Author: Смирнов В.И.
Tags: фундаментальные и общие проблемы математики математика высшая математика
Year: 1974
Text
В. И. СМИРНОВ
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ТОМ ПЕРВЫЙ
ИЗДАНИЕ ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника
для студентов механико-математических
и физико-математических факультетов университетов
издательство «наука»
главная редакция
физико-математической литературы
МОСКВА 1974
Б17
С 50
УДК 510 @22)
20203-016
053@1)-74
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к восьмому изданию 7
Предисловие к двадцать первому изданию 8
ГЛАВА I
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Переменные величины 9
1. Величина и ее измерение (9). 2. Число A0). 3. Величины посто-
постоянные и переменные A2). 4. Промежуток A3). 5. Понятие о функ-
функции A3). 6. Аналитический способ задания функциональной зависи-
зависимости A6). 7. Неявные функции A7). 8. Табличный способ A8).
9. Графический способ изображения чисел A9). 10. Координа-
Координаты B1). 11. График и уравнение кривой B2). 12. Линейная
функция B4). 13. Приращение. Основное свойство линейной функ-
функции B5). 14. График равномерного движения B7). 15. Эмпирические
формулы B8). 16. Парабола второй степени B9). 17. Парабола тре-
третьей степени C2). 18. Закон обратной пропорциональности C3).
19. Степенная функция C5). 20. Обратные функции C7). 21. Много-
Многозначность функции C8). 22. Показательная и логарифмическая
функции D1). 23. Тригонометрические функции D3). 24. Обратные
тригонометрические, или круговые, функции D7).
§ 2. Теория пределов. Непрерывные функции 49
25. Упорядоченное переменное D9). 26. Величины бесконечно
малые E1). 27. Предел переменной величины E7). 28. Основные
теоремы F1). 29. Величины бесконечно большие F3). 30. Моно-
Монотонные переменные F5). 31. Признак Коши существования пре-
предела F6). 32. Одновременное изменение двух переменных величин,
связанных функциональной зависимостью G0). 33. Примеры G4).
34. Непрерывность функции G5). 35. Свойства непрерывных функ-
функций G7). 36. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших
величин (81). 37. Примеры (83). 38. Число е (84). 39. Недоказанные
предложения (88). 40. Вещественные числа (89). 41. Действия над
вещественными числами (92). 42. Точные границы числовых мно-
множеств. Признаки существования предела (94). 43. Свойства не-
непрерывных функций (96). 44. Непрерывность элементарных функ-
функций (99).
ГЛАВА II
ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 3. Производная и дифференциал первого порядка 103
45. Понятие о производной A03). 46. Геометрическое значение
производной A05). 47. Производные простейших функций A08).
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
48. Производные сложных и обратных функций A11). 49. Таблица
производных и примеры A15). 50. Понятие о дифференциале A17).
51. Некоторые дифференциальные уравнения A20). 52. Оценка
погрешностей A22).
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков 124
53. Производные высших порядков A24). 54. Механическое значение
второй производной A26). 55. Дифференциалы высших порядков A27).
56. Разности функций A28).
§ 5. Приложение понятия о производной к изучению функций... 131
57. Признаки возрастания и убывания функций A31). 58. Максимумы
и минимумы функций A34). 59. Построение графиков A39). 60. Наи-
Наибольшее и наименьшее значения функций A42). 61. Теорема Ферма
A48). 62. Теорема Ролля A49). 63. Формула Лагранжа A51). 64. Фор-
Формула Коши A54). 65. Раскрытие неопределенностей A55). 66. Раз-
Различные виды неопределенностей A57).
§ 6. Функции двух переменных 160
67. Основные понятия A60). 68. Частные производные и полный
дифференциал функции двух независимых переменных A62).
69. Производные сложных и неявных функций A64).
§ 7. Некоторые геометрические приложения понятия о производ-
производных 166
70. Дифференциал дуги A66). 71. Выпуклость, вогнутость и кривиз-
кривизна A68). 72. Асимптоты A71). 73. Построение графиков A73). 74. Па-
Параметрическое задание кривой A75). 75. Уравнение Ван-дер-Ваальса
A79). 76. Особые точки кривых A80). 77. Элементы кривой A84).
78. Цепная линия A86). 79. Циклоида A87). 80. Эпициклоиды и ги-
гипоциклоиды A89). 81. Развертка круга A92). 82. Кривые в полярных
координатах A92). 83. Спирали A94). 84. Улитки и кардиоида A95).
85. Овалы Кассини и лемниската A97).
ГЛАВА III
ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 8. Основные задачи интегрального исчисления и неопределен-
неопределенный интеграл 199
86. Понятие о неопределенном интеграле A99). 87. Определенный
интеграл как предел суммы B02). 88. Связь определенного и неоп-
неопределенного интегралов B08). 89. Свойства неопределенного инте-
интеграла B13). 90. Таблица простейших интегралов B14). 91. Правило
интегрирования по частям B15). 92. Правило замены переменных.
Примеры B16). 93. Примеры дифференциальных уравнений первого
порядка B20).
§ 9. Свойства определенного интеграла 223
94. Основные свойства определенного интеграла B23). 95. Теорема
о среднем B26). 96. Существование первообразной функции B30).
97. Разрыв подынтегральной функции B31). 98. Бесконечные пре-
пределы B35). 99. Замена переменной под знаком определенного ин-
интеграла B36). 100. Интегрирование по частям B39).
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 10. Приложения понятия об определенном интеграле ........ 241
101. Вычисление площадей B41). 102. Площадь сектора B44).
103. Длина дуги B46). 104. Вычисление объемов тел по их попереч-
поперечным сечениям B53). 105. Объем тела вращения B55). 106. Поверхность
тела вращения B56). 107. Определение центров тяжести. Теоремы
Гульдина B60). 108. Приближенное вычисление определенных ин-
интегралов; формулы прямоугольников и трапеций B64). 109. Форму-
Формула касательных и формула Понселе B65). ПО. Формула Симпсо-
на B66). 111. Вычисление определенного интеграла с пере-
переменным верхним пределом B71). 112. Графические способы B73).
113. Площади быстро колеблющихся кривых B74).
§ 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле 275
114. Предварительные понятия B75). 115. Разбиение промежутка на
части и образование различных сумм B78). 116. Интегрируемые
функции B80). 117. Свойства интегрируемых функций B84).
ГЛАВА IV
РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРИБЛИЖЕННЫМ
ВЫЧИСЛЕНИЯМ
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов 289
118. Понятие о бесконечном ряде B89). 119. Основные свойства
бесконечных рядов B91). 120. Ряды с положительными членами.
Признаки сходимости B93). 121. Признаки Коши и Даламбера B95).
122. Интегральный признак сходимости Коши B98). 123. Знакопе-
Знакопеременные ряды C01). 124. Абсолютно сходящиеся ряды C02). 125.
Общий признак сходимости C05).
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения 306
126. Формула Тейлора C06). 127. Различные виды формулы Тейло-
Тейлора C10). 128. Ряды Тейлора и Маклорена C11). 129. Разложение е*
C12). 130. Разложение sin x и cos л: C14). 131. Бином Ньютона C15).
132. Разложение logO+лг) C21). 133. Разложение arctgx C25).
134. Приближенные формулы C27). 135. Максимумы, минимумы и
точки перегиба C28). 136. Раскрытие неопределенностей C30).
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов 332
137. Свойства абсолютно сходящихся рядов C32). 138. Умножение
абсолютно сходящихся рядов C33). 139. Признак Куммера C35).
140. Признак Гаусса C36). 141. Гипергеометрический ряд C39). 142.
Двойные ряды C41). 143. Ряды с переменными членами. Равномер-
Равномерно сходящиеся ряды C45). 144. Равномерно сходящиеся последова-
последовательности функций C48). 145. Свойства равномерно' сходящихся
последовательностей C51). 146. Свойства равномерно сходящихся
рядов C54). 147. Признаки равномерной сходимости C55). 148. Сте-
Степенные ряды. Радиус сходимости C57). 149. Вторая теорема
Абеля C58). 150. Дифференцирование и интегрирование степен-
степенного ряда C60).
глава v
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 15. Производные и дифференциалы функции 363
151. Основные понятия C63). 152. О предельном переходе C65).
153. Частные производные и полный дифференциал первого
в ОГЛАВЛЕНИЕ
порядка C67). 154. Однородные функции C69). 155. Частные произ-
производные высших порядков C71). 156. Дифференциалы высших
порядков C73). 157. Неявные функции C75). 158. Пример C77).
159. Существование неявных функций C79). 160. Кривые в про-
пространстве и поверхности C81).
§ 16. Формула Тейлора. Максимумы и минимумы функции от не-
нескольких переменных 385
161. Распространение формулы Тейлора на случай функции от
нескольких независимых переменных C85). 162. Необходимые усло-
условия максимума и минимума функции C86). 163. Исследование мак-
максимума и минимума функции двух независимых переменных C88).
164. Примеры C91). 165. Дополнительные замечания о нахождении
максимумов и минимумов функции C93). 166. Наибольшее и наи-
наименьшее значения функции C94). 167. Относительные максимумы
и минимумы C95). 168. Дополнительные замечания C98). 169. При-
Примеры D01).
ГЛАВА VI
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, НАЧАЛА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ
И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
§ 17. Комплексные числа 404
170. Комплексные числа D04). 171. Сложение и вычитание комп-
комплексных чисел D07). 172. Умножение комплексных чисел D08).
ПЗ. Деление комплексных чисел D11). 174. Возвышение в сте-
степень D12). 175. Извлечение корня D14). 176. Показательная функ-
функция D16). 177. Тригонометрические и гиперболические функции D18).
178. Цепная линия D22). 179. Логарифмирование D27). 180. Сину-
Синусоидальные величины и векторные диаграммы D28). 181. При-
Примеры D31). 182. Кривые в комплексной форме D34),, 183. Представ-
Представление гармонического колебания в комплексной форме D37).
§ 18. Основные свойства целых многочленов и вычисление их
корней 437
184. Алгебраическое уравнение D37). 185. Разложение многочлена
на множители D39). 186. Кратные корни D40). 187. Правило Горне-
ра D42). 188. Общий наибольший делитель D45). 189. Вещественные
многочлены D46). 190. Зависимость между корнями уравнения и
его коэффициентами D47). 191. Уравнение третьей степени D47).
192. Решение кубического уравнения в тригонометрической фор-
форме D51). 193. Способ итерации D54). 194. Способ Ньютона D58).
195. Способ простого интерполирования D59).
§ 19. Интегрирование функций 461
196. Разложение рациональной дроби на простейшие D61). 197. Ин-
Интегрирование рациональной дроби D63). 198. Интеграл от
выражений, содержащих радикалы D66). 199. Интегралы
вида ^R(x, Уах2 + Ьх + с)Aх D67). 200. Интегралы вида
$ R (sin ху cos л:) dx D70). 201. Интегралы вида \ еах [Р (х) cos Ъх +
+ Q(x)sinbx] dx D72).
Алфавитный указатель 475
ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание весьма существенно отличается от предыду-
предыдущего. Из книги исключен материал, относящийся к аналитической
геометрии. В связи с этим пришлось сделать перегруппировку остав-
оставшегося материала. В частности, все имеющиеся в настоящем томе
приложения дифференциального исчисления к геометрии собраны в
§ 7 (глава II). Далее, в первый том отнесена глава, посвященная
комплексным числам, основным свойствам целых многочленов и си-
систематическому интегрированию функций. Прежде она была главой I
второго тома.
Не останавливаясь на мелких добавлениях и изменениях в изло-
изложении, мы укажем на существенные добавления. Принимая во внима-
внимание, что в следующих томах приходится встречаться с довольно тон-
тонкими и сложными вопросами современного анализа, мы сочли полез-
полезным в конце § 2 (глава I) после изложения теории пределов поместить
изложение теории иррациональных чисел и ее применений к доказа-
доказательству признаков существования предела и свойств непрерывных
функций. Там же мы приводим строгое определение и исследование
свойств элементарных функций. В главе V, посвященной функциям
нескольких переменных, мы приводим доказательство существования
неявных функций.
Изложение ведется таким образом, что крупный шрифт может
читаться самостоятельно. В мелкий шрифт отнесены примеры, неко-
некоторые отдельные дополнительные вопросы, а также весь тот теоре-
теоретический материал, о котором мы упоминали выше, и лоследние па-
параграфы главы IV, также содержащие дополнительный теоретический
материал более сложного характера.
Профессор Г. М. Фихтенгольц сделал мне ряд ценных указаний
в отношении изложения, которыми я воспользовался при окончатель-
окончательной редакции этой книги. Считаю своим приятным долгом выразить
ему мою глубокую благодарность.
В. Смирнов
ПРЕДИСЛОВИЕ К ДВАДЦАТЬ ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании основной текст и весь план книги остались
без перемен, но в ряде мест были сделаны изменения в изложении
материала. Особенно это коснулось теории пределов и дополнитель-
дополнительных сведений об определенном интеграле.
В. Смирнов
ГЛАВА Г
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1. Величина и ее измерение. Математический анализ имеет ос-
основное значение в ряде наук и, в частности, в естественных науках
и технике. В отличие от остальных-наук, из которых каждая инте-
интересуется лишь некоторой определенной стороной окружающего нас
мира, математика имеет дело с самыми общими свойствами, прису-
присущими всем доступным для научного исследования явлениям.
Одним из основных понятий является понятие о величине и ее
измерении. Характерное свойство величины заключается в том, что
она может быть измерена, т. е. тем или иным путем сравнена с не-
некоторой определенной величиной того же рода, которая принимается
за единицу меры. Самый процесс сравнения зависит от свойства ис-
исследуемой величины и называется измерением. В результате же из-
измерения получается число, выражающее отношение рассматриваемой
величины к величине, принятой за единицу меры.
Всякий закон природы дает нам соотношение между величинами
или, вернее, между числами, выражающими эти величины. Предметом
исследования математики и являются как раз числа и различные соот-
соотношения между ними, независимо от конкретного характера тех ве*
личин или законов, которые привели нас к этим числам и соотно-
соотношениям.
Итак, каждой величине соответствует измеряющее ее число.
Но число это существенно зависит от принятой при измерении еди-
единицы или масштаба. При увеличении этой единицы будет умень-
уменьшаться число, измеряющее данную величину, и, обратно, число это
будет увеличиваться при уменьшении единицы.
Выбор масштаба обусловливается характером исследуемой вели-
величины и обстоятельствами, при которых производится измерение. Ве-
Величина масштаба при измерении одной и той же величины может
меняться в самых широких пределах, — например, при измерении длины
10 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ \ 2
в точных оптических исследованиях принимают за единицу длины
один ангстрем (одну десятимиллионную долю миллиметра, 10~7мм);
в астрономии же употребляют единицу длины, называемую световым
годом, т. е. расстояние, проходимое светом в течение одного года
(за одну секунду свет проходит примерно 300 000 км).
2. Число. Число, которое получается в результате измерения, мо-
может быть целым (если единица содержится целое число раз в из-
измеряемой величине), дробным, или рациональным (если существует
другая единица, которая содержится целое число раз как в измеря-
измеряемой величине, так и в выбранной раньше единице, — короче, когда
измеряемая величина соизмерима с единицей меры), и, наконец, ир-
иррациональным (когда такой общей меры не существует, т. е. данная
величина оказывается несоизмеримой с единицей меры).
Так, например, в элементарной геометрии доказывается, что диа-
диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, так что, если мы бу-
будем измерять диагональ квадрата, приняв за единицу длины его сто-
сторону, то полученное при измерении число j/2 будет иррациональным.
Иррациональным же оказывается и число тс, измеряющее длину ок-
окружности, диаметр которой принят за единицу.
Для уяснения понятия об иррациональном числе полезно обра-
обратиться к десятичным дробям» Всякое рациональное число, как извест-
известно из арифметики, может быть представлено или в виде конечной
десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной дроби, при-
причем в последнем случае бесконечная дробь будет периодической (чис-
(чистой периодической или смешанной периодической). Так, например,
производя деление числителя на знаменатель по правилу деления де-
десятичных дробей, мы получим
^- = 0,151515. .. = 0,A5), ~ = 0,2777... = 0,2 G).
Наоборот, как известно из арифметики, всякая периодическая деся-
десятичная дробь выражает рациональное число.
При измерении величины, несоизмеримой с принятой единицей,
мы можем сначала подсчитать, сколько раз полная единица заклю-
заключается в измеряемой величине, затем сколько раз десятая доля еди-
единицы заключается в полученном остатке величины, затем сколько
раз сотая доля единицы заключается в новом остатке и т. д. Таким
путем при измерении величины, несоизмеримой с единицей, будет
образовываться некоторая бесконечная непериодическая десятичная
дробь* Всякому иррациональному числу соответствует такая беско-
бесконечная дробь и, наоборот, всякой бесконечной непериодической де-
десятичной дроби соответствует некоторое иррациональное число. Если
в этой бесконечной десятичной дроби оставить лишь несколько пер-
первых десятичных знаков, то получится приближенное значение по
2 J § i. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
И
недостатку иррационального числа, представляемого этой дробью.
Так, например, извлекая квадратный корень по обычному правилу до
третьего десятичного знака, получим
Числа 1,414 и 1,415 будут приближенными значениями ]/^2 с точ-
точностью до одной тысячной по недостатку и по избытку.
Пользуясь десятичными знаками, можно иррациональные числа
сравнивать по величине друг с другом и с рациональными числами.
Во многих случаях приходится рассматривать величины разных
знаков: положительные и отрицательные (температура выше и ниже 0°
и т. п.). Такие величины выражаются соответственно положительны-
положительными и отрицательными числами. Если а и Ь — положительные числа
и а>Ь, то — а < — Ь, и любое положительное число, включая нуль,
больше любого отрицательного числа.
Все рациональные и иррациональные числа располагаются в не-
некотором определенном порядке по своей величине. Все эти числа
образуют совокупность вещественных чисел.
Отметим одно обстоятельство, связанное с представлением веще-
вещественных чисел десятичными дробями. Вместо любой конечной деся-
десятичной дроби мы можем написать бесконечную десятичную дробь
с девяткой в периоде. Так, например: 3,16 = 3,1599... Если не
пользоваться конечными десятичными дробями, то получится точное
биоднозначное соответствие между вещественными числами и бес-
бесконечными десятичными дробями, т. е. всякому вещественному числу
соответствует бесконечная десятичная дробь и всякой бесконечной деся-
десятичной дроби соответствует вещественное число. Отрицательным числам
соответствуют бесконечные десятичные дроби с предшествующим им
знаком минус.
В области вещественных чисел выполнимы первые четыре дей-
действия, кроме деления на нуль. Корень нечетной степени из любого
вещественного числа имеет всегда одно определенное значение. Корень
четной степени из положительного числа имеет два значения, которые
различаются только знаком. Корень четной степени из отрицатель-
отрицательного вещественного числа не имеет смысла в области вещественных чисел
«/-0=0).
Строгая теория вещественных чисел и действий над ними будет
нами изложена в [40].
Арифметическим, или абсолютным, значением числа а на-
называется само число а, если а — положительное число или нуль,
и число —а, если а — отрицательное число. Абсолютное значение
числа а обозначается символом \а\, так что |а| = а, если а^О,
и j а | = — а, если а < 0. Так, например, | 5 | = 5 и | — 5 | = 5 и
вообще | а \ = | — а |. Нетрудно видеть, что абсолютное значение
суммы j a -\-b\ будет равно сумме абсолютных значений слагаемых,
12 ГЛ. 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ | 3
т. е. равно | а | -(-1Ь | только в том случае, если слагаемые имеют
одинаковый знак, а при разных знаках слагаемых |{?|С11Н^1
так что во всех случаях
Так, например, при а = — Зи Ь = — 7 мы имеем знак равенства,
а при а = Ъ и Ь = —7 имеем |3-|-( — 7) [ ===== 4 и |3| + | — 7|==10,
т. е. знак неравенства.
Точно так же легко видеть, что
\а-Ь\^\а\-\Ь\,
причем считается, что |а |^ | Ъ |. При \а\ <^\Ь\ неравенство также
справедливо, ибо слева стоит положительная величина, а справа —
отрицательная.
Абсолютное значение произведения равно произведению абсо-
абсолютных значений сомножителей, и абсолютное значение частного
(делитель отличен от нуля) равно частному абсолютных вначений
делимого и делителя, т. е.
а
Т
3. Величины постоянные и переменные. Величины, исследуемые
в математике, разделяются на два класса: постоянные и переменные.
Постоянной величиной называется величина, которая при дан-
данном исследовании сохраняет одно и то же, неизменное, значение.
Ей соответствует, таким образом, при фиксированной единице меры
определенное число.
Переменной величиной называется такая величина, которая по
тем или иным причинам может принимать различные значения при
данном исследовании.
Из этих определений ясно, что понятие о постоянной и перемен-
переменной величине в значительной мере условно и зависит от обстоятельств,
при которых изучается данное явление. Одна и та же величина, ко-
которая при одних условиях могла рассматриваться как постоянная,
при других условиях может стать переменной, и наоборот.
Так, например, при измерении веса тел важно знать, производится
ли взвешивание в одном и том же месте земной поверхности или
в разных: если измерение производится в одном и том же месте, то
ускорение силы тяжести, от которой и зависит вес, будет оставаться
величиной постоянной, и различие в весе между разными телами бу-
будет зависеть только от их массы; если же измерения производятся
в разных местах земной поверхности, то ускорение силы тяжести не
может считаться постоянным, так как оно зависит от центробежной
4 J § 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 13
силы вращения Земли; благодаря этому одно и то же тело на эква-
экваторе весит меньше, чем на полюсе, что и можно обнаружить, если
производить взвешивание не на рычажных, а на пружинных весах.
Равным образом при грубых технических расчетах можно считать,
что длина входящих в конструкцию стержней есть величина неизмен-
неизменная; при более же точных, когда приходится принимать во внимание
действие изменения температуры, длина стержней оказывается пере-
переменной, что, конечно, значительно усложняет все расчеты.
4. Промежуток. Характер изменения переменной величины может
быть самым разнообразным. Переменная величина может принимать
либо всевозможные вещественные значения, без всяких ограничений
(например время t, отсчитываемое от некоторого определенного на-
начального момента, может принимать всевозможные, как положитель-
положительные, так и отрицательные, значения), либо значения ее ограничиваются
некоторыми неравенствами (например абсолютная температура 7ю, ко-
которая должна быть больше—273° С); наконец, переменная величи-
величина может принимать лишь некоторые, а не всевозможные значе-
значения (только целые — число жителей данного города, число моле-
молекул в данном объеме газа — или только соизмеримые с данной
единицей и т. п.).
Укажем некоторые, наиболее распространенные в теоретических
исследованиях и на практике способы изменения переменных величин.
Если переменная величина х может принимать все вещественные
значения, удовлетворяющие условию а ^ х ^ Ь, где а и b — задан-
заданные вещественные числа, то говорят, что х изменяется в проме-
промежутке (а, Ь). Такой промежуток, со включенными концами, назы-
называют иногда замкнутым промежутком. Если переменная х может
принимать все значения из промежутка (а, 6), кроме его концов, т. е.
а<^х<^Ь, то говорят, что х изменяется внутри промежутка
(а, Ь)% Такой промежуток с исключенными концами называется откры-
открытым промежутком. Кроме того, областью изменения х может быть
и промежуток, замкнутый с одной стороны и открытый с другой:
а^х<^Ь или а<^х^.Ь.
Если область изменения х определяется неравенством д^.х, то
говорят, что х изменяется в промежутке (a, -f- сю), который замкнут
слева и открыт справа. Точно так же при неравенстве х^Ь
мы имеем промежуток (—со, Ь), открытый слева и замкнутый
справа. Если х может принимать любые вещественные значения,
то говорят, что х изменяется в промежутке (— оо, -}- оо), открытом
с обеих сторон.
В дальнейшем через (а, Ь) мы всегда будем обозначать замкнутый
промежуток. Часто для замкнутого промежутка пользуются обозна-
обозначением [а> Ь]. Исключение одного или обоих концов из промежутка
мы будем оговаривать особо.
14 ГЛ. 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ( 5
б. Понятие о функции. Чаще всего в приложениях приходится
иметь дело не с одной переменной величиной, а с несколькими сразу.
Рассмотрим, например, 1 кг воздуха. Переменные величины, определя-
определяющие его состояние, будут: давление р(кг/м2)у под которым он на-
находится; объем v(m3), который он занимает; температура его t(°C).
Предположим пока, что температура воздуха поддерживается равной
0°С. Число t есть в данном случае постоянная, равная нулю. Оста-
Остаются переменные р и v. Если менять /?, то будет меняться и v; на-
например, если воздух сжимать, то объем уменьшается. Давление р
мы можем менять произвольно (по крайней мере в пределах, доступ-
доступных технике), а потому мы можем называть р независимой переменной;
при каждой фиксированной величине давления газ, очевидно, должен
занимать вполне определенный объем; стало быть, должен существо-
существовать такой закон, который позволяет при каждом значении р найти
соответствующее ему значение и Этот закон хорошо известен — это
закон Бойля — Мариотта, который гласит, что объем, занимаемый
газом при постоянной температуре, обратно пропорционален давлению.
Применяя этот закон к нашему килограмму воздуха, можно найти
зависимость между v и р в виде уравнения
__ 273 - 29,27
Переменная величина v называется в данном случае функцией
независимой переменной р.
Отвлекаясь от этого частного примера мы можем сказать, что,
теоретически говоря, для независимой переменной характерным
является множество ее возможных значений, и мы можем по
произволу выбирать для нее любое значение из этого множества
ее возможных значений. Так, например, множеством значений неза-
независимой переменной х может служить какой-либо промежуток (а, Ь)
или внутренность этого промежутка, т. е. независимая переменная х
может, например, принимать любые значения, удовлетворяющие нера-
неравенству а^х^Ь или неравенству a<ix<Zb. Может случиться, что
х принимает любые целочисленные значения и т. д. В указанном
выше примере роль независимой переменной играло р, и объем v был
функцией р. Дадим теперь определение функции.
Определение. Величина у называется функцией независи-
независимой переменной х, если любому определенному значению х (из
множества ее возможных значений) соответствует определен-
определенное значение у.
. Если, например, у есть функция от х, определенная в промежутке
(а, Ь), то это значит, что любому значению х из этого промежутка
соответствует определенное значение у.
Вопрос о том, какую из двух величин, х или у, считать незави-
независимой переменной, есть часто вопрос только удобства. В нашем при-
5 i § 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 15
мере мы могли бы, меняя произвольно объем v и определяя каждый
раз давление р> считать независимой переменной vf а давление р рас-
рассматривать как функцию от v. Решая написанное выше уравнение
относительно р, получим формулу, выражающую функцию р через
независимую переменную:
273.29,27
Р v
Сказанное о двух переменных без труда распространяется и на
случай какого угодно числа переменных; и здесь мы можем отли-
отличить переменные независимые от зависимых, или функций.
Возвращаясь к нашему примеру, положим, что температура t не
будет уже 0° С, а может меняться. Закон Бойля — Мариотта должен
быть при этом заменен более сложной зависимостью Клапейрона:
ро = 29,27 B73 + *),
которая показывает, что при изучении состояния газа можно менять
произвольно лишь две из величин р, v и *, а третья будет полностью
определена, если даны значения этих двух. Мы можем принять за неза-
независимые переменные, например, р и *, тогда v будет функцией от них:
v_ 29,27B73 + 0
Р '
либо же независимыми переменными можно считать v и *, а р будет
функцией от них.
Приведем другой пример. Площадь 5 треугольника выражается
через длины сторон а, Ь, с по формуле
где р— полупериметр треугольника:
Р~ 2 '
Стороны a, Ь, с можно менять произвольно, лишь бы только каждая
сторона была больше разности и меньше суммы двух других. Таким
образом, переменные я, Ь, с будут независимыми переменными,
ограниченными неравенствами, S—функцией от них.
Мы можем также задать произвольно две стороны, например а, Ь,
и площадь 5 треугольника; пользуясь формулой
S = -^ab sin С,
где С — угол между сторонами а> Ь, мы можем тогда вычислить С.
Здесь уже величины a, b, S будут независимыми переменными, С —
функцией. При этом переменные я, b, S должны быть ограничены
неравенством
16 ГЛ. 1, ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 1 6
Следует заметить, что в этом примере мы получаем для С два
значения, смотря по тому, возьмем ли мы для С острый или тупой
из двух углов, имеющих один и тот же синус
Мы приходим здесь к понятию о многозначной функции, о котором
подробнее будем говорить ниже.
6. Аналитический способ задания функциональной зави-
зависимости. Всякий закон природы, дающий связь одних явлений с дру-
другими, устанавливает функциональную зависимость между величинами.
Существует много способов для изображения функциональных
зависимостей, но самое важное значение имеют три способа: 1) ана-
аналитический, 2) способ таблиц и 3) графический, или геометри-
геометрический.
Мы говорим, что функциональная зависимость между величинами
или, проще, функция изображена аналитически, если величины
эти связаны между собой уравнениями, в которые они входят, под-
подвергаясь различным математическим операциям: сложению, вычитанию,
делению, логарифмированию и т. д. К аналитическому изображению
функций мы приходим, когда исследуем вопрос теоретически, т. е.,
установив основные предпосылки, мы применяем математический
анализ и получаем результат в виде некоторой математической формулы.
Если мы имеем непосредственное выражение функции (т. е. зави-
зависимой переменной) при помощи математических действий над дру-
другими, независимыми переменными, то говорят, что функция аналити-
аналитически задана явно. Примером явного задания функции может слу-
служить выражение объема газа v при постоянной температуре через
давление (явная функция одной независимой переменной):
_ 273-29,27
~~ Р
или выражение площади 5 треугольника через стороны:
(явная функция от трех независимых переменных). Выпишем еще
пример явного задания функции от одной независимой переменной х:
у=*2х2-Зх + 7. A)
Часто бывает неудобно или невозможно выписывать формулу, ко-
которая выражает функцию через независимые переменные. При этом
пишут коротко так:
7 ] § 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
17
Эта запись обозначает, что у есть функция независимой переменной
х и / есть символический знак зависимости у от х. Вместо /можно,
конечно, употреблять и другие буквы. Если мы рассматриваем разные
функции от ху то должны употреблять и разные буквы для симво-
символической записи зависимости от х:
f(x), F(x), ф(дг) и т. д.
Такой символической записью пользуются не только в том слу-
случае, когда функция задана аналитически, но и в самом общем случае
функциональной зависимости, которой мы определили в [5].
Аналогичной короткой записью пользуются и для функций от
нескольких независимых переменных:
v = F(x, у, г).
Здесь v есть функция переменных х, у, z.
Частное значение функции получим, придав независимым перемен-
переменным частные же значения и выполнив действия, указанные знаками
/, F,... Так, например, частное значение функции A) при л:»*-^ будет
Вообще частное значение некоторой функции f(x) при х = х0
обозначается f(x0). Аналогично — для функций от нескольких пере-
переменных.
Не надо смешивать общего понятия функции, которое было нами
дано в [5J, с понятием аналитического выражения у через х. В общем
определении функции говорится лишь о некотором законе, согласно
которому любому значению переменной х из множества ее возмож-
возможных значений соответствует определенное значение у. При этом не
предполагается никакое аналитическое выражение (формула)у через х.
Отметим еще, что можно определить функцию различными анали-
аналитическими выражениями на разных участках изменения независимой
переменной х. Так, например, мы можем определить функцию
у на промежутке @, 3) следующим образом: у = х-\-6 при
0<х<2 и j/=ll—-2х при 2<;х^3. При таком задании
любому значению х из промежутка @, 3) соответствует определен-
определенное значение у, что и соответствует определению функции.
7. Неявные функции. Функция называется неявной, если мы
имеем не непосредственное аналитическое выражение ее через пере-
переменные независимые, а только уравнение, которое связывает ее
значение со значениями переменных независимых. Так, например,
если переменная величина^ связана с переменной величиной х уравнением
18 ГЛ. Т. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 1 8
то у есть неявная функция независимой переменной х; с другой
стороны, можно и х считать неявной функцией независимой пере-
переменной у.
Неявная функция v от нескольких независимых переменных х} у, z,...
определяется вообще из уравнения
F(x,ytz,...t v) = 0.
Вычислять значения этой функции мы можем тогда, когда раз-
разрешим уравнение относительно v и тем самым представим v в виде
явной функции от х, у у z,...:
В приведенном выше примере у выражается через х в виде
Однако для получения различных свойств функции v совсем нет
необходимости решать уравнение, и очень часто бывает, что удается
достаточно хорошо изучить неявную функцию по самому уравнению,
которым она определяется, не решая его.
Например, объем газа v есть неявная функция давления р и тем-
температуры t, определяемая уравнением
Угол С между сторонами а и Ь треугольника площади 5 есть
неявная функция а, Ь и S, определяемая уравнением
аЬ sin C=2S.
8. Табличный способ. Аналитический способ представления функ-
функций применяется главным образом при теоретических исследованиях.
На практике же, когда приходится на самом деле вычислять много
частных значений различных функций, аналитический способ пред-
представления часто оказывается неудобным, так как он требует в каж-
каждом случае производства всех необходимых вычислений.
Чтобы избежать этого, вычисляются частные значения наиболее
употребительных функций, при большом числе частных значений
независимых переменных, и составляются таблицы. Таковы, напри-
например, таблицы значений функций
У = х2, —, /л7, тих, ^-тих2, log10 лг, log10sinx, и т. д.,
с которыми постоянно приходится иметь дело на практике. Суще-
Существуют и другие таблицы, более сложных функций, которые тоже
приносят большую пользу: таблицы бесселевых функций, эллиптичес-
© I § 1, ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 19
ких и т. д. Существуют таблицы и для функций от нескольких
переменных, простейший пример которых представляет обыкновенная
таблица умножения, т. е. таблица значений функций z=*xy при
различных целых значениях х к у.
Иногда приходится вычислять значения функций при таких част-
частных значениях независимых переменных, которых в таблицах нет,
а есть только соседние к ним значения; для того, чтобы можно
было пользоваться таблицами и в этом случае, существуют различ-
различные правила интерполяции; одно из таких правил было дано еще
в курсе средней школы при пользовании таблицами логарифмов
(partes proportionates).
Важное значение имеют таблицы тогда, когда при их помощи
изображаются функции, аналитическое выражение которых нам неиз-
неизвестно; с этим приходится иметь дело, когда производится экспе-
эксперимент. Всякое опытное исследование имеет целью обнаружить
скрытые для нас функциональные зависимости, и результат всякого
опыта представляется в виде таблицы, связывающей между собой
соответствующие значения исследуемых при этом опыте величин.
Л). Графический способ изображения чисел. Переходя к гра-
графическому способу изображения функциональной зависимости, мы
начнем со случая графического изображения одной переменной.
Всякое число х может быть изображено некоторым отрезком.
Для этого достаточно, условившись раз навсегда в выборе единицы
длины, построить отрезок, длина которого равна как раз данному
числу х. Таким образом, всякая ве-
величина не только может быть вы- g _ д д + ^
ражена числом, но также и геомет- **< ° ° ¦ >°—*¦
рически изображена отрезком.
Для того чтобы можно было та- Рис. 1.
ким путем изобразить и отрица-
отрицательные числа, условимся откладывать отрезки на одной и той же
прямой линии, приписав ей притом определенное направление (рис. 1).
Условимся, далее, обозначать всякий отрезок знаком АВ, причем точ-
точку А будем называть началом, В — концом отрезка.
Если направление от А к В совпадает с направлением прямой,
отрезок изображает число положительное; если же направление
от А к В противоположно направлению прямой, то отрезок изобра-
изобразит число отрицательное (А1В1 на рис. 1). Абсолютное же значе-
значение рассматриваемого числа выражается длиной изображающего его
отрезка независимо от направления.
Длину отрезка АВ будем обозначать через \АВ\; если отрезок
АВ изображает число х, то будем писать просто
20 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 9
Для большей определенности можно раз навсегда условиться
помещать начало всех отрезков в заранее выбранную точку О пря-
прямой. Тогда всякий отрезок О А, а потому и изображаемое им число х,
будет вполне определяться точкой А, концом отрезка (рис. 2).
Обратно, задав число х, можем и
х> о Vх* ш- у п0 величине и по направлению
определить отрезок ОА, а по-
Рис 2. тому и конец его А. Точке О
(начало) соответствует х = 0.
Итак, если провести направленную прямую XX (ось) и отме-
отметить на ней неподвижную точку О (начало), то каждому
вещественному числу х будет соответствовать определенная
точка А этой прямой, такая, что отрезок О А измеряется чис-
числом х. Обратно, всякой точке А оси соответствует вполне
определенное вещественное число х, измеряющее отрезок ОА.
Это число х называется абсциссой точки А; если нужно ука-
указать, что точка А имеет абсциссу х, то пишут А {х).
Если число х меняется, то изображающая его точка А передви-
передвигается по оси. Установленное выше понятие о промежутке при таком
графическом изобраэюении числа х становится совершенно нагляд-
наглядным, а именно: если х меняется в промежутке а^х^Ь, то соот-
соответствующая точка на оси XX будет находиться в отрезке, концы
которого имеют абсциссы а и Ь.
Если бы мы ограничились одними рациональными числами, то
точке А не соответствовало бы никакой абсциссы, если отрезок ОА
несоизмерим с принятой единицей, т. е., иначе говоря, одни рацио-
рациональные числа не заполняют всех точек прямой. Это заполнение
достигается введением иррациональных чисел. Основным положением
при графическом изображении одной переменной величины является
указанное выше положение: всякой точке оси XX соответствует
определенное вещественное число и, наоборот, всякому веществен-
вещественному числу соответствует определенная точка оси XX.
Возьмем на оси XX две точки: точку А\ с абсциссою Х\ и
точку Л2 с абсциссою x2. При этом отрезку ОА\ будет соответ-
соответствовать число хь а отрезку ОЛ2— число дг2. Нетрудно показать,
рассматривая всевозможные взаимные расположения точек At и Л2,
что отрезку AiA2 будет соответствовать число (х%— хх), так что длина
этого отрезка будет равна абсолютному значению разности (лг2 — Xi):
Если, например, дг1 = —3 и х% = 7, то точка А\ лежит слева
от О на расстоянии, равном 3, а точка Л2 лежит справа от О на
расстоянии, равном 7. Отрезок А\А% будет иметь длину 10 и будет
to)
§ l. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
21
направлен так же, как ось XX, т. е. ему будет соответствовать
число 10 = 7 — (— 3) = Хо — хх. Предоставляем читателю разобрать
другие возможности расположения точек Ах и Л2.
10. Координаты. Выше мы видели, что положение точки на пря-
прямой Х'Х может быть определено вещественным числом х. Пока-
Покажем теперь аналогичный способ определения положения точки на
плоскости.
Проведем на плоскости две
взаимно перпендикулярные оси
XX и Y'Y и возьмем за начало
на каждой из них их точку пере- /
сечения О (рис. 3). Положитель-
Положительные направления на осях указаны
стрелками. Точкам оси XX со-
соответствуют вещественные числа,
которые мы обозначим буквой х.
Л
и
9я
i
•
?
I
i
i
i
-•
¦ -
81
[
°\
г
г
1
-
—
1
1
1
м
i
i
•
I
ш
Рис. 3.
Точкам оси Y Y также соответ-
соответствуют вещественные числа, кото-
которые мы будем обозначать буквой у. Если нам заданы определенные
значения х и у, то мы имеем определенные точки А и В на осях
Х'Х и Y'Y] зная точки А и В, можем построить точку М пересече-
пересечения прямых, параллельных осям и проведенных через точки А и В.
Каждой паре значений величин х, у соответствует одно
вполне определенное положение точки М на плоскости чертежа.
Обратно, каждой точке М плоскости соответствует вполне
определенная пара значений величин х, у, отвечающих точкам пере-
пересечения Л, В прямых, проведенных через точку М параллельно осям,
с осями XX и ГГ.
При указанных на рис. 3 направлениях осей Х'Х> Y'Y надо х
считать положительным, если точка А лежит направо, и отрицатель-
отрицательным, если она лежит налево от точки О; у будет положительным,
если точка В лежит сверху, отрицательным, — если снизу, от О.
Величины х} у, определяющие положение точки М на плос-
плоскости и в свою очередь определяемые положением точки М, на-
называются координатами точки ¦ М. Оси Х'ХУ Y'Y называются
координатными осями, плоскость чертежа — координатной плос-
плоскостью XOY, точка О — началом координат.
Величина х называется абсциссой, у — ординатой точки М.
Задавая точку М ее координатами, пишут М(ху у).
Самый способ изображения называется способом прямоуголь-
прямоугольных координат.
Знаки координат точки М при различных ее положениях в раз-
различных координатных углах (I—IV) (рис. 3) можно представить та-
такой таблицей:
22
ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 11
м
X
У
I
+
+
и
—
11)
—
-
IV
+
—
Совершенно ясно, что коорди-
координаты х и у точки М равны рас-
расстояниям точки М до осей коор-
координат, взятым с соответствующи-
соответствующими знаками. Отметим, что точки
оси XX имеют координаты (х> 0),
а точки оси У У—координаты
@, у). Начало координат О имеет
координаты @,0).
11. График и уравнение кривой. Возвратимся к величинам х и у,
которые изображает точка М. Пусть х и у связаны функциональной
зависимостью; это значит, что, меняя по произволу х (или v), мы
будем получать каждый раз соответствующее значение у (или х).
Каждой такой паре значений х и у соответствует определенное по-
положение точки М на плоскости XOY; если же значения эти будут
меняться, то точка М будет передвигаться по плоскости и при дви-
движении своем опишет некоторую линию (рис. 4), которая называется
графическим изображением (или, проще, графиком или диаграммой)
рассматриваемой функциональной за-
зависимости.
Если зависимость задана аналити-
аналитически в виде уравнения в явной форме
У=П*)
или в неявной форме
У
1
(
и
1
cJm
V
X.
V
то уравнение это называетя уравне- Рис 4
нием кривой, а кривая — графиком
уравнения или графиком функции. Кривая и ее уравнение суть
лишь различные способы выражения одной и той же функциональной
зависимости, т. е. все точки, координаты которых удовлетворяют
уравнению кривой, лежат на этой кривой и, обратно, коорди-
координаты всех точек, лежащих на кривой, удовлетворяют ее уравнению.
Если дано уравнение кривой, можно, пользуясь листом графленой
бумаги, построить, более или менее точно, самую кривую (вернее,
можно построить какое угодно число точек, лежащих на этой кри-
кривой); чем больше таких точек построим, тем яснее будет для нас фор-
форма кривой; такой способ называется построением кривой по точкам.
Выбор масштаба имеет существенное значение при построении
кривых; при этом можно выбирать разные масштабы при построе-
построении х и у. При одинаковых масштабах для х и у плоскость упо-
уподобляется листу бумаги, разграфленному на квадраты, при разных
же масштабах —на прямоугольники. В дальнейшем будет подразу-
подразумеваться, что масштабы для х и у одинаковы.
ц ] § 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 23
Читателям рекомендуется здесь же построить по точкам несколько
графиков простейших функций, меняя притом масштабы для х и у.
Введенные выше понятия о координатах точки М, об уравнении
кривой и графике уравнения устанавливают тесную связь между
алгеброй и геометрией. С одной стороны, мы получаем возможность
наглядным геометрическим путем изображать и исследовать аналити-
аналитические зависимости, с другой стороны, оказывается возможным
сводить решение геометрических вопросов к чисто алгебраическим
действиям, в чем и заключается основная задача аналитической
геометрии, разработанной впервые Декартом.
Ввиду чрезвычайной важности формулируем еще раз факты,
лежащие в основе аналитической геометрии. Если на плоскости от-
отметить две координатные оси, то всякой точке плоскости будет
соответствовать пара вещественных чисел — абсцисса и ордината
этой точки, и, наоборот, всякой паре чисел будет соответство-
соответствовать определенная точка плоскости, имеющая первое число своей
абсциссой и второе число своей ординатой. Кривой на плоскости
соответствует функциональная зависимость между х и у, или,
что то же, уравнение, содержащее переменные х и у, которое
удовлетворяется в том и лишь в том случае, если вместо х и у
подставить координаты какой-либо из точек кривой. Наоборот,
уравнению, содержащему две переменные х и у, соответствует
кривая, состоящая из тех точек плоскости, координаты которых,
будучи подставлены вместо х и у в уравнение, удовлетворяют ему.
В дальнейшем мы рассмотрим основные примеры графиков функ-
функций, а теперь приведем некоторые общие соображения. Пусть мы
имеем уравнение в явной форме: y=f(x), где f(x) — однозначная
функция, определенная, например, в промежутке (а,Ь), т.е. такая
функция, что любому х из {а, Ь) соответствует одно определенное
значение f(x)\ график указанной функциональной зависимости состоит
из точек (х,у), полученных указанным только что способом. Перпен-
Перпендикуляр к оси ОХ, проведенный через любую точку этой оси, абс-
абсцисса которой принадлежит (а, Ь), встретит график в одной точке
(однозначность f(x)). В случае уравнения F(x,y) = 0 в неявной
форме дело обстоит сложнее. Может случиться, что уравнению не
соответствует ни одной точки. Это имеет место, например, для
уравнения х^-^-у* -\-3==0, ибо при любых вещественных х и у
левая часть положительна. Уравнению (х — ЗJ -(- (у — 5J = 0 соот-
соответствует, очевидно, только одна точка C, 5).
Построение графика совершается автоматически в самопишущих при-
приборах; переменной х является обычно время; у — величина, изменение кото-
которой с течением времени нас интересует, например барометрическое давле-
давление (барограф), температура (термограф). Важное значение имеет индика-
индикатор, который записывает зависимость между объемом и давлением газа,
заключенного в цилиндре парового или газового двигателя.
24
ГЛ. Т. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
112
12. Линейная функция. Простейшая функция, которая вместе
с тем имеет важные приложения, — двучлен первой степени:
у = ах+Ь, B)
где а и Ь—данные числа. Эта функция называется линейной функ-
функцией. Мы покажем, что ее график — прямая линия. Рассмотрим сна-
сначала тот случай, когда число Ь равно нулю. При этом функция B)
имеет вид:
у = ах. C)
Она выражает тот факт, что переменная у прямо пропорциональна
переменной х, и число а называется коэффициентом пропорциональ-
пропорциональности.
Значения
0 0
удовлетворяют уравнению C), т.е. соответствующий этому уравнению
график проходит через начало координат О-
у л
N
Рис. 5.
Рис. 6.
Обращаясь к чертежу (рис. 5), мы видим, что уравнение C) выра-
выражает следующее геометрическое свойство исследуемого графика:
какую бы точку М на нем мы ни взяли, отношение ординаты y=NM
этой точки к ее абсциссе x=ON есть постоянная величина а. Так
как, с другой стороны, это отношение равно тангенсу угла а, обра-
образуемого отрезком ОМ с осью ОХУ то отсюда видно, что геометри-
геометрическое место точек М есть прямая, проходящая через начало коор-
координат О под углом а (или тс-|-а) к оси ОХ. Мы считаем а от
оси ОХ до прямой против часовой стрелки.
Одновременно с этим обнаруживается и важное геометрическое
значение коэффициента а в уравнении C): а есть тангенс угла а,
который образует прямая, соответствующая этому уравнению,
с осью ОХ, вследствие чего а называется угловым коэффициентом
прямой. Заметим, что если а — число отрицательное, то угол а будет
тупой и соответствующая прямая будет расположена так, как указано
на рис. 6.
13 1
§ 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
25
Обратимся теперь к общему случаю линейной функции, а именно
к уравнению B). Ординаты у графика этого уравнения отличаются
от соответствующих ординат графика уравнения C) постоянным сла-
слагаемым Ь. Таким образом, мы получим непосредственно график урав-
уравнения B), если график уравнения C), изображенный на рис. 5 (при
а>>0), передвинем параллельно оси О У на отрезок Ь\ наверх, если
Ь положительно, и вниз, если оно отрицательно. Таким образом,
мы получим прямую, параллельную исходной прямой и отсекающую
на оси OY отрезок ОМ0 = Ь (рис. 7).
Итак, график функции B) есть
прямая линия, причем коэффициент
а равен тангенсу угла, образованного
этой прямой с осью ОХ, а свободный
член Ь равен отрезку, отсекаемому
этой прямой на оси OY, считая от
начала О.
Коэффициент а иногда называют
просто уклоном прямой, a b — началь-
начальной ординатой этой прямой. Наоборот,
если нам дана какая-нибудь прямая L, не параллельная оси О У, то
нетрудно написать уравнение вида B), соответствующее этой прямой.
Согласно предыдущему, достаточно взять коэффициент а равным
тангенсу угла наклона этой прямой к оси ОХ и Ь равным отрезку,
отсекаемому этой прямой на оси OY.
Отметим один частный случай, который представляет известную
особенность. Пусть а = 0. Уравнение B) дает нам при всяком х:
т. е. получается такая „функция" от х, которая при всех значениях х
сохраняет одно и то же значение Ь. Нетрудно видеть, что графиком
уравнения BХ) будет прямая, параллельная оси ОХ и отстоящая от
этой оси на расстоянии \Ь\ (сверху, если &Х), и снизу, если &<0).
Чтобы не делать специальных оговорок, мы будем говорить, что
уравнение BХ) также определяет функцию от х.
13. Приращение. Основное свойство линейной функции. Уста-
Установим одно новое важное понятие, с которым часто приходится
иметь дело при исследовании функциональной зависимости.
Приращением независимой переменной величины х при переходе
от начального значения хг к конечному х2 называется разность
между конечным и начальным значениями: хх — х^ Соответ-
Соответствующим приращением функции y=f(x) называется разность
между конечным и начальным значениями функции:
26
ГЛ. Т. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
113
Эти приращения часто обозначают так:
Ах = хг — хь Ау =у% — у1т
Заметим при этом, что приращение может быть как положитель-
положительной, так и отрицательной величиной, так что величина, получив
„приращение", не обязательно должна увеличиться.
Обратим внимание на то, что запись Алг надо рассматривать как
единое целое для обозначения приращения х.
Обратимся к случаю линейной функции:
Ь и у! = а*!-]-&.
или
Вычитая почленно, получим
Уъ—У\ = <*(** —*д
Д_у = а Ал:.
D)
Равенство это показывает, что линейная функция у-=-ах-\-Ь
обладает тем свойством, что приращение функции (у2—У\) про-
пропорционально приращению неза-
независимой переменной {х^ — jct),
причем коэффициент пропор-
пропорциональности равен а, т. е.
угловому коэффициенту, или
уклону графика функции.
Если мы обратимся к самому
~/^ щ ~щ~ ^ ~" графику (рис. 8), то приращению
г независимой переменной соответ-
Рис. 8. ствует отрезок МХР = kx =
= лг2 — хг-и приращению функ-
функ—уь и формула D) непосредственно
вытекает из рассмотрения треугольника М^РМ*
Положим теперь, что некоторая функция обладает указанным вы-
выше свойством пропорциональности приращений независимой перемен-
переменной и функции, выражаемым формулой D). Из этой формулы следует
или
Будем считать исходные значения переменных хг и ух вполне
определенными и обозначим разность (у{ — ахх) одной буквой Ъ\
ции— отрезок PMi = hy=
У* = ах% + Oi — ахг).
Так как окончательные значения переменных х% и у.2 мы можем
брать любыми, то вместо букв х% и у2 можно просто писать
§ 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
27
буквы х и у, и предыдущее равенство перепишется в виде
у = ах + Ь,
т. е. всякая функция, обладающая указанным выше свойством
пропорциональности приращений, есть линейная функция у = ах-\-
J- Ь, причем а есть коэффициент пропорциональности.
Итак, линейная функция и график ее, прямая линия, могут слу-
служить для изображения всякого закона природы, в котором имеет
место пропорциональность между приращениями исследуемых вели-
величин, что случается весьма часто.
14. График равномерного движения. Наиболее важное приложение,
которое дает механическое истолкование уравнения прямой и его коэффи-
коэффициентов, — это график равномерного движения.
Если точка Р движется по некоторому пути
(траектории), положение ее вполне определяется
расстоянием, отсчитываемым по траектории в ту
или иную сторону от некоторой данной ее точки У* S=f(t)
А до точки Р. Это расстояние, т. е. дуга АР, Mo<f
называется пройденным путем и обозначается
буквой s, причем s может быть и положитель-
ным и отрицательным: значения s в одну сто-
сторону от начальной точки А считаются поло- Рис. 9.
житсльными, а в другую — отрицательными.
Пройденный путь s есть некоторая функция от времени t, приняв кото-
которое за независимую переменную, можем построить график движения, т. е.
график функциональной зависимости (рис. 9)
его не следует смешивать с самой траекторией движения.
Движение называется равномерным, если путь, проходимый точкой за
любой промежуток времени, пропорционален этому промежутку, другими
словами, если отношение
?lzjSl As
пройденного за промежуток времени от tx до t2t к величине этого
промежутка есть постоянная величина, которая
называется скоростью движения и обозначается
через v.
В силу сказанного выше, уравнение графика
равномерного движения имеет вид
Рис.
s = vt + s0;
самый график есть прямая, угловой коэффи-
коэффициент которой равен скорости движения, на-
начальная же ордината s0 есть значение s при t = 0.
На рис. 10 изображен график движения
точки Р, которая двигалась с постоянной ско-
ско, р д
ростью vt в положительном направлении от момента 0 до момента tt (угол
с осью t острый), затем с постоянной же, но большей скоростью v2, в том
же направлении (угол острый, но больший) до момента t2, а затем с посто-
постоянной, но отрицательной скоростью v8 (в обратном направлении, угол тупой)
28
ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[15
до начального своего положения. В случае, когда приходится иметь дело
с многими точками, движущимися по одной и той же траектории (напри-
(например при составлении расписания движения поездов или трамваев), такой
графический способ является единственно удобным на практике средством
для определения встреч движу-
7 8 9 10 11 12 щихся точек и вообще для обо-
обозрения всего движения (рис. 11).
130
120
110
100
90
80
70
ВО
50
kO
30
20
10
О
(А
VI
/
\
/
л
f
\
\
\ )
f
V
/
V
ч
1
L
г
->
'
1
1
1
1
\
/
/ 1
Уу
А
/\
\
\
7
г
\
\
/(
j
1
у
\
\
V
\
15. Эмпирические формулы.
Простота построения прямой и
выражаемого ею закона пропор-
пропорциональности приращения функ-
функции и независимой переменной
делает график прямой весьма
удобным средством при нахожде-
нахождении эмпирических формул, т. е.
таких, которые выводятся непо-
непосредственно из данных опыта, без
особого теоретического исследо-
исследования.
Изобразив графически полу»
ченную из опыта таблицу на ли-
листе миллиметровой бумаги, мы
найдем ряд точек, и если мы же-
желаем получить приближенную
эмпирическую формулу для изу-
изучаемой функциональной зависи-
зависимости в виде линейной функции,
нам остается провести прямую,
которая если и не проходит сразу через все построенные точки (что, конечно,
почти никогда невозможно), то, по крайней мере, проходит между этими
8 9
Рис. 11.
10 11
12
4,0
3,9
3,8
3,7
3,6
3,5
г*
О
|
о
0,5
1,0
Рис. 12.
точками и при этом так, чтобы по возможности одинаковое число точек ока-
оказалось как по одну, так и по другую сторону от прямой, и все они лежали до-
достаточно к ней близко. В теории ошибок и обработки наблюдений изучаются
более точные способы как для построения указанной прямой, так и для су-
суждения о совершаемой при таком приближенном представлении погрешности.
16]
1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
29
Но при менее точных исследованиях, с которыми приходится иметь дело
в технике, построение эмпирической прямой проще всего производить по
способу „натянутого шнурка", сущность которого ясна из самого названия.
Построив прямую, с помощью непосредственного измерения определяем ее
уравнение
JF y = a
которое и дает искомую эмпирическую формулу. При выводе этой формулы
надлежит иметь в виду, что очень часто масштабы для величин хну бы-
бывают различны, т. е. одна а та же длина, отложенная на осях ОХ и OY,
изображает разные числа. В этом случае угловой коэффициент а не будет
равен тангенсу угла, образуемого прямой с осью ОХ, но будет отличаться
от него множителем, равным численной величине отношения между едини-
единицами длины, принятыми при изображении величин л: и у.
Пример (рис. 12).
X
V
0,212
3,721
0,451
3,779
0,530
3,870
0,708
3,910
0,901
4,009
1,120
4,089
1,341
4,150
1,520
4,201
1,738
4,269
1,871
4,350
Отв.
у «а 0,375л:+ 3,65.
(Знаком я» мы обозначаем здесь и в дальнейшем приближенное равенство.)
16. Парабола второй степени. Линейная функция
есть частный случай целой функции п~й степени, или многочлена
(полинома) п-й степени:
у = аохп + аххп-х + ... +ап^х + ап9
простейший случай которого после линейной функции есть трехчлен
второй степени (п = 2):
у = ах2 -\-bx-\-c\
график этой функции называется параболой второй степени или
просто параболой.
Пока мы будем исследовать лишь простейший случай параболы:
у = ах\ E)
Кривая эта без труда может быть построена по точкам. На рис. 13
изображены кривые у = х2 (а—1) и у = — х* (а = —1). Кривая,
соответствующая уравнению E), расположена целиком над осью ОХ
при а^>0 и под осью ОХ при я<^0. Ордината этой кривой воз-
возрастает по абсолютному значению, когда х возрастает по абсолют-
абсолютному значению, и тем быстрее, чем больше абсолютная величина а.
30
ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 16
На рис. 14 изображен ряд графиков функции E) при различных
значениях а, которые проставлены на чертеже при соответствующих
этим значениям параболах.
Уравнение E) содержит только х2, а потому не меняется при за-
замене х на (—х), т.е. если некоторая точка (х,у) лежит на пара-
параболе E), то и точка (— х, у) лежит на той же параболе. Две точки
у-ах2
1
\
-г
V
/
/
/
/
V
\
/
i
\
\
/
/
3
г
-1
-2
-з
J
/
\
\
1
7
/
f
h
/
I
\
\
\
\
\
Z *~
Рис. 13.
(х,у) и (— х,у), очевидно, симметричны относительно оси О К, т. е.
одна из них является зеркальным изображением другой относительно
этой оси. Таким образом, если повернуть правую часть плоскости на
180° вокруг оси О У и совместить ее с левой частью, то часть па-
параболы, лежащая справа от оси О К, совпадает с частью параболы,
лежащей слева от этой оси. Иначе говоря, ось О У есть ось сим-
симметрии параболы E).
Начало координат оказывается самой низкой точкой кривой при
с>0 и самой высокой при а<0 и называется вершиной параболы.
Коэффициент а вполне определяется, если задать одну точку М0(х0, у0)
параболы, отличную от вершины, так как тогда имеем
j6 I § I. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
после его уравнение параболы E) примет вид
31
F)
Существует весьма простой графический способ построения какого
угодно числа п точек параболы при заданных вершине, оси симметрии и любой
ее точке Мо> отличной от вершины.
Абсциссу и ординату данной точ- ifj
ки Мо (*о. Уо) Делим на п Равных ча-
частей (рис. 15) и через начало коорди-
0 1 Z 3 4 5 6 7 8
Рис. 15.
\
\
-2
\
\
V-
\
X
-1
3
2
si
0
/ /
/
i
o'fi
/
У
Г i
1
V
'"л
1
I
к
17
г
Рис. 16.
нат проводим лучи к точкам деления ординаты. Пересечение этих лучей с
прямыми, проведенными через точки деления абсциссы параллельно оси OY,
и дает точки параболы. Действительно, по построению мы имеем (рис. 15):
п—1 , п-—\
т. е. на основании (б) точка Мх (хъ ух) также лежит на параболе. Доказа-
Доказательство для других точек аналогично.
Если имеются две функции:
и соответствующие им графики, то координаты точек пересечения
этих графиков удовлетворяют обоим написанным уравнениям, т. е.
абсциссы этих точек пересечения суть решения уравнения
/iW=/2D
Указанное обстоятельство легко использовать для приближенного
решения квадратного уравнения. Построив на отдельном листе милли-
миллиметровой бумаги, по возможности точнее, график параболы
мы можем рассматривать корни квадратного уравнения
G)
32
ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 1 17
как абсциссы точек пересечения параболы FХ) и прямой y=px-\-q»
так что решение уравнения G) сводится к нахождению на чертеже
упомянутых точек пересечения. На рис. 16 изображены три случая,
когда таких точек будет две, одна (касание прямой с параболой) и
ни одной.
17. Парабола третьей степени. Многочлен 3-й степени
имеет своим графиком кривую, называемую параболой третьей сте-
степени. Мы рассмотрим эту кривую в простейшем случае
у = ах3, (8)
При положительном а знаки х и у одинаковы, а при отрицатель-
отрицательном а — различны. В первом случае кривая расположена в первом
и третьем координатных углах, а во
втором случае —во втором и чет-
четвертом углах. На рис. 17 изображен
вид этой кривой при различных
значениях а.
Если х п у одновременно заме-
заменить на (— х) и (— у), то. обе части
уравнения (8) изменят знак, и урав-
уравнение по существу не изменится,
т. е. если точка (х,у) лежит на кри-
кривой (8), то и точка (—х, — у)
также лежит на этой кривой. Точки
(ху у) и (—дг, — у) лежат, очевидно,
симметрично относительно начала О,
т. е. отрезок, их соединяющий, де-
делится началом О пополам. Из пре-
предыдущего следует, что всякая хорда
кривой (8), проходящая через на-
начало координат О, делится этим на-
началом пополам. Иначе это выражают
так: начало координат О есть центр кривой (8).
Отметим еще один частный случай параболы третьей степени:
у = ах3 + сх. (9)
Правая часть этого уравнения есть сумма двух слагаемых, и, следо-
следовательно, для построения этой кривой достаточно провести прямую
у = сх A0)
и взять сумму соответствующих ординат линий (8) и A0) непосред-
непосредственно из чертежа. Различные виды, которые может при этом при-
принять кривая (9) (при а=1 и различных с), изображены на рис. 18.
Рис. 17.
§ 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
33
Построив кривую
получим удобный (при небольшой точности вычислений) графический способ
для решения уравнения 3-й степени
так как корни этого уравнения суть не что иное, как абсциссы точек пере-
пересечения кривой
у = л;5
с прямой
y
Чертеж нам покажет (рис. 19), что таких точек пересечения может быть
одна, две или три, но одна — наверно, т. е. уравнение 3-й степени имеет,
по крайней мере, один вещественный корень. Строго доказано это будет
впоследствии.
1л
+М01-2-3
f
2 I И
///
III
III!
3
г
I
//
(Ж
L
V
I
У
y^otf+cx
I
Рис. 18.
Рис. 19.
18. Закон обратной пропорциональности. Функциональная зави-
зависимость
^ X
(И)
выражает закон обратной пропорциональности между переменными
х и у. При увеличении х в несколько раз у уменьшается во столь-
столько же раз. При т^>0 переменные х и у одного и того же знака,
т. е. график расположен в первом и третьем координатных углах, а
при т <^ 0 — во втором и четвертом. При лг, близких к нулю, дробь
j- велика по абсолютной величине. Наоборот, при больших по абсо-
абсолютной величине значениях х дробь — мала по абсолютной величине.
34
ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Непосредственное построение этой кривой по точкам приведет
нас к рис. 20, на котором изображены кривые (И) при различных
значениях ту причем сплошной линией начерчены кривые, соответ-
соответствующие случаю т^>0, пунктирной — случаю /и<^0, и у каждой
кривой проставлено соответствующее ей значение т. Мы видим, что
каждая из построенных кривых, которые называются равнобочными
гиперболами, имеет бесконечные ветви, приближающиеся к осям
координат ОХ и OY при беспредельном увеличении абсциссы х или
ординаты у точки на рассматриваемой ветви. Эти прямые называются
асимптотами гиперболы.
У,
Рис. 20.
Рис. 21.
Коэффициент т в уравнении (И) определяется вполне, если задать любую
точку MQ (xOi у0) изучаемой кривой, так как тогда
хоуо=1п;
уравнение же A1) перепишется в виде
ху=х0у09 A2)
или
х0 х '
Отсюда вытекает графический способ построения какого угодно числа
точек равнобочной гиперболы, если заданы ее асимптоты и какая-нибудь
ее точка Мо (xOi y0). Приняв асимптоты за оси координат, проведем из
начала координат произвольные лучи ОРи ОР2,... и отметим точки пере-
пересечения этих лучей с прямыми у=у0 и х = х0.
Проводя через каждые две такие точки, лежащие на одном луче, пря-
прямые, параллельные осям координат, получим в пересечении этих прямых точки
гиперболы (рис. 21). Это вытекает из подобия треугольников ORQt и OSPt:
=
:ЩИЛИ-о
т. е. точка Мх (xl} yt) лежит на кривой A2).
.
§ 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
35
19. Степенная функция. Функции у = ах, у = ах2, у = ахъ и
v==~ которые мы выше исследовали, суть частные случаи функ-
функции вида
у = ахп, A3)
где а и п — какие угодно постоянные. Функция A3) вообще назы-
называется степенной функцией. При построении кривой мы ограничимся
лишь положительными значениями х и случаем а=1. На рис. 22 и
23 изображены графики, соответствующие различным значениям п.
Ук
Рис. 22.
Рис. 23.
Для всех значений п уравнение у = хп дает j/=l при лг=1, т. е.
псе кривые проходят через точку A, 1). При положительных значе-
значениях п кривые при х> 1 подымаются вверх тем круче, чем больше
величина п (рис. 22). При отрицательных п (рис. 23) функция у~хп
равносильна дроби. Например, вместо у = х~2 можно написать j/ = — .
В этих случаях при возрастании х ординаты у, наоборот, убывают.
Заметим при этом, что при дробном п с четным знаменателем мм
2_
считаем значение радикала положительным; например, х2 = У~~х счи-
считаем положительным (при лг>0).
Две постоянные аил, входящие в уравнение A3), определятся, если
задать две точки кривой M&t, уг) и М2(х2, у2), после чего окажется
У1=ах*1> У2=*ахп1 A4)
одно уравнение на другое, исключаем а:
У2 " W/ •
36 ГЛ. 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
затем, логарифмируя, находим п по формуле
log xt — log x2 *
найдя n, из любого из уравнений A4) получим д.
Графический способ построения какого угодно числа точек кривой A3)
по двум заданным ее точкам Mt (х1У у^) и М2 (x2t у2) изображен на рис. 24.
Проводим через точку О два произвольных луча под углом а к оси ОХ
и р к оси О У; из данных точек Mt и М2 опускаем перпендикуляры на коор-
координатные оси до пересечения их с лучами в точках Sit S2> Tv Га и с осями
Рис. 24.
в точках Qu Q2; Rv R2. Через точку R2 проводим R2Tb параллельно RiT%
и через точку S2 проводим S2Q9 параллельно SjQ2. Проводя, наконец, через Г3
и Q8 прямые, параллельные соответственно осям ОХ и ОУ, получим в их
пересечении точку Mz (xz% уг) кривой. Действительно, из подобия треуголь-
треугольников находим
OQZ = OS2 OS2 = OQt
т. е.
откуда
0Q2 0Q,
или
xs __ л:2
и точно так* же можно показать, что
-*¦
Принимая во внимание A4), находим
1
т. е. точка (xzt уг) лежит действительно на кривой A3), что и требовалось
доказать.
20 i § 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 37
20. Обратные функции. Для исследования дальнейших элемен-
аоных функций введем новое понятие, а именно, понятие об обрат-
обратной функции. Как мы уже упоминали в [5], при исследовании функ-
функциональной зависимости между переменными х и у> вопрос о выборе
независимой переменной находится в нашем распоряжении и решается
исключительно соображениями удобства. Пусть имеется некоторая
функция y=f{x)> причем х играет роль независимой переменной.
функция, которая определяется из той же функциональной
зависимости y=f(x), если в ней рассматривать у как независим
мую переменную, а х как функцию
называется обратной по отношению к данной функции f(x), a
эта последняя функция часто называется прямой.
Обозначения для переменных не играют существенной роли и,
обозначая в обоих случаях независимую переменную буквою х, мы
можем сказать, что <р (лг) будет обратной функцией для функции f(x).
Так, например, если прямые функции суть
у = ах-\-Ь, у = хп,
то обратные будут
X — Ь
Нахождение обратной функции по уравнению прямой функции назы-
называется ее обращением.
Пусть мы имеем график прямой функции у=/(х). Нетрудно
видеть, что этот же график может служить и графиком обратной
функции jt = <p(y). Действительно, оба уравнения y = f(x) и лг = <р(у)
дают одну и ту же функциональную зависимость между х и у.
В прямой функции произвольно задается х. Откладывая по оси ОХ
от начала О отрезок, соответствующий числу лг, и восставляя из
конца этого отрезка перпендикуляр к оси ОХ до пересечения с гра-
графиком, мы получаем, взяв длину этого перпендикуляра с соответ-
соответствующим знаком, значение у, отвечающее взятому значению лг. Для-
обратной функции ;е = ср(у) мы должны только откладывать заданное
значение у по оси О К от начала О и восставлять из конца этого
отрезка перпендикуляр к оси OY до пересечения с графиком. Длина
этого перпендикуляра с соответствующим знаком дает нам значение х,
отвечающее взятому значению у.
При этом возникает неудобство, что в первом случае независимая
переменная х откладывается по одной оси, а именно оси ОХ, а во
втором случае независимая переменная у откладывается по другой оси,
а именно по оси ОУ. Иначе говоря, при переходе от прямой функ-
функции >=/(лг) к обратной x==(f(y) мы можем оставить тот же график,
ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
I 21
s
ч
/
\
\
\
•
У
i
0
X
\
i
1 )
/
\
/
J
--
/
i
f
i/
-At
\\
но должны помнить, что при этом переходе ось для изображения
значений независимой переменной становится осью значений функции,
и наоборот.
Чтобы избежать этого неудобства, мы должны при упомянутом
переходе повернуть плоскость как целое таким образом, чтобы оси
ОХ и О У поменялись местами. Для этого, очевидно, достаточно
повернуть плоскость чертежа вме-
вместе с графиком на 180° вокруг
биссектрисы первого координат-
координатного угла. При этом повороте оси
поменяются местами, и обратную
функцию лг = ср (у) надо уже писать в
обычном виде: у = ср (х). Итак, если
прямая функция у=/(х) задана
графически, то для получения гра-
графика обратной функции ^ = ср(лг)
достаточно повернуть плоскость
графика на 180° вокруг биссек-
биссектрисы первого координатного угла.
На рис. 25 график прямой функ-
Рис. 25. ции изображен сплошной линией, а
график обратной функции — пунк-
пунктиром. Пунктиром же изображена биссектриса первого координатного
угла, вокруг которой надо повернуть всю плоскость чертежа для
получения пунктирной кривой из сплошной кривой.
21. Многозначность функции. Во всех графиках элементарных
функций, которые мы рассмотрели выше, характерным был тот факт,
что прямые, перпендикулярные оси ОХ, пересекали график не больше,
чем в одной точке, и большею частью именно в одной точке. Это
значит, что у функции, определяемой этим графиком, заданному зна-
значению х соответствует одно определенное значение д/. Иначе про
такую функцию говорят, что она однозначна.
Если же прямые, перпендикулярные оси ОХ, пересекают график
в нескольких точках, то это значит, что заданному х соответствует
несколько ординат графика, т. е. несколько значений у. Такие функ-
функции называются многозначными. Мы уже упоминали о многознач-
многозначных функциях раньше [5].
Если прямая функция у=/(х) однозначна, то обратная функция
у = ср(лг) может оказаться и многозначной. Это видно, например,
из рис. 25.
Разберем подробнее один элементарный случай. На рис. 13
изображен сплошной линией график функции у = х*. Если повер-
повернуть чертеж вокруг биссектрисы первого координатного угла на 180°,
то получится график обратной функции у= у/х (рис. 26).
21 1
§ 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Рассмотрим его подробнее. При отрицательных х (левее оси OY)
прямые, перпендикулярные оси ОХ, вовсе не пересекают графика,
т е. функция у = Vх не определена при х < 0. Это соответствует
тому факту, что корень квадратный из отрицательного числа не
имеет вещественных значений. Наоборот, при любом положительном
х прямая, перпендикулярная оси ОХ, пересекает график в двух точ-
точках т. е. при заданном положительном х мы имеем две ординаты
графика: MN и MNX. Первая ордината дает для у некоторое поло-
положительное значение, а вторая дает такое же по абсолютной величине
отрицательное значение. Это со-
соответствует тому факту, что корень
Рис. 26.
Рис. 27.
квадратный из положительного числа имеет два значения, равные
по абсолютной величине и обратные по знаку. Из чертежа видно
также, что при х = 0 мы имеем одно только значение у = 0. Итак,
функция у=|/лг определена при лгг^О, имеет два значения при
х^>0 и одно при х — 0.
Заметим, что мы можем сделать нашу функцию у=\/х одно-
однозначной, взяв лишь часть графика на рис. 26. Возьмем, например,
только ту часть графика, которая находится в первом координатном
угле (рис. 27). Это соответствует тому, что мы рассматриваем лишь
положительные значения квадратного корня. Отметим также, что
часть графика функции у=-/х, изображенная на рис. 27, полу-
получается из той части графика прямой функции >/ = л;2(рис. 13), кото*
рая лежит правее оси ОК. Часть графика функции
у = ]Гх ИЛИ у = X2 ,
лежащая в первом координатном угле, уже была изображена нами
на рис. 22.
Займемся теперь тем случаем, когда обращение однозначной
прямой функции приводит к однозначной же обратной функции.
Для этого нам придется ввести новое понятие.
40 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ( 21
Функция у=/(х) называется возрастающей, если при увели-
увеличении независимой переменной х соответствующие значения
у возрастают, т. е, если из неравенства хг> хг следует
/()C)
2
При том расположении осей ОХ и О У, которым мы пользуемся,
возрастанию х соответствует перемещение по оси ОХ вправо, а воз-
возрастанию у — движение по оси OY вверх. Характерной особенностью
графика возрастающей функции является тот факт, что при движении
вдоль кривой в сторону возра-
возрастающих х (вправо) мы движем-
движемся и в сторону возрастающих у
(вверх).
Рассмотрим график какой-ни-
какой-нибудь однозначной возрастающей
функции, определенной в проме-
промежутке а <- х <: Ъ (рис. 28). Пусть
/(а) = с и /(ft) = d, причем,
очевидно, в силу возрастания
функции c<id. Если мы возьмем
Рис. 28. какое-нибудь значение у из про-
промежутка c^y^d и в соответ-'
ствующей точке восставим перпендикуляр к оси О Y, то этот перпен-
перпендикуляр встретит наш график в одной точке, т. е. всякому у из
промежутка o^y^d отвечает одно определенное значение х.
Иначе говоря, функция, обратная возрастающей функции, будет
однозначной.
Нетрудно видеть из чертежа, что и эта обратная функция будет
возрастающей.
Аналогичным образом, функция y=f(x) называется убывающей,
если при увеличении независимой переменной х соответствующие
значения у, наоборот, убывают, т. е. если из неравенства х2<х^
следует f(x1)>f(x2). Как и выше, можно утверждать, что функция,
обратная убывающей функции, будет однозначной убывающей функ-
функцией. Отметим еще одно важное обстоятельство. Во всех рассуждениях
мы предполагаем всегда, что график функции представляет собою
сплошную кривую без разрывов. Этот факт равносилен особому
аналитическому свойству функции f(x), а именно, непрерывности этой
функции. Строгое математическое определение непрерывности функ-
функции и исследование непрерывных функций будет нами дано в § 2.
Целью настоящей главы являются лишь предварительное ознакомление
с основными понятиями, систематическое изучение которых будет
дано в следующих главах.
В отношении терминологии заметим, что когда мы говорим о
функции без упоминания о ее многозначности, то мы подразумеваем
всегда однозначную функцию.
221
§ I. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
41
22. Показательная и логарифмическая функции. Возвращаемся
еперь к исследованию элементарных функций. Показательная функ-
функция определяется уравнением
У = а\ A5)
причем мы считаем, что основание а есть заданное положительное
число (отличное от единицы). При целом положительном х значение
ах очевидно. При дробном положительном х выражение а* опреде-
р
ляется как радикал а4 =Уар, причем, в случае четного q, мы ус-
условливаемся брать положительное значение радикала. Не входя сей-
сейчас в подробное рассмотрение значений ах при иррациональном хУ
заметим только, что мы получим приближенные значения а* при ир*
рациональном х все с большей степенью точности, если заменим ир-
иррациональное х его приближенными значениями так, как это было
указано выше [2]. Например, приближенными значениями аУ2, где, как
известно, У~2= 1,414213..., будут
Вычисление ах при отрицательном х сводится к вычислению а* прл
положительном х в силу формулы: a~x=z—t являющейся определе-
определением степени при отрицательном показателе. Из упомянутого выше
соглашения считать радикалы в выраже-
L
нии а = у ар всегда положительными
вытекает, что функция ах при любых
вещественных х всегда положительна.
Кроме того, можно показать, на чем
мы не останавливаемся, что при а^>1
функция ах — возрастающая функция,
а при 0 <^ а <^ 1 — убывающая функ-
функция. Более подробное исследование этой
функции будет нами дано дальше [44].
На рис. 29 изображены графики
функции A5) при различных значени-
значениях а. Отметим некоторые особенности
графиков на рис. 29.
Прежде всего при любом а Ф О мы имеем по определению а°= 1,
и, следовательно, при любом а график функции A5) проходит через
точку 3/= 1 на оси OY, т. е. через точку с координатами @,1). Если
Q^>1, то кривая идет слева направо (в сторону возрастающих х),
поднимаясь беспредельно вверх, а при движении влево кривая
Рис 29.
42
ГЛ. 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
|22
беспредельно приближается к оси ОХ, нигде ее не достигая. При
а<^\ расположение кривой относительно осей будет иным. При дви-
движении направо кривая беспредельно приближается к оси ОХ, а при
движении влево беспредельно уходит вверх. Так как а* всегда поло-
положительно, то график, конечно, всегда расположен над осью ОХ. За-
Заметим еще, что график функции у=\-Лх можно получить из графика
функции у = а?, поворачивая чертеж вокруг оси О К на 180°. Это
вытекает непосредственно из того, что при упомянутом повороте х
переходит в (—х), а #-* = (—Y*.
Заметим еще, что если а = 1, то у = Xх, и при всяком значении х
мы имеем у=1 [12].
Логарифмическая функция определяется уравнением
A6)
По определению логарифма функция A6) будет обратной для функ-
функции A5). Мы можем, таким образом, получить график логарифми-
логарифмической функции (рис. 30) из графика показательной, повернув кривые
рис. 29 на 180° вокруг биссектрисы первого координатного угла.
Рис. 30.
Рис. 31.
Ввиду возрастания функции A5) при а^>\ обратная функция A6)
будет также однозначной возрастающей функцией от х, причем, как
это видно из рис. 29, функция A6) определена лишь при х^>0
(отрицательные числа не имеют логарифмов). Все графики рис. 30,
соответствующие различным значениям а, пересекают ось ОХ в точ-
точке х=\. Это соответствует тому факту, что логарифм единицы при
любом основании равен нулю. На рис. 31 изображен для ясности один
график функции A6) .при а^>1.
С понятием о логарифмической функции тесно связаны понятия о лога-
логарифмической шкале и теория логарифмической линейки.
Логарифмической шкалой называется такая шкала, нанесенная на данной
прямой, длина делений которой соответствует не самому числу, обозначаю-
§ 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 43
23 ]
ление а ег0 логарифму, обыкновенно по основанию 10 (рис. 32).
ЩС м образом, если при некотором делении шкалы стоит число х, то длина
«Г*ка U равна не х, a log10*. Длина отрезка между двумя точками шкалы,
обозначенными через х и у, будет равняться (рис. 32)
5Г— Lv = \ogioy — log10A: = log10-?- ;
ля получения же логарифма произведения ху достаточно к отрезку ~Ъс при-
прибавить отрезок 1у> так как полученный таким путем отрезок будет равен
= log10 (xy).
Таким образом, имея логарифмическую шкалу, можно приводить умно-
умножение и деление чисел просто к сложению и вычитанию отрезков на шкале,
И "fit
xxy
Рис. 32.
что проще всего осуществляется на практике с помощью двух тождествен-
тождественных шкал, из коих одна может скользить вдоль.другой (рис. 32 и 33). В этом
и заключается основная идея устройства логарифмической линейки.
X
4 5 6 7 в 3 1 I
у:х у
Рис. 33.
Для вычислений часто употребляется логарифмическая бумага, которая
представляет собой разграфленный лист, причем, однако, точки деления на
осях ОХ и OY соответствуют не обыкновенной, а логарифмической шкале.
23. Тригонометрические функции. Мы остановимся лишь на
четырех основных тригонометрических функциях:
у = sin х, у = cos х,
y = tgx, y =
причем независимую переменную х будем выражать в радианной мере,
т. е. за единицу угла примем центральный угол, которому соответ-
соответствует дуга окружности, по длине равная радиусу.
График функции y = sinx изображен на рис. 34. Из формулы
44
ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
123
ясно, что график функции ys=cosx (рис. 35) может быгь получен
из графика функции y = sin.xr простым передвижением его вдоль
оси ОХ налево на отрезок у.
Рис. 34.
Рис. 35.
На рис. 36 представлен график функции д/ = tg jc. Кривая состоит
из ряда одинаковых отдельных бесконечных ветвей. Каждая ветвь
помещается в вертикальной полосе ширины тс и представляет собою
возрастающую функцию от х. Наконец, на рис. 37 представлен график
функции y = ctgx, также состоящий из отдельных бесконечных ветвей.
При передвижении графиков функций j/ = sin.*r и y = cosx вдоль
оси ОХ направо или налево на отрезок 2тс эти графики совмещаются
сами с собой, что соответствует тому факту, что функции sin лг и
cos* имеют период 2тс, т. е.
sin(jc±2ir) = sin.xr и cos (x dr 2тс) = cos x
при любом х. Совершенно так же графики функций y = tgx и
y = ctgx совмещаются сами с собой при передвижении их вдоль
оси ОХ на отрезок тс.
Графики функций
y=Asinax, y = Aco$ax (А>0, а>0) A7)
весьма схожи с графиками функций y=sinx и y = cosx. Чтобы
получить, например, график первой из функций A7) из графика
y = $inx, надо длины всех ординат этого последнего графика
23|
§ 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
45
Рис. 36.
Рис. 37.
46
ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ I 23
умножить на Л и изменить масштаб по оси ОХ так, чтобы точка с абс-
абсциссой х попала бы в точку с абсциссой ~. Функции A7) также
2я
периодические, но имеют период —.
Графики более сложных функций
у = A sin (ах + Ь), у = A cos (ax + 6),
A8)
которые называются простыми гармоническими кривыми, получают-
получаются из графиков функций A7) передвижением вдоль оси ОХ на от-
отрезок — влево (мы считаем &>0). Функции A8) имеют также пе-
2я
риод —.
Графики функций вида
у = Аг sin агх + Вг cos агх + А2 sin а2х + В2 cos a2x,
представляющих собою сумму нескольких слагаемых типа A7), мож-
можно строить, например, складывая ординаты графиков отдельных
\
Si
N
\1
W
1
•Л
Л
1
/
Л'
f
)
0
1
J
0,
/ ^
\
л
1
% i
ж-
•
«
i
/
Ч
\
ТС
\
\
\
\
/
j
f
/\ 1
V
/
1
1
i
I
»
А
f
f
\
j
Ч
\
J
V
*
я
\
Рис. 38.
слагаемых. Полученные таким образом кривые называются обычно
сложными гармоническими кривыми. На рис. 38 указано построе-
построение графика функции
Заметим при этом, что функция
у = Ах sin fljjt: + Вх cos ахд: A9)
может быть представлена в виде A8) и изображает простое гармо-
гармоническое колебание.
лл , § 1. ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 47
24 I
Действительно, положим
Мы имеем, очевидно,
и, кроме того, 2 %2
а потому, как известно из тригонометрии, всегда можно найти такой
угол ЬХУ чтобы было
cos bx = m, sinbx = n. B1)
Подставив в A9) вместо Ах и Вх их выражения B0) и пользуясь
равенствами B1), получим
у = A (cos bx - sin axx -j- sin &t • cos axx),
т. e.
у = A sin (а^лт -f- Jj).
24. Обратные тригонометрические, или круговые, функции.
Эти функции получаются при обращении тригонометрических функций:
y = sinx, cosat, tgx, ctg.*:
и обозначаются, соответственно, символами
у = arc sin x, arc cos дг, arctgA;, arcctgAr,
что представляет собою не что иное, как сокращенное обозначение
названий: угол (или дуга), синус, косинус, тангенс или котангенс ко-
которого соответственно равен х.
Остановимся на функции
B2)
График этой функции (рис. 39) получается из графика функции
y=sinx по правилу, указанному в [20]. Весь этот график располо-
расположен в вертикальной полосе, ширины два, опирающейся на отрезок
— 1^х^-|-1 оси ОХ, т. е. функция B2) определена лишь в про-
промежутке — 1^лг<:-|-1. Далее, уравнение B2) равносильно уравне-
уравнению sin у = Ху и, как известно из тригонометрии, при заданном х мы
получаем бесчисленное множество значений для угла у. Из графика
мы видим, действительно, что прямые, перпендикулярные к оси ОХ
в точках промежутка —l^JC^+b имеют с графиком бесчис-
бесчисленное множество общих точек, т. е. функция B2) есть многозначная
Функция.
Непосредственно из рис. 39 мы видим, что функция B2) станет
однозначной, если мы вместо всего графика ограничимся лишь его
48
ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
[24
частью, начерченной более жирно сплошной линией, что соответству-
соответствует условию — рассматривать только те значения угла у, имеющего
данный siny = xf которые лежат в промежутке (—5-,^>V
На рис. 40 и 41 указаны графики функций д; = arc cos лт и
у = arc tg x и отмечены жирно сплошной линией те части графика,
которые надо оставить, чтобы сделать функцию однозначной (чертеж
у ^
J7D
-/
Ф*
Рис. 39.
Рис. 41.
для arc ctg x предоставляется сделать читателям). Заметим при этом,
что функции д/ = агс tgx и ^/ = 3^ ctg лг определены при всех вещест-
вещественных значениях х.
Отмечая из чертежа интервал изменения у на отмеченной жирно
части кривой, мы получаем таблицу ограничений, при которых функ-
функции становятся однозначными:
У
Неравен-
Неравенства для у
arc sin x
71 ТС
-т<>'<т
arc cos x
0<>><7С
arc tg x
тс тс
arc ctg x
0<y<n
Нетрудно показать, что определенные таким образом функции,
которые называются главными значениями круговых функций, удовле-
удовлетворяют соотношениям
arc sin x -f- arc cos лг= —t arc tg x 4- arc ctg x — ^ . B3)
• § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 49
^5 ]
§ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
25. Упорядоченное переменное. Когда мы говорили о независимой
переменной х, для нас было важно лишь множество тех значений,
которые может принимать х. Например, это могло быть множество
значений, удовлетворяющих неравенству О^дг^1. Сейчас мы будем
рассматривать переменную величину х, принимающую последователь-
последовательно бесчисленное множество значений, т. е. сейчас для нас является
важным не только множество значений ху но и тот порядок, в кото-
котором она принимает эти значения. Точнее говоря, предполагается
следующее: 1) если xf и х" два значения переменной величины х, то
имеется возможность отличить среди них предыдущее и последующее,
причем если х' предшествует х", а х" предшествует х"\ то х' пред-
предшествует х'"\ 2) никакое значение х не является последним, т. е.
какое бы значение переменной величины х мы ни взяли, существу-
существует бесчисленное множество значений, следующих за ним. Такую пере-
переменную величину называют упорядоченной переменной. В дальней-
дальнейшем мы для краткости просто будем говорить переменная величина.
Отвлекаясь, как всегда, от конкретного характера величины (длина,
вес и т. д.) термином „упорядоченная переменная величина" или просто
„переменная величина* обозначают всю бесконечную последователь-
последовательность ее значений, т. е. бесконечную последовательность чисел.
Важным частным случаем упорядоченной переменной величины
является тот случай, когда имеется возможность пронумеровать всю
ее последовательность значений (первое, второе, третье и т. д.):
так что из двух значений хр и xq то является последующим, кото-
которое имеет больший значок. В качестве примера положим, что общий член
последовательности хп определяется формулой хп = ~% (п = 1,2, 3,...),
так что последовательность имеет вид
1111 m
п
Пусть, далее, лгп = О,11 ... 1, т. е. хп есть десятичная дробь, у ко-
которой целая часть равна нулю, а после запятой стоит п единиц; полу-
получим последовательность
п
0,1; 0,11; 0,111, ... , 0,11 ... 1, ... B)
Вставляя между двумя числами последовательности A) число нуль,
получим новую последовательность
у» 0, -у, 0, у, 0, jg, .M? C)
50 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ I 25
для которой х1 = ~2,Хъ — 0, лг3 = -|-, Хь = 0, х5 = уй т- Д- Среди
значений этой переменной величины встречаются и одинаковые,
а именно хр=0 при четном р. Отметим, что переменная A) убыва-
убывающая, т. е. всякое ее значение меньше всех предшествующих значе-
значений, а переменная B) возрастающая, т. е. всякое ее значение больше
всех предшествующих. Переменная C) не является ни убывающей,
ни возрастающей.
Укажем теперь примеры упорядоченной переменной, значения
которой нельзя пронумеровать. Положим, что переменная величина
х принимает все различные значения, удовлетворяющие неравенству
а — k^x<^a, где а и k — некоторые числа и ?^>0. При этом
считается, что из двух значений х' и лг" последующим является боль-
большее. Иначе говоря, переменная величина х возрастает, принимая все
значения из промежутка а — k^x<^ay замкнутого слева и откры-
открытого справа. Она принимает любые значения из этого промежутка
меньшие а, но не принимает значения а. Первым значением перемен-
переменной является значение х = а — ky а дальнейшая нумерация значений
переменной невозможна. Если мы положим, что возрастающая пере-
переменная удовлетворяет не неравенству а — k^x<^a, а неравенст-
неравенству а — k<^x<^a, то при этом нет и первого значения перемен-
переменной х. Совершенно аналогично можно рассматривать и убывающую
переменную х на промежутке a<^x^a-\-k или на промежутке
а <^ х <^ а -\- k.
Укажем теперь пример, аналогичный предыдущим, но в котором
переменная не является ни возрастающей, ни убывающей. Перемен-
Переменная величина х принимает все различные значения, удовлетворяющие
неравенству а — k^x^a-\-kt кроме значения х = а. Если х' и У —
различные значения х> у которых абсолютные величины разностей
\х—а\ и |У— а\ различны, то последующим считается то, у кото-
которого эта абсолютная величина меньше (то, которое ближе на оси
ОХ к а), а если х' — а и х" — а отличаются лишь знаком (У и х"
одинаково удалены от а, но находятся на оси ОХ с разных сторон
от а)у то последующим считается то, у которого указанная разность
отрицательна (то, которое на оси ОХ лежит слева от а). В
этом примере переменная х приближается к а на промежутке
а — k^x^a-\-k с разных сторон, принимая все значения, кроме
х = а; первое значение переменной x — a-^-k, второе х = а — /г,
а дальнейшая нумерация невозможна. Если вместо промежутка
а — k^x^a-\-k взять промежуток а — k<^x<^a-\-k при преж-
прежнем определении порядка изменения х, то нет возможности указать
и первое значение х.
В дальнейшем мы часто будем иметь дело с переменными величи-
величинами, связанными функциональной зависимостью. Пусть переменная х
есть функция переменной L В соответствии с этим введем обозна-
. § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 51
x(t). Пусть ? —некоторое упорядоченное переменное. Этим
Сдается и упорядоченность значений х (t), а именно, если f и f при-
С°ялежат последовательности значений t и f предшествует tf\ то
"читаем, что среди значений х (t) значение х (f) предшествует х (О-
В дальнейшем мы будем иметь в основном те случаи, когда среди
начений упорядоченной переменной t нет одинаковых. Но x(t)
может принимать и одинаковые значения при различных t
Естественно сказать, что упорядоченное переменное t упорядочивает
переменную x(t) или является упорядочивающей переменной для x(f).
Отметим, что для пронумерованной переменной хь x2f х3, ... роль
t играет значок 1, 2, 3, ..., т. е. в этом случае t принимает после-
последовательные значения 1, 2, 3, ... и таким образом нумерует значения
переменной х.
Возникает вопрос о действиях над упорядоченными переменными.
Если, например, х и у — упорядоченные переменные, то без предва-
предварительных соглашений неясно, что обозначает сумма х-\-у или про-
произведение ху, ибо как х, так и у принимают бесчисленное множество зна-
значений, и остается неясным, какие значения х и у надо складывать или
перемножать, чтобы получить новую переменную х-\-у или ху. Если
хну — пронумерованные переменные, а хь х2, ... и уь у2) ... —
последовательные значения х и у, то сумма х-\-у определяется как
пронумерованное переменное, имеющее последовательность значений
В общем случае для определения действия над упорядоченными пере-
переменными необходимо, чтобы они имели одну и ту же упорядочивающую
переменную. Пусть переменные х и у — функции х (t) и у (t) одной и
той же упорядоченной переменной t, которая упорядочивает x(t)
и y(t). Сумма х и у определяется как упорядоченная переменная
•*@+.УОО> которая упорядочивается той же переменной t.
Для явлений, происходящих во времени, последовательность значе-
значений переменной величины может естественно устанавливаться их
последовательностью во времени, и часто пользуются схемою времени
и применяют термины „доа и „послеа вместо „предыдущее" и „после-
„последующее" значения.
Настоящий параграф посвящен в основном теории пределов, являю-
являющейся основою современного математического анализа. В этой теории
рассматриваются некоторые основные случаи изменения величин.
26. Величины бесконечно малые. Каждому значению переменной
величины х соответствует точка К на числовой оси ОХ, имеющая
абсциссу Ху и изменение х изобразится перемещением точки К по
оси ОХ, Положим, что все различные положения точки К при из-
изменении х остаются внутри некоторого конечного отрезка оси ОХ
^ равносильно тому, что длина отрезка ОК, где О— начало
52 ГЛ. 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 26
координат на оси ОХУ остается меньше определенного положительного
числа М. В этом случае переменная величина х называется ограни-
ограниченной. Принимая во внимание, что длина ОК есть | х |, мы приходим
к следующему определению.
Определение. Переменная величина х называется ограни-
ограниченной, если существует такое положительное число М, что
\х\<^М для всех значений х.
Примером ограниченной величины может служить sin t, где t —
любая упорядоченная переменная. В этом примере М есть любое число,
большее единицы.
Рассмотрим теперь тот случай, когда точка /С, последовательно
перемещаясь, беспредельно приближается к началу координат. Точ-
Точнее говоря, положим, что точка К при своем последовательном пе-
перемещении попадает внутрь любого наперед заданного малого от-
отрезка «S\S оси ОХ с серединой О и при дальнейшем движении
остается внутри этого отрезка. В этом случае говорят, что величина
х стремится к нулю, или есть величина бесконечно малая.
Обозначим длину, отрезка «Sr5 через 2s. Буквой е мы обозначили
тем самым любое заданное положительное число. Если точка К на-
находится внутри S'S, то длина (Ж<^е и, наоборот, если длина
О/С<е, то точка К находится внутри «^«S. Мы можем, таким обра-
образом, высказать следующее определение:
Определение. Переменная величина х стремится к нулю
или есть бесконечно малая, если при любом заданном положи-
положительном числе е существует такое значение величины х, что
для всех последующих значений выполнено неравенство |j*r|<^e.
Ввиду важности понятия бесконечно малой величины дадим дру-
другую формулировку того же определения:
Определение. Величина х называется стремящейся к нулю
или бесконечно малой, если \ х | при последовательном изменении х
делается и при дальнейшем изменении остается меньше любого
наперед заданного малого положительного числа е.
Термином „бесконечно малая величина* мы обозначаем вышеопи-
вышеописанный характер изменения переменной величины, и не надо смеши-
смешивать понятия бесконечно малой величины с часто употребляющимся
в практике понятием очень малой величины*
Положим, что при измерении длины некоторого участка мы по-
получили 1000 м с каким-то остатком, который считаем очень малым
по сравнению со всей длиной и им пренебрегаем. Длина этого остатка
выражается определенным положительным числом, и термин „беско-
„бесконечно малый" в данном случае, очевидно, неприменим. Если бы в дру-
другом, более точном измерении мы встретились с такою же длиной, то
перестали бы уже считать ее очень малой и приняли бы ее во вни-
внимание. Мы видим, таким образом, что понятие малой величины
л/, * 2 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 53
26 |
понятие относительное, связанное с практическим характером
измерения.
Положим, что переменная величина х принимает последовательно
значения
пусть в есть любое заданное положительное число. Чтобы
убедиться в том, что х есть величина бесконечно малая, нам надо
показать, что | хп |, начиная с некоторого значения п> меньше е, т. е.
нам надо установить существование такого целого чисда N, чтобы
было
\хп\<^г при условии
Это число N зависит от е.
Рассмотрим в качестве примера бесконечно малой величины вели-
величину, принимающую последовательно значения
. D)
Нам надо удовлетворить неравенству
?"<е или fllog10<?<Jog108
Принимая во внимание, что Iog10 q отрицателен, можем переписать
предыдущее неравенство в виде
ибо при делении на отрицательное число смысл неравенства меняется,
и, следовательно, за N мы можем принять наибольшее целое число,
заключающееся в частном log10 e : log10 q. Таким образом, рассматривае-
рассматриваемая величина, или, как обычно говорят, последовательность D),
стремится к нулю.
Если мы в последовательности D) заменим q на (—q), то разница
будет лишь в том, что у нечетных степеней появится знак минус,
абсолютные же величины членов этой последовательности останутся
прежними, а потому и в этом случае мы будем иметь величину бес-
бесконечно малую.
Если величина х бесконечно малая (х стремится к нулю), то это
обычно обозначают следующим образом: Нтлг = 0, или для прону-
пронумерованной переменной: Нтдгл = 0, где Нт — начальные буквы латин-
латинского слова limes, что по-русски значит предел. В дальнейших дока-
доказательствах мы, кроме первой теоремы, будем проводить доказатель-
доказательство для пронумерованных переменных. В первой теореме мы прове-
проведем доказательство как для пронумерованных переменных, так и в
общем случае.
54 ГЛ. 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ { 26
Докажем два свойства бесконечно малых величин.
1. Сумма нескольких (определенного числа) бесконечно малых
есть также бесконечно малая величина.
Рассмотрим, например, сумму w = x-]-y-{-z трех бесконечно
малых величин. Пусть эти переменные пронумерованы и
Х\, х%, дг3, ...; у\7 уъ у& ...; zi9 z^ z3t ...
— их последовательные значения. Для w получаем последовательные
значения
Пусть е — любое заданное положительное число. Принимая во вни-
внимание, что х, у и z — бесконечно малые, можем утверждать: суще-
существует такое Nb что |агл|<^~ при n^>Nt; такое Nb что Ij^K-g-
при n^>N<? такое N& что |гл|<С4- при n^>N^ Обозначая через N
наибольшее из чисел Nit N& NB, можем утверждать, что
и, следовательно,
^ + Т'^^ при
т. е. |?2>л|<О ПРИ n^>N, откуда и следует, что w — величина бес-
бесконечно малая.
Рассмотрим теперь общий случай, когда дг, у, z суть функции
х (t), у (t), z (t) одной и той же упорядочивающей переменной t и
w (t) = х (t) -f-у (t) -f- z (t). Принимая во внимание, что х7 у> z — бес-
бесконечно малые, можем утверждать: существует такое значение t = f*
что \x(t)\ <С4~ ^ля всех последующих значений t; существует такое
значение t = t", что |^@|<С4" ^ля всех последующих значений t;
существует такое значение if", что \z(t)\ <[4- для всех последующих
значений t Обозначая через t0 такое из трех значений f, t", f пе-
переменной ty что два других или предшествуют ему или совпадают с
ним, можем утверждать, что
для всех ty следующих за tQ, и потому
01<1^@Ц-Ьп@1 + !^
Для всех '» следующих за *0, т. е. w — бесконечно малая.
fi . § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 55
2 Произведение величины* ограниченной на величину бесконечно
малую есть величина бесконечно малая.
Рассмотрим произведение ху пронумерованных переменных, где
еличина х — ограниченная и у — бесконечно малая. Из этого усло-
условия следует: существует такое положительное число Ж, что | хп К М
при любом п; существует такое N, что Ьл|<~ при л>М При
\\ \*\\\<М при
т е. |хпУп I<Се ПРИ n^>N, откуда и следует, что произведение ху —
бесконечно малая.
Заметим, что последнее свойство остается подавно справедливым,
если х = С—постоянная величина. При этом роль числа М может
играть любое число, большее, чем С, т. е. произведение постоянной
величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая. В
частности, если х — бесконечно малая, то и (— х) — бесконечно малая.
Ввиду основного значения понятия бесконечно малой величины
для дальнейшего мы остановимся еще на этом понятии и приведем
некоторые дополнительные замечания.
Считая 0<^#<^1, вставим между двумя членами последователь-
последовательности D) число нуль. Получим последовательность
q, О, q\ О, q\ О, ...
Нетрудно видеть, что и эта переменная стремится к нулю, но при
этом она бесчисленное множество раз принимает значение нуль. Это
не противоречит определению величины, стремящейся к нулю. Пред-
Предположим, что все последовательные значения „переменной* равны
нулю. Для пронумерованной переменной это значит, что хп = 0 при
всяком л, а в случае х (t), где t — упорядоченная переменная, это зна-
значит, что x(t) = 0 при всех значениях t. Такая „переменная", по су-
существу, есть постоянная величина, но она формально подходит под
определение бесконечно малой величины. Например, для пронумеро-
пронумерованной переменной (^ = 0 при любом п) \хп\<^г для любого задан-
заданного положительного в при всех п. Если хп = С при всех п и С —
число, отличное от нуля, то такая последовательность не есть, оче-
очевидно, бесконечно малая величина.
Возьмем те три примера упорядоченной переменной из [25], в
которых нельзя пронумеровать переменную, и положим в этих
примерах а = 0. Первый из них — возрастающая переменная, прини-
принимающая все значения из промежутка —k^.x<^0. При заданном
е^>0 для всех значений этой переменной, следующих после значения
х === — ?> если е ^k, имеем |х \<^е. Если же s^>k, то | х |<^е для
всех значений х. Таким образом, х стремится к нулю (от меньших
значений). Совершенно аналогично х стремится к нулю и в остальных
56 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 26
двух случаях: когда х— убывающая переменная, принимающая
все значения из промежутка 0<^x^.k> и когда х принимает все
значения (различные) из промежутка —k^.x^:-\-k, кроме лг = О,
с определением последовательности значений, указанной в [25]. Для
переменной х с указанными выше способами стремления к нулю
введем специальные обозначения: в первом случае будем писать
х—+ — 0 (х стремится к нулю от меньших значений); во втором
х -—>-}- 0 (х стремится к нулю от больших значений); в третьем слу-
случае лг-— ±0 (лг стремится к нулю с двух сторон).
Имеется, конечно, бесчисленное множество способов, какими про-
пронумерованная или не пронумерованная переменная х может стремить-
стремиться к нулю. Во всех этих случаях мы будем писать х—> (). В указан-
указанных выше трех случаях мы у нуля пишем знаки. Характерная осо-
особенность первого из этих трех случаев состоит в том, что х, воз-
возрастая, принимает все значения, меньшие нуля и достаточно близкие
к нулю. Во втором случае тот же характер изменения х связан с
убыванием х. В третьем случае х принимает все значения, доста-
достаточно близкие к нулю, как меньшие, так и большие, кроме значения
нуль. Из двух значений х' и х'\ не одинаково удаленных от нуля
(т. е. | х' | Ф | х" |), последующим считается то, которое ближе к нулю,
а из двух значений, одинаково удаленных от нуля (У = — х'\ по-
последующим считается отрицательное значение.
Сделаем еще одно замечание. Из определения бесконечно малой
величины следует, что при доказательстве того, что перемен-
переменная х — бесконечно малая, достаточно ограничиться рассмот-
рассмотрением лишь тех значений х, которые следуют после какого-
либо определенного значения x = xQ, причем это последнее зна-
значение можно выбирать произвольно.
В связи с этим полезно в теории пределов сделать добавление
к определению ограниченной величины, а именно, не надо требовать,
чтобы для всех значений величины у выполнялось неравенство
|^ а достаточно дать такое более общее
Определение. Величина у называется ограниченной, если
существует такое положительное число М и такое значение у0>
что для всех последующих значений выполняется неравенст-
неравенство \у\<М.
При таком определении ограниченной величины доказательство
второго свойства бесконечно малых остается без изменения. Для про-
пронумерованного переменного из второго определения ограниченной
величины следует первое, так что второе определение не является
более общим. Действительно, если \хп\<^М при n^>N, то, обозна-
обозначая через М наибольшее из чисел:
...» \xN\ и М,
мы можем утверждать, что |^|<^+1 при всяком п.
$ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 57
27 Предел переменной величины. Переменную величину мы на-
и' бесконечно малой, если соответствующая ей движущаяся по
ОХ точка Я обладает тем свойством, что длина отрезка ОК
°С\ последовательном изменении Я становилась и при дальнейшем
П*менении Я оставалась меньше любого заданного положительного
И ела е. Положим теперь, что это свойство выполняется не для
отрезка (Ж> а для отрезка АК, где А есть определенная точка на
оси ОХ с абсциссой а (рис. 42). В этом случае промежуток S'S
длины 2е будет иметь середину
не в начале координат, а в точке
Л с абсциссой х = а, и точка Я
при своем последовательном пе-
перемещении должна попасть внутрь
этого промежутка и там при даль-
дальнейшем перемещении оставаться. В этом случае говорят, что постоян-
постоянное число а есть предел переменной величины х, или что переменная
величина х стремится к а.
Учитывая, что длина отрезка АК есть \х — а\ [9], мы можем
сформулировать следующее определение.
Определение. Пределом переменной величины х называется
такое число а, что разность х — а есть величина бесконечно
малая.
Отметим, что при этом и величина а — х есть величина бесконечно
малая. Принимая во внимание определение бесконечно малой величины,
можно сформулировать определение предела а следующим образом.
Определение. Пределом переменной величины х называется
такое число а, что имеет место следующее 'свойство: при любом
заданном положительном числе е существует такое значение
переменной х, что для всех последующих значений выполняется
неравенство \ х — а | < е (или, что то же, \ а — х \ <С е).
В случае пронумерованного множества хь х2, х3, ... при любом
заданном положительном числе е надо установить существование
такого целого положительного числа N, что \хп — а\<С.г (или
Iа — *п | < е) при п > N.
Если а есть предел х (х стремится к а), то пишут:
lim лг = а, или х->а.
В случае пронумерованной переменной: хь х2, х3, ... говорят
также, что а есть предел указанной последовательности (последова-
(последовательность стремится к а) и пишут:
lim л;л = а, или
Обратим внимание на некоторые непосредственно ясные следствия
определения предела, на доказательстве которых мы не останавливаемся.
58 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 27
1. Переменная величина не может стремиться к различным
пределам, т. е. или вовсе не имеет предела или имеет один опре-
определенный предел.
2. Переменная величина, имеющая предел, равный нулю, есть
бесконечно малая величина, и, наоборот, всякая бесконечно малая
величина имеет предел, равный нулю.
3. Если две переменные хп и уп (п—\, 2, 3, ...) или x(t) uy(t)
имеют пределы а и b и удовлетворяют при своем последователь-
последовательном изменении неравенствам хп^уп (п — \, 2, 3, ...) или x(t)^
y то и а^Ь.
Заметим, что если переменные удовлетворяют неравенству хп <^уп>
то для их пределов может получиться и знак равенства, т. е.
Ь
4. Если три переменные хп, уп и zn удовлетворяют неравен-
неравенству xn^yn^.zn, a xn и zn стремятся к одному и тому же
пределу а, то и переменная уп стремится к пределу а.
Существование предела а у переменной х равносильно тому, что
разность х — а = а есть бесконечно малая, причем упорядоченность а
определяется упорядоченностью л:. Для пронумерованной переменной:
Отсюда следует, что
5. Существование предела а у переменной х равносильно тому,
что х можно представить в виде суммы числа а и бесконечно
малой величины, т. е. х = а-\-<х или хп = а-{-ап, где а или ал —
бесконечно малые.
6. При определении предела а переменной х достаточно ограни-
ограничиться рассмотрением лишь тех значений х, которые следуют
после какого-либо определенного значения х = х0, причем это по-
последнее значение можно выбирать произвольно, т. е. можно не
обращать внимания на значения, предшествующие х0.
7. Если последовательность хь хъ хъ, ... стремится к а, то
всякая бесконечная частичная подпоследовательность хП1, хП2,
Хпв> ...» выделенная из вышеуказанной, также стремится к а.
В частичной подпоследовательности значки пь пъ пг, ... образуют
какую-либо возрастающую последовательность целых положительных
чисел.
Для непронумерованной переменной х, стремящейся к а, анало-
аналогичное свойство имеет место при некоторой оговорке. Положим, что
из последовательности значений х мы исключили некоторые значения
(возможно, бесчисленное множество значений), но сделали это так,
что для любого фиксированного значения х = х0 оставшаяся после-
последовательность значений х содержит значения, для которых х = х0
есть предшествующее значение. При этом оставшаяся последователь-
последовательность значений при прежнем упорядочивании значений есть упорядо-
упорядоченная переменная, стремящаяся к а.
27 ] §2- ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 59
В качестве примера рассмотрим пронумерованную переменную
п
^ = 0,1, х* = 0,11, ,.., д:л = 0,11 ... 1, ...
и докажем, что ее предел равен -^-. Составим разность
1 _]_ ]_ _J_ 1 1
"9" Xl~W 9 *а~900' •" • T~X
Неравенство сГ~шг<Сг равносильно неравенству
9.юл>1 или /i>logie-™
и за N можно принять наибольшее целое число, содержащееся в раз-
разности log10 Iog109 (считаем s<-q-).
Рассмотрим теперь сумму первых п членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
Как известно,
о _Ь-Ъдп
*»— \ — q '
и, придавая п значения 1, 2, 3, .... получим последовательность
Si, »>2> оз, . ..
Из выражения Sn имеем
Правая часть является произведением постоянного множителя -.
и бесконечно малого множителя qn [26]. В силу второго свойства
бесконечно малых [26] разность =— Sn есть величина бесконечно
Ь
малая и, следовательно, число -л есть предел последовательности
1 — q
*^1> *S*2> • • •
Вернемся к непронумерованной переменной величине х из [25],
определяемой неравенствами: a — k^x<^ay или a<^x^a-\-k, или
а — k^.x^a-\-k кроме x=a, с указанной в [25] последователь-
последовательностью значений. Эта переменная х имеет, очевидно, во всех трех
случаях предел а, и мы будем обозначать эти три случая изменения х
следующим образом: х-->а — 0, х—+а-\-0, х-*а±0 [ср. 26]. Отме-
Отметим, что это обозначение не связано с величиною положительного
числа k, ибо, как указано выше, при определении предела можно не
обращать внимания на значения, предшествующие какому-либо значе-
значению дг.
60 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ ft
Сделаем еще несколько замечаний и приведем примеры.
Упорядоченная „переменная* величина х, все значения которой
равны числу а, подходит под определение величины, стремящейся к а,
Например, для пронумерованной переменной (лгд = а при любом п)
\хп — а | = 0 меньше любого заданного положительного е при всех п
[ср. 26]. Такое рассмотрение постоянной величины как частного слу-
случая переменной будет нам удобно впоследствии.
Отметим еще, что если переменная х имеет предел, например а*
то \х — а |<^& при заданном е^>0, начиная с некоторого значения хг
и, следовательно, при этом |х\<^|а|-f-в, т. е. х величина ограни*
ценная (см. замечание в [26]).
Переменная величина, как мы уже упоминали, не всегда имеет
предел. Возьмем, например, пронумерованную переменную jc*! = 0,1#
лг2 == 0,11, .#з = 0,111, ..., имеющую предел -д-, и переменную ух=з
— -j> Уъ == 2г» ^з= 23» ...» имеющую предел нуль. Пронумерованная
переменная ^ = 0,1, z2 = у, ^3 = 0»11» *к = -ср> ** = 0>т> 2в=*
= 28, ... не имеет предела. Последовательность ее значений zlt Z&,
z& ... имеет предел -q-, а последовательность значений z^ zit гб, ,.^
имеет предел нуль.
Возьмем указанную выше последовательность yl = -^-i Уъ=1ъ*
уъ = —, ,.. , имеющую предел нуль, и вставим между двумя ее чле-
членами числа 1, у, -22 ..., которые вдвое больше предыдущего числа*
Эта последняя последовательность также стремится к нулю. Полу*
чится последовательность, стремящаяся к нулю:
JL 1 !_ _L JL JL
2 ' 22' 2 ' 23 J 22' " *"
Члены этой последовательности, приближаясь беспредельно к нулк*
от положительных значений, не всегда убывают: второй больше пер-
первого, четвертый больше третьего и т. д.
Рассмотрим непронумерованную переменную, которая, убывая HI
промежутке A<^лг^5), стремится к единице, т. е. лг—> 1-^-0. Есл$
мы исключим значения лг, удовлетворяющие условию 3<^лг^4, то
оставшееся множество значений х при прежнем упорядочивании (убы**
вание) также будет стремиться к единице. Если мы исключим значе-
значения ху удовлетворяющие условию 1 <^х*^ 2, то при прежнем порядке
(убывание) оставшееся множество будет упорядоченным, но буде*
стремиться не к единице, а к двум. Если же мы исключим значе-
значения х, удовлетворяющие условию 1<*'<2| то оставшееся
, §2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 61
тво значений х при прежнем порядке (убывание) не будет упорядо-
С иным, ибо будет иметь последнее значение х==2. Этот пример свя-
4 с тем замечанием, которое мы сделали выше об исключении зна-
3еНйй из непронумерованной упорядоченной переменной.
28. Основные теоремы. Дальнейшие теоремы мы будем проводить
для пронумерованных переменных. В общем случае доказательство
совершенно аналогично [ср. 26].
1. Если слагаемые алгебраической суммы нескольких {опреде-
{определенного числа) переменных имеют пределы, то и их сумма имеет
предел, и этот предел равен сумме пределов слагаемых.
Рассмотрим алгебраическую сумму х—y-\-z и положим, что про-
пронумерованные переменные хп> уп и zn (п— 1, 2, 3, ...) имеют пре-
пределы а, Ь и с. В силу этого имеем
где ап, р„ и 7/1 — величины бесконечно малые. Для последовательных
значений суммы х—y-\-z имеем
Первая скобка в правой части есть постоянная, а вторая — беско-
бесконечно малая величина [26]. Следовательно [27],
то есть
lim (х — у -f- z) = о- — Ь -}- с = lim х — limj/ + Hm z.
2. Если сомножители произведения нескольких переменных
имеют пределы, то и произведение имеет предел и этот предел
равен произведению пределов сомножителей.
Рассмотрим произведение двух сомножителей ху и положим, что
пронумерованные переменные хп, уп (л=1, 2, 3, ...) имеют пределы
а и Ъ. В силу этого имеем
где ал и рл — величины бесконечно малые. Для последовательных зна-
значений произведения хпуп имеем
Сумма, стоящая в правой части р скобках, есть сумма бесконечно
малых. Действительно, первые два слагаемые ее суть произведения
постоянных а и b на бесконечно малые, а в третьем слагаемом
62 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ I 28
первый множитель ал->0 и потому есть ограниченная величина, а
второй множитель рл — бесконечно малая величина. Таким образом,
в правой части первое слагаемое аЬ есть «постоянная, а второе (скоб-
(скобка) — бесконечно малая [26]. Следовательно, xnyn-*ab, то есть
lim (ху) ~аЬ = lim x • lim у.
3. Если делимое и делитель •— переменные величины, имеющие
пределы, и предел делителя отличен от нуля, то и частное
имеет предел и этот предел равен частному пределов делимого
и делителя.
Рассмотрим частное xfy и положим, что пронумерованные пере-
переменные хПУ уп (я=1, 2, 3, ...) имеют пределы а и bt причем # ^ 0.
Докажем, что —-^тг* Для этого достаточно показать, что разность
Уп О
— — -г- есть бесконечно малая. По условию
Уп Ь J
где <хп и ря — бесконечно малые. Имеем
Хп_ _ а _ а + ап _ ^
Уп ~Ь- 6 + рл b
Знаменатель дроби, стоящей в правой части, состоит из двух множи-
множителей и, в силу предыдущих двух теорем, стремится к Ь\ Следова-
Следовательно, начиная с некоторого значения п, знаменатель будет больше
— ф ф 0), и дробь u{uxq ч будет, начиная с указанного значения п,
2
заключаться между нулем и -р-, т. е. будет величиной ограниченной.
Величина {Ьап — а$п) есть бесконечно малая. Итак, разность — — -г
есть бесконечно малая. Следовательно, — -> тг» то есть
Уп *
,. х a lim х /Л. . Лч
lim — = -7- = -р (lim V 9^ 0).
^/ 6 lim г/ v -^ ^ у
Отметим некоторые следствия доказанных теорем. Если х стремится
к пределу а, то переменная bxk, где b — постоянная и k — целое поло-
положительное число, будет стремиться, согласно теореме 2, к пределу Ьак.'
Рассмотрим многочлен
f{x) = аохт + а^™-1 + ... + akxm-k + ...
где коэффициенты ak — постоянные. Применяя теорему 1 и пользуясь
только что сделанным* замечанием, можно утверждать, что при стремле-
стремлении х к а этот многочлен будет стремиться к пределу
lim f(x) =/(a) = аоат + агат^ +... +
akam-k +... + ат^а + ат.
I 52. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ S3
Точно так же мы можем утверждать, что при указанном измене-
изменении х рациональная дробь
будет стремиться к пределу
^ 0.
Все эти утверждения имеют место при любом способе стремле-
стремления х к пределу а.
Вместо многочленов, расположенных по степеням одной перемен-
переменной, мы могли бы, конечно, рассматривать многочлены, расположенные
по степеням нескольких переменных, стремящихся к пределам.
Так, например, для пронумерованных переменных, если \imxn = a и
\imyn = b, то
lim (х% + хпуп +у%) = а* + аЬ + Ь\
29. Величины бесконечно большие. Если переменная величина х
стремится к пределу, то она, как мы упоминали, очевидно, ограни-
ограничена.
Теперь мы рассмотрим некоторые случаи изменения неограничен-
неограниченных величин.
Как и раньше, вместе с величиной х мы будем рассматривать
соответствующую ей точку К, перемещающуюся по оси ОХ. Пусть
эта точка К перемещается так, что какой бы большой отрезок ТТ
с серединой в начале координат мы ни взяли, точка К при своем
последовательном перемещении окажется вне этого отрезка и при
дальнейшем перемещении будет оставаться вке его. В этом случае
говорят, что х есть величина бесконечно большая, или стремится
к бесконечности. Пусть 2М—длина отрезка ТТ. Принимая во вни-
внимание, что длина отрезка 0К=\х\, можем высказать следующее
определение:
Величина х называется бесконечно большой, или стремящейся
к бесконечности, если |лг|, при последовательном изменении х,
делается и при дальнейшем изменении остается больше любого
заданного положительного числа Jtf. Иначе говоря: величина х
называется бесконечно большой при соблюдении следующего условия:
пРи любом заданном положительном числе М существует такое
значение переменной х, что для всех последующих значений
соблюдается неравенство |*|>М.
В частности, если бесконечно большая величина х при своем
оследовательном изменении, начиная с некоторого своего значения,
64 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 2$
остается постоянно положительной (точка К справа от точки О%
то говорят, что х стремится к плюс бесконечности (-f-oo). Если жй
величина х остается отрицательной (точка К слева от точки О), щ
говорят, что х стремится к минус бесконечности (—со).
Для обозначения бесконечно большой величины употребляют сим*
волы: Um.r==oo, lim x = -f- со, Птл; = — оо. Вместо lim# = oq
можно, очевидно, писать lim | лг | = -|~оо.
Термин „бесконечно большой* служит лишь для краткого обо*
значения вышеуказанного характера изменения переменной величина!
х> и здесь, как и в. понятии бесконечно малой величины, надо отли*
чать понятие бесконечно большой величины от понятия очень боль*
той величины.
Если, например, величина х принимает последовательно значений
1, 2, 3, ..., то, очевидно, \шх = -\-оо. Если ее последовательный
значения будут: —1, —2, —3, ..., то lim at ===== — оо, и, наконец^
если эти значения будут: —1, 2, —3, 4, ..., то мы можем напи*
сать: Нтлг = оо.
Рассмотрим еще в качестве примера величину, принимающую
последовательно значения
и пусть М^>1—любое заданное число. Неравенство
cf>M
равносильно следующему:
и, следовательно, если N есть наибольшее целое число, заключаю*
щееся в частном log10 М: log10 q, то будем иметь
qn^>M при условии n^>N,
т. е. рассматриваемая переменная стремится к -f-°a
Если в последовательности E) заменим q на (— q), то изменятср
лишь знаки при нечетных степенях q, абсолютные же значения членов
последовательности останутся прежними и, следовательно, при отрй*
дательных значениях qt по абсолютному значению больших единицы*
последовательность E) стремится к бесконечности.
В дальнейшем, когда мы будем говорить, что переменная величий?
стремится к пределу, то будем подразумевать, что этот предел ко*
нечен. Иногда говорят, что »переменная величина стремится к бескб?
нечному пределу % обозначая этими словами бесконечно большуФ
величину.
Из предыдущих определений непосредственно вытекает так09
т
следствие: если переменная х стремится к нулю, то переменная ^
j $ % ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 65
т __ заданная постоянная, отличная от нуля, стремится к бесконеч-
ости, а если X стремится к бесконечности, то — стремится к нулю.
30. Монотонные переменные. При рассмотрении переменной вели-
величины мы часто не в состоянии найти ее предел, но нам важно знать,
что этот предел существует, т. е. что переменная стремится к пре-
пределу. Укажем один важный признак существования предела.
Положим, что переменная величина х постоянно возрастает
(точнее говоря, никогда не убывает) или постоянно убывает (точнее
говоря, никогда не возрастает). В первом случае всякое значение
величины не меньше всех предыдущих и не больше всех последующих.
Во втором случае оно не больше всех предыдущих и не меньше
всех последующих. В этих случаях говорят, что величина меняется
монотонно.
Соответствующая ей точка К на оси ОХ будет тогда переме-
перемещаться в одном направлении — в положительном, если переменная
возрастает, и в отрицательном, если она убывает. Непосредственно
ясно, что могут представиться лишь
дне возможности: или точка К бес- • -/Ч>—о-о-о—о *^А
предельно удаляется по прямой ** кгкзК(*- А
(х—>-[-оо или—оо), или точка К Рис. 43.
беспредельно приближается к не-
некоторой определенной точке А (рис. 43), т. е. переменная х стре-
стремится к пределу. Если, кроме монотонности изменения, известно еще,
что величина х ограничена, то первая возможность отпадает, и можно
утверждать, что величина стремится к пределу.
Рассуждение это, основанное на интуиции, очевидно, не имеет
доказательной силы. Строгое доказательство мы приведем позже.
Указанный признак существования предела обычно формулируют
так: если переменная величина ограничена и меняется монотонно,
то она стремится к пределу.
Рассмотрим в качестве примера последовательность
где х есть данное положительное число. Мы имеем
и =и « — G)
*фи значении п^>х дробь — будет меньше единицы и ип<^ип.ь
временная unt начиная с некоторого своего значения, при
1) Символ п\ есть сокращенное обозначение произведения 1-2-3 ... а
называется „факториал пи
3 П ТЛ г> _ *
68 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ \ 31
увеличении п будет постоянно убывать, оставаясь больше нуля. Со-
Согласно признаку существования предела, эта переменная будет стре-
стремиться к некоторому пределу и. Будем в равенстве G) беспредельно
увеличивать целое число п. В пределе мы получим
и = w О или и = 0,
то есть
lim J = 0. (8)
Если мы в последовательности F) заменим х на (—х), то изме-
изменится лишь знак у членов с нечетным значком п, и эта последова-
последовательность по-прежнему будет стремиться к нулю, т. е. равенство (8)
справедливо при любом заданном значении х как положительном,
так и отрицательном.
В этом примере мы вычислили предел к, предварительно убедив-
убедившись, что он существует. Если бы этого последнего мы не сделали,
то примененный нами метод мог бы привести и к ошибочному ре-
результату. Рассмотрим, например, последовательность
Имеем, очевидно,
un = un_xq.
Не заботясь о существовании предела ип, обозначим его буквою и.
Переходя в написанном равенстве к пределу, получим
u = uq9 т. е. w(l—q) = 0
и, следовательно,
и = 0.
Но это неверно, ибо при <7^>1, как известно, lim qn==-]-oo [29].
31. Признак Коши существования предела. Указанный в [30]
признак существования предела является лишь достаточным, но не
необходимым условием существования предела, ибо, как мы знаем
[27], переменная величина может стремиться к пределу, меняясь и не
монотонно.
Французский математик Коши дал необходимое и достаточное
условие существования предела, которое мы сейчас и сформулируем.
Если предел известен, то характерным для него является тот факт,
что, начиная с некоторого значения переменной, абсолютное значение
разности между пределом и переменной меньше любого заданного
положительного е. Согласно признаку Коши, для существования пре-
предела необходимо и достаточно, чтобы, начиная с некоторого значе*
ния переменной, разность между любыми двумя последующими зна-
, § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 67
ниями переменной была меньше любого заданного положительного е.
Дадим точную формулировку признака Коши.
Признак Коши. Для того чтобы переменная х имела пре-
предел необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
при любом заданном положительном числе е существует такое
значение х, что для любых последующих значений /«/ вы*
полняется неравенство: \х? — *"|<>
Положим, что мы имеем пронумерованную переменную
Согласно признаку Коши, необходимое и достаточное условие суще-
существования предела у этой последовательности состоит в следующем:
при любом заданном положительном е существует такое N (завися-
(зависящее от г), что
\хт — ^/il<?> если т и n>iV. (9)
Необходимость этого условия доказывается очень просто. Если
наша последовательность имеет предел а, то напишем хт — хп =
= (хт — а)-{-(а — хп), откуда следует
Но, в силу определения предела, существует такое N, что
\хт — ^1^4" и \а — xn\<^Y> если т и n^>N, и, тем самым,
\хт—xn\<Ce> если т и n^>N. Короче говоря, если значения х
становятся сколь угодно близкими к а, то они становятся сколь
угодно близкими и друг к другу.
Не приводя пока строгого доказательства достаточности условия
Коши, дадим ему наглядное пояснение (рис. 44).
Рис. 44.
Пусть Ms — точка координатной оси, соответствующая числу Xg.
Положим, что условие (9) выполнено. Согласно этому условию су-
существует такое значение N=Nlf что
при
т* е. все точки Ms при s^>Nx находятся внутри отрезка A[Ah длина
которого равна двум и середина которого есть точка с абсциссой xN .
Точно так же существует значение N=N% такое, что
1
68 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 3|
причем можно считать, что N%^NV Из сказанного следует, что все
точки xs при 5^>А/2 находятся внутри отрезка /, длина которого-
равна единице и середина которого есть точка с абсциссой xNr (|
другой стороны, все эти точки должны находиться внутри отрезка
А[АЬ откуда следует, что отрезки / и АхАу должны иметь общук?
часть. Пусть. А»А% — эта общая часть. В силу сказанного выше точки
Ms при 5^>Л^ должны находиться внутри отрезка А'2А^
Точно так же существует N= Л/з^Л^ такое, что | xs— xN
при s^> A/3. Аналогично предыдущему, построим отрезок Л3Л3, длин$
которого не превосходит -^ и который принадлежит отрезку Л2А^:
причем все точки Ms при s^>Nz будут находиться внутри него. По*
111 .
лагая e=-j, -^, ... , —, ... , получим, таким образом, ряд от-
отрезков АпАп, из которых каждый последующий заключается в пре*
дыдущем и длины которых стремятся к нулю. Концы этих отрезков
будут, очевидно, стремиться к одной и той же точке Л, и число щ
соответствующее этой точке, и будет пределом переменной величину
х, так как из описанного выше построения следует, что при достав
точно большом значении 5 все точки Ms будут сколь угодно близки
к точке Л.
В качестве приложения признака Коши рассмотрим уравнение Кеплер%
которое служит для определения положения планеты на своей орбите. Урав*
нение это имеет вид
х = q sin x -\- a,
где а и q — данные числа, из которых второе заключено между нулем й;
единицей, а х—неизвестное. Возьмем любое число х0 и построим последов
вательность чисел
хх = q sin x0 -j- a, x2 — q sin xt -f- a, ... ,
xn = q sin хп^ + а, хплл = q sin xn + a, ...
Вычитая из второго из этих равенств почленно первое, получим
х2 — xv = q ( sin xt — sin xQ) = 2q sin -^—^cos -1—-—-.
Принимая во внимание, что |sina|^|a| и | cos a | ^ 1, получим
\x x \^j2q "** == a \x x I (Щ
Совершенно так же можем получить следую!дее неравенство:
или, пользуясь неравенством A0), можем написать
I х* — *21 ^ f I *x — ^о I-
I § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 69
Продолжая подобные вычисления, получим при всяком п неравенство
*п\<ЯЛ\Х1 — Хо\- (И)
Рассмотрим теперь разность хт— хт считая для определенности
Хт — Хп = Хт — Хт-\ "Г хт-\ хт~2 i хт-2 хт~г "Г • • • "F ¦*" гс+1 — -*"п-
Пользуясь неравенством A1) и формулой для суммы членов геометри-
геометрической Прогрессии, будем иметь
| Хт — хп \ ^\хт — xm~i I + I хт-\ — хт-2 | +
+ I хт-2 — xm-z 1 + • • • "Г" I хпл-\ — хп I ^
— JT0 f.
При беспредельном увеличении п множитель qn стремится к нулю [25|,
множитель 1л*! — хо\ постоянный: дробь—^ZZ всегда заключается между
нулем и -j • , т. е. ограничена, ибо, при т > п, qm~n заключается между
нулем и единицей. Таким образом, при беспредельном увеличении п и лю-
любом т > п разность хт — хп стремится к нулю, и условие (9) выполнено.
Мы можем, согласно условию Коши, утверждать, что существует предел
В равенстве
Хп+i == Я sin хп *т~ а
будем беспредельно увеличивать п. Пользуясь тем, что lim sin xn = sin ? пря
lim .*¦„ = ?, как это мы покажем в [34], в пределе получим
? = # sin ?-f- а, A2)
т. е. предел ? переменной хп есть корень уравнения Кеплера.
При построении последовательности хп мы исходили из произвольного
числа л-0. Однако покажем, что уравнение Кеплера не может иметь двух
различных корней, откуда следует, что lim xn не зависит от выбора х{) и
равняется единственному корню уравнения Кеплера.
Положим, что кроме ? оно имеет еще корень ?t, и покажем, что ^=5.
По условию, кроме A2) имеем
?х = q sin ?j -f- a.
Вычитая из этого равенства почленно равенство A2), получим
&! — ? = q ( sin ?t — sin ?) = 2q sin —Цт— cos l "Т**
откуда
sin —
2
"° I sin a | ^: | a f при любом угле a, и последнее неравенство приводит к
следующему:
lei-eKfiei — ei.
силу о <с q <c 1 последнее неравенство может иметь место только при
1*1 —?1 = 0, т. е. ?1=?, откуда и следует, что уравнение Кеплера имеет
только один корень.
70 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ( 32
32. Одновременное изменение двух переменных величин, свя-
связанных функциональной зависимостью. Пусть имеется функция
y = /(je), определяемая на некотором множестве значений ху напри-
например в некотором промежутке. Используя значения х из указанного
множества, мы можем строить различные упорядоченные множества
значений переменной х и при этом будем получать соответствующие
упорядоченные множества значений переменной y = f(x) [25]. Упо-
Упорядоченная переменная х является упорядочивающей для f(x). Мы
рассмотрим в этом параграфе один важный случай такого про-
процесса.
Пусть функция f{x) определена на некотором промежутке, со-
содержащем точку х —с внутри. Выбирая достаточно малое положи-
положительное ky можем считать, что тем самым f(x) определена на проме-
промежутке с — k*^x*^c-\-k.% Рассмотрим три случая упорядочивания
значений х: х —> с — 0, х —> с -|- 0; х —> с±0 — и соответствующую
этим случаям упорядоченную переменную /(х). Пусть в первом слу-
случае эта переменная имеет предел. Обозначим его буквою А\. В этом
случае пишут:
Hm f(x)=A%. A3)
х-+с -0
Совершенно аналогично во втором случае, при наличии предела
(обозначим его буквою Ля), пишут:
lim /(х)=А2. (И)
Часто пределы A3) и A4) обозначают символами f(c — 0) и f(c-\-0)9
так что
Hm f(x) = f(c — 0), Hm./(*)=/(*
х-*с — 0 x-*c+Q
Отметим, что это — пределы f(x) при стремлении х к с слева я
справа. В третьем случае х стремится к с с двух сторон и сущест-
существование предела
Hm f(x) = B A5)
х-+ с ±0
равносильно, очевидно, следующему: существуют пределы A3) и A4),
и они равны (А\ = Аъ). При этом В= Аг = А%.
Не следует смешивать символы f(c — 0) и f(c-\-0) с f(c), т. е.
со значением f(x) при х = с. Выше мы совершенно не пользовались
этим значением, и при предыдущих рассуждениях f(x) может быть
v не определена при х = с. Если функция определена при х = с и
Дс —0)=/(*+0)=/(О,-т. е.
Hm
х-+с +0
f § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 71
говорят, что функция непрерывна при х = с (в точке с). Поль-
Туясь определением предела для х и f(x), легко указать условия,
равносильные существованиям пределов A3), A4) и A5). Существо-
ание предела A3) равносильно, очевидно, тому, что f(x) становится
сколь угодно близким к Аь когда х достаточно приближается к
числу су оставаясь меньше с. Точнее говоря, A3) равносильно сле-
следующему: при любом заданном положительном числе е существует
такое положительное число т], что
|/(^) —Л1|<е, если
При этом т] зависит от выбора s. Совершенно аналогично, A4) рав-
равносильно следующему: при любом заданном положительном числе s
существует такое положительное число ?], что
|/С*) —Ла|<е, если 0<> —*<т), A40
и A5)' равносильно следующему: при любом заданном положительном
числе е существует такое положительное число т], что
если \х —
Отметим еще следующий очевидный факт: если существует пре-
предел A5), то f(x) при любом законе стремления упорядоченной
переменной х к с имеет предел В, Аналогичное замечание имеет
место и для пределов A3) и A4) при стремлении х к с слева и
справа.
В дальнейшем мы подробно рассмотрим понятие непрерывности
и свойства непрерывных функций. Сейчас мы обратимся к тем слу-
случаям, когда х или f(x) стремятся к бесконечности [29]. Предыдущие
определения легко обобщаются и на эти случаи. Нетрудно, например,
видеть, что
lim = — оо, lim == —т— оо -
Х-+С— 0 л с х-+с-\-0 Л L
lim tgx = -\-oo, lim igx = — со.
Положим, что f(x) определена при всех достаточно больших х
и что упорядоченная переменная х любым образом стремится к -\~ оо
[29]. При этом f{x) есть также упорядоченная переменная, и может
существовать для нее конечный предел
lim f(x) = A. A6)
X -»• -f-OO
^то равносильно следующему: при любом заданном положительном
числе е существует такое число Ж, что
\f{x) — Л|<е, если х>М. Aбх)
72 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 32
В частности, упорядоченность х может состоять в том, что х бес-
беспредельно возрастает, принимая все достаточно большие веществен-
вещественные значения. Совершенно аналогично можно рассмотреть случай
х-> — сю.
Если f(x) определена при всех х, достаточно больших по аб-
абсолютной величине, и упорядоченное переменное х стремится к со
[29], то может аналогично предыдущему существовать конечный
предел
lim/(x)= АУ
что равносильно следующему: при любом заданном положительном
числе е существует такое положительное число М, что
\/(х) — Л|<е, если
В частности, х может стремиться к со, принимая все различные
значения, достаточно большие по абсолютной величине. Их можно
упорядочить так же, как это мы делали в [25] для ненумерованной
переменной х, удовлетворяющей условию а — k^x<^a-{-k (кроме
х = а). Отметим, что для пронумерованной переменной хь х%, х2,... ,
имеющей предел я, вместо \\тхп — а часто пишут lim хп==а.
п-*со
В этом случае #-->оо обозначает, что п возрастает, принимая все
целые положительные значения.
Можно говорить и о бесконечных пределах f(x). В частности,
lim f(x) = — оо
обозначает, что при любом заданном отрицательном числе Mi су-
существует такое число М, что f(x)<^Mh если х^>М. Аналогично
можно определить и другие случаи бесконечного предела.
Нетрудно проверить справедливость следующих равенств:
lim x's = -{-oo, lim х3 = — со,
X -* -f- оо х-* — со
lim — = 0, Iimx2 = -|~oo>
X -> ОО •*" X -+ CO
-. 2х2— 1 ,. 2~*3F. 2
А4-А
Ilm У2 1 1 = lim г—=0.
л:-»оо л "Г l jf-j-co J J |__
~ X2
Рассмотрим еще один физический пример. Положим, что мы на-
нагреваем некоторое твердое тело, и пусть t0 его начальная темпера-
32
§ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
73
Tvpa. При нагревании температура тела будет повышаться, пока не до-
достигнет точки плавления. При дальнейшем нагревании температура
буцет оставаться неизменной до тех пор, пока тело не перейдет це-
целиком в жидкое состояние, а затем опять начнется повышение темпе-
температуры образовавшейся жидкости. Аналогичная картина произойдет и
при превращении жидкости в газообразное состояние. Будем рассмат-
рассматривать количество сообщенного телу тепла Q как функцию темпе-
температуры. На рис. 45 изображен график этой функции, причем на го-
горизонтальной оси откладывается температура, а на вертикальной —
01 to
с
-4
л
Рис. 45.
-1
Рис. 46.
количество поглощенного тепла. Пусть t\ — температура, при кото-
которой тело начинает переходить в жидкое состояние, и t% — темпера-
температура, при которой жидкость начинает переходить в газообразное
состояние. Очевидно:
lim
¦* ti — о
= орд. АВ
lim <3 = орд. Л С.
Величина отрезка ВС дает скрытую теплоту плавления, а вели-
величина отрезка EF—скрытую теплоту парообразования.
Вели пределы /(с — 0) и /(с + 0) существуют и различны, то
разность /(с-|-0)—f(c — 0) называется разрывом, или скачком,
функции f(x) при х = с (в точке х = с).
Функция j/ = arctg имеет при х = с скачок тс. Только что
X ~~~ С
рассмотренная функция Q(t) имеет в точке плавления t = t± скачок,
равный скрытой теплоте плавления.
При определении предела/(х) при стремлении х к с мы считали,
что х стремится к с, никогда с мим не совпадая. Эта оговорка суще-
существенна, потому что значение f(x) при х = с иногда или не суще-
существует, или не имеет ничего общего со значениями /(х) при х> близких
к с* Так, например, функция Q(t) не определена при i — t^
74 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ | 33
Рассмотрим еще пример для пояснения сказанного. Положим, что
на промежутке (— 1, —|— 1) функция определена следующим образом;
у=х-\-\ при—
у = х—1 при
у = 0 при х = 0.
На рис. 46 воспроизведен график этой функции, состоящий из двух
отрезков прямых, из которых исключены конечные точки (при jc = O), и
одной отдельной точки — начала координат. В этом случае
lim f(x) = l, lim /(*)=—1, /@) = 0.
* —-0 *-*-{-0
33. Примеры. 1. Известно, что при любом х имеет место нера-
неравенство | sin л; |=^:| л; | и знак равенства имеет место лишь при лг = О.
Напомним, что величина х при этом выражается в радианах. Из ска-
сказанного следует, что для любого заданного положительного числа е
мы имеем |sin.xr|<^e, если |лг|<^е, т. е.
lim sinx = 0.
2. Далее, имеем:
т. е. 0^1 — cos х <; 4р, откуда следует, что [27]
lim cosjc=1.
3. Рассмотрим частное
Эта функция определена при всех х кроме х = 0, ибо при ^ = 0 й
числитель и знаменатель обращаются в нуль и дробь теряет смысл.
С Исследуем изменение у при х —* ± 0. При из-
изменении знака х величина у не меняется, так
что достаточно предполагать, что х —¦ -f- 0. По-
Покажем, что у—*\ при х—»-{-0. Тот же предел
получится и при дг—> — 0. Отметим, что тео-
теорему о пределе частного применить нельзя, ибо
и числитель и знаменатель стремятся к нулю
при лт—>-|-0.
Будем рассматривать х как центральный
Рис. 47. угол в круге радиуса единица (рис. 47). При-
Принимая во внимание, что пл. Д А0В<^ш. сек-
сектора АОВ<^ил. Л АОС, получим
sinx<A;<
34 1
§ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 75
откуда, деля на ^ sin ¦*> получим
^ sin х
или
sin х ^ ,. -ч
> cos х. A7)
^ X
Но cos х-->1 при лг—> + 0, откуда
v sin х 1
hm —^- = 1
и, в силу сказанного выше,
,. sin л: .
hm = 1.
Определим для данного случая число т], которое входит в усло-
условие (I5j). Вычитая из единицы три части неравенства A7), получим
откуда следует, что
sin х .
х
если 1 — cos лг<^е. Но, как мы видели выше, 1 — cos дг<^-к-, и
достаточно выбрать — <^е, т. е. |лг|<^у2е. Итак, в данном случае
j/2e может играть роль числа т\.
34. Непрерывность функции. Приведем еще раз определе-
определение непрерывности функции f{x) в точке х = с> если эта функция
определена в этой точке и вблизи нее слева и справа.
Определение. Функция f {x), определенная при х = с и всех
значениях х, достаточно близких к с, называется непрерывной
при х = с (в точке с), если существует предел f(x) при х-->с±0
и этот предел равен f (с):
lim f(x)=f(c). A8)
x-+c±0
Напомним, что это равносильно тому, что существуют пределы
/(с — 0) и /(с_}-0) слева и справа и Что эти пределы равны
между собою и равны f(c), т. е. f(c — 0)=f(c-\-0)=f(c).
Из сказанного в [32] следует, что это равносильно также сле-
следующему: при любом заданном положительном числе е существует
такое положительное число % что
I/M-/WK" при |Jf-c|<Tj. A9)
76 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 34
Не нужно оговаривать, что х Ф с, ибо f (х)—f(c) — 0 при х = с.
Иначе зто можно формулировать так:/(х) —f(c)—>0 при х — с—»±0.
Разность х — с есть приращение независимой переменной, а
разность f(x)—f(c)— соответствующее приращение функции. По-
Поэтому указанное выше определение непрерывности часто форму-
формулируют так:
Функция называется непрерывной в точке х = с, если беско*
нечно малому приращению независилсои переменной (от начального
значения х = с) соответствует бесконечно малое приращение
функции.
Заметим, что свойство непрерывности, выражаемое равенством A8),
сводится к возможности находить предел функции простой подста-
подстановкой вместо независимой переменной ее предела.
Из формул, приведенных в конце [28], мы видим, что целый много-
многочлен от х и частное таких многочленов, т. е. рациональная функция
от 'х, суть функции, непрерывные при любом значении х, кроме тех
значений, при которых знаменатель рациональной функции обращается
в нуль.
Непрерывной, очевидно, будет и функция у = Ъ> сохраняющая при
всяком х одно и то же значение [12].
Все элементарные функции, рассмотренные нами в первой главе
(степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и
обратные круговые), непрерывны при всех значениях х, при которых
они существуют, кроме тех значений, при которых они обращаются
в бесконечность.
Так, например, logl0x есть непрерывная функция от х при всех
положительных значениях х\ tg лг есть непрерывная функция от х
при всех значениях х, кроме значений
где k есть любое целое число.
Отметим еще функцию uv, где и и v суть непрерывные функции
от xf причем предполагается, что и не принимает отрицательных
значений. Такая функция называется степенно-показательной. Она
точно так же обладает свойством непрерывности, исключая те
значения х} при которых и и v одновременно равны нулю или
и = 0 и и<0.
Высказанное нами утверждение о непрерывности элементарных
функций нуждается, конечно, в доказательстве, но мы примем это без
доказательства. В дальнейшем мы рассмотрим этот вопрос подроб-
подробнее. Докажем только непрерывность функции sin x при любом x = ct
пользуясь определением A9). Мы имеем [ср. 31]
о . х — с х 4- с
sin х — sin с = 2 sin —к— cos ——-,
35 j § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 77
откуда следует
in х — sin с ] = 2
sin
sin
х— с
cos
sin
X — С
Wo 1 sin ct | ^ | а | при любом угле а, и, следовательно,
| sin х — sin с \ ^ | х — с |.
Чтобы иметь | sin х — sin с | <^ е, где s — заданное положительное
число, достаточно считать, что \х — с\<^г, т. е. роль -ц в опреде-
определении A9) может играть число е.
-Нетрудно показать, что сумма или произведение произвольного
конечного числа непрерывных функций есть также непрерывная
ерункция; то же относится и к частному двух непрерывных
функций за исключением тех значений независимой переменной,
при которых, знаменатель обращается в нуль.
Рассмотрим лишь случай частного. Положим, что функции у(х)
и О(лг) непрерывны при х = а и что ф(а)^0. Составим функцию
Пользуясь теоремой о пределе частного, получим
lim cp (х)
что и доказывает непрерывность частного f(x) при х = а.
Отметим один простой пример. Раз у = sin x есть непрерывная
функция от х, то y = b sin х, где Ь — постоянная, также будет непре-
непрерывной функцией, так как она является произведением непрерывных
функций у — Ь (см. выше) и y = sinx.
Вернемся теперь еще к функции у = . При х = 0 эта функ-
х
ция неопределенна, но мы знаем, что lim y=\. Поэтому, если мы
х-+±0
положим у-= 1 при х = 0} то у будет непрерывной функцией в точке
Подобнее нахождение предела функции при стремлении л; к ее
точке неопределенности называется раскрытием неопределенности,
а самый предел, если он существует, называют иногда истинным зна-
значением функции в ее упомянутой точке неопределенности. В дальней-
шем мы будем иметь много примеров раскрытия неопределенностей.
35. Свойства непрерывных функций. Выше мы определили
свойство непрерывности функции при заданном значении х. Положим
Теперь, что функция определена в конечном промежутке а
78 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 35
Если она непрерывна при любом значении х из этого промежутка,
то говорят, кто она непрерывна в промежутке (я, Ь). Заметим
при этом, что непрерывность функции на концах промежутка х = а
и хх=Ь состоит в следующем:
lim /(*)=/(a), lim f(x)=f(b).
x->a + Q x-*b — 0
Все непрерывные функции обладают следующими свойствами:
1. Если функция f(x) непрерывна в промежутке (а, ?), то
существует в этом промежутке, по крайней мере, одно такое
значение х, при котором f(x) принимает свое наибольшее значе-
значение и, по крайней мере, одно такое значение х, при котором
функция принимает свое наименьшее значение.
2. Если функция f(x) непрерывна в промежутке (а, Ь), при-
причем f(a) = m и f{b) = n, и если k — любое число, заключающееся
между т и п, то существует в промежутке (а, Ь), по крайней
мере, одно такое значение х, при котором значение f(x) равно k;
в частности, если /(а) и f(b) разных знаков, то существует
внутри промежутка (а, Ь\ по крайней мере, одно такое значе-
значение х, при котором f(x) обращается в нуль.
Эти два свойства становятся непосредственно ясными, если при-
принять во внимание, что в случае непрерывности функции соответствую-
соответствующий ей график будет представлять собою непрерывную кривую. Это
замечание не может, конечно, служить доказательством. Самое понятие
о непрерывной кривой, наглядное с первого взгляда, оказывается чрез-
чрезвычайно сложным при ближайшем его рассмотрении. Строгое доказа-
доказательство указанных двух свойств, так же как и следующего, третьего,
основано на теории иррациональных чисел. Мы примем эти свойства
без доказательства.
В последних номерах настоящего параграфа мы выясним основы
теории иррациональных чисел и связь этой теории с теорией пре-
пределов и свойствами непрерывных функций. Заметим, что второе
свойство непрерывных функций можно еще формулировать так: при
непрерывном изменении х от а до b непрерывная функция f(x)
проходит, по крайней мере, один раз через все числа, лежащие меж-
между /(а) и f{b).
Ha рис. 48 и 49 изображен график непрерывной в промежутке
(а, Ь) функции, у которой f(a)<^0 и /(#)^>0. На рис. 48 график
один раз пересекает ось OXt и при соответствующем значении X
функция f (х) обращается в нуль. В случае рис. 49 таких значений
будет не одно, а три.
Мы переходим теперь к третьему свойству непрерывных функций,
которое является менее наглядным, чем два предшествующих.
3. Если f(x) непрерывна в промежутке (а, Ь) и. если x = xQ есть
некоторое значение х из этого промежутка, то в силу условия A9)
35
§ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
79
[34] (заменяя с на х0) для любого заданного положительного г суще-
существует такое т], зависящее, очевидно, от е, что
\f(x)— /(дто)|<е, если \х —
причем мы считаем, конечно, х также принадлежащим промежутку
tuj Ь). (Если, например, дго = д, то х обязательно больше а, а если
j?ft = &, то х<^Ь.) Но число т\ может зависеть не только от г, но
и от того, какое именно значение х = х0 из промежутка (а, Ь) мы
рассматриваем. Третье свойство непрерывных функций заключается
в том, что на самом деле для у
любого заданного е суще-
ъ
Рис. 48.
Рис. 49.
ствует одно и то же tj для всех значений х0 из промежутка (а> V).
Иными словами, если f(x) непрерывна в промежутке (а, Ь), то
для любого заданного положительного е существует такое по-
положительное т], что
для любых двух значений х? и х" из промежутка (a, b)t удовлет-
удовлетворяющих неравенству
1*"-*Ч<ч- С21)
Это свойство называется равномерной непрерывностью. Таким
образом, если функция непрерывна в промежутке (а, Ь), то она
будет равномерно непрерывна в этом промежутке.
Отметим еще раз, что мы предполагаем функцию f(x) непрерыв-
непрерывной не только для всех лг, лежащих внутри промежутка (а, Ь), но и
Для значений' х = а и х = Ь.
Мы поясним свойства равномерной непрерывности еще на одном
простом примере. Предварительно перепишем предыдущие неравенства
в другом виде, заменяя букву х' на х и У на (х-)-/*)- При этом
x' = h представляет собою приращение независимой переменной
80 ГЛ. Т. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 35
и f(x-{-h)—f(x)— соответствующее приращение функции. Свойство
равномерной непрерывности запишется так:
|/(*+А)_/(*)|<е, если |й|<1),
где х и (х -\- h) — любые две точки из промежутка (а, Ь).
Для примера рассмотрим функцию
В данном случае мы имеем
h) —f(x) = (a: + hf — x2 =
При любом заданном значении х выражение Bxh -f- /г2), дающее приращение
нашей функции, стремится, очевидно, к нулю, если приращение независимой
переменной стремится к нулю. Этим еще раз подтверждается [34], что взятая
функция непрерывна при всяком значении х. Тем самым она будет непре-
непрерывна, например, в промежутке —\^.х^2. Покажем, что она будет равно-
равномерно непрерывна в этом промежутке. Нам надо удовлетворить неравенству
12xh + h21 < s B2)
соответствующим подбором числа yj в неравенстве |А|<т), причем х и
(лг + Л) должны принадлежать промежутку (—1, 2). iMbi имеем
12xh + h21 ^ | 2xh | + h2 = 2 | * 11 h | + /г2.
Но наибольшее значение |лт| в промежутке (—1, 2) равно двум, и потому
мы можем заменить предыдущее неравенство более сильным:
12xh + h21 ^ 4 | h |
Будем считать во всяком случае | Л | < 1. При этом Л2<|Л|, и мы можем
переписать предыдущее неравенство в виде:
12xh + h21 < 4 | h | + | h \ или | 2xh + Л21 < 5 | h |.
Неравенство B2) будет, наверное, удовлетворено, если мы подчиним | h |
условию 5 | h | < е. Таким образом, Л должно удовлетворять двум неравенствам
|Л|<1 и |Л|<~.
Следовательно, за число к] мы можем взять наименьшее из двух чисел 1 и
-?-. При малых s (а именно при s<5) мы должны взять т] = -^-, и во вся-
ком случае очевидно, что найденное yj будет, при заданном е, одним и тем же
для всех х из промежутка (— 1, 2).
Указанные свойства могут уже не иметь места в случае разрывных
функций или функций, непрерывных только внутри промежутка. Рассмот-
Рассмотрим функцию, график которой изображен на рис. 46. Она определена на
промежутке (— 1, + 1) и имеет разрыв при л: = 0. Среди ее значений имеются
сколь угодно близкие к единице, но она не принимает значения, равного
единице, и значений, больших единицы. Таким образом, среди значений этой
функции нет наибольшего. Точно так же среди этих значений нет и наимень-
наименьшего. Элементарная функция у = х не принимает внутри промежутка @, 1)
ни наибольшего, ни наименьшего значения. Если рассматривать эту же функ-
функцию в замкнутом промежутке @, 1), то она будет достигать своего наимень-
наименьшего значения при л: = 0 и наибольшего при д?=1. Рассмотрим еще функ-
gg j § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 81
i ию /(.*•) = sin—, непрерывную в промежутке 0<х<с:1, открытом слева.
При стремлении х к нулю аргумент — беспредельно растет, и sin — колеб-
колеблется между (—1) и (+1) и не имеет предела при x---f-0. Покажем, что
указанная функция не обладает равномерной непрерывностью в промежутке
к <- г -^ 1. Рассмотрим два значения: х' = — и х" =-т-л—-.—р—, где я— целое
"~~~ tin DЛ -f- 1) тс
положительное число. Оба они принадлежат упомянутому промежутку при
любом выборе п. Далее, мы имеем
/ (л;') = sin пп = 0, / (х") = sin ( 2пк -f- ~\ = 1.
Таким образом,
^Х ' Dл + 1) те пк9
При беспредельном возрастании целого положительного числа п разность
х" — х' стремится к нулю, а разность f(x")—f(x') остается равной единице.
Отсюда видно, что не существует положительного т\ для промежутка 0 < х ^ 1
такого, что из B1) следует \f(x") —f{x') | < 1; это соответствует выбору
е = 1 в формуле B0).
Возьмем функцию /(;c)==A:sin—. При х—»-\-0 первый множитель х
стремится к нулю, а второй sin — не превышает единицы по абсолютной
величине, а потому [32] f(x)-+0 при x—*-f-0. При х = 0 второй множитель
не имеет смысла, но если мы дополним определение нашей функции, положив
/@) = 0, т. е. будем считать f(x) = xsin— при 0<х<^\ и/@) = 0, то
получим функцию, непрерывную в замкнутом промежутке @, 1). Функции
sin-— и xsin — обладают, очевидно, непрерывностью при любом х, отличном
х х
от нуля.
36, Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших ве-
величин. В дальнейшем буквами а и р мы будем обозначать упорядо-
упорядоченные переменные, которые имеют одну и ту же упорядочивающую
переменную (значок п или переменную t), так что мы можем произ-
производить элементарные действия над этими переменными.
Q
Если переменные аир стремятся к нулю, то к их частному —
теорема о пределе частного неприменима и мы без дополнительных
исследований ничего не можем сказать о существовании предела у
этого частного.
Положим, что а и В стремятся к нулю, но не принимают в про-
Цессе изменения значения нуль и что отношение — стремится к пре-
АелУ а, конечному и отличному от нуля. При этом и отношение ~
82 ГЛ. Т. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ | 36
стремится к пределу —, конечному и отличному от нуля. В этом
случае говорят, что аир — бесконечно малые одного и того же
порядка.
Q
Если предел отношения - равен нулю, то говорят, что р — бес-
бесконечно малая высшего порядка по сравнению с а или что а —
бесконечно малая низшего порядка по сравнению с р. Если отноше-
отношение — стремится к бесконечности, то ~ стремится к нулю, т. е. р бу-
будет низшего порядка по сравнению с а и а высшего порядка по
сравнению с р. Легко показать, что если а и р бесконечно малые
одного и того же порядка и f бесконечно малая высшего по-
порядка по отношению к а, то она бесконечно малая высшего по-
порядка и по отношению к р. По условию —-—0, и отношение^ имеет
предел, конечный и отличный от нуля. Из очевидного равенства
? = -•-, в силу теоремы о пределе произведения, непосредственно
следует, что ? —* О, что И доказывает наше утверждение.
Отметим важный частный случай бесконечно малых одного и
того же порядка. Если - —* 1 (при этом и -—*1], то бесконечно
малые а и р называются эквивалентными. Из равенства = -—1
непосредственно следует, что эквивалентность а и р равносильна
тому, что разность р — а есть бесконечно малая высшего порядка
по отношению к а. Из равенства ^—^—= 1 —g точно так же следует,
что эквивалентность равносильна тому, что р—а есть бесконечно
малая высшего порядка по отношению к р.
Если отношение \, где k — постоянное положительное число,
стремится к пределу, конечному и отличному от нуля, то говорят,
что р бесконечно малая порядка k no сравнению с а. Если -^—+с,
где с — число, отличное от нуля, то -^->1, т. е. р и со? — экви-
эквивалентные бесконечно малые, и следовательно, разность 7 = р—са*
есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с р (или по
сравнению с а*). Если принять а за основную бесконечно малую,
то равенство p = cafe-f-f> г#е Т — бесконечно малая высшего по-
порядка по сравнению с aft, представляет собой выделение из беско-
бесконечно малой р бесконечно малого слагаемого со!* (простейше-
(простейшего вида по отношению к а), так что остаток -у есть Уже ^ес-
конечно малая высшего порядка по сравнению с р (или по сравне-
сравнению с а*).
37 ] § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 83
Аналогичным образом производится сравнение бесконечно боль-
больших величин и и v. Если - стремится к пределу, конечному и
отличному от нуля, то говорят, что и и v бесконечно большие вели-
величины одного и того же порядка. Если > О, то > оо. В этом
случае говорят, что v бесконечно большая низшего порядка по
сравнению с и или что и бесконечно большая высшего порядка по
сравнению с v. Если »1, то бесконечно большие называются
эквивалентными. Если -?, где k — постоянное положительное число,
имеет предел, конечный и отличный от нуля, то говорят, что v
бесконечно большая &-го порядка по сравнению с и. Все сказанное
выше о бесконечно малых имеет место и для бесконечно больших»
Отметим еще, что если отношение - или - вовсе не имеет пре-
а U
дела, то соответствующие бесконечно малые или бесконечно боль-
большие называются несравнимыми.
37. Примеры.
1. Выше мы видели, что
-. sin х л
lim = 1,
о х
т. е. sin х и х суть эквивалентные бесконечно малые, и, следовательно, раз-
разность sin х — х есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к х.
Дальше мы увидим, что эта разность эквивалентна —7Гх3> Тв е* является
бесконечно малой третьего порядка по сравнению с х.
2. Покажем, что разность 1 — cos л: есть бесконечно малая второго по-
порядка по отношению к х. Действительно, применяя известную тригономет-
тригонометрическую формулу и элементарные преобразования, получим
1 — cos x
Если л:—»0, то а = ?г также стремится к нулю, и, как мы показали,
. х
у 2 sin а , 1-1 — cos х 1
lim = hm = 1, и, следовательно, lim ^ — "о"»
х~+0 X (х-+0 ^ X—+QX ?
2
т- е. действительно, 1 — cos x бесконечно малая второго порядка по сравне-
сравнению с х.
3. Из формулы
84 ГЛ. 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ I 38
следует
|/Т+Т—1_ 1
х ~~~ у \ _|_ х _j_ \'
откуда
lim ! = тг.
т. е. }^\ -\- х — 1 и х суть бесконечно малые одного порядка, причем
У~\-\-х—1 эквивалентна ~^-х.
4. Докажем, что многочлен степени т есть бесконечно большая по-
порядка т по сравнению с Л'. Действительно,
аохт + а,хт~1 + ... + ат_хх + ат =
л:-»оо •*
Нетрудно видеть, что два многочлена одной и той же степени, при а* —*оо,
суть бесконечно большие одного и того же порядка. Их отношение имеет
пределом отношение их старших коэффициентов. Например,
4 ""ЛШсо 7 , 1 , i. 7 '
"*" X ^ X2
Если степени двух многочленов различны, то при х—*со тот из них будет
бесконечно большой высшего порядка но сравнению с другим, степень ко-
которого больше.
38. Числе е. Рассмотрим один важный для дальнейшего пример
переменной величины, а именно, рассмотрим переменную, прини-
принимающую значения
где пу возрастая, принимает целые положительные значения и стре-
стремится, таким образом, к -\-оо. Применяя формулу бинома Ньютона,
получим
. Мя_1 I * ] 1 п(п—\) 1 . п(п-\)(п—2) 1 ,
л]-1!" 1 „Т 2! п** 3! п3 •"
38
§ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ ?5
Написанная сумма содержит (я-f-l) положительных слагаемых,
р увеличении целого числа п, во-первых, увеличится число сла-
слагаемых и, во-вторых, каждое из прежних слагаемых также увели-
увеличится, так как в выражении общего члена*)
4,(i_±\(i_2\. .Ji-k—
4,
/г! остается без изменения, а разности, стоящие в круглых скобках,
увеличатся при увеличении п. Таким образом, мы видим, что рас-
рассматриваемая переменная при увеличении п увеличивается, и для
того, чтобы убедиться в существовании предела этой переменной,
достаточно доказать, что она ограничена.
Заменим в выражении общего члена каждую из упомянутых раз-
разностей единицей, а все множители, входящие в k\, начиная с '3,
заменим на 2. От такой замены общий член увеличится, и мы будем
иметь, применяя формулу для суммы членов геометрической про-
прогрессии
1-4
^
f 1 \п
т. е. переменная A-| J ограничена. Обозначим предел этой пере-
переменной буквой е:
lim ( 1-] ) =е (п — целое положительное). B3)
+ Л п I
п
Этот предел не может быть, очевидно, больше 3. В формуле B3)
целое п может, очевидно, стремиться к -\- со любым образом.
Докажем теперь, что выражение A -j ) стремится к тому же
пределу <?, если х—+ -j-oo, принимая любые значения.
Пусть п — наибольшее целое число, заключающееся в х, т. е.
1) Произведение fl j f 1 ] . . . f 1 ^-j получается из дроби
nk
если каждый из k coMHO^KHTev^eH, стоящих в числителе, разделить на /?,
финимая во внимание, что число сомножителей п в знаменателе также
равно /г.
86 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 38
Число п стремится, очевидно, вместе с х к -{- оо. Принимая во
внимание, что при увеличении положительного основания, большего
единицы, и показателя степени увеличивается и сама степень, можем
написать
Но, в силу равенства B3),
lim 1-4 р-р = hm
+ 1+_
Hm A + Й"+1= Вт r(±)"(
Таким образом, крайние члены неравенства B4) стремятся к пре-
пределу е, а потому к тому же пределу должен стремиться и средний
член, т. е.
lim (l+lVW B5)
Рассмотрим теперь тот случай, когда х стремится к —оо. Введем
вместо х новую переменную у, полагая
х = — 1 —у, откуда у = — 1 — х.
Из последнего равенства видно, что, при стремлении х к —оо
у стремится к -(-оо.
1 -| ) замену переменных и принимая
во внимание равенство B5), получим
„m (l+l)'= lim (_=2-Г^= lim
Если х стремится к оо, имея любые знаки, т. е. | jvt [ —> —|— оо,
то из предыдущего следует, что и в этом случае
lim (l+±VW B6)
Впоследствии мы покажем удобный путь для вычисления числа е
с любой степенью точности. Число это, как оказывается, есть число
иррациональное [и с точностью до седьмого десятичного знака оно
выражается так: е = 2,7182818,..
оо 1 § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 87
оо I
/ ? \ X
Нетрудно теперь найти предел выражения A-J— , где k — дан-
данное число. Пользуясь непрерывностью степенной функции, получим
где буквою у обозначено частное ^-, стремящееся к бесконечности
одновременно с х.
( k\n
Выражения вида A-| ) встречаются в теории так называемых
сложных процентов. Предположим, что приращение капитала проис-
происходит ежегодно. Если капитал а отдан из р процентов годовых, то
по истечении года наращенный капитал будет a(l-\-k), где k = ^^\
по прошествии второго года он будет a(l-f-&J, и, вообще, по про-
прошествии т лет он будет a(l-\-k)m.
Положим теперь, что приращение капитала происходит через —
часть года. При этом число k уменьшится в п раз, так как про-
процентная такса р рассчитана на год, а число промежутков времени
увеличится в п раз, и наращенный капитал через т. лет будет
Пусть, наконец, п увеличивается беспредельно, т. е. приращение
капитала происходит через все меньшие промежутки времени и в пре-
пределе— непрерывно. По прошествии т лет наращенный капитал будет
Ъ \ тп Г ( Ъ \я Щ
П1 п-+оо W n> i
ekm
Примем число е за основание логарифмов. Такие логарифмы на-
называются натуральными логарифмами и их обычно обозначают
просто знаком log (или In) без указания основания.
При стремлении переменной х к нулю в выражении ** ~гл;
числитель и знаменатель стремятся к нулю.^Раскроем эту неопре-
неопределенность. Введем новую переменную уу полагая
* = 1,т. е. у = ±,
откуда видно, что, при х—*0, у стремится к бесконечности. Введя
эту новую переменную и пользуясь непрерывностью функции logx
при х^>0 и формулой B6), получим
88 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ ЗЭ
Из этого ясна целесообразность сделанного выбора основания ло-
логарифмов. Точно так же, как при радианном измерении углов, истин-
sin х п
ное значение выражения при х = 0 равно единице, в случае
х
натуральных логарифмов истинное значение выражения °g '~^XJ
при х = 0 тоже равно единице.
Из определения логарифмов вытекает следующее соотношение:
Логарифмируя это соотношение по основанию е> получим
log Лг = loga N • log а или \oga N=logN- j~.
Соотношение это выражает логарифм числа N при любом осно-
основании а через его натуральный логарифм. Множитель М = - на-
называется модулем системы логарифмов с основанием а; при а =10
он выражается с точностью до седьмого десятичного знака так:
М = 0,4342945...
39. Недоказанные предложения. При изложении теории пре-
пределов мы оставили недоказанными несколько предложений, кото-
которые сейчас перечислим: существование предела у монотонной
ограниченной переменной [30|, необходимое и достаточное условие
существования предела (признак Коши) [31] и три свойства непре-
непрерывных в замкнутом промежутке функций [35]. Доказательство этих
предложений основывается на теории вещественных чисел и действий
над ними. Изложению этой теории и доказательству упомянутых выше
предложений будут посвящены следующие номера.
Введем еще одно новое понятие и формулируем еще одно пред-
предложение, которое также будет доказано ниже. Если мы имеем мно-
множество, состоящее из конечного числа вещественных чисел (например,
мы имеем тысячу вещественных чисел), то среди них будет как наи-
наибольшее, так и наименьшее. Если же мы имеем бесконечное множе-
множество вещественных чисел и даже таких, что все эти числа принад-
принадлежат определенному промежутку, то, все же не всегда среди этих
чисел будет наибольшее и наименьшее. Например, если мы рассмот-
рассмотрим множество всех вещественных чисел, заключающихся между 0
и 1, но не будем причислять к этому множеству самих чисел 0 и 1,
то среди этого множества чисел нет ни наибольшего, ни наимень-
наименьшего. Какое бы число, близкое к единице, но меньше ее, мы ни взяли,
найдется другое число, лежащее между взятым числом и единицей.
В данном случае числа 0 и 1, не принадлежащие к взятому множе-
множеству чисел, обладают по отношению к нему следующим свойством;
л , § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 89
чисел нашего множества нет чисел, больших единицы, но при
заданном положительном числе в есть числа, большие A—е).
Точно так же среди чисел нашего множества нет чисел, меньших
у1Я но при любом заданном положительном числе* е есть числа, мень-
меньшие:'@ Ч"?)- ^ти числа 0 и * называются точной нижней и точной
верхней границами указанного выше множества вещественных чисел.
Перейдем от этого примера к общему случаю.
Пусть имеется некоторое множество Е вещественных чисел. Го-
Говорят, что оно ограничено сверху, если существует такое число М,
что все числа, принадлежащие множеству Е, не превосходят М.
Точно так же говорят, что множество ограничено снизу, если суще-
существует такое число т, что все числа, принадлежащие множеству
ЕУ не менее, чем т. Если множество ограничено сверху и снизу,
то его просто называют ограниченным.
Определение. Точной верхней границей множества Е на-
называют такое число C {если оно существует), что среди чисел,
принадлежащих Е, нет чисел, больших р, но при любом задан-
заданном положительном е есть числа, большие ф — г). Точной ниж-
нижней границей множества Е называется такое число а (если оно
существует), что среди чисел, принадлежащих Е, нет чисел, мень-
меньших а, но при любом заданном положительном е есть числа,
меньшие (а -\-г).
Если множество Е не ограничено сверху, т. е. существуют числа
из Е, большие любого заданного числа, то множество не может
иметь точной верхней границы. Точно так же, если множество Е не
ограничено снизу, то оно не может иметь точной" нижней границы.
Если среди чисел множества есть наибольшее, то оно, очевидно, и
является точной верхней границей множества. Точно так же, если
среди чисел множества есть наименьшее, то оно и является точной
нижней границей множества Е. Но, как мы видели, не всегда среди
чисел бесконечного множества есть наибольшее или наименьшее.
Однако можно показать, что у множества, ограниченного сверху,
всегда имеется точная верхняя граница, а у множества, ограни-
ограниченного снизу, — точная нижняя граница. Отметим еще, что из оп-
определения точных границ непосредственно следует, что точная верх-
верхняя и точная нижняя граница может быть только одна.
Указанными в настоящем номере предложениями мы будем часто
пользоваться в дальнейшем.
Следующие номера, напечатанные мелким шрифтом, могут быть
пропущены при первом чтении.
40. Вещественные числа. Начнем с изложения теории вещественных
чисел. Мы исходим из множества всех рациональных чисел, целых и дроб-
^1Х> как положительных, так и отрицательных. Все эти рациональные числа
°ЖНо себе представить расположенными в порядке их возрастания. При
Том» если а и b два любых различных'рациональных числа, то между
90 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ | 40
ними можно вставить сколько угодно рациональных чисел. Действительно
пусть а<Ь, и введем положительное рациональное число г = , где
п — какое-нибудь целое положительное число. Рациональные числа a -f- г,
0 + 2г, ... , а-\-(п—\)г лежат между а и Ь, и, ввиду произвольности
в выборе целого положительного числа я, наше утверждение доказано.
Назовем сечением в области рациональных чисел всякое разделение
всех рациональных чисел на такие два класса, что любое число одного
(первого) класса меньше любого числа другого (второго) класса. При этом,
очевидно, если некоторое число находится в первом классе, то и всякое
меньшее его число также находится в первом классе, и если некоторое
число находится во втором классе, то и всякое большее число также нахо-
находится во втором классе.
Положим, что среди чисел первого класса есть наибольшее число. При
этом, в силу упомянутого свойства совокупности рациональных чисел, можно
утверждать, что среди чисел второго класса нет наименьшего числа. Точно
так же, если среди чисел второго класса есть наименьшее, то среди чисел
первого класса нет наибольшего. Назовем сечение — сечением первого родаг
если среди чисел первого класса есть наибольшее или среди чисел второго
класса есть наименьшее. Легко построить такие сечения. Возьмем какое-*
нибудь рациональное число Ь и отнесем к первому классу все рациональные
числа, меньшие Ь, ко второму классу — все рациональные числа, большие ^
а само число Ь отнесем или к первому классу (оно будет там наибольшим)
или ко второму классу (оно будет там наименьшим). Беря за Ь всевозмож-
всевозможные рациональные числа, мы получим таким образом всевозможные сечения
первого рода. Мы будем говорить, что такое сечение первого рода опре*
деляет то рациональное число Ь> которое является наибольшим в первом
или наименьшим во втором классе.
Но существуют и сечения второго рода, у которых в первом классе
нет наибольшего числа, а во втором классе нет наименьшего числа. Построим
пример такого сечения. Отнесем к первому классу все отрицательные
-рациональные числа, нуль и те положительные рациональные числа, квадрат
которых меньше двух, а ко второму классу отнесем все те рациональные
положительные числа, квадрат которых больше двух. Так как не существует,
рационального числа, квадрат которого равен двум, то все рациональные числа
окажутся распределенными, и мы будем иметь некоторое сечение. Покажем, что
в первом классе нет наибольшего числа. Для этого достаточно показать, что
если число а принадлежит первому классу, то есть числа, большие а, также,
принадлежащие первому классу. Если а отрицательно или нуль, то это
очевидно; положим, что а > 0. По условию составления первого класса
а2 <с 2. Введем положительное рациональное число г = 2 — а2 и покажем»
что можно определить настолько малое положительное рациональное число х$
чтобы (а-\-х) также принадлежало первому классу, т. е. чтобы имелось
неравенство
2 —(д + л:J>0 или г — 2ах — л:2>0,
т. е. дело сводится к нахождению такого положительного рационального
числа, которое удовлетворяет неравенству х2 -\- 2ах < г. Считая х < 1, иыееш
х2 < х, и, следовательно, х2 + 2ах < х + 2tf* = Bа + 1) л:, т. е. нам доста-
достаточно удовлетворить неравенству Bа -(- 1) х <С г, таким образом, х опреде*
ляется из двух неравенств
Очевидно, можно найти сколько угодно таких положительных рациональ-
рациональных х, которые удовлетворяют обоим этим неравенствам. Совершенно так же
яЛ i § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 91
н0 показать, что во втором классе построенного сечения нет наимень-
ь о числа. Итак, мы построили пример сечения второго рода. Основным
шСмеНТ0М теории является следующее соглашение: мы считаем, что всякое
Ь\чение второго рода определяет некоторый новый объект — иррацио-
альное число. Разные сечения второго рода определяют разные иррацио-
^атьные числа. Нетрудно догадаться, что построенный выше пример сече-
сечения второго рода определяет то иррациональное число, которое мы обычно
обозначаем /2.
Можно расставить теперь все введенные таким образом иррациональные
числа вместе с прежними рациональными в порядке возрастания, который
интуитивно изображается для нас точками направленной оси ОХ. Если а есть
некоторое иррациональное число, то мы обозначим через I (а) и II (а) первый
и второй классы того сечения, которое определяет иррациональное число а.
Мы считаем число а большим, чем любое число из I (а), и меньшим, чем
любое число из II (а). Таким образом, любое иррациональное число сравни-
сравнивается с любым рациональным. Остается определить понятия больше и
меньше для любых двух различных иррациональных чисел аир. Поскольку
а и р различны, классы I (а) и 1 (Р) не совпадают, и один из классов заклю-
заключается в другом. Положим, что I (а) заключается в I (р), т. е. всякое число
из I (а) принадлежит 1 (р), но есть числа из I (р), принадлежащие II (а). При
этом мы по определению считаем а < р. Таким образом, совокупность всех
рациональных и иррациональных чисел, т. е., иначе говоря, совокупность всех
вещественных чисел расположена в порядке. При этом, пользуясь данными
выше определениями, нетрудно показать, что если а, Ь и с — вещественные
числа а< b и Ь < с, то а < с.
Отметим прежде всего одно элементарное следствие из указанных опре-
определений. Пусть а—некоторое иррациональное число. Поскольку в классе I (а)
нет наибольшего, а в классе II (а) нет наименьшего числа, то непосредст-
непосредственно очевидно, что между а и любым рациональным числом а можно вста-
вставить сколько угодно рациональных чисел. Пусть теперь а<р — два различ-
различных иррациональных числа. Часть рациональных чисел из I (P) входит в II (а), и
отсюда непосредственно следует, что между аир также можно вставить
сколько угодно рациональных чисел, т. е. вообще, между двумя различ-
различными вещественными числами можно вставить сколько угодно рацио-
рациональных чисел.
Мы переходим теперь к доказательству основной теоремы теории ирра-
иррациональных чисел. Рассмотрим совокупность всех вещественных чисел и
произведем в ней какое-нибудь сечение, т. е. распределим все вещественные
числа (не только рациональные, но и иррациональные) на два класса I и II
так, чтобы любое число из I было меньше любого числа из II. Докажем, что
при этом обязательно или в классе I будет наибольшее число или в классе II
будет наименьшее число (одно исключает другое, как и выше для сечения
в области рациональных чисел). Для этого обозначим через Г совокупность
всех рациональных чисел из I и через IP — совокупность всех рациональ-
рациональных чисел из II. Классы (Р, IP) определяют некоторое сечение в области рацио-
рациональных чисел, и это сечение определит вещественное число а (рациональное
Или иррациональное). Положим для определенности, что это число а принад-
принадлежит классу I при упомянутом выше распределении всех вещественных
чисел на два класса. Покажем, что а должно быть наибольшим числом из
класса I. Действительно, если бы это было не так, то существовало бы
в классе I вещественное число р, большее а. Возьмем некоторое рациональ-
рациональное число г, лежащее между а и р, т. е. а < г < р. Оно должно принадле-
принадлежать классу I и, следовательно, классу Р.
Таким образом, в первом классе сечения (Р, IP), определяющего числа а,
уходится число г, большее, чем а. Этого быть не может, и, следовательно,
аше предположение, что а не наибольшее число класса! — неправильно.
92 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ | $|,
Совершенно так же можно показать, что если а попадает в класс II, то ощ
должно быть там наименьшим числом.
Итак, мы доказали следующую основную теорему:
Основная теорема. # любом сечении, произведенном & обласщ
вещественных чисел, обязательно: или первый класс содержит наибол^
шее число или второй класс содержит наименьшее число.
Всем рассуждениям настоящего номера легко придать простой геометру
ческий смысл. Сначала мы рассматриваем на оси ОХ только точки с рацио-
рациональными абсциссами. Сечению в области рациональных чисел соответствует
разрез прямой ОХ на две полупрямые. Если разрез происходит в точ^
с рациональной абсциссой, то полу.чается сечение первого рода, причеи
абсцисса той точки, в которой происходит разрез, причисляется сама иди
к первому или ко второму классу. Если же разрез производится в точк?,
которой не соответствует рациональная абсцисса, то получается сечение
второго рода, определяющее иррациональное число, которое и принимается
за абсциссу той точки, в которой произведен разрез. После заполнения ц±
ких пустых точек иррациональными абсциссами всякое рассечение прямой
происходит уже в точке с некоторой вещественной абсциссой. Все щ
является лишь геометрической иллюстрацией и не имеет доказательной силы,
Нетрудно, пользуясь данным onp-еделением иррационального числа а, обра*
зовать бесконечную десятичную дробь, соответствующую этому числу [ф
Всякий конечный отрезок 9Tqft дроби должен принадлежать I (а), но если м|*
увеличим на единицу последнюю цифру этого отрезка, то соответствующей
рациональное число должно находиться в II (а).
41. Действия над вещественными числами. Теория иррациональных
чисел, кроме данных выше определений и основной теоремы, содержит еще
определение действий над иррациональными числами и исследование свойс1?!
зтих действий. При определении действий мы будем руководствоваться*
сечениями в области рациональных чисел, и, поскольку эти сечения опреде-
определяют не только иррациональные, но и рациональные числа (сечения первогр
рода), определение действий будет годиться вообще для всех вещественны^
чисел, причем для рациональных чисел они будут совпадать с извест-
известными. При изложении настоящего номера мы ограничимся только общими
указаниями. ?
Сделаем предварительно одно замечание. Пусть а — некоторое вещ(р
ственное число. Возьмем какое-нибудь (малое) рациональное положительно!"
число г, затем рациональное а из I (я) и составим арифметическую про-
прогрессию
я, а-{-г, а-\-2г, ... , а-\-пг, ...
При больших п числа (а -+- пг) попадут в И (а), и, следовательно, буЩ
существовать такое целое положительное k, что [а-\-(k—1)г] принадлЙ*
жит I (а) и (а-\- kr) принадлежит II (а), т. е.: ^
Заме ч а н и е: В любом сечении рациональных чисел существуют
в разных классах числа, отличающиеся на любое заданное положителъ*
ное рациональное число г, как бы мало оно ни было.
Перейдем теперь к определению сложения. Пусть а и р — два вещ$?
ственных числа. Пусть а — любое число из I (а), а' — из II (ос), Ь — из \Щ
и Ь'—из II ф). Составим всевозможные суммы (а-\-Ь) и (a' -j- b'). Во всякоИ
случае имеем: а + Ь < а' + Ь'. Составим новое сечение рациональных чисел,
относя ко второму классу все рациональные числа, большие всех (а-\-Ь)$
и относя к первому классу все остальные рациональные числа. При этоМ
любое число первого класса меньше любого числа второго класса, в0
числа (а + Ь) отходят в первый класс и все числа (а' + Ь') — во второй класб
Составленное новое сечение определит некоторое вещественное числО|
I § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 93
ос мы и назовем суммой (а + Р). Это число, очевидно, больше или равно
К?1Ч, (я 4" ^) и мсньше или равно всем (а' -\- Ь'). Принимая во внимание, что
HCC|nv сделанного выше замечания, числа а и а', а также Ь и Ь' могут от-
В ДрУг от ДР)'га на любое малое положительное рациональное число,
показать, что может существовать только одно число, удовлетво-
цшисе указанным выше неравенствам. Непосредственно проверяется, что
^ <у-кение удовлетворяет обычным законам, известным для рациональных
Ч11ССЛ а + Р = Р + а
Например, чтобы получить (Р + а), пам наД° будет составлять вместо
сумм (а-\-Ь) и (о' + ?') суммы (? + я) и (Ь' -\-а'), но эти суммы совпадают
с'прежними, так как переместительный закон сложения для рациональных
чисел известен.
Пусть а — некоторое вещественное число. Определим число (—а) сле-
следующим сечением: в первый класс относим все рациональные числа из класса
if (а) с измененным знаком, а во второй класс — все числа из I (а) с изме-
измененным знаком. Таким образом, получится действительно сечение в области
рациональных чисел, и для числа (— а), как нетрудно проверить, имеем
-(-«) = «, « + (-«) = <).
Нетрудно видеть, что если а > 0, то (— а) < 0, и наоборот. Назовем абсолют-
абсолютным значением числа а, отличного от нуля, то из двух чисел а и (—а),
которое больше нуля. Обозначим, как и раньше, абсолютное значение числа а
СИМВОЛОМ | а |.
Переходим теперь к умножению. Пусть а и р— два положительных
вещественных числа, т. е. а > 0 и р > 0. Пусть а — любое положительное
число из I (а), Ь—любое положительное наело из I (р), а' и Ь' — любые
числа из II (а) и II (Р) (они уже обязательно положительны). Составляем
новое сечение, относя ко второму классу все рациональные числа, большие
всех произведений ab> и к первому классу — остальные рациональные числа.
Все аЬ попадут в первый класс и все а'Ь' — во второй класс. Новое сечение
определит некоторое вещественное число, которое мы и назовем про-
произведением ар. Это число больше или равно всем аЬ и не превосходит
всех а'Ь', и только одно это вещественное число удовлетворяет этим не-
неравенствам.
Если одно из чисел а, р или оба — отрицательны, то мы приводим умно-
умножение к предыдущему случаю, вводя в определение умножения обычное
правило знаков, т. е. мы полагаем а$ = ±.\а\ | р |, причем берем знак (-(-),
если числа аир оба меньше нуля, и берем знак (—), если одно из чисел
больше нуля, а другое меньше нуля.
При умножении на н^ль принимаем определение, что а -0 = 0 •<х = 0.
Непосредственно проверяются основные законы умножения:
а? + аТ, "
и произведение нескольких сомножителей может равняться нулю в том и
только в том случае, если хоть один из сомножителей равен нулю.
Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т. е. а—р = д;
равносильно х-\-$ = а. Добавляя к обеим частям этого равенства (—р),
получим, в силу упомянутых выше свойств сложения: х = а-\-(—Р), т. е.
разность должна обязательно определяться по этой формуле, и действие
вЬ1читания сводится к сложению. Остается проверить, что полученное выра-
выражение для х действительно удовлетворяет условию л' + р = а, но это непо-
непосредственно вытекает из свойств сложения. Отметим справедливость обыч-
Ого свойства: неравенство а >> 8 равносильно а — р > 0. Прежде чем пере-
*°дить к делению, определим чиело, обратное данному. Если а есть рацио-
94 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ( 42
нальное число, отличное от нуля, то обратным называют число —. Пусть
а — вещественное число, отличшое от нуля. Пусть сначала а>0, и пусть а'—
любое число из II (а) (оно — рационально и положительно). Определим число,
обратное а, следующим сечени<ем: к первому классу отнесем все отрицатель-
отрицательные числа, нуль и числа —7, а ко второму классу — остальные числа. Пусть
некоторое положительное число сг принадлежит первому классу нового
сечения. Это значит, что сг =—„ где а\—из II (а). Возьмем любое поло-
жительное рациональное число с2 < С{. Его можно представить в виде
с2 = —г, где а'2 — рационально и а!2 > а[, т. е. а'2 также принадлежит II (а).
а2
Иначе говоря, если некоторое положительное число принадлежит первому
классу нового сечения, то всякое меньшее рациональное положительное
число также принадлежит этому первому классу. Туда же входят по усло-
условию все отрицательные числа и нуль. Отсюда видно, что сечение, опреде-
определяющее число, обратное а, произведено нами с соблюдением того основного
условия, что любое число второго класса больше любого числа первого
класса. Это число, обратное а- обозначим символом —.
а 1 1
Если а < 0, то мы определим обратное число формулой — = — -j—г.
Пользуясь определением умножения, получим а—= 1.
Переходим теперь к делению. Это есть действие, обратное умножению,
т. е. а:$ = х равносильно дф=г=а, и, как при вычитании, нетрудно показать,
что если C:у?0, то получается единственное частное: лг=а»-о->и» таким об-
образом, деление сводится к умножению. Деление на нуль невозможно.
Возведение в целую положительную степень сводится к умножению.
Извлечение корня определяется как действие, обратное возведению в сте-
степень. Пусть а — вещественное положительное число и п—некоторое целое,
большее единицы. Произведем следующее сечение рациональных чисел:
к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и все положитель-
положительные числа, п-е степени которых меньше а, а ко второму классу — остальные
числа. Пользуясь определением умножения, нетрудно показать, что положи-
положительное число р, определяемое этим сечением, удовлетворяет условию:
п,—
рл = а, т. е. р является арифметическим значением корня у а. Если/г —чет-
—четное, то вторым значением будет (—р). Аналогично определяется корень не-
нечетной степени из вещественного отрицательного числа (один ответ). Более
подробно о показательной функции будет сказано потом. Отметим еще сле-
следующий важный результат: раз справедливы основные законы действий, то
тем самым будут справедливы и все правила и тождества алгебры, если
под буквами разуметь вещественные числа.
42. Точные границы числовых множеств. Признаки существования
предела. Докажем теперь теорему о точных границах множества вещест-
вещественных чисел, которую мы формулировали в [39].
Теорема. Если множество Е вещественных чисел ограничено сверху,
то оно имеет точную верхнюю границу, и если Е ограничено снизу, то
оно имеет точную нижнюю границу.
Ограничимся доказательством первой части теоремы. По условию все
числа из Е меньше некоторого числа М. Произведем сечение вещественных
42 I § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 95
чисел следующим образом: ко второму классу отнесем все числа, большие
всех чисел из Е, а к первому — остальные вещественные числа. Во второй
класс попадут, например, все числа (М+р), где р^О, а в первый класс
попадут, например, все числа из Е. Пусть р— вещественное число, опреде-
определенное произведенным сечением. По основной теореме [40] оно будет наи-
наибольшим в первом классе или наименьшим во втором. Покажем, что р и
есть точная верхняя граница Е, Во-первых, среди Е нет чисел, больших р,
ибо все числа Е попали в первый класс. Далее, наверно существуют числа Еу
большие (р — е) при любом е > 0, ибо, если бы таких чисел не было, то
число (р 2") было бы больше всех чисел Е и должно было бы попасть
во второй класс, а в действительности оно меньше р и находится в первом
классе. Теорема, таким образом, доказана. Очевидно, что если р принадле-
принадлежит Еу то оно будет наибольшим из чисел Е.
Докажем теперь существование предела у монотонной ограниченной
переменной [30]. Итак, пусть переменная х все время возрастает или, по
крайней мере, не убывает, т. е. всякое ее значение не меньше любого пре-
предыдущего. Пусть, кроме того, х ограничено, т. е. существует такое число М,
что все значения х меньше М. Рассмотрим совокупность всех значений х.
По доказанной теореме существует точная верхняя граница р для этой со-
совокупности. Покажем, что р и есть предел х. Пусть е — произвольное поло-
положительное число. По определению точной верхней границы найдется значе-
значение л:, большее (р=—е). Тогда, в силу монотонности, и все последующие зна-
значения х будут больше (р — е), но, с другой стороны, они не могут быть
больше р, и, в силу произвольности е, мы видим, что р = Нтдг. Точно так
же можно разобрать и случай убывающей переменной.
Прежде чем переходить к доказательству признака Коши [31], докажем
одну теорему, которой мы будем пользоваться.
Теорема. Пусть имеется последовательность конечных проме-
промежутков
(*иА)» («2, ь*),.-, («я. ьп),...
причем каждый следующий промежуток заключается в предыдущем, т. е.
an+i ^ ап и Ьп+1 ^ Ьт и пусть длины этих промежутков стремятся к
нулю, т. е. (Ьп — ап)~*0. При этом концы промежутков ап и Ьп стре-
стремятся к общему пределу при возрастании п.
По условию теоремы мы имеем al^a2^i... и, кроме того, an<ibi
при любом п. Таким образом, последовательность аи а2У ... будет монотон-
монотонной и ограниченной, а потому будету иметь предел: ап —> а. Из условия
{Ьп — ап)-+0 вытекает Ъп=-ап-\-гп, где ел—*0, и, следовательно, Ьп имеет
предел, также равный а.
Перейдем теперь к доказательству признака Коши. Ограничимся случа-
случаем переменной, значения которой можно пронумеровать:
•**1> Х2> . .., ХПу ... (^')
"адо доказать, что необходимое и достаточное условие существования пре-
предела последовательности B7) заключается в следующем: для любого задан-
заданного положительного е существует такой значок ./V, что
\хт — хп I < е ПРИ т и n>N. B8)
окажем, что это условие достаточно, т. е. что при выполнении этого
ВИя B7) И
у д, р
Н1г послеДовательность B7) имеет предел. Из наших прежних рассужде-
и [31] вытекает, что если условие выполнено, то можно построить после-
вательность промежутков
96 ГЛ. Т. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 43
со следующими свойствами: каждый следующий заключается в предыдущем,
длины (bk — ak) стремятся к нулю и всякому интервалу (ак, bk) соответст-
соответствует такое целое положительное число А/д,, что все xs при s :> Л^ принад-
принадлежат (ak, bk). Эти интервалы (ak> bk) суть отрезки A'kAk из [31]. По дока-
доказанной выше теореме имеется общий предел:
lim ak= lim bk = a. B9)
k-*CQ k—»-OO
Покажем, что а и есть предел последовательности B7). Пусть задано
положительное число s. В силу B9) существует такое целое положитель-
положительное /, что промежуток (ah bL) и все следующие промежутки лежат внутри
промежутка (а — е, а + е).
Отсюда следует, что и- все числа xs при s > TV; принадлежат этому же
промежутку, т.е. \а — xs | < е при s > TV/. Ввиду произвольности е мы
видим, что а есть предел последовательности B7), и достаточность усло-
условия B8) доказана. Необходимость этого условия была доказана нами
раньше [31]. Доказательство остается в силе и для не пронумерованной
переменной.
43. Свойства непрерывных функций. Переходя к доказательству фор-
формулированных раньше [35] свойств непрерывных функций, начнем с доказа-
доказательства вспомогательной теоремы.
Теорема I. Если f(х) непрерывна в промежутке (а, Ь) и задано
какое-нибудь положительное число г, то этот промежуток можно
таким образом разбить на конечное число новых промежутков, что
\f(x2)—f(xj)\<.z} если только xt и х2 принадлежат одному и тому
же новому промежутку.
Будем доказывать от обратного. Предположим, что теорема несправед-
несправедлива, и придем к нелепости. Итак, пусть невозможно разбить (at b) на части
указанным образом. Делим наш промежуток средней точкой на два проме-
промежутка: (я, -—п—) и (—pj—, b\. Если бы теорема была справедлива для
каждого из этих двух промежутков, то она, очевидно, была бы справедлива
и для всего промежутка (af b). Итак, мы должны считать, что, по крайней
мере, один из двух полученных промежутков нельзя разбить на части ука-
указанным в теореме образом. Берем ту половину промежутка, для которой
теорема не выполняется, и делим его опять на две равные части. Как и вы-
выше, по крайней мере для одной из новых половинок теорема не выпол-
выполняется. Берем эту половинку, делим ее опять помолам и т. д. Таким обра-
образом, мы получаем последовательность промежутков
(a, b), (aly bjy (tfo, b2), ..., (ап, bn)y ...,
из которых каждый следующий есть половина предыдущего, так что длина
(Ьп — ап), равная „п , стремится к нулю при возрастании п. Кроме того,
для всякого промежутка (аПУ Ьп) теорема не выполняется, т. е. нельзя ника-
никакой (апу Ьп) разбить на новые промежутки так, чтобы \f(x2)—/(.*i)|<e,
если только xt и х2 принадлежат одному и тому же новому промежутку.
' Покажем, что это нелепо.
По теореме из [42] ап и Ьп имеют общий предел:
1ипял = Нт&я = а, C0)
причем этот предел, как и все числа ап и Ьт принадлежит промежутку (а, Ь)<
Положим сначала, что а — внутри (а, Ь). По условию, f (х) непрерывна при
х = а, и, следовательно [34], при заданном в теореме е существует такое rit
43 J § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 97
что для всех х из промежутка (а — tj, а + т)) выполняется неравенство
<f C1)
Если Xt и х2 — два любых значения из промежутка (а — tj, <* + *]), то мы
имеем
/ (хм) -/ (xt) =/ (х2) -/(«)+/ («) -/ (xj,
откуда
\f(x2)
и, в силу C1),
\f(x2)-f(x1)\<* C2)
для любых xi и х2 из промежутка (а — yj, а + Y]). Но, в силу C0), будет су-
существовать промежуток (#/, #/), принадлежащий промежутку (а—yj, a + Yj).
Поэтому неравенство C2) и подавно будет выполняться для любых ху и х2
из этого промежутка (#/, bt), т. е. для промежутка (ah bj) теорема выпол-
выполняется даже без всякого его подразделения на части. Это противоречит тому,
что, как мы видели выше, для всякого промежутка (аПУ Ьп) теорема не вы-
выполняется. Таким образом, теорема доказана, если а—внутри промежутка
(af b). Если а совпадает, -например, с левым концом промежутка, т. е. а = а%
то доказательство будет таким же, но вместо промежутка (а—yj, а-f-*]) надо
будет взять промежуток (а, а + *]).
Перейдем теперь к доказательству третьего свойства из [35].
Теорема II. Если f(х) непрерывна в промежутке (а, Ь), то
она равномерно непрерывна в этом промежутке, т. е. при любом
заданном положительном е существует такое положительное у\, что
\f(x")—f(x') |<s для любых значений х' и х" из (а, Ь), удовлетворяю*
щих неравенству \х" — х' \<л\.
В силу теоремы I мы можем подразделить (л, Ь) на конечное число
новых промежутков так, чтобы \f(x2)—/ (*i) | <-у, если только xt и ха
принадлежат одному и тому же новому промежутку. Пусть yj—длина са-
самого короткого из новых промежутков. Покажем, что именно при этом
числе т] наша теорема выполняется. Действительно, если х' и х" — два зна-
значения из (а, Ь), удовлетворяющих/неравенству \х" — х' \ < yj, то или х' и х"
принадлежат одому и тому же новому промежутку, или они находятся
в двух прилегающих друг к другу новых промежутках. В первом случае, по
построению новых промежутков, имеем: \f(x")—/(х')\<С-к-, а потому и
подавно \f(x") —f(x') | < s. Переходя ко второму случаю, обозначим через y
точку, в которой соприкасаются те два прилегающих друг к другу проме-
промежутка, к которым принадлежат х' и х'\ В данном случае мы можем напи-
написать
/ (*О-/(*')=/(**)-/G)+/(?)"-/(*')>
т. е.
\f{x*) -/(*') I <\/(х') —/G) I + |/G) -/СО |. C3)
Но
I/(*')-/(!) К \и 1/G)-/(ОКу, C4)
..»ч..л«. я. Г
98 ГЛ. I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [ 43
так как точки х' и |, а также f и х'. находятся в одном и том же новом
промежутке. Неравенства C3) и C4) дают нам \f{x")—/(лг')|<е, и тео-
теорема доказана.
Теорема I приводит нас также к такому следствию:
Следствие. Функция, непрерывная в промежутке (а, Ь), ограничена
сверху и снизу, т. е. просто ограничена в этом промежутке. Иными сло-
словами, существует такое число М, что для всех значений х из (а, Ь) выпол-
выполняется неравенство \f(x)\<zM. Действительно, возьмем некоторое опреде-
определенное ео>О, и пусть п0 — число тех новых промежутков, на которые надо
разбить (а, Ь), чтобы удовлетворить теореме I при взятом значении е = ?0.
Для любых двух точек, принадлежащих одному и тому же новому проме-
промежутку, мы имеем \f(x2)—f(xt) | < е0. Отсюда непосредственно следует, что
для любого х из промежутка (а, Ь) мы имеем \f(x)—f(a)\<:noto, т. е.
все значения /(х) заключаются между / (а) — noto и /(я) + яо?о«
Поскольку совокупность всех значений f(x) в промежутке (а, Ь) огра-
ограничена сверху и снизу, она имеет точную верхнюю границу и точную ниж-
нижнюю границу [42]. Обозначим первую через р, а вторую через а. Докажем
теперь первое свойство из [35].
Теорема III. Непрерывная в промежутке (а, Ь) функция достигает
в этом промежутке своего наибольшего и наименьшего значения.
Нам надо доказать, что в промежутке (а> Ь) существует такое значение
х, при котором f (х) равно р, и такое значение х,при котором f (х) равно а.
Ограничимся доказательством первого утверждения и будем доказывать от
обратного. Положим, что f (х) ни при каком х из (а, Ь) не равно р (следо-
(следовательно, всегда меньше р). Составим новую функцию
Поскольку знаменатель не обращается в нуль, новая функция также
будет непрерывной в промежутке (а, Ь) [34]. С другой стороны, из опреде-
определения точной верхней границы следует, что при произвольном б > О суще-
существуют для а^х^Ь значения/(*), лежащие между (р — е) и р. При этом:
0<Р—/(х)<г и ср (х) >—. Поскольку е можно брать произвольно ма-
малым, мы видим, что непрерывная в промежутке (#, Ь) функция у(х) не огра-
ограничена сверху, что противоречит указанному выше следствию теоремы I.
Докажем, наконец, второе свойство из [35]. Пусть f (х) непрерывна
в (а, Ь) и k — некоторое число, лежащее между f (а) и f (Ь). Для определен-
определенности положим, что /(а) < k </ (b). Составим новую функцию
непрерывную в промежутке (а, Ь). Ее значения на концах промежутка будут
F(a)=f (а) -¦*<<>, F (b)=f (b)-k> О,
т. е. значения F (х) на концах промежутка — разных знаков. Если мы дока-
докажем, что внутри (а, Ь) есть такое значение х0, при котором F(xo) = O, то
при этом f(x0) — /г = 0, т. е. f (xo) = k, и второе свойство будет доказано.
Итак, достаточно доказать следующую теорему:
Теорема IV. Если f (х) непрерывна в промежутке (a, b)y a f(a) и
f(b) разных знаков, то внутри промежутка существует по крайней
мере одно такое значение х0, при котором f(x'0) = 0.
Доказываем от обратного, как и теорему III. Пусть f (х) нигде в про-
промежутке (а, Ь) не обращается в нуль. При этом новая функция
*м=тЬ) C5)
44 ] § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 99
будет также непрерывной в промежутке (я, Ь) [34]. Пусть задано какое-ни-
какое-нибудь е > 0. В силу теоремы I мы можем расставить внутри промежутка
(а, Ь) конечное число точек так, что, причисляя к этим точкам еще концы
промежутка, мы будем иметь разность значений f (х) в любых двух сосед-
соседних расставленных точках, по абсолютной величине меньшую, чем е. Прини-
Принимая во внимание, что f(a) и f (b) разных знаков, мы ,можем утверждать,
что найдутся такие две соседние из вышеупомянутых точек ?t и ?2, в кото-
которых/(х) разных знаков. Итак, с одной стороны, /(?0 и /(?2) разных зна-
знаков и, с другой стороны, |/(?2)—/Ei)|<e. Но если у двух вещественных
чисел разных знаков абсолютное значение разности меньше е, то каждое из
этих чисел по абсолютному значению меньше е, т. е. например, |/(Si) | < е.
Но тогда, в силу C5), | <р (^) | > —, и ввиду того, что s можно брать про-
произвольно малым, мы видим, что непрерывная в промежутке (я, Ь) функ-
функция <р (х)—не ограничена в этом промежутке, что нелепо. Теорема, таким
образом, доказана.
44. Непрерывность элементарных функций. Мы показали раньше не-
непрерывность многочлена и рациональной функции [34]. Рассмотрим теперь
показательную функцию
у = а* (д>0), C6)
причем для определенности будем считать а^>\. Эта функция вполне опре-
определена при всех рациональных положительных значениях х. Для отрица-
отрицательных х она определяется формулой:
«* = JF*. C7)
и, кроме того, fl° = l. Таким образом, она определена при всех рациональ-
рациональных х. Из алгебры известны также правила сложения и вычитания показа-
показателей при умножении и делении.
Если х есть положительное рациональное число —, то
ах = "
где радикал считается арифметическим. Очевидно, что яР>1, и из опреде-
определения корня вытекает, что 0*>1 при лг>0 (применить определения из
[41]). Из C7) вытекает, что /0 <с ах <^\ при д:<;0. Покажем теперь, что
ax'2>>aXi1 если х2 "> х1У т. е. что ах — возрастающая функция. Действи-
Действительно,
причем х2 — л:1>0, и, следовательно, оба сомножителя справа положи-
положительны. Покажем еще, что ах—+\, если х—*0, принимая рациональные зна-
значения. Положим сначала, что х—*0 через все рациональные значения,
убывая (справа). При этом ах убывает, но остается больше единицы, и, сле-
следовательно, имеет предел, который мы обозначим через /. При упомянутом
выше изменении х переменная 2х также стремится справа к нулю по всем
рациональным значениям. Мы имеем, очевидно,
и, переходя к пределу, получим
/ = /2 или /(/—1)=^
4*
100 ГЛ. Т. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ | 44
т. е. /=1 или / = 0. Но вторая возможность отпадает ввиду я*>1. Итак,
ах —* 1, если х—> 0 справа. Из C7) вытекает, что тот же предел будет и
тогда, когда х —*0 слева. Итак, вообще: ах —*1, если лг—*О, принимая ра-
рациональные значения. Отсюда вытекает непосредственно, что если х, при-
принимая рациональные значения, стремится к рациональному пределу Ьу то
аХ—^аР, Действительно,
а* — аь = аь (ах~ь — 1).
Разность (х — Ь) стремится к нулю и (ах~ь—1), по доказанному, также
стремится к нулю.
Определим теперь функцию C6) при иррациональных х. Пусть а — не-
некоторое иррациональное число, а I (а) и II (а) — первый и второй классы
сечения в области рациональных чисел, определяющих а. Положим, что х~+а,
возрастая и проходя через все рациональные числа из I (а). Переменная ах
возрастает, но остается ограниченной, а именно она меньше, чем ах'\ где х"—
любое число из II (а). Таким образом, при упомянутом изменении х пере-
переменная ах имеет предел, который мы пока обозначим через L. Точно так
же, если х—*а, убывая и пробегая рациональные числа из II (а), то ах также
имеет предел. Покажем, что этот предел также равен L Пусть х' — из I (а)
и х* — из II (а). Мы имеем
ах" — ах' = ах' (ах"~х' — 1) < L (ах"~х' — 1),
т. е.
0 < ах" — ах' < L (а*""* — 1).
Для х' и хй', близких к а, разность (хт — х') сколько угодно близка к
нулю и, в силу написанного неравенства, то же можно сказать и о разности
(а*" —а*), откуда и вытекает наше утверждение о совпадении пределов. Мы
принимаем по определению аа равным упомянутому пределу L, т. е. а% есть
предел, к которому стремится ах, когда х—>а через рациональные зна-
значения. Теперь .функция C6) определена при всех вещественных х. На осно-
основании сказанного выше легко доказать, что это будет возрастающая функ-
функция, т. е. aX2>aXl, если хх и х2 — любые вещественные числа, удовлетво-
удовлетворяющие неравенству х2 > xv При доказательстве надо рассмотреть отдельно
случаи, когда хх и х2 — оба иррациональны или одно из пих рационально.
Остается еще доказать, что эта функция будет непрерывна при всяком ве-
вещественном х. Сначала надо показать, что ах-+\ при х—>б, причем счи-
считаются допустимыми все вещественные значения х. Это можно показать
совершенно так же, как выше это было сделано для рациональных х. Далее,
как и выше, пользуясь формулой
а* — а* = а* (ах-а—\)9
мы можем показать, что ах —* а'а при х—><*, что и дает непрерывность ах
при любом вещественном х.
Нетрудно проверить, что все основные свойства показательной функции
справедливы при любых вещественных показателях. Пусть, например, а и р—
два иррациональных числа и пусть х —> а и _у—- р, причем переменные х
и _у, меняясь, одновременно принимают рациональные значения. Для рацио-
рациональных показателей мы имеем
ахаУ = ах+У.
Переходя к пределу и пользуясь доказанной непрерывностью показа-
показательной функции, получим то же свойство для иррациональных показателей:
44 1 § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 101
Докажем еще правило перемножения показателей при возвышении сте-
степени в степень:
Если р = я есть целое положительное, то написанная формула непосред-
непосредственно вытекает из правила сложения показателей при умножении. Если
р = Б- есть рациональное положительное число, то
Для рациональных отрицательных чисел указанное правило непосредст-
непосредственно вытекает из формулы C7). Положим теперь, что р иррационально,
и пусть рациональные числа г стремятся к р. Мы имеем, по доказанному
выше,
(ау = а«
Переходя к пределу и пользуясь непрерывностью показательной функ-
функции, причем слева принимаем аа за основание, мы и получим (да)Р = я°Ф.
Прежде чем переходить к логарифмической функции, сделаем некото-
некоторые замечания об обратных функциях, о чем мы уже говорили коротко во
введении [20]. Еслиз>=/(*) — возрастающая непрерывная функция в про-
промежутке (а, Ь)у причем /(а) = А и /(?) = #, то, в силу второго свойства
непрерывных функций, при возрастании х от а до Ь через все веществен-
вещественные значения f (х) будет возрастать от А до В, проходя через все проме-
промежуточные значения. Таким образом, всякому значению у из промежутка
(Л, В) будет соответствовать определенное л: из (я, Ь)} и обратная функ-
функция х = <р (у) будет однозначной и возрастающей. Если х = х0 находится
внутри (а, Ь), уо=/(хо) и х пробегает малый промежуток (дг0 — е, л + е),
то у будет пробегать некоторый промежуток (у0 — i^, .УоЧ""^)* Обозначал
через 5 наименьшее из двух положительных чисел Yjt и yj2, мы можем утвер-
утверждать, что если у принадлежит промежутку (^0 — &, .Уо + 8)> составляющему
лишь часть промежутка (у0 — v\i, у0 + 1Гъ)» то соответствующие значения х
тем более принадлежат прежнему промежутку (лг0—-s, *0 + e), т. е.
I 9 (У) — 9 (Уо) I < е» если только \у—у01 < t. Ввиду произвольности s
это дает нам непрерывность функции х = у(у) в точке у~у0- Если х0
совпадает, например, с концом я, то в предыдущих рассуждениях вместо
(х0 — е, дго + е) надо взять промежуток (х0, л4-е)- Аналогично можно
разобрать случай убывающей непрерывной функции/(х).
Вернемся к функции C6). Раз а> 1, то а= 1 +6, где #>0, и формула
бинома Ньютона дает при целом положительном п > 1:
откуда видно, что ах беспредельно возрастает при беспредельном возраста-
возрастании х. Далее, из C7) следует, что ах —*0 при х—*• — оо. Принимая во вни-
внимание сказанное выше об обратных функциях, можем утверждать, что
функция
x = logay9 C8)
обратная C6), будет однозначной, возрастающей непрерывной функцией при
v>0. Такие же результаты получаются и для случая 0<я<1, но только
Функции C6) и C8) будут убывающими.
Введем теперь новое понятие о сложной функции. Пусть дг = /(лг) есть
Функция, непрерывная в промежутке а ^х ^Ьу причем ее значения при-
принадлежат промежутку (с, d). Пусть, далее, z=.F(y) есть функция, нсире-
102 ГЛ. 1. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ f 44
рывная в промежутке c^y^d. Понимая под у указанную выше функцию
от х, мы получим сложную функцию от х:
Говорят, что эта функция зависит от х через посредство у. Она опре-
определена в промежутке a^ix^b. Нетрудно видеть, что она будет и непре-
непрерывной в этом промежутке. Действительно, бесконечно малому приращению х
соответствует бесконечно малое приращение у в силу непрерывности f (х),
а бесконечно малому приращению у соответствует бесконечно малое прира-
приращение z в силу непрерывности F (у).
Рассмотрим теперь степенную функцию
z = хь C9)
с любым вещественным показателем Ь, причем переменную х мы считаем
положительной. Из рассуждений с показательной функцией непосредственно
следует, что функция C9) имеет определенное значение при всяком х > 0.
Пользуясь определением логарифма и применяя, например, натуральные ло-
логарифмы, мы можем написать вместо C9):
Полагая y = b\ogx и г = еУу мы можем рассматривать эту функцию как
сложную функцию от ху и непрерывность показательной и логарифмической
функций докажет нам непрерывность функции C9) при всяком л:>0.
Мы доказали выше [34] непрерывность функции sin x при всех значе-
значениях х. Так же доказывается непрерывность функции cos x при всех х. Из
формул
sin х . cos л:
tg х = , ctg х = ——
ь cos х' ь sin x
непосредственно следует [34] непрерывность tgx и ctgx при всех л*, кроме
тех, при которых знаменатель обращается в нуль.
Функция у = sin х есть непрерывная возрастающая функция в проме-
промежутке f ^-, yJ- Пользуясь сказанным выше об обратных функциях, мо-
можем утверждать, что главное значение функции х = arc sin у будет непре-
непрерывной возрастающей функцией в промежутке —1 ^д? ^ 1- Аналогично до-
доказывается непрерывность и остальных обратных круговых функций.
ГЛАВА IT
ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
45. Понятие о производной. Рассмотрим движущуюся по напра-
направленной прямой линии точку. Пройденный ею путь s, отсчитываемый
от определенной точки прямой, есть, очевидно, функция времени U
s=f(t),
так что всякому определенному моменту времени t соответствует
определенное значение 5. Придадим t приращение Ь?\ и тогда но-
новому моменту времени t-\-bl будет соответствовать путь s-j-As.
В случае равномерного движения, приращение пути пропорционально
As
приращению времени, и в этом случае отношение -г- выражает по-
постоянную скорость движения. В общем случае это отношение зависит
как от выбранного момента времени t, так и от приращения М и
выражает среднюю скорость движения за промежуток времени от t
до t -\- ?d. Эта средняя скорость есть скорость воображаемой точки,
которая, двигаясь равномерно, за промежуток времени Д^ проходит
путь As. Например, в случае равномерно ускоренного движения мы
будем иметь
1Г =дГ
Чем меньше промежуток времени Д?, тем с большим правом мы
можем считать движение рассматриваемой точки за этот промежуток
времени равномерным, и предел отношения — , при стремлении Д?
104 ГЛ. И. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ I 45
к нулю, определяет скорость v в данный момент t
As
А/-*0 А* *
Так, в случае разномерно ускоренного движения
x; = lim -гг= Hm igt-j~vo~\--^-gAt\=:gt-^~vu.
Скорость v есть так же, как и путь ,9, функция от t\ функция
эта называется производной функции f(t) no t; таким образом,
скорость есть производная от пути по времени.
Положим, что некоторое вещество вступает в химическую реак-
реакцию. Количество этого вещества х, вступившее уже в реакцию
к моменту времени t, есть функция от t. Приращению времени At
будет соответствовать приращение Ах величины х> и отношение -j-
выражает среднюю скорость химической реакции за промежуток
времени At, а предел этого отношения, при стремлении At к нулю,
выражает скорость химической реакции в данный момент времени L
Отвлечемся теперь от примеров и дадим общее определение про-
производной. Положим, что функция y=f(x) определена при некотором
фиксированном значении х и при всех значениях к нему достаточно
близких, т. е. при всех значениях вида x-\-h, где h — любое поло-
положительное или отрицательное число, достаточно малое по абсолют-
абсолютному значению. Величину h называют обычно приращением незави-
независимой переменной х. Вместо h пишут часто Ах. Соответствующее
приращение функции будет: Ay=f(x-\-h)—f(x). Составим отно-
отношение этих приращений:
m
Ах~~~ h V>
Это отношение определено при всех значениях /г, достаточно малых
по абсолютной величине, т. е. в некотором промежутке — k ^ /г ^ -|- k
кроме /г = 0. Поскольку х фиксировано, отношение A) является
функцией только от h.
Определение. Если отношение A) имеет предел (конечный)
при стремлении h к нулю (/г->±0), то этот предел называется
производной функции f(x) при заданном х.
Иначе говоря, производной данной функции f(x) при заданном
значении х называется предел отношения -j~- приращения Ду функции
к соответствующему приращению Lx независимого переменного, когда
это последнее стремится к нулю (Дх->±0), если упомянутый пре-
предел существует. Для обозначения производной пишут у\ или f(x):
46 1 § 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 105
Операция нахождения производной называется дифференцированием
функции.
Дробь A) при h->±0 может и не иметь предела, и тогда
производная при заданном значении х не существует. Существование
предела /'(х) равносильно следующему [32]: при любом заданном
числе е^>0 существует такое число ?]^>0, что
е, если\к\<т[ п
Предполагая, что производная существует, можем написать
где р -> 0 при h->±0. Далее, имеем
откуда следует, что f(x~\-h)—/(•*)-> 0 при h->±0, т. е. если
при некотором значении х производная f (х) существует, то
при этом значении х функция f(x) непрерывна. Обратное утверж-
утверждение неправильно, т. е. при непрерывности функции при заданном х еще
нельзя утверждать, что при этом значении х существует производная.
Обратим внимание на то, что при отыскании производной у не-
непрерывной функции мы имеем дробь A), у которой и числитель и
знаменатель стремятся к нулю, причем знаменатель h в нуль не обра-
обращается. Отметим один частный случай. Если у = сх, то числитель
дроби есть c{x-\-h) — cx = ch, а вся дробь равна с, т. е. не зависит
от h. Ее предел при h -> ± 0 также равен с.
При фиксированном х значения f(x) и f(x) суть числа. Если
функция и производная существуют при всех х внутри некоторого
промежутка, то f'(x) является функцией от х внутри этого проме-
промежутка. В рассмотренном выше случае f(x) = cx производная f(x)
равна числу с при всех х.
46. Геометрическое значение производной. Для выяснения
геометрического значения производной обратимся к графику функ-
функции yz=zf(x). Возьмем на нем точку М с координатами (х, у) и
близкую к ней, тоже лежащую на кривой, точку N с координатами
(х-\-Ах, у-\-Ау). Проведем ординаты М{-М^\л NXN этих точек и из
точки М проведем прямую, параллельную оси ОХ. Мы будем иметь
(рис. 50):
=A> B)
Отношение -г- равно, очевидно, тангенсу угла аи образованно-
образованного секущей MN с положительным направлением оси ОХ. При
106
ГЛ. И. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[48
стремлении Ах к нулю точка TV будет, оставаясь на кривой, стремиться
к точке М\ предельным положением секущей MN будет касатель-
касательная МТ к кривой в точке Ж, и, следовательно, производная /г(х)
равна тангенсу угла а, образованного касательной к кривой
в точке М (х, у) с полоэюительным
направлением оси ОХ, т. е. равна
угловому коэффициенту этой ка-
касательной.
При вычислении отрезков по фор-
формулам B) надо принимать во внима-
внимание правило знаков и помнить, что
приращения Ах и Ау могут быть как
положительными, так и отрицатель-
отрицательными.
Точка N, лежащая на кривой,
может стремиться к Ж с любой
стороны. На рис. 50 мы придали касательной определенное направ-
направление. Если бы мы придали ей прямо противоположное направление,
то это привело бы к изменению угла а на величину и и не повлияло
на величину тангенса этого угла. В дальнейшем мы вернемся еще
к вопросу о направлении касательной. Сейчас для нас это несущест-
несущественно.
Мы видим таким образом, что существование производной связано
с существованием касательной к кривой, соответствующей уравнению
у=/(х), причем угловой коэффициент касательной tga=/'(jc) дол-
должен быть конечным. Иными словами, касательная не должна быть
параллельна оси ОУ. В этом последнем случае
% Зп
а= -к- или а = —.г-, и тангенс такого угла
равен бесконечности.
Непрерывная кривая может в отдельных
точках вовсе не иметь касательной или иметь
касательную, параллельную оси OY (рис. 51),
и при соответствующих значениях х функция
f(x) не имеет производной. Таких исключитель-
исключительных точек может быть сколь угодно много на кривой. Доказывается
также, что существуют такие непрерывные функции, которые не
имеют производной ни при одном значении х. Кривая, соответствую-
соответствующая такой функции, недоступна нашим геометрическим представлениям.
Остановимся несколько подробнее на тех случаях, которые пред-
представлены на рис. 51.
Предварительно введем понятия о производной справа и произ-
производной слева. Положим, что h стремится к нулю не произвольным
образом, а со стороны отрицательных значений или со стороны
положительных значений, т. е. /г-> — 0 или /г-^-j-O. Если при этом
46 1
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
107
отношение A) имеет предел (конечный), то он обозначается обычно
символом fix — 0) или, соответственно, fix-\-Q) и называется
производной слева или, соответственно, производной справа. Суще-
Существование производной fix) равносильно тому, что существуют про-
производные fix — 0) и fix-\-0) и что они равны. При этом /'(.*;) =
/() + )
Если существуют различные производные f {х — 0) и f(x-\-0),
то это соответствует тому случаю, когда в соответствующей точке х
существуют слева и справа касательные, не параллельные оси ОУ
(предельные положения секущей), но эти касательные различны, т. е.
они не лежат на одной прямой, проходящей через точку с абсциссой
х. Этот случай представлен точкой My на рис. 51. В точках М% и
УИ3 отношение A) при /г-> — 0 и /z->-|-0 стремится к бесконечно-
бесконечности. Обратим внимание на знак этой бесконечности.
Для точек N, лежащих на кривой слева от Ж2, величина /г<^0 и
f{x-\-h)—f(x)<^0 при /г, достаточно близких к нулю, так как
ордината слева меньше ординаты в точке Ж2. Таким образом, в этом
случае отношение A) положительно, и при /г-> — 0 оно стремится
к (-J- со) (касательная слева параллельна оси OY). Справа от М2
величина h ^> 0 и по-прежнему f(x -\~ h) —f(x) <^ 0, т. е. отношение A)
отрицательно и оно стремится к (— со) при /г —^—]— 0. Переходим
к точке Ж3. Здесь слева /*<^0 и fix-\-h)—/(х)<^0, а справа
/г^>0 и f(x-\-h)—f(x)^>0, т. е. слева и справа отношение
A) положительно и оно стремится к
(-j-oo) как при /г~> — 0, так и при
/г —^—[—- 0, т. е. в этом случае отно-
отношение A) стремится к (-(-оо) при
/г -> ± 0.
Отметим, что при определении про-
производной мы требовали, чтобы отно-
отношение A) стремилось к конечному
пределу при h -> db 0. Если этот пре-
предел при /г -* ± 0 равен (-|- оо)- или
(— со), то мы все же не говорим, что
при соответствующем значении х су-
существует производная, равная (-)- оо)
или (— со).
Возможны, конечно, и такие точки на кривой y=f(x), в кото
рых нет и производных fix — 0) и /'(лг-j-O). Такая кривая изобра-
изображена на рис. 52. Она не имеет указанных производных при х—с.
Если непрерывная функция задана только на промежутке (я, Ь\
то при х = а мы имеем возможность образовать только правую произ-
производную /' (а + 0), а при х — Ь — только левую производную /' ф — 0).
Когда говорят, что fix) имеет в промежутке (a, b) i3auKHy-
том) производную fix), то во внутренних точках промежутка эту
У ,
и
f(c)
Рис. 52.
108 гл. и. понятие о производной и его приложения I 47
производную надо понимать в обычном смысле, а на концах проме-
промежутка в только что указанном смысле.
Если f(x) определена в промежутке (А, В), более широком, чем
(а, Ь), т. е. А <^Д и В^>Ь, и имеет внутри (Л, В) обычную про-
производную f (х), то тем более она будет производной в указанном
смысле и на промежутке (а, Ь).
47. Производные простейших функций. Из понятия производ-
производной следует, что для определения производной надо составить
приращение функции, разделить его на соответствующее прира-
приращение независимой переменной и найти предел этого отношения
при стремлении приращения независимой переменной к нулю. При-
Применим это правило к некоторым простейшим функциям.
I. у = Ь (постоянная) [12].
y = limllzA=iim 0 = 0,
h
т. е. производная постоянной равна нулю.
II. у = хп (п — целое положительное число).
i xn + nhxn~l + v 4h2xn~2 +... + hn—xn
= \\m fl_ :
= lim Г/иг* + n(n~l) hxn~* +... + Нп~Л = nxn~x.
В частности, если у = х, то j/=l. В дальнейшем мы обобщим
это правило дифференцирования степенной функции на любые значе-
значения показателя п.
/0_sinx 2 cos [x + T sm-g-
-r =hm
h-+0 n Л —О
= hm cos(x + ~l —7.— ==cos.
h smY
2
так как при стремлении ~ к нулю —^ > 1 [33].
Т
2 sin (х + т>-) sin у
= 1,т ^ = 11т
. h
.. . / , h\ Sin 2
= — lim sin [ x 4" ^y —i— = — sin x.
2
47 ] § 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 109
V. y=logx
у = lim '"к кл •*""; ~ '"а л = lim
¦_„..Ч+4)_,
так как при /г->0 переменная а = —также стремится к нулю и
a
VI. _у = си (х), где с — постоянная и и (х) есть функция от х.
, ,. си(х + Л) — си (х) ,. м(х + Л) — а (*) ,, v
у = hm —v ~ ,; — = с lim v ~ I *-?= си (х)}
h-+Q п Л-*0 п
т. е. производная от произведения постоянной величины на пере-
переменную равна произведению этой постоянной на производную от
переменного сомножителя, или, другими словами, постоянный мно-
множитель можно выносить за знак производной.
VII. j/ = loge*.
Как мы знаем, \ogax = \ogx* -. [38]. Применяя правило VI,
получим
!!
у х log а'
VIII. Рассмотрим производную от суммы нескольких функций;
для определенности ограничимся тремя слагаемыми:
у = и (х
y=Hm
h
_и Ги
A-.0 L
— w(x)
J
т. е. производная суммы нескольких функций равна сумме произ*
водных этих функций.
IX. Рассмотрим теперь производную от произведения
функций:
г _ ]im ц (x + h)v (х + h) — и (х) v (х)
л-о
НО ГЛ. II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ 47
Прибавляя к числителю величину и (х -f- h) v (х) и вычитая из него
ту же величину, получим
h
1 • / I у \ v (х 4- h) — v (х) , «. , ч и (х + Л) — и (х)
= hm м(х + л) —-—!—^ — 4- hm г; (х) ——!—{¦ ^-^ =
Л-^0 П h-+Q П
т. е. для случая двух сомножителей мы показали, что производная
произведения равна сумме произведений производных каждого из
сомножителей на остальные.
Докажем справедливость этого правила для трех сомножителей,
соединяя два сомножителя в одну группу и применяя правило
к случаю двух сомножителей:
у — и (х) v (х) w (х),
У = {[и (х) v (х)] w (X)}' = [и (х) v (х)] w' (х) + w (х) [и (х) v (*)]' =
= и (х) v (х) w' (х) + и (х) 1/ (х) w (х) + и' (х) v (х) w (х).
Применяя известный метод математической индукции, нетрудно рас-
распространить это правило на случай любого конечного числа сомно-
сомножителей.
X. Пусть теперь у есть частное:
и(х)
u(x-\-h) и (х)
-/_i:^, V(X + fl)~~V(x) _
h
Вычитая и прибавляя к числителю второй из дробей произведе-
произведение u(x)v(x), получим, принимая во внимание непрерывность v(x):
*v(x)
v! (x) v (x) — v' {x) и (х)
т. е. производная дроби (частного) равна производной числителя,
умноженной на знаменатель, минус производная знаменателя,
умноженная на числитель, все разделенное на квадрат знаме-
знаменателя*
48 ] § 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Ш
XL y = tgx.
г sin х\' ( sin х)' cos л: — (cos x)' sin x cos3 x + sin2 л: 1
У \~cos~x) cos2 х cos2 х cos2 x •
XII. y = ctgx.
f cos x\' (cos x)' sin л: — ( sin x)' cos x — sin2 л: — cos2 x 1
У == \sin x). sin2x sin2 л: sin2 лг*
При выводе правил VI, VIII, IX и X мы предполагали, что функ-
функции и(х), v(x), w{x) имеют производные, и доказали существование
производной у функции у.
48. Производные сложных и обратных функций. Напомним
понятие о сложной функции [44]. Пустьy=f(x) — функция, непре-
непрерывная в некотором промежутке a^x^bf причем ее значения
принадлежат промежутку c^y^d. Пусть далее, z = F(y)— функ-
функция, непрерывная в промежутке c^y^d. Понимая под у выше-
вышеуказанную функцию от х, мы получим сложную функцию от х:
Говорят, что эта функция зависит от х через посредство у.
Нетрудно видеть, что эта функция будет непрерывна в промежутке
а^х^Ь. Действительно, бесконечно малому приращению х соот-
соответствует бесконечно малое приращение у в силу непрерывности функ-
функции f(x), а бесконечно малому приращению у соответствует беско-
бесконечно малое приращение z в силу непрерывности F(y).
Прежде чем переходить к выводу правила дифференцирования
сложной функции сделаем одно замечание. Если z = F(y) имеет
производную при у=у0, то, согласно сказанному в [45], мы можем
написать
C)
где переменная а есть функция Ау, определенная при всех Ау, до-
достаточно близких к нулю и отличных от нуля, причем а->0, если
Д_у -> 0, оставаясь отличным от нуля. Равенство C) остается спра-
справедливым для Ajy = O при любом выборе а, ибо при Aj/ = O и
А^ = 0. В силу сказанного выше естественно положить а = 0 при
Ау = 0. При таком соглашении мы можем считать, что в формуле C)
а -> 0, если Ау -> 0 любым образом, даже и принимая значение,
равное нулю. Формулируем теперь теорему о производной сложной
Функции.
Теорема. Если y = f(x) имеет в точке x = xQ производную
Р (Хц) и z = F(y) имеет в точке Уо = / (х^) производную F* (у^,
то сложная функция F (J (х)) имеет в точке х = х0 производную,
равную произведению F (у^) f (Хц).
112 гл. и. понятие о производной и его приложения [ 48
Пусть Длг — приращение (отличное от нуля), которое мы придаем
значению х0 независимой переменной х, и Ay=/(;co-f- Ад:)—/(х$)—•
соответствующее приращение переменной у (оно может оказаться и
равным нулю). Пусть, далее, Аг = F (у0 -f- Ад/) — F(y0). Производная
от сложной функции z — F(f(x)) по х при х = х0 равна, очевидно,
пределу отношения-г- при Д#-^0, если этот предел существует.
Разделим обе части C) на Длг:
При стремлении Ах к нулю и Ly -> 0, в силу непрерывности функ-
функции j/=/(.#) в точке х = хф а потому, как мы указали выше,
а->0. Отношение —• стремится при этом к производной /'(х0), и,
переходя в написанном выше равенстве к пределу, получим
что и доказывает теорему. Отметим, что непрерывность f{x) при x = xQ
вытекает из предположенного существования производной /'(лг0) [45].
Доказанная теорема может быть формулирована в виде следую-
следующего правила дифференцирования сложных функций: производная
сложной функции равна произведению производной по промежу-
промежуточной переменной на производную от промежуточной перемен-
переменной по независимой переменной:
z'x = F'(y)f(x).
Переходим к правилу дифференцирования обратных функций.
Если y=f(x) непрерывна и возрастает в промежутке (а, Ъ) (т. е.
большим значениям х соответствуют и большие у), причем A=f(a)
и B=f{b)y то, как мы знаем [21 и 44], в промежутке (Л, В) су-
существует однозначная и непрерывная обратная, также возрастающая
функция д; = ср(у). В силу возрастания, если Ал: ф 0, то и Ду ф О,
и наоборот, и в силу непрерывности из Алг~>0 следует Ау->0, и
наоборот. (Совершенно аналогично рассматривается случай убываю-
убывающих функций).
Теорема. Если f(x) имеет в точке лг0 производную f (х^),
отличную от нуля, то обратная функция <р (у) имеет в точке
_уо=/(лго) производную
h
Обозначая через Ал: и &у соответствующие приращения хну, т. е.
Д* = 9 (Уо + А.У) — ? СУо),
48
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ИЗ
и принимая во внимание, что оба они отличны от нуля, можем
написать:
Ах
Как мы видели выше, кх и Ау одновременно стремятся к нулю,
и последнее равенство в пределе и приводит к D). Доказанная тео-
теорема может быть формулирована в виде сле-
следующего правила дифференцирования обратных
функций: производная обратной функции рав-
равна единице, деленной на производную перво-
первоначальной функции в соответствующей
точке.
Правило дифференцирования обратных функ-
функций имеет простое геометрическое истолкова-
истолкование [21]. Функции х = у(у) и y=f(x) имеют Рис. 53.
один и тот же график на плоскости XOY с той
лишь разницей, что для функции х = у(у) ось независимой пере-
переменной есть ось О К, а не ОХ (рис. 53). Проводя касательную МТ
и вспоминая геометрическое значение производной, получим
причем на рис. 53 угол C, как и а, считается положительным. Но,
очевидно, Р = у— а, и, следовательно,
Если лг = ср(у) есть функция, обратная y=f(x)t то, очевидно,
и наоборот — функцию y=f(x) можно считать обратной функции
?у
Применим правило дифференцирования обратных функций к пока-
показательной функции.
XIII. ^ = 0* (а>0).
Обратная функция в данном случае будет
и, в силу VII,
т XJfJ у log a »
откуда по правилу дифференцирования обратных функций
У = , = у log а или (ax)f = о>х log a.
114 гл. и. понятие о производной и его приложения I 48
В частном случае при а = е имеем
Полученная формула, вместе с правилом дифференцирования слож-
сложных функций, даст нам возможность вычислить производную от
степенной функции.
XIV. у = хп (лг^>0; п — любое вещественное число).
Эта функция при всех х^>0 определена и имеет положительные
значения [19].
Пользуясь определением логарифма, мы можем представить нашу
функцию в виде сложной функции
Дифференцируя по правилу дифференцирования сложных функций,
получим
v = еп l°s х — = хп — = пхп~х.
•* хх
Этот результат нетрудно обобщить и на случай отрицательных зна-
значений х, если только сама функция при этом существует, например,
Применим правило дифференцирования обратных функций к на-
нахождению производных обратных круговых функций.
XV. j/ = arcsin х.
Мы рассматриваем главное значение [24] этой функции, т. е. ту
дугу, которая находится в промежутке (—у, +т)' ФУН1Ш«ИЮ ЭТУ
можно рассматривать как обратную функцию по отношению к функции
x==s'my и, согласно правилу дифференцирования обратных функций,
имеем
' _ _L — * _ 1 _ 1
причем у радикала надо брать знак (-}-)> так как cosy имеет знак
(-]-) в промежутке (—у, у). Точно так же можно получить
(arc cos x)' = — .,
У 1 — х1
причем рассматривается главное значение arc cos x, т. е. та дуга, ко-
которая заключается в промежутке @, тс).
XVI. у = arc tg x.
Главное значение arctgx заключается в промежутке ( ^-, у),
и функцию эту можно рассматривать как обратную по отношению
49 ] § 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 115
к функции x = tgy\ следовательно,
1 1 2
=y=-jl=== У==
Точно так же получим
(arc ctg x)r = — rqr~2 •
XVII. Рассмотрим еще дифференцирование функций вида:
где и и v — функции от х (степенно-показательная функция).
Мы можем написать
у = ev l°2 u,
и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получим
Применяя правило дифференцирования произведения и дифференци-
дифференцируя log it, как сложную функцию от х, будем иметь окончательно
у = ev l°s * (v log u -f- ~ vt\
или
49. Таблица производных и примеры. Приведем таблицу всех
выведенных нами правил дифференцирования.
1. (*)' = 0.
2. (cu)' = cu'.
3. («1 + М2 + ... + ^У=«; + Г/2 + .-. + ^.
4. (щщ...uj = щщщ...un + щщщ...ия-|-.м + ЩЩЩ...it'n.
- / uY u'v — v'u
5- \т) =-^r--
6. (xny = nxn~1 и (дг)'=1.
7. i^
8. (ex)f = ex и (ax)r = ax log a.
9. (sin Ar)'=cosjtr.
10. (cos x)' = — sin #.
11. (tg at)'= —i—,
4 & ' cos2 ^ •
16 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
12. (ctg*)'= 4—.
v & J sm2 л:
13. (arc sin л:)'= 1
V /1 — х2
14. l
15. (arctgx)f
16.
17. (w7 = то* и + г/* log и v.
18. >/i=j/i-Hi (у зависит от х через посредство и).
Применим выведенные правила к нескольким примерам.
1. у = х*—3х2 + 7х— 10.
Применяя правила 3, 6 и 2, получим
у' = 3л:я — 6л:+ 7.
о * 'з"
Применяя правило 6, получим
3. у = 5
Полагая u = sinx, применим правила 18, б и 9:
у' = 2а • и' = 2 sin л* cos л: = sin 2x.
4. у = sin (л:2).
Полагая и = х2, применим те же правила:
у1 = cos и • и' = 2х cos (^с2).
Полагая сначала и = х -\- Ухг + 1 и затем v = x2-\-\, применим два
раза правило 18, а также правила 7, 3 и 6:
У =¦
+ yV + i ' {/лг2 +1 ~Yx* 4-1'
50 ] § 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 117
п
Положим ц = 2-1-1 и пРименим правила 18, б и 5:
У1'1 (
х
7. ^ = л:*
Применяя правило 17, црлучим
у = л:-*, х -\- xx\ogx = Xх A -f-
8. Функция у задана уравнением
E)
как неявная функция от х. Требуется найти производную у.
Если бы мьт решили данное уравнение относительно у, то получили бы
yz=f(x), левая часть уравнения после подстановки у =/(лг), очевидно, обра-
обращается тождественно в нуль. Но производная от нуля как производная от
постоянной, равна нулю, а потому, если мы продифференцируем левую часть
данного уравнения но ху считая, что у есть заданная этим уравнением функ-
функция от х, то должны получить нуль:
2х . ?У , л г Ь2х
- + -^/ = 0, откуда У = -^.
В этом случае, как мы видим, у' выражается не только через х, но и
через у, но зато нам не пришлось для отыскания производной решать урав-
уравнение E) относительно у, т. е. находить явное выражение функции.
Как известно из аналитической геометрии, уравнению E) соответствует
эллипс, и найденное выражение у' дает угловой коэффициент касательной
к этому эллипсу в точке с координатами {х, у).
50. Понятие о дифференциале. Пусть Ад: — произвольное прира-
приращение независимой переменной, которое мы считаем уже не завися-
зависящим от х. Мы будем называть его дифференциалом независимой
переменной и обозначать знаком Ах либо dx. Знак этот ни в коем
случае не является произведением d на х, а служит лишь символом
для обозначения произвольной, не зависящей от х величины.
Дифференциалом функции называется произведение ее произ-
производной на дифференциал независимой переменной.
Дифференциал функции у=/(х) обозначают символом dy или
():
dy = df(x)=f(x)dx. F)
Из этой формулы естественно получается выражение производной
в виде частного двух дифференциалов:
118 гл. и. понятие о производной и его приложения \ 50
Подчеркнем, что дифференциал dx независимого переменного,
входящий в определение дифференциала функции и в формулу F),
может принимать совершенно произвольные значения. Фиксируя какое-
либо значение dxf мы по формуле F) получаем соответствующее
значение dy при заданном х. Если мы счи-
считаем dx приращением независимого перемен-
переменного xt то надо, чтобы не только х, но и
x-\-dx принадлежали промежутку, на кото-
котором определена функция. Но и при этом диф-
дифференциал функции dy не совпадает, кроме
исключительных случаев, с приращением
функции, соответствующим приращению dx
независимого переменного.
Чтобы выяснить разницу между этими
понятиями, обратимся к графику функции.
Возьмем на нем некоторую точку М(ху у)
и другую точку N. Проведем касательную МТ, ординаты, соответ-
соответствующие точкам М и N, и прямую МР параллельно ОХ (рис. 54).
Мы будем иметь
МР = ММ = Ах (или dx),
Р!\!=ку (приращение у),
отсюда
dy =f (x) dx = МР tg Z. PMQ = PQ.
Дифференциал функции изображается отрезком PQ, не совпадаю-
совпадающим с отрезком PN, который изображает приращение функции. От-
Отрезок PQ изображает то приращение, которое получилось бы, если бы
в промежутке (х} х -}- dx) мы заменили отрезок MN кривой отрезком
MQ касательной, т. е. если бы мы считали, что в этом промежутке
приращение функции пропорционально приращению независимой пере-
переменной, и коэффициент пропорциональности взяли бы равным угло-
угловому коэффициенту касательной МТ, или, что то же, равным про-
производной Г (х).
Разность между дифференциалом и приращением изображается
отрезком NQ. Покажем, что если Ах стремится к нулю, то разность
эта есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению
с Их [36].
Отношение ^- в пределе дает производную, а потому [27]
50 j § д. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 119
где е есть величина бесконечно малая одновременно с Ах. Из этого
равенства получим
F byf{
или
Ду = dy -J-, s Дат,
откуда видно, что разность между dy и Ду равна (—еДлг). Но
отношение (—гкх) к Д.г, равное (—г), стремится к нулю вместе
с Ах, т. е. разность между dy и Ду есть величина бесконечно малая
высшего порядка по сравнению с Дх. Заметим, что знак этой раз-
разности может быть любым. На нашем чертеже и Ал: и эта разность
имеют знак (-[-)•
Формула F) дает правило нахождения дифференциала функции.
Применим его к некоторым частным случаям.
I. Если с есть постоянная, то
т. е. дифференциал постоянной равен нулю,
I1. d [си (х)] == [си (x)]r dx = си' (х) dx = c du (x),
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак дифферен-
дифференциала.
III. d + + r
= du (x) -f- do (x) -f- dw (x)>
т. е. дифференциал суммы равен сумме дифференциалов слагаемых.
IV. d [и (х) v (х) w (х)] = [и (х) v (х) w (x)]' dx =
= v(x)w (х) и (х) dx + и (х) w (x) vr (x) dx -j- и (х) v (x) wr (x) dx =
= v(x)w (x) du (x) -\-u(x)w (x) dv (x) + и (х) v (x) dw (x)>
т. е. дифференциал произведения равен сумме произведений диффе-
дифференциалов каждого из сомножителей на все остальные сомно-
сомножители.
Мы ограничились случаем трех сомножителей. Тот же вывод
годится и для любого конечного числа сомножителей.
*. v (*) и' № dx~~u (*)v' (х) dx_
v (x) da (x) — и (х) dv (x)
— Щх)? »
т. е. дифференциал частного (дроби) равен произведению диффе-
дифференциала числителя на знаменатель минус произведение дифферен-
дифференциала знаменателя на числитель, все деленное на квадрат зна-
знаменателя.
120 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ 51
VI. Рассмотрим сложную функцию у=/(и), где и есть функция
от х. Определим dy, предполагая у зависящим от х:
dy =у'х dx = f (it) • и'х dx = f (u) du,
т. е. дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой
он имел бы в том случае, если бы вспомогательная функция и
была независимой переменной.
Рассмотрим численный пример для сравнения величины приращения
функции с се дифференциалом. Возьмем функцию
у =/(*) = хг + 2х2 + 4х + 10
и рассмотрим ее приращение
/B,01) —/B) = 2,013 + 2 • 2,012 + 4 • 2,01 + 10 — B3 + 2 . 22 + 4 .2 + Ю).
Производя все действия, получим для приращения величину
Ау =/B,01) —/B) = 0,240801.
Несравненно проще вычислить дифференциал функции. В данном случае
dx = 2>Q\—2 = 0,01 и дифференциалом функции будет
dy = (Зд:2 + 4х + 4) dx = C . 2* + 4 • 2 + 4). 0,01 = 0,24,
Сравнивая dy и Ау, видим, что они совпадают до третьего десятич-
десятичного знака.
51. Некоторые дифференциальные уравнения. Мы показали, что, заме-
заменяя в промежутке (.v, x-\-dx) приращение функции ее дифференциалом, мы
применяем закон прямой пропорциональности между приращениями функции
и независимой переменной с соответствующим коэффициентом пропорциональ-
пропорциональности, и что такая замена приводит к ошибке, которая является бесконечно
малой высшего порядка по сравнению с dx. На этом основано применение
анализа бесконечно малых к исследованию явлений природы.
Наблюдая некоторый процесс, стараются разбить его на малые элементы,
к каждому из которых, пользуясь его малостью, применяют закон прямой
пропорциональности. В пределе получают таким образом уравнение, пред-
представляющее собою соотношение между независимой переменной, функцией
и их дифференциалами (или производной). Уравнение это называется диффе-
дифференциальным уравнением, соответствующим рассматриваемому процессу.
Задача нахождения самой функции по дифференциальному уравнению есть
задача интегрирования дифференциального уравнения.
Итак, при применении анализа бесконечно малых к изучению какого-
либо закона природы, необходимо составить дифференциальное уравнение
рассматриваемого закона природы и -' проинтегрировать его. Эта последняя
задача обычно бывает гораздо труднее первой, и о ней мы будем говорить
впоследствии. В дальнейших примерах выведем дифференциальные уравнения,
соответствующие некоторым простейшим явлениям природы.
1. Барометрическая формула. Давление атмосферы р, рассчитываемое
на единицу площади, есть, очевидно, функция высоты h над поверхностью
земли. Рассмотрим вертикальный цилиндрический столб воздуха с площадью
поперечного сечения, равной единице. Проведем два поперечных сечения
А и Av на высотах h и h-\-dh. При переходе от сечения А к сечению А±
давление р уменьшится (если dh > 0) на величину, равную весу воздуха,
который заключается в части цилиндра между А и AL. Если dh мала, можем
51 1 § 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 121
приближенно считать плотность р воздуха в этой части цилиндра постоян-
постоянной. Площадь основания столбика ААХ равна единице, его высота dh и, сле-
следовательно, объем dh, а искомый вес р dh. Итак, уменьшение р (при dh > 0)
равно р dh:
dp — — р dh.
Согласно закону Бойля — Мариотта, плотность р пропорциональна давле-
давлению р:
р = ср (с — постоянная),
и мы окончательно получаем дифференциальное уравнение
dp = — ср dh или -~ = — ср.
2. Химические реакции первого порядка. Пусть некоторое вещество,
масса которого есть а} вступает в химическую реакцию. Обозначим буквою
л* ту часть этой массы, которая ужа вступила в реакцию к моменту вре-
времени t, отсчитываемому от начала реакции. Очевидно, х есть функция от t.
Для некоторых реакций можно приближенно считать, что количество веще-
вещества dx} вступившее в реакцию за промежуток времени от момента t до
момента t + dt, при малом dt пропорционально dt и количеству вещества,
которое к моменту t оставалось не вступившим в реакцию:
dx = c (а — х) dt или — = с (а — л:).
Преобразуем это дифференциальное уравнение, вводя вместо х новую
функцию у = а— л:, где у обозначает массу, которая остается не вступив-
вступившей в реакцию к моменту времени t. Принимая во внимание, что а есть
постоянная, получим
dy dx
dt dt'
и дифференциальное уравнение химических реакций первого порядка может
быть переписано в виде
d
3. Закон охлаждения. Положим, что некоторое тело, нагретое до высо-
высокой температуры, помещается в среду, имеющую постоянную температуру 0°.
При охлаждении тела его температура 0 будет функцией времени t, которое
мы будем отсчитывать от момента помещения тела в среду. Количество
тепла dQ, отданного телом за промежуток времени dt, будем приближенно
считать пропорциональным длительности dt этого промежутка и разности
температур тела и среды к моменту времени t (закон охлаждения Ньютона).
Мы можем тогда написать
dQ = c1ti dt (ct — постоянная).
Обозначив буквою k теплоемкости тела, имеем
где мы пишем знак (—), так как db в рассматриваемом случае отрицательно
(температура понижается). Сравнивая эти два выражения dQ, получим
db=*—cbdt (c^j) или ^=--^0;
122 гл. п. понятие о производной и его приложения [ 52
с есть величина постоянная, если мы будем считать теплоемкость k посто-
постоянной. Выведенные нами дифференциальные уравнения имеют одинаковую
форму. Все они выражают то свойство, что производная пропорциональна
самой функции с отрицательным коэффициентом пропорциональности (— с).
В [38] мы показали, что при непрерывных процентах с основного капи-
капитала а через t лет образуется наращенный капитал aekt, где k — процент-
процентная такса, выраженная в сотых долях:
у = aekt. G)
Вычисляя производную, получим
t ky, (8)
т. е. в этом случае мы получаем то же свойство пропорциональности произ-
производной и самой функции, благодаря чему свойство это называют законом
сложных процентов. Впоследствии мы покажем, что функция G) дает все
решения дифференциального уравнения (8) при произвольном значении
постоянной а, вместо которой будем писать С.
Таким образом, решения наших уравнений могут быть представлены
в виде (заменяя k на —с):
b(t)=Ce~cty (9)
где С—постоянная. Определим теперь физическое значение постоянной С
в каждой из предыдущих формул. Подставляя в первую из формул /г = 0,
получим
С = р@)=ро,
где р0 есть, таким образом, давление атмосферы при Л = 0, т. е. на поверх-
поверхности земли. Вторая из формул при ? = 0 даст нам
С=у(Р),
т. е. С есть масса, не вступившая в реакцию в начальный момент времени,
и ее мы раньше обозначали буквою а. Наконец, подставляя t = 0 в третью
из формул (9), убедимся также, что С есть начальная температура 60 тела
в момент его помещения в среду. Итак, окончательно имеем
p(h)==Poe-chj y(t) = aer<*t b(t) = %e~ct. A0)
52. Оценка погрешностей. При практическом определении или неточ-,
ном вычислении какой-либо величины х получается ошибка Ах, которая на-*
зывается абсолютной ошибкой или абсолютной погрешностью наблюдения
или вычисления. Она не характеризует точности наблюдения. Например,
ошибка около 1 см при определении длины комнаты практически допустима,
а такая же ошибка при определении расстояния двух близких предметов
(например, свечи от экрана фотометра) указывает на большую неточность
измерения. Поэтому вводят еще понятие об относительной погрешности,
Ал:
которая равна абсолютной величине отношения
абсолютной погреш-
погрешности к значению самой измеряемой величины.
Положим теперь, что некоторая величина у определяется из уравнения
= f(x). Ошибка Ах при определении величины х повлечет за собой ошиб-
ошибку Ау. При малых значениях Ах можно заменить приближенно Ду дифферен-
дифференциалом dy, так что относительная погрешность при определении величины^
выражается формулой
\dy
52!
§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
123
Примеры. 1. Сила тока i определяется, как известно, по тангенс-галь-
тангенс-гальванометру из формулы:
i = С tg ср.
Пусть tfcp — ошибка при отсчете угла ср:
с , di с , 2
/
at =
COS^cp
COS" ср • С tg ср
di
" sin 2cp "Y'
при определении i будет тем
откуда видно, что относительная ошибка
меньше, чем ближе ср к 45°.
2. Рассмотрим произведение uv:
и, следовательно,
т. е. относительная ошибка произведения не больше суммы относитель-
относительных ошибок сомножителей.
То oice правило получаем и для частного, так как
и v du — и dv
v v2 '
d 4-
d(uv)
uv
-—
d
du
и
(uv)
uv
dv
V
du
и
9
и
V
du_
и
dv^
v :
V
и
V
du
и
dv
V
3. Рассмотрим формулу для площади круга:
2nr dr
~^r =
Q
Q =
dQ = 2Tzr dr, ~^r =
Q
o dr
т. е. относительная ошибка при определении площади круга по написанной
выше формуле равна удвоенной относительной ошибке при определении
радиуса.
4. Положим, что определяется угол ср по логарифму его синуса и тан-
тангенса. Согласно правилам дифференцирования имеем
d (logl. sin Ч) = l
откуда
d (log,, tg T) =
CQS
d (log10 sincp), rf<p = l
sin cp cos cp flf (logi0 tg
A1)
Предположим, что при определении log10 sin ср и log10 tg ср мы сделали
одну и ту же ошибку (эта ошибка зависит от числа десятичных знаков
в той таблице логарифмов, которой мы пользуемся). Первая из формул A1)
Даст для rfcp величину по абсолютному значению большую, чем вторая из
формул A1), так как в первой формуле произведение log 10 - sincp делится,
а во второй формуле умножается на cos ср, а | cos ср | <с 1. Таким образом,
ири вычислении углов выгоднее пользоваться таблицей для logi0tgcp.
124 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ 53
§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
53. Производные высших порядков. Производная f (х) функ-
функции y—f(x) есть, как мы знаем, также функция от х. Дифферен-
Дифференцируя ее, мы получаем новую функцию, которая называется второй
производной, или производной второго порядка, первоначальной
функции f(x) и обозначается так:
/', или f"(x). .
Дифференцируя вторую производную, получаем производную
третьего порядка, или третью производную:
/", или /'"(*).
Применяя таким образом операцию дифференцирования, получим
производную любого п-ro порядка у{п\ или /(л) (х).
Рассмотрим несколько примеров.
1. jf== еа'\ У = аеах, у" = а*еах,..., /п) = апеах.
2. у = (ах + Ь)\ У = ak (ах + bf'\
y" = a*k(k-\)(ax+b)k-\...,
3. Мы знаем, что
(sin х)' = cos х = sin (•# + у)» (cos лг) = — sin x = cos L*r -{- у J,
т. е. дифференцирование sin x и cos x приводится к прибавлению
числа ^у к аргументу, а потому
(sin х)" = [sin (x + !) J = sin [x + 2 у) • (*.+ l)'=sin (jp + 2-J),
и, вообще,
){n) i{ + ~^ и
A+лг)«'
б. Рассмотрим сумму функций
Применяя правилб дифференцирования суммы и считая, что соот-
соответствующие производные функций и, v и w существуют, получим
53 ] § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 125
т. е. производная любого порядка от суммы равна сумме произ-
производных того же порядка. Например,
у = ;сз_4дг2-|-7лг+10; / = 3*» — 8х + 7, /' = 6* — 8; /" = 6,
уD) = 0 и, вообще, j/(/l) = 0 при л^>3.
Таким же путем можно показать, вообще, что производная п-го
порядка от многочлена т-й степени равна О, если п^>т.
Рассмотрим теперь произведение двух функций y = uv. Применяя
правила дифференцирования произведения и суммы, получим
у = u'v -\- uv,
у" = u"v + uv + и V + uv" = u"v -f 2w V + вгЛ,
У' = «"'* + «V + 2tfV + 2и V + «V + игГ =
Мы подмечаем следующий закон составления производных: чтобы
составить производную п-го порядка от произведения uv, надо
(и -+- v)n разложить по формуле бинома Ньютона и в полученном
разложении заменить показатели степеней у и nv указателями
порядка производных, причем нулевые степени (u° = v°=l), вхо-
входящие в крайние члены разлоэюения, заменить самими функциями.
Правило это называется правилом Лейбница и символически его
записывают в следующем виде:
Докажем справедливость этого правила, пользуясь способом
доказательства по индукции. Положим, что для л-й производной
это правило справеддиво, т. е.
У> = (ii + v)W = u<n)v-f у ц^1 V + п {П~Х) u(W + ... +
+ n(n-\)...(n-k+\) u(*-*)v(k)+^% + mW. A)
Чтобы получить yin+l\ надо написанную сумму продифференцировать
по х. При этом произведение u^n~k)v{k) в общем члене суммы, со-
согласно правилу дифференцирования произведения, заменится суммой
u(n~k+\)v(k) _i_u{n-k)v(k+i)a j^0 B символических обозначениях эту сумму
можно написать в виде
un-kvk(u-\-v).
Действительно, раскрывая скобки и заменяя показатели степеней
указателями порядка производных, мы и получим сумму и<л-*+1Мл*-|-
4- ?/(«-*V*+iL jy^bI ВИДИМ) таким образом, что для получения д/(л+1)
надо каждое слагаемое в сумме A), а потому и всю эту сумму,
126 гл. и. понятие о производной и его приложения [ 54
помножить символически на (u-\-v), и, следовательно,
= (и + ()
Мы показали, что если правило Лейбница справедливо для неко-
некоторого п, то оно справедливо и для (я-f-l). Но непосредственно мы
убедились, что оно справедливо для п=1, 2 и 3, а следовательно,
оно справедливо и для всех значений п.
Рассмотрим в качестве примера
и найдем уП00):
1^
(За:8 — l)"f + - - - + ^ (Зл:2—
+ ; (g
1 • Z ¦ о
Все производные многочлена второй степени, начиная с третьей, равны
тождественно нулю и (ех){п) =ех, вследствие чего мы получим
у юо) = ех (Зх2 — 1) + 10О?* • 6л: + 4950^ -6 = ех (Зх2 + 6Q0x + 29 699).
54. Механическое значение второй производной. Рассмотрим
прямолинейное движение точки:
где, как всегда, t есть время и 5 — путь, отсчитываемый от опреде-
определенной точки прямой. Дифференцируя один раз по t> получим ско-
скорость движения:
Составим вторую производную, которая представляет собою
предел отношения -^ при стремлении А^ к нулю. Отношение ~
характеризует быстроту изменения скорости за промежуток времени
Д? и дает среднее ускорение за этот промежуток времени, а предел
этого отношения при стремлении td к нулю дает ускорение w рас-
рассматриваемого движения в момент времени t:
w=f"(t).
Положим, что f(i) есть многочлен второй степени:
s = at*-{-bt 4-с, v = (lat-{-by w = 2a,
т. е. ускорение w постоянно и коэффициент а = у w. Подставляя
? = 0, получим b = v0, т. е. коэффициент & равен начальной скорости,
и c = sQ, т. е. с равно расстоянию точки в момент времени ? = 0
от начала координат на прямой. Подставляя найденные значения а,
b и с в выражение для 5, получим формулу для пути в равномерно
55 ] § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 127
ускоренном (w^>0) или равномерно замедленном (w<^0) движении:
Вообще, зная закон изменения пути, мы можем, два раза диффе-
дифференцируя по t, определить ускорение w, а следовательно, и силу /,
производящую движение, так как, согласно второму закону Ньютона,
f=niw> где т — масса движущейся точки.
Все сказанное годится лишь для прямолинейного движения.
В случае криволинейного движения, как доказывается в механике,
f (t) дает лишь проекцию вектора ускорения на касательную к тра-
траектории.
Рассмотрим для примера случай гармонического колебательного
движения точки М, когда расстояние 5 этой точки от некоторой
определенной точки О на прямой, по которой движется трчка М,
определяется по формуле:
2
= a sin ( —
где а — амплитуда, т — период колебания и со — фаза суть величины
постоянные. Определим, дифференцируя, скорость v и силу /:
2па /2л , , \ г 4л2т . /2л . , \ 4ъ2т
v — — cos — t -4- со , / = mw = 2— a sin — t -4- to = — 5,
т. е. сила по величине пропорциональна длине отрезка ОМ и на-
направлена в противоположную сторону. Иными словами, сила направ-
направлена всегда от точки М к точке О и пропорциональна удалению
точки М от точки О.
55. Дифференциалы высших порядков. Введем теперь понятие
о дифференциалах высших порядков функции y=f(x). Ее диффе-
дифференциал
dy=f(x)dx
является, очевидно, функцией от лг, но не надо забывать при этом,
что дифференциал независимой переменной dx считается уже неза-
независящим от х [50] и при дальнейшем дифференцировании выносится
за знак производной как постоянный множитель. Рассматривая dy
как функцию от х, можно составить дифференциал этой функции;
он называется дифференциалом второго порядка первоначальной
функции f(x) и обозначается символами d*y, или d2f(x):
dly = d {dy) = [/' {x) dx]' dx =/" (x) dx\
Составляя опять дифференциал полученной функции от х, придем
к дифференциалу третьего порядка:
d'y = d (d2y) = [/" (х) dx*$ dx =/'" (x) dx*
128 гл. и. понятие о производной и его приложения [ 56
и, вообще, составляя последовательно дифференциалы, придем к поня-
понятию о дифференциале п-го порядка функции f{x) и получим для
него выражение:
dnf\x\ или dny=f^n)(x)dxn. B)
Эта формула позволяет представить производную п-го порядка
в виде частного:
/°°(*)=g. C)
Рассмотрим теперь случай сложной функции у=/(и), где
и — функция некоторой независимой переменной. Мы знаем [50],
что первый дифференциал этой функции имеет тот же вид, как
и в том случае, когда и — независимая переменная:
dy=f(u)du.
При определении дифференциалов высших порядков мы получим
формулы, отличные по виду от формулы B), ибо мы не имеем уже
права считать du величиной постоянной, так как и не является
независимой переменной. Так, например, для дифференциала второго
порядка будем иметь, применяя правило для нахождения дифферен-
дифференциала произведения, выражение
d*y = d [f (и) du] = du d [f(u)} +/' (и) d (du) =/" (a) du% +/'(«) d\
которое содержит, по сравнению с формулой B), добавочное
слагаемое f(u)dhu
Если и есть независимая переменная, то du надо считать величи-
величиной постоянной и d2u = 0. Положим теперь, что и есть линейная
функция независимой переменной t> т. е.
u = at-\-b.
При этом du = a dty т. е. du есть опять величина постоянная, а по-
потому дифференциалы высших порядков сложной функции будут
выражены по формуле B):
dnf(u)=fin)(u)diin9
т. е. выражение B) для дифференциалов высших порядков годится
в том случае, если х есть независимая переменная или линейная
функция независимой переменной,
56. Разности функций. Обозначим буквою h приращение независи-
независимой переменной. Соответственное приращение функции y=f(x) будет
D)
Его называют иначе разноетью первого порядка функции f(x).
Эта разность есть, в свою очередь, функция от х} и мы можем найти
56 ] § <*. производные и дифференциалы высших порядков 129
разность этой функции, вычисляя значение этой функции при
x-\-h и х и вычитая из первого результата второй. Эта разность
называется разностью второго порядка первоначальной функции f (х)
и обозначается символом At2y. Нетрудно выразить А'2у через значения
самой функции f(x)\
tfy = A (Ay) = \f(x-\- 2А) -f(x + h)\ — [f(x + h) - f(x)} =
E)
Эта разность второго порядка также есть функция от лг, и, опре-
определяя разность этой функции, получим разность третьего порядка
t^y первоначальной функции f(x). Заменяя в правой части равен-
равенства E) х на jc —j— Л и вычитая из полученного результата правую
часть равенства E), будем иметь выражение для Д3у:
А3у = \/(х + ЗА) - 2/(лг + 2/г) + f(k + h)\ -
-[/(*+2ft) —2/(* +A)+ /(*)] =
А^ + А) —
Таким образом, можно последовательно определить разность
любого порядка, и разность п-го порядка Алу будет иметь следую-
следующее выражение через значения функции f(x):
+ ... + (-l)V(x). F)
Выше мы убедились в справедливости этой формулы при п— 1, 2
и 3. Для ее полного доказательства надо применить обычный способ
доказательства от п к (лг -|— 1). Заметим, что для вычисления Апу
надо знать {п-\-\) значения функции f(x) при значениях аргумента:
х, лг-f-A, x-f-2/z,..., x-\-nh. Эти значения аргумента образуют
арифметическую прогрессию с разностью /г, или, как говорят, являются
равноотстоящими значениями.
При малых значениях h = dx разность Ау мало отличается от диф-
дифференциала dy. Точно так же разности высших порядков будут давать
приближенные значения дифференциалов соответствующих порядков,
и наоборот. Если, например, функция задана таблично при равно-
равноотстоящих значениях аргумента, то мы, не имея аналитического
выражения функции, не в состоянии точно вычислить значения
ее производных различных порядков, но вместо точной форму-
лы C) можем получить приближенное значение производных, вы-
вычисляя отношение -т-^. Составим для примера таблицу разностей и
130
ГЛ. II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[56
дифференциалов функции у = х3 в промежутке B, 3), принимая:
Дат = А = 0,1.
Для составления этой таблицы были вычислены последователь-
последовательные значения функции у = хъ> из них при помощи вычитания,
согласно формуле D), были получены значения Aj/, из них также
при помощи вычитания получились значения А2у и т. д. Такой спо-
способ последовательного вычисления разностей, конечно, проще, чем
вычисление по формуле F). Дифференциалы вычисляются по извест-
известным формулам, указанным наверху таблицы, причем надо положить
с/* = А = 0,1.
X
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
У
8,000
9,261
10,648
12,167
13,824
15,625
17,576
19,683
21,952
24,389
27,000
1,261
1,387
1,519
1,657
1,801
1,951
2,107
2,269
2,437
2,611
— ¦
№у
0,126
0,132
0,1 за
0,144
0,150
0,156
0,162
0,168
0,174
—
—
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
—
—
My
0
0
0
¦fi
0
0
0
—
—
—
dy=3x^dx
:
1,200
1,323
1,452
1,587
1,728
1,875
2,028
2,187
2,352
2,523
—
rf2y =
= 6xdx2
0,120
0,126
0,132
0,138
0,144
0,150
0,156
0,162
0,168
—
—
d3y=6dx3
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
0,006
—
—
—
d*y = 0
0
0
0
0
0
0
0
—
—
—
—
Сравним точное и приближенное значения второй производной у9
при х=2. В рассматриваемом случае у" = 6х и /'=12 прилг=2.
Приближенно эта производная выражается отношением -р-, и при
х = 2 мы получим
0,126
;=12Д
Если f(x) есть многочлен от х:
= f(x) = а
то, вычисляя Ду по формуле D), получим для Ау выражение в виде
целого многочлена (т—1)-й степени со старшим членом maQhxm~l>
что нетрудно проверить. Таким образом, в случае у = х'6> Ау будет
многочленом второй степени от х, Ь?у — многочленом первой сте-
степени, А3у — постоянной и А4у — нулем (см. таблицу). Предлагаем
читателю в качестве упражнения показать, что значения d?y должны
в рассматриваемом примере на одну ступень запаздывать но сравне-
сравнению с А2;/, что видно из таблицы.
57 J § 5. приложение к изучению функций 131
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ
К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ
57. Признаки возрастания и убывания функций. Знание про-
и?водной дает возможность изучать различные свойства функций. Мы
начнем с наиболее простого и основного вопроса, а именно с во-
вопроса о возрастании и убывании функции.
функция f{x) называется возрастающей в некотором проме-
промежутке, если в этом промежутке большим значениям независи-
независимой переменной соответствуют и большие значения функции,
т. е. если
при й>0.
Наоборот, если мы имеем:
при й>0,
то функция называется убывающей.
Если мы обратимся к графику функции, то промежутки воз-
возрастания будут соответствовать тем частям графика, на которых
большим абсциссам соответствуют и большие ординаты. Если мы,
как это сделано на рис. 55, направим ось ОХ вправо и ось OY
наверх, то промежутку возрастания у
функции будут соответствовать та-
такие части графика, что при движе-
движении вдоль кривой вправо в направ-
направлении возрастающих абсцисс мы
подымаемся вверх. Наоборот, проме-
промежуткам убывания соответствуют ча-
части кривой, опускающиеся вниз при
движении вдоль кривой вправо. На
рис. 55 часть графика АВ соответ-
соответствует промежутку возрастания, а
часть ВС— промежутку убывания.
Из чертежа непосредственно ясно,
что на первом участке касательная
образует с направлением оси ОХ угол а, отсчитываемый от оси ОХ
до касательной, тангенс которого положителен. Но тангенс этого
угла есть как раз первая производная f (х). Наоборот, на участке ВС
направление касательной образует с направлением ОХ угол а (в
четвертой четверти), тангенс которого отрицателен, т. е, для этого
случая Г(х) будет величиной отрицательной. Сопоставляя получен-
полученные результаты, мы приходим к следующему правилу: те проме-
промежутки, в которых Г(х)^>0, суть промежутки возрастания
Функции, а те промеоюутки, в которых f'(x)<^Q, суть проме-
промежутки убывания функции.
Рис. 55.
132 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ 57
Мы пришли к этому правилу, пользуясь чертежом. В дальней-
дальнейшем дадим для него строгое аналитическое доказательство. Сейчас же
мы применим полученное правило к некоторым примерам.
1. Докажем неравенство
Xs
sin х >jc —^- при х > 0.
Для этого составим разность
/(x)= sin x—ix —-g-j.
Определим производную /' (х):
Принимая во внимание, что по абсолютной величине сама дуга больше
своего синуса, можем утверждать, что f'(x)>0 в промежутке @, +оо),
т. е. в этом промежутке / (х) возрастает, но /@) = 0, и потому
= sin л: — (* —^)>° ПРИ
т. е.
л:8
sin х > х ~- при х > 0.
2. Точно так же можно доказать неравенство
x>log A+*) при л->0.
Составим разность
f(x) = x — log
откуда
Из этого выражения видно, что при х >¦ 0 и /' (х) "> О, т. е. f (х) возра-
возрастает в промежутке @, +оо), но/@) = 0, и, следовательно,
f(x) = x — log(l+jc)>0 при *>0,
т. е.
х > log A + х) при х > 0.
3. Рассмотрим уравнение Кеплера, о котором мы говорили в [31]:
х = q sin x + а @ <; q <. 1).
Мы можем переписать его в виде
f(x) = x — q sin л: — а = 0.
Составляя производную /' (л:), получим
/' (х) = 1 — <7 cos х.
Принимая во внимание, что произведение q cos x по абсолютному значе-
значению меньше единицы, так как по условию q заключается между нулем
57
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ
133
и единицей, можем утверждать, что /'(л*) > 0 при любом значении х,
а потому f (х) возрастает в промежутке (—оо, + оо) и, следовательно, не
может обратиться более одного раза в нуль, т. е. уравнение Кеплера не
может иметь более одного вещественного корпя.
Если постоянная а кратна тс, т. е. a = kTi, где k — целое число, то, непо-
непосредственно подставляя л- = /гтс, получим f(kn)=0J и x = kn будет един-
единственным корнем уравнения Кеплера. Если а не кратно тс, то можно найти
такое целое число k, что
kn < fl< (k+ 1)тс.
Подставляя x = kn и (& + 1)тс, получим
/ (kn) = kn — а < О,
/ (k+Тк) = (к + 1) тс — а > 0.
Но если /(/№) и /(&+ 1тс) разных знаков, то /(х) должно обращаться в нуль
внутри промежутка (kn, k + 1тс) [35], т. е. внутри этого промежутка будет
находиться единственный корень уравнения Кеплера.
4. Рассмотрим уравнение
/ (х) = Зл'5 — 25л:8 + 60лг+ 15 = 0.
Составим производную /' (л*) и приравняем ее нулю:
f (х) = 15л:4 — 75л:2 + 60= 15 (х* — 5х2 + 4) = 0.
Решая это биквадратное уравнение, получим, что /' (л*) обращается
в нуль при
* = —2, —1, +.1 и +2.
Таким образом, весь промежуток (—оо, +оо) мы можем разбить на
пять промежутков:
(-оо, -2), (-2, -1), (-1, 1), A, 2), B, +оо),
внутри которых/'(л:) сохраняет уже неизменный знак, а потому /(лг) ме-
меняется монотонно, т. е. или возрастает или убывает, и не может поэтому
внутри' каждого из этих промежутков иметь более одного корня. Если на
концах какого-либо из этих промежутков f (х) имеет разные знаки, то
уравнение f (х) = 0 имеет внутри такого промежутка один корень, а если
эти знаки одинаковые, то внутри соответствующего промежутка корней нет.
Таким образом, для определения числа корней уравнения остается опре-
определить знаки f (х) на концах каждого из пяти указанных промежутков.
Для определения знака f (х) при л: = ±;оо представим f (х) в виде
При стремлении х к (— оо), f(x) стремится к (—оо), ибо л:5 при этом
стремится к (— оо), а выражение, стоящее в круглых скобках, — к 3. Точно
так же убедимся в том, что при стремлении х к (+оо) и f (х) стремится
к (+оо). Подставляя значения л: = — 2, — 1, 1 и 2, получим следующую
таблицу:
Л*
f(x)
— оо
—
— 2
—
— 1
—
1
+
2
_)_
+
134
ГЛ. П. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
58
Оказывается, что / (х) имеет разные знаки только на концах промежутка
(— 1, -|- 1), и, следовательно, рассматриваемое уравнение имеет только один
вещественный корень, заключающийся внутри этого промежутка.
Выше мы определили возрастание и убывание функции в проме-
промежутке. Иногда говорят, что функция возрастает или убывает в точке
x = Xq. Это значит следующее: функция возрастает при x = xQy
если f(x)<^f(Xo) при х<^х0 и f(x)^>f(x0) при х^>х0, причем х
считается достаточно близким к х0. Аналогично определяется убыва-
убывание функции в точке. Из понятия производной непосредственно
вытекает достаточное условие возрастания и убывания в точке лго>
а именно, если /' (хо)^>О, то функция возрастает в точке xQ,
и если f'(xQ)<^0y то функция убывает в точке xQ. Действительно,
если, например, Г(Хо)^>0, то отношение
имеющее предел Г(Хц\ будет также положительным при
всех /г, достаточно малых по абсолютной величине, т. е. числитель
и знаменатель будут одинаковых знаков. Иначе говоря, будет:
/ —/С*о)>О при /г>0 и /(лто + А)— /(*о)<° ПРИ
что и дает возрастание в точке лт0.
68. Максимумы и минимумы функций. Обратимся вновь к рас-
рассмотрению графика некоторой функции f{x) (рис. 56). На этом
графике мы имеем последовательное чередование промежутков воз-
возрастания и убывания функции. Дуга АМХ
соответствует промежутку возрастания.
Следующая за ней дуга МхМг — проме-
промежутку убывания, следующая 7И.2Ж3 — опять
промежутку возрастания и т. д. Те точки
кривой, которые отделяют промежутки
возрастания от промежутков убывания,
являются вершинами кривой. Рассмотрим,
. х например, вершину Mv Ордината в этой
вершине больше всех ординат кривой,
достаточно близких к рассматриваемой и
лежащих как слева, так и справа от нее.
Говорят, что такой вершине соответствует максимум функции f(x).
Это приводит к следующему общему аналитическому определению:
функция f(x) достигает максимума в точке х = хъ если ее зна-
значение /(хг) в этой точке больше всех ее значений в ближайших
точках, т. е. если приращение функции
А]
Рис. 56.
при всяких h как положительных, так и отрицательных, доста-
достаточно малых по абсолютному значению.
58 ] § 5. приложение к изучению функций 135
Обратимся к рассмотрению вершины УИ2. В этой вершине, наоборот,
ордината меньше всех соседних с ней ординат, лежащих как слева,
так и справа, и говорят, что этой вершине соответствует минимум
функции; аналитическое определение будет: функция f {х) достигает
минимума в точке х = хъ если
при всяких h, как положительных, так и отрицательных, доста-
достаточно малых по абсолютному значению.
Из чертежа мы видим, что как в вершинах, соответствующих
максимуму функции, так и в вершинах, соответствующих минимуму,
касательная параллельна оси ОХ, т. е. ее угловой коэффициент /' (х)
равен нулю. При этом предполагается, конечно,
что касательная и тем самым производная су-
существуют. Но параллельность касательной
оси ОХ может иметь место и не только в вер-
Ук Г(х)>0
м
f'(x)>0
шинах кривой. Так, например, на рис. 57 мы
имеем точку кривой Ж, которая не является
вершиной и в которой все же касательная парал-
параллельна оси ОХ. Рис. 57.
Положим, что Г(х) обращается в нуль при
некотором значении х = х0, т. е. в соответствующем месте графика
касательная параллельна оси ОХ. Исследуем знак f'(x) при зна-
значениях х, близких к х0. Рассмотрим следующие три случая.
I. При значениях х, меньших х0 и достаточно близких к дг0, f'(x)
положительна, а при значениях х, больших х0 и достаточно близких
к -^о» f (х) отрицательна, т. е., иными словами, /'(х) при переходе х
через х0 переходит через нуль от положительных значений к отри-
отрицательным.
В этом случае мы имеем слева от х = х0 промежуток возрастания
и справа—промежуток убывания, т. е. значению х = х0 соответ-
соответствует вершина кривой, дающая максимум функции f(x) (рис. 56).
II. При значениях лг, меньших хОу Г (х) отрицательна, а при
значениях х, больших дг0, положительна, т. е. /'(х) при переходе
через нуль идет от отрицательных значений к положительным.
В этом случае слева от точки х = х0 мы имеем промежуток убы-
убывания, а справа — промежуток возрастания, т. е. значению х = х9
соответствует вершина кривой, дающая минимум функции (рис. 56).
III. При значениях х как меньших, так и больших х& /' (х) имеет
один и тот же знак. Положим, например, что это есть знак (-]-)•
В этом случае соответствующая точка графика лежит внутри
промежутка возрастания и вовсе не является вершиной (рис. 57).
Сказанное приводит нас к следующему правилу нахождения тех
значений х, при которых f(x) достигает максимума или минимума;
1) нужно составить Г(х)\
136
ГЛ. II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
J58
2) найти те значения х, при которых f (x) обращается в нуль,
т. е. решить уравнение f'(x) = 0;
3) исследовать изменения знака Г(х) при переходе через эти
значения по следующей схеме:
X
f'(x)
x0— h
i
x0
0
*. + *
i
максимум
минимум
возрастает
убывает
Обозначения х0 — h и xQ-{-h в приведенной таблице показывают,
что нужно определить знаки функции f(x) при значениях х> мень-
меньших и больших дг0, но достаточно близких, так что h считается
достаточно малым положительным числом.
При этом исследовании предполагается, что /'(дго) = О, но при
всех х, достаточно близких к лг0 и отличных от xQi fix) отлична
от нуля.
Обратим еще внимание, что в случае рис. 57 касательная
в точке М с абсциссою дг0 находится по разные стороны от кривой
в окрестности этой точки. В данном случае f'(xo) = Q и f'(x)^>0
при всех х, близких к х0 и отличных от xQ, и весь участок кривой
с точкой х0 внутри дает промежуток возрастания, несмотря на то,
что/'(*о) = 0.
Иногда вместо указанного выше определения максимума дают
несколько другое, а именно: функция f(x) достигает максимума
в точке х = Х\у если ее значение f(xx) в этой точке не меньше ее
значений в ближайших точках, т. е. если приращение функции
f(xx-{-h) — f(xi)^0 при всяких h, как положительныхУ так и
отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине.
Аналогично минимум в точке х% можно определить неравенством
f(x%-\-h)—/(х2)^0. Если при этом определении функция имеет
в точке максимума или минимума производную, то эта производная
должна, как и выше, обращаться в нуль.
Рассмотрим пример. Пусть требуется найти максимумы и минимумы
функции
f(x) = (x-l)*(x-2)\
Составим первую производную
— 7) = 5 (*-!)(* —
58
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ
137
Из последнего выражения видно, что /' (х) обращается в нуль при сле-
следующих значениях независимой переменной: xL = \, х2 = -^- и х3 = 2.
Переходим к их исследованию. Прил;=1 множитель (х — 2J имеет знак
плюс, множитель 1х ^-) —знак минус. При всех значениях х как меньших,
так и больших единицы, но достаточно близких к единице, знаки этих множи-
множителей будут те же самые и, следовательно, произведение этих двух множите-
множителей имеет безусловный знак,минус при всех значениях х, достаточно близ-
близких к единице. Обратимся, наконец, к рассмотрению последнего множителя
(х—1), который как раз обращается в нуль при лг=1. В случае х < 1
он имеет знак минус, а при х > 1—знак плюс. Таким образом, все произ-
произведение, т. е. /' (х), имеет при х < 1 знак плюс и при х > 1 знак минус.
Откуда следует, что значению х=\ соответствует максимум функции/(л:).
Подставляя значение jc = 1 в выражение самой функции f (х), мы получим
величину найденного максимума, т. е. ординату соответствующей вершины
графика функции
Повторяя аналогичные рассуждения и для остальных значений лг2 = -^
и л*3 = 2, мы получим следующую табличку:
X
f(x)
fix)
\—h
+
возр.
1
0
0
макс.
1+Л
—
i-
—
убывает
7
5
0
108
3125
миним.
+
2 —Л
+
2
0
2 + Л
+
возрастает
В указанном нами способе исследования максимумов и миниму-
минимумов функции представляется несколько затруднительным, особенно
в более сложных примерах, определение знака /''(х) при значениях.*;
как меньших, так и больших испытуемого. Во многих случаях этого
можно избегнуть, если ввести в рассмотрение вторую производную
f" {х). Положим, что нам надо испытать значение x = xQt при кото-
котором /'(jco) = O. Подставим это значение х = х0 в выражение второй
производной и положим, что мы получили положительную величину,
т. е. /"(Хо)^>О. Если принять f{x) за основную функцию, то f"(x)
будет ее производной и положительность этой производной в точке
x = Xq показывает, что сама основная функция Г (х) возрастает
в соответствующей точке, т. е. Г(х) при переходе через нуль
в точке х = Хъ должна идти от отрицательных значений к положи-
положительным. Таким образом, в случае f" (х0)^>0 в точке х = х^ функ-
Ция f(x) будет достигать минимума. Точно так же можно
показать, что в случае Г(х0)<^0 в точке х = хо функция f(x)
достигает максимума. Если, наконец, при подстановке х=х0
138
ГЛ. ТТ. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
58
в выражение /" (х) мы получим нуль, т. е. /" (хо) = О, то пользование
второй производной не дает возможности исследовать значение
x = xQ> и приходится обращаться к непосредственному исследованию
знака Г {х). Мы получаем, таким образом, изображенную в таблице
схему:
X
f W
0
Г (х)
+
0
максимум
минимум
сомнительный случай
Из приведенных рассуждений непосредственно следует, что при
наличии производной второго порядка необходимым условием мак-
максимума является неравенство f"(x)^0, а необходимым условием
минимума — неравенство /"(je)^O. При этом мы можем определять
максимум условием f(xx -\- h) —f(x^) ^ О и минимум — условием
f(x<i-\-h)—/(х2)^0, как мы об этом говорили выше.
Пример. Требуется найти максимумы и минимумы функции
/ (х) = sin х + cos x.
Эта функция имеет период 2тг, т. е. не меняется при замене х на х-\-2%.
Достаточно исследовать промежуток изменения х от 0 до 2гс. Составим
производные первого и второго порядка
/' (л:) == cos a: — sin x, f" (х) = — sin х — cos x.
Приравнивая первую производную нулю, получим уравнение
cos х — sin x = 0 или tg х = 1.
Корни этого уравнения из промежутка @, 2л) будут
Исследуем эти значения х по знаку /" (х):
=— sin ~ — cos -?• = — V~2 < 0; максимум /(-?-) = V%
f"[-r) = —sin ~— cos-^ = уг2">0; минимум /f-^j = — Y%
В заключение обратим внимание на одно обстоятельство, которое
иногда имеет место при нахождении максимумов и минимумов. Может
случиться, что на графике функции имеются такие точки, в которых
касательной или вовсе нет или она параллельна оси ОY (рис. 58).
В точках первого рода производная Г (х) вовсе не будет суще-
59 I § 5. приложение к изучению функций 139
ствовать, а в точках второго рода она будет равна бесконечности,
так как угловой коэффициент прямой, параллельной оси О К, равен
бесконечности. Но, как непосредственно видно из чертежа, в таких
точках может встретиться максимум или минимум функции. Таким
образом, мы должны, строго говоря, до-
полнить предыдущее правило нахождения
максимумов и минимумов следующим ука-
указанием: максимум и минимум функции
f(x) может встретиться не только
в тех точках, где f (х) обращается в
нуль, но и в тех точках, где она не
существует или обращается в беско- у)
нечность. Исследование таких точек надо рис>
производить по первой из схем, указан-
указанных выше, а именно—г путем определения знака f (х) при значе-
значениях, меньших и больших исследуемого.
Во всем предыдущем мы занимались простейшим случаем непре-
непрерывной функции f(x) с непрерывной производной, имеющей конеч-
конечное число нулей в исследуемом промежутке. При последнем заме-
замечании отсутствие производной допускается также в конечном числе
точек. Вообще настоящий и следующие два параграфа имеют целью
быть наглядным введением в исследование свойств функций. Далее
мы вернемся к строгому аналитическому изложению.
Пример. Требуется найти максимумы и минимумы функции
f(x) = (x-\)^x~2.
Составим первую производную
2
Она обращается в нуль при х = -^- и в бесконечность при х = 0.
Исследуем последнее значение: числитель написанной выше дроби имеет при
х = 0 знак минус и при всех значениях ху как больших, так и меньших
нуля, но близких к нему, он будет иметь хот же знак. Знаменатель дроби
при х <с 0 имеет знак минус, а при х>>0 знак плюс. Следовательно, вся
Дробь имеет при х < 0 и близких к нулю знак плюс, а при х > 0 — знак
2
минус, т, е. при л: = 0 мы имеем максимум /@) = 0. В точке х = -g- будем
иметь минимум
T 3 у-90
20
B\ 3 V/T 3
59. Построение графиков. Разыскание максимумов и минимумов
Функции f(x) существенным образом облегчает построение графика
140
ГЛ. II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
! 59
этой функции. Выясним на некоторых примерах простейшую схему
построения графиков функций.
1. Пусть требуется построить график функции
У __. /д- 1 J (л: 2K
исследованной нами в предыдущем номере. Мы получили там две вершины
этой кривой, а именно, максимум A, 0) и минимум f-^-, —41W) • 0™стим
эти точки на чертеже. Кроме того, полезно отметить и следы искомой кривой
у на осях. При jc = O мы имеем у = — 8, т. е. след
' на оси ОУ будет у = — 8.
Приравнивая у нулю, т. е.
(х — IJ (х — 2K = 0,
мы получим следы на оси ОХ. Один из них, лг=1,
как мы уже выяснили, является вершиной, а дру-
другой, х = 2, как это было выяснено в предыдущем
номере, вершиной не является, но в соответствую-
*-Х щей точке графика касательная параллельна оси
ОХ. Искомая кривая изображена на рис. 59.
2. Вычертим кривую
Составим первую производную
У = — 2хё~~ х .
Приравнивая у' нулю, получим значение лг = О, ко-
которому, как нетрудно видеть, соответствует верши-
вершина (максимум) кривой с ординатой у=\. Эта же
Рис. 59. точка дает и след кривой на оси ОК. Приравнивая
у нулю, получим уравнение ё~х =0, которое не
имеет решений, т. е. следов на оси ОХ кривая не имеет. Заметим, кроме
того, что при стремлении х к (+оо) или (—оо) показатель степени у е~~*
стремится к (—ос), и все выражение стремится к нулю, т. е. при беспре-
-2fi -1? -
10
дельном удалении направо и налево кривая беспредельно приближается к
оси ОХ. Соответствующая всем полученным данным кривая изображена на
рис. 60.
3. Построим кривую
59 I § 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ HI
которая дает график так называемого затухающего колебания. Множитель
sin bx по абсолютному значению не превышает единицы, и вся кривая будет
расположена между двумя кривыми
у = егах и у = — е~ах.
При стремлении х к (+оо) множитель е~ах, а следовательно, и все про-
произведение е~ах sin bx будет стремиться к нулю, т. е. при беспредельном уда-
удалении направо кривая будет безгранично приближаться к оси ОХ. Следы
кривой на оси ОХ определятся из уравнения
sin bx = 0,
т. е. будут
х = -г (k — целое число).
Определим первую производную
у = — ае~ах sin bx + be~ax cos bx = e~ax (b cos bx — a sin bx).
Но выражение, стоящее в круглых скобках, может быть, как известно, пред-
представлено в виде
b cos bx — a sin bx = К sin (bx -f- <p0),
где К и ср0 — постоянные. Приравнивая первую производную нулю, получим
уравнение
sin (bx + ср0) = О,
которое дает
= knt т. е. лг= ^°- (k — целое число). A)
Когда х переходит через эти значения, sm (bx -\-у0) будет всякий раз
менять свой знак. То же можно, очевидно, сказать и относительно произ-
производной у', так как
у = Ке~ах sin (bx + ср0),
а множитель е~ах знака не меняет. Следовательно, этим корням соответствуют
поочередно максимумы и минимумы функции. В случае отсутствия показа-
показательного множителя е~ах мы имели бы синусоиду
у = sin bx,
и абсциссы ее вершин получились бы из уравнения
cos bx = 0,
т. е.
(k—целое число).
Мы видим, таким образом, что показательный множитель не только
уменьшает амплитуды колебаний, но и смещает абсциссы вершин кривой.
Сравнивая уравнения A) и Aл), нетрудно видеть, что это смещение равно
постоянной величине! — ~ — ~-). На рис. 61 изображен график затухаю-
затухающего колебания при я = 1 и Ь = 2п. Вершины кривой не находятся на пунк-
пунктирных линиях, соответствующих уравнениям у = + е~ах. Это происходит
вследствие указанного выше смещения вершин.
142 гл. тт. понятие о производной и его приложения I 60
4. Построим кривую
__ х* — 3х
У g .
Составляем производные первого и второго порядка
, *2 —1 „
Приравнивая первую производную нулю, получим значения ^ = 1 и
#2 =—1. Подставляя эти значения во вторую производную, убедимся, что
первому значению будет соот-
соответствовать минимум, а вто-
второму — максимум. Подставляя
эти значения в выражение для
у, определим соответствующие
вершины кривой:
(-• т). ('¦ -4)-
Полагая д: = 0, получим # = 0,
т. е. начало координат @, 0)
лежит на кривой. Наконец,
иУ > X
Рис. 61.
Рис. 62.
приравнивая у нулю, получим, кроме # = 0, еще два значения #= ± J^3,
т. е. окончательно точки пересечения кривой с осями координат будут @, 0),
(У^ 0) и (—Кз7 0). Отметим еще, что при одновременной замене х и у
на (—х) и (—у) обе части уравнения кривой меняют лишь знак, т. е.
начало координат есть центр симметрии кривой (рис. 62).
60. Наибольшее и наименьшее значения функций. Пусть рас-
рассматриваются значения функции f(x) при значениях независимой пере-
переменной х из промежутка (а, Ъ\ т. е. при а-^х^Ъ, и пусть тре-
требуется найти наибольшее и наименьшее из этих значений. При ука-
указанном условии функция f(x) будет достигать наибольшего и наи-
60
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ
143
меньшего значения [35], т. е. соответствующий этой функции график
будет иметь в упомянутом промежутке наибольшую и наименьшую
ординаты. Согласно приведенным выше правилам, мы сможем найти
все максимумы и минимумы функции, заключающиеся внутри про-
промежутка (а, Ь). Если функция f(x) имеет свою наибольшую орди-
ординату внутри этого промежутка, то эта наибольшая ордината будет,
очевидно, совпадать с наибольшим максимумом функции внутри
промежутка (я, Ь). Но может оказаться, что наибольшая ордината
находится не внутри промежутка, а на одном из его концов х = а
или х = Ь. Поэтому для нахождения, например, наибольшего зна-
значения функции недостаточно сравнить все ее максимумы внутри
промежутка и взять наибольший, но необходимо также принять во
внимание и значение функции на концах промежутка. Точно так же
для определения наименьшего значения функции надо взять все ее
минимумы, лежащие внутри промежутка, и граничные значения функ-
функции при х = а и х = Ь. Заметим при этом, что максимумы и ми-
минимумы могут вовсе отсутствовать, а наибольшее и наименьшее
значения у непрерывной функции в ограниченном промежутке (а, Ь)
обязательно будут существовать.
Отметим некоторые частные случаи, когда нахождение наимень-
наименьших и наибольших значений производится наиболее просто. Если,
например, функция f(x) возрастает в промежутке (я, Ь)у то, оче-
очевидно, при х = а она будет принимать
наименьшее, а при х = Ь наибольшее
значение. Для убывающей функции
картина будет противоположной.
Если функция имеет внутри проме-
промежутка один максимум и не имеет ми-
минимумов, то этот единственный макси-
мум и дает наибольшее значение функ-
функции (рис. 63), так что в этом случае
для определения наибольшего значения
Функции вовсе не надо определять значений функций на концах про-
промежутка. Точно так же, если функция имеет внутри промежутка один
минимум и не имеет вовсе максимумов, то упомянутый единственный
минимум и дает наименьшее значение функции. Указанные только
что обстоятельства будут иметь место в первых из четырех изло-
изложенных ниже задач.
1. Дан отрезок длины U Требуется разделить его на две наста так,
чтобы площадь прямоугольника, построенного на них, была наибольшей.
Пусть х —длина одной из частей отрезка, (/ — *) — длина другой его
части. Принимая во внимание, что площадь прямоугольника равна произве-
произведению его соседних сторон, видим, что задача сводится к нахождению тех
значений х% при которых функция
*(/ — X)
наиб, значь
Рис. 63.
144 гл. тт. понятие о производной и его приложения f 69
достигает наибольшего значения в промежутке @, /) изменения х. Составим
производные первого и второго порядка
/'(*) = (/ — х) — * = / — 2лг, /"(*) = —2 <0.
Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значение
л; = -—, которому и соответствует максимум, так как f" (x) постоянно
отрицательна. Таким образом, наибольшая пло-
площадь будет у квадрата со стороною -~-.
2. Из круга радиуса JR вырезается сектор
и из оставшейся части круга склеивается ко-
конус. Требуется определить угол вырезанного
сектора так, чтобы объем конуса был наи-
большим.
Рис- 64« Примем за независимую переменную х не
угол вырезанного сектора, а его дополнение до
2тс, т. е. угол оставшегося сектора. При значениях х, близких к 0 и 2тс,
объем конуса будет близок к нулю, и, очевидно, внутри промежутка @, 2тс)
будет существовать такое значение х> при котором этот объем будет наи-
наибольшим.
При склеивании оставшейся части круга в конус (рис. 64) получится
такой конус, у которого образующая равна /?, длина окружности основания
равна Rx, радиус основания г — -?-- и высота
Объем этого конуса будет
При отыскании наибольшего значения этой функции мы можем не об-
пз
ращать внимания на постоянный множитель —Ц-. Оставшееся произведение
х2У~4п2 — х2 положительно и, следовательно, будет достигать наибольшего
значения при тех же значениях х, при которых достигает наибольшего зна-
значения его квадрат. Таким образом, мы можем рассматривать функцию
внутри промежутка @, 2к). Составляем первую производную
f (х)= \6п2хг— 6хъ.
Она существует, при всех значениях х. Приравнивая ее нулю, получим
три значения:
Первые два значения не лежат внутри промежутка @, 2л). Остается един-
единственное значение хг = 2п у —, лежащее внутри этого промежутка;
но выше мы видели, что наибольшее значение внутри этого промежутка
50 I § 5. приложение к изучению функций 145
должно встретиться, а следовательно, и не исследуя значения л*3, можем
утверждать, что ему будет соответствовать наибольший объем конуса.
3. Прямою L плоскость разделена на две части (среды) I и II. Точка
двигается в среде I со скоростью vlt в среде II — со скоростью v2. По
какому пути должна двигаться точка, чтобы возможно скорее попасть
из точки А среды I в точку В среды II?
Пусть AAt и BBt— перпендикуляры из
точек Aw В на прямую L. Введем следующие
обозначения: AAt = a, BBt = by AlBl = c, и
на прямой L будем отсчитывать абсциссы в на-
направлении A^Bt (рис. 65). —? = Л??\Г~Т^Ь
Ясно, что как в среде /, так и в среде // 1 уг fv4 х
путь точки должен быть прямолинейным, но ir \1
путь по прямой АВ не будет, вообще говоря, В
„скорейшим путем". Итак, „скорейший путь" р ^
будет состоять_из двух прямолинейных от- *
резков AM и MB, причем точка М должна
лежать на прямой L. За независимую переменную х выберем абсциссу точки
М: х = АХМ. Время ty наименьшее значение которого ищется, определится
по формуле
V у
в промежутке (—oo, + oo). Составим производные первого и второго
порядков:
f(x)= X С~Х
a2 + x2 v2yb2 + (c—xJ
м2 , b2
Обе производные существуют при всех значениях х, и /" (л:) всегда имеет
знак (-)-). Следовательно, /' (х) возрастает в промежутке (—со, -\- оо) и не
может обратиться в нуль более одного раза. Но
/' @) = / < 0
Vb2 + 2
f(c)= 4_^>0,
viy a2 + с2
а потому уравнение
/'W = o
имеет единственный корень х0 между 0 и с, которому соответствует един-
единственный минимум функции /(а:), так как /* (х) > 0. Абсциссы 0 и с соот-
соответствуют точкам Ах и Вlt а потому искомая точка М будет находиться
между точками At и Bv что можно было бы показать и из элементарных
геометрических соображений.
Поясним геометрический смысл полученного решения. Обозначим через
а и C углы, составленные отрезками/AM и ВМ с перпендикуляром, восста-
вленным из точки М к L. Абсцисса х искомой точки М должна обращать
нуль /' (х), т. е. должна удовлетворять уравнению
v2 У Ь2 + (с — л-J *
146 гл. тт, понятие о производной и его приложения 160
которое можно переписать так:
vtAM v2BM
или
sin a sin p sin a __ vt
„скорейший путь" будет тот, при котором отношение синусов углов а и Р
будет равно отношению скоростей в средах / и //. Результат этот дает нам
известный закон преломления света, и, следовательно, преломление света
совершается так, как будто луч света выбирает ;'„скорейший путь" из точек
одной среды в точки другой.
4* Положим, что экспериментально определяется величина дг, и п одина-
одинаково тщательно произведенных наблюдений дают для нее п значений
«1, «2» ". » аП>
неодинаковых ввиду неточности инструментов. „Наиболее вероятным" значе-
значением величины х будем считать то, при котором сумма квадратов ошибок
будет наименьшей. Таким образом, нахождение этого значения приводится
к нахождению х из условия наименьшего значения функции
у уЛ) \Л, UiJ -J- \Л U2) -р ... -р \Л, lift)
в промежутке ( — со, +оо). Составляем производные первого и второго
порядков
с — а2)+ ... +2(х — ап),
Приравнивая первую производную нулю, получим единственное значение
которому будет соответствовать минимум ввиду положительности второй
производной. Таким образом „наиболее вероятным" значением х является
среднее арифметическое значений, полученных из наблюдений.
5. Найти кратчайшее расстояние точки М до окружности.
Примем за начало координат центр окружности О, за ось ОХ—пря-
ОХ—прямую ОМ. Пусть ОМ — аи пусть R есть радиус окружности. Уравнение
окружности будет
а расстояние точки М с координатами (а, 0) до любой точки окружности
Будем искать наибольшее значение квадрата этого расстояния. Подставив
вместо у2 его выражение R? — х2 из уравнения окружности, мы получим
функцию
f(x) = (х—аJ + (Я2 — х2) = — 2ах + а2 + #2,
где независимая переменная х может изменяться в промежутке (— /?^ х ^ /?).
Так как первая производная
/'(*)=-2а
60 1
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ
147
отрицательна при всех значениях х, то функция f(x) убывает и достигает,
следовательно, наименьшего значения при x = R на правом конце проме-
промежутка. Кратчайшим расстоянием будет длина отрезка РЖ (рис. 66).
6. В прямой круговой конус вписать прямой круговой цилиндр (с основа-
основанием, лежащим в основании конуса) так, чтобы его полная поверхность была
наибольшей.
М
Рис. 66.
Рис. 67.
Обозначим радиус основания и высоту конуса буквами R и Я, а радиус
основания и высоту цилиндра — буквами г и h. Функция, наибольшее значе-
значение которой ищется, будет в данном случае
Переменные величины г и h связаны между собой тем условием, что цилиндр
вписан в данный конус. Из подобия треугольников ABD и AMN имеем
(рис. 67):
MN BD h H
_ —^ ^____ tl TTTI _____^ —— ___
AN ~~ AD1 R-r ~~ R »
откуда
R
-я.
Подставляя это значение h в выражение для S, получим
Таким образом, S оказывается функцией одной независимой перемен-
переменной г, которая может изменяться в промежутке 0 ^ г ^ R. Составим произ-
производные первых двух порядков:
Приравнивая нулю -т—, получим для г одно значение
HR
Для того чтобы это значение находилось внутри промежутка @, R), необхо-
необходимо выполнение неравенств
0< o
2 (Я-/?)
2 (Я-/?)
148 гл. п. понятие о производной и его приложения f 61
Первое из этих неравенств равносильно тому, что И должно быть
больше R. Умножая обе части второго неравенства" на положительную вели-
величину 2 (Я—R), получим
d2S
При выполнении этого условия -~-2 имеет знак (—); значению B) соответ-
соответствуют единственный максимум функции 5 и наибольшая величина поверх-
поверхности цилиндра. Эту величину можно легко определить, подставляя значе-
значение г из B) в\выражение для 5.
Предположим теперь, что значение B) не лежит внутри промежутка
(О, R), т. е. что не выполнено одно из неравенств C). При этом могут пред-
представиться две возможности: или Н <^. R или Н > R, но R^>-^. Обе они
могут быть охарактеризованы одним неравенством
И ^ 2R D)
«с
Преобразуем выражение для —:
dl = 2* Br + H-?t H}=2^[BR-H)r+ H (R-r)}.
Из этого выражения видно, что при выполнении условия D) -т->0 при
0<г</?, т. е. функция S возрастает в промежутке (О, R), а потому дости-
достигает наибольшего значения при г = R. При этом значении г, очевидно,
/г = 0, и полученное решение можно рассматривать как сплющенный цилиндр,
основание которого совпадает с основанием конуса и вся поверхность кото-
которого приводится к 2tzR2.
61. Теорема Ферма. Выше мы изложили, пользуясь элементарными
геометрическими соображениями, способы исследования возрастания
и убывания функций, нахождения их максимумов и минимумов, а также
наибольших и наименьших значений. Сейчас мы переходим к строгому
аналитическому изложению некоторых теорем и формул, которые
дадут нам аналитическое доказательство справедливости приведенных
выше правил, а также позволят продвинуть исследование функций
еще несколько дальше. В дальнейшем изложении мы будем уже вполне
отчетливо и подробно перечислять все условия, при которых соответ-
соответствующие теоремы и формулы имеют место.
Теорема Ферма. Если функция f(x) непрерывна в проме-
промежутке (а, Ь), в каждой точке внутри этого промежутка имеет
производную и в некоторой точке х = с внутри промежутка
достигает наибольшего (или наименьшего) значения, то в этой
точке х = с первая производная равна нулю, т. е. f (с) = 0.
Итак, положим для определенности, что значение f(c) является
наибольшим значением функции. Для того случая, когда это есть
наименьшее значение, доказательство может быть проведено совер-
совершенно аналогичным образом. Итак, согласно условию, точка х — с
62
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ 149
лежит внутри промежутка и разность f(c-\-ti)—f(c) будет отри-
отрицательной или, во всяком случае, не положительной, при любом h
как положительном, так и .отрицательном:
/(с + й)-/(с)<0.
Составим отношение
f(c + h)-f(c)
Числитель написанной дроби, как сказано, меньше или равен нулю,
а потому
/<« + *)-/(«) <0 прий>0,
/(« + *)/W ^ 0 при/г<о.
h
Точка х = с лежит внутри промежутка, и в ней по условию
существует производная, т. е. написанная выше дробь стремится
к определенному пределу f(c), если h стремится к нулю любым
образом. Положим сначала, что h стремится к нулю со стороны поло-
положительных значений. При этом, переходя к пределу в первом .из
неравенств E), получим
»^0.
Точно так же переход к пределу при h -> 0 во втором неравен-
неравенстве E) дает
Сопоставляя эти неравенства, мы получим требуемый результат:
/'@ = 0.
62. Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна в проме-
жутке (а, Ь), имеет производную в каждой точке внутри этого
промежутка и значения функции на концах этого промежутка
равны, т. е. f(a)=f(b), то внутри промеэюутка существует, по
крайней мере, одно такое значение х —с, при котором производ-
производная обращается в нуль, т. е. f(c) = 0.
Непрерывная функция f(x) должна достигать в рассматриваемом
промежутке наименьшего значения т и наибольшего значения М.
Если бы оказалось, что эти наименьшее и наибольшее значения оди-
одинаковы, т. е. т = М, то отсюда следовало бы, очевидно, что функция во
всем промежутке сохраняет постоянное значение, равное т (или Ж). Но,
как известно, производная от постоянной равна нулю, и, следова-
следовательно, в этом простом случае во всякой точке внутри промежутка
производная была бы равна нулю. Обращаясь к рассмотрению общего
случая, мы можем, следовательно, считать, что т<^М, Так как
150
ГЛ. II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[ 62
значения функции на концах по условию одинаковы, т.е. f(a) =f(b),
то, по крайней мере, одно из чисел т или М отлично от этого обще-
общего значения на концах. Положим, например, что это будет М, т. е. что
наибольшее значение функции достигается не на концах, а внутри
промежутка. Пусть х=с будет та точка, где это значение достигается.
Согласно теореме Ферма, мы будем иметь в этой точке /' (с) = 0, что
и доказывает теорему Ролля.
Й частном случае, если f(a)=f(b) = O, можно теорему Ролля
формулировать кратко так: между двумя корнями функции заклю-
заключается, по крайней мере, один корень
первой производной.
Теорема Ролля имеет простое геометри-
геометрическое значение. По условию, f(a)=f(b)t
т. е. ординаты кривой y=f(x)} соответ-
—*-Х ствующие концам промежутка, равны, и
внутри этого промежутка существует про-
производная, т. е. кривая имеет определенную
касательную. Теорема Ролля утверждает, что при этом внутри про-
промежутка будет существовать, по крайней мере, одна такая точка,
в которой производная будет равна нулю, т. е. в которой касатель-
касательная будет параллельна оси ОХ (рис. 68).
Замечание. Если не выполнено условие теоремы Ролля о су-
существовании производной /' (х) во всех точках внутри промежутка,
то теорема может оказаться и неверной.
Так, например, функция
1) и /(— 1)=/A) = 0, но произ-
произРис#
непрерывна в промежутке (— 1,
водная
Зу х
внутри промежутка в нуль не обращается. Происходит это оттого,
что f (х) не существует (обращается в бесконечность) при х = 0
у (рис. 69). Другой пример дает
кривая, изображенная на рис. 70.
У
а ос Ъ
Рис. 70.
В этом случае мы имеем кривую y=f(x)y у которой /(а) =/(#) = 0.
Однако из чертежа видно, что касательная внутри, промежутка (а, Ъ)
63 ] § 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ 15)
не может быть параллельна оси ОХ, т. е./'(х) не обращается в нуль.
Происходит это оттого, что кривая в точке x = ol имеет две различ-
различные касательные, справа и слева от этой точки, и, следовательно,
в этой точке не существует определенной производной, и условие
теоремы Ролля о существовании производной во всех точках внутри
промежутка не выполнено.
63. Формула Лагранжа. Положим, что функция f(x) непрерывна
в промежутке (а, Ь) и имеет внутри этого промежутка производную,
но условие f(a)=f(b) теоремы Ролля может быть не выполнено.
Составим функцию
где X — постоянная, которую мы определим так, чтобы новая функ-
функция F (х) удовлетворяла упомянутому условию теоремы Ролля, т. е.
потребуем, чтобы
F(a)=F(b)
ИЛИ
откуда
Х_" f(b)-f(a) ^
Применяя теперь к F(х) теорему Ролля, можем утверждать, что
меж&у а и b будет находиться такое значение х—-с, при котором
откуда, подставляя найденное выше значение X,
Последнее равенство можно переписать так:
№-f(a) = (b-a)f'(c).
Равенство это называется формулой Лагранжа. Значение с заклю-
заключается между а и by г потому отношение с,~~ = 0 заключается между
нулем и единицей, и мы можем написать
с = а + в(Ь-а) (
и формула Лагранжа перепишется в виде:
Полагая b = a-\-h, получим еще следующий вид формулы:
152 гл. н. понятие о производной и его приложения [ 63
Формула Лагранжа дает точное выражение для приращения
f{b)—f{a) функции f(x)y а потому называется также формулой
конечных приращений.
Мы знаем, что производная постоянной равна нулю. Из формулы
Лагранжа мы можем вывести обратное предложение: если производ-
производная f[(x) во всех точках промежутка (а, Ь) равна нулю, то
функция f(x) постоянна в этом промеэюутке.
В самом деле, возьмем произвольное значение х из промежутка
(а, Ь) и, применяя формулу Лагранжа к промежутку (ау х), получим:
но по условию /'(<•) = О и, следовательно,
f(x)—f(a)=09 т. e. f(x) = f(a) = постоянной.
Относительно величины с, входящей в формулу Лагранжа, мы
знаем только то, что она заключается между а и Ъ, и поэтому фор-
формула Лагранжа не дает возможности точного вычисления приращения
функции через производную, но с ее помощью можно произвести
оценку той ошибки, которую мы делаем, заменяя приращение функ-
функции ее дифференциалом.
Пример. Пусть
Производная
и формула Лагранжа даст
М
logio (a + h) - log10 a ^h-^-^ @ < 0 < 1)
или
М
log10 (a + h) = log10 a + h
Заменяя приращение дифференциалом, получим приближенную формулу
М М
log10 (а + К) — log10 я = Л —, log10 (a + h) = log10a + Л — .
Сравнивая это приближенное равенство с точным, полученным по формуле
Лагранжа, увидим, что ошибка
иМ . М WM
h h
а
Полагая а = 100 и Л = 1, получим приближенное равенство
log,, 101 = log,, 100 + ^ = 2,00434...
с ошибкой
63
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ 153
Заменяя в числителе этой дроби 0 единицей, а в знаменателе нулем,
¦-IM дробь и можем поэтому сказать, что ошибка вычисленного значе-
значения log10 101 меньше
JjL = 0,00004...
Перепишем формулу Лагранжа в виде:
/(»)-/(«) =f(c) (a<c<b).
Обращаясь к графику функции у = f(x) (рис. 71), заметим, что
отношение
f (Р) — f (я) СВ
b — а ас
лает угловой коэффициент хорды АВ, a f(c) дает угловой коэф-
коэффициент касательной в некоторой точке М дуги АВ кривой. Таким
образом, формула Лагранжа равносильна
следующему утверждению: на дуге кри-
еой имеется такая точка, в которой
касательная параллельна хорде. Частным
случаем этого утверждения, когда хорда
параллельна оси ОХ, т. е. /(а)—/(Ь),
является теорема Ролля.
Замечание. Из формулы Лагранжа 01
непосредственно вытекают те признаки Рис. 71,
возрастания и убывания, которые были
установлены нами выше из чертежа. Действительно, положим, что
внутри некоторого промежутка первая производная /' (х) положи-
положительна и пусть х и х -\-h — две точки из этого промежутка. Из фор-
формулы Лагранжа:
видно, что при положительных h разность, стоящая слева, будет вели-
величиной положительной, так как оба множителя в произведении, стоя-
стоящем справа, в этом случае положительны. Таким образом, предполагая
положительность производной в некотором промежутке, мы получили
/(*+*)-/(*)> 0,
т. е. функция возрастает в этом промежутке. Точно так же из напи-
написанной выше формулы непосредственно вытекает и признак убывания.
Заметим здесь же, что рассуждения, приведенные нами при дока-
доказательстве теоремы Ферма, остаются вполне применимыми и для того
случая, когда в рассматриваемой точке функция достигает не обяза-
обязательно наибольшего или наименьшего значения, а только лишь макси-
максимума или минимума. Эти рассуждения докажут, что в таких точках
первая производная должна быть равна нулю, если она существует.
154 гл. п. понятие о производной и его приложения [ 64
64. Формула Коши. Положим, что функции f(x) и ср(дг) непре-
непрерывны в промежутке (а, Ь) и в каждой точке внутри этого проме-
промежутка имеют производную, причем производная ср' (х) ни в одной из
точек внутри промежутка не обращается в нуль. Применяя к функ-
функции <р(х) формулу Лагранжа, получим
— ?(«) = (* — «)?'fa) (
но по условию <р' fa) ^ О И> следовательно,
Составим функцию
где X — постоянная, которую мы определим так, чтобы было
то есть
откуда
i_ f(b)-f{a)
— (b)()
При таком выборе X к функции F(x) приложима теорема Ролля,
и, следовательно, будет существовать такое значение х = с, при
котором
Г (с) =/' (с) + Х?' (с) = 0 (а < с
Это уравнение дает
откуда, подставляя найденное для X значение, получим
f(b)-f(a) _/'(с) (а<Г
или
/Jb)-f(a) __Г[а
ИЛИ
h)-~f(a)_f'
Это и есть формула Коши, Полагая в этой формуле у(х) = ху
будем иметь <p'(x)=l, и формула примет вид:
т. е. мы получили формулу Лагранжа как частный случай формулы
Коши.
55 ] § 5. приложение к изучению функций 155
65. Раскрытие неопределенностей. Положим, что функции
и ty(x) непрерывны при а<^х^а-\-k, где k — некоторое положи-
положительное число, имеют непрерывные производные и ф'' (х) не обра-
обращается в нуль при указанных значениях х. Положим, кроме того, что
lJfflcp(jc) = O и Нтф(х) = 0 при л:->а-|-0 [26]. Полагая ср(а) =
— б(а) = 0, мы получим функции, непрерывные вплоть до х = а,
т. е. при a^x^a-\-k. При лг-^a-j-O к частному тт>> которое
при jc = a представляет собою неопределенность вида -^-, не приме-
применима теорема о пределе частного. Укажем способ раскрытия такой
неопределенности, т. е. способ нахождения предела у4-4 при х-> а -\~ 0.
Докажем предварительно следующую теорему: если при сделан-
сделанных выше предположениях отношение ^ стремится к пре-
пределу Ь при х-+а-\-0, то к тому же пределу стремится и отно-
отношение функций ^Щ.
Принимая во внимание, что
и применяя формулу Коши [64], получим
<Р (х) 9 (х) — ср (а) срг (?)
Заметим, что при сделанных относительно <р (лг) и ф (jc) предположе-
предположениях применима формула Коши.
Если дг—>а-[~0, то ?, заключающееся между а и х ш зависящее
от х, стремится к а. При этом, по условию, правая часть равенства G)
стремится к пределу Ь, а потому я левая часть имеет тот же предел.
Отметим, что этот предел может быть и бесконечным. Таким образом
приходим к правилу:
При разыскании предела частного |-рт в случае неопределенно-
0 ,
emu g- можно заменить отношение функции отношением их
производных и отыскивать предел этого нового отношения.
Правило это дано французским математиком Лопиталем и назы-
называется обычно его именем.
Если отношение производных ^,г( также приводит к неопределен-
0
ности Q- и функции ср' (х) и <]/ (х) удовлетворяют тем условиям, кото-
которые мы выше формулировали для ср(х) и ф(х), то и к отноше-
нию йу / у\ можно применить правило Лопиталя, и т. д.
156
ГЛ. И. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
65
Мы рассмотрели случай а<^х ^а-\- k. Совершенно аналогично
рассматривается случай а — k^x<^ay т. е. х—>а — 0. В дальней-
дальнейших примерах предел не зависит от того, стремится ли х справа или
слева, и мы пишем х —> а.
Мы рассмотрели тот случай, когда х стремится к конечному пре-
пределу а. Правило справедливо и для того случая, когда х стремится
к бесконечности. На доказательстве этого мы не останавливаемся.
Приложим правило Лопиталя к нескольким примерам.
1.
2. lim
x-*o x
x — sin л:
= lim
A->0 1
1 — cos л:
т. е. разность л: —sin л: есть бесконечно малая третьего порядка по сравне-
сравнению с л*.
о 1itY, х — xcosx ,. 1 — cos x + ^sin х
о, nm = urn ¦ =
x-*o x— sin x x-+o 1— cos л*
__ jj sin x-{- sin x + x cos x ___ ^m 2 cos* + cos x — x sin дг
x-+o sinx a:-*u cos л:
-==3.
Результат этого примера приводит к практически удобному способу
спрямления дуги окружности.
Рассмотрим окружность, радиус которой примем за единицу. За ось ОХ
выберем один из диаметров этой окружности, а за ось OY—касательную
в конце этого диаметра (рис. 72). Возьмем некоторую дугу ОМ и пусть на
оси OY имеется отрезок ON, равный дуге ОМ,
и проведем прямую NM. Пусть Р — точка ее
пересечения с осью ОХ. Обозначим через и
длину дуги ОМ (радиус принят за единицу).
Уравнение прямой NM в отрезках имеет вид:
¦**• Для вычисления длины отрезка ОР заметим,
что на прямой NM лежит точка М с коорди-
Рис. 72. натами
л: = OQ = 1 — cos и, у = QM = sin и.
Эти координаты должны удовлетворять написанному уравнению:
1 — cos и . sin и , Лп м — и cos и
7TF1 = !» откуда ОР= : .
ОР и J и— sinw
Результат примера 3 показывает, что, при ОР-+3 и—*0, т. е. точка Р
на оси ОХ будет стремиться к точке D, расстояние которой от начала
координат равно утроенному радиусу окружности. Отсюда получается про-
простой способ приближенного спрямления дуги окружности. Для* спрямления
дуги ОМ надо отложить от точки О отрезок OD, равный трем радиусам
окружности, и провести прямую DM. Отрезок ONV отсекаемый этой прямой
на оси О У, и даст приближенно длину дуги ОМ. Способ этот приводит
к очень хорошим результатам, особенно для небольших дуг; но даже для
дуги те/2 относительная ошибка составляет приблизительно 5%.
66 ] § 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ 157
66. Различные виды неопределенностей. Доказанное в [65]
правило применимо и к случаю неопределенностей вида —. В
дальнейшем мы не будем отличать стремление х к а слева или
справа и будем писать для краткости х—> а. Предположим, что при
этом непрерывные функции о (х) и ф (х) стремятся к (-J- со) или
/ . со). Для определенности пусть
lim ср (х) = lim ф (х) = -f- сю (8)
х-+а х-*а
Покажем, что отношение -|у^ стремится к тому же пределу Ь> при-
причем предполагается, что ф'' (х) не обращается в нуль при значениях х,
близких к а.
Рассмотрим два значения независимой переменной х и х0, близ-
близкие к а и такие, что х заключаются между х0 и а. По формуле
Коши будем иметь
но, с другой стороны,
у W
i
«К*)
Отметим, что из (8) непосредственно следует, что ср (х) и ф (х)
отличны от нуля при значениях х, близких к а. Сравнивая эти два
выражения, получим
(х)
или
1 —.
1 у
гДе 5 заключается между х и лг0 и, следовательно, между а и д:0.
Возьмем х0 достаточно близким к а; тогда, в силу условия (9), мы
можем считать, что первый множитель в правой части .равенства A0)
будет сколь угодно мало отличаться от b при любом выборе х между
хо и а. Закрепив, таким образом, значение xQy будем приближать
158 гл. и. понятие о производной и его приложения [ 66
х к а. Тогда в силу условия (8) второй множитель в правой части
равенства A0) будет стремиться к единице, а потому мы можем
утверждать, что отношение Vt-{, стоящее в левой части равенства A0),
при значениях х, близких к а, будет сколь угодно мало отличаться
от Ь, т. е.
Из доказанной теоремы следует, что правило Лопиталя применимо
и для раскрытия неопределенностей вида --.
Отметим еще некоторые виды неопределенностей. Рассмотрим
произведение <?(x)ty(x), и пусть
lim <р (х) = 0
х-+а
И
lim ф (х) = со.
х-+ а
Это будет неопределенность вида 0 • со. Нетрудно привести ее
0 оо
к виду -д- или -:
Рассмотрим, наконец, выражение <р (#)*(¦*) и пусть
lim ср (х) = 1 и lim ф (х) = оо.
Это будет случай неопределенности вида I00. Рассмотрим лога-
логарифм данного выражения
log [ср {xf И] = ф (х) log ср (х),
который приводится к неопределенности вида 0 • оо. Раскрывая эту
неопределенность, т. е. находя предел логарифма данного выражения,
мы тем самым будем знать и предел самого выражения. Совершенно
так же раскрываются неопределенности вида со0 и 0°.
Рассмотрим теперь примеры.
рХ рХ
1. lim — = lim %r==J^ODf
lim Ё^-з lim — == lim ~ = + oo
Х-+ + ОЭХ2 АГ-».-|-00 2л: at-^-j-oO 2
ex
Совершенно так же можно убедиться в том, что отношение — при
любом положительном значении п стремится к бесконечности, когда
х —» + оо, т. е. показательная функция ех возрастает быстрее любой
66 I § 5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ 159
положительной степени х при беспредельном возрастании х.
J_
2. Hm ^?= Hm —4^= Hm -^ = 0 (я >0),
т. е. log x возрастает медленнее любой положительной степени х.
1
= Hm —^—=
3. lim л:л1с^л;= Hm —^—= lim
=-_ lim — = 0 (л>0).
4. Найдем предел хх при стремлении лс к (+0). Логарифмируя это выра-
выражение, получим неопределенность вида 0 • со. Эта неопределенность в силу
примера 3 даст в пределе нуль, а следовательно
lim xx =\,
х->-\-0
5. Найдем предел отношения
lim x + sinx.
#-юо X
Числитель и знаменатель написанного отношения стремятся к бесконеч-
бесконечности. Заменяя по правилу Лопиталя отношение функций отношением про-
производных, получим
lim 1 + cos-y.
X -*00 1
Но 1 + c°sa: при беспредельном возрастании л: ни к какому пределу не
стремится, ибо cos .г будет все время колебаться между (+1) и (—1);
однако нетрудно видеть, что само данное отношение стремится к пределу
lim * "Г ьш л -s lim
Итак, в этом случае неопределенность раскрывается, но правило Лопи-
таля ничего не дает. Этот результат не противоречит доказанной теореме;
ибо в теореме утверждалось лишь то, что если отношение производных
стремится к пределу, то к тому же пределу стремится и отношение функ-
функций, но не наоборот.
6. Отметим еще неопределенность вида (оо±оо). Она приводится обычно
к неопределенности вида -^г» Например,
* Ulim
\2)
*-«? х
\\т(-± Ulim ? .
-*о\ sin л: х-\-х2) х-+ъ (x-\-x2)smx
ыражение представляет собою не
Раскрывая ее указанным выше способом, получим
Последнее выражение представляет собою неопределенность вида ~^ч
160 гл. и. понятие о производной и его приложения [ 67
§ 6. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
67. Основные понятия. До сих пор мы рассматривали функцию
одной независимой переменной. Рассмотрим теперь функцию двух
независимых переменных u=f(xy у).
Для определения частных значений такой функции должны быть
заданы значения независимых переменных: х = х0, у = у0. Каждой
такой паре значений х и у соответствует определенная точка Мо
на координатной плоскости с координатами (jc0, y0), и вместо того,
чтобы говорить о значении функции при х = х0, у=у0, можно
говорить о значении функции в точке М0(х0, у0) плоскости. Функция
может быть определена на всей плоскости или только в некоторой
ее части, в некоторой области. Если f(x, у) есть целый много-
многочлен от ху у, например,
и=/(х, у) = *
то можно считать, что эта формула определяет функцию на всей
плоскости. Формула
определяет функцию внутри окружности х2-{-у<2=\ с центром
в начале координат и радиусом единица и на самой окружности,
где и = 0. Аналогом промежутка на плоскости является область,
определяемая неравенствами й^х =^#i, а%^:у ^.Ь%. Это — прямо-
прямоугольник со сторонами, параллельными осям, причем граница этого
прямоугольника также включается в область. Неравенства ai<^.xr<^j,
а.2<^у <^Ы определяют только внутренние точки прямоугольника.
Если граница области причисляется к ней, то область называется
замкнутой. Если граница не причисляется, к области, то область
называется открытой [ср. 4]. Определим понятие предела для функ-
функции f(x, у) двух переменных [ср. 32]. Положим, что функция опре-
определена во всех точках М(х, у\ достаточно близких к точке М0(а, Ь).
Определение. Говорят, что число А есть предел f(x,y)
при стремлении М (х, у) к MQ (a, b)y и пишут
\\mf{xy у) = Ау или Ит/(дг, у) = Ау
х-* а М-+Мо
если для любого заданного положительного числа е существует
такое положительное число г\, что
\А—/(хуу)\<г} если \х — а|<7] и \у — Ъ\<т\-
При этом предполагается, что исключена пара значений х — а,
у — Ь(М не совпадает с Жо). Если точка Мо лежит на границе той
области, в которой определена f(x, у), то М, стремящаяся к УИ0,
должна принадлежать области, в которой определена функция /(х, у).
67 ] § 6. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 161
Пусть имеется какая-либо пронумерованная последовательность
точек Мп(хпУ уп)} стремящаяся к М0(а, Ь), т. е. такая, что последо-
последовательность хп имеет предел а, а последовательность уп— предел Ь.
Можно доказать, что если последовательность чисел un=f(xnt уп)
для любой такой последовательности точек Мп(хт уп) имеет один
и тот же предел Д то А есть предел f(x> у) при стремлении
М (ху у) к Мо (пу Ь) в смысле сформулированного выше определения.
Положим, что f(Xy у) определена в точках М0(а, Ь) и во всех
точках, достаточно близких к М0(а, Ь) [ср. 32].
Определение. Функция f(x, у) называется непрерывной
в точке М0(а, Ь), если
, y)=f(a, b)y или lim/(#, y)=f(ay b).
MM
Функция называется непрерывной в некоторой области, если она
непрерывна в каждой точке этой области.
Так, например, функция и=}/1—х1 — у2 непрерывна внутри
круга, в котором она определена. Про нее можно также сказать,
что она остается непрерывной, если мы к кругу присоединим и его
границу, т. е. окружность, на которой и = 0.
Пусть В — ограниченная замкнутая область на плоскости и
f(x, у) — непрерывная в В функция (непрерывная внутри В и вплоть
до границы В). Такая функция обладает свойствами, аналогичными
свойствам функции одной независимой переменной, непрерывной
в конечном замкнутом промежутке [35]. Доказательства этих свойств,
по существу, те же, что и доказательства из [43]. Сформулируем
лишь результаты.
1. Функция f(x, у) равномерно непрерывна в В, т. е. при любом
заданном положительном числе е существует такое положи-
положиесли (хи уО и (дг2, у2) принадлежат В и
2. Функция /(х, у) ограничена в В, т. е. существует такое
положительное число Ж, что \/(х, у)\<^М для всех (х, у),
принадлежащих В.
3. Функция f(x, у) достигает в В наибольшего и наимень-
наименьшего значений.
Обратим внимание на одно следствие, которое вытекает из опре-
определений непрерывности функций. Если /(лг, у) непрерывна в точке
(а, Ь) и если мы положим y = bt то функция f(x, b) одной пере-
переменной х непрерывна при х = а. Аналогично, /(а, у) непрерывна
при у = ь.
162
ГЛ. П. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
г
68. Частные производные и полный дифференциал функ-
функции двух независимых переменных. Допустим, что у функции
и=/(лг, у) переменная у сохраняет постоянное значение и меняется
только дг, то есть и становится функцией одного х и можно вычис-
вычислить ее приращение и производную. Обозначим через Д^и прираще-
приращение и, которое эта функция получает, когда у остается постоянным,
а х получает приращение Адг:
Axti =f(x + Адг, у) — /(дг, у).
Производную получим, найдя предел
Нт
Ал:
= lim
Ах
Производная эта, вычисленная в предположении, что у остается
постоянным, называется частной производной функции и по х и
обозначается так: - f' , или fx(x, у), или ~.
Заметим, что ~ нельзя толковать как дробь, но лишь как сим-
символ для обозначения частной производной. Если /(лг, у) имеет част-
частную производную по х, то она является непрерывной функцией х
при фиксированном у.
Точно так же определяется приращение Дуг и частная произ-
производная от и по у, вычисленная в предложении, что х не меняется:
Ау
Если, например, и = х*-\-у*, то ^ =
Рассмотрим уравнение Клапейрона
С помощью этого уравнения одна из величин /?, v и Т может быть опре-
определена в зависимости от двух других, причем эти последние должны уже
считаться'независимыми переменными. Мы получим следующую таблицу:
Независимые
переменные
Функции
Частные
производные
dv
dT
V
R
Р
Т,р
dv
'dp
RT
P*
dp
dT
P
R
V
T,v
V
dp
'dv
RT
t/2
dT
dp
P
V
R
, v
pv
~R
dT'
'dv
P
R
68 ] § 6. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 163
Отсюда получается следующее соотношение
дТ dp dv
Если бы в левой части равенства мы произвели сокращение, то полу-
получили бы не (— 1), а (+ 1). Но в этом равенстве частные производные вычи-
dv
слены при различных предположениях: -^=, — в предложении, что р постоян-
дТ др
но; -ч при. v постоянном; ~- — при Т постоянном, а потому упомянутое
сокращение недопустимо.
Обозначим через Аи полное приращение функции, получаемое
при одновременном изменении как х, так и у:
ku=f(x+kxf y-\-ky) — f(x, у).
Прибавляя и вычитая f(xy y-\-ky\ можем написать
?Ш = [/(Х + Ьх, y + Ly)—f(x, y + &y)] + \f(x, y + by) — f(Xt у)].
В первой квадратной скобке мы имеем приращение функции и
при неизменном значении {у -\- Aj/) переменной у> во второй квадратной
скобке — приращение той же функции при неизменном значении х.
Положим, что f(xy у) определена внутри некоторой области В,
что точка (лг, у) находится внутри В и что Ajc и Aj/ взяты настолько
малыми по абсолютной величине, что прямоугольник с центром (х> у) и
длиной сторон 2 | Длг | и 2 | Ад/1 также находится внутри В, Предпо-
Предположим, кроме того, что f(xf у) имеет внутри В частные производ-
производные. Применяя к каждому из приращений, входящих в выражение Aw,
формулу Лагранжа, что мы можем сделать, так как в каждом слу-
случае меняется только одна независимая переменная, получим
Аи —fx (х -f B^xf у + Ау)Алг + f'y (х, у -f BxAy) Ay,
где б и 0х заключаются между нулем и единицей. Предполагая не-
ди dtt
прерывность частных производных ^- и ^-, мы можем утверждать,
что при стремлении Дат и Ау к нулю, коэффициент при Алг будет
стремиться к /^ (лг, у), а коэффициент при ky — к fy (x, у), а потому
имеем
Аи = [?(*, y) + *]bx+\fy(x, y) + Si]by
или
Аи = f'x (х, у) Ах + /; (х, у) Ау + еДлт 4- 8, Ау, A)
где вив! — величины бесконечно малые одновременно с Ад; и Hay.
Формула эта аналогична формуле
Дд/ = у Их 4* е Алг,
164 гл. п. понятие о производной и его приложения I 69
доказанной нами в случае функции одной независимой переменной
[50]. Произведения гАх и е^у будут бесконечно малыми высших
порядков по сравнению соответственно с Ах и Ду.
Напомним, что в предыдущих рассуждениях мы исходили из
предположения не только существования, но и непрерывности част-
частных производных -~ и ~ в некоторой области, содержащей точку
(х, у) внутри себя.
В сумме первых двух слагаемых в правой части формулы A)
заменим Ах и Ау произвольными величинами dx и dy (дифферен-
(дифференциалами независимых переменных). Мы получим таким путем выра-
выражение
du =fx (*, у) dx -f- f'y (x, у) dy,
или
которое называется полным дифференциалом функции и [ср. 60].
Ввиду вышеуказанных свойств еДх и etAy можно сказать, что
при малых значениях \dx\ и \dy\ полный дифференциал du дает
приближенное значение полного приращения Аи, соответствующее
приращениям dx и dy независимых переменных [50].
С другой стороны, очевидно, что произведения j- dx и ч- dy дают
приближенную величину приращений kxu и Avw, и, таким образом,
при малых приращениях независимых переменных полное прираще-
приращение функции приближенно равно сумме ее частных приращений
Aw r^dur^ kx
Равенство B) выражает весьма важное свойство функций от не-
нескольких независимых переменных, которое можно назвать „свойством
наложимости малых действий". Сущность его заключается в том, что
соединенный эффект от нескольких малых действий Ах и Ау с доста-
достаточной точностью может быть заменен суммой эффектов от каждого
малого действия в отдельности.
69. Производные сложных и неявных функций. Положим теперь
что функция н=/(х, у) зависит через посредство х и у от одной
независимой переменной ty т. е. допустим, что х и у суть не незави-
независимые переменные, но функции независимой переменной ty и опре-
da ,
делим производную - от и по t
Если независимая переменная t получит приращение Д?, то функ-
функции х и у получат соответственно приращения Ах и Aj/, а и получит
приращение Aw:
Аи = f(x -f- Ах, у -j- Aj>) —/ (х, у).
69 ] § 6. функции двух переменных 165
В \6$] мы видели, что приращение можно написать в виде:
Д//=/;С* + вД*, у-\- Ау) Дл?+ /;(*, j/ + etAy) Ду.
Разделим обе части этого равенства на Д?
Мы предполагали, что хну допускают производную по t, а сле-
следовательно, и подавно будут непрерывными функциями от t Поэтому
при стремлении М к нулю Ах и Ду также будут стремиться к нулю,
и, в силу предполагаемой непрерывности ^ и -^, написанное равен-
ство в пределе даст нам
ъ =fx (x, y)Tt~^fy ^ y) df C)
Равенство это выражает 'правило дифференцирования сложной
функции в случае функции нескольких переменных.
Предположим, в частности, что роль независимой переменной t
играет переменная х, т. е. что функция u=f(x, у) зависит от неза-
независимой переменной х как непосредственно, так и через посредство
переменной у> которая является функцией от х. Принимая во внима-
внимание, что — =1, получим на основании равенства C)
CLX,
а?=их.у) + Гу(х,у)&. D)
Производная — называется полной производной от и по х в отли-
отличие от частной производной f'x (x, у).
Доказанное правило дифференцирования сложных функций при-
применяется для нахождения производной неявной функции. Положим,
что уравнение
F(x,y) = 0 E)
определяет у как неявную функцию от х, имеющую производную
/ = ?'(*)¦
Подставляя у = у(х) в уравнение E), мы должны были бы получить
тождество 0 = 0, так как у = у(х) есть решение уравнения E). Мы
видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать
как сложную функцию от х, которая зависит от х как непосредственно,
так и через посредство у = <р (х).
Производная по х от этой постоянной должна равняться нулю;
применяя правило D), получим
166 ГЛ. И. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ I 70
откуда
, К(х, у)
Fy(x,y)'
В полученное таким образом выражение для у' может войти как х,
так и у, и если' нужно получить выражение у' только через незави-
независимую переменную х, то придется решить уравнение E) относи-
относительно у.
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ
70. Дифференциал дуги. В интегральном исчислении будет пока-
показано, каким образом находится длина дуги кривой, будет выведено
выражение для дифференциала длины дуги и будет доказано, что
отношение длины хорды к длине стягиваемой ею дуги стремится
к единице, когда дуга беспредельно сжи-
сжимается к точке.
Пусть дана некоторая кривая y=f(x)9
и будем отсчитывать на ней длину дуги от
некоторой фиксированной точки А в опре-
определенном направлении (рис. 73). Пусть 5 —
у длина дуги AM от точки А до переменной
точки Ж. Величина s, как и ордината у,
Рис. 73. является функцией абсциссы х точки М.
Если направление AM совпадает с принятым
направлением кривой, то 5^>0, а в противном случае 5<^0. Пусть
М(х, у) и N(x-\-Ax, y-\-ky) — две точки кривой и As— разность
длин дуг AN и АМУ т. е. приращение длины дуги при переходе из
М в N. Абсолютное значение As есть длина дуги MN, взятая со
знаком плюс. Из прямоугольного треугольника имеем
откуда
Ах2 =
или
/As\2
Ш\2 (As \2 л х(Ау\*
ST) \Ах) — 1 + \Ах! •
Касательная МТ, если она существует, является предельным поло-
положением секущей MN при стремлении N к М вдоль кривой, т. е. при
Дх->±0.
Переходя к пределу в предыдущем равенстве (предполагается суще-
существование касательной), получим, принимая во внимание, что, в силу
70 ] § 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 167
сказанного выше (-jfj —¦ 1:
ИЛИ
— = ±]/"i + /*• A)
Мы должны брать знак (-J-), если при возрастании дг и s возрастает,
и знак (—), если 5 убывает при возрастании х. Будем для опреде-
определенности считать, что имеет место первый случай (изображенный на
рис. 73). Из формулы A) при этом следует
ds = УI-\-yr* dx или, в силу у' = ¦/-,
ds = Ydx*-\-dy\ т. е. ds* = dx* -f dy\ B)
Если радикал считается положительным, то получается арифметическое
значение ds. Формула B) является, по существу, иной записью преды-
предыдущей формулы или формулы A). Она, как мы увидим в дальнейшем,
удобна для приложений. Более подробное рассмотрение длины дуги
будет дано в [103].
Естественным параметром при определении положения точки М на
кривой является длина 5 дуги AM. Эту величину 5 можно принять
за независимую переменную, и при этом координаты (х, у) точки М
будут функциями s:
Более подробно мы будем говорить о «параметрическом задании кри-
кривой» в [74]. Теперь мы выясним геометрический смысл производных
от х и у по s.
Положим, что точка N расположена так, что направление дуги MN
совпадает с принятым направлением кривой, т. е. As^>0. При стрем-
стремлении N к М направление секущей MN в пределе дает определенное
направление касательной к кривой в точке М. Это направление каса-
касательной мы назовем положительным направлением касательной. Оно
связано с принятым направлением самой кривой.
Пусть ах — угол, образованный направлением MN с положительным
направлением оси ОХ. Приращение Ах абсциссы х есть проекция
отрезка MN на ось ОХ, и, следовательно,
дх=Ш. cos <*! (Ш =
причем в этом равенстве MN считается положительным. Деля обе
части этого равенства на длину дуги MN9 равную Д-s, получим
Ах VAx2 + ДУ*
g= to У *****
168
ГЛ. 11. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
171
По условию As^>0, а потому при стремлении N к М отношение
Дх2 4- Ду2
д-1—— стремится к (-f- 1), а угол <хх стремится к углу а, обра-
образованному положительным направлением касательной М Т с положи-
положительным направлением оси ОХ. Написанное выше равенство даст нам
в пределе
dx ,оч
Точно так же, проектируя MN на ось OYt получим
sina=4v.
ds
D)
71. Выпуклость, вогнутость и кривизна. Случаи выпуклости и
вогнутости кривой в сторону положительных ординат представлены
на рис. 74 и 75.
Одна и та же кривая у=/(х) может, конечно, состоять и из
выпуклых и из вогнутых частей (рис. 76). Точки, отделяющие
У
Рис. 74.
Рис. 75.
выпуклые части кривой от ее вогнутых частей, называются
точками перегиба.
Если будем, двигаясь по кривой в сторону возрастания х, следить
за изменением угла ос, образуемого касательной с положительным
направлением оси ОХ, то увидим (рис. 76),
что на участках выпуклости этот угол
убывает, а на участках вогнутости
возрастает. Такое же изменение, следо-
следовательно, будет претерпевать и tg a, т. е.
производная f (х), так как с увеличением
(уменьшением) угла а и tg a увеличивается
(уменьшается). Но промежутки убывания
f (х) суть те промежутки, где производ-
производная этой функции отрицательна, т. е.
f'
Выпунп
Вогнут.
Перегиб -
Рис. 76.
фу р
()dO> и точно так же промежутки возрастания f'(x) суть те
промежутки, где f"(x)^>0. Мы получим, таким образом, теорему:
Кривая обращена выпуклостью в сторону положительных орди-
ординат на тех участках, где Г(х)<^0> и вогнутостью на тех, где
71 I
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
169
f()^ Точки перегиба суть те ее точки, при переходе через
которые f"(x) меняет знак.
Из этой теоремы мы путем рассуждений, аналогичных приведенным
раньше рассуждениям [58], получаем правило нахождения точек пере-
перегиба кривой: чтобы найти точки перегиба кривой, надо определить
те значения х, при которых f" (x) обращается в нуль или не
существует, и исследовать изменение знака f"{x) при переходе
через эти значения х, пользуясь следующей таблицей:
/" (х)
точка перегиба
ч—
вогн. вып.
1
вып. вогн.
нет точки перегиба
выпукл.
++
вогн.
1
Наиболее естественное представление об искривлении кривой мы
получим, если будем следить за изменением угла а, составляемого
касательной с осью ОХ при движении по кривой. Из двух дуг оди-
одинаковой длины As та дуга будет более искривлена,
для которой касательная повернется на больший
угол, т. е. для которой приращение Аа будет
больше. Эти соображения приводят нас к понятию
о средней кривизне As и о кривизне в данной
точке: средней кривизной дуги As называется
абсолютная величина отношения угла Аа между
касательными в концах этой дуги к длине As дуги. Предел этого
отношения при стремлении As к нулю называется кривизной кри-
кривой в данной точке (рис. 77).
Таким образом, для кривизны С мы получаем выражение:
Рис. 77.
с=
ds
Но tga есть первая производная у', т. е.
a = arctgy\
откуда, дифференцируя по х сложную функцию arctg/:
Как мы только что показали
ds — ± /l-\-y'*dx.
Деля do. на Us, получим окончательно выражение для кривизны
С—±:
у"
+/¦>
¦>¦'••
E)
170 ГЛ. II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ 71
На участках выпуклости надо брать знак (—), а на участках
вогнутости знак (-f-) для того, чтобы С получило положительное
значение.
В тех точках кривой, где не существует производных у' или у'\
не существует и кривизны. Вблизи тех точек, где у" обращается
в нуль, и, следовательно, кривизна обращается в нуль, кривая походит
на прямую. Это будет, например, вблизи точек перегиба.
Положим, что координаты х, у точек кривой выражены через
длину дуги s. В этом случае, как мы видели
dx . dy
cosa = dl' sma = Ts-
Угол а будет также функцией s, и, дифференцируя написанные
равенства по s, получим
da d2x da d2y
-Sina^ = ^?> C0SVs = ^-
Возводя обе части этих равенств в квадрат и складывая, будем иметь
откуда
Величина у?, обратная кривизне, называется радиусом кривизны.
Для радиуса кривизны R мы будем иметь, в силу E), следующее
выражение
— ^О+У1
У"
F)
или
причем значение корня берется положительным.
В случае прямой линии у есть многочлен первой степени от х,
а потому у" тождественно равна нулю, т. е. вдоль всей прямой кри-
кривизна равна нулю, а радиус кривизны — бесконечности.
В случае окружности радиуса г будем иметь, очевидно (рис. 78):
As = rAa и Я = Шп — =г,
аа
т. е. радиус кривизны вдоль всей окружности постоянен. Впослед-
Впоследствии мы увидим, что таким свойством обладает только окружность.
72 ]
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
171
.--. О
Рис. 78.
Рис. 79.
Заметим, что изменение радиуса кривизны совсем не так наглядно, как
изменение касательной. Рассмотрим линию, состоящую из отрезка АВ пря-
прямой и дуги ВС окружности, касательной к отрезку в конце В (рис. 79).
На участке АВ радиус кривизны равен бесконечности, на участке же ВС
он равен радиусу окружности г и,
таким образом, в точке В он терпит
разрыв непрерывности, хотя при
этом направление касательной ме-
меняется непрерывно. Этим обстоятель-
обстоятельством объясняются толчки вагонов
на поворотах. Допустим, что вели-
величина скорости движения вагона v
остается неизменной. В этом случае,
как известно из механики, сила будет
направлена по нормали к траектории
и равна т -^, где т есть масса движущегося тела и R — радиус кривизны
траектории. Отсюда видно, что в точках разрыва непрерывности радиуса
кривизны и сила будет претерпевать разрыв непрерывности, что и обуслов-
обусловливает толчок.
72. Асимптоты. Перейдем теперь к изучению бесконечных вет-
ветвей кривой, на которых одна из координат х или у или обе вместе
беспредельно возрастают. Гипербола и па-
парабола дают нам примеры кривых с беско-
бесконечными ветвями.
Асимптотой кривой с бесконечною
ветвью называется такая прямая, что
расстояние точек кривой до этой пря-
прямой при беспредельном удалении по беско-
бесконечной ветви стремится к нулю.
Покажем сначала, как находить асимпто-
асимптоты кривой, параллельные оси OY. Уравне-
Уравнение такой асимптоты должно иметь вид:
Рис. 80.
где с — постоянная, и в этом случае при движении по соответствую-
соответствующей бесконечной ветви х должно стремиться к с, а у — к бесконеч-
бесконечности (рис. 80). Мы получаем, таким образом, следующее правило.
Все асимптоты кривой
параллельные оси OY, можно получить, найдя те значения х== с,
при приближении к которым f(x) стремится к бесконечности,
Для исследования того, как расположена кривая относительно асимп-
асимптоты, надо определить знак f{x) при стремлении х к с слева и справа.
Перейдем теперь к нахождению асимптот, непараллельных оси ОК.
В этом случае уравнение асимптоты должно иметь вид
172 ГЛ. 11. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ I 72
где 5э т] — текущие координаты асимптоты, в отличие от х, у —теку-
—текущих координат кривой.
Пусть с» есть угол, образованный асимптотой с положительным
направлением оси ОХ, Ш — расстояние точки кривой до асимптоты
и ~Щг __ разность ординат кривой и асимптоты при одинаковой
абсциссе х (рис. 81). Из прямоугольного треугольника будем иметь
и, следовательно, условие
UmMK = 0
мы можем заменить условием
ИшЖ1 = 0. G)
В случае асимптоты, непараллельной оси OY, при движении по
соответствующей бесконечной ветви х стремится к бесконечности.
Принимая во внимание, что МКХ есть разность ординат кривой и
асимптоты при одинаковых абсциссах, можем
у4 переписать условие G) так:
м ^^ Hm \f(x) — ax — b] = 09 (8)
откуда мы и должны получить значения а я Ь.
Условие (8) можно переписать в виде:
Рис.81.
Но первый множитель х стремится к бесконечности, а потому выра-
выражение, стоящее в квадратных скобках, должно стремиться к нулю
то есть
Найдя а, мы определим Ъ из основного условия (8), которое можно
переписать в виде:
й= lim [/(х) — a*].
ЛГ-+ОО
ЛГ-+ОО
Итак, для существования асимптоты, непараллельной оси 0Y,
рт°'й
необходимо и достаточно, чтобы при движении по бесконечной
ветви х беспредельно возрастало и чтобы существовали пределы
a=Mmf-&9 Ь=\\т[1\х)-ах\,
73 ] § 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 173
и тогда уравнение асимптоты будет
Для исследования расположения кривой относительно асимптоты, надо
отдельно разобрать случаи стремления х к (-(- оо) и (— оо) и в каждом
из этих случаев определить знак разности
Если он будет (-)-), то кривая располо-
расположена над асимптотой, а если (—), то под
асимптотой. Если же эта разность при бес-
беспредельном возрастании х не будет сохра- ^
нять неизменного знака, то кривая будет коле-
колебаться около асимптоты (рис. 82). Рис. 82.
73. Построение графиков. Укажем теперь схему действий, кото-
которые надо проделать при построении кривой
более полную, чем это сделано в [59].
Для этого нужно:
а) определить промежуток изменения независимой переменной х\
б) определить точки пересечения кривой с осями координат;
в) определить вершины кривой;
г) определить выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой;
д) определить асимптоты кривой;
е) выяснить симметричность кривой относительно осей координат,
если таковая существует.
Для более точного вычерчивания кривой полезно также наметить
еще ряд точек кривой. Координаты этих точек можно вычислить,
пользуясь уравнением кривой.
1. Вычертим кривую
*~~ 4(лг —I)'
а) х может изменяться в промежутке (—оо, +оо).
б) Полагая * = 0, получим у=.—j-; полагая у = О, получим лг = 3, т. е.
/ 9 \
кривая пересекается с осями координат в точках @, ——) и C, 0).
в) Составляем первую и вторую производные
2
' W— 4(лг_-1J '
Применяя обычное правило, получим вершины C, 0) — минимум, (— 1, — 2) —
максимум.
174 ГЛ. ТТ. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ 73
г) Из выражения второй производной видно, что она положительна при
jc>1 и отрицательна при лг<1,.т. е. промежуток A, оо) есть промежуток
вогнутости кривой, а промежуток (—оо, 1) есть промежуток выпуклости.
Точек перегиба нет, так как f"(x) меняет знак лишь при х = 1, а этому
значению х соответствует, как мы сейчас увидим, асимптота, параллельная
оси OY.
д) При х=\ у обращается в бесконечность, и кривая имеет асимптоту
лг = 1.
Будем теперь искать асимптоты, непараллельные оси OY:
(х—3)а
_9_
х
т. е. асимптота будет
___1_ 5_
4 4
Предлагаем читателю исследовать расположение кривой относительно
асимптоты.
е) Симметрии не имеется.
Нанося все полученные данные на чертеж, получим кривую (рис. 83).
2. Исследуем кривые:
которые дают форму тяжелой балки, изгибающейся под влиянием собствен-
собственного веса, причем первая кривая относится к тому случаю, когда концы
балки могут свободно поворачиваться, а вторая — когда они заделаны наглухо.
Общая длина балки 2я, начало координат в середине балки и ось ОУ на-
направлена вертикально вверх.
а) Очевидно, нас интересует изменение х лишь в промежутке (—а, -\-а).
б) Полагая х = 0, получим у — Ьса* и y1 = cai, т. е. в первом случае
прогиб середины балки в пять раз больше, чем во втором. При х = ± а,
y=yi = 0, что соответствует концам балки.
в) Определим производные
У = — 4сл: (За2 — л:2), у" = — 12с (а2 — л;2),
у[ = — 4сх (а2 — л:2), у1; = — 4с (а2 -^ Зл:2).
В обоих случаях в промежутке (— а> Ц- а) будет существовать минимум
при х = 0, что соответствует прогибу середины балки, о котором мы гово-
говорили выше.
г) В первом случае у" > 0 в промежутке (— а, + а), т, е. в первом слу-
случае вся балка обращена вогнутостью вверх. Во втором случае у'{ обращается
а
в нуль при х = ±: г—- и меняет притом знак, т. е. соответствующие точки
У 3
будут точками перегиба балки.
74
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
175
д) Бесконечных ветвей нет.
е) В обоих случаях уравнение не меняется при замене х на (—х)9 т. е.
в обоих случаях кривая симметрична относительно оси ОК.
На рис. 84 изображены обе кривые. Для простоты нами взят случай
я=1, с = —1; на практике длина балки значительно больше ее прогиба,
У
г
1
и г
х 2 J^~if"
Рис. 83.
Рис. 84
т. е. а значительно больше с, так что внешний вид кривой прогиба будет
несколько иной (какой?).
Предлагаем читателю найти точки перегиба кривой
у = е~*2
и сравнить с рис. 60, на котором изображен соответствующий график.
74. Параметрическое задание кривой. При отыскании уравне-
уравнения геометрического места по данному его свойству не всегда бывает
удобно или возможно выразить это свойство непосредственно в виде
уравнения, связывающего текущие координаты лг, у. В таком случае
бывает полезно ввести третью, вспомогательную переменную вели-
величину, через которую можно выразить отдельно абсциссу х и орди-
ординату у любой точки геометрического места.
Совокупность двух полученных таким путем уравнений
О»
также может служить для построения и исследования кривой, так
как при каждом значении t она определяет положение соответствую-
соответствующей точки кривой.
Такой способ задания кривой называется параметрическим,
вспомогательная же переменная t — параметром. Для получения
уравнения кривой в обычном (явном или неявном) виде как зависи-
зависимости, связывающей х и у, нужно из двух уравнений (9) исклю-
исключить параметр t, что можно сделать, хотя бы решив одно из этих
Уравнений относительно t и подставив полученный результат в другое,
176 гл. п. понятие о производной и его приложения [ 74
С параметрическим заданием кривых особенно часто приходится
иметь дело в механике, при исследовании траектории движущейся
точки, положение которой зависит от времени t> а потому и коор-
координаты суть функции от t. Определив эти функции, мы и получим
параметрическое задание траектории.
Так, например, параметрическое уравнение окружности с центром
в точке (xQ, у0) и радиусом г будет
x = xo-\-r cos t, y — yo-\-r sin t. A0)
Перепишем эти уравнения:
х — х0 = г cos t, у — у0 = г sin t.
Возводя обе части в квадрат и складывая, исключим параметр t
и получим обычное уравнение окружности
Точно так же непосредственно ясно, что
x = acos?, y = bsint A1)
есть параметрическое уравнение эллипса
— 4- — = 1
а2 ' Ь2 *
Положим, что у, как функция от х, определена параметрически
формулами (9).
Приращение параметра Д? вызовет соответствующие приращения
Ах и Ау, и мы получим, деля числитель и знаменатель дроби -г—
на Д?, следующее выражение для производной от у до х:
1. by ,. Ы ф' (t)
yx = hm -г-= lim -г—= r, ;.;¦
ИЛИ
Составим вторую производную от у по х:
Применяя правило нахождения дифференциала частного, получим [501
._<Pydx-tPxdy
у щ?—
74 1 § 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 177
Но, в силу (9),
dx = <р' @ dt, <Рх = <р"
d у = f @ dt, d*y = ф* (t) dt\
Подставляя это в A3) и сокращая на dt*, получим окончательно
%йш Ф" @?'(')-?" (РФ'(О
у = ww •
Заметим, что выражение у" по формуле A3) отличается от выра-
выражения той же производной по формуле C) из [55J (при п = 2)
потому что это последняя формула выведена лишь в том предполо-
предположении, что х есть независимая переменная, а при параметрическом
представлении (9) независимой переменной является t. Если х есть
независимая переменная, то dx считается уже постоянным [50],
т. е. не зависящим от лг, и d*x — d(dx) = 0 как дифференциал по-
постоянной. При этом формула A3) переходит в A5).
Имея возможность определить у и у", мы тем самым можем
решить вопрос о направлении касательной к кривой, о выпуклости
и вогнутости кривой и т. д.
В качестве примера рассмотрим кривую, заданную уравнением
0 (fl>0) A6)
и называемую „листом Декарта".
Введем переменный параметр ty полагая
y = tx, A7)
и рассмотрим точки пересечения прямой A7) с переменным угловым коэф-
коэффициентом t и кривой A6). Подставляя в уравнение A6) выражение у из
уравнения A7) и сокращая на х2, получим
а уравнение A7) даст нам тогда
Sat2
Эти уравнения дают параметрическую форму представления листа Декарта.
Определим производные от х и у по t\
-** _баD--'3)
2t(\ -Н3)-ЗгУ _ iat B -<
—аа ~
178
ГЛ. ТТ. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[74
Для исследования изменениями^ разобьем весь промежуток (—оо,-J-oo)
изменения t на такие отдельные части, внутри которых производные х\ и y't
сохраняют неизменный знак и не обращаются
в бесконечность. Для этого нам придется от-
отметить значения:
*==~1> 0> уги
о
Рис. 85.
при которых эти производные обращаются в
нуль или бесконечность. Знаки x't и y't внутри
этих промежутков определятся без труда по
формулам A8); вычислив значения х и у на
концах промежутков, мы получим, таким об-
образом, приведенную ниже таблицу.
В соответствии с этой схемой мы полу-
получим кривую, изображенную на рис. 85.
Промежуток
t
(-со, -1)
(- 1, 0)
(У\ +оо)
+
+
+
—
—
y't
+
+
—
X
возрастает от 0 до +°°
возрастает от —со до 0
возрастает от 0 до у/~4а
убывает от у^4а
до у/~2а
убывает от у^2а до 0
V
убывает от 0 до —оо
убывает от + со до 0
возрастает от 0 до у^2л
возрастает от ^2а
до у/~4а
убывает от ^f\a до 0
Для вычисления углового коэффициента касательной имеем формулу
Обратим внимание на то, что хну обращаются в нуль при ^ = 0 и
г = со, и кривая, как это видно из чертежа, пересекает сама себя в начале
координат
координат.
Формула A9) дает нам
= 0 при
/ /О /3\
y^=r lim -iif—LL= lim
г 0,
L
оо при
75 ] § 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 179
т. е. две ветви кривой, взаимно пересекающиеся в начале координат, ка-
касаются— одна оси ОХ и другая оси OY.
При стремлении t к (— 1) х и у стремятся к бесконечности, и кривая
имеет бесконечную ветвь. Определим асимптоту:
угловой коэффициент асимптоты равен lim J^- = lim ' ~* * ) =— 1,
J х-+оэ х t->-\ 3at(\-\-t8)
т. е. уравнение асимптоты будет
у = — х — а или х
75. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Если считать, что газ точно следует
законам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака, то получается, как известно,
следующая зависимость между упругостью газа /?, его объемом у и абсо-
абсолютной температурой Г:
py = RT,
где R— постоянная, одна и та же для всех газов, если рассматривать одну
„грамм-молекулу" газа, т. е. число граммов газа, равное его молекулярному
весу.
Существующие газы не подчиняются строго указанной зависимости, и
Ван-дер-Ваальсом была дана другая формула, гораздо более точно выражакь
щая явление. Формула эта имеет вид:
где а и Ъ — положительные постоянные, различные для различных газов.
Решая уравнение относительно р, получим
Исследуем зависимость р от у, считая Т постоянным, т. е. рассматривая
случай изотермического изменения состояния газа. Найдем первую производ-
производную от р по у:
~2a(y — bf
dp ___ RT 2а 1 Г
dv ~ (v — bJ^ v'[~ (v — ЬJ[
B1)
Мы будем рассматривать только значения v>b. По поводу физического
смысла этого условия, а также кривых, которые будут получены, отсылаем
читателя к курсам физики. Приравнивая производную нулю, получим урав-
уравнение
Щ?Я.-*Т-Ь B2)
Исследуем изменение левой части этого уравнения при изменении v от Ь
до (-}- с») и для этого определим ее производную по v, помня, что произве-
произведение RT по условию постоянно:
V
J ~~
п
2(v — b)v* — Sv2(v — bf_ 2а (у — Ъ) {у — Щ
откуда видно, что эта производная положительна при Ь<:у <ЗЬ и отрица-
отрицательна при у >> ЗЬ, т. е. левая часть уравнения B2) возрастает в промежутке
(Ь, ЗЬ) и убывает при дальнейшем увеличении у, а потому при у = ЗЬ она
180
ГЛ. И. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[76
— RT.
RT>
RT<
достигает максимума, равного
8а
21Ь
Непосредственной подстановкой нетрудно также убедиться, что левая
часть уравнения B2) при v=b и v = -\~co обращается в (—RT) и, следова-
следовательно, имеет знак (—). Если найденный
максимум ее также отрицателен, т. е. если
8а
21Ь >
то левая часть уравнения B2) постоян-
постоянно отрицательна, а в этом случае из
выражения B1) видно, что производная
dp
~~ постоянно отрицательна, т. е. р убы-
убывает с возрастанием v.
Наоборот, если
8а
27Ь '
то левая часть уравнения B2) дости-
достигает положительного максимума при
г/ = 3&, и уравнение B2) имеет один
корень vx в промежутке (Ь, Щ и дру-
другой корень v2 в промежутке C#, +со).
При переходе v через значение vx ле-
левая часть уравнения B2) и, следователь-
следовательно
но, -~- переходит от знака (—) к знаку
(-J-), т. е. этому значению v соответ-
соответствует минимум р. Точно так же убе-
убедимся, что значению v = v2 соответству-
соответствует максимум р.
Если, наконец,
8а
RT=z B3\
— 21Ь '
то максимум левой части уравнения B2) равен нулю, значения v = v1 н
v = v2 сливаются в одно значение v — ЗЬ, при переходе через это значение
левая часть уравнения B2) и -—- сохраняют знак (—), т. е. р постоянно убы-
убывает с возрастанием v, и значению v = 3b соответствует точка перегиба К
кривой. Соответствующие этой точке перегиба значения v — Vfa p=ipk и
значение температуры Г= 7^, определяемое из условия B3), называются
критическими объемом, упругостью и температурой газа. На рис. 86 указан
вид кривых, соответствующих трем рассмотренным случаям.
76. Особые точки кривых. Рассмотрим уравнение кривой в неявной форме
F(x,y) = 0. B4)
Угловой коэффициент касательной к такой кривой определяется по фор-
где (х, у) — координаты точки касания.
76 J § 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 181
Рассмотрим тот частный случай, когда F(x,y) есть целый многочлен от
х и у. В этом случае кривая B4) называется алгебраической. Частные про-
производные Fx(x/y) и F'v(x,y) будут иметь вполне определенные значения,
если вместо х и у подставить координаты любой точки М кривой B4), и
уравнение B5) даст нам определенный угловой коэффициент касательной, во
всех случаях, кроме тех, когда координаты точки (х, у) обращают в нуль
частные производные F'x (х,у) и F' (х,у). Такая точка М называется особой
точкой кривой B4).
Особой точкой алгебраической кривой B4) называется точка, коорди-
координаты которой удовлетворяют уравнению B4) и уравнениям
Fx(x,y) = Q, F'y(x,y)=:0. B6)
Для эллипса
х2 v2
_ 4--^--— 1
а* ^ Ь2 "~ 1
условие B6) даст нам х=у — 0, но точка @, 0) належит на эллипсе, а по-
потому эллипс особых точек не имеет. То же можно утверждать и относи-
относительно гиперболы и параболы.
В случае листа Декарта
условия B6) будут иметь вид:
Зх2 — Зау~0 и 3/ — Зах = 0,
и непосредственно видно, что начало координат @,0) является особой точ-
точкой кривой. При исследовании листа Декарта мы показали, что в начале
координат кривая пересекает сама себя, и две ветви кривой, пересекающиеся
в этой точке, имеют в ней различные касательные: для одной из ветвей
касательной является ось ОХУ для другой — ось OY.
Особая точка, в которой пересекаются различные ветви кривой так,
что каждая ветвь имеет свою особую касательную, называется узловой
точкой кривой.
Таким образом, начало координат является узловой точкой листа Декарта.
Укажем еще на примерах некоторые типы особых точек алгебраических
кривых.
1. Рассмотрим кривую
у2 — ах* = 0 (а> 0),
называемую полукубической параболой. Нетрудно проверить, что коорди-
координаты @,0) обращают в нуль левую часть этого уравнения и ее частные
производные по х и у> и, следовательно, начало координат является особой
точкой кривой. Для исследования вида кривой вблизи этой особой точки
построим эту кривую. Ее уравнение в явной форме будет
Для построения кривой достаточно исследовать ту ее часть, которая
соответствует знаку (+), ибо часть кривой, соответствующая знаку (—),.
будет симметрична с первой частью относительно оси ОХ. Из уравнения
видно, что х не может быть меньше нуля и что при возрастании
л от 0 до (-[- оо) и у возрастает от 0 до (+ оо).
Определим производные первых двух порядков:
3 г— З/а"
182
ГЛ. II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
I 76
При д: = 0 и/ = 0, и заметив, что х может стремиться к нулю, принимая
лишь положительные значения, можем утверждать, что ось ОХ будет каса-
касательной к кривой справа в начале координат. Кроме того видно, что для
исследуемой части кривой у" сохраняет неизменный знак (+) в промежуток
(О, +оо), т. е. эта часть обращена вогнутостью в сторону положительных
ординат.
На рис. 87 изображена исследуемая кривая (при а=\). В начале коор-
координат встречаются, не продолжаясь дальше, две ветви кривой, причем обе
Рис. 87.
Рис. 88.
ветви в точке встречи имеют одну и ту же касательную и расположены
по разные стороны от этой касательной вблизи особой точки (в дан-
данном случае — везде). Такая особая точка называется точкой возврата
первого рода.
' 2. Рассмотрим кривую
(у — **)» —*» = <).
Нетрудно проверить, что начало координат является особой точкой кривой.
Уравнение кривой в явной форме будет
у = х2±. У***
Из этого уравнения видно, что х может изменяться от 0 до (+ со). Опре-
Определим производные двух первых порядков:
У= 2* ±-|-/Р, у" = 2±^-У"х
и исследуем отдельно обе ветви кривой, соответствующие знакам (+) и (—).
Заметим, прежде всего, что в обоих случаях, при х = 0 и у = 0 и так
же, как в предыдущем примере, ось ОХ будет для обеих ветвей касатель-
касательной справа.
Исследуя обе ветви обычным способом, получим следующие результаты:
для первой ветви при возрастании х от 0 до (-J- со) и у возрастает от 0 до
(+со), и кривая вогнута; на второй ветви имеется вершина (максимум) при
л: = —, точка перегиба при х = т&? и точка пересечения с осью ОХ
при *= 1.
7G1
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
183
Принимая во внимание все указанное, получим кривую, изображенную
на рис. 88.
В начале координат встречаются, не продолжаясь дальше, две ветви
кривой, причем обе ветви в точке встречи имеют одну и ту же
касательную и расположены по одну сторону от этой касательной
вблизи особой точки. Такая особая точка называется точкой возврата
второго рода.
3. Исследуем кривую
у — х* + хв = 0.
Начало координат есть особая точка кривой. Уравнение кривой в явной
форме будет
у = ±:х2 |Л—х2.
Уравнение кривой в неявной форме содержит только четные степени х и у,
а потому оси координат суть оси симметрии кривой, и достаточно иссле-
исследовать часть кривой, соответствующую положительным значениям х и у.
Из уравнения кривой в явной форме видно, что х может изменяться от (—1)
до 1. Ограничимся вычислением первой
производной У
, л: B — Зх2)
V^-x*
При х = 0 и _у=У = 0, т. е. в начале
координат, касательная совпадает с осью
ОХу а при х =з 1, у = 0 и у' = оо, т. е.
в точке A,0), касательная параллельна
оси ОУ. По обычным правилам найдем,
что кривая будет иметь вершину при
/4-
ринимая во внимание
Рис. 89.
все сказанное и, в частности, симметричность кривой, получим кривую,
изображенную на рис. 89. В начале координат две ветви кривой, соот-
соответствующие знакам (+) и (—) перед корнем, взаимно касаются. Такая
особая точка называется точкой соприкосновения.
4. Исследуем кривую
у* — х2(х— 1)=0.
Начало координат есть особая точка кривой. Явное уравнение кривой будет
у = ± у х2(х— 1>
Принимая во внимание", что подкоренное выражение не может быть отрица-
отрицательным, можем утверждать, что либо * = 0, либо х^\. При л: = 0 и
У=0. Исследуем теперь ветвь кривой, соответствующую знаку (-J-). При
увеличении х от 1 до (+оо) у увеличивается от 0 до (+оо). Из выражения
первой производной
32
видно, что, при д" = 1,у обращается в бесконечность, т. е. в точке A, 0)
касательная параллельна оси ОУ. Вторая ветвь кривой, соответствующая
знаку (—), будет симметрична с исследованной относительно оси ОХ.
184
ГЛ. И. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[77
5
k
3
г
1
0
-1
-2
-з
I /
У
/
t ( * ?
I
. \
\
\
5
3
2
1
0
-i
-2
-3
У
/
*-"*7 6 3 4
Принимая все это во внимание, получим кривую, изображенную на рис. 90.
В рассматриваемом случае координаты точки О @, 0) удовлетворяют урав-
уравнению кривой, но вблизи нее нет других точек кривой. В этом случае
особая точка называется изолированной точкой.
Указанными выше типами особых точек исчерпываются всевозможные
случаи особых точек алгебраических кривых, но может случиться, что в не-
некоторой точке алгебраической кри-
кривой произойдет совпадение несколь-
нескольких особых точек, одинаковых или
разных типов.
Кривые не алгебраические назы-
называются трансцендентными.
Предлагаем читателю показать,
что уравнению
у =з х log х
соответствует кривая, изображенная
на рис. 91. Начало координат являет-
является точкой прекращения кривой.
77. Элементы кривой. При-
Приведем основные формулы, связан-
Рис. 91. ные с понятием касательной к
кривой и ее кривизны, и введем
еще некоторые новые понятия, связанные с понятием касательной.
Если уравнение кривой имеет вид:
У =/(*), B7)
то угловой коэффициент касательной есть производная f(x) от у
по х, и уравнение касательной может быть написано в виде:
где (х, у) — координаты точки касания и (Х> У) — текущие коор-
координаты касательной. Нормалью к кривой в точке (х, у) кривой
называют прямую, проведенную через эту точку перпендикулярно
к касательной в этой точке. Как известно из аналитической гео-
геометрии, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны
по величине и по знаку, т. е. угловой коэффициент нормали будет
( г), и уравнение нормали можно написать так:
Рис. 90.
или
(Х — х)-\-у(У — у) = 0. B9)
Пусть М есть некоторая точка кривой, Т и N — точки пересе-
пересечения касательной и нормали кривой в точке М с осью OX, Q —
основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось ОХ
(рис. 92). Отрезки QT и QN, лежащие на оси ОХ, называются
77]
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
185
подкасательной и поднормалью кривой в точке М, и отрезкам
этим соответствуют определенные числа, положительные или отри-
отрицательные, смотря по направлению этих отрезков на оси ОХ. Длины
отрезков МТ и MN называются длиною касательной и длиною
нормали кривой в точке М, причем дли-
длины эти мы будем считать всегда положи-
положительными. Абсцисса точки Q на оси ОХ
равна, очевидно, абсциссе х точки М.
Точки Т и N суть точки пересечения
касательной и нормали с осью ОХ, а по-
потому для определения абсцисс этих точек
надо положить в уравнении касательной
и нормали К=0 и полученные уравне-
уравнения разрешить относительно X. Мы по-
получим, таким образом, для абсциссы точки
Т выражение (х — ~], а для абсциссы точки N — выражение
(х-\-уу). Нетрудно теперь определить величину подкасательной и
поднормали:
_ JL
У ~ V ' I C0)
Из прямоугольных треугольников MQT и MQN можно опреде-
определить теперь длины касательной и нормали:
\Ш\=
C1)
причем знак (±) надо выбирать так, чтобы выражения в правой
части оказались положительными.
Напомним еще формулу для радиуса кривизны кривой [71]:
/? = ±A+-Г) *. C2)
у" V J
Обозначая длину нормали буквою п> получим из второй из фор-
формул C1):
У '
и, подставляя это значение у\ -\-у* в формулу C2), будем иметь
еще следующее выражение для радиуса кривизны:
C2,)
186 гл. и. понятие о производной и его приложения [ 78
Если кривая задана параметрически
то первая и вторая производные у' и у" от у по х выражаются по
формулам [74]
v>_dy _V(t)
у ~ dx ~ ср' (;) '
„ _ rfV rfx - d'x dy _ ф" (t) y' (Q - y" (Q <]/ (Q
В частности, подставляя эти выражения в формулу C2), получим вы-
выражения радиуса кривизны в рассматриваемом случае:
к ~ — d*y dx — d*x dy ~ — ф" (t) <?' (t) — у" (
где a есть угол, образуемый касательной с осью ОХ
Если кривая задана неявно
F(x9y) = 0,
то в силу формулы B5) получим следующее уравнение касательной
F'x (х, у) {Х-х) + Fy (х, у) (Y -у) = 0. C5)
78. Цепная линия. Цепной линией называется кривая, которая при соот-
соответствующем выборе координатных осей имеет уравнение:
Кривая эта дает форму равновесия тяжелой вити, подвешенной за два
конца. Ее нетрудно построить по правилам, указанным в [73], и вид ее ука-
указан на рис. 93. Определим первую и вторую производные от у:
откуда
2?
е а)
Подставляя это выражение A+^'2) во вторую из формул C1), получим
для длины нормали кривой
79 1
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
187
и подставляя выражение для п и у" в формулу C2J, получим
" — а*у*у а *'
т. е. радиус кривизны цепной линии равен длине нормали MN. При х = 0
ордината^ цепной линии принимает наименьшее значение у = а, и соответ-
соответствующая точка Л кривой называется ее вер-
вершиною.
На рис. 93 указаны еще некоторые вспо-
вспомогательные линии, которые нам понадобятся
впоследствии. При замене х на (— х) уравне-
уравнение цепной линии не меняется, т. е. ось OY
есть ось симметрии цепной линии.
79. Циклоида. Вообразим круг радиуса
а, который катится без скольжения по непо-
неподвижной прямой. Геометрическое место, опи-
описанное при таком движении некоторой точкой
М окружности круга, называется циклоидой.
Примем прямую, по которой катится круг,
за ось ОХ', за начало координат примем на- Рис« 93.
чальное положение точки М, когда окруж-
окружность касается в ней оси ОХ, и через t обозначим угол поворота окружно-
окружности. Обозначим далее: через С — центр окружности, через TV—точку каса-
касания окружности в ее некотором положении с осью ОХ} через Q"—основание
Рис. 94.
перпендикуляра, опущенного из точки М на ось ОХ, и через R—основание
перпендикуляра, опущенного из точки М на диаметр NNt окружности (рис. 94).
Принимая во внимание, что ввиду отсутствия скольжения
ON = луге
= at,
можем выразить координаты точки М, описывающей циклоиду, через пара-
параметр t = Z. NCM:
х = OQ = ON — QN = at — a sin t = a (t — sin t\
у = ~QM = ~NC — ~RC = a — a cos t = a A — cos t).
Это и дает нам параметрическое представление циклоиды.
Заметим прежде всего, что достаточно рассмотреть изменение t в про-
промежутке @, 2тг), который соответствует полному обороту окружности. После
этого полного оборота точка М опять совпадает с точкой касания О' окруж-
окружности и оси ОХ, но только передвинется на отрезок 00' = 2тш. Часть кри-
188 гл. п. понятие о производной и его приложения | 79
вой, которая получится при дальнейшем движении, будет тождественна
с дугой 00' и получится, если мы перенесем эту дугу на отрезок 2па вправо,
и т. д. Вычислим теперь первые и вторые производные от х и у по t:
-^ = ?'(/) = a (I-cos/), -g-= <!/(*) = я sin*,
d2x d2v
— = <p" (t) = a sin tt -^ .= ф" @ = a cos t.
C6)
Угловой коэффициент касательной в силу первой из формул C3) будет:
. . 2 sin тг cos тг j.
, я sin * 2 2 t
Формула эта приводит к простому способу построения касательной к
циклоиде. Соединим точку Nt с точкой М кривой. Угол MNtN есть впи-
вписанный угол, опирающийся на дугу NM = t, и, следовательно, он равен
-к-. Из прямоугольного треугольника RMNt получим (рис. 94):
Сравнивая это выражение с выражением для у', видим, что прямая MNt
и есть касательная к циклоиде, то есть:
Чтобы построить касательную к циклоиде в ее точке М, достаточно
соединить эту точку с концом Nt того диаметра катящегося круга, дру-
другой конец которого находится в точке касания окружности и оси ОХ.
Прямая MNy соединяющая точку М с другим концом только что упомя-
упомянутого диаметра, перпендикулярна к прямой MNU так как угол NXMN
опирается на диаметр, и мы можем поэтому утверждать, что прямая MN
есть нормаль к циклоиде. Длина нормали л = MN определится непосред-
непосредственно из прямоугольного треугольника NtMN:
п = 2а sin -~-.
Радиус кривизны циклоиды получим, пользуясь формулой C4) и выра-
выражениями'C6):
[а2 A —cos tJ + a2 sin21]3/* __ _^_ а B — 2cos Q3/a _
~~ a cost • а A — cos t) — a sin t • a sin t ~" ~~ cos t — 1 """
= a •
A - cos 0l/2= 4a sin
В последнем выражении мы оставляем лишь знак (+), так как для
первой ветви циклоиды t заключается в промежутке @, 2л), и sin -^ не может
быть величиной отрицательной.
Сравнивая это выражение с выражением для длины нормали п, будем
иметь # = 2п> т. е. радиус кривизны циклоиды равен удвоенной длине нор-
нормали (МС^ на рис. 94).
80 1
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
189
Если бы точка М, которая описывала циклоиду, лежала не на окруж-
окружности круга, а внутри или вне ее, то при качении круга она описала бы
кривую, которая соответственно называется укороченной или удлиненной
циклоидой (иногда обе эти кри-
кривые называют трохоидой). УД
Назовем через h расстоя-
расстояние СМ точки М от центра
катящегося круга. Остальные
обозначения оставим те же.
Разберем сначала случай h < «,
т. е. тот случай, когда точка М
находится внутри круга (рис.
95). Непосредственно из черте-
чертежа имеем:
= at — h sin t, y — QM =
= NC — RC = a — h cos t-
В случае h > а уравнения
будут те же, но кривая примет
вид, указанный на рис. 96.
Рис. 95.
Рис. 96.
80. Эпициклоиды и гипоциклоиды. Если круг, с окружностью которого
связана точка М, катится не по прямой ОХУ а по некоторой неподвижной
у окружности, то получатся два обширных клас-
са кривых: эпициклоиды, если катящийся
круг расположен вне неподвижного; гипоцик-
гипоциклоиды, если катящийся круг расположен вну-
внутри неподвижного.
Выведем уравнение эпициклоид. Поме-
-$ стим начало координат в центр неподвиж-
неподвижного круга; ось ОХ направим по прямой, со-
соединяющей этот центр О с точкой К> которая
является начальным положением точки М,
когда обе окружности касались друг друга в
этой точке. Обозначим буквою а радиус катя-
катящейся окружности, через Ъ — радиус неподвиж-
неподвижной окружности и примем за параметр t угол,
образуемый с осью ОХ радиусом ON непод-
неподвижной окружности, проведенным в точку каса-
касания окружностей, когда подвижная окружность
повернулась на угол ср = /_NCM (рис. 97).
Ввиду того, что качение окружности происходит без скольжения, можем
написать дуга KN = луге NM,
Т" е' bt = a- = —
Из чертежа непосредственно находим
Г= ОС cos /. КОС — СУЙ cos t
Рис. 97.
= (а + b) cos t — a cos {t + <р) = (а + Ь) cos t — a cos *" t,
=ОЛ1 = 1С—RC = OCsin ? KOC — CMsin ? SMC =
= (a + b) sin t — a sin {t + <f) = (a + b) sin t — a sin ~*~ ¦ t.
C7)
190
ГЛ. И. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[80
Кривая состоит из ряда одинаковых дуг, каждая из которых соответ-
соответствует полному обороту подвижного круга, т. е. увеличению угла ср на 2те,
а угла t на —. Таким образом, концы этих дуг соответствуют значениям
4ак
2рак
Для того чтобы когда-нибудь мы пришли в начальную точку кривой А',
необходимо и достаточно, чтобы один из этих концов совпал с /f, т. е. чтобы
существовали целые числа р и q, удовлетворяющие условию
ибо точке К соответствует некоторое число полных оборотов около точки О.
Предыдущее условие может быть написано так:
Такие числа р и q будут существовать тогда и только тогда, когда а и Ъ —
отрезки, соизмеримые между собою; в противном же случае отношение -г
есть число иррациональное и не может сде-
сделаться равным отношению двух целых чисел.
Отсюда следует, что эпициклоида пред-
представляет замкнутую кривую тогда и только
тогда, когда радиусы подвижного и непо-
неподвижного кругов соизмеримы; в противном
же случае кривая эта незамкнутая и, вый-
дя из точки Ку в нее никогда больше не
возвратится.
Рис. 98. Это замечание относится и к гипоцик-
гипоциклоидам (рис. 98), уравнение которых может
быть получено из уравнения эпициклоид простою заменой а на (— а):
= (Ь — a) cos t -f- a cos t,
= (b — a) sin t — a sin
•t
C8)
Отметим некоторые частные случаи. Положим, что в случае эпициклоиды
Ь = а, т. е. радиусы неподвижного и подвижного кругов равны. Мы получим
в этом случае кривую, состоящую из одной ветви (рис. 99), и, подставив
в уравнения C7) Ь = а, получим уравнения этой кривой:
х = 2а cos t — a cos 2t,
у = 2а sin t — a sin 2t.
Кривая эта называется кардиоидой.
Определим расстояние г точек М (х, у) этой кривой до точки AT, имею-
имеющей координаты (а} 0), и для этого приведем к более удобному виду выра-
выражения для (х — а) и у:
х — а = 2а cos t — а (cos21 — sin21) — a = 2a cos t ~~ 2a cos-1—2a cos t (I — cos t)%
у = 2a sin t — 2a sin t cos t = 2a sin t A — cos t)t
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
191
откуда
4tf2cos2*(l— cos tJ + 4а2 sin21 (\ — costJ =2a(l—cost).
Разность (л:—а) и у суть проекции отрезка КМ на оси ОХ и О У, но
из написанных выше выражений видно, что (х— а) и у равны произведению
длины отрезка КМ соответственно на cos t и sin t, и мы можем поэтому
утверждать, что отрезок КМ образует угол t с положительным направлением
оси ОХу т. е. параллелен радиусу ON,
Результат этот будет для нас важен
в дальнейшем при выводе правила
построения касательной к кардиоиде.
ч
Рис. 99.
Рис. 100.
Введем угол 6 == тс — t, образованный отрезком КМ с отрицательным
направлением оси ОХ. Для г мы получим тогда
r = 2a(l+cos0).
Уравнение это является уравнением кардиоиды в полярных координатах,
и мы более подробно исследуем эту кривую, когда будем говорить о поляр-
полярных координатах.
Отметим теперь некоторые частные случаи гипоциклоид. Полагая в урав-
уравнениях C8) Ь = 2а, получим
х = 2а cos t = Ъ cos t, у = 0,
т. е. если радиус неподвижного круга вдвое больше радиуса подвижного
круга, то точка М двигается по диаметру неподвижного круга.
Положим теперь, что Ь = 4а. В этом случае гипоциклоида будет состоять
из четырех ветвей (рис. 100), и в этом частном случае она называется астро-
астроидой. Уравнения C8) при Ь = Аа дадут нам
х = Ъа cos t + a cos 3? = За cos t + а D cos31 — 3 cos t) = 4a cos31 = b cos31,
у = За sin t — a sin 3t = 3a sin t — a C sin t — 4 sin31) = 4a sin31 = b sin81.
Возведя ' обе части уравнений в степень 2/з и складывая почленно полу-
полученные уравнения, исключим па'раметр t и получим уравнение астроиды
в неявной форме
а
192
ГЛ. IT. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[81
81. Развертка круга. Разверткой круга называется кривая, которую
описывает конец М гибкой нити, постепенно сматывающейся с неподвижной
окружности радиуса а, и притом так, что в точке /С, где нить отделяется от
окружности, она остается касательной к окружности (рис. 101).
Приняв за параметр угол t, образуемый с положительным направлением
оси ОХ радиусом, проведенным в точку АГ, и принимая во внимание, что
/<7И = дуге AI(=at, получим уравнение
развертки круга в параметрической
у "\ форме:
х = прохОМ = прохО/С+ прохКМ =
= a cos t + at sin tt
у = npOYOM = npOYOK + nip0YKM =
= a sin t — at cos t.
Определим, пользуясь первой из
формул C3), угловой коэффициент ка-
касательной:
**х
л cos ^
Рис. 101.
a cos t -j- at sin t
— a sin t -f- я sin ? + atf cos *
Угловой коэффициент нормали к развертке круга будет, следовательно,
равен
откуда видно, что прямая МК и будет нормалью к развертке круга. Свой-
Свойство это, как мы увидим впоследствии, имеет место и для разверток любых
кривых.
82. Кривые в полярных координатах. Положение точки М на
плоскости (рис. 102) определяется в полярных координатах: 1) ее
расстоянием г от некоторой данной точки О (полюс) и 2) углом 6,
который образует направление у
отрезка ОМ с данным направле-
направлением (L) (полярная ось). Часто
X
15
Рис. 102.
Рис. 103.
называют г—радиусом-вектором и б — полярным углом. Если
принять полярную ось за ОХ, а полюс — за начало координат, то
имеем, очевидно (рис. 103):
x = rcos6, jy = rsin8. C9)
Данному положению точки М соответствует одно определенное
положительное значение г и бесчисленное множество значений б,
821
§ 7. НЕКОТОРЫЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПРИЛОЖЕНИЯ
которые отличаются слагаемым, кратным 2тс. Если М совпадает с О,
то г = 0 и б — совершенно неопределенно.
Всякая функциональная зависимость вида г = /(9) (явная) или
р (г, 0) = О (неявная) имеет в полярной системе координат свой
график. Чаще приходится иметь дело с явным уравнением
г=/(9). D0)
В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные,
но и отрицательные значения г, причем если некоторому значению 1
соответствует отрицательное значение г, то условимся откладывать
это значение г в направлении, прямо про-
противоположном тому направлению, которое
определяется значением б.
Считая, что на некоторой заданной
кривой г есть функция б, мы видим, что
уравнения C9) представляют собой пара-
параметрическую форму уравнения этой кри-
кривой, причем хну зависят от парамет-
параметра б как непосредственно, так и через по-
средство г. Мы можем поэтому прилагать Рис. 104.
в данном случае формулы C3) и C4)
[77]. Обозначая через а угол, составленный касательной с осью ОД
будем иметь, применяя первую из формул C3),
rr
— г sin
где через г' мы обозначаем производную от г по б.
Введем еще в рассмотрение угол jx между положительными на-
направлениями радиуса-вектора и касательной к кривой (рис. 104). Мы
имеем:
и, следовательно,
cos {л = cos a cos б -f- sin a sin 6,
sin p. = sin a cos б — cos a sin 6.
Дифференцируя равенства C9) по 5 и принимая во внимание, что
dx dy
j? и ф соответственно равны cos a и sin a, получим
cos a = cos б % — r sin Ъ~,
ds ds'
sina —
ds
ds
Подставляя эти выражения cos а и sin а в написанные выше выра-
выражения для cos \ъ и sin [а, будем иметь
dr . rdft
" ds' ds
7 П \Л Гииппла * I
194 гл. и. понятие о производной и его приложения ( 83
и, следовательно,
, ГС1Ь Г 7
db
Из C9) следует
dx = cos 6 dr — г sin 6 dO,
dy = sin 8 dr + r cos б d0,
а потому
ds = У (rf*J + (dyJ = У (rfrJ + r2 (rf8J, D2)
й равенство a = [x + 6 дает нам, если мы разделим числитель и зна-
знаменатель на dd:
Из формулы же D1Х) имеем
где г' и г" — производные первого и второго порядка от г по б.
Подставляя полученные выражения производных в предыдущую фор-
формулу, будем иметь для радиуса кривизны:
83. Спирали. Разберем три вида спиралей:
спираль Архимеда: r = a6,
» гиперболическую: r0=a, (fl>0;
п логарифмическую: r = bea®.
Спираль Архимеда имеет вид, изображенный на рис. 105, причем
пунктир соответствует части кривой при 8<0. Отрицательным значениям б
соответствуют и отрицательные значения г, и их надо откладывать в направ-
направлении, противоположном тому направлению, которое определяется значе-
значением 6.
Всякий радиус-вектор встречает кривую бесчисленное множество раз>:
причем расстояние между каждыми двумя последовательными точками пере-
пересечения есть величина постоянная, равная 2ап. Это видно из того, что на-
направление ради ус а-вектор а, соответствующее некоторому данному значе-
значению б, не меняется, если к б прибавить 2я, 4я... ; длина же г, определяемая
из уравнения г = аб, будет получать приращения 2ап, 4ал, ...
Гиперболическая спираль изображена на рис. 106. Предполагая б > 0%
исследуем, что будет происходить с кривой1 когда б стремится к нулю.
Уравнение
841
§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
195
показывает, что г будет стремиться при этом к бесконечности. Возьмем
некоторую точку М на кривой при достаточно малом значении 0 и опустим
перпендикуляр MQ на полярную ось X. Из прямоугольного треугольника MOQ
получим (рис. 106):
¦?гп • п л sin 8
QM = г sin 0 = —g—,
а при стремлении б к нулю
1- 'гл л ж л- SJn в
lim QM = lim a —н— = а.
Итак, расстояние между точкой М кривой и полярной осью, при стрем-
стремлении 0 к нулю, стремится к а, и кривая будет иметь асимптоту LK* парал-
параллельную полярной оси и проведенную на расстоянии а от нее.
I _ -К
Рис. 105.
Рис. 106.
Далее, видим, что г не обращается в нуль ни при каких конечных зна-
значениях 0, а только стремится к нулю, когда 0 стремится к бесконечности.
Кривая будет поэтому беспредельно приближаться к полюсу О, закручиваясь
около него, но никогда не пройдет через О в противоположность спирали
Архимеда. Такая точка называется, вообще,
асимптотической точкой кривой.
Логарифмическая спираль изображена на
рис. 107.
При 0=0, r — b и при стремлении 0 к (+ оо)
и г стремится к ( + оо), а при стремлении 0 к
(—оо) г стремится к нулю, никогда не обра-
обращаясь в нуль. В рассматриваемом случае
г' = abeaB и tg у. = -С- = — .
т. е. радиус-вектор образует с касательной к
логарифмической спирали постоянный угол ja.
Рис. 107.
84. Улитки и кардиоида. Построим круг на диаметре ОА = 2а (рис. 108);
из точки О, лежащей на окружности, будем проводить радиусы-векторы и
на каждом из них будем откладывать постоянную длину h = DM от точки
пересечения D этой прямой с окружностью. Геометрическое место точек М
называется вообще улиткою.
Замечая, что
OD = 2acos0 и ШТ=г,
находим уравнение улитки
г = 2а cos 0 + Л.
196
ГЛ. И. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
I 84
Если h > 2д, то уравнение это дает для г только положительные зна-
значения, и соответствующая кривая изображена на рис. 109. Если h<.2a, тог
будет принимать и отрицательные значе-
значения, кривая имеет вид, изображенный
на рис. 110. В точке О кривая пересекает
Рис. 108.
Рис. 109.
самое себя. Наконец, при Л = 2в уравнение улитки будет
г = 2а A+ cos 6),
т. е. в этом случае улитка представляет собою кардиоиду [80], которая только
иначе расположена, чем в [80]
(рис. 111). Значению 6 = я будет
соответствовать г = 0, т. е. кривая
пройдет через точку О.
Рис. ПО.
Рис. 111.
Определим первую и вторую производные от г по 8:
г' = — 2а sin 0, г" = — 2а cos в.
Вычислим
г 2a(l
8
то есть
^ = у + у. D4)
Как было показано раньше [80], кардиоиду можно себе представить как
кривую, описанную точкой круга, катящегося по упомянутому выше кругу
85 I § 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 197
с диаметром ОЛ = 2а, причем диаметр катящегося круга равен диаметру
неподвижного круга. Пусть С — центр неподвижного круга, М — некоторая
точка кардиоиды, N — точка касания катящегося круга в его положении,
соответствующем этой точке, с неподвижным кругом, и NNi—диаметр по-
подвижного круга (рис. 111). Выше [80] мы видели, что прямые ОМ и CNt —
параллельны *), т. е. угол ACN=b и, следовательно,
дуга NM = дуге ON = п — 0.
Угол MNiN, как вписанный, опирающийся на дугу NM, равен -~ ^-,
и, наконец, угол, образованный направлениями ОМ и NtM, равен
откуда видно, что NtM и есть касательная к кардиоиде в точке М. Мы полу-
получаем, таким образом, следующее правило:
Чтобы построить касательную к кардиоиде в ее точке М, доста-
достаточно соединить эту точку с концом Nt того диаметра катящегося
круга, другой конец которого находится в точке касания катящегося
круга с неподвижным; нормаль пройдет по прямой MN.
Выведенное выше правило построения касательной к кардиоиде полу-
получается просто из кинематических соображений. Известно, что вообще движе-
движение неизменяемой системы на плоскости в каждый данный момент сводится
к вращению вокруг неподвижной точки (мгновенного центра), причем, вообще
говоря, положение этой точки меняется с течением времени. В случае каче-
качения, указанного на рис. 111, мгновенный центр есть точка соприкосновения N
катящегося круга с неподвижным, и, следовательно, скорость движущейся
точки М, направленная по касательной к кардиоиде, перпендикулярна
к лучу NM, т. е. этот луч есть нормаль к кардиоиде, а перпендикулярная
к нему прямая NtM — касательная к кардиоиде. Из этих соображений сле-
следует, что приведенное правило построения касательной годится, вообще, для
кривых, описанных некоторой точкой окружности, катящейся без скольжения
по неподвижной кривой.
85. Овалы Кассини и лемниската. Овалы Кассини получаются как гео-
геометрическое место точек М, для которых произведение расстояний от двух
данных точек Ft и Fa есть величина постоянная:
Обозначим длину F%F2 через 2а, направим полярную ось по линии FtF%
и полюс О поместим в середине отрезка FtF9. Из треугольников OMFt и
OMFa (рис. 112) находим
FtM2 = г2 + а2 + 2ar cos 9, F2M* = г2 + а* — 2аг cos 9
Подставляя эти выражения в уравнение овалов и возводя его обе части
в квадрат, получим после элементарных преобразований
г4 — 2a2r2 cos 28 + я* — Ь* = 0,
откуда
г2 = а2 cos 26 ± ]Лa4 cos2 26 — (а4 — Ь*).
1) В [80] эти две прямые были КМ и ONL (рис. 99).
198
ГЛ. 11. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[ S5
Случаи, соответствующие а2<Ь2 и а2 > Ь2, изображены на рис. 112,
причем второму случаю соответствует кривая, состоящая из двух отдельных
замкнутых кривых. Мы рассмотрим более подробно лишь тот важный слу-
случай, когда а2 = Ь2. Соответствующая кривая называется лемнискатой, и ее
уравнение будет
г2 = 2л2 cos 20.
Уравнение это дает вещественные значения для г, только когда cos 20 ^>0,
т. е. когда 0 лежит в одном из промежутков
И), (т*. ?)• (?¦
причем г обращается в нуль при
тс
Зтс 5я 7п
~4> TJ T'
Нетрудно на основании этих соображений построить кривую (рис. 113).
Рис. 112.
Рис. ИЗ.
В точке О кривая будет пересекать самое себя, и пунктирные прямые
представляют собою касательные к двум ветвям кривой, пересекающимся
в точке О. Дифференцируя обе части уравнения лемнискаты по 0, получим
2а2 sin 20
2rrr = — 4а2 sin 20 или г' = —
откуда
Г
•к
2а2 sin 20
Переходя от полярных координат к прямоугольным, из формулы C9) имеем
r2 = jc2+y, cos0 = —, sin0=^-.
Уравнение лемнискаты можно написать в виде
r2 = 2a2(cos20— sin20);
подставляя предыдущие выражения, получим уравнение лемнискаты в прямо-
прямоугольных координатах
х2 + у* = 2а2 Х*~У\, или (л:2 + УJ = 2а2 (л:2 —.у2),
х —|— _V
откуда видно, что лемниската есть алгебраическая кривая четвертого порядка.
ГЛАВА III
ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 8. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
86. Понятие о неопределенном интеграле. Одной из основных
задач дифференциального исчисления является задача нахождения про-
производной или дифференциала данной функции.
Первой основной задачей интегрального исчисления является
обратная задача — отыскание функции по заданной ее производной
или дифференциалу.
Пусть дана производная
или дифференциал
dy=f(x)dx
неизвестной функции у.
Функция F{x), имеющая данную функцию f(x) своей производ-
производной или/(х)с1х своим дифференциалом, называется первообразной
данной функции f(x).
Если, например,
f{x) = x\
то первообразной функцией будет, например, F(x) = -^x^ Дейст-
Действительно,
Допустим, что мы нашли какую-нибудь первообразную F(x)
функцию данной функции /(лг), которая имеет f(x) своей производ-
производной, т. е. удовлетворяет соотношению
F(x)=f(x).
Так как производная от произвольной постоянной С равна нулю,
мы имеем также
200 ГЛ. Ш. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ I 86
т. е. наряду с F (х) и функция F (х) -f- С есть также первообразная
функция для f(x).
Отсюда следует, что если задача нахождения первообразной
функции имеет хоть одно решение, то она имеет и бесчисленное
множество других решений, отличающихся от упомянутого на про-
произвольное постоянное слагаемое. Можно, однако, показать, что этим
и исчерпываются все решения задачи, а именно:
Если F(x) есть какая-либо из первообразных функций для
данной функции f(x), то любая другая первообразная функция
имеет вид
где С есть произвольная постоянная.
В самом деле, пусть F\ (x) есть любая функция, имеющая f(x)
своей производной. Мы имеем
F\(x)=f(x).
С другой стороны, и рассматриваемая функция F (х) имеет f{x) своей
производной, т. е.
F'{x)=f{x).
Вычитая это равенство из предыдущего, получаем
F[ (х) - F (х) = [Ft (x) - F (x)]' = 0,
откуда, в силу известной теоремы [63],
где С есть постоянная, что и требовалось доказать.
Полученный нами результат можно еще формулировать так: если
производные (или дифференциалы) двух функций тождественно
равны, то сами функции отличаются лишь постоянным слагаемым.
Самое общее выражение для первообразной функции называется
также неопределенным интегралом от данной функции f{x) или
от данного дифференциала f(x)dx и обозначается символом
\f{x)dx}
причем функция /(х) называется подынтегральной функцией, а
f(x) dx — подынтегральным выражением.
Найдя какую-нибудь первообразную функцию F (х), в силу дока-
доказанного выше можем написать
где С есть произвольная постоянная.
Приведем механическое и геометрическое истолкование неопре-
неопределенного интеграла. Пусть у нас имеется закон аналитической зави-
зависимости скорости от времени:
86
S 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
201
я требуется найти выражение пути 5 от времени. Так как скорость
движения точки по заданной траектории есть производная ^т от пути
по времени, то задача сводится к нахождению первообразной данной
функции /(/), т. е.
s = \ f(t) dt.
Мы получаем бесчисленное множество решений, отличающихся на
постоянное слагаемое. Эта неопределенность ответа имеет место
вследствие того, что мы не фиксировали того места, от которого
отсчитываем пройденный путь s. Если, например, v = gt-\-v0 (равно-
(равномерно ускоренное движение), то для 5 мы получим выражение
ибо, как нетрудно проверить, производная выражения A) по t сов-
совпадает с заданным выражением v = gt-\-v0. Если мы согласимся
отсчитывать 5 от той точки, которая соответствует значению t = 0,
т. е. если согласимся считать 5 = 0 при * = 0, то мы должны будем
в формуле A) положить постоянную С=0. В предыдущих рассуж-
рассуждениях мы обозначили независимую переменную не буквой х, а бук-
буквой t, что, конечно, не имеет существенного значения.
Перейдем теперь к геометрическому истолкованию задачи на-
нахождения первообразной функции. Соотношение / = /(дг) показывает,
что график искомой первообразной функцим,
или, как говорят, интегральная кривая
есть кривая, касательная к которой при лю-
любом значении х имеет заданное направление,
определяемое угловым коэффициентом
B)
Иными словами, при любом значении неза-
независимой переменной х соотношением B) за- рис, Ц4.
дано направление касательной к кривой и
требуется найти эту кривую. Если построена одна такая интегральная
кривая, то все кривые, которые мы получим, передвигая ее на любой
отрезок параллельно оси О У, будут иметь при одном и том же зна-
значении х параллельные касательные с тем же угловым коэффициентом
У=/(х) (рис. 114), что и исходная кривая. Упомянутый параллель-
параллельный перенос равносилен прибавлению к ординатам кривой постоян-
постоянного слагаемого С, и общее уравнение кривых, отвечающих задаче,
будет
y = t{x)-\-C C)
202
ГЛ, III, ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
I 87
Для того чтобы вполне определить положение искомой инте-
интегральной кривой, т. е. выражение искомой первообразной функции,
нужно задать еще какую-нибудь точку, через которую интегральная
кривая должна пройти, хотя бы точку пересечения ее с некоторой
прямой
параллельной оси О У. Такое задание равносильно заданию началь-
начального значения^ искомой функции y = F(x), которое она должна
иметь при заданном значении х — х0. Подставляя эти начальные
значения в уравнение C), мы получим уравнение для определения
произвольной постоянной С:
и окончательно первообразная функция, удовлетворяющая поставлен-
поставленному начальному условию, будет иметь вид:
Прежде чем выяснить свойства неопределенного интеграла и спо-
способы нахождения первообразной функции, мы изложим вторую основ-
основную задачу интегрального исчисления, и выясним ее связь с форму-
формулированной уже нами первой задачей — задачей нахождения перво-
первообразной функции. Существенным для дальнейшего является новое
понятие, а именно понятие определенного интеграла. Для того чтобы
естественно прийти к этому новому понятию, мы будем исходить из
интуитивного представления площади. Оно же будет служить нам и
для выяснения связи между понятием определенного интеграла и по-
понятием первообразной функции. Таким образом, рассуждения следую-
следующих двух номеров, основанные на интуитивном представлении пло-
площади, не являются строгими доказательствами новых фактов. Логи-
Логически строгая схема по-
построения основ интеграль-
интегрального исчисления указана в
конце [88]. Она приведена
полностью в конце настоя-
настоящей главы.
87. Определенный ин-
интеграл как предел суммы.
Отметим на плоскости ХО Y
график функции f(x), при-
причем мы считаем, что этот график представляет собою непрерывную
кривую, лежащую целиком над осью ОХ, т. е. считаем, что все орди-
ординаты этого графика положительны. Рассмотрим площадь Sa&, ограни-
ограниченную осью ОХ, этим графиком и двумя ординатам^ х~а и х=Ь
(рис. 115), и постараемся найти величину этой площади. Разобьем
Рис. 115.
87 I § 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
для этого промежуток (а, Ь) на п частей в точках
203
Рассматриваемая площадь Sab разобьется на п вертикальных по-
полос, причем k-я полоса имеет основание длины (xk — xk_i). Обозначим
через mk и Mk соответственно наименьшее и наибольшее значения
функции f(x) в промежутке (xk_h xk)y т. е. наименьшую и наиболь-
наибольшую ординаты нашего графика в этом промежутке. Площадь полоски
лежит между площадями двух прямоугольников с общим основанием
(*к-ь *k) (Рис- 116) и с высотами mk и Mk. Эти прямоугольники
являются входящим и выходящим прямоугольниками для k-ft полоски.
0
г
га
it
— -
г
5«
1
Рис. И 6.
Рис. 117.
Таким образом, величина площади k-ft полоски заключается между
площадями упомянутых двух прямоугольников, т. е. между двумя
числами
а потому вся рассматриваемая площадь Sab будет лежать между сум-
суммами площадей упомянутых входящих и выходящих прямоугольников,
т. е. вся площадь Sab будет лежать между суммами
(хп — хп^
D)
Таким образом, мы имеем неравенство
E)
Построим теперь вместо входящего и выходящего прямоугольни-
прямоугольников для каждой полоски какой-либо средний прямоугольник, прини-
принимая, как всегда, за основание (xk — xk_i) и взяв за высоту какую-
либо ординату f(lk) нашего графика, соответствующую любой точке %k
из промежутка (xk_i9 xk) (рис. 117). Рассмотрим сумму площадей
204 ГЛ. И1. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ I 87
этих средних прямоугольников:
Она, так же как и площадь Sab, будет заключаться между суммами
площадей входящих и выходящих прямоугольников, т. е. мы будем
иметь неравенство
G)
Будем теперь беспредельно увеличивать число п делений промежутка
(а, Ь) и притом так, чтобы наибольшая из разностей (хк — хк_х)9
стремилась к нулю. Так как функция f(x) по условию непрерывна,
то разность (Мк — mk) между наибольшим и наименьшим ее значе-
значениями в промежутке (хк_ь хк) будет стремиться к нулю при беспре-
беспредельном уменьшении длины этого промежутка, независимо от его по-
положения в основном промежутке (а, Ь) (свойство непрерывной функ-
функции [35]). Таким образом, если мы обозначим через е„ наибольшую
из разностей
(Ж, — тиО, (Ж2 — т& ...,(Mk — mk\ ..., {Мп_х — mn_v\ (Mn — тп\
то, в силу сказанного, при упомянутом выше предельном переходе
число ел будет стремиться к нулю. Определим теперь разность между
суммой площадей выходящих прямоугольников и суммой площадей
входящих прямоугольников:
r?i\)(xx— * о) -Ь (М* — /и*) (аг« — ДгО + ...+ •
+ (Мк — тк) (хк — xk_x) -f-... + (Мп — тп) (хп — хп_х\
откуда, заменяя все разности (Мк — тк) наибольшей гп и помня, что
все разности (хк — хк_х) — положительны:
то есть
(хп — хп_х)\ = гп (хп — х0) = гп {р — а).
Мы можем, таким образом, написать
то есть
\im(Sn — sn) = 0. (8)
С другой стороны, при всяком п мы имели
^ Sn (9)
87 1 «8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 205
и величина площади Sab есть определенное число. Из формул (8) и
(9) непосредственно следует, что величина площади Sab является
общим пределом sn и Sn> т. е. площадей выходящих и входящих
прямоугольников:
Hm sn — lim Sn = Sab.
Так как, с другой стороны, сумма средних прямоугольников 5я,
как мы видели, лежит между $п и Sn, то и она должна стремиться
к площади Sab, т. е.
lim Sn = Sab*
Эта сумма S'n является более общей по сравнению с суммами sn и
Sny так как в ней мы можем произвольно выбирать 5Л из проме-
промежутка (дгл_1, xk) и, в частности, можем брать f(ik) равной наимень-
наименьшей ординате тк или наибольшей Mk. При таком выборе сумма S'n
превращается в суммы sn и Sn.
Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему:
Если функция f(x) непрерывна в промежутке (а, Ь) и если
мы, разбив этот промежуток на п частей в точках
и обозначив через x = bk любое значение из промежутка (xk-h *Д
вычислим соответствующее значение функции f(ik) и составим
суммуJ)
то при беспредельном возрастании числа делений п промежутка
и беспредельном уменьшении наибольшей из разностей (xk — xk^t)
эта сумма стремится к определенному пределу. Предел этот
равен площади, ограниченной осью ОХ, графиком функции f(x) и
двумя ординатами: х — а,х = Ь.
Упомянутый предел называется определенным интегралом от
функции f(x), взятым по переменной х между нижним пределом
х==а и верхним х = Ь, и обозначается следующим символом
\f(x)dx.
а
Заметим, что существование предела / суммы A0) при беспре-
беспредельном уменьшении наибольшей из разностей (xk—xk_x)y сводится
п
1) Знак 2 / (?fc) (xu — xk_t) есть сокращенное обозначение суммы F).
206
ГЛ, III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(
о
к следующему утверждению: при любом заданном положительном
числе 8 существует такое положительное число т), что
<е
при любом разбиении и выборе точек \к из промежутка (xk-b xk),
если наибольшая из (положительных) разностей xk — ^-1<Л- Этот
предел / и является определенным интегралом.
Отметим, что множество значений сумм A0) при всевозможных
разбиениях промежутка (а, Ь) на части и всевозможном выборе ?Л
нельзя упорядочить так, чтобы об-
образовалась упорядоченная пере-
переменная. Предел суммы надо пони-
понимать лишь так, как это указано
выше (с помощью 8 и ч\).
Выше мы предполагали, что
график функции / (х) находится
Рис. 118. целиком над осью ОХ, т. е. что все
ординаты этого графика положи-
положительны. Рассмотрим теперь общий случай, при котором некоторые части
этого графика находятся над осью, а другие под осью ОХ (рис. 118).
Если мы и в этом случае составим сумму F), то слагаемые
/(?&) (xk — xk~i)> соответствующие частям графика, лежащим под осью
ОХ, будут отрицательными, так как разность (хк — хк^г) положи-
положительна и ордината f (fck) отрицательна.
После перехода к пределу получится определенный интеграл,
который будет учитывать площади, находящиеся над осью ОХ со
знаком (+) и под осью ОХ со знаком (—), т. е. в этом общем
случае определенный интеграл
f(x) dx
будет давать алгебраическую сумму площадей, заключенных между
осью ОХ, графиком функции f(x) и ординатами х=*а и х = Ь.
При этом площади над осью ОХ будут получаться с положи-
положительным знаком, а под осью ОХ —с отрицательным.
Как мы увидим в дальнейшем, мы приходим к нахождению пре-
предела суммы вида F) не только в вопросе вычисления площади, но
и во многих, весьма разнообразных, других задачах естествознания.
Приведем только один пример. Пусть некоторая точка М передви-
передвигается по оси ОХ от абсциссы х = а к абсциссе х = Ь, и на нее
действует некоторая сила Г, направленная также по оси ОХ. Если
сила Т постоянная, то работа, которую она совершает при передви-
передвижении точки из положения лг = а в положение х~Ь, определяется
87 I § 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 207
произведением R=T {Ъ — а), т. е. произведением величины силы на
пройденный точкой путь. Если сила Т—переменная, то написанная
формула больше неприменима. Положим, что величина силы зависит
от положения точки на оси ОХ, т. е. является функцией абсциссы
точки Т=/(х).
Чтобы вычислить работу в этом случае, разобьем весь путь,
пройденный точкой, на определенные части
и рассмотрим одну из этих частей (xk_i, xk). С ошибкой тем мень-
меньшей, чем меньше длина (xk — xk_i)} мы можем считать, что сила,
действовавшая на точку при передвижении ее от xk_x к xk, посто-
постоянна и совпадает со значением этой силы f($,k) в некоторой точке %k
из промежутка (xk_ly xk). Поэтому для работы на участке (xk_lt xk)
мы получим приближенное выражение
и для всей работы будем иметь приближенное пока выражение вида:
При беспредельном увеличении числа делений п и беспредельном
уменьшении наибольшей из разностей (xk — хк_г) мы получим в пре-
пределе определенный интеграл, дающий точную величину искомой работы:
Отвлекаясь от каких бы то ни было геометрических или механи-
механических истолкований, мы можем теперь установить понятие об опре-
определенном интеграле от функции f(x) по промежутку а^х^Ь как
о пределе суммы вида F). Второй основной задачей интегрального
исчисления и является изучение свойств определенного интеграла и,
прежде всего, его вычисление. Если f(x) — заданная функция, ах = а
и х = Ь — заданные числа, то определенный интеграл
\f(x)dx
а
есть некоторое определенное число. Знак ^ представляет собою
измененную букву 5 и должен напоминать о той сумме, которая
при предельном переходе дала величину определенного интеграла.
Подынтегральное выражение f(x)dx должно напоминать о виде сла-
слагаемых этой суммы, а именно о f$k) (xk—лгл_1). Буква х, стоящая
под знаком определенного интеграла, называется обычно переменной
208
ГЛ. III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(88
интегрирования. Отметим по поводу этой буквы одно важное об-
обстоятельство. Величина интеграла, как мы уже упомянули, есть опре-
определенное число, не зависящее, конечно, от обозначения переменной
интегрирования х, и мы можем в определенном интеграле обозна-
обозначать переменную интегрирования любой буквой. Это не будет иметь,
очевидно, никакого влияния на величину интеграла, которая зависит
лишь от того, каковы ординаты графика f(x) и пределы интегриро-
интегрирования а и Ь. Итак, обозначение независимой переменной никакой
роли не играет, т. е., например,
\f{x)dx = \f(t)dt
Вторая задача, интегрального исчисления — вычисление опреде-
определенного интеграла — представляет собою на первый взгляд довольно
сложную задачу составления суммы вида F) и затем перехода к пре-
пределу. Заметим, что при этом предельном переходе число слагаемых
в упомянутой сумме будет беспредельно расти, а каждое из них
будет стремиться к нулю. Кроме того, на первый взгляд эта вторая
задача интегрального исчисления не имеет никакой связи с первой
задачей о нахождении первообразной функции для заданной функ-
функции/(лг). В следующем номере мы покажем, что обе задачи тесно связаны
ь
одна с другой и что вычисление определенного интеграла \f{x)dx
а
совершается весьма просто, если известна первообразная функция
для f(x).
88. Связь определенного и неопределенного интегралов. Рас-
Рассмотрим опять площадь Sab, ограниченную осью ОХ, графиком
функции f(x) и ординатами х = а и х = Ь. Вместе с этой площадью
рассмотрим и часть ее, ограниченную левой ординатой х = а и не-
некоторой подвижной ординатой, отвечающей переменному значению х
{рис. 119). Величина этой площади Sax будет, очевидно, зависеть от
того, в каком месте мы поставим правую ординату, т. е. будет
функцией от х. Эта величина будет изображаться определенным
интегралом от функции /(jc), взятым от нижнего предела а до верх-
88 I § 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 209
него предела х. Так как буква х занята для обозначения верхнего
предела, то мы для избежания путаницы будем обозначать перемен-
переменную интегрирования другой буквой, а именно, буквой L Таким обра-
образом, мы можем написать:
Sax=\f(t)dL (И)
а
Здесь мы имеем определенный интеграл с переменным верхним
пределом лг, и его величина есть, очевидно, функция этого предела.
Покажем, что эта функция является одной из первообразных функ-
функций для f(x). Для вычисления про-
производной от этой функции рассмот-
рассмотрим сперва ее приращение A5ajc,
соответствующее приращению Длг
независимой переменной х. Очевид-
Очевидно, имеем (рис. 120):
Обозначим через т и М, соот- х
ветственно, наименьшую и иаиболь- Рис. 120.
шую ординаты графика f{x) в про-
промежутке (х, х -f- Длг). Криволинейная фигура P\PQQi> начерченная
в большом масштабе на рис. 120, будет целиком лежать внутри пря-
прямоугольника с высотой М и основанием кх и будет заключать внутри
себя прямоугольник с высотой т и тем же основанием, а потому
т Длг < A Sax ^ M Дат,
или, разделив на Адг:
Когда Ах -> 0, обе величины т и М в силу непрерывности функ-
функции f(x) стремятся к общему пределу — ординате P1P = f(x) кри-
кривой в точке х, а потому
что мы и хотели доказать. Полученный результат мы можем фор-
формулировать следующим образом: определенный интеграл с перемен-
переменным верхним пределом
\
есть функция этого верхнего предела, производная от которой
равна подынтегральной функции f(x) при верхнем пределе. Иначе
говоря, определенный интеграл с переменным верхним пределом
есть первообразная функция для подынтегральной функции.
210 ГЛ. III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ 88
Установив связь между понятиями определенного и неопределен-
неопределенного интегралов, покажем теперь, каким образом можно вычислять
величину определенного интеграла
ь
\f{x)dx,
а
если известна какая-либо первообразная функция F(x) для f(x).
Как мы показали, определенный интеграл с переменным верхним
пределом есть тоже первообразная функция для f(x), и в силу [86]
можем написать
\ A2)
где С есть некоторая постоянная. Для определения этой постоянной
заметим, что если у площади Sax правая ордината совпадает с левой,
т. е. х = а, то величина площади обращается, очевидно, в нуль,
т. е. левая часть в формуле A2) обращается в нуль при х = а.
Следовательно, тождество это при х = а дает
, т. e. C= — F(a).
Подставляя найденное значение С в A2), получим
Наконец, полагая здесь х = Ь, будем игегь
ь ь
\f(t)dt = F(b) — F(a) или \f (x) dx = Fib) — F(a). A3)
а а
Разность вида \F(b) — F(a)] будем в дальнейшем обозначать
ь
символом F(x) .
а
Мы приходим, таким образом, к следующему основному правилу,
выражающему величину определенного интеграла через значение
первообразной функции: величина определенного интеграла равна
разности значений первообразной функции для подынтегральной
функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Формулированное правило показывает, что нахождение первооб-
первообразной функции, т. е. решение первой задачи интегрального исчи-
исчисления, решает и вторую задачу, т. е. вычисление определенного
интеграла, и освобождает, таким образом, нас при вычислении опре-
определенного интеграла от сложных операций образования суммы F) и
перехода к пределу.
88 1 § 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 211
В качестве примера найдем определенный интеграл
Первообразной функцией для х2 является функция -^-л? [86].
о
Пользуясь выведенным нами правилом, будем иметь
—
Если бы мы, не пользуясь первообразной функцией, стали вычислять
предложенный определенный интеграл непосредственно из его определения
как предела суммы, то пришли бы к гораздо более сложному вычислению,
которое вкратце воспроизведем. Разобьем промежуток @, 1) на п равных
частей точками
В данном случае мы имеем п следующих промежутков:
длина каждого из которых равна —. При составлении суммы F) примем
за Iff левый конец промежутка, т. е.
ei—U> 52 — ~, S3 = —, ••• , Ъп=—-—•
Все разности *?—#?_1 = —, и, замечая, что значения подынтегральной
функции f(x)=x2 на левых концах промежутков будут:
можем написать
1 , 1 1
Для вычисления суммы, стоящей в числителе, напишем ряд очевидных
равенств:
1+3.12+13
2 + 3.22 + 2*
212 ГЛ. lit. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ | 88
Складывая почленно, получим
2» + За + ...Ч-л8=:(л-1) + 3[1+2 + ... + («-1)] +
+ 3[Н + 22 + ... + <«-1)81+1'+ 2*+ ... + (*-1)'.
Производя сокращения и применяя формулу суммы арифметической про-
прогрессии, можем написать
откуда
Подставив полученное выражение в A4), имеем
1
Г 2^ г п(п— 1)Bл — 1) 1 ,. Л 1WO 1\ 2 1
J n—oo 6/r on^oo\ w/\ nj 6 3
Уяснив основные задачи интегрального исчисления и связь между
ними, мы посвятим следующий номер дальнейшему рассмотрению
первой задачи интегрального исчисления, а именно задаче выяснения
свойств неопределенного интеграла и его разыскания.
Наши предыдущие рассуждения об определенном интеграле осно-
основывались на чисто геометрических соображениях, а именно на рас-
рассмотрении площадей Sab и Sax. В частности, доказательство основ-
основного факта, что сумма F) имеет предел, исходило из допущения,
что для всякой непрерывной кривой имеется определенная площадь
$аь- ^Ри Bce^ наглядности такого допущения оно не является строго
обоснованным, и единственно математически строгий путь был бы
обратный: не опираясь на геометрическую интерпретацию, доказать
непосредственно аналитическим путем существование предела 5
суммы
Л= 1
каковой потом уже принять за определение площади Sab. Это
доказательство мы приведем в конце настоящей главы и притом
при более общих предположениях относительно функции f(x)y чем
ее непрерывность.
Заметим еще, что геометрическая интерпретация являлась суще-
существенным моментом и при доказательстве того основного предло-
предложения, что при непрерывности подынтегральной функции производ-
производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подын-
подынтегральной функции при верхнем пределе. В следующем параграфе
настоящей главы мы приведем и строгое аналитическое доказатель-
доказательство этого предложения. Оно, совместно с доказательством существо-
существования определенного интеграла от непрерывной функции, позволяет
89 I § * НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 213
утверждать, что для всякой непрерывной функции имеется первооб-
первообразная, т. е. неопределенный интеграл. Дальше мы выясним основ-
основные свойства неопределенного интеграла, и будем считать, что имеем
дело лишь с непрерывными функциями.
При изложении свойств определенного интеграла мы строго до-
докажем основную формулу A3). Таким образом, единственным недока-
недоказанным фактом останется факт существования предела суммы A0)
для непрерывной функции f(x). Это доказательство, как мы уже
сказали, приводится в конце главы.
89. Свойства неопределенного интеграла. В [86] мы видели, что
две первообразные функции для одной и той же функции отличаются
лишь постоянным слагаемым. Это приводит нас к первому свойству
неопределенного интеграла.
I. Если две функции или дяа дифференциала тождественны,
то неопределенные интегралы от них могут отличаться лишь
на постоянное слагаемое.
Наоборот, чтобы проверить, что две функции отличаются
постоянным слагаемым, достаточно показать, что их производ-
производные (или дифференциалы) тождественны.
Следующие свойства II и III непосредственно вытекают из поня-
понятия о неопределенном интеграле как первообразной функции, т. е.
из того, что неопределенный интеграл
\f{x)dx
есть такая функция, производная которой по х равна подынте-
подынтегральной функции f(x), или дифференциал которой равен подын-
подынтегральному выражению f(x)dx.
И. Производная от неопределенного интеграла равна подынте-
подынтегральной функции, а дифференциал — подынтегральному выраже-
выражению:
d\f{x)dx=f(x)dx. A5)
Ш. Одновременно с A5) мы имеем
и эту формулу можно еще переписать так [50]:
A6)
что в соединении со свойством И дает: рядом стоящие знаки du\,
в каком бы порядке они ни следовали, взаимно уничтожаются,
если условиться отбрасывать произвольную постоянную в равенстве
между неопределенными интегралами.
214 ГЛ. III. ПОНЯТИЕ, ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ 90
IV. Постоянный множитель можно выносить из-под знака
интеграла:
\ \1). A7)
V. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической
сумме интегралов от каж&ого слагаемого:
\(u-\-v — w)dx = \udx-\- \vdx— \wdx-\-C. A8)
Правильность формул A7) и A8) нетрудно обнаружить, диффе-
дифференцируя обе части и убеждаясь в тождественности полученных про-
производных. Например, для равенства A7):
(\Af(x)dxy=Af(x),
(A \f(x) dx + С/ = A (\f(x)dxY = Af(x).
90. Таблица простейших интегралов. Для получения этой таб-
таблицы достаточно прочесть в обратном порядке таблицу простейших
производных [49], после чего мы получим
J dx =
xmdx— , 1 + С, если тф — 1,
1 sin x dx = — cos x-\-C, \ cos x dx= sin x -f- C,
Для проверки этой таблицы достаточно установить, что производ-
производная правой части равенства тождественна с подынтегральной функцией
левой части. Вообще, зная ту функцию, от которой данная функция
f(x) есть производная, мы тем самым получаем ее неопределенный
интеграл. Но обыкновенно, даже в самых простых случаях, заданные
J) Иногда не пишут произвольного постоянного слагаемого после неоп-
неопределенного интеграла, подразумевая, что неопределенный интеграл уже
содержит такое слагаемое. Равенство A7) при этом будет
= A \f(x)dx.
01 I § 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 215
функций не находятся в таблице интегралов, что и делает задачу
интегрального исчисления гораздо более трудной, чем задачу диф-
дифференциального исчисления. Все дело приводится к преобразованию
данного интеграла к таким, которые заключаются в таблице про-
простейших.
Преобразование это требует навыка и практики и облегчается
применением нижеследующих основных правил интегрального исчи-
исчисления, а также свойств IV, V из [89].
91. Правило интегрирования по частям. Мы знаем, что если
иу г> — две какие угодно функции от х с непрерывными производ-
производными, то [50]
или
В силу свойств I, V и III мы заключаем отсюда
—J nda + C
что и дает формулу интегрирования по частям:
\ [ A9)
Она сводит вычисление интеграла ^udv к вычислению интеграла
\vdii, причем этот последний может оказаться более простым.
Примеры.
1. J \ogxdx.
Полагая здесь
u = \ogx, dx = dvf
имеем прежде всего
dx
откуда, в силу A9),
V log*d* = A:log*— \ хи— = #!og#—x+ С.
На практике отдельные преобразования выписывать не нужно; все дей-
действия производятся по возможности в уме.
2. ^ $ j J
216 ГЛ. 1П. ПОНЯТИЕ OB ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ | 92
что дает окончательно
$ e*x*dx = е* \х* — 2х + 2} + С.
3. ^ sin х • xsdx = \ хь • sin x dx = jj *8rf (— cos л*) =
= — х9 cos л: — ^ (— cos л-) dx* = — a:8 cos x + 3 ^ a:2 • cos x /tx =
= — л*8 cos л* + 3 ^ л:2*/ sin л: = — л:8 cos jc + Зл:2 sin x — 3 ^ sin x d\ =
= — л:8 cos л: + Зл:2 sin лг — 6 ^ л: sin л: tfx =
= — xs cos л: + Зл*2 sin л: — б ^ л-rf (— cos л*) =
= — л:8 cos x + Зл:2 sin x + бл* cos x — 6 ^ cos л* dx =
= — л:8 cos x -f- Зл:2 sin x -j- бл: cos x — б sin x + С
Способ, показанный в этих примерах, применяется, вообще, при
вычислении интегралов типа:
^ eaxxmdx, \ sin Ьх • xmdx, \ cos ?x • xmdx,
где /я есть любое целое положительное число; нужно заботиться
лишь о том, чтобы при последовательных преобразованиях степенью
все время понижалась, пока не дойдет до нулевой.
92. Правило замены переменных. Примеры. Интеграл
часто можно упростить, введя вместо х новую переменную tt положив
B0)
Для преобразования неопределенного интеграла к новой пере-
переменной t no формуле B0) достаточно преобразовать к новой
переменной его подынтегральное выражение:
B1)
Для доказательства в силу свойства I [89] нам достаточно уста-
установить совпадение между дифференциалами от левой и правой частей
формулы B1). Произведя дифференцирование, имеем
d(\f (x)dx) = f(x)dx = f {<?(()]<?'(t)dt,
d(\fW (')] ?' @ dt) = f\9 @] ?' @ dt
Часто вместо подстановки B0) употребляют обратную
92 ] § 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 217
Примеры.
1. § (ах + Ь)т dx (при т ф— 1).
Для упрощения интеграла полагаем
ах -f b = t, adx = dt> dx = —.
Подставив это в данный интеграл, находим
Для вычисления этого интеграла употребляется подстановка Эйлера,
о которой более подробно сказано ниже. Новая переменная t вводится здесь
по формуле
|/д:2+ a = t — х, t = x + Ух2 + а.
Для определения х и dx возвышаем в квадрат:
=
Подставив все это в данный интеграл, имеем
JT+~a J i* + a ' 2 t*
вычисляется при помощи особого приема, с которым мы познакомимся
подробнее позже, а именно при помощи разложения подынтегральной
Функции на простейшие дроби.
218 ГЛ. Ш. ПОНЯТИЕ ОВ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ 92
Разложив знаменатель подынтегральной функции на множители:
л:2 — а2 = (х — а) (х + а)у
представим ее в виде суммы более простых дробей:
1 А , В
¦ -г -
х2 — а2 х — а ' х + в '
Для определения постоянных А и В освобождаемся от знаменателя, что
дает тождество
1 = А (х + а) + В (х — а) = (А + В) х + а (А — В),
которое должно иметь место при всех значениях х. Оно будет выполнено,
если определим А и В из условий
Итак, имеем:
х2 — а2 2а\х — а
J дг2-в2 2a|.J x-a J
: I [log (x - а) - log (x + в)] + С = 1 log ?-p5 + С.
7. Интегралы более общего вида:
tnx-j-n
приводятся к разобранным уже раньше, если в знаменателе подынтеграль-
подынтегральной функции выделить полный квадрат. Имеем
Полагаем далее
что дает
mx + n = m(t — ?
где мы положили А = т и 5 = л ^-. Положив, наконец,
где знак (-{-) или (—) нужно взять в зависимости от знака левой части
этого равенства и а считается положительным, мы можем переписать дан-
данный интеграл в виде:
tdt
92 | § 8- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 219
Первый из этих интегралов вычисляется сразу, если положить
t2 ± а2 = г, 2t dt = dz,
что дает
z 1. L ..
Второй же интеграл имеет вид, разобранный в примерах 3 (+) и б (—).
8. Интегралы вида:
приводятся к разобранным выше тем же приемом выделения полного ква-
квадрата. Применяя обозначения примера 7, можем переписать данный интеграл
в виде: '
Г
Vx2+px+q
tdt . D С dt U 2 p2\
Первый из этих интегралов вычисляется при помощи подстановки
которая дает
t dt С zdz С
= 1 = I
Vt2 + b J « J
Второй интеграл уже разобран в примере 5 и равен log(t-\-]ft2 +#).
9." Аналогичным приемом выделения полного квадрата интеграл
Jmx 4- п ,
— dx
yq-\-px — х2
можно привести к виду:
и имеем
при помощи подстановки а2 — t2 = z2. Второй интеграл разобран в примере 4.
in f • 2 ^ Г* 1—cos 2л: , 1 / 1 . о \ . п
10. 1 sin2 х dx = 1 ^ dx = -у (х — -тг sin 2х \ + С «
= -^ (х — sin х cos л*) + С.
'• ~т (х + sin х cos х) + ^
220 ГЛ. III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ I
11. Интеграл
приводится к разобранному уже при помощи интегрирования по частям:
Прибавив и вычтя а в числителе подынтегральной функции последнего
интеграла, перепишем предыдущее равенство в виде:
у х 2+а
или
dx
yx2
откуда окончательно
С
у jrqrj tf jc = -i- [л: Vx2+a + л log (л: + /л:2 + л)] + С.
93. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка. В [51]
мы рассматривали простейшие дифференциальные уравнения. Самое общее
дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
F(x, у, у') = 0.
Это есть соотношение, связывающее независимую переменную х, неиз-
неизвестную функцию у и ее первую производную у'. Обыкновенно можно
решить это уравнение относительно/ и переписать его в виде:
где f(x, у) есть известная функция от д: ну.
Не рассматривая этого уравнения в .общем случае, что будет сделано
во втором томе, остановимся лишь на некоторых простейших примерах.
Уравнение с разделяющимися переменными, — когда функция f(x> у)
представляется в виде отношения двух функций, из которых одна зависит
только от х, а другая только от у:
Помня, что у = ~, можем переписать это уравнение в виде:
Ф (У) *>=»?(*)«**.
так что в одну часть уравнения входит только буква х, в другую — только
буква у; это преобразование и называется разделением переменных. Так как
в силу свойства I [89] получаем
$Ф(У)Ф = $?(*)** + С, B3)
откуда и можно, взяв интегралы, определить искомую функцию у.
93 I § 8- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 221
Примеры. 1. Химические реакции первого порядка. Обозначив через
а количество вещества, имевшегося к началу реакции, через х — количество
вещества, вступившего в реакцию к моменту t, мы имеем [51] уравнение
~=с(а —л:), B4)
где с — постоянная реакции. Сверх того мы имеем условие
х = 0. B5)
Разделяя переменные, находим
dx
а — х
или, интегрируя
где Сх — произвольная постоянная. Отсюда выводим
а-*=**-*-*-Се"*,
где С = е * есть также произвольная постоянная. Ее можно определить
из условия B5), в силу которого предыдущее равенство при * = 0 дает
а= С, и окончательно
1
2. Химические реакции второго порядка. Пусть в растворе содержатся
два вещества, количества которых к началу реакции, выраженные в грамм-
молекулах, суть а и Ь. Допустим, что к моменту t в реакцию вступают
равные количества обоих веществ, которые мы обозначим через дг, так что
количества оставшихся веществ будут а — х и Ь — х.
По основному закону химических реакций второго порядка скорость
течения реакции пропорциональна произведению этих оставшихся количеств,
т. е.
d-± = k(a-x)(b-x).
Нужно интегрировать это уравнение, присоединив к нему еще начальное
условие
х
0.
Разделяя переменные, имеем
(a-x)(b-x)-*att
или, интегрируя,
„-~, B6>
где С, — произвольная постоянная.
Для вычисления интеграла в левой части мы применим способ разложе-
разложения на простейшие дроби (пример 6) [92]:
1 = А . В
(а — х) (Ь — л') а — х b — х *
1 == A (b — х) + В (а — х) = — (А + В) х + (АЬ + Ва),
222 ГЛ. III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
что дает
откуда
1
так что
[ 93
— (Л + В) = 0;
Подставляя в B6), имеем:
° я— л: N
Ь — х
а — х '
где С = е(& Cl. Искомая функция х определяется отсюда без всякого труда.
Предлагаем читателям разобрать особый случай a = bt когда предыду-
предыдущие формулы теряют смысл.
3. Найти все кривые, пересекающие под данным постоянным углом
радиусы-векторы, проведенные из начала коор-
координат *) (рис. 121).
Пусть М (Ху у) есть точка искомой кривой.
Из чертежа мы имеем
ш = а— 0,
Рис. 121.
¦«•-^¦-«-тЧпйт-:
Обозначив для удобства вычислений
__ 1
gw —
и освобождаясь от знаменателей, перепишем полученное дифференциальное
уравнение в виде
или, умножив обе части на dx,
х dx+ydy = a(xdy—ydx). B7)
Это уравнение интегрируется весьма просто, если перейти от прямо-
прямоугольных координат х, у к полярным г, 0, приняв ось ОХ за полярную ось
и начало координат О за полюс. Мы имеем [82]
что дает
') Вообще углом между двумя кривыми называется угол между касатель-
касательными к ним, проведенными в точке пересечения кривых.
94 J § 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 223
Уравнение B7) перепишется после этого в виде:
dr
Интегрируя, имеем
Полученные кривые называются логарифмическими спиралями.
§ 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
94. Основные свойства определенного интеграла. Мы уже
говорили, что определенный интеграл
ъ
I=\f{x)dx, a<b, A)
а
где (я, Ь) — конечный промежуток и /(лг) — непрерывная в нем
функция, есть предел сумм вида [87]
ь п
$ /(*) dx = Urn 2 /E*) С** - **-i). B)
a k=\
Этот предел надо понимать следующим образом: при любом задан-
заданном положительном 8 существует такое положительное число rj, что
<е
при любом разбиении и выборе точек Ел из промежутков (xk_b xk),
если наибольшая из (положительных) разностей xk — xk.x < tj.
Кратко говоря, интеграл A) есть предел сумм B) при любом
выборе !-? и стремлении наибольшей из разностей х^ — х^\ к нулю.
Отметим, что при этом число слагаемых суммы B) беспредельно
возрастает. Строго говоря, определение упомянутого предела B) надо
понимать так, как это указано выше (с помощью 8 и г\).
В конце главы мы докажем существование упомянутого предела
сумм B) для непрерывных функций и некоторых классов разрывных
функций. В дальнейшем, если не оговорено особо, мы будем считать^
подынтегральную функцию непрерывной на промежутке интегрирования.
Мы предполагали, что нижний предел а интеграла меньше верхнего
предела Ь. Если # = ?, то из толкования интеграла как площади
следует, что естественно считать
а
C)
Это равенство является определением интеграла для того случая,
когда верхний предел равен нижнему.
224 ГЛ. Ш. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ ( 9t
При а]>? принимается следующее определение:
ь а
— \f(x)dx. D)
Ь
В интеграле, стоящем в правой части, нижний предел b меньше
верхнего а и интеграл понимается обычным образом, как указано
выше. Если бы мы для интеграла, стоящего слева, построили сумму B),
то для нее (а^>Ь) мы получим
и все разности (xk — xk_x) отрицательны. Если мы перейдем к инте-
интегралу, стоящему в правой части равенства D), т. е. будем считать а
верхним пределом и Ь нижним, то промежуточные точки xk надо
будет считать в обратном порядке, и в сумме B) все разности пере-
переменят знак. Эти соображения делают естественным определение D)
в том случае, когда а^>Ь.
Отметим еще очевидное равенство
ь ъ
$ dx= \ \dx = b — a. E)
а а
Действительно, раз подынтегральная функция при всех х равна еди-
единице, то
— а) + (дг2 — хх) + {хг — лг
Но сумма, стоящая в квадратных скобках, равна постоянной {Ь — а).
Переходим к перечислению и доказательству свойств определен-
определенного интеграла. Первые два из них суть определения, выраженные
равенствами C) и D).
I. Определенный интеграл с одинаковыми верхним и нижним
пределами считается равным нулю.
II. При перестановке между собой верхнего и нижнего преде-
пределов определенный интеграл, сохраняя абсолютное значение, ме-
меняет лишь знак:
а Ь
\f(x)dx=-[f(x)dx.
Ь а
III. Величина определенного интеграла не зависит от обозна-
обозначения переменной интегрирования:
а
Это уже было выяснено в [87].
94 I $ 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 225
IV. Если дан ряд чисел
a, ft, i, • • •, A, /,
расположенных в каком угодно порядке, то
i ь с i
\ \ F)
Эту формулу достаточно установить для случая трех чисел а, Ь, с9
после чего нетрудно распространить доказательство на какое угодно
число слагаемых.
Допустим сперва, что a <ib <Cc. Из определения вытекает, что
Нш 2
причем предел этот будет один и тот же, каким бы мы способом
ни разбивали на части промежуток (а, с), лишь бы только наиболь-
наибольшая из разностей (Х{ — Xi_x) стремилась к нулю. Мы можем усло-
условиться разбивать промежуток (а, с) так, чтобы точка Ъ, лежащая
между о и с, каждый раз оказывалась одной из точек деления.
Но тогда сумма
разобьется на две такого же типа, с той лишь разницею, что при
составлении одной мы будем разбивать на части промежуток (а, Ъ\
при составлении же другой — промежуток (Ь, с\ и притом так, что
в обоих случаях наибольшая из разностей (Х( — -#7-i) стремится
к нулю. Каждая из этих сумм будет стремиться соответственно к
\f{x)dxy
а Ь
и мы получим, фиксируя последовательность разбиений и числа
\f(x)dx \ l
что и требовалось доказать.
Пусть теперь Ь лежит вне промежутка (а, с\ например а
По доказанному сейчас мы можем написать
) dx = J /(*) dx + J f{x) dx,
Q о ы
226 ГЛ. Ш. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [ 95
откуда
ebb
\ f(x)dx= \ f(x)dx — \ f(x)dx.
а а с
Но в силу свойства II имеем
Ь С
— \f(x)dx=\ f{x)dx,
с b
т. е. опять
с b с
\f{x)dx = \ f(x)dx + \f(x)dx.
a a b
Аналогичным путем можно рассмотреть и все остальные возмож-
возможные случаи взаимного расположения точек.
V. Постоянный множитель можно выносить из-под знака
определенного интеграла, т. е.
ь ь
\
а
ибо
п Ъ
= A Jim 2 /(У (хг - x.t_x) = A\ f(x) dx.
VI. Определенный интеграл от алгебраической суммы равен
алгебраической сумме определенных интегралов от каждого сла-
слагаемого, ибо, например,
\ 2
= lim 2 /(W (xt -х(.г) - lim 2
95. Теорема о среднем. VII. Если в промежутке (а, Ь) функции
f(x) и <f(x) удовлетворяют условию
О, G)
95 I
то и
§9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
<?(x)dx
227
(8)
короче говоря, неравенства можно интегрировать.
Составим разность
ь ь ь
\ <t{x)dx—\f{x)dx = \ [<?(x)—f(x)]dx =
a a a
= Urn ? [<P (У-/&)](*,-*,_,).
В силу неравенства G) слагаемые, стоящие под знаком суммы, по-
положительны или, по крайней мере, неотрицательны. Следовательно,
то же можно сказать о всей сумме и ее пределе, что и приводит
к неравенству (8).
Приведем еще геометрическое по-
пояснение сказанного. Допустим сперва,,
что обе кривые
y=f(x\ y = <
лежат над осью ОХ (рис. 122). Тогда о
фигура, ограниченная кривой y=f(x),
осью ОХ и ординатами4 х== а и х = Ь,
лежит целиком внутри аналогичной фигуры, ограниченной кривой
у = (р (х), а потому площадь первой фигуры не превосходит площади
второй, т. е.
ь ъ
Общий случай какого угодно расположения данных кривых отно-
относительно оси ОХ при сохранении условия G) приводится к преды-
предыдущему, если передвинуть чертеж настолько кверху, чтобы обе кри-
кривые оказались над осью ОХ; это передвижение прибавит к каждой
функции f{x) и <р(х) одно и то же слагаемое с.
Легко показать, что если в G) имеет место знак <^, то и в (8)
имеет место знак <\ Напомним, что функции f{x) и <р (х) считаются
непрерывными.
Следствие. Если в промежутке {а, Ь)
|/М|<?М<Д (9)
то
— a),
A0)
228 ГЛ, Ш. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
В самом делеу условия (9) равносильны следующим:
— Л* < —? ДО </(*)*??(*)< +А*.
Интегрируя эти неравенства в пределах от а до Ъ (свойство VII)
и пользуясь E), получаем
ь ь ь
— М(Ь — а)^ — $ <р (х)dx< $ /(*)rf*< 5 ТС*)dx^м(ь —' а)>
а а а
что равносильно неравенствам A0).
Полагая у(х) = \/(х)\, получаем из A0) важное неравенство:
x, A00
которое является обобщением на случай интеграла известного свой-
свойства суммы: абсолютная величина суммы меньше или равна сумме
абсолютных величин слагаемых. В написанной формуле знак равен-
равенства имеет место, как нетрудно понять, лишь в том случае, когда
f(x) не меняет знака в промежутке (а, Ь).
Из того же свойства VII вытекает весьма важная теорема.
Теорема о среднем. Если функция <р(х) сохраняет знак
в промежутке (а, Ь), то
\ f(x) г (х) dx=*№ \<?(x)dx, A1)
а а
где I есть некоторое значение, принадлежащее промежутку (а, Ь).
Будем для определенности считать <р(лг)^О в промежутке (а, Ь)
и обозначим через т и М соответственно наименьшее и наибольшее
значения f(x) в промежутке (а, Ь). Так как, очевидно,
(причем оба знака равенства имеют место одновременно, только когда
f{x) постоянна) и ср(^)^О, то
/тр (х) ^ / (х) <р (х) ^ Мер (лг),
и в силу свойства VII, считая Ь^>а,
ь ь ь
Отсюда ясно, что существует такое число Р, удовлетворяющее
неравенству т^Р^М, что
ь ь
\ \ A2)
95 | § 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 229
Так как функция f(x) непрерывна, она принимает в промежутке
(а, Ь) все значения, лежащие между наименьшим т и наибольшим М,
в том числе и значение Р [35]. Поэтому найдется такое значение ?
внутри промежутка (а, Ь), для которого
что и доказывает формулу A1).
Если ср(х)^0 в промежутке (а, Ь)> то ~(р(д;)^О в промежутке
(а, Ь). Применяя к ней доказанную теорему, получим
ь ь
\ f{x)[^ft(x)\dx = fQb\[—ftix)\dxi
а а
вынося знак (—) за знак интеграла и умножая обе части на (—1),
придем к формуле (И).
Точно так же, если Ъ <^ #, то из предыдущего следует формула:
Переставляя в обеих частях пределы интегралов и умножая на
(—1), придем к формуле A1), которая доказана, таким образом,
во всей общности.
В частности, полагая <р(лг)=1, получим важный частный слу-
случай теоремы о среднем:
ь ь
\ f(x)dx = f$)\dx = f$)(b — a). A3)
a a
Значение определенного интеграла равно произведению длины
промежутка интегрирования на значение подынтегральной функ*
ции при некотором промежуточ-
промежуточном значении независимой пере-
менной.
Если а^>Ьу эту длину нужно
взять со знаком (—). Геометрически
предложение это равносильно, тому,
что, рассматривая площадь, ограни-
ограниченную любой кривой, осью ОХ и Рис. 123.
двумя ординатами х = а, х = Ь,
всегда можно найти равновеликий ей прямоугольник с тем же осно-
основанием (Ь — а) и с высотой, равной одной из ординат кривой в
промежутке (а, Ь) (рис. 123).
Нетрудно показать, что число 5, входящее в формулу (М) или
A3), всегда можно считать лежащим внутри промежутка (а, Ь).
230 ГЛ. III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ | 96
96. Существование первообразной функции. VIII. Если верх*
ний предел определенного интеграла есть величина переменная,
то производная интеграла по верхнему пределу равна значению
подынтегральной функции при этом верхнем пределе.
Заметим, что величина интеграла
ь
\f(x)dx
а
при данной подынтегральной функции f(x) зависит от пределов ин-
интегрирования а и Ь. Рассмотрим интеграл
\f{t)dt
а
с постоянным нижним пределом а и переменным верхним пределом х9
причем переменную интегрирования мы обозначаем буквою t в от-
отличие от верхнего предела х. Величина этого интеграла будет функ-
функцией верхнего предела х:
X
F{x) = \f(t)dt A4)
а
и, надо доказать, что
Для доказательства вычислим производную функцию F(x)> исходя
из определения производной [45]:
dx
Мы имеем
х + Н х x-\-h
F(x + h)= \f{t)dt= \f{f)dt-\- \f(t)dt
a ax
(в силу свойства IV), откуда
F(x-\-h) = F(x)+ \ f(t)dt,
x
причем
Применяя A3), имеем
x-\-h
— F{pc)= \ f(t)dt=f?)ht
X
97 1 § 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 231
где h может быть как положительным, так и отрицательным, если
a<^x<^b; h^>0 при х = а и h<^Q при х = Ь. Число ? принадле-
принадлежит промежутку, концы которого суть х и x-\-h, так что если h
стремится к нулю, то 5 стремится к х и /(?) — к f{x) в силу не-
непрерывности этой функции. Из последней формулы непосредственно
следует, что F(x) — непрерывная функция при a^ix^b, т.е. опре-
определенный интеграл, рассматриваемый как функция верхнего пре-
предела, есть непрерывная функция в промежутке (а, Ь). Деля обе
части последней формулы на h:
h)-F(x) _
—
и устремляя h к нулю (/г-y-f-O при х = а и /г-> — 0 при х = Ь),
получим
Об определении производной на концах замкнутого промежутка мы
уже говорили в [46].
Из предыдущего следует также, что:
IX. Всякая непрерывная функция f(x) имеет первообразную
функцию или неопределенный интеграл.
Функция A4) есть та первообразная функция для /(лг), которая
обращается в нуль при х = а.
Если Fi(x) есть одно из выражений первообразной функции,
то, как мы видели в [88],
\ F1(b)^Fl(a). A5)
97. Разрыв подынтегральной функции. Во всех предыдущих
рассуждениях предполагалось, что подынтегральная функция f(x)
непрерывна во всем промежутке интегрирования (а, Ь).
Введем теперь понятие интеграла и для некоторых разрывных
функций.
Если в промежутке (а, Ь) имеется точка с, в которой
подынтегральная функция f(x) терпит разрыв, но при этом
интегралы
с—V b
\ f(x)dx, J f(x)dx (a<ft)
а с -\- е"
стремятся к определенным пределам, когда положительные
числа е' и е" стремятся к нулю, то эти пределы называют-
называются определенными интегралами от функции f(x), взятыми
232 ГЛ. Ш. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
соответственно между пределами (а, с) и (с, Ь), т, е.
( С —S'
\f(x)dx — \\m \ f(x)dx,
ь ь
\f(x)dx = \\m \ f(x)dx,
если эти пределы существуют.
Мы положим в этом случае
\f(x)dx=\f(x)dx+\f(x)dx.
Функция F(x), определенная формулой A4), обладает, как нетрудно
видеть, следующими свойствами:
р (x) — f(x) во всех точках (а, Ь), кроме x = ct и Р(х) непре-
непрерывна во всем промежутке (а, Ь)у включая х = с.
Если точка с совпадает с одним из концов промежутка (а, Ь)>
надо рассматривать вместо двух только один из пределов:
b Ь — г
lim \ f(x)dx или lim \ f(x)dx.
Наконец, если точек разрыва с в промежутке (а, Ь) не одна, а
несколько, то нужно разбить промежуток на части, в каждой из
которых будет уже только по одной точке разрыва.
При сделанном выше соглашении о смысле символа
ь
\f(x)dx
а
свойство IX и формула A5)
будут наверно иметь место, если F'1(x)==f(x) во всех точках
(ау Ь), кроме х — с, и F^(x) непрерывна во всем промежутке (а, Ь)>
включая х = с.
Утверждение это достаточно доказать для случая одной точки
разрыва с внутри промежутка (а, Ь\ так как случай нескольких
точек разрыва и случай, когда с = а или Ъ> исследуются совершенно
аналогичным образом.
Так как в промежутках (а, с — е'), (с-\-г\ Ь) функция /(х)
также непрерывна, то к этим промежуткам применима формула A5),
97 I § 9- СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
и мы имеем
233
b
\
В силу непрерывности Fx (x) мы можем написать
с
\f(x)dx=Wm [Ft(с — е')-F,(а)| = F,(с) — F,(а),
4-0
\f{x)dx = Hr
Vim
т. e.
= Ft (b) - Ft (a),
\f{x)dx=\ f{x)dx + \f{x)dx =
а а с
= [Pi (c) — Л (a)l -f [fi (*) — i
что и требовалось доказать.
С точки зрения геометрической, рассмотренный случай встречается
тогда, когда кривая y=if(x) имеет разрыв
в точке с, но так, что плошадь кривой
все же существует. Рассмотрим, например,
график функции, определенной следующим
образом:
/(х) = ^ + ^ при
f(x) = x при
(рис. 124). Площадь, ограниченная этой
кривой, осью ОХу ординатой х = 0 и пе-
переменной ординатой х — хи есть непре-
непрерывная функция от ху несмотря на то, что
функция f(x) терпит разрыв при лг = 2.
С другой стороны, нетрудно найти перво-
первообразную функцию для f(x), которая была
бы непрерывна во всем промежутке @, 3).
Это будет, например, функция Fx (x), определяемая следующим образом:
ftW = T + T при
= Y при
/ г
Рис. 124.
Действительно, дифференцируя, убеждаемся, что
234
ГЛ. III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
|97
в промежутке @, 2) и F[(x) = x в промежутке B, 3). Кроме того, оба на-
написанных выражения Ft (x) при дг = 2 дают одну и ту же величину 2, что и
обеспечивает непрерывность Ft (x). Площадь, ограниченная нашей кривой,
осью ОХ и ординатами л: = 0, лг = 3, выразится формулой
Я О 3
в чем нетрудно убедиться и непосредственным рассмотрением чертежа.
У
Рассмотрим еще функцию у = х" 2/з (рис. 125). Она обращается в бес-
бесконечность при х = 0, но ее первообразная функция Здг1/з остается непре-
непрерывной при этом значении х, а потому можем написать
другими словами, хотя рассматриваемая кривая при приближении л: к нулю
уходит в бесконечность, тем не менее она имеет совершенно определенную
площадь между ординатами х = —1 и х = 1.
Для функции ^з первообразная функция ( ) обращается сама в бес-
бесконечность при х = 0, формула A5) неприменима к этой функции в том
случае, когда точка 0 лежит внутри промежутка (я, Ь); кривая -^ в таком
промежутке конечной площади не имеет.
Заметим, что интегралы от разрывных функций в конечном про-
промежутке (а, Ь) в. некоторых случаях имеют смысл и непосредственно,
как пределы сумм, указанных в начале [94]. Это будет иметь, на-
например, место в том случае, когда f(x) имеет конечное число точек
разрыва в промежутке (а, Ь) и ограничена в нем, т. е. существует
такое положительное число М, что \f(x)\<^M при всех х из(а,Ь).
Значения в точках разрыва не влияют при этом на величину инте-
интеграла. Мы будем говорить об этом в [116]. Если же функция не
98 I § 9- СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 235
ограничена, т. е. \/(х)\ принимает сколь угодно большие значения,
то непосредственное определение интеграла как предела суммы не-
невозможно. Это имеет место для примера, соответствующего рис. 125.
Здесь необходимо определять интеграл как интеграл по укорочен-
укороченному промежутку с дальнейшим переходом к пределу
^ х 3 dx = lim ^ x 3 dx-f- lim \ x~^dx.
Такие интегралы называются обычно несобственными.
Для функции —g- не существует конечного предела
1
lim \ —2dx= -j-co-
е —¦ -|- О «J х"
е
Такие интегралы называются расходящимися. Указанный выше инте-
интеграл от jr~2/3 называется сходящимся, поскольку указанные выше
пределы при s'-> — 0 и е" -> -[- О существуют.
В следующем параграфе мы рассмотрим несобственные интегралы
по бесконечному промежутку. В этом последнем случае непосред-
непосредственное определение интеграла как предела суммы невозможно и
интеграл по существу несобственный.
98. Бесконечные пределы. Предыдущие рассуждения можно рас-
распространить и на случай бесконечного промежутка и положить
4-00 b
$ f(x)dx= lim \f(x)dx, A6)
b b
\ f(x)dx= lim \f(x)dx; A7)
-oo a-+-coa
если эти пределы существуют.
Условие это наверно выполнено, если первообразная функция
Fi(x) стремится к определенным пределам, когда х стремится
к (-J- со) или к (— со). Обозначив эти пределы просто через Ft (-]- со)
и Fx (— со), будем иметь
00
\ f{x) dx = lim [F, (*) - F, (a)] = F, (+ oo) - F, (a), A8)
a b-+-\-co
b
\ f(x) dx=hm [F, (b) - F, (a)] = F, (b) - Fi (- сю), A9)
— oo a-* — oo
+ oo a oo
[ f(x)dx— \ f(x)dx-\-\f(x)dx = Fl(-}-oo)—Fl(—oo)i B0)
236
ГЛ. HI. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
что и является обобщением формулы A5) на случай бесконечного
промежутка.
Часто соотношение A6) пишут в виде
оо b
\f(x)dx = lira \/(x)dx.
С точки зрения геометрической, при выполнении предыдущего
условия можно сказать, что бесконечная ветвь кривой у=/(х), ко-
которая соответствует лг->±оо, имеет площадь.
Если пределы A6) или A7) существуют, то говорят,- что соответ-
соответствующие интегралы сходятся или что это — сходящиеся инте-
интегралы. В противном случае говорят, что интегралы расходятся.
Пример. Кривая у = г—ц—^, уходящая в бесконечность при х = ±. оо,
все же ограничивает с осью ОХ конечную площадь (рис. 126), так как
-{-оо
dx
\+х'-
= arc Xgx
TT" I = TC«
При вычислении этого интеграла следует помнить, что для функции
arc tg х нужно брать ке любое значение этой многозначной функции, а именно
-1,5
-0,5 0 0,5
Рис. 126.
1,5
то, которое было определено в [24], для того чтобы она сделалась однознач-
однозначно