем заключить, что
(B) группа © имеет нормальный делитель, порядок которого,
очевидно, делится на наибольший делитель порядка группы ©, взаимно
простой с порядком группы ф/Я.
4. Во всем дальнейшем изложении мы для краткости будем классы
сопряженных элементов группы © называть просто „классами" группы ©.
Группами типа S мы будем называть такие неспециальные группы, все
подгруппы которых уже специальные.
§ 3. Признаки непростоты конечной группы.
1. Докажем с помощью основной формулы (5) ряд теорем,
позволяющих определить наличие нормального делителя у групп.
Теорема I. Пусть ф — подгруппа индекса k группы © и пусть Я—
коммутант ф. Если ф содержит элемент А, порядка, взаимно
простого с k, не входящий в & и такой, что при любом целом X все
элементы ф, сопряженные с А' в ©, входят в систему SM', то
группа © непростая [9].
"Доказательство. Применим формулу (5). В этом случае из
условий теоремы вытекает, что 0\Аа*07 входит в Ла*Я, и,
следовательно, на основании (5) и (А) получаем
| А | = А1аЯ = АкЯ ф Я
(так как k по условию взаимно просто с порядком элемента А), что
и доказывает нашу теорему.
2. Теорема II. Пусть ф—подгруппа индекса k группы © и пусть
ft — коммутант ф. Пусть в ф содержится элемент А порядка р^
(р — простое число), для которого ни одна степень Ак ф Е не входит
в Я. Если все элементы ф, сопряженные с А в ©, входят в систему
ЯЛ и если р не делит k, то группа © — непростая [9].
Доказательство. „Образ" |Л| элемента А равен
\А | = А00Аа>0~\ ..DAa8 0~гЯ,

112
С. А. ЧУНИХИН
причем каждое а,( здесь есть по (А) степень простого числа р или 1.
Так как 2 а%= * и * по условию не делится на р, то число р таких
DAaD~l, для которых а = 1, тоже не делится на/7.
В силу условий теоремы имеем
(так как в формуле для |Л| порядок расположения множителей DAaD~l
безразличен, то их можно так расположить, чтобы все множители типа
DAD~l заняли первые р мест). Обозначим через а наименьшее из чи-
<:ел арМ, а?^2, ..., ан. Если бы \А\ было равно Я, то и \А\ т тоже
было бы равно Я. Но
\А\ * =А' * D0,,A'?+1 * D71....DA8 ' 0_1Я
не может быть равно 5?, так как
А • D9HA^ * D^...D/^^D7l=A •
по условию не входит в Я (р не делится на /)), что и доказывает
теорему.
3. Формула для | А | показывает, что условия теорем I и II могут
быть несколько ослаблены. А именно, для непростоты ® достаточно,
чтобы все элементы ф, возникающие из Ах (для теоремы II — из А)
путем преобразования с помощью любого D~ , принадлежали системе
ЯЛ* (для теоремы II — системе ЯА). Так же можно было бы и более
точно определить арифметический характер порядка нормального
делителя, обнаруживаемого с помощью теорем I и II.
Заметим еще, что теоремы I и II остаются справедливыми не
только тогда, когда Я является коммутантом группы ф, но и тргда,
когда Я — любая подгруппа ф, содержащая коммутант <£3). В этом
последнем виде теорема I иногда оказывается особенно полезной.
4. Исходя из теоремы I, Л. Вейснер недавно доказал [12]
следующую изящную теорему:
Если группа (9 имеет абелеву силовскую подгруппу ^ порядка /?*
и типа (nlt я2, . . ., пг), где п, > п2 >- п., ^>. . . ^> пп и если р — 1
взаимно просто с порядком ($, то № имеет инвариантную подгруппу
индекса р.
5. Важнейшим результатом Фробениуса, полученным им как
следствие его работ по теории характеров, является следующая теорема
[13, стр. 1226, Satz V]:
Если подгруппа ф группы (9 совпадает со своим собственным
нормализатором и если «р и любая сопряженная с ней подгруппа не
имеют общих элементов (кроме единицы), то элементы ®, не вхд-
3) Это замечание справедливо вообще, конечно, и по отношению к
формуле (5).

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОДГРУПП У КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ 113
дящие в систему сопряженных с ф подгрупп (включая ф), образуют
совместно с единицей нормальный делитель ©.
Покажем сейчас, что если ф не совпадает со своим коммутантом
(это ограничение не является очень значительным, так как при
изучении свойств простых групп ф отождествляют обычно с одной из
силовских подгрупп), то эту теорему можно несколько
распространить следующим образом:
Теорема III. Пусть подгруппа ф группы © совпадает со своим
собственным нормализатором и пусть ф содержит элемент А такой,
что никакая подгруппа, сопряженная с $ в ® и отличная от ф,
уже не содержит элементов типа А1 ф Е. Если А не входит в
коммутант группы ф, то группа ©— непростая [11].
Доказательство. Действительно, в этом случае равенство
О.Ла</)71 = Я, Нс$, i > 1, приводит к Aai = D~1HDi, и так как Dt
не перестановочно с ф, то D~xHDi должно входить в £7~1фО/фф,
т. че., принимая во внимание условия теоремы, имеем Н=Е, В этом
случае формула (5) превращается в
\A\ = ASt;
но Л$ ф $, так как А не входит в $; это и доказывает теорему.
Условия теоремы III можно модифицировать еще и так:
Теорема IV. Пусть подгруппа ф группы ® совпадает со своим
собственным нормализатором и пусть ф содержит элемент А такой,
что никакая подгруппа, сопряженная с ф в © и отличная от ф,
уже А не содержит.
Если при этом никакая отличная от единицы степень А не
входит в коммутант ф и если порядок А равен степени простого
числа р, то группа © — непростая.
Доказательство. Рассуждая как и при доказательстве
предыдущей теоремы, видим, что в формуле для |Л| аг=1, а все остальные
а€ (1=2, 3, ..., 5) > 1. Дальнейшие рассуждения аналогичны
доказательству теоремы II.
§ 4. О верхней границе для порядков элементов у простых групп.
1. Пусть ф— силовская подгруппа порядка р*1 группы © порядка g
к пусть, кроме того, рг — 1 взаимно просто с g. Докажем теперь
следующие две леммы.
Лемма 3. Равенство¥ Х-1АХ=^Аа, <х ф 1 (mod/?™), невозможно,
если А — элемент порядка р™У принадлежащий центру ф, а X —
любой элемент ©.
^ Доказательство. Ясно, что а и рх должны быть взаимно
простыми. Рассмотрим следующие три возможные случая.
^1°. X—элемент порядка р*. Нормализатор 23 циклической
группы {А} содержит всю группу ф (так как А принадлежит центру ф).
Элемент X также входит в 33. Но X не принадлежит ф, так как

114
С. А. ЧУНИХИН
а $ 1 (modp™); поэтому X должен входить в другую силовскую
подгруппу фх группы 93. Но ф и фх должны быть внутри 33 (как силов-
ские подгруппы) сопряженными подгруппами: К-1фК = ф1, где Y —
элемент из 33. Следовательно, Y перестановочен с {А}:
К-1{Л} Y={A}.
Если (5,— центр ф, то тогда У-ЩТ должно быть центром ф^ По
условию {Л}с(£, откуда следует, что
Г-1{Л} Г={Л}сНбК,
и мы видим, что {А} принадлежит к центру ф1# Но это невозможно,
так как аф 1 (modp™).
2°. X— элемент порядка р, где р и р1 взаимно просты. Из
равенства Х~ХАХ = А\ a =j=l (mod/?™), получаем ЛГ^А*7 = А*\ Если
Хг — наименьшая степень элемента X, перестановочная с Л, то мы
получим Л = ЛаТ или А«{-1 = Е, т. е.
ат—1 = 0 (mod/?™).
Отсюда следует, что f должно делить &(р™) = р™~1 (р±—1). Однако
это невозможно, так как f — делитель р (р и рг взаимно просты) и
р1—1 взаимно просто с порядком группы ©.
3°. X — элемент порядка /?°е, где е не делится на pv Из
равенства X~1AX = Aai ос =|= 1 (mod/?w), следует, что
где X 1 — элемент уже порядка е и г взаимно просто с pv Но в этом
случае равенство
возможно (как мы выше показали) лишь в случае, когда X х
перестановочен с А. Таким же образом убеждаемся, что элемент Xй тоже
должен быть перестановочен с А. Если г и 5 — целые числа, удовле-
о 5
творяющие соотношению rz-\-sp\ = 1, то X = XrtX8Pi; но XPl и X9
перестановочны с Л, следовательно и А" перестановочен с Л, что
невозможно, так как а ф 1 (mod/?™).
Таким образом лемма 3 доказана.
Лемма 4. Равенство Х~1АаХ = А^9 где а =£ р (mod/?w),
невозможно, если А — элемент центра группы ф.
Доказательство. Числа аир, очевидно, должны быть вида
а=р^и и р=/?^г>; fj>-0, и и v взаимно просты с рх (это вытекает

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОДГРУПП У КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ 115
из того, что порядки Ла и Х~гАаХ должны быть равны). Пусть uxes
zEzvimodp™-7*); тогда имеем Х^А^Х^А**, или Х^А^Х^А*х ?
или Х-1А$Х = А$Х. Но А$ также принадлежит центру ф и по лемме 3
из равенства Х~1А*Х = А^Х следует лг==1 (mod/?™""71); но тогда u==v
(mod р™"*1) и а = Р (mod/?"*), что невозможно по условию. Лемма 4
доказана.
Докажем теперь следующую теорему [10]:
Теорема V. Пусть ©— простая группа порядка р*т, р — простое
число, не делящее т, и пусть р — 1 взаимно просто с т. Тогда по*
рядки элементов центра любой силовской подгруппы ф порядка р*
не превосходят Vp*-
Доказательство. Допустим, что центр группы ф содержит
элемент А порядка р$, причем /?Р > Yp*- Рассмотрим тогда
абстрактное отображение группы © на циклическую подгруппу {А}. При этом А
отобразится на элемент |Л| этой циклической группы {А} следующим
образом (по формуле (5)):
\А | = AD2Aa*D~l.. . D8Aa8D~\
Так как, согласно леммам 3 и 4, никакие две различные степени А
не сопряжены между собой в ©, то
DiAaW~1 = Aa\ /=1, 2, 3, ..., 5.
Отсюда имеем
\А\ = А1а.
Но Еа равно индексу k подгруппы [А] по отношению ко всей
группе ©, и так как р$ > Ур", то k уже на /?Р не делится и,
следовательно, | А | = Ак ф £, что и требовалось доказать.
Точно так же, конечно, можно вообще установить, что если группа ©
содержит элемент А порядка т9 никакие две степени которого не
сопряжены между собой, и если порядок © не делится на т2, то ©
непростая.
1 2. Установленное (теорема V) существование верхней границы для
порядков элементов центра подгруппы ф у простой группы © может
быть, как мы сейчас покажем, известным образом распространено и на
произвольные элементы группы ©. Будем © называть группой „без
центра", если центр © содержит только единицу Е группы ©. Тогда
имеет место следующая теорема [4]:
Теорема VI. Порядок любого элемента группы © без центра есть
Целитель наименьшего кратного порядков всех классов сопряженных
элементов группы ©.
~ Доказательство. Прежде всего очевидно, что для
доказательства теоремы достаточно установить ее лишь для элементов, порядки
которых являются степенями простых чисел. Пусть п — наименьшее
кратное порядков всех классов сопряженных элементов группы © и

116
С. А. ЧУНИХИН
пусть А — элемент порядка рт (р— простое число), причем рт не де*
лит л. Далее, пусть
Oi)> 02), Оз)> •••> (««)
— все классы группы ©. Возьмем Любой из них (огг). Так как по
предположению рт не делит п, то порядок класса (а4) не делится на рт.
Преобразуем теперь все элементы класса (о^) с помощью элемента Л.
Элементы класса (а{) испытают при этом некоторую подстановку,
причем среди циклов этой подстановки обязательно найдется по крайней
мере один цикл, порядок которого будет равен р5* < рт (так как
порядок класса (а{) не делится на рт). Отсюда следует, что элемент
Ji
Ар ф Е v перестановочен с некоторым элементом В{ из класса (<хД и
циклическая группа {А } = 91^ целиком содержится в нормализаторе
этого элемента Bt. Рассматривая таким же образом все классы
группы ©, мы придем к ряду циклических, отличных от единицы
подгрупп
которые все содержатся в {Л}. Отсюда следует, что та из этих
подгрупп, которая имеет наименьший порядок, должна быть их общим
наибольшим делителем. Пусть этот общий наибольший делитель будет
Щ={Ав}. В этом случае нормализатор 23 элемента Л5 будет содержать
представителей от всех классов группы ©, что возможно, однако, по
лемме 2 лишь тогда, когда Аа ф Е входит в центр ©.
Полученное противоречие и доказывает теорему.
Только что проведенное доказательство является видоизменением
первоначально опубликованного доказательства [4], причем в
настоящем, последнем варианте мы теоремами Силова и композицией
подгрупп уже не пользовались 4).
Так как всякому простому делителю р порядка группы
соответствует элемент порядка р, то из теоремы VI следует, что группа без
центра всегда имеет некоторый класс, порядок которого делится на р.
Более точно:
Для того чтобы конечная группа © не содержала класса,
порядок которого делится на р (р — простой делитель порядка ©),
необходимо и достаточно, чтобы принадлежащая числу р силовская
подгруппа входила в центр © [5].
Можно указать также и некоторые другие признаки существования
класса определенного порядка у конечной группы [5].
Следствие I. Если порядок т элемента А группы © без центра
делит g\n (g—порядок ®), то g делится на т2.
Пусть © — группа без центра порядка р*т, р — простое число,
(р, ш)=1.
4) На возможность такой модификации доказательства мне указал Н. Wie-
landt. Однако применение композиции подгрупп позволяет нагляднее
определить возможное значение для <х (а можно принять равным наивысшей
степени числа р, делящей п).

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОДГРУПП У КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ 1С?
Следствие Ш Если порядок р$ подгруппы ф? группы ® делит g[n,
то порядки элементов группы ф^ не превосходят .Ура.
3. Приведем пример группы без центра, у которой п < g. Такой
группой будет группа порядка 54, определяемая следующими
равенствами:
/*> = £, Q3 = E, Q-*PQ = P\
R* = E, R~1PR = P8, RQ=QR.
Эта группа содержит классы следующих порядков: 3 класса порядка 9;
3 класса порядка 6; 2 — порядка 3; 1—порядка 2, и единицу группы.
Здесь я = 18. Приводим распределение элементов по классам:
Элементы вида PiRJ PiQR, PiQ2Ri / = 0, 1, 2, ..., 8, образуют
соответственно классы 9-го порядка. Элементы
[PQ, P2Q, P*Q, PbQ, P«Q, PSQ],
[py p2f pif рб? pif p8]9
[PQ2, P2Q2, P*Q*, P&Q2, P^Q2, /^Q2]
образуют соответственно классы 6-го порядка. Классы порядка 3: [Q2,
/*Q2, /*Q2] и [Q, P*Q, /*>Q]. Класс порядка 2: [Р3, Р6], и класс
порядка 1: [Е].
4. Легко видеть, что теорема VI и вытекающие из нее следствия
не сохраняются, если во всех относящихся сюда формулировках центр
группы заменить ядром5), а класс сопряженных элементов — классом
сопряженных подгрупп.
§ 5. Порядки классов группы и ее непростота.
1. Связь простоты группы с порядками ее классов до сих пор мало
изучена. Бернсайд доказал [7, стр. 322], что простая группа не может
содержать класс, порядок которого равен степени простого числа рт.
Эта теорема, вместе с упомянутой ранее (§ 3.5) теоремой Фробениуса,
является лучшим результатом развитой этими авторами теории
характеров. Дальнейшие результаты в этом направлении не были получены.
Очевидно, что при наличии у группы класса порядка рт, имеется
также и класс порядка, взаимно простого с рт. В настоящем
параграфе мы займемся выяснением возможного для простой группы числа
классов, порядки которых попарно взаимно просты. Мы увидим, что
это число должно быть меньше 3.
2. Докажем следующую лемму [3]:
Лемма 5. Если группа ® содержит два класса, порядки которых
взаимно просты, и если порядок элементов одного из этих классов
б) „Ядро" группы есть совокупность элементов, перестановочных с любой
подгруппой данной группы. Понятие это введено R. Ваег'ом [14] и является
одним из наиболее удачных, среди потока новых понятий, захлестнувшего
сочинения некоторых отдельных алгебраистов, увлеченных чрезмерными
абстракциями. Такое растекание исследований вширь, не всегда оправданное
^глубокими потребностями, ведет подчас к уклонению от разрешения конкрет-
%Ых, но нелегких задач. Возникающая при этом терминология иногда стра-
Йет крупными лингвистическими недостатками. Таковы, например, „finite
eve* A. R. Роо1е'я (Am. Journ. of Math., v. LIX, № 1).

118
С. А. ЧУНИХИН
делится на npocjnoe число р такое, что порядок второго класса на -р
не делится^ то группа © в этом случае содержит нормальный
делитель, порядок которого делится на р.
Доказательство. Пусть элемент А порядка т принадлежит
классу (а) порядка h, а Аг— произвольный элемент из класса (а{)
порядка hv Пусть нормализаторы элементов А и А1 будут
соответственно 23 и 23г Допустим теперь, что порядки классов (а) и (at)
взаимно просты и что т делится на простое число ру не делящее
числа hv Покажем прежде всего, что система 3323 j даст всю группу ©.
Число различных элементов в системе SSi^ равно -т-1, где Ь, Ьх и d —
порядки 23, 23j и их общего наибольшего делителя 5D. Пусть рф, /?*,
р*х и рЬ — наивысшие степени р, делящие соответственно порядки ©,
23, 23х и ф. Тогда наивысшая степень р, делящая -~, будет равна
ра^<ц-от Но так как h и hi взаимно просты, то
если а < со, то <хг = со, и
если а^со, то а =со.
Кроме того, 8 не может превышать наименьшего из чисел а и av
Следовательно, а + «1 — &^>о». Таким образом числа различных элементов
в системе 2323х не меньше, чем в ©, а, значит, обе эти совокупности
т
совпадают, 2323! = ©. Циклическая подгруппа {Ар } должна войти в
некоторую подгруппу ф порядка рш, а так как р не делит hv то ф
должна войти в нормализатор 23j некоторого элемента Ai из класса (at).
т
Таким образом {А?}, инвариантная в 23, входит в пересечение 23 и
23х, и так как по вышесказанному 2323j = ©, то © по лемме 1 будет
составной группой, что и требовалось доказать.
Докажем теперь следующую Teopeiuy [3]:
Теорема VII. Если группа © содержит три класса, порядки
которых попарно взаимно просты, то © не может быть простой.
Доказательство. Пусть классы (а), ($) и (^) являются
классами, порядки которых попарно взаимно просты. Рассмотрим пару из
них (а) и ((3). © может быть простой, согласно предыдущей лемме,
лишь в случае, когда все простые делители порядка элементов класса (а)
делят порядок класса (Р)6). Но в этом случае порядок элементов
класса (а) будет взаимно прост с порядком класса (f) (так как
порядки классов (|3) и (y) взаимно просты), и, следовательно, прилагая
теперь предыдущую лемму к паре классов (а) и (^), видим, что © не
может быть простой группой, что и требовалось доказать. '
Предыдущую лемму 5 можно сформулировать, очевидно, и так:
Лемма 6. Если 23 — нормализатор некоторого элемента простой
группы ©, то элементы sii не могут принадлежать в & к классам,
порядки которых взаимно просты с индексом 23.
6) Можно доказать (аналогично доказательству теоремы VI), что в этом
случае порядок элементов класса (а) даже делит порядок класса ((3).

О СУЩЕСТВОВАНИИ, ПОДГРУПП ^ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ Г19-
Допустим теперь, что некоторая группа © имеет два класса (а)
я (j3), порядки которых А и At взаимно просты, и, кроме того, пусть ©
не содержит такого класса, порядок которого имел бы одновременно
некоторые отличные от единицы общие делители с порядками (а) и ([3).
Назовем в этом случае (а) и (j3) изолированными классами. Посмотрим,
может ли © быть в этом случае простой группой. Ясно по
предыдущему, что ©, будучи простой, не может содержать класс, порядок
которого был бы взаимно прост и с порядком (а), и с порядком (Р).
Далее, если 33— нормализатор некоторого элемента А из (a), a 331—
нормализатор некоторого элемента В из (|3), то 33 и 33х не имеют
общих (отличных от единицы) элементов, так как общий элемент
принадлежал бы к классу порядка, взаимно простого либо с А, либо с hv
а значит, по лемме 6 © не была бы простой. Если Ь и bt — порядки
соответственно 33 и 331? то таким образом имеем Ъ ===== At, )ot = h
(учитывая, что 3333t = ©). Следовательно, порядок всякого класса должен
быть делителем или А, или Аг Пусть (?)— класс порядка d, делящего,
например, А, и пусть d < А; тогда 332 — нормализатор какого-либо
элемента из (if) — должен иметь отличное от единицы пересечение с 93t
{так как 33233j = ©), но тогда любой элемент пересечения будет
принадлежать к классу, порядок которого будет взаимно прост либо
с индексом Ч$2> либо с индексом 2ЛХ, т. е. по лемме 6 © опять была бы
непростой. Таким образом остается лишь одна возможность: если ©
простая, то все ее классы имеют порядки или А, или hv Аналогично
можно было бы показать, что 33 и 33х должны совпадать со своими
собственными нормализаторами. По лемме 6 все элементы 33 должны
принадлежать классам порядка А, и, кроме того, 33 должна содержать
представителей от всех таких классов, так как если т — порядок эле-
т
мента А и р— некоторый простой делитель т, то элемент Ар имеет
т
своим нормализатором опять 33, но Л^ —элемент простого порядка и
в его нормализатор должны войти (см. доказательство теоремы VI)
представители от всех классов, имеющих порядки, не делящиеся на р.
Аналогичное утверждение справедливо и для группы ЭЗГ Поэтому,
обозначая через Ь* число содержащихся в 33 представителей различных
классов порядка А группы © и через Ъ1 —аналогичное число для ЭЗХ
и классов порядка А1Э имеем
Ь*Л + **А1 + 1 = АА1.
Но **<с + ^-с— 1, ь*<^ + ^-^— 1, где с>\ и сх>1 —
порядки центров Ж и 33р а рх и р2 — наименьшие простые делители
чисел Ь и \)v Если предположить, что порядок © нечетен, то рх^Ъ,
р2>5. Тогда имеем \)*<с + ^=^_1 и ^<^ + ^~^—1 или**<
^3*~f"Tc—* и ^*^"^Г"Ьтс1 — *' Подставляя эти наибольшие зна-

по
С. А, ЧУНИХИН
чения для Ъ* и Ь* в формулу \?h -f- \>\hx -j- 1 = hhx и деля на hhlr шь
ЛУЧИМ 1 О 1 1 " А
.х ^"Ь 5 "К h h ^kh^1'
1 " 5--
С Ci
Группы 33 и SBj не могут быть абелевыми, так как в этом случае 2&
и 23j не могли бы иметь пересечений со своими сопряженными
(элемент пересечения принадлежал бы к классу порядка, не равного h
или hx) и совпадают (как мы раньше отметили) со своими
собственными нормализаторами; отсюда прямым подсчетом элементов убеждаемся
h h <■
в невозможности равенств c = hv cx = h. Стало быть, —^3, — ^>5.
гл 1.2.1.4. 1 1 l^iul/11
Отсюда имеем ^ +? + -+-+- --R—K> 1. Но ^ < в, *на-
1,2,1.4,1 1 1 . - 221 1 1 . л
ЧИТ' 3 + 9-+5+55 + Т5~Л-лГ>1 "™ Ж—Н-¥>1>ЧТ0Не-
возможно. Итак, имеем:
Теорема VIII. Если группа нечетного порядка имеет два
изолированных класса, то она непростая [15].
§ 6. О подгруппах составного порядка.
1. В предыдущих параграфах мы разыскивали признаки
существования нормальных делителей у конечных групп. Займемся теперь
условиями существования подгрупп общего вида, не обязательно
инвариантных. Существование подгрупп порядка ра (р— простое число)
было установлено Силовым [16] во всех случаях, когда р* является
делителем порядка группы. Посмотрим теперь как обстоит дело с
подгруппами, порядок которых делится не менее чем на два различных
простых числа. Такие подгруппы мы в дальнейшем называем не р-под-
группами.
В совместной работе А. А. Кулакова и автора настоящей статьи [17]
содержатся следующие две теоремы, к изложению которых мы и перейдем.
2. Теорема IX. Пусть ©— некоторая группа; тогда существует
по крайней мере одна не р-подгруппа @. Исключение представляют
(кроме тривиального случая р - группы) все группы порядка pq (р п
q — простые числа) и неспециальные группы порядка pq$, у которых
силовская подгруппа порядка q$ — инвариантная элементарная абе~
лева группа и q$==l (mod/?), причем р — наименьшая степень числа q>
удовлетворяющая сравнению такого типа.
Доказательство. Исключая из рассмотрения тривиальный
случай групп порядка pq, предположим, что группа © не имеет иных
подгрупп, кроме найденных Силовым. В таком случае группа © является
группой, все подгруппы которой специальные. Если сама © —
специальная группа, то в таком случае она имеет подгруппы любого порядка,
делящего порядок ©. Остается, следовательно, предположить случай,
когда ©, будучи неспециальной группой, имеет лишь специальные
р - подгруппы.
Тогда © будет принадлежать к группам типа 5 (§ 2.4).
Следовательно, группа © будет порядка p*q$l подгруппа Силова поряд'ка ql

О СУЩЕСТВОВАНИЙ ПОДГРУПП У КОНЕЧНОЙ ГРУППЙ Ygf.
инвариантная, при этом если qV* будет порядком наибольшего
нормального делителя ©, заключенного в силовской подгруппе порядка q$r
то q$-h=l (mod/?), причем число Ь = $ — рх будет наименьшим,
удовлетворяющим такому сравнению (§ 2.1). Рассмотрим два случая:
I. Pi > 0.
Пусть ф обозначает силовскую подгруппу © порядка ра и @Pl —
наибольший нормальный делитель ©, заключенный в инвариантной
силовской подгруппе порядка q$. Составив тогда произведение ф©^,
получим не /ьподгруппу ©.
11.^ = 0.
Очевидно, в этом случае подгруппа Силова порядка ф должна быть
абелевой элементарной. Если <х>1, то, беря какую-нибудь подгруппу
порядка р*-1 и компонируя ее с инвариантной силовской подгруппой,
порядка q$, получим и на этот раз не р-подгруппу ©.
Таким образом группы, имеющие одни только р-подгруппы, должна
содержаться в классе неспециальных групп порядка pq$, у которых
силовская подгруппа порядка ф — инвариантная элементарная абелева
подгруппа и q$ = l (modp), причем р— наименьшее число,
удовлетворяющее такому сравнению („группы типа Аи). Оба эти класса групп
совпадают.
Действительно, нетрудно убедиться (см. ниже следствие I из
теоремы XII), что все подгруппы групп типа А являются абелевыми и>
следовательно, наибольший нормальный делитель такой группы,
заключенный в инвариантной подгруппе порядка q$, должен быть равен
единице (так как в противном случае циклическая подгруппа порядка р
была бы инвариантной). Поэтому предположение о существовании
подгруппы порядка pqi у такой группы необходимо отбросить, так как
оно влекло бы существование инвариантной подгруппы порядка qi, что
невозможно.
3. Теорема X. Если © — группа порядка р1п, X > 1, р — простое
число и не делит п, то © имеет по крайней мере одну подгруппу,
порядок которой делится на р и на некоторое другое простое число,
входящее в порядок группы. Исключение представляют лишь группы
Шипа А.
Дадим новое доказательство этого предложения, отличное от ранее
опубликованного [17]. Отличие будет состоять в том, что мы не будем,
как раньше, пользоваться соображениями из теории характеров, а
сошлемся на следующую общую лемму Фробениуса [18, стр. 176]:
Лемма 7. Пусть силовские подгруппы порядка р\ Х^>1, группы ©
неинвариантны в ней. Среди общих наибольших делителей этих силов-
ских подгрупп, рассматриваемых попарно, возьмем тот, '©, порядок
которого наибольший. Если группа © отлична от единицы, то или
ф инвариантна во всей группе ©, или порядок нормализатора Я3я>
подгруппы © делится на простое число, отличное от р. При этом
принадлежащая числу р силовская подгруппа группы 23$ не может
быть инвариантной в 93$.
"V Доказательство. Пусть порядок © равен р8, 8<Х, и пусть
Ф-является общим наибольшим делителем различных силовских под-

122
С. А. ЧУНИХИН
трупп фх и ф2 порядка р1. Нормализатором группы ф в ^ будет
служить некоторая группа ©1? а в ф2— некоторая группа ©2, причем
©х и ©2 по известному свойству р-групп отличны от ф и своим общим
наибольшим делителем имеют только Ф. Если © инвариантна в ©, то
лемма доказана. Поэтому пусть SJ© порядка ргт, т^1, не совпадает
со всей группой ©. Докажем теперь, что 23э не может содержать
единственную подгруппу фе порядка ре. Допустим противное; тогда ^$е
входила бы в некоторую подгруппу ф3 порядка р1 группы ©. Так как
фх и ф2— различные группы, то ф3 отлична по крайней мере от одной
из них — например от ф1# Тогда общий наибольший делитель отличных
друг от друга групп ф1 и ф3 содержал бы ©j и, следовательно,
порядок этого наибольшего делителя был бы больше рь, вопреки
предположению. Одновременно мы так же, конечно, установим, что 33Ф не
может быть /^-группой.
Доказательство теоремы X. Пусть ф— подгруппа порядка рК
Если ф инвариантна в @, то выбирая в © элемент В простого порядка q,
отличного от /?, и составляя ф{£}, находим искомую подгруппу. Это
рассуждение неприменимо, если n = q. Но группа ©, порядка pxq,
у которой подгруппа порядка рх инвариантная, не будет иметь
подгрупп, порядок которых делится на два различных
простых числа, лишь в случае (теорема IX), когда © — группа типа А.
Пусть ф неинвариантна в ©. Если нормализатор группы ф в ®
отличен от ф, то он и будет искомой подгруппой. Если же ф
совпадает со своим собственным нормализатором, то имеются две
возможности:
а) Группа © (лемма 7) равна единице. Тогда © согласно доказанной
в § 2 теореме III должна содержать нормальный делитель % порядок
которого делится на п [по § 2, (В)]. Если порядок 31 больше л, то
VI и будет искомой подгруппой; если же порядок У1 равен я, то ком-
понируя 31 с любой подгруппой порядка хотя бы р1~11 опять получим
искомую подгруппу.
б) © отлична от единицы. Если © инвариантна в ©, то выбирая
в © элемент В простого порядка q ф р и составляя систему © {В},
имеем искомую подгруппу. Если же © неинвариантна в ©, то i*$ по
лемме 7 и будет искомой подгруппой.
4. Лемма 8. Для того чтобы группа, не принадлежащая к типу S,
была специальной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержала
подгрупп этого типа S [19].
Доказательство. Допустим, что среди групп рассматриваемой
категории имеются неспециальные группы. Выберем тогда среди них
такую ©, у которой порядок наименьший (таких групп может быть и
несколько). Так как подгруппы у групп рассматриваемой категории,
очевидно, такого же типа, то у © подгруппы должны уже быть
специальными, т. е. © должна быть типа S> что невозможно по условию,
или специальной.
Специальные группы имеют, как известно, подгруппы (даже
инвариантные) любого порядка, делящего порядок группы. Исключая их
поэтому из рассмотрения, можно относительно природы не р-подгрупп
высказать следующее утверждение [19]:

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПОДГРУПП У КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ 1'23
Теорема XI. Всякая неспециальная группа либо содержит по край-
ней мере одну подгруппу типа S, либо сама этого типа.
Доказательство. Прямое следствие леммы 8.
§ 7. Группы, весьма насыщенные нормальными делителями.
1. Как указывалось выше, вслед за абелевыми и гамильтоновыми
группами по степени насыщенности нормальными делителями следуют
так называемые специальные группы (§ 2.1). Исследуя признаки
существования подгрупп, целесообразно поэтому указать также признаки,
позволяющие установить принадлежность данной группы к разряду
групп специальных. Укажем некоторые из них [2, 19].
2. Предварительно введем некоторые обозначения. Пусть © и ©х—
произвольные конечные группы. Пусть общий наибольший делитель т
порядков групп © и ®р разложенный на простые множители, имеет
вид q\lql*'.. ,q*k. Обозначим тогда символом Г(®, ®t) при /я > 1
следующее произведение:
к
а при m=l положим Т(©, ©^=1.
3. Теорема XII. Если у группы ©, имеющей своим коммутантом $,
существует ряд нормальных делителей
для которого Т01{_{1%, &) взаимно просто с порядком ®1% для
каждого значения индекса i, то © — специальная группа.
Доказательство. Прежде всего убедимся, что и все подгруппы©
тоже удовлетворяют условиям теоремы. В самом деле, пусть %R—
некоторая подгруппа группы ©. Тогда ряд подгрупп
где каждое %Я{ есть общий наибольший делитель групп WI и 9^,
является рядом нормальных делителей Ш. Легко видеть, что индексы
ряда 2R, ШХ1 ..., Е являются делителями соответствующих индексов
ряда ©, 3tv .. ., Е (это следует из того, что группа 90Ш^+1 является
подгруппой группы ШУ1Р и, следовательно, порядок ЗЯУ14+1 делит нацело
порядок 9Щг), поэтому ряд 9R, Ши ..., Е удовлетворяет условиям
теоремы.
Допустим теперь, что среди множества групп, удовлетворяющих
условиям теоремы, имеются неспециальные группы. Выберем тогда
среди этих неспециальных групп такую группу ©, у которой
порядок— наименьший (таких групп может быть и несколько). Так как
подгруппы у такой группы по вышесказанному — такого же типа, то
они должны быть уже группами специальными (или, в частности,
^-группами). Поэтому выбранная группа © должна быть или специальной,
или принадлежать к группам типа 5. Для доказательства теоремы
достаточно показать, что группы типа 5 не подходят под ее условия.

124
С. А. ЧУНИХИИ
Как известно, порядок группы типа 5 всегда имеет вид p*q$, и ее
подгруппа Силова порядка q$ является ее коммутантом St (см. § 2Л)*
Лусть у некоторой группы ©, принадлежащей к типу S, имеется ряд
нормальных делителей
®d61dS2d:...d£,
удовлетворяющий условиям теоремы, и пусть ©^ — первый в этом ряде
слева нормальный делитель, порядок которого не делится на высшую
степень числа q, делящую гпорядок группы ©. Следовательно, в индекс
©^ по отношению к ©^_х войдет множителем число qm такое, что по
предположению qn ф 1 (mod р) для п = 1, 2, 3, ..., т. Но число qm
служит индексом общего наибольшего делителя групп ©^ и коммутанта Я
группы © по отношению к $. Этот общий наибольший делитель
будет нормальным делителем группы ©, заключенным к тому же в ф
и в силу строения групп типа S (см. § 2.1) найдется поэтому числе
Ь^т такое, что qb=\ (mod/?). Полученное противоречие и
доказывает теорему.
4. Отметим несколько следствий из теоремы XII.
Следствие I. Группа © является специальной группой, если число
T(R, R) взаимно просто с порядком ®.
Доказательство. Вставляя между © и R промежуточные группы
до полного уплотнения, получим ряд © z> 3^ з 9t2 з... з k zd Е, для
которого условия теоремы XII выполняются.
Следствие II. Если Г(®, ©) взаимно просто с порядком ©, то
© — специальная группа.
Доказательство. Очевидно, так как Г($, S?) является
делителем 7(@, ©).
Следствие III. Если индексы главного ряда группы — простые числа,
расположенные в не возрастающей последовательности, то группа —
специальная.
Доказательство. Применяем к этому главному ряду тео«-
рему XII.
5. Замечая, что всякая группа, порядок которой делится более чем
на два различных простых числа, не может быть типа «S и применяя
теорему XI, получаем следующий результат:
Теорема XIII. Для того чтобы группа, порядок которой делится
более чем на два различных простых числа, была специальной,
необходимо и достаточно, чтобы все ее подгруппы, порядок которых
делится не более чем на два различных простых числа, были
специальными.
Цитированная литература.
[1] О, Ю. Шмидт, Группы, все подгруппы которых специальные.
Математический сборник, т. XXXI (1924), стр. 366—372.
12] Сергей Чунихин, О специальных группах. Математический
сборник, т. XXXVI (1929), стр. 135—136.
[3] Serge Tchounikhin, Simplicite du groupe fini et les ordres de ses
classes d'elements conjugues. С R. Acad. Sci. Paris, т. 191 (1930), стр. 397—399.
[4] Serge Tchounikhin, Ober eine obere'Grenze fur die Ordnungen der
Elemente einer endlichen Gruppe ohne Zentrum. Mathematische Annalen, т. 112
(1936), стр. 583—585.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
12$
[5] А. П. Дицман и С. А. Чунихин, О классах и центре конечной
группы. Доклады Академии наук СССР, т. II (XI) (1936), стр. 305—307.
[6] A. S р е i s е г, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 2-е Auf-
lage, Berlin, J. Springer, 1927.
. [7] W. В urn side, Theory of groups of finite order, second ed.,
Cambridge 1911.
[8] I. S с h u r, Neuer Beweis eines Satzes uber endliche Gruppen. Sitzungs-
berichte der preussischen Akademie der Wissenschaften, т. XIX (1902), стр. 1013—
1019.
[9] Serge Tchounikhin, Ober einige Sa4ze der Gruppentheorie. Mathe-
matische Annalen, т. 112 (1935), стр. 92—94.
[10] Serge Tchounikhin Ober einfache Gruppen. Mathematische
Annalen, т. 112 (1935), стр. 95-97.
[И] С. А. Чунихин, О некоторых теоремах теории групп. Доклады
Академии наук СССР, т. III (VIII) (1935), стр. 199—200.
[12] L. Weisner, Criteria for the compositeness of finite groups. Duke
Mathematical Journal, т. 2 (1936), стр.' 691 —697.
[13] G. Frobenius, Ober aufltisbare Gruppen. IV. Sitzungsberichte der
preussischen Akademie der Wissenschaften, Jahrg. 1901, стр. 1216—1230.
[14] R. Baer, Der Kern, eine charakteristische Untergruppe. Compositio
Mathematica, т. 1 (1934), стр. 254—283. •
[15] Serge Tchounikhin, Sur ie probieme des deux classes d'un groupe
finL С R. Acad. Sci. Paris, т. 198 (1934), стр. 531—532.
[16] L. S у 1 о w, Theoremes sur les groupes de substitutiones. Mathematische
Annalen, т. 5 (1872), стр. 584—594.
[17] А; А. Кулаков и Сергей Чунихин, О подгруппах составного
порядка конечной группы. Математический сборник, т. 39, № 3 (1932),
стр. 67—69.
/ [18] G. Frobenius, Ober endliche Gruppen. Sitzungsberichte der preussischen
Akademie der Wissenschaften, Jahrg. 1895, стр. 163—194.
[19] Сергей Чунихин, О специальных группах. П. Математический
сборник, т. 40, № 1 (1933), стр. 39—41.

126
ПРИЛОЖЕНИЕ I.
ГРУППЫ, ВСЕ ПОДГРУППЫ КОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫЕ*).
О. Ю. ШМИДТ.
§ 1
Как известно, после коммутативных (или абелевых) групп наиболее
простыми и доступными изучению свойствами обладают группы,
порядок которых есть степень рп простого числа, и прямые произведения
таких групп.
Группы этого вида изучены очень подробно, в особенности
американскими и английскими учеными. Они получили не совсем удачное
название „специальных11 групп. Коммутативные группы — их частный
случай.
Мы ставим себе задачу изучить свойства тех неспециальных групп,
все подгруппы которых специальны. Более частный случай этой задачи
поставили и разрешили G. A. Miller и Н. С. Moreno в Transactions of
the American Mathematical Society, vol. 4 (1903). Они искали группы,
все подгруппы которых коммутативны. Задача разрешена вполне.
Важнейшим свойством этих групп является то, что их порядок всегда
вида рп или pnqm, т. е. заключает в себе не более двух различных
простых множителей.
Мы докажем, что и наша более общая задача приводит к тому щъ
требованию, однако класс получающихся групп-решений гораздо
шире.
Результаты Miller-Moreno получатся у нас вновь как частный
случай наших рассуждений. Разница в методе доказательства заключается
главным образом в том, что Miller-Moreno основываются на теореме
Frobenius'a *), которая доказывается при помощи теории характеров-
Мы же пользуемся исключительно методами абстрактной теории групп,
чем достигается значительное упрощение выводов.
Итак, наша задача: определить свойства групп, все подгруппы
которых специальны. Сами специальные группы, конечно, обладают
этим свойством. Будем искать не специальные решения2).
*) Математический сборник, т. XXXI (1924), стр. 366—372.
г) О группах подстановок степени п и класса п—1.
2) Свойства специальных групп, которыми мы будем пользоваться, собраны
в книге W. В urn side, Theory of groups (Cambridge, 1911, 2-d edition) или
в нашей книге „Абстрактная теория групп" (Киев, 1916).

ГРУППЫ, ВСЕ ПОДГРУППЫ КОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫЕ 127
§2
Прежде всего докажем, что искомые группы разрешимы. Так как,*
очевидно, дополнительная группа к нормальному делителю нашей
группы обладает тем же свойством (т. е. все подгруппы специальны),,
то достаточно убедиться, что эти группы не простые.
Предположим обратное, что группа Г, все подгруппы которой
.специальны, простая. Мы придем следующим путем к противоречию.
Лемма. Если группа Г (искомого вида) простая, то каждая ее
максимальная подгруппа 1\ взаимно простая с любой другой
подгруппой Г2, не входящей в 1\ целиком.
Доказательство. Пусть максимальная подгруппа 1\ имеет
с другой подгруппой Г2 общий наибольший делитель А, причем А не
равно Г2. Предположим, что А, вопреки лемме, больше 1.
Так как 1\ и Г2 специальны, то в каждой из них, по известному
свойству специальных групп, имеются элементы, перестановочные с Af.
но в нее не входящие.
Группу всех элементов из Г, перестановочных с А, обозначим Г8.
Мы только что видели, что эта Г3 имеет с 1\ больший, чем А, общий
наибольший делитель. В то же время Г3 заключает в себе элементы*
Г2, не входящие в А, т. е. Г3 не есть подгруппа Гг Наконец, Г3 не
может заключать в себе 1\ (совпадать с Г), так как Г3 имеет
нормальный делитель А, а Г по предположению простая.
Мы видим, что Г3 может заменить Г2 в формулировке леммы, и
процесс можно начинать сначала. Процесс этот, очевидно,
бесконечный, в то же время приводит к ряду групп
Г Г Г
имеющих с Г\ общие наибольшие делители возрастающих порядков.
Полученное противоречие доказывает, что А не может быть больше-
1, что и доказывает лемму.
Следствие. Подгруппы Sylow'a1) группы Yt суть подгруппы Sylow'a
самой Г.
В самом деле, если 1\ имеет подгруппу Sylow'a IIj, то эта
последняя по второй теореме Sylow'a входит в некоторую подгруппу Sylow'a
П группы Г. Если бы было
ПХ<П,
то мы могли бы применить предыдущую лемму, положив II = Г2.
Получилось бы вопреки предположению
П1 = 1.
Теперь уже нетрудно докончить доказательство нашей теоремы:
группа искомого вида не может быть простою.
Возьмем максимальную подгруппу 1\. По доказанной лемме 1\
будет взаимно простою со всеми своими сопряженными подгруппами.
Пусть порядок Гх равен h, & порядок Г есть g, тогда
*) Если порядок группы есть p*q$ ... rt (р, q, ..., г — различные простые
числа), то подгруппами Sylow'a называются подгруппы порядков /?<*, q$, ..., /-т.

128
о. Ю. ШМИДТ
причем числа А и у взаимно простые (потому что в 1\ подгруппы
Sylow'a Г входят или целиком, или вовсе не входят). Тогда будет /
сопряженных с 1\ подгрупп, в которых вместе
ДА—1)
различных элементов, не считая единицы группы. Остается в Г еще j
других элементов.
Возьмем одну из подгрупп Sylow'a, не входящих в 1\, и ее
сопряженные. Построим над нею максимальную подгруппу Ф. По
доказанному, порядок Ф будет делителем / числа j:
j=f-e,
причем в Ф и ее сопряженных будет, как выше,
**(/—1)
элементов, ни один из которых не входит в 1\ и ее сопряженные.
Последнее число, однако, больше чем число]
/ = *./
оставшихся в нашем распоряжении элементов.
Сделав предположение, что Г — простая группа, мы таким образом
пришли во всех случаях к противоречию.
Итак, группы Г — не простые, откуда непосредственно вытекает,
что Г — разрешимые группы, что и требовалось доказать.
§ з
Теорема. Порядок искомых групп есть произведение p*q$ степеней
только двух различных простых чисел.
Допустим, что порядок Г имеет вид p*q$ . .. гт, где р, q, ... , г —
различные простые числа.
Вследствие разрешимости нашей группы Г у нее должна быть
подгруппа простого индекса. Пусть она будет индекса р, т. е. порядка
p^-iqV ... гт. Эта подгруппа, как специальная, имеет вид
^ = ^•2... в,
где точка есть знак прямого произведения, TLi имеет порядок р*-1,
а £,..., в — подгруппы Sylow'a порядков q$, ... , п соответственно*
Если Р— элемент подгруппы Sylow'a П группы Г, не входящий
в Пх, то мы получаем для Г разложение
Г = Д -j- РД + я2Д +... -f Рр-1 А.
Подгруппы Е, ... , в в Д — характеристические, поэтому они в Г
входят как нормальные делители. В частности, элемент Р
перестановочен с Е, ... , в, но не с каждым из их элементов (в противном
«случае, если Р перестановочно с каждым элементом этих групп, Г была
«бы сама специальной).
Пусть Р не перестановочно с элементами Е, тогда группа

ГРУППЫ, ВСЕ ПОДГРУППЫ КОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫЕ 129
имеющая 2 нормальным делителем, не будет специальной, а это
значит, что она равна самой Г:
{Р, £} = Г.
Группа Г оказывается порядка р«ф и образована инвариантной
подгруппой Sylow'a порядка q§ и циклической подгруппой { Р ] порядка ра.
Выяснилось также, что Рр перестановочно со всеми элементами И,
т. е. принадлежит к центру Г.
§ 4
Рассмотрим строение 2. Пусть Ф — наибольший нормальный
делитель Г, заключенный в X. Тогда группа
[ Р Ф х
специальна, т. е. Р перестановочно со всеми элементами Ф.
Дополнительная группа
как известно, должна быть элементарной, т. е. коммутативной с
элементами только простого порядка q.
В группу Ф, очевидно, должны войти все характеристические
подгруппы Е, в том числе ее центр (если она не коммутативна сама) и
коммутант.
Вне Ф нет элементов D, перестановочных с Р, так как при
наличии такого элемента 5 группа ( S, Ф ] была бы нормальным делителем
Г и И, большим, чем Ф. В самом деле, { S, Ф} — нормальный
делитель £, ввиду элементарности W, и перестановочна с Р.
Главный ряд группы Г имеет, очевидно, систему индексов
р, р, ..., р, qb, q, ..., q,
если qb — порядок ЧР\
Пусть S{ — один из неперестановочных с Р элементов Е, тогда мы
будем иметь (помня, что порядок W есть qb):
p-i5ip = 5a; P-a51/M = p-i52p = 5g;...; >
где все St — элементы 2, a F0 принадлежит уже к Ф.
Так как Рр уже перестановочно с Sv то, очевидно,
ft<p.
Кроме того, q-e степени элементов S уже перестановочны с Я,
ввиду элементарности *F, следовательно,
si = p-1sq1p=sq1
и вообще

130
о. ю. шмйдт
Кроме F0 и Fv в Ф> входят также все коммутаторы
г к г к гк*
В дополнительной группе W всего qb—1 элементов, неперестано*
вочных с Р. При преобразовании с помощью Р они должны разбиться
на циклы пэ р в каждом, т. е. должно быть
qb== 1 (modp).
Покажем, что b есть наинизшая степень q, сравнимая с 1 по
модулю р. Допустим обратное, что наинизшая степень есть v:
q> == 1 (mod /)); v < b.
Тогда bf очевидно, равно кратному v, скажем £v.
Рассмотрим подгруппы порядка q> группы W. По сделанному
относительно Ф выбору ни одна из этих подгрупп не может быть
перестановочной с Р, их число, следовательно, должно делиться на р по
той же причине, как выше чкоо qb—1.
Но число подгрупп порядка #v в элементарной группе порядка qb
известно !). Оно разно
(gfr-lHg*-1—1).- ■ (^ь-,+1—1)
Легко видеть, что все множители числителя и знаменателя, кроме
первых, не делятся на /;, а первые дают
дъ-л^^ qk 1 = i)( ^ ^ l_^k rmodpy
q>—1 q>—1 v ' v ' ' \ r/
Мы знаем, что b, а тем более k, меньше /;; следовательно, число
подгрупп не делится на р} вопреки теории. Этим доказано, что число
b есть наименьшая степень, при которой
qb == 1 (mod /;).
§5
Примером неспециальной группы с исключительно специальными
подгруппами может служить следующая:
Пусть р = 3, q = 2, j3 = 3. Число а остается произвольным.
Зададим группу равенствами
ps*=i, ^ = ^ = i,
О j = Og = С, *^2 1 == 12 »
p-iSlp = S2, P-1S2P = $1S.y
Тогда Е = { Slf S2 } будет известная группа кватернионов восьмого
порядка. Роль Ф играет ее центр [1, С]. Он второго порядка. Число b
равно 2.
х) В urn side, Theory of groups, p. Ill (2-d edition).

группы, все подгруппы которых Специальные 1S1
Другой пример. Группа порядка За#3, где q— нечетное простое
число вида Sk-\- 2, задается равенствами
RQ = QRT9 P-*QP = R9 P-*RP=Q-*R-\
TP = PT, TQ = QT, 7У? = /?Г.
§ 6
Остается сделать выводы из нашей теории для более частного
случая коммутативных подгрупп (случай Miller-Moreno).
Очевидно, все подгруппы будут коммутативными только тогда, когда
Е коммутативна. Докажем, что кроме того должно быть ф = 1.
Если Е— коммутативная группа и qm— максимальный порядок ее
элементов, то все элементы порядка не свыше qm~1 образуют ее
характеристическую подгруппу. Отсюда ясно, что в нашем случае Р будет
перестановочно с элементами порядка qm-i (и ниже) и что все Si
должны быть максимального порядка qm.
Рассмотрим элемент
мы имеем
Р-»51/> = 52 = 51Г,
откуда
(S1T)q = SqJ1 = Sq19
т. е.
П=1.
Если m > 1, то Г, будучи не-максимального порядка, должно быть
по только что сказанному перестановочно с Я, т. е. было бы
p-iSxP = SJ, P~*SiP2 = P-iSfT^SJ*, ... f
P-pS1Pp = SJp,
значит
7>=1, т. е. Г=1,
и элементы Р и S перестановочны, вопреки предположению. Оказалось,
что не может быть /я > 1, значит
т=1.
Все элементы Е порядка q. Поэтому
Докажем, что также
F0=l.
В самом деле, в противном случае группа S будет элементарная
порядка
qt = qb+i.

132
О. Ю. ШМЙДТ
Предположим сначала *> 1. Число подгрупп порядка q* в группе
£ будет по приведенной в § 4 формуле
а так как
qb~==l (mod/?),
то это число
р = |Ет=1 (raodP)-
Мы видим, что подгруппы порядка дь не могут все
преобразовываться при помощи Р циклами по р групп в каждом. По крайней
мере одна из них перестановочна с Р, в то время как мы знаем, что
{ F0} должна быть единственной перестановочной с Р подгруппой L
Это рассуждение неприменимо, если
*=1, #==1 (mod/?).
В этом случае число р подгрупп порядка q будет
£5у = ?+1-2 (mod/;),
так что опять кроме { F0} есть по крайней мере вторая
перестановочная с Р подгруппа, вопреки предположению.
Итак, во всех случаях FQ=l. Иными словами, всегда
ф=1, p = fc
Мы пришли к выводу Miller-Moreno. Если у не-специальной группы
Г все подгруппы коммутативны, то она порядка p*q$y подгруппа
Sylow'a порядка ра — циклическая \Р), подгруппа Sylow'a порядка
q$ — элементарная и нормальный делитель Г. Центр группы Г есть
{#?}. При этом р есть низшая степень, при которой
ф==\ (mod/?).
Таким образом при заданных /?, q} а существует только одна
группа типа Miller-Moreno, при одном определенном [3.
В рассмотренном нами более общем случае картина гораздо
сложнее, так как числа b и (3 более не совпадают, и структура Е остается
в известных пределах произвольной.

ПРИЛОЖЕНИЕ П.
О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С КОНЕЧНОЙ ЦЕПЬЮ*).
О. Ю. ШМИДТ.
1. Теория конечных групп разработана вплоть до деталей. Именно
эти детали, разнообразные индивидуальные свойства отдельных типов
групп, при одновременном господстве весьма общих законов, как раз
и делают эту теорию особенно привлекательной. Но в широко
разветвленных применениях понятия группы часто приходится встречаться
с бесконечными группами, и потому возникает вопрос, в какой мере
законы, установленные для конечных групп, могут быть перенесены
на те или иные бесконечные группы. Нужно, конечно, отказаться от
перенесения частностей; речь должна идти главным образом о самых
общих основных теоремах. Задача состоит в том, чтобы из всех
бесконечных групп, с помощью соответствующего определения, выделить
такие классы, чтобы, с одной стороны, для них еще сохранялись
основные теоремы теории конечных групп, с другой стороны, область
применимости их была бы достаточно обширной.
Удачный щаг сделал в этом направлении В. Круль, правда,
ограничиваясь коммутативными (абелевыми) группами. Круль г) определяет
„обобщенные конечные абелевы группы" и доказывает, что для этих
(вообще бесконечных) групп сохраняется основная теорема теории
конечных абелевых групп: в существенном однозначное разложение
в произведение прямых неразложимых множителей. Но тогда как среди
конечных абелевых групп неразложимы лишь циклические группы,
порядок которых есть степень простого числа, в случае с обобщенными
группами мы не можем сказать ничего определенного о неразложимых
группах. Поэтому для доказательства пришлось обратиться к более
общим теоремам Ремака2) о разложении конечных, но не обязательно
коммутативных групп. Но и перенесение ремаковского доказательства
оказалось невозможным, так что Круль для доказательства своей
основной теоремы мобилизовал громоздкий аппарат промежуточных теорем
и новых определений (Zuriickleitungsgruppe).
В свое время я дал простые доказательства и усиления теорем
*) Math. Zeitschrift, т. 29 (1929), стр. 34-41.
1) W. К mil, Ober verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen, Math.
Zeitschrift, т. 23 (1925)..
2) R. Remak, Ober die Zerlegung endlicher Gruppen in direkte unzerleg-
bate Faktoren, Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, т. 139.

134
О. Ю. ШМИДТ
Ремака8). Хотя и эти доказательства не могут быть непосредственно
перенесены на обобщенные группы Круля, все же в этом случае удается
применить сходные приемы, которые приводят к очень простому
доказательству „основной теоремы" Круля.
Но это доказательство не ограничивается только абелевыми груп>
пами, оно остается верным и для некоммутативных групп того же
типа („обобщенных конечных"). Доказательство состоит в индукции,
основанной на перенесении теоремы Жордана о композиционных рядах
на наши обобщенные группы. Это перенесение дано Крулем в его
другой работе4) (также лишь для абелевых групп) и Э. Нетер6) —
в общей форме. Для большей полноты я еще раз доказываю ту часть
теоремы Жордана, которая необходима для основной теоремы, не
претендуя при этом на сообщение чего-либо нового.
2. Определение. Группами с конечной цепью или обобщенными
конечными группами (сокращенно: о. к. г.) называются группы, в
которых ни от какой инвариантной подгруппы не может исходить
убывающая (или возрастающая) бесконечная цепь инвариантных подгрупп6).
Под убывающей цепью подгрупп разумеется ряд ©р ©2, ©8,...,
в котором каждое ®i есть истинная инвариантная подгруппа группы
®<-г Так же определяется и возрастающая цепь групп, с тем отличием,
что здесь ©^ есть истинная инвариантная подгруппа группы ®i+v
Это определение выражает самое существо дела. Круль (который,
как было сказано, ограничивался коммутативными группами) добавляет
в интересах приложений еще второе условие, которое мы также примем:
Пусть дана некоторая система операторов в, которые, будучи
применены к элементам группы, дают снова элементы группы, и притом
являются дистрибутивными, т. е.
в(Л5) = в(Л)в(В).
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь такие группы (и под-
группы), которые наряду со всяким элементом А содержат также все
в (Л). Так как в частном случае система операторов может исчезнуть
(свестись к тождеству), то наши рассуждения останутся справедливыми
также для групп без операторов» С другой стороны, вполне возможен
случай, когда группа только при введении ограничения подобной
системой операторов становится „обобщенно конечной", вследствие
отпадения части подгрупп, как не удовлетворяющих указанному ограничению.
8) О. Шм и д т, О разложении конечных групп в прямые неразложимые
множители, Университетские известия (Киев), 1912. — О. Schmidt, Sur les pro-
duits directs, Bulletin de la Societe Math, de France, т. XLI (1913). —Второе..
из этих доказательств воспроизведено в книге A. S р е i s е г, „Theorie det\
Gruppen von endlicher Ordnung" (Berlin 1923), первое — в моей книге „Аб-^
страктная теория групп*, Киев, 1916.
4) W. Кг и 11, Theorie und Anwendung der verallgemeinerten Abelschen
Gruppen, Sitzungsber. der Heidelberger Akademie 1926.
б) E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und
FunktionenkOrpern, Math. Annalen, т. 96 (1926).
6) Термин Круля „обобщенные конечные группы" мне кажется несколько*
неопределенным. Сущность этого обобщения заключается в понятии конечной
цепи, принадлежащем к кругу идей работ Э. Нетер.

О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С КОНЕЧНОЙ ЦЕПЬЮ 135
Из определения системы операторов нетрудно вывести, что
пересечение, произведение и прямое произведение двух допустимых групп
являются в свою очередь допустимыми группами. Равным образом и
факторгруппа ©/$> при допустимых ® и § есть допустимая группа.
Наконец, нужно еще — следуя Крулю — усилить понятие
изоморфизма, потребовав, чтобы в случае соответствующих друг другу Л,
А', Л",... и В} В\ £",... не только каждому ААГ соответствовало
ВВ', но также чтобы и В (Л) и в (В) соответствовали друг другу.
Так как последующее не требует никакой иной конструкции, помимо
только что приведенной, то мы будем в дальнейшем, не оговаривая
этого каждый раз, предполагать „допустимость" тех групп и подгрупп,
о которых будет идти речь, равно как и выполненность „определения"
о. к. групп, которые мы будем называть просто „группами". Таким
образом некоторое образование только в том случае будет называться
подгруппой, когда оно является „допустимой" подгруппой.
„Композиционный ряд" ©р ©2, .. . будет, следовательно, состоять из групп, из
которых каждая является „допустимой* инвариантной истинной
подгруппой предыдущей группы, и вместе с тем не существует никакой
„допустимой" инвариантной подгруппы группы ©г-, которая содержала
бы ©т в качестве истинного делителя.
Следуя Фробениусу, мы будем обозначать группы готическими
прописными буквами, а элементы — соответствующими латинскими
прописными буквами.
3. Из определения о. к. г. следует, что каждый композиционный
ряд группы © содержит лишь конечное число членов. Но это, a priori, еще
не означает, что для всех композиционных рядов группы это число остается
ниже некоторой определенной границы. Однако среди этих чисел
безусловно должно существовать для каждой группы минимальное число.
Мы можем разделить все группы на классы соответственно этим —
берущимся в порядке возрастания — минимальным числам.
Теорема I. (Теорема Жордана.) Все композиционные ряды одной и
той же о. к. г. содержат равное число членов.
Пусть
©, <£>!, ф2, ..., ф,= 1
— какой-нибудь композиционный ряд группы © и
®> U1' 02' * ' •> Ш == 1
— композиционный ряд с „минимальным числом" k.
Так как эта теорема, очевидно, верна для групп с „минимальным
числом" 1, т. е. для групп, которые не имеют никаких (допустимых!)
инвариантных подгрупп, помимо единицы, то мы можем доказательство
провести методом полной индукции, предполагая, что теорема верна
для групп с меньшим чем k „минимальным числом".
Рассмотрим, как обычно делается в доказательствах теоремы Жор-
дана-Гельдера, пересечение Ш групп фх и gp которые мы считаем
различными, что не ограничивает общности доказательства. Само собою
разумеется, что ffi инвариантно в ^ и gr Мы доказываем, как и
обычно, что факторгруппы ©/<£>! и 8J9K изоморфны — из каждого

136
О. Ю. ШМИДТ
элемента F$R второй группы возникает соответствующий элемент FTt^{ =
= /гф1 первой группы, так как © равно g^ (ибо это произведение
инвариантно в © и больше чем фх).
Если бы между gx и 2R существовала инвариантная подгруппа $
группы g1? то тогда и между © и 5tj существовала бы подгруппа Жфр
инвариантная в ©, что противоречит определению композиционного
ряда. Следовательно, группы 51 не существует. Но тогда мы можем
для ф: и gj образовать композиционные ряды, начинающиеся с 9К:
$р 2R, 3R', ...,
8„ аи, aRP ...
Группа gj обладает, очевидно, „минимальным числом" А—1; поэтому
для gx теорема уже справедлива, ffi имеет, следовательно, минимальное
число k — 2, а фр для которой теорема также верна, — минимальное
число k—1. Но это означает, что
k = U
что и требовалось доказать.
Таким образом каждая о. к. г. имеет в композиционной ряде
определенное число членов, которое мы будем (не засчитывая в него
единицу группы) называть „композиционным числом" [у Э. Нетер k—1
есть „длина4 („Lange")].
Теперь очевидно, что инвариантная подгруппа имеет меньшее
композиционное число, чем группа. Поэтому в нашем случае группа
никогда не бывает изоморфна своей подгруппе.
Мы ограничились лишь проведением доказательства инвариантности
композиционного числа, так как нам больше ничего не потребуется
при доказательстве теоремы II. Но нетрудно видеть, однако, что и
теорема Жордана-Гельдера о композиционных рядах (изоморфизм
факторгрупп обоих рядов с точностью до порядка их расположения)
может быть полностью перенесен.
4. Теперь мы обратимся к прямым произведениям. Как известно,
произведение двух групп называется прямым произведением, когда оба
множителя взаимно простые и каждый элемент одного множителя
перестановочен с каждым элементом другого множителя (Круль говорит
вместо произведения „сумма"). Прямое произведение мы будем
обозначать точкой.
Если
© = £•&
то каждый элемент G группы © можно представить одним и только
одним способом в форме HF. И и F называются компонентами
элемента KG. Если G пробегает (инвариантную) подгруппу группы ©,
то соответствующие компоненты Н также образуют (инвариантную)
подгруппу ф. Легко видеть, что это верно и при введенных
ограничениях (система операторов в). Компоненты перестановочных элементов
перестановочны между собой.
Очевидно также, что композиционное число прямого произведения
есть сумма композиционных чисел множителей. Инвариантная
подгруппа какого-либо множителя одновременно инвариантна ив®.

О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С КОНЕЧНОЙ ЦЕПЬЮ 137
Изоморфизм двух подгрупп % и 93 группы © называется
центральным, когда при взаимно соответствующих элементах А и В = АС
элемент С всегда перестановочен со всеми элементами группы ©. Мы
подчеркиваем, что совокупность элементов, перестановочных со всеми
элементами группы ©,—„центр" группы ©,—может и не быть
допустимой подгруппой. Мы нигде не будем применять групповых свойств центра.
Центральный изоморфизм мы будем обозначать через =.
Лемма I. Если © = % • 23 = % • Ф, то 93 и © центрально изо-
морфны.
Доказательство. Прежде всего группы 93 и © изоморфны
между собой, ибо они обе изоморфны факторгруппе ©/51. Этот
изоморфизм ставит в соответствие друг другу элементы В и D, если
%B = %D. Из этого следует, что B = AD.
Согласно определению прямого произведения, этот элемент А
перестановочен со всеми элементами группы ©. С другой стороны, каждый
элемент группы 91, на том же основании, должен быть перестановочен
с В} а так как он перестановочен с D, то отсюда следует и
перестановочность с А Оказывается, что А перестановочно со всеми
элементами групп 51 и D, а следовательно, и 91 • © = ©. Этот изоморфизм
является, следовательно, центральным.
Лемма И. Если © = 91 • 93, «§> — инвариантная подгруппа группы ©,
91 — группа компонент группы ф в 91, а ф — пересечение ф и 93, /wo
91 изоморфно <§>/©.
* Действительно, © есть совокупность элементов группы ф, которые
имеют 1 в качестве компоненты в 91.
Лемма III. Если © = 91 • 93 и © ^ ф > 91, то <§> тль прямое
произведение
# = «•»,
где 93 — подгруппа группы 5?.
В самом деле, каждый элемент Я группы ф может быть
представлен в форме АВ. Но так как А принадлежит к «§>, то и В
принадлежит к ф. Следовательно, все компоненты группы ф входят в ф также
изолированно, т. е. они образуют прямое произведение.
б. Теорема II. (Основная теорема.) Если о. к. г. может быть
представлена двумя способами в виде прямого произведения
неразложимых множителей:
(1) ® = $i-$2---$* = Sl-32---Sl,
то k = l, множители попарно центрально изоморфны, и в каждом
произведении каждый множитель может быть заменен некоторым
центрально изоморфным множителем из другого разложения 7).
7) Согласно замечанию Э. Нетер, этой теореме можно было бы придать
еще более общую формулировку, требуя в определении о. к. группы лишь
обрыва возрастающих и убывающих цепочек из нормальных делителей самой
группы. Действительно, присоединение к множеству операторов всех
внутренних автоморфизмов делает неинвариантные подгруппы недопустимыми, но не
отражается на разложимости группы. Заметим, далее, что в случае абелевых
групп без операторов из обрыва возрастающих и убывающих цепочек пол-
групп следует конечность самой группы. Ред.

138
6. Ю. ШМИДТ
Эта теорема, очевидно, верна для групп с композиционным
числом 1, так как такие группы всегда неразложимы. Предположим, что
теорема доказана для групп, у которых композиционное число меньше,
чем композиционное число группы ©, и докажем ее для @.
Напомним, что композиционное число прямого произведения равно сумме
композиционных чисел для множителей.
Выберем любой из множителей обоих разложений. Пусть это
будет фг Представим элементы группы ф{ с помощью компонент F4
второго разложения. Компоненты, принадлежащие группе g^, образуют
тогда некоторую группу g^.. Добавляя элементы, необходимые для
образования прямого произведения этих gf, мы получим (согласно
лемме III)
(2) ® = Ф1-^ = б1-8а---^
где «£> есть подгруппа группы ф2 • Ф3-• •#£•
Каждое ^ либо равно соответствующему g^, либо является его
истинной инвариантной подгруппой. В последнем случае
композиционное число для gf, согласно доказанному, меньше композиционного
числа для g^. Рассмотрим сначала тот случай, когда не все gi рарны
соответствующим g^. Получающееся в этом случае произведение ©
имеет меньшее композиционное число, чем ©. Поэтому для © теорема
уже доказана и фх должно быть центрально изоморфно одному из
неразложимых множителей_ правой части равенства (2)—например,
какому-нибудь множителю gt группы gx— и заменимо им (gj должно
быть равно gj, однако мы этим не будем пользоваться). Заменимость
означает, что gt не имеет общих элементов с ф — и даже с ф2 • ф8..-Фл>
т. е. каждое g1? будучи разложено на компоненты левой части
равенства (1), имеет ^-компоненты, отличные от 1. Так как, сверх того,
элементы группы gx — в качестве компонент группы ${ —
перестановочны со всеми элементами группы <g>2 • ф3. • •$;<:> то можно образовать
прямое произведение g1 • «g)2.. .фл, которое, однако, в силу
изоморфизма фг и gx равно ©, так что мы получаем
(3) ® = fi-*a-..^ = Si-Sa...8i-
Но в таком случае должно быть g1 = g1, ибо в противном случае gj
было бы разложимо, согласно лемме III.
Итак, мы имеем разложения
(4) ® = 8,-$9...ф* = 81-За.-.8|-
Следовательно, согласно лемме I
$2 • #8- • -Фа = §2 • §з- • "Si-
Вследствие этого изоморфизма каждому множителю ga- правой части

О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С КОНЕЧНОЙ ЦЕПЬЮ 139
соответствует центрально изоморфный ^i левой части, так что мы
имеем
Но эта группа имеет меньшее композиционное число, чем ©, теорема
для нее уже верна, следовательно,
k = U
^~#;~Зг. (/ = 2, 3, ..., К).
Мы уже имели изоморфизм между ф{ и gi=3p но он был
центральным лишь в ©. Из этого следует, что у взаимно соответствующих
элементов Fi и Нх = FlCl элементы Сх перестановочны со всеми
элементами группы $j (которые принадлежат ®). Но из (4) следует
также, что все Fv равно как и все Hv а потому и все Cv
перестановочны со всеми элементами группы $2 • «£)3- • -'Рл» следовательно,
С{ перестановочны со всеми элементами группы ©, и мы имеем
*i = Si.
Тем самым завершено доказательство центрального изоморфизма для
того случая, когда © < © $). В том же случае, когда © = ©' и все
gi==g., мы начинаем с §р а не с фр разлагаем элементы группы gt
на множители по левой части и образуем из компонент прямое
произведение _ _ _
^••&*---&fc = 3i-S.
Если бы все §1 были опять равны соответствующим фг.,' то из этого
следовало бы, что не только все Fi: суть компоненты для фр но и все
Н4 суть компоненты для gr
Если ©— пересечение *g>1 и 32---3:> а ^ — пересечение gi
и ^2''*^> то согласно лемме II gt должна быть в этом случае
изоморфна bil^i а #i— изоморфна Si/®. Но для о. к. групп, у которых
факторгруппы имеют меньшие композиционные числа, чем их
числители, это возможно лишь в том случае, когда '£ = 6=1. Таким
образом gA и фх изоморфны. Все элементы группы $2-•-$к> которые
должны быть перестановочны со всеми компонентами группы ф15
перестановочны в этом случае со всеми элементами группы gx • g2. . .gj = ©,
следовательно, изоморфизм §х и $х является центральным. Так как,
сверх того, фх не имеет общих элементов с g2 • g3-•-Sz> т0 в Равен-
8) Пояснение. Из ^ = gfo следует gL=gb а поэтому произведение
$1* Зг2- • -&Z содержит %{ и, следовательно, совпадает с ®. Из изоморфизма
подгрупп !>! и ${ следует равенство их композиционных чисел, благодаря
чему пересечение подгрупп §t и ^2 • Si- * Эг равно 1, т. е. ® = §i • Згз-•-Зг-
Мы получаем, что множитель ^ из первого разложения не только
замещается множителем glf «о и сял* замещает его во втором разложении»
Ред.

140
О. Ю. ШМИДТ
стве (1) gj может быть заменено через ф1 (или обратно). Дальше
рассуждаем как выше9). Итак, теорема доказана для всех случаев.
6. В частном случае коммутативных о. к. групп мы получаем
теорему Круля. В этом случае доказательство могло бы быть местами
еще более упрощено, так как у абелевых групп каждая подгруппа
инвариантна и всякий изоморфизм между подгруппами является
центральным. Взаимная заменимость изоморфных множителей у Круля не
доказывается.
Другой частный случай представляют обыкновенные конечные труппы
как коммутативные, так и некоммутативные. В этом случае мы
получаем теоремы Ремака. Это доказательство теорем Ремака является еще
более коротким, чем мои предыдущие доказательства, ибо теорема I —
теорема Жордана — для случая конечных групп не нуждается в новых
доказательствах.
9) Поясняем, что возможность заменить множитель £)A некоторым
множителем из второго разложения в том случае, когда мы начинаем с %i% легко
следует из только что полученных результатов и замечания, сделанного в
предыдущей сноске. Ред.

ТРУДЫ СЕМИНАРА
ПО ТЕОРИИ ГРУПП
К ДВАДЦАТИПЯТИЛЕТИЮ
НАУЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Акад. О. Ю. ШМИДТА
ГОНТИ НКТП СССР 1938