Школьная программа в таблицах и формулах. Большой универсальный справочник

Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа иллюстративные издания и материалы образование
ISBN: 5—7107—1961—7
Year: 1998
Similar
Школьная программа в таблицах и формулах. Большой универсальный справочник. Русский язык. История. Математика. Физика. География. Биология. Химия. Английский язык
Большой справочник математика для школьников и поступающих в вузы
Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы
Большой детский словарь.
Text
                    кольная програ а
в таблицах и формулах
Большой универсальный
справочник
V
IV
Русский язык • История
Математика • Физика • География • Биология
Химия • Английский язык
Москва
Издательский дом «Дрофа»
1998

УДК 373.167.1(08)
ББК 96
Ш67
СОДЕРЖАНИЕ
Русский язык
(3. Д. Голъдин, В. Н. Светлышева) 4
История
История России XX века в таблицах
(А. А. Данилов) 62
Всемирная история в таблицах
(А. Г. Степанищев и др.) 90
Математика
Алгебра в таблицах
(Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский) 122
Геометрия в таблицах
(Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский) 184
Математика в формулах 267
Физика
Физика в таблицах
(Б. А. Орлов) 288
Физика в формулах
(В. А. Ильин) 330
География
(В. В. Климанов, О. А. Климанова) 352
Биология
(Т. А. Козлова, В. С. Кучменко) 428
Химия
Химия в таблицах
(А. Е. Насонова) 528
Химия в формулах
(Б. Б. Еремин) 566
Английский язык
(20. Л. Минаев) 590
Школьная программа в таблицах и формулах. Большой универсальный справочник. —
Ш67 М.: Дрофа, 1998. — 640 с.
ISBN 5—7107—1961—7
В справочнике представлен в обобщенном виде теоретический материал по предметам школьного курса.
Табличная форма позволяет наглядно представить основные положения школьной программы,
способствует формированию и развитию мыслительных навыков, навыков логического анализа: правила не
преподносятся в готовом виде, но выводятся логическим путем из предлагаемой таблицы. Таблицы и схемы
создают зрительный образ и надолго фиксируются в памяти.
Справочник адресован учащимся общеобразовательных учреждений, абитуриентам, учителям и
родителям.
УДК 373.167.1(08)
ББК 96
ISBN 5—7107—1961—7 © ♦Дрофа», 1998

Русский язык
Лексика • Фонетика
Морфемика • Словообразование • Морфология
Синтаксис

Русский язык в таблицах
ЛЕКСИКА
1. Типы лексических значений слова
Лексические значения различаются
Т
по характеру связи
слова с предметами,
явлениями
действительности (по
способу наименования)
о
о о
& 3
со
ф
О Q
2* <тч
S
со й
at ^
Ф
.-с
я 1 $ *
я
Еч
ф
ей
m
а
со
ей
.. со
ф
о о
ft
И
О
я
о
ч
о
IS
со
3
*~й
«Is
I 85
S3
W 2Ji
Я Я
ой м
О
Я
0)
Я
о
§
о
S
Я
2
W
я
я
0)
о (Я
Я Ю
Н о
0) л
Я ш
со ж
са со
О
О
<5У
S
is
Г
по происхождению
3*
о со
Q, О
и *
в §
W а, «
о ^
о S
о
со
о
я
0)
Я
«
Я
Я
0)
5
Я
ой со
о S
м Я
3 w
*s^*
0) 0) -» 3
g ш Ч
—. w з *»
О S н А &
W & 3 ft» R*
а, О эй ^
ft tf 0) О ^
a w § 3 S
8 § 5 §
S И со л
i»§*
g Я ft§
со Я Я *
по сочетаемости
с другими словами
Я
ей
я
о
о
Я о
я я
£?
° 2
Я «*
э «
о
О
л g
Ф ой
о о
«
о g>
I-* i*
з е
«о
о
о
о
«V4
Я >3
g н 2 DJ
S Я « в
й w 2 *
ф У* л 3
ft О0* §
§ ^ § S
v W М ^Г
3 «
**Я|,
64 I S о -
и * 2 й
§ « S в
Я w ч у
§ я Й 2
ft 3 ф со
2 >» £ -
Я . Я /—\
3 х я s*
Я I §!
ф
я
со
ft/&
о ^^
о
6
по функции
8
ПРЯМОЕ
ПЕРЕ-
НОСНОЕ

НЕМОТИВИРОВАННОЕ (КЕ-
ПРОИЗВОД-
НОЕ)

МОТИВИРОВАННОЕ
(ПРОИЗВОДНОЕ)

СВОБОДНОЕ

НЕСВОБОДНОЕ,
ФРАЗЕОЛОГИЧЕСКИ
СВЯЗАННОЕ

НОМИНАТИВНОЕ

(НАЗЫВАЮЩЕЕ)
ЭКСПРЕС-
СИВИО-
ОБР АЗ-
НОЕ
4

дк
'ticctiuu, ягын
& таал
таалицах
2. Слово: однозначное
или многозначное?
Если слово имеет
одно
лексическое
значение
береза
подосиновик
бронхит
сатин
атом
ОДНОЗНАЧНОЕ
несколько
лексических
значений
(из них одно —
прямое,
а остальные —
переносные)
высокая (гора)
высокий (звук)
высокий (стиль)
высокая (вода)
МНОГОЗНАЧНОЕ
3. Способы
переноса наименований
Если наименование одного предмета
(явления, действия и т. д.)
перенесено на другой предмет
по сходству
внешних
признаков
(места расположения,
формы, вкуса,
функций и т. п.)
глазок (у картофеля)
лапка (у швейной
машины)
дворники
(у автомобиля)
МЕТАФОРА
по смежности
(предмет называется по
материалу, из которого он сделан;
результат — по действию;
содержимое — по предмету,
в котором оно находится, и т. п.)
хрусталь (изделия из хрусталя)
выпечка (изделия из муки)
проба (часть, взятая для
анализа, и т. п.)
борода (человек)
рентген (по имени собственному)
МЕТОНИМИЯ
4. Смысловые ряды слов
Если слова по своим значениям
\
г
очень близки,
а по смысловым
и ли стилистическим
оттенкам
различаются
безграничный,
необозримый,
бескрайний;
врач, доктор;
губы, уста
<
1
синонимы
у
г
различаются,
а по форме
одинаковы
горн
(музыкальный духовой
инструмент),
горн
(приспособление в
кузнице)
1
2
омонимы
похожи
глиняный,
глинистый;
невежа,
невежда
<
3
ПАРОНИМЫ
ф
противопоставлены
ДРУГ другу
высокий — низкий;
старый — новый;
больной — здоровый
1
4
АНТОНИМЫ

Сшссльпал iificzfiaAiAia &тсшлии&х и фоЬ*.1шлаоо
5. Как отличить многозначное слово от омонима?
Если слово имеет 1
одина
илибл
ковые 1
изкие 1
по смыслу 1
синонимы 1
<
одинаковые
формы
при изменении
слов
1
2
разные
синонимы
одинаковые

словообразовательные
средства
1
МНОГОЗНАЧНОЕ СЛОВО*
^
разные
формы
при изменении
слов
4
У У
5
разные

словообразовательные
средства
у
[б
ОМОНИМЫ (разные слова)
6. Место русского языка среди других славянских языков
Индоевропейские языки

неславянские
славянские
западнославянские
'Я
я
й
О
В
Ф
Я
Й
tf
а
и
о
ч
о
'Я
Я
Й
о
А
Ч
О
Я

восточнославянские
>Я
Я
к
я
ч
>я
Я
Й
о
я
§
ft
>Я
я
Й
о
о
>>
ft
'Я
в
й
о
о
ft
о
ч
ф
южнославянские
:Я
Я
Й
О
Я
«
m
а
Ч
о
о
Ч1
cd
Ен
О
эЯ
я
Й
о
&
и
Ч
о
'Я
я
Й
о
я
о
ф
И
ft
О эВ
Й S
О у
Й о
и
ю
ft
ф
о
эЯ
я
Й
о
м
ф
и
о
ч
о
6

тисскии, я&ью
бтаож
'AUUfUX,
7. Лексика с точки зрения ее происхождения
Лексика русского языка (словарный состав)
1 ~
исконная
русская
лексика
будильник
буханка
валежник
ватрушка
вертолет
гайка
дикобраз
подробный
салазки
сказка
заимствованная лексика
из славянских языков
из

славянского языка
врата
доблесть
злато
хождение
целебный
юный
из других
славянских
языков
польск.:
булка
рекрут
скарб
шнур
шпенёк
укр.:
борщ
брынза
бублик
из неславянских языков
греч.: василек, грамота, тетрадь, фонарь
лат.: вакуум, вертикаль, вирус, студент
тюрке: арбуз, бурав, ватага, утюг, чай, чердак
нем.: вата, верстак, шахта, шкаф, шланг, шуруп
голл.: брюки, гавань, шлюпка, штурвал
франц.: багаж, дюжина, секрет, шанс, шеф, шофер
итал.: браво, валюта, вермишель, тенор, шпага
англ.: вокзал, веранда, джем,-контейнера футбол
8. Основные признаки старославянизмов
Старославянизмы имеют признаки
I
в начале слова I
ст.-ел.
\а: аз,
агнец
\е: един,
\Елена
\ю: юшка \
\ра:
равный
ла: ладья
русск.
я: я,
ягненок 1
о: один, 1
Олёна
у: уха
ро:
ровный
ло: лодка
фонетические
т
неполногласие I
ст.-ел.
ра:
град, !
брада,
краткий
ла:
глас,
власы
ре:
брег,
пред
ле:
плен,
влечь,
шлем
русск.
оро: I
город,
борода,
короткий
оло:
голос,
волосы
ере:
берег,
перед
оло/ело:
полонить,
волочить,
ошеломить
чередования 1
ст.-сл.
д/жд I
русск. 1
д/ж 1
водить 1
вождь | вожак 1
перед
{прежде [опережать
т/щ J т/ч
свет 1

освещение
свечение
морфологические
I
суффиксы
ст.-сл.
-тель:
сеятель,
хранитель
-ени (в):
учение,
повеление
-ущ- (ющ)
-ащ- (-ящ-)
горящий,
могущий,
сидящий
русск.
-учг (-юч)
-ач- (-яч-)
горячий,
могучий,
сидячий
1 приставки 1
1 из-:
1 излить
1 вое- (воз-)
1 пре-
1 пред-
1 чрез-
1 низ-
вы-:
вылить
вс-
пере-
перед-
черес-
1 с- ]
7

чшсолышя тфофсилмш, SinacGittyix и фебльулась
9. Лексика с точки зрения сферы ее употребления
Если слово в современном русеком языке 1
i
употребляется
свободно,
неограниченно
!
не вошло в состав свободно употребляемой лексики 1
1
[ 1
~
удотреоляется в
определенной сфере
деятельности
(наука,
делопроизводство и т. д.): дефис,
рашпиль,
нахлёстка, скальпель

ОБЩЕУПОТРЕБИТЕЛЬНАЯ
2
употребляется на
определенной
территории: голицы
(варежки), балка (овраг),
гай (лес), стёжка
(тропинка)
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ
И
ТЕРМИНОЛОГИЧЕСКАЯ
употребляется опре- I
деленной группой 1
лиц для наименова- 1
ния предметов, 1
имеющих в литера- 1
турном языке свои 1
1 названия: колёса 1
I (нарк. таблетки), 1
I упакованный (бога- 1
тый), тачка (такси) 1
1 з
I 4
▼ V
ДИАЛЕКТНАЯ
ЖАРГОННАЯ
1 ЛЕКСИКА 1
10. Лексика с точки зрения ее активного и пассивного запаса
1 Лексика современного русского языка
i
1 слова актив-
1 ного упот-
1 ребления
(используются
1 повседневно)
дом
веселый
смеяться
хорошо
<
1
1
неологизмы
1 общеязыковые
(возникают
для обозначения
новых понятий)
космодром
атомщик
прилуниться
голубой экран
ракетодром
' «
[2
»
АКТИВНЫЙ ЗАПАС
1
устаревшие слова
(вышли из активного
употребления)

индивидуально-речевые 1
(авторские)
цветь,
звень (Есенин);
чемберленье
(Маяковский)
1з
i
историзмы
(исчезли

ответствующие реалии)
боярин
бурмистр
вече
1 царь
1 А
W ♦
1
1
архаизмы
(появились новые
названия
реалий)
ланиты
(щеки),
вежды (веки),
длань
(ладонь)
У
5
t
ПАССИВНЫЙ ЗАПАС j
1 !
8

Щлсспий, Jfybttc ётасГищаоо
11. Лексика с точки зрения ее стилевой принадлежности
Слова, которые употребляются
1
только в устной речи
1
1
литера-
турно-
разговор-
ная 1
лексика
.2
разго- 1
1 ворно-
быто-
вая
лексика
,з

просторечная I
лексика I
X
РАЗГОВОРНАЯ ЛЕКСИКА
во всех сферах
деятельности,
как в устной,
так и в письменной
речи
МЕЖСТИЛЕВАЯ,
НЕЙТРАЛЬНАЯ
ЛЕКСИКА
I
только в письменной речи
в
научной сфере

деятельности
Ж
т
в деловой
среде
научная
лексика
I
Ж
в сфере

периодической
печати

официально-
деловая
лексика
I
Ж
газетно-
публи-
цистиче-
ская
лексика
I
КНИЖНАЯ ЛЕКСИКА
ФОНЕТИКА
12. Гласные и согласные звуки
Как образуется звук:
встречает ли воздушная струя преграду
в полости рта?
Да
Нет
губы зубы язык
и ь ь
СОГЛАСНЫЙ ЗВУК
ГЛАСНЫЙ ЗВУК
13. Как передан звук на письме:
одной или двумя буквами?
На письме звук может быть обозначен
одной
буквой
дом
[д][о][м]
бил
[б*][и][л]
—
двумя буквами
в сочетании
с мягким
знаком
день
моль
[л']
мягкий
согласный


ковыми
рассвет
[с]
жжёт
[ж]
разными
CjKHo I
[Ж]
сшил
[5]
детский
[5] |
долгий
согласный
9

Шномшия пЖогбамлш &пшол1ищоь и, фо{1льилах,
14. Сколько звуков может быть
обозначено одной буквой?
15. Какие звуки передают буквы
е, ё, ю, я?
Одной буквой 1
может быть обозначен: 1
1
г
один звук
ряд
[а]
I лёд
[о]
I тюль
[у]
I лес
[э]
1
t
два звука
яблоко
[за]
льёт
[jo]
мою
■ [ЗУ]
въезд
[J3]
V
нет звука 1
на месте 1
буквы 1
день
[-]
сердце
[-]
; вестник
\ ы
съел
[-]
Буквы е, ё, ю, я передают звуки: 1
D»]. [Jo]. tJy]» tia]
|[э],И,|у],[а]|
i 1 1 1
вначале
слова:
есть
ель
ёж
I ёмкий
1 юла
1 юбка 1
1 яма 1
1 язва I
после
ьиг:
взморье

побережье
питьё I
1 ружье 1
вЬЮ7С 1
пью
{объехать
съюлить 1
объявле- I
кие
1 после 1
1 гласных: 1
новая 1
1 моё 1
ТфОЮ 1
1 твоя I
взятие I
1 горение 1
здание 1
1 армия I
1 синяя I
1 после со-
1 гласных,
1 являясь
1 средством
1 обозначе-
1НИЯИХМЯГ-
1 кости на
1 письме: |
1 лес
1 медный
1 плес
тсрютс
1 мята
1 клятва \
1 вялый
16. Различие гласных звуков
по их артикуляции
Подъем
Верхний
Средний
1 Нижний
Ряд
передний
М
[э]
средний
[ы]
[а]
неогубленные
задний 1
[у]
[о]
огубленные
10

- & -</
17. Гласные звуки: ударные — безударные
Гласный звук, который произносится 1
долго
1
с большей
силой
1
отчетливо
2
з
I УДАРНЫЙ (сильная позиция)
I городу земля, величие
кратко
i
с меньшей
силой
4
5
неотчетливо 1
(ослабленно) 1
1 в
\ БЕЗУДАРНЫЙ (слабая позиция)
голова, лесной
18. Роль ударения в слове
Ударение различается 1
по месту в слове
1
1
PA3HOMECTHOE
(падает на любой
по счету слог
в слове)
дерево
сорока
караван
1
2
ПОДВИЖНОЕ
(переходит с одного
слога на другой
в формах одного
I слова)
понял
поняла
по функции I
1
3
СМЫСЛО-
РАЗЛИЧИТЕЛЬНАЯ
(позволяет
различать слова)
замки — замки
полки — полки
атлас — атлас
1
4
ФОРМО-
РАЗЛИЧИТЕЛЬНАЯ
(позволяет
различать формы одного
слова)
(возле) дома
(большие) дома
//

Шнсльпал пбсгбаж+АШ, & пьш/лищяк it фсбклш^лаоь
19. Как изменяются гласные звуки [а], [о], [э]?
Находится ли гласный под ударением (в сильной позиции)? 1
1
Да
1
звук не
изменяется
мама j
И !
серый
[э]
гордый
га
этот
[Э]
л
Л
1 сильная
j позиция
1
Нет 1
1
звук изменяется
1
в первом
предударном слоге
1 1
после твердых
согласных:
[а3^п 1
не
различаются в
звучании
валы 1
I м
волы
[Л]
1
после мягких
согласных:
[и8]
часы
[иэ]
леса
[иэ]
,2
[з
1-я слабая
позиция
1
в начале
слова
[а]\
[А]
арба
окно
M
14
начало
1 слова
1
в остальных слогах
1 1
после твердых
согласных:
[о]^[ъ]
[э]
садовод
[ъ][л]
города
ММ
города 1
1 [ъ][ъ]
нового
ММ 1
после мягких
согласных:
1 [а3^ г 1 1
часовой
Ы
лесовоз
[ь]
баня
1ь]
1 поле
[ь]
15 | 6
2-я слабая
позиция
20. Согласные звуки по месту образования
Какой орган активно участвует в образовании звука?
1
губы
1 и, [б] [пг [б*]
[м], [м']
[ФЗ, [в] [ф'], [в']
11
1 ГУБНЫЕ 1
1
язык.
Какая часть языка?
1
передняя
|[т], [Д] [с], [з]
[т'],[д'] [с'],[з']
[ц] [ш], [ж]
W, [н'] [л], [л']
1 [р], [р']
1 2
ПЕРЕДНЕЯЗЫЧНЫЕ
I
средняя
Ш
1
, з
СРЕДНЕЯЗЫЧНЫЕ
1
задняя
[к], [г] [к'], [г'] 1
1 4
ЗАДНЕЯЗЫЧНЫЕ 1
49

cPiicctmu яг bift ё тш/лилцкь
21. Согласные звуки по способу образования
Преграда на пути воздушной струи
Т
т
полное смыкание
органов речи
смычные (разрыв
смычки
происходит мгновенно)
И
взрывные
[б],
[б']
[д],
[д'1
[г],
[г'],
[п]
[п']
[т]
, [т']
[к]
[к']
г
смычно-проход-
ные (смычка не
разрушается)

носовые
[м]
[м']
[н]
[н']

боковые
[л]
[л']
1
сужение
органов речи
*4
щелевые
[в], [ф]
[в'], №']
[з], [с]
[з'], [с']
[ш], |ш*]
ш _
[ж], [ж']
М, [х']
вибрация
кончика языка
* 5
дрожащие
м- [pi
переход
смычки в щель
I 6
аффрикаты
(слитные)
М. М
22. Согласные звуки:
сонорные и шумные
23. Согласные звуки:
твердые и мягкие
Работают ли голосовые связки |
акт*
при образовании звук
IBHO
[pMp'L [л], [л']
[м], [м']( [н], [н']
[J]
- -MaaaJ
1
i
СОНОРНЫЕ
част
преобладает
голос
[б], [б']
[в], [в']
[г], [г']
[д], [д'З
[ж], [ж']
[8]. [8']
1
:а?
ично
преобладает
шум
W. [п'] 1
[ФМФ'З
[к], [к']
W, [т']
[ш], [ш']
[с], [с']
М,[х']
[ц]Л<|
2
звонкие
3
глухие
ШУМНЫЕ
[При образовании звука поднимается ли средняя
часть язьпса к среднему (мягкому) нёбу?
13

Ьшсальшия п/юг/шжлш 4таал(ща<х> и фоЛжимкъ
24. Как изменяются согласные звуки в слове?
(Фонетические законы в области согласных)
Находится ли согласный звук перед гласным, сонорным или перед [в], [в']
(сильная позиция для согласных)?
Да
звук не
изменяется
слабый
[сл][б]
правда
[пр][д]
подыскать
ММ [к]
подвал
[п][дв]
свить
СИЛЬНАЯ
ПОЗИЦИЯ
т
Нет
звук изменяется 1
II II
звонкий
перед 1
глухим
становится
глухим
подшить
[т]
надписать
[т]
вперед 1
[ф]
1 глухой
1 перед
звонким 1
становится
звонким I
просьба I
[з']
молотьба
[д']
твердый перед
мягким, если
одинаковое место
образования,
J становится мягким
власть
[cV]
дневной
[д'н']
смерч
[PV]
1 вместе
1 [bV][cV] 1
ассимиляция (уподобление одного звука
другому, рядом стоящему) 1
по глухости 1
по звонкости
по мягкости
звонкий
в конце
слова

оглушается
1 дуб 1
И
ряд
М
воз
[с]
I закон
конца 1
слова
1 звук не про- 1
износится 1
(выпадает) 1
сердце
[рц]
праздник
[з'н']
совестный
[сн]
1 упрощение
1 групп
1 согласных
СЛАБАЯ ПОЗИЦИЯ 1
25. Схема фонетического разбора слова
Фонетический разбор слова — из каких звуков состоит данное слово?
JL
Записать слово в фонетической транскрипции, обозначить место ударения
выделить слоги, указать варианты переноса
указать, сколько в слове гласных и согласных звуков
дать характеристику гласных:
1) ударный или безударный;
2) по участию губ, по ряду, по подъему языка;|
3) какой буквой обозначен звук
Т.
дать характеристику согласных:
1) по месту и способу образования;
2) по участию голоса и шума;
3) по твердости — мягкости;
4) какой буквой обозначен звук
Соответствует ли количество букв количеству звуков? Если нет, объяснить причину
и

сРисский, ягып S таолии/гоь
МОРФЕМИКА. СЛОВООБРАЗОВАНИЕ
26. Последовательность разбора слова по составу
1^А ЗБОР СЛОВА 1
1 I
Морфемный — из каких значимых частей
состоит данное слово?
Указать:
1) окончание и основу;
2) приставку и суффикс;
3) корень (в сложном слове — корни и
соединительную гласную)
1 п
Словообразовательный — как образовалось
данное слово?
Определить:
1) является ли данное слово производным;
2) если да, указать производящую основу
и словообразовательную морфему;
3) способ словообразования
27. Как найти окончание и основу слова?
Слово
неизменяемое
изменяемое
глагол
в
неопределенной форме
в форме
прошедшего
времени
в форме
настоящего
или простого
будущего
времени
части речи,
изменяемые
по падежам
Все слово
представляет собой основу
Отбрасывая
суффикс инфинитива
Отбрасывая
суффикс -л- и родовое
окончание
находим основу неопределенной формы
1. Спрягая слово,
находим личное
окончание.
2. Отбрасывая
окончание, находим
основу настоящего
или простого
будущего времени
1. Склоняя слово,
находим падежное
окончание.
2. Отбрасывая
окончание,
находим основу
Примечание. Одна и та же основа (например, основа привлекательна прилагательного привлекательный) может быть
производной (по отношению к основе г.ривлека- глагола привлекать) и в то же время производящей (для основы
существительного привлекательность).
15

Ьшиклмшя пр.сгра*м*лш, 4таолшцгоо и, <jjbcfawfAa<b
28. Основа: производная
или непроизводная?
29. Основа: производящая
или производная?
Входит ли в состав основы приставка
или суффикс?
Да
расписание
запись
письмо
1
1
производная
Нет
пишу
\
2
непроизводная
ОСНОВА
Основа того слова, 1
от которого I
образовано 1
разбираемое слово 1
1 Основа 1
1 разбираемого
1 слова
11 12
1 ПРОИЗВОДЯЩАЯ
| ОСНОВА
дом-
бел-
беле-
побеле-
ПРОИЗВОДНАЯ 1
ОСНОВА
домашний
белеть
побелеть
побелевший
Чтобы выяснить, сколько в данном слове суффиксов
и приставок, необходимо последовательно, пока не
получится непроизводная основа (корень), сравнивать путем
наложения две основы — производную и производящую.
Например: привлекательность — привлекательный —
привлекать — привлек — влек. В результате в слове
привлекательность выделяем суффиксы -ость, -телън-, -а-;
приставку при-.
30. Как найти корень слова?
Чтобы найти корень слова, нужно:
1) подобрать несколько родственных слов (со сходной основой);
2) найти в этих словах такую часть, которая несет основное лексическое значение и является 1
во всех словах
одинаковой
зима
зимовка
зазимовать
зимний
<
1 1
1 -зим-
отличается только чередованием
согласных
езоку
поездка
поезд
1
- 2
-езж-
-егд-
гласных
излагать
предполагаю
расположить
*
, з
-лаг-
-лож-
1 Корень слова
16

£Ру£СКиИ JtXiyUt & ПШОЛШЩХ,
31. Приставка и суффикс
Часть основы
перед корнем
пригород
подстанция
1
Ф
при-
1 под-
Приставка
, которая находится
после корня
(мы) пели
книжка J
2
-л-
-к- 1
Суффикс
32. Общая схема морфемного состава слова
В любом слове есть
В неизменяемом слове есть только
В изменяемом слове обязательно есть
основа
i
окончание
В любой основе есть
В непроизводной основе есть только
В производной основе обязательно есть
корень
приставка или суффикс (или и то и другое)
В сложном слове два (или больше) корня;
между ними может стоять соединительная
гласная
В слове может быть две приставки или два
суффикса (или больше)
И

Щисольшья nfiozftasAtjMt, Зтси/лиирос, tv фс^ьлиумкк,
33. Основные способы образования слов
Способы словообразования
N g
3 S
Ф й
Я О
н £
и о
s S
| ее
О PQ
К О
Н со
* ,&
Ф VO
одна производящая основа
и
я
и
е*
Н
S ©
й о
о о
2 »
в §
й °
8 §
и а
и «
V ©
о ч
8 я
й и
ч!
О)
О.
\о
о
>а
3
а
о
о
а
и
3
я
А
Ч
с*
О
Й
И
•в*
ф
&
*1
3
a
»4
О
Й
•в*
о
3
a
о
Й
a
-в*
•в*
>>
о
i
о
н
А
О
Й
S
■в*
ф
»И
И
о
Й
о
a
ч
a
н
о
Й
a
Л Й
ф -ф
о
a
не менее двух
производящих
основ
S
О
5? <Ъ Д
<J <0 О
8
«
о
и
о
О
3
a
8 5
о о
a
3
a
ч
о
a
Морфологический
S
*>
9
•8«
о
ф
a
a
ф
a
о
ч
о
18

Щгсспай яъми ё macCuuqaoo
34. Общая схема словообразовательного анализа слова
Является ли слово производным?
Г Нет
добрый
Да. В слове есть
производящая основа — это основа
того (более простого по своему строе- 1
нию) родственного слова, от которого 1
образовано данное слово 1
1 словообразовательная морфема —
1 приставка, суффикс
доброта
добр-
производящая основа
-от-
словообразовательная морфема
МОРФОЛОГИЯ
35. Последовательность морфологической характеристики слова
Частиречи
(знаменательные и служебные)
изменяемые
1. Наименование части речи
2. Начальная форма
3. Разряд по значению
4. Постоянные для данной части речи
морфологические признаки
б. Признаки формы, употребленной в
данном предложении
6. Синтаксическая функция (член
предложения)
1 7. Особенности правописания (если есть)
неизменяемые
1. Наименование части речи
2. Разряд по значению
3, Разряд по структуре
4. Роль в предложении (член предложения; средство
соединения слов, частей предложения,
предложений и т. п.)
5. Особенности правописания (если есть)
19

36. Классификация частей речи
Слово, которое
обозначает
связывает
и называет
i
Ф
о
и
н
о
о
РА
£2 Q>
<Ь5Э
2 Я а
А с? 2
о ар.
S о и
go? a J?
« И о
§ и Н
не называет,
а указывает
и
I
ч:
0)
&
И
О
а*
>gs
и
действие
или
состояние
5
признак

действия
6
признак
другого
признака
чувство,
состояние
2 ©
и п
® Я
0) ф
я
8
0)
§
а
со
о
ю
о
о
«
о
ф
к
о
9
10
I
члены

предложения (слова).
Управляет ли
падежом?
Нет
11
Да
12
13
В
ф
о
я
о
о
8
п Я
14
Имя
суще-
стви-
тель-
ное
Имя
при-
лага-
тель-
ное
Имя


тельное
Местоимение
Глагол
Наречие
[Одна
из

стоятельных
частей речи]


дометие
Союз

Предлог

Частица
земля

добрый
семь
седьмой
он
какой
работать
болеть
уверенно

(побеждает)
очень

(хороший)
досада
досадно
эх
чтобы,
через
даже
самостоятельные (знаменательные) — обозначают явления,
существующие в объективной действительности
служебные (незнаменательные) —
выражают
отношения между словами
и предложениями
ЧАСТИ РЕЧИ

cPucctcuu, яъып & ими/лиирх,
ЗНАМЕНАТЕЛЬНЫЕ ЧАСТИ РЕЧИ:
ПОСТОЯННЫЕ ПРИЗНАКИ
37. Существительное:
одушевленное или неодушевленное?
Если форма винительного падежа
множественного числа совпадает с формой
родительного падежа
множественного числа
учеников
медведей
раков
москвичей (жителей Москвы)
(взял) королей, валетов (игральные карты)
(купил) кукол
(нашел) спутников (нам по пути)
1
именительного падежа
множественного числа
березы
личинки
«Москвичи* (автомобили)
(запускать) искусственные спутники Земли
,1 Ь
ОДУШЕВЛЕННОЕ
НЕОДУШЕВЛЕННОЕ
38. Существительное:
собственное или нарицательное?
Если имя существительное является
обобщенным наименованием
однородных предметов
озеро
река
гора
автомобиль
орден (награда)
человек
1
названием единичного предмета,
выделенного из ряда однородных
Байкал
Ангара
Машук
«Волга»
«Знак почета»
Юрий
1
г 1
НАРИЦАТЕЛЬНОЕ
2
СОБСТВЕННОЕ
21

чМмсклмшя пЖсгАалилш, ётаолшщяс, и, фсЬлшлаос,
39. Род склоняемых существительных
Употребляется ли имя существительное
в форме единственного числа?
Нет
сумерки
сани
каникулы
жмурки
вороша
Да.
Род склоняемого существительного можно определить, заменив
его личным местоимением
он
дождь
ветер
юноша
Нет
рода
он или она
обозначение
лица по
профессии
врач
агроном
группа слов на -а, -я,
которые могут называть
лиц как мужского,
так и женского пола
Он такой тихоня.
Она такая тихоня.
3
Мужской
род
Общий
род
она
книга
тетрадь
оно
знамя
письмо
здание
6
Женский
род
Средний
род
22

40. Род несклоняемых существительных
Сложносокращенное
слово
8^
1. Расшифровать
сокращение.
2. Род аббревиатуры
соответствует роду
главного слова
этого словосочетания
Слово иноязычного происхождения
неодушевленное
1 географическое название
1 °
ечны
(горо
а
СОЛ
а
иссисип
а)
3*
§
широ
4
> 1
оводное Эри
(озеро)
а
пол
5
4
другие слова
* & S
1 S *) 1
1 м ^ 2 1
1 л О * 1
§ 8 st
в
1. Подобрать более общее
географическое понятие
(город, река, озеро).
2. Род имени собственного
соответствует роду этого
имени нарицательного
i
ение:
кофе
1 •* *5J 1
2 3
* &
о * I
7
одушевленное
собственное 1
Pomapy
шая
<ъ
мла
8
v
Средний
РОД
(как 1
правило) 1
1 Муж-
1 ской
РОД
Pomapy
ший
<ъ
мла
9
1 нарицательное
о
эни
УРУ
маэстр
й * 1
а >з ?*
чаль
селы
амен
ъ ъ х
1 £ *0 о*
10
11
ХГ V V
Род соответ- 1
ствуетполу 1
называемого 1
лица 1
1 Чаще — 1
1 мужской род J

n
<D
H 4
I!
fig
SI
gg
p
s
и
кино
коммюнике
не изменяется по падежам
(падеж опргделяется по прилагательному)
to
со
ножницы
но у него нет формы
единственного числа
волна
дядя
тихоня
мужского, а также
общего рода
ел
земля
3
ф
столовая
учащаяся
w
р
1
/«■•ч
о
й
О
W
р
fa
р
м Й
•§ 5
2 ?
CD И
ого (или
1СТИЯ)?
3
S
о
о
г прила-
оК
#8
1 з
О О
го рода,
вано ли
время, бремя,
стремя, вымя,
знамя, пламя,
имя, племя, семя,
темя + дитя
среднего рода на
мя + слово дитя
W
о
W
Р
00
со
город
нулевое (последняя буква
согласная, кроме й)
трамваи
Ф
Н
5 €
£ о

Разносклоняемое
Третье
склонение
часовой
учащийся
Z о s и й Та
& » * р о V
будущее
мороженое
8 S р §*=*
5.^ И О Р
Р •
поле
3
в .2»
э з
is
So?
I I i
S
§ s
ОКНО
я
о
ф
О Я
н 1
= I
ф Ф
р ч
и и
SS
и С
(в у
я и
is
Р
ф р
1§
2 *
Е р
s I
§ *
дождь
мужского рода
(кроме слова путь)
путь
жизнь
женского рода
rs <3 Р U
а
ф
О
и
о
и
£
ф
р
и
&
S
I
ф
а
я
ф
и
о
ф
н
к
я
а
Я
&
О
Н
л
м
S
s
н
Н
И
S
ч
ф
и
vmrfvwyocp -п ■хгЛтгати о ттгщгофь тт>

яхьис
42. Разряды имен прилагательных
Такой признак предмета, который
выражает его качество
и воспринимается сам по себе,
независимо от других предметов
(основа такого прилагательного,
как правило, непроизводная)
новый, нов, новее
тихий, тих, самый тихий
разумный,
разумен,
разумнейший
выражает отношение одного предмета или явления
к другому предмету или явлению
(основа всегда производная)
одушевленному
(лицу или животному)
отцов (пиджак)
заячий (мех)
неодушевленному
серебряная (чаша)
городской (парк)
книжный (магазин)
КАЧЕСТВЕННОЕ
ПРИТЯЖАТЕЛЬНОЕ
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ
могут иметь краткую форму,
степени сравнения, синонимы,
антонимы; образуют
отвлеченные существительные
не имеют
степеней
сравнения
не имеют кратких форм,
степеней сравнения,
синонимов, антонимов
43. Типы склонения
имен прилагательных
На какой согласный оканчивается 1
основа прилагательного? I
i
на твердый согласный
добрый
упрямый
смешной
\
1
ТВЕРДОЕ
на мягкий согласный
зимний
лисий
1
2
МЯГКОЕ
в некоторых формах — на мягкий,
в других — на твердый согласный
тихий, тихого,
тихому, тихим
1
3
СМЕШАННОЕ
СКЛОНЕНИЕ
25

Шккхлмшя пЖогбажлиа & пюолшщос и фоблш^шоо
44. Разряды имен числительных
Имена числительные различаются
по значению:
если отвечают на вопрос
сколько?
и обозначают количество предметов
как их
совокупность
(вместе
взятых)
двое
Т
выражаемое
целым
числом
два
дробью
две
пятых
2
I
который?
I
и обозначают
порядковый
номер
предмета
при счете
второй
по составу:
если пишутся
в одно слово
имеют
один
корень
пять
пятый
имеют
два
корня
пятьдесят

шестидесятый
6
в несколько
слов
пятьсот
пятьдесят
пять

Собирательное

Количественное
Дробное
Порядковое
Простое
Сложное
Составное
45. Разряды местоимений
МЕСТОИМЕНИЯ
я
мы
ты
вы
он
она
оно
они
себя
(не имеет
формы

именительного
падежа)
П W
этот
тот
такой
таков
столько
мои
твой
наш
ваш
свой
его
ее
их
v
весь
всякий
каждый
сам
самый
любой
иной
другой
т^
кто9 что,
какой, который,
чей, сколько
Если слово
употребляется
a s
О щ
о S
я о
для связи
главной
и
придаточной частей
в
сложноподчиненном
предложении
и
никто
ничто
никакой
ничей
некого
нечего
~w
некто
нечто
некоторый
некий
несколько
кто-то
что-нибудь
кое-какой
и др.
тт
б
ф
3
Е Личн

Возвратное


тельные
А Ф
£ 3
Притя
тельн
Опре-
дели-
тель-
ные


сительные

Относительные


цательные


деленные
26

Щ^сашЛ ягьт 4тсимшуюь
46. Глагол: возвратный
или невозвратный?
Есть ли у глагола частица -ся (-сь)?
1 Да
собираться
(собираемся,
собираетесь)
1
1
f
Возвратный
Нет
собирать
(собираем,
собираете)
i
2
?
Невозвратный
47. Глагол: совершенного
или несовершенного вида?
На какой вопрос отвечает глагол?
I
I
что 1
делать?
учиться 1
приезжать
искать 1
1 что 1
1 сделать? 1
1 научиться 1
1 приехать
1 найти 1
1 на оба вопроса
в зависимости
1 от контекста
Утелеграфироеать
исследовать
li I2 |з
w v 4г
ГЛАГОЛ
НЕСОВЕРШЕННОГО ВИДА
ГЛАГОЛ
СОВЕРШЕННОГО ВИДА
ДВУВИДОВОЙ
ГЛАГОЛ
48. Глагол: переходный или непереходный?
Если глагол
s
о
Н
л
ител
я
я
<D
<D
5*
н
X
может управлять дополнением
I
без предлога
в родительном падеже
Я
**
0)
О)
1=1
а
Рч
и
0)
о
а
S
*
V
я
§
&
о
°
т. е. может иметь при себе
прямое дополнение
тг
Переходный
S?
1—
*
о
и
*
0)
13
оз
Я
Ф 1
К
0) 1
3
н
I
2
о
5
£ S
0) IS
о И
я
Я
о
и
о
ч
О)
&
В
ч ч
3 £
a s
& и
н о
н ч
О) О
° &
с*
И
т. е. может иметь при себе
косвенное 'дополнение
Ж
Непереходный
27

ишсиьпал пЖсг/гальма &таолш1/сих, и фоЬлшлаъ
49. Спряжение глаголов
Спряжение глаголов определяется
I
по личному окончанию,
если оно ударное
-у/-к>, -
ешь у
-ет, I
~€М9 -€Ttte, I
~ут/~ют
<
1 Т/
-ю,
-ишЪу ~ит,
1 -им, -ите,
1 -ат/-ят
[ 1
Первое спряжение
[2
1
по неопределенной форме,
если личное окончание безударное.
На что оканчивается неопределенная форма?
на -итъ
(кроме
брить,
стелить)
<
I3
7 глаголов
на -еть
вертеть
видеть
зависеть
ненавидеть
обидеть
смотреть
1 терпеть
I4
4 глагола 1
на -ать
гнать
держать 1
дышать
слышать
все остальные
глаголы на
-еть,
-ать +
брить.
стелить
15 1б
Второе спряжение
Первое спряжение
50. Причастие: действительное или страдательное?
Причастие, обозначающее признак предмета, который
сам совершает действие
создающий
создавший
создававший
открывший
1
[ 1
Действительное
испытывает действие со стороны другого предмета
создаваемый
созданный
создан
открытый
открыт
1 2
Страдательное

SruccfcuJi яхык ётасСиш/гоо
ЗНАМЕНАТЕЛЬНЫЕ ЧАСТИ РЕЧИ: ПЕРЕМЕННЫЕ ПРИЗНАКИ
51. Прилагательное и страдательное причастие:
полная или краткая форма?
Какое окончание у прилагательного или страдательного причастия? 1
1 i I
В единственном числе
мужской
РОД
-ый, -ой,
-ий
\добрый
шолодой
синий
{купленный
женский
РОД
~U/}V у -МЛ
добрая
молодая
синяя
купленная
средний
род
-ое, -ее
доброе
молодое
синее
купленное
Jl J2 |3
Во множест- 1
венном числе
-ые, -ие
добрые 1
молодые
синие
купленные
1 В единственном числе
1 мужской
род (нуЛе-
вое окон-
1 чание)
1 добр
тих
молод
J куплен
\* а»
| ПОЛНАЯ ФОРМА |
1 Может выполнять функции им
составного сказуемого или сог
определения
[енной части
пасованного
женский
род
-а, -я
добра
тиха
молода
куплена
средний !
РОД
-О, -б
добро
молодо
сине
куплено
16 J7
Во множест- 1
венном числе
-ы, -и
добры
молоды
сини
куплены 1
18 |
| КРАТКАЯ ФОРМА |
1 Выполняет функцию именной части |
составного сказуемого
52. Степени сравнения прилагательных и наречий
Прилагательное и наречие
в исходной
форме
с помощью
суффиксов
-ее (-ей)
-е
-ше
с помощью
слов
более
менее
простая
форма
X
составная
форма
Прилагательное
с помощью
суффиксов
-ейш-
-айш-
т
Наречие
с помощью слов
наиболее
наименее
самый
простая
форма
X
составная
форма

ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ
СТЕПЕНЬ
сильный
сильно
СРАВНИТЕЛЬНАЯ
СТЕПЕНЬ
сильнее (-ей)
моложе
тоньше
более сильный
менее сильно
ПРЕВОСХОДНАЯ
СТЕПЕНЬ
сильнейший
ярчайший
самый сильный сильнее всех
наиболее сильный наиболее сильно
наименее сильный наименее сильно
29

ЧСшоямшл прсфсиьАьа ё ттьш/лнгщоо и, с/Ьс&лшлаэс
53. Части речи, изменяемые по родам
при
Имя
лагатеудож&де
в форме
полной
j краткой
Имя числительное ]
Местоимение
Глагол в форме
в
ев
в
полного
краткого
прошедшего времени
условного наклонения
1 РОД
новый
нов
один, два
первый, оба
он
нага
сделанный
сделан
пришел
пришел бы
мужской
новая
нова
одна, две
первая, обе
она
наша
сделанная
сделана
пришла
пришла бы
женский
новое 1
ново 1
одно, два 1
первое, оба
оно
наше
сделанное
сделано
пришло
пришло бы
средний
54. Число имен существительных
Имена существительные
i
собирательные
I
отвлеченные
П
вещественные
III
собственные
IV
имеют форму или единственного,
или множественного числа
только единственное число
I. Молодежь, студенчество.
II. Уважение, доброта.
III. Молоко, алюминий.
IV. Тула, Сибирь.
только множественное число
П. Каникулы, сутки, именины.
III. Дрожжи, опилки, щи.
IV. Мытищи, Сочи, Карпаты.
А также слова, которые называют
предметы, состоящие из
одинаковых половин: брюки, ножницы,
очки и др.
все
остальные
|3
имеют форму и
единственного, и
множественного числа
друг — друзья
мак — маки
30

Щушшиья^
55. Падеж имен существительных
к т
0?
1
ч т
Если имя существительное отвечает на вопрос
о?
отвечало бы
одушевленное
существительное в
этой позиции?
1 i
. 1 .
кто?
1
. 1 .
кого?
2
Г 1
I именительный
3
КОГО?
На какой вопрос
отвечало бы
неодушевленное
существительное в
этой же позиции?
1 1
J .
что?
■ 1
1 чего?
кому?
чему?
к е
м?
чем? 1
1 (а, нау о, 1
1 пРи)
1 ком?
1 чём? 1
4 15 1 6 17 18
ф ф ▼ ▼ _... ▼
винительный
родительный
дательный
творительный
предложный
ПАДЕЖ
56. Наклонение глаголов
Если глагол обозначает действие, 1
которое (не) происходит,
(не) происходило или (не) будет
происходить в действительности
(не) помогаю
(не) помог
(не) помогал
(не) буду помогать
(не) помогу
1
1 1
?
ИЗЪЯВИТЕЛЬНОЕ
к совершению которого
говорящий побуждает кого-либо
(советует, просит, приказывает)
(не) помогай
(не) рисуй
(не) смейся
<
[2
ПОВЕЛИТЕЛЬНОЕ
которое (не) возможно
при каких-либо условиях I
(не) помогал бы
(не) рисовал бы
(не) смеялся бы
<
I»
СОСЛАГАТЕЛЬНОЕ
(УСЛОВНОЕ)
НАКЛОНЕНИЕ
31

Шкальная пЬсзЬажлш 6 ътии/лии/язс a фсблиилая,
57. Время глаголов
Если глагол обозначает действие,
совпадающее
с моментом речи
(отвечает на вопрос
что делает?)
происходившее
или произошедшее
до момента речи
(отвечает на вопрос
что делал? или
что сдела л?)
1 2
которое будет происходить
или произойдет после момента речи,
и отвечает на вопрос
что будет
делать?
что
сделает?
i 3
НАСТОЯЩЕЕ
ПРОШЕДШЕЕ
СЛОЖНОЕ
ПРОСТОЕ
БУДУЩЕЕ
ВРЕМЯ
58. Лицо глаголов
(в форме настоящего и будущего времени)
Бели глагол обозначает действие,
относящееся к лицу
говорящему:
я
читаю
смотрю
буду
читать
прочту
ед. число
\
МЫ
читаем
смотрим
будем
читать
прочтем
мн. число
1
Г 1
к которому обращаются:
ты
читаешь
смотришь
будешь
читать
прочтешь
ед. число
2
Г 1
ПЕРВОЕ ЛИЦО
вы
читаете
смотрите
будете
читать
прочтете
мн. число
3
Г 1
которое отсутствует:
он
она
оно
читает
смотрит
будет
читать
прочтет
ед. число
4
ВТОРОЕ ЛИЦО
они
читают
смотрят
будут
читать
прочтут
мн. число
5
6
ТРЕТЬЕ ЛИЦО
32

Sruccfcuu лгыгс £ тпасСииухь
59. Род у глаголов (в форме прошедшего времени)
Если глагол обозначает действие, относящееся 1
к одному лицу
я
ты
on
1 сиял
смеялся
У
она
сияла
смеялась
1
МУЖСКОЙ
оно
сияло
смеялось
2 3
4
ЖЕНСКИЙ
СРЕДНИЙ
1 РОД
ко многим лицам
мы
вы
они
сияли
смеялись
4
4
Во множественном числе
различий по юолу нет 1
60. Разряды наречий по значению
Если наречие отвечает на вопрос
когда?
завтра
днем
засветло
вскоре
i
где?
куда?
откуда?
здесь
поблизости
вокруг
сбоку
1
ВРЕМЕНИ
почему?
по какой
причине?
отчего?
сгоряча
спросонок
сослепу
2
МЕСТА
зачем?
с какой
целью?
для чего?
назло
насмех
незачем
3
г 4
ПРИЧИНЫ
как?
каким
образом?
наскоро
врукопашную
вдвоем
4
1
ЦЕЛИ
Обстоятельственные
(сочетаются обычно с глаголами)
в к а к о й
мере?
в какой
степени?
вдвое
вдребезги
вполоборота
5
ОБРАЗА
(способа)
ДЕЙСТВИЯ
6
МЕРЫ
И СТЕПЕНИ
Определительные
(сочетаются с глаголами,
прилагательными и наречиями)
2 — 1323
S3

шкальная, пЛжгкальлш & пьаолицаэс и cbofiAvu<Mi<x,
61. Схема морфологического
анализа имен существительных
62. Схема морфологического
анализа имен прилагательных
1. Начальная
форма
2. Разряд
по значению
3. Одушевленное
4. Собственное —
именительный падеж 1
единственное число 1
конкретное 1
собирательное 1
вещественное
отвлеченное
— неодушевленное
нарицательное
1 5. Род 1
6. Тип склонения
7. Число
8. Падеж
9.
Синтаксическая функция
10. Особенности е
каким членом
предложения является
[равописания (если есть)
1. Начальная форма (определяется по форме 1
| слова, с которым приведено в предложении) |
1 2. Разряд
по значению
1 3. Тип склонения
качественное 1
относительное 1
притяжательное |
твердый 1
мягкий 1
смешанный 1
4. Род 1
5. Число 1
6. Падеж
1 Для качественных прилагательных: \
а) форма
1 б) степени сравне-
1 ния
1 7. Синтаксиче-
1 екая функция
полная
краткая J
сравнительная
превосходная
каким членом
предложения является
1 8. Особенности правописания (если есть)
63. Схема морфологического
анализа глаголов
1. Начальная форма (инфинитив)
2. Возвратный — невозвратный
3. Переходный — непереходный
4. Вид
5. Спряжение
6. Наклонение
7. Время
совершенный
несовершенный
первое
второе
разноспрягаемый глагол
изъявительное
повелительное
сослагательное
настоящее
будущее
прошедшее
8. Лицо и число (для формы настоящего
и будущего времени)
Род и число (для формы прошедшего времени)
9.
Синтаксическая функция
каким членом
предложения является
10. Особенности правописания (если есть)
64. Схема морфологического
анализа причастий
1. Начальная форма (определяется по слову,
к которому относится в предложении)
2. От какого глагола образовано (указывается
в инфинитиве)
3. Действительное — страдательное
4. Возвратное — невозвратное (для
действительных причастий)
5. Время
6. Вид
настоящее
прошедшее
совершенный
несовершенный
7. Число
8. Падеж
9. Синтаксическая
функция
каким членом
предложения является
10. Особенности правописания (если есть)
34

аусспий, ял4> tfc S таалгщаас
65. Схема морфологического
анализа деепричастий
1. От какого глагола образовано (глагол
указывается в инфинитиве)
2. Возвратное — невозвратное
3. Вид
4. Синтаксическая
функция
совершенный
несовершенный
каким членом
предложения является
5* Особенности правописания (если есть)
66. Схема морфологического
анализа наречий
1. Разряд
по значению
2. Синтаксическая
функция
образа действия
меры и степени
места
времени
причины
цели
каким членом
предложения является
3. Особенности правописания (если есть)
67. Схема морфологического
анализа местоимений
1. Начальная форма 1
2. Разряд
по значению
личное 1
притяжательное I
указательное 1
возвратное 1
вопросительное 1
относительное 1
отрицательное 1
неопределенное 1
определительное I
3. Род (если есть) 1
4. Лицо, число (есл!
5. Одушевленное —
(если есть)
I есть) 1
неодушевленное
I 6. Падеж
1 7. Синтаксиче-
1 екая функция
1 8. Особенности прав
каким членом
предложения является
описания (если есть)
68. Схема морфологического
анализа имен числительных
1. Начальная форма
2. Разряд
по значению
3. Разряд
по строению
количественное
собирательное
дробное
порядковое
простое
сложное
составное
4. Род (если есть)
5. Число (если есть)
6. Падеж
7. Синтаксическая
функция
каким членом
предложения является
8. Особенности правописания (если есть)
35

ЧМкальпал пк^галилш, 4таолшцах и фсАлшлах>
СЛУЖЕБНЫЕ ЧАСТИ РЕЧИ
69. Характеристика предлогов
ПРЕДЛОГ
I
От какой части речи образован?
от
наречия
возле
вокруг
мимо
после
позади
JL
от
существительного
ввиду
по мере
вследствие
насчет
по поводу
от
деепричастия
благодаря
включая
кончая
несмотря
на> спустя
без
в
к
над
о
по
У
Производный
И

Непроизводный
Из скольких слов
состоит?
ПГП
е
о
о
со
со
I
со

Простой
и

Сложный
I
в

Составной
С каким падежом
взаимодействует?
п
н
ф
ч
ю
ф
ft
§
>>
*
о
*
ф
2
и
я
а
как
О
с^ 1
S
ф 1
о
*
**
ф
ft
и
3
о
Я
09 1
Ж
о
и
?бле
ft
&
д
Ен
а
ю
я
fcj
Ен
1 Ф
С^ 1
2
аки
«
°
с^ 1
о
*
ф
&
И
2
Я
\ * &
1 о
я
ft
К
70. Характеристика союзов
союз
1 1 ,
. 1 .
по у]
1 1
, 1 .
и
а
чтобы
I
и..
потреблению
.и
ни...ни
или,..или
то...то

Одиночный
[н

Повторяющийся
как...
так и
не только...но и
если...то
III
Двойной
1 .
по составу:
е
ели пишете
в одно слово
! 1
Простой
я
в два слова
(или больше)
2

Составной
, 1 .
с точки зрения I
словообразован
| 1
. 1
если не образова
| другой части ре
а

Непроизводный
5* Ц
ия
» 1
& О i S
* 8 Я S «
если образован от
гой части речи (от
тельного местои
] ния, наречия) ил
1 словосочетани
б

Производный
36

71. Разряды союзов по их функции и значению
*
I Бели союз связывает элементы
1 равноправные (однородные члены предложения
1 или части сложносочиненного предложения)
1 сочинительные
и, да (= и), ни...ни,
также, тоже
ч
1
соединительные
|
притом, причем, да и
^
2
присоединительные
i
а, но, да (= но), однако
(= но), зато, же
3
противительные
1
или, либо, то...то, не
то...не то, то ли...то ли
4
разделительные
1
то есть, или (= то есть)
у
5
f
пояснительные
i
как...так и, не
только...но и, хотя и...но,
если не...то,
не столько...сколько 1
<
6
>
сопоставительные
1
неравноправные (придаточную часть
сложноподчиненного предложения с главной его частью)
подчинительные
что, чтобы, как
1 7
изъяснительные
т
когда, едва, пока, лишь,
как только, с тех пор
как, в то время когда
1 8
временные
i
потому что, так как,
ибо, вследствие того
что, благодаря тому
что, ввиду того что
1 9
причинные
чтобы, для того чтобы,
дабы, лишь бы
»
целевые
i i
так что
»
следствия
если, ежели, когда, коли
1 12
условные
i i
хотя, несмотря на то что
как, как будто, точно,
словно
| 13 Il4
уступительные
сравнительные
i i
значения 1

72. Разряды частиц
\вон,
\вот, 1
\это,
[вот
\именно9
\вотчто,
\так вот\
«
{именно,
как раз,
\ровно,
точно,
в
точности
1
г 4
Указательные
Частицы (по значению, функции и

единственно,
\почти,
только,
только
\лишь,
лишь
только
2
* J
Уточняющие
3
г
Выделительно-
ограничительные
да, ага, 1
так,
\точно,
\так
точно
1 1
*
\не, нет,
вовсе не,
отнюдь
\не,
совсем не, 1
далеко не
4
* J
Утвердительные
5
*
Отрицательные
[разве,
1 неужели,
ли (ль)
«
[ эмоциональной окраске)
как,
что
за
6
* «
Вопросительные
даже,
1 же, 1
\ни,
ведь,
всё,
все- 1
\таки,
вишь
1 ты, 1
\еще 1
бы,
как,
\ну и,
\ прямо,
I то-то, 1
\уж,
1 #07716
бы
7
г «
Восклицательные
8
'
Усилительные
\бы
> 1
\дай, 1
\
давай,
\'Ка,
«У»
тсай, 1
пусть
авось,
\вишь,
вряд ли,
едва ли,
\как
будто,
\ли, 1

пожалуй,
\разве,
словно
9
X 4
Модально-
волевые
10
г
Выражающие
сомнение
\де,
dec- I
1 кать, 1
\мол
11
Обозначающие
чужую речь
\бы,
быва- 1
\ло,
\да,

пускай,
пусть,
•СЯ
12
•

Формообразующие
1 кое-, 1
1 -7710, 1
1 -либо, 1
-ни- 1
будь,
угод- 1
но, 1
1 ни 1
13
W

Словообразующие

SPuccnuu, ямлп £ maoMiiiflJo
73. Междометия
и звукоподражательные слова
Слово, не называющее, но выражающее
1
какое-либо чувство
ах
0
ого
ой
i
, 1
1
волеизъявление, призыв, 1
побуждение к действию
стоп
эй
\
эмоциональное
- 2
побудительное
Междометие
Записанное буквами подражание
голосу животного, какому-либо
шуму и т. п.
кукареку
мяу
тра-та-та
ха-ха
Звукоподражательное
слово
74. Схема морфологического
анализа союзов
1. Разряд
по функции
2. Разряд
по значению
3. Разряд
по структуре
4. Особенности
сочинительный
подчинительный
1) для сочинительных:
соединительный противительный
пояснительный разделительный и др.
2) для подчинительных:
изъяснительный временной
причинный уступительный
целевой условный
сравнительный следственный и др.
простой
составной
правописания (если есть)
75. Схема морфологического
анализа предлогов
1. Разряд
по
происхождению
производный
непроизводный
2. От какой части речи образован
(для производных предлогов)
3. Разряд
по структуре
простой
сложный
составной
4. С каким падежом употребляется
(или может употребляться)
5. Особенности правописания
(если есть)
76. Схема морфологического
анализа частиц
1. Разряд
по значению
усилительная
выделительно-
ограничительная
вопросительная
отрицательная
восклицательная
указательная
и др.
2. Особенности правописания (если есть)
77. Схема морфологического
анализа междометий
1. Разряд
по значению
побудительное
эмоциональное
и др.
2. Особенности правописания
(если есть)
39

Сшсольтшя пбог^гаьМ'Лш 4 тпаолшцах и фо/ышлах,
СИНТАКСИС
ПРОСТОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ
78. На какие вопросы
отвечают члены предложения?
Члены предложения различаются 1
с помощью смысловых вопросов
О ком
или о чем
говорится
в
предложении?
1
кто?
<
что?
1
2
1 ПОДЛЕЖАЩЕЕ
О каком
действии
или состоянии
говорится
в предложении?
Что
говорится
1 о подле- 1
жащем?
i i
что 1
дела-
ет?
\
что
дела-
1 ется?
3
Г 1
Вопросы
косвенных
падежей
(без предлога
или с предлогом)
1
\кто такой? \
\что такое?\
каков?
4
Г 1
кого? чего?
кому? чему?
кого? что?
кем? чем? 1
(о) ком? (о) чём?
5
СКАЗУЕМОЕ
главные

который?
какой?
чей?
6
* *
ДОПОЛНЕНИЕ
как? каким об- 1
разом? в какой 1
степени? где? 1
куда? откуда?
когда?
как долго?
при каком
условии?
почему?
отчего? зачем?
для чего?
с какой целью?
7
* ■■ hi '
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
8
ОБСТОЯТЕЛЬСТВО
второстепенные
Члены предложения
40

Щгсспий, я^ык 4тск/лилщх,
79. Сказуемое и его типы
Сколько слов в сказуемом (не считая частиц не, бы, пусть, давай)?
Одно
rzn
Два
Одно
из этих слов
глагол
Ж
I
Оба слова — глаголы. Если употребить
форму прошедшего времени
имя (сущ.,
прилаг., числит.)
или местоимение
| 1
ж
останется одно слово
(будет читать —
читал)
Та
I
останутся оба слова
(хочет читать —
хотел читать)
ж
Три и больше
он
хотел стать
летчиком
1 5
простое
глагольное
составное
именное
простое
глагольное
составное
глагольное
осложненное
СКАЗУЕМОЕ
Примеры.
О Липы еще зеленели в таинственном Летнем саду. (А. Ахматова.) (1)
Я — поэт. (В. Маяковский.) (2а)
Дворец казался островом печальным. (А. Пушкин.) (26)
Славную Каховку, город Николаев, эти дни когда-нибудь мы будем вспоминать.
(И. Френкель.) (3)
Давыдов на неопределенное время собрался поехать во вторую бригаду. (М. Шолохов.) (4)
Он начал стараться писать более внимательно. (5)
80. Дополнение: прямое или косвенное?
Дополнение
I
в винительном
без предлога. В каком падеже?
I
X
с предлогом
в родительном
в дательном
в значении
«часть целого»
(выпил чаю,
купил хлеба)
I 1
и.
при переходном
глаголе
с отрицанием
в других
значениях
(достичь цели,
лишить сна)
в творительном
любая
падежная
форма
I 6
Прямое
Косвенное
Примечание. В роли дополнения могут выступать также:
неизменяемые слова, например: Гарин глазами сказал «да». (А. Н. Толстой.) Сказал что? — «да» (дополнение);
неопределенная форма глагола, например: Наутро командир приказал наступать. Приказал что? — наступать
(дополнение; кроме того, признак дополнения — глаголы относятся к разным действующим лицам: командир приказал, а
наступать должны солдаты).
4-1

иАтльшия nficzfiajiUAUi &тш/лищах и фсблшлсих,
Примеры.
• Моя искренность поразила Пугачева. (А. Пушкин.) (1)
— Дед! — позвал он. — Дай воды. (А. Чехов.) (2)
Я не люблю иронии твоей. (Н. Некрасов.) (3)
Больной лишился сна. (4)
Я никому не позволю себя обманывать. (5)
Олово плавим, машинами правим. (В. Маяковский.) (6)
...Уже воображал, как он будет всюду рассказывать об этом своем каламбуре, удачном по
находчивости и смелости. (А. Чехов.) (7)
81. Подлежащее и способы его выражения
Способы выражения подлежащего
Слово
именительный
падеж
б
Д
э s
Ф И
Qj А
ф ч
S
Словосочетание
4
ф
1 .
&
о
1 в
И
1 «
1 н
+
1 °
1 (н
1 о
Ч
**
1 Ф
Г
1 +
И
ИМ.
5
у
ЕГ
>»
о
•
И
.
Я-
о
+
О
О
Н
ч
ф
Я
&•
и
LL
6 |7
у
О «J.
§1
о w
ф а
о w
Я й
Я о
£*
S +
Ф /-Ч
о и
| О
О fc
w S
w ^
Ф О
ф о
И 2
si
з 1
fc
&S
II
+ +
А
Л""™*^""""^
»3
3
3
ф з
2 «
S 3 о
§ * S
Но**
8*§
Н Ф А
ЭЛЬ]
ени
тел
sag
*8 » 8
о S Н
д
»
о
Ч
Ф
ft
а
Примеры.
• За заставами ленинградскими вновь бушует соловьиная весна. (А. Фатьянов.) (1а)
А самый дерзкий и молодой смотрел на солнце над водой. (Н. Тихонов.) (16)
И опять идут двенадцать... (А. Блок.) (1в)
Она вмешивалась во все, знала все, хлопотала обо всем. (А. Пушкин.) (1г)
Опоздавшие на спектакль не допускаются. (1д)
Грамоте учиться всегда пригодится. (Пословица.) (2)
...Далече грянуло ура... (А. Пушкин.) (3)
Не шутя, Василий Теркин, подружились мы с тобой. (А. Твардовский.) (4)
После этого вечера прошло семь недель. (А. Н. Толстой.) (5)
Пришло несколько новых журналов. (6)
Трое из них приехали недавно; Кто из нас не знает этого? Всякий из нас (каждый из нас,
любой из нас) готов помочь. (7)
«Не стреляйте в белых лебедей» — повесть Бориса Васильева. (8)
42

SPuceftiiu, яъьт 4 macLtuiqzoo
82. Виды определений
Стоит ли определение в том же роде, числе, падеже, что и определяемое слово?
Да.
Выражено ли оно существительным?
Нет
Нет.
Выражено ли оно существительным?
Да
Да
в именительном
падеже
2
в другом
падеже
1 3
Нет
4
Согласованное
определение
Согласованное
приложение
Несогласованное
приложение
Несогласованное определение
Примеры.
О Переменилась моя родная Сибирь. (В. Астафьев.) (1)
Он родился в городе Воронеже. (2)
Вам нужно доехать до платформы {(Жаворонки». (3)
Несколько раз перечел я записку Аси. (И. Тургенев.) (4)
Сильна была в нем привычка спорить; Выстрел слева его насторожил. (5)
83. Распространенное определение
В роли распространенного определения
могут выступать
1
1
Г 1
Причастный
оборот
2
Распространен- I
ное приложение 1
3
Г 1
1 Прилагательное 1
1 с зависимыми
1 словами 1
4
Г 1
I
Существительное с зависимы-
I ми словами I
5
Инфинитив
с зависимыми
1 словами
Примеры.
О След, оттиснутый на снегу моей ногой, быстро темнел и наливался водой. (А. Куприн.) (1)
И Россия — мать родная — почесть всем отдаст сполна. (А. Твардовский.) (2)
Очень похожий лицом на мать, характером он был весь в отца. (3)
Старик нащупал возле себя длинную палку с крючком на верхнем конце и поднялся.
(А. Чехов.) (4)
Никто не допускал и мысли покинуть отряд в трудную минуту. (5)
43

'Ииссиьшья п&ог/галииа 4 тпхюлмирос, и, ЖоАмилаос,
84. Виды обстоятельств
На какой вопрос отвечает обстоятельство?
| как?
каким
образом?
i................,i
в какой
степени?
когда?
как долго?
где? куда?
откуда?
почему? |
на каком
основании?
зачем?
с какой
целью?
при каком
условии?
вопреки
чему?
1 12 1 3 U [5 1 6 17
S * * Ь Ф * *
| образа
j ^е-лствия
меры
и степени
времени
места
причины
цели
условия
или уступки
Примеры.
• Читай не так, как пономарь, а с чувством, с толком, с расстановкой. (А. Грибоедов.) (1)
Его сопровождал молчаливый, не по годам серьезный Яков Сомов. (М. Горький.) (2)
Дня через три потеплело. (А. Куприн.) (3)
Я ночевал в городке у моря. (4)
Сенокос запоздал из-за дождей. (К. Паустовский.) (5)
Пришел мириться к вам, совсем не ради ссоры.
(И. Крылов.) (6)
При каждой неудаче надо анализировать свои ошибки; Несмотря на плохую погоду,
экскурсия состоялась. (7)
85. Распространенное
обстоятельство
В роли распространенного обстоятельства
могут выступать обороты

деепричастный
Е

сравнительный
л

уступительный
л
целевой
86. Слова, не являющиеся
членами предложения
Не являются членами предложения
,1 12 13 14 15

междометие
обра- 1
щение
вводное слово,
сочетание,
предложение

частица
1 союз
Примеры.
Э Поджав губы, помощник коменданта
промолчал.
(В. Богомолов.) (1)
Он наводил на нее взгляд, как
зажигательное стекло, и не мог отвести. (И.
Гончаров.) (2)
Жди меня, и я вернусь всем смертям
назло. (К. Симонов.) (3)
Бой идет святой и правый, смертный бой
не ради славы, ради жизни на земле.
(А. Твардовский.) (4)
Примеры.
• Ах, злые языки страшнее пистолета!
(А. Грибоедов.) (1)
Так разрешите же в честь новогоднего бала
руку на танец, сударыня, вам предложить!
(Ю. Левитанский.) (2)
На Алексея все это, видимо, не
действовало. (М. Горький.); Гимназия — все ее три
этажа — была насыщена запахом замазки.
(В. Катаев.) (3)
Да у вас дело совсем уже слажено.
(А. Пушкин.) (4)
В тесноте, да не в обиде. (Пословица.) (5)
44

^Русский, ягьт £пшол1щах
87. Связь между словами в предложении:
независимые и зависимые члены предложения
Грамматически члены предложения могут быть
i
независимыми
1
1
подлежащее
относительно
зависимыми
1 2
сказуемое
не образуют словосочетания между собой,
но образуют с второстепенными членами
i
зависимыми
1 з
второстепенные члены
(определение, дополнение, обстоятельство)
образуют словосочетания с главными
членами и между собой
88. Виды связи между словами в словосочетании
Слова, связанные между собой по смыслу, образуют словосочетание.
Оно состоит из главного и зависимого слов, т. е. образовано по типу подчинения
Слово, от которого можно поставить вопрос
к другому слову, — главное
Слово, к которому можно поставить
вопрос от другого слова, — зависимое
Различаются три вида связи между словами з словосочетании.
Бели зависимое слово
стоит в том же роде, числе и падеже,
что и главное слово
▼
1
Согласование
г а
полное
у
, б
неполное
i
стоит в том падеже,
которого требует главное слово
^
2
>
Управление
1
г а
без предлога
1
, б
с предлогом
связано с главным
только по смыслу
Примыкание
Примеры.
• Это было бледное крошечное создание, напоминавшее цветок9 выросший без лучей солнца.
(В. Короленко.) (1а)
Рядом помещалась каморка — хранилище каталогов. (Д. Гранин.) (16)
А враги-дурни думают, что мы смерти боимся. (А. Фадеев.) (2а)
При сторожке находилась огромная черная собака неизвестной породы... (А. Чехов.) (26)
Пехотные полки, застигнутые врасплох, выбегали из леса, и, смешиваясь друг с другом, роты
уходили вразбивку беспорядочными толпами. (Л. Толстой.) (3)
45

ЧМнслышя п/юг/шжма ёпишяылщх и фскжилах,
89. Характеристика предложения по его грамматической основе
В предложении
есть оба
главных члена
(и подлежащее,
и сказуемое)
п
Один из главных членов предложения отсутствует
I
ОДНОСОСТАВНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ
Есть
только

подлежащее
и
Есть только сказуемое. Подразумевается ли подлежащее?
~Т~
Да. Имеется в виду
конкретное лицо
(или предмет)
и

неопределенное лицо
любое лицо
вообще
и
Нет
л
ДВУСОСТАВНОЕ
ПРЕДЛОЖЕНИЕ
Назывное
Определенно-
личное
Неопределенно-
личное
Обобщенно-
личное
Безличное
Примеры.
• Белеет парус одинокий в тумане моря голубом! (М. Лермонтов.) (1)
Тонкий свист рябчика, красноватые окна домика в сумерках, костер, раздвигающий тьму...
(В. Белов.) (2)
— Вот уеду, так и не буду знать, отчего стрелялся Константин. (А. Чехов.);
Заходи ко мне, потолкуем. (А. Рекемчук.) (3)
Но тут тебя так доймут всяким вздором... (А. Чехов.) (4)
После дела за советом не ходят. (Пословица.) (5)
На улице было светло и людно. (А. Рекемчук.); Петру Николаевичу следовало бы бросить
курить. (А. Чехов.); Строить не из чего... (6)
90. Предложение: полное или неполное?
Ощущается ли в предложении отсутствие слова?
1
Нет
; 1
1
Пропущено сказуемое
со значением наличия
('есть', 'имеется')
1 2
Полное
предложение
1
Да |
1
Пропущенное слово
встречалось в предыдущем
контексте, и его легко
восстановить
1 з
1
Пропущенное слово не
встречалось в предыдущем
контексте, но примерный
смысл его ясен из ситуации
1 4
Неполное предложение
Примеры.
О На небе спокойная синева. (А. Пушкин.) (1)
А по сторонам — словно вымершая от зноя степь. (М. Шолохов.) (2)
Справа виднелась церковь, за нею еще какие-то здания. (Б. Васильев.) (3)
— Дежурный, ко мне! (Б. Васильев.) (4)
46

cPycatuih ягып & тгьш/лии/хх
91. Предложение: распространенное или нераспространенное?
Есть ли в предложении хотя бы один второстепенный член?
i ~
Да
тт
I
Нет
Распространенное предложение
XI
Нераспространенное предложение
Примеры.
• Поздняя осень. (Н. Некрасов.); Кто-то тронул Боброва сзади за плечо. (А. Куприн.) (1)
Вьюга злится, вьюга плачет. (А. Пушкин.) (2)
92. Распространение и осложнение простого предложения
Простое предложение может быть
i
распространено
при помощи
второстепенных
членов
предложения
л
в
W
ф
ф
tc
CD
ft
И
о
в
W
ф
»
И
о
и
и
однородных
членов
предложения
«
о
ф
Ен
W
о
Е-«
О
ю
о
3
В
Е
осложнено при помощи
15
обособленных
оборотов
и
ф
о
о
н
и
8
&
и
ТТ
слов, не являющихся
членами предложения
ft
я
ф
ф
1 *
*
Я
и
я
X
&
g ЁГ1
ф
СНИ1
поя
8
в
ф
я
о
ф
2
is
Н
ф
О.
VD
О
тт—I
лов
о
3
и
«
и
и
гний
лож«
«
ф
&
в
1 1
8
^
*£
ф
Оц
и
Я
?
.*»
&3
н
^
fcc
эН
3
Примеры.
Ф Дремлет чуткий камыш. (И. Никитин.) (1)
Права не дают, права берут. (М. Горький.) (2)
В одну скверную осеннюю ночь Андрей Степанович Пересолин ехал из театра. (А. Чехов.);
Из Москвы я выехал последним пароходом. (К. Паустовский.); Кустарник скоро кончился. (3)
Швед, русский — колет, рубит, режет... (А. Пушкин.) (4а)
Постепенно к плеску, стуку, шороху, бульканью, ко всем легкомысленным звукам воды
присоединились тяжелый гул людских голосов и гортанные выкрики. (К. Паустовский.) (46)
А в лесу, казалось, шел говор тысячи могучих, хотя и глухих голосов, о чем-то грозно
перекликавшихся во мраке. (В. Короленко.) (5а)
Потом Леля перевязывала меня, то плача от испуга и стыда, то тут же смеясь сквозь
слезы над своей глупостью и моим жалким видом. (К. Паустовский.) (56)
Молодой, нежный месяц, будто забытый жницей серебряный серп, лежал на синем пологе
ночи. (К. Паустовский.) (5в)
— Эге, красавица, у тебя остры зубы! (М. Горький.) (6а, б)
Тут Дубровский закрыл лицо руками; он, казалось, задыхался. (А. Пушкин.); ...Они, то есть
секунданты, должно быть, несколько переменили свой прежний план и хотят зарядить
пулею один пистолет Грушницкого. (М. Лермонтов.) (5в, 6в)
Да, были люди в наше время! (М. Лермонтов.); Нет, никогда я зависти не знал. (А. Пушкин.)
(6г)
47

^Русский лхын ётхи/яшщх
93. Структурная схема простого предложения
□
А
е
— подлежащее
— сказуемое
— связка
— согласование
BBJ
I
П
Ш
IV
примыкание
| | — определение (^)
— дополнение
С ) — обстоятельство
■> — управление
ч=± — координация
между
главными
членами
основа предложения
распространение предложения второстепенными членами
осложнение предложения однородными членами
осложнение предложения словами, не являющимися членами предложения
рбр) — обращение
вводные слова
и предложения
междометие

слова-предложения
Да; Нет
94. Характеристика предложения по отношению к действительности,
по цели высказывания и эмоциональной окраске
Простое предложение может быть
по отношению к действительности
утвердительное
по цели высказывания
отрицательное
повествовательное
вопросительное
по эмоциональной окраске
восклицательное
невосклицательное
побудительное
Примеры.
© Майскими короткими ночами, отгремев, закончились бои... (А. Фатьянов.) (1а)
Не жалею, не зову, не плачу... (С. Есенин.) (16)
Истоки способностей и дарований детей на кончике пальцев. (В. Сухомлинский.) (2а)
Где начало того конца, которым оканчивается начало? (К. Прутков.) (26)
Родная Земля! Назови мне такую обитель! (Н. Некрасов.) (2в)
Поэзия! Ты служба крови! (И. Сельвинский.) (За)
К обеду приехал лекарь. (А. Чехов.) (36)
48

Шмсль'ная пЖсг/шжлса & лшалгщах и фс6~«,1Ашх
СЛОЖНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ
95. О построении схемы сложного предложения
Для уяснения структуры сложного предложения и взаимоотношений между его частями
нужно уметь построить его схему.
Способы построения такой схемы могут быть различны.
1. Наиболее традиционна структурная схема сложного предложения. Ее элементы можно
обозначить следующим образом:
I 1 — простое предложение, входящее в состав сложного
/I 1\ — вводное предложение
I 1/1 1\ — простое предложение, осложненное вводным
I 1*^1 l^v — простое предложение с прямой речью
— бессоюзная связь между частями сложного предложения
— сочинительная связь (между равноправными частями предложения)
}-t
] 1 1
м:
— подчинительная связь (между главной и придаточной — неравноправными
частями предложения)
— сопоставительная связь (между взаимообусловленными частями
предложения)
Подобную обобщенную схему можно детализировать, вводя в нее дополнительные
элементы, например:
а) в схему сложносочиненного предложения — обозначение сочинительных союзов,
одиночных, повторяющихся и двойных:
или Г
С
ТЧ 1
Н^ 1
L- 1
б) в схему сложноподчиненного предложения — обозначение вопроса к придаточной части,
подчинительного союза или союзного слова и типа придаточной части:
какой? I который почему? \так как
| опр. | | прич.|
49

zPuccnuii ягьт S таялшцкь
95. О построении схемы сложного предложения
в) обозначение последовательности частей сложного предложения, например: Когда весна
придет, не знаю. (А. Фатьянов.)
1 2 | —* главная часть
| 1 1 —-► придаточная часть
2. Однако не во всех случаях структурная схема достаточно удобна. Например, она не
отражает расположения частей сложноподчиненного предложения, когда придаточная часть
находится внутри главной.
Более наглядной здесь может стать построчная схема сложного предложения.
Ее элементы:
— прямая линия — синтаксически равноправные части сложного предложения
(бессоюзного, сложносочиненного), а также главная часть сложноподчиненного предложения.
— волнистая линия — придаточная часть сложноподчиненного предложения.
Располагая последовательно эти элементы в строке, можно построить схему сложного
предложения и обозначить на ней знаки препинания, а также средства связи и взаимоотношения частей
предложения. Например:
Труд человека кормит — лень портит. (Пословица.)
_____ — ____ . (бессоюзное предложение)
., а
Когда
Ум хорошо, а два лучше. (Пословица.)
-. (сложносочиненное
предложение)
Когда в товарищах согласья нет, на лад их дело
не пойдет. (И. Крылов.)
(сложноподчиненное предложение)
Человеку, который сам ничего не знает, не о чем
и рассказать людям. (Б. Горбатов.)
(сложноподчиненное предложение с придаточной частью внутри
главной;
П-образная линия соединяет начало и конец главной части; дуга
соединяет придаточную часть с той частью главного предложения, в которой
находится опорное слово)
Посмотрю я, где ты достанешь черевички,
которые могла бы я надеть на свою ногу. (Н. Гоголь.)
(сложноподчиненное предложение с двумя придаточными, одно из
которых является главным по отношению к другому придаточному •
последовательное подчинение)
50

Сшихльтсал пЖог/ьсимлМа S ттьш/лии/гоо и фокльияаао
96. Типы и средства связи
между частями сложного предложения
Связь между частями
сложного предложения
Тип связи —
по своему значению части
равноправны
Средства связи
неравноправны
с помощью специального слова.
Является ли оно членом предложения?
Нет
1 Б
Да
1 1
Сочинение
Подчинение
с помощью
интонации
1 3
Союз
Союзное слово
Союзная связь
Бессоюзная связь
Примеры.
• Принесли к врачу солдата только что из боя, но уже в груди не бьется сердце молодое. (С.
Кирсанов.) (А)
Он [Пушкин] для русского искусства то же, что Ломоносов для русского просвещения вообще.
(И. Гончаров.) (В)
Ты потише провожай, парень сероглазый, потому что очень жаль расставаться сразу... (М.
Исаковский.) (1)
Он не смотрел на часы и не знал, сколько ждал. (А. Ананьев.) (2)
Хочу оттолкнуть ее от себя — она, как кошка, вцепилась в мою одежду... (М. Лермонтов.) (3)
5/

ёРусасий ям>1Л 4таалии/аоо
97. Разбор предложения,
состоящего из одной или двух частей
Сколько частей в данном предложении?
Одна
(предложение
с одной
грамматической
основой)
Две (предложение с двумя грамматическими основами)
Одна из них —
вводное
предложение
Одна из них —
прямая речь
Сложное предложение
без
союзов
с союзной связью
с
союзным
словом
с союзом

подчинительным

сочинительным
□
<□>
□:«□»
1-С
C34Z]
в
Простое
предложение
Простое,
осложненное
вводным
Простое
с прямой
речью
Сложное
бессоюзное

Сложноподчиненное

Сложносочиненное
Примеры.
• И вся эта налаженная им жизнь была нарушена самым неожиданным образом. (А. Ананьев.)
(1)
Он меня, вы знаете, очень уважает. (И. Тургенев.) (2)
Курьер сказал*. «Он левша и все левой рукой делает». (Н. Лесков.) (3)
Оглядываюсь — никого нет кругом. (М. Лермонтов.) (4)
Каков привет, таков и ответ. (Пословица.) (5)
А я хотел бы, чтоб они из рук, с моей ладони, этот хлеб клевали. (Вс. Рождественский.) (6)
Вздыхают, жалуясь, басы, и, словно в забытьи, сидят и слушают бойцы — товарищи мои.
(М. Исаковский.) (7)
52

Школьная. nfvczficuAibAuz ётаолгшрх и, фсклъилааь
98. Предложение: сложносочиненное или сложноподчиненное?
Сложное предложение, части которого связывает
1
союз
1
сочинительный
«
; 1
Сложносочиненное
1
подчинительный
1 2
if
1
союзное слово
1 з
Сложноподчиненное
Примеры.
О Пахнет полынью и мятой, и от соседних болот легкий туман сизоватый низко над степью
плывет. (П. Комаров.) (1)
Не прошло и получаса, как сердце его начало ныть... (А. Пушкин.) (2)
Ему рассказали, в чем дело. (А. Куприн.) (3)
99. Сочинительные союзы — показатели смысловых отношений
между частями сложносочиненного предложения
Сочинительные союзы,
с помощью которых
I
перечисляются явления,
которые происходят
одновременно или следуют
одно за другим
и
да (= и) ни...ни
тоже
также
одно явление
противопоставляется
другому
но
да (= wo)
а
же
однако
зато
указывается на чередование
явлений, на возможность
одного явления
из двух или нескольких
или
или...или ли...ли
либо...либо то...то
не то...не то
Соединительные
Противительные
Разделительные
Примеры.
• Дождик лил сквозь солнце, и под елью мшистой мы стояли точно в клетке золотистой.
(А. Майков.) (1)
В саду горит костер рябины красной, но никого не может он согреть. (С. Есенин.) (2)
То солнце покажется, то снова дождь польет. (3)
53

^Русский, яььш 4 maifjULUflcb
100. Как различить главную и придаточную часть
сложноподчиненного предложения?
Часть сложноподчиненного предложения
поясняемая
(дополняемая, уточняемая)
другой частью этого предложения
1 1
Главная
поясняющая (дополняющая, уточняющая)
другую часть предложения. Содержит союз
(или союзное слово), с помощью которого
присоединяется к главной части; к ней
задается вопрос от главной части
1 2
Придаточная
Примеры.
О На другой день Алексей... рано утром поехал к Муромскому, дабы откровенно объясниться
с ним. (А. Пушкин.) (1)
В доме у доктора все светилось такой удивительной чистотой, какая бывает в домах
северян. (К. Паустовский.) (2)
101. Как относится придаточная часть
к главной в сложноподчиненном предложении?
Можно ли от какого-нибудь слова
в главной части задать вопрос к придаточной?
1 Да
1
[ 1
Придаточная часть
относится к этому слову
. (его называют опорным словом)
Нет
<
! 2
Придаточная часть
относится ко всей главной части в целом
Примеры.
О Он стоял среди метели, которая кружилась вокруг него, лепя мокрым снегом в лицо и
застилая окрестности льющейся мутью поземки. (В. Катаев.) (1)
Чтобы никого не беспокоить, он играл очень тихо. (В. Каверин.); Лишь только бой угас,
звучит другой приказ. (Б. Окуджава.) (2)
54

102. Как определить тип придаточной части?
Можно ли в данном сложноподчиненном предложении выделить главную и придаточную части?
Да
Придаточная часть отвечает на вопрос
с-
а
W
i
SI
ss
CO
о с*
О Q)
а о
t
s
о
о
0*
s
I
О
H
о
с*
со
I
в
с*
5»
3
S
§
>з
о
3
о *>
8
Нет
Вопрос от
главной части
к придаточной
задать нельзя
о
е
I
О
9
S
§
о
о
10
Это
взаимообусловленные
части
союзные
слова: что,
зачем, почему,
поэтому,
вследствие
чего, отчего
и др.
11
союзы:
если...то, в то
время как,
между тем как,
тогда как, по
мере того как,
чем...тем,

настолько...насколько,
едва...как
12
13
S3
1 я
ё -
я к
Н е*
3 Н
И «
л в и
it S ф
2. " g
fte «
о » w
« я
в
я
s
I
04
PQ
ев
И
Ч
Я
К
ф
а
а
I
тельная
и
ледстви
и
L «
[рисоедк
ительна
В ffl
ТИПЫ ПРИДАТОЧНЫХ
Сопоставительные
предложения

SPuccfcuu, яхы4с 4 тгишлилл/аос,
Примеры.
• Люблю людей, кому жизнь в радость. (Ф. Абрамов.) (1)
Я хочу, чтоб к штыку приравняли перо. (В. Маяковский.) (2)
Книги он расставил так, что самые нужные были под рукой. (3)
...Встретить я хочу мой смертный час так, как встретил смерть товарищ Нетте.
(В. Маяковский.) (4)
Откуда ветер, оттуда и дождь. (Пословица.) (5)
По синим волнам океана, лишь звезды блеснут в небесах, корабль одинокий несется, несется
на всех парусах. (М. Лермонтов.) (6)
Если я заболею, к врачам обращаться не стану. (Я. Смеляков.) (7)
Я встал, чтобы лучше видеть. (8)
Я очень полюбил эту книжку-тетрадку, потому что в ней удивительно гармонично
сочеталось изобразительное с повествовательным. (В. Катаев.) (9)
Сколько я ни напрягал зрение, я не мог увидеть конца этой низины. (В. Арсеньев.) (10)
«Бунт Стеньки Разина» я читал Коновалову часто, так что он уже свободно рассказывал
книгу своими словами. (М. Горький.) (11)
Я остаюсь на даче на всю зиму, что оригинально и ново. (А. Чехов.) (12)
...Она Алексея еще не видала, между тем как все молодые соседки только об нем и
говорили. (А. Пушкин.) (13)
103. Структурные особенности сложноподчиненного предложения
с одной придаточной частью
Примеры.
• Мне приходилось ночевать в стогах в октябре, когда трава ца рассвете покрывается инеем,
как солью. (К. Паустовский.) (1)
Как появилось зло, так появилось желание бороться с ним. (В. Шукшин.) (2)
С тех пор, как здесь живет профессор со своей супругой, жизнь выбилась из колеи.
(А. Чехов.) (3)
И жизнь, как посмотришь с холодным вниманьем вокруг, такая пустая и глупая шутка.
(М. Лермонтов.) (4)
56

ЧМнолышя пбогЬальлш 4 maaAwufiac и фоклшмиь
104. Структурные особенности сложноподчиненного предложения
с двумя придаточными частями
ш ш
I 2 \
шш
Г~д~1
шш
однородное подчинение
^Х^Л^Ч
Ш Ш
ШШ
I а I
параллельное
подчинение
БЪ
10
11
12
последовательное
подчинение
57

105. Виды подчинения придаточных частей в сложноподчиненном предложении
с двумя и более придаточными частями
Придаточные части
одного типа
(отвечают на один и тот же вопрос).
Относятся
к одному и
тому же
опорному
слову
что?/ \ что?
[изъяснJ [изъясн-|
-4^7
I
разных типов
(отвечают на разные вопросы).
Относятся
ко всей
главной части в
целом
^2^
к разным
опорным
словам
1 ! 1 ■
что? что?
[иаъясн ] [изъясн \
3
ч—^
какой? что?
J опр. I I изъясн J
ОДНОГО
или разных
типов.
Относятся
к опорному
слову и к главной
части в целом
начто?/\ зачем?
[изъясн J | цели |
1
д
,2
Однородное I
подчинение I
1
,з
А
Параллельное
подчинение
ко всей главной
части
в целом
первая
придаточная —
к главной части,
вторая — к первой
придаточной,
третья — ко
второй и т. д.
15 16
Неоднородное
соподчинение
17
Последовательное
подчинение
Примеры.
О И не видела Даша, какое было лицо у сестры, что с ней происходило. (А. Н. Толстой.) (1)
Где бы он ни находился, где бы он ни жил, он занимался нашими делами, устраивал наши судьбы. (К. Федин.) (2)
Я думал, что дорога где-то рядом, но вскоре понял, что заблудился. (3)
Самая тоскливость этих мест, куда я попал, показалась мне доказательством, что нефть здесь должна быть
в большом количестве. (К. Паустовский.) (4)
Несмотря на то, что князь Василий неохотно и почти неучтиво слушал пожилую даму, она ласково и трогательно
улыбалась ему и, чтоб он не ушел, взяла его за руку. (Л. Толстой.) (5)
Когда солнце уже начинало пригревать, тополь протягивает ветви на восток, чтобы встретить светило в самое
первое мгновение его появления. (6)
Я спросил его, может ли он сказать откровенно, что бы он сделал, если бы получил такое объявление Шамиля.
(Л. Толстой.) (7)

&<исашй, яхьт 4таалшцааь
106. Общая схема синтаксического разбора предложения
ПРЕДЛОЖЕНИЕ
Простое
1
Сложное
ф
о
»
со
Бессок
2
энное
н
OCOi
Сложи
3
{
а
я
с одни
придат
4
Сложноподчиненное i
с двумя и более
придаточными
подчинение ]
ф
дно
одноро
5
»ное
ф
оваг
послед
6
о N
W W
О W
Р4 В
неодно
соподч
7
Сложная
синтаксическая конструкция i
с бессоюзной связью
ф
нен
и сочи
8
Я
ние
ине
и подч
9
S
ф
ф ф
I S w
1 и н
сочине
и подч
10
S
1Н ф
ф К
1 м И
g Ф
ми
С СОЧИ]
И ПОДЧ
11
Примеры.
О Ничего не сказала рыбка, лишь хвостом по воде плеснула и ушла в глубокое море. (А. Пушкин.) (1)
...Там на неведомых дорожках следы невиданных зверей; избушка там на курьих ножках
стоит без окон, без дверей... (А. Пушкин.) (2)
И Пушкин ласково глядит, и ночь прошла, и гаснут свечи, и нежный вкус родимой речи так
чисто губы холодит. (Б. Ахмадулина.) (3)
Если жизнь тебя обманет, не печалься, не сердись! (А. Пушкин.) (4)
Все бы слушал, как вершина ивы дремлющей шумит, как на темном дне оврага по камням
родник журчит. (А. Плещеев.) (5)
Вот пес без хвоста, который за шиворот треплет кота, который пугает и ловит синицу,
которая часто ворует пшеницу, которая в черном чулане хранится в доме, который построил
Джек. (С. Маршак.) (6)
Дядька не расслышал, как его назвали, только понял, что по имени и отчеству. (Б. Шергин.) (7)
На болоте крячет цапля, четко хлюпает вода, а из туч глядит, как капля, одинокая звезда.
(С. Есенин.) (8)
По лицу Анны Сергеевны трудно было догадаться, какие она испытывала впечатления: оно
сохраняло одно и то же выражение, приветливое, тонкое... (И. Тургенев.) (9)
О Феничке, которой тогда минул уже семнадцатый год, никто не говорил, и редкий ее видел:
она жила тихонько, скромненько... (И. Тургенев.) (10)
Всем известно, что письма бывают веселые или печальные, и поэтому, пека мать читала,
Чук и Гек внимательно следили за ее лицом. (А. Гайдар.) (11)
59

ишольпая nfbOdhajbAia ётаолшуах и фоклиилах
107. Сложные синтаксические конструкции
Предложения с синтаксической связью
i
Е
ОДНОТИПНОЙ
II
I
Е
и
разнотипной
II
DDQ
CZKZKZ1
D-DD
•□
•оа
S^
Бессоюзное

Сложносочиненное

Сложноподчиненное
С бессоюзной
связью и
сочинением
С
бессоюзной связью и
подчинением
С бессоюзной
связью,
сочинением и
подчинением
С
сочинением и
подчинением
Примеры.
о Утро великолепное; в воздухе прохладно; солнце еще не высоко. (И. Гончаров.) (1)
И ерзает руль, и обшивка трещит, и забраны в рифы полотна. (Э. Багрицкий.) (2)
Я хочу, чтобы слышала ты, как тоскует мой голос живой. (А. Сурков.) (3)
Дверь распахнулась, вошел Петр, и перед ним склонилось семь париков. (А. Н. Толстой.) (4)
...Я еще не так сыграл бы, — жаль, что лучше не могу. (А. Твардовский.) (5)
Люблю ли тебя я — не знаю, но кажется мне, что люблю. (А. К. Толстой.) (6)
Жди меня, и я вернусь, не желай добра всем, кто знает наизусть, что забыть пора.
(К. Симонов.) (7)
ЧУЖАЯ РЕЧЬ
108. Способы передачи чужой речи
Чужая речь, оформленная
как самостоятельное предложение
(или ряд предложений)
I
как придаточная часть в таком
сложноподчиненном предложении,
где главной частью являются слова автора
I
От чьего лица передается чужая речь?
1 1 1
от лица того, кто ее произносит
<
1 от лица автора
1
г 1
Прямая речь 1
1 от лица автора
2
* *
Несобственно-прямая речь 1
3
Y
Косвенная речь
Примеры.
О «Уж очень мне хотелось пойти в этот поход!» — сказал Толя. (1)
Толя заранее волновался. Очень уж хотелось ему пойти в этот поход! (2)
Толя сказал, что ему очень хотелось пойти в этот поход. (3)
60

История
История России XX века
Всемирная история

История России XX века в таблицах
Особенности процесса модернизации на рубеже XIX—XX вв.
Общие проблемы развития
Начало перехода к
модернизации экономики
Преобладающие факторы
развития
Элементы традиционного
общества
Путь перехода
к модернизации
| Наличие либеральных
политических традиций
Темпы модернизации
Политическая и социальная
стабильность
Характер развития
Роль государства в экономике
Качественные показателя
1 соц„-эконом, развития
Характер
экономики
Страны «первого
эшелона» модернизации
(США, Англия,
Франция)
Раннее
Внутренние
Минимальны
Революционный
Высокоразвиты
Средние
Относительно
высокая
—
Минимальна
Высокие

Частнокапиталистический
Россия и страны
«второго эшелона»
(Германия, Италия,
Япония)
Относительно
позднее
Внутренние и
внешние
Значительны
Реформаторский
Отсутствовали
или были
минимальны
Высокие
Низкая
Догоняющий
Высока
Низкие
Многоукладный
Страны «третьего
эшелона» (Китай,
Латинская Америка)
Позднее
Внешние
Значительны
Смешанный
Минимальны
Средние
Средняя
Догоняющий
Значительна
Низкие
Многоукладный
Политический строй России в начале XX в.
• Сосредоточение абсолютной законодательной О Полное отсутствие элементов представитель-
и исполнительной власти в руках императора ной демократии и представительных учреж-
О Высокая степень бюрократизации системы дений
власти • Отсутствие легальных политических партий
62

Чсогпфил zroccuu, ЗСЭСёека & таолшуаос
Социал-демократические партии России в конце XIX — начале XX в.
О Армянская социал-демократическая партия
«Гнчак»(1887)
О Социал-демократия Королевства Польского
и Литвы (1893)
• Литовская социал-демократическая партия
(1896)
• Всеобщий еврейский рабочий союз в Литве,
Польше и России (1897)
О Российская социал-демократическая рабочая
партия (1898)
О Революционная украинская партия (1900)
Латышская социал-демократическая рабочая
партия(1904)
Мусульманская социал-демократическая
организация «Гуммет» (1904)
Украинская социал-демократическая
рабочая партия (1905)
Еврейская социал-демократическая рабочая
партия «Поалей Цион» (1906)
Белорусская социал-демократическая
партия (1918)
Неонароднические партии России в конце XIX — начале XX в.
О «Дашнакцутюн» (1890)
• Партия социалистов-революционеров (1901)
• Белорусская социалистическая громада (1902)
О Украинская партия
социалистов-революционеров (1903)
• Украинская демократическо-радикальная
партия (1904)
• Сионистско-социалистическая рабочая партия
(1904)
• Партия социалистов-федералистов Грузии
(1904)
• Социалистическая еврейская рабочая партия
(1906)
О Трудовая народно-социалистическая партия
(1906)
О Союз социалистов-революционеров
(максималистов) (1906)
О Мусульманская демократическая партия
«Мусават» (1911)
• Казахская социалистическая партия «Уш-
Жуз» (1917)
О Партия левых социалистов-революционеров
(интернационалистов) (1917)
• Партия революционного коммунизма (1917)
• Украинская партия
социалистов-федералистов (1917)
о Украинская партия
социалистов-революционеров (коммунистов) (1918)
• Белорусская партия
социалистов-революционеров (1918)
О Белорусская партия
социалистов-федералистов (1918)
• Партия народников-коммунистов (1918)
Либеральные и консервативные партии России в начале XX в*
Литовская демократическая партия (1902)
Конституционно-демократическая партия
(1905)
Балтийская конституционная партия
(1905)
«Союз 17 октября» (1905)
Партия демократических реформ (1905)
Партия мирного обновления (1906)
О Партия русских националистов («
Всероссийский национальный союз») (1908)
О Партия прогрессистов (1912)
О Армянская народная партия «Рамкавар»
(1917)
О Казахская партия «Алаш» (1917)
• Грузинская национально-демократическая
партия (1917)
Монархические партии России в начале XX в.
• «Русское собрание» (1900)
О Русская монархическая партия (1905)
О «Союз русского народа» (1905)
• «Русский народный союз имени Михаила
Архангела» (1908)
63

Школьная nficzfidAuiui ётаоСищах и фокмшах
Политические организации промышленников
и предпринимателей в начале XX в.
© Всероссийский торгово-промышленный союз
(1905)
О Прогрессивная экономическая партия (1905)
О Торгово-промышленная партия (1905)
Ф Умеренно-прогрессивная партия (1905)
• Партия правового порядка (1905)
© Конституционно-монархический правовой союз
(1906)
Политические партии России в начале XX в.

Социальный состав

Программные цели

Политические
требования
Тактика
Социалистические
Революционная
интеллигенция, рабочие,
городские средние слои,
крестьяне
Уничтожение частной
собственности (в первую
очередь помещичьего
землевладения) и царского
самодержавия
Установление
республики, предоставление
гражданских прав и свобод
Революционная (включая
вооруженное восстание)
Либеральные
Либеральная
интеллигенция, городские средние
слои, буржуазия, часть
помещиков
Создание эффективной
рыночной экономики,
построение правового
государства, формирование
гражданского общества
Ограничение монархии
конституционными
рамками, предоставление
демократических прав и свобод
Парламентская борьба
Монархические
Помещики, духовенство,
часть крупной буржуазии,
часть городских средних
слоев, крестьяне
Сохранение традиционных
основ экономической и
политической жизни,
отчасти — возврат к
дореформенной ситуации
Сохранение и укрепление
самодержавия
Борьба с либералами и
революционерами всеми
доступными методами
Реформы П. А. Столыпина
О Аграрная реформа •
Ф Введение свободы вероисповедания *
Ф Установление гражданского равноправия •
Ф Улучшение быта рабочих
Ф Реформа местного самоуправления О
Реформа высшей и средней школы
Введение всеобщего начального обучения
Улучшение материального обеспечения
народного учительства
Полицейская реформа
Цели и направления аграрной реформы П. А. Столыпина
Цели
Снятие социальной напряженности на селе
Формирование широкого слоя мелких
собственников для обеспечения политической
стабильности
Отвлечение крестьян от идеи принудительного
отчуждения помещичьих земель
Сохранение всех форм частной собственности
(включая помещичью)
Направления |
Разрушение крестьянской общины
Создание хуторов и отрубов
Переселенческая политика
Развитие крестьянской производственной
кооперации
Оказание государственной помощи
крестьянским хозяйствам
Обеспечение юридического равноправия
крестьянства
64

llcmo/шл ^России, ЭСЭСёена 4таолшдж
Результаты аграрной реформы П. А. Столыпина
Выход из общины 2 млн крестьянских дворов
К1915 г. количество фермерских хозяйств не
превышало 10% всех крестьянских хозяйств
Увеличение в среднем на 10% посевных
площадей
Увеличение на 35% хлебного экспорта
Увеличение вдвое количества применяемых
минеральных удобрений
В 3,5 раза возросли закупки крестьянами
сельскохозяйственных машин
Ежегодные темпы роста промышленного
производства были самыми высокими в мире
(8,8%)
В Сибирь переселилось 3 млн 40 тыс.
человек
Переселенцы освоили 30 млн десятин целины
К началу 1917 г. в России насчитывалось
63 тыс, различных кооперативов
Сельская кооперация обслуживала 94 млн
человек
Военно-политические блоки начала XX в.
Тройственный союз
(с 1882 г.)
Италия
Антанта
(с 1907 г.)
Россия
Англия
Основные направления внешней политики Николая II
Сохранение статус-кво в Европе
Союз с Францией
Обязательство сохранять статус-кво на
Балканах (договор 1897 г. с Австро-Венгрией)
Отказ от раздела Турции (1898)
[Инициирование созыва международных
конференций в Гааге по разоружению
Усиление присутствия России в Азии
Давление на Японию с целью ограничить ее
влияние в Китае (1895)
Аренда Порт-Артура и Дальнего
Усиление экономической экспансии в Китае,
Монголии, Корее
Строительство КВЖД
Получение права транзита войск по КВЖД _|
Периодизация первой русской революции (1905—1907)
Период восходящего развития
революции
(январь—сентябрь 1905 г.)
Кровавое воскресенье (9 января
1905 г.)
Нарастание рабочего,
крестьянского движения
Волнения в армии и на флоте
Период кульминации
революции
(октябрь—декабрь 1905 г.)
Октябрьская политическая
стачка
Манифест 17 октября 1905 г.
Создание либеральных партий
Декабрьское вооруженное
восстание
Период спада
революции
(1906—1907)
Постепенное затухание волне- 1
ний среди рабочих и крестьян
Выборы в I и П Думу
Законопроекты П. А. Столыпина
Становление новой политиче-
ской системы
• "Междзггородом и деревней
• Между центром и окраинами
Предпосылки революционного кризиса 1917 г.
ПРОТИВОРЕЧИЯ ОБЪЕКТИВНОГО ХАРАКТЕРА
Между русскими и инородцами
•
•
Между государством и личностью
3 — 1323
65

Шпольтшя п/гсг/мжлш 4тпш/лшцгос и фс^Ам/лаж
ПРОТИВОРЕЧИЯ, СВЯЗАННЫЕ С НЕРЕШЕННОСТЬЮ МОДЕРНИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
Сохранение помещичьего землевладения
Незавершенность индустриализации
Формирование национальной элиты
Отсутствие у буржуазии политической власти
Отсутствие мер по социальной адаптации
населения к новым реалиям
Отсутствие развитых либеральных и
парламентских традиций
ПРОТИВОРЕЧИЯ ВРЕМЕННОГО, «КОНЪЮНКТУРНОГО» ХАРАКТЕРА
(СВЯЗАНЫ С ПЕРВОЙ МИРОВОЙ ВОЙНОЙ)
Неудачи на фронте •
Огромные военные расходы О
Социальные лишения (разруха, голод, гибель
многих солдат) •
Усиление диспропорций в развитии экономики •
Резкое усиление враждебной пропаганды со
стороны Германии
Нарушение работы транспорта
Усиление критики либералами царского
правительства
Прогрессирующий паралич власти
Активизация революционных сил в армии и
обществе
Альтернативы общественно-политического развития
России после Февраля
Реформаторская (была
преобладающей в
феврале—июле 1917 г.)
Радикальная (усилилась с августа 1917 г.)
Леворадикальная
(реализована
большевиками в октябре 1917 г.)
Праворадикальная (неудачная попытка
ее реализации предпринята генералом
Л. Г. Корниловым в августе 1917 г.)
Политические партии России в феврале—октябре 1917 г.
1
О власти
О войне

Монархические
2

Прекратили су-
щество-
ваниев
феврале
Либеральные
3
В поддержку Временного
правительства и
Учредительного собрания, за
правовое государство в форме
конституционной монархии
или республики
Верность союзническому
долгу. Доведение войны до
победного конца и
присоединение к России
Черноморских проливов
Умеренно-
социалистические
4
В поддержку
Временного
правительства, за
парламентарную республику
« Революционное
оборончество»:
отказ от аннексий
и контрибуций,
борьба за
скорейшее заключение
мира усилиями
II Интернационала
Радикально-
социалистические
5
Против власти
Временного правительства, за
Республику Советов как
переходную форму к
государству диктатуры
пролетариата
Немедленное
прекращение войны любой
ценой. Превращение
войны
империалистической в войну
гражданскую
66

\ия SPocciiu 9С9С£еяа ётпаолилцмс,
Политические партии России в феврале—октябре 1917 г.
1
0
преодолении

экономического
кризиса
1 0
тактике и
блоках
2
3
Отказ от
социально-экономического
реформирования до созыва
Учредительного собрания
«Левый блок» с
умеренными социалистами в
интересах обеспечения
социальной стабильности до созыва
Учредительного собрания
4
За частичные
реформы до и
радикальные реформы (в
интересах трудового
народа) после созыва
Учредительного
собрания
Блок с либералами
из-за активизации
радикалов и
неготовности страны к
социалистическим
преобразованиям
5 |
За немедленное ради- 1
кальное
реформирование экономики путем
введения «рабочего
учета и контроля» и т. п.
Отказ от любых блоков и 1
соглашений.
Противопоставление пролетариата и
беднейших крестьян всем
остальным социальным
группам. Уверенность в
близости мировой
революции
Причины радикализации масс в феврале—октябре 1917 г.
• Крушение традиционных структур власти
и управления сверху донизу
• Реальное многовластие в центре и на местах
• Усиление амбиций лидеров политических
и национальных движений
О Продолжение войны и связанные с ней
социальные лишения
• Падение дисциплины в армии
• Военные поражения в июне
• Ухудшение уровня жизни населения (с лета)
О Распад относительной социально-политической
консолидации российского общества
• Популизм политических лидеров
радикального толка
о Оттягивание социально-экономических
реформ до созыва Учредительного собрания
Причины победы леворадикальной альтернативы в октябре 1917 г.
• Нарастание социально-экономических проблем
• Затягивание созыва Учредительного собрания
• Падение авторитета Временного
правительства после корниловщины
• Усиление позиций большевиков после
поражения правых радикалов в августе
• Нарастание противоречий между либералами
и правыми социалистами
Радикализация левого крыла умеренных
социалистов и их организационное
оформление
Обещания лидеров большевиков решить разом
все проблемы общественного развития
Осуществление переворота в Петрограде под
флагом ликвидации двоевластия в пользу
Советов
Основные этапы Гражданской войны в России (1917—1922)
25 октября 1917 г. —
май 1918 г.
Май—ноябрь 1918 г.
Начало вооруженного гражданского противостояния. «Ограни- 1
ченная» война (выступления Краснова под Петроградом,
Каледина на Дону, Дутова на Урале)
Начало полномасштабной гражданской войны: выступление 1
Чехословацкого корпуса, Добровольческой и Донской армий.
Десанты Антанты (Англия — в Мурманске, Архангельске, Баку,
Мерве; Турция — в Карее и Батуме; Франция — в Одессе и
Севастополе)
67

Чшюлмшл TtfiodfiaMjAui ёттьаомщах, и формулах,
Основные этапы Гражданской войны в России (1917—1922)
Ноябрь 1918 г. — весна 1919 г.
Весна — конец 1919 г.
1 Весна — осень 1920 г.
1920—1922 гг.
Усиление военного противостояния красных и белых. Военные 1
операции войск Колчака, Деникина, Краснова, Юденича,
Семенова. Численность армейских частей Антанты в России
достигает 200 тыс. человек |
Разгром основных сил белых (Колчак, Деникин, Юденич).
Эвакуация основных сил иностранных войск
Война с Польшей. Разгром армии Врангеля |
Победы красных в Средней Азии, Закавказье, на Дальнем Вое- 1
токе. Завершение Гражданской войны
Белое движение
Идейные основы
I • Борьба против большевизма
• Восстановление единой и не- j
делимой России
• Признание большинством
населения итогов Февральской
революции
• Признание необходимости
созыва Учредительного
собрания (Земского собора) для
определения будущего страны
• Понимание необходимости и
попытки решения аграрного,
рабочего, национального
вопросов
• Свобода
предпринимательства как главный принцип эко-
1 номической политики
Важнейшие правительства
• Правительство верховного
правителя России адмирала А. В.
Колчака (с ноября 1918 г.) в Омске
• «Особое совещание» генерала
А. И. Деникина в Бкатеринодаре
(с августа 1918 г.)
• Временное управление Северной
области Н. В. Чайковского
(позднее — Е. К. Миллера) в
Архангельске (с августа 1918 г.)
• Северо-Западное правительство
генерала Н. Н. Юденича в
Таллине (с августа 1919 г.)
О Правительство Юга России
генерала П. Н. Врангеля в
Севастополе (с апреля 1920 г.)
Главные военные деятели
Генерал М. В. Алексеев
Генерал Л. Г. Корнилов
Адмирал А. В. Колчак
Генерал П. Н. Краснов
Генерал А. М. Каледин
Генерал А. И. Дутов
Генерал Г. М. Семенов
Генерал А. И. Деникин
Генерал Н. Н. Юденич
Генерал П. Н. Врангель
Генерал Е. К. Миллер
Генерал Я. А. Слащов-
Крымский
Генерал В. 3. Май-
Маевский
Генерал Р. Ф. Унгерн фон
Штернберг
Органы государственной власти РСФСР (по Конституции 1918 г.)
Всероссийский
съезд Советов
ВЦИК
CHK
Наркоматы
Первый состав Совнаркома
Председатель — В. И. Ульянов (Ленин)
Нарком внутренних дел — А. И. Рыков
Нарком земледелия — В. П. Милютин
Нарком труда — А. Г. Шляпников
Наркомы — члены Комитета по военно-морским
делам — В. А. Антонов-Овсеенко, Н. В.
Крыленко, П. Е. Дыбенко
Нарком торговли и промышленности —
В. П. Ногин
Нарком просвещения — А. В. Луначарский
Нарком финансов — И. И. Скворцов-Степанов
Нарком иностранных дел — Л. Д. Троцкий
(Бронштейн)
Нарком юстиции — А. Ломов (Г. И. Оппоков)
Нарком продовольствия — И. А. Теодорович
Нарком почт и телеграфов — Н. П. Авилов
(Глебов)
Нарком по делам национальностей —
И. В. Сталин (Джугашвили)
Нарком железнодорожного транспорта —
М. Т. Елизаров
Нарком госпризрения — А. М. Коллонтаи
68

\ия ёРосыш 9С9С4епа &тпли/лииря,
Состав Революционного Военного Совета Республики (РВСР)
Председатель — Л. Д. Троцкий (1918—1925)
Зам. председателя — Э. М. Склянский
(1918—1924)
Главнокомандующие:
И. И. Вацетис (1918—1919),
С. С. Каменев (1919—1924)
Члены РВСР:
П. А. Кобозев (1918—1919)
К. А. Мехоношин (1918—1919)
Ф. Ф. Раскольников (1918)
К. X. Данишевский (1918—1919)
И. Н. Смирнов (1918—1919)
С. И. Аралов (1918—1919)
В. А. Антонов-Овсеенко (1918—1919)
A. П. Розенгольц (1918—1919)
B. И. Невский (1918—1919)
Н. И. Подвойский (1918—1919)
К. К. Юренев (1918—1919)
И. В. Сталин (1918—1919, 1920—1922)
В. М. Альтфатер (1918—1919)
И. Окулов (1919)
Г. Смилга (1919—1923)
И. Гусев (1919, 1921—1923)
И. Рыков (1919)
Д. И. Курский (1919—1921)
А.
И.
С.
А.
Причины победы красных в Гражданской войне
• Социальная и идейная разнородность Белого
движения
• Использование большевиками возможностей
мощного государственного аппарата,
способного проводить массовые мобилизации и
репрессии
О Продуманное идеологическое обеспечение
военных кампаний
Поддержка значительной частью населения
лозунгов и политики большевиков
Отсутствие массовой поддержки населением
белых
Центральное положение РСФСР, что позволяло
с успехом использовать промышленную базу
страны и маневрировать резервами
Нескоординированность действий белых
армий, интервентов
Политика «военного коммунизма»
Практическое огосударствление
промышленности
Практическое прекращение
товарно-денежных отношений
Введение продразверстки
Милитаризация общества
О Отмена коммунальных платежей, платы за
проезд на транспорте и т. п.
О Введение трудовой повинности
• < Красный террор * против « бывших »
• Бюрократизация государственного аппарата
О Введение уравнительной оплаты труда
Причины перехода к нэпу
• Глубокий социально-экономический и
политический кризис власти
• Массовые восстания в сельской
местности, выступления в городах, в армии и на
флоте
• Крушение идеи «введения» социализма
и коммунизма путем ликвидации рыночных
отношений
• Стремление удержать власть любой ценой
• Спад революционной волны на Западе
69

Сшюльмая тЖсгражяса ётпаалшщх и фсАлшлаж
Нэповская общественная модель
ЭКОНОМИКА
Либерализация экономической жизни при
сохранении командных высот в руках партии-
государства
Замена продразверстки продналогом
Отход от насаждения коммун на селе
Допущение рыночных отношений
Отмена трудовой повинности
Переход от натуральной оплаты труда к
денежной
• Введение элементов хозрасчета на уровне
государственных трестов и объединений
(«хозрасчет для начальников>)
• Введение тарифной системы оплаты труда
О Относительная стабилизация финансов
О Развитие внешней торговли
О Создание концессий
ПОЛИТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
• Сохранение и укрепление авторитарной
диктатуры
• Завершение разгрома оппозиционных
политических партий
• Относительная демилитаризация общества
О Сужение сферы непосредственного
государственного вмешательства в общественную
жизнь
• Политические процессы над оппозицией
Насильственное внедрение в сознание
марксистской идеологии
Реформирование системы образования
(ограничение доступа к образованию
«бывшим»)
Ужесточение идеологического контроля
ДУХОВНАЯ СФЕРА
• Введение в Уголовный кодекс статей об
ответственности за убеждения
О Усиление борьбы с неграмотностью
• Активизация антирелигиозной кампании
О Высылка за границу виднейших
представителей интеллигенции
Кризисы нэпа и их причины
Некомпетентность
основной части управленче-
ского аппарата
Ограничение крупного
и среднего
предпринимательства
Ограниченность
инвестиций в промышленность
• Кризис сбыта 1923 г.
• Товарный кризис и кризис хлебозаготовок 1925 г.
• Товарный кризис и кризис хлебозаготовок 1927—1928 гг.
Курс на экономическую
автаркию
Бюрократизм и
чиновничья волокита
Перекачивание средств из
села в город
Изменения в правящей партии в период нэпа
• Запрет фракций в РКП(б)
• Учреяздение поста генерального секретаря
РКП(б)
• Усиление контроля партаппарата
• Ограничение внутрипартийной
демократии
Усиление борьбы в партруководстве во время
болезни Ленина
Разгром сторонников ♦ мягкого»
внутрипартийного режима
Превращение ОПТУ в инструмент партийной
власти и внутрипартийной борьбы
го

Чсстпо^ил ^России, ЭСЭСёеш, 4 ттьш/лшщх,
Борьба в руководстве большевистской партии
Годы
1923—1924
1925
1927
1928—1929
Противоборствующие группировки
И. В. Сталин
Г. Е. Зиновьев
Л. Б. Каменев
И. В. Сталин
Н. И. Бухарин
А. И. Рыков
И. В. Сталин
Н. И. Бухарин
А. И. Рыков
И. В. Сталин
Л. Д. Троцкий 1
Г. Б. Зиновьев
Л. Б. Каменев |
(« новая оппозиция »)
Г. Е. Зиновьев
Л. Б. Каменев
Л. Д. Троцкий
(« объединенная оппозиция > )
Н. И. Бухарин
А. И. Рыков
М. П. Томский
(« правый уклон >)
Противоречия нэпа
Политическая монополия большевиков
Курс на строительство социализма в одной стране
Проведение индустриализации» создание
мощного военно-промышленного комплекса (ВПК)
1 Курс на построение общества социального
равенства и социальной справедливости
Плюрализм форм собственности и
хозяйственных укладов |
Необходимость активизации внешнеэкономиче- 1
ской деятельности, усиления контактов с
внешним миром
Отсутствие инвестиций в промышленность из
отечественных и зарубежных источников
Усиление социального расслоения.
Формирование «новой буржуазии» (нэпманов) и «новой
аристократии» (партийно-советской
номенклатуры) J
Социально-экономические итоги нэпа
О Быстрое восстановление сельского хозяйства, О
промышленности, транспорта
• Возрождение торговли •
• Рост численности городского населения О
• Повышение производительности труда рабо- •
чих О
• Повышение уровня жизни •
Ускоренная социальная дифференциация в
городе
Появление «новой буржуазии»
Ускорение расслоения крестьянства
Нарастание экономической нестабильности
Регулярные экономические кризисы
Рост безработицы
Образование СССР
План «автономизации» (И. В. Сталин,
С. Орджоникидзе, Ф. Э. Дзержинский и др.)
План создания союзного государства
(В. И. Ленин и др.)
30 декабря 1922 г.
Образование союзного государства — СССР
7/

ЧМпольошя п/юг/гллильа 4 тпаолшцкх, и фсклшлсих,
Высшие органы государственной власти
и управления СССР в 1924—1936 гг.
Верховный Суд
Наркоматы
Постоянные
комиссии СНК
Всесоюзный съезд Советов
!
ЦИК СССР
Союзный
Совет
Совет
Национальностей
в
Президиум ЦИК СССР
♦
Совнарком СССР
——*
ОГПУ (Объединенное
государственное политическое
управление при СНК СССР)
Прокурор СССР
РВСР
(Революционный Военный
Совет Республики)
Сталинская и бухаринская альтернативы выхода
из кризиса хлебозаготовок
Оценка причин и
сущности
кризиса
Пути
преодоления кризиса
И. В. Сталин
Кризис носит структурный
характер: отсутствие прогресса в деле
индустриализации порождает товарный
голод, а мелкое крестьянское
хозяйство неспособно обеспечить потребности
промышленности. Главный виновник
кризиса— «кулак-саботажник»
Принятие чрезвычайных мер:
форсирование индустриализации;
массовая коллективизация;
создание колхозов как формы
перекачивания ресурсов из деревни в город;
ликвидация кулачества как
«последнего эксплуататорского класса»;
создание социальной базы советской
власти в деревне;
обеспечение контроля за крестьянством
Н. И. Бухарин
Главная причина кризиса — ошибки в
выборе и реализации экономического
курса (отсутствие резервного фонда
промтоваров, разрыв цен на зерновые
и технические культуры и др.)-
Главный виновник — политическое
руководство страны
Включение экономических рычагов:
увеличение выпуска товаров широкого
потребления;
достижение сбалансированности цен на
зерно и технические культуры;
усиление налогообложения кулаков;
закупка хлеба за границей;
развитие кооперативного движения
в деревне
72

чАспъо/тя сРсссии Sl¥£&/ca ётаалицаоь
Советская модель тоталитаризма
Ликвидация свободы труда и замена ее
внеэкономическим принуждением
Фактическое присвоение государством средств
производства и рабочей силы
Государственное регулирование рабочего дня,
заработной платы
ЭКОНОМИКА
•
Фактический запрет забастовок
Ф Экономическая автаркия
Ф Милитаризация экономики
Ф Государственное регулирование
имущественных отношений
ПОЛИТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Господство однопартийной системы
Физическое уничтожение политических
оппонентов
Сращивание партийного и государственного
аппаратов
Ф
Ф
Создание системы официальных
(огосударствленных) массовых организаций
Унификация всей общественной жизни
Культ харизматического вождя
Создание мощного репрессивного аппарата
Мощный аппарат обработки массового сознания
ДУХОВНАЯ СФЕРА
Ф Огосударствление партийной идеологии
Ф Изъятие и уничтожение литературы, не
укладывающейся в идеологические рамки
режима
Ф Государственный контроль над средствами
массовой информации
Ф Создание единой системы
идеологизированного образования
Ф Идеологическая изоляция страны
Ф Унификация и стандартизация духовной
жизни
Ф Деятельность пропартийных творческих союзов
Цели индустриализации в СССР
Ф Ликвидация технико-экономической
отсталости
Ф Достижение экономической независимости
Ф Подведение технической базы под отсталое
сельское хозяйство
Ф Развитие новых отраслей промышленности
Ф Создание мощного военно-промышленного
комплекса
Особенности индустриализации в СССР
Главный источник накопления —
перекачивание средств из деревни и трудовой
энтузиазм советских людей
Развитие производства средств производства —
главное направление индустриализации
Ф Милитаризация экономики, создание
мощного военно-промышленного комплекса
Ф Высокие темпы индустриализации
Экономические и социальные последствия индустриализации
Положительные
Достижение экономической независимости
Превращение СССР в мощную
индустриально-аграрную державу
Отрицательные
Создание автаркической экономики
Создание возможностей для военно-политической
экспансии сталинского руководства
73

(Мшклмшл nfacbhajiUAta ётаалищпос, и, фсАлшлеюс
Экономические и социальные последствия индустриализации
Положительные
1 Укрепление обороноспособности страны»
создание мощного военно-промышленного ком-
1 плекса
1 Подведение технической базы под сельское
1 хозяйство
1 Развитие новых отраслей промышленности»
| строительство новых заводов и фабрик
Отрицательные
Замедление развития производства предметов по- 1
требления
Формирование политики сплошной коллективиза- 1
ции |
Стимулирование экстенсивного развития экономи- 1
ки, движение к экологической катастрофе
Цели коллективизации сельского хозяйства
• Обеспечение перекачивания средств из
деревни в город на нужды
индустриализации
• Ликвидация «аграрного перенаселения»
• Ликвидация кулачества как класса
О Распространение влияния государства на
частный сектор сельского хозяйства (полное
огосударствление экономики)
• Попытки наладить эффективное
сельскохозяйственное производство
Экономические и социальные последствия сплошной коллективизации
1 Экономические последствия
1 Перекачивание средств из села в город
| Ликвидация кулачества
1 Огосударствление сельскохозяйственного
производства
1 Ликвидация «аграрного перенаселения»
Социальные последствия
Отвлечение огромных средств от развития сельскохо- 1
зяйственного производства и инфраструктуры села |
Укрепление социальной базы сталинской диктатуры |
Отчуждение крестьян от собственности и результа- 1
тов труда, ликвидация экономических стимулов
развития сельскохозяйственного производства |
Массовый «исход» крестьян из деревень, дефицит 1
рабочей силы на селе
Цели и социальные последствия культурной революции в СССР
Цели
1 Утверждение марксистской идеологии в
качестве государственной («революция в умах»)
1 Создание государственной системы
образования» обеспечение всеобщего
минимизированного образования
1 Формирование социалистической интелли-
1 генции
1 Утверждение метода социалистического
реализма в литературе и искусстве
1 Развитие науки и техники
Социальные последствия
Моноидеологизация духовной жизни, насильст- 1
венное внедрение партийных норм понимания
культуры, идеологическая изоляция страны
Ликвидация неграмотности населения, унифика- 1
ция и примитивизация образования, его
идеологическая направленность
Наличие к 1941 г. в стране 14 млн представителей 1
интеллигенции
Унификация духовной жизни, отсечение всего, что 1
не несет «идеологической нагрузки»
Использование крупнейших достижений фундамен- 1
тальной науки прежде всего в интересах ВПК,
идеологизация научных исследований
74

России 9(Ж Sefca 4 ттшолшщос
Основные направления национальной политики в СССР в 30-е гг.
• Укрепление унитарного государства
• Развитие в союзных республиках
монокультурного сельского хозяйства и добывающей
промышленности
• Введение славянского алфавита в
национальных республиках
• Тенденция к русификации народов СССР
• Использование национальных богатств
России в интересах укрепления имперской мощи
Союза
Национально-государственное строительство:
образование автономных республик»
автономных областей» национальных округов,
национальных районов
Сведение к минимуму политических и
экономических прав союзных и автономных
республик (Конституция 1936 г.)
Нивелирование национальных культур
и подавление национального самосознания
под видом борьбы с национализмом
Политические репрессии в 30-е гг.
1928 г.
1928 г.
1930 г.
1930 г.
1933 г.
« Шахтинское дело » 1
Дело Вели Ибраимова 1
Процесс над меньшевиками
Дело Промпартии |
Дело о некомплектной отгрузке
комбайнов
11933 г.
1936 г.
1937 г.
1937 г.
1938 г.
Дело о вредительстве на электростан-
циях 1
Дело «троцкистско-зиновьевского 1
террористического центра» |
Дело « антисоветского троцкистского 1
центра» ]
« Процесс военных »
Дело < антисоветского правотроцкист- 1
ского блока» |
1 Политические процессы стали одним из важнейших элементов складывавшегося в стране тотали-
1 тарного режима
Высшие органы государственной власти
и управления СССР в 1936—1977 гг.
Верховный Совет СССР
Совет Союза
Совет Национальностей
Президиум Верховного Совета СССР
Совнарком
Верховный суд
Генеральный прокурор
Внешняя политика СССР в 20—30-е гг.
1922—1933 гг.
1933—1939 гг.
1939—1940 гг.
Прогерманская ориентация советской внешней политики в целях 1
противодействия «главным потенциальным противникам» —
Англии и Франции |
Переориентация советской внешней политики на западные демо-
кратии. Попытки организации единого антифашистского фронта
в Европе 1
Начало нового сближения с Германией. Подписание пакта о нена-1
падении и договора о дружбе и границе
75

Шпоаьшия nhczfaoJbJMi 4таалгмщос, и, с/ЬоАлшиаоо
СССР накануне войны
Увеличение военных расходов (с 5,4% в годы
первой пятилетки до 43,4% в 1941 г.)
Расширение состава СССР (Прибалтика,
Западная Украина и Западная Белоруссия,
Бессарабия). Война с Финляндией
О Переход к кадровой армии. Увеличение
численности армии (до 5 млн человек)
• Создание новых систем вооружения
• Ужесточение производственной дисциплины
• Усиление патриотического воспитания
Основные этапы Великой Отечественной войны (1941—1945)
Этапы
22 июня 1941 г. — 18 ноября 1942 г.
19 ноября 1942 г. — 1943 г.
1944 г. — 9 мая 1945 г.
Основные события
Битва за Москву 1
Харьковская и Крымская операции
Оборона Сталинграда |
Контрнаступление под Сталинградом
Курская битва
Битва за Днепр
Освобождение территории СССР и восточноевропейских
стран от фашистской оккупации
Разгром гитлеровской Германии
Военное производство С
| Виды вооружения
Орудия
| Минометы
| Пулеметы
| Танки
СССР
157,3
272,3
462,3
29,2
ССР и Гер
Германия ]
62,6
14,0
213,2
10,0 1
мании в 1941—IS
| Виды вооружения
| Самолеты
| Пистолеты-пулеметы
| Винтовки и карабины
142 ГГ. (в тыс. шт.)
СССР
29,9
1600
5620
Германия
20,0
560
2730
Рост объема военного производства в СССР (в % к уровню 1940 г.)
1 Отрасли
| Авиационная
| Производство боеприпасов
| Производство вооружения
|Танковая
1940 г.
100
100
100
100
1941 г.
126
152
145
112
1942 г.
178
218
191
184
1943т!
223
264
200
234
Органы государственной власти СССР в 1941—1945 гг.
И. В. Сталин
Государственный
Комитет Обороны
ЦКВКП(б)
Ставка Верховного
Главнокомандования
i
Генеральный штаб
Совнарком
Президиум
Верховного
Совета
76

история §Poccuvb 9C9C£cna S тси/лш^аоо
Численность немецких войск на фронтах второй мировой войны
Дата
22 июня 1941 г.
1 мая 1942 г.
1 июля 1943 г.
1 января 1944 г.
1 июня 1944 г.
1 января 1945 г.
Общее
кол-во
дивизий
217,5
237,5
297,0
318,0
326,5
314,5
На
советско-германском фронте
всего
153,0
181,5
196,0
201,0
181,5
179,0
в%
70,3
76,5
66,0
63,2
55,6
57,0
На других фронтах
всего
2,0
3,0
8,0
19,5
81,5
119,0
в%
0,9
1,2
2,7
6,2
25,0
38,0
На оккупированных
территориях и в
самой Германии
всего
62,5
53,0
93,0
97,5
63,5
16,5
в% 1
28,8 1
22,3 I
31,3 1
30,6 1
19,4
5,0
Потери СССР в войне
О 27 млн человек
О 1710 городов
О 70 тыс. сел и деревень
О 31 850 заводов и фабрик
• 1135 шахт
• 65 тыс. км железнодорожных путей
в 16 тыс. паровозов
• 428 тыс. железнодорожных вагонов
• 36,8 млн га посевных площадей
• 30% национального богатства
СССР в системе международных отношений в 1941—1945 гг.
Июль 1941 г.
Сентябрь 1941 г.
Сентябрь—октябрь 1941 г.
Январь 1942 г.
28 ноября — 1 декабря 1943 г.
21 августа — 28 сентября 1944 г.
4—11 февраля 1945 г.
25 апреля — 26 июня 1945 г.
17 июля — 2 августа 1945 г.
Соглашение СССР и Великобритании о совместных
действиях против Германии
Принятие Великобританией, США и СССР Атлантической
хартии
Московская конференция представителей США,
Великобритании и СССР
Подписание Декларации 26 государств об использовании
всех их ресурсов для борьбы с фашистской агрессией
Тегеранская конференция лидеров США, СССР и
Великобритании
Конференция представителей трех держав в Думбартон-Оксе
Ялтинская конференция
Конференция Объединенных Наций в Сан-Франциско
Потсдамская конференция
77

Ьишкльшия п^сг/южлш бтш/лищш, и формулам
Ужесточение сталинского политического режима после войны
О Укрепление власти Сталина в результате
победы в войне
• Дальнейшая централизация государственного
управления, разбухание государственного
аппарата
• Дальнейшее сужение демократии на
предприятиях, в колхозах, учреждениях
• Увеличение представительства в Советах
партийно-государственной номенклатуры
• Усиление репрессий: «ленинградское дело»,
«дело врачей», борьба с космополитизмом,
репрессии против военных
• Депортация народов (чеченцев, ингушей,
калмыков, крымских татар, карачаевцев,
черкесов, балкарцев)
© Ужесточение идеологического пресса
Распределение капиталовложений
в промышленность СССР в 1945—1950 гг.
Легкая и пищевая промышленность
12%
Тяжелая индустрия
Доходы граждан и цены на отдельные товары в 1945—1952 гг.
Средняя зарплата
1 кг хлеба
1 кг мяса
500 руб. в месяц
3—4 руб. |
28—32 руб.
1 кг сливочного масла
1 десяток яиц
1 шерстяной костюм
62 руб. |
11руб.
1500 руб.
Репрессии против народов СССР в 1945—1950 гг.
Народы
Литовцы
Украинцы
Латыши
Численность
репрессированных,
тыс. человек
400 |
300
150
Народы
Эстонцы
Народы Северного
Кавказа и крымские татары
Численность
репрессированных,
тыс. человек
50
1500
Внешнеполитический курс сталинского руководства в 1945—1953 гг.
Установление народно-демократических
режимов в Восточной Европе
11948 г. — договор СССР с Финляндией
1949 г. — создание в СССР ядерного оружия
11950—1953 гг. — война в Корее
Насаждение сталинской модели социализма в
восточноевропейских странах
Возможность мирного сосуществования
Первый шаг к будущему
военно-стратегическому паритету. Начало гонки вооружений
Реальная возможность перерастания
«холодной войны» в «горячую»
78

ил ciPoccuu, ЭСЭСёема бтаялищых,
Страны, вошедшие в Совет Экономической Взаимопомощи в 1949 г.
О Болгария
• Венгрия
О Польша
• Румыния
• СССР
• Чехословакия
Альтернативы развития страны после смерти Сталина
♦Альтернатива» Л. П. Берия
Развенчание культа Сталина
Первая волна реабилитаций
Перестройка органов безопасности
Передача властных функций
ЦК КПСС Совмину СССР
Курс на «коренизацию» руководства
национальных республик» подъем
национального самосознания
Критика колхозного строя, показ его
неэффективности
Передача ГУЛАГа Минюсту СССР
Начало отхода от экстенсивного
развития экономики страны
Сокращение военных расходов
Предложение об объединении
Германии на демократической основе
Критика культа личности
Приоритетное развитие предприятий
группы «Б»
Смягчение политического режима
Ставка на госаппарат
Усиление экономического
стимулирования производителей
Идея недопустимости мировой войны
в условиях существования ядерного
оружия
Попытки интенсифицировать
производство
Курс Н. С. Хрущева
Ставка на партийный аппарат
Приоритетное развитие сельского
хозяйства и предприятий группы «А»
Продолжение экстенсивного развития
экономики
Критика культа личности
Усиление внимания к развитию науки
и техники, освоению космоса
Курс на разрядку международной
напряженности
Освоение целины
Курс на развернутое
коммунистическое строительство
Идея перерастания государства
диктатуры пролетариата в общенародное
Линия В. М. Молотова—Л. М. Кагановича
Сохранение сталинского режима в
неизменном виде
Прекращение репрессий против
высшего руководства
Временный перерыв в «холодной
войне»
Экономические преобразования в 1953—1964 гг.
• Децентрализация управления экономикой
• Создание условий для контроля за
деятельностью хозяйственных органов «снизу»
• Образование совнархозов
• Ликвидация отраслевого управления
экономикой» сокращение и удешевление аппарата
управления
© Попытки стимулировать внедрение
достижений науки и техники в производство
в Изменения в нормировании и оплате труда
79

Шшклътшл nficdfiaAiuta ётпас/лицаж и фоАлшиаж
Реформирование политической системы в 1953—1964 гг.
О Развитие коллективных принципов руковод- • Развитие общественных начал в деятельности
ства партийных органов
О Частичное сокращение партийного и государ- в Предоставление больших прав местным орга-
ственного аппарата нам власти, а также союзным и автономным
• Реабилитация политических заключенных республикам
• Курс на обновление состава партийных орга- • Исправление нарушений в функционировании
нов судебно-правовой системы
Страны, подписавшие Варшавский Договор в 1955 г.
• Албания
• Болгария
• Венгрия
• ГДР
• Польша
О Румыния
О СССР
• Чехословакия
Экономические реформы 1965 г.
Уменьшение плана
обязательных поставок зерна
Установление твердого плана
закупок продукции на пять лет
Повышение закупочных цен
Введение надбавок к ценам на
сверхплановую продукцию
Введение гарантированной
оплаты труда колхозников
Отмена ограничений в
отношении личных подсобных
хозяйств
Укрепление
материально-технической базы сельского
хозяйства
Реформа в
промышленности
Реформа
в сельском
хозяйстве
Переход от территориального
принципа управления к
отраслевому
Совершенствование
планирования и повышение
самостоятельности предприятий
Усиление экономического
стимулирования и повышение
материальной
заинтересованности трудовых коллективов
85%
Темпы экономического роста СССР в 1951—1965 гг.
64,3%
51%
1951—1955 гг.
Ш промышленность
1956—1960 гг.
D сельское хозяйство
1961—1965 гг.
80

Шатфил Сосешь 9С9С£еяа &тси/лища<х>
Итоги реформы 1965 г.
в промышленности
Объем промышленного
производства
150%
100%
1966 г.
1970 г.
Построено 1900 крупных
промышленных предприятий.
Доля физического труда в СССР
к началу 80-х гг.
Промышленность Строительство
Сельское
хозяйство
Последствия
свертывания реформы 1965 г.
7,7%
6,8%
3,5%
3%
1966—1970 гг.
1981—1985 гг.
Щ темпы прироста национального дохода
□ темпы роста производительности труда
Удельный вес капиталовложений
в жилищное строительство
в СССР в 1966—1985 гг.
17,7%
15,1%
1966—1970 гг. 1981—1985 гг.
Построено квартир:
в 1960 г. — 2 млн, в 1984 г. — 2 млн.
Увеличение импорта продовольствия в СССР в 1985 г. (по сравнению с 1970 г.)
• Мясо и мясопродукты — в 5,2 раза
• Рыба —в 12,4 раза
• Растительное масло — в 12,8 раза
• Зерно — в 13,8 раза
• Сливочное масло — в 183,2 раза
Изменение структуры экспорта СССР в 1960—1985 гг.
Доля машин и оборудования Доля нефти и газа
12,5%
20,7%
1960 г.
16,2%
1985 г.
1960 г.
1985 г.
5/

Шкальная тфог/игжмм S иьаалшщх, и фокжилая,
Прирост доходов на душу населения
в СССР в 1966—1985 гг.
Доля фонда зарплаты
в национальном доходе (на 1985 г.)
80,0%
5,9%
2,1%
36,5%
64,0%
1966—1970 гг. 1981—1985 гг.
Особенности политического и духовного развития страны в 60—70-е гг.
СССР США Швеция,
Швейцария
1 Особенности
Разрыв между провозглашенными идеалами
1 развитого социализма и реальной жизнью
Нерешенность проблем развития национальных
республик
Уход от анализа реальных противоречий
общественного развития
Обострение идеологической борьбы
Идейная реабилитация сталинизма
Противостояние официально-догматической и
1 гуманистической, демократической культуры
Социальные последствия
Все большее закоснение
партийно-государственных структур
Постепенное пробуждение национального
самосознания народов 1
тт о 1
Нарастание массового скептицизма, политической
апатии, цинизма; догматизм в идейной сфере
Запреты и ограничения
в духовной жизни; создание образа «внешнего
врага» 1
Возвеличивание нового вождя — Л. И. Брежнева
Формирование духовных предпосылок
перестройки
Периодизация диссидентского движения в СССР
1 Период становления
(1965—1972)
Период кризиса (1973—1974)
1 Период широкого
международного признания
(1974—1975)
1 Хельсинкский период
1 (1976—1981)
Деятельность А. Синявского, Ю. Даниэля, А. Амальрика, ]
Л. Чуковской, А. Гинзбурга, Ю. Галанскова, В. Буковского,
А. Марченко, С. Ковалева, Л. Богораз, П. Григоренко и др.
Начало кампании против А. Сахарова и А. Солженицына
Процесс над П. Якиром и В. Красиным
Расширение географии диссидентского движения. Высылка
А. Солженицына из страны. Образование советского отделения
Международной амнистии. Присуждение Нобелевской премии
мира А. Сахарову
Деятельность Хельсинкской группы. Процессы Ю. Орлова,
А. Щараыского, Г. Якунина, А. Марченко. Ссылка А. Сахаровар
Внешняя политика СССР в 1965—1984 гг.
РАЗРЯДКА
1965 г. — эскалация американской агрессии
во Вьетнаме, начало широкомасштабной
помощи СССР — ДРВ; индо-пакистанский
вооруженный конфликт и посредничество СССР в
его преодолении
1966—1969 гг. — обострение
советско-китайских отношений, поиски выхода из кризиса
© 1968 г. — подписание договора о
нераспространении ядерного оружия
© 1971 г. — принятие Программы мира
© 1972 г. — подписание «Основ взаимоотношений
между СССР и США», OCB-1 и договора по ПРО
© Начало 70-х гг. — подписание ФРГ договоров
об основах отношений с СССР, Польшей, ГДР,
82

Щстормя SPoccuu, 2ХЖ4ена ётш/лилщэс,
ЧССР; подписание четырехстороннего
соглашения по Западному Берлину
1975 г. — подписание Заключительного акта
КОНФРОНТАЦИЯ
Совещания по безопасности и сотрудничеству
в Европе; ликвидация очага военной
опасности в Юго-Восточной Азии
1968 г. — вмешательство СССР во внутренние
дела ЧССР; широкомасштабная помощь
арабским странам Ближнего Востока
1976 г. — начало развертывания в Восточной
Европе советских ракет средней дальности
1979 г. — введение советских войск в
Афганистан; начало широкомасштабной войны
1983 г. — начало размещения американских
ракет средней дальности в Европе и советских
БРПЛ у берегов США
1984 г. — дальнейшее усиление
напряженности в советско-американских отношениях
СССР в начале 80-х гг.
ЭКОНОМИКА
Резкое падение темпов экономического роста
Упрочение командно-административной
системы управления хозяйством
Попытки дальнейшего усиления
централизации управления в ходе реформы 1979 г.
ПОЛИТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Кризис жесткого бюрократического
управления сельским хозяйством
Кризис системы внеэкономического
принуждения
Закоснелость партийно-государственных
структур
Ужесточение репрессий против
инакомыслящих
• Усиление бюрократизации государственной
машины
О Усиление противоречий в
социально-классовой структуре общества
О Кризис межнациональных отношений
ДУХОВНАЯ СФЕРА
Усиление разрыва между словом и делом О Идейная реабилитация сталинизма
Уход от объективного анализа положения дел • Нарастание массового скептицизма, полити-
в обществе ческой апатии, цинизма
Ужесточение идеологического диктата
Основные этапы перестройки в СССР
1985—1986 гг.
1987 г.
1988 г.
1989 г.
1990 г.
1991 г.
Попытки реализации концепции ускорения социально-экономического
развития страны
Оформление концепции перестройки. Начало экономического реформирования
в рамках «консервативной модернизации»
Начало осуществления реформы политической системы
Формирование новых органов государственной власти — Съездов народных
депутатов СССР. Нарастание экономического кризиса. Первые забастовки
шахтеров. Начало формирования политической оппозиции
Начало ликвидации монополии КПСС на власть. Провозглашение суверенитета
союзных республик. Первые попытки сближения М. С. Горбачева с
либеральной оппозицией. Программа «500 дней». Усиление противостояния центра
и республик
Резкое обострение экономической ситуации. Нарастание социальной
напряженности. Усиление поляризации в руководстве КПСС. Разработка нового
Союзного договора. ГКЧП. Конец перестройки
83

ЧМясльмая п/югЛаиилш бтаилищаос, и фс6лшлаа>
Альтернативы экономического развития СССР в середине 80-х гг.
• Модель экономики «сталинского типа>
(традиционный советский вариант полностью
огосударствленной экономики)
• Умеренно-радикальная, ориентированная на
рынок реформа («венгерский» вариант)
• Экономика смешанного типа («китайский» ва-
• Трансформация планового
социалистического хозяйства в рыночное с помощью «шоковой
терапии» («польский» вариант)
• Модель консервативной модернизации
(«чехословацкий» вариант)
риант)
Этапы реформы экономики в СССР (1985—1991)
|l985—1986 гг.
1 1987—1989 гг.
1 1989—1990 гг.
1991 г.
Попытки сохранить существующую экономическую систему за счет ускорения
научно-технического прогресса
Экономическая реформа 1987 г. Ориентация на переход от административных
методов к экономическим при сохранении централизованного управления
Признание необходимости экономического плюрализма. Курс на переход к
рынку. Борьба вокруг эволюционного и радикального вариантов перехода.
Принятие правительством Н. И. Рыжкова «радикально-умеренного» варианта
Непоследовательность и промедление в осуществлении реформы. Углубление
экономического кризиса и обострение социальной напряженности
Экономическая реформа 1987 г.
• Расширение самостоятельности предприятий
на принципах хозрасчета и
самофинансирования
• Постепенное возрождение частного сектора
через кооперацию
• Отказ от монополии внешней торговли
• Более глубокая интеграция в мировой рынок
• Сокращение числа отраслевых министерств
• Признание равноправия новых форм хозяйств
на селе (агрокомбинатов, арендных
кооперативов и фермерских хозяйств) с колхозами и
совхозами
Этапы политической реформы в СССР (1988—1991)
11988 г.
11989 г.
1990 г.
1991г.
Провозглашение целью реформы соединения социалистических ценностей с
элементами либерализма. Возникновение первых политических партий
Выборы и первые Съезды народных депутатов СССР. Политизация и
радикализация общественного сознания
«Парад суверенитетов». Учреждение поста Президента СССР. Нарастание
противоречий между законодательной и исполнительной властью. Начало ликвидации
монополии КПСС на власть
Попытки подписания нового Союзного договора. Ослабление позиций
консерваторов. ГКЧП
84

ч/стфил ^России, 9СЭС4ема ётш/лшщ&
Основные итоги XIX Всесоюзной конференции КПСС (1988)
О Курс на построение «социалистического пра- • Превращение Верховного Совета СССР в по-
вового государства» стоянно действующий парламент
О Утверждение принципа разделения властей О Изменение избирательного законодательства
О Формирование «советского парламентаризма» • Учреждение Комитета конституционного над-
О Учреждение Съезда народных депутатов СССР зора СССР
Органы государственной власти СССР в 1977—1989 гг.
Совет
Министров СССР
Верховный Совет СССР
Совет Союза
Совет Национальностей
Президиум Верховного Совета СССР
1
Комитет народного
контроля СССР
I
Генеральный
прокурор СССР
Верховный суд СССР
Органы государственной власти СССР в 1989—1990 гг.
Председатель
Совета
Министров
СССР
Совет
Министров
СССР
Съезд народных депутатов СССР
Председатель
Верховного
суда СССР
Верховный Совет
СССР
Совет
Союза
Верховный
суд СССР
Совет
Национальностей
Председатель
Комитета
конституционного
надзора СССР
Комитет народного
контроля СССР
Комитет
конституционного надзора СССР
Генеральный
прокурор
СССР
85

чМмхлмшя пЛюбамма ётаомш/гх, и фс/ълшискх,
Органы государственной власти СССР в 1990—1991 гг.
Президент
СССР
Съезд народных депутатов
СССР
I
т
Верховный Совет
СССР
Совет
Союза
Совет
Национальностей
Администрация
[Президента CCCPI
Совет
Безопасности
Председатель
Совета
Министров
СССР
Совет
Министров
СССР
Председатель
Комитета
конституционного
надзора СССР
Комитет
конституционного
надзора СССР
Генеральный
прокурор СССР!
Партии либерального направления
• Демократический союз
О Российское христианско-демократическое
движение
• Христианско-демократический союз
России
О Российская христианско-демократическая
партия
• Конституционно-демократическая партия
(партия «народной воли»)
• Консервативная партия
• Либерально-демократическая партия
© Демократическая партия России
• Республиканская партия Российской
Федерации
Партии социалистического выбора
О Коммунистическая партия Российской
Федерации
• Социалистическая партия
• Народная партия свободной России
• Социалистическая партия трудящихся
• Российская коммунистическая рабочая
партия
О Всесоюзная коммунистическая партия
большевиков
• Союз коммунистов
Национальные партии и движения
• Православный российский монархический
орден-союз
Ь Русский национальный собор
О Национально-патриотический фронт
«Память»
О Русское освободительное движение
86

шут/фия сРоссшл, ЗХЖёена ё тгшалалщоо
Основные принципы нового политического мышления
• Признание единства противоречивого мира
О Признание невозможности решения
политических задач с помощью ядерной войны
О Признание невозможности обеспечения
безопасности страны военными средствами
О Придание военным доктринам
оборонительного характера
Признание за каждым народом права на
выбор пути развития
Отказ от переноса идеологических
разногласий в сферу межгосударственных
отношений
Превращение разоружения в фактор
общественного развития
Основные направления внешней политики СССР в 1985—1991 гг.
О Отказ от давления и диктата в отношениях со
странами социализма
о Нормализация отношений Восток—Запад
посредством разоружения
О Разблокирование региональных конфликтов
О Установление тесных контактов со всеми
странами, без оказания предпочтения
странам социализма
Предпосылки и последствия распада СССР
Предпосылки
Глубокий экономический и политический
кризис в СССР
Рост национального самосознания
| Дискредитация центральной власти
Усиление амбиций политических лидеров и
местной бюрократии
Последствия
Нарушение экономических связей между
бывшими республиками
Ослабление обороноспособности всех республик 1
Обострение межнациональных конфликтов
Ухудшение социально-экономического
положения населения
Первые итоги экономических реформ 1992—1997 гг.
О Демонтаж плановой экономики
О Переход к преимущественно экономическим
методам регулирования
О Завершение первого этапа приватизации
О Формирование потребительского рынка
О Перемещение деловой активности в
негосударственный сектор
• Обеспечение внутренней конвертируемости
рубля
• Пополнение золотого и валютного запасов
• Постепенная интеграция экономики России
в мировое хозяйство
Социальные потери в ходе реформирования
О Обесценивание денежных сбережений
населения •
• Резкий рост цен на товары первой
необходимости •
О Увеличение уровня безработицы •
О Высокий уровень инфляции в 1992—1995 гг.
• Сокращение объемов промышленного и сель- О
скохозяйственного производства •
О Многократное сокращение расходов на
науку, образование, культуру, здравоохранение
«Четвертая волна» эмиграции из России,
«утечка мозгов> и талантов из страны
Рост смертности населения
Рост коррупции и злоупотреблений
служебным положением
Ухудшение криминогенной обстановки
Увеличение налогов на мелкого
предпринимателя и «среднего» россиянина
87

^Мпю<.4Ь1шл nftodfiojUMja & тси/лгш/гоо и, фс^муиаоь
Основные причины трудностей
и неудач реформ 90-х гг. в России
• Неблагоприятная социально-экономическая ситуация
• Половинчатость и непоследовательность реформ
• Ошибки теоретиков и исполнителей реформ
Органы государственной власти
Российской Федерации в 1993—1997 гг.
Правительство РФ
Президент РФ
X
Администрация
Президента РФ
Совет Безопасности
Федеральное Собрание
Совет Федерации Государственная Дума
Конституционный
Суд РФ
Верховный Суд РФ
Высший Арбитражный
Суд РФ
Счетная палата
Генеральный
прокурор РФ
Прокуратура
РФ
Президент Российской Федерации
• Является главой государства
О Определяет основные направления
внутренней и внешней политики
• Формирует Правительство РФ
• Представляет Совету Федерации кандидатов
на должности судей Конституционного Суда,
Верховного Суда, Высшего Арбитражного
Суда, Генерального прокурора РФ
• Формирует и возглавляет Совет Безопасности
О Является Верховным Главнокомандующим
Вооруженными Силами РФ
О Назначает выборы в Государственную Думу
• Распускает Государственную Думу
О Назначает референдум
• Вводит чрезвычайное или военное положение
на территории страны
• Подписывает и обнародует федеральные
законы
• Утверждает Федеральный бюджет и налоги
• Принимает федеральные законы
Федеральное Собрание
• Ратифицирует международные соглашения
О Объявляет войну и заключает мир
88

ЧСсто^ил zPcccuu 2ХЖ$ена ётпаолицаос
Совет Федерации
О Утверждает границы субъектов Федерации
О Утверждает указы Президента РФ о введении
чрезвычайного или военного положения
О Назначает выборы Президента РФ
О Назначает на должность судей
Конституционного Суда, Верховного Суда и Высшего
Арбитражного Суда РФ
Назначает на должность и освобождает от
должности Генерального прокурора РФ
Назначает на должность и освобождает от
должности заместителя председателя Счетной
палаты и 1/2 ее членов
Государственная Дума
• Рассматривает вопрос о назначении
Председателя Правительства РФ
О Решает вопрос о доверии Правительству РФ
• Назначает на должность и освобождает от
должности председателя Центрального
банка РФ
Назначает на должность и освобождает от
должности председателя Счетной палаты и 1/2
ее членов
Объявляет амнистию
Правительство Российской Федерации
• Разрабатывает и представляет в Госдуму
Федеральный бюджет и обеспечивает его
выполнение
О Обеспечивает проведение в стране единой
финансовой, кредитной и денежной политики
О Обеспечивает проведение в РФ единой
государственной политики в области культуры,
науки, образования, здравоохранения,
социального обеспечения, экологии
Управляет федеральной собственностью
Осуществляет меры по обеспечению обороны
страны, государственной безопасности,
реализации внешней политики
Осуществляет меры по обеспечению
законности, прав и свобод граждан, охране
собственности и общественного порядка, борьбе с
преступностью
Конституционный Суд
• Разрешает дела о соответствии Конституции
РФ федеральных законов, нормативных актов
центральной и местной власти,
международных договоров РФ
Верховный Суд
Является высшей судебной инстанцией по
гражданским, административным и иным делам,
подсудным судам общей юрисдикции
Высший Арбитражный Суд
• Является высшим судебным органом по разрешению экономических споров

Всемирная история в таблицах
Этапы эволюции человека
Космическая эволюция, появление жизни
на Земле
Биологическая эволюция человека
Культурная эволюция человека
Цивилизационное развитие человека в процессе
культурной эволюции
Продолжалась несколько сот млн лет и в
основном завершилась в XVII—XII тыс. до н. э.
ок. 3 млн лет назад
ок. 45 тыс. лет до н. э.
ок. 8 тыс. лет до н. э.
Периоды эволюции древних цивилизаций
Период первобытной родовой общины (предыстория)
Период протогосударств
Период древних империй
Период античных государств
45 000—8000 гг. дон. э.
8000—3500 гг. до н. э.
3500—600 гг. до н. э.
600 г. до н.э. — 476 г. н. э.
Основные зоны древних цивилизаций
Евро-афро-азиатская
Восточноазиатская
Южноазиатская
Бассейн р. Нил, междуречье Тигра и Евфрата, восточная часть
Средиземноморского побережья
Бассейн р. Хуанхэ
Бассейн р. Инд
Древние государства Востока
Египетская империя
Вавилонская империя
Ассирийская империя
3200—525 гг. до н. э.
ок. 3000—538 гг. до н. э.
3000—605 гг. до н. э.
90

гЮсежиЖкая истоАил 4 таалицаоо
Древние государства Востока
Финикийская империя
Китайская империя
Империи древней Индии
Израильское и Иудейское
княжества
конец III тыс. — 322 г. до н. э.
1765 г. до н. э. — 220 г. н. э. (хронология империи 5 династий
до 2000 г. до н. э. науке неизвестна)
XVIII в. до н. э. — 415 г. н. э.
1400—536 гг. до н. э.
Древнейшие славянские археологические памятники
на территории России (I тыс. до н. э.)
Памятники
р. Десна
р. Ока
р. Ока
Городища
Юхновское
Старшее Каширское
Кондраковское
Памятники
р. Волга (г. Калязин)
р. Сож (Смоленщина)
г. Москва
Городища
у села Городище
Лахцеевское
Дьяковское
Древние цивилизации Востока: политические признаки
• Деспотический характер власти
• Власть сосредоточена в руках правителя
О Возникла харизма вождя
• Утвердился принцип наследования власти
• Начала складываться система силовых
властных структур
• Сформированы многочисленные
вооруженные силы
О Появились законодательные основы власти
О Оформилась пирамида власти: органы
центральной власти и местного самоуправления
• Положено начало дипломатической практике
Факторы становления античных цивилизаций
• Ускорение темпов культурной эволюции в
основных цивилизационных зонах
О Достижения агрокультуры и разнообразных
ремесел
• Развитие товарно-денежных отношений
• Освоение письменности, новый уровень
накопления знаний
О Совершенствование законотворчества, его
внедрение в политику и общественную жизнь
в Возникновение и распространение морально-
этических учений
• Интенсивное развитие международных и
межгосударственных связей
Античные цивилизации: политические признаки
• Заложены основы демократии,
республиканской формы правления
• Заложены основы гражданского права и
судебной системы
91

чИесолмшл тфог^амжа 4тпш/лицах и фо/ъмулаос
• Определены принципы организации
коллективной власти
• Отсутствовала деспотия вождя
• Сформировалась демократическая олигархия
О Дальнейшее развитие получила военная
организация государства
• Усложнились функции государства
• Положено начало межгосударственным союзам
• Появились политические партии и
межпартийная борьба за власть
Древнегреческие историки
Имя
Геродот
Фукидид
Ксенофонт Афинский
Полибий
1 Диодор Сицилийский
Квин Курций Руф
Плутарх
Гай Саллюстий Крисп
Дионисий Галикарнасский
Тит Ливии
Корнелий Тацит
Гай Светоний Транквил л
Алпиан
Дион Кассий
Аммиан Марцелин
Годы жизни
480—425 гг. до н. э.
460—386 гг. до н. э.
430—380 гг. до н. э.
205—125 гг. до н. э.
90—21 гг. дон. э.
I в. до н. э.
45—127 гг. н. э.
86—35 гг. до н. э.
I в. до н. а.
59 г. до н. э. — 17 г. н. э.
55—120 гг. н.э.
75—180 гг. н. э.
?—170-е гг. н.э.
155—235 гг. н. э.
330—400 гг. н. э.
Главное произведение
«История» (в 9 кн.)
«История* (в 8 кн.)
«Греческая история»
«Всеобщая история» (в 40 кн.)
«Историческая библиотека» (в 40 кн.)
«История Александра Македонского» (в 10 кн.)
«Сравнительные жизнеописания» (50
выдающихся греков и римлян)
«История» (в 5 кн.)
«Римские древности» (в 20 кн.)
«История от основания Рима» (в 142 кн.)
«Анналы» (в 16 кн.), «История» (в 16 кн.)
«Жизнь двенадцати Цезарей»
«Римская история» (в 24 кн.)
«Римская история» (в 80 кн.)
«История» (в 31 кн.)
Факторы влияния античных цивилизаций
на менталитет европейцев
Ф Накопление знаний
• Отсутствие деспота-правителя
• Неотягощенность хозяйственными заботами
значительной части граждан
• Изменения в характере труда
9 Давление идеологии войны
• Углубление социальной дифференциации
• Углубление культурной эволюции
• Обычаи и традиции общины-полиса
• Мифология и отсутствие идеологии харизмы
вождя
• Пережитки тотемизма
92

aiccjAufmaz шшо/тя 4 тас/мщах,
Основные стадии цивилизационного
обновления Европы в средние века
Раннее средневековье
Зрелое средневековье
Позднее средневековье
V — конец XI в.
XII—XV вв.
XVI — середина XVII в.
Цивилизационный выбор
Становление цивилизации интенсивного типа
Бурное развитие цивилизации
Варварские королевства в период раннего средневековья
Вестготское
Вандальское
Бургундское
419—511гг. |
429—545 гг.
457—534 гг.
Одоакра
Франкское
Остготское
476—493 гг. |
486—843 гг. 1
493—554 гг. 1
Система управления Китаем во времена династии Тан (618—907)
ИМПЕРАТОР
Государственный совет
Палата Юйшитай
Палата указов
Чинов
Обрядов
Налогов
Военное
Наказаний
Общественных
работ
Палата протоколов
ИСПОЛНИТЕЛЬНАЯ ВЛАСТЬ
i
Левый канцлер (старший)
уп:
?АВЛЕ
Правый канцлер
1
ния
Разделение христианской церкви (1054)
Христианская церковь
Римско-католическая,
Западная (Рим)
Греко-кафолическая православная,
Восточная (Константинополь)
93

Шкальмая п/юг/шлима ётпш/лшщх, и, фоАлшмкзо
Крестовые походы
Первый
Второй
Третий
Четвертый
1096—1099 гг. 1
1147—1149 гг.
1189—1192 гг.
1202—1204 гг. 1
Пятый
Шестой
Седьмой
Восьмой
1217—1221 гг. 1
1228—1229 гг.
1248—1254 гг.
1270 г.
Доминанты ментальности древних славян
* Языческое мировоззрение
• Харизматические идеи
о Социокультурная толерантность
О Прямодушие, честность, гостеприимство,
непритязательность
• Высокая коммуникабельность
Этнические факторы формирования
древнерусской народности
Балты
автохтонное население
Восточно-Европейской равнины
Угро-финны
автохтонное население
Восточно-Европейской равнины
Скифы
VIII в. до н. э.— Ш в. н. э.
Готы III в. н. э.
Сарматы III— IV вв. н. э.
Хазары IV—V вв. н. э.
ВОСТОЧНЫЕ СЛАВЯНЕ
Гунны IV в. н. э.
Авары VI—VII вв. н. э.
Болгары V—VIII вв. н. э.
Венгры VII—X вв. н. э.
Печенеги VIE—X вв. н. э.
Половцы IX—ХШ вв. н. э.
Предпосылки образования
Древнерусского государства
Развитие производительных сил восточнославянских племен
Формирование соседской общины
Развитие торговли, в т. ч. международной
Рост имущественного неравенства
Появление системы управления
Наличие союзов славянских племен|
Выделение племенной знати
Аналоги — империя Каролингов, Болгария, Венгрия, Польша
94

ёиселшЛпая истекая 4 тпаамщах,
Основные этапы формирования древнерусской государственности
Этапы
Начальный
Расцвет
Упадок, распад
Временные рамки
середина IX — конец X в.
конец X — первая половина XI в.
вторая половина XI — середина XII в.
Правящие князья
Олег (882—911), Игорь (912—945),
Ольга (945—964), Святослав (964—972)
Владимир (980—1015),
Ярослав (1015—1054)
Владимир Мономах (1113—1125)
Русская Правда — древнейший свод законов Руси
Правда Ярослава
ок. 1016 г.
Правда Ярославичей
вторая половина XI в.
Редакции
Пространная
составлена на основе Краткой
Правды, вторая половина XII в.
Краткая
древнейшая
Сокращенная
составлена на основе Пространной
Правды и др. источников
Особенности южных и северо-восточных земель Древней Руси
Почва
Реки
Климат
Южная Русь
Плодородный чернозем, степи
Полноводные, как правило, притоки Днепра
Мягкий
Северная и Северо-Восточная Русь
Суглинок, болота, первобытный лес
Масса мелких, не имеющих общего центра
Суровый
Византийское влияние на Русь после введения христианства
(по С. Ф. Платонову)
Власть
Землевладение
Просвещение
Законы и суды
Власть митрополита распространялась на всю Русь
Церкви и монастыри получали в собственность земли. На церковных землях
устанавливались византийские обычаи и законы
Распространение письменности, создание школ, появление книжников —
ученых людей
Духовенство судило подчиненных им людей на основе законов греческой церкви
95

и
Структура вооруженных сил
Древнерусского государства (X—XII вв.)
Дружина
Старшая
Младшая
Великий
князь
Ополчение,
до 50 тыс. человек
Наемники,
до 1 тыс. человек
Пехота
Конница
Светлые
князья
Местные дружины,
500—3000 человек
Причины раздробленности единого Русского государства
Раздел территории между наследниками
Княжеские усобицы
Рост крупного землевладения
Натуральный характер хозяйства
Активное развитие ремесел
Рост и усиление городов
Усиление местного аппарата управления
Аналог — империя Каролингов
Сословные представительные органы в Европе в средние века
Страна
1 Испания
1 Англия
1 Франция
1 Швеция
1 Германия
1 Нидерланды
1 Дания
| Польша
Время образования
1188 г.
1365 г.
1302 г.
1435 г.
середина XV в.
1463 г.
1468 г.
конец XV в.
Название органа
Кортесы 1
Парламент 1
Генеральные штаты
Риксдаг 1
Рейхстаг 1
Генеральные штаты
Фолькетинг |
Сейм
Основные формы политического устройства удельной Руси
Республика
| Новгород, Псков
Абсолютная монархия
Галич, Волынь
Ограниченная монархия
Владимир, Суздаль
| Западные и восточные аналоги
1 Генуя, Венеция
Золотая Орда 1 Византия 1
96

§Bce<Ai,ufincL% асто&ил & тшСащаоо
Структура новгородской демократии
Вече
верховная законодательная и судебная власть
Совет господ
правительство, глава — архиепископ
Посадник
глава аппарата исполнительной власти
Тысяцкий
глава городской администрации
Князь
военачальник
Аналог — Ганзейский союз
Завоевания монголо-татар в XIII в.
Годы
1219—1223
1223
1236
1237—1238
1239—1242
Основные события
Поход в Среднюю Азию, Иран, Закавказье, на Кавказ, в половецкие степи
Битва на Калке. Поражение русских войск
Начало похода на русские земли
Завоевание Владимиро-Суздальской земли
Нашествие на южнорусские земли. Вторжение в Европу
ВОЙНЫ СеверО-ВоСТОЧНОЙ Руси 1228—1462 ГГ. (поН. С. Голицыну)
ВНУТРЕННИЕ ВОЙНЫ
• Всего —90
• Битвы —20 (15 в 1425—1453 гг.)
• Взятие городов — 35
• Неудачные осады — 5
ВНЕШНИЕ ВОИНЫ
• Всего — 160, в том числе:
со шведами и волжскими болгарами — 44
с литовцами — 41
с ливонцами — 30
с монголо-татарами — 45
• Битвы — 50 (в 30 русские одержали победу)
• Взятие русских городов — 70
• Взятие русскими городов — 15
• Неудачные осады — 7
О Отражение штурмов противника — 17
Содержание монголо-татарского ига
О Номинальная независимость русских княжеств • Выплата «выхода» — дани Золотой Орде
О Княжение по ярлыку О Террор как метод управления
• Контроль баскаков за деятельностью князей
4—1323
97

Шмальшия TifiQificLALJia 4 тситлилцкх, и, фсАлшшоь
Объединение земель вокруг Москвы
Даниил Александрович
(1276—1303)
Дмитрий Донской
(1359—1389)
Василий I (1389—1425)
Иван III (1462—1505)
[Василий Ш (1505—1533)
Коломна, Переяславль-Залесский
Углич, Белоозеро, Калуга, Стародуб, Дмитров, Кострома, Галич 1
Ниж. Новгород, Муром, Вологда, Двинская земля, Малая Пермь
Ярославль, Ростов, Великая Пермь, Новгород, Тверь, Вятская земля,
Чернигов, Новгород-Северский, Стародуб, Брянск, Мценск, Любутск,
Гомель, Рыльск
Псков, Рязань, Смоленск
Реформы Ивана Грозного в середине XVI в.
1549 г.
1550—1556 гг.
1550 г.
1550 г.
11550 г.
1-й Земский собор 1
Военная реформа 1
«Избранная тысяча»
Судебник 1
«Большая соха»
1551г.
1553—1560 гг.
1555—1556 гг.
1556 г.
Стоглавый собор
Приказная реформа
«Уложение о службе» 1
Отмена кормлений 1
Территориальное расширение Российского государства в XIV—XIX вв.
Этапы
I.
XIV — середина XVI в.
П.
Середина XVI —
конец XVII в.
III.
XVIII — начало XIX в.
IV.
20—80-е гг. XIX в.
Содержание
Собирание русских земель вокруг Москвы
Присоединение других народов (Казань,
Сибирь, Украина и т. д.)
Включение в состав России социумов
западного типа (Эстония, Латвия, Литва,
Польша, Финляндия и др.)
Завоевание Кавказа, Средней Азии.
Присоединение Амурского и Уссурийского краев
Результат
Образование Русского цен- 1
трализованного государства
Россия становится цивили- 1
зационно-неоднородным
обществом
Начало книгопечатания на Руси
Дата
1
1563 г.
1 564 г.
Событие
2
Сооружение типографии в Москве
Издание «Апостола»
98

ЪсежиАошл ucmchiLZ 4 таалицаас
Начало книгопечатания на Руси
1
1565 г.
Вторая половина XVI в.
2 - - - |
Издание «Часовника»
Издано 20 книг тиражом до 1000 экземпляров каждая
Сущность опричнины в оценках историков
Борьба аристократии с нарождающимся самодержавием
Прогресс в утверждении государственных начал над родовыми
Террор — условие сохранения самодержавия
1 Деспотизм и насилие в отношении всех слоев населения
1 Борьба удельного и централизованного порядка
1 Следствие душевной болезни Ивана IV
1 Аналог европейского выделения личного домена государя
1 Гипертрофированная централизация государственной власти
Н. П. Павлов-Сильванский, 1
С. Ф. Платонов
С. М. Соловьев 1
Д. Альшиц
С. Б. Веселовский, А. А. Зимин 1
В. Б. Кобрин
Н. М. Карамзин 1
М. В. Довнар-Запольский 1
В. О. Ключевский 1
Итоги опричнины
Разрушена сословная монархия
Разрушена экономика страны
Огромные жертвы
Нарушены организация и
комплектование поместного войска
1 Уничтожен класс собственников
1 Установлены отношения подданства
Из 43 членов Боярской думы казнено 19, пострижено в мо- 1
нахи — 3
Разорено 40% крестьянских дворов. Пашенные земли в
центральных районах сократились с 15 до 4 десятин
По Синодику Ивана IV зшичтожено 22 тыс. человек, в ходе 1
карательной экспедиции в Новгороде — до 15 тыс. человек
Для испомещения 6 тыс. опричников выселены из своих
поместий 9 тыс. дворян
Г
О почитании
духовных и светских
властей
йё
главы
• ••
Структура «Домостроя» (XVI в.)
«Домострой*
Разделы
Об устройстве домашнего
хозяйства, воспитании детей,
обращении со слугами
главы
Всего около 70 глав
99
О торговых и административных
отношениях главы дома
и советы по домоводству
й
главы

Школьная пЖогАеьлилш &тш/ммуих, и формулах,
Основные черты развития западной цивилизации в XVII—XVIII вв.
• Становление капитализма — нового хозяйст- • Интенсификация труда
венного уклада и новой формы собственности • Рост разделения труда и товарного производ-
О Рост народонаселения ства, купеческого капитала и предпринима-
• Новые технические открытия и развитие ин- тельства
женерной мысли
Ход Нидерландской буржуазной революции
Год
Событие
1556
Начало народного восстания против владычества Испании
1572
Восстание нидерландских моряков на севере страны
1577
Захват буржуазией власти в Брюсселе
1579
Заключение соглашения между южными провинциями и Испанией
1579
Подписание северными провинциями Утрехтской унии
1581
Объявление Генеральными штатами о создании Республики Соединенных провинций
(Голландии)
Тенденции развития европейской цивилизации в XVII в.
• Утверждение рыночных отношений
• Формирование третьего сословия
О Формирование капитала за счет развития
мануфактур
Ф Пролетаризация населения и разорение
деревни как следствие вступления западного
мира в индустриальную эпоху
Формы колониальной экспансии Запада в XVII в.
Освоение поселенцами-колонистами пустовавших или сла-
| бозаселенных земель
Миграция новопоселенцев в районы со значительным
местным населением и глубокими традициями
Колонизация районов с неблагоприятными для европейцев
1 условиями обитания и преобладанием местного населения
1 Колонизация стран с многовековой культурой и сложив-
1 шейся государственностью
Северная Америка, Австралия,
Новая Зеландия, Южная Африка
Южная и Центральная Америка
Африка, Индонезия, Океания,
некоторые страны Азии
Индия 1
Торговые форпосты европейцев в XVII в.
Название компании
Английская Ост-Индская торговая компания (с 1600 г.)
Голландская Ост-Индская торговая компания (с 1602 г.)
Голландская Вест-Индская торговая компания (с 1621 г.)
Задачи
О Осуществление широкой заморской
торговли
Ф Борьба с европейскими соперниками
О Подавление сопротивления
колонизируемых народов
/00

сл/сеясиЖмал исток ил $ тнаалилщоо
Этапы Тридцатилетней войны (1618—1648)
Этапы
Чешско-пфальцский
Датский
Годы
1618—1623 1
1624—1629
Этапы
1 Шведский
Франко-шведский
Годы
1630—1634
1635—1648
Россия в начале XVII в.
Последствия Смуты
Пресечение
правящей династии
Распад
политической структуры
общества
Задачи, стоявшие перед
правительством
Восстановить самодержавие
Преодолеть духовную
разобщенность
Ликвидировать разруху
и отсталость
Поднять жизненный уровень
народа
Направления перемен
Укрепление абсолютной монархии
Создание крупной промышленности
Развитие внутренней торговли
Укрепление единства церкви
Создание регулярной армии
Получение выхода к морям
Расширение связей с другими государствами
Основные мероприятия в царствование Алексея Михайловича (1645—1676)
Законодательные
В сфере религии
Внешнеполитические
Уложение 1649 г.
Кормчая книга 1650 г.
Новоторговый устав 1667 г.
Частные законоположения
Исправление книг и обрядов
Уточнение отношения церкви к государству
Присоединение Украины
Государственный аппарат России в XVII в.
Царь
Патриарх
Земский собор
Патриаршие приказы
Разрядный
Административные
Тайных дел
ПРИКАЗЫ
Дворцовые
Губной староста
т
Областные Финансовые
Воевода
Губная изба
Земский староста
I Лриказная изба
Земская изба
101

чМкальошя nfwzfiojiiAba, &таолшщоь и фсАмулаж
Русская армия в XVII в.
Царь
Боярская дума
Военные приказы
Дворянское ополчение | |Казаки| | Полки «нового строя» | |Стрельцы| | Служилые инородцы
1
Сословное представительство на Земских соборах XVII в.
Освященный собор —
высшее духовенство
Московская приказная
администрация
Торговцы и ремесленники
московского посада
Царь
Боярская дума
1
| Уездное дворянство |
Торговцы и ремесленники
из городов
Московские дворяне,
члены Государева двора
Московские Гостиная
и Суконная сотни
I
Казаки, стрельцы,
государственные крестьяне
Противостояние между Османской империей и Россией в XVII в.
Годы
1637—1642
1676—1681
1677—1678
1681
Главные события
Овладение Азовом и оставление крепости
Русско-турецкая война
Попытки османов взять крепость Чигирин (Правобережная Украина). Вторая
попытка была успешной
Бахчисарайский мир: перемирие на 20 лет
Рост территории Российского государства в XVI—XVII вв.
Год
1505
| 1584
| 1613
J 1654
| 1676
Период
Конец царствования Ивана III
Конец царствования Ивана IV
Начало царствования династии Романовых
Конец царствования Михаила Федоровича
Конец царствования Алексея Михайловича
Площадь, тыс. кв. км
2200 J
4125
8580
2375
14 520
ш

cJdcej&ufauiJi, ucmchiLZ 4 таолилуш,
Численность дворянства (мужчины) в России в XVII—XIX вв.
1651 г.
4 464 000
1782 г.
108 000
1858 г. ~|
39 000 J
По переписи 1897 г., 53% потомственных дворян назвали родным языком русский
Социальные движения в XVII в. и их причины
Соляной бунт 1648 г.
Хлебный бунт 1650 г.
Медный бунт 1662 г.
Соль облагалась дополнительной пошлиной
Резкое повышение цен на хлеб
Выпуск медной монеты, приравненной по стоимости к серебряной
Русское население в Сибири в XVII в. (тыс человек)
152 788
15 050
1622 г.
73 100
1662 г.
1709 г.
Внешняя торговля России в XVII в.
Экспорт
Вина, пряности, тонкие сукна,
металлические изделия, бумага, золотые и
серебряные поделки, аптекарские товары и др.
Импорт
Меха, лес, смола, деготь, лен,
пенька, кожа, поташ, холст, щетина,
сало, мясо, икра, хлеб и др.
Торговые партнеры
Англия, Голландия,
Швеция, Польша,
Персия, Бухара и др.
Социальная структура России в первой четверти XVIII в.
Податное население
В том числе:
крепостные
свободное городское население
работные люди
Дворянство
Высшее дворянство
5,6 млн мужских душ, в т. ч. 5,4 млн — на селе
3,2 млн человек
170 тыс. человек
30 тыс. человек
15 тыс. человек, 3 тыс. фамилий, 380 тыс. дворов
500 фамилий, 100 дворов
103

ЧшакАЬмал тьксгкажмЛ 4 тпш/лицаос и, фокммлах,
Органы власти и управления в России в первой четверти XVIII в.
Обер-прокурор
Синод
Иностранных дел
Военная
Адмиралтейств-коллегия
Штатс-контор-коллегия
Ревизион-коллегия
Император
Сенат
Ко л л
егии
Губернии
Провинции
Уезды
Генерал-прокурор
Коммерц-коллегия
Берг-коллегия
Мануфактур-коллегия
Камер-коллегия
Вотчинная
Юстиц-коллегия
Главный магистрат
Изменения в духовной сфере Российского государства
в первой четверти XVIII в.
Ликвидация независимости
церкви от государства
Создание системы светского
образования
Зарождение системы
информирования населения
Упразднен институт патриаршества
Учрежден Святейший Синод — 1721 г.
I ступень — 50 «цифирных школ»
II ступень — военно-учебные заведения, медицинская,
математическая и другие школы
Первые учебники: * Арифметика», «Механика», «Брюсов
календарь», «История Свейской войны»
Проект основания Академии наук (1724)
Газета «Ведомости» (1703)
Церковнославянский шрифт заменен гражданским (1708)
104

Уосемм^мсая шлп&Ьия & тск/лищаж
Основные направления внешней политики России в первой четверти XVIII в.
• Борьба за выход в Балтийское море, развитие О Упрочение позиций России на Каспии и в За-
связей с Европой кавказье
• Борьба за выход в Черное море
Северная война (1700—1721)
1700—1706 гг.
Военные успехи Швеции и неудачи России
1707—1709 гг.
Единоборство России и Швеции, завершившееся Полтавской битвой
1710—1721гг.
Военные поражения Швеции и успехи России и ее союзников
Реформа государственной власти во второй половине XVIII в.
(проект Н. И. Панина)
Самодержавие
Совет
Императорские советники
Сенат
Департ
аменты
J L
JL
Народные восстания во второй половине XVIII в.
1768 г.
1771 г.
1771 г.
1773—1775 гг.
Крестьянское восстание на Правобережной Украине
«Чумной бунт» в Москве
Восстание яицких казаков
Крестьянская война под предводительством Б. Пугачева
Политическая структура США: основополагающие принципы
• Система противовесов в осуществлении
властных функций
• Разделение властей
© Независимость ветвей власти друг от друга
О Судебный конституционный надзор
о Федерализм
105

)/нал пЖсг&алильа & ятилимАсь и фс&жмлаяо
• Постоянное обновление и соблюдение преем- о Всеобщее избирательное право
ственности коллективных органов законода- О Многоступенчатые выборы
тельной власти О Мажоритарная система избрания кандидатов
Особенности американских социумов в XVIII — первой половине XIX в.
Север
Господство свободного труда
Фермерский тип землевладения
Развитие капиталистических отношений
Стремление к национальной свободе
Активная борьба за независимость
Юг
Широкое применение труда рабов
Латифундистский тип землевладения
Консервация рабовладельческих отношений
Лояльность по отношению к британской короне
Пассивное сопротивление колониальным порядкам
После завоевания государственной независимости
Борьба за сильную власть центра
Стремление к федерализму
Участие США в войнах (1770-е гг. — конец XIX в.)
Годы
1775—1783
1812—1815
1846—1848
1861—1865
1898
Название
Война за независимость
Война с Англией
Мексиканская война
Гражданская война
Испано-американская война
Участвовало
нет данных
226 730
78 705
2 213 363
306 760
Погибло
4435
2260
13 283
364 511
2446
Ранено
6188
4405
4152
281 881
1162
Циклы американской истории от образования США до начала XX в.
1 1776—1789 гг.
1789—1800 гг.
1800—1812 гг.
1812—1829 гг.
1829—1841 гг.
1841—1861 гг.
1861—1869 гг.
1869—1901 гг.
Выработка и принятие конституции США
Противодействие консерваторов
Период реформ республиканцев
Период уступок Джефферсона
Эра демократии Джэксона
Господство рабовладельцев в национальном руководстве
Ликвидация рабства
Консервативное правление
106

aJceAuifiwiz истомил 4 тгьш/лилщоь
Партийная принадлежность президентов США (до XX в.)
Политические
партии
Федералисты
Республиканско-
демократическая
Демократическая
Президенты
Дж. Вашингтон
Дж. Адаме
Т. Джефферсон
Дж. Медисон
Дж. Монро
Дж. К. Адаме
Э. Джэксон
М. Ван Бурен
У. Г. Гаррисон
Дж. Тайлер
Дж. Н. Полк
3. Тейлор
Годы
1789—1797
1797—1801
1801—1809
1809—1817
1817—1825
1825—1829
1829—1837
1837—1841
1841
1841—1845
1845—1849
1849—1850
Политические
партии

Демократическая

Республиканская
Президенты
М. Филмор
Ф. Пирс
Дж. Бьюкенен
Э. Джонсон
С. Г. Кливленд
А. Линкольн
У. С. Грант
Р. Б. Хейс
Дж. А. Гарфилд
Ч. А. Артур
Б. Гаррисон
У. Мак-Кинли
Годы
1850—1853
1853—1857
1857—1861
1865—1869
1885—1889,
1893—1897
1861—1865
1869—1877
1877—1881
1881
1881—1885
1889—1893
1897—1901
Этапы реформирования России в первой четверти XIX в.
(по А. А. Корнилову)
1801—1805 гг.
1805—1807 гг.
1808—1812 гг.
Приступ к реформам
Приостановка реформ
Второй приступ к реформам
11812—1815 гг.
1 1816—1818 гг.
J1819—1825 гг.
Приостановка реформ
Продолжение реформ
Отказ от реформ
Русские национальные начала
(по С. С. Уварову)
Православие: без любви к вере предков
народ, как и частный человек, должен
погибнуть
Самодержавие — основное условие
политического существования России
Народность: сохранение неприкосновенным
святилища народных понятий
Цель: « Изгладить противоборство так
называемого европейского образования с
потребностями нашими; исцелить новейшее
поколение от слепого, необдуманного пристрастия
к поверхностному и иноземному,
распространяя в оных душах радушное уважение к
отечественному... »
Порядок обеспечения крестьян земельными наделами
(по Манифесту 19 февраля 1861 г.)
• Устанавливался двухлетний срок
составления уставных грамот
• Крестьяне переводились на положение
♦временнообязанных» до их перевода на выкуп
О Крестьяне осуществляли выплату выкупных
платежей
О По окончании выплаты земельные наделы
становились собственностью крестьян
107

Шяхкльшья пЖогбаАШш & пьси/лщсио и фсАлшиасо
Принципы организации суда присяжных во второй половине XIX в.
• Бессословность судопроизводства © Независимость судей от администрации
• Гласность и публичность состязательного про- О Решающая роль присяжных заседателей в
цесса определении виновности подсудимого
Экономическая политика С. Ю. Витте (90-е гг. XIX в.)
• Протекционизм в промышленности
• Строительство железных дорог, создание
инфраструктуры
• Установление золотого монометаллизма
• Привлечение иностранного капитала
О Изыскание внутренних источников
финансирования промышленности
О Одобряя « индустрию », власти опирались на
отношения традиционного общества
• Цель: догнать в индустриальном развитии
ведущие страны мира
Мировое производство стали в конце XIX в. (млн тонн)
Страна
| Все страны мира
| Россия
1 Англия
| Франция
| Германия
|США
1880 г.
261
19
81
24
43
77
1890 г.
738
23
222
35
132
265
1898 г. |
1469 1
70
283
88
350
552
Доля развитых стран в мировом промышленном производстве (%)
Годы
1870
1896—1900
1913
Германия
13,2
16,6
15,9
Франция
10,3
7,1
6,4
Англия
31,8
19,5
14,0
США
23,3
30,1
35,8
Степень милитаризации стран Европы в 80-е гг. XIX — начале XX в.
Страна
1
Англия
Франция
Рост
численности армии, %
2
38,8
48,7
Число военнослужащих
на 1000 мужчин
3
25,6
52,5
Содержание армии и флота,
руб. на 1 жителя
4
15,2
12,5
ш

: штсйил 4 та&лщфя
Степень милитаризации стран Европы в 80-е гг. XIX — начале XX в.
1
Италия
1 Германия
Австро-Венгрия
Россия
2
22,9
44,3
107
19,5
3
27,4
48
34
33,7
4
6,3
9,1
4,9
3,9
Военные расходы России в XIX в.
Год
1832
1877
1897
Млн руб.
59,3
218,1
379,06
Доля в гос. расходах, %
41,9
34,5
29,2
Военные расходы стран Европы в 1897 г. (на душу населения, руб.)
Англия
Франция
Германия
1 Австро-Венгрия
Россия
10,22 |
9,12
6,22
3,65
2,99
Расходы Военного министерства России в XIX в. (млн руб.)
Главные статьи расходов
Содержание войск
Административные расходы
Вооружение
Содержание военных заводов
Всего
1863 г.
79,7
10,9
4,03
0,3
94,93
1870 г.
87,08
16,5
13,8
0,8
118,18
1874 г. J
100,8 1
18,9
17,4
—
137,1
Партийная принадлежность президентов США (XX в.)
Республиканская партия
Т. Рузвельт
1 У. Ф. Тафт
Годы
1901—1909
1909—1913
Демократическая партия
Т. В. Вильсон
Ф. Д. Рузвельт
Годы
1913—1921
_ 1933—1945...
109

Шпояьоюя пксгблжлш 6 тгиш/лилщх, и, фобльилаяо
Партийная принадлежность президентов США (XX в.)
Республиканская партия
У. Г. Гардинг
К. Кулидж
Г. К. Гувер
Д. Д. Эйзенхауэр
Р. М. Никсон
Дж. Р. Форд
1 Р. У. Рейган
1 Дж. Г. У. Буш
Годы
1921—1923 1
1923—1929 1
1929—1933
1953—19G1
1969—1974
1974—1977
1981—1989
1989—1993
Демократическая партия
Г. Трумэн
Дж. Ф. Кеннеди
Л. Джонсон
Дж. Э. Картер
Б. Клинтон
Годы
1945—1953 1
1961—1963 1
1963—1969 1
1977—1981 1
Избран до 2001 г.
Политические партии России в революции 1905—1907 гг.
Партии
Монархисты
Эсеры
РСДРП
1 Кадеты

Численность,
тыс. чел.
410
65
170
50
Социальный состав 1
предприниматели,
землевладельцы
+
—
—
10—20

интеллигенция
+
служащие
+
11,6
30—31
5
65
рабочие
+
43,2
64
крестьяне
+
45,2
—
15
Аграрный вопрос в России в начале XX в.
Землевладение
Казенные удельные,
церковные земли — 154,6 млн дес.
Надельные крестьянские
земли — 138,7 млн дес.
Частновладельческие земли —
101,7 млн дес.
Причины кризиса
Малоземелье и аграрное
перенаселение крестьян
Низкая механизация и
агрокультура
Преобладание малоимущих
слоев и невозможность
интенсификации производства
Столыпинская реформа
Передача надела в частную
собственность (хутор, отруб)
Силовое обеспечение выхода
крестьян из общины
Кредиты Крестьянского банка
Переселение в малообжитые
районы
Первая мировая война (1914—1918)
О Продолжительность — 1554 дня
О Число стран-участниц — 38
О Состав коалиций: Англия, Франция, Россия,
США и еще 30 стран; Германия, Австро-
Венгрия, Турция, Болгария
О Число нейтральных государств — 17
О Число государств, на территории которых
проходили боевые действия — 14
Численность населения стран — участниц
войны — 1050 млн человек (62% населения
земли)
Численность мобилизованных — 74 млн
человек
Численность погибших — 10 млн человек
110

адсеящ^тая uxynwfmx 4 тш/лицаоо
Основные причины первой мировой войны
• Стремление развитых стран к экспансии — между Австро-Венгрией и Россией на Бал-
территориальному, военно-политическому, фи- канах;
нансово-экономическому, социокультурному между Россией и Германией в польском воп-
расширению росе;
• Многовековое соперничество: между Германией и Великобританией за гегемо-
между Францией и Германией; нию на морях и в колониях
Противоборствующие коалиции в первой мировой войне
Антанта
Англия, Франция, Россия,
США, Япония, Италия,
Румыния
Четверной союз
Германия, Австро-Венгрия,
Турция, Болгария
Нейтральные государства, ]
на территории которых велись
боевые действия
Люксембург, Албания, Иран
Даты вступления стран в первую мировую войну
Антанта и ее союзники
1914 г. — Сербия, Россия, Франция, Бельгия,
Черногория, Великобритания, Япония, Египет
1915 г. — Италия
1916 г. — Португалия, Румыния
1917 г. — США, Куба, Греция, Сиам, Либерия,
Китай, Бразилия
1918 г. — Гватемала, Никарагуа, Коста-Рика,
Гаити, Гондурас
Германия и ее союзники
1914 г. — Австро-Венгрия, Германия, Турция
1915 г. — Болгария
Производство вооружения в годы первой мировой войны
Страна
Россия
Англия
США
Германия
Австро-Венгрия
Винтовки
3 300 000
3 854 000
3 500 000
8 547 000
3 500 000
Пулеметы
28 000
239 000
75 000
280 000
40 500
Артиллерийские
орудия
11700
26 400
4000
64 000
15 900
Самолеты
3500
47 800
13 800
47 300
5400
///

Шкскльиая nfazfa^LAixi & maJuiiufljo и, фокмл1лаоь
Военные расходы за годы первой мировой войны
Страна
Россия
Англия
Франция
США
Германия
Австро-Венгрия
Военные расходы,
долл. США
7 658 000 000
24 143 000 000
11208 000 000
17 337 000 000
19 894 000 000
5 438 000 000
Расходы на душу
населения, долл. США
44
525
280
177
293
109
Доля военных расходов
в нац. доходе, %
13,1
34,5
19,4
8,7
24,7
18,1
Основные варианты развития стран Запада после первой мировой войны
Революция
Австрия, Германия,
Финляндия, Венгрия
Реформы
Великобритания, Франция,
США, Скандинавские страны,
Голландия, Швейцария
Диктатура
Италия, Германия, Испания,
Португалия
Численность политических партий в России в 1917 г.
Партии
РСДРП(б)
РСДРП(м)
Эсеры
Эсеры-максималисты
Кадеты
Количество членов, тыс. человек
Март
24
45 (май)
500
3
10—12
Октябрь
350
193
700
50—60
70
Октябрь (в армии)
50
23
250
ок. 300 организаций
Участие США в войнах в XX в. (на 1919 г.)
Даты
6.4.1917—11.11.1918
7.12.1941—31.12.1945
25.6.1950—27.7.1953
4.8.1964—27.6.1973
Войны
Первая мировая
Вторая мировая
Корейская
Вьетнамская
Участвовало
4 734 991
16 122 566
5 720 000
8 744 000
Погибло
110 516
405 399
33 651
58161
Ранено
204 002
671 846
103 284
153 303
in

сУэсслифнал acmjohux & тсиышщх
Население и территория колоний и полуколоний в XX в. (на 1919 г.)
72%
70%
34%
30%
10%
3%
0,1% 0,1%
I I I
Основные этапы Гражданской войны в России (по Ю. А. Полякову)
Февраль—март 1917 г.
Март—октябрь 1917 г.
Октябрь 1917 — март 1918 г.
Март—июнь 1918 г.
Лето 1918 — конец 1920 г.
1921—1922 гг.
Свержение самодержавия, раскол общества ]
Обострение противостояния в обществе, усиление психологии гра- 1
жданской войны
Свержение Временного правительства, установление советской
власти, распространение вооруженной борьбы |
Эскалация насилия, террор с обеих сторон, формирование белых и 1
красных вооруженных сил
Ожесточенные сражения между регулярными войсками, в том
числе иностранными, милитаризация экономики
Затухание боевых действий, их локализация и полное прекращение
Вооружение Белой армии (июнь—октябрь 1919 г.)
Фронт
Южный
Восточный
Северо-Западный
1 Северный
Командующий
Деникин
Колчак
Юденич
Миллер
1 Итого
Количество
штыков
107 395
95 547
17 800
20 000
240 742
сабель
45 687
22 581
700
—
68 968
Всего
153 082
118128
18 500
20 000
Приоритетные направления внешней политики СССР в 20-е гг. XX в.
• Прорыв дипломатической и экономической
блокады страны
• Поиск политических и экономических
партнеров на Западе и Востоке
• Обеспечение внешнеполитических условий
для социалистического строительства в СССР
• Дальнейшее продвижение вперед «дела
мировой революции»
из

Шпсльмал nhodhajbMja 4тш/лш(,а<х> и, фоблшлаоь
Нэп в промышленности СССР (1921—1929)
в Поощрение частного и смешанного капитала О Привлечение иностранного капитала
$ Расширение самостоятельности госпредприя- О Образование рынка рабочей силы, отмена
тий, хозрасчет принудительного труда
О Ликвидация уравнительной оплаты труда,
замена натуральной оплаты денежной
Нэп в сельском хозяйстве СССР (1921—1929)
О Замена продразверстки натуральным налогом
9 Отмена централизованного распределения
продовольствия, возвращение к свободе
торговли хлебом и другими продуктами питания
О Ограниченное разрешение аренды земли и
использования наемного труда
О Развитие системы контрактации и сельской
кооперации
Сельскохозяйственное производство в СССР в 20—30-е гг. XX в.
Зерно, млн т в год
Мясо, млн т в год
Молоко, млн т в год
Крупный рогатый скот, млн голов в год
1928 г.
73
5
30
60
Конец 1930-х гг. 1
75—80 ]
4—5
30
50
Потребление продуктов питания в СССР в 20—30-е гг. XX в.
(кг на душу населения)
Мука, крупы
Картофель
Молоко и молочные продукты
Мясо, сало и т. п.
1928 г.
250
141
242 (на 1924 г.)
35—40
1940 г.
196
143
127 (на 1939 г.)
20 |
Основные черты и итоги индустриализации в СССР (20—30-е гг. XX в.)
Черты
Напряженные темпы
Опора на собственные силы и средства
Внеэкономическое принуждение
Использование зарубежного опыта
Приоритетное развитие тяжелой и оборонной
промышленности
Итоги
Рост числа промышленных предприятий:
1928—1932 гг. — 1500,
1933—1937 гг. — 4500
К 1940 г. по производству важнейших видов
промышленной продукции СССР вышел на
2-е место в мире после США
114

оэселшкнал истс/шл & таалшунь
Итоги ликвидации неграмотности в СССР
(20—30-е гг. XX в.)
• В 1928 г. расходы на образование составляли О К концу 2-й пятилетки в стране введено все-
8 руб. в год на одного человека, в 1937 г. —
113 руб.
О За годы двух пятилеток обучено грамоте 40 млн
человек, уровень грамотности в стране достиг
81%
общее начальное образование
• В 1939 г. XVTII съезд партии поставил задачу
ввести всеобщее среднее образование в городе
и семилетнее — в деревне
Причины внутрипартийной борьбы в СССР
(20—30-е гг. XX в.)
О Борьба за политическое лидерство
• Отсутствие легальной оппозиции
О Расхождение во взглядах на пути развития
СССР
О Личные взаимоотношения вождей
Социальный состав советского общества
в 20—30-е гг. XX в.
|Год
Общая численность населения, млн человек
Буржуазия, %
Крестьяне, кустари, ремесленники, %
Рабочие и служащие, %
Колхозники и кооперированные кустари, %
1928
152,4
4,6
74,9
17,6
2,9
1939
170
—
2,6
50,2 J
47,2
ГУЛАГ (30-е гг. XX в.)
Колоний и лагерей
Заключенных
На 1 мая 1930 г.
279
171 251 человек
На 1 марта 1940 г.
536
1 668 200 человек
Основные черты советского общества (30-е гг. XX в.)
О Огосударствление всех сфер жизни • Репрессии и внеэкономическое принуж-
© Корпоративный характер общества и общест- дение
венных отношений О Мифологизация общественного мнения и от-
О Жесткая вертикаль власти с харизматиче- рицание опыта Запада
ским лидером • Закрытость страны» тенденции к автаркии
//5

Чинольюаял
мяца&йс
Особенности мирового экономического кризиса 1929—1933 гг*
Масштабность
Глубина
Продолжительность
Весь мир (исключая СССР)
Охватил промышленность, финансы и сельское хозяйство
Количество безработных — ок. 30 млн человек
Промышленное производство отброшено к уровню начала XX в.
ок. 4 лет
Вторая мировая война
(1939—1945)
Продолжительность, дней
Число стран-участниц
Число нейтральных государств
Число государств, на территории которых
проходили боевые действия
Численность населения стран — участниц войны
Число мобилизованных
Число погибших в войне
2194 1
72
6
40
1700 млн человек (80% населения Земли)
110 млн человек
более 60 млн человек
Основные черты цивилизационного кризиса
в 30-е гг. XX в.
• Мировой экономический кризис 1929—
1933 гг.
• Внешнеполитическая экспансия
стран-агрессоров (нацистской Германии, фашистской
Италии, милитаристской Японии)
• Оформление авторитарно-бюрократического
режима в СССР, ускоренная модернизация
страны «сверху»
© Появление диктаторских фашистских
режимов в ряде европейских стран
Крушение колониальной системы
(40—90-е гг. XX в.)
Годы
1940—1950
1951—1959
1960
Количество стран,
получивших независимость
8
9
18
Годы
1961—1970
1971—1980
1981 — наст. вр.
Количество стран,
получивших независимость
31
25
7
//б

ucrw6u& 4 тш/лацаоо
Численность населения СССР (млн человек)
194,1
178,4
212,4
241,7
262,4 |
1940 г. 1950 г. 1960 г. 1970 г. 1980 г. 1990 г.
Итоги боевых действий в Европе СССР
и его союзников в июне—декабре 1944 г.
Разгромлено дивизий Германии
и ее союзников
Потери вермахта в живой силе,
тыс. чел.
Освобождено территории,
тыс. кв. км
Количество населения на
освобожденных территориях, млн чел.
Восточный фронт
96
1600
(860 тыс. — безвозвратные)
1400
(600 тыс. — территории СССР)
55
(20 млн — на территории СССР)
Западный фронт
35
634
(520 тыс. — безвозвратные)
600
76
Потери Красной Армии в оружии и технике
в летне-осенней кампании 1941 г. (%)
Танки
Самолеты
91 |
90 |
Орудия и минометы
Стрелковое оружие
90
67
Производство военной продукции в СССР
и Германии (1941—1945) (тыс. шт.)
Виды продукции
Танки и САУ
Боевые самолеты
Орудия
СССР
102,8
112,1
482,2
Германия
46,3 |
89,5 1
319,9
Виды продукции
Минометы
Пулеметы
Пистолеты-пулеметы
СССР
351,8
1515,9
6173,9
Германия
78,8
1117,5
1256,8
117

Шжклмшя п/югбальма &таолшщос и фсА^и^июо
Производство промышленной продукции в СССР и США*
Электроэнергия
Нефть, в т. ч. газовый конденсат
Сталь
СССР, %
1945 г.
15
8
16
1950 г.
22
14
30
1960 г.
33
42
71
1970 г.
44
80
108
1980 г.
53
142
142
1985 г.
58
135
190
* Объем промышленного производства в США принят за 100%.
Этапы экономического развития стран Запада во второй половине XX в.
До начала 50-х гг.
До начала 70-х гг.
1 70-е гг.
Восстановление
Относительная стабилизация
Замедление темпов экономического роста с последующим подъемом экономики
Потребление основных продуктов питания в СССР (на душу населения, кг в год)
Наименование продуктов
Мясо
Молоко
Сахар
Рыба и рыбопродукты
1950 г.
26
172
11,2
7,0
1960 г.
40
240
28,0
9,9
1970 г.
48
307
38,8
15,4
1980 г.
58
314
44,4
17,6
1985 г.
62
325
42,2
18,0
Страны — члены Европейского союза
1957 г.
1973 г.
1981 г.
1986 г.
ФРГ, Италия, Франция, Бельгия, Нидерланды, Люксембург
Великобритания, Дания, Ирландия
Греция
Испания, Португалия
Руководящие органы ЕС
Главный политический орган
Исполнительные органы
Консультативный и контролирующий орган
Европейский совет
Совет министров, Комиссия европейских сообществ
Европарламент
//5

яасежийшм истпфил 4 таалиирос
Основные этапы перестройки в СССР
1 Весна 1985—1986 г.
1987—1988 гг.
1 1989 — весна 1990 г.
1 Весна 1990 —
лето 1991 г.
Курс на ускорение социально-экономического развития страны
Попытки перемен в экономике и внутрипартийной жизни
Кризис политики перестройки и выход социально-политических
процессов в стране за рамки социалистического обновления
Переход к президентской форме правления, дальнейшее углубление
экономического и политического кризиса в стране, постепенный распад
СССР
Численность русских,
проживавших в республиках СССР в 1989 г. (млн человек)
Украина
Казахстан
Узбекистан
Белоруссия
Киргизия
Всего
11,4
6,23
1,65
1,34
0,8
25 млн человек (17,4% общей численности русских)
Национальный доход стран мира в 1991 г.
(на душу населения, долл. США)
Швейцария
Япония
Швеция
1 \
33 610
26 930
25110
Сингапур
Россия
Украина
14 210
3220
2340
Российская Федерация в 1994 г.
(в % по отношению к СССР)
Территория
Население
Промышленный потенциал
Военное производство
17 млн кв. км
149 млн человек
—
—
75
53
70
80
119

Шшкльшия пЖогбажиш & тси/лшцаоо и фоАжцлаос,
Доля России в мировом производстве сырья и продукции (на 1994 г.)

Электроэнергия
9%
Нефть
17%
Газ
30%
Уг:.;п=
ОУо
Сталь
12%
Зерно
6%
Органы государственной власти Российской Федерации (с конца 1993 г.)
ПРЕЗИДЕНТ РФ
глава государства
ФЕДЕРАЛЬНОЕ СОБРАНИЕ
парламент, представительный и законодательный орган
1 СОВЕТ ФЕДЕРАЦИИ
по два представителя от каждого субъекта Федерации
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ДУМА
450 депутатов
ПРАВИТЕЛЬСТВО
высший орган исполнительной власти
СУДЫ
(Конституционный, Верховный, Высший Арбитражный)
Административно-территориальный состав Российской Федерации
Всего субъектов Федерации
Республики
Края
Области
89 1
21 J
6
49
Автономные округа
Автономная область
Города федерального значения
10 1
1
2
Формы взаимодействия государств — бывших республик СССР (на 1997 г.)
• 12 СТРАН — УЧАСТНИЦ СНГ
© Межгосударственное объединение
• РОССИЯ, БЕЛОРУССИЯ
• Наиболее глубокая форма сотрудничества
• РОССИЯ, БЕЛОРУССИЯ, КАЗАХСТАН, КИРГИЗИЯ
© Углубленная, прежде всего экономическая, интег^аь/л> Cv/j дующаяся на Таможенном и
Платежном союзах
• СНГ И ГОСУДАРСТВА БАЛТИИ
О Экономические связи
по

Математика
Алгебра • Геометрия
Математика в формулах

Алгебра в таблицах
1. Действительные числа
Множество натуральных чисел
N
Натуральные числа 1; 2; 3.
Множество целых чисел
Z
N
N_
Целые числа состоят из натуральных, нуля и чисел, противоположных
натуральным.
NcZ
Множество рациональных чисел
Q
Дроби
Рациональные числа представимы как —, гдер —целое, ад — натуральное.
NcZczQ
Множество действительных чисел
R
Q
Q
Действительные числа — это бесконечные десятичные дроби.
NczZcQcR
Рациональные числа — бесконечные периодические дроби. Период не может
состоять из одних девяток. Если период состоит из одних нулей, дробь может
считаться конечной десятичной дробью.
Множество иррациональных чисел.
Иррациональные числа — бесконечные непериодические десятичные дроби.
3 е N, 3 е Z, -6&N$ -6eZ, 0,25 ё N, 0,25 g Z, 0,25 е Q, 0,25 е R.
Делимость целых неотрицательных чисел
Число а делится на число &, если существует с, такое, что а « be.
а • Ъ; Ь — делитель а; а — кратное Ь.
Свойства делимости
Нуль делится на любое натуральное число.
Любое число делится на единицу.
Любое число делится само на себя.
122

сАига/ha 4 тпш/лацаа>
1. Действительные числа
Свойства делимости (продолжение)
Если а > 0 и а • Ь, то а > Ь.
Если а
Если а
Если а
Ь и Ъ • с, то а • с.
с и Ь \ с, то (а + Ь) \ с.
(be), то а • 6, а • с и (а : Ъ) • с.
Если а
Если а
Если а
Если а
6 и 6 • а, то а = &.
Ь и ft Ф 0, то aft • &ft.
с и 6 • с, то (а/п + Ъп) • с.
с и (а + 6) • с, то 6 • с.
Деление с остатком
Для любых двух натуральных чисел а и 6 найдутся такие целые
неотрицательные q и г, что а = Ь mq + r$ 0<r<&.
Если г = 0, то a • Ь. Число г называется остатком от деления а на Ь.
Признаки делимости
Число делится на два, если его последняя цифра делится на два.
на 2
Число делится на пять, если его последняя цифра делится на пять.
на 5
Число делится на четыре, если число, составленное из двух его последних цифр, делится
на четыре.
на 4
Число делится на двадцать пять, если число, составленное из двух его последних цифр,
делится на двадцать пять.
на 25
Число делится на три, если сумма его цифр делится на три.
наЗ
Число делится на девять, если сумма его цифр делится на девять.
на 9
Число делится на одиннадцать, если алгебраическая сумма его цифр
ао"" а1 + а2 " аз + ••• + (~"1)л " *ап -1 делится на одиннадцать.
на 11
Десятичная запись п-значного натурального числа:
'ап-гап-2-а2а1ао'" ап-\' 1(у1~г + an-2' 10Л~2 + - + Н*1о2 +
+ аг • 101 + a0; at — цифры числа, ал_х * 0, п € N.
НОК (а; 6)
Наименьшее положительное из общих кратных чисел а и
Ь называется наименьшим общим кратным этих чисел.
НОК (15; 10) - 30
НОД(а;Ь)
Наибольший из общих делителей чисел а и Ь называется
наибольшим общим делителем этих чисел.
НОД(15;10) = 5
НОК (а; Ъ) • НОД (а; 6) = а • Ь
Числа а и 6 называются взаимно
простыми^ если НОД (a; b) = 1.
Натуральное числор называется простым, если оно имеет
ровно два различных делителя (единицу и само это число).
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23... — простые числа
ш

■ л - 1 I Г f
Щшомщя пбёг/гажжа £ тси/лиа/too и ф<ф*мшищ.
1. Действительные числа
Свойства простых чисел
Любое натуральное число либо делится
на простое, либо взаимно просто с ним.
Произведение натуральных чисел
делится на простое число тогда и только
тогда, когда хотя бы одно из них
делится на это простое число.
Простых чисел бесконечно много (нет самого большого
простого числа).
Если натуральное число не делится ни на одно простое,
квадрат которого не превосходит это натуральное
число, то оно само простое.
Любое простое число р (р > 3) представимо в виде
p = 6k±l,keN.
Каноническое разложение натурального числа п(п>1):
71 = Pi1 \?22 \Рз3 " ••• 'Pkh>где^-—простое,^<р/ + 1 иО<а1е N. 120 = 23 • З1 • 51
2. Модуль
М-
а, а>0
-а, а<0
Основные свойства модуля
|а|>0 М-М |а-Ь| = |Ь-а|
\а\-\Ъ\<\а±Ь\<\а\ + \Ь\
Геометрическая интерпретация модуля
Если точка А на числовой оси имеет
координату а, то расстояние от А до 0 равно |а|.
Расстояние между точками А (а) и В (Ь) на прямой равно \а - Ь|.
Уравнения с модулем
\х =а
\х - Ъ\ = а
|/<*)|-|*<*)|
I/(*)!-*<*)
а<0
решений нет
а<0
решений нет
а = 0 лг = 0
а = 0 я = b
а>0
х = а
дс = -а
а>0
равносильно
объединению уравнений
х = 6 - а
# = Ь + а
равносильно
системе уравнений
*(*) > 0
Неравенства с модулем
\х - Ь| < а
\х-Ъ\>а
\f(x)\<g(x)
\f(x)\>g(x)
а<0
решений нет
а<0
xe R
а>0
Ь-а<х <Ь + а
а>0
x<b-awmx>b + a
равносильно
системе:
f(x)<g(x)
f(x)>-g(x)
равносильно
объединению:
f(x)>g(x)
f(x)<-g(x)
Неравенство \f (x)\ > \g (х)\ равносильно неравенству f2(x) > g2(x)
или неравенству (/ (х) - g (x)) (f (х) + g (х)) > 0.
124

сЛлффя^ $ TTiaJuuiipx
-.., ■■■ „ V \. , -, \ JH»H|HH | Щ,Щ
2. Модуль
Примеры
Раскрытие модулей
«по промежуткам»
у-|д: + 2| + ЗН-2к-1|
• • • »
-2 0 1 х
х<-2,
# = -(* + 2)-3x+2(*-l) = -2*-4
-2 < х < О,
у = х + 2-Зх + 2(х-1) = 0
0<х<1,
у = л: + 2 + Зх + 2 (* - 1) = 6л:
х>1,
у = х + 2 + Зх-2(х-1) = 2х + 4
Решить уравнение
Зл:2 - 5|л:| -8 = 0.
Заметим, что |jc|2 = х2
введем обозначение \х\ = t.
З*2 - 5* - 8 = 0.
|л:| = -1, решений нет.
II-8. --8 =8
8 8
Ответ: хг = -г ; дг2 = г .
Построить график функции
I/ = tg x • |cos дг|.
Данная функция
периодическая, период Т = 2я.
Построим график на каждом
промежутке знакопостоянства
косинуса.
При cos х > 0 х е ( --; - j,
у = sin x;
Л _ f я ЗлЛ
при cos х < О х ^ I «; "о" ]»
у = -sin д:.
3. Действия с многочленами
Сложение многочленов: (а2 + аЬ - Ь) + (За2 - 2аЬ + Ь) = 4а2 - аЬ.
Вычитание многочленов: (2а - Ъ) - (За + Ь) = (2а - 6) + (-За - 6) = -а - 26.
Умножение многочленов: (а + ЗЬ)(а -b) = a2-ab + ЗаЬ - ЗЬ2 — а2 + 2а6 - 362.
Формулы сокращенного умножения
квадрат суммы
(а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ъ2
квадрат разности
(а - б)2 - а2 - 2а6 + Ь2
куб суммы
(а + Ь)3 - а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3
куб разности
(а - б)3 - а3 - За2Ь + ЗаЬ2 - Ь3
разность квадратов
а2-Ъ2 = (а + Ъ) (а-Ъ)
разность кубов
а3 - Ь3 - (а - 6) (а2 + а& + Ъ2)
сумма кубов
а3 + б3 - (а + Ь) (а2 -аЬ + Ь2)
125

У11шкльшия nfecdfeoMJia ётаяСищась а фсАлсилаос
3. Действия с многочленами
Бином Ньютона: (а + Ь)п = ап + с\ ап "1 Ъ +
+ С2пап~2Ь2 + ... + Chnan"kbk + ... + Ъп
с1 _п. С2С *(*-*).
^Л
п!
Л (я - Л)! Л!'
neNfn>l (0! - 1; II -1; nl - 1 • 2 •
•п>.
Треугольник Паскаля
1
1 1
12 1
13 3 1
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
(а + б)4 = а4 + 4а36 + 6а2Ь2 + 4аЬ3 4- б4
(а - б)7 - а7 - 7абЬ + 21а5Ь2 - 35а4Ь3 + 35а3Ь4 - 21а2Ь5 + 7аЬ6 - б7
Основные приемы разложения многочлена на множители
Вынесение общего множителя за скобку
2аЬ + 14а2 + 2а = 2а (Ь + 7а + 1);
За2Ь3 - 15а3Ь = За2Ь (Ь2 - 5а).
Метод группировки
аЬ + ас-Ь-с = а(Ь + с)- (Ъ + с) = (Ь + с) (а - 1).
Использование формул
сокращенного умножения
а2 + 4а& + 4Ь2 = (а + 2Ь)2;
а4 + 4 = а4 + 4а2 + 4 - 4а2 = (а2 + 2)2 - (2а)2
= (а2 - 2а + 2) (а2 + 2а + 2).
Дополнительные формулы
(ал-1)= (а-1)(ал-1 + ал-2 + ... + а + 1);
(а*т + 1 + 1)-(а+1){а^-а*т-1 + ...-а+1).
Многочлены от одной переменной
Общий вид: / (х) = апхп + ап _ гхп " *+ ... + а^1 + а0,
л — степень многочлена, at — коэффициенты,
ап — старший коэффициент, ап Ф 0.
Если ап = 1, то многочлен называется приведенным.
Зя4 - х3 + 2х2 - 5 — многочлен 4-й степени с
коэффициентами: а4 = 3; а3 = -1; а2 — 2; аг = 0; а0 = -5.
Квадратный трехчлен — многочлен
второй степени
а*2 + Ьх + с (а Ф 0),
а — первый коэффициент, Ь — второй
коэффициент, с — свободный член.
Деление многочленов
Теорема о делении с остатком
Р(х) = М(х) • Q(x) + Щх)$ где Р(х) — делимое, М(х) —
делитель, Q(x) — частное, R(x) — остаток. Если
остаток не равен нулю, то его степень меньше степени
делителя.
3*3 - х2 - Зх - 2 =
Р(х) = (х2 + х - 1) (Зх - 4) + (4* - 6)
М(х) Q(x) Щх)
Деление «уголком»
_3*3-x2-3*-2 \x? + x-l
За^ + З^-Зх Зх-4
-4л:2 -2
-4х2-4х + 4
4х-6
Р(х) = Зх3 - х2 - Зх - 2
М(х) = х2 + х-1
Q(x) = Зх - 4
Д(х) = 4х-6
/26

сЛягеака 4 тш/лмцкх,
3. Действия с многочленами
Деление многочлена f(x) на двучлен х — а
Теорема Везу.
Остаток от деления многочлена на двучлен х-а равен
значению этого многочлена при х = а, т. е. R = /(а).
/(*) = (*-а)-Q(*) +/(а)
Схема Горнера.
Разделить многочлен
f{x) = х3 + Ъх2 - 3 на (х - 5)
а = 5
Ь2 = аз
ftj = &2 " 5 + а2
Ь0 = Ьх • 5 + ах
R = 60 • 5 + а0
Л = /(5) = 247
Г1
1 1
5
10
0
50
чП
247
Л
Корнем многочлена называется такое число х0, при
котором значение многочлена равно нулю (/ (*0) = 0).
Целые корни многочлена с целыми
коэффициентами являются делителями его свободного члена.
Пример.
х3 + Ъх2 + 2х - 8 = 0
Целые корни можно искать только среди
чисел -1; 1; 2; -2; 4; -4; 8; -8.
Ответ: х = 1; х = -2; а; = -4 — корни.
4. Квадратные корни
Определение арифметического
корня
Ja = 6 <&\
Ь>09
Ь — а
Vl6 = 4, так как 4 > 0, 42 = 16;
л/25 * 7, так как 72 Ф 25;
л/25 * -5, так как -5 < 0;
л/^8 не определен.
л/0,36 =0,6;
л/4900 =70;
л/0,0001 =0,01;
2< л/8 <3;
0,8 < л/оГв <0,9.
Тождества
Основные свойства
(л/а) = а, а > 0
а = |а|, а е R
л/а • л/б = л/л- Ь
*/а _ /а
л/6 V&
(л/5)Р = 7^
л/а& = л/[а| • л/fbj
/а 7[а|
Сравнения, связанные с квадратными корнями
Если а>6> 0, то л/а>л/б. Ja + Jb > J a + Ь.
Если а > 1, то а > л/а и л/а > 1. Если 0<а<1,тоа<л/аи0<л/а <1.
/я?

Шлояышл nfiOikttM^tia &таолилщ<я и, фаблш^асс-
4. Квадратные корни
Вынесение из-под корня
Ja2b = \а\ • Л, Ь > О
Внесение под корень
*Ja b, если а< О,
л/а Ъ, если а>0
b>0
ТбЗ =79~7 = Зл/7;
ТбЬ1 + 75 = Ьл/5 + ТВ;
л/зс^ + 7^ =-с7з + V^.
5- 7з = 7з• 52 = V75;
-2 л/7 =-л/28;
(л/5-2) • л/9 + 4л/5 = 7(7£ - 2)2-(9 + 4л/5) = 1;
(л/3 -2)-77 + 4лУз =-*/(73 - 2)2(7 + 4л/3) =-1.
_2_ 2_7з
л/3 3
Иррациональность в знаменателе
5 5(л/3 + 1) _ 5(лУз 4- 1) __ 5(л/3 + 1)
2
л/3 - 1 (73 - 1)(л/3 + 1) 3-1
Сравнение среднего геометрического
(пропорционального) двух чисел и их среднего
арифметического
~^> Jab,a>0;b>0.
Построение Jn (n ^N) на числовой прямой
1 Л & 2 3 .ДО*
(л//1+ 1)2 = (лМ)2 + 12
Примеры
Найти л:2 и упростить выражение
х= 7з - 2-У2 - 7з + 2л/2.
Заметим, что х < 0, т. к. 3 - 2л/2 < 3 + 2л/2 ,
х2 = 3 - 2л/2 - 2л/9 - 8 + 3+2./2 =6-2 = 4.
Значит, л: = -2.
Ответ: х2 = 4; */з - 2«/2 - 7з + 2л/2 = -2.
Сравнить числа л/2 + 1 и
«Уз! - 1
Запишем:
л/2 +1
л/33 - 1
2./2 + 2 ? л/33 - 1
Л +3 ? ТЗЗ
Так как сравниваемые числа положительны, то
можно сравнить их квадраты:
17 + 678 ? 33
б78 ? 16
л/288 > 7256
/я , ТЗЗ - 1
Следовательно, л/2 + 1 > 5 •
/25

(Ллгео/ш, & тпси/яии/гл
5. Корни натуральной степени
Определение арифметического корня
натуральной степени из
неотрицательного числа а
nJa = b 1 Ъ>0
\ neN, а>о\ Ъ* = а
Извлечение корня нечетной степени
из отрицательного числа
Корень четной степени
Тождества
Если nJa существует, то(п«[а)п = а.
2nJ7" =\a\, aeR
2п - l/ 2п - 1
ца = а, aeR
Сравнения, связанные с корнями
Вынесение из-под корня
Внесение под корень
V27 =3;
V1024 =4;
УЗ=3;
УО, 008 = 0,2;
V0, 0000001 =0,1;
2 < У9 < 3;
0,2 < У0, 00036 < 0,3.
Если а < 0, то 2л~Уа = -2п~\Га .
sfs =-3/8 = -
5л/^243 =-V24J
3V(V3-2)3=-
2;
J=-3;
V(2 - 7з)3
= -(2-Уз)=7з
из отрицательного числа не определен.
-2.
Основные свойства
("7а)Р = пл/?;
"л/т7а = nmJa;
4fa = п*7?
•
Если а > Ъ > 0, то l/a > Ч/b.
Ч/а + Ч/Ъ> 4ja + b.
Если а > 1, то Ч/а > 1 и Уа < а-
Если 0<а<1,то0<Ч/а <1иЧ/а >а.
ty§4 = 373~8 =
V(l~V2)4-5
?/(1-72)3-6
з • */2 = Vi1^
-2-67з=-67?
(1-7з)-472 =
(1-V5)-V2 =
■ 2 • УЗ ;
= (72-1)-У5;
= (1-72)-37б.
1 =У1б2;
' • 3 = -У192 ;
= -4л/(1-73)4-2;
= 3л/(1 -7В)3-2.
5—1323
/29

Сшсальтсая ыксгксимлса 4* mat/лшцах и фокм-илах
5. Корки натуральной степени
Тождества (продолжение)
Основные свойства (продолжение)
Иррациональность в знаменателе
А _3-У^ _3-У8
V5 2 2 ;
2 = 2(У9 - УЗ + 1)
V3+1 3 - 1
У9 - 37з +1.
4!-Д/1
— Р 12
1 = ^/1.
0з V16'
Действия с корнями различных
показателей
Л • «/2 • V2 = 6л/23 • 22 • 2 = ^2° = 2.
Сравнить V5 и V3 .
VS « 127^ = 12/l25,
V3 - 127з* = 12V81.
Так как 125 > 81, то 12/l25 > 12л/81 и*/5 >SJ
Среднее геометрическое
и среднее арифметическое
неотрицательных чисел
а <
а1 + а2 ~*~ *•• ~*~ ал
лл/а1 • а2
Равенство достигается при ах = а2 = ... = аЛ.
6. Степени. Степенная функция. Функция х/ = nJx
Степень с натуральным
показателем
Степень
I с рациональным показателем
для неотрицательного числа а
а1 = а
ап = а- а • ... • а , п ^N, a ^R
V '
л раз
m
п nl m
а = Ца
m^Z,n<^N
Если /71 < 0, то а > 0.
Если 771 > 0, то а ^ 0.
2 3
3
252 = ^2Ь* =125;
1
(0,04)2 = V0,04 =0,2;
1
(-27) не определена.
130

<jLl2COfia 4 7ГШ€ГЛ(МЩХ
6. Степени. Степенная функция. Функция у = nJx
Степень с целым показателем
а° = 1,
а*0
n€=N
3-2=^; (-1,2)° = 1;
(Г-(1)'
125
8
Понятие о степени
с иррациональным
показателем
З3 < 3я < З4
Ззд < 3* < о3.2
33,14 <3я <33'15
(тс = 3,1415...)
(0,3)2 <(0,3)*^ <(0,3)х
(0.3)1-5 <(0,3)^ <(0,3)1-4
(О.З)1-42 <(0,3)л/1 <(0,3)1-41
(72 =1,4142...)
Степень с
действительным показателем
аг, г е r
г<0, г>0,
и <
а>0 I а>0
Свойства степеней
0Р.аг = 0Р + г
а.Р :аг = аР~г
аг-Ьг = (аЬ)г
(аР)г = аРг
Свойства степеней,
связанные
с неравенствами
а>Ь>0 \=>аг>ьг
r>0 J
а>&>0
г<0
г , г
р>г
а> 1
р> г
0<а<1
р г
р г
Графики
степенной
I функции
Ire R
у\
0<р<г<1
В(У) = [0;+оо);
ВД = [0;+оо);
у=х1 возрастает ка
,_^[0;+оо).
4-i-
1<р<г
D(y) = [0;+oo);
#(*/) = [0; +°0);
возрастает на
[0; +оо).
у=хг
р<г<0
ЩУ) = (0; +оо);
Я(») = (0;+оо);
убывает на
(0; +00).
I
О 1
1
= 2п4х ; z/ = 2п+\[х ; л е N
у\
-Л
и
И/ =
LJ
0 1
-1
2n+iy;
X
131

Школьная пЖю/шлольа & таоСши/кх, и фобльулах
7. Элементарные функции школьного курса
Линейная функция у = ах + Ь
D(y) = R.
При а = О Е{у) = {Ь} (постоянная), все точки — точки
экстремума. При а Ф 0 -Е(у) = R.
При а > 0 возрастает на R. При а < 0 убывает на R.
Экстремумов нет.
График — прямая
У \у -ах + Ь (а > 0)
у = ах + Ь (а <
у°Ь(а = 0)
Функция y = kx — прямая пропорциональность (k>0).
Нечетная функция.
k1 = tga k2 = tg р
y = k2x
Квадратичная функция у = ах2 + Ь* + с (а * 0)
ад = д.
При а > 0 убывает на (-оо; xQ] и возрастает на [jc0; +оо),
*о = "~р~ точка минимума,
#о = У(хо) минимум.
При а < 0 возрастает на (-оо; х0] и убывает на [xQ; +оо),
л:0 = -г- — точка максимума, у0 = у(х0) —
максимум. Е(у) = (-оо; у0].
Вид графика — парабола.
Координаты вершины параболы:
Ось симметрии х = х0.
При а < 0 i/0 — наибольшее значение.
При а > 0 у0 — наименьшее значение.
у = ах<
Четная функция
D = Ь2 - 4ас> 0
JD = Ь2 - 4ас = О
JD = Ь2 - 4ас < О
Два корня л^ и х2;
график пересекает ось Ох
в двух точках.
Один корень xQ;
график касается оси Ох.
Нет корней;
график лежит по одну
сторону от оси Ох.
а>0
ХУ
0 х{
О X
а <0
Г\
/5,2

cAjizecffia & тпаолиирх,
7. Элементарные функции школьного курса
Дробно-линейная функция
ах + Ъ
У =
сх + d
(ad -ЪсФО)
Вид графика — гипербола
k «
у = - , где k = (be - ad)/cz.
Функция у = - (/г ?t 0).
#(y) = (-°°;0)u(0;+oo),
#te) = (-°°;0)u(0;+oo).
Два промежутка монотонности (-°°; 0)
и (0; +оо); при k < 0 функция
на каждом из них возрастает,
при k > 0 на каждом убывает.
Экстремумов нет.
Нечетная функция.
Вертикальная асимптота х = 0, горизонтальная у = 0.
*<о
Ау
обратная пропорциональность
Примеры дробно-линейных функций
3*-2 Q , 1
х - 1
**1;у *3;y =
* - 1
4^
2*-1 0 3
i/ = —— =2-
* + 1
*+ 1
3
= 6-2* = , , 3
У 2х - 3 2х - 3
**3/2;i/*-l;i/ = ^
<гт
Функция у = 4х
Функция у = \[х
D(y) = l0;+oo) = E(y).
Возрастает на D(y). Экстремумов нет.
Четностью и нечетностью не обладает.
• --г-
D{y) = ( -оо; +оо) = Е(у).
Возрастает на D(y). Экстремумов нет.
Нечетная функция.
*1
2
1
0
1
f I
1
I/= Jx
1
i
4
X
133

Шполмсал пАог/шлилш 4 7пш/лии4аоь и dofiMMMix,
7. Элементарные функции школьного курса
Степенная функция у = хп
у' = пх"- г
п = О; у = 1; D(y) - (-оо; 0) и (0; +оо); Е(у) = {1}.
п > 0, натуральное
п < 0, целое
п — четное
п — нечетное
п — четное
п — нечетное
D(y) = R
#G/) = [0;+oo)
D(y) = R
E(y) = R
#0/) = (-°°;0)и(0;+оо)
Щу) = (0; +°°)
Я(у) = (-с»;0)и(0;+оо)
i-i
Четная функция
Нечетная функция
Четная функция
Нечетная функция
п — не целое число
п > 1
0 < п < 1
п <0
1>(у) = [0;+оо) = Д(у)
£(!/) = (0;+оо) = Д(у)
Ч
Ч
у ♦
Сравнение графиков
степенных функций
w<0<v<u<l<t<s
134

сЛлгеака & тпхюлшл/мс,
7. Элементарные функции школьного курса
Показательная функция
у = ах (а > С; а * 1)
у' — ах • In a
Логарифмическая функция
1
y=log *(а>0;а*1) 1^ =
я • 1па
Е(У) = (0;+оо);
один промежуток монотонности;
экстремумов нет.
D(y) = (0;+oo);
Я(у)-Д;
один промежуток монотонности;
экстремумоз нет.
а >1
возрастает на R
а>1
возрастает на D(y)
Vi
а
0
1 1
м
1
X
0<а<1
убывает на R
0<а <1
убывает на D(y)
'А
е = 2,718281828459045... « 2,7 — основание натурального логарифма (log х = In x).
(ех)' = ех
(In л:)' = -
v ' х
bga*
d<c<1<а<Ъ
a<b<\<c<d
Тригонометрические функции
у = sin jc
у = cos *
У =tgx
л
[-1; 1]
R
[-1; 1]
(""I + **;! + 7ifc)&^Z
Д
^5

Школьная пЖсгкажлш &таолии/аос и фоклшлах,
7. Элементарные функции школьного курса
Тригонометрические функции (продолжение)
Бесконечное
множество
промежутков
монотонности
Точки
минимума
Точки
максимума
Минимумы
Максимумы
Нули
Промежутки
знакопостоян-
ства (у > 0)
Промежутки
знакопостоян-
ства (у < 0)
Период
Четность
Асимптоты
Производная
Графики
i
1
Убывает на
возрастает на
[-\ +2nk;l + 2Щ.
х = -\ + 2nk
x = \+2nk
-1
1
x =nk
(2nk; я + 2nk)
(-я + 2nk; 2nk)
2k
Нечетная
sin (-x) = -sin x
нет
cos*
у = sin x
У i
m\Zn/2
■-XL/
1
/ту*..».
Ojc/24 x
Убывает на [2я/г; я + 2nk];
возрастает на
[-я + 2nk; 2nk].
X = Я + 2я£
л: = 2яй
-1
1
X = g + Tlk
(rl+2itk;l+2itk)
(l+2nk;^+2nk)
2k
Четная
cos (-x) = cos x
нет
-sin*
l/ = COS X
^-1
I
1 5
o\t*l
Возрастает на каждом
промежутке
непрерывности
нет
нет
нет
нет
X = Я&
(я/г;?+яй)
(?+яй;я + яй)
я
Нечетная
tg(-*) = -tgx
Вертикальные
x=l+Kk
l/cos2*
У = tg л:
^
п1
и
о ; / *
/36

сЛлгата & таалии/аж
7. Элементарные функции школьного курса
Обратные тригонометрические функции
\D(y)
\Е(у)
Монотонность
Четность
Производная
Графики
у = arcsm x
[-1; 1]
1 2'2J
Возрастает на D(y)
Нечетная
1
(х*±1)
тс
2
-1
X
Й-
0 1 х
тс
2
у = arccos х
[-1; 1]
[0;я]
Убывает на D(y)
—
1
(х*±1)
Щ
-1 0
тс
2
1 х
у = arctg х-
R
1 2'2>
Возрастает на D(y)
Нечетная
1
1 + х2
yi
ТС
2
- '
к
"2
1 1
s*—
0 Лх
8. Основные приемы преобразования графиков
ftx + a)
\№ + ъ
-№
Перенос графика у = f(x) на вектор р (-а; 0).
Перенос графика у = f(x) на вектор р (0; Ь).
Симметрия относительно оси абсцисс.
&
A
\y=Jx + 2
/оЪ Tii _ 1
-2-1
| 1 2 4 x 1
р(-2;0)
У\
1
0
-1
f
<1 * 1
*(0;-1)
у\
lb
on
у = Jx
О ' *
У - -л/*
/J7

ишальпая nhctficu.u,<ija ^тгшалищюо и фсАжиьтх,
8. Основные приемы преобразования графиков
Л-*)
|Л*>1
ЛМ>
f(kx)
(ft >0)
kf(x)
(ft > 0)
Симметрия относительно оси ординат.
Часть графика в верхней полуплоскости и
на оси абсцисс без изменения, а вместо
части графика в нижней полуплоскости
строим симметричную ей относительно оси Ох.
Часть графика в правой полуплоскости и на
оси ординат без изменения, а вместо части в
левой полуплоскости строим симметричную
правой относительно оси Оу.
При ft > 1 сжатие к точке (0; 0) вдоль оси
абсцисс в ft раз; при 0 < ft < 1 растяжение от
точки (0; 0) вдоль оси абсцисс в 1/ft раз.
При ft > 1 растяжение от точки (0; 0) вдоль оси
ординат в ft раз; при 0 < ft < 1 сжатие к точке
(0; 0) вдоль оси ординат в 1/ft раз.
Г" Vi
0
Ц
-1 ч°|
-1|
0-(О,5)Г \
\
%
\
У\
у = sin2x
\ °
у = sin.г
\ Г
^т в 1
[ 1 ^
У =1*2-1|
У1 *
у = ж2 - 1
N11 1x1
М *
\7Л ь-
V —У °
у -- 2cosx
Л У ■= сосх
ш

сЛлгесюа, 4 тасглищоиь
9. График уравнения с двумя переменными
ах + by = с
Прямая линия.
(x-a)2 + (y-b)2 = R2
Окружность с центром (а; Ь) радиуса R.
/2 2
= д/а -х
Полуокружность с центром (0; 0) радиуса а.
у = а*2 + Ъх + с
Парабола вида у = ах2;
при а > 0 ветви вверх,
при а < 0 ветви вниз;
вершина
л: = ay2 + by + с
Парабола вида * = ау2;
при а > 0 ветви вправо,
при а < 0 ветви влево;
вершина
(х - а)(у -b) = k
k*0
Гипербола вида у = - ;
асимптоты х = a; i/ = Ь.
/^5

Шшкгьная п6офал<„аа 6 тплалаарх и cboAjbvu^mco
9. График уравнения с двумя переменными
Н + М-1
Квадрат.
\х-а\ + \у~Ь\ = г
ш и
т > 0, п > О
Ромб.
Н-Ы = 1
«Перекресток».
Если дан график зависимости F(x; у) = 0, то график зависимости F(x - а; у - Ъ) = 0 можно получить
переносом всех точек на вектор р(а; Ь); график F (\х\; у) = 0 можно получить, оставив часть
графика в правой полуплоскости и на оси ординат без изменения, а вместо части в левой
полуплоскости построить линию, симметричную правой относительно оси Оу; графике (я; \у\) = 0 можно
получить, оставив часть графика в верхней полуплоскости и на оси абсцисс без изменения, а вместо
части в нижней полуплоскости построить линию, симметричную верхней части графика относительно
оси Ох.
10. Квадратный трехчлен
[ Квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с — это
многочлен второй степени; а Ф 0 — первый
коэффициент; Ъ — второй коэффициент; с —
свободный член.
Выделение полного квадрата:
2^ь м ( а. Ъ\2 b2-4aC
График функции F(x) — ах2 + Ьх + с — парабола;
ь
координаты вершины xQ = - г- ,
_,. . Ь2-4ас D
D = Ъ2 - 4ас — дискриминант квадратного
трехчлена.
по

A^izccffia 4 тш/лшцыо
10. Квадратный трехчлен
Корни квадратного трехчлена
D<0
Квадратный трехчлен не имеет корней и
сохраняет знак первого коэффициента при
всех значениях х:
a-F(x)>0.
а<0
У*
Г\
а>0
\У
D = 0
Квадратный трехчлен имеет один корень
(два равных корня) х = х0 = -— •
У функции F(x) два промежутка знакопо-
стоянства, на каждом из которых она
сохраняет знак первого коэффициента:
aF(x) >0(х* Xq).
Парабола касается оси абсцисс в своей
вершине.
а<0
Vi
0
1
f\
а>0
1\
D>0
Квадратный трехчлен имеет два корня:
-b-л/Р -b + jD
*1 =
*2 =
2а ' ~2 2а
У функции F(x) три промежутка знакопо-
стоянства.
Теорема Виета
Если квадратный трехчлен ах2 + Ъх + с
(квадратное уравнение ах2 4- Ъх 4- с = 0) имеет корни
хх и х2 (т.е. D > 0), то
Ь с
*i + *2 = "V
х1 " Х2
Для приведенного (а = 1) квадратного
уравнения х2 + рх + q = 0
хг + х2 = ~Р> *Г *2 = Я.-
Обратная теорема: Если числа tг и t2 таковы, что
Ъ с
tx 4-t2 = — и tx • t2 = ~ , то они являются
корнями квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с
(квадратного уравнения ах2 4- Ьх 4- с = 0).
Пример. Квадратное уравнение х2 - (5 4- Jl )х 4- 5л/7 =0 имеет корни л; = 5; л; = л/7.
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
D<0
Квадратный трехчлен на линейные множители не раскладывается.
D>0
Z) = 0
ах2 4- Ьх 4- с — а (х - XjXa: - х2)
ад:2 4-Ь^4-с = а[д:-2-1
141

Сшсальшш пбсгбалла ёгпхюлшл/алс, и, cbcfiMUMix,
10. Квадратный трехчлен
Составление квадратного трехчлена с корнями t1 и t2
Существует бесконечно много квадратных
трехчленов с корнями t1nt2; они имеют вид
а(*2-(*1 + *а>* + *Г*2>»
среди них один приведенный:
х2 - (*! + t2)x + tx • t2.
Пример. Приведенный квадратный трехчлен с
корнями 2 и 8.
х2 - 10* + 16,
так как 2 + 8 = 10, 2 • 8 - 16.
Корни квадратного трехчлена ах2 + Ъх + с
положительны, если
хл • х0 — — > 0
Ч '*2
a
*1+*2 = ">0
Z) = &2-4ac>0
отрицательны, если
*1'Х2 = ->0
хг+х2 = <0
D = Ъ2-4:ас>0
одного знака, если
Хл • х9 = — > 0
п л2
а
D = Ь -4ас*>0
разных знаков, если
с
х1 ' х2
<0
11. Прогрессии
Последовательность — функция натурального аргумента.
Задание последовательности формулой общего
члена
an = f(n),n<z=N
ап = п2 + п + 41
ах = 43; а2 = 47; а3 = 53;
Задание последовательности рекуррентным
соотношением
Дано: аг;а2; ...;аЛ_!
ал=/К_1;а/г^2;...;а1)
Числа Фибоначчи: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ... . (аг = а2 — 1; ап + 2 = ал 4- ал + а)
Формула общего члена: ап = -jz((—~] -Г 2 ] J.
Свойства: ^ + 03 + ^ + ... + а2д + 1 = а2л + 2; а2 + а4 + аб + ... + а2п = а2л + 1 - 1.
Арифметической прогрессией называется
последовательность, заданная рекуррентным
соотношением: ап + a = an + dy n e j\r
(ax — первый член прогрессии, d — разность
прогрессии).
Геометрической прогрессией называется
последовательность, заданная рекуррентным
соотношением: Ьп + х = ЬЛ • g
(&! 5* 0 — первый член прогрессии; q Ф 0 — зна-
менатель прогрессии).
/#£

Ллш/fia & тааяаа/zoo
11. Прогрессии
Допустимые значения
Формула общего члена
Характеристическое
свойство
Формула суммы
п первых членов
Другие формулы
Арифметическая (-н)
axYid любые
аЛ = ах + (и - 1) • d
а» + 1+ап-1
2 =а»
а3 +ал 2ах +(тг-1)й
^""^ 7 Г„ „Л
~ и» \Н 4- пЪ)
п-т
an+l==Sn + l~Sn
а1 + а71=а2 + аЛ-1==-==аЛ
+ ал-* + 1
__________ п
Геометрическая (^) 1
Ъг и g не равны нулю
^-Vg»-1
Л + 1 Л - 1 Л
!*1,S»"T7 J'
g = l,Sn=n-bx
bn + 1 = Sn +1 ~ Sn
bl'bn=b2'bn-l = - = bk
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (0 < \q\ < 1)
lim qn = 0, S = lim Sn = —^ .
7l-»00 7l->00 1 —q
Формула суммы:
1-?
1 Л
l-g
l-g
A-ft + l
Примеры
0 Я7 Я7
0,(37) = 0,37 + 0,0037 + ... = ^-^ =-
(Ъг = 0,37; g - 0,01)
0,5(2) = 0,5 + 0,02 + 0,002 + ... = | +
1 2 47 „ л ло л „ч
= 2+90=90(61=г0'02;9 = 0'1)
0,02 _
1-0,1
Суммирование
1 + 2 + 8 + 4 + ... + п-2^^; l2 + 22 + ^ + 4^... + n^ra(ra + 1frt+1)
О
13 + 23 + 33 + 43 + ... + п3=" (".+ 1)
Примеры
Если аЛ арифметическая прогрессия, то
1 i г . х ■ • х
Г а1*ап + Г
*За4 ал'а11 + 1
Все натуральные числа, дающие при делении
на 7 в остатке 5, имеют вид
ап = 7(тг - 1) + 5 = In - 2, п е ЛГ.
143

Штльпал пбогбаааш, &таоСширх и фсЬмииаос
12. Тригонометрическая окружность
Тригонометрической (единичной) окружностью называется
окружность с центром в начале координат, радиуса 1. Точки
единичной окружности можно поставить в соответствие
действительным числам. Числу 0 ставится в соответствие точка
Р0(1; 0), а каждому числу t ставится в соответствие точка Pv
полученная поворотом точки Р0(1; 0) на угол t вокруг начала
координат (если t > 0, то поворот осуществляется против
часовой стрелки, если t < 0 — по часовой стрелке).
Таким образом, каждому действительному числу t
соответствует единственная точка на единичной окружности Pv
а каждой точке Pt — бесконечное множество действительных
чисел вида t + 2nk, k^Z.
Длина дуги P^Pt = t (0 < t < 2п).
I четверть: 0 + 2nk < t < | + 2nk.
II четверть: \ + 2nk < t< n + 2nk,
III четверть: п + 2nk < t <y + 2%k .
IV четверть: у + 2nk < t < 2n + 2nk.
Связь градусной и радианной мер: ос° = к • I rjrjp 1 (радиан); х (радиан) = I - • 180 ] .
Две точки, симметричные относительно
оси абсцисс
оси ординат
начала координат
a = ±t +271771, 771 ^Z
а = (-1)"* + ял, п е Z
а = t + nky k e Z
Вершины правильного л-угольника,
вписанного в единичную окружность
(одна из вершин Pt).
ч
а
2л 7 ,
t+ —-k,k<^Z
п
Pt(a;b)
P-t ~ °2K-t
р^Ы-ь) рц+^~^
(ft; a)
Р^(-а;Ь) Р*Л_У' а) Р_,(а;-Ь)
Ш

сЛлгесига 4 ттьш/лшцаж
13. Тригонометрические функции
Косинусом числа * называется абсцисса точки Pt
единичной окружности, а синусом — ордината
этой точки.
_V Pt(cost; sin*)
1 х
tg* =
Тангенсом числа * называется отношение sin * к
cos * (cos t Ф 0).
sin*
cos*
Ось тангенсов — прямая х — 1.
Котангенсом числа * называется отношение
cos * к sin *.
cos*
ctg* =
sin*
(sin * * 0)
Ось котангенсов — прямая у = 1.
N (ctg t; 1) J
к
k;
'i
~S
Ы
У = 1
1 *
M(l;tet)
x = l
Основные формулы
Дополнительные формулы
sin2 * + cos2* = 1, t e R.
sin* n
tg * = 1 ,^5 + nfc, Л е z
& cos* 2
cos*
ctg * = -г— yt*nl,l^Z
& sin*
1 + tg2* = 2~ > * * I + лт, m e Z
cos *
1 +ctg2*= —J"*»**w*,*ez
sin *
тег
tg*-Ctg* =1,^t,^Z
Формулы приведения
преобразуют
тригонометрические функции чисел 5 ~" ее,
тс Зтс
о + а, тс - а, тс + а, -z— а,
Зтс
-г- 4- а в
тригонометрические функции числа ос ^ R.
(Удобно считать а углом
первой четверти.)
cos *
sin *
tg*
тс- а
-cos а
sin а
-tga
тс + а
-cos a
-sin a
tga
тс
2~а
sin a
cos a
ctg a
+ а
-sin a
cos a
-ctg a
Зтс
-а
-sin a
-cos a
ctg a
Зтс ,
у +а
since
-cos a
-ctg a
Периодичность
Четность
cos (* 4- 2тс) = cos *
tg (t + тс) = tg t
cos (-a) = cos a
sin (* 4- 2tc) = sin *
Ctg (t + 7t) = Ctg *
rctg = *
sin (-a) = -sin a
tg (-a) = -tg a
145

пал
nho^hoALAUi ётаалшщх и, фсАлшиах
13. Тригонометрические функции
Значения тригонометрических функций некоторых углов
а, рад
О
л/6
л/4
л/3
л/2
Зл/2
а
0°
30°
4. °
о
60°
90°
180°
270°
757"
Л
sin а
1
2
Л
2
-1
cos а
7з
2
72
1
2
-1
tga
Л
л
не опр.
не опр.
ctga
не опр.
л
_i_
л
не опр.
Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
а
sin а = -
с
tg a =
cos a e -
с
ctg a - -
Приближеные значения тригонометрических функций некоторых углов
a
5*
10°
20°
30*
40°
50°
60°
70°
80°
85°
since
0,09
0,17
0,34
0,50
0,64
0,77
0,87
0,94
0,98
1,00
■ cos a
tga»
0,09
0,18
0,36
0,58
0,84
1,19
1,73
2,75
5,67
11,43
'ctga
85°
80°
70°
60°
50°
40°
30°
20°
10°
a
Для малых положительных чисел sin a = а и tg a = a.
Знаки тригонометрических функций по четвертям
sin a
cos a
tg a и ctg a
146

^ължмш, 4 таал(ща<ь
13. Тригонометрические функции
Способы нахождения значений тригонометрических функций числа (угла) а
по формулам
cos а = -0,6; II четверть
|sin а| = л/l -cos2cc = Vl-0,36 = 0,8
sin a > 0 => sin a = 0,8
sina 4
tga=c^s^=-3
1 3
ctga=ti^=-4
ctg a = - rx ; IV четверть
1 л _l. * 2 169
sin a "*
i- I 12
lsmal = i3
Л 12
sin a < 0 =* sin a = -Tg
. , Г ГТ" /, 144 5
|cosa|=Vl-sina = ^l-jgg=I3
cos a > 0 =* cos a=rg
1 12
no вспомогательному треугольнику i
_ - —t
tg a = 3; III четверть j
i
l
3
sin a < 0 => sin a = --7=
Vio j
R44s/Jo cosa<0=>cosa =—r=
' ^^ ctr* c/ > 0 —$ rttr cy
sin a — 0,1; I четверть
l
л/99 1
ч^ cos a > 0 => cos a = -гт- i
^Ss^ 1
>w tg a > 0 => tg a = -=
799 ctg a > 0 => ctg a = ^99
Формулы сложения
cos (x + i/) = cos л; cos у - sin x sin i/
cos (x - y) = cos # cos у + sin # sin у
sin (л: + у) — sin x cos у + cos x sin у
sin (x - y) = sin x cos у - cos # sin у
1 tgx + tgy л
J/ * i + Tin; x + у * | + Tin, n^Z
h/ * | +кп;х-уф^ + Tin, д е Z
Формулы двойного угла
cos 2x — cos2x - sin2x
cos 2x — 2 cos2jc - 1
cos 2л: = 1 - 2 sin2x
sin 2л: = 2 sin л: • cos л:
tg 2л: = 2^- ;
1-tg2*
x * ^ + тг/г, k e Z
/47

Шкальшия пЛофажжа ётааясщаос и фо/иьиимюо
13. Тригонометрические функции
Формулы понижения степени
cos2# = 5 (1 + cos 2*)
sin2x = 5 (1 "■ cos 2л:)
(sin x + cos л:)2 = 1 + sin 2л:
Формулы половинного угла
|| Х] /l+COSX
'cos 2 ' = л/ 2
1, . x, /l -cos*
ism2"l=V—2~
\._x sinx 1 -cos*
g 2 l + cosx sinx *
\x * nky k e Z
Дополнительные формулы
1 4- cos 2л; = 2 соз2л:
1 - cos 2л: = 2 sin2*
sin x • cos x = 5 sin 2л:
Универсальная подстановка
'-'41) 1
cos х — ■
. 41)
sm x —
1+t4!)
x Фк + 2nk, k^Z
Формулы преобразования
суммы в произведение
х + у х—у
cos х + cos у = 2 cos 2 ' • cos ——
Л . л; + г/ . л:-у
cos л: - cos у — -2 sin —jt— • sin —r—
Л . х + у х-у
sm л: + sia у = 2 sin —77— * cos —г—
Л . *~У * + */
sin л: - sin у — 2 sin —75— • cos 2
sin^ + i/) л х sin(*-y)
tg JC + tg l/ — ~ tg JC " tg I/ — '
ь & * cos л; • cos у * cos л: • cos у
Clg X 1 С tg I/ — . . Clg JC "" Ctg I/ — .
ь & * sin X • sin у & & * sin x • sin у
произведения в сумму
cos x • cos у = 5 (cos (*""#) + cos (* + £/))
sin л: • sin у = ~ (cos (л; - i/) - cos (x + */))
sin л: • cos У = 9 (sin (л: 4- у) + sin (л: ~ у))
Формула дополнительного угла'
I / 2 2
a cos л: + Ь sin л: = л/а + fc • cos (х - а), где cos а =
■ air» Г/ — ..■ ■. . /y2 _L Ii2 -X А
■ « bill 1л . . • u» г l/ *■ v
/ 2 , . 2 / 2 , . 2
Va 4-b *Ja +b
148

^4кЛ2€*та 4 таал(ща<ь
14. Логарифмы
Логарифмом положительного числа а по
положительному и не равному единице основанию Ъ
называется показатель степени, в который надо
возвести число Ь9 чтобы получить а.
logb а = с (а > 0; Ь > 0; Ь * 1) тогда и только
тогда, когда Ъс = а
Основное логарифмическое тождество:
\ogba
о = а.
Примеры
5l0g57=7
2,Og2°'7=0,7
logo 3 з log2 3 log? 3 3 „
8 2 =(23) =(2 ) =33 = 27
log, 8 = 3, так как 23 = 8
log9 27 = 1,5, так как 9 =27
log0 25 16 = -2, так как 0,25-2 = 16
log25 Jb = 0,25, так как 250>25 = JI
log9 (-7) не определен, так как -7 < 0;
log(_2) (-8) не определен, так как -2 < 0, -8 < 0;
logj 27 не определен, так как не выполнено условие 6*1.
Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами: log10 a = lg о.
Примеры
lgl00 = 2; lg 0,0001 =-4; lg 100000000 = 8;
3<lg2156<4; -Klg0,56<0.
6
8
lga =
0,30
0,48
0,60
0,70
0,78
0,85
0,90
0,95
Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами: loge a = In о.
e = 2,718281828459045... иррациональное число; е ~ 2,7.
6
8
10
100
1000
In a =
0,69
1,10
1,39
1,61
1,79
1,95
2,08
2,20
2,30
4,61
6,91
Свойства логарифмов
Основные соотношения
Дополнительные соотношения
logal =
l0ga \ ш
loga a =
log ma
а
loga am
0
= -1
1
_ _1
т
= т
log m а = —
а т
Логарифм произведения:
logc (ab) = logc a + logc b.
Логарифм частного:
logc (a/b) = logc a - logc b.
Логарифм степени:
logc ak = k logc a.
Переход к новому основанию:
. bgca
l0^a = bi7b-
bga b =
log&a
log mbn = — logfl b
m
logn b logm b
=log.b
logn с logm с
logn b • logm с = log^ b • logn с
\ogn b \ogn a
a — b
149

ишк.1ьшия пЖогбалилса Зтпш/лсщах и фоклшмгос,
14. Логарифмы
Примеры
г
>g65
= 510*5б=6.
Vlog549 1og725 =Vlog749-log525 =
= 72^2 =2.
Сравнить: 4 и 6
logo ^ logo 6
Так как 6 =4 и log3 7 > log3 6,
bg37 ^ bg34
то 4 > о
Сравнение логарифмов
Если 0 < а < 1 и 0 < хг < х2, то loga хг > loga x2.
(знак неравенства меняется)
Если а > 1 и 0 < Xj < х2, то loga хг < loga *2.
(знак неравенства не меняется)
Если К а <Ь их>1, тоlogaх > logb х.
Если 0<а<Ь<1их>1, тоlogaх>logbx.
Если1<а<Ь и0<х<1, тоlogaх<logbx.
Если 0<а<Ь<1иО<*<1, тоlogaх<logbx.
1°8ъ а > 0 тогда и только тогда, когда
положительные числа а и Ъ лежат «по одну сторону от
единицы» : а > 0; Ь > 0 и (а - 1)(Ь -1) > 0.
logb a < 0 тогда и только тогда, когда
положительные числа а и & лежат «по разные стороны от
единицы»: а>0;Ь>0и(а- 1)(Ь -1) < 0.
Примеры
log0J 0,2 <log0J 0,11
IoSo,2 7 > loSo,8 7
log62<log6ll
log57>log87
log4 5 < log3 5 < log3 6 =>
=> log4 5 < log3 6
Сравнить log415 и л/17.
Так как log415 < 4, а Vl7 > 4, то log415 < л/Г7,
Сравнить log3 4 и log4 5.
I способ.
log3 4 ? log4 5
log34-l ? log45-l
?
, 4
bg33
, 5
4 5,4,5,5
Так как з > ^ , то log3 ^ > log3 ^ > log4 j s
т. e. log3 4 > log4 5.
II способ. Рассмотрим функцию
t, ч , ^ ,ч 1п(л;+1)
/<X)-lQgx(X+l)= ^ Щ>И*>1.
In* _ 1п(* + 1)
X + 1 *
(In*)2
_х-1п* - (х + 1) 1п(* + 1)
*(* + 1) (In x)2
прия>1.
Значит, log3 4 > log4 5, так как функция
f(x) убывает..
150

cArizeofia 6 таалииаъ
15. Уравнения
Корнем уравнения называется значение
переменной, при подстановке которого в уравнение
получается верное равенство.
Два уравнения называются равносильными, ее- \
ли множества их корней совпадают.
Примеры
х3 + х = О — один корень: х = 0.
(х2 •+• х - 12) • Jx + 3 = 0 — два корня:
х =-3, х =3.
sin (лх) = 0 — бесконечное число корней xGZ.
х2 + 2л: + 1 = (я -Ь I)2 — верно при всех х ^ jR.
х2 = х2 + 1 — нет корней (пустое множество
корней 0).
х2 = л;т2 и х2 - х - 2 = 0 равносильны.
х4 + 2 = -16 и sin3r = 2 равносильны.
Jx =2х-6 и х = (2х - б)2 неравносильны.
Неравносильные преобразования могут привести к:
потере корня
появлению «посторонних •> корней
х(х + 5) = 2х
х + 5 = 2
х = -3
Потерян корень х = 0.
правильное решение:
х2 + Ъх - 2* = 0
х2 + Зх = 0
х(х + 3) = 0
х = 0; х - -3
х* + х~1 = 4х-3
х~1 х-1
х2 + х-1=4х-3
х2 - Зх 4 2 - 0
х - 1 и х = 2
«Посторонний» корень л: ~ 1.
праз:г л ное решение:
Xй + х-1 = 4л:-3
х*1
х2-Сх + 2 = 0
Ответ: х = 2.
Методы решения уравнений
Разложение на множители
Произведение нескольких множителей равно
нулю, если хотя бы один из них нуль, а
остальные при этом существуют.
(х - 1)(х2 - 4) • Jx = 0 <=>
Ответ: 0; 1; 2.
х = 1
х = ±2
х = 0
х^О
<=>
X - 1
х = 2
х = 0
Замена переменной
(х +1)4 + х2 = 1 - 2х <^> (г + 1 )4 + (х2 + 2х +1) = 2 <=>
t = (х + 1) >0
.t'+t-2 = 0
х = -2
х = 0
* = 1
. в _2 <=> * = 1 <=>
t>0
Сравнение обеих частей по величине
sin7 х - cos22 x = 1 <=> sin7 x = 1 4- cos22 x,
sin x ^ 1
1 + cos х>1
sin x « 1 fsin.r
*2 ^ 1
cos" x = 0 Icosx = 0
<--><=> д; ■= - + 2nn, n^Z
151

Ишсльпал nf?xxfuLAtjm' fimat/лещаоь и, фсАлммаэь
15. Уравнения
Использование монотонности
2х + 5* = 29. Функция f(x) = 2х + 5х возрастает; /(2) = 29 =» х = 2 — единственный корень.
Использование однородности
3(х+8)2-4(х + 8)(х2 + 2х + 2) + (х2 + 2х + 2)2 = 0. Пусть х +8 = а; х2 + 2х + 2 =Ь.
Тогда За" - 4а& + Ь* = 0, а^ 2 = » ; а = 0 или а = о "
* + 8 = x2 + 2x + 2
х2 + х - б = О
#■« == о J Xn = Z
3x + 24 = *2 + 2x + 2
*2-*-22 = 0;
1+789
*3,4 О
Ответ: -3; 2;
1-789 1+789
Линейные уравнения (приводимые к виду а* = Ь)
а *о
один корень х =
а = Ь =0
бесконечное множество корней х е Д
а =0, Ь*0
решений нет
Квадратные уравнения (приводимые к виду ах2 + fex + с = 0 (а * 0))
Ь\2 _ &2-4ас
(о V
Х + 2") =
Наличие корней зависит от знака выражения: D = Ъ2 - 4ас (дискриминант квадратного уравнения).
4а"
!)<0
корней нет
D = 0
один корень х = -«-
л: =
D > 0 два корня
2а
75 -& + Jd
— • у- = -1
'х 2а
о>0 \iy
■К/
а>0
*У
*0 *
1Z
Частные формулы для решения квадратных уравнений
Приведенное квадратное уравнение
x2+px+q=0 (a = l)
Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом
ах2 + 2kx + с = 0 (Ь = 2й)
^ л -р±75
Если jD > 0, *^ 2 = -^-^ ;
р
если!) =0, # =-о*
D* = k2-ac (D*=JjD)
Если!) > 0, х« 9 = -—; если!) = 0, х =
/52

Аягеа/ш £ таялиирх
15. Уравнения
Неполное квадратное уравнение
ах2 + с = О (Ь = 0)
ах2 + Ьх = 0 (с = 0)
ах2 = 0
Если ас > О, решений нет;
если ас < 0, х = ± / — .
А/ а
л*(а.г + Ь) = 0 два корня:
Ь
л: = 0, х =-- .
а
один корень
* = 0
Алгебраические уразнения высших степеней
(приводимые к виду /(#) = 0, где f(x) — многочлен степени выше 2)
Разложение на множители
хг - 2х2 - х + 2 = О
х2(х - 2) - (х - 2) = О
(х - 2)(х2 - 1) = 0 => х = 2; * = ±1
Подстановка (биквадратное уравнение)
х4 - Зл:2 + 2 = 0; *2 = t
t2-Zt + 2 = 0
* = 1;* = 2=>л: =±1; x=±j2
Применение схемы Горнера
Xs - 4х2 + х + 6 = О
-1
2
3
1
1
1
1
-4
-5
-3
0
1
6
0
6
0
=*х = -1
=>х = 2
=>х = 3
Использование монотонности
х3 + х-6*/б =0
Функция -Р(лг) = х3 + я; возрастает на R;
Дл/5) = 6л/5 =>
х = Jb — единственный корень.
Возвратное уравнение
2л:4 - 5л:3 + 6л:2 - Ъх + 2 = О
Так как л: = 0 не является корнем, можно делить
нал;2.
2л:2 - Ъх + 6 - - + 4 = О,
X 2
Подстановка: у = х + - ; у2 - 2 = х2 4- -g.
* л:
2(i/2 - 2) - 5у + 6 = О
2у2 - Ъу + 2 = О
Использование однородности
Zx2 + 4*(х2 + Зл; + 4) + (л:2 + Зл: + 4)2 = О
Пусть у = *2 + Зл: + 4.
Тогда Zx2 + 4л:1/ + i/2 = 0.
Решаем относительно х: х = -i/; л: = -« */•
Следовательно,
х = -л: -Зх-4
Зл: - -л:2-Зл;-4
Ответ: -2; -3 ±л/б .
Уравнение V/(#) — g(x) равносильно системе:
/(*) = g\x)
g(x)>0
Уравнение Jf(x) = Jg(x) равносильно системе:
/(*) - Л*)
/(л:) ^ 0 (или g(x) Z 0)
Неравенства в системах, как правило, проверяют, а не решают.
ш

Чишмьпая п^югралиш £ тасииирх и фо^+лшлах
15. Уравнения
Иррациональные уравнения
Простейшие
J3x + 1 = 2
Зх+1 = 4
* = 1
Vl-2x =-5
корней нет
Возведение обеих частей уравнения в степень
[5x + 6>0;3* + 4^0
л/5х + 6 + л/3* + 4=2<=> i 5* + 6 + Зх + 4 + <=>
1+2л/(5л; + 6)(Зх + 4) - 4
<=>
<=>
Г5* + 6>0
U(5x + 6)(3x + 4) - -4л:-
Г5х + 6>0;-4*-3£0
l(5;e + 6)(3x + 4) - (-4*-^
<=>
<=> #=-1
Замена переменной
л/2-* = 3* + 8
Пусть I/ = л/2 -ж > 0.
Тогда лс = 2 - у2 и у = 3(2 - у2) + 8 <=>
У>0
3i/2 + i/-14 = 0
<=> i/ = 2 <=> л/2~д: = 2 <=> * = -2
Уравнения, связанные со степенной функцией
Гк 2/3 , 1/3 л л
\Ъх +х -6 = 0
\х>0
у = х >0
5y2 + y-6 = 0=>z/ = l;i/=-
х1/8 = 1 => л; = 1
6 л
о
537? + V* -6 = 0
5у2 + у-6 = 0
y = V* =i,y = V* =-г
-(!)3-
216
125
Ответ: х = 1; х = -
216
125 •
1 2 4
3 3
\х ■ х
[х>0
м
3 3
X —
х2 = 4
ж =±2
Ответ:
= 4
4
*=2
Показательные уравнения
Решение простейших показательных уравнений
основано на монотонности показательной
функции у = а* (а > 0, а * 1, !>(*/) = Я, Я(у) = (0; +оо)).
Простейшее показательное уравнение а* = Ъ
при Ь > 0 имеет единственное решение,
записывающееся в общем виде х = loga Ь.
При Ъ < 0 решений нет.
6* = 36
*=log636
* = 2
J 8
х =log2(1/8)
х =-3
100х =10
*=log10010
ж = 0,5
10х = 3
*=lg3
# =1п2
625х = -25
решений нет
Уравнения вида af^ = а8^ равносильны уравнению f(x) = g(x).
154

cAsizeofza & таолидщоь
15. Уравнения
Методы решения показательных уравнений
[ Приведение к одному основанию
X
5*-0,2= 1252V5
Зх 1
5* • 5"1 = 5 2 • 52
дх + 1
5*-г= 5 2
Зх + 1
\ х - 1 = —5— => а: = -3
Вынесение за скобку
7* + 7* + 2 = 350
7*(1 + 72) = 350
гг* 350
7х = 5 = 7
1 + 72
* = 1
Логарифмирование обеих частей уравнения
6i/*.2* = 12
Логарифмируем по основанию 2:
-log26 + jc =log2 12<=>
о 1 + log2 3 + х2 = (2 + log2 3)x
*2 -(2 + log2 3)х +(1 + log2 3) = 0
Ответ: х = 1; л: = 1 4- log2 3.
Составление отношения
4* + 3*-1 = 4*~1 + 3* + 2
4* — 4х ~ * = 3х + 2 — 3х ~ *
4*-i(4-l) = 3x-1(33-l)
4*-1-3-8*-1-2в
4х"1 26 /^Ч*-1 26 26 ,
«Завуалированное» обратное число
(л/б -2)х +(Л + 2)* = 18
(V5 -2)(л/5 +2) = 5-4 = 1
Пусть (л/5 -2)* = i/ >0
у +- = 18=>1/=9±4л/5
(л/б -2)* = 9-4Уб -
-(л/5 -2)2=>* = 2
(л/б -2)* =9 + 4^5 =
-(л/б +2)2 = (7б -2Г2=>х=-2
Ответ: 2; -2.
Замена переменной
25* + 5* + 1-6 = 0
5х = у > 0
i/2 + Ъу - 6 = 0
i/ = l;i/=-6<0
5* = 1 => х = 0
Использование однородности
3-16* -12* = 4 -9*
Делим на 9х > 0:
3'Ы -(■») -4
зС1Г-С1Г-4-°
^4Л*
Пусть!-J =у>0=»
3i/2-i/-4 = 0=>
4 ., л
(1Г=1^=1
Использование
монотонности
2х + 5* = 29
/(#) = 2х + 5х возрастает
наR. /(2) = 29 => х = 2 —
единственный корень.
Логарифмические уравнения
Решение простейших логарифмических уравнений основано на
монотонности логарифмической функции
y=logax(a>Q;a*l;D(y) = (Q;+oo); E(y) = R). J
/55

Школьная nfwzfacLALAUL & тси/лшцях и фскльилах
15. Уравнения
Типы простейших логарифмических уравнений
1) loga х = Ъ при всех допустимых а имеет единственное решение х = аъ.
2) loga (f(x)) = Ь равносильно уравнению f(x) = аь.
3) loga (f(x)) = g(x) равносильно уравнению f(x) = а^х\
4) loga (/(*)) = loga (g(x)) равносильно системе:
f(x) = g(x)
f(x)>0
g(x)>0
Причем любую из двух последних строк можно (и, как правило,
нужно) опустить.
В логарифмических
уравнениях, как правило,
совершенно не обязательно
находить области
существования функций,
входящих в уравнение.
Достаточно проверить, какие
из полученных корней
уравнения системы
удовлетворяют неравенствам
в системе.
Уравнения, сводящиеся к типу 4
log2 (х2 + х - 2) = 1 + log2 х «=> log2 (х2 + х - 2) = log2 (2*) <=>
\х2+х-2 = 2х \х2 -*-2 = 0
2х>0 U>0
* = -1
х = 2 *>х = 2
I х>0
Замена переменной
lg2(^)+lg* = 7
(lg 10 - lg x)2 + lg x = 7
у = lg x =>(1 - у)2 + у = 7 =>
J/ = 3 Г lg x = 3
у = -2 [ lg x = -2
Ответ: х = 1000; x = 0,01.
Потенцирование уравнений, сводящихся к типу 4
log1(x + l)+logjf\=2-2log1(x2)&logl(x + l)-log1l = logi д
-l0g!(x2)<=>
3
х>0
2(* + 1) . 1 «<
logi = log! —5
3 х §9*
х>0
2(* + 1) _ 1 о
9*2
О *
л/П-з
Уравнение с неизвестным в основании логарифма
logx 5 = 3 о
х>0
л: = 5
Ответ: zJb.
log 2 л: =0,5<=>^
х ■
*>0
2 0.5
<=:> i
*>0
xtl
<
**-i
1*1-ж
Ответ: х е (0; 1) и (1; +°°).
log(_x) 25 = -2
*<0
I ("*)~2 = 25
Ответ: х = - г ,
о
дг<0
**-1
* 25
156

сЛлгссНм 4 тпаолищах,
15. Уравнения
Тригонометрические уравнения
sin х — а
cos х = а
\а\>1
Н<1
|а|>1
Н<1
решении нет
решении нет
л: = (-l^arcsin а + ял, n^Z
-arccos а
х = ± arccos а + 2ял, n^Z
При |а|< 1:
Я Я
" 5 ^ arcsin а < р
sin(arcsin a) = а
arcsin (-а) = -arcsin а
arcsm а
arccos а
72
2
2
arcsin а + arccos а
При \а\< 1:
О < arccos а < я
cos(arccos а) = а
arccos (-а) = я - arccos а
tg х = а
ctg jc
х = arctg а 4- ял, n^Z
х = arcctg а + ял, л
Z
arcctg а
я+arcctg а
При любом а:
я , я
-g < arctg а < -
tg (arctg а) = а
arctg (-а) = -arctg а
arctg а 4- arcctg а = ^
При любом а:
О < arcctg a < я
ctg (arcctg 0) = а
arcctg (-а) — я - arcctg а
Частные решения
х = пп, п
я = 2лл, л
/5/

сшшль'ная пЬсгЬалилш, ётпаолищюс и, фоклсгьлах
15. Уравнения
sin (f(x)) - a
при|а| < 1:
Г /(х) =* arcsin а + 2пп
1 L f(*) = к-arcsin а + 2кп
\ n^Z
cos (/(*)) - a
при |a| < 1:
/(*) — ±arccos a+ 271/1
/IGZ
tg (/(*)) = a
при всех a:
/(*) = arctg a + Tin
n GZ
Методы решения тригонометрических уравнений
Тригонометрические уравнения, приводимые к уравнениям от одной
тригонометрической функции одной переменной, решаются (как
правило) подстановкой.
sin2 х + 4cos x = 2,75
1 - cos2 x + 4cos x = 2,75
cosx = t; \t\<l
t2-4* + l,75 = 0
1 7
\*m2;t'2>1
tf = ±g +27171, П GZ
tg x + 3ctg x = 4
tg* + tf^=4
tgx = t
t2 -At + 3 = 0
t = 1;* =3
7C
# = 7 +%n u<- r*
4 riyk^Z
x = arctg 3 + 7сЛ
cos2 x + cos Ax = 0,25
0,5(1 + cos 2x) + 2cos2 2x
cos 2x = u; |u| ^ 1
Au2 + u- 1,5 = 0
1 3
U = 2;U=~~4
1 3
x = ±~ arccos(-7 ) + яга;
д: =±£ +пп, n^Z
-1 = 0,25
Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к ним
2sin х • cos x - cos2 x = 0
cos #(2sin л: - cos x) = 0
| cos я = 0 => я = 5 + пп, п <^Z
[ 2sin x - cos jc = 0
Корни уравнения cos x = 0 не удовлетворяют
| этому уравнению.
! Делим на cos x *0:
j 2tgx-l = 0;
1 я = arctgo + ш, n e Z
5sin2 jc + sin л: • cos x - 2cos2 x = 2
5sin2 # + sin л; • cos л: - 2cos2 я = 2cos2 x
3sin2 л: + sin x • cos x - 4cos2 л: = О
cos x Ф 0. Делим на cos2 я:
3tg2 x + tgJt-4 = 0=»tg* = l; tg z =
К , 4
* = 7 + 7m; x = -arctg^ + :t#;
rtyk GZ
+ 2sin2 x
4
3
I Разложение на множители
) 72 sin # • cos * - 2 = cos x -2j2 sin x
l J2 sin jc • cos x ~ cos #-2 + 272sinjc = 0
j cos x(V2sin x - 1) - 2(1 - 72 sin x) = 0
| (72sin * - l)(cos x + 2) = 0
72sin*-l = 0
_ cosx + 2 = 0
1
72
cos x = -2, корней нет.
158,

сЛьЛяес/ра, £ толпищах,
15. Уравнения
Уравнения, решаемые на основе условия равенства тригонометрических функций
sin f(x) = sin ф(х)
f(x) = y(x) + 2nk
lf(x) = тс-ф(л0 + 2тсл
nS=Z,k<^Z
cos f(x) = cos ф(х)
f(x) = ф(л:) + 2тг;г
f(x) = -ф(*) + 2тс£
n e Z, A; e Z
tg ftx) = tg ф(*)
/(*) = ф(#)+тсл
Ф(#)*о+я*
n^Zyl^Z
Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
arcsm х = а
arccos х = а
arctg х = а
arcctg л; = а
ТС ТС
х — sin a
О** а < тс
jc = cos а
тс тс
"2<а<2
х =tga
0 <а <тс
х - ctg a
тс тс
а < -р или а > 5
решений нет
а < 0 или а > тс
решений нет
а < -- или а > р
решений нет
а ^ 0 или а > те
решений нет
Уравнения с параметрами
2* + 3 Л
Решить уравнение = 0 для каждого зна-
х - а
чения а.
Данное уравнение равносильно системе
[2х + 3 - О
U - а*0
ж = -;
х*а.
3 3
Ответ: при а * -- х = ~п>
при а = ~5 решении нет.
Найти все такие значения/?, для которых один
из корней уравнения х2 - Зрх + 2/?2 = О равен
1, и для каждого такого значения/? найти
остальные корни.
Для того чтобы один из корней уравнения был
равен 1, необходимо и достаточно, чтобы
12-3/?-1 + 2/?2 = 0, т.е.2/?2-3/? + 1 = 0,
, 1
Прир = 1 х2 - Zx + 2 = 0, хх = 1, х2 = 2;
1 2 3 ^х п 1 *
при/? =^ дг ~ 2 * + g = °» *i в х> *2 s 2 •
Ответ: при/? = 1 и при/? = ^ • При/? = 1 х2 = 2;
1 1
при/? =2 *2= 2*
При каких значениях а уравнение 4* - (а + 2) 2х + 2а = 0 имеет а) хотя бы одно решение; б) ровно
одно решение; в) более одного решения?
Сделаем замену 2х = t, t2 - (a + 2) • t + 2a = 0, tг = a, *2 = 2.
2* = 2, # = 1 при любом a.
2х = a, при a < 0 решений нет; при a > 0 л: = log2 a.
Заметим, что при а = 2 # = 1 совпадает с первым корнем.
Ответ: а) при всех значениях а; б) при а ^ 0 и а = 2; в) при 0<а<2иа>2.
159

Шмальная пЬсгкалимь 4 тпаалшщх и фоклшлах
15. Уравнения
При каких значениях Ь уравнения sin2 х - (3 4- Ь) sin х + 36 = 0 и х2 = Ъ равносильны?
Если первое уравнение имеет решение х0, то оно имеет и бесконечно много решений вида х0 + 2nk,
т. е. не может быть равносильно уравнению х2 = Ь, имеющему не более двух решений.
Уравнения равносильны, если они оба не имеют решений.
Уравнение х2 — Ь при Ь < О не имеет решений, второе уравнение равносильно объединению
[sin х == Ь
_ о не имеющему решений при Ь < -1 или Ь > 1. Таким образом, оба уравнения не имеют
решений, т. е. равносильны при Ь < -1.
Ответ: при & < -1.
Найти вс&значения^, при которых сумма действительных корней уравнения х2 -рх + 3 = 0
меньше пяти.
При2)>0 Jj + je^p.
в>о^-12>о^{-00;-2'Гз]и12'ГЗ;5)-
Ответ:ре (-оо; -2л/3]и[2л/3 ; 5).
При каких значениях тп уравнения х2 4- Зх - т = 0 и mx2 + х + 3 = О имеют общий корень?
Для каждого такого значения т найти этот корень.
Пусть t — общий корень уравнений. Составим систему двух уравнений с двумя неизвестными (t и т):
\t{t + 3) = т
t + 3* - т = О Г*(* + 3) = /и
2 ^ 1 9 ^
тГ+*+3 = 0 U + 3 - -mt
t(t + 3) « m
vm = 0
Ь--1
При m = 0^ общий корень х =-3; при* = -1 m = (-1)(-1 + 3) =-2.
I x + 3 = 0
|x + 3x + 2 = 0
общий корень х = -1.
-2хЛ + x + 3 - О
Ответ: при тп = -2 х = -1; при ттг = 0 х = -3.
Найти все пары действительных чисел а и Ь, при
которых уравнение |х - 1| + |х + 3| = ах + Ъ имеет
бесконечное множество решений.
|х-1| + |х + 3| =
-2х - 2 при х < -3
4 при -3 < х<1
2х + 2 при х > 1
Уравнение имеет бесконечное множество
решений, если ах + Ь тождественно равно -2х - 2,
т. е. а = -2;Ь = -2.
Аналогично ах + b тождественно равно 4,
т. е. а = 0; 6=4.
Аналогично а = 2; Ь = 2. Ответ: (-2; -2); (0; 4);
(2; 2).
При каких значениях тм уравнение
х2 - 771Х + 1 = 0 имеет два корня, расстояние
между которыми на числовой оси равно 2?
Уравнение имеет два различных корня, если
D > 0, т. е. ттг2 - 4 > 0. Расстояние между
корнями на числовой оси равно
771 - л/Р 771 + Jp\
1*1
Имеем систему:
-JD.
т -4>0
Vm2 -4 = 2
Ответ: т = -2«/2, m = 272.
<=>
тп = 2-У2
т = -272
/60

<^Li2cufia S mcuLmujax
16. Методы решения систем уравнений
Метод подстановки
Гх + I
U2 +
by
= 6
= 4
<=> <
6-х
У =
2 . о 6 ~ х л
х + 3 • —=— = 4
<=>
5*2-
6-х
<=>•{
Зх - 2 = О
У =
6 -*
* = ~5
х = 1
2 <=>
32
^ = 25
х - 1
У-1
| Ответ-, (-g ; ^)»(1; *)•
[2х + у = я
[cos(3* - 2i/) = 0,5
(у = п- 2х
[cos(3x - 2я +
4ж) - 0,5
cos 7л: = 0,5
у — к - 2х
я_ 2тс/г
* " 21 + 7
У -
19я _ 4rcft
21 7
__ 7С 27С71
* ~ "21 + Т"
— ^Зя _ 47СУ1
У "" 21 7
/г, ft e Z
л /я 27cft 19л Ank\
Ответ:^ + —; -^ - —);
( к 2пп 23л: 4пп\ _ п
Г21 + "Г-' 1Г-Т> n'*eZ-
Метод алгебраического сложения
5х + 2г/ = 9 умножим на 3
7х - Зу = 1 умножим на 2
Ответ: (1; 2).
|15х +
[14* -
сложим
Qy = 27 уравнения
<=>
6у-2
|29х = 29 Гх - 1
17*-Зу- 1 ly-2
Г cos х cos i/ — 0,75 сложим уравнения системы Г cos xcos у + sinx sin у = 1
[sin л: sin у - 0,25 вычтем уравнения системы [cos xcos i/ - sin* sin у = 0,5
fcos(x - у) = 1
[cos(x + у) = 0,5
x - у = 2rcft
x + у = ±~ + 2ятг
x - i/ = 2яй
x + i/ = ^ + 2nn
x - i/ — 2я&
л: + у = -« + 2лл
Ответ: I g + я(л. + ft); g + я(т1 - ft)]; l-g + 7c(n + ft); -g + 7с(тг - ft)j, n, ft £Z.
6—1323
/6/

Школьная 7iho?fmAiAia & mmLuumx а форяшлах
16. Методы решения систем уравнений
Дополнительные методы
Применение теоремы Виета
х + у = 5
х-у = 4
х, у — корни уравнения:
а2 - 5а + 4 = 0.
а = 1; а = 4.
Ответ: (1; 4); (4; 1).
Симметрические системы
2 2
х + у - 3*у =
х + у - ху = 1
(/ - 2<7) - 39 =
р - g - 1
-1
-1
замена
х + у =>р
ху = q
Сведение к объединению
более простых систем
\х2 - Ьху + 4if - 0 Ux-y)(x-4y)-0
[Sx2-2y = 8 1з*2-2у = 8
[х - У (2; 2)
(1)1з*2-2*-8 = 0°(-4/3;-4/3)
(1)
х-у = О
3*2-2у = 8'
х-Ау = О
, (2)
3x"-2i/ = 8
[х = Ау
(2)1 2
Ыу2
1У /1+7385 1 + 7385") /1-7385 1-7385^
-у-4-0*^ 12 ; 48 J4 12 J 48 J
Использование однородности
ервое уравне]
второе — на 5 и сложим.
I ХУ + У 5 Умножим первое уравнение на (-3),
[х2 + 2у2 = 3
■9x2 + 3xy-Sy2 = -15 i-4x2 + 3xy + 7y2 = 0 r(j/ + *)(7z/-4*) = О
.5x2 + 10j/2 = 15
\V + x- 0
l*2 + 2j/2 = 3
7z/-4* = 0
L*2 + 2y2 = 3
л:2 + 2г/2 - 3
х2 + 2у2 = 3
<=>
<=>
г(1;-1)
L(-l;l)
/773 4Л\
{ 9 ; 9 J
(■
_7_73 473>
9 ; 9 J
л /1 1ч , 1 1ч Г7^ 473W 773 473>
Ответ: (1; -1); (-1; 1); |^р -у J; ^—jp —«р J.
/65

сЛлгеста 4 ггии/лии/кх,
17. Неравенства
Строгие неравенства
Число а>Ь (а больше Ъ)> если разность (а - Ъ) положительное число.
Если а < by то b > а. В этом случае разность (а - Ъ) отрицательное число.
Нестрогие неравенства
а^Ь
c>d
Свойства числовых неравенств
а, Ь — любые числа
Если а >Ь иЬ > с, то а > с (свойство
транзитивности).
Если а >Ь, то а +с >Ь +с (с ^ Л).
Если а > Ь и с положительное число, то ас > be.
Если а >Ь не отрицательное число, то ас < be.
Если а > 6 и О d, тоа+Ob+d.
a,b — положительные числа
. Л 1 1
Если а > о > 0, то - < т •
a b
Если а > b > 0 и с > d > 0, то ас > bd.
Если а > b > 0 и т/1 <= ЛГ, то а"1 > Ьт.
Если а > Ъ > 0 и ттг е JV, то "i/a > ^ .
Двойное неравенство (а < Ъ < с)
Сложение двойных неравенств
Умножение двойных неравенств с
положительными членами
0 <а <Ь <с; 0 <р <т <q => ар < Ьтп < cq
Методы доказательства неравенств
Составление разности (если разность двух чисел
положительна, то уменьшаемое больше
вычитаемого).
Метод использования известных неравенств.
Метод усиления (использование транзитивности).
Использование монотонности функции,
применение производной.
Пример. Доказать неравенство: е* > 1 + х при л: > 0.
Рассмотрим функцию /(*) = ех - 1 - х. f\x) =
= ех - 1 > 0 при х > 0. Следовательно, /(.г)
возрастает на [0; +оо)# Но /(0) = 0. Значит, f(x) > 0 при
х > 0. При х = 0 неравенство обращается в
равенство. Итак, ех - 1 - х > 0, то есть ех > 1 + х\
при * ^ 0.
Сравнение средних величин положительных чисел (а > Ъ > 0, ах > 0, п е N)
Среднее арифметическое
Среднее геометрическое
\Среднее гармоническое
двух чисел
а + Ь
2
двух чисел
4аЪ
двух чисел
2ab 2
а+Ь 1+1
a b
тг чисел
g1+a2 + ...+gyt
71
п чисел
п}аг-а2-...-ап
п чисел
п
al °2 an
/65

Школьиая пЖогАам*лш &таолищих и фоАльиладь
17. Неравенства
Сравнение средних величин положительных чисел (а ^ Ъ > 0, а% > 0, п ^ N) (продолжение)
Среднее квадратичное
двух чисел
i¥
л чисел
/2,2, ,2
V 71
. \аг + Ъ2 ^а + Ъ /-г 2 1
а + Ь
(верно и для п чисел)
Линейные неравенства (приводимые к виду ах > Ъ; ах> Ъ; ах <Ъ; ах ^ Ъ)
3 • х > -6
\х > -2
х е (-2; +оо)
X <-г
О 1
*S(-oo;-|]
О-* <2
О-* >8
х е {0}
(75-У7)*>(УВ -77)
jc < 1, так как VB -77 <0
д: G (-оо; 1)
1 Квадратные неравенства 1
(приводимые к виду ах2 + Ъх + с > 0, ах2 + Ьх + с <0,а >0)
1 Для решения квадратного неравенства вычислим дискриминант 1
D = Ъ2 - 4ас и определим корни квадратного трехчлена.
Неравенство
1 ах2 + Ъх + с> 0
ах2 + Ъх + с < 0
D<0
^
X
^ей
решений нет
[ D = 0
1 х е (-оо; *Q) u
и(*0;+оо)
решений нет
D>0 |
V *•/»
N^X^x
* G (-oo; jtj) u 1
u (x2; +oo)
л: g (xx; *2) 1
1 Простейшие иррациональные неравенства 1
а <0
а =0
а >0
л/х <а
решений нет
решений нет
(К* <а2, * е[0; а2)
Jx > a
х > 0 <=> х g [0; +оо)
* > 0 <=> х е (0; +оо)
х > а2 <=> х е (а2; +оо)
/64

сЛлгеака 4 таалилщх
17. Неравенства
Простейшие иррациональные неравенства (продолжение)
•Щх) <£(*)
/Kx)>g(x)
Жх~) >JgJx)
равносильно системе
\g(x) > О
f(x)<g\x)
f(x) > 0
равносильно объединению систем
\f(x) > О
[f(x)>g2(x)
равносильно системе
gix) > О
Простейшие показательные неравенства
аг <т
ах > т
afW < m
i№
> т
/71^0;а>0, аф\
нет решении
x<=R
нет решении
D(f)
т >0; а > 1
х < \ogam
х > logam
fix) < logam
fix) > logam
m>0;0<a<l
x > logam
x < logam
f(x) > log m
f(x) < log.771
afW > tfW
при а > 1 равносильно неравенству fix) > gix)
при 0 < а < 1 равносильно неравенству fix) < gix)
Простейшие логарифмические неравенства
m<=R
\ogax < m
log * > т
logjix) < m
logaf{x) > m
а>1
х<а
х>0
х>а?
fix) < a
№>0
fix) > аР
0<а <1
х >аг
х<а
х>0
fix) > am
/(*)>о
logjix) < logagix)
logH(x)fix)<logHix)gix)
при а > 1
равносильно системе
№>0
при 0 < а < 1
равносильно системе
fix) > gix)
g(x)>0
равносильно объединению систем неравенств:
Щх)>1
fix) < gix) и
fix)>0
Hix) > О
Щх) < 1
fix) > gix)
gix) > О
Примеры простейших тригонометрических неравенств
sin х <-1,3
sin х >-1,3
sin х <
УГТз
smx
>УГ7з
решении нет,
-1 < sin х < 1
X GB
х ^ R, так как
sin х < К л/Пз
решении нет
/65

)lUtcCs,ib/MLX пко?раяииа &таалии/кх, и фскм/илаос,
17. Неравенства
sin x < -0,5
sin x >~0,5
7з
SU1JC < "ТГ
X е (27in--jp 2nn-Q j
nEZ
/ft 2я 7я n ^
д:^ I 2nn + "3*; "3" %nn J
COS
x < -30»7
cos x < In 3
COS X > -;
cos л: > е
,0,2
решении нет
x^R,
так как cos x < 1 < In 3
x ей,
так как cos л: > -1 > - «
решений нет,
так как е°>2 > 1
sin х >
7з
72
cos jc <—5-
cos я <0,5
f я 2п \
е (2яп + 5; -тг + 2ял1
yjl
Зя ^^»
VuV2
V 2
5л:
4
1
)l **
«GZ
(п Зя 5я ft
2ЯП + -7-; -т" + 2я
•)
cos л: > 0
cos х > 0,7
tg*^ 7з
*j
\ °
1
^^^ arccos 0,7
'л
0,7|Jl x
^^S*-arccos 0,7
У\
( о
1 )
\а /
К
2
1 * 1
|Тз
li *
X е |2яп-2» 9 + 2яп)
71 GEZ
jc е (2ятг - arccos 0,7;
arccos 0,7 + 2ят?) n^Z
( Я Я 1
х ^ \nn-~; ц+кп \9 n^Z
ш

(jtuzeofia & таолшщос,
17. Неравенства
tgjK-2"1
tgx
* 3
ctg x > 1
"f -
/ о
l А У1 "*
jcGfn^-^Tcn-arctgoj» ^Z
я/i-:;; о+яя I, n^Z
x ^ (яя; д+тсл], n G2
Более сложные примеры решения тригонометрических неравенств
cos
Кт)<°
sin * > cos ж
tg2*<3
1 sin x = cos r
f« тс Зя , л Л
*е [2тсл + 5; у+2яп1
тс ft Зя Зя ft
2тт + 5 < 2х - -g- < у + 2ял
7я 15тс
т + Тб < х < "ЦТ + 7СЯэ Л е
7Г ^5я
2яп + т < х < -г + 2яп,
4 4
|tgx|<73<=>
Ugx>-v3
,- Г я я "| _ „
х е ял--; 5+7СЛ h n^Z
6cos2x - cos x - 1 < 0
Пусть у = cos x. Тогда
4^-
3 2
[ 2яя - arccos [-г J; 2ятг - arccos 5" ]u (^яи + arccos 5 ; 2яп + arccos (-5 J J J-L^arccos |
( 2яп - arccos I-s ]; 2яя - g- j u I 5 + 2яп; arccos f-5 J + + 2яп \n^Z
6y-y-l<0 111 1
~q <J/ < 5 => -5 <cosx< 5
Ы<1 3 2 3 2
x <==
ИЛИ
x^
/67

Штольпая т^ог^ажжа ^тпаалшщх и фоАжи^лах
17. Неравенства
sin х - sin 2x < О
sin* (l-2cos*)<0
Используем метод интервалов на тригонометрической окружности,
считая х ^ [0; 2л:).
F(x) = sin* (1 - 2 cos*); F(x) = 0=>*=0;7i;g;y.
* ^ 2ял + о; я + 2ял| u j 271тг + —; 2к + 2кп\,п £Z
/©J
\Jtc
V©4
^\ It
^^
У 3
Примеры неравенств с обратными тригонометрическими функциями
arccos х <-Ь
решений нет, так как
0 < arccos * ^ я
arrcos * > -4
71
arccos * < о
*е(0,5;1]
arccos * > 1
* ^[-l;cosl)
arcsinх <к
хе[-1;1]
arcsin* <-l,7
решений нет, так как
п . . . п
-« ^ arcsm * < 5
arcsin * < -g
*€Е[-1;-0,5]
arcsin * > 0
л: ^ (0; 1]
arctg * < 2
* ^ Л, так как
"2 <arctg*<2
arctg * > 5
решений нет
arctg * < =
*€=(-CX>;tg5]
arctg * < 0
* G (-00; 0]
Метод интервалов (промежутков)
Методом интервалов решают неравенства,
приведенные к виду F(x) > О или F(x) < О, (F(x) > О
или F(x) < 0).
Метод основан на том, что непрерывная на
промежутке функция может менять знак только в
тех точках, где ее значение равно нулю (но
может и не менять).
Алгоритм применения метода
Найдем D(F(x)) и промежутки, на которых F(x)
непрерывна.
Найдем нули функции F(x) — значения *, при
которых F(x) = 0.
Нанесем на числовую ось найденные
промежутки и нули.
Определим интервалы знакопостоянства и в
каждом из них поставим найденный подсчетом
или рассуждением знак.
Выпишем ответ.
Примеры
*(* - 4)(* + 5)2 > О
Рассмотрим функцию F(x) = *(* - 4)(* + 5)2.
D(F) = R, функция непрерывна наК. F(x) = 0 в точках * = 0; * = 4; * = -5.
F(-6) > 0; F(-l) > 0; F(l) < 0; F(5) > 0.
Ответ: (-оо; -5) u (-5; 0) u (4; 00). x(x - 4)(* + 5)2 < 0 при * е {-5} u [0; 4].
-5 0 4
/6<S

сАлгесмм, & пьсшмшрх,
17* Неравенства
Примеры (продолжение)
F(x)
х(х + 2)
— ^ и.
х-5
Рассмотрим функцию
х(х + 2)
х-5 *
D (F) = (-оо; 5) и (5; оо). F(x) = 0 в
точках х = 0; х = -2. F(-3) < 0;
F(-l) > 0; F(l) < 0; F(6) > 0.
Ответ: (-оо; -2] u [0; 5).
-2 0 5
7з* + 1 > 2лг. Приведем неравенство к виду: *j3x + l -2jc>0.
Дх) = JSxTl - 2х.
ZK-F) = [-5 ; +00). Найдем нули этой функции.
I [* >°
l8x + l = 4*
F(jc) = 0 при х = 1. F(0) > 0; Д5) < 0.
Ответ
=[40-
18. Неравенства с двумя перемеными
ах + Ьг/ + с>0иад: + Ь1/ + с<0-
полуплоскости (а2 + &2 * 0)
ах2 + Ьх + с>у
и ад:2 + Ъх + с < у
ay2 + by +с>х
и ay2 + by +с <х
граница — прямая
ах + by + с = 0
w///.
граница — парабола
ах2 + Ьх + с = 0
ах + by + с> 0 /
,<Х
ах + fci/ + с < 0
2"
граница — парабола
ay2 + by + с=> х
У'/'у\*. ау* + Ъу + с<
ау* + Ъу + с>х/)
(х - х0)(у -y0)>k
n(x-x0)(y-y0)<k(k*0)
(х-х0)(у-у0)>0
и (x-x0)(y-y0)<0(k = 0)
(х-х0)2 + (у-у0)2>т
л(.х-х0)2 + (у-у0)2<т;(т>0)
граница — гипербола
(х - х0)(у - у0) = k (две ветви)
граница — две прямые
х = х0иу = у0
граница — окружность
(х - х0)2 + (у- у0)2 = т
Jrn —радиус окружности
-У0)*>т
169

ЧМкольшия п/гог/гсилшш ётш/лищшх, и фсАлшиах
19. Дифференцирование
Производной функции / в точке х0 называется
предел отношения приращения функции
А/ = f(x0 + Ах) - f(x0) к приращению аргумента Ах
при стремлении Ах к нулю.
f(x0+Ax)-f(x0)
f(*0)= lim
Ах
Операция нахождения производной функции
называется дифференцированием. \
Необходимое условие
дифференцируемости функции
Для того чтобы функция / была
дифференцируема (имела производную) в точке х0,
необходимо (но недостаточно), чтобы она была
непрерывна в этой точке (т. е. Af(x) = f(x) - f(xQ) -» 0).
Примеры нахождения производной функции / по определению
= v2
/(*) = *
2 2 2
jrz/оч т (2+Аде) -2 v 4Дл: + Ал: ,. /А , А ч А
f(2)= lim - -^ = lim = lim (4+Ая) =4
Ax->o Ax
д*->о Ax
Ajc->0
fix) = \[i
x0*0
f(.r«) = lim
8/x0+Ax-8^ _
A.r-»0
Ад:
= lim
(x0+Ax)-x0
АхЛ^х0+Ах)2 + ^(х0+Ах)х0+^Д)Ах S-*J?o
f(x) = sin л:
х0<=Д
9 * 4*
sin(*0 + A*)-sin*0 _ 28Ш2 COS
H*0) = lim = lim
u &x->o Ax &x->o Ax
(*o + f)
= COS Xn
*0 = -2
f ljm |-2+Ax|-(-2+Ax)2-8 = Um (2-A*)(-2 + A*)2-8 __„
д*->о Ал: Дх->о Ах
Пример непрерывной, не дифференцируемой в точке х0 функции
№ = \х-2\
*0 = 2
,,/оч v |(2 4-Ajc) — 2| —0 ,. \Ах\ ,,/оч
/ (2) = lim ~ ! = lim '-т—; предел не существует, / (2) не существует.
Дх->о Ах д*->оАх
fix) = V^l
*0 = 1
,,/1Ч ,. 3л/(1+Ад:)-1-0 v VA* т 1 ^ ^//-,4
Г(1) = lim — -^ = lim -*■— = lim t = oo,/(l) не существует.
дх->о Ax д*->оАх д*->о з/Тг
Вторая производная
Производные высших порядков
Пх)=(Г(х))'
/(*)(-) = (/(»-!)(*))'
(cos х)" = (-sin х)' = -cos л:
<«г-Ш--(-\*-"1-Ь->"=ф
i70

4udccma 4 таилиидХ'
19. Дифференцирование
Табличное дифференцирование
(с)' = 0, с ^R (константа)
(*)'=1, x^R
(xnY = nx71 ~ *, n^N9x^R; или -п t= N, х Ф 0;
или л £ Z, л: > 0
(cos х)' = -sin x, x G Д
(sin л:)' = cos x, х G Д
(tg x)' = —\- , x * \ + nk9 k e Z
COS X
(ctg x)' = 2~ , x*nk,k^Z
sin x
(lnx)'=^, xE(0;+oo)
(log**>'=^' *^(0;+oo)
1 (a*)' = a*ln a, x c= Д
Производная сложной функции
(f(u(x))Y = f(u)-u\x)
(ип)' = пип~1- и'*
(cos и)' = -sin и • и'
(sin и)' = cos u • и'
(tgi/)'=-V -ц'
COS U
(ctga)' = j--и'
sin u
(InuY=~ -и'
(loe«tt)"u-lna tt
(a")' - a" • In a • u'
* и = ii(x)
Производная обратной функции
Функции у = /(х) и г/ = ф(х) взаимообратны.
Vi-*2
Гятррпс: yV — —————- y ^ (—1 • 1 ^
а/1 -х2
(arctg х) — "■ ■■■ п, х <— it
l+x
^arcctg x) — ■ "™5 , x <— it
l+x2
Основные формулы
(и + vY = и' +1/
(и • vY = и' • и + и • i/
fiA' и' -v-iiv'
(arcsin
(arccos
/(a) = b о а = ф(6)
I Г<а)-ф'(Ь) = 1|
1
U> у о U
Vl -u
jjV - i . 7/
/7—2 u
л/1 -и
1
(arctg u)' = 5 • u' 1
1+u
(arcctg uY = 5 • u'
1+u
Следствия из основных формул
(и - vY = u'-v'
(c-uY = c-u'
Примеры
(cos V*) = -sin V* • (V*) = p~ ;
2V*
({2л:2 - х + I)10)'« 10 • (2х2 - х + I)9 • (2л:2 - х +
+ 1)' = 10 • (2х2 - л; + I)9 • (4х - 1).
#/

Шмскльмая пксгЬалиш & тси/лицах ti с/Ьс/?~мшшх>
19. Дифференцирование
Физический смысл производной
Геометрический смысл производной
Пусть $ = s(t) — зависимость пути от времени,
тогда:
v=v(t) = s'(t)
Скорость — производная пути по времени.
a=a(t) = v'(t) = s"(t)
Ускорение — производная скорости по времени
(вторая производная пути по времени).
Касательной к графику функции f(x) в точке
х0 называется прямая, задаваемая
уравнением:
y=f(x0) + f'(x0)-(x-x0)
Г(^0)==^акас = &кас
Значение производной функции в точке
равно угловому коэффициенту касательной к
графику функции в этой точке.
Касательная к графику функции
Уравнение касательной (не вертикальной) к графику функции у = f(x) в точке графика с
абсциссой ХгЛ
y=f(x0) + f'(x0)-(x-x0)
Если функция f(x) не имеет производной в точке х0, но непрерывна в этой точке, то у графика
функции в этой точке либо вообще нет касательной, либо есть вертикальная касательная.
у = |л:| не имеет касательной в точке графика с абсциссой х = 0.
у = zJx имеет в точке графика с абсциссой х = 0 вертикальную касательную х = 0.
Примеры решения задач на составление уравнения касательной
Составить уравнение касательной к кривой у = х3 - х2 в точке графика с абсциссой х0 = 1.
Координаты точки касания х0 = 1; у0 = I3 - I2 = 0.
у'=3х2-2х => fcKac = i/'(l) = l.
Уравнение касательной: i/ = 0 + l-(a:-l) =
*/=*-!
Составить уравнение касательной к кривой f(x) = (х2 4- 6* + 3)/2,
ке пересекающей прямую у = 2х 4- 5.
Так как касательная не пересекает прямую у = 2х 4- 5, значит, она параллельна касательной.
Следовательно, f\xQ) = 2. Но f\x) = х + 3.
Отсюда х0 + 3 = 2 и х0 = -1. Ордината точки касания у0 равна
((-I)2 + 6 • (-1) + 3)/2 = -1. Координаты точки касания (-1; -1).
Уравнение касательной у = -1 4- 2(х 4- 1) или \у = 2х+ 1
Составить уравнение касательной к кривой у = я;3, проходящей через точку х; -1). Пусть (xQ; yQ) —
3 2 3 2
точка касания. Тогда у0 = х0; fcKac = Зх0. Уравнение касательной у = х0 + Зх0(х - х0). Точка
лежит на касательной
(И
Уравнение касательной у = 1 4- 3(# - 1) или \у = 3х -""2
3 2 (л. \ 3 2
. Поэтому -1 = х0 + Злс0 ( о -^о I =* 2*о - #0 -1 = 0
=* *о = ! =*
т

таомищх
19. Дифференцирование
Исследование функци! при помощи производной
Монотонность функции
Теорема Лагранжа
Если f(x) непрерывна на [а; Ь] и дифференцируема
на (а; Ь), то существует с е (а; 6) такое, что
/(а)-Л*)в /'(с)'(а -6).
(Заметим, что таких точек с на (а; &) может быть и более одной.)
Для исследования функции f(x) на монотонность можно
исследовать ее производную на знакотстоянство.
Если f'(x) > 0 на (а; &), то f(x) возрастает на (а;Ь).
Если f(x) непрерывна на [а; Ь], то /(*) возрастает
на [а; Ь].
/(л:) = *2 - 6* + 1; f\x) = 2х - 6 > О при х > 3 =»
/(л:) возрастает на [3; +оо).
Если /'(*) < 0 на (а; &), то f(x) убывает на (а; Ь).
Если /(л:) непрерывна на [а; &], то /(*) убывает
на [а; Ь].
№=J^c;f'(x)
убывает на (-°°; 0].
-1
< О при х < О =» /(л:)
Если /(*) возрастает и дифференцируема на [а;&],
то/'(*)>0.
Если /(л:) убывает и дифференцируема на [а; Ь],
тоГ(х)<0.
Критические точки функции
Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю
или не существует, называются критическими точками функции.
х0 - крит. точка;
/(*о) = Апах-
U
Г(х0) = 0;
х0 - крит. точка;
/'(*0)=°;
х0 - крит. точка;
f(x0) не является экстремумом.
Критические точки (примеры)
f'(x0) не существует;
х0 - крит. точка;
/(*0) не является экстремумом.
f'(x0) не существует;
х0 - крит. точка;
f(xo) = Anin#
Нет критических точек;
х0 = 0 не является внутренней
точкой области определения.
т

ч/шкльмал nfioefauLJia & тасилш/гос и, фс^^лаоо
19. Дифференцирование
Критические точки (примеры) (продолжение)
0
У^
х0
^.
X
\
У
\\)
Нет критических точек;
х0 — точка разрыва.
f\x) = О при всех х е (-3; 4);
/'(-3), /'(4) не существуют; все
х ^ [-3; 4] критические точки.
f'(x0) не существует;
х0 — крит. точка;
Д*о) = 'min'
Экстремумы
х0 G D(f) — точка максимума /(#), если существует
8 > 0 такое, что при х е (х0 - 8, х0 + 8)
ftxQ)>f(x)
х0 е Д/) — точка минимума f(x), если существует
8 > 0 такое, что при х^(х0- 8, х0 +8)
Л*0)</(*)
Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума, а
Значения в них — экстремумами (максимумами или минимумами).
f'(x0) = 0 при х < х0 /'(*)> 0; при х > х0 f'(x)<0
'А
*о \ х
f'(xQ) = 0 при х <xQ f(x) < 0; при х > х0 f'(x)
>0
\У
Примеры критических точек различных функций
1) у = \х\\ х0 = 0; у'(0) не существует;
#(0) = 0 — минимум.
2) у = х2; х0 = 0; у'(0) = 0; у(0) = 0 — минимум.
3) у = х3; Хр = 0; у'(0) = 0; экстремумов нет.
4) у = 2л: - ]*|; х0 = 0; у'(0) — не существует;
экстремумов нет.
Примеры исследования функций на монотонность
f(x) = х3 + х2 + х - 5;
/'(ж) e 3*2 + 2* + 1 > 0
при x^R;
f(x) возрастает на Д.
/<х)
©
/(х)
/(*) = х3 - Зх;
/'(ж) = 3(* - 1)(* + 1) = 0
прих = -1 их»1;
/(*) возрастает на (-<*>; -1]
ина[1; +°°);
f(x) убывает на [-1; 1].
/'(х)
/(х)
©-1
шах
0i
min
©
■*■ ^v^
Л*)-2*+-5;/'(*)-2--5;
/'(*) = 0 при х = 1;
Дх) возрастает на (-°о; 0)
и на [1;+оо);
f(x) убывает на (0; 1].
/(х)
©0©1©
/(х)
разрыв min
fix) = *4 - *3; /'(*) = 4х3 - З*2 = *2(4* - 3);
/(ж) возрастает на т; +°о ];
fix) убывает на Г-оо; ^ 1. . q 0 0 | 0
/
/(х)
Х X
f(x) возрастает на (-°°; -1] и на [1; +°°);
f(x) убывает на [-1; 0) и на (0; 1].
/и ©-10 00 1©.
№
шах раз- min
рыв
т

<ЖшМа 4 тпасСшцах,
20. Исследование функций
Область определения функции D(f) — множество значений х, при которых функция определена.
х +1
ЩП-{х\х*1}
fix) = VT1*
D(f) = {x\x<l}
fix) = hx-x2-l
£(/) = {!}
/(*) = lg*+lg(-x)
D(f) = 0
Область значений функции E(f) — множество значений, которые
может принимать f(x) при х е D(f).
(Все значения а, при которых уравнение f{x) = а имеет решения.)
f{x) = *3 - Sx
Eif) = R
/(л:) = 3j2x-x2
Eif) = {y\y$l)
fix) = l + j4x-x2-4
£(/) = {!}
/(*) = sin * + cos jc
£(/) = {j/|-72<y<72}
Четность
Нечетность
fi-x) = fix),x^Dif)
fi-x) = -fix),x^Dif)
График четной функции симметричен
относительно оси ординат.
у
График нечетной функции симметричен
относительно начала координат.
Н
Примеры четных функций
fix) = х4 - 21*2; gix) = 5* + 5~х
Ф(лг) = 3Jl-x + 3Jl+x
Примеры нечетных функций
hix) - Xs - 20ж; uix) = 5* - 5"х
и(х) = Vl-« - л/ГТж
fix) = sin л: - cos x не обладает четностью или нечетностью.
Периодичность
fix -t) = fix + t) = fix), x e Dif), t Ф 0
Число t называется периодом функции, а наименьшее
положительное значение t основным периодом функции (Т).
fix) = sin Ax
_ 2 тс я
/(#) = cos 2лл;
2тс
Г = — = 1
Ax)-2-tgg
71
г = 17з = 3*
Л*)-17
t е (0; +оо) основного периода нет
/(*) = # + sin x; f(x) = cos(#2) — непериодические функции.
График периодической функции состоит из
повторяющихся фрагментов на отрезке длины Т;
на любом таком отрезке периодическая функция
принимает все свои значения.
У A f(x)-sinx-cosx, Г =
72
о
-л/2
2к
Ьк
_3к
4
4
175

Сикальшия пбогбаиьАШ, Smcu/лицах и фобжилах
20. Исследование функций
Корень (нуль) функции —
значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
f(x) = 4* - -
,v ' х
корни: х—±2
f(x) — х • Jl-x
корни: х = 0;
х = 1
Я*)-(1+*)-л/х
корень: х = 0
/(х) = sin л: + cos х
корни: х = -т + Tin, n ^ Z
Л*) = =7
sin л:
корней нет
Промежуток знакопостоянства —
промежуток, на котором все значения функции положительны
(или отрицательны), а на любом его расширении нет.
Примеры
f(x) = Зх2 + 5х - 8; f(x) < 0 при * е Г--; 1 j ; /(х) > 0 при х е f-oo; --"j u (1; +оо)
/(л:) =х 2; два промежутка знакопостоянства (-°°; 0) и (0; +°°), на обоих функция положительна.
Монотонность
Функция /(х) называется возрастающей на
промежутке I, если для любых хх и х2 из этого
промежутка
хг>х2 => /(ж1)>/(х2).
Промежуток I называется промежутком
возрастания функции /(х), если на этом
промежутке функция возрастает, а на любом его
расширении нет.
Функция /(х) называется убывающей на
промежутке J, если для любых хг и х2 из этого
промежутка
хх>х2 =* /(*!> < /(х2).
Промежуток I называется промежутком
убывания функции /(х), если на этом промежутке
функция убывает, а на любом его расширении
нет.
Промежутки возрастания и убывгшия называются промежутками монотонности функции.
Критерий монотонности функции
/(х) возрастает на промежутке, если f(x) > 0.
/(х) убывает на промежутке, если f'(x) < 0.
Примеры
/(х) = Зх2 + 5х - 8;
5
f\x)> 0 прих >-g ">
5
f\x) < 0 при х < - g ;
f'(x) = 6х + 5;
/(х) возрастает на промежутке -~; +оо J ;
f(x) убывает на промежутке (-°°; -g .
/(х) = —о; два промежутка монотонности (-°°; 0) и (0; +°°); на обоих функция возрастает.
х°
/(х) = Зх + 4 возрастает на Д, один промежуток монотонности (-°°; +°°).
*7б

оългата 6 таалшуаоь
20. Исследование функций
Критерий монотонности функции (продолжение)
f(x) = Зх2 + 6* - 8;f'(x) = 6(* + 1) = 0 при х = -1;
/'(-2) < 0 => /(*) убывает на (-оо; -1];
/'(0) > О => f(x) возрастает на [-1; +°о);
х0 = -1 — точка минимума; /(~1) = -11 — минимум.
f(x) = х3 — экстремумов нет.
Исследование функции при помощи производной. Построение графика
Найдите D(f).
Найдите производную, критические точки,
исследуйте знаки производной.
Найдите промежутки монотонности, точки
экстремума, определите вид точек экстремума.
Найдите экстремумы функции.
Исследуйте функцию на четность, нечетность,
периодичность (периодическую функцию
лучше исследовать на промежутке длины Т).
«Набросайте» эскиз графика.
Найдите £(/).
Найдите несколько значений функции (по
крайней мере по одному в каждом промежутке
монотонности).
По возможности
Исследуйте поведение функции на концах
области определения и в точках разрывов.
Найдите горизонтальные и вертикальные
асимптоты.
Найдите корни и промежутки знакопостоянства
функции.
Постройте график функции
Пример
х
У =
х2 + 1
D(y) = R.
,_ 1-(х* + 1)-х-2х
У ~ 2 2
1 *
1-х
2 2'
(1+* )
у существует при х •
у' = 0 при х =±1.
Ъ у'Э -10 10
Функция нечетная: у(-х) = -у(х)
1
lim у = lim
— lim
= 0.
шш
Утш = Jrt-i) -о; Ушах= yd)= 5 ■
?t
-1 0
11
2
у = 0 — горизонтальная асимптота;
вертикальных асимптот нет.
i/ = 0 при х = 0 (корень),
у > 0 при х > 0;
I/ < 0 при х < 0.
/77

Шюкльпая пЖогАамллиг &тасСища<& и, фсА^лшиах
21. Нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции на промежутке
Наибольшим (наименьшим) значением функции f(x) на I называется
такое число М (тп), что существует х0 ^ I такое, что /(х0) = М
(/(х0) = 77t), М > f(x) (т < /(х)) для всех х из I.
"V"
Л1
~V~
Наибольшее и наименьшее значения непрерывная на I функция может принимать либо на
концах промежутка (если это числа), либо в критических точках, лежащих внутри промежутка.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего на [а; Ь] значений функции, непрерывной на [а; 6].
1) Найдите /(а) и f(b) — значения функции на 3) Найдите значения функции в критических точ-
концах промежутка. ках.
2) Найдите критические точки функции внут- 4) Из всех найденных значений выберите наиболь-
ри промежутка (т.е. на (а; &)). шее и наименьшее; они и будут наибольшим и
наименьшим значением функции на [а; Ь].
Пример
/(х) = 8х2 - х4, х е [-1; 3]. /(-1) = 7; /(3) = -9;
/'(*) = 16* - 4х3 = 4х(4 - х2) = 0 => х = 0; х = 2; * = -2 £ [-1; 3]. /(0) = 0; /(2) = 16.
max {7; -9; 0; 16} = 16 => max f(x) = 16; min {7; -9; 0; 16} = -9
[-1:3]
min f(x) = -9.
[-i; 3]
Пример
Если непрерывная функция имеет на промежутке I единственную точку экстремума и этот
экстремум максимум (минимум), то в этой точке достигается наибольшее (наименьшее) значение
функции.
/(х) = sin x + 7з • cos х, x ^ [0; тс]. /(0) = */3 ; /(я) = -7з ; f\x) = cos х - л/3 sin х;
г- 1 ТС
/'(х) = 0 при cos х = JS sin х => tg х = -= => х = ~ + яй ^ [0; к] при k = 0. , -.
V3 ° / <*> g Vt
tax/(*) =/(jf) =sinH +73cos^ =2; min Дх) = Дя) = - 7з б
;n] \^/ ^ ^ CO; nj
О it
•
max
to;
Задача
В полукруг радиуса R вписать прямоугольник наибольшей площади
так, чтобы одна его сторона лежала на диаметре полукруга, а две
вершины — на дуге полукруга.
Обозначим стороны прямоугольника АВ = х,
I 2 2
AD = 2у. Тогда его площадь S = 2 ху. Заметив, что у = *JR - х , получим
S = 2х • л/и2 - *2 - 2 • л/я2х2 - х4, х €= (0; Л).
Исследуем на максимум функцию f(x) = J?2x2 - х4 при х е (0; R).
f(x) = 2Д2х - 4х3 = 2х(й2 - 2х2).
У D
т

иицаос
21. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке
Задача (продолжение)
R
f'(x) = 0 при х = -т= (так как х ^ (0; R)).
Следовательно, при х = -тг площадь прямоугольника наибольшая.
/ <*)
/(х)
© , 0
•
<У2
Л
Ответ. Прямоугольник имеет наибольшую площадь, если его стороны х = -р, 2i/ = J?72.
22* Первообразная и неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной
функции f(x) на промежутке I, если для всех * из
этого промежутка F'(x) — /(*).
Множество всех первообразных функции f(x)
называется неопределенным интегралом и
обозначается
//(*)<**.
Если F(x) одна из первообразных функции f(x)
на I, то любая первообразная функции fix) на
этом промежутке имеет вид Fix) + С, где Сей.
f/(x)d* = F(x) + С, где Дя) — любая
первообразная/(лс), а С е Д.
Свойства первообразных
Первообразная /'(#) равна /(*) + С.
Если первообразная /(лс) равна F(x), то
первообразная fit) равна F(f).
Если первообразная fix) равна Fix), то
первообразная kf(x) равна W(*).
Пусть первообразная fx(x) равна ^(лс),
первообразная f2(x) равна ,F2(*)> тогда
первообразная fx(x) + /2(лс) равна F^x) + F2(x).
Пусть первообразная f(x) равна Дх), тогда перво-|
1 !
образная f(kx + р) равна г F(ft* + р). \
Для того чтобы доказать, что функция F(x)
является первообразной функции fix) на промежутке /,
нужно показать, что для всех х из этого
промежутка F\x) = f(x) (т.е. воспользоваться определением).
Задачи
Доказать, что функция Fix) = 5 ^ 2* + * является первообразной для функции /(я) = 1 + cos 2x на Л.
*"(*) - 5 cos 2х ' 2 + * = х + cos 2x = f№-
Полученное равенство верно для всех действительных значений х.
Найти первообразную функции fix) — Зх2 - 1, график которой проходит через точку М(1; -1).
Любая первообразная функции fix) = Зле2 - 1 имеет вид Fix) = х3 - х + С.
График искомой первообразной пройдет через точку М(1; -1), если F(l) ~ -1, т. е. I3 -1 + С —
= -1 => С--1.
Ответ. Длс)« лс3 - лс - 1.
т

Шшклышл nficzficuAUAAja, & тш/лицаос и, формулах
22. Первообразная и неопределенный интеграл
Задачи (продолжение)
X
Найти первообразную функции /(х) = cos2 ~ •
х 1 11
Преобразуем /(х) = cos2 т> = о (* + cos *)= о + о cos *"
Первообразная суммы равна сумме первообразных. Следовательно, первообразная F(x) =
+ 5 sin х + С, где С — произвольная постоянная.
Найти неопределенный интеграл f sin Зх • cos x dx.
Jsin Зх • cos х dx = 5 J (sin 4x + sin 2x) dx = 5 • 1 - j • cos 4x + f -5 j • cos 2x j = -= cos 4x - т cos
Найти первообразную для функции f(x)
1
4*2 - 1'
1 ^
Преобразуем /<х) ~ 4х2 _ х ~ 2 U* - 1 2.
Fix) = | Q ln|2x - 1| - | ln|2x + ll) = J In
K+ l)'
2x-\
2x + 1
1* +
2x + C.
Следовательно, первообразная
+ C.
Таблица первообразных
Л*)
k
xa
(a*-l)
1
X
1 ex
1 a*
cosx
sinx
1 1
2
COS X
1
. 2
sin x
Ж*)
fcx + C
a + l
a + l
In \x\ + С
ex + C
ш+с
sinx + С
-cos jc + С
tgx + C
-ctg * + С
Промежуток I
R
a e JV, x e Д; -a s JV, z e (-00; 0) u (0; +00); 1
a £ Z, * e (0; +00)
(-00; 0) или (0; +oo) 1
R
R
R
R
Г-|+к»;|+я*\ *ez
(ли;я + nh), k^Z
/<30

(Ллгата S тпш/лилщк,
23. Определенный интеграл и его приложения
Если функция f(x) непрерывна на промежутке I
числовой оси, содержащем точки х = а и х = Ь,
то разность значений F(b) - F(a) (где F(x) —
первообразная f(x) на 7) называется
определенным интегралом от функции f(x) от а до Ь:
\Kx)dx =F(b)-F(a).
Определенный интеграл есть число.
Основные свойства
\f(x)dx = \f(t)dt = jf(z)dz
\f{x)dx = О
a
Ь а
lf(x)dx=-\f(x)dx
a b
\Kx)dx = \f(x)dx + \f(x)dx , если а,(?ис —
а а с
любые точки промежутка / непрерывности f(x)
ь ь
jkf(x)dx =k- \f{x)dx
a a
b b b
\{fx{x) + f2(x))dx = faWx + \f2(x)dx
Дополнительные свойства
b pb + q
\f(px + q)dx = l J f(t)dt
pa+q
Если f(x) четная, то J f(x)dx = 2 • jf(x)dx,
Если f(x) нечетная, то J f(x)dx = 0.
f*
\* J
= /(*)
Примеры
4 4
X + l
3/2 1/2.
f X +1 T f/ 1/2 , -1/2N , Л* X 'Л
J"X^=J(X )dx=l372 + i72j
|(43/2-l)+2(41/2-l)=|-7 + 2-l = f
2 3-2 + 4
f da: 1 f dt
[(Зх + 4)2 8'J *2
3(-l) + 4
3110 3J 90
;1(3x+4)
1 1
3' *
10
3* + 4 = t
| d* = J^J lOd* + J^J 50dx =
= 10j2,5*d* + 50j0,5*d* =
= 10'
2,5Л
In 2,5
+ 50
0,5Д
In 0,5
15 25
In 2,5 + In 2
/S/

Шксльшия nhozhoAiAAia &тси/лища<х, и, фо{м<,у*лсих,
23. Определенный интеграл и его приложения
Площадь криволинейной трапеции
Фигура, ограниченная прямыми у = 0; х = а; х = Ъ и графиком
непрерывной и неотрицательной на [а; Ь] функции f(x), называется криволинейной
ь
трапецией. Площадь криволинейной трапеции S = J f(x)dx
ъ х
Вычисление площадей
S = \f{x)dx-\g(x)dx
S - -\f(x)dx
fix) > g(x)
на [a, b]
S = l(f(x)-g(x))dx
M*)
fz(x)
S- J(/i(*)-*(*))«** +
a
&
+ J(/2(*)-£(*))<**
/X*)
£(*)
11 f(x) ik
S-J(/(*)-*(*))<** +
a
Вычисление объемов тел вращения
Криволинейная
трапеция
(вокруг оси Ох)
V0x=njf2i<x)dx
Коиус
н
'.-j(ifj
d* =
D2 3
■kR x
H
2 3
я
= |д!?2Я
/5,2

сАлгеора, & тш/лиида>
23.
Определенный
интеграл и его приложения
Вычисление объемов тел вращения (продолжение)
Шар
0
1
v.-'
X
Путь, пройденный материальной точкой за время
*2 "" *i (*2 > W ПРИ прямолинейном движении со
скоростью v(t)9 равен:
R R
^т = я f (л/д2-*2Л*х =2n{(R2-x2)dx =
ш J
-R
0
л
= |кй3
0 6
«2
S= J v(t)dt.
h
Приложение
Факториалы и степени
п
0
1
2
1 3
4
1 5
6
1 7
8
1 9
1 10
п\
1
1
2
6
24
120
720
5040
40320
362880
3628800
2В
1 !
2
4
8
16
32
64
132
264
512
1024
3"
1
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683
59049
5й 1
1 1
5 1
25 1
125 1
625 1
3125
15625
78125
390625
1953125
9765625
183

Геометрия в таблицах
1. Элементы теории доказательств
«А =» В» — данная теорема; *В =$ А> —
обратная теорема;
«не А => не В» — противоположная теорема;
«не В =» не А» — теорема, обратная
противоположной.
Если из А следует В, то А достаточно для В,
а В необходимо для А.
Если из А следует В, а из В следует А, то А ие-
обходимо и достаточно для В.
Для того чтобы четырехугольник был
параллелограммом, необходимо, чтобы диагональ
делила его на два равных треугольника (но
недостаточно).
Для того чтобы четырехугольник был
параллелограммом, достаточно, чтобы все его
стороны были равны (но не необходимо).
Для того чтобы целое число делилось на 3,
необходимо и достаточно, чтобы сумма его
цифр делилась на 3.
Для того чтобы треугольник был
прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы
квадрат одной из его сторон был равен сумме
квадратов двух других.
«Необходимо и достаточно» заменяется на
«тогда и только тогда, когда».
Четырехугольник тогда и только тогда
является параллелограммом, когда его
диагонали, пересекаясь, делятся пополам.
Диагонали четырехугольника, пересекаясь,
делятся пополам тогда и только тогда,
когда четырехугольник является
параллелограммом.
Отношение обладает свойством симметрии,
если из того, что А находится в данном
отношении к В следует, что и В находится в
данном отношении к А.
Примеры симметричных отношений:
параллельность прямых,
перпендикулярность прямых, параллельность плоскостей,
перпендикулярность плоскостей, равенство
чисел, равенство фигур.
Отношение обладает свойством
транзитивности, если из того, что А находится в
данном отношении с В, а В с С следует, что А и С
находятся в данном отношении.
Примеры транзитивных отношений:
равенство чисел, подобие фигур, отношения
«меньше» и «больше» (<; >), параллельность
несовпадающих прямых и плоскостей.
ш

aeoMxmfitiz & тпхшлицах
ПЛАНИМЕТРИЯ
2. Углы и параллельность
Углом называется фигура, образованная
двумя лучами, выходящими из одной
точки (вершины).
Луч, выходящий из вершины угла и
делящий его пополам, называется
биссектрисой угла.
вершина
угла
/.ВАС
AM — биссектриса:
£ВАМ = £САМ
Угол называется развернутым, если его
стороны лежат на одной прямой.
Градус — величина (градусная мера) угла,
равного jgj части развернутого угла.
Z. ВАС — развернутый
Ае(ВС)
Z. ВАС =180°
Радиан — величина угла, градусная мера
которого равна I — .
Центральный угол в 1 радиан стягивает
дугу, длина которой равна радиусу
окружности. Центральный угол, стягивающий
а
дугу длины а, равен ъ=(х радиан.
Р*д»ан дл. AB = R
1В
дл. CmD
*—£— = ос радиан
Угол, равный половине развернутого,
называется прямым (90°).
Угол меньше прямого называется острым.
Угол больше прямого, но меньше
развернутого называется тупым.
А в
Z. BAD = 90° — прямой
Z. CAB < 90° — острый
90° < А ВАН < 180° — тупой
Смежные углы
Два угла, у которых одна сторона общая, а
две другие являются дополнительными
лучами, называются смежными.
Сумма смежных углов равна 180°.
Угол, смежный с прямым, — прямой.
Z. ВАС и Z. CAD — смежные
Z23AC + Z.CAD = 180°
Вертикальные углы
Два угла, стороны одного из которых
являются дополнительными лучами сторон
другого, называются вертикальными.
Вертикальные углы равны.
ABAC/.HAD-
/-BAH,£DAC-
ABAC = AHAD
вертикальные
вертикальные
/S5

Школьшя 7ifiC?haAiAva 4таблицах и фсклшшх
2. Углы и параллельность
Угол между прямыми
Углом между двумя пересекающимися
прямыми называется меньший из
вертикальных углов, образовавшихся при
пересечении.
Прямые, образующие прямой угол,
называются перпендшулярными.
Две прямые плоскости, не имеющие общих
точек, называются параллельными.
При пересечении двух прямых третьей
(секущей) образуются пары углов:
(1; 2); (3; 4); (5; 6); (7; 8) накрест лежащие,
(1; 8); (5; 3); (4; 6); (7; 2) соответственные,
(1; 3); (2; 4); (5; 8); (7; 6) односторонние.
£ \в
a^\f £(a9b) = £AFB<£.BFC
f^ss. (AAFB = Z. BFC) =>
\ ^ =»(Z.(a,b) = 90°)=»(a±b)
a
. b a\\b<=>anb = 0
>5
*^"^ \ ar\c br\c
Пересечение параллельных прямых секущей
Накрест лежащие углы равны
(Z. 1 = Z. 2; Z. 3 = Z. 4; Z. 5 = L 6; L 7 = Z 8).
Соответственные углы равны
(L 3 = L 5; Z 1 = L 8; Z 2 = L 7; L 4 = L 6).
Сумма односторонних углов 180°
(Zl+^3 = Z5 + Z8 = Z.2 + zl4 =
= Z6 + Z7 = 180°).
Аксиома параллельности
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна
прямая, параллельная данной.
Признаки параллельности прямых
Если две различные прямые параллельны
третьей, то от параллельны между собой
{транзитивность параллельности).
Если при пересечении двух прямых
третьей накрест лежащие углы равны, то
прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых
третьей соответственные углы равны, то
прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых
третьей сумма односторонних углов равна 180°,
прямые параллельны.
(a || b; b\\c) => (a || c)
P
ж

JcoAtcniftuJi & 7паалицаой
2. Углы и параллельность
Сумма углов треугольника равна 180°
mil АС
Z.A + Z.B + £С = 180°
Теорема Фалеса
Если на одной из двух
прямых отложены несколько
равных отрезков и через их
концы проведены
параллельные прямые, пересекающие
вторую прямую, то и на ней
отложатся равные отрезки.
А1А2 — А^А3 ^з^4
АхВх\\АгВг
^звз
А4В4=>
вхвг - в2вг - в3вА
Деление отрезка
на равные части
amjJ^mam±^b
АС,
0^2 ^2^3
= С±СЬ — произвольные
равные отрезки
ВСЬ II С±М± || CSM3 || С2М2 ||
II СгМг => АМг = МгМ2 =
= М2Мг = МгМ4 = М±В
«Расширенная» теорема Фалеса
Если на одной из двух прямых
отложены несколько отрезков
и через их концы проведены
параллельные прямые,
пересекающие вторую прямую, то
на ней отложатся отрезки,
пропорциональные данным.
c1\\c2\\c3\\c4^A1A2:A2As:
: А^АА = ВгВ2 : В2В3 : ВгВ4
3. Множества (геометрические места) точек на плоскости
Множество точек, равноудаленных от двух
данных точек, есть серединный перпендикуляр
отрезка, соединяющего эти точки (на нем лежат
центры окружностей, проходящих через
данные две точки).
Множество точек, равноудаленных от сторон
данного угла (меньшего, чем развернутый),
есть биссектриса угла (на ней лежат центры
окружностей, касающихся сторон угла).
А
<
с
АО = ОВ;с±АВ
\х (Хес)<*(АХ = хв)
%?~—~^Ах с / аос = / рог"
"^\i (X е ОС) <=> (р(Х, ОА) =
7^- =р(Х,ОВ))*
* р(Х, а) и р(Х, ОА) — обозначение расстояния от точки до прямой.
187

Читальная пбсфальлш, 6таал1ш/а<х, и фо^лшиаоо
3. Множества (геометрические места) точек на плоскости
Множество точек, равноудаленных от двух
параллельных прямых, есть параллельная им
прямая, проходящая через середину отрезка их
общего перпендикуляра (на ней лежат центры
окружностей, касающихся данных прямых).
а II Ь, с || а
(р(1,а) = р(Х,Ь))о(Хес)
Множество точек, равноудаленных от двух
пересекающихся прямых, есть две взаимно
перпендикулярные прямые, на которых лежат
биссектрисы вертикальных углов, образовавшихся при
пересечении данных прямых (на них лежат центры
окружностей, касающихся данных прямых).
anb
т (р(Х,а) = р(Х,Ь))«
Хеш
или
X е п
Множество точек, удаленных на данное
расстояние от точки, есть окружность с центром в
данной точке.
Р(Х, 0) = а
Множество точек, удаленных на данное
расстояние от прямой, есть две параллельные ей
прямые.
X
•
•
1
т
i
т
р(Х, а) = р(У, а) = т
Ъ || а; с II а
Множество вершин прямоугольных
треугольников с данной гипотенузой есть окружность,
построенная на гипотенузе как на диаметре
(исключая концы гипотенузы).
А АХВ = 90°
Множество точек, из которых данный отрезок
виден под данным углом, есть две симметрии-
ные, опирающиеся на данный отрезок, дуги
(исключая концы этих дуг).
/LAXB-Z.AYB
Окружность Аполлония
Множество точек М, таких что AM = kMB, есть
окружность с диаметром NXN2 на прямой АВ
такая, что ANг: ЫгВ = k nAN2 : N2B = k(k* 1).
/55

ЗеалиетАая ётпаолшщос
4. Треугольник
Неравенство треугольника
В любом треугольнике каждая сторона меньше
суммы двух других сторон.
a-b<c<a + b, где а,Ь,с — длины сторон
треугольника, причем а > Ъ.
Внешний угол треугольника равен сумме двух
внутренних, не смежных с ним углов.
£ВАМ = £В + £С
Сумма углов треугольника 180°
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против
большего угла — большая сторона.
а2 + Ъ2 > с2
а2 + Ь2 = с2
а2 + Ь2< с2
2^
остроугольный
прямоугольный
тупоугольный
Признаки равенства треугольников
По двум сторонам и углу
между ними (С У С).
По стороне и двум
прилежащим к ней углам (УСУ).
По трем сторонам (С С С).
^\^\
^\^Л
\^\^
Сходственные (соответствующие) элементы равных треугольников
равны.
Признаки подобия треугольников
По двум углам (У У).
у\ У\
По двум сторонам и углу
между ними (С У С).
2^ У\
По трем сторонам (С С С).
Ж 24
kb
kc
1S9

ЧМмольнал пбогбалма ётгьаолилщоо и фсАяшлаэс
4. Треугольник
Прямая, параллельная стороне треугольника,
отсекает от него треугольник, подобный данному.
Сходственные линейные элементы подобных
треугольников пропорциональны сходственным
сторонам.
Периметры подобных треугольников
относятся как сходственные стороны.
Площади подобных треугольников относятся
как квадраты сходственных сторон.
В PQ\\AC=>AABC™APBQ=>
АВ
ВС
= k
= АС =
^ РВ PQ BQ
коэффициент подобия
ААЛ
РР, \\ААЛ
РРл
= k
АВ+АС + ВС
РВ + PQ + BQ
= *;
= k2
Примеры подобных треугольников
AABC^ANBM
k= AJB АС_ я В£
BN " MN ВМ
ААВС^ААВгВ
, А£ АС _ ВС_
П АВг ~ АВ ВВХ
Медиана
Медианой треугольника называется отрезок,
который соединяет вершину треугольника с
серединой противолежащей стороны.
Медианы треугольника пересекаются в одной
точке (центре тяжести треугольника) и
делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от
вершины.
Медиана делит треугольник на два
равновеликих треугольника. Три медианы делят
треугольник на шесть равновеликих треугольников.
AM : МАг = ВМ : МВг
= СМ : МСг =2:1
ААг =та
2Ъ2 + 2с2 - а2
Биссектриса
Биссектрисой треугольника называется отрезок
биссектрисы внутреннего угла треугольника.
Все биссектрисы треугольника пересекаются в
одной точке — центре вписанной в
треугольник окружности.
Биссектриса делит противолежащую сторону
на отрезки, пропорциональные прилежащим
сторонам треугольника.
АС
АВ
1 Ь + с
Л R = йС А® = ^ + С
А\а ~ ь + с'' ОА[ ~ а
Аа\ =*АВ • АС-АХВ • УЦС
2 ABAC A
^" АВ+АСС032
190

SfeckAiemfiuji &тгии/лшщэс,
4. Треугольник
Биссектрисы внутреннего и смежного с ним
внешнего углов треугольника перпендикулярны.
Биссектриса внешнего угла неравнобедренного
треугольника пересекает продолжение
противолежащей стороны в точке, отстоящей от концов
этой стороны на расстояния,
пропорциональные длинам двух других сторон.
Z.LAfof = 90°
LB ^АВ
LC АС
Высота
Высотой треугольника называется отрезок
перпендикуляра, опущенного из вершины
треугольника на прямую, содержащую
противолежащую сторону.
Все высоты треугольника пересекаются в одной
точке — ортоцентре треугольника.
I* В
н
AAV BBV ССХ — высоты A ABC
ААг = ha; ВВг = hb; ССг = йс; Я — ортоцентр
1+1+1-1
ha hb hc r
г — радиус вписанной окружности
Средняя линия
Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух сторон
треугольника.
Средняя линия параллельна третьей стороне и
равна ее половине.
PQWAB
pq=\ab
Серединный перпендикуляр
Серединным перпендикуляром называется
прямая, перпендикулярная стороне треугольника
и делящая ее пополам.
Все серединные перпендикуляры сторон
треугольника пересекаются в одной точке —
центре описанной около треугольника
окружности. Около каждого треугольника можно
описать окружность и притом только одну.
Точка пересечения серединных
перпендикуляров треугольника является точкой пересечения
высот треугольника, образованного средними
линиями данного.
с АО = ВО = СО = 1
191

ЧМнальшия п/юг/галилш, & таолилщк а фскмулах,
4. Треугольник
Площадь треугольника
SA » g aha = 2 &A* = 2 сАс
5Д = ^ я& sinC = ^ас sinB = ^be sinA
5Д = л/р(р - а){р ~ Ь)СР ~ с) (формула Герона)
р = ~ (а + Ы- с) — полупериметр
г — радиус вписанной окружности
R — радиус описанной окружности
Теорема косинусов
Теорема синусов
а2 = &2 + с2 - 2Ъс cos A
Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного
произведения этих сторон на косинус угла
между ними.
= 2Д
sin A sin В sin С
Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих им углов.
Вписанная окружность
В каждый треугольник можно вписать
окружность и притом только одну.
Ее центр — точка пересечения биссектрис.
Радиус (г) вычисляется по формулам:
S
Р
^-„.^-c-^i-o-o
tg
-I
ХР - а)(р
Ь)(р -с) _S
Р
полупериметр
г с
ОТ ±АС;
OV±AB,OW±BC
AV=AT=p-a
BV = BW = p-b
CW = CT=p-c
Описанная окружность
Около каждого треугольника можно описать
окружность и притом только одну.
Ее центр — точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника.
Радиус (Д) вычисляется по формулам:
а Ъ с
R =
Д =
2 sin A
аЪс
4S
2sin£ 2sinC
АВг = ВХС; АСХ = CtB;
ВА1=А1С
ОАх 1 ВС; ОВх ±АС; ОС^АВ
OA = OB = OC = R
192

иссльсглкия ё таолтЩ'Х,
4. Треугольник
Прямоугольный трезтольник
Сторона прямоугольного треугольника,
противолежащая прямому углу, называется
гипотенузой, дес другие стороны называются катетами.
Теорема Пифагора
Квадрат длины гипотенузы равен сумме
квадратов длин катетов.
с2 = а2 + Ъ2
Ъ катет
Свойства прямоугольного треугольника
Медиана, проведенная к гипотенузе
прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
Только в прямоугольном треугольнике центр
описанной окружности лежит на стороне
треугольника (совпадает с серединой гипотенузы).
А OA = OB = OC = R=^c
Площадь прямоугольного треугольника
S = ~а&; S = yCh, h — высота, проведенная к гипотенузе
Тригонометрические функции острых углов прямоугольного треугольника
Синусом острого угла в прямоугольном
треугольнике называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла в прямоугольном
треугольнике называется отношение прилежащего
катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла в прямоугольном
треугольнике называется отношение протиБОлежа-
щего катета к прилежащему.
Котангенсом острого угла в прямоугольном
треугольнике называется отношение
прилежащего катета к противолежащему.
а Ъ , а
sin а = -; cos а = -; tg а = Т
с' с to Ъ
Р - 90° - а
sin p = sin(90° - а)-
cos а
cos р = cos(90° - а) - - = sin а
tg p = tg(90° - а) = - = ctg а
Пример.
sin 54° = cos 36°; tg 89° = ctg 1°
Значения тригонометрических функций некоторых углов
sin
cos
tg
0°
0
1
0
30°
1
2
7з
2
1
7з
45°
1
72
1
72
1
60°
7з
2
1
2
7з
90°
1
0
не опр.
180°
0
-1
0
7—1323
193

Шкальиая прог^альлш, 4 тпхи/лиирих, и формулах,
4. Треугольник
Признаки прямоугольных треугольников
Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон, то такой треугольник прямоугольный.
Если медиана треугольника равна половине соответствующей ей
стороны, то треугольник прямоугольный.
Решение прямоугольных треугольников
Дано: гипотенуза и острый угол
х = a cos a
у = а sin а
р = 90° - а
Дано: катет и острый угол.
х = a tg a
а
У -
cos а
Дано: высота, опущенная на гипотенузу, и
острый угол.
h h
у = х =
* cos a «*** ~
*>1
Катет, лежащий против угла 30°, равен
половине гипотенузы.
cos а
z = ft ctg а
sin а
t = ft tg а
Соотношения в прямоугольном треугольнике
ВС2=ВСг-АВ; а2 = аг-с
АС2=АСг'АВ; Ъ2 = Ьг'С
СС\ ^ВС1-С1А; Ь2 = а1-Ъ1
аЪ
h = —
с
Бычисление радиусов вписанной и описанной окружности
2R = АВ = с = (Ъ - г) + (а - г)
=> 2Д = а + & - 2
2{R + г) = а + Ъ
а + Ъ — с
=>2Д = а + &-2г=»г = « =р - с
/s>4

Зеслшп/мия 4пшс/лшуыс,
4. Треугольник
Треугольники классифицируют по сторонам: разносторонние,
равнобедренные, равносторонние; а также по углам: остроугольные,
тупоугольные и прямоугольные.
Треугольники
разносторонние
равнобедренные
равносторонние
остроугольные
тупоугольные
прямоугольные
tl_^
Равнобедренный треугольник
Равнобедренным треугольником называется
треугольник с двумя равными сторонами.
Общая вершина равных (боковых) сторон
называется вершиной равнобедренного треугольника,
а третья сторона основанием.
вершпна равнобедренного
треуголышка
основание
Свойства равнобедренного треугольника
Углы при основании равны.
Высота, проведенная из вершины
равнобедренного треугольника, является медианой и
биссектрисой (осью симметрии).
Высоты (биссектрисы, медианы), проведенные к
боковым сторонам, равны.
AAi-LBC<=^AA1 = ССг
ССХ LAB
Все эти свойства равнобедренного треугольника обратимы и могут
быть использованы для получения признаков равнобедренного
треугольника.
Правильный треугольник
Правильным {равносторонним) называется
треугольник, все стороны которого равны.
195

шпс^иэкая пксгбалыш, 4 тпш/лшцаэь и фоАммлах
4. Треугольник
Правильный треугольник (продолжение)
Свойства правильного треугольника
Все углы равностороннего треугольника
равны 60°.
Только в правильном треугольнике совпадают
точки пересечения медиан, биссектрис, высот,
серединных перпендикуляров. Эта точка
называется центром правильного треугольника и
является центром вписанной и описанной
окружностей.
Центр правильного треугольника делит его
высоты в отношении 2:1, считая от вершины.
Только в правильном треугольнике:
2 а
3 V3
Площадь равностороннего треугольника
АВ = ВС=АС = а
AA1=BB1 = CC1 = h
h~-2a
Дополнительные теоремы о треугольнике
Теорема Чевы
Отрезки АА1, BBV ССг тогда и только тогда
пересекаются в одной точке, когда:
АВ1
САг
А^В
ВСг
С^А
= 1.
в
в
Л
с
Теорема Менелая
Точки Ал, Bv C1 тогда и только тогда лежат на
одной прямой, когда:
АВЛ ВС,
ВгС
СгА
САг
А^В
= 1.
Теорема Стюарта
АА1 = Z, тогда
Z2 =
aj + с a2
-ага2.
196

с/еольетАия &пъш/лищаос,
4. Треугольник
Дополнительные теоремы о треугольнике (продолжение)
Центры вневписанных окружностей лежат в
точках пересечения биссектрисы внутреннего
и двух биссектрис внешних углов
треугольника.
АТг=АТ2=±(АВ + ВС + СА)=р
ВК=р-с;СК=р-Ъ
5. Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник,
противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства параллелограмма
Диагональ делит параллелограмм на два равных
треугольника.
Противоположные стороны параллелограмма
равны.
Сумма соседних углов параллелограмма 180°.
Диагонали параллелограмма, пересекаясь,
делятся пополам.
Дополнительные свойства параллелограмма
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от
него равнобедренный треугольник.
Биссектрисы соседних углов параллелограмма
перпендикулярны, а биссектрисы
противоположных углов параллельны или лежат на
одной прямой.
Диагонали параллелограмма делят его на
четыре равновеликих треугольника.
Высоты параллелограмма обратно
пропорциональны соответственным сторонам
параллелограмма.
Высоты параллелограмма, опущенные из одной
вершины, образуют угол, равный углу
параллелограмма при соседней вершине.
Середина любого отрезка с концами на
противоположных сторонах параллелограмма лежит на
прямой, проходящей через середины двух
других сторон.
R ч —w- С
^Г ^~\ A3 =- BF
\Х\\ BMLAF
\£ г— ^а рлт \\ пк
A D
В
У к
а С
/ ь Х Х \
Уъ а:Ь=к:К'
В /Е С
А 7%Г D
щ

Шпсльшия nficz/iCLALAUi 6 тпаолицак, и фо^жилах
5. Параллелограмм
Признаки параллелограмма
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и
параллельны, то это параллелограмм.
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно
равны, то это параллелограмм.
Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам,
то это параллелограмм.
Периметр параллелограмма Р = 2а 4* 2&
Площадь параллелограмма
S = aha = bhb
S = ab sin ф
S = о d^sina
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма
равна сумме квадратов его четырех сторон.
d\ + dl - 2a2 + 2&2
Квадрат
Квадратом называется прямоугольник, у
которого xjcc сторсгы равны (ромб с прямыми углами).
Квадрат обладает всеми свойствами ромба и
прямоугольника.
Квадрат — правильный четырехугольник.
d = a^2
r=2a
Площадь квадрата
S = a2=^d2
Ромб
Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.
Свойства ромба
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Диагонали ромба лежат на биссектрисах его
углов.
Высоты ромба равны.
В ромб можно вписать окружность
r=- ^h= -^а sin A.
Ромб обладает всеми свойствами
параллелограмма.
а\
п*
^^^L
у Г
W
iB
Л
1_а
h = a sin A = a sin В = 2r
/95

с/еоииятпАил & mac/лицах
5. Параллелограмм
Ромб (продолжение)
Признаки ромба
Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб.
Если диагональ параллелограмма лежит на биссектрисе его угла, то это ромб.
Если стороны четырехугольника равны, то это ромб.
Площадь ромба
S = ha = a2 sin A= -^dxd2
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника
Диагонали прямоугольника равны.
Около прямоугольника можно описать
окружность
Д = к ^ = 2*а + ^ •
Прямоугольник обладает всеми свойствами
параллелограмма.
D
а
■г- -1ггтг1П-1--1р гт—1
Н 1 jp
И
■ \j
AC = BD = d
ОА = ОВ = ОС = OD
d2 = a2 + о2
Признаки прямоугольника
Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.
Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник.
Если в четырехугольнике три угла прямые, то это прямоугольник.
Площадь прямоугольника
S = ab
S = о d2 sin a
6. Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого
параллельны, а две другие не параллельны.
Элементы трапеции
BCnAD — верхнее и нижнее основания,
АВ и CD — боковые стороны,
АС и BD — диагонали,
MN — средняя линия,
\MN=^(BC+AD).
Высота трапеции ВВг — расстояние между
прямыми оснований.
В
J
с в. >с
\tf Л
.'__ V _
\ \
М\ \tf
Л в\ u BL A D
BBllAD,BB1-h
199

Шкальмал прсгкамлиг 6 тпаолшцах и фоклшлах,
6. Трапеция
Площадь трапеции
S = h • MN = \h(BC +AD) = ^АС • BD х
х sin /-(AC, BD)
Неравенство для сторон трапеции
AB + CD>AD-BC
д
С^! || BD
Неравенство для диагоналей трапеции
AC + BD>AD + BC
2S
h =
ACD
AD,
D
D,
d1 + d2>b + a
Разбиение трапеции на параллелограмм и треугольник
ВВХ || CD;
BCDBt — параллелограмм;
BC = a = BxD
AD = b=*AB1 = b-a.
ССг\\АВ;
АВССг — параллелограмм.
Если известны стороны трапеции, можно вычислить по формуле Герона площадь отсеченного
треугольника (SA), высоту трапеции (h = ^-g- или h = ^-g) и площадь трапеции.
Построение трапеции по основаниям и боковым сторонам
Пусть заданы отрезки а, &, lv l2, причем 1г +
+ 12 > Ъ - а (6 > а): неравенство для сторон
трапеции.
1. Строим ААВВг по трем сторонам: Ь - a, lv lv
2. Проводим через точку В прямую ВХ \\ ABV
3. Ha лучах ВХ и BtY строим отрезки ВС =
= BXD = a.
Трапеция ABCD — искомая.
Теорема о четырех точках трапеции
Середины оснований, точка пересечения
диагоналей и точка пересечения продолжений
боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
BL = LC
AT=TD
Свойства треугольников в трапеции.
ABOC^ADOA
ВО^ СО
OD ОА
а
Ъ; S
вое
DOA
-ю"
^АОВ SC0D
200

aa)A{jcmk(juz 4тш/лищюо
6. Трапеция
Построение трапеции по основаниям и боковым сторонам (продолжение)
Отрезок, параллельный основаниям,
проходящий через точку пересечения диагоналей.
оЬ 2ab
а + о а + о
Отрезок, параллельный основаниям и
делящий трапецию на две равновеликие части.
вм а кс
FP =
2 . , 2
а + b
£х
Safpd ~~ &рвсрл9 FP II ВС
В трапецию можно вписать окружность тогда
и только тогда, когда сумма оснований равна
сумме боковых сторон.
BC+AD=AB + CD
в т—*
Равнобокая трапеция
Равнобокой (равнобедренной) называется
трапеция с равными боковыми сторонами.
Свойства равнобокой трапеции
Диагонали равнобокой трапеции равны (dx = d2).
Углы при одном основании равнобокой
трапеции равны.
Только около равнобокой трапеции можно
описать окружность; она совпадает с
окружностью, описанной около любого
треугольника с вершинами в вершинах трапеции. Ее
центр лежит на серединном перпендикуляре к
основаниям трапеции.
Если центр описанной окружности лежит на
основании трапеции, то ее диагональ
перпендикулярна боковой стороне.
в
Ау
№•
С
"^Л
AO = BO = CQ = DO = R
В равнобедренную трапецию можно вписать
окружность, если боковая сторона равна
средней линии.
AB = BC+AD 2r = h
ЯМ

%Uft(kAbH4ZJi fiAoeficMiMa, Ятси/лицах и, (fiofuiyjuvx,
7. Окружность
Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся
на одинаковом расстоянии от данной точки (центра окружности).
Отрезки в окружности
Для любой точки М окружности с центром О
выполняется равенство: ОМ = R (отрезок ОМ —
радиус окружности).
Отрезок, соединяющий две точки окружности,
называется хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности,
называется диаметром окружности (D).
D = 2R
Длина окружности
С = 2nR.
Дуга окружности
Часть окружности, заключенная между ее
двумя точками, называется дугой.
Две любые точки М и N окружности
определяют на ней две дуги: MkN и MIN. Любую из этих
дуг стягивает хорда MN.
Равные дуги стягиваются равными хордами.
Длина дуги
АСЕ = Да, где а — величина угла АОВ в
радианах;
о
АСВ = RjjjTy у где ф — величина угла АОВ в
'180
градусах.
Круг
Кругом называется часть
плоскости, ограниченная
окружностью.
Для всех точек N круга
выполняется неравенство: ON ^ R
Часть круга, ограниченная
дугой и двумя радиусами,
называется сектором круга.
Любые два радиуса задают
два сектора.
Часть круга, ограниченная
дугой и стягивающей ее хордой,
называется сегментом.
Любая хорда делит круг на два
сегмента.
Сегмент, задаваемый
диаметром, называется полукругом.
202

'мщаос
7. Окружность
Круг (продолжение)
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту
хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
Если диаметр делит хорду, не являющуюся
диаметром, пополам, то он ей перпендикулярен.
MN±AB=*AT = BT
Если две хорды АВ и CD имеют общую точку М,
то
AM • МВ=СМ • MD.
Для данной точки М внутри окружности
произведение отрезков хорды, на которые делит ее
данная точка, есть величина постоянная и
равная:
(R + OM)(R-OM).
В А
АМ-МВ = (Д + ОАО(Д-ОМ) = Д2-ОМ2
Центры всех окружностей, проходящих через
две данные точки, лежат на серединном
перпендикуляре к отрезку с концами в данных
точках.
Прямая и окружность
Прямая, имеющая с окружностью одну общую
точку, называется касательной к окружности;
прямая, имеющая с окружностью две общие
точки, — секущей.
Прямая касается окружности тогда и только
тогда, когда диаметр, проходящий через общую
точку прямой и окружности, перпендикулярен
этой прямой.
секущая
касательная^ ОМ JL а
Если расстояние ОМ от центра окружности до
прямой
больше радиуса — прямая не имеет с
окружностью общих точек;
равно радиусу — прямая касается окружности;
меньше радиуса — окружность высекает на пря-
/2 2
мой хорду длиной 2 • VR - ОМ .
0-
ОМ<Е
Если окружность касается сторон данного угла,
то:
центр окружности лежит на биссектрисе угла,
отрезки касательных равны между собой.
биссектриса
AM = AN
203

италъшия пЖогбалилса £тси/лшуаос и cbcfiMMMioo
7. Окружность
Прямая и окружность (продолжение)
Если из точки вне окружности к ней проведены
касательная и секущая, то квадрат длины
отрезка касательной равен произведению всего
отрезка секущей на его внешнюю часть.
Произведения длин отрезков секущих,
проведенных из одной точки, равны.
АТ2=АВ-АС =
= (OA-R)(OA + R)
= ОА2-Д2
Две окружности
Если расстояние d между центрами двух окружностей больше
суммы (Rt + R2< d) или меньше разности (Rx - R2> d) их радиусов, то
окружности не имеют общих точек.
Rl + R2 < d
Rx-R2>d
Если Rx + R2 = d или Rx - R2 = d, то окружности касаются (внешним или
внутренним образом).
внешнее касание
Ri + д2 = d
внутреннее касание
R* ~~ R2 — d
Если Rx - R2 < d < Rt + R2, то окружности имеют общую хорду.
MN = R0
•Rx + d
MN = R1 + R2-d
4&
AB =
ОгА02
Две окружности, имеющие общий центр,
называются концентрическими.
MN = R1-R2
d = 0
204

оеольепфил & тпхгсСищах
7. Окружность
Углы в окружности
Центральным углом в окружности называется
угол между двумя ее радиусами.
Градусная мера центрального угла равна
градусной мере дуги, на которую он опирается
(измеряется дугой, на которую он опирается).
Угол, вершина которого лежит на окружности,
а стороны содержат хорды, называется
вписанным углом.
Вписанный угол измеряется половиной дуги,
на которую он опирается.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр,
прямой.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же
дугу у равны.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же
хорду у либо равны, либо их сумма 180°.
Угол между хордой и касательной измеряется
половиной содержащейся в этом угле дуги
окружности.
Угол с вершиной внутри окружности (угол
между двумя хордами).
Угол с вершиной вне окружности (угол между
двумя секущими).
Р Z.AOB=APB = a°
А
/^^^ /^Г^\ ^ВАС = /_ВРС =
В А
Л
\\^^У LBPC = LBAC
В>-—^ /-ВАС + £ВТС=180°
\ ° \/
\ X £ВАС=1вМА
L{g'\ ] £ВАС = /.ССгВ +
V \ / +£Вгвсг =
^<1 ^ = ^ (ВМС + B.LC,)
в \
r./^Z^i /-ВАС = /_С,ВВ,-
\^ у =\(B$iCx-BLC)
205

UlfWUbKCLU nfec?/lCLAUAUZ S7Пш/я1МЩХ> (Л фок.4АиЖ1Х,
7. Окружность
Общие касательные двух окружностей
Если одна окружность лежит вне другой, то у
них четыре общие касательные.
Если одна окружность касается другой
снаружи, то у них три общие касательные.
две внутренние касательные
одна внутренняя касательная
d = Ог02 > Rx + R2
1 A
R
d = Rt + R2
МгМ2 = 2jR^T2
МгВ = ВА = ВМ2
Если одна окружность
касается другой изнутри, то у них
одна общая касательная.
Если окружности
пересекаются, то у них две общие
касательные (две внешние
касательные, внутренних
касательных нет).
Если одна окружность лежит
внутри другой, то общих
касательных нет.
Если Ог02 = d, то
Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в
многоугольник, если она касается всех его сторон.
Ее центр должен принадлежать всем
биссектрисам внутренних углов этого многоугольника. Ее
радиус можно вычислить по формуле г = -, где
S — площадь, ар — полупериметр
многоугольника.
Не во всякий многоугольник можно вписать
окружность.
206

SfeaAwmAriM Smat/лицаж
7. Окружность
Вписанная окружность (продолжение)
В любой треугольник можно вписать
окружность и притом только одну. Ее центр лежит в
точке пересечения биссектрис внутренних углов,
а радиус может быть вычислен по формулам:
S
г= -
Р
ABC
г = (р-а)1#2 = (p-b)tg^ =(p-c)tg 7j>
где S — площадь треугольника, ар — его
полупериметр.
АВ1=АС1=р-а
ВС^ВА^р-Ъ
САг = СВг=р-с
p = 2(a + 6-f с) —
полупериметр
В выпуклый четырехугольник можно вписать
окружность тогда и только тогда, когда суммы
длин его противоположных сторон равны.
AB + CD = BC+AD
С
Описанная окружность
Окружность называется описанной около мно-
гоуголъника, если она проходит через все его
вершины. Ее центр лежит на всех серединных
перпендикулярах сторон (и диагоналей) этого
многоугольника. Радиус вычисляется как
радиус окружности, описанной около треугольника,
определенного любыми тремя вершинами
данного многоугольника.
я ОА = ОВ = ОС =
Около любого треугольника можно описать
окружность и притом только одну. Ее центр
лежит в точке пересечения серединных
перпендикуляров сторон треугольника, а радиус
вычисляется по формулам:
2sinA 2sinB 2sinC
abc
Is
a, b, с — длины сторон треугольника, S — его
площадь.
Д =
/LB<90°=>/LAOC<2B Z.5>90°=>
=> £АОС= 180°
2В
207

Шюльших nfiovhaAtAta ё тпси/лицаос и, фобльилаоо
7. Окружность
Описанная окружность (продолжение)
Около четырехугольника можно описать
окружность тогда и только тогда, когда сумма его
противоположных углов равна 180°.
Теорема Птолемея
Во вписанном четырехугольнике произведение
диагоналей равно сумме произведений его
противоположных сторон.
\АС • BD=AB • CD + BC • AD
в
j^—"^ Z.A+Z.C = Z.B + £D = 180°
@
8. Площади
Площади равных фигур равны.
Если фигура составлена из нескольких фигур, не имеющих общих
внутренних точек, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.
Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.
Площадь квадрата
S = a2
Площадь параллелограмма
\ S = а • ha = Ь • hb
S = db sin a
Площадь треугольника
Основные формулы
Is = 2 aha = 2 bhb = 2 Ch°
S = р аЪ sin С = -^ас sin B= ^bc sin A
Формула Герона
1 S= Jp(p - а)(р - b)(p - с),где^= |(а + & +
+ с) — полупериметр
Площадь прямоугольника
S = a&
в
ъ1
/ос
#1
с в
*r^t/ /
/ ь 1
к / /
/ /а /
"1 1 тл • #> /
с
(к
-\
в1 а a' D В1
А
\\ь
лкУк
\0ГС
в
208

aeoJAjemhuA ё тш/лшцкх,
8. Площади
Дополнительные формулы
S = гр, где г — радиус вписанной окружности
о аЪс d
S = -г^, где R — радиус описанной окружности
S = 2R2 sin A sin В sin С
Некоторые соотношения площадей
треугольников
Площади подобных треугольников (фигур)
относятся как квадраты сходственных элементов
(сторон, медиан, высот и т. п.), их отношение
равно квадрату коэффициента подобия.
AABC^AMNC
ССг = h;CX = x;AB = c
MNC
'авс
MN*
= k2
Площади треугольников у имеющих равные
высоты (общую высоту), относятся как стороны,
соответствующие этим высотам.
&авс • &bfg~AC : FG
Площади треугольников9 имеющих равные сто-
ронЫу относятся как соответствующие этим
сторонам высоты.
&АВС "" &АЕС "~ ^1 : E^l
Площади треугольников у имеющих равный угол
(или общий угол), относятся как произведения
сторон, содержащих этот угол.
Е
ъавс ABAC
AFAE
DAFE
Медиана делит треугольник на два
равновеликих треугольника.
Три медианы треугольника делят его на шесть
равновеликих треугольников.
*АВВ<
= S
вхвс
SACCt ~~ SdCB
SACAt = SAXAB
= s
BGC,
! SCXGA
209

Шпальшия пАогАсиАьлш &таолшца/х, п фо/гишмах
8. Площади
Некоторые соотношения площадей треугольников
(продолжение)
Площадь прямоугольного треугольника.
S = о аЬ = к ch
аЪ
п = —
с
Площадь правильного треугольника.
Примеры решения задач
на нахождение площадей
Пример 1.
Дано: СМ = 2МБ; CN = NA; SABC = S.
Найти: SMBAN.
Решение:
scmn _CM-CN 2 11 1
sabc"^cbca 3#2 З^^м* зЬ:
^ smban = ^Iabc ~" sCMiv ==^""3jS=3'S"
Пример 2.
Дано: ЗСАХ = АХБ; АО = ОАг; SABC = S.
Найти: S0BAi.
Решение:
AABAj и ААБС имеют общую высоту,
проведенную из вершины А:
°АВАЛ
>АВС
АгВ
"CF
= т =>S
ABA.
-is.
ВО — медиана А АВАг => S0BA = g S.
2/0

JaxucnihuM ё macLmujnx
8. Площади
Примеры решения задач на нахождение площадей (продолжение)
Пример 3.
Дано: AU = \ BU; ВТ = \ СТ; АХ = XY = YC;
&АВС = ^'
Найти: SXUTY*
Решение:
&атв = § ^авс = я ^ (°бЩая высота).
2 2
^вгс/ = Ц ^авт = о ^ (общая высота).
Аналогично, iSTyc = g S;
4 s.
&AXU ~~ Q ^ ^ &XUTY "~9
Пример 4.
Дано: УХ || AC; XZ IIАВ; S5xy = Sx; Scxz = S2.
Найти: SAyxz.
Решение:
AXYB^ACZX.
CZ _ S2
XY //sx'
AZ
SAYXZ ~ 2 * SAXZ - 2 e ~ZC * SCXZ ""
Площадь трапеции
S - ^Цг^ • ft - МАГ • ft,
а и & — длины оснований,
ft — высота, MiV — средняя линия.
в а
>^ у' h
S а ' Ь-а
С
к
У \т
~i \
Пусть заданы основания а, & и боковые
стороны АВ = lv CD = l2. Проведем СЕ \\ АВ.
Тогда АЕ « a, Д1> = & - a, СЯ = Zx.
ССХ = ft = —-— , SECD вычисляется по
формуле Герона.
Соотношение площадей фигур, связанных с трапецией
si (BC\2
SAOB ~~ SCOD ~~ JS1S2
Я -Ь Я -аЯ
д
СР II £Z> =» S^^ - SACP
211

УМкальшия пЛог/гажжа ётш/лилщос, и, фс/глшиаяс
8. Площади
Соотношение площадей фигур, связанных с трапецией (продолжение)
Площадь произвольного
четырехугольника
S= нАС • BD • sin a
Площадь ромбоида
S=|aC • BD
Площадь произвольного
многоугольника {триангуляция)
&ABCD в ^1 + ^2 + ^3 + ^4>
где Е — произвольная точка
внутри многоугольника.
в
Площадь правильного га-угольника
|2
S-2rP
S =
nR
• sin-
2я
га
га
S =
гаа
ctg-
S = н kP, k — апофема.
Площади правильных многоугольников
6Д2 . 2к ЗТЗД2
sin-^- = —о—
s6 =
8iT
6
27С
S8 = ^sin-g- = 2iTV2
е 12Д .2л; 2
S12--5-sinI2 =ЗД
*л-1
Lft + 1 ЛА
AjA2 = ... -Ал^1 = а
Р — an — периметр
Д — радиус описанной
окружности
г — радиус вписанной
окружности
Площадь круга
5 = лД2 = 22)2=^ДС
С — длина окружности,
D = 2Д — диаметр.
С = 2я;Д
Площадь сектора
о- У*Ф°
* 2Л 180°
S=^2a
(а радиан - ,Щ
сектор
Площадь сегмента
S= o^2(oc-sina),
a — радианная мера дуги
АтгаВ или АпВ (соответственно
для сегментов АтВ или АпВ).
°сегмАтпВ 0секА"»В °АОВ
сегмАпВ
: Sce*AnB + &AOB
212

aawemfiuji ётаилшщх
8. Площади
Соотношение площадей фигур, связанных с трапецией (продолжение)
Пример 1.
Площадь большого полукруга
nR2
—^- . Площадь каждого из ма-
Ф
лых полукругов —2
Площадь заштрихованной фи-
„ nR2 nR2 ЗяД2
Пример 2.
АО = 2Д; АС = Д73 (по т.
Пифагора).
Площадь АСОВ = 2SAC0 =
= д27з.
Площадь сектора
Площадь заштрихованной
фигуры S = R а/3 - —к- —
= Д
Пример 3»
S-R
Ч* + т)-
СТЕРЕОМЕТРИЯ
9. Основные аксиомы и определения
Через любые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит одна и только одна
плоскость.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и
вся прямая лежит в этой плоскости.
М е a, L е а
М е а, L е а
=>аСа
Еслп две плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой, проходящей через эту
точку.
В любой плоскости выполняются аксиомы
планиметрии.
М е а, М е Р =
[а п р = а
=>\М е а
\аэ М
Две прямые, имеющие только одну общую
точку, называются пересекающимися.
а п & = М
m

Шшмьшья TihozfiaMjjMi. Smcu/лшщоо и фокжимюс
9. Основные аксиомы и определения
Две прямые, лежащие в одной плоскости и не
имеющие общих точек, называются параллель-
ними.
а || Ь => (а с а; Ъ с а)
Две прямые, не лежащие в одной плоскости,
называются скрещивающимися.
Прямая, все точки которой принадлежат
плоскости, называется прямой, лежащей в этой
плоскости.
аса
Прямая пересекает плоскость, если у них есть
только одна общая точка.
апсс = М
Прямая называется параллельной плоскости,
а плоскость — параллельной прямой, если они
не имеют общих точек.
а II а, а II а
Две плоскости, не имеющие общих точек,
называются параллельными.
£> a IIP
Два луча называются сонаправленными, если
один из них является частью другого, или если
они лежат на параллельных прямых в одной
полуплоскости относительно прямой,
проходящей через начала лучей.
NM и NK сонаправ-
лены.
АХ и BY соналравлены
АХ || BY
Прямая называется перпендикулярной
плоскости (а плоскость прямой), если прямая
перпендикулярна любой прямой, лежащей в гтой
плоскости.
а 1_ а => (а 1 с, а 1 Ь)
214

JeojAjcmfiuM £ inatLiuii/Z'X,
10. Теоремы стереометрии
Через прямую и не лежащую на ней точку
проходит одна и только одна плоскость.
М<£
{аса
Me а
Через две пересекающиеся прямые проходит
одна и только одна плоскость.
anb = M-
{аса
Ьса
Через две параллельные прямые проходит одна
и только одна плоскость.
а II 6:
{аса
&са
Если точки А, В, С, D не лежат в одной
плоскости, то прямые АВ и CD (AC и BDy AD и ВС)
скрещиваются.
Если прямая АВ лежит в некоторой плоскости,
а прямая CD пересекает эту плоскость в точке,
не лежащей на АВ, то прямые АВ и CD
скрещиваются.
ДДСеа
D т а
AB^CD
AC ^ BD
AD^-BC
Если одна из параллельных прямых пересекает
плоскость, то и другая прямая пересекает эту
плоскость.
а || Ь
ana
=> Ъг\а
Признак параллельности прямых
Если две прямые параллельны третьей, то они
параллельны между собой.
ь с
a II с
Ml с
=>а||&
Признак параллельности
прямой и плоскости
Если прямая, не лежащая в плоскости,
параллельна какой-либо прямой, лежащей в
плоскости, то она параллельна этой плоскости.
с НЬ
Ьса
' а || а
215

)Шшкль/иал п/гсг/га.млш (ыпаолицах, и фсбжилах
10. Теоремы стереометрии
Если одна из пересекающихся плоскостей
проходит через прямую, параллельную другой
плоскости, то линия пересечения плоскостей
параллельна этой прямой.
а п Р = &
аса
all р
а\\Ъ
Если каждая из пересекающихся плоскостей
проходит через одну из двух параллельных
прямых, то прямая пересечения плоскостей
параллельна этим прямым.
с
с
Если две пересекающиеся плоскости
пересечены третьей плоскостью по параллельным
прямым, то линия их пересечения параллельна
этим прямым.
a n Р = с ]
yna = a
у п р = Ъ
a II 6
ell a
с lib
Если две пересекающиеся плоскости
пересечены третьей плоскостью по пересекающимся
прямым, то точка их пересечения лежит на
линии пересечения плоскостей.
м
Углы с соответственно сонаправленными
сторонами равны.
Вл
Z. В^А^ = Z. ВАС
Признаки параллельности плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны двум
пересекающимся прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.
a nb = М
а с а; Ъ с а
а II аг\ Ъ || Ьг
аг С Р; Ъх С р
У => ос Ир
Если две плоскости параллельны третьей, то
они параллельны между собой.
a II у
PIlY
-a lip
246

Jto~4Ucm<hus% & та (/лицах,
10. Теоремы стереометрии
Свойства параллельных плоскостей
Если плоскость пересекает две параллельные
плоскости, то прямые пересечения
параллельны.
у п Р = Ъ
а II р
►а ||Ь
Если прямая пересекает одну из параллельных
плоскостей, то она пересекает и другую
плоскость.
ana
а ||р
an P
Если плоскость пересекает одну из
параллельных плоскостей, то она пересекает и другую
плоскость.
а ||р
yn a
► ynp
Через точку, не лежащую на плоскости, можно
провести одну и только одну плоскость,
параллельную данной плоскости.
> существует
М g a
а с a
& С a
ствует единственная плоскость р II а, М е р
аг || а
Ьг II Ъ
суще-
ai n bi = M
Признак перпендикулярности прямой и
плоскости
Если прямая перпендикулярна двум
пересекающимся прямым плоскости, то она
перпендикулярна самой плоскости.
a nb
а С а;
с ± а
с Lb
& С а
с i_a
217

Школьмая nhozficiMAUi & лгаолица/х, а фиклшлах,
10. Теоремы стереометрии
Признак перпендикулярности прямой и плоскости (продолжение)
а) Если прямая перпендикулярна одной из
параллельных плоскостей, то она
перпендикулярна и другой.
б) Если две плоскости перпендикулярны одной
и той же прямой, то эти плоскости
параллельны.
в) Через точку проходит единственная
плоскость, перпендикулярная данной прямой.
а)
б)
all р
а ± a
а ± а
Р±а
•а±р
>а||р
в)
М е а
М е а
кость а ± а
существует единственная
плоски' £ а
М е a
а) Если одна из параллельных прямых
перпендикулярна плоскости, то и другая прямая
перпендикулярна этой плоскости.
б) Если две прямые перпендикулярны одной
плоскости, то эти прямые параллельны.
в) Через точку проходит единственная прямая,
перпендикулярная данной плоскости.
&±сс
>а||&
в) М е а => существует единственная прямая
а±а,М е a <= M g a
Теорема о трех перпендикулярах
Если (ортогональная) проекция наклонной
перпендикулярна прямой на плоскости, то и сама
наклонная перпендикулярна этой прямой.
Если наклонная перпендикулярна некоторой
прямой плоскости, то и (ортогональная)
проекция наклонной на эту плоскость
перпендикулярна этой прямой.
} => (с ± т) <=>
<=> (& 1 т)
Если плоскость проходит через перпендикуляр
к другой плоскости, то она перпендикулярна
этой плоскости.
а С a
flip
• aip
218

&еом£лп/111Я &та0лилфх,
10. Теоремы стереометрии
Перпендикуляр к одной из двух
перпендикулярных плоскостей либо лежит в другой
плоскости, либо ей параллелен.
аса или а II а
Если две пересекающиеся плоскости
перпендикулярны третьей плоскости, то и линия их
пересечения перпендикулярна этой плоскости.
а п р = а
а J. у
P-LY
а А. у
Угол, образованный наклонной и плоскостью,
не больше угла между этой наклонной и любой
прямой плоскости.
Углом между наклонной и плоскостью
называется угол между наклонной и ее ортогональной
проекцией на эту плоскость.
Z.(a, fe)<p = Z(a, m)
Отрезки параллельных прямых, заключенные
между параллельными плоскостями, равны.
a i ъ
а || о
Теорема Фалеса
Параллельные плоскости, пересекающие
прямые и отсекающие на одной из них равные
отрезки, отсекают равные отрезки и на других
прямых.
1—*
осх || а2 || сс3,
А^А2 — А^АЪ =>
=> вгв2 = в2вг,
С^С2 = С2Сд
219

Школьшия програлшш ётш/лшлах и фо[ишмих,
11. Расстояния в пространстве
Расстояние между точками А и В равно длине
отрезка АВ.
Расстояние есть неотрицательное число.
р(А9В)=АВ>0
Расстояние между точкой и фигурой
(множеством точек) равно нулю, если точка
принадлежит фигуре, или длине наименьшего отрезка,
одним из концов которого является данная
точка, а другим — ближайшая точка фигуры (если
такой отрезок существует).
XeF,AeF
p(M,F) = MA
p(K,F) = 0
МХ>МА
Расстояние между двумя фигурами
(множествами точек) равно нулю, если фигуры имеют
общую точку, и расстоянию между ближайшими
точками этих фигур, если такие точки
существуют.
p(Flfjy-0
p(FvF2)=A1A2
Аге FlyA2e F2
Расстояние от точки до прямой, не
содержащей эту точку, есть длина отрезка
перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
м
Me а
р(М,а) = МА
А е а, МА _L a
Расстояние от точки до плоскости, не
содержащей эту точку, есть длина отрезка
перпендикуляра, опущенного из этой точки на
плоскость.
Мй ос
р(М,ос) = МА
А е ос, МА ± а
Расстояние между двумя пересекающимися
прямыми равно нулю.
anb=A, р(а, &) = О
Расстояние между двумя параллельными
прямыми равно длине отрезка их общего
перпендикуляра.
а II &, р(а, Ъ) = АгВг =А2В2
Аг е а,А2е а; Вге Ь;В2е Ъ
АЛВЛ J. а, A2B2_L a
Расстояние между двумя параллельными
прямыми равно расстоянию от любой точки одной
из этих прямых до другой прямой.
а || &, А е а => р(а, Ъ) = р(А; &)
Расстояние между двумя скрещивающимися
прямыми равно длине отрезка их общего
перпендикуляра (такой отрезок единственный).
р(а, Ь)=АВ,
Аеа,Ве Ь9АВ±а,АВ±Ь
220

£/еол1етЖия S тпаалилщоо
11. Расстояния в пространстве
Расстояние между двумя скрещивающимися
прямыми равно расстоянию от любой точки
одной из этих прямых до плоскости, проходящей
через вторую прямую параллельно первой, или
расстоянию между двумя параллельными
плоскостями, содержащими эти прямые.
(а — Ь => а || Ь,
а С а) =» р(а, Ъ) = р(&, а)
а~Ь,аСа,
Ь С р => р(а, &) = р(а, (J)
Расстояние от прямой до непараллельной ей
плоскости равно нулю.
a ft а => р(а; а) = О
Ь С а => р(&; а) = О
Расстояние между прямой и параллельной ей
плоскостью равно длине отрезка их общего
перпендикуляра.
Расстояние от прямой до параллельной ей
плоскости равно расстоянию от любой точки
этой прямой до плоскости.
а || а, А е а, В е а|
АВ ±а; АВ ±а >
р(а, а) = АВ 1
|М е а, а || а
I р(а, а) = р(М, а)
Расстояние между двумя параллельными
плоскостями равно длине отрезка их общего
перпендикуляра.
а II р, А е а, В е (J,
АВ±а,АВ±$
р(а,р)=ЛВ
Расстояние между двумя параллельными
плоскостями равно расстоянию между точкой
одной из этих плоскостей и другой плоскостью.
all P,Aea
p(a,p)-p(A;P)
Расстояние между двумя параллельными
плоскостями равно расстоянию между любой парой
скрещивающихся прямых, лежащих в этих
плоскостях.
a || р, а С а; Ь С Р; а ~ Ъ
р(а, р) - р(а, Ъ)
Расстояние от точки до сферы равно модулю
разности расстояния от этой точки до центра
сферы и радиуса сферы.
p(M,S) = MA = MO-R, Ae S
p(Mv S) = МгАг = R - МгО;
AxeS
\ p(M9S) = \MO-R\
£2/

чМксльпая nfoozfigjijLAta ётасиш^ах и фскммлаоо
11. Расстояния в пространстве
Расстояние между двумя шарами, не
имеющими общих точек, равно разности расстояния
между их центрами и суммы их радиусов.
Qv Q2 не имеют общих точек
p(QvQ2) = 0102-(R1+R2)
12. Множества точек пространства, связанные с расстояниями
Множество точек пространства, удаленных от
данной точки на данное расстояние R, есть
сфера с центром в данной точке радиуса R (R > 0).
Множество точек пространства, удаленных от
данной прямой на данное расстояние R, есть
цилиндрическая поверхность (Д > 0).
Множество точек пространства, удаленных от
данной плоскости на данное расстояние а, есть
две параллельные ей плоскости (а > 0).
а II рр а II р2; АМг =АМ2 = а
МгМ2 _L а, А е а, А е МгМ2
Множество точек пространства,
равноудаленных от двух точек, есть плоскость,
проходящая через середину отрезка с концами в этих
точках перпендикулярно прямой, проходящей
через эти точки. В этой плоскости лежат центры
всех сфер, проходящих через данные точки.
АМ = МВ;АК = КВ
АВ±а
Множество точек пространства,
равноудаленных от трех точек, не лежащих на одной
прямой, есть перпендикуляр к плоскости этих
точек, проходящий через центр окружности,
описанной около треугольника с вершинами в этих
точках. На этом перпендикуляре лежат центры
всех сфер, проходящих через данные точки.
ОА = ОВ = ОС\
МО La I
=>МА = МВ = МС
Множество точек пространства, равноудаленных
от четырех точек, не лежащих в одной
плоскости, есть единственная точка — центр сферы,
проходящей через данные четыре точки.
222

cJUkAAjtmfiuA & ттьш/лииах.
12. Множества точек пространства, связанные с расстояниями
Множество точек пространства,
равноудаленных от двух параллельных прямых, есть
плоскость, проходящая через середину отрезка
общего перпендикуляра этих прямых и ему
перпендикулярная .
В этой плоскости лежат центры сфер,
касающихся этих прямых.
а || Ъ, X е а, У е Ь, М е а
XY±a,XY±a,XY±b
XZ = ZY
=>MX = MY
Множество точек пространства,
равноудаленных от двух пересекающихся прямых, есть две
плоскости, перпендикулярные плоскости этих
прямых и проходящие через биссектрисы
углов, образованных этими прямыми.
P^a/pjXa
Множество точек пространства,
равноудаленных от прямых, содержащих стороны
треугольника, есть четыре прямые,
перпендикулярные плоскости треугольника, проходящие
соответственно через центр вписанной и
каждый из трех центров вне вписанных для этого
треугольника окружностей.
та J_ a, mb J_ a
mc J_ a, m0 J_ a
Множество точек пространства,
равноудаленных от сторон данного треугольника, есть
перпендикуляр к плоскости треугольника,
проходящий через центр вписанной в него
окружности. На этом перпендикуляре лежат центры
всех шаров, касающихся сторон треугольника.
ХО 1 (ABC)
ОСг - ОАг - ОВг
ОСг LAB, ОАг 1 ВС, ОВг ±АС
=>ХС1±АВ,ХВ1±АС,
ХАг ± ВС; ХАг = ХВг = ХСг
а) Множество точек пространства,
равноудаленных от двух параллельных плоскостей, есть
параллельная им плоскость, проходящая через
середину отрезка их общего перпендикуляра.
В ней лежат центры всех шаров, касающихся
обеих плоскостей.
б) Множество точек двугранного угла,
равноудаленных от граней этого угла, есть биссек-
торная полуплоскость этого угла. В ней лежат
центры всех шаров, вписанных в этот угол.
ос || р, у || ос, АВ± ос, АС = СВ
Хеу=>р(Х,а) = р(Х,р)
Z. (М,АВ, X) = Z. (X,AB, N)
Хеу=>р(Х,а) = р(Х,р)
223

Шкаль'ная nho?haAtAia 4 тпш/яицах, и фсклшлаос,
12. Множества точек пространства, связанные с расстояниями
Множество точек пространства, равноудаленных
от двух пересекающихся плоскостей, есть две
биссекторные плоскости, проходящие через
прямую пересечения этих плоскостей и
делящие образованные двугранные углы пополам.
В них лежат центры всех шаров, касающихся
обеих плоскостей.
Z(cc,y) = Z(P,y)
Хеу=>р(Х,сс) = р(Х,р)
Z(cc,8) = ^(p,8)
Yg5=>p(Y,cc) = P(Y,P)
13. Углы в пространстве
Угол между прямыми
Угол между параллельными или
совпадающими прямыми считается равным нулю.
(а, Ъ) - /L (а, Ъ) = О
Углом между пересекающимися прямыми
называется наименьший из углов, образованных
при пересечении прямых.
аг\Ъ = М;/-(а,Ъ) = /. РМТ
Углом между скрещивающимися прямыми
называется угол между пересекающимися
прямыми, соответственно параллельными данным
скрещивающимся.
а — Ъ; аг\\а; Ьг\\Ь; а1г\Ь1=М\
Z. (a,b) = /L (аЛ,Ь%)
Две прямые называются перпендикулярными (ортогональными), если угол между ними прямой.
Угол между двумя прямыми находится в пределах от 0° до 90°. 0° < z. (а, Ь) < 90°
Примеры нахождения углов между двумя прямыми в многогранниках
Пример 1. Дан куб.
1) /_(АВ, DXC^ = 0°
2) /.(AD, ВСг) = /.(ВС, ВСг) = 45°
3) /.(DC, ВСг) = ZXDXCV ВСг) - 90°
4) A(DXBV ВСг) = /.(DB, ВСг) = 60°
(A DBCX — правильный)
5) /.(A^D, ВСг) = /.(ВХС, ВСг) = 90°
6) /L(ABV ВСг) - /.(DCV ВСг) - 60°
7) /.(АгС, ВСг) = 90° (теорема о трех перпендикулярах)
^\в>^7\
1 ^ ■ 1
1£
/ ** ^4.1
224

Зеалуеяфия 4тси£ищах
13. Углы в пространстве
Примеры нахождения углов между двумя прямыми в многогранниках (продолжение)
Пример 2. Дан правильный тетраэдр
Дано:
AB = BC = CA=AD = BD =
= CD = a
ВК = КС,КеВС
DZ = ZC,ZeDC
1) /.(DO, АВ) - 90° (DO I (ABC))
2) /-(AD, ВС) = 90° (теорема о трех
перпендикулярах)
3) /.(DO, KZ) = A(D09 BD), так как KZ || BD
4) /ЛАК, BZ) - /.(АК, KZX), где KZX У BZ.
Рассмотрим A AKZX.
^4JST - ?ф; KZX = | BZ - ^ ^; AZ* = a2 + gf - 2a • J cos Z. ACD (теорема косинусов в AAZXC).
2
AZ\ =Ц£-.Аг1 =AK2 + KZ\ - 2АЙГ *KZX cos ф, где ф « ^ДО, J^) (теорема косинусов в A AKZX).
Следовательно, /.(AK, KZX) = ф - arccos g.
Угол между прямой и плоскостью
Прямая называется перпендикулярной данной
плоскости, а плоскость — перпендикулярной
прямой, если прямая перпендикулярна любой
прямой, лежащей в этой плоскости.
Прямая, пересекающая плоскость и не
перпендикулярная ей, называется наклонной к этой
плоскости.
Угол между прямой, параллельной данной
плоскости (или лежащей в плоскости), и
данной плоскостью считается равным нулю.
т С а => /.(т, ос) = 0е
а±а=>>^(а,сс) = 90в
/-(АВ, а) = Z. А0ВА = ф;
р(А, а)
Если прямая и плоскость взаимно
перпендикулярны, то угол между ними считается равным
90°.
Синус угла между наклонной АВ и
плоскостью, в которой лежит точка В, равен
отношению расстояния от точки А до этой
плоскости к длине отрезка АВ.
Угол между наклонной и плоскостью равен
углу между наклонной и ее проекцией на эту
плоскость (ортогональной проекцией).
Угол между прямой и плоскостью находится
в пределах от 0° до 90°.
0°<<L(a, <х)<90°
Примеры нахождения углов между прямой и плоскостью
Пример 1.
Дано: ABCDA1BlClDl — куб. Найти: ф « /L(BDV (ВВХСХ)).
Решение:
1. DXCX L (ВВХСХ) => ВСХ — проекция BDX => ф = /L DXBCV
а 1 , а 1 ч
2.BABDlCl^^ --j. -л
.1 .1
>ф=агсат-т= =arctg-p.
8—1323
225

^Ашальмая тгЛог^алслса ётаомифос и фоклиилаоо
13. Углы в пространстве
Примеры нахождения углов между прямой и плоскостью (продолжение)
Пример 2.
Дано: ABCDA1B1C1D1 — куб.
Найти: фх - L(ADV фАгВг)); ф2 - A(CDV (DAXBJ).
Решение:
\.ADX ±A1D; АгВг 1 (АА^г) =>АгВг J_ ADV
2. ADX 1 (ОДБ^ => фх - 90°.
3. ADX 1 (DA^); AD1 n (DAXBX) = F=>FC — проекция CDX на (DAXB{) => Ф2 = Z.DtCF.
FDX i
4.ВД1)1^С8Шф2 = д-^ =2 =>ф2 = 30°.
Л,
1
Л
я.
1х • /
Zl
Пример 3.
Дано: ABCD — правильный тетраэдр, AM « MD, М € AD.
Найти: ф - zi(BM, (BDC)).
Решение: К — середина ВС.
1. (DAK) I (BDC), так как ВС1 (DAK). А>
2. (DAK) n (DBO - DJT, МГ1 DK9 Т е DK => MT I (BDC) => ВТ — проекция
ВМ на (В2ЭС) => ф « JLMBT.
3. МГ = д р (A, (BDC)) — -» к Лд/о > где а — сторона тетраэдра; ВМ — —^- =>
МГ 72 . 72
=> sin ф - «£щ - -j- => ф = arcsin -g-.
Двугранный угол
Двугранным углом называется пересечение двух
полупространств, образованных
непараллельными плоскостями. (Фигура» образованная двумя
непараллельными полуплоскостями,
имеющими общую границу.)
Общая прямая полуплоскостей называется
ребром двугранного угла, а полуплоскости —
гранями двугранного угла.
£(X,(AB),Y)-
двугранный угол
аса а±АВ;
Ьср ЫАВ
anb = 0; /L(a, Ъ)-
линейный угол
£(X,(AB),Y) =
- ^(а, Ъ)
Линейным углом двугранного угла называется
пересечение этого двугранного угла и
плоскости, перпендикулярной его ребру. (Угол между
двумя перпендикулярами к ребру двугранного
угла, лежащими в гранях двугранного угла и
имеющими на ребре общее начало.)
а 1АВ; аг 1АВ;
ЫАВ;Ъг±АВ
Z.(M,(AB),N) = Z_(a9b) =
= Z(a1,b1)= £MON =
= zlM101iV1
sin© =
P(M; p)
P(M; AB)
Величина двугранного угла считается равной
величине его линейного угла.
Все линейные углы данного двугранного утла
равны между собой.
Величина двугранного угла находится в
пределах от 0° до 180°. 0° < Z(M, (AB)9 N) < 180°
Синус линейного угла двугранного угла
равен отношению расстояния от любой точки
одной из граней двугранного угла до
плоскости другой грани к расстоянию от этой точки
до ребра этого двугранного угла.
ш

cTeojiwmfuiA 4яиимицах
13. Углы в пространстве
Примеры нахождения двугранных углов в кубе
Пример 1.
Дано: ABCDA1B1C1D1 — куб.
Найти: а - L (Av (BC)f D).
Решение:
1. АгВ 1 ВС; АВ ± ВС => а - LA^BA.
2. ^АХВА = 45° => а = 45°.
Ач
А
Л .
с-^^
\ ft!
X '
1 Х°
l-**"7s
^^1
> 1
4 1
1 s I
ч 1
ч 1
\\
Чз
Пример 2.
Дано: ABCDA^C^ — куб.
Найти: ф - L (Av (BDJ, Сг).
Решение:
1. BDt I (AyCxD)\ BDX n (AiCxD) - О; АхО - OC^ = СШ; OAx 1BDX;
ОСг ± BJDj:
JLAfiC^
2. A A^DC^ — равносторонний => ЛАгОСг - 120° => ф = 120°
Угол между плоскостями
Плоскости называются перпендикулярными,
если они образуют прямой двугранный угол.
сс±р=>^(а,р) = 90°
Угол между параллельными или
совпадающими плоскостями считается равным нулю.
а||р=>г1(а,Р)»0о
Угол между пересекающимися плоскостями
равен меньшему из двугранных углов, ими
образованных (т. е. каждый из трех остальных не
меньше данного).
Угол между двумя плоскостями равен углу
между перпендикулярными им прямыми.
^(а,р) = ф€(0°,90°)
а J. а, Ъ1 р
Z(oc,p) = Z(a,b)
Угол между двумя плоскостями находится в пределах от 0° до 90°
0°<Z(a, р)<90°
227

ш
жольиал
п/юг/шжма 4тп£и/лшщх и формулах
13. Углы в пространстве
Трехгранный угол МАВС
М — вершина;
MA, MB, MC — ребра.
Z. АМВ, Z. АМС, Z. ВМС — плоские углы
трехгранного угла.
Неравенство трехгранного угла:
сумма двух плоских углов трехгранного утла,
больше третьего плоского угла.
Теорема синусов трехгранного угла
sin A _ sin В _ sin С
sin A "~ sin В sin С
Многогранный угол МА гА2..Ап
М — вершина;
MAV МА2, ..., МАп — ребра;
Z. AjMA^, ..., Ап_1МАп — плоские углы
многогранного угла.
Сумма плоских углов выпуклого многогранного
угла меньше 360°.
JKJVf — вершина 1
nnocKUUt\^\^e /-AMB — C,
у*ол~Ч*Л ^Ч^с 1-АМС = В,
A[<^Z^/^~j^ А + В>С,А + С>В9
I -^^СУ^^ В + С>А
Kj!^^^>^ А + В + С < 360°
Теорема косинусов трехгранного угла
cos С = cos А • cos Б + sin A • sin В • cos С,
где А, В, С — величины двугранных углов
при ребрах MA, MB, MC соответственно;
С, В, А — величины плоских углов,
противолежащих соответственно АВ, АС, ВС.
jlM — вершина
плоский jfl\
угол \УУ1*\ ^ АгМА2 + Z. А2МА3 +
у?// ■ %\k + -+А Ап-гмАп < зб°в
Jc / 1 *+1 -\
14. Основные задачи на построение в пространстве
В любой плоскости выполняются все
построения планиметрии.
Через три точки, не лежащие на одной
прямой, через прямую и точку вне ее, через две
пересекающиеся прямые, через две параллельные
прямые можно провести плоскость и притом
только одну.
Через точку, не лежащую на данной прямой,
можно провести только одну прямую,
параллельную данной прямой.
Через точку, не лежащую в данной плоскости,
можно провести бесконечное множество
прямых, параллельных этой плоскости.
Ме ос;
а^г\а2\
ал || а, а2 || а, а3 II а
а1па2па3 = М
228

SfeaAiuem/ujuz &таолшщос
14. Основные задачи на построение в пространстве
Через точку, не лежащую на данной прямой,
можно провести бесконечное множество
плоскостей, параллельных этой прямой.
М е а, т\\ а
ocj II а, а2 II а, а3 II а
ах п ос2 п а8 = т
Через точку, не лежащую на данной плоскости,
можно провести плоскость, параллельную
данной, и притом только одну.
Мё а
а II а; Ъ II а; а п Ь = М
а С р; Ъ С р; => Р II а
Через точку можно провести плоскость,
перпендикулярную данной прямой, и притом
только одну.
М е а, а С а
Хер;аСр;
МГ±а;ГХ±а=»
=>(МГХ) = у±а
Через точку можно провести прямую,
перпендикулярную данной плоскости, и притом
только одну.
Мй а, а С а =>
=> существует
плоскость Р э М, Р J_ а =
=>рпа = с
МК±с=*МК±а
Через точку можно провести бесконечно много
плоскостей, перпендикулярных данной
плоскости.
МК±а
о^ п а2 п ос3 = МК
аг 1 а; а21 а; а31 а
Через одну из скрещивающихся прямых можно
провести единственную плоскость,
параллельную другой прямой.
а ^ Ь; т II Ь => а II Ь
229

Шкмьшия пбогралильа &ттшолилщэс, и фсЬлшлаоь
15. Построение сечения куба
Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L.
^1
м
А
А *>
Z_|
'В \
s X
г
г
/
1)
в,
N
4*1
М
Л
/\
Ai i
• 'в х
г
^Г
^1
/
L>
N
Ку
^-
м
А
А1 .
• 'В >v
г
А
/
L>
(MWL)«a
a n (AA^D) - ML ML n (A^^!/)!) - ML r\AxDx « Xx an (A^C^) - Xtf
k/>~*~*~^^
\^^
M
A
^l.
'B
•
*\
z
^1
/
V
Ух,
К/^00^0^
1^'
M
A
,Alt
'B N
•
*J
£\]
AL
D
X
anCAA^B^MX MLnODJ^C^-MLnl!)!!)!^ XW n (DD^C) = KNnD1C1=X3 a n (ZXD^C) = ГР
J
1^""
M
A
B,
S^-^"
^;
л ^ч-
'B ^
•
tf^-.
-^i
*i
\ 2)
ь\
Л
fP
anCBBjCjO-WT
1^"
M
A
kZj^
AX\
/B "
Dlf
VD J
L\i
«2шш
L D
a n (ABCD) - LP* LMKNTP — искомое сечение MX В TP, XW || LP, NT И Л/L
16. Ортогональное проектирование
Ортогональной проекцией (мы будем говорить
просто проекцией) точки на плоскость
называется точка пересечения перпендикуляра,
проведенного через данную точку к плоскости, и
самой плоскости. ,
Мы будем обозначать: npa A = В
1 Свойства ортогонального проектирования
Если точка лежит на плоскости, то пра К=*К.
Проекция прямой есть прямая (или точка).
Проекция отрезка есть отрезок (или точка).
1«
a cnp^CC^D
i ■ «^
~~\
пр^АА^ВВА
Al
1 Л
<г>
230

STu.
сомд>
Uuu/aoc
16. Ортогональное проектирование
Проекции наклонных
Если из одной точки на плоскость проведены
несколько наклонных, то: равные наклонные
имеют равные проекции, равным проекциям
соответствуют равные наклонные» большая
наклонная имеет большую проекцию, большей
проекции соответствует большая наклонная.
м0«пР£м
(МА = МВ)<*
(МОМА)<=>
Длины проекций отрезков, лежащих на
параллельных прямых (или на одной прямой)
пропорциональны длинам самих отрезков.
а II Ь; аг - пр£а;
=> аг II Ьг;
АВ
вгсг
EXFX
ВС
ВС
Длина проекции отрезка равна произведению
длины этого отрезка на косинус угла между
плоскостью проектирования и прямой этого
отрезка.
АгВг — пр^ АВ =АВ cos ф
Ф = Z. {АВ, ос)
Площадь проекции многоугольника равна
произведению площади этого многоугольника и
косинуса угла между плоскостью проектирования
и плоскостью многоугольника.
S'= S • созф
Параллельное проектирование
Параллельной проекцией точки на плоскость в
направлении прямой 19 не параллельной
плоскости, называется пересечение проходящей
через точку прямой, параллельной или
совпадающей с i, и плоскости проектирования. Мы будем
обозначать: праА = В.
Ортогональное проектирование есть частный
случай параллельного.
Параллельное проектирование обладает всеми
отмеченными свойствами ортогонального
проектирования.
АВ || I, В € а
В-пр^А
231

ишскльпая toficbhoALJAa 4тси/мщаоь и фсбльилаоо
17. Призма
п-увольной призмой называется многогранник,
две грани которого — равные n-угольники с
соответственно параллельными сторонами
(основания), а остальные п граней —
параллелограммы (боковые грани).
л-угольная призма имеет: п + 2 грани, Зп ребра,
2п вершины.
Высотой призмы называется расстояние между
плоскостями ее оснований. (Отрезок
перпендикуляра к плоскостям оснований, заключенный
между ними.)
Диагональ призмы — отрезок, соединяющий
две вершины, не лежащие в одной грани.
У л-угольной призмы п(п - 3) диагонали.
верхнее
основание.
нижнее
основание
а |||}; А, В, С, Л ер;
Av Bv Cv Dtea
AB\\AXBX\
ВС II ВгСг;
CD || СД;
DA II DXAX
AA1 II ВВг || ССг II DDX
ААг = / — боковое ребро
BD1 — диагональ
Призматической поверхностью называется
поверхность, состоящая из прямых, содержащих
боковые ребра призмы и частей плоскостей
боковых граней, заключенных между этими
прямыми.
аг II а2 II а3 II а4
Четырехгранная
призматическая
поверхность
Перпендикулярным сечением призмы называется
сечение призматической поверхности
плоскостью, перпендикулярной боковому ребру.
Угол между плоскостью перпендикулярного
сечения призмы и плоскостью ее основания равен
углу между боковым ребром и высотой призмы.
Д MNP — перпендикулярное
с сечение
AG I ABC
Ъ /- (ААЛ ,AG) = L ((MNP), (ABC))
Площади боковой и полной поверхности
призмы
S6ok ~ Р1
I
ПОЛН О X
Объем призмы
V^S* • I
где PL — периметр
перпендикулярного сечения, I — длина
бокового ребра, S0 — площадь
основания, Н — высота
призмы, Sx — площадь
перпендикулярного сечения.
232

оаъли:тАил & macCitiufl<x>
17. Призма
Прямая призма
Прямой называется призма, боковое ребро которой
перпендикулярно плоскости основания.
Все боковые грани прямой призмы
прямоугольники.
Все двугранные углы при ребрах основания
прямой призмы прямые.
Линейные углы двугранных углов при боковых
ребрах прямой призмы равны
соответствующим углам основания.
Высота прямой призмы равна ее боковому реб-
РУ.
Н=1
ААг 1 (ABC),
LABC = LiA>BBvO
Р0 — периметр основания
Sn — площадь основания
Объем прямой призмы
V = S0-H
Площади боковой и полной поверхностей
прямой призмы
'бок'
'бок
н
+ 2
Правильной называется прямая призма, в основании которой лежит
правильный многоугольник.
Около призмы можно описать шар тогда и
только тогда, когда она прямая и около ее
основания можно описать окружность.
Д2 = г2 + 0,25#*,
R — радиус описанного шара,
г — радиус описанной окружности.
я=*
ОА = ОВ = ОС = ОАг =
в =ОВг = ОСг
V OFx - OF2 = \ЩААХ 1 (ABC)
В призму можно вписать шар тогда и только
тогда, когда в ее перпендикулярное сечение
можно вписать окружность и диаметр этой
окружности равен высоте призмы.
2S
Д = г = 0,5#;Д=-5-^,
Д — радиус вписанного шара,
санной окружности.
радиус впи-
(MNP)LAAX
FOt^FT = R
В прямую призму можно вписать цилиндр,
если в ее основание можно вписать окружность.
/|
|Х>
1 W
\\
г V
А
1 X
1 14
ьЮУ\\
l5^
\о
/
-ч
г 1
£,
233

Чшамьшия п/юфамлш, & тас/лии/хос, и фс^иулаоо
17. Призма
Прямая призма (продолжение)
Около прямой призмы можно описать
цилиндр, если около ее основания можно описать
окружность.
Пример призмы, одна грань которой
перпендикулярна основанию
л
\ \ f /
\ * Л /
V * \/
(АВВг) 1 (ABC)
Пример призмы, внутри которой нельзя
провести перпендикулярного сечения
В этом случае при вычислении объема рас*
сматривается перпендикулярное сечение
призматической поверхности (все формулы верны).
(NKL)1AAX
Параллелепипед
Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит
параллелограмм. Все грани параллелепипеда — параллелограммы.
Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
У параллелепипедов и только у них любую пару
параллельных граней можно принять за
основания.
В зависимости от выбора оснований можно
рассмотреть три высоты.
Объем параллелепипеда
Свойства диагоналей параллелепипед
Диагонали параллелепипеда пересекаются в
одной точке и делятся ею пополам.
Сумма квадратов диагоналей параллелепипеда
равна сумме квадратов всех его ребер.
d\ +d22+d23+dl =4а2 + 4Ь2 + 4с2
АгС = dx; BXD = d2;
АСг = d3;
BDX = d4
234

ЗеолияпЛия & пии/лшцмь
17. Призма
Параллелепипед (продолжение)
В параллелепипед можно вписать тетраэдр.
Объем такого тетраэдра равен g части объема
параллелепипеда.
F=s g d^2 p ^ d**sin L{<dv d**
AD = dx; ВС = d2
Прямым называется параллелепипед, у
которого боковое ребро перпендикулярно плоскости
основания.
Диагонали прямого параллелепипеда
вычисляются по формулам:
d\ = a2 + b2 + c2 + 2db cos a
d\ = a2 + b2 + c2- 2ab cos а
ABCD —
параллелограмм (а ^90°)
ААХ 1 (ABC)
с AC1^A1C«dl;
BD^ = B^D = d2; dy Ф d2
Прямоугольным называется прямой
параллелепипед, в основании которого — прямоугольник.
Все диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны.
d2 = a2 + b2 + C2
Ау
С
т
7
°1
[Р
ABCD — прямоугольник
AAX±(ABC),AB±AD
Куб
Кубом называется
прямоугольный параллелепипед с равными
ребрами.
Диагонали куба пересекаются в
точке, являющейся центром
вписанной и описанной сфер.
в,
А
А
л
АВ = а
= 00^ О
/Г
OC = OD
£>!=£ =
~^
■*.R
D
= ОАг = ОВг =
aJZ
2
Куб9 вписанный в сферу
R — радиус описанной
сферы, а — ребро куба.
Сфера, вписанная в куб
1
г — радиус вписанной
сферы,
а — ребро куба.
АВ = а
Центр сферы — точка О —
равноудаленная от всех
граней куба.
235

итскльмал nfuxhajvutM, 4 пьаолил/роо и фобам/ладо
18. Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна
грань которого — произвольный
многоугольник, а остальные грани — треугольники,
имеющие общую вершину.
М — вершина пирамиды, AVA2, ...»Ап — вер-
шины основания. Всего п + 1 вершина.
МАХ — боковое ребро, АХА2 — ребро основания.
Всего 2п ребер.
Многоугольник А1А2*.<Ап — основание
пирамиды.
Треугольник МАХА2 — боковая грань. У
пирамиды п + 1 грань, из них п боковых.
Угол АгМА2 — плоский угол при вершине
пирамиды.
Двугранный угол M(AxA2)Ak — угол при
ребре АуА2 основания (угол наклона боковой
грани к основанию).
Двугранный угол Аг(МА2)Аг — угол при
боковом ребре МА2.
Высотой пирамиды называется расстояние
от вершины пирамиды до плоскости ее
основания. МК = Я — высота пирамиды.
Сечение, параллельное основанию пирамиды,
представляет собой многоугольник, подобный
основанию.
Плоскость этого сечения разбивает боковые
ребра и высоту пирамиды на
пропорциональные отрезки.
Площади сечения и основания относятся как
квадраты их расстояний до вершины
пирамиды.
Сечение отсекает от пирамиды пирамиду,
подобную данной.
* + 1
р(М,(А1А2А3)) = Я
Р(М,(А;А^)-Я'
АгА2.. Лп ™ Аг А2 ,~Ап
МАЛ MA,,
МАЛ МА9
МА'
Я
Я'
A1A2-'-A
МЛ2-
н
Н\2
МАгА2..Ап со МА[А'г.Л'п
Площадь боковой
поверхности пирамиды
Sv S2, •••» Sn — площади
боковых граней пирамиды.
Площадь полной
поверхности пирамиды
5П0ЛН * S60K + S0>
S0 — площадь основания.
Объем пирамиды
v=Ihs0
236

аеоиь&т^ния 4тпсикши/мо
18. Пирамида
Тетраэдр
Тетраэдр — это треугольная пирамида. Все четыре грани — треугольники и любая из них
может быть принята за основание этой пирамиды (можно рассмотреть четыре высоты).
Площади боковых граней тетраэдра обратно пропорциональны опущенным на них йысотам.
Отрезки, соединяющие середины
скрещивающихся ребер тетраэдра (бимедианы тетраэдра),
пересекаются в одной точке и делятся ею
пополам.
Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с
точками пересечения медиан противолежащих
граней (медианы тетраэдра), пересекаются в
одной точке и делятся этой точкой в отношении
3:1, считая от вершины.
'1 С
Если два тетраэдра имеют общий трехгранный
угол (два равных трехгранных угла), то их
объемы относятся как произведения ребер,
образующих этот угол.
YABCD
ABACAD
Vab.c.d, ab1ac1-ad1
Правильный тетраэдр
Правильным называется тетраэдр, все грани
которого — правильные треугольники.
Основные формулы
д=?я
4
r-\H
н'аЛ
R + r = H
R — радиус описанного шара,
г — радиус вписанного шара.
Площадь поверхности правильного тетраэдра
Объем правильного тетраэдра
а3 Д
V =
12
AB=AC = BC=AD = BD = CD = a
DO = Я = а/|; FO = г=\н;
г = p(F, (ABC)) = p(F, (ABD)) - p(F, (ACD)) -
= p(F,(BCD))
FD = R=\h\
FA = FB = FC = FD = R
S = SABC + SABD + SACD + SBCD
237

Сшсальмая пЖогАалиАШ & пгш/лшщос и фокяшяаоо
18. Пирамида
Правильная пирамида
Правильной называется пирамида, основание
которой — правильный многоугольник, а
вершина проектируется в центр основания.
Все ребра равны.
Все боковые грани — равные равнобедренные
треугольники.
Все двугранные углы при ребрах основания
равны (боковые грани одинаково наклонены к
основанию).
Все плоские углы при вершине равны.
Все двугранные углы при боковых ребрах равны.
Все высоты боковых граней, опущенные на
ребра основания (апофемы), равны.
FA1=FA2 = ... = FAQ
МТ — апофема пирами
ды
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
S = kp, где k — апофема,
р — полупериметр основания.
площадь основания,
а — двугранный угол при ребре основания.
Пирамида, все боковые ребра которой равны
между собой
Около основания можно описать окружность и
вершина пирамиды проектируется в центр этой
окружности.
Все ребра одинаково наклонены к основанию.
Около такой пирамиды можно описать шар.
Центр описанного шара лежит на прямой,
содержащей высоту пирамиды.
MA = MB = MC = MD=*FA = FB = FC = FD9
MF±(ABC)
МТ=ТС9ОТ±МС=*ОА = ОВ = ОС =
= OD = OM = R,
R — радиус описанного шара.
(H-R)2 + FC2 = R2
Пирамида, одна из боковых граней которой
перпендикулярна основанию
Высота лежит в грани, перпендикулярной
основанию пирамиды.
Fea,MF±(ABC)
MFC (AMD)
238

'АШЛ/Ш,
18. Пирамида
Пирамида, все двугранные углы при ребрах
основания которой равны между собой
В основание можно вписать окружность и
вершина пирамиды проектируется в центр этой
окружности.
Площадь боковой поверхности вычисляется по
тем же формулам, что и для правильной
пирамиды.
Высота вычисляется по формуле:
Н — г tg P, где г — радиус вписанной в
основание окружности, a (J — двугранный угол при
ребре основания.
В такую пирамиду можно вписать шар, центр
которого лежит на высоте.
R = г • tg ё, где R — радиус вписанного шара,
г — радиус вписанной в основание окружности.
Fe ее, MF1 (ABC) =>FAt LAD, FBX ±ABf
FC11BC,FD11CD9
FAX «= FDX = FCX = FBX — r — радиус вписанной
в основание окружности
OF = R — радиус вписанного в пирамиду шара
ВгО — биссектриса Z. MBXF
Пирамида, две соседние боковые
грани которой перпендикулярны
основанию
Высотой служит общее боковое
ребро этих граней.
(ЛГАВ) 1 а 1
(МАЕ) 1 а I
► МА±а
Пирамида, две несоседние грани
которой перпендикулярны основанию
Высота лежит вне пирамиды на
прямой пересечения плоскостей,
содержащих грани, перпендикулярные
основанию.
Fe a, MF I ее
(МАВ) 1 а, (MDC) 1а
(ABM)n(DCM)~MF
Пирамида, два двугранных угла при
соседних ребрах основания которой
равны
Высота проектируется на
биссектрису угла между данными ребрами.
А (М, (АВ), С) - ^ (М, (AD), С)
Fe a,MF±a
AF — биссектриса L BAD
239

Шкальшия п^ог&сил1ма &тж/лшцгк и, фоАли^имо
18. Пирамида
Пирамида, в основании которой
прямоугольный треугольник и все
боковые ребра равны
F € a, MF1 а,
(МАВ) 1 (ABC)
FA = FB = FC
О — центр
описанного шара
MT = TB,OeMF
OM = OA = OB = OC = R
19. Усеченная пирамида
Усеченной пирамидой называется часть
полной пирамиды, заключенная между
основанием и параллельным ему
сечением.
Сечение называют верхним основанием
усеченной пирамиды, а основание
полной пирамиды — нижним основанием
усеченной пирамиды. (Основания
подобны.)
Боковые грани усеченной пирамиды —
трапеции.
В усеченной пирамиде Зп ребер, 2п
вершин, п + 2 грани, п(п - 3) диагонали.
Расстояние между верхним и нижним
основаниями — высота усеченной
пирамиды (отрезок, отсеченный от
высоты полной пирамиды).
Объем усеченной пирамиды
V=^H(S + JS~s+s)f
\ S и s — площади оснований, Н — высота
Правильной усеченной пирамидой
называется часть правильной пирамиды.
Часть апофемы правильной пирамиды
называется апофемой правильной
усеченной пирамиды.
F
'А* N
/ II * V
' II * ч
/ ]"Й^^
A' J-^^rts Лдгн^в ^л вершина I
/ / 1 А* \ боковая * - *.N. \
/ 1 **\ \ гРанъ у 1
Ai<L г1 \ \//// / \\
V ^ч. \ нижнее у//у 1
\ ребро*^^ 1 основание \у 1
\ нижнего ^^^ ^ — - *~д 1
\ основания а 8 /
>w плоскость нижнего у
\^^ ^ -^s^^^ основания У^
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды
равна сумме площадей ее граней.
240

accMjontfifjux & пьадлгш/гх,
19. Усеченная пирамида
Правильная усеченная пирамида (продолжение)
Для правильной усеченной пирамиды
(а также для усеченной пирамиды, все
двугранные углы при ребрах нижнего
основания которой равны) верны
формулы:
5бок = *(*+/>)>
Рпр — полу периметры оснований,
k — апофема;
5бок e (S - в): cos a,
а — двугранный угол при ребре
нижнего основания, S и s — площади
оснований.
ABCDA'B'C'D'— правильная усеченная
четырехугольная пирамида.
ABCDyA'B'C'D'— квадраты
Если в усеченную пирамиду можно вписать шар, то его радиус равен
половине высоты пирамиды.
20. Правильные многоугольники и многогранники
Многоугольник называется выпуклым, если он
лежит в одной полуплоскости относительно
любой прямой, содержащей его сторону.
Правильным многоугольником называется
выпуклый многоугольник, у которого все стороны
равны между собой и все углы равны между собой.
Любой правильный многоугольник
является вписанным и описанным, центры
вписанной и описанной окружностей совпадают с
центром многоугольника (точкой
пересечения серединных перпендикуляров сторон,
биссектрисе углов).
ап — сторона,
гп — радиус вписанной окружности,
Rn — радиус описанной окружности,
kn — апофема,
Рп — периметр,
Sn — площадь.
At А,
Общие формулы
180°(л - 2)
п
г. °» А 180°
= Rncoe
180°
180°
Rn=
Л „2 . 360° П 2 x
Sn=2*« sm—=3a„ctg n
cos
180°
n
2- sin
180°
n
M1

ЧМпалмтл п^гофалиАш 4тааА<щаа> ифЫилмяаоо
20. Правильные многоугольники и многогранники
Формулы для многоугольников с числом сторон п » 3, 4, 6, 8,12
а
R
Связь между г и R
12
60°
90°
120°
135°
150°
аЛ
"1Г
а
2
аЛ
аЛ
3
аЛ
2
a
а2Л
а(1 + Л)
2
а(2 + Л)
гДТТЛ
а* л/2 + Л
Ва2Л
2
2а2(1 + 72)
За2(2+л/3)
Д=2г
1г = гЛ
Лл/3 =2г
г it л/2 + л/2
S=C0S8=—2
г it л/2 + л/3
S=C0SI5~—2—
Многогранник называется выпуклым, если он
расположен по одну сторону плоскости каждого
плоского многоугольника на его поверхности.
Выпуклый многогранник называется
правильные, если все его грани — равные
правильные многоугольники и в каждой
вершине сходится одинаковое количество ребер
(все многогранные углы при вершинах одно-
именны).
Грани — правильные
треугольники
Правильный треугольник
Три ребра в одной вершине
3 • 60° < 360° — тетраэдр.
Четыре ребра в одной вершине
4 • 60° < 360° — октаэдр.
Пять ребер в одной вершине
5 • 60° < 360° — икосаэдр.
Шесть (и более) ребер в одной
вершине сходиться не могут:
6 • 60° - 360°.
Грани — правильные
четырехугольники
Квадрат
Три ребра в одной вершине
3 • 90° < 360° — куб
(гексаэдр).
Четыре (и более) ребер в одной
вершине сходиться не могут:
4 • 90° - 360°.
Грани — правильные
пятиугольники
Правильный пятиугольник
Три ребра в одной вершине
3 • 108° < 360° — додекаэдр.
Четыре (и более) ребер в одной
вершине сходиться не могут:
4 • 108° > 360°.
Правильные многоугольники» имеющие более пяти сторон, не могут
быть гранями правильного многогранника (уже для
шестиугольника: 3 • 120° > 360°).
242

&епмепфил 4тш/лиарос
20. Правильные многоугольники и многогранники
Общий вид
х В,
i
i
л - -
'D
Икосаэдр
Куб
Додекаэдр
Тип многогранника
Число
ребер
граней
вершин
Площадь
поверхности
Объем
Тетраэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Куб (гексаэдр)
Додекаэдр
6
12
30
12
30
8
20
б
12
6
12
8
20
а2 Л
2а*Л
5а2 Л
ва2 ,
а3Л
а*Л
^aHS-Л)
а°
За2л/5(5 + 275)
^(15 + 775)
Для всех выпуклых многогранников выполня- Р + 2 =• В + Г,
ется формула (теорема) Эйлера: где Р — число ребер, В — вершин, Г — граней.
Примеры разверток
А М>
Тетраэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Куб
Додекаэдр
Вписанные и описанные многогранники
■ '/\\
\
- - *|
«С+/
Куб и октаэдр
Куб и тетраэдр
А1В1 = аЛ/2; АВ = а
Додекаэдр и икосаэдр
и
243

ЧИпалышл nfioeficuuAuz бтш/лшцмс, и, (pofiM/yaaoc
20. Правильные многоугольники и многогранники
Вписанные и описанные многогранники (продолжение)
Икосаэдр и додекаэдр
Шар и октаэдр
АВ = а
OA = OB = OF = OM = R =
FO + OM = FM=AC =
= BD = aj2
aj2
"5"
Октаэдр и шар
АВ = а
Л
21. Цилиндр
Цилиндром (прямым, круговым) называется
тело, полученное при вращении
прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону.
Круги с центрами Ог и 02 — основания
цилиндра, отрезок АВ — образующая (АВ = Z),
отрезок О^А = ОгВ —радиус основания, отрезок
Ог02 (расстояние между плоскостями
оснований) — высота цилиндра (Н = I),
прямоугольник ABCD — осевое сечение, отрезок АС —
диагональ осевого сечения, прямая Ог02 — ось
вращения, точка F (середина отрезка Ог02) — центр
симметрии.
в
н
Развертка цилиндра — прямоугольник и два
круга.
&
2tiR
Я
Площадь боковой поверхности цилиндра
S6oK = 2nRH « 2nRl
Площадь полной поверхности цилиндра
(площадь его развертки)
SnoOT = 27ctf + S6oK = 2*(* + H)2?
Объем цилиндра
V=S0 • Н~кВ?Н
244

&€OAU>mAfJLZ &7ПШГЛ1ЩС130
51. Цилиндр
Около цилиндра всегда можно описать шар.
Его центр лежит на середине высоты.
R2 = г2 + 0,25#2,
R — радиус шара, г — радиус основания
цилиндра.
AO = BO = CO = DO = R
В цилиндр можно вписать шар, если диаметр
основания цилиндра равен его высоте.
Л = г = 0,5Н,
R — радиус шара, г — радиус основания
цилиндра.
Призма, вписанная Призма, описанная Цилиндр, вписанный
в цилиндр около цилиндра в конус
АОг-
CD =
Д-г
Я
R
"O^B^R
GL = H;01G = r
R г
F02 F02 - Н
"к
нк-н
Нк — высота конуса,
Н — высота цилиндра
Сечения цилиндра плоскостями
I
Сечение цилиндра
плоскостью , парале л л ьной
оси цилиндра, —
прямоугольник.

прямоугольник
Сечение цилиндра плоскостью,
перпендикулярной оси цилиндра, — круг.
Шг-
круг
.эллипс
ечение, проходящее через
середину Ог02, делит
цилиндр на два равных тела.
оо^оо^ тятшТяая
245

ЧМпаль'ная профамллш £таЖищмь и фс£ъмуладь
22. Конус
Конусом (прямым, круговым) называется тело,
полученное при вращении прямоугольного
треугольника вокруг прямой, содержащей катет.
Точка М — вершина конуса,
круг с центром О — основание конуса,
отрезок МА = I — образующая,
отрезок МО * Я — высота конуса,
отрезок OA=*R — радиус основания,
отрезок ВС e 2R — диаметр основания,
треугольник МВС — осевое сечение f
/L ВМС — р — угол при вершине осевого сечения,
Z. МВО = ф — угол наклона образующей к
плоскости основания.
Развертка конуса — сектор круга и круг.
Z. ВМВг «а — угол развертки.
Длина дуги развертки ВСВг — 2яй = la (а радиан)
Площадь боковой поверхности
Площадь полной поверхности (площадь развертки)
Sn=nR(l + R)
Объем конуса
Г=|яЯ2Я
Связь между углом а развертки и углом р при вер-
р
шине осевого сечения ее = 2я sin 5
Сечения конуса плоскостями

треугольник
эллипс

параболическое
сечение

гиперболическое
q сечение
Сечение конуса плоскостью,
проходящей через вершину конуса, —
равнобедренный треугольник
Сечение конуса плоскостью,
перпендикулярной оси
конуса, — круг
Р
(ABC) II МО (KPL) II МТ
МО — высота конуса,
МТ — образующая
246

сТеаметАия 4тш/мщало
22. Конус
В конус всегда можно вписать шар. Его центр
лежит на оси конуса и совпадает с центром
окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым
сечением конуса.
?.
RK + l
Яобщ^Ящ^Ф
Около конуса всегда можно описать шар. Его
центр лежит на оси конуса и совпадает с центром
окружности, описанной около треугольника,
являющегося осевым сечением конуса.
Д =
I2 2
23. Усеченный конус
1 _±^_
Усеченным конусом называется часть конуса,
заключенная между основанием и параллельным
основанию сечением конуса.
Круги с центрами Ох и 02 — верхнее и нижнее
основания усеченного конуса, г и Л — радиусы
оснований, отрезок АВ = I — образующая, а — угол наклона
образующей к плоскости нижнего основания,
отрезок Ог02 — высота (расстояние между плоскостями
оснований), трапеция ABCD — осевое сечение.
Н — I sin a
H2 + (fl-r)2 = Z2
В усеченный конус можно вписать шар тогда и
только тогда, когда образующая равна сумме
радиусов оснований.
ДШ = 0,5Я
I = R + г о существует вписанный шар
247

Ч1>ШкЛЬ7ШЯ nflCzflCUIUAW, & TtoOcLlWUflX, U, фо^ЯШММй
23. Усеченный конус
Развертка усеченного конуса
кольца и два круга.
часть кругового
Площадь боковой поверхности усеченного конуса
Площадь полной поверхности усеченного конуса
Snom = S1+S2 + S6oK = nl(r + R) + nR2+nr*
Объем усеченного конуса
F=l • тсЯ(Л2 + гЛ + г2)
2кЯ
ZMJTC~2*(*~r)~<p
ф — угол развертки
Около усеченного конуса всегда можно описать
шар. Его центр лежит на прямой Ог02*
CF - FD; OFLCD=*0 — центр описанного
шара, R — радиус описанного шара,
равный радиусу окружности, описанной
около A ACD
24. Сфера и шар
Сферой называется множество точек пространства, удаленных от данной точки (центра
сферы) на данное расстояние R > 0 (радиус сферы).
(Сферой называют фигуру вращения полуокружности вокруг ее диаметра.)
Шаром называется множество точек
пространства, находящихся от данной точки (центра
шара) на расстоянии, не большем данного (R > 0 —
радиус шара).
(Шаром называют часть пространства,
ограниченную сферой. Шаром называют фигуру
вращения полукруга вокруг его диаметра.)
Диаметр, проходящий через середину хорды,
не являющейся диаметром, перпендикулярен
этой хорде.
Площадь поверхности сферы
\s~4nR2
с
CD — диаметр сферы; А, В е S
АМ = МВ=*ОМ±АВ
Объем шара
! 8
248

S/eoALemfeiisZ 4пшс/лилщя,
24. Сфера и шар
Шар (сфера) и плоскость
Плоскость, имеющая со сферой (шаром) одну общую точку, называется касательной 1
плоскостью у более одной общей точки — секущей плоскостью. I
Прямая, имеющая со сферой одну общую точку, называется касательной прямой, две 1
общие точки — секущей прямой.
Пусть р(0; а) — расстояние от центра шара
(сферы) с центром О и радиусом R до плоскости а.
Если р > R, то шар (сфера) и плоскость общих
точек не имеют.
Если р < Л, то пересечение шара (сферы) и
плоскости есть круг (окружность) радиуса г.
г = V R - р
Всякое сечение шара (сферы) плоскостью есть
круг (окружность).
Сечение шара плоскостью, проходящей через
центр шара (р « 0), называется большим кругом
шара.
Эта плоскость является плоскостью симметрии
шара и делит его на две равные части (два
полушария).
Признак касательной плоскости
Если плоскость проходит через конец диаметра
сферы и перпендикулярна ему, то эта плоскость
касательная к сфере.
Если р = R9 плоскость и шар (сфера) имеют одну
общую точку. Плоскость касается шара (сферы).
Свойство касательной плоскости
Плоскость, касательная к сфере,
перпендикулярна диаметру (радиусу), проходящему через
точку касания.
j Признак касательной прямой
I Если прямая проходит через конец диаметра
сферы и перпендикулярна ему, то эта прямая
касательная к сфере.
V J OMla;
\—*У ОМ = р (О; а); р > R
р < R /^^^^_
(УШШ?
^у
^Х/ OMla
у\ J OMr\t = M;
\^^У ОМ It => t — касательная
249

ЩЬшльпал п/юг/ш*лсжа 4тсиСшцшь и фо^муиаос,
24. Сфера и шар
Шар (сфера) и плоскость (продолжение)
Все касательные прямые» проходящие через
одну точку сферы, лежат в одной плоскости,
касательной к этой сфере.
tx 1 ОМ; t2 ± ОМ, t3 -L ОМ =>
=> *1 у *2> *3 С а» а ^ ОМ
Отрезки касательных, проведенных из одной
точки (лежащей вне сферы) к сфере, равны.
А, В, С — точки касания :
=*МА = МВ = МС
Шаровой сегмент
Секущая плоскость разбивает шар на два
шаровых сегмента.
Н — высота сегмента, О < Н < 22?,
г — радиус основания сегмента,
г= 7#(2Д-#).
Объем шарового сегмента
Площадь сферической поверхности шарового
сегмента
S = 2nRH
Шаровой слой
Шаровым слоем называется часть шара,
заключенная между двумя параллельными сечениями.
Расстояние (Н) между сечениями называется
высотой слоя, а сами сечения — основаниями слоя.
Площадь сферической поверхности (объем)
шарового слоя может быть найдена как разность
площадей сферических поверхностей (объемов)
шаровых сегментов.
Шаровой сектор
Шаровым сектором называется фигура вращения кругового сектора
вокруг не имеющего с ним общих внутренних точек диаметра круга*.
* В школьном курсе обычно рассматривается вращение кругового сектора вокруг прямой, содержащей
радиус, который ограничивает сектор.
250

'лицах,
24. Сфера и шар
Шаровой сектор (продолжение)
Объем шарового сектора
V=^nR2H
Площадь сферической поверхности шарового
сектора равна площади сферической
поверхности соответствующего шарового сегмента./»
Площадь полной поверхности шарового сектора
S«*R(2H + 42RH-H2)
Две сферы
Две сферы» имеющие общий центр» называются
концентрическими.
Две сферы, имеющие одну общую точку»
касаются друг друга.
Ог02 *й + г (внешнее касание)
Ог02 ■ \R - r\ (внутреннее касание)
Если \R - г\ < Ог02 < R + г» то сферы
пересекаются по окружности» радиус которой может
быть найден» например» как высота
треугольника со сторонами Л» г и Ог02, проведенная к
стороне Ог02.
Через две точки пространства можно провести
бесконечное множество сфер. Их центры лежат
на плоскости, проходящей через середину
отрезка» перпендикулярно прямой, содержащей
этот отрезок.
Д2«р2 +0,25а2
MN = a
р - р (О, MN)
251

^Шнолмшл ту/гсг^ажла 4тгии/лшщос и формулах
24. Сфера и шар
Две сферы (продолжение)
Через три вершины треугольника можно
провести бесконечное множестве^сфер. Их центры
лежат на прямой, перпендикулярной
плоскости треугольника и проходящей через центр
описанной около треугольника окружности.
2 , 2
рг+ г
p~p(0,(MZJV))
Через четыре не лежащие в одной плоскости точки можно провести
сферу и притом только одну.
Описанная сфера
Сфера называется описанной около
многогранника, если она проходит через все его вершины.
Для того чтобы около многогранника можно
было описать сферу» необходимо (но
недостаточно), чтобы около любой его грани можно
было описать окружность.
Центр описанной сферы (если таковая есть)
лежит в плоскостях, перпендикулярных ребрам
многогранника, проходящих через их
середины; а также на прямых, перпендикулярных
граням многогранника, проходящих через
центры описанных около граней окружностей.
Радиус описанной сферы равен радиусу
сферы, проходящей через любые четыре, не
лежащие в одной плоскости вершины
многогранника.
Около любой треугольной пирамиды можно
описать сферу.
Около п-угольной пирамиды можно описать
сферу тогда и только тогда, когда около ее
основания можно описать окружность.
Около призмы можно описать сферу тогда и
только тогда, когда призма прямая и около ее
основания можно описать окружность.
Сфера называется описанной около цилиндра,
если на ней лежат окружности оснований
цилиндра.
Около цилиндра всегда можно описать сферу.
R2 - 0,2бЯ2 + г2
252

сГесметАал 4таолшл/паь
24. Сфера и шар
Описанная сфера (продолжение) 1
Сфера называется описанной около конуса,
если на ней лежат вершина и окружность
основания конуса.
Около конуса всегда можно описать сферу; ее
радиус равен радиусу окружности, описанной
около осевого сечения конуса.
Если сфера касается граней двугранного угла,
то ее центр лежит на полуплоскости, делящей
этот двугранный угол на два равных
двугранных угла.
R = ОМ sin ф = ML • tg <p » т, где 2ф —
величина двугранного угла, ОМ — расстояние от
центра сферы до ребра, т — расстояние от центра
сферы до грани.
с I
( / ■ \)
/ /ил^\ С
[ &° ) J
jjMЩв J /
^^^^^ВГ MKLUMLLI
^ L) ОК±а\ОЫ$
Вписанная сфера
Сфера называется вписанной в многогранник,
если она касается всех плоскостей, содержащих
грани многогранника во внутренних точках
граней.
В прямую призму можно вписать сферу тогда и
только тогда, когда высота призмы равна
диаметру окружности, вписанной в основание.
Если в многогранник можно вписать сферу, то:
V= gi*Sn0JIH,
V — объем многогранника,
SUOjm — полная поверхность многогранника.
Сфера называется вписанной в цилиндр, если
она касается оснований цилиндра и
цилиндрической поверхности.
В треугольную пирамиду всегда можно
вписать сферу.
В /1-угольную пирамиду можно вписать
сферу тогда и только тогда, когда биссекторные
плоскости всех двугранных углов пирамиды
[ имеют общую точку.
В призму можно вписать сферу тогда и
только тогда, когда ее высота равна диаметру
окружности, вписанной в ее перпендикулярное
сечение.-
в
В цилиндр можно вписать сферу тогда и
только тогда, когда его высота (образующая)
равна диаметру основания.
д = 0,5Я = Дсф
253

m^^^S^c^
24. Сфера и шар
Вписанная сфера (продолжение)
Сфера называется вписанной в конус, если она
касается основания конуса и конической
поверхности.
В конус всегда можно вписать сферу.
а
Л^г-tg^ ^^.-(г-Н)
25. Поверхности и объемы
Площадь полной поверхности многогранника равна сумме
площадей его граней.
Площадь боковой поверхности призмы можно
вычислить как: сумму площадей боковых
граней; произведение периметра
перпендикулярного боковому ребру сечения призматической
поверхности на длину бокового ребра.
Площадь полной поверхности призмы:
■2во+*«о«
(MLN)1AA1
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее
боковых граней.
Для правильной пирамиды:
Р — периметр основания
k — апофема
5бок да SADC + SADB + SBDC
Для пирамиды, все двугранные углы при
основании которой равны между собой (все высоты
боковых граней, проведенные к ребрам
основания, равны):
бок
COS ф
^ABCD
£(F,ABtC) = £FKO = <p
254

аеолье7пАия &' таолшцая
25. Поверхности и объемы
Площадь полной поверхности пирамиды S = S + S{
полн ^о бок
Площадь боковой поверхности цилиндра
S60K = 2nRH
Площадь полной поверхности цилиндра
£полн = 2nR(R + Н) = 2S0 + S60K
1-1 Я-.
Площадь боковой поверхности конуса
S6ok = пШ
Площадь полной поверхности конуса
Площадь боковой поверхности усеченного
конуса
S6oK = n(R + r)l
Площадь полной поверхности усеченного
конуса
Snojm = m* + nR2 + n(R + r)l
Площадь поверхности сферы
S = 4nR2
Площадь сферической поверхности
сферического сегмента
5бок = 2*ДЯ
Площадь полной поверхности сферического
сегмента
Sn0jm = S60K + nr* = 2KRH + nj*
fZ^Rt-iR-Hf^iZR-H) • Я
Поверхность вращения отрезка АВ, не
имеющего с осью I общих внутренних точек, равна
произведению проекции этого отрезка на ось и
длины окружности, радиусом которой служит
отрезок серединного перпендикуляра отрезка с
концами на оси и на отрезке.
S = АгВг • 2пМО - 2nRH
Отношение поверхностей подобных тел равно
квадрату коэффициента подобия.
Объемы равных тел равны.
Если тело разбито на несколько тел, не имеющих общих внутренних
точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.
255

Чшсолмшя nficzfigjbAia ётаалищюо и фо[киилаос
25. Поверхности и объемы
Объемы тел (продолжение)
Объем призмы равен:
произведению площади ее основания на высоту
V = S0H;
произведению площади ее перпендикулярного
сечения на боковое ребро
V=SJ.
v2 = sQ-h
Vo h
Объем пирамиды равен одной трети
произведения площади ее основания на высоту.
V2 = ls2H;
Объемы призм (пирамид), имеющих равновеликие основания,
относятся как их высоты. Объемы призм (пирамид), имеющих равные
высоты, относятся как площади их оснований.
Объемы тетраэдров, имеющих общий
трехгранный угол, относятся как произведения
ребер, содержащих этот угол.
/ABCD
ABACAD
Ъв^А Щ^^ТЩ
Объем тетраэдра может быть найден по
формуле:
V = ^ аЪс sin ф,
где а и & — длины скрещивающихся ребер,
с — расстояние между ними, ф — угол между
ними.
Объем усеченной пирамиды
v-Ih^ + Sz+Js^)
Объем многогранника можно получить, разбив
его на не имеющие общих внутренних точек
тетраэдры {триангуляция) и суммировав их
объемы.
Если в многогранник можно вписать шар,
то объем многогранника равен: V « g ^Sn0JIH,
R — радиус вписанного шара, SnoJIH —
площадь полной поверхности многогранника.
256

ил
ётси/м
глшцио
25. Поверхности и объемы
Объемы тел (продолжение)
Объем цилиндра
V=nR2H
Объем конуса
V=\nR2H ,
Объем усеченного конуса
V=^H(R2+Rr+7*)
Объем шара
Объем шарового сегмента
V=nH2 • (r-^h)
Объем шарового сектора
Вычисление объема тела вращения с помощью
интегралов.
ъ
А,
V„-njf{x)dx
у-fix)
Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
26. Метод координат
Координаты точки на прямой
Координаты середины отрезка:
хс = '
хг + х2
Длина отрезка в координатах (расстояние между
двумя точками): MN «\хх - х21
М(хг) Щх2)
С(хс)
Точка М прямой АВ делит отрезок АВ в
отношении А, (считая от А), если AM « ХМВ
Координаты точки, делящей отрезок АВ в
отношении X:
ха + Ххъ
1 + Х
А(ха)
В(хь)
ш
m*j
Координаты точки на плоскости. Прямоугольная система координат
Координаты середины отрезка:
^ ^ Л (х* + хь Уа + УъЛ
Длина отрезка в координатах:
AB=J{xa-xb)2 + (ya-yb)2
Координаты точки, делящей отрезок АВ в
отношении Я, (А, ^-1):
АМ=ШВ*М[-ТТГ',-ТТГ)
•*> X
9—1323
257

чМнольшия nfxxfauALjuja ётш/лилуик и фс^лмрлаоь
26. Метод координат
Уравнение прямой
Общее зфавнение прямой I: ах + by + с = 0 (а2 + Ь2 Ф 0)
аЬсФО
а = 0
1\\Ох
Ь = 0
1\\Оу
с = 0
Ч
ах+Ьу + с = 0
by + с - О
ах + с = О
V
ахЛ-Ъу — 0
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
(&*0):
y = kx+p
Уравнение прямой в отрезках (с Ф О):
Уравнение прямой, проходящей через точку
М(х0; у0) с угловым коэффициентом ft.
У = Уо + Ь • (х-х0)
Условие параллельности двух прямых.
kx = k2
Условие перпендикулярности двух прямых.
*1 * *2 = ~х
Угол между двумя (неперпендикулярными)
прямыми.
tg(D =
ftj ft2
1 + ft2ft2
|в*о + ьУо + с|
Расстояние от точки М (х0; у0) до прямой
ах + Ьу + с = 0.
л/ТТР
-Р(М,о
Уравнение пучка прямых (всех прямых,
проходящих через точку М (х0; у0) перпендикулярно
вектору Я (а; &)).
а(х-х0) + Ь(у-у0) = 0
Уравнение окружности
с центром в начале координат
х2 + уг . га> г > о
с центром в точке М(#0, у0)
(х-х0)2 + (у-у0)2 = г*,г>0
Любое уравнение вида х2 + у2 + ах + by + с = О задает на плоскости
либо окружность, либо точку, либо пустое множество.
( хМ2 J _|1»Л2 <*2 + Ь2
255

&амшпкил ётш/лилщх
26. Метод координат
Координаты точки в пространстве. Прямоугольная система координат в пространстве
Координаты точек на кубе:
О(0;0;0) А(0;а;0)
В (а; а; 0) С (а; 0; 0)
О' (0; 0; а) А' (0; а; а)
В' (а; а; а) С (а; 0; а)
Координаты середины отрезка: АС » СБ
_ п (ха + *& Уа + У& *д + ^
Длина отрезка в координатах:
| г (аппликата)
\А
к»
у {ордината)
АВ « <у/<*& " Ха>2 + <Уд ~ Уа>2 + <*& ~ «а>2
х (абсцисса)
Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении XtX Ф -1:
AM=S^'MB =* м Ыгг; -ттг; -ттг)
Уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости:
ax + by + cz + d = 0 (а2 + Ь2Ф0)
Уравнения координатных плоскостей.
х = О — плоскость yOz
у = 0 — плоскость яОг
2 = 0 — плоскость *Оу
л (а; Ь\ с)
^« N а* + Ьу + сг + d - 0
~*у Я (а, Ь9 с) 18 (нормальный
вектор)
Частные уравнения плоскости
а = 0
5 || Ох
Ь-0
8||Oi/
с = 0
5||Ог
d = 0
by + cz + d = О
ах + С2 + d = О
а* + by + с в О
ах + Ьу + сг=>0
Уравнение плоскости, проходящей через
точку М0 (х0, у0, г0), перпендикулярно вектору
Я (а; Ь; с).
а(*-х0) + 6(у-у0) + с(г-г0) = 0
259

Сшсолмшл пЛог/юлиаа 4таалицах и cbofiMMJiax
26. Метод координат
Уравнение плоскости (продолжение)
Уравнение плоскости в отрезках (d * 0).
х • У л.2 -1
1 1— =1
771 71 р
Угол между двумя плоскостями
агх + Ьгу + сгг + dx = 0 и
а2х + b2y + с2г + d2 = 0.
cos ф =
|а1а2 + Ь1Ь2 + С1С2|
/ 2 , , 2 , 2 / 2 , ,2 ,
Условие параллельности двух плоскостей.
а^ Ь^ Cj dj
a9 Ь9 с9 do
Условие перпендикулярности двух плоскостей.
«1^2 + ЬгЬ2 + cxc2 - 0
Расстояние от точки М(х0, у0, г0) до плоскости
are + Ъу + сг + d = 0.
1д*о + Ьу0 + сг0 + d\
I 2 , , 2 , 2
Параметрическое уравнение прямой
(проходящей через точку М0 параллельно вектору s).
х *= х0 + at
У - У0 + Р*
2 - z0 + у*
311
s — направляющий
вектор прямой
мо (*о> Уо» zo) e z
S(a; P; у) II*
Уравнение прямой, проходящей через две точки
M(xv yv 2г) и Щх2, у2, г2)
х - хг у - уг z - гг
с2 Xi Уг У\ z2
Угол между двумя прямыми, заданными в
параметрической форме.
coscp =
К«2 + P1P2 + YiY2|
Г2 , Q2 , 2 / 2 , Q2 , 2
^ + Рх + тх • Ja2 + Р2 + Y2
Условие параллельности прямых, заданных
параметрически.
a1:a2 = P1:p2 = Yi:Y2
Угол между прямой
и плоскостью.
sincp =
|aa + Ьр + ci
/ 2 , ,2 , 2 / 2 , Q2 , 2
я<?0

SeoAicmhuA ётаалшщх
26. Метод координат
Уравнение сферы
с центром в начале координат
с центром в точке М(х0, у0, z0)
x2 + у2 + г2 = г2; г > 0
(ж - *0)2 + (у - у0)2 + (г - г0)2 = г2, г > 0
Уравнение х2 + у2 + г2 + ах + fti/ + cz + d = 0 задает в пространстве
либо сферу, либо точку, либо пустое множество.
\( ,М2 .Г _■_х^2 ±Г ±П2 «2 + ь2 + *2 ^
27. Векторы и координаты
Векторбм называется направленный отрезок.
Вектор характеризуется направлением и длиной.
Направление — множество соналравленных
лучей.
Длина вектора \а\ —расстояние от начала
вектора до его конца.
Коллинеарные векторьи
Сонаправленные и противоположно направленные
векторы.
Равенство векторов.
Угол между векторами.
а у
А'
^
ун
а
Т~
J&—
В
АВ = \а\ = \Хв\
av a2, a3, a4 —
У a* коллинеарные векторы
у 52 >^a4 (аг || а2 || аг || а^
у/ аг ft a2 —
сонаправленные векторы
a3 it 24 —
противоположно направленные векторы
<Ht&
1И-Й
Z.(ВС, CD) = ^(BC,BA) = 108°
"~*7С ^1(АВ, ВС) = Z.(AB,I^) = 72°
/ AD = ВС;АВ ±CD
—Ф —» —> —» —»
Z. (АВ, AD) - Z. (СВ, CD) - 72°
,267

Сшюмтсия программа ёттьаолшщос и фскммлаос,
27. Векторы и координаты
Ортогональные векторы.
a±6<=><i(a,b) = 90o
a JL Ъ — ортогональные векторы
Компланарные векторы — это векторы,
лежащие в одной плоскости или в параллельных
плоскостях
*1
А
ь ...
^
I
1
*:_.
+
-у
D
AAV АВ, ВгВ — компланарные
Ыс
AD, DtAx, С1В1 — компланарные
DDV DC, DA — некомпланарные
Пример 1 (нахождение угла между двумя
векторами на плоскости)
Пример 2 (нахождение угла между двумя
векторами в пространстве)
Z. (АВ, CD) = 135°; ZL (AD, CD) - 45°
Если \АВ | = 2; \ВС | = 1, то
L (АС, GD) = arctg 2; Z. (BD,DC) = K-£BDC.
По теореме косинусов:
ВС2 - BD2 + DC2 - 2BZ> • DC • cos A BDC.
1 = 13 + 8-2713 • 272 • cos Z.BDC.
A BDC = arccos^P =*/L(BD9DC) =
L (AXB; DCX) - 90°; /L (CA; Z^) = 90°
L (DCX\ CA) = L (DCX , СгАг) = 120°, т. к.
Д DCXAX — равносторонний
A(Db[;DC)-ADbADB1C =>
=> L (DBX\ DC) = arctg 72
26
= я - arccos
5726
26 '
Сложение векторов
Правило ломаной.
а + Ъ + с=ОА+АВ +ВС =ОС,
где ОА =а;АВ=Ь;ВС=с
Правило параллелограмма.
а + Ь = ОА + ОВ =OF
Правило параллелепипеда.
/ \
h
О
/а
шА
дА=а,ОВ ==Ъ;
OBFA — параллелограмм
=*OF =а + Ъ
OF =а + Ь + с
262

ЗакМ£тЛил 4 тси/мищх
27. Векторы и координаты
Сложение векторов (продолжение)
Законы сложения.
2 + &j= Ъ + 2
(а + Ъ) + с = а + (& + с)
2+0 = 2
Противоположные векторы.
Вычитание векторов
/ >А 3-3-* +(-5)
з| = |&|
=» a = -b; b = -a; a + b = 0
AG - -b; OG = BA
QA + AG = OG
a-b = OA -OB ~BA
Умножение вектора на число
Законы умножения вектора на число (скаляр).
a • (Ха) = (аХ) • а
1 • a = a
-1 • а = -а
(ос + Х)а = ос2 + Ail
Ma + ft) = X2 + lb
OA =a\OA' -*,• a(\>0)
|а?|-х-й
ОБ = &; OB' = ц • &, (|i < 0)
|a?|—ii-Й
0 • 2=0
Разложение вектора с на плоскости по двум не-
коллинеарным векторам 2 и Ь (2 |( Ь).
с = OA + OB = *2 + уЪ —
разложение вектора с
в по векторам
2 и Ь, где a ДО ft
Разложение вектора г пространства по трем
некомпланарным векторам 2, Ъ и с.
"" г=ОД=ОА+ОВ+ОС =
\ = xa + yb + zc—
^ %t разложение вектора г
^.. ^ по векторам а9Ь,с9
в где а9 Ь> с некомпланарны
Примеры разложения вектора
Пример 1.
-> —*
= a; АД
= ЯС +CG =5 + Г-|1б = а-|&; ВД=А2)-АВ=&-2
АВ =2; AD =b;BG:GC = 2; AF = ~ АС = 1(2 + &) = ^2+g&
DG
£63

пал
nhcbhajiiLAUi &7па0лшщх и (fwfajiwjiaac,
27. Векторы и координаты
Примеры разложения вектора (продолжение)
Пример 2.
АВ =а;ВС = b; AD = 4BC=> AD = 4b; AF = g(a + b) = g5 + gb
Г4- . 4
Г4^ 8
FD=AD-AF=4&-fga + gS] = -ga+~&
MN - 2 JW - 2
(H)-i*'
0 • a+|b
Пример 3.
AAX =a;AB=b;AD=c; AXG = GD^ C^ - FC
GF = <£ц + A^A +AC+CF = (-^c) + (-a) + (b + c) + (g2) =
Пример 4.
AB = a; AC = b; AD =c; £>G = jCD; DF = FB
FC =FA+ AC
GF =GD +DF =\cD +\l>B = \(c-b) + ^(a-c) =^a-^Ъ - ^c
Условие коллинеарности двух векторов
a lib о
ха + z/b - О
д:2 + i/2*0
a || & <=> a = Л,Ь или b = |ia, если
a*0;b*0
Условие компланарности трех векторов
a, b, с — компланарные векторы $=>
{*а + yb + гс = О
х2 + у2 + 22*0
а9Ь,с — ненулевые компланарные векторы,
то а = а6 + рс.
Скалярное умножение векторов
a • b = \a\ • |b| • cos Z. (a, b)
Законы скалярного умножения.
а*Ь = Ъ • a
а • a>0; a • a = |a|2
-|3|^|&|<5.Ь«|а|.|Ь|
a«(b + c) = a*j? + a*c
a • b = 0<=>a±b
a • b = \a\ • npa b = \b\ • прь а
264

ЗеолетпЛил S ттигалик/гх
27. Векторы и координаты
Скалярное умножение векторов (продолжение)
Формулы применения скалярного умножения
к решению задач.
, /-* ьч 2 • Ь
cosAia'b)=WV\
- аЪ
Пример 1.
Определить угол между BD и DC. Введем систему координат. Тогда В (0; 2); в\
С (1; 2); D (3; 0), BD (3; -2), DC (-2; 2). 2
2Ш-5с _ 8 • (-2) + (-2) • 2 _ -5
cos Z(BD; DC) =
ml • |5c| V32 + (-2)2.V(-2)2 + 22 ^6
5726 „—> —>ч 5726
= --Sg- Z(BD; DC) = 7C-arccos-Sg-«
Пример 2.
Определить Z(DCi; CA) = а. Введем систему координат. Тогда А (0; 0; 0);
С (a; a; 0); D (a; 0; 0); Cx (a; a; a); 5c^ (0; a; a); CA (-a; -a; 0).
I £1
cosaj
DCj • CA
0 • (-a) + a • (-a) + a • 0
-a -1
|5cJ.|ca| Vo2 + a2 + a2- V(-a)2 + (-a)2 + 02 2a2 2'
> —►
Следовательно,a = Z(dcx; CA)- 120°.
B><
Координаты вектора на плоскости. Основные формулы
Если вектор а плоскости имеет координаты
(хг; уг), а вектор Ъ имеет координаты (х2; У^ то:
а + Ь = (хг + х2;уг + у2)
fta = (ftxx; ftyx), ft € J?
aa + pb = (ajcx + px2; ayx + py2), a, p e R
аЪ = хгх2 + угу2
Длина вектора в координатах на плоскости.
\а\ = д/лг2 + у2, где а(хг; уг)
Угол между двумя векторами на плоскости.
/. (a, b) = arccos
*i*2 + У1У2
/ 2 , 2/ 2 , 2*
где 5(^5 ух), ft(x2; у2)
Условие коллинеарности векторов 2(jcx; уг)
и b(x2; i/2)на плоскости.
х1т-хг = У\'У2
или s или ^
У1 = ЬУг
гсс*х + Р*2 = 0
1<х2 + р2*0
£65

ЧАшальшия, nhozhajJUAa бттмлилцхх, и фсклиммс,
27. Векторы и координаты
Координаты вектора на плоскости. Основные формулы (продолжение)
Условие ортогональности векторов
а(хг; уг) и Ь(х2; у2)на плоскости.
хгх2 + угу2 = 0 |
Координаты вектора в пространстве. Основные формулы
Если вектор а пространства имеет координаты
(*!*> Ух> 2г)9 а вектор Ъ имеет координаты (х2; у2;
г2), то:
Длина вектора в координатах
в пространстве.
Угол между двумя векторами в пространстве.
Условие коллинеарности векторов а (хг; уг; гг)
и Ъ (х2; у2; г2) в пространстве.
Условие ортогональности векторов а(хг; уг; гг)
и Цх2; у2; г2) в пространстве.
a + i = (x1 + x2;y1 + y2;z1 + z2)
а - Ъ = (хг - х2; уг - у2; гх - г2)
ha = (kxx; куг; кгг), k e R
оса + рь = (ахг + Р*2; ауг + Ру2; azt + Pz2),
реД
|2| = 4Х\ + Уг + 2г»3<*i; »i» 2i)
<42,6) -
*1*2 + ^2 + *1*2
~ ЯТРРИГ* - - ■— —, —.-
/ 2 . 2~ 2 / 2 , 2~Т 2
а(хг; уг; гг), Ъ(х2; у2\ г2)
а II Ъ <=> хг
или
хг = hx2'
#1 = ^2
2Х = А,22 t
^2 = .
► или <
а,
^1 : ^2 = 21 : 22 1
ахг + Р*2 = 0
<*У1 + ру2 = 0
ос^ + Р^2 = 0
а2 + р2*0
XlX2 + ^2 + Z\Z2 = °

Математика в формулах
АРИФМЕТИКА
Законы арифметических действий
переместительный:
а+Ь=Ь+а
a*b = b>a
сочетательный:
(а + Ъ) + с = а + (Ъ + с)
(а*Ь)*с = а'(Ь'с)
распределительный:
Правила знаков при умножении (делении) чисел
Множители
(делимое и делитель)
+
+
1 —
+
—
—
Результат
+
+ 1
Правила действий с рациональными числами
(дробями)
а с ad + be
b d~ bd
а с ad - be
b~d° bd
a
b
a
b
с
"d
с
'd
ac
~bd
ad
" be
Арифметическая прогрессия
формула n-го члена:
ап = аг + (л -1) d
сумма п первых членов:
s„ =
свойство:
аг + ап
•71 =
2аг + d(n - 1)
п
Геометрическая прогрессия
формула л-го члена:
сумма п первых членов:
_ М-&1 1 -дп
«-1
= *1
свойство:
l-g
6i * К = ьг' К-1" — = h' К-к
сумма п первых членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии (0 < |д| < 1):
S =
<*i + <V
а2 + ап-1**'" = ак + ап-к
l-g
Некоторые числовые ряды (конечные)
1 + 2 + 3 + ...+(п-1) + л = П(Я2+ 1}
1 + 3 + 5 + ... + (2п - 3) + (2п -1) = пг
2 + 4 + 6 + ... + (2л - 2) + 2п = п (п +1)
I2 + 22 + З2 + ... + (п-1)2 + п2 =
га(п + 1)(2п + 1)
6
12 + 32 + 52 + ...+(2п-1)2 = П(4\ ~ 1}
О
2 2
13 л. о3. o3_i_ л_й л\* л 3 П (П + 1)
1 +2 +3 +... + (rt-l) +71 = i—т —
I3 + З3 + 53 + ... + (2п-1)3 - и2(2л2-1)
Пропорция
а _ £
равносильна следующим равенствам:
,, а Ъ d с Ъ d
с d9 Ъ а9 а с
267

иш&лмшл nfiMfia^iLMa SmaeLuu/jax и, фсАмилаж
Среднее арифметическое
двух величин:
Свойства квадратного (арифметического) корня
Ja- Jb = Jab Jab = J\a\ • M nJa- nJb = nJal>
n величин:
a + b
ax + az + ... + an
Ja = ja
Jb 4b
ja _Щ
lb M
nJa
4jh nib
Среднее квадратичное
двух величин:
I
а2 + b2
п величин:
Ч/а = nkJak Фь/а - »mVa
Формулы сокращенного умножения
квадрат суммы: (a + ft)2 = а2 + 2аЬ + ft2
квадрат разности: (а - ft) = а2 - 2aft + ft2
i
- (ах + а2 4- ... + ая)
(а + Ь)3 - а + За2Ь + 3aft2 + Ь3
(а - ft)3 - а - 3a2ft + 3aft2 - ft3
я величин:
Среднее геометрическое (среднее
пропорциональное)
двух величин:
Jab
»]а1-а2...ап
Золотое сечение
Величина а делится на части х и а - х так, чтобы
. /jj — 1
# = */а(а - *) = —«— 'а ~ 0>618 a
АЛГЕБРА
Свойства степени
a°-l
куб суммы:
куб разности:
2 2
разность квадратов: a -ft =(а-Ь)(а + Ь)
сумма кубов:
a3 + ft3 = (a + ft)(a2-aft + ft2)
3 3 2 2
разность кубов: a - ft = (a - ft) (a + aft + ft )
Бином Ньютона
(а + Ь)'1=ап+С^ап"1&+С2алЛ2+... + С^алЛЛ +
+ ... + *>
с1-п- c2-n(yt ~ 1}- ck
n!
71 (n - k)\ k\
Выделение квадрата двучлена из квадратного
трехчлена
ах +Ьх + с
= а \х + -х + - =
V a aj
2 , 0 ft , ft21 , с Ъ2)
f , 6^2 , 4ас - Ь2
= а{х + Га) +—IT"
/71 Л 771 + Л / t\77l 771 » 771
а • а = a (а • ft) = a • ft
771 71 771 —
а- : а =а
у 771ч 71 771Л
(а ) =а
(Г-Ш
■ (9*-? °L*
ч-т /ь\и* Теорема Виета (свойство корней)
квадратного уравнения ах + ft* + с = 0:
х\ + хг--q'> xi%x2~a
---?
а -» 4а
приведенного квадратного уравнения
.2
х1 + х2 = -р; x1-x2 = q
268

сЖа7П£латш£а ё формулах
Теорема Виета (свойство корней) Действия с логарифмами
приведенного кубического уравнения х + рх + логарифм степени:
+ qx + г = 0:
Xx + Х2 + Х3 = -Р
х\х2 "*" X2XZ "*" *1*3 = #
Х\Х2ХЪ ~ "~Г
Формула корней квадратного уравнения
ах2 + Ь* + с = 0:
logca = ft log а
логарифм корня:
logc Va = - logc a
& ± л/&
^
4ас
"Ь* 2а
приведенного квадратного уравнения
x2+px + q = 0:
переход к новому основанию:
\ощса
Дополнительные формулы
С1.2 2 _ А/
log"b = bi^
'£.
log„ с logm с
■ logc Ъ
квадратного уравнения с четным вторым коэф-
фициентом ах + 2kx + с — О:
_ -k ± tjk — ас
log„ 6 = &log„ a
lognb-logTOc = logmb-log„c о
Факториал 1 • 2 • 3 •... • и = п\
Основное свойство факториала nt = n • (п -1)!
Формула Кардано — формула корней неполного чисел)
кубического уравнения у +py + q = 0:
Формула Стирлинга (факториалы больших
1 1
У
Ч 2 + \4
+ l. + з\л _ 22 + г!
+ 27 U AU 27
12п 288л2
~)
Координаты вершины параболы ах + Ьх + с:
l2
ъ_
2а'
хс\ л > Уо ""
4ас - *>
4а
Определение логарифма
Логарифмом числа Ъ по основанию а называется
показатель степени, в которую нужно возвести а,
чтобы получить Ь.
loga Ь = с <=> а = Ъ
Свойства логарифма
logal = 0
о = a
logaa = l
loga am = тп
Действия с логарифмами
логарифм произведения:
logc (ab) = logc a + logc Ъ
логарифм частного:
log4?J==log'a~logcb
In (тг!) «[ л + -Alrin-n + lYi л/2тс
Соединения
Размещения из тг по те элементов — соединения,
отличающиеся самими элементами или их
порядком.
К - ;—^~Z -n(n-l)(n-2)...(n-m + l)
(Я — 771)!
Перестановки — соединения, отличающиеся
только порядком элементов.
Рл = п! = 1-2-3-...-л
Сочетания из тг по те элементов — соединения,
отличающиеся только самими элементами.
А
ст e 7l! e -^п
* те! (л - те)! Рл
тг (тг - 1)(л - 2)...(я - те + 1)
l-2-З-...-те
£69

ЧАшомшия nhcbfiOMjJUi &таолшщ<к а фсАммлаэь
Соединения
Свойства сочетаний:
g^Ttl + 1 f*Jtl , fyTTl + 1
Произведение и частное комплексных чисел
»(q>i + ф2)
г\' гг = rir2e e
= гхг2 [cos (ф! + ф2) +1 sin (ф! + ф2)]
c°+cl+c!+...+c:_1 + c!=2n
Неравенства
— = — e
Z2 r2
2,,2,
|a + ft|<|a| + |ft| |a-b|>||a|-|b|| a +F>2\ab\
a b a + b i—
r + - > 2 (ad > 0) —^— > Vab (a > 0, b > 0)
Комплексные числа
2*=x + iy (i = -1)
Re 2 = x — действительная часть
комплексного числа,
Im г = у — мнимая часть комплексного числа.
Комплексно-сопряженные числа
z = a + ib и lz = a-ib
Действия с комплексными числами
*1 + Ч = (*i + *2> + *(Уг +#2>
*1 " z2 " (*1 " *2> + *(»1"" 2/2)
^•22 = (*1*2 " ^1^2) + * (*1У2 + *2*/l)
*i хгх2 + уху2 x2yt - хгу2
= -■ [cos (фх - ф2) + i sin (фх - ф2)] (z2 * 0)
'2
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тригонометрические функции
в прямоугольном треугольнике
а
sina =
с
tga=£
Ь
cos a = -
с
ctg a = -
a
^сЗ
Тригонометрические тождества
sin a
tga =
cos a
2 2
cos a + sin a — 1
cos a = vl -
1
sin2a
cos a
ctg a = -:
& sin a
tg a • ctg a « 1
sin
2
cos a
z* 2,2 + * 2,2
2 x2 + y2 x2 + |/2
(*2*0) ^«^dtFS
ctga«
tga
Тригонометрическая форма записи комплекс*
ных чисел
г -» г (cos ф + i sin ф)
Модуль комплексного числа
- . . 2 1
1 + ctg a - —=-
sin a
l + tg2a= *
2
cos a
Аргумент комплексного числа
Arg z = arg 2 + 2nk (* * 0,1, 2,...)>
где arg z = ф — главное значение аргумента.
Показательная форма записи комплексных
чисел
Формулы сложения тригонометрических
функций
sin (а ± р) = sin а cos P ± cos а sin P
cos (а + Р) = cos а cos p hf sin а sin p
tg а ± tg В
1 Т tg а tg p
. , ,Q4 ctg а ctg p T 1
ctg (а± р) - * Б;
ctg p ± ctg а
Тригонометрические функции кратных углов
*Ф
sin2a = 2sinacosa
2 2
cos 2a = cos a - sin a
Формула Эйлера
cos2a = l-2sin2a
cos 2a=2cos2a-l
3
е*ф = cos ф + i sin ф
sin3a = 3sina-4sin a
о
cos 3a = 4cos a - 3cos a
270

сЛЪатпеммттшка 4фс/ьжуиаоь
Тригонометрические функции кратных углов Сумма тригонометрических функций
2 ОС
1 + cos a = 2 cos л
2 1 +sin а = 2 cos2 [45е - «]
sin4a = 8 cos8asina-4 cosasina l + cosa = 2cos « l-cosa = 2sin 5
4-2
cos 4a = 8cos a - 8cos a +1
. 0 2tga , 0 ctg a - 1
tg 2a = ^—5- ctg 2a = —-
1 45 a » 1-sin a = 2 sin 145 - «I
1 - 3tg a 3ctg a - 1 ций
ai~ ~ A4.~3~ .2 1 - cos 2a 2 1 + cos 2a
. A„ 4tg a - 4tg a sm a = ~ cos a «■ ~
tg 4a == s j— 2 2
1 - 6tgza + tg4a x
,4 „ , 2 - 8т3а= 7 (3sina-sin3a)
x . ctg a - 6ctg a +1 4
ctg 4a = 3 3 1
4ctg a - 4ctga cos a =t (cos3a + 3cosa)
Тригонометрические функции половинного угла sin4a = 1 (cos 4a - 4cos 2a + 3)
a /l - cos a a /l + cos a A 1 , A , A 0 . оч
sm 2 = л/ 2 C0S 2 = J 2 c a = 8 *cos S *
, a sin a 1 - cos a
Произведение тригонометрических функций
1 + cos a sin a . sin (a + p) + sin (a - P)
sm a • cos p = E—5 «
, a sin a 1 + cos a
ctg 2 - T^Ta " -ST7- eoea.eo.p-S25JteL±JL+£2^«zJU
Сумма тригонометрических функций . • r = cos (a ~ P) ~ cos (a + P)
• а . a±p aTp
sina±smp«2sin 2 cos 2 Формулы приведения тригонометрических
функций
ftoa+Pa-p
cos a + cos p - 2cos —£— cos —g— sin (±a + nn) - ±(-1) sin a
cos a - cos p — -2sin —5-11 sin —3-
\Л
cos (±a + nn) — (-1) cos a
sinf+a + 5 + яп j = (-!)* cos a
p _ sin (a ± P)
tg a - tg p cos a cog p cog r±a + я + л _ Т^1)П s.n a
_l A о , sin (a ± p) , ( , к , Л ,
ctga±ctgp^±sinasinpp tg [a + g + TcnJ —ctg a
cos a + sin a = л/2 cos (45° - a) ctg (a + | + nn j = -tg a
cos a - sin a e */2 sin (45° - a)
Соотношения между обратными
. , м g e cos (a - P) тригонометрическими функциями
g gpe cos a sin p K
arcsin x = -arcsin (-*) = 7: - arccos я :
. 0 cos (a + p) 2
tga-ctgP = -cosasinp =arctg-=^=
tgoc-ctga = -2ctg2a Vl - л:2

Шпальмал тфогражлш ётаямицмс, и, фо[ыи/илах
Соотношения между обратными
тригонометрическими функциями
arccos х = тс - arccos (-#) =;- arcsin x —
= arcctg
7ГТ
arctg x = -arctg (-x) = о ~" arcc*S * =
x
= arcsin
vtt?
arcctg x = л - arcctg (-я) ~ ъ~ агс*ё * =
= arccos
л/l + x2
НАЧАЛА АНАЛИЗА
Предел функции. Свойства
lim с = с
х-*а
lim (/(*) + #(*)) « lim /(л:) + lim g(*)
lim (f(x) • £(*)) = lim f(x) • lim g(*)
lim
lim/(ж)
A*) *->g
*-*а*(*) lim*(*)
lim (ft • /(*)) - ft • lim /(*)
Пределы некоторых последовательностей
a > 0, b>l,a>0,p — натуральное число.
Ит (l + -Y* -
lim
Л->оо
1Р + 2Р + ... + п"
_Р + 1
lim —— = е
»->~'Vra!
Р+ 1
lim -7=0
»-+~ га!
lim lP + ЗР + - + (2п " 1)Р
га
,р + 1
р + 1
Пределы некоторых последовательностей
lim Г—^— + —Ц- +
n-*~vra + 1 га + 2
hm — =0
л-»~ ъп
lim nJa = 1
П-»со
lim Vn - 1
Л -4 00
hm —— =0
п-»~ л
. 1
sin -
lim —z— = 1
л->«> *
п
*«:
lim -tj— = 1
Л—» ©о 1
п
lim n(VS - 1) =lna.
л->«>
Производная
У' - Г<*> = лШп ff
вторая производная:
производные высших порядков:
f(n)(*) = С/0" "(*))'
Производные некоторых функций
(С)' = 0(С — константа) (cos х)' — -sin x
(*)' = 1
(*У = 2х
(*")' = л*"*1
(sin л)' = cos x
(tg*)' = *
2
COS X
(ctg*)' = -
. 2
sm jc
(arccos ж)' = -
(arcsin x)' -
(arctg *)'
JT7
1
JT72
1
га"л/?ГГ1
(lg*)' = ^lge
(a*)' - a* In a
1 + x'
(arcctg x)' = 5
1 + x*
On*)'--
*w *
(0' = e
^

cAlame-iiamttfta 4формулах,
Правила вычисления производных
{и = и(х), v = v(x))
(и + v)' = и' + v' (u - v)' = u'-v'
(и • v)' = u'i> 4- ш/ (cu)' = си'
UJ " y2 [cj ~ С
Производная сложной функции
(и (v(x))Y - u'(v(x)) • i/(x) (и71)' = л • и1'1 • и'
Интегралы некоторых функций
X
х CL
a dx = ; 4- С
In a
cos х dx = sin x 4- С
sin x dx = -cos л: 4- С
1
(cos u)' = -sin u • u'
(tgu)' =
1
2
COS U
(Logau)' =
и 1па
(a ) = a • In a • и
(sinu)' = cos и • и'
(ctgu)' = -—— -и'
sin u.
(In и)' = - -u'
v ' и
2
COS X
. 2
Sill X
dx = tg x + С
dx = -ctg x + C
e ) = e -u
Производная обратной функции
f(x) и g(x) — взаимообратные функции;
если существует f'(x0) и #'(*о)> то
8'{х°)= Ты
Свойства производных высшего порядка
/ i \(п) (п) I (л)
(и + v) = u + ик
ft (ft) (п-ft)
(uvf ' = Z, cnu v
k = 0
Первообразная .F(x) функции /(x)
F'(x) = /(x)
Неопределенный интеграл — это общее
выражение F(x) 4- С для всех первообразных функций от
данной функции /(х):
F(x) + C = jf(x)dx
Основное свойство
(J/(x)dx)' = /(*)
Интегралы некоторых функций
J k dx = kx + С
я + l
tg х dx = -In | cos x | 4- С
ctg * dx = In I sin x | 4- С
Основные правила интегрирования
JVjf(x)dx = fc-J/(x)dx
J (/(x) + *(*)> dx = J /(x) dx + J £(x) dx
Формула Ньютона—Лейбница
ь
J f(x)dx = F(b)-F(a) = F(x)
a
Свойства определенного интеграла
a b a
J /(x)dx = 0 J /(x)dx = -J /(x)dx
a a &
Ь с b
J /(x)At-J /(x)dx4-J f(x)dx
а а с
b b
J k -/(x)dx = fc-J /(x)dx
J (/(x)4-*(x))dx= J f{x)dx + \ g(x)dx
b pb + q
Sf(px + q)dx=- J /«)<ft
pa + q
Если /(x) четная, то f /(x) dx = 2 [ /(x) dx
-a
a
(*"<** - =---г +С
J n + 1
jid*=ln|*| + C
jexdx=ex + C
Если /(дс) нечетная, то J/(x)dx = 0
тп(Ь - a) < f /(x) dx < M(b - a), где Mum — наи-
a
большее и наименьшее значения f(x) на [a; &]
да

Шшльъшл п/югбажжа & таолии/аоь и dbo^vuMtco
Площадь криволинейной трапеции
S = J /(х) dx
У 1
0
1
/(*) ^\
с
$S$
i I
? а:
Несобственные интегралы — интегралы с
бесконечными пределами и интегралы от разрывных
функций.
+оо
У*
S - -J /(x)dx
S = J |/(х)| dx
S=J(rtx)-g(x))dx
Длина кривой
I - J л/l + (Г (ж))8 dx
f /(л:) dx = lim f /(x) dx
a a
& Ь
f/(x)dx = lim f /(x)dx
+oo
a
f/(x)dx = lim f /(x)dx + lim f /(x)dx
Значения некоторых несобственных интегралов
2 +~ .
г х ^х _ 5_
e* - 1 ~ 6
12
л л, ил
f в* + 1
+ оо 2
Г Bin X , ТС
J "Г" d* = 2
о
J sin(x ) dx = J cos(x ) dx = /-
*f /(*)
l , 2
f In X _ 7C
7 dx в "а
J x - 1 о
& ж
Площадь поверхности вращения
ь q
S = 2rcJ/(x) л/1 + /'(*))2 dx
Объем тела вращения
V-nf(f{x))*dx
yi
0
ы
Лх)
/л
\ъ\ х
ГЕОМЕТРИЯ
МНОГОУГОЛЬНИКИ
Треугольник
Обозначения:
А, В, С — вершины, а также углы
при этих вершинах;
а, Ь, с — стороны, противолежащие в
углам А, В, С соответственно;
Аа> *ь» ^с — высоты, опущенные
на стороны а, 6, с соответственно;
та, тъ, тс — медианы;
la>h>h — биссектрисы;
R — радиус описанной окружности;
г — радиус вписанной окружности.
ь с
274

Площадь треугольника
« 1 t. ltt 1 г.
S= 2 а~2 ь= 2 с
S -» 5 ob sin С = 5 ос sin В = 5 be sin A
S=Jp(p- а)(р - Ь)(р-с) (р = |(с + Ь + с))
S =
abc
4Д
Медиана, биссектриса, высота
2
ma =
2Ь2 + 2с2 - а2
2 = Ьс((Ь + с)2 - а2)
(Ь + с)2
,2 4р(р - а)(р - &)(р
К - 5
Высоты и стороны треугольника
1.1.1
а ' Ъ ' с
с)
h'-K^
Теорема косинусов
a2 = b2 + c2-2bccosA
Ъ2 = с2 + с2 - 2ac cos В
c2 = a2 + b2-2abcosC
Теорема синусов
а Ъ с
sin A sin В sin С
Теорема тангенсов
а + Ъ
, а « + Р
= 2Д
ctg|
a - Ь
a + с
a - с
Ь + с
, «- Р
а + Y
tg
a - P
ctgjj
tg
a
ctg
tg
P-Y
Прямоугольный треугольник
S=|a&=|ftc fZC = 90*)
Теорема Пифагора
с2 = а2 + Ъ2 (ZC = 9(T)
Л = g = me
ac:a-a:c
bc:b = b:c
Равносторонний треугольник
с27з
S =
4
ft =
а7з
2
аТз
3
»7з
Квадрат
S = «2«
P = 4a
d = aj2
г, 1 j
Г=2а
2d
a72
2
Прямоугольник
1 о
S = ab- 5 d sin ф
n 1 j 1 / 2 , . 2
Л=2^=2Л'а ^
P = 2 (a + 6)
Параллелограмм
S = cAa = Ьйь
S = ab sin a
S= „d^sincp
P = 2(c + 6)
dj + d2
2 (c2 + 62)
R=2r
275

^Мнальтшл п/юг/шжжа бтах/лшщх, и, фо^лсулаэс
Ромб
2 . 1
S = ah e a sin <х — « d1d2
ах = 2acos « d2 = 2asin «
1, 1 .
r ~ 2 2 aSU1 a
P = 4a
Трапеция
a a + Ъ г. l 1 J •
S = —g— • h = g d^sm ф
средняя линия MJV = 5 (a + b)
Произвольный выпуклый четырехугольник
а + р + у+8 = 360в
(ос, р, у, 8 — внутренние углы
четырехугольника) bi
a2 + b2 + c2 + d2=d2x +d22 +4m2
(т — отрезок, соединяющий
середины диагоналей)
Правильный многоугольник (и сторон)
центральный угол a = 360е: п
внешний угол р = 360е: п
внутренний угол у = 180* - р
ап = 2 л/л2 - г2 = 2J?sin ^
= 2rtg2
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Длина окружности
С = 2пг
длина дуги, соответствующая центральному
углу в п*:
Свойства хорд, секущих и
касательной
BS-ES = CS-DS
MB-MC = MD- ME
MA2 = MB-MC = MD-ME
Углы в окружности
ZBAC = g ZBOC
Площадь крута
АВАС = 180* -|ZBOC
с 2 <Г Cd
4 4
Сегмент и сектор
ос а ос
а = 2Д sin g ^ = 5 *в 7 У
площадь сектора: S>0ABC = ~ JFTa ^
площадь сегмента:
в
\1Х
О
R-
2 sin 5
г =
2tgg
«1 2, a 1 „2 . 1 2 х a
S = 5 nanr = nr *в о *" 2 n sin a * 4 na* g 2
^abc - ^0ЛВС - S0AC
МНОГОГРАННИКИ
Обозначения:
V— объем;
Sn0JIH — площадь полной поверхности;
S6oK — площадь боковой поверхности;
S0 — площадь основания;
Р0 — периметр основания;
Рх—периметр перпендикулярного сечения;
I — длина ребра; h — высота.
276

uiia
ттгеяштшса
Призма
5бок = ^Х*
V=S0-h
^полн "~ 2So + ^бок
прямая призма:
Параллелепипед
Sn0JIH = 2(a& + bc + ac)
V=abc
d2 = a2 + b2 + с2
Куб
5полн = 6а
V=a
d2 = За2
Пирамида
h
^^^^
1 ' /'
1 ,*
>
а
а
""•"""л
"^ С/
^
1
^
v-|se-
правильная пирамида:
(Р0 — периметр основания,
6 — апофема)
правильный тетраэдр:
= с27з
V =
Л/2
12
ft =
а72
7з
4
(R — радиус описанной сферы)
(г — радиус вписанной сферы)
усеченная пирамида:
где S1nS2 — площади
оснований
5бок e <si - s2>: cos «(а —
двугранный угол при ребре
нижнего основания)
Формула Эйлера
N-L+F=2
N — число вершин, L — число ребер, F — число
граней выпуклого многогранника.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Обозначения:
а — ребро,
V—объем,
S — площадь боковой поверхности,
R — радиус описанной сферы,
г — радиус вписанной сферы,
Н — высота.
Куб
V-a8
S=6a2
R=a-4
г=2
Н = а
Тетраэдр
„ aZj2
V =
S =
Д =
г =
Н-
12
■a2JZ
aj6
4
аТб
12
с«Уб
3
Октаэдр
v =
а3 Л
г =
ajb
L4z
277

чИпалыиья прюфсимжа ётш/лшщх, и, формулах,
Додекаэдр
ТГ а8(15 + 7 л/5)
S = 3c2V5(5 + 275)
Сл/ЗЦ + л/5)
Д =
г =
a*/lO(25 + 11л/5)
20
Икосаэдр
F =
5а3(3 + л/5)
12
S = 5a2JS
Д =
г =
ал/2(5 + л/5)
4
ал/3(3 + л/5)
12
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Цилиндр
^бок = 2яЛЛ
SaOJlB = 2nR2 + 2nRh
У = пЯ?}1
Конус
S6ok = nRl
nR(R + l)
V= gni^ft
усеченный конус:
fib»«ftf(lt+r)
S^-SeoK + ic^ + r2)
Г=|яЛ(Л2 + Лг+г2),
где Лиг — радиусы оснований
Шар
5сфеРы = 4*Л2 = Я<*2
Шаровой сектор
S - тсЛ (2А + а)
V =
2kR h
Шаровой сегмент
а2 = Л(2Д-й)
S6ok " 2лЛй = я(а2 + ft2)
Sn<Mm = к (2ДЙ + а2) = п (А2 + 2а2)
У=лЛ2(д- |1
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
НА ПЛОСКОСТИ
Расстояние между точками A{xv yt) и В(х2, у2)
^5 = J(*l " Х2>2 + (^1 - #2>2
Деление отрезка в заданном отношении
х =
дгх + Хх2
Г
#1 + *Jf8
1 + X ' * 1 + Л '
где АО^, уг) и В(х2, у2) ~ концы отрезка, точка
АС
С(х> у) делит АВ в отношении ^g = X
Координаты середины отрезка
хг + ^2
If-
У\ + ^2
2 * 2 '
где ACx^, ух) и В(*2> Уг)— концы отрезка
Уравнение прямой на плоскости
общее уравнение: ax + by + c = Q;
если а = 0, прямая параллельна Ох;
если Ь = О, прямая параллельна Оу;
если с = О, прямая проходит через начало
координат;
278

cMUi
ттъ&лштшш,
Уравнение прямой на плоскости
с угловым коэффициентом: у = kx + Ь
к — тангенс угла наклона прямой к оси Ох;
проходящей через заданную точку А (х0, у0):
У - Уо
= ft
х - х0
k — угловой коэффициент;
* . У
уравнение прямой в отрезках: - + ? в 1
а,Ъ — отрезки, отсекаемые прямой на осях;
проходящей через две заданные точки A(xv
ъВ(х2,у2):
Уг)
У - Ух
х - хЛ
Уг " У\ х2~ хг
Расстояние от точки (*0; у0) до прямой
ах 4- by 4- с = 0:
\а*о + Ьу0 + с\
№TV2
Взаимное расположение прямых
агх + Ъгу + с1=0и а2х + Ъ2у + с2 = 0
условие параллельности:
а1^2""а2&1 = 0
условие перпендикулярности:
а^а2 + 6^2 — 0
координаты точки пересечения:
*п =
&1С2 - &2С1
*xi/2
2V1
Уо =
а2С1 а1^2
а1&2 " а2&1
угол а между прямыми:
\агЪ2 - Og^l
smcc =
coscc =
4а\ + &i Va2 + &:
lflig2 + ЪМ
№ + &i JaJ + Ь
Взаимное расположение прямых
у = kxx + Ьх и у = 62* + &2
условие параллельности:
jfe^ftg
условие перпендикулярности:
«1^2 = ~~*
Взаимное расположение прямых
У = ftjJC + Ьг И у = fe2* + &2
координаты точки пересечения:
ь2 ~ ь\
X»-kt-k2;
угол а между прямыми:
tga
Уо-
ftl&2 " 6lft2
1 ~ *2
1 + ftjftg.
Уравнения кривых на плоскости
парабола:
у=*ах +Ьх + с
у2 - 2рх
2 2
гипербола: -5-9=1
а2 Ь2
окружность с центром в начале координат:
окружность с центром в точке (а; &):
2 2
эллипс: -g + -^ = 1 (а, & — полуоси эллипса)
а Ь
Формулы преобразования декартовых
координат
при параллельном пере- у А
носе:
х = х' + а у=у' + Ь
или
»-Ь
У i
0
ъ
1
у']
'о'
1
а
X
х'
при повороте вокруг начала координат на угол а:
х = х' cos a - у' sin a
у = х' sin a + у' cos а у'
или
л/ = х cos a + у sin a
у' = -х sin a + у cos a
У'
у\
У
k ^ '
'"о
1
А
*;-;
[ :» ^
\ >^*'
^\а .
\ X
У*х'
_
X
до

Чияомтаягфог/ш^л^цл^тш/лилщх
Полярные координаты
х = р cos ф у = р sin ф
р=л/*2 + /
tgф =
,=2
yf
У
0
- -А (р, ф)
1
I
* р = х
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Уравнение плоскости
общее уравнение:
ах + by + С2 4- d = 0;
а = 0, плоскость параллельна прямой Олг;
6 = 0, плоскость параллельна прямой Оу;
с = 0, плоскость параллельна прямой 02;
d = О, плоскость проходит через начало
координат;
а — 6 = 0,вплоскость параллельна плоскости яОу;
а = с = 0, плоскость параллельна плоскости xOz;
Ь = с = 0, плоскость параллельна плоскости уОг;
уравнение прямой в отрезках (а, 6, с — отрезки,
отсекаемые плоскостью на осях):
а Ь с
проходящей через точку А(х0, у0, zQ)
перпендикулярно вектору п (а, &, с):
а(х-х0)4-&(у-у0)4-с(г-г0)==0
Угол между плоскостями
a1x + bly + c1z + dl — 0 и а2х + &2У + с2;2: + с'2:=0
СОЭф =
| ага2 4- ЬгЬ2 4- с1с2|
/ 2 , .2 , 2 / 2 . , 2 , 2
л/а1 + е^ + сх ^а2 + о2 + с2
Условие параллельности двух плоскостей
**i ^i ci
<*2 Ь2 с2
Условие перпендикулярности двух плоскостей
аха2 + &i&2 + с^с2 = О
Расстояние от точки М0 (х0; у0; z0) до плоскости
ах + by + С2 4- d = О
I ах0 4- &у0 4- oz0 4- d\
о = . 1
/ 2 , .2 , 2
л/а + Ь + с
Уравнение прямой в пространстве
канонические уравнения прямой, проходящей
через точку MQ(xQ; y0; z0) параллельно вектору
s (/; т; п):
х - х0 у - у0 г - z0
I
т
п
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Щ (хг; ух\ zt)nM2 (x2; y2; z2):
х - хл
У - Ух
хг У г ~ У\
Z - 2,
Zo - Zy
уравнение прямой — линии пересечения
плоскостей:
(агх + bxy 4- cxz + dx — 0,
\а2х 4- Ь22/ 4- c2z + d2 = 0
Угол между прямыми
х - *! у ~ 1/х г - zt
U
771-1
Л,
И
х - х2 У ~ Уг * - Ч
U
771л
По
COS<p =
^Zg + 77t177l2 + 7l17l2|
ПГ"! Г"! 2 /X~ 2~
Wtj + TTlj + Tlj Wt2 + 77l2 + 71
Условие параллельности двух прямых
771]
77lo
Условие перпендикулярности двух прямых
1Х12 + тхт2 4- 7i]7i2 = О
х - хс
У - Уо
Угол между прямой —j— =
и плоскостью ах + by 4- сг 4- d = О
|aZ 4- Ьтп 4- стг|
Z - Zn
п
sin<p =
/ 2 . , 2 , 2 /,2 , 2~ 2
*Ja + b + с *Jl + тп +л
Условие параллельности прямой и плоскости
aZ 4- Ьтп + С71 = О
Условие перпендикулярности прямой и
плоскости
? = — = £
7 "~ тп п
^«б?

Jlta
тематика
Условие принадлежности прямой плоскости
(al + Ьт + сп = О,
\ах0 + by0 + cz0 + d — О
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Эллипсоид
2 2 2
2L + й- + 1.-1
а* Ъ* с*
Сфера
2 , 2.2 п2д
X +у + Z = R
Эллиптический параболоид
2 2
^2 + ^2 =2*
а2 б2
Гиперболический параболоид
2z х
У 2 2
Л2 Л2
а о
Однополостный гиперболоид
2 2 2
2^,2 2 А
а Ъ с
Двуполостный гиперболоид
2 2 2
2^.2 2 -1
а Ь с
Конус
2 2 2
а2 б2 с2
Гиперболический цилиндр
2 2
*-_£L=1
* а2 б2
Эллиптический цилиндр
2 2
2L + JL-1
2 i2
а о
Параболический цилиндр
у =*2рх
х
I
I
I
- Т
I
1- -
£S/

чИполмша nfbObfiOALMja ётш/лшцмо и фо^мдидоо
ВЕКТОРЫ
Координаты вектора с началом в точке A(xv yv
гг) и концом в точке В(х2, у2> г2):
АВ (х2 - xv y2 - yv г2 - гг)
Сумма векторов a (xv yv z1)nb(x2, у2, z2):
а + Ь = с (хг + х2, уг + у2, гг + г2)
Свойства сложения векторов:
а+Ъ = Ь+а (а + Ь) + с = а + (Б + с)
а + 0 = а а+(-а) = 0
Умножение вектора на число
X • a (jc, у у г) = с (Хх, Ху, Хг)
Свойства умножения:
(X\i)a = X(\ia) (X + \i) • а - Ха + \ш
Свойства проекций вектора на ось
лрх а — |а| • cos ф у
прх (а + 6) - прх а + прх 6
прх (Ал) = Хирх а
прха
Скалярное произведение векторов
a (*v yv z\)и & (*2> Уг> z2>:
_Л.
а • & = JCjXg + J/xJ/2 + z\z2 = 1а1 * 1*1" C0S (а> &)
Свойства скалярного произведения
~а-Ъ = Ъ-Ъ
а-а>0 а- а = |а|
а(& + с) = а-& + а-с
(Х^)& = Х(а&)
Длина вектора а (х> г/, 2):
Угол между векторами
a(*l.»l.«l)H5(X2»»2»e2):
а -6
cos(a, Ь)
51-И"
*1*2 + 0102 + *1*2
Г1Г~ Г~ 2 ГТ~ Г~ 2
V*i + 0i + 2i* V*2 + У г + 22
Условие коллинеарности векторов
a II 6 « jcx : х2 в У\: У2 ~ *i: z2 или
(#i — Хх2
Ух = ty2
1*1 = Л22
Условие ортогональности векторов
alb<=>a-& = 0 или хгх2 + ух у2 + z^g = 0
Векторное произведение векторов
c = [afc]
|с| = |а| • |&| sin ф
Свойства векторного произведения
[а Ь] = -[& а]
[(а + Ъ)с] = [ас] + [Ъс]
[(Ха)Ь] = Х[аЬ]
[ab] = 0 » a II ft
Смеша1Шое произведение векторов
(векторно-скалярное произведение):
~а-Ъ-~с = \аЬ\ с
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определитель второго порядка
а2 Ь2
= агЬ2 - а2Ьг
Определитель третьего порядка
аг ь1 ci
,-, /2,2~2
|а|= л/* + у + z
а2 Ь2 с2
а3 Ь3 сз
= а^Сд + Ьгс2аг + a263ci" с1&2аз ~~
&1а2с3 ~~ а1с2&3
,2&2

сЛгалт&лшлиша 4 фсАльилаоь
Основные свойства определителей
замена строк на столбцы:
аг Ьг сг
а2 Ъ2 с2
«з Ь3 с3
аг а2 аг
Ъг Ь2 Ь3
С1 С2 С3
перестановка двух строк:
аг Ъг сг
<*2 Ъ2 С2
«3 63 с3
= -
а2 Ь2 с2
аг Ъх сг
а3 Ь3 с3
вынесение общего множителя элементов строки:
аг Ьг сг
Ха2 hb2 Хс2
Н ьг сз
-А.
ai ьг ci
а2 Ъ2 с2
а3 Ь3 сз
нулевая строка {столбец):
аг Ъх сг
0 0 0
«з ьз сз
—
0 Ь1с1\
0Ъ2с2\
0 Ь3 с3
Основные свойства определителей
суммирование строк:
°1
«2
а3
Ьг
ь2
Ьз
с1
Ч
ч
S5S
а1 ^1 ^1 + ^1
«2 &2 с2 + ^а2
Л3 Ьз с3 + ^а3
сумма произведений элементов строки
{столбца) на их алгебраические дополнения:
аг Ъг сг
а2 Ь2 С2
а3 Ь3 сз
= аг
62 С2
63 с3
-*г
а2 С2
а3 С3
+ ct
«2 &2
Л3Ь3
сумма произведений элементов строки
{столбца) определителя на алгебраические
дополнения соответствующих элементов другой
строки {столбца):
= 0
&1с1
| Ь3 Сз
-V
а1с1
о3 с8
+ «Г
°1 ь1
аз 6з 1
пропорциональные строки:
«1
и3
°з
*i
ХЬ3
Ьз
ci
Хс3
сз
сумма элементов столбца {строки):
<*2 62 + &2 С2
«з Ъг+ Ъ3 С3
«1
а2
«3
*1
*2
Ьз
<Ч
с2
С3
+
2 &2 С2
Решение систем двух линейных уравнений с
двумя неизвестными
(агх + Ьгу - сг
\а2х + Ь2у = с2
ai ь1
«2 ь2
*0
х-
\егЬх
сг ьг
°i &i
°262
: у-
ахсЛ
а2с2|
°1 &1
°2 Ь2 1
5&J

Шпальшия nfiodfiaALMja 4таал1щаоо и фс^лъулаоо
СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Квадраты натуральных чисел от 11 до 99
1
2
3
4
5
6
7
8
[ 9
1
121
441
961
1681
2601
3721
6041
6561
8281
2
144
484
1024
1764
2704
3844
5184
6724
8464
3 |
169
529
1089
1849
2809
3969
5329
6889
8649
4
196
576
1156
1936
2916
4096
5476
7056
8836
5
225
625
1225
2025
3025
4225
5625
7225
9025
6
256
676
1296
2116
3136
4356
1 5776
7396
[^9216
7
289
729
1369
2209
3249
4489
5929
7569
9409
8
324
784
1444
2304
3364
4624
6084
| 7744
| 9604
9 |
361 |
841 |
1521 1
2401 |
3481 1
4761 1
6241 |
7921 1
9801 |
Кубы натуральных чисел от 1 до 10
X
X
1
1
2
8
3
27
4
64
5
125
6
256
7
343
8
512
9
729
10 |
1000 J
Простые числа от 2 до 997
Г 2
1 47
109
191
269
1 353
J 439
1 523
1 617
1 709
1 811
1^907
3
53
113
193
271
359
443
541
619
719
821
911
5
59
127
197
277
367
449
547
631
727
823
919
7
61
131
199
281
373
457
557
641
733
827
929
11
67
137
211
283
379
461
563
643
739
829
937
13
71
139
223
293
383
463
569
647
743
839
941
17
73
149
227
307
389
467
571
653
751
853
947
19
79
151
229
311
397
479
577
659
757
857
953
23
83
157
233
313
401
487
587
661
761
859
L 967
29
89
163
239
317
409
491
593
673
769
863
971
31
97
167
241
331
419
499
599
677
773
877
977
37
101
173
251
337
421
503
601
683
j 787
881
983
41
103
179
257
347
431
509
607
691
797
883
991
43
107 1
181 |
263 1
349
433
521
613
701
809
887
997 J
Степени чисел 2, 3 и 5
п
0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
2я
1
2
4
8
16
32
3я
1
3
9
27
81
243
5я 1
1 1
5
25 1
125 1
| 625
3125
1 п
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
L б
2"
64
128
256
512
1024
| 64
3я
729
2187
6561
19683
59049
729
5я 1
15625 1
78125 |
390625 |
1953125
9 765625 ]
15625
284

Jlia,
тематика
4фсА4шиаа&
п
п\
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
Факториалы
5
120
6
720
чисел от 0 до 10
7
5040
8
40320
9
362880
10 |
362880 |
X
ех
-3
0,05
-2
0,14
-1
0,37
Значения функции у =
1
2,72
2
7,39
3
20,09
X
е
4
54,60
-0,5
0,61
0,5
1,65
1/3 1
1,40 1
71
lgn«
1
0
2
0,30
Десятичные логарифмы
3
0,48
4
0,60
5
0,70
чисел от
6
0,78
1до10
7
0,85
8
0,90
9
0,95
10 |
1 J
1 п
1 In л*
1
0
2
0,69
Натуральные логарифмы
3
1,10
4
1,39
5
1,61
чисел от
6
1,79
1до10
7
1,95
8
2,08
9
2,20
10 |
2,30
Некоторые значения тригонометрических функций
Аргумент
0*(0)
»®
*т
»©
-©
-©
"G9
"GO
И¥)
Функция
sin a
0
7з - 1
2«/2
«/5-1
4
1
2
л/5 - л/5
2л/2
1
72
Л + 1
4
7з
2
л/5 + 75
272
cos а
1
7з + 1
272
75 + 75
272
7з
2
75 + 1
4
1
72
75-75
272
1
2
75-1
4
tga
0
2-7з
75-1
7ю + 275
1
7з
7ю - 275
75 + 1
1
75 + 1
7ю - 275
7з
7ю + 275
75-1
ctga |
не определен 1
2 + 7з
7ю + 275
75-1 1
7з
75 + 1
7ю - 275 |
1
7ю - 275
75 + 1 |
1 1
7з
75-1
7ю + 275
285

-шмль^ярогра^ьшигми^иус^^
Некоторые значения тригонометрических функций
Аргумент
"•(fi)
"00
Функция
sin a
Л + 1
272
1
cos а
Л - 1
272
0
tga
2 + 7з
не определен
ctga |
2-л/З
0
Правильные многоугольники
Число
сторон
1 п
3
4
6
8
12
Центральный
угод
a
60е
1 90*
120'
135*
150
Радиус
вписанной
окружности
г
аЛ
6
a
2
! а«Уз
2
а(1 + л/2)
2
g(2 + ,75)
2
описанной
окружности
R
аЛ
а
влУ2
\ а
аЛ + 272
2
a • а/2 + Л
Площадь
S
а2Л
4
а2
\ 6
2а2(1 + Л)
За2 (2 +Л)
Связь 1
между гиЛ
R = 2r
Л = Гл/2
За2Л
2
г я
- =С03§ =
72 + «/2
2
| г я
1 д^003!^
л/2 + л/3
2
Правильные многогранники
Название
Тетраэдр
| Октаэдр
Икосаэдр
Куб
(гексаэдр)
Додекаэдр
Число
ребер
6
12
30 ;
12
30
граней
4
8
20
6
12
вершин
4
б
12
8
20
S
а2Л
2агЛ
Ъа2Л
ба2
За2 75(5 + 27В)
V
а872
12
а3 72
3
^а3(3-75)
"'
3
^•(15 + 775)
286

Механика • Молекулярная физика и термодинамика
Электричество и электромагнетизм • Колебания и волны
Оптика • Квантовая физика

Физика в таблицах
1. Материальный мир
Микромир
Макромир
Мегамир
Пространственная
протяженность
<1(Г8м
1(Г84-1020м
>1020м
Основные
структурные элементы
Молекулы
Атомы
Элементарные частицы
Тела на Земле
Земля и другие планеты
Звезды
Гравитационные и
электромагнитные поля
Галактики
Гравитационные
и электромагнитные поля
Преимущественный тип
взаимодействия
Электромагнитное
Сильное
Слабое
Гравитационное
Электромагнитное
Гравитационное
Электромагнитное
2. Структура естественнонаучной картины мира
Идея
направленности
природных
процессов
х
Идея сохранения
Принципы симметрии
(однородность времени и пространства,
изотропность пространства)
Законы сохранения
Принцип относительности
Принцип причинности
Принцип соответствия
Принцип дополнительности
Дискретность вещества и поля
Корпускулярно-волновой дуализм
Второй закон
термодинамики
Понятие минимума
потенциальной энергии
Идея
периодичности
процессов
в природе
Периодический
закон
288

&>
ufytma & тгъси/лищах,
3. Физическая картина мира
Исходные философские
идеи и представления
Физические
теории
-► материя
-► движение
-► пространство и время
-► взаимодействие
Связи между
теориями
Классическая
механика
Статистическая
физика

Электродинамика
Квантовая
физика
1 1 1 1
1
1 Основание
Эмпирический
базис

Идеализированный объект
Система
величин
Процедуры
измерения
Ядро
Система
законов
Законы
сохранения

Фундаментальные
постоянные
г
Следствие
Объяснение
фактов
Практические
применения
Предсказания
нового
Интерпретация 1
Истолкование
основных
понятий и законов
Осмысление
границ
применимости
принцип
соответствия
принцип
симметрии
принцип
сохранения
принцип
относительности
-> принцип
дополнительности
-> принцип
причинности
-► диалектика
необходимости
и случайности
4. Основные физические теории
Теория
Механика

Электродинамика
Квантовая
механика
Область
пространства
1025-*-1(Г8м
(условно)
1025-kL(T17m
(условно)
1(Г8-*-1(Г13м
Типичные
объекты
Звезды,
планеты, тела
на Земле
Поле.
Волны.
Заряды
Атомы,
электроны в атомах
и молекулах
Тип
взаимодействия
Гравитационное.

Электромагнитное

Электромагнитное

Электромагнитное
Типичные явления
(процессы)
Движение в пространстве
макротел: звезд, планет,
кораблей, самолетов и т. п.
Существование электрических
полей.
Распространение волн. Свет.
Электрические токи.
Магнитные поля
Квантование энергии атомных
систем. Излучение и
поглощение света. Взаимодействие
атомов |
10—1323
289

ЬЬшальшия nhodhcMiMja &ma<Lttiufl'x, и фоАлш^шх
4. Основные физические теории
1 Теория
Квантовая

электродинамика
Теория
сильных и слабых

взаимодействий

Статистическая физика

Термодинамика
Область
пространства
10"8+1<Г18м
10~18+1(Г18м
1025-*-1(Г17м
1025-*-1(Г3м
(условно)
Типичные
объекты
Электроны.
Фотоны

Элементарные частицы
От систем
электронов до
систем звезд
Любые
макросистемы
Тип
взаимодействия

Электромагнитное
Сильное.
Слабое
Любое

Электромагнитное
Типичные явления
(процессы)
Взаимодействие фотонов и
электронов: тепловое
излучение тел, тормозное излучение,
эффект Комптона и др.
Взаимные превращения
элементарных частиц
Движение молекул в жидкости
и газе, радиоактивный распад,
плазма и др.
Теплопередача.
Работа
5. Структура и содержание механики
ОСНОВАНИЕ
ЯДРО
СЛЕДСТВИЯ
Понятия: механическое движение;
макроскопическое тело;
механическое состояние;
материальная точка;
системы отсчета (инерциальные и неинерциальные);
взаимодействие;
виды движения;
основные механические величины
Принципы:
дальнодействия;
суперпозиции;
относительности;
симметрии;
сохранения
Законы Ньютона всемирного
Законы для
сил: тяготения;
упругости;
сухого и жидкого трения
Законы сохранения: энергии;
импульса;
момента импульса
Основные
характеристики:
Объяснение явлений
природы и техники:
— поступательного движения;
— вращательного движения;
— колебательного движения
равновесия тел, невесомости, подъемной силы
крыла самолета, реактивного движения и др.
Использование колебательного и вращательного движений в технике
290

6. Структура и содержание кинематики
КИНЕМАТИКА
Что изучает?
Виды движения
Равномерное
►I Прямолинейное
w Средства описания
Неравномерное
Равноускоренное
С переменным ускорением
Основные понятия:
материальная точка;
механическое движение;
системы отсчета;
координата, перемещение;
скорость, ускорение;
период, частота;
амплитуда, фаза;
угловая скорость;
угловое ускорение;
циклическая частота
Законы движения:
v = const, х = Xq -f vxt
a = const
vx = uQx + axt
axt
x = x0 + v0xt+-z-
Криволинейное
Равномерное движение
по окружности
Ускоренное движение
по окружности
Численные методы расчета:
v2 , 2 2d 4к2Д
ацс= д =47Cviг==г-^Г
a= Ja
+ а
цс "к
Вращательное
Равномерное вращение
Вращение с ускорением
со = Ф
v = соЯ
|е = со' =
а = еД
м Колебательное
Гармонические колебания
Негармонические колебания
ах - -со х
х = *Mcos(co* + ф)
Численные методы расчета
291

Шшкльшия пАогбажмл ётаалии/ах и фоклшмьх
7. Графики движений
Равномерное движение
Скорость

Ускорение

Перемещение

Координата
Формула
-> 3
у==7
3=0
s = vt
х = х0 + uxt
График
»х
0
ах\
0
*х|
0
Х\
*0
0
t
t
^^
t
^
t
Равноускоренное движение
Формула
v = v0 + at
а=—г
s = v0t + -у
х = х0 +
axt2
График
a ТТ vq
vx
VQx
0
ax
0
^
t
t
«x<
0
xi
xo\
0
j
t
^y
t
a ti Vq
Ух
Vox
0
<*x
0
Sx
0
X
xo
0
V
t
K~\
t
/-~\
V
8. Движение с ускорением
Взаимное направление
скорости и ускорения
Постоянно ли ускорение:
а) по модулю
б) по направлению
Формула скорости
Формула ускорения
Формула координаты
Вид движения
Равноускоренное прямолинейное
движение
По одной прямой (в одну или
противоположные стороны)
а) постоянно
б) постоянно
V = Vq + at
- 3 - 5о
а=——
\ а/
x = x0 + vQxt+ —
Равномерное движение
по окружности
Под прямым углом друг к другу
а) постоянно
б) изменяется
v= —
Т
! х = Rsm-jrt
у = R cos у t
292

ufyutta 4тгьаолищах,
9. Структура и содержание динамики
ДИНАМИКА
Что изучает?
Средства описания
Причину изменения скорости
(ускорения)
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Основная (прямая)
задача механики:
определение механического
состояния в любой момент
времени
Основная (обратная)
задача механики:
установление законов
для сил
Основные понятия:
масса; сила;
инерциальная система
отсчета;
механическое состояние
Законы динамики:
Первый закон
Ньютона:
постулат о существовании
инерциальных систем
отсчета, в которых
свободное тело движется
равномерно и прямолинейно
либо покоится;
Второй закон
Ньютона:
а =
т
Третий закон
Ньютона:
^12 = ~^21
Законы для сил:
тяготения F = G
171л Ш<
1™2
упругости Fx = -kx;
трения
тр
■\xN
293

ииюльшия nficdfiOJUAUi 4 тпси/мщах, и фсАлшьлах
10. Законы Ньютона
Физическая
система
Модель
Описываемое
явление
Суть закона
Примеры
проявления
Границы

применимости
Первый закон
Второй закон
Макроскопическое тело
Материальная точка
Состояние покоя или
равномерного
прямолинейного движения
Существование
инерциальной системы
отсчета (если IF = 0, то
v = const)
Движение космического
корабля вдали от
притягивающих тел
Движение с ускорением
Взаимодействие
определяет изменение
скорости, т.е. ускорение
aas m
Движение планет,
падение тел на Землю,
торможение и разгон
автомобиля
Третий закон
Система двух тел
Система двух материальных
точек
Взаимодействие тел
Силы действия и
противодействия равны по модулю,
противоположны по
направлению, приложены к разным
телам, одной природы
**12 = ~*21
Взаимодействие тел: Солнца
и Земли, Земли и Луны,
автомобиля и поверхности
Земли, бильярдных шаров
Инерциальные системы отсчета.
Макро- и мегамир.
Движение со скоростями, много меньшими скорости света
11. Движение тел под действием силы тяжести
Начальные условия
Начальная
координата
1
V0=h
1 yo=h
Начальная скорость
2
У|
С
У
с
1'
) X
*||'
) X
Описание движения
Формулы
3
v = -gt
v = -v0 - gt
у= h- v0t -~-
Траектория
4 1
У
h
С
У
h
С
У//7///'///////у,х 1
у/////У////////,Х 1
294

£Puuuca 4т/юалшщх
11. Движение тел под действием силы тяжести
Уо = 0
и-
Ц> 1 g
v = v0-gt
о
У|
*тпах|
Q//////////'y,,X
У0=0
3>
О
ух = и о cos a
Уу = Vq s^n а~" 8t
х = VQt cos а
gt2
у = u0f sina-у
О • /,л'--//у////,х
VQ=h
Yi
*o
О
"ж"
V
X =
J/ =
= -gt
■■ v0t
h T
y0 = Л8 + Л
u0 = 8 км/с
ux = vq cos a
uy = Vq sin a
2я
x = (Д3 + Л) sin ■=■ t
у = (i?3 + A) cos у *
£95

12. Силы в механике
Название
силы
Сила
тяготения
Сила
упругости
Сила
трения:
а) сухого;
б) жидкого
Природа

взаимодействия

Гравитационная


магнитная


магнитная
Формула
для расчета
силы
т Л2
Fx = -kx
Fvp=№
* сопр в ауотн
^сопр - Р^2ОТН
Зависимость
силы от
расстояния или
относительной
скорости
Является
функцией
расстояния между

взаимодействующими телами
Является
функцией
расстояния
(зависит от
деформации)
Является
функцией скорости
относительного
движения иотн
Зависит ли
сила от массы

взаимодействующих
тел
Прямо

порциональна массам

взаимодействующих
тел
Не зависит
Не зависит
Как
направлена
сила
Вдоль
прямой,
соединяющей

взаимодействующие тела

Противоположно
направлению
перемещения
частиц при
деформации

Противоположно
направлению
вектора
скорости 50тн
Сохраняет ли
сила свое значение
при переходе
j из одной
инерциальной
системы отсчета
j в другую
Сохраняет, так как
расстояние R не
изменяется
Сохраняет, так как
деформация х не
изменяется
Сохраняет, так как
модуль
относительной скорости иотн
не изменяется
Каковы условия
применимости
| формулы
Материальные
точки или
сферически
симметричные шары
Достаточно
малая величина
деформации х
Формула
**тр = W
выполняется
приближенно,
так как сила
сухого трения
зависит от
скорости. При
жидком трении
до определенной
скорости
используется 1
формула
^сопр ** ауотн 1
и затем
^сопр в ри2отн

SPwbiuta 4тси£л(щаа>
13. Статика
Изучает условия равновесия твердых тел
ВИДЫ РАВНОВЕСИЯ
Безразличное
kff
nig
Неустойчивое
<?/<
nig
СРЕДСТВА ОПИСАНИЯ
Модель тела в статике — абсолютно твердое тело.
Связь — препятствие движению тела: поверхность, веревка и т. д.
Реакция связи — сила, действующая на тело со стороны связи, по нормали к направлению
возможного перемещения.
,/Л
if
£
*
//
, Wi
\Л
'//.'//;'/////#>
Момент силы: М = ±Fd,
где d — плечо силы.
♦ F
Особый случай:
2Ж = 0
Fi + F2 + f 3 + ••• = 0 — первое условие равновесия тела.
Mi + М2 + М3 + ... = 0 — второе условие равновесия тела.
Принцип минимума потенциальной энергии
Устойчиво то положение тела,
в котором его потенциальная энергия имеет
наименьшее значение из всех возможных
297

Шшмькая праг^ильа, & таалии/гх, и, еЬс^ъмшах,
14. Сила, работа, энергия
Формула
График
Формула
График
о*
ф
я
и
о
н
л
ф
«
о
W
ф
а
о
ft
О
О
Ф
Ен
Сила тяжести
FT=mg
mg\
Работа силы
тяжести
А = FS cos a
F = тп^; S - А
а= 0;А = mgh
Потенциальная
энергия
Кинетическая
энергия
Ек
^к =
/пи
- mg(H - h)
Полная энергия
E-mgh + 'lf =
= mgH
Н
Н h
о
о
ч
о
1
ф
ч:
t=t
о
н
«
о
ф
VO
ф
о
о
ф
Сила упругости
И
Работа силы
упругости
Я
А-
Лх,
хг
ftjCo
:*2
Потенциальная
энергия
р -kx*
Кинетическая
2
_, mv
энергия Ек = -у-
-4 <**-*!>
Полная энергия
£ =
*х*
fcjti
I
ДП,
*гХ
^ЩЩгХ
*2Х
*2Х
15. Законы сохранения в механике
Закон
сохранения
Закон
сохранения
импульса
Закон
сохранения
энергии
Закон
сохранения
момента
импульса
Какова
математическая
запись закона
Ътг> = const
f I,mvx = const
•< TLrtiVy = const
I Imu2 = const
1
<
^к + En = const
f 2
mv , .
-л—Ь tfigft = const
2 .2
771У , ftjC ,
"2" + ~2~ = COnst
L = const
/со = const
mvr = const
В каких
системах 1
отсчета
выполняется
закон
В инерци-
альных
В инерци-
альных
В инерци-
альных
Какие требования
предъявляются к
внешним силам,
действующим
на систему тел
IF = 0
2А = 0
5Ж = 0
Какими должны
быть внутренние
силы, действующие в!
системе тел
Любыми
Консервативными
(потенциальными)
( силы тяготения
1 силы упругости
Любыми
Известны ли
случаи
нарушения
законов
сохранения
Нет
Нет
! Нет
298

SPwbima ётпаалш(дос
16. Гидро- и аэростатика
Общие свойства
жидких и
газообразных тел
1. Способность как угодно изменять свою форму под действием сколь угодно
малых сил.
2. Жидкости и газы ведут себя как упругие тела в отношении деформации
всестороннего сжатия и растяжения.
3. Для всякой площадки в жидкостях и газах существует только нормальное
dF
напряжение р = -т-, называемое гидростатическим давлением.
4. Величина гидростатического давления в данной точке жидкости и газа
одинакова для всех направлений площадки
Закон Паскаля
(1663)
Давление на поверхности жидкости, произведенное внешними силами,
передается жидкостью одинаково во всех направлениях
Закон Архимеда
(III в. до н. э.)
На всякое тело, погруженное в жидкость (или газ), действует со стороны этой
жидкости (или газа) выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом
жидкости (или газа), направленная вертикально вверх и приложенная к центру
тяжести вытесненного объема
Принцип отвердения F& = Fy
1 1
Ш^-
^_-
- __—.=^
=——
(j
>^_~—. _._|
fp^=i^z-^—, ;:—4j
>
г
j
Р2=Р1 + Ро8Ь
Условие
равновесия FA = mg
Устойчивое равновесие
Неустойчивое рагновесие
Барометрическая формула
для изотермической атмосферы
р ^Poe-Posh/r0
Ро Р
299

^Мкольшия пбогбамАШ &твшлищсих, и фоАьЛАлрлсих,
17. Гидро- и аэродинамика
Основные понятия гидро-
и аэродинамики
Линии тока — линии, касательная к каждой точке которой указывает
направление скорости потока.
Стационарный поток — поток, при котором линии тока совпадают с
траекториями отдельных частиц.
Токовые трубки — поверхность, образованная линиями тока.
Скорость жидкости (газа) во всех точках одного и того же сечения
одинакова
Модель
При стационарных течениях жидкости (и даже газы) можно считать
несжимаемыми жидкостями, т. е. мы не пренебрегаем изменениями
давлений, обусловленными изменениями степени сжатия, но
пренебрегаем изменениями объема
Уравнение
неразрывности струи
—7h^—ч^ 1 ^
Am = const
Slyl = S2V2
Уравнение Д. Бернулли
(1738)
pgh + p-n" +P = const
P2
P / 2 24
Реактивное движение
Fp = -iLU
Движение тел в жидкостях и газах
Сопротивление трения
F ~rv
Сопротивление давления
F~t*v2
Vk
При v < vK F ~ v
При и > vK F~v2
Подъемная сила крыла
самолета
Ry — подъемная сила
Rx — сила лобового сопротивления
300

SPufyutca £ таамщааь
18. Гармонические колебания
N°
Формулы
Графики
х = хм cos Ш
q =qM cos со*
*>Я
x' = v = -jcmco sin со*
q' = i = "^м03 s^n ю*
jc = a = -*M© cos ©*
q" *= -gMco2 cos ©*
2 2
EK = —2~^ sinzcof
Ямам 2"^ sinzGrf
Ek>Em
z
4
2
4
5Г *
4
Яп =
2 2
m© x„
cos2©*
2 2
•Бэл= —у-2-cos2©/
^П » -Щм
4
51
2
ЗГ
4
5Г t
4
2 2
7П© Х„
Е = Е + Е = —
2 2
m© gM
4
2
ЗГ
4
ЪТ t
4
56?/

Шпальшия nfiosficLAUAia 4тгшолшлрой и фс/ълшиаос
19. Классификация колебаний
Тип
колебаний
Свободные
Вынужденные

Автоколебания

Параметрические
Каковы условия
возникновения колебаний
Колебательная система (КС)
при наличии
первоначального запаса энергии
Любая система при
наличии внешнего,
периодически изменяющегося
воздействия
Автоколебательная система
(AKC) при наличии
внешнего источника энергии
Колебательная система (КС)
при периодически
изменяющихся параметрах КС
Чем определяется
период колебаний
Собственными
параметрами КС. Г = 2я /^;
Т = 2п Е; Т = 2тс JbC
Частотой внешнего,
периодически
изменяющегося воздействия
Собственными
параметрами КС
Собственными
параметрами КС
Чем определяется
амплитуда колебаний
Начальными условиями
Амплитудой внешнего
воздействия, соотношением
частот "внешн ^собств»
диссипативными
потерями энергии в КС
Параметрами АКС
(ее нелинейностью)
Соотношением частоты
изменения параметров
КС с ее собственной
частотой
20. Классическая и релятивистская механика
Физические идеи,
понятия, законы
Принцип
относительности
Закон сложения
скоростей
Длина
Промежуток
времени
Импульс
Классическая
механика
Во всех инерциальных системах
отсчета механические явления
протекают одинаково
(при одинаковых начальных условиях)
v = v0 + v'
Абсолютна 1 = Iq
Абсолютен х = То
р = mv
Релятивистская
механика
Во всех инерциальных системах
отсчета все явления протекают
одинаково (при одинаковых начальных
условиях)
50+D' 1
v — / I
с2 |
Относительна 1 ~ 1$ /1 —j
1 ОтТТОРТГГР 7ТРТТ Т —————— 1
j°~ * И
-* mv
Г А: 1
302

JPu&iuea & таолилщх,
20. Классическая и релятивистская механика
Физические идеи,
понятия, законы
Второй закон
Ньютона
Энергия
уединенного тела
Кинетическая
энергия тела
Классическая
механика
F = та
U — внутренняя энергия
Релятивистская
механика
F*ma
Е - _5?.1.
Е и
2
При v « с Е = тс2 + ^~-
ЕК*=*Е — Eq
При i; « с Ек= —рг-
21. Структура и со�