/
Tags: математика теория групп
Text
СОДЕРЖАНИЕ Основные понятия теории групп. Определение группы............1 Циклические группы...........................................6 Подгруппы.....................................................9 Критерии для подгрупп........................................10 Изоморфизм групп.............................................12 Подгруппы, порожденные множеством элементов..................15 Смежные классы и индексы.....................................19 Сопряженность................................................26 Инвариантность...............................................33 Гомоморфизм..................................................39 Фактор-группа................................................41 Центр группы.................................................46 Теорема Силова...............................................49 Центр и коммутант............................................59 Прямые произведения..........................................62 Определение внешнего прямого произведения....................63 Фундаментальная теорема теории конечных абелевых групп.......67 Нильпотентные группы.........................................72 Ряды подгрупп................................................82 Разрешимые группы ............ .....8Q Подгруппа Фраттини...........................................87 Свойства подгруппы Фраттини..................................89 Сверхразрешимые группы.......................................95 Автоморфизмы групп..........................................100 Эндоморфизмы и операторы....................................105 Группа операторов............................................ПО Расширение групп посредством группы операторов..............102 Совершенные группы..........................................116 Сплетение групп.............................................117 Группы Шмидта...............................................118 Радикальные классы групп (классы Фиттинга)..................125 Примеры радикальных классов.................................127 Формации....................................................132 Примеры формаций............................................133
gSOF-П!ГРУПП ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП. ОПЮТШИЕ ГРУППЫ. Алгебра запивается изучением куншдаП,определенных на некотором множестве К со значениями в м, Эта яункцая юзе® бить одного, двух и т»д. ЛИ переменных. В тэоркп групп эта йутпщия двух пере- менных: f Сх, У ) М J * ^У & М Такая функция называется бинарной алгебраической оперёпией. В дальнейшем вместо записи (5г, у> пи будем операцию обозначать так: ху Л-у Непустое множество G с бинарной алгебраической операцией. на- зывается группой, если: j/снерацпя ассоциативна: сь(£с.) - (а@)су Усь^С € G 'Л/ъ & есть такой элемент е /он называется правок едашщей/, что схе = G, Усь 6 & ' 3/дак Va 6 G ,з G существует такой элемент а 1 е G /он называется правый обратна®/, х®о сх а, =е Правая единила для всех элементов аз G одаа а та ие.СОратшй алеиеит супрствуот дан каждого элемента из G . й&&етейше следствия и-определения,. 1.1Гропзведр5ше дибых п элтк^ов группы не зависит ат расщс деления скобок, указывавших на порядок, в котором дакно выпол- ,7 пяться умеояевие. й?о называют обостренным ассохдаативна." законом. Доказатезьство проведем аддукцией по п . I. Если ,то спроведаивость следует из 1/ определения группа й/вудегл считать, что дат п^З н всех чжел, моиьыих п , паше утверждение справедаво,
Докаасы, wo есж в проазвэдаяап а-п некоторым образом расшределитьсшэбки, указывающие на порядок выполнения уинолания, тс спо не зависит от этого. Совершим послодоват&яьио указанные скобками перемещения. В качестве последнего дата т будем умноявть произведение к первых элементов а-, сс£.. . <2^ где /; к < п-1 s па произведение О,^ ^ Каздое нз отих произведении, состоит из меньшего, чем ft,* числа вво- нителей, и поэттету, по предоолакению индукции» однозначно определены Допустит.?, что скобки распределены плаче, и в качестве последнего шага мы домхнн будш уиаоливь произведэиЕе первых 6 элементов Ct,t Oj.. <2.е на произведение й» ... Ct 1 п-1 faz п , - - • Очевидао, что кавдое из этих произведений однозначно определено. Нам остается показать, что для любых к > (, , где к , справедливо равенство * ^Ca-Kitct-K^... о-п) °>а^- ^е,)Са-е,(с^г...а^) Дяя этого достаточно рассмотреть случай С ~ 1 s так как вроизведенее л,... аг всегда иопно заменить одет аламентом. Дла окончания дрказатаяьс^а положим: а, аг ... ак = ; а,^г Q^_,. = с йа подучаем на основании I/, wo с) , Wo е требовалось доказать. -/ -/ 2. Сьа. = е т.е. сь является и лент обратным дах «- . В сяяу доказанного имеем: а1 а, -сь1а.е ~ а1^^1(а~‘) *— — а 1 (a q'^JCg-') а*е. а~‘ (а1) ’=е. 3. Qa.~ q_ t.s. е является и левой единицей. В сиду доказанного есг> = аа ^а. - а. (а~{а) = ае =ci.
о 4. е - единственная одаада группы. Допустим, чию в G две еданицн е и е , тогда. ее'=е s е'-е =е' Но левые части одинаковы, т.е» е 5. Дня всякого элемента ссе G существует еденственный обрэТНЫЙ. Допустим, что Q 1 и к - обратные элементы для а. « Тогда ка,а ^к(аа )=ке=к ксьсГ1 - (ко.) а"' = е ег’= с?~/ т.е. к=а~/ Далее будем говорить только об единице и об обратном элементе. 6. Б группе G уравнение ах=ё имеет единствепше ре- шение . Пусть л - любое решение, тогда ( х = ел ~ а'ал = Q '‘ £ и единственность следует из того, что любое решение записывается в виде <2 1 & / ироиввадеике - однозначно/ 7* Уравнение имеет единствеаное решен®) * 8. Золи «-с = е , то с = а 1 , а. = с~* , где с - обратный дан о, s а. - обратный дея с » Из 6. следует, что при л=ае =а~^ ч^е.с^о' /лалогично из 7. следует, что а - с ' й 9, d. -1 теаш cl а, . Согласно 8* cl - обратный дах ? т.е. Ж Положим по счхределенквг а/ а сь... сь- } /7 W а. - сг. , если п 1 ас = е
- 4 - Определяй целые отрицательные степени зяаментов. с// аяег»ента группа G , обратные псдавительжи степенны элемента Лев- называются отрицательна®! степенями элемента т,е. при п>с „ покжем, что (а”) *х>>о. В саду доказанного о. Г<2 = е . Вычислим Ct*1 (а~*)п= а...с^а*..<%*-&., т.е. (а”) В дальнейшем его будем обозначать л п =(л~0 при . С помощью приведенных определений лса?ио проверяется, что дач лабах полюаиЕвльннк, отрицательных ши нулевых показателегЗ п и w „ <2 ZZ2 _ г>7 >? *} + гт? имеют место равенства а. сь -Q а. —а Са^=(ат>” = a™ 1 II* (а, <э£... а„) 1 = ...а/ В частности С а&) 1 - £ а 1 В авд доказанного (а,...оп) 'Co,...q„)-g '<э~г...а~га,... Группа G называатся жеядутагивдрй влз абелевой, если = &&- для любых g G- „ Группа называется конечной, если она содержат лишь конечное число алеиенюв и бебкоиечгюй в прогивиом случае. Копность множества G обозначается I&I . Если шояество (G ~ конечно, то его вющзость равна чкслу ®ле- лептов. ймчностъ группы аавыБастса порядаик гпущи» Непусто$шоаоство & с бинарной операцхей • называется группой, если: 1/ а(&с) = fa Ос J € G 2/ Vq£ Ях^у е G- , что <?л=/ _ у а. ё / где л а у называется правым и левш частная от деления на. а- / Пох-сахем эквивалентность .двух определении группы. Пусть ниоавство G с бинарной операцией ’ , удовлетворяет
сшр.едаленню I, тогда vo свойствам л. в?, уравнения ал=£_1ул^ё июют едшственяое решение. Отеается доказать, что из 2-определеная следует I . Так как ах - & разреыию, имеет единственное ране- ние, во существует злемепт ел такой, что а. = а /I/ т.о. еа ~ единила дан сь Дскашл, что она не зависит от набора едемента а, , Дид уе~ G- после ушоаения /г/ мкеаи уаей =уа~ у - реиеняе уравнения ул = ё. Тогда ёеа~ ё , т. е. ел - еднняца группы G-. » Элемент группа, удовлетворяккщй уравнению ах = е будем называть правам обратный да сс z обозначать а"1 , ирнмеры: 41, Иноггеотво всех комплексных чисел относительно сэюжешя-группа. <’ 2. Инояеотво всех подстагаовок л? стволов отдооителыю умнойвннн - группа. Она называется твзетрзчвекой группой /7 -ой степени. , । I SJ = п ' Она не абелева при и > 2. 3. Множество Ап вс-за четных подстановок П адемеатов отно- сительно уыиояенияг - группа. Эта группа называется знакопеременной группой п -ой сйздеяи. Ии1 = 2-П- 4. йЕюаесаво всех неварояданних матрвд порядка п над полем F относительно уклонения не абелева группа / гч > 2 /. Эта группа называется полной лэиейнод группой и обозначается: (3-L Си^ F) , и - порядок, F ~ ноле, над который рассмат- ривается -матрица. бЛоказать, что подавоиество S L(A О с G L frp р) всех матриц с определителем, равнш едашще, отяоситально умаозеная — группа. Она называется сп лиальной линейной группой.
- fi - 6. рассмотреть в GL(^jF) под?инокеетво треугольных матриц. о нулевая- элеиентеми под главной диагональю и с едиа вдгж на дваг панк, относительно умножения, т.е. матриц звда Это будет унгиреугольная группа. ИИШ Пусть & - группа, а. е G . Рассмотри мнокество всех степеней этого элемента .. ,л a t а\ а*, а =е. <».. • Так как aGa1 2^1- а”*™ , то доя данного гдаовества степеней отно- сительно операции, определенной в группе & выполняются все акси- омы группы но определению I группы. Эта группа обозначается <л> = у1.. а ajC^e q ^... J и называется-циклической подгруппой \ группы & , порожденной элементом сс » иоыет случиться, что каж- дый элемент группы G- является степенью элемента <2. т.е. &=<а в этда случае называетон ни: ^^гаюйгщшой. и I, Вращение вокруг центра правильного п -^гальнвка. Под эле- ментом сь будж понимать вращение его на угол тогда под элементом а!<> «понимают вращение на угол ~~ , с? °- на месте, под а~к - в обратную стороцу на угол- . Очеввдно, это будет циклическая грунна. 2. Множество корней и -ой степени из единицы относительно Умноквыия- питопттелЕпя группа, так как каадай аяемент является степенью:
группа. И если ее порядок равен И все различные элементы группы G- &,*= е , всегда следует, что л? Доказательство. Пусть дана циклическая группа Логически возможны два случая: I) все степени элемента CL CL*’ ¥= QJ , если В этом случае получим, что G- жество целых чисел бесконечно/' Теорема I. Пусть G~ - циклическая группа, порожденная элементом cl ; тогда: I) если все степени CL- различны, то G- - бесконечная группа. 2) если среди степеней встречаются равные, то G- - конечная _ О 2. , то сг = a J ... , 4? , причем . Из того,что делит к . ' Gr=<a> - {.. ^cfj ac=ej&*...] группы различны, т.е. бесконечная группа,так как мно- 2) найдутся Z и J такие, что Q-L=Q'! j i .Покажем, что Q- - конечная группа и выполняются два условия теоремы. Далее, для определенности положим 4 >j , в G- существует такой элемент а. , что: . Умножим обе части c2.L—a^ вв , получим . Отсюда следует: существует степень элемента CL- с положительным показателем ( l~t >0 ), равная единице. Пусть ~ наименьшее целое по- S' ложительное число, такое, что С4- =е (среди таких степеней мы можем всегда выбрать наименьшее положительное
- 8 - число, ибо среди подмножества множества натуральных чисел всегда имеется наименьшее). Пусть си <z & . Так как t = S"<^, + ъ , где о< S' , то Си - Си (си)*'® ~е ^Ъ— сс^. Так как г < & .то отсюда 'С-О. Отсюда имеем, что все элементы группы (т нахо- дятся среди элементов: „ 2.^-1 сс = е си, а , Q- Покажем, что все, элементы этой последовательности различны. Допустим, что си-си, 8-1 , тогда а. <г и L-i < <Г . • о* j С 5-1 Если С -&J, и для определенности положим и что,существует целое положительное число c—j < <Г , для которого Cu~S — е , вто невозможно, ибо 5" - наименьшее число с таким свойством. итак, Г=- п , G = , сс, а?... а =е. Предположим, что некоторая степень элемента сс равна е , к т.е. СЬ ~ е , где к - целое число, тогда к па-гЪ 2- К = п^ + &^ cszzn и <ъ=сг г — а- = е ♦ Введу минимальности п число т должно быть равно О Следовательно К = пс^ , т.е. л делит к Пример: Множество целых чисел относительно сложения - бесконечная циклическая группа. Определение. Порядком элемента d-<£ G- называется порядок подгруппы,поро- жденной данным элементом. Если <сьл - бесконечная,то сс - элемент бесконечного поря- дка. Если <съ> - конечная, то - элемент конечного порядка.
В этом случае ввиду теоремы I порядок алемента ос равен наименьшему положительному целому числу п , для которого а,п= е Вообще говоря, циклическая подгруппа состоит из и положи- тельных и отрицательных степеней элемента Со . В случае, если<сг.> - конечная группа, мы имеем только положительные степени элемента —АГ Си от о до и--/ , т.е. в этом случае CL = а, , где к>о и О 4 t <- п-1 . Пример: Группа вращений правильного п -угольника вокруг центра - циклическая группа порядка п „ 2.7Г CL - поворот по-часовой стрелке на угол уу ; О*- поворот на угол , t>O ; '-'t П £тгЬ СЬ “ поворот против часовой стрелки на угол ,он, очевидно, может быть заменен поворотом по часовой стрелке на угол -уу- , где к - целое число, os к< п . ПОДГРУППЫ Пусть & - группа, а М и N - некоторые ее подмножества. Под произведением ММ мы понимаем множество MN = | т е Ml j <че mJ Определение, Множества Mt и N называются перестановочными, если выпол- няется условие: МN=• NМ . Отсюда следует, что для Ym Vne /V существуют т'е М М^М такие, что Определение. Подмножество М элементов группы О- ' называется подгруп-
- 10 - пой группы G~ , если Л/ являемся группой по отношению к опера- ции, определенной в группе G- , и обозначается М £ <S- Примерк: I) Пусть G- - группа а. е & , тогда < св > - подгруппа группы G~ . В частности, если взять единичный элемент, то полу- чим единичную подгруппу: Е - < е > —{&] 2) И — & ~ группа. G- - рассматривается как одна из своих подгрупп. Определение. Подгруппа Е и сама группа (9- называются тривиальными подгруппами, а все остальные называются нетривиальными. КРИТЕРИИ ДЛЯ ПОДГРУПП Под И 1 будем понимать множество элементов w х,где тёМ , т.е. Л/ т Теорема 2. Непустое подмножество Е/ элементов группы & - подгруппа, если выполняются следующие условия: I. ММ S М (I) 2. М~1^М (2) Доказательство. I) если е М и т2сМ , то соглас- но (I) М , т. е, операция-на М - алгебраическая. 2) V/Z7 6 М согласно (2) /п s И щ юМЕ-е еМ согласно (I), т.е. единичный элемент и обратный принадлежат М , Ассоциа- тивность выполняется в М , так как • выполняется в группе. Теорема 3. Пусть М - непустое подмножество из G- . Пусть каждый элемент группы G- имеет конечный порядок, и пусть ММ S М , тогда М - подгруппа.
- II - Доказательство. Д1Я тт ёМ}..^ т £. М! Т.к. каждый злемеит имеет конечный порядок, то существует некоторая степень т = е , и значит, ееМ. Так как конечная циклическая группа состоит из неотрицательных степеней, то подгруппа, порожден- ная элементом /?7 , будет принадлежать М,<^>QM для PW/V И, следовательно, М М , следовательно, по теореме 2, М является подгруппой. Теорема 4. Непустое подмножество элементов М из G- является под- — / группой, если МИ QM , —f >7“ 1 Доказательство, Пусть те М , w <? Az J тогда mm1- е € М , т.е. М содержит единицу. По усло- вию вт *= т"1 е М , т.е. Л/ S М . Для т^ гг?л е М7 рассмотрим произведение т1 (т£ ) <£ ИМ Q. М тогда, по теореме 2, М- подгруппа. Теорема 5. Для V§ С <S- выполняется равенствоGff = G- ( ^--группа' Доказательство. Напомним, чю MN=^n\ineM} ng/'/J Пусть , .a M-G-. Тогда под произведением MN будем иметь: 67 , а если М= У , а Л/-6?- , то ] хб&}. Покажем, что & = (г • Рассмотрим множество G- , ясно, что ^G- Q G- (I). Возьмем любой элемент £ &G- , тогда уравнение 0Х— ё имеет в G- единственное решение. Значит, € =дх €. G- , то есть $ 6- . Отсюда следует, что (2). Из (I) и (2) вытекает, что G-^G- Аналогично доказывается, что & ~Ga
- 12 - Следствие. Если G- = GM — & , т.е. при умножении группы на ее часть происходит как бы поглощение. ИЗОЮРФИЗМ ГРУПП Определение. Пусть G~f и (9, - две группы. Если существует такое взаимно- однозначное отображение f группы на 6- , при котором для любых 2-х влементов JCt зХ£ € (rf выполняется равенство: то J называется изоморфизмом или изоморфным отображением G; на &г . Образ произведения равен произведению образов. Изоморфные группы ничем не отличаются. Изоморфные группы обозна- чают так: & - (л или G~ — G-> СВОЙСТВА I. Рефлексивность, т.е. G-=G- для любой группы G- 2. Симметричность: если , то Or Э=! Сг 3. Транзитивность; т.е. если , то 6; = Таким образом, изоморфизм является отношением вквивалентности,пое- те му множество всех групп распадается на классы изоиорфных групп, такие, что группы из одного класса изоморфны между собой, а груп- пы из различных классов не изоморфны. Покажем, что если et € (9} , то ее образ при изоморфизме -f является единицей в, группы & . Пусть взаимооднозначное отображение f v переводит X в у Рассмотрим хе(=х , где х € G~t .С другой стороны, fPQ .Отсюда yffe,) = yj У€&2) fC6,) = ^- единица группы Q ,
- 13 - 7 Х6 .то fCx~9-ffrX)] Показать, что если Более общее определение изоморфизма группы в группу. Пусть даны две группы G- и Г и задана функция такая, что если рассмотреть множество образов элементов группы (-г , т.е. { j(%) | X € G] ~ f fG-) , то отображение f ; G—^ f (G) является изоморфизмом. В этом случае называется изоморфным отображением группы (т в Г . Если учесть предыдущие рассуж- дения, то изоморфизм в группу есть изоморфизм группы G на. йекоторую^подгруппу группы Г . Еще Говорят что группа G- изоморфно вкладывается в группу Г Всякое взаимнооднозначное отображение множества М на себя называется подстановкой. В случае, если множество М множество И первых натуральных чисел, то это подстановка ко- нечного множества: ' f -1 2 . , . гП ‘2 Теорема б. (Теорема 'Кэли) Дяя всякой группы U" некоторую симметрическую группу, т.е. всякая группа изоморфна некоторой подгруппе подстановою Доказательство: существует изоморфное отображение в , по теореме 5, что x-^xg1 для <с?( справа) на себя. , поэтому отоб- Vx е G- (т-е- каждый есть подстановка мно- ражение такое, елемент из (j~ умножается на жества элементов группы G Определение. Под произведением отображений Z^ будем понимать результат последовательного выполнения отображений
- 14 - ; Уи,следовательно, г?, 2^ каждому элементу т-е- Рассмотрим теперь функцию f * § » т.е. группы G- сопоставим ту подстановку, которая ему соответствует, и рассмотрим множество: &=WI 9е G] Покажем, что - изоморфное отображение группы G- в симметрическую группу , т.е. в группу всех подстановок множес тва, каждый элемент которой есть элемент группы Ст , а точнее: G-£= & , Вначале покажем, что жение на G . Возьмем два элемента ницу группы & . переводит в cjt , а - взаимнооднозначное отобра- , тогда , то подстановка 7L еди- О1 подстановка : е-9-& , Этого достаточно, чтобы сказать, что %- т.е. мы показали Ji Зг- что различным элементам из О" сопоставляются различные подста- новки. Очевидно, что каждая подстановка из & является образом G- -группа. , т.е. произведение элементов из G только одного элемента из G~ , Остается показать, что £ - Покажем, что есть элемент из G- 2. Рассмотрим, что - f:g будет соответствовать обратному элементу i'—V ' а'™° е & 8 как гМГ = • > отображением, ибо х переводит является обратным отображением для Ze - является тождественным в х е = х , то гя-< 3i г1, ,яв гг • S' что и требовалось доказать. (ч.т.д.)
- 15 - ПОДГРУППЫ,ПОРОЖДЕННЫЕ МНОЖЕСТВОМ ЭЛЕМЕНТОВ Теорема 7. подгруппой Рассмотрим X) содержит ' э d2GD. Пересечение любого множества подгрупп является данной группы. Доказательство. Пусть дана система подгрупп , где сё X . пересечение всех подгрупп: А: • Множество . единичный элемент группы и потому не пусто. Пусть (J( j / / , /“^ ‘ЭлелггХ'Л, о/Л2 надо доказать, что dtd2 €-JJ и Сь f D VПриме кии. теорему 2- ‘AcALjVie7, и по определению подгруппы dt > Vi € J, VI С А] , тогда по теореме 2 имеем, что D - под- группа ч. т.д. и Определение. Пусть М - непустое множество элементов группы & . Под- группой, порожденной множеством Л7 , называется пересечение всех подгрупп группы G~ , содержащих множество М По крайней мере хотя бы одна подгруппа содержит М , ибо сама группа & содержит А7 , т.е. множество подгрупп, со- держащих множество А/ - непусто. •< Подгруппа, порожденная множеством М , обозначается < М> Это наименьшая подгруппа, содержащая множество А/ . В частности, может быть, что <М>= & , Тогда говорят, что группа порождена множеством А/ , а А/ называют множеством порождающих иди об- разующих элементов группы. - то <гЛ7>- циклическая группа. Теорема 8. Подгруппа, порожденная множеством М состоит из тех и только тех элементов группы Q- , которые могут быть записаны в
- 16 - виде произведения конечного числа степеней элементов из М , т. е. элементов вида m'lTL2-.. . rrf* , где /77. еМ, т.е. ос'- - целое число. - кольцо целых чисел. Доказательство. с/ с/ cz ) Рассмотрим множество S={. т?*Iтс I. Очевидно, что произведение элементов из есть снова элемент из «5 i 2. Если взять те М , то ^°=ее Л , т.е. содержит единицу - о/. оЛ °C- -о(к -oft,, 3, Для /77, /77? .. . /77^ Обратными будут 272*. /ТТ^,, .. /z> о/, _ °<z ~с/к ~^к-1 - /27, тг ... *. /77. П7К_' . . . W, ~еJ,. ТО есть по теореме 2е £ - подгруппа, и так как гт>€ 6 то М £ S й значит < М> g, tS (I) . С другой стороны, покажем, что £ < М > . Если /?7,^'/г^ .. s ще М, то гп,.. . тк б < М> И причем все степени элемента /?7^ принадлежат подгруппе, поро- жденной М . Следовательно, и их произведение: . < М > и» вообще, произведение конечного числа степеней элементов множества /V принадлежит < А/?, значит, с. < Аф>(2). Из (2) и (I) следует, что S - <~М > , ч.т.д. Если М^< Q > , то <М>~<а?~ циклическая подгруппа, порожден- ная алементом 6L t или < CL> ~{сс1' | L € J- Теорема 9. (Об образующей конечной циклической группы). Пусть G~-<o.^ - конечная циклическая группа порядка /7 Равенство & = < сь тогда и только тогда выполняется, когда П) = 1 ,
- г? - Доказательство. Необходимость. Допустим, что в группе G- существует такой элемент а., , что порожденная им циклическая подгруппа совпала с G-: (?= < а., > Тогда - порядка п , Так как <? - циклическая группа, «о ct,= Ct? . Пусть наибольший общий делитель л) =с/ , ' £L тогда вычислим; О^” ~(А У G ~ е . Отсюда = е Так как порядок равен Г7 , то отсюда вытекает, что of=l , п так как И - наименьшее натуральное число, для которого <Z, = е Следовательно, ft,, и) = 1 . i Достаточность. г / ° 2 Пусть Ст - =е <7^ съ j ...a, f- циклическая группа поряд- ка и , И пусть t - натуральное число, взаимно простое с х? , Ct>in)='| . В силу взаимной простоты t и п существуют такие целые числа с^ и Z , что tc^+ пг=1 . Тогда а, = а, r = а, -а = (а j , т.е. влемент СС есть степень елемента с? . Из этого утверждения следует что сс е со? , к поэтому < Сь ? - & ~ < с? >. Отсюда & = < О"? , ч.т.д. Теорема 10* Пусть G = < с?> - бесконечная циклическая группа, тогда ра- венство (?=<CPt?‘ выполняется в том и только в том случае, ког- да t= ± -J , т.е. бесконечная циклическая группа имеет только два образующих елемента. До казательство. Рассмотрим подгруппу <;сС1>={. Она содержит елемент d , т. к. а = (а1)"1 . Очевидно, что <сС1> с Q- отсюда G , т.е. Ct 1 наряду с Л, , также является об-
- 18 - разующим для G~ . Остается показать, что других образующих еле- ментов группа & не содержит (от противного). Допустим, что G-« < (порождена, некоторой степенью элемента (X ). Тогда С^(Х~ О?*1 (: & . Тек как G - пикническая группа, то сущест- вует целое число , такое, что =.= <2^ • Отсюда, по тео- реме I е сиду бесконечности группы G~ следует, что t-+i = tc^ т.е. две степени совпадают, если их показатели равны, t 1 Б качестве делителя единица можно взять лишь 1 1 , ч.т.д. Теорема II. Любые две циклические группы одинакового порядка - изоморфны. Любые две циклические группы бесконечного порядка - изоморфны. Доказательство. Пусть G-, =-[ct°=ej а-, сЗ, ..а” $ ] Рассмотрим отображение ; QL = . Очевидно, что это отобра- жение взаимнооднозначное. Покажем, что это соответствие изоморфи- зма: • ; Аналогично показывается изоморфизм бесконечных циклических групп, ч.т.д. Из теоремы следует, что конечную циклическую группу порядка П можно изучить на примере группы корней Г) -ой степени из I. Примером бесконечной циклической группы может служить- аддитивная группа целых чисел, то есть: Г=^...г“2о-^ о_, 1 , 2Л .. . } относительно сложения. В качестве образующих можно взять +1 т.е.
19 - Теорема 1'2» Всякая подгруппа циклической группы является циклической группой. Доказат ел ьство. Пусть <а> = G- - циклическая группа и Н - ее подгруппа а) Если Н - {Q } - единичная подгруппа, то очевидно она циклическая. б) Предположим, что Н { е] , тогда существует элемент всС' G Н. Так как Н - подгруппа, то она содержит обратный елемент для степени I , т.е. = 0bt£ . Либо i, , либо -Ь является целым числом большим нуля, т.е. среди элементов под- группы Н имеются элементы с положительными показателями. Выбе- рем с Н » ex' наименьшее положительное число среди показателей степеней из Н . Возьмем некоторый элемент сё б Н По теореме о делении с остатком: Z3--C^+Z.,' , тогда имеем: СО^' се' * Отсюда: ссёа? а, ^~аЛ(сг?) т.е. Ос'6 /-/ . Причем ос ъ< сё . так как - наименьшее, то Ъ = о , Ro тогда of= (а?) , т. е. любой элемент подгруп- I I <Х пы П является степенью элемента О, , а это значит, что HcZ ь -< Ос / является циклической группой, порожденной элементом Ос ч. т. д. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ VI МИМСЫ Пусть Н - некоторая подгруппа группы & . Для 6 G- можно составить множество элементов: . Нх - £ 1г-л } к 6 kJ - ^хк[ и н] .
- 20 - Нх называется правим смежным классом группы & по под- группе Н . X Н “ лезвм сыезаьц классом группы & по под- группе Н . Так как ее Н , тс х=ех^хее И П Нх Л хН .называется представителем смежного класса Нх и X Н . Теорема 13. I. Мощность смежного класса равна мощности подгруппы, т. е. р |Нх|=|*Н| = |н| • 2. Если у £ Нх j то Нх =Ну , т.е. любой элемент смеж- ного класса может быть выбран в качестве его представителя; если уехН , то хН = уН. з. (Нх)1 = х’Нл (х Н) 1 = Нх \ Ч. Люоые два смежных левых класса либо совпадают, либо не имеют общих, елементов. Аналогично и для правых смежных классов. Доказательство. s I. Рассмотрим отображение Ср элементов h hx , очевидно, что каждому элементу из Н оно сопоставляет единственный эле-, мент из Нх , Тогда Ъ,Х^: Допустим, что 4)(x= ^х . Умножив равенство на X 1 справа, получим 'hl -4^ т.е. отображение Ср различным элементам из Н сопоставляет различные элементы из Нх . Очевидно, что каждому элементу I) х £ Нх соответствует единственный элемент 4i, Ах Следовательно, отображение V* - взаимнооднозначное. Пбетоцу мощность |Нх| -[Н | . Аналогично показывается, что Ml =|Н|. 2. Допустим, что у £ Нх . Тогда найдется 'А.б Н та- кой, что у = ру , Рассмотрим НУ= Hfe( = blx . Показать, Что если у £ X Н , то уН=хН . /М к'4 fz. ..х-1 "'Л.-’И cklL/H
, Has V^cH ~ -1 значит Н “ Н . Нх и Ну по под- . Согласно 2, . Отсюда Нх = Ну, не пересекаются. содержится в некотором правом смежном как любые два смежных правых класса не имеют этим доказывается утверждение а) теоремы. Ана- Покажем, что Н — Н Очевидно, Н б К. = (h-<) С Н , отсюда Н С Н Аналогично доказывается второе оавеистас. 4. Рассмотрим два сметных правых класса группе Н Допустим, что z f НхЛ Ну Нх = Нг г Нх >< Ну~ Нгу G Если не имеют общих элементов, то Нх и Ну Теорема 14. Пусть Н - подгруппа группы G , тогда: а) группа G равна теоретико-множественной сумме попарно непересекающихся своих правых смежных классов по Н ; б) группа G равна теоретико- множественной сумме попарно непересекающихся своих левых сметных классов по подгруппе Н Доказательство. Любой элемент X f G классе Нх , и так общих элементов, то логично доказывается утверждение б)„ Разложение а) называется правосторонним разложением группы 6" в сумщу смежных классов, а б) есть левостороннее разложение в сушу смежных классов по подгруппе Н . Теорема 15. Мощность множества смежных классов правостороннего и левосто- роннего разложения группы по подгруппе Н одинакова и ета мощность называется индексом подгруппы Н в группе G и обо- значается | G : Н j Доказательство. Пусть G= U Нх. (D - правостороннее разложение группы G
- 22 - индексов 3 - является Н . В силу по подгруппе Н , где б пробегает систему Покажем, что разложение G- , равное .17 х? Н левосторонним разложением группы vr по подгруппе доказанного из (I) следует, что G (V Нхг} L^x^tf , то G- — {J X;1 Н (2). Очевидно, что любой ёе7 с попадает хотя бы в один смежный класс. Оста- смежнве классы < м и *:'н При irj влементов. От противного, допустим существует тогда по теореме 13 эти классы совпадают, так как G = G элемент группы G- ется показать, не имеют общих 2 6 Х-'1Н П X,- Т.е. Х~<И = Х~'Н От обоих частей равенства возьмем обратные: (X; И) = (xj Н) Н\ = Н Xj- , что невозможно при i ч* j , так как получим, что смежные классы правостороннего разложения (I) пересекаются. Теперь ЧТО установим взаимнооднозначное соответствие между разложениями (I) и (2) следующим образом: Х;*Н Нхр теорема доказана. - Теорема 16 (Лагранж ) Если Н ~ подгруппа конечной группы G , то порядок Н делит |&| , Более того, 16 | = IН | • | &•' Н j . Доказательство. Пусть (? - конечная группа, тогда по теореме 1ч можно запи- сать разложение группы & по подгруппе Н , т.е. G~ Их, + Нх2*...+ Нхп . Имеем сушу в теоретико-множественном смысле. Все слагаемые этой суммы попарно не пересекаются, а число их равно И , где И. - индекс подгруппы Н в группе <? . По теореме 13 |НХ;|=|Н| , ...............” Следовательно (считаем число влементов) 1&| = |н|. |&:н|= 1н)-п ч.т. д.
23 - •Теорему Лагранжа можно еде прочитать так: порядок и индекс всякой подгруппы конечной группы есть делители порядка группы. Следствие: порядок всякого елемента конечной группы есть делитель порядка группы. В силу доказанного, если ftf(? , где <3- - конечная груп- tY) па, то а - € , тогда подгруппа <сь> имеет также порядок т , а по теореме Лагранжа имеем, что m делит / & I , ч. т.д. Очевидно, что t(C.i Теорема 17. 1. Каждая неединичная подгруппа бесконечной циклической груп- пы имеет конечный индекс. Для каждого натурального П- бесконеч- ная циклическая группа содержит только одну подгруппу индекса П . 2. Пусть G- - конечная циклическая группа порядка <£. , Тогда для любого делителя т числа g группа G~ имеет точно одну подгруппу порядка т , Доказательство: общая часть для (I) и (2) Докажем вначале утверждение об индексах подгруппы в I) и 2) и единственность. Дано: пусть циклическая группа (конечная или беско- нечная), а Н - ее подгруппа (неедиаичиая). Пусть оС - наи- меньшее натуральное число такое, что Р Н , Тогда по теоре- ме 12, Н = < . Для любого целого положительного L имеем: t = , где о Отсюда , следовательно, записывается в виде разложения: G — Н + Het- + Hct2 + . t- Ц Qp'"'1'
_ 2/4 - Остается показать, что все эти сменные классы различив. допустим: Но-1 = Н О? .где {.#]_, J ^«-4 . Положим для опре- деленности С > j , очевидно, Сь ~ 'КаА . Умножим на С(А ,тогда , £><6-4 пришли к противоречию с тем, что СХ наимень- 0 с>/ u дее положительное число, для которого А е п . тем самым ми по- казали, что всякая подгруппа Н из 6~ имеет конечный индекс | G ’• Н I ~ . Теперь покажем единственность подгруппы. От проти- вного. Пусть в группе G- имеются две подгруппы А и В од- ного и того же индекса, т. е. И = I &’ А | = | G •' 6 | . Пусть J0'* t ? О - наименьшие натуральные числа такие, что <<2^> — А\ <&,*> = £> . Тогда по доказанному выше имеем Следователь но, P=i = п и А = < а,п> В — < сь >, единственность доказана. Докажем теперь существование подгруппы. а) Пусть G- - бесконечная группа и пусть &- = <ал и те - любое натуральное число: и? Л/, рассмотрим подгруппу, порожденную алементсм о/' г Н - < оУ У . Sto будет бесконечная циклическая группа. Она будет иметь по теореме 10 только два образующих элемен--' та: О-п и (_оУ) *= <2 \ Значит, те является наименьшим натураль- ным числом таким, что С^п & Н , следовательно по первой части теоремы I G : Н ] = те • в) Пусть G- - конечная группа G- -< и допустим, что Покажем, что группа G- содержит циклическую подгруппу порядка Яр , где те? - любой делитель порядка груп- пы G- . Рассмотрим подгруппу W , порожденную элементом Обозначим СЬп= , Так как G- - конечная группа, то существует целое положительное число К^те? , такое, что =е .1ак как
- 25 - Вычислим а отсюда tv s пт =. g. . Но - порядок влемента О- и,следо- вательно, ик = иуи, к = т , т.е. мы показали, что подгруппа,поро- жденная элементом 4 = а” , имеет порядок равный m и,следователь- но, индекс подгруппы Н в группе & равен ч.т.д. Следствие I. Пусть & - бесконечная циклическая группа и Н - ее нее- диикчная подгруппа, тогда Н * бесконечная циклическая группа и 1~[ изоморфна (т , т. е. Ц = (г . В силу доказанного, по тео- реме 17, И имеет конечный индекс, заменим разложение G- по Н (г = И х, 1- Н эс, +... По теореме 13 имеем, что | HxJ- I Н/ ; если допустить, что Н ~ конечная группа, то сумма G конечного числа конечных множеств конечна. Но G - бесконечная группа, получим противоречие, следо- вательно, Н “ бесконечная группа. Следствие 2. Для конечной циклической группы теорема Лагранжа допускает обращение, иными словами, для любого делителя порядка группы, в группе существует подгруппа, порядок которой равен этому делителю. Но вто бывает не всегда, т.е. существуют конечные группы, ко- торых не для всякого делителя ее порядка имеется подгруппа этого порядка, Так, например, знакопеременная группа четырех символов: А^ , ее порядок равен 12 - £ 4} но не имеет подгрупп порядка б, хотя б делит -1Z ; т.е. в этом случае теорема Лагранжа не допускает обращения. (см. тахже -Мс Саг- £4гу 3) РЖ iMa>t . 9 А ^5 О)
- 26 -- СОПРЯЖЕННОСТЬ Дые множестве М и М2 элементов группы G- называется сопряжениями, если найдется такой элемент х в G- } что М^х~1И2х т.е. Л7, - £ х~1ту I т Q MZJ Аналогично элементы 6Ц и (Уг сопряжены, если существует такой элемент X , что ^-Х йгХ . Из определения сопряженности следуют следующие свойства: I. Рефлексивность, т.е. И сопряжено с самим собой, т.к. И= е'Не =еМе 2. Симметричность. Если сопряжено с Мг , то И? сопря- жено с И . В силу сказанного, существует элемент х € <? .такой, что М1 = x1 Mzy , умножим слева на Л , а справа на Л 1 , тогда получим: xMjx"1 = хх~1 Мг хх ? = Обозначим у = х1 , получим Mz=y1M1y t ч.т.д. 3. Транзитивность. Если Mt сопряжено с Мг , а А72 сопряжено с /% , то И, соп- ряжено о М3 . В силу сказанного А/, = х11Мгхл j Мг тогда /V/ = X, xz М3хгх1 . обозначим х2х, =у , имеем Л/, =y~fMsy , ч.т.д. Итак, сопряженность является отношением эквгвалентности (т.е. выполняется условие 1-3), и если рассматривать ее нс множестве эле- ментов группы G- , то G- разбивается на классы сопряженных элементов: £ = &iг % ~t У-Г F f , где С- класс сопряженных
элементов. Рассмотрим Z f6p) ~ множество всех подгрупп группе1 Ь~ . Сопрякенностг на £-(&) также является оквиЕалентностыо.т. е. Z (&) распадается на классы сопряженных подгрупп. Определение. Пусть М ~ некоторое непустое подмножество элементов группы Q- . Тогда '.тожество j X&GyxЛ?=М^азывается норма- лизатором подмножества И в группе (г Таким образом нормализатор - это множество тех элементов X группы <?- , которые перестановочны со множеством И Отсюда М-Х^Х (после умножения слева на Х~* лизатор можно записать в виде Теорема 18. ,т» ) и значит Норма- лу (М) = { X /х€ ?J х'1 Мх=М) Нормализатор любого непустого подмножества элементов группы является подгруппой. t Доказательство. Пусть дано подмножество М Q G . Обоз- начим N ,где V - непустое множество, т. к. (так как <гМ = Me ). Возьмем два элемента Xf/l/ у£ Jvf »• По определении: = д М} Му -у М . рассмотрим Мху~(уМх)у = ~(хМ)у -X (^у)-хуМ„ отсюда ху £ М .Равенство Мх^хМ -л умножим на X справа и слева: Х^Мхх'1 - х'^хМх^ х~1М^Мх'1 т.е. X 1 - обратный для X ё Л/ - будет перестановочен со множес- твом /7 > ^«е, Az’'e /V' . По теореме 2, Д/-подгруппа группы 6г , Ч.Т.Д. Теорема 19. Иэщнооть множества всех подмножеств группы GG , сопряженных с некоторым подмножеством из Q- равна индексу нормали- затора подмножества в группе o'- ,т.е. равна |
- 28 - Доказательство. Обозначим /V• По теореме 18, Л' - подгруппа: NQ (т • Рассмотрим разложение (? по Л' £ = Лh'xzt.. Пусть У € Л^Х. , по определению смежного класса у - «лу , где yigN . Рассмотрим произведение у 7Л/у = )1Мспхс-) -- 1М их- так как элемент пе Л/ , Значит, п поглощается № Итак, мы получили, что любой элемент из смежного класса Ухс- переводит М в то же сопряжение с М , что и х^ , Остается показать, что элементы различным подмножествам, сопряженный с М i-X j Допустим противное, т.е. что хУ/Чх- ~х'1Мх- -/ d ° . Умножим слева на Л;,\ и справа на х; : отсюда Мх.Х- =Х-Х- М из различных смежных классов приводят к , т, е. что J 1 d *L *i X;'- Ъ Xj1Mx- X-1 J „ f По определению нормализатора ,х . X- € N „ в этом случае получа- L d ем, что х- X- -= п с /V , отсюда х - =- п*: . Смежный класс , d . <- d . /vх - Nviхfw. Получим, что смежные классы из разложения 6~ по Л совпали, это противоречит разлоиеняю (правостороннему), члт.д. Следствие. Если множество М состоит из одного элемента 6L , то мощность множества всех элементов группы G- , сопряженных с элементом й- , равна индексу нормализатора в группе &' , т.е. равна IG : Л/е Са-)1 . Теорема 20- Всякая подгруппа содержится в своем нормализаторе. Доказательство, Пусть Н £ & , тогда Л'& (^Н) = £ .X | A"t X И - Нлj Так как для кбН » > то ‘‘L £ '% ( Ю , ч.т.д.
- 29 - Земечшуте: Если Л- б & .ю сь & т.к. сьа, - act- , следовательно Теорема 21. I. Сопряженные подгруппы изоморфны. 2. Жожество элементов Л/ из G , сопряженное с подгруппой/ из 6 , будет также подгруппой. 3. Если М и х fMx - сопряженные подмножества, то нормали- заторы зтих подмножеств сопряжены с помощью этого же элемента , ^(х~*М х) = X 1/^,(л/)х 4. Сопряженные подгруппы имеет одинаковые индексы в группе. 5. Сопряженные элементы в группе имеют одинаковый порядок. Замечания: I. Если даны две группы G~f к 6^ , которые изоморфны, то существует изоморфное отображение f : G-. -* Q- .и эти группы мы не различаем. Отсюда, если дана подгруппа Н( <= , то отображе- ние ; Н ~-*-k/zQ G- • и(^о быть подгруппой является свойством, отно- сящаяся к операции и поэтому при изоморфизме подгруппа переходит в подгруппу. 2. В частном случае, когда , мы имеем изоморфизм группы б- па группу (г . При этом соответствующие части будут похожи, т.е. подгруппа в- будет изоморфна некоторой другой под- группе. 3. Пусть A G (т . Построим отображение б б' где X- - фиксированный элемент . Покажем, что преобразова- ние - является изоморфизмом (г на G- , x^&X-G- .т.к., xfQ-~G- а 6-х -- (?- , т.е. преобразование f- является подстановкой G- . Проверим условие изоморфизма, т.е. ffg, о
* f - изоморфное отображение. Доказательство. I., Допустим, Mui имеем две подгруппы-: Н и И4=х9/л . Надо -1 [•казать, что они изоморфны. Рассмотрим отображение -р.' ре (г • ®«е. изоморфизм & на G- . Тогда отображение • -f при 8ТОМ является взаимнооднозначным отображёни- । Н на и, кроме того, f= f «тому £ каждую подгруппу, в частности Н , переводит в изо- рфиую, э частности, в х1Нх 2. Пусть Hs G , М - подмножество элементов G~ . Пусть М М - сопряжены. Тогда, существует элемент X € G- такой, что полняется равенство: М = X 1У X 1 Можно сказать, что И является образом подгруппы Н при ображении -f : G х'4&х « которое является изоморфизмом, а зоморйным образом подгруппы является подгруппа. 3. Пусть даны два подмножества М и х~*М% , Наде доказать, го с х’Мх) = х' % СМ ) л . Пусть По определению имеем: п1(х',Мх)п= х'1 Мх г или w 1х ' И х ~ X Мх -1 ’множим обе части равенства слева на X , справа на х , полу- :йм: _х . -j хп х М х Ki х ~ И По определению нормализатора: X х? х 1 г
31 - -1 Уявхж&ё. слеза на л , справа на х Xi е Х~1 Л/&/'м)Х Отсюда , так как - лабой елеаент, то NG.QC1Mx')<d: X Ng[.M)X (I)- Нетрудно показать и обратное,т.е. что: ? ^в-(Ю * - 'Ч-) (2) Из (I) и (2) получаем искомое равенство. '4. Допустим, имеем две сопряжение подгруппы: W и х Нх=Н± Рассмотрим правостороннее разложение группы & по Н : G- = *• Н йротрансформируем обе части равенства с помощью элемента X : х 1&-х *&^х~,Нх1х+х ’Чхг Х-4- ... или (5- =. (х'1 tix)x \>х + • J X~'xL х = у- G- = Н< у, + Ht у2 + • • • Получили правостороннее разложение группы (г по подгруппе И1 , причем Н |= |б--‘ М,|, что следует из соответствия: Ух- «-» Н&у- 5. Пусть d- и Л 1°-Х - сопряженные элементы. Допустим,что й -Q (1),т,е. порядок Л- равен t . Тогда вычислим: (x^hx^x'cbx ... х~*ах= х'1^х ,1-е. (x'^a-xf^ е (2),т.е. если порядок й равен t , то и порядок х а,х делит с . И обратно: из (I) (2), а из (2) =Ф (I).. Отсюда вытекает утверждение для элементов конечного порядка. Если CL. - бесконечного порядка, то х '<Л-х - также бесконечного порядка,ибо предположив обратное, придем к противоречию, ч.т.д.
- 33 - Тогда а/- fa, = ' € В А ,т. е. аь е-ВА или для множеств: ДВ GBA (2). Ив (I) и (2) следует, что Д6=ВД , ч.т.д. ИНВАРИАНТНОСТЬ Определение. Множество М =* 0 влементов группы G- называется инва- риантным, если выполняется равенство: X ^Х- М для Vx6 G- , т.е. «то такое множество, которое совпадает со всеми своими сопря- женными. Равенство х'Мх-М и М х--х И - эквивалентны. Поэто- му множестве Д'? элементов группы G- называется инвариантным, если выполняется следующее равенство: Мх=хМ Vxg- G~ ,т. е. если оно перестановочно с любым элементом группы G , Если мно - жество М состоит из одного элемента, т.е. {о-} , то эле- мент CL называется инвариантным в G~ , если X fa х - CL • Vx G G , или QX - XCL , VxG&- . т.е. если он перестановочен с любым элементом группы Q- . Такой элемент хотя бы один сущес- твует, это - I. Теорема 23. Множество М 0 элементов группы G является инвариан- тным тогда и только тогда, когда оно является либо полным классом сопряженных элементов, либо объединением некоторого числа классов сопряженных элементов. Из теоремы вытекает следствие: подгруппа Н группы G~ инвариантна в группе G тогда и только тогда, когда Vx e G- и Н имеет местох-’/гх ё И Доказательство: НЕОБХОДИМОСТЬ Дано И - инвариантное множество элементов группы G .ПО опре-
- 34 - делению х'мх - м , Vx& G~ . Vxe&: x'mxCxfy^ = М или х’%х ->п1 е М • Отсюда все элементы груп- пы (г , сопряженные с п? , принадлежат Л/ и значит. М является либо классом сопряженных элементов, либо объединением нескольких классов. ДОСТАТОЧНОСТЬ а) Рассмотрим случай, когда М является полним классом соп- ряженных элементов и докажем, что М ~ инвариантное множество. , тогда: где XtJXZj. . .j Xij.- - ®се элементы группы G- , (ж) - множество элементов,• которое сопряжено с хп и, следователь- но, между собой, т.е. О) есть И , , Vxe & • Возьмем любой элемент xeff- и протрансформируем элементы (*). Х2 т X; <•' хп Xz Докажем, что х Их- М х х< тх,х X Х ~2 х^х^х х~' x'i'm - получили множество х М X , т. е. мно- j жестве сопряженное с М . Егс можно записать в виде (Х,х)' п? (Х,х) ) (x£x)^CxsxJ\ Г* (x-x^^^xj • ' ' i Известно, что Gx ~.х G = G- . но тогда л,х, >/<•- все элементы группы (г . Учитывая (к) и («к) мы показали, что
- 35 - х'Мх » м i мы показали, что когда Л/ состоит из од- ного класса сопряженных влементов, то оно инвариантно. б) Л/ является объединением нескольких классов сопряженных элементов, т.е. Л7= С,+С2*-+С-. где Сс- - класс сопряжеи- иах элементов. Возьмем любой хе & и протраясформируем обе час- ти равенства, а затем учтем случай а): х*Мх -xiCt х +х'Сг Х+...+ +х'*С-х+...= С,+-С2 + . ..4 С. + ... ч.т.д. ТЕ0Р1ЙМ 24 Пересечение подгрупп, составляющих один или несколько классов соп- ряженных подгрупп, является инвариантной подгруппой. Доказательство. Пусть дано некоторое множество подгрупп /}. группы & которое составляет один или несколько классов сопряженных подгрупп, сто значит, что X VxG Vi е. . Рассмотрим пересе- чение всех подгрупп: D- Г) А^ - это по теореме 7 - есть подгруп- ’ та. Далее протрансформируем элементом хе G-: x'lI>x= х = ~Г\х~'А-Х (*) » покоем, что это равенство сохраняется. Пусть /'с/х € /*Х>х , причем de А- , Vi е 3 , тогда X 'A-Х ,, Vi e~J , и так как мы рассматриваем класс или сбъс- .. дннение классов сопряженных подгрупп, то х 'Dx с. Г} х Д. х (I) <сть z е / I X А-X , тогда Ах Viey . Отсюда . ^3 J -1 х-^х е A- i б 17 (после умножения на х слева и на X справа). Следовательно, хзх1 & 1> . Поътоиу xxx~1=d e i> Тиноним на x'f и на х . Получим: 2<х"ус?х . Получим, что ; '“'.ой элемент правой части (*) записывается в виде zVx и, | следовательно, Лх'^Дх С' х'^1>Х (2). Из включений (I) и (2) | .подует справедливость равенства (я). Рассмотрим: ; i I
х (**? т.£. (ft У Ai.X Это множество подгрупп, содержащихся в множестве всех наших под- групп , т. к. они сопряжены, Оно составляет класс или несколь- ко классов сопряженных подгрупп. Рассмотрим X А-Х ’^y-'AxUA -< подгруппа, сопряженная с Ai , и следо- вательно, принадлежит множеству подгрупп jAiJ . Получаем, Ai~ После умножения обеих частей на X сле- ва и на X справа, получим: At~X (X AiX )x £ , т.е, ми показали, что система (хн) совпадает со множеством групп т Ал , т.е. •• (як) есть Текии образом, X Н'з С'А"' & чает т.е. X г Что и озна- (инвариантность), т.е. пересечение одного или нескольких классов сопряженных подгрупп - инвариантно, ч.т.д. Следствие: Пересечение любого множества инвариантных подгрупп - инвариан- тная подгруппа. Заметим, что инвариантная подгруппа составляет полный класс сопряженных подгрупп. Теорема 25. Подгруппа, порожденная инвариантным множеством, является инвариантной подгруппой. Доказательство. Дано /fx-Al, УхеС\ доказать, что подгруппа, порож- денная этим множеством G . обозначим <Ж=/7. Соглас- но теореме 8, лябой элемент /б // записывается в виде А АП :с Al. А-t - целые числа. Vzte (У' X'A'X' =z
fib > и з результате трансформации, получаем зс~*кя-~ос'Ъьх-Х^'х ...X Ъ%*'х. a) Z >е , тогда X .. £ *4 t^d'jCO для некоторого у : jj~(x 'кух) qM т.е. в любом случае ОС X. b П 3 А так как Н - подгруппа, то и произведение ьлементов Л". /iXC^. Отсюда ’Н^ G t Теорема 26. Подгруппа, индекс которой в группе равен 2, инвариантна в группе. Доказательство. Пусть //S-Ц /6:/7/-=2 , тогда i Мх для любого эле- мента X , не входящего в Н (I) так как индекс / ^*4 при- чем классы И , НX различны. С другой стороны, С~^/'^хНг hl-l-l'lh , /У , то имеем Л4з=л’/7, С , По оп- т. к. ределению Теорема 27.- к Пусть Г1 И /"I подгруппы группы тогда А/А/ является подгруппой группы G , причем Доказательство. Но определению я, следовательно, АО/ отсюда’по теореме 22 получаем требуемое утверждение. Предостережение: на примере .можно показать, что произведение двух подгрупп группы в общем случае не всегда подгруппа. Теорема 28. - подгруппи группы , которые инвариантны
- 38 - в пороадении: тогда, если 7W= 1ч , то каждый элемент из А перестано- зочен е каждым элементом из Н (говорят, что F и G/ - поэле- ментно перестановочны). Доказательство. Обозначим: тогда по теореме 27 для подгрупп G^ , F и Н имеем Q„ ~l~ Н . Пусть FU; /eF . Торда /F-F/] (I) Е F/~ /// (2), т.к. и инвариантны в , Рассмотрим произведение X/ . Из, (I) Ь/=$/} , где Из (2) /4 Ж , Умножим слева еэ и справа на п, : пп, — t г , т.е. получили, что имеют общий элемент. Но по условию только, hl% '-t, 'rF(2 . Отсюда Х-- А . Следова- 4/ . т.е.^А и Ч.Т.Д. Определение. Неединичная группа называется простой, если она не содеркит гнвариантиых подгрупп, отличных от единичной, и от самой группы. Теорема 29. , Абелева группа является простой тогда и только тогда, когда :е порядок является простым числом. Доказательство. Если порядок группы - простое число, то она не имеет подгрупп, отличных от единичной и самой группы, ибо по теореме Лагранжа, по- рядок подгруппы является делителем порядка группы.' Обратно: Дано G - абелева простая группа. Доказать, что ье порядок - простое число. Группа G монет быть бесконечной,
- 39 - либо конечной. G - не единичная группа. Пусть Х'<? G г XX , рассмотрим подгруппу, порожденную елементом X . Если она С? , то в силу абелевости группы G подгруппа <х> <f b № G “ простая группа, следовательно <>’7s G , т.е. G - ци- клическая группа. а) Пусть G - бесконечная группа. Этот случай невозможен, т. к. по теореме 17 для натурального числа / в та группа содер- жит подгруппу индекса /7 , которая инвариантна в G . Но зто противоречит простоте группы G , б) Пусть G - конечная Группа. Если порядок G - состав- ное число, то согласно теореме Г7 для любого делителя по- рядка группы G имеется подгруппа порядка /7 , которая в силу абелевости Группы G инвариантна в Q , что невозможно. Следо- вательно, порядок G - простое число. Теорема 30 (Фейт-Томпсон, 1963 г.) i Всякая неабелева конечная простая группа имеет четный порядок. Пример: I 2., следовательно, по теореме 26, , Известно, что при /J 7- о является простей неабелевой группой конечного порядка. Груп- па Ду порядка 60 является неабелевой простой группой наименьшего порядка. - группы. называется гомоморфизмом, если для выполняется равенство: (Я^) — гоюошш Определение. Пусть G , /' Отображение </ G * / любых X и из G Теорема 31. Единичный элемент и обратный отображаются при гомоморфизме на единичный и обратный элемент другой группы, т.е» с - ед» элемент
- 40 - Г и (°-Т, ГруППЫ / -J L С-v' ) ' Определение. Пусть (f - гомоморфизм группы G в группу / » рожество всех элементов кз G , отображающихся при гомоморфизме на единичный злемент €. группы i называется ядром гомоморфизма (f и обозначается 6? Z =<£7. А множество образов всех элементов группы G. называется образом группы G при гомоморфизме if и обозначается Теорема 32. Образ 7m if является подгруппой группы Г , а ядро /\СТ- (f является инвариантной подгруппой группы G . Доказательство: jfy'L (Xfffe J™ f &)‘с , по определению, подгруппа, покажем, что IG ? является подгруппой. Пусть ССууё7Гог / . Цо определению гомоморфизма ОС ~ , найдем образ произведения: (Xff^-OC'G^ £ б -в G/ , таким обра- зом, Найдем (ОС ). следовательно, G если , Остается показать, что /б’7 является инвари- антной подгруппой. ПУСТЬ CtcKc’e If . ЩгЯ KZft? вычислим (y-b (z7^ = е‘еГ (f, по теореме 23, zfe7 f - инвариантная подгруп- па группы 6» , ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ГОМОМОРФИЗМА I. Гомоморфизм IfC называется зпиморфизмом.если . Эпиморфизм называют иначе гомоморфизмом на группу Г 2. Гомоморфизм if будет мономорфизмом, если отображение /является изоморфизмом.
41 - 3. Гомоморфизм является изоморфизмом. если tZ явля ется одновременно апиморфиз^ом и мономорфизмом. Примеры: I) Аддитивная группа целых чисел гомоморфна группе корней четвертой степени из I, 2) Аддитивная группа целых чисел гомоморфна группе корней второй степени из I. Этот гомоморфизм будет эпиморфизмом. ФАКТОР-ГРУША множество всех тогда множество Определение. - Пусть Н'^С , пусть Q/ZZ=/ZZxlX(,G^ _ смежных классов группы G по подгруппе // , С /И является группой относительно умножения смежных классов. I. Ввиду ассоциативности умножения, в группе G имеем: Z/x /?^= Z/(xZ/)^= Z/Z/jc$- Z/'HX^)C G/G/. 2. Ассоциативность умножения смежных классов следует из ассо циативности умножения элементов группы. 3. Роль нейтрального или единичного элемента играет подгруп- па И : Zf Gfcc- Z/xj Z/ж Z/~= Z/tfot =/-/x. 4. Рель обратного для Z/x играет класс (I'lxfZ^ZZ-Zx. ZZi Определение: Группа С//7 называется фактор-группой группы G но подгруп пе Ц . Теорема 33, Нормальные подгруппы и только они служат ядрами гомоморфиз- мов этой группы. Доказательство. Пусть - гомоморфизм группы G на группу / ,т.е. ^’•7’"*“/
\р: х jh- ИхИИх^ Их Ич~ - 42 - по теореме 32 ядром этого гомоморфизма является иквариавтная под- группа группы G . Обратно: пусть Н<Ь . Рассмотрим отображе- ние zgG . Проверим, что - гомоморфизм, , т.е. образ произведения равен произведению образов, значит - гомоморфизм группы G яа группу G/И , он называется естественным гомоморфизмом G на G/И , причем А7 7 ¥— И. f Говорят, что ядрами гомоморфизмов исчерпываются все инвариан- тные подгруппа. Теорема 34. Для любого гомоморфизма группы G имеет место G//GcT if , т, е. фактор-группа группы по яд- ру гомоморфизма изоморфна образу группы. Доказательство. I Пусть дан гомоморфизм у7.' Gt~* / . Обозначим ядро его через ' /7 . По теореме 32, /73 G , Рассмотрим'смежный класс /У . когда для vhc H рбраз (xhj~ С — л'с/~' ( где С - единица Г , Sto значит, что каждый элемент класса жН отображается на образ представителя его, т.е. на X . Теперь рас- смотрим отображение <Г , которое смежный класс X Н переводит в зП , т.е. Z; хИ-*х* Покажем, что 7 - нзоморфнзм а) вначале покажем, что И б) покажем, что чно показать, что f G/Н на G/т ^; - гомоморфизм, (х - - мономорфизм, т.е. достатс- взаимнооднозначное отображение О/И , на Jtr. f. Пусть r.xlG-^X (Л . 0^ противного: пусть Рассмотрим образ (.Х(/, т.х<. , т.е. ЖЦ (S Кет ff . Умножим на у справа и получим Хе/Ху , L отсюда
43 - с) покажем, что / - эпиморфизм. Пусть oF^Jii'l ¥ , тог- да для него найдется прообраз, т.е. Л'хА—’А , т.е. Л - иско- мый изоморфизм: Теорема 35. Пусть IF G , тогда: 1) каждая подгруппа фактор-группи G/F имеет вид А/Н , где А - подгруппа группы G и А? /-/ ; 2) если АзА и FqQ , то А/А—А/А,’ з) если А—А и A*3 G , то АААА/А Доказательство: '• Путем проверки. I, Пусть А - подгруппа фактер-группы А/А Рассмотрим множество: А- А / Х£ G^ Покажем, что Hq/FG ; пусть ЭС( УС А , это значит, Л'АсдГ и yA^zl . Найдем xFFI~XU(FF , т. к. А - <7 г а ''F /I ч? подгруппа. Отсюда . Пусть Х& г , тогда Хп&х} так как - подгруппа, то для элемента X И она со дерзит обратный *Н t Отсюда . По критерию подгрупп, А - подгруппе. Так как А - элемент А , то для A GууА~-А . Болез того, так как GFG , ю F^F. 2. Пусть АзА , FgG . Так как Н< G „ то И<(~ . . Оче- имеем: А/АсА/А \/х<& G и lA=A Р/Н . Он имеет вид лэом из Фактор-группы = Нх '/Нхр^х. Pq-P/H Рассмотрим фактор-группу А/А и обозначим ее через видно, она будет подгруппой фактор-гиуппы А/А . 3, А«А , Аэ//, Доказать F/IFC/H . По пункту 2 гая как A*3 G , то по теореме 23 для /X & , Рассмотрим элемент подгруппы- ' •• и протрансформируем его любым элеме- G/i~i , он «жег вид Л’А (х/-/]'УG/(xG/j- , т.е. Z/A<?A/Z/
Пример: рассмотрим полную линейную группу vLifytj , т. группу невырожденных матриц порядка /?х/7 над некоторым полем ^осмотрим отображение Z XI’-А\^ /: GL(n Р)~* Р , Где р 'Р. множество ненулевых элементов из поля г , т.к. рассматриваются «вырожденные матрицы; Р - мультипликативная группа поля Р . □скажем что отображение / является гомоморфизмом / Р Проверим условие гомоморфизма: / P-</ef /Р докажем, что каждый элемент р является образом некоторой матри- пн при этом гомоморфизме, т.е. / - эпиморфизм. В силу доказанно- го, матрица вида: следовательно, Рт -/РР * Посмотрим, из чего состоит ядро этого гомоморфизма. Матрица тогда и только тогда, когда определитель матрицы мы знаем, что подмножество матриц с определителем, равным I, из GL(nP/ относительно умножения - это группа. Она называется специальной линейной группой. Значит, ХвТ /— SL(n^Pj . Согласно теореме 35: (э/Кат РУги/ имеем, что GL^n^Pj/SL^^Pj^-Р , т.е. в каждой полной линейной группе имеется специальная линейная группа, фактор-группа по которой изоморфна Р . Теорема 36- Пусть GP'Pp й имеет место изоморфизм где [PG и А^С .тогда /7//М/4 G/H.
45 - Дока зательство. . Рассмотрим фактор-группу . Поэтому можно составить , ТО /'I < Ж <6/7-5 Так как подгруппа /-М 1~//А > по теореме 35, (СРассмотрим отображение ‘ ’ f; G/A-G/H ,i. s Отсюда •/ - гомоморфизм G/A » G/H . Точнее, это эпимор- физм. Рассмотрим ядро этого эпиморфизма. Допустим, что хА еКех. / если хе А/ (рассматриваем не все элементы, а только те, что отображаются в единицу). Отсюда , , Л/М/М С другой стороны, пусть Х.А & И’/А , это означает, что Х£ Н > отсюда следует, что xA&B'e'Z / . Цо теореме 34 пс- лучаем: ч.т.д. Теорема 37. Пусть йсб ,//£(? „ /Ар , тогда МЫ и имеет мес- то изоморфизм: ИН/Н—В/БПН. Доказательство. По теореме 27, 6/6 6' • Рассмотрим В ft И . Это подгруппа. Для vhB рассмотрим 6^6=/^/7/7 Отсюда следует, что • Рассмотрим естественный гомомор- физм UfhBBA Покажем, что ВН. Пусть cB&BB/fi отсюда С с ВИ , а Отсюда следует, что /// . где /^6 следовательно, 6/ АВ/А каждый элемент из BIBB записывается в виде .. Таким образом, Ав-ВН/И.
- 46 - -айдем ядро этого гомоморфизма. Допустим рьПит , так как Отсюда следует , следовательно, , тогда G-/G .Таким образом, с другой сто- роны, если теореме 34 имеем, что , то / f а Ы/^6/6пН , ч.т.д, пе Определение. Элемент рестаяовочен со всеми Енвариантеи в группе, если он совпадает со дальнейшем черев Z(G) будем обозначать тных йлементов группы G . Очевидно, что jL(G) - инвариантная подгруппа группы ЦЕНТР ГРУППЫ Z& G называется инвариантным, если он пе- злементами группы, т.е. t Р'Лбб , или Х£— эквивалентно X и, значит, элемент группы всеми сопряженными. В множество всех инвариаи- ee^(G) . Покажем, что G . Пусть тогда ~ . Отсюда Рассмотрим равенство: (ОС. <ZXj ~3~ X -X- , Отсюда <£ G Таким образом, <G(G) - подгруппа (по критерию), из инвариантных элементов группы G , то подгруппа группы G г Определение. Пусть и<л,^е . Тогда множество называется двойным смежным классом по подгруппам И Теорема. 38. Любые два двойных смежных класса по подгруппам п и г ли- бо совпадают, либо не имеют обдих елементов и, следовательно,группа G представляется в виде теоретико-множественной суммы попарно епересекаюшихся двойных смежных классов. .если &£<£(£>). Так как она состоит X(G) - инвариантная
jto представление называется разложением группы модулю / по двойному Доказав ел ьство. Допустим: они имеют общий элемент Итак, Остается Рассмотрим два смежных класса FxF \Ш1чС значит имеем смежные классы совпали. принадлежит хотя бы что любой элемент Умножим справа на , тогда имеем, что Умножим слева на одному двойному смежному классу. В силу сказанного для где С & Н >• g t /' е . Из преды дущего следует. что всякая группа есть теоретико-множественная сум- ма своих двойных смежных классов, ч.т.д. Л Понятие двойного смежного класса есть обобщение смежного класса по подгруппе. В силу сказанного, если , то f/’JcF-Fx ; если И- , то h'х/~ — Осf~. Теорема 39. Пусть даны подгруппы HcQ , FqG , где G - конечная группа, тогда число элементов в произведении HF подсчитывается по формуле: |//Г1_ /М'/^/ . 1^1"-дан (Предостережение: HF ~ необязательно подгруппа). Доказательство. Обозначим HfiF-S). Рассмотрим разложение F по подгруппе •О — *£х, (I). . умножим слева «а /У . HF~ (2). Покажем, что в разло- жении (2) все смежные классы различны. От противного. Пусть
ФЗ - Gp . Для элемента ~^xj , отсюда 2LXj~A , где h&H . Из (2) следует, что Х? Ay е/- , а так как f~ подгруппа, то 2; -3j e Р. Мы получили, что значит, , поэтому -XXj ~с!&2. Имеем, что . умножим обе части слева на 2 , получим: 0Х=$А’ значит, (3). Так как в разложении (I) все смежные классы различны, то равен- ство (3) возможно лишь в случае, когда j . Таким образом, ми показали, что в разложении (2) все смежные классы - различны. Вос- пользуемся (3) и подсчитаем порядок произведения F'h , из теоре- мы 13 следует, что I Hx-I~lH, ^'Lr- 2- Поэтому |/7А=1^Н , но , ПОЭ ТОМУ jWn/'l ч.т.д. Теорема 40. <* Пусть G - конечная абелева группа, порядок которой делится на простое число р , Тогда G содержит подгруппу порядка р . Доказательство. Пусть в^хе G . рассмотрим циклическую группу, порожденную элементом X . Если pll<£>l , то по теореме 17 подгруппа, поро- жденная элементом X , содержит подгруппу порядка р и, следо- вательно, G содержит ту же группу. Теперь предположим, что никакая циклическая группа, порожденная элементом из G , Не имеет порядок, который делился на р Пусть - все циклические подгруппы группы G . Тогда группу G можно записать в виде произведения циклических подгрупп (всех), т.е. Q-AiA,..-. At , в СИЛу доказанного, каждый зле- мент правой части принадлежит G . Остается показать, что любой элемент G принадлежит правой части. Пусть . Втот влемент
порождает подгруппу некоторую. Пусть <х>--Я; . Тогда где ее -2 , т.е.- каждый элемент X. , принадлежащий группе £ , представляется в виде произведения элементов из А,А7--., А . К тому же мы предположили, что р t lAjl для J- ^2,~ . По теореме 39 подсчитаем порядок произведения А А . Он равен / / Л I— Отсюда pJlAfAj. Так как G - абелева группа, то А А будет подгруппой группы Ь , Подсчитаем порядок произведения: Снова применим теорему 39 и порядок произведения /АА/Ц не делится на р . Продолжая этот процесс, мы после конечного цикла шагов получим тао: ^/АА.-АМ^ Пришли к противоречию с тем, что pflGi , Ч.Т.Д. [ ТЕОРЕМА СИЛОВА, Пусть G - конечная группа порядка р*Р sn& р - простое число, тогда справедливы следующие утверждения: I. Для любого целого числа р , , группа - & со- держит по крайней мере одну подгруппу порядка р' ; в частности ё содержит подгруппу порядка р* . 2. каждая подгруппа порядка рр , , содержится по край 8ей мере в- одной из подгрупп порядка р I 3. Любые две подгруппы порядка р“" сопряжены в группе G , I 4. Число подгрупп порядка р* имеет вид J* кр , где Д'- рлое число.
Доказательство. От противного. Допустим, что теорема неверна, тогда среди ко- нечных групп, для которых теорема не выполняется выберем группу наименьшего порядка. Таной выбор возможен, так как в любом подмно- жестве множества натуральных чисел существует наименьшее число. Пусть ’ I) . Покажем, что группа G имеет подгруппу порядка р$ . Рассмотрим центр группы 6> , он будет абелевой подгруппой, так как все его элементы инвариантны. Возможны следующие два логических с. а) р 1 i itP) I а) р 1 &I , при в центре имеется подгруппа Vxc- G (это следует из то P<l G , т, в им фактор-группу G/ Р лучая: б) piitPcGrt- меним теорему 40 к центру группы. Тогда Р порядка р . Так как Рэс-эеР, того, что для if сб>? следует е. Р инвариантная подгруппа. Соста- , Ее порядок равен Так как 1 G/Pl^lGl. то п пы G/Р выполняется. о предположению теорема для фактор-груп- И следовательно, в фактор-группе G/P существует подгруппа PPP порядка . Отсюда IРМР/Р/ iPl-Р Р—Р ,ч.е. G согласно теореме .35 Далее , содержит подгруппу И порядка рР • б) p'HjGGJl . Группа Ь равна обьединеншо классов сопряженных элементов, причем каждый элемент из <£(&) представ- ляет собой отдельный класс (т.к. перестановочен с любым элементом группы G ). IGf- 1 'г/;, •'/£ , где hi> '< и hi - число
элементов £ l -том классе сопряженных элементов. |£/^(/Гб./М<Мг--.*4 Заметим, что pH bi и ph I <&(Ph Если допустим, что все А делятся не р , тогда в (ж) слагаемое I делится на р , что невозможно. Значит, для некоторого рУhi , где гЧ £ Пусть 77 - класс сопряженных элементов порядка /£ и /2^4'. Возьмем элемент З.С Ci , по теореме 1.9 число элементов (<л/ ~ -{Р:4^- /й// ; как ранее было показано, нормализатор есть подгруппа и его порядок: f значит 4.7/? г/ 4^/ , Как порядок lA^.('ah<iGl и, кроме того, Л / ’ (*недовмелЫ10* по предположению в нормализаторе /£7й/ существует подгруппа порядка pfi , которая и будет иско- мой. 2) Пусть даны две подгруппы Р и /7 . причем iPi~ р , а • Такие подгруппа, согласно I-й части, в группе Р сущес- твуют. Рассмотрим разложение: (I) и>=Рх?/СfРхгН* - - i Рх,„р/~ Рх„'Н . Так как <2/ Р '~ Ь (по теореме 5), то ' -|Х Рх..Р\ . Ввиду ассоциативности i- Н^СхРрх^Нt где X Р~р - подгруппа, сопряженная с Р . Согласно теореме 21, te, PxJ~(Pl- р . По теореме 39 порядок 'хрРл; СР pp^fppppjpi / 1хрРл.ПН1 И следовательно, число элементов в любом смежном классе разложения (I) т.е. Из (I) и (2) имеем, что lGi~РЛ-Х-рррРхРИЬ. Подгруппа X, Рл:,лН Z Н и, следовательно, по теореме Лагранжа ее поря- док является делителем порядке подгруппы /7 , т. е. р^ . Значит
(3) После сокращения гмеел: По условию p^fl , поэтому по крайней мере для одного будет выполняться /7 Н I Отсюда М = р'' . Причем М-р* , т.е. 1-Х: Р-Х;РР\~ p^ir'l , Отсюда следует, что i~iПэР/"л^х// , следо- вательно А/-С X- Рух 3) утверждение вытекает иэ \РМН^рл. Получим Н^хрРх. „ в силу пункта г). Для этого возьмем , т.е. равенства их порядков: 4 а) Пусть j’ - число подгрупп порядка , iPl~P . Сог- ласно пункту 3 все подгруппа порядка р в группе ь сопря- л женн и их число по теореме 19 равно индексу нормализатора Г в группе G , т. е. р = f G ‘/ie (P/h Обозначим / /lg (P/i ~ 'A Тогда / G/--' 'ip (по теореме Лагранжа). По теореме 38 (2) Один из классов получим, когда , тогда t~'С(Р)~P/V^irj—р,^ iР) t <г.к> PqPq (P) Посчитаем число элементов:
- 53 - Разделил обе части на V : а так как Х.р~Р t 'Ре тс моанс ваше равенство перепясат: в виде: * i 1 f ~ * + ь^тдаУ! (3) Остается показать, что каждое слагаемое в сумме (3) делится на р . Предположим, что для некоторого < слагаемое не делится на р ,,' тогда: гП ,.. .^ . р ~ /X P-l/l if) L Отсюда xpи кроме того Рс/ррР) . По доказан-' ному в пункте 3 подгруппы Р. Xt Рх-, - сопряжены в (Р/ . Сле- довательно, найдется такой злемент he A^fPj , что /А- и так как , то Р~хРРхс .* Тогда получим: PP№Z хррх^с(Р)=РРР.Л рхЛ<р^^1р^^л/‘<р^л'^'. пришли к противоречию с разложением 2). (Т.е. получили, что Х£€ PqI.P) '). Ч.Т.Д. Определение. . f -. '' , р ' ~ пусть р - простое число. Подгруппа 1 конечной труп- k пы G называется смловской р -подгруппой, если fPf есть । наивысшая степень простого числа р , делящая порядок группа Р Если , (рп)-^ , тс порядок силовской р -под- группы равен р . Если р не делит порядок группы С? , то. указанной наивысшей степенью будет р" . В стом случае силовская р “подгруппа будет , т.е. будет единичной подгруппой.
Оп~оеделеиие. Гр’,шпа G назидается р -группсй, если она совпадает со своей сияовской р --подгруппой, т.е. если lPl~p- Используя э2и термины, можно сформулировать теорему: Теорема 41. Для всякого простого числа р и любой конечной группы 6 выполняйся следующие утверждения: I. Группа G обладает р -подгруппами любого возможного порядка, в частности, G имеет ваковские р -подгруппы. 2. Любая р -подгруппа группы G содержится по крайней мере в одной силовской р подгруппе группы G » 3. Любые две садовские р -подгруппы в группе G сопряже- ны. 4. Число силовских р -подгрупп группы G имеет вид 'l-t Kp , где К - целое, । Теорема 42. Пусть , а I >\ - некоторая инвариантная 1 - силовская р -подгруппа i р -подгруппа группы К , а силезская р -подгруппа группы Л р -подгруппа в фактор-группе G/K. подгруппа конечной группы группы G . Тогда i РК/К - силовская Дока зательетво. Пусть Pt - силовская р -подгруппа группы . По теореме Силсва (т. 41) ^>С. Для иекоторогс . отсюда хР>х'1яР- Рассмотрим , так как Ito теореме 21 две сопряженные подгруппы одни порядок, поэтоцу Ijcfiz H/Z-Jl t значит эсР<Х’* - силовская р - похгругша в группе Р такая, что Р
55 Рассмотрим г<)Г\ и обозначим ' /1Л —дгоюда т.е. р-подгруппа группы К .С другой стороны, X Цх-ьРпК* z= Az-силовокая р - подгруппа в группе К , Поэтому $~эсР,Х .Значит, А? Д' - оиловская р - подгруппа в группе А , Вторая часть теоремы вытекает из I части:по теореме об изоморфизме РК'№ Р/РпКЖ.Ъсж [G^p^n^pn^^a /А=Х 1 iPnP^p',то ввиду изоморфизма (*р \РК/К\-= р у .С Другой сторо- |б//<|=|СК J-p ' и следовательно, р - наивысшая степень р, делящая порядок lG//(l .Значит, РК/К -силовская р- подгруппа группы G/K , ч. т.д. и Теорема 43. Пусть Р -силовская р -подгруппа конечной группы пусть Hs>Nc(P) ,чо есть Н - подгруппа,содержащая нормализатор силовской р -подгруппы группы G .Тогда // совпадает со сво- им нормализатором: Доказательство. Пусть XG& такой элемент,что Х'^Цх-(/,т.е. X вхо- дит в нормализатор подгруппы А/ .Так как РсЛ(Р) ,то PqH . Трансформируем последнее включение с помощью выбранного элемента X: jc Рэс^Х ^X-/-Py№nQQUt4,£Q Р и х'"Рх - буцуч силовские р - ; подгруппы в группе /7 .по теореме Силона они сопряжены в подгруппе Н ,т.е. существует элемент такой,что h'1(x''Px)^ - Р Д или (xh Pixltf — P ,чо есть xhe Pp,(P)Q И .Значит xhc-p' , т.к. А/ - подгруппа,тс существует Ь'16 И .Повтому fxW'e//, xchh-*)~xeH. , Учитывая fl) „получаем: Следствие:
56 Нормализатор силовской р -подгруппы совпадает со своим нор мализатором. Следствие получаем из теоремы 43 при Пример:применение теоремы Силова для исследования групп. Пусть lGl~, р и - простые числа,причем р>(р -По теорем» Силова, существуют подгруппы Р> & порядков р, соответстве: но.Любые две подгруппы порядка р по теореме Силова сопряжены и их число имеет вид: ^лКр, К-Ц&Аое. По теореме 18 число подгрупп порядка р равно индексу нормализатор ра: ^Р~ I&- % Предположим: I) Jp= .тогда икр—ср или Кр=ср1, р 1(^-1), ,т.е. -противоречит предположение, что р>(р 2) р>-1 ,т.е. Подгруппа 0- либо инвариантна,либо таких подгрупп будет столько, каков индекс нормализатора подгруппы О- в группе G . Но таккак нормализатор: ,тс \&- , и по теореме Силова , K<j.~ р'1 ,т.е. (^(.р~'О- Напри мер, пусть р~?, ,т.е. I Gl-= показали, что подгруппа порядка 7 инвариантна в группе G .Подгруппа порядка. 5 в этом случае также инвариантна в группе О ,ибо,если допустить, что она не инвариантна,то по доказанному делит ,что невозможно. Непосредственным развитием идей,заложенных Силовым, занимались I многие алгебраисты,в том числе и такие видные как Ф. Холл.Виландт, С. А*Чунихин. Пусть 7Г - некоторое множество простых чисел,а Д’* - дополнение к Л во множестве всех простых чисел,т.е. ЯПЛ-Л? , а ЛиЗС* - множество всех простых чисел. (например,если ,то J. ),
57 Учитывая это разбиение.порядок конечной группы 6 ыожнс записать следующим образом: I Gl -' iGl^- ,где каждый простой делитель числа iClff принадлежит Я ,а каждый простой делитель числа lGlft- входит в Тс' .Естественно поставить вопрос: I) в каких случаях в группе G существуют подгруппы порядка I Glx f2) подгруг пы порядка iGln сопряжены, 3) каждая подгруппа порядка,делящего iGlfi- содержится в одной‘Подгрупп порядка iGlji В частном случае,когда ,т.е. есть степень одного простого числа, имеем теорему Силова. Естественно рассмотреть общий случай,ког- да множество УГ -произвольно.5ту задачу рассмотрел Ф.Холл в 1928 г. Определение. Подгруппа порядка । &1я называется /Г-холловской подгруппой групп! G .Если ft состоит из одного простого числа р ,то Я-хол- ловская подгруппа является силовской р -подгруппой. Определение. J Подгруппа Н называется 7Г -подгруппой,если множество прос- тых делителей порядка /7 содержится в ~Л .По определению,единич- ная подгруппа является ТГ -подгруппой. Говорят,что для конечной группы выполняется -силовская теорема,если I . G обладает по крайней мере одной -холловской подгруппой. 2 .Любые две- ^-холловские подгруппы сопряжены в группе G 3 .Каждая УГ - подгруппа группы G содержится в некоторой ее % -холловской подгруппе. I® ТЕОРЕМ ХОЛЛА ( 1928 ) Для конечной группы G выполняется ^"-силовская теоре- ма при лвбои множестве простых чисел .если G - разрешимая группа.т.е.обладает рядом инвариантных подгрупп таких,что фактор-группа G^/G- имеет порядок,являющийся степе-
58 нью простого числа, < - ТЕОРЕМА ЧУНИХИНА ( 1952 г.) Пусть 7? -некоторое множество простых чисел.Для конечной группы G выполняется Л-сияовская теорема,а такие Я- сион- ская теорема,если группа G является ^-разрешимой,т. е. обладает рядом инвариантных подгрупп G= Ge— G42 ...2 G>i~ £ таким,что для любого L порядок фактор-группы G^/Gi ДИбо есть степень прос- того числа из 7Г .либо не делится ни на одно простое число из It . ТЕОРЕМА ВИЛАВДТА (1954 г) Для конечной группы G выполняется /^-силовская теорема, если G обладает It -хожовской подгруппой М .удовлетворяю- щей условию:для любого р& силовская р -подгруппа из Н инва- риантна в А/ . Гипотеза:Будет ли выполняться Ji -силовская теорема для груп- пы G .если она выполняется для G/К и ' К .где A*3 G ? Теорема 44. Пусть А/ - инвариантная подгруппа конечной группы G я (l6:Al.lAfl)-7 . Тогда всякая подгруппа А группы G , поря- док которой делит породой А/ , содержится в Н , Доказательство. Подсчитаем порядок произведения А Н . Так как A/*0 G , то PiH - подгруппа по теореме 27. (Д£/ОД<М По теореме \Qi;M Лагранжа (по теореме 39) lAHlhCi ; таким образом, частное Подсчитаем его: целое число. И Al IAIIWI 1ДНА// По условию порядок и индекс - взаимно
59 - прости. Отсюда lAl__= у |АпН1 |Д| = |ДпН| , отсюда A^AciFl значит As //. Следствие: Если в конечной группе G силовская инвариантна, то Р - единственная силовская Доказательство. От противного, допустим существуют Р и Л подгруппа группы G . По теореме 44, Р^Р> равны, поетому Р- р-подгруппа Р р -подгруппа. - сижевские р , но порядки их ЦЕНТР И КОММУТАНТ С Множество всех инвариантных элементов группы называется иентром и обозначается £lG) . Мы установили, что ото инвариантная абелева подгруппа и оче- видно, что каждая подгруппа центра инвариантна в G . так как в абелевой группе все элементы инвариантны, то абелева группа совпа- дает со своим центром. Теорема 45, Пусть - гомоморфизм группы G в группу Г , тогда образ центра группы G содержится в центре образа группы G . Ето можно записать так: <£-(G)<S: £(G )} 0>=^]т (f. Равенство имеет место,когда р -мономорфизм, т. е. когда с> изоморй на образ;/ и . । t Доказательство. С -образ группы С? .при этом гомомор- физме центр <А(Ь) отображается в .Нам надо показать,что .Дня Vxe G и vze Хе ХХ^&ЗС. Отсюда (xz^x^ и ,т.е. лй’^.г^^где if; & ^Г7 G
60 ь .Отсюда Zr^Z<£? Если if -ьюноморйиамгто это значит, что <^> и отображение । -»(/ является взаимно однозначным, I ^G}/=f G -некоторая Группа и *s®a ГРУПН£ не обязатель- • но коммутативна,®.е. может быть xy-fyx .Но всегда существует П; ,что выполняется равенство: ху=ухс (это следует из разрешимости уравнения б группе). Отсюда Г.тот элемент с называется коммутатором элементов X и. у качается (.Х,У1=Ж, С “ “ Определение. Подгруппа,порожденная всеми коммутаторами элементов группы G называется коммутантом и обозначается G такой элемент .В случае.если К ОбС! то коммутатор т.е. В абелевой группе как в>е ее коммутаторы равны еди- нице Z . Теорема 46. f - гомоморфизм группы G в группу G . Тогда образ равен коммутанту образа,т.е. (.G')—(Gj. K^G ,то G'K/K-lG/ty,кроме того G^G. Пусть коммутанта Если Доказательство. а)Вначале покажем,что G^G .Пусть -коммутатор, ( Посмотрим,куда перейдет коммутатор при трансформировании: /jx= х''а'"х"’а'''л х'^',хзс-''ахх",Ьзс^ ~ (X',ax)-,(x ^x)-’(x ,ax)^x-,Gx)^ £x"axj х-'/х]. Отсюда,если М -множество всех коммутаторов группы G fT0 _ инвариантное множество и, следовательно,по теореме 25 <Zf> инва- риантна в G ,т.е. <_M>-=G<G. б) [ $1^ , Нейдем образ коммутатора при гомоморфизме :
61 вычислим че.му равно /,/?,/ / £ а ^(й'ь'аь"а fa-=t&a] (2) z z z J" «Г У \ * По теорете 8,если X&G ,то Х-С„'С,\-. С(‘ ,где С -коммутатор , а fat. т. е. Учитывая равенство (2), X есть произведение коммутаторов,!.е, а=Аг,л;...г, ,где л£- - коммутатор. Посмотрим,куда перейдет х^ .Очевидно,что Кб G. lf> <р tp . <р С другой стороны: х.—К^ KK--Kt Согласно (I) кК& tG^ ~ - является коммутатором Ь .Таким образом,мы показали,что Покажем обратное включение,для пусть .тогда как ИЗ (I * ) и (2 * ) следует,что (GjhG^ этого возьмем один коммутатор из И (I) поэтому образ коммутанте равен коммутанту образа. с)Пусть faG . Рассмотрим гомоморфизм lf:X—^Kxj xeG ,.г. е. \f>:G~*G/K,Тогда G'GQ/K, (G )~(G/K) ,(Применим теперь доказанное в б). Коммутант фактор группа G/К равен GK/K ,ч. т.д. ТЕОРЕМА 47 ( ЖИЕР ). Фактор-группа G/К группы G является абелевой тогда и только тогда,когда KsG' .В частности, G/G -абелева группа. следовательно Доказательство. Дано: G/К -абелева группа.Так как G/К -абелева группа, то К/К -единичная подгруппа. Из предыдущей теоремы ъ.(£>/К)-К/К.gw возможно только тогда,когда K^.G. Обратно,пусть Аэб По теореме 46 (.G^)~GК/К ,но поэтому lG^-К/К .,.е. G/K -абелева труппа(так как комму- тант совпадает с единичной подгруппой). Из доказательства следует,что G/G -абелева группа. Комму- тант является наименьшей инвариантной подгруппой,факторгруппа по которой - абелева.
62 ПРЯЖЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Определение. Группа G является прямым произведением своих подгрупп А, А,--..А, .если выполняются следующие условия: т. A^G, 2. 6-А А-А 3.пересечение каждого множителя А с произведением всех остальных равно {£]-£.: AtCl(A,A.-. А^ Ait1 £=А*Ах---хА. -прямое произведение, ИЗ теоремы 28 следует ( в ваду А А~ А А» Аа^-^№?. 6 А/ ),что каждый елемент 0.x А{ перестановочен с каждым элементом <Яу<=А при Теорема 48. j Конечная группа тогда и только тогда равна прямому произведена» своих подгрупп А,---, А , когда любой элемент ОС группы G единственным образом записывается в виде х-х,х^-. X* .где ХеА/-$- и эти подгруппы А,--.,А инвариантен G Доказательство. Допустим,что S=AX--- *At ,т.е.является прямым произведением своих подгрупп Av . Покажем, что любой элемент хе G однозначным об- разом записывается в виде: гле xeeAi z / Xi -называется компонентой элемента -X Допустим,что -X запись взется епе одним способом: X-XjocG-.-Xe'^ At-. Прировняем: ХЛ.--А=(I) После умножения на става и (^) слева .получаем: (a:)xt4xL-.X) бх- -ху/ «НЯНвЯГ’-
- 63 - Произведение (X,)А< t но пересечение А^А^.-А^Е , а элемент, стоящий в правой части равенства принадлежит Az...At это возможно лишь в том случае, когда (Xi) . Отсюда Х-х/. Теперь из (I) имеем: XlXi--.Xt — XzXJ.-.Xi_ Аналогично покажем, что Xz = Xi и т.д. Обратно, допустим, что каждый элемент группы G единственным образом записывается в виде х=Х---Х, ХеА', Ai^G, t-b--,* Тогда, очевидно, что G-A,A^--At . Остается показать выполняе- мос-ть пункта 3 определения прямого произведения. Допустим, что Ал (А,Аг.-.А&Аь, Тогда элемент Х^Аг^Хс^, -ДхД.-.А-* А,*...А* представим в виде Xt-ХлХ^-.Х^Х^...X-,, XjC.A^'t'Sjst Можно записать С-6...Х—из этого равенст- ва и единственности записи любого элемента группы G имеем: х.-е, х^е,...^-^—,х^е. г.е. получили, что х„-е.. Отсюда: наие допущение неверно и, значит, верно утверждение 3) определения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНЕШНЕГО ПРЯЮГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Пусть ~ группы. Составим из элементов этих групп множество: 6.® Gl®---®Gi-{^x-',Xl/.-.,x^]xi с Сг] , где ® _ знак внешнего прямого произведения. На этом множестве элементов определим операцию умножения следующим образом: X) yj - Хф). Нетрудно проверить, что это множество элементов относительно вве-
- 64 - денной операции является группой. Эта группа называется внешним прямым произведением групп , Ваприаер, внешним прямым произведением является: Q®G-{(oc^)\x,^G} Рассмотрим связь внутреннего и внешнего прямого произведения. Внутреннее прямое произведение инвариантных подгрупп по определению i обладает тем свойством, что каждая из подгрупп с произведением ос- тальных пересекается по единице. Во внешнем прямом произведении рассмотрим множество элементов: Так как умножение совершается покомпонентно, то ясно, что Gt яв- ляется подгруппой внешнего произведения. Соответствие )—* X,- , очевидно, является изоморфизмом между и б,- . Отсюда внешнее прямое произведе- ние оказывается равным внутреннему прямому произведению, т.е. G>i®G?® ®Gt-G,x G^x-~ х Gx * Используем определение прямого произведения для доказательства фундаментальной теоремы в теории конечных абелевых групп. Определение: Конечную группу будем называть -примарной, если ее порядок есть степень простого числа. Единичную группу будем считать прима- рной ( р*~ / ). Теорема 49. Пусть А - циклическая подгруппа наибольшего порядка конеч- ной абелевой примарной группы G , Тогда в группе G существует такая подгруппа £> , что 6 = АН sA^H~E- .т.е. G-A*H. До ка зат ельство. Предположим теорема неверна и G - группа наименьшего поряд-
К8,ДЛЯ КОТОрОй ТёОрбдШ НО ЬсШО^НЯбТСЯ» ТСГДЗ “• КОЕЗЧНаЯ ЗОвЛв— ва примерная группа.По условию iGl-р .те р - простое чвы Если G - циклическая группа,то тогда А^= G .очевидно: 6=А*Е. Пусть G - иедиклическая группа.Рассмотрим имеющиеся две воз- можности; I. G/A - циклическая группа , 2. G/A - нециклическая группа. 1)Пусть 6/А -циклическая группа и пусть ^A-образующий элемен' етой группы,!*е. Введем обозначения для порядков подгрупп.Пусть: <;a>sA в >Al=p£ f А порядок I G/Al^p^.Очевидно,что .тогда f^A/=A »«ь' ё'еА, г—"^7^ £ л - где р наименьшая степень аиемента 0 «принадлежащая л. Так как А состоит из неотрицательных степеней Л ,то а) если ^~О ,то AA-t и тогда К А>\~р. Составим произведение < A^A~G, < Е-> теорема в этом случае выполняется. б) i~>0 .следовательно, его можно представить в виде .где .Очевидно,что 1</А>(=о°. отсюда >Tgf? как /g А и А вместе с каждым своим элемент содержит все его степени,а -это наименьшая степень элемента .содержащаяся в подгруппе, А .тогда основанием степени будет Яег 1ргР £(Р* являться o’ .Имеем,что р-О.-.о—р -t>~d .И так как ,то За теореме 1 следует,что р -порядок элемента Л-делит число Нр . Теперь имеем: 1<^>1—р^ .так как
бб т=гбольшая циклическая подгруппа(по ее выбору). Отсюда . Рас- •лотрим элемент 6гьи s Ми, А^А' Из следует,что .причем р* } -наименьшая степень, .Вычислим b^d после умножения на & * От- <Г Z7 Р имеет порядок р, К ^>1—Рг .: сюда Д * < А>, 2) G/А -нециклическая группа.Выберем S ней циклическую подгруппу : которой о, входит в г\ т:о следует из выражения :ида С ,т. е. наибольшего порядка: СА/А Так как I (з/АИ I &I ,то теорема для G/A. выполняется,следова- гельно.в ней существует подгруппа WA такая, что 6/А — zr^A/j4 х<0А/А .Вернемся к группе G ; 6-£А-£>Аз гК\^Р л ОД/Д<15^4/Д—Д/Д а . _ циклическая подгруппа наибольшего порядка вь/i еследе- ьательно, СА имеется такая подгруппа Д ,что С4вЛД, Алб»"^ AtHnwiuwe: имейся Аав^-е. "р А лп » Дс\КВ~Е. З.гда в силу абелевости группы Ь имеем,что Л| ’ 1 > так как |^Мн G/Al^ lAl-l CAsAl l3A/Af- lAl l&HIU, :.e. произведение O^Pz -искомая подгруппа,ч.т.д. Определение. Группа называется неразложимой,если она не представима в виде прямого произведения двух неединичных подгрупп. Теорема 50. Конечная абелева группа является неразложимой тогда и толхко тогда,когда она является циклической примарной группой. Доказате. ьство. НЕОБХОЖЙССТЬ IAHO: G -циклическая группа, 1^1~рл р -простое число.Доказать, что она не представима в виде прямого произведения двух веединичных подгруяп. vt противного,допустим,что G ~ А *8, А*£, .еначит, .
67 Ifo теореме Коши существе? подгруппа такая,что такая,что 1&1-=р .Так как £ - циклическая группа,то по теореме J7 сна содержит только одну подгруппу порядка р. Отсюда .поэтому ЛлЙаА^что протироречж тому,что FIFE. ДОСГАТОЧНОСТЕ ДАНО: G -конечная абелеваЦ группа-неразложимая. Доказать,что G -циклическая группа примврного порядка, Если G-Е ,то утверждние очевидно,так как единичная группа являет- ся примерной. Пусть GtE и является примаркой группой. Пусть Д- циклическая подгруппа наибольшего порядка из G .по теоре- ме 49, ,но так как 6 -неразложимая группа,то в~Е , следовательно, С-А является циклической группой примерного поряв- ка.Справедливость теорема доказана. Остается рассмотреть случай,когда G -неприметная группа. Тогда {G\*p/p. FpKK ,где Л>7 , рг । -простое число. i, 3 дальнейшем через Pi обозначим подгруппу,порядок которой равен 1$1~Ре .Так как G -абслеьа группа,тс- G-P-t*Pz*--xR,т.ё. 6 прямое произведение сидовских подгрупп.гто невозможно в силу неразло- жимости группы, ч. т. д. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫ АБЕЛЕВЫ ГРУПП ТЕОРЕМА 51. Каждая конечная абелева группа,отличная от единичной группы,раз латается в прямое произведение примарних циклических неединичных подгрупп.В любых двух таких разложениях: число множителей одинаково,т.е. K-t ,а сами мнодители пояарно изоморфны,?, е, при подходящей нумерации E^-Ai,Pi=A1__ FtrsAK. Определение. В теореме,если ,то порядки множителей являются
68 | :тепенями простые, чисел.Если обозначим lEt-pi ,гяе рг -простое чис- Ljc, Е-<О.г> г^с система чисел pGpG-~>p*' называется Г:истемой инвариантов группы G и из теоремы 51 следует,что инвари- анты не зависят от слов оба разложения группы G .Множество элементов /т.е.образующие подгрупп Е>,—,Е .навивается базисом группы G ро теореме 48 каждый элемент Л€ С единственным об- сазом записывается в виде; л>и,Иг.. к* . Доказательство: Вначале докажем разложимость группы G .Доказательство ведем ин- дукцией по порядку. Пусть Ivi-p*pi "Р* .где p'^- ^pt -различные прос- тые числа и Рассмотрим случаи,коВдя и /'*/. Г) £>/ .По теореме Силова в группе существуют подгруппы L ft порядка р^>--'}р^ .Тогда № р Так как [PcKlGl .то для подгруппы Pi теорема верна по индукции,s.e. Р - разлагаются в прямое произведение примарных циклических подгрупп» Подставив их разложение в (*) пол учим, что и G гизлагается в прямое произведение примерных циклических групп. f 2) ,т.е. G примерная группа.Пусть А - циклическая подгруппа наибольшего порядка группы С .Тогда по теореме 49 Q-xzA*b .Если теорема доказана и число множителей з разложении равно I. Если ,то и по ивдукпии Ь раз- лагаетея в прямое произведение примагных циклических групп. Подставив е^о в G~A*P) ,получим разложение группы, G. Разложимость доказана'' Докажем ивоморФизм етях разложений.Итак,мн имеем некоторое раз- оженче .Рассмотрим два случая: a) G _ примарная rnvrna ; б) целится не менее, чем на .два различных простых числа. а)йусть lFil=p ?так как группа абелева,то можно множители
69 разложения запасать в таком виде,что ЕХЛ.и.. (**) I Рассмотрим следующее множество: Q(GHxl xcQ, А} -8ТС мисаесгли нлементав груп- пы Ь .порядок которых ра^ен р Покажем, что Q-(G) -группа. В то .либо 1. мнокество не пусто(следует и® 1 I теоремы Кока}. ~ Пусть х,^ е . ВЫЧИСЛИМ! (перестановка возмонна из-sa абелевости). Тогда ayfi Q , По теореме 3, QiS) - группа. Установим спра- ведливость следующего равенства! где Qlfcix^F^e] , Пусть xgQ(G)! тогда я силу раз- ложения (и) х~х,х1...хк г г.це xcG.Fi. Ito определению Q(G) , XP—fL , с другой стороны, возводя в сте- р р р р р с пень, подучим: *-X^Xt... хк е mas KaJ. Xc&F , то т.к. Ft - подгруида,содеркащая каядук степень ьлементе.то есть имеем: Ввиду теоремы 48, в . Отсюда xceFl(F)f т.е. ш показали, что 12 (G) е О. (F) *12 (Рг)у-• • * 12 (F). С/^ А" Покажем обратное включение. Пусть x~XtXL...XK) •, тогда x'FlX'Xi-Xb'F z’xF. Х^х^х^...х^е.е:..е^е. Получим, что Хр-(? „ т.е. всякий алемент имеет порядок Значит, в разлонении (I) включение показано в обе стороны, т.е.
- 70 - 4 разложение (I) справедливо. 3 разложении (I) подгруппа /7 цикли- ческая, поэтому и циклическая (как подгруппа циклической группы). Ее порядок равен р , ибо она образована из элементов, порядок которых равен 1 или р . Итак: Тогда из разложения (1) получаем, что l-QcG/l-P- Пусть дано теперь другое разложение: G=At*At*-- *Ае • По только что доказанному, &(G)hp , отсюда . Исак, мы показали, что число множителей в любых двух разложениях группы G одинаково. Остается показать, что при некоторой нумерации множители нтих разложений попарно изоморфны. Пусть даны два разло- жения: 6-/Гх4х---хАр*АхАу---М/г • . если i^i=yOK ,тс l/j-нДгН/5 , а Значит, они изоморфны как циклические группа одинакового порядка. Пусть lGl>p . Обозначим iFil—p^ , В силу условия (их) имеем, что Е„>7 , Теперь можно записать усло- вие: _ _ _ 82^_.. > ~ '> где IV - наименьний индекс, для которого Е».^ / . Рассмотрим множество: 1х£&} (множество уО-тых степеней влементов группы G '}. Покажем, что V(G) - группа. XPf=(X4fcU(fy По теореме 3 V(G) - группа. Покажем, что UTtfJ-Пусть XG G , в силу (ж) Х-Х^Х-Х* где Х(£р-£ . Отсюда: Xe-XfXp...X^X^XP,..ЗС^, , откуда следует, что ~C(G) принадле- ая правой части (2). И так как Xf,xF- J^fax^-.X,») , то правая часть (2) принад- лежит TJ(G), • Посмотрел, каковы же порядки элементов в разложе- нии (2). Мы обозначим р ' , Кроме того, А - цякличес-
кая группа, следовательно, , тогда \</>i>\=p ( Рр— С для и,яя <&> ). Но 4₽е XJ(F£) . Отсюда I ~U(F)\-p В Пусть Z удаывая П предыдущее: XJ(G)~ TF(F)XU(F)*---* ZftF,}- UfA^IFfA^.-^UfAs)<**> ’• Так как lUiGlM то по индукции теорема для и- i полняется. Поэтому в разложении («) имеем, что tv-^S . Отсюда вы- текает, что |7T(/?J|=V(Ai). для i~ 1,2.,. ..,/П ,но lFih=p.\'U(Fi)lt ]Ау=р- 1&(Л)1 Но так как ТО F/^iAd Но цикли— |ф ческие группы А и F дного и того не порядка -изоморфны,!, е. - Zi=A i-1,z..., ,т.е. теорема в этом случае верна, рОбщий случай: G -неприыарная группа.Пусть Gi^p,pj,p£ ре -простое число,Пусть имеем два разложения: Б силу абелевости группы £ эти множители- можно представить так, что сначала будут стоять множители,порядки которых есть степень прос- • того числа р< .Произведение этих подгрупп будет Pi -силовская р.-подгруппа группа G ,т.е. получим,что: /?=^х/£х- - • х/Р^А-х Ал - • *А. но мы показали,что для примерных подгрупп теорема справедлива. Ь Поэтому t-S , FP^Ai , .Аналогично,собирая множители,поряд- В ки которых есть степень рг. я так далее p-i ,мы покажем,что в двух ж различных разложениях число pi-подгрупп будет одинаково и они по- В парне изоморфна ( для любого ),ч. т,д. Ж ТЕОРЕМА 52 ( РЕЧАКА. -ВУНДТА) ;Р Пусть G-группа с конечной цепью {если группа представима Я двумя способами ® виде прямого произведения неразложимых подгрупп: Ж G"F1YFiY--~'lFK-A/A^...}cAe >Ео К=А и множители попагно Я центрально изоморфны. И в каждом произведении каждый множитель чожет ! Я быть заменен некоторым центрально изоморфным множителем из другого К‘ произведения.
72 Определение. Группа G называется группой с конечной цепью, если любая убывающая цепочка инвариантных подгрупп заканчивается единичной груп- пой: Определение. Если / - изоморфизм группы F на Н ,где F в Н - некоторые подгруппы группы G ,то втот изоморфизм называется цент- ральным, если из /а-*/ следует, что a^dx. .где х £.<£(&) Теореде '52 обобщает фундаментальную теорему (вторую ее часть) на случай неабелевих групп (необязательно конечных). НИЛЫГОТЕНТНУЕ ГРУППЕ Filpote.nl в переводе означает "нулевая степень". Определение. Конечная группа G называется нильпотентной,если она удовлет- воряет одному из следующих равносильных условий: I) G разлагается в прямое произведение своих силовских под- групп • G-R^-^. 2)Каждая силовсхая подгруппа группы G инвариантна. Из (I) следует (2) (очевидно) Из (2) следует (I) на основании теорема 28. \Gi=pfa--pr> G~PxPbY-- YPK .где d&0, pi -простое число, p^Pj при 4^4 Из определения следует,что Е-[е] -нильпотентная группа. ТЕОРЕМ 53. Каждая подгруппа и бактор-группа конечной нильпотентной группы также нвлвдотентна.Прямое произведение конечного числа нильпотент- ных групп снова групп снова нилыотентно. Иначе, класс нильпотентных групп замкнут относительно подгрупп,фактор-групп к конечных прямых
- 73 - Произведений. Доказательство. I. Пусть Ь - конечная нильпотентная группа. Рассмотрим про- извольную подгруппу группы G : . Пусть р - простой делитель /М . Обозначим через /? - садовскую Р - СИЛОВСКуЮ р -подгруппу из Н ^0-подгруппу из G По условию: P^G * по теореме Силова pQ-P реме 44). Если рассмотреть пересечение Р(уР~Р, t Р ^ozvpyttiiy. С другой стороны HnPsPi (т.к. Р~ силовская в Н . Значит, более широкой t быть не может, т.е. Значит, НпР-Р Значит, для V простого числа р Н инвариантна. Значит, доказана нильпотентность // . II. Пусть K<G . Рассмотрим шактор-группу G/K \G/P\~1 , то она нильпотентна. Пусть Р - силовская группа группы G , по теореме 42, РК/К - силовская группа G/K . По условию Р< G , K<G , Значит. / „ РКМ'К , т.е. любая силовская р -подгруппа фактор- группы инвариантна в G/K III. ~ конечные нильпотентные группы. Пусть Г- G^G^-rGt , нукно доказать, что группа /** нильпотентна. (либо по тео- то получки р -подгруппы 7.10 ЛЖИ О . Но быть инвариантно е Pt - силовская . Значит, кажая окловскгя Н по теореме 39. р -подгруппа Н подгруппа . Если р-под- 79 -под- Рассмотрим случай при ^«2 . возьмем произвольный простой дели- тель р к подгруппу Р ~ соовскую р -подгруппу ИЗ Gt , Р- силовскую р -подгруппу ИЗ G* , Bbjkv нильпотентности и'верестанозочисстЕ элементов получим: Р.<Г, W .3333»
-ЧП - Заметим, что rfer,/* - силовская о -подгоуппа группы G , т.н. ir^lGj lGjflPl=lP.l lPjf р,п(У={е} ' , значит, порядок Р - есть наивысшая степень р , делящая I Г/ , ч.т.д. ТКОРЗУА 54- Неединичная конечная нильпотентная группа обладает неединич- ным центром. До к а за т ель ство: Пусть I &I > 1 и I простое число, группа __ 6 Qspxpl , гге По cBQj|cgBg прямого произведения. вочны. Значит, Z(PjgZ(G) s . Таким образом, достаточно доказать,4что G - нильпотентная группа. Пусть р - • записывается в виде произведения - силовская р -подгруппа из G , элементы из рн перестаю- ^Езли Х6&Р) . то отличен от единичной подгруппы. Рассмотрим.совокупность классов сопряженных элементов группы Р : 1 С,44, С„....Ст. Обозначим число элементов в I -том классе через . Так как все сопряженные елементы исчерпывает группу Р , то Если Xi - представитель <- -того класса, тс по теореме 19 *-.«»• 1СД4Р:Л/еМ\-р''. Значит, t —фл; 4 ft еатъ <жепов» часта р , отсила следует что для IzS^fn , lGsl-7 . т.е. Cs~{Xtp xt инва- риантен, т.е, х,е<^,(Р) * значит, , Ч.Т.д. ТЕСРЕЙА 55. В конечной нильпотентной группе каждая подгруппа, не совпада- ющая со всей группой, отлична от- своего нормализатора.
- 75 - доказательство: Доказательство .ведется индукцией по порядку группы. Пусть Q - конечная нильпотентная группа, H<=-G (подгруппа). М*£. По теореме 54, . Возможны два случая; I) * тогда ,члл. 2) Ж?е//. Рассмотрим Фактор-группу 6/Z(G)^=>Н/'%.(&) о д> индукция, теорема для фактор-группы верна, т.е. найдется такой неэдиначный слемевт эс£(&) , которая перестановочен: (xX(G))(hl/jG(G)}~ . Отсюда: (хЛG))(/Mj)-= (4Z/Q/zI(G)\ k}h,el/ Последнее равенство ввиду ассоциативности X A l(G]i(G)^k X <£(G>) Z(Q), хА Z(G}~ /1.Х Z(G), i, XAz - h. XX,; xzx, & Z(G). бдемеиты Так как Хе// мент-ы // , то - инвариантны, значит, , то f i‘.e. . Если также пробегает эсе/\/6(/-/} h пробегает все але- ьса группу // . По'етому Все проделанное сводилось ь тому, чтобы показать, что Определение. KycTi G - аеединичная группа к пусть - такая под- группа группа G , которая ке содераится на в какой другой под- группе. стлачной от G . Тогда называется максимальной
- 76 - подгруппой. Максимальная подгруппа единичной группы - есть она са- ма. Из определения максимальной подгруппы следует, что она либо инвариантна, либо совпадает со своим нормализатором. ТЕОРЕМА 56. (О.В. Щивдт) Конечная группа нильпотентна тогда и только тогда, когда каж- дая ее максимальная подгруппа инвариантна. Доказательство. Необходимость I) Если G - нильпотентна, то по теореме 55 ее каждая макси- мальная подгруппа инвариантна. Достаточность 2) Пусть в конечной группе G каждая максимальная подгруппа инвариантна. Пусть |6/>/ , Пусть р - простое число,делящее iGl Возьмем Р -силовскую ^-подгруппу. Рассмотрим нормализатор. (р[ - максимальная подгруппа). По условию ЛНС , а по теореме 43 зто невозможно. Значит, наше допущение, что ^(P)^rG неверно, и остается, что Роб Определение. Ряд подгрупп E~Go~ Gt~G/ t~b-1 называется центральным рядом группы G , которая необязательно конечна,если все подгруппы этого ряда - инвариантны в G и Gi«/G>c=EL(G/G^ для ТЕОРЕМА 57. Конечная группа нильпотентна тогда и только тогда, когда она обладает центральным рядом. Доказательство. Необходимость Пусть группа G нильпотентна.По теореме 54 £[G)*lz. Мы считаем,что G^E .Положим G„—E> Gi—,£.(&) .в фактор-труп пе G/G. рассмотрим центр и обозначим %(G/Gj^
п jL (G/G^ -~Gb/Gz, Д. ( G/Gj - G^ /Gt подгрупп: с-Оо^о^-ч,— G (по теореме 54). Получили централь- . Она Н!.'Й Кто Получим последовательность обязательно дойдет до ряд.(кто видно по построении) Достаточность Пусть группа G обладает централ!ним рядом: E^G^G^-GrG. ы значит: Gtu/'GtQ P(G/G^t 1^0,.. .,^ "! Покажем,ччо группа G нилытотентна.Доказательство проведем индукцией по £ .Рассмотрим G/G^ и ее р<щ: G^/Gi-Gl_/G^~---<^Gi/G1=G/G1 нужно ный ряд. Применим теоремы об изоморфизме: показать,что ато централь- J функцией f- GM/GC qG/G (Использовали теорему Ji 36). Изоморфизм осуществляется одной и той же у: acG,) (Gt/G,)-^^ Gt. По теореме 47, Значит, G/Gi -нильпотентна.Пусть г -силовская ^О-яодгруп- па группы G ; по теореме 42, PG./G, группы Q/G. А так -силовская подгруппа G/G нильпотентиа, то PG/G^G/G .по теореме 35 PG<G. По условию 64Если рассмотреть ,т.к. G^^(G) .значит, P^PGt^G .Возьмем любой и прстрансформируем: .Теперь легкс как -ра
7 3 залетЕг’ь.что х Рх=г >звачжР> P^G (все садовские подгруппы инвариантны) ; значит,группа G нильпотентне.ч.т.д. ТЕОРЕМА 56. Конечная нильпотентная группа обладает инвариантной подгруппой любого возыижного порядка. Локазател ьство. Пусть G -конечная нильпотентная группа, * .пусть й любой делитель I.Gl . Докажем,что в G существует инвариантная под- группа порядка <3- . (Не является единичной подгруппой). Центр состоит из инвариантных елементсв. Возьмем подгруппу Р ,где lPl—р -простое число, Pc 1(G) (эту подгруппу можно найти пс теореме Силова). P^G (т.к.она входит в центр). Возможны два случая: I) /э/а. По индукции G/Р содержит инвариантную подгруппу А/P поряд- ка о./р .тогда A<G, 2) р^& .Рассмотрим группу G/Р дао индукции имеем инва- риантную подгруппу F/P порядка ,т.е. F<GJ По теореме 53 подгруппа F нильпотентна. Значит, P*P*At (lPl,lAl)=7 получаем: lAl~a, А<РА<G.Х'АХ *Х’'РА*~РА, значит, .ХГ'Ах^А по теореме 44 относительно FjA ; значит Д<б> ,ч.т.д. Теорема 59. В конечной нильпотентной группе каждая инвариантная подгруппа простого порядка содержится в центре всей группы. Доказательство. пусть G -конечная нильпотентная группа, P<G, fPFp -прос- тое «исло.Так хак нильпотентна,то Если ,то по индукции (ансжнтели
79 прямого произведения поэлементно перестановочны). Включение следует и:- того,что Р~«Л> _ цивд,йЧеекея группа,если возьмем /^(а)^ o-cZ(G). Пусть__i~1 ,т.е. G -группа и lGl-р .Пусть С - класс со- пряженных элементов с Л , C-fa &х1хб£] .ввиду инвариантности С-Р Число элементов: lCl~lG-(по теореме 19).Т.к. \Gl~p t^o lQ~p* tp-О .Если предположить,что ^><? то Р содержит 1С1-р* влементов, значит, 1+р >-р. Получили противоречие.Значит ^0 .Тогда /P&(a)**Gf GlgZ(G). Бели элемент из центра,то все его степени также входят в центр,т.е. P=<Q>SZ^ ,ч.т.я. ОПРЕДЕЛЕН® Пусть G - произвольная группа. Положим ZO(G)~E, &(G)=ZtG), (G)/Z lG)^^(G/^(G)l... Получили последовательность: ZpG)/^(G^Z(G/^(Gd) ; ^(fy/ZjG) ^Z(G/Z(G)) -получили последовательность цент Z) .. gZjG) ~.. центральной цепью группы G . ров -эта цепочка называется верхней Спределим цепочку подгрупп: -нияияя центральная цепь -коммутант, ZfG^LG.Gl-G' rjG^LG'KG)] -взаимный коммутант. Напомним: 'С^^/^й-бД^^-взаииик коммутант групп /} и S Лемма О: L А,
80 Леши 1. Пусть Л и b -инвариантные подгруппу группы 6 tтогда (4,/faG Доказательство: Если йеА? ,то справедлива формула: ~LxxX,x бх.] .Причем из инвариантности А к в подучаем, чте хЪ.х&А, х'кхе& Отсюда следует,что множество I аеА,Дев] является инвариантным по теореме 25,ввиду инвариантности,имеем: [А^З^С ,ч. т.д. Отсюда .тогда следует,что нижняя центральная иепь состоит из инвариантнннх подгрупп Лемма 2. Пусть Н/К^&Ж .Тогда и тол1ко тогда /7/AeZr^/4).когда iGfaK Дока затель ст в о. H/K^EfG/K) (1).Если :(2) h£k, хс-6 и рассмотреть: из) X'A'"xh= [x,h] о) Е'КхК^хКА'К, (5) h',xK'Xh',Ki (б) x'fr'xlk/т'/ЕКк Г?) X’^k'xhk^K (8) lx,hle/( C9) 16, hl J & К Обратное утверждение следует доказать обратно: (9)-(Р)~.. Еще она нам нужна для тоге,что показать,что G(G)/hi„(G)&i(G/G^(G)), Действительно, Q.(G)=lG /1(6)]; и результат следует из леммы 2. ТЕОРЕМА 60. Пусть дан центральный ряд Е~Ав'=А,--- ^Аг6 конечной ниль- потентной группа G .тогда: А^£(6) для лкЗсгс члена i .умножим справа на h * и учтем hK=Kh, , тогда с верхней центральной цепи. аоказательствс-гиндукдяей по номеру. Обозначим г ,т.к. Z, -центр группы,а Ач содерьится в центре всей группы.Пусть доказано:
Докажем,что ' >л.< ~ *-»>»•’ • Для этого раснмотрим: 4.XA-M-£Z|'6/'V Возьмем ле А,,..,, Ап„/Ап- £(С/Ап) -по условии,а ото значит,что умножим на £п (G) ; й^п(С^^а^(С), (ain(G})(^Z„(Gj)~(^J^(a^(Gl Отсюда d£n(G) £j?(G/jG (G))- lG)/jGn (G). ТЕ0РЕЖ 61. Пуеть дан центральный ряд: Ь=м,-и»'С конечной, нильпотентной группы.Тогда £(G)^Gif Доказательство:индукцией по номеру. Аля простоты обозначим fl(G)=fi .Имеем: что имеем £&&п,1Гьо .Покажем: тору центрального ряда: Gn /G„„ G/GniJ по лемме 2} [G,Gn]£ GM< .Заметим: [Gt GnT, r-K. G~Gn Ho tno3mo»y tGllll=r^f^G^t Ч.ПТ&. -b .Предполоаим, . Обратимся к фак- ТЕОРЕМА 62. Пусть G -конечная нильпотентная группа.Тогда для некоторого неотрицательного целого числа С имеет место: £^<>(G)c=Z(G.)c...c^(G^Gj G=G(G)=>G(G)^>.-.^=>Гс (G)-=E. Другими словами,верхний и нижний центральные ряды имеют одну к ту же длину С , которая называется классом или ступенью нильпотентнос- ти группы G .Теорема 62 -есть следствие теорем 60 и 61. ’Доказательство. ( По теореме 60, 2-K(G)~G ъяъ некоторого #{". По теореме &s G,(G)-E для некоторого ГП. Ети ряды коняаются либо £ ,либо G .Кроме того,каждый ряд огт-аявчен длиной централ! ноге ряда,а так как оба (верхний и ницний)-
62 центральны и длина какдого ограничена длиной другого,тс их длины сов- падают,ч.т.д. Определ ение. Группа G (необязательно конечнаяНазывается нильпотентной,если она обладает централ!ним рядом конечной длины. РЯДЫ ПОДГРУПП Пусть имеем ряд подгрупп,т.е.последовательность вложенных друг в друга подгрупп: G = Ga G< — • • • — ~ Е. t -длина ряда? iG^ G£| -иидекся1 ряда, С- 12, Этот ряд называется: 1)инвариантным,если Gz<G для V с~ ‘С?,--/? 2)субинвариантным или субнормальным, если Gt 41 Gi~ факторы Gi-ifGi называются факторами ряда. 3)рядом без повторений,если все его члены различны,т.е. G= Ge=> &,=>=> Gt~ Ё ' Всякий инвариантный ряд будет субинвариантным. Определение. Ряд G-Go=>G,=>_z>G^E называется кониозип ионным, если он является субинвариантным и для УI- выполняется одно из следующих двух равносильных условий: I) /Gi -простая группа, 2)между и G; нельзя вставить ни одной подгруппы инвариант НОЙ В G(^1 Спре деление. Ряд. G~ G^G,^... ^Gt^E называется главным,если он являет- ся инвариантным рядом и для Vвыполняется следую- щее условие !)мевду s G>i нельзя вставить ни одной подгруппы// чтобы ВЫПОЛНЯЛОСЬ (5. О //ЪGi, H<G
83 факторы глг-вниРо ряда называются главными Факторами.Факторы компози- ционниго ряда называются к-эжозивионными ггакторамк группы. Есл и G - Ё. , т о р кд ЕзЕ считается кошозиционнам и главным. Р АЗРЕЙИМРЕ ГРУППЫ G -коммутант группы G ила первая производная Группы fG2 -G -коммутант от коммутанта производной группы G или называется второй (fi*“fl - коммутант или (п^У-я пос взводная груп- Определение. Группа G называется разрешимой,если для некоторого натураль- ного числа / G-E ,т.е.ряд коммутантов Заканчивается единич- но» подгруппой: G-G^Gs...G .Наименьшее 't'ZCi .для кото- рого 6'== Е .называется производной данной группы G. По лемме G‘<G ТЕОРЕМА 63. Подгруппа и фактор-группа конечной разрешимой группы разрешимы. ^&казвре.ё1ство: -разрешимая группа.Рассмотрим G/К .По тессеме 46 (GK(G ) .кми гомоморфизм ifiG-^G/K .тогда по теопеме 46 при зтом гомоморфизме / -.G'-^G'K/IE (GfK)' По Te(,DP„P У. G^K/К^КГ р 4б‘ Е^Ё"К/'К^К)"К/К. vTH0CHTe«bHC ffiar ’i ир-группь- теорема доказана: G/EзСд/Лз-.. Рустъ И.Типа бё ёёИаГУ1аШ-
Еслк G-Е ,то HqG-E „значит A/=£" ,ч.т.д. лемма. Пусть G - конечная группа. Тогда: Всякий субнормальный ряд без повторений может быть уплотнен до композиционного ряда. Каждый инвариантный ряд без повторений может быть уплотнен де главного ряда. Доказательство. Пусть G^G,^--- =>G<~E _ субнормальный. Если он не ком- позиционный, то вставляем G{QH^Gi^ . Вставляем до тех пор, пока ето возможно. Аналогично для главного. ТЕОРЕМА 64. Конечная группа разрешима тогда и только тогда, когда она обладает композиционным рядом, факторы которого являются абелевы- ми группами простого порядка. 4 Доказательство. Необходимость. Пусть G разрешима, G-G'^.^G-E - произ- водный ряд, где каждый член его - коммутант предыдущего. Если рас- смотреть Факторы этого ряда (по теореме 47 они будут абелевыми), (<-4//- <1> О / 6 - абелевые фактор-группы. Допустим, что удалось вставить подгруппу так, что H<G , Q1 • и тогда, С УН-G 7G/H/G'’ - абелева группа. Кроме чего, Е/G абелева, т.н. входят в абелевув группу. От- сюда получаем, что при уплотнении произвольного ряда получаем ряд по- с абелевыми факторами, j-то производим до того момента, пока у лученного ряде все факторы будут простыми, т.е. все абелевые Фак- торы будут иметь простой порядок.
- 85 - ЖТАТС'ЧНССТЪ. Пусть дан К0МП08ЕЦИ0НЕНЙ ряд G-G^G, ->--'Э&пгЕ с просты- ми абелевыми Факторами. Но теореме <7 отсюда вытекает, что GgQ, , дальше, 6,/^ - абелева, следовательно, ‘ поэтому получаем, чтс G . Продолжая зтот про- цесс, получаем, чтс С Ч G.-£ , а ото означает разрешимость группы, ч.т.д. > ТЕОРЕМА 65. Следующие условия эквивалентны для конечной группы G : I) G разрешима; 2) G обладает инвариантным рядом с абелевыми факторами ; 3) G обладает субинзариантным рядом с абелевыми факторами. Доказательство. I) 2) ~ ”о определению ряда коммутантов; из 2) => 3), т.к. всякий инвариантный ряд есть субинвариантный. Из 3) I). Пусть дан ряд G-Go-3---^G^G „ субинвариантный ряд с абелевыми факторами. Уплотнив его до композиционного. Получим, что композиционный ряд имеет простые абелевые факторы, а по теореме 64 группа разрешима, ч.т.д. ТЕОРЕМА бб. Пусть А/ - инвариантная подгруппа конечной группы G , Ес- ли Н й G/M разрешит®, то и G разрешима. Следствие: Прямое произведение конечных разрешимых групп также разрешимо. Дока зат ел ьство. Пусть G/H-Gc/H^-- ~3Сп,/Н"Н/Н композиционный ряд для G/H , iG,,/H:G;/Hl - простые числа. Тогда |6^_, >‘Gj - простое число, т.к. он равен предыдущему. Если Рассмотреть цепочку G=Ga->.. .^С^-Н , то ее индексы прое-
- 86 - тие числе. К атой пени прибавим композиционный ряд группы И , Группа разрешима. Доказательство (следствия). Если Г=0^С>г. г где G, , &г - разрешима. рассмотрим G/G-Gb (по теореме об изоморфизме). Применяем доказанную те- орем» 66 и получаем требуемое, ч.т.д. Нильпотентные конечные группы разрешимы (теорема 65). ТЕОРЕМА 67. В конечной разрешимой группе индексы максимальных подгрупп я) являются степенями простых чисел. Доказательство. Пусть А! - максимальная подгруппа конечной разрешимой груп- пы G . Пусть К - предпоследний * £ член главного ряда груп- пы G Считаем, что G^E . G^К^Е - главный ряд. По теореме 65 - существует главный ряд’с абелевыми факторами, значит, можно считать, что К абелева. Более того: lK\t°p , р - простое (доказательство дальше идет по индукции). Определение. Ssa субнормальных ряда группы G называются изоморфными: ё'6. = 6^2- ' если длины их одинаковы, т.е. <в/И , и между их факторами модно установить взаимно-однозначное соответствие таким образом, чтобы соответствующие факторы при атом были изоморфны. Пояснения об установлении взаимно-однозначного соответствия и) Подгруппа /1 неединичной группы G называется максималь- ней, если G и /М не содержится нк з какой другой подгруппе, отличной от G . Считают, чтс £ ~ единственная максимальная подгруппа единичной группы Е . '
(не имеется в виду соответствие между одинаковыми номерами): I и К пробегают в разных направлениях (при некоторой подста- новке номеров факторы с соответствующие номерами изоморфны). ТЕОРЕМА 68 (Эордан-Гельдер). Любые два композиционных ряда конечной группы изоморфна. Любые два глазных ряда конечной группы - изоморфны. Условие конечности группы не обязательно. Его мояше ослабить. В частности определить конечный инвариантный ряд без уплотнения ин- вариантные подгруппами, т.е. главный ряд уже произвольной группы. И з этом случае теорема будет также верна. Следствие I. Каждый главный ©актор разрешимой конечной группы, есть абеле- ва группа, порядок которой есть степень простого числа. По теореме 65 группа G , если она разрешима, обладает глав- ным рядом G=Go -^G,- таким, что Gi-t /Gi r - абелева. Такой ряд можно пслучить уплотнением ряда коммутантов. По теореме 68 зев главные ряды будут обладать такта же свойствами: факторы являются абелевыми и порядок каждого из них есть степень простого числа. Следствие 2. КоыиозкциснЕые факторы конечной разрешимой группы имеют прос- тые порядки (т.е.- будут циклическими группами простого порядка). ПОДГРУППА. ФРАТТИНИ Сете,деление: Подгруппой Фраттича группы G называется пересечение всех
- 88 - ее максимальных подгрупп и обозначается Ф(С). По определению имеем, что 4>i£)=E ; если ае G-^E ,то Определение. Элемент «^G называется необразувадм элементом, если при выбрасывании его из любой система образующих группы G , мы снова получаем систему образуадх группы G . Если выполняется такое равенство: тс выполняется и такое некоторое множество влементов, группы Теорема 69. Если конечная группа G*E необразующих элементов Доказательство. Пусть G*E , то Ж; состоит из всех пусть Gf - необразукадй элемент, Предпозо- 1л е 9(G) . Отсюда найдется такая максимальная подгруп- ЧТО 1А б/Ч гим, что га Л1 , что UfiAl . Рассмотрим порождение! <Л«> /И , так как и ке входит в /1 . Значит, зуемся тем, что ц - необразующий. Противоречие, так <Дц>«<Л1Ж=Л , она больше . ВС СПС ЛЬ' как ig-f Обратно. Пусть поканем, что X - необразующий элемент. -Предположим, что X не является найдется множество элементов Т <T^H*G Заключим А/ в максимальную а . й множество влементов TsT/s/l (по построение). . Противоречие, доказывает теорему. необразующим. Это значит, что такое, что подгруппу , но г Цкё «ё Отсюда: Следствие. Если конечная группа c-де , e>sW) . 5» а & - подгруппы.
- 89 - Jsm№ 70 (токдесгьс- Дедекинда). Пусть Д , В) П С - подгруппы ГРУППЕ G . Если А^б и А перестановочна с С , т.е. АОСА s то А(8лС)~ВлАС. До казателъство. Любой элемент ЛёА(ВпС) записывается в виде: Х—&8> ,где аеА, &&&(}£, ; так. как Q€=A , значит, А). С другой стороны: Х-^Л^еАС t тогда X ёЕпАС Аналогично обратное: ХёВ^АС^^ЛС, йе/1, СёС^—о. XG.AqC. Следствие: пусть группа G-l^A/ , Л и // - подгруппы и пусть .тогда Н записывается в виде Следствие выполняется ввиду правила: Ле//, МЖ-т-6; раскрывая скобки. СВОЙСТВА ПОДГРУППЫ ФРАТТИНИ Теорема 71. Пусть K-G.C, - конечная группа. Тогда <P(G)K//te V(G/K). Кроме того, если /ГеШ , то (P(G)/K~V(G/K)f До ка заг= ел ьство: Предположим, что раится хотя бы в одной максимальная W/K^W/K) , это значит что не сс-де- максииальиой гпуппе, т.е. в G/К есть ы из G. . е. в G/K такая, что <РМ$МЖ . Л - подгруппа подгруппа , то максимальная Так как допущению Ф^К/К^М/К !(<=$(&) н Я,-.Л , то Е <Р(С)КяМ , a это противоречит Если дополнительно потребовать чтобы - все жксимальние подгруппы группы G - все максимальные подгруппы G/B" /соответствие между подгруппами группы и подгруппами фактор-группа). Поэтому их пересечеиие /1Л/Л'-,ЛАмА'=«-ьМ , ч.т.д.
- 90 Лемма 72 (Фраттини). Пусть К - инвариантная подгруппа конечной группы G . Тог- да для любой силовской подгруппы щее равенство: f^iPiiaG. выполняется следую- До хаэат as ъста о Пусть (по определению инвариантности К Теперь Р* - силовская подгруппа в Р - сопряжены в . кто значит, что ; вто ассмстрим сопряженную подгруппу Jf'/ x-r^=i\ содержит все сопряженные). К . По теореме Сизова: Р , найдется такой элемент К&Р , или подробно А""Р*к= рХК >иди (хк),Р(х^=Р> а это значит, чтс Х.К &hpPj , и тогда Х^РрР) К' следует из того, что Х1(^Г1£:/‘/^(Р)) Х-ПК , go X - произвольный элемент,тогда G^PpPiK. Сбратное заключение очевидно, поэтому G-PpPK ТЕОРЕМА 73. ч.т.д. Подгруппа Фраттинй конечной группы нильпотентна. Доказательство. Обозначим это можно выразить так: максимальные подгруппы группы С? , тогда подгруппы. Оледовательяо: . Отсюда вытекает, что подгруппа (по теореме 24). Предположим, что /Г не Р~ силовская подгруппа из К такая, что PC(P)^G, - иаксимальи&е Фраттини пжьпотентна, По лемме Фраттини группа G записывается в виде: Полученное противоречие с допущением доказывает теорему, ч.т.д. ТЕОРЕМА 74. Пусгв G - конечная группа в имеется цепочка подгрупп:
- 91 - . Если К/Я ноьпотентна# то И g <£У < С? К нильпотентна. Доказательство. Предположим, что К ненильпотентна, тогда в ней имеется Р~ неинвариантная силовская подгруппа из К . Теперь: P2V&I- силовская подгруппа в группе А7«0 , iPl^p* , Лс условию, . Если силовская ^-подгруппа инвариантна в группе, то все садовские р- подгруппы совпадает-, и тогда сущес- твует единственная силовская р-подгруппа. Все силовские под- группы сопряжены с ней и инвариантна, т.е. Р£)/£) - единствен- ная силовская подгруппа. Из того, что G/& следует, что PS/S<G/S . Ст с еда следует P2)<>G , где Р - силовская и в PS). Применим лемму 72, по ней имеем: теперь РсЛ£(Р/ , тогда (по теореме 69), ч.т.д. Следствие. Если £)<£, ЧЩ Q/£) нильпотентна,то и нильпотентна. Следствие получается из теоремы, если положить ТЕОРЕМА 75. .то (P(K)QW)(G-^ey ( КСЕечна)> Если До казат ел ьство. <0/ , зто Р\ такая, что что И'Мт® G Обозначим . Предположим, что означает что найдется максимальная подгруппа P№~G , где , Отсюда вытекает, . По лемме 70: К-£) , по следствию теоремы: 69: К-КпР^ , т.е. PqP , а значит и ное противоречие доказывает теорему. т. к. Получен- Определение. Пусть группа записывается в виде GKGi®Gfi--®G>K
- 92 - Пусть гт£/ . Тогда каждый эдеме!» п из Н есть упорядочен- ная последовательность: . Введем отоб- ражение: ^fc'-. 5тс отображение 0- зазывается проекцией подгруппы Н на C?t- . <та проекция будет гомоморфиз- мом. Если образ ^'= &£- для ИI- 1,1,-jK s ю X/ называет- ся подпрямнм произведением групп &*• Пример: Возьмем r=G®G - квадрат группы G , возьмем подгруппу А/ , которая состоит из пар одинаковых элементов: t G} . Подгруппа X/ называется диагональю квад- рата G® G . Считаем, что G^ Е . Нетрудно видеть, что А/ и есть подпрямое произведение, причем f~HT , также прямое произведение Г содержит пары различных элементов, не попадаю- щие з И Определение. Пусть /^ЛлА;*—хАг- П^сгпк 1 и 20гда ' ®®e®eM проекцию /<.-•’ подпрямое произведение, если ТЕОРЕМА 76 (Рекак). пусть A4Z /4, - -•, Ни 2)-П Н . Тогда G/S) ; тогда И - инвариантные подгруппы группы изоморфна подпрямому произведению групп: с А СА-, Доказательство: Рассмотрим отображение тогда - гомоморфизм, if! G—,G/H,®'--®G/Hk . Если t то это возможно тогда, когда произведение есть произведение единиц, е Go
- 93 - Тогда т.е. пересечение всех GG . По тзореме 34, GfKest (/= G/£)^ F^fG/Fl,®---® G/FK) , где F-hf Есле бра«ь проекции на образы, то и получим, что внешнее прямое произведение содержит подпрямее произведение F , ч.т. д. ТЕОРЕМА 77 (Вилавдт), Конечная группа & нильпотентна тогда и только тогда,ког- да ее коммутант содержится в подгруппе <P(G) т.е. Gq Ф(6). Доказательство. Достаточность. Допустим: P(G) , тогда по теореме ifi G/<M) абелева, а значит, и нильпотентна. Тогда по теореме 74 группа 6 нильпотеи- тна. Необходимость. Допустим: G нильпотентна. По теореме 56, Мк максимальные подгруппы - не совпадают с нормализатором и тогда: Fi^Gj V L Тогда фактор-группа G/Fi должна иметь прос- той порядок. Е«о связано с тем, что если бы порядок был непростой - то по теореме 40 G /Fl( H/Ftc* G-)H~>Fi. Значит, \GfFt\~p, G/fii - абелева группа (циклическая). Но теореме 76, Gf$(G) - изоморфна педпряиоиу произведению групп: G/F^G/F^-^G/Fk Но прямое произведение - абелево, так как абелевой группой являет- ся каждый сомножитель, тогда G/^P(G) - абелева к по теореме iff ‘PlGisC TECFESU , ч.т.д, 78. G?E - конечная нильпотентная группа, тогда в виде прямого произведения абелевых групп простых и G/^ есть прямое Пусть записывается порядков. Если G) инвариантна в произведение абелевых простых групп,
Доказательство. По теореме 71, ^(.G/^PlG))-<P(G)/<P(&) _ Заметим, что если Cp(G/£)) — £)/£) > ТО <0=? MG) е Если возьмем максимальные подгруппы группы (?/<$: /А/°^ —} ML/2) , то q\ G/ty= О М; /£)^/п Mi)/S)=S/S), В атом случае Mt- - максимальная подгруппа группы G и S^nM^ W) , причем вто пересечение тех максимальных под- групп, которые содержат < рассмотреть случай, когда $(G)-*E. . по теореме 0 . Теперь докажем теорему. Достаточно т. с >- _ • . . _ . Будем считать, что 77, G - абелева группа. По теореме 55 6=Д,уА*-~уАи • где А “ циклическая неразложимая группа, > р - простое.;;/Предположим, что некоторое </,>/ По теореме о группе и ее порядках мальную подгруппу порядка pi По теогеме 75 V(A^V(G^ Е ета группа имеет лишь одну , тогда •/^А)/=у^' «подучим противоречие;тем макси- самнм до/азана первая часть теоремы.Докажем теперь вторую. пусть дано разложение С=А*ДХ---х Д, ,где А -цикличес- кая простого порэд-.а. Пусть .тогда получаем, что I G.М[\— |Д| -простое число,значит Mi -максимальная под- группа. Возьмем flMt~$, »это элемент записывается в ваде О.-, С1г... СсМ/ Л(£ Ai .Причем это представление единственно. Допустим,что Уi .тогда но это для любого i значит у= е и ^P(G)=E .ч.т.д. Орреаелеиие :Если М -непустое множество элементов группы G и G-<My ,то М -система образующих элементов.Если к тому же любого непустого подмножества А^М .имеет место </>?<£ то Af называется минимальной системой образующих или базисом. ТЕОРЕМА 79 (теорема Бернсайда о базисе) Пусть (э -конечная группа посадка , р -простое число и
95 „т 1)всякий базис группы 2)если -базис базис группых G/ViG). , Тогда: G содержит ровно 1 злементоь. группы G ,то Xi<PlG),--/X-’tyG’) ~ 1 -бсЗйС G. доказательство. Допустим, у нас имеется базис: <Х, ->s G. Он порождает группу G .тогда очевидно порождает группу G/W) .По теореме 78 группа ^>/V(G) -прямое произведение поосткх циклических абелевых групп.позтому K&rfb)>\ равно просто му числу р . Обозначим ,а через G-G/^PfG) «значит xf— € .Будем составлять прямое произведение: ПОЛуЧИМ,ЧТО . По, свойству подгруппы <₽рат- тини и по теореме 69: Q * <Xk} Х^ z...,Х^ , $ G)> ~<хь, ‘ V X‘» J,, - /;; z 2) и 3) доказывается аналогично. ; 2) следует из I) т.к. базис G переходит к фактор-группе и |<?>r£/W®/=/ 3)доказывается аналогично данному переходу. Главное: 1 G/^P(G)l~p^ 7 -минимальное число образующих. СВЕРХРАЗРИ1ИМУЕ ГРУППЫ Определите. Конечная группа G навивается сверхразреЕимой.если она удов- летворяет одному из следующих равносильных условий: I) G обладает главным рядом,у которого все индексы являются простыми числами. 2) G обладает инвариантным рядом,у которого все 'факторы-цикли-
ческие группе. Единичная группа считается сверхразпеэимой.То,чк из 7) “♦?>- очевидно. Покажем,что из 2) —» I).Пусть имеем: G-Gj^G^.-Z) 6d SE, где G£.,/Gi -ци;<днческая. Тогда аы. этот рад всегда монет уплот- нить до главного,где если G^^H^Gt ,тс = Gi^ /G; /Н/6£ И P/G£ циклические. Если образующий элемент : <3cG;>~ Gi-t/Gt- >то Класс разрешимых групп более широк,чем сверхразрещнмых,тах кек он их содержит я можно указать пример разрешимой группы,но не сверхразре- шииой. Напрн’сер: разрешима, /А4, \Pi=1/ тогда Aj=>H=>E - главный ряд.где |А*- «М, |И|^ ,но // -не циклическая группа. ТЕОРЕМА 80. Конечная нильпотентная группа сверхразреиима. Пока зательство. Пусть G -нильпотентная группа и пуст^ G-/E .Тогда и £iG>^E (по свойству нильпотентных групп). Возьмел гтодгруппу р, Ipl -р где P^Z(G) и P^G .Г-ассмотрвч G/P - она нильпотентна и сзерхгезг-ешимаСпо индукции). Значит, GfP об* ла .ает Главным рядом с простыми индексами: G/P^G^/P^—^G^/P^Р/Р, где I С^/Р- Gi /Pl -простое число,поетсиу I G£.,-'6,1=1 G^/Gt! — прссчие чкело. Значит, G-Go-^- ..-^G^P^E -требуемый ряд,ч.т.д. ТЕОРЕМА 81. Подгруппа и фактор-группа конечной сверхразрешимо| группн- сверхрайгеьимы.Прялое произведение двух сверхразрешимьх групп так&е свсрхразреиимс. «окаэатсльст но. 1)Лусть G -конечная сьерхразеешимая группа, G*£. Сна обладает рядом G-Go^G^-'-^G^E -!>л»аряантньй ряд с авкличе .ими Факторами 6 ,-</6,. Возьмем подгруппу У/ группь G и ре с-
CJOTRMW Mt-iGt/Gc = /£,/74,n /Ht, как как kliM -A//)G,:.,, Нг.,п&г~Нп G^nGc=H(\Gi-HL. Итак, А£//4 изоморфная подгруппе из ZCpoae того, £/;<// ,и получаем ттеб?/емгй результат. 2)Пусть G -конечная сверхразреш,-мая группа, K^G .Тогда через К модно провести главный Ряд: (*) ЧХ По теореме Вордана-Гельдера все главнее Лак1, орк будут иметь простые порядки,т.е.индексы Ряда (%) -простые числа.Переходя к г-актор- ггуппе G/К «получим инвариантный ряд с простыми индексами G/K^.-^K/K. 3) , G, и -конечный ссерхргзрешимые группы. Ра ссметрим Д акт ор-группу G/G£=G^ Группа G обладает цепочкой инвариантных подгрупп: ___(1) с простыл® индексами. Рассмотрим главный ряд (2) группы .Так как Gi сьёрхразреи-'ма,то индексы ряда (2)-простне числа по условий.Ьа- метим,что все члены ряда (2) будут инвариантны в G (кз свойства прямых про?ведений:сели H‘4Glj G,y=G} . йсли к 1) при- ставить 2),во получим ряд с простыми индексами. ТЕОРЕМА 82. Пусть -конечная сверхразрешимая группа.Тогда каждая ее цакеимал1Н8я подгруппа имеет простой индекс. До ка зо тег го из с. Пусть G^£ -конечная сверхпазрекимая групге,пусть К ~ мини- мальная инвариантная подгпуппа группы G .т.е.пгедпоследний не pai ный Е член главного ряда.Тогда по условию, К -пйклхческая груп-
98 па простого порядка,т.е. Рассмотрим два случая: 1; KQW). tfcn /Ч -максимальная подгруппа группt G .тогда /fs/1, Л!/^ -максимальная подгруппа G/К .По индукции ^G/K:£l/K\~ -пдастсс число,стспг.a ?) .Пусть Л1 -максичальная подгруппа группе G Если Кя/Л ,то рассуждаем как и в 1).Пусть «Л .Тогда /(М- Нетрудно подсчитать индекс,заметив,что £тэ теорема допускает обращение. ТЕОРЕМА S3 (Б. Хупперт) ч.т.д. Конечная группа свврхразреиика.если индексы ее максимальных то и где подгрупп являются простыми числами. < ТЕОРЕМА 83 i Пусть G - конечная группа.Если C/W) -сверхразремшиа , G сверзразрешима. Определение. , . Пусть G -кокечная группа передка I ^Р-Р'-Р-- . pt>p%.>.- .>pi -простые числа.Говорят,что группа G оол^ упорядоченной сияобсксй бавней(иначе:дисперсивна по СРВ),если :т арка нт Hue подгруппы порядков и. /А . По опгедсле!кв,единичная группа дисперсивна по бра. ТЕОРЕМА 84. дает 6 ИМ' !Свадая конечная сверхрозрешимая группа опадает упорядоченной силовской башней. Локьзательство. Единичная группа облагает упорядоченной силовской баиней по определению: I £ I - р-
Пусть -оверхразпй.шимая группа. Разложим ее порядок: где .Пусть Р -силовская Д-подгруппа группь. £ .Докажем инвариантность R , Предположим,что РМ .Рассмотрим где И -максимальна? подгруппа группы G .Значат,по теореме 82 (индексы всех максимальных подгрупп есть простые числа) Iб>-^=/?и- At сверхразрешима по теореме 8?, значит, по индуккиь Р,^Р\ ,т.е. /И-Л^ .Применим теорему Сидов а т- 7. . р^икръ р,$р^1<Р^ .противоречие,т.к. .Значит, R<G. Рассмотрим G/Р .Сна сверхразрешиу-ая и по индукнии обладает иниа- иантными подгруппам следующих порядков: . упорядоченной силовской ТЕОРЕМА 85 (Ф.ХОДЛ) 4 ЯРнечная группа разрешима,если индевея ее максимальных подгрупп является либо прссткни числам»,либо квадратами простых чисел. До к азатель стио. пусть р -наибольшее простое часл о.деляшее порядок группы G а Р -силовская р -подгруппа группы G .Рассмотрим 2 случая: I) P*G .рассмотрим G/Р -она разрешима по индуквии. 2) P^Gt Р)~Н~Р\ -максимальная подгруппа гругг ы Q) .По теореме Силоьа -число ешнаских р -подгрупп в группе G равво: &:Pl« кр- Ну дне п ока з а т ь, что Кр- \P-Pl-4№CiO СИЛОЕСКПХ р -ТТОДГрупП Ъ М . По теореме Силона для имеем: -7*tSK. Индекс J I /2 -Ш- 1 ♦ р / *ь- U~ 'l^P 1*ip Г
ICO йогду имееы пел не числз.Тогда и -—-% D - иелпе. Кооме тоге к-t 1-*1р нам мало заметить, «тс ц1р ~ъ&ёс,е(лш., енатель не делится на р , значит,каждый его простой делитель делит ). Обозначим: ~ ** -вслое число, значит, l+K-P f где Ki -целое число,«алии Применим условие теоремы: ,'6.-Мг греетсе число s) /1*Клр‘в<^ .тогда р дыиг .значит р<(р .что навоз- можно,!.к. р -навбо. ыьи! простой делитель порядка группы G. б) .тогда pippin (<р*)Т.... ,р -простое число,то сне делит либо ^-7 .либо ^*7 Если р I невозможно,так как Если pl (р1 и вс условию р><р , P’S^’I .значит ото возможно тогда,:>огда Q-2-) р=$ ,т.е. iGi—^ 2? -единст- венно возможный случай,а группа так>во поряДка разрешима по теореме Бернсайда. ЖНМА ffiFHCA..«v.’ 1’p.vnna порядка р*<р разрешима,где р, (р -простые числа. АВТСМСРФИЗМЬ- ГРУПП Определение. Изоаерйное отображенне группы из себя называется автоморфизмом, йсди G -группа,то автоморфизм </ определен двумя требованиями: ]) X -подстановка елементои группы G 2)еслв X:,то X: Дйя УэсиеС, Если Л'. .то ««раз обознач-ется Х-Х ^</(Х) ~Х<^ (едким ИЗ Р'лйК способов). Тогда условие 2) записывается так: '
101 £тс ycjcsBe называется условием сохранения сперапии ш условием лсксег.ь-зтиег?^ i:if £ •уел-г /5 и iG -«нелестно зсгх автоморфизмов группы £. /втоморйизи-зто постановка злемеятов группу G .сохраняемая опе- ре*-из* Нужно гскаэеи ,410 группа. Если i f принадлежит Ди^б ,то произведение <Gp -результат последовательного вы- полнения подстановок: <£j3 -автоморфизм jcc-G .так определим произведение «*£? ((х^ (XW= ху' Ассоциативность: чЛр) -йчполияется.твк как ото подста- новки элементов G , £ -тождественный автоморфизм: Существует обратная подстановка «G * -автоморфизм. множество G -группа автоморфизмов группы G . tPBe /) _детСе> </, Q Aui G>, 9С с G Если П>0 она следует из закона сохранения операции» Bcjb беднннчн’-Л элемент обращается в единичный),если , tS IX , ам п>1,1^<<х-г^((Х^1^гг^х): '1ркусры изомсрф изма: 1)Пустх. XtG к рассмотрим отображение : /х- легко проверки-,ото cGx -автоморфизм группы G .При умножении эле- менте справе ее У- пыучш блементв группы G : Gx^G, X'1G^G. Кш'чит X^Gx - G, »ZX -подстановка элементов группы G проверим условие консерватизма. <^ss называется внутренним сВтомсгФрзком группы G , индуцированным элементов X . • Сбсэначим через Jn G множество всех внутренн:х автоморфиэ-
mol. Для удобства, соля хе G •X -внутренний автоморфизм,инду- цированный элементе ггэ’пп’-' G Z<iG Проверим две формулы. 2) = х , xcb/'t .Зозьыеи VjteG. <£ <1-(х^) X. X £Х<^ ~ (X )^~ (<£ )% 'dv&'-'-'p'i, ^.e э^<£*хсО ТЕСРЕЧА 65. GJn Gявляется инвариантной подгруппой группы Z«if G >т.е Дзказзтелютво. 7л>G -подгруппа.Если x.^&JhG f,£C ус то морфизм. -ЗНуТреННИЕ 8.4- Обратный автоморйи эк: х’е Oh G , Значит,нто подгруппа.Если Ле AutG, Если ; то Л~ G #у.е, Jki G <ь G. Те автоморфизмы,которые не являитен внутренними, называются внешними, к утверждение о ток,»то инешкуе автоморфизмы составляют группу-неверно. Обозначим G/G/n G^Out G (Группа внешних автоморфизме^). Р Существует гипотеза Врейера,если (р -простая конечная группа,то Out G -разрешима.В частном сх;чае зт» гипотеза решена^ Биландтом: если в G имеется максимальная группа,индекс которой I C:A/j«yO - f простое число,то ' Примерь-: I) G Если aGcAuf G (а%(а‘У Out G св ерхра зуети ма. -циклическая бесконечная группа, ,тс глнсжество степеней {й*1 с •це/iocj•»[(&') т.к. ,-озтоцу Автоморфизмов стой.'.с,сколтко образуют,гх алеиентов модно взять: (X и Q.'1 .’Дначут, Gl~Z. 2) G -конечная циклическая группа, G-<a>, iGi>t
103 Ci — С? I G[~ !Т] ;если G G-<t.a> — 4. & >. -является степенью й = Л/ Z</77, (\ Следовательно, if (ПО) -число натуральных чисел,мень- аих ГП и взаимно простых сМ( if (по)- кугкнич гйлера). Если lGi~p ,то IGl^p-f, G -конечная циклическая группа пооядха р. теорема а?. G>/Z (GP=Jn G. Доказательство, Пусть ось la, г- . Автоморфизм есть некоторая функция определяющаяся образами елементов,на которых'она действует.Было от- (Гто следует из записи <Z*^* Л Ле <Z 9 ). -гсмомо?6изм группа G на J/7 G мечено,что Ото показывает,что отображение / Рассмотрим ядро гомоморфизма. Если П& Лет / ,то это означает,что /• /?-*/?«£ -тождественный автоморфизм,т.е.если взять любой зле- мент Я группы G и подействовать на не!'о,то £X /7*£/7®<Z, тогда 2n^n^-- Так как ето равенство выполняется 1ля любого Я,etc значит,что Д входит х: взптр группы G .Обратно,если ,'хо А7в^, таким обоазом,ядре гомомор&изма / служит центром группы G Пс теореме 34 имеем утверждение теоремы,ч.т-д. Определенрие. Подгруппа Z/ из G называется характеристической подгруппой, если для люоого автоморфизма группы G выполняется Обозначение: /•/ сЬсхъ G. Другими с«-овами,любой автоморфизм группа G яв/гется одновременно автоморфизмом подгруппы W . Иначе говоря, /"/ "выдерживает"автомор- физмы группы С иди допустимаотносительно автоморфизма G.
- 104 - ТЕОРЕМА 88. Если C^G, Н chai С , hl^G. Доказательство: г г rx л- Л= С Если С<С? , вто эквивалентно тому,что <-=х ол-v (сопряжение внутренним автоморфизмом группы G ). Значит, С выдерживает внутренние автоморфизмы группы G . Таким образом, ес- ли Хб^£ , т0 с/ можно считать автоморфизмом для С , т.к. С его выдерживает. А по определению характеристической группы: /-/ выдерживает X , следовательно, X - автоморфизм // , ч.т.д. ТЕОРЕМА 89. Если A chat- в, ВсАсЛ С а то A chalC Доказательство, Если X - автоморфизм С t С а тл 3 вы- держивает X ; т.к. А chat A а то А выдерживает X , ч.т.д Всякая характеристическая подгруппа - инвариантна ( обратное не всегда верно). Примеры: I) Пусть - циклическая группа. Пусть И - подгруп- па индекса !7] , . Если Хс Aal G , .гс автоморфизм сохраняет все свойства, т.е. \G:hl\-IYl, Н~Н. Значит, каждая подгруппа циклической группы является характеристи- ческой. 2) Пусть Р - инвариантная снлсвская подгруппа конечной группы G . Тогда Р - характеристическая (т.к. такая инвариант- ная силовская - единственная). 3) Пусть г тогда hl chai G а gc_ ли Aai G , to h!~H (из свойств авто- морфизмов) . I
- 105 - I ТЕОРЕМА 90. с: £<G), <P(G) - характеристические подгруппы группы G характеристические. пробегает все максимальные подгруппы. если а(б G где означает, что = До каэательство. Была показана инвариантность. По теоремам 45 и 46 имеем: Значит, кёнтр и коммутант выдерживая® авто- морфизм d , а значит, они ^(G)=ntA , где /И Она характеристическая, т.к. /И - максимальная подгруппа группы G ( /\ не могла бы быть больае, так как </ - взаимнооднозначное соответствие). Отсюда вы- текает, что множество максимальных подгрупп под действием автомор- физмов переходит в себя. Ето (все максимальные подгруппы, ем Фс&) ). Значит, <PiG) только в другое»! порядке, опять же име- выдеряивает автоморфизма, следова- тельво она характеристична. 4 ЭНДОМОРФИЗМЫ И ОПЕРАТОРЫ Ьндомсрфизм - это гомоморфное отображение группы G в себя. Обозначим множество всех эндоморфизмов: End G . Множество эндО” морфизмов содержит в себе автоморфизма: E.ndG'Sihut G, Всякий автоморфизм есть эндоморфизм. Пусть Рассмотрим отображение УАХ&Е. Имеем видоморфиза, G^E всей группа. - еитюя подгруппа - образ -ЛЕММА. Если G ~ абелева группа, тс End G - кольцо. в кольце: если c/.l^S,En<dG3 Имеем следующие две операции то слежение и умножение эндоморфизмов есть: xgG.
- 106 - Если группа не абелева , то кольца не имеем. Пусть G - абе- лева группа, П - натуральное число. Тогда отображение - эндоморфизм, -то отображение однозначно. Вместе с тем, только для абелевых групп верно, что f v,. . По теореме об изоморфизме, если <Ze, то G/Kew^-G^G . Пусть Y - некоторое множество. И пусть каздому элементу из X сопоставлен некоторый эндоморфизм группы G . В этом случае элемент из X - оператор, а X - область операторов G , Говорят, что каждый производить эндоморфизм, действием оператора элемент из 2 Если б"6 X наделен способностью <г - образ X под , тогда Х-*^ - эндоморфизм. Два различных оператора могут действовать как един и тот же эндоморфизм. Пример: А/<6 , тогда X - автоморфизм и для Н : цх-н~н. В операторах: X - автоморфизм Z/ , где X - оператор, Определение. Подгруппа А/ группы G с областью операторов X назы- вается X -допустимой, если Z/sZ/, , т.е. X об- ласть операторов и для А/ . , Определение. Пусть ^6, Н X- допустима, определим действие оператора ike £ следующим образом: лгА/ДуУ/ . Тогда X становится областью операторов для G/H . Вообще говоря: Н ТЕОРЕМА 91.. Пересечение любого множества X -/допустимых подгрупп являет-
- 107 ся 27 -допустимой подгруппой. Подгруппа, порожденная 2G допу- стимым множеством элементов, является 2? -допустимой подгруппой. Доказательство: Берем • Где ^"-допустима,т.е. . Проверкой убеждаемся: d* входит в каждый $с , следовательно, и в & Пусть /И - непустое множество некоторых элементов из G и пусть г , рассмотрим //=</'/> , тогда vhbH> , где т. 'сМ (по определение порожденных подгрупп). Подействуем на Н оператором: ЧгПъ)—(т*) * , а значит, t ч.т.д. Следует заметить, что Ъ - целое. Пусть 27 - область операторов для G и Г 4 Определение. Пусть дан гомоморфизм / Группы G в Г . Етот гоню мор- физм называется 27 -гомоморфизмом, если выполняется следующее: /Zel, vxeG. Если / - изоморфизм, то / называется ZT -изоморфизмом (частный случай). ТЕОРЕМА. 92. Пусть / - Z -гомоморфизм группы G , тогда Kc'i f X -допустимая инвариантная подгруппа. Доказательство. Kti/<jG , если ^еКе'г/ и рассмотреть 2Л где т.е. принадлежит .ядру.
108 - Значит, Z е Кеч t ч.т.д. ТЕОРЕМА 93. Пусть / - 2Г -гомоморфизм группы G . Тогда Q/Ktz А X -изоморфна образу G/ . ТЕОРЕМА 94. Пусть A'S А/ 2~ допустимые инвгриантные подгруппы груп- пы G . Тогда G/H/A/Н g G/А 2Г-изомирфда. ТЕОРЕМА 95. Пусть b^G, А/ - инвариантная 2-допустимая подгруппа Группы G . V- пусть 3 .^-допустима, тогда: ЗпН 2-допустимая инвариантная подгруппа в /5 и ЬН/Е 2“изоиоРФна 3/3 пН, Определение I. Два субнормальных ряда группы G с областью операторов Z называются 2 -изоморфными, если члены ети^ рядов Z -допусти- ын» а саш ряды изоморфны, причем соответствующие факторы этих ря- дов 2 “ИЗЗИОРФИЫ» Определение 2. Субнормальный ряд 2_Д°ПУСТИМЫХ подгрупп группы G называется У-композиционным G-G^G^.^G^E „еслидля Ус^г,...у фактор Gi.jGi не содержит нетривиальных 2 -допустимых инва- риантных подгрупп. Определение 3. (ZUJnG) - композиционный ряд называется 2 -главным рядом. Допустим, Е/К - фактор ^-главного ряда. Зиачи-т, между И й К ват подгрупп, которые были бы 2-допусммц и инвариан- тны в G , Вели » яс ати определения совпадают с повятиямя жоиповв-
- IDS - ионного, главного ряда и изоморфизма рядов. ТЕОРЕМА 96 (Жордана - Гальдера для групп с операторами) Цусть У, - некоторая область операторов конечной группы G Тогда любые два X-композиционных ряда ^-изоморфны. Доказательство : Даны два Х-композвдаонних ряда: 6=6О=6>—°Св£, (5 G=HcF>Hi=*----:> Ип~Е. гр) Возьмем ряда: G<^>... ^G^E, (3) (отрезки их) (4) (3) - I-композициоиннй ряд ДЛЯ G, , (fy) - ^-КОМПОЗШдИОИГШЙ ряд ДЛЯ /Zj. Если А4 = G, , то (3) ~ (4) по индукции Значит,и (I) ~ (2), Предположим, что /4*6, , Тогда HtGt~G (из определения ком- позиционного ряда: £ - максимальная пнвариаитная допустимая под- группа, т. е. если перемножим, то - тоже максимальная инва- риантная допустимая подгруппа). По теорем© $5 имеем X-изомор$и- змы: G/H.^ G^/HnG^ 1 G/G, = Н,/Ц nG, J Х-йзоморфизмы. Возьмем H,r\G^...^E (Ч}. (5) - X -композиционный ряд группы Нл Л Gj . рассмотрим ряда : =iG^fLr^-.. ^Е' G-£e ^H^^G^'-.^Ei, aj Значит, (6) в (7) X -изоморфны. Ряд (б) (6) (7) (по теореме 95)
- no - теорема верна (если рассмотреть участок 6«°—^Е - изоморфны), по той яе причине (7) — (2). (I) ~ (б) ~ (7)~ (2). Так как изомор- физм рядов транзитявен, то (I)~ (2), ч.т.д. Замечание: если H.nG^E , следовательно, весь ряд (5)-Е . Если Е “у0, , то из теоремы 95 вытекает изоморфизм композиционных рядов. ТЕОРЕМА 77. Любые два Е -глазных ряда конечной группы 6 2"-изоморфны. Доказательство. Дня того, чтобы получить ее из теоремы 96 рассматриваем Z,=2 тогда Е1 -композиционный ряд равен 2 -главному ряду. Сделав такую перемену теперь моиео полностью применить теорему 96- Если 2- 0 , то из теоремы вытекает изоморфизм главных ря- дов, Ч.Т.Д. Прямое доказательство без операторов указанным способом невоз- можно, так как в обдам случае /4 :~>Н2~:>--~~>Е не являются главными для 6^ и /4 . ГРУППА ОПЕРАТОРОВ Пусть 2 - область операторов группы Ь , причем Z. - группа и для V^tp& Е , для Krf G выполняется равенство: где ’ означает умножение в группе Е Считаем, что каждый оператор из Е является автоморфизмом группы. G . В этом случае X называется группой операторов группы G . Если Л € Е » тс ему соответствует некоторый автоморфизм группы G : г /:Aul G, ‘-/i G>
Ill - Z f/.p—* Gt значит, / - гомоморфизм, группы 2. в группу ки< С , этим гомоморфизмам группа опера- торов У вполне определяется. Если /сКе.1 / , то Е. ,т.е. /хЧ vxcG. Значит, Kei / состоит из всех операторов, которые тождественно действуют на группе G . Обозначим Ксг/^С , Тогда 2/6- G Vc.eC Если рассмотреть смежный класс 6/ Ле! , то Поэтому весь смежный класс С г/ будем рассма- тривать как оператор, который действует так же, как И <2 . Таким образом, 2/6 - группа операторов и 1/0 отождествляется с А) , ввиду изоморфизма. . Пример I. Пусть Й/К , где //<>6 , /0^0 , тогда группа Q является группой операторов группы Н/К , действие операто- ров вводится так: (hK/^K, vV-^G. vhK^/K. Кавдсиу елеиеиту J.^G соответствует Н/К,£ Кп/~Се <H/K)4^Gi h'K-M, vfcHj . В этом случае ^Ш). централизатор группы И/К в G . Централизатор - ядро тоге гомоморфизма, который переводит операторы в автоморфизма: G/Cg(G/K^G^A^ № 2. . Задаем действие: А& Cj /h^tO} тогда G - группа операторов и. о значит: ~ 2т& подгруппа называется централиза- торов подгруппы И в G. 3. Полуирямое произведение.
- 112 - Дано произведение G-М, 6rX-E, ^G , з этом случае говеют, что 6 есть иовупрякое пройоведекЕе своей подгрупп £ g-s^/ш <и - указывает на инвариантность /И ). $ - группа операторов группы /У . ESjt ПёМ, П ^~1'пЬ, т.е. в »том случае каждый оператор являет- ся сужением на. /У внутреннего автоморфизма, индуцированного злементом из & . Каждый злемент X&G единственным образом представим в виде Х~ , Г^ё/Е . действительно: mN, SnN* Е Е, П<—/1 t что и требовалось. Рассмотрим произведение членов полупрямого произведения: vn,n,c-N i ,т.е. РАСШИРЕНИЕ ГРУПП ПОСРЕДСТВОМ ГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ Пусть X ~ Группа операторов группы G . Зтр значит, что зафиксирован гомоморфизм: / Х~*/4и/ G, Задача: включить группы X и G в новую группу Г так,чтобы I И С> составляли там лолупрямое произведение,т. е. I являлись бы подгруппами группы Г с некоторыми свойствами. Исход- ной группой является G, (используем то, что У является группой операторов). Рассмотрим множество Я , состоящее из пар (5^;<3*#£з CjcG ; Взедьм на множестве Г операцию умножения пар:
- из - Пуст?, £ - единичный влемент из X . & ~ единичной из G . Нужно показать, что множество Г относительно данной операции является группой. Проверки аксиома группы: (бЕ)(дье)~бд. 1) операция задана; 2) ассоциативность (применяем правило умножения элементов). 3) злемеат £С - является единичным в / ^Существование обратных: ье, Пары равны,если равны их компоненты: G^-E, tf'C/G’*- & .отсида: в--£. ^frUrii^T" Звачит,обратный элемент существует и имеет -вад: (G^ * Все аксиомы выполняется,значит Г «группа. Рассмотрим отображение <Г—(Те Z ,ёто отображение ifl- Х~*Г является мономорфизмом,т. е. изоморфным отображением;то, что зто гомоморфизм, видно из операции GG1-^*(Ge,)(S,s)’1S1' А для мономорфизма нунво показать,что /Й'г Если (з~~* Ge. Ее ,то из етсго следует,что G-i. Значит,имеем мономорфизм. Пусть -образ X при гомоморфизме Теперь рассмотрим . q&Gj Это также мономорфизм (проверка аналогична предыдущей). Заметим, что /=^2. ,а X/Э S~> f-, Ж' Ввиду зюноморфизмов 9^/^ отождествим д.е.пару (З'^зС, Отождествим все единичные элементы: £eg£S £ б J (по правилу
114 Тогда Г^> Отсюда следует,что GG^I Мы построили группу Г со следующими свойствами: п лаг 2)каждый оператор (jg Z является сужением на G внутреннего автоморфизма Группы Г .индуцированного элементом (?. Группа Г называется расширением группы G с помощь» группы операторов £ Частный случай:если £ -Группа всех автомрфизмов.то такое расшире- ние: GMutG^G -называется голоморфом группы G Определение. Подгруппа А/ Группы G называется характеристической,если ЛзА/о/’ G. Если подгруппа характеристическая,то она выдерживает все автомор- физмы,и следовательно,инвариантна в HotG Назовем расширением группы G всякую группу,содержащую G в качестве инвариантной подгруппы. ' ~ Определение, Подгруппа А/ группы G является характеристической,если она инвариантна в любом ресйиреиии группы G . Рассмотрим вопрос о строении групп без нетривиальных характеристи- ческих подгрупп. Определение» группа Gt£ называется элементарной или характеристически простой,если она не содержит характеристических подгрупп,отличных ©т G я Е . ТЕОРЕМА 98. Конечная неединичная группа является элементарной тогда и толь ко тогда,когда она либо простая,либо является прямы» произведением изоморфных простых групп.
IIS Доказательство. I. Необходимость Пусть G -элементарная группа,предположим,чтс G непростая и пусть Н -минимальная ее инвариантная подгруппа,т.е.предпоследний не ранный едянине член главного ряда: H^G, Н^Ё Так как группа-елементарная, что Н/ Hot'G~Gk/W ^Рассмотрим множество подгрупп НЩаНх,...,Ht -все подгруппы,сопряженные с А/ к голоморфе. Значит, 1-КН^С,ИЛ .Значит Ё-Ё -минимальная инвариантная подНуппа группы G «Вели взять из произведение,тс оно совпадает с порождением: получаем,что Составим подггоследовател! ноеть.в которой каждый член не -ходит в произведение поедндуших.т. в. Аналогично: <Л)О<-Л>‘Ч Получаем,что группа £-Аг/А^*-.-х/7^ так как И переводится в А^ 7 некоторым где /74^%^/{--/•/; .Очевидно,все автоморфизмом. По опре- делению прямого произведения,соседние множители по алеыент$рио пе- рестановочны. ЛРпус тим .тогда ^4/а </( Д,. /К> т.е. //-. *-ппостые.и необходимость доказана. 1 , 2. достаточность Пусть G -прямое произведение изоморфных простых групп: G- */ik > Ц Нужно доказать,что группа характеристически простая. Пусть Н -минимальная характеристическая подгруппа группы G Бела А/ -G ,то G -элементарна. Пусть Ё/G .произведем операцию нанизывания подгрупп если ,то , если ,то -пряглое произведение, продолжаем так процесс дальше,получаем: £-НЯЯ-Я,_ Н^Ш,Н......Щ.
- lift- - По доказанному, А/ -прямое произведение изошт^ннх простых групп: О.-Ал./Й, таким образом,группa G равна: 6 = (Е *. _ .>6j */А,х - - - V4,. Теперь рассмотрим ряды: (I) G^H,Pi-- (2) в^НК,.-.Ис^-^Н^зЯг--.^--=>Е=>Е. Ряды (I) я (2) -композиционные.Значит,по теореме Кордака-Гельдера, все факторы гтих рявдов должны быть изоморфными. Таким образом: Построим автоморфизм X группы G такой,что и придем к противоречию. строим следующим образом: у нас существует изоморфизм .Пусть </ - такой автомор- физм, что ограниченна </ на Д совпадает с и X оставляет оленевод остальных множителей на месте. Тогда «Е - искомый автоморфи физм. Следствие j Каждый главный фактор конечной группы является либо прсстой группой либо прямым произведением изоморфных простых групп. СОБЕРЖЕЧИЖ ГРУППУ Определение: Группа называется совершенной,если центр ее равен единице и все ее автоморфизмы -анутрен. ие. ТЕСРЕМА 99. Если K*G й -совершенная групка.то К ввделлотся в G iwn»u и.човйт-елем.т. е. Доказательство. Так как К -совершенная группа,то Ли< Превраткм G в группу операторов для К таким образом:если
-117- является суже- , индувдровая- мяожество всех Kei/-C6lK), X^G3 KG К , K*=X''KX (т.е. оператор .X нием на К внутреннего автоморфизма группы G його элементом Л' ). Обозначим через (Ss(A) элементов X , для которых эск-КХ, VK&K. C&(K^^G[X^KX, VkgK} Имеется отображение: Z’ ЭС“* X G Aui /\ .значит, G/C^K^H^Aui К, & K~~GJh K=AuiК t тогда G/Cb(K)~/\и-( К По теореме' A7<Z/Aj2 Jft К 5 т, к- группа совершенна, то £(K)=G, Значвт, G/C^K и, следовательно, I МК/КЛ. k ft [><,(!(), Таким образом, G~KLg(/{)-I(*L,&(I\) ,ч.т.д. Примеры: ТЕОРЕМА ТОО. Все симметрические группа Sn еоверлфнни за искьвчением случаев Л-2, П~&~. СЯЖТЕНИЕ ГРУПП Дака две группы & « А . Ttjcrt lAl^/1 .Рассмот- рим прямое произведение группы й на себя Л pas: Удобно будет компоненты влементсз прямого произведения индексиро- вать згементами группа Д . Имеем: Ш.С-А имеет (I координат (иначе: яомповент) . Еавдой координате дадим имя, а оно выбирается из элементов группа А Если ,то -fl.0-) ~ компонента элемента / с те- нен GiS А Обозначим:
- IIS - Определяй действие элемента О. С A gg группу В , таким обра- зом: Заметим, что О.А-А Тем самни / группу операторов группы В . Проверим, что превращается в группа опера- торов, т.е. чао каждый оператор является автоморрйзмом Ё> . , ото значит, что отображение А~*/* й£/^ A!j . является гомоморфизмом В з В > т.е. if является эпиморфизмом и даже автоморфизмом. Очевидно, выполняется равенство: 6-/ПА*~ВгД Рассмотрим поупрямее произведение оно называется сплетением группы В с Груп- пой А . Группа В и группа А действуют неодинаково в спле- тении. А - активная группа, В - пассивная группа сплетения. Если £ Д , т>7 , то Л действует нетождественно на В , Пусть ^6 . Рассмотрим алемент прямоте произведе- ния ^В(х)=е^ри у:^а , Р pa f(a, пр<л х-а Тогда /'// , т.к. f^y(ax} В зазывается базой сплетения. ГРУйДЬ ШМИДТА Определение. Группа Шмадее. - ето конечная ненильпо-хентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.
- 119 - ТЕОРЕМА IOI. Каждая ненильпотентная конечная группа имеет по крайней игре одну подгруппу ВКадта. Доказательство. Пусть £ - ненильпотентная конечная группа. Выберем в G ненильпотентную подгруппу А/ наименьшего порядка h . Тогда //' подгруппа Шмидта. Любая собственная подгруппа из // имеет меньший порядок и нильпотентна. ТЕОРЕМА Т02. Каждая группа Шмидта разрешима. Доказательство. Предположим, что теорема неверна и существует группа Шмидта, для которой теорема не ваислняется. Пусть G - группа Шмидта наименьшего порядка, для которой теорема неверна. Докажем несколь- ко утверждений. j I. G простая. Пусть e-^/v'^G, fv нильпотентна, G/tt^tt/N, P\CG , значит, Л/# нильпотентна. Значит, в G/GP все собственные подгруппы нилыготентны. Значит, 6//И нильпотентна или группа шмидта, Нальпотентнзн группа - разрешима. А группа G/G/ имеет порядок <1^. G разрешима ~ противоречие с первона- чальном допущением. С//У- разрешима Л7- разрешима II. Если М, - максимальная подгруппа группы G , то ее порядок и иэдеко взаимно просты. Предположим, от противного, что простое число р делит ( IEllj 1G'Ell) , Пусть Р, - силовская р- подгруппа из . Р - силовская yj-подгрунпа из G Ввиду тесреиы Силова, считаем, что R^P Рассмотрим нормализатор: , Т.к. М нильпо-
- ко - тентва (значит, в пек все смловскяе подтрунив ьявариент-ны). Ввиду СЕСЙОТ30 I, . Рассмотрим По свойству -групп (что каждая нетривиальная подгруппа отлипла от нормализатора), Р^Ц(Р.р=/Л подгоупна в /И , P-R . Противоречие тому, чтс G - скловская т.е. R дельна йыть силовской в G , ч.е. III. ййбне две максимальные подгруппы либо сопряжены, либо имеют взаимно простые порядки. Пусть /f и (v - максимельяые подгруппы. Гредпслсжим, что они не сопряжены и plflMljM) (простое число р делит их ио- раджи). Пусть у нас Pt ~ силовевая р подгруппа кз Л . а Р.- ИЗ Р . Ввиду II они будут орловскими р -подгруппами группы О Нс теореме Салева существует елемент х&Р> такой, что р^х-Ргк. Рассмотрим р:^нх (ыаксинадьная подгруппа, так как под- группы, сопряженные с максима»ьпой, также малсимальпм). По условию она нщьпстентяа, .тоге, /К(Р)3<М,И‘> Еади предаолезж,, что М^И' , то , Откуда - противоречие свойству I так ksk в группе нет инвариантных подгрупп (нетривиальных). 1У. Свойство. Жбые две различные максимальные подгруппы имеет единичное пере- сечение. Предположим, что 1У не выполняется. Выберем тогда среди макси- мальных подгрупп такке Р\ и А/ , у которых пересечение жеет наибольший порядок и обозначим его через . Исполь-
зуем условие- конечности группы. Ввиду свойства ill, подгруппы /У то имели бы вза- сопряжена (т.к. есля ба имио простые порядки и не были сопряжены, S)-E ). Причем, /Ч^// . По свойству шаьпотентных групп имеет место: По свойству I, . Обозначим через иую подгруппу такую, что . Рассмотрим 2«Л=4^=£> пересечение - наибольшее среди пересечений мак- сималышх подгрупп. Значит т.е. М-Н . Пришли к противоречию, тем самым свойство 1У доказано. Завершение доказательства теоремы: Пусть - все максишльные несопряженные группы G , Каждая подгруппа по свойству 1 иальная подгруппа, совпадавшая со своим нормализатором. Число соп- ряженных подгрупп равно индексу нормализатора, т.е. Каадый элемент попадает в подгруппы - макси- число подгрупп, сопряженных с максй.мглоиуЕ подгруппу. Согласно свойству 1У такие подгруппы пере- секаются по единице.-Значит, каждый нездиничный элемент содержится точно .в одной максимальной подгруппе. Отсюда вытекает: i Gl- ut 4 или I Gl- 1* SI I G: H{[ . заметим, что каждая максимальная подгруппа - неединична, значит, содержит самое малое 2 элемента» Значит, 1G(^i ib|- Bg , а это неравенство возможно лишь когда 3-1 ( 3 - натуральное число, число клас- сов сопряженных максимальных подгрупп). А это противоречит перво - начальному предположению. Убедимся в этом: рассмотрим индекс <£'^1 пусть - простое число делящее \G-Hj . Пусть ^2 - сило- зеазл ^-подгрупяа из G к /Иг Q. , где Щ - максимальная
- 12 подгруппа. „ значит, делит <А1| , не делит IИ,1 (т.к. если индекс дежи-тся на , то порядок не делится). Значит, Л1, /4 не сопряжены, ч.т.д. Пусть Р - р-группа. Если Р нециклическая, то она содержит но крайней мере две различные максимальные подгруппы. Доказательство: Рассмотрим подгруппу Фраттини W) И iP/VcP/^p1 , 7 - минимальное число образующих группы Р . Если предположить, что Р нециклическая, то 1Ъ2. . Р/Ф.(Р) -абелева, Р/ W}~L/ cPtP) 1Ц/Ф(р)\=р. Если возьмем произведения М/ Wh L,/ tPiPl'-'Lt.,/ 9iP), P/P(P)-L./<PiPj^^L,/P(Pj Очевидно, подгруппы М И Р/ не совпадает, а их индексы рав- ны р , т.е. IР'. /И/* I P-H'i^p , Значит, Р\ и Н - разли- чные максимальные подгруппы. Лемме доказана. ТЕОРЕМА 103. Пусть G - группа Шмидта. Тогда она обладает следу гадами свойствами: I) ее порядок делится точно на 2 различных простых числа, т.е. ; р и - простые; 2) одна из силовских подгрупп, пусть ето будет силовская -подгруппа - инвариантна в С? ; >) силовская р-подгруппа - циклическая;
- 123 - 4) если = соовская уО-подгруппа,то хре P(ty'} 5} коммутант группы G совпадает с ее силовской ^-подгруп- пой ; 6) каждая подгруппа порядка р$ , где </ , анвариаитна в G . " Доказательство. I. По теореме 102, G разрешима. У разрешимой группы коыпо- зиционные факторы имеют простые порядки, значит, существует М - максимальная подгруппа, /4< и индекс ее - простое число. /4 кильпотентна и есть прямое произведение своих силовских подгрупп: 1й1=Х' iLi-X" Так как Р[ ввльпотептна, инвариантна, то все силовские ее подгруппы характеристические к следовательно: Pi^G, p:<g. Пусть Рк - силовская Д-подгруипа группы G . Предположим, что К?2. , тогда РЛ G , 1^ К-1 , Pi'Q-Ре* Рк', ЮР^<Р,Р,--ЛЯ>-Р G - нильпотентная. Противоречие, т.к, группа Шмндта не вальпотентиа по определению. Остается предположить, что K-Z , причем Р-^^> Таким образом первые два свойства установлены. з. iGj^y, iPi-p^ iPi-f, p^G, Рассмотрим G/Gp^p , Пусть различны® максимальные Pjpj подгруппы группы G/G
- 124 - тогда тс есть л <6 , л«£. /Ян/tr/y /t=£*6l /4«= Рг.*О, ГДв I Р}~ I .причем Р^Р. Кроне того, Ph, Pi инвариантны, значат, их силавские подгруппы характеристические, поэтому p,«G, P^G, Значит, Р.РгР<6 - невозможно. имеет Р - циклическая. , Так как P,@-^G собственные подгруппы ь «тогда C'S^P)P>=G. Щ/?! ~Р и получали противоречие. Таким образом,, остается принять, что G/tt=P лишь одну максшЕЛьную подгруппу, значит, 4,0-?* Pt <.= $ ( тогда /Ri ~р то P,Q~P>*Q- , т.к, у группы Шмидта все нилыютентин. Обозначим через С~ Gl , вто значит, GPG). 5, Т. к. Р ~ циклическая, то G/P - абелева, значит, GS’Q- (по теореме Киллера). Допустим, что , тогда G/G абелева ж ее порядок делится на два различиях числа р и , Где В.>0 , таким образом, iP/G^p^ г , I • J , тогда силовская и является невозможно. Q , т.е. iG/bl^pPj, ( pfG'-^GfG, тогда IPGpHi-рл^IG / р-подгруппа из Р является инвариантной в G силогежсй р -подгруппой группы G , что 6. Пусть 1Р~р !, <г<х t р - подгруппа группы G . Тогда ис теореме Силова 3x&G такой,что lP^<X^,pQMG) , отсюда K^^Gj
Радикальякз классы групп. Пусть Л -некоторое множество простых чисел.Натуральное число называется Л -числом,если все его простые делители принадлежат Л Через Я‘ будем обозначать дополнение к Тс во множестве всех простых чисел. Через /?й -наибольший ^-делитель числа П ,т.( наибольший делитель,являвшийся 7Г-числом. По определению, I есть как УГ-число,так и Л'-число. Кая. дое натуральное Л можно записать в виде П=ПЯ-ПЯ,. Если G -конечная труп па, то ее порядок / 6/-*= / Пусть G имеет подгруппу А/ порядка I Glff .Тогда подгру! па А/ называется ^Г-холлеьской подгруппой или 4г" подгруппой. Определение. Конечная группа Ь называется Я’-замкиутой.еслн она содер жит инвариантную Тс -холловскую подгруппу! Определение. ^"-подгруппа -это подгруппа порядок которой является J[ -числом. Лемма I. Яояечная группа является ^-замкнутой тогда и только тог- да, когда произведение любых двух ^-елементов является снова "jf -элементом. Доказательство, I. Необходимость. Пусть G имеет инварианту® подгруппу // порядка il'll-lfy Пусть X Л-злеиенч' группа G , зиачдт,циклическая под- группа Фэ» имеет по рядок, являющийся JC -числом. По теореме 44, ,значит , А/ содержит все Т^-влементк.Е произведе- ние -элементов тове ^Г-елемент.
126 2. Достаточность. Ду';®* произведение двух 71 -елементов является ТГ-злеменод Пусть Л| -множество всех Тс -элементов группы G .Значит,если ,то a^c-/V ц /И являетяя подгруппой. Порядок:если ,то силовская уО-подгруппа hs G входит в М .Значит, [/^1= (Gift. Докажем инвариантность атой подгруппы: если Х&М ,а ,то кх>1«1<2 хл>1 ч, совраены« клементч имеют од в паковые порядки.Значит, .Кто значит,что /И инвариантна в G ,т.к. содержит вместе с каждым элементом его сопряженный. Лемма 2. Пусть А,& -инвариантные ^-замкнутые подгруппы конечной группы G .тогда Аб - Й"-замянутая инвариантная подгруппа. Докезатель стьо, Л<А а i3<i*i3irt (по условию). Заметим, что а.л . вл .т.«.подгруппа А является ха- рактеоистической в А ,а подгруппа bi характеристической в Ь и применим стр. ЮЗ ,т.е. они обе инвариантны в более широкой группе 0> .Покажем,что произведение А,Ь>Л является инвариантной ЛГ- холловской подгруппой в Л Б. л „ « 1М1^- наибольший -делитель. Заметим,что 4«л6, , #-подгруппа, она входит в Л Л 3 ,значит порядок /Л,лД| будет делвть iAnBl. Еслй сравнить,то iA.B,i>Mn Ий (*) .т.к.строгое неравенство невозможной .X"-подгруппы порядкабольиего.чем наибольший 7с ~ делитель,нет), тс lAi3j^lA8ls вЧ.т,д, Лем® 3. Всякая подгруппа и фактор-группа ^-замкнутой группы явля- ется 7с -замкнутой.
-силовская у?-подгруппа из р-подгруппа ез G ,to пс теореме Силова Тогда ^-замкнута,Если ]t -холловская подгруппа ъ .ч.т.д. G/A7 Доказав ель ств о. Пусть G -конечная 1ё -замкнутая группа,т.е. Рассмотрим A^G .Если рсЛ и f> /\ , Р -силовская найдется элемент XiG .такой что iPn^\K\ri . £ва‘1ит,подгруппа Д то U///rf -инвариантная ) /7////И= I PA\f\/Ин IА/1 • I * 1<ЗДХ Определение. Множестго групп каждой в^т * w содержатся все группы, изоморфные с G По определенен,пустое множество - класс групп. Определение. Квасе конечных грда $7 называется радикальным или классом месте с называется классом групп,если Фиттинга, если выполняются следующие два условия^: 1)в любой конечной группе G произведение любых инвариантных подгрупп из 777 снова входит в 771 ,т.е. если A^TTZ* A-^G, то Ал Д, £ MlGZ 2).Если //£<Ж? ,то К&771 , т.е. инвариантные под- группы групп,входящих в $71 .снова входят в$^. Если .то £4Жв каждое конечной группе G имеется наибольшая инвариантная подгруппа,содержащаяся в 777 ,ота подгруп- па называется 771 -радикален* и обозначается Примеры радикальных классов. 1, Пусть 771 -множество всех Л -замкнут нх групп, тогда 771 «• радикальный класс (из леммы 2 и 3). 2.Пусть 777 -множество всех конечных нильпотентных групп,тог- да 771 -радикальный класс. 2~е условие выполняется fт.е. если нядьпогептйа.го всякая ее по,кгрупя^илппо^&^п&')} 1-е -выполняется по лемме 2.
128 Пусть А, Дх -нильпотентные, юариайгиые подгруппы G ,если р -простое,то А А р-замкнуты, т.е. в F, /F имеем иявариаит- р -подгруппы, значит произведение ДА НШО' FFI -радикал в атом случае обозначается вне силовские тентно по лемме 2. F(G) и называется подгруппой Фиттинга. 3. Wig -класс всех нильпотентных -ZT-групп, это радикал! ный класс. 4 . В качестве Я-воа»мем простое чиседло р Пусть FFp -класс всех р -подгрупп.Это также радикальный класс Здесь Wlp -радикал GM? -наибольшая инвариантная р -пе.; группа группы G ,он обозначается через Op(G). 5 .Группа G называется р -нильпотентной, р - простое,ес« ли она имеет инвариантную р' -холловскую подгруппу. ^'-мно- жество всех простых чисел,за исключением р . Пусть WI -класс конечные р -нильпотентных групп -это ради-» кальный класс. FFI -радикал в етом случае обозначается через Fp(G) -обобщенная подгруппа Фиттинга, 6 .Группа G называется р -разложимой, если сна одновре- менно р- и р' -замкнута, G разлагается в прямой произведи ние: G-^Gp^G^ .Жожество всех р -разложимых конечных групп является радикальным клаессом. 7 .Ksacc всех конечны* разрешимых грутпйшляется радикальным классе к, и разрешимый радикал обозначается через S(G). 8. Конечная группа G называется Я -разрешимой, если она удовлетворяет одному из следующих равносильных требований: 1)порядки композициеяйых факторов группы G являются либо простыми числами из Л .либо ^'-числамя. 2)кавдая главный фактор группы G имеет своим порядком либо степень простого числа на р .либо 11 '-число. Если множество есть множество всех простых чисел,полу-
129 Ним обычное определение разрешимости. В общем случае "Л -разреши- мая группа не всегда разрешимая. Мяожествс всех <л -разрешимых групп является радвкальиым классом. Втс следует пз лемма 4. Лемма Подгруппы и £аатор~группы Л -разрешимой Группы также Л-разрешимы. Доказительста о. Пусть группа G .^-разрешим: рад группа G: G~Go~>G^--.z>Gt~l Рассмотрим пересечение /А л Gt -Д. Рассмотрим главный ,тогда получим рад Рассмотрим фактор-группу А^ G^/Q^ Q Gt.,/G{ Ai-f G( /G{ А.,/Аг., ri G;=Аг., /А Значит,порядки индексов ряда (*) являвюг-ck степенями 31‘ -числами.Из ионно получить простых чисел Л-разре- ИЗ Л , или шимьй рад для А. Теорема С. А. Чунихииа, Пусть G -конечная JL -разрешимая группа. Тогда выполняют- ся следующие утверждения: I) G имеет Л -холловские подгруппы и любые две из них сопряжены. 2) G ииает Л '-холловские подгруппы, причем любые две из них сопряжены. 3)Каждая Л -подгруппа содержится в некоторой X-холловс- кой подгруппе. 4)Каждая Х'-подгруппа содержится в некоторой -холлов- ской подгруппе. Обобщенная лемма Фреттини.
:зо Если Пусть К*С, Н<^К ,причем любые подгруппк*сопряженные с в G .сопряжеЯй с и. к .Тогда NtiU)K~G. А/ -силовская подгруппа из К ,то получим лету Фраттиви. Теорема IC4. Пусть G^G , %)<G , G -конечная группа. Если К/2) $'-гамкну’га,то в К ji -замкнута. Если Доказательство К/2 имеет инвариантную 7с -холловскую подгруппу К К* К ,то для К теорема дерна по.индукции,Пусть К/2) 'Л -группа; т. к. $^GP(G) ,а подгруппе Фраттини ниапотентка/ т.е.вое ее садовские подгруппы инвариантны,следовательно,если взять КОМПОЗИЦИОННЫЙ ряд ,то на участке после 2) из- за нильпотентности группы индексы являются простыми числами* А т*к, К/2) ^-группа,то участок от К и до 2) имеет индексы, ко торне являются Jt -ЧЕСиамк.Следовательно К ^-разрешима. Применим теорему Чункхвна: К обладает . 7с -холловской под- группой Н .По обобщенной лемме Фраттинй .Заметим,что К^Н'Ю .повтему ч.т.ь Следствие, Еэяечвая группа G тогда и только тогда Х-аамкнута,когда G/^G) ^-замкнута. Доказательство. ~ Достаточно положить K.G, S-W)- . Примером нерадикального класса служит класс сьет«разреш,имкх конечных групп. Теорелв 105. В каждой конечной разревимой группе G вьполвяется следувдее включение Q^F^qFiG) Cs(HF{x&Gij:/i«lxt vhеА/) ирнтрыщьатор
- 131 - Если , то . Ранее централизатор рассматривал- ся как ядро гомоморфизма. Доказательство, Ведется во аддукции. Если G~E , то теорема очевидна. Если G яаяьйотентпа, то она совпадает со своей подгруппой Фиттинга. Считаем что G не нильпотентна и считаем, что для группы ж-нь- I шего порядка теорема верна по индукции. Обозначим C-Cc,(E(G))f F^F(G) Тогда CF< G • Рассмотрим главный ряд, проходящий через рти подгруппы. т.н. С? • - - -'(.г-'. ~7 .-~Т7- главный ряд, P/F - минимальная инвариантная подгруппа Группы G/F} CF?F (иначе все доказано). Рассмотрим подгруппу // • Подгруппа Фиттин- га из /И является характеристической подгрупп* Следовательно, . Значит,РЖА р1&р(Л/) . Подгруппу G/ можно представить /Z входит в Af и перестановочна с С Значит, если" /Ft G , то по иадукции для // STo означает, что , то есть f‘/~F , что ЖА . Таким образом, нужно предположить, 6/Л" - имеет простой порядок pt (т.к. в разрешимой группе пер- вый член главного ряда имеет индексом ~ простое число), т.к. Р - характеристична, то каждая силовская подгруппа из F инвариантна в G , Докажем, что тогда G нильпотентна. докажем, что сило- вская р -подгруппа грумы G инвариантна. Имеем: CF-Gi \G/F\^p, значат G/F^ <^x.F^ - циклическая элементом -X.F , . Таким образом т.е. каждый ее элемент перестановочен с элементом группы F , Ес- ли рассмотреть /4/3^2 F> » Gt t^o , т.к, подгруппа ,z в виде: M-fMi . VnCsCjFFk- теорема верна. А мы предположил», что /FG , Тогда группа, ворсадеииая G,
- 132 - Таким образом: г<6, значит G - ниль- потентна. .Значит G-F , получили противоречие. Теорема 106. Пусть р - простое число, G р-разрешимая группа, тогда C&(FP(G))^FP(G> Доказательство аналогично предыдущему. Подгруппа Фиттинга F(G) позволяет вводить некоторые инва- рианты. Если G разрешима, то можно построить следующий ряд: E^E^E^-^frG, E-FtG) , FjE-fW/^ ^/F * В разрешимой группе подгруппа Фиттинга отлична от Е , если сама группа не равна £ . Если G ур-разрешиыа, то аналогия построения. Если (?¥ £ , тс Fp(G) ^Е Е^Е^Н^, .£ E^G -верхний ( уО-ряд ЕЕ Hr £(&/£) с~ол^_ Приблизимся к группе G , и дойдем, когда индекс IG: £] не делится на р , т,е. р~ число, тогда Е IpCG) р - дайна. G - число факторов р- ряда, порядки которых делятся на р . ! Формации. Обратимся к двойственному понятию. №асс подгрупп, который вводится благодаря этому понятию, называется формацией. Формация - это класс групп t обладавший следующие двумя свойствами: I. если G , то и любая фактор-группа группы G прина- длежит ; 2. из А//Ле/ s /7/£е/ всегда следует Н/Аа&еЦ Двойственность получается следующим образом: если в радикальном классе речь идет с инвариантных подгруппах, то здесь о фактор-груп-
- 133 - пах. Если Н//\п& ~ подпрямое произведение Н/А и М/в , то ///,ш-А//Л ®Н/В . Формация называется насыщенной, если всегда из следует <ле/" . Примеры формаций. I. класс конечных нильпотентных групп - насыщенная формация (из свойств нильпотентных групп). 2. класс всех 1с-групп - насыщенная формация. Пусть G/W) л- группа, тогда G л- замкнута и следова- тельно f где /•/ Л-холловская подгруппа. 3. класс всех р- групп - насыщенная формация. Л. класс всех Ji -замкнутых групп - насыщенная формация. 5. класс конечных разрешимых групп, образует насышениу» форма- цию. 6, класс ^-разрешимых групп - насыщенная Формация. 7, пусть кЛ - класс всех абелевых конечных груш?. Тогда W формация, но не насыщенная. Если Р - ноабелевая р -группа, то Р/Ф(Р) - элементар- ная абелевая группа, значит - не насыщенная формация. Она не является и радикальным классом. 8, Пусть 7Z? - класс всех конечных сверхразрееимых групп - это нерадикальный .класс, но он является насыщенной Формацией. Определение* Пусть GP - наименьшая инвариантная подгруппа, .фактор-груп- па которой принадлежит формации У или, другими словами: G ~ /7 К ; тогда G^ называется Л корадикалом. б<е/ Бтс не что иное, как обобщенный коммутант. В частности, если J-lTi абелева группы, то G-P Теорема 107. Пусть $ - формация, любой инвариантной подгруппы G - конечная группа. Тогда для bfaG имеет место: (GlVMW
- 134 - Доказательство: Ни определен»» фактор-группа G/Gef . рассяотрш фактор- Группу G/G^GZ—G/ZG/G /G//G (по теореме об изоморфизме). Отсада б’/Ж^е/' . поэтому (G//Zji G^GZ/GG (i), Пусть !4//G<iG//V . G//G/Z//GZ& / , тогда (?///e£ t вто значит, что Z/йб" , тогда А//Л/э6'Л0^/ (2), из (I) и (2) выте- кает, что Ц///~ (G/M^ GTGzZG Определение. Максимальная подгруппа /И группы G называется / -нор- мальней ( У~ инвариантна), если GIs G . в противном случае Д| называется /* -абиормальной. Если в атом определении У"- формация абелевых групп, то получим обычное определение инва- риантности .для максимальной подгруппы. Леша. Шксёшальная.подгруппа М «/-нормальна в G , тогда и только тогда, когда существует инвариантная подгруппа /G<G .такая, что //«Д б'/Ае/ Доказательство. ? Пусть Л1 -нормальна, тогда по определению №GtG/G^ Достаточность. Пусть имеем внваркантную подгруппу G//Ve^j jjj Рпределеяию, /G^Q , тогда /w (т.к. М - надстрое- на над /У ). Способ конструирования формаций. I. Пусть f - Функция ео следующими свойствам: I) каждому простому числу р , Функция / - сопоставляет некоторую фор- мацию -ftp) 2. Если G^t , то /(G^zCikp) t где р - пробегает все
- 135 - простые делители порядка о 3. /(£) - множество всех конечных групп. Такая функция локальным акраном. K<G , причем . Назовем I-I/K G/CjU/K)g/(H/1(). -цен- / - зазывается Определение. Цусть И, ^цетъ&хъши фактором, если Ряд инвариантных подгрупп называется / -центральным, если каждый фактор ряда трален в G Пример, поясняющей построение: пусть fip)9 £ для любого р Тогда / называется единичным экраном. Тогда / центральный т.к. каждой неедипичнсй группе ста- то через </> обозначается масс / -центральными рядами. ет ряд является центральным рядом, вися в соответствие L Е] , . Определение. Если / — локальный экран, всех конечных групп, обладающих Теорема 108, Если / — локальный нкран, то </> — формация (непус- тая). Ета формация называется локальной формацией, Доказательство, Если группа обладает / -центральным рядом, то опа облада- / -центральным главным рядом. Пусть - главный / -центральный ряд ( в силу теорегш Яордана-Гельдера). Главные факторы группы G/К будут Q -изоморфен главным факторам G на участке G^.-^K Первое условие для формаций - выполнено. Проверим второе условие: пусть А//А^<Л Рассмотрим следующий ряд: рДл Если рассмотреть £) / , Е-то Н -изоморфизм, если
- 1.36 - 4 А/ считать группой оператсфоь для всех этих групп. Воспользуем- ся условием: на участке от АЗ до 3 все главные факторы /-центральны. Надо показать, что на участке З^./рАнЗ Глав- ные факторы / -центральны. Если рассмотреть главные ряд ! то все главные факторы на участке будут / -центральны. Если рассмотреть участки Д5»--3/!, I 3 ~^АпЕ>, то ввнду АЕ/А^в/АлЗ все главные факторы А1/АлЕ будут / -центральны. , т.к. Е^р , так как Е обладает / -центральным рядом: £г/ = Е .в / -централь- . ном ряде вместо условия (1) и (2) используем (3): G/Cg (G^ /Ge) & /(Gi-r/Gi) __ (3) j Ряд с условием (3) довивается / -центральным рядом (другое оп- ределение, аквивалентное ранее приведенному). Примеры локальных формаций: i I. vp , значит такая локальная формация - вто класс нильпотентных групп </> = П 2. Если fl - некоторое множество простых чисел, ^Е] при нто класс нильпотентных 5? -групп. 3. Если р - фиксированное простое число к полагая fyl? {E]t при .то < А= пр - класс р -групп. h. - множество простых чисел и . fкласс всех групп при р^^ Г L при рЁ-^- Тогда формация </> - это класс всех 31 -групп. i
- 137 - 5» допустим hp)~ lE]/l(}) - класс всех груди для ®^Р Нокно показать, что ~ класс p -нильпотентных групп. б, Положим, что ftp) — класс абелевых конечных групп,поряд- ки элементов которых делят р-1 , Тогда </> - класс всех сверхразрешимых конечных групп. Определение, Пусть / ~ формация, Подгруппа А/ группы G пазывает- оя -проектором, если внполяязтся условия: I) А/е/ 2) Hbt~ U для любой подгруппы Gt , содержащей У Теорема 109 (ГашвЦ ) Цусть / - локальная формация. тогда каждая конечная разре- шимая группа обладает р -проектора® и любые два из них - соп- ряжены. Теорема справедлива для конечных !разреышых групп. Следствие I. Пусть гГ-<У2р , тогда проектор tt ~ р - подгруппа a h - силовская р -подгруппа группы G , Следствие 2. Пусть J — формация всех Л -групп. Тогда проектор в точности совпадает с Тс -холловской подгруппой. Следствие 3, Если в качестве Р' взять формацию всех нильпотентинх груа то р' -проектор в атом случае называется подгруппой картера. Следствие 4, Если в качестве У взять формацию свершразрешимых групп, т J" -проектор А/ можпо определить так: I) А/ сверхразрешима, 2) в любой цепочке:
- 158 - в которой кавдая предыдущая подгруппа максимальва в последующей, все индексы I : G>i-t I - непростые числа.