П. Ф. ФИЛЬЧАКОВ
СПРАВОЧНИК
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
«ПАУКОВА ДУМКА»
КИЕВ —1974

517(083)
Ф57
УДК 510; 518
В справочнике излагаются основные вопросы
аналитической геометрии на плоск<?сти, дифферен-
циального и интегрального исчисления, теории
степенных рядов и их приложения к решению не-
линейных и линейных дифференциальных уравне-
ний, а также теории функций комплексного пере-
менного.
Весь материал иллюстрируется большим коли-
чеством рисунков и графиков, а также многочис-
ленными примерами, доведенными до числовых ре-
шений. Кроме того, в каждом из основных раз-
делов приведены краткие исторические сведения.
Справочник рассчитан на студентов, преподава-
телей, инженеров и аспирантов, а также на лиц,
желающих самообразованием пополнить свои зна-
ния по высшей математике.
Редакция справочной литературы
Зав. редакцией 10. Г. Абанина
Ф
«*03-123	,9,_74
М 221 (04) — 74
ПРЕДИСЛОВИЕ
В предлагаемой вниманию читателей книге излагаются ос-
новные вопросы аналитической геометрии на плоскости, диф-
ференциального и интегрального исчисления, а также теории
функций комплексного переменного, т. е. тот круг вопросов
высшей математики, который необходим для студентов и аспи-
рантов технических профилей. К сожалению, в настоящее вре-
мя все эти вопросы рассредоточены по многим источникам, что
существенно затрудняет их изучение.
Более подробно, чем в распространенной учебной литерату-
ре, рассматриваются рекуррентные формулы для выполнения
алгебраических действий над степенными рядами и формулы
численных квадратур, которые позволяют с любой наперед за-
данной степенью точности определять числовые значения инте-
гралов, включая и те случаи, когда рассматриваемый интеграл
не выражается в явном виде через элементарные функции, а
также методы решения нелинейных конечных систем алгебраи-
ческих и трансцендентных уравнений как в действительной об-
ласти, так и в области комплексной. Учитывая ту роль, кото-
рую играют дифференциальные уравнения в самых различных
теоретических и прикладных вопросах, в девятой главе, после
краткого изложения простейших типов дифференциальных урав-
нений, более подробно освещены вопросы применения степен-
ных рядов к интегрированию обыкновенных нелинейных и ли-
нейных дифференциальных уравнений и их систем. При этом
рассматриваются задача Коши (т. е. задача с начальными ус-
ловиями), краевые задачи й задачи по определению собствен-
ных значений.
В связи с переходом в ближайшие годы средней школы
к новым программам, в справочнике предпринята попытка устра-
нить существующий разрыв между элементарной и высшей ма-
тематикой, что будет представлять интерес для учителей,
студентов и аспирантов пединститутов, а также для учеников
старших классов.
Наряду с этим часть материала, а именно: решение конеч-
ных систем алгебраических и трансцендентных уравнений, ал-
гебраические действия над степенными рядами, применение
рядов к решению нелинейных дифференциальных уравнений
и т. д., выходит за рамки существующих программ техничес-
ких вузов, так что он будет полезен для аспирантов и науч-
ных сотрудников, интересующихся прикладной математикой.
Предисловие
Весь материал иллюстрируется большим количеством рисун-
ков и графиков, а также многочисленными примерами, доведен-
ными до окончательных числовых результатов.
Для того чтобы активно усвоить все изложенное в книге,
читатель обязательно должен продублировать рассмотренные
примеры. Этой же цели служат и упражнения, приведенные
в большинстве параграфов и в конце каждой главы. Ответы
и указания к этим упражнениям даны в конце книги. Однако
часть упражнений оставлена без ответов, для того чтобы по-
мочь читателю выработать навыки самоконтроля. К сожалению,
в практической работе при решении самых различных техничес-
ких задач в большинстве случаев готового ответа не сущест-
вует, и поэтому надо уметь найденный результат проверить
самостоятельно.
В заключение автор выражает глубокую благодарность ака-
демику АН УССР Ю. А. Митропольскому, с которым был об-
сужден ряд идей, положенных в основу данной книги.
Автор также искренне благодарит члена-корреспондента АН
УССР А. Н. Боголюбова, профессора Н. М. Матвеева и доцен-
та Ф. П. Яремчука за ряд ценных советов и замечаний, кото-
рые позволили улучшить изложение материала.
Все критические замечания и пожелания, направленные по
адресу: Киев-4, ул. Репина, 3, издательство «Наукова думка»,
будут приняты с признательностью.
Март 1971 г.	Автор
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Аналитическая геометрия—это раздел математики, в котором
изучают свойства геометрических объектов (точек, линий, по»
верхностей и тел) средствами алгебры и математического ана-
лиза при помощи метода координат.
Сущность данного метода заключается в том, что геометри-
ческим объектам сопоставляются уравнения или их системы,
так что геометрические свойства фигур выражаются в свойст-
вах их уравнений. Благодаря этому аналитическая геометрия
объединила геометрию с алгеброй и математическим анализом,
что плодотворно сказалось на развитии этих трех разделов
математики.
В предлагаемой книге мы ограничились изложением основ
аналитической геометрии на плоскости, усвоив которые чита-
тель сможет самостоятельно перейти к изучению аналитической
геометрии в пространстве, воспользовавшись, например, руко-
водствами Н. В. Ефимова [39], А. В. Погорелова [103] или
И. И. Привалова [110], в которых краткость и доступность из-
ложения удачно сочетаются с его полнотой и математической
строгостью.
Глава I
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
§ 1. Основные понятия. Метод координат
В элементарной (школьной) геометрии изучаются свойства прямолинейных фи-
гур и окружности (в разделе планиметрия), а также прямые и плоскости в про-
странстве, многогранники и круглые тела — цилиндр, конус, шар (в разделе сте-
реометрия). Основную роль при этом играют построения, а вычислениям отводится
роль вспомогательная. Выбор того или иного построения для каждого конкрет-
ного случая требует обычно индивидуального подхода и соответствующей изобре-
тательности, что и составляет основную трудность при решении задач методами
элементарной геометрии.
Аналитическая геометрия и была призвана устранить эти трудности и создать
единый метод решения различных геометрических задач. Поставленная цель была
достигнута разработкой координатного метода, в котором основную роль играют
вычисления, выполняемые по заданным формулам, а построения имеют вспомога-
тельное значение.
Необходимые предпосылки для создания метода координат были подготовлены
еще трудами древнегреческих математиков, в особенности Аполлония Пергского
(’Лт.оХЛш-лос о Пгр^аюс, ок. 260—170 до н. э.). Однако систематическое развитие
этот метод получил в первой половине XVII века в работах Рене Декарта и Пье-
ра Ферма.
Рене Декарт (Rene Descartes, 1596— 1650) — знаменитый французский фи-
лософ, математик, физик и физиолог. Родился в г. Лаэ (департамент Турень)
в дворянской семье. В 1629 г. поселился в Голландии, где написал большую
часть своих работ. Умер в Стокгольме, куда переехал в 1649 г.
В физике Декарт установил закон преломления света на границе двух сред
(который несколько раньше и независимо от него был сформулирован В. Снеллиу-
сом), пояснил образование радуги. Ему же принадлежит формулировка закона сохра-
нения количества движения (в скалярной форме) и разработка механистической гипо-
тезы образования тел Солнечной системы. В области физиологии Декарту принадле-
жит большое число экспериментов и ряд плодотворных научных идей, в частности,
ои первым ввел понятие о рефлексе.
В 1637 г. Декарт издал большой философский трактат «Рассуждение о мето-
де. С приложениями: Диоптрика, Метеоры, Геометрия» (русский перевод, Гостех-
издат, М., 1953), в котором, в частности, систематически изложен метод прямоли-
нейных координат, введена удобная алгебраическая символика, сохранившаяся до
наших дней, выполнена классификация кривых на алгебраические и трансцен-
дентные, а также даны способы построения касательных и нормалей к плоским
алгебраическим кривым. Благодаря этой работе, которая оказала большое влияние
на дальнейшее развитие математики, Декарта, наряду с его не менее знаменитым
соотечественником Ферма, и считают основоположником аналитической геометрии,
а 1637 год — годом ее зарождения.
Пьер Ферма (Pierre de Fermat, 1601 — 1665) —известный французский
математик. Родился в городке Бомон-де-Ломань, вблизи Монтобана, на Тарне
(приток Гароны). По профессии юрист,, с 1631 г. был советником парламента в
г. Тулузе. Один из творцов теории чисел, в которой ему принадлежит несколь-
ко важных результатов, в частности так называемые большая и малая теоре-
мы Ферма. В физике ему принадлежит основной принцип геометрической оптики,
согласно которому свет всегда распространяется между двумя точками по такому
пути, для преодоления которого необходимо затратить минимальное время. Боль-
шое внимание Ферма уделял также разработке основ дифференциального исчис-
ления и аналитической геометрии. Он раньше и более последовательно, чем
Декарт, разработал метод координат, 'а также вывел уравнение прямей и линий
второго порядка. Но основные работы Ферма, в том числе и по аналитической
геометрии, были опубликованы только в 1679 г. после его смерти сыном Самю-
элем под заглавием «Различные математические работы д-ра Петра де Ферма,
§ 1. Основные понятия. Метод координат
7
выбранные из его писем или к нему
написанных по математическим вопросам
и по физике ученейшими мужами на
французском, латинском или итальянском
языках». Наиболее полное собрание сочи-
нений Ферма в трех томах издано видным
специалистом по истории математики По-
лем Таппери в Париже в 1896 г.
Дальнейший существенный вклад в раз-
витие этой пауки внесли Исаак Ньютон
(I. Newton, 1642—1727), Готфрид Виль-
гельм Лейбниц (G. W. Leibnitz, 1646—
1716) и Леонард Эйлер (L. Euler, 1707—
1783), которые придали ей современную
структуру. Сам термин аналитическая
геометрия был предложен И. Ньютоном.
Перейдем к изложению метода коор-
динат, ограничиваясь при этом только дву-
мерным (плоским) случаем.
Прямую линию, на которой указано
положительное направление и единица
масштаба (т. е. отмечены точки 0 и 1),
называют числовой осью. На числовой оси
каждому действительному числу соответ-
ствует одна и только одна точка. Возьмем
на плоскости две числовые оси, пересе-
кающиеся под прямым углом (рис. 1). Точку
их пересечения будем считать началом от-
счета для обеих осей и обозначим ее буквой
О (от латинского origo — начало; отсюда
и «оригинал», т. е. первоисточник, начало).
Вертикальная ось Оу называется осью
ординат или осью у, а горизонтальная
Ох — осью абсцисс или осью х. Всю
плоскость эти две оси разбивают на че-
тыре части, называемые квадрантами.
Каждый квадрант имеет свой номер, как
показано на рис. 2. Любую точку М плос-
кости можно определить двумя числами —
расстояниями этой точки от координатных
осей. Эти числа называются координатами
данной точки. Число х называется абсцис-
сой точки М, число у — ее ординатой. Так,
например, на рис. 3 точка Мг опреде-
ляется координатами х = 3; у — 2, или со-
кращенно (3; 2), причем па первом месте
всегда ставят абсциссу х, а на втором —
ординату у.
Точки Mi (3; 2) и М2(— 3;2), у которых
ординаты совпадают, а абсциссы разнятся
только знаками, называются точками, сим-
метричными относительно оси у. Если
представить, что вдоль оси у установлено
зеркало, то отражение в нем точки Мг дает
точку, ей симметричную. В общем случае
координаты точек Мг (х^, yt) яМ2 (х2- у2)
будут связаны соотношениями
Рене Декарт.
Пьер Ферма.
*ц = — х2; yi = y2.
8
Глава I. Уравнение прямой
Аналогично точки (3; 2)
оси х.
В общем случае координаты
соотношениями
и М4 (3; — 2) симметричны относительно
точек Мг (хх; yj и (х4; </4) будут связаны
Xi = xt; У! = — у^	У
//
квадрант
(-5+)
III
кбадрант
(-Н
I
кбадрант
(+!+)
IV
кбадрант
(*Н
Рис. 2.
О
Наконец, точки Afx (х^ yj и М3 (х3; у3) с координатами, удовлетворяющими условиям
Xi = —х3; yi = — у3
(сформулируйте эти условия словами), называются симметричными относительно
начала координат или центрально симметричными.
Упражнение 1. Построить точки, симметричные относительно осей и нача-
ла координат к точке М (5; 4), а также к М (—3; 5). В каких квадрантах они
расположатся?
Обратимся снова к точке М± (3; 2) и начнем изменять ее координаты, сохра-
няя неизменной абсциссу х = 3, т. е. рассмотрим ряды точек (3; 2), (3; 3), (3; 4),.,
	У	<	(3;4)
л	3	1	(з.-з) М;(3;2)
	1	<	(3:1)
	-2 -1 0 •	1 2 3 • <	(3iQ) (3:-1)
А	2 М3(-3;-2) -3			_	М^(3:-2)
Рис. 3.
и (3; 2), (3; 1), (3; 0), (3; —1), ... (рис. 3). Как видим, точка с изменением
только ординаты у перемещается параллельно оси у.
У пражнсиие 2. Постройте систему координат и точку М (3; 2). Изменяй-
те ее абсциссу х, сохраняя постоянным у = 2. Проследите, как будет перемеща-
ться исходная точка Л4(х; у). Проделайте то же для какой-либо иной точки.
Из этих упражнений можно сделать следующие выводы.
Координаты независимы одна от другой, и изменение одной из них не влияет
на другую.
§ 2. Задачи, связанные с точкой
9
Каждой паре чисел (х; у) отвечает одна и только одна точка плоскости и, об-
ратно, каждой точке плоскости отвечает одна и только одна пара чисел (х; у),
или, как принято говорить в математике: точке на плоскости можно поставить
во взаимно однозначное соответствие пару чисел (xi у) —ее координат.
Упражнения
3. Определить координаты точек А, В, С, D, Е, F, G (рис. 4).
4. Построить точки с координатами (4; —5), (—8; —6), (5; 5), (0; 4), (—2;0)>
(—3,2; 5,4), (0; 0), (6; 7), (—1,4; 2,3).
5.	Какие знаки будут у координат про-
извольной точки 11 квадранта? IV квадранта?
6.	Какую абсциссу имеют точки оси ор-
динат? Какие координаты имеет точка 0 —
начало координат?
7.	Построить точки, симметричные отно-
сительно точки М (—4; —3).
Как приложение метода координат для
определения местоположения точки, рассмот-
рим такой пример.
Местоположение люка подземного кабеля
или водопровода определяют координатами,
нанесенными на табличку, укрепленную где-
либо на видном месте, считая саму табличку
началом координат (рис. 5). Это особенно
удобно зимой, когда земля покрыта снегом
и найти люк другим путем становится за-
труднительно.
Рассмотренная система координат называет-
ся декартова прямоугольная система коорди-
нат. Существуют также полярные, косоуголь-
ные, биполярные и некоторые другие коорди-
наты, к чему мы вернемся в дальнейшем.
Рис. 5.
ГКИМЗ
§ 2. Задачи, связанные с точкой
Решим теперь методом координат некоторые наиболее типичные задачи, связан-
ные с точкой. •
Задача 1. Определить расстояние г от начала координат точки Л4(х; у) за-
данной своими координатами (рис. 6).
Решение. Данная задача сводится к вычислению гипотенузы прямоугольно-
1X3 треугольника*, катеты которого | х | и | у |. Согласно теореме Пифагора
= х2 + уг,
। х |*^®с ®е интересуют знаки координат х и у, поэтому мы взяли их абсолютные величины
10
Глава I. Уравнение прямой
или	______
г аж Ухг + уг>	(1.1)
причем значение корня берется арифметическое, т. е. только со знаком плюс*.
Задача 2. Найти расстояние между двумя точками (xf, yt) и М2 (х2; у2),
заданными своими координатами (рис. 7).
Реше ние. В данном случае катеты треугольника М±М2Р будут | х2 — Xj|
и |Уа —1/11> так что**	____________________
= + У(х2 — Xj)2 + (у2 У])г •	(1.2)
Заметим, что точки М± и М2 могут лежать в любых квадрантах, т. е. знаки
у *1, л;2, Ух, у2 могут быть как положительные, так и отрицательные. Таким об-
разом, одной формулой (1.2) охвачены все частные случаи взаимного расположе-
ния точек.
Пример 1. Найти расстояние между точкой Л+(5; —2) и симметричной ей
относительно начала точкой М2 (— 5; 2).
Решение. Согласно формуле (1.2) имеем
г12 = /[(—5) —(+ 5)]« + [2 - (- 2)Р = /160 + 4 « 10,2.
Упражнения
1.	Найти расстояния от начала координат до следующих точек (8; 3), (—8;
3), (2; 7), (0; 5), (—3,1; 4,8).
2.	Определить, какие из заданных точек лежат дальше, а какие ближе к на-
чалу координат: (5; 5), (—4; —6), (2; 3), (—7; 1), (— /?Т +/б).
3.	Найти расстояния между такими парами точек:
(2; 4),	/Л (3; —2),	(Р (—3,8; 4,5),
\М2(5; 8),	\В (—4; —7),	\Q (6,7; —7,3).
4.	Треугольник задан координатами своих
вершин Л(1; 1), В (4; 1), С (1; 5). Определить
длину его сторон.
Задача 3. Отрезок задан координатами
своих концов (jq; t/J и М2 (х2; у2). Найти
точку М(х\ у), которая делит данный отрезок
на части, пропорциональные числам тип
(рис. 8).
Решение. Будем считать, что отрезок
имеет т единиц (см, дюймов, аршин), а
отрезок ЛШ2 — п таких же единиц. Интере-
сующие нас формулы найдем из подобия пря-
моугольных треугольников MxM2N2 и MYMN
(у которых стороны MN и Л42Л'2 параллельны оси Оу, а следовательно, и между
собой):
Х2 —Хх _ X — Хх
т-[-п ~ т '
Решив это уравнение относительно х, имеем
х=^.1..+ ^	(1.3)
в__________ п + т	4 '
* Все основные формулы будем нумеровать, пользуясь двойной нумерацией, в которой пер**
вая цифра означает номер главы, а вторая — текущий номер формулы.
Значки, относящиеся к буквам, называются индексами. По-латыни index зтичит указа-
тель, Индексы не следуеу путать с показателями степени, Выражения yi2 Л4Я читаются:
игрек два, эм один, эм три. Одинаковые буквы с разными индексами (х0, xlt х,, ха, х&) при-
меняют вместо разных букв для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет об аналогичных, но
в то же время разных величинах. Так, например, ylt уг> уЛ — все эти величины являются иг-
реками— ординатами и откладываются по оси у. Но они относятся к разным точкам этой оси.
Величины, обозначаемые разными буквами, ио с одинаковым индексом, относятся к одной и той
же точке: М4 — обозначение некоторой точки М =	(х4; у4), xt — ее абсцисса, уЛ — ее ордината.
В тех случаях, когда надо подчеркнуть, что рассматриваемая величина зависит от двух (или
нескольких) , других величии, ставят два (или несколько) индексов. Например, (читать
ер один два, а не эр двенадцать) — расстояние между точками н
§ 2. Задачи, связанные с точкой
11
и, аналогично,
»У1 + ту2
v п-\-т '
(1.3')
В частности, для координат середины отрезка, для которого т = п, формулы
упрощаются и принимают следующий вид:
_ Х1 4~ х2
2	’
_ У1 + У2
2	1
(1.4)
Применение этих формул покажем на двух примерах: одном из механики, а
другом из геометрии.
Отметим, что в задачах механики материальное тело часто заменяют одной
надлежащим образом выбранной точкой, которой приписывается вес всего тела.
Например, при расчете траектории искусственного спутника Луны ракета, Солнце,
Земля и Луна рассматриваются как материальные точки.
Пример 2. Точка (4; —2) весом 5 кг и точка М2 (4; 6) весом 3 кг со-
единены стержнем, весом которого можно пренебречь. Найти центр тяжести этой
системы.
Решение. Из механики известно, что центр тяжести делит весь отрезок на
части, обратно пропорциональные весам точек, т. е. здесь т = 3 и п = 5. В та-
ком случае для центра тяжести имеем
5.4+3.4	.	5 • (—2) 4-3-6	.
..~5+~Т~ = 4’ У =-----------5ТЗ------= L
Пример 3. Доказать, что диагонали парал-
лелограмма взаимно делятся пополам.
Решение. Возьмем произвольный параллело-
грамм и примем одну из его вершин за начало
координат, а ось х направим по его основанию.
Координаты остальных его, вершин выразятся не-
которыми тремя независимыми числами а, Ь, с
(рис. 9). Для требуемого доказательства надо най-
ти середину каждой диагонали и убедиться, что
это одна и та же точка. В результате докажем
теорему геометрии при помощи одних алгебраичес-
ких вычислений.
Рис. 9.
Действительно, для средней точки Р (х; у) диагонали ОВ
х =
а 4- b
— У =
с
2
и точно так же для середины диагонали АС
а 4- Ь с
х=2> У = Т
Упражнения
5.	Найти, при каком значении b параллелограмм (рис. 9) обратится в прямо-
угольник, и проверить справедливость доказанной теоремы и в этом случае.
6.	Найти координаты точки М (х; у), делящей отрезок между точками А (2; 3)
и ° (6; 13) в отношении 3:1.
те 7. Решить эту же задачу, взяв отрезок, расположенный симметрично относи-
s.	Найти координаты середин сторон треугольника АВС, заданного координа-
тами своих вершин А (—2; 1), В (3; 5). С(3; —2).
12
Глава I. Уравнение прямой
9.	Выполнить то же самое для треугольника А (0; 4), В (—2; 3), С (—2; —3).
Есть ли в этом треугольнике вершины, симметричные относительно оси?
В заключение решим еще две задачи на вычисление площадей, которые выпол-
няются также алгебраическим путем.
Задача 4. Определить площадь S фигуры, ограниченной отрезком, соединя-
ющим точки (хх; yj) и Л42 (х2; у2) ординатами его концов и осью х (рис. 10).
Решение. Рассматриваемая фигура есть трапеция. Ее площадь
S = hm.
Рис. 10.
Рис. 11.
В данном случае h = х2 — xlt а т есть ор-
дината средней точки отрезка М^з, т. е.
Следовательно,
5=	(У1 +	(1.5)
Задача 5. Определить площадь тре-
угольника АВС, зная координаты его вер-
шин.
Решение. Задачу легко привести к
предыдущей, если рассматривать площадь
треугольника как разность суммы площадей
А'С'СА и С'В'ВС и площади трапеции
А'В'В А (рис. 11). В таком случае, вынося
общий множитель -i- за скобки, имеем:
5 =	[(*3 — xi) (0з +01) +
+ (х2 — *з) (02 + Уз) — (х2 — «1) (!/з +01)1-
Выполнив несложные преобразования, этой
формуле легко придать следующий вид:
5 = У I U1 — Х3) (У2 — У3) — (х2 — Х3) (f/j — уз) |
(1-6)
или, переходя к определителям второго порядка (см., например, [110, гл. VI, § 1J
или [161, стр. 236J),
S= -F-lpi- Хз У1~ Уз|	(1.7)
— 2 [ х2 — х3 у2 — Уз | '
Площадь треугольника всегда считаем величиной положительной. Поэтому пе-
ред определителем берем знак плюс, если значение определителя положительно,
и минус, если оно отрицательно. С этой же целью в формуле (1.6) применен знак
модуля (который надо отличать от совпадающего с ним по начертанию знака оп-
ределителя).
Пример 4. Найти площадь треугольника с вершинами А (2; 1), В(—3; —2)
и С (—1; 4).
Решение. Приняв точку А за первую вершину, В за вторую и С за третью,
имеем (рис. 12)
I *i —	0t —• 0з I	I 2+1	1 — 411 3—31--------18 —6 = —24
|х2-*з 0з-0з1 1-3+1 -2-4| |—2—6[
§ 3. График функции у = ах-\-Ь
13
Тогда, взяв в формуле (1.7) знак минус, находим
S = -l.(-24) = +12.
Если же считать первой вершиной А, второй С и третьей В, то
I *1 — хз у,. — у31	I 2 3 1 -ф- 21	|
1 хг — хз Уз — Уз I	I —1 -ф* 3 4 -Ф* 2 |	J
В формуле (1.7) теперь надо взять знак
плюс, и получим прежний результат
5= 12.
Упражнения
10.	Решить пример 4, приняв точку С за
первую вершину, А за вторую и В за третью.
11.	Определить площадь Л АВС, у которого
А (2; 1), В (8; 2), С (4; 5).
Наиболее простой вид формула (1.7) прини-
мает, если одна из вершин треугольника совпа-
дает с началом координат. Например, если вер-
шина Л43 имеет координаты
х3 = 0, у3 = 0,
то площадь треугольника представляется следующей формулой!
30 — 6 = 4-24.
(1.8)
§ 3.	График функции у = ах + b
Согласно определению функции каждому значению независимой переменной х
соответствует определенное значение функции у, которое в нашем случае легко вычис-
лить*. Эту пару соответственных чисел х и у можно изобразить, пользуясь методом
координат, одной точкой (ж; у) на плоскости хОу, и эта точка наглядно покажет,
в каком именно числовом соответствии находятся функция и ее аргумент. Если
же нанести достаточное количество таких точек и соединить их непрерывной ли-
нией, то получим графическое изображение рассматриваемой функции, или, короче,
ее график.
Для большей наглядности возьмем какую-либо конкретную функцию рассмат-
риваемого типа, например
у = 2х — 3,
и вычертим ее график. Результаты вычислений расположим в таком виде:
X		—2	—1	0	1	2	3	4	5	. • .
у = 2х — 3	. . .	—7	—5	—3	—1	1	3	5	7	
Здесь мы задавали х произвольно и вычисляли соответствующий ему у. Мно-
готочия показывают, что этот процесс, можно продолжить в обе стороны беспре-
дельно. Точно так же, при надобности, можно вычислить еще сколько угодно
* Более подробно понятие функцнональ ной завнснмостн, которое является одним из основ-
ных математических понятий, рассмотрим в $ 24»
14
Глава /. Уравнение прямой
промежуточных точек, как, например, это сделано ниже для значений между едини-
цей и двумя:
X	1.0	1.2	1,4	1,6	1.8	2,0
у = 2х — 3	-1.0	-0,6	-0.2	0,2	0,6	1,0
Построим теперь, воспользовавшись декартовой системой координат, вычислен-
ные точки и, приложив линейку, убедимся, что все они легли на одну прямую,
которая и является графиком функции у = 2х— 3 (рис. 13).
График любой функции типа у = ах~&Ь строим
подобным образом. Все эти графики будут изобра-
жаться различными прямыми, в силу чего функция
у -- ах 4s- b
называется линейной функцией.
Однако при этом возникает законное сомнение: до-
статочно ли строг и убедителен такой метод, каким
мы пользовались?
Можем ли мы утверждать, что если, к примеру,
17 построенных точек легли на одну прямую, то и
следующая, 18-я, точка ляжет на ту же прямую?
Ведь сколько бы ни продолжать процесс, мы не мо-
жем быть абсолютно уверены, что следующая точка
будет вести себя так же, как предыдущие, уже про-
веренные, точки.
Необходимую строгость можно получить, только
доказав, что всякая точка графика линейной
функции у = ах + b (т. е. всякая точка, координаты
которой связаны этой функциональной зависимостью)
попадает на одну и ту же прямую. Такое доказа-
тельство проведем в общем виде, оставляя буквенные
коэффициенты а и Ь.
Как известно, прямая вполне определяется двумя
своими точками. Это позволяет провести доказатель-
ство так: возьмем только две какие-нибудь точки графика нашей функции и прове-
дем через эти точки прямую, а затем возьмем произвольную точку, которая долж-
на принадлежать графику рассматриваемой функции, и докажем, что она обяза-
тельно попадет на ту же прямую.
Зададим такое значение х, чтобы соответствующий у был равен нулю, для чего
решим уравнение
ах + b = 0.
В результате получим точку графика с координатами
которая на рис. 14 обозначена как точка А.
Возьмем произвольную точку графика, например точку с координатами хг, yv
Ее принадлежность графику означает, что уг и хг — не произвольная пара чисел,
а что у1 — ах1 + Ь (точка Вх на рис. 14). Наконец, возьмем еще одну точку гра-
фика (точка Ва) с координатами х2 и уг = ах2 + Ь.
Соединим попарно точки А, Вг и А, В2 прямыми. Надо показать, что линия
АВ1В2— одна прямая, а для этого достаточно показать, что углы с вершиной
в точке А, т. е. / В1АС1 и / В2АС2, равны между собой. Этот же факт выте-
§ 4. Уравнение прямой линии
15
кает из подобия треугольников В^С^А и В2С2Л (в подобных треугольниках соответ-
ствующие углы равны).
Чтобы обосновать последнее утверждение, вспомним тот признак подобия тре-
угольников, согласно которому треугольники подобны, если они имеют по равному
углу и если стороны, заключающие эти углы, соответственно пропорциональны.
Так как Д АС1В1 имеет прямой угол при вершине Сп а Д АС2В2 имеет прямой
угол при вершине С2 (по самому построению координатной системы), то остается
показать, что
В& : СгА = В2С2: С2Л.
Но по построению и согласно уравнению у = ах-[-Ь
СгА = Х1 — ОА = хг —	= х.4- — = ах'+Ь = Л.
\ а / 'а а а
В2С2: С2А = у2:	= а,
что и требовалось доказать.
Лишь теперь можно утверждать, что графиком любой линейной функции,
т. е, функции вида
У — ах + Ь,
является прямая линй.я. Это обстоятельство очень упрощает построение графика
линейной функции. Достаточно в любом случае вычислить только два значения
этой функции yL и у2, соответствующие двум значениям аргумента, которыми
задаемся произвольно (*! и х2), а затем через полученные две точки (xii yt)
и (xi> Уг) провести прямую линию. Заметим, что эти две точки непрактично брать
слишком близкими одна к другой (понижается точность построения) и что для
контроля чертежа его проверяют еще по одной-двум дополнительно вычисленным
точкам.
Упражнение, Построить график функции у = 4х — 11 и решить графи-
чески уравнение 4х—11=0, для чего надо только найти точку х0, в которой
построенная прямая пересекает ось абсцисс.
§ 4.	Уравнение прямой линии
Из предыдущего параграфа следует, что с каждой линейной функцией связана
вполне определенная прямая линия — ее график. Эта прямая делает наглядным ход
изменения функции. Геометрия в этом случае помогает алгебре. Однако и алгебра
может сослужить службу геометрии, если поменять роли функции и ее графика
и идти не ог функции к графику — линии, а от заданной линии к соответствующей
Функции, т. е. к функции, для которой данная линия является графиком.
Поясним этот подход на примере все той же прямой линии, поставив такой вопрос:
как найти функцию, для которой данная прямая является графиком, и всегда ли
это возможно?
16
Глава I, Уравнение прямой
Рассмотрим частный случай, когда прямая проходит через начало координат
(рис. 15). Затем все полученные результаты распространим на общий случай. Будем
искать ту зависимость, которая существует между координатами каждой точки
М (х; у), лежащей на данной прямой. Возьмем ряд точек прямой М (х\~у),	(х,‘, t/i),
М2(х2; у2), М3(х3; у3), ... и рассмотрим треугольники OMN, OM1N1, OM2N2,
0M3N3, ... Все эти треугольники подобны (что возможно лишь в том случае, когда
рассматриваемая линия есть прямая), так что
У _ У1 _ Уз _ Уз ___
х xt х2 х3 ' ’
для всякой точки М (х; у), лежащей на
нашей прямой. Обозначив эту постоянную
буквой k, получаем необходимое условие
у = kx', fe=tga. (1.9)
Но является ли это условие достаточ-
ным*, т. е. будут ли точки, координаты
которых удовлетворяют условию (или урав-
нению) у = kx, лежать на одной и той же
прямой?
Ответ на этот вопрос был дан в § 3:
так как у = kx есть частный случай ли-
нейной функции у = ах ф Ь, то графиком
ее является прямая, т. е. все точки, коор-
динаты которых связаны условием у = kx,
лежат на одной и той же прямой, в дан-
ном случае на прямой, проходящей через
начало координат.
Таким образом, условие (1.9) является одновременно необходимым
а достаточными может быть сформулировано так: для того чтобы точка
М(х; у) лежала на данной прямой, необходимо и достаточно, чтобы координаты
точки М (х; у) удовлетворяли условию (7.9).
Подведем итог: если прямая проходит через начало координат, то линейная
функция у — kx дает зависимость, существующую между координатами любой
точки на прямой, и поэтому уравнение (1.9) называется уравнением
прямой, проходящей через начало.
С другой стороны, всякое уравнение типа у — kx может быть рассмотрено
как уравнение прямой, проходящей через начало координат, что и было подчерк-
нуто названием линейного уравнения.
§ 5.	Уравнение с угловым коэффициентом.
Формулы параллельного переноса координат
В уравнении (1.9) х и у являются координатами любой точки прямой, или, как
их образно называют, текущими координатами, а величина k = tg а характеризует
прямую в целом, определяя угол ее наклона а к оси х. При этом, поскольку две
прямые образуют между собой два разных угла, мы будем понимать под углом
наклона а угол, образованный положительным направлением прямой (т. е. направ-
лением, соответствующим росту х), как это показано на рис. 15 стрелкой, и осью
х. Исследуем, как изменяется х с изменением угла а. Для этого начнем вращать
прямую вокруг неподвижной точки 0, уменьшая угол а, образованный прямой
с положительным направлением оси х. Поскольку k не зависит от положения точки
* Не всякое необходимое условие является также в достаточным. Проиллюстрируем это на
таком нематематическом примере. Необходимым условием возможное гн полета самолета является
его исправность. Но этого еще не достаточно, надо самолет заправить горючим, маслом, надо
иметь подходящие стартовое поле, метеорологические условия и т. д. Только наличие совокуп-
ности этих условий обеспечит возможность полета.
§ 5- Уравнение с угловым коэффициентом
17
М на прямой, будем эту точку брать все время с одной и той же абсциссой х
(рис. 16). Тогда по мере уменьшения угла а уменьшается и ордината у (yi< у),
а с ней и k =	, так как х выбран постоянным. Когда прямая займет положение
оси х, то у, а следовательно, и k обратятся в нуль. Продолжая вращение дальше,
получим отрицательное k (уг <Z 0), и вместе с тем угол в также станет отрица-
тельным. (Угол считают положительным, если он образован вращением прямой
против часовой стрелки, и отрицательным — при вращении по часовой стрелке.)
Величина k, характеризующая наклон
прямой, называется угловым коэффициен-
том прямой или ее уклоном. Численно
угловой коэффициент k равен tga, как
это было отмечено в формуле (1.9).
При этом определенному значению k
отвечает одна единственная прямая, про-
ходящая через начало. Вся же совокуп-
ность прямых, проходящих через начало
координат и соответствующих всем воз-
можным k, образует так называемый пу-
чок прямых.
Нашим исследованием не охвачен слу-
чай, когда прямой является сама ось у.
В этом случае х = 0 вдоль всей оси и
. у	„	,
k = теряет числовой смысл, обраща-
ясь в бесконечно большую величину k = со. Но
себе уравнением осн у.
С алгебраической (пли, как чаще говорят, аналитической) точки зрения, функция
у = kx является функцией прямой пропорциональности, где k есть коэффициент
пропорциональности. Это находится в полном соответствии с тем, что функция
у = kx есть уравнение прямой — общей стороны подобных треугольников (рис. 15).
На практике часто пользуются понятием уклона, для того чтобы охарактери-
зовать положение прямой, т. е. степень ее наклона к горизонтальной плоскости.
Так, профиль пути (шоссейного или железнодорожного) можно полностью охарак-
теризовать указанием величины k и длиною участка, на котором k практически
сохраняет постоянное значение. В пределах каждого такого участка путь считаем
прямолинейным.
В качестве примера начертим
k = 0,12
k = 0,20
k = 0,05
k = 0
k = — 0,17
k = 0,16
условие к = 0 является само по
профиль пути, определенный такими данными:
участке
»
»
»
»
»
участок, т. е. провести прямую с уклоном
2,0 км
3,2 км
5,3 км
7,2 км
12,4 км
О —
2,0 —
3,2 —
5,3 —
7,2 —
12,4 — 15,0 км
на
»
»
»
»
»
Для того чтобы изобразить первый
12
£ = 0,12 = у^д, откладываем от начала координат по оси х 100 произвольных
единиц, в конце этого отрезка восставляем перпендикуляр высотою в 12 таких
же единиц и полученную точку соединяем с началом. Другими словами, мы должны
построить прямоугольный треугольник с катетами 100 и 12. Тогда его гипотенуза
	
0	5	10	15 w К
Рис. 17.
18
Глава I. Уравнение прямой
будет иметь уклон k = 0,12 по отношению к катету 100. Остальные участки
строим аналогично. Весь профиль пути изображен на рис. 17, причем положитель-
ным значениям k соответствуют подъемы, а отрицательным k — спуски. При k=0
путь идет горизонтально.
Упражнения
1.	Определить k, если известно, что точка, которая продвинулась на 500 м,
получила превышение над начальной точкой, равное 7, —5 и 13,2 м.
2.	Вычертить профиль пути, для которого
k = 0,18	на	участке 0—	2	км
k = 0	»	»	2 —	3	км
k =—0,13	»	»	3—	5	км
k = 0	»	»	5 —	8«л<
k = 0,07	»	»	8—12	км
3.	Начертить какой-либо профиль пути, со-
стоящий из прямолинейных участков, а затем
определить для каждого участка k, измерив на
рисунке необходимые для этого величины.
Прежде чем переходить к общему случаю
прямой, выведем необходимые для дальнейше-
го изложения формулы параллельного переноса
координат*.
Примем в системе координат хОу, которую
будем называть старой системой, какую-либо
точку О* (а; Ь) за начало координат новой си-
стемы х* О* у*, оси которой идут параллельно
старым осям, и найдем, как связаны между
собой координаты произвольной точки М, от-
считанные в старой хОу и повой х* О* у* си-
стемах (рис. 18).
Обозначим старые координаты точки М (х; у),
а новые снабдим звездочками (х*; у*). Тогда
согласно рис. 18 получаем
х=а + х*. </=&+«/*•	(1.Ю)
Формулы (1.10) выражают старые координа-
ты через новые при параллельном переносе
осей координат в точку (а; Ь). Решив их отно-
сительно новых координат
х* = х — а, у* = у — Ь, (1.11)
получим формулы для определения новых координат по старым, где а и Ь, как
и прежде, суть координаты нового начала в старой системе. Сформулируйте эти
формулы словами.
Величины а и b могут быть как положительными, так и отрицательными, так
что сложение и вычитание в формулах (1.10) и (1.11) следует понимать в алгебраи-
ческом смысле.
Упражнения
4.	Написать формулы параллельного переноса для а = — 5, b = 3.
5.	Даны точки: (7; 2), (—5; — 10), (0; 3), (—2; 0) (7; —8), (4; 1). Найти их
координаты в новой системе, для которой первая точка (7; 2) служит началом.
6.	Найти расстояние между каждой парой точек в старой и новой системах.
Изменится ли оно?
7.	Решить задачу 2 § 2 и вывести формулу (1.2), воспользовавшись равенством
(1.1) и формулами параллельного переноса координат.
• Более подробно формулы преобразования координат, одним из частных случаев которого
является параллельный перенос осей, мы рассмотрим в § 18.
§ 6. Общее уравнение прямой
19
Рассмотрим общий случай, когда прямая отсекает на оси у какой-то отрезок b
(рис. 19).
Примем точку пересечения прямой с осью у за начало координат новой системы.
Координаты этого начала в старой системе будут (0; Ь). Ось х* направим парал-
лельно оси х, сохранив прежним положение оси ординат.
Отмечая звездочками текущие координаты прямой в новой системе, можем
записать ее уравнение так:
у* = kx*.
Формулы перехода в нашем случае (а = 0, b = Ь) будут
х* = х, у*= у — Ь.
Поэтому уравнение прямой в старой системе приобретает вид
у — b=kx,
или
у = kx + b.	(1.12)
Это и есть уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Обратите внимание на то, что преобразование параллельного переноса не изме-
нило величины k (коэффициента при х), чему соответствует вполне очевидный
геометрический факт: параллельный перенос не изменяет угла наклона. Величина Ь,
как мы уже видели, есть отрезок, отсекаемый на
оси у прямой. Если х = 0, то у = Ь, поэтому b можно
назвать начальной ординатой.
Если в уравнении (1.12) зафиксировать k, т. е.
сохранять его постоянным, а b придавать всевозмож-
ные значения, то получим систему прямых, парал-
лельных между собой, с одним и тем же уклоном k
(рис. 20). Такую систему называют пучком параллель-
ных прямых.
Таким образом, положение прямой на плоскости
можно полностью определить ее уклоном k и точкой
оси у, через которую прямая проходит. Последнюю
задаем начальной ординатой Ь. Для данной прямой k
и b постоянны и называются в силу этого парамет-
рами, т. е. характеристиками прямой. Величины же х
и у являются переменными — текущими координатами
точек прямой.	Рис. 20.
Упражнения
8.	Определить, какой отрезок на оси у отсекает прямая у = Зх -ф- 7.
9.	Написать уравнение прямой, для которой k = 5, b = —2; k =	, b = 12.
§ 6. Общее уравнение прямой
Уравнение y = kx-[-b имеет один недостаток. Оно не охватывает собой урав-
нение оси ординат х — 0 и, следовательно, всех прямых, параллельных этой оси,
х = а, где а— некоторая постоянная величина (расстояние прямой до оси ординат).
Этот недостаток можно устранить, перейдя к обратной функции, т. е. решив наше
уравнение относительно х:
х=^(У—Ь).
Теперь роль аргумента играет у, а х является функцией, и когда угловой
коэффициент -% будет равен нулю, мы получим уравнение прямой х = 0,
т. е. уравнение оси ординат. Но при этом снова выпадут из рассмотрения прямые,
•20
Глава I. Уравнение прямой
параллельные оси абсцисс, и сама ось абсцисс. Причина этого кроется в том, что
роли х и у в каждом из приведенных уравнений различны, в то время как геомет-
рически обе координаты совершенно равноправны.
Таким образом, мы либо должны рассматривать оба уравнения у = kx b
и х = (у — Ь) одновременно, либо рассматривать уравнение первой степени
с двумя неизвестными в общем виде
Ах -Ь By + С = 0,	(1.13)
где А, В, С — постоянные величины, не равные нулю все одновременно.
Это уравнение- охватывает собой обе формы уравнений с угловым коэффициен-
том, т. е. представляет все без исключения прямые на плоскости. Действительно,
если В Ф 0, то, решив (1.13) относительно у
А С
У~ ТГ* В
и обозначив в нем
= -4 = &;	с1 2-14)
D	D
мы сведем уравнение в общем виде к уравнению с угловым коэффициентом
у = kx ф Ь.
При В = 0 в уравнении (1.13) у может быть совершенно произвольным, так
как его влияние на уравнение уничтожается (аннулируется) коэффициентом В = 0.
Следовательно, уравнение в общем виде при В = 0
У .	принимает вид Ах ф С = 0, или
Х=0 х~а	с
у.ь	х=-- = а,
Рис. 21.
т. е. представляет прямую, идущую параллельно
оси у на расстоянии а от 'нее (рис. 21). Если,
кроме того, С = 0 (тогда и а = 0), то мы полу-
чаем уравнение оси у, на которой всюду х = 0.
Как видим, случаи, не охваченные уравнением
у = kx -f- b, получаются из общего уравнения при
частных допущениях относительно его коэффи-
Аналогично при А = 0 получаем
циентов.
у = -^ = ь.
у В
т. е. прямую, параллельную оси х и идущую на расстоянии Ь от нее, а у = 0
есть уравнение оси абсцисс. При С = 0 имеем Ах + By = 0, или
А
У = — ~вх = kx<
и мы приходим к рассмотренному выше уравнению прямой, проходящей через
начало.
Упражнения
1. Начертить прямые: х = 7\ у = 3х; у= — 2.
2. Написать уравнение оси у, прямой, идущей параллельно оси х на расстоянии
пяти единиц от нее.
В общем случае, если надо построить прямую, заданную уравнением Ах ->
•ф By ф С = 0, прежде всего определяем для нее k к b согласно формулам (1.14).
§ 7. Уравнение прямой в отрезках
21
После этого можно провести через точку (0; Ь) прямую с уклоном, соответствую-
щим найденному k. Все построение выполняется угольником и линейкой.
Можно построить прямую при помощи одной только линейки, так как прямая
определяется двумя точками, и вопрос сводится к построению таковых. Коорди-
наты же точек прямой легко определить, задавшись каким-либо значением одной
из координат и вычислив из уравнения прямой вторую координату.
Пример. Построить прямую, заданную в общем
виде
8х 4- 5р — 20 = 0.
Решение. Пусть х = 2, тогда
8  2 + — 20 = 0,
откуда соответствующая выбранному х ордината
4
0=5=0,8.
эти точки и
Следовательно, одна точка нашей прямой будет (2; 0,8).
Для определения второй точки можно взять либо
иной х, либо какой-то у. Возьмем, например, у = — 4.
Тогда
8х — 5-4 — 20 = 0
и х = 5, т. е. вторая искомая точка (5; — 4). Наносим
их прямой (рис. 22).
Упражнения
3,	Построить следующие прямые:
а) Зх4-4р — 12 = 0; б) 7х — 5у — 15 = 0; в) — х 4-Зу Ф 8 = 0; г) у =
= 0,5х + 6; д) у = х; е) у = — 2х — 3.
4.	Определить угловой коэффициент k и начальную ординату b прямых:
а) — 8x4-40— 15 = 0; б) 7х — 2у— 8=0.
Указание. Заданные уравнения надо привести к виду (1.12).
5.	Не вычерчивая прямых
— Зх 4- 5у — 10 = 0,
Зх 4-	— 10 = 0,
определить примерно, как они расположены на плоскости.
Указание. Привести уравнения к виду с угловым коэффициентом (1.12).
§ 7.	Уравнение прямой в отрезках
Прямую линию по ее уравнению можно строить более экономным способом,
если воспользоваться тем, что одну из координат можно выбирать произвольно.
Действительно, принимая для первой точки х = 0, из уравнения
Ах + By 4- С = 0
С	с
находим у = —д-. Далее положим у = 0 и находим х --------— координаты
второй точки. Обе эти точки лежат на осях и поэтому величины
С	С
-----~А ‘ Ь=~Т	(1Л5>
называются отрезками, отсекаемыми прямой на осях. Отложив на осях найденные
отрезки, проводим прямую NP (рис. 23).
Отрезки на осях могут быть приняты в качестве параметров прямой, т. е.
величин, которые своими числовыми значениями характеризуют и выделяют одну
22
Глава I. Уравнение прямой
определенную прямую из множества всевозможных прямых. Для этого возьмем
уравнение в общем виде (I.I3) и, разделив его па-С (считая, что С /= 0),
получим
Но из определения отрезков (1.15) следует, что--
1	В I
= —;-----yr = -г >	так что
a	G Ь
уравнение примет вид
y + f=I.	(Мб)
известный
ванием,
отрезок
а
Ь,
как уравнение в отрезках.
Уравнение (1.16) можно вывести и непосред-
ственно, геометрическим путем. Для этого най-
дем связь текущих координат (х; у) произволь-
ной точки М прямой с параметрами а и Ь,
рассмотрев площадь S треугольника NPO(pnc. 23).
Как площадь прямоугольного треугольника, она
равна полупроизведепию катетов:
с аЬ-
s-y
С другой стороны," эту же площадь можно вы-
разить через х и у. Для этого разобьем наш
треугольник на два треугольника линией ОМ.
Для треугольника ОМР отрезок а будет осно-
у — высотой; для треугольника NM0 соответственно основанием будет
а высотой — х. Тогда
с _Ьх. о	аУ
1 ллОмр — ~2
а так как S^N0M -ф- S^0Mp — S^Np0, то получаем
bx ay _ ab
Т + Т- Г'
.Отбросив общий знаменагель и разделив все уравнение на ab, мы и приходим
к уравнению (1.16). Но при геометрическом выводе параметры а и Ь, как стороны
треугольника, могут быть только положительными, а поэтому надо еще доказать
справедливость полученного уравнения для всех возможных а е 0,	0, чего
вовсе не требует вывод аналитический, где а и Ь — любые действительные числа,
знак которых зависит от того, в какую сторону от начала координат отклады-
ваются отрезки а и Ь.
Пример. Написать уравнение прямой, отсекающей па осях отрезки а = — 3}
b = 4.
Решение. Подставляем в формулу (1.16) данные значения л и & и получаем
Упражнения
1. Определить отрезки на осях, отсекаемые прямой
4х — 5у — 20 = 0,
и записать ее в виде (1.16).
2. Написать уравнение прямой, для которой а = —2, Ь = —3. Привести его
затем к виду с угловым коэффициентом и определить k и Ь.
§ 8. Уравнение пучка прямых
23
§ 8. Уравнение пучка прямых. Уравнение прямой,
проходящей через две данные точки
Выведем еще два важных вида уравнения прямой, часто встречающиеся при
решении задач аналитической геометрии, а именно: уравнение пучка прямых, про-
ходящих через данную точку М1(х1-, у J, и уравнение прямой, проходящей через
две данные точки Мг (jq; у^} и М, (х2; </2).
Первое уравнение получим, исключив Ь из уравнения прямой с угловым коэф-
фициентом
у = kx 4- b.
Точка (*t; уг) принадлежит прямой, следовательно,
У1 = kx2 Ь.
Вычтя из первого равенства второе, находим
т. е. уравнение всех прямых, прохо-
дящих через точку Мг (Xf, yj. Сово-
купность всех этих прямых и образует
искомый пучок. Неопределенный пара-
метр k, который входит в уравнение
пучка, меняет свое численное значение
при переходе от одной прямой пучка
к другой, так что, задав k, мы выде-
ляем из этого пучка одну определен-
ную прямую.
Уравнение прямой, проходящей че-
рез точки М1(х1\ уг) и М., (х2; у2),
получим из пучка, проходящего через
точку ML (х1-, уг), уравнение которого
Рис. 24.
У — У1 = * (х — Xj).
Так как точка Л42(х2; у2) принадлежит искомой прямой, то
Уг — У1 = * (-4 — х1)-
Разделив первое уравнение на второе, исключим k:
У — У1 _ x — xi
Уг У1 хг — Х Xl1
(1.18)
и тем самым выделим из пучка одну прямую, проходящую через вторую данную
точку М,.
Уравнение (1.18), так же как и уравнение в отрезках (1.16), есть частный случай
общего уравнения прямой (1.13). Если xL = хг или уг = у2, то формула (1.18)
теряет смысл, так как делить на нуль нельзя. В этих случаях точки Мг и М2
лежат либо на прямой, параллельной оси Оу, либо на прямой, параллельной оси
Ох. В первом случае уравнение прямой запишется в виде
X = хг,
а во втором — в виде
У=У1-
.„Пример ! Написать уравнение прямой, проходящей через две точки
^1(3; —2) и М2(—5; —4).
Решение. Имеем
Xl = 3, х2 = —5, у2 = —2, уг = — 4.
24
Глава I. Уравнение прямой
Подставив эти значения в уравнение (1.18), получим
у + 2 х — 3
— 4+2 —5—3’
или после очевидных упрощений
х — 4у — 11 = 0.
Пример 2. Через две точки Мг (3; —7) и М2 (3; 8) проходит прямая. Напи-
сать ее уравнение.
Решение. Так как абсциссы точек Мг и М2 равны, то искомая прямая
параллельна оси Оу и ее уравнение будет х = 3.
Выведем условие, при котором три заданные точки Мг (xjj у^, М2 (ха; yj,
Л43 (х3; у2) лежат на одной прямой. Для этого надо только подставить в уравнение
(1.18) координаты третьей точки, так как она по условию должна лежать иа пря-
мой, проходящей через точки Мг к М2. В таком случае имеем
Уз~У1 хз~х1
У1 — У1 *2—*1’
или
(*2—*1) (Уз — У1) — (*3 — *1) (Уз — У0 = 0.
Переходя к определителю второго порядка, мы и получаем условие того, что три
заданные точки лежат на одной прямой:
I *а — *i Уз — У11 _ л	л, 19)
1*3—*i Уз — У<1
Формула (1.19) выражает также то, что площадь «Треугольника»	равна
нулю (см. § 2).
Пример 3. Проверить,.лежат ли на одной прямой точки:
а)	Мг (3; —2),	Ма (—1; 4),	Л13 (5; —5);
б)	Мг (3; —2),	Ма(—1; 4),	М3(5; 6).
Решение. Так как для первых трех точек
I*-— *! Уг — У1|_ |(— 1 —3) (4 + 2)1	1—4 61
I *з — xi Уз — У11 I (5 — 3) (—5 + 2)|	I 2 — 31
= (—4) • (—3) — 2 • 6 = 0,
§ 9. Угол между двумя прямыми
25
то они лежат на одной прямой. Аналогичная проверка для случая б) дает
I х2 —	у2 — уг I _ I (—1 — 3) (4 Ф 2) I _ I —4 6 I _ _32 _ = — 44 О
I ха — xi Уз — У11 I — 3) (6 ф 2) | I 2 81
и, следовательно, эти три точки на одной прямой не лежат.
Упражнения
1.	Провести пучок прямых через точку М (2; 7) и выделить из него: прямую,
для которой k = 1; прямую, идущую параллельно оси х (k = 0); прямую, прохо-
дящую через точку Л42 (5; 13).
2.	Написать уравнения прямых, проходящих через точки
1^(3; 4), (Aft(O; -2),	(^(0:2),
lA42(l;5), |Л12(-3;-5), (Л42(3;5).
3.	Определить, чему равен угловой коэффициент k прямой (1.18).
4.	Определить, лежат ли на одной прямой точки М± (4; 3), Л42 (—2; 5),
Afg(16; -1).
§ 9. Угол между двумя прямыми
Пусть две прямые 1 и 2 заданы уравнениями
У = fej X ф &J,
у = k2 х + b2.
Обозначим соответственно через н а2 углы наклона этих прямых к осн Ох
(рис. 24).
Углом <р между прямыми 1 и 2 называют угол, на который надо повернуть
прямую 1 в положительном направлении, чтобы она совпала с прямой 2. Анало-
гично определяется угол между прямой 2 и прямой 1, н на рис. 24 он будет равен
углу 180° — <р.
Угол а2, как внешний угол треугольника АВС, равен сумме внутренних углов,
с ним не смежных: а2 = аг ф <р.
Отсюда
<р = а2 — 04 (<р Ф 90°),
и тогда
tg <Р = tg (“2 — ai).
поскольку тангенсы равных углов равны между собою.
Воспользовавшись формулой для тангенса'разности двух углов, получаем
tg<p=	,
ё ?	1 tg tg а3
илн
= (L20)
так как согласно (1.9)
tgai = fe1, tg a2 = k2.
Определив по формуле (1.20) tg <р, при помощи таблиц находим и сам угол <р.
Пример 1. Найти угол между прямыми у = —х — 5 и у = 3хф7.
Решение. В данном случае k± =	, k2 = 3, так что, подставив эти значения
в формулу (1.20), находим
з-1	А
6	2	2
tg <р =------г = -=- =1; ф = arctg 1 = 45е.
1+3-1 |
26
Глава I. Уравнение прямой
Таким образом, угол между прямыми 1 и 2 равен 45°, а дополнительный к нему
(т. е. угол между прямыми 2 и 1) равен 135°.
Пример 2. Найти угол между прямыми 1 и 2, заданными уравнениями
в общем виде (рис. 25):
х 4у — 2 = О,
2х — Зу + 10 = 0.
Решение. Приведем каждое из заданных уравнений к виду уравнения
с угловым коэффициентом, решив их относительно у:
1	. 1	2	, 10
У 4х+ 2 ’ у з *+ 3 ’
1	2
В таком случае = —— ,	= — и согласно формуле (1.20) имеем
4	о
2	!	8-^3
.	3 "Г 4	12	11	, ,
g<P	2 — 12—2—10— ’*
3-4	12
Следовательно,
<р = arctg 1,1 = 0,8330 рад = 47,73° = 47° 44',
180° — <р = 132° 16'.
Упражнения
1. Найти угол между прямыми Зх ^-у — 5 = 0 и у = 2х + 4.
2. Даны прямые 2х — Зу + 7 = 0 и х + 2у — 3 = 0. Найти угол между ними
Изменится ли величина этого угла, если в заданных уравнениях изменить значения
свободных членов Ct = 7 и С2 = — 3, взяв, например, С± = —5 и С2 = + 8?
§ 10. Условие параллельности н перпендикулярности двух прямых
Прямые параллельны в том и только в том случае, если равны тангенсы углов
наклона их к оси Ох, т. е.
tg “1 = tg “2-
или
k1 = ka.	(1.21)
Итак, условие параллельности прямых заключается в равенстве их угловых
коэффициентов.
Условие (1.21) можно также получить непосредственно из формулы (1.20). Дей-
ствительно, если прямые параллельны, то <р = 0 и, следовательно, tg <р = 0, что
возможно только тогда, когда
fei — k2 = 0.
Две заданные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда угол <р
между ними равен 90°, т. е. когда tg <р принимает бесконечно большое значение
(tg<p=oo). В этом случае знаменатель правой части формулы (1.20) обращается
в нуль и мы имеем 1 -ф- k-fa = 0. Следовательно, признаком перпендикулярности
двух прямых является соотношение
^1^2 — ~~ 1 *
Последнее соотношение обычно пишут в виде
*2 = _7Г	(1,22)
§ 10. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
27
и, в соответствии с этим, условие перпендикулярности двух прямых .формулируют
так: угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной
величине и противоположны по знаку.
Применяя признаки (1.21) и (1.22), можно сказать, что, например, прямые у*=
5	_	8	3	,
= -^х — 7, у =—=-х + 4 перпендикулярны друг к другу, а прямые у = — «4
о	О	О
3
4- 12, у = -^х — 8 между собой параллельны.
Если прямые заданы своими уравнениями в общем виде
Л1 х 4 У 4е = х 4- ^2 У 4* = О,
то условие их параллельности принимает следующий вид:
A=B_i
^2
а условие перпендикулярности
____Sj
Л2 Bi
(1-23)
(1-24)
Докажите это, приведя заданные уравнения к виду (1.12) и воспользовавшись
затем условиями (1.21) и (1.22). Сформулируйте условия (1.23) и (1.24) словами.
Пример 1. Найти уравнение прямой, параллельной прямой 2х — 5у — 8 = 0
и проходящей через точку (3; —1).
Решение. Уравнение пучка прямых (1.17), проходящих через точку (3;—1),
имеет вид
у I = h (х — 3).
Так как по условию искомая прямая параллельна прямой 2х — 5у — 8 = 0, то
ее угловой коэффициент должен быть равен угловому коэффициенту этой прямой,
2	2
т. е. . Поэтому, полагая в уравнении пучка k = -=-, мы и получим искомое
О	о
уравнение
2
У 4-1 “ -g- (х — 3),
или
2х — 5у — 11 =0.
Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей
пепдикулярно к прямой — 5х 4- 7у 4- 2 = 0.
Решение. Угловой коэффициент данной прямой есть-^-. Следовательно,
— 1. Вос-
О
через точку (—2; 3) пер-
5_
7 '
согласно условию (1.22) угловой коэффициент искомой прямой равен k
пользовавшись формулой пучка прямых (1.17) и подставив в нее координаты задан-
-	7
нои точки (—2; 3) и k = —, получаем искомое уравнение
о
у — 3 = — (х 4- 2), или 7х 4 5у — 1 = 0.
О
Пример 3. Треугольник АВС задан координатами своих вершин Л(—1; —3),
S(7; 1), С (2; 5). Найти уравнение высоты, опущенной из вершины С.
Решение. Уравнение стороны АВ как прямой, проходящей через точки
1; —3) и В (7; 1), согласно формуле (1.18) будет
У~У,	x — xi ______£4-3	х+1
У г — У1	х2 — Xi	14 3	7 41
28
Глава I. Уравнение прямой
а ее угловой коэффициент (обозначим его kt)
k — h= = 1 + 3 _ _1_
1 х2 — xj 7 -£• 1	2
В таком случае угловой коэффициент k = k2 искомой высоты, которая перпенди-
кулярна к стороне АВ, согласно условию (1.22)
*—X—2
и, следовательно, уравнение этой высоты как прямой, проходящей через точку
С (2; 5),
У — 5 = k (х — 2) = — 2 (х — 2),
или
2х + у— 9 = 0.
У п р а ж нения
1.	Параллельны ли прямые:
а)	Зх -ф- 4у 12 = 0 и 6х 8у — 7 = 0,
б)	5х — 7у = 0 и 10х -ф- 14у -ф- 3 = 0,
в)	у — 2х -ф- 5 = 0 и 6х Зу — 8 = 0?
Дать аналитическое и графическое решения.
2.	Написать уравнение прямой, отсекающей на оси Ох отрезок а = 4, и па рал-
V и
дельной прямой -ф- -у = 1.
3.	В равнобедренном прямоугольном треугольнике известно уравнение гипоте-
нузы 2х — 5у = 17 и вершина прямого угла С(—3; 7). Написать уравнения
катетов.
§ 11. Пересечение двух прямых
Рассмотрим две прямые, заданные своими уравнениями в общем виде
4*+6^ + ^ = о, 1
Л2х + В2у + С2 = 0, J
в найдем координаты точки пересечения этих прямых.
. Так как искомая точка лежит одновременно на каждой из данных прямых, то
координаты ее должны удовлетворять обоим данным уравнениям. Следовательно,
решив систему (1.25), мы найдем координаты точки их пересечения:
, 1^.1______________
| ЛаВ21
В}С2 — В2Сг
1^ | С2Л2	— ^2^1
IABj 1 А2В2	
(1.26)
Для	того чтобы система (1.25) имела одно единственное решение, ее опреде-
лптель |	А1^11 не должен равняться нулю. Если же НЙН
т. е.	А В AtB2 — A2Bt = 0, или ~	t d2
г § 11. Пересечение двух прямых
29
то прямые (1.25) согласно условию (1.23) параллельны, и в этом случае они не пе-
ресекаются. Если, кроме того, и свободные члены уравнений (1.25) пропорциональны
(с тем же коэффициентом пропорциональности), т. е.
лис
= = (L27>
то, полагая это отношение равным q, получим:
= <?Л2; В2 = qB2\ = *7^2*
Тогда, подставив эти результаты в первое уравнение системы (1.25) и вынося
общий множитель q за скобки, имеем:
Л1Х + Вгу + Сх = q (А2х + В2у -ф. С2) = 0.
Сократив полученное уравнение на q, видим, что оба уравнения (1.25) равносильны,
и, следовательно, в этом случае обе параллельные прямые совпадают, так что сис-
тема (1.25) имеет бесчисленное множество решений.
Таким образом, условие (1.27) является необходимым и достаточным условием
того, чтобы две прямые
Агх Вгу -ф* = 0 и А2х	В 2у	С2 = 0
слились в одну. Если же выполняется только условие (1.23), т. е.
Ai _	, £i
А2 В2 С2
то прямые параллельны, но не совпадают между собой.
Пример 1. Найти точку пересечения прямых
6х — у — 15 = 0
н
5х + Зу — 1=0.
Решение. Умножая первое уравнение на 3 и складывая его почленно со вто-
рым, получаем 23х — 46 = 0, откуда х = 2. Подставляя найденное значение х в
первое уравнение, находим у = —3 и, следовательно, искомая точка есть (2; —3).
Этот же результат получим, подставив в формулы (1.26) ^ = 6, В1 = —1, С2 =
= —15; Л2 = 5, В2 = 3, С2 = —1.
Пример 2. Найти точку пересечения прямых
5х — 4у — 9 = 0
и
10х — Зу — 3 = 0.
Решение. Умножив все члены первого уравнения на —2 и сложив получен-
ное уравнение со вторым, имеем
, — 10х + 8у+ 18 = 0
+ 10х — Зу —’ 3 = 0
15 = 0,
т. е. невозможное равенство. Таким образом, рассматриваемая система уравнений
несовместна и поэтому решений не имеет. Следовательно, прямые, определяемые
этими уравнениями, не имеют общих точек, т. е. они параллельны.
Этот же результат получим, убедившись, что для заданных прямых удовлет-
воряется условие (1.23), так как в данном случае А2 =5, В2 = —4, Аг = 10, В2 =
= —8 и, следовательно,
А2: А2 = В2: В2 = 2.
Пример 3. Найти точку пересечения прямых
Зх — у + 5 = 0
и
Эх — Зу -f-15 = 0.
30
Г лава I. Уравнение прямой
Решение. В данном случае выполняется условие (1.27) и рассматриваемая
система сводится к одному уравнению, а поэтому имеет бесконечное множество ре-
шений: давая произвольные значения одному из неизвестных х или у и вычисляя
соответствующие значения другого неизвестного, мы получим сколько угодно ре-
шений данной системы уравнений.
Такая система уравнений называется неопределенной.
Пример 4. Треугольник MjA+Mj задан координатами своих вершин Л11(5;6),
М2 (1; 2); Л48 (7; 4). Найти точку пересечения его медиан.
Решение. Координаты точки, делящей отрезок М2М8 пополам, согласно
формулам (1.4) будут
1+7	.	2+4 „
х=_т_ = 4; у=_т_=3.
Поэтому уравнение медианы, проходящей через вершину Mlt найдем как уравнение
прямой, проходящей через две заданные точки: MY (5; 6) и точку (4j 3):
TzHbfEl- или Зх - у - 9 = 0.
Аналогично для медианы, проходящей через вершину Л4а, получаем уравнение
Зх — 5у + 7 = 0. Решив теперь систему
Зх— у— 9 = 0,1
Зх — 5у + 7 = 0, J
находим координаты искомой точки
* = 41/8; У =4.
Проверьте, что через эту же точку
торой у= 4), как и должно быть, поск<
где (xf, yj, М, (х.2; у2), Л43 (х3;
пройдет и третья медиана (уравнение ко-
льку все три медианы пересекаются в одной
точке. Далее, воспользовавшись формула-
ми (1.3) и (1.3'), проверьте также, что
точка пересечения медиан треугольника
делит каждую медиану в отношении 2:1
(считая от вершины).
Полученные результаты представлены
на рис. 26. Однако йодчеркнем, ч*го ри-
сунок мы привели только для нагляднос-
ти, само же решение было получено по
формулам (т. е. аналитически) и обра-
щаться к рисунку не было необходимости.
Решив рассмотренный пример в общем
виде (что читателю полезно выполнить
в качестве упражнения), найдем для коор-
динат точки пересечения медиан следую-
щие формулы*:
Xj + х3 + х8 _ У1 + уг -|- у3
X- 3	, У- 3
(1.28)
суть вершины заданного треугольника.
Упражнения
1.	Найти точку пересечения каждой из следующих пар прямых:
а) Зх — 5у + 10 = 0 и 2х + 7у — 8 = 0,
б) Зх — 5у + 4 = 0 и 6х — 10у — 15=0,
в) —7х+ 2у — 12 = 0 и 4х — 11у + 13 = 0.
* Эта точка совпадает с центром тяжести треугольника, точнее, треугольной пластины по*
стояиной толщины, вырезанной из однородного материала.
§ 12. Некоторые задачи, решаемые при помощи уравнения прямой линии 31
2.	Треугольник МгМ2М3 задан координатами своих вершин Мг (—3; 4),
М., (4; 3), Л43 = (0; —5). Определить точку пересечения перпендикуляров, проходя-
щих через середины сторон, а затем вычислить по формуле (1.2) радиус описанной
окружности и построить для наглядности рисунок (лучше всего на миллиметровой
бумаге).
§ 12. Некоторые задачи, решаемые
при помощи уравнения прямой линии
- ш
Рис. 27.
Многие
интервале с
ямн, можно
дыдущих параграфов, рассмотрим также более общий случай, когда искомую функ-
цию можно представить ломаной линией, состоя-
щей из нескольких отрезков прямых. Не входя
в подробности, ограничимся только двумя харак-
терными задачами, предоставив остальное само-
стоятельной работе читателя.
Задача 1. Вода вливается в бассейн через
трубу / со скоростью 3 единицы в час. По тру-
бе Н вода вытекает со скоростью 2,4 единицы
в час. На высоте h от дна бассейна помещена
труба /// с пропускной способностью 1,6 едини-
цы в час, перекрываемая краном К и работаю-
щая только 8 часов в сутки (рис. 27). Глубина
бассейна Зй. Требуется исследовать режим уров-
ня воды х в бассейне, т. е. выразить х как
функцию времени t.
Решение. Режим работы бассейна можно
дами: первым — при открытом кране К (8 часов)
К (16 часов).
Допустим, что кран К открывают в момент, когда бассейн полон (х = Зй; / = 0)
Тогда в первый период
х = Зй + 3/ — 2,4/ —1,6/ = — / + Зй,
практические задачи, в которых исследуемые функции на заданном
достаточной для практики точностью представимы линейными функци-
решать при помощи уравнения прямой. При этом, в отличие от пре-
охарактеризовать двумя перио-
и вторым — при закрытом кране

D x=3h £
Масштаб по оси t:
8час=зь
А
3h
2h
h
Итёриод jC , Л период , ~\l период i , Л период,	. 1 .
24	32	40	48 t
16
0
8
Рис. 28.
до x=h, т. е. до тех пор, пока х не достигнет уровня h. Начиная с этого мо-
мента, для всего остального времени первого периода установится так называемое
динамическое равновесие, так как при х<й действуют только трубы / и // и при-
ток больше расхода, а при х>й действуют все три трубы и приток меньше рас-
хода.
По прошествии восьми часов выключаем трубу III, Начинается второй период:
х = й+ 3(/ — 8) — 2,4 (/— 8) = 0,6 (/— 8) + й,
До х — Зй.
Выше Зй уровень подняться не может, так как вода польется через край.
Представим все это графически (рис. 28). По этому графику мы можем в любой
момент времени / определить, каков уровень воды х в бассейне.
32
Глава I. Уравнение прямой
С аналогичной задачей столкнулись проектировщики Ново-Краматорского маши-
ностроительного завода имени В. И. Ленина.
Завод, потреблявший огромное количество воды, надо было снабжать от не-
большой реки, притока Донца. Для того чтобы «утолить жажду» этого гиганта
первой пятилетки в часы его полной нагрузки, на реке надо было установить пло-
тину для круглосуточного сбора воды, т. е. соорудить «бассейн» (рис. 29), в ко-
тором: труба / — количество воды, приносимое течением реки, труба // — потери
воды на просачивание (фильтрацию) в грунте под плотиною и круглосуточное об-
служивание основных цехов завода, труба /// — увеличение расхода воды заводом
при работе на полную мощность в первую смену. (Высота h необходима для того,
чтобы водоотсосные трубы не засасывали ил.)
Из графика режима реки (рис. 28) замечаем два возможных неприятных мо-
мента. В первом периоде, начиная с момента, отвечающего точке В, начинает не
хватать воды, а во втором периоде от точки D происходит бесполезный сброс воды
через плотину.
I—*
Верхний бьеф реки /Водоотсосные трубы
Нижний бьеф
Рис, 29.


Найдем, насколько надо увеличить высоту плотины, чтобы обеспечить восьмича-
совую работу по первому периоду, т. е. чтобы устранить горизонтальную ступеньку
графика ВС.
Для этого надо через точку С провести прямую, параллельную отрезку ABt
и определить начальную ординату b этой прямой.
Уравнение любой прямой, параллельной прямой х =— будет иметь тот
же угловой коэффициент k = —1, т. е. его вид будет
х = —t + Ъ.
Но по условию эта прямая должна пройти через точку С (8; й) и, следовательно,
8 = — h + й; отсюда b = 8 + h. На рис. 28 принят масштаб Зй = 8 единицам по
осн t, так что й = 8 + й = Зй + й = 4й. Следует отметить, что при некотором со-
отношении между притоком воды и ее расходом для каждого данного отношения
продолжительности первого и второго периодов задача не имеет решения. (Найдите
это соотношение для данной задачи.)
Если природные условия в этом смысле неблагоприятны, решение ищут путем
искусственного увеличения стока реки, как это имело место, например, для Москвы-
реки (сооружение канала им. Москвы). Вторым аналогичным примером является
проблема обмеления Каспийского моря, для решения которой в качестве одного из
вариантов рассматривают переброс части стока северных рек — Вычегды и Печоры —
в бассейн реки Волги.
Упражнения
1.	Определить начало сброса воды (точку D) при высоте плотины b = 4й
(рис. 28).
2.	Определить максимально достижимый уровень воды (при достаточно высокой
плотине) за весь второй период.
§ 12.  Некоторые задачи, решаемые при помощи уравнения прямой линии 33
3.	Сколько времени может работать завод на полную мощность при этом
запасе воды?
Задача 2. Станции А и В (расстояние 28 км) соединены одноколейной же-
лезной дорогой. В 10 км от А находится полустанок Р. Из А в В отправляется
почтовый поезд (t~ 1010; v= 50 км/час) с трехминутной остановкой в Р.
Двумя минутами позже в А прибывает скорый поезд (у = 60 км/час). Через
сколько минут он должен отправиться, чтобы обогнать почтовый именно на полу-
станке Р?
Кроме того, из В в Л с остановкой в Р (для пропуска почтового и скорого)
Прежде всего построим график движения почтового поезда, о котором все
известно, в системе координат (/; s) — время, путь.
Время t измеряем в минутах, расстояние s — в километрах, скорость о=^
£
= -j— в км/мин. За начало отсчета t примем момент t = 1040.
(	50	5	\
и = 50 км/час = ^ = — км/мин 1 имеем (рнс. 30):
5
на перегоне АР s = -x-t,
6
на полустанке Р s — 10 = const в течение 3 мин,
5
на перегоне РВ s = 10 + -g- (t — 3).
Для графика скорого поезда s = и (t — i0) нам известно и = 60 км/час =
=? 1 км/мин", остается определить /0- Определим /0 из условия, что встреча скорого
с почтовым должна произойти на полустанке Р.
Если бы она произошла на перегоне АР или РВ, то при одноколейной желез-
ной дороге это была бы не встреча, а катастрофа. Итак, точкой встречи может
быть только какая-либо точка на горизонтальной части графика почтового.
2 4-368
34	Глава I. Уравнение прямой
Назначим время прохождения через полустанок Р скорого поезда в 1054 (на 2
минуты позже прибытия почтового). Теперь мы имеем все данные для определе-
ния t0:
t— 1054— 104° — 14'; о=1 км!мин‘, s= 10 км.
Внося их в уравнение движения, получаем
10= 1 .(14' — 4); 4 = 4'
и, следовательно, время отправления скорого поезда со станции А будет Ю40 -ф.
+ 4' = 10м.
Товарный поезд к моменту прохождения скорого должен уже прибыть в Р,
для того чтобы перегон ВР был свободен. Для учета возможных ошибок движе-
ния назначим время его прибытия в Р на 3 минуты раньше прибытия скорого
(1054), т. е. для товарного поезда имеем
и = 54 км/час = 0,9 км/мин1, s = ВР =18 км; t = Ю51 — 1040 = 1Г.
Тогда
18 = 0,9(11' —4); 4= 11'—20' = —9'.
Товарный поезд должен рыйти из В на 9 минут раньше, чем 1040, т. е. в 1031-
Отправится из Р он может сразу же после прохождения скорого, т. е. в 10-4-
Имея график движения этих трех поездов, можно решать многие задачи, свя-
занные с их движением, как, например: а) определить время прибытия скорого
и почтового в В; б) Найти местоположение почтового и товарного поездов в момент
прибытия скорого в В; в) найти расстояние между тремя поездами в момент вре-
мени II00 и т. д.
Ответы на каждый из этих вопросов получим простым измерением на графике.
У пражнения
4. Составить график движения поездов для участка одноколейной железной
дороги между тремя станциями и двумя полустанками APSlBP2C (АР1 = 10 км,
PLB = 15 км, ВР2 = 15 км, Р2С = 20 км).
Из Л в С без остановки проходит экспресс (о = 70 км/час). Из С в Л с оста-
новками на полустанках PL и Р2 и в В — почтовый (v = 50 км/час). Из С в Л
с остановкой и В на 4 минуты — пассажирский (о = 55 км/час). Из С в Л с наи-
меньшим возможным количеством остановок надо пропустить товарный поезд (v =
= 54 км/час).
5. Экспресс Москва —» Владивосток все расстояние проходит за семь дней. При
этом из Москвы и Владивостока ежедневно отправляется по одному экспрессу,
Сколько экспрессов встретит пассажир, выехавший из Москвы, на протяжении
всего пути до Владивостока?
На этом мы заканчиваем первую главу и переходим к кривым второго порядка.
Для закрепления изученного материала читателю необходимо решить предлагаемые
контрольные упражнения.
Контрольные упражнения
1.	Написать формулу для расстояния г между двумя точками. Изменится ли г»
если данные точки заменить им симметричными относительно осей или относи-
тельно начала?
2.	Вывести формулы параллельного переноса координат.
3.	Какие йелнчины Называются текущими координатами и параметрами прямой?
4.	Дана прямая у = 7х—10. Написать ее уравнение в параллельно перенесен-
ной системе координат (х*; у*), для которой а = 3, 6 = 5. Найти одну из возмож-
ных параллельных систем координат, в которой бы прямая проходила через на-
чало координат.
Контрольные упражнения
35
5.	Определить площадь треугольника, отсекаемого прямой 7х — Зу — 42 = О от
осей координат.
6.	Определить площадь дЛВС с вершинами А (0; 0), В (2; 0), С (0; 2).
7.	Привести прямую 5х — Зу — 30 = 0 к виду в отрезках на осяк и начертить ее.
8.	Определить графическим и аналитическим (т. е. подстановкой в заданное
уравнение) путем, какие из точек (5; 3), (—2; —1), (0; 2), (0; 3), (If 7), (0; 7),
(—2; 5) лежат над, на или под прямой — 10х 4 7</ — 14 = 0.
X I!
9.	Дана прямая Tj +т="= !• Провести прямую, симметричную ей относительно
оси у, оси х, начала (0; 0).
Указание. Для прямой, симметричной относительно оси у, b = b*, а = —а*.
10.	Написать уравнение прямой, проходящей через начало (0; 0) и точку (—3;
—2,5).
11.	Найти угловой коэффициент k для прямой 7х — 14</ —0,3= 0.
12.	Треугольник АВС задан своими вершинами: 4(3; 2), В (4; 4), С ((7; 0). На-
писать уравнение его сторон и медианы, проведенной через вершину В.
13.	Угловой коэффициент прямой 6=3. Найти Ь, если точка (—2; —1) лежит
на прямой.
14.	Исследовать, независимы ли все три коэффициента в общем уравнении пря-
мой Ах + By + С = 0.
15.	Начертить прямые у = 5х + 3; у = х + 3; у =	+ 3; у = — ^-x + 3j
у = — 5х + 3; Есть ли среди этих прямых параллельные между собой и перпен-
дикулярные?
16.	Написать уравнение пучка прямых, проходящих через точку М (3; —5).
17.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (—2; 7) и образую-
щей с положительным направлением оси Ох один из углов: 45°, 60°, 135°, 180°.
18.	Определить острый угол между прямыми у = 2х + 3 и у = х — 2.
19.	Написать уравнение прямой, отсекающей на оси Ох отрезок, равный 5, и
параллельной прямой у 4-	= *<
20.	Определить координаты вершин треугольника, если даны уравнения его
сторон:
у = 2х — 1; 2у — х = 3; Зу 4- 2х — 5 = 0.
Дать аналитическое и графическое решения.
Глава II
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В данной главе рассматриваются окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Все эти кривые можно получить в результате пересечения кругового конуса плос-
костью, не проходящей Через его вершину. Геометрическое родство данных кривых
отражается и на виде уравнений, которыми они определяются, — уравнение каждой
из этих кривых является -уравнением второй степени.
§ 13.	Алгебраические линии и их порядок
Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения
Линии.
Пусть на плоскости дана какая-либо линия и указана система координат, на-
пример прямоугольная декартова система координат (х; у).
Сравнением данной линии (в выбранной системе координат) называется такое
уравнение F (х, у} = 0 с двумя 'переменными, которому удовлетворяют коорди-
наты х и у каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют коор-
динаты никакой точки, не лежащей на ней.
Координаты произвольной (переменной) точки (х; у), как и в случае прямой
линии, называются текущими координатами, а коэффициенты уравнения или их
отношения (если в уравнении задано избыточное число коэффициентов) называют
параметрами*. Например, коэффициенты А, В, С в общем уравнении прямой Ах +
+ By + С = 0 сами пб себе нельзя рассматривать как параметры. Но если мы это
уравнение разделим на — В (в результате чего оно останется равносильным исход-
ному уравнению) и приведем его к виду у = kx + b, то в качестве параметров
можно рассматривать следующие отношения исходных коэффициентов:
ъ-	А	С
k-----g-, b--------g-.
Таким образом, если известно уравнение линии, то относительно каждой точки
плоскости легко решить вопрос: лежит она на данной линии или нет. Для этого
достаточно координаты испытываемой точки подставить в уравнение вместо пере-
менных, и если эти координаты удовлетворяют уравнению, то точка л е ж hjt
на линии, а если не удовлетворяют — не лежит.
Это позволяет исследовать линии при помощи анализа их уравнений, что и со-
ставляет основу методов аналитической геометрии.
Возможен и противоположный подход: задано уравнение и необходимо опреде-
лить, какой геометрический образ ему соответствует. Чаще всего это будет линия
(одна или состоящая из нескольких ветвей), но может быть и совокупность не-
скольких точек или одна единственная точка. Кроме того, встречаются и такие
уравнения, которые (в действительной области) никакого геометрического образа
не выражают. Поэтому, исследуя уравнение F(x, у) = 0, будем говорить, что не-
обходимо определить геометрическое место всех точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют заданному уравнению.
* Слово «параметр» происходит от греческого т:ара|летри)м (параметрон)—отмеривающий.
Поэтому в математике параметром называют величину, числовое значение которой дает воз-
можность выделить определенный элемент из множества элементов того же рода. Например,
в уравнении параболы у=рхг величина р есть параметр, значение которого выделяет одну
определенную параболу из множества парабол, заданных этим уравнением. Параметром назы-
вают также вспомогательную переменную величину, которую вводят для удобства исследований.
Параметр обычно сохраняет постоянное значение только в условиях данной задачи. Во многих
случаях вводят не один, а несколько различных параметров, например, прямая линия харак-
теризуется двумя независимыми параметрами.
В различных отраслях науки и техники параметрами называют величины, которые характе-
ризуют какое-либо свойство, размеры и т. д., например обьем, плотность, температуру, дав-
ление.
§ 13. Алгебраические линии и их порядок
37
В частности, линия, определенная уравнением вида g =f (х), т. е. уравнением,
разрешенным относительно у, называется графиком функции f(x). Можно также
сказать, что линия, определяемая произвольным уравнением F(x, у) = 0, есть гра-
фик той функциональной зависимости между х и у, которая устанавливается этим
уравнением.
В качестве иллюстрации рассмотрим несколько простейших примеров определе-
ния геометрических образов по заданному уравнению.
Рис. 31.
Пример 1. Заданное уравнение есть х— у = 0.
Представив это уравнение в виде у = х, убеждаемся, что точки, координаты
которых этому уравнению удовлетворяют, суть те и только те, которые располо-
жены в первой или третьей четверти на одинаковых расстояниях от осей. Таким
образом, линия, определенная уравнением х — у = 0, есть биссектриса первого и тре-
тьего координатных углов (рис. 31, а).
Пример 2. Заданное уравнение есть х + у = 0.
Повторив те же рассуждения, приходим к вы-
воду, что геометрическим местом точек, удовлетво-
ряющих уравнению х + у = 0, является биссектри-
са у = — х второго и четвертого координатных уг-
лов (рис. 31, б).
Пример 3. Заданное уравнение есть х2 — у2 =
= 0. Представив его в виде (х — у)(х + у) = 0,
заключаем: точки, координаты которых удовлетво-
ряют заданному уравнению, суть те и только те,
которые удовлетворяют либо уравнению х — у = 0,
либо уравнению х-f- У = 0- Таким образом, геомет-
рическим местом точек, удовлетворяющих уравне-
нию х2 — у2 = 0, являются две биссектрисы коорди-
натных углов-(рис. 32).
Заметим попутно, что уравнение х2 — у2 = 1 будет определять собой равносто-
роннюю гиперболу (изображенную на рис. 32 пунктирными линиями), для которой
биссектрисы координатных углов будут асимптотами. Подробнее это уравнение рас-
смотрим в § 18.
Пример 4. Заданное уравнение есть х2 + у2=0. Так как при вещественных
х и у величины х2 и у2 всегда не отрицательны, то при сложении они не могут
взаимно уничтожиться, следовательно, если х2 + у2 = 0, то х = 0 и у = 0. Таким
образом, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравне-
нию х2 + у2 = 0, состоит из одной единственной точки — начала координат (0; 0).
В данном случае уравнение определяет, как говорят, вырожденную линию.
Пример 5. Заданное уравнение есть х2фу2 + 4 = 0. Поскольку при любых
вещественных х и у величины х2 >0, у2 > 0, то х2 + у2 + 4 > 0. Следовательно,
38
Глава II Кривые второго порядка
нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют данному уравнению, и
уравнение х2 + у2 + 4 = 0 никакого геометрического образа на плоскости не выра-
жает. В этом случае иногда говорят, что данное уравнение изображается мнимой
кривой.
Переходим теперь к классификации линий.
Уравнение вида
Ах + Ву + С = 0,	(П.1)
в котором по крайней мере одна из величин А или В ие равна нулю, есть алгеб-
раическое уравнение первой степени (с двумя неизвестными х и у). Как мы уже
видели в предыдущей главе, это уравнение всегда представляет прямую.
Алгебраическим уравнением второй степени называется всякое уравнение вида
Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу -ф. F =±= О,	(П.2)
в котором по крайней мере одна из величин А, В, С не равна нулю- Аналогично
определяются алгебраические уравнения третьей, четвертой, пятой и высших сте-
пеней.
Линия, представляемая (в декартовой системе) уравнением и-й степени, назы-
вается алгебраической линией rt-ro порядка.
Другими словами, если F (х, у) есть многочлен, то кривая F (х, у)=0 назы-
вается алгебраической, а степень многочлена называется порядком
кривой. Если же кривая не алгебраическая, то она называется трансцен-
дентной*. Примером трансцендентной кривой может быть синусоида у = sin ±.
Аналогично можно рассматривать уравнения линий и в других (не декартовых)
системах координат; в части второй мы еще к этому вопросу вернемся, а сейчас
подчеркнем, что аналитическая геометрия па плоскости рассматривает только алгеб-
раические кривые первого и второго порядка, т. е. прямую линию (ПЛ), являю-
щуюся алгебраической линией первого порядка, и кривые второго порядка, изоб-
ражаемые уравнением (П.2).
Уравнение (П.2), как будет показано в дальнейшем, может представлять собой
уравнение окружности, эллипса, гиперболы п.чЯ параболы. В частных случаях урав-
нению (П.2) может Соответствовать одна точка (т. е. окружность, радиус которой
равен нулю) или мнимая кривая второго порядка, одна из которых была рассмот-
рена в примере 5.
§ 14.	Окружность
Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от
данной, называемой центром.
Выражая это свойство на языке формул, т. е. в виде функциональной связи
между координатами точек окружности, мы и получим ее уравнение.
Поместим начало координат в центр окружности. По определению, 'окружности
принадлежат только точки плоскости, находящиеся па данном расстоянии от центра,
и кроме этих точек, никакие другие точки окружности не принадлежат. Применяя
формулу (1.1) к прямоугольному треугольнику OMN (рис. 33), видим, что коорди-
наты произвольной точкй М (х; у) окружности должны удовлетворять уравнению
х2 -|- у2 = Я2.	(П.3)
Обратное утверждение в данном случае также справедливо: всякая точка, коор-
динаты которой удовлетворяют уравнению (II.3), находится на расстоянии R от
начала координат — центра окружности, г. е. лежит на окружности.'
* Слово «трансцендентный» не означает чего-либо особо трудного или таинственного, оно
лишь указывает, что определение трансцендентных функций не может [быть дано при помощи
элементарных арифметических действий! quod algebras vires transcendit в переводе с латинского
означает «то, что превышает силы алгебры».
§ 14. Окружность
39
Действительно, для всякой точки, лежащей вне окружности, согласно опреде-
лению будем иметь
x2-^y2>R2,
а для всякой внутренней точки
х2 4 У2 < Яа>
и окружность, таким образом, является линией раздела областей выполнения этих
двух неравенств. Поэтому (П.З) и есть уравнение окружности.
Рис. 33.
В общем случае, когда центр окружности находится не в начале координат,
а в произвольной точке (а; Ь), ее уравнение будет
(x-a)24(j/-&)2 = R2,
где а и b — координаты центра окружности, a R — ее радиус.
Действительно, построим параллельно первоначальным
те линую систему координат (х*; у*) с центром (а; Ь) (рис.
(П.З) имеем
(х*)2 4- (у*)2 = R2.
(П.4)
осям (х; у) вспомога-
34). Тогда согласно
Заменив теперь новые координаты старыми, в соответ-
ствии с формулами параллельного переноса координат
(LU),
х* = х — а; у* = у — а, •
и внося эти значения в наше уравнение, мы и получим
общее уравнение окружности (11.4).
Пример 1. Написать уравнение окружности радиуса
•R § с центром в точке (2; —-4) и найти точки пересече-
ния этой окружности С осями координат.
Решение. Согласно формуле (П.4) получаем
(х - 2)2 + (у + 4)2 = 25.
Если мы раскроем скобки и выполним приведение подобных членов, то придем
к следующему (равносильному) уравнению:
х2 + У2 — 4х 8у — 5 = 0.
Точки пересечения окружности с осью ординат найдем, положив в исходном
уравнении х = 0. В результате имеем: 4 + (у 4 4)2 = 25, откуда у = — 4 + p^2f = —
— 4± 4,58257 ... и, следовательно (если ограничиться точностью в два десятичных
знака), искомыми будут точки (0; 0,58) и Л42 (0; —8,58).
Аналогично находим точки М3 (—1; 0) и Л44 (5; 0), в которых окружность пе-
ресекается с осью абсцисс, т. е. с прямой у = 0. Полученные результаты для
большей наглядности представлены на рис. 35.
40
Глава II. Кривые второго порядка
Пример 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 1^32 с центром в
точке (0; 5), лежащей на оси ординат, а затем определить, как расположены точки
Mi(—3; 6), М г (0; —2), М3(->]/23; 2), М4 (— V23; 2), относительно этой окруж-
ности.
Решение. Уравнение искомой окружности согласно формуле (П.4) будет
х2 (у _ 5)2 = 32
Подставив координаты точки М2 в это уравнение, имеем
х2 (у — 5)2 = (—З)2 -Н6 — 5)2 = 10< 32,
так что точка Л4Х(—3; 6) лежит внутри окружности. Аналогичным путем убеж-
даемся, что точка М2 лежит вне окружности, а точки Ма и М4 — на самой окруж-
ности, поскольку для них
*4- (У — 5)2 = 23 -ф- 9 = 32 = R2.
Упражнения
1.	Написать уравнение окружности радиуса R = 4 с центром в начале координат
радиуса R = 7 с координатами центра: абсцисса а = 3, ордината b = —2.
2.	Написать формулы параллельного переноса координат к центру окружности
(х— 3)2 + (У + 2)2= 49, а затем уравнение этой окружности в новой системе ко-
ординат (х*; у*).
3.	Как расположены относительно окружности х2 + у2 = 1 следующие точки
(7	19\ /	3	9 \
-Тз: -Щ’\ Т: 7/’ (2’7’ 0,7)?
~ Пользуясь уравнением окружности и выведенным ранее уравнением прямой,
можно исследовать некоторые свойства окружности, а также доказать большинство
теорем элементарной математики, не обращаясь к построениям, а чисто аналитичес-
ким путем, т. е. только при помощи формул.
Так, например, уравнение окружности (II.3) оправдывается, если в нем заменить
х на —х, так как (+*)2 = (—х)2. Следовательно, окружность симметрична относи-
тельно оси у.- Аналогично убеждаемся в ее симметрии относительно оси х и относи-
тельно начала координат, т. е. ее центра.
Так как путем параллельного переноса осей общее уравнение окружности (II.4)
всегда можно привести к частному случаю (II.3), то доказанное свойство симметрии
относительно двух взаимно перпендикулярных диаметров и центра окружности
остается в силе и в общем случае.
Докажем теорему: диаметр, проведенный через середину какой-либо хорды,
перпендикулярен к ней.
Пусть дана окружность
х2 у2 = R2
и хорда, проходящая через произвольные точки окружности: (xf, yj и М2 (Xj; у%).
Для доказательства достаточно написать уравнение хорды и диаметра, прохо-
дящего через ее середину, а затем убедиться, что условие перпендикулярности
прямых ki • /е2 = —I выполняется (см. § 10).
Уравнение хорды, как прямой, определяемой двумя данными точками:
У—У1 = X—Хх
</2 — Л х-1 — *1 ’
так что ее угловой коэффициент
ki = y^yi,
х2 — хх
§ 14. Окружность
41
Уравнение пучка диаметров, проходящих через начало, которое совпадает с цен-
тром рассматриваемой окружности:
У = kx.
Найдем среди них диаметр, который делит хорду пополам. Координаты средней
точки хорды:
v _ х2 + хг . , _Уа + У1
хср— 2	> Уср------j *
Следовательно, внося эти значения в уравнение пучка
Уа + У1__t, ха + xi
2	2~’
находим k = интересующего нас диаметра:
ь _ У а + У1
2 ха +	’
Остается убедиться, что условие перпендикулярности ^2 =—1 для данной хор-
ды и диаметра выполняется.
Действительно,
Вычитая из верхнего уравнения нижнее,
2 а
г, г,  У а — У1 У г + У1 ^а____£1
„   * у [ “а	2 ’
Ло Xj л2 “Г -Ч х — %
2	1
а так как точки (х2; у2) и (жх; ух) по условию принадлежат окружности, то для
них уравнение последней должно оправдываться, т. е.
х2 + у2 = ^
x’t1 + yi = R2.
имеем
(х2~ *5 + (Уа — $ = 0, или у2 — у2 = - (х2 — х2).
Таким образом,
/ а 2\
-(х2~х^_____!
2	2
k,k — ^2
«1«а----а а---------а----а
xa~xi хг~х1
и теорема доказана.
В приведенном выше доказательстве мы пользовались частным видом уравнения
окружности (П.З).Но так как параллельный перенос осей не изменяет углов между
рассматриваемыми прямыми, то доказанная теорема остается справедливой и в об-
щем случае (II.4).
Упражнение 4. Провести доказательство этой теоремы для двух конкретных
примеров:
а^окружность ха+уа = 25 и хорда, проходящая через точки окружности
б) окружность (х — 2)а + (у — З)2 = 169 и точки М2 (2; —10) и М2 (14; 8).
Для наглядности (но не для доказательства) постройте соответствующие рисун-
ки на миллиметровой бумаге.
Как мы уже показали, общее уравнение окружности с центром в точке (а; Ь)
и Радиусом R будет
(х — а)а + (у — &)2 — R2.
Раскрыв скобки, придадим этому уравнению вид
*а + уа — 2ax — 2by + (а2 + Ь2 — R2) = 0^
42
Глава li. Кривые второго порядка
x* + y* + Dx + Ey+F=O,	(П-5)
где положено
£> = — 2а, E=>—2b, F=a2 + & — R2,
Уррщгение (II.5) является уравнением второй степени, и, следовательно, окруж-,
нести Соответствует, уравнение второй степени относительно текущих коорди-
нат. Однако не всякое уравнение второй степени (П.2) определяет собой окруж-
ность. Действительно, из уравнения (II.6) вытекает, что в уравнении окружности
коэффициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат
ху отсутствует. Обратно, если эти два условия (равенство коэффициентов при х2
и у2 Й дтсутствие члена ху) осуществлены, то уравнение (П.2), вообще говоря,
определяет окружность, тйк как оно приводится к виду (П-5) путем деления на
коэффициент при х2.
Итак, по виду данного уравнения второй степени мы можем решить, является ли
оно уравнением окружности или нет. Например, уравнений
х2 + у2 + 6х — 10у+18 = 0
определяет окружность, так как в нем коэффициенты при квадратах координат рав-
ны, а произведение ху отсутствует. Для того, чтобы построить эту окружность,
мы должны предварительно определить координаты ее центра н радиус. С этой
целью приведем данное уравнение к виду (11.4). Возьмем й заданном уравнении
члены, содержащие х, а именно х2 + 6х, и представим этот двучлен в виде
х2 + 6х = (х 4 З)2—9,
т. е. выделим из него полный квадрат (х + З)2. Аналогичным образом преобразуем
двучлен, содержащий у:
у2 — Юу = (у — 5)2 — 25,
после чего исходное уравнение запишется так:
(х + 3)2-9 + (у-5)2-25+ 18 = 0.
Перенеся свободные члены в правую часть равенства, будем иметь
(х + 3)2 + ((/-5)2=16,
так что согласно формуле (II.4) радиус искомой окружности R = 4, а ее центром
является точка (—3; 5). По этим данным уже не представляет особого труда по-
строить окружность.
Однако не любое уравнение типа (П.5) будет определять собой окружность.
Так как в этом уравнении
то только при непременном условии, что
D2 + E2 — 4Г>0,
уравнение (II.5) будет представлять окружность. Если же D2 4 Е2— 4F = 0, то
уравнение (II. 5) определяет окружность нулевого радиуса, т. е. точку, а при
D3 + Е2 — 4F < 0 уравнение (II.5) не определяет никакого геометрического образа,
и в этом случае говорят, что оно представляет мнимую окружность.
Пример 3. Найти координаты центра и радиус окружности
4х2 + 4у2 — Зх = 0.
§ 14. Окружность
43
Решение. Придавая уравнению вид
3
хг 4s- уг — ~4Х= О’ или
заключаем, что радиус окружности 7?==-^-, а ее центром служит точка
и точка на ней с ординатой рав-
Упражнения
5.	Дана окружность (х — З)2 4* (у -р- б)2 ™ 16. Лежат ли на ней точки А4, (3; —1)«
7Иа (3; —9), 7И3 (0; *—3)?
6.	Дана окружность (х ф 2)2 + (у ф 3)а =
ной нулю. Найти абсциссу точки.
7.	Построить окружности
ха + уг ф 4х — &у — 3 = 0 и
ха 4*. уа — \2у П = 0,
а затем написать уравнение их линии цент-
ров, т. е. уравнение прямой, проходящей через
центры данных окружностей.
8.	Найти расстояние Между центрами
окружностей
хг ф уг = 16 и х2 4* У2 — 12х 4- 11 = 0.
9.	Дана окружность х1у*— 2х Jf-Ъу —
— 6 = 0. Написать уравнение ее диаметра,
перпендикулярного к хорде 2х— у 4- 3 = 0.
В заключение отметим, что уравнение ок-
ружности можно также получить, рассматри-
вая целый ряд иных задач на геометрические
места, например такую.
Даны две точки А и В. Найти геометрическое место точек М(х; у), квадраты
расстояний которых от данных (а следовательно, и сами расстояния) находятся
в заданном отношении
а а	а а
''а ; Г1 = п> или fa = nri-
Проведем ось абсцисс через данные точки Л и 8 (рис. 36), а ось ординат —
через середину отрезка АВ, длину которого обозначим 2р. Тогда координаты точки
В будут (р; 0) и для А, соответственно, (—0; 0). Нас интересуют все точки плос-
кости М (х; у), которые удалены от точки А (—р; 0) в раз больше, чем от
Точки В (0; 0).
По формуле (1.2) § 2 имеем
(7ИВ)2 = г2 = (х — 0)2-h 7/2
и, соответственно,
(M4)2=r2 = (x->p)2^7/2.
В 1 аком случае наше условие пг2 = г2 дает уравнение рассматриваемого гео-
метрического места точек
M(*-P)2^2J=(* + P)2'H2-
Преобразуем его. Раскрыв скобки, перенеся переменные величины в левую часть
равенства и приведя подобные члены, имеем
(п — 1) х2 - 20 (п 4> 1) х 4- (п — 1) у2 = (1 — п) р2.
44
Глава II. Кривые второго порядка
Разделив все члены на (я—1) и прибавив затем к обеим частям уравнения вели-
„ (п -ф 1\*
чину Р21 п 11 » получаем
("•в
т. е. уравнение окружности, у которой R = Уп и координаты центра а =
«= р j-1; 6=0. Три из этих окружностей, соответствующие различным числовым
значениям п, изображены на рис. 36.
Полученные формулы справедливы для любого п, кроме п = 1, при котором
знаменатель в выражениях для Rua обращается в нуль. Выясним, что же из себя
представляет случай п= 1.
При этом наше условие будет
г* = г*, или (х — а)2 4- у2 = (х -ф а)2 + у2.
Отсюда, выполнив аналогичные преобразования, получаем
2ах = 0, или х = О,
т. е. уравнение оси ординат. Следовательно, геометрическое место точек, равно-
удаленных от двух заданных (п = 1), есть прямая, перпендикулярная к отрезку
АВ и проходящая через его середину (в данном случае — ось у, проходящая через
начало координат, как показано на рис. 36).
Рассмотренной выше задаче можно дать также и физическую интерпретацию.
Пусть А и В — две светящиеся точки. Источник А—красного цвета, источник
В — дополнительного к нему синего цвета *.
Примем интенсивность свечения точки В равной некоторой единице, а точки А —
соответственно п таких единиц. Найдем точки плоскости, равноосвещенные обоими
источниками.
Из физики известно, что освещенность в данной точке прямо пропорциональна
силе источника света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от него.
В таком случае освещенность произвольной точки М (х‘, у) (рис. 36) от источника
D ,	1	.	п
о будет равна -=, а от источника А — соответственно —, и геометрическое место
Г1
точек, в которых освещенность от обоих источников одинакова, определится из
условия
1 П г 1
-5 = -J , или г = пг ,
Г1 гг
а это н есть случай, рассмотренный выше.
Значит, точки плоскости, освещаемой одновременно двумя такими источниками,
окажутся окрашенными в три различных цвета. Точки, освещенные с одинаковой
силой обоими источниками, будут окрашены в белый цвет. Они образуют при
заданном п вполне определенную окружность
(х— а)2 -фу2 = R2,
где
* Дополнительным цветом называется такой, который в сумме о основным при равной ин-
тенсивности дает цвет белый. При этом нельзя отождествлять смешивание лучей различных
цветов и смешивание красок. Следует также заметить, что при разной интенсивности цветов
более сильный, очевидно, целиком поглотит более слабый, так как равные их количества взаим-
но уничтожаются, дав цвет белый, а избыток одного из иих и придает всей картине свою
окраску.
§ 15. Эллипс, его вершины, оси симметрии, фокусы и эксцентриситет 45
Все точки, лежащие внутри этой окружности, т. е. для которых
(х — а)2 -£ у2 < R2,
будут окрашены а синий цвет, а точки, удовлетворяющие неравенству
(х — а)2 <^у2 >R2,
будут окрашены в красный цвет.
§ 15. Эллипс, его вершины, оси симметрии, фокусы и эксцентриситет
Начертим окружность радиуса R = b на резиновой полосе. На образовавшийся
круг нанесем квадратную сетку из хорд (рис. 37).
Растянем теперь равномерно нашу полосу в направлении оси абсцисс. При этом
предполагаем, что размеры по оси у сохраняются неизменными, а по оси х про-
порционально увеличиваются, что и будет являться условием равномерного растя-
жения. Если отрезок b растянется до величины а, то связь между обеими систе-
мами координат будет
х*: Ь = х: а, или х* = — х, у* — у,
где (х*; у*) — координаты точки до растяжения, а (х; у) — после растяжения.
Величина — характеризует собой степень растяжения.
Уравнение исходной окружности согласно формуле (П.З) есть
(х*)2 (У*)2 = Ь2.
Следовательно, уравнение полученной кривой будет
/ .	\2
->у2=&2.
\ а /
Разделив все члены на Ь2, получим
>•2	»/2
Эту кривую и называют эллипсом, величину а — большой полуосью, величину
Ь — малой полуосью, а точки А1 (—а; 0), Л2 (а; 0), Bj (0; Ь), В2 (0; —Ь) — вершина-
ми эллипса.
46
Глава П. Кривые старого порядка
Из уравнения (П.7) выведем некоторые свойства эллипса. От окружности эллипс
унаследовал симметрию (относительно осей и начала координат) и замкнутость.
Но окружность имела только одну выделяющуюся точку: центр. У эллипса таких
точек две: Г, и F2 (рис. 38), и называются они его фокусами*. Фокусы эллипса
Л и F2 получим, если из вершины BY радиусом а сделаем засечки на его боль-
шой оси. Тогда, если расстояние между фокусами F,F2 обозначить величиной 2с,
то координаты фокусов будут соответственно Ft (—с; 0) и F2 (с; 0), т. е. ординаты
обоих фокусов равны нулю, а абсциссы (—с)
или (-^с). Величину с определим из прямо-
угольного треугольника B,pF£
с2 = а2 — Ь2, или а2	(П.8)
И
Фокусы эллипса обладают одним замеча-
тельным свойством, которое мы сейчас и по-
кажем. Найдем расстояния г± и г2 произволь-
ной точки М (х; у) эллипса от его фокусов Ft
и F2. Величины и га называются фокаль-
ными радиусами точки М. Согласно фор-
муле (1.2) квадраты расстояний между двумя
заданными точками будут
(/г1Л1)» = г’= (*+<;)» +у»
(АЛ!)2 = Г* = (X — с)2 + у2.
Преобразуем первое выражение. Так как точка М (х; у) есть точка эллипса, то
для нее
1,откуда
Внесем этот результат в выражение для г*:
г}= (*+ с)2 -|>&2 (1 -.
Раскрыв скобки и перегруппировав члены, получим
г? = с2 + b2 -f- 2сх а  х2.
Но согласно (II.8) с2 -(> Ь2 = а2, а2 — Ь2 = с2, так что
г’ = а2 + 2сл:->^л:2 = ^а-Ьу^ .
Извлекая из обеих частей полученного равенства корень и обозначив отношение
— греческой буквой е («эпсилон»), окончательно имеем
г, = а 4- ех	(П.9)
и, вполне аналогично,
r2=a-ix.	(П.10)
* Фокус — focus, латинское слово, означающее очаг. Если в точке Fa поместить источник
света (и тепла), то после отражения от эллипса все лучи соберутся в точке Fa и помещенное
там воспламеняющееся вещество загорится. Это зрелище поражало зрителей, поэтому слово
«фокус» получило тот смысл, в котором его ныне употребляют в обиходе.
§ 15. Эллипс, его вершины, оси симметрии, фокусы и эксцентриситет 47
Величина
с
а
(11.11)
характеризующая степень вытянутости эллипса, называется его эксцентриситетом.
Сложив теперь уравнения (II.9) и (11.10), получим замечательное свойство эллипса:
Г1 ф г2 = 2а = const.
(11.12)
Сумма расстояний точки, принадлежащей эллипсу, от его фокусов постоянна
для всех его точек.
Пример 1. Найти величины осей 2а и 2Ь, координаты фокусов и эксцентри-
сисет е эллипса
Р е ш е н и е.. Сравнив заданное уравнение с уравнением (II.7), видим, что
а2 = 25, &2 = 16, так что а = 5, Ь= 4.
В таком случае большая ось эллипса А±А2 = 2а = 10, а малая В1В2 = 2Ь = 8.
Для того чтобы найти координаты фокусов эллипса, надо прежде всего опреде-
лить величину OF2 = с. Из равенства (II.8) имеем
с = /а2 — &2 = /25—16 = 3.
Следовательно, координаты фокусов эллипса — Fi (—3; 0) и F2 (3; 0), а коорди-
наты его вершин —	(—5; 0), Л2(5; 0), В± (0; 4), В2 (0; — 4). Эксцентриситет
эллипса определяем согласно формуле (11.11) по известным а и с:
Построив вершины Л2, Ви В2, мы получим грубое представление об эллип-
се. Дальнейшее уточнение легко выполнить, задавшись рядом значений — а <; х < а
и определив по исходному уравнению соответствующие у. Например, при х = 3
(или х = —3) имеем
.„25- 9 /1б\2
16~25-=V57 ’
/	у2\
у2=1611- Гб) =
У= +у=+3,2,
что позволяет построить четыре точки эллипса М, Mlt М2, М3 (рис. 39). Продол-
жив этот процесс, мы можем найти любое число точек эллипса и построить его
как угодно точно.
Упражнение 1. Построить рис. 39 на миллиметровой бумаге (в масштабе
1 = 10 мм), определив дополнительно точки с абсциссами х= +1; +2; ±4. При
помощи циркуля-измерителя найти для точки М (3; 3,2) фокальные радиусы Г! и г2,
а затем полученные результаты проверить по формулам (II.9) и (11.10) при а = 5;
£ = 0,6; х — 3, а также по формуле (1.2) § 2. Тем же путем определить и г2
для ряда других точек эллипса и проверить, выполняется ли для них условие
(11.12).
Пример 2. Согласно первому закону Кеплера каждая из планет движется
не по окружности, а по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Найти, насколько в нашем северном полушарии зимою Земля ближе к Солнцу, чем
летом, если большая полуось земной орбиты а = 149,7 млн. км, а ее эксцентриси-
тет е = 0,0167.
Z1
Г лава И. Кривые второго порядка
48
Решение. Кратчайшим (минимальным) расстоянием точки, движущейся по
эллипсу, от его фокуса является' расстояние от одной из его вершин *, равное
Г1 = /"т|п = 4 — с. Наиболее удаленная 6т этого же фокуса точка — вторая верши-
на, для которой г2 — гшах = а с.
В рассматриваемом Случае согласно формуле (11.11)
с» еа = 0,0167  149,7 = 2,50 млн. км
и, следовательно,
fmln Q 149,7 — 2«5 = 147.2 млн. км, гтзх = 149,7 + 2,5 = 152,2 млн. км.
Рис. 39.
Как ни велика эта разность по абсолютному значению, но в процентном отно-
шении к общему расстоянию это изменение незначительно и не может существенно
влиять ita температуру поверхности Земли и ее атмосферы, а лишь несколько смяг-
чает климат северного полушария, по сравнению с климатом южного полушария.
Смена jfte времен го^а на Земле обусловлена тем, что ось суточного вращения
3-мли наклонена к Плоскости её орбиты (под углом 66° 33' 40").
У пражнения
2.	Написать уравнение эллипса, зная, что а = 7, 6=5, и определить затем
сие.
3.	Найти длину осей 2а, 26, Эксцентриситет е и расстояние между фокусами 2с
хг и2
для эллипса —g +	= 1, а затем построить этот эллипс по точкам.
4.	Вывести формулу г2 = а — ех.
Выше, исходя из уравнений эллипса (II.7), мы получили основное свойство (11.12),
которому удовлетворяют его точки. Однако для полной строгости надо еще пока-
* Точка орбиты небесного тела (планеты, кометы, искусственного спутника а т. д.), обращаю-
щегося вокруг Солнца, в которой это тело находится ближе всего к Солнцу, называется пери-
гелием (от греческих слов «epi — около a HiXisc — Солнце). Точка орбиты, наиболее удаленная
от Солнца, называется афелием (греческое ар от onto— вдали). Свой перигелий Земля проходит
в начале января, а афелий — в начале июля.
§ 15. Эллипс, его вершины, оси симметрии, фокусы и эксцентриситет 49
зать, что других точек, кроме тех, которые удовлетворяют условию (II. 12), эллипс
иметь не может.
Возможен также и другой путь, состоящий в том, что мы свойство эллипса
(11.12) примем в качестве определяющего, а затем выведем из него соответствую-
щее уравнение кривой.
Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости,
сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть
величина постоянная*.
Для того чтобы согласно определению составить уравнение кривой, примем
в качестве оси х прямую, соединяющую Две даннце точки Ft и fa, а начало коор-
динат возьмем в середине отрезка, соединяющего точки Ft и F2 (рис. 38). Обо-
значим через 2с расстояние между фокусами, тогда координаты точек Fj и F2
будут соответственно (—с; 0) и f2(c; 0). Обозначая через х и у координаты
произвольной точки М (х; у) эллипса, выразим длины отрезков = FtM иг, F2M
по формуле расстояния между двумя точками (1.2):
^М=/(х + с)24-У2,
F2M = У(х - с)2 + у2.
По определению эллипса сумма FtM + F2M есть величина постоянная'. Обозна-
чая ее через 2а, имеем
FtM 4- F2M = 2а,
или
У(х + с)2 у2 + /(х — с)2 + у2 = 2а.	(II. 13)
Это и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат. Упростим его,
уединив первый радикал:
/(х 4- с)2 + у2 = 2а — /(х — с)2-by2.
Возведя обе части в квадрат, найдем
х2 -ф. 2сх -ф с2 -ф у2 = 4а2 — 4а V(х — с)2 *Ь У2 + х2 — 2сх ф с2 -ф у2
или, после приведения подобных членов,
4сх = 4а2 — 4а V\x — с)2 -ф у2,
т. е.	____________
а ]/\х — с)2 + У2 = а2 — сх.
Возведя снова в квадрат, имеем
а2 (х2 — 2сх + с2 ф у2) = а4 — 2а2сх ф с2х2
или
а2х2 Ф eFc2 ф а2у2 = а4 ф с2х2, т. е. (а2 — с2) х2 ф а2у2 = а2 (а2 — с2).
Отсюда, разделив обе части на а2 (а2 — с2), находим
а2 а2 — с2
Так как по условию с < а, то а2 — с2 есть положительная величина, которую при-
нято обозначать &2. Введя это обозначение, мы и придадим уравнению эллипса
бкончательный вид
^ф|£ = 1, где b2 = a2 — c2. '	(II.I4)
* Эта постоянная должна быть больше расстояния между фокусами, так как ломаная F,MF2
не может быть меньше прямой F,F, (см. рис. 38). Если же она будет равна расстоянию между
фокусами, то рассматриваемым геометрическим местом точек будет сам отрезок прямой, ограни,
чечный данными точками F, и F,.
50
Глава И. Кривые второго порядка
Уравнение (11.14) полностью совпадает с уравнением (II.7). Значит, линия, вве-
денная при помощи определения (II 12), действительно тождественна с линией,
названной эллипсом в начале параграфа. Уравнение (11.14) называется каноническим *
уравнением эллипса или уравнением эллипса, отнесенным к его осям симметрии.
При другом выборе осей координат уравнение эллипса будет более сложным.
При выводе уравнения (11.14) из (11.13) мы дважды избавлялись от радикалов,
возводя обе части уравнения в квадрат. Как известно, такая операция может при-
вести к уравнению, не равносильному с исходным, т. е. к уравнению, которому
удовлетворяют не только точки уравнения (11.13),
но еще и другие, «лишние», точки, не принадле-
жащие эллипсу. Читателю будет полезно самос-
тоятельно показать эквивалентность уравнений
(11.13) и (11.14), т. е. что каждое из этих уравнений
есть следствие другого, а затем результат прокон-
тролировать по книге Н. В. Ефимова [39, стр. 72—
73], где данный вопрос хорошо изложен.
Продолжим изучение эллипса, анализируя его
каноническое уравнение. Из того, что уравнение
(11.14) содержит только члены с квадратами те-
кущих координат, следует, что эллипс симметри-
чен как относительно оси Ох, так и относительно
оси Оу. Действительно, если точка (х; у) удовлетворяет уравнению (11.14), то
и точки (±х; +у) будут также ему удовлетворять. Для определения формы эл-
липса разрешим уравнение'(II. 14) относительно ординаты у:
х2	b2
или(а2-*2)’
откуда
//= ±-^-/а2 - х2.	(11.15)
Совершенно аналогично можно получить формулу, определяющую абсциссу любой
точки эллипса через ее ординату.
х=±у/&г-«/2.
(11.16)
Поскольку эллипс симметричен относительно координатных осей, нам достаточ-
но рассмотреть лишь его часть, расположенную в первом квадранте, в котором
х > 0 (рис. 40). Следовательно, в формуле (11.15) у радикала надо брать знак
«-Ф-». Таким образом, мы должны построить график функции
у = 4- — ай — х2
при условии, что х > 0.
Возьмем сначала х = 0, тогда у=Ьи, следовательно, самой левой точкой рас-
сматриваемого графика будет точка Вг (0; Ь). Далее, при увеличении х подкорен-
ное выражение в формуле (11.15) будет уменьшаться, а с ним будет уменьшаться
и ордината у. При х = а мы получим у = 0, так что точка М (х; у), начав свое
движение из точки (0; Ь), перемещаясь вправо (0 < х < а) и вниз (Ь > у > 0),
достигнет точки А2 (а; 0), лежащей на оси Ох. При дальнейшем увеличении х, т. е.
при х>а, подкоренное выражение в формуле (11.15) становится отрицательным,
а значит, у — мнимым. Отсюда следует, что точка Л2 (а; 0) является самой край-
ней точкой графика, правее которой нет больше ни одной точки эллипса. Анало-
гично из формулы (11.16) следует, что эллипс не может иметь точек, для которых
|</1>ь.
* От греческого слова хама» — канон, правило, норма, образец. Такам образом, название
«каноническое» означает: принятое в качестве образца» типовое.
§ 15. Эллипс, его вершины, оси симметрии, фокусы и эксцентриситет 51
Итак, частью эллипса, расположенной в первом квадранте, является дуга BtA2.
Зеркальное отражение дуги В,Л2 относительно координатных осей даст нам полный
эллипс, изображенный на рис. 38.
Отрезок прямой, соединяющий две произвольные точки эллипса, называется его
хордой. Оси симметрии эллипса называют обычно просто его осями, а точку пере-
сечения осей — центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси,
как уже отмечалось, называют его вершинами. Заметим, что осями эллипса при-
нято называть также отрезки А^ = 2а и В2В2 •— 2 b. Ось, на которой располо-
жены фокусы Fy(—с‘, 0) и F2(c; 0), называется фокальной осью. Если а> Ь, то
согласно (II.8), величина с=Уа2— Ь2 будет действительная и фокальной осью
будет ось 2а. Если же Ь>а, то величина
с = У а2 — Ь2 = У — (Ь2 — а2) = (УЬ2 — а2
будет чисто мнимой, следовательно, фокусы будут расположены па оси ординат,
а фокальной осью в этом случае будет ось 2Ь. Поэтому, введенные раньше названия
«большая полуось а» и «малая полуось &» относятся только к случаю а>&.
Форма эллипса, как мы видели, зависит от его эксцентриситета е. При е = 1.
согласно (11.11) 5=0 и эллипс переходит в разрез РгР2. При е = 0 согласно (II. 11)
с = 0; а = Ь, так что уравнение (11.14) переходит в уравнение окружности радиуса
R = а = Ь:
-у + г» = 1, или х2 + у2 = а2.
а2 о2
Таким образом, окружность есть частный случай эллипса, у которого фокусы
слились в одну точку и совпали с его центром (0; 0), в силу чего эксцентриситет
окружности равен нулю. Окружность имеет бесконечное число осей симметрии —
любой диаметр окружности одновременно является и ее осью симметрии. Операция
растяжения х* = — х', у* = у сохранила это свойство только для двух взаимно
перпендикулярных диаметров эллипса, совпадающих с его осями (свойство произ-
вольных диаметров эллипса будет рассмотрено в § 21).
Итак, при изменении величины эксцентриситета от нуля до единицы (0 < е < 1)
эллипс будет из окружности (г = 0), постепенно сжимаясь, трансформироваться
во все более и более вытянутую замкнутую кривую, пока не перейдет в отрезок
прямой F1Ft, соединяющий его фокусы (е = 1).
Пример 3. Прямая 2х — Зу — 6 = 0 пересекает эллипс х2 + 4у2 = 100. Найти
величину осей и эксцентриситет эллипса, а также длину хорды, отсекаемой этой
прямой.
Решение. Разделив обе части уравнения эллипса на 100 и тем самым приведя
его к каноническому виду, имеем
100 25 —
©’сюда а2 = 100, &2 = 25, а = 10, 5=5 и, следовательно,
2а = 20, 2Ь = 10, с = /а2 —ft2 = /75 и 8,860; е =	= 0,8860.
Определив оси и эксцентриситет эллипса, переходим к решению второй части
задачи. Для того чтобы найти точки пересечения эллипса и прямой, надо решить
систему уравнений
2х — Зу — 6 = 0,1 „„„ 2х = 3у^.&	]
х2 4.4t/2 = 100> J или х2 = _4y2	1(Х) j
Возведя первое уравнение системы в квадрат и вычтя из него учетверенное
второе уравнение, находим
4х2 = 9у2 + 36у 4- 36 |+1
х2 = —4у2 + 100 I —4
0 = 25у2 + 36у — 364
52
Глава II. Кривые второго порядка
Решая найденное квадратное уравнение и ограничиваясь при этом точностью до
трех десятичных знаков, получаем*
— 18 ± /324 + 25-364	—18 ± /9424	—18 ± 97,077
У~	25	2Б	25
Отсюда, учтя, что согласно первому уравнению системы х == 1,5# ф 3, мы и находим
координаты искомых точек:
уг = r18..±?L277 = +3,163; xL = + 7,745; х® + 4р® = 100,003;
1
У2 =	~2| — - = - 4.603; х2 =-3,905; х® + 4^ = 99,999.
С целью контроля вычислений мы также подставили найденные х и у в исходное
уравнение эллипса и убедились, что оно удовлетворяется с той точностью, с кото-
рой были выполнены вычисления.
Для того чтобы завершить решение примера, нам остается подставить коорди-
наты найденных точек в формулу (1.2) и вычислить длину хорды эллипса, отсе-
каемого заданной прямой:
r12 = /(xj — х2)2 + (Уг — у2)2 = /(11.650)2 + (7,766)2 = /196,033 = 14,001.
У п р а ж'н е и и я
5.	Дан эллипс	= 1. Определить его оси, расстояние между фоку-
сами и эксцентриситет.
6.	Составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках
41 (—8; 0) и 43 (8; 0), а координаты фокусов (±5; 0).
7.	Написать уравнение эллипса, у которого координаты фокусов (0; ±5),
2
а эксцентриситет равен -у.
№ у%
8.	Проверить, лежат ли на эллипсе + -j = 1 точки А (0; ±2), В (+3; 0),
С(1; 2).
№ у*
9.	Даны эллипс ^ + +; = 1 и точка на нем с абсциссой х - 3. Найти ординаты
оо 12
двух соответствующих точек эллипса и расстояние между ними.
10.	В эллипс 9х2 + 36(/2 = 324 вписан правильный треугольник, одна из вершин
которого совпадает с правой вершиной эллипса. Найти координаты двух других
вершин треугольника и длину его стороны.
§ 16. Построение эллипса.
Применение эллипса в технике
Рассмотрим некоторые, наиболее простые способы построения эллипса.
I.	Способ садовников. Закрепим в точках F i и F 2 две булавки и набро-
сим на них петлю из нерастя^кимой нити (рис. 41). Если теперь, натягивая нить
при помощи карандаша, перемещать его, то нить принудит карандаш пройти
только через те точки плоскости, сумма расстояний которых гг + г2 от двух задан-
ных точек Гг и F2 постоянна (суммарная длина нити п + г2 + 2с постоянна, но
расстояние 2с не изменяется, так что + r2 = const).
Следовательно, карандаш, замкнув свой путь, вычертит на бумаге эллипс.
Этим способом обычно пользуются садовники при вычерчивании эллипсовидных
клумб, откуда и произошло его название.
* Кории удобно определять при помощи таблицы Барлоу [136].
$ 16. Построение эллипса, Применение эллипса в технике
53
Упражнения
1. Вычертите некоторый эллипс большого размера. Не трогая булавок, вычер-
тите еще несколько эллипсов, уменьшая размер нитяного треугольника. Получен-
ная совокупность кривых называется семейством софокусных эллипсов.
2. Вычертите какой-либо эллипс, у которого 2с = 100 мм. При помощи той же
нити вычертите ряд эллипсов, зафиксировав F2 и приближая к нему все более
Рис. 41.	Рис. 42.
и более F2, пока в пределе оба фокуса не сольются в одну точку. Для каждого
эллипса определите циркулем-измерителем а и с, после чего вычислите с точностью
до 0,01 величину эксцентриситета Е = ~ •
II. Построение эллипса по точкам. Пользуясь определяющим ра-
венством для эллипса
Г1 4й г2 = 2й,
любое число его точек легко построить при помощи циркуля (рис. 42). На отрезке
AYA2 длиною 2а из заданных фокусоз А и F2, как из центров, радиусом г2 =
= Л2Л1<а делаем засечки. Отрезок AtM будет, очевидно, равен r1=2a—ri,
так что, сделав снова засечки из фокусов и F2 радиусом г1 = Л1Л4>.а, полу-
чим одновременно четыре точки, для которых гг + г2 = 2а. Построив достаточное
число таких точек, вычерчиваем эллипс при помощи лекала.
Упражнение 3. Решить пример 3 § 15 графическим путем и сопоставить
результаты с результатами, полученными ранее аналитически. Построить также по
точкам эллипс 4№ ф у2 = 100, найдя предварительно его вершины и фокусы,
а затем найти длину хорды, отсекаемой от этого эллипса прямой 2х— Зу — 6 = 0.
Указание. В случае b > а фокусы эллипса находятся на оси ординат.
•III. Построение эллипса циркулем и линейкой. Пусть дан
эллипс (рис. 43)
Из его центра начертим две окружности, одну — радиусом а, другую — радиусом Ъ
(считая, что а > Ь), Проведем через центр эллипса произвольный луч и обозначим
буквой t угол, который этот луч образует с осью Ох. Проведенный луч пересечет
наши окружности в точках Р и Q. Из точки Q опустим перпендикуляр на ось Ох,
а из точки Р проведем отрезок РМ, параллельный этой оси. Покажем, что точка М
будет лежать на эллипсе. Для этого выразим координаты точки М (х; у) через 1.
Согласно построениям, выполненным на рис. 43, легко видеть, что
х = OQi = OQ • cos t = a cos t,
у = QjM = Р±Р = OP • sin / = & sin t.
54
Глава 11. Кривые второго порядка
Таким образом, для рассматриваемой точки
х = a cos /, j
у = & sin t. J
(П.17)
Подставив эти координаты в исходное уравнение эллипса, имеем
х2 . у2 a2 cos21 b2 sin21	„	. „
&*	—^2— + —= cos‘' + SI”21 Э 1>
ему при любом значении t. Следовательно, точка М(х\ у) принадлежит данному
эллййсу. Прородя ряд других лучей и производя указанное построение, мы можем
найти столько точек эллипса, сколько пожелаем.
Фокусы построенного эллипса и К. также легко найти графическим путем.
Для этого надо только из вершины Вг (0; &) радиусом R = а сделать две засечки
на оси абсцисс (если а>&; если же &>а, засечки делаем на оси ординат из
вершины 41 (—а; 0) радиусом R = &).
Отметим попутно, что уравнения (П.17) выражают координаты произвольной
точкй эллипса как функции вспомогательной переменной t, которую можно считать
параметром. Благодаря этому уравнения (11.17) называют параметрическими урав-
нениями эллипса.
IV. Построение эллипса при помощи эллипсографа. В тех-
нике для построения эллипсов часто пользуются так называемым эллиптическим
циркулем, или эллипсографом (рис. 44).
В пазах прямоугольной крестовины скользят ползушки, шарнирно соединенные
с линейкой. Длина отрезка линейки PQ во время движения сохраняется постоян-
ной. Карандаш можно укрепить в любой точке линейки, как внутренней М(х; у),
так и внешней Мг (хг; уг). При этом будем считать во всех случаях, что РМ = а
§ 16. Построение эллипса. Применение эллипса в технике
55
и AfQ = b. Убедимся, что точка М (ж; у) при таком движении описывает эллипс.
Из Подобия треугольников РМК и MQN следует
т_
b ~ а '
Для того чтобы найти уравнение линии, которую описывает точка М (х; у)-,
в полученное равенство надо ввести х и исключить из него т. Треугольник РМК
прямоугольный, так что
т2 = а2 — х2.
Тогда, возведя первое равенство в квадрат и заменив в нем т2 равной величиной
а2 — х2, получим
Л Л	<»2
у2 аа — ж2
55-=-^-, или
что и доказывает наше утверждение.
Удобство эллипсографа заключается в том, что с его помощью можно вычер-
чивать эллипсы с наперед установленными полуосями а и Ь.
Упражнения
4.	Доказать, что внешняя точка Mt (жх; </х) (см. рис. 44) также описывает
Эллипс с полуосями а = РМг-, b = QMt.
5.	Можно ли при помощи эллипсографа вычертить окружность? Какими при
этом должны быть а и 6?
6.	Построить эллипсограф» склеив (или скрепив винтами) его крестовину из
рлексигласа толщиной 3—4 мм. Резьба в плексигласе легко нарезается самим
винтом или метчиком.
Идея конструкции эллипсографа может быть использована и в других направ-
лениях. Например, в технике, для обточки тел эллиптического сечения применяют
специальный патрон, называемый эллиптическим.
Эллиптический патрон получим, обратив схему эллипсографа, т. е. закрепив
неподвижно линейку (и на ней резец) и приведя крестовину во вращение. В ре-
зультате резец проточит эллипс на теле, вращающемся вместе с крестовиной, так
как существенно не абсолютное движение, а относительное.
В технике применяют и другой вид обращения эллипсографа. Перемещая
точку М по эллипсу или, в частности, по окружности, тем самым вынуждают
ползушки совершать прямолинейное движение назад и вперед. Эти механизмы
получили название прямил-, они превращают эллиптическое или круговое движение
в прямолинейное.
Из других применений эллипса в технике укажем на эллиптические шестерни
(рис. 45).
56
Глава II. Кривые второго порядка
Рис. 45.
Два эллипса с равными полуосями (а' = а"; &' = Ь") посажены на оси, прохо-
дящие соответственно через фокусы F£ и F" первого и второго эллипсов. Совме-
стное вращение двух тел возможно лишь в том случае, если сумма расстояний от
осей вращения точек, которым надлежит войти в соприкосновение, постоянна и равнэ
расстоянию между осями F2F"2. Если эта сумма больше F'2F2, произойдет закли-
неиие, если же она меньше F2F2, не насту-
пит сцепление.
Это условие выполняется для двух кругов
любых радиусов и, как легко убедиться,
для двух одинаковых эллиптических колес
а' = а"; Ь' = Ь", для которых в любой мо-
мент вращения
гi -ф г2 = 2а' = 2а" = const.
Но при вращении эллиптических колес,
если увеличивается г2', то г" уменьшается,
и наоборот. Так что, приведя в равномер-
ное вращение колесо I, получим периодически ускоряющееся и замедляющееся вра-
щение колеса 41. Этим свойством эллиптических колес пользуются в станках
(или других устройствах), где необходим медленный, но мощный рабочий ход и ус-
коренный холостой ход, как, например, в строгальных и долбежных станках.
в прессах и т. д.
§ 17. Гипербола и ее асимптоты
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность
расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная *. Эту постоянную принято обозначать 2а,
Исходя из этого определения> мы сможем вывести уравнение гиперболы, а по
уравнению установить затем ее свойства.
Пусть заданы две точки и F2 — фокусы бу-
дущей гиперболы (рис. 46). Примем середину от-
резка FjFz за начало координат И ось х проведем
черед фокусы. Расстояние фокусов от начала пусть
будет с, тогда их координаты будут (—с; 0)
и F2(c; 0). Уравнение гиперболы получим, если
в определяющем условии
Г1 — r2 = +2а	(II. 18)
величины гг и г2 выразим через текущие коорди-
наты точки М (х; у) и параметры гиперболы а
в правую часть равенства и возведем обе его част,
г? = (га ± 2а)2 = 4а2 ± 4а/
Тогда согласно формуле расстояния между двумя т
r2=[x-(-c)]24>(y-0)2 = x2,
4 = (х — с)2 > (у —О)2 = х2 — 2,
Внося эти результаты в наше уравнение, имеем
х2 + 2сх + с2 + у2 = 4а2 ± 4аг2 -> х2
та>£ что, приведя подобные члены и сократив обе части равенства на четыре,
поЛучим
сх = а2 ± аг2.	(И. 19}
• Постоянная а должна быть положительной и меньше расстояния между фокусами» ио не
должна равняться нулю.
Ft(rC,O)
Рис.
FjlCiO) х
46.
и с. Для этого
I в квадрат:
2 + ra2.
очками (1.2)
> 2сх + с2 ф у2,
:х + с2 -ф у2.
— 2сх ф с2 + у2.
перенесем rt
У
П
1Г2
§ 17. Гипербола и ее асимптоты
57
Теперь остается еще исключить г2. Снова изолируем член, содержащий га, и воз*
ведем обе части уравнения в квадрат:
(сх — аа)а = (±ага)а,
ИЛИ
с2х2 — 2а2 сх ф а4 = а2га.
Заменяя здесь га его значением, имеем
с2х2 — 2а2сх ф а4 = а2 (х2 — 2сх ф с2 + у2),
или после очевидных упрощений
(с2 — а®) х2 — а2у2 = а2 (с2 — а2).
Разделив все уравнение на а2 (с2 — а2), находим
х*_ у2 _ 1
а2 с2 — а2~1"
Обозначив
c2-a2 = b2,	(Н.20)
получаем уравнение гиперболы*, отличающееся от уравнения эллипса только зна-
ком при у2:
^-£> = 1.	(П.21)
а2 о2	’
Уравнение (11.21) называется каноническим уравнением гиперболы.
Изучим ее свойства. Для этого непрнведенное уравнение гиперболы
Ь2х2 — а2у2 = а2Ь2
решим относительно у2',
Ь2 (х2 — а2)
У ~ а2 '
Извлекай корень, имеем
у=±— /F—~а2	(11.22)
и совершенно аналогично
* = ±у/^фГ2.	(II.23)
Проанализируем полученные результаты. Из (11.22) следует, что величина у
будет действительной только в том случае, если выполняется условие
I х | > а.
Уравнение (11.21) не накладывает на координаты (х; у) больше никаких ограниче-
ний. Ордината у может изменяться от —оо до фоо, принимая при х = а свое
наименьшее значение (по модулю), у = 0. Затем, при дальнейшем увеличении |х(
будет также расти и |у|, стремясь к бесконечности. Но на кривой не существует
ни одной точки, для которой абсцисса х по модулю была бы меньше а, так как
при | х |< а согласно (11.22) у = ±1 У а2 — х2.
* Для полной строгости надо, как и при выводе уравнения эллипса, доказать равносиль-
ность уравнений (11.18) и (11.21), что читателю полезно выполнить в виде упражнения.
58
Глава //. Кривые второго поряока
Проведем теперь через начало координат две прямые:
, $ ь
у = ^.-Х, У = ~~х
и сравним ординаты прямых
с ординатами гиперболы
(11.24)
^пр =
^гип
при одном и том же значении абсциссы х.
Имеем | угип | < | упр |, так как
дли любых значений | х | >. а >. О, поскольку при этих условиях
есть правильная дробь.
Рассмотрим, кроме того, разность ординат этой прямой Ц гиперболы, ограни-
чиваясь случаем х>>0, У^О (т. е. случаем, когда исследуемые линии располо-
жены в I квадранте):
b b ,____________ b , г________________
УпР-Угнп = -7*-у/х2-аг = -5-(*-/х2~а2).
Умножив и разделив выражение в скобках на х 4 Ух2 — а2, преобразуем его
к виду
(х — Ух2 — а2) (х 4- Ух2 — а2) _ х2 — (Ух2 — а2)2 _
х 4 Ух2 — а2	х 4 Ух2 — а2
_ х2 — (х2 — а2)	а2
х 4 Ух2 — а2 х 4 Ух2 — а2
Таким образом, исследуемая разность ординат
Упр Угип z4/^=^2
(11.25)
по мере роста х становится сколь угодно малой. Например, дли а = b = 1, х = 10
^по — ^гнп = ----= 0,0501... .
р	10 4/99
Все сказанное выше остается справедливым для любого квадранта, что чита-
тель легко может проверить самостоятельно. Таким образом, по мере увеличения
| х | гипербола приближается к прямым у = i -^- х как угодно близко, но ни-
когда не может их достичь. Эти прямые называются асимптотами гиперболы*.
Имея асимптоты гиперболы, точку х = а; у = 0 и вычислив ряд промежуточных,
ее точек, можем построить нашу кривую (рис. 47).
Согласно уравнению
1
а2 Ь2
* Асимптоты встречаются не только у гиперболы, и мы вернемся к этому вопросу в § 48
§ 17. Гипербола и ее асимптоты
59
гипербола должна быть симметрична относительно обеих осей и начала, так как
перемена знака «-Iх» на «—» у абсциссы х, или у ординаты у, или одновременно
у обеих координат не нарушает правильности уравнения.
Таким образом, кривая, расположенная только в I и IV квадрантах (х >> 0),
не исчерпывает всех точек плоскости, удовлетворяющих уравнению гиперболы.
Этому уравнению будут также удовлет-
ворять все точки, которые получим из
уже построенных, заменив х па —х. Эти
точки образуют вторую ветвь гипербо-
лы, являющуюся зеркальным отраже-
нием первой ветви относительно оси Оу.
Отметим попутно, что саму первую
ветвь можно построить, отразив в оси
Ох, как в зеркале, только часть гипербо-
лы А2М, расположенную в I квадран-
те, после чего второе отражение в оси
Оу завершает построение всей гипер-
болы (см. рис. 47).
Конечно, обе ветви гиперболы впол-
Рис. 47,
не равноправны, и здесь мы имеем
образец кривой, состоящей Из двух
самостоятельных ветвей.
Как и для эллипса, степень сжатия гиперболы характеризуется эксцен-
триситетом.
* =	(П.26)
й
но для нее 1, так как а<с.
Строить гиперболу можно, как и эллипс, непрерывным движением *, но проще
всего ее строить при помощи циркуля и линейки по отдельным точкам. Для этого
по заданным а я b строим прямоугольник PQST со сторонами 2а и 2Ь, параллель-
ными координатным осям (рис. 48). Затем из точки 0 радиусом OP = 0Q = с
делаем засечки на оси Ох и согласно формуле (11.20) ноЛуЧаёй фокусы Гг (—с; 0)
и f2 (с; 0). Из фокусов F± и Л2 произвольным радиусом й = <!>£ + а= /71Л2 =
= /Г2Л1 делаем четыре засечки. Не меняя радиуса R, из точки Аг, как из центра,
делаем также засечку N на оси абсцисс. Далее, уменьшив радиус R на величину
2а, т. е. перейдя к радиусу
r2 = AtN = A2N — А2А± = R — 2а = rY — 2а,
делаем вторые засечки. Пересечение засечек и дает точку М (xj у) и еще три сим-
метричные М точки гиперболы, поскольку для каждой из них выполняется усло-
вие (11.18)
i\ — гг = ±2а.
Изменяя величину R = гг и повторяя необходимые построения, мы можем найти
сколько угодно точек гиперболы, а диаГойалипрямоугольника PQST будут являться
ее асимптотами.
Оси симметрии гиперболы называют обычно просто ее осями, а точку пересе-
чения осей — центром гиперболы (в данном параграфе мы имеем дело с гипербо-
лой, оси которой совмещены с осями координат, в результате чего ее уравнение
приняло наиболее простой вид). Одна из двух осей пересекает гиперболу, другая
ее не пересекает. Точки а; 0) и Л2(«; 0), в которых гипербола пересекается
с осью Ох, называются ее вершинами. Прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь, диа-
гонали которого совпадают с асимптотами, называют основным прямоугольником
'См., например, [105].
60
Глава II. Кривые второго порядка
гиперболы. Отрезки г. = F2M и r2 = F2M —фокальные радиусы точки М. Фокальные
радиусы произвольной точки гиперболы М(х; у) рационально выражаются через
абсциссу х и параметры гиперболы:
rj = s.x + а,	(11.27)
гг = ех — а.	(11.28)
Действительно, разделив обе части равенства (11.19) на а и введя эксцентри-
ситет гиперболы е = —, получаем формулу (11.28). Заменив в ней согласно (II. 18)
г2 = ri Т 2а, приходим к формуле (11.27).
Рис. 48.
Заметим, что в математической литературе принято также называть осями
гиперболы отрезки длиною 2а и 2Ь, соединяющие середины противоположных сто-
рон основного прямоугольника. Соответственно этому говорят, что уравнение (11.21)
•	1
а2 &2 “ 1
определяет гиперболу с полуосями а и Ь. При этом отрезок = 2а носит
название действительной или вещественной оси гиперболы в отличие от оси
ВгВ2 = 26, называемой мнимой*. Последнее название обусловлено тем, чю на оси
ВХВ2 нет ни одной точки гиперболы, так как при х = 0 из уравнения (11.21) полу-
чаем у = V—b2 = ±ib.
Гипербола, определяемая уравнением
-S+S=i-	(п-29)
в качестве своих вершин будет иметь точки Bt (0; b) и В2 (0; —Ь), ординаты кото-
рых у = +Ь получим, положив в уравнении (11.29) х = 0. Поэтому и фокусы
F* (0; с), F* (0; —с) гиперболы (11.29), где, как и прежде, с2 = а2 4- Ь2, будут
расположены на оси В1В2.
* Действительная ось гипербола называется также фокальной осью, поскольку фокуса
гиперболы могут находиться только на действительной оси.
§ 17. Гипербола и ее асимптоты
61
Две гиперболы, которые определяются уравнениями
при одних и тех же значениях параметров а и b называются сопряженными. Сопря-
женные гиперболы имеют одни и те же асимптоты, но у них действительные и мнимые
оси как бы поменялись ролями. На рис. 48 гипербола (11.29) показана пунктиром.
Пример 1. Найти величины осей, координаты фокусов, эксцентриситет
и уравнения асимптот гиперболы
64х2 — 25у2 = 1600.
Решение. Разделив обе части уравнения иа 1600 и тем самым приведя его
к каноническому виду, имеем
25 64 L
Отсюда	______
а2 = 25; 62 = 64; а = 5; 6=8; с = /а2 4- 6$ = /89 я 9,434
и, следовательно,
2а = 10; 26 = 16; е = — = я 1,8868.
а 5
Асимптотами рассматриваемой гиперболы согласно (11.24) будут прямые
У = ±-^х = ±1,6х,
а ее фокусы, которые, как уже отмечалось, всегда расположены на действительной
оси гиперболы, будут находиться в точках
Л (-/89; 0) и Г2(+/89; 0).
Пример 2. Найти точки пересечения эллипса 9х2 + 25у2 = 232 и гиперболы
Зх2 — 8у2 = 12, а также полуоси, фокусы и эксцентриситеты этих кривых.
Решение. Для того чтобы найти точки пересечения заданных кривых, надо
решить систему их уравнений. В данном примере, вычтя из первого уравнения
утроенное второе, получим
9х2 ± 25у2 = 232 I ±1
Зх2— 8уг = 12 1—3
49у2= 196; у2 = 4; у=±2.
Подставив значение у2 в первое уравнение, получаем
9х2 ± 25 • 4 = 232; х2 =	; х = ±^132 ~ ±3,830,
У	О
так что искомыми будут следующие четыре точки:
+2).	-2). л.,(=£5: -2), «.(=£?; +2}
Далее, приведя к каноническому Виду оба уравнения, имеем
62
Глава II. Кривые второго порядка
Следовательно, для эллипса
4, - т' " ¥ '• -"	“ М77:6"	=ЗЛ4в’
и, соответственно, для гиперболы
а2 = ; &2 = 1? ; а = /Т= 2; Ь = 1/" 4 ~ 1.225;
“гип з • гип 8	•	Г 2

Л
Рис. 49.
Пример 3. Две железнодорожные стан-
ции А и В находятся на расстоянии I км
одна от Другой. В точку М груз можно
доставить со станции А либо по прямой ав-
тотранспортом, Либо по железной дороге до
станции В, а оттуда автомобилями (рис. 49).
При этом железнодорожный тариф (цена
перевозки 1 т на 1 км) составляет т руб-
лей, погрузка — разгрузка обходится в k
рублей (за 1 т) и тариф автотранспорта —
п рублей (п > т). Определим так назы-
ваемую зону влияния железнодорожной стан-
Т. е. ту зону, в которую дешевле доставлять груз из А смешанным пу-
железной дороге и затем автотранспортом.
дни В,
тем: по
Решение. Стоимость доставки 1 т груза' по пути AM составляет rati, где
ra = AM, а по пути АВМ она будет равна 1т 4- k Ф Г(п. Нам надо решить двой-
ное неравенство гап % 1т ф k ф гдг и определить, как распределятся точки на
плоскости (х; у), в которые дешевле доставлять груз либо первым, либо вторым
путем.
Найдем уравнение линии, образующей границу между этими двумя зонами, т. е.
геометрическое место точек, для которых оба пути «равно выгодны»:
Из этого условия получаем
ran = Im -Ь k rgi.
Im -i- k ,
ra — r,= 5— = const.
“ b n
Следовательно, линия раздела — гипербола. Для всех внешних точек этой гипер-
болы более выгоден первый путь, а для внутренних — второй. Поэтому гипербола
и очертит зону влияния станции В. Вторая ветвь гиперболы очертит зону влияния
станции А (груз доставляется со станции В). Найдем параметры нашей гиперболы.
Ее большая ось
2а = 1^±Л,
п
а расстояние между фокусами (которыми являются станции А и В) в данном слу-
чае 2с = I.
Таким образом, условие возможности этой задачи, определяемое соотношением
а<с, будет
•—----< I, или I >----—, п > т,
п	'п — т
§ 17. Гипербола и ее асимптоты
63
Упражнения
1,	Написать уравнение гиперболы с полуосями а = 5, Ь = 12 и определить для
нее сие.
2.	Лежат ли на гиперболе =• — яг = 1 следующие точки: Mt (—8; 6 у 3),
1и оО
М2 (6; 3^5), 7И3(—3; 2^6), 7И4(5; —7)? Лежат ли точки 4(3; 2), В (2; “-3),
С (5; 6) на одной из асимптот этой гиперболы?
3.	Написать уравнение гиперболы, у которой:
а)	фокусы имеют координаты (+3; 0) и вещественная ось равна 4;
б)	фокусы имеют координаты (0; +4) и ве-
щественная ось равна 6;
в)	фокусы имеют координаты (±3; 0) и ве-
щественная ось равна 8.
4.	Построить по точкам гиперболу, рассмот-
ренную в примере 1, а также сопряженную с ней
гиперболу (11.29).
5.	Найти величину осей, координаты фоку-
сов, эксцентриситет и уравнение асимптот ги-
перболы 9х2 — 16г/2 = 144.
6.	Найти точки пересечения гиперболы
X2 и2
у —	= 1 и ее асимптот с прямой 2х -ф- Зу = 0.
7.	Найти точки пересечения эллипса 2х2 -ф
-f- Зу2 = 16 в гиперболой х2 — 2у2 = 1 и ее
асимптотами.
8.	Построить по точкам эллипс и гиперболу,
рассмотренные в примере 2, и проверить графи-
ческим путем ранее полученные результаты.
Сравнить, сколько времени требуют графический
и аналитический методы и какую точность мо-
жет обеспечить каждый из этих методов.
При определении гиперболы мы потребовали,
чтобы постоянная а удовлетворяла условиям
Исследуем теперь, какие геометрические места точек будут соответствовать
предельным случаям а = 0 и а = с.
Если разность расстояний от некоторой точки М (рис. 50) до точек F± и F2
равна нулю (2а = 0; а = 0), то эта точка равноудалена от Ft и F2. Следовательно,
геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух фиксированных
точек Fx и F2 равна нулю, представляет собой прямую, перпендикулярную к
отрезку FXF2 и проходящую через его середину.
Если а = с, то очевидно, что геометрическое место точек М, для которых
| РгМ — F2MI = 2а = 2с, будет состоять только из самих точек Flt F2 и всех
точек, находящихся на одном из продолжений отрезка РгР2 (рис. 51).
Таким образом, при 0 < а < с, т. е. когда параметр а пробегает все значения
от а=с до а = 0, соответствующие гиперболы, непрерывно изменяя свою форму
(и эксцентриситет от е = 1 до е = оо), покрывают всю плоскость (х, у), причем
через каждую точку плоскости проходит только одна гипербола. При этом для
а = 0 две ветви гиперболы сливаются, переходя в ось Оу, Сам отрезок РгРг, не
принадлежащий к семейству гипербол, Является предельным случаем эллипса
а = с; 6 = 0.
Некоторые из этих гипербол показаны на рис. 50 и 51 пунктирными линиями.
Читателю будет полезно дополнить эти рисунки, построив еще несколько гипербол
при фиксированном с, но при различных а (по образцу рис. 48),
64
Глава II. Кривые второго порядка
а-0	/
(e-о») /а^/гс
\а-/2с
I / /''5=%с
/ /
а-с
(е=1)
\\
“°)' i
V/
'/
/
/
!
а-с
(£-/)
Рис.
51.
1 Vxfe
§ 18. Общее преобразование координат.
Равносторонняя гипербола
Одна и та же линия в различных системах координат представляется различ-
ными уравнениями. Часто возникает необходимость, зная уравнение некоторой
линии в одной системе координат («старой»), найти уравнение той же линии в дру-
гой системе («повой»). Для этой цели служат формулы преобразования координат
которые устанавливают связь между старыми и новыми координатами произвольной
точки М.
Любую новую систему прямоугольных декартовых координат Х*0*¥* можно
получить из любой старой системы XOY с помощью двух движений (рис. 52):
1) параллельным переносом совмещаем начало О с точкой О*, сохраняя неизмен-
ным направление осей, в результате чего получаем вспомогательную систему
X'O*Y' (обозначенную на рисунке пунктиром); 2) поворотом вспомогательной
системы вокруг точки О* до совмещения с новой системой Х*0*¥*.
Эти же два движения можно выполнить и в обратном порядке, как показано
на рис. 53,— сначала поворот вокруг О, дающий вспомогательную систему Х'ОУ,
а затем параллельный перенос в точку О*, дающий новую систему X*O*Y*.
Формулы преобразования координат при параллельном переносе осей мы уже
вывели в § 5 гл. I; переходим к выводу формул преобразования координат при
повороте осей.
Возьмем в системе координат хОу точку М (рис. 54) с координатами
х — ОР\ у = РМ.
§ 18. Общее преобразование координат. Равносторонняя гипербола
65
Повернем эту систему вокруг начала координат О против движения часовой
стрелки на угол а. Как и прежде, угол а будем считать положительным, если он
образован поворотом осей против движения стрелки часов. В результате повороту
осей получится новая система координат х*Оу*, относительно которой та же точка М
имеет координаты
х* = ОР*; у* = Р*М.
Найдем соотношения между координатами точки М в старой и новой системах.
Проведем прямые Р*А || Ох и Р*В || Оу. В таком случае
х = OP — ОВ — РВ = ОВ — АР* = OP* cos а — Р*М sin а,
у = РМ = РА 4- AM = ВР* AM = OP* sin а -f- Р*М cos а,
поскольку Z, АМР* = / ВОР* ~ а, как уг-
лы, образованные взаимно перпендикуляр-
ными сторонами.
Заменяя теперь в полученных равенствах
ОР* = х*, Р*М = у*, мы и приходим к фор-
мулам. позволяющим найти старые коорди-
наты точки по известным новым*:
X = X* COS а — у* sin а, )
, .	. .	1	(11.30)
У = X* 81П а -ф- у* COS а. J	'
Решив систему уравнений (II.30) относи-
тельно х* и у* (что читателю полезно вы-
полнить в виде упражнения), получим фор-
мулы
X* = X COS а 4“ у sin а,
у* = —X sin а У COS а,
(11.31)
с помощью которых находятся новые координаты точки по известным ее старым
координатам. Эти же формулы можно получить н непосредственно из формул
(11.30) при помощи следующего рассуждения. Если новая система получается пово-
ротом старой на угол а, то старая система получается поворотом новой на угол
—а. Поэтому, поменяв в равенствах (II.30) местами старые и новые координаты
и заменив одновременно а на —а, получим формулы (11.31).
Вернемся теперь к дальнейшему изучению свойств гиперболы. В предыдущем
параграфе мы видели, что мнимая ось гиперболы 2Ь может быть больше, меньше
или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (а= Ь),
то гипербола называется равносторонней (или равнобочной).
Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны и образуют
с осями углы по 45° каждый, так как ее основной прямоугольник (при а = Ь)
переходит в квадрат, диагонали которого взаимно перпендикулярны и направлены
к сторонам под углами в 45°. Естественно, возникает мысль принять взаимно
перпендикулярные асимптоты за новые оси координат, выполнив преобразование
поворота осей. Повернем оси координат на угол а = —45°, тогда ось Оу* совпадет
с асимптотой у = -|-х, а ось Ох* — с асимптотой у = —х. Асимптоты станут и о-
выми осями координат. Придав им обычное положение (т. е. направив ось абсцисс
горизонтально), получим рис. 55, на котором новые оси обозначены Ох*, Оу*
(и в отличие от рис. 54 изображены не пунктирными, а сплошными линиями).
• Для того чтобы легче было запомнить формулы (11.30), заметьте, что в выражении для у
имеем «полный порядок» (синус стоит раньше косинуса, а между Членами правой части стоит
виак плюс). Напротив, в выражении для х мы имеем «полный беспорядок» (сначала косинус,
потом синус, а между членами —знак минус).
3 4-368
66
Глава II. Кривые второго порядка
В старой системе координат уравнению гиперболы (11.21) при а = Ъ можно при-
дать такой вид:
S-S=1-
или
(X — у)(х-У у) = а2.
(11.32)
Каким же будет уравнение равносторонней гиперболы в новой системе координат?
Подставив в формулы (11.31) заданное значение угла поворота осей а = —45°,
получаем
1/2
х* = х cos (—45°) у sin (—45°) = — (х — у),
~\/~д
У* = —х sin (—45°) у cos (—45°) = (х -ф у).
Отсюда
х — у = ]/2х*, х + у = У^2у*.
Внося эти значения в (11.32), имеем
_ _	д2
У 2х* • У 2у* — а2, или х*у* = -%.
Положив для краткости -у а2 = k, придаем
этому уравнению окончательный вид:
х*у* = k,	(П.ЗЗ)
где k — постоянная величина.
Итак, равносторонняя Гипербола, отне-
сенная к своим асимптотам х" = 0; у* = О,
представляет собой график обратной
пропорциональности, которому (ме-
няя роли старых и новых осей координат,
т. е. опуская звездочки) можно придать его обычный вид
k
х
(11.34)
В частности, закон Бойля—Мариотта
PV = const
(в системе координат давление Р, объем V) описывается уравнением равносторонней
гиперболы.
Общий случай дробно-линейной функции
ах-ф Ь
cx + d'
который легко привести к виду
, k	k
ysan-\-----• ИЛИ у— n----------г—: ,
* ex -ф-d ’ cx^-d
§ 18. Общее преобразование координат. Равносторонняя гипербола
67
преобразованием параллельного переноса
х=	— , у' = у — П
может быть сведен к равносторонней гиперболе.
Эксцентриситет равносторонней гиперболы не зависит от постоянной k (т. е. от
а = /2А) и всегда равен ]/2*, так как при а=Ь согласно формулам (11.20) и
(11.26) имеем
е = с_ = Уа2±Ь2 =	= у-
а а	а " '
Пример 1. Найти уравнение равносторонней гиперболы, проходящей через
точку (2; 4), а затем определить величину ее действительной полуоси.
Решение. Подставив координаты заданной точки х = 2, у = 4 в уравнение
(11.34), находим, что k = ху = 8 и, следовательно, уравнение искомой гйперболы
Воспользовавшись соотношением -% а2 = k, по известному k определяем полуось
а У2k — /16 = 4. Мнимая полуось Ь равна действительной, поскольку по усло-
вию гипербола равносторонняя (а = Ъ).
Пример 2. Решить графическим путем общее квадратное уравнение *
ах2 ф- Ьх ф- с = 0,	(11.35)
воспользовавшись для упрощения построений свойствами равносторонней гиперболы.
Решение. Общее квадратное уравнение имеет два независимых параметра
(отношения двух любых его коэффициентов к третьему, не равному нулю). Прямая
(*\2	/ а\2
X *)	[у*\	,
а*/ ~ \b*J = совместно определяются четырьмя параметрами,
так что мы можем двумя из них распорядиться по своему усмотрению. Эту воз-
можность выбора двух параметров лучше всего используем, взяв простейшую из
гипербол у = —. Разделив общее квадратное уравнение на х, имеем
ах ф Ь ф — = 0.
' х
Произведя замену — = у, получим ах ф- Ь ф су = 0 — уравнение прямой линии,
точки пересечения которой с простейшей равносторонней гиперболой и дают корни
квадратного уравнения (рис. 56):
ах ф су + Ъ = 0,	]
_ 1	1	(11.36)
у~ х ’	J
поскольку система (11.36) эквивалентна исходному уравнению (11.35).
Для большего удобства гиперболу у — — строим один раз навсегда, а прямую
ах ф су ф b = 0 проще всего определить отрезками, отсекаемыми ею на осях, т, е.
двумя точками
I	Ь
х = 0; у = — — I и ^" = 0; х = —-
§ 15* Обратите внимание на то, что зиачения букв а, Ь, в здесь уже совершенно иные, чем в
68
Глава II. Кривые второго порядка
Тогда, проведя через эти точки прямую и прочтя абсциссы точек ее пересечения
с гиперболой, мы найдем искомые корни дс, и дс2 уравнения (11.35). На рис. 56
приведено графическое решение уравнения
100дс2 + ПОдс — 126 = 0,
корни которого дсг= —1,80 и дс2 = +0,70, а отрезки па осях (вычисленные с тремя
Точность построений можно увеличить, если прямую задать точками с доста- •
точно большими абсциссами, скажем, х = 4?5, тогда прямая ах + су + b = 0 будет
определяться следующими двумя точками:
(*=—5; </ = ———- = —3,Ю| и (х=5; у = —	+ ^_ 4,34). р{а рИс. 56, кои-
\	С	/	\	с /
§18. Общее преобразование координат. Равносторонняя гипербола
69
кретности ради, приведены также данные для рассматриваемого примера а = 100,
£>=110, с =—126. Определяющие точки показаны кружочками.
Саму прямую реализуем в виде черты, проведенной острой иглой на линейке
(или угольнике, параллельно его гипотенузе) из прозрачного материала. Такая
черта хорошо видна па фоне графика, а при желании ее легко подкрасить, про-
йдясь по ней авторучкой с анилиновыми чернилами. Во избежание ошибки, вызван-
ной параллаксом, линейку на рисунок следует класть чертой вниз *.
Исследуем теперь частные случаи квадратного уравнения (11.35). При а 0
квадратное уравнение вырождается в линейное Ьх 4- с = 0, и в полном соответствии
с этим прямая
Q
Ьх£-С = Ъ, ИЛИ X ------г- ,
о
параллельная оси ординат, пересекает гиперболу только в одной точке, а вторую
точку пересечения можно мыслить удаленной в бесконечность. Таким образом,
приходим к выводу: один из корней квадратного уравнения, по мере приближе-
ния а к нулю, будет (по абсолютной величине) беспредельно увеличиваться, что
сокращенно можно записать | хг | -> оо при а -> 0.
,	а
При о = 0 получаем прямую у = —— х, проходящую через начало координат
и пересекающую обе ветви гиперболы в симметричных относительно начала точках.
При с = 0 (аналогично случаю а -»• 0) пересечение во второй точке наступит
только при у -+ оо, т. е. при х = — = 0.
Возможно, что прямая ах + су 4- Ь = 0 совсем не пересечет гиперболу. Это
будет означать, что уравнение (11.35) имеет комплексные корни. Графические
методы позволяют находить корни и в этом случае, однако объем книги не разре-
шает нам рассмотреть этот вопрос.
Если же прямая будет только касаться одной из ветвей гиперболы, то оба
корня jq и хг совпадут. Читателю полезно выполнить рис. 56 на миллиметровой
бумаге в масштабе 1 = 10 мм (или в большем), а затем проверить на конкретных
примерах все случаи, рассмотренные выше.
У пражнения
1. Найти формулы преобразования координат, начало которых перенесено в точку
(4; 5), а оси повернуты на угол а = 30°.
2. Определить, какие из точек Mt(—2; 3); М2(—1; —5), М3 (10; —5) лежат
на гиперболе у = — ?
3. Построить равностороннюю гиперболу
точку (—3; —2), и найти ее оси.
4. Решить графическим путем следующие
<— 110х — 126 = О, б) 12б№ — 100х — 100 = 0,
у + 3 = —-т-т1 проходящую через
X 4
квадратные уравнения: а) 100ха —
в) 173х2 + 89х — 137 = 0, а затеи
.	—b i ]/^>2 — 4ас
проверить результаты, вычислив их корни по формуле х ----------------------------
5. Найти точки пересечения гиперболы ху= 1 с эллипсом 16x24>9z/2 = 144.
* Решение квадратного уравнения — задача очень простая, и Mty так подробно остановились
на технике работы с «подвижной прямой» лишь потому, что в дальнейшем будем неоднократна
пользоваться этим приемом при решении более сложных задач.
70
Глава II. Кривые второго порядка
§ 19. График квадратичной функции
Общий вид квадратичной функции:
у = ах2 + Ьх + с (а=/=0).	(11.37)
Как видим, в состав этой функции непременно должны входить квадрат аргу-
мента ах2 (а =£0), а в общем случае также его первая степень Ьх и свободный
член с. Если а = 0, то квадратичная функция вырождается в линейную у = Ьх ф- с.
Наше изучение начнем с простейшего частного случая
у=х2 (а= 1, 6 = 0, с = 0).	(11.38)
Так как в уравнение (11.38) входит только четная степень х, то график функции
у=х2 симметричен относительно оси у (ордината точек с абсциссами —х и -|-х
одна и та же, у=(—х)2 = (+х)2). При возрастании |х| неограниченно растет
также и у, так что рассматриваемая кривая является разомкнутой, или, как Гово-
рят, уходит в бесконечность.
Вся кривая расположена над осью абсцисс, поскольку z/>>0 при любом х=/=0.
При х = 0 у также равен нулю (одну точку кривой мы, следовательно, получили).
Остальные точки в любом требуемом количестве можно вычислить из уравнений
у = х2, задаваясь произвольными значениями х, что мы сделалй в следующей
таблице:
Рис. 57.
Ось симметрии параболы называется просто ее осью (в данном случае она сов-
мещена с осью Оу). Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется
ее вершиной. В рассматриваемом частном случае вершина совпадает с началом
координат, т. е. с точкой х = 0, у=0.
Подобный же график имеет и функция
у = ах2,	(П.39)
с той оговоркой, что при а>0 парабола обращена вершиной вниз и расположена
целиком над осью Ох, а при а < 0 она обращена вершиной вверх, как показано на
рис. 57 и 58. На этих же рисунках проиллюстрировано И влияние абсолютной
§ 19. График квадратичной функции	71
величины коэффициента а: чем меньше | а |, тем больше «раствор» параболы, и
наоборот.
Упражнение I. Вычертить графики следующих парабол:
у= 5х2; У = ^ х»; {/=— Зх2; у= — ±-х2.
К рассмотренному виду легко привести также функцию у = ах2 4 с. Для этого
осуществим параллельный перенос старой оси абсцисс на величину с, сохранив ось
ординат неизменной, согласно формулам
х=х*; у--=у* + с.
Перейдя к новым значениям, имеем
у* с = а (х*)2 4- с,
или, приведя подобные,
у* = ах*2.
Вычертив теперь в новой системе координат (х*; у*) простейшую параболу у* = ах*2
(чтб читатель легко выполнит как упражнение), мы и заканчиваем исследование
функции у — ах2 фс.
Очевидно, что и в случае общего квадратного трехчлена
у = ах2 4 Ьх 4- с
параллельным переносом оси абсцисс можно прийти к форме, не содержащей сво-
бодного члена. С этой целью изучим, как влияет на квадратный трехчлен парал-
лельный перенос осц ординат. Начнем с простейшего случая у = х2 и произведем
какое-либо преобразование переноса оси ординат при неподвижной оси абсцисс,
например
х = х* 4 5; у= у*.
Внося новые значения в исходное уравнение,^имеем
у* = (х* 4 5)2 = х*2 4 10х* 4 25,
т. е. форму, содержащую аргумент в первой степени и свободный член.
Естественно, возникает мысль: путем параллельного переноса осей
х = х* 4 т> У = У* 4 я
общую форму
у = ах2 4 Ьх 4 с
привести к наиболее простой
у* = ах*2.
Надо только надлежащим образом выбрать координаты (т\ п) начала новой
системы координат. Для этого внесем новые значения в исходное уравнение
у = ах2 4 Ьх 4 с и получим
у* 4 п = а (х* 4 т)2 4 Ь (** 4 т) 4 о.
Раскрыв скобки и приведя подобные, имеем
у* — ах*2 4 (2а/п 4 Ь) х* 4 (а/п2 4 Ьт 4 с — п).
Йтого чтобы прийти к форме у* = ах*2, мы должны потребовать, чтобы каждое
ыражений в скобках обратилось в нуль:
2ат 46 = 0, |
шп2 4 6/п 4 с — п = 0, J
72
Глава 11. Кривые второго порядка
и из этих условий определить т и п, которые вначале были совершенно произ-
вольными величинами.
Решив последнюю систему, находим
Ъ
т= — сГ’
2а
,	. 4ас — 62
п = ат.2 4- от с = ——
Таким образом, общий квадратичный трехчлен у = ах2 + Ьх с в системе коор-
у Нас — Ь2
дннат, отнесенной к началу т = —	; п = —— будет иметь своим графиком
параболу у* = ах*2.
Другими словами: графиком трехчлена у = ах2 4> Ьс -ф- с служит парабола
у* = ах*2 с вершиной в точке
и с осью симметрии, параллельной оси ординат.
Точки пересечения этой параболы с осями Ох и Оу найдем, положив в уравне-
нии (11.37) соответственно у = 0 или х = 0. В результате получим одну точку
( у 4-1/” ja йас \
(0; с) иа оси ординат Оу и две точки I---	; 01 на оси Ох, так как
в последнем случае абсциссы этих точек являются корнями квадратного уравнения
ах2 + Ьх + с = 0.
Если 62<4ас, то парабола (11.37) не пересекает ось Ох, так как корни рассматри-
ваемого квадратного уравнения будут комплексными. Если Ь2 = 4ас, обе точки на
оси абсцисс сливаются в одну, и в полном соответствии с этим вершина параболы
лежит на оси Ох (т. е. ось Ох лишь касается параболы), поскольку при Ь2 = 4ас,
а =/= 0 из (11.40) следует, что п = 0.
Пример 1. Построить параболу у = 2х2 — 7х -> 3 и определить точки ее пере-
сечения с осями Ох и Оу.
Решение. В данном примере а = 2, Ь — —7, с = 3. По известным коэффи-
циентам а, Ъ, с согласно формулам (11.40) находим координаты вершины параболы:
Ь 7 4ас — Ь2 4 • 2 • 3 — 49	„1
------2а = -4’ П = ~^— = ~~2	----38-
Проведя через эту вершину оси координат, параллельные данным, строим в новой
системе параболу у* = 2х*2 (рис. 59). Далее, положив в заданном уравнении х=0,
находим z/=3, что и дает точку пересечения параболы с осью ординат. Значению
у=б соответствуют значения х = -^ и х = 3, которые определяем как корни
квадратного уравнения 2х2 — 7х -|- 3 = 0, так что наша парабола пересекает ось
абсцисс в двух точках'’ 0j, (3; 0).
Упражнение 2. Построить графики следующих трехчленов:
у = х2 2х 3; у = Зх2 + 5х — 8; у = 2х2 — 1х -ф 10
и найти для соответствующих им парабол вершины и точки пересечения с осями Ох
и Оу.
Все изложенное выше остается в силе и для квадратичного трехчлена
х = ay2 by 4- о (аф 0).	(II .41)
§ 19, График квадратичной функции
73
Только при этом оси х и у меняются ролями, т. е. ось параболы (П.41) будет
параллельна оси абсцисс, а сама парабола при а>-0 будет обращена вершиной
влево, а при а<0 — вправо. Остальные исследования уравнения (11.41) читателю
полезно выполнить в виде упражнения, по-
строив и все необходимые рисунки.
Пример 2. Определить длину хорды, ко-
х у ,	,
торую отсекает прямая — — -g- = 1 от парабо-
4
лы х = -=- (у2 4- 5у + 4).
О
Решение. Найдем точки пересечения пара-
болы и прямой 9х — 4у = 36, исключив х из си-
стемы (умножив первое уравнение на ^9, а
второе на —1 и сложив результаты):
X = у (У2 + 5у 4- 4) 4-9
9х = 4у 4- 36___________—1
О = 12у2 -ф- 56у + 12 или Зу2 -ф- 14у -4- 3 = 0.
Решая полученное квадратное уравнение и определяя затем и ха по найденным
значениям уг и у2 из уравнения прямой, имеем:
Выполнив (с тремя десятичными знаками) необходимые вычисления, находим
координаты точек пересечения прямой и параболы (рис. 60):
—7 4-6,325	0,675	„оолл
yt =----------------------— = —0,225;	= 4-3,900;
3	о
—7 — 6,325	13,325	л л	.о.ой
Уг  -------х——  ----------я— = —4,442; х2 = -ф-2,026,
о	О
74
Глава II. Кривые второго порядка
Подставив теперь координаты точек Мг (3,900; —0,225) и Мг (2,026; —4,442)
в формулу (1.2), определяем длину искомой хорды Л41Л42:
г12 = /(*2-*1)4* (1/2= /(-1,874)2 -ф (-4,217)2 = /й295 = 4,615.
На этом и кончается решение поставленной задачи, но для полноты картины
на рис. 60 указаны также вершина параболы и точки ее пересечения с осями ОХ
и Оу, которые читателю полезно определить в виде упражнения.
Вершину параболы (11.37) или (11.41) можно найти также, выделив в трехчлене
полный квадрат. Например, если задана парабола
х = у2 — 4у — 5,
то, прибавив к обеим частям уравнения по 9, приводим его к виду
х + 9 = г/2 — 4# ф 4 = (# — 2)2.
Отсюда непосредственно следует, что вершина данной параболы находится в точке
(—9; ф2). Эти же результаты получим согласно формулам (11.40) по известным
а = 1, Ь = —4, с = —5:
4ас—б2 —20—16
т± = п
Ь 4
.9; П1 = т-----------й = у = 2.
4а	4
Замечание. Формулы (11,40) были выведены для определения вершины
(т\ п) параболы (11.37), а в данном случае мы ищем вершину (mL\ nt) параболы
(11.41). Так как у этих парабол оси х и у поменялись ролями, то, применяя фор-
мулы (11.40) к определению вершины (mf, Пу), мы должны также поменять ролями
координаты т и п, т. е. ввести новые координаты вершины параболы (11.41):
т± = и; = т.
Упражнения
3.	Определить, какие из заданных точек Л4Х (2; —3), Л4г(2; 1), М3 (34; —3)
Mt (7; 0) лежат на параболе х = у2 — бу -ф- 7.
4.	При помощи способа выделения полного квадрата построить параболы
у = — х2 ф 8х — 13; х = З^2 _ 15^ ф 16; х = —у2 ф Зу — 13,
а затем проверить результаты по формулам (11.40). Для рассматриваемых парабол
найти точки пересечения с осями Ох и Оу и построить их графики на миллиметро-
вой бумаге.
5.	Определить длину хорд, которые отсекает от параболы Зх = 4у2 ф 20у -|- 16
каждая из следующих прямых:
а) бх = у ф9; б)-^ф-^=1; в)у = хф1.
Полученные результаты проверить графическим путем, проведя на рис. 60
заданные прямые и определив затем длину хорд при помощи циркуля-нзмерителя.
г
§ 20. Парабола и ее директриса
Парабола, как и некоторые другие кривые, была известна еще древним грекам.
Прй изучении свойств кривых второго порядка особенно крупных успехов достиг
греческий математик Аполлоний Пергский (ок. 260 — 170 гг. до н. э.).
В поисках способа более совершенного вычерчивания параболы греки обнару-
жили одно ее замечательное свойство. Если на оси симметрии параболы взять
точку Г, лежащую на некотором расстоянии (которое еще надо определить) от
§ 20. Парабола и ее директриса
7В
вершины, и по другую сторону вершины на том же. расстоянии у провести пря-
мую ST, перпендикулярную к оси, то каждая из точек параболы будет находиться
на одинаковом расстоянии как от точки F, так и от йрямой ST (рис. 61).
Точка F называется фокусом параболы, а прямая .ST—«ее директрисой (от
латинского directrix— направляющая).
Действительно, найдем, какой функциональной зависимостью связаны коорди-
наты произвольной точки М (х\ у), равноудаленной от фокуса F и от дирекТрь-
сы ST, т. е. точки, для которой
MN = MF.	5
Согласно рис. 61
I п V
(MF)2 = y2 + lx-£) ,
так что, возведя обе части нашего равен-
ства В квадрат и заменив MN й MF их
Значениями, получим:
(	\2	/	\2
=	2/ ‘
Отсюда, выполнив очевидные упрощения,
Ймеем
у2 = 2рх, или у = ±V2px. (11.42)
Как видим, это уравнение тождествен-
но с уравнением параболы х=ау2, если
положить
Рис. 61.
|п| = 1,или/; = г±1.
(11.43)
Замечание. В формулах (11.43) надо брать абсолютную величину коэффи-
циента а, поскольку параметр р, равный расстоянию между фокусом и директри-
сой параболы, всегда должен быть величиной положительной. Случай а < 0 рас-
смотрим несколько позже.
Проделав всю выкладку в обратном порядке, убеждаемся, что если координаты
какой-либо точки удовлетворяют уравнению (11.42), то эта точка лежит на равном
расстоянии от фокуса F и от директрисы ST. Другими словами, выполнив это,
докажем равносильность уравнений MN = MF и у2 = 2рх. В результате покажем
(как и при выводе уравнений эллипса или гиперболы), что возведение уравнения
MN = MF в квадрат не дало никаких «посторонних точек», удовлетворяющий
уравнению (11.42), к чему, вообще говоря, операция возведения обеих частей урав-
нения в квадрат может привести.
Уравнение (11.42) называется каноническим уравнением параболы, а величина р—
расстояние фокуса от директрисы, характеризующая «раствор» параболы, назы-
вается ее параметром. Величину г (рис. 61) называют фокальным радиусом
точки М.
Итак, парабола есть геометрическое место точек плоскости, равноуда-
ленных от одной заданной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).
При этом предполагается, что директриса не проходит через фокус, т. е. что р >0.
Пользуясь этим свойством, легко вычертить параболу непрерывным движением—
точку за точкой. Для этого укрепим нерастяжимую пить в фокусе будущей
параболы и положим вдоль ее директрисы линейку (рис. 62). Второй конец нити
76
Глава II. Кривые второго порядка
укрепим в точке Мг треугольника, выбрав эту точку так, чтобы длина нити MLF
равнялась отрезку М^.
Если теперь острием карандаша натянуть нить, прижимая ее к треугольнику,
а последний удерживать на директрисе, то мы и вычертим параболу. В самом
деле, во время движения
MN = MF,
так как от равных в начале движения величин M1N1 и МгР все время вычитается
один и тот же отрезок М±М (величина которого непрерывно изменяется).
Если требуется найти лишь несколько точек параболы, то можно воспользоваться
циркулем и линейкой. Для этого параллельно директрисе правее оси у проводим
линию с произвольной абсциссой х = 0Р >0 (рис. 63), а затем из фокуса, как из
центра, делаем на ней засечки радиусом г = PN, равным расстоянию между директри-
сой и прямой. В результате получаем одновременно две точки параболы, и таких
точек можно построить сколько угодно.
Если директрису ST параболы поместить справа от начала координат, то ее
фокус F и сама парабола ММ10М2Ма расположатся так, как показано на рис. 64.
При этом абсциссы точек параболы будут удовлетворять условию х < 0, а потому
ее уравнение примет вид
</2 = — 2рх.	(11.44)
Парабола может быть симметрична и относительно оси Оу, в этом случае фокус
ее будет лежать на оси ординат, а директриса будет параллельна оси Ох. Как
видно, при этом условии координатные оси меняются ролями и уравнение параболы
принимает вид
х* = 2ру,	(11.45)
если парабола обращена вершиной вниз (см. рис. 57), и
х» = —2ру,	(11.46)
если опа обращена вершиной вверх (см. рис. 58).
Заменив в уравнениях (11.45) и (11.46) параметр р его значением (П.43), прихо-
дим к рассмотренной в § 19 параболе (11.39)
у = ах2.
Семейство таких парабол при различных значениях коэффициента a s 0 представ-
лено на рис. 57 и 58. В качестве упражнения читателю полезно вычертить эти
§ 20. Парабола и ее директриса
П
!1исунки и дополнительно построить на них фокус F и директрису ST парабол
11.45) и (11.46) при различных значениях параметра р.
Влияние параметра р на «раствор» параболы очень наглядно показано также
на рис. 64, на котором выделены симметричные точки Mt (— ; -fipj и
Л42(—-у; — pj . В этих точках параболу у2 = — 2рх пересекает хорда, проходя-
щая через фокус F перпендикулярно к ее оси симметрии Ох, так что длина
Рис. 64.
хорды М1Мг, равная 2р, и характеризует собой величину раствора параболы.
Отметим также, что согласно определению параболы отрезок
= MlF = M2N2 = р
и, следовательно, четырехугольник	есть прямоугольник со сторонами
р и 2р.
Сравнив рисунки 61 и 64, легко видеть, что они являются зеркальным отра-
жением один другого в оси Оу, как и должно быть, поскольку на этих рисунках
изображены параболы у2-— ±2рх. В частности, парабола (11.42) будет проходить
через точки N± н Л2, симметричные точкам и М2, а вершиной для парабол
У2 = ±2рх служит одна и та же точка О — центр прямоугольника
совпадающая с началом координат.
В заключение отметим, что под каноническим уравнением параболы следует
понимать любое из четырех уравнений: у2 = ±2рх, х2 = +2ру, а не только урав-
нение (11.42).
Для того чтобы по заданному значению параметра р построить любую из этих
парабол, надо прежде всего построить прямоугольник* со сторонами р и 2р, со-
вместив его центр с началом координат и направив сторону 2р параллельно оси Оу
в случае парабол у2= ±2рх или параллельно оси Ох в случае парабол х2=±2ру.
В результате мы определим ось параболы, ее вершину, фокус и директрису, а также
две точки Мх (—р; -у j и Мг (р; yj, характеризующие собой раствор параболы,
Имея фокус и директрису, легко построить любое необходимое количество точек
параболы, как было описано выше. На рис. 65 выполнены эти построения дня
* Прямоугольник (р; 2р), по аналогии со случаем гиперболы, можно назвать основным
прямоугольником параболы, поскольку ои однозначно определяет собой данную параболу.
78
Глава II. Кривые второго порядка
параболы х2 = +2ру, директриса которой совпадает со стороной NiN2 основного
прямоугольника (р; 2р). На этом же рисунке пунктиром показана парабола
х2 = — 2ру.
Пример 1. Дана парабола
хг = —16р.
Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.
Решение. Данная парабола симметрична относительно оси Оу и расположена
в нижней полуплоскости у < 0. Из заданного уравнения находим
2р— 16, откуда р=8.
Расстояние фокуса от начала координат равно у, поэтому его ордината
•--у = —|- = —4, а сам фокус находится в точке F (0; —4).
Рис. 66.
Директрисой служит прямая, параллельная оси Оя
„	Р L П
и отстоящая от последней на расстояние — = 4. Следо-
вателыю, уравнением директрисы нашей параболы будет
у = 4. Для большей наглядности сделайте рисунок.
Пример 2. Луч, параллельный главной оптической
оси параболического зеркала, отразился от точки М (2; 6)
зеркала *. Найти уравнение отраженного луча, если осе-
вое сечение зеркала есть парабола у2 = 18х.
Решение. Как известно (см., например [103, стр.
58]), все лучи, параллельные оптической оси параболи-
ческого зеркала, отразившись от него, пересекаются в фо-
кусе параболы (рис. 66). Поэтому нужно найти уравнение
прямой, проходящей через точку М (2; 6) и через фокус
F (4,5; 0) параболы у2 = 18х. Воспользовавшись формулой
(1.18), находим уравнение искомого луча:
= или 12х + 5у-54=0.
Отмеченным выше оптическим свойством параболического зеркала пользуются
при создании зеркальных телескопов, различных солнечных нагревательных уста-
новок, а также прожекторов. Поместив в фокусе параболического зеркала мощный
точечный источник света, мы получим плотный поток отраженных лучей, парал-
лельных оси зеркала.
Пример 3. Найти высоту арки моста длиной 24 м, если арка имеет вид
параболы, уравнение которой х2 = —48г/.
Решение. Вершина рассматриваемой параболы находится в начале координат
(0; 0), а точки, определяющие собой начало и конец арки, должны иметь абсциссы
х = ± у = ±12. Определив согласно уравнению параболы х2 = —48г/соответст-
(±12)2
вующую им ординату у = —	= —3, находим, что высота арки h = 0 — у =
= 3 м. Сделайте рисунок.
Пример 4. Решить графическим путем при помощи параболы у = х2 полное
квадратное уравнение
ах2 ± Ьх ± с = 0.
Если параболу вращать вокруг ее осн, то полученная поверхность будет называться
параболоидом вращения. Параболоид, выполненный нз стекла (или металла), отшлифованный
и покрытый тонким слЬей серебра илн алюминия, называется параболическим зеркалом.
§ 20. Парабола и ее директриса
79
Решение. Произведем в заданном квадратном уравнении замену у = х2.
Тогда исходное уравнение будет эквивалентно системе
У = х2,
ау + Ьх 4 с = О,
и его корни найдем как точки пересечения прямой ау 4 Ьх 4 с = 0 и параболы
у = х2, одной и той же для любого
Таким образом, для опреде-
ления действительных корней
квадратного уравнения надо
только вычертить один раз на-
всегда параболу г/ = х2. Тогда
все решение будет сводиться
к построению прямой ау 4 bx 4
4 с = 0, что выполняется ана-
логично тому, как это было опи-
сано при решении примера 2 § 18.
На рис. 67 в качестве иллюстра-
ции определены корни х± = —
— 1,80 и х2= 40,70, рассмот-
ренного в § 18 уравнения 100х2 4
4 110х — 126 = 0.
Разрешающую прямую
100г/ 4 110х = 126
в данном примере проще всего
провести по точкам
а. 36 —с
х = —3 у ------------
a а
= Тбб = 4-56 и «/ = —1; х =
о-£= 226 =
Ъ 1)0	’ ’
квадратного уравнения.
как показано на рис. 67.
Если прямая ау 4 Ьх 4 с = 0 не пересекает параболу у =? х2( это значит, что
корни исходного квадратного уравнения комплексные, если же ofla только касается
параболы — корпи хх и х2 совпадают между собой.
Упражнения
1.	Найти координаты фокуса параболы 4 г/2— 15х = 0.
2.	Директрисой параболы с вершиной в начале координат служит прямая
Зх 4 7 = 0. Написать уравнение параболы и определить координаты се фокуса.
3.	Найти на параболе х2 = 4г/ точки, абсциссы и ординаты которых равны.
4.	Через фокус параболы у2 = —8х проведена хорда перпендикулярно к ее
оси. Найти длину хорды.
5.	Составить уравнение параболы, если известно, что парабола симметрична
относительно оси Ох, фокус лежит в точке (3; 0), а вершина — в начале координат.
6.	Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу, проходя-
щей через точку (4; —6), с вершиной в начале координат.
7.	Найти точки пересечения параболы х2 — —8у с прямой 6х 4 У — 6 = 0.
8.	Вычислить длину сторон правильного треугольника, вписанного в параболу
х2 = 2ру, если одна из вершин треугольника находится в начале координат.
9.	Через фокус параболы у2 = —2рх проведена хорда, перпендикулярная к се
оси. Определить длину этой хорды.
80
Глава И. Кривые второго порядка
10.	Через точку Af(l; 2) провести такую хорду параболы х2 = 4у, которая
делилась бы в данной точке пополам.
11.	Найти точки пересечения параболы х2 = 12г/ с эллипсом
16’t'25~
12.	Арка моста имеет форму параболы. Определить параметр этой параболы,
зная, что пролет арки равен 24 м, а высота — 6 м.
13.	Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы, параметр
которой р =0,1. Определить высоту струи, если известно, что она падает в бассейн
на расстоянии двух метров от места выхода.
14.	Найти геометрическое место центров окружностей, проходящих через данную
точку и касающихся данной прямой.
§ 21. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения.
Полярные координаты и единое уравнение конических сеченнй
В следующем параграфе будет показано, что общее уравнение второй степени
(11.2) в зависимости от его коэффициентов может представлять собой только эллипс
(в частности, окружность), параболу или гиперболу. Правда, оно может также
вырождаться в две различные или совпадающие прямые, в точку или мнимое
геометрическое место точек, как, например, уравнение х2 Уг + 1 == 0-
Рис. 68.
В силу такого «аналитического родства» эти три кривые имеют ряд общих
свойств. В частности, если одну из них пересекает прямая, то точек пересечения
будет только две (касательную можно рассматривать также как линию, пересекаю-
щую кривую в двух совпадающих точках).
Естественно предположить у кривых второго порядка существование и «геомет-
рического родства». Действительно, еще в глубокой древности греки получали эти
кривые, пересекая прямой круговой конус плоскостью. Так, если взять остроуголь-
ный конус и разрезать его перпендикулярно к образующей, то сечение будет иметь
форму эллипса. Тупоугольный конус при этом дает гиперболу, а прямоугольный—
параболу (рис. 68).
Отсюда произошли и названия кривых, которые были введены Аполлонием
Пергским; эллипс (ёХХефс) означает изъян, недостаток (угла конуса до прямого),
гипербола (uitepfiwXi])— преувеличение, перевес (угла конуса над прямым), парабола
(itapafloX-q)—приближение, равенство (угла конуса прямому углу).
Позже греки увидели, что все три кривые можно получить на одном конусе,
изменяя наклон секущей плоскости. При этом конус следует брать двуполостный
(рис. 69) и мыслить, что он простирается в обе стороны бесконечно далеко.
Последнюю модель легко осуществить таким образом. Если взять настольную
лампу, снять с нее абажур и поместить над ней несколько наклонно круглое кольцо
§ 21. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
81
из проволоки, то тень, отбрасываемая в пространство кольцом, будет иметь форму
конуса. Этот конус пересекает плоскости стен и потолка под различными углами.
Таким путем легко получить все рассматриваемые кривые. Но поскольку конус
в данном случае однополостный, то и гипербола будет иметь только одну ветвь.
Точно так же граница тени, отбрасываемой круглым абажуром на вертикальную
стену, будет иметь форму параболы или гиперболы (рис. 70).
Докажем теперь, что при сечении кругового конуса плоскостью образуются
рассматриваемые нами кривые. Наиболее наглядно это удалось сделать бельгийскому
математику Пьеру Данделену (Pierre
Dandelin, 1794—1847), доказательство
которого мы и приводим.
Поместим внутри одной из полос-
тей конуса (который для наглядности
считаем прозрачным) два шара разных
диаметров и пересечем конус плос-
костью Р, касающейся обоих шаров *
в точках Fx и F2 (рис. 71).
Покажем, что полученная в резуль-
тате сечения кривая есть эллипс. Про-
Рис, 69.
конусе, также касательном к шару), проведенные из одной точки к одному и тому
же шару (т. е. к окружности, полученной от сечения шара плоскостью F1M7\).
Аналогичным путем доказываем, что
MF2 = МТ2.
Следовательно, сумма расстояний точки М от заданных точек F± и F2
MFT MF2 = MTl + MT2 = ТгТг = const
равна величине TtT2 (отрезку образующей, заключенной между двумя параллель-
ными окружностями, по которым шары соприкасаются с конусом), постоянной для
любой точки М нашей кривой, что и требовалось доказать.
Увеличивая диаметр верхнего шара, будем получать в сечении все более и
более вытянутые эллипсы, пока в пределе не получим параболу при положении
плоскости Р, параллельном одной из образующих конуса. При этом сам шар
мыслим удаленным в бесконечность.
* Такую плоскость можно провести следующим образом: проводим произвольную плоскость
между шарами, опускаем ее, Пока она не коснется малого шара, а затем путем вращения
приводим нашу плоскость в соприкосновение со вторым шаром»
62
Глава П. Кривые второго порядка
Если теперь нижний шар поместить во второй полости конуса*, то в сечении
получим гиперболу (рис. 72).
Действительно, в этом случае
MFt — MFr = 7\М — МТ\ = Т1Т1 = const.
Доказательство для случая параболы предлагаем выполнить читателю с целью
проверки усвоения изложенного в данном параграфе.
Если секущая плоскость Р проходит через вершину конуса (что в начале пара-
графа было исключено), то вместо эллипса мы получим точку, вместо гиперболы-
пару пересекающихся прямых, а вместо параболы — прямую касания плоскости
с конусом. Эту прямую можно рассматривать как две прямые, слившиеся в одну.
Кривые второго порядка обладают рядом общих свойств. Так, например, сере-
дины параллельных хорд линий второго порядка лежат на одной прямой, назы-
ваемой диаметром. Все диаметры эллипса или гиперболы проходят через центр,
поскольку центр является серединой всякой проходящей через него хорды. Все
диаметры параболы параллельны ее оси.
* Одновременно мы изменили и диаметры шаров.
§ 21. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
83
Рассмотрим эллипс
а2^ Ь2
Пусть k — угловой коэффициент какого-нибудь его диаметра. Проведем парал-
лельно этому диаметру хорды г--------
эллипса. Геометрическое место их середин есть
другой диаметр эллипса, который назы-
вается сопряженным первому. Можно по-
казать, что угловой коэффициент со-
пряженного диаметра будет определяться
равенством
ы
kkl = ~^' (IU7)
Так как это равенство симметрично отно-
сительно угловых коэффициентов k и klt
то определяемые им диаметры будут
взаимно сопряженными. Другими словами:
если один из двух диаметров эллипса де-
лит пополам хорды, параллельные вто-
рому диаметру, то последний делит
пополам хорды, параллельные первому
(рис. 73). Отсюда вытекает, в частности,
что касательные к эллипсу в концах его
диаметра параллельны между собой и па-
раллельны сопряженному диаметру,
непосредственно переносится и на диаметры
х2 tf ,
--^=1 будет
Все сказанное о диаметрах эллипса
Гиперболы. Только условие сопряженности диаметров гиперболы
иметь следующий вид'.
^1 = &-
а2
(11.48)
На рис. 74 показана одна пара взаимно сопряженных диаметров гиперболы.
84
Глава 11. Кривые второго порядка
Два диаметра, сопряженных друг с другом и вместе с тем взаимно перпенди-
кулярных, называются главными диаметрами. У окружности всякий диаметр —
главный. У эллипса и гиперболы есть лишь по одной паре главных диаметров —
их оси симметрии, т. е. большая и малая оси у эллипса, действительная и мни-
мая— у гиперболы.
В предыдущем параграфе мы изучили свойства директрисы параболы. Оказы-
вается, что помимо параболы директрисы имеют все остальные кривые второго
порядка.
Рассмотрим эллипс, отнесенный к своим осям симметрии,
параллельную оси Оу. Найдем расстояние г2
произвольной точки М(х\ у) эллипса от его
правого фокуса F2 и расстояние rf2 этой же точ-
ки М от прямой х = I, а затем вычислим отно-
шение этих расстояний (рис. 75). Так как
d2 = l — х, а согласно формуле (11.10) § 15
гг = а — гх, то
г* а — ьх
~"-Т^х~г
а
---х
е
Т=х
^2
, а	Г* л
I — — , то отношение -у- будет
е	а2
сохранять постоянное значение,
Если взять
при любом х
равное е, поскольку при выбранном I числи-
тель и знаменатель взаимно сократятся.
В силу симметрии то же заключение можно сделать относительно левого фо-
„	„	а
куса гх и прямой с уравнением х —-----— .
Эти две прямые
। а
х=+ —,
е
(11.49)
перпендикулярные к фокальной оси эллипса и отстоящие на расстояние — от его
центра, называются директрисами эллипса*. Как мы выяснили, они обладают
следующим свойством: отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса и
соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриси-
тету эллипса е.
Пример 1. Найти эксцентриситет и директрисы эллипса
16№ + 25z/2 = 400.
Решение. Написав уравнение эллипса в каноническом виде
х2 , у2 ,
25 + 16^ ’
заключаем, что а2 = 25, Ь2 = 16. Следовательно, с2 —а2— Ь2 = 9, откуда
с	3	_ й
s = —	— 0,6.
а 5
* Окружность не имеет директрис, поскольку согласно (П.49) при е = 0 величина
а
— = ~, так что Директрисы окружности удаляются в бесконечность.
§ 21. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
85
а а2
Согласно формуле (11.49) директрисы проходят на расстоянии — = — от цент-
& с
'	25	1
ра эллипса (начала координат), т. е. на расстоянии равном у = 8у. Уравнение
директрис:
25
3
Повторив все сказанное выше в случае ги-
перболы (а это читателю полезно выполнить
в виде упражнения), приходим к выводу, что
прямые (11.49) являются ее директрисами. Так
как в данном случае е> 1, то — < а и, следо-
вательно, директрисы гиперболы расположены
между ее вершинами (рис. 76).
Пример 2, Найти эксцентриситет и дирек-
трисы гиперболы
JC? у2 .
Тб“ Т=1>
25
так что согласно (11.20) с2 =
Решение. В
«= а2 -1=. Ь2 = 25 и
данном примере а2 = 16, 62 = 9,
Следовательно, директрисами рассматриваемой гиперболы являются прямые
х = -фЗ,2; х = —3,2.
Объединяя полученные результаты, приходим к следующему общему определе-
нию конического сечения (эллипса, гиперболы и параболы): коническое сечение
есть геометрическое место точек, отношение расстояний которых до данной
точки (фокуса) и до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная,
равная эксцентриситету е. При этом (рис. 77, а)
FM,
эксцентриситет эллипса = е < 1,
Aii/V 1
86
Глава II. Кривые второго порядка
эксцентриситет параболы
мгкг
эксцентриситет гиперболы
FMa
MaNa
= е>1.
Введем теперь полярную систему координат и покажем, что в этой системе все
конические сечения могут быть записаны при помощи одного уравнения.
Проведем из произвольной точки О на плоскости полупрямую Ор и зададим
некоторое направление отсчета углов. Каждой точке М плоскости можно сопо-
ставить два числа: р — расстояние точки М до О, <р — угол, образуемый полупря-
мой ОМ с полупрямой Ор (рис. 77, б).
Число р = ОМ называется полярным радиусом точки М, угол <? — ее полярным
углом, точка О — полюсОм, а полупрямая др — полярной осью. На полярной оси
мы должны также указать единицу масштаба. Кроме того, условимся угол <р брать
в границах —< п. Тогда, очевидно, кйждой точке М плоскости соответствует
единственная пара чисел р, <р (исключением является полюс, для которого р = О,
а <р произвольно). Обратно, каждой паре чисел р, <р (р > 0; —«<^<р < л) соответ-
ствует единственная точка плоскости, для которой р является полярным радиусом,
а <р — полярным углом. Полярный радиус й полярный угол точки будем называть
ее полярными координатами. Как и в случае декартовых координат, полярные
координаты условимся записывать в скобках после буквы, обозначающей точку:
М (р; <р), указывая сначала р, а потом <р.
ПримерЗ. Построить точку М ^2; -у в полярной системе координат.
Решение. Проведем через полюс полупрямую под углом <р = -i- г. к полярной
оси (другими словами, повернем полярную ось Ор на угол -i- п = 45е j и отло-
жим от полюср в положительном направлении оси отрезок ОМ, равный по длине
двум единицам (см. рис. 77, б). Конец М этого отрезка и будет искомой точкой
Л4(р; <р) = Л4 ^2; -i-я).
Между декартовыми и полярными координатами одной и той же точки М (я; у)=
= Л4(р; (р) легко установить связь, которая выражается формулами
X = р COS <р,
У = р sin <р.
(11.50)
Для того чтобы найти полярные координаты точки, зная ее декартовы коорди-
наты, возведем обе части каждого из равенств (11.50) в квадрат и затем сложим
их почленно. В результате получим
№ + У2 = Рг (cos’ <р -> sin3 <р)
или, поскольку cos2 <р -ф> sin2 <р = 1,
р2 = х2 -ф- у1,
откуда
р = -)Ц/*2 ф у*.	(П.51)
Далее, разделив второе из равенств (11.50) на первое, находим
tg'P = y-	(П.52)
По формуле (11.52) определяется тангенс полярного угла <р, причем получается
два значений (напомним, что —я<<р < л), лежащие в разных четвертях. Так как
§ 21. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
87
у = р sin <р, то из этих двух значений угла у нужно выбрать то, для которого
синус имеет тот же знак, что и ордината у.
Пример 4. Даны декартовы координаты точки М: х 2; у = —2. Найти ее
полярные координаты.
Решение. Согласно формулам (11.51) и (11.52) имеем
р =/4^4 = 2/2; tg<p = —1.
тт	„Зя	7в
Из двух значении <р = -j- тв и <р = —нужно взять <р = —, так как в дан-
ном случае sin <р должен иметь отрицательный знак. Таким образом, полярные
координаты данной точки
р = 2/2» 2,83; <р = — -^-тв.
Постройте эту точку в декартовой и полярной системах координат.
Упражнение 1. Вывести формулы (11.50).
Подобно тому, как и в случае декартовых координат, можно говорить об урав-
нении кривой в полярных координатах. Именно уравнение
Ф (р; <р) = 0
называется уравнением кривой в полярных координатах, если полярные коорди-
наты каждой точки кривой ему удовлетворяют. И обратно, любая пара чисел р, <р,
удовлетворяющая этому уравнению, представляет собой полярные координаты одной
из точек кривой.
В качестве примера выведем уравнение конического сечения в Полярных коор-
динатах, принимая за полюс О один из его фокусов и зй полярную ось — фокаль-
ную ось этого конического сечения.
Пусть АВС (см. рис. 77, б) — дуга конического сечения (эллипса, гиперболы
или параболы), В — вершина, F — фокус и DE — соответствующая директриса.
Совместим фокус F с полюсом О системы координат, а прямую BF с полярной
осью Of, направив ее в сторону, противоположную директрисе. Эксцентриситет
кривой, как обычно, обозначим через е. Пусть Мо — точка дуги ВС конического
сечения, лежащая на перпендикуляре к полярной оси, проходящем через фокус F.
Обозначим длину FM0 через р и будем называть ее фокальным параметром кони-
ческого сечения. Тогда полярными координатами точки Л1о будут f=p и =
т. е. Мо = М {р; у) .
Пусть М (р; <р) — произвольная точка кривой. Составим уравнение, выражающее
зависимость между ее полярными координатами р, <р и заданными числами е, р,
которые примем в качестве параметров рассматриваемой кривой. По общему свой-
ству всех точек конического сечения имеем
При любом расположении точки М на коническом сечении
FM = р и NM = N0M0 -f- р cos <р.
Так как -^.0- = е, a FM0 = р, то N0M0 =	. Следовательно,
ДГЛ1 = £ р cos <р.	(11.54)
Глава If. Кривые второго порядка
es
IL—
Равенство (11.53) можно переписать в виде
— -ф" р cos <р
откуда
„=_______Р____.
1 — е COS <р
(11.55)
Уравнение (11.55) определяет эллипс, если е<1, параболу — при е = 1, гипер-
болу, когда 1.
В уравнении (11.55) величина р для параболы имеет, очевидно, прежнее зна-
чение, то же, что и в уравнении у2 = 2рх. В самом деле, для параболы p=FM0=
= M0N0, т. е. р совпадает с введенным в § 20 параметром параболы, равным
расстоянию от фокуса до директрисы.
Для эллипса и гиперболы фокальный параметр р легко выразить через полу-
оси а и Ь.
j^2 о2
В случае эллипса +	=1 подставим в это уравнение декартовы коорди-
наты одной из его точек, а именно, точки УИ0 = М (—с; р), после чего получим
с2 п2
к.Р_______1
а2 Ь2
или
откуда
р2 _ а2 — с2
Ь2 а2 а2 ’
д^2 у 2
Аналогичным путем в случае гиперболы	= 1, подставив в уравнение
декартовы координаты ее точки Mg = М (с; р), находим
с2	р2	, р2	с2 — а2	Ь2
а2	Ь2	о2 а2	а2
откуда снова имеем
2
Р=^
Ъ2
Кр=-
Итак, уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах (при
указанном выше выборе полюса и полярной оси) имеют одинаковый вид (11.55):
_ Р
'	1 е COS <р ’
причем для эллипса и гиперболы фокальный параметр р связан с параметрами а
и Ь формулой
h2
р = -.	(11.56)
Уравнение (11.55) выведено для одной ветви гиперболы, но легко убедиться
в том, что ему также удовлетворяют координаты любой Точки, расположенной на
другой ветви гиперболы.
§ 22. Исследование общего уравнения второй степени
9a
При е = 0, как уже отмечалось в § 15, эллипс переходит в окружность. По-
этому, положив в формуле (П.55) е = 0, находим уравнение окружности в поляр-
ных координатах:
р = р = const,	(11.57)
которое имеет более простой вид, чем в случае декартовых координат. При этом
центр окружности совмещен с полюсом О, а р = R.
Ряд других кривых в полярных координатах также имеет более простые урав-
нения, чем соответствующие уравнения в декартовых координатах, но эти вопросы
выходят за рамки данной книги.
Упражнение 2. Построить в полярной системе координат семейство кони-
ческих сечений при следующих значениях параметров: р = 2; е = 0, 1/«, 8Д, 1»
2.
§ 22. Исследование общего уравнения второй степени
При исследовании общего уравнения второй степени (II.2) для получения более
симметричных формул несколько видоизменим обозначения коэффициентов и при-
дадим ему вид
Ах2 4- 2Вху ф- Су2 2Dx -$2Еу ф В = О,	(11.58)
где хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля.
Например, в уравнении Зх2 — 4ху -ф у2 -ф 6х — 5 = 0 коэффициенты А, В, С
D, Е, F имеют следующие значения: А = 3, В = —2, С — 1, D = 3, Е = 0, F=—5
Выясним, что представляет собой кривая, описываемая уравнением (11.58), т. е
кривая второго порядка *.
Отнесем рассматриваемую кривую к новой системе координат (х*; у*), связан-
ной с системой (х; у) формулами (11.30)
X = X* COS а — У* sin а,
у = X* sin а ф У* COS а.
Уравнение кривой, сохраняя при этом форму (11.58), будет иметь новый коэффи-
циент 2В* при х*у*:
2В* = —2А sin a cos а ф 2В (cos2 а — sin2 а) ф 2С sin а cos а =
= (С — Л) sin 2а ф 2В cos 2а,
так как 2sin a COS а = sin 2а И COS2 а — sin2 а = COS 2а.
Очевидно, что всегда можно подобрать угол поворота новой системы коорди-
нат а так, чтобы этот коэффициент был равен нулю. Поэтому не ограничивая
общности, можно считать, что в преобразованном уравнении (11.58) В* = 0.
Будем различать два случая: 1) оба коэффициента, А* и С*, отличны от нуля;
2) один из коэффициентов, А* или С*, равен пулю.
В первом случае переходом к новой системе координат (х'; у'), где
х' = х* + -j-, у' = у* + -g-,
приводим исходное уравнение к виду
А'х'2 + Су'2 ф F’ = 0,	(11.59)
и различаем следующие подслучаи:
la. F' ф 0, знаки А' и С одинаковы и противоположны знаку F'. Кривая
представляет собой, очевидно, эллипс или окружность, если А' = С;
» Наиболее четко этот вопрос изложен в курсе А. В. Погорелова £103, гл. Ш, § 8], откуда
мы и заимствуем (с небольшими изменениями) данный параграф.
90
Глава 11. Кривые второго порядка
16. F' Ф 0, знаки Л' и С противоположны. Кривая есть гипербола;
1в. F* =/= 0, знаки А', С' и F’ одинаковы. Уравнению не удовлетворяет ни одна
вещественная точка. Кривая, как уже отмечалось в § 13, называется мнимой.
1г. F' = 0, знаки А' и С различны. Кривая распадается на пару прямых, так
как уравнение (11.59) можно записать в виде
I z	1/ С~ ,\( к -,f С~ ,\ п
Г	V ~~А у V ~~А у ) = °’
1д. F' = 0, знаки А' и С одинаковы. Уравнение (11.59) можно записать
в виде
(x'-i	y'^x'^l ]/"у'^ = 0.
Кривая^ распадается на пару мнимых прямых, пересекающихся в действительной
Во втором случае (примем для определенности А* = 0, что не ограничивает
общности проводимого исследования) переходом к новой системе координат (х'; y')t
X' = X*, у' = у*-^-^-
приводим уравнение исследуемой кривой к виду
2D'x + С'у'г 4. F' = 0	(11.60)
и различаем такие подслучаи:
2а. D’ =# 0. Кривая есть парабола типа (11.41) с осью симметрии, параллельной
оси абсцисс;
26. D' — 0, знаки С и F' противоположны. Кривая распадается на пару парал-
лельных прямых
y=^V~i'
2в. D'=0, знаки С' и F' одинаковы. Кривая распадается на пару мнимых не-
пересекающихся прямых
У' = ±i ;
2г. D'—0, F = 0. Кривая — пара совпадающих прямых.
Таким образом, вещественная кривая второго порядка (11.58) представляет
собой либо коническое сечение (эллипс, гиперболу, параболу), либо пару прямых,
которые могут оказаться совпадающими.
§ 23.	Заключительные замечания
В первой части книги мы ограничились только тем минимумом сведений по ана-
литической геометрии, который необходим для понимания всего дальнейшего
материала.
Однако, усвоив этот минимум, читатель, который пожелает углубить свои знания,
получит возможность выполнить это самостоятельно, обратившись к одному
из курсов аналитической геометрии, приведенных в списке литературы. При этом
Ьсобое внимание надо уделить решению примеров и задач, так как рамки данной
книги не позволили нам привести достаточное их количество. Большую помощь
в этом может оказать очень хорошо составленный задачник О. Н. Цубербиллер
[158], который выдержал уже 29 изданий, а также сборник задач Д. В. Клетен-
ника [53], составленный в тесной связи с курсом аналитической геометрии
Н. В. Ефимова ]39] и И. И. Привалова [ПО]. Большое число упражнений и задач,
удачно подобранных в методическом отношении, содержится также в курсе А. В. По-
горелова [103], о котором мы говорили вначале первой части.
Контрольные упражнении
91
Контрольные упражнения
1.	Написать уравнение окружности в декартовых и полярных координатах,
зная, что центр окружности лёжит в точке (—3; 5), а ее радиус равен 4 единицам
длины.
2.	Написать уравнение окружности, концы одного из диаметров которой имеют
координаты (9; 3) н (3; 7).
3.	Найти уравнение окружности, проходящей через точки (3; 9), (3; —3),
(1; И).
4.	Определить координаты центра и радиус окружности, выражаемой урав-
нением:
а) хг + у* 2х - 4у + 1 = 0; б) х2 + у2 +	= 0.
5.	Какие значения должны иметь коэффициенты уравнения (11.58)
Лх2 + 2Вху -b Су2 -fx 2Dx + 2Еу + F = 0,
чтобы оно определяло окружность радиуса 5 с центром в точке (2; 3)?
6.	Составить Каноническое уравнение эллипса в декартовых и полярных коорди-
натах, зййя, что его полуоси равны соответственно 7 и 3.
7.	Найти длины осей, координаты фокусов и Эксцентриситет эллипса, заданного
уравнением
X2 9z/2 = 36.
8.	Определить эксцентриситет эллипса, если его оси относятся как 3:2.
9.	Найти каноническое уравнение эллипса, расстояние между фокусами которого
равно 4 и расстояние между директрисами — 12.
10.	Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между его директрисами
в два раза больше расстояния между фокусами.
11.	Дан эллипс -г-Чь”:г’= 1- Через точку (—2) провести хорду, делящуюся
V о
в этой точке пополам.
12.	Найти уравнение диаметров эЛлипса -g- -f- у2 = 1, длины которых рав-
У
ны 2 5.
13
угла. Определить кривую, описываемую
отрезке.
14. Если две одинаковые пластинки
погружены в жидкость параллельно и на
достаточно близком расстоянии друг от
друга, то вследствие капиллярности жид-
кость между ними поднимается выше уров-
ня в сосуде (рис. 78, а). При этом уста-
новлено, что высота поднятия h обратно
пропорциональна расстоянию d между
пластинками, т, е.
. Отрезок постоянной длины скользит своими концами
любой точкой М,
по сторонам прямого
лежащей на этом
k
d
где k — постоянный множитель, завися-
щий от поверхностного натяжения и плот-
ности жидкости. Если в ту же жидкость
погрузить пластинки, образующие очень
малый двугранный угол с вертикальным
ребром, то жидкость между ними поднимется
разные высоты (рис. 78, б). Какую кривую
ренней стороны каждой пластинки [158, задача
а	в
Рис. (б.
согласно приведенной формуле иа
образует край жидкости с виут-
№ 170]?
92
Глава И. Кривые второго порядка
15.	Составить каноническое уравнение гиперболы в декартовых и полярных коор-
динатах, зная, что расстояние между фокусами равно 28, а расстояние между верши-
нами — 24.
16.	Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, задан-
ной уравнением
9у2 — 16х2 = 144.
у*
17.	На гиперболе -д- —	= 1 взята точка, абсцисса которой положительна
и ордината равна 8. Вычислить фокальные радиусы этой точки.
^2 у2
18.	Дай эллипс -=--ф^-=1. Найти уравнение гиперболы, вершины которой
О о
находятся в фокусах, а фокусы — в вершинах данного эллипса.
'	19. Даны фокальный параметр р = 5 и эксцентриситет е = 2 гиперболы. Найти
ее полуоси.
j^2
20.	Найти уравнения диаметров гиперболы-^- — у2=\, длина которых рав-
на 2^5.
21.	Найти уравнение гиперболы, если известно, что асимптоты даиы уравнениями
y = и расстояние между фокусами равно 12.
О
22.	Даны точки Л(0; —1) и В (0; 2). Точка М движется так, что в треуголь-
нике АМВ угол В остается вдвое больше угла А. Определить траекторию
движения.
23.	Составить уравнение параболы, зная, что она симметрична относительно
оси Оу, проходит через точку (о; 3) и вершина ее лежит в начале координат.
24.	Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее лежит в точке
(—2; 1), направление оси симметрии совпадает с отрицательным направлением
оси Оу, а параметр р равен расстоянию между директрисами эллипса Зх2 -ф- 4у2 —
— 48 = 0 [ПО, стр. 105, упр. № 78].
25.	Показать, что любая прямая пересекается с коническим сечением не более
чем в двух точках.
26.	Найти точки пересечения эллипса 4х2 -ф> у2 = 5 с прямой у = 2х + 1.
27.	Показать, что если две кривые второго порядка имеют пять общих точек,
то они тождественно совпадают.
28.	Точка М задана полярными координатами:
я	3
а) р = 3, <f = -£ = 30е; б) р = 5; <р = --j-« = -135е.
Определить ее декартовы координаты.
29.	Даны декартовы координаты точки М\ х = —3; у = 2. Найти ее полярные
координаты,
30.	Построить по точкам кривую, уравнение в полярных координатах которой
₽ = <₽•
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ВВЕДЕНИЕ
В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Элементарная математика, которая изучается в школе, форми-
ровалась в период от VI—V веков до н. э. и до середины
XVII века, когда начался период высшей математики — матема-
тики, исследующей переменные величины. Фридрих Энгельс
наиболее кратко и выразительно охарактеризовал новый период
следующими словами: «Поворотным пунктом в математике была
Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику
вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому
же стало немедленно необходимым дифференциальное и интег-
ральное исчисление, которое тотчас и возникает н которое было
в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейб-
ницем»*.
Основой высшей математики является математический анализ,
охватывающий те. разделы математики, которые опираются
на понятие функции и на идеи исчисления бесконечно малых.
Обычно под названием математического анализа объединяют
дифференциальное и интегральное исчисление, основы теории
функций и дифференциальные уравнения, а также ряд других
разделов математики, которые возникли в систематической
форме в результате работ математиков XVII—XVIII веков,
а затем шлифовались и уточнялись вплоть до начала XX века.
Как учебный предмет в высшей школе СССР математический
анализ (который часто называют также анализом бесконечно
Йалых) включает в себя дифференциальное и интегральное исчи-
сление с элементами геометрических и технических приложений,
а также дифференциальные уравнения и элементы теории
функций.
В данной работе мы ограничимся изучением основ этих
предметов, что позволит читателю в дальнейшем расширить свои
знания, обратившись к более подробной литературе [9; 16; 17;
41; 42; 59; 63; 66; 69; 82; 94; 102; 114; 115; 125; 138; 140;
149; 150; 155; 162; 171].-
• Ф'.р и д р и х Энгельс. Диалектика природы. Господи-! издат,
М., 1969, стр. 224.
Глава III
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 24.	Функциональная зависимость
Понятие функции, наряду с понятием числа и переменной величины, является
одним из главнейших понятий современной математики. С этим же понятием мы
очень часто встречаемся в природе и в технике, изучая различные процессы
и явления. Поэтому остановимся на нем подробнее и ’для простоты изложения
начнем с рассмотрения понятия функции действительного переменного.
Выражение, подобное
х3 — 5х -ф- 7,
I
не имеет определенного численного значения, пока не указано значение х. Гово-
рят, что значение этого выражения есть функция значения х, и пишут
х3 — 5x-|-7 = f(x).
Термин «функция» впервые был введен в 1692 г. Готфридом Вильгельмом Лейб-
ницем (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646—1716). Лейбницу же принадлежат и тер-
мины «координаты», «дифференциал», «дифференциальное уравнение», «алгоритм»
и т. д.
Величина х называется независимым переменным или аргументом- Например,
если х = 4, то х3 — 5x4^7 = 64— 20 4-7 = 51, так что f(4) = 51. Таким же
образом непосредственной подстановкой можно найти значение функции f (х) при
любом целом, дробном или иррациональном значении х.
Число простых чисел, меньших чем п, есть функция f (п) целого числа п.
Когда задано значение числа п, то значение функции f(n) определено, несмотря
на то, что до сегодняшнего дня [неизвестно никакой формулы для подсчета f(n).
Например, для п = 10 имеем f(n) = 5, так как среди первых десяти чисел 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 простых чисел только пять: 1, 2, 3, 5, 7. Для п = 16 имеем
f (п) = 7, для п = 62 f (п)— 19, для п = 100 f (п) = 26, для п = 600 f (n) = 110
и т. д. Продолжив метод перебора, мож-
но составить таблицы простых чисел, и
в настоящее время такие таблицы состав-
лены до п < 12 000000.
С понятием функции мы также встре-
чаемся каждый раз, когда величины
связаны каким-либо физическим соотно-
шением. Например, можно утверждать,
что скорость самолета v есть функция
мощности w его моторов: v = f(w). Для
того чтобы конкретизировать эту функ-
цию, необходимо либо теоретически уста-
новить, какая именно связь существует
между величинами v и w, либо путем со-
ответствующих экспериментов составить
достаточно подробную таблицу измеренных значений v для различных w. Эти же
результаты можно представить затем в виде графика.
В качестве еще одного примера рассмотрим такой. Из квадрата со стороной а
сделана открытая прямоугольная коробка высотой х (рис. 79). Объем V коробки
будет вычисляться по формуле
V = x(a— 2х)2.
Эта формула позволяет для каждой высоты х, удовлетворяющей, очевидно, нера-
$ 24. Функциональная зависимость
95
иенству 0 х < -у, найти объем коробки. Так, при х = О и х = — а имеем V =
1	а I 2 \2	8	1
=0. При х = а объем У =-— а —— п| = 77-7 а8 = 0,064а8. При х = -5-а
г 10	Ю\ Ю /	1"0	°
а	1	9
получим V = ttjo а8- = 0,0703125а8. При х = -=- а объем V = 777= а8 = 0,072а8.
J	128	5	125
Упражнения
1. Вычислить (в долях от а8) объем V при х = 0,05а; х= 0,10а; х = 0,15а;
х = 0,20а; .,.; х = 0,45а; х = 0,50а.
2. По данным, полученным в упражнении 1, построить график для функции V
и показать путем непосредственных вычислений, что свое максимальное значение
1	й I 2д\2
объем V примет при х = а, для которого V = — I а — — I = — ~ 0,074а8.
Начиная с XVII века понятие функции прошло сложный и трудный путь раз-
вития, пока не было точно сформулировано в 1834 г. великим русским геометром
Николаем Ивановичем Лобачевским (1793—1856) и независимо от него известным
немецким математиком Леженом Дирихле (Peter Gustav Lejeune Dirichlet,
1805—1859) в виде следующего определения.
Определение 1. Величина у = f (х) называется функцией независимой
переменной х, если каждому допустимому значению х можно привести каким-
либо способом в соответствие одно или несколько значений у.
Независимую переменную, как уже отмечалось, называют также аргументом.
Если каждому значению аргумента х соответствует одно единственное значе-
ние у, то функция y = f(x) называется однозначной функцией от х, в противном
случае у называют многозначной функцией. В дальнейшем, если в тексте спе-
циально не оговорено, что функция многозначная, подразумевается, что она одно-
значная.
Переменная величина х считается заданной, если указано множество X = {х}
значений, которые она может принимать. Это множество называется областью
изменения переменной х. Областью изменения х чаще всего является один или
несколько «промежутков», т, е. отрезков оси х-ов с концами или без концов.
Открытым промежутком, или интервалом, {а, Ь) называется Совокупность
чисел х, заключенных между числами а и Ъ. В записи (а, Ь) первая буква обычно
означает меньшее число, а вторая большее, тйк Что
а<х<6.
Числа а 'и Ь называются концами промежутка и в случае интервала (а, Ь)
исключаются из рассмотрения. Промежуток, к которому присоединены оба конца,
।	а<х<6
называется замкнутым промежутком или сегментом и обозначается квадрат-
ными скобками [а, 6], в отличие от интервала, для обозначения которого приме-
няют круглые скобки (а, Ь). Часто к совокупности точек промежутка присоединяют
только один из концов, т. е. рассматривают полузамкнутый промежуток (полусег-
мент, или полуинтервал) а^х<^Ь и a<x<io, который обозначают соответст-
венно [а, Ь) и (а, 5].
Областью изменения х может быть также и вся ось х-ов —оо<х«<оо или
ее полубескопечная часть —oo<x<i6; а<х<оо, или только совокупность
некоторых ее точек, как, например, целых чисел х = п в случае функции f (п),
определяющей число простых чисел, меньших чем п. В последнем случае функция
называется целочисленной.
Совокупность всех значений аргумента х, которым в силу данного правилу f (х)
соответствуют определенные значения функции у, называется Областью изменения
96
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
аргумента х, а также областью определения чли областью существования функ-
ции у. Совокупность всех значений функции у называется областью изменения
функции.
Пример 1. Функция
у = х2 + In х
есть рдно?начная функция с областью определения 0 < х <Z оо и областью изме-
нения —&> < у 00 •
Пример 2. Функция
у = |/Т=Гх?
есть многозначная (двузначная) функция с областью определения -—1 х -|-1
и областью изменения —1<у<-ф-1, так как каждому значению х соответствуют
два возможных значения функции:
у =	1 — х2 и у — —	1 — х2.
Примером бесконечнозначных функций могут служить обратные тригонометри-
ческие функции: у = Arcsin х, у =» Arccos х и др.
Многозначные функции обычно можно расчленить на однозначные, или, как
говорят, из данной многозначной функции можно выделить ее «однозначные
ветви». Например, у = -ф-	1 — х2 и у= — 1 — х$ суть две однозначные ветви
функции у, определяемой уравнением х2 ф у2 = 1.
Пример 3. Продолжительность месяца у (для невисокосного года) ;в зависи-
мости от его номера х есть функция, которую можно определить следующей
таблицей:
X	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
У	31	28	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31
Областью определения в данном случае является множество первых 12 целых
чисел {х} =& I, II, III, .... XII, а область изменения {у} в 28; 30; 31 состоит
всего из трех чисел: 28, 30 и 31. Функция у = у (х)— однозначная, так как
каждому допустимому значению х Соответствует только одно значение у. Однако,
указав продолжительность месяца, мы не Сможем однозначно определить его
название (кроме февраля), т. е, обратная функция х = х (у) в данном случае будет
уже многозначной.
Замечание. Буква f, входящая в равенство *
У=((х),	(IH.I)
в отличие от букв х и у, обозначает не переменную величину, а то правило, тот
закон, который определяет у как функцию от х. Например, в случае функции
3 = л/?2, определяющей собой площадь круга, если записать ее равенством
5 =/(/?), буква f означает, что для того, чтобы по заданному /? определить пло-
щадь круга 3, надо возвести в квадрат и полученный результат умножить на
число л =г 3,14159... . В формулах у = ]/х, у = 1пх, у=созх знаки ]/—, In, cos
играют Ту же роль, что и знак f в формуле (III. 1). Единственное различие заклю-
чается в Том, что знаки ]/" , In, cos изобретены для обозначения определенных
функций, а знак f может употребляться для обозначения любой, в том числе
* Это равенство читается так: игрек равен эф от икс. Обозначение f (х) принадлежит
Леонарду Эйлеру (Leonhard Euler, 1707-1783).
§ 24. Функциональная зависимость
97
и неизвестной нам, функции. Очевидно, что в равенстве (Ш.1) вместо буквы
f можнб употребить любую другую букву, например
y = F(x)', У = у(х)\у = у(х),
вполне аналогично тому, как в алгебре для обозначения чисел употребляют разные
буквы: а, Ь, х, г.	г
Функцию можно задать аналитически, графически, при помощи таблицы или
любым другим способом, устанавливающим соответствие между х и у, например
при помощи алгоритма, с чем мы неоднократно будем встречаться в дальнейшем.
Каждый из этих способов имеет свои преимущества и недостатки.
Табличный способ сразу, при минимальной затрате труда, дает численные
значения функции, но таблицу трудно обозреть в целом и она часто не содержит
всех нужных значении аргумента.
Графический способ наиболее нагляден, но имеет малую точность (обычно 2—3
знака), которую можно повысить только путем значительного увеличения Масштаба.
В качестве примера на рис. 80 приведен График
функции, однозначной на интервалах (—оо, а),
(6, оо) и многозначной на сегменте [а, 6]. Если функциональная зависимость изу-
чается экспериментально при помощи каких-либо самопишущих приборов, то резуль-
таты могут быть получены только в графическом виде.
Аналитический способ состоит в задании функции одной или несколькими фор-
мулами. Если зависимость между х и у выражена уравнением, разрешенным от-
носительно у, например у = х8 -j- 2xsin х -|* 5, то величина у называется явной
функцией аргумента х, в противном случае — неявной. Другими словами, функция
называется неявной, если мы имеем не непосредственное аналитическое выражение
ее через зависимую переменную y = f (*), а только уравнение F (х, у) = 0, которое
связывает ее значение со значением аргумента. Так, например, если у и х связаны
уравнением
Xя — 2у + sin (х + у) = 0,
то у есть неявная функция. В отдельных случаях неявную функцию, заданную
уравнением F (х, у) = 0, удается представить в явном виде, если это уравнение
можно разрешить относительно у. Например, решая уравнение
х2 4- у8 = 1
относительно у, получаем функцию у в явном виде: y = ]S 1 — х2.
Пример 4. Расстояние по шоссе между пунктами Л и С составляет 390 км.
Через два часа пути авюмобиль, ехавший со средней скоростью 90 км/час, xx.vxc
пункта В. Оставшийся участок пути он прошел за 3 ч при средней скорости
70 км/час. Время / пребывания автомобиля в пути есть функция аргумента s. Эту
функцию, которая на графике представлена ломаной линией (рис. 81), аналитически
можно задать следующими двумя формулами:
Z = 2Q° ±_s при — 100<s<80,
/ = 2-|-^р при 80<s<290.
В точке В (s = 80) обе формулы дают одно и то же значение t — 2.
4 4-3G8
98
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
В приведенном выше определении 1 не требуется, чтобы различным значениям
аргумента х непременно соответствовали различные значения функции у. В част-
ности, все значения у могут быть одинаковыми и, тем не менее, мы вправе и в этом
случае рассматривать у как функцию от х. Примером такого рода может служить
функция у = о (sin3 х + cos2 х), равная 5 при всех значениях х. Следовательно,
постоянную С можно рассматривать как функцию у = С, сохраняющую неизмен-
ным свое значение при всех значениях аргумента.
Функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение
функции не меняется:
/(-*)= Пя-
такова четная степень х2, х*......х2п (откуда произошел и термин «четная
функция»), таковы функции cos л!, х sin х и т. д.	z
Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента меняется
только знак функции, а абсолютное значение остается тем же:
Н-Я=-Пя-
такова нечетная степень х, х3, ... , х2п~х, таковы функции sinх, tgx, xcosie
и т. д.
График четной функции симметричен относительно оси ординат, нечетной—»
относительно начала координат.
В заключение приведем необходимое нам для дальнейшего определение числа,
которое было дано Исааком Ньютоном (Isaak Newton, 1642—1727) в 1707 г. в его
сочинении «Arithmetica universalis».
Определение 2. Число есть не столько собрание нескольких единиц, сколько
отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой, однородной с ней, при*
нятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное.
Целое число есть то, что измеряется единицей, дробное — кратной долей еди-
ницы, иррациональное число несоизмеримо с единицей.
§ 25. Предельный переход
К основным операциям: сложению, вычитанию, умножению и делению, которые
рассматриваются в элементарной математике, в математическом анализе присоеди-
няют еще одну — операцию перехода к пределу, чем, собственно, и определяют,
правда, весьма условно, границу между «элементарной» и «высшей» математикой.
С понятием предела мы встречались еще в средней школе, изучая сумму бес-
конечно убывающей геометрической прогрессии или определяя длину окружности.
Но в курсе элементарной математики понятие предела встречается только эпизо-
дически, а в математическом анализе этим понятием пользуются систематически как
основным инструментом исследования переменной величины. Больше того, всё
фундаментальные понятия математического анализа — непрерывность функции,
производная, интеграл, сумма ряда и др.—основаны на понятии предела перемен-
ной величины.
Поэтому математический анализ, который в начальный период своего развития
не обладал достаточной строгостью *, превратился в строго обоснованную матема-
гическую теорию лишь после того, как в начале XIX века в работах ряда мате-
матиков и, главным образом, в работах знаменитого французского математика
Огюстена Луи Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789—1857), в частности, в его
«Алгебраическом анализе», вышедшем в 1821 г., выяснилась фундаментальная
важность понятия «предел переменной» и была построена соответствующая «теория
пределов».
• В этом смысле характерна позиция Л, эклера, который в предисловии к «Трактату по
дифференциальному исчислению» (1755 г.) совершенно четко говорит о пределе, но в самой
книге этим понятием нигде не пользуется^
§ 25. Предельный переход
99
Переходя к конкретному изложению вопроса, мы начнем с простейшего част-
ного случая, а именно, с предела функции хп от натурального аргумента п. Как
увидим, к этому случаю в принципе сводятся и все более сложные случаи.
Пусть аргумент п принимает все значения из натурального ряда чисел:
1, 2, 3......т.......п.......	(Ш.2)
члены которого мы представляем себе упорядоченными по возрастанию, так что
большее число п следует за меньшим числом т, меньшее число т предшест-
вует большему числу п.
Если задана функция хп, то ее аргумент, или индекс п, можно рассматривать
как номер соответствующего значения переменной. Таким образом, есть первое
ее значение, х2 — второе и т. д. Мы всегда будем представлять себе это множество
значений {*„} упорядоченным, наподобие натурального ряда (III.2), по возраста-
нию номеров, т. е. в виде числовой последовательности
Х1> х%, xs................x/lt .... •	(III.3)
При n>m значение хп следует за хт (или хт предшествует хп) независимо от
того, будет ли Само число хп больше, меньше или равно хт.
Число а называется пределом переменной величины хп, если последняя отли-
чается от а сколь угодно мало, начиная с некоторого места последовательности,
т. е. для достаточно большого номера п-
Записывается это так *:
хп->а, или Птх„ = п.
П-t-oo
Обр записи совершенно равноправны, хотя первая читается «х стремится к а»,
а вторая — «предел х равен а». Отметим также, что при второй форме записи
иногда, краткости ради, пишут просто lim хп = а, опуская строку п -> оо, уточняю-
щую, что индекс п стремится к бесконечности.
В качестве пояснения к сказанному рассмотрим следующие последовательности
Переменных величйН:
1	1	(—1)" п— 1	1	,
хп = — ; у„  ------; г„ = *—; и„  -------= 1------; vn = (—1)"
” п~ яп п " па " п	пп'
(п= 1, 2, 3, ...).
Очевидно, что в последовательностях
1	1 J_
РМ- Ь 4 • 9 > 16’ 25’	’
. ,	.	1	1	1 I
- у. -у. -у. -у. ••• .
. . 1 —1 +1 —1
1.	-Н 8	. -27	.	64	>	125	• -
величины хп, уп, гп с ростом п стремятся к нулю, причем первая из них стре-
мится к нулю, монотонно убывая, вторая стремится к нулю, возрастая, так как
принимает все время отрица!ельные значения, а третья стремится к нулю,
колеблясь около него. Далее «п-> 1, a vn не имеет вообще предела, так как
с ростом п не приближается ни к какому постоянному числу, а все время колеб-
лется, принимая значения то —1, то -}-1.
Для полной строгости введенного понятия предела приведем его точное опре-
деление.
• Обозначение 11m — сокращение латинского слова limes («лимео— предел) и равнозначного
французского llmite (лимит).
4*
100
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Определение. Число а называется пределом последовательности {хп} = xlt х2,
х3, ... , хп, ... , если абсолютная величина разности хп — а, начиная с неко-
торого номера п = N, остается меньше любого наперед заданного положитель-
ного числа е, сколь малым бы оно ни было *:
|х„ —а| < е при n>/V.	(III.4)
Номер N = Ne зависит от заданного значении величины е, в свизи с чем иногда
дли уточнения вместо N пишут Ne.
Из неравенства (Ш.4) непосредственно вытекает, что
a - s< < а + г,
т. е. что все {хп}, за исключением лишь нескольких начальных jclt х2, ... , хя,
принадлежат интервалу (а — е, а + е).
Пример 1. Определить предел последовательности
= 2	л=1,2, 3....................... (III.5)
Решение. Давай индексу п последовательно значении п = 1, 2, 3............вы-
числяем по формуле (III.5) соответствующие члены последовательности {х„}:
— 2	— 1 > #2 — v 2 — 2 2 ’ *8 —	3 — о
*4 = 2-|; х6= 1-1; ... .
Поскольку величина — с ростом п стремится к нулю, то
11m хп= Пт 2 +	= 2,
П-*-09 П-*оч L	Л J
т. е. предел последовательности (III.5) равен двум.
Докажем это более строго, исходи из приведенного выше определения. Дейст-
вительно, дли любого наперед заданного положительного числа е можно указать
такое значение хп, что все последующие члены последовательности {хп} будут
удовлетворить неравенству ।
Но для того чтобы указать такое значение хп, достаточно найти соответствующий
ему номер п, а для этого достаточно решить неравенство I х„ — 2 | < t относи-
((___ПЛ I 1
—— = —, получаем неравенство
1 1
— <е, откуда п> — .
Например, если задано е = 0,2, то из неравенства л>»1- = ^1 = 5 следует, что,
начиная с п = 6, значении хп будут отличаться от 2 меньше чем на 0,2.
На рис. 82' показан график функции у = хп и проведены горизонтальные пря-
мые у = 2, у = 2 + 0,2 и у = 2 — 0,2. Все точки графика, начиная с точки * I
* Напомним, что абсолютной величиной (или модулем) положительного числа называется
само это число; абсолютной величиной отрицательного числа называется это" же число, взятое
с противоположным знаком. Абсолютная величина числа Ь обозначается так: | b |. Следова-
тельно,
J Ь | = Ь, если b > 0;
I b j = —Ь, если b < 0.
§ 25. Предельный переход
101
ха = 2у, оказываются расположенными в заштрихованной полоске между прямыми
у = 2 ±s = 2 ± 0,2. Если мы возьмем другое значение t, например е = 0,1, то все
точки последовательности {хп} будут находитьси внутри полосы у = 2 ± е, начинай
с номера л =11. При» = 0,001 согласно неравенству п >. у получим л =1001
и т. д. При безграничном же возрастании л точки последовательности {х„} будут
неограниченно приближаться к прямой у = 2, никогда её не достигай. Однако
такой характер приближения к пределу определяется только структурой функции
(Ш.5), так что легко построить другие примеры, в которых характер приближения
Пример 2. Дана функции натурального аргумента л
un = -^-cos~; л = 1, 2, 3, ,., ,	(III.6)
Определить ее предел при л -* оо.
Решение. При л = 1, 2, 3, ... членами последовательности {ип} будут
1 2я	1 Зя	1 4я
«1 = СОЗу, U2 = yCOSy, Us = y COS у, U4 = yCOSy, ...
или, после очевидных упрощений,
«1 = 0, и3 = — у, us = 0, u4=y, «в = 0, ue = —y........
График функции (III.6) показан на рис. 83. При этом дли наглядности мы взяли
масштаб по оси ординат в три раза большим, чем по оси абсцисс, и соединили
точки графика плавной пунктирной кривой (которую получим, если в формуле
(1II.6) натуральный аргумент л заменим непрерывным аргументом х). Так как
cos у по абсолютной величине никогда не превосходит единицы, | cos у | < 1, а —
с увеличением л стремитси к нулю, то исно, что при л •* оо величина ип -> О,
т. е.
lim ип = Urn ± cos = 0.
П-*о0	fl *
102
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Однако мы видим, что, в отличие от примера 1, в данном случае переменнаи ип,
стремищаиси к пределу, бесконечное множество раз (при всех нечетных значениях
п = 1, 3, 5, ...) принимает значение, точно равное пределу («2v-j-i = 01 v = 0» 1>
2, ... ).
Выбрав произвольно малое положительное число е, например е = 0,0001, попы-
таемси определить в данном случае то значение n = N, начиная с которого откло-
нение от предела всех дальнейших членов последовательности {и„} будет меньше it
т. 6. начинай с которого будет выполнитьси условие
| ип — 0 | < е, или | ип | <0,0001.
Так как при нечетных значениих п имеем ип = 0, то достаточно рассмотреть
лишь четные значения п. В этом случае | ип | = и мы получаем неравенство
-£<0,0001, откуда п > 10000.
Таким образом, N = 10000, т. е. только начиная с номера п= 10001 (включи-
тельно) все точки графика расположатси в полоске шириной 2е = 0,0002, постро-
енной около оси абсцисс. При е = 0,1 будем иметь соответственно N = 10 и т. д.
(см. рис. 83).
Последовательности, которые имеют предел, называютси сходящимися, а не
имеющие его — расходящимися.
При рассмотрении переменной величины мы часто не можем найти ее предел,
но хотим знать, существует ли он. Укажем один важный признак существовании
предела.
Предположим, что переменнаи величина хп постоинно возрастает или убывает.
В первом случае всикое значение величины не меньше всех предыдущих и не больше
всех последующих, т. е. выполниютси неравенства
Х1 < х.г < ха < ... .
Во втором случае оно не больше всех предыдущих и не меньше всех последую-
щих, т. е.
«1 > Xg > Xg > ... .
В этих случаих говорит, что величина хп меняется монотонно. Соответствующие
ей точки на оси Ох будут перемещатьси в одном направлении — в положительном,
§ 26. Предел функции непрерывного аргумента
103
если перемеинаи возрастает, и в отрицательном, если она убывает. Непосредственно
ясно, что имеют место лишь две возможности: или точки хп беспредельно удаля-
ются по прямой, уходи в бесконечность, или точки хп беспредельно приближаются
к некоторой определенной точке А, т. е. перемеинаи хп стремится к пределу
(рис. 84). Если кроме монотонности изменения известно еще, что рассматриваемаи
перемеинаи величина ограничена, т. е. при любом п
хп^А (п — 1, 2, 3, ...),
то перваи возможность отпадает, и можно утверждать, что величина хп стремится
к пределу.
Указанный признак существовании предела бо-
лее кратко формулируют следующим образом *. •	р.—.. о——-о—о——о——•-
Признак Больцано —Вейерштрасса. Если пере-	Xj Х3 Х3 X* А X
менная величина ограничена и меняется монотон-
но, то она стремится к пределу.	рис §4
Этот признак был впервые сформулирован из-
вестным чешским математиком и философом Бер-
нардом Больцано (Bernhard Bolzano, 1781—1848) в его фундаментальном труде
«Учение о функциях», написанном в Праге в 1830 году, но увидевшем свет только
через 100 лет, после распада австрийской империи, где его автор за свои прогрес-
сивные взглиды подвергалси преследованиим. Этот же признак (независимо от
Больцано) был позже открыт знаменитым немецким математиком Карлом Вейершт-
рассом (Karl WeierstraU, 1815—1897).
Отметим, что приведенное выше рассуждение ивляетси лишь интуитивным и его
нельзи рассматривать как доказательство. Строгое доказательство признака Боль-
цано—Вейерштрасса (ивлиющегоси лишь достаточным признаком) читатель найдет
в более полных курсах математического анализа, например в [63, т. I; 102, т. 1;
125, т. I; 149, т. 1; 162, ч. 1—2; 171], в которых рассматриваются также и другие
признаки существовании предела, в том числе необходимый и достаточный признак
Коши **.
Здесь же мы приведем только его формулировку.
Признак Коши. Для того чтобы последовательность {хп} имела предел, необ-
ходимо и достаточно, чтобы для любого как угодно малого положительного
числа t существовал такой номер N = Nv при котором для любых и всех
целых положительных р выполнялось неравенство
I х/г+р хп I <
§ 26. Предел функции непрерывного аргумента
Понятие предела, рассмотренное в § 25, дли последовательности {ип} и для
функции целочисленного аргумента легко перенести и на функцию непрерывного
аргумента.
Функции у = f (х) имеет пределом число Ь при х = а, если для любой после-
довательности значений {я} — xL, х2, ... , хп, ... , принадлежащей к области
задании функции и имеющей пределом число а, последовательность значений
функций
{Уп} — f (xi)> f (хг)> • • • > f (*«)> • • •
имеет предел. Этот предел Ь непременно должен быть общим для всех таких по-
следовательностей, и он ивлиетси пределом функции f(x). Предел функЦйи можно
определить и непосредственно, не своди его к пределу последовательнбсти.
* В более полных курсах анализа обычно рассматривается теорема Больцано—Вейерштрасса,
которая формулируется в других терминах.
Признак, являющийся одновременно необходимым и достаточным, иногда называют более
кратко критерием.
104
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Определение 1. Функция у= f(x) имеет пределом число Ь при х, стремящемся
к а, если для каждого, сколь угодно малого е^>0 можно найти такое число
8>»0, что
\f(x)-b\<e.	(Ш.7)
как только
|х — в|<8.	(Ш.8)
Записывают это так1
f(x)-*b при х -> a	(Ш.9)
или
lira f (х) = b.	(ШЛО)
х-*а
Выиспим геометрический смысл определения
функции у = f (х) (рис. 85).
1, воспользовавшись графиком
Рис. 85.	Рис. 86.
Допустим, что при х, стремищемся к а, функции у=[(х) стремится к пре-
делу Ь, т. е. lim f (х) = b. Согласно определению это значит, что дли сколь угодно
х-*а
малого е можно найти такое число 8, чтобы из неравенства (Ш.8) следовало не-
равенство (Ш.7). Но геометрический смысл неравенства | х — а | < 8 состоит в том,
что х отстоит от точки а не далее чем на 8, т. е. не выходит из окрестности
(л — 8, а 4- 8) точки а. С другой стороны, геометрический смысл неравенства
[/(х)— b | < е заключается в том, что соответствующие значения функции у = f(x)
ие выходят из интервала (Ь—е, b 4-е) на оси ординат. Таким образом, если
выполняется равенство (ШЛО), то точка А графика функции у = f (х) должна на-
ходиться в полоске шириною 2е, ограниченной прямыми у = Ь—е и у =64" 6
для всех значений х, удаленных от точки а не далее чем на 8 (рис. 85). При
8 -* 0, в случае непрерывных функций, величина е будет также стремиться к нулю.
Пример 1. Найти предел функции
для х, стремящегося к нулю.
Решение. Построим сектор АОС радиуса R и два треугольника АОС и ВОС
(рис. 86). Площадь сектора АОС больше площади вписанного в него треугольник?
АОС, но меньше площади треугольника ВОС. У треугольника АОС основание
OC=R и высота ЛР = /?зшх, так что его площадь
5длос = у ОС • ЛР = у Я2 sinx.
Треугольник ВОС прямоугольный с катетами ОС = R и ВС = R tg х, поэтому
SABOc=yOC-£C = l/?4gx.
§ 26. Предел функции непрерывного аргумента
105
Площадь сектора АОС, дуга которого АС равна центральному углу х, будет равна
5сек = у^.
Следовательно, для всех отличных от нуля углов х первой четверти будут спра-
ведливы неравенства
я2 s in х < -1 R2x < -j- R2 tg x
или, после деления на 1/2/?2,
_	l sin-*
Отсюда, учтя, что tg х —	•
получаем
и разделив все части неравенства на sinx>0,
sinx cosx
sin х
откуда следует
Но так как с уменьшением х до нуля cos х стремится к единице, то и величина
sin х	.
—, заключенная между cos я и 1, стремится к единице, т. е.
lim = 1 и lim — = 1.	(III.12)
JM-0 х	х-osinx
Искомый предел мы нашли, когда х стремился к нулю, оставаясь все время
положительным. Этот же результат можно получить и для случая, когда х стре-
мится к нулю, оставаясь отрицательным, что читателю полезно выполнить в виде
упражнения.
Насколько быстро функция (III.11) стремится к своему пределу (111.12), видно
из табл. 1, в которой угол х выражен шестью значащими цифрами. На рис, 87
симметрии, поскольку рассматриваемая функция четная, и, следовательно,
У (—х) = У (-Ф- *)•
Таблица 1
X	1,00	0,50	0,25	0,10	0,05	0,01
sin x	0,841471	0,479426	0,247404	0,0998334	0,0499792	0,00999983
sin x	0,841471	0,958852	0,989616	0,998334	0,999584	0,999983
106	Глава П1. Элементы дифференциального исчисления
До сих пор, говоря о пределе функции (Ш.9), мы предполагали, что а есть
некоторое конечное число. Однако часто приходится исследовать и тот сйучай,
когда х стремится к бесконечности (х-* -|-оо или X *»-—оо), т. е. безгранична
растет по абсолютной величине. Этот случай мы уже рассматривали для функции
натурального аргумента при п -> оо и поэтому можем теперь дать определение
предела функции непрерывно меняющегося аргумента при х->-|-оо или х ->—оо.
Определение 2. Функция у =f(x) имеет пределом число Ь при х, стремя-
щемся к 4-оо или —оо, если для каждого сколь угодно малого е >. 0 можно найти
такое положительное число N, чтобы для всех значений X, удовлетворяющих
условию | х | >. N, выполнялось условие (III.7):
I f (*) — b | < ».
Если функция у = f (х) стремится к пределу Ь при х -* -|-оо, то пишут
f(x)-»-b при х -* -|-оо, или lim f (х) = b
Х-* —
и совершенно аналогично при х -> —оо. Таким образом, равенство (Ш.9) или (ШЛО)
остается справедливым и в том случае, когда а=-|-оо или а = —оо.
Пределы функции f (х) при х -> 4^°° и ПРИ х -* —00 могут оказаться различ-
ными (например, для функции у = ех имеем lim е31 = оо и lim е31 = lim =0,
где t = —х), но могут оказаться и равными друг другу. Если они равны между
собой, то общее значение предела функции при х -* 4-оо и при х -* —оо называ-
ется пределом функции при х +оо, или просто при х -* оо. Обозначается этот
предел так:
lim f (х) = Ь, или lim f (х) =b.
Х->±оо	Х-*-оо
Пример 2. Дана функция
1 пх
^ = TC0S2-
(III. 13)
в интервале 0 < х •< -|-оо. Найти ее предел при х -> -|-оо.
Решение. В примере 2 § 25 мы рассмотрели эту функцию при условии,
что аргумент х принимает лишь натуральные значения 1, 2, 3, .... и получили
график, состоящий из отдельных точек (см. рис. 83). Теперь в случае непрерыв-
ного аргумента график функции будет представлять собой непрерывную линию,
которая на том же рис. 83 показана пунктиром.
Так как при любом х (целом и нецелом) имеем
у -* 0 при х -* 4-оо, т. е.
1, то, очевидно, что
1	пх
lim у = lim — cos = 0.
+ 4-00	х-о-4-00 х	X.
Этот же результат получим,
ключей между гиперболами
если заметим,
что график функции (III. 13) за-
»-±7-
каждая из которых стремится к оси абсцисс при х -> оо. Действительно, заменяя
в (III.13) cos ™ его наибольшим или наименьшим значением равным +1, мы и при-
дем к гиперболам у = ±
§ 26. Предел функции непрерывного аргумента
107
Упражнения
1. Рассмотреть функцию (III.13) в интервале —оо<х<0 и найти ее предел
при х -* —ОО.
2. Найти предел функции'у =	* при
Определение 3. Пределом постоянной величины у =С называется сама вели-
чина С.
Это определение вводится для того, чтобы основные теоремы о пределах были
керны во всех случаях, без каких-либо исключений. Оно полностью согласуется
с определением 1, так как величина |С — С| = 0 меньше любого положительного
числа е.
В заключение параграфа приведем основные теоремы о пределах, т, е. основ-
ные правила предельного перехода. При этом будем предполагать, что все рас-
сматриваемые функции щ = щ (х), и2 = «2 (*)> • • • , ип = ип (х) зависят от одного
й того же аргумента х и обладают конечными пределами при х -> а (или при
х -> сю).
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще любого неиз-
менного числа слагаемых равен такой же алгебраической сумме их пределов:
lim (щ ± и.г ± • • • + ип) = lim щ ± lim и2 ± • • • ± lim ип. (III.14)
Здесь (и в дальнейшем) при всех знаках lim подразумевается, что х -> а (чита-
ется: икс стремится к а) или оо.
Пример 3.
5х24*3х — 2	,. /,	3	2\
lim--------------- lim 5 -|-------=| =
*-►00	*-► 00 \	Х )
Ч 2
= lim 5 + lim — — lim — = 5 4? О — 0 = 5.
*—►00 *-ооо Х *-ооо Х
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще любого неизменного
числа сомножителей равен произведению их пределов:
lim (щ • иг ... ип) = lim щ • lim иг ... 11m ип,	(III.15)
Пример 4.
lim (7 — 2х) (3 + 5х2) = lim (7 — 2х) lim (3 -|- 5х2) = 3 • 23 = 69.
*-►2	x-t-2	*-о2
Из этой теоремы непосредственно вытекают следующие два следствия.
Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела, т. е.
если С — const, то
lim (Си) = С lim и,	(III. 16)
поскольку lim С = С,
Пример 5.
1/2	./-
lim 12sinjc=12 lim sinx = 12 •	= 6 у 2.
It	TtX
x-t-r-	X-'—T
4	4
Следствие 2, Предел целой положительной степени равен той же степени
предела:
lim (u«) = lim ц • lim и ... lim u = (lim u)n.	(III. 17)
n сомножителей
Теорема 3. Предел частного двух величин равен частному пределов делимого
и делителя, если только предел делителя (знаменателя) ke равен нулю:
lim — = llHLff если lim и =/=().	(III.18)
v lim v
108	Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Пример 6.
1-|-х lim (1 + х) _ 1 — 1 _ 0 _
3 — х3 ~' lim (3 — х3) ~' 3-|-1 ~' 4 "
Если предел знаменателя равен нулю, а предел
числителя не равен нулю,
то
предел дроби — равен бесконечности.
Пример 7.
lim
л"-»-3
5х2 + 7
х — 3
00,
Рис. 88.
Замечание. Если и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю,
то дробь — может иметь как бесконечный, так и конечный предел. Она может
также вообще не иметь предела.
п
X cos —
Так, limхcos—= 0 и limsinх — 0, но дробь—:~ не имеет предела при
Х-*-0 X х-*-0	sinx
«-►0. Действительно, учтя, что согласно (III.12)
х-*о sinx	Ит sinx
.	Л-+0 X
находим
u
х cos
11m —:   lim —j— • hm cos — » hm cos —
x->o sinx sinx x-»-o	*	x-*-o	%
а функция у = cos — не имеет предела при х -► 0. Это ясно из графика, пред-
ставленного на рис, 88: когда абсцисса х стремится к Нулю, ордината у ни к чему
не стремится, так как точка графика совершает бесконечные колебания с посто-
янной амплитудой ±1.
Для того чтобы найти предел дроби, числитель и знаменатель которой стре-
мятся к нулю, приходится искать обходные пути, сводящиеся в простейших слу-
чаях к подобному преобразованию данного выражения. В общем же случае
§ 27. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
109
нахождение предела такой дроби называется «раскрытием неопределенности типа
у» и будет рассмотрено в § 50.
Пример 8.
Пт Х -» 4 = Пт ~ 2)	2) = Пт (х + 2) = 4.
х-2 -* — 2	х-*2 X — 2	х-2 г ’
Мы ограничимся доказательством только первой из сформулированных выше
теорем, а остальные теоремы читателю будет полезно доказать самострятельно.
Хорошее доказательство этих теорем можно найти в книге Н. С. Пискунова [102,
т. I, гл. II. § 5].
Рассмотрим в Теореме 1 сначала случай двух слагаемых. Пусть функции
“1 = “1 (•*) и иг = “г (*) стремятся соответственно к пределам Ь2 и 62:
I im и2 (х) = 6Х; Пт и2 (х) = Ь2.
х-*а	x-t-a
Тогда при х -> а согласно определению 1 (или определению 2, если а -> оо) имеем
— Ч < ui <^х Ф ei>
и2 Ь2 -) е2*
Отсюда вытекает, что
(61 + 6г) — (е1 + ег) < Ui i и2 < (&1 + 62) + (е1 4" * г)>
или при другой форме записи
I (“1 ± «2) — (*1 ± Ь2) | < «1 + е2.
В таком случае, если -* 0 и s2 -> 0 (а это всегда можно потребовать,
поскольку согласно условию теоремы функции ut и и2 имеют пределы), то
й сумма их («1 + е2) -* 0, следовательно,
Пт («1 ± U2) = 61 ±62 = Пт “1 i Пт и2,
что и требовалось доказать.
Распространение этого доказательства на любое конечное число слагаемый
не вызывает затруднений, например:
Пт (ui ±и2± us) = lim (uL ± и2) ± Пт и3 = Пт ut ± lim и2 ± Пт и3
в т. д.
Упражнения
3. Вычислить следующие пределы, воспользовавшись теоремами 1, 2, 3:
,	2x4-4. л .. (Зх8 —6х2-|-Зх) —(х—I)sin(x—I) ч Зх-|-1
3
4. Построить график функции
п
у = X cos — .
§ 27. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Среди всех переменных величин особый интерес представляют те переменные,
которые стремятся к нулю. Такие величины, названные «бесконечно малыми»,
играют настолько важную роль, что математический анализ часто называют
также «анализом бесконечно малых величин». Это вполне закономерно, поскольку
по
Глава 1П. Элементы дифференциального исчисления
понятие производной, лежащее в основе дифференциального исчисления, и поня-
тие интеграла, являющееся основой интегрального исчисления, сводятся к рас-
смотрению пределов отношения бесконечно малых или, соответственно, пределов
их сумм.
Определение 1. Бесконечно малой величиной (или просто бесконечно малой)
называется величина, предел которой равен нулю.
Пример I. Функция у — х2 — 9 есть бесконечно малая величина при х -> 3
и при х -> —3. При х -> 4 или при х -> а, если а =Н= ±3, та же функция не является
бесконечно малой.
(_пп+1
Пример 2. Целочисленная функция хп=-—— при п -> оо есть беско-
нечно малая величина, так как предел последовательности
(х х-1 -1 1 -1	<-|)n+1
**л'- 1.	2’3’	4 '	’ п ’
есть нуль.
Если в определении предела переменной хп (см. § 26) положить а = 0, то
неравенство (III. 4) примет вид
|х„—0| = |хя|<е при л>ЛГв.
Таким образом, данное выше определение бесконечно малой можно сформули-
ровать и не прибегая к термину «предел».
Переменная хп называется бесконечно малой, если она для достаточно
больших номеров п^ N становится и остается по абсолютной величине меньше
сколь угодно малого наперед заданного числа е>»0.
Замечание. Пользуясь этим определением бесконечно малой величины,
можно через него выразить понятие предела, и такой подход встречается довольно
часто в литературе. Однако надо применять только одно из этих определений.
В противном случае мы придем к порочному кругу: предел будет определен
через бесконечно малую, а бесконечно малая через предел.
Между переменной у, стремящейся к (конечному) пределу 6, и бесконечно
малой величиной существует самая тесная связь, которую можно выразить
следующей теоремой.
Теорема 1. Если переменная у стремится к (конечному) пределу Ь, то раз-
ность а = у — Ь есть величина бесконечно малая. Обратно, если разность
а= у — Ь между переменной у и числом Ь есть величина бесконечно малая, то
число Ь есть предел переменной у.
Действительно, если у Ь, то по определению предела переменной это озна-
чает, что разность у — о по абсолютной величине может стать как угодно малой,
т. е. стремиться к нулю, а это согласно определению 1 и значит, что она
является величиной бесконечно малой. Обратное утверждение доказывается ана-
логично.
Из сказанного вытекает важное следствие, которым мы неоднократно будем
пользоваться в дальнейшем.
Следствие. Переменную у, стремящуюся к (конечному) пределу Ь, можно
представить как сумму ее предела и некоторой бесконечно малой а:
у = Ь + а.
Обратно, если переменную у можно представить как сумму некоторого числа Ь
и бесконечно малой а, то значит у -+Ъ.
Необходимо подчеркнуть, что не совсем удачный исторически сложившийся
термин «бесконечно малая величина» дает представление не о размере этой вели-
чины, а о характере ее изменения. Например, переменная у = (х — 2)7
есть бесконечно малая при х -> 2. Между тем при х = 12 оиа имеет значение
у = Ю’= 10000 000. «Бесконечная малость» переменной у = (х — 2)7 заключается
в том, что при х -> 2 абсолютное значение у может стать меньше любого наперед
заданного положительного числа е (и будет оставаться таковым, если х все
больше и больше будет приближаться к 2).
§ 27. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Hi
Из постоянных величин существует только одно единственное число, которое
является бесконечно малой величиной, — это число нуль, так как нуль, дейст-
вительно, всегда меньше произвольно взятого числа- е. Поэтому пи в коем случае
нельзя смешивать понятие бесконечно малой величины с часто встречающимся
на практике понятием очень малой величины. Например, отрезок длиной 0,00000! м
является чрезвычайно малой величиной по сравнению с расстоянием от Земли до
Солнца, но этот же отрезок будет иметь гигантские размеры, если речь пойдет
об атоме или атомном ядре.
С бесконечно малыми величинами тесно связаны величины бесконечно большие,
к рассмотрению которых мы переходим.
Определение 2. Бесконечно большой величиной (или величиной, стре-
мящейся к бесконечности) называется переменная у, абсолютное значение кото-
Рис. 89.
рой в процессе своего изменения становится и в дальнейшем остается больше
любого наперед заданного положительного числа N, как бы велико оно ни было.
Если сформулированное в определении 2 требование | у | >. N выполняется, то
условились записывать
У -* оо
и читать: игрек стремится к бесконечности. Если, кроме того, переменная у,
начиная с некоторого значения, остается все время положительной, то
пишут у -» -|-оо, если же отрицательной, то пишут у -* —оо.
Пример 3. Целочисленная функция у = ип=п есть бесконечно большая
величина, так как члены последовательности {u„} = !, 2, 3, 4, ... неограниченно
возрастают.
Пример 4. Функция y = ctgx есть бесконечно большая величина при
х -> 0.
Действительно, взяв окружность радиуса R = ! (рис. 89), имеем
Если угол х, находясь в первой четверти, приближается к нулю, то AM,
а следовательно, и etg х неограниченно растут, принимая последовательно значе-
ния AMlt АМ2.......В самом деле, какое бы большое положительное число N мы
ни выбрали, найдется в первой четверти такой, стремящийся к пулю, угол,
котангенс которого будет больше N, а потому etg х останется и подавно больше
N, если угол еще больше приблизится к нулю.
Итак, etg х при х -» 0 есть бесконечно большая величина. Поскольку в первой
четверти etg х всегда положителен, то мы можем уточнить полученный результат
и написать
etgх -* 4-°° ПРИ х -* 4-0.
112
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Знак «+» при нуле и подчеркивает, что угол х, приближаясь к значению х = О,
остается все время положительным.
Если же х —0 (или х -* -|-п), то и ctgx -* —оо. Докажите это, дополнив
рис. 89 последовательностью лучей ОМ*, ОМ*> • • • , соответствующих углам,
стремящимся к развернутому углу (х * +«) или к углу х -> —0, т. е. для тех
случаев, когда х находится во втором или четвертом квадрантах.
Упражнение I. Доказать, что z/=tgx есть бесконечно большая вели-
чина при х -> ±-g- •
Термин «бесконечно большая» имеет те же недостатки, что и термин «бесконечно
малая», так как он носит статический характер и не подчеркивает того основного
факта, что бесконечно большая величина это величина переменная. Никакая
постоянная величина не может быть бесконечно большой. Так, число М = 9е®,
которое больше, чем единица с 77 нулями (так как 99® = 981 = 10” • 1,950 . ..),
не является бесконечно большой величиной, поскольку легко указать число еще
большее, например N = М -|- I.
Между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами существует
простая связь, которую можно сформулировать в виде следующей теоремы:
Теорема 2. Если х есть бесконечно малая величина (не принимающая нулевых
значений), то обратная величина У = ~ является бесконечно большой (и наобо-
рот, если первая есть бесконечно большая, то вторая является бесконечно малой).
Справедливость этой теоремы станет очевидной, если заметим, что из нера-
венства [ х | < е следует неравенство |	1 >. М = и что если t сколь угодно
мало, то М = -р сколь угодно велико.
На рис. 90 показана связь между взаимно обратными величинами, удовлетво-
ряющими уравнению ху = I, графиком которого является равносторонняя гипер-
§ 27. Бесконечно маме и бесконечно большие величины
НЗ
бола (см. § 18). Если последовательность {#} = ylt у2............. - • • будет
стремиться к нулю, оставаясь все время положительной, то соответствующая ей
последовательность {jc} = jc1, х2..хт, ... будет стремиться к 4-оо, и нао-
борот, при х -> -|-0 обратная величина у -» -|-оо. Аналогично при у -> —0 пере-
менная х -»—оо, как показано пунктирными линиями на том же рис. 90.
Например, при х = ±0,000001 имеем у = ± I 000 000.
Пример 5. Величина tgx бесконечно мала при х -> 0, величина etg х =
бесконечно велика при х -> 0.
Определение 3. Величина называется ограниченной, если абсолютное ее значение
не превосходит некоторого постоянного положительного числа N.
Например, функция sin х есть ограниченная величина на всей числовой оси
так как [ sinх | < I. Функция g = х^_ { ограничена на любом отрезке числовой
оси, который не содержит точки х= I, скажем, на сегменте [3; 5] или при х>.1.
Всякая постоянная величина является ограниченной. Всякая бесконечно
большая величина не ограничена.
Остановимся теперь на основных свойствах бесконечно малых величин. Эти
свойства непосредственно вытекают из соответствующих теорем о пределах, так
что доказательство сформулированных ниже теорем оставляем читателю в качестве
упражнения.
Теорема 3. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого неизмен-
ного числа бесконечно малых величин ах, а2.......ап есть величина бесконечно
малая.
Замечание. Если число слагаемых не остается неизменным, а меняется
вместе с изменением аргумента,	то	теорема	3 может	потерять силу.	Так,	если
I	I	I	I
а. = -г ,	а» = —,	а«	= —.....	а„	= — >	то	при	п -* оо каждое	слагаемое
1 п	п	п	"	п
,	1 , I , I ,	, 1	1
бесконечно мало, но их сумма — -|- —	— ~ * п Равна единице.
Теорема 4. Произведение бесконечно малой величины а и ограниченной вели-
чины Ь является бесконечно малым.
Следствия. 1. Произведение бесконечно малой а и постоянной С есть величина
бесконечно малая.
2. Произведение двух бесконечно малых величин есть бесконечно малая (так
как бесконечно малая есть величина ограниченная).
3. Произведение неизменного числа бесконечно малых ах, а»................ап
есть бесконечно малая. В частности, целая положительная степень бесконечно
малой ап есть также бесконечно малая.
Теорема 5. Частное от деления бесконечно малой а на величину у, стре-
мящуюся к отличному от нуля пределу Ь, есть величина бесконечно малая.
Если условие теоремы 5 нарушено и Ъ = 0, т. е. если у есть также бесконечно
малая, то -величина — может и не быть бесконечно малой. Например, если а = х,
- а I	_
у = х, то — = — -* оо при х -* 0.
Бесконечно малые величины следует различать по их порядку. Две бесконечно
малые величины имеют одинаковый порядок, если их отношение — конечная вели-
чина, если же — бесконечно малая, то а — бесконечно малая высшего порядка,
Р
у	а
чем 8: если же -1-----бесконечно большая, то — — бесконечно малая, и а имеет
г	а	7
высший порядок, чем f.
Определение 4. Бесконечно малая а называется бесконечно малой
т-го порядка по отношению к другой бесконечно малой р, если порядок а одина-
ков с порядком бесконечно малой Р"1.
114
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Определение 5. Равносильные, или эквивалентные, бесконечно
малые — такие, предел отношения которых равен единице.
При отыскании предела отношения двух бесконечно малых величин каждую
из них можно заменить равносильной бесконечно малой, не изменив этим пределу.
Эквивалентность бесконечно малых величин обозначается тем же знаком я,
что и приближенное равенство. Таким образом, если я-»-0, то*
sin х к х', sin 2х я 2х; sin3 х я х2; I—cos х я у х2.
Эквивалентные величины и в самом деле приближенно равны и это равенство
будет тем точнее, чем они ближе к нулю. Так, при х = О, I ,(с шестью значащими
цифрами)
sin х = 0,0998334 «0,100; I — cos х = 0,00499583; у х2 = 0,00500000;
а при я = 0,0! соответственно
sin х = 0,00999983 я 0,010000; !— cos х = 0,0000499996; у х2 = 0,0000500000.
Пример 6. Найти предел функции
I — COS X
у =----2— при X 0.
Решение. Заменив ! — cos х = 2 sin3 у, имеем
п . , х . ,х	/ . х\!
2 sin2 у sin2 у 1	/8Шу\
lim у =* lim-— = lim ——-= = — lim I ---- J
x-*-0 x-H) % x-M) / X \	x-*-0 \ x f
\"2/	X 2 /
2 ’
так как согласно формуле (III. 12) § 26 бесконечно малые
эквивалентны и предел их отношения равен единице.
Таким образом,
! — cosjc
Il m------j—
x-t-0 х
при
(Ш.20)
2 ’
и, следовательно, функции ! — cos х и х2 при х -> 0 суть бесконечно малые вто-
рого порядка (относительно х или sin х), но они не эквивалентны, поскольку предел
их отношения не равен единице. Из формулы (III.20) непосредственно получаем
приближенную формулу, которой мы уже пользовались:
cos я я I
— х2
2 х '
(Ш.2!)
Упражнения
2.	Доказать, что
!imxctgx= I.	(III.22)
«-►о
• Эквивалентность функций 1 —cos v и -у х2 следует из формулы (111.20), которая будет
доказана прн решении примера 6.
§ 28. Непрерывность функций. Разрывы первого и второго рода
П5
Указание. Заменить ctgjc = -^^- и воспользоваться формулой (III.I2).
3.	Доказать, что функции х и tg х = —!— при х •* 0 есть эквивалентные бес-
ctg х
конечно малые.
I __ COS X
4.	Доказать, что lim —:------= 0, т. е. что I — cos х при х -> 0 есть беско-
х->0 ®1п *
нечно малая более высокого порядка, чем sin х.
В заключение отметим, что «несобственные числа» +00, которые были введены
для того, чтобы иметь величину обратную нулю, имею! совершенно условный
смысл и над этими числами нельзя производить арифметические действия. Напри-
00
мер, оо — оо или — не равны нулю или единице, как это имеет место в случае
любого конечного числа а, для которого а — а = 0 и — = I. Выражения оо — оо,
оо п	О
—, 0 • оо, равно как и рассмотренное ранее выражение -у , суть неопределенности
с правилами раскрытия которых мы познакомимся в § 50.
Необходимо также подчеркнуть, что и нулю присуще свойство, которым не
обладает ни одно другое число, а именно, умножив обе части неравенства,
например 3 =# 5, на нуль, мы получаем равенство 3 • 0 = 5 • 0, т. е., образно
говоря, умножением на нуль невозможное можно обратить в возможное. В этом
факте, по-видимому, и заключена суть тех логических трудностей, с которыми
было связано введение в математику бесконечно малых и бесконечно больших
величин.
§ 28. Непрерывность функций.
Разрывы первого и второго рода и устранимые разрывы
тем свойством, что график непре-
се
Непрерывные функции образуют наиболее распространенный класс функций,
с которыми оперирует математический анализ. Представление о непрерывной
функции мы получим, если охарактеризуем
рывной функции можно начертить одним
непрерывным движением, не отрывая ка-
рандаша от бумаги.
Примером непрерывной функции могут
служить различные законы движения тел
s = выражающие зависимость пути s,
пройденного телом, от времени I. Время
и пространство непрерывны, поэтому тот
или нной закон движения тела s = f (/)
устанавливает между ними определенную
непрерывную связь, характеризующуюся
тем, что малому приращению времени со-
ответствует малое же приращение пути.
Следовательно, график функции s = f(t)
будет изображаться непрерывной линией.
Рассмотрим график функции у = f (х), представленной на рис. 91. Для всякого
значения аргумента х = х0, кроме х = а, функция у принимает одно н то же
значение у = у0 = f (х0) независимо от того, приближаемся ли мы к данной точке
ха справа или слева. В точке же х = а значения функции справа и слева различны
и, переходя через точку х = а, функция y=f(x) терпит разрыв непрерывности
и скачком изменяет свое значение.
Дадим теперь этому интуитивному, приблизительному представлению точную
математическую формулировку.
116
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Определение 1. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = х0,
если предельное ее значение при х -* х0 равно ее частному значению f (х0)
при х = х0:
lim f (х) = f (х0).	(111.23)
Х->-Ха
Это определение и гарантирует, что в точке х = х0 функция у = f(x) не может
изменить скачком свое значение (в зависимости от направления, по которому мы
пришли в точку лс0), как это имеет место для точки я==а, в которой равенство
lim f (х) = f (а) не выполняется.
х->-а
Равенство (III.23) в точке х = а не выполняется, потому что в точке а функция
f (х) не имеет единого предела, а имеет так называемые, односторонние
пределы f (а — 0) = и f (а 4- 0) = Ь2 (см. рис. 91).
Если значение функции f(x) стремится к числу по мере стремления х к а
со стороны меньших значений, то число Ъг называют пределом слева
f (а — 0) (или левосторонним пределом) функции f(x) в точке я = а
и пишут
lim f (х) = f (а — 0) = bv	(III.24)
х->а—0
Если f(x) стремится к Ь2 по мере стремления х к а со стороны больших
значений, то Ь2 называют пределом справа f(a-^-O) (или правосто-
ронним пределом) функции f (х) в точке х = а и пишут
lim f(x)=f(a-^O) = b2.	(III.25)
x->a+0
Величина [— b± [ называется скачком или разрывом.
Таким образом, из определения I следует, что функция f (х), непрерывная
в точке х0 = а, имеет в точке х0 предел слева / (х0 — 0) и предел справа
/ (х0 4 0), причем оба этих предела одинаковы и равны значению функции [в этой
точке х0, т. е.
t(xo-O) = f(xo^Cf) = Hxo).	(Ш.26)
Если эти условия не выполняются, несмотря на то, что функция / (х) опреде-
лена для всех значений х, достаточно близких к точке а, то функцию f(x)
называют разрывной в точке х = а, а саму точку а называют точкой
разрыва функции. Разрывы бывают конечные, бесконечные и устранимые.
Конечным разрывом, или разрывом первого рода, называется такой, когда
величина скачка [ Ь2 — Ьг [ функции y = f(x) в точке разрыва х = а конечна.
Функция, график которой изображен на рис. 91, в точке а имеет разрыв первого
рода. Если же величина скачка | Ь2 — bt [ = оо, то будем иметь бесконечный разрыв,
или разрыв второго рода. Например, функция у = -i- в точке х = 0 терпит
разрыв непрерывности (см. рис. 90) и ее график в окрестности точки х = 0
нельзя начертить, не отрывая карандаша от бумаги (так же, как и график на
рис. 91 в окрестности точки х = а). Так как прия->0 для рассматриваемой
функции у = f (х) = ±. пределы слева и справа будут соответственно
bt= lim f (х) = —оо; b2 = lim /(х) = -|-оо,
х-*—0	х-»-+0
то величина скачка | Ь2 — Ь± [ бесконечно большая и, следовательно, мы имеем
разрыв второго рода
Устранимым разрывом называется такой, когда Iimf(x) существует и притом
х-ю
f (и — 0) = f (а 4- 0), ио при х = а функция / (х) вначале не определена. Примером
§ 28. Непрерывность функций. Разрывы первого и второго рода
117
устранимого разрыва является разрыв функции у = —j-* в точке х = 0, в которой
она имеет неопределенность типа 0:0. До тех пор, пока неопределенность не
устранена (а это не во всех случаях удается сделать), мы должны исключать
.	г, . sin х
точку нуль из рассмотрения, так что графиком функции у = f (х) =	, строго
говоря, является график, приведенный на рис. 87, с исключенной точкой х = 0.
,,	,, sinx ,
Но как только неопределенность раскрыта и установлено, что lim  *=»!, мы
х-*-о х
можем нашу функцию доопределить, приписав ей значение /(0)=>1, и тем
самым устранить существовавший ранее разрыв. Отсюда становится понятным
происхождение термина «устранимый разрыв». Если же неопределенность не
удается раскрыть, то остается разрыв в виде одной исключенной из рассмотрения
точки х = а, в которой значение функции / (х) неизвестно.
Определение 2. Функция у = f (х) называется непрерывной для всех значений,
принадлежащих к данному промежутку, если она непрерывна в каждой точке
х0 этого промежутка, т. в. если в каждой такой точке выполняется равен-
ство (HI.23).
Если равенство (ГГ1.23) выполняется и на концах а, Ь рассматриваемого про-
межутка, то говорят, что функция непрерывна на замкнутом промежутке [а, 6];
в противном случае говорят, что функция непрерывна в незамкнутом (открытом)
промежутке (а, Ь), а также в полузамкнутом —[а, Ь) илй (а, 6].
Функция, заданная и непрерывная для всех точек числовой оси, называется
непрерывной всюду. Если же f(x) непрерывна во всех точках некоторого проме-
жутка, за исключением конечного числа отдельных его точек, в которых f (х)
имеет конечные разрывы, то такая функция Называется кусочно-непрерывной.
График кусочно-непрерывной функции состойг из нескольких отрезков кривых
(или, в частном случае, прямых) линий.
Пример 1. Функция f(x) = -----------------=7 имеет разрывы второго рода
(* — *)(х — d)
в точках х=1 и х = 3 (рис. 92). Поэтому функция f (х) непрерывна в любом
промежутке, не Содержащем точек х = 1 и х =± 3, и разрывна Для тех промежутков,
в состав которых входит хотя бы одна из этих точек. Например, на сегментах
[0; i], [1; 3], [3; 5] f (х) разрывна, а на сегментах [—5; 0,9], [1,1; 2,9], ^3-^-; ooj —
непрерывна.
Пример 2. Функция f (х) = . *--- определена и непрерывна при всех зна-
чениях х, кроме х = 0 (рис. 93).
118
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Если х>0, то |х| = хи/(х) = -^-=1 = const; если же х < 0, то [ х [ = —х
и / (х) =	= — 1 = const. В самой . точке х = 0 функция / (х) имеет разрыв
первого рода со скачком равным двум, так как предел слева bL = lim f (х) => —1,
х-»—о
а предел справа 62 = lim /(*) = +! и, следовательно, [ 62 —6Х[=2.
На этом же рисунке пунктиром изображена функция у = [ х [, непрерывная
всюду, но имеющая в точке х = 0 угловую точку.
Пример 3. Количество тепла Q, сообщаемого телу, есть функция темпера-
туры тела Т. Нл рис. 94 представлен график этой функции. Линия АВ соответ-
твердому состоянию, при котором темпе-
ствует
ратура поднимается от своего начального значе-
ния То до температуры плавления Т\. При дальней-
шем нагревании температура будет оставаться не-
изменной до тех пор, пока тело не перейдет цели-
ком в жидкое состояние, а затем снова начнет
повышаться температура образовавшейся жидкости.
Картина повторится и при превращении жидкости
в газ. Отрезок ВС соответствует скрытой теплоте
плавления, а отрезок &Е — скрытой теплоте паро-
образования. Таким образом, функция Q есть ку-
сочно-непрерывная функция*.
Упражнения
1.	Построить график функции Q = Q(T) для'
воды, приняв, что Q = 0 при То = —10° и что
(в первом приближении) Q есть линейная функция температуры Q = kT ф b с уг-
ловым коэффициентом k = 1 (т. е. что теплоемкость льда, воды и пара я
«1 кал!г • град). Скрытая теплота плавления льда 79 кал/г\ скрытая теплота
парообразования воды 539 кал/г.
Указание. Масштаб по оси Q следует взять в пять раз меньшим, чем по
оси Т.
2.	Исследовать функцию у = tg х па сегменте [—2л; 2л] и начертить ее график.
Определить точки разрыва и величину скачка в этих точках.
3.	Исследовать функцию / (х) = ^х —tg х на сегментах [0; л] и [—л; 2л]
и построить соответствующие графики.
Непрерывность функции у = / (х) в точке х = х0 мы определили при помощи
равенства (III.23), исходя из понятия предела функции. Воспользовавшись тео-
ремой 1 § 27, можно дать другое определение непрерывности, эквивалентное
исходному, но которое будет основываться на понятии бесконечно малой величины.
Для того чтобы его сформулировать, мы должны предварительно сказать о том,
чтб называется приращением переменной величины и, в частности, приращением
аргумента и приращением функции.
Если переменная у принимает сначала значение у — у0, а затем у = ylt то
разность У1 — у0 называется приращением величины у. Приращение может быть
положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от того, будет ли
Уо < У1> или уд > у1г или уд = yL. Слово «приращение» обозначается прописной
* Для некоторых веществ график функции Q может иметь только один разрыв. Например*
кристаллический иод при быстром нагревании до температуры 184,3е С сублимируется, переходя
непосредственно в парообразное состояние и минуя жидкую фазу. Этим же свойством обладают
нафталин, окись бериллия и некоторые другие вещества.
§ 28. Непрерывность функций. Разрывы первого и второго рода
119
греческой буквой «дельта», Д, а запись Дг/ (читается: дельта игрек) обозначает:
приращение величины у, так что*
^У = У1~ Уо-	(III.27)
Очевидно, что приращение постоянной у = С = const всегда равно нулю.
Если у есть функция от х, у = f (х) то приращению аргумента &х = х1— х0
соответствует приращение фуйкции \у = у1 — у0 = f (xt) — f (х0). Иногда в этом
случае вместо 6.У пишут Д/(х) или просто Д/:
Д/ = / (*i) — f(x0).
Определим теперь непрерывность функции в терминах приращений. Переход
от значения х0 к другому значению xt = х можно себе представлять так, что
Значению х0 придано приращение Дх = х— х0, откуда и получаем х =
Тогда новое значение функции у = f (х) = f (х0 ф Дх) разнится от старого
y = f (хо) на приращение
ЬУ = / (х) — f (х0) = / (х0 Дх) — / (х0).
Для того чтобы функция f(x) была непрерывна в точке х0, необходимо и до-
статочно, чтобы ее приращение Дг/ в этой точке стремилось К нулю вместе
с приращением Дх независимой переменной.
Иными словами, непрерывная функция характеризуется тем, что бесконечно
малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение
функции, т. е.
lim Дг/ = 0.	(111,28)
Дх-.О
Равенства (III.28) и (III.23) эквивалентны, в чем непосредственно убеждаемся,
как только представим равенство (III.23) й виде
lim [/ (х) — / (х0)] = 0
(х—х0)->0
и перейдем затем к прнращенням Дх = х —х0 и Дг/ = f (х) — f (х0). Следова-
тельно, и определение 1 непрерывности функции в заданной точке эквивалентна
определению (III.28). Но новое определение обладает большей наглядностью и лучше
передает характер изменения непрерывной функции, как изменения плавно'го,
без скачков, такого, что «малым» изменениям аргумента соответствуют «малые» же
изменения функции, А именно такой характер изменения функции мы и подразу-
мевали интуитивно, когда говорили, что график непрерывной функции можно
вычертить единым движением карандаша, не отрывая его от бумаги, В точках
разрыва, когда Дх -> 0, приращение Дг/ не стремится к нулю, а принимает
конечное или бесконечное значение, как это легко увидеть иа рис. 91—94.
Пример 4. Доказать, что функция # = sinx непрерывна на всей действи-
тельной оси.
Решение. Если мы сообщим аргументу х приращение Дх, то у получит
приращение
&.у = sin (х Дх) — sin х.
Положив а — х + дх, р = х и воспользовавшись известной тригонометрической
формулой
, а — 3 а 8
sin а — sin р = 2 sin —g-*- cos —~~,
* Подчеркнем, что Ьу надо понимать как одно целое и его нельзя рассматривать как произ-
ведение двух сомножителей. Символ А неотделим от у так же, как, например, в выражении
1g у символ 1g неотделим от у.
120
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
приращение &у можно представить в следующем виде:
Д# = 2 sin -^- cos (х 4-	.
Если Дх -» О, то sin —£• есть величина бесконечно малая. Что же
касается cos ^х ф > т0 это величина ограниченная, так как | cos 7 | < 1
при любом значении 7 = х -ф-	. В таком случае согласно теореме 4 § 27 Ду
Рнс. 95.
есть тоже бесконечно малая, т. е. Ду •* 0,
а это и доказывает непрерывность функ-
ции у = sin х в любой точке х.
Упражнение 4. Доказать, что
функция у = cos х непрерывна на всей
действительной оси.
Пример 5. Исследовать поведение
функции у = f (х) = 2х на всей действи-
тельной оси —оо < х < -фоо.
Решение. Легко видеть, что функ-
ция f (х) определена и положительна при
всех значениях х, кроме х = 0. В част-
ности, если х -> то, то---» 0, так что
х
lim f (х) = lim f (х) = 2° =\.
Таким образом, в бесконечно далекой точке «предел слева» равен'«пределу справа»:
f (—00) = f (+то) =-1, и, следовательно, функция f (х) в точке х = то непрерывна*.
Далее, если х возрастает от —оо, приближаясь к нулю, то — убывает от О
£
до —оо, в результате чего 2х убывает от 1 до 0 (рис. 95). Но как только х,
достигнув нуля слева, т. е. приняв значение х = —0, перейдет на правую сторону
оси абсцисс, т. е. перейдет в х = +0, величина — скачком изменит свое значение
с —оо на фоо, и тогда у = 2х также скачком увеличится от 0 до -ф-оо:
£ 1_
b± = lim 2х = 2~“ =	= 0; b, = 11m 2х = 2+“ = фоо.
V ,_П	2+»»	i - .J__
Таким образом, в точке х = 0 функция f (х) имеет разрыв второго рода, так как
величина скачка |62— &i| = 00. При дальнейшем увеличении аргумента х функция
f (х) будет, монотонно убывая, стремиться к своему асимптотическому значению
/(°о) = 1 (рис. 95). На этом же рисунке пунктиром изображена и прямая у = 1,
которая является асимптотой функции у = f (х) = 2х .
* Говорят, что f (х) непрерывна в точке х = если после подстановки т •»— мы придем
и функции (т), непрерывной в точке т = 0. Более подробно эти вопросы будут рассмот-
рены в гл. X.
§ 29. Свойства непрерывных функций
121
Пример 6. Исследовать на всей действительной оси поведение функции
y=f(X):---------------------------------Ц-.
1 4-2г
Решение. Этот более сложный пример исследуется с точки зрения возрас-
тания и убывания подобно предыдущему и приводит'к графику, изображенному
на рис. 96. Здесь также имеется разрыв в точке х = 0, но в данном случае
bt = lim f (х) =---Ц— =1; b2 = lim f (х) =--------Цг— = 0>
л--о 1 4>2	»-н-о	1+2+м
так что скачок | Ь2 — bt | = 1 и, следовательно, в точке х = 0 функция f (х) имеет
разрыв первого рода. Во всех остальных точках действительной оси (включая
и точку х = сю) функция f (х) непрерывна. Поэтому, если мы приращение Дх
(при х0 =/= 0) начнем стягивать в точку, т. е. осуществлять в равенстве (III.28)
условие Дх -* 0, то н соответствующее ему приращение Ду также будет стре-
миться к нулю (см. рис. 96).
Отметим также, что функция f (х) обладает свойством
f(x)+f(-x)=l
(справедливость которого читателю полезно доказать в виде упражнения), таи
что точка (0; 1/2) есть центр симметрии графика. В бесконечно далекой точке
/(—оо) = f (-J-сю) = у, а прямая р = у, параллельная оси х, есть асимптота
функции Цх).
§ 29.	Свойства непрерывных функций
Теорема 1. Если функции и(х) и о (х) непрерывны в точке х = х0, то их
.	и
сумма и -fyo, разность и—-о, произведение ио и частное — также непрерывны
в точке х = х0, причем в случае частного предполагается, что знаменатель* не
обращается в нуль при х= х0.
Доказательство. Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает пз
соответствующих теорем о пределах алгебраической суммы, произведения и част-
ного двух функций.
В самом Деле, если функции и (х) но (х) непрерывны в точке х = хв, то,
’ Случай и (х0) = 0, о (*0) = 0 приводит к неопределенности типа у, которую надо допол-
ните ль ио Исследовать в каждом конкретном случае.
122
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
значит, существуют пределы lim и (х) — и (х0) н lim v (х) = v (х0); но в таком
X-t-Xf,	х-*х<,
случае
lim (и + о) = lim и + lim о = и (х0) + v (x0)j
Х-¥Ха	Х-*Х0 Х-*Ха
lim (и . о) = lim и • lim v = и (х0) • v (х0);
Х^ХЛ	Х^Х9 х-*х9
lim ( —'i = limu = “ (Xq)
х-хДи I limo t>(x0)'
Согласно определению 1 § 28 первое из этих равенств доказывает непрерыв-
ность функций и-}-0 и и — v (в точке х = х0), второе доказывает непрерывность
функции ио, а третье — непрерывность функции . Обобщение этой теоремы
на любое конечное число слагаемых или сомножителей не вызывает никаких
трудностей.
Теорема 1 уже теперь позволяет нам судить о непрерывности обширного класса
функций. Так, воспользовавшись только утверждением, что линейная функция
У = х непрерывна (для этой функции Д# = Дх и, очевидно, что при Дх-*0 имеем
Д(/-*0, так что равенство (III.28) для нее выполняется при любом значении х),
как следствие теоремы 1 получаем следующее: •
1.	Степень хп с натуральным показателем п=1,2,3,... представляет
собой функцию, непрерывную при всех значениях х. В частности, функции х2 =
= х • х, х3 = х2 • х н т. д. всюду непрерывны.
2.	Умножая на постоянное число с функцию f (х), непрерывную в точке х = х0,
мы снова получаем функцию, непрерывную в точке х = х0- Поэтому, в частности,
функции сгх, сгх4, с3х3,__(где ср с2, с3, ...—константы) суть функции, непре-
рывные на всей числовой осн. Таковы, например, функции у = —7х3, у =
= 15х8 н т. п.
3.	Полином	j
Р (х) з Рп (х) = а0 ф. ajx ф. а2х2 ф--1- апх"	(III .29)
есть функция, непрерывная на всей числовой оси. Например, функция у = 7 ф-
+ Зх — Xs непрерывна всюду. Заметим попутно, что в тех случаях, когда это
необходимо, индексом п будем отмечать степень полинома (III.29), т. е. вместо
Р(х) писать Рп(х).
4.	Рациональная функция
рп(х) _ a0 + atx + aiX2-\--------^апх"	„
R () “ ТОГ “ ~'b0 + blX h b2x2 +"". + bmXm •	<IIL30>
представляющая собой отношение двух полиномов (степени п и т) Рп (х) и Q,„ (х),
непрерывна при всех значениях х, которые не обращают знаменатель в нуль*.
Например, функция (х) =	‘ непрерывна при всех значениях х, кроме
* =—2, Зи х = гДе она имеет разрывы второго рода. Функция R* (х) =
— х2 ф Зх + 10 непРеРывна ПРИ всех значениях х без каких-либо исключений
(так как знаменатель х2ф-Зх+Ю не имеет действительных корней).
Итак, на основании теоремы 1 можно утверждать, что всякая рациональная
функция непрерывна во всех точках, в которых она определена, или, короче,
область непрерывности рациональной функции совпадает с областью ее суще-
ствования.
* Полиномы Рп (х) и Qm (х) должны быть несократимы. В противном случае будем иметь
устранимые разрывы в тех нулях знаменателя Qm, которые одновременно являются нулями
(той или более высокой кратности) числителя Рп-
§29. Свойства непрерывных функций
123
Пример. Исследовать непрерывность рациональной функции
*(*) =
Р(х) х5 + 2х2—3
Q (х) ~ х3 — 1
Решение. Знаменатель Q(x)=xs— 1 = (х — 1) (х2 + х + 1) имеет один
действительный корень х = 1. Поэтому функция (х) определена и непрерывна
при любом значении х=/=1. Например, проверим непрерывность функции
в точке х = 0.
I. Если х = 0, то R (0) = 3.
II. Если х -> 0, то lim R (х) = lim	= 3.
х-И) х-»-о х3 — 1
Таким образом, в полном соответствии с
определением 1 § 28 для функции f (х) =
= R (х) при х0 0 выполняется равенст-
во (III.23)
lim R{x) = R (0)
х-»-0
и, следовательно, функция R (х) непре-
рывна в точке х = 0. Аналогичным путем
можно доказать непрерывность функции
R(x) в любой другой точке х± 1.
При х = 1 функция R (х) не опреде-
лена, поскольку при х = 1 и числитель
Р (х) |х=, = х? + 2х2 — 3 = 0, и знамена-
тель Q (х) |х=1 = х3 — 1=0 обращаются
в нуль, так что мы приходим к неопре-
деленности
/?() Q(i)—о*
Таким образом, точка х = 1 является единственной точкой разрыва функции f (х) =
= R (х), в которой значение ее остается неизвестным. На рис. 97 сплошной линией
изображен график функции R (х), на котором точка с абсциссой х = 1 исключена
из рассмотрения. Именно отсутствие одной этой точки и делает нашу функцию
разрывной при х= 1.
Исследуем функцию R (х) несколько шире, представив ее числитель Р (х) в виде
Р (х) _ Р (х; а) = Xs. + 2х2 — а,
где свободный член а может принимать любые значения. В табл, 2 вычислен ряд
значений функции
п .	. Р (х; a) xi + 2х2 — а
R (х; а) = „	' =-----4—1-------
'	' Q (х) х3 — 1
при а = 3; а = 3,1; а = 3,5 и по этим данным на рис. 97 построены соответству-
ющие кривые.
Анализ этих результатов показывает, что если а =Н= 3, то при х = 1 числитель
Р (х; а) = 3 — а =Н= 0, а знаменатель Q (х) = х3 — 1 остается равным нулю. Поэтому
функция R (х; а) в точке х = 1 имеет разрыв второго рода, так как при а у= 3
согласно формулам (III,24) и (III.25)
&! = lim R (х; а) = +<ю, Ь2 — lim R (х; а) = —оо, |	— b21 = оо,
Х-И—0	х-И-1-0
что и проиллюстрировано на рис. 97 для кривых а = 3,5 (пунктирная линия)
иа=3,1 (штрих-пунктирная линия).
124
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Таблица 2
ю еО D	к	© -^ © © © © © © © ct^ о о g^o © © ©, о-<1Л q-^CNiooq СО OJ	о О О* о” о о" Ср о -у -у у *р Ср ср
	Р (х: а)	М*М<00©СО©© СО © 00 СО СО © Ь- © ^ © Ь-©-^ О -М СО ©—• М- Л Об ©© © 00 © Ь* © © 1$ со © ©© о «о£5© ~~1со 8 ©—.-м© g> — СО CN-Ч <j)<4 14"2рСО '*с0с0с0с0оГ’“*-^’-^-^'с000
	Р (х; а)	©OQ-^-м©©—j«-*-^©©©—<©©-мСЧ© ©ь-?о©ь«.ь-©оосч©ь-©©Фсч©©соь-ф ©©СОООфООООфОО—<©00©©Q—<©©00©©© ф©©©со-м©ообсчоо©ь-фоосоо©©©©© © © © 00© © ^© © © CN © ’* © Xt*A© IQCO -М © © ьГ со оо -м" © © © © © ©* -м" CN C*f СО СО СО CN CN СО* © Ь-" 00 3й 771 11 1 1 11 1 1 1 1 1
м И в	o' 25 я?	© -Н г«, © -и © ©	Ь*©СЧ©С0©Ь*©©С0©©-м© -и ь. оо-*-и-* 5) о©©аосооб©Ьчсо©аб©-н-*м* © CN Ь-00 ** CN ° СО© CN © ©-^ © со© © © ** ©-^ © © СО СО* СЧ СЧ О |-f-© со со сч со со со" сч	со со
	Р (х; а)	LCCN-<C7>OQ-i-i-ilOCT)Q-ilO©-<CJlO_ ©Г"-С0©СЧЬ-©00СЧ©Ь'©©©СЧ©©С0Ь:.©_ ©©сооо©-нар©оо-м©ооа>©©£2©©досо©© о©©©соор©©аосч©©ь--©аосо©©©а>©о © © © СЧ © СО ©	00© © -М © © -м r^©00CN©©©©©©©CNOpcdcOCNCNCNCN©b-0O Я”	11111111111111^
со D в	“в н	со © © со со со ©	© со	со со	© ь- ©	© © ©	со	© со СЧ00СЧ1Л-НЮ-Н	|	© ©-^	сч оо	© ь. ю	© ©CNOOCN^O©	|	© ©	©	00©^©© CN	© © ©вС0в© © ©" СО СО со" со" со"	CN CN	CN	CN CN	C# О? CN	-м" © ©	СО °0
	Р (х; а)	© CN-^ ©-М	—< -< -< © © © -м © © —• CNI © _ © Г». СО © CN CN до CN © Ь- © © © CN © © со Г? © _ © © со оо ©-^-* до -< © оо © © © -н о © со со © о SggS§3SoS$fSS!&;SSS?g2SSSS
Р (х; а) = х* + 2х* — в;	Р (х; я) Q (х) =• х* — И	0 W	S О'	oggggsg gggggggggggggo ©©©00-Hb-©	© CN-M ©©©—<©©-^ »©© © © © b- CN CO © CO CN ** b- b- © © © CN © CO CN b* © © qocob c*1-m © © ©-^cn oqc^© ©-^© cob^M© © © b*" ci ©"©©"©" ©©©©©-^‘^‘^счсчсчм’ооо M	7 17771 1 1 1 1 1 1 17
	вн	©CN-m©-m©©©©©—<©-^©©-нСЧ©_ _©b.©©CNO©©r>'*(N©Q©(N©©COb;©^ ©QC00Q©©?i©©C0©-^©©©—^©OaOCOO© ©©©ooXr*©©©r*©co©©©co©-^oo©©©. © ©©,xf ©СЧОФОЬ*©© cq© © <=>.O <^^10 0 00 c4 < c4 — — — — 0 o'do’ 0 od<?	сч < ci co sw	1 1 1 1 1 17s
	н	OOOOCOQOQOOQQOOOOOOOOOO oooooa?35o?5coSSo$5oooooooo got2olcoinggSigc'qC'qoS5<8gco<>4£'So 00 co r-xco 0 cjcn 00 t^—10 QO—1 oco	0 c- t-'-cdcd.— — — ™ — oooooooo — ——<сраГсч 04	77 1 1 1 1 1 I
	*н	OOOOQlflrtO—ШОООООООООООО gggssssgssSgsgssgssssg 00сч # сч —< 0C£O>a> 00 сч o^o^o c^o cwcio.o cn" —Г —Г —Г -7 -^ ©©"©"©"©"©"©© —^—<" -^ cn ^ ©"
	н	G? 0 ©Л СЧ G> © § © cq	©„ © СЧ ©x
J 29. Свойства непрерывных функций
125
Если же а точно равно трем, то мы приходим к неопределенности, которую
в данном примере легко раскрыть. Действительно, разложив числитель и знамена-
тель на множители, имеем:
„	_ х° + 2х2-3 _ (x-l)(^ + ^ + ^ + 3x + 3)	+ + +	+ 3
' ' х3 — 1	(х — 1) (х2 -|- х -|- 1)	‘ х2 + х -|- 1
9
и при х = 1 находим, что /?(1) = -q- = 3. Таким образом, появилась возможность
О
-I-	2х2_3
доопределить функцию /?(*)=  3 —------ в точке х 5= 1, положив R (1) = 3.
Геометрически это значит, что мы дополнили график функции R(x) точкой (1; 3),
в результате чего линия графика сделалась сплошной, а сама функция R (х) —
непрерывной в точке х= 1, т. е. искусственным путем устранили разрыв. В связи
с этим необходимо подчеркнуть, что фактически мы не устранили разрыв перво»
-4- 2х2 — 3
начально данной функции R (х) = • "• %3-----।, а заменили ее другой
хл _|_ х3 + х2 + Зя + 3
непрерывной функцией f (х) = ———, которая по определе-
X -j- X 1
нию совпадает с R(x) при х =Н= 1 и равна 3 при х= 1. Такое устранение разрыва
возможно лишь в тех случаях, когда удается раскрыть возникшую неопределен-
ность. В тех же случаях, когда это невозможно выполнить, функция f (х) остается
разрывной и ее графиком будет линия с одной выколотой точкой.
_L_ 2х2___Л
Итак, в данном примере функция R (х; а) = ~	;- ПРИ а 3 имеет в
точке х = 1 разрыв второго рода, который только при а = 3 переходит в устра-
нимый разрыв. Однако как бы ничтожно мало а ни отличалось от трех, графиком
функции R(x; а) все равно будет разрывная линия, асимптотически уходящая
соответственно в оо и — оо вдоль вертикальной прямой х = 1. Другими словами,
при а -» 3 графиком функции R (х; а) будет разрывная кривая, бесконечно
^5 । 2х2___________________________________________________________3
мало отклоняющаяся от графика непрерывной функции R (х) =	*3__ — на всей
действительной оси, за исключением сколь угодно малой окрестности точки х = 1,
в которой это отклонение становится бесконечно большим*.
Упражнения
№ — 1
1.	Построить график функции R (х) = и Д°казать> что 0Иа в точке х = 1
имеет устранимый разрыв, а в точке х = —1—разрыв второго рода.
Х3 ___ д
2.	Построить график функции R (х; а) =	_j при а = 1,1 и а = 1,5 и иссле-
довать ее поведение в окрестности точки х = 1.
Рассмотрим основные свойства функций, непрерывных в некотором промежутке,
которыми будем в дальнейшем неоднократно пользоваться.
Первым на путь строгого обоснования их стал Больцано (1817 г.), а вслед за
ним—Коши (1821 г.). Им и принадлежат приводимые ниже две важные тебремы.
Первая теорема Больцано — Коши. Пусть функция у = f (х) определена и не-
прерывна в замкнутом промежутке [а, &] и на концах этого промежутка при-
нимает значения разных знаков. Тогда между а и b непременно найдется точка
с, в которой функция f (х) обращается в нуль:
f(c)=Q, a<c<b.
* Предельный переход а-> 3 для функции R (х; а), рассмотренной в данном примере, иллю-
стрирует так называемую неравномерную сходимость к пределу, с которой мы познакомимся
в § 93.
126
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Теорема имеет очень простой геометрический смысл: если непрерывная кривая
переходит с одной стороны оси х на другую, то она непременно пересекает эту
ось (рис. 98). Однако строгое математическое доказательство этой, такой очевид-
ной, теоремы выходит за рамки данной книги, и читатель может его найти, напри-
мер, в [149, т. 1, стр. 128].
Заметим, что требование непрерывности функции f (х) в замкнутом про-
межутке [а, 6] — существенно: функция, имеющая разрыв хотя бы в одной Мочке,
может перейти от отрицательного значения к положительному и не обращаясь
в нуль. Так будет, например, с функцией f (х) =	, рассмотренной в примере 2
I * I
§ 28, которая нигде не принимает значения нуль, хотя f (х) = —1 при любом отри-
цательном х и / (х) =-^1 при любом положительном х (см. рис. 93),
Вторая теорема Больцано — Коши. Пусть
функция f (х) определена и непрерывна в замк-
нутом промежутке [а, 6] и на концах этого
промежутка принимает неравные значения
f(a)=*An f(b) = B.
Тогда, каково бы ни было число С, лежа-
щее между А и В, найдется такая точка
с между а и Ь, что
f(c) = C.
Доказательство. Будем считать, например,
А < В, так что А < О < В,
Рассмотрим в промежутке [а, 6] вспомогательную функцию
<Р (х) = / (х) — С.
Эта функция непрерывна в промежутке [а, 6] и на его концах имеет разные знакш
<р(а) = f (а)— С = А — С<0; <р (b) = f(b) —С = В — С>0.
Тогда по первой теореме Больцано — Коши между а и b найдется точка с, для
которой <р (с) = 0, т, е.
<р (с) = f (с) — С = 0, или f (с) = С,
что и требовалось доказать.
Таким образом, мы установили важное свойство функции /(х), непрерывной
в некотором промежутке: переходя от одного значения к другому, функция хотя
бы один раз проходит через каждое промежуточное значение.
Это свойство, на первый взгляд, кажется вскрывающим самую сущность непре-
рывности функции. Однако легко построить разрывные функции, которые также
обладают этим свойством. Например, функция
f (х) = cos -i при х М= 0 и f (0) = 0
в любом промежутке, содержащем точку разрыва х = 0, принимает все возможные
для нее значения от —1 до -£!. Поэтому еще Больцано подчеркивал, что указан-
ное свойство есть следствие непрерывности, но его нельзя класть в основу
определения непрерывности.
§ 30. Обратная функция и ее непрерывность. Сложная функция
127
§ 30. Обратная функция и ее непрерывность.
Сложная функция
Для дальнейшего изучения свойств непрерывных функций следует более под-
робно остановиться на понятии обратной функции.
Функция
У = f (*)
каждому допустимому значению х приводит в соответствие одно или несколько
значений у. Аналогично каждому значению у будет соответствовать одна или
несколько точек х, удовлетворяющих уравнению y=f (х). Поэтому; решив уравне-
ние у = / (х) относительно х, получим новую функцию
* = <Р (У).
которая называется обратной функцией. В свою очередь, функция f (х) является
обратной по отношению к функции <р (у), поэтому часто функции f (х) и <р (у) назы-
вают взаимно обратными. Нахождение обратной функции по уравнению прямой
функции называется обращением последней.
Необходимо отметить, что и прямая и обратная функции устанавливают одно
и то же соответствие между переменными х и у, так что графики этих функций
(если при их построении не менять ролями оси координат) будут представлять
собой одну и ту же линию. Однако свойства этих функций и удобства, которые
они создают при решении задач или во время вычислений, различны. Поэтому идея
обращения функций широко применяется в математике для получения новых функ-
циональных зависимостей.
Подобные обстоятельства встречаются не только в математике. Например, поль-
зуясь англо-русским словарем очень легко перевести на русский язык данное
английское слово. Однако если мы попытаемся эту же задачу решить при помощи
русско-английского словаря, который для того же объема слов устанавливает то же
самое соответствие, но в обратном направлении, то будем вынуждены либо пере-
смотреть весь словарь, для того чтобы найти все значения этого слова (а их во-
жет быть несколько), либо, предварительно угадав это слово, сможем затем только
проверить правильность догадки.
Для того чтобы лучше пояснить эту мысль, обратимся к примерам. Как изве-
стно, длина стержня I есть функция его температуры: / = f (Г). Для измерения
же температуры эту зависимость удобнее обратить и рассматривать температуру
как функцию длины стержня: Г = <р(/), что и положено в основу принципа тер-
мометра.
Аналогично натуральный логарифм числа можно определить, пользуясь таблицей
функции у = ех, однако удобнее построить ((обратную» таблицу х = 1п у, которая,
так сказать, устанавливает ту же самую функциональную связь между х и у, но
«с обратной стороны».
По установившейся традиции обратную функцию также обозначают через у,
а ее аргумент — через х, т. е. функцию, обратную к функции у = f (х), будем
обозначать у = <р (х), а не х = <р (у), ио при этом нельзя забывать, что переменные
у и х в новой записи имеют «обратный смысл» по сравнению с исходной функцией
y = f (х). При таких обозначениях областью о пределения обратной
функции служит совокупность значений данной функции, а совокупность зна-
чений обратной функции — областью определения данной функции.
График обратной функции у = <р(х) симметричен графику прямой функции и =
= f (х) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов у — х.
Отсюда вытекает простой и удобный способ построения графиков обратных фувк-
цпй по графикам прямых функций. Начертив график данной функции (медленно
сохнущими чернилами), надо перегнуть лист бумаги по биссектрисе у = х и тогда
полученный отпечаток даст график обратной функции. Более точные результаты
получим, отразив в биссектрисе у = х, как в зеркале, график прямой функиин.
В качестве иллюстрации иа рис. 99 по функции у = sinx отражением в биссектрисе
у = х (что меняет ролями переменные х и у) построен график функции у = Arcsinx.
128
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
В отдельных случаях обратную функцию можно получить и аналитически. Для
этого в заданной функции
надо прежде всего поменять ролями у и х, т. е. записать ее в виде
x = f(y).
Затем (в тех случаях, когда это возможно) решить данное уравнение относительно
у, в результате чего получим обратную функцию
</ = ?(*)• 5*_7
Пр и мер 1. Найти функцию, обратную функции у = -—=—.
о
Решение. Поменяв ролями аргумент
и функцию, получим
после чего, решив это уравнение относитель-
но вновь введенного у, находим обратную
функцию
j, = 3-£±l.
у 5	•
Пример 2. Найти функцию, обратную
функции у = 2х.
Решение. Поменяем ролями аргумент
и функцию, тогда получим равенство
х=2»,
откуда по определению логарифма находим
обратную функцию
2х=7 logi0х,
где (с шестью значащими цифрами)
7 = iog^ = 0,301030 = 3>32193'
Пример 3. Найти функцию, обратную функции у = №.
Решение. Поменяв ролями аргумент и функцию, получим
х = у\
откуда
y=+Vx; х>0.
Упражнение. По графику параболы у = № при помощи отражения в бис-
сектрисе у = х построить график функции у = ± ]fx.
В примерах 1 и 2 как прямая, так и обратная функции однозначны. В примере
3 прямая функция однозначна, а обратная двузначна; согласно же рис. 99 функ-
ция у = Arcsin х бесконечнозначная, в то время как прямая функция у = sin х —•
однозначная.
Достаточные условия, при которых обратная функция будет однозначной,
даются следующей теоремой*.
'Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [149, т. 1, стр. 1331 или £171»
стр- 245].
§ 30. Обратная функция и ее непрерывность. Сложная функция 129
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна и монотонно возрастает (или
убывает) на сегменте [а, &], причем f (а) = a, f (Ь) = (3, то существует одно-
значная обратная функция х = <р (у), которая непрерывна и монотонно возра-
стает (или убывает) на сегменте [а, р].
Заметим, что теорема остается справедливой и в том случае, когда данная
функция непрерывна и монотонно возрастает (или убывает) не на сегменте [а, &],
а на интервале (а, Ь) или на всей числовой прямой.
Так, например, функция у = № непрерывна и монотонно возрастает на всей
числовой оси —оо <х< 4-00. Поэтому однозначная обратная функция существует
для всех значений —оо < у < 4-°° • Это функция х = уГу (постройте ее график по
графику прямой функции).
Если же условия теоремы нарушаются, то обратная функция уже не будет одно-
значной, как это имело место для функций у = х2 или у = sinx. Однако и в этом
случае можно выделить такой промежуток изменения аргумента, которому будет
соответствовать однозначная обратная функция. Например, в случае у = х2, если
область определения ограничим только положительными значениями х^О, то
обратная функция будет однозначной: х = 4- V У- Эта функция монотонно возра-
стает и непрерывна для всех у >> 0. Аналогично функция у = sin х, рассматривае-
те .и I
мая на сегменте — у	имеет однозначную, монотонно возрастающую
обратную функцию у = arcsin х, которая называется главным значением функции
y = Arcsinx и которую па рис. 99 мы выделили полыми кружками.
Применим теперь полученные результаты к исследованию непрерывности неко-
торых элементарных функций.
В § 28 (пример 4) мы доказали, что функция у = sin х непрерывна всюду.
Аналогичным путем (или воспользовавшись тождеством sin (х -|- -yj =cos х) легко
доказать, что y = cosx является непрерывной функцией. Далее, на основании
, _	, sinx . cosх
теоремы 1 § 29 можно заключить, что функции tg х =-----------, etg х = ------,
cos х	sin х
1 1
sec х = —, cosec х = — непрерывны при всех тех значениях аргумента, при
cos х	sin X
которых они определены. Так, например, функции у = cosec х =-Д— и y = ctgx=
= разрывны лишь в тех точках, где sin х = 0, т. е. при х = 0; + л; +2л;
, „	.	1	.sinx
... J а функции у = sec х -- и у = tg х =- разрывны лишь в точ-
ках, где cos х= 0, т. е. при х= ±Д-л;	+ тр ; •. • • Это вполне согла-
суется с известными нам графиками тригонометрических функций, которые чита-
телю полезно вычертить еще раз в виде упражнения.
Теорема данного параграфа позволяет доказать непрерывность всех обратных
тригонометрических функций, и что функция у=угх непрерывна для всех х при
п нечетном и для всех х^О при п четном.
Значительно сложнее доказывается, что функция у = ах непрерывна всюду,
и мы не имеем возможности остановиться здесь па этом доказательстве, которое
читатель может найти, например, в [125, т. I, стр. 96].
Непрерывность функций у = loga х, у = 1п х после того, как доказана непре-
рывность функции у = ах, доказывается при помощи приведенной выше теоремы
Об обратной функции.
б 4-368
130
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Таким образом, все элементарные функции непрерывны в области их опре-
деления *.
Непрерывна также и сложная функция, составленная из непрерывных функций.
Под сложной функцией понимают функцию
У = / (“).
аргумент которой, в свою очередь, зависит от некоторой другой переменной х;
U=<f (х).
Тогда, в конечном счете, у будет функцией от х, что записывают так:
Р = И<Р«	(III.31)
Функцию у = f (и) называют внешней функцией, а и = <р (х) — внутренней функ-
цией. Например, функция
у = sin х2
является сложной, составленной из внешней функции у = sin и и внутренней функ-
ции и = х2. Таким образом, для того чтобы вычислить у, мы должны сначала
возвести х в квадрат, а затем найти синус от полученной величины.
Напротив, для вычисления функции
у = sin2 х
надо сначала найти sinx, а затем полученное значение возвести в квадрат, что
можно записать так: у = и2, где и = sin х, т. е. в этом случае у = и2 есть внешняя
функция, а и = sin х — внутренняя.
§ 31. Производная и ее вычисление
Для выяснения понятия производной обратимся к примеру. Пусть наблюдатель
поставил своей целью изучить закон перемещения искусственного спутника Земли,
движущегося по небосклону. В распоряжении наблюдателя есть приборы для
измерения времени и пройденного спутником расстояния.
Однако часть небосклона закрыта облаками и линией горизонта, так что непо-
средственно можно вести наблюдения только на отдельных, ограниченных участках
траектории спутника. Очевидно, что непосредственно нельзя полностью определить
функцию, представляющую пройденный спутником путь s = f (0, которую будем
рассматривать как функцию времени I. Для того чтобы распространить получен-
ные результаты и на участки траектории, недоступные наблюдению, необходимо
изучить не только функцию пути s(f), но и функцию скорости перемещения
спутника о(0.
Под средней скоростыо перемещения будем понимать величину, измеряемую
отношением .пройденного расстояния к промежутку времени, в течение которого
это расстояние пройдено:
Кроме средней скорости будем рассматривать также и скорость в данный момент
v(0 = Iim
Ы, t ‘о
(Ш.ЗЗ)
* Напомним, что элементарными называются функции, которые получаются нз полиномов,
тригонометрических функций (прямых и обратных), показательной и логарифмической функций
при помощи четырех арифметических действий и операции функции от функции, примененных
конечное число раз.
Если же число операций будет, бесконечным, то в результате может получиться функция
н не элементарная, о чем подробнее будет идти речь в гл. VIII.
$ 31. Производная и ее вычисление
131
т. е. предел отношения (III.32), в котором положено = t и промежуток времени
стремится к нулю.
Далее, пусть выяснилось, что в первом приближении среднюю скорость дви-
жения спутника можно считать постоянной. Тогда, пользуясь формулой (111.32),
имеем
s(^)=s(Q+uCp(^i-Q
и, зная из непосредственных наблюдений tQ, s(t0), vcp, легко вычислить местопо-
ложение спутника в любой момент t = в который его наблюдать нельзя.
Скорость о(0> как функция времени t, является, так сказать, функцией, про-
изводной от функции пути s(f), функцией, зависящей от s(t) и полностью опре-
деляемой s(Z).
Однако производная функция v(t) помогает глубже и полнее изучить исходную,
или, как говорят, первообразную функцию s(t). Поэтому для более глубокого
изучения любой функции у = f (х) начали изучать также и функцию, характери-
зующую быстроту изменения исходной функции, т. е. производную от функции
у = f(x), понимая под производной (по аргументу х) предел отношения прираще-
ния функции &у = f (х 4- Дх) — f (х) к приращению аргумента Дх, когда последнее
стремится к нулю.
Производная от функции у = f (х) является новой функцией того же самого
переменного и для ее обозначения употребляют один из следующих знаков 'f:
dy
(«дэ игрек по дэ икс»),
d/(x) ,	.	.
(«Дэ эф от икс по дэ икс»),
у' («игрек штрих»),
f (х) («эф штрих от икс»),
у'х («игрек штрих по икс»).
Конкретное значение производной при х = а обозначается f' (а), или у' г пли
dy I
dx |х=а
Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Определение. Производной f (х) = функции у = /(х) называют предел отно-
шения приращения функции Ay — f (х + Дх) — f (х) к приращению аргумента дх,
когда Ах стремится к нулю:
,, . .	..	Дх + Дх) — / (х)	.. ДУ
f (х) = lim -—!-=-Д—= lim -з .	ли 441
Д,т-*-0 ДХ	Лх-*-0 Д*	' * '
Задача вычисления производной [' (х) по данной функции f (х) и составляет
предмет дифференциального исчисления, а обратная ей задача определения перво-
образной функции f (х) по известной ее производной f (х) составляет предмет
интегрального исчисления. Дифференциальное н интегральное исчисления, как уже
отмечалось, объединяют одним общим названием: математический анализ или
анализ бесконечно малых.
* Обозначения ~ и были введены Лейбницем, а обозначения со штрихами у' и f'(x) —•
Лагранжем. Сам термин «производная» также введен Лагранжем на рубеже XVIII и XIX веков
и независимо от него Арбогастом. Термин «дифференциал» введен Лейбницем по предложению
его ученика И. Еернуллн.
Существуют и другие обозначения. Например, III ютов для производной применял обозна-
чение у («игрек с точкой»), которое теперь употребляется в механике и в теории колебаний,
когда независимым переменным является время.
132
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Пример 1. Дана функция /(х) = х2, найти ее производную /'(х).
Решение. Воспользуемся приведенным выше определением и согласно фор-
муле (111.34) найдем искомую производную, расчленив весь процесс на четыре
естественных шага:
I.	Найдем значение функции f (х), соответствующее «приращенной» точке х -ф- Дх:
f (х -ф- Дх) = (х -ф- Дх)2 = х2 ф> 2х • Дх ф- (Дх)2.
II.	Определим приращение функции y — f (х) = х2, соответствующее приращению
аргумента на величину Дх:
Ду = / (х -ф- Дх) — / (х) = [х2 -ф- 2х • дх + (Дх)2] — х2 = 2х • Дх + (Дх)2.
III.	Найдем отношение приращения функции Ду к приращению аргумента Дх:
Ду _ 2х • Дх + (дх)2 _
Ai---------д7---------
IV.	Вычислим производную f' (х) — ^ , т. е. определим предел , когда Дх
стремится к нулю:
f (х) = lim	= Hm = lim(2х + Дх) = 2х.
Дл»0 Л-Я	Ах->0	Ах->0
Итак, для функции /(х) = х2 производной является функция
/'W=(*2)' = 2x.
Определив производную в общем виде, мы можем теперь легко найти ее
значение в любой заданной точке х = а. Так, при х = 5 производная
= 2-5 = 10, при х = —3 производная f (—3) = —6 и т. д.
Пример 2. Найти производную от функции у = —.
Решение. Выполнив для функции у =f(x) = -i- те же четыре шага, что и в при-
мере 1, получаем
&х
(III.35)
частное
Г(5) =
у + ду = /(х^дх) = -я^-;
1	_ 1 _ X — (X 4- дх) ____Дх т
X — X (х -ф Дх) — X (х -ф- Дх) ’
1
х(х-фдх) ’
I 1
Ду = /(* + Д*) — f(*) = , .
Ду_
Дх
у' = lim = lim I-------------?---—I ------,
Дх-*-0 Д* Дх-»0 { x (X -ф- Дх) J X
Таким образом, производной от функции у = х~1 будет
_! =____х-а
х2 Х •
у'
(Ш.36)
Упражнения
1. Доказать, что для функции у = х® производная у' = (х3)' = Зх2.
2. Доказать, что для функции У = ~? =х~3 производная у’ = (х~2)'=—2х,-3=
2
х? '
§ 31. Производная и ее вычисление
133
Пример 3. Найти производную от функции у = sin х.
Решение. Дадим аргументу х приращение Дх, тогда
I. f (х -> Дх) = у &у = sin (х ф Дх).
П. № = f (* А*) — f (*) = sin (* + А*) — sin х, откуда, воспользовавшись
формулой разности синусов двух углов а = хф Дх и ₽ = х, имеем
Ду= 2sin
(х + Дх) — х (х 4 Дх) + х „ . Дх / . Дх\
--------------cos I----ft ’ 1-------- 2sin у COS 1 X ф у j .
n  А* Л / к Дх\
, 2sin -fr- • cos I x ф -K-
ДУ =	2	\	2 /
Дх	Дх
sin^ / Л ,
—--- • COS (x ф
Дх (	2
sin (Ax |
IV. y’ = lim = lim —>—r-^- • lim cos fx ф
ДХ-*-0 Д* Дх-*-0 l Дх |	Ax-*0	\	*• .
\T/
так как согласно теореме 2 § 26 предел от произведения двух функций равен про-
изведению их пределов.
Далее, поскольку при Дх -> 0 величина •*
лой (III.12) § 26
• /Ах\
1|т	<= 1,
Ах-»0 / Дх j
\Т)
О, то в соответствии с форму-
а второй предел
lim cos | х ф = cos х.
Дх-Л \	2 /
Последнее равенство получается на том основании, что со$х есть непрерывная
функция. Объединяя полученные результаты, окончательно имеем
у' = (sin х)' = cos х.	(111.37)
Формула (III.37) позволяет легко определить численное значение производной
от функции y = slnx для любого заданного значения аргумента х = а. Так, для
х = 0 согласно формуле (III.37) получаем
у' |х=0 = COSX|x=0 = COSO = 1.
Для х = 30° имеем
у' |*=30О = cos 30° =	= 0,70710678 ...
Для х»= 1 радиан == 57°,2957795 ... = 57° 17' 44", 8 ... находим
у' |ж=) = cos 1 = 0,5403023 ...
Для того чтобы лучше уяснить тот предельный переход, который мы совер-
шаем при вычислении производной, проследим на рассмотренных выше примерах,
134
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
насколько быстро идет отношение приращений к своему пределу у' = Ит ,
В табл. 3 приведены все необходимые вычисления для значения аргумента х = 4
в случае функции у = х3. Проанализировав эти вычисления, видим, что для функ-
ции у = хг отношение-приращений Ду : Дх стремится к своему пределу у' |х_4 =»
= 2х=8 с той же скоростью, с какой Дх стремится, к нулю, как это и должно
быть согласно результату, найденному в III шаге примера 1:
= 2х + Дх.
Дх
Таблица 3
X = 4; у = х’ = 16: Ар — (х+ Ах)а — Xs; у’ = 2х -» 8				
Ах	x-F-Ax	(х4-Ах)а	Аг/	Ар: Ах
0,5	4,5	20,25	4,25	8,5
0,1	4,1	16,81	0,81	8,1
0,01	4,01	16,0801	0,0801	8,01
0,001	4,001	16,008001	0,008001	8,001
0,0001	4,0001	16,00080001	0,00080001	8,0001
Аналогичные вычисления для функции у = sin х (при х = 1) приведены в табл. 4,
в которой значения sin х взяты с шестью значащими цифрами. Так как при вычи-
тании близких величин число значащих цифр в приращении функции Ду сокра-
щается, мы не смогли получить результаты с достаточной точностью. Болбе того,
при малых значениях Дх результаты начали искажаться. Так, например, при
Дх= 0,00001 отношение приращений Ду: Дх=0,5 больше отклоняется от своего
предельного значения у' = cos х = 0,540302, чем при Дх = 0,001. Для того чтобы
устранить влияние потери точности, эти же вычисления повторены (для трех по-
следних строк) в табл. 5 при большем числе значащих цифр в исходных данных *,
Таблица 4
x=i;	Z/=sin х»0,841471; by—sin (х-рАх)—sinx; //'=0,540302			
Ах	х4-Ах	sin (х-|-Дх)	Ар	Ар:Ах
0,5	1,5	0,997495	0,156024	0,312048
0,1	1,1	0,891207	0,049736	0,49736
0,01	1,01	0,846832	' 0,005361	0,5361
0,001	1,001	0,842011	0,000540	0,540
0,0001	1,0001	0,841535	0,000054	0,54
0,00001	1,00001	0,841476	0,000005	0,5
В итоге и для функции у = sin х, по мере того как Дх -» 0, величина Ду : Дх все
больше приближается к своему предельному значению и, например, для Дх =
= 0,00001 она отличается от производной у' = 0,540302 всего на 4 единицы
шестого десятичного знака.
Необходимые для этого значения sin х легко вычислить при помощи рядов (см. § 133).
g 32. Геометрическое значение производной
135
Таблица 5
х=1; // = sin *=0,84147098481; »'=cos 1=0,54030230587				
Д*	*-рЛ*	Sln(x-I-Ax)	д»	Д«/:Д*
0,001 0,0001 0,00001	1,001 1,0001 1,00001	0,84201086629 0,84152501083 0,84147638779	0,00053988148 0,00005402602 0,00000540298	0,53988148 0,5402602 0,540298
Упражнения
3. Доказать, по аналогии с примером 3, что для функции у = cos х производная
у' = (cos х)' = —sin х.
4. Выполнить для функции У=~ (ПРИ х = 2) вычисления, аналогичные при-
веденным в табл. 3, и результаты сравнить с результатами примера 2.
Понятие производной является одним из основных понятий математического
анализа и поэтому его следует усвоить достаточно глубоко. С этой целью и были
приведены упражнения 1—4, и если читатель не сможет их выполнить после пер-
вого ознакомления с материалом, то мы рекомендуем, проработав следующий
параграф, вернуться к данному.
§ 32. Геометрическое значение производной
Рас. 100.
В предыдущем параграфе, исходя из физических соображений, мы определили
производную как скорость изменения данной функции у (х) относительно скорости
ди
изменения ее аргумента: у' — lim —. Дадим более наглядное геометрическое
истолкование производной. Для этого прежде всего потребуется определение каса-
тельной к кривой в данной точке.
В школьном курсе математики рассмат-
ривают касательную только к окружности,
для которой она определяется как пря-
мая, имеющая с окружностью одну общую
точку. Такое определение годится пе для лю-
бой кривой. Например, в случае синусоиды
из двух прямых АВ н АС, изображенных па
рис. 100, первая, очевидно, пе является ка-
сательной, хотя имеет с кривой только одну
общую точку, а вторая прямая таких общих
точек имеет бесконечно много, но тем не
менее касается синусоиды в каждой из них.
Дадим более общее определение касатель-
ной. Возьмем некоторую кривую и кроме
точки М рассмотрим па пей еще точку Мг
(рис. 101). Проведем секущую MMV Если
теперь точка jfx, двигаясь по кривой, будет
стремиться к точке М, то секущая ММг,
вращаясь вокруг точки М, будет стремиться
к касательной МТ.
Итак, касательной к данной кривой в
точке М называется прямая, занимающая
предельное положение МТ секущей MMlt
когда точка М1г двигаясь по кривой, неогра-
ниченно приближается к точке М. Очевид-
Рис. 101
136
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
но, что точка М1 первоначально может находиться как справа, так и слева от
точки М.
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной»
называется нормалью к кривой в данной точке.
При мер 1. Определим касательную для параболы
у = ах2
в произвольной ее точке Af(x; у).
Решение. По условию касательная должна пройти через точку М (х; у).
Поэтому согласно результатам § 5 для' определения касательной остается только
найти ее угловой коэффициент я= tga.
Рис. 102.	Рис. 103.
Дадим х приращение Дх, тогда у получит приращение Ду и точка М (х; у)
перейдет в точку Мг (х 4- Дх; у 4- Ду) (рис. 102). Обозначим угол наклона секу-
щей ММХ к положительному направлению оси абсцисс через <р:
. &У
lg?=xr
Тогда для касательной имеем (рис. 103)
tg a = lim tg v = lim ,
Ax-*0	Ax-*0 &x
где углом a обозначено предельное значение угла <р.
В данном случае
У = ах2; у 4* Ду = а (х 4* Дх)2 = а [х2 4* 2* Д* 4^ (Д*)2].
так что
Ду = а (х 4- Дх)2 — ах2 = а [2х Дх 4- (Дх)2] = а Дх (2х 4 Дх)
и, следовательно,
,	..	Ду ..	аДх(2х + Дх)	„
tg a = lim —2 = lim .——— = 2ах.
Ax-tO &х Дх-*-0 &х
Отсюда, в частности, получаем удобный прием проведения касательной к параболе
У = ах2 (рис. 103)’ отрезок ОР = х надо разделить пополам, а затем через точку
деления Т и заданную точку М провести касательную. Действительно, как следует
из построений,
. МР	У НХ2 х
‘g“=TP’ откуда РР = tga = 2ах = ~2 ’
поскольку по условию у = ах2, а tg а = 2ах.
J 32. Геометрическое значение производной
137
Сравнив решение данного примера и примера 1 § 31, легко убедиться, что
в случае параболы задача вычисления производной и задача построения касательной
эквивалентны одна другой.
В случае произвольной непрерывной кривой у — f (х) (рис. 104) все построения
остаются прежними (только Ду будет изменяться по другому закону), так что
имеем
tga=limtg<p = lim	(III.38)
Дх-*0	Дх-*-0 Дя
Действительно, если точка Мг (х -ф- Дх; у Ф Ду) стремится к точке М (х; у), то
”, переходит в касательную, а угол ф
секущая MMlt поворачиваясь вокруг точки М,
изменяется с изменением Дх, стремясь
к своему предельному положению а при
дх -> 0. Правая часть равенства (III.38)
согласно определению (III.34) есть произ-
водная данной функции у = f (х), а ле-
вЗя часть — угловой коэффициент k = tg а
касательной (см. § 5), так что это равен-
ство принимает такой окончательный вид*:
f'W = tga. (III.39)
Таким образом, геометрически производ-
ная f (х) при данном значении аргумен-
та х равна тангенсу угла наклона каса-
тельной в точке М (х; у) к графику
функции у = f (х).
Пример 2. Найти таигеис угла наклона касательной к равносторонней гипер-
боле У = ~ в точках М = Afj (1; 1) и Af=Af2 (4; 0,25).
Решение. Согласно формуле (III.36) у' = — ~ , следовательно.
*б“1=/1х=1=—*: tga24=y' 1Х=4 = —уё = —0,0625.
Пример 3. Написать уравнение касательной к синусоиде у = sin х в ее точке
ТС
Af с абсциссой равной у.
Решение. Найдем по заданному уравнению ординату рассматриваемой точки:
.	. w 1/5
у = sin х | л = sin -у = -у.
(л
у >
1/2\
—-I и определяемых уравнением (1.17) §8:
1/5 . ( к \
2
Остается иайти угловой коэффициент касательной k = tg о, для чего надо только
♦ Формула <111.39) верна только в том случае, если масштабы по осям Ох и Оу равны.
Случай различных масштабов будет рассмотрен в $ 40.
138
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
воспользоваться формулами (III.39) и (Ш.37). Согласно этим формулам для каса-
тельной к любой точке синусоиды имеем
k = (sin х)' = cos х
и, в частности, для заданной точки х =	:
k = cos х I п = cos
r=-
T~ 2 ’
Объединяя полученные результаты, получаем уравнение искомой касательной в сле-
дующем виде:
/2 /2/'	/2/ , ,
у-2=-2\х—ШИ г/=-2Т + 1~Тр
Упражнения
1. Написать уравнение касательной к параболе у = х2 в точке х = 0 и в точке
х=2.
2. Написать уравнение касательной к синусоиде y = sinx в точках: х = 0; х =
л 3
— ; х = х = и, а также построить рисунок.
§ 33. Дифференцируемость функций
Определение. Если функция у = f (х) имеет производную в точке х = х0, то
говорят, что при данном значении х = х0 функция дифференцируемая.
Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого сегмента [а, 6]
или интервала (а, Ь), то говорят, что она дифференцируема на сегменте [а, 6]
или, соответственно, в интервале (а, Ь).
Теорема. Если функция у = f (х) дифференцируема в некоторой точке х = х0,
то она в этой точке непрерывна.
Доказательство. Так как
Г(Хо)= Нт ,
Д v-^О А**
то по определению предела разность
Ду
Дх
-f(x0) = s
есть величина бесконечно малая при Дх -► 0. Определяя из этого равенства прира-
щение Ду, получаем
ДУ = Г (х0) Дх е . Дх,	(111.40)
где е —> 0, когда Дх -» 0. При х = х0 производная f (х0) есть величина постоянная.
Значит, f (х0) • Дх -» 0, когда Дх-»0. Таким образом, при Дх—>0 оба слагаемых
правой части формулы (111.40) стремятся к нулю. Следовательно, и Ду 0 при
Дх-> 0. А это в соответствии с формулой (III.2S) и значит, чго при данном значе-
нии х = х0 функция у = f (х) непрерывна.
Непосредственным следствием доказанной теоремы является тот важный факт,
что в точках разрыва функция не может иметь производной, поскольку в таких
точках бесконечно малому приращению Дх соответствует конечное приращение Ду.
Больше того, функция может пе иметь производной и в тех точках, в которых она
непрерывна, т. е. теорема обратная, к только что доказанной, оказывается иевер-
§ 33. Дифференцируемость функций ,
139
ной. Простой пример тому дает точка излома (угловая точка) иа графике функции
(рис. 105). В такой точке отношение ~ ие имеет предела при Дх -»0, ио имеет
ДХ
правосторонний и левосторонний пределы (см. § 28). Первый называется правосто-
ронней производной и в соответствии с формулой (Ш.25) обозначается /' {х + 0),
второй — левосторонней производной и обозначается f' (х — 0).
В рассматриваемой точке М у графика нет единой касательной, ио есть лево-
сторонняя касательная МТХ и правосторонняя касательная МГ2, т. е. секущая
Жмигся к совпадению с MTlt когда Мх стремится к т слева, а секущая
2—к совпадению с МГ2, когда Л12 стремится к М справа.
Производная функции у = f (х) может принимать ие только конечное, ио q бес-
конечно большое значение. В точке х = х0, в которой /'(х0)=оо, касательная
параллельна оси Оу. Примером может служить функция у = у'х— 1, которая имеет
вертикальную касательную в точке х = 1 (рис. 106).
У
Рис. 105.
Рис. 106.
Как мы уже отмечали, функция у = f(x) в точках разрыва х — а ие имеет еди-
ной производной, ио в этих точках существуют односторонние производные/'(а — 0)
и /' (а -Ь 0), которые могут принимать как конечное, так и бесконечно большое
значение. Например, для функции у — f (х), график которой представлен иа рис. 91,
в точке разрыва х = а легко провести левостороннюю и правостороннюю каса-
тельные. Определив затем тангенс угла наклона этих касательных, мы и найдем
соответственно левостороннюю /'(а^-0) и правостороннюю производные /'(а-}-0)
в точке разрыва х = а. Для функции у = 2 х , имеющей разрыв в точке х =?= 0,
односторонние производные будут f' (—0) = 0 и f' (->0) = оо, так как односторон-
ние касательные в точке х = 0 совпадают соответственно с осями Ох и Оу (см.
рис. 95).
Пример более сложного случая отсутствия производной дает функция

. 1
xsin-=-
X
0
при х М= 0,
при х = 0.
Эта функция (рис. 107) непрерывна в точке х = 0. Однако, когда точка Мх стре-
мится к точке О справа (или слева), секущая ОМХ колеблется между прямыми
АВ (у = х) и CD (у = —х) и ие стремится ни к какой прямой. График ие имеет
в точке х = 0 ни правосторонней ни левосторонней касательной, а функция f(x) —
ни правосторонней ни левосторонней производной.
Упражнение. Доказать, что функция y = xsin-J- при х -> оо асимптоти-
чески стремится к прямой у= 1.
но
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Указание. Выполнить замену х = —, а затем воспользоваться формулой
В заключение заметим, что можно задать чисто аналитически функции непре-
рывные, -ио ие имеющие ии в одной точке производной. Пример такой функции
впервые построил Вейерштрасс. Примером функции еще более сложной, с беско-
нечным числом разрывов, может служить так называемая функция Римана, рав-
ная нулю во всех иррациональных точках и равная — в рациональных точках
вида х =	, где ~ — несократимая дробь. Эта функция разрывна во всех ра-
циональных точках и непрерывна в иррациональных. Несколько видоизменив функ-
цию Римаиа, положив, например, ее равной ие нулю, а единице в иррациональных
точках, мы получим пример функции, разрывной уже во всех точках [69, стр. 103].
Одиако в дальнейшем мы такие сложные функции, которые почти ие поддаются
наглядному геометрическому представлению, рассматривать ие будем, а ограни-
чимся классом непрерывных функций и функций, имеющих конечное, или счетное,
.	. sin х
число разрывов, таких, как, например, функция tgx =------“, имеющая разрывы
COS X
во всех точках, в которых ее знаменатель cosx равен нулю.
§ 34. Основные формулы и правила дифференцирования
Производную любой функции, в тех случаях, когда оиа существует, можно
найти исходя из определения (III.34). Но такой путь часто приводит к довольно
сложным и утомительным выкладкам. Поэтому в анализе был разработан единый
метод, позволяющий находить производные для очень широкого класса функций,
$ 34. Основные формулы и правила дифференцирования
141
и в том числе для любой элементарной функции, при помощи небольшого числа
основных формул и правил дифференцирования.
Основные формулы дифференцирования это формулы для определения произ-
водных от простейших функций, таких как у = хп, у = sin х, у = cos х, у — ех,
y = lnx, y = arcsinx и т. д. Основные правила дифференцирования состоят из
ряда теорем, позволяющих сводить более сложные задачи к более простым. Из-
ложение начнем с вывода формул для производной от постоянной величины и от
линейной функции у = х, а остальные основные формулы рассмотрим в § 35, 36,
38. При обозначении производной от какого-либо сложного выражения будем поль-
зоваться (так же как и в § 31) одним из символов ( )', [	каждый из ко-
торых обозначает, что берется производная от выражения, стоящего в скобках.
.Докажем, что производная постоянной равни нулю, т. е. если у = С =
= const, то
у'=(С)' = 0.	(Ш.41)
Действительно, постоянную у = С можно рассматривать, как частный случай
функции, которая равна одному и тому же числу при любом значении х. График
ее представляет собой прямую, параллельную
оси абсцисс и отстоящую от этой оси на рас-
стоянии С |(рис. 108). Прямая y=f(x)=C
образует с осью х-ов угол а = 0, а в таком
случае согласно формуле (III.39)
у’ = tg а =ё 0,
что и требовалось доказать. С точки зрения ме-
ханики равенство (III.41) означает, что скорость
неподвижной точки равна нулю.
Этот же результат можно получить и непо-
средственно из определения (III.34). Возьмем
произвольное значение аргумента х и придадим
ему приращение Дх (рис. 108). Так как по условию функция у (х) = С сохраняет
одно и то же значение при любом значении аргумента, то у(х-ф*Дх) = С, а тогда
ду = у(х-|-Дх) —у(х) = С —С = 0,
следовательно,
^=А=о,
ДХ ДХ
и мы снова приходим к формуле (III.41)
у' = lim — = lim 0 = 0.
Дх-,0 Д* Дх-*0
В качестве второй основной формулы докажем, что производная функции
у = х равна единице, т. е.
у' = (х)'=1.	(Ш.42)
Действительно, если у = х, то и Ду = Дх, так что
^=1
Дх
при любой величине приращения Дх и, в частности, в пределе, когда Дх -> 0.
Подставив этот результат в формулу (III.34), мы и находим, что для функции
0
х
Х*АХ X
Рис. 108.
Переходим к выводу основных правил дифференцирования, начав с производной
суммы или разности двух функций. 
142
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Теорема 1. Производная алгебраической суммы двух (или нескольких) диффе-
ренцируемых функций у(х) = и (х) ± о (х) равна соответствующей сумме произ-
водных этих функций:
у'=(и ±,о)'= и'±v'.	(III.43)
Доказательство. Дадим аргументу х приращение дх. Тогда функции и = и (х),
о = v (х), у = у (х) получат, в свою очередь, приращения Ди, до, Ду, связанные
равенством
Ду = Ди ± До,
так как в данном случае
ДУ = У (х + Дх) — у (х) = [и (х + Дх) ± о (х + дх)] — (и (х) ± о (х)] =
= [и (X 4- Дх) — и (х)] ± [о (х 4- Дх) — о (х)] = Ди + До.
Отсюда
ДУ _ Ди_]_ Да
Дх дх — Дх
И после перехода к пределу, в соответствии с теоремой 1 § 26, получаем
,. ДУ Ди , .. До
lim — = lim — + lim — ,
Дл-иЭ ДХ Дх-*-0 Д-* Дл-иО Дж
или
у’ = и’ + о',
что и требовалось доказать.
Этот результат может быть без труда распространен иа алгебраическую сумму
любого числа слагаемых. Так, в случае четырех слагаемых имеем
(и + о + w ± г)’ = [(и + о) + (w ± г)]' --= (и + а)' + (ai + г)' =
= и’ ±о' ±ш>' ± г'.
Упражнение 1. Доказать, что
(и + о ± а>)' = и’ + о' ± w’.
Пример 1. Найти производную функция
у = х2 4- х— sin х.
Решение. Воспользовавшись теоремой 1 и формулами (III.35), (III.37), (III.42),
легко получаем требуемый результат:
у’ = (х2 -р-х— sinx)' = (х2)' 4-(х)'— (sinx)' = 2х 1 — cos х.
Пример 2. Найти производную функции
У = 2 + т-
Решение. Согласно формулам (III.36) и (III.41) находим
у = (2+т) =(2)'+Щ =~Т^
Эту же производную имеют функции у =	4- 7, у = у — 15, у = — + С, так
как производная от постоянной равна нулю.
Теорема 2. Производная от произведения двух дифференцируемых функций
у = ио равна сумме произведений первой функции на производную второй и вто-
рой на производную первой, т. е.
у' = (ио)’ = ио' 4s- ои’.	(III.44)
§ 34. Основные формулы и правила дифференцирования
143
Доказательство. Рассуждая как и при доказательстве предыдущей теоремы,
имеем:
у (х) = и (х) . о (х) = их),
У (X ф Дх) = (и ф ди) (V ф до) = ии фи ди ф до (и ф ди),
поскольку
и (х ф Дх) = U ф Ди, о (х ф дх) = О ф ДО.
В таком случае
Ду = у (х ф Дх) — у (х) = и Ди ф До (и ф Ди)
и, следовательно,
ДХ ДХ	дх
Переходя теперь к пределу Дх -> О, мы и получаем искомую формулу (III.44)
у' = lim = lim (и ф ди) ф lim и — = ии' ф ии',
Лх-оАХ Дх^оАх' ’ дх-»-о дх
так как согласно теореме 2 § 26 предел от произведения равен произведению пре-
делов и, кроме того,
lim (и ф Ди) = u, lim^ = o'; lim о = о; Пт^ = и'.
Ах-^О	Ах-^О	Дх-4-0	Дх-4-0
Действительно, в силу непрерывности функции и = и (х) (которая вытекает из
ее дифференцируемости), если Дх -»0, то одновременно и Ди -»0, так что
lim (и ф ди) = и. ДаДее, непосредственно из определения (III.34) имеем и' =
Ах-»0
Д« . Ди
= Inn—-,u=Inn—, а величина и = и (х) является постоянной относительно
Дх-Й) А* Дх->0 А*
приращения Дх, поэтому lim о = V.
Дх->0
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной,
т. е. если у = Си (х), то
у' = [Си (х)]' = Си' (х).	(III.45)
В самом деле, положив в формуле (III.44) u = C = const и учтя, что согласно
(III.41) (С)' = С'=0, мы и приходим к искомому результату:
у' = (Си)' = Си' ф иС = Си'.
Результаты теоремы 2 легко распространить на любое число сомножителей
и доказать, что производная от произведения равна сумме произведений производ-
ных каждого из сомножителей на все остальные. Так, например, в случае трех
сомножителей, применяя дважды формулу (III.44), получаем
(uvw)' = [(uu) • а>]' = (uxj) w' ф w (ио)’ = ut)w' ф w (их)' ф ои'),
или
(uvw)' = uvw' ф uxdv' ф own'.	(III.46)
Пример 3. Найти производную от квадратного трехчлена
у = 7х2 — 5х ф 18.
Решение. Воспользовавшись правилом дифференцирования алгебраической
суммы, а также формулами (III.35), (III.41), (III.42) и (III.45), ответ получаем не-
посредственно:
у' = 7 - (х2)' — 5  (х)' ф (18)' = 7 • 2х— 5 • 1 фО = 14х —5.
Ill
Глава HI, Элементы дифференциального исчисления
Пример 4. Доказать, что производная от функции у = х2 есть
у' = (х3)' = 3x2.	(Ш 47)
Решение, Представив заданную функцию в виде произведения двух функ-
ций у = х3 = х • х2 и воспользовавшись формулами (III.44), (III,42), (111.35)
имеем
у' = (х • х2)' = х • (х2)' 4 х2. (х)' = х • 2х 4 х2 • 1 = Зх2.
Пример 5. Найти производную от функции
у = х3 sin х.
Решение. Положив и = х3 и v = sin х, находим ответ согласно формуле
(III.44) по известным уже производным и' = (х3)' Зх2 и v' = (sinx)' = cos х;
у' = (х3 sin х)' = х3 . (sin х)' 4 sin х • (х3)' = х3 cos х 4 Зх2 sin х.
sinx.
дифферен-
числитель
числителя
У пражнения
2,	Показать, что производная функции у = 5х3 — 2х равна у’ = 15х2 — 2.
3.	Вывести формулу (III.35), представив функцию у = х2 как произведение двух
функций у = х  х и воспользовавшись формулами (III.44) и (III.42).
4.	Найти производную от функции
sinx
у = ~
Указание. Положить u = -i-, v = sinx и воспользоваться затем формулами
(III.44), (III.37), (III.36).
Теорема 3. Производная частного (дроби) у =	, где и и v суть
цируемые функции, равна дроби, у которой знаменатель есть о2, а
равен разности между произведением знаменателя на производную
й произведением числителя на производную знаменателя, т. е.
ои' — ио'
О2 '
(III.48)
У'
Доказательство этой теоремы выполняется аналогично доказательству теорем
1 и 2, так что; читателю полезно провести его самостоятельно и тем самым про,
йерить, насколько ои усвоил предыдущий материал.
7x3 । 5
Пример 6. Найти у', если У = ——~2~-
Решение. Положив и = 7х345, о = х — 2 и воспользовавшись формулой
(III.48), имеем
,	/7Х3 4 5\' _ (х — 2) (7Х3 4 5)' — (7Х3 4 5) (х— 2)' _
У “ \ х —2 ) ~	(х — 2)2
(X -и- 2) (7  Зх2) — (7х3 4 5)  1	21х3 — 42х2 — (7Х3 4 5)
(х—2)2	“	(х —2)2
14х3 — 42х2 — 5
(х-2)2	•
Замечание, Если знаменатель дроби есть величина постоянная, то вместо
формулы (III.48) проще пользоваться формулой (Ш.4£). Например, для функции
sin х
$ 34. Основные формулы и правила дифференцирования
145
представив ее в виде у
2
15
и = sin де, имеем
_1\
15/ '
sinx и положив затем в формуле (III.45) С =
, 1
у = -г= COS X.
10
Упражнение 5. Показать, что для функции у = -jg-формула (III.48) дает
тот же результат, так как производная от знаменателя о =15= const согласно
формуле (111.41) равна нулю.
Переходим к выводу весьма важного при практическом нахождении производ-
ных правилу, позволяющему вычислять производную сложной функции (т. е.
функции от функции), если известны производные составляющих функций.
Теорема 4. Если y = f (и), где и = <р (х) и обе функции дифференцируемы, то
производная от у по переменной х равна произведению производной от у по
промежуточному аргументу и на производную от внутренней функции и =
= <р (х) по переменной х, т. е.
= f' (“) • <р' (*)> или у'х = Уи • и'х.
(III.49)
Доказательство. Дадим х приращение Дх. Тогда функция и = <р (х) получит
приращение Ди, а функция у = f (и) — приращение’ Ду. Величину , разделив и
^множив ее иа приращение Ди, можно представить в следующем виде:
ДУ _ ДУ Д«
дх Ди * дх ’
(III.50)
т— = у’и = f (и), поскольку существование производных f (и) и <р' (х) было обу-
Пусть Дх стремится к нулю. Тогда lim = их = <р' (х). Вследствие иепрерыв-
Дх-^о
поста и (вытекающей из ее дифференцируемо ети) приращение Ди -» 0, и поэтому
lim
Ди-,0
словлено в теореме. Осуществив в равенстве (III.50) предельный переход дх-> О
и воспользовавшись полученными результатами, мы и приходим к искомой фор-
муле (III.49), так как предел произведения равен произведению пределов.
Замечание. В процессе доказательства мы должны для полной строгости
исследовать также случай ди = 0, при котором равенство (III.50) становится не-
определенным.
При нахождении предела — I дх является независимой перемен-
Дх |Дх-»0
ной, и поэтому мы всегда можем исключить возможность обращения в нуль при-
ращения Дх. Приращение же Ди, являясь приращением функции и = <р (х) (т. е.
зависимой переменной), прп Дх -»0 может принимать и значения равные нулю.
Однако формула (III.49) остается справедливой и в этом случае, что доказано
в более полных курсах анализа, например в курсе Н. С. Пискунова [102, т. 1].
Пример 7. Найти производную функции
у = sin(x3).
Решение. Введем промежуточный аргумент и, положив
у = sinu, где и = х3,
146
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
в результате чего представляем данную функцию как сложную функцию от х.
Воспользовавшись формулой (Ш.49) и учтя, что в данном примере f (и) = sin и,
f' (и) = (sin и)' = cos и; <р (х) = х3, <р' (х) = (х3)' = Зх3, находим требуемую произ-
водную:
= cos и • Зх2 = Зх2 cos (х3).
Пример 8. Вывести формулу для производной от дроби у = — , воспользо-
вавшись теоремой 4 и известными уже формулами (Ш.44) и (Ш.36).
Решение. Представив заданную функцию У= ~ в виде произведения у =
==	• и, непосредственно получаем формулу (Ш.48)
[ 1 V	1	,	к	( l\'	и'	v'	vu' — ио'
.	и] =	—	•	и и •	— I -------U—„	= т ,
\V ]	V	\V ]	V	V3	р2	’
1
поскольку, рассматривая — как сложную функцию от х, согласно теореме 4 и
формуле (Ш.36) имеем
\ V / v3 v V3 '
Упражнение 6. Доказать, что производная функции у = sin3х равна
у' = (sin3 х)' = 3sin2x cos х.
Указание, Представить заданную функцию в виде у = и3, где и = sinх,
и воспользоваться затем формулой (Ш.49).
Теорема 4 остается справедливой и для функций более сложной структуры.
Так, если
У = f (и), и = <р (р), v = ф (х),
то получаем «цепное правило»:
dy	с,, .	dy	dy	du	dv
= f (“) • <P CO • Ф (•*)> или t =	• ~r •	011.51)
dx	' ' '	T ' ' T ' " dx	du	dv	dx	'	'
В случае «цепи» из большего числа функций поступаем аналогично.
В заключение установим связь между производными взаимно обратных функ-
ций, которой в дальнейшем будем неоднократно пользоваться.
Теорема 5. Если дифференцируемая функция у = f (х) является обратной по
отношению к функции х = <р(у), то ее производная вычисляется по следующей
формуле:
Г(х)=-±-.	(Ш.52)
<Р (У)
Другими словами, производная функции, обратной к данной, равна величине,
обратной к производной данной функции.
Доказательство. Представим отношение приращений Ду: Дх в виде
4^ = -г- при условии, что Ду ф 0.
Дх Дх
ДУ
Переходя к пределу Дх -> 0, мы и получим искомую формулу (Ш.52)
, ДУ	,.	/ 1 \	1
у' — lim —- = lim / — i = -г-т-т .
Лх-*-0 Д* Ьд-*-0 I Д* I ? (У)
\ЬУ/
§ 35. Производная степенной функции
147
Пример 9. Найти производную функции
у = arcs in х.
Решение. В данном случае обратной будет функция х= sin у, т. е. в рассмат-
риваемом примере <р (у) = sin у. Поэтому согласно формулам (Ш.52) и (II 1.37)
имеем
у (sin у)’ cos у '
Но так как по условию sin у = х, то в соответствии с известным тригонометриче-
ским тождеством	______ ___________
cos у = V1 — sin2 у = 1 — х2.
Следовательно,
, 1 1
у ----------- ,
cos у у 1 _ Х2
и окончательно
у' = (arcsin х)' =	.	(Ш.53)
Отметим, что при х=+1 производная принимает бесконечно большое значение
у’ = оо, и в полном соответствии с результатами § 33 касательная к кривой у =
— arcsin х в точках с абсциссами х= +1 будет идти параллельно оси Оу. Этот
результат легко проверить, проведя иа рис. 99 прямые х =—1 и х=-|-1.
§ 35. Производная степенной функции
В § 31 и 34 мы нашли производную степенной функции у = хп при п = 1, 2,
3 и получили следующие результаты:
(х)' = (х1)' — 1 • х° = 1; (х2)' = 2Х1 = 2х; (х3)' = Зх2,
которые можно представить одной формулой
у' = (хп)' — пхп~г.	(III.54)
Покажем, что формула (III.54) справедлива не только при л = 1, 2, 3, ио и
при любом показателе л, положительном и отрицательном, дробном и иррацио-
нальном (последний случай будет рассмотрен в § 38) и даже комплексном. Начнем
со случая целого и положительного показателя степени л, для чего воспользу-
емся методом полной математической индукции.
Допустим, что при заданном л формула (III.54) уже доказана. Покажем те-
перь, что производная функции у = хп+1 определяется по тому же закону. Для
этого представим заданную функцию в виде произведения
у = х"+1 = х • хга, или у — tiv, где и — х, v = хп,
а затем найдем производную от этого произведения при помощи формулы (Ш.44).
Приняв во внимание равенства (Ш.42) и (III.54), имеем
(х . х«)' = х . (хпу -|- хп • (х)' = х  лх«-1 + х« . 1 = (л + 1) хп.
Таким образом, если (хп)' = лхга-1, то и (х^1)' =(л + 1)хга. Но в § 34 мы ви-
дели, что формула (III. 54) верна при л = 1 (т. е. для функции у = х), следова-
тельно, по доказанному она верна и для л = 1 + 1 = 2. Если же она верпа для
у = х2, то оиа верна и для у = х3 и т. д.
148
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Итак, при любом целом положительном показателе п производная степенной
функции у = хп равна показателю степени, умноженному на х в степени на еди-
ницу меньше данной *;
(хп)’ = пхп~\
как это зафиксировано в формуле (Ш.54).
Пример 1. Найти производную от функции г/ = х13.
Решение. Здесь п = 13, поэтому по формуле (Ш.54) находим
у' = 13х12.
Полученный результат легко распространить на целые отрицательные степени
и иа степени дробные. Так, если п=— т, гдет — целое положительное число, то,
представив заданную функцию у = х~т в виде
и воспользовавшись формулой (III.48) (в которой надо положить и = 1 = const, о==
= хт), имеем
,	(1V хт • (1)' — 1 • (хт)' xm‘Q — mxm~l
у	\хт1	х2т	х’т	’
так как согласно (Ш.41) производная любой постоянной С (и в том числе когда
С = 1) равна нулю. Если теперь мы воспользуемся формулой (III.54), положив
в ией п = —т, то получим тот же результат
у' = (х~т)' = —тх-т-1,
что и доказывает справедливость формулы (Ш.54) для целых отрицательных сте-
пеней. Таким образом, в дальнейшем мы уже не будем требовать, чтобы показа-
тель степени был только положительным.
Пример 2. Найти производную функции у =	.
Решение. В данном случае п = —5, поэтому согласно формуле (III.54) имеем:
у' = -5X-S-1-------------------------5х~« = - 4 •
Xе
Аналогично при п =—1 по формуле (III.54) получаем:
у' = (х-1)' = —1 . х-1-1 = — Х-* = — -L ,
что полностью совпадает с результатом примера 2 § 31, в котором производная
была вычислена непосредственно.
Упражнение 1. Определить по формуле (III.54) производную функции у = х~2
и полученный результат сравнить с результатом упражнения 2 § 31.
Рассмотрим случай п = — , где q — целое число (положительное или отрица-
тельное), т. е. найдем производную от функции
1
у = х<’ =ЧуГх.
Функция, обратная к заданной, будет
* * =
* Формулу (111.54) при целом положительном показателе п обычно доказывают при по-
мощи формулы (111.34) и бинома Ньютона, что читателю полезно выполнить в виде упражне-
ния. Мы же предпочли доказательство, опирающееся на теорему 2 § 34, так как бином Ньютона
теперь исключен из программы средней школы.
$ 36. Производная степенной функции
149
Воспользовавшись формулами (Ш.54) и (III,52) (в последней полагаем <р (у) = у9,
<?' (у) = ЯУ9-1)' находим
,______1__ =_____1	1	1	1 у-1
v <е'(у) яу4^ I	I___1 я*
q\x9 I qx ' 9
т. е. тот же результат, который получим непосредственно по формуле (III.54),
положив в ней п = -»•.
Я
В
Производную функции у = х^, где р и q — целйе положительные или отрица-
тельные числа, найдем по теореме 4 § 34. Для этого предварительно представим
у как сложную функцию
/ 1 у	_1_
у = \x^J =иР, где и = х 9.
Тогда согласно формуле (III.49), в которой надо положить f(u) = uP, f'(u)=a
= puP-1; <p(x) = x9, <p'(x)=-l-x9	, получаем
,	. _L i p-1	2___1 p ,
У=риР~1--------x4 =—X 9 -X9	=£-X9
dx H q	q	q •
так как при умножении степени складываются, а
JL-1^1— 1 =
Я Я Я
— 1.
Я
Таким образом, и в случае любой рациональной дроби
пенной функции определяется по формуле (III.54)
п = -£- производная сте-
Я
I Р.Х JL _1.
у> =\х9 ) =-^х9
1
Пример 3. Найти производную функции у = Ух =
Решение. Подставив в (III.54) n = -L-, получаем
в
или, заменяя дробные степени знаком радикала,

(III .55)
т. е. производная квадратного корня равна единице, деленной на два таких корня.
Отметим, что в приложениях часто приходится дифференцировать функцию у =
= Поэтому удобнее в таких случаях не обращаться всякий раз к общей
формуле (III.54), а запомнить формулу (III.55).
150
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Формулу (III.55) можно получить и непосредственно из определения (III.34),
хотя такой путь более сложный. С этой целью найдем для функции у = j/x
приращение	_______
Ду = у(х4 Дх) — у(х) = /х 4 Дх —/х.
Умножив и разделив полученный результат на сумму корней и воспользовавшись
Тождеством (а^b)(a—b) = а2 — Ь2, имеем
_ (/х4Дх-/х) (/х + Дх->/х) = (х4- Дх) — х _
/х4 Дх + /х	/х + дх + /х
________Дх
/х4 Дх 4- /х'
В таком случав
Ду __________Дх_________________1_____
Д* Дх (Ух 4 Дх 4 Ух) У"х 4 Дх 4 У* *
откуда после перехода к пределу получаем формулу (III.55):
4^о/х4дх4/х 2 |/ х'
Упражнение 2. Доказать, что производная от функции у = У (х2 4 7)3 =
з	з 1
= (ifl 4 7)8 равна у' =	(х2 4 7)5	• 2х =	— .
6	5 У(х2 4 7)2
з
У казани е. Представить у как сложную функцию у = и s , где и = х2 4 7,
и'х & 2х, а затем воспользоваться формулами (III.49) и (III.54).
Пример 4. Вычислить производную функции у = у х — 1 = (х— 1) в точ-
ках х'& 2 и х = 1.
Решение. Представив у в виде сложной функции
I
у = и 3 , где и = х— 1
и воспользовавшись формулами (III.49) и (III.54), получаем
।		2
У=у “	=	3 =
1
3 У (1371)5
так как в данном случае внутренняя функция есть и = <р (х) = х — 1 и ее произ-
водная согласно формулам (III.41) — (III.43)
«; = (х-1)' = (х)'-(!)'= 1-0=1.
Подставив в найденную производную у' (х) заданные значения х = 2 и х=1,
решаем поставленную задачу:
„ 1 1 1 1
у к-* = -у________= -у— = -о;	у'k-i = ~т-г... = <»•
Зу (х — I)2 3yi д	ЗУ(х— I)2
В качестве иллюстрации к рассматриваемому примеру в табл. 6 непосредственно
вычислены приращения Ду в точках х = 1 и х = 2 для различных значений при-
g 36. Производная степенной функции
151
ращения аргумента Дх, а затем найдено их отношение . Каждое из приращений
функции находим, как обычно, вычислив для заданных ж и (х 4- Дх) разность
ку = у (х 4- Дх) — у(х) = у'(х 4- Дх) — 1 — S/x — 1,
в результате чего получаем*
Ду|х=1 = F(i 4-лх)-~Т -	= ^Тх,
Ду|х=г = 1^(2 4- д*) — 1 —	— 1 = -j/l 4- дх — 1.
Проанализировав результаты вычислений, выполненных в табл. 6, видим, что для
х=1, когда Дх-»0, отношение Ду:Дх неограниченно растет, а для х=2 эта
величина в пределе стремится к -5-, как и должно быть, поскольку lim — = у'(х).
э	Дх-»0 Д*
Другими словами, при х = 2 бесконечно малые Дх -» 0 и Ду -» О имеют один и
тот же порядок малости, а при х = 1 приращение аргумента Дх убывает быстрее,
чем приращение функции Ду, т. е. в этом случае Дх -> 0 есть бесконечно малая
более высокого порядка, чем бесконечно малая Ду -> 0.
Таблица 6
3	 х- I; у(|)=Ух- ьу = у (I + М — у (> У' (О = “		-1 = 0 8 	 = V Дх;	8 __ х == 2; у’ (2) = /х — I = 1 8	 1 Ду = Vi + Дх - I; у' (2) = у		
Дх	3 	 Ьу » УДх	Ду : Дх	3 	 VI + Ах	^У	Ду: Дх
0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001	0,79370053 0,46415888 0,21544347 0,10000000 0,04641589	1,58740106 4,6415888 21,544347 100,00000 464,1589	1,1447142 1,0322801 1,0033223 1,0003332 1,0000333	0,1447142 0,0322801 0,0033223 0,0003332 0,0000333	0,2894284 0,322801 0,33223 0,3332 0,333
Найденные значения у'(1) = оо и у'(2)=-|- полностью согласуются с рис. 106,
3/------------------------------------------------
на котором представлен график функции у = ух—1. Действительно, согласно
формуле (III.39)
У' W = tg а
значение производной р данной точке х равно тангенсу угла наклона касательной
к кривой у = у (х) в этой точке. Следовательно, в данном примере tga = 00, а =
= у = 90° при х=1 и tga =-|-при х = 2, т. е. касательная в точке (1; 0)
должна идти параллельно оьи Оу, а касательная в точке (2; 1), угловой коэффи-
циент которой k = tg а = ~ , должна пройти через точку (—1; 0) оси абсцисс. Для
того чтобы проверить эти результаты, читателю надо провести касательную в точке
кривой (2; 1).
* Значение кубического корня из заданного числа находим по таблицам Барлоу [135].
152
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Упражнение 3. Вычислить производную функции у = х— 1 в точках
х=3, х = 0, х =—1 и проверить результаты графическим путем, вычертив по
точкам на миллиметровой бумаге график этой функции.
У казани е. Воспользуйтесь методикой графического дифференцирования, изло-
женной в § 40.
Пример 5. Найти производную от полинома л-й степени
у = Рп (х) = а0 -ф- aLx 4 а2х2 4 а3х3 4 ... 4 апх«.
Решение. Так как производная суммы равна сумме производных, а посто-
янную величину можно выносить за знак производной, то, воспользовавшись фор-
мулой (III.54), сразу получаем искомый ответ
у' = {Рп (х)}' =	4 2а2х 4 За3х2 4 ... 4 папх*-1, (III.56)
поскольку производная постоянной а0
равна нулю.
Таким образом, производная полинома
п-й степени равна полиному степени
п—1, коэффициенты которого опреде-
ляются по формуле (III.56). В частности,
для линейной функции у = kx 4 b имеем
у' = (kx 4 b)' = k.
Полученный результат имеет простое гео-
метрическое толкование. Производная в
данной точке х равна угловому коэффи-
циенту касательной к графику функции
(см. § 32). Графиком функции у = kx-ф-Ь является прямая с угловым коэффициен-
том k, а касательная к прямой, проведенная в любой ее точке, совпадает с самой
прямой*. Поэтому в данном случае угловой коэффициент касательной есть величина
постоянная, равная угловому коэффициенту k заданной прямой (рис. 109).
Подчеркнем также, что при параллельном переносе прямой, т. е. при измене-
нии величины отрезка Ь, угол а остается неизменным, а следовательно, неизмен-
ной остается и производная у'. Это еще раз наглядно подтверждает, что произ-
водная постоянной равна нулю.
Упражнение 4. Найти производную от функции
у = х3 — 6х2 4 Эх — 2
и вычислить значения у(х) и у'(х) в точках х = 0, 1, 2, 3, 4. Затем построить
график заданной функции и проверить найденные результаты графическим путем.
§ 36. Производные тригонометрических и обратных
тригонометрических функций
Решая пример 3 § 31, мы нашли производную функции у = sinx. Покажем
теперь, что общие правила дифференцирования, выведенные в § 34, позволяют
по известной производной от sin х найти производные всех остальных тригономет-
рических функций, прямых и обратных.
Начнем с вычисления производной функции у = cos х. Для этого по формуле
приведения напишем
(я i
—— / ’
• Отметим, что таким свойством обладает только прямая. Действительно, прямая полностью
определяется двумя точками. Поэтому, взяв на заданной прямой согласно рнс. 101 две точки
М н Mit мы однозначно определяем секущую ЛМА, которая прн дальнейшем движения по прямой
точки Mi будет оставаться неподвижной, вплоть до своего предельного положения, когда точка
Л1Х совпадает с точкой М.
£ 36. Производные тригонометрических и обратных... функций
153
а затем представим у в виде сложной функции
я
у = cos х = sin и, где и = — х.
Тогда согласно формулам (III.49) и (III.37) имеем
,	. .	,,	,	I тс \	.	.
у' = (sin иу = COS и -их = —cos и = —COS I — — X I = —sin X,
так как производная от внутренней функции и = у — х есть их =	— xj = —I.
Таким образом, производная от cosx есть —sinx, т. е.
у' = (cos х)' = —sin х.	(III.57)
Упражнение 1. Вывести формулу (III.57), исходя из тождества y = cosx==
= 1/1 — sin2 х или из тождества у = cos х = sin -4* xj .
Производную от функции у = tg х найдем, представив ее в виде дроби
. sin х
у = tgx =----------------------------------------
s	cosx
и воспользовавшись теоремой 3 § 34. Согласно формулам (III.48), (III.37), (Ш.57)
получаем
, _ cos х • (sin х)' — sin х • (cos х)' _ cos х • cos х — sin х • (—sin х) _
—	cos2x	—	Cosax	—
_____1_
— cos2x’
так как в силу основного тригонометрического тождества
cosx • cosx— sinx • (—sinх) = sinax-ф-cosax = 1,
Итак, в случае функции у = tgx имеем
y' = (tgx)'=c-^-
(Ш.58)
Упражнение 2. Доказать, что производная от функции y = ctgx есть
1
^ = (ctgx)'---------FJ.
(III.59)
Указание. Представьте заданную функцию в виде дроби у = etgx=a
cosx	J.	l п \
= или воспользуйтесь тождеством у = etg х = tg (—— х I.
Переходим к обратным тригонометрическим функциям. Для функции у = arcsln х
мы уже вывели в § 34 формулу (III.53), согласно которой
1

Аналогично выводится формула для производной от функции у = arccos xi
1
у' = (arccosx)' =
/1—X2’
(III.60)
154
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Действительно, если у — arccos х, то обратная функция будет х = cos у. Со-
гласно формулам (III.52) и (III.57) имеем:
_ 1___________1 _ _ 1
У “(cosy)' (—sin у) у 1 _cos®у ‘
Но cos у = х, поэтому
у 1 - X2 ’
что и требовалось доказать.	_
Замечание. В равенстве sin у = 1/1—cos8 у перед корнем надо взять знак
плюс, так как функция у = arccos х определена в промежутке 0 < у < я и, сле-
довательно, sin у > 0.
Производную функции у = arcctg х также определяем при помощи правила
дифференцирования обратной функции. В данном случае обратной является функ-
ция х = tg у, производную которой мы уже нашли. Поэтому, воспользовавшись
формулами (III.52) и (III.58), решаем поставленную задачу:
,_____1 _ 1
V ~(tgy)'~ 1
cos2 у
Для того чтобы придать найденному результату окончательный вид, надо только
от переменной у перейти к переменной х, т. е. выразить cosy через tgy = x, что
легко выполнить, поскольку
1 sin2 у 4- cos2 у , , , »	. , й
^-у= iZy ~ =х+tgу=1+*•
Объединяя эти результаты, приходим к искомой формуле
у'= (aretgx)'= т—J.	(III.61)
1 ~Г л
Упражнение 3. Доказать, что производная от функции у = arcctg х есть
у' = (arcctgх)' = — т^г—2 •	(III.62)
Найденные и полученные ранее формулы позволяют вычислять производные
для широкого класса функций. Вот несколько простых примеров, продублировав
которые, читатель сможет проверить, насколько он усвоил предыдущий материал:
(2х4 — sinх)’ = 2 (х4)' — (sin х)' = 2 • 4х3 — cos х = 8х3 — cos х;
(- Y (-V 5 -- 3
\Х7 -|-3 etgx/ = \Х 7 / + 3 (Ctg х)' = у X 7—-г-у-;
(Зх? + /х — arctg х)' = 15 х4 + —Ц —	;
2 У х 1 т х
(х3 cos х)' = х3 (cos х)' -|- (х3)' cos х = Зх2 cos х — х3 sin х;
[(arccos х)2]' = 2 arccos х • (arccos х)' = —tLarccos х;
У 1 —х2
1
[arcsin (х4 — 7)1' =	. (X4 — 7)' =	;
/1 — (х4 — 7)2	У1 — (х4 — 7)2
$ 36. Производные тригонометрических и обратных... функций
155
[t,(3,- + S.- 2)1- -	+ ь-2>'-
6*-р-5
cos2(3*2 -|*-5*— 2) ’
/у 1 _	(1 — cos8*)' _ —6cos?* • (cos*)' _ 3cos5*sin*
2 У1 — cos8 *	2 ]/ 1 — cos8 * У1 — cos8 *
В качестве пояснения к этим примерам ограничимся следующим замечанием.
При дифференцировании сложной функции промежуточные переменные после неко-
торой тренировки можно вводить мысленно, помня, что производную от сложной
функции согласно формуле (III.49) необходимо умножить на производную от внут-
ренней функции. Так, определяя производную от функции 4/ = arcsin (*4 — 7), ее
следовало бы представить в виде
у = arcsin и, где и = *4 — 7,
а затем применить формулы (111,49) и (III.41), (III.43), (III.53), (111.54). Для функ-
ции у = У1 —cos8* «цепочка» состоит уже из трех функций:
у == У и, и = 1 — Vе, v = cos *,
так что, решая этот пример, надо воспользоваться формулой (111.51), а также фор-
мулами (111.41), (111.43), (III.54), (Ш.55), (Ш.57).
В более сложных случаях, когда «цепочка» функций состоит из большего числа
звеньев или когда каждое из звеньев более или менее сложное, во избежание
ошибок, следует вводить промежуточные переменные и, v, w,
Пример. Найти производную от функции
у = arcctg3 Ух
и вычислить ее значение при * = 1.
Решение. Представив данную функцию в виде
у = и3, и = arcctg v, v = Ух,
а затем воспользовавшись формулами (Ш.51) и (III.54), (III.55), (III.62), имеем
dy._dy du dv _^uz I —1 A 1__________________3 arcctg2)/*
dx ~ dh ‘ dv ‘ dx ~ U ‘Vl-H2/ Ч.У"х~ 2(1^*)/*’
так как
u2 = (arcctg v)2 = arcctg2 )/*; 1 u2 = 1 -|- (Уx)2 = 1 -ф* *.
Подставив в найденную производную у' (*) значение * = 1 и учтя, что arcctg 1 =
=	; arcctg (—1) = тс — arcctg 1 = — тс, решаем вторую часть задачи (ограничи-
ваясь пятью десятичными знаками точности вычислений):
(\»
71 1
-д I	_ Г \2
»wix=i=—n“ = —Т\7/----------0,46264 при ^^=i = +1!
, /Зтс\’
У' W I х=1 = 4-2TJ- = Т (т/ = 4,16374 п₽и = “L
156
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
Для того чтобы закончить изложение вопроса о дифференцировании элемен-
тарных функций, необходимо еще найти производные логарифмической и показа-
тельной функций. Но для этого мы должны предварительно познакомиться с нату-
ральными логарифмами, которые в средней школе не изучаются.
§ 37- Натуральные логарифмы. Число е
В предыдущих параграфах мы пользовались понятием предела, главным обра-
зом, для исследования функций. Применим теперь предельный переход для опре-
деления нового, до сих пор не встречавшегося нам числа, которое широко приме-
няют как в самой математике, так и в ее многочисленных приложениях.
Рассмотрим функцию натурального аргумента n= 1, 2, 3, ...
Уп
и найдем предел числовой последовательности {уп} = yv уг, у3.....уп____t, уп, ...
при п -* о?.
При л= 1, 2, 3 функция уп принимает следующие значения:
/	1 \2	[ Q \2
Ух - (1 Ф О1 =2! уъ = (1	= (у) = 2,25!
/	1 \8 / 4 V
=	=2,370...
Так как с ростом п основание степени здесь стремится к единице, монотонно убы-
вая, то характер изменения величины уп непосредственно не просматривается.
Поэтому исследуем уп более подробно, доказав прежде всего следующую теорему.
/ 1 \rt
Теорема. Функция уп = 11 ф у I пРи л -> оо имеет конечный предел, заклю-
ченный между 2 и 3.
Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем*:
Л(п— l)f 1 V
21 \п *
... *
1)...[Л —(л—1)]
----------------------
-Г
п/ *
или, разделив каждый сомножитель в числителе на п,
* Символом л! (читают: эп факториал) обозначают произведение I • 2 . 3 • .. • л (ог латин-
ского слова factor — фактор — делающий, производящий, b математике—сомножитель).
J 37. Натуральные,логарифмы. Число е
157
2, 3, 4, ... , п
Полученная сумма содержит (п 1) положительных слагаемых. При увеличении
целого числа п увеличивается число слагаемых и каждое из них также увеличи-
вается. Действительно, в каждом из слагаемых
k\ \ п /\ п / \ п I \ п
Л	.12	k— 1
величина AI остается без изменения, а дроби —, —, ... , *-уменьшаются,
п п п
так что разности, стоящие в круглых скобках, увеличиваются по мере роста а.
Следовательно, переменная величина уп при п -> оо монотонно возрастает.
/	1 \«
С другой стороны, при п -> оо переменная уп = 11 -ф- чЬ I Ограничена.
г,	/, А—1\
В самом деле, заменив в предыдущем равенстве все множители 11-I еди-
ницами (отчего каждая скобка только увеличивается), получаем неравенство
/ 1 \л 1111 1
Нй) <^Т! + + 31*11* -
Далее, заменив в факториалах двойками все числа, большие двух ^например: 4! =»
= 1 .2.3.4>1 -2-2.2 = 2?, 4т
41
часть неравенства, так что
мы еще больше увеличим правую
sn
= 14-(2-^)<з,
. - 1
поскольку, отбросив в правой части величину , мы еще раз усилим неравен-
ство. В пояснение к этому результату остается заметить, что п членов, взятых
для наглядности в скобки, образуют геометрическую прогрессию с первым членом .
Uj = 1 и со знаменателем q = —, сумма которой определяется равенством
sn = 14-у +	••• 42^ =
= T^U-‘Z") = -Lr(i-4) = 2(i-i) = 2-2^-
*2	/	/
/	1
Покажем, что для всех п ;> 1 имеет место неравенство 11 -4- — |	2. Действн-
\ w /
I 1 у*
тельно, II -jj-1 = 2 при n= 1, а с возрастанием п, как мы уже видели, функ-
ция уп монотонно возрастает. Таким образом,
/ 1 \л
2<Ц1 ф—J <3,
а это значит, что уп ограничена.
Глава III. Элементы дифференциального исчисления
158
•——
/ 1 \я
Но если величина Ул = (1-^— I при п -> оо монотонно возрастает,
оставаясь ограниченной, то согласно признаку Больцано—Вейерштрасса
(см. § 25) она имеет конечный предел. Теорема полностью доказана.
/ 1 \л
Предел функции I 1 + —I при п -» оо Эйлер предложил (в 1728 г.) обозначать
буквой е, и с тех пор это обозначение стало общепринятым.
Число е иррационально, более того, оно трансцендентно, т. е. не может быть
корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами*.
Однако числб е может быть вычислено с любой степенью точности. Один из воз-
можных способов вычисления числа е заключается в непосредственном использо-
вании приближенного равенства
е и (1+4)Л	(III.63)
при достаточно больших п. В табл. 7 выполнены все необходимые вычисления
для некоторых значений п. При этом если п — 2к, где k = 1, 2, 3.то все вы-
п	(‘+4-У		(^У	(^У	('+4Г	('+тГ
1	2					
2	1,5	2,25	——	—-	—-	—-
4	1,25	1,5625	2,44140625	—	—	—
8	1,125	1,265625	1,6018066406	2,5657845139	—	—
16	1,0625	1,12890625	1,2744293213	1,6241700950	2,6379284975	—
128	1,0078125	1,0156860352	1,0316181221	1,0642359498	1,1325981568	1,2827785848
1024	1,0009765625	1,00195-10787	1,0039110758	1,0078392552	1,0157399643	1,0317276751
8102	1,0001220703	1,0002441555	1,0004883706	1,0009769797	1,0019549139	1,0039136495
65536	1,0000152588	1,0000305178	1,0000610365	1,0001220767	1,0002441683	1,0004883962
10	и 1,01	1,21	1,4641	2,14358881		
100		1,0201	1,04060401	1,0828567056	1,1725786449	1,3749406785
1000	1,001	1,002001	1,0040060040	1,0080280561	1,0161205619	1,0325009963
10000	1,0001	1,00020001	1,0004000600	1,0008002800	1,0016012004	1,0032049646
100000	1,00001	1,0000200001	1,0000400006	1,0000800028	1,0001600120	1,0003200496
—10	1 0,9	0,81	0,6561	0,43046721			
-100	0,99	0,0801	0,96059601	0,9227446944	0,8514577710	0,7249803358
-1000	0,999	0,998001	0,9960059960	0,9920279441	0,9841194419	0,9684910759
— 10000	0,9999	0,99980001	0,9996000600	0,9992002800	0,9984011996	0,9968049554
числения сводятся к последовательному возведению в квадрат предыдущего резуль-
тата п поэтому выполняются очень легко. Так же просто выполняются эти вычис-
ления и для любого другого целого числа п. Например, учтя, что 100 = 64	32 4»
4- 4, 1000 = 1024 + 8 — 32, находим '
* Трапсцендентны также н логарифмы с основанием в (получившие название натуральных)
всех целых чисел, равно каки десятичные логарифмы всех чисел, кроме чисел . .. 0,1; I; 10; 100;
1000; ... , Tv вч кроме чисел Ю^'^где т и 0, I, 2, 3, ... . Трансцендентность числа р была дока-
зана в 1871 г. французским математиком Ш. Эрмитом, трансцендентность логарифмов — советским
Математиком А. О. Гельфондом в 1934 Г»
£ 37. Натуральные логарифмы. Число в
159
1
I \1000
Тбёо/
2,8052266805
1,0325009963
< I.
= 2,7169239454.
Вычисления в табл. 7 выполнены с одиннадцатью значащими цифрами (а при п<£
<0 — с десятью), а затем окончательные результаты округлены до шести знача-
щих цифр.
Упражнение 1. Продублировать с семью значащими цифрами строку п =
\138
1 —Т7ТЗ )	=
12о/
= 2,707910.
Проанализируем результаты упражнения 1. Округлив до семи значащих цифр
исходное точное число
1,007813,
Таблица 7
(+4)"	ЫГ	(+4)“		('+4Г	(^Г	Н)"
						2
						___		2,25
——					—аа	2,44141
	—ш.		—аа	—аа	—аа	2,56578
—ш.	—ш.	—ш.	—аа	—аа	—аа	2,63793
1,6455208976	2,7077390244	—аа	—аа	—аа	—аа	2,70774
1,0644619956	1,1330793401	1,2838687910	1,6483190725	2,7169557648	—аа	2,71696
1,0078426157	1,0157467380	1,0317414358	1,0644903903	1,1331397910	2,7181155987	2,71812
1,0009770309	1,0019550164	1,0039138549	1,0078430281	1,0157475693	1,13 31472099	2,71826
						2,59374
1,8904618694		—аа	—аа	—аа	—аа	2,70481
1,0660583074	1,1364803148	1,2915875059	1,6681982854	2,7828855194	—аа	2,71692
1,0064202010	1,0128816210	1,0259291782	1,0525306787	1,1078208296	2,2685910431	2,71815
1,0006402016	1,0012808131	1,0025632667	1,0051331037	1,0102925562	1,0853685297	2,71827
								2,86797
0,5255964873		—аа	—аа	—аа	—аа	2,73200
0,9379749641	0,8797970333	0,7740428198	0,5991 422869	0,3589714800	—аа	2,71964
0,9936201191	0,9872809411	0,9747236567	0,9500862069	0,9026638005	0,4407661260	2,71842
мы допустим в данном случае абсолютную погрешность = 0,0000005 = — . 10 •.
После возведения заданного числа в 128-ю степень разность между, результатами,
вычисленными с семью и с одиннадцатью значащими цифрами (с которыми выпол-
нялись вычисления в табл. 7), будет
е128 = 2,707910 — 2,707739 = 0,000171 = 171 . 10“в.
Таким образом, начальная погрешность, равная половине седьмого десятичного
знака, и дальнейшие неизбежные ошибки округления промежуточных результатов
привели к увеличению погрешности окончательного результата в 340 раз, т. е.
затронули четвертый десятичный знак результата. При п 128 погрешность ре-
160
Глава III, Элементы дифференциального исчисления
зультатов будет еще больше; вот почему мы и вели вычисления в табл. 7 с пятью
запасными знаками*.
Определение е по .формуле (1П.63) довольно трудоемкий процесс. Более эффек-
тивный способ вычисления е мы рассмотрим в § 98 гл. VIII, а пока приведем зна-
чение е с 16-ю значащими цифрами;
I	1
lim 11 + 4-1 = е = 2,718281828459045.	(III.64)
Л-.оо\	П!
Формула (III.64) верна не только в том случае, когда п принимает целые поло-
жительные значения, но и тогда, когда п принимает любые действительные значе-
ния п = х, доказательство чего читатель может найти, например, в [102, т. I,
стр. 50—51] или в [125, т. I, стр. 81—84]. В качестве иллюстрации в табл. 7
/ 1 \«
приведены значения функции у = 11 + — I для п = х = —10, —100, —1000, —10000,
а на рис. ПО построен график этой функции.
/	1У
Как видим, при положительных значениях х величина у = 11 4- — I при х -> оо
асимптотически приближается к числу е, монотонно увеличиваясь, а при отрица-
тельных х — монотонно уменьшаясь. Поэтому
более точные результаты получим, если е будем
г	вычислять по такой приближенной формуле
5-	if/	/	1\~*]
. ----------- 4. 1-1	. (111.65)
Рис. ПО.
Например, взяв х = п = +1000 и воспользовав-
шись результатами, приведенными в табл. 7,
имеем
_ 2,71692 + 2,71964 _
2
т. е. результат с шестью верными знаками, - в то время как исходные данные
е яй (1,001)1000= 2,71692 и е а (0,999)~1000 = 2,71964 имеют на две значащие цифры
меньше.
Уйражнение 2. Вычислить по формуле (111-65) приближенное значение
числа е, взяв х= п= ± 128. Все промежуточные вычисления провести с семью
значащими цифрами, а окончательные результаты округлить до пяти значащих
цифр.
Можно показать, что погрешность формулы (III.63) имеет порядок —, а поря-
док погрешности формулы (III.65) есть -Дг. Поэтому при увеличении п примерно
в восемь раз точность результатов, вычисленных по формуле (Ш.63), увеличивается
на одну значащую цифру, а по формуле (III .65) — на две, что подтверждается
данными, приведенными в табл. 7.
Число е обладает тем замечательным свойством, что логарифмическая функция
с основанием е имеет наиболее простую производную, а это упрощает исследование
многих теоретических вопросов. Для вычислительных же целей удобнее в качестве
основания системы логарифмов принять число 10, равное основанию десятичной
* Данный пример является лишь иллюстрацией к тому, какую осторожность надо П|юяв-
лять при выполнении приближенных вычислений. Более подробно эти вопросы будут 1рассмот-
репы в третьей части книги.
£ !ff. Натуральные логарифмы. Число е
161
системы счисления, так что десятичный логарифм у числа х определяется равен-
ством
10» = х
Если это равенство выполняется, то y = lgx, т. е. функции х= 10» и у =
= logi0 х — 1g х взаимно обратные. Десятичные логарифмы называют еще бриг-
говыми по имени английского математика Бригга (Henry Briggs, 1561—1630), кото-
рый в 1617 г. впервые вычислил и опубликовал восьмизначные таблицы десятичных
логарифмов (для чисел от 1 до 1000). Через семь лет, в 1624 г., Бригг уточнил
свои таблицы и вычислил логарифмы с 14-ю знаками для чисел от 1 до 20 000
и от 90 000 до 100 000. В 1628 г. Влакк (Adrian Vlacq, 1600—1667) издал десяти-
значные таблицы логарифмов чисел от 1 до 100 000. В нашей стране таблицы
логарифмов впервые были изданы в 1703 и 1719 гг. Одним из авторов был Леон-
тий Филиппович Магницкий (1669—1739), которому принадлежит также первый
русский печатный курс математики «Арифметика, сиречь наука числительная»
(1703 г.), являющийся своего рода энциклопедией математических знаний того
времени.
Логарифмы с основанием е получили название натуральных (дословно — есте-
ственных). Эти логарифмы называют также неперовыми по имени шотландского
математика Непера (John Neper, 1550—1617), который является изобретателем
логарифмов*. Основные идеи учения о логарифмах у Непера сформировались
в конце XVI века, но' его работа «Описание удивительной таблицы логарифмов»
была издана только в 1614 г. Заметим, что идея логарифмов была заложена еще
в работах древнегреческого математика и механика Архимеда (’ Apnii^S-qi;, примерно
287—212 гг. до н. э.), но только Непер начал систематически применять логарифмы
для вычислительных целей и построил их таблицы, на что потратил более 20 лет
жизни. Неперу также принадлежит идея создания более удобных Для вычисли-
тельной практики десятичных логарифмов, которая была затем реализована Бриггом.
Слово «логарифм» происходит от греческого kofoc — понятие, мысль, слово, здесь —
отношение и apiOp-oc — число. График логарифмической функции называется лога-
рифмикою.
Таким образом, если
е» = х,
то у называют натуральным логарифмом числа х и в соответствии с начальными
буквами слов logarithmus naturalis обозначают символом 1пх. Другими словами,
показательная функция X = е» и логарифмическая функция у = 1п х также являются
взаимно обратными. Поэтому, построив на рис. 111 графики функций у = 10х’
у = ех и отразив их в биссектрисе у = х, мы получим графики обратных к ним
фун