Author: Завьялов Ю.С. Квасов Б.И. Мирошниченко В.Л.
Tags: вычислительная математика численный анализ численные методы
Year: 1980
Text
Ю. С. Завьялов
Б. И. Квасов
ВЛ Мирошниченко
МЕТОДЫ
СПЛАЙН-ФУННЦИЙ
Ю. С. Завьялов,
Б. И. Квасов,
В. Л. Мирошниченко
МЕТОДЫ
СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
Под редакцией
Н. Н. ЯНЕНКО
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
4 980
22.19
3-13
УДК 519.6
Методы сплайн-функций. Завьялов 10. С., К в„а с о в Б. И., М и-
рошниченко В. Л.— М.: Наука. Главная редакция физико-математи-
ческой литературы, 1980.
В книге излагаются методы построения, исследования и применения
сплайн-функций в численном анализе. Наиболее подробно рассматриваются
приближение функций, численное дифференцирование и интегрирование,,
решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Изложение сравнительно простое и доступное широкому кругу читателей,,
знакомых с основами численного анализа. Книга может служить учебным
Пособием для студентов университетов и втузов.
Значительная часть результатов публикуется впервые, причем боль-
шое внимание уделяется построению алгоритмов, эффективно реализуемых
на ЭВМ. С этой точки зрения книга интересна для научных работников
и инженеров, применяющих методы сплайнов на практике.
Юрий Семенович Завьялов,
Борис Ильич Квасов,
Валерий Леонидович Мирошниченко
МЕТОДЫ СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
М., 1980 г., 352 стр. с. илл.
Редакторе. М. Цидилин
Техн, редактор И. .Ш. Аксельрод
Корректоры Г. В. Подвольская, А. Л, Ипатова
ИБ № 11249
\
Сдано в набор 05.06.80. Подписано к печати 05.11.80. Т-20603. Бумага 60x90’/ie. Тип*
№ 3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 22.9*
Тираж И 000 экз. Заказ № 192. Цена книги 1 р. 60 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
' 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука». Новосибирск, 77, ул, Станиславского, 25« ,
Зп^тоГя^40'80- 1702070000
©Издательство «Наука»*
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1980
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора . • 5 . ; » *.................... 6
Предисловие авторов ..................................... ..... . 7
Введение . . '. . . . ♦' . . . . . . .^ . *\ . 9
Г л а в а I. Пространство сплайн-фупкций . . . . . ... 15
§ 1. Определение сплайнов. Пространство сплайнов . . ... 15
§ 2. Базисные сплайны с конечными носителями ..... 18
§ 3. Нормализованные базисные сплайны и представление ими
многочленов ....... .. ......................... . . . . 23_
§ 4. Фундаментальные сплайны. Интерполяционная формула Лаг-
ранжа для сплайнов.......................................... 26
§ 5. Вычисление, сплайнов и их производных ... . . . . 29
§ 6. Сплаин-функции двух переменных на прямоугольной сетке 36
Глава II. Локальные сплайны 41
§ 1. Сплайы первой степени . . . . . * ..................41
§ 2. . Оценка’остаточного члена интерполяционного сплайна пер-
вой степени 1....................................... . . 42
§ 3. Сходимость, интерполяционного процесса. Интерполяция с'
заданной точностью .v....................................... 49 •
§ 4. Сплайны первой степени “двух переменных на прямоугольной
сетке . ................................ 54
§ 5. Эрмитовы кубические сплайны . . ..... 58
§ 6. Оценки погрешности интерполяций эрмитовыми кубическими
сплайнами ; . . ... . ... . . . . . , 60
§ 7. Интерполяция с заданной точностью эрмитовыми кубически-
ми. сплайнами* ...........................70
§ ‘8 . Другой способ интерполяции эрмитовыми кубическими сплай-
- нами ' ............................................ . 72
§9. Эрмитовы кубические сплайны двух переменных на прямо-
угольной сетке ........................................ 75
§ 10. Эрмитовы сплайны произвольной нечетной степени . . . 81
§ И.. Получение оценок погрешности интерполяции эрмитовыми
сплайнами с помощью ЭВМ . . . . . . . . . 82
§ 12. Сплайны двух переменных на нерегулярной сетке , • . 87
ГлайагШ. Кубические сплайны класса С2 » . . . , . . 96
§ 1. Задача интерполяции. Существование и единственность per - .
шения.................................................- . 96
§ .2. Оценки погрешности интерполяции. Сходимость в . классе С " 101
§ 3. Оценки погрешности интерполяции (продолжение) . . . 109
§ 4. Локальные свойства кубических сплайнов . . , . . 123
§ - 5. О выборе граничных условий и узлов интерполяции. Интер-
поляция с заданной точностью ........ 127
§ 6. гКубические сплайны, двух переменных. Существование и
’ единственность. Алгоритм , , « 131
i
ОГЛАВЛЕНИЕ
4
§ 7. Оценки погрешности интерполяции кубическими сплайнами .
двух переменных . . .............................• 136»
§ 8. Кубические 5-сплайны............................... 139»
§ 9. О применении 5-сплайнов для решения задачи интерполяции 141
§ 10. О применении 5-сплайнов для решения задачи интерполя-
ции. Случай двух переменных . . . . . . . . » 145»
Глава IV. Экстремальные свойства, сплайнов ....... 147
§ 1. Экстремальное свойство интерполяционных кубических сплай-
нов ......................................................* 147
§ 2. Сглаживание экспериментальных данных . . ’ . . . . 149
§ 3. Экстремальное, свойство интерполяционных кубических
к сплайнов двух переменных.............................. . 157
§ 4. Сглаживание экспериментальных данных. Случай двух пере-
менных ................................................... 160
Глава V. Кубические сплайны с дополнительными узлами » * 165
§ 1. Локальная интерполяция..................... ♦ . ♦ • 165-
§ 2. Оценки погрешности локальной интерполяции...............165
§ 3. Нелокальная интерполяция. Существование и единственность
решения . ...................\ ..... . 170
§ 4. Оценки погрешности нелокальной интерполяции . . . . 172
§ 5. Кубические сплайны двух переменных с дополнительными
узлами........................................... . ♦ 184:
Глава VI. Обобщенные кубические сплайны ...... 187
§ 1. Рациональные сплайны ................................. 187
§ 2. Кубические нелокальные сплайны класса С1 .... 193
§ 3. Дискретные кубические сплайны....................'. . 193
§ 4. Кубические сплайны с разрывными производными . . . 204
Глава VII. Приближение кривых и поверхностей , . . . . 207
§ 1. Параметрические сплайны . . • . . ...............207
§ 2. Интерполяция кривых локальными сплайнами ..... 209
§ 3. Интерполяция кривых параметрическими кубическими и ра- -
циональными сплайнами..................................... 215
§ 4. Сглаживание кривых . . . . . .................. 220
§ 5. Приближение поверхностей . . . . , . . . . 221 [ ¥
Глава VIII. Численное дифференцирование и интегрирование . . 225
§ 1. Численное дифференцирование . ......................... 225
§ 2. Асимптотические, формулы для кубических сплайнов класса С2 229
§ 3. Численное дифференцирование на равномерной сетке . . 232
§ 4'. Численное интегрирование........................ . 233
§ 5. Оценки погрешности формул численного интегрирования. Ин-
тегрирование с заданной точностью...........................233
§ 6. Интегрирование сильно осциллирующих функций «... 233
Глава IX. Локальная аппроксимация сплайнами . ... 243
§ 1. Простейшая формула локальной аппроксимации. Сглаживав
ющие формулы................................................243
§ 2. Аппроксимация кубическими сплайнами; простейшая фор-
мула . . . .............................245
§ 3. Аппроксимация кубическими сплайнами; формула, точная на
кубических многочленах , . ....... 250
§ 4. Общие формулы локальной аппроксимации . , . . ♦ 253
§ 5. Остаточный член аппроксимации, , . . . » • . • » 259
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 6. О сплайнах, периодических на сетке . « . * . . 263
z § 7. Моносплайны................................... . . . 267
§ 8. О задаче квазинаилучшего равномерного приближения сплай-
нами. Асимптотически наилучшие приближения . ’ . 276
§ 9. Асимптотически наилучшие равномерные приближения
сплайнами первой степени •...................................280
§ 10. Квазиинтерполяция и квазинаилучшие равномерные прибли-
жения кубическими сплайнами.............................. « 281
Глава X. Метод сплайн-коллокации . . , . . . . • 284
§ 1. Понятие о методе сплайн-коллокации......................284
§ 2. Сведение схем метода сплайн-коллокации к разностным схе-
мам ........................................ * . . .х • 286
§ 3. Использование ^-сплайнов в методе сплайн-коллокации . . 289
§ 4. Метод сплайн-коллокации для уравнений с разрывными коэф-
фициентами .............................................. 294
§ 5. Схемы повышенной точности на равномерной сетке . . . 296
§ 6. Схема повышенной точности на неравномерной сетке . . 299
§ 7. Обсуждение результатов. Численные эксперименты . . . 304
Глава XI. Метод конечных элементов х . . . . . • 309
§ 1. Понятие о методе конечных элементов...................< 309
. § 2.. Примёры реализации метода на сплайнах . . . . . . 315
§ 3. Способы построения пространств аппроксимирующих функций 324
§ 4. Сходимость метода конечных элементов....................328
Добавления ................................................... 333
§ 1.» Матрицы с диагональным преобладанием................. 333
2 . Метод прогонки для решения систем уравнений с трехдиаго-
нальными матрицами .................................. .... 336
§ 3. Алгоритмы решения систем уравнений с пятидиагольными
матрицами . ♦ . . . ; . . . ................342
Литература ..... . ......................346
Предметный указатель * • . . ♦ • ; . . • ♦ . • • 351
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА’
Сплайн-функции — это новая быстро развивающаяся область*
теории приближения функций и численного анализа. Получив
распространение в 60-х годах, главным образом как средство ин-
терполяции сложных кривых, сплайны в дальнейшем стали важ-
ным методом для решения разнообразных задач вычислительной
математики и прикладной геометрии. Крупный вклад в развитие
теории сплайн-функций и €>е приложений внесли сибирские г
ученые. . ~ ,
По сравнению с классическим аппаратом приближения много-
членами. сплайн-функции обладают по крайней мере двумя важ-
ными преимуществами. Во-первых, бесспорно, лучшими аппрок- •
симативными свойствами и, во-вторых, удобством реализации
построенных на их основе алгоритмов на ЭВМ. Хотя в мировой
литературе имеется уже около десятка монографий по теории
сплайнов, но среди них нет такой, где бы вычислительная сторо-
на дела для широкого круга задач была отражена с достаточной
полнотой.
Предлагаемая читателю книга восполняет этот пробел. Она
представляет собой, с одной стороны, введение в теорию сплайн-
функций, а с другой — подробное изложение сплайновых методов
в численном анализе с алгоритмами и рекомендациями по их
практической реализации на ЭВМ. При этом без ущерба для
математической строгости авторам удалось ограничиться такими
сведениями, из математического анализа, которые входят в ву-
зовские программы инженерных специальностей с повышенной
математической подготовкой, что делает книгу доступной самому
широкому кругу читателей.
Н. Н. Яненко
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Методы сплайн-функций в настоящее время широко приме-
няются. в вычислительной математике и инженерной практике.
Между тем, существующие по данной проблеме монографии ад-
ресованы в первую очередь математикам, занимающимся теорией
сплайнов или обоснованием ее приложений в численном анализе,
и не содержат систематической информации о . вычислительной z
специфике сплайнов. При написании этой книги авторы стре-
мились, во-первых, создать пособие для изучающих основы тео-
рии сплайн-функций и, во-вторых, дать практическое руковод-
ство для широкого круга специалистов, использующих сплайны
при решении конкретных задач.
При отборе материала авторы учитывали накопленный ими
опыт по применению сплайновых методов в вычислительной '
практике. Большое внимание уделено вопросам аппроксимации
функций одной и двух переменных, а также аппроксимации кри- *-
вых и поверхностей. Особенно детально исследуются сплайны
невысоких степеней (первой и третьей); хорошо зарекомендовав-
шие себя при решении самых разнообразных задач. Чтобы в
оценках погрешности приближений получать достаточно «хоро-
шие» или даже точные константы, пригодные для практического
использования (чего нет в существующих руководствах), разра-
ботан метод их вычисления с применением ЭВМ. Достаточно
полно изложены задачи сглаживания экспериментальных данных, >
непосредственно примыкающие к проблемам аппроксимации. На
основе изучения аппроксимаций рассмотрены методы численного
дифференцирования и интегрирования функций. Последние, гла-
вы книги посвящены численному решению дифференциальных
уравнений методом сплайн-коллокации и методом конечных эле-
ментов. К сожалению, в силу ограниченности объема книги х
оказалось возможным привести только самые простые задачи для
линейных обыкновенных уравнений и уравнений в частных про-
изводных эллиптического, типа с двумя независимыми перемен- ’
ными. Все рассмотренные в книге задачи доведены до алгорит-
мов, пригодных для практической реализации. Они иллюстриру-
ются большим количеством численных примеров. Исключение
составляет метод конечных элементов, для которого такие при-
меры мощдо найти в специальных руководствах [24, 27]. Часть
результатов^ представленных в книге, публикуется впервые.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Задавшись целью сделать книгу доступной возможно боль-»
шему кругу читателей без ущерба к требованиям математической
строгости доказательств, авторам пришлось в ряде вопросов
пойти на отказ от общности результатов в пользу конкретных
примеров. При изложении материала учтен опыт преподавания
методов сплайн-функций в Новосибирском государственном уни-
верситете. Для чтения книги достаточно математической подго-»
товки в пределах общих вузовских курсов по специальности
«прикладная математика» и инженерным специальностям с рас*»
ширенной программой по математике.
В список литературы включены источники, непосредственно
использовавшиеся авторами при написании книги. Из других
работ приводятся те, которые близко примыкают к содержанию
книги, расширяя и углубляя рассмотренные в ней вопросы. Под-
робные библиографические обзоры имеются в цитируемых моно-
графиях [1, 4, 10, 23, 27, 29L Практически полная библиография
работ по 1972 г. включительно содержится в [28]. Для лемм,
теорем, следствий, таблиц и рисунков принята двойная индекса-
ция по главам (теорема 1.3 — глава I, теорема 3). Нумерация
формул производится по параграфам. В случае ссылки на фор-
мулы из другого параграфа применяется двойной индекс, а на
формулы из другой главы — тройной индекс, например, (2.9.3) —
глава II, параграф 9, формула 3). Если вместо первой /цифры
стоит буква Д, то это означает ссылку на добавления в конце
книги.
Авторы считают своим долгом > отметить, что исследования по
теории сплайн-функций и ее приложениям в вычислительной
математике и инженерном деле, начатые в середине 60-х годов
в Новосибирском научном центре АН СССР, пользовались неиз-
менной поддержкой академиков Г. И. Марчука, С. Л. Соболева,
Н. Н.. Яненко. В процессе работы над книгой авторы имели по-
лезные обсуждения отдельных вопросов с профессором Г. Ш. Ру-»
бинштейном, а также с В. В. Вершининым, А. И. Имамовым,
В. А. Леусом, В. А. Скороспеловым, С. И. Фадеевым, Б. М. Шу-
миловым. Всем названным лицам авторы выражают искреннюю
благодарность.
Ю. С. Завьялов,
Б. И. Квасов,
В. Л. Мирошниченко
ВВЕДЕНИЕ
Большинство численных методов решения задач математиче-
ского анализа так или иначе связано с аппроксимацией функций.
Это и собственно задачи приближения функций (интерполяция,
сглаживание, наилучшие приближения) и задачи, в которых
аппроксимация присутствует как промежуточны^ этап исследо-
вания (численное дифференцирование и интегрирование, числен-
ное решение дифференциальных и интегральных уравнений).
Типичной задачей приближения является задача интерполя-
ции: по заданной таблице чисел (я,, /(я,)), г = 0, ..., N, восста-
новить функцию /(я) с той или иной точностью на отрезке [а, Ь]
действительной оси. Классический метод ее решения состоит в
построении интерполяционного многочлена Лагранжа, определяе-
мого равенством •
N cd (я) N
Ln (#) IS / (#i) - “ ~ -J (Ojv (ж) = JJ (х Xi),
i=0 ix “ xi) ®N ixi) *=0
Хотя согласно теореме Вейерштрасса всякая непрерывная
функция fix) на отрезке [а, Ь] может быть как угодно хорошо
приближена многочленами, практические возможности примене-
ния многочленов Лагранжа ограничены.. Прежде всего, исполь-
зуя подобный аппарат, мы должны быть уверены, что, выбрав
достаточно большое число узлов интерполяции, получим хорошее
приближение интерполируемой функции. Однако, как показывает
ряд простых примеров, это часто нельзя гарантировать.
С. Н. Бернштейном (1916 г.) было установлено, что последо-
вательность интерполяционных многочленов Лагранжа {L#ix)},
построенных для непрерывной функции fix) = Ы на отрезке*
[—1, 1] по равноотстоящим узлам ixo1, xN = 1), с возраста-
нием N не стремится к fix). Еще более любопытен другой при-
мер, восходящий к Рунге (1901 г.) и состоящий в том, что ука-
занный интерполяционный процесс не сходится на [—1, 1] даже
для гладкой сколь угодно раз дифференцируемой, функции fix) =
=. (1 + 25а:2)”1 (рис. 0.1). В обоих случаях
lim max | f (x) — ix) | = oo.
N-»oo —
Иногда эти трудности удается преодолеть путем специального
10 ,
ВВЕДЕНИЕ
выбора узлов интерполяции или за счет перехода к каким-либо
обобщенным многочленам. Однако такой путь, как правило, весь-
ма усложняет вычисления и к тому же не избавляет нас от
вторбй проблемы — быстрого накопления ошибок округления
с ростом степени многочлена. Поэтому на практике для того, что-
бы достаточно хорошо приблизить функцию, вместо построения
интерполяционного многочле-
на высокой степени исполь-
зуют интерполяцию кусоч-
ными многочленами.
Примером такого рода яв-
ляется кусочно-линейная ин-
терполяция. В общем слуг
чае отрезок [a, &L точками
а = Во < <...-< Вп = Ь раз-
бивается на части и' на каж-
дом -промежутке [&, gi+i],
i = 0, ..., тг — 1, строится
свой интерполяционный мно-
гочлен. Полученные таким
образом многочлены (обыч-
но одной * и той же сте-
пени) дают интерполяцию
функции /(ж) на всем отрез-
ке [а, Ы, которая, вообще
говоря, не обеспечивает глад-
кого перехода от одного звет
на к другому и может быть
даже разрывной, если точки
gi, i = l, . ..,*n—1, не вклю-
чаются в число узлов ин-
терполяции. Это допустимо, если не требуется восстанавливать
функцию с заданной степенью гладкости. В частности, различные
таблицы составляются с таким шагом, чтобы промежуточные
значения функции с принятой точностью можно было вычислить
в с помощью линейной или квадратичной “интерполяции. Для глад-
кого восстановления таблично заданной функции нужно увели-
чить степень составляющих многочленов, а остающиеся свобод-
ными коэффициенты определять из условий гладкого сопряжения
многочленов на соседних промежутках. Получающиеся при этом
гладкие кусочно-многочленные функции с однородной структу-
рой (составленные из многочленов одной и той же степени) на-
зываются сплайн-функциями или просто сплайнами. Простейший
и исторически самый старый пример сплайна — ломаная.
Термин сплайн произошел от английского spline, что в пере-
своде означает рейка, стержень — название приспособления, кото-
ВВЕДЕНИЕ
11
рое применяли чертежники для проведения гладких кривых через
заданные точки. Возьмем гибкую стальную линейку, поставим
ее на ребро и, закрепив один конец в заданной точке (#о, /(#о)),
поместим между опорами, которые располагаются так, чтобы ли-
нейка проходила через заданные точки (рис. 0.2).. Согласно
закону Бернулли — Эйлера линеаризованное дифференциальное
уравнение изогнутой оси линейки имеет вид
' EIS"ix) = -Mix),
где S" (х) — вторая производная прогиба, М(х) — изгибающий
момент, изменяющийся линейно от одной точки опоры к другой,
EI — жесткость. Проинтегрировав* это уравнение, получим, что
функция S(х), описывающая профиль линейки, является кубиче-
ским многочленом между двумя соседними точками опоры и
дважды непрерывно дифференцируемой функцией на всем про-
межутке интегрирования. Для определенности задачи на концах
должны быть заданы краевые условия, в частности, при отсут-
ствии внешних нагрузок на линейку Sz/W =S"(;U ===0.
Функция Six) представляет собой другой пример, (теперь уже
гладкого) сплайна. Она относится к интерполяционным кубичес-
ким сплайнам, обладающим рядом замечательных свойств, кото-
рые и обеспечили им успех в приложениях.
’ В отличие от интерполяционных многочленов Лагранжа, по-
следовательность интерполяционных кубических сплайнов на
равномерной сетке узлов всегда сходится к интерполируемой не-
прерывной функции, причем сходимость повышается с улучше-
нием дифференциальных свойств функции /(ж). Так, для функции
fix) « (1 + 25а:2)-1 из примера Рунге кубический сплайн на сет-
ке с числом узлов N » 6 дает погрешность того же порядка, что
, и многочлен L$ix)9 но для 7V = 21ona настолько мала, что в мас-
штабах рис. 0.1 не может быть показана (ср. с многочленом
£го(я)). :
Алгоритмы построения кубических сплайнов являются весьма
. простыми и эффективно реализуются на ЭВМ, причем влияние
ошибок округления при вычислениях оказывается незначительным.
Кроме того, кубические сплайны обладают интересными
f экстремальными свойствами, связанными с тем фактом, что про-
12
ВВЕДЕНИЕ
филь рейки, проходящей через заданные точки с краевыми усло-
виями S'(x0) = f(xQ) и S'(xN) = f(xjf) или S" (xQ) = S" (xn) = 0,
принимает форму, при которой потенциальная энергия рейки ми-
нимальна. В линейном приближении это выражается соотноше-
нием
ъ ъ
If&ffdx, •
а а
где равенство имеет место только для f(x) = S(x).
Исследование двух проблем — интерполяции функций сплай-
нами и оптимальной аппроксимации линейных функционалов, где
точными решениями оказываются сплайн-функции,— привело в
настоящее время к образованию двух направлений в теории
сплайнов: алгебраического и вариационного.
В первом из них сплайны трактуются как некоторые гладкие
кусочно-многочленные (включая обобщенные многочлены) функ-
ции с однородной структурой. Сюда относятся так называемые
L-сплайны, составляемые из решений линейного однородного
дифференциального уравнения LS{x) = 0. Случай кубических
сплайнов соответствует L = d4dx* [1, 4]. Решение задач аппрок-
симации и изучение аппроксимативных свойств сплайнов при
этом ’ сводятся к исследованию линейных алгебраических систем.
Вопрос об экстремальных свойствах является здесь производным
в том смысле, что отыскиваются постановки вариационных задач,
решениями которых были бы сплайн-функции.
В вариационном направлении под сплайнами понимают эле-
менты гильбертовых (или банаховых) пространств, минимизирую-
щие определенные функционалы, а затем исследуются свойства
этих решений. В некоторых работах понятие сплайнов распро-
страняется и на такие объекты, которые не являются сплайнами
в первом смысле.
В предлагаемой читателю книге рассматривается алгебраи-
ческий подход в теории сплайнов, преимуществом которого (пе-
ред вариационным) является простота изложения и большая бли-
зость к практическим потребностям вычислительной математики.
Укажем на некоторые особенности в. реализации этого подхода.
Бурное развитие теории сплайн-функций одной переменной
как аппарата численного анализа было обусловлено главным об-
разом двумя причинами: 1) хорошей; сходимостью сплайнов к
аппроксимируемым объектам; 2) простотой в реализации алго-
ритмов построения сплайнов на ЭВМ.
Обращаясь к сплайн-функциям многих переменных, прихо-
дится признать, что если мы хотим сохранить для них эти два
свойства, установленные для одномерных сплайнов, то неизбежно
должны ограничиться функциями с клеточной структурой. Под
ВВЕДЕНИЕ
13
этим мы понимаем функции, область определения которых раз-
делена на ячейки (в плоском случае прямоугольники, треуголь-
ники и т. п., в многомерном — параллелепипеды, пирамиды
и т. nJ. В каждой ячейке функция определена в некотором смыс-
ле однородным способом с условиями гладкости вдоль границ
ячеек. При интерполировании функций многих переменных для
сплайнов, в отличие от многочленов, не возникает особых труд-
ностей с проблемой существования и единственности решения.
'Для областей, разделенных на прямоугольники (параллелепи-
педы), тенденция в развитии многомерных сплайнов состоит в их
рассмотрении как тензорного произведения одномерных сплайнов,
что обеспечивает сохранение свойств сходимости и алгоритмич-^
ности, а во многих задачах — и экстремальных свойств. Кроме~
того, вскрыта тесная связь этого направления с теорией конечно-
разностных схем. Идея триангуляции области реализована в ма-
тематической физике в методе конечных элементов, когда реше-
ние вариационной задачи строится в виде сплайн-функции.
Опыт применения сплайн-функций как аппарата приближе-
ния функций в численном анализе показывает, что во всех из-
вестных случаях удавалось добиться ощутимых результатов по
сравнению с классическим аппаратом многочленов. В одних за-
дачах переход к сплайнам приводит к повышению точности ре-
зультатов, в других — к значительному сокращению вычислитель-
ных затрат, в третьих — достигаются оба эффекта одновременно.
Наконец, с помощью сплайнов удалось решить и такие задачи,
которые другим путем решить было бы невозможно. ч
Среди них на первом месте стоит проблема представления и .
хранения геометрической информации в самых различных облас-
тях знания, будь то естественные науки, техника, архитектура,
картография. Традиционно в. более или менее сложных ситуа-
циях эта задача решается путем изображения объекта или про-
цесса на плоскости в виде графиков, чертежей и т. п. Вследствие
ограниченности масштабов изображений этот способ принципи-
ально не может обеспечить требуемую точность во всех случаях.
Применение для данных целей сплайнов (как одной, так и мно-
гих переменных) позволяет хранить геометрическую информацию
в числовой форме и % любой точностью. При обработке инфор-
мации на ЭВМ /использование сплайнов позволяет на единой
методологической основе разрабатывать математическое обеспе-
чение средств машинной графики (графопостроители и дисплеи).
Особенно широкое применение получили сплайны в технике
как аппарат для математического моделирования поверхностей
деталей и агрегатов сложной формы, таких, как аэродинамичес-
кие обводы летательных аппаратов, корпуса судов, лопасти гиде
ротурбин (рис. 0.3), кузова легковых автомобилей и т. п. Такие
математические модели стали необходимыми при создании систем
14
ВВЕДЕНИЕ
автоматизации проектирования изделий на основе ЭВМ, техноло-
гической подготовки их производства, включая разработку про-
грамм для оборудования с цифровым программным управлением.
В математической ’физике всегда были популярны метод кол*
локации и вариационный метод Ритца — Галеркина решения
краевых задач для дифференциальных. уравнений. Но их приме-
нение на базе многочленов было весьма ограниченным из-за
больших вычислительных трудностей. Перевод 'этих методов на
сплайновую основу буквально вдохнул в них новую жизнь. Про-
гресс был столь значителен, что новые варианты методов полу*
чили специальные названия: метод сплайн-коллокации и мётод
конечных элементов.
Область применения сплайнов непрерывно растет.
Литература к введению. [1—4,10,13,14,23,97,98].
Г л а в а I
ПРОСТРАНСТВО СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
В этой главе вводятся основные понятия теории сплайнов,
необходимые для изучения сплайновых аппроксимаций. В зада-
чах приближения заданной функции, принадлежащей некоторому
линейному множеству, аппроксимирующая функция обычно отыс-
кивается среди элементов конечномерного подпространства этого
множества. В линейном множестве вещественных функций таким
подпространством является, например, пространство многочленов
степени не выше заданной/ Здесь мы покажем, что сплайны за-
данной степени и гладкости с узлами на фиксированном разбие-
нии тоже образуют конечномерное пространство. Будут рассмот-
рены некоторые наиболее, употребительные базисы в этом про-
странстве, а также вопросы организации вычислений с помощью
базисных сплайнов.
§ 1. Определение сплайнов. Пространство сплайнов
Пусть на отрезке [а, Ы задано разбиение А: а =
... < xN=b. Для целого к Q через Ск = Ск[а, Ь] обозначим мно-
жество к раз непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций,
а через Ь] — множество кусочно-непрерывных'функций с -
точками разрыва первого рода.
? Определение. Функция Sny(x) называется сплайном сте-
пени п дефекта v (v — целое число, O^v^n+l) с узлами на
сетке А, если
а) на каждом отрезке [#<, #i4iJ функция SntAx) является мно-
гочленом степени п, т. ё. , • * V
Sn,v(x) = 2 <4 (я — я$)а Для х^ {хь xi+1l, i=0, ..N—1; (1)
б) Sn.v(x)^Cn~v[a, Ь].
Определение сплайна имеет смысл и на всей вещественной
осщ если положить а = — Ь = + <». На каждом отрезке
[х{, .^4|] для сплайна, помимо формулы (1), возможно пред-
ставление
* = 0,' (2)
а=о
16 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО СПЛАЙН-ФУНКЦИЯ
рядка n — v.
При этом на полуоси (—«>, берется только формула (2), а на
полуоси 00) только формула (1).
Итак, сплавин Sn,v(x) имеет непрерывные производные до по-
сплайна порядка выше п — у, вообще
говоря, терпят разрывы в точках
i® 1, ..., N — 1. Для определенно-
* сти будем считать, что функция
r>n-V, непрерывна спра-
ва, т. е.
= О*<+0),
г = n — v+ 1, ..., n;
i — 1, ..., N — lr
Множество сплайнов, удовлетво- ,
ряющих определению, обозначим че-
рез Sn.v(A).' Ясно, что этому множе-
ству принадлежат и сплайны степе- .
ни п дефекта vj < v и сплайны сте-
пени п\ < п дефекта Vi < v, если п\ — vj > п — v, в том числе
многочлены степени не выше п. Так как обычные операции
сложения элементов из 5n,v(A) и их умножения на действитель-
ные числа не выводят за пределы множества, то оно является
линейным множеством или линейным пространством.
Простейшим примером сплайна является единичная функция
Хевисайда
ew-la и₽” *>2’
. (О при х <. О,
с которой естественным образом связана усеченная степенная
функция х
х1 = х-е(х) = 1хП лри ж>0’
х+-х V(X) | 0 при х<0'
Функции 0(х) и 4 являются сплайнами соответственно ну-
левой степени и степени п дефекта 1 с единственным узлом в
нулевой точке (рис. 1.1). Мы будем рассматривать также усечен-
ные степенные функции (х — xi)+ > связанные с точками сетки
А. При п — v + 1 а п они принадлежат множеству 5пл(Ак
Теорема 1.1. Функции
х<\ а = 0, ..., п,
(#—#{)+, а' = тг — v + 1, ..., п (1 v п + 1), (3)
2 = 1, ...,7V-1,
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЛАЙНОВ. ПРОСТРАНСТВО СПЛАЙНОВ 17
линейно независимы и образуют базис в пространстве Sntv(&) .
размерности (п + 1) + v(Af — 1).
Доказательство. Предположим противное, т. е. что су-
ществуют постоянные с^ и не все равные нулю и такие,
что
п N—1 п
S 4“ 3 2 са'(х — хг)+ ~ 0.
a=o 1=1 a'=n—v+1
Тогда для xCxi имеем с? + с^х 4-..• + СпХп = 0 и. в силу
линейной независимости функций ха находим с® = 0, a = 0, ..., п.
Беря х е (хь хъ\ получаем Cn-v+i (х — Xy}n-v+r +... + с\ (х —
— хг)п = 0 и, по той же причине, с^ = 0, а' = п— v + 1, ..., п.
Продолжая этот процесс, убеждаемся, что все с^ = 0. Следова-
тельно, функции (3) линейно независимы.
Пусть теперь задан сплайн 5n,v(#). На отрезке lx{,
i = 0, ..., N—1 он является многочленом степени п, Рп(х), й
может быть записан в виде (1) или (2). При этом, так как пер-
вые п — v производных сплайна непрерывны в * точках xh т. е.
[Рп-1 (ж«)](Г) = [Н (я«)](Г), Г = 0, .... п — у, ТО < = Ьа-1, '
a = 0,..., п —• v; i = 1, ..., N — 1;
Покажем, что сплайн Sn,^x) на отрезке [а, Ь] может быть
представлен в виде'
N—1 п .
. Sn,v(x) = P№)+ 3 IS с^(х-х^', ' (4> /
1=1 a'=n—v-hi
1 1 11—1
где Са' ~ аа/ — оа' . .
Действительно, преобразуя это выражение при х [#<, xi4 J;
получаем.
п г п
(х) = 2 (х — хо)а + S jZj са' (х хр)а
а=0 . a'=n—v+1
п п
= 2 &а(х — Xt)a + 2 (аа' — (х — Xj)a 4*
а=о <x'=n—v+1
+ ij 3 са'(х— хр)а' = 3 а^х—х^ + \
р—2 a'=n—v+1 а=0
+ 2 2 (X — ХР)а’ = ...= 2 «а (Ж — «»)а = Рй {Х\
8?=2 а'=п—v-И а=о ,
Это доказывает, что всякий сплайн S{x) 5n,v(A) может быть
представлен в виде линейной комбинации функций (3), т. е. эти
2 Ю. С, Завьялов и др.
18
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
«функции образуют базис в и представление (4) единст-
венно. Эта формула называется представлением сплайна в виде
суммы усеченных степенных функций. Итак, множество 5n,v(А)
является конечномерным про-
странством размерности п +
+ l + v(2V —1).
Задачи, а) Показать, что
функции х, я+, |z| образуют линей-
ную зависимую систему. ,
б) Записать функцию, изобра-
женную на рис. 1.2,4 виде линейной
комбинации усеченных степенных
функций первой степени. ~
О т в е т. /(я) = (я4-2)+—(я-|-
+ 1)+(л: — 1)++ (а; — 2)+.
в) Показать, что произвольная непрерывная кусочно-линейная функция
ах + д, х
сх + d,
' S (х) =
может быть записана в виде
S(x) = ах + b + Ci (х — |) +, С[ — с — а.
г) Показать, что многочлен Рп (х) при х > xQ может быть записан
в виде • ' ;
если х-п <
е °
Рп (х) = 2 . сР (х —
/ р=—п
. < Х-I <. Xq, р === —п, ..., — 1.
§ 2. Базисные сплайны с конечными носителями
В математическом анализе встречаются конструкции, связан-
ные с финитными функциями, т. е. гладкими функциями, кото-
рые определяются на всей действительной оси, но отличны от
нуля лишь на некотором конечном интервале (носителе). Ниже
мы исследуем финитные сплайны, из пространства-Sn,i( А) В по-
следующем изложении они играют исключительно важную роль.
Расширим сетку А, добавив дополнительно точки
X—п Х—1 а^ z b Xjf^. 1
(можно положить, например, x_t = xq — i(xi — xq), xN+i = xN +
+ i(xN — xN-d, i»l, n).
Возьмем функцию фп(я, t) = (—l)n+l(n+ l)(x — £)” и постро-
им для нее разделенные разности (п + 1)-го порядка по значе-
ниям аргумента t = х<, ..., Хцп+\- В результате получаются функ-
ций переменной х: . *
Вп(ж) = ФпI»; ...,Xi+n+i\, i = — (1) .
§ 2. БАЗИСНЫЕ СПЛАЙНЫ С КОНЕЧНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ ,
Так как для разделенной разности (п + 1)-го порядка от функ-
ции g(t) по точкам Xi, ..., Хцп+i справедливо равенство
g (хр) i-HH-l
ё 1хи • • •> жг+п+1] ==* ,/ / к» Фп+1,г (0 = JLL О хэ) ?
~ ®п+1Л\хр) 5=г
[2, с. 38], то
$+п+1- \п -
в1п\х) = (- 1)»+1 (n +1) 2 -¥~Д+-, I = - п, ;.., N—1. (2>
р=г °п4-13 \хр)
Если использовать тождество
(х - о+ = (* - on+(- i)n+ia-
то можно получить несколько ипуй) форму записи этой функции:
г+п-Ы п . -
М(*)~(п + 1) 2 Л. i =
®п+1,г (хр)
Из определения усеченных степенных функций следует,
функция Вп(^) является сплайном степени п дефекта 1
сетке узлов х^ ..., Хцп+\.
Лемма 1.1. Справедливо тождество
' m 5п И - х Bn-i (*) + ХХ+П+^1В^).
Л ”Г 1 xi Я|+п+1 •— Ж.
Доказательство. Если g(t) == g{(t)g2(t), то разделенная
разность функции g(t) по точкам Xi, /Хц1 может быть вычислена
по формуле Лейбница:
g[xh Zi+l] === g\(Xi)g2lXi, Zi+1] + gittfi, Xi+l]g2(Xi+t). "
Для разности (тгЧ-1)-го порядка путем рассуждений по индук- ,
ции нетрудно получить
_ ' г+n+l
g [#i,r« • •, ^г+n+l] = S £1 [Я'Ь • • •> Я'Н-р] ?2 1хг+р> • • •? ^i+n+il*
Р—г ' .
Представим функцию фп(я, t) в виде фп(я,
е= —- фп-! (х, t) х) и построим ее разделенную разность'
(п+ 1)-го порядка по формуле Лейбница. Получим
(3> \
ЧТО
на
(4>
фп • • • j ^г+п4-11 _ {ф?}—•-• •> З'г+п]Ч-
Ч~фп—ll^ #г» • • • > ^i+n+iK^i-kn-bl ^)}= - {фп—1 [#,* • • • э *^г+п1 Ч~
+ ' --Г (фп—1 [#> xi+l> • • •, #i+n-hll — фп—1 lxi Xi,
xi+n+l хг „
2*
20 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
Отсюда, если учесть определение сплайнов Вп(х) (1), следует
тождество (4). " ,
Лемма 1.2. Сплайны Вгп(х\ г = — п, ... 1, обладают
следующими свойствами:
ач R to(>0 длЯ x^(xi,xi+n+i),
a) для x^(xi,xi+n+J);, (5)
4-00 . * \
б) }В*п(х)<1х=1. - „ (6)
Доказательство. Функция фп(я, t) равна нулю при
и является многочленом степени п от х при x^tt Поэтому ее
разделенные разности (п+О-гО порядка по значениям аргумен-
та t*=xi, ..., я1+п41 тождественно равны нулю при х х{ и
х > Xi+n* 1, т. е. Вп (х) ^0, х^ (xh Zi+n+x). Внутри интервала
(х^ Xi+n+i) Bn (х) > 0. В самом деле, при п — 0 . согласно (2)
В1(х) = (х^— Х|)-1>>0 . Пусть, далее, утверждение а) верно
при п «= I — 1. Тогда при п = I в силу (4) на интервале (я», ^<+hj)
функция В\ (х) является линейной^комбинацией с положитель-
ными весами функций В^1(х) и Blti(x),. причем по предпо-
ложению в произвольной точке указанного интервала хотя бы
одна из этих функций больше нуля. Следовательно, В\ (х) > О
для х^ (xh #i+z+1], и утверждение а) установлено.
Докажем утверждение б). Всякую п + 1 раз непрерывно диф-
ференцируемую функцию g(t) на промежутке а < t Ь можно
представить формулой Тейлора с остаточным членом в интеграль-
ной форме:
g (0 = g(<0 + g! (*) (t - a) + .. .+
ь
+ - (a)-„j ~a}n + (* ~ T)+ g(ro+1) fr) (7)
a
Здесь под знаком интеграла вместо обычного сомножителя (t — т)п
стоит усеченная степенная функция, что позволяет заменить пе-
ременный верхний предел t постоянной величиной Ь. Из (7) сле-
дует разностное соотношение
g [04, ..., 2 —тЦ g(n+1) (т) dT>
где а Хц ..., Xi+n+i С Ъ. Так как
~(n+l) zt\
g [Хг> • • •» ЯЧ4-П4-1] 1 Д'» Ь €= (#г> ^г4-п4-1)>
§ 2. БАЗИСНЫЕ СПЛАЙНЫ С КОНЕЧНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ 21
(2, с. 40], то, полагая g(x) «»яп+1, получаем ' У
.1=3 .(» + !) У ^—2±dx^\Bn(i)dn.
a (Р=г ^n+l.i^p) а
Поскольку Вп(х)^0 вне интервала (а, Ь), то это равенство
совпадает с (6) и лемма доказана.
Лемма 1.3. Функции Вп (х) являются сплайнами степе-
ни п дефекта 1 с конечными носителями минимальной длины.
Доказательство. Предположим, что существует сплайн
Six) ^Sn, л (А), отличный от нуля на ~ интервале, меньшем, чем
Xi+n+ih Такой интервал, очевидно, не может иметь границей
точку, не являющуюся узлом сетки А. Поэтому пусть это будет
интервал (х<9 xi+n).
• Возьмем представление сплайна дефекта v = 1< через усечен-
ные степенные функции (1.4). Вследствие того, что Six) 0 при
.х х^ в этом представлении аа = 0, а = 0, ..., п; Сп == 0, р ==
= 0, ..., i— 1. Так как при я>^+п, то ее производные
до порядка п — 1 равны нулю в точке xi+n. Имеем
i+n-l
S Cn(^i+n — ^p)+-r = 0» r = 0, — 1. , -
Р=1
Последние равенства представляют собой однородную систему
линейных уравнений для определения коэффициентов с«, р
= i, i + n— 1. Ее определитель пропорционален определителю
Вандермонда n-го порядка, который отличен от нуля, и система
имеет только нулевое решение. Наконец, из того же условия *
S(x) s* 0 при х > Xi+n следует, что Сп — 0, р == k-f п, ..., N 1.
Значит, Sn,iU) s 0 на [а, Ы, и. лемма доказана.
Теорема 1.2. Функции Вп(х), i =— n^...^N—1, ли-
нейно независимы и образуют базис в пространстве сплайнов
Sft,i(A). .
Доказательство. Покажем сначала линейную независи-
мость функций Вп(х}, i = — n,...,N — 1, на всей действи-
тельной оси. Предположим противное, т. е. что существуют, такие
постоянные с^п, ..i, не все равные нулю, что
(®) + .. . + CN-rBi-1 (х) = 0. (8)
Выбирая х^(х_п, я-n+i], получаем, что с_пВпП (%) ~ 0 и, зна-
чит, с-п в 0. Беря затем х е (гс_п+1, x_n±z), находим, что c-n+i = О
и т. д., т. е. £<==0, i = —n9 ..., TV—1. Следовательно, функции
Вп(х) линейно независимы на (—«>, +°°}.
22 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
л
Предположим теперь, что соотношение (8) выполняется толь-
ко на [а, Ь]. Это значит, что на отрезках [xt, xi+i] обращаются
в нули сплайны вида
Si(x)^ci-nBk~n(x)^-...-j-ciBl(x), 1 = 0, АГ-1.
Каждый из них отличен от нуля самое большее на интервале*
(х^п, х?+п41). Поэтому из предположения 5г‘Ы^0 при.яе
е [#i, #i+i] согласно доказательству леммы 3 следует, что S*(x)&
Е0 на интервалах (ж<-п, хй и (^+i, xi+n^\)^ а значит, и на всей
действительной оси. В силу линейной независимости функций
Вп(х) на (—«>, +°°) должно быть ср = 0, р = i — п, . о, г, и это?
для всех i « 0, ..., N — 1.
Таким образом, функции Z?n (я), i — тг, ..., АГ — 1; линей-
но независимыми так как согласно теореме 1.1 размерность про-
странства 5пд(Д) равна п + N, w они образуют базис в этом
пространстве. Теорема доказана.
Функции Вп (я), =— п’, ..., N — 1, называются базисными
г сплайнами с конечными носителями минимальной длины (В~
сплайнами). В силу, теоремы 1.2 всякий сплайн - S(x) е£я1(Д>
может быть единственным образом записан в виде
- x-i А
’ S(x)~ 2' (9>
i==—п • у
где bi — некоторые постоянные коэффициенты. Эту запись сплай-
на йазывают его представлением^через В-сплайны.
Из теоремы 1.2 вытекает
Следствие 1.1. Всякий сплайн S(x)^O, принадлежащий
ф 5пд(Д), с конечным носителем минимальной длины с точностью
до постоянного множителя совпадает с В-сплайном.
Доказательство. Минимальным конечным носителем
сплайна является один из интервалов (xh Xi+n+\)9 i — 0, .. ~
..., N — п — 1. Согласно (9)
S (х) = Ъ^пв1пп (*)+••. + bi+nB^n («).
-Так как S{x) 0 Для х & (xh xi+n+i\ то, выбирая последователь-
но х&(хр, ггр41), р = г —п, ..., г — 1, получаем, что Ьр==0. Ана-
логично, Ьр = 0 для p = i + n, ..., &+1. Следовательно,
"S^^b^nix). . '
Замечание. Представление сплайнов через В-сплайны в виде (9)
имеет смысл для конечного отрезка Чтобы получить его для всей
вещественной оси, нужно положить х-п — ...'= х-\ ~ а ~ — оо и Ь =
= = ... = ял+п = 4- оо. Тогда точки ± оо оказываются у злами крат-
ности п + 1 и при построении В-сплайнов с номерами i— —пг ..., —1 и
i = N п, N — 1 нужно учитывать правило для разделенных разностей
§ 3. НОРМАЛИЗОВАННЫЙ БАЗИСНЫЕ СПЛАЙНЫ 23
«с кратными узлами [2, с. 43 — 44]. Мы не описываем подробно эти конст-
рукции, ибо все практические задачи, где используются 5-сплайны, рас-
сматриваются на конечном отрезке.
Задачи, а) Пусть S (х) = Д1 (х — 2)+< где AJ(x) =/(ж + 1) —/(ж).
Показать, что
(> ° ДЛЯ * е 2»2>*
Х (=0 для #^(—2,2).
б) Пусть(ж) е S3 j (А). Показать, что если Д^(х)^0 при Дл/(я)в1
•*= /(яЧ- h) — то S (х) — кубический многочлен.
в) Показать, что
• D
Вгп (*)==(»+!) р-,
где.
,п+1
г
1
1 *1-1-1
1 т тП Л+1
1 жг+п+1 • • • ^i+n+l жг4-п+1
D — определитель Вандермонда, а Р — определитель, получающийся из него
при замене элементов я™"!"1 последнего столбца на (х-3 — х^ , / = г, .. •
i -р п *4—!•
~ / 1\ ( 1\ ’
г) Пусть (х) = 01 х + ~2 I — 61 х — I. Показать, что функции
v°~
} Bn_1(x—y)B0(y)dy, в = 1,2,...,
—СО - л
' п+4
являются 5-сплайнами степени п с узлами . хр = р — —Р = 0» • • *
п+ Г, и выражаются формулами
г л; / -п + 1 ¥»’
2n:w= (~1) c'«+i(a:+ 2 _/)+’
. j=0
где C^n+i — число сочетаний из п + 1 элементов по /. .
А
§ 3. Нормализованные базисные сплайны
и представление ими многочленов
При практических вычислениях удобнее использовать не
. сами /^-сплайны, а функции, получающиеся из них умножением
на постоянные множители:
& (®) = <*)• (п
24 ' ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО* СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
Эти функции называются нормализованными В-сплайнами. Нор-
мирующий множитель равен среднему арифметическому шагов
hi «в — Xi на отрезке, где В-сплайн отличен от нуля.
Тождество (2.4) для нормализованных В-сплайнов имеет вид
М (х) - BLt (х) +. х *‘+п41~ Х Mt1! (х). (2) .
xi+n xi xi+n+i —
С его помощью легко можно построить последовательность сплай-
нов Т?о, Bi (я), • * • Приведем первые четыре функции этой
последовательности для случая равноудаленных узлов hi = h.
Будем обозначать Щп = -г (х — х n+i Точка х., п-н —
" I г+^— J -г 2
это середина отрезка-носителя В-сплайна. Тогда имеем
i _ fl ДЛЯ ХЕЕ [xi9 Жг+1),
0 ““ (0 для x^[xh Xi+i);
М Ю = (1 + Oil) Bj + (1 - au) M+1;
м (о)=4 (4++(4 - 4) b’+i+4 (4 - м+2;
/ 3 \ 1
Вз (о) == Чг (2 -|- (Чз)3Во + (•!“ — о?з-) Во+1 +
V \ О и /
/ 3 \
+ ( 4 - <4з + ) Во+2 + 4 <2 М+з.
Эти В-сплайны изображены на рис. 1.3, а, б, в, г соответ*
ственно.
В § 1 было отмечено, что многочлены Рл(х) степени не
выше п являются элементами пространства сплайнов 5n v(A).
Следовательно, они представимы через базисы этих пространств,
в частности через базис из В-сплайнов в пространстве 5пд(Д)4
Для вывода формул воспользуемся тождеством (2). После умно-
жения обеих его частей на число b[03 и суммирования по индексу •
i получаем
3&№(х)»2ь|1,(х)В1_1(«), . (3)
где
(*) = + 4^ ь1А. (4)
хг+п xi xi+n xi
Лемма 1.4. Справедливо тождество
Н-п
(г — х)п — 2 ®n,i+i (о Вп (х), (0п,»+1 (О = П (г - хз) (5)
г ;=г-Н
в предположении ss le
, 1 ' /
§ 3. НОРМАЛИЗОВАННЫЕ БАЗИСНЫЕ СПЛАЙНЫ 25
Доказательство. В формуле (4) положим = (Одл-н (0*
* Тогда получаем
Н11 (*) ==•; 1--~' К® “ Х«) ®пЛ+1 (0 + (xi+n — 4®n,i (0J,=я
xi+n ~~xi
= ~ir 4 *-—"5 ^i+n) 4" (#i4-n — #) (t #i)l = b
xi+n -i • /
- = COn-lJ-H (0 (* — XY
Подставля б|01 и Ь^13 в (3), находим
2 G>n,i-H (0 С0 = (f — х) 2 ^п—1,14-1 (0 ^п—1 (#)•
х i г
Повторяя это преобразование п раз, получим справа
(i - х)п 2 (00Л4-1 (0 fi0 И = (t - х)п 2 В\ (х) == (J - х)\
i , i
Теперь разложим обе части тождества (5) по степеням. t.
При этом
(t - х)п = 2 (- 1)аС^п'аха, (6)
' а=о
п
G>n,i+1 (0' = 2 (—1)°^ а syma fe+li • • • ? ^i4-n)’ G)
а=о
26
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
Здесь syma(#i+i, • • •> #«+*) суть символы элементарных сим*
метрических функций от п аргументов степени а. Это многочле-
ны, состоящие из Сп слагаемых. Они имеют вид
БутоСлч+ь Хцп) = 1, '
SymiUi+l, Хцп) «=£<+1 + .. . + Xi+n, _
5уП12(*^1*4-1, • • •, •J't-l-n) == *£i+l*£i+2 “Ь *£i+l*£i+3 “Ь • • • *^i+n—
/ ’ '
Syilln(#£4-1, • • *£<4-n) === *£i+l • • • %i+n*
Подставляя разложения (6) и (7) в (5) и приравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степенях £, находим представления
мономов ха через нормализованные В-сплайны на отрезке [а, Ы:
Ха = -Г-- 2 syma (xi+1, /.., xi+n) Вгп (ж), « = 0, ..., п. -(8)
Сп i '
В частности, при a = О получаем соотношение
' £Вп(*) = 1,' .. (9>
i - _ v
которое для нормализованных Втсплайнов играет ту же роль, что*
свойство (2.6) для самих В-сплайнов.
Полученные формулы (8) решают вопрос * о zпредставлении
произвольного многочлена n-й степени через нормализованные
В-сплайны. Они будут использоваться при изучении ' локальной
аппроксимации сплайнами в гл. IX.
‘ § 4. Фундаментальные сплайны. Интерполяционная
формула Лагранжа для сплайнов
Интерполяционный многочлен Лагранжа явным образом вы-
ражается через фундаментальные ^многочлены, такие, что каж-
дый из них принимает значение, равное единице, в одном и»'
узлов интерполяции и нулевые значения в остальных [2, с. 361. »
В этом параграфе мы построим сплайновые аналоги таких много-
членов и установим соответствующую интерполяционную форму-
лу Лагранжа для сплайнов.
Будем рассматривать две сетки узлов, одна из которых — уже
использовавшаяся ранее сетка А: а = х$ < ... < Xi < ... < xN,
а другая.6: -oo<g1<^.<gp<...<^n< +оо.
. Ставится задача: построить сплайн S(x) '^Snt 1(6), удовлетво-
ряющий интерполяционным условиям
, S(xi) = fi для я<е=Д, - (1> .
где Д, i = 0, ..., N,— заданные действительные числа. Такой
сплайн называется интерполяционным. Исчерпывающий ответ на
вопрос, когда эта задача разрешима, дает следующая
§ 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ ч 27
• " Теорема* 1.3. Для того чтобы существовал единственный
интерполяционный сплайн S(x) е 5пд(6), удовлетворяющий усло-
виям <Л\ необходимо и достаточно, чтобы
' / Xi— 1 ^ Xi^n^ I а= 1, • • •> N ~ . (^^
к ’•
Доказательство. Обратимся к представлению . сплайна
8{х} через усеченные степенные функции (1.4). Тогда условия
(1) будут равносильны соотношениям
п N—n
2 2 cv(xi-^=fi, *=б, <з)
а=о р=1 ‘
образующим систему N + 1 линейных уравнений_для определения
2У*+1 неизвестных коэффициентов сплайна: аа, а = 0, п, и
ср, р == 1, ...» N — n. Решение системы существует и единственно,
вели ее определитель DN_n^§ (М — п — число узлов сплайна).
Таким образом, доказательство теоремы сводится к установлению
того факта, что
(=0:0, если условия (2) выполняются,
^N""n[=0 в противном случае. -
Если сетка 6 не содержит узлов W —п = 0), то сформулиро-
ванная задача есть задача лагранжевой интерполяции многочле-
ном.. Как известно 12, с/351, эта задача разрешима, ибо Dq ¥* О
как определитель Вандермонда (п+ 1)-го порядка.
Пусть теорема верна для N — n—J — 1. Покажем, что тогда
она справедлива и для N ^п = 1. В последнем случае
. ? *° ' .5 . /А (?.7g.z)t
__ 1 Х1-2 *7-2 (*Z-2 ?1)+ (*J-2~"^)+ /gx
1 ... *7—1 (*/-i~"^i)4- ... —
1 ^l+n ••• xl+n (*M-n ~ ?1)+ ••• {Xl+n ^l) +
/ Если g/ ^Xi+n, то все элементы последнего столбца определи-
теля будут равны нулю и Д = 0. Если то в правом
нижнем секторе определителя (х{ — ?р)ч-= kxi — gp)n,
Л + тг; р = 1, ..., Z. Из первых п + 1 столбцов составим ли-
нейные комбинации вида - - •
(^+п %р)п,
28 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
и вычтем их из соответствующих столбцов правой части опреде-
лителя Di. В результате получаем
==« /
_ 1 ^_2 • •/ ^-2^1-2 ^1)+ ” (Х1-2 £1)П* * „
1 . #7-1 о ... о
1 Х1+П • • • жН-п 0 • • •
В нижних п + 2 строках определителя отличны от нуля только*
элементы первых п + 1 столбцов. Разлагая его по минорам этих
строк, убеждаемся, что Dt = 0.
Остается исследовать случай, когда a?z-i < |/ < х1+п. Для это-
го разложим определитель Dt (5) по элементам последнего столб-
ца, из которых первые I равны нулю. Получаем
14-п
v=l—l .
где — алгебраические дополнения (с соответствующими знака-
ми) элементов (яч—Ij)™, по предположению все отличные от
нуля. Очевидно, как функция аргумента & является сплай-
ном с конечным носителем минимальной длины (^-i, #i+n). Вну-
три этого интервала Д(^) 0, а вне его 0. Но тогда
согласно следствию 1.1 может отличаться от сплайна
-Вп”1 (я) только постоянным множителем и, значит, не обраща-
ется в нуль ни в одной точке интервала (^-i, xi+n). Так как тео-
рема справедлива при N — м = 0, то она верна при любом зна-
чении N — n.,’
Пусть ограничения (2) выполнены и система сплайнов
Fn Sn.i (S), 1 = 0, ..., АГ,удовлетворяет условиям интерполя-
ции вида Fn (хр) = Sip для хр& A, i = 0, ..., N. Здесь 6Гр —
символ Кронекера, т. е.
|1 при f = p,
$гр (0 при
Сплайны Fn(x) называются фундаментальными сплайнами
(рис. 1.4, где.ВДж) « U)).
Теорема 1.4. Фундаментальные сплайны Fn (х), I = 0,...
.♦.,7V, образуют базис в пространстве Sn,\№).
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СПЛАЙНОВ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ - 29
Доказательство. В самом деле, если 5Gr) s5пд(б) и
S(x{) = fi для Xi е Д, то
N
8(х)^^1}Ргп(х) . (6).
i=0
и в силу теоремы 1.3 такой сплайн единствен.
Представление сплайна в виде (6) называется интерполяции
онной формулой Лагранжа для сплайнов. При N — п = 0 Fzn (х) —
Si(x)k "
Рис. 1.4.
фундаментальные многочлены, a Six)— интерполяционный мно*
.гочлен Лагранжа. При тг=1 и & = xi9 i = 1, ..N — 1, фундамен-
тальные сплайны F\ (х) совпадают на [а, Ь] со сплайнами
Bi^ix) и (6) есть формула кусочно-линейной* интерполяции.
Задача. Найти явный вид фундаментальных сплайнов Fn ix) в фор-
муле (6) и изобразить их графически, если
Л) N = 2, П'= 1, xq < gi < xi*,
2) N = 4, n = 3, Xi’—i— 2, i = 0, ..., 2V, Si e 0.
§ 5. Вычисление сплайнов и их производных
. При вычислении сплайнов первостепенное значение имеет
форма их представления, т. е. выбор базиса линейного простран-
ства Sn, v(A)._ В предыдущих параграфах были рассмотрены четы-
ре^ формы представлений сплайнов: кусочно-многочленная, в виде-
суммы усеченных степенных функций, через 5-сплайны и фун-
даментальные сплайны. К сожалению, представление в виде-
суммы усеченных степенных функций, удобное в теоретических
исследованиях, практически непригодно для вычислений ввиду
быстрого накопления ошибок округления даже для небольшого-
«20) числа слагаемых в сумме. Использование базиса ив
фундаментальных сплайнов требует для их построения проведе-
ния большого объема вычислений и поэтому также малоупотре-
бительно. Но остаются еще два представления, свободные от этих
недостатков.
30 : гл. i: пространство сплайн-функций
На практике в настоящее время наиболее распространенным
лвляется кусочно-многочленное представление сплайнов (1.1).
В этом случае для запоминания сплайна.требуется хранить W+1
.абсцисс узлов и коэффициенты многочленов Ргп(х), i = 0, ...
..N — 1, . количество которых равно (n+lW, т. е. всего
(n+.2)N +1 чисел. Вычисление значения сплайна в точке состо-
~ит в вычислении значения мйогочлена и при использовании, на-
шример, схемы Горнера требует выполнения 2п арифметических
операций. Коэффициенты составляющих сплайн многочленов
связаны in — v + 1)(JV— 1) условиями гладкости в узлах сетки.
.Поэтому запоминать можно не все Xn+i)N коэффициентов (или
какие-то их линейные комбинации), а лишь часть их,, но не ме-
нее n + 1 4“ v(7V —-1) чисел, что равно размерности пространства,
ВПЛ(Д). Остальные коэффициенты находятся непосредственно в
процессе вычисления сплайна, что естественно приводит к увели-
чению числа арифметических операций на этом этапе. Какие из
коэффициентов выгодно запомцнать, а какие вычислять, зависит
ют условий конкретной задачи и используемых вычислительных
средств. '
Обратим внимание читателя на одну существенную особен-
‘ -ность. А именно, прежде чем вычислить значение сплайна в1 не-
которой точке х& [а, Ы, необходимо найти интервал [х{, х^]9
которому принадлежит точка х. Процедура поиска должна быть
достаточно экономичной, иначе можно оказаться в ситуации, ког-
да на это будет расходоваться Польшад часть машинного времени.
- Очень важной характеристикой любого вычислительного алго-
* ритма является поведение его по отношению к ошибкам входных
данПых. Неустойчивые алгоритмы, в которых конечный резуль-
тат сильно зависит от этих ошибок, практически непригодны для
использования. Вычисление сплайнов в этом смысле не является
исключением, и в каждом конкретном случае приходится делать
анализ устойчивости алгоритма. 1 v
В этом параграфе мы остановимся подробнее на вычислении^
-сплайнов дефекта 1, представленных через нормализованные
В-сплайны. На отрезке [#<, #i+i] ;
.У i
$(*) = 2 - (1)
- p=i—п -
Для запоминания4 сплайна нужно хранить минимальный объем
информации (2N + п + 1 чисел).
Согласно (2.1) и (3.D нормализованные В-сплайны выража-
ются через (п+ 1)-е разделенные разности функции <рп(я,
(— l)n+1 (п 4- 1) (х — t)± по аргументу t: .
Bn (я) == । р Фп яр, • • •, яР+п+1]
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СПЛАЙНОВ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ 31
из-за не-
или через ее п~е разности:
Вп (х) = п i xp+i> • • •> #P4-n+ll Ф™ lx, хР9 ..
Однако эти х формулы мало пригодны для вычислений
устойчивости при сильно неравномерных сетках.
Функция фп('я, £), а вместе с нею и Вп(х) имеют по аргу-
менту х непрерывные производные до порядка п — 1 и разрыв-
ные производные порядка п. При этом Фп(^, 0 = — (Д + 1)Х
ХФп-1(#, 0» Нормализованные В-сплайны суть .линейные комби-
нации значений функции ’ фп(х, Z) при t = xp, ..., Xp+n+i,. и, оче-^
видно, .операции составления разделенных разностей и дифферен-
цирования по аргументу х перестановочны. Имеем
[Вп (#)]. == фп—1 \.Х) Хр, . . ., Xp-i.n] — фп-г1 [#» Xp+i, • • •, ^р4-п4-1]
~ п ~- Врп±1 (X).
Хр+п — Хф хр+п+1 Хр+1 '
Тогда производная сплайна имеет вид
s'(x) = n 2 4^-1 («),
j р=г—п-И -
где
&(1) = \ _ьр-1'
-хр+п хр
Производная сплайна порядка г выражается формулой
(п —г + 1) 2
- " р—г—п+т
S(r)(x) = п .
(2>
если обозначать
№ = Ьр, ф
ЖЯ-п+1-Г хз
Z.= l,
(3).
- В’-х (х) + -^±±L_L. BPnt\ (Ху -
р хР+п+1
— X
(4).
— яй
Формулы (1), (2) и рекуррентное соотношение (3.2)
xV+n
дают необходимые средства для построения’алгоритмов вычисле-
ния сплайнов и их производных. ’
Алгоритм 1. Учитывая"тождество (4), выразим сплайн-
(1) через В-сплайны более низких степеней с коэффициентами^
32
ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
являющимися многочленами от х:
’ $(*)= 3 ЪРЦхуВ^х),
Р—1—П+1
причем
; Продолжая эту процедуру, получаем
<?(*) = 2 b^(x)Bpn_t(x),
р—i—п-Н
где
. *4” = ЬР,
(5)
Так как
tf'-;,(х) + bu-»w>
*p+n+l—I *p xp+n-\-l—l
l = i, ...,n.
Dp. . /1 ДЛЯ Хе [Xi, xi+1), .
Bq (x) = U , . .
(О ДЛЯ Х& Xi, Xi+1),
to S (x) — (x) для x<=[xh xi+\). Чтобы вычислить значение
сплайна в какой-либо точке х этого промежутка, по формулам (5) ‘
построим таблицу
&ИП bf’’n+i ..... М01
^l’n+1(x)... bi11 (*) (?)
№(х)
Число М”1 (х) и является искомым значением Six). Такая ор-
ганизация вычислений требует выполнения 4n(n + 1) арифмети-
ческих операций.
Вычисление значений производных S(r)(x) производится еле-'
дующим образом:
1) По формулам (3) находятся коэффициенты ^, р==4 — п-{-
4“г> заполняющие таблицу
ь(Д ... ь\92п+г ... ь?)
................................ (8)
b£n+r ... b^
\ z • • ’ '
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СПЛАЙНОВ Н ИХ ПРОИЗВОДНЫХ 33
- , I
2) По формулам (5) с исходными данными 6рг> анало-
гично таблице (7) строится таблица
ей й-’»+г+1 ... м°’
М—П+Г+1 (®) 5|'М®) (9)
3) • Искомое значение 5,г> (х)» п ... (» — г -}- 1) &Jn~’’I‘(®).
На весь процесс вычислений расходуется 4 (п — г) (п —г-|-1)4-
A {bn —. г + у) г арифметических операций. '
Алгоритм 2. Пусть по-прежнему х ® [ж<, x(+J .По форму-
ле (4) с учетом (6) находим всё числа B„-i(x), которые не
равны нулю для заданного х, и образуем из них таблицу
Во(®)
В[-' (х) В{(х)
... • • <10>
В^п(х) ... В^'М В^х)
Значение сплайна находится по формуле (1). Такая органи-
(9 * \ °
у n + 1 (re + 1) арифме-
тических операций. > ’
Вычисление производных Sir)(x) осуществляется следующим
образом: , .
1) Составляется таблица (8).
2) По элементам последней строки таблицы (3) лАп — г + 1)-й
строки -таблицы (10) по формуле (2) находится' SiTAx).
[9 1
У (п — г) + 1 (п —
—г 4- 1) + у 12п — г + у) г арифметических операций.
Если значение <$(г)(х) найдено, то для вычисления 5<г+г } (х)
используется-уже имеющаяся (в+1 —г —г')-я строка таблицы^
- (10) и необходимо'только продолжить таблицу (8). до (г + г')-й
строки, после чего S(r+,',(x) вычисляется по формуле (2). На все
3 Ю. С. Завьялов й др.
№ ' i: шрЬст^ансйиу *сйлкйй^ФУНкцйй>:Г
это- £i.’ ^дополнительно /затрапинаётся; ‘ :>тЬлько- ; Ч2пФ- 2т — г1 +*
-ф-1)( —г' + 1) арифметических Операций.
\ “ / * ' 't' -1 * V'
Сравнение эффективности' приведенных ^алгоритмов по числу*
выполняемых арифметических операций:‘показывает, что алго-
ритм 1 экономичнее, когда вычисляются только значения сплай-
на. В этом случае он требует 4п(п+1) арифметических операций,,
тогда как алгоритм т2 — п + l^(n + 1) операций. Из них
«длинных» операций (умножений и делений.) 2п(п+1) и
(2n + 1)+ 1).. соответственно. Еслц же ^пужцр..найти рдноврё- *
менно’ значения функций ~S(x) и некоторых из ее'производных^
то Экономичнее при больших Ш ЪЙазывЯ^ся второй алгоритм.
В частности, если требуется,, например^ вычислить значения* S(xk
и S'(x), то необходимо .выполнить соответственно 8n2 + 3n+ 1 й
п ^ДДа^ифметических операций^ Из\ них' «длинных»
операций ЪД 2Жф55п..+;;2 соответственно/ (второе .чцс-г;
ло меньше первого при п> 3)/Т
Обратимся к исследованию устойчивости алгоритмов. Вычис-
ление элементов таблиц в алгоритме 1 осуществляется по форму-
лам (5). Пусть на; некотором^ шаге вместо точных величин
. Ьр “13 (х) мы нашли величины (#), причем |bp~lj(#)—
-г Ьр “13 (х) | С 8. Тогда на следующем шаге получится ъ™ (4
и, очевидно, > -
14" и -*?’ и I;< , . * s. .
xp+n+l-/ •'р жр4-п+1-Ч хр
Значит, процесс составлений^ таблицы Д) Bi этом алгоритме, а: тем
самым, и вычисление значения сцлайна Six) . устойчив
вы. Результаты-получаются с той же точностью, с какой заданы
исходные значения, т. е. коэффициенты Ьр. Совершенно анало-
гично, вычисление ’таблицы^ (10) в алгоритме 2? по формулам- (4>
тоже устойчиво, а некоторое накопление ошибки при вычислении
S(x) (1) может, произойти только за/счет операций сложенид.
Гораздо:хуже обстоит’дело с вычислением производных 5(г)(лг>
(2). Если значения bp”"1* найдены с ошибкой 8, то погрешность
вычисления Ьр° по формулам (3) уже будет у
. . хр ф
При густой сетке узлов знаменатель справа мал, что ’-"приводит
К возрастанию ошибки в определении Ьр\ Так как эти величи-
ны в обоих алгоритмах играют роль исходных данных, то все*
последующие; хотя и устойчивые, вычисления проводятся с той
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ СПЛАЙНОВ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ 35
точностью, с какой найдены Ьр\ Следует также учесть возра-
стание ошибки на * последнем шаге вычисления 5(г)(^) за счет
умножения на число n . i . (д —г+1).
Приведенные .рассуждения показывают, что в ^случае вычис-
ления производной от сплайна следует особое внимание уделить
выбору сетки, шаг которой должен увязываться с величиной по-
грешности исходных значений коэффициентов . Ьр; В противном
случае попытка получить более точный результат путем исполь-
зования густой сетки /может дать прямо противоположный ожи-
даемому эффект. Иногда с целью повышения точности результа-
та разумнее сделать сетку более «редкой», выбросив некоторые
/из узлов. Мы отметили здесь только погрешность метода, не за-
трагивая вычислительной погрешности за счет округлений.
Оба рассмотренных выше алгоритма не связаны с конкретной
задачей нахождения сплайна, лишь бы в процессе ее решения
получались коэффициенты при нормализованных 5-сплайнах в
представлении (1). В качестве примера укажем на особенности
их нахождения при решении задачи интерполяции.
Пусть на. отрезке [а, &] заданы сетки А: а= xq < Xt <...
. ..<^№=6 и б: а < < ... < < Ь и требуется построить
интерполяционный сплайн Six) ^Sn.i(6), удовлетворяющий усло-
виям Sixi) = ft для xt А, где /ь i = 0, ..., /V,— заданные дей-
ствительные числа. Согласно теореме 1.3 такой сплайн существу-
ет и единствен тогда'и только тогда, когда <-Я/+п, i=*
— 1, ..., N — п.
Расширим сетку б, введя дополнительно узлы |_п < ... <
<а, Ь > . > £я+1*На новой сетке построим нормализо- •
ванные 5-сплайны Bn (я), Р =— п, ..., 2V—п, и представим че-
рез них сплайн Six) на [а, Ь].
Условия интерполяции дают систему -N + 1 линейных алге-
браических уравнений для определения М+1 коэффициентов*
«сплайна Ър* ♦
N—n -
. , • = (Н)
{р=—п " л
Так как Bni^i)=^0 тогда и только тогда, когда х{&
(|Р, gP+n+i), то матрица системы A =,[5n (#i)L -
—п; г = 0, .N, является неотрицательной ленточной ма-
трицей с шириной ленты 2п + 1, причем, если узлы сплайна
] = 1, ..., N — п, расположить, специальным образом относительно
точек интерполяции х^ то число ненулевых диагоналей матрицы
А может быть уменьшено до п. В силу свойства (3.9) нормализо-
ванных 5-сплайнов сумма, элементов матрицы А по строкам рав-
на 1, т. е. она масштабирована по строкам, что удобно при вы-
числениях. Хотя в общем случае матрица А не обладает свойст-
36 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
вом преобладания диагональных элементов, тем не менее ее спе-
цифика позволяет использовать для решения системы XII) эф-
фективные методы, по которым созданы стандартные программы
[25, с. 71—90]. В частном случае кубических .сплайнов дефекта
1 эти вопросы будут изучены подробно в гл. IIL
§ 6. Сплайн-функции двух переменных
на прямоугольной сетке
Различные обобщения сплайн-функций* на случай многих пе-
ременных характеризуются двумя признаками, а именно: формой
заданной области и ее,разбиением на подобласти и определением
пространства сплайнов. Эффективные в приложениях конструк-
ции получаются, когда оба этих фактора учитываются в сово-
купности. В данной книге мы ограничиваемся рассмотрением
только функций двух переменных. В настоящем параграфа
изучается наиболее простая теория, когда заданная область есть
прямоугольник с прямоугольной сеткой на нем. Случай триангу-
ляции многоугольной области будет рассмотрен в гл. II и <XL
Итак, пусть в прямоугольной области Я = la, b\ X [с, d] вве-
дена сетка линий А = X Ду, где . , .
A*: а xo<Xi<...<xN=,b,-
Ау: c^i/o<r/i<...<2/M=d,
делящая область й на прямоугольные ячейки
Йо = {(я, у)\х е= [^, xf+]J,e у <= lyh
. i = 0, У-1; 7=0,,..., Л/-1.
Для целых к > 0 и I 0 через Ск> Чй) обозначим множество
непрерывных на й функций f(x, у), имеющих непрерывные част-
ные и смешанные производные Dr^j(x, у) (г < fc, $К1). Символом
С’^’Чй] обозначается множество кусочно-непрерывных функций
с разрывами первого рода на некоторых замкнутых, линиях, со-
держащих, быть может, границы области^
Определение. Функция Sn, т> v, и(я, у) называется сплайном
двух переменных степени п дефекта v (0< v С п + 1) по хи сте-
пени ш дефекта ц (0^ц^уп+1) по у с линиями склейки на
сетке А, если*
а) в каждой ячейке й^ функция Snt m, v.jX#) является, много-
членом степени п по х и степени m по у, т. е.
п m
Sn,m,v,p, (•*-> !/) = .S S aafi (® xi) (У Уз)\
a=°P=0'
i = 0, — 1; 7 = 0,
6) • Sn,w {x, y) e cn-v’m-,t IQ].
§ в. СПЛАЙН-ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ " 37
Множество сплайнов, удовлетворяющих определению, обозна-
чим через 5п,т,у,м(А). Очевидно, оно является линейным прост-
ранством. Выясним, в каком отношении это пространство нахо-
дится с пространствами сплайнов одной переменной Sn, v(AJ и
ц(Ду).
Если и Гг — два конечномерных функциональных про-
странства с базисами х/, it — 1, ..., рг, и ' Х22, *2 “Х • • •> Рз>
то пространство Т ‘размерности р « рф2 с базисом, образованным
ti *2
всевозможными произведениями вида ч Xi Хг » называется тен-
зорным произведением двух пространств и обозначается
Т = Тх 0 Т2. '
Теорема 1.5. Пространство сплайнов двух переменных сов-
падает с тензорным произведением двух пространств сплайнов
одной переменной: . • >
8п>тп,у,ц, (А) = *S>n,v (Дос) (А|/)« (2)-
Доказательство. Согласно § 1 пространства Sn,*(Д«) и
Sm, Ц(ДУ) имеют размерности и = п + 1 + vUV — 1) и г2 = m + 1 +
4-ji(M —1). В качестве базисов этих пространств возьмем систе-
мы функций *
ха, а =0, ..., д; (я— Xi)+ , а' = v 4-1, ..., п\ г=1, ..., N —1; -
Р = 0, (У—У})+, Р'=7П—ц+1, /=1, 1.
Тогда элементами тензорного произведения будут функции вида
,пт \
?) = 2 2 аа₽ — ®о)“ (» — »о)₽ +
а=о р=о • j
TV—1 т п '
+ 22 2 (х Х& (у — +
i=l a'=n“-v+l
z Af—1 п т
- .+22 2 • ь^(х-х0)а(у-у^ +
5=1 а=о 3'=тп-н+1 •
N—1M—1 п т
4- 2 2 2 S — хг)+(у — #;)+• (3)
i=l j=l a*=n—v+1 ^=т-н+1 ;
Очевидно, что такие функции удовлетворяют определению и,
значит, S(x, у) e5n, m, V, р(Д). Обратно, всякий спйайн двух пере-
менных является сплайном по каждой из них, и имеют место
формулы: при фиксированном у t
Sn,m,v,v. {X, у) = 3 «а (?) (« — «о)“ + X S 4' (У) (* ~ «i)+ ,
а=о i=i a'=n—v+1
38 , ГЛ; I. ПРОСТРАНСТВО СПЛАЙН-ФУНКЦИЙ
а при фиксированном х
т М—1 т
у)= 2.М«)(у-уо)р.+ 2 2 с₽'(4(у — ю)+*
{3=0 ;=1 |3'=т-ц+1
Эти формулы говорят о том, что коэффициенты в первой из них,
ЯаС#) и ^а'О/), при переменном у являются функциями, даваемы-
ми второй формулой. Но тогда сплайн^ Sn> т, v,\(х, у) имеет ту же
структуру, что и функции Six, у) (3). Утверждение теоремы
доказано.
.Установленный факт- позволяет легко переносить свойства
пространств сплайнов одной -переменной на случай двух пере-
менных.. Проиллюстрируем это примерами.-
. 1: Если сетки Дх и Ду расширить, как указано в § 2, то для
пространств 5П, 1(Д«) и Sm>iiAv) можно построить базисы^из нор-
мализованных В-сплайнов: В^(х), i = — n, ..., N — 1, и В?т (у);
j = — тп, ..М — 1. Тогда всякий сплайн SGr, у) е Sn> т> it 1(Д)
может быть представлен единственным образом в виде
- : - ' N-l M—i ,
s(х,у)= s 2 ьмх)в}т(у), ' Й)
ж г=—n j=—т
где Ьц — постоянные коэффициенты.
2. В области Q введем еще одну сетку б = бхХбу, причем
бх: — ob<gi <g2<•..<&*-»< +°0, ' .
\ . бу: — о%< Ц1 < Ц2 < • . • < Пм-т < + 00
(см. § 4), и пусть выполняются условия ”
. Х{— 1 < «^гЧ-Н, i 1, •-•.,2V- ft,
y^i <П1< У)+т, i = 1, .... М — т,
для я«^Дх и у^ Д^ Согласно теореме 1.3 существуют две си--
стемы фундаментальных сплайнов Fn (х) е Sn,i (бх) и GJm (у) s
таких, что .
Fп fap) б$р, i, р = 0, • •., N\ Gm (i/g) = 6jg, 7, у ~ 0> ? • • 9 М,
которые образуют базисы в пространствах Sn, i(6x) и Sm> i(6v)
4теорема 1.4).
Тогда всякий сплайн Six, у) может быть единствен-
ным образом представлен в виде
‘n м
S(x,y)= 227iX(*)<%(y) , . (5)
. i=oj=o '
с постоянными коэффициентами /у. Очевидно,
SUi, yJ fii для уРе.Д, (6).
, § б. СПЛ'АЙЙ-ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 39
т. ©. сплайн45^ решает гзада^ интерполяций. 0W представление
ейь ^^терйрляЦйЬпйая ф’орйуЛа Лагранжа" для сплайнов 'ййу^
перёменйьй?Й|)и .N^ti 6на^п]рёйр^ается в интерполя-
ционную формулу ’Ййгранж^)^ ' "
: • Ограничиваясь этими прймераМйу МЫ- предоставляем читате-
лю самостоятельно распространить другие свойства сплайнов,
изложенные в §§ '1—4;*на Случай двух переменных. Здесь , же
сделаем только несколько, замечаний об йх вычислении.
Самый простой способ ^состоит в расщепцении процесса на
пдслёдЬватёлййое вычисление* сплайнов одной переменной,^ЙрЦ
кусочно-многочленном: представлении . сплайна-Д|) ,для у) е
е Qfj . приходится вычислять многочлен П“й степени от х с коэф-
фициентами—-Многочленами тп-й степени от у. Роли х и у мож-
но йоменять местами,: р > . , ./ г « ;
В случае представления сплайна 5(i, у) ЬЧ(Д) через
В-сплайны (4) для (я, имеем
bp(y)= S bpqBqm(y), p = i—n-J-1,
g=4j—т
- i ‘ , (7)
S(x,y) = S bp(y)Bl(x\.
p=i—n • ’ ~ '
Дифференцируя эти функции, получаем
ср (у) = D°'sbp (у) = 2 bpg[5m(y)l(s>, P — i —
* g=j-m . ‘
DT'sS(x,y)= 3 МУ)р?£(х)](г). . • ..
p=t—m
Если учесть выражения производных сплайна одной перемен-
ной (5.2), то эти формулы можно представить в виде k z
^Ср(у) = т ...(m-s + l) 2 b($B9m-s(y), р = }-п + г, .. .’,i;
q~j— m+s
- - (8)
i ’
Dr,sS(x, y) = n...(n— r + 1) 3' cp(y)B%_T(x),
) , ps='i—n+T
где ' , . ’
M8”i) — ь<8’1)
№ — pq <? 4 m-
Upq — Vpq, °pq-~— “» . — 1, . . , ,
(O)Z\ 7\ (r)/ \ Cp “° (У) — 4Г-1 ’
'C^0)(y) = Cp(y), cP(y) = -£—-------2—-------,-r = l,
*P4-n-H—r
40 ГЛ. I. ПРОСТРАНСТВО СП Л АЙН-ФУНКЦИЙ
Таким образом» в этом случае вычисление сплайна двух пе-
ременных (и его производных), сводится к последовательному вы-
числению п —г + 2 сплайнов (и их'производных) одной перемен-
ной. Соответствующие алгоритмы были изложены в § 5.
Задача. С помощью 5-сплайнов первой степени построить непрерыв-
ную функцию такую, что '
> 0 для reft',
= 0 для* ч
где ft'« (0, 1)Х(0, 1)\[1/2, 1)Х[1Д 4). (Символ Л означает исключение
множества.)
О т в е т. Примером такой функции является сплайн
5 (г^) =«
. ’ • ‘ ’ / - - „
Литература к главке I. [1, 4, 5, 15, 23, 25, 48, 74-—77, 84, 86, 101].
5 (г, у)
Г л а в a II
ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Из материалов предыдущей главы видно, что для построения
интерполяционного сплайна необходимо решить систему линей-
ных алгебраических уравнений; Размерность ее определяется *
количеством интерполяционных условий и-может быть велика.
Однако для некоторых типов сплайнов эта система распадается
на совокупность подсистем небольшой размерности. В этом слу-
чае для вычисления каждого из параметров сплайна использует-
ся лишь несколько йнтерполяциойных условий, что существенно
упрощает задачу. Такие сплайны называются локальными, •
§ f. Сплайны первой степени
Мы начнем изложение со всем знакомого примера, за внеш-
ней простотой которого скрываются многие
бенностй сплайнов.
Сплайны первой степени S\(x) дефекта
это непре-
специфические осо-
1 на сетке Д: а =
— XQ<Xi<...<xN = b — r-~------
рывные кусочно-линейные функции.
Пусть в узлах сетки Д заданы
значения fi — ftxi) некоторой функ-
ции /(х), определенной на [а, Ь].
Интерполяционный сплайн опреде-.
ляется условиями
i = 0, ..., N. (1)
Геометрически он представляет со-
бой ломаную, проходящую через
точки (xh yt), где «/< (рис. 2.1).
Если обозначить — то
сплайна будет иметь вид „
Рис. 2.1.
при уравнение
. , —““ X X: . j '
= —j-— 4- /1+1 —А , (2)
или
X — X- 7
^x(®) = /i + —.• (3)
42 ГЛ. П. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Иногда, чтобы выделить интерполируемую функцию, вместо
5i(x) будем писать х). . : л - ?
Для запоминания сплайна нужно хранить 2(АГ4-1) чисел.
Вычисление его удобнее всего проводить в таколГ порядке: сна-
чала находится Ui = (/i+i — /<)/&/ и затем S\(x) = ft + (ж — Xi)ut.
Тогда для вычисления сплайна в одной точке потребуется выпол-
нить шесть арифметических операций. Если же нужно вычис-
лять значения в других точках того же отрезка^ [х<, то
дополнительно понадобится производить только по три операции
на каждую точку.
,Если величины Д заданы? с погрешностью,, не превосходящей
е, то значения .51 (хУ вычисляются с такой же точностью. Значе-
ния Производной 5\ (х) находятся с точностью 2е/Л/ (см. *§ 1.5).
§ 2. Оценка остаточного члена интерполяционного • *
сплайна первой степени.'
Качество приближения функций, в том числе и интерполяции,
характеризуется остаточным членом. В данном случае это
R(x) = S[(x) — /(х)л Оценка остаточного члена зависит от того,
какими дифференциальными свойствами обладает интерполируе-
мая- функция f(x): Задача интерполирования . будет рассматри-
ваться для функций из наиболее распространенных в вычисли-
тельной математике нормированных пространств и классов.»
Прежде всего, это пространство С [а, &] непрерывных на [а, д] функ-
ций с нормой ' .
inax 1/ (^)[. \
На сетйе“Д: х0 < xi <...<^« Ь Эти функции будем характеризо-
вать их колебанием на отрезках [ач, ‘ ........... г:
• ’W|(/)= max- |/(И— / .. '..7^;
а также величиной
©(/).= -max ^(/).
Характеристикой функций, не зависящей от сетки А, является модуль не-
прерывности*
<о (/; h) = max | / (х,г) —, f (xf)h^b^a.
; ’ x',x"G[a,b] • ,
[X"—x'\<h St _ ‘ -.7*:
Если обозначить h = max h, то очевидны неравенства
.i ’ .;.
p Для непрерывных функций в дальнейшем; нам будет полезен следующий
вариант теоремы о среднем: -Если j(x) ^С[ач Ь] и величины а, Р имеют
§ 2. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА 43
одинаковые знаки, то
а/(а)+₽/(&)•= (а+₽)№), а < Ь.
При /(л) ’= f(b) это очевидно. Если /(а) f(b), то функция *ф(я) « а/(а)
4-₽/(&) — (а + ?)/М принимает на концах отрезка [а, &] значения раз-
ных знаков и, следовательно, существует точка £ е. [а, д], в которой
Ш) = 0. ' ’ ’ .
Теорема о среднем для интегралов ,
ь .. ь _ •
' f (х) g (x) dx= f (%) ^ gtxjdx,
a . a
. имеет место, если f(x) и g(x) непрерывны на [а, Ц и £(я), кроме того,
знакопостоянна.
Будем рассматривать также , класс С* [а, &] функции, имеющих; на [а, &1
непрерывную производную &-го порядка. Такие функции разложимы по
формуле Тейлора с-остаточным членом в форме Лагранжа .
/<*)=/ («) + —т-ii-------+ -- - + - (fcZTiji — + fcj----------------
где g — некоторая точка из промежутка [а, я]. / . •,
Далеё', LPfa, ^—-пространство измеримых на [а, Ь] функций /(я)/
для’которых функция |/(х) | р интегрируема по Лебегу.Jia [а, 6].' Норма в.
этом пространстве есть :
\ , / ъ - \ 1/р -
Л ll/W.OLpta.b] = f imip<M .
. \a , / ' ' r: -
Говорят, что измеримая функция f(x) ограничена в существенном на
[а, Ь], если существует такое число ц, что мера множества точек; для ко-
- торных |/(я) | > р, равна нулю. Минимальное из чисел р, обладающее* этим
. свойством, обозначается символом, ess sup | / (я) |. Введем пространств?
z xe[a,d] - . -
Jtco [а, 6] измеримых и ограниченных к вг существенном функций; с »н0рмой
O/WIlLUa.bl =es4sup |/(®) |. • *-/ ' ! /
00 xe[a,dj
Обозначение £«/оправдано тем, что для f(x) еЬоо [а, &] при конечных а
' и b [17, с. -191
lim||/(х) ||г га.й] =eBssup|f (®)|......
. ' . г Р1’ J хе[а,Ь] '
Заметим, что пространству принадлежат, в частности, кусоч-
но-непрерывные на [а,: &] функции с разрывами первого' рода. При этом,,
если /(я) €= С[а, &], то|| / (х) ||СЕа>ь] == || / W 11ь^[а;дГ Иногда,'если это не <
приводит к путанице, вместо обозначений || f (х) [|с^bj и-1| / (я) ||£оо[а>эд мы
будем использовать ||/(ж)Цс и II/(я)||«» соответственно. r ,г
Класс функций /(я), имеющих на [ал д] абсолютно непрерывную про-
изводную порядка I — 1 и Z-ю производную4 из LP [a, &], 1 р <», обозна-
чается через Wlp [a, 6]. Формулу Тейлора для функций из этого класса бучг
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
дем применять с остаточным членом в интегральной форме:
1 (») = / («) + ... • J (i - (₽) *>.
а
11
Если /(л)е^р[а, Ь] и g(x) &Lq[a, Ь], ~ t9 1 <», то спра-
ведливо неравенство Гёльдёра z
ь .
a
Через С^Сд [a, d], I > к, обозначим класс функций f(x) таких, что
1(х) е Ь]. и f (x) ^ Cl[xi9 лч+1], i== 0, 1, ..TV — 1.
Обозначение [л, &]» 1.<р<с°9 будем использовать ’
для класса функций /(ж), удовлетворяющих условиям
/ (х) е= Ck [a, &], f (x)<=Wlp[xi9 i: = 0, 1, ..., N — 1.
Приступим теперь непосредственно к оценкам погрешности
интерполяции.
Теорема 2.1. Если сплайн первой степени S\{x) интерполи-
рует функцию f(x) на сетке А, то справедливы оценки
|Я(г)(^и = |^г)(х)-^)'Нк'<Яг, Г = О,1?
где Rr даются в таблице 2.1. . -~
. .. Таблица 2.1
Класс функций Во Bi
С [л , 6] <о(7) — •
W^ta, 6] |lfWL —
СС\ [а, 6] ©(/')
' $lir W.U о 1__ &
„ (Прочерк в таблицах здесь и в дальнейшем означает, что дан-
ная оценка нё существует.)
• Д о к а з а т е л ь с т в oi Используя для S(x) представление (1.2),
при х е [жй xi+\] имеем
, Д(х) = S(x) - f(x) = (1 - t)f( + t/<+1 /(Д - (2)
где i-= (« — xt)/h(.
§ 2. ОЦЕНКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА
45
Пусть /(ж) <= С1а, Ы. Применяя к выражению (1 — «)/i+«/4+f
теорему о среднем, получаем
Жж) /(g) -/(ж), £е[жъ ж4+1].
Следовательно, 1Жж)| < <о4(/) < ©(/).
Если f {x) е &], то по формуле Тейлора
xi «4-1 ’
h = / (ж) + J /' (0 dv, fi+i = f (ж) 4- j f (v) dvt
X ' X.
Подставив эти выражения в (2), получаем
х xi+l
R (ж) = — (1 — t) J /' (v)dv + t J f(v) dv,
• Xi xx' ‘ (3)
x xi+l '
|Я(ж)|<(1-0 ([|7,(^)1^ + « J l/'(v)l^.
X| X
Применяя к каждому' из интегралов неравенство Гёльдера,
находим . . #
Г ' »с • 1
(1 — t)^dv + t У dv ||/'(*)U = 2i(l — «)Агц/'(ж)|оо.
x ' , , xi+l
Xj* X J • '
Отсюда |Я(ж)|^-|’Л|/'(ж)|оо.
Пусть /(ж)ё ССд |«, Ь]. По формуле Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа
ft = fa) - thif (5), fi+1 = / (ж) + (1 -1) ЫГ (n)
g, Т1е(Ж{,Ж{+1]. ' . ,
Подставив эти выражения в (2), получаем
'• Я(ж) = *(1-«)М/'(П)- /'©). .
Следовательно, • , .
| Я (ж) |< t (1 — f) hitsti (f) < few (/').
Далее, из (2) вытекает
fl'H = (/i+i - A)/Ai-/'(^. <
Используя (4), находим -
Ж(ж) = (1 - f)/'(ri) + «/'(g) -/'(ж).
(4)
(5)
46 ГЛ. И. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Отсюда по теореме о среднем - ‘
zi+i], .. :
и, значит, IjR'CaOl «С Оценки в классе [а, Ы • получены. -
Наконец, пусть / (ж) е СРКд.оо 1«, 61. По формуле Тейлора
. ......' ’ , • xi . .. ' , - '
- /1=7(4— thd'.(x) + ^ (xi—v)f'(v)dv,
— хг+1 - \
. /ui = /(«) + (i -W(«)+' j (Zi+1 — v) f (v) dv. _
Из формулы (2) следует, что
xi ' . xi+i‘- ~ .
R (x) = (1 -- t)' J (xi — v) f" (y) dv + t J — v) f" (v) dv.
X X
Применяя неравенство Гёльдера, после несложных ^преобра-
зований получаем
• О 4
Аналогичные рассуждения позволяют из (5)* вывести оценку
: | R'(x)\ < -I (1 _ 2t + 2i2) h< У"(х) |w ^4 ? И
‘4 4r л
Доказательство теоремы закопчено. .
Мы получили оценки погрешности интерполяции на различных клас-
сах функции. Все они выражаются в виде-некоторых неравенств. Естест-
венно, возникает вопрос, можно, ли полученные оценки улучшить. В том
случае, когда этого сделать нельзя одновременно для всех функций из дач-
ного класса и дсех рассматриваемых сеток, оценку будем называть неулуч-
шаемой или. точной в этом классе.?Бесспорно, получение точных оценок
представляет значительный интерес как в теоретическом, так и в практиче-
ском плане. •
'Покажем, что все оценки, установленные в данном параграфе, точные.
Очевидно, чтобы доказать неулучшаемость' какой-либо из них, достаточна
указать некоторое разбиение промежутка [а, &], а также функцию f(x)Y
принадлежащую рассматриваемую классу, для которых оценка достигается^
и при этом" правая часть ее не обращается в нуль. Такие функций будем
называть экстремальными. - : -
Пусть разбиение промежутка [а, Ь] — равномерное с шагом h. В силу
локальности сплайна 8\(х) нам достаточно построить требуемую функцию
только на одном промежутке, например [xt9 я<+1], положив вне его функцию
тождествённо равной нулю. ‘ "
- § 2.ОЦЕНКА рСТАТОЧНОГО ЧДЕНА £7
Экстремальная функция в классе С [а, Ь] .может быть определена соот-
ношениями
( х— х^ ’ /;'
: г'е [х{, х*1,
тЧ-И 7
' ' Л+1’ •
где а:*;— произвольная точка из (xi,,Xi+i)> Действительно, с одной стороны,
1Ь$1(/о; я) —7о(я)11с == Н/о.(л)11с,= 1,и, с другой стороны, <о (/0) = <о/(/о) == 1,
т. ё. для этой функции оценка достигается.
. /В*классе [а, Ь] экстремальной будет функция Л>), производная ко-
торой задается равенством - - Л
/ ' Г '
/i-M^sgulx ——у I, х €= [ж., ж.^]. ;
В. самом’ деле, из (3) для сплайна, интерполирующего fa (x)r имеем Л(а%+
А ; .
-|- h/2) = 1/2 h, что совпадает с величиной, да-
ваемой соответствующей оценкой.
В классе ССд [а, Ь] мы не можём построить '
экстремальную функцию в указанном выше
смысле. Однако очевидно, если для произволь-
пого малого е > 0 удастся указать такую функ-
цию, что .
IIЯ (^)Иа = (4- — 8)to(/')
f2'(z)
то неулучшаемость оценки для |Я(я)| будет до- -^5
зказана. Такие функции будем называть квази-
экстремальными. Легко проверить, что в дан- р <
пом случае квазиэкстремальной функцией . гис' --
будет функция. /2>), производная' котором задается соотношениями -
1
— у, если х
X 2
1 [ h : * 1
у, если ^i + y (1 + 8)» *4+1 •
+ — e)J,
г. { h h>-
(zh), если же х\ + у (1 — е), +у (1-Ье)
J2 (*) =
Квазиэкстремальной функцией для оценки [Л'(я)] в классе . [а, д]
будет функция fi(x) такая, что - "
- / _ |(х“" xi)/(eh)» если x&[xit ^4-efe], :
3 1 1» ®ёли х е [я{ + ей,
Трафики функций /2 (х) и /8 (х) изображены на рис. 2.2. .
, В классе СРИд [а, Ъ] в качестве экстремальной функции может быть
взят любой ^многочлен второй степени,'например /парабола /(а()-= х\
48 ГЛ.. П; ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Последовательное усиление требований к гладкости интерпо-
лируемой функции в теореме 2.1 приводило к соответствующему
увеличению порядка аппроксимации. Так, для
имеем | jR(,> (я) В» = 0 (&2~г), г = 0,1. Однако дальнейшее повы-
шение гладкости функции /(я) уже не дает повышения порядка
аппроксимации. Происходит, как это принято говорить, насыще-
ние интерполяционного процесса.
Теорема 2.2. Если f (х) еСС\ [а, 6], Л ^.З,. то для
•МЛ *) = /(*) +
да
+ « а - 0 2 аГ /(а) to К- 1)“ i”-1 + (1 ~ + О (Л?), (6) 4
а==2
s\ (f; X) = г (X) + w (X) +
* , *•
да—1 /’
+ Z-^T^toK-l^^ + d-^l + OCAr’). (7)
а=з „
Доказательство. Чтобы получить формулу (б), нужно
величины /<, /<+1 в (1.2) разложить по формуле Тейлора в точке
х == Xi + thi. Соответствующие выкладки мы опускаем. Равенство
(7) получается из (6) дифференцированием по х.
Отметим один результат, непосредственно вытекающий пз
теоремы 2.2.
Следствие 2.1. Если /(я) s ССд[а, Ь], то
S{ (/; Xi + У = f L + %) + о (hl), i = 0,1,..,, N 1. (8)
Формула (8) показывает, что порядок аппроксимации первой
производной функции /(ж) повышается на единицу в середине
каждого из промежутков [xh Во всех остальных точках по-
рядок аппроксимации О (hi). Если учесть, что
c'f/. _ I hi\ . h+l—fl , .
S^Xi+j]-—^—,
то (8) представляет собой известную оценку приближения произ-
водной с помощью центрально-разностной аппроксимации.
g 3. СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА-
§ 3. Сходимость интерполяционного процесса»
Интерполяция с заданной точностью
1. Пусть на отрезке [а, Ь] задана последовательность разбие-
ний A v:z аxVtо<Xvt i <.;. <x?t b, v «1, 2, .. ,, удовлетво-
ряющая условию &v 0 npji v <», где
Лу max ^v, й ^v,i ==
Предположим, что /ЫеС[а,Ы и что эта функция можете
быть вычислена в любой точке отрезка. Ддя каждого Av можно*
построить интерполяционный сплайн S1%^v(x). Тем самым на
последовательности {Av) будет определен интерполяционный про-
цесс. Говорят, что указанный интерполяционный процесс сходит-
ся в, С1а, Ь], если - .
pi,Av(*)-n*)||c|a,bJ->0 при v->oo
для любой функции /U)eC[a, &]. Аналогичное понятие сходи-
мости вводится и для других классов функций. ’ В случае, если
fix) дифференцируема, естественно рассматривать также сходи-
мость производной Sltbv(x) к /'(х). Если 1
. pi.Av(*)-n<fo.fcl = 0(M),
то говорят, что имеет место сходимость с порядком у.
Исследование сходимости интерполяционного процесса и вы-
яснение порядка сходимости необходимы при решении вопроса о
возможности интерполяции с любой наперед заданной, точностью.
Действительно, если • сходимость имеет место, то, очевидно, для
любого е > 0 существует такое разбиение Av, что *
^6в (О
Большим преимуществом сплайнов по сравнению с многочлен
нами Лагранжа является то, что для исследования сходимости
здесь обычно достаточно установить оценку погрешности интер-
поляции. .
Изучим сходимость интерполяции сплайнами первой степени.
Для, сплайнов более высоких степеней характер рассуждений ос-
тается тем же самым. Обратимся к оценкам, установленным в
теореме 2.1. Если СУа^Ъ}, то в силу неравенства (24)
HZ?vGr)IL — «(/, fcv). Но модуль непрерывности
<о(/, /iv)-> 0 при и тем самым сходимость обеспечивается.
Если, кроме того, /(я) удовлетворяет условию Липшица -
порядка т:
-xf\\ const,
4 Ю. С. Завьялов и др.
50 ГЛ. П. ЛОКАЛЬНЫЕ СЦЛАИИЫ.,
{то и сходхшость .будет иметь порядок О.{Л?).’
^Аналогично, если .е CiLai Ы, то ||7?vr,(a;)||oo->0' как
•_« 0,1.
' Совершенно очевидна сходимость для функций /Gr) s
. ^Т7^[а, Ьри f(x) е РИ«[а, Ъ]. В первом случае она ийеет
лорядок Q(W, а во втором' ||(х) |оо О (hy~r), г = 0, 1.
До сих пор мы не налагали никаких^ ограничений на последо^-
вательность сеток {Av}, кроме условия Лу-^0. В некоторых случа-
ях целесообразно ввести дополнительные-условия. ПУсть, напри- -
мер, /(«) «= CW-" [а, Ь] <± Wl> [а, 6], где Д: |0 < gi <... < & .
[a, bj, 7 = 0, Z. Это означает, что /7(йЬи f” (хЬимеют раз-
рывы первого рода в узлах сетки А. Для такой функции на про- J
. извольной последовательностй сеток; как SbiJio отмечено выше, .
41Яу(ж)11с = Однако, если дополнительно потребовать, чтобы .
при каждом у узлы сётки А включались в сетку Av, то по теоре-
ме 24 I Я$г) (?) |оо = 0 {hy /г), г = 0, 1. Порядок сходимости по-
высился на единицу. Полученный эффект есть следствие того,
что существенную роль в оценках погрешности интерполяции иг- ,
рают свойства интерполируемой функции только внутри иртер-
жалов [х{,-Xi+il. ^ ,
2. На практике обычно требуется осуществить интерполяцию
с некоторой заданной точностью. Эта задача решается * путем вы-
бора сетки на отрезке [а, Ь] с учетом свойств интерполируемой
функции и соответствующих оценок погрешности, интерполяции.
Ниже даются рекомендации по выбору узлов интерполяции.
Как было, отмечено, точность интерполяции определяется в
основном гладкостью функции внутри промежутков !^, х<+1]. По-
этому прежде-всего следует позаботиться о том, чтобы точки,
в которых функция имеет особенности, например разрывы про-
изводных, были включены в число узлов интерполяции.
Оценки погрешности интерполяции дают возможность опреде-
лить величину максимального шага сетки для обеспечения задан-
’ йой точности. Пусть, например, /(ж) С2[а, Ь] и требуется осу-
ществить интерполяцию этой функции так, чтобы выполнялось
условие (1). Согласно таблице 2.1 имеем
'а ' . ---S ’•> \ • • . ‘ ‘ •
, Поэтому, если Л выбрать таким, чтобы . Л2[/"(о:)|c(a,bj^8e, или
’ < . ?2>
то требуемая точность достигается, например, на' равномерной
сетке с шагом й ~ А*.
§ 3. СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА <
Однако подобное решение вопроса не является оптимальным
в том смысле, йто при этом мы, как правило, будем иметь дело’с
очень завышенным числом узлов интерполяции. Это влечет за
собой необходимость хранения большого объема информации об*
узлах и узловых значениях сплайна. Типичным примером явля-
ются любые таблицы функций; которые обычно даются на равно-
мерной сетке с целью облегчения ручных вычислений.
. При" выводе формулы (2)мы никак не учитывали локальных
свойств функций fix). Из доказательства теоремы 2.1 следует,,
что на тех участках промежутка [а, Ы, где величина f"(x) малау
можно взять более редкую сетку по сравнению с теми участками,,
где она велика. Очевидно, если мы выберем узлы интерполяции
так, чтобы выполнились равенства
•|М.||Г(^)1Ы;х4+1] = е, .. (3>
то поставленная задача интерполяций с заданной точностью- бу-
дет решена с числом узлов, вообще говоря, меньшим, чем при
равномерном разбиении. Опишем два алгоритма для построении
сетки, удовлетворяющей условиям (3).
Алгоритм 1. Пусть функция I/"(я)J монотонна на [а, 6L
Предположим для определенности, что 1/"(#)1 монотонно убыва-
ет на [а, Ь]. Если узел xt найден, то в силу монотонности имеем
||7" (г) Поэтому из (З)'вытекает
Если 0, то полагаемхм xi+ hit Если же f"ixi)\ 0, та
Xi+i Начиная этот рекуррентный процесс от леврц траницыс
отрезка [а, 61, мы последовательно находим все узлы сетки^
Построение заканчивается, когда .очередной узел выходит за пра-
вуюграницу отрезка. Если 1/^ ($)| монотонно возрастает, тоу
очевидно, процесс построения сетки следует начинать с правой:
границы интервала [а, Ь]. 7 .
Алгоритм 1 можно, конечно, применять и в случае, когда* *
функция I/" (#)1 кусочно-монотонная, .если предварительно раз-
бить промежуток [а, Ы на промежутки ее монотонности. Затем
каждому из них? следует применить один из вариантов алгорит-
ма. Однако для выделения этих: промежутков следует выполнить,:,
вообще говоря, очень большой объем вычислений, особенно, ког-
да их много. В таких ситуациях предпочтительнее выглядит дру-
гой способ построения сетки, который не накладывает ограниче-
ний на качественный.характер функции \f"ix)\. . *
Алгоритм 2< Пусть нам известен узел сетки Возьмем
достаточно большое положительное число тп и построим последо-
4* ' ' '
52 ГЛ. П. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Л{ — 1
вательность точек х^ — х, + 7——, / = 0,1, ... Для каждого /
убудем вычислять величину
Sj = 4- (жу — ж{)2 max | f (xis) | (5)
ж сравнивать ее с в. Возможны две ситуации:
1) На отрезке [х<, Ы найдется точка х## такая, что
(7 = 0, 1, ..7* — 1) и 8j* > 8. В этом случае полагаем
^г4-1 5=5 1» .
2) Для всех Ы выполнено условие в^<в. В таком
случае считаем х{±\ ~ 6.
После нахождения точки xi+x процесс повторяется. Начинать
выбор узлов сетки следует с точки хо~а. В качестве h-\ можно
взять величину Л*, определяемую формулой (2).
Нетрудно заметить, что алгоритм 2 представляет собой метод
приближенного решения системы (3). В пределе при по-
лучим точное решение этой системы. Однако при' практической
реализации алгоритма достаточно взять^ т не очень большим.
Хорошие результаты получаются уже при т = 10. Дальнейшее
увеличение т не приводит к заметному уменьшению числа узлов,
а объём вычислений при этом возрастает (параметр т определя-
ет количество вычислений-функции I/"(я)|).
Алгоритмы 1 и 2 легко программируются. Единственным ус-
ловием их реализации является наличие априорной информации
о функции |/"(я)1. Точнее, достаточно иметь хорошую мажоран-
ту для нее. Не вдаваясь в описание способов получения подобной
информации, отметим, что на практике можно, например, исполь-
зуя разделенные разности, приближенно вычислить 4 значения
на ^некоторой сетке узлов и затем вместо lf*(x)| взять
сплайн, интерполирующий эти значения.
Рассмотрим несколько численных примеров, иллюстрирующих полу-
ченные выводы. В таблице 2.2 приведены погрешности приближения функ-
ций
/1(х)=е“, /2(х) = е~10х,
' (Ж) = Si“ (ЯЖ)’ , (Ж) = 7+ 100 (х - 0,5)2
и их производных на отрезке [0, 1] при равномерном расположений узлов
интерполяции с шагом h. Здесь обозначено
RT = max.| /(г> (х) - 5(1r) (/; х) |, г = 0,1,
хед
где А — равномерная сетка на [0, 1] с шагом /г/10.
Результаты близки к теоретическим оценкам погрешности.
В_таблице >2.3 приведены данные, характеризующие количество точек
N и‘Wf (включая граничные точки) соответственно при равномерном и не-
§ 3. СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА 53
равномерном разбиении отрезка (0, 11, необходимое для достижения задан-
ной точности интерполяции 8. Для построения неравномерных разбиений
для функций /2 (я) использовался алгоритм 1, а для /з(«), — ал-
горитм 2.
z Таблица 2.2
h Во — ' R1
Ь(х) А(х) /»(х) М*) А(х) А(*> Л(я)
0,1 0,0032 0,077 0,011 0,07 х 0,130 2,7 0,5 5,0
0,05 0,0008 0,024 0,003 0;04 0,067 1,8 0,3 4,0
Таблица 2.3
8 /<(ЗС)
N 'N н лг» V. 1".
«Г1 3 • 3 13 5 5 5 17
«г2 7 6 37 10 13 11 .52 19
1(Г3 20 • 16 ИЗ 26 37 30 ^60 51
10'4 60 48 355 ( . 74 ИЗ 88 502 150
КП 186 147 1120 226 353 276 . 1583 \ 462
Данные таблицы 2.3 показывают значительное уменьшение числа уз-
лов неравномерной сетки по сравнению с равномерной для функций, у ко-
торых модуль второй производной сильно меняется на промежутке интёрг
полирования.
3. В заключение параграфа ^остановимся на выборе шагов
при интерполяции функции,, заданной с погрешностью 8 > 0.
В этом случае, как мы видели в § 1, значения сплайна SU)
вычисляются с той же точностью, а значения его производной
сильно зависят от величины шагов сетки.
Важность правильного, выбора шага показывает следующий
пример. Значения функции еж, округленные до первого знака пос-
ле* запятой (точность 0,05), интерполируются на сетке с постоян-
ным шагом fe = 0,05. Возьмем значения функции в трех точках:
е0,00 = 1,0, е0’05 = 1,1, е0’10 = 1,1. Построенный по ним сплайн
имеет значения производных 5х(0) = 2,0, Si (0,05) — 0,0, це
похожие на значения производной функции е*. В то же время
легко можно проверить, что вычисление производной при более
грубой сетке, например, с шагом 0,2 дает гораздо более точные
результаты.
В связи <с этим покажем, что при заданной величине’ погреш-
ности исходных данных и наличии некоторой априорной инфор-
мации относительно интерполируемой функции существует оп-
тимальная величина шага сетки; при котором погрешность ап-
проксимации производной минимальна. Действительно, пусть,
например, е СЧа, Ы и интерполируются значения ./<, для ко- *
54 ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
4 ~ < . . " ‘
торых |/< — fi\ С в, i = О, 1г ..ч Погрешность приближения произ-
водной функции f(x) на интервале [х{, производной сплайна
Si(/; х) может быть оценена следующим образом: , '
\ I & 4- Г (4 1<1Х(Л 4 - Г (4I + -IX <7; 4-- X (/; 41,
Первое слагаемое в правой части оценивается величиной:
(я) (теорема 2.1). Для второго слагаемого ийеем. .
оценку 2в/Л< (см. § 1). Следовательно,
|Х (7; х)-f(x) | < (4 =
Функция <p(fei, в) при фиксированном 8*достигает минимума при:
Это и есть оптимальное значение шага при заданном уровне
Погрешности в.. Совершенно, ясно, что пользоваться интерполяци-
ей с меньшим шагом, вообще говоря, не имеет смысла. Для рас—
смотренного выше примера оптимальный шаг сетки h « 0,45.
§ 4. Сплайны первой степени двух переменных
на прямоугольной сетке
Введем в области Q = [a,> b] Xtc, d} сетку Д==ДхХДУг
Дх: а “ х$ < ... <«№=&, Ду: с = Уо< .-... <yM = d. Пусть в узлах
(х{, узаданы значения некоторой функции /# = /(#$, yjk
Интерполяционным сплайном первой степени S^ ikx^y) будем на-
зывать функцию, которая^ в каждой „ячейке [#<, x<+i] X
Х"[г/ь J/i+f] представима в виде .
£1,1 У) = Сц + + bijy + duxy
• и удовлетворяет условиям ,
Л = 1, ..., TV; /-Q, 1, ‘ (1Г
Рассмотрим-алгоритм построения 51,1(я, у). Так как при фик-
сированном значении одной из переменных xf y Six, у) является
сплайном первой степени относительно другой переменной, тог
используя формулу (L2), имеем • > </
A yj « (1 —q + *Л+1,9, q = 7, 7 + г, (2>
где t ?r= (xx<)/hi, hi — x<+i — xu Интерполируя теперь найденные
значения .51, i(ж,xi/j) и Si, iU, i/4i), получаем
• - SitiU, */) == (1 — u)Sb!(я, yj) + uSi,i(x, j/J+i), (3>
, § 4. СПЛАЙНЫ, ПЕРВОЙ, СТЕПЕНИ .ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ^ 55
тде.и = (у — li = У}+1,— У1- Окончательноиз (2) и (3) имеем
Si, 1(ж, у) = (1 — u)[(l — t)jls + Д+._14[(1 ^4.14-4/41-41]. •
•; <;Ft; -<; .< ; - (4) .
Нетрудно убедиться, что сплайн у) единствен.
Вычисление сплайна, в точке (ж,: у) организуется так: вначале
вычисляем lh' t, и, затёки А = fit /+1(/41J — А, А, В = Д 41 + •
-+ /(Л+1>;+д — fitя.^): ;иSi-Дя, у) = А + и[В^А). Всего требуется.
15 арифметических операций.
При^ изучении погрешности интерполяции, как и в случае одной пере-
.менной, будем рассматривать пространство, непрерывных функций
я пространства измеримых функций Lp [Q], 1 р <нормы в которых
определены, соответственно соотношениями »
II/С’4?» у)||eEQJ = (тах^|/ (л, у) • •’ , ,
II / (*» У) ilbp[Q] = I / У) 1 < Р < °°i .
, <** J (Х,у)ер . s
Производные функции f(x, у). будем обозначать символом,
D .
"Через обозначим класс функций, производные которых Dr» •/(*»
у), г 4- s к, непрерывны в Q. ’г ' • . . * .
Класс, функций, имеющих ца Q абсолютно непрерывные, по каждой из
переменных производные,/><» 1, и производные D\af(x,/у),
г + s = Z, из LP[Q1, 1 С Р оо, обозначим, через Wlp [Q]. Класс Wlp [Q]
содержит, в частности, функции; а кусочно-непрерывными ^производными
порядка/. > '• ' — ' * ~
Через m [Q] будем обозначать класс функций с непрерывными про-
изводными Dr> af (x, у), г. к, s г'
Символом [Q] обозначим класс функций, у которых Рг» в/(?> У-)»
г Г— '1;т абсолютно непрерывны по каждой из переменных и,
кроме того, Dl~1’ ^Цх, у), Dl» ^f (x, у): ^LP[Q]t В частности,
вдэтомгклассе содержатся функции с кусочно-непрерывными производными
^mf(x, у). ........... . ‘ . х
По аналогии со случаем одной переменной мы будем использовать обо-
значения > к, и т. д. для классов функций, которые
имеют .более‘ высокую гладкость в ячейках. Qц по -сравнению со всей об-
ластью Q. В этих обозначениях первый символ, Ск, характеризует свойства
функций в области Q, а второй, Сд, Wд р, в ячейках Q.u« _
Колебанием функции, в области Qtj назовем величину
_ _mjix • |/(xry)--/(J, y)l. - ’•
. (xfyb(xty)eQjj
• Обозначим* (&(f) =5 max(d|j(f). - - 4 ; : :
be - ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Получим оценки погрешности интерполяции для сплайнов
<Si, 1(х, у). Из формулы (4) имеем
<Si, i(«, р) — Р> -41 — и) 1(1 —*)/« + ЛЛ+i. i — fix, у,)} +
+ ul(l — t)ftiM+th+i.M — f^,yi+i)l +
+. [(! — «)/(«, ю)+ «/(«, p;+i)—/(*, y)l, (5>
Выражения в квадратных скобках представляют собой по-
грешности интерполяции сплайнами одной переменной. Это об-
стоятельство позволяет получить оценки для сплайна Si/i(x,у) •
через соответствующие оценки для сплайнов одной перемен-
ной (§ 2).
< Например, если /(х, у) е£[й], то из (5) по теореме 2.1 в ячей-
ке 0# имеем
ISiti(x, у)-/^ р)| <20^/), -
Отсюда, очевидно, следует оценка
IISiti(x, у) —/(х, у)11сС2(о(/). (6> .
Далее мы рассмотрим лишь те классы функций, для которых
достигаются максимальные порядки приближения. Однако тех-
ника доказательства без каких-либо изменений может быть ис-
пользована для получения результатов и в других классах.
Теорема 2.3. Если / (х, j/) е то
Р1Д(х, р) — /(х, у)||с<
<1^Р^(х,у)|0. + |/*||^/(х,р)8»,; (7)
8РГ-Ч51,1 КР).- /(*, P)IK 4(rT+ sh)ID1.1 (х, р)Ц- ' •
+ |гЛ|Р«.о/(х, р) ||оо + ±sl\D**f(x, y)U г Ч-is-l.' (8)
Доказательство.- Неравенство (7) легко следует из (5)
и теоремы 2.1. Для получения оценки (8) в случае r=l, s = 0
воспользуемся тождеством, непосредственно вытекающим из , (5):
i)1’® (*, Р) — /.$«, Р)1 =
= (1 - и)Ц £>'•»/(*, Pj)] +
Li J
+ — /ij+1)— Я1 ®/(#» P/+1)J +
+1(1 — u)©1-»/ (x, y}) + uDl’°f (x, Pj+1) — Di'Of (x, p)]. (9)
Снова привлекая оценки из таблицы 2.1, мы убеждаемся в спра-
ведливости неравенства (8). Аналогичным образом оно доказыва-
ется и в случае r = 0, s = 1. “
gi 4. СПЛАЙНЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ - 57
При несколько более , жестких требованиях к функции /(ж, у)
можнополучить оценки приближения для ©’•’/(ж,-,у).
Теорема 2.4. Если f(x, у)е то
I Р1’’ (X, у) - f (Ж , у)] < | Л| Д2.1/ (Ж> у) +
+ + <10)
' Доказательство. Дифференцируя (9) по у и вводя
функцию
<Р (У) = l/’fo+i. У) — 1 У)1 — Р1,о/(®. у),
получаем
Z>‘4 (Ж, У) _ / (Ж, у)] « |1 |ф (у.+ 1) — ф (у .)| — ф' (у)}
+ Ц IP1,2/ (X, Ун-i) - (ж, у,)| - D^f (Xt у)| +
+ |Р1Л/(х, у)—^iP^/Cxi+i, у) —P0,1/(«i, у)]|.
Используя одномерные оценки,; получаем
I р,л |5М (X, у) - /(ж, у)|I <| ZiOф''(У)0м°о1 +
+ -1/ДР'.7(х, уИ^ру, +±h.U>*-4(x, y)U(M.. (11)
Так как Г<р"(у)|свврУ]<-|'хЛ4Р«л/(жгу)|<в, то ив. (И) следует
(10)-. Теорема доказана. ,
Если / (ж, у) ® СС& |Я], то, используя теорему 2.2, легко
получить из (4) для (ж, у) еСо
<S 1 д (х, у} J (х, У) + у t (1 — 0 hiD^f (xt у) -J- I
+4й(Г-и)/?Р'»л/(х- у)+Р(/г?-]-7?). (12)
Отсюда, в частности, имеем
D^Si;i (xi+1/2, у) = D>.o/(xi+1/2-, у) + О (*? + //).
Рв’151д(^У;+1/2) = Р0Д/(^У>+1/2)+^(ЛТ^ (13)
(^i+l/2, Уз+1/г) — D^f (^14-1/2, У;+1/г) + -Р(Л* + if),
i i
где ж{+1/2 = »< 4~ у fej, y;+i72 = У; + у Zj.
68 ~ ”гй. Й/локалЙньгесплАйны ,
Эти сЬотной'ений ;>цЬказы^ют,/.что'’в‘ некоторых 'точках\Сна
линиях) возмойстйг повышение'"яорйдаа айпроксймации про-
изводных. :ч ’ ’ _
В. таблице 2.4 представлены числовые результаты интерполяции сплай-
нами |$1Д (х, у) в области &'= [0, 1] X [0/ 11 на' сетке Д == Дя X Ду, где-
х< « i/JO, i'== 10; Ду: yj = //10, 7\= О, v .,10. Здесь
. iaax= |.
.r,zi t «в A*, ^j/GAy , „ , .. . .
Д-с, Ду — сетки по переменным х, у с шагом 0,01; . < f
Rk,l = I [^1,1 (^i+l/2’ ^‘+1/2) ~~ f (^i4a/2 » У j+1/2)] I’
Для рассмотренных примеров Яод = #1>0, Дод*= 0.
; . Т а б л и ц а 2.4
v) ex+t/. ’ sin(.x-H/) Ьхгу* у г
ЬЭ ►— О нь о О - 1 ': 0,017 :' 0,36' 0,70 0,0025 ' 0 ,05 . o,w 5 0,023 0,50 1,95, .
О - |°Г юг. 0,011 0,005 ’ 0,0017 '0,0008 ' 0,024 . 0,000
Задачи, а) Оценить количество операций, необходимое для вычисле-
ния (я, у) в нескольких точках из Qij. к
б) Показать, что при f (хг у) е [Q] . г
ipr‘s (5Х,1 У) ~ f ||оо = rO (h ф>) + sO (1+^2)» № ==1. '
в) Показать, что при */ (я, у) е СС^1 [Q]
§ 5. Эрмитовы кубические сплайны
Пусть в узлах сетки Д: а « , < xN »»Ъ заданы зна-
чения некоторой функции /Сг) и ее производной Г (я):.
Кубическим интерполяционным сплайном дефекта 2 (эрмито^
вым*кубическим сплайном) убудем называть функцию х) ^
я ^з^Са:), удовлетворяющую условиям:
§ '5. ЭРМИТОВЫ-КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ 59
\ 1) на каждом из; промежутков [з<, х<+11,
, * S3,а (*)«io + «ii (® — *i) + «<а (ж —Ц- ai3 (x — ®i)8;
2) *£3,2 (#i) fit ^3,2 (#1) 2=5 fit & 2=8 0, * • *9 N'
Очевидно, 53>2(^) '<= СЧа/ЬГ. Вторая производная эрмитова ку-
бического сплайна-, вообще говоря, разрывна в узлах сетки А.
В целях сокращения записи мы будем опускать йндексг указыва-
, тощий дефект сплайна.
Учитывая условия интерполяции, для вычисления коэффици-
ентов aiCi, а = 0, 1, 2, 3, при каждом i имеем систему уравнений
S3 (%i) “ fii - S3 (^i+1) = /1+1» S3 (?1) fit S3 O'i+l) 5=5 /l+l* ..
Решив эту систему, получаем,на lxh #/+il ,
53 (ж) = Ф1 (t)/г + Ф2 (0/1+1 4“ Фз (0 ^г/i ^4 (0 . (О
причем • . -'
Ф1 (0 = (1 — 03(1-ь 20, ф2(0 = ^ (3"—20, Фз (0 = ^(1- 0аг
ф4(0«—12(1 —0, = > t = (х — Xi)lhi.
у Формула (1) удобна для ? теоретических исследовании. Для
практического вычисления сплайна в точке’ х более вы-
годно с точки зрения количества выполняемых арифметических
операций использование следующей формулы:
. S^^fi+tx-x^i + t^B + tA)], .
где * / , . а
Л ==‘—2 (/m-i — + (/1-4; /i+i)> '
B = -A + (/i+1-/i)^i-/,i-
/ Для вычисления сплайна в одной точке достаточно выполнить
16 арифметических операций, из них 6 «длинных». /
Нетрудно видеть, что алгоритм вычисления спладна устойчив
по отношению к ошибкам входных данных. Но при вычислении
производных эрмитова сплайна 5зГ-(я), г = 1, 2, 3,- нельзя при
наличии ошибок в исходных данных использовать слишком гус-
тые сетки. Величина оптимального шага сетки для вычисления
какой-либо производной сплайна может быть установлена после
получения оценок погрешности интерполяции таким же образом,
* как и в случае сплайна первой степени;
. . - 1
60 ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
z . -
§ 6. Оценки погрешности интерполяции
эрмитовыми кубическими сплайнами • ’ i
Исследуются оценки остаточного члена интерполяции Rix) =
= 5з(/; х) — fix) в зависимости от гладкости функции fix).
Теорема 2.5. Если S3ix) интерполирует на сетке L функ- г
цию fix), то имеют место^ценки ’
г = 0, 1,2,3, (1>
где Rr даны в таблице 2.5.
Т а б л и ц а 25
Класс функций н9 Н, Bt As
С1 [а, Ь] з - з — —
W2x[a, ft] (Х)ВЮ 0,24750fe|/" WL — —
СХС1 [а, 6] 0,12375Й(й (/") i —•
Ь] л3IIГ WIL 0,032302ft21|/'" (х) IL |^II/WWIL —
0,016151ft2® (/"') 4 _ 27ft®(D ©(/"')
СМ-Р. («.Я XWwL 00^1 12 1WIVWL • V/
Доказательство. 1. Вначале рассмотрим случай, когда
f{x) е СЧа, Ы. Согласно (5.1) при х& 1х{, #i+i]
R (*) = /гФ1 it) + Л+1Ф2 (0 + &/гФз (О + Мк1Ф< (0 ~ f (я). (2}
Заменяя величины /<, fi+i их разложениями в точке х = xt + tht
по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, по-
лучаем 1 . : •
Д (х) = [(1 -1) <Р# (0 Г (5) - г<рж (0 Г (п) + <Рз (0 X + Ф4 (0/+1L
Здесь и в дальнейшем буквами ц, & ть и т. д. обозначают-
ся некоторые точки из промежутка lx{, Применяя теорему
о среднем к слагаемым одного знака, имеем
Rix) « Ml ~ 0(1 + 2t-2t*)[f'(l) -/'(ц)].
Отсюда
|Яй)| < М(1 - 0(1 + 2*- гЯсоХГ). ' '
§ 6. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 61Г
Эта оценка является поточечной, так как ее правая часть за-
висит от точки, в которой оценивается остаточный член. Из нее*
вытекает утверждение теоремы для ’ИЯ (х) Пс. Отметим, что в пото-
чечной оценке правая часть симметрична относительно точки
t = 1/2 (х х{ + hi/2). Это свойство имеет место для всех полу-
чаемых ниже оценок. Поэтому мы, как правило, будем ограни-
чиваться рассмотрением случая (О, 1/2J.
Далее, дифференцируя (2), имеем
R' (х) = Фг (0 (/i+i - Л) + Фз (0 fi + ф! (0 f'i+i — f &). (3>
После ирименения формулы Тейлора получаем х
Я'(х) = 6/(Г-0/'(^) + Фз(0/1 +ф1(0/<+1-’/'И- '(4>
Непосредственно в (4) нельзя применить теорему о среднем:
из-за знакопеременности функций Фз (0 = 1 — 4t + 3t2 и ф4(0 =
= — 2t + 3t2. Функция Фз (0 .меняет знак в точке t = 1/3,
а функция Ф4 (0 — в точке t « 2/3. Рассмотрим выражение (4>
отдельно на промежутках (0, 1/3],. (1/3, 1/2]. х
При £е[0, 1/3] имеем фз(0^О» Ф<(0^О- Применяя тео-
рему о среднем к группам слагаемых одного знака в (4), имеем:
' я'(х) = (1 + 2г-зг2)1/'(1)-/'(ц)].
Отсюда • . • ' ~
ГЯ' (х) | < max (1 + 2t — 3t2) «ц (/') < (/'). (5>
<6(0,1/3] у
При is (1/3, 1/2) имем фз(0^О, ф4(00. Поэтому
. /?'(x) = 6f(l-0[/'(l)-/'(n)h ГЯ\(^)1<4«>{(П. (6>
Из (5) и (6) следует оценка для R‘(x).
2. Пусть f(x) е С1Сд |а, 6]. Вначале получим интегральное-
представление остаточного члена R(x). Для этого, в формуле : (2)
величины /ь /i, /г+i» /г+1 разложим по формуле Тейлора в точ-
ке ж— Xi + thi достаточным членом в интегральном виде. После-
приведения подобных получаем при х е [#<, ^+il
R (х) = f (1 - 021- thi + (1,+ 20 (v - х0] f (у) dv +
*i+l
+ f +(3-20(xi+1-v)]/,,(v)^
<62 гл. п. локальные Сплайны
В каждом из интегралов сделаем замену переменной интегри-»
рованйя v — Xi«i;hi. Тогда
’ р ‘ 1 I -
R (х) = hl К ![)/(£, т) f' (Xi + xhi) dx + J ф2 (t, x) /" (xi + xhi) dx L
lo “ t • . J
' - : < . 7 (7)
где • ’ .
4>i(£, r) = (1 — £)2[(1 + 2t)x — t],
- ' \ Ш T)«=z2[(3-2«(i-^T)-(i-t)].
Это представление остаточного члена является исходным для
всех дальнейших рассуждений. Рассмотрим вначале первый ин-
теграл в (7). Если бы функция ф1(i, т) была знакопостоянной при
х « [0, d, то можно было бы применить теорему о среднем для
Интегралов. Однако это не так. Действительно, ф{(£, т) = О при
т—т* = £/(1 + 20, и’т*е [0, i]. При фиксированном t функция
•ф1(£, т) меняет знак в точке т = т*(0. Разбивая промежуток (0, t]
на два—10, т*1 и 1т*,0, на каждом из которых ф1(£,.т) знако-
постоянна, мы имеем возможность применить теорему о среднем.
В итоге f • * л -
t ''' • . ' ‘
J* фх (О г) /" \xi + xhi} dx =
О: '
т* 4 t .
- /" (i) f (t, dr + f (я) J 44(f, T)dt=
о T*
L Аналогичные рассуждения, проделанные для второго интегра-
ла в (7), приводят к равенству
1 ’
- f (п)}.
В результате (7) цреобразуется к виду
. ^2+2 /л \__/\2
R (^) = 2[3+4f(i=7)i^2 <3 - 20 г (я) - (3 - 20 Г (I)+
+ *4 (4 - О2 (1 + 20 f © - (1 + 20 /" (я)Г ~ (8)
Применение теоремы о среднем для непрерывных функций
к слагаемым одного знака в (8) позволяет получить оценку
_о)
- \
{t 1
J 'Фз 1" (^i + т/li) dx 4- J Я>4 (t.
0. - . ' t ' _
§6. оцёнЙгпогРешноСтй интерполяции . 63'
Максимальное значение правой части достигается при i=l/2>.
Следовательно, ;
Отсюда вытекает утверждение теоремы о ПЛ(ж)11с для функций^
из рассматриваемого класса. Г /
Получим теперь оценку для Ifl'Cr) 1.7Дифференцируй <(7) по аг
и учитывая, что dt/dx = i/hh имеем -1 '
R! (x) = hiff (х) h|\ (t, t) — я|)2 t)] + 4
* J / t . 1 ' _ 4
- . 10 x * 4
Так каклр1(£, то отсюда : •' : v? <"
Т) f (^i + 't/ц) dx r
- (10>
где7' -
^ya $4(^; r)-=)+6Cf--^(i-T)k
Выделим"промежутки знаке постоянства функций -ф3(^ т) при^
т10/и =ф4(^\ т)-при т^н И/11. Фущсция -фзС^ т) обращается в^
нуль при х == т*= (3i -г- l)/(6i); Tj е (0, t], если 0 (3i — l)A6r)JC7,
т. е. iipET t ^ 173. Поэтому г|)з((, т) знакопостоянна при t е [0, 1/31
и меняет знак в точке т ~ Тт; если t > 1/3. Аналогичные рас-
суждения?относительно *ф4(£,’ т) приводятся вьтводу, что-гр^, тУ
знакопостоянна, если t > 2/3, И меняет знак при х == т2 = (4 —
— 3/) (6 — если t [0, 2/3]. В дальнейшем будем учитывать,,
.что обе функции грз(^ т) и л|)4(^,. т) 'знакопеременны при t е=ч[ 1/Зг
2/31, а при [0,4/31 знакопеременна только ty4U, т).
* Пусть i [О/1/31.; Тогда из (10), применяя теорему р сред*
। нем, находим. .
Я'(^) =
=Ai/'z(E),J 1рз т) dx Я- h i
> о
t2 '• 1
f" (’ll) J Ф4& ?)йтЧ-/"(п2) T)dTl
<64 гл. п. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ...
Отсюда ...
jfl' (х) I < hi [t (1 -1) (1 - 3t.+ 3<2) 4- МП- ' (H)
Для-fs (1/3, 1/21
Jt'(x)^hi ГСМ T)dT4-f'(T]s) j ij>4(f,T)dv 4-
I t *
_ + hi f (gj) J ф3 («, т) dr + f (s2) J ip3 (t, т) dx
О * ' '
Отсюда приходим к оценке
| Я* (х) |
<hi[t (1 - t)(1 - 3t 4- 3f«),4- :722~2^ + —}®i(Л.
(12)
Для завершения доказательства нужно найти максимумы пра-
вых частей неравенств (11), (12) в соответствующих границах из-
менения параметра i я выбрать наибольший из них. Расчеты, вы-
полненные с помощью ЭВМ, дают величину 0,12375. Это значение
достигается при t — 0,23433.
-• - - -Выведем"оценку'для''’й" (х). 'Д«фферещйф№в&ше?(4<)) *дает-
t 1
R"{x) = J Ч>6 (t, т) f (Xi 4- xhi) dx 4- J i|’e (t, x) f [xt 4- xh0 dx — f (x),
о t. .
тДе . / • • '
•ipsU, t) = 4 — 6f —: 6t(1 <-20, фб(£, т)я — 2 4- 6$ + 6(1 — 20(1 — т).
Исследование показывает, что функция $5(0 т) при /е
е [0, 2/3), т ® 10, t] не имеет корней, а при t s 12/3, 1J, т е (О, О
имеет корень т* = (2 — 30(3 —60”*; фв(О т) при <е£0, 1/31, ts
•е [t, И имеет корень хг = и не имеет корней при t е [1/3, 11,
т е U, 11.
Рассматривая промежутки te.lO, 1/31, t®ll/3, 1/21, прихо-
дим к неравенствам
| Л" (4)|<:[1®<(П. i е [0,1/3],
| Я"(х)|< (Г), ts[l/3, 1/2].
': § 6. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 65
Так как максимум правой части в первом неравенстве дости-
гается при t = 0 и равен 4/3, то отсюда вытекает утверждение
теоремы для НЯ"*(x)IL.
3. Если f(x) е WL[a, Ь], то, применяя неравенство Гёльдера,
из (7) получаем
г t 1 п
i*(*)KW"(*)k J*)И* + Ун;га,т)|л . .
. L 0 i J
Чтобы вычислить интеграл от модуля некоторой непрерывной
функции, нужно определить точки, в которых она меняет знак,
и затем вычислив интегралы по промежуткам знакопостоянства
данной ^функции, просуммировать полученные величины. Свойст-
ва функций фЛг, т), т) исследовались в п. 2. Используя эти :
результаты, легко показать справедливость оценки для Ч/?(х)Нс.
Аналогично получается и оценка для ШЧяЯс. ♦
4. Прежде чем церейти к изучению погрешности интерполяции
для других классов функций, сделаем несколько замечаний отно-
сительно техники доказательства.. Анализируя ход рассуждейий
в пл. 2, 3, легко выделите следующие этапы.
Первый этап. Получение интегрального представления по-
грешности интерполяции. Особых трудностей здесь нет. Доста-
точно применить формулу Тейлора с остаточным членом в интег-
ральном виде й привести подобные.
Второй этап. Анализ подынтегральный -функций с целью
выделения промежутков знакопостоянства той части подынтег-
рального выражения, которая не зависит от интерполируемой
функции. Практически такой анализ сводится к нахождению дей-
ствительных корней многочленов. Трудности здесь в основном
связаны с тем, что и количество этих .корней, и их значения за-
висят, вообще говоря, от точки, в которой оценивается погреш-
ность.' J
; Третий э т й п. Получение поточечной оценки погрешности.
Если интерполируемая, функция имеет непрерывную. производ- -
ную, которая присутствует в интегральном представлении оста-
точного члена, то для вывода оценки используются теоремы
о среднем для интеграла и непрерывной функции. Если эта про-
изводная принадлежит пространству то применяется нера-
венство Гельдера. . ’
Четвертый этап. Вывод оценки погрешности по норме
пространств С или Leo. Это требует вычисления максимумов функ-
ций параметра t. На этом этапе может возникнуть необходимость
в применении численных методов и ЭВМ, как это было, напри-
мер, при нахождении оценки для 1/?'(я)1 в п. 2. *
Заметим, что вч некоторых случаях поточечные оценки, полу-
чаемые в итоге выполнения третьего этапа, могут представлять
* 5 Ю. С. Завьялов и др. ;
66 ' ГЛ. И. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
гораздо большую ценность, нежели оценки в нормах С и Д». На-
пример, они используются для вывода оценок погрешности ин-
терполяции кубическими сплайнами дефекта 1 в гл. III.
5. Описанная техника доказательства применяется для анали-
за погрешности интерполяции и в других классах функций.
С целью сокращения записи мы не будем приводить подробных
доказательств, ограничиваясь лишь итоговыми результатами пер-
вого, третьего и четвертого этапов. Промежуточные выкладки
рекомендуем читателю проделать в качестве упражнения.
. Пусть / (х) е С1 С а |а, Ь]. При х е [xh #f+i]
И ’ 1 г 1
Rw (х) = f f" (Ж{ + Tfe.) dx + f f (х. + xhi) dxk
J dt J dt
4) ' / }
' r = 0, 1, 2, (13)
где '
' (t, X) = (1 - f)2X p - (1 ~l22M't],
(t, x) = Z2 (1 - x) [- (1 - 0 + - ~ ~ T>];
R'" (x) = 6 -J x (1 - t) /(xt + xh;) dx - f" (x). (14)
0
Из (13) при i e 10, 1/21
/ <15>
Для fe [0,1/31
' (16)
54(1 — I)
- | R" (x) | < hi (21 (1 - i)2 + i (Г). (17)
Для ie [1/3, 1/2].
ii<- (1 ~° (/a(Г)> <18>
|/?w(x)K2t2(l-t)2Mi (Г). (19>.
; Из (15) следует оценка для 17?(х)И. Максимум погрешности —
в точке Xi + W2, t«»1/2.
Максимумы правых частей_в (16), (18) достигаются соответ-
ственно в точках t ~ (5 — V13/6), t == 1/3 и равны (13V13 —
V46J/54, 1/72. Отсюда следует оценка для 112?'(я)Нс.
§ 6. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 67
Для оценок (17), (19) максимумы правых частей равны соот-
ветственно 4/27 (достигается при t = 0) и 1/8 (достигается при
i = l/2). Отсюда вытекает оценка для *
Наконец, из (14) получаем неравенство
!/?">)! СсоХГ), £е 10,11,
из которого следует оценка для W?"'(;z:)IL.
Если / (х) е C^VF^oo [а, Ь], то оценки для П/?(г)(х] И«>, г = 0,1,
2, вытекают из (13) после применения неравенства Гёльдера.
6. Если f(x) е Да, Ь\, то для lxh xi+\}
RM(x)=^hrr
f /rv fa + Tfci) dx + .
J dt
‘0
т^)йт|, г = 0, 1,2,3, (20)
где
Отсюда
i|h(£, т) = (1 — О2т2[—3£ + (1 + 20т],
Ш- т)=>(1-т>[-3(1-0 + (3 — 20(1 -т)]. -
I % (41< fa|L, t е= Ю, 1], • (21)
что приводит к оценке для ВЖх)11с. . *
' Далее, из (20) получаем .
] R' (х) | < ±h3it (1 - t) (1 - 201|/fV (*)!«, t e= [0, 1/3],. ; (22)
1 Д' (41 < d ~ о [* (1 - 20 + ^-~33<)4- i/IV (x)U
*6=11/3,1/2].- (23)
Максимумы правых частей в (22), (23) равны соответственно
73/216 (достигается при £ = 1/2—73/6) и 1/162 (достигается при
.£ = 1/3). Отсюда имеем оценку для Н/?'(гг)ПСе
Дал^е, из (20) находим
- J Л-Й1С-Й [- 1 + 6<- + 2(]‘Ja^]l/lv Ml- ‘s «> 1/3I.
. - . (24)
1^(4|<-^-/i?(-l + 6*-6*0l|/IV (4k, Ге [1/3,1/2].
' (25)
5*
68 ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Так как максимумы правых частей в (24), (25) равны соот-
ветственно 1/12 (достигается при t = 0) и 4/24 (достигается при
$=«1/2), то отсюда приходим к оценке для 117?" (xjlL.
Наконец, из (20) получаем
| R'" (®) I < 4 [1 - 2t (1 - 0 (1 + t - t2)] II fIV (х) |„, t е= 10, 1].
Здесь максимум правой части достигается при Г= 0 и равен
1/2. Это дает оценку для И/?"'U)IIсо. Теорема доказана./
7. Порядки погрешности в классе б*1 [а, Ь] являются на-
ивысшими для эрмитовых кубических сплайнов. Легко показ£тьг
что дальнейшее увеличение гладкости функции fix) не приводит
к повышению порядка аппроксимации. Более того, при этом не
могут быть уменьшены' и константы в оценках. Однако это каса-
ется оценок по норме. Если же рассмотреть поточечные оценки,,
то в определенных точках интервалу [#£, некоторые из
них могут' быть существенно улучшены при достаточной глад-
кости fix). '
Теорема 2'6. Если fix) е Ck[xiy rri+1], Л >4, то
^3V; X) = / (Х)+ 2 -*. (а! /«> (х) [(- 1)V-2 (l+2f-a)4-
4-(1 — 0“-2(3—2f — a)} +OW). (26>
Доказательство этого равенства получается непосредст-
венным применением формулы Тейлора в соотношении (5.1). Диф-
ференцируя (26), легко получить '
5'8 (/;«)==/'И - i -0(1-2t) ^i/IV И- ’
Л.&
_ i (1 t) [4 15f (1 - t)l + 0 (27y
S’8 (x) = /" (x) - 4 (1 - 6* + 6i2) htf1N ,(x) -
-4 (1- 20 [1- 5i(l - 0P4/VC0 + O~(hf), (28)
—. S^X^f" U)+^=^M/IV(^) +
+ 4 [18-60t(l- t)]hlf(x) + O(h?). (29)
Из этих равенств вытекает, что в точке х* = xt + hi/2
i,4 . 47 '
^з(/;^) = /'(^)--1^о /IV(^) + °(fe0, -(30)
S3 if; **) = f" (**) + 4j <**) + 0 • (31>
§ 6. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ - 6*9
В точках я = + (3 ± Т3)йг76' .
. 5"(/;^) = /"Й±^МГ Й + о(/ф. '(32)
Сравнение этих соотношений с оценками погрешности по норме
позволяет сделать вывод о том,, что при достаточной гладкости
функции fix) порядок аппроксимации производных этой функции
соответствующими производными эрмитового сплайна в некото-
рых точках интервала [#<, £i+J увеличивается на единицу.
' 8. Все оценки, установленные в теореме 2.5, неулучшаемы. Это можно
доказать путем построения экстремальных и квазиэкстремальных функций.
Мы проведем построение только^для оценок величины ||Я(я)11с в классах
С1СЦа9Ь] и И^[«, &].
Из формулы (7) получаем
7 ( hi \
7? I я {+ у I ==
‘И'с ' г I
= у J (- 1 + 4т) /" (X. + xh^ dx + J (3 - 4т) г (х> + xh.) dx . (33)
О .1/2 *
Пусть функция /1 (х) такова, что
л • _ __ (sgn(— 1+.4т), если 0<т^1/2,
Ji\xt т i) ]sgn(3— 4т), если 1/2<т<1.
По формуле (33) для А (х) имеем .
( hi\
{1/4? _ ' 1/2 3/4 . . 1 -
J (1 — 4т) dx + J (4т - 1) dx + J (3 — 4т) dx + J (4t-3)<Zt
0 1/4 1/2. 3/4 J
Если учесть, что||/^ (x) ]]*,= 1,то полученное значение совпадает с оценкой
для ||Л(х)||с в классе [а, Ь]. Следова-
тельно функция fi (х) является экстремаль-
ной в этом классе.
Квазйэкстремальной функцией в клас-
се [а, &] будет функция /2(я), вто-
fz(x]^
рая производная которой изображена на
рис. 2.3 (знаком «•>> помечены соответст- 0 —
верно слева направо точки (1/4)^,,
хг + (1/4) hi + е/ч, Xj -H (3/4) As — 8&f, Xi +
4- (3/4)hi). В этом легко убедиться, вычис-
лив для /2(я) величину R(xi + hi/2) по -/ -
формуле (33). Обратим внимание читате-
ля на то, что /2 (х) получается «сглажива-
нием» функции (х).
Задачи, а) Объяснить, почему постоянные
[а, ровно в два раза больше постоянных в
.ках для класса [а, д].
Рис. 2.3.
в . оценках для класса
соответствующих оцен-
70
ГЛ. п. локальные сплАйны
б) Показать, что при f(x) е С4[аг &]
I / JlA [ h‘ \ | а
S3 \*i + *2/ *“ f' + ~j I < ’768 (/IV)-
§ 7. Интерполяция с заданной точностью
эрмитовыми кубическими сплайнами
Задача об интерполяции с заданной точностью эрмитовыми
кубическими сплайнами решается путем выбора узлов интерпо-
ляции. Здесь снова могут быть использованы методы и алгорит-
мы, описанные в § 3 для сплайнов первой степени. Мы ^укажем
лишь на те изменения, которые нужно внести в расчетные фор-
мулы. "
Пусть, например, /(ж) Ы и требуется осуществить ин-
терполяцию так, чтобы выполнялось условие
где 8 г-заданное число. Чтобы решить эту задачу на равномер-
ной сетке, достаточно выбрать шаг сетки из условия
Ь т Г" ~
у -
в соответствии с оценкой, погрешности интерполяции для функ-
ций’из класса СЧа, Ь].
Для построения неравномерных сеток могут быть использова-
ны алгоритмы 1 и 2 из § 3. При этом, очевидно, нужно всюду
заменить /"(ж) на /IV(#) и, кроме того, вместо формулы (4) в ал-
горитме 1 использовать формулу
/ 384^
‘ И !''>.) Г
В алгоритме 2 выражение (5) следует заменить на
max I /IV I-
х J 384
Приведем численные результаты для йнтерполяции эрмитовыми куби-
ческими сплайнами. Обозначения и интерполируемые функции — такие же,
как в 1 3. В таблице 2.6 даны значения величин
Rrmax | (а?) — 5(3Г) (х) |, г = 0, 1,2, 3.
лед • /'
Сопоставление таблиц 2.6 и 2.2 показывает существенное увеличение
точности интерполяции кубическими сплайнами по сравнению ссР сплайна-
ми первой степени.
Следующая таблица 2.7 содержит данные о числе точек АР и соответ-
ственно равномерной и неравномерной сеток, которое необходимо для до-
стижения ‘заданной точности интерполяций е.
Сравнение этих результатов с соответствующими результатами для
сплайнов первой степени говорит о значительном уменьшении числа узлов
в случае интерполяции кубическими сплайнами.
§ 7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ С ЗАДАННОЙ. ТОЧНОСТЬЮ ' 71
В таблице 2.8 приведены данные, иллюстрирующие соотношения (6.30) —
(6.32). Здесь обозначено
йг = max | + 4) — ^Г) fci + 4) |’ г ~ 3;
~ I «( л_ — Ы/3\ / h M/3\|
7?а = max | S, ^я>{ 4* 2 ± —4“)~f +T * ~Г"/|*
Расчеты выполнены для равномерной сетки с шагом h « 0,1.
Таблица 2.6
h Но ' - . R,
/1(х) 1 1 /2(Я) /з(Х) /<(*) . fiW /2(Х) /з(х) /<(х)
о,1 0,05 110-« 5-Ю'8 0,0016 0,0001 2,5-IO-* 1,7 10-в 0,013 0,0013.. 2,4-IO-5 3,0.10-« 0,051 0,008 8.10-4 1.10-4 0,45 0,09
h н2
' /|(эс> У2(х) | 7з(*) Л(х) /2(Х) /з(«) /4(*)
0,1 0,05 2,2-10-3 6,0-10"« 5,7 1,7 0,08. 0,02 50 24 0,13 0,07 380 216 4,8 2,5 3-103 4-10’
Таблица 2.7
« /,(Х) /з<л) - ’
' N - N JV N Л71
Ю"1 2 2 6 - 4 * 3 3 10 6
IO-2 2 2 о -< 5 4 4 , 17 9
IO'8 3 3 14 7 5 5 30 14
IO"4 4 4 24 И 9 8 52 22
IO'6 7 '• 6 42 18 14 13 90 36
Таблица 2.8
л /1(х) \ /2(Х) /з(*) . ’ Л(х)
1,3-10-3 3-10‘3 2.10-* 0,15
8,1-10-« 0,2 s мо-з 15
Яз 6,4-10'3 J5 8.10-2 7-102
Задача. Сравните результаты, приведенные в таблицах 2.6 и 2.8, с тео-
ретическими оценками погрешности.
72
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
§ 8. Другой способ интерполяции эрмитовыми
кубическими сплайнами
Для построения эрмитова кубического сплайна необходимо задать в уз-
лах сетки А значения интерполируемой функции ft и ее производной fa.
Однако в практических задачах часто известны только узловые значения
Наиболее простым выходом из этой ситуации является использование вмес-
то точных значений производной некоторых величин аппроксимирую-
щих Д. Мы построим такую аппроксимацию на основе разделенных раз-
ностей. Положим
7i = \ fl+\. . i = l, 2, — (If
+ , (2)'
Tn = - Ья-i -N 2 + (1 + XN-1) “ • • (3)
где |1г= Xi = 1 — g£.
Интерполяционный эрмитов кубический сплайн, построенный по значе-'
Пиям /р /р будем обозначать S3 (/; х) = S3 (х).
Рассмотрим погрешность интерполяции для введенных сплайнов. Для.
дифференцируемой функции fax) имеем ✓ 4 ,
| S<r> (х) - (х) | < | S <г> (х) - 4Г> (х) | 4- | (х) - /<г> (х) |, (4)
. ' г = 0, 1, 2.
.Оценки второго слагаемого в (4) были получены в § 6..
Для первого слагаемого согласно (511)
|S3 W — s3 W Г< 1 •— hi m»x К — Ti I.
I S3 W - S' (x) | < [(1 - t) I 1 - 3f I + 11 2 - 3t I ] max | -~f\|,
Is; (x) ~ s; (x) 1 < 16t - 41 p: - /{ । 1+12 - e# । p;+1 - /;+11 ^4
Принимая во внимание соотношения (1) —(3), нетрудно • оценить во-
личины max | /' |. | /• —|А> p^j — /i+i |/Ч и затем, используя
результаты § 6, получить необходимые оценки. Не останавливаясь на вычи-
слениях, приведем окончательные результаты в виде таблицы 2.9, где да-
ны правые части оценок
р<;Чх)-/‘г>(х)>|00=^Яг, г = 0, 1, 2," .
в зависимости от гладкости fax). Эти результаты справедливы для проме-
жутка [я:ь «х-1]. Для отрезков [ж0, я^],-|>лг-ь ^’] оценки будут несколько
хуже из-за того, что аппроксимация производных в граничных точках х0, xN
с помощью выражений (2), (3) грубее аппроксимации во внутренних точках
xif 1 = 1, 2, ..N — 1. Однако большинство из приводимых оценок остаются
справедливыми и для промежутков [я0, arj, [хк-i, ял], если h0 и 1in-\ при*
§ 8., ДРУГОЙ СПОСОБ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 73
мерно в два раза меньше h. Кроме того, очевидно, несоответствие оценок
полностью устраняется, если в точках, хо, zn заданы точные значения
/о» In-
Отметим некоторые особенности полученных оценок. по сравнению с
аналогичными оценками для эрмитовых сплайнов S3(x) (таблица 2.5). Пре-
жде всего, оценки (одинаковые по порядку) для сплайна S3(x) получаются
при существенно более жестких требованиях к гладкости интерполируе-
мой функции f (х). ~
Максимальный порядок приближения сплайнами 53(х) есть ^(Л^глДля-
сплайна S3(x) максимальный порядок О (ft4). Третья производная S3 (xj
в отличие от S3 (х)£не Аппроксимирует f"(х). Отметим также, что констан-
ты в оценках ддя?.£3(х) значительно больше констант в соответствующих
t оценках для S3(x). Все эти особенности обусловлены свойствами аппрокси-
мации величин с помощью соотношений (1) — (3).
Т а б л и ц а 2.9
Класс функций Во в, * н,
С1 [а, 5] Ь] С® [а, 6] W^la, b] С3 [а, 6] 4^° (Л + ^’llf" (х) |с 2®(/') 0,58577УГ (*)0ioe 0,5062бЛи (/") i.h2 о г ю:ц_. 7у<о(/") и 1,2963Л||Г (х) к •' " оо 0,14815л <<> (/'")+• . .* + woe
Таблица 3.10
h Во в, в,
А(х) Л(х). /Л*) /,(х) /3(^) f4w А(х) /з(Х) Л(*)
0,1 0,05 0,00016 0,00002 0,03 ~ 0,005 0,002 0,0003 0,02 0,01 0,009 0,002 1,7 0,6. 0,1 0,03 1,0 1,4 0,26: 0,13 60 38 3,0 1,5 90 106
В качестве иллюстрации приведем .для 83(х) некоторые численные ре-
зультаты (таблица 2.10). Обозначения и функций — такие же, как в та б-*,
лице 2.6. ~
Так как в формулу S3(x), в отличие от 83(х), не входят значения про--
изводной функции / (х), то такие сплайны могут быть использованы для -
интерполяции функций из класса С [а, &]. Оценим “погрешность интерполя-
ции в этом классе. Нетрудно получить следующее выражение для остаточ*
74
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
где
ного члена при х <= [яч, ж+П, f = 1, ...,tf-2:
Я (х) х= [1 — <р (0J fi + Ф (0 /И1 - / (х) +
h. h- '
+ М (1 - *)2 j— (f, - - W2 (1 - О Г7- (/i+8 - (5)
*•“•1 l+l
<p(t) = t2(3 — 204- M(1 — t)2— x*+1i2(l — t).
Легко проверить, что 0 <p(t) < 1- Применяя теорему о среднем для
непрерывных функций, имеем
¥ ----- W(t).
ni+l J7
к
1 Обозначив max hjh- = р, отсюда получаем
I X — 1 ь J
I 1 + р J
Можно показать, что эта оценка справедлива и для промежутков. рг0, яД,
[z/v-i, хлг]. Следовательно,
Г Р2 1
4(1 + р) ]*>(*)•
Наличие разрывов производных у интерполируемой функции отрица-
тельно сказывается на точности приближения сплайнами 8з(х). Однако, ес-
ли число точек разрыва невелико, то можно существенно ослабить их вли-
яние надлежащим выбором узлов сетки. ✓
Пусть, например, f(x) трижды непрерывно-дифференцируема всюду на
(а, д], за исключением'точки 5» в которой производные /(г), г — 1, 2, 3,
имеют разрывы первого рода. Во-первых, при выборе сетки следует обя-
зательно включить точку | в число узлов. Пусть хь = Во-вторых, распо-
ложим узлы хь-\ и tffc+i так, чтобы hk-\ = hk — /г, причем /гС/?A_2,
h с hh+i- Остальные узлы могут быть взяты произвольными. В соответ-
ствии с таблицей 2.9 имеем
II R llqa.Xfc-i] = 0 <**)• IIR & lld«ft+M] = О (л3).
Для промежутка [^-1,^+1] из (5) легко получить
9 •
IIR W xft+1] < s М /' (*) хй+1Г
Выбирая h достаточно малым, всегда можно добиться, чтобы погреш-
ность интерполяции на отрезке [#а-ь я*-и] была меньше погрешности для
остальной части промежутка [а, &]. '
В качестве численного примера рассмотрим интерполяцию функции
/(я)==|#| на отрезке [—1, 1]. При выборе в качестве узлов интерполяции
точек —1; —0,5; 0; 0,5; 1 погрешность интерполяции равна 0,072. Если до-
бавить еще два узла в точках —0,01; 0,01, то погрешность снижается до 0,0015;
В принципе, используя более точные, чём (1) — (3), разностные ап-
проксимации для производных /р можно повысить точность приближе-
ния сплайнами §з(я). Одна из таких возможностей реализуется в § 3 гл. VI.
. Задача. Получить формулы для аппроксимации с точностью О (/г3) .
§ 9. ЭРМИТОВЫ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ 75
§ 9. Эрмитовы кубические сплайны
двух переменных на прямоугольной сетке
В области Q = [а, Ы X [с, d] введем сетку А *= AxXAy, где Ах:
а = Xq < ... <xN = b, А/. с*== уо <-..<!/№= d. Пусть в узлах
(^, yj) заданы значения
оА^у^-ЛГД г,®-0,1: * = 0, 7 = 0,
»
Интерполяционным эрмитовым кубическим сплайном двух пе-
ременных назовем функцию 53,з(я, !/) = х, у), которая
в каждом из прямоугольников Q,j = (xf, #i+i] X [yh yi+i] имеет вид
3
^3,3 (#» У) 2 #1) (У Уэ)$
а,0=0
и удовлетворяет условиям интерполяции •
Рг’853.з\xif у}) = Г, 8 = 0,1; i = 0, ... Л; / = 0, ..., М.
Рассмотрим алгоритм построения сплайна 5з.з(#, #). Заметим,
что при фиксированном значении "одной из переменных сплайн
.А’з,з(^} у) и его первая производная по этой переменной превра^.
щаются в одномерные эрмитовы кубические сплайны относитель-
но другой переменной. Поэтрму
D^S3t3(x^ у) ~ S3[D'>*f(xp, у)- у], г -0, 1; р = i. i+1.
В правой части этих равенств стоят одномерные сплайны, кото-
рые можно вычислить по формуле (5.1):
[pr,of (хр, у); у] = ср! (u) fpf'*,+ <ра (й) f&Vi +
" + ЬЧзАц) + lj(pt (и) fpj+i, г = 0, 1; р = i, i + 1; (1)
где 1} = ум - уь и = (у - ч
По той же формуле (5.1) . . ,
$з.з(х, у) = ф1(/)5з[/(х<( у); у] + ф2(*)5з1/(^+ь у); у! +
+ Мз(053[0«.о/(х.-, у); у] + У)? У], <2)
где ht <= x1+i — хц t = (х — х()/Лг. ‘
Определим векторы <p(t), <р(и). и матрицу F соотношениями J
fp(t) = [<pi(t), <ра(О, hiff3(t), /&(ф4(О1,
/ i+u /(1,0) J ij /(1,0). - 'i+lU
J? 3-s Aj+i Л+1, j+i /(1,0) * iJ+1 •/(1,0). H+l.J+1 , <p (u) - <₽,(«)
/(0,1) ' /(0,1) Vb /i+lj /(1,1) J ij /(1,1). A+iu 1}<P3(U) • . (jT, (»)
/(0,1) . /(0,1) — HJ+l 'i+lJ+1 /(1Д) J iJ+1 /ОД).
'i+i,*H_ -• —
76 ! гл. И. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
С учетом (1) формула (2) может быть записана в виде
^.зЬ, у) .= фU) • Г • ф(и), ’ (3)
или, если обозначить символом Т операцию транспонирования,
5з»з(я\ У^ = фт(и) • FT • фгй). > (4)
Если производить вычисления в следующем порядке: hi, lh
(х — х{), (у — yf), t, "iif <1 — t), (1 — и), ф1(£), ф2^),_ф1(и), ф2(и),
Л-гфз(^), h^it),Чфз(и)’ /,ф4(и), Six, у), то для нахождения 83ч3(х. у)
потребуется 56 арифметических операций, из них «длинных» 34.
Перейдем к анализу погрешности при интерполяции сплайна-
ми *$з,з(/; #, у)» Существенным моментом здесь является исполь-
зование частичных сплайнов. Интерполяционный сплайн S3[f(x,
у)*, х] называется частичным, если он представляет собой эрми-
тов кубический сплайн для функции/(я, у) "на сетке Дх, а у иг-
рает роль параметра. Очевидно, этот сплайн можно записать
в виде
8й [f (х, у); ж] = 2 «а (у) (я — яч)“, х е= [Xi, х{+1]. (5)
а=о '
Аналогичным образом вводится частичный сплайн 53Д/(х, у); у].
Лемма 2.1. Справедливы тождества
D^S3[f(x, у)-, х! = S3[D^f(x, у); xl,. J , _
D^S3[f(x, у)\ y] =S3[D^f(x,y\y]. '
Доказательство. Докажем первое из равёнств (6). Вто-
рое доказывается аналогично. В соответствии с определением эр-
митова сплайна коэффициенты а<Ду) в (5) находятся из системы
з . . - ’ .
Рг’° 2 «а (у) (хр — Zi)“ =. Dr'°f (жр, у), Р == i, i + 1; г = 0, 1.
а—0 ; . ''
Дифференцированием по у отсюда получаем равенства
з *• .
3 4S) (У) (^ - = ^*7 (®р, У),
а=0
из которых следует, что функции (у) являются*1Щэффици-
ентами интерполяционного сплайна
з-
Sz[D^tix,yY 2 4s)(y)(^-^i)a. (7).
а=о
С другой стороны, из (5) ' ''
з ’ •
P4l/,(®.y);«]=2 4”(?)(x-<. . (8)
. ' а=0
.Сравнивая (7), и (8), приходим к (6). Лемма доказана.
§ 9. ЭРМИТОВЫ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
77
Введем в рассмотрение функции
' J/) —’ S3[fix, у); yl — fix, у), T2ix,.y) = 531/й, у); х\ —• fix, у\
Используя формулу (2), легко получить для, погрешности ин-
терполяции следующие четыре представления:
. £з,з(я, У^—fix, у) ^^iit)T\ixi, у) + ф2(^)Л(^+1, */) +
+ h^WD^T^Xi, у) + у) + T2ix, у), (9)
S^ix, у) —fix,, у) = ф1(и)7’2(^, У$ + yiiu)T2ix, ум) +л ~
+ l^3iu)D^T2ix, yf) + l^Aiu)D^T2ix, ум) + T^ix' у), (10)
S3>zix, у)—fix, yl=={S3[l\ix, у); xl— Tiix,~ у)} + Тх(х, у) + T2ix,y\,
(11)
E^ix, у) — fix^ у) = {S^[T2ix, y); у] — T2ix, у)}+-
_ : + №, y) + T2ix, ук (12)
Тождеств^ (9)—412) служат, отправным пунктом для получе-
ния всех оценок. Отличительной чертой этих соотношений явля-
ется то, что в их правые части входят лишь погрешности интер-
поляции для одномерных эрмитовых сплайнов. Это обстоятельство
позволяет без особого труда получать нужные оценки. Мы рас-
смотрим только Два класса функций. Другие случаи исследуются
совершенно аналогично.
Теорема 2.7.’ Если / (я, -у) е б^дЖд>оо [Q], то
.1 Рг’’{5з.з (х, у) - f (х,у)}К41)Л4-’’||П4.о/(х, у)+
. + 42)fe3~rZ || Рз.1/ (ж, у) |оо + л<3)?~г | D^~rf (х, у) U; (13)
:]| P°’s {5313 (х, у) - /(х, у)Мо» < №*/ (X, у) Иоо +
+ 4<2>/Й8^ || D^f (х, у) U -I- 4'3)fe4"s |D^f (х, у) ||м, - (14)
г, s = 0, 1, 2;
W^{Ss,a(x^-f(x,y)}^_ .
< А.1II D^f(x, y^ + h^D^f ^ yn^, (15)
гЭе - = = 4(Л= /3/216, Л<2) = 0,0080377,.
Л18) = 1/96, А(/> = 1/12, 42) = 2/27, 43) - 1/16, АЪ1 = 0,032303.
Доказательство. Используя тождество (10), имеем в
каждом из прямоугольников
|Р^{5з.з(х, у)-/(«, г)}| <ф1(»)11Рг0Г2(®, у/)11о +
+ <p2(u)W^7’2(a:, yJ+1)i)c + /Яфз(и)1Ш,;1Т2и, Уз)11с+
- Ч-ZJl<p4(«.)|lfZ>"-17’2(^, y,+i)»c+:IIPr’°Ti(®, У)ИС. (16)
Далее, учитывая результаты, относящиеся к одномерной интерпо-”
Z
78 ' ГЛ. П. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
ляции (таблица 2.5), получаем /
? \\D^T^ г = 0, 1,2;
- р = у, / + 1; Kit0 = 1/384, £4Д =/3/216, А4Л = 1/12. ’
Согласно лемме 2.1 х .
D'-'T2(x, yj ур); d -До«/«ур)}.
Поэтому,ввиду того, что D0*1/^, у) е имеем
1ПМТ2(Ж,ур)||с<7Сз:ЛГг||>,/(^Ур)||оО, Г =^0,1,2; (18) .
р = /,/4-1; ^=1/96, Кзл = 0,032302,- ^з,= 8/27.
Аналогично, i
D'-OT^x, у) = S3,3[D'°f(x, у)-, у] -ZX-°/(x, ’у).
Следовательно,
1 (х, у)|с<Жм_гГгРг’-7(х, y)U, г = 0,1, 2; .(19)
Км = 1/384,Ki,3 = 1/96, £2.2 = 1/16/
Подставляя (17)—(19) в (46) и принимая во внимание, что
Ф1(«) + фг(«) = 1, 1фз(«)1 + 1ф4(«)1 < 1/4,
приходим к (13). Аналогичным образом, исходя из тождества (9),
выводятся оценки (14).
Докажем, теперь неравенство (15). Из тождества (11) следует,
1Пи{4з(*, у) -/U, у)И< 1П1-,7’1(Ж> у)| +
+ |ZW2(z, у)| + у); xl-TVa:, у))|. (20)
Учитывая, что
у)| = \D^{S3lD^x, у); yj -D^j{x, у)}| <
. </?.0,032302|П1.з/(х,у)||аз,
IУ) I < 0.032302M || DM/ (», y)
I^,'1{*58(7’1(a:,y);x]-T1(a;,y)}|=. ,
= |П1.о{58[РМТ1(а;,у);Ж]_ро.1Г1.(а:1у)}|< ,
<4<о(Р^Т1(«,-))<3|РмТ1(а:,у)||.в,
x из (20) получаем (15). Заметим, что, используя вместо (11) тож-
дество (12), мы пришли"бы к оценке - .
ПП1’1{£з1з(х, у) -/(х, у)Й. «3
. . ^ А1Л(Т2Ю1-3}(х, у)1Ь + 4Я211Р3-7(«/у)11-).
§ 9. ЭРМИТОВЫ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ . 79
Из (13), (14) мы имеем две оценки для у) — fix, 1/)И«>.
Еще одну оценку этой величины можно получить, исходя из тож-
дества (11) или (12). Действительно, учитывая, что
J (х, у)\ х\ Т\ (х, у) ||оо II D-,QT^ (х, у) Цо© ==
= ъ И У* У) - Di’9f ^У) II» < W ID^f (*, у) U,
и используя (17), (19), из (11) приходим к неравенству
J S3,3 (X, У) - f (xfy) lie С ± I* р°- V у) и» +
+ у)||» + ^6h’P№^f(x, у)||». (21)
Теорема 2.8. Если / (х, у) s С1 д W1’До [□], то
№'-’{S3'3(x, у) - fix, у)}11„ С \ . .
z ^K^WD^fix, + у)11те + - .
. + ^rO4-rZ4-’IID4’4/(«i. y)L, r, s = 0,1, 2,3, (22)
где Ko = 1/384, Kt = V3/21G, К2 = 1712, К3 - 1/2.
Доказательство. Из (11) и леммы 2.1 имеем'
\D’’{S3.3ix,y)-f(x,y)}\^
^\\Dr-°{S3[D°’sTi(x, у)-, x]-D°-'Ti(x, y))L +
+1Юг-’7’1(ж, y)l\K + Wr-’T2(x, p)L. (23)
Используя одномерные оценйи (теорема 2.5), получаем
W^T-tix, y)L = Ш0-’{53[Рг’6/(х, у)-, у] -Dr-°f(x, у)}11„ <
С K^-WD^fix, y)L,
. IID'-’T2(®, y)llw<O4-rIID4.*/(®>»IL,
у); ж] -D^Tiix, y)}IL^
О4-'Ш4-аГ1(х, y)IL < KrK^-'l^W^filc, y)IL.
Подставив эти неравенства в (23), приходим к оценкам (22).
Некоторое представление о точности интерполяцйи дают результаты для
функции /(х, у) = ехр (х 4- у) в области [0, lj X [0; 1]. Узлы интерполяции
по каждой из переменных взяты с шагом 0,5. В таблице 241 с двумя вхо-
дами приведены значения величин
Rr a = max ~ | Dr<s {S3 3 (/; х, у) - f (х, у)} |, г, s = 0, 1, 2, 3;
где Дх, Ду — сетки по переменным х, у с шагом h = 0,05.
80 ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
В каждом из прямоугольников [яъ #f+i] X yJ+i] имеются;
точки (линии), в которых порядок аппроксимации производных
интерполируемой функции на единицу выше, чем это гарантиро-
вано оценками (22). Такие точки легко могут быть выделены на
Таблица2.11_
Г S . 0 Г 2 3
0 ' 0,0015 0,0059^ 0,43 1,6
1 . 0,0059' - 0,611 . 0.13 1,6
- 2 - - 0,13 0,13 0,25 1,7
3 1,6 1,6 1,7 2,9
основе формул (6.29)—(6.32). А именно, порядок- аппроксимации
повышается: для производных Dxs4kx> у), D3'sf(x, (/), $ = 0, 1/ 2,—
вдоль прямой х = Xi + hi/2, для производных Dr’zf{x, у), г = 0/1, 2,
У) — вдоль прймой —у = Уз + Z/2, для производных
у), s = 0, 1,—вдоль прямых Я ==#/+ (1/2 ± У3/6)Л<; для
производных Рг’2/(ж, у), Г = 0, 1, — вдоль прямых у == l/j+ (1/2 dz
=kV3/fi) Zj. Наконец, для производных Dr> rf(x, у), г == 1, 3, по-
рядок повышается в одной точке (#7+Л»/2, ^.+ //2) и _для про-
изводной Dyjkx. у) —в четырех точках: \хг + hJ2 ± Л»УЗ/6,
Н- У2 ± Z/3/6). ' .
Таблица 2.12
8 0 - ,1 2 ~ 3
0 0,0009 0,0023 0,027
1 0,0009 1 0,0003 0,0075 0,028
2 , 0,0023 • 0,0075: 0,0041 - 0,075 .
- 3 6,027- > 0,028 0,075 » 0,042
В таблице 2.12 приведены численные результаты, иллюстрирующие этот
эффект. Исходные данные — такие Же, как для таблицы 2.11. При этом для
производных Z>r’2/(*, у)± D2> rf(x, у), г =_0, 1, 2; погрешность вычислена в
точках А//2 ±ЛгУЗ/б, j/i + Zj/2± Zjf3/6), а для всех остальных произ-
водных — в точках (я» + &i/2, Уз + '
На практике! значения производных /ь’0),/(4Д\ как
правило, не заданы. Так же, как и в одномерном случае (§ 8),
их можно заменить подходящими разностными аппроксимациями.
§ 10. ЭРМИТОВЫ СПЛАЦНЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЧЕТНОЙ СТЕПЕНИ 81
§ 10. Эрмитовы сплайны произвольной нечетной степени
Пусть в узлах сетки-А: а = х$ <Z Х\ < ... < xN=~ Ъ заданы зна-
чения Дг) =/(г)(^), г = 0,1, тп; 1 = 0,1,АГ..
Эрмитовым интерполяционным сплайном степени 2m +1 на-
зывается функция S2m+l,m+l(f\ х) = ^2т+1.т+1(х)9 КОТОрДЯ УДОВЛОТ-
воряет условиям: - >
1) на‘каждом промежутке 1х{, #i+i] Sam+i.m+ikr) — многочлен
степени 2m+ 1; . ' .
2) ‘S’am+l.m+l (%i) == /i \ 1 = 0, 1, . . ., N\ Гя0,1, . . ., 771. *
Выведем формулу для такого сплайна. Очевидно, если пост-
роить многочлены фа(1), t|)a(l), ^===0, тп, степени 2т + 1 та-,
кие, что •, - . '
J Ф^(О) = в«.г, Ф^(1)-0, <’(0) = 0, ф«(1)-6а>г,
’ а = 0, 1, ..., тп; г = Д 1, ..т,
где 6а, г — символ, Кронекера, то при- х е [xt, Xi+J, t = (ж— x^/hf
’ т. >
52m+1,m+1(x)= ^ ^{фаСО/^ + ^О/^г). ' (1)
а==о
Заметим, что ф«(£) = ( — 1)“<ра(1—0. Поэтому достаточно полу-
чить выражение для фа(0; Так-как фа> (1) = 0, г= 0, ..., т, . и
Ф*' (0) = 0, г = 0, ...а— 1, то
Фа(0 = (1-0’п+'1 2 ' (2>
В=о .
Коэффициенты ds определяются из условий
Фаг)(0) = ба,г, г = а, ...,тго. “ • .
По формуле Лейбница
фа ’ (0 -= 2. С}г «1 - а₽ К“+₽Р> =
2 г! (т -|- 1)! (— l)r~J (1 — tyw-r+i ' (« +Р)! /»+Р-*
, }’-(>• —;)!('»+! — >• + /)!'••’ а&' («+Р —*,
З—О •_ ‘ л, Р—О-СО-}.. ' •.
Отсюда
. ф^ (0) = Г1 2 (- 1)г-> Сгт-Да;_а = И s’ (- Сгт+Г}. а].
• . э=а. у • 5т=0'
Следовательно, коэффициенты До, •?., «m-а определяются из систе-
мы с треугольной матрицей и ненулевыми диагональными эле*
6 Ю. С. Завьялов п др.
.32
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
ментами
2 ( Ip* Cm+i ^з = тл Sajrt г = a, a 4-1, ..., т9 (3)
1=о 4 ‘ ’ ч
которая имеет единственное решение.
Положим Сп == 0, если к < 0 или к > п; Сп = Сп = 1.
Лемма 2.2. Для любых целых р9 тп>0
2 ( = L) п а '
S—o СЛ Р V.
Доказательство проводится методом индукции.
Сравнивая теперь (4) с (3), имеем
..., пг— а.
Подставив эти значения в (2), получаем
m—a
р=0 н
JB итоге при х^ [#«, xi+{]
^гт-Н.т+Х (#) _
т т— a
= 2 2 йта1(1 “ 0т+^а+₽Ла) + (- i)a«m+1 (i - t)a+₽/i+J.
a=0 3=0 И ’
• (5)
§ 11. Получение оценок погрешности интерполяции
\ эрмитовыми сплайнами с помощью ЭВМ
- Рассмотрим вопрос об оценке^ остаточных членов
(х) = (я) — (я), г == 0, 1, . •., 2т 4-1,
"при различных требованиях к гладкости функции /(х). Отметим,
что случаи т = 0, m = 1 с достаточной полнотой были изучены
нами в §§ 2 и 6. В §6 при выводе оценок для. кубического эрми-
тового сплайна (т = 1) была описана техника получения этих
оценок. В принципе она может быть использована и для сплайнов»
произвольной нечетной степени. Однако трудности, возникающие
на этом пути, вообще говоря, непреодолимы без привлечения ЭВМ.
Начнем - исследования со случая, когда / (а) е СтС1& [а, Ь],
2 =~ т, ..., 2т + 2. В силу локальности эрмитового сплайна доста-
точно оценить погрешность на одном из отрезков lxi9 я<+11.
Используя явную формулу (10.5) ДЛЯ S2m+1, m+lU) и формулу
§ 11. ПОЛУЧЕНИЕ ОЦЕНОК ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 83
Тейлора для Л+i имеем -
хг+1 _ , ’
Rw(x) = J Х.г(ж, v)/<»(p)<4 (1).
r = 0,1, ...,l — 1; I = m + 1, ..2m 4- 2;
xi+l
. Ru {x) = f' Kia fa v) (v) dv - f"> (x), ' (2)fe.
xi . -
I .= m + 1, ..2m + 1.
В случае I = m
- . xi4-i '
(x) = J - Kr,m {x, v) (v) dv +
xi . )
+ (0 hVr + Ш (0 hT:r, Г - 0, ..., m - 1; (3>
*i+l ' .
R{m\x) = J Km>m(x,v)f^(v)dv +
xi , *
+ /Г<₽(Г (t) + (0 - /TO) Ы (4).
Дальнейшие рассуждения будем проводить для соотношениям
(1). Для формул (2)—(4) выкладки аналогичны. Сделаем в (1) за-
мену р — Xi — xhi. В результате получаем . -<
1 ф
Rw (xt + thi) = hlCr К? At, *) fw(*i + xht)dx. (5).,-
? 0
На этом «ручная» работа заканчивается. В результате имеем
выражения для функций Krj(t, т) и, кроме того, уже получены-
порядки приближения. Все дальнейшие вычисления выполняются
с помощью ЭВМ. Они с'остоят в следующем.
Пусть 1] фиксировано. Определим точки т/О, в кото-
рых Krti(t, т) меняет знак. С этой целью вычислим для уравне-
ния Кг. At, т) = 0 все действительные корни нечетной кратности.
Решается эта задача следующим образом. Вначале, путем состав-
ления достаточно густой таблицы значений функций т),
<= [0, 11, выделяются границы корней. Затем корни находятся
методом деления пополам. Используя теоремы о среднем, имеем:
R<r> (ж, + thi) = h‘~r S' ’ f Kr>t (t, t) fW(xt + Tfej) dx =» ,'
= hl-r |/((>Q)3+ f ^Г>;а,^т+/<О(П)2" f KrAt,x)dx^
I 3 *i(t) i tJ«)
. (6)
6*
84 ' . • -7 ГЛ. П. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ , I
.л
\ 1
где т) е символами^, S~ обозначены суммы интегра- /
лов, имеющих соответственно , положительные и отрицательные 7
подынтегральные выражения. т
Очередным этапом является вычисление интегралов
f 2TrZ(j, Т)ЙТ;
. т/t) ’ ’ ' -
Так как^г/£, т) — многочлен степени не выше 2т + 1, то здесь\
наиболее целесообразно использовать квадратурную формулу Га-
усса, точную для многочленов степени 2т + 1. После вычисления
интегралов имеем
Rl'r> (Xi + thi) = h\~T {A (0 ./<» G) + В (f) fW (n)}.
Отсюда
где V(t) = | Л (t) + B(t) I, Wit) = min{ IA (t) I, I B(t) Ik
Оценка (7) является поточечной оценкой погрешности. Для'
вычисления оценки в. норме С необходимо найти максимальные/
значения функций при t е= [Q, 1J. Для этого составляет-'
ся таблица поточечных оценок в узлах достаточно густой сетки или
организуется вывод графиков функций У (О, 1У(О. Затем на интер-
валах, «подозрительных» на максимум, строится таблица (гра-
фик) с более мелким*шагом. Этот процесс продолжается до дости-
жения точности ЭВМ. В результате находим нужную оценку и,
. кроме7того, попутно определяются точки, в которых она дости-
гается. Отметим, что тем-же способом можно найти и точки, в ко-
торых поточечная оценка погрешности минимальна.
Рассмотрим далее случай, когда / (х) е CmW\>(Xi [а, Ь], I = т +
+ 1, ..., 2т + 2. Здесь, используя неравенство Гёльдера, вместо
<6) имеем , . • . '
1
а вместо (7)
|я(г)(^:+«м|<м_’’|г/(»ик00^(о, (9)
где У(£)« |Л(ОI 4- lB(i)l. Таким образом, алгоритм, описанный
для функций f (х) е СтС1& [а, Ь], же требует здесь существенных
изменений. Отличие состоит лишь в том, что на заключительном
ятапе отыскивается максимум другой функции.
Пусть f (х) (= CmW\tP [а. Ь], I =т 4-1, ..., 2т + 2; р >1.
В; этом случае применение неравенства Гёльдера к (1)
§ 11. ПОЛУЧЕНИЕ ОЦЕНОК ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ х 85
« последующей заменой v — xt = xh{ приводит к неравенству
• I-1-/ ( х}+^ Х1/я
1Л(г>^-НМ|<йг ₽ |/“>(*) к 2 I т)|Мт .(16)
' ‘ -> . А* т/о /•
Здесь подынтегральная функция, вообще говоря, не является
многочленом. Для вычисления этих интегралов можно использо-
вать ту же квадратурную формулу Гаусса, что и в предыдущих
случаях, но предварительно разбив каждый из промежутков
1т/£), tj+i(£)] на более мелкие/отрезки, чтобы обеспечить требуе-
мую точность. " . .....
Наконец, если / (х) е CmWl±tl [а, Ь], Z = тп +1, ..., 2т 2,
что вместо (10) имеем . J »
- | Я(г) (Xi ч- tKi) I < II /(/> W) |ь1 max | Krj (t, <
теЕод!
Здесь вместо процедуры вычисления интеграла должна рабо-
тать процедура вычисления максимума функции <(£, т)| при
фиксированном t. Для получения оценки7 в Норме С нужно вы-
числить . max' max | Kr,i (I, т) |. ; '
Че[одЗ ’ . ' . .
Если бы все. арифметические операции при реализации данно-
го алгоритма выполнялись трчно, то полученные оценки были бы
пеулучшаемыми. Однако в реальных условиях близость оценок
к неулучшаемымГ определяется разрядностью конкретной ЭВМ*
♦В практических задачах естественно считать эти оценки точными.
По-предложенному алгоритму была неписана программа ,«ERROR» на
языке Basic, с помощью которой можно вычислить, оценки погрешности при
произвольных тп; I т\ г = 0, 2т + 1; 1:^ р оо.
Здесь мы приводим только результаты для сплайнов пятой
степени. В таблице 2.13 даны значения величин Rr для оценок
15^3 (х) (х) < Rr, г = 0,1,.,., 5,
в зависимости от гладкости функций /(х). Кстати, большинство из
них получено впервые. В • литературе имеются лишь оценки
'W(r)(x)IL, г = 0,-1, ..., 5, для функций из CWa,oo[«, Ь] (послед- .
няя строка таблицы) и оценка Ш(я)Нс для функций из C2C&fa, Ь].
Изложенная методика полученияz оценок путем использования
ЭВМ пригодна не только дл)у эрмитовых, но и для любых других
локальных сплайнов. МоЖн<> ^цспользовать ее - и при получении
оценок погрешности квадратурных формул. .
Таблица 2.13
Класс функций Hi Rt
С2 [а, 6] 4,8828* КГ2*2® (/*) 0,17737A<o (/’) 1,5349(0 (/")
С^х[а,Ь] 6,1849- ю-’fe31| Г (г)|в 2,2055-IO"2*21| Г (x)!. 0,20833МГ (x)!^ 1
С2С9&[а, Ь] 3,0924 -10~3*3(о (fm) 1,1028-10-2A2 (0 (/OT) 0,10417Л(о (/")
«Х.» [*• ,ы 6,7701 -KT4*4 J /IV(x)L 2,460b IO"8*’J/IV (x)L 1,8519- 1O-2A28/iv (4) IU
С2Сд [а, Ь] 3,3851-10~4*4®(/IV) 1,2301 -10~3A3(o(/IV) 9,2593-lO-3^® (/Iv)
сХ,« (“> я 9,7656 -10“8*s 8/V (x) [I*, 3,4046-10-4A4bVML 2,6042 • lO-’fe3 8/v(x)L
С2С1,=о [а- bl ^8828-10~3*3(o(/v) 1,7023- 10-4fc4(o (/v) l,3021-10-3h3(o(/v)
CW^.b] 2,1701 -10-8fc61| fvl (x) C 7,4536-10-5fc51|/VI (x) L. 5,2083 -10“4A4||/VI(x)L -
Класс функций Rs j 1 *4
С*С\ [а, &] l,5879<o (/'") —
C2W^[a,b] 0,23515A||/IV(*)lloe x —‘
С*С\[а,Ь] 0,11758*® (/IV) l,5120co (/Iv) —•
сХ.» [«. 6J 3,4560• IO-2*2 j/v (x) L O,395O6A||/v(?)L
C^^-la, Ь] 1,7280-1O-2A2<o(/v) 0,19753/йо (/v) l,0000(o(/v) , '
С^а, 6] 8,3333-10" ?A»|/VI (x)L o,iooooa28/vimL 0 50000*11 /VI(x)L ’ .
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
§ 12. СПЛАЙНЫ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ/ 87
: S '
§ 12. Сплайны двух переменных на нерегулярной сетке
До сих пор при построении сплайнов двух переменных мы ис-
ходили. из предположения, что значения интерполируемой функ-
ции заданы в ч узлах регулярной (прямоугольной) сетки. Наруше-
ние этого условия существенно осложняет задачу. В данном па-
раграфе один из способов ее решения рассматривается на приме-
ре сплайнов первой степени.
Пусть на плоскости хОу задано множество точек Р<(#(,
i = 0, 1, ..., N, в которых известны значения некоторой функции
f(Pi) = ft. Построим в плоскости хОу многоугольник такой, чтобы,
во-первых, его вершины принадлежали множеству заданных то-
чек и, во-вторых, все точки, не попадающие в вершины, лежали
внутри него. Полученный многоугольник разобьем на треугольни-
ки с вершинами в точках Pi таким образом, чтобы каждая точка
области, ограниченной многоугольником, принадлежала одному,’
и только одному, из треугольников (рис. 2.4). Описанная процеду-
ра называется триангуляцией. Заметим, что триангуляция осуще-
ствляется не единственным способом. Вопрос^о выборе «хорошей»
триангуляции будет рассмотрен ниже.
Предположим, что на плоскости хОу построена некоторая три-
ангуляция. Интерполяционным сплайном первой степени назовем
функцию Si(#, у) 5i(Р), которая в каждом из треугольников,
имеет вид S\(P) = ах + by + с и удовлетворяет условиям
51(Р<)=Д, (-0, 1, >.., N. (1)
Геометрически такой сплайн представляет собой поверхность, со-
ставленную из кусков плоскостей (рис. 2.5).
В силу локальности сплайна 5{(Р) достаточно рассмотреть
один из треугольников, например , треугольник Q с вершинами
88
ГЛ. IL ЛОКАЛЬНЫЕ ОНЛАЙНЫ
в точках Pi, Р2, Рз. Очевидно, 51(РУ удовлетворяет уравнению
= о. . (2> jj
х у 1
4 УГ 1
К К Уз 1
• \ /». . ж-з уз 1
. Введем обозначение
' . .. . ' • хз Уз 1
Из аналитической геометрии известно, что величина -7 |-А (Рх, Р2,
* - ’ _ — ' - ". *
Рз)1 равна площади треугольника Q, причем, если нумерация
вершин соответствует обходу треугольника против часовой стрел-
ки, то Л(РЬ Рг, Рз) > 0. /
Разрешая уравнение (2) относительно ^i(P), имеем
+ М(Л,Л/’з) + 73л(р1,р2,Р)}. (4)
“ Ч .
Условие Я (Pi, Р2, Р3)^0 является условием существования * ",
единственного сплайна 5i (Р) и предполагается в дальнейшем вы- ।
полненным. Йз“ геометрического смысла величины A(PU Р2, Р3) j
следует, что оно эквивалентно требованию невырожденности тре- |
угольника Й. Таким образом, необходимо, .чтобы точки Pi, *Р2, Р3 Ч
не лежали на одной прямой. \ z / 1
Для того чтобы вычислить значение интерполяционного сплай- I
на в некоторой точке Р, очевидно, вначале следует выделить тот 1
треугольник, которому эта точка принадлежит. Если вершины i
всех треугольников упорядочены в направлении против часовой / 1
стрелки, то признаком принадлежности точки Р треугольнику Й 1
будет одновременное выполнение условий Л(Р, Р2, Р3)>0, 1
Л(Р1, Р, Рз) > 0/4(Р1, Р2, Р) > 0. Пусть точка Р принадлежит |
треугольнику Й. Вычисление Si(P) можно организовать следую-
щим образом: . •
Л1 *^1- ^2 *”“ ~ ®3 . *^3? - ^5 ==- *^3> "
— Ь2 = у2~Уз, &з = Vi-Уз, bi = y-y2, b5 = y-y3t
—bidii -Аз = —63&5i Аз = Ь]Д4 —
В этом случае необходимо выполнить 27 арифметических one-:
раций: 17 сложений, 9 умножений, 1: деление. •
.. Перейдем к изучению воцроса о погрешности интерполяции.
♦ § 12. СПЛАЙНЫ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ* СЕТКЕ 89
Лемма 2.3. ? '
А (Р, Р^ Рз) + А (Рь Р, Р3) +. А (Рь Р2, Р) = А (Рг, Р2 Рз).
Доказательство очевидно.
Лемма 2.4. Для любых-х, у справедливы равенства
. {х\—х)А(Р, Р2, Р3)+(х2-~х)А(Ри Р, Р3)+(х3—х)А(Р^, Р2, Р) «О,
(у1—у)А(Р, Р2, Рз)+(!/2-1/)4(Р1, Р, Рз)+(Уз-у)А(Ри Р2, Р) « QJ
Доказательство. Докажем лишь первое равенство. Вто-
рое доказывается совершенно аналогично. Имеем
&-Х) А (Р, Р2, Р3)Л {х2^х) А (РЬ Р, Р3) + {х3-х)А(Р1, Р2, Р)~,
О х у 1
. - ’ '• ' *1 1
- . . . = *2 ^2 1 *
'• . ~ |хз“ж хз Л 1
Этот определитель равен нулю, так как его первый столбец
является линейной комбинацией второго и четвертого.
. Теорема 2.9. Если f(x, у) е C[Q], то
HSi(5 (5)
Доказательство. Из (4), используя лемму 2.3, имеем
£ (х, у) — /(ж, у) = ^p^.p-pj {(/1 — /(«, у))А <Р, Р* Рз) +
4-(^-7(^J/))4(P1, P,P3) + (f?-f(x, у))А{Рг,Р^Р)}^ (6)
Отсюда следует неравенство
; - I5U, y).-f(x, уП^^, -
из. которого .вытекает (5k' _
Теорема 2.10. Если Цх, у) е W%, [Q], то
“ -'/fc27'-
Р1(?,г/)-/(Ж,у)|Гс<^||1?2/и,У)||оо)- - ~(7)_
(ж, у) - f(x, y)}^^-^f(x, y)h, r+s=l, (8)
где h— длина наибольшей стороны треугольника, наимень-
ший из его углов, ? .
P7(^..y)ll«= тах {рл7(^, . -
/ . . • т-Н=2 '
Доказательство. По формуле Тейлора с остаточным чле-
ном в интегральном виде имеем ‘
yi)+ J (Xi^-v) D^f (v, yi)dv.
90 s ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
В свою очередь .
f(x, yiy=f(x, у) + J (j/i — v)D«-V(x, v)dvT
z у
. , У1
D^i^yi) -D^{x,y)+ \D^f(Xiv)dp. .
_ . - ' V . ,
Б итоге f4
: А = / У) + (^ - x) D^f (х, у) + (Vi - у) D^f (х, у) + /?й (9>
где
4 хг е *'
Ri = J (®i — v) D2’°f (v, уi) dv +
X ’ - ’ - —
Vi ’ Vi
+ j v}D°’2f(x, v)dv + (xi — x) J Di>*f(x, v)dv.
V У
Применяя неравенство Гёльдера, получаем
#Р2’°/(ж, У)||оо + .
+ 4 — lO2i D°’2/- (®,. У) loo + I Xi — X11 У1 — у IЦ pi.l/ (X, у) И».
Так как | Xi — х 11yt — у |< у (xi — х)2 + у (Si —*у)2, то
|Я,| sStUj — x)2+(yt — y)2]\\D2f(x, y)IL. (10)
Подставив разложения (9) в (6) и учитывая леммы 2.3, 2.4,
получаем
Si(x, у)— f(x, у)= ' (Н>
где обозначено ,
Л(Р,РЛ,Р3)_? A(PVP,P3) A(PVPVP)
Л(РГР2,Р3)-51’- А^Р^Р,) Л(РгР2,Ра)-«з.
Используя оценку (10), из (11) находим
I St (х, у) —f (х, у) |.<|D’/ (х, у) Joo 2 li l&i — X}2 + (yt -М)2]. (12)
i=l
Функции Xi ~ ж, yi — y являются сплайнами первой ’степени и
поэтому согласно формуле (4)
—% ==\(^'i *^1)^1 (^—^2)^2 (*^<*““^з)^3» (14)
Уг—У = +<Уг- У2Ч2 + (у—УЛь.
§ 12. СПЛАЙНЫ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ . 91 1
Кроме того, очевидно, +§2 + |з = 1.к Подставляя (13) в (12) и *
полагая £3 = 1 — £1 •—£2, имеем * к /
2 It K^i — + (Уг — j/)2] =
7=1 • .
= 11 (1 -11)« +12 (1 - 12) Ь + (с - а -Ь) - ф У,
где’о, 6, с — квадраты длин сторон треугольника:
а = Ui—аг3)2+ (у\—уъ)\ Ь = U2—ж3)2 + (у2—у3)2,
с = (я?1 —«г)2+(У1 —У2)2. ‘ (14)
Найдем максимум функции ф(|1, Ы в области
Р?5£2=^1, + так как-только при этих условиях,точка
Р принадлежит треугольнику Q. Из необходимых условий экстре-
мума (Z)l,0<p(£i, Н)“^0,1ф(|ь £2) == 0) находим, что он может до-
стигаться в точке ' (li, |2) где ,
4 с.* Ь (а + с — Ъ) ' £* _ а (Ь + с — а) ~
♦ ь* —•/ 1 \ Тл» ^2 — 7“Т 7“ Гл*
kab (с — а—Ь) „ - 4аь—(с — а—Ъ)- —
’Имеем “
АаЬ — (с — а — Ь)2 ==
= (Уа+У М-Ус)(Уа+У&—Ус)(Уб+Ус—Уа)(Уа+Ус--У6) > 0.
Это следует из того, что У a, УЬ, Ус —длины сторон невырожден-
ного треугольнику. Так как •
Р2-°Ф (I*, 12*)-^’8Ф (I*. &)-[Я1ДФ (ЕГ. 12*)Г=4аЬ-(С-а-Ь)2>0,
. Р2,0Ф(li, 12) = — 2а<0, .
то в точке (|г, I*) функция ф(|1, |2) имеет максимум. Нетрудно
ВЫЧИСЛИТЬ '
ф (11*. 12*) = .h ,аЬе—тт2 = ч>(«. ь;с). (16)
4а&—(с—а—>&)
Нас интересует лишь тот случай, когда (£*, £*) е Л. Исполь-
зуя равенства (15), легко получить, что это будет иметь место
только при выполнении неравенств. х
а + с —6^0, Ь + с — а^О, * а +> 0. ’ (17)
Найдем максимум функции г|)(а, Ь, с) при выполнении условий
(17). Необходимые условия экстремума имеют вид
4аЬ — (с — а — Ь)2 — 2а(Ь+ с — а) = 0,
АаЬ - (с - а - Ь)2 - 2Ь(а + с - Ь) - 0, (18)
4а& _ (с _ а ^ ь)? + 2с(с - а - б) = 0.
•92 , ГЖ XT. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Среди решений системы (18) имеется единственное, которое об*
ладаёт тем свойством, что7 ни одно из неизвестных не равно ну-
лю. Мы имеем в виду решение а = b == с. Обозначим max {а, Ь, с} ==₽
« h2. Таким образом, \ -
- ф(|Г.Л2)<^(А2,/»2Л2) = /12/3. (19>
Осталось вычислить максимум функции <p(gi, |2) на границах,
.области Л. Имеем: • ' L
при ^1 = 0 Ф(|ь |2) = Ы1-52ГЬ<й2/4;
при |2 =.0 q)(|i, g2) = £i(l — £i)a«S Д2/4,
при Bi+ g2 = 1 ф(£ь g2) = ti(l — gi)c < W4.
Объединяя эти результаты.с (19), приходим к оценке
I Si (х, у) — / (х, у) К 1| D2f (х, у) ||оо,
t ’ z " - ' , - '
из которой следует (7). Заметим, что для треугольников, не со-
держащих точку (£i, £2), постоянную 1/3 в (7) можно, очевидно,,
заменить на 1/4.
Перейдем к доказательству оценки (8). Дифференцируя (4)г
находим ' - ‘ . * /
D^S (х, у) = /(pLpj (А (02—Уз) •+ /2 (Уз— У1)+/з (Ух— У2)]- ,(20>
Подставив сюда разложения (9) для Л, получаем
у)-— /(х,у)]=>
= A(PV Р2, P3)[Ri + Дг.(Уз~Ух) +.^з(Уг— У2)1-
“ Учитывая (10), выводим
< | Di.» (х, у) -/ (X, у)] | < А а %у} . т (х, у) U (21}
где .
«U, у) = [“ х)2 + (yi — у)2] I у2 - Уз1. +
. + [(^—ж)2 + (У2—y)2J IУз“У11 + 1(яз—я)2 + (уз—l/)2J 12/1—Z/2L
Так как
D2fia('x, у)>DQ>2a(x, у) —[Dl>la(x, у)]2 =
= 4l|j/2 — Уз1 + lj/з — У11 + \У1 — У2\12>0
Р2%(ж, у) « 2[|у2 - уз1 + 1уз-У11 + l»i-J/2l] >0,
то функция а(х, у) будет иметь в экстремальной точке минимум.
Поэтому для нахождения максимального значения этой функции
достаточно исследовать ее Доведение на границе треугольника. Ис-
пользуя соотношения (13), перейдём в выражении для а(х, у)
§ 12. СПЛАЙНЫ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ , 93
к переменным £<. Из предположения о принадлежности точки
(х, у) границе треугольника вытекает, что одна из переменных &
равна нулю. Пусть для определенности £з = 0. Тогда £21 — £г и
« (*, у)••= (1 — £1)2 с I г/2 — у31 + йс I у3 — У! | + •_
Отсюда легко установить, что а£1(я<у)>0 и, следовательно,
а(х, у) может, достигать максимума, только на концах отрезка
0<£i С 1, т. е. в вершинах треугольника Pi, Р2. Аналогично, слу-
чаи Ь == 0 и О дают еще одну точку возможного максимума
Р3. В итоге функция а(х, у) достигает максимума в одной из вер-/
шин треугольника.
Пусть для определенности шах аСг, у) « a(#i, у{). Тогда-из
(21) получаем
I D]-° [5± (х, у) — f (х, у)11 < С1Уз D*f &У) 11°° <
, Минимальный по величине угол треугольника заключен меж-
ду двумя большими его сторонами. Поэтому A(Pi, Р2, Р3) >
> Vac sin Y, где 7 — величина наименьшего угла./Следовательно,
. Г^0[5(х, у)-y)k
Отсюда вытекает оценка (8) в случае , г =*1, $ = 0. Совершенно
аналогично устанавливается оценка (8) при 7 е® 0, 5 = 1. Теорема
доказана. ч v
Существенным моментом в оценке (8) является то, что ее
правая часть зависит от минимального угла треугольника. Мож-
но показать, что в общем случае это ограничение убрать нельзя.
Однако для одного важного с практической точки зрения типа
треугольников можно получить* оценки приближения производ-
ных, не зависящие от величины его минимального угла.
Теорема, 2.11^-Пусть Q — прямоугольный треугольник,- ка-
теты которого параллельны осям координат. Если f(x, у)^
то '
У)-1(х, D1'1/(х, J/)U + |ll2>2-°/(a:, У)Ц,-
’ ' ' ' (22)
род [51 (Ж> у) _ / (Ж, у)] ц/s-д у)!» -+ (х, у) |оо},
где h — длина наибольшего из кат.етов треугольника.
94
ГЛ. II. ЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Доказательство. Пусть вершины треугольника *
расположены так, что катет Р\Р% параллелен оси Ох и катет
-Р1Р3 —оси Оу (рис. 2.6). Тогда из (20) следует /
D™S(x,y)Jjpl±
Используя формулу Тейлора, находим
*2 Х1
J — v) D2>°f (v, у J dv — J — v) D^f, (у, у J dv
X X ‘
,== Di,of (x,y) + J Dl-Jf (x, w) dw +
v
7 /Xj. X 1
+ - 1 7 f (*2 — 0 Dz,of (v, yj) dv 4- J (v — xt) D--Of (v, yt) dv
2 4« • . *i j
Отсюда '
у) —/(^j/)].|<|y —У11Р1Д/(^ i/)H-
+ 2^-^) 1(^2 - # + (* — *1)21 II D^Of (x, y) [|oo.
Учитывая, что максимум правой части полученного неравенства
достигается в точке х = х\, у == уз, получаем первую из оценок
(22). Вторая получается аналогичным образом.
Л ' На основе установленных выше оценок
можно дать некоторые рекомендации по вы-
бору триангуляции. А именно, если узлы
интерполяции заданы произвольным нерегу-
лярным образом и необходимо приближать
производные интерполируемой функции, то
следует стремиться к тому, чтобы не возни-
кало треугольников с очень острыми углами^
Однако, если речь идет только о прибли-
жении функции, то существенны лишь
размеры треугольников, а величина их углов не играет ника-
кой роли. ’ .<
Очень важной областью применения интерполяции на тре-
угольниках является метод конечных элементов. При "этом мы,
как правило, имеем возможность выбирать положение вершин
треугольников. Согласно теоремам 2.10 и 2.11 следует стремиться
к тому, чтобы триангуляция была образована прямоугольными
треугольниками с катетами, параллельными осям координат, или
треугольниками, близкими к равносторонним.
у?_ у
Рис. 2.6.
§ 12. СПЛАЙНЫ НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ 95
f ' х
В таблице 2.14 приведены численные данные, характеризующие интер-
поляцию сплайнами Si(x, у). Как.и в $ 4, исходные данные берутся в Уз-
лах сетки Д*== A* X Ду. Результаты даны для двух триангуляций: величины
Rr*s относятся к случаю, когда каждый из квадратов [ж,-, s<+1] X [Уь yj+il
делится на два треугольника диагонально, проходящей через вершины:
Таблица* 2.14
X. Л*» У) R г, s >4. е*+у / sin (х+у) 5*V
Л0,0 0,033 0,005 0,068
*1,о 1,03 0,15 \ 2,3
Л0,1 0,95 0,14 2,1
' ^0,0 0,009 0,0013 0,023
*1,0 0,36 0,05 1,31
*0,1 * 0,36 0,05 1,31
-
(.г,, уж), (£i+i, уД, а величины 2?г,« соответствуют случаю, когда диагональ-
связывает точки уД, (яж, Уж)* z
Обратите' внимание на резкое отличие значений и RrЭтот ре-
зультат не случаен. Как показывает более тонкий анализ, погрешность ин-
терполяции действительно зависит от направления диагонали. В этом смыс-
ле (шлинеиная интерполяция (§ 4) гораздо менее капризна/
В заключение отметим, что реализация алгоритмов интерполя-
ции сплайнами на нерегулярных сетках требует значительно боль-
ших вычислительных затрат по сравнению со случаем4 регуляр-
ной * сетки. Поэтому в большинстве случаев такую интерполяцию
целесообразнее использовать в качестве аппарата для пересчета
исходных данных с нерегулярной сетки на регулярную (прямо-
угольную) с последующим применением алгоритмов интерполя-
ции для регулярных сеток \
Литература к главе П. [12—14, 23, 24, 29, 30, 33, 60, 67, 70,
71, 96]. • ,
. Г л а в a III
КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
Мы переходим к изучению кубических сплайнов дефекта 1,
являющихся дважды непрерывно дифференцируемыми функция-
ми. Именйо они дали толчок развитию всей теории сплайнов.
Хорошие аппроксимативные свойства в сочетании с простотой
реализации на ЭВМ сделали их эффективным средством реше-
ния самых разнообразных прикладных задач. В дальнейшем, сле-
дуя общепринятой терминологии, мы будем называть такие
сплайны кубическими без указания дефекта.
В этой главе рассматривается задача интерполяции кубиче-
ски ми сплайна ми одной и двух переменных. В'процессе ее" ис-
следования наряду с применением традиционного кусочно-мно-
гочленного .представления сплайнов мы покажем, как работает
аппарат 5-сплайнов.
X
§ 1. Задача интерполяции. Существование
~ и единственность решения . . ,
/Пусть на отрезке [а, Ъ] в узлах сетки A: a = #o<#i<...
...<rrN==Z? заданы значения некоторой функции А = /(жг), i =
<=0, А. Интерполяционным .кубическим сплайном S(f; х) на-
зывается сплайн, удовлетворяющий условиям
S(/;>) == А, I 0, 1, ..N. 5 (1)
Сплайн SCf; х) на каждом из отрезков [xi9 xi+il определяется
четырьмя коэффициентами, и поэтому для- его построения- на
всем промежутке [а, Ь] необходимо определить 4N коэффициен-
тов. Условие 5(/; х)еС2[а, Ь] эквивалентно требованию непре-
рывности. сплайна и ето производных 5<гЧх), г = 0,’1, 2, во всех
внутренних узлах xi9 f = l, 2, ..., TV—1, сетки А, что дает
3(TV—1) равенств. Таким образом, вместе с равенствами (1)
получается" 4N — 2 ^соотношений. Два дополнительных условия
обычно задаются в виде ограничений на значения сплайна и
его производных на концах промежутка [а, Ы (или вблизи кон-
цов) и называются краевыми условиями. Существует несколь^
ко различных видов краевых условий, из которых наиболее
§ 1. ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ
97
употребительными являются следующие типы:
I. 5Z(/; a)==/z(a), S'(f- Ь)=Г<ЛУ.
II. £"(/; a)==f"(a), £"(/; Ь) =/" (Ь).
III. 5(г)(/; а) =S<r4f; Ь), f = 1, 2.
IV, 5'"(/; ^ + 0)=5"'(/; хр^0),р«1, ДГ-1.
Условия типа III носят название периодических. Естественно
требовать их выполнения в том случае, когда интерполируемая
функция /(х) — периодическая с периодом Ь — а. В дальнейшем,
как правило, мы будем рассматривать только перечисленные
краевые условия.
Перейдем к непосредственному описанию алгоритмов пост-
роения интерполяционных кубических сплайнов. Введем обоз-
начение -
Sz(/; = f = 0, ..., N. > (2)
Очевидно, сплайн 5(/; х) можно рассматривать как эрмитов ку-
бический сплайн (§ 5 гл. II), удовлетворяющий условиям (1),
(2). В соответствии с формулой (2.5.1) для х&[х<, xi+il полу-
чаем
5(/; х) =
- Д(1 - 02(1 + 20+ Л+1*2(3 - 20+ игДЩ - О2 - - О, (3)
где, как обычно, hf*= xi+i — xh t== (х — x^/hi.
Кубический сплайн, представленный в таком виде на каж-
дом из промежутков [хг-, непрерывен вместе со своей
вой производной всюду на [а, Ь]. Выберем величины
чтобы была непрерывна и вторая производная. Так как
5" (/; х) = (/Н1 - А) (6 - 120/^? + т, (- 4 + 60/^i +
+ тг+1 (— 2 -f- &t)/hi
и
hf ,i ni
пер-
так,
(4)
(4а)
то условие непрерывности второй производной 5" (/;#< +0) =«
= 5"(/; Xi —0) в точках i=l, 2, ..., N— 1, принимает вид
+ 2гП| 4- — 3 г+\.--i + г (5)
Здесь +\)~\ = 1 —
К уравнениям (5) следует добавить уравнения, вытекаю-
щие из краевых условий. Таким образом, получается система
7 Ю. G. Завьялов и др,
9&- • ГЛ. Ш. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2 '
N +1 уравнений для определения N +1 неизвестных mit
Л = 0, ...» N. ‘
В случае краевых условий типов I и II находим
2тп0 + Цо^г= со*,
+ 2тг + Цг^г+1 = Ci, i = 1, ..., N —• 1, (6)
X 2ПЪ^ = Cjv,
причем
р. _ q/\. ^+1 I 1 A
\ ni fti-i . / ‘
Здесь для'условий типа .1
но = ^=о, с0* = 2/;, с^-2/;,
а для условий типа 1Г согласно (4а)
|10 — Atv — 1, Cq — 6—----~J/0? CjV — о-------------Г ” у /iV* ч
Чтобы вывести систему уравнений в случае краевых условий
типа IV, из формулы (4) определим
S'" (f; X) = (./ni+1 + тщ - 2
Отсюда получаем условия непрерывности функции х)
в точках хР1 р = 1, N — 1: '
I оЛ>+1~“ЛА_ 1 I ™ ^р^р-Д
71 T^p+i + тр * т — тр + ^p-i т “ h
hp \ . ? / hp-i \ )
из которых, вытекают уравнения, отвечающие краевым условиям
типа IV: •
т0 + (1 — Yo) Wi — = 2 (^— “ Yo ,7V
\ Л fti /. (7>:
— Tw»iw-2 + (1 — Tn) oJ-jv ^-N *— Tn
\ "N-l nN-2
где То = ho/hit yN = hN-i/hti-2. Исключив неизвестные mo. nin ив
уравнений (5) и (7), приходим к системе '
(1 +To)mi+Tow2 = <h, '•
Мч-! + 2m{ 4-|лрП{+1 = Ci, i = 2, .. ., N— 2, . (8)
TNmjv-2 + (1 + Tn) W-i= cn-ц '
§ 1. ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ . ' ' 99
где л .
* * 1 Гл /9 * .1 " । о /n—. 2
Ci = у Ci + 2у0 —, cjv-i = у Cv-i+2yw--------------.
Если fix) — периодическая функция, то, «продолжая периоди-
ческим образом сетку Див соответствии с этим полагая
/о ~ fih fx+l = /ь = An ~ Ao,
. можем записать условие (5) в точке xN. Система для. определе-
ния mi выглядит следующим образом:
2?П1 + Ц17П2 + М^ = ’
+2тп,-+ PiWf+l =С/, I = 2, . . ., ЛГ — 1, (9)
JLljv-ffi/i 4“-XnTTZ'N— 1 4“ 2t?Zn>== Cn. v
Итак, построение интерполяционного кубического сплайна по
формуле (3) сводится к вычислению величин w Для гранич-
ных условий типов I и II они находятся из ^истемы (6), для
условий типа IV из уравнений (7), (8), а в периодическом слу-
чае из (9) в предположении тпо =~mN.
Матрицы систем во всех четырех случаях суть матрицы с
диагональным преобладанием (§ Д.1). Такие матрицы невырож-
дены, и потому системы, имеют и притом единственные решения.
Таким образом, справедлива
Теорема 3.1. Интерполяционный кубический сплайн, Six)^
удовлетворяющий условиям типа I и. одному из-типов краевых
условий I—IV, существует и единствен.
Решения систем уравнений относительно mi находятся мето-
дом прогонки (§ Д.2). При этом 'для вычисления коэффициен-
тов системы уравнений требуется выполнить 107V арифметиче-
ских операций и для реализации алгоритма прогонки еще 8V
или 142V операций соответственно в непериодическом и перио-
дическом случаях. После определения пи вычисление сплайна
проводится, как указано в § 5 гл. II. -
В некоторых случаях более удобным является другое пред-
ставление кубического сплайна, в котором вместо величин
присутствуют Mi = S" ixj, Z = Oj • N. Используя то обстоя-
тельство; что на каждом промежутке 1х^_ x<+i] Six) есть кУби-»-
ческий многочлен, а также условия
Sixi) = Л, Ж+1) = Atl, S" ixd = S" Ui+1) = Mi+h
нетрудно получить* для Six) следующую формулу:
д2
S (*) = fi (1 - о + fi+it - -f t (1 - 0 [(2 - tj Mi + (1 + t) Mi+1],
' . - (10)
xe[xi,xi+1], i = 0, 1, 1.
7*
400 . ГЛ. Ш. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С*
Отсюда •
s' (*>= V l<2 - 6t + 3*2) + (.! - 3f2) Mi+1L (11>
5" (x) = (1 — t) + Mi+it, (12)
5’(х)-(М1+1-М()^. (13)
Из (10) очевидно, что функция 5(#) непрерывна в точках
{«1, N—1, а из (12) следует, что непрерывна и ее вто-
рая производная. Далее, согласно (11)
S' (Xi + 0) = - V (2Mi + Mi+1),
S‘ °> = +-1Г /
* ' -%
и, следовательн^ для того, чтобы была непрерывна первая про-
изводная сплайна, необходимо выполнение условий
+ 2М. + Х.М|+1 = • (1*>
i=l, х
Эти уравнения вместе с краевыми условиями одного из ти-
пов I—IV образуют систему относительно неизвестных Для
условий типов I и II опа имеет вид
2Л/0 + = <,
PiMi-г + 2Мг + KiMi+1 — d^ i = 1, ... Л - 1, * (15)
PjvMjv-i + 2Mn = dN,
где 4
j 6 / / i-f-l i f i—l \
Vi + ^i Vi )'
В случае граничных условий типа I согласно (11а)
ХА* * Л Э* 6 / А /л
Hjv ~1» = I д /о ) >
,* 6 (_ Лу-~Лу-1 \
dw = ь IJw ъ I»
1У. nN-i у nN-l ]
а для условий типа II ,
и do = 2/о, = 2/jy.
§ 2. ОПЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 101
Система уравнений при краевых условиях типа IV имеет вид
(1 Хг) Мг + (^i— >1) М2 == (16)
\\>iM i— 1 4~ 2Л/\ 4- = di, i = 2, . .., N — 2,
(p^v-i — Kzv-i) 4~ (1 + Hw-i) Mn-i ~
Mo = ^i1СЛЛ — giM2), Mn = Hw-i (Mjv-i — )
Наконец, в периодическом случае е х
2Mt 4~ “Ь щМм d^, *'
[liAfi^i 4- 2Мi 4- XiAfi-^i == di, i = .2, •.», N — 2, (18)
4: p-nMn-i 4- 2Mn = d^,
Mq =
Матрицы систем во всех четырех случаях — снова матрицы
с диагональным преобладанием.
После вычисления всех Mt, i = 0, ..N, значение кубическо-
го сплайна в любой точке x^la, b] может быть найдено по фор-
муле ЦО). С точки зрения экономии вычислений целесообразно,
во-первых, системы (15), (16) и (18) переписать относительно
неизвестных М^ — и, во-вторых, вместо (16) использовать
формулу
5И = А + Ч(/г+1-А)- _ /_
(*Н1 — я) К^г+1 — я + hi) Mi 4- {hi 4- X — Xi) Mi+i]}.' (19)
В этом случае для построения сплайна (нахождения М{) требу-
ется 16JV арифметических операций , в непериодическом случае
и 22N в периодическом. Для вычисления S(x) необходимо 14
арифметических операций: 9 сложений* 4 умножения, 1 деле-
ние.
§ 2. Оценки погрешности интерполяции.
Сходимость в классе С
Получение оценок погрешности для кубических сплайнов де-
фекта 1 представляет собой гораздо более сложную задачу, чем,
например,, для эрмитовых кубических сплайнов. В основном
трудности связаны с неявным заданием сплайнов.
Пусть S{x) — интерполяционный сплайн, удовлетворяющий,
условиям (1.1). Если /(х) — периодическая, то естественно под-
чинить S{x) периодическим краевым условиям (тип III). В даль-
нейшем фраза «5(х) удовлетворяет краевым условиям типа III»
будет означать одновременно, что интерполируемая функция
102 ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
является периодической. При_ интерполяции непериодических
функций из С[а, Ы будем использовать разностный аналог крае-
вых условий типа I:
S' (#o) = (/i — S' (зд) = (In (1)
Обозначим " _
max hi
в = А = L .
. 1 h minfy
"* i
Теорема 3.2. Если, ftxj^Cla, b] и S(x) удовлетворяет '
краевым условиям (1) или условиям типа III, то
J - (2) •
Доказательство. Из (1.3) для х^[х{, ari+i] инеем
IS (х) — / (ж) |< hit (1 — t) [(1 — t) | nii | +11 mi+1 |J +
+ |/i(l —t)2(l + 2f) + /i+it2(3 —2f) —/(x)|. (3)
По теорем? о среднем '
:.А(1-Ог(1 + 2О + А+1г2(3-20 = /®; g @\Xi, xi+1].
Таким образом, ' - '
|S(x) —/(ж)|<®(/)+^^тах{|тп;|, |mi+1|). (4)
- В периодическом случае из системы (1.9) согласно следствию
Д.1 получаем .
|7П||<п1ах|с|[<уо(/). ?
'; i _ ~
Такие же неравенства вытекают при граничных условиях (1)
из системы (1.6). В обоих случаях из (4) следует оценка. (2).
Особенностью полученной оценки является зависимость ко-
эффициента при со(/) от отношения максимального и минималь-
ного шагов сетки. Сейчас мы установим другую оценку^ в ко-
торой этот коэффициент зависит от величины
р= шах 1,
Н-Я==1 ni ' •
характеризующей соотношение, соседних шагов сетки.
Теорема 3.3. Если jix)^Cla, E\ и Skx)' удовлетворяет
краевым условиям (1) или условиям типа III, то
Д S (X) - / Дс < [1 +рге+1 (р + Р~1/П1; 1 (/), . (5)
А 2(1+ Р) Р-Р -ур)
§ 2. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
103
где n — положительное целое число, p<p*, p* — положительный
корень уравнения
2p(l+ р) —р8 —]Zp = O. • (6)
Доказательство. Рассмотрим вначале периодический
случай. Переходя в системе (1.9) к неизвестным Zi~ ,
v«= тщ -у hi-nhi-n^ ... hi+n-i, получаем
tj 2п~/~ fei-w , ’ s. г
‘+'< ]/ Л^г!-1 + 2г,+ мг+75]/ т^-г>
где обозначено
Ci = 3 hi—n. • • • hi+n-i j-j”* (j
(7)
%.
hi-i
Ai
Установим неравенства
-i___ „ „
ti=r/h±^L
V hi-n
2П—1"
P 2n s
c у— ----------------- tt2—1
2п—1
. 2П
(8)
hi
Si*n
$i —
П =
- >----------------» n^-l. т
' 1 h~ — hi~n hi+n-\ о ~
v «г-п • • • ^+n-l - J/ si
^г+п-1
^г+п
-2nbo?Z2P.+ p-g%(/))
(9)
2П/— S: «Пг- .
Очевидно, система (7) будет с диагональным преобладанием, ес-
. ли при выполнении условий (8) min ф(^, 5i)>0. Так как вто-
(4**0 '
рая производная функции ф(^, s<) по переменной U отрицатель-
на, то минимум ф(^, Sj) может достигаться только при
, т. е.
(?n—1 \ / 271 — 1
p 2n , Si), minq)\p 2n , S|
) J si si
1 = 1....У.
104 ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2 .
Выполнив элементарные вычисления, получаем
5i)= 2P(1+PU+P)~^P • (1°)
При р = 1 правая часть этого равенства положительна и остает-
ся таковой для любого р<р*, где р* — положительный корень
уравнения (6). Но в этом случае матрица системы (7) есть мат-
рица с диагональным преобладанием. Тогда из (9), (10) соглас-
но следствию Д.1 находим
2р(1 + р) — р3— •
Учитывая связь между неизвестными и mit получаем
I Г< т-1 z‘ I р"/3’ I। < 7-1 Z«+11РП/2-
Обращаясь к неравенству (4), выводим искомую оценку. В не-
периодическом случае все выкладки сохраняют силу, если до-
полнить сетку узлами xq — khQ, xN + khN-i, /с«=1, 2, п. До-»
казательство закончено. v
Полученная оценка (5) зависит от целочисленного парамет-
ра тг. При п = 1 уравнение (6) переходит в уравнение
р(-^р2 + 2р + 1) == 0,
откуда р*(1) = 1 + У2. С ростом п величина р*(п) монотонно воз-
растает, и при <х> из (6) идгеем
(1 + р)(—р2 + Зр — 1) == 0,
что дает предельное значение р*(°°) = (3 + Т5)/2 « 2,6180. При
практическом использовании оценки (5) простым перебором на-
ходим такое п, чтобы при выполнении условия р<р*(п) дробь
в коэффициенте при <в(/) имела наименьшее значение. Напри-.
мер, при р 2 это будет п = 1. 4
Мы получили две оценки (2) и (5) погрешности интерполяции
непрерывной функции. На практике следует предпочесть ту из
них, которая лучше отвечает условиям конкретной задачи.
Заметим, что ограничения, при которых получены оценки,
довольно слабые и их наличие не вызывает каких-либо затруд-
нений при использовании кубических сплайнов.
Теорема 3.4. Если f (х) е WL [а, Ь] и S (х) удовлетворяет
краевым условиям (1) или условиям типа III, то /
I
Z § 2. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ * Ю5
Доказательство. Будем исходить из неравенства (3),
Разлагая Д, /<+1 по формуле Тейлора, получаем.
А = h (1 - t)* (1 + 2i) + fi+1t* (3 — 2f) — / И «
# xi xi+i
>=(l-t)2(l+20 f /'(p)Jp + Z2(3-2t) f f(v)dv.
X X
Используя неравенство Гёльдера, находим -
141< Ш1 - f)2(l + 20 + ШЗ - 2^(1 - f)W/'WL
В периодическом случае для правых частей уравнений (1.9)
имеем оценку kJ 3H/ZCOIL, &=1, 2, ..., N. Поэтому, согласно
следствию Д.1, '
' IwdxSH/'WIL.
Легко видеть, что эта же оценка справедлива и в случае. крае-
вых условий вида (1). Теперь из (3) находим
IS (х) - / (х) I < 4f (1 - f) hi [1 +1 (1 — 0] И /' И.|« < .
/ ' .Х(=[Х1, 0!i+1].
Далее, изучим, «вопрос, как влияет наличие в оценках (2) и
(5) отношений шагов сетки на сходимость интерполяции в прост-
ранстве С[а, Ы. Зададим последовательность разбиений
t , /
Av * О *£yt 0 ^v, 1 * Ь^ V 1, 2, . • •
Положим z . '
i — ‘J'V,i+i == mm ftv>t, ^”v —’ шах hy
” . i г
Обозначим через Sbv(f* x) интерполяционный кубический сплайн
для функции /(ж) е Cla, bl ла сетке Av.
Для того чтобы интерполяционный процесс сходился на по-
следовательности сеток Av, т. е. при vAv->0 Sav (/;#) —
— f (х) -> 0, достаточно, согласно теоремам 3.2 й 3.3, чтобы вы-
полнялось одно из ограничений *
* X
(12)
ч i
max
|i-j|= 1 nvt3
причем р < (3 + У5)/2.
Ограничение (12) говорит о том, что для обеспечения сходи-
мости все шаги hVi i при v <» должны стремиться к нулю оди*
наково быстро. Условие (13) более сильно ограничивает только
106 ГЛ. HI. КУБИЧЕСКИЕ . СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
.отношение соседних шагов, но допускает, что отношение шагов
Av> j может бьгй> даже как угодно большим при у ->00 и
1г — /I Условие (13) является в некотором смысле и необ-
ходимым. именно, ограничение р<(3 + У5)/2 не может быть
ослаблено. Мы покажем, что при р> (3 + У5)/2 существуют не-
прерывная функция fix) и последовательность сеток Av
k Av -*• 0) такие, что S&v if, x) не сходится к fix) йри v -> «>.
Ради сокращения изложения при доказательстве этого утверждения
мы йспользуем более сложные понятия из функционального анализа, чем
в предыдущих разделах книги.
Теорема Банаха — Ш т е й н г а у з а. П устъ линейные ограничен-
ные операторы Pv, V = 1, 2, ..., и Р отображают банахово пространство В
в Нормированное пространство Вь Для того чтобы lim Pv (и) = Р (и) для
, . - у-> ОО ’
всех и^В, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия*
a) limP (u)ssstP (и) для всех и из множества D, всюду плотного в В*.
....... , v-»oo у » '
б) существует такое число М, что-||РУ||^ М, у = 1, 2, ...
Определим Pv как оператор, ставящий в соответствие функции f(x)
сплайн ^ду(/;х)* В качестве Р возьмем тождественный ойератор. Будем
предполагать, что эти операторы действуют из С [а, в С [а, 6]. Каждый из
.операторов Ру ограничен. Действительно, исцользуя теорему 3.2, получаем
IM-
( £ \
' \ ' з
Так как со (/) 2Ц/(я)11с? то отсюда || Pv || 3 pv.
Легко видеть, что условие а) теоремы Банаха — Штейнгауза будет вы-
полнено для введенных операторов и пространств, ^всли &v->0 при v ->oo.
В самом деле, в качестве множества D можно взять, например, множество
Интерполяционных сплайнов первой стёпёни, которое всюду плотно в
С [а, &] согласно результатам § 3 гл. II. Сходимость интерполяционных
кубических сплайнов на этом множестве следует из теоремы 3.4.
. Таким, образом, вопрос о сходимости интерполяционных кубических
'сплайнов к непрерывной функции эквивалентен вопросу об ограниченно-
сти последовательности {||Pv||}. _ . : 1
. Покажем, что при. любом, р < (3 + У5) [2 существует последовательность
сеток {ДУ}, для которой ||Pv|| оо при у-В.целях упрощения выкладок
‘ограничимся рассмотрение^ периодического случая.
Зафиксируем число р ^ 2. Алгоритм построения последовательности
{Av}, у = 1, 2, ..., состоит в следующем. Обозначим -
< _ b — а _______. • > Ну__________________
fv=2v + l> ^=2 + 2р+... 472PV“1 + PV ‘
На отрезке {а, 6] может быть уложено 2v 4- 1 промежутков длиной Ну.
"Зафиксируем концы среднего из них и введем разбиение отрезка [а, &] на
фри части: а < a±vHy <. а + (у„+ 1)Ну < Ь. На отрезке [а, а + vHy] откла-
s § 2. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ’ , 107
дываются,.начиная с правого конца, равные промежутки длиной hy в коли-
честве 1-= [&]. Здесь [&у] — целая часть числа ку = уНу/hy» Остаток дли-
ной ahv, ку— [А\], присоединяется к соседнему промежутку, если а<1/2,
и будет самостоятельным .промежутком, если а 1/2. В последнем, случае
число отрезков будет равно I’— -£&*] +f. Таким образом, на [a, a + v#v] вве-
дено разбиение *
{а + (1 4- a) &v, если а < 1/2,
а + a&v, если а > 1/2;
2?v,i = 4,1 +Х* ~ hv? * == : •»1-
Аналогичным образом, начиная с левого конца,, делится и отрезок
[a+(v + l)^v, Ь]. . \ '
Отрезок [а + v#v, a+(v + l)#v] разбивается на 2v + l промежутков
а_+ vHv = xv l < xv< ... < Xytl+2V+1 = a + (v -Hl) Hv так, что . . _ ,
/ = г> .
AVj. = p2v-<>-%, / = I + v.+ 1, ..., г + 2v.
Суммарная длина этих промежутков равна Ну» .
Очевидно, построенная таким образом последовательность сеток удов-
летворяет условию (13), если только р > 2. Периодический кубический
сплайн, интерполирующий /(я), может-быть записан в виде
- - ' * .. • „ -
где F^ (х) — фундаментальные периодические кубические сплайны. Те*
перь находим оценку
Функция Fl{x) ’+ Fl+2v+,1(«).\(индекс сетки Av опущен) симметрична отч ,
носительно точки (а + &)/2. Поэтому, если обозначить. гп^ = (xv .) ф
+ ^+2v+1(^j)f,TO “ '•<
Ж{=-тЯм,- « = 0,1,;..,1+К . у ' (14);
Так как F( (xj) = 6,j, то на отрезке [®v,i+v> ^v.r+v+il согласно (1.3)
находим - •
Таким образом, для того, чтобы, оценить [|PV|| снизу, достаточно, вычи-
слить величину ml+Vt Из условий периодичности имеем Сравни^
?ая с (14), получаем = mN^ == 0. Учитывая это обстоятельство, из (1.9)’'
108 ’ ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
получаем следующую систему относительно неизвестных i == 1, ..Z4*v:
2пг1 + ц1т2 = 0, • (15а)
w&i—i 4- 4яч -J- == 0, i'= 2, ««I — 2, (156)
+ toii-\ 4- mi *— 3/fev, (15b)
mi-\ + toil 4- mi+\ *= 0, (15r)
pmi 4> 2(1+ p)mi+i + — 3p/fev, " (15д)
ptf^-i + 2(1 4- p) mi + = 0, i = I + 2, ..., I + v — 1, (15e)
pm/^v-i 4- (1 + 2p) mz+v = 0. (15ж)
Используя уравнение (15г), исключим из уравнений (15в), (15д) неиз-
вестное ть В итоге приходим к системе .
2 m, 4-Р1Пг2'—0, (16а)
ттц-\ 4- ton + mw = 0, i = 2, ..., Z — 2, (166)
toii-z 4- 15wi/-I — = 12/&v, - (16b)
P7W/-J — (8 4- 7p) TTiz+i — toii+2 = 12pAv, (16r)
pnii—i4-2(1 + p)m+m<+i= 0, i = Z+ 2, *.I + v — 1, (16д)
p7ni+v-i + (1 + 2p)zn;+v = 0. (16e)
Общее решение уравнений (166) имеет вид
mi = С1°1 + С2°2’ » = 1.
где Oi = — 2 4- УЗ, о2 = — 2 — УЗ — корни характеристического уравнения
о2 +;4о 4- 1 = 0. Потребовав^ чтобы это решение удовлетворяло уравнению
(16а), получаем
' / а2 2 + Мг .
ei~/ic2’ pi ох
Следовательно, ' -
т1 = сЛр1а1 + аг)’' ' = !>.(17)
? Общее решение уравнений (16д) можно записать в виде
mi = C3«1-Z + c4«2-i> ’ i = 1 + 1, ... J +v,
- >
где ©1 = —(1 4- p) + У1 + p + p2, (o2 = — (1 + p) — У1 + p + p2 —корни
уравнения (o2 +2(1 + p)(o 4-p = 0. Из (16e) следует
/со \v 1 + (i)
<4 = £2^3. /2 = — (jrJ r+"S?
2 Л
Таким образом,. ,
Mi == c3 (cop* + p2®2-zk J = l 4-1,..., Z4-V. (18)
Потребуем, чтобы величины w/_2, mi-u ^z+i, определяемые формула-
ми (17), (18), удовлетворяли уравнениями (16в), (16г). Это приводит к си-
стеме
о&1С2 + 12/Лу, 002^2 + р2с3 = 12/h-v, \ ’
§ 3. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ? Ю9
где , ' - •
ах = Р1°1-2 (4 4~15а1) + о-Г2 (4 4- 15ст2), Pi = —©j!— р2 ®2,
1—1 1—1 а 8 + 7р + 4<о 8 4- 7р + 4о>
Щ-Р1О1 +<Jl2 ^=-(01—--------- -р2®2---------2.
Определив отсюда Сз, из (18) находим '
_ 12 <*!-%. у
l+v \«Л-“2₽1 i + % X*
В итоге
||Pv||>3|p<o1|v<^_^
“1 - “2
Учитывая, что Oi/o2^< 1, coi/co^ < 1» легко получаем
ст1-а2
lim —г---------н-
V-»oq aiP<2 а2^1
Поэтому для всех достаточно больших v имеем ||Pvll> где постоян-
ная с отлична от нуля. Значит, последовательность {||PV||} .оудет неограни-
ченной, если | pcoil > 1, что, как нетрудно видеть, эквивалентно неравенст-
ву р2 — Зр + 1 >0, которое имеет место при р > (3 + У5) /2.
Несколько видоизменив рассуждения, можно доказать^ что последова-
тельность {||Pv 11} будет неогр^йиченной и при р='(3 + У5)/2. Таким обра-.
зом, существуют некоторая непрерывная функция и последовательность се-
ток при р > (34- V5)/2, для.которых интерполяционный процесс расходится.
Отметим интересную особенность сеток Av, испольЗовапных при доказа-
тельстве утверждения. А именно, они становятся почти всюду равномерны-
ми при v->oo, так как длина участка, на котором нарушается равномер-
ность сетки7 стремится к нулю при v -> оо. Тем не менее последовательность
сплайнов может расходиться. В то же время для сплайнов на последова-
тельности всюду равномерных сеток сходимость имеет место для любой не-
прерывной функции. ।
Задача. Показать, что уравнение (6) при любом. п > 0 имеет в облас-
ти! р < оо только один корень.
§ 3. Оценки погрешности интерполяции (продолжение)
•В данном параграфе мы изучаем погрешность интерполяции
кубическим сплайном S(x) дефекта 1 дифференцируемых функ-
ций /(х). В этом случае на той же сетке Д можно построить
кубический интерполяционный сплайн дефекта^ 2: S^x) (§ 5
гл. II). Запишем тождество
tfz) - fix) = [S3>2(®) - /(«)] + (№) - 5з,2(®)1.
Используя для S(x) и £3,2(2) соответственно формулы (1.3) и
(2.5.1), получаем при х& [#«, #i+il
(*)-/(2) = {£з,2(2)-/(2)} +
4- Ы (1 — t)2 {mi — f'i) — (1 — t) t2 {mi+i — /'i+i) b (1)
НО ГЛ. Ш. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С\.
Отсюда
I (х) — / (х) I < | 5з,2 (4 — / \х) I + hit (1 — t) max | mi — /• |, - (2)
/ ‘ 7 • -
Дифференцируя (1), находим .
5'(х)-Л(а;) = {5;>2(х)-/'(х)]+ г ,
+ {(1 - t) (1 - 3t) (mi - f’i) -t (2 - 3t) (mi+1 - (3>
Следовательно,
|5,(4-/'(41<|‘5з,2(4-?(41 +
+ {(! ——3t| + i|2 —3^|}тах|/- —7П,.|. - (4)
Напомним, „что оценки приближения сплайнами S^tx) были
установлены в § 6 гл. II. -
Далее, на основании формулы (1.12) можно записать
5"(4-/" Й.= (1 - 0 (Mi - Jr) + t(Mi+1 - /ж-) +
. + (l-0A + tfI+i-/"(4- (5>
Выражение /j (1 — t) + tfi+i— j" (x) -есть не что иное, как 'по-
грешность интерполяции функции fix) сплайном первой сте-
пени 4 (§ 1 гл. I). Поэтому - .
’ - | S" (4 - f (х) | <| (f"; х) - Г ЙI 4- тах.| Мг - f"t |. (6) .
Из (5) получаем • *
8'" (х) - Г (х) = - fi+i) ~ (Mi - /7)] + -
' +Si(f;x)-^' (x). (7>' ..
Отсюда
18"' (x) - (4| < | 51 (f; 4 - (4 Г+ 4 max | Mi - f" \. («>
Соотношения (2), (4), (6), (8) в дальнейшем используются
при выводе оценок погрешности. По существу дело сводится к
получению. оценок для величин |л/г* — /<|, \'М{—j^\ в зависи-
мости От того, к какому классу прцнадлеяшт функция /(^). ;
Лем мд 3.1. Если S(x) интерполирует функцию j(x) и удов-,
летеоряет краевым условиям типов I, II, III, то для всех i =
= 0; 1,;.., N справедливы оценки , -
'' ' —; (9)
где q-даны в таблице 3.1. - -
§ 3. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)' Щ '
Доказательство. Пусть Six) удовлетворяет краевым ус-
ловиям типа I. В этом случае величины mt определяются из
системы; (1.6). Переходя в ней к неизвестным по-
лучим * ' '
= ' •
\ 'Mi-i + 2qi + jitfi+i = Ci, f = 1, —1, (10)
j№ 0, . - • -
где .
£ = 3И; ^±1=/? + ЗХг^^-1 - WUr- 2/'i - |W'i+1.
Согласно следствию Д.1 lgi|^||c|| == max|cj|, и поэтому до-
i
статочно оценить led. Это достигается путем применения стан-
дартной техники, изложенной в гл. II (формула Тейлора с оста-
точным членом в интегральном .виде, теоремы о среднем для
Таблица 3.1
Класс функций q г' Класс функций ‘ q .
С1 [а, 6] 3<0(П ... W^la, &] уХ||Г(^)11„
С2 [в, 6J уЛ<о(Г) 4 X2 II Г (*) Лоо '
С2С«[а,Я . ^W\tCO[a,b] jgWv(*)IL
интегралов и непрерывных функций/ неравенство Гёльдера
пт. д,}. Рассмотрим два характерных примера.
Пусть/(я) Ci[a, Ь]. Тогда
Ci = 3|t?/, (Bi,i+1) "h (5i«rl,i) ^i/i—1 2/j — [Xi/i+l =
= X,[f (ii-м) - fi-r] + .2Х< [/' (1Д.0 - f'i] + :
+ Ri [/' (li.i+l) — /i+l] + 2pi [/' (li,i+l) — /»]•
Отсюда
ICfl < 3(Xf + Ц/)й)(/') = 3©(/z), * (11)
и требуемая оценка получена. • х
Пусть теперь f(x) е С21Гд,оо [я, Ь]» Обратим внимание на
то, что, мы не требуем непрерывности f^ix) в узлах сетки Д.
Учитывая это обстоятельство, разложим в выражении для ct
вёличины?fi-i, /i-i, А+1, /г+1 по формуле Тейлора в точке xt.
112
. ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С’
Получим.
«4+1
;i+i— v)3/IV(i>)di4 .+
x;.
+ ЗМ fi
.2
— v)3/IV(y) —
hl-i /" 1
6 Ti~° 6h.
xi+i
j C*4+i — VY (v) dv — 2/• —
xi.
' ' fc? Ж{7Х
/1 — Zii-i/i. + -y-1 /i-о + 4 J (34-1 — p)2 f1V (y)dp
„ ' xi S'.
— (ж1+1 — v)2
flv(v)dv +
+ yf --fa-i-v)2 fW(v)dv.
xi * j
Интересно отметить, как удачно исключились односторонние
значения /t-о» /г-ьо« Сделаем в полученных интегралах соответст-
венно замены переменных и — Xi = xh^ v — = xhili. В итоге
, Ci = — i т (1 — t)2/iv (a-i + thi) dx +
о ‘ : - , . ,
+T2(l-“T)/IV(^i + T^1)dT. (12)
°
Применяя неравенство Гёльдера, находим
|Cj|<4«/IVH»o«
1 1 z
lijfei J т (1 — t)2 dr 4- J r2 (1‘ — r) dr
0 0 j
§ 3. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) ЦЗ:
Замечая, что
й~-FVi<max{A1’ hi~1}'
окончательно получаем оценку
(13>
из которой вытекает оценка (9) в клздесе CW^ooJa, Ъ]. Таким
же образом получаются оценки и для других классов. Предла-
гаем читателю проделать это в качестве упражнения»
Для краевых условий типа II из (1.6) следует
/ 2^ + ^ = Со,
+ 2& + Mi+i г=1, ...,2V — 1, (14>
02V-1'+ 2^jV — CN,
' - • - , ' ; J
К со = зЦ^ —-f/0 —2/0-/i, . 0 ' '
Jn-I I hN-l Л /
CN == О-1-------I--— JN — ^JN — JN-Ъ
’ f ' ' ' -
Все рассуждения здесь совершенно аналогичны проведенным
выше для условий типа I. Необходимо лишь проверить справед-
ливость уже найденных оценок для с< также и для с0, cn.
Наконец, в периодическом случае (тип III) ^все оценки вы-
водятся из системы, получающейся из (1.9):
+ 2д< + = с,, i — 1, . ., JV, (15>
где величины с индексом N + j считаются равными соответству-
ющим величинам с индексом у.
Лемма 3.2. Если Six) интерполирует функцию fix) и удов-
летворяет краевым условиям ЬдМЬго из типов I, II, III, то для
всех i = 0, ..., 7V справедливы оценки
.. (16)
где Q даны в таблице 3.2.
Доказательство. Техника доказательства здесь ?такая
же, как в лемме 3.1. Разница состоит лишь в том, что вместо
системы с неизвестными тп< используются соответствующие си-
стемы с неизвестными Пусть, например, Six) удовлетворяет
краевым условиям типа II. Тогда из системы (1.15) получаем
8 ю. С/ Завьялов и др.
114 ГЛ. Ш. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С*
-следующую систему относительно неизвестных (?$ =
о>'=2,
l^Qi-l + 2Qi + ^iQi+l =® di, I = 1,, N — 1,
Qn = 0,
.где
_ 6
«Отсюда | Qi | max | di |, и нужно оценить ^-.Рассмотрим снова ,
fi+l-’-fi fi —fi-Д п » п
I — — ^Ji —
‘ 'Ч i—1 > - -
.два примера/ . ’ '
-Таблица ,3.2
Класс функций Класс функций
С2 [а, Ь] Зсо (Г) . И^Да, 6] _ У
С2С3 [«*ы. 9 • Ь] ’pl/IvwL -
Пусть f(x)^C2[a, Ь], Тогда . , -
di - 3IRf + lit" (?м+1)1 - Hi/ti - 2fi - Kif^. J
Отсюда
• - - \ IЙ^Зa^+lл<)®(/,,) = ЗcD(/',),• - (17)
и'требуемая оценка, получена.
Пусть теперь f(x) е C*W\i(X> [а, Ь]. В этом, случае с помощью
^формулы Тейлора после несложных преобразований находим
di = kihi J [(1 — т)3 — 1 -Ь т] /Iv fa + %hi) dx +
+ J (т3 — t) /IV (aji-j 4- thtli) dr.
Отсюда получаем неравенство
v ’ (18)1
-из которого вытекает оценка (16) в классе CWA/oofa, Ь].
Аналогично находятся оценки (16) для граничных условий
Л’ИПОВ I, III. • - • - • ч •'
§ 3. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Ц&
/
Теорема 3.5. Если S(x) интерполирует функцию f{x) и
удовлетворяет краевым, условиям одного из типов I, II, .III, то
имеют место оценки , . , „
r = 0, 1, 2, 3, (19>
где Из даются таблицей 3.3. .
(В таблице обозначено ^ — h/h. Для граничных условий типа
II классы С1 [а, Ь], WL [а, Ь] н)е рассматриваются.).
Доказательство. Техника доказательства одинакова для
всех классов функций, и Мы ограничимся рассмотрением случая*
| (х) е CWa.oo 1^ Ь]. Из (2), используя лемму 3.1 и оценку
(2.6.21), получаем при х ^ [х{, xi+il ..
15 f и-iс i t(i'т- о [1+hi - ой4в/IV
(20>
Из'(4), используя лемму, 3.1 и оценки (2.6.22), (2.6.23), на-,
ходим при fe. [О, 1/31
IS' И - Г Н|<± (1 - 20 (1 + 2i (1 -1)) h3 llfv (Ж)йте>
а при 11/3, 1/2] - '
I S' (x) - г (x) I < JJ 1+ At(1 -1)(2 t) +.(4~°4(f1r>/}IIZ1 v (X) Ik-
Вычисляя < максимумы правых частей двух неравенств, получа-
ем при tе10,1/21 оценку
. • |5'(®)-r(®)l<^8f/IV(x)k (21>-
которая по соображениям симметрии имеет место и для
е [1/2, 1]. - /
Из формул (6), (8), леммы 3.2 и теоремы 2.1 получаем
\ " |5"(4-ГИ1<4Н/^к, . , '
|5"' (Ж)-Г (х)|'< • : . ;
Все требуемые оценки найдены.
Среди оценок, приведенных в таблице 3.3, две являются нёулучшаемы*
ми. А именно, в классе 6’2^д>Оо1а> неулучшаемы оценки (20), (21). Дей-
ствительно, введем на [а, Ь] равномерную сетку с шагом h =
8* l ' ' . х v
116
ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
Таблица 3.3
§ 3. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ^ 417
1
Определим функцию ф (я) = (я4 — 2hx3 + h3х) и положим t
/W=f *(*-*2/)’ если *21+11*
А Ф (# *2Z+1)’ если x S [*2l+l* *2Z+aK
1 = 0, ..., 2V—1.
Легко проверить, что /(x<)»0, f = 0, ..., 22V, f(xQ) = f (а?2я),
~f"(z2N) =0 (рис. 3.1). Кубический сплайн S(f; x), интерполирующий
функцию f(x) и удовлетворяющий краевым условиям типа II или III, тожде-
ственно равен нулю. Это следует из единственности интерполяционного
сплайна и того, что функция, тождественно равная нулю на [а, 6], явля-
ется сплайном, интерполирующим f(x). Следовательно,
h(r)W-/(r)(®)llc = ll/(r)Wlla. г = 6,1,2,8. .
Легко вычислить
|/W|c»|q>WJcl0ift| = <p(|J=AV, ’
Ilf' (х) Ис = 1Ч>' (х) Hcio.ftj = Ф' (0) = 24 ^8*
Если учесть, что fl /IV (ж) L = Ц <pIV (ж) = *, то отсюда вытекает я»,
улучшаемость оценок (20), (21).
Что касается других оценок, то вычисление погрешности приближения
для различных конкретных функций показало, что большинство из них дб*
вольно близки к цеулучшаемыМ. Более
того, нам известен алгоритм, позволя-
ющий уточнить некоторые из них. Од-
нако в связи с тем, что при этом при-
ходится иметь дело с очень громоздки-
ми выкладками, а достигаемый эффект • ,
незначителен, мы не будем рассмаТри-
вать данный вопрос.
Осталось исследовать случай
краевых условий типа IV, когда
третья производная сплайна не-
прерывна в точках xi и xN-i. В связи с этим при интерполяции
функций fix), имеющих кусочно-непрерывные третьи производ-
ные, будем предполагать, что' последние непрерывны в указан-
ных точках. Сетку А с исключенными точками х\ и обоз-
начаем через А'. ’
Нетрудно показать, что в этом случае, будут справедливы
оценки погрешности, совпадающие по порядку с соответствую-
щими оценками из теоремы 3.5. Чтобы обеспечить совпадение,
их и по константам, приходится накладывать дополнительные
ограничения на сетку А. , '
Лемма 3.3. Если Six) интерполирует функцию fix) и удов*
летворяет граничным условиям типа IV и если выполнены ог*
раничения
= V/»i < 7* 7* = hN-i/hN-2 у*,
Рис. 3.1.
118 ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
где 4* заданы таблицей 3.4, то для q^mi — =1, ..., N—lr
имеют место оценки (9) со значениями q из таблицы 3.1.
Доказать л.ь ст в о. Из системы (1.8) следуют уравнения
. (1 + То) + То?2'= «1, . ~ <
Мг-1 + 2?{ + Hi?i+1 = Ъ, i— 2, ...» N— 2, - _
T№jv-2 + (1 + ^n)'9n ~Cn-i,
где
dj = Xj 1 0 (p,x 4- 2y0) 1 (1 + Yq) Л — T0/2,
cn-i =-^n-i^Nh + (Kn-i Ч~2?л)s
nN-l - ' nN-2
. \ 2 —(1 + T Д'У/jV-l— TJv/n—2'
При анализе этой системы мы по-прежнему находился в ус-
ловиях следствия Д.1, и потому
|<П|<тах{ max |cj, |сГ|, |ck-i|l.
. . 2^i<JV-r2 •
Рассмотрим примеры? Пусть /(ж) С1 [а, Ъ]. Для съ i = 2, ..;
s.., TV —2, верна оценка (11). Утверждение леммы будет дока-
• Таблица" 3.4
Класс функций •у* Класс функций V* -
СЧа, i>] 1,00000 W^la, 6] 0,90478
с2[«; ь] 0,58732 ^[а, Ы 0,53586
С*С%,1«,Ъ] - 0,43497 0,61803
зано, если такие же оценки справедливы для Ci, с^_х. Действи-
тельно, .
Ъ = V (Вод) + <И1 + 2?0) f (U.) - (1 + То) /< - Yo/?= ..
If (Вод).- К]'+ (Н1 + То) [Г Й1д) - fl] +То [Г (Вм) - /2].
Отсюда . ~~
’• 1с^1<(^1 + Р1Ч-2то).®(/?) = (1 + 2т0)(о(/').
Аналогично, | cn-i | (1 + 2yw) ®J/')^Следовательно, при 70 < 1,
jjr Л оценка (11) верна и для cj, c^-i. ( ,
. Пусть теперь / (х) e C2IT^i0o [а, Ь|. В этом случае нужно по-
казать, что для Cj, cn-i сохраняет силу оценка (13). В самом
деле, преобразуя выражения cfiicjv-i с помощью'формулы Тей-
§ 3. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)' Ц9
лора, получаем
' *1
с _
£1 = бГ] (ач>—p)3/IV(v) dv -+ , 4
- °*0. . / -
. “4 - «а
' + ^16fe2Y<> f “ V)S И j (Ж2 “ У)® (У)
1 “1 ' К1
Объединяя интегралы, с одинаковыми пределами интегрирования
✓и. выполняя замену переменных, приходим к формуле
1 ьЗ р .
^r=-Vj-T3/Ivk + A)dr- • •
? о . ?
п "^3 О' '
-ЭД (1 - т)* [?0 + т (3 + 2?0)] /IV +‘Tfel) >
‘, О г
Применяя неравенство Гёльдера, находим, что t *
• ’ |сИ<^А!то(1+То)В/1¥Ик'
--- _ /
Эта оценка совпадает с\оценкой (13), если уо(1 + Yo)^ 1или
7о Y*-— (“1 + ^5)72 « 0,61803. Так как то же самое при
«Ц'Х* справедливо и для с^^то утверждение леммы для рас-
сматриваемого класса функций доказано. .
Другие классы функций рассматриваются аналогичным обра-
. вом. Заметим лишь, что при этом для-вычисления у* приходится
\йметь дело1 с довольно сложными неравенствами. ^Результаты
в таблице 3.4 получены с помощью ЭВМ.
Лемма 3.4. Если S{x) интерполирует функцию f(x) ц удов-
летворяет. граничным условиям типа IV и если выполнены
раниченйя '
Kq Л-i, Ля-1 Ля-2, х
го для Qi = Mi — f"i,i = 1, ..., V — 1, имеют место оценки (16)
со значениями^ из таблицы 3.2.
Доказательство. Из (1.16) для неизвестных Qh
«= 1, ..., AT — 1, получаем систему
(1 + М (Ji + (Хг — щ) Qz = di ,
tyiQi-1 + 2^iH- X^i+i = di, i = 2, ».., AT — 2, ' -
Ypuv-i — Xn-<) Qn-2 + (1 + jiN-г) Qn-i == d^i, =
120 ГЛ.'Ш КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С3 1
где
2: - лтк {V1) -(1+4 -(l* -
hN-Z + hN-l I hN-l
Av-al ,, . .
ь .-----J — •(!+PN-l)fN-l —
2V—2 J
7“ (НЯ-! — ^N-l) fN-2»
По условиям леммы ho^h^ ^n-i^^-2. В этом случае
gi, Ак-i < Мк-i и, следовательно,
l&Kmaxf max |%|, JjlL, J.^-^ ].
'Пусть fix) e C2[a, Ы. Для di справедлива оценка (17). Лем-
ма для данного класса функций будет доказана, если
I di | <3 (1 + p,i) со (/"), | djv-i | 3 (1 4- 9 (Г).
Но это так. Действительно,
= 3X1 lx/' йи + tn/" йо,i)i - (1 + х,) /; - (%х - И1)
Отсюда нетрудно получить * '
R; I < (1-+2ЛХ - И1 + ЗХ1И1) ® (Г) = 3Mi+M®(/")<3(i+Hi)®(n.
Аналогично доказывается неравенство для |d^-i|. ,
Рассмотрим еще случай /(х) еС2Жд\об (^, Ы. Для ch была
установлена оценка (18). Поэтому достаточно показать, что
R । < i (ц- И1)р л /iv (х)и । <4(i +-7iJV_1)(fe2i/IV (х) и
Используя формулу Тейлора и неравенство Гёльдера, для Й*
$ этом случае получаем оценку
✓ ' ' I ^i I ^*4’$ (Xi? Hi» Yo) II / (?)!»»
' ГДв ~ ‘ ~ 2
(Хь Ни То) = Xi + Х1[11у0 2 (Хг jiJ — — = *
о Н? 1 — + р?
- х? + (Х1И1 - 2Хг + 2И1) = ---< 1 + Н1..
Л1 (г— "1)
Первое неравенство доказано. Второе доказывается аналогично.
- Утверждения лемм 3.3 и 3.4, в отличие от лемм 3.1 и 3.2,
. сформулированы не для всех точек сетки А, а именно: точки
§ 3. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ): 121
4Г0 и xN исключены. Поэтому здесь аналог теоремы 3.5 формули-
руется так:
Теорема 3.6. Пусть SGr)^интерполирует функцию f(x) и
удовлетворяет краевым условиям типа IV» Для х^[х\, Як-il
справедливы оценки
Н5(г)(гс)_/(г)(ж)|]оо^йп
где Rr даются таблицей 3.3 со значением Р = М min
если выполняются ограничения: црит=*0, 1Ло^Т*> пРи
г==2, 3 1о^1,
Для промежутков [хо, #11 и #я] все оценки имеют тот
же порядок малости, но с увеличенными значениями констант.
Однако при несколько более жестких ограничениях на величин
ны большинство из них будут верны для всего промежут-
ка [а, Ы. Не вдаваясь в подробности, в качестве справки привел
дем таблицу 3.5 величин уг, обеспечивающих оценки (15) для
соответствующих г на отрезке [а, Ь].
Таблица 3.5
Класс функций • . 70 ' * V, V2
С1 [а, 6] 0J6749 . 0,28078
W%[a, Ь] , 0,80162 0,46149' 1——'
С2[а, 5] 0,58732 0,34598 —
W^la, 6] 0,53586 0,39658 0,34055
С2С3^ Да, Ы 0,43497 0,24440 . 0,31207
0,61803 0,35321. 0,42296
В заключение параграфа укажем некоторые. результаты, свя-
занные с повышением класса гладкости интерполируемой функ-
ции.
Теорема 3.7. Если f(x)&C4[a, Ь] и S(x) удовлетворяет
краевым условиям типов I или III, то
|| 5(г) (®) - /(г) (х) Jc'4 K.,Thl-r|/IV (х) ||с + (/"% (22)
г = 0, 1,
где Kofi = 2/384, #,.о = 1/96, Кол = 0,014731, К1Л = 1/24.
Если сётка Д равномерная, то оценки (22) справедливы при
г •= 0, 1, 2, 3 со значениями коэффициентов:
#0.0 = 1/384, К*л = 73/216, #0.2 = 1/12, ;#о.з ^1/2,
До-1/96, #,,1 = 1/24, #,.2 = 1/4, #,.з = 1/2.
122 ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С*
Доказате ль ст в о.^ Рассмотрим случай краевых условий
типа I. Применяя в (12) теорему о среднем для интегралов, по-
лучаем
* = w+V Gm+i)1. й
Отсюда - •
£ кййтйг W--hl ll/,v'«+
; (23)
, Правая часть неравенства симметрична относительно
Пусть, например, т. е. hi-y = 7 ^ 1. Тогда
,'i ‘ . у
Ъ h - ' 3
.miph*} = ? fe?< j-fe3.
В результате из систем (10) и (15) следует, что
— л ||< max |с71< А3|| /Iv (ж) |с + hs<* (/*V). (24)
Теперь для получения оценок (22) достаточно повторить* рас*
суждения,^ использованные при доказательстве теоремы 3.5.
В случае равномерной сетки из (23) и систем (10) и (15>\
находим х
— ft |<max|ci|<^ft8®(/IV); ' . - (25)
Согласно формуле (1) - - ;
5(г)(а:)-/г)(гг) = ' .
в~$Й(^) — /г) (®) + h\~r [<йг) (t) (т{ — /•) — <p(2^(t).(mi+1 — Л+1)],
. . (26)
где q>i(i) = id — f)2, фг(<) = ^2(1 — _
Утверждение теоремы немедленно следует из неравенства
< I S(3^ (х) —;/(г) (х) I + h\~r [ hpl0 (i) I +1 q>2r) (t) j ] rnaS | jn} — 'f'i f
i
и соответствующих оценок для •|‘$ГШ*)-/(Г)(*)| (§ 6 гл. II).
Утверждение теоремы- 3.7 в некоторой степени объясняет
причину широкого применения кубических сплайнов дефекта 1.
§ 4. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ 123
Действительно, как мы видим, для достаточно гладких функций
оценки приближения такими сплайнами сравнимы с соответст-
вующими оценками для эрмитовых, кубических сплайнов. Дри
этом для построения кубических сплайнов дефекта 1 не требу-
ется задания производных в узлах сетки. Обстоятельство — край-
не важное при решении многих практических _эадач.
Теорема 3.8. Если Six) интерполирует функцию f(x)&
[а, Ь] на равномерной сетке и удовлетворяет краевым,
условиям типа I йли III, то при х^ [хъ '
5(г) (ж) = /(г) (х) - q>(r) (i)*4"7tV (*).+ О г-= 0, 1, 2, 3,
• ; . (27)
где ф (0 =—t)2-
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (25), так как co(/IV) h\\fN(:x)\\
имеем mi — ft » О (№). После этого для получения (27) доста-
точно учесть тождество (26) и теорему 2.6. ’ '
Из теоремы 3.8 следуют результаты о повышении порядка
аппроксимации производных в некоторых точках промежутка
[а, Ь]. Действительно, так как
V (i) = л - -0 - 2*)> (₽" <0 = 12 У - 6t + 6f2)’ «Г ®rS*
=4(1-20,
' « " г
ТО . . ' . ’
S'ix) — fix) + Oih4), еслк х —Xi + h/2,
S'ix) = f". ix) +-0U3), если x « x{ + h/2 ± ЛГЗ/6, (28)
SwiX)==f"ix) + Oih2),^ если x = Xi + h/2; . A. _
§4. Локальные свойства кубических сплайнов
Кубический сплайн Six) относится к нелокальным сплайнам
> в том смысле, что < его значения в точках', не совпадающих с
узлами сетки Д: а==х0<...<^№=6, зависят от всей совокуп-
ности величин /i = /Ui), ^== 0, . TV, а в случае краевых усло-
вий типа I или II еще и от значений первых или вторых произ-
водных функции fix) в точках а и Ъ. Тем не менее кубический
сплайн обладает достаточно л четко выраженными локальными
свойствами. Они проявляются, в частности, в'.том, что сущест-
венное влияние на величину Six) оказывают, лишь те Д, кото-
рые заданы в точках, близких к х. Локальные свойства пред-
ставляют большой практический интерес. -
Пусть fix) g Wlo [а, 6]. Формулу 41.3) для Six) можно раз-
бить на. две части: локальную, в которую входят Д, A+i, и не-
. 124
ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С»
локальную, содержащую величины mi9 mi+t. Выясним,/ как вли-
яет информация, заданная в узлах, удаленных от рассматривае-
мого интервала [xi9 ж<+1], на значения w+ь Ограничимся
изучением случая, когда S(x) удовлетворяет краевым условиям
тина I (предполагается, что /'(а) и fib) существуют). При дру-
гих краевых условиях рассуждения аналогичны. '
Обозначим матрицу системы (1.6) при краевых условиях ти-
па I через А. Л"1 означает обратную матрицу с элементами
Решение системы представляется в виде
* N
= 2 . z = о, ...,iv.
Для справедлива оценка
. - lcJl<3ll/,U)IL, * = 0, N,
9 по теореме Д.6
|4|<(1/2)|{Л г,/ = о,...л.
С целью упрощения дальнейших рассуждений введем величины
агз “ Q “ 0, j < 0, / > N. Тогда можно записать
+«> , ь
==х;
j=—ОО
где для всех | а\31 и |с3 ] будут выполнены указанные выше не-
равенства.
Пусть к — целое число, 0 < к < N. Тогда получаем
i+й f
ИЦ
i~i—k
[i—ft—1 4-оо
.-2- ,(1/2)г-;+ s (W-i .
5==— оо 5=г4-й4-1 J
Каждая из сумм в правой части меньше, чем (1/2)\ Поэтому
(1)
Будем называть точки Х{9 х, близкими или удаленными друг
от друга в зависимости от того, мало ли число li —/I или вели-
ко. Оценка Т1) прказывает, что если пренебрегать информацией,
(коэффициентами Cj) в точках, удаленных от хг на U — /1>&,
то допускаемая при этом погрешность в определении будет
порядка (l/2)ft-1, т. е. влияние точек с удалением от точки Xt
убывает в геометрической прогрессии со знаменателем 1/2.
Если предположить, что / (х) е [a, 6], то 'из уравнений
,(1.15) для величин Mi можно получить такой же результат.
§ 4. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ 12&
Но тогда из формул для S{r)(x), г «О, 1, 2, (§ 1), при х&
€= [х{, Xi+il следует, что информация о функции f(x) в точках,,
удаленных от отрезка [х{, #i+i], мало влияет на значения сплай-
на й его двух первых производных. В этом смысле кубический,
сплайн обладает локальными свойствами.
~ Таблица 3.61
* а 8(-0,75) S(-0,55) S'(—0,5) 8"(—0,5) .;
1 2 3 4 5 1,000001 1,000002 1,000003 _ 1,000004 1,000006 1,00001 1,00002 1,00004 1,00005 1,00006 чи : со w со со - О О О О О ч-Н ч₽Ч Т-< оо СО 1111 1 г г . ООО "7 *7* Т1 ч-i хг cfto’i^o о 1 1 1 1 1
В таблице 3.6 приведены результаты интерполяции функции
' (1, если х < О,
если ж>0,
на ^отрезке [—1, 1] с шагом h •= 0,1 при различных значениях параметра а..
Использовался кубический сплайн с краевыми условиями типа IV.
Как видим, довольно сильное изменение интерполируемой функции на
отрезке [0, 1] мало влияет на значения S^(x)^ даже если точка я, не очень.
удалена от этого промежутка. "
Т а б л и ц а 3.7
JS'(-O4) S'(0) ТПо S4-0,5) S'(0)
1 5 —1,4-10-» -6,9-10-» 1,9-10-» 9,5-10-» 10 100 -1,4-10-2 —0,14 1,9-10-» 1,9-10-4
« В таблице 3.7 приведены данные, характеризующие поведение сплайна^
интерполирующего функцию f(x) = 0, х е [—1, 1], на равномерной сетке*
с шагом — 0,1 и краевыми условиями 5"(--1) = m0, S'(l) = 0, в зависи-
мости от значений величины т0.
Хорошо видно, что даже задание совершенно вычурных краевых усло-
вий на левом конце отрезка мало влияет на 8'(я) в удаленных от. нега
точках.
Естественно ожидать, что качество приближения f(x) сплайн
ном S(x), например, на отрезке [a", Ь"1<=1а, Ы будет опреде-
ляться в основном* дифференциальными свойствами функции f(x)
в-некоторой его окрестности. Покажем, что это действительна
так. Пусть, например, / (х) е W%> [а, Ь] и / (х) е [а', Ь'], а <>
<а' < а" <Ь" <Ь' <Ь, причем точки а" и Ъ" достаточно уда-
лены (в указанном выше смысле) от точек а' и Ъ'< Точно так:
428 ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА Са
же, как мы вывели оценку (1), можно получить аналогичные
’оценки для величин —/{ и MJТем самым оценки для
них будут определяться через свойства функции /(я)~на отрезке
[я7, &']. Следовательно, будут иметь место оценки
где г = 0, 1, 2, Л max hi и постоянные Кг близки, к
соответствующим, достоянным из таблицы 3.3. Степень близости*
определяется тем* насколько удалены точки а7, Ь' от а'7, &"«*
Рассмотрим теперь поведение кубических сплайнов на спег
‘циальпых сетках. Пусть сетка Д такова, что для ^некоторого к
^выполняются условия, Йа=Л1^а+1, где Yi й ^2 доста-
точно малы. Предположим, что кубический сплайн 8(х) интер-»
полирует функцию f(x) е WL [а, 6] и удовлетворяет краевым
условиям типа I.
Для решения системы (1.15) легко получаем
IM-I 311/77 WIL, г==0, 1, ♦ .., N. ; . (2)
Далее запишем эту систему, в виде , \
\ 2MQ + Mi*=d(h . . : z
giA/i-id- 2Mi.+ XtMi+i = 4, i = 1, ..., к — 1, (3)
' Mн-i + 2Mk = dk\
,2Mft+i + Mk+2 = dk+il - '
$ = fc+2,<.., W-l, (4)
Mjv-rH-2Mn = du,
где, ' \
/V * J 6 //
^0 “ r ClN — -v Jn T b '
ЛО \ % - / \ nN-l j
.'dk — dk + Kk (Mfc-i — Mfc+i), ^а+1+^+1.(АГй+2~^Л)-
Представим “ _' . -
*7 _ 6 // tk — fk-л \ v 6 ( ^fe+] J
’ dk~ \fk-------------V 4
Й—1 \ ft—1 / \ л /
Заменим в правой части dk = + 2Mk +и
. h / . . о - -
5. ВЫБОР ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ'И УЗЛОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 127’
. 9
Тогда '
' (5>
. \ л*-1 7
где - .
1 ~ -
eft = 6уа J (1 — т) f (жл 4-Tftfe) dr — v2 (2Mh + Мй+1).
Применяя неравенство Гёльдера и оценку (2), находим
‘ Г \ |е*1 < 12^11/" fe)IL. . . /
, ‘ Отсюда* вытекает, что при малом уз величины Мо, ..Mh,.
вычисленные из системы (1.15), мало отличаются от соответст-
вующих величин, вычисленных из системы (3), если в выраже-
нии dk пренебречь величиной 8*. Но измененная таким образом-
система (3) определяет- коэффициенты сплайна • Six), который
интерполирует fix) _на отрезке [а, хк] ’и удовлетворяет при этом,
краевым условиям Sf (я0) = /о, & ixk) =- /I- Точно так же из (4)
получаем, что при малом ф коэффициенты* .., MN близки
к коэффициентам сплайна Six), интерполирующего %я) на [#ft+b
Ь] и удовлетворяющего условиям 8' (хь+1).= fk+i, S' ixN)fN.
В пределе при . 71 = *(2== О поведение сплайна Six) на отрезке -
[a, xhl не зависит от информации, заданной на [#*, &], и нао-
борот.
Из проделанных рассуждений, в частности, следует, что эр-
митов кубический сплайн Sz^ix)можно рассматривать жак пре-
дельный случай кубического сплайна дефекта 1, 8зд(я). В са-
мом деле, пусть сетка Д: -a==^o<...<^2?+i^b такова, что
^2i+i = Yi. < ^2^2, ^2<+i = 72, i ^2<, = 0, ..., I, и S3( i(/; х} интерполи-
рует fix) на сетке А и удовлетворяет краевыъгусловиям типа I.. *
Если 8з,2(/; х) интерполирует f ix)j на сетке A: a^=xQ<X2<..^
...<Х21<Х21+1^Ь, toJ
lim 83>1(/; ^)^83,2(/; х).
Vl,r*°»V2,r>0
i=0,...,Z •
§ 5. О выборе граничных условий-и узлов
интерполяции. Интерполяция с заданной точностью
1. При практическом использовании кубических сплайнов для
целей интерполяции неизбежно приходится иметь дело с проб-
лемой выбора краевых условий. Особую важность этот вопрос,
приобретает в том случае, когда требуется обеспечить хорошее ~
качество приближения вблизи концов промежутка интерполяции^
128 ГЛ. 1П. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
1а, &] (вдали от них, как это было показано в предыдущем па-
раграфе, влияние граничных условий незначительно). Выбор
. краевых условий осуществляется в зависимости от того, какими
данными мы располагаем об интерполируемой- функции /(я).
В этой связи дадим некоторые рекомендации.
Если /(х) периодическая, то следует использовать периодиче-
ские краевые условия (тип III).
Когда известны Значения /Х(х) или /"(я) в точках а и 6, то
естественно воспользоваться краевыми условиями типа I или II.
При этом, если существует возможность выбора между ними,
то предпочтительнее условия типа I.
Наибольшие трудности возникают, когда заданы только узло-
вые значения /<. Вначале рассмотрим некоторые из известных
рекомендаций. Часто предлагается использовать естественные
(смысл этого термина будет ясен из § 1 гл. IV) краевые усло-
вия: S"(a) =S"(b) =0. Однако такое решение весьма неудачно.
Дело в том, что тогда, как легко установить из формул (1.10),
(1.11), для точек х, близких к концам отрезка [a, 6J, в лучшем
>случае можно получить |5(r)Gr) —/(г)(я)| *=O(h2~T), r=^0, 1.
То есть здесь точность приближения кубическим сплайном сйи-
жается др точности приближения сплайном первой степени.
О приближении /" (я) говорить вообще не приходится.
Другой подход состоит в том, что используются краевые ус-
ловия типа I или II, но необходимые значения производных за-
меняются подходящими разностными аппроксимациями. Недо-
статок этого способа состоит в том, что приходится использовать
односторонние аппроксимации, которые, как известно, имеют не-
высокую точность.. * 5
На наш взгляд, в большинстве случаев кардинальным реше-
нием-вопроса является применение краевых условий типа IV.
Этот вывод подтверждает и практический опыт расчетов.
\ Иногда можно рекомендовать краевые условия общего вида
Mo + XMj = do, + Mn (In,
где свободные параметры %, p, do, dN выбираются из каких-либо
соображений. Аналогичные краевые условия можно записать и
в терминах величин тгц.
Многие специалисты склонны видеть в необходимости зада-
ния краевых условий один из недостатков кубических сплайнов.
На самом же деле более правильной следует считать противо-
' положную точку зрения. Действительно, по существу через крае-
. вые условия мы включаем в конструкцию сплайна свободные
параметры, выбором которых можно в известной степени управ-
лять поведением сплайна.
Перейдем теперь к другому вопросу техники интерполиро-
вания — выбору узлов интерполяции. Прежде всего следует об-
§ 5. ВЫБОР ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ Й УЗЛОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 129
ратить внимание на точки разрыва производных функций /Сг).
В § 3 мы уже установили, что для получения наибольших по-
рядков приближения функций с кусочно-непрерывными третьи-
ми производными точки разрывас/,,,(х) должны быть включены
в число узлов сетки. . г з . ; ~ :
Рассмотрим случай, когда разрывна /" (гг).^Такие функции
часто ^встречаются в инженерно-технических? задачах, где нали-
чие точек разрыва второй производной обычно связано с глад-
ким сопряжением (непрерывная касательная)-кривых разного
типа. Если при интерполяции та- >.
ких объектов сплайном не при-
нять специальных мер, то для4 • \
сплайна (5удет характерным по-,
явление осцилляций (рис. 3.2).
J Пусть при, выборе сетки точка
в которой разрывна /"(я), по-
падает впромежуток [яА, xA+il. 4-
Тогда следует позаботиться о том,
чтобы выполнялось. условие hk«
«'(пшД-!, йА+1У, _ где 7 мало
(на практике обычно достаточно положить 7 = 0,01). _Из
результатов §4 следует, что при таком выборе узлов наличие
разрыва в точке £ практически не влияет на поведение сплайна -
вне промежутка xfc+rl—Отметим, что для вычисления S" (х)
при xe[xh, вместо д(1.12) нужно использовать формулы
X
Рис. 3.2.
S"U) = х^[хку |); S"(х) = Mk+i, яА+1].
В' ситуации, изображенной на рис.. 3.2, целесообразно построить
промежуток [яА, так, чтобы #fc+i = $.
Рассмотрим,, наконец, случай, когда в точке х = ц терпит
разрыв f'tx). При выборе узлов, во-первых, точку ц включим
в число узлов. Пусть г|=«А.' Во-вторых,узлы xk-i, xk+i выберем так,
чтобы ДА-1 = ^«^= 72^+1» где 7i, 72 — малые числа. В-треть-
их, в системе уравнений для определения величин ^ положим
</А=»0. Смысл условия dk = 0 состоит в том,. чтобы обеспечить
выполнение неравенств (4.2). Проделав примерно такие же рас-
суждения, как и в § 4, нетрудно убедиться в том, что эти меры
действительно устраняют влияние разрыва. Наличие, разрыва в
точке хк следует учесть в-формулах для Sz(х) и S"(х) на отт
резке [яА-1, А именно, ... .
8'(х) = (Д - fk-\)/hk^i - hk-i(1 - 2i)J^-.i/^, х е= [яА_ь яА);
/S’ (х) =« (/a+i — fh)/hh — «1 — 2ОЛ^А4-1/2, х е (xk<i #A+i];
S kx) с= MA-i, X [з?А_ 1, Хк)) S (ж) == Mk^ij X €5 (я?А,
• В качестве численного примера рассмотрим интерполяцию функции
из §4 при а —1 (граничные условия типа I). Если обозначить
9 Ю. С. Завьялов и др. ' '
130 /ГЛ. Ш. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
Rr = max | S<r) (я) — /(r) (я) | (Д1 —сетка с шагом 2/201), то для интерпо*
aceAj 4
ляции на равномерной сетке с шагом ОД будем иметь Яо= 0,009, Ri == 0,5,
Я2 == Ю. При добавлении узлов в точках — 0,001 и 0,001 получаем
Rq .=* 0,004, Ri = 0,2, Z?2 = 8. Если же, кроме того, положить di2 в 0, то Ro=
=5-104 Rr^ 3-104 Я2= IO”2. /
2. Рассмотрим задачу об интерполяции с заданной точностью.*
Если ограничиться равномерными сетками, то она решается до-
вольно просто на основе оценок, полученных в § 3. Методика
здесь такая же, как и для локальных сплайнов. Конечцог по-
добное решение не является оптимальным с точки зрения коли-
чества узлов интерполяции. С целью сокращения числа узлов
необходимо прибегнуть к неравномерным сеткам.
Мы опишем один из способов построеция неравномерной сет-
ки в случае, когда интерполируемая функция fix) достаточно
гладкая. Пусть, например, /U)eC4[a, Ь]. Теорема 3.7 утверж-
дает, что на равномерной сетке кубические сплайны дают прак-
тически ту же точность приближения, что и эрмитовы кубиче-
ские сплайны. Этот вывод сохраняет силу и в случае неравно-
мерной сетки, если только выполнены условия
' hi = hi-1 + O(hl.l'). . (I)
Действительно/при этом из (3.23s) следует, что’^ = о(Л3) и
поэтому mi — fi = о (Л3). Но тогда согласно (3.2)
S(x)-f(x)=S3^x)-f(x) + o(h4).
Следовательно, для построения неравномерной сетки можно
использовать алгоритмы, разработанные для эрмитовых локаль-
ных сплайнов (§ 7 гл II), если в процессе их реализации конт-
ролировать выполнение условия (1). Если на очередном шаге
оно нарушается из-за того, что hi значительно превышает hi-^
то следует просто уменьшить Если же (1) не выполняется
по причине малости hh то нужно еще уменьшить его, положив
= где у достаточно мало. Из результатов § 4 следует,
что в таком случае поведение' сплайна на промежутке [#i+i, Ъ]
практически не зависит от его поведения на [а, я<+1]. Таким об-
разом, процесс построения сетки на [a, #<+i] закончен. Для от-
резка lxi+i, Ы сетка строится независимым образом.
Численные эксперименты по интерполяции кубическими сплайнами с
краевыми условиями типа I, выполненные для тех же функций и сеток
(в том числе неравномерных), что и в § 7 гл; II, дают результаты, практи-
чески совпадающие с соответствующими результатами для эрмитовых ку-«
' бических сплайнов.
§ 0. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 131
§6. Кубические сплайны двух переменных.
Существование и единственность. Алгоритм
Пусть в области Q = [a, bl X [с, d] введена сетка Д = ДхХ Д^,
где - Дх: a = xo<xi<. ..<xN = b, -Ду: с = < у\ <...< ум *= d.
На этой сетке рассматриваются кубические сплайны дефекта 1
от двух переменных (класса C2’2[Ql). В ячейке X
Xlifc, #j+i] они имеют вид
- 3 3.
s (Я, у) = 3 3 (я — Xi)“ (у — (1)
а=0 0=0
Множество таких сплайнов <$з,зд,1(Д). мы условились рассмат-
ривать (гл. I) как тензорное произведение пространств одномер-,
ных сплайнов 5зд(Дх) и 5зд(Ду) размерностей А + 3 и М + 3 со-
ответственно, и размерность пространства 5зз11(Д) равна
Ш + 3)(М + 3).,
Пусть в узлах сетки Д заданы значения функции Интер-
поляционным кубическим сплайном двух переменных называется
сплайн, принимающий па сетке Д значения .
S(xi. Уз) = fih £ = 0, ..., /V; 7 = 0, ..., М. (2)
* . х •
Это дает (2V + DCIf +1) условий. Недостающие 2(А+М +4) or-,
раничений задаются в виде краевых условий.
Как и в случае одной переменной, будем рассматривать ус-
ловия четырех типов.
Тип I. Граничные условия этого типа возникают, когда
сплайны одной переменной из пространств Й'зд(Дх) и 5зд(Ду)
удовлетворяют граничным условиям типа I (§ 1). Выясним ха-
рактер краевых условий, которые необходимо наложить в этом
случае на сплайн S(x, у).
_Введем фундаментальные сплайны ’F<(#), г = 0, 1, ТУ,
и Fft(:r), к = 0, TV, удовлетворяющие условиям
Pi М = бгр, F'i (*о) = Р'г &n) = 0, 7, р == 0, . . ., TV; -
^fe). = o, ^(#д)==бм, р = о, . ..,TV; к, g = 0, N.
Они образуют базис в пространстве сплайнов 53д(Дх). Анало-
гичным образом ^определяются фундаментальные сплайны G/y),
7 = 0, ..., М, и Gt(y), I = 0, Л/, образующие базис в пространст-
ве 5зд(Ду). >
Так как £з,здд(Д) есть тензорное произведение пространств
53д(Дх) и 5зд(Ду), то базис в нем” образуют функции
+ F^G^y). FMGSy), ;G^y)Fh(x)9 F&My),
t = 0, ..., TV; 7 = 0,..., М; k = 0,N- 1 = 0, М.
9*
132 ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2 \
4 Любой сплайн Stx, у) из. пространства 5з,з,1,1(Д) представим.»
виде
8 (х. у)^ / /
'n М М ' _ м . __
= 3 3 &) Gi (у) + s И Gj (У) 4-3 (®) <?> Go 4-
, 1=о 5=о 5=о \ 5=о
N ’ . -N ” __ " - "
+ 3 c°i’oPi (&) Go (у) 4- 3 Ci^iFi (х) Gm (у)- 4- -
i=0 г=0
+ Gq (у) + с1’,mFо (х) Gm (у) + c)f\Fn (х) Gq (у) +
. ‘ - +cn*mFn (х) Gm (у). (3)
Из свойств базисных фуйкций непосредственно вытекают ^со-
отношения
Сгз = 8 (Xi9 Уг)9 = D 1 S (х^, yj),
c^^D^S(xhy^ c^^D^S^y^' \
г = 0, ...Л; 7 = 0, k = 0,-N*, z = о, м:
Теперь становится ясно, что в дополнение к условиям (2) для
однозначного определения интерполяционного сплайна достаточ-
но потребовать, чтобы
2 . > ' ^8Ахи у^ = ^, i = 0, N; 7> О, .
D^Slx^yj) = * = (), . . .,7V; 7^=0, М-,
‘ - D^S^y^f^, i = 0, N; j = 0, M.-
Это и есть граничные условия типа I.
Тип II.- Краевые условия в этом случае выводятся таким
же образом, как и граничные условия типа I:
D™S (хь у^Л°\ i = 0, 4V; J -0, ..М-,
D^S(xity})^^ i = 0,;..,2V; j =
i^s^jyi=o;n-, . ; j='o,M.
Тип III. Пусть 5з,з,1,1(Д) есть тензорное произведение про-
странств 1$з'д(Ах) и 53д(Д^) одномерных сплайнов, периодических
соответственно по х или у. Базис в. пространстве 5з,1(Д*) состо-
ит из фундаментальных сплайнов Fi(x), удовлетворяющих ус-
ловиям -
Fi(xpY^8ip, F[r)(x0) = FY4xN), r-0,1,2; 4,р = 1,2,..,Л.
Таким же образом строится базис в пространстве S3ti(Ay).
§ 6. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 133
Для интерполяционного сплайна SU, у) eS3 31(1(A) получа-
ем следующее представление:* j _
N М ‘
8(х, у) = 2 S (4)
i=l -
Из этой формулы вытекает, что все производные сплайна
Dr’*5U, у), г, s = О, 1, 2, будут периодическими функциями с пе-
риодом Ь — а по переменной х и периодом Э— с по у. ’
Тип IV. Предположим, что пространства 5зд(Д«) и ;£з,1(Ду)
состоят из одномерных сплайнов, удовлетворяющих граничным >
условиям типа IV. Фундаментальные сплайны Fi(x) определя-
ются условиями _
. Ft(xp) = 8ip, F'i&t — 0) = Ff (^i + 0),
FF(зд-i - ОУ= Fl' f 0), г, р = 0, 1, ... Л. .
Аналогично определяя получаем '
- S(х,у) = 22 fijFi(Ж)Gj(y)- - (5)
i=*oi==o - '
Следовательно, сплайн определяется только ^условиями (2).
Из формулы (5) и свойств введенных фундаментальных сплай-
нов вытекает, что на линиях х — х^п х = xN-i непрерывны все
производные сплайна до порядка Z>3>25U, у\ а на линиях у — у\
и у = ум-\ — до порядка Й2’35(ж, у). Кроме того, в областях
xh+d >< lyi, yi+zi, к = 0, N — 2; l==0, М — 2, прилегающих^к
вершинам прямоугольника Q, непрерывны все производные, вклю-
чая D3t3S(x, у). .
По существу, в процессе анализа, краевых условий доказана
Теорема 3.9. • Интерполяционный кубический сплайн -двух
переменных, удовлетворяющий условиям (2) и одному из типов
краевых условий I—IV, существует и единствен.
Действительно, существование следует из формул (3)—(5),
а единственность вытекает из однозначности разложения элемен-
та конечномерного пространства по базисным функциям.
Кроме перечисленных, возможны и смешанные краевые ус-
ловия, т. е. ? условия разных типов по разным переменным. При
этом, если по одной из них, например по\я, заданы условия ти-
па I, а по другой — у типа II, то в вершинах прямоугольника,
точках (х^ Уз),~i = Q, N; 7 = 0, М, должны задаваться смешанные
производные Р(1;2)5(хь yj).
Явные формулы (3)—(5) для интерполяционного сплайна
практически непригодны для использования по причинам, изло-
женным в гл. I. Рассмотрим алгоритмы, основанные на кусочно-
многочленном представлении сплайна^
134
ГЛ. III., КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
Исходную информацию удобно располагать в виде таблицы.
3.8. Во внутренней части таблицы размещаются значения функ-
ции,-Окаймляющие строки и столбцы заполняются только в слу-
чае краевых условий типов I и II. Если краевые условия сме-
шанные, например, по переменной х типа Г или II, а по у типа
III или IV, то свободными остаются граничные строки.
" ' Таблица 3.8
8) &,м f(O,s) ' '0,M /0,8) '1,М . . . /0,8) 'N,M f(T, *) '7V,M
At.V) /о,м /1,М . . . In, м
f(M) '0,1 ^0,1 / л’,1 ♦ In ,i /(r,0) '2V,1
/г,0) - '0,0 /о,о ’ /М Av.o
'0,0 /0,8) '0,0 /0,8) **1,0 . . . /(O.s) 'N,0
Алгоритм решения интерполяционной задачи строится с уче-
том того, что при фиксированном значении одной из переменных,
например у, сплайн и его частные производные по у являются
кубическими сплайнами от переменной х. Каждые строка и стол-
бец таблицы 3.8 содержат информацию, достаточную для постро-
ения кубического сплайна вдоль одной из линий, х = хг или
У^Уз- * —
Первый шаг алгоритма? Строятся кубические сплай-
ны от переменной х, Six, Уз), /®0, .. ., М, по строкам таблицы
3.8, включая граничные^ если они имеются, с краевыми условия-
ми из граничных столбцов. Дело сводится к решению систем
уравнений (§1), число которых зависит от вида краевых-условий
и равно М + 3 (типы I, II), М+1 (тип IV) и М (тип III).
В результате находятся значения тп(г}’0)= P1,0S (#{, #;), (#{,
еД. Эти значения располагаем снова в виде таблицы,
аналогичной таблице 3.8, ^без. граничных столбцов. В граничных
строках при условиях типов I и' II помещаются значения
= D1,sS (xi, у}), s = 1 или 2; i = 0, ..2V; / = 0, М.
.^Второй шаг. Строятся кубические сплайны по переменной
у, S(xt, у), i = 0, N, по столбцам второй таблицы.' Это будут,
очевидно, частные производные по х, DitQS(xi, у), искомого сплай-
на на линиях х = Xi. На этом шаге решается N+1 одномерная
задача в непериодическом случае и задач в периодическом. Зна-
чения производных сплайнов D^'Sixi, у) в узлах сетки Д суть
§ 6. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 135
<•
смешанные производные искомого сплайна на сетке, т. е.
= D1’1# у,*)* ,
Третий шаг. По данным исходной таблицы 3.8 строятся
сплайны 5 to, у), г = 0, ..., N, в результате чего находятся зна-
чения DQilS to, yj). Число решаемых задач —такое же,
как на втором шаге.
В итоге получены значения величин fij, тп$'1у
в узлах сетки Д. Как мы уже знаем (§ 9 гл. II), они полностью
определяют некоторый кубический сплайн двух переменных.
Этот сплайн по построению удовлетворяет интерполяционым ус-
ловиям (2) и заданным краевым условиям. Его вычисление про-
водится по. формуле (2.9.3), в которой заменяются на
Построение двумерного сплайна свелось к решению 2N + M +
+ 5 (не менее 2N+M) одномерных задач. Можно пользоваться
и- другим вариантом описанного алгоритма, поменяв ролями пе-
ременные х и у. В^этом' случае придется решить 2V + 2Af+5
(не менее N + 2М) одномерных задач;
/Последние будем решать методом прогонки. В этом случае
при решении задач интерполяции по одной из переменных коэф-
фициенты левых частей уравнений в системах будут одинаковы-
ми, что избавляет нас от повторения некоторой части вычисле-
ний. Общее число арифметических операций при непериодиче-
ских краевых условиях будет 33NM (с точностью до линейных
членов относительно N и М) й ЗЭТУТИ в периодическом случае.
Если описанный алгорцтм, применить к нахождению величин
W’-lMg'"’.
пропорциональных вторым частным и е четвертым смешанным
производным сплайна, то потребуется выполнить 21NM и 33NM
арифметических операций соответственно в непериодическом и
периодическом случае. Вычисление сплайна производится по
формула, аналогичной (2.9.3):
S(x, у) =
где
' гр (f) = [грх (О, гра (£), hf гр3 («), Л?гр4 («)],
-fa ^J’o) WA1
Л,з+г A+ij+i ми+\ ми./ ч
М<М> м<?»2> лЛ2’2). ’
Л/(0»2) уГ^(0,2) дт(2,2) д7(2.2)4
М+1 iV1 г+1,7+1 М М+1 11 г+1 J+1-1
%(“)
(«)
гр1(г) = 1 — t, ty2W = t, гр3(О =*(£—1)(2 —£), гр4(О = iU2 — 1).
136 ' ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2 '
в»
Замечание. Можно рассматривать различные «полуэрми-
товы» сплайны. Например, возможен случай, когда в узлах сет-
киизвестны не только jfo, но и производные Л}’0), Чтобы
воспользоваться формулой (2.9.3), необходимо определить лищь
каким-то образом значения Л)’1-.. Последние можно получить,
например, интерполируя либо зналения /ij’0) вдоль линий у == yi9
либо вдоль линии"# ==#<.
§ 7. Оценки погрешности интерполяции
< кубическими сплайнами двух переменных к
• ' . • . J г' /
’ Методика получения оценок , погрешности -интерполяции ло-
кальными кубическими сплайнами двух переменных через оцен-
ки Погрешности для сплайнов одной переменной была подробно
изложена в гл. II (§ 9). Без существенных изменений подобная
техника может быть использована и в данном случае. с .
Она основывается на понятии частичных сплайнов £[/(#, у)\
х} и М/С#, у); у], для которых, как и для эрмитовых сплайнов,
верны- тождества
L " . у); х} у}\ * \
рл°М/(#, у); у] ,«MDr’a/(#, y); у]; 1
« £(/; #, у) == 5{М/(#, у); #]; у}. (2)
" Введем далее функции ‘ <
' Т\{х. у) = Slftx, у); у] — /(#, у),
? ' Т2(%, у) = £[/(#, у);-#] —/(#, у).
Используя тождество (2), получаем , " z
5(/; #, у)— /(#, у) = S{S[f(#, у); #]; у} —/(#, у) =
*=S{T2(x, у) + /(#, у); у}—/(#, у) =
=5[Г2(#, у); у1+5[/(#,у); у] — /(#, у) — S[T2(x, у); у] + Тл(х, у).
Отсюда s
5(/; #, у) —/(#, у) « - ,
у)-; у] —: Т2(х, у)} + Т}{х, у) + Т2(х, у). (3)
Аналогично,
5(/; #, у.) —/(я, у) =' .
= {S[Ti(#, у); xi - 7TU, у)) + Ti(#, у) + Т2(х,- у). (4)
Правые части равенств (3),. (4). со держат-только погрешности
интерполяции сплайнами одной переменной, оценки которых
~ . -< , - . I
/. § 7. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИИ/ 137
установлены в § 2, 3. Обозначим
hi =fxi+i — yh J = maxZj.
i 5 ;
Теорема 3.10. Если . f (x. y) e W£>IQ] и интерполяцион-
ный кубический сплайн S(x, у) удовлетворяет краевым условиям
одного из типов I, II, III, то
у)- Цх, у)П«<А(г^-г-^-^(х, у)||00+> - ;
ч- 8 D^-rf (ж, у) ||м 4- 4$Л«-ф-« J D^f (х, у) (5) ‘
г + з 2, s
где . - j
4^ = 4^!, 4^= 5/384, А& = 4/27, '•/
- 411 = 1/24, / 4$ = 3/8, 4$ = 81/864, 4$ = 13/48,
4$ = 0,073349, 4$ = 0,74354, 4^ = 4^ = 0,23353,
4!1=4$ = 13/б... J
Д о к а з а т е л ь с т в д. Из (3) получаем
|Z>rs{-5(^, У)~ У)}1к<1^’8Л«У)||оо +
z + ||nr’sT2(x, p)||M + ||zr-s IS [Т^х, у)-, у} - т.(х, гоф. . (6) i
Учитывая (1), оценим каждое слагаемое в правой части:
' 4Dr'STi(*,y^ -
Так как Dr,9f (х, у) ё W£~r [й], то согласно теореме 3.5 находим
’ II (х, у) U А%1*-г~° || D^f (х, у) U
. Аналогичным образом выводится оценка
Далее, снова используя результаты теоремы 3.5 для классов WL,
- С2, при г, s Л имеем
<Л?-1т^(х,у)1к=
- ' = 4sF"s |Dr’° |S [Р0’2/ (х, у); х] - D0-2/ (X, р)| ||„ < л
•' ' ' .. <4^4Л2-Г^"1£>2’7(®,^)||об, §
где 40 = 13/48,4j= 0,86229. ' J *
138 ГЛ. Ш. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА О’
При г = О, s = 2
|D0’8{5[T2(x,7);y.]-T2(x,y))U<- ' ; .
г <4®ф0'27’2(х,г/))<8|О0'27’2(ж,.у)^= ’
8|| 8 [D°’2f(x, у); я] - Z)0,2/ (х, у) ||Р2’2/ (х, у) [«,.
Следовательно, при г<1, r + s = 2
II Dr’s {8 [Т8 (*, у); у] - Т2 (х, у)} |» < 4!Л2"%2~Г | D2’2/ (х, у) |м.
Подставив полученные оценки в (6), убеждаемся в справедливо-
сти утверждения теоремы для гС1, г + $ = 2. При г = 2, $ = 0
оценка (5) выводится из тождества (4).
z Теорема 3.11» Если f(x, у) е С'2»2ТГд,,4«> и интерполя-
ционный сплайн £(#, у) удовлетворяет краевым условиям одного
из типов I, II, III, то
. . ч
№'‘{8(х,у)-Цх,у)}^
< D4’7 (X, у) ||м + #<2>?-s I Dr-7 (х, у) U
+ 41)^2)^-г?-8|Р4’4/(ж,1/)||ов, г, 8 = 0г1, 2,3,
где. ч ’
К?у = К?у = 5/384, К[1у = К(*у = 1/24, К? = К$у = 3/8,
Х(31) = (1'+₽1)/2, К™ - (1 + ₽2)/2,
Pi ~ й/min he, Р2 = i/nun Zj.
i j1 x
Теорема доказывается точно так же, как и теорема -2.8.
Чтобы получить оценки (5), (7) в случае, если сплайн удов-
летворяет граничным условиям типа IV, необходимо наложить
на сетки Д», Ду такие же ограничения, как в теореме 3.6.
Естественно, полученные результаты сохраняют силу, если
Сплайн удовлетворяет смешанным краевым условиям, например,
типа I по х и типа III jio у и т. д. -
Техника доказательств без существенных изменений может
быть использована для получения оценок и в других классах
функций. . х ’ '
. Нетрудно сформулировать двумерный аналог теоремы^ 3.7,
а также получить результаты о повышении порядка аппроксима?
ции производных. Предоставим это сделать читателю.
Задача. В условиях теоремы 3.10 получить оценки для ||Pr»e (S — /)Л
при г + s = 3.
§ 8. КУБИЧЕСКИЕ В-СПЛАЙНЫ /39
§ 8. Кубические В-сплайны
JB предыдущих параграфах мы рассмотрели задачу интерпо-
ляции кубическими сплайнами при кусочно-многочленном их
представлении./Этот путь и во многих других случаях является
удобным средством как при решении теоретических вопросов,
так и в вычислительном отношении/ Тем не менее в целом ряде
приложений более эффективным оказывается представление ку-
бических сплайнов через В-сплайны. Например, использование
такого представления при решении задачи интерполяции требует
минимального объема памяти ЭВМ. В гл. I В-сплайны были оп-
: ре делены аксиоматическим образом., Здесь мы изложим другой
способ их построения, применимый не Только для полиномиаль-
ных сплайнов, но и различных их обобщений. '
Дополним сетку - Д: а = х$ <х{ < ... < xN = Ь узлами
х-з < #-2 < х-\< a, b< xn+i < Xn+2 < Хх+з- Эти узлы вполне про-
извольны, только в периодическом случае должно выполняться
ограничение hN+i = hi. ч
' Достроим кубический В-сплайн, отличный от нуля на интер-
вале (хг~2, Х{+э). В приложениях В-сплайны нечетных степеней
удобно нумеровать по среднему узлу их интервалов-носителей.
Искомый В-сплайн будем обозначать через В,(х) вместо Вз“2(я)
(гл. I). Положим еще ур ~= Bi(xp). Мр ~Bt (хр\.
Как и для всякого кубического сплайна, для Вг(я) имеют мес-
то уравнения (1.14):
РрЛ/р-i + 2М р + == г——-ц-г-
- , р-i "и р
р = 1—1, f, г+1/ ,
Так как В,Ы = 0 при х&(xi-2, ^+2), то
= Bir)(^i+2) = 0, г — 0, 1, 2. Эти условия вследствие (1.10)—(1.12)
можно представить так: / , ' 4 /
Уг-2 = I/i+2 === 0, - = Mi+2 = 0,\
== -g-;
• * • , » *
. Найденные параметры исключим* из уравнений (1), Послед-
ние приводятся к виду ! j
(Л-г-2 + hi-i) (hi-ъ + 2hi^ Mi-i + = ftyi,
(^i-2 + 1) Mi-1 +Ahi-1 + ^i) Mi + (hi + hi+^Mi+l = 0, * (3)
h^Mi + (hi + hi^i) (2hi + Mi+i =
Получилась система трех уравнений для определения четырех
.параметров: Л/^г, М<, М<+ь'Одним из параметров можно рас.-
Up Up Up-^1\
hp h?-! ' J' (1)
140 ГЛ. Шу КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
порядиться по своему усмотрению. Положим
- . . Л-1 Л-2 + bj-l) (2h+ Лг-ц) + hi (hi + hi+l) (hi-2 + 2fei-i) -
yi~ (^-i + M^ + Vi + M^ + ^+^y ’
Тогда из уравнений (3) находим , \
= 6(^2 + + +
Л£</=г—6(^_! + (5)
+ h, + fei+I)-1.
Формулы (2), (4), (5} полностью определяют сплайн^ВДх) на
промежутке [й-s, х^г!. В таблице 3.9 приведены его значения
в узлах Хр, р == i — 2, ..., i+2. >
\ Таблица 3.9
X . Bi ( X> B. (x) (x)
*1-2 ь. ' 0 0
Й1-2 6
xi-l Жг-2)Х (*i - *i_2)' X Z . - *{_2) x: -.
X (*i+i — *i-2) •" x (xi+1 — Z{_2) X (*1+1'—*1-2)
• 1 — - X _! x^ — -6 X .
xi+l ~ Xi~l “ хг-1 ^i+l xi-l
Xi ' . x ± Vi+l ~7 Xi-i ( hi X f ' \®i+r — *i-2 X f * + X^i+l ~ ж1-2
h\ J \ . + ... . Xi+2 xi-l) fei-1 - + 1 У
xi+2 “ xi-17 Xi+2 “ хг-1/
M+i 3hi4_r, - 6
*i+l (xi+* - xi) x - (Xi+2 Xi)X. (жг+2 ““ xi) X*
X ““ ^i-1) X (Xi+2 “ Xi-1) X (*l+2 ~ *i-lj
*i4-2 0 0 . ; /0
’ Нетрудно показать; что выбор параметра по формуле (4)
соответствует тому, что построенный В-сплайн оказывается нор-
мализованным. Действительно, так как два кубических 5-сплай-
над одним и тем же носителем (ta-s, ^+2) могут отличаться
-лишь постоянным' множителем, *то для их совпадения достаточ-
§ 9. 0 ПРИМЕНЕНИИ В-СПЛАЙНОВ ДЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 4 141
но, чтобы ойи принимали равные значения в одной точке
интервала %<+$)• Сравнение табличных значений со значе-
ниями нормализованного В-сплайна из § 3 гл. I показывает,
.что это действительно так. ,
§ 9. О применении В-сплайнов для решения
задачи интерполяции .
Интерполяционный кубический сплайн Six) можно находить,
используя его представление через В-сплайны: '
5(ж>= S \ (1)
г=-1 .
Рассмотрим конкретный пример сплайна, удовлетворяющего
условиям (1.1) и краевым условиям типа I. Для определения Ко-
эффициентов получаем систему уравнений
' (ж0) + (^о) + Mi (жо) =/1 , \ (2)
bi^Bi-i (xi) + btBi (хг) 4- 6i+iBi+1 fe) ==/j, i = 0, . N, (3)
fyy_i5jv-i (xN) 4- ЬхВх(хн) 4* Ья+iBn+i (xn) — fa. (4)
Элементы матрицы системы вычисляются с помощью таблицы
3.9. То, что в каждой строке матрицы* толькотри элемента от-
личны от нуля, объясняется фйнитностью В-сплайнов. Исклю-
чим из полученной системы неизвестные b-i й Получим
&о [Во (*0) — к$В_1 (х0)] 4- frjJBi (xq) k1B^1(xQ)] ~ fo — koB—i (#0),
bi^Bi-! (Xi) 4- biBi (xi) 4- 6i+iBm (Xi) = f = 1 * .. 4 N— 1,' (5)
[Bjv-i (%n) — Jcn-iBn+i (#n)L4~ ^n_ {Bn &n) Wn4-i M,
— fN~kNB.N^i(XN),'
-где •' - 7
k _ *;(*») ‘ 4- ^ 4 .
; . 0 *11 (-0)’ • 1 . 5li(-o)’ ° <i(;o)’ '
kN_t=k'N = -T^—: .v’
. bn+i(xn) bn+i(?n) BN+1(xn) -
После нахождения из системы (5) величин bh 0, ..., TV,
b-i и bN+i вычисляются из равенств (2), (4). Разрешимость си-
стемы (2)—(4) и-подобных ей систем при других .граничных
условиях следует из .единственности интерполяционного сплайна
(теорема 3.1).
Когда коэффициенты в. (1) найдены, для вычислений-зна-
чений сплайна и его производных можно воспользоваться алго-
142 х ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
ритмами, описанными в § 5 гл. I. Однако в некоторых случаях,
например при вычислении сплайна в нескольких точках из про-
межутка [хц более эффективным является другой способ.
Из (1) следует, что
/р = (bp—i hp + bp + "g* (bp4-i bp) Bp^i (xp) hp^iy
ТИр = -g- (bp—i — bp) Bp—i {xp) 4- -g- (bp^i — bp) BP+1 (xp).
По этим формулам находим ff, /i+i, что позволяет в
дальнейшем использовать формулу (1.19).
Применение' В-сплайнов для , вычислений значений интерпо-
ляционных кубических сплайнов-приводит к увеличению необ-
ходимого числа операций по сравнению с алгоритмами из §1.
Но зато количество хранимой информации здесь меньше, а
именно Г требуется запомнить координаты узлов Xi и коэффици-
енты bj, т. е. всего 2(^ + 5). чисел. При использовании алгорит-
мов из § 1 нужно хранить 3(А£ +1) величин х^ или Mi.
Рассмотрим вопрос о решении системы (5). При этом будем
сравнивать ее с системой (1.6), описывающей ту же интерполя-
ционную задачу. Для формирования матриц и векторов правых
частей в обоих "случаях приходится*выполнить совершенно оди-
наковый объем' вычислений^ Матрица системы (1.6) есть матри-
ца с диагональным преобладанием, а матрица системы (5) в об-
щем случае этим свойством не обладает. Чтобы оно имело место,
необходимо, прежде всего,.чтобы
rf = В&хй — Bi-iUi)—B<+i(xi)> 0, I =7 1, ..., TV—1.
Используя данные таблицы 3.9, получаем „ '
*i-l + hi \hi-2 * + hi Vi + \
'
- Сетка Д характеризуется числом р>1. Очевидно, г< прини-
мает минимальное значение, если .’Л^2;ежР”1А<-ь hi+\=p-'h^ ко-
торое равно
с (1 + р) (М-1 +
• Гг 1 р [(1 + р) Vi + рМ + р)
Полагая ht-i = рЛ«, где р-1 < р< < р, имеем л
~ . (1 + р).(1 + р1)-р{
П - 1 - 2р [(1 + р)р_ + + t + pJ - ф (рО.
§ 9. 0 ПРИМЕНЕНИИ В-СПЛАЙНОВ ДЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИИ д143'
Нетрудно вычислить
, , ,' 2Р (1 + р)8 (1 + 2р) (1 - Pj) ' .
. - Ф [d + Р) Р{ + Р]8 [PPi + 1 + Р]2’
В точке р/ = 1 .функция <p(pf) достигает максимума. Поэтому
min <р (Pi) = ф (р) = Ф (p-i) = —.
р-^р^р , (2 + p)U + p + p)
Так п>ф(р), то будет больше нуля, если 3 + р—р2>0. От- ,
сюда следует ограничение р < (1 + Т13)/2. "
Неравенства го>0 и Гл >0 для первого и последнего урав-
нений системы выполняются, если, например, выбрать дополни-
тельные узлы сетки так, чтобы h_3 = fe-з e й-i = йо и =»
«= hN = hN+x = +2. Этого же достаточно и в случае граничных
условий типа II. . .
Мы не касаемся здесь краевых условий типа IV, для которых
использование аппарата В-сплайнов менее удобно'из-за того, что
граничные уравнения (2), (4) содержат в этом случае по четыре
неизвестных. - • ' _
Итак, при условии р < (1 + V13)/2 матрица системы (5) есть
матрица с диагональным преобладанием и для решения системы
рекомендуется применять метод прогонки. Если же Эти‘условия
не выполяются, то следует прибегнуть к методам универсальной
или немонотонной прогонки, которые корректны для всякой хо-
рошо обусловленной матрицы.
К сожалению в общем случае хорошую обусловленность мат-
рицы нельзя гарантировать. Чтобы не загромождать изложение
несущественными подробностями, рассмотрим периодический
случай. Уравнения системы, описывающей задачу интерполяции,
имеют вид х
b{+iBi+i(xi)^ f{, i = 1,#..., N.
В матричной, форме это будет
Ab = f, (6)
где b = (bi, ..., Мт, / = (Л,_., fN)T.
Оценим погрешность интерполяции. Из (6) следует
' ‘ ' (7)
Выбирая норму векторов и согласованную с ними норму матри-
цы, как указано в § Д.1, находим
I / — Af | = щах | fi — fi-tBi-i. («О — fiBi — fi+iBi+1 (xt) | <
i - .
< max {Bi-i (xt) |/{—/{_! | + 5i+i (x{) | A —/i+i |} < co (/).
i л .
144 ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С2
Здесь использовано свойство нормализованных В-сплайпов:
2 = Теперь из (7)-находим
i
(8)
- Далее,
IN+1
г=—1
• ': .' - л+1
Л+1
г=-1-
Учитывая (8), получаем
jv+i
Кроме того, для всякого х ^ [xi, rri+i]
7 N+1
.3 Уг- Нх)] В1(х)
3 Г/Р-Ш|£Р(4<2®(/).
p=i—1
Окончательно имеем
' _ (9>
Возьмем црследовательность сеток {Д J такую, что hv т> 0 при
у-^оо. Ей соответствует последовательность Тогда
согласно (9) для любой функции f(x)^Cla, Ы последователь-
ность интерполяционных сплайнов L$(AV; х)} сходилась бьГ к
/(ж),;если только 1|<ЛГ< оо. Но мы видели (§ 2), что су-
ществуют непрерывные функции и последовательности сеток,.
для7 которых ».процесс расходится, если р (3~+У5)/2. Поэтому
остается допустить, что для таких р || 471 Ц может неограниченно»
. возрастать при v 00. <
Возвращаясь к;системе (6), напомним, что число обусловлен-
ности матрицы системы есть ц — О1111Л“1Н.~И так как IL4ll^= 1 по*
свойству нормализованных В-сплайнов, то ц = 114~1И и, значит*
матрица А может быть плохо обусловленной, если р >. (3 + У5)/2<.
Поэтому следует использовать сетки, для которых р < (3 + У5)/2-
В качестве примера, приведем числовые данные, характеризующие ве-
личину числа обусловленности системы (6) для сетки:
х» = 0,2$, 0, ..5, ' хв = ijfa, xt*= 1 +(Г— 6)0,2, i == 7, ..11*
. в зависимости от параметра а. Для сравнения укажем, что на'равномерной
сетке |х-= 3 (см. табл. 3.10). «
§ 10. СЛУЧАЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 145
Задача. Пусть в представлении (1) сплайны Bi (х) нормированы, так,
что Bi(xi) -== 1. Показать, что система (3) будет иметь диагональное пре-
обладание, если р < р* « 2,439, где р*— корень уравнещхя 6 4-7р+
+ р2 — 2р3 = 0. ‘ __ -- ® .'к
Таблица 3.10
а «г1 10" 21 * 10-« 10“4 Л0-*
И 3,5 14,5 135 1.3-103 1,3-104
§ 10. О применении S-сплайнов для решения задачи
интерполяции. Случай двух переменных
Кубический сплайн двух переменных представим в . виде
7 N+tM+1 _
у. 8(х,у)= 2 2 bvBiWBjty). . (1>
г=—1 }=-1 • _ ..
Введем систему сплайн-функций . z .
Vi(y)= 2 ЪМу), i = N + i. (2>
. ’ 7=-1. -
Тогда сплайн «$(я, у) может быть выражен формулой
N+1
S(x, у) = .2 Vi(y)Bi(x). • (3>
• 7'—"~1
Рассмотрим задачу интерполяции с условиями (6.2) и крае^.
выми условиями, например, типа I. Ее решение заключается в
нахождении коэффициентов bi} в (1). Дадйм описание алгоритма*,
основанного на представлении сплайна в форме (3).
Исходную информацию задачи будем представлять в виде,
таблицы 3.8. Значения функций' р<(у) и их производных в узлах.,
сетки А обозначив через i4j)== (yj), 5 = 0, 1; i = — 1, ..., N +-
+ 1; / = — 1, ..., M+L
Первый шаг алгоритма. Используя формулу (3), по-~
строим интерполяционцые кубические сплайны по всем строкам^
таблицы 3.8, а именно: S(;x, у/), 7 = 0, ..., М; DQ>lS(x, yJrj^
= — 1, М+1. В результате получаем значения vih —1,
..., N +1; 7 = 0, .М, и v'ij, г = — 1/..+ 1; ] = — 1,.
М +1, которые располагаем в виде новой таблицы такого же.
рода. '
Второй шаг. Используя формулу (2), построим интерполя-
ционные кубические сплайны по столбцам'второй таблицы:
i = — 1, ..., 2V4t1. Эта процедура дает значения Ь#, 1=*— 1,
..., N + .1; / = —1, ..., М + 1, и задача решена.
10 ю. С. Завьялов и др.
’ ГЛ. III. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С*
Таким образом, по сравнению с алгоритмом из Л 6 здесь по-
требовалось решить не три серии одномерных задач, а только две
общим числом N + M+Q. (В периодическом случае таких задач
3V + M.) Если используется обычный метод прогонки, то общее
количество арифметических операций приблизительно равно
10NM в непериодическом случае и 14NM в периодическом. Мож-
но применять и'другой вариант алгоритма, поменяв ролями пе-
ременные хну. При этом ни число решаемых одномерных за-
дач, ни общее число арифметических операций не изменяется.
Вычисление сплайна и его производных можно про-
изводить с помощью алгоритмов, описанных в § 6 гл. I. При этом
по сравнению с алгоритмами вычисления сплайнов из-§ 6 объем
вычислений возрастает, но зато' практически в четыре раза со-
кращается объём хранимой информации. Здесь, кроме узлов
сеток Дх, Ду, приходится запомнить только (7V + 3)(M + 3) коэф-
фициентов Ьъ-, а в § 6 4(2V4-1)(М+1) величин /^,
mQ’1) тгтгтт / . Л7<°’2>
» Шгэ ИЛИ /{j, 1VL ij , i VI ij , 1VL .
В целом использование представления (1) дает существенные
преимущества по сравнению с кусочно-многочленным представ-
лением. Эти преимущества становятся решающими при переходе
к сплайнам трех и более переменных.
Литература к главе III. [1, 12—-14, 15*, 26, 29, 30. 36—38, 44,
56, 72, 74, 76, 82, 83, 87, 89, 95]; ' '
Гл а в а IV
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ
Во введении уже отмечалась связь, существующая между тео-
рией сплайн-функций^ и теорией экстремальных задач. Хотя мы
и не намереваемся подробно обсуждать этот вопрос, но тем не-
менее одну задачу обойти -нельзя. Речь идет об экстремальных
свойствах интерполяционных сплайнов. Их анализ, с одной сто-
роны, позволяет глубже понять сущность сплайновой интерполя-
ции, а с другой—Естественным образом-приводит к практически
важной задаче приближения сплайнами со сглаживанием исход-
ных данных, если последние известны с некоторой погрешностью.:
Исследование проведено на примере кубических сплайнов одной
и двух церемонных, но методика применима и для сплайнов лю-
бых нечетных степеней.
/ — .
§’ 1. Экстремальное свойство интерполяционных w
кубических сплайнов
Рассмотрим задачу о минимизации функционала
ь х • ,
V(/) = Jj/"(*)№ (1>
'а '
В качестве ' множеств Допустимых функций возьмем класс*'
W%la, Ь| и его подклассы Ж? |а, Ь] и Ж1[а,Ь], гДВ Wl [я, И
состоит из функций, периодических с периодом Ъ •— а, и
Ж| |а, Ь] — изфункции /(я), удовлетворяющих условиям /' (а) =•
« f (ty — zN (£0, zN — заданные числа).
Пусть в узлах сетки А: а = #о <... < == & заданы значе-
ния 2°b i =^= 0, ..., N. _
/ Теорема 4.1? Среди всех функций f (х) е W% [а, Ь], интер-
полирующих значения £?, • кубический сплайн Six) с краевыми;,
условиями
5',U)=S,,(&)-0 . (2>
* •
минимизирует функционал J(f).
. Если функции f(x) принадлежат одному из классов
Ж|[а, Ь],то минимум функционалу доставляет кубический сплайн-
из того же множества.
Ю* . ’ ,
448 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ
• Во всех случаях функция, дающая минимум, единственна.
Доказательство. Пусть /(х) и S(x) принимают одинако-
вые значения z*..Запишем тождество
' . (3)
где '
b ’ JV—1 **+!
/=(“[/" (Ж) _ S" (ж)] S" (x)dx== 2' J \f" (х\- S" (ж)[ S" (ж) dx.
. "='°
-Интегрированием по частям получаем
J [Л(ж)-5"(ж)]5,,(ж)йж=
= [f (ж) - S' (ж)] S" (ж) g+1 - J [/' (ж) - S'(ж)[ S'" (Xi +) dx ^=.
- [f. (ж) - S' (ж)] S"(ж) g+1 - S'".(Xi +)'[/ (ж)- S (ж)гД+1.
- * \ X" ♦
При выводе этой формулу учтено, что' S"' (х) постоянна для х^
^Ixi^Xi^]. Так как If'(x)—S'(x)]S" (х).-~ непрерывная функ-
ция, то
л-1 ч л , ' ' ;
I-= -. 2 S'" (Xi +-) [Дж) - S (ж)] |4+1 + \f (х) - S' (ж)] S" (ж) 11
г=0 — .
• . Пусть S(x) удовлетворяет условиям C2L Тогда второй член
в выражении / равен нулю. Если / (^), S (х) й Wl (а, Ь], то это
имеет мест^ в силу_/'(а) — 5"(а) =7'(Ь) — и S" (а) = S*"(b):
Если f (х), S (х) Wl(а, Ь], то равенство нулю достигается за
счет того, что f(a) = S'(a) и f(b) =S'(6). Следовательно, можем
записать в непериодическом случае
- • • ’ ’ 2V-1
• I = (/0 - So) S'" (ж0 +) 2 (fi - Si) [S'" (жг+) - S'" (Xi-i +)1 -
-(fN-SN)'S"'(xN-1+), (4)
в в периодическом ’ ’ . С
' N ' • • ’.1 - -
I = 2 (A - Si) [S'" (Ж| S'" (ж!_1 +)]. (5)
i=l
Так как /(я<) = Stxd, f==0, ..., А^, то 1 = 0 и из (3) вытекает
соотношение - '
J(/)=J(5) + J(/— 8). (6)
§ 2. СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 149
Очевидно, J(J — S) > 0, i, следовательно, j(5) 7(/), т. е.
сплайн S(x) сообщает минимум функционалу 7(/).-функция S(x)
единственна. В самом деле, если /(х)— другая минимизирующая
функция, то 7(/) = J(S) и, значит, J(f 4-5) — 0. Последнее озна-
чает, что почти всюду на? [а, * Ь] /" (х) = S" (х), откуда f(x)'=*
= 5Ст) Ч-ая+fk Но постоянные a, [J равны нулю, так как
* f(xi) = 5(ж<), i = 0, ..., N.
Иногда установленное экстремальное свойство берут в каче-
стве определения кубического интерполяционного сплайна как
функции, интерполирующей заданные значения z? и минимизи- "
рующей функционал 7(f) г Однако при этом сужается-множество,
рассматриваемых сплайнов^ в частности; исключаются сплайны
< граничными условиями типов II, IV.
§ 2. Сглаживание экспериментальных данных
На практике часто приходится иметь дело со случаем, когда
значения z< ;в узлах сетки А; заданы с некоторой погрешностью.
Например, они могут быть результатами каких-либо измерений.
Если погрешность исходных данных отнот .
сительно велика, тб это Храйне неблаго-
приятно- влияет на поведение интерполя- t
ционного сплайна и особенно его лтроиз- у >
водных. В частности, график сплайна . /
обычно имеет резко выраженные осцйлля- у+
ции. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли- tx
построить сйлайн,? проходящий вблизи за- -----:— •
данных значений, но. более «гладкий», чем
. интерполяционный (рис. 4.1). Такие сплай- Рйс-
ны называются сглаживающими, а процедура их построения’
сглаживанием, ' ' . * ' ‘ -
Покажем, что сглаживающие сплайны возникают при реше-
нии задачи б минимизации функционала
' . S ” N ~ ' V
ЗргЧА-г?)2, . (1)
* *.о г—9
где z$ и рг > 0 — заданные величины. Очевидно, чем меньше ко-
эффициенты р£, тем ближе проходит функция, минимизирующая
функционал. Ji (/), к заданным значениям я?. В качестве мно-
жеств , допустимых функций будем рассматривать те же классы
функций; что и в §1.
Т е о р е м а 4.2. Среди функций f (х) е Wl [а, Ь] кубический
сплайн S(x), удовлетворяющий условиям (1.2), минимизирует
функционал х / х .
|50 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ
Если функции fix) принадлежат одному из классов, W% [а, Ь]
или Wf [а, Ь],' то минимум функционалу доставляет кубический
сплайн из того же класса. ' ' * ,
В каждом случае функция, дающая, минимум, единственна.
Д о к а з а т ё л ь с т в о. Рассмотрим класс {а, &]. Выясним
вначале необходимые условия минимума. Пусть функция ф (#Je ,
Ь] минимизирует 7i(/). Покажем, что ф(я) должна быть
кубическим сплайном с краевыми условиями (1.2).Действитель-
„ но,, предположим^ что это не так. Возьмем, интерполяционный
кубический сплайн 5(ф; х) с граничными условиями (1.2). Вто-
рое слагаемое в выражении Ji (/) одинаково для функций ф(я>
и 5(ф; х). Но в силу теоремы 4.1
b Ъ « ~
J [ S" (ф; х) I3 dx < JI ф" (х) I2 dx. ,
а а у
Поэтому Ji(S) <71 (ф), а это противоречит предположению, что
ф(я) минимизирует 7i(/).
Итак, пусть Six) — кубический сйлайн, минимизирующий
71(f). Возьмем сплайн Six) = Six) + aFkix)^ где Fkix), 0 к С
2V,— фундаментальный кубический сплайн, удовлетворяющий
условиям
F^)==SM, i==0, K(a) = ^(&)=0. i
Из (1) следует z
ь ' n ' " ' •
Л (5) = Д IS" (х) + аК (®) I2 dx + s р-1 (St - < +
. . а ' г=0
+2 арА 1 (Sk.— zk) + а2рь \
Тогда
J\ (S) — /л (5) == a?ah + 2abk, ‘
где.
ъ , ь
а а - z
Здесь ak > 0. Предположим, что Ьй^=0. Выберем атак, чтобы
|а| < 21 bh| а^1, sgn а = — sgn bh. Тогда 7i(5) — J\iS) < 0, т. е.
7i(5) <7i(/). Но это противоречит предположению, что сплайн
Six) минимизирует функционал 71 (/). Следовательно, Ьъ = 0. Так
как к — любой индекс от 0 до N, то соотношения
' bh = 0, ;*==0, ..., N,. ‘ . (2>
суть необходимые условия минимума. • -
§ 2. СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ' 151
Преобразуем интеграл, входящий- в bh, таким же образом, как.
интеграл I в § 1."По аналогии с (1.4) можно записать
ь - ’ ' '
^Fk(x)S"{x)dx=Fh(x<))Si" (х0+)4- '
а
‘ . W-1 '
+ 2 Pk to) к" toH-) - S'" (Xi.i+y] - F.k (x„) S'" (ЗД-Х+) = Dk.
i==l
I
По свойствам функции FK{x) отсюда следуют формулы
S'" {х.+\ к = 0,
Dh = S'" (хк+) - S'" (xk—), П= 1, ... ,N - 1, , (3)
- S'" (xN~),
k=N.
-Окончательно ^необходимые условия минимума (2) запишем в
виде •
Si 4- PiDi = z®, г == 0,..., N. (4)
Покажем далее, что соотношения (4Х и краевые условия (1.2)
являются достаточными условиями минимума. Действительно,
пусть существует удовлетворяющий им сплайн S(x)-. Для любой
функции / (х) е Wl [а, Ь] справедливо тождество
. А (/ - S) = а (/) - A (S) - 2 Г14- 2 рг1 (A -Si) (Si - Z?)
L г=0
>где ' . 1 * ’
- с N
Л (f - S) = . J [/" (х) - S" (Я)]2 dx + 2 РГ1 (/i - Si)2,
а i-О .
(5)
а I определяется формулой (1.4). Легко видеть, что при выполне-
нии условий (4) выражение в квадратных скобках обращается
в нуль. Поэтому
=^(5) + J(f -S). > (6)
Так как Ji(/—5)>0, то сплайн S(x) сообщает минимум
функционалу /i(/). z .
Нам осталось доказать, что удовлетворяющий условиям (1.2)
и (4) сплайн существует и единствен.
152 ' ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ
Обозначим Zf = £(#<), Mi = S"^xi) и,введем векторы и мат-
рицы:
= (zj, . . ., Zjv)T, Z = (z0, . . .,
~1 0
0 ui - hi
_ \ Ъ \
'hN-3 UN-2 hN-2
fyv-2 UN—l $ ’
0 1-
щ = 2(Л<-1 + feJi
где -
~0
0 ? 0/
-(»«** +‘i") »r
^V-2 — (^jv--2 + \\-l) h N -1
' .0 ^0 0
|A ]
R = \ •
Pn
Величины zh Mi связаны уравнениями (3.1.15). Запишем их
в матричной форме:
AM = 6Hz.. (7>
Учитывая, что S'"(xi+) = (Mi+i — и Jfo = = пред-
ставим равенства (4) в виде
\ z + RHTM = zQ.^ , (8>.
Равенства" (7), (8) образуют систему 2GV+1) уравнений для
определения параметров сплайна ziy Мч, i~0, N. Покажем ;
ее разрешимость. ; "
Йз (7) и (8) следует, что . . ' • I
. (Л + 6HRHTYM = 6HzQ. ' . (9>.
Матрица А в системе (7) симметричная с диагональным пре- |
обладанием, причем диагональные элемент^ положительны. Пр- |
этому все ее собственные числа по теореме Гершгорина [7, , |
с. 415] положительны, а сама она положительно определенная. *
Матрица HRHT — тоже симметричная (она совпадает со своей 1
транспонированной). Кроме того, она положительна полуопре- I
§ 2. СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 153
деленная. В самом деле,,если обозначить x = HTt, то tT(:HRHT)t =
'= xTRx > 0, так как матрица R — положительно полуопреде-
ленная. ' - < -
- Матрица A + 6HRHT системы О) будет также положительно
определенной, так как соответствующая ей сумма квадратичных
форм положительна Следовательно, она невырождена. Тем са-
мым доказано существование и единственность -кубического сгла-
живающего сплайна в классе W% ]а, Ь]. ♦
__ Доказательство утверждения теоремы для классов ГН [а, Ь],
И7!]#, Ь] проводится аналогично. При этом в классе ГИ|[а, &] не-
обходимые условия минимума (4) остаются без изменений, а в
периодическом случае следует учесть,,что Ро = DN^= S"'(#o+j ~
— о и достаточно рассматривать условия (4) при
z = i,
Выпишем в развернутом виде системы уравнений, которые
необходимо решать при построении сглаживающего I сплайна.
В непериодическом случае они имеют пятидиагональную струк-
туру
? >абМ0 + bQMi + co>2 = go,
boMo + biA?2+ c\M$ = gi,
+ &i-1 Mi-\ + diMj + biMi+i + CiMi+2 = g{, . (10)
;, * i=2, ...,jy-2/; "' ; . 1 - -.
Ся-зМк-з J" bN-2^N-2 + <Ln-]Mn-i + bN—\MN = gjv-1,
Ся-2^л-2 btf-iAftf-i + (LnMn —= gif, ‘
Коэффициенты этой системы определяются формулами *
: ai = 4 (hi-t + W + Pi-I + Pi + Pi-ы»
i = l, 2, '
-6- пг, [fe+v)pi + lv+' Kml ) pi+1.l’
< i = l, ...Л-2, f z _ (11)
1 * •
c-= aa+i Pi+1’ l=4’ 3’
Если сглаживающий сплайн S(x) удовлетворяет условиям S" (а) «
то . -;
Оо “ ^№= 1, Ь» “ Со === Cn-2 &Я-1 = go “ gN = 0. ~ (-12)
154 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ
i
Если S(x) удовлетворяет условиям Sr(a) == z0, S' (Ь) = zN, то
ao = ”3 + T7 (Po + Pi)» 80 =* j" z<h
_ O’
- • к _ h0 1 ( 1 t 1 \ „ 1 1
Ъ°~ 6 vU>+*JP1 AgP°’ C°~V;P1’ (13)
Лдт i 4 f »0 ___ »0
aN~ 3------Ь — (pA-1 + Pa), gN = Zn~
3 . . *w-l • ЛА-1
» hN-l . 1 { i , 1 \ ' 1"
°n-i = —g------T—- T-------H -T-- Pw-1 -7— Pa,
О йдг_1 \ «А-1 "W-27
_ PN-1
Ctf-b h h *
nN-inN-2
В периодическом случае система состоит из уравнений
cf-2^-2 + + atM{ + biMi+i + CiMi+2 == gi, s (14)
i = l, 2, ..., N,
где для всех i коэффициенты определяются формулами (11). При
этом величины с индексами N + к и к считаются равными: Mq =
ho^hjf, ао«ак, ... Для-фешения систем (10), (14) наибо-
лее' подходят методы, основанные на разложении матриц систем
в виде LWLT, где L —нижняя треугольная матрица с единичной
диагональю, a W — диагональная матрица с положительными
элементами (§ Д.З). Кроме того, для. системы (10) можно ис-
пользовать метод немонотонной прогонки.
После вычисления Mi из системы (10) или (14) величины z*
определяются соотношениями (4). Перепишем их в виде
Z1_.z? = _Pipb 7 = 0, . (15)
причем
' (16)
л°
Di = (Mi+1 - Mi) - (Mi - Mi-i), t = 1, ..., N - 1, (17)
Dn=-=^- (MN - Mn-J., , - (18)
В периодическом случае hx = ho, Mo = Mk, Mi = MN+i и все ве-
личины определяются формулами (17), где i = 1, .. >, N.
Наиболее важным моментом при построении сглаживающего
сплайна является выбор весовых множителей р<. Заметим, что
если все р/ = 0, то 2$ = , i = 0, ..., TV, и сглаживающий
§ 2. СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ • 155
сплайн превращается в интерполяционный. Отсюда следует, что
чем точнее заданы z? в узлах сётки, тем меньше должны быть
весовые множители р<. В частности, если возникает необходи-
мость закрепить точку, с номером I, то нужно положить р/=0.
В практических задачах обычно известны ошибки в опреде-
лении величин zf, т. е. |z? — Z{\где —точные значения.
В этой ситуации. естественно потребовать, чтобы сглаживающий
сплайн Six) удовлетворял условиям
8{ = |г<-^|<бь г = 0, ...Л, (19)
или, что то же, условиям
pdDj^6f, i = 0, ..., N. ' — (20)
Используем эти ограничения хдля вычисления весовых множите-
лей р,. .Построим итерационный процесс, реализация которого
позволяет получить неизвестные М{ и множители р«, j = 0,...,Nt
iA+6HRwHT)Mw^eHz^ ' " (21)
(Л+1) JsiW4 если
' Pi |o, . • если = 0,
где к -г- номер итерации. с , -
В пользу выбора формул (22) для вычисления весовых мно-
жителей говорят следующие .соображения. Пусть на fc-й итера-
ции в точке Xi нарушается-условие (19), т. е. Так как
'8(ife).=== pift) I, то из (22) следует
и, значит, на (fc + D-fi итерации весовой множитель р< уменьша-
ется. Это способствует уменьшению 8/. С другой стороны, если,
на А>й итерации и =^0, то множитель р< на сле-
дующей итерации увеличивается, что способствует более полно-
му использованию «коридора» (19) в целях обеспечения большей
гладкости сплайна.
В качестве начального приближения естественно взять
р(.0) == 0, что соответствует интерполяционному сплайну со зна-
чениями = Итерационный процесс должен продолжаться
до тех пор, пока значения сплайна. Z/ в узлах сетки не окажутся
в «коридоре». .
При практической реализации описанного алгоритма на ЭВМ
необходимо' учитывать следующие рекомендаций. Во-первых,
156 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ
вместо (22) нужно использовать формулы
06i/|P(ift)|, если | > х,
.0/ если | D.\h) | < х. л
Коэффициент 0 < 1 должен быть не очень* близок к единице
(хорошие результаты получаются при 0 = 0,9). Величина х вы-
бирается с учетом величин б{, а также в зависимости от разряд-
ности конкретной ЭВМ и точности решения системы для неиз-
вестных Mt. Эти меры позволяют избежать зацикливания и пере-
полнения. Во-вторых, несколько первых итераций, например
цять-десять, следует сделать в принудительном порядке, не обра-
щая внимания на выполнение условий (19k В-третьих, при сгла-
живаний * непериодических данных, целесообразно на (fc + D-й
- итерации - строить сплайн S(k+i}(x)^ удовлетворяющий-краевым
условиям £(fe+i) (л) = Аю» £(ь+1) (Ь) = 2?(ь), где В(М пред-
ставляют собой разностные аппроксимации первой производной
соответственно в точках а и Ь, вычисленные по результатам, А-й
итераций. Рекомендуется использование трехточечной аппрокси-
мации. г —
Та б'ли ц а 4.1 *
X Z® Я'(2°; ос) , 2 * н % ехр (х) X . Z® н N 03 2 / (X ехр (х)
0 0,05* 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 1,0 1,1 1,1 1,2 1,2 1<3 1,3 1,4 1,5 1,6 1,6 1,000 1,000 0,998 1,007 0,975’ 1,092 0,658 2,275 2,242 0,758 0,725 1,0078 1,0584 1,1104 1,1643 1,2206 1,2798 1,3426 1,4097 1,4810 1,5563 1;6353 1,0000 1,0257 1,0571 1,0994 1,1529 1,2175 1,2977 1,3858 1,4666 1,5449 1,6113 1,0000 1,0513 1,1052 1,1618 к, 2214 1,2840 1,3499 1,4191 1,4918 1,5683 1,6487 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,7 1,8' 4,9 2,0 .2,1 2,2 2,3 2,5 2,6 2,7 2,342 1,907 2,031 1,969 2,092 1,663. 3,256 3,313 1,492 2,718 1,7.178 1,8055 1,8972 1,9952 2,1000 2,2121 2,3311 2,4557 2,5849 2,7186 1,7012 1,7922 1,8906 2,0276 2,1692 2,3143 2-,4391 2,5397 2,6294 2,7183 1,7332 1,8221 1,9155 2,0137 2,1170 2,2255 2,3396 2,4596 2,5857 2,7183
По сравнению с интерполяционным сплайном построение
сглаживающего сплайна требует значительно большего объема '
вычислений. При решении вопроса о том, каким сплайном поль-
зоваться, нужно учитывать в первую очередь погрешность исход-
ных данных, а также те требования, которые предъявляются к
сплайну. Практически бесполезно применение сглаживающих
сплайнов, когда исходная информация задана, например, с точ-
нрстью, сравнимой с точностью представления чисел в ЭВМ*
В то же время неизбежно приходится строить сглаживающие
сплайны, когда накладываются жесткие ограничения на каче-
§ 3. ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ДВУМЕРНЫХ. СПЛАЙНОВ 157
ственные характеристики сплайна или, когда сплайн использует*
ся для вычисления производных по экспериментальной’ инфор*
мадии. > /
В -таблице 4.1 приведены результаты сглаживания с помощью описан*
ного алгоритма значений z® функций^*, округленных с точностью до 0,05,.
на сетке с шагом 0,05 на отрезке [0, 1].4 Сплайн строился с краевыми ус*
лдвиямй Sz(6) = 1, Sz(l) = е. Данные получены после выполнения 32 ите-
раций при 6г- = 6 = 0,05, 0 = 0,9, к = 0,0001. Эффект сглаживания особенно
хорошо виден при сравнении производных S' (z°; я) и S' (z; х) интерполя*
ционного поглаживающего сплайна.
§ 3. Экстремальное свойство интерполяционных
кубических сплайнов двух переменных
В области Q = [a, &]'Х[с, d] с сеткой Д = ДхХДу, где Дхг
а — х0 < ... < Ж№= Ъ и Ду: с = ро < ... < ум — d, рассматриваем
задачу о минимизации функционала
ъ d
_J(f) = ^[D2’2f(x,y)Ydxdy+ — .
ас'
N £ - м л
+ 2 рг1 j (Xi, у)]2 dy + 5.Pf1 J [D2,0'f (*, J/;)]2 dx, (1>
i=0 c . , 3=0~~ a
где рг й O; — произвольные положительные числа.
Множества допустимых функций — это класс W2t2 [й], а так* ,
же его подклассы: W%*2 [Q], состоящий из функций, периодиче*
ских по обеим переменным с периодами Ь — а nd —с,
Ъ], ’ состоящий из функций, удовлетворяющих условиям
-i = 0>; 7 = 0,
Ь°^(х1, у})^ ^‘и, i = 0, .,.Л; 7 = 0, М;
: D^fixi, уд =т 4}д), _ г = 0, N; j = Q,M, .
- где z(u’s\ г, s = 0,l, — заданные числа.
Пусть в узлах сетки Д заданы значения z^. •
Теорема £3. Среди, всех • функций f (х, у) е W^'2 [Q]r
принимающих значения z2j, кубический сплайн Six, у) с крае-
еыми условиями ' . *
Д2-05(а;£,.^) = 0, i = 0, N; j =
D^^Six,, уд = О, i = 0, ..., N-, j = (2>
Z?2>25(x<( yj) = O, i = 0, W; * 7 = 0, M,
минимизирует функционал J(f).
158 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ
Если функции f(x, у) принадлежат одному _ из классов
W1,2[Q] или Ж2’2 [О], то минимум функционалу доставляет
кубический сплайн Из того же множества.
Во всех случаях функция, дающая минимум, единственна.
Доказательство. Пусть /(ж, у) и S(x. у) интерполируют
значения Яу. Справедливо тождество
[.N M l
/a+Spr/i+S , (3)
i=0 j=0 J
причем ~ .
Ь d
Л- ^D2'2[f(x,y)-S(x,y)]D2'2S(x,y)dxdy{ .
a c '
b ?
h = J D™ (f(x, Vi) - S (x, y,-)] D2’°S (x, yj> dx,
a <-
d '
Ц = f D°'2[f fa, y) -S fa, y)] D°'2S (Xi, y}dy;
Для упрощения последующих выкладок условимся считать,
что в непериодическом случае сплайны' характёризуются усло-
виями " \ •
D3>sS(x, у) = 0, $4 1,2,3, х&[а, Ы,
7J7W, у) = 0, г = 0, 1,2,3; у<£[с, d).
Эти соотношения не являются какими-то ограничениями, так как
касаются поведения функции вне рассматриваемой области..
Обратимся теперь к вычислению, интегралов 7<, Ih 1±. Инте-
тралы iiQ одной переменной мы уже рассматривали в § 1 (фор-?
мулы (1.4) и (1.5)5. Имея в виду полеченные там результаты,
можно записать; что
7 (f^S^D^S^Xi.y)^ . (6)*
5=о
Здесь и в дальнейшем в периодическом случае суммирование
проводится по i от 1 до 2V и по у от 1 до М.
Преобразуем кратный интеграл /д, выполняя интегрирование
но частям по каждой переменной и учитывая свойства производ-
g 3. ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ДВУМЕРНЫХ СПЛАЙНОВ 159
ных D3’‘S(x<+, у) и Dr'3Slx, У)+), г, s = 0, 1, 3. Получаем
и-i vi±i
/д=2 S f \ D^{f{x,y)-S{x,y)\D^SSx,y)dxdy^
i=0- j=0
M-l p-1
«2 2-{l/(M)-'5(x,y)lDw5(jf+,'W+)- •' •
- j=0 u=o
— D0,1[f(x,y) — S{x,y)}P3’2S(xi-sr,y) —
' - D1’0 [f (x, y) - S (x, y)] D2,3S (x, y}+) +
+ D1’1 [f (x, y)—S (x, y)l D2,2S (x, y)} |:;+1}|^+\
Так как функции и их производные до порядка D2'2f(xr уУ .
непрерывны в области Q, а производные Р3>25(а?1+, у) и
D2’3S(x, yj+) непрерывны вдоль линий х = const и у = const со-
ответственно, то формулу 7д можно преобразовать к виду -
М-1 р-1 . к{+11 »;+1
/д = 2 2 (/ (я, y)-S (X, у)] Рм8 (х^, у}+) -
5=0 и=о . хг ) Щ
2 О0,1 If (X, у) — S (х, у}] D3,2S (хг+, у\ *г+11 d .
г=0 xi ко
Ъ
+
а
+ D1’1 [f (х, у) - S (х, у)] D2’2S (х, у) |* £
< Если'функция Six, у) удовлетворяет краевым условиям (2)^
то ♦
P2’8S(a, у)=Р2’85(Ь, i/) = 0, 5 = 0, 1,2, 3;
Dr>2S(x, с) = Pr’25(x, d) = 0, г = 0, 1, 2, 3.
Тогда в выражении Л все члены, кроме двойной суммы, равны
нулю. Если S (ж, у) е W22 [Й], то то же самое имеет
ме8то вследствие равенства функций и/их производных в, про-
тивоположных точках границы области. Для класса ТГ|*2 [Q|
равенство нулю достигается за счет того, что функции f(x, у)
и Six, у) удовлетворяют одним и тем же граничным условиям. •
В результате получаем
N М '
' 2 2(/ii-Sy)flSiW,!d
i=0 j=o
xi+ .
<n.
160 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ ‘
По условиям; теоремы /« = 5^, (a?f, Д, поэтому иптегралы
7j, li и 7д равны нулю й из (3) следует соотношёние
J(/)=7(5) + J(/-*S). / (8)
Так как J(f — S)>0, to'J(S) J{f). Покажем, что функция,
дающая минимум; единственна. •
Действительно, пусть /(я, у) некоторая другая функция,
минимизирующая функционал, т. е. Тогда из (8)
J(f ~ S) — 0." Но это возможно только при условиях, что почти
всюду в области , > -
: /)2/01М ^)-№, ^]=о,
D°>4f(xi, у).— S(x{,чу)] = 0, i = 0, .„Ч. (9)
PM/U, y)-S(x; y)]=0. - -
.. . , ' . S'- ' . ' -
Обозначим ' , • • - •
№ у) “ y) = DQ- 2g(x, y)=±u(x, y\ \ '
J Z)2*0gGr, y) = v(x,y).
Из равенств (9) находим, что и(хг у) = Uo(yO + щ(у)х и и(хьу) =
*=0,Xi^Ax. Отсюда иб(у) = щ(у) = 0 и и(х, у) = 0. Аналогично, '
ла(я, у) = 0, Следовательно,. g(rr, у) = аху +-£# + уу + б. Но 4 так
как g(S/i J/j) = 0 на сетке А, то постоянные а = р f= 7=6 = 0 и
у) О. Теорема доказана. ч
§ 4. Сглаживание экспериментальных данных. Случаи
двух переменных
Задача сглаживания в случае двух переменных рассматри-
вается как задача минимизации функционала
‘ ' N М
л.(/) =V (/) + z s рГп-1 (/«-=- zO\ (1)
’ i=o 5=0 ,
тде 7(/) определяется формулой (3.1) с заданными числами pf, aj.
Отметим, чтб в этой постановке _ весовые множители в двойной
«сумме берутся в виде произведения коэффициентов, соответству-
ЮЩих^узлам сеток Дж и Av. Очевидно, выбор таких коэффициен-
тов будет оказывать влияние на характер сглаживания не в од-
ной точке, а на целых линиях я = я< или y~ yj соответственно.
В качестве множеств допустимых функций будем рассматри-
вать те же классы функций, что и в § 3.
Теорема 4.4. Среди функций / (х, у) е W?*2 [Q] кубиче-
ский сплайн S(x, у), удовлетворяющий условиям (3.2), миними-
зирует функционал Ji(/).
§,2. СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ^161
Если функции f(x, у) принадлежат одному из классов,
W^[Q] или И^2[Й1, то минимум функционалу доставляет ку-
бический сплайн из того же класса. .
В каждом случае функция, дающая минимум, единственна.
Доказательство проводится совершенно аналогично до-
казательству. теоремы 4.2. Поэтому мы приведем только его схе-
му без подробных-рассуждений.
а) В силу теоремы 4.3 минимум функционалу Ji(f) в классе
W|’2[Q] доставляет кубический-сплайн S(x, у) с краевыми ус-
ловиями (3.2). , "
б) Рассматривая сплайн Six, y)=S(x, у) + aFh(x)Gi(y), где
Fk(x) (0 к N), Gi(y) (0 Z М) -- фундаментальные кубиче-
ские сплайны, и исследуя вариацию Ji(S) — 71(5) функционала,
можно получить необходимые условия минимума в виде
b d d -
ьы в J j F"k (х) G"i (у) D™S (х, у) dx dy +р^1J <?J (y)D°^S(xk, у) dy+
ас с /
Ъ
- +G-1lF"k^D^S(x,yl}dx + pkiaT4SM-4i)=Q, (2)
а
к = 0, 1 = 6, _
Если преобразовать интегралы по формулам (3.5)—(3.7) и
обозначить \ , ,
й+ 7Z++tfi 1О3,0>5.(а:, yt) +ph гОй'а8(хк, у)
«I- . ’ . xk~
Dkl = DMS(x, y)
xk-
^+
»
(3)
то необходимые условия минимума (2) можно представить в-виде
(4)
(3.2))
Sa + piOjDij = zlj, i ==-0, . к., N; j = 0, .M.
в) Достаточность этих условий (вместе, с условиями
вытекает из тождества
Л(/-*)=- .
N
M
' N М -
+ 2 2 Pi 1(*3 - (fij — Si}) (/tj — Zy) .
i=0 j=0
Последнее при выполнении условий (4), (3.2) переходит
отношение
Ji(/) = J1(S) + Ji(/-S), ..
ю. С. Завьялов и др. _ ~
(5)
вл co-
(6)
162 гл. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ ,
из которого следует, что Ji(8)^Ji(/), т. е. Six, у) сообщает ми-
нимум функционалу Л(/).
г) Докажем, что сплайн, удовлетворяющий условиям (3.2) и
(4), существует и единствен. С этой целью вернемся к кубиче-
ским сплайнам одной переменной на отрезке [а, с сеткой Дх.
Множество таких сплайнов с краевыми условиями S"ia) =
= S"(Ь) =0 образует линейное пространство 8(ДХ) размерности
N + 1. В этом пространстве рассмотрим сплайны Фр(я), р = 0,...
..., N, являющиеся решениями задач сглаживания со специаль-
ным выбором векторов исходных данных z°, а именно: z£=l,
Zi =0, i Ф р, при фиксированных весовых множителях рр,
р =» 0, ..., N. Функции ФР(я), р == 0, . <N, удовлетворяют уело- -
виям (2.4):
ф₽н+Р|[<1>;.(®1+)]-Ф;и-)1=бя, j=o,.n, (7)
где положено Фр (х) 0, если хФ [а, Ы.
По аналогии с фундаментальными сплайнами, через которые
выражаются решения задач интерполирования,.назовем функции
Фр(я) фундаментальными сглаживающими сплайнами.
Покажем, что всякий сплайн Six), сглажйВающий произволь-
ный вектор исходных данных z°, выражается через функции
ФрСг) в виде
W \ *
S(x) = 3 ^Фр(ж). (8)
Чтобы убедиться в этом; подставим даваемые формулой (8) зна-
чения сплайна и его третьих производных в условия (2.4). По-
лучаем
N ,' .
S 4 (Фр (ж<) + Pi [фр (яч+) — Фр (a?i-)] 1 — г®, I = о, ..., N.
р=0.
Эти равенства тождественно выполняются в силу формул (7).
Покажем, что система функций Фр(х), р = 0, ..., N, линейно
независима и, следовательно, образует базис iN + D-мерного
пространства 8(Дх)г Это значит, что 8(х)^0 на 1а, Ы тогда и
только тогда, когда Zp = 0, р ==? 0, ..N. Условие Six)•» 0 эк-
вивалентно равенствам Zi = Sixt) =0, М{ = 5" ixi) = 0 для всех L
Поскольку сплайн в виде (8) есть решение задачи сглаживания,,
то из ее условий (2.8) получаем z° = 0, i = 0, ..., АГ. Аналогич-
но строится базис 4%(у), д = 0, ..., М, пространства сплайнов.
8(ДУ) на отрезке [с, d] с сеткой Ду.
Рассмотрим пространство сплайнов двух переменных 8(Д)
в области Q с сеткой Д как тензорное произведение двух про-
§ 2. СГЛАЖИВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
163
(9)
странств ЖД) = ЖДХ) ® ЖДУ). Его базис образуется функциями
ФР(я)ЗД), р«0, ...» N; д = 0, ..., М.
Всякая функция из ЖДУ представима в виде
' N М
S(x,!i)=2 2 4фр(^)^(у).
р=0 3=0
Покажем, что функции такого рода удовлетворяют необходи-
мым условиям минимума (4) в задаче сглаживания исходных
данных {spg}. Подставляя значения, даваемые формулой (9),
в (4), получаем
JV М г
2 2 Ярд {Фр (^i) ^q (Уз) + Рг^Фр О?)
<?=0 3=0 I ..
*ч+ ha+
* 1 2
+ Р1фр (®) ’‘л (у) + (4< (у)
i
1 = 0, ...,N; j = 0,...,M.
3 Г— z?-
Vi-I — «»
Отсюда следует
2 zpq {Фр (ж0 + Pi [Фр (а'{4") Фр С3'» )1} X
®>=0 9=0 1 L л>
/ < х{ТдИ + а,[<(У.+,)-Х(^-)]}я4
1 = 0, ...,N; / = 0,
Эти равенства тождественно выполняются в силу условий (7)
и аналогичных условий для функций Wq(y).
По переменным хну на сглаживающие сплайны могут быть
наложены граничные условия разных типов. Во всех случаях
можно повторить необходимые рассуждения и получить пред-
ставления сплайна вида (9). Это доказывает "существование сгла-
живающих сплайнов двух переменных. Единственность вытекает
из однозначности разложения элемента конечномерного про-
странства по базисным функциям.
Формула (9) для сглаживающих сплайнов двух переменных '
показывает, что их построение можно свести к решению одно-
мерных задач сглаживания. В самом деле, представим эту фор-
мулу в виде
N N '
S (ж, у) == 2 Sq (х) ^q Sq 2 zpq®9 (%)•
q^O Р=0
Функции Sq(x) суть сплайны, сглаживающие исходные дан-
ные на линях у = yqi q «= 0, ..., Мг
41*
164 ГЛ. IV. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СПЛАЙНОВ
Функция S(x, у) есть сплайн,,сглаживающий значения Sq(x),
зависящие от х как от параметра, в узлах сетки Ду. Построим
следы.этого сплайна SP(y) —S{xPr у), р = 0, ..., Д/, беря в каче-
стве исходных данных q = 0, -.Mr В результате полу-
чим^ новую систему значений = Sp (yq) = S (xp, yq), p = 0,_
..,2V. Для этих значений достаточно построить . интерполяцион-
ный сплайн, который и будет искомым сглаживающим сплай-
ном S(x, у) для исходных данных zpq, p=Q, ..iV; Q= 0, .. .,Ж
Все изложенные выше результаты относятся к случаю, когда
весовые множители в функционале Ji(/) (1) представляются про-
изведениями рГЧ"1, i = 0, ...; I = 0, ..., М. Каждый из набо-
ров величин, pf~ или должен быть задан, ибо способ, изложен-
ный в § 2, здесь не помогает. Пользуясь им, например, для опре-
деления весовых множителей р<, мы-можем найти значения р<у);
4 = 0, ..., N, зависящие от_ номера .линии y = yj. Решение же
задачи сглаживания нами получено в предположении, что р< от j
не зависят, так же как значения о„ j = 0, ..М, приписываются
всем сечениям x = xi. \
На практике могут, встретиться случаи, когда возникает необ-
ходимость задавать весовые множители xiSi i = 0, .«.., TV; j = 0,...
..., M, в каждой точке независимым образом, так что их нельзя
представить в виде произведения Tf/=ptOj, или же они,не заданы
вовсе. Тем не менее и в этих ситуациях можно рекомендовать
для применения описанный алгоритм последовательного решения-
двух серий одномерных задач с заключительным построением
интерполяционного сплайна двух переменных.
В первом случае можно представить = р<(/)ф(4) при рг(/) ==*
= <jj(4) = Затем сглаживание исходных данных Uij) вдоль4
линий у*гУ) проводить с весовыми множителями р<(/), а полу-
чаемые значения {z^} сглаживать вдоль линий х = х{ с множи-
телями оДО. Во втором случае весовые множители -р<(/) и о/О
определяются в процессе решения одномерных задач.; При этом,
если допустимый «коридор» задан ограничениями | z^ — z°} |
^Sij, то сглаживание по двум переменным Можно проводить,
например, о условиями | z'y — z# | 6^/2 и г^|^б^72.
В обоих случаях можно получить удовлетворительные результа-
ты. Но, разумеется, предлагаемые процедуры не соответствуют
минимизаций функционала с весовыми множителями т^ =
= рг(/)аД4).' . • '
Литература к главе IV. [1, 5, 10, 12—15, 23, 30, 31, 39—43, 58,
69,94,99]. ‘
1
Г л а в а V -- J
КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
В гл. II мы уже сталкивались с проблемами эрмитовой ин-
терполяции сплайнами, когда по условиям задачи, помимо зна-
чений функции; требуется интерполировать и ее производные до
некоторого порядка. Для решения' подобных задач приходится
либо переходить к сплайнам с'меньшей гладкостью (с большим
дефектом), либо повышать их степень. И то, и другое может ока-
заться неудобным. Однако существует способ, позволяющий из-
бежать этих затруднений путем введения узлов сплайна, не яв-
ляющихся узлами интерполяции. Такие конструкции принято
называть сплайнами с дополнительными узлами, Их использо-
вание-не приводит. к увеличению размерности решаемых алге-
браических систем, а только к некоторому усложнению элемен-
тов матриц и правых частей.
§ 1. Локальная интерполяция
ч . • • •• - —*
Пусть на отрезке [а, Ь] требуется интерполировать некоторую
функцию /Gr) по известным значениям fi = /(г) (яч), г = 0, 1, 2,
на сетке А: а == < ... < xN = b. Обычный способ решения
этой задачи с помощью локальных сплайнов состоит в использо-
вании сплайнов пятой степени с узлами на сетке А. Мы приме-
ним здесь кубические сплайны с дополнительными узлами.
С этой целью введем на [a, bl еще одну сетку
б == {%i + ajhi\j =1, 2; i== 0, ..., N — 1},
где hi == xi+1 — xh oci + 0C2 = 1, 0 < он < 172. __
Кубический сплайн 5(я) дефекта 1 с узлами на сетке А«
« A U б, удовлетворяющий условиям
<5(г' r = 0,1, 2,z для а^еД,. (1)
назовем локальным кубическим сплайном с дополнительными
узлами.
Условия интерполяции (1) на концах- промежутков Гя<,
/«=0, ..., N — 1, дают 'N линейных систем, по -6 уравнений в каж-
дой, для определения коэффициентов сплайна, решая которые
166 гл. V. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
получаем при х& [#<, Xi+i]
3 (Х) “ 4 ~ Ж02 + /»• Iх — Xi) + fi +
“Ь Cli (® xi GCl^i)+ *f" kx ' xi ®2^i)+ (2)
с коэффициентами
СЦ
C2i(“i,a2) = Cli(a2, aj,
—— — 6a2cH — Qa^i.
Задачи, а) Показать, что при (Zi » a^= 1/2, когда дополнительные
узлы сплайна совпадают, он превращается в сплайн дефекта 2, у которого
вторые производные, вообще говоря, разрывны в точках x'i+(1/2) hit i =0,...
...,7V — 1. •
Указание. В формуле (2) выполнить предельный переход при
а{->а2. с
б) Показать, что при ai = 0 («2=1) сплайн* S(х) превращается в эр-
митов кубический сплайн, интерполирующий значения '/< н/р i ==: 0, ..., N.
§ 2. Оценки погрешности локальной интерполяции
Оценим точность приближения функции fix) сплайном Six) •
в зависимости от ее дифференциальных свойств. В данном слу-
чае константы в оценках будут зависеть от параметра а\. В силу
сложности получаемых выражений мы приведем результаты
только для фиксированного ai = 1/4.
Теорема 5.1. Если Six) интерполирует на сетке Д функ^
цию fix), то имеют место оценки
Н50-)(х)_/(г)(^)[|ев<Дг) г = о, 1,2,3, (1)
где Rr при ai ==1/4 даны в таблице 5.1.
Доказательство. Представление сплайна Six) на отрез-
ке [xi, #<+il (1.2) можно переписать в виде
5 (х) - -2 hl {фй (alt t) /<?’ + фй (alt t) }, (2)
fc=0
где'
<Рй(аь О = (— !)Чл (ab 1 — t),
1 [f3 (<-CC2)+'|
aftL a2 ~ “1 a2-“l j
J
§ 2. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ЛОКАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 167
* <«•') = - [*’ - + »> + (‘ + ]
ф (а п_1|\3 (*-Ki)+ , (^—4)+ 1 * _х~х*
Пусть, например, Пользуясь разложе-
нием значении $й), /i+\ в (2) по формуле Тейлора в точке
Таблица 5.1
Класс функций ' -R, Ri
С2 [а, Ь] W3, [а, 6] с2и<1 ' [«.&] Д,оо С2С\[а,Ь] 4,6682-Ю-2*2© (/") 6,3302 •10-3Л3||/"'|[оо 3,1650-10“3Л3<» (/"') 2,8935-10“4Л4 J/IV[C+ < ' + 2,3510-1О“4Л4со (/IV) 0,17033fao (/") 2,2367 • 10“V J 1,1184-lO-2fe2co (/"'•) l,5432-10“3A3||/IV||c + + 9,1450- 10“4Л3(о (/IV)
Класс функций
с2 [а, 6] W^[a, 6] С2С1[а, Ь] c3wi [«,Ы Д,оо СгС\{а,Ъ} 2,О278<о (Г) 0,10417ta> (/'") l,7361-10“gfc2||/IV||c + + 6,1729- 10“3Л2со (/Iv) l,2287<o (/"') &SII/Iviu r?l/Ivlc + + 7,2917-10“2Л<о (/iv)
х = Xi + thi, имеем ,
R (х) = S (х) — f (х) = hfl (t) (4)
при
• t 1
J(t) = jg(t, т) /IV (Xi + hit)ЙТ + J g(1 — t, 1 — T) /iv (Xi.+ hit) dr,
168 ГЛ. у. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
Т3 Т2
g (f, т) = ф0 (аь о — Ф1 (<*ь 0 — + Ф2 («ь О т-
Отсюда, применяя неравенство Гёльдера, находим
| я(г) (х) I < фг (alt 0 htr | /Iv Иоо, Г =±= 0, 1, 2, 3,
где -
t 1
‘фг («1, о = J |.g(r) («, т) I dx + JI g(r) (1 — t, 1 — т) I dr. - (6)
О t
Дальнейшие вычисления для нахождения максимумов функ-
ций фг( 1/4,. О проводятся по программе на ЭВМ, как описано в
§ 11 гл. П/Это даёт оценки в рассматриваемом классе функций.
Таким же образом они устанавливаются и в других классах.
Яёно, что; придавая параметру ai различные конкретные зна-
чения, нетрудно выяснить характер зависимости констант в4 по-
лучающихся оценках от аь В частности, в случае f(x) е
е С2Ж|>оо [а, Ь] эта зависимость характеризуется таблицей 5.2,
где сг — постоянная в Rr из (1).
Таблица 5.2
at . Со с/ с2
0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 2,0946.10"» 1,2502-Ю"8 7,5954-10"* 6,6168-10"* 8,1737-10"* 6,7986-Ю”3 4,4846-10“3 2,8351 -10*3 2,4102-10-3 3,8058-IO"3 6,8114-10-2 3,2374-Ю"2 2,1701-Ю"2 2,4886-10"2 4,5564-Ю"2 2,2052 0,35482 0,28125 0,29291 0,96125
Естественно возникает вопрос об оптимальном выборе при
котором константы принимают наименьшие значения. Оказалось,
что такие значения параметра ои различны как для разных клас-
сов интерполируемых функций, так и для оценок функции и ее
производных в одном и том же классе. Однако в большинстве
случаев оптимальные константы в оценках мало отличаются от
соответствующих констант при он =1/4.
Оптимальные значения = о&1 и соответствующие им кон-
станты в оценках (1) приводятся только для величин 7?б, которые
оказались наиболее чувствительны к изменению параметра
(таблица 5.3)..
Сравним таблицу 5.3 с соответствующей графой таблицы 5.1.
Видно, что для функций класса С2[а, Ь] наилучшая оценка по-
лучается при a 1=0, когда кубический сплайн с дополнительны-
ми узлами переходит в сплайн дефекта 2, но значения констант
в Rq отличаются друг от друга всего в полтора раза. Для клас-
§ 2. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ЛОКАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 169
сов Wto [а, С.2Сд [а, и [а, Ь] значения констант так-
же отличаются друг от друга незначительно с практической точ-
ки зрения.
Таблица 5.3
Класс функций a* «0 -
С2[а, Ь] 0
[a, 6] 0,3610 6,1019-10—3AS U/"'|l«,
C2C2 [a, b] 0,3610 3,0510- 10-3A3w (/w)
C2PF1 [a, 6] Д,оо 0,3264 6,5293-10_,4^||/IVL
0,28Q23 . 6,3983 • 10_5ft41| fIN Hc + — +'3,l33l-10T4feM/IV)
Рис. 5.1.
Исключение,составляет класс функций С2С д [а, Ь], где эффект
оптимизации проявляется" существенным образом. Коэффициент
при II/IVIL ^(главной чисти погрешности) уменьшается в пять раз.
Функция‘1рл(а1, £) приобретает свойство альтернанса (рис. 5.1).
В заключение остановимся на вопросе существования точек,
в которых порядок приближения повышается.
Пусть / (х)re Г&, Ъ]. В фор-
муле (4) возьмем по частям интегра-
лы в (5). Получаем при х& 1х{, х{ +
4" d\hi]
S (х) - / (х) + f (- 1 + 6аха2—
-3a1a2t)htfv(x) + O(hii'),
а при х s [xt -k-otifej, х( + ajfeJ
S(x) = f(x) +
+3<M (1 - t) - a?) htriz) + o (hl).
Если положить ai «= 1/4, то
s'”b:) = r>W + o(«-’), г_о,...,з,
где
Xr = Xi 4-^-1 ± Xi=X*3=Xt +^.'
170 ГЛ» V, КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
§ 3. Нелокальная, интерполяция. Существование
и единственность решения
Снова задаются две сетки узлов: А: а = xQ < xi < ... < xN = Ь
и б“Сг< + аД|/=“1, 2;^ = 0, ..., АГ—!}, где hi = x^i — х{, ои +
+ «2 = 1, 0<^ai< l/2. Кубические сплайны рассматриваются на
сетке б, а на А «= A U б, как в предыдущих параграфах. Интерпо-
ляционным кубическим сплайном с дополнительными узлами на-
зовем сплайн^иг) дефекта 1 на сетке б, удовлетворяющий усло-
виям
S (хг) = fa, S' (xi) = fa для Xi <= A (1)
и одному из следующих краевых условий:
I. S"(a)=f"(a), S"(b)=f"(b). 1
II. S"'(a)=f"'(a), S'"(b) = f'"(bY
III. 5(r)(a) =5(r)(b), r = 2, 3 (условия периодичности).
IV. 5",(xo + aifeo+p)=5"'(^o + a1feo~O),
S'"\xN-i + а2^я-1 + 0) = S"'(^k-i + 0).
Опишем алгоритмы построения интерполяционных кубиче-
ских сплайнов. Введем обозначения. AG«=5"(x<), j===0, ..., N.
Очевидно, сплайн S(x) можно рассматривать *как локальный ку-
бический сплайн с дополнительными узлами, интерполирующий
значения Л, fa, Mi, i = 0, .. »,N. Для него на отрезке Тад, xi+iJ
справедлива формула (1.2), в которой fi и fa+1 заменяются со-
ответственно на Mi+i.
Кубический сплайн, представленный в таком виде, имеет две
непрерывные производные. Выберем величины Mi так, чтобы в
точках гСг^А была-непрерывна третья производная. Так как
' 5'^ + 0)= Л, S"'(xi- 0) = + 6(ci,i-i + c2,i-i), (2)
то условие непрерывности третьей производной принимает вид
KiMt-i - аМ{ + = di, i = l, ..., N — 1, (3).
где
pii^hi-iihi-i + hi)-1, ta = l —щ-, a = 1 + (aio^)-1,
z? - 6 H ( f г ~~~ fa+i । Л__ ' '
1 ~ «Л L hi V hi i 3 )
,.. 2/j + /i-1^
“ V1A hi-l + 3 /Г .
§ 3. НЕЛОКАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 171
К уравнениям (3) следует добавить соотношения, вытекающие
из краевых условий. В случае условий типов I и II находим
— аМ0 + p*QM i =-?d£,
KiMi—i — (XrMi + = d^, i = 1, ..., N — 1, (5)
XjyJWjv—i — aMn = djy.
Здесь для условий типа I
и*=.^ = 0, d* = —а/J, d*N = — afN,
а для условий типа II
и* i* 4'Z 6 (Л “4 2Л> +
Но \~" 3 j + f»h0'
' ! ,* ' 6 / /jv Azv—1 /w—.//a,
^==аЛЛ^Д hN^ 3---
Краевые условия типа IV эквивалентны условиям сю&
==С2, N-i —0: ,
а2М0 —
•о L
/ ' ’
— UjMn-i + “ “
_ С1 + а1) 4-1 + (1 + «2)4
3
(1 + а2)/0+(1 + а1)/П л
Ло “ ~3 ~ J Л°’
6 Г fN-1_________
hN-l Т hN-l
Исключив неизвестные MQ и MN из уравнений (3) и (6), прихо-
дим к системе
+ ИЛ = dj,
\ 2/
t-i — aMi + i+i. = du i=*2;...,N — 2, (7)
%n-iMn-2 “ (a — Hn-i ~ j = djv-!,
\ a2 /
где .
di = dj —d0, dN-i = djv-i —1 djy.
a2 a2
Если /(ж) — периодическая функция, то, продолжая периоди-
ческим образом сетку Д и полагая hN » Ло, “= ^о, ЛГя+i в
172 ГЛ. V. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
из (3) находим ~
.—cUHi + \i\M2 + di,
— аМ{ + =Л<, i = 2, ..N-1, (8>
+ Kn^n-i — <xMN = dN.
Итдк, построение интерполяционного сплайна сводится к оп-
ределению величин^. Для граничных условий типов I и II они
находятся из системы С4), для условий типа IV из уравнений
(6), (7), а в периодическом случае из (8) при AG = ^o.
Матриць; систем суть матрицы с диагональным преобладани-
ем, что обеспечивает существование и. единственность решения
этих систем, а следовательно, и существование и единственность
соответствующих им интерполяционных кубических сплайнов.
§ 4Оценки погрешности нелокальной интерполяции
Для исследования вопроса о точности приближения, даваемо-
го нелокальной интерполяцией, используются те же идей, что и
в гл. III. Снова как промежуточный шаг применяется локальная
интерполяция; Кроме результатов § 2 нам потребуется
Лемма ЪЛ...Пусть /(irleC'1[a, bl и 8н(хУ—локальный куби-
ческий сплайн с дополнительными узлами, удовлетворяющий ус-
ловиям интерполяции '
SH(Xi) Sh(x^ = fi, Sh(xi)^0 ДЛЯ XiG~k.
Тогда - -
|^)(^-/г)и11с<сгй'1“г(о(п, ' (i)
а 3 , «1 /о . 1\- з . о “1
где со = у+ —(3 + —J, с1 = у4-3—.
Доказательство. Возьмем формулу (2.2Х при fi=^ fi+i~ 0.
Разлагая и fi+i по формуле Тейлора в точке я = + £/&«, по-
лучаем : _
$(«)'= ^Фо(«ъ Of (I) + (1 — 0 4>о(ё*1» 0 ГСпН- '
+ <Р1 («1, 0 fi + 'Фг (“1, 0 /нх]. TI E (2>
Отсюда; применяя теорему о среднем для непрерывных функ-^
ций, находим оценку (1) Для г =40. Дифференцируя (2.2), ана-
логично устанавливаем оценку (1)приг==1.
Приступим к рассмотрению, погрешности нелокальной интер-
поляции. В следующей теореме при интерполяции непериодиче-
ских функций используется разностный аналог краевых условий -
§ 4. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 173 f
типа I |
S"(s0)==-^-°, S'r(xN) = -?N~fN-\ _ (3) I
n0 - nN-l |
Теорема 5.2. Если f(x) СЧа, Ы и S(x) удовлетворяет
краевым условиям (3) или условиям типа-III, то < I
|5(Г)(Ж)-7(г)(х)|1с<(Сг + ^г)^1 * *">(/'), Г = 0,1, j
где постоянные сг определены в лемме 5.1, а (
. ^ = «1(1 —-/9, с1 = 6а1а2, ₽ = 4(й = min hi). j
Доказательство. Из (2.2), где fin fi+i заменены соот- ।
нетственно на ЛЛ, Л/(+1, при ж е [жг, 2\+1] имеем |
S(x) = SH(x) + ^(sx.1,t)hiMi + ^>2(a1,t)hiMi+l. . j
Здесь SH(.x)— локальный сплайн, удовлетворяющий условиям \
леммы 5.1. Тогда - ;
\sw^-fr)(^\^\s^(^-f(r^\+ ' - . !
+ фг (04, t) hi~r max (| Mi|, | Mi+11), г = 0,1, (4) ,
где ' ~ ~ ?
фг(а15 t) = <Pr\(ai».l— 0 = 1<₽2Г) (“ь 01 + har) (ах, *)!• (5) j
Элементарные вычисления показывают, что ~ I
~ ~ / 1 \ /' 1 \ -< "
max ф0 (аъ i) = ф0 аь у = a2 1 —-т— ,
0<t«l/2 V Z/ \ -27 |
' ~ Г~ [ 1 \*| -
max фх (ах, t) = max фг (ах, а^), ф2 04,-5- == ' _ §
0<t^l/2 L \. 4/J J
/ а1 \ л
- = max Lai, а2, 25гу < 2а1а2- I
Оценим величины f = 0, ..., 2V, входящие в (4). В случае ' f
периодических краевых условий для правых частей системы ли- i
нейных алгебраических уравнений (3.8) получаем I
I 11 А. ata h ®
1 z,,\ * ' * / 1 —
А так как матрица системы (3.8) с диагональным преобразова-
нием, то согласно следствию Д. 1
|ЛЛ|<|ы(П, t=0,
Такие же: неравенства вытекают при граничных условиях (3)
из системы (3.5). В обоих случаях из (4) с учетом леммы 5.1
следует утверждение теоремы.
174 ГЛ. V. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
Пусть Six)—кубический сплайн дефекта 4 с дополнительны-
ми узлами— интерполирует функцию fix) на сетке Д и удовлет-
воряет краевым условиям одного из типов I—IV. Предполагая,
что fix) дважды непрерывно дифференцируема, можно построить
на сетке Д локальный сплайн 5л(х) с дополнительными узлами,
удовлетворяющий условиям (1.1).
Запишем тождество
Six) - fix) = [5H(x) - fix)] +1 Six) - SHix)].
Сплайн SHix) представляется формулой (1.2), а сплайн Six) —
той же формулой с заменой ft и /$+1 на Mt и Mi+i соответствен-
но. При х^ U, #<+i] получаем
R(x) = S (х) — f(x) = [Sh (х) — / (ж)] + <рг (04, t) hl [Mi — /"] 4-
+ ^2 («1, t) hl .[Mi+1 — /i+1] r
где q)s(ai, t) и фгСои, t) даются" формулами (2.3).
Дифференцируя это равенство по х г раз, находим
I Я(г> (я) | < 15(Н) (х) — /г) (х) I + фг (alt t) tii~r max | Мг — f'i |, (6>
i
где функции <pr(ai, t) определены формулой (5), причем
шах ф2 (an i) = max [ф2(аь 0), %(aH а2)] = шах
0<t«l/2
Оценки приближения , сплайном Snix) при ОС] = 1/4 были по*
лучены в § 2. Таким образом, для нахождения при данном зна-
чении оценок погрешности R{r)ix) в (6) по существу остается
оценить величины | Мt — f J, i = 0, .. N.
Лемма 5.2. Если Six) удовлетворяет краевым условиям ти-
пов I, II, III, то для всех г = 0, 1, ..., N справедливы оценки
(7>
где Q при ai = 1/4 даны 1Гтаблице 5.4.
Доказательство. Техника получения оценок — стандарт-»
ная. Проиллюстрируем ее на одном примере.
Пусть (а, Ь], a Six) удовлетворяет краевым ус-
ловиям типа I. Тогда величины Mt определяются из системы
(3;5). Перейдя в ней к неизвестным. Qi = Mi— fit получим
. ' Со = О,
— a<>i + HiCi+i = dir i = 1, ...•, N — 1,
Qn = 0,
4 M£+4)'
’ «2
§ 4. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 175
где
di = di — ^ifi-l + rfi — Hi/i+l*
Так как матрица системы с диагональным преобладанием и*а =
— 1 + (оиаг)”1, то- согласно следствию Д.1 | Qi | аха2 max | di |
Таблица 5.4
Класс функций Q Класс функций Q
С? [а, 6] W^la, 6] [а, 6] 73 48® (П fj. 4-П2'И||/да|| \16 216 / 00 (А+ZJE2) I® (/да) 432 / 4 ' С21Г| [а, Ь] I А9оо ( С4 [а, 6] sj’’<l/Ivl0+ . +>(/")}
и, знадит, достаточно оценить Idd. Пользуясь разложением по
формуле Тейлора в точке х^ имеем
= (т — а1) (т “ “г) ^IV to-1 + Ai“1T) йт +
а1«2 J
+ -^-j (! —т)(т—ai)(T—^/^to + ^iT)^
1 2 0
Отсюда, применяя неравенство Гёльдера, при czi = 1/4 находим
i = (8)
и, следовательно,
«=о,...л. (9)
В случае краевых условий типа II систему (3.5) перепишем
в виде. t
— а()0 + (?i = dQ = d0 J- a/о ~ /ь
^iQi—l &Qi 4* = d^ J = l, ...,2V — 1,
. Qn-1 — ^Qn ~ dtf — dx — fN-1
Все рассуждения здесь совершенно аналогичны только что
рассмотренному случаю краевых условий типа I. Необходимо
176 гл. V. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
лишь проверить справедливость уже найденных оценок (8) для
di также для do 0 А ; .
Для периодических краевых условий снова имеет место оцен-
ка (9), причем в этом случае она выводится из системы, эквива-
лентной Системе (3.8):
— aQt + d$, 1 N;
где величины с индексом N'+j считаются равными соответствую-
щим величинам с индексом /.
Таким образом, оценки (7) в классе C2W^ [а, Ь] найдены.
Получение их для других классов оставляем читателю в качестве
упражнения. ’ \
Таблица 5.5
Класс функций Вб Bt
С2 [a, Ь] С2^ [а, &] ~ . C2Wl[a, 6] С4 [а, 6] 8,8928-10“% (/") 1,39201 •Ю“2Л3||/да||0О 9,5642-10“3ft3® sfeW'V 5,7870-10“4ft4||/IV||c + 4-5,2445-10“% (/TV) 0,306685to (/") 4,46612-10“2/? J /"X 3,0798-10“% (/"') ж’Ю-’и. 2,1567-10"3V||/IV|lc+у + 1,8990-10“% (/IV)
Класс функций Be
С21а, 6] " WI [а, Ь] С2С2 [а, Ь] C2Wi [а, Ь] Л С* [а, Ь] 3,29514® (/») 0,409832>8Г1|те 0,28304Ito (/"') - , 2,6042-10“2ft2|| /IV ||c + + 1,0851-10-2K2®(/1V) 2,6113® (/“) - 0,47917ft ||/IVL 0,32639ft ||/IV He+ + 0,13131ft® (f14)
Теорема 5.3. Если S(x) удовлетворяет краевым условиям
одного из типов I, II, III, то имеют место оценки
\Sw(x)-fT\(x)\c<Rr,. Г = 0,1,-2,
где Rr при он «1/4 даются таблицей 5.5.
I § 4. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 177
Доказательство. Техника доказательства-одинакова для
, всех классов функций, и мы ограничимся случаем /(ж)
| е [а, Ь]. Из (6) при он = 1/4, используя теорему 5.1 и
лемму 5.2, находим для х<= [ж*, xi+\]
1 | Я(г) (х) I < Гфг (1/4, t) + -^'фг (1/4, t)]!*-' I /тv U =
' - = Or(t)fe4“rj/IV|)00,
где функции фг((Х1,из (2.6), а срЛси, t),заданы формулой,(5)„
Вычисление максимумов по .£е [0, 1] функций Фг(£) в силу того,,
что фг(1/4, t) заданы в виде интегралов, производится опять по-
алгоритму, оцисанному в § 11 гл. II. В результате имеем требуе-
мые оценки. -
Отметим, что приведенные в таблице 5.5 оценки для (х) в классе»
со ПРИ г = ОД в случае краёвых условий типов I и III явля-
J ются неулучшаемыми. Они достигаются, например; для функции
! /х~хг\
I f(x) = gi —т , 1=О,Л,...,ЛГ-1,
I \ * /
j где - '
! Г л 3 л / 1 \4 / 3\41
) r g(t) = -iop4-yta-2^—jJ+ + 2^-:
Нам осталось получить оценки приближения третьих произ-
водных. С этой целью понадобится другое представление кубиче-
ского сплайна с дополнительными узлами, в котором вместо ве-
личин ,.Мг присутствуют величины Л?= S"'(xi), f = 0, ..., N. На
промежутке [хъ tri+il в этих терминах получаем
S (х) = -g- Ai (x — Xi)3 + Di (x — Xi)2 4- f'i (x — x{) 4- fi +
j. + cu (x—xi — + ^2i (x — Xi — ajii)3+, (10)
j где ' _ . • .
V ___________________2 _________ А . A + A+i _
I Cu~ («2-а1)(1+2«л)А{ L hi 2
; /1? Л? 1
""t" OCj (1 -j- 2OC2) J > ^2i (^1» ^2) 5=2 Cli (^2> al)r
Di= /i+1fe~A - (Л +6а!Сн + 6а2с2<)^-.
A TT
j Положим .
Rf4x)^S'4x)--r(x).
12 ю. С, Завьялов и др.
178 ГЛ. V. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
На промежутке [xi9 х{ + aifej получаем
I R'" (я) КI fi — f (*) 1 + max I Ai — fi |. (11)
i
Для x e [x( + a\ht, x( + aafcj находим
|Я"'(*)|^|Л+6си-Г (®)|<
< 16c21 + /" - Г (t> | + (аД^А) max | Л, - /Г |, (I2)
где си получаются из Си заменой А(, на fi, f+i соответ-
ственно.
х -На промежутке [x( + a2hi-, a;i+i]
IR| .< | f+1 - Г (*) I + max | А{ - f |: (13)
Для того чтобй воспользоваться неравенствами (11)—(13),
нужна оценка для max | Аг — f |. •
г ’ •
Лемма 5.3. Если 8(х) удовлетворяет краевым условиям
одного из типов-1, II, III, ¥о для всех i = 0, 1, ..., N справедливы
оценки
\Ai-f\^U, (14)
где U при он = 1/4 даны в таблице 5.6.
- Т а б л и ц а 5.6
Класс функций и
С3 [а, Ы 8353 5184 “(П
[а,&] s%,vL
С4 [а, 6)
Доказательство. Из (10) следует, что функция S(x) не-
прерывна в точках Xi, i = l, и имеет в них непрерывные
первые и третьи производные (последние могут иметь разрывы
в узлах сетки 6). Так как
8" {х{ + 0) = Dh 8" (х{ — 0) = Ai-ihi-i + Df-i + 6(a2Cu +
то отсюда можно получить условия непрерывности второй про-
изводной сплайна
р,<Л-1 — аЛ< + Mi+i = gt, f=l, ..., N — i, (15)
9 4. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 179
где
___6 Г W Л+1-Л _ (2> «х«2) /1 + (1 - «х«2) Л'+1 \
1 аха2 л| \ 3 /
• , Ъ _ (2 + «x«2) /i+(l-«x«a)/i_x
Ь{_х \ А»-1 3
Граничные условия типа I или II дают уравнения
— аЛ0 + = go, (ig)
gw4jy_x — аАм = gN.
В случае граничных условий типа Г-%о = Но == 1,
* _ 1 + 2ю1юг Г fl.___6 / __ '
ё> а«а|Л« LZ0 ° 1 + 2«ia2 к ho
' • ' (1-аГ<?г)/г+(2+а1“8)4у 1
3 /]’
> 1 + 2ах<х8 Гб (,
8N «Ж-111 + 2яЛ\ Aw-i •
, — “А) 4-1+ (2+”1%) /Н f ,
Н--------------3------------ I — jN^N—1 >
для условии типа II &0 = р.№ О, g0 =—а/о» gN^ — ajN-
В периодическом случае все уравнения имеют вид (15) с цикли-
ческой заменой индексов.
Из систем (15), (16) получаем систему, относительно неизвест-
ных Ui = A[ — fi9 В случае краевых условий типа II это будет
С7о = О,
litUi^ — aUi + UUi^i^gi, 4 = 1, ...^—1, (17)
t7iv = 0,
.т т м
ГД© gi = gi — г-1 + aJi — Atfi+i,
Пользуясь разложением по формуле Тейлора, получаем
1
gi = (* (т - ах).(т - а2) (т + аха2) (х^ + Л;_хт) dx —
аЛ о
1 v '
— <а2 — т) (аг — т) (1 + ага2 — т) fv (xi + h^) dx.
ага2^
12*
480 ГЛ. V. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
откуда после применения к интегралам неравенства Гёльдера
"лрй он = 1/4 находим
Согласно следствию Д.1 из (17) получаем
• « = о,...л.
Аналогичным образом устанавливается справедливость этой оцен-
ки в случае краевых условий типов I и III.
Оценки (14) для других классов функций выводятся таким
же способом.
Теорема 5.4. Если S(xY удовлетворяет краевым условиям
одного из типов I, II, III, то справедливы оценки
- Н-Г'(х) - rU)IL =5 Яз,, (18)
яде ;2?з при ai = 1/4 даются таблицей 5.7.
' г / Та б л й ц а 5.7
Класс функций ~ R3
C3 [a, 6] 2,6113<o (D
C4[a,b] 0,32639ft|| /IV ||c + 0,13131 fe® (/IV) '
Доказательство. Пусть е WL\а, Ь]. Положим cq =
= 1/4. В формуле (11) на отрезке [я», Xi+ hJQ
-' (19)
Тогда из (11) и (14) получаем
\R" (*)I<#MI/IVL.
В формуле (12) при lxj+ kt/4, xt + (3/4)Aj
6сн + /Г-Г (®) = 4rW(0,
где {
J(t) .J/т--1)[2та-+ IJ1 /IV(Xi + hiX)dx-
§ 4. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ^ИНТЕРПОЛЯЦИИ 181
Отсюда
I 6сН 4- fi - Г (х) |<ф (0 hi | /^Цоо,
Тогда из (12) и (14) находим 1
- (20)
На отрезке [я<+(3/4)7&f, #i+i] из (13) имеем оценку (19). Объеди-
няя (19) и (20), получаем оценку (18) в классе W^> [а,Ь]. Оценки
в классах Chl.a, &], к = 3, 4 устанавливаются таким же образом.
Теоремы 5.3 и 5.4 характеризуют погрешность аппроксимации
при значении параметра ai = 1/4. Таким же образом можно было
бы получить оценки и при других значениях ои и выяснить ха-
рактер зависимости констант в оценках от dj, а также найти ‘
оптимальные значения , при которых эти константы принима-
ют наименьшие значения. Расчеты показали, что при = 1/4
оценки близки к оптимальным, .причем в двух случаях, r ==0, 1
в классе C2W|>оо[а,.Ь], константы в них • принимают минималь-
ные значения точно при ой = 1/4. Для сравнения « приведем таб-
лицу 5.8 оптимальных значений o&i и соответствующих оценок-
погрешности приближения функции f(x).
Таблица 5.8 '
Класс функций а1 - «о '
С2 [а, Ь] 0 32
Wl [а, Ь] 0 96 ^3Ц/"'||оо
62С» [а,Ъ] 0
С2И«1 [а, 6] Д,оо 1 4 3072 U/IVU
С4 [а, д] 0,2442 5,7815- 10-4fe4||/IV||c+5,2525- 10-4Л4й> (7IV)
Мы не даем отдельно результаты для граничных условий ти-
па IV. Как й в задаче лагранжевой интерполяции (гл. ДП), оцен-
ки в этом случае могут отличаться рт оценок для других гранич-
ных условий только в отношении коэффициентов и только вблизи
концов отрезка. Специальным выбором узлов можно добиться их
полного совпадения с приводимыми /в таблицах 5.5 и 5.7.
182 ГЛ, V, КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
Укажем некоторые результаты, связанные с повышением глад-
кости интерполируемых функций при равномерной сетке узлов А.
Теорема 5.5 Если f (х) е WL [а, Ь] — периодически продол-
жаемая за отрезок [а, Ы функция и S(x) удовлетворяет периоди-
ческим краевым условиям, то при си = 1/4 и равномерной
сетке А
|5(г>(х)-/<г)(x)||oo<cr(4J4"rj/IV||c + O(hb~r), г = 0,1, 2, 3,
(21)
где
с0 = 1/^84, с, = V 3/216, е2 = 1/12, с3 = 1/2.
Доказательство. В предположениях теоремы решение си-
стемы уравнений (3.8) имеет виц- х \
п / а а 1 \ г*?
= A-OQi9), i = l, ...,/V. (22)
В самом/деле, преобразуем (3.8) в систему относительно неизвест-
ных Vi —Mt—fi — (—1-2—Tr\h2fi\ Получаем
^.Vi-r-aVi + ^Vi+^di, i —
с соответствующей заменой индексов 0 на N и N +1 на 1. Если
входящие в правые части значения функции и ее производных
разложить по формуле Тейлора в точке xi9 то придем к выводу,
что c£i~O(h3). Но так как норма обратной матрицы системы ог-
раничена, то IVJ = О(^3) для всех i.
Выражение для S(x) на отрезке [xir #i+i] получается из (1.2)
заменой /<,/i+i соответственно на Mh Подставляя в него
вместо Mt выражения (22) и пользуясь опять разложением Тей-
лора, получаем': при х е [х{, Xi + aihJ
SXx) = / (х) + fv (х) (6аха2 - 1 - i2) t2 + О (/>*); (23)
при х s [xf + ai&(, х{ + агАД
S (х) = / (х) - /IV (x)[«2 (1 - i)2 - 6a.lt (1 - t) + 2а?] + О (А8);.
' (24>
при хе[х4 + а2Л«, снова получаем равенство (23), где t
заменено на (1 —t).
Отсюда при ai = l/4 для хе [х{, xf+i) находим
И(X) - f (*)|c<-3§j (I)41/IVIo + O (M).
§ 4. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ 183
Отметим, что при ai = (3 — V2)/8 вместо 1/384 получаем
7(4V2—5)/2048 и это наименьшее значение коэффициента.
Дифференцируя соотношения (23) и (24), аналогично получа-
ем оценки для г= 1, 2, 3. Теорема доказана.
Из теоремы 5.5 следует, что если интерполируемая функция
/ (х) е TVL [л, Ь] — периодическая, то при равномерной сетке А ис-
пользование интерполяции кубическими сплайнами с дополнитель-
ными узлами при специальном выборе значения параметра ai в
= 1/4 требует для достижения заданной точности приближения
функции и ее производных примерно вдвое меньше узлов интер-
поляции по сравнению с эрмитовыми кубическими сплайнами,
рассмотренными в гл. II.
Использование представлений (23), (24) позволяет указать
точки повышения порядков приближения интерполяционными ку-
бическими сплайнами с дополнительными узлами, удовлетворяю-
щими периодическим краевым условиям. Если ai = 1/4, то
$(г) (х*) = /(г) (х‘г) + О г = 0,1, 2, 3,
где х*0 = х, + h/2, х* = xikh/4, к = 1,2,3, X2=Xi + y±
± (4- -^)h, x\ = Xi + ± 1^-)h, 4 = Xi+kh/2, fc=0,1, 2.
. Нетрудно показать также, что S(Xi + h/2) = + h/2) + O(hQ).
Предоставляем это сделать читателю в качестве упражнения.
Численные эксперименты по интерполированию функций fj(x), j » 1, 2,
3, 4, из § 7 гл. II кубическими сплайнами с дополнительными узлами пока-
зали хорошее Совпадение результатов с выводами теории. В частности, по-
грешность интерполяции на сетке Д с шагом h — ОД оказалось практиче-
ски одинаковой с погрешностью приближения, даваемой эрмитовыми куби-
ческими сплайнами на сетке с шагом h = 0,05.
В заключение этого параграфа отметим важное обстоятельство.
Если для интерполяции функций, имеющих скачки, использовать
кубические сплайны, рассмотренные в гл.. III, то вблизи ^гочёк
разрыва возникают осцилляции, амплитуда которых при h 0,
вообще говоря, не затухает, а стремится к некоторому конечному
значению. Это явление известно как эффект Гиббса. Можно по-
казать, что для кубических сплайнов с дополнительными узлами
эффект Гиббса отсутствует и они хорошо приспособлены для ин-
терполяции такого рода функций.
На рис. 5.2, 5.3 изображены соответственно «обычный» кубический
сплайн и кубический сплайн с дополнительными -узлами при cq = 1/4,
интерполирующие «ступеньку»
0^л<1/2^
Ц, 1/2<х<1,
184 ГЛ. V. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
на равномерной сетке, с гпагом h == 1/19. Точка разрыва помещалась в сере-
дине интервала между двумя узлами. Осцилляцию можно ослабить, умень-
шая «ь В пределе при oci = 0 получается эрмитов кубический сплайн, ко*
торый осцилляций не имеет. J ь
. § 5. Кубические сплайны двух переменных
} с дополнительными узлами
Пусть в прямоугольной области Q = [а, Ь) X [с, Й] задана сет-
ка Д = Д« X Ду, где
&*:а — х0<Х1 <...< Хи = Ь, Д»: с = уо< yt< ...<ум = Л, .
разбивающая область на ячейки йч=[о:ъ x,+il X [yit Ассо-
циируем с ней сетку 6 = 6, X бу, где
б« = {»о, й + аЛ, xi + a^hi, хпУ, он 4-«2 = 1, 0< ai < 1/2; -
6» — {уо, Уз + pi/j, Уз + Мз, УмУ, ?! + ₽2 = 1, 0 < Р; < 1/2,
ht^x^—Xt, ls~=^yM—yh j=0,;N—1, j — 0, 1.
На сетке б рассмотрим, множество Зз.з, i, 1С6) кубических
сплайнов дефекта 1 от двух йеременных. Так как оно является
тензорным произведением' пространств одномерных сплайнов раз-
мерности 2N + 4 и 2ЛГ + 4, то его размерность равна 4GV +2)Ш 4-
4-2). Пусть в узлах сетки Д заданы значения некоторой функции,
а также ее первых частных и смешанной производных
Рг,7 (х<. Уз) = г, s = 0,1; i = 0, ... Л; j = 0, ..., М.
Интерполяционным кубическим сплайном двух переменных с
дополнительными узлами назовем сплайн 5(х, у) е$з,з, i, i(6)7~
§ 5. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 185
удовлетворяющий условиям эрмитовой интерполяции:
Dr,sS (xit у}) = г, s = 0,1, (хь у}) е Д~, (1)
и определенным краевым условиям, например, типа I:
£r’Wi, JG) ==/уЛ 8 = 0/1, |в.ЬЛг/=.О,'...,М;
№(х<,у})±№\ г = 0,1, 1 = 0,.,?Л; / = 0,Л/;
Р2"'г5(®ь^) = ^’2), « = ол, у=о,м/ '
(Можно сформулировать также краевые условия типа II, HI, IV)-
Доказательство существования и единственности интерполя-
ционного сплайна проводится по аналогии с таким доказатель-
ством в случае лагранжевой интерполяции (§ 6 гл. III) путем
введения базиса из фундаментальных сплайнов.
Алгоритм; решения задачи тоже имеет? сходство с алгоритмом
из § 6 гл. III. Обозначим
M^ = Dr'sS(xity-).
Первый шаг алгоритма. Строятся кубические сплайны
по переменной х. а) По исходным данным /Й’о) (г = 0, 1) в узлах
сетки Д и граничным данным /i2,0), i == 0, N\ 7’ = 0, .. .,71/, на-
ходятся сплайны S{x^ у}). Дело сводится к решению систем урав-
нений (3.5) в количестве Л/+1, в результате чего определяются
значения М$б) По данным(г=0,1)в узлах Д и гранич-
ным данным Л2,1\ i = 0, V; / =х 0, ...,71/, строятся сплайны
DQtlS(x, У)). Снова' решается М + 1 задачи определяются значе-
ния М?д). - - ~ .
Второй шаг алгоритма. Строятся кубические сплайны
по переменной у. а) По данным (s == 0, 1) в узлах Д и
/ъ12), * = О, • •-, 7V;, 7 = 0, М, находятся сплайны 5(х<, у). Здесь
решаются системы уравнений типа (3.5), а в результате опреде-
ляются величины ТИ^2*. б) По данным/д,з) ($ = 0,1) на сетке
Д и j = •••,7V; 7 = 0, 7И, находятся значения
На этом щаге решается 2(7V + 1) одномерных задач.
Тре тий шаг состоит в определении величин ТЙ$,2).Это мож-
но сделать двумя цутями. Первый из ;них заключается в реше-
нии задач по построению сплайнов по переменной х по вычис-
ленным значениям 71/$5,2) (г = 0, 1). Для этого требуется знать
величины Мл2'?*при i = 0, TV; / = 0, •••» 7И. Последние находятся
из решения двух интерполяционных задач по переменной у по
граничным данным ($ = Q, 1)» 7 == 0» •• •> 7И; г=®0, 2V,h дан-
ным в угловых точках области I 0, TV; j = 0, М.:,В этом
186 ГЛ. V. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УЗЛАМИ
- • \
варианте приходится решить М+3 одномерных задач; Другой
вариант отличается от описанного переменой ролей х и у. При
его реализации решается N + 3 одномерных задач.
Всего приходится решить 22V + 3M+7 (или 32V + 2M + 7)
одномерных задач, в результате чего находятся 'величины Mtys\
г = 0, 1, 2, з = 2; г = 2, з = О, 1.
Формула кубического сплайна двух переменных с дополни-
тельными узлами в ячейке Qi}, £ — О, ..., 2V — 1; ; = 0, ...
..., ,М — 1, может быть представлена в виде
S(x, у) e<p(OF •<рт(а), (2)
где t = (х — хд/hh u = (у — yj/lj
ф (0 =Чф0 (0, Mi (t), hfa (о, Фо (0, Mi (0, К?ф2 (01,
Г hi
tn n q I- * V * V 13
U r ii+1 Р, —I /(1.0) /(1,1) lf( 1,2
F, , F- • ’ I 'V >
i+ij i+ii+i
<pT(u) — транспонированный вектор.
Ф (“) [фо («), Mi (»), ФРа (м)» Фо («), И1 (и). 11Фа (“)],
а функции фа(£), фа СО, а = 0, 1, 2,—из (2.3).
Использование формулы (2) означает, что вначале находятся
значения сплайна и его производных по нормали на противоле-
жащих сторонах ячейки Q«, а затем уже производится интер-
поляция в точку (ж, у).
Литература к г л а в е V. [12, 14, 48, 51—53].
Г л а в а VI
ОБОБЩЕННЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
\ 7
Отличительной чертой сплайнов, рассматриваемых в данной
главе, является присутствие в их формулах большого числа сво-
бодных параметров. В одних случях эти параметры используют-
ся для изменения уравнений, которыми описываются звенья
сплайна, в других — для изменения условий стыковки звеньев
между собой. Выбор термина «обобщенные кубические сплайны»
обусловлен тем, что при определенных значениях параметров
«обобщенный» сплайн переходит в обычный кубический. Для
каждого из обобщенных сплайнов существуют задачи, где их
применение приводит к лучшим результатам по сравнению с ку-
бическими сплайнами. При этом сохраняется одно из « важней-
ших свойств кубического сплайна — простота и эффективность
реализации алгоритмов на ЭВМ.
В данной главе рассматриваются только обобщенные сплай-
ны одной переменной. Заметим, что в случае двух переменных
могут быть использованы идеи и алгоритмы, изложенные в гл.
III для кубических сплайнов.
§ 1. Рациональные сплайны
Изучаемые в данном параграфе рациональные сплайны по
сравнению с кубическими позволяют полнее учитывать особен-
ности интерполируемой функции. Например, с их помощью мож-
но приблизить функции с большими градиентами или точками
излома, сохраняя при этом свойства выпуклости и вогнутости,
т. е. устранить осцилляции.
Пусть на отрезке [а, Ы задана сетка Д| а =
<xN = b. - .
Определение. Рациональным сплайном называется?функ-
ция SR{x), которая
1) на каждом промежутке [fy, #i+il -имеет вид
С-t3 D.(l — n3
Sr (x) = A it + Bi (1 — t) + ! + (1 _ t) + , + , (1)
где t=(x — xj/hi, hi^Xi^i — ^i, Pi9 ^ — заданные числа, —1<
2) SR(x)^C2[a. Ы. i-
Таким образом, рациональный сплайн отличается от куби-
ческого лишь более сложным аналитическим выражением.
188 ' ГЛ. VI. ОБОБЩЕННЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
Пусть в "узлах сетки А заданы значения /<, i — 0, N.
Рациональный сплайн называется интерполяционным,- если
SM~f<, i = 0, (2).
Как и в случае кубических сплайнов, для построения интер-
поляционного рационального сплайна необходимы краевые усло-
вия. Мы будем рассматривать четыре типа краевых условий:
I. ‘ ' SR(xh) = f'h, ’ fc = 0,V.
И. . 5в(^)=л/а, fc = 0,2V.
III. Условия периодичности:
-S%\x0) = S%(xN), г = 1,2.
IV. Sr (х0) + (1 — Yq) 5н ЙО — Yo-Sb (я2) = 4,
— VnSr (ЗД-г) + (1^— Tn) Sh (xiy-t) + Sr (xn) = Cjv-i,
где
To V4 Yw " ^_N— 1/^JV—21
c* — * —------—Г—, Ся-! == 2—J-—:---------->
-О Л1 .N-l. Л2У-2
Первые три типа условий совпадают по форме и содержанию
с аналогичными условиями для кубических сплайнов. Смысл ус-
ловий типа IV будет выяснен в дальнейшем.
Рассмотрим алгоритм построения интерполяционного рацио-
нального сплайна. -
Из условий интерполяции следует
Bi + Di = fi, Ai + Ci= fi+i. г.
Подставляя отсюда выражения для Ait Bi в (1), получаем
- ' Г аЗ • .Т ' 1
£в (я) e /i (1 — 0 + fi+lf + |д р. (1 _ 4) — "Ь
/ +й*[!гт$-(1-‘)]- <3>
Сплайн, записанный в виде (3), непрерывен в узлах сетки А
и удовлетворяет условиям (2). Определим коэффициенты С{, Dt
так, чтобы были непрерывны его первая м вторая производные.
Так как
5я(х) = Цр^ +
пг
кД [14-р{ (1 - t)]2 *'t‘
J- 3 (1 -(Г+ g{) + 2 (1 - i)3 .. ,
+ T, I--- '+1
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ ' 189»
с'/г (2 + ?0^ С,
5л^+)-—-----------------------V
< (т х_Л+1-Л , (2+^Л 2>,
SR{xi+1-)------— +—----------+т_.
Обозначая тг = S'R (х{), i = О,..., N, получаем уравнения
Ci + (2 + Qi) Di — (/i+i—fi)~ M-ihi,
(2 + Pi) Ci 4- Di = — (fi+i — fi) 4* m-i+ihi.
Из них вычисляем
n - (» 4- <?,) (/i+1 - /i) 4- Mi +(2 + 9i) Mi+1
(2 + 9i)(2 + Pi)-l ’
. „ (3'4-р4)(Л+11-А)-М<+г-(2 4-р«)М| "W
J"" • (2 4-94)(24-Pi)-1
Формулы (5) являются сдествием непрерывности S'R{x).
Далее, из (4) .
Г 2^3-6р{(1 + р0<2 + 6(1 + р,)2‘
[1 + р{(1-0]3^
_ 2g? (1 -1)3 - eg, (14-. 9i)(i -1? + 6 (14- 9$ (1-0
(1 + g/)
. Отсюда
Sr (^i +) = (З + 3^i + ^i)>
Sr(xi—) = -^г 1 (3 + Зр^г +
и условие непрерывности S"r(z?) в точке Xi имеет вид
hlCi-i (3 + + Pi-i) = hl^Di (3 + 3gf+
Подставляя сюда D{ и С^\ из (5), получаем ,
1^гРг—1 (2 + ^i-1) 4~ |Ai@i (2 + pi)] + ^^1^1+1
= 'KiPi^i (3 4- ^0 4- + Pi) Д±^, (7>
г = 1, 2, N -1,
гдр Л{ = AiU{_r+ hi)-1, ц( = 1 — kt,
P S + ^Pi-i + pl-i n 34-3gj4^
1-1 (2-I-9,-0 (2 +Pi-0-Г Vi~ (2 4-9i)(2 + Pi) -Г
190 ГЛ. VI. ОБОБЩЕННЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
Для сокращений записи будем обозначать левую и правую
части (7) соответственно через срСттг^—i, mi9 т^\) и cit
К уравнениям (7) небходимо присоединить уравнения, выте-
кающие из граничных условий. Опуская несложные выкладки,
выпишем системы уравнений относительно неизвестных для
каждого вида краевых условий.
Т и п ы I и II.
<?0 (2 + Ро) ^0.+
<Рпц+1) = а, г = 1, 2, ..., АГ — 1, (8)
(2 + Qn~i) mN ==
где для типа I
%o = Hn = 0, c0 = Qo (2 + p0) cn — Pn—i (2 + #7v-i) /jv;
для типа II
Х0 = Ц№=1, c0 = ()0 (3 + Po)' ““ “2 ^°’
=;=p»-, <3+s„_,) л.
nN-l
Тип III.
Ф (mi-!, mt, mi+1) = cit I = 1, 2, ..N, ' (9)
причем
fr+kj= fk, ^N+к = mk, ^N+k = PN+к — Pk, QN+к = ft-
Тип IV. -
[W*о (1 + To + ft) + (2 4- Pi)] mi + (pi@i + ^AYo) =
- - ~ C1 ^lPoC 1,
Ф(nii-!, тй mi+i) = d, i = 2, — 2, . (10)
(Z-w-iPJV-2 + + [^N-lPN-b (2 + ^V-2) +
+ I^n-xQn^i (1 + Tn + Pn-i)]
^0 == (to ~ 1) + Yo^2 + Ci9
== (?N — 1) ^N-l + TNW12V-2 + CN-1.
Матрицы всех полученных систем с диагональным преобла-
данием. Это позволяет использовать для их решения метод про-
гонки и обеспечивает существование и единственность интер-
поляционного рационального сплайна SR(x) при любом типе
краевых условий. После вычисления значений mi9 i = 0, 1, ..., 2V,
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ
Ж
по формулам (5) определяются коэффициенты С<, А. Вычисле-
ние сплайна и его первой и второй производных производится
по формулам (3), (4), (6). Для полноты картины дадим формулу
для вычисления третьей производной
Swm = + _ 6Pi(1 + ^)8
Ъ [1 + Pi (1 - *)]4 +
При pt=?i = O, f = 0, .N — 1, рациональный сплайн прев-
ращается в кубический. Действительно, из (1) видно, что в этом
случае на каждом промежутке [xi9 ^+i] SR(x) является кубичес-
ким полиномом. Кроме того, приведённые выше системы отно-
сительно величин mt переходят в соответствующие системы для
кубического сплайна (§ 1 гл. III).
Можно считать, что сплайн первой степени также является
частным случаем рационального спл:айна. Действительно, иссле-
дуем поведение SR(x) на некотором промежутке [xh, в слу-
чае, если pk, qb~+- 00, Ph i^k. Сетку. А считаем фиксиро-
ванной. Ограничимся рассмотрением периодического случая, тёк
как для других типов граничных условий рассуждения совер-
шенно аналогичны. Используя следствие Д.1, из системы (9>
имеем
ft f г—1
max —-----
i
%A-i(3 + ^1) + HA(3 + Pi)
+ (I + pA
Лг-1
=*зл
Теперь из (5) получаем
1С [<: +
при
при
Обращаясь к формуле (3), находим при х^ IX, хк+\]
lim SR (х) = Д (1 — /) + tfh+1.
В частности, если для всех i одновременно pi <», то SR(x)
->SiGr), т. е. сплайн первой степени является предельным слу-
чаем рационального сплайна.
Скажем несколько слов о граничных условиях типа IV для
рационального сплайна SR(x). Как нетрудно видеть, они пред-
ставляют собой не что иное, как требование непрерывности
Sr (х) в узлах xi, x^i в случае, когда pi — qt = 0, i = 0, 1, ...
..., 2V —1. Так как при этом SR(x) превращается в кубический
'192 гл. VI. ОБОБЩЕННЫЕ кубические сплайны
онлайн, то такой выбор естествен. В принципе можно было бы
потребовать непрерывность Sr(x) в. указанных узлах при всех
Ph Однако эти условия имеют довольно сложный вид и,
как показывает анализ, не дают каких-либо преимуществ в смы-
сле точности приближения.
Мы не будем заниматься получением оценок погрешности
интерполяции рациональными сплайнами. Заметим лишь, что из
рассмотренных выше частных случаев, следует, что при*/);, qh
•близких к нулю, оценки погрешности близки к соответствую-
щим оценкам для кубических сплайнов (гл. III), а при доста- >
точно больших qt — к оценкам для сплайнов первой
степени (гл. II).
Рациональные сплайны сочетают в себе свойства наиболее
распространенных на практике сплайнов — первой степени и ку-
бических. Кубические сплайны дают, как правило,' высокую
точность приближения гладких функций. Однако при этом труд-
но удовлетворить требованиям качественного характера. Напри-
мер, если интерполируемая функция выпукла, то в ряде случаев
необходимо, чтобы и сплайн был выпуклым. Кубический сплайн
удовлетворяет этому требованию далеко
Л не всегда. В то же время сплайн пер-
вой степени в указанной ситуации будет
выпуклым, но зато здесь трудно обес-
печить необходимую точность прибли-
жения. К тому же сплайн первой сте-
. * пени не является гладкой функцией.
Особенно значительные трудности воз-
< Sjjix) никают при приближении функций с
* ”• ГЛ большими градиентами. Применение в
\г этом случае как кубических сплайнов,
V так и сплайнов первой степени обыч-
но связано с большим числом узлов
интерполяции.
i I При использовании ращюнальных
' сплайнов путем надлежащего вьГбора
______________ 1 " свободных параметров р{, qit как пра-
0_______________/ х* вило, всегда удается одновременно
Рис. 6.1. удовлетворить требованиям и количест-
венного и качественного характера,
в том числе при интерполяции функций с большими градиента-
ми. Это обстоятельство делает рациональные сплайны практиче-
ски универсальным средством приближения функций.
Выбор параметров р,-, обычно не вызывает особых затруд-
нений. Небольшой практический опыт работы с рациональными
сплайнами позволяет, как, правило, с «первого взгляда» доста-
точно точно задавать их значения. В большинстве случаев мож-
§ 2. КУБИЧЕСКИЕ НЕЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА 193
но полагать Конечно, представляет интерес разработка
алгоритмов автоматического выбора величин
Используя метод, изложенный в $ 8 гл. III, можно получить
формулы для рациональных В-сплайнрв. Не останавливаясь на
этом вопросе подробно, отметим, что предельными случаями ра-
циональных В-спла^йов являются В-сплайны первой и третьей
(кубические) степеней.
В качестве численного примера, демонстрирующего возможности рацио-
нальных сплайнов,, рассмотрим интерполяцию функций
у (д) , ! _ gp 100*) хе Г0 1]
1 exp (100) — exp (— 100) ’ 1J’
на сетке с узлами xt =» f/10, i — 0, ..., 10. На рис. 6.1 изображены графики
интерполяционных сплайнов — кубического, S$(x) и рационального 5д(х).
Оба сплайна удовлетворяют граничным условиям типа I: 6’3 (0) » 0, 53 (1) »
— 100; SR (0)0, SR (1) = — 100. Сплайн 5Д (х) строился с параметрами
Pi = щ == 0, i = 0, . .7; Р8'= Яз = Ю; рд =* qg = 6? В масштабе рисунка
график функции f(x) не отличается от графика сплайна Зц (ж).
§ 2. Кубические нелокальные сплайны класса С1 .
Пусть в узлах сетки A: a = xq< х^'xN — b заданы зна-
чения A; i = 0, . .., AL Определим интерполяционный кубический
сплайн Sc(x) как функцию, удовлетворяющую условиям:'
1) на ^аждом, промежутке [xf, Sc(x) — кубический мно-
гочлен; * ,
2) Sc (х)^ С11а,'61; "
;3) S"c fa +) - Sc (XI-) = а; [5с (X, +) - Sc (xt -)], '
i = l, — - (1)
где а< —заданные числа;
4)^Sc(xi) -»A,..., AL \
Отметим, что если ал = 0, то в точке хк сплайн Sc(x) имеет
две непрерывные производные. В частности, при а< = 0, £ = 1, ...
..., /V— 1, Sc(x) переходит в кубический сплайн S(x) класса
(7? (гл. III). Для однозначного определения сплайна Sc(x) необ-
ходимы краевые условия. Будем использовать такие же типы
краевых условий, как в § 1 гл; III.
Рассмотрим алгоритм построения сплайна, Sc(x). Обозначим
гпг = «5с(ж{), г = 0, 1, ..., N; В соответствии с формулой (3.1.3)
имеем-при хе [х4, #i+iL _ _ -
Sc (х) = А (1 - t)2(l + 20 + fuat* (3 - 2i)+ -
-|-7niAit(l--0a“znHlM2(l/—0> - (2)
13 Ю. С. Завьялов, и др. . . - •
194
ГЛ. VI. ОБОБЩЕННЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
где hi — Xi+\ — х{, t=(x — xd/hi. Вычисляя отсюда величины
Sc(xi+)> Sc(xi—), Sa(xi+), Sc(xi—) и подставляя их в (i)^
получаем ' - '
I За. \ Г (h. . —АЛТ / ЗаД
(1 — jr—) nii-1 + [2 + 3 j mi + Hi (1 + -*-) mi+1 =
. (3>
\ ni / ni \ ^1-1/ ni-l
f = l, N-l,
где pf = h{^i/(hiLi + hi), Xi = 1 — gi.
К этим уравнениям нужно добавить соотношения, вытекаю-
щие из граничных условий. Они записываются точно так же, х
как и в случае кубических сплайнов класса С2. Например, для
краевых условий типов I и II соответственно имеем
^о = /о, ™л“/лг, (4>
2тп0 + = 3 fl h-?° — /о,
т Д. 9m о — ^-1 . hN-1 f"
nN-l *
Существование сплайна Sc(x) не гарантировано для произ-
вольных параметров af. Однако при выполнении неравенств
-hJZ^ai^hi-x/Z • (6>
сплайн Sc(х) существует и единствен для всех типов граничных
условий. Это следует из того, что в этом случае матрицы всех
систем будут с диагональным преобладанием.
Отметим некоторые интересные с практической точки зрения
варианты выбора параметров аг. Для определенности будем рас-
сматривать сплайн с краевыми условиями типа I.
Пусть а< = — hi/3, 1=1, ..., N— 1. В этом случае система
(3), (4) становится двухдиагональной:
^о = /о,
nii-i + fl + 14—(2.+ PJ— 7 \
Л Лг-1/ пг пг-1 пг-Х
f = l, 2.4.,7V-1,
= fN,
что позволяет находить неизвестные mt рекуррентным образом,,
не прибегая к алгоритму прогонки. При этом наличие диаго-
нальндго преобладания обеспечивает устойчивость вычислитель-
§ 2. КУБИЧЕСКИЕ НЕЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С1 v • 195
ного процесса. Аналогичная ситуация получается, если поло-
жить ся == i = 1, .. .,N — 1. .
Возьмем в i-м уравнении (3) ос4 ==/&<-j/З, а в (i + D-m
ai+i = - Тогда
+т~)т‘+ Т”‘‘+1 = <2 + х,) \ 1'+
ip +(i+ip) mi+1=+ip (2+
ni \ ni / ni+l ni "i
' ‘ (7)
и, следовательно, величины определяются независимо
от других уравнепий/Таким образом, на отрезке [х{, #i+i] сплайн
&?(х) становится локальным. .
Еще о Дин интересный случай получается, если все параметры
<Xi равны нулю, за исключением одного, например aft, равного
hk_\/3 или — йл/3. Нетрудно видеть, что при этом сплайн Sc(x)
состоит из двух кубических сплайнов класса С2, состыкованных
в точке хк До непрерывности первой производной. Коэффициен-
ты одного из этих сплайнов определяются независимо от коэф-
фициентов другого, что позволяет. использовать такой выбор а«,
например, для устранения осцилляций.
Получим * оценки погрешности интерполяции для указанных
частных случаев выбора параметров
Лемма 6.1. Пусть J (х) <= W£> |а, Ь]. Если SCU) удовлетворяв
ет граничным условиям одного из типов I—III и каждый из па-
раметров сс< равен hi-i/З или — fef/3, то .
. / । а3 *
|щ,— /г|<^||/1у(х)и 2 = 0, ...,2V. (8)
Доказательство. Рассмотрим случай граничных условии
типа 1. Из (3), (4) для величин Qi = mt—f t имеем систему
1,(1
+ I2 + 3 —
/ ЗссА
+ И;(1 + -^ ?i+]=Ci, i = (9)
' i '
go = Qn = 0, '
Qi +
где
“-М1+к)Ч'
-4‘-й
X "i-i/
2 + 3“ftZA—JZi
12*
196 • ГЛ. VI. ОБОБЩЕННЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
Используя формулу Тейлора, получаем при = — W3
1
= —т)3/1у(ж{ + тл{)йт— ' '
о
1
л • - С 2h. \ / hi V
- 4-ХЛ1-! J т3 [(1 +gj-2-) т - (1 4-^)] /IV (Ж._х + xhi^ dT.
Применяя к интегралам неравенство Гёльдера, находим
। с* I (^—i + ^») (И)'
Такая же оценка получается и при'ai = A;-j/3.
. Из (9) и (11) вытекает требуемая оценка (8).
Другие типы краевых условий исследуются подобным об-
разом. - *
Т е о р е м а 6.1. Пусть Sc(x) интерполирует .функцию .'f'(x)e
Ь] и удовлетворяет граничным условиям одного из ти~
пов. I, II, III. Если каждый из параметров а,- paeeHhi-i/З или,
—hi/3,.TO _ "
|^r)(^)-/(r)WU<^'4~r||/IV(^)k, . (12)
• где Kf, = 3/128, Kt -1/12. - •
Д (гк а з а т e л ь с т в о. Техника доказательства — такая же,
как и в случае кубических сплайнов класса С2 (теория 3.5).
Для получения оценок используются неравенства
1S(cr) (*) - fr) И I < | S<& (*) - f(r\№ Г+ | № (х) - S& (х) |, (13) '
где *$з,2(я)— кубический эрмитов силайн. Имеем
| Sc (х) — S312 (х) К t (1 — i) max | mi — ft | h\, (14)
i
I Sc (x) - s;,2 (x) I < 1(1 - t) 11 - 3t i + 112- 3t I ] max | т<-/'{ |. (15) .
Используя теперь лемму 6.1, а также поточечные оценки для
погрешности приближения сплайном 8з$(х) (§ 6 гл. VII), из
(13)—(15) приходим к (12).
Сравним полученные результаты с аналогичными результа-
тами для кубических сплайнов класса С2 (таблица 3.3). Во-пер^
вых, отметим, что постоянные в оценках (12) примерно в два
раза больше. Во-вторых, выше требования к гладкости интер-
полируемой функции. Читатель может, проверить, что эти требо-
вания* по существу. Так, если допустить наличие разрывов у
функции f'U) в узлах сетки Д, то порядок приближения в
§ 2. КУБИЧЕСКИЕ НЕЛОКАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ КЛАССА С» 197,
I оценках (12) снижается на единицу. Эти замечания следует
иметь в виду при использовании «удобных» значений парамет-
. z . ров а/.
Можно показать, что при значениях параметров (—W3,
! Zh-i/З) оценки будут, лучше, чем в доказанной теореме. Естеет-
; венно возникает вопрос о поиске оптимальных величин а<.
Лемма 6.2. Если /(х).е [а, Ь], Sc(x) удовлетворяет
. граничным условиям типа I или III и
: (16)
; - то >
j . i = . (17)
I _ .
Доказательство. Из (10) по формуле Тейлора
d = hi^hi [(hi-! — hi) — 6aJ /•v +
। +1? Пз -т)4 0+-4 (i - t)s (*+v)]/v {xi+xhi} dx+
+j [3t‘ f1 - Э - 4t* (1;- £)]/v (£i-1 +xhi~^ dT- - '
0
Отсюда, в соответствии с (16),
q= Ti '[(1 - T)4 (2+ if) “2 (1- t)3 (1 + if )]/v(l + rfef) йт. +
0 •
1 *
л (* Г / h* \ ( h- \~
+hihi-i J |t4 ^2 + “ 2тд1 4- /v (xi-i + T^i-i) dr.
0
Применяя к интегралам неравенство Гёльдера, получаем оценку
’ ki| <2^ Mi-i (Л{ +^_1)2||Л(х)КА^^||/vWI|oo, (18)
из которой вытекает (17). :
Теорема 6.2. Если f (х) е WlL [a, b], Sc(x) удовлетворяет
» граничным условиям типа I или III й параметры ^ определяй
I ются формулами (16), то ч z
I. ' kbr)(4^/(r)(^)lk<^0>4_r||/IV(^||oo +2flX"r||/V(«)J«,
! ч r==0, 1, .
; еде KOfi^ 1/384, Кол = V3/216, ^,.0 = 1/240, Кхл = 1/30.
j .
j ’ -• < 1 ' ’ * . "
' 198 ГЛ. VI. ОБОБЩЕННЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
Доказательство основано на использовании неравенств
(13)—(15), теоремы 2.5 и леммы 6.2 и не вызывает затруднений.
Таким образом, сплайн Sc(%) с, «оптимальными» значениями
параметров (16) при интерполяции достаточно гладких функ-
ций на произвольной неравномерной сетке обеспечивает практи-
чески такую же точность приближения, как й кубический эрми-
тов сплайн.
Задача. Указать набор параметров <Хг таких, что Sc (х) не существует.
Дискретные кубические сплайны
При построении сплайнов для стыковки звеньев между собой
мы, накладываем ограничения на производные сплайна (обычно
требовалась их непрерывность). Однако этот способ не является
единственным. В данном параграфе рассматривается другой под-
ход, состоящий в том, что стыковка звеньев осуществляется пу-
тем приравнивания разделенных разностей от многочленов, опи-
сывающих соседние звенья сплайна. 5
Пусть на отрезке [а, Ы задана сетка Д: а = xq < ... < xN = b,
в узлах которой известны значения i = 0, . .., N. Дискретным .
интерполяционным кубическим сплайном назовем функцию
Svkx), которая ’
1) на каждом из интервалов [х4, #i+il является кубическим /
многочленом
3
SD(x) = P'(x) = S Clij (х — х^, Xе [Xi,
j—О ~ s
2) при заданных 8< > 0, i = 1, ..., N — 1,
pi (x{ + 8{) - pi (z. - e{) P-1 (x{ + 8i) - P1-1 - e{) • (
- ' 2^ 2«ц >'
' P* (уЬе{) -2P{ (^) + Pi (^-eQ „ Рг~1 («j+eQ -2Р^(х{)+Р^ fo-e.) f
< • 1
. ’ , (2) !
3) SM = f{,i = 0, N.
Условия (1), (2) можно рассматривать как дискретный аналог
условий непрерывности первой и второй производных. Этим и к
объясняется употребление термина «дискретный сплайн». Оче-
видно, при 0 дискретный кубический сплайн переходит в
кубический сплайн класса С2. -
Для сплайна SD(x) необходимы граничные условия, в каче-
стве которых будем рассматривать условия типов I—IV, сфор-
мулированные в § 1 гл. III.
§ 3. ДИСКРЕТНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ ' 199
Рассмотрим алгоритм построения дискретного сплайна. Вве-
дём обозначение
Mi = -2 (Р{ (Xi + 8i) - 2Pl (Xi) + Pl (Xi - 8i)), i = 0, .. N, (3)
ei . .
,PN(x) = PN-i(x). /
Нетрудно видеть, что в таком случае сплайн SD(x) при'ж^
е (х{,-Xi+i] записывается в виде
SD (х) = fi (1 - t) + tfi+1 - M 1(2-1) Mi + (1 +1) (4)
где hi == xi+i — t = kx ~ Xi)/hi.
Формула (4) по виду совпадает с формулой (3.1.10) для ку-
бического сплайна класса С2. Различный смысл имеют лишь ве-
личины
Отметим, что из (4) следуют соотношения
= i = 0, (5)
"Сплайн SD(x), записанный в виде (4)г удовлетворяет услови-
ям интерполяции й условиям (2).
Подставляя в (1) вычисленные из (4) значения сплайна, по-
лучаем
1-£ «Ht нА ift+di-SbiM-
= ; 6ГТ ~ i = 1, . • iV — 1, (6)
Vx + AA A, A{_x /’ » V/
где, как обычно, i/(/zf_i + hi), Xi = 1 ~
К этим соотношениям необходимо добавить уравнения, выте-
кающие из граничных условий. В периодическом случае добав-
ляется уравнение (6) с индексом и полагается Mq = Mn.,
В непериодическом случае, как это следует из (5), граничные
уравнения совпадают с аналогичными уравнениями из 1 гл.
III. Например, для условий типа II имеем
Мо = /о, MN = f"N. (7)
Обозначим
{ 8? \ 8? 8?
ri= 2 + мП * (8>
\ ,г г-1/
Легко проверить, что -
п>1, если 8<<max{fe<-i, W,
г»=3, если Si^maxIAf-i, М.
200 ГЛ. VI. ОБОБЩЕННЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ ' • §
В силу этих соотношений матрицы систем относительно не- j
известных Mi будут с диагональным преобладанием при любых -J
и для всех рассматриваемых типов краевых условий. Тем са- *
мым обеспечивается существование и единственность дискрет- !
ного кубического сплайна йри произвольных е<. . л
Что касается различных частных случаев выбора параметров
е«, то положение здесь аналогично рассмотренному в предыду-
щем: параграфе. В частности, можно построить дискретные
сплайны, не требующие применения алгоритма прогонки, ло-
кальные дискретные сплайны и т. д. Отметим один интересный (
случай. А именно, если при равномерной сетке положить, е, = Л,
то из (6) получаем
= f=i,...л-i. • • i
Л2
Перейдем теперь к исследованию погрешности интерполяции
кубическими дискретными сплайнами. _ . 1
Лемма 6.3. Если SD(x) интерполирует функцию
е W^o (я, Ь] и удовлетворяет краевым условиям одного из типов
I, II, III, то при ы < max {ftf-i, М, i = 1, ..A — 1,
.. - - (io) - ’J
(H)
i = 0i
а при 8? тах{й,-1, hi}, i = 1, .. . ,N — 1,
|М< —/П<4-тахеП/,¥(^)к, (12) J
o i ' <
. |й>0ч±)- /'i|<(^r+±Amaxe?)|/IVHU, (13) J
• j = o, ...л. . i
Доказательство. Рассмотрим, например, случай. гра-
ничных условий типа II. Из уравнений (6), (7) для неизвестных
Qi —'М i — fi имеем систему
. Со = О, 1
’ * <?i-t *(2+"Йл ).Qi + <?i+1 = di’
• . Qn — о,
(14)
§ 3. ДИСКРЕТНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
201
Используя формулу Тейлора в точке х^ получаем
/fV (#i-L + ^1-1) dx -f*
-d-т) 1-
/rv (xt + xhfi dx.
Применяя неравенство Гёльдера и рассматривая различные ва-
рианты-соотношения шагов ht и параметра ef, находим
Ki|<y^rll/1V(a:)k? если е|<тах{Л|_1,Л}>
если шах {fei-n hi};
~ Теперь из (14), учитывая (9) и следствие Д.1, получаем
оценки (10), (12). * ' а - ~
Далее из формулы (4) имеем /
. S'D (х. +) = fi+lh~- - •(2АЛ 4-
Отсюда
| S'D [x. +) — f\| < At -J— max | Mv— fi |, (15)
где -
4,-.|-2^-^{«Д+Гм)гЛ.
Последовательно применяя формулу Тейлора и неравенство
Гёльдера, получаем
Учитывая найденную оценку, а также принимая во внимание
(10) и (12), из (15) выводим неравенства (11), (13) для
Аналогичным образом они получаются и для So (я. —).
* . ' ’ . -f.
' * * . ;
202 ' ГЛ. VI. ОБОБЩЕННЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
- Теорема 6.3. Если SD(x) интерполирует функцию /(х) s
eWio[a,b\ и удовлетворяет краевым условиям одного из^ типов )
I, II, III, го . -
I О?) - /(г> И|оо < (Яо,Л4-г + ^1,Л2"Г max е?}|| /IV (х) |те, (16)
г = 0, 1,-2,3, . !
где
Ко,о = 17/384, Ко> =1/6, Кол = 3/8, Я013 = 1/3 + 0/2,
К11Г = 0, г = 0, 1,2, 3, р = ft/min ftit
i /
если е< < max {Af-i, М, i ==* 1, N — 1;
. £00 = 5/384, £0,i = 1/24, £0,2 = 1/8, £0,3 = 1/2, •
К1,о- 9/384, ^1.1 = 1/12, £1,2 = 1/6, £1,з== 0/3,
если Si > max {Лг-i, AJ, i = 1, ..., N — 1.
Доказательство сформулированной теоремы выполняет-
ся на основе леммы 6.3 и ничем не отличается' от доказательства 1
теоремы 3.5. 1
Требования к гладкости интерполируемой функции здесь кы-
ше, чем для кубических сплайнов класса С2. Очевидно, не сле-
дует выбирать параметры е, чрезмерно большими. Целесообраз-
но ограничиться значениями е«<тах{А^ь AJ. Отметим, что t
для конкретных значений е< постоянные, в оценках (16) могут
бь!ть уменьшены. /
Большой практический интерес представляет . следующая
Теорема 6.4. Если SD(x) интерполирует функцию f(x)e '
е Wt> [л, Ъ], удовлетворяет краевым условиям типа II или III и
e^l^f-i-fe^fti + ft?), г = 1,,..Л-1, (17) ,
ТО
|М|-/П<^-^3Ь¥(^)1оо + |^41/¥1(^)Ц (18)
Если сетка А равномерная, то
' i = (19)
Доказательство. Используя формулу Тейлора, получаем
для правых частей системы (14) выражение
== у (— fei-i + hi^ihi — hl + 2е|) 4- (
§ 3. ДИСКРЕТНЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ 203
Г Г Z
) [з (i -т)5 -10 (1 - т); -
J Гзт5 — Ют3 (1 — 7VI fe-i + ?4-i) dx.
о L \ i“i / J
(20)
Коэффициент при /*v обращается в нуль в силу (17). Коэф-
фициент при fi равен нулю для равномерной сетки, а для не-
равномерной сетки с учетом (17) принимает вид
и, как нетрудно видеть, не превосходит й3/ЗО.
Оценим интегральные слагаемые в формуле (20). В случае
неравномерной сетки точные оценки получить довольно трудно.
Поэтому . мы ограничимся, здесь сравнительно грубой оценкой.
Находим
Ч-i).
Зт8-10т3| 1
J Зт5 —10т3(1
х . t
•<ll/VIU)t j J| Зт8 — 10т3| dr
*0
' =(2 + fibVIW|..
Аналогично, второй интеграл оценивается величиной
(2-+4^L)b,,wk
Если учесть, что для равномерной сетки ’е^=Д2/2, то в этом
случае каждый из интегралов не превосходит (3/4) ll/VIGr)H«>.
Объединяя полученные оценки, имеем при неравномерной
сетке ’
+ 6Q (йД + hft (4 + 4-1) + 4 (hf + 4-х)} I /VI (*) !«>•
204 ' ГЛ. VI. ОБрБЩЕННЫЕ КУБИЧЕСКИЕ? СПЛАЙНЫ
Так как
‘5 + 4-<S* ' +
А. -К A.9 , A. -UA. П ’
г 1 1—1 г 1 г—1
то отсюда . . - ~ ' •
|<м< ни).
Для равномерной сетки
(21)-
(22)
Из формулы (8) при выполнении условий (17) нетрудно Полу-
чить оценку г, >2. Утверждение теоремы вытекает из (21),>(22)
и следствия Д.1. /
§ 4. Кубические сплайны с разрывными производными
В математической физике часто приходится иметь дело с
непрерывными, кусочно-дифференцируемыми на [а, Ь] функция-
ми /(я); такими, что выражение* pkx)f(x) (поток), где р(х) ку-
сочно-непрерывна, является непрерывной функцией. Рассмотрим *
сплайны, которые можно применять'для интерполирования по-
добных функций.
Пусть в узлах сетки Д: а = х0 < ... <.xN == Ь заданы значе-
ния i = О, .. ., V.-Введем кусочно-постоянную функцию р(х)
такую, что р(а?) ep<¥*0, Определим сплайн .Sp(x)
как функцию, которая на каждом из промежутков [xif x<+i] яв-
ляется кубическим многочленом и удовлетворяет условиям
Spix^fi, f = 0, (1)
р{_15(;\а:.-у=р{5(;)(х.+), г = 1, 2; i = l, ...Л-1. (2)
Отметим, что при pi — р « const, 1, ..., N~ 1, сплайн
Sp(x) превращается в кубический сплайн класса С2. В^качестве
граничных условий для введенных сплайнов будем рассматри-
вать условия тех же типов, что и в § 1 гл. III. При этом в слу-
чае граничных условий типа III (периодических) считаем, что
(2):;-выполняется при i = N и ръ = р^ Для граничных условий ти-
па IV полагаем р0 = Ph ря-з = Pn-i.
Обозначим \
— Pi-iSp^—) = PiSp(x. +), 1 = 1,...Л — 1,
т0 = p0S'p (ж0 +), ! mN ^pN^Sp (xn —
§ 4. КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ С РАЗРЫВНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ : 205
Очевидно, на каждом из промежутков сплайн Sp(x)
можно рассматривать как эрмитов кубический сплайн, интерпо- .
лирующий значения f^fi-i, Sp (^+), Sp(#i+1—)• Поэтому в
соответствии с формулой (2.5.1) и условиями (2) имеем
(х) - А (1 - 02(1 + 2t) + W2(3 - 20 +
+ ----(3)
ч *4
тде ht = xi+i—'xf, t = (х~X()/h{. •
В формуле (3) учтены условия интерполяции (1) и условия
<2) при г — 1. Дифференцируя (3), получаем при x^[xt,
о’/ v - 6(1 — 2t) // , ч . — 44-Bt . — 2 + 6*
Sp “.. 4 ' ^i+1 *" "* hiPi , mi + hiPi Jth+1‘
Отсюда
„ 4zn. 2m.,
- . = ^L(/i+ ——J±l, .(4)
• '*4 г г
PiSp(Xi+l—) = —^(fi+i—fi)+^ + —}^:L-. <5)
» _
Определяя, из (5) ) и учитывая условия (2) для
г = 2, приходим к соотношениям v '
+ 2тпг + jMn<+i —Ci i=l, ..., TV —1, v (6)
где - .. . z
, Xi = hj{hi—i + Л*), p,i’= 1 — X|,
' Ci = Spi-Ai + 3p1R ,/i+1fe~A-. .;
К уравнениям (6) следует^ присоединить уравнения, вытекаю-
щие из граничных условий. Для краевых условий типа I они
имеют вид *
7П0 = ро/о, mN = PN-lfN-
Для условий типа II .
2/я0 + mt = pQ (3 —i-r-—-—
• ' А ~ • 0 " д *
mN-i + 2тя =* Pn-i (3 N. ~‘ N- ~ jfaY -
\ ^N-l * }
206 ГЛ. VI. ОБОБЩЕННЫЕ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ
Для краевых условий типа IV, с учетом сделанных выше сог-
лашений относительно величин р,, получаем
™о + (1 — То)т,! — =-2р0 — То,
— т1^-2 + (1 — Tw) niN-i + mN =
( fn-fN-i 2 Лу-i ~Лу-2 '
N llN-2
= 2pN
где Yo = = йл-1/^-2.
Наконец, в периодическом случае записываем* уравнение (6>
при j = V и полагаем/По =
Полученные таким образом системы уравнений для неизвест-
ных гпц отличаются от соответствующих систем для кубических
сплайнов класса С2 только правыми частями. В связи" с этим не
вызывает сомнений существование и единственность рассматри-
ваемых сплайнов. ; ►
< Исследование погрешности приближения выполняется совер-
шенно аналогично тому, как это былб сделано в гл. III для ку-
бических сплайнов класса С2. Приведем без доказательства сле-
дующий результат.
Теорема 6.5. Если /(х) е CW\i<x> [а, &] и выполнены усло-
вия
) т= рг/(г)(х,+), г = 1, 2; i == 1, . • TV — 1, (7>
где величины — такие же, как в условиях (2), то • ,
|5<;)»-/(г)Ии = О(Л4-г), г=±0,1,2. (8) -
Отметим, что условие (7) играет: существенную роль при вы-
воде оценок (8). Нарушение его для г = 2 приводит к снижению
порядка приближения до О(Л2).’ Однако и в этом случае порядок
О(/г4) будет достигаться^ если в окрестности каждой из точек, где
не выполнено (7), выбрать узлы сетки специальным образом.
А именно, если pt-if" (х^ —) Ф Pif" (xtf+), то узел xi+\ (^-i) дол-
жен быть таким, что At--i > < hi+\ > A<-i kJ*
Выбор величин pi9 которые . необходимы для построения
сплайна Sp(x), не вызывает затруднений, если при кусочно-по-
стоянной функции р(х) непрерывен агрегат p(x)f'(x). Сложнее,
обстоит дело, когда р(я) не является кусочно-постоянной. В этом
случае коэффициенты р< в условиях (2) можно выбирать, нап-
ример, по формулами
Ро = 1, Pi==Pf-i/'Ui“)I/'(^f+)J“1, j=l, ..., N-1. '
Естественно предполагается, . что точки разрыва производной
fix) включены в число узлов сетки А.
Литература к главе VI. [1, 4, 30, 32, 40, 47—50, 64, 85,.91].
• Глава VII
ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
В вычислительной практике при работе с геометрическими
объектами, кривыми и поверхностями, нужно иметь их математи-
ческое описание. Традиционные методы аналитической геомет-
рии позволяют работать лишь с «хорошими» объектами, такими,
как прямые и плоскости, кривые и поверхности второго ~ поряд-
ка и т. п. Если же рассматриваются кривые и поверхности слож-
ной геометрической формы, например, обводы летательных ап-
паратов, корпусов, судов, лопасти'турбин, для которых нужно
уметь строить гладкие приближения и притом с высокой точно-
стью, то эти средства оказываются не эффективными. И по су-
ществу только методы, основанные на сплайнах, позволяют ре-
шать подобные задачи. \
§ 1. Параметрические сплайны
С помощью рассмотренных в предыдущих главах сплайнов
одной переменной можно цриближать лишь такие плоские кри-
вые, которые в выбранной системе координат (не обязательно
декартовой) описываются функциональной зависимостью вида
# = /(#). Однако не все кривые могут быть представлены подоб-.
ным образом (рис. 7.1). Более универсальным способом являет-
ся параметрическое задание их координат в виде двух функций
д: = х(п), у = г/(п) некоторого параметра и.
При интерполяции кривой,
заданной параметрически, есте-
ственно ввести разбиение на /
промежутке изменения парамет- '
pa и: < щ <.. .< uN, затем _____________;_____}
вычислить соответствующие
значения координат точек на Рис. 7.1.
кривой, yi = y(Ui), и
построить для функций я(и), у(и) интерполяционные сплайны
>8(х\ и), S(y; и). Совокупность этих двух сплайнов называется
интерполяционным параметрическим 'сплайном. В зависимости
от вида функций 5(х; u), S(y\ и) будем говорить ,о параметри-
ческих сплайнах первой степени, эрмитовых параметрических
сплайнах и т. д.
208 гл. VII; ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
I ‘ - —
В качестве погрешности приближения кривой параметриче-
ским спдайном проще всего взять величину
Жп)?==¥|5(ж; а) — я(и)12 + IS(p; и) — у(и)\2. (1)
Очевидно, при выполнении-, определенных требований к глад-
кости функций х(и), у(и) можно оценить выражения |S(x; и) —
— ж(и)|, \Sky- и) — у(и)\ по какой-либо норме, например, .про-
странства С. Тогда “
||Л(«)Ь<]/"И(а:; и) — х (и) |& +1| £ (у; и) — у(и)Ис. (2)
Главной, особенностью практических задач о приближении
кривых является то, что заданы бывают только упорядоченные
массивы точек на них, а информация о способе параметризации,
которая . необходима для построения сплайнов, отсутствует.
В дальнейшем мы рассмотрим способы построения параметриче-
ских сплайнов в этой , ситуации, уделив основное внимание ин-
терполяции плоских кривых. Построение интерполяционных па-
раметрических- сплайнов для пространственных кривых осуще-
ствляется аналогичным образом. Разница лишь в том, что при-
ходится оперировать с совокупностью трех сплайнов одной
переменной. <
Гораздо сложнее обстоит дело с приближением поверхностей.
Рассмотренные раньше сплайны двух переменных позволяют эф-
фективно решать эту задачу только в случае, если поверхность
описывается функциональной зависимостью вида г = /(ж, . у) в
прямоугольной области £2/При использовании локальных онлай-
нов не возникает трудностей также и для области, составлен-
ной из прямоугольников со сторонами, параллельными осям ко-/
ординат. В общем случае, когда £2 произвольной формы, можно
рекомендовать два способа действий. В первом из них область
погружается в прямоугольник и функция /(х, у) доопределяет-
ся подходящим образом в точках, не принадлежащих £2 (точнее,
в узлах сетки, не попадающих в QX И затем уже строятся
сплайны на прямоугольнике. Другой подход состоит во введении
в области £2 криволинейных координат и, v таким образом, что-
бы она отображалась на прямоугольник в плоскости (и, р).
В частности, если : область £2 представляет собой' круг или кру-
говой сектор, то можно использовать полярные координаты. Оба
подхода связаны с большим, объемом вычислительных работ.
Таковы трудности, возникающие при приближении поверх-
ности, заданной в виде z = /U, у). Однако не все поверхности
могут быть определены подобным образом. Наиболее универсаль-
ным’способом является параметрическое представление их коор-
динат в виде трех" функций: - \
x — x(u,v), y = y(uev), z = z(u,v)
§ 2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КРИВЫХ ЛОКАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ 209
параметров u, v. Естественно ~в качестве приближения в этом
случае брать поверхность, координаты- которой описываются
сплайнами
и, и),S(y\ щ р), S(z* и, у). >
Основным препятствием на этом пути, как и в случае кри-
вых, является то, что поверхность обычно задается совокупно-
стью точек, лежащих на ней, а соответствующие значения пара-
метров и, у отсутствуют. Поэтому вначале необходимо пара-.
метризовать поверхность и только потом строить аппроксими-
рующие сплайны. Некоторые наиболее употребительные приемы
параметризации будут .рассмотрены в § 5.
Для эффективного решения задач математического описания
поверхностей требуются ЭВМ как минимум средней производи-'
тельности\(~105 операций в секунду) и большим объемом опе-
ративной памяти. Кроме того, необходимы средства машинной
графики, графопостроители или дисплеи, с высокой разрешаю-
щей способностью.
§ 2. Интерполяция кривых локальными сплайнами
Пусть на некоторой кривой L задана последовательность то-
чек Ate, <®0, N (рис. 7.2). Введем на ней/естествен-
ную параметризацию х = #($), y~y(s), взяв в качестве парамет-
ра длину дуги $ кривой, отсчитываемую от точки Ро. Узлу со-
ответствует значение параметра, fe
равное ^. . > ,
1.. Рассмотрим интерполяцией- >
ный параметрический сплайн пер- \
вой степени. Согласно формуле fii * |
(2.1.2) на промежутке между точ- | \ /
ками А и Р<+1 он задается coot- I \
ношениями (ХО)ЦО)
$\{х\ s) = (i-° (xifl/£) ;
Si(y; s) = (l-*)^ + tyi+b ' • Рис. 7.2.
где t = (s — si)/h, It $i+i — st. ~ ~ '
Геометрически параметрический сплайн первой степени пред-
ставляет собой ломаную, состоящую лз отрезков прямых,—сое-
диняющих точки Pi. •
Из (1) следует равенство
- - , - (2)
(ж; $) хг+1 ~ хг
которое используется для приближенного вычисления наклона
касательной к кривой L между точками Л+ь Если Х1=*хщ\
14 ю. С. Завьялов и. др.
210 > ГЛ. VII. ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ' V
то это означает, что данное звена сплайна расположено парал-
лельно оси г/. \
Отметим интересное свойство формул (1), (2), а именно: ко-
ординаты точек интерполяционного параметрического сплайна
первой степени и угол наклона касательной к нему можно вы-
числять, не зная фактически ничего о длине дуги интерполиру-
емой кривой. В самом деле, по формулам (1) эти точки вычисля-
ются путем задания величины t [0, 11, а в формуле (2) правая
часть вообще не зависит от .
Обозначим через R\{s) погрешность интерполяции параметри-
ческим сплайном первой степени. Оценить ее можно по форму-
ле (1.2), учитывая оценки, установленные в § 2.гл. II.
Отметим два результата, вытекающие из факта использова-
ния естественной параметризации кривой. '
Теорема £.1. Если x(s), у ($) е 1$0, то
ИТШИс < V27/2, . " (3)
где I = max Ц.
г ' 7
Доказательство. По теореме 2.1
. PiCr; s) — ®(s)||c<y7|l®'(s)U
Так как величины a'(.s) и y'(s) представляют собой направ-
ляющие косинусы вектора касательной" к кривой в точке
<х($), у(з)), то Hx'(s)ll<» < 1, Hp,(s)IL < 1 и из (1.2) следует (3).
Теорема 7.2. Если x(s), у (з) е СИ711ОО |s0, Sjvl, то
• (4)
где K(s)— кривизна кривой L.
Доказательство. Согласно таблице 2.1 имеем
Н1(х; 8)-^(8) 11^(5)1100,
- 1|<5х(р; 8)- у (8)||C<|?h"(8)k
Кривизна кривой в точке (x(s), j/(s)) определяется равенством
K(s) = V[x" (s)J2 + lp"(s)l2, и, значит, .
llx',(s)IL < ll£(s)IL, llj/"(s)IL^HK(s)IL.
Для завершения доказательства теперь достаточно обратиться к
формуле (1.2). .
§ 2. 'ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КРИВЫХ ЛОКАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ 21 f
Так как построение параметрического сплайна сводится к
построению двух сплайнов одной, переменной, to остаются в сила
все рекомендаций по выбору узлов интерполяции, сделанные
в § 3 гл. II. Практическое применение оценок (3), (4) затруднена
присутствием в них величины /. Если обозначать через- di длицу
хорды, стягивающей концы дуги /<,• то'-при достаточно - густот# ’
расположении узлов интерполяцци на кривой L имеем di~U• н..\
вместо I можно использовать реально вычислимую величину d —
==maxdf. . s
i .
2. Параметрическим эрмитовым кубическим сплайном будем
называть > совокупность двух эрмитовых сплайнов £3,2(2; $)>
£3, гС^;"^). Погрешность интерполяции flj(s) для такого сплайна^
можно оценить обычным способом с помощью формулы (1.2),.
используя результаты § 6 гл. II. В частности, имеет место
Теорем.а 7.3. Если x(s), у (s) s^l, то
ll5(s)llc<^H(s)lloo. . (5>
Если х (s>, у (s) е С^Сь [s0, sN], то
||Яз(5)||с<4-?(<Й^ + (й^- (6>
Доказательство очевидно. \
Отметим, что максимальный порядок приближения параметри-
ческим эрмитовым сплайном есть O(Z4). Этот порядок достигает-
ся, если а: (s), г/(s) е CWl.oo [s0, sN|.
На практике применение параметрических эрмитовых кубц-
ческих сплайнов, построенных на основе естественной параметри-
зации кривой, обычно оказывается невозможным. Действительно,,
чтобы вычислять, например, значения сплайна
$3,2 (я; s) = Xi (1 — О2 (1 + 2t) 4- Xi+^t? (3 — 20 4- x'it (1 — tfh —
-xi+lt2(i-t)li (7>
(здесь Xi означает производную по параметру 5 в точке $«), не-
обходимо знание величин li,х^ xi+1. Такая информация, как
правило,, отсутствует. Поэтому вместо сплайна £3,2(2; $) будем
строить в некотором смысле бдрзкий к нему сплайн £3,2(2; $). »•
Во-первых, точные значения производных xi заменим зна-
чениями Xi по формулам, аналогичным (2.8.1)—(2.8.3):
2о=Л + Hi)(21 — 20)d^1 ——(8).
Х{ = p,i (2i-|_i x^ di (xi 2{_ 1) di—4, . i == 1, . •., AT — 1, (9)
14* -
212 ' ГЛ. vn. ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
ч
«№ (1 + (XN — XN-1) dl^-! — («к—1 — Xjj— 2) dnl-2, (10)
[4 — d{— i (di—i + di) \ = 1 — Hi*
Если кривая замкнута, т. е. точки Ро а Ря совпадают, то вместо
- 0<8)’Г (10) следует использовать формулу
-*X — ~ -и d0 XN~XN-1 ,ln
x°~Xn~ do + djv_x 4 +^4-^ dN_- • (n)
Во-вторых, для описания сплайна* введем параметризацию по
суммарной длине хорд di. Если обозначить новый параметр через
то сетка узлов будет, A: O = so < $i < ... < Stf, где
"«i— ij du, К = V(*fe+l — *й)2 + Jj/A+l — Ы2
fe=o '
• Параметр s при этом пробегает отрезок [0,
. Тогда эрмитов кубический сплайн принимает вид '
З3|2 (#5^) « (1 — О2 (1 + 20 + ^i+1^2 (3 — 2i) + м (1 — 02di —
, (12)
\у - . . • t , ,
где t=(s — Si)/di. Все ~-величины, входящие в выражение для
53> 2(х; s)\ реально вычислимы. Аналогичные формулы получа-
ются и для £3,2(1/; $).
Нетрудно видеть, что параметрический эрмитов кубический
сплайн не меняется при переходе к новому параметру s = ys9
где у — произвольное положительное чисйо. Действительно,
в этом случае значения ^переходят в величины’4<==s<+i~s<—
в ydi и из (8)—(10) следует, что яч переходят в y~1xi. Обра-
щаясь к формуле (12), убеждаемся, что ^-координаты точек
параметрического сплайна не изменяются. Тб же самое справед-
ливо и для ^-координат. В некоторых случаях удобно полагать
у == siv1- При этом [0, И. Будем называть такую параметриза-
цию нормированной параметризацией цр суммарной длине хорд.
Рассмотрим вопрос об оценке погрешности интерполяции
(Oller = max || ^ (Ollc, (13)
где величина .________'
II («) jc = ]/ в 38,2 («; s) — »(s) IB+153,г (у; «) — у («) Вс
характеризует отклонение сплайна от кривой, на, промежутке
между точками А и Pt+i. Здесь s = si + /ii, s^Si + dit, и сравне-
ние сплайнов и? функций x(s), y(s) делается при одинаковых
значениях промежуточного параметра t.
§ 2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯКРИВЫХ ЛОКАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ 213
Установим два вспомогательных результата. ,
Лемма 7.1. Если х ($), у ($) ё ТУ» [${, то
. dr^Zi+ОЙ). (14)
Доказательство. Используем тождество
J2 — $ = it— (^i+i — «о2 — (i/i+i — z/O2*
По формуле Тейлора получаем -
^i+l — хг == lixi+l/2 + О {if), yi+l~ yi e hyi+1/2 + О {if),
где ^i+i/2 == xf (Si 4- li/i), y'i+i/2~ Уг (Si + Zi(2). Следовательно,
it - dl = It [I - G4i/a)2 - (yi+l/2)2I + O (it).; .
Так как кривая параметризована естественным образом, то
Iх'(«)]2 + [у'(s)]2 = 1.' Поэтому it — df = 0 (/*), откуда •
(14) сле-
(15)
(16)
формуле
li - di (it - dt) (k + di)-1 = 0 (if).
Ебли сетка-узлов достаточно густая, то li&di и из
дует -
; А=и+о(й). - / ~ '•
Лемма 7.2. Если х ($), у ($) е ТУ» [$0, то
xi = xi + О (I2), i = 0, ...., ~
^де х{ определяются формулами (8)—(10).
Доказательство. Разлагая в* (9) xi+\ *и #f-i по
Тейлора'в точке sh находим при г = 1, ..., TV — 1
ii = + т — *•< W77) +
O(0-i).
Используя лемму 7.1, получаем соотношения
+**-fe=1+°• *4-*•-fe - °(7,)<
Яр тогда для х? верна формула (16). Точно так же, исходя из
<8) и (10), ее можно проверить при i« 0,2V.
214 ГЛ. VII. ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
Аналогичные результаты имеют место и для у г-
Теорема 7.4. Если х (s), y(s) eTV^[s0, s;v], то
, (17>
Доказательство. Очевидно,
ЬУз.З-Ьц $) — я($)1 < 1«?3, 2^; $) — §3. 2(х; $)| + |5з, 2(я; sX—#(s)|.
Для? второго слагаемого правой части по теореме 2.5 имеем:
IS3, z(x; s) — x(s)I « O(Z3); Далее, учитывая (7), (12), получаем
.1 ^3,2 (^» S) — $3,2 (х\ $) |
<«(1 — — x'idil + f2(l—0H+izi —*i+idi|<
<t(i — o2 {ki — ъ I г* + x-1 Zj — 4iU +
> + f2 (1 — t) { I «i+l — "x'i+11 ll + ®i+l I li — di I I-
Отсюда, принимая во внимание леммы 7.1 и 7.2, находим
IS3,2(*; s)~53,2U; s)l = OW.
Следовательно, ' .
IS3.2U; Ъ-хМ\=Оф). f
Айалогично, /
1^з,2(1/; s)-r/(s)l-O(Z3). е
Из полученных соотношений вытекает утверждение теоремы.
Порядок погрешности О(13), гарантируемый теоремой 7.4, наи-
высший. Дальнейшее повышение гладкости функций x{s\ y(s)
не изменяет его. Вероятно, нелишне подчеркнуть, что если оцен-
ки остаточного члена (5) и (6) дагеют место при любых Z, та
оценка (17) как оценка по порядку справедли-
ва только при достаточно малых I.
Приведем несколько примеров интерполяции кри-
вых параметрическими эрмитовыми кубическими
сплайнами с. использованием описанной техники. На
рис. 7.2/ представлены результаты интерполяции по-
следовательности заданных точек Ро, •••» На
рис. 7.3 показан характер интерполяции нерегулярной
кривой — единичного квадрата. Наличие особенностей
в его вершинах приводит к потере точности. Однако-
Рис. 7.3. здесь можно применить технику борьбы с особеннос-
тями, описанную в § 8 гл. И. Если в соответствии с
этим ввести дополнительные узлы (отмечены знаком •), то отклонение
сплайна от кривой не превышает 0,002, в то время как без них оно состав-
ляло 0,04. На рис. 7.1 приведен сложный пример интерполирования кривой,,
содержащей различные по характеру звенья, а также нерегулярные точки.
- • -- \ • X
§ 3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КРИВЫХ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ 215
На практике широко используются различные варианты рас-;
> смотренных сплайнов, отличающиеся неосновном способами вы-
числения касательного вектора (значения xi, yi).
Задач а. Построить алгоритмы для вычисления координаты у интер-
поляционных параметрических сплайнов первой и третьей степеней по за-
Г данной координате х. ' ~ '
§ 3. Интерполяция кривых параметрическими
кубическими и рациональными сплайнами
* 1. Интерполяционный параметрический кубический сплайн
есть совокупность двух кубических сплайнов 5(ж; xu), Sky, и)
класса С2, интерполирующих соответственно координаты xh у
I. точек Pi, i = 0, ..., N, кривой L на слетке Д: и&< щ <... < uN.
Для однозначного определения каждого из этих сплайнов должны
быть заданы краевые условия. Будем полагать, что для обоих
сплайнов они одинакового тица. Если кривая незамкнутая, то
। удобно применять краевые условия типа. IV, а для интерполяции
замкнутой кривой естественно использовать периодические крае-
вые условия (тип III). .
В качества параметра снова 'берем суммарную длину хорд s.
В этом случае, Согласно формуле (3.1.10), сплайн Skx- s) может
* быть записан в виде
= + (1)
ф где t« (5 — sd/di, di = Si+\—Si. Величины Mi определяются из
систем уравнений (3.1.15)—(3.1.18), в которых hi заменяется на
di. Например, для периодических сплайнов система имеет фдрму
+ 2Мi + 'kiMi+i = 3£^,% & = 1?..Ч.,ЛГ, (2)
тде |ii = di-i(^-i + d<)~\ Х< = 1 — Цг,
г - 2 хг-хг-1\
\ + d, )• '
Аналогичные формулы имеют место и для сплайна Sky, а).
Погрешность интерполяции параметрическим кубическим
‘ сплайном определим формулой (2.13), где положим
|| Я1 (i) ||с = /|| 5 (х;7) - X (s) |£ + 11 S(y^)-y (s) ||£. (3).
Как и в предыдущем параграфе, сравнение сплайнов и интерпо-
лируемых функций делается при одинаковых значениях пара-
метра t. Получим оценки погрешности интерполяции. При этом,
216 ГЛ. VII. ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
чтобы не загромождать изложение, рассмотрим только случай,
когда кривая L замкнута.
Наряду со сплайном S(x; s) введем сплайн S(x; $), построен*
ный с использованием параметризации по длине дуги:
S& s) = Xi(1-1) 4-toi+1- 41(2—t) Mi+'d+t) (4)
Здесь Mi вычисляются из системы
+ 2Mi + MAfi-и == 3/?i, t = 1, 2, ... , N, (5>
где » + Ki — 1 — gf,
• z
77 — 2 (Х1+1~Хг ' xi~~~xi-r\
. Л- it-i г
Лемма 7.3. Если, x{s), у (s) e С2РГд>00 [s0) sjv], to
- " f=0, .... N. (6>
Если, кроме того,
Zi_1 = Z£ + O(Z?), i = 0, ...,N-1, (7>
to ' '
Mi— Mi = Q(i2), i = 0,...,N. ‘ (8>
Доказательство. Вычитая, из уравнений (2) уравнепйж
(5), получаем . -_ ~
Pi (Ж-i - Mi-J + 2.(МЛ - MiY+ Ki (Mi+i - Mi+l) = \
= 3(2?i — Ei) + (pj — pi)(M,_i—Mj-n), i = l, (9}
Имеем
~ ' h—ldi ~ di—14
. pi“(4-i44Wi w .
Подставляя сюда tZ.-i, Л 'из (2.14), находим
p<-p< —0(F); ' (10>
Далее, используя формулу Тейлора, получаем Ei = x"{^)Y
ge [$<_!, 8<+1]. Воспользовавшись теперь следствием Д.1, из си»,
стемы (5) выводим оценку
llfd <3ll»<'(s)ll0, Z-0, ...,'N. '(11)
s 3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КРИВЫХ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ 217
Разлагай в формулах для Et и Et величины ®<+l, x<-i как
функции параметра $ по формуле Тейлора в точке s{, находим
' ~ ~ (1^. li
’ d^
. x". [1 _ __J___f L* 4-Jz?
_____ 1_________*i-1
3 + ' rfj—i (d{_
*7J?[1
, 1
li (d{_j +d4)_
3
+ £(?).
= 0(i2),
Применяя лемму 7.1, последовательно получаем '
г pl, Ч-Л . ^~iL
• d,_!: + + Ч
и - Г - .
r?_____________________
_ 0^O?-i)+wCO+o.Gf) _П(ъ
Аналогично, коэффициент при %i_ — величина порядка Q№).
Таким образом^ все слагаемые в выражении Z?« — Eh кроме пер- -
вого, имеют порядок O(l2). и выше. Оценим
д __ 1 / *7-1 гЛ _ _______~ __
Ai ~ di+1 + d, ; d J; (d^ + di} {l^d. + l.d.-J
d2i = Uj+i — Xi)2 + (yi+t — ytf и
Xi^-i Хг = ^i+l/2^i "F 24 ^г+1/-.^г
!/i+1 — Уг = 2/1+1/2^ + l/i+V2^i + О (if), <r
Так чкак
TO
== Л[(^1+Д/2)2 + (!/г+1/2)2+ (^+1/2^1+1/2+^1+1/21/14-1/2)
Учитывая тождество [rr(s)]2 +ty'Cs)]2 33 1 и вытекающее из
него после двукратного дифференцирования; соотношение
x\sYx"(s) + y\s)y'4s).~. -lx" U)f2 - ly" G?)J2 = -K4s).
получаем
= zt[l - ± liKUm + О ($]•
218 ГЛ. VII. ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
4 ’ i
Представляя таким же образом d?-!, имеем
И-Л - t It-Jt - Kt+mi? 4- о (zU) +0 (z?)].
Так как K2i+l/2 = Kl + О (Zj), Я?_1/2 = Kf + О (Ц_\), то
А _ г?-Л f*? Gi-i -ty + o QU) + О (^)f '
Отсюда. At = 0(1). Если же выполнено условие (7), toZj— li-i —
— O(li) и 4j=C>(Z2). В итоге"
Ег-'Ег = [°^): " . (12)
(O(Z2), если выполнено условие (7).
Учитывая теперь Оценки (10), (11), (12) й следствие Д. 1, из си-
стемы (9) приходим к оценкам (6), (8).
Теорема 7.5.,Если х (з), у (s) е CWltQO [s0, sw], то
\lR(t)h = O(T3). . ,
Если, кроме того, выполняется условие (7), то
ILR(Z)IIC=О(Т*).
Доказательство. Очевидно,
13(ж; s) — x(s)l < |3(х; s) — S(x; s)I 4- I5(x; s) — x(s)l. (13)
♦
Для второго слагаемого в правой части по теореме 3.5 имеем
|3(х; s)-x(s)l =O(Z"4). j. (14)
Что касается первого слагаемого, то из (1) и.(4) следует
3 (х; з) — S(x;s) =
? = 11 (1 - Z) dl 1(2 - t) (Mi - Mi) + (1 + t) (Mi+1 - Mi+1)] +
+ 41 (1 “ t) f(2 - t) (Ц - 4) Mi + (1 +1) (Z?+l - <Z?+1) Afi+1j.
Отсюда, учитывая оценку (11) и лемму 7.1, выводим
| S (х; s) — S (х; s) | < max | М{— Mi | О (Z2) + О (?). (15)
i
Используя теперь лемму 7.3, из (13)—(15) получаем
| S (х; s) — х (s) | = (О»
(O(Z4), если выполнено условие (7).
§ 3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КРИВЫХ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ . 219
Точно такие же оценки справедливы и для \S(y- s) — y(s)l.
Теперь утверждение теоремы вытекает из формулы (3).
Как Ъидно, наивысший порядок погрешности О(14) обеспечи-
вается при условии (7), т. е. когда соседние звенья 'кривой отли-
чаются на малые второго порядка. На практике более полезны
другие условия, равносильные (7), а именно
. di_1 = di+:o(d?), i = (16)
В частности, при малых Z< можно выбрать di = d = const и тем
-самым добиться наибольшей точности приближения.
На рис. 7.4 представлен пример интерполяции параметрическим кубиче-
ским сплайном. Всего использовано 18 узлов, причем на границах прямо-
линейного участка кривой были взяты* по два близких ‘
узла. Если этого не сделать, ло возникают заметные осцил-
ляции (см. § 5 гл. III). ". * I I
2. Среди всех сплайнов, ^используемых при /
аппроксимации кривых, наиболее универсальны- /
ми свойствами обладают параметрические рацио- . . J
налъные сплайны. Онй представляют соб.ой сово- .
купности пар рациональных сплайнов SR(x\ s), /
SR(y\ s). В качестве параметра будем брать по- /
прежнему суммарную длину хорд. Согласно (6.1.1) / ( ч X
каждый из сплайнов SR(x;s) и SRty) s) пред- I L j
ставляется на 4 участке между точками Л, Л+1 Л /
в виде
•Sr fa s) = 4- Bi (1 — t) +
/ Ct? D. (1 — t)3 t
' +l + pf(l-0+ !•+<# ’ (17) Рис. 7.4.
z я в»
4 0,12 0,03 0,00026
6 0,03 0,004 —
20 0,00023 —.
где ph qt — заданные числа (—1 < р», < °°). Величины • рй
целесообразно выбирать одинаковыми для обоих сплайнов.
Таблица 7;1 Параметрический рацио-
нальный сплайн при Pr=qi=
1 г= 0, i = 0, ..., N — 1, пре-
, вращается в параметриче-
ский кубический сплайн, ;
В пределе при X,
i = 0, ..., N — 1, имеем пара-
метрический сплайн первбй
степени. Выбором величин ph .
qi обычно удается при относительно малом числе узлов интер-
поляции обеспечить и высокую точность приближения, и хорошие
качественные характеристики. Л апример, выбирая их достаточно
большими, можно, полностью устранить осцилляции.
220 гл; VII. ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ-и ПОВЕРХНОСТЕЙ
'. ' - -7
Возможности параметрических рациональных сплайнов демонстрирует
рис. 7.5 (53 узла интерполяции). * -
В таблице 7.1 приведены результаты интерполяции окружности единич-
ного радиуса при использований N равномерно расположенных на ней уз-
лов интерполяции. Лёрез еа, обозначены
отклонения по радиусу соответственно для па-
раметрического эрмитова (§2), параметрическо-
го кубического и параметрического рациональ-
ного (pi = qt «= —0,29) сплайнов. Все сплайны
строились периодическими. •
Если использовать для интерполяции еди-
ничного квадрата только четыре узла, располо-
женные в его вершинах, то при- р, == gt- = 10*
отклонение параметрического, рационального,
сплайна от квадрата не превышает 5-Ю"4.
В заключение отметим, что параметри-
ческие кубические «и рациональные сплай-
ны не изменяются при переходе к норми-
рованной параметризации по суммарной
длине хорд. „
§ 4. Сглаживание кривых
На практике кривые задаются точка-
ми. Координаты точек получаются в ре-
зультате некоторых измерений ег поэтому
содержат ошибки, абсолютная величина
которых обычно известно. В этой ситуа-
ции естественно строить не интерполя-:
Рис. 7.5. . ционный параметрический сплайн, а сгла-
живающий. В 2 гл. IV описана ме-?
то дика построения кубического сглаживания сплайна. С неболь-
шими изменениями, связанными' с параметрическим заданием
кривой,/эта методика применима и в данной случаев
Параметрический сглаживающий кубический сплайн будем
рассматривать как совокупность: двух сглаживающих кубических
сплайнов Six*. s), 5(у; $). Для каждого из них зададим допусти-
мый «кор'идор» и будем использовать при вычислении весовых
множителей итерационный процесс, описанный в §2 гл. IV;
Параметризацию возьмем по суммарной длине хорд. Отметим,,
что в ходе сглаживания изменяется расстояние между точками
и поэтому на каждой итерации необходимо осуществлять перес-
чет параметров Сглаживающие сплайны Six-, s), Siy; s) можно
строить либо последовательно: сначала, например, сгладить вели-
чины х{, а затем у<; либо одновременно, сглаживая на каждой
итерации и xt, и В любом случае после завершения процесса
сглаживания. из-за изменения значений Si необходимо построить
§ 5/ПРИБЛИЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 221
по сглаженным значениям координат х, у параметрический интер-
поляционный сплайн.
Таблица 7.2
X у ... к(х, у) SC К&у)
0,0 0,0 • —0,007 0,0 0,0 -0,009
0,25- 7,35 —0,013 0,27 7,36 ‘ -0,013
0,5 < 9,8 ‘ —0,037 . 0,50 9,81 —0,013
' 0,75 11,45 0,030 0,70 _ 11,47 —0,013
1,0 13,25 . —0,039 0;96 13,27 -0,012
1,25 . 14,7 0,023 1,20 14,72 —0,018
2,5 ’ 20,25 —0,050 2,54 20,22 -0,032
5,0 ~ 25,8 —0,078 4,96 . 25,80 —0,025
7,5 30,0 —0,043 7,54 29,99 -0,025 '
10 33,1 —0,012 . 9,96 33,09 —0,022 ’
15 38,15 —0,025 15,00 38,19 —0,019
20 ' 42,0 —0,007 19,96 42,05 , -0,018
25 45,2 —0;032 25,05 45,15 —0,021
30 . 47,45 —0,020 29,96 . 47,42 —0,021
35 - 49,05 ' —0,013 ' 35,00 49,09 _ —0,021
40 . 49,9 —0,093 ' 40,00 49,9 —0,084
приведем численный пример. В таблице 7.2 даны значения координат
заданных точек P(xt у) и кривизны К(х, у) параметрического интерполя-
ционного кубического сплайна, а также соответствующие значения х, уг
К(х, У) Для сглаживающего сплайна. Ширина «коридора» по^каждой из
переменных 0,05. Крайние точки зафиксированы и в них задано направле-
' ние касательной (в точке (0, 0) касательная вертикальна, а в точке (40;
49,9) горизонтальна). _ :
- - • • '
§ 5. Приближение поверхностей
Пусть на некоторой поверхности S задано множество точек,,
для которых известны их декартовы координаты х, у, z. Требует-
ся по этим точкам, построить поверхность, в некотором смысла '
близкую к S. / \ .
Алгоритм решения поставленной задачи рассмотрим на при-
мере поверхности, изображенной на рис. 7.6. Для поверхностей
других типов, например гомеоморфных цилиндру или тору, необ-
ходимы только незначительные . изменения в~ рассуждениях.
В процессе построения алгоритма используются параметрические
сплайны. Однако их конкретный вид (первой степени, кубические
или рациональные) .для самого алгоритма несуществен. Выбор
тех или иных сплайнов осуществляется в зависимости от требо-
ваний, предъявляемых к приближению: гладкость, точность,
* локальные свойства, время счета и т. д.
222 ГЛ. VII. ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
< 4 ' : *' . J
Разобьем границу поверхности точками Рг, ^з, Ра на че-
тыре . части. На поверхности S рассмотрим семейство линий, об-
ладающих следующими свойствами: \
1) никакие две линии не имеют между собой общих точек;
. 2) начало и конец каждой линии находятся в точках, распо-
ложенных на противоположных участках границы; два других
участка границы включаются в чис- м
ло рассматриваемых линий; условим-
/.// 7 4 / ся в дальнейшем называть линии,
/V / ♦ / I / удовлетворяющие перечисленным ус-
7./ f •' • • [ ловиям, координатными.
/ I * * ! г I Введем^ на поверхности S семей-
Т ' ство координатных ч линий к =
. == 0, ..., No, таким образом, чтобы
Рис. 7.6. каждая в из линий проходила через.
I некоторые из заданных точек по-
верхности, причем начало и конец линии совпадали с заданными
точками (на рис. 7.6 эти линии выделены пунктиром).
Заметим, что вовсе не обязательно, чтобы каждая из заданных
точек принадлежала какой-либо линии. Практически построение
упомянутого семейства линий сводится к выделению из множест-
ва заданных точек поверхности упорядоченных подмножеств. Эта
работа должна быть выполнена при вводе данных в ЭВМ. Описа-
ние алгоритма удобно разделить на ряд шагов.
Первый шаг алгоритма. Для каждой линии Lk пост-
роим интерполирующий ее параметрический сплайн .
Sk(x; s), Sk(y;s), Sh(z; s)
о использование^ нормированной параметризации по суммарной
длине хорд (§ 2). Для дальнейшего необходимо, чтобы построен-
ные сплайны обладали свойствами координатных линий. Обеспе-
чить выполнение этого требования можно выбором исходны^
линий Lh. Во-первых, нужно стремиться к тому, чтобы они были
по возможности более плавными, во-вторых, на каждой из нпх
должно быть достаточно много заданных точек и, в-третьих,.ли-
нии не должны лежать_ слишком близко друг к другу. На отрезке .
изменения параметра s [0, 1] введем сетку Д„: 0 = Pq<Vi<...
... < vM = 1 и вычислим координаты точек
Ph, {Sk(x\ Vj), Sk(у; Vi), Sh(z; v,)}, / = 0, ..., M; ,.k = 0, ..., No..
Второй шаг. Для каждого / = 0, ..., М построим парамет-
рические сплайны
5/ж; 5), S^y\ s), Sj(z; s),
. § 5. ПРИБЛИЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
223
интерполирующие точки • • •, PnqJ*> Вновь используется
нормированная параметризация по суммарной длине хорд. Необ-
ходимо, чтобы линии, соответствующие построенным сплайнам,
были координатными (рис. 7.7). Далее, введем сетку Au: О = ио<
< «1 < <.. < U№ 1 и определим ко-
ординаты/точек Рц(хц, yih zy):
Хц = 8з(х; щ), ид,
Zij^Sjkz; Ui),
i=l, ..., 2V; /==1, ..., M. I
Третий hi а г. В области [О, И X р
X (0, .1]. образуем сетку А = Au X
X А«. В качестве декартовых коор- . рис 77. '
динат поверхности в ее узлах (u,, v5)
принимаем значения xih yih Интерполируя их на сетке А,
получаем для координат искомой поверхности следующие
формулы:
х = 8(х\ и, р), y = S(y; u,v), -z = S(z* щ v).
Описанный алгоритм дает хорошие результаты, если соседние
линии. семейства Lh не Сильно отличаются по геометрической
форме и' по количеству точек, заданных па них. Например, это
обычно имеет место, когда поверхность ;
задается достаточно густым набором ~
плоских сечений. В общем случае
можно рекомендовать после выполне- / ХхС/ )
ния второго/Шага, отправляясь от по- - \/ ~~I
строенных точек Р^ повторить первый 44—d_________L—
и второй шаги алгоритма. Ввиду того, . рис 7 g j
• что исходные данные для построения
поверхности обычно представляют собой результаты измерений,
целесообразно, по крайней мере на первом шаге алгоритма, исполь-
зовать вместо интерполяционных сглаживающие сплайны (§ 4k
Для приближения поверхностей, гомеоморфных цилиндру,
все проделанные рассуждения сохраняют силу. Достаточно лишь
условиться, что два из четырех участков границы поверхности
совпадают между собой., Это означает, что на одном из шагов
алгоритма , требуется строить периодические параметрические
сплайны.
Для поверхностей, гомеоморфных тору, считаем, что противо-
положные участки границы попарно совпадают. Здесь периоди-
ческие сплайны строятся и на первом и на втором шаге. Кстати,
224 ГЛ. VII. ПРИБЛИЖЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
периодические сплайны удобнее непериодических—^не возникает
проблем с траничными условиями. . .
В некоторых случаях, например, при построении поверхностей
конической формы целесообразно изменить требования к коорди-
натным линиям. А именно, удобно предположить, что координат-
ные линии одного из семейств пересекаются в одной точке
(рис. 7.8). Естественно, при реализации алгоритма,соответствую-
щие сплайны должны иметь общее начало (конец).
При построении поверхности, гомеоморфной сфере, линии
одного из семейств пересекаются в двух точках-полюсах сферы.
Литература к гл аве VII. [13—15, 15*, 30, 54, 88].
.Глав а VIII
ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В данной главе изучаются методы численного дифференциро-
вания и интегрирования функций одной переменной, основанные
на сплайнах^ Во многих случаях они эффективнее традиционных
методов, использующих приближение многочленами. Перенесение
результатов на функции двух переменных не вызывает принци-
пиальных затруднений. . На практике в большинстве случаев
достаточно использовать кубические сплайны.
§ 1. Численное дифференцирование
* ' л
Самый простой способ приближённого вычисления производ-
ных функции f(x) состоит в замене их производными интерполя-
ционного сплайна, построенного по значениям // = /(#<), ч == 0,....
..., N, заданным на сетке. А: а'= хо < xi < ... < xN = b. С этой
целью можно использовать различные кубические сплайны, что
позволяет вычислять производные до третьего порядка включи-
тельно.
Обозначим через Six) кубический сплайн класса G2, Sc(x)—
кубический нелокальный сплайн класса С1, SDtx) — дискретный
кубический сплайн, S3, $(х)— эрмитов кубический сплайн.
Кубический сплайн 5(х) на каждом промежутке [xf, xi+il :
представляется одной из формул . . '
S.(x) = Л (1 - j)2 (1 + 2t) (3-20 +
+ mJ (1 — 02 hi “ d — 0 hi, d)
+ + + (2)
где, как обычно,' 'h< « xf+i — x{, t = (x-— х^/hi,- mt =« 5х(х<), =*
«5''(х<). Из выражений (1), (2) вытекают следующие формулы
численного дифференцирования:
S'lx) = 6f(l- 0 -*+\~ Zi -j- (1 - +3t2)mi-42L-3t*)mi+u (3)
. S" (X) = 1 [б (1 - 20 - a - 60 zn4 — (2 — 60 (4)
15 io. С. Завьялов и др. *
226 гл. VIII. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
S'"(х)=% (Wi+1+mi -2 Т“)’ • (5>
s> & = -1 «2 - 6t + 3t2) Mi 4 (1 - 3i2) Mi+1], (6).
8"(Х).~ММ~{) + М^, (7).
S'" (х)=^±^. (8).
* .
G практической точки зрения предпочтительнее формулы (6)—
(8), так как они требуют меныпего количества арифметических
операций. Напомним, что алгоритмы вычисления величин пи и
Mt рассмотрены в гл. III. Там же, приведены необходимые ре-
зультаты о погрешности приближения производных функции /(#>
производными сплайна 5(х). В частности, при достаточной глад-
кости функции fix) имеют место соотношения
||S(r)(®)-/r)(^)lk = O^-r), г = 0,1,2,3, (9>
где h = max hi.
i , "
Если использовать представление сплайна 8(;х) через куби-
ческие В-сплайны (§ 8 гл. III):
N+1
“ S(x) = 2 biBi (Ж), (10>
i=—1
то, очевидно, z
N+1 < ’
5(г) (х) = 2 Mir) И, Г = 1, 2, 3, (11>
г=-1
и дело сводится к вычислению производных от В-сплайнов.
Формулы численного дифференцирования для%сплайнов Scix^
и Sd(x) совпадают соответственно с формулами (3)—(5) и (6)—
(8). Различие состоит лишь в способе вычисления величин т{.
и Mi (гл. VI). Формулы дифференцирования для эрмитова сплай-
на £3,2(2) получаются из (3)—(5) путем замены в них величин
mi на /{, которые, естественно, должны быть заданы. Во всех
случаях максимальные порядки приближения — такие же, как
в формуле (9). >
G помощью сплайнов Scix) и 8d(x) можно вычислять первую
9 вторую производные функции fix) в узлах сетки А с более*
высокой точностью, чем это гарантируется оценками (9). При
соответствующем выборе параметров, входящих в системы для
определения величин тп«, М{ (теоремы 6.2, 6.4), на произвольной
. §4,. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ* 227
/
неравномерной сетке имеем
\5c(^) = /i+O(fe4), (12)
“ : = + (13)
Интерполируя с помощью кубического сплайна вычисленные
таким образом значения производных в узлах, можно повысить
точность приближения производных функций /(я), теперь уже
всюду на [а, Ы, по крайней мере на порядок. Кроме того, появг
ляется возможность вычисления производных более высокого по-
рядка, чем в формулах (3)—(8). Например, построив интерполя-
ционный кубический сплайн S ($я(х); ж), будем иметь
Sa(s"D(xy,x)ttf”(x). ,
Можно показать, что в случае достаточно регулярной ^сетки А и
/ (х) е ТГ£> (а, Ь] точность такого приближения будет 0(h).
Еще однр применение формул (12), (13) связано с построени-
ем сплайнов, дающих большую точность приближения в сравне-
нии с кубическими сплайнами. Рассмотрим интерполяционный
эрмитов сплайн пятой степени S&, $(х). По формуле (2.10.5)
<$5,з (?) « А (1 - О3 (1 + 3t + 6f2) + fi+1t* (10 - 15t + 6i2) +
Ч- h/it (1 - t)3 (1 + 3i) - MUi*3 (1 ~ 0 (*— 30 +
/ - + 4 W”? (1 - t)3 +1.htf+1t3 (1 - (14)
В § 11 гл. II для достаточно гладких функций получена оценка
11^5,3 И-/(^) 11с-Р(Й6). (15)
Заменим в (14) величины A, А+ъ A, A+i по формулам (12), (13).
Для построенного таким образом сплайна Sst з(я), очевидно, вы-
полняется соотношение
\Sbi3(x)^Sbi3(x)\^O(hb).
Учитывая (15), получаем
. 11§5.з(^)-/ (х)||С = ОЖ '
Следовательно, порядок приближения сплайном.£5,3От) на еди-
ницу выше, чем у любого из кубических сплайнов, причем для
построения S5, з(я) не требуется знания производных функ-
ций f(x).
В таблице 8.1 приведены результаты численного дифференцирования
функции f(x) = е~10х на равномерной сетке Д1 с шагом h » 0,1 и неравно-
мерной сетке Дг с узлами 0; 0,01; 0,03; 0,06; 0,1; 0,15; 0,21; 0,28; 0,36; 0.45:
0,55; 0,66; 0,8; 1.
15*
228 ГЛ—VIII. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В первом, третьем и пятом столбцах таблицы приведены погрешности
приближения первой производной во внутренних узлах сетки соответствен-
но для сплайнов S(x), Scf(x) и трехточечной разностной аппроксимации.
Во втором, четвертом и шестом столбцах даны погрешности приближения
второй производной соответственно для сплайнов S(x), SD(x) и трехточечной
Табл и_ц а 8.1
- 1 2 3 4 5 6
>> to M 3,1-10~2 6,1-10-* 5,1 0,62 ЗД-10-2 1,2-10-» о;ю 0,03 . 0,64 0,12 3,2 2,8
разностной аппроксимации. При вычислении первой производной использо-
вались сплайны с граничными условиями типа I, при вычислении второй
производной —.с условиями типа II. Для. сплайнов Sc (х) и Sd(x) были взя-
ты оптимальные значения параметров. '
До сих пор мы предполагали, что ."исходные значения fi но
содержат ошибок. Однако на практике они. всегда присутствуют.
В случае, если ошибки велики, целесообразно использовать сгла-
живающий сплайн с выбором параметров * сглаживания в зави-
симости от величины ошибки (гл. IV). Если же ошибки в исход-
ных данных невелики, то можно применять интерполяционные-
сплайны. При этом нужно обратить особое внимание на выбор
шага сетки/ Этот вопрос мы уже затрагивали при рассмотрении
сплайнов первой степени (гл. ПК-Здесь на конкретном, примере*
покажем способ решения этой задачи для нелокальных кубичес-
ких сплайнов. ‘
, . Пусть на равномерной сетке с шагом h известны приближен-
ные значения функции f(x)^C4la, Ы, причем) Л — fi е.-
Предположим, что вторая производная функции fix) вычисляется
' с помощью кубического сплайна 5(я), интерполирующего значе-
ния fa по формуле
Тогда ’
' (1б>
i \ •
где 5(я)— сплайн, интерполирующий точные значения ft.
Чтобы не загромождать изложение несущественными подроб-
ностями, будем считать fix) периодической. В этом случае.
(Мг-1 — Мг-1) + 4 (Mi — Mi) + (fMi+! — Mi±i)j=
те A — A-i) ~ J = 1, 2, ..., V.
h .
§ 2. АСИМПТОТИКИ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ КЛАССА С3 229
Используя следствие Д. 1, отсюда получаем -
<12s/F.
Согласно теореме 3.7
| S" (х) - /" (х) I < II /IV (Ж) |с + 0 (^2).
В итоге из (16) следует
|5".(х)-/"(х)| ^<р(е, h) + o(h2), .
где
Пренебрегая величиной о(А2), определим оптимальный шаг Й*
из условия минимума функции ф(е, h). Это дает
fe* = 2]/3^e||/iv(a;)||c1, ф(е, А*) = 2-]/"e||/IV (х)||с/
Очевидно, при заданном 8 не имеет смысла использовать сетки
с шагом, меньшим й*. Например, если fix) === sin х и 8 = 10~8, то
0,035"ЙФ(8, А*) = 2-10-4. - /<•
Задача. Показать, что формулы (7), '(8) предпочтительнее формул
• (4), (5) с точки зрения влияния на конечный результат ошибок'в исход-,
ныхданных. ' _ , ,
§ 2. Асимптотические формулы
для кубических сплайнов класса С2
Пусть кубический сплайн S(x) интерполирует функцию /(я),
на равномерной.сетке A: Xi = a + ih, f = 0, ..., N; #№= b. В даль-
нейшем мы не будем оговаривать требования к гладкости f(x),
считая, что она имеет столько непрерывных производных, сколь-
ко нужно для выполнения преобразований. Вначале рассмотрим
случай, когда /(я)—периодическая функция с периодом Ъ — а.
Для величин Mi имеем систему
+ + Mj+1 = ^(/i_1-2/i4-/i+1),' i = (1)
tl
где полагается = Jfw+s,/А— //»•+*, Zc = 0, 1.
Будем искать решение системы (1) в виде
. 4 М{ = /; + аЛг/Г. • (2)
Подставляя (2) в (1) (и разлагая обе части f-ro уравнения по
формуле Тейлора в точке xh находим "
,2
, 6/; + + (а,-, + 4сс< + ai+1) h2f\v = 6/" +.1- /Iv + О (h*),
, Z = l, .... N. / ' . '
£30 ГЛ.. VIII. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Сравнивая коэффициенты при одинаковых по порядку производи
пых, получаем систему
4ai + as + а№ —1/2,
О/-1 + 4а, + al+i —1/2, 2 = 2, АГ— 1,
он + ая-i + 4ося = —1/2,
которая имеет единственное решение at=?=—1/12, 2 = 1, ..
При таких a,i величины Mi, определяемые формулой (2),
удовлетворяют системе (1) с точностью (?(Д4). В силу теоремы
Д. 2 норма матрицы, обратной к матрице этой системы, *не пре-
вышает 1/2, и поэтому внесение в правую часть погрешности
порядка О (А4) приводит к изменению решения на величину того
же порядка. Следовательно,
.+o(h% - (3)
144
Точно так же можно получить выражения для содержа-
щие производные функции fix) более высоких порядков. Приве-
дем одно из них: .
Подставляя выражения для Mi и Mi+i в соотношение
mi = -i+1f ~ 4 (2М, + Mi+1)
и выполняя разложение по формуле Тейлора, получаем
,4 .' jв
- .<5>
Используя (4), (1.2) и разложение Тейлора в точке х =•
» Xi +1hi, находим
S (х) - f (x) - f V (X) hSfV (ж) + 0 (fe6)) (6)
где обозначено u = 2(1 — t).
Дифференцируя (6), имеем
S' (x) - f (x) - (x) - Ц^-2 fc‘/v (X) + О (&’), (7)
S" (x) » /" (x) - l-=^ h*f™ (x) + h9r (*) + 0 (/><), (8)
S'" (x) - f" (x) + (X) 4- {x) + о (A3)t (9)
§ 2. АСИМПТОТИКИ ДЛЯ КУБИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ КЛАССА 231
Формулы (6)—(9) /дают х исчерпывающую характеристику
погрешности приближения кубическим периодическим сплайном.
В непериодическом случае все полученные выводы сохраняют
силу, если в качестве граничных условий задать величины М$ и
MN по формулам (4) или величины тп0, mN по формулам (5).
Нетрудно показать также, что (3) имеет место, если в качестве
граничных условий взять соотношения , -
• 1
мк± (- fh^ + 10А-! - 18А + 10/ft+1 - fk+t), к = 2, N - 2.
b/ъ
При этом в формулах (6)—(9) сохраняются слагаемые, содержа-
щие '
Кроме того, формула (4) и все полученные на ее основе ре-
зультаты верны при любых граничных условиях, если только
рассматривается интервал [я,, #i+i], расположенный достаточно
далеко от концов отрезка [а, Ь]; -
„ Отметим, что асимптотические разложения для величин М{,
mi можно получить и для неравномерных сеток. Но в .этом слу-
чае коэффициенты при производных, в отличие от формул (4),
(5), будут зависеть от сетки и их вычисление, за исключением
некоторых частных случаев, требует применения ЭВМ.
Получим. теперь разложение для коэффициентов Ь{ в интер-
поляционной формуле (1.10). В частности, это позволит выяснить
их смысл. Учитывая выражения для узловых значений нормали-
зованных В-спл айнов (таблица 3.9), в периодическом случае на
равномерной сетке приходим к следующей систем’е относительно
неизвестных &,♦:
. 6f^i + 4b<+bt+1 = 6A, f-1, ..., ДГ. (101
Отыскивая ее решение в виде Ьг=/г + получаем
«-1/6, f = l, ..., АГ, и
1.2 п
= * = Р,...,АГ. (И)
Следовательно, на равномерной сетке коэффициент' &< с точ^
ностью O(fe2) равен узловому значению
Если в формуле, (1.10) заменить на 6/, где 16/— Ь<1 = O(A4)t
то в силу свойств нормализованных В-сплайнов сплайн
лг+1
3(х)= s м\(х)
i=—1
будет удовлетворять условию |5(ж) — SGr)l =О(И. Одно из-при-
ложений формулы (11) состоит в том, что на ее основе- можно-
указать эффективный способ определения таких btl не требую*
232 ГЛ. VIII. ЧИСЛЕННОЕ. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
щий решения системы уравнений. Действительно,
Подставляя это выражение в (11), получаем
т. е. можно положить .
—|-(-/г-1+8/{-/{+1), 1 = 0, ...,к \ (12) ,
В итоге получены явные/формулы для Six). Естественно, этот
сплайн не интерполирует заданные значения Д но по порядку
обеспечивает такую же точность приближения, что и интерполя-
ционный. Такие сплайны называются локально аппроксимацион-
ными. Подробнее они рассматриваются в гл. IX.
В заключение параграфа отметим, что использованный метод
построения асимптотических разложений пригоден и для других
сплайнов. _ . • ’
§ 3. Численное дифференцирование на равномерной сетке
Отметим некоторые формулы численного дифференцирования, _
получающиеся, когда для построения кубического сплайна ис-
пользуется равномерная с шагом h сетка. В частности, из (1.10),
используя значения производных нормализованных В-сплайнов
(таблица 3.9), получаем
: S-W-t'--2^ + 4 (2)'
Обратим внимание, что эти формулы по виду совпадают с обыч-
ными разностными аппроксимациями первой й второй производ-
ных. Различие лишь в том, что величины заменены коэффици-
ентами Ь{ разложения кубического сплайна по базису из норма-
лизованных 5-сплайнов. При этом, согласно (2.5), S' =»
«« fi + О (fe4), в то время как (Л+1 — Л-1)/2Д = fi + О (&2). .
Ряд интересных формулх получается на основе полученных в
предыдущей параграфе асимптотических разложений. Возьмем
разностную аппроксимацию второй производной
Комбинируя ее со сплайновой аппроксимацией, в силу (2.3) по-
§ 4; ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ _ 233
лучаем _ . .
. 4 (лл + ~ %+ -i+1) = й + О (М). ' (3).
Таким образом, среднее арифметическое сплайновой и разност--
ной аппроксимацией второй производной дает точность О (А4) ,
хотя в отдельности каждая из них имеет точность О(Л2). -
Учитывая соотношения (2.1), формулу (3) можно записать^
другом виде: -
1 (Mi-x ч- 10Mi 4- Mi+1)-= fi н- о (Л4). ' (4).
При использовании 5-сплайнов, принимая во внимание (2.10)
и (2), из (3) получаем
. (5)
Из (2.9) имеем соотношения
S'" (Xi -) = г (Xi) - 4 /IV (Ж{) 4- o (Л2),
ив которых вытекает формула для аппроксимации
Пожалуй, наиболее неожиданным являетсях следующий результат:
^=LZ^d±i±l = /lv + <?(^) ,(б)
который является следствием разложения (2.4). Несмотря на то,
что iSIV(^) = 0 почти всюду на [а, Ъ\ и, казадось бы, не имеет
смысла составлять вторую разделенную разность от величин Ми
мы получаем аппроксимацию четвертой производной функции
f(x)^ с очень высокой точностью.
* Задача. Получить оценки величин О (Л4) в формулах’ (3), (6) через
производные функции/(«). ' • .
§ 4. Численное интегрирование
Наиболее простой способ получения формул численного ин-
тегрирования для интеграла
ъ :
234 ГЛ. VIII. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
основан на применении аппарата интерполирования. При этом
функция /(ж) заменяете# некоторым интерполяционным сплайном
Six) и в качестве приближенного значения интеграла (1) берется
величина
ь
J S (х) dx. . (2)
а
Погрешность вычисления интеграла (1) можно оценить, например,
следующим образом:
I ь ь ъ '
J f (х) dx — J 5 (ж) dx J.| S (х) — f (х) | dx
I а а а
<(b-a)^S(x)-f(x)y. (3)
Следовательно, достаточно иметь оценку погрешности приближе-
ния функций fix) сплайном Six). Несколько более сложные рас*
суждения позволяют уточнить оценку (3) (см. § 5).
Получим формулы вычисления интеграла 12) для конкретных
сплайнов. Мы будем рассматривать сплайн первой степени Si lx}
и различные виды кубических сплайнов (обозначения такие же,
как в § 1).
Пусть.на [а, Ь] задана сетка Д: а'=хэ< ...<xN = b. Сплайн
Silx) на промежутке [х{, записывается в виде
• SilxY^fili-fi + fi+it.
Поэтому
^S1lx)dx^ Г S1lx)dx = S hi f [/i(l — t) 4- fi+it]dt.
d ‘ 4 ' *=0 0 ,
Отсюда x
% N-l
\Si(x)dx = ^^ki(fi + fi+1)i . (4)
a /«0
Формула (4) есть не что иное, как всем известная составная
(обобщенная) формула трапеций. Особенно часто она использу-
ется на равномерной сетке:
р ' л-*
\S1(x)dx^^f0+h ^l 1 - (5)
а »=!’
Аналогичным образом выводятся формулы интегрирования
для кубических сплайнов; Если Six)— кубический сплайн класса
§ 4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ' 238
С2, то при использовании представления (1.1) получаем
. ь N—l N-1
[s(ж)tfcr = у 2 МА + A+i) + 2 — тж)М (6)
а i=0 ' *“0
На равномерной'сетке вторая сумма в правой части упрощается
и формула приобретает вид
• b 'N—1
§S(x)dx = jf0 + h J A + yAr+^fao — mN). (7)
x a i=1 • * - ' .
Фактически применение этой формулы не требует предварите ль*
ного построения сплайна. Например, если Six) удовлетворяет
краевым условиям типа I, то и?0 = /0,. mn г= /да В других случаях
можно заменить то и ^разностными аппроксимациями.
Совсем просто выглядит формула (7), когда fix)— периодиче-
ская. функция с периодом Ь —а. В этом случае /о = fN, то mN и
" £ N—1
I S(x)dx = h 5 ft.
а . ie0
Эта формула совпадает с формулой трапеций (5). Полученный
результат является частным случаем общего утверждения о том,
что использование сплайнов произвольной степени дефекта 1
для численного интегрирования периодических функций на равно-
мерной сетке приводит к формуле трапеций. Довольно просто
это утверждение доказывается, если использовать^ аппарат
В-сплайнов. Читатель может проделать необходимые выкладки в
порядке упражнения.
Если для Six) используется представление (1.2), то
J S (ж) dx = ± 2 hi (fi +*+1) - ± 2 h* + МН1)- (8)
а i=0 . >=о
Аналог формулы (8) для равномерной ^сеткй проще всего полу-
чить из (7), используя соотношения
т0 = |(2М0fmN = +1(М^ + 2«
Находим
ь -- • .
J5(ж)dж = §(^ + /^)^-g/^(/1 + 7^_1)-h .
а
4-^2 fi'-^(2MQ + Mt + MN..1 + 2MN). (0>
i=2 -
236 ГЛ. VIII. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пусть сплайн Six) записан в виде разложения по 5-сплайнам
’ (140)./Тогда
J *S (rr) &= 2 J В г (я) dx. (10)
О- г=—1 а . _
Интегралы от 5-сплайнов легко вычислить, используя, например,
формулу (8) и таблицу 3.9; Опуская промежуточные вычисления,
запишем конечный результат ,.
. ъ - j
J S (x)'dx = А Ъ^В-г (х0) 4- :•
. а - - • , ; ' .
(Ъ>л 2h 4~ h ^а-г п ч i’l
+ Ьо Цд (х0) + Во (х.) - £ [во (хй) + Во (х,)]} -
' ; ' ' - JV-f • " '
•“ (Xq) -j- 2 (^i-2 4" + Аг + &i+l) —
' , ’ - г=1 ; '
— -j bN-ihNBn-! (xN) + bN Bn\xn) 4—:"N Bn (ЗД-i) —
~~ ~1ЙГ + Bn (^n)} 4^ 4" ^N.+ihN-iBN-pi (xN).
Как видно, использование 5-сплайнов при численном интегриро-
вании приводит к более громоздким* формулам по сравнению о
(6), (8). Исключение-составляет случай, «когда сетка А равномер-
на у концов отрезка [а, Ь]. , *
Для сплайнов Sc(х) и SD(я) формулы интегрирования совпа-
дают соответственно с формулами (6), (7) и (8). .При этом в слу-
чае равномерной сетки целесообразно параметры сплайна Sc(x)
выбирать таким образом, чтобы, обеспечить вычисление величин
UIq, 'mN без решения системы уравнений. Если используется эр-
митов сплайн £з, $(#)•, то в (6),; (7) нужно заменить величины тп<
на fi, i = 0, •..., N.
- § 5. Оценки погрешности формул
численного интегрирования. Интегрирование
с заданной точностью
В предыдущем параграфе при выводе оценки (4.3) мы пред-
полагали, что известна оценка по нормё С погрешности прибли-
жения сплайном S(x) подынтегральной функции fix). Более точ-
ные^ оценки /можно получить, если привлечь поточечные оценки
для погрешности lS(x) — f(x)\. • '
§ 5. ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ
237
При доказательстве теоремы 2.1 для функций/ (я) е W%> [а,Ь] .
была установлена оценка
1И - / (*) 1 < у / (1-01 /" (411м*ь**+Ф х е
Учитывая ее, получаем
ь ь
JV—1Хг+1 •
— ^f(x)dx 2 J I (#)—/(#)
a a i=b Xi
а
N-l J
IbooH.^i+'i} ““
2 f<Q J
г=0 _ 0
' ' , я-i
- -42**1гюм<имЬ.
- , - г—0
Полагая h = max hi, отсюда находим
i г
ь ъ ~ . ..
12
f(x)dx <.^(Ь-а)||ГМ||оо.
tt)
а а
Аналогично, используя поточечную оценку погрешности ин-
терполяции (2.6.21) эрмитовым сплайном 5з, г/#) для f (х) &
€= [а, &], приходим к оценке
Ь
Ь‘
(2)
' t a a . •
Если f (x) e то с точностью до малых порядка
О(Л5) оценка (2) справедлива для кубических сплайнов класса С2
на равномерных'’и близких’к ним сетках. На произвольной сетке
это справедливо при использовании сплайна Sdx) с оптималь-
ными параметрами. ' .
В вычислительной практике широко используется квадратур-
ная формула Симпсона на-равномерной сетке узлов; В этой свя-
ви отметим, что постоянная -в оценке (2) ровно в четыре раззг
меньше постоянной в оценке погрешности формулы Симпсона.
Для формулы трапеций мы установили оценку (1). Приведем
еще одну оценку для этой формулы на равномерной сетке.
Из (4.5) и (4.7) имеем
ъ ь ' . 2
J [•$! И - / (я)] dx.= J [5з>2 (X) - f (х)]Лх + -
-a - g -
238 ГЛ, VIII, ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
. Отсюда, используя (2), получаем
f I- f (х) |dx<g| f'N- Л | + (b- a) Ifv(x) (3)
a ' '
В большинстве случаев можно пренебречь вторым слагаемым в;
правой части (3) и мы получаем очень удобную для практичес-
кого использования оценку.
Пусть требуется вычислить интеграл (4,1) с заданной точ-
ностью 8. На примере формулы трапеций рассмотрим способы
решения этой задачи. Учитывая оценку (1), можно обеспечить
требуемую точность, если, например, использовать равномерную
сетку с шагом z________
h" V(b-WW .
Однако, если f"(x) сильно меняется на промежутке интегрирова-
ния, то такой подход приводит к использованию большого числа
узлов. Это нежелательно по следующем соображениям/Вычисле-
ние интеграла связано с суммированием большого числа слагае-
’ мых. Здесь неизбежно возникают погрешности округления, и их
суммарная величина растет пропорционально где р>0. При
большом N (малом h) эта погрешность может испортить резуль-
тат. Поэтому следует стремиться к использованию сеток с мини-
мальным числом узлов.
Пусть сетка Д такова,, что погрешность интерполяции сплай-
ном на каждом отрезке^ [х<, x<+il не превосходит еь Тогда
ь / 2V-1 **+1
1 J — f(x)\dx^, 2 J ИДх)— /(х^х^вДб-’a). '
Отсюда понятно, что обеспечить заданную точность вычисления
интеграла можно, выбрав сетку, удовлетворяющую условиям
II*$1 (#) — 11с[хг»аг4-1] “ 81 i . ..
Алгоритмы построения таких сеток изложены в § 3 гл. II. Коли-
чество узлов сетки при ,этом будет, как правило, существенно
меньше, чем в равномерной сетке с шагом Л, определяемым из
условия (4).-
§ 6. Интегрирование сильно осциллирующих функций z
J Пусть требуется вычислять интегралы вида <
ъ
j cos ax /(х) dx$ У sin ах/ (х) dx. (1)
6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИЛЬНО ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ 239
При больших значениях параметра а здесь невыгодно исполь-
зовать квадратурные формулы, основанные на замене сплайном
всей подынтегральной функции, так как это потребует большого
числа узлов. Более удобные формулы получаются, когда функции
cos аж, sin аж рассматриваются как весовые, а сплайном прибли-
жается только /(ж). Будем использовать с этой целью сплайн
первой степени Si (ж) и кубический сплайн 5(ж) класса С2.
Вначале вычислим интеграл
Ь N—1 JL
: J e^S^x) dx = 2 К f [/ft (1 -1) + dtt'
a k—0 0
где i = V—1.
Интегрируя по частям и выполняя несложные преобразования,
приходим к формуле
ъ
J eiaxS1 (ж) dx =
41
eiaxk+i _
hk
(fk+1
-fk\ (2)
Выделив здесь действительную и мнимую части, получаем
•г> . '
с 1 i •
J cos аж51 (ж) dx = —. — /0 sin аж0 + — fa sin axN +
A’-l
1 cosa#ft+1 — cos
+ ^2i'----------г—~
(3)
ь
С 11
J sin axSt (ж) dx = — /0 cos аж0 — — fa cos аж# +
*
а *
(4).
- Оценим погрешность вычисления интегралов (1). Для
мулы (3) 'имеем
ъ ь
J cos axSt (ж) dx — J cos аж/ (ж) dx
! а ' -а
Ъ
< ||S1 (ж) — / (ж) [о JI cos ах I dx < (6 — а) | Sx (х) — / (х) |ф
фор-
240 гл. viii. численное Дифференцирование и интегрирование
Такая же оценка справедлива й'для .формулы (4). Если, напри*
мер, / (х) Ь], то. погрешность вычисления интегралов (1)
при любом а не превосходит величины
VW''№., - -
Аналогичным способом получаются формулы при замене fix)
кубическим сплайном Six). Используя для Six) представление
(1.2J, получаем
ь ' ’. ' - ’ . .- •
С • 1ахо / л \ iaxN ( \ \
) e^S (х) dx=?-(f0- ± Мо) - f/w - i MN) +
J , « \ a / a \ . a • /
в X / X . , /
1 - 4 X? eiaxk+l _ eiaxk
+ ^2 (2i + 2г) — 2------~hh ---(Mh+i —
где , • . ..
ir-н '
fe=ft *
N-l
\ S = V '*« —L* (e^fc+1 _ ei0“A). - . .
Так как /
n-i - '
IV-1 •'
= -21 hk-ig,aXh (^h-i + 2Mfe) + к^-ге,аХм (JifN—i +
n-1 , “ n-i ' -
2Jh+l ~ rk _ "V fk~ fk-l iaxk ,IN — Irt-1 AaxN-
hh e A hb . e T h~\- . -1 -
ft=0 ft k=0 ft-1 W“1
TO S1 + S2 . приводится К ВИДУ '
S1 + S2 = e‘<wcoj^(2A76 + M1)-^p^]+ •
J* 0 J
+ 2etoft (nr + V13+feft Mh 1+ Mh+1 - (k+\~fk - .
- + Мтг + гад + ^^4
Все выражения в фигурных скобках равны нулю в силу того, что
§ 6. Интегрирование сильно осциллирующих функций 24>
Г . - •
Г для Six) выполняется соотношения (3.1.14). В итоге
' С i eiaXh+1^-eiaXh
J eiaxS (x) dx = - J j 1 ~ Mft) -b -
a t k 0
f . +eiax<>(A + iC)+eiax^{B+ iD), (5>.
где ’ - . . r.
л = 74“^*Т(2М’ + М4
'b - 4 + (М„_, + 2вд1, b - -1(4;Mn - /А
Выделяя в (5) действительную и мнимые .части,, получаем фор*
мулы w . -
ь n-i >
С -4 cos ax, . cos ax,
J cos axS (x) dx = - 1 2 T~'----- +
a 1 - a fc=o . . 1
4- A cos a#0 C sin cu0 +Bcdsa^*—Dsinowc^ (6)
£ 2V-1 . .
f 1 si® aa:b , - — sm axb
sin atgS (x) dx = - 1 У----*±|——-h (Mk+1 - Мй) +
S' . * *=o • h
+ A sin ая0 + C cos a#0 + В sin ax# H- D cos азд. (7)
Отметим, что среди всех известных формул, точных для поли-
номов третьей степени, формулы (5)-г (7) самые простые.
В качестве численного примера рассмотрим задачу о вычислении ко-
эффициентов ряда Фурце для функции е*, х е [—л, л]:
j. . . - у *' .
оо
ех = -1+ (ап cos пх + Ьп sin п£).
. п=1 ' f
Коэффициенты а П1 Ъп определяются формулами *
♦ • л
а = А Г cos nxexdx = (8)
Я Д \ + \ ’
’ л ' ~ '
dn=A f sin nxexdx = L~~ n : T e П\ . (9)
31 J 4 л (1 n?)
—л
В таблице 8.2 для некоторых значений п приведены значепия aw, Ьп, ”
вычисленные по формулам (8) > (9), и an, Ья, вычисленные по формулам (6)
16 Ю. С. Завьялов и др.
242 ГЛ. VIII. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
• • >
(7). Использовался кубический сплайн с граничными условиями типа L
Отрезок [—л, я] разбивался равномерным образом на 20 частей.
Заметим, что примерно такую же точность можно получить, если раз*
€ить отрезок [—л, л] на 500 частей и использовать формулы (3), (4). При
атом общий объем вычислений в несколько десятков раз больше.
Таблица 8.2
п а п . а п . ь п ьп •
‘ 1 10 20 50 100 200 —3,67608 0,0727936. 0,0183346 2,93969-Ю-9 7,35142-10*1 1,83799-10“£ —3,67604 0,0728027 0,0183892 2,94676-10-’ 7,42277-IO"* 1,90866.10-5 3,67608. —0,727936 -0,366691 —0,146984 —0,0735142 —0,0367599 3,67604 —0,727920 —0,366696 —0,146985 —0,0735143 / —0,0367599'
Задачи, а) Оценить погрешность вычисления интегралов (1) по фор*
мулам (6), (7).
б) С помощью формулы (5) вычислить преобразование Фурье от куби*
ческого 5-сплайна на равномерной сетке.
Литература к главе VIII. [2, 14, 18, 22, 23, 34, 35, 56, 58, 63»
79, 93] <
Г л а в, a IX
ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
В предыдущих главах мы уже исследовали методы локально®,
сплайновой интерполяции. Их отличительная черта состоит в томг
что значение сплайна на промежутке между двумя узлами сетки
зависит от значений интерполируемой функции и, быть может,,
ее производных только из некоторой окрестности этого промежут-
ка. В данной главе изучается еще один вид локальной аппрокси-
мации, включающей ряд разнообразных по характеру приближе-
ний, в том числе в некотором смысле наилучших.
Эта аппроксимация основана на представлении сплайнов 'сте-
пени п дефекта 1 на сетке — <»<^о<Ж1<...<Хп< + <» через
нормализованные В-сплайны (§ 3 гл. I), .
Sn (х) в 2 (/)
, . . i ' .
где &<(/) — последовательность линейных функционалов, выбор ко-
торых и . определяет вид приближения. Алгоритмическая сторона
дела состоит в вычислении функционалов Ь<(/), которые выража-
ются обычно через значения функции, ее производных или
разделенных разностей, интегралов и* определяются по данным:
на отрезках [xt, #i+n+il, являющихся носителями сплайнов Вп(х).
В то же время нелокальные задачи, например интерполяционные,
требуют для определения величин bf(/) решения систем уравне-
ний. Это отличие особенно существенно при построении сплайнов
высоких степеней, а также сплайнов двух и более переменных.
Мы изложим основы локальной аппроксимации функций одной
переменной. Распространение большей части результатов, исклю-
чая § 8—10, на случай многих переменных можно провести,
опираясь на представление соответствующих пространств как
тензорных произведений пространств сплайнов одной переменной.
\ § 1. Простейшая формула локальной аппроксимации.
Сглаживающие формулы
Задачи аппроксимации будем рассматривать для ограниченных
функций f(x), определенных на всей действительной оси или ее
отрезке 1а', Ьх1. В последнем случае, чтобы не иметь дела с гра-
ничными условиями, аппроксимацию будем строить на некотором
16* ‘
^44 ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
I - ' ’ ’ . ’ '
•отрезке [а, Ы с: [а', Ь']. При этом на отрезках 1а', а] и Lb, bz]
должно размещаться по п узлов сетки.
В гл. VIII мы видели, что для интерполяционных кубических
онлайнов на равномерной сетке коэффициент с точностью до'
O(h2) равен значению функции в узле интерполяций. Поэтому
начнем изучение локальной аппроксимации с. простейшей фор-
мулы
.. 5n(®) = S/(gi)X(®), . (1)
i •
когда коэффициенты при В-сплайнах суть значения функции в
некоторых точках.
"Выбор последовательности этих точек достаточно произволен,
но не рекомендуется выводить & за пределы интервала-носите-
ля сплайна Вгп(х). Например, в ряде случаев, как увидим ниже,
выгодно принять
Si = “ (Ф+Х Ч- • • • Ч“. #i+n). (2)
В других случаях предпочтение отдадим формулам,
. 5, = < я+1. (3)
Здесь соответствует среднему узлу сплайна Вп(л) при п нечет- -
. ном и середине промежутка рг , х „ ]при , п четном. При
I i+T- i+T+1J
-n = 0, 1, 2 формулы (2) й (3) совпадают при любой сетке узлов,
в при п > 2 только на равномерной.
' Аппроксимация типа (1) может применяться для сглажива-
ния исходных данных. Посмотрим, как; это происходит на приме-
рах п = 0, 1, 2, 3 в случае равномерной сетки узлов. Значения
оплайна (1) в точках Si = # п+1 суть " 7
i+[n/2] • 1 •
где [ ] — символ целой части числа.
Отсюда, используя результаты § 3 гл. I, получаем с точностью
до нумерации точек "
Sq (zt+i/z) — f (#1+1/2)» ,
(#i) = /(#г)»
52 (#1+1/2) = “g“ f'(xi—1/2) Ч 4* / (Хг+1 /2) Ч g“ / (^г+З/г) I
§ 2. АППРОКСИМАЦИЯ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ
245
Две первые формулы соответствуют интерполяции сплайнами
^нулевой и первой степеней. Две другие, как и все_ последующие
-при п > 3, относятся к категории формул локального сглаживания.
Подобного рода формулы известны, например, в теории'сгла-
живания многочленами по методу наименьших квадратов L3J.
Приведенные формулы представляют собой суммы значении
«функции и ее вторых разделенных рГазностей (с соответствующи- ,
. ми коэффициентами)? Поэтому они точны для многочленов первой
степени, т. е. значения •/(#<) таких многочленов ими не сглажи-
ваются. Этот факт имеет место и-при неравномерной сетке узлов,
«если только ^ определяются формулой (2).
Действительно, пусть fix) = а +Ьх. Так как
j * - -
— symx/ •, ^i+h) есть симметрическая функция первой
степени, то в силу известных формул (1.3.8) Sn(x) =*f(x).
Чтобьь не возвращаться более к этому- вопросу, отметим, что
.для целей сглаживания пригодны и общие формулы локальной
аппроксимации, рассматриваемые в последующих-параграфах. Для
сплайнов степени п они могут быть сделаны точными для много-
членов вплоть до степени п. ,
При практическом использовании локального сглаживания
для обработки экспериментальных данных следует иметь в виду,
что хорошие - результаты получаются только при сравнительно
плавном изменении данных и отсутствии грубых : ошибок. При ,
этом сглаживание можно проводить несколько раз, беря йа
* каждом последующем шаге результаты предыдущего в качестве
исходных данных. Контроль естественно осуществлять путем
вычисления разделенных разностей, например, второго порядка
от сглаженных значений. При большом числе сглаживаний, оче-
видно, любой набор данных будет приближаться к кривой, изо-
бражающей многочлен, для которого сглаживающая формула
точна.
Численный эксперимент по локальному сглаживанию кубическими
сплайнами был проведен с округленными значениями функции f(х) = е*
на [0, 1] (таблица 4.1). Погрешность исходные данных 0,05. После десяти
сглаживаний она уменьшилась до 0,01, а Затем вновь стала увеличиваться.
Здесь- проявился эффект стремления сглаженных данных к прямой линии
(формула сглаживания точна для многочленов первой степени), проходя-
щей через неслаживаемые концевые точки исходного множества.
,§ 2. Аппроксимация кубическими сплайнами*
простейшая формула
Рассмотрим локальную аппроксимацию кубическими сплай-
нами по формуле (1.1). При условии (1.2) она точна на много-
•членах первой степени. Изучим погрешность этой аппроксимации
в случае равномерной сетки узлов, когда
246 гл. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
Будем обозначать 83 (х) = 5 (х), Вг3 (х) = Bi+2 (#)• _ В этих
обозначениях формула (1.1) на отрезке lxi9 #i+i] принимает
вид "
\ . $-|*2 '
' $(*)= 2 /(^)вдх). : \ (i>
P=i—1
Из выражений кубических В-сплайнов при равномерной сетг*
ке узлов (§ 3 гл. I) через переменную о получим их выражения
на отрезке lxi9 xi+il через параметр t= (х — х<)/Ь: -
' fii-i w=4- с1 - оз, я. и=4-11+? -j)+3t
В,+1(х) = -±- (1 + 3t + З/2 (1 - t)h Bi+2 (x) = X t3. (2>
Тождества (1.3.8) при n = 3 на этом отрезке имеют вид
• 1*4-2 - . • , '
2 8Ута fap-b ЖР» *Р+1) ВР И = a = °’ 2’3- <3>
G3 P=i-1
Отсюда посредством несложных выкладок при hp = h находим
<4-2 4
2 (xp-‘x^Bp(x) = e(^ha, a = 0,l, 2;3.
р=£-1
' •
Дифференцируя эти равенства по х и переходя к параметру tt
получаем
3 (р - t)a В^р (Xi + th) = 4r), . a = 0,1,2,3. ' (4)
p=-l ’
Величины e(a представлены в таблице 9.1.
Таблица 9.1
a еа . 0 1 2 s
£(0) * са 1 0 1/3 0
. е(1> 0 1/h 0 1/h
е(2> 0 0 2/fc» 0 •
е(3) 0 • 0 0 6A3
§ 2. АППРОКСИМАЦИЯ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ 247
Покажем, что в оценках погрешностей аппроксимации фун-
кций /(я) из классов Ck и к = 0,1, по норме в LMx
|Я<’-)(х)|00 = |5(г)(Ж)-/’-)(х)||ов<Яг (5)
правые части соответствуют таблице 9.2.
Таблица 9.2
Класс функций V Во В1
с 7
—» '
с1 j ha> (Л 3 у <> (/')
П |л2И/Х .
1. Пусть Тогда, используя тождество (4) при а»“
*= г = 0, для х е [xh #<+1] получаем
д(^)= i [/(«{+₽)-/да{+1> и. ‘ (6)
p=-i
Отсюда, учитывая расстояние между точками х<+Р и х, находим
поточечную оценку погрешности'
1Жх) I < <Bi(/)[2B<_i(a:) + В((х) +5(+i(x) + 2j?<+2U)] =
= И{(/)[1+ Bf-iGr) + В,+2(я:)),
тде ©i(/) — максимум колебания функции на сетке узлов ж<-1, ...
.... х1+2, ©j(/) ©(f). Максимум кубического многочлена справа
достигается при t — Q, 1 и равен 7/6.
2. Пусть f (х) е Wlo. Подставляя в (6) разложения значений
f(xi+p) в точке х, получаем
2 ??
/?(*) = & 2 \r^ + *h)dxBi+v(x). х (7)
р=—1 t
Применяя к интегралам неравенство Гёльдера и исключая В&х)
и Bi+i (х) с помощью тождества (4) при с^р=О, 4, г = 0, находим
J Я (ж) | Л | / lz,ee[seJ_1,xi+2] ₽ IР 11 1=4
= 2Мг Loolxi_i,xi+2] u(1 - О + (1 - t)Bi-t№+tBi+2(x)].
248 ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
, Максимальное значение функции справа достигается при ^ = 1/2
и равно 13/24.
' . 3. /(^)^С1. Снова имеем формулу (7). Интегралы в neii раз-
биваются на суммы интегралов по промежуткам [р, p+lJ. Ис-
пользуя теорему о среднем для интегралов, находим
+ (1 “ +В<+2(^)]/,(Ц2) + <+2^Ь
Здесь и далее цр, P+i е (xPi rrP+i), Т)^(яч, Xi+i). Применяя теорему
о среднем для непрерывных функций, получаем
R(x) = MB^xHflxi) - <)] + [—(1 + -
- tBAxlf'W) + (1 ~ + (2 - t)Bi+2(x)f^] +
- / +Bi+2(^)[/'(lrif+l, i+2)-fUi+i)]}.
Используя тождество (4) при a « 1, г = 0, находим оценку
|BU)I < -t) + (2 - DB^xi + (1 tH)5<+2U)]:
Максимум функции „справа достигает при t == 1/2 и равен 1/3.
Дифференцируя (7) по х и снова применяя теорему о среднем
и затем тождества (4), находим
I (*) К ® (/') [! -ЛВ'^ (х) + hB-+2 (х) j. - •
Максимум функции справа достигается при t = 0, 1 и равен 3/2.
4; / (x)g=WIo. Из (6), беря разложения зналений /(жНР), на-
• ходим ' ; ? .V'..’
R (х) =» № 2 ((р — 0 + ^h) dx-Bi+р (л). (8)
Применяя к интегралам неравенство Гёльдера, получаем
. W)i<4-in« 2 (р-о2д<+р(^)<.4-ян~- о>
Дифференцируя (8) по х и снова используя неравенство Гёль-
дера, получаем оценку х .
; 2
. z 2 (p-oalBi+Pnl. ’
р^-1 а
' Сумма в правой ча^сти упрощается, если применить тождеет-
_ во (4) при a = 2, г=1. Так как (х) ^0, В\ (х) ^0,
B'i+i (х) 0,si+2 (^) 0» то н^грудно-получить
_ |Д'(ж)|<л2Й'В»{(1 + 0г1^-1(ж)1 + Нд1,(411. .
§ 2. АППРОКСИМАЦИЯ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ* 249
Максимум функции справа достигается при t«0, 1 и ра-
- цен Д/2. • Т ' .
Посмотрим, как изменится оценка (9), если /(х) С2. Из (8)
но теореме о среднем для интегралов получаем
» 2 ( 2
ад=4- s (р-о2г(^)внр(^)Я-
4 <р=-1
+1/" 011-м) -1" (*гх)1 *<-! (х) + [f (ni+M+2) - Г hl2)] Bi+2 и}. -
Отсюда, используя тождество (4) при а = 2,-г = 0, находим
j»2
ДЯ(х)|<4-{У1с[х.,Х{+1]^(Г)}. > (10)
Здесь существенно то,- что норма функции /" (х) вычисляется на
ютрезке [х.{, ж<+г], а не [x^i, ' -
Наконец, пусть/(х) допускает разложение
- 7(^+Р)=2^^(Р-0а.+ ^(^). •
/ • -. а=5(Г , . ' . ,
Тогда из (6) с помощью (4) можно получить
Л. < ‘
5(Ж)^/(х)+4-/"(^) + С»(Н,
S'(х) = f (х) — ~f'(х)+ 0 (h3) '
Slr\(x) == 7(г) (ж) + О (&4-r), г = 2,3.'
Как видно, порядок приближения функции t по сравнению с
функциями из класса Wlo не возрос, но порядок приближения
первой производной увеличился на единицу. Прозводные высших
порядков теперь также аппроксимируются. :
* Полученные выше оценки имеют место для равномернбй сет-
ки. Но их можно4использовать и при не очень неравномерной
сетке. Это замечание будет уточнено в § 5..
Задача. Показать, что для функции / (#).е формула (1) дает
приближение
V2 _ "
' . s(r>(*)=&) + о(h3~r), r=l,62.
250 'ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
- 1 7 ' /
§ 3. Аппроксимация кубическими сплайнами;
формула, точная на кубических многочленах
В этом параграфе рассмотрим более сложный пример локаль*
ной аппроксимации кубическими сплайнами, а именно:
(х) = 2 + bmfi + bftfi+i) Bi (х) ? (1}
(в обозначениях предыдущего параграфа). Если положить
hiki h • , р •
Ьц =-----з/ГТ-» = 1 — &г,-1 — Ьц, (2}
где + Xf = l — то формула (!)• будет точной
на кубических многочленах. Для этого достаточно убедиться, что
она точна на функциях 1, х, х2, ж3, Последнее проверяется не-
посредственно подстановкой этих функций в формулу (1) и срав-
нением результатов с тождествами (2.3). Очевидно, данную схему
целесообразно применять для аппроксимации в классах Ск и
И^+1при к = 2, 3 (или &>3). На этих классах она даст прибли-
жения с порядком выше О(/&2), в_то время как для простейшей
схемы (2.1) он не превосходит О(Л2).
Изучим погрешность аппроксимации в случае равномерной
сетки узлов, когда ,
—1/6, Ьп = —1/6, Ь<0«4/3,
и аппроксимационная формула И) на отрезке [хь ж<+1] принимает
ВИД . -
Н2 , z , .
5 (з;) =» 2 г---g-/р+1 + ~ ------у Вр (х)> (^
р=г—>1 4
Нахождение оценок остаточных членов аппроксимации Жж) =*
«Жж^— /(ж) представляет здесь несравненно более трудную" за-
'дачу, нежели в предыдущем параграфе. Одна^дело облегчается
тем, что при локальной аппроксимации можно применить мето-
дику с использованием ЭВМ, развитую в гл. II для локальной
интерполяции эрмитовыми сплайнами. Рассмотрим пример.
Пусть /(ж) s Имеют место разложения •
8 (Г) “? •
/ СМ = 2 /_7Г^ ~ ХУ + V J <*₽ “ v dv‘
г=0 . К
$ 3. ФОРМУЛА, ТОЧНАЯ НА КУБИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХ 251
Подставляем значения /р, p = i—2, ..., г + 3, в, формулу оста-
точного члена Я(я) ==*$(#)Если использовать обозначения
*2
Ipk) (<i, *а) = J (Р — *)ft flV (®i + dx,
' <х
то на [xi, #i+i] он принимает вид
,4 * ‘ ч
= 2 I-48ла,г-i).4-8z^(#,»-
z —7^х (t, р +1)] В{+р(«).
Далее, разделяем интегралы на суммы интегралов
по отрезкам [р, р + 1], например:
43' (J, - 2) = - 43) (- 2, - 1) - if (- 1,0) - If (О, t) t
и учитываем тождества
if-i ^2) — 2J.f Gn ^2) + Ip+i (G» ^2) = 6/p1- (^i, ^2)»
вытекающие из свойств разделенных разностей второго порядка.
После приведения сумм интегралов по отрезку [р, р + И к одному
интегралу получаем
' х+. J Фо т) /Iv + Tfe) dx + J Ipo (t, x) /IV (Xi + xh) dx +
4 . 2 ч ’
О/
/(4 (-2, - 1) Bi-x (t) + J Ф1 (t, г) /IV (ж. + xh} dx +
. ' + J Я>1 (t, т)/V (Xi 4- тЛ) dx - Д8> (2,3) Bi+2 (t). (4)
Здесь обозначено
ф1(^ tJ^tC^ + ISt + Tt^iW-CI + tW^^ ?
Фо(£, т) 6т(1 + т)(2 + t)B,-i(Z) — (1 — т)(1 + 4т + 7т2)В,(^) —
— T3Bi+i(i)t
Ш т)^-(1-т)2ВД^)-т(12-18т + 7т2)В1Ч1(«) +
+ 6(1-т)(2-т)(3-т)В<+2и\
Ш т) -- (2 - T)3Bi+i(f) + (1 - т)(37 - 32т + 7t2)B<+2U).
Все остальные вычисления выполняются по программе на
ЭВМ. Таким образом, находится оценка П2?(дт)Ноо. Для получения
оценок производных IIT?(r)(x)IL в выражении (4) достаточно заме-
252 ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
нить В-сплайны их производными r-го порядка; Результаты,
расчетов для рассмотренного примера и других классов функций
сведены в таблицу 9.3.
'Характеризуя формулы (2.1) и (1) кубической сплайн-аппрок-
симации в целом, следует отметить, что при их применении по-
грешность аппроксимации больше, чем при интерполяции куби-,
ческими сплайнами. Это особенно относится к функциям из клас-
сов С3, С4, и Wio и их первым производным. Кроме того, оценки
в таблице 9.3 получены при больших требованиях к гладкости
Таблица 9.3
Класс. функ- ций . Во Bl ва В, ч
с*~ 0,14222*2<»(/") .0,51191 *<о(/") 1,8519со(/") — -
и*/ .0,535з6й?||//"||оо 0,13294*»||/"'lleo . 0,50695*||/"' k- —•
с» о,052495*»®(/"') 0,097014*26>(/"') 0,30904*<в(/"') 1,3361<в(/'")
0,030382М||/ГУ Поо 0,-055556*»||/IV ||те 0,14б87*2Ц/1У||оо 0,59720*||/IV||TO
'Таблица 9.4
h Во
/1(Х) - /а(«) - /4(Х) А(х) /2(») ->з(*)
0,1 0,05 4,5 -10-» 1,4-10-» 0,18 0,043 1,6-ю-2 4,14'0-» 0,17 0,07 4,5-10-» 1,1-10-» 1,8 0,42 5,1-10“» 1,3-10-». •2,9 ‘ 1,5
Табл иц а 9.5<
h Во Bi
А(х) /2(*) /з(Я) f4(x) Л(*) /2(*) /з(х) /«(«)
о,1 0,05 7,6-16-» 5,0-10-’ 0,033 0,0018 2,9-10"» 1,8-10“» 1» 0,067 0,017 2,7-10-» 3,1-10-» о,зГ 0,021 1,2-10-» 1,2-10“» 1,8 0,60
функций, чем в таблице 3.3. Поэтому на практике следует пред-
почесть интерполяцию, прибегая к простым схемам локальной
аппроксимации^ когда по каким-либо причинам нежелательна
решать системы уравнений. Но схемами вида-(2.1) и' (1), как
увидим ниже (§ 10), не исчерпываются возможности локальных
процедур, в частности, для функций из класса С4, >
§ 4. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ЛОКАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 25$
В заключение параграфа приведем результаты численных экс*
.периментов по аппроксимации четырёх функций falx), ]«1, 2^
3, 4, на отрезке [О, И. Обозначения—такие же, как в § 3F-
7 гл. И. Результаты для формулы (4.1) приведены в таблице 974F
а для формулы (It— в таблице 9.5. Погрешность аппроксима-
ции старших производных в последнем случае близка к погрет*
ности, даваемой локальной интерполяцией (таблица 2:6).
§ 4. Общие формулы локальной аппроксимации
' В этом и последующих параграфах мы изучим локальную
аппроксимацию вида (3.1) для сплайнов любых степеней. Пусть
5„(x) = 2h(/)5n(^). (1>
i
причем М/) — линейные комбинации разделенных разностей:
/[gio, ..gig] ДО порядка q « nQ С п?
В связи с этим нам' придется вспомнить некоторые свойства
разделенных разностей. Для функций Ха(х) = они является
однородными функциями координат gjo, . •В частности,,
^g+1 EgiOj -• *• •, ’gig] 3=^giO H" . . . 4* ^iq* •
При равноудаленных_точках £&, $ = 0, ..., q, и четных.q эта
разделенная разность выражается :через #-ю производную, функ*
ЦИИ Xq+i*. ‘ : ",
xg4.iLU...lid = . =(? + !)1«,
где”£<—символ «средней» точки множества {gie}. Если же q не*
четное, то точка, в которой вычисляется производная, не совпа*
дает с точками множества {gU. Чтобы избежать возникающего
несимметричности, w при нечетных q на практике часто берут
сумму с весами двух разностей, отличающихся сдвигом аргумен-
тов на один шаг. Такие разности имеют по q аргументов одина-
ковых и по одному разному. Поскольку порядок аргументов роли
не играет, то подобные конструкции будем обозначать через
/[giQ, . . ., giqfq+ij = ‘ '
. *= %iq/[giO, • • •> gi, д—1» g^-l • ••> gi, g— 1, gi, g+lt-
где 6 < Pig <1, kiq + Pig = 1. При четных# ргд= 0, = 1. Пр^.
q нечетных веса удобно определять из условий
Xg+1 I^io, • • • > ?iq(g+l)] (£io 4“ • • • +
•254 -ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
/ \
Например, если £<ь В<2 соответствуют узлам сетки Xt+i9
-Ъ+ъ, ТО ЦП « hi+i(hi+i + hi+2)~x, Ли e 1 - цп.
Итак, рассматриваем аппроксимацию, когда
По . 4
fri (/) 2=3 2 frig/[ВгОкЛи*"* > ?ig(g+l)L (2)
g=o
тде |io, ..., Bi, g+1 s [#/, ..^i+n+J. В частности, разделенные раз-
ности могут переходить в. производные, если некоторые или все
-точки gfo, ..., g+i совпадают. В зависимости от выбора постоян-
ных biq получаются аппроксимации с теми или иными свойствами.
В том числе, при Ь<о = 1, Ь,дв0, д>0, имеем простейшую схему
(§ 1). -
Мы видели (§ 3 гл. I), что через нормализованные В-сплайны
n-й степени могут быть представлены многочлены степени ио < я.
Для этого служат соотношения
2 ЗУ™» (ж«+1> • • *<+п) Вп (*), а == 0, . . ., П, >(3)
i
•сами относящиеся к формулам типа (1)..
Если функция f(x) имеет и© непрерывных производных, то ее
разложенце по формуле Тейлора представляет собой многочлен
степени по плюс остаточный член. Поэтому можно поставить за-
дачу: определить коэффициенты biq так, чтобы формула (1) была
точной для многочленов степени по. Это значит, что она должна
быть аючной для всех мономов Ха(я)— а = 0, ..., По, что
соответствует равенствам
2 2 biqXa [^i0, ..., ^iQ(g+i)] Вп (х) = Ха (х), а = О, ..п0.
i g=o х
‘Суммирование по q распространяется от 0 до а, ибо разделен-
ные разности более высокого порядка для функции хл равны
нулю. Учитывая (3) и линейную независимость В-сплайнов, от-
сюда для каждого i получаем сортношения
а *
biqXa • • • > 5ig(g+l)] SY^a (^i4-l> • • • > ^i-f-w), (4)
g—0 Gn
♦ а == 0, ..., n0.
‘Они представляют собой систему линейных уравнений для опре-
деления коэффициентов Ь,д, д=0, ..., п$. Матрица системы — ниж-
няя треугольная 'с единицами на главной диагонали, и, значит,
задача разрешима. Ее решение можно выписать в явном. виде.
С этой целью приведем две леммы о симметрических функ-
циях.
_ § 4. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ЛОКАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 255
Лемма 9.1. Имеют место тождества
к ‘
S (—l)“^”asyma(v1,....,Pft) = 0, s=l,...,fc. (5>
а=0
Доказательство проводится методом математической
индукции по числу А:.
‘ Лемма 9.2. Пусть и = (hi, ..., un) и i? == (vj, ..., vq) — два
вещественнозначных вектора и n>q. Пусть определена функция
Ф («, »\= (п — ?)! S, (uZ1 + «!>... (uZg +_vg), (6).
еде — символ суммы по всем размещениям из п элементов
по q элементдв. Тогда
ф (и, и) = - .
я ' >
"= S (п —г + а)!(д — а)! symq_a (ult .u„) syma (и1э..vg). (7>
a=0 " ’ . . .
Доказательство. Прежде всего заметим, что /
\ulx ...Ui,={n-q + 1)2,.^ ... uZa_1( uZa+v... uZg, (8>
♦a ' •
/ . ' ч -
где справа стоит сумма всех размещений из п элементов па ч
q— 1. Процесс дифференцирования можно продолжить.
Так как симметрическая функция symg(tti, ..., ип) есть сумма
всех сочетаний из п элементов по q, то она связана с суммой раз-
мещений соотношением
SeuZ1 ... wZg = g! sym, (ць ..., un). ~ (9>
Из (6), (8), (9) слбдует
л|)(и,0) = (п — g)!g!sym,(ub ...,ип), k
= (n—q + 1)! (q — 1)! sym,-! (ult ..U„),,
= (n — g + a)! (q— a)! symq_a (ub ..un).
S1 • “ sa ' »
Но тогда нетрудно видеть, что (7) есть разложение по фор-
муле Тейлора многочлена г|)(п, v) по переменным Vi, ..., vq в ок-
рестности нуля. Лемма доказана.
Найдем теперь коэффициенты btq из системы (4). Чтобы оп-
ределить коэффициент bih, обе части уравнения с номером а ум-
256 ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
ножим на (“l)*“asyniA-a(£io, ..В/, fe-i) и просуммируем резуль-,
тгаты по индексу а от 0 до к. Получаем
fc a
3 3 ( 1) [Ко, . . Kg(g+1) a (?io, • • •, It,ft—1) =
<x=o q=0 4 ' —•
h k-a *
= 2 —syma<xi+1, /.-•^i+n)symft_a(Ul,...iU-ih (W)
a=o Gn '
к = 0, ..., n0. к
П]эи фиксированном q < к коэффициент при biq в левой части
.равенства есть
. . . к
Pig) в 3 ( 1) Ха [Sio, • • •, Sigfg-hi)] symA—a (Ко,, • • • > K,k—1)«
a=O '
Разделенную разность функции Xa(x) можно представить в_
виде отношения определителей [3, с. 73]. Поэтому
р<«) р(а)
Ха (Ко, • • • ? Kg(g+l)l — Mg ~ + Hig р?<<7+П I
' - _ iq i(g+D
где Diq — транспонированный определитель Вандермонда: ~
1 *io • •• si0
1 %>ia * * *
Diq —
.a Z)^— определитель получающийся из него заменой элементов
• последнего столбца на Ко, • • •., Кд- В .определителях Di(q+i) и
J>i?g+i) ^иесто %iq стоят £<д+ь Имеем
= 2 — У* a ^11 Ь Pi( +1) 3УтА-а (Biot • • -} Si.ft-l)-
"o L {« »W+D J
. (И)
‘Так как определители получаются'из'Diq заменой элементов
последнего столбца на |“о> • • •»т0 = 0 при a < q и
Совершенно аналогично, .Оцд+1) = 0 приа<ди
-Z>i(g+i) = 2>i(9+D- Но тогда из (И) .следует что
P(u’ -1- , (i2)
§ 4. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ЛОКАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ
257
Далее, , • .
* ДгЛ-1 = SYml (?i0, • • 1 + Kfc-ln^ = ' .
== — sym.! (5io* • • ^гЛ-l) + hitk-lXk [SiOi • • •» Si.fe-ll +
+ [£i(h • • Si,fc-2t
Разделенные разности g-ro порядка от Xk(x) = xh являются од-
нородными многочленами относительно своих, аргументов степени
к—q [3, с. 71] Тогда
$Л-1 == — (£io + - • • 4" Мл-1 Gho + • • • + +‘ £гЛ-1) +
+ (£io + • • • + + £гл) Р-гЛ-1 — £i,fe-l)* (^)
Покажем, что - -
P^ = o,. g,= 0, (14)
Для этого в формуле (11) величины (—l)ft“a symA_a(gfo, . г., fe-i)
внесем в определители и Р^+1) множителями элементов
последних- столбцов. Суммируя определители, находим
ft(fc) __ a । „ ^j(9+i)
Pig Niq Т) “Г Hig n >;
iq i(9+l)
где Diq — определитель, получающийся из Diq заменой вектора
последнего столбца на вектор с компонентами
fe •
== 'S (- l)fe-a& symft_a (|{0,. ...•
0^0 ''
fc — 2.
a Di(q+i) отличается от Diq подстановкой на место значе-
ний
При q к — 2 величины: в определителе Diq имеют индекс
s^k — 2 и равны нулю согласно лемме 9.1. Соответствующие ве-
личины в. определителе A(«+i) имеют индекс s С к — 1 и тоже рав- '
ны нулю. Равенства (14) доказаны.
Обращаясь теперь к формулам (10) и учитывая (12) —(14)г
видим, что они эквивалентны соотношениям
V'i.k-l (£ifc — ?i,fe-l) biji-l + bik = .
= ----symfe_a (gi0, ..., htk-i) syma (xft+1, ..., #i+n).
a==0
Заменяя индекс А на q и a на = g — a, окончательно получаем
17 Ю. С. Завьялов и др.
258 гл. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
. (штрихи опугЦены)
g '
bit = 2 symv &<” '•*> ^.9-1) sym«-v fa+i? • • ; *i+n) —
V=o Gn j ' “ ,
— fKa-l (%iQ — Bi.g—1) &i,g—1» 7 “ 0» • • •» nQ* (15)
Здесь при q нечетном g-i=0, а при q четном 0 < Ц/, я-1 < L
Исследуем свойства формул (15). По лемме 9.2 их можно пре-
образовать к виду '
biq = — 2g ’ (^+^-1 “
' ч [4,g—1 (Big Bi.g— 1) ^i,g^l» Q О, • • •, fyw * (16)
где сумма берется пог всем размещениям из п элементов по q.
Отсюда вытекают следующие очевидные свойства коэффици-
ентов biq. \ ' '
Свойство !. Коэффициенты big, q = 0, ..., По, инвариантны .
относительно переноса начала координат. ?
/Свойство 2. Если £г-о определяется формулой (1.2), .т. е.
Вю = ^symx(xi+1, ..., a;i+n); то Ьг1 = 0.
В этом случае, простейшая схема аппроксимации из § 1 будет
точной ’ на многочленах первой степени, что и обнаружилось на
рассмотренных в § 1 примерах.
Далее, исследуем случай, когда
BiO х. , п+1 ч Bis == х. n—s 1 Вм+1 2=1 Х* t n+s , - % (1?)(
г+~Г~ /+“Т“ г+'~Г7+1
: »-1.з......,
В формуле (16) при q нечетном* слагаемые в сумме содержат
множитель вида /#г+/0 — х n+i\ ® пары множителей
(xi+ls-x n_sWxi+W1-х S= 1,3,
\ ’+-2—J\ ’+~.+1/
Для каждого слагаемого найдется сходственное слагаемое, полу-
» дающееся из первого заменой
^i+Z0 xi+n+*-lQ> XW$ "^^i+n+I-Zs+1, xi-hls ^i+n+l-Z^
Эта замена, произведенная в сходственном слагаемом, снова дает
исходное слагаемое. Таким образом1, сумма разбивается на пары
слагаемых. Сходственные слагаемые имеют противоположные
4 § 5' ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН АППРОКСИМАЦИИ 259
знаки. Это следует из того, что
-'о — Xjt "+1
sgn xi+lQ — X, n+1 \ = — sgn
\ 2 I
sgn (Xi+is — X
= sgn is+1 x
i i+-
2
В случае равноотстоящих узлов сетки {х<} сравниваемые множи-
тели (пары) равны по абсолютной величине и, значит, сходствен-
ные слагаемые отличаются только знаками. Справедливо.
Св ойство 3. Если ..., q-i определены, формулами (17<),
то при равномерной сетке узлов коэффициенты biq = 0 для .
нечетных номеров q. \
Пусть формула (1) точна для многочленов степени п. Тогда
при, п нечетном, согласно (17), множества xi+^ ..., xi+n и £<0, ...
..., совпадают. В формуле (16) при q === п сумма берется
по всем перестановкам из- п элементов. Каждая из них имеет 1
сходственную, получающуюся заменой ^+is —
и отличающуюся от исходной только знаком. Отсюда следует.
С в о й с т в о- 4. Если ’g<Oj n-i определены формулами (17),
то при нечетном п коэффициент bin^ 0. Г
§5. Остаточный член аппроксимации
Погрешность локальной аппроксимации будем изучать, как
обычно, для непрерывных и дифференцируемых функций.
Пусть f(x) определена на всей вещественной оси или отрезке
(а', Ь'1. Рассмотрим ее аппроксимацию (4.1) на (а, Ь] <= [а\ Ь'1,
где 1~i задается одной из формул, (1.2) или (1.3).
Пусть f(x) такова, что допускает разложение по формуле Тей-
лора в окрестности точки х':
* ь , ч.
2 /(г) (хГ) _
7 н (а? — *') + рСО- ' (1)
г=0 ’
Остаточный член р(х)есть функция из того же класса, что й
/(ж). Очевидно,' ! , .
р(г)(х)=0, г = 0, к. (2)
Приведем функцию р(х) для двух случаев. -
а) /(х) s СК. Остаточный член можно представить в виде
X
Р СО = J & - (v) dv — & - x')ft. (3)
. X' ’ . , .
260 гл. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ • ”
Отсюда дифференцированием по х с помощью теоремы о среднем
для интегралов получаем
Р (4=-------(к-г)\-----(*“/) * г = 0,(4)
т], е I, I — минимальный интервал, содержащий -точки х и х'.
б) / (х) е Остаточный член возьмем в обычном виде:
ре*)=4" J ~ v)hf<k+i} go dv.-
’ X* - - * - .
Дифференцирование интеграла по параметру х для / (р) е W(£+1>
остается в силе. Получаем , ’
• * X 1
. Р(Г) (*) = J (x-v)h-Tfh+1)(v)dvt г = 0, (5)
X' - ' \
Аппроксимируем функцию /(х) сплайном Sn(x) по формуле
(4.1), полагая По^к. Так как эта формула точна для многочленов
степени по, то справедливо равенство
Sn (%) / Ст) = 2 2! biqP [ёго* • • • > ?iq(q+l)l В^п (#) — Р (#)«.
г 9=0
Дифференцируя обе его части по х и учитывая (3), получаем
для любого х' [Xi, Х^] , .
i п0 ,
I Sn ) (#') — > (х[) = , 2 2 bpqP [5ро, • • • > %pq(q+1)1 [^n (#')] \ ' (6)
p=i—n q— 0 . 1
г = 0, ..., к. , '
Это общие формулы остаточных членов аппроксимации фун-
кции fix) и ее производных. Получим, далее, их Оценки.
В формулах (6) используются данные на отрезке art+n+i].
Условимся считать
- г. -
hi= max. hPi .min hp, -r-^pi<oo.
i—n<p<i+n i—n<p<i+n
Возьмем формулу нормализованного В-сплайна степени nt
Вп (х) = Р+п Р фп № xPi • • • j ^P+rA-lL;
где Фп(»д{)“(—1)п+1(п 4-1) ^х— t)",; а разделенные разности
A § 5. ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН АППРОКСИМАЦИИ " . 261
составляются по аргументу t. Дифференцируя по х, получаем
Фп—1 [♦£> ^р, • • •> *£р+п] фп-1 (#» ^р+1> • • •> Я'р+п—1]
= п_ -В^х)------------------"-—в^х).
^Р+п , хр ^Р+пч-1 — хр+1
Отсюда согласно (4.3) при а = 0 следует оценка
I [М («)]' I < V. (в^-1 (*) + ВЙ (х)) < Л"1.
Продолжая подобным образом, находив, что
г = 1, (7)
Производная n-го порядка В-сплайна разрывна и доопределяется
в точках хР как производная справа (§ 1 гл. I).
Для biq имеем формулы (4.16). Обозначим
ШаХ I Xp^.j ^ps I dpq»
0Cs<Q-l 1 1 t
При этом, очевидно, 1^ — g-il ^dpq. Тогда из (4.16)
I bpq | dpq 4" Цр,д—l^pg | frp,q—1 I*
Величина gP>g-i может быть отличной от нуля только для q чет-
ных. В этом случае* | bp>q-11 dp^i- Так как dpq — ypqhi, Чрч~
const, то _
/ 1 Cpq . Cpq COKSt. (3)
Разделенные разности функций р(я) связаны с ее производ-
ными формулами .
. Р [5ро? • • •, £pg(q+l)] = Р(<7) (5д)>; ,(9)
<= Ipq, I'pq — минимальный отрезок, содержащий точки gp0, ..«
• ••> ?p«(«+h- Рассмотрим два случая. _
a) Из (4) и (9), учитывая,, что — x'l ^Pqki9 при.
q^k находим
I Р ПзрО, • • •> Срд^г Cpq COnst, (Ю)
Oi(/(A)) — максимум колебания функции на сетке точек s, р =
= i—п, i; s = 0, ..., riQ, или точек хР9 р = i—п, ..i + п + £
б) /('x)^W2o+1. Из (5) и (9), используя неравенство Гёльдера,
при q^k получаем
I Р [£ро> • • • >.?P3(g+i)l I cpht 9+ Ц/< + ^||оо, Ср — cons^ (11)
где норма ll/(ft+nJL берется на отрезке [xf_n, xi+n+iJ. *
262 ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
При выводе оценок остаточных членов аппроксимации (6) ог-
. раничимся случаем ^о = А, для которого верны оценки (10) и (11).
a) f(x)^C\ Из соотношений (6) и неравенств (7), (8) и
(10) при х [#<, Xi+J находим (штрихи у х опускаются)
!$•> (х) - /(г) (х) |qx4>xi+1] < (/(ft)), Г = 0, ...., к. (12)
б) /(х)е Из (6) с учетом (7), (8) и (1.1) следует
' 1^ (13)
г = 0, ..., к.
Нами доказана i
Теорема 9.1. Если аппроксимационная фдрмула (4.1) точна
J для многочленов степе,ни к п, то
а) для функций f(x) ^Ск
г==0, ....к-,: •
б) для функций f (я) е . < . .
Js№-/(r)^ r = 0,
где постоянные с не зависят от f(x).
(Оценки (12) и (13) получены в предположении, что =
Применять для рассматриваемых классов функций аппроксимаци-
онные формулы, точные на многочленах более высокой степени, не
Только бесполезно, но в общем случае и вредно. Дело в том, что к
разделенным разностям функции р(&) порядка q=k+l, ...,
нельзя непосредственно применять формулу (9). Предварительно
их приходится привести к разностям порядка к. Поэтому поря-
док аппроксимации функции относительно Л, определяемый произ-
ведениями Ьрдр[£ро, не может ()ыть повышен, коэф-,
фициент же с^,или с^ может увеличиться за счет дополнительных,
членов при суммировании по q. Исключение составляют случаи,
когда при переходе'от схемы с п$ = к к схеме с no = fc + l коэф-
фициент bPt ft+i *= 0 (свойство 4, § 4) и усложнение схемы не
увеличивает константу с. Этот факт будет использован в после-
дующих параграфах.
Достаточно «хорошие» значения констант с вычислить труд-
, но не только при произвольном п, но и для малых п,' например
п == 2 или п = 3. Это сравнительно просто делается лишь в случае
равномерной сетки узлов (§ 3 гл. II).
Как уже отмечалось, при не слишком неравномерной сетке
следует ориентироваться на оценки для равномерных сеток. Уточ-
ним это замечание. Пусть ( 1
Лр = Л< + бр, р I — п, ..., i + п.
§ 6. О СПЛАЙНАХ. ПЕРИОДИЧЕСКИХ НА СЕТКЕ * 263
В формуле остаточного члена (6) коэффициенты bpq суть одно-/
родные многочлены* шагов hp степени q. В разделенных разностях
p££po, .. 4 такими функциями, причем с положительными
коэффициентами, являются знаменатели. Что касается В-сплайнов
и их производных порядка г, то они, будучи разделенными раз-
ностями от усеченных степенных функций, на промежутке lxh
#<+il представляются отношениями однородных многочленов, \
а именно: знаменатели — многочйены степени п от шагов hp,
а числйтели — многочлены степени п—г от тех же шагов и значе-
ний х — х^ Xi+i — х. Но тогда остаточный член (б) может быть
разложен по формуле Тейлора по степеням^ параметров р =?
= i — пк ..., i + п, в окрестности = 0: ,
R (х; Ы-п,... , fei+n).= R (ж; '+ 2 -S- б* + ° <щах '
> 1 Р v hl ' v
Предположим, что 6Р = О (hl). Тогда
. R (х; hi-n, . • •, hi+n) = R (*; hi) [l+O (14)}
Величины R(x* h^n, ..., hi+n) и R(x; hi) одного порядка малости,
а их разность малая более высокого, порядка. В этом смысле при
неравномерной сетке можно пользоваться оценками погрешности,
полученйыми для равномерной сетки. >
Указанное обстоятельство в ряде случаев позволяет/ осущест-
влять аппроксимацию с заданной точностью 8 путем выбора ша^-
гов hi. Например, если f(x) е С2, то, пренебрегая в оценке (2.10)
величиной coi(/") цо сравнению с || f'|1с[х|,зс1+1], в соответствии с
(14) поручаем условие
( . V 4’^i||r|lq«i.Xi+l]C8- ‘Г / ' ;
О решении подобных неравенств уже было сказано в § 3 гл. II. .. z
§ 6. О сплайнах, периодических на сетке
1 Речь пойдет о некоторых' вспомогательных сплайнах,? исполь-
зуемых для построения моносплайнов (§ 7). Они рассматривают-
ся на всей действительной оси. Сетка узлов предполагается рав* |
номерной с шагом h.
На такой сетке, как мы знаем, В-сплайны степени п являются
четными функциями относительно точек, определяемых форму*
лами (1.3):
- - $) = *i+-+4 - ' (1)'
в котррых они принимают максимальные значения.
264 ! ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
Обозначим -
х________________________t(n)
4„(®) = —
и рассмотрим функции вида
S(n, у; х) = (— l)h2 4n(4-Bn (*)• (2)'
г
Эти функции, во-первых, являются сплайнами степени не вы-
ше п + у с непрерывными производными до порядка п — 1. Во-
вторых, 5(n, y; х) ~ периодические функции с периодом h. В са-
мом деле, в силу определения и свойств 5-сплайнов
s\п, у; х + h) = 2Gin (х .4-,Л) Вп(х + h) = 24-1,п (4В^Г1 (х)
i , ' i
= S (п, у, х).
Приведем простейшие примеры такого рода сплайнов, когда
один из параметров, п или у, равен нулю. Если 7 = 0, то
Sin, 0; «) ,= (—1)п. При п—0 В# (ж) = 1 на промежутке lx{, xf+1J
и Bj(x) = O вне его. Поэтому на lx(, x<+i] 5(0, у; а:) = от(х) при
1 + ХА I 1 \
ог = о«о(4 = 4г---r-/- ,
Функция 5(0, 7; х) представляет собой сплайн степени 7 с раз-
рывами в точках иначе говоря, сплайн дефекта у. К сплайнам,
рассматриваемого здесь вида относятся й левые части "тождеств
(2.4) (с точностью до знака).
Для изучения свойств введенных сплайнов в общем случае
установим рекуррентную^ формулу. В (2) перейдем к В-сплайнам
(п—1)гй степени по.формуле (1.3.2):
М W " в;~'« + <*>•
Тогда
S(n,«)-(-1)"2i«?-!.»«]Bl-,и.
г
Из определения о1П(я) вытекают формулы.
Oin (ж) = CTi.n-i (х) — 1, О{_1>то (х) = Oi.n-J (х) -I- -i; -
~ Gi,n—1 (х) + -%, (х)
Подставляя их в выражение Sin, у; ж) и разлагая (oi>n_i(z) ± 1/2)т
J
§ 6. О СПЛАЙНАХ, ПЕРИОДИЧЕСКИХ НА СЕТКЕ . 265-
по формуле бинома, получаем соотношение
S (п,у; ж) = (-1)”2 2 (-1) (т)-Йг-4.;-1+6(т)ИМ-1(а:),
I Ш=0' '
где •
{О, если т четное,
1, если т нечетное. ..
Меняя порядок суммирования и учитывая определение функций
5(п, 7; ж) (2), получаем искомую рекуррентную формулу:
V» 7 2 ^б(’п> с™
S(n,v, ж) = — 2 ( — —/ — — m + (3)
w=o \ Z
• v • •
Для всех т разность тп—6(тп) — четное число. Поэтому, если
Y четное, то параметр у — т + 6(т) пробегает четные значения
от 0 до у. Если у нечетное, то он принимает нечетные значения
от 1 до у. Коэффициент при S(n — 1, у; я) равен (—п + ^/п.
Применяя формулу (3) п раз, подучим .
. S (п, т; .ж) = (-1)"ЗМп, ?)5(0, 7; х). (4)
Здесь az(n, у) — постоянные коэффициенты, причем i
«V(П, Y) = + + . (5)
Формула (4) позволяет установить несколько полезных свойств
рассматриваемых сплайнов. z
Свойство 1. На каждом промежутке [xt, xt+il, 5(п, у; х) яв-'
ляется многочленом от переменной о степени не выше yt
C?nv(tf) = (—1)ПЗМИлТ)<Л» ' . (6)
причем только по четным (Z = 0, 2, ..,, 7) или только нечетным
(I = 1, 3, у) степеням.
Переменная о принимает на концах промежутка [xif xi+i] зна-
чения ± 1/2, а в середине его — нуль. Любая четная функция
этой переменной непрерывна. Нечетная функция обращается в
нуль при о = 0, и, .кроме того, если она непрерывна, то -и в точ-
ках о = ±1/2. В частности, при у четном (нечетном) сплайн
S(n\ 7; х) и все его производные четных (нечетных) порядков не-
прерывны, а производные нечетных (четных) порядков г^п~ 1
непрерывны и равны нулю в узлах сетки и на серединах рассто-
яний между соседними узлами. Отсюда следует, что. если у сплай-
на 5(n, у; х) параметры п й у одновременно четные или нечет- ;
ные, то он обладает непрерывными производными до порядка, п, \
266 I ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ ,
а не только п — 1. Следовательно, при. у п сплайн .будет просто
многочленом степени не выше у. По свойству периодичности он
должен принимать постоянные значения в точках Но такой
многочлен может быть только константой.
Свойство 2. а) При у < п S(n, 7; х} =. const. \ z
б) При 7 > п степень сплайна в точности равна у.
Последнее утверждение следует из того, чт^ в формуле (6)
коэффициент ат(п, у) (5) отличен от нуля.
Установим еще одно свойство сплайнов 5(п, п +1; х). Фун-
кции 5(п, п + 1; х) на промежутке [я», #i+il являются многочле-
нами .^п;п+1(о) со старшим коэффициентом АнлСп, п+1)==?1.
В частности, = о и определено на ,[я<, Xi+i). По рекуррент-
ной формуле (3) находим @12(0) = о2—1/4. Этот, многочлен имеет
{ минимум в точке о = О, а наибольшие значения (равные пулю)
принимает при о = ± 1/2. * ' /
Пусть, далее, п>1. Производные (п+1)-го цорядка много-
членов Qn, n+i (о) суть @n”n+i (<?) = (л+1)Г Интегрируя это равенст-
во по о и учитывая нечетность (?n?n+i (п), имеем
. Сн(0) = (п.+ 1К , (7)
Эта функция меняет знак только в точке о = 0. Она является вто-
рой производной для функции/^n+i (<*)• Последняя поэтому,
обращаясь в нуль в точках о = —1/2, 0, +1/2, как непрерывная
нечетная функция на интервалах (—1/2, 0) и (0, +1/2) оказывает-
ся выпуклой вверх или вниз соответственно и имеет на от-
резке [—1/2, +1/21 два экстремума с равными по величине и
Таблица 9.6
X. п 0 1 2 3 , 4
0 1 о О2 о3 о4
1 —1 z 0 •о2-М./4 2а(а2—1/4) 3(а2—1/4)(а2+1/12)
2 1 1 0 , 1/4 а(а2—1/4) 3(а2—174)2+1/16
3 —1 0 —1/3 - 0 . (а2—1/4)2—1/3
противоположными по знаку-значениями. Таким свойством об-
ладают все функции Q(ntn^i (tf), r= 1, 2, . .., ——. Замыка-
ют этот ряд при п четном многочлен Qn, n+i(o), а при п нечетном
его производная @n,n+i (п) • В’последнем случае сам многочлен
§рть четная функция с экстремумами в точках о — —1/2, 0, +1/2. '
Дтак, доказано
7 § 7. МОНОСПЛАЙНЫ 267
Свойство 3. Сплайны S(n, п + 1; х) на отрезке #<+il
при п четном имеют две точки а = ± о*, в которых они принима-
ют наибольшее и наименьшее значения, а при п нечетном наи-
большие (или наименьшие) значения достигаются при а = ±1/2
,и наименьшее (или наибольшее) значение при о= 0.
В заключение приведем таблицу 9.6 многочленов ()пТ(а), опре-
. деляющих сплайны S(n, у; х), для п = 0, 1, 2, 3 и 7 = 0, 1, 2,3,4.
Задачи, а) Доказать, что сплайн S(n, п + 1; х), п = 0, 1, ..., является ,
х производной "сплайна S(n + 1, п + 2/ х) с точностью до множителя и адди-
тивной постоянной. • . ? . '
Указание. Интегрировать равенство (7) последовательно по о, учи-
тывая четность' или нечетность функций (а)> и положить п = г»;-
0, 1, ... ; - /
б) Показать, что с -точностью до аддитивных постоянных многочлены 1
Qn, n+i(o) совпадают, с многочленами Бернулли степени п + Г [3].
§ 7. Моносцлайны '
, Определенце. Моносплайном степени п+1 , называется
функция
Mn+iCr) == xn+1 — Sn(x),
определенная на всей действительной оси или отрезке [а, Ы, явля-
ющаяся, комбинацией монома xn+l и сплайна степени п дефекта 1.
Эта функция, будучи на каждом промежутке [^t, #+i] много-
членом степени п + 1 со старшим коэффициентом единицей и
имея п 1 непрерывную производную, является сплайном сте-
пени п +1 дефекта 2. , . .
В теории аппроксимации сплайнами моносплайны в извест-
ном смысле играют ту же роль, что и многочлены Чебышева в
классической теории приближения функций. По аналогии мы
изучим вопрос о моносйлбйнах, наименее уклоняющихся от нуля
в какой-либо метрике, в частности, пространств С и L2.
Вначале рассмотрим \моносплайны Z„+1 (x)f /являющиеся ос-
таточными членами приближения мономов t Xn+i(x) = xn+1 каки-
ми-либо сплайнами Sn(x). Используем для этой цели локальную4
аппроксимацию типа (4.1), точную на многрчленах степени п:
- 1 . i ’
Sn (#) = S 5 [£i(h • • • i ?iq(q+l)] Bn (#)• z (1)
г Q=0 . 1 4 ‘
Этох обеспечивает порядок приближения О(Дп+1). .
Моном а7144 по формуле Тейлора в бкрестностй точки х' пред-
ставляется многочленом: ‘ ,
\rn+1 = , (?)n+1+ (n + 1) (х')п(х — х') + . ..
' ' ' ,. •. + + S • • • 2 U - х')п + {X - x')n+1..
268 гл. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
Функция гг') = (ж — играет роль остаточного члена
разложения. Моносплайн +1 (х) как остаточный член аппрок-
симации имеет вид ' .
Ип+1 (#ч) “ 2 S ^гдфп+l \х 5 • * *5 liq(q+l)] Bn (x)t
i g=o
। .
Здесь и далее в этой главе под остаточным членом аппроксима-
ции понимается разность /U) — Sn(x\ а не Sn(x)—f(x\ как это
было ранее. ‘ 1
Функцию х') разложим по формуле, бинома:
п+1 __ . '
;4п+1 х') “ 2 Cn+i^a (#) (£io — х)‘ +1
а=0
где Ха(я) — (я — |,о)а. Тогда получаем
_ ' n+i
Z*+1 (х') — —2 2 Сп+1£га — ^)П+1 ^п (#), (2)
i а=0 . ' .
причем -
' £га ~ 5 • • •» £гд(д+1)]» ОС = 0, . . ., П Ц- 1. (3)
9=0-
Предположим, что сетка равномерная с шагом h и точки
аппроксимации выбраны по формулам (4.17):
•^0 = ^4- lis = Xi+^^-h,
1м+1=,^ + (-1|£ + 1)л1 s- 1, 3,, л,2[-2±1]г- 1.
В этом случае коэффициенты b'iq = bq не зависят от индекса i и
согласно свойству 3, § 6, bq = 0 для_д нечетных. /
„ Далее, разделенные разности Xa[g;0, ...» £ig(o+i)], будучи од-
нородными функциями координат 0, ±А, ..., ±qh, очевидно, рав-
ны нулю, если а — q — нечетное число. Но тогда из (3) следует,
что, во-первых, gia = ga не зависят от индекса I и, во-вторых,
ga = 0 для а нечетных. ’
Моносплайн ъ форме (2) преобразуем, меняя порядок сумми-
рования и переходя к функциям 5(n, y; х) (6.2):
п+1
Z°n+1 (*) = 3 (- irCn+lhn+1~agaS (п, п + 1 - а; х). (4)
а=о •
(Здесь .штрихи ух опущены.)
’ Моносплайн является функцией, периодической на сетке, так
как этим свойством обладают функции 5(n, п + 1 — а; х).
1
§ 7. МОНОСПЛАЙНЫ
26$
Рассмотрим две возможности. * -
а), п четное. В этом случае при а > 0 четных по свойству 3,
§ 6, 5(п, п+1 —а; х) = 0, а при а нечетных ga = 0. В (4) от-
личен* от нуля только один член, соответствующий а = 0, и мо-
носплайн имеет особенно простой вид:
Z°+1(z)^n+15(n, п + 1; х). (5)
б) Пусть теперь п "нечетное. В этом случае при а нечетных
ga = 0 и 5(n, n + 1 — а; х) = 0г а при a > 0 четных эти величины
постоянны, но отличны от нуля. В результате из (4) получаем .
выражение
' 2’+1(^) = /гп+15(п, Ш+1; Ж)+ сп+1 (6)
при ' .
cn+l — "2 Cn+l@n,n+l-a.(0) hn+1 aga. (7)
a=2,...,n-f-i
Примеры моносплайнов при п = 0, 1, 2, 3. Моносплайны оп-
ределяются формулами (5), (6) и таблицей 9.6.
1) п = 0.
Z? (х) — ha. ' (8а) . '
2) п.= 1. Из (7) и (3) следует, что C2 = g2 = 0. Тогда со-
гласно (6) . ‘
Z“(^)==fe2p-|). ‘ (86)
3) ге = 2. .
Z°9(x) =fesa(a2-l). (8в)
4) п = 3. В этом случае по формуле (3) находим #2 =—
и gt — — К1 и затем из (7) получаем с4 = fe4. Тогда соглас--
но (6)
z:(s) = fc4[(a2-l)2+4]. ' (8г)
Эти моносплайны с точностью до сдвига по оси ординат изог
бражены на рис. 9.1, а, в, г соответственно.
Ниже речь пойдет о моносплайнах, наименее уклоняющихся
от нуля. В аппроксимационную формулу (1) добавим пара-^
метры bit п+д:
{п ч
2 biqXn+l [?i0) • • £ig(g+l)l -+ }Вгп(х). (9).
3=0 . J .
270 ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
При рабномерной сетке узлов, сплайна коэффициенты biq>
9“^0, .... тг, не зависят от индекса i. Будем считать, что этим
свойством обладают и величины bitn+1, т. е. при всех г bi>n+1==
= bn-Fb Но тогда моносплайны типов (5) и (6) тоже будут опре-
деляться с точностью до этого параметра:
Zn+n^) = ZU(a)-bn+1/a = l(a;_^±^).' (10)
Для, построения моносплайнов, наименее -уклоняющихся от
нуля, в рассматриваемых • ниже задачах оказывается достаточ-
. ным выбрать подходящим образом свободный параметр &n+i.
а) . . 5)
6) , г)
Рис. 9.1.
Вначале рассмотрим'более простую задачу. v
1. Моносплайны, обращающиеся в нуль' на множестве узлов
' , = *«+*<+' + a*h> г=±=0, ±1, ±2,..., (14)
* z
где о* — фиксированное число, —1/2 о* 1/2.
Этим свойством обладает моносплайн (10) при
bn+i^zU(H- ' <12>
а) При п четном в выражении мойосплайна (10) функция
Zn+i(n) обращается в нуль на серединах промежутков 1я<, xi+il
(а*==0), а при п>0 также на их концах (о*=±1/2). Графики на
рис. 9.1, а и в показывают с точностью до множителя fen+1 пове-,
дение таких моносплайнов при п = 0 и п = 2. >
, § 7. МОНОСПЛАЙНЫ 271
б) При п нечетных функция Zn+i(o) достигает наибольшего
и наименьшего значений в точках о = ~1/2, 0, +1/2. Поэтому
можно добиться, чтобы моносплайн на каждом промежутке
принималл нулевые значения либо в двух точках о* ==
= ±О1, либо в точке (щ = 0). Пусть щ = ±1/2. При п=1
согласно (86) находим Ь2 = 0; график на рис. 9.1, б следует
сдвинуть на — 1/8. При п = 3 в силу (8г) получаем == у Л4,
и график на рис. 9.1, г сдвигается на 1/32. 1
Таким образом, моносплайн Zn41Gr) может иметь либо про-
стые нули Ул, либо двукратные у<о, 2 = 0, ±1, ...
Теорема 9.2. Среди всех моносплайнов Мп^{х) степени.
п + 1 моносплайн Zn+i(x) при условии (12) единственный,^при-
нимающий нулевые значения на заданном множестве узлов у а,
yi2 или yiQ, 1=^=0, ±1, .... • ,
Доказательство. .Предположим, что существует другой
моносплайн Л/п+1(я) с таким же свойством. Тогда разность
Jfn4iGr) Zn+i(x) e Sn(x) есть сплайн степени п дефекта 1 с ус-
ловиями 1) Sntyia) *=0, а==1, 2,~йли 2) 5n(yi0) = 5n(yi0) =
i == 0, ± 1, ... Покажем, что Sn(ff) « 0. При п = 0 и п = 1 это
очевидно, поэтому полагаем п > 2..
Для доказательства воспользуемся теоремой 1.3. Хотя она
сформулирована для всей числовой оси, но/очевидна: ее справед-
ливость и для конечного отрезка [go, gw-n+il, заключающего .
JV — п узлов сплайна и все узлы интерполяции. В качестве тако-
вого возьмем произвольный отрезок [zf, ж<4Р](р^п). В случае 1)
сплайн 5п(я) имеет на нем не менее 2р нулей, из которых мож-
но выбрать р + п, удовлетворяющих условиям (1.4.2). Тогда по
теореме 1.3 получаем Sn(x) 0 на [хь Д:<4?]. В случае 2) сплайн
8п (х) степени: п — 1 имеет на [х^ #i+P] не менее 2р — 1 нулей,z
из которых можно ^выбрать р + п 1, удовлетворяющих услови-
ям (1.4.2). Тогда 5n(,^)s0 и, значит, Sn(x) 0 на [х{, #<4Р].
Таким образом, теорема доказана для отрезка, а в силу его про-
извольности и для всей числовой оси. *
2. Моносплайны, наименее уклоняющиеся от нуля на всей/
числовой оси в метрике пространства С.
а) п четное. В выражении моносплайца Zn+1(x) (10) функ-
ция 2п-ы(о) имеет на каждом промежутке по две точки, в ко-
торых она принимает равные по величине и противоположные
по знаку значения + Еп, не зависящие от номера Если поло-
жить в (10) &п+1=0, то таким же свойством будет обладать и
моносплайн Zn+ ftx) (рис. ,9.1, а и в). /
б) п нечетное. В этом случае функции Zn+i(o) имеют наи-
большие и наименьшие значения на концах промежутков
272 гл? ix. Вокальная аппроксимация сплайнами
[xi,Xi+i] ина их серединах. Чтобы в этих точках моносплайн Zn+iGr)
имел равнее по величине й противоположные по знаку значения
±Еп, следует положить, vb (10) bn+i= -j j^n+i (0) + Zn+i
1
Например, при ^==1 должно бытьЬ2=—у/г2, а при п=3 bt—
= ТйГ^4 (рис. 9.1, б и г).
Итак, построены моносплайны, принимающие последователь-
ность экстремальных значений, равных по величине и чередую-
щихся по знаку, т. е. последовательность точек чебышевского
аЛьтернанса. На отрезке [xt, xi+\] имеем две (при п четном) или
три (при п нечетном) такие точки. Присоединение к нему отрез-
ков слева или справа добавляет по две точки на. каждый отрезок.
Теорема 9.3." Среди всех моносплайнов Мп* i (х) степени
n + 1 для моносплайна Zn4i(x) при '
{0, если п четное, .
[Zn-i-i(O) + Znn-i (1/2)], если п нечетное,
'4 *
имеет место неравенство
|| Zn+i (х) lie II Мп+1 (х) |[с«
Моносплайн Zn^\{x), обладающий этим свойством, единствен.
' Доказательство. Предположим, что существует другой
.моносплайн Mn+i(x), для которого Шп-ь1(^)11с llZn+1(x)llc. Сплайн
Sn(x) = Afn^i(^) — Zn+i(x) на последовательности точек {уи, у&,
i = 0, ±1, ...}, в которых Zn+i(x) достигает максимума или ми-
нимума, удовлетворяет ограничениям
е5п(Уг1)^0, е5пЫ>0, f = 0, (13)
(в = +1 или е = — 1). В тех точках у<а, где выполняются равен-
ства, имеют место соотношения Sn (уга) == S.n (yta) = 0. Нетруд-
но видеть, что при п = 0 и п =z 1 возможны только равенства и
SSx)s 0. Рассмотрим п > 2. • ~ *
Несложный анализ показывает, что сплайн Sn (х) на. произ-
вольном отрезке [х,-, xi+P] (р>п+1) имеет не менее 2р — 2 ну-
лей. Из них можно выбрать р + п — 1 нулей, удовлетворяющих.
условиям^ (1.4.2), и тогда по теореме 1.3 Sn(x) = 0 на Lr,, #i+PL -
Отсюда Sn(x) = 0 на этом г отрезке, а значит, и на всей число-
вой оси« \
3. Моносплайны, наименее уклоняющиеся от нуля в метрике х
пространства Ь%. -
В выражении моносплайна Zn+\(x) (10) постоянную* Ьп+\
. определяем из условия минимизации среднеквадратичного
§ 7* МОНОСПЛАЙНЫ 273
уклонения на промежутке 1^-, я<+11: найти
‘ Xi+i
min J [Zn+i (x) — bn+1]2dx.
Условие экстремальности по параметру Ьп+1 имеет вид
xi+l хг+1
J Zn+i (х) dx = J [Zn+i (х) — Ьп+1] dx = 0. " (14) .
, lxi xi
Отсюда, переходя к переменной о, получаем
J Z°n+1 (<?) do. * (15)
; • . -
Это условие обеспечивает минимизацию Zn+l(x) в среднем на
любом отрезке, кратном fe.
а) п четное. Моносплайн Zn+i(o) есть нечетная функция
о, и потому интеграл в (15) равен нулю< т. е. bn+i == 0. В рас-
сматриваемых нами примерах на рис. 9.1, а и в картина не
меняется. .
б) п нечетное. Здесь Z^i (о) — четная функция, и в общем
случае bn+i 0. В соответствии с (86) и (8г) находим Ь2=—^Л2,
/у /ч'-"
Ь4 ==fe4. Трафики на рис. 9.1, биг сдвигаются на 1/24 й
на —1/480.
Рассмотрим, далее, моносплайны Мпц(х) на отрезке [а, &]
с сеткой узлов х, = а + i/z, i = 0, ..., JV, Ъ = а + Nh.
Теорема 9.4. Среди всех моносплайнов Мп+1(±) степени
п+1, периодических с периодом Ь — а, моносплайн Zn+i(x) при,
условии (15) единственнъщ, для которого среднеквадратичное
уклонение достигает минимального значения, т. е.
ъ . ъ
У Zn+i(^)dx^y Mn+i(x) dx.
а . а
Доказательство. Пусть Jfn+iU) = Zn+1(x) + Sn(x). Нуж-
но показать, что f ,
b ь , ~
У Zn+i (х) dx У [Z2-t-i(x)-j-2Zn+1(x) Sn(x) + Sn (#)] dxt
a a
’-y .
Так как значение интеграла от Sn(x) больше нуля, если
18 ю. С. Завьялов и др.
: V. ' ’ • ,-i
274 ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ 1
’ • \ •
Зп(х) & 0, то достаточно убедиться, что j
ь , ,•
. J zn+1 (ж) Sn (я) dx = 0, (16)
а >
каково бы ни было Sn(я). , 1 n k
' Продолжим сетку за пределы отрезка [а, Ъ] и представим
сплайн Sn(&) через В-сплайны: '
i ' ’ * ' де-i ‘
ад = 2U(4
i=—п . , '
Учитывая периодичность функций (с периодом Ь — а)г можно
представить (16) в виде ’
1 JV-1 ‘xi4-n+i ' ' Ч . 4 ’
2 ) Zn-н (х) Вгп (х) d&=0.
к\ '. 1
Покажем, что в этом»соотношении каждый из интегралов ра-
вен нулю, т., е* , t \ .
' GlnSs $4 Zn+i(x)B^{x)dx = d, i = 0, t ..,N-A. (17)
Пределы интегрирования в (17) соответствуют отрезку, на
котором сплайн Вп (х) отличен от нуля. Вп (я) — четная функ-
ция относительно середины отрезка £i0 ?= яч + —h и обраща-
ется, в нуль на его концах вместе с производными до порядка
п — 1 включительно. . 4
Если п чётное, то функция Zn+i(я), как мы знаем, нечетная
относительно точек &о. Поэтому произведение Zn+i (х) Bh (х) есть
нечетная функция ,и интегралы (17) равны нулю. •' >
Пусть теперь п нечетное. В этом .случае Zn+1Cr)—четная
функция относительно точек При п = 1 на отрезке [х;, xj+\]
сплайн первой степени можно представить линейной функцией
переменной о;о (§ 6). В частности^ Bl U) = а{0 + 1/2 на [жъ я<+1]
< и B]U). =—Of+ito+1/2 на [ж|+1, х^. Тогда из (17) получаем
хг+1 , . . . xt+2 . .
6r^ Zg/^r) -j- — j dx J* Z2 (#) о "Tfy dxv
1 v xi xi+l
Интегралы от произведений Z2(rr)ajo равны нулю как интегралы
от нечетных функций на Lxh rr<+i] и [#<+ь #<42], а интегралы от
Z2(x) равны нулю»согласно (14). Поэтому G\ 0.
J ' J > ' I
/ § 7. МОНОСПЛАЙНЫ ' 275
Остается рассмотреть'случай нечетных п>3. Буд^м обозна- z
чать .через Zn+1,+r(^), г = 1, ..., п—1, последовательность перво-
образных для функции Zrt+i(x). Они определяются с точностью до
констайт. На первом шаге получается функция Zn+2^), которая
в силу (14){ имеет в точках р = I, ..., & + п+1, одинаковые
значения, равные значению константы интегрирования. Следова-
тельно, функция Zn+2(a;) является, как H'Zn+i(x), периодической
на сетке. Если положить константу интегрирования равной ну-
лю, то Zn+2(rr) будет нечетной функцией. относительно середин
промежутков [хр, Ярц]'. Но тогда имеет место
ap+i - ' * ,
j Zn+1+p (x)dx = 0, р = г, I + п. (18)
' 'г .
Здесь г — 1. .На втором шаге получаем четную периодическую*
функцию Zn+3(#) при любом значении константы интегрирова-
ния. Выберем последнею так, чтобы снова выполнялось (18) для J
г —2. Продолжая этот процесс, получим соотношения (18) для
г = n— 1, т. ,е. для функции Z2nCr).
Будем интегрировать в (17) по частям. На первом шаге
получим
• . |х' ai+n+l
G’n = Zn+2'(x) Bln (х) li+n+1 - J Z^ (х)\В*п (x)]' dx.
- . ' . * “i . . '
Согласно свойствам S-сплайнов первый член справа равен нулю.
Повторяя интегрирование по частям п — 1 раз приходим,к фор*
муле . - 1 . | ' ; ’
Gl„^ J Z^WlBtix^-Vdx. ' >.
Но [ffn ' есть сплайн первой степени, и, повторяя рас- /
суждения, сделанные для случая п — 1, приходим к выводу, что
Gn = 0. Это завершает доказательство теоремы./ ,
В заключение отметим, что хотя теоремы 9.2 и 9.3 доказаны
для всей числовой оси, а теорема 9.4 для отрезка [а, Ы с доста-
точно большим числом узлов Сплайнов, но из доказательств не-
трудно видеть, что все теоремы справедливы для конечных от-
резков, если только на них1^ размещается не менее и+ 2 узлов
сетки.' /
Полученные здесь результаты о моносплайнах, наименее ук-
, лоняющихся от нуля, в заключительных параграфах данной
главы используются при решении задач приближений сплайнами, .
близких к наилучшим.
18*
.. ' ' ’ \
/
276 гл. IX. ЛОКАЛЬНАЯ 'АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
§ 8. О задаче квазинаилучшего равномерного '
приближения сплайнамй. Асимптотически
наилучшие приближения
Задача о наилучшем равномерном приближении функции
fix) е С1а9 Ь] сплайнами Snix) степени п дефекта'!, образующи-
ми конечномерное множество {5п(я)} в С1а, &], формулируется
следующим образом. Найти сплайн ~Sn(x) такой, что
I f (*) — $п (ж) ||с[а>Ь] = Еп = min || / (ж) — Sn (х) ||с(а,ь]. (1)
{«»<*>}
Здесь возможны два варианта. Первый, когда сетка узлов
сплайна
А: а = хо < хх < .,. < xN = Ъ (2).' >
фиксирована и размерность множества сплайнов ,п + N-. Этот ва-
риант по методам решения наиболее близок к классическим за-
дачам наилучших приближений многочленами, дробно-рацио-
нальными функциями и.т. п. [23, гл. V]. Второй вариант: число
узлов сетки фиксировано, но их координаты xj, .., Xn-i произ-
вольны. Размерность множества допустимых функций увеличива-
ется до п + 2N — 1,'что не только уменьшает величину уклоне-
ния Епг но и приводит к новым качественным результатам [77, 80].
Мы предлагаем третий вариант. В задаче со свободными узла- 4
ми (ее решение не единственно) привлекаем дополнительные
условия. Разумеется, без ограничений задача (1) смысла не име-
ет, ибо непрерывную функцию fix) можно как" угодно хорошо
приблизить сплайном Snix) за счет выбора достаточно малого
шага сетки. В качестве новых ограничений введем равенства,
подсказанные теорией моносплайнов, наименее уклоняющихся
от нуля. Как было показано в § 7, уклонение моносплайна па
каждом промежутке [rcf, принимает одно и то же значение.
, По аналогии с этим потребуем, чтобы
, II f i^) — (^) 7 = 0,1,..., (3)
Когда структура решения задачи будет установлена, попыта-
емся задавать величину Еп и по ней находить число узлов и
шаги сетки.
Таким образом, вместо задачи (1) на безусловный экстремум
(в первом варианте) или С'простыми ограничениями (2) (во вто-
ром варианте) возникает задача на условный экстремум с огра-
. ничениями типа равенств (3). Не вдаваясь в теорию подобных 4
задач, мы остановимся на практических методах построения их
приближенных решений в предположении, что Еп достаточно
~ мало. * ,
§ 8. ЗАДАЧА КВАЗИНАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ СПЛАЙНАМИ 277
Пусть задана функция /(х) е Сп+1[а, &]. Она дойускает раз-
ложение по формуле Тейлора ’
п+1 ,
t (*)=2 f Г1 х'У+° ((*—х')п+1)>. (4)
г=0 *
Решение задачи приближения ищется в виде
(х) ==5 2 ^iqf I^iO» • • •„> Sig(q4-l)l Вп (х) -f- Sn (#).' (5)
i Ф=0
При этом узлы сплайна не фиксированы; коэффициенты biq вы-
бираются так, чтобы двойная, сумма была формулой- локальной
аппроксимации, точной на многочленах степени п; 5п(х) — про-
извольный сплайн. Согласно результатам § 5 остаточный член
приближения функции f(x) представляется соотношением ,
R (xf) = / (х') — Sn (я') ==
f(n -U 1)! -S 2 [StOf • * »А Big(Q4-l)J Bn (%') —
I . ' i Q=0
Sn (xr) + О (fen+1)r
где Xn+i = (x — У)n+1, fe=maxAi. Замечая, что двойная сумма
справа есть моносплайн (7.2) степени п +1 на произвольной сет-
ке, находимЯштрихи у х опускаются)
R^^^^Z^x)-Sn(x)+o{hn+1); (6)
i \ .
_ Наряду с произвольной сеткой узлов рассмотрим равномер-.
ную сетку с шагом hi. В § 5 мы отмечали, что если шаги нерав-
номерной сетки подчинить условиям hp = hi + О р = i —
— /г, ..., i + п, то остаточные члены аппроксимации для двух сеток
на промежутке lxir будут отличаться на малые порядка на
единицу больше, чем они сами. Ограничения можно ослабить в
отношении порядка hi и продолжить на большее число шагов,
а именно: х
hp = hi + o(hi), p ^i — n, ..., i + 2n. (7)/
Тогда остаточные члены аппроксимации будут отличаться на
малые порядка o(R(x)) на отрезке [х,-, ^+n.+iL В частности, так
как моносплайн Zn+i (х) (^статочный член аппроксимации мо-
нома жп+1)'имеет порядок O(An+I), то на [х£, art+n+i] %n+i{x) —
278 ГЛ. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
—Z*+1(x) = о (л?+1)г где, Zn+i (х) — моцосплайн на равномер-
ной сетке. " \
От сплайна Sn(x) естественно требовать, чтобы он не увели-
чивал порядок остаточного члена O(hn+i) и уменьшал его абсо-
лютное значение. При переходе к равномерной сетке Sn(x) заме-
няем на сплайн Sn(x). /
Представим /(п+1)(я) =/(л+1)(ц) + б, где ц е В силу
непрерывности функции /(л41)(я) величина 6 = /(л+1)(х) —
-*/(л41)(ц) = о(1) при достаточно малых (При произвольном (
hi это справедливо, еслп функция f(x) мало отличается от много-
члена степени п + 1). 1 г.
На приведенных соображениях и осноран прием решения за-
дачи (1) с ограничениями (3). Если все их учесть, то остаточный:
член R(x) можно переписать в виде
'/ . * *
R (*) = I)? Z°n+1(x) - Sn (X) 4- О (fe?+3).. (8>
Итак, остаточный член на, отрезке [х,, Zi+n+il является некоторым
моносилайном Дп+1(я) на равномерной сетке с шагом hi с точно-
стью до малых более высокого порядка. *
Обращаясь к задаче наилучшего приближения (1),. заметим*
что если найдена функция Sn (я) такая, что
II f (#) — $п (х) ||с[хьх1+п+1] — min || / (х) Sn (х) |с[х£х|+п+1 ] ч
для любого промежутка [#<, £i+n+d [а, Ы, то эта функция бу-
дет, решением задачи (1) на всем отрезке [а, Ы. ,
Но на промежутках lxif #i+n+J главная часть уклонения
, R (х) = / (х) Sn (я) (8) является мЬносплайном, и задача ми-
, нимизации сводится к нахождению моносплайна, наименее укло-
няющегося от нуля. Этот вопрос был решен в предыдущем па-
•раграфе. Согласно теореме 9.3 сплайн Sn(.x) »=» cbn+i есть просто
постоянная на каждом промежутке [х«, 3<+n+iL Если взять.
с = + 1)Г /<П+1) (W? то можно представить в виде,
R(x) = cZw (х) + о (ЛГ1) = с [Z“+1 (х) Ьто+1] 4- о (ЛГ1), (9)
где постоянная bn+i определяется теоремой 9.3.
Согласно результатам § 7 максимальные уклонения моно-
сплайна Zn+\(x) от нуляk на промежутках Хрц] U,-, ari+n+U
равны где еп не зависит от hi. По/условиям (3) йа каж-
дом промежутке я<+1] сНа; Ы уклонения Должны б^гть оди-
наковыми и равны Еп. Но это значит, что шаги h{ должны oiipe-i»<
I ' .
§ 8. ЗАДАЧА КВАЗИНАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ СПЛАЙНАМИ 279
делиться соотношениями ‘
; 1 = 1=о,л...я * (Ю)
где я,+1]. Значение сплайна Sn(x) через Еп выражается так:
Sn (х) = sgn fn+1> (Т)) Ent ~Ьп+1 = 1Г+1)Ьп+1. (И)
' еп
В формулах (10) и (11) постоянные &n+i> *п— характеристики /
моносплайна Zn+\(x\ не зависящие от шага hit
Таким образом; мы нашли приближенное рещение Sn(x) (5)
задачи (1) с ограничениями (3). Оно получено в предположениях
(7), которые гарантируют нам, что даваемые им уклонения на
промежутках #<+i] отличаются от заданного Еп на малые бо-
лее высокого порядка., Такую аппроксимацию называем квази-
наилучшим равномерным приближением. Она характеризуется
наличием 2N (п четное) и 2N+1 (п нечетное) точек альтернанса
(§ 7). Достаточный признак обычного наилучшего приближения,
для задачи со свободными узлами требует 2N4rn таких точек.
Поэтому построенное решение при п = 0 и п = 1 можно назвать
асимптотически наилучшим равномерным приближением по
На практике точное решение задачи о наилучшем приближе-
нии требуется лишь в исключительных случаях. В подавляц)1цем
же большинстве примеров / достаточно получить приближения,
близкие к наилучшим. Главное преимущество введенных здесь
нами квазинаилучших приближений в простоте их реализации.
Она сводится к нахождению шагов hi по формулам (10) и вы-»
числению точек и коэффициентов аппроксимации и biq (§ 4),
а также постоянного значения сплайна Sn(x) 111). Все процедуры
описаны в ^предположении знакопостоянства функций /(п+})(ж)
на отрезке [а, Ь]. Если /(”ч‘1)(х) меняет знак в некоторых точках
отрезка, то приходится либо строить приближения по участка^
знакопостоянства /(п+1)(гг), независимые друг qt друга, дибо
как-то находить приближение в окрестности точек, где ?/(п2и) (х) =*
= 0, и к нему добавлять звенья по общему правилу. Такиег при-
меры для сплайнов первой и третьей степеней будут приведены
в последующих параграфах. ,
В заключение отметим, что аналогично можно решать зада-
чу также' о квазисреднеквадратичном приближении функции
f(x) Сп+1[а, Ь] сплайнами степени п дефекта 1, т. е. задачу
минимизации || / (х) — 5П (х) ||ь’2[а,ьз с заданными среднеквадра-»
точными уклонениями на каждом [х<, х^]. Решение можно ис-
кать в виде (5) при Sn(x) *= const. Если для квазинаилучших.
равномерных приближений последнее условие было доказано, то
здесь его приходится принять априори, ибо для установления,
этого факта имеющихся средств (теорема 9.4) недостаточно.
280 >. гл. IX. ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ
§ 9. Асимптотически наилучшие равномерные
приближения сплайнами первой степени
। f k ' -
Решение задачи об асимптотически наилучшем равномерном
приближении функции /(х)^СЧа, Ь] согласно (8.5) и (8.11)
отыскивается в виде
51(Ж) = 2/ ^) 51(х) + &2„ ' (1) ,
i - , ./ • ‘
•
где следует положить = #t+i, чтобы получить формулу локаль-
ной аппроксимации,, точную на многочленах первой степейи.
На отрезке tx^ #t+i] отличны от нуля только два 5-сплайна:
В^1 (я) = 1 — i, B\ (х) = t = (я — Xi)lhi.
Остаточный член аппроксимации на этом отрезке имеет вид
Rix) =* fix) — fi(l — t) — fi+it — b2.
По аналогии с доказательством теоремы 2.2.1 получаем
Я(Ж) = ^|л?/'’(п)«(Г-0-Ь2,1 (2)
где ц ixi, xi+i) зависит от t. Здесь не потребовалось предполо-
жения о близости шагов сетки hi, hi+\.
При &2 == 0 Rix) представляет собой остаточный член интер-
поляции. Его оценки есть
(3)
Чтобы получить 9. асимптотически наилучшее приближение’
следует с помощью параметра Ъ2 осуществить сдвиг остаточного
члена интерполяции на половину его уклонения ч от нуля. Для
этого при заданном Е\ полагаем согласно (8.10), (8.11)
A.fe?|r(ri)l = ^ . . *(*)
Ь2 = — Sgn/"(T])£1/ X- (5)
где ц теперь фиксировано.
, Итак,
. Я(*) = — sgn/" (r|) [8i (Iх—t) — 1] 4-о (fe?) (6)
имеет три точки альтернанса t = 0, 1/2, 1, в которых
= (7)
Особенность наилучшего приближения сплайнами первой сте-
пени состоит в том, что на каждом промежутке lxi9 оно
§ 10. КВАЗИИНТЕРПОЛЯЦИЯ 281
строится независимо от соседних. Поэтому число тбчек^альтер*-
нанса определяется теоремой Чебышева. [2, с. 226], согласно ко-
' торой, чтобы многочлен степени п был многочленом наилучшего
приближения функции на отрезке, необходимо и ч достаточ-
но существования не менее п + 2 точек альтёрнанса.
Изложенные результаты отно- z
сятся к случаю, когда функция / у
/"(х) в области аппроксимации не //
мендет свой знак. При этом, ес- * ^у
ли существует точка яо, в кото- ;_________
рой /"(яо) = О, то в формуле (4) j -----х
при вычислении шага промежут- уу
ка, заключающего эту точку, у
вместо |/"(ц)1 следует взять , у 1
шах | /" (ц) |. Если в точке -' '* /
> Рис. 9.2. ‘
xqj \х) меняет знак, то в окрест-
ности точки аппроксимация долж-
на строиться, исходя из каких-либо других соображений. Самый
простой способ состоит в следующем. Если
f(x) == fGro) + f(x^(x — хо) + р(х),
то звено сплацда задается в виде .
'Si(x)= f(xo) + f(xo){x — (8)
В точке Xq р(х0) = 0, а границы заключающего ее промежутка
[я-i, xj определяются условием |р(ж=р1)Г = причем берутся
ближайшие к х0 корни данного уравнения. На этом промежутке
имеем не три, а только две точки альтернанса. Следовательно,
формула (8) не обеспечивает здёсь наилучшее приближение. Вле- *
во и вправо от отрезка построение сплайна наилучЩе-
го приближения производится по общему правилу (рис.. 9.2).
§ 10. Квазиинтерполяция и квазинаилучшие
' равномерные приближения кубическими сплайнами
Будем применять формулу локальной кубической аппрокси-
мации, точную на многочленах третьей степени, с добавлением
свободного параметра
з ?
1S3 (х) = 22 ^iqf (£10» • • £19(5+1)1 В% {х) -|- (1)
i 9=0
1
где ZiO — Xi+%> £11 = ^1+1» £12 ^i+З» bi0 = lx Ъц =
z 1
v &i2 = — J 1^14-21 ^i3 = 0. "
, ^82 ГЛ.ГХ.^ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ СПЛАЙНАМИ Я
Относительно аппроксимируемой функции предполагаем, что .1
она имеет непрерывные четвертые производные /IVGr) щ значит^. |
представима разложением * 1
; ' 4 ' ‘ ' I
- ' + ' (2> \
г=0 > ь
Остаточный член аппроксимаций в точке х' будет ;
R (х') = / (х') - S3 (х') = 4 /IV (x')Z4 (х'} -2 Ь4 + 'о (hy
где ^Z^(xf) есть моносплайн (7.2) на произвольной сетке. В пред-
положениях (8.7) с точностью до малых порядка d(h4) он заме-
няется моносплайном (7.8г) на равномерной сетке. ;
Замечая, ,что £(1 — t) = 1/4 — о2, получаем х
\й(х)=^-^(п)рД1-08 + |]-Ь4 + оЙ), . (3>
если ц е= [xh я<+1].
1. Квазиинтерполяция. Пусть главная часть R(x\ в точках
t == 0 и t = 1 обращается в нуль, т. е. в этих точках R(x) есть,
малая йорядка o(fef). Такую аппроксимацию назовем квазиин-
терполяцией. Если задана допустимая погрешность, приближения
е, то согласно п. 1 § 7 следует взять. «
^4 W'WI-e,. J . (4}
b4 = sgn/IV(n)-j-s. (5)
Остаточный член квазиинтерполяции имеет вид
ч J?(x) = Sgh/IV'(T1)16ta(l-i)28.+ o(/iO. (6).
' 2. Квазинаилучшее равномерное приближение. Оно реа-
лизуется при заданном уклонении 2?3 формулами i
' 7^|Г(П)| = *„ . (7>. •
b4 = Sgn/IV(ri)-jA- , (8).
Остаточный член имеет вид 4
• 2?(x) = sgn/IV(nH32f (l- 02-11^3+o^i). . (9>
Точки альтернанса суть f = 0, 1/2, 1. х
Если в области аппроксимации имеется точка х^ где /^(ж)
меняет знак, то в ее окрестности уравнение звена сплайна ;
' z
Л \ ‘ ' § 10. КВАЗИИНТЕРПОЛЯЦИЯ 283
* ' ' ' > ’ л
и концы промежутка заключающего точку жэ, можно
определить следующим образом. Пусть Рз(х) — первые. четыре
члена разложения функции f(x)1 (2), и пусть /1У(ж_1) < 0 и
/IVU+i) > 0; Составим уравнения
Р3 (rr^i) — S2 (х^) = ± с$
Рз (жТ1) — 53 (хТ1) = 0,
• Л (*Ti) — S* = =?= d. \
В случае квазиинтёрполяции с —0, d f= 32е, а при квази-
наилучшём приближении с "Еъ, d = Q4Ez. Система шести
алгебраических' уравнений определяет коэффициенты сплайна и
точки x-ц x+i. Она обеспечивает гладкое сопряжение. остаточного /
члена аппроксимации на отрезке [x-i, ar+il с общими формулами
<6)г или (9), в точках х-\, л+цс точнрстью до малых порядка
o((a;+i — я-i)4). В этом же смысле обеспечивается и гладкость
аппроксимационного сплайна. : 1
Литература к главке IX. ГЗ, 4Д 15, 15* 18, 19, 23, 24,- 34, 35, 62, 73,
77,80,81,92,98,100]. ‘ .
Гл^аваХ
МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ
Традиционно метод коллокации строился на основе аппарата
приближения многочленами. Однако в силу сложности реализа-
ции, а также не вполне удовлетворительных аппроксимационных
свойств многочленов этот метод представляет чисто теоретический
интерес. На практике он оказался полностью вытесненным ко-
нечно-разностными методами. .
Метод сплайн-коллокации, в отличие от классического мето-
да, основывается на аппроксимации сплайнами. Такой подход
позволяет построить алгоритмы, численная реализация которых
не сложнее реализации разностных. схем. Принципиальное отли-
чие метода сплайн-коллокации от разностных методов заключа-
ется в том, то приближенное решение находится в виде сплайна
во всей области -определения решения задачи, в то время как
разностное .решение определяется только на сетке. Это позволяет
получить гораздо более полную информацию о точном решении.
В данной главе метод сплайн-коллокации рассматривается на ,
примере краевой задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка.
• § 1. Понятие о методе сплайн-коллокации
Пусть требуется найти решение уравнения
£[у(я)] ® у" (х) + р^хУу’^х) + q(x)y(x) = x^la, Ы, (1|
удовлетворяющее краевым условиям . .
щу(а) + fay'(а) =71, (
О2у(Ъ) + fay'(b) = 72. .
В дальнейшем всюду предполагается, что двухточечная крае-
вая задача (1), (2) имеет единственное решение у(х). Требования
к гладкости у(х), а также ограничения на заданные коэффици-
енты р(х), q(x), г(х); ос», 7<, 1 = 1, 2, будут оговариваться осо-
бо в каждом конкретном случае.
, Введем на [а, &] сетку Д: = xQ < х\ < ... < xN = Ъ. Будем
искать приближенное решение задачи (1), (2) в виде кубическо-
го сплайна S{x\ класса С2 с узлами на сетке Д.
§ 1. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ СПЛАЙН-КОЛЛ ОН АЦНИ 285
Потребуем, чтобы сплайн 5(ж) удовлетворял уравнению (1)
в точках 6J, &= О, ..., N (условия коллокации), и крае-
вым условиям (2): . ,
Ш(£к)] W = r(gk), (3)
. > • • &==0, .... N, '
apS(a) + pi*S"(a) = 71, a#S(b) + faS'ib) = 42* (4) r
Соотношения (3), (4) представляют собой систему алгебраи-
ческих уравнений относительно параметров сплайца. Точки g&
называются узлами коллокации. Их количество определяется раз-
мерностью пространства сплайнов класса С2, которая, как мы
знаем, равна 2V + 3. Так как S(x) удовлетворяет двум граничным
условиям (4), то количество узлов коллокации должно быть рав-
но N-+ 1. Их расположение на отрезке [а, Ь] не может быть
произвольным. Так, например, на любом из промежутков [xiff
ari+i] не должно быть более трех узлов коллокации. В противном
случае сплайн 5(я) на [я,, #1+д] определялся бы независимо от
других промежутков .и, .в частности, независимо от граничных
условий. Ясно, что такой сплайн, вообще говоря, не имеет ника-
кого отношения к решению задачи*(1), (2). Кроме того, очевид-
но, в качестве узлов коллокации не могут быть взяты точки,
в которых коэффициенты уравнения (1) имеют ^особенности^
В дальнейшем мы предполагаем, что узлы коллокации упорядо-
чены: g0 < Bi < • • • < ;
Конкретный вид системы (3), (4) зависит от выбранного спо- »
соба представления сплайна S(x) и от расположения узлов кол-
локации. В. последующих параграфах мы изучим вопросы, свя-
занные с разрешимостью этой системы, и получим оценки по-
грешности |5(х) — у(х)\. Будут рассмотрены и более сложные, по
сравнению с описанным, варианты методы сплайн-коллокации.
х Метод сплайн-коллокации может быть использован как сред-
ство построения разностных схем .(§ 2). Такие схемы обладают
рядом полезных свойств, например, они имеют одинаковый поря-
док точности на равномерных и неравномерных сетках. Однако
этот подход пригоден для сравнительно простых задач и не ис-
черпывает всех возможностей, заложенных в методе сплайн-кол-
локации. Наиболее; полно они могут быть реализованы . только
при использовании аппарата 5-сплайнов'. С этой точки зрения
ведемся изложение в §§ 3—6.
Отметим, что в методе сплайн-коллокации можно использовать
и другие типы сплайнов — более высокой степени, эрмитовы, ди-
скретные и т. д. Однако имейно на основе кубических сплайнов
класса С2 удается построить алгоритмы, наиболее' простые по
реализации и в то же время пригодные для решения широкого
круга задач. ч
286 ГЛ. Х. МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ
§ 2. Сведение схем метода сплайн-коллокации
к разностным схемам
Будем называть разностную схему для задачи (1.1), (1.2) ч
эквивалентной схеме метода сплайн-коллокации, если получаю-
щиеся в процессе их реализации значения , приближенного реше-
ния в узлах сетки -А совпадают.
Простейшие схемы метода сплайн-коллокации получаются,
Когда узлы коллокаций выбираются совпадающими с узлами
сплайна: & i = 0, ..N. В этом случае систему (1.3), (1.4)
можно преобразовать в эквивалентную разностную схему.
Пусть в уравнении (1.1)
. р(х) М. • (1)'
Обозначим S(xi) === ui9 S" (д?<) = М{. Сплайн 'S(x) при х [х{, xi+il
определяется формулой (3.1.10), в которой величины Д, /<+1 сле-
дует заменить на ui9 и,4л. Из (1.3) имеем
Mi + = rh i = Op. ' (2)
где q(xi\ rc-rlxd: Вычисляя отсюда. величины и под-
ставляя их в соотношения (3.1.14), получаем
л Д h? . \ I \ > f h? \ '
& Р ”1 6—1 ------3 И* М “H’Tf ?г+1 I
hh1'
= (щп-х + 2г{ Uri+l), i = 1, .. ..N — 1. (3)
Напомним обозначения
—я», щ = fei-i/Uf-i + hi), ^ = 1-
Далее, используя вытекающие из формулы (3.1.11) выражения
для S'(xo), S'(xN) в уравнениях (1.4) и учитывая (2), находим
«о [“Л — Р1 (1 — у + «А (1 + 4 =
= ТЛ + 4 (2го + г1)< <4)
1-------------------------------------J =
/ * f ' " 1 f / '
' = ---6 (r^-l + ?rw)- (5)
> Уравнения (3)—(5) образуют разностную схему для решения
задачи (1.1), (1.2). Пусть выполнены условия
. Р1<0,ф2, а;>0, |аИ + 1₽Л^0, / = 1, 2, ,?(х)<д<0; (6)
hi-j max {| qi-i I, | qi |} < 6, (7)
§ 2. СВЕДЕНИЕ К РАЗНОСТНЫМ СХЕМАМ 287
Нетрудно видеть, что в этрм случае система (3).—(5) при произ-
вольной сетке Д имеет матрицу с' диагональным преобладанием
.и, следовательно, она однозначно разрешима. ’ ,
Таким образом, реализация метода сплайн-коллокации фак-*
тичёски сведена к реализации разностной схемы. Методом про-
гонки из.^системы (3)—(5) вычисляются неизвестные й<, Z = 0,'... /
..., N. Определяя затем цз соотношений (2) величины ЛГ<, полу-
чаем приближенное решение задачи (111), (1.2)* в виде кубиче-
ского сплайна Six). . .
Оценим теперь погрешность приближенного решения.
Теорема 10.1. Пусть в задаче (1.1), (1.2) выполнены усло-
вия (1), (6), (7). Если ее точное решение (я) е C2W^atOO [а, Ь], то
\\Six)-yix)h- Oih2).
где h'=maxhi. . '
Доказательство. Пусть Siy; я),-—кубическйй сплайн,
интерполирующий на сетке Д решение yix). Нам удобно считать,
что Siy; х) удовлетворяет граничным . условиям типа I. Имеем
v |5(я) — yix)\ <JSU) — Siy; я)| + \Siy; x) — yix)\. (8)
Согласно теореЛе 3.5 1
lS(y; x)-yix)\ = Oih<). > (9)
Учитывая выражения для Six)' и Siy; x), при x₽
находим:
IS (x) — S (y; x) К max | u, — у{| + h* max I Mi — S" (y; x$ |. .
• ’ ’ • г 1 - J •
Для сплайна Siy; x) в условиях теоремы вместо (2) справед-
ливы соотношения 1 / t
S,fiy; xS+qiyi^n + Oih2). i = 0, ..., N. (10)
Отсюда й из (2) _
\М<-8Чу;'хЛ^\уМ^^
Следовательно, ' .
IS (я) — S (у; х)'| < ч- -|-Ь2 II q (ж) Це) max | щ — у{ | + О (/?). (11)
Таким образом, для доказательства теоремы достаточно устано-^
вить оценку величин \и{ — у+\. ? . >
Запишем систему (3)—(5) в матричном виде:
Au — d, (12)'
» • - /
где и —вектор-столбец с компонентами и0, ..., uN. Если при
I
288 гл' X. МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ
выводе системы (12) вместо соотношений (2) использовать (10)
и учесть, что S'(y; xh) = у'(хъ), к = 0, N, то получим -
Ap-d+s, (13)
где компоненты вектора 8 имеют вид , .
е0 = hl-O(h2), ъй — hN-^O(h2'), &i = hi^lhi‘O{h2'),
i = l, ?T;,2V-1.
Из (12) и (13) ' / ' .
' А(.и — у) = е. •
Как уже отмечалось выше, при выполнении условий (6), (7)
матрица А с диагональным преобладанием. Тогда, используя
следствие Д.1, находим
. тах | й,— у{| = О (h2).
i
Объединяя полученный результат с-оценками (И), (8), (9), по-
лучаем утверждение теоремы.
Замечания. 1. Ограничение на функцию q(x) в (6) можно
ослабить до qtx) С 0, если для получения оценки 1и/—#<1 вос-
пользоваться принципом максимума [20]. Во многих случаях
может быть опущено условие (7). Например, если q(x) == q < 0,
то диагональное преобладание имеет место на любой неравно-
мерной сетке. .
2. Попутно мы доказали; что построенная с помощью куби-
ческих сплайнов разностная схема (3)—(5) .имеет точность Of№)
на неравномерной сетке. ,
3.' Условие у (х) е CWa)OO [а, Ь] будет выполнено, если q(&),
г(х)& СТКд.оо [а, Ь]. .
Рассмотренный способ реализации мётода сплайн-коллокации
путем построейия эквивалентной разностной схемы привлекате-
лен своей идейной простотой. Однако попытка распространить *
его на более сложные уравнения, когда рОг) 0, приводит к гро-
моздким разностным схемам, что затрудняет не только их иссле-
дование, но И’ численную реализацию. К тому же практически
невозможно построение эквивалентных разностных схем в слу-
чае, когда узлы коллокации отличны от узлов сплайна. В част-
ности, это не позволяет реализовать одно из мощных" средств
повышения качества схем — выбор узлов коллокации. Все упо-
мянутые недостатки связаны с небходимостью исключения из
систем уравнений некоторых параметров сплайна (в нашем слу-
чае Отметим, что эти обстоятельства менее существенны для,
нелинейных краевых задач в силу того, что для их решения при-
ходится прибегать к итерационным методам и поэтому вместо
исключения параметров их можно брать с предыдущей итерации.
§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В-СПЛАЙНОВ
289
§ 3. Использование В-сплайнов в методе
сплайн-коллокации
Представим кубический сплайн Six) в виде разложения по
базису из нормализованных кубических S-сплайнов (§ 3.8):
2V+1 ' . - '
.5(4= 2 Mi(4 (!) •
1=—1
Чтобы все базисные функции в (1) были определены, сетка Д
должна, быть дополнена узлами < £-2 < < #о, #к+з >
> ^n+2 > Для дальнейшего нам удобно, выбирать их
так, чтобы выполнялись условия
' h-j — hj-i, Ьы-л+з — hy-h ] == 1, 2, 3. (2).
Рассмотрим вначале случай, когда узлы коллокации ^ совпадают
с узлами сплайна xit Подставляя (1) в (1.3), получаем
+bi+iL[Bi+1U1)] =rit
• . • • : . г = 0, ~N. '
Если учесть выражение для узловых значений В-сплайна и
его производных (таблица 3.9), то эти уравнения можно записать
в виде - .
b^Ai+b^+b^B^D., f = O,...,JV, (3)
где - • . '
= . -- Ч—fi—.
Xi+1 — i—-2 \ ° / ' ,
= "----X--“Ь “? +-g
*4+2 ““ *4-1 \ °. /.
Ci = — Aj— Bi + -g qi (hi 4~ hi-i), Di=
Из уравнений (1.4) с учетом условий (2) получаем
Ь-14-i + boC-i + biB-i = Д-i, (4)
&к~14я+1 4* bNCmi + bN+iBtf+i = Dn+i3
где ;
Л-ь -= aifeo “ 3pi, С-i = 2ai(fei + ^о), B-i = cci/^o “Ь 3pi,
Лдг+] = CLzh^-i — 3^2, Сщ г = 2аг(^-2 “Ч й-я-г), Вя+\ ^hu-i 4* З^г
=== 2^^(2Ао “h h\)t Dn+\ == 272(2^-1 4* h^—^)»
Уравнения (3), (4) образуют систему W + 3 уравнений относи-
тельно N + 3 неизвестных Д. Исключив с помощью уравнений
19 Ю-. С. Завьялов и др. -
290 гл. X. МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ
(4) неизвестные b-i и из (3) (это всегда можно сделать при
выполнении условий (2.6)), приходим к системе с трехдиагональ-
ной матрицей
ЬоСо + Ь\В^ = Do,
Ь^{А^ + ЬгСг + Ъг+}В{=рь i = 1, _..,N - 1, (5)
bN_]AN + bNCjj = DNi
~ гда
С — С В-В Ъ —D
J л AN+1B^ ъ r CN+1BN п п DN+1BN
AN= AN-----Б---» CiV = Cn-----Ъ----» UN = 1Jn^---Б----•
^N+l &N+1 ^N+l
' При выполнении условий (2.6) и достаточно малых hi таких, что
1 — ГТ Piki + Ъ 9ihi >0, 1 + j Pihi^ + -g- 0, (6)
система (5) с диагональным преобладанием. Для внутренних
уравнений это непосредственно следует* из формул .для коэффи-
циентов 4,, В{, Ci. Для первого и последнего уравнений в этом
нетрудно убедиться, если принять во внимание (2).
В итоге реализация метода сплайн-коллокации сводится к вы-
числению коэффициентов Ьо,,..., bN из системы (5) и последую-
щему определению &-i, bN+i из уравнений (4).
Теорема 10.2. Если выполнены условия. (2.6), (6) и
' у (х) е 'С2Жд>оо fa, Ь], то
-\\S(x)-y(x)Wc = O^). . (7)
Доказательство аналогично доказательству теоремы
10.1. Отличие состоит в оценке величины 8{х} — 5(у; х). Пусть
Л+1
S (у, г)— 5 biBi (х).
i=-l
Тогда , '
| S (х) — S (у;х) К X | bi —"bi | Bi (x) | |. (8)
i=—1 i
Погрешность аппроксимации e, = LtSty; — п уравнений
(1.1) в узлах сетки А удовлетворяет условиям е,-= ОУг2).
Если записать систему (5) в матричном виде: Ab = d, то
ЛЬ = й+е, причем вектор е имеет компоненты е4 = e/Aj-i+
+ hA/6; Отсюда, учитывая, что матрица А с диагональным пре-
§ 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В-СПЛАЙНОВ 291
.обладанием, согласно следствию Д.1 нетрудно получить оценку
щах | b\ — bi | = О (h2).
Учитывая этот результат, из (4) легко находим, что
=(9U2), 7 = —1, TV-t-1,
и теперь утверждение теоремы следует из (8), (2.9), (2.8).
Перейдем к изучению схем'‘метода сплайн-коллокации в слу-.
чае, когда узлы^ коллокации не совпадают с узлами сплайна. Если
подставить выражение (1) для Six) в (1.3), (1.4), то структура
полученной при этом системы для коэффициентов будет опреде-
ляться выбором узлов коллокации. Например, если на каждом
отрезке [xf, xi+i] расположено не более двух узлов коллокации,
то матрица системы будет, вообще говоря, пятидиагональной. Мы
наложим на выбор Узлов коллокации некоторые ограничения,
которые, с одной стороны, позволят свести реализацию метода
к решению трехдиагональных систем и, с другой стороны, остав-
ляют достаточную свободу действий при построении схем повы-
шенной точности и схем для уравнений с разрывными коэффи-
циентами. “
Будем считать, что число узлов сетки Д четное (N = 2п + 1),
а узлы коллокации gk, к = 0, ..., А/, удовлетворяют условиям
^2г ^2i+ll, ^2£+J, J = 0, . . ., П.* (9>
Таким образом, на каждом промежутке [я2г\ я2*+1-] имеются по
два узла коллокации, а на со- * *
седних интервалах (#2<-1, #2«), ’ р . , Л#' уЧ т , . ~
(Z2.+1, жг.+г) их нет совсем х х .
(рис. 10.1). Заметим, что совпа-
дение узлов коллокации с узла- ✓ Рис-101
ми сетки Д не исключается.
С учетом ограничений (9) уравнения (1.3) принимают вид
b2i^LlB2i^2i}] + Ь2<Ь[В2<(Ь)1 + ' . '
+,b2t-+iL[S2i+i(^2i)] + Ь2гЧ 2^ 1^24+2 (^2»)1 = г(£2Д (10)
^2t~i^[-S2<-i(^2i+i)] + b^LLB^il^i+i)] +
+ b2i+\L[B2i+\^2i^\)\ + b2i^2LlB2i^2i^2i^)] = r(^2£+i)> (И)
i = 0, ..., n.
К ним, добавляются уравнения (4), учитывающие граничные ус--
ловия. Исключив с их помощью из уравнений (10), (11) неиз-
вестные й-ь bN+\, приходим к системе уравнений относительно
коэффициентов &0, ..bN, матрица которой схематически
19* х
292
ГЛ. X. МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ
изображается в виде (знаком «+» отмечены ненулевые элементы)
Рассмотрим вопрос б разрешимости этой системы. Положение
узлов коллокации будем характеризовать величинами [О, 11 г
= хц + ’ &2t+i — x2i + t2i < t2i+i- Чтобы матрица
(12) была с диагональным преобладанием, необходимо > выполне-
ние следующих условий для уравнений (10), (И):
lLlB2i(g2i)] Н> IL[B2i^(Ь)11 + I + шмык
(13)
!L[B2i+1(b+l)]l > 1-^[^2ъ(?2г>1)1 I + |L[B2i-l(^2i+l)] I +
- U[S2i;2(g241)]|. (14)
Исследуем подробнее первое из них прп ограничениях (2.6),
Нетрудно видеть, что при выполнении соотношений
йм<о, в;ж(^)>о, B;i+2(g2i)>o (is)
из тождества j
214-2.
. х S Bj(x) = 0, х е [x2i, x2i+il,
J=2i—1
вытекает соотношение
| B2i (?2i) | = Вы-1 Gki) 4" В2г+1 (?2i) 4" ^21+2 (B2i)
и, очевидно, (13) будет выполнено при всех достаточно малых
Таким образом, задача сводится к нахождению таких ^2i{t2i)t
при которых имеют место неравенства (15). Из них последние
два выполнены при любом ^2i^[x2i, Ж201]. Действительно, при
X е X2i^ li , ’ 1 _
•B2i—.1 (*^) “^^21—1 (^21) (1 — 0 4" ^21-1 (#214-1) t (x %zi)/h2i.
Л . § 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В-СПЛАЙНОВ * 9 293
Согласно таблице 3.9 bL-i (?2i) > 0, B2i-i tei+i) = О* Поэтому
B2i-1 (l2ij>0. Аналогично находим, ЧТО Z?2i+2 (?2г) > 0.
z Далее,
B'ii (я) = В"л fe) (1 — t) + B\i (x2f+1) t.
Так как B^(x2i) В^(#21-н)>0, to B2i (x) обращается в -
дуль в точке х* = x2i + t^h2if где
= v - п = — = 4 _ц h<2i+1 + ^2i +
i+f’ \ <i(^i+i) ^+s^+^2;
Отсюда ясно, что неравенство В 'ц (|2{) < 0 будет выполнено,
если только
i2i<min t* (iz). ’
Функция t*(v) — возрастающая. Поэтому _
min t* (р) > t* (1) = 1/2. '
Итак, узел коллокации £2г должен быть таким, что . .
t2i<l/2. (16)
Обратимся теперь к исследованию неравенства B2i+i GUi) 0.
Функция В2г+1 (#) равна нулю в точке X! =s x2i +-
где
_ 1 ^2i+i (Ж21+1) —4 I ^2i+2 +А<+1 +
1 J+-’ - -
Так как B2i+i (x2i) > 02 то неравенство B2i+i(B2i)^0 будет
иметь место, если Л -
t2i min tl (w). _ ,
- w • ’ '
Введем в рассмотрение характеристику сетки А:
р == max hjhj. (17)
Тогда ?
h2i+2 + Л2г+1 + h2i И + Р) h2i+l+ h2l
^+1+^2г+Л2г-ЛР d + P)^i + PW^Pe
Следовательно, w < 1 + р и min tr (w) = 1/(2 + р). Поэтому^узел
w
коллокации должен быть таким, что
t2i < 1/(2 + р). ~ (18)
Г 3 ' ' . . ; '
L . » •
Р 294 I ГЛ. х- МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ
Сравнивая (16) и (18), получаем, что неравенства (15), а следо-
вательно, и (13) выполняются, если имеет место (18). Точно так
же устанавливается, что (14) выполняется, если
t2i^ > 1 - 1/(2 + р). (19)
Мы показали,, что при всех достаточно малых hi для всех
строк матрицы (12), которые содержат коэффициенты уравнений
вида (10), (И), при ограничениях (18), (19) будет выполняться
условие диагонального преобладания. Для остальных строк (пер-
вой, второй, последней и предпоследней) этот вывод можно полу-
чить, если учесть условия (2), (2.6). В итоге коллокациопиая
> задача разрешима.
Пусть выполнены условия (2.6), (18), (19) и у{х) е
ё [я, Ь]. По аналогии с теоремой 10.2 можно показать,
что при всех достаточно малых Ы для сплайна 5(х), коэффициен-
ты bi которого удовлетворяют соотношениям (4), (10), (11), будет
справедлива оценка (7). •" '
В принципе коэффициенты Ь,о, ..., bN могут быть вычислены
из системы с матрицей (12) путем применения метода прогонки
для пятидиагоиальных матриц. Мы предлагаем более простой и
эффективный алгоритм численной реализации описанной схемы,,
использующий специальную структуру уравнений (10), (И). Суть
его состоит в следующем. С помощью (10) исключим из уравне-
ния (11) неизвестное b2i-i. Затем полученное уравнение исполь-
зуем для исключения неизвестного b2i+2 из (10). Проделав эту
процедуру для всех i = 0, ..., п, объединим полученные уравне-
ния и исключим из них с помощью (4) неизвестные bN+^
В результате придем к трехдиагональной системе относительно
неизвестных 60» • • •, Ьх. Для ее решения рекомендуется исполь-
зовать либо алгоритм немонотонной прогонки, либо алгоритм уни-
версальной'прогонки, так как в процессе преобразования уравне-'
ний (10), (11) возможна потеря диагонального преобладания.
§ 4. Метод сплайн-коллокации для уравнений
с разрывными коэффициентами
До сих пор мы предполагали, что коэффициенты уравнения
1 (1.1), как минимум, непрерывные функции на [а, Ы. При этом
решение задачи (1.1), (1.2) у(х) имеет две непрерывные произ-
водные. На практике приходится сталкиваться с задачами, ког-
да р(я), q(x), г(х) имеют в некоторых-точках отрезка [а, Ь] раз-
рывы первого рода. В этом случае решение у(х) имеет, вообще
говоря, разрыву второй производной в тех точках, где разрывны
коэффициенты уравнения. Эти особенности должны быть учте-
ны при решении таких задач. Естественным выходом здесь пред-
ставляется использование в методе сплайп-крллокации эрмито-
§ 4. УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 295
вых! кубических сплайнов 53>2(^). Однако при всей привлекатель-
ности этого способа следует отметить, что размерность системы *
алгебраических уравнений, с решением которой в конечном ито-
ге приходится иметь дело, будет равна 2(N +1), т. е. в два раза
больше по сравнению с алгоритмами решения задач с гладкими
коэффициентами, рассмотренными в §$ 2, 3. Кроме того, систе-
ма будет содержать неизвестные разной природы (узловые зна-
чения сплайна и узловые значения его первой производной), ко-
эффициенты при которых сильно отличаются по абсолютной ве-
личине. Не приходится говорить и о таком .свойстве, как диаго-
нальное преобладание у матрицы системы.
Мы предлагаем другой подход к решению задач для урав-
нений с разрывными коэффициентами, основанный-на приме-
нении тех же кубических сплайнов класса С2, что и в §§ 2, 3,
но со специальным выбором узлов сетки Д в окрестности точек
разрыва коэффициентов уравнения. '
Пусть ц — точка разрыва по крайней мере одной из функций
#(#), Нх). При построении сетки узлов сплайна S(x) вы-
берем в окрестности ц узлы xh и xk+i так, что
хк< Т] <ar»+1, hk-i
Таким образом, каждая точка разрыва «зажимается» между дву-
мя близко расположенными узлами сетки Д. На выбор осталь-
ных узлов сетки* не накладывается никаких ограничений. Что
касается выбора узлов коллокации, то они могут быть взяты ли-
бо совпадающими с узлами сетки Д, либо отличными от них.
В последнем случае на промежутках, содержащих точки раз-
рыва, не должно быть узлов коллокации. Отметим также, что с
учетом малости длин этих промежутков ограничения (3.18),
(3.19) могут быть существенно ослаблены.
. Эффективность предложенного рецепта, обусловлена тем, что
при указанном выборе сетки Д сплайн S(x) ведет себя в окрест-
ности точки разрыва коэффициентов так же,' как эрмитов куби-
ческий сплайн (см., § 4 гл. _3). В результатеk порядок точности
приближенного решения О(й2), установленный в §§ 2, 3 для
уравнений с достаточно гладкими коэффициентами, сохраняется
и для уравнений с разрывными коэффициентами, если, напри-
мер, потребовать, чтобы решение у(х) принадлежало классу
на промежутках между точками разрыва.
Довольно часто уравнение с разрывными коэффициентами
записывается в виде ’
[к(х)у'(х)У + р(х)у'(х) + q(x)y(x) = r(x), x^la,bl, (1)
где к(х) > 0.
296
ГЛ. X. МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ
В связи с §тим заметим,, что путем замены независимой де-
- ременной х по формуле
х
. - (-Г7Т С2)
J i -
а - '
уравнение (1) приводится к виду, уже изученному:
y"(^) + p(x)/(x) + g(a:)/c(5)y(x) = fc(x)r(x)j (3)
ь -
-®е [О, Т], Т= f-гтт. / '
J к (и)
' а
, Если краевые условия для (1) заданы. равенствами (1.2), то
после преобразования (2) они заменяются соотношениями
aift(a)^(Q) + pij/'(O) = 71Ш),
a2&(b)i/(T) + $2у'(Т) = 72^(6).
В результате применения метода сплайн-коллокации к зада-
че (3), (4) мы получим приближенное решение в виде сплайна
S(x), х^ [О, Л» Чтобы вычислить приближенное решение-ис-
ходного уравнения (1) в точке х^[аг Ы, необходимо вначале по
формуле (2) определить соответствующее значение х.
Иногда более удобно вместо (2) использовать замену
" ' х
В этом случае в уравнении (3) х^[а, Ы,
§ 5. Схемы повышенной точности на равномерной сетке
Построенные в предыдущих параграфах схемы метода
сплайн-коллокации позволяют найти приближенное решение за-
дачи (1.1), (1.2) с точностью О(Л2). Схемы более высокой точ-
ности O(fev), v>2, называются схемами повышенной точности.
В этом параграфе строятся две такие схемы на равномерной
сетке. ~
Пусть сетка Д образована узлами хг = а + ih, £ =» 0, ...,
причем N » 2п + 1 — нечетное число. Рассмотрим на ней
схему сплайн-коллокации с выбором узлов коллокации; удовлет-
воряющих условиям (3.9). Точность метода сплайн-коллокации
зависит от величины погрешности аппроксимации уравнения
3
• - * - - ?
§ 5. СХЕМЫ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ НА РАВНОМЕРНОЙ СЕТКИ 297
(1.1) в узлах коллокации
8ft-LLSQ/; к-О, .., 7V,. (Г)
и погрешности аппроксимации граничных условий (1.2). По-
следняя равна нулю, так как мы рассматриваем сплайн S(y; г)
с граничными условиями типа I. '
Запишем (1) в другом виде:
ек = [8"(У; +
+ q<&nS(y; gk)~y(U], k==0, (2) .
Согласно формулам (8.2.6), (8.2.7) при y(x).e)Ft[e, b] и любых
будем иметь ' ' ,
Sty; = m '
Далее, из (8.2.8) следует, что в двух, точках на каждом проме-
жутке [xh Яг+11 S" (у; £k) — у” (gk) = Oth3). Эти точки суть -
t>n = %i + tih, ^i2=:Xi + t2h, . . .
Ч = 1/2-Уб/3, ^2 = 1-^ = 1/2 + Уб73. (3)
Естественно выбрать именно эти точки в качестве узлов колло-
кации. В этом случае ек 5= O(h3). В дальнейшем такие узлы кол-
локации .будем называть оптимальными. ' J
Итак, в соответствии с условиями (3.9) полагаем ;
|27=^2t + ^lk, §2i+l =#2i+kk,‘ j = 0, ..., п. (4) .
Отметим, что выбранные этим способом узлы коллокации
удовлетворяют -условиям (3,17), (3.18). Вопросы, связанные с *
реализацией схемы й оценкой погрешности, разобраны .в § 3.
Эта-схема имеет точность О(й3) и для своей реализации'требует
решения системы уравнений с трехдиагональной матрицей.
Вторая рассматриваемая схема, строго говоря, уже не отно-
сится к схемам метода сплайн-коллокации. Однако при ее по- '
строении мы существенно используем свойства кубических
сплайнов и, так же как в методе коллокации, приближенное ре-
шение получается в'виде сплайна. '
Пусть Д~равномерная сетка с узлами = а + ih, f==0,
..., N (TV —произвольное), и у (х) е TVt [а, Ь]. Рассмотрим вы- .
ражение (2) в предположении, что ^==х{ и 8(у; ' х)-сплайн, удов-
летворяющий краевым условиям Следующего вида:
S4y;x0) = y"0-^h^, S"Sy,xN) = y^--Lh^.-
Из (8.2.7) вытекает, что -S'ty; хд — y'(xi) = O(k4). Так как
по условиям интерполяции 8(г/; хд ~ y(xi) = 0, то оказывается,
чтое погрешность аппроксимаций (2) определяется величиной
298 < ГЛ. х- МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ
S"Ay\ хд—y"(xi). Очевидно, если повысить точность аппрокси-
мации только величины y'Axi) до O(h4), то е, будет иметь по-
рядок O(fe4). Используем с этой целью аппроксимацию (8.3.3). -
В результате во внутренних узлах сетки А имеем
1 до. + _-1----i2—i±l + PiS'(x^ + qiUi = rf, (5)
z \ . h /
2 = 1,2, . ♦АГ — Г.
После перехода в этих соотношениях к представлению через
В-сплайны (3.1) получаем уравнения
b^2 + &f_I(8~6M + 2^2) + M~18 + 8^ij+ '
+ ^41(8 + 6рЛ+2дЛ2) + Ь1+2==12Л2г<, (6)
' /==1, 2, .... N — 1.
- Присоединим к ним уравнения (3.4), соответствующие крае-
вым условиям задачи. С учетом равномерности сетки они запи-
сываются в виде
b-i(ai^—3^1) + 4&оаЛ + biXocift + 3^i) = .
Ьх-1(-а2& ~ 3[32) + 4bNa.2h + bN+x(a2h + 3(J2) = 6у2й.
В совокупности мы имеем N+1 уравнение. Но количество не-
известных коэффициентов Ь/у нас равно 7V + 3. Поэтому для
замыкания системы необходимы еще два уравнения, причем та-
кие, чтобы погрешность аппроксимации4 для них была O(h4):
Рассмотрим промежуток [хь ^+11. .Учитывая соотношения
(8.2.6)-*(8.2.8), в точках Гь Г*2, определяемых формулами ДЗ),
имеем
L[S(y; Гп)] == L[y(|n)] + 2cW(gtl) “ cp(Wh3yly^i) + O(h4),
IAS(y; Г2Н =Uy(U^-2ch*yAl^
где
c = ТУ Ml - - 2*1) =/3/216.
Отсюда ... •
LtS(y; £П)]+Ш(р; ge)] - ' -
= Ltj/Cgu)] + адв,2)1 + ch^et + e2) + W),
где
Очевидно, ei = O(.h), e2 = 0(h) и, следовательно, величина
LlS(y; gii)] + L[S(y, £f2)] аппроксимирует агрегат L[i/(|ii)]+.
гЬ£[р(£й)1 с погрешностью O(h4), - •
§ 6. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ НА НЕРАВНОМЕРНОЙ СЕТКЕ 29$
! '
На основании этого результата возьмем недостающие урав-
нения в виде
LlS(xj + tih)l + LlS(xj + tzh)] =г{х5,+ ^к) + г{х^121г). •
7=0, tf-1, ’ ’
или, с учетом выражений для 5-сплайнов,
bj_ iAj + bjBj + bj+iCj + bj+2 Ej = Djt j — 0, N — 1, (8)
где ' ‘ " / •
Л* — 1 + nr ~6~ ^’2 —2~ ~2* • -
7 ,2 ,2 X
Вj = — 1 + -g- [4 + ti (— 6 + 3Q] qji + ~[4 + (—6-|~3^2)] £/2.4*
r + —11(— 4 + 3£jl)pj1 +ту^2(— 4+ 3f2)pj2,
<2 . ‘ ,2
Cj/= 1 + “g~[4 + ^2 (— 6 + 3f2)] Qji + -g- [4 + ti (.—6-1-3^)] qj2 +
+ ~ 4 (1 + рп 4- -y fi(l+3£2)pj2,
Ej = 1 -h~ tifyi + "g“ ^2^2 + — tiPji + ~
+ Pjk = P(^+tkty,
qjk=q(xj^tkh), rjk^r(xj + hh).
Уравнения (6), (7), (8) образуют. пятидиагональную систему
уравнений относительно неизвестных &-i, ..., bN+i. Если с по-
мощью уравнений (7) исключить из нее неизвестные b-i и bN+i,
то при выполнении условий (2.6) у полученной системы матри-
ца будет с диагональным преобладанием для всех достаточно
малых Л. Отсюда, принимая во внимание установленные выше
оценки о погрешности аппроксимации, нетрудно показать, что .
построенная схема имеет точность O(h^
§ 6.- Схема повышенной точности на неравномерной сетке ,
Пусть на [а, &] задана, вообще говоря, неравномерная сетка
Д: а = хо < ^2 < ^4 <..•.< Х2п < #2n+i = b. В окрестности каждого
из ее внутренних узлов Х23, 7 = 1, ..п, возьмем точку X2j-i та-
ким образом, чтобы выполнялись условия
X2j — X2j-\ = amin{X23’-X2^2,X2j+2 — ^2), (1)
где а < 1 — достаточно малое положительное число и принято
Х2п+2 = X2n+i*. Обозначим через Д сетку, составленную из узлов
xh i « 0,...2п + 1.
300 ГЛ. Х. МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАШЙ!
Задачу (1.1), (1.2) будем решать методом сплайн-гколлокации
с использованием кубических сплайнов класса С2, определенных
на сетке А. Узлы коллокации выберем по правилу _ I *
%>2j = + tlhth bj+l a=^2j + ^2j, / = 1, .и, (2)
^ = 1/2-У37б, ^ = 1-^1 = 1/2 + У37б.
Таким образом, отличительной особенностью предлагаемой
схемы является специальный выбор узлов сплайна и узлов кол-
локации. Напомним, что такие схемы для произвольной сетки и
их численная реализация Подробно рассмотрены в § 3. Предпо-
ложим, что выполнены условия (2.6). В,§ 3 исследование су-
ществования приближенного решения и анализ его погрешности
опираются' на наличие диагонального преобладания в матрице
системы- для коэффициентов bit Это свойство имеет место при
выборе узлов коллокации так, чтобы удовлетворялись ограниче-
ния (3.17), ’ (3.18). В нашем случае онизаведомо нарущаю!ся.
Однако, если учесть специальный вид сетки А, то,^ повторяя рас- ...
суждения § 3, нетрудно показать, что для узлов коллокации (2)
й . достаточно малых а матрица системы будет с диагональным
преобладанием при
р* = шах г^<]/3. ' (3)
К-j|=l n2j „
Это ограничение на шаги сетки А в дальнейшем предполагается
выполненным. Так как а. мало, то его можно трактовать как
ограничение на соотношение соседних шагов исходной* сетки А.
В предыдущих параграфах получение оценок погрешности
приближенного решения ; основывалось на введении вспомога-
тельного сплайна $(х) и использовании неравенства
|5(гг) —^(а:)| 15(0:) —^(а:)Г4-^(а:) —^U)|. ~ (4)
В качестве S(x) выбирался интерполяционный сплайн Sty; х).
Такой подход позволяет использовать для оценки второго
слагаемого в правой части (4) известные результаты. Что же
касается величины ISGr) —S(#)l, то при наличии у матрицы
системы для неизвестных диагонального преобладания вопрос '
об ее оценке сводится к исследованию погрешностей аппрокси-
мации сплайном S(х) краевых условий (1.2) и уравнения (1.1)
в узлах коллокации
еа = aySCa) + Р15'(а) — 71, еь = аг«5(Ь) + faS'tb) — 72,
е£ = Ш^)к-г(^), f = 0, ..., 2п+1. (5),
Из результатов § 4 гл. 3 следует, что эрмитов сплайн S3, г(^\
определенный на сетке А, можно рассматривать как предельный
Г § 6. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ НА НЕРАВНОМЕРНОЙ СЕТКЕ 301
случай (при а0) кубического сплайна класса С2, ~ определен-
ного на сетке А. Принимая во внимание это замечание, будем
использовать в формулах (4), (5) в качестве Six) кубический
эрмитов сплайн Hix). Отметим, что сплайн Hix) строится спе-
циальным образом и не является интерполяционным для функ-
ции yix). Поскольку в дальнейшем изложении используется
только сетка А, то в целях сокращения записи перенумеруем ее
узлы так, что А: а = x'q <. Xi <.. .< xn+i = b- Соответственно фор-
мулы, для узлов коллокации,. принадлежащих отрезку [xi9 яцлЛ
запишем в виде
%>г ~ "Т~
Предположим, что решение задачи (1.1), (1.2) у (х) е [а, 6].
Пусть 5з>2(у; х) — эрмитов сплайн, интерполирующий функцию
yix).Определим сплайн Hix) соотношениями
Н (а) = S3t2(y;a) = у (а), Н (b) = S3}2 (у; Ь) = у (&), -
Н" (?{) = S3t2 (у; 4?^i^iI/4-1/2 Pi+l/2C2^il/i+l/2> g
H" (&<) == S3t2 (y*, %i) — Сд^1у!+1/2 “F Pi+l/2C2^iI/i+l/2j
f = 0, ... , n, -
где ; ' : ' ' •
, \ =-i- (1 -/2ix) [1 - 10^(1 - tji, c2 = \ (1 - (1 - 2JJ,
J Pi+1/2 = P + “y, I/i+1/2i = У ”2”/*
Покажем, что Hix) существует и единствен. Из теории диф-
ференциальных уравнений известно, что решение задачи /
- - . U"ix)^Jix), хе[а, Ь], Ща) = ЩЬ) = 0 '
может быть получено по формуле
- ‘ . ь ' •
. , и (х) = J G (х, I?) / (v) dv, _ (7)
где функция Грина Gix, v) определена соотношениями
302 ГЛ, X- МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ
.Функция Н" (х) линейна на каждом промежутке [яъ xi+i] и
в соответствии с (6) записывается в виде
(t —-1 \ н" (Е;) 4“ К — П Н" (IЛ
' Н” (4 = “-------12--) (^, *e=[^i+1], (9)
2 1 Х
где^ t = (х — хд/hi.
Разность U(x) — Н(х) — х) можно, очевидно, рассмат-
ривать как решение краевой задачи
t7"(x) = t7"(x), t7U)==t/(b)-0.
Тогда, используя формулу (7), получаем
Н (х) — S3,2 (у; х) + J G (х, v) U" (v) dv. . - (10)
Тем самым доказано существование й единственность Я,(ж).
Выведем теперь оценки величин
Я(г)(ж)=-Я(г)(ж)-ЯЙ(г/;х), г = 0,1,2.
Из (9) и аналогичного выражения для S3,2 (у; #):
' (11)
/ 2 1 ,
имеем при х [#«, xl+i] . v .
, - I и." (х) Г<1 * ~ 1 ~ *1 max {| V (g{) |, | U" (|{) |}.
• ’ 2.1 . "
Отсюда, учитывая (6), находим
, ' llt//,(?)IL = O(fe3).(12)
Из (10) для (xi, £i+1l ,
f п
и («)-= s J G (x, v) U" (V) dv =
i=0 Xj 7* ,
₽ 2 J G(x? I’) U" (v) dv 4- J G (x, V) U" (v) dv 4-
9=° Kj «i'
xi+l ' n
4- ( G (x, v) U" (v) dv 4- S J G (x, v) U" (v) dv. (13)
X j=t+l x
' § 6. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ НА НЕРАВНОМЕРНОЙ СЕТКЕ 303
Принимая во внимание формулы (8), получаем
X X
Аналогично,
хг+1 .
j G (х, V) U" (р) dv = 0(7?).
(14)
(15)
При v^x выражение G(x, v)U" (р) является многочленом вто-
рой степени относительно' переменной и. Используя квадратур-
ную формулу Симпсона, получаем при / < I
J G(x,v)C7"(vjdp = ^4{^-a)^"^ +
xi . . •
/ h- \ . [ h'\ 1
+ 4 I Xj + -x- a) U" (Xj + ) + te+i a) U" (#;+i) [ =
61 / 6i / (J
= h.(X-b)^-a) + *0 + v,r (a..+i)j + Q
. (16)
Из формул (6), (9) нетрудно вычислить
\ j ’ f f
В результате из (16) при / < i имеем
xi+i
• . J G(x,v)U"(v)dv = O (h$. . (17)
Точно, так’ же это соотношение получается при j > i. Теперь,
учитывая (14), (15), (17), из (13) находим .
||C/Wl|C=S0(fej) + 0(fe4) = 0W (18)
' j=0 ‘ .
Далее, из'(10) .
U’^)^ld^-^U"{v)dv. ’ (19)
Повторив рассуждения, проделанные при выводе соотношения
(18), отсюда находим
\ . \ (и'(хПс = О(&). (20)
304 ' ГЛ. X. МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ
Из (18) и теоремы 2.5 получаем
\Hix) - уU)I < |S3,2(*) “ yix)\ + ]Щх)| == W). (21)
Оценим ^величины ев, еь, е< (5) при Six) — Щх):
еа = {Н (а) — у (а)] + ₽х [Hf (а) — у’ (а)] =
= рх [Н1 (а) -г 5з,2 {у, а)] = &U’ (а)-.
Отсюда, используя (20), выводим ea = O(fo4). Аналогично, е&=»
*^Oih\). Далее^ учитывая (6), получим следующее выражение
для погрешности аппроксимации уравнения (1.1) в узле колло-
кации §<:
ei =^= [*^3,2 Si) — У" (Si)] + ^i^iJ/i+1/2 +
+ Р (Si) 1^3,2 (^5 &i) / (^г)] — Pi+l/2^?J/i+l/2 +
Так как — _ ...
< -53,2(i/; ^)-г/(Ы = <W) /
и, в соответствии с формулами (2.6.27), (2.6.28),
-$3,2 От. ВО -/.&) - - <\h*yN &) + О (kf) = - с^уУ+1/2 + О (ht)t
р (Bi) К2 (у; Bi) - у’ (Bi)] = р (Bi) c2htyIV (fo + о (kt) = ‘ .
— _ ' = Pi+l/2C2^i!/i+l/2 + (М)и
то е<=О(й4). Такой же порядок имеет погрешность аппроксима-
ции и в точке £<• Отметим, что отсюда становятся ^понятными
причины-выбора Щх) из условий (6). Действительно^ нетрудно-
видеть, что при использовании обычного интерполяционного
сплайна 53,2(^; х) в роли вспомогательного - сплайна Six), спра-
ведливы соотношения е< = О(А3). Учитывая полученные резуль-
таты и оценку (21), а также принимая во внимание высказан-
ные в начале параграфа соображения о диагональном преоблада-
нии в системе для коэффициентов ^приходим к выводу, что
предложенная схема имеет точность Oih4).
Замечание. Схема сохраняет порядок точности Oih4), ес-,
ли производные y(r)ix), г^2, имеют разрывы первого рода, при
условии, что каждая из точек разрыва «зажата» между двумя
близкими узлами сетки. '
§ 7. Обсуждение результатов. Численные эксперименты
В настоящем параграфе обсуждаются свойства построенных
схем метода сплайн-коллокации. . -
. Рассмотрим вначале схемы точности Oih2) (§§ 2, 3). Их ха-
рактерной особенностью является то, что они сохраняют второй
‘ § 7. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ 305
порядок точности на любой неравномерной сетке. Для разност-
ных схем это свойство далеко не всегда имеет место. Отметим
•также, что второй порядок точности для сплайновых схем до-
стигается при сравнительно невысоких требованиях к гладкости
решения краевой задачи (допустимы, например, разрывы треть-
ей производной в узлах сетки).
Общим моментом при построении сплайновых схем является
отсутствие каких-либо трудностей, связанных с> аппроксимацией
краевых условйй. Нет никакой необходимости в выделении, как
это делается в разностных схемах, краевых условий первого ро-
да, второго рода и т. д. Указанное свойство сплайновых схем,
объясняется тем, что кубические сплайны обеспечивают' высо-
кую точность аппроксимации первой производной решения. По
этим же соображениям можно утверждать, что сплайновая схе-
ма точности. .О(й2) хорошо приспособлена для решения тех за-
дач, когда в уравнении (1.1)- коэффициент р(я)^0, особенно
если он велик по абсолютной величине, так как при этом по-
грешность аппроксимации схемы в основном будет определять-
ся точностью аппроксимации вьIpaжeнияJ9(я)^/,(я).
Обращает на себя внимание простотак построения сплайновых,
схем для уравнений с разрывными коэффициентами (§ 4). По
существу, дело здесь ' сводится к изменению сетки путем добав-
ления к ней специально выбранных узлов', количество которых
равно числу точек разрыва коэффициентов уравнения. Сама же
схема остается такой же, г как в случае гладких коэффици-
ентов. .
_ В § 5, 6 достроены сплайновые схемы повышенной точно-
сти. При этом в § 5 используется равномерная сетка и предпо-
лагается высокая гладкость решения задачи (1.1\ (1.’2). В от-
личие от этого, в схеме § 6 сетка может быть неравномерной и,
кроме того, требования к гладкости решения невысокий Напри-
мер, уравнение может иметь разрывные коэффициенты. Поэтому
создается впечатление о нецелесообразности применения схем,
рассмотренных в § 5. Однако это не так. Дело в том, что не-
последнюю роль в выборе той или иной схемы играет объем вы-
числительной работы^ необходимый для ее реализации. А он . оп-
ределяется. сложностью коэффициентов схемы, а также затрата-.
ми; связанными с вычислением функций р(х), q{x\ rGr). В этом
смысле обе схемы из § 5 экономичнее схемы из § 6. Например,
в каждой из них требуется N раз вычислять функции р(х), q(x\
г(х), в то время как при .реализации схемы из § 6 это придется
делать 2N раз. * . Г .
Условия, при которых исследовалась точность построенных
схем, носят только достаточный характера Отметим, что на прак-
тике о -точности приближенного решения (в нашем случае это
сплайн) можно в некоторой мере судить по невязке в уравнений1
20 Ю. С. Завьялов и др. .
зов
ГЛ. X, МЕТОД СПЛАЙЦ-КОЛЛОКАЦИП
К 1.1), вычисленной в узлах достаточно густого разбиения про-
межутка [а, Ы. / ' !
Одно из полезных свойств метода сплайн-коллокации заклю-
чается в том, что построенный с его помощью сплайн, как пра-
вило, хорошо приближает не только само решение краевой за-
дачи, но и его производные. К сожалению, мы не можем оста-
новиться на этом вопросе подробнее.
Перейдем теперь к описанию’ численных экспериментов по решению
краевых задач с помощью сплайновых схем. Для сравнения приводятся так-
же результаты, полученные при решении на сетке Д: а ~ х0 < .. .< xN*= Ь
краевой задачи (1.1), (1.2) с помощью разностной схемы, которая при
01 и» р2 = о имеет вид
2 Г»г+1-ц1 , Г '
hi hi-i J 4v+^-i
и0 = У1’ UN = ^-
При 0i, рг ¥* 0 вводятся фиктивные узлы x_h xN+\, уравнения (1) запи-
сываются при i = 0, ..., а для аппроксимаций производных, входящих
в краевые условия, используются трехточечные разностные формулы.
В таблицах приведены максимальные значения погрешности приближен-
ного решения в узлах сетки.
Обозначения:
у (х) — точное решение краевой задачи, -
А-г-шаг равномерной сетки,
а— параметр сетки в формуле (6.1),
ER—погрешность разностной схемы,
ESI — погрешность сплайновой схемы с узлами коллокации в узлах
сетки,
2 ES2, ESS — погрешности соответственно первой й второй схем повышен-
ной точности из § 5,
ES&— погрешность схемы повышенной точности из § 6.
Таблица 10.1
А 0 1 10 100
ER ESI 1,2.10-* 1,240"* 5,8-10-6 9,0-10-5 3,2-10“4 3,3-10-5 9,340"* 1,740-&
В таблице, 10.1 приведены численные результаты для задачи'
A rt х А —2— ж2(1 + х)
у’,Ы+Т+-ху (1 + х)3 , /
у(0)=0, у (1) = 0,5, у (я) = я/(1 + *)
при h = 0,05 и различных значениях параметра А.
' §7. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ 307
В таблице 10.2 приведены данные в случае, когда граничные условия
имеют вид , -
2/(0)- /(0)= -1, 2у(1)+ /(1) = 1,25.
Наглядно видно преимущество сплайновой схемы, когда в уравнение я
в граничные условия входит у'(х). /
Таблица 10.2
А 0 1 " ' 10 . 100 *
ER ESi ff,4-10-4 , ’5,8-10*4 8,7-10"4 5,1-Ю-4 8,1-Ю-4 1.8-10-4 7,9-Ю*4 1,8-10-s.
Т а б л и ц а 10.3
д ESi ES10 -
Д1 Д2 2,6 -IO’.2 2,7-Ю*4 0,18 8,6-10-6 / *
В таблице 10.3 приведены результаты для задачи с разрывным коэф-
фициентом
' . * Уп (я) = 100 sgn (х) +
у(-1)= 0, у (1) = 1,
, ч 1 — 99я . 2 . . , х (*+!)*• х—1
у(ж) = ——г + 50я2 sgn (х) + ех —-----£-----
Здесь Ai — сетка с шагом 2/2§,- сетка Аз отличается zot Д1 двумя дополни-
тельными узлами —0,0001, 0,0001. Через FS10 обозначена погрешность в
случае, когда узлы коллокации' определяются по условиям (3.9), причем
~ ^2J4-1 = Ж274-1 *1 =
В таблице 10.4 приведены результаты решения задачи при 7-= 1
у"(х) - Ю^(1 - 2х)у'(з>) '= 0,
(2)
2/(0) = 0, _ у(1)=1, ".
у (»>=-!->—
&
10^(0,5-Х)
О
е t2dt
При 7 1 с точностью до 10"12
10^(0,5— X)
’ - У И =4-~ Т7= f e-^dt.
1/л J
20*.
308 гл. X. МЕТОД СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ
Решение последней задачи резко изменяется практически от
нуля до единицы в небольшой окрестности точки х = 0,5. Это
крайне затрудняет ее решение на равномерной сетке даже при
сравнительно небольших у. Так, при у = 3 не удается получить
- Таблица 10.4
h КН ESI , KS3 ES4 (а==0,01)
0,1 0,05 ' 0,24 1,4-10-2 4.10-3 5-Ю"3 1,1-10"2. 3,8-10"! 2,5 «10-3 1,6.10"!
удовлетворительное приближение, взяв h = 0,002. Наиболее про-
стой выход состоит в использовании неравномерной сетки, сгу-
щающейся в окрестности точки х = 0,5. . *
Расчеты, выполненные на сетке с узлами на [0; 0,5]:
xi = 0,05 • f, i = 0, ..., 8; Хг = 0,4 + 0,01 • i, i = 8, ..., 15;
>я1б = 0,475; Xi = 0,48 + 0,001 • i, i = 17, ...', 37,
и симметрично расположенными, узлами на [0,5; 1] с общим их
числом, равным 75, дают’следующие значения: ER = 0,08, ESiy=*
« 0,004. Сравнение явно в пользу сплайновой схемы.
Литература к главе X. [9, 11, 12, 14, 15, 15*, 20,39, 45, 46, 55, 57»
59, 61, 66, 68, 74, 76, 78, 90].
Г лав а XI
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов завоевал всеобщее признание как
эффективный метод решения самых разнообразных задач мате-"
матической физики и техники. Такая' популярность ’метода, не-
сомненно, объясняется простотой его физической интерпретации,
математической формы и гибкостью численного алгоритма, об-
легчающей программирование сложных задач. Являясь в своей
основе вариационным методом, восходящим к основополагаю- —
щим работам отечественных математиков Бубнова и Галеркина,
метод конечных элементов получил быстрое развитие и широкое
практическое применение благодаря идее использования сплай-
нов. Хотя первоначально эти две теории развивались параллель-
но, но в дальнейшем успехи в теории сплайнов в значительной
степени обеспечили и разработку математических основ метода
конечных элементов.
_ В этой главе мы дадим исходные понятия метода конечных
элементов и установим его связи с теорией сплайнов, проиллю-
стрировав это примерами.
§ 1. Понятие о методе конечных элементов
; 1. Рассмотрим две задачи для одномерного и двумерного
уравнений Пуассона. . —-
Задача 1.
u"Gr) = —/(я), — . - (Г)
и(а) = п(Ь) = 0? - (2)
Задача \ ,
Lus9? + d^=‘~^x,^t (3)
. м|г‘= 0, (4)
где Q=(a, &) ХЧс, d), Q = QUT. Уравнения (1), (3) являются
модельными для более общих уравнений
' + (5)
310
ГЛ. XI. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
описывающих различные физические процессы (например, рас-
пределение температур в неоднородном теле и др.).
Известно 116], что вместо задач 1 и 2 можно рассматривать *
* эквивалентные им вариационные задачи о минимизации неко-
торых функционалов.
Пусть U1 — множество функций, непрерывных вместе с про-
изводными до второго порядка включительно и удовлетворяю-
щих условиям Х2). Тогда решение задачи: найти функцию
и(х) <= дающую минимум функционалу . ' /
ъ
Л(«) = У[(£)2-2/и]^ (7)
а ' J
будет одновременно и решением задачи 1. Уравнение (1) яв-
ляется уравнением Эйлера указанной вариационной задачи.
Пусть теперь U2 — множество функций, непрерывных вместе
со своими производными до второго порядка включительно в об-
ласти Q и удовлетворяющих однородным краевым условиям (4).-
Тогда решением задачи 2 будет функция. и(х, y)^U2, дающая
минимум функционалу г '
<“> = П [(£)’ + fe)’ №
О / '
Решение сформулированных вариационных задач будет осу-
ществляться. мётодом конечных элементов. >
Прежде всего, нам потребуется использовать функции, про-
изводные которых могут иметь конечные разрывы. В связи с
i О
этим введем в рассмотрение пространство Соболева W2[a,b]r со-
стоящее .из функций, удовлетворяющих нулевым граничным ус-
ловиям (2) и обладающих первыми-производными, квадраты ко-
торых интегрируемы на [а, 61. Норма в W2[a,b] определяется
формулой
(Ь \ 1/2. '
П“”+(£)’Н • <9)
а ✓
° 1
Множество U\ являе.тся подпространством в W2[a, Ь]. Из функ-
цйонального анализа известно, что пространство W2 [а, Ъ\ явля-
ется полным. Это означает, чт(о предел всякой сходящейся по-
следовательности функций этого пространства будет опять функ- '
цией из W2 [а, &]. Болеетого, решение задачи минимизации:
§ 1. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 311
найти такое и, что
и е W2 [а, Ъ\ и Jr (и) = inf (р),.
J?eW2[a,b]
существует и' единственно. Ясно, что функции из W2[a,b], до-
ставляющие экстремум функционалу Л (и), в силу того, что их
производные могут быть разрывны, не будут решениями задачи
1 в обычном смысле. Их называют обобщенными решениями.
Определим теперь пространство которое состоит из
функций, имеющих в области Q суммируемые с квадратом про-
изводные и обращающихся в нуль на ее границе Г. Норма в
пространстве W2 (Q) определяется формулой
г Аналогично одномерному случаю, это пространство является
полным и задача минимизации: найти такое й, что
u^W2{^) я J2(u)~ inf. J2(v)f
имеет, единственное решение. Это решение также будет обоб-
щенным решением краевой задачи 2.
Пространства W2 [а, Ь] и TF.2(Q) называют энергетическими
пространствами НА соответственно оператора двукратного диф-
ференцирования d2/dx2 и оператора Лапласа L. Это название
отражает тот факт, что функций- из этих пространств в смысле
введенных выше норм обладают конечной энергией, т. е. интег-
ралы от них вида (9). и (10) ограничены.
Запишем задачи 1 и 2 в операторном виде:
Ди=«/. (11)
В силу сказанного выше задача построения обобщенного реше-
ния этого уравнения равносильна задаче об отыскании элемента
энергетического йространства реализухбщего минимум функ-
< ционала
Ли) == Мн, п) - 2(/, и) (12).
в этом пространстве.
2. Для отыскания минимума функционала Ли) обычно стро-
ят так называемую минимизирующую последовательность.
В предположении ограниченности снизу значений функционала
существует точная нижняя граница р его значений p einf J(u),
812 Л ГЛ. XI. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Тогда последовательность функций ип, 2, принадлежа-
щих области определения функционала, называется минимизи-
рующей 'для этого функционала, если lim J~(un) = ц. Предел ми-
П->оо '
нимизирующей последовательности- доставляет нам искомое
решение. 7
Одним из способов построения минимизирующей последова-
тельности является процесс Ритца. В классическом варианте ме- .
1 тод Ритца- формулируется следующим образом.
Выберем последовательность элементов {фД, {«1, 2, и., п,
удовлетворяющих трем условиям:
1) все элементы принадлежат энергетическому пространст-
ву НА;
2) при любом п элементы ф1, ф2, *.., Фп линейно независимы;
3) последовательность {фД полна в НА, т. е. для всякого эле-
мента й е ЦА и любого 8 > О существуют такие натуральное чис-
ло N и элемент
п * • _
a^constg (13}
1=1 ' , •
что || и — ип |я < е для всех n> N..
Тогда n-е приближение или ~п-й элемент минимизирующей
' последовательности ищется в виде (13), где числовые коэффи-\
циёнты at выбираются из условия минимума J(un).
Нам потребуется, однако,_ несколько более общая формули-
ровка метода Ритца. Введем последовательность конечномерных .
подпространств Vi, Иг, ..., Vn энергетического. пространства НА.
Будем говорить, что эта , последовательность полна в если
для любых и^НА и е>0 существует “такое натуральное число
N, что inf || и•—: v || < 8 для всех п > Ц. Другими словами, полнота
последовательности подпространств {VJ означает, что каждый
элемент и^НА с любой степенью точности может быть прибли-
жен элементом ип <= Vn, если п достаточно велико. • Тогда п-м
приближением или n-м элементом минимизирующей последова-
тельности назовем элемент ип е Vn, который минимизирует
функционал Ки) на этом подпространстве.
В данной формулировке метод Ритца реализуется следующим ‘ *
- образом. Пусть Ф1П>, ..., ФпП) —базис подпространства Vn, т. е.
любой элемент ип е Йп может быть записан в £иде
un=Mn> (14)
Подставим un вместо и в функционал (12)-. Тогда мы получим
§ 1. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 813
функцию п независимых переменных ain\ ...,
J {ип) = ( 3 <№<&>, 3 4ПЧП>) - 2 ( 3 /) «
\i=;l- vp=l / \р=1 /
- -s W,">, фИ «W - 2 2 (ф'">, /)
г,р=1 ” . 2^=1
Коэффициенты а<п) выберем таким образом, чтобы эта функция
принимала минимальное значение, по всем al, I*** 1, п, для
него приравняем нулю ее первые производные по этим пере-
менным: *
. ^(М „ 0 i~i 2 п :
да™ ’ 1 — М» •••>»•
Так как
= 2 2 (Лф'Л <₽',>)«, -2 (/, Ф1,"1),
0ai — р==1 - • -
до получаем систему Ритца
/ п .
3(^П\ф(”>)4”) = (Л-Ф<П)). (15)’
' 2?=1
Матрица этой системы симметрична, так как (Ли, и) = (и, Ли).
Определитель системы линейных алгебраических уравнений (15)
есть определитель Грамма линейно независимых элементов-и
поэтому отличен от нуля. Найдя коэффициенты а(Г\ .;., cffi и
подставив их в (14), получим элемент un, являющийся прибли-
женным решением уравнения (11) по Ритцу. * ‘
Приближенное по Ритцу решение тем ближе к точному* чем
больше п [16, 24]. Как следствие, для достижения высокой точ-
ности приходится решать систему линейных алгебраических
уравнений (15) с матрицей большой размерности.
Метод Ритца основан на вариационной формулировке крае-
вой задачи. Более общим вариационным методом, который не-
посредственно применим к уравнению (11), является метод Га-
леркина (называемый также проекционным методом Бубнова —
Галеркина). Теперь оператор Л может быть любым линейным
оператором, определенным на, множестве РА, всюду плотном в
гильбертовом пространстве Запишем уравнение (11) в так
называемой слабой форме или в виде уравнения Галеркина!
(Ли, v) = (/, v) для всех; иеНА. (16)
Как и в методе Ритца, выбирается последовательность к<>
вечномерных подпространств Vnc:HA с* базисами Прибли-
314 ГЛ. XI. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
жение по Галеркину по-прежнему ищется в виде (13). Но те*
перь коэффициенты Я|П) определяются не из условия минимиза-
ции, функционала, а из условия ортогональности разности Au — f
при замене и та.эип элементам базиса т. е. (Аип~//ф^п))=а
ж=0, Это снова дает систему вида (15). Полученное
совпадение в общем случае носит формальный характер, а по
существу имеет место только в случае, когда оператор А обла-
дает свойством самосопряженности, т. е. (Au, v)» (u, Av). В за-
дачах 1 и 2 это условие выполняется и для них приближение
по Галеркину совпадает с приближением по Ритцу. Из сказан-
ного ясно, что метод Галеркина применим к гораздо более
широкому классу задач, в частности к нестационарным за-
дачам.
3. Метод конечных элементов можно рассматривать как спе-
циальный вариант метода Ритца — Галеркина. Классический
подход имеет два существенных недостатка. Во-первых, на прак-
тике построение базисных функций легко, осуществимо только
для некоторых специальных областей и, во-вторых, соответст-
вующие матрицы Ритца — Галеркина являются полными, матриц
цами и очень часто, даже для простых задач, плохо обусловле-
ны. Принципиальное различие между методом конечных элемен-
тов и классической техникой Ритца — Галеркина лежит в по-
строении базисных функций. В методе конечных элементов ба-
зисные функции выбираются в виде локальных сплайнов и дЯя
областей общего вида могут быть вычислены весьма. просто.
Главная особенность этих базисных функций состоит в том, что
они финитны, т. е." обращаются в нуль всюду, кроме фиксиро-
ванного числа элементарных подобластей, на которые делится
данная область. Это свойство влечет за собой разреженность и
ленточную структуру матрицы Ритца — Галеркина и устойчи-
вость процесса численного решения системы. "
Для того чтобы применить метод Ритца — Галеркина, по оп-
ределению мы должны построить последовательность конечно-
мерных подпространств Vnпространства НЛ типа ЭД, (й)
и т. д. В методе конечных элементов это построение характери-
зуется следующими тремя основными аспектами:
х 1. Прежде всего нужно осуществить разбиение Тп области Q
на конечное число подобластей К (треугольников, четырехуголь-
ников и т. д.), называемых конечными. элементами, причем , та-
ким образом, чтобы выполнялись следующие свойства:
a) Q = g
кетп
б) конечные элементы К^Тп не вырождаются (треугольники
не переходят в отрезки, четырёхугольники в треугольники ит^д.);
в) соседние конечные элементы не перекрываются.
§ 2. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА НА СПЛАЙНАХ 315
2. Строится конечномерное подпространство функций Vn та-
ких, что на каждой подобласти выбранного разбинияэти функ-
ции являются многочленами степени не выше заданной.- Вместо
многочленов могут быть использованы и другие легко вычисляе-
мые функции, например,' рациональные. Это свойство весьма
важно в том отношении, что оно позволяет относительно лецсо.
находить коэффициенты системы Ритца — Галеркина.
3. В пространстве Vn должен существовать по крайней мере '
один базис из функций с минимальными носителями. Предпола-
гается, естественно, что такой базис может быть легко описан.
Приближение по Галеркину цщется по этому базису. Его су-
ществование обеспечивает большое число нулей в матрице си-
стемы (15), что облегчает нахождение ее решения. На практике
это одна из наиболее трудоемких- задач.
Успех в использовании метода конечных элементов в значи-
тельной степени зависит от того, насколько удачно осуществлено
указанное построение применительно к условиям конкретной за- *
дачи.
§ 2. Примеры реализации метода на сплайнах
В этом параграфе на ряде простых примеров мы покажем,
как реализуется общая t схема метода конечных элементов. В ча-
стности, будет показано, что такой подход позволяет получать
известные разностные схемы^ что дает основание называть эти
схемы вариационно-разностными.
1. Пусть решается краевая задача 1. Она эквивалентна ва-
риационной задаче: найти такое и, что
u^Wl[a, Ь] и J (u)= inf J
где ‘
( b b
J (v) = § (vf)2 dx— 2§jv dx. (1)
a ra . > '
Согласно общей схеме метода конечных элементов разобьем от-
резок [а, Ь] на -N конечных элементов, для чего введем на [а, bl
равномерную сетку A: Xi = a + ik, i == 0, N, с шагом h ==
а) В качестве конечномерного подпространства Vn возьмем
пространство сплайнов первой степени дефекта 1 на сетке Д,
удовлетворяющих однородным краевым условиям (1.2). Размер-
о 1
ность этого пространства п = N — 1, Vjv-i с: W2 (л, Ь]. Базисом из ч
функций с минимальными носителями в будет система
316
ГЛ. XI. МЕТОД КОНЕЧНЫХ .ЭЛЕМЕНТОВ
2?-спл айнов первой степени
, . 4>iW-1) (*) = Ф (—
|t / = 1, 2, ..., АГ — 1,
(2)
где
ИЛИ
ф(«) = (i + 1)+ - 2t+ -Hf- 1)+,
- [l + ft t е= [- 1, 01,
1 —t, te[0,1], .
. О, *<£ [—1,1].
ф(0
(3)
Функция <р(£) изображена на рис. 1.3, б. . Любая <“.
Uw-i(x) е Vtf-i единственным образом записывается в виде
Un-i (ж) == 2 1>»фИ_1).(а:),
-
где коэффициенты являются неизвестными значениями функ-
ции uN^i(х) в узлах сетки Д. *
Вычислим коэффициенты матрицы системы Ритца (1.15) для
функционала (1) и базисных функций-(2):
(ЛфГ‘>. <р<Л->) _ .
ъ
функция
а
ИЛИ
где
'27г-1, i = p,
hr1, I = P ± 1, •
.0, | i — p | >• 1.
Тогда система (1.15) запишется в виде
•i-(—Pi-i + 2г{ — vi+1) =/igi, i = l, 2, N — 1, (4)
Po = P№ 0, _
ь : '
8i = i J f ф(^-1> (*)dx- *
.Если теперь предположить функцию /(х) непрерывной, то,
заменяя в правых частях уравнений (4) приближенно /(я) на
/(#<) и умножая уравнения (4) на fo”1, получим обычную разност-
ную схему точности О(7г2):
• _ ^LZ^±^i±l ==/(,;.), 1 = 1,..., АГ-1,:
Vo = Р№ 0.
$ 2. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА НА СПЛАЙНАХ 817
б); В качестве конечномерного подпространства Vn возьмем
пространство сплайнов второй степени дефекта 2 на сетке Дг
удовлетворяющих однородным краевым условиям (1.2). Размер-
ность этого пространства равна 2N — 1 и cz W* [а, Ь].
Если рассмотреть систему квадратических сплайнов с конеч-
ными носителями 4
' ' ' ФН*) = ф(—зА- 1;
- L-m ~ (5>
- Ч1» (х) = Ч* ( д I = N 1, .
где
(2,(l + i)(l/2.+ i)t te[-l,0]f. -
. <p(t)= 2(l'-0(l/2-f)t *е[0,1],
’ 0, 1 <£1—1,11;
' ' t e [0,-41,,
0,. t <£ [0,11
(рис. 11.1, а и б), то нетрудно показать, что функция (5) линей-
но независимы и, следовательно, образуют базис в Ргя-ч. Тогда
произвольная функция U2w-i(^) ® V2n-i может быть единствен-
ным образом записана в виде - -
2V-1 - . 1 .N-1
«2Л-1(®) = 2 Ргф.(*) + (6)
г=1 . г=0
причем коэффициенты и, суть значения П2дг-1(#) в узлах сетки Д,
a Wi_—ее значения в промежуточных точках (^+ xi+i)/2, t,=
«=0, ..., N-l.
Система Ритца (1.15) в данном случае будет иметь вид.
JV-1 •- Дт-1
2 Ифр, ф.)рр + 2 (АЧ’р, Ф1) Яр- (f, ф|)г 1 = 1,..., N-1;
Р=1 < Р=0
N-1 - ' N-1 \
. 2 Ифр, 4>i) Рр -+ 2 (^Чр1 4i) И>Р —(/, Ч’г), i = 0, ..., N — 1. '
Р“1 4 Р=0 _ ’
318 ' гл. XI. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Пользуясь фиНИТНОСТЬЮ функций ф£, 1|)г и вычисляя скаляра
пые произведения, получим систему линейных алгебраических
уравнений с блочной матрицей для определения неизвестных ко-
эффициентов в (6):
A + »i+i ~ 8u>i — 8wi+1) = gi, f = 2, N~ 1;
A 4 ' <>
— 75 (v.-i + vt — 2wi) = ei} i = 0, 1, ..., N^i,
h
где
, ъ ь ,
3 f 3 f
gi = Tj H*) dx> ei-^y-f(x)^i(x)dx.
a a
По-видимому, самый простой подход к решению систем (7) бу-
дет состоять в исключении неизвестных В результате прихо-
дим к разностной схеме точности O(h2):
v. - — 2v. + l>. 4
— ----;--—------- = -g- (gi 4- 6i 4- £i+1), i = 1, ... ,7V— 1,
vq = vn = 0. '
в) В качестве конечномерного подпространства Vn возьмем
пространство кубических сплайнов дефекта 2 на сетке А, удов-
летворяющих однородным краевым условиям (1.2). Размерность
этого пространства равна. 2N и V2N с: W% [а, Ь]. Базисом в про-
странстве V2n будет система сплайнов с конечными носителями
«Pi.W = Ф.(—у-1)’ i = l, —
ф0 (ж) = max [о,' hty (*T'a)k фл (%) = max [о, М? Р ~ '
где
<р (t) =
М»(0 =
- 2 (t + I)3 +.3 (t + I)2, t e [— 1, 0],.'
2(t-l)3-3(i-l/2, ie=[0,1],
0, . 1, 1];
(t + I)3 - (t + I)2, t e (- 1, 0],
(t - I)3 + (t - I)2, *€=|0, 1|,
o, t ^1-1,1]-
(рис. 11.2, а и б). Как следствие, всякая функция - UiN(x) е Vzn
может быть единственным образом записана в виде .
« 27-1 N , '
- u2N(x) = S i>i<PiG0 + 2 Vill’iWi (8)
1=1 1=0
§ 2. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА НА СПЛАЙНАХ 819
~ .. ' I
причем коэффициенты суть значения функции u%N(x) в узлах
сетки Д, ащ — значения ее первой производной на Д.
Система Ритца (1.15) принимает вид
JV-l N f
2 Ифр, <pf) Vp +' 2 Ир, <Pi) Vp = (/> <Pi),. i= 1. 2, ..., N — 1;
' P=0 . • ‘ " - v ~
JV-1 - N
5 (Лфр, ipi)Vp = s (4фр, Я|){)vp = (/, ^i), i = Q,lK...,'N.
p=i p=o
' *
В силу фйнитности функций ср/, xpf нетрудно вычислить со-
ответствующие скалярные, произведения.. В результате получаем
a) S)
Рис. 11.2.
следующую систему ^линейных алгебраических уравнений для
определения неизвестных -коэффициентов vir в (8):
‘ 6 Pi+i - 2^ + i vi+1 - _
5 h2 ’+’ 5 2Л gi,:
“ | Vi+ilhVi~l ~ Г0 - 8p‘ + ‘’«-О = * = lx 2, • • •> W - C
VN-l — (tfjv-l — 4vjv) = «Nf,
где' . '
b b '.
Si = у J / (*) <Pi И dx, = A J / (ж) П (x) das.
a a . .
Если теперь исключить из этой системы неизвестные то при-
320 ; гл. XI. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ’
дем к разностной схеме повышенной точности О(Д4):
«<+1 ~ 2«$ + fj-i h* 2 f’t+i - ^1+1 + 6^'- + ^_2 _
. h2 . 4 ft4 . -
e.4'(£i+l •“* &gi + gi-1) + — e»-l)> i = 2, 3, . . TV — 2,.
fe ^3-4+^1-^0 .2 . я . . 2, ‘
5 • ft3 —15 8#i)+5/i(e2 ^eo)t
VN ““ 2г,1у-1 + fjV-2 , h vN-3 — ^vN-2 + %VN-1 ~VN-
h2- • + 5 ~V = ,
2 ,2
= 15 (gjV-2 — 8&V-1) + (eN-2 — 6N),
V0 = Vy=0.
Аналогично можно рассмотреть подпространства Vn, состав-
ленные из кусочных многочленов более высоких степеней, беря,
например, в качестве дополнительных неизвестных параметров
значения производных высших порядков' искомой функции в уз-
лах сетки А. Это позволит повысить порядок аппроксимации, но,
естественно, усложнит систему уравнений. Характерной особен-
ностью этих уравнений является присутствие в них наряду со
значениями в узлах сетки А неизвестной функции значений ее
производных. Последние не обязательно исключать/ Их можно
вычислять одновременно со значениями -функции и тем са’мым
получать высокой точности аппроксимацию не только самой
функций, но и ее производных высших порядков, не отказыва-
ясь от локального характера разностных уравнений.
2. Обратимся теперь к краевой задаче 2. Она. эквивалентна
вариационной задаче: * . . ;
найти такое и, что г
uePKJCQ) и; J(u)= inf J tv),
где
Q ч
Чтобы построить приближенное решение, задачи минимиза-
ции, согласно общей схеме метода конечных элементов прежде
всего требуется осуществить разбиение области Q на конечное
число элементарных ячеек. Это может быть выполнено различ-
ными способами, из которых наиболее употребительным явля-
ется разбиение области на прямоугольные и/или треугольные
элементы. • . ;
а) Рассмотрим вначале случай, когда область Q (а, Ъ) X
X (с, й), Й = Й U Г разбивается на одинаковые прямоугольники.
§ 2. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА НА СПЛАЙНАХ 321
С этой целью введем в Q сетку Д = ДЖХ Ду, где
Xi = a + ih, & = 0, ..., N, при h-=(b — d)/N,
&у: Уз = с + А 7 “0, •..., М, при I — (d — сММ'. •
В качестве конечномерного подпространства Vn возьмем про-
странство сплайнов первой степени двух переменных, ^удовлет-
воряющих однородным краевым условиям (1.4). Размерность это-
го пространства равна п = (2V — 1)(2И — 1) и УпСзТГгСР)- Бази-
сом из функций с минимальными носителями в Vn будет систе-
ма сплайнов, являющихся произведениями В-сплайнов первой
степени от переменных хи у: z
, z х (х — хг\ (У — УД
ЯМ*, у) = <ц——)>
l=l9 ...,N-1-, „7=1, ..., М-1„
причем определена формула-
ми (3). Функция tpU, $) = ф(£)ф($)
изображена на рис. 11.3.
Тогда любая функция ип(х, у) е
е Vn может быть единственным
образом записана в виде
IV-1M-1
ип (х, у) = 2 2 У), (10)
. j=l
где коэффициенты ^ — неизвестные
значения функции ип(х, у)
в узлах сетки Д.
Подс'тавляя функцию ип(х' у) в (9) и приравнивая нулю про-
изводные от Z(un) по vih получим систему линейных алгебраи-
ческих уравнений для определения v#:
N-1 М-1
2 2 M’l’pg, М’у) Vpg = (J,
р==1 g=l
r=l, —1; 7 = 1, ..., M —1. (И)
В силу финитности функций ф#(х, у) элементы матрицы этой
системы (4i|)pg, Apfj) == 0, если выполняется хотя бы одно из двух
неравенств U — рГ> 1, I/ — q\> 1. Следовательно, матрица си-
стемы (11) будет блочной трехдиагональной матрицей. Непосред-
ственно вычисляя скалярные произведения в (11), являющиеся
интегралами
(^Р9, фу) = ff £ ФУ +• J 4>у] dx dy, (12)
fi
21 Ю. С. Завьялов и др.
822 ГЛ. XI. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
приходим к 9-точечной разностной схеме
---= — Sih
i = l, 1; i=l, ...,М-1; :
Pip = Гцц = 0, f = О,
- 1>о5 = = 0> 7 = 0,
ГД®
_ Л2„ _Р{+и-2Р«+^-13 А2„ _Vii+l-^ii + Vij-l
°Х7 ij — ^2 г vu^ij ' д '
Sii = У)Уц(х, y)dxdy. -
Точность схемы O(Ji2+l2). * _
б) .Рассмотрим теперь случай разбиения области й на прямо-
угольные треугольники. С этой целью, считая, что на й введена
определенная: выше сетка А, разобьем каждый элементарный
прямоугольник Й<}« 1^, ^г+11 X [yi} y/+i], i = 0, .N — 1; j =*-
j=0, ..., М — 1, на два треугольника диагональю, проходящей,
например, через вершины {xh yj и (#<+ь I/i+'i)- . .
, В качестве конечномерного подпространства Vn возьмем про-
странство непрерывных кусочно-линейных функций двух пере-
менных, линейных над всяким треугольником указанного выше
разбйедия и обращающихся в нуль на границе области й (см.
§ 12 гл. II). Нетрудно подсчитать, что, как и в предыдущем
примере, размерность этого пространства равна С/V— t)(M — 1)
(появление дополнительных параметров компенсируется услови-
ем непрерывности при переходе через диагонали прямоугольни-
. ков разбиения). Базисом из функций с минимальными носите ля-
ми в Vn будет система функций
' 1 (х— %• у — уЛ
Ф« (*, У) = Ф(—уА—— ), (13>
i = l, / =
.где
1 — t, (t, s) £ Db
1 — s, (7, s) e Z>2,
t + 1 — s, (t, s)t=DA, s
1 + G. S) S
: i + s, (t, s) <= z>8, _ '
1 — t-f-(t, s)eD6,
0t " (t, j = 1, • ••, 6.
§ 2. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА НА СПЛАЙНАХ 323.
Треугольники Ds показаны на рис. 11.4, а вид функции ф(Д $)
изображен на рис. £1.5,
Тогда произвольная функция ип(я, у) Vn опять может быть
единственным образом записана в виде (10), где фу(я, у) из (13),
и для’ определения коэффициентов в этом представлении име-
ем систему линейных алгебраических уравнений (Н). Матрица
системы (11) снова будет блочной трех диагональной, поскольку
в^силу финитности функций (13) ^элементы матрицы этой систе-
мы С4фрд, фо) = 0, если li —р|->. 1 и/или Ij — q\ > 1. Проводя
вычисление остальных элементов этой матрицы, являющихся ин-
тегралами вида (12), приходим к 5-точечной разностной схеме
точности О(№ + 12):
(<Й + бу) Vi} = — gy,. ’ .
-i\ / = 1, M — 1;.
Vio — ViM = Q, r=0, ...,2V;
Уо/=^=О, j = 0, ...,2lf,
где rr ’
gij; = J J fУ) Ш у) dx dy.
D
s Полученные в последних двух примерах схемы /метода ко-
нечных элементов с точностью до правых частей совпадают с
обычными разностными схемами. Это позволяет применять для
решения соответствующих систем эффективные итерационные
методы типа расщепления, продольно-поперечной прогоцки и др.
Мы привели примеры вариационно-разностных схем для
уравнений (1), (3). Для более общих уравнений (5), (6) вариа-
ционно-разностные схемы строятся таким же образом. Заметим,
что коэффициенты получающихся при этом’схем будут вычис-
ляться с помощью интегралов от коэффициентов самого урав-
нения. Эти интегралы в предположений соответствующей: глад-
кости коэффициентов без потери точности схемы могут быть ап-
проксимированы соответствующей квадратурной формулой.
21* : .
324
ГЛ. XI. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
§ 3i Способы построения пространств
аппроксимирующих функции
ч -
Рассмотренные в предыдущем параграфе примеры показыва-
ют, что схемы метода конечных элементов существенно зависят
от выбора. разбиения области и способа построения конечномер-
ных пространств аппроксимирующих функций Vn. Для случая
прямоугольной области рассмотренные нами приемы разбиения
ее на элементарные прямоугольники и прямоугольные треуголь-
ники являются наиболее естественными и приводят к регуляр-
ным сеткам. , _
' Если получаемая точность недостаточна, то можно детализи-
ровать сетку, разбивая каждый прямоугольный треугольник
еще на четыре (рис. 11.6). В ряде случаев точность повышается при:
смене диагоналей, разбивающих прямоугольник на два треуголь-
ника. Сгущая сетку, следует руководствоваться правилом: даль-
нейшее разбиение данного участка области производится только
в том случае, если предшествующее привело к заметному повы-
шению точности. В результате, начиная с некоторого, момента*
уточняется триангуляция только некоторых участков области..
Мы теряем регулярность сетки, но зато существенно сокращаем}
общий объем вычислений. ‘ -
• Если область, отличается от прямоугольника, то указанное
разоиение 'также может быть использовано, но при этом, как
йравило, для предотвращения потери точности вблизи границы
требуется дополнительная триангуляция, учитывающая особен-
ности последней. Кроме того, при аппроксимации краевых задач
' a) б) 6)
Рис. 11.6.
возникают трудности, связанные с необходимостью построения
пространств Vn, удовлетворяющих граничным условиям.
Употребителен и другой подход. Данная область с криволи-
нейной границей (или отдельные ее части) с помощью подходя-
щего преобразования отображается в единичный квадрат, кото-
рый разбивается на элементарные прямоугольники или прямо-
угольные треугольники. Производя обратное преобразование, мы
получим на исходной области криволинейную сетку, хорошо учи-
тывающую геометрию области. Например, если задана область
§ 3. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ 325 ‘
D, изображенная на рис. 11,7 а, то одно из возможных преобразо-
ваний, переводящих единичный квадрат в, область D, может
быть записано следующим образом. Пусть вектор <р(£) = (—1,
сро(£), <р1<£)), <рт($) — транспонированный вектор <p(s);<poU)«
= 1 —qVt) — t. Через r(t, s) обозначим радиус-вектор произ-
вольной точки в области D относительно прямоугольной системы
координат, и пусть точки rih i, j = 0, 1,— вершины криво-
линейного четырехугольника D, отвечающие соответственно вер-
шинам единичного квадрата (j, у), г, у = 0, 1. Нужное нам пре-
образование будет иметь вид -
rU, s) = <p(f)F(Z, $)фг($),
где s) — матрица: г
.0
;о (*)
Го ю Ч (О
Г00 Г01 •
Г10 . Г11 _
Если требуется повысить порядок аппроксимации решения,
то следует рассмотреть пространства Vn, составленные из кусоч-
ных многочленов более высоких /Степеней. Как правило,, прост-
ранства Vn выбирают совпадающими с пространствами много-
членов вида
tn
Q{x,y)= 3 (1)
а+3—о .
на треугольных элементах и многочленов вида
i т
Р{х,у)^ 2 (2)
а, 0=0
на прямоугольных элементах.
326
ГЛ. XIS МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотрим несколько, способов построения таких прост-
\ ранств Vn, определенных на односвязной области,/) в плоскости
(х, у) с кусочно-линейной границей, когда D разбивается на под-
области в соответствии с требованиями, сформулированными
в § 4. *
(Обратимся вначале к* случаю разбиения D на треугольники.
Пусть пространство Vn состоит из, функций ип{х, у)9 ^совпадаю-
щих на каждом треугольнике нашей триангуляции с_ некоторым
квадратическим многочленом вида (1) при т = 2. Нетрудно по-
казать, что коэффициенты этого многочлена для конкретного
треугольника с вершинами Pi, Рз, Р5 и средними точками сто-
рон Р2, Р4, Ре (рис."11.8, а) однозначно определяются Заданием
значений функции un(x, у) в точках Р{, г = 1, .,,6. Непрерыв-
ность функции un(x, .у) в D следует из того факта, что на каж-
дой из сторон любого треугольника^ эта функция определяется
однозначно.
Сходным образом строится пространство У», состоящее из
функций и Ах, у), совпадающих на каждом треугольнике разбие-
ния области D с некоторым кубическим многочленом вида (1)
при т = 3. Кубический многочлен двух переменных х и у имеет
10 коэффициентов и однозначно определяется заданием значений
функции цп(х, у) в 10 узлах: вершинах треугольников, точках,
получающихся делением всех его сторон на три равные части,
и центре тяжести (рис. 11.8, б). Непрерывность функции un(x, у)
в D опять следует из того факта, что 4 узловых значения на
§ 3. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ АППРОКСИМИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ 327
каждой из сторон треугольника однозначно определяют задан-
ный на этой стороне кубический многочлен. .
Для пространства Vn, составленного из кусочно-кубических
многочленов, возможна и другая конструкция, требующая ис-
пользования существенно меньшего числа узлов. С этой цёйью
уберем средние точки на сторонах и будем считать, что в вер-
шинах треугольников кроме значений функции ип(х, у) зада-
ются ее производные первого порядка по х и у (рис. 11.8, в).
Таким образом, 10 коэффициентов кубического' многочлена оп-
ределяются значениями un,Un,0\ Un0,1) в каждой вершине и зна-
чением ип(х, у) в центре тяжести треугольника. На сторонах
треугольника кубический многочлен однозначно определяется
заданием 4 значений (функции ип(х, у) и ее производной по
направлению стороны ;на обоих концах этой стороны), откуда
следует непрерывность ип(ж, у) в D.
Обращаясь к разбиению области на элементарные, прямоуголь-
ники, следует сказать, что на плоскости очень многие важные
задачи решаются в прямоугольных/областях или в областях, со-
стоящих йз прямоугольников. EL случае областей более сложной
формы чаще всего имеется возможность' комбинировать пря-
моугольные элементы внутри области с треугольными элемента-
ми вблизи границы. Отметим также, что прямоугольные элемен-
ты особенно удобны в трехмерных задачах.
//Пусть пространство Vn состоит из функций ип(х, у), совпа-
дающих на каждом элементарном прямоугольнике с некоторым
дважды квадратическим многочленом (2) при т == 2. Тогда 9
коэффициентов этого многочлена будут однозначно определять-
ся/заданием значений функции ип{х, -у) в вершинах, серединах
сторон и центре тяжести прямоугольника. Непрерывность
ип(х, у) на D будет следовать из одноэначности определения
квадратического многочлена на каждой стороне прямоугольника.
Если рассмотреть пространство конечных элементов;, со-
стоящее из функций ияСг, у), совпадающих на каждом элемен-,
тарном прямоугольнике, с некоторым дважды кубическим много-
членом вида (2) при иг —3, то всякий такой многочлен будет
полностью определяться заданием в вершинах прямоугольника
значений фуйкции ип(х, у), а также значений ее частных и сме-
шанной производных по х и у. Аппроксимирующая функция
ип{х, у) будет уже не только непрерывна, но и непрерывно диф-
ференцируема в D, что также следует из однозначности опре-
деления соответствующих кубических многочленов на сторонах
прямоугольника.
Указанные конструкции могут быть непосредственно обоб-
щены на случай "построения на треугольных и прямоугольных
" сетках пространств Vn кусочных многочленов более высоких сте-
пеней.
328 ГЛ. XI. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
§ 4. Сходимость метода конечных элементов
Для изучения сходимости конечно-элементных аппроксима-
ций к точному решению краевой задачи нам потребуется одно
экстремальное свойство таких аппроксимаций. '
Для функционала Ли) из (1.12) имеем
Ли + ц) = J(u) + 2(Аи — /, ц) + (Лц, ц).
Если теперь и —точное решение уравнения (1.11), то, полагая
ц == v — и, находим
Ли) — Ли) = (Л (у — и), у —и) == Hy — ull2.
Отсюда, заменяя у конечно-элементной аппроксимацией решения
ип, получим ' .
|| ип — и ||2 == J (ип) — J (и) = min J {y) — J (и) = min || у — и ||2,
veyn
т. е. ,
\\Un- M = min||y — и\\. (1)
1. Обратимся вначале к краевой задаче 1. Пусть и (х) е
е Wlo [а, Ь] — точное решение этой задачи, а ип(х) —. его ко-
нечно-элементная аппроксимация в пространстве Vn сплайнов
первой степени дефекта 1 на сетке Д, удовлетворяющих одно-
родным краевым условиям (1.2). Нам нужно оценить, величину
. ||ы —un||c= max | и(я) — и^(я)|.
a^x^b
В данном случае, используя интегрирование по частям для
всякой функции у (х) е W2 [л, Ь], имеем
Так как
х
v2 (х) = 2 J v (t) v' (t) dt, '
\ a
то, применяя неравенство Буняковского, получаем
/ Ь \ 1/2 / ь . \ 1/2
р2(ж)<2 lf(p'(0)2^) <2(& - a)V2||v||c||v||
\а / \а /
. (
§ 4. СХОДИМОСТЬ" МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 329
для любого х е [а, &]. Отсюда
1Ы1С^2(Ь —а)1/21М1. ‘ ' (2)
Пусть ип(х) — сплайн первой степени на сетке Д, интерпо-
лирующий в ее узлах решение и(х) краевой задачи. Тогда со-
гласно результатам гл. II справедлива оценка
< k-Unic<4l|«loo ' '
В силу (1), (2). получаем
J и — йп||с < 2 (Ъ — а)1/г1| и — йп || < 2 (Ь — а)1/21| и — ип| —
/ Ь ' ' \ 1/2
==2(Ь-а)1/г <(Ь-a) h |и'||те = О(Л). "
Более тонкий анализ показывает, что в действительности спра-
ведлива оценка с порядком О(А2).
Аналогичным образом могут быть получены оценки погреш-
ности и для других типов конечно-элементных аппроксимаций
задачи 1 .-Пусть, например, Vn — пространство кубических сплай-
нов дефекта 2 на сетке Д, удовлетворяющих однородным крае- ~
вым условиям. Через ип(х) обозначим сплайн из Vn, интерпо-
лирующий решение и(х) задачи 1 и его первую производную
на сетке Д. Согласно^результатам гл. II -
Тогда, если un(x) — конечно-элементная аппроксимация для
и(х) в пространстве Vn, то в силу (1), (2), как и выше, находим
Ь - «пЦе< (Ь - h9|uIVL= О (fe3).
* Таким образом, мы видим, что для доказательства сходимо-
сти конечно-элементной аппроксимации достаточно знать соот-
ветствующую оценку погрешности сплайн-интерполяции.
2. Обратимся теперь к задаче 2. Пусть и(х, у) <= C2[Q] — точ-
ное решение этой задачи, a un(x, у) — его конечно-элементная
аппроксимация в конечномерном пространстве 7**
Здесь хотелось бы оценить величину
||и — ип\\с 5= щах | и (х, у) — ип (х, у) |.
Однако значительно легче получить оценку для разности и~ип
в норме пространства
|| И — Un ||! = j f lu («1 у) — ,«П {х, у)\Чх dy^1/2.
330 гл. XI. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Эта величина, как мы знаем, зависит от вида разбиения обла-
сти й и способа построения пространства аппроксимирующих
функций. ' • . * ”
Рассмотрим вначале случай, когда область й = [а, 61 X [с, dl
сеткой Д = Ах Х.АУ разбивается на равные прямоугольники =»
я [х{, Xi+ilXlyj, &+J, а пространство Vn, где ищется прибли-
женное решение, есть пространство сплайнов первой степени
двух переменных, линейных отдельно по каждой из переменных,
х и у во всяком элементарном прямоугольнике и удовлет-
воряющих однородным краевым условиям (1.4). -
Нужная нам оценка основывается на применении так назы-
ваемого неравенства Фридрихса. Пусть и(х, у) — непрерывно
дифференцируемая в области й функция, обращающаяся в нуль
- на ее границе, a (xb yi) — точка в й. Тогда
' - xi - ’
f ди(х,уЛ
-- = J - ' dx. . -
х - а .
Применяя к пему неравенство Буняковского, имеем
301 2 Ъ 2
У1) = (*i - «) « & У1)]dx < (fe - a)f u (x> Ух)]dx-
-а л
Проинтегрировав эти соотношения в пределах а х\ < й, с
< yi С d, получим неравенство .Фридрихса
' ь d -
J J u2 («х, ух) dxYdyx < (b — a) J J u (x, y)] dx dy^
Q ~ a c
+ (3)
Q
В нашем случае
и U Ij2 = (- Lu, u) = - f J Lu • u dx dy = J J [ (gy 4- (gy I dx dy
и, следовательно, в силу (3)
llull2 =C (Ь — a)llull. (4)
Пусть ukx, у)-г-сплайн из Vn, интерполирующий в узлах
сетки Д точное решение и(я, у) задаци 2. Тогда согласно
\ § 4. СХОДИМОСТЬ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 331
результатам гл. II ' *
. || Z)r,s [un (ж, у) — и(л,у)Н»<4МР2и(ж,у)|я,1 r + s=l, (5)
где h = max (ft, Z); h .= (6 — a)/7V, 1 = (d — c)/M,
. • 'ИD2«.(ж,!/)||oo .= max {||-.Dr,su (ж, y)||oo|.
>+s=2 _ - . : . •
Вейлу (3), (4), (5) получаем '
Ju~un||2<(b —a)||u—un||<(6 —a)||u —un||= _ ,
(с с 17Н«—“J V 7a(u—u„) yi \1/2
,^-a) Ш (-ЧН2-). +.|-ЧгП dxdy)
,\ Q L 4 ' 4 J
- ^(b-d)3l2{d-c)ll2^h\D2u{x,y^=:O{h\, ,
Предположим теперь дополнительно, что каждый элементар-
ный прямоугольник Qij, на которые разбивается область Q диа- _
гональю, проходящей через вершины Ui, уР й Ui+b y^i), -де-
лится на два прямоугольных треугольника и пусть пространст- <
во Vn есть пространство сплайнов" первой степени двух пере-
менных, линейных над всяким треугольником указанного раз-
биения и обращающихся в нуль на границе области Q. Через
ипСх, у) обозначим сплайн из Vn, интерполирующий точное* ре-
шение и(х, у) задачи 2 в вершинах прямоугольных треуголь-
ников. Согласно результатам гл. II
|рг,’[«п(®,у) —»(®,»)]||<»<^||рги(*,у)|оо. (6)
Тогда, если un(x, i/) — конечно-элементная аппроксимация
для у) в пространстве Уп, то в силу (1), 44), (6), как и
выше, получаем .
II и - ип||2 < /2 (& - а)3/2 (d - c)1/2h ||D2u (ж, у) Ц» = О (h).
Рассмотрим теперь случай, когда задача 2 решается на од-
носвязной области D в плоскости (ж,, у) с кусочно-линейной гра-
ницей Г. Предположим, что нам задано некоторое разбиение D
на треугольники, углы которых ограничены снизу величиной
7>0, а пространство Vn есть пространство сплайнов первой сте-
пени двух переменных, линейных над каждым из треугольни-
ков, составляющих область D и обращающихся в нуль на ее
границе. Если ип(х9 у) ^,Vn — сплайн, интерполирующий реше-
ние и(х, у) задачи 2 в вершинах этих треугольников, то, как бы-.
' ло показано в гл. II,
||Dr's [un (ж, у) — и. (ж, у)] [о. II D2u (ж, у) Цоо, (7)
X 332 ГЛ.’ XI. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ / ’ %
где h — длина наибольшей из сторон треугольников, входящих
в разбиение области D. _ j
Заключим D в прямоугольник Qi = lai, bj X dj. Пусть
u(x, у) — непрерывно дифференцируемая в D функция, равная
нулю на Г. Продолжим и(х, у) на весь прямоугольник Qi, по-
лагая ее равной нулю вне D. Тогда, поступая аналогично тому, |
как это было сделано выше, и учитывая, что и(х, у) == 0 вне D, , i
получим неравенство
•JJu^dy<(&1-a1)8Jj’[(g) 4;(g)]^. (8) \
D . D
Если теперь ип(х, у) -—конечно-элементная аппроксимация в
Vn решения и(х, у) задачи 2, то в силу (1), (7), (8) найдем 1
Аналогичным образом может быть доказана сходимость и
для других типов конечно-элементных аппроксимаций. Такое 1
доказательство основывается на использовании соответствующих
оценок сплайн-интерполяции.
Литер'атура к гл аве XI., [4, И, 16, 24, 27, 84]. (
ДОБАВЛЕНИЯ
§ 1. Матрицы с диагональным преобладанием
Ряд важных результатов теории и практики сплайнов связан со свой-
ствами матриц с диагональным преобладанием. Любопытно, что многие из
этих свойств, несмотря на их простоту, были установлены сравнительно
•недавно и- своим открытием непосредственно обязаны теории сплайнов.
Квадратная матрица А = [«tjl порядка п называется матрицей с диа-
гональным преобладанием, если выполняются условия
= = ...,2V. (1)
З^г
1. Критерий регулярности Адамара.
Т е орема Д.1. Матрица с диагональным преобладанием невырождена.
Доказательство. Действительно, если предположить, что матрица
вырождена, т. е. |А| = 0, то однородная система уравнений А у = 0 имеет
нетривиальное решение у = (у\, ..., i/n)t (Т— операция транспонирования),
2агЛ=°- i =
3
Пусть к таково, что |ул| Jy<|, 1=1, N. Тогда из к-ro уравнения
следует
| akk | \yk | S | aki 11 yj I Pfe I 3 I akj Iе
Отсюда
I ahk I 2 I ahj I» ,
что противоречит предположению (1).
2. Оценка.нормы обратной матрицы. Если в пространстве
векторов у норма введена соотношением
|| #||= max IjM,
то согласованной с ней нормой в пространстве матриц А = [а<Д, I, j = 1, ...
А, является норма
11А =s“p w = max« 21 ay l-
II У II j 1 J ’
Пусть задана система уравнений Ay — d с невырожденной матрицей А.
Ее решение можно представить в виде у*= Норма обратной матрицы
Л-1 есть
• Я4~’ “ = . (2)
334 ? ДОБАВЛЕНИЯ
Отсюда ||у||^ЦЛ"11|||J||. Следовательно, чтобы оценить норму решения си-
стемы через норму ее правой части, достаточно вычислить или оценить
ил-in. -
Теорема Д.2. Если А — матрица с диагональным преобладанием, то
справедлива оценка .
||4-1||< max -±~. (3)
l<i<N гг
Доказательство. Пусть у — произвольный ненулевой вектор. Ес-
ли & таково, что || у ||—|ул |, то
||й||=||^||= - / ' - -
=, 12 anVj | > 12 w, I >\ I Рй 1 - 21 I >
>1 Vk I (l akk I - 2 | ahi П = I jdlTft > IIУII min Л-
Следовательно, '
. ’ IIУ IK Hili' mih\rA-1 = HII max -
' */ 1Кг<№ ri -
Учитывая эту оценку в равенстве (2), получаем (3).
Следствие Д.1. Если матрцца системы Az = d с диагональным пре*
обладанием, то •
,• |у|К max —. (4>
• ' l^i^N ri
Д о к а з ajT е ль ст в о. ^Разделив каждую из строк ^системы на гг-, полу-
чим систему Ау ’= d, где di == di/ri. Согласно теореме Д.2 ||Л-1||^ 1» и по-
этому IIуIKIMII, ч. т. д. ; _ . ' • . ’
Оценка (3) для широкого класса матриц является точной. В этой связи
обратимся к матрицам монотонного вида. \
Матрица А •— [л</| называется, матрицей монотонного вида, если из
Ау >0 следует у >0и из Л у г^.О следует у 0 (знаки означают,
что неравенства имеют место для всех компонент). Все элементы матри-
цы. Л-1, обратной к матрице монотонного вида, неотрицательны, и.наоборот* *•
Лемма Д.1. Если А — матрица с диагональным преобладанием,
аи > 0, ац 0 (/=/= 0, $, / = 1, ...»
то она монотонного вида.
Д о к а з а т е л ь с т в о. *Покажем, что из Ау 0 следует у 0. Пред-
положим противное. -Пусть среди координат вектора у имеются отрицатель-
ные й ул та из них, которая максимальна по модулю. Возьмем вектор z _
^гакой, что все его координаты равны |ул|. Так как
' 2aiA4=l»d2aij>-0> « = .
. з з -
то.Az > 0 и, стало быть, Л (z + у)’= Az + Ау >* 0. С другой стороны, k
2м^ + гА=2вм(1М+^)<°-
3
Полученное противоречие доказывает лемму.
§.L МАТРИЦЫ С ДИАГОНАЛЬНЫМ ПРЕОБЛАДАНИЕМ . 335
Теорема Д.З. Если А—матрица с диагональным преобладанием й
> 0, aij^0 Ч1 “ 1, • • •? N» (5)
«И + 2 “У = г const’ 1 = 1, ...,АГ, (6)
Тб , '
‘ . ||4“1|] = I/г., (7)
Доказательство. Матрица Л"1 = удовлетворяет матричному
уравнению А~1А •= Е,. а элементы ее 4-й строки удовлетворяют системе
aiiaik + ai2a2k + •••X+a-waKft = eift, к-i,
где Stk — символ Кронекера. Суммируя эти уравнения по индексу к, по-
лучаем •
ЛИ S alfe + “12 3 °2А + • • • + 3 eWfc “ Ь
' h h * k -
Отсюда; учитывая (6), находим _ , .
= */>•• ' '
Но так как по лемме Д.1 матрица А. монотонная, то слева стоит норма
НЛ-1!! обратной матрицы.
Теорема Д.4. Пусть В ~ [Ь,J — матрица с диагональным преобла-
данием, . -— * .
|ьн|-3|Ч-|==г>0> 1 = 1..........N‘~' (8)
. . “ "
и существуют диагональные матрицы С и D с элементами, равными либо
4-1% либо —1, такие, что матрица А == CBD удовлетворяет условиям (5).
Тогда ,
||В-Н1 = 1/г. - (9)
Доказательство. Так как В~х = DA~}C, то элементы матриц Я"1
и Л-1 могут отличаться лишь знаками и, значит, ||Л“;1|| = ||4“1||. Для эле-
ментов матрицы А вследствие условий' (8) выполняются соотношения (6).
Поэтому ||4“1|1 = 1/г. - •"
3. Оценка элементов обратно й м атрицы. Рассматриваются
матрицы вида А — Е — В, где Е — единичная матрица, а матрица В такова^
что v -
И«д<1. (10)
Для матрицы обратной к матрице А, известна разложение [2, с. 346] j
A~i:= (Е ^- В)~г 2 '<и)
' „ а—0
Среди таких матриц А выделим ленточные, т. е. матрицы с элементами
Uij = 0, если ] i —j | > m > 0. (12)
T e о p е м а Д.5. Если А = Е -— В — ленточная матрица с условия-
ми (10), (12), то элементы а^ обратной матрицы А"1 удовлетворяют
336'
ДОБАВЛЕНИЯ
неравенствам
H-j|
t I 1 m S
aij | < T^g 9
(13)
Доказательство. В силу ленточной структуры матрицы В из (11>
' * оо
следует, что aL есть элемент матрицы 5 Ва, где — целое числог
a=s..
и
удовлетворяющее условию |г— /| = вцт — I, 0 I < тп. Но тогда
Теорема Д.6. Если ленточная матрица А = [а</| с условиями (12>
есть матрица с- диагональным преобладанием, то для элементов а{. матри-
цы Д"1 справедливы неравенства*
. , । 1
Гч ^|а, |
I 33 I
Kk
min
(14>
Доказательство. Введем диагональную матрицу С с элементами:
1/| ан I, I «= 1, .N. Тогда можно записать СА = Е — В, причем по он*
ре делению нормы и условиям (1)
( rk \ rk
|| В ||= max (1— г—г |=1~ min г-< 1..
\akh\)
Используя теорему Д.5, для элементов матрицы (СД)"^ А~ХС~Х получаем
оценку
/ \ 1 / \ !iz2l
I ' \^( гь \
а.-а,. < min i--------i 1 — • min ; . . ,
‘ 3 \akk I/ \ l^k^N \akk IJ
из которой очевидным образом, вытекает (14) .
‘ § 2. Метод прогонки для решения систем уравнений.
а с трехдиагональными матрицами
Многие задачи теории сплайнов приводят к решению систем линейных
уравнений с ленточными матрицами Ау = d.
Величина р(Д) = ||Д~1||||Д II называется мерой (числом) обусловленно-
сти системы или матрицы. Системы уравнений и матрицы с небольшими
значениями мер обусловленности принято называть хорошо обусловленны-
ми. Известно [6, с. 53], что возможность эффективного решения системы, за-
висит от того, является она хорошо обусловленной или нет.
Если А — матрица с диагональным преобладанием, то из теоремы Д.2
^'следует оценка . '
; Н(Д) <11Д || max-р
§ 2. МЕТОД ПРОГОНКИ
337
где г< определяются формулами (1.1). Очевидно, если величина ^тах|.а..
х ’(minrjJ-i невелика, то А — хорошо обусловленная матрица.
1. Метод прогонки в случае матриц с диагональным
преобладанием. Пусть имеется система
*1 Ь1 0 .. 0 С, dl
С2 ч ь2 . ,. оу 0 0
0 0 0 .. ‘ • CN-1 aN-l bN-l Vn-i = dN-l d>
ibN 0 0 .. .. 0 CN aN _ _Vn _ -dN
Рассмотрим сначала случай, когда ci = bN.~ 0. Решение ищется в;
виде
yi = ‘Viyi+i + иц; i = 1, ..., N — 1. . (2)
Используя выражение для yf-1'из (2), исключим это неизвестное из /-го
уравнения системы. Получаем
(аг + сг»г-1)уг + biyi+1 = di — CiU^
Сравнивая это соотношение с (2), выводим рекуррентные формулы для про*
гоночных коэффициентов vif иг (прямая прогонка):
- р0 = = 0,
Ьг ' и __ di ~ _
ai + civi-l “i-ai + c?i-l’ l~ ’
N. . (3> -<
Очевидно, Все остальные неизвестные находятся по форму-
лам (2) (обратная прогонка). Для реализации алгоритма требуется выпол-
нить 87V арифметических операций: 3N сложений, 3N умножений, 2N де-
лений. - ’ • •
На практике часто приходится иметь дело со случаем, когда требует-
ся решить несколько систем, отличающихся лишь правыми, частями. Не-
трудно видеть, что в формулах (3) величины vt и CiVi-i не зависят от
правой части системы. Поэтому, если вычислить их и запомнить, то для ре-
шения каждой из систем потребуется 5N арифметических операций.
Пусть теперь ci и bN отличны от нуля. Будем искать уг в виде
yi = Viyi+i + WiyN + и,, /•==!, ...,2V—1. (4)
Подставив выражение для tfi—\ из (4) в i-e уравнение системы, получаем
(d% + CiVi-\)yi + + CiWiyN — dN — CiUi-i.
Отсюда приходим к формулам (3) для коэффициентов pf, к,-, i — 1, ...,7V—L
Величины ин определяются соотношениями, . * Л
- “’0 = 1. “Ч = -7j + c,^_1’ * = 1........-^-1-
. Теперь выразим все у» через yN в виде 4
yi — SiyN + tb }•= 1, ..., N — 1. . (бу
Подставляя выражение для yt+i в (4), получаем *
yi '= (ViSi+1 + Wi) yN + (^i^i + l + Ui).
22 IO. С. Завьялов и др.
338 ДОБАВЛЕНИЯ
/
Сравнивая это соотношение с (6), находим рекуррентные формулы для ве-
личин Sf, tc
= 1, tjf.= О,
Si= ViSi+i+.Wi, ti= Viti+l+uit f ;= TV—1, ..., 1. (7)
Подставляя yi и уя-i из (6) в последнее уравнение системы (1), на-
ходим
dN^bN,tl~^cNtN-lr ''
yN aN + bNsl + CNSN-1'
лосле чего решение вычисляется по формулам (6). Всего необходимо выпол-
нить 147V арифметических операций: 5N сложений, 6N умножений и 3N де-
лений. * •
При решении серий систем с одинаковой матрицей предварительно/сле-
дует вычислить и запомнить независящие от правой части величины: viy
$i, at + CiPi-i. Тогда для решения каждой из систем потребуется TN’ ариф-
метических операций.
Алгоритм называется корректным, если все действия, необходимые для.
его реализации, выполнимы. Исследование корректности алгоритма прогон-
ки сводится к выяснению условий, при которых знаменатели в формулах
(3), (5), (8) не равны нулю.
. Будем называть алгоритм прогонки устойчивым, если выполняются не-
равенства ’ ' *
с 1, t = 1, 2, N — 1. (9)
В этом случае при счёте по формулам (3), <5) — (7) не происходит прогрес-
сивного накопления погрешностей округления за счет операций умно-
жения.
Покажем, что если система (1) с диагональным преобладанием, то ал-
горитм прогонки корректен й устойчив. Вначале установим неравенства
|i><] + |u>i| 1, i = 1, 2,~r..N— 1, (10)
из которых вытекают неравенства (9). Имеем р0| + I w>ol'== 1- Предполо-
жим, что (10) выполняется при i — 1. Тогда
I vi | “Ь | I =
Так как |а<|— pi|pi-r| > pi| — |с<| > 0 и р<] > |Ь<| + р<|, то отсюда
следует, что pi | + II < Неравенства (10) доказаны. ‘ Попутно уста- -
повлено, что знаменатель в формулах (3), (5) отличен от нуля. Кроме то-
го, из (7) вытекает, что р<| pi||si+i| + |ш<|. Учитывая (10) и то, что
sjV = l, отсюда по индукции легко получаем |s<| 1, («1, ..., N—1.
Теперь очевидно, что знаменатель в формуле (8) не обращается в нуль,
так как
I aN + bNsl + CNSN-11 > | aN | — | bN 11 «11 ~ | CN 11 sN-l | > °"
Пусть система (1) хорошо обусловлена, но без диагонального преоб-
ладания. В этом случае изложенный выше способ, вообще говоря, некор^
ректен, ибо не исключена возможность обращения в нуль знаменателей
at, + в формулах (3). Например, а\ + ci^o “ 0, если а\ = 0.
В случае ci « bN » 0 мы опишем другие алгоритмы, свободные от
этого недостатка. Единственное условие их корректности — невырожден-
ность матрицы системы (1).
- < . § 2Г МЕТОД ПРОГОНКИ 339>
/
2. Метод немонотонной прогонки. Алгоритм прогонки,
описанный в п. 1, есть не что иное, как. реализация алгоритма исключения
Гаусса для систем с трехдиагональными матрицами. При этом в, случае-
матриц с диагональным преобладанием автоматически используется глав-
ный элемент, что обеспечивает устойчивость вычислений. Алгоритм, кото-
рый рассматривается ниже, основан на методе Гаусса с выбором-главного
элемента по строке для матриц без,диагонального преобладания.
Пусть в результате i-ro шага процесса исключения получена систем’а ‘
. Hyhi + biyi+l = F, Z (11>
z + &i+l^i+2 2=5
' Ci+2^i+1 + аг+2^г+2 "Ь ^i+2^i+3 = ^i+2’ (13>
где ki i. В частности, при i = 1 полагаем
ki 1, H ai, В = C2, F = di, G = </2.
. Опишем; (i + 1)-й шаг процесса исключения. Возможны два случая,
а) |Я| > |&<]. Уравнение (И) запишем в виде
где Vi = —bi/H, Ui = F/Н, причем. | Vi | 1. С помощью этого соотношения
исключим из (12) неизвестное уь,.. Находим” - '
г . * '
(viB + ai+A)yi+i + bi+iyi+2= G— UiB* (14)
Объединяя уравнение (14) с оставшимися^уравнениями исходной си-
стемы и обозначая Н «= ViB + a<+i, F *= G — щВ, ki+x = Л + 1, В
G = di±2l снова приходим к системе вида (11) ~ (13),.в которой I заменена
на i +1. ’ * ~~
б) |Я| < |&f|. Это означает, что bi—главный элемент в строке. Пре-
образуем (И) к виду
где Vi = —H]bi, F/bi, причем опять |yt| ^l. Используя ‘это урав-
нение, исключаем у,+i из (12) и (13). Находим
' - . (5 + VA+l) ^f+^+l^+2==6!-Uiai+V
ViCi+zVki "Ь ai+2^.i+2 *i+2?i+3 ~ ^i+2 “7 UiCi+2'
Объединяя полученные уравнений с оставшимися уравнениями системы
и вводя обозначения Ач-н == Ач, " 1 •-
В = 5-|- ViCii+i,' 'В = ViCi+z, F = G— Ui<ii+\) G = di+2~’ Ci^Ui^
. снова приходим, к системе вида (11) — (13).
Итак, описан один шаг алгоритма исключения. Этот шаг выполним,
если Я и bi одновременно не обращаются в нуль. Но-это действительно,
так, потому что в противном случае система (1) была бы вырожденной.
Следовательно, описанный алгоритм исключения корректен.
В результате исходная система (1) заменяется уравнениями
»ОЧ = едз4 + “и ’ = 1, 2, 1,
. 1 - (15)
VaN = uN- - . -
При этом каждое неизвестное войдет хотя бы в одно уравнение.
.22*
340
ДОБАВЛЕНИЯ
Суммируя проделанные рассуждения, приведем расчетные формулы
для вычисления коэффициентов щ и индексов а<, ₽<. Знак ( = ) исполь-
зуется как символ операции присвоения. ч .
Полагаем Н = db Я = с2, F = G == р0 » 1, aj = bj~ cj = dj =*
з=0, / =7V+1, 2V + 2.
Для I = 1, 2, ..., N выполняются описанные выше действия:
( а) если |Я| |bi|, то vi = —Ъ^Н, щ = Я/Я,
Я = ViB rf" di+1, В = СгЦ-2» F = G — Il iB,
G = di+ъ cx,i = pi-i, pi = i +1;
б) если |Я| < | bi I, to Vi = —H/bi, щ — F/bi,
H = В 1>гЯг + 1, В = PiCi+2i F—G — Uidi^Xi
G = di+2 — UiCi+2, = I + lt Pi — Pi-l.
На обратном ходе алгоритма из (15) вычисляются неизвестные у и
Порядок вычисления определяется индексами a,, Pi и может иметь немо-
нотонный характер. Отсюда название алгоритма. Однако всегда |vj 1,
и поэтому, обратный ход устойчив по отношению к накоплению погрешно-
стей округления. - -
Объем арифметических операций в методе немонотонной прогонки,
не превышает 12Я. При решении систем с одинаковой матрицей на каж-
/ дую из них тратится не более 7N операций.
Отметим, что метод немонотонной прогонки автоматически переходит
в метод прогонки, описанный в п. 1, если он применяется к системе с диа-
гональным преобладанием.
3. Метод универсальной прогонки. Первый этап алго-
ритма состоит в преобразовании системы (1) к двухдиагональному виду.
Опишем один шаг этого преобразования. Пусть (г—1)-е уравнение си-
стемы приведено^ виду
Vi-хУ i == (16)
Если Si-i =/= 0, то, суммируя уравнение (16) и i-e уравнение Систе-
мы (1), умноженные соответственно па —и получаем
. Siyt + Viyw = uh ч
где '
7t- = diSi-x — CiVi-x, Vi= b'iS-x, Ui = diSi-x —ddi-x» (17)
. Тем самым неизвестное i исключено из i-го уравнения. Пожалуй,
самой существенной деталью алгоритма является Доследующая ’ нормиров-
ка величин Si, v^ Ui\
u.i=^' ’i=max<18>
Если Si-r == 0, то указанным преобразованием нельзя исключить уi-i
из f-го уравнения. Формальное выполнение операций (17), (18) дает
Si =—Vi-x, Vi = 0, Ui = —Ut-i
и соответствует^замене i-ro уравнения системы (1) уравнением (16) (с точ-
ностью до множителя —1).
В целом первый этап алгоритма состоит в следующем: полагая se »
в 1, р0 — по = 0, по формулам (17), (18) вычисляем коэффициенты Si, v^
§2. МЕТОД ПРОГОНКИ
341
щ, i = 1, ..., N. В результате имеем уравнения
Siyi + Viyi+i = йг/ i = 1, ..., N — 1,
SNyN =
(19)
Если система (1) невырождена, то преобразование ее к виду (19)
осуществимо. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что в форму-
лах. (18) si и Vi не могут одновременно обратиться^в нуль, ибо это означало
бы линейную зависимость первых i строк матрицы и как следствие вырож-
денность системы (1).
Второй этап алгоритма заключается в аналогичных преобразованиях,
по выполняемых, начиная с последнего уравнения системы (1). В резуль-
тате получаем _
= 1 = 2, (20)
где коэффициенты ^* вычисляются по формулам
t i i
х l,W+l = l> SW+1 = UN+1=0’ - .
’ 7* = cip*+i> =V*+i-^*+i’ “* = rfA*+i-M*+V
5* = max (| 7* |,| £* [. | и* |],
Третий этап алгоритма. В результате первых двух этапов получены
уравнения (19), (20). Составим из пих пары
+ »{Уi+1 = И4, ,
s*+iyi + '’i+iS'i+i = »*+1»
ГЛГ—11 • ‘
i —1,3, ...,2 —— +1. (22)
(Здесь [ ] — символ целой части .числа.) При нечетном N- последняя груц-
па состоит из одного уравнения sNyN =
Система (22) невырождена. Действительно, ее уравнения получены
в результате линейной комбинации соответственно первых i уравнений
и последних N—i уравнений системы (1). Поэтому равенство нулю опре-
делителя системы (22) означало бы линеййую зависимость строк матрицы
системы (1), что противоречит предположению об ее невырожденности.
Каждая из систем (22) определяет пару неизвестных у/+1. Всего необ-
ходимо решить —£— 1 таких систем.
Для реализации алгоритма универсальной прогонки необходимо выпол-
нить не более 267V арифметических операций, в том числе GN сложений,
137V умножений, 7N делений. '
При решении систем, отличающихся лишь правыми частями, целесо-
образно в формулах (18), (21) положить
. = max {| Г. |, 1^ |}, д, =тах { |7*|, |7? |}.
В этом случае объем операций, необходимых для решения! каждой
из систем, может быть снижен до 8N.
342
ДОБАВЛЕНИЯ
Алгоритм устойчив по отношению к накоплению вычислительных по-
грешностей. Это достигается за счет дормировки прогоночных коэффици-
ентов (18), (21) так, что все они оказываются не больше единицы.
§ 3. Алгоритмы решения систем уравнений
с пятидиагональными матрицами
1. Вначале рассмотрим алгоритм для решения систем с симметричными
положительно определенными матрицами *
Ay = g,' d>
или
~a9 b0 Co 0. ... 0 cN_1 bN ~Vo ^0
bo ai bici • • • 0 0 cN У1 ^1.
co bi a2bt ° 0 '° Vz = ^2' • (2>
- CN-1 9 ° 0 ... bjy-2 aN-l bN-l Vn-1
_lrN CN 0 0 .... CN_Z aN _ _^N _
Известно [7, с. 55], что матрица А представима в виде
А = UWUT, / (3)
где U — нижняя треугольная матрица, a W — диагональная матрица с диа-
гональными элементами, отличными от нуля.
Пусть в системе (2) Ьк_=ся — =\0. Будем искать матрицы Z7, W
в виде _
1 tr== ~1 wo % 10 U1 1 , w = ' wo- 0
J) vN-z UN^-1 L _0 . ^N_
Сравнивая левую и правую части в (3), получаем рекуррентные формулы
для коэффициентов u^Vi, wr.
' - si = bi — Ui-id-y,
Wi —di— Vi-2Ci-2 — Hi-iSi-r,
- (4)
Ui = 8i/Wit Vi = Ci/Wii
i « 0, 1,
где c-i = c-2 = v~i = y-2 = и-i == w-i — Cjf = bjf = Q. Обо-
значая
WUTy = z, (5)
запишем (1) в виде : \
Uz = g. (6)
Отсюда находим неизвестные
zt = gt — Vi-2Zi-2 — Ui-iZi-h i = 0, . .., N, * (7)
§ 3. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
343
Здесь формально введены неизвестные z_2. Теперь из (5) вычисляем
(формально введены yN+u 3^+2),
у{ = ZiiWi — Viyi+ъ i =
Общее количество, арифметических операций, необходимое для реше-
ния исходной системы, равно 177V: из них 77V сложений, 7N умножений,
32V делений.
Перейдем к случаю, когда в системе (2) хотя бы один из элементов'
bNi.cjf отличен от нуля. Снова используем разложение (3), но на
этот раз матрицу U будем искать в виде
“о 1 0 j-
i’0 “1 1 ,
О v! »2 1
. 'о ООО ... Vn-5 wn-4
О 0 0 0 ... О -Vn-4 uN-3 1
PQ Р1 Р2 Р3 ^N~4 PN-3 Pn-2 1 .
70 qi ^2^3 ••• ?N-6 qN-3 qN-2qN-l
По формулам (4) вычисляем Ui, Vi, i = 0, ..., N—*2. Далее на-
ходим
r0 — CN—1» ri 1=3 Vo» Гг Vi—2ri—2 Ui—1Г2—1’
i = 2, ..., N — 4,
rN—3~ CN—3 VN—brN—5 UN—4rN^V
tQ==z^Ni tl~^CN'~~U0t0f 4 = ~ Pi-2*i-2 “ “i-l/i-l’
. i = 2, ...,AT —3,
- rN-2 =* bN-2 “ PN-4rN~4 UW-3r^-3»
?2V-2 = cN-2 “ и1Г-4*1Х-& ““ ий-3*Я-3>
JV-2 N-2 .
WN—1 = aN—1 2 P/i* 1 fyv—1 — P^i^
i=l i=l
. N-l '
WN= aN 2
. i=l ? -•
’ _ " r. -
p/=—, 1=0, 1, —2,
h ’
г
По формулам (7) определяем i = 0, ..., N — 2. Кроме того,
N-2 ' N-l
3 PiZV = 2 qiZi'
i=0 i=0
344
ДОБАВЛЕНИЯ
Наконец, из системы (5) находим неизвестные ус
У я — zn/wn> Уя-i e ~ ?ДГ-1?/дг,
УЯ-2 “ ZN-2 !wN—2 “ Ptf-2^2V-1 ~~ ^V-2^N’
УЯ-3 ZN~JwN-3 UN— 3УЯ-2 ~ РЯ~зУЯ-1 ^7V-3^7V’ .
Общее число арифметических
умножений, 57V делений.
2. Рассмотрим систему
“% ьз %
а1 Ь1 С1
*2 ^2 а2 &2 С2
ез <*з аз &3 ' С3
1 = N “ 4’'*• ‘ ’ °* v
операций равно 392V: 177V сложений, 17 7V
еЯ-2
О
dN-2 аЯ—2
eN-l
еЯ
bN-2 CN-2
fl2V-l &JV-1
dN 'aN
У1
У2
Уз
УЯ-2
yN~i
Уя
О
4 £1
.(8>
2
£jV-l
%Я
Для ее решения можно использовать метод немонотонной прогонки. Алго-
ритм строится аналогично случаю системы с трехдйагональной матрицей.
Приведем расчетные формулы . алгоритма. Знак (=)" в них означает
операцию присвоения.
Положим Н = а0, В — b0, D = go, с — di, Е = ab F = gh Q = е2, R —
= d* s =з g2, L — О, Т = е3, К = g3, p-i = 0, 7-i = 1, bN = cN = cN^x ==
*== О, Ы = Ь{ = di = ei= gi = 0, i = N + 1, N + 2, N + 3, N + 4.
Последовательно для i = 0, 1, ..., N вычисляем прогоночные коэффи-
циенты »i, wi и индексы ocf, f<, При этом в зависимости от соотно-
шений между расчетными величинами на (i + 1)-м шаге выполняется одна
из трех групп операций:
а) если |Я| > |В| и |Я| > |с<|, то
Vi = —CijH, Wi = D/H,
af = Р-j, Pi = 7i-b 7t= i + 2,
H^E + uiC,. В = &i+i 4“ ViC^ D = F— WiC,
С = Я + UiQ, E = di+2 F — S — WiQ,
Q = T UilS, R = di+з + ViL, S—K — WiL,
L = 0, T7 = в,ч-4, K- = gi+C
§ 3. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
345
б) если |В| > |Я] и |В| > |а|, то Wi BjBy
и, = —Н/В, = —Ci/B,
а. = 7<-i, Pi = Pi_h Yi == * + 2,
Н = С + и,£, В == 6i+i + ViE, D = F — WiE,
С = Q -j-iiiZ?, Я == ^i+2 “Ь ^i-Я, F = S — WiR,
Q = Lt R == rfi+3 + ViTt S = K—WiT,
£ = 0, T = et+4, К = gi+ti
в) если |с<| > |Я| и [ci| > |B|, to *• . ’ ’
Ui = —Я/er, Vi = — B/a, • ‘ Wi .= Diet,
а/ = i + 2, Pi = p/_ i, 7f==7<-b
Н = с + Uibi+h , z В = E y/di+i, . D = F — u?i&i+i,
С = (? + ijfai+2, E = R Vi<ii^.2^ F'=S—Widi+zF
Q = L + iiidi+з. R = T + Vidi+з, S === К — Widias,
L = Uid+4, T — ViCi+4, /C=gi+4 — Wiet>4.
Теперь, полагая yN+i = Un+2 = 0, вычисляем неизвестные yi по фор-
мулам
/ yai = M3i + ₽iI'vi + u’<’ « = ЛГ.---»О.
Объем арифметических операций, необходимых для решения системы
(8), не превышает 302V: 14Я умножений, 137V сложений, 3N делений.
Если система (8) имеет диагональное преобладание, то в описанном
алгоритме на каждом шаге выполняется только группа операций а).
В этом случае достаточно 19Я операций: 8Я сложений, 3N умножений,
3N делений.
Литература к добавлениям., [2, 6, 7, 9, 12, 15, 21, 25, 87].
ЛИТЕРАТУРА
Учебники, монографии и отдельные выпуски
1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее
приложения.— Мл Мир, 1972.
2. Б а х в а л о в Н. С. Численные методы, т. I.— Мл Наука, 1973.
3. Б е р е з и н И. С., Жидков Н. • П. Методы вычислений, т. I.— Мл
* Наука, 1966.
4. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в чис-
ленном анализе.— М.: Мир, 1974.
5. Василенко В. А. Теория сплайн-функций.— Новосибирск: НГУ, 1978.
6. В о е в о д и н В. В. Вычислительные основы линейной алгебры.— М.:
Наука, 1977. f
7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— М.: Наука, 1966.
8. Жидков Н. П. Линейные аппроксимации функционалов.—Мл Изд-во
МГУ, 1977.
‘9 . Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математи-
ка.—М.: Мир, 1969.
10. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация.— М.: Мир, 1975.
11. Марчук Г?И. Методы вычислительной математики.— Мл Наука, 1977.
12. Методы сплайн-функций (Вычислительные системы, 65)/Ред. Ю. С. За-
вьялов,—Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1975.
13. Методы # сплайн-функций (Вычислительные системы, 68)/Ред.
Ю. С. Завьялов.— Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1976.
14. Методы сплайн-функций (Вычислительные системы, 72)/Ред.
Ю. С. Завьялов, В. Л. Мирошниченко.—Новосибирск: Ин-т математики
СО АН СССР, 1977.- ~
15. Методы сплайн-функций (Вычислительные системы, 75)/Ред.
Ю. С. Завьялов, А. Имамов.—Новосибирск: Ин-т математики СО АН
СССР, 1978.
15*. Методы сплайн-функций (Вычислительные системы, 81)/Ред.
Ю. С. Завьялов.— Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1979.
16. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике.— Мл
Наука, 1970. _
17. Никольский С. М. Курс математического, анализа, т. I, т.' II.—
Мл Наука, 1973.
^.Никольский С. М., Квадратурные формулы.— Мл Наука, 1974.
19. Р е м е з Е. Я. Основы численных методов чебышевского приближе-
ния— Киев, Наукова думка, 1969. '
2(ГСамарский А. А. Теория разностных схем.— Мл Наука, 1977.
21. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения'сеточных
уравнений.— Мл Наука, 1978.
22. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул.— Мл Наука,
1974. '
23. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной ма-
тематике.— Мл Наука, 1976.
24. С т р е н г Г., Ф и к с Дж. Теория метода конечных элементов.— Мл
- Мир, 1977.
25. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке
АЛГОЛ. Линейная алгебра.— Мл Машиностроение, 1976. t
ЛИТЕРАТУРА 347
26. В б h m е г Кг Spline-Funktionen. Theprie und Anwendungen.— Stuttgart:
Teubner Studienbiicher. Mathematik, 1974.,
27. Pre n ter P. H. Splines and variational niethods.—New York: Wiley, 19J4.
28. Van Roоj P. L. J., S.chjurer F. A bibliography on spline functi-
ons, II.—Netherlands, Technological University Eindhoven, Department
of Mathematics, Т. Н. Report, 73-WSK-01,. 1973.
29. Schultz M., H.; Spline analysis.— Englewood Cliffs, N. Y.: Prentice-
Hall, 1973.
30. Spath H. Spline-Algorithmen zur Konstruction glatter Kurven und Fla-
chen.— Munchen — Wien: R. Oldenburg Verl.j 1973. .
Статьи •,
31. Б e л о н о c o в А. С., Ц e ц о x о В. А. Вычислительный алгоритм и про-
цедуры сглаживания’ функций, заданных приближенно в. узлах нерегу-
лярной сетки на плоскости.— В кн.: Некорректные задачи математиче-
ской физики и проблемы интерпретации геофизических наблюдений,
Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1977, с. 6—29.
32. Василенко В. А. Аппроксимация сплайн-функциями в весовом
пространстве Соболева.— В кн.: Дифференциальные и интегродифферен-
циальные уравнения. Труды семинара «Методы вычислительнойГи при-
кладной математики» под рук. Г. И. Марчука, I, Новосибирск,. ВЦ СО
АН. СССР, 1977, с. 120—126.
33' . Великин В'. Л. Точные значения приближения эрмитовыми сплайна-.
ми на классах дифференцируемых функций.—Изв. АН СССР, сер. ма-
тем., 1973, 37, № 1, с. 165-185.
34. Ж е н с ы к б а е в А. А. Наилучшая квадратурная формула для неко-
торых классов периодических дифференцируемых функций.—ДАН
. СССР, 1976, 227, № 2, с. 277—279.
35. Ж е н с ы к б а е в А. А. О наилучших квадратурных формулах для не-
которых классов непериодических функций.— Изв; АН СССР, сер. ма-
тём., 1977, 41, № 6; с. 1110—1125. ,
36. Завьялов IO. С. Интерполирование, функций одной и двух . пере-
менных кусочно-полиномиальными функциями.— В кн.; Математи-
ческие проблемы геофизики, I, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1969,
с. 125-141.
37. Завьялов Ю. С. Интерполирование кубическими многозвенникамй
* (сплайнами).— В кн.: Вычислительные системы, 38,,Новосибирск, Ин-т
математики СО АН СССР, 1977, с. 23—73. . ~
38. Завьялов'Ю. С. Интерполирование бикубическими многозвеннйка-
ми (сплайнами).— В кн.-. Вычислительные системы, 38, Новосибирск,
Ин-т математики СО АН СССР, 1970, с. 74—101.
39. Зав ь я л о в Ю.-С. Экстремальное свойство кубических многозвенников
(сплайнов) й задача сглаживания.— В кн.: Вычислительные системы,
42, Новосибирск, Ин-т математики СО АН СССР, 1970, с. 89—108.
40. Завьялов Ю. С. Z-сплайн-функции многих переменных.— ДАН
СССР, 1974, 214^ № 6, с. 1247—1249.
41. Завьялов Ю. С. Экстремальные свойства сплайн-функций многих пе-
ременных.— В кн.: Теория. приближения функций. Труды Междуна-
род. конф, по теории приближения функций. Калуга, 24—28 июля 1975,
М„ Наука, 1977, с. 182—187. /
42. Завьялов Ю. С., Имамов А. Алгоритм с расщеплением решения
задачи слгаживания сплайн-функциями многих переменных.—Чиел.
методы механики сплошной средЬт; 1976, 7, № 6, с. 52—61.
43. * 3 а в ь я л о в Ю. С., И м а м о в А. О вариационных задачах теории сплай-
нов.— В кн.: Математический анализ и смежные вопросы математики,
Новосибирск, Наука, СО, 1978, с. 27—36.
348 ЛИТЕРАТУРА
.44 . 3 м а т р а к о в Н. Л. Сходимость интерполяционного процесса для па-
раболических и кубических сплайнов,—Труды МИ АН СССР, 1975, 138,
с. 71—93.
45. Ильин В. П. О сплайновых решения обыкновенных, дифференци-
альных уравнений — ЖВМиМФ, 1978, 18, № 3, с. 620—627.
46. И л ь и п И. А., Л у к ъ я н о в А. Т. Применение кубических сплайнов
к решению второй краевой задачи для уравнения теплопроводности с
разрывным коэффициентом.— Числ. методы механики сплошной среды,
1976, 7, Яг 1, с. 62—71.
47. Квасов Б. И. О построении L-сплайнов.— Числ' методы механики
сплошной среды, 1972, 3, № 3, с. 64—71.
48. К в а с о в Б. И. Получение сплайнов осреднением кусочно-постоянных
функций. Сплайны с дополнительными узлами.— Числ. метбды меха-
ники сплошной среды, 1973, 4, № 1, с. 39—55.
49. Квасов Б. И; Об итерационном методе построения сплайнов.— В кн.:
Вариационно-разностные методы в математической физике, Новоси-
бирск, ВЦ СО АН СССР, 1974, с. 107—115.
50. Квасов Б. И. Сплайн-решения смешанной задачи Лагранжа — Эрми-
та.— Числ. методы механики сплошной среды, 1977, 8, № 1, с. 59—82.
51. К в а с о в' Б. И., К о б к о в В. В. Некоторые свойства кубических эрми-
товых сплайнов с дополнительными узлами.— ДАН СССР, 1974, 217, •
№ -5, с. 1007—1010.
52. Квасов Б. И., К о б к о в В. В. Сплайны с дополнительными узлами,
. II. Их пределы и некоторые свойства. —Числ. методы механики
сплошной среды, 1974, 5, № 4, с. 48—70.
53. К о б к о в В. В. О сходимости кубических сплайнов с дополнительны-
ми узлами.— В кн.: Численный анализ, Новосибирск, Ин-т теор. и при-
клад. механики СО АН СССР, 1978, с. 60—74.
54. Л е у с В. А. Гладкая окружностная интерполяция кривых.— В кн^ Вы-
числительные системы, 38, Новосибирск, Ин-т математики СО АН СССР,
с. 102—127. ’
55. Мирошниченко В. Л. Решение краевой задачи для дифференци-
ального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом ме-
тодом сплайн-функций.—Изв. АН Каз. ССР, сер. физ.-мат., 1972, № 5,
с. 46—50.
56. Мирошниченко В. Л. Об интерполировании кубическими сплайна-
ми.— В кн.: Вычислительные системы, 56, Новосибирск, Ин-т математи-
ки СО АН СССР, 1973, с. 18-22. . *
57. М и р о ш н и ч е н к о В. Л. Решение краевой задачи для дифференциаль-
ного уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом мето-
дом сплайн-функций. Схема повышенной tohhocjm.— Изв. АН Каз. ССР,
сер. физ.-мат., 1973, № 3, с. 37—42.
58. М о р о з о в В. А. Теория сплайнор* и задача устойчивого вычисления
значений неограниченного оператора.—ЖВМиМФ, 1971, И,. №3,
с. 545-548.
59. Петерсен И. О кусочно-полиномиальпой аппроксимации.— Изв. АН
Эст. ССР, сер. физ.-мат., и техн., 1962, I.
60. Рябенький В. С. Локальные'формулы гладкого восполнения и глад-
кой интерполяции функций по их значениям в узлах неравномерной
прямоугольной сетки.— М.: Ин-т прикладной математики АН СССР,
Препринт № 21, 1974.
61. Слепцов А. Г. Сходимость метода локальной коллокации для обык-
новенных’ дифференциальных уравнений.—ЖВМиМФ, 1975, 15, № 6,
с. 1447—1456. .
62, Филатов В. В. О чебышевском приближении кубическими сплайна-
ми.— В кн.: Вычислительные системы, 56, Новосибирск, Ин-т матема-
тики СО АН СССР, 1973, с. 23—26. , ,
ЛИТЕРАТУРА
340
63. ш ,е п е л е н к о В. Н. Использование сплайнов для приближенного вы-
числения интегралов с особенностью и решения трансцендентных урав-
нений.— Числ. методы механики сплошной среды, 1973, 4, К® 5, с, 125.
64. Я н е н к о Н. Н., К в а с о в Б. И. Итерационный метод построения
поликубических сплайн-функций.—ДАН СССР, 1970, 195, с. 1055—1057. .
65. Я н е н к о Н. Н., К в а с о в Б. И. Итерационный ^етод построения
поликубических сплайн-функций.— Числ. методы механики сплошной -
среды, 1970, 1, № 3, с. 84—89.
66. A h 1Ь е г g J. Н., Ito Т. A collocation method for two-point boundary
value problems.—Math. of'Comput., 1975, 29, № 131, p. 761—776.
67. A k i in a H. A. New method of interpolation and smooth curve fitting-
based on local procedure.— J. ACM, 1970, 19, № 4, p. 589—602.
68. A 1 b a s i n у E. L., H о s k i n s W. D. Cubic spline solutions to two-point *
boundary value problems.—Computer J., 1969, 12, № 2, p. 151—153.
. 69. Arthur D. W. Multivariate spline functions.—J. Approxim. Theory»
1974, 12, № 3, p. 396-411.
70. Birkhoff G., Priver A. Hermite interpolation error for derivati-
ves.— J. Math. Physics, 1967, 46, p. 440—447.
71. Birkhoff G., Schultz M. H., Varga R. S., Piecewise Hermite*
interpolation in one and two variables with applications, to partial dif-
ferential equations.— Numer. Math., 1968, 11, № 3, p. 232—256.
72. D e Boor C. Bicubic spline interpolation.— J. Math; Phys., 1962, 41»
p. 212-218. ' .
73. D e Boor C. On uniform approximation by splines.— J. Approxim. The
ory, 1968, 1, № 3, 219-235. *
74. De В о оr C. On calculation with R-splines.— J. Approxim. Theory, 1972»
6, № 1 p. 50-62. _
75. De Boor C. Splines as linear combinations 6f B-splines.— In: Approxi-
mation Theory, II, ed. G. G. Lorentz. New Jork, Acad. Press, 1976, p. 1—47.
76. De Boor C. Packade for calculating with B-splines.—SIAM J. on Nu-
mer. Anal., 1977, 14, № 3, p. 441—472.
77. D e Boor C., F i x G. J. Spline approximation by quasiinterpolants.—
J. Approxim. Theory, 1973, 8, № 1, p. 19—45.
78. De' Boor C., Swartz B., Collocation at Gaussian points.—SIAM J. *
on Numer. Anal., 1973, 10, № 4, p. 582—606.
79. Bohm W. Cubic 5-spline curves and surfaces in computer aidid geomet-
ric design.— Computing, 1977, 19, № 1, p. 29—34. . „
- 80. В r a e s s D. Chebyshev approximation by spline functions with free
knots.— Numer. Math., 1971, 17, № 3, p. 357—36f>.
81. Buck R. C. Alternation theorems for functions of several variables.—
J. Approxim. Theory, 1968, 1, № 3, p. 325—334.
82. Carlson R. E., Hall C. A. Bicubic spline interpolation in £-shaped
domains.— J. Approxim. Theory, 1973, 8, № 1, p. 62—68.
83. С a r 1 s о n R. E., H a 11 С. O., Error bounds for bicubic spline interpo-
lation.— J. Approxim. Theory, 1973, 7, № 1, p. 41—47.
84. C i a r 1 e t P. G., R a v i a r t P. A. General Lagrange and Hermite inter-
polation in Rn with application to finite element methods.—Arch. Rat.
Meeh. Anal., 1972, 46, № 2, p. 177—199.
85. С1 e n s’h a w C. W., Negus B. The cubic X-spline and its application
to interpolation.— J. Institute of Math. Applies, 1978, 22, № 1, p. 109—119.
86. C u г г у H. B., S c h о e n b e r g I. J. On Polya freguency functions, IV. The
fundamental splines functions and their limits.— J. Anal. Math., 1966, 17»
K2 1, p. 71—107.
87. De тк о S., Inverses of hand matrices and local convergence of spline
projections.— SIAM J. on Numer. Anal., 1977, 14, № 4, p. 616—619. ’ .
88. Epstein M. P. On the influence of parametrization in parametric inter-
polation.— SIAM J. on Numer. Anal., 1976, 13, № 2, p. 261—268.'
350 x v ЛИТЕРАТУРА
89. Н а 11 G. А., М е у е г W. W. Optimal error bounds for cubic spline in-
terpolation.— J. Approxim. Theory, 1976, 16, № 2, p> 105—121.
90. H о u s t i s E. N. .Collocation methods for linear elliptic problems.— BIT,
1978, 18, № 3, p. 301-310..
91. Lyche T. Discrete cubic spline interpolation.—BIT, 1976, 16, № 3,
p. 281-290.
92; L у c h T., Schumaker L. L. Local spline ‘approxirhation methods.—
J. Approxim. Theory, 1975, 15, № 4, p. 294—325.
93. Liicas T; Error bounds for interpolating cubic splines under various
end conditions.—SIAM J. on Numer. Anal., 1974, 11, № 3, p. 569—584.
‘94 . Mansfield L. On the variational approach to defining splines on
L-shaped regions.— J. Approxim. Theory, 1974, 12, p. 99—112. ’
95. M a r s d e n M. Cubic spline interpolation of continuous functions.— J.
Approxim. Theory, 1974, 10, № 2, p. 103—111.
96. McLain D. H. Two-dimensional interpolation from random data.— Com-
puter I, 1976, 19, № 2, p. 178—181.
97. Runge C. Uber empirische Funktionen und die Interpolation zwischen
aquidistanten Otdinaten.— Z. Math. Phys., 1901, 46, s. 224—243.
98. Schoenberg I. J. Contributions- touthe problem of approximation of
equidistant data by analytic functions.— Quart. Appl. Math., 1946, 4, p. 45—
99,112—141.
99. Schoenberg’ I. J. Spline functions and the problem of graduation.—
Proc. Natl. Acad. Sci. U. S., 1964, 52, № 4, p. 947—950.
400. Schoenberg I. J. On cardinal monosplines of least Loo "norm on the
real axis.— J. Anal. Math., 1970, 23, p. 409—436.
401. Schoenberg J. J., Whitney A. On Polya frequency functions, III.
The positivity of translation determinants with an application to the in-
terpolation problem by spline curves.—Trans. Amer. Math. Soc., 1953,
. 74, p. 246-259.
402. Schoenberg:!. J., Ziegler Z. On cardinal monosplines of least
Loo-norm on the real axis.'—J. d’analyse Mathematique, 1970, 23, pp. 409—
436. ’ ’ ‘ ‘
СПИСОК ОПЕЧАТОК ь у
Страница Строка , Напечатано Следует читать _ г
23 14 св. »|...| 0=1...I
52 ч 1 св. hi — 1. Л/-1
56 . 13 си. и... II Й1...11 .
57 3 св. . |Q] ,
57 И св.
73 6 св. $з(*) 5з(Ц '
х2
94 9 св. J '
X X
99 18 сн. типа I (1\ -
148 1 сн. . «*1 C’w-1 Ч “ ^Л’-1
119 1 сн. • (1 + ЦлГ-2) (1+[1W-|) j
148 7 сн. (*о+)2 ' (хо+)+2
169 18 сн. II/1 v II о. II/1VIIC • '
173 12 сн. * ( «1 \ а,, а.-, —1 \ 1 2 2а2/ | a.a„, -^1 | k 1 2 2aJ -
174 17 сн. • /ф2(аь а2) . ф2(аь aO, • •
176 Табл. Исключить колонку Rz ' ' '
485 ", 4 св. О2’85(х{^) = /(?>’>
202 7 св. =-1/6 Код = 1/6
210 16 св. <У2//2 < 1/21/2 , ’
' 259 , \ 4 сн. р<”>(х) P<r)(/)
262 I 13 и 15 св. JcKb] . 1 кд!'’.*] , . ’
266 Табл. В заголовке поменять местами 7 .и п
314 1 св. (13) (14)
320 6 св. (e/V-2 — (2eN-2 — Sn)
329 1 сн. II...Hi 1.-Л
331 L / 5 св. (3) (1)
340 14 сн. s-l Si-1
344, 5 сн. > ai=₽-l >.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аппроксимация" локальная 243
Асимптотически паилучшее прибли-
жение равномерное 279
Интерполяционная формула Лаг-
ранжа для сплайнов 29
----- —----двух переменных 39
Интерполяция. с .заданной точ-
ностью 50
Квазииптерполяциям281
Квазинаилучшее приближение рав-
номерное 279 '
----среднеквадратичное 279
Классы функций '42
— — двух переменных 55
Колебание функции 42 .
----двух переменных 55
Конечный элемент 314
Краевые условия для кубических
сплайнов 96
Матрица, ленточная 335
— монотонного вида 334
— с. диагональным преобладанием
333
— хорошо обусловленная 336
Мера (число) обусловленности мат-
рицы 336
Метод Галеркина 313
— конечных элементов 309 '
— прогонки 337
----- немонотонной 339
— — универсальной 340
— сплайн-коллокации 284
Модуль непрерывности 42
Моносплайн 267
—, наименее уклоняющийся от ну-
ля 269
Неравенство. Гельдера 44
Остаточный член аппроксимации 42
Параметризация по суммарцой дли*
.не хорд 212 г
----- — — — нормированная 212
Представление сплайна в .виде сум*
мы усеченных степенных функ*
ций 18, 37
----г через 5-сплайны 22, 38,
Пространство Соболева 310
— сплайнов 16
----двух переменных 37
— энергетическое 311 '
Процесс Ритца 312
Сплайн, сплайн-функция 10 1
— базисный с конечным носителем
минимальной длины 22
— двух переменных 36
— интерполяционный 26 •
— кубический. 96
----г дискретный 198 ' -
----интерполяционный 96
----г- двух переменных 131
— — нелокальный класса С1 193
— — параметрический 215
— — сглаживающий 149
----двух переменных 163
----с дополнительными узлами? •
170 ’
----------двух переменных 184
------------ локальный 165
----с разрывными производными?
.204
----эрмитов (дефекта 2) 58
------двух переменных 75 .
------параметрический 211
— локальный 41
— параметрический 207
— первой степени 41
------двух переменных 54
------на нерегулярной сетке 87
— периодический на сетке 264
— рациональный .187 >
----параметрический 219
— с дополнительными узлами 165»
352 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Сплайн степени п дефекта v 15
— фундаментальный 28
-----сглаживающий 162
частичный 76
— эрмитов нечетной степени 81
Сходимость интерполяционного про-
цесса 49
-----: с порядком 7 49
Тензорное произведение конечно-
мерных пространств 37
Теорема о среднем для интегралов
43
--------непрерывной функции 42
Триангуляция 87
Формула локальной аппроксимации
253 ,
—-- --точная на кубических мно-
гочленах 250
----------многочленах первой
степени 245
— сглаживающая 245
— Тейлора 43, 44
Функция квазиэкстремальная 46
— усеченная степенная 16
— финитная 18
— экстремальная 46
Экстремальное свойство кубических
сплайнов 147
----------двух переменных 157
Узлы коллокации 285
----оптимальные 297
— сплайна 15
5-сплайн 22 .
— кубический 141
— нормализованный 23
5-сплайн И