Text
                    ОГЛАВЛЕНИЕ
.Перечень таблиц ..........................................................     20
Предисловие переводчиков...............................................-	23
Из предисловия авторов ко второму, американскому изданию ...................... 25
ГЛАВ А 1
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ '7	'
И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ)
1.1. Введение. Система действительных чисел.......... 27
1.1-1. Вводные замечания (27). 1.1-2. Действительные числа (27). 1.1-3.
Отношение равенства (28). 1.1-4. Отношение тождества (28). 1.1-5. Нера-
венства (28). 1.1-6. Абсолютные величины (28).
1.2. Степени, корни, логарифмы и факториалы. Обозначения сумм и произве-
дений ...................»............................................ 28
1.2-1. Степени и корни (28). 1.2-2. Формулы для уничтожения иррациональ-
ности в внаменателе дроби (29). 1.2-3. Логарифмы (29). 1.2-4. Факториалы
(30). 1.2-5. Обозначения сумм и произведений (30). 1.2-6. Арифметическая
прогрессия (30). 1.2-7. Геометрическая прогрессия (30). 1.2-8. Некоторые
числовые суммы (31).
1.3. Комплексные числа................................................ 31
1.3-1. Вводные замечания (31). 1.3-2. Изображение комплексных чисел
точками или ради усами-векторами. Тригонометрическая форма комплекс-
ного числа (32). 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Сте-
пени и корни (32).
1.4. Различные формулы................................................. 33
1.4-1. Бином Ньютона и родственные формулы (33). 1.4-2. Пропорции (34).
1.4-3. Многочлены. Симметрические функции (34).
1.5. Определители ..................... ............................. $5;
1.5-1. Определение (35). 1.5-2. Мнноры и алгебраические дополнения. Раз-
ложение определителя по строке или по столбцу (35). 1.5-3. Примеры. (35).
1.5-4. Дополнительные миноры. Разложение Лапласа (36). 1.5-5. Различ-
ные теоремы (36). 1.5-6. Умножение определителей (37). 1.5-7. Изменение
порядка определителей (37).
1.6. Алгебраические уравнения; общие теоремы . . » . »............... 37
1.6-1. Вводные замечания (37). 1.6-2. Решение уравнения. Кории (37).
1.6-3. Алгебраические уравнения (37). 1.6-4. Соотношения между корнями
и коэффициентами (38). 1.6-5. Дискриминант алгебраического уравнения
(38). 1.6-6. Действительные алгебраические уравнения н их корни (39).
1.7. Разложение многочленов иа множители «‘деление многочленов. Элемен-
тарные дроби ........................................................ 41
1.7-1. Разложение многочленов на множители (41). 1.7-2. Деление много-
членов. Остаток (41). 1.7-3. Общие делители и общие корни двух много-
членов (41). 1.7-4. Разложение на элементарные дроби (42).
1-8. Линейные, квадратные, кубичные уравнения и уравнения четвертой степени 43
1.8-1. Решение линейных уравнений (43).	1.8-2. Решение квадратных
* уравнений (43). 1.8-3. Кубичные уравнения: решение Кардано (43).
1.8-4. Кубичные уравнения: тригонометрическое решение (44). 1.8-5. Урав- •;
нения четвертой степени: решение Декарта — Эйлера (44). 1.8-6. Урав-
нения четвертой степени; решение Феррари (44).
1.9. Системы уравнений ......................................  .......	45
1.9-	1. Системы уравнений (45). 1.9-2. Системы линейных уравнений: пра-
вило Крамера (45). 1.9-3. Линейная независимость (45). 1.9-4. Системы

4 ОГЛАВЛЕНИЕ -линейных уравнений! общая теория (46). 1.9-5. Системы линейных урав- * нений: п однородных уравнений с п неизвестными (46). 1-10. Формулы, описывающие плоские фигуры и тела ..................... 47 1.10- 1. Трапеция (47). 1.10-2. Правильные многоугольники (48). 1.10-3. Круг (48). 1.10-4. Призмы, пирамиды, цилиндры и конусы (48). 1.10-5. Тела вращения (48). 1.10-6. Правильные многогранники (49). 1.11. Тригонометрия на плоскости .............................. . . . 49 1.11-1. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники (49). 1.11-2. Свойства плоских треугольников (50). 1.11-3. Формулы для решения треугольников (50). 1-12. Сферическая тригонометрия..................................... 51 1.12-1. Введение. Сферические треугольники (51). 1.12-2. Свойства сфери- ческих треугольников (52). 1.12-3. Прямоугольный сферический треуголь- ник (53). 1.12-4. Формулы для решения сферических треугольников (53). ГЛАВА 2 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ВЛ. Введение и основные понйтия ................................... 56 2.1-1. Вводные замечания (56). 2.1-2. Декартова система координат (56). 2.1-3. Правая декартова прямоугольная система координат (57). 2.1-4. Основ- ные формулы в декартовых прямоугольных координатах (57). 2-1-5. Пре- образование декартовых координат при параллельном переносе осей <(58). 2.1-6. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей (58). 2.1-7. Одновременный перенос и поворот координатных осей (56). 2.1- 8. Полярные координаты (59). 2.1-9. Способы задания кривых (60). 1 2.2. Прямая линия................................................... 60 2.2- 1. Уравнение прямой линии (60). 2.2-2. Другие способы задания пря- мой (61). 2.3. Взаимное расположение точек и прямых ........................ 62 2.3- 1. Точки н прямые (62). 2.3-2. Две нли несколько прямых (62). 2.3-3. Тангенциальные координаты (63). 2.4. Кривые второго порядка (конические сечения).................... 64 2.4- 1. Общее уравнение второй степени (64). 2.4-2. Инварианты (64). 2.4- 3. Классификация кривых второго порядка (64). 2.4-4. Условие подо- бия невырожденных кривых второго порядка (64). 2.4-5. Характеристиче- ская квадратичная форма и характеристическое уравнение (64). 2.4-6. Центры и диаметры кривых второго порядка (64). 2.4-7. Главные оси (66). 2.4- 8. Приведение уравнения кривой второго порядка к стандартному (ка- ноническому) виду (66). 2.4-9. Геометрическое определение невырожден- ной кривой второго порядка (67). 2.4-10. Касательные и нормали к кривым второго порядка. Полюсы и поляры (67). 2.4-11. Другие способы задания кривых второго пор ядк а (69). 2.5. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол............. 70 2.5- 1. Окружность: формулы и теоремы (70). 2.5-2. Эллипс и гипербола: формулы и теоремы (70). 2.5-3. Построение эллипсов и гипербол, их каса- тельных и нормалей (71). 2.5-4. Построение параболы, ее" касательных- и нормалей (73). 2.6. Уравнения некоторых плоских кривых ............................ 73 2.6-1. Примеры алгебраических кривых (73). 2.6-2. Примеры трансцендент- ных кривых (74). ГЛ АВА 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.1. Введение и основные понятии...................•.......... 3.1- 1. Вводные замечания (76). 3.1-2. Декартова система координат (76). 3.1- 3. Правая система осей (76). 3.1-4. Правая декартова прямоугольная система координат (76). 3.1-5. Радиус-вектор (77). 3.1-6. Цилиндрическая и сферическая системы координат (77). 3.1-7. Основные формулы в декар- товых прямоугольных координатах и в векторной форме (77). 3.1-8. На- правляющие косинусы (78). 3.1-9. Проекции (79). 3.1-10. Вектор площади (79). 3.1-11. Вычисление объемов (79). 3.1-12. Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном переносе и повороте осей
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 (79) . 3.1-13. Аналитическое задание кривых (81). 3.1-14. Способы задания поверхностей (81). 3.1-15. Специальные типы поверхностей (82>. 3.1-16. Поверхности и кривые (82). 3.2. Плоскость...................................................... 83 3.2-1. Уравнение плоскости (83). 8.2-2, Параметрическое задание пло- скости (84). 3.3. Прямая линия............................................... . 84 3.3-1. Уравнения прямой (84). 3.3-2. Параметрические уравнения прямой (85). 8.4. Взаимное расположение точек, плоскостей и прямых........... . 85 3.4- 1, Углы (85). 3.4-2. Расстояния (86).- 3.4-3. Специальные случаи взаим- ного1 расположения точек, прямых и плоскостей (87). 3.4*4. Тангенциаль- ные координаты плоскости и принцип двойственности (88). 3.4-5. Некото- рые дополнительные соотношения (88). 3.5. Поверхности второго порядка........................................ 89 3.5-1. Общее уравнение второй степени (89). 3.5-2. Инварианты (89). 3.5-3. Классификация поверхностей второго порядка (89). 3.5-4. Характе- ристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение (89). 3.5-5. Диаметральные плоскости, диаметры и центры поверхностей второго порядка (91). 3.5-6. Главные плоскости и главные оси (91). 3.5-7. Приве- дение уравнения поверхности второго порядка к стандартному (канониче- скому) виду (92). 3.5-8. Касательные плоскости и нормали Поверхности второго порядка. Полюсы и поляры (93). 3.5-9. Некоторые дополнительные формулы и теоремы (96). 3.5-10. Параметрическое задание поверхностей второго порядка (97). Г Л А В А 4 - ч ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.1. Введение ................................ 98 4.2. Функции............................................... 93 4.2- 1. Функцйи и переменные (98). 4.2г2. Функции со специальными свой- ствами (99). 4.3. Точечные множества, интервалы и области . ........... 99 4.3-1. Вводные замечания (991. 4.3-2. Свойства множеств (100). 4.3-3. Гра- ницы (100). 4.3-4. Интервалы (101). 4.3-5. Определение окрестностей (101). 4.3-6. Открытые и замкнутые множества н области (101). 4.4. Пределы, непрерывные функции и смежные вопросы...................... 102 4.4- 1. Пределы функций и последовательностей (102). 4.4-2. Операции над пределами (103). 4.4-3. Асимптотические соотношения между двумя функ- циями (103). 4.4-4. Равномерная сходимость (104). 4.4-5. Пределы по совокуп- ности переменных и повторные пределы (104). 4.4-6. Непрерывные функции (104). 4.4-7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность (105). 4.4- 8. Монотонные функции и функции ограниченной вариации (106). 4.5. Дифференциальное исчисление ........................................ 107 4.5- 1. Производные и дифференцирование (107). 4.5-2. Частные производные (107). 4.5-3. Дифференциалы (109). 4.5-4. Правила дифференцирования (НО). 4.5-5. Однородные функции (112). 4.5-6. Якобианы и функциональ- ная зависимость (112). 4.5-7. Неявные функции (112). 4.6. Интегралы и интегрирование........................................ 113 4.6- 1. Определенные интегралыТинтеграл Римана) (ИЗ). 4.6-2. Несобственные интегралы (115). 4.6-3. Среднее значение (117). 4.6-4. Неопределенные инте- гралы (117). 4.6-5. Основная теорема интегрального исчисления (117). 4.6- 6. Методы интегрирования (117). 4.6-7. Эллиптические интегралы (119). 4.6- 8. Кратные йнтегралы (119). 4.6-9. Длина дуги спрямляемой кривой (120). 4-6-10. Криволинейные интегралы (120). 4.6-11. Площади и объемы (121). 4.6-12. Интегралы по поверхности н по общему (122). 4.6-13. Замена переменных в интегралах, по объему и по поверхности (123). 4.6-14. Мера Лебега. Измеримые функции (123). 4.6-15. Интеграл Лебега (124). 4.6-16. Теоремы о сходимости (теоремы о непрерывности) (126). 4.6-17. Интеграл Стилтьеса (126). 4.6-18. Свертки (128) 4.6-19. Неравенства Минковского и Гельдера (128).
6 ОГЛАВЛЕНИЕ 4.7. Теоремы о среднем значении, раскрытие неопределенностей. Теоремы Вейер- штрасса о приближении ...................................................... 129 4.7- 1. Теоремы о среднем значении (129). 4.7-2. Раскрытие неопределенно- стей (130). 4.7-3. Теоремы Вейерштрасса о приближении (131)- 4.8. Бесконечные ряды, бесконечные произведения н непрерывные дроби ... - 131 4.8- 1. Бесконечные ряды. Сходимость (131). 4.8-2. Ряды функций. Равномер- ная сходимость (132). 4.8-3. Операции над сходящимися рядами (132). 4.8- 4. Операции над бесконечными рядами функций (133). 4.8-5. Улучшение сводимости и суммирование рядов. Суммы некоторых рядов (134). 4.8-6, Расходящиеся бесконечные ряды (136). 4.8-7. Бесконечные произведения (137). 4.8-8. Непрерывные (цепные) дроби (138). 4.9. Признаки сходимости и равномерной сходимости бесконечных рядов и несобственных интегралов........................................'............139 4.9- 1. Признаки сходимости бесконечных рядов (139). 4.9-2. Признаки равномерной сходимости бесконечных рядов (140). 4.9-3. Признаки сходи- мости несобственных интегралов (140). 4.9-4. Признаки равномерной схо- димости несобственных интегралов (142). 4.10. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом. Степенные ряды и ряд Тейлора. ........................................... 142 4.10- 1. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегра- лом (142). 4.10-2. Степенные ряды (143). 4.10-3. Теоремы Абеля и Таубера (145). 4.10-4. Ряд Тейлора (145). 4. 10-5. Кратный ряд Тейлора (146). 4.11. Ряды Фурье и интегралы Фурье......................................... 146 4.11-1. Вводные замечания (146). 4.11-2. Ряды Фурье (146). 4.11-3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье (148). 4.11-4. Функции, разложимые в ряд Фурье и представимые интегралом Фурье. Гармонический анализ (149). 4.11-5. Некоторые свойства коэффициентов Фурье и преобразования Фурье (156). 4Л1-6. Интегралы Дирихле и Фейера (157). 4.11-7. Суммирование средними арифметическими (160). 4.11-8. Кратные ряды и интегралы Фурье Г Л А В А 5 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 5.1. Векторы, в евклидовом пространстве. .................................. 162 5.2. Векторная алгебра............................*........................ 162 5.2- 1. Сложение векторов и умножение вектора на (действительный) скаляр (162). 5.2-2. Разложение векторов по базисным векторам (163). 5.2-3. Декар- товы прямоугольные координаты вектора (163). 5.2-4. Векторы и физиче- ские размерности (163). 5.2-5. Модуль (норма, абсолютная величина, длина) вектора (164). 5.2-6. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов (164). 5.2-7. Векторное произведение двух векторов (164). 5.2-8. Смешанное (векторно-скалярное) произведение (165). 5.2-9. Другие произведения, содержащие более двух вектор.ов (166). 5.2-10. Разложение вектора а по на- правлению единичного вектора и и ему перпендикулярному (166). 5.2-11.' Решение уравнений (166). 5.3. Векторные функции скалярного аргумента............................. 16S 5.3- 1. Векторные функции и их пределы (166). 5.3-2. Дифференцирование (166). 5.3-3. Интегрирование н обыкновенные дифференциальные уравнения (167). ч 5.4. Скалярные и векторные поля....................................... 168 5.4- 1. Вводные замечания (168). 5.4-2. Скалярные поля (168). 5.4-3. Вектор- ные поля (168). 5.4-4. Векторный элемент лннцн и дЛИна дуги (168). 5.4-5. Криволинейные (линейные) интегралы (169). 5-4-6. Поверхностные инте- гралы (169)- 5-4-7. Объемные интегралы (170). 5.5. Дифференциальные операторы.............•......................... 170 5.5- 1. Градиент, дивергенция и ротор; инвариантные определения (17Q). 5.5-2. Оператор V (171). 5.5-3. Полный дифференциал, полная производная и производная по направлению (172). 5.5-4. Производные высшнх порядков по направлению. Ряд Тейлора (173). 5.5-5. Оператор Лапласа (173). 5.5-6. Операции второго порядка (173). 5.5-7. Операции над простейшими функ- циями от г (174). 5.5-8. Функции от двух и более радиусов-векторов (174). 5.6. Интегральные теоремы......................... , •................ 175 5.6- 1. Теорема о дивергенции и связанные с ней теоремы (175). 5.6-2. Теорема о роторе и связанные с ней теоремы (176). 5.6-3. Поля с разрывами на по- верхностях (176).
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 5.7 Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции ..... 176 5.7- 1. Безвихревое векторное поле (176). 5.7-2. Соленоидальные (трубча- тые) векторные поля (177). 5.7-3. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции (177). Г Л А В А 6 СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ 6.1. Вводные замечания .............................................. 179 6.2. Системы криволинейных координат............... .................. 179 6.2- 1. Криволинейные координаты (179). 6.2-2. Координатные поверхности и координатные линии (179). 6.2-3. Элементы длины дуги н объема (179). 6.3. Криволинейные координаты вектора.............................. 180 6.3- 1. Координаты вектора и локальный (местный) базис (180). 6.3-2. Фи- зические координаты вектора (182). 6.3-3. Контравариантные и ковариант- ные координаты вектора (182). 6.3-4. Запись векторных соотношений в кри- волинейных координатах (183). 6.4. Системы ортогональных координат. Векторные соотношения в ортогональ- ных координатах . , *.............................................. , . . 183 6.4- 1. Ортогональные координаты (183)., 6.4-2. Векторные соотношения (184). 6.4-3. Криволинейный интеграл, поверхностный интеграл н объем- ный интеграл (185). 6.5 Формулы для специальных систем ортогональных координат .••••••• 185. Г Л А В А 7 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.1. Вводные замечания............................................... 197 7.2. ' Функции комплексного переменного. Области в комплексной плоскости 197 7.2-1. Функции комплексного переменного (197). 7.2-2. в-плоскость и [^-пло- скость. Окрестности. Бесконечно удаленные точки (197). 7.2.-3 Кривые и * контуры (200). 7.2-4. Границы н области (200). 7.2-5. Комплексные контур- ные интегралы (200). 7.3. Аналитические (регулярные, голоморфные) функции............... . 201 7.3- 1. Производная функция (201). 7.3-2. Уравнения Кошн — Рнмана (201). 7.3- 3. Аналитические функции (202). 7.3-4. Свойства аналитических функ- v цнй (202). 7.3-5. Теорема о максимуме модуля (203). 7.4. Многозначные функции ............................................ 203 7.4- 1. Ветви (203). 7.4-2. Точки разветвления и разрезы (203) 7.4-3. Рима- новы поверхности (204). 7.5. Интегральные теоремы и разложения в ряды . ..................... 205 7.5- 1. Интегральные теоремы (205). 7.5-2. Разложение в ряд Тейлора (206). 7.5- 3. Разложение в ряд Лорана (206). 7.6. Нули н изолированные особые точки.............................. 207 7.6-1. Нули (207). 7.6-2. Особые точки (207). 7.6-3. Нули и особенности в бесконечности (209). 7.6-4. Теоремы Вейерштрасса и Пикара (209). 7.6-5. Целые функции (209). 7.6-6. Разложение целой функции в произведение (210). 7.6-7. Мероморфные функции (210). 7.6-8. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (211). 7.6-9. Нули н полюсы мероморфных функций (211). ^-7. Вычеты и контурные интегралы.................................... 211 7.7-1. Вычеты (211). 7.7-2. Теорема о вычетах (212). 7.7-3. Вычисление опре- деленных интегралов (212). 7.7-4. Применение вычетов к суммированию рядов (213). 7.8. Аналитическое продолжение .............................. . . 214 7.8-1. Аналитическое продолжение и моногенные аналитические функции (214). 7.8-2. Методы аналитического продолжения (214). ^•9. Конформное отображение ........................................... 215 • 7.9-1. Конформное отображение (215) 7.9-2. Дробно-линейное отобра- жение (преобразование) (216). 7.9-3. Отображение w = (217).
ОГЛАВЛЕНИЕ 7.9-4. Интеграл Шварца—Крнстоффеля (217). 7.9-5. Таблица отображений (218). 7.9-6 Функции отображающие специальные области иа единичный круг (227). . д. л Г Л А В А 8 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 8.1. Вводные замечания 228 8.2. Преобразование Лапласа • .........• 228 • 8.2-1. Определение (228). 8.2-2. Абсолютная сходимость (228). 8.2-3. Область определения (229). 8.2-4. Достаточные условия существования преобразо- вания Лапласа (229). 8.2-5. Обратное преобразование Лапласа (229). 8.2-6. Теорема обращения (229). 8.2-7. Существование обратного преобразования Лапласа (230)' 8.2-8. Единственность преобразования Лапласа и его обра- щения (230). 8.3. Соответствие между операциями над оригиналами и изображениями . . • 230 8.3-1. Таблица соответствия операций (230). 8.3-2. Преобразования Лапласа периодических функций и произведений оригиналов на синус ИЛИ косинус (230). 8.3-3. Преобразование произведения (теорема о свертке) (233). 8.3-4. Предельные теоремы (233). 8.4. Таблицы преобразования Лапласа и вычисление обратных преобразований Лапласа............................................................. . 234 8.4-1. Таблицы преобразования Лапласа (234). 8.4-2. Вычисление обратных преобразований Лапласа (234). 8.4-3. Применение контурного интегрирова- ния (234). 8.4-4. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций; разложение Хевисайда (234). 8.4-5. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций; разложение на простейшие дроби (252). 8.4-6. Разложения в ряды (252). 8.4-7. Разложения по степеням t (253). 8.4-8. Разложения по многочленам Лагерра (253). 8.4-9. Разложения в асимптотические ряды (254). 8.5. Формальное преобразование Лапласа импульсных функций ........ 255 8.6. Некоторые другие функциональные преобразования.................... 256 8.6-1. Вводные замечания (256). 8.6-2. Двустороннее преобразование Ла- пласа (256). 8.6-3. Преобразование Лапласа в форме интеграла Стилтьеса (256). 8.6-4. Преобразования Ганкеля и Фурье — Бесселя (258). 8.7. Конечные интегральные преобразования, производящие функции и z-npe- образование............................................................. 260 8.7 1. Ряды как функциональные преобразования. Конечные преобразо- вания Фурье и Ганкеля (260). 8.7-2. Производящие функции (260). 8.7-3. 2-преобразов а ине. Определение и формула обращения (263). Г Л А В А 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.1. Введение ................................................. 265 9.1-1. Вводные замечания (265). 9.1-2. Обыкновенные дифференциальные уравнения (265). 9.1-3. Системы дифференциальных уравнений (266). 9.1-4. Существование решений (266). 9.1-5.-Общие указания (266). - 9.2. Уравнения первого порядка.................................. 263 9.2- 1. Существование н единственность решений (266). 9.2-2. Геометри- ческое толкование. Особые интегралы (267). 9.2-3. Преобразование пере- менных (268). 9.2-4. Решение специальных типов уравнений первого по- рядка (268) 9.2-5. Общце методы интегрирования (270). 9.3. Линейные дифференциальные уравнения.............................. 271 9.3- 1. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип наложения (271). -. 9.3-2. Линейная независимость и фундаментальные системы решений (271). 9.3- 3. Решение методом вариации постоянных. Функции Грина (272). 9,3-4. Приведение двухточечных краевых задач к задачам Кошн (275), 9.3-5. Линейные дифференциальные уравнения в комплексной области. Тейлоров- ские разложения решения и влияние особенностей (275). ‘ 9.3-6. Решение однородных уравнений путем разложения в ряд в окрестности правильной особой точки (276). 9.3-7. Методы интегральных преобразований (277). 9.3- 8. Линейные уравнения второго порядка (278). 9.3-9, Ги пер геометри- ческое дифференциальное уравнение Гаусса и P-уравнение Римана (279).
ОГЛАВЛЕНИЕ 5.3- Ю. Вырожденные гипергеометрические функций (282). 9.3-11. Обобщен- ные ги пер геометрические ряды (283). 5.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 283 9.4-1. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами (283). 9.4-2. Неоднородные уравнения (285). 9.4-3. Свертки и функции Грина • (286). 9.4-4. Устойчивость (287). 9.4-5. Операторный метод решения (288). 9.4- 6. Периодические внешние нагрузки и решения (289). 9.4-7. Передаточ- ные функции и частотные характеристики (290). 9.4-8. Нормальные коор- динаты и собственные колебания (291)'. •'9.5. Нелинейные уравнения второго порядка......................... 292 9.5- 1. Вводные замечания (292). 9.5-2. Представление на фазовой плоскости. Графический метод решения (292). 9.5-3. Особые точки и предельные циклы (293). 9.5-4. Устойчивость решений по Ляпунову (294). 9.5-5. Приближенный метод Крылова и Боголюбова (296). 9.5-6. Интеграл живых снл (297). 9.6. Дифференциальные уравнения Пфаффа . . •.......................... 298 9.6- 1.. Дифференциальные уравнения Пфаффа (298). 9.6-2. Вполне интегри- руемый случай (298). * ГЛАВА 10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ _ 10.1. Введение и обзор .............................. '.............. 299 10.1- 1. Вводные замечания (299). 10.1-2. Дифференциальные уравнения С частными производными (299). 10.1-3. Решение дифференциальных урав- нений с частными производными; разделение переменных (300). 10.2. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка 301 10.2-1. Уравнения с двумя независимыми переменными. Геометрическая интерпретация (301). 10.2-2., Задача с начальными условиями (задача Коши) (302). 10.2-3. Полные интегралы. Общие, частные, особые интегралы; реше- ния характеристических уравнений (303). 10.2-4. Уравнения с п независи- мыми переменными (304). 10.2-5. Преобразования соприкосновения (306). 10.2- 6. Канонические уравнения и канонические преобразования (307). / 10.2-7. Уравнение Гамильтона — Якоби, решение канонических уравнений (310). 10.3. Гиперболические, параболические и эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными. Характеристики .................... 312 10.3- 1. Квазилинейные уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. Характеристики (312). 10.3-2. Решение гиперболических уравнений методом характеристик (313). 10.3-3. Преобра- зование гиперболических, параболических и эллиптических уравнений к каноинческому виду (314). 10.3-4. Типичные краевые задачи для уравнений второго порядка (315). 10.3-5. Одномерное волновое уравнение (316). 10.3-6. Метод Римана — Вольтерра для линейных гиперболических уравнений (317). 10.3-7. Уравнения с тремя н более независимыми переменными (318). 10.4. Линейные уравнения математической физики. Частные решения....... 319 10.4- 1. Физические основы"!! обзор (319). 10.4-2; Линейные краевые задачи 'j (321). 10.4-3. Частные решения уравнения Лапласа: трехмерный случай (322). 10.4-4. Частные решения для трехмерного уравнения Гельмгольца (324). 10.4-5. Частные решения двумерных задач (325). 10.4-6. Уравнение Шредингера (326). 10.4-7. Частные решения для уравнения теплопровод- ности н диффузии (326). 10.4-8. Частные решения для волнового уравнения. Синусоидальные волны (326). 10.4-9. Решение-краевой задачи разложением в ортогональные ряды. Примеры (328). 10.5. Метод интегральных преобразований............................... 329 10.5- 1. Общая теория (329). 10.5-2. Преобразование Лапласа по временной переменной (330). 10.5-3. Решение краевых задач методом интегральных преобразований. Примеры (331). 10.5-4. Формулы Дюамеля (332). ГЛАВА 11 „ МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.1. Вводные замечания................. ....*••«.•••• 333 11.2; Экстремумы функций одного действительного переменного. 333 11.2-1. Локальные максимумы и минимумы (333). 11.2-2. Условия сущест- вования внутренних максимумов и минимумов (333).
10 ОГЛАВЛЕНИЕ 11.3. Экстремумы функций двух и большего числа действительных переменных 11.3-1. Локальные максимумы н минимумы (334). 11.3-2. Формула Тейлора для приращения функции (334). 11.3-3. Условия существования внутренних максимумов и минимумов (334). 11.3-4. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа (335). 11.3-5. Численные методы (336). 11.4. Линейное программирование, игры и смежные вопросы . ............ 11.4-1. Задача линейного программирования (336). 11.4-2. Симплекс-метод (339). 11.4-3. Нелинейное программирование. Теорема Куиа — Такера (342). 11.4-4. Введение в конечные игры двух партнеров с нулевой суммой (342). 11.5. Вариационное исчисление. Максимумы и минимумы определенных инте- гралов. ................................................*............. 11.5-1. Вариации (344). 11.5-2. Максимумы и минимумы определенных интегралов (345). 11.5-3. Решение вариационных задач (346). 11.6. Экстремали как решения дифференциальных уравнений: классическая теория................................................................ 11.6-1. Необходимые условия максимумов и минимумов (346). 11.6-2. Услов- ные экстремумы. Метод множителей Лагранжа (348). 11.6-3. Изопериметри- ческие задачи (349). 11.6-4. Решение вариационных задач в случае, когда подынтегральная функция содержит производные высших порядков (350). 11.6-5. Вариационные задачи -с неизвестными граничными значениями и неизвестными пределами интегрирования (350). 11.6-6. Задачи Больца и Майера (351). 11.6-7. Ломаные экстремали. Отражение, преломление и односторонние экстремумы (352). 11.6-8. Канонические уравнения и урав- нение Гамильтона — Якоби (353). 11.6-9. Вариационные задачи в случае нескольких независимых переменных: максимумы и минимумы кратных интегралов (354). 11.6-10. Достаточные условия для максимума и мини- мума в простейшей задаче (355). 11.7. Решение вариационных задач прямыми методами..................... 11.7-1. Прямые методы (356). 11.7-2. Метод Релея — Ритца (357). 11.7-3. Приближение у (х) полигональными функциями (357). 11.8. Задачи управления и принцип максимума .......................... 11.8-1. Постановка задачи (357). 11.8-2. Принцип максимума Понтрягина (360). 11.8-3. Примеры (362). 11.8-4. Матричные обозначения в задачах упра- вления (364). 11.8-5. Ограничения-неравенства для переменных состояния. Угловые условия (365). 11:8-6. Метод динамического программирования (366). 11.9. Шаговые задачи управления и динамическое программирование....... 11-9-1. Постановка задачи (366). 11.9-2. Принцип оптимальности Веллмана (367). ГЛАВА 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ: СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА И АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 12.1. Введение........................................................ 12.1- 1. Математические модели (368). 12.1-2. Обзор (369). 12.1-3. «Равенство» и отношения эквивалентности (369). 12.1-4. Преобразования, функции, опе- рации (369). 12.1-5. Инвариантность (370). 12.1-6. Представление одной мо- дели другой; гомоморфизмы и изоморфизмы (370). 12.2. Алгебра моделей с одной определяющей операцией: группы....... 12.2- 1. Определение и основные свойства группы (371). 12.2-2. Подгруппы (371). 12.2-3. Циклические группы. Порядок элемента группы (372). 12.2-4. Произведения подмножеств. Смежные классы (372). 12.2-5. Сопряженные элементы н подгруппы. Нормальные делители. Фактор-группы (372). 12.2-6. Нормальный ряд. Композиционный ряд (372). 12.2-7. Центр. Нормализа- торы (373). 12.2-8. Группы преобразований нли операторов’ (373). 12.2-9- Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Представление групп (373). 12.2-10. Аддитивные группы. Классы вычетов и сравнимость (374). 12.3. Алгебра моделей с двумя определяющими операциями; кольца,, поля н области целостности................................................... 12.3- 1. Определения и основные теоремы (374). 12.3-2. Подкольца и под- поля. Идеалы (375). 12.3-3. Расширения (375). 12.4. Модели, включающие в себя более одного класса математических объек- тов: линейные векторные пространства и линейные алгебры............... (376)'1’ ЛинейнЬ1е векторные пространства (375). 12.4-2. Линейные алгебры 334 336 344 346 356 357 366 363 371 374 375
ОГЛАВЛЕНИЕ 11 12.5. Модели, допускающие определение предельных процессов! топологические пространства ............................................................ 377 12.5-1. Топологические пространства (377). 12.5-2. Метрические пространства (378). 12.5-3. Топология, окрестности н сходимость в метрическом простран- стве (378). 12.5-4. Метрические пространства со специальными свойствами. Теория точечных множеств (379). 1£.5-5. Примеры; пространства числовых последовательностей н функций (380)« 12.5-6. Теорема Банаха о сжатых ото- бражениях и последовательные приближения (382). 12.6- Порядок ............................................................. 382 12.6- 1. Частично упорядоченные множества (382). 12.6-2. Линейно упоря- доченные множества (382). 12.6-3. Упорядоченные поля (383). 12.7. Комбинации моделей; прямое произведение, топологическое произведение и прямая сумма.................'.......................................... 383 12.7- 1 Декартово произведение (383). 12.7-2. Прямое произведение групп (383). 12.7-3. Прямое произведение действительных векторных пространств (383). 12.7-4. Топологическое произведение (384). 12.7-5. Прямая сумма (384). " 12.8. Булевы алгебры...................,................................... 384 12.8- 1. Булевы алгебры (384). 12.8-2. Булевы функции. Приведение к кано- ническому виду (385). 12.8-3. Отношение включения (386). 12.8-4. Алгебра классов (386). 12.8-5. Изоморфизм булевых алгебр. Диаграммы Венна (386). 12.8- 6. Алгебры событий н символическая логика (387). 12.8-7. Представле- ние булевых функций истинностными таблицами. Карты Карно (389). 12.8-8. Полная аддитивность. Алгебры меры (389). ГЛАВА 13 МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.1. Вводные замечания................................,........... 390 13.2. Алгебра матриц и матричное исчисление........................ 390 13.2-1. Прямоугольные матрицы (390). 13.2-2. Основные операции (392). 13.2?3. Нулевая и единичная матрицы; обратные матрицы (393). 13.2-4. Целочисленные степени квадратных матриц (393). 13.2-5. Матрицы как строи- тельные блоки математических моделей (393). 13.2-6. Умножение на мат- рицы специального вида. Матрицы перестановки (394). 13.2-7. Ранг, след и определитель матрицы (394). 13.2-8. Разбиение матриц (394). 13.2-9. Кле- * точные матрицы. Прямые суммы (395). 13.2-10. Прямое (внешнее) произве- дение матриц (395). 13.2-11. Сходимость и дифференцирование (395). 13.2-12. Функции матриц (395). 13.3. Матрицы со специальными свойствами симметрии....................... 396 13.3- 1. Транспонированная и эрмитово сопряженная матрица (396). 13.3-2. Матрицы со специальными свойствами симметрии (396). 13.3-3. Правила комбинирования (396). 13.3-4. Теоремы о разложении. Нормальные матрицы (397). 13.4. Эквивалентные матрицы, собственные значения, приведение к диагональ- ному виду и смежные вопросы.............................................. 398 13.4- 1. Эквивалентные и подобные матрицы (398). 13.4-2. Собственные зна- чения и спектры квадратных матриц (398). 13.4-3. Приведение квадратной матрицы к треугольному виду. Алгебраическая кратность собственного значения (399)2 13.4-4. Приведение матриц к диагональному виду (399). 4- 13.4-5. Собственные значения н характеристическое уравнение матрицы (400). 13.4-6. Собственные значения клеточных матриц (прямых) сумм (401). 13.4-7. Теорема Кэли — Гамильтона и смежные вопросы (401). 13.5. Квадратичные и эрмитовы формы...................................... 401 13.5- 1. Билинейные формы (401). 13.5-2. Квадратичные формы (401). 13.5-3. Эрмитовы формы (402). 13.5-4. Преобразование квадратичных и'эрмитовых форм. Приведение к сумме квадратов (402). 13.5-5. Одновременное приве- дение двух квадратичных или эрмитовых форм к сумме квадратов (404). 13.5- 6. Признаки положительной определенности, неотрицательности и т. д. (404). 13.6. Матричные обозначения для систем дифференциальных уравнений (дина- мических систем). Возмущения н теория устойчивости Ляпунова.......... 405 13.6-1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Матричные обозначения (405). 13.6-2. Линейные дифференциальные уравнения с посто- янными коэффициентами (406). 13.6-3. Линейные системы с переменными коэффициентами (407). 13.6-4. Методы возмущений и уравнения в вариациях (408),. 13.6-5. Устойчивость решений: определения (409). 13.6-6. Функции Ляпунова и устойчивость (410). 13.6-7. Приложения и примеры (411).
12 ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА 14 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ / ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ). ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТРИЦАМИ 14.1. Введение. Системы отсчета и преобразования координат . . ........ 414 14.1- 1. Вводкые замечания (414). 14.1-2. Числовое описание математических моделей: системы отсчета (414). 14.1-3. Преобразования координат (414). 14.Ь4. Инвариантность (415). 14.1-5. Системы мер (415). 14.2. Линейные векторные пространства. ............................ 415 14.2- 1. Определяющие свойства (415). 14.2-2. Линейные многообразия и подпространства в % (416). 14.2-3. Линейно независимые и линейно зависи- мые векторы (416). 14.2-4. Размерность линейного многообразия,или вектор- ного пространства. Базисы и системы координат (системы отсчета) (416). ' в 14.2-5’. Нормированные векторные пространства (417). 14.2-6. Унитарные векторные пространства (417). 14.2-7. Норма, метрика и сходимость в уни- тарных векторных пространствах. Гильбертовы пространства (418). 14.2-8. ' Теорема о проекции (419). 14.3. Линейные преобразования (линейные операторы) .................... 419 14.3- 1. Линейные преобразования векторных пространств. Линейные опе- раторы (419). 14.3-2. Множество значений, ядро и ранг линейного преобра- зования (оператора) (419). 14.3-3. Сложение и умножение на скаляры. Нулевое преобразование (420). 14.3-4. Произведение двух линейных пре- образований (операторов). Тождественное преобразование (420). 14.3-5. Невырожденные линейные преобразования (операторы). Обратные пре- образования (операторы) (420). 14.3-6. Целые степени операторов (420). 14.4. Линейные операторы в нормированном нли гильбертовом пространстве. Эрмитовы и унитарные операторы......................................... 421 14.4- 1. Ограниченные лийейные преобразования (421). 14.4-2. Ограничен- ные линейные операторы в нормированном векторном пространстве (421). 14.4- 3. Сопряженный оператор (421). 14.4-4. Эрмитовы операторы (422). 14.4- 5. Унитарные операторы (422). 14.4-6. Симметрические, кососиммет- рические н ортогональные операторы в действительных унитарных век- торных пространствах (422). 14.4-7. Правила комбинирования (423). 14.4-8. Теоремы о разложении. Нормальные операторы (423). 14.4-9. Сопряженные векторные пространства. Более общее определение сопряженных операто- ров (424). 14.4-10. Бесконечно малые линейные преобразования (424). 14.5. Матричное представление векторов и линейных преобразований (операто- ров) ...............................................................' . . 425 14.5- 1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: «актив- ная» точка зрения (425). 14.5-2. Матричное представление векторов и линей- ных преобразований (операторов) (426). 14.5-3. Матричные обозначения для систем линейных уравнений (426). 14.5-4. Диадическое представление линей- ных операторов (427)......J....................................... 14.6. Замена системы координат......................................... 427 14.6- 1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: «пассив- ная» точка врения (427). 14.6-2. Представление линейного оператора в раз- личных базисах (428). 14.6-3. Последовательное применение операторов (428). 14.7. Представление скалярного произведения. Орто нор мн ров энные базисы . . . 429 14.7- 1. Представление скалярного произведения (429). 14.7-2. Замена си- стемы координат (430). 14.7-3. Ортогональные векторы и ортонормирован- ные системы векторов (430). 14.7-4. Ортонормированиые базисы (полные ортонормированные системы) (430). 14.7-5. Матрицы соответствующие сопряженным операторам (431). 14.7-6. Взаимные базисы (432). 14.7-7. Срав- нение сбЬзначений (433). 14.8. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов . , . 433 14.8- 1. Вводные замечания (433). 14.8-2. Инвариантные многообразия. Разложимые линейные преобразования (линейные операторы) и матрицы (433). 14.8-3. Собственные векторы, собственные значения и спектр (434). 14.8-4 . Собственные векторы н собственные значения нормальных и эрми- товых операторов (435). 14.8-5. Определение собственных значений н соб- ственных векторов: конечномерный случай (436). 14.8-6. Приведение и диагонализация матриц. Преобразование к главным осям (437). 14.8-7. «Обобщенная» задача о собственных значениях (439). 14.8-8. Задачи о соб- ственных значениях как вадачи о стационарных значениях (439). 14.8-9. Границы для собственных значений линейных операторов (441). 14,8-10. Неоднородные линейные векторные уравнения (442).
ОГЛАВЛЕНИЕ 13 14;9. Представления групп и смежные вопросы . ...............'......... . . 443 14.9-1 - Представления групп (443). 14.9-2. Приведение представлений (443). 14.9-3 . Неприводимые представления группы (444). 14.9-4. Характер пред- ставления (445). 14.9-5. Соотношения ортогональности (445). 14.9-6. Прямые произведения представлений (446). 14.9-7. Представления колец, полей и линейных алгебр (446). 4.10. Математическое описание вращений ................................... 446 14.Ю-1. Вращения в трехмерном евклидовом векторном пространстве (446). 14.Ю-2. Угол поворота. Ось вращения (447). 14.10-3. Параметры Эйлера н вектор Гиббса (448). 14.10-4. Представление векторов и вращений спиновыми матрицами н кватернионами. Параметры Кэли — Клейна (448). 14.10-5. Вращения вокруг осей координат (449). 14.10-6. Углы Эйлера (450). 14.10-7. Бесконечно малые вращения, непрерывное вращение и угловая скорость (452). 14.10-8. Группа трехмерных вращений и ее представления (454). ГЛАВА 15 ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ УРАВНЕНИЯ, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 15.1. Введеине. Функциональный анализ .......................... 456 15.1-1. Вводные замечания (456). 15,1-2. Обозначения (456). 15.2. Функции как векторы. Разложения по ортогональным функциям.. 457 15.2-1. Квадратично интегрируемые функции как векторы. Скалярное про- изведение и нормирование (457). 15.2-2. Метрика и сходимость в L2. Сходи- мость в среднем (458). 15.2-3. Ортогональные функции и ортонормированные последовательности функций (459). 15.2-4. Полные ортонормированные последовательности функций. Ортонормированные базисы (459). 15.2-5. Ортогонализация и нормирование последовательности функций (460). 15.2-6. Аппроксимации и разложения в ряды по ортогональным функциям (46,0). 15.2-7. Линейные операции над функциями (460). 15.3. Линейные интегральные преобразования и линейные интегральные урав- нения . • . ,......................................................... 461 15.3-1. Линейные интегральные преобразования (461). 15.3-2. Линейные • интегральные уравнения. Обзор (462). 15.3-3. Однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные функции и собственные значения (463). 15.3-4. Теоремы разложения (463^. 15.3-5. Итерированные ядра (464). 15.3-6. Эрмитовы интегральные формы. Задача о собственных вначениях как вариационная задача (465). 15.3-7. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода (465). 15.3-8. Решение линейного интегрального уравнения (16) (467). 15.3-9. Решение линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода (468)» 15.3-10'. Интегральные .уравнения Воль- терра (469). 15.4. Линейные краевые задачи н задачи © собственных значениях для дифферен- циальных уравнений................................................... 470 15.4-1. Линейные краевые задачи. Постановка задачи и обозначения (470). 15»4-2. Дополнительное дифференциальное уравнение и краевые условия для линейной краевой задачи. Теоремы о суперпозиции (470). 15.4-3. Эрми- тово сопряженные и сопряженные краевые задачи. Эрмитовы операторы (471). 15.4-4. Теорема Фредгольма об альтернативе (473). 15.4-5. Задачи о собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений (473). 15.4-6. Собственные значения н собственные функции эрмитовой задачи о собственных значениях. Полные ортонормированные множества собст- венных функций (474). 15.4-7. Эрмитова задача о собственных значениях как вариационная задача (475). 15.4-8. Одномерная задача Штурма — Лиувнлля о собственных значениях (476). 15.4-9. Задача Штурма — Лиу- внлля для уравнений с частными производными второго порядка (477). 15.4-10. Теоремы сравнения (477). 15.4-11. Решение дискретных задач о собственных значениях методами возмущений (478). 15.4-12. Решение краевых аадач посредством разложений в ряды по собственным функциям (479). 15.5. Функции Грнна. Связь краевых задач и задач о собственных значениях с интегральными уравнениями ............................................ 480 15.5-1. Функции Грнна для краевой задачи с однородными краевыми усло- виями (480). 15.5-2. Связь краевых задач и задач о собственных значениях с интегральными уравнениями. Резольвента Грина (481). 15.5-3. Прнло- I зкение метода функций Грина к задаче с начальными условиями: обоб- щенное уравнение диффузии (482). 15.5-4. Метод функций Грина для не- однородных краевых условий (483).
14 ОГЛАВЛЕНИЕ 15.6. Теория потенциала . . ........................................... 15.6-1. Введение. Дифференциальные уравнения Лапласа и Пуассона (484). 15.6-2. Трехмерная теория потенциала. Классические краевые условия задачи (484). 15.6-3. Теорема Кельвина об инверсии (485). 15.6-4. Свойства гармонических функций (485). 15.6-5. Решения уравнений Лапласа и Пуас- сона как потенциалы (486). 15.6-6. Решение трехмерных краевых задач посредством функций Грина (488). 15.6-7. Двумерная теория потенциала. Логарифмический потенциал (490). 15.6-8. Двумерная теория потенциала; сопряженные гармонические функции (490). 15.6-9. Решение двумерных краевых задач. Функции Грина и конформные отображения (492). 15.6-10. Распространение теории и а более общие дифференциальные уравнения. Запаздывающие и опережающие потенциалы (493). ГЛАВА 16 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.1. Введение...................... .................................. 16.1- 1. Вводные замечания (494). 16.1-2. Системы координат и допустимые преобразования (494). 16.1-3. Компоненты объектов. Индексные обозначе- . иия (494). 16.1-4. Системы отсчета и индуцированные преобразования. Гео- метрические объекты (495). 16.2. Абсолютные (истинные) тензоры и относительные тензоры (псевдотензоры) 16.2- 1. Определение абсолютных и относительных тензоров, основанное на законе преобразования их компонент (496). 16^2-2. Инфинитезимальное перемещение. Градиент скалярного поля (498). 16.3. Тензорная алгебра: определение основных операций .................. 16.3- 1. Равенство тензоров (499). 16.3-2. Нуль-тензор (499). 16.3-3. Сложе- ние тензоров (499). 16.3-4. Умножение тензора на абсолютный скаляр (499). 16.3-5. Свертывание смешанного тензора (499). 16.3-6. Произведение (внеш- нее) двух тензоров (500). 16.3-7. Внутреннее произведение (500). 16.3-8. При- знак тензора (500). 16.4. Тензорная алгебра. Инвариантность тензорных уравнений ...««««. 16.4- 1. Инвариантность тензорных уравнений (501). 16.5. Симметричные и антисимметричные тензоры............ 16.5- 1. Симметричные и антисимметричные объекты (502). 16.5-2. Символы Кронекера (502). 16.5-3. е-объекты (символы Леви-Чивита) (503). 16.5-4. Аль- тернированное произведение двух векторов (503). 16.6. Локальная система базисных векторов (локальный базнс)............ 16.6- 1. Выражение векторов и тензоров через векторы локального .базиса (504). 16.6-2. Преобразование локального базиса при преобразовании ко- ординат (504). 16.7. Тензоры в римановых пространствах. Ассоциированные тензоры 16.7- 1. Риманово пространство н фундаментальные тензоры (505). 16.7-2. Ас- социированные тензоры. Поднятие и опускание индексов (506). 16.7-3. Экви- - валентность ассоциированных тензоров (506). 16.7-4. Операции над тензо- рами в римановых пространствах (507). 16.8. Скалярное произведение векторов и связанные с ним понятия ....... 16.8- 1. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов в римановом пространстве (507). 16.8-2. Скалярные произведения локальных базисных векторов. ’Ортогональная система координат (507). 16.8-3. Физические компоненты тензора (508). 16.8-4. Векторное произведение и смешанное про- изведение (508). 16.9. Тензоры ранга 2 в римановом пространстве ........................ 16.9- 1. Диадные произведения (509). 16.9-2. Умножение тензоров ранга 2 н векторов н связанная с ним система обозначений (510). 16.9-3- Собственные векторы и собственные значения (510). 16.10. Абсолютное дифференциальное исчисление. Ковариантное дифференциро- вание .................................................................. 16.10-1. Абсолютные дифференциалы (510). 16.10-2. Абсолютный дифферен- циал относительного тензора (512). 16-10-3. Символы Кристоффеля (512). 16.10-4. Ковариантное дифференцирование (513). 16.10-5. Правила ковари- антного дифференцирования (514). 16.10-6 Ковариантные производные выс- ших порядков (514). 16.10-7. Дифференциальные операторы н дифферен- цнальные инварианты (515). 16.10-8. Абсолютные (внутренние) производ- 484 494 496 -499 501 502 504 505 507 509 10
ОГЛАВЛЕНИЕ 15 ные и производные по направлению (515). 16.10-9. Тензоры, постоянные вдоль кривой Уравнения параллелизма (517). 16.10-10. Интегрирование тензорных величий. Элемент объема (517). 16.10-11. Дифференциальные инварианты тензоров ранга 2; интегральные теоремы (517). Г Л А В А 17 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.1. Кривые на евклидовой плоскости................................. 518 17.1.1. Касательная к плоской кривой (518). 17.1-2. Нормаль к плоской кривой (518). 17.1-3. Особые точки (519). 17.1-4. Кривизна плоской кривой (519). 17.1-5. Порядок касания плоских кривых* (520). 17.1-6. Асимптоты (520). 17.1-7. Огибающая семейства плоских кривых (520). 17.1-8. Изого- нальные траектории (520). 17.2. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве................ . . 521 17.2- 1. Вводные замечания (521). 17.2-2. Подвижной трехгранник (521). 17.2- 3. Формулы Фроне — Серре. Кривизна и кручение пространственной кривой (522). 17.2-4. Уравнения касательной, нормали и бинормали; урав- нения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоо/остей (523). 17.2-5. Дополнительные замечания (523). 17.2-6. Порядок касания (524). 17.3. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве....... 524 17.3- 1. Вводные замечания (524). 17.3-2. Касательная, плоскость н нормаль к поверхности (524). 17.3-3. Первая основная квадратичная форма поверх- ности. Дифференциал длины дуги н элемент площади (525). 17.3-4. Геодези- ческая и нормальная кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье (526). 17.3- 5. Вторая основная квадратичная форма. Главные кривизны, гауссова кривизна н средняя кривизна (527). 17.3-6. Некоторые направления и кривые на поверхности. Минимальные поверхности (528). 17.3-7. Поверхности как рпмановы пространства. Трех индексные символы Кристоффеля и пара- метры Бельтрами (529). 17.3-8. Уравнения с частными производными, связы- вающие коэффициенты основных квадратичных форм. Theorem a Egregium Гаусса (530). 17.3-9. Определение поверхности коэффициентами ее основных квадратичных форм (530). 17.3-10. Отображения (530). 17.3-11. Огибаю- щие (531). 17.3-12. Геодезические линии поверхности (531). 17.3-13. Гео- дезические нормальные координаты. Геометрия на поверхности (532). 17.3- 14. Теорема Гаусса — Бонне (533) 17.4. Пространства с кривизной........................................ 533 17.4- 1. Вводные замечания (533). 17.4-2. Кривые, длины и направления в римановом пространстве (533). 17.4-3. Геодезические линии в римано- вом пространстве (534). 17.4-4. Римановы пространства с неопределенной метрикой. Изотропные направления н геодезические нулевой длины (535). 17.4- 5. Тензор кривизны риманова пространства (535). 17.4-6. Геометриче- ** ское истолкование тензора кривизны. Плоские пространства и евклидовы пространства (536). 17.4-7.Специальные координатные системы (537). ГЛАВА 18 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.1. Введение................................ ............ 539 18.1-1. Вводные замечания (539). 18.2. Определение и представление вероятностных моделей ....... 539 18.2-1. Алгебра событий, связанных с данным испытанием (539). 18.2-2. Опре- деление вероятности. Условные вероятности (540). 18.2-3. Независимость случайных событий (540). 18.2-4. Сложные испытания. Независимые испы- тания и повторные независимые испытания (540). 18.2-5. Правила сочетаний (541). 18.2-6. Теоремы Байеса (542). 18.2-7. Представление событий как множеств в пространстве выборок (542). 18.2-8. Случайные величины (542). 18.2-9. Описание вероятностных моделей на языке случайных величин и их функций распределения (542). 18.3. Одномерные распределения вероятностей.............................. 543 18.3-1. Дискретные одномерные распределения вероятностей (543). 18.3-2. Непрерывные одномерные распределения вероятностей (543). 18.3-3. Мате- матическое ожидание и дисперсия. Числовые характеристики одномерного распределения вероятностей (544). 18.3-4. Нормирование (546). 18.3-5. Не- равенство Чебышева н связанные с ним формулы (546). 18.3-6. Единое опи- сание распределений вероятностей с помощью интеграла Стнлтьеса (546). 18,3-7. Моменты одномерного распределения вкроят нос г й (547). 18.3-8. Ха-
16 ОГЛАВЛЕНИЕ ' рактеристические и производящие функции (548), 18.3-9. Семиинварианты (649). 18.3-10. Вычисление моментов и семиинвариантов через %* (q), М* (s) и Ух (s). Соотношения между моментами и семиинвариантами (549). 18.4. Многомерные распределения вероятностей.............................. 550 18.4- 1. Многомерные случайные величины (550). 18.4-2. Двумерные распре- деления вероятностей, распределения координат случайной величины (550). 18.4-3. Дискретные н непрерывные двумерные распределения веро- ятностей (550). 18.4-4. Математическое ожидание, моменты, ковариация и коэффициент корреляции (551). 18.4-5. Условные распределения вероят- ностей, связанные с двумя случайными величинами (552). 18.4-6. Регрес- сии (553). 18.4-7. n-мериые распределения вероятностей (553). 18.4-8. Ма- тематические ожидания и моменты (555). 18.4-9. Регрессия. Коэффициенты корреляции (556)« 18.4-10. Характеристические функции (557). 18.4-11. Не- зависимость случайных .величин (557). 18.4-12. Энтропия распределения вероятностей (558). 18.5. Функции от случайных величин. Замена переменных..................... 559 18.5- 1. Вводные замечания (559). 18.5-2. Функции (или преобразования) одномерной случайной величины (559). 18.5-3. Линейные преобразования одномерной случайной величины (560). 18.5-4. Функции (илн преобразова- ния) многомерных случайных величин (561). 18.5-5. Линейные преобразова- ния (562). 18.5-6. Математическое ожидание н дисперсия суммы случайных Челн чин (562). 18.5-7. Суммы независимых случайных величин (563). 18.5-8. Распределение суммы случайного количества случайных величий (564). 18.6. Сходимость по вероятности и предельные теоремы..........;........... 564 18.6- 1. Последовательность 'распределений вероятностей. Сходимость по вероятности (564). 18.6-2. Пределы функций распределения, характеристи- ческих и,производящих функций. Теоремы непрерывности (564). 18.6-3. Схо- димость в среднем (565). 18.6-4. Асимптотически; нормальные распределения вероятностей (565). 18.6-5. Предельные теоремы (665). 18.7. Специальные методы решения вероятностных задач ................... 566 18.7- 1. Вводные замечания (566). 18.7-2. Задачи с дискретным распределе- * ннем вероятностей: подсчет событий и комбинаторный анализ (567). 18.7-3. Применение производящих функций.-Теорема Пойа (569). 18.7-4. Задачи с дискретным распределением вероятностей: успехи и неудачи в составля- ющих испытаниях (571). 18.8. Специальные распределения вероятностей. . , ...................... 57! 18.8- 1. Дискретные одномерные распределения вероятностей (571). 18.8-2. Дискретные многомерные распределения вероятностей (573). 18.8-3. Не- прерывные распределения вероятностей: нормальное распределение (Гаусса) (575). 18.8-4. Нормальные случайные величины: распределение-отклонений от центра (576). 18.8-5. Различные непрерывные одномерные распределения вероятностей (582). 18.8-6. Двумерные нормальные распределения (582). 18.8- 7. Круговое нормальное распределение (583). 18.8-8. п-мерные нор- мальные распределения (583). 18.8-9. Теоремы сложения для специаль- ных распределений (583). 18.9. Теория случайных процессов........................................- 584 / 18.9-1. Случайные процессы (584). 18.9-2. (Описание случайных процессов (584) . 18.9-3. Средние по множеству наблюдений. Корреляционные фуик- .ции (585). 18.9-4. Интегрирование и дифференцирование случайных функ- ций (586). 18.9-5. Процессы, определяемые случайными параметрами (588). 18.9-6. Разложение по ортонормированной системе (588). 18.10. Стационарные случайные процессы. Корреляционные функции н спект- ральные плотности......................................................... 589 18.10- 1. Стационарные случайные процессы (589). 18.10-2. Корреляционные функции по множеству наблюдений (589). 18.10-3. Спектральная плотность по множеству наблюдений (590). 18.10-4. Корреляционные функции и спектры действительных процессов (590). 18.10-5. Спектральное разложение средней «мощности» действительных процессов (690). 18.1 Об. Другие виды спект- ральной плотности Но множеству наблюдений (591). 18.10-7. Средине по времени и эргодические процессы (591). 18.10-8. Корреляционные функ- ции и спектральные плотности по времени (592). 18.10-9. Функции с перио- дическими компонентами (593). 18.10-10. Обобщенные преобразования Фурье и спектральные функции (595). 18.П. Типы случайных процессов. Примеры................................. 596 18.11- 1. Процессы с постоянными и периодическими реализациями (596). 18.11-2. Процессы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова (598). 18.11- 3. Гауссовские случайные процессы (599). 18.11-4. Марковские про- цессы и процесс Пуассона (599). 18.11-5. Некоторые случайные процессы,
оглавление порождаемые процессом Пуассона (601). 18.11-6. Случайные процессы, порождаемые периодической выборкой (602). 18.12. Действия над случайными процессами ............................ 18.12- 1. Корреляционные функции и спектры сумм (603). 18Г12-2. Соотно- шения между входным н выходным сигналами для линейных систем (604). 18.12-3. Стационарный случай (604). 18.12-4. Соотношения для корреляцион- ных функций н спектров по времени (605). 18.12-5. Нелинейные операции (605). 18.12-6. Нелинейные операции над гауссовскими процессами (606). t Г Л А Б А 19 математическая статистика 19.1. Введение в статистические методы.............. 19.1- 1. Статистики (607). 19.1-2. Классическая вероятностная модель? статистики случайной выборки. Понятие о генеральной совокупности (607). 19.1-3. Связь вероятностной модели с опытом: оценка н проверка (608). 19.2. Статистическое описание. Определение и вычисление статистик случайной выборки...............................'................................ . ♦ 19.2-1. Относительные частоты (609). 19.2-2. Распределение выборки. Груп- пированные данные (609). 19.2-3. Выборочные средине (610). 19.2-4. Выбо- рочные дисперсии и моменты (611). 19.2-5. Упрощенное вычисление выбо- рочных средних и дисперсий. Поправка на группировку (612). 19.2-6. Раз- мах выборки (613). 19.3. Типовые распределения вероятностей . •.......................... 19.3- 1. Вводные замечания (613). 19.3-2. Класс распределений Кэптейна (613). 19.3-3. Ряды Грама — Шарлье и Эджворта (614). 19.3-4. Усеченные нормальные распределения и распределение Парето (614). 19.3-5. Типы рас- пределений Пирсона (615). 19.4. Оценки параметров.............................................. 19.4- 1. Свойства оценок (615). 19.4-2. Некоторые свойства Статистик, при- меняемых в качестве оценок (616). 19.4-3. Нахождение оЦенок. Метод мо- ментов (617). 19.4-4. Метод наибольшего правдоподобия (617). 19.4-5. Дру- гие методы нахождения оценок (618). 19.5. Выборочные распределения....................................... 19.5- 1. Вводные замечания (618). 19.5-2. Асимптотически нормальные выбо- рочные распределения (618). 19.5-3. Выборки из нормальной совокупности. Распределения ft2, i и vB (619). 19.5-4. Распределение размаха выборки (619). 19.5-5. Выборочный метод для конечной совокупности (620). 19.6. Проверка статистических гипотез.............................. 19.6- 1. Статистические гипотезы (630). 19.6-2. Критерии с фиксированной выбор.кой; определения (630) 19.6-3. Уровень значимости. Правило Ней- мана — Пирсона отбора критериев для простых гипотез (630). 19.6-4. Кри- терии значимости (632). 19.6-5. Доверительная область (632). 19.6-6. Кри- терии сравнения нормальных совокупностей. Дисперсионный анализ (634). 19.6-7. Критерий согласия %2 (637). 19.6-8. Непараметрическое сравнение двух совокупностей: критерий знаков (638). 19.6-9. Обобщения (638). 19.7. Некоторые статистики, выборочные распределения н критерии для много- мерных распределений................................................... 19.7- 1. Вводные замечания (638). 19.7-2, Статистики, получаемые на основе многомерных выборок (638J. 19.7-3. Оценки параметров (639). 19.7-4. Вы- | борочные распределения в случае нормальной совокупности (640). 19.7-5. Выборочная средняя квадратическая сопряженность признаков. Критерий независимости двух случайных величин, основанный на таблице сопряжен- ности признаков (642). 19.7-6. Порядковая корреляция по Спирмену. Не- Параметрический критерий независимости (642). 19.8 Статистики и измерения случайного процесса....................... 19.8- 1. Средние по конечному промежутку времени (643). 19.8-2. Усред- няющие фильтры (644). 19.8-3. Примеры (645). 19.8-4. Выборочные средние (646). 19.9. Проверка н оценка в задачах со случайными параметрами. ... 19.9-1. Постановка задачи (647). 19.9-2. Оценка и проверка с помощью фор- мул Вайеса (648). 19.9-3. Случай двух состояний, проверка гипотез (648). 19.9-4. Оценки по методу наименьших квадратов (6Б0)л Q р П
18 ОГЛАВЛЕНИЕ Г Л А В А 20 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.1. Введение....................'................................. 20.1- 1. Вводные замечания (652). 20.1-2. Ошибки <652). 20.2. Численное решение уравнений ..................ч • . . .......- 20.2- 1. Вводные замечания (652). 20.2-2. Итерационные методы (653). 20.2-3. Вычисление значений многочлена (655). 20.2-4. Численное решение алгебраи- ческих уравнений. Итерационные методы (655). 20.2-5. Специальные методы решения алгебраических уравнений (656). 20.2-6.' Системы уравнений и экстремальные задачи (659). 20.2-7. Градиентные методы (660). 20.2-8. Ме- тод Ньютона н теоремщ Канторовича (661). 20.3. Системы линейных уравнений и обращение матриц. Собственные значе- ния и собственные векторы матриц .................................... 20.3- 1. Методы исключения (662). 20.3-2. Итерационные методы (663). 20.3-3. Обращение матриц (665). 20.3^4. Решение системы линейных уравнений и обращение матриц при помощи разбиения на клетки (666). 20.3-5. Собствен- ные значения н собственные векторы матриц (667). 20.4. Конечные разности и разностные уравнения....................... 20.4- 1. Конечные разности и центральные средние (668). 20.4-2. Оператор- ные обозначения (669). 20.4-3. Разностные уравнения (670). 20.4-4. Линей- ные обыкновенные разностные уравнения (671). 20.4-5. Линейные обыкно- венные разностные уравнения с постоянными коэффициентами (672). 20.4-6. Методы преобразований для линейных разностных уравнений с постоян- ными коэффициентами (672). 20.4-7. Системы обыкновенных разностных уравнений. Матричная запись (674). 20.4-8. Устойчивость (675). 20.5. Интерполяция функций .......................................... 20.5- 1. Вводные замечания (675). 20.5-2. Общие формулы параболической интерполяции (значения аргумента могут быть и неравноотстоящими) (675). 20.5-3. Интерполяционные формулы для равноотстоящих значений аргумента. Ромбовидные диаграммы (677). 20.5-4. Обратная интерполяция (677). 20.5-5. Интерполяция с оптимальным выбором узлов (682). 20.5-6. Интерполяция функций нескольких переменных (682). 20.5-7. Обратные разности н интерполяция рациональными дробями (683). -20.6. Аппроксимация функций ортогональными многочленами, отрезками ряда Фурье и другими методами............................................. 20.6- 1. Вводные замечания (683). 20.6-2. Приближения функций много- членами по методу наименьших квадратов на интерваде (683). 20.6-3. При- ближения функций многочленами по. методу наименьших квадратов на дискретном множестве точек (684). 20.6-4. Равномерные приближения (686). 20.6-5. Экономизация степенных рядов (686). 20.6-6. Численный гармониче- ский анализ и тригонометрическая интерполяция (687). 20.6-7. Разные при- ближения (693). 20.7. Численное дифференцирование и интегрирование .......... 20.7- 1. Численное дифференцирование (695). 20.7-2. Численное интегриро- вание для равноотстоящих узлов (696). 20.7-3. Квадратурные формулы Гаусса и Чебышева (698). 20.7-4. Построение и сравнение квадратурных формул (700). 20.7-5. Вычисление кратных интегралов (700). 20.8. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 20.8-1. Вводные замечания (701). 20.8-2. Одцошаговые методы решения задачи Коши. Методы Эйлера и Рунге — Кутта (701). 20.8J3. Многошаго- вые методы решения задачи Коши (703). 20.8-4. Улучшенные многошаговые методы (704). 20.8-5. Сравнение различных методов решения. Контроль ве- личины шага и устойчивость (704). 20.8-6. Обыкновенные дифференциаль- ные уравнения высших порядков н системы дифференциальных уравнений (706). 20.8-7. Специальные формулы для уравнений второго порядка (707). 20.8-8. Анализ частотных характеристик (708). 20.9. Численное интегрирование уравнений с частными производными, краевые задачи; интегральные уравнения ...................................... 20.9-1. Вводные замечания (709). 20.9-2. Двухточечная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений (709). 20.9-3. Обобщенный метод Ньютона (квазнлинеаризация) (710). 20.9-4. Разностные методы чис- ленного решения уравнений с частными производными для случая двух независимых переменных (710). 20.9-5. Двумерные разностные операторы (711). 20.9-6. Представление краевых условий (711). 20.9-7. Задачи, содер- жащие более двух независимых переменных (714). 20.9-8. Пригодность раз- ностных схем. Условия устойчивости (714). 20.9-9, Методы аппроксими- 652 652 662 663 675 683 695 701 709
ОГЛАВЛЕНИЕ 19 рующих функций для численного решения краевых задач (715). 20.9-10. Чис- ленное решение интегральных уравнений (716). £0.10. Методы Монте-Карло .......................................... 717 20.10-1. Методы Монте-Карло (717). 20.10-2. Два метода уменьшения дис- персии оценки (718). 20.10-3. Использование предварительной информации. Метод значимой выборки (719). 20.10-4. Некоторые методы генерирования случайных чисел. Проверка случайности (719). Г Л А В А 21 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.1. Введение ....................,........• ............ 720 21.1- 1. Вводные замечания (720). 21.2. Элементарные трансцендентные функции ............................. 720 21.2- 1. Тригонометрические функции (720). 21.2-2. Соотношения между три- гонометрическими функциями (722). 21.2-3. Теоремы сложения н формулы для кратных углов (723). 21.2-^. Обратные тригонометрические функции (724). 21.2-5. Гиперболические функции (725). 21.2-6. Соотношения между гиперболическими функциями (726). 21.2-7. Формулы сложения для гипер- болических функций (726). 21.2-8. Обратные гиперболические функции (727). 21.2-9. Соотношения между показательной, тригонометрическими и гиперболическими функциями (728). 21.2-10. Определение логарифма (728). 21.2- 11. Соотношения между обратными тригонометрическими, обратными гиперболическими и логарифмической функциями (729). 21.2-12. Разло- жения в степенные ряды (729). 21.2-13. Разложения в бесконечные произ- ведения (730) 21.2-14. Некоторые полезные неравенства (730). 21.3. Некоторые интегральные функции.................................. 730 21.3- 1. Интегральные синус, косинус, логарифм и показательная функ- ция (730). 21.3-2. Интегралы Френеля и интеграл вероятностей (738). 21.4. Гамма-функцня и связанные о ней функции 739 21.4- 1. Гамма-функцня (739). 21.4-2. Асимптотическое разложение Стирлинга для Г (г) и nl (743). 21.4-3. Логарифмическая производная гамма-функции (743). 21.4-4. Бета-функцня (743). 21.4-5. Неполные гамма- н бета-функцни { (744). 21.5. Биномиальные коэффициенты н факториальные многочлены. Многочлены и числа Бернулли........................................................ 744 21.5- 1. Биномиальные коэффициенты и факториальные многочлены (744). 21.5- 2. Многочлены и числа Бернулли (746). 21.5-3. Формулы, связываю- щие многочлены Бернулли и факториальные многочлены (747). 21.5-4. Приближенные формулы для (747). ? 21.6. Эллиптические функции, эллиптические интегралы и связанные с ними функции ......................................................... 748 21.6- 1. Эллиптические функции; общие свойства (748). 21.6-2. ^-функция Вейерштрасса (748). 21.6-3. £- и 0-функцин Вейерштрасса (750). 21.6-4. Эл- липтические интегралы (751). 21.6-5. Приведение эллиптических интегралов (751). 21.6-6. Нормальные эллиптические интегралы Лежандра (753). 21.6-7. Эллиптические функции Якоби (761). 21.6-8. Тэта-функции Якоби (765). 21.6- 9. Соотношения между эллиптическими функциями Якоби, Вейерш- трасса и тэта-функциями (767). 21.7. Ортогональные многочлены ........................................ 767 21.7- 1. Введение (767). 21.7-2. Действительные нули ортогональных много- членов (768). 21.7-3. Функции Лежандра. (768). 21.7-4. Многочлены Чебы- шева первого и второго рода (768). 21.7-5. "Обобщенные многочлены и при- соединенные функции Лагерра (774). 21,7-6. Функции Эрмита (775). 21.7-7. Некоторые интегральные формулы (776). 21.7-8. Многочлены Якоби и Гегенбауэра (776). 21.8. Цилиндрические функции, присоединенные функции Лежандра и сфери- ческие гармоники..............,. □.................................. 777 21.8- 1. Функции Бесселя н другие цилиндрические функции (777). 21.8-2. Интегральные формулы (779). 21.8-3. Нули цилиндрических функций (780). 21.8-4. Функции Бесселя целого порядка (781). 21.8-5. Решение диф- ференциальных уравнений при помощи функций Весселя н связанных с ними функций (782). 21.8-6. Модифицированные функции Бесселя и Ган- келя (782). 21,8-7. .Функции Ьег^г, bei^z, hermz, heimz, kermz, kel^z (783). 21.8- 8. Сферические функции Бесселя (784). 21.8-9. Асимптотические раз-
ж ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ ложення цилиндрических функций и сферических функций Бесселя для больших значений |z| (785). 21.8*10. Присоединенные функции и много- члены Лежандра (785). 21.8-11. Интегральные свойства присоединенных функций Лежандра (787). 21.8-12. Сферические гармоники. Ортогональ- ность (787). 21.8-13. Теоремы сложения (789). 21.9. Ступенчатые функции и символические импульсные функции ....... 790 21.9-1 . Ступенчатые функции (790). 21.9-2. Символическая дельта-функция Дирака (792). 21.9-3. Производные ступенчатых и импульсных функций (793). 21.9-4. Аппроксимация импульсных функций (794). 21.9-5. Пред- ставления интегралом Фурье (795). 21.9-6. Асимметричные импульсные функции (795). 21.9-7. Многомерные дельта-функции (795). Литература . . . ...................................................... . 796 Указатель важнейших обозначений....................................... 801 Предметный указатель , ............,........................ 804 ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ Глава 1 1.10- 1. Правильные многоугольники ....................................... 47 1.10- 2. Тела вращения.................................................. 48 1.10- 3. Пять правильных многогранников . . . ........................... 49 1.11- 1. Решение плоских треугольников ................................... 50 1.12- 1. Решение сферических треугольников .............................. 54 Г л а в а 2 2.4- 1. Классификация кривых второго порядка............................. 65 2.4- 2. Касательные, нормали, поляры и полюсы кривых второго порядка ... 68 2.5- 1. Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения и основные формулы ................................................................. 72 Г л а в а 3 х 3.5- 1. Классификация поверхностей второго порядка...................... 90 3.5- 2. Стандартные (канонические) уравнения и основные свойства невырож- денных поверхностей второго порядка ..................................... 94 Глава 4 4.5- 1. Производные часто встречающихся функций......................... 108 4.5- 2. Правила дифференцирования . .................................. Ш 4.6- 1. Свойства интегралов.................................,............. 114 4.7- 1. Некоторые часто встречающиеся пределы ............................. 130 4.8- 1. Суммы некоторых числовых рядов.................................... 135 4.10- 1. Действия со степеннйми рядами............................. .... 144 4.11- 1. Коэффициенты Фурье и среднеквадратические значения периодических функций................................................................ 151 4.11- 2. Свойства преобразования Фурье . ...........\...................... 154 4.11- 3. Преобразования Фурье.............................................. 155 4.11- 4. Коси нус-преобразов а ни я Фурье ............................... 158 4.11- 5. Сннус-преобразования Фурье . *. . .........' .........’ . . . • 159 Глава 5 5.2-1. Свойства скалярного произведения ........ 5.2- 2. Свойства векторного произведения ...................... 5.3- 1. Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента ...... 5.5- 1. Правила действий с оператором V ........ ........... . 5.5- 2. Операции над скалярными функциями................ 5.5- 3. Операции над векторными функциями....................... 5.6- 1. Теоремы, связывающие объемные и поверхностные интегралы ...... 164 165 167 172 174 174 Г л а в а 6 6.3- 1. Соотношения между базисными векторами н координатами векторов в раз- личных локальных системах отсчета ................................... • 181 176
ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ 6 4-1. Векторные соотношения я ортогональных координатах ........... 6*5-U Векторные формулы в сферических и цилиндрических координатах . . • б’б-2: Общие эллипсоидальные координаты К, g, v . . ................ б’б-З. Координаты О, т, ф вытянутого эллипсоида вращения............. 6*5-4. Координаты о, т, <р сплюснутого эллипсоида вращения........... 6*6-5. Координаты о, т, z эллиптического цилиндра................./. 6*5-6-. Конические координаты и, г, №........................... 6Л-7. Параболоидальные координаты К Ц. V............................ 6Л-8. Параболические координаты 0, т, Ф ............................. 6.5- 9. Координаты о, т, г параболического цилиндра ................ 6.Б- 10. Бйцилиндрические координаты О, Т, г......................... 6.5- 11. Тороидальные координаты о, т, <р . t ................... . 6.5- 12. Биполярные координаты О, т, ф .............................. Г л а в а 7 7.2- 1. Действительная и мнимая части, нули и особенности для наиболее часто встречающихся функций f (z) = и (х, у) -J- iv (х, у) комплексного перемен- ного z = х 4- iy ....... 7.9- 1. Свойства отображения w ................С ...... 7.9-2 . Примеры конформных отображений............................... 7.9-3 . Конформные отображения некоторых областей D на единичный круг ... М . • « Глава 8 8.3- 1. Теоремы соответствия операций над оригиналами )л изображениями . . . 8.4- 1. Таблица преобразований Лапласа............................... 8.4- 2. Таблица преобразований Лапласа для рациональных изображений F (s) «я = D1(s)/D(s) . /............................................... 8.6- 1. Некоторые линейные интегральные преобразования, связанные с преоб- разованием Лапласа................................................... 8.6- 2.. Преобразования Ганкеля...................................... 8.7- 1, Некоторые конечные интегральные преобразования.............. 8.7- 2. Соответствие операций при ^-преобразовании Г л а в а 9 9.3- 1. Функции Грина для линейных краевых задач. ............... 9.3-2. Дополнительные формулы для ги пер геометрических функций...... 9.3- 3. Дополнительные формулы для вырожденных гнпергеометрических функ- ций ................................................................. Глава 10 10.2- 1. Полные интегралы для некоторых специальных типов уравнений с част- ными производными первого порядка ................................... 10.4- 1. Важнейшие линейные дифференциальные уравнения математической физики ......... .................................................... Глава 12 12.5- 1. Некоторые пространства числовых последовательностей......... 12.5- 2. Некоторые простоанства функций х (О» У (О................... 12.8- 1. Истинностная таблица для булевой функции.................... Глава 13 13.2- 1. Некоторые нормы матриц .............................. Глава 14 Н.7-1, Сравнение различных обозначений скаляров, векторов и линейных опе- раторов ............................................................ Г л а в а 16 16.2- 1. Определения тензорных величин наиболее распространенного типа, основан- ные на законе преобразования их компонент............................ 16.10- 1. Дифференциальные инварианты, определенные в римановых простран- ствах . . . . /...................................................... Глава 18 18.2- 1. Вероятности логически связанных событий.................. 18.3- 1, Числовые характеристики одномерных, распределений вероятностей ....
22 ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ 18.7-1. Перестановки и разбиения............................................ 18.7-2. Сочетания и выборки ................................................ 18.7-3. Размещения в ячейках или расположения .............................. 18.8-1. Вырожденное (причинное) распределение .............. . ........... 18.8-2. Ги пер геометрическое распределение............................ 18.8-3. Биномиальное распределение.......................................... 18.8-4. Распределение Пуассона............................................. 18.8-Б. Геометрическое распределение ............,.......................... 18.8-6. Распределение Паскаля ........................................ . . . . 18,8-7. Распределение Пойа............................. ’.................. 18.8-8. Плотность нормального распределения (стандартизованного)............ 18.8-9. Интеграл вероятностей .............................................. 18.8.10. Функция ошибок..................................... 18.8-11. Непрерывные одномерные распределения вероятностей ...... ...... 567 668 . Б68 571 Б71 572 574 574 574 575 577 Б78 579 580 Глава 19 19.5-1. ^-распределение с т степенями свободы .............................. 621 19.5-2. /-распределение Стьюдента с т степенями свободы ..................... 622 19.5-3. Распределение отношения дисперсий (^-распределение) н связанные с ним распределения............................................................... 623 19.Б-4. ^-распределение................................................... 625 19.5-5. /-распределение Стьюдента........................................... 626 19.5-6. F- рас пределение (распределение с2) . .............................. 627 19.6-1. Некоторые критерии значимости, ^относящиеся к' параметрам о2 нормаль- ной совокупности .......................................................... 633 19-6-2. Доверительные границы для нормальной совокупности.................... 634 19.6-3. Критерии значимости для сравнения нормальных совокупностей ...... 636 19.8-1. Усредняющие фильтры ...................................... ........ 644 Глава 20 20.2- 1. Таблица алгоритма разделенных разностей......................... 657 20.4- 1. Краткая таблица z-преобразований и преобразований Лапласа от сту- пенчатых функций...................................................... 673 20.5- 1. Интерполяционные формулы с центральными разностями.............. 678 20.5- 2. Коэффициенты интерполяционных формул.......................... 680^ 20.6- 1. Многочлены Чебышева и степени х.............................. 687 20.6- 2. Приближения некоторых функций многочленами.................... 688 20.6- 3. Некоторые приближения цилиндрических функций . ................ 690 20.6- 4. Приближения многочленами Чебышева............. . ... . 691 20.6- 5. Схема гармонического анализа иа 12 ординат. . .................. 692 20.6- 6- Разные приближения.............................................. 694 20.7- 1. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса, замкнутый тип............ 697 20.7- 2; Абсциссы и веса для квадратурных формул.......................: . 699 20.8- 1. Некоторые методы Руиге — Кутта для обыкновенных дифференциаль- ных уравнений и систем таких уравнений.................................. 702 20.8-2 . Некоторые методы четвертого порядка типа «предсказание — коррек- ция» .............. ................................................... 705 Г л а в а 21 21.2- 1. Специальные значения тригонометрических функций.................. 720 21.2- 2, Соотношения между тригонометрическими функциями различных аргу- ментов .............................................................. . 722 21.3- 1. Интегральный синус Si (х)........................................ 732 21.3- 2. St (х) и интегральный косинус С1 (х).............................. 733 21.3- 3. Интегральная показательная функция............................... 734 21.4- 1. Гамма-функцня Г (х).......................................... 741 21.5- 1. Определение н свойства биномиальных коэффициентов ........... 745 21.6- 1. Преобразование к нормальной форме Лежандра ...................... -754 21.6-2 . Преобразования эллиптических интегралов.......................... 758 21.6-3 . Преобразования полных эллиптических интегралов.................... 759 21.6-4 . Полные эллиптические, интегралы ЦнЕ............................... 760 21.6-5 , Периоды, нули, полюсы и вычеты эллиптических функций Якоби....... 762 21.6-6 . Специальные значения эллиптических функций Якобн.................. 763 21.6-7 . Изменение переменной на четверть и'половину периода........... . 764 21 6-8. Преобразования первого порядка эллиптических функций Якоби ..... 766 21.7-1 . Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита . . . 769 21.7-2 . Первые ортогональные многочлены 774
Г. КОРН и Т. КОРН СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ НАУЧНЫХ РАБОТНИКОВ И ИНЖЕНЕРОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ТЕОРЕМЫ, ФОРМУЛЫ Издание четвертое Перевод со второго американского переработанного издании И. Г. АРАМАНОВИЧА, А. М. БЕРЕЗМАНА, И. А. ВАЙНШТЕЙНА, Л. 3. РУМШИСКОГО, Л. Я. ЦЛАФА .Под общей редакцией И. Г. АРАМАНОВИЧА В ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1977
51 К67 УДК 510 Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Г. . Корн, Т. Корн. «Справочник» содержит сведения по следующим разделам: высшая алгебра, ана- литическая и дифференциальная геометрии, математический анализ (включая инте- гралы Лебега и Стилтьеса), векторный и тензорный анализ, криволинейные коорди- наты, функции комплексного переменного, операционное исчисление, дифференциаль- ные уравнения обыкновенные и с частными производными, вариационное исчисление, абстрактная алгебра, матрицы, линейные векторные пространства, операторы и теория представлений, интегральные уравнения, краевые задачи, теория вероятностей и мате- матическая статистика, численные методы анализа, специальные функции. Настоящее издание печатается с матриц издания 1973 г. MATHEMATICAL HANDBOOK FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS DEFINITIONS, THEOREMS AND FORMULAS . . FOR REFERENCE AND REVIEW SECOND,ENEARGEND AND REVISED EDITION GRANINO A. KORN, PH. D., THERESA M. KORN, M. S. McGraw-Hill Book Company' •* New York San Francisco Toronto London Sydney, 1968
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ Книгу Г. Корна и Т. Корн «Справочник по математике (для научных работ- ников и инженеров)» отличает весьма широкий охват материала. В ней освещаются почти все вопросы как общего курса математики, так и большинства специальных разделов, изучаемых во втузах с повышенной программой по математике (век- торный и тензорный анализ, криволинейные координаты, уравнения математи- ческой физики, функции комплексного переменного и операционное исчисление, вариационное исчисление, линейная алгебра, теория вероятностей и математи- ческая статистика и т. д.). Кроме того, в книгу включены главы, посвященные современной алгебре, теории интегралов Лебега и Стилтьеса, римановой геомет- рии, интегральным уравнениям, специальным функциям, а также целому ряду других вопросов, далеко выходящих за рамки математической подготовки инже- неров, но постепенно становящихся необходимым орудием для научных работни- ков и инженеров-исследователей, работающих в самых разных областях. Много внимания уделено связи рассматриваемых математических проблем с приклад- ными дисциплинами (методы расчета и синтеза электрических цепей, линейные и нелинейные колебания и др.). В новом издании книга подверглась весьма существенной переработке. За- ново написаны главы И и 20 и значительная часть глав 13 и 18; и без того обшир- ный материал книги пополнился новыми разделами; дискретное преобразование Лапласа (г-преобразование), конечные интегральные преобразования, матричные методы решения систем дифференциальных уравнений, теория устойчивости Ляпунова, математическое программирование, принцип максимума Понтрягина, шаговые задачи управления и динамическое программирование — вот далеко не полный перечень того, что добавлено авторами. Кроме того, из дополнений в книгу включены справочные сведения по геометрии и сферической тригонометрии. Конечно, можно иметь различные точки зрения на то, какой материал следует включать в такого рода справочник; кроме того, в одной книге невозможно изло- жить все разделы с одинаковой степенью полноты. Однако, как нам кажется, ответы на вопросы, не нашедшие отражения в книге, следует искать уже либо в монографиях, либо в специализированных, справочных руководствах (типа отдельных выпусков серии «Справочная математическая библиотека», выпуска- емой Главной редакцией физико-математической литературы издательства «Наука»), В книге принята следующая рубрикация: глава, параграф, пункт; названия' всех пунктов указаны в оглавлении. Сплошная нумерация формул (и таблиц) ведется в пределах одного параграфа; соответственно этому, если в тексте нужно сослаться на формулу этого же параграфа, то указывается только ее номер. При перекрестных ссылках указывается полностью номер главы, параграфа и пункта. В конце книги приводится подробный предметный указатель, а также указатель важнейших обозначений; во всех случаях читатель отсылается к соответствующему пункту. В процессе перевода был обнаружен ряд дефектов и неточностей; кроме того, в некоторых случаях изложение не соответствовало принятому в нашей отече- ственной литературе. Переводчики учитывали справочный характер книги, и для Удобства читателя большинство исправлений, замен и дополнений вносилось прямо в текст. Принадлежащие переводчикам дополнения и подстрочные примечания
24 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ отмечены звездочками.,Пункты, подвергшиеся значительной переработке, также отмечены звездочками. Нам пришлось в значительной мере заменить цитируемую литературу; во многих случаях ссылки делались на неизвествые нашему читателю учебные руководства. Приведенный в конце книги список литературы (ссылки на него помещены в квадратные скобки) меньше всего претендует хотя бы на относитель- ную полноту; в него лишь включены наиболее известные издания (при этом мы сочли возможным не указывать обычные втузовские курсы математики). Значительной переработке подверглись дополнения в книге, включающие разного рода таблицы. Ради уменьшения объема книги некоторые широко рас- пространенные таблицы были изъяты, а остальные помещены в соответствующие разделы «Справочника». Перечень всех имеющихся в книге таблиц приведен после оглавления на стр. 20—22. Мы признательны всем читателям, обратившим наше внимание на те или иные недочеты книги, и будем рады, дальнейшим откликам на новое издание.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ КО ВТОРОМУ АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ Новое издание «Справочника по математике» существенно расширено и допол- нено оригинальным материалом. Включены новые разделы, посвященные г-преоб- разованию, матричным методам решения систем дифференциальных уравнений, теории устойчивости, представлению вращений, математическому программиро- ванию, теории оптимального управления, случайным процессам и т. д. Глава о численных методах почти целиком написана заново Добавлены многие примеры и таблицы. Эту книгу можно рассматривать, во-первых, как достаточно полное собрание математических определений, теорем и формул для научных работников, инже- неров и студентов. Ею могут пользоваться читатели, стоящие на разных уровнях математического развития. Отсутствие доказательств и сжатость табличного пред- ставления родственных формул сделали возможным объединение весьма большого по объему справочного материала в одном томе. Книга, однако, предназначена не только для наведения справок; в ней мы пытались дать связное обозрение математических методов, применяемых в различ- ных приложениях. Каждая глава озаглавлена так, чтобы читатель мог быстро ориентироваться в данном разделе математики. Такое изложение делает текст удобным для пользования благодаря отсутствию доказательств; многочисленные ссылки открывают доступ к более детальному изучению материала книги. Особое внимание уделяется выявлению взаимосвязи различных разделов и их роли в научных и инженерных приложениях; это достигается при помощи соответствующих вводных замечаний и перекрестных ссылок. Авторы пытались удовлетворить запросы разных кругов читателей, разделив материал книги на три группы: 1. Наиболее важные определения и формулы, специально выделенные для наиболее быстрого их обозрения. 2. Основной текст, состоящий из сжатого и связного обзора основных резуль- татов. 3. Более детальное обсуждение дополнительных вопросов, выделенное мел- ким шрифтом. При таком построении включение этого материала не нарушает структуры основного изложения. Главы с 1 по 5 дают обзор основного курса колледжа *) по алгебре, аналити ческой геометрии и анализу; глава 4 содержит также изложение интегралов Лебега и Стилтьеса и рядов и интегралов Фурье, а глава 5 — векторный анализ. Главы 6, 7 и 8 посвящены криволинейным координатам, функциям комплекс- ного переменного и преобразованиям Лапласа. Добавлен новый материал по конеч- ным интегральным преобразованиям и г-преобразовйнию. В главах 9 и 10 излагаются обыкновенные дифференциальные уравнения и урав- нения с. частными производными, включая методы интегральных преобразований, метод характеристик и теорию потенциала; проблемы собственных значений трактуются в главе 15. Глава 11 существенно изменилась; в дополнении к обычной теории экстремума и классического вариационного исчисления здесь добавлены разделы по линейному *) Зто примерно соответствует общему курсу математики, изучаемому в наших вту- вах, (Прим, ред.)
26 ИЗ-ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ и нелинейному программированию, теории игр, теории оптимального управления, принципу максимума и динамическому программированию. В главе 12 вводятся элементы современного абстрактного языка и описывается конструкция математических моделей, таких, как группы, кольца, поля, векторные пространства, булевы алгебры и метрические пространства. Изучение функцио- нальных пространств, продолженное в 14-й главе, позволяет расширить приме- нение методов функционального анализа к краевым задачам и проблемам собствен- ных значений в главе 15. Разделы, имеющие дело с более специальными темами, не претендуют на пол- ноту; их цель заключается в том, чтобы познакомить читателя с сущностью определений и побудить его к чтению современной специальной литературы. В главе 13 рассмотрены матрицы-, здесь добавлены новые пункты по матрич- ным. методам решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравне- ний и по теории устойчивости Ляпунова. В главе 14 рассмотрены линейные векторные пространства, линейные преобразования (линейные операторы), задачи о собственных значениях и описывается применение матриц для представления математических моделей. Дополнен материал по представлению вращений, в связи с его важностью для физики. Глава 15 содержит изложение разделов, связанных с проблемой собственных значений, включая задачу Штурма — Лиувилля, краевые задачи для двумерных и трехмерных областей и линейные интегральные уравнения. Главы 16 и 17 соответственно касаются тензорного анализа и дифференциаль- ной геометрии и включают описание плоских и пространственных линий, поверх- ностей и кривизны пространства. В связи с возрастающей ролью статистических методов глава 18 представляет довольно детальное изложение теории вероятностей и включает заново написан- ное введение в теорию случайных процессов, корреляционных функций и спектров. Глава 19 касается важнейших методов математической статистики и включает подробные таблицы формул, описывающих специальные выборочные распреде- ления. В новой главе 20 рассмотрены конечно-разностные методы и разностные урав- нения и изложены основные методы численного анализа. Глава 21 представляет по существу собрание формул, описывающих свойства высших трансцендент- ных функций. Авторы надеются и верят, что эта книга даст читателю^добный повод детально познакомиться с математическими методами и таким образом расширить свой кругозор и взглянуть на свои специальные знания с более общей точки зрения.
ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ) 1.1. ВВЕДЕНИЕ. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 1.1-1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Эта глава посвящена алгебре1) действи- тельных и комплексных чисел, т. е. изучению тех соотношений между дейст- вительными и комплексными числами, в которые входит конечное число сло- жений и умножений. Уравнения, основанные на таких соотношениях, рассмат- риваются здесь даже и в том случае, если при фактическом их точном число- вом решении нельзя обойтись конечным числом сложений и/или умножений*). Определения и соотношения, изложенные в этой главе, служат основным ору- дием во многих более общих математических моделях (см. также п. 12.1-1). 1.1-2. Действительные числа. Сложение и умножение действительных чи- сел обладают следующими свойствами. Если а и b—действительные числа (алгебраические, рацио- нальные, целые, положительные целые), то таковыми же являются a-pb и ab (замкнутость), а-\-Ъ=Ь -f-a, ab=ba (коммутативность), a+(^+c) = (a+f>)+c=a-|-6-|-c, 1 . . a (be) = (ab) c=abc / (ассоциативность), а-1 — а (единица),. а(Ь-)-с)—аЬ-)-ас (дистрибутивность), из а-\-с—Ь-(-с следует а=Ь, из са=сЬ, с^О, следует а=Ъ (сокращение). Действительное число 0 (нуль) обладает свойствами а-(-О=а, ] о-0=0 ) (1.1-1) (1.1-2) для каждого действительного числа а. (Единственное) противоположное число —а и (единственное) обратное число а~1—[/а для действительного числа а определяются соответственно так: о+(—о)— а—«=0, са"1 = 1 (а ф 0). (1.1-3) Делить на нуль нельзя. Помимо «алгебраических» свойств (1), класс положительных целых, или натураль- ных, чисел 1, 2, . . . обладает свойством упорядоченности (п. 12.6-2; п «больше, че'м» т, или n~>mt если п — т^х, где х—некоторое натуральное число) и полной упорядо- ченности (каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент). Множество натуральных чисел, содержащее число I и для каждого из своих элементов п следующий за ним элемент содержит все натуральные числа (принцип пол- ной индукции). Свойства натуральных чисел могут быть выведены из пяти аксиом Пеано: 1) 1 есть натуральное число; 2) для каждого натурального числа N существует единственное сле- дующее за ннм натуральное число S(n); 3) S(n)^rl; 4) из S(n)=S(m) следует п = т и 5) имеет место принцип полной индукции. (При его формулировке элемент, следующий *) См. также подстрочное примечание к п. 12.1-2. . *) Термин «А и/или В» (по арглнйски «and/or») означает, что имеет место или А* илн В, или А и В вместе. Этот термин применяется в дальнейшем очень часто.
28- ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.1-8.’ ва п, обозначается через S(n)_) Сложение и умножение, подчиняющиеся правилам (1.1-1). определяются «рекуррентными» соотношениями п 4- 1 = S(ri), п 4- S(m) = S(n 4- т), п*1 = п, п • S (т) = п • т 4~ п. Целыми числами называются числа вида п,—п и 0, где п — натуральное число, а рациональными — числа вида pfqt где р и q — целые числа и q rtz 0. Действительные числа можно ввести, исходя из множества рациональных чисел, С помощью предельного процесса (см., например, [4.2]). Действительные числа, ив'являю- щиеся рациональными, называются иррациональными. Действительными алгебраическими числами называются действительные корни алгеб- раических уравнений с целочисленными коэффициентами (п. 1.6-3), а действительными трансцендентными числами — остальные действительные числа. Класс всех рациональных чисел содержит корни всех линейных уравнений (п. 1.8-1) с рациональными коэффициентами и включает в себя все целые числа. Класс всех дейст- вительных алгебраических чисел содержит действительные корни всех алгебраических уравнений (п. 1.6-3) с алгебраическими коэффициентами и включает в себя все рацио- нальные числа. 1.1-3. Отношение равенства (см. также п. 12.1-3). Из а = Ь следует Ь—а (симметрия отношения равенства), а+с—Ь+с и ас—Ьс (вообще / (a)=f (6), если f (а) обозначает некоторую операцию, приводящую к единственному результату). Из а=Ъ и Ь—с следует а=с (транзитивность отношения равен- ства). Из аЬ^.0 следует и 6^0. 1.1-4.' Отношение тождества. Вообще говоря, уравнение относительно какой-либо величины л: или нескольких величии хи х2, .. . будет удовлетворяться только при неко- торых специальных значениях х или специальных множествах значений xt,x2, . . . (см. также п. 1.6-2). Если хотят подчеркнуть тот факт, что какое-нибудь уравнение удовлет- воряется при вс£х значениях х или xi,x2, ... в известных представляющих интерес пределах, то вместо символа иногда пользуются символом тождества — (пример: (х— 1) (х 4- 1) ~ х2— 1), а пределы изменения рассматриваемых переменных иногда ука- зывают справа от уравнения. Символ а~Ь употребляется также в смысле: «а по опре- делению равно £». ' 1.1-5. Неравенства (см. также пп. 12.6-2 и 12.6-3). Действительное число а может быть положительно (а > 0), отрицательно (а < 0) или равно нулю (а=0). Сумма и произведение положительных чисел положительны. Действительное число а больше-действительного числа Ь (а> Ь, Ь< а), если а—Ь+х, где х— некоторое действительное положительное число. Из следует fc-J-c, ac>bc, если с>0, и ac<Zbc, если с<0 (в частности, —a<z — Ъ), 1/а<1/Ь, если а6>0 и 1/а>-1/Ь, если ab <ZO.. Из а^Ь и bz>c следует а->:с. Из а^А H .fcjgB следует a-f-fcsg А-|-В. 1.1-6. Абсолютные величины (см. также пп. 1.3-2 и 14.2-5). Абсолютная величина | а | действительного числа а по определению есть число, равное а, если а 0, и равное' —а, если а < 0. Отметим; 1а 1^0; из laj = 0 следует а=0,1 |а[-|6||^|а+5|^|а| + |6|.) (1.1-4) ,|а| — |6.||sgpJ—6|=б|а|+|6|; ) |аб| = |а| IH ' f| = jT| Из |а|^А и | Ь | В следует a-j-bj^A-j-B и |а6|<;АВ. (1.1-6) 1.2. СТЕПЕНИ, КОРНИ, ЛОГАРИФМЫ И ФАКТОРИАЛЫ. ОБОЗНАЧЕНИЯ СУММ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ 1.2-1. Степени и корни. В случае, когда показатель степени п есть нату- ральное число, п-я степень произвольного действительного числа а (основания степени) есть произведение п множителей, равных а. При а^Опо определе- нию с°=1. Если с>0 и п — любое натуральное число, то арифметический корень п-й степени из а есть единственное положительное решение уравнения
1.2-3. 1.2. СТЕПЕНИ. КОРНИ, ЛОГАРИФМЫ И ФАКТОРИАЛЫ 29 jtn=a; он 'обозначается символом a^,n = r^a. При a=0, 0,/n= y^O =0. Если же a < 0, то корень n-й степени из а определяется лишь при нечетном п. Именно, = учесть в этом случае единственное действительное (на самом деле отрицательное) решение уравнения хп—а. Пусть теперь Если p=nlm, где п и т— натуральные числй, то по определению йР = (а1(^)п=(а«)1/т и а"Р=1/оР (а^О). При любых натуральных /гит оп/т = (1.2-1) п~: (&#0). /6 Степени с иррациональными показателями могут быть введены с помощью некоторого предельного процесса (см. также п. 21.2-12). Соотношения aP .cfi = aP+9, (аР)9=аР9 (а>0), . (1.2-2) верные для рациональных показателей, остаются справедливыми и для любых действительных р и q. Далее, для любых действительных р и ? (а>0 и t>0) 1 аР а'р-~Р> (ab)P=aPbP, (f)₽ = J Замечание, (квадратный корень из числа а^О) обычно обозна- чается символом Va . О степенях комплексных чисел и корнях из них см. п. 1.3-3. 1.2-2. Формулы для уничтожения иррациональности в знаменателе дроби. ' ° ° Уь b Vb ’ (1.2-3) а ап 7?=VV (1.2-4) =^_(КГтКГ), гb±Vc b—c (1.2-5) а (1.2-6) 1.2-3. Логарифмы. Логарифм x=logca числа а>0 при (с 7^1) можно определить как решение уравнения сх=а. В табл. 7.2-1 и в п. 21.2-10 приведены некоторые более о логарифмах. logc а может быть трансцендентным числом (п. clogca=a, lOgcC==i, logc cP=р, logc 1=0, logc (°b) — logc a+logc b (основное свойство . lo& = lo&a~ lo& b, logc aP=P l°gc a, logc (1/^)=~ logc a; !og a log£c'’ °&c'c основании (1.2-7) общие сведения 1.1-2). Отметим: I логарифмов), I }. (1.2-8) J 1(^ е<- (замена основания). (1.2-9) 1%, a=log£a.logt,,c
30 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.8-4. Особый интерес представляют десятичные логарифмы с основанием 10 и натуральные (неперовы) логарифмы с основанием е= lim (1+-Г =2,718281828... п-кя ' п' (1.2-10) е—трансцендентное число. Логарифм logea обозначается символом Ina, a logJfta— символом 1g а. Отметим: 1па=^Д=1п 10.1g а= (2,30259...) 1g а, 1g а== 1g е • In а = (0,43429...)' 1п а. (1.2-11) 1.2-4. Факториалы. Факториал nt произвольного целого числа п^0 опре- деляется формулами: 01 = 1, п!= А=1 • 2 • 3...(n— l)n (n>0). (1.2-12) = J В п. 21.4-2 приведены приближенные формулы для вычисления факториа- лов п! при больших п. 1.2-5. Обозначения сумм и произведений. Для любых двух целых чисел (по- ложительных, отри цательных или равных нулю) п и т п т 2 ak = an+an + i+—+am-i (m—n + 1 слагаемых), k — n Т[ак = апЙп + г--ат-1ат (m—множителей). k ~ п Отметим: (1.2-13) (1.2-14) tn т' т' т S S aik~ S 2 aik> i^nk—n' k~n'i=*n m m* m* tn П П П П i = n n* k = n' i = n (1.2-15) Бесконечные ряды см. в гл. 4. 1.2-6. Ар фметическая прогрессия. Если аь—Первый член, a d—постоян- ная разность между следующим и предыдущим членами, называемая разностью прогрессии, то a/=ao + /'d (7=0, !> 2—•). п sn= 2 й/=-ЧЛ(2ао+/мг)=Мг' <ao+an)" (1.2-16) 1 = о 1.2-7. Геометрическая прогрессия. Если afl — первый член, аг =/= 1 — постоян- ное отношение следующего члена к предыдущему, называемое знаменателем прогрессии, то a/=aor>(/ = 0, 1, 2,...), vt 1 — г" +1 °о — апг sn= 2 ai = 2 i_-r -- C1-2"17) i = о i = о
1.3-1. 1.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 31 О бесконечной геометрической прогрессии см. п. 4Л0-2. 1.2-8. Некоторые числовые суммы (см. также [4.6]). _ п(л + 1) 2 ’ п(п + 1) (2п + 1) пг(п + 1)» 4 6 У (2k-D = n\ k — i У (2fe —l)a=n0n‘3~ Г) > k = i У (2fe-l)3='na(2n2-l) k = 1 (общую формулу п ДЛЯ сумм 2 kN k = l 2 A (ft -ь 1) = " fe = l см. в п. 4.8-5, d). 1 п “я + 1 + 1 ’ S ft (А + 1) (А-ь 2) Бесконечные ряды см. в 4.8. 1.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1.3-1. Вводные замечания (см. также п. 7.1-1). Комплексные числа (ино- гда называемые мнимыми числами) не являются числами в элементарном смысле слова, применяемыми при подсчетах и измерениях. Они составляют новый класс математических объектов, определяемый описанными ниже свой- ствами (см. также п. 12.1-1). Каждому комплексному числу с можно поставить в соответствие единст- венную пару (a, ft)-действительных чисел а и b и обратно. Сумма и произведе- ние двух комплексных чисел с*-—(«], fer) и съ-^(а^, Ь2) определяются соот- -ветственно следующим образом: с1+с2 — (а^+оа, fei+(?2) и с}с2—*(<ha2 — ~b1b2,alb2-^-aSibl'). Действительные числа а содержатся в классе комплексных чисел в качестве пар (а,0). Мнимая единица I, определяемая условием 1"*(0,1), удовлетворяет соотношению 1. (1.3-1) • Каждое комплексное число .с—» (аб,) может быть записано в виде суммы c~a-\-ib действительного числа а-—(а,0) и чисто мнимого числа ife—»(0,fc). Действительные числа a = Re си b— Im с соответственно называются действи- тельной частью и мнимой частью комплексного числа с. Два комплексных числа с = а + ib и с —а — ib, имеющие одинаковые действительные и противо- положные мнимые части, называются сопряженными комплексными числами. Два комплексных числа ct = аг -f- ibi и с2 = равны в том и только в том случае, если соответственно равны их действительные и мнимые части, е. d — с2, лишь если aj—a^ и = Ь2, Из с = а + ib = 0 следует а = b = 0.
32 ГЛ? I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ «.3-2. Сложение и умножение комплексных чисел удовлетворяют правилам пп. 1.1-2-и 1.2-1, причем i2= 1, is= i, i4 = l, V (13-2) i4«+l==f, i4«+2 = —l, 1’4П+3 = _,/> i4n=l (n = 0, 1, 2,...)’ f r c, ± c2=(fli ± tz2)-f-i (&i ± b2), clc2 = (at°2 — ЬлЬг) +1 («1^2 + Ci__(it + ibt_ (aids + bibs) + i (ci2bi — dibs) a| + Z>| C1+C2=Q+C2. lptft=^C2. (ci/ca) =Cj/c2 (c2 ¥= 0), ~c—o, a=Rec=^y£_, & = Imc=^^-. (1.3-3) Класс всех комплексных чисел содержит корни всех алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами и включает в себя действительные числа. 1.3-2. Изображение комплексных чисел точками, или радиуса и-векторами. Тригонометрическая форма комплексного числа (см-, также п. 7.2-2). Комплекс- ное число z—x-\-iy удобно изображать точкой (г)=(х, у) илн соответствующим радиусом-вектором (пп. 2.1-2 и 3.1-5) на комплексной плоскости (рис. 1.3-1). Оси Ох и Оу (в прямоугольной декартовой системе координат) называются соответственно действительной и мнимой осью. Абсцисса и ордината каждой точки (г) изображают соответственно действитель- ную часть х и мнимую часть у числа г. Соответст- вующие полярные координаты (п. 2.1-8) Рис. 1.3-1. Изображение комплексных чисел точками или радиусами-векторами. Осн Ох и Оу называются соответственно действитель- ной и мнимой осью. г==| г | = V"xa+f/a = Vzz=| г |, (1-3-4) <p=Argz, tg<p=^- (х¥=0) называются модулем и аргументом комплексного числа г. Отметим: x=rco8q>, t/=rsinq>, z=x-f-if/=r(cos<p+i sin <р). (1.3-5) Модули комплексных чисел удовлетворяют соотнес шенйям (1.1-4) — (1.1-бу. Если г—действительное число, то его модуль |г{ ра- вен его абсолютной величине (п. 1.1-6). * Аргумент комплексного числа г определяется с точностью до слагаемого 2/гзт, где k—любое целое число. В качестве елавного значения Arg г обычно выбирают значение, опреде- ленное-неравенствами —л < Arg г л. Главное значение аргумента г обозна- чают через arg г. При принятом условии arga=—arg г. * Для любых двух множеств (действительных или) комплексных чисел ах, «г. •••. а„ и ₽!, р2, ..., р„ п .2 п П 2 ai₽i S । a« la S I ₽« 1а (неравенство Коши — Буняковского) (1.3-6) i=l /=1 ё=1 к (см. также пп. 14.2-6 и 14.2-6, а). 1.3-3. Представление суммы, произведен я и частного. Степени и корни. Сумме комплексных чисел соответствует сумма соотиетствующих радиусов- векторов (см. также п. п. 3.1-5 и 5.2-2). Если даны гг = rr (cos <рх -j- i sin <р2)
1.4-1. 1.4. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ 33 И Zi == r-2 (cos ф2 4-1 sin <p2), TO «122 = Vi [cos (<P1+<p2) + i sin (<pt 4- фз)], 51=fl [ cos (<pt—<p2) 4- i sin (ф!—ф2)1 (z2 =/= 0) г" = rn (cos ф 4- i sin <p)n = rn (cos rap 4- i sin пф) (n—целое число) (формула Муавра). Случай, когда показатели степени комплексны, см. в п. 21.2-9. п,— Если п—натуральное число и с—комплексное число, то с (корень n-й степени из с) есть решение уравнения гп—с. При е=/=0 существует ровно п различных корней n-й степени из с. Они определяются формулами У с =V|c|(cosX^--Hsm - „ ) где |/’|с| —арифметический корень из положительного числа |с| (п. 1.2-1), ф=аг§с и 6=0, 1, 2, ..., п— 1. Отметим, что пГГ ________2fert , , 2йл V I = cos---------(-»sm —•, * п 1 п ’ ?^T = cos <2*±J>2L+/ sin ga+i)"t r n 1 n. * (1.3-8) В частности^ (n=l, 2, ...) 6=0, 1, .... n —1). Г1=±1. К—l = + i, (1.3-9) 1.4. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ 1.4-1. Бином Ньютона и родственные формулы. Если а, b и с—действитель- ные или комплексные числа, то (а ± 6)2=«2-± 2аЬ-\-Ь^, (а + &)3=аЗ ± За^Ь+ЗаЬ2 ± Ь3, (а + &)4==а4 ± 4а3Ь 4- 6агЬ2 + 4ай34"^1« (а4-6)"= 5 (п=1, 2,...)е i=o СП = (7)“7Г(П^7>Г —— °г 1» 21 •••)•
34 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.4-2. (Бином Ньютона для целочисленных показателей и; см. также п. 21.2-12.) Биномиальные коэффициенты С^п подробно рассматриваются в п. 21.5-1 (a+fe-f-c)2=a2+fe2+ca4-2afe-f-2ac+2fccj (1.4-2) аа—ft2 = (а 4-ft) (a—b), 1 a2+fe2 = (a+tfe)(a—ife). J (Ь ’ ' Если п—любое натуральное число, то an—bn^=(a—b)(an~^+an~zb+...+abn-z+bn-^. (1-4-4) Если п—четное положительное число, то а«_b^ = (a-\-b) (а'1~1—</1-2Ь+...+аЬп~2—Ь^-1). (1-4-5) Если п—нечетное положительное число, то а"+Ьп = (а+Ь) (а"~1—ап~2Ь-f-...—abn~2+Ьп~*). Отметим также: , &+а2Ь2+Ь* = (а2 + аЬ+Ь2)(а2—аЬ+Ь2). (1.4-6) 1.4- 2. Пропорции. Из a:b—c:d или alb=cld следует: <пРО113водные пропорции). (1.4-7) В частности, а±Ь с±а а—ь с—а .. . о. b d ’ a+b c-f-d' (1-4-8) 1.4- 3. Многочлены. Симметрические функции. (а) Многочлен (целая рациональная функция) относительно xt, хв, хп есть сумма конечного числа членов вида ах(lx22..jcnn, где каждое kj есть неотрицательное целое число. Наибольшее значение суммы fej + &2+ встречающееся в каком-либо из членов, называется степенью многочлена. Многочлен называется однородным, если все его члены имеют одну и ту же степень (см. также п. 4.5-5). (Ь) Многочлен относительно х*. Xg, ..., хп называется симметрическим, если для любо- го множества значений х*, х2, ..., хп значение этого многочлена не изменяется при какой угодно перестановке х^, х%, ..., хп (это определение распространяется и на любые функ- ции от Хр х2, xnj. Элементарными симметрическими функциями от Хр х2.......хп называются многочлены S*, S& ... f Sn, определяемые следующим образом: $1=*14-Х2+-.4-хл, Sa = x1x8 + x1x8 + ...f \ Sa—XjXgXg + xtx2x4 ..., Sn r^XiXa ... xn, j 0-^9) где —есть сумма всех пР°ИззеДений> кажДое из которых содержит k сомножителей Ху с несовпадающими индексами. Каждый симметрический многочлен относительно xt, х%...хп может быть единственным образом записан как многочлен относительно Sp Sg, ... , коэффициенты этого нового многочлена являются алге- браическими суммами целочисленных кратных заданных коэффициентов. Каждый симметрический многочлен относительно xlt х3, ... t хп может также быть выражен как многочлен относительно конечного числа симметрических функций п п п sa~n, S1= y xt, sa= у x2i, ... , sk~ У ' (1.4-10)
1 5.. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 35 Симметрические функции (9) и (10) связаны формулами Ньютона *fe-Sfe-l'Sl+W2-- + <-1>4-n'S«=° J (см также n. 1.6-4). Заметим, что в сортиошеиия (11) в явном виде не входит п. 1.5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1.5-1. Определение. Определитель (детерминант) all а12 ••• aln a21 fl22 ••• °2n ani an2 ••• ann (1.5-1) квадратной таблицы (матрицы, п. 13.2-1) с и2 (действительными или комплекс- ными) числами (элементами) ац, есть сумма nl членов (—l)r a1ylaiyi...anynJ каждый из которых соответствует одному из nl различных упорядоченных множеств ki, k2, kn, полученных г попарными перестановками (транс- позициями) элементов из множества 1, 2......и. Число п есть порядок опре- делителя (1). Фактическое вычисление определителя по его пп. 1.5-2 и 1.5-5,а. Отметим, что элементам упрощается с помощью п S Ыа , 1=1 *=1 (неравенство Адамара). . (1.5-2) !.з-з. D = det la,-ft] = 1.5-2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или по столбцу. (Дополнительный) минор £>/* элемента в опре- делителе n-го порядка (1) есть определитель (и—1)-го порядка, получа- ющийся из определителя (1), если из него вычеркнуть t-ю строку и fe-й стол- бец. Алгебраическое дополнение Aiy элемента щу есть коэффициент при aLy в -разложении определителя D, или ^ift = (-iy+W,-fe=— (1.5-3) Определитель D можно следующим образом выразить через элементы произ- вольной его строки или столбца и их алгебраические дополнения: п п D = det [aik] = ai)Ai)= S aikA/k 0 -б"4) 1=1 fe=l (/ = 1, 2,..., n) (разложение no столбцу или no строке). Отметим также, что п п (j^l). (1.5-5) 1.5-3. Примеры. Определители второго и третьего порядка: «11 013 «11 О&3 «81 ' О$з «1/ «23 «83 |«11 «If I «al агг[ = а“а‘‘-а1‘а‘1' = ацагва3^— «ц«2з«з2 4~ «12«29«81 “ «12«21«зя 4~ «l8«2i«ii -** (1.5-6) — «18«2В«31 = «11 («Й2«33—«гЭ«8з) —«81 («18«8?““ «18«3я) 4~ «81 («12«28 «lS«fj ) :=я = «11 («1Я«81;—«Е3«82) — «18 («И«88— «Я8«81) 4" «1S («21«82 «18 «31) И Ъ Д, (1.5-7)
36 гл. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.5-4. 1.5-4. Дополнительные миноры. Разложение Лапласа. Определитель m-го порядка М, получающийся из определителя п-го порядка D (т^п), если из него вычеркнуть какие- либо п—'т строк и какие-либо п—т столбцов, называется минором т-го порядка опре- делителя D, Минор m-го порядка М и мииор (п— т)-го порядка М' определителя £>, получающийся, если из D вычеркнуть строки и столбцы сохранившиеся в 44, называются дополнительными минорами: в частном случае т=~п, 1. Алгебраическое дополнение М,г минора 7И в D по определению равно (—1) 4’^2“’’* •"^'^тМ'.где ... Лт — номера строк, a kvk2..km~~ номера столбцов, входящих в 44. Пусть заданы любые т строк (или столбцов) определителя D. Тогда D равен сумме произве- дений 4441" всевозможных миноров т-го порядка 41, расположенных в этих строках (или столбцах), на Тих алгебраические дополнения М" (разложение Лапласа по нескольким строкам или столбцам). Определитель п-го порядка D имеет С™ главных миноров m-го порядка, диагональные элементы которых являются и диагональными элементами D. 1.5- 5. Различные теоремы. (а) Величина D определителя (1) не меняется при любой из следующих операций: 1) замене строк столбцами и столбцов строками (перемене мес- тами индексов i и k в равенстве (1)); 2) четном числе перемен местами любых двух строк или любых двух столбцов; 3) прибавлении к элементам любой строки (или столбца) соответ- ствующих элементов какой-либо другой строки (или соответственно . столбца), умноженных на одно и то же число а. Пример: аП й12 ••• а1п aZl а22 ••• агп ап1 ап2 ••• . &пп а11 O2i а22 ... ап1 • •. ап2 а114*аа12 a2i “Н <ха22 а12 а22 ащ О2П. . (1.5-8) а1П а2П ••• апп anl+Kan2 ®П2 • • • апп (Ъ) Нечетное число перемен местами любых двух строк или любых двух столбцов равносильно умножению определителя на —1. (с) Умножение всех элементов какой-либо строки или столбца на множи- тель а равносильно умножению определителя на а. (d) Если элементы j-й строки (или столбца) определителя п-го порядка D т т т представлены в виде сумм У cr}, сг2,...;, У сгп, то определитель D ра- Г=1 г==1 Г=1 т вен сумме У Dr определителей п-го порядка. Все элементы каждого из опре- г — 1 делителей Dr, кроме элементов ’j-й строки (столбца), совпадают с соответ- ствующими элементами определителя.D, а в j-й строке определителя Dr стоят элементы crj, сг2,...} сгп. Пример. aii + bit а12~Ъ~Ьц ... °1п + ^1л a2l c22 Й2Л anl °„2 ••• «nn ali fl12 ••• ощ а21 °22 ••• а2л Ьц Ьц ••• figl Й22 ... Й2Л • (1.5-9) ап1 ап2 ••• апп an2 ••• аПП
1.6-3. 1.6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ: ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 37 (е) Определитель равен нулю, если v 1) все влементы какой-либо его строки или столбца равны нулю, 2) соответствующие элементы каких-либо двух его строк или столбцов равны или оке пропорциональны. 1.5-6. Умножение определителей (см. также п. 13.2-2). Произведение двух определителей n-го порядка det laik] и det равно и det [ai/t] det [M = det J] aUbjk п У ajiPkj = det =det п S ачьы- п = det ^ajibfk • (1.5-10) J=1 1.5-7. Изменение порядка определителей. Данный определитель можно следующим образом записать в виде определителя более высокого порядка: “11 “12 “1П °21 °22 • • • “гп аи “12 ••• “1« “1 “21 “22 "• “2П “2 (1.5-11) “nl “п2 • • • апп а, ... °-- а- nl м2 пп п о О . . . 0 1 где числа а- произвольны. Этот процесс можно повторять сколько угодно раз. Порядок данного определителя иногда можно понизить с помощью соотношения “и “12 ; • “in “и “12 • • • “1m “21 “22 • • • “гп “21 “22 • • • “гт “л1 “„2 о 0 о 0 апп “nl “п2 • • • “пт 0 *11. "12 ••• blm ° *21 *22 * • • *2т 1.6-1. Вводные замечания. Решение алгебраических уравнений, имеет особо важное значение в связи с тем, что к этому виду относятся характеристические уравнения сис- тем линейных дифференциальных уравнений (см. ’также пп. 9.4-1, 9.4-4 н 14.8-5). Общая задача отделения корней (возникающая, например, прн исследовании устойчивости) может быть изучена методами п. 1.6-6 и/или п. 7.6-9. Приближенное решение уравнений рас- сматривается в пп. 20.2-1 — 20.2-5. 1.6-2. Решение уравнения. Корни. Решить уравнение (см. также п. 1.1-4) /«=0 (1.6-1) с неизвестным х — значит найти значения х (корни уравнения (1), нули функ- ции f (х)), удовлетворяющие этому уравнению. Решение можно проверить подстановкой. 1.6-3. Алгебраические уравнения. Уравнение (1) вида /(х)еа(1х"-|-а1л''1'1-|—+«n-ix+a„=0 (ао^0), (1-6-2) где коэффициенты af—действительные или комплексные числа, называет- ся алгебраическим уравнением степени п с неизвестным х; f (х) — многочлен
38 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1-6.4- степени и относительно х (целая рациональная функция; см. также пп. 4.2-2, d и 7.6-5). Коэффициент ап — свободный член многочлена (2). . Значение х=хх есть корень кратности (порядка) т (кратный корень, если т> 1) уравнения (2) (нуль порядка т функции f (х); см. также п. 7.6-1) если f(x)—g(x) (х—Х])"1, где g (х)— многочлен'и g(Xj)^=0. Алгебраическое уравне- ние степени п имеет равно п корней, если корень кратности т считать т раз (основная теорема алгебры многочленов). Полное решение уравнения (2) указывает все корни вместе с их кратностями. Числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений с целочисленными коэффи- циентамн, называются алгебраическими числами (вообще говоря, комплексными); если коэффициенты — алгебраические числа, то корни все еще остаются алгебраическими (см. также п. 1.1-2). Общие формулы, выражающие корни алгебраических уравнений через их коэффициенты и содержащие только конечное число сложений, вычитаний, умноже- ний, делений и извлечений корня, существуют только для уравнений следующих степе- ней: первой (линейные уравнения, п. 1.8-1), второй (квадратные уравнения, п. 1.8-2), третьей (кубичные уравнения, пп. 1.8-3 и 1.8-4) и четвертой (уравнения четвертой сте- пени, пп. 1.8-5 и 1.8-6). 1.6- 4. Соотношения между корнями и коэффициентами. Симметрические функции Sk и Sfe (п. 1.4-3) корней Хи хг, ...» хп алгебраического уравнения (2) связаны с его коэффи- циентами а0, аи ...» ап следующим образом: — = ( — l)*Sfe (Л = 1,2........п), (1.6-3) О kak-^ak _ 1s1 J- ak _ 2s2 + ... 4-tzosfr=O (k’= 1, 2, .... n). (1.6-4) Равенства (1.6-4) представляют собой другой вариант формул Ньютона (1.4-11). Отмесим закже °/г l)fe а k\ S3 s8 Si sa О . . 2 0 . Sj 3 О sk sk~ 1 • 81 sk Ci 2а2 ЗСа Oq ai a2 о . . а0 О Ci а0 О (k= 1, 2, ...» и). (1.6-5) 0 0 0 0 0 0 Cl 1.6-5. Дискриминант ka k ak-l алгебраического уравнения. Дискриминант А алгебраического уравнения (2) есть произведение а*п ~~ 2 и квадратов всех разностей —х^ корней xL уравнения (квадратные корни порядка т рассматриваются как т равных кор- ней с разными индексами): д = — 2 П (х,- — xk)2 = а2п — 2 [ W (х„ х2, ..., х„) ]2 = о h ° So Si s2 sn- 1 где 2п — 2 = си Si S2 S3 S1 и (и — 1) ~ R (f> f'). (1.6-6) Sj *1 W (x„ x21 XS 2 X2 =n - 1) 2 2 — 2 :п х2 . П П "
t.6-e. 1.6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ: ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 39 (этот определитель называется определителем Вандермонда), — суммы k-x степеней косней многочлена f (х) (s0 = п) н R (f, [’) — результант (п. 1.7-3) многочлена f (х) и его поонзводной (п. 4.5-1) Г (х). Дискриминант Д есть симметрическая функция корней х,. Хг .... хт обращающаяся в нуль в том н только в том случае, если f (х) имеет по край- ней мере один кратный корень (необходимо являющийся общим корнем f (х) и f (х); см. также и. 1.6-6, g). 1.6-6. Действительные алгебраические уравнения и их корни. Алгебраи- ческое уравнение (2) называется действительным, если все его коэффициенты а___действительные числа. Соответствующий действительный многочлен f (х) при всех действительных значениях х принимает действительные значения. Для отделения корней (действие, которое предшествует приближенному ре- шению уравнений, п. 20.2-1) полезны нижеследующие теоремы. В теоремах (Ь) _ (f) корень кратности т рассматривается как т корней. (а) Комплексные корни. Комплексные корни действительного алге- браического уравнения появляются парами комплексных сопряженных чисел (п. 1.3-1). Действительное алгебраическое уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень. «Все корни уравнения (2) по модулю не превосходят числа /V = 1 ;—- I Qo I * где А — наибольшее из чисел | аг | , | а2 |,..., | ап ; это правило справедливо и для уравнений с комплексными коэффициентами.# (Ь) Теорема Рауса — Гурвица. Число корней с положительной дей- ствительной частью действительного алгебраического уравнения (2) равно числу перемен отличны или где знака в любой из последовательностей (в от нуля) р гр Г з лп 'Л ГР ГР ГР 'Р 1 О» 1 1» 1 2» 1 2J 3» предположении, что 7\ Тп тп-1 ’ , Тп_2Т, 0 аа «2 «4 (1.6-7) ai Tg— as «в «о Ty=ai, T2 0 Оз а0 0 Og а4 Оз а6 а& (1.6-8) (элементы а/, отсутствующие в уравнении (2), полагаем равными нулю). Если среди Ti есть равные нулю, то подсчет усложняется (см. [1.2]). Критерий Рауса — Гурвица. Для того чтобы все корни действи- тельного уравнения (2) имели отрицательные действительные части, необхо- димо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства 7’о>О, 71 > 0, 7’2>0,... 7’п>0. Из положительности всех Tt следует положительность всех коэффициен- тов а, уравнения (2). Альтернативная формулировка. Все корни действительного уравнения (2) п-й степени имеют отрицательную действительную часть в том и только в том случае, если это верно для уравнения (п—1)-й степени а^хп~14~ а' хп~2+ajx"-?+ajx”-4 -f-... = ~а1хп~1+(а2—-~ а<^ хп~* -ф- аахп~^ -f-( -—ав)жге-4 + ... = 0. Эта теорема может применяться повторно и дает простую рекуррентную схему, полезную, например, при исследовании устойчивости. Если один из коэффициентов равен нулюг то метод усложняется.
40 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.6-в. «Критерий Льенара — Шипара. Для действительного уравнения (2) с положительными коэффициентами все корни имеют отрицательную дейст- вительную часть, если положительны или все Т) с четными индексами, или все Tt с нечетными индексами. (Более общая формулировка этого критерия приведена в [1.2].)» (с) Отделение действительных корней: правило знаков Декарта. Число положительных корней действительного алгебраического урав- нения (2) либо равно числу N перемен знака в последовательности аа, а1..., а„ коэффициентов, причем коэффициенты, равные нулю, не учитываются, либо меньше числа N на четное число. Если перемен знака нет, то уравнение (2) положительных корней не имеет: если есть одна перемена знака, то имеется в точности один положительный корень. Применяя эту теорему к f(—х), получаем аналогичную теорему для отрицательных корней. (d) Отделение действительных корней: верхняя гра- ница действительных корней (пп. 4.3-3). 1) Если 'первые k коэф- фициентов ай, alt... действительного алгебраического уравнения (2) не- отрицательны (ak— первый отрицательный коэффициент), то все положитель- V fa ные корни уравнения (2) {если они есть) меньше, чем 1 + |/ q!aB,'ede q—наи- большая из абсолютных величин- отрицательных коэффициентов. Применяя эту теорему к f (—х), можно таким же образом получить ниж- нюю границу отрицательных корней. * 2) Если при х—с многочлен f (х) и его производные f (х), f"(x),... .... fW (х) (п. 4.5-1) принимают положительные значения, то с является верхней границей действительных корней уравнения (2). * (е) Отделение действительных корней: теорема Ролля (см. также п. 4.7-10). Производная (п. 4.5-1) f (х) действительного многочлена f (х) имеет нечетное число действительных корней между двумя соседними дей- ствительными корнями многочлена f (х). Пусть а и Ь — двгГ соседних действительных корня уравнения Р (х) = 0 и пусть f(a) 7Ю и f (6) ^0. Уравнение f (х) =0 между а и b либо вовсе не имеет действительых корней, либо имеет один действительный корень в зависимости от того, будут ли числа f (а) и f (Ь) иметь одинаковые или противоположные знаки. Лишь один действительный корень уравнения f (х) — 0 может оказаться больше наибольшего корня или меньше наименьшего корня уравнения f' (х) ~ 0. (f) Отделение действительны хкорней: теорема Бюдана — Фурье. Пусть N (х) — число перемен знака в последовательности значений f (х), f’ (х), f" (х),..., fin‘ (х) для любого действительного алгебраического урав- нения (2). Тогда число действительных корней уравнения (2), заключенных между двумя действительными числами aub> а, не являющимися корнями уравнения (2), либо равно N (а)—N (Ь), либо меньше N (а) — N (Ь) на четное число. При подсчете N(a) члены последовательности, равные нулю, вычеркиваются. Если при подсчете N (Ь) окажется, что fa> (b) = 0 для fe-f-1 1^1 —l,af ,k'(b)^0 и /‘‘‘ (Ь) 0, то 1‘1ЦД)заменяются на (— 1)‘~• sgn fil} (b). Число действительных корней уравнения (2), заключенных между а и Ь, нечетно или четно в зависимости от того, будут ли f (а) и f (b) иметь противоположные или одинаковые знаки. (g) Отделение действительных корней: метод Штурма. Пусть для данного действительного алгебраического уравнения (2) без кратных корней (п. 1.6-2) N (х) есть число перемен знака в последовательности значе- ний многочленов (члены, обращающиеся в нуль, не учитываются): fo(x)—f(x)~So Wfifc) — f2(x), fi(x)—f' (x) = gx(x) f2(x)—Ux),\ n fiQ. fz(x) = gzMf3(x)^-ft(x),--, I' ’ еде при i > 1 каждый многочлен ft (x) есть взятый с коэффициентом —1 оста- ток (п. 1.7-2), получаемый при делении ft_a (х) на /м (х); многочлен fn(x)q£O
1.7-3. 1.7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ 41 есть постоянная. Тогда число действительных корней уравнения (2), заключен- ных между двумя действительными числами а и Ь>а, не являющимися кор- нями уравнения (2), равно N (а)— N(b). Метод Штурма применим и в том случае, если для удобства вычислений какой-либо из многочленов /г(х) в описанном выше процессе заменить многочленом Дг- (х) = /у(х)/А (х), где k (х) — положительная постоянная или многочлен относительно х, положительный при а < х < Ь, а оставшиеся многочлены получить, исходя из Р,(х), а ие из 1/(х). Подобную же операцию можно вновь проделать над любым из многочленов F[ (х) и т.д. Если уравнение f (х)=0 имеет кратные корни, то f (х) и f'(x) имеют общий делитель (п. 1.7-3). Е этом случае многочлен fn(x) не является постоянной, и Л'(а) — Ы (b) есть число корней между с и Ь, причем каждый кратный корень считается только один раз. 1.7. разложение многочленов на множители И ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДРОБИ 1.7-1. Разложение многочленов на множители (см. также п. 7.6-6). Если многочлен F (х) может быть представлен в виде произведения многочленов Д (х), /2(х),..., fs(x), то эти многочлены называются множителями (делителями) мно- гочлена F (х). Если х==х,—корень кратности т произвольного множителя fi(x), то он является и корнем кратности М^т многочлена F (х). Каждый (дейст- вительный или комплексный) многочлен f (х) степени п относительно х может быть единственным способом представлен в виде произведения постоянной и п линейных множителей (х — ak), именно п f (х) = аохп-)-а1хп~1 + ...-)-ап_1 х-)-ап = су, Л (х —xft), (1.7-1) k=l где xk— корни многочлена f(x); корню xk кратности mk (п. 1.6-2) соответст- вует тк множителей (х—х^) (теорема о разложении многочлена намножители). Каждая пара множителей [х—(nfe+icofe)] и [х—(aft —icofe)], соответствующая паре комплексных сопряженных корней х*=ол-|-1сой и xk=ak — iak (см. также п. 1.6-6'а), может быть объединена в действительный квадратный множитель [(х—afe)2+wfe2l- 1.7-2. Деление многочленов. Остаток. Частное F (x)/f(x) отделения много- члена F (х) степени N на многочлен / (х) степени n<N может быть представ- лено в виде F (х) Лох^ + Д.х^-1 +,,.+Дуу __ f W • аохп-|-а,х"-1 + . . . + ап = (b^-n + blKN-n-l + ... +Zw_n) +4^-, (1.7-2) где остаток гг (х) есть многочлен степени, меньшей, чем п. Коэффициенты bk и остаток ri (х) определяются -однозначно, например с помощью процесса деления углом (алгоритма деления). Остаток ri (х) отсутствует в том и только в .том случае, когда много- член /(х) является делителем (п. 1.7-1) многочлена F (х). Остаток, получаемый при делении любого многочлена j (х) на (х—с), равен f (с) (теорба Безу). 1.7-3. Общие делители и общие корни двух многочленов. Если многочлен g (х) является общим делителем (миожителем) многочленов F (х) в f (х), то его корни являются °бщнмн корнями этих многочленов. Отношение (2), как и числовую дробь, можно сокра- тить на любой общий множитель числителя и знаменателя. Многочлены в F (х) = А„хм + Ах^-1 + ... + an t W = o»x" + щх"-1 -J-... -г an
42 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.7-4- имеют по крайней мере один общий корень (и, таким образом, общий делитель нену- левой степени) в-том и только в том случае, если определитель порядка 7V + п (результант многочлейов F (х) н f (х)) равен нулю. В противном случае F (х) и f (х) взаимно просты. «• Имеет место формула Af п R(F.f) = (-l)NnRlf,F)==A“aK П П («/—₽/). i = 1 / = 1 где at- и Ру — соответственно корни F (х) и f (х). * Наибольший общий делитель (общий множитель наибольшей степени) многочленов F(x) и f (х) определен однозначно с точностью до постоянного множителя и может быть найден следующим образом. Делим f (х) на n (х), где rt (х) определен формулой (1.7-2) получаем остаток г2 (х). Затем делим rt (х) на получившийся остаток г2 (х) и продолжаем этот процесс до тех пор, пока некоторый остаток, скажем, г(х), не окажется равным нулю. Тогда остаток г (х), умноженный на произвольный постоянный множитель, и будет искомым наибольшим общим делителем. Если rt (х) = 0, то наибольшим общим делителем будет сам многочлен f (х). 1.7-4. Разложение на элементарные дроби. Любое отношение g(x)/f(x) многочлена g (х.) степени т и многочлена f (х) степени п > т без общих кор- ней (п. 1.7-3) может быть следующим образом представлено в виде суммы п элементарных дробей, соответствующих корням хк (кратности тк) много- члена f (х): г ь Т й(х)_ V V bki — V I 6ft2 I I I л 7 41 (x_x Zj (x-x) 'Г(х~хку'Г"''Г tx_x jnk • > k /=11 k> &L (* xk) J Коэффициенты Ьк}- можно найти, одним из следующих методов или же комби- нацией этих методов'. 1. Если mk — \ (xk — простой корень), то bkl=g (xk)/f (хк). 2. Умножая обе части равенства (4) на f (х) и приравнивая ко- эффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях полученного равенства. 3. Умножая обе части равенства (4) на /(х) и последовательно дифференцируя полученное равенство. Пусть <pfe (х)=/ (х)/(х—xj,)mfe. Тогда Ьктк, bkmfi~i, ... последовательно находятся из соотношений g (xk) ~ bkmfctyk (xk)t g' (xk) — (*fe) + (xk)> g" (xk) = bkmk4>k (xk)+26йтА-2ф* (xk)> g^mb l\xk) = bkmf^mk {xk}+mkbkmk-\^lh 2)(*a) + (mA-1) bkl^k (x*).
1.8-3. 1.8. ЛИНЕЙНЫЕ. КВАДРАТНЫЕ. КУБИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ 43 Элементарные дроби, соответствующие произвольной паре комплексных сопряженных корней и ак— i(£>k кратности тк, обычно соединяются в x + dki , r x + dkz , , x + dkmk 7 Сы рГ-^)2+«1] "*Cft2 [(x-flft)2 + C0|p Ч--Ч- [(x_flft)2 + (B|p • Коэффициенты ckj и dkj могут быть определены непосредственно описанным выше методом 2. Если g (х) и f (х)—действительные многочлены (п. 1.6-6), то все коэффициенты bkf, ckj, dkj в окончательном разложении на элементарные дроби действительны. Каждая рациональная функция от х (п. 4.2-2, с) может быть представ- лена в виде суммы многочлена и конечного числа влементарных дробей (см. также п. 7.6-8). Разложение на элементарные дроби играет важную роль в связи с интегрированием (п. 4.6-6, с) и интегральными преобразованиями (п. 8.4-5). 1.8. ЛИНЕЙНЫЕ, КВАДРАТНЫЕ, КУБИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ 1.8-1.,- Решение линейных уравнений. Общее уравнение первой степени (линейное уравнение) ах=Ь или ах—Ь—0 (а^=0) (1.8-1) имеет решение 'х=|. (1.8-2) 1.8- 2. Решение квадратных уравнений. Квадратное уравнение ах2+bx-\-c=0 (а^ьО) (1.8-3) имеет корни где в случае, когда а, b и с—любые комплексные числа, УЬ2—4ас есть одно из значений квадратного корня. Если уравнение (3) действительно, то его корни хг и х2 либо действи- тельные различные, либо действительные равные, либо комплексные сопря- женные в зависимости от того, будет ли (п. 1.6-5) D = b2—4ас соответственно положителен, равен нулю или отрицателен. Отметим, что Х1+х2 = —b/а и х^ — с/а. 1.8- 3. Кубичные уравнения: решение Кардано. Кубичное уравнение x3+ax2+fcx+c=0 подстановкой х=у—приводится к «неполному» виду Р3+Р(/ + 9=0, р= —9=2^3 — ^-4-с. Корни у1г у2, уз «неполного» кубичного уравнения (6) равны У1—А-}-В, у2,з=---^—±1—2— где л=3/-1+рг^ г-ко; ' / о \з . / а \2 (1.8-5) (1.8-6) (1.8-7)
44 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1-8-4. причем в качестве А и. Ь берутся любые значения кубичных корней из соот- ветствующих комплексных чисел, удовлетворяющие соотношению /1В =—р/3. Если уравнение (6) действительно, то (в Тех случаях, когда это возможно) следует брать действительные значения этих корней. Если кубичное уравнение (6) действительно, то оно имеет или один действительный корень и два сопряженных комплексных корня, или три действительных корня, по крайней мере два из которых равны, или три различных действительных корня в зави- симости от того, будет ли <2 соответственно положительно, равно нулю или отрицательно. В последнем случае («неприводимый» случай) можно восполь- воваться методом п. 1.8-4,а. Отметим, что дискриминанты (п. 1.6-5) уравнений (5) и (6) равны —108 Q. 1.8-4. Кубичные уравнения:'тригонометрическое решение. Пусть «неполное^ кубичное уравнение (6) действительно. (а) Если Q <. 0 («неприводимый» случай), то р •< 0 и где cos а --------------------------- , 2У- (р/3)« (Ь) Если р>0, то 0, = — 2У77з ctg 2а, {/г,з = Vp/3 (ctg 2а + г cosec 2а), 1 где I (с) Если Q > о, р < о, те th = — 2V — р/3 cosec 2а, у-2,3 — V— P/s (cosec 2а ч- гТз" ctg 2а), ) где I Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня. 1.8- 5. Уравнения четвертой степени: решение Декарта — Эйлера. Уравне- ние четвертой степени х4+ох3+^х24-сх+^=0 (1.8’40) подстановкой х—у—приводится к «неполному» виду J/4 + ₽V2 + w+'' = 0. (1.8-11) Корни ylf у2, уз, «неполного» уравнения четвертой степени (11) равны одному из выражений ± рТГ± (1.8-12) в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие ГгГ УЧ =—f, (1.8-13) причем zlt г2 и zs— корни кубичного уравнения 23+f г2+£^г~й=°- (1.8-14) 1.8-6. Уравнения четвертой степени: решение Феррари. Если ^ — произ- вольный корень кубичного уравнения уъ-Ьу* + (ас— 4d) у-сМ+Ыа—са=0 (1.8-15)
1.9-3. 1.9. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ 45 (резольвенты уравнения (10)), то четыре корня уравнения (10) находятся как корни двух квадратных уравнений о у, 1 \ Та \ йа ха+-2х+4’==± (1-8-16) где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. От- метим,' что дискриминанты (п. 1.6-5) уравнений (10) и (15) совпадают. 1.9. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 1.9-1. Системы уравнений. Решением некоторого множества (системы) урав- нений fi(xlt x2,...)=0 (i=l,2,...) (1.9-1) с неизвестными х1г х2,... называется множество значений неизвестных х2,.... удовлетворяющих одновременно каждому из уравнений системы (1). Система (1) решена полностью, если найдены все такие решения. Часто можно последовательно исключать неизвестные X/ из системы (1), например разрешая одно из уравнений относительно X/ и подставляя полученное выражение в ос- тавшиеся уравнения. Число уравнений и неизвестных таким путем уменьша- ется до тех пор, пока не остается решить одно уравнение с одним неизвест- ным. После этого процесс повторяется в обратном порядке, для нахождения второго неизвестного и >т. д. Решения можно проверить подстановкой. Чтобы исключить ад, скажем, из двух уравнений ti (ад ад = 0 и fs (ад ад = 0, где 1, (ад ад и f2 (ад ад — многочлены относительно xt и х2 (п. 1.4-3), рассматривают обе ети фУнкчии как многочлены относительно хг и составляют их результант А? (п.1.7-3). Тогда" хъ должно удовлетворять уравнению /? = 0. 1.9-2. Системы линейных уравнений: правило Крамера. Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными xlt х2, ..., хп: 9llx1 + °12*2 + • • • + а1пхП — Ьг, аЛхА + а22х2 +... + а2пхп = Ь2, аП1Х1 + а«2Х2 + • • + аПП ' П ~ Ьп Если определитель системы (2) D = det [aZft] = ч не равен нулю, то система (2) имеет xk = ^ (fe = l, 2, £ aikxk=bt (1=1,2........и). А=1 aii а12-.-а1П _ «21 О22 •’•а2п ani апг---апп единственное решение и) (правило Крамера), (1.9-2) (1.9-3) (1.9-4) где Dk—определитель, получающийся из D при замене элементов а2к,... ..., a„h k-ro столбца соответствующими свободными членами blt b$,...,bn, или • п S Aikbi (fc = l, 2,.... п), (1.9-5) t==l где Aik—алгебраическое дополнение (п. 1.5-2) элемента а,* в определителе D (см. также пп. 13.2-3 и 14.5-3). 1.9- 3. Линейная независимость (см. также пп. 9.3-2, 14.2-3 и 15.2-1, а). (а) т уравнений ft (xlt х2, ...t хя)=0 (1 = 1, 2,..., т) или т функций fi (xi> *2. •••>. хп), определенных при всех значениях хт, х2, ..., хя, линейно
46 гл. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1*9-4. независимы, если т из того, что 2 М» (хь ха> ••> хп)==® при всех значениях (1.У-О) х±, х%, хп следует, что Xi = 2i2=... = Km=O. В противном случае эти т уравнений или функций линейно зависимы, т. е. по крайней мере одно из них может быть представлено в виде линейной ком- бинации остальных. Это всегда имеет место в тривиальном частном случае, когда одно или более из уравнений ft (х,, х2> ... хя)=0 есть тождество. п п однородных линейных функций У aikxk (* = !» 2, •••• я) линейно незави- симы в том и только в том случае, если det (см. также п. 1.9-5). п Более общее утверждение: т однородных линейных функций V aikxk •••« fe=l линейно независимы в том и только том случае если (тхпу-матрица имеет ранг т (п. J 3.2-7). (Ь) т множеств, каждое из которых состоит из п чисел xf \ х%\ х^\ xj2), х|2), x,(2); ...; х\т\ х^т>, ..., х^п) (например, решения системы уравне- ний или наборы компонент т штук и-мерных векторов), линейно независимы, ,если т из JT] X£x^Z)=0 (/= 1, 2, ..., и) следует X1 = Z2=... = ?vm=0. (1.9-7) i = l Это выполняется в том и только том случае, если (тХп)-матрица имеет ранг т (п. 13.2-7). 1.9- 4. Системы линейных уравнений: общая теория (см. также (п. 14.8-10). Система т линейных уравнений с п неизвестными xlf х2, ..., хп ^alkxk==bi (i==l, 2......... т) (1.9-8) А=1 имеет решение в том и только в том случае, если матрицы (ап °12 ••• а1п \ /аИ а12 ••• aln fej \ а21 а22 ... а2л j I а21 а22 a2’l Ц ) j] g.gj ат1 атЪ атп/ \ат1 атъ ••• атп ^т/ (матрица системы и расширенная матрица системы) имеют один и тот же ранг (п. 13.2-7). В противном случае уравнения несовместны. Единственное решение, о Котором говорилось в п. 1.9-2, существует, если г=т—п. Если обе матрицы (9) имеют ранг г^т, то уравнения (8) линейно независимы при г—т и линейно зависимы при г <_т (п. 1.9-3, а). В случае г<т некоторые т—г уравнений можно выразить в виде линейных комбинаций остальных г уравнений (независимых), и им удовлетворяют реше- ния этих г уравнений. Линейно независимые уравнения определяют неко- торые г^т неизвестных как линейные функции остальных п—г неизвестных, остающихся произвольными. 1.9-5. Системы линейных уравнений; п однородных уравнений с п неиз- вестными. В частности, система п однородных линейных уравнений с п неиз- вестными п 2г"! (1.9 10) Л=1
1.10-1. 1.10. ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА 47 имеет решение, отличное от тривиального (нулевого) решения ==...= ==хл=0, в том и только в том случае, если D=det[a/*]=0 (см. также п. 1.9-3, а). В атом случае существует точно п—г линейно независимых решений х'1*, Х<1),..., х^’1; х<2), х‘2’,..., х^2);...; х("~г\ х^”“гх("~п, где г—ранг мат- рицы системы (п. 1.9-4). Наиболее общим решением тогда является X; = У с/х^р (1 = 1, 2,..., п), (1.9-11) i—i еде С] — произвольные постоянные (см. также п. 14.8-10). В важном частном случае, когда г = п—\, Xi=c^4fti, Х2==сД^2» Xfi'^cAferi, (1.9-12) где А/,/—алгебраическое дополнение (п. 1.5-2) элемента akj в определителе D (причем k выбрано так, что хотя бы одно из Ak/ (j=l, 2, ..., п) отлично от нуля) есть решение при любой произвольной постоянной с. Это значит, что все отношения xyxk определены однозначно; решения (12), получающиеся при различных таких значениях k, тождественны (см. также и. 14.8-6). 1.10. ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА 1.10- 1. Трапеция (стороны a, b, с, d; а и b параллельны; высота h есть расстояние между а и 6; площадь S): - 5=^-(«+&)Л, Л= ^a)/s(s —a+&)(s—c)(s —d), где s=-—fc +c + d . Трапеция является параллелограммом при a=b (тогда c—d) и ромбом при a=b—c=d. Таблица 1.10-1 Правильные многоугольники (длина стороны равна а) Ч исло сторон п Правильный многоугольник Радиус описанной окружности R а Радиус вписанной окружности а tg (л/л) Площадь с паг 2 sin (л/п) 3 Треугольник 'С С |сэ а Й 4 Квадрат «| О а ~2 а’ 5 Пятиугольник j 1^254- 10 /5 6 Шестиугольник а й 1^/3 8 Восьмиугольник 2а2 (1-|- V2) 10 Десятиугольник f (I 4-Гб) f У& + 2Г6 § о2]/54-2/5
4S ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.10-2. 1.10- 2. Правильные многоугольники. В табл. 1.10-1 приведены выражения для радиусов описанной и вписанной окружностей н для площади некото- рых правильных многоугольников. 1.10- 3. Круг (радиус г). (а) . Длина окружности 2яг, площадь №. (Ь) Центральный угол, равный <р радианам, определяет дугу длиной пр, сектор с площадью г2<р/2, хорду длиной 2r sin (гр/2), сегмент с площадью га (<р—sin <р)/2. (с) Площадь между окружностью радиуса rt и заключенной внутри нее (не обязательно концентрической) окружностью радиуса г2 равна ат (Г1+г2) X X (Гт—г2). ' 1.10-4. Призмы, пирамиды, цилиндры и конусы. (а) Объем призмы или цилиндра с основанием St и высотой h равен Z1S,. (b) Объем пирамиды или конуса с основйнием S, и высотой h равен ftSj/3. (с) Объем усеченной пирамиды или конуса с основаниями Slt S2 и высо- той h равен h (S1+l<S1S2 + S2)/3. (d) Боковая поверхность прямого кругового конуса с радиусом основа- иия г и высотой h равна лгУr2-]-h2. 1.10- 5. Тела вращения (см. табл. 1.10-2). Таблица 1.10-2 Тела вращения Тело Площадь поверхности Объем 1 Сфера радиуса г 4лг» 4 _ 3 2 Сплюснутый эллипсоид вращения (сфероид) (Ось 2«>2Ь, е = ]/ 1-^: вращение вокруг малой ОСИ.) 62 14-е 2ло’ + п — In 1 е 1—е 4 3 Вытянутый эллипсоид вращения (Ось 2о > 26, 1 Г. Ь* в = 1/ 1 вращение г а2 вокруг большой осн.) 2лЬ2 4- 2л — arcsln е е 1 ~ siabs 4 'Тор, образованный вра- щением круга радиуса г вокруг осн, отстоящей на расстоянии R от центра Ъ Сферический сегмент радиуса г, заключенный между параллельными плоскостями; h — рас- стояние ,между плоско- стями; п, ге — радиусы оснований 2лгй + л (г2 + г|) ^(3r2+3r| + «‘)
Ut.t. Ы1. ТРИГОНОМЕТРИЯ НА плоскости 49 I 1.10-6. Правильные многогранники. В таблице 1.10-3 приведены основные элементы всех правильных многогранников. Таблица 1.10-3 Пять правильных многогранников (Длина ребра равна с; соответствующие числа F граней, Е вершин и К ребер связаны формулой Эйлера Е + F — К = 2 Правиль- ный мно- гогран- ник Число и тип граней Радиус описанной сферы Радиус вписанной сферы Площадь поверхности Объем Тетраэдр 4 равносто- ронних тре- угольника Г2^ О2УЗ ~ /2 12 F Куб 6 квадратов 'СО <3 |ся <3 i<N 6д» о8 Октаэдр 8 равносто-. роиннх тре- угольников to) 2.а‘ /3 -Додекаэдр 12 правиль- ных пяти- угольников j (1 + /б) /3 -1/ 10 + ^ 4 у Vb За*Х хКб(5+2/б) ^-(15+ 7/5) И косаэдр ♦ Фо 20 равносто- ронних тре- угольников рмула Эйлера с | к^(5 + /5) травеллива для -^(з+Гб) 4 V3 любого выпукл 5д2 /3 ого многогранн ^а“(з+ Гб) ик а. 1.11. ТРИГОНОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 1.11-1. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники. Тригонометрия на плоскости описывает соотношения между сторонами и углами плоских треугольников в терминах тригонометрических функций (п. 21.2-1 — 21.2-4); заметим, что все плоские фигуры, ограниченные пря- мыми линиями, можно рассматривать как комбина- Ции треугольников. Так как каждый плоский треуголь- ник можно разложить на прямоугольные треугольники, а то наиболее важными тригонометрическими соотношения- у' ми являются соотношения между сторонами и углами УлА прямоугольных треугольников. -----у----‘— Прямоугольные треугольники. В каждом прямо- угольном треугольнике (рис. 1.11-1) с катетами а, b и угиоСлЬиый ’треуголь- гипотенузой с: ник. 44-6=90°, a2-f-b2—c2 (теорема Пифагора), | sin А = cos В = -^. sin В = cos А =-^-, 1. (1.11-1) tgA=ctgB = f, tgB=ctgA = 4-. j
50 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.11-2. 1.11-2. Свойства плоских треугольников. В каждом плоском треугольнике (рис, 1.11-2) сумма углов равна 180°. Сумма любых двух сторон больше тре- тьей стороны, против большей из двух сторон лежит больший угол. ./С Треугольник на плоскости единственным образом С определяется (с точностью до преобразования симметрии): а 1) тремя сторонами, S\a 2) двумя сторонами и углом, заключенным между ними, «Г"—-.3) стороной и двумя прилежащими к ней углами. Рис. 1.11-2. Косо- угольный треуголь- ник. В каждом плоском треугольнике трн биссектрисы его углов пересекаются в центре М. вписанной окружности. Трн перпен- дикуляра к его сторонам, проходящих через середины этих сто- рон, пересекаются в центре F описанной окружности, Трн ме- дианы пересекаются в центре тяжести G треугольника. Три высоты треугольника пересекаются в точке Н, лежащей на одной прямой с точками Ги G, причем HG : GF — 2. Середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих Н с каждой из вершин треугольника, лежат на одной окружности (окружность девяти точек, окружность Фейербаха). Центр этой окружности есть середина отрезка HF. 1.11-3. Формулы для решения треугольников. В нижеследующих соотно- шениях А, В, С являются углами, лежащими соответственно против сторон а, Ь, с треугольника. Площадь треугольника обозначена через S; R и г явля- ются соответственно радиусами описанной и вписанной окружностей, ар = — Y" (а+^+с)- Таблица I. 11-1 Решение плоских треугольников (Бее остальные случаи получаются циклической перестановкой.) Случай Даны Использованные формулы (Л В + С = 180°) Условия существования решения 1 Три стороны а, Ь, с Д, В, С из (2) или (5) Сумма двух сторон должна быть больше третьей 2 Две стороны и угол между ними Ь, с, А £±£=90»--А; - 2 — из (6) или (7), звтем В и С; или В, С нз (3) н (4); . D b sin А tg в = с — b cos А а из (3) или (4) 3 ' Одна сторона и два угла а. В, С Ъ, с иэ (3); А = 180° — В — С 4 Две стороны н угол против одной из внх Ь, с, В из (3)j b sin А а== —. -р-, sin В , „ с sin В SinC = ; Ь А = 180° — В —* С Задача имеет одно реше- ние, если Ь 2= с; два реше- ния, если b <. с, с sin В <; Ь; одно решение, если b < с, сь\х\В — Ъ‘, при Ь <,с, с sin В > b решения нет
1.12-1. 1.12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ Для того, чтобы получить все формулы, необходимые для решения тре- угольников, нужно произвести одновременную циклическую перестановку А, В, С и а, Ь, с. Табл. 1.11-1 позволяет вычислить все стороны и углы тре- угольника по определяющим его сторонам и углам. с2=62-|-С2—26с cos Л = (6-|-с)а—4bc cos2 -^-(теорема косинусов), (1.11-2) b-s= .C-^=2R (теорема синусов), (1.Ы-3) sin A sin в sin С ' s ' c=acos B-j-b cos А (теорема о проекциях) (1.11-4) sin A - 3- у p (p-c), . B4-C Li L = -f_ 2 . (1.11-6) b~—c . B — C ’ 4 1 *8-2- (i>+c) sin ^-=a cos В~С-, (6—c) cos ~=a sin -~ C-f (1.11-7) r=(p — a) tg^=(p-b) tgf = (p—c) tg^- = = 47? sin g- sm-g sm g-=p tg g- tg % tg -g, (1.11-8) p =—L-g-!—=47? cos-g cos-j cos y, (1.11-9) S=±ab sin C=±bc sin A=-^-ac sin B = — Vp(P~~a) (p — b)(p—c) = =27?2 sin A sin В sin C= <^=РГ‘ (1.11-10) Длина высоты (S=-g-a7ia). Длина биссектрисы wa=~-^]Abc(a-)-b-)-c) (b-f-c—a)'. Длина медианы ma= j у 2b2~j-2c2—a2. 1. 12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.12-1. Введение. Сферические треугольники. На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр •iiapa (геодезической, п. 17.3-12). Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, Ь, в сферического треугольника
52 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1Л2-2. Рис. 1.12-1. Сферический треу- гольник. называют те углы между лучами, которые меньше 180° *). Каждой стороне треугольника соответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1.12-1). #глы Д, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, Ь, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лу- чами. Сферическая тригонометрия занимается изу- чением соотношений между сторонами и углами сферических треугольников fnanpHMep, на поверх- ности Земли и на небесной сфере). Однако фи- зики и инженеры во многих- задачах предпочи- тают использовать преобразования вращения (п. 14. 10-1), а ие сферическую тригонометрию. 1.12-2. Свойства сферических треу- гольников. Каждая сторона и угол сфери- ческого треугольника по определению мень- ше 180°. Геометрия на поверхности шара являет- ся неевклидовой (см. также п. 17.3-13); в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360е, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом -сферическом треуголь- нике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол. Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии): \ 1) тремя сторонами, • 2) тремя углами, 3) двумя сторонами и заключенным между ними углом, ' 4) стороной и двумя прилежащими к ней углами. Замечание. Для каждого сферического .треугольника можно определить большие круги, играющие роль перпендикуляров, проведенных через середины сторон, биссектрис, медиан и высЬт. Плоскости трех больших кругов каждого типа пересекаются по прямой. . В полной аналогии с описанной окружностью -плоского треугольника существует описанный прямой круговой конус, содержащий три прямые линии, определяющие тре- угольник; ось этого конуса есть прямая, по которой пересекаются плоскости перпенди- куляров, проведенных через середины сторон. Существует также вписанный прямой кру- говой конус, касающийся трех плоскостей, соответствующих сферическому треугольнику; ось этого конуса есть прямая, по которой пересекаются плоскости биссектрис. «Радиус» описанной окружности и «радиус» вписанной окружности представляют собой углы, рав- ные соответственно половинам углов при вершинах первого и второго конусов. Если R — радиус шара, то площадь Sr сферического треугольника выражается фор- мулой SR = 7?2е, где е—сферический эксцесс (избыток)5 11.12-1, е=ДфВфС-л, (1.12-2) измеряемый в радианах. Величина d = 2л— (а -ф b -рс) называется.сферическим дефектом. Полярный треугольник, соответствующий данному сферическому треугольнику, оп- ределяется тремя лучами, перпендикулярными к плоскостям, связанным со сторонами данного треугольника. Если один сферический треугольник полярен относительно дру- гого, то н второй будет полярен относительно первого. Стороны одного из полярных от- носительно друг друга треугольников дополняют углы другого до 180°. Таким образом, каждая теорема или формула, относящаяся к сторонам и углам треугольнике, может? быть преобразована в теорему или формулу об углах и сторонах полярного треугольника. *) Если один из этих углов равен 180°, то сферический треугольник вырождается в полуокружность большого круга.
1.12-4. 1.12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ 53 1.12-3. Прямоугольный сферический треугольник. В прямоугольном сфе- рическом треугольнике по меньшей мере один угол, например С, равен 90?; противоположная сторона с называется гипотенузой. Соотношения между сто- ронами и углами прямоугольного сферического треугольника могут быть из- влечены из следующих двух мнемонических пра- вил Непера: В диаграмме на рис. 1.12-2 синус любого из указанных в ней углов равен 1) произведению тангенсов двух углов, прилежа- щих к нему на диаграмме, 2) произведению косинусов двух углов, противо- лежащих ему на-диаграмме. Пример. Найти стороны и углы прямоугольного сферического треугольника, зная гипотенузу с и сторону а. Эта задача имеет решение только при условии sin с sin с; тогда . cos с „ tg а . . sin а cos b - ----. cos В = . sin А — —:-------.. cos a tg с sm с Рнс. 1.12-2. Правила Непера. Замечание. Если а меньше, равно или больше 80°, то и А соответственно меньше, равно или больше 80°, и наоборот. Если даны а и А, то задача имеет решение только в том случае, когда предыдущее условие выполнено и, кроме того, sin а < sin А; если а Ф А, то решений два. Если даны А и В задача имеет решение только при выполнении условий 90°< A-J- 4-В <270° и — 90° < А — В < 90° (см. п. 1.12-2). z Сферический треугольник со стороной, равной 90°, называется квадрантным тре- угольником и может рассматриваться как полярный треугольник прямоугольного сфери- ческого треугольника. Ко всем задачам, включающим решение сферических треугольников (пря- моугольных или косоугольных), настоятельно рекомендуется делать эскиз,: ясно показывающий, будут ли различные углы и стороны меньше, равны или больше 90е. 1.12-4. Формулы для решения сферических треугольников (см. также рис. 1.12-1) В следующих ниже соотношениях А,. В, С являются углами, противолежащими соответственно сторонам а, Ь, с сферического треугольника. «Радиусы» описанного и вписанного конусов обозначены соответственно через г и р. Формулы, не включенные в перечень, могут быть получены одновременной циклической перестановкой А, В, С и а, Ъ, с. Таблица 1.12-1 позволяет вы- числять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам и/или углам. Неравенства, отмеченные в начале п. 1.12-2, должны быть приняты во внимание, для того чтобы исключить посторонние результаты при решении треугольников. — S;n я~ ~ *|1П £ (теорема синусов), (1.12-3) atn A sin В sin С ' н S / г ' cos а=cos b cos с + sin b sin с cos А (теорема косинусов для сторон), (1.12-4) cos А —— cos В cos С+sin В sin С cos а (теорема косинусов для углов), (1.12-5) , ь+с в+с .а в—с tg-^-cos ——=tg у cos—g-, tg-y- sm —i—= tg Y sm -2-, , В + с ь + с .A „ b — c. tg J— cos -5— = ctg 2- cos -%-, , B — C . b + c A . b — c tg —2— sm —= ctg 2 sm —2—; (аналогии Непера) (1.12-6)
54 гл. 1. элементарная алгебра, геометрия и тригонометрия 1.12-4. Решение сферических треугольников (см. формулы п. 1.12-4 и рис. 1.12-1) Таблица 1. 12-1 Случай Даны Формулы для вычисления Условия существования решения j 1 Три стороны а, Ь, с А, В, С из (8) и цикличе- ской перестановки 0 а 4~ -f- с С 360® Сумма двух сторон должна быть больше третьей j 2 Три угла А, В, С a, bt с из (8) и циклической перестановки 180° < А 4- В 4- С <-540°; Сумма двух углов должна быть меньше -180° плюс тре- тий угол 3 яг Две стороны и за- ключенный между ними угол Ь, с, А В + с в - с Т и 2 из (6), затем В и С; а из (7), (8) илн (4) 4 Два угла и заклю- ченная между ними сторона В, С, а Ь + с Ь —с н _ из (6), затем Ь и с; А из (7), (8) или (5) * 5 Две стороны и про- тиволежащий одной нз них угол Ь, с, В С из (3); А и а из (6) Задача имеет одно или два решения, если sin с sin В sin b. Сохраняются те из вели- чин С, для которых А — В и а — Ь имеют одинаковый, знак; | А 4-В — 180° и a4-fe — 180° также должны быть одного знака 6 Два угла и проти- волежащая одному нз них сторона В, С, ь с из (3); А и а из (6) Задача имеет одно или два решения, если sin b sin С =5 sin В. Сохраняются те нз вели- чин С, ДЛЯ которых А — В и а — b имеют одинаковый знак; А 4- В — 180° н а 4- b — 180° также должны быть одного знака
и. 12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ 55 . А • Ь + с . а В — С sin -g sin —^—=sin J cos —2~, .А Ь4-с а В 4-C sin g- cos =cos g- COS —g—, a . b—c . a • в—c cos g- sin -g-= sm j sin - g—, A b — c a • B-}-C COS j COS —g— = COS j Sin —g—, a + b + c c A-f-B-f-C S О » *“* n j i (аналогии Деламбра и Гаусса) (1.12-7) . А 1 / sin (s—й) sin (s — с) Sin ~2 r sin b sin c ’ rns A = l/.glnssln(s£<r & 2 r sinfesinc * . a 1 cos S cos (S — A) sm 2 = Г - sinBsTnC--------’ a __J Г cos (S — B)cos(S — C) „ cos^-—-y sin В sin C ’ Ctgr (формулы половинных углов) (1.12-8) cos (S — B) cos (5 —C) — cos S .____1/ sin (s—a) sin (s — b) sin (s — c) ig P — у s!n s , A sin (s—a) a cos (S — Д) . ctg2- = —tgp ’ tg2=—ctg7----- (уравнение Люилъе). (1.12-9) (1.12-10) (1.12-11) Некоторые тригонометрические соотношения становятся особенно удобными для вычислений с помощью логарифмов, ес^хи в них использованы новые тригонометри- ческие функции vers А = 1 —• cos A, covers А = 1 — sin A, hav А = — (1 — cos А). (1.12-12) Таким образом, если имеются в наличии таблицы функции hav, то для решения сфе- рических треугольников можно использовать следующие формулы: hav А = ,sln (s ~ fe)-Slri (s ~ д) , hav а = hav (b — с) + sin b sin c hav A. (1.12-13) Jin b sin c Другие аналогичные соотношения можно получить циклической перестановкой.
ГЛАВА 2 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2.1-1. Вводные замечания (см. также п. 12.1-1). Геометрия занимается изуче- нием объектов, которые могут быть в том или ином смысле отождествлены с точками, и представляет собой математическую модель, воспроизводящую отношения между этими объектами. В основе каждой геометрической системы лежат определенные аксиомы. Они могут быть выбраны таким образом, чтобы соответствующая модель отражала свойства реального физического простран- ства. Однако задачей геометрии является также логическое построение самых разнообразных аксиоматических систем, в том числе и таких, которые не всегда отвечают наглядным представлениям. В аналитической геометрии точка определяется системой чисел (ее координат), и, следовательно, геомет- рические факты записываются в виде соотношений между координатами. Главы 2 (аналитическая геометрия на плоскости) и 3 (аналитическая гео- метрия в пространстве) следуют тому способу изложения, который принят в большинстве элементарных курсов: основные понятия геометрии предпола- гаются известными и просто переводятся на язык алгебры, становящейся вследствие этого средством исследования геометрических форм. В гл. 17 кратко изложен и использован более глубокий метод, состоя- щий в построении различных геометрических систем на основании заданных аксиом. В пп. 17.1-1 —17.1-6 содержатся краткие сведения из дифференциальной геометрии плоских кривых, включая определения касательной, нор- мали и кривизны. 2.1-2. Декартова система координат. Декартова система координат связывает с каждой точкой Р плоскости, на которой выбраны две направлен- ные прямые (оси координат) Ох и Оу, пересекаю- щиеся в начале координат О (рис. 2.1-1), пару - действительных чисел, абсциссу х ц ординату у; при этом пишут Р(х, у). Прямая, проходящая .через точку Р параллельно оси Оу, пересекает ось Ох в точке Р'. Аналогично прямая, проходя- щая через точку Р параллельно Ох, пересекает Оу в точке Р”. Величина направленного отрезка если направление ОР' совпадает с направлением в противном случае) и определенная аналогичным способом величина ОР"—у называются декартовыми координатами точки Р. В общей (косоугольной) декартовой системе координат угол ш между осями Ох и Оу может принимать значения 0 < ш < ^(правая система) или — эт<;ц><0 (левая система). Если для измерения отрезков ОР' и ОР" исполь- зуются различные единицы длины, то система координат называется общей декартовой или аффинной. Оси координат делят плоскость на четыре квадранта (рнс. 2.1-1). Абсцисса х поло- жительна для точек (я, //), расположенных в квадрантах I и IV, отрицательна в квадран- тах II и ///, равна нулю для точек оси Оу; ордината у положительна для точек Рис. 2.1-1, Правая декарто- ва косоугольная система ко- ординат. Отрезки OEi и ОЕЛ — единицы масштаба и а осях. ОР'—х (положительная, оси Ох, и отрицательная
2.1-4. 2.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 57 Рис. 2.1-2. Системы ко- ординат: правая декар- това прямоугольная и полярная. в квадрантах I и II, отрицательна для точек в квадрантах 111 и IV, равна нулю для точек осн Ох. Началом координат служит точка (0, 0). Замечание. Аналитическая геометрия на евклидовой плоскости постулирует взаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами («координатная* аксиома, аксиома непрерывности, см. также п. 4.3-1). 2.1-3. Правая декартова прямоугольная система координат. В правой декартовой прямоугольной систе- ме координат направления осей выбираются так, что. поворот оси Ох на я/2 в положительном направле-. нии, т. е. в направлении, противоположном враще- нию часовой стрелки, совмещает полуось положитель- ных х с полуосью положительных у. При этом условии координаты х, у равны соответственно расстояниям от координатных осей Ох и Оу до данной точки Р, определенным по величине и знаку (рис. 2.1-2). В этой главе, если не оговорено противное, всегда применяется правая декартова прямоугольная система координат. 2.1-4. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах. 1. Расстояние d между точками Pt (Xj, -уJ и Р2 (x2, у2) (2.Ы) (2.1-2) косинусы образованных отрезком с положительными направлениями (2.1-3) d = ]А(*2“- *>)2 + (Уз ~^1)2- 2. Угол у между двумя направленными отрезками Р-\Р2 и Р3Р*& cos у =1 <Лг ~ ~ *з) + ~ (l/t ~ V (Х2 — Х1)г + (уг — Д1)г К(х4 — xs)2 + (1/4 — г/.,)2' Направляющими косинусами направленного отрезка Р±Р2 называются углов ах и — а, координатных осей: х2 — хЛ cos а — V (*8 — -*4)2 _|_ ^ys — У2 - Пз cos сс — sin а = ............ V Х K(XS - Х1)‘ + (У2 - Щ)2 3. Координаты х, у точки Р, делящей направленный отрезок РрР2 между точками Рг (хг, ух) и Р2 (х2, уз) в отношении Р,Р : РР2=т : n=X : 1, опреде- ляются формулами __тх2 nxi____xi + ^2 Х ~ т + п ~ I -f- Л ’ __ тУ? ~Ь пУ1 _ У1 ~h КУг У т -}- п 1 Л Координаты середины отрезка PjP8: (2.1-4) (2.1-5) у._Л + *» „_Д1 + Д2 *1—2------У---------2~ X- При 0<Х<со точка Р лежит внутри отрезка РхР2, а при — 1 <Х<0 и —со<Х<—1 — вне его. При Х=0 точка Р совпадает с точкой Plt а при X —• + со точка Р стремится к точке Р2. Формулы (4) сохраняют смысл при Х=— 1, если прямая дополнена несоб- ственной или «бесконечно удаленной» точкой, которая делит любой отрезок этой прямой в отношении, равном—1.Ж 4. Площадь S треугольника с вершинами Pt (хр, Ух), Р2 (х2, р2), Ps (х3, ys) определяется формулой „ 1 *i У1 1 , Уз 1 — “2 [*1 (Уз~ (/з)+*2 (Уз~У1)-'гХ3 (У1~(/2)1- *3 Уз 1 (2.1-6)
58 ГЛ. 2. аналитическая геометрия на плоскости 2.1-5. В частности, если я8=^8=0, то 2 1У1 ^2 1 2 (2.1-7) Значение S положительно, если направление обхода PtP2P3 совпадает с поло- жительным (против часовой стрелки) направлением вращения. 2.1-5. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе осей. Пусть х, г/ —координаты произвольной точки Р относительно декартовой системы координат; пусть X, у — координаты Рис. 2.1-3. Параллельный пере- нос осей координат. этой же точки Р относительно другой декарто- вой системы координат, оси которой соответ- ственно параллельны осям первой системы и направлены так же, как они, и начало кото- рой имеет относительно системы Оху коорди- наты х0, у0. Если на осях этих систем выбра- ны одинаковые единицы масштаба, то коорди- наты х, у связаны с х, у следующими форму- лами преобразозания (рис. 2.1-3): или х—х—х0, х=х+х0, ~у=у-ув | (2 Ь8) У = У+Уо- } Уравнения (8) допускают еще одно истолкование. Если рассматривать х и у как координаты относитель- но первоначальной системы координат (т. е. системы Оху}, то точка (х, у) может быть получена из точки (х, у) при помощи переноса на — х0 в направлении оси Ох и на — у0 в направлении осн Оу. Применение этого преобразования к каждой точке некоторой пло- ской кривой можно рассматривать как преоб- разование переноса кривой. 2.1-6, Преобразование декартовых пря- моугольных координат при повороте осей. Пусть х, у — координаты некоторой точ- ки Р относительно декартовой прямо- угольной системы координат. Пусть х, у — координаты этой же точки относитель- но новой прямоугольной системы коор- динат с тем же началом, расположенной относительно системы Оху таким обра- зом, что угол хОх между осью Ох и осью Ох равен 6; угол отсчитывается в положительном направлении (рис. 2.1-4). Рис. 2.1-4. Поворот осей координат. При одинаковых единицах масштаба на осях координаты х, у связаны с ко- ординатами х, у следующими формулами преобразования: или x=xcos6-|-y sin 6, x=xcos6—ysinO, у——xsin6 + «/cos6, у =х sin 6 -\-у cos 0. (2.1-9) Если рассматривать х, у их, у как координаты двух различных точек относительно одной и той же системы координат, то формулы (9) определят преобразование поворота на угол — 6 вокруг начала координат, переводящее точку (х, у) в точку (х, у)* 2.1-7. Одновременный перенос и поворот координатных осей. Если начало координат системы Оху из п. 2.1-6 не совпадает с началом системы Оху и
2.1-8. 2.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ имеет относительно последней координаты хв, ув, то уравнения преобразова- ния принимают вид х—(х—Х0)СО8в + (у—ув) sine, у=— (х—хв) sin в + (у—ув) cos в, или х=х0+* cos 0—у sin О, у=ув -f-х sin 0+ у cos 6. (2.1-10) Формулы (10) позволяют найти зависимость между координатами точки в любых двух правых декартовых прямоугольных системах координат с оди- наковыми единицами'масштаба на осях. Формулы (10) определяют также преобразования переноса и вращения, переводящие точку (х, у) в точку (х ,у), где обе точки рассматриваются в одной и той же системе координат. Замечание. Преобразования (8), (9) и (10) не изменяют расстояния (1) между двумя точками или- величину угла, определяемую формулой (2). Соотношения, состав- ляющие содержание евклидовой геометрии, не изменяются при преобразовании переноса и поворота, т. е. инвариантны относительно этих преобразований (см. также пп. 12.1-5, 14.1-4, 14.4-5). 2.1-8. Полярные координаты. Полярная система координат на плоскости задается точкой О (полюс) й направленной прямой Ох (полярная ось). С каж- дой точкой Р плоскости, на которой задана полярная система координат,, можно связать определенную пару чисел р, <р (полярные координаты). Поляр- ный радиус р есть длина отрезка ОР, а полярный угол <р — радианная мера угла хОР, отсчитанная в направлении, противоположном вращению часовой стрелки (см. рис. 2.1-2). Угол <р определен с точностью до слагаемого 2Ал, где k—любое целое число. Точка (р, ср) по определению совпадает с точкой ( —р, <р ± я); это условие связывает определенную точку плоскости с каж- дой парой чисел (р, <р) не только при положительных, но и при отрицатель- ных значениях р. Для полюса О величина <р не определена. Замечание. В отличие от декартовой системы, полярная система координат не устанавливает взаимно однозначного соответствия между парами чисел (р, <р) и точ- ками плоскости. Однако в большинстве приложений возникающая в результате этого неопределенность может быть устранена. Если полюс и полярная ось совпадают соответственно с началом О и осью Ох прямоугольной системы координат (см. рис. 2.1-2), то при условии, что для измерения г, х и у использованы равные единицы масштаба, декар- товы и полярные координаты связаны следующими формулами преобразования: x=pcosq>, У=р sin <р, I р=/х2+^2, tgq>=^-( х¥=0. J (2Л Имеют место следующие формулы (р, <р — полярные координаты):- 1. Расстояние d между точками (pIf <р±) и (р2, <p2)z й = ]Лр2 + Р| — 2pipa cos (ф2 — ФО. (2.1-12) 2. Площадь треугольника с вершинами Pt (plf q?i), Ра (ря, <р2), Рз (Рз, <Р«)в 5 == | (Р1Рг sin (фи — <Pi) + РяРз sin (<р8 — <р2) + PsPi sin (<pt — ф8)]. (2.1-13) В частности, если р8 = 0, то s = I [piPs Sin (Фг — ФО). (2.1-14) О знаке S см. п. 2.1 - 4.4. О других криволинейных системах координат см, в гл, б.
60 ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2 Л-9. 2.1- 9. Способы задания кривых (см. также пп. 3.1-13 и 17.1-1). (а) Уравнение кривой. Уравнение вида <р (х, у) —0 или y=f(x) (2.1-15) удовлетворяется координатами точек, принадлежащих определенному точеч- ному множеству. В большинстве случаев, представляющих интерес, это точеч- ное множество образует кривую (см. также п. 3.1-13). Обратно, заданную кривую можно определить уравнением (15), которое должно удовлетворяться координатами всех точек кривой и только этих точек. Возможен случай, когда кривая имеет более одной ветви. Кривые, определяемые уравнениями <р (х, у)=0 и Х<р(х, у) = 0, где к—отличная от нуля постоянная, совпадают. (Ь) Параметрическое задание кривых. Плоская кривая может быть'задана также двумя уравнениями x=x(f), (2.1-16) где't—переменный параметр. (с) Пересечение двух кривых. Значения координат х и у, кото- рые одновременно удовлетворяют уравнениям двух кривых Ф1(*. 4/)=°. <Ps(*. 40=0, (2.1-17) определяют точку пересечения этих кривых. В частности, если уравнение Ф(х, 0)=0 имеет действительные корни, то они служат абсциссами точек пересечения кривой <р (х, у)=0 с осью Ох. Если <р (х, д)— полином степени п (п. 1.4-3), то кривая <р (х, д)=0 пересекает ось Ох (как и любую прямую линию, п. 2.2-1) в п точках (кривая п-го порядка)-, однако некоторые из этих точек пересечения могут совпадать или быть мнимыми. Для любого действительного Л уравнение Ч>1 (х, у) + X <р2 (х, У) — 0 12.1-18) определяет кривую, проходящую через точки пересечения (действительные илн мнимые) двух кривых (17). (d) Уравнение «Рх (х, У) -Ч>2 (X, У) =0 (2.1-19) удовлетворяется координатами точек, принадлежащих любой из кривых (17), и не удов- летворяется координатами других точек. 2.2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ 2.2- 1. Уравнение прямой линии. Каждое уравнение, линейное относительно декартовых координат х и у, т. е. уравнение вида Ах+Ву+С=0, (2.2-1) где А и В не равны нулю одновременно, определяет прямую линию (рис. 2.2-1). Обратно, каждая прямая линия может быть определена линейным уравне- нием (1). При С=0 прямая проходит через начало координат. Особенно важное значение имеют следующие виды уравнения прямой. 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пря- мая, образующая угол <р с положительным направлением оси Ох (рис. 2.2-1) и пересекающая ось Оу в точке (0, 6): y=kx-$-b, fe=tgq>. Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой.
2.2-2. 2.2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ 61 2. Уравнение прямой в отрезках. Прямая линия, пересекающая ось Ох в точке (а, 0) и ось Оу в точке (0, Ь) (см. рис. 2.2-1): 2+f=l (а=^0, fe^:0). на прямую, а 6 — угол (изме- положительным направлением Рис. 2.2-1. Уравнение прямой. 3. Нормальное уравнение прямой. Пусть р—длина перпен- дикуляра, опущенного из начала координат ренный в положительном направлении) между оси Ох и направлением перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую (см. рис. 2.2-1). Тогда уравнение прямой имеет вид х cos 6+р sin е—р =0. 4. Уравнение пучка прямых с центром в точке (хх, ух): У—Ул=к(х—хг). 5. Уравнение прямой, проходящей через две дан- ные (несовпадающие) точки (хх, рО и Р2 (х2, р2): 1 Р —Pi _ аг — х, У г — Vi хг — х X у *1 У1 х2 Уъ 1 1 = 0. Если прямая задана общим уравнением (1), то отрезки а н Ь,отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент k, расстояние прямой от начала координат р, cos 6 и sin 6 выражаются через коэффициенты А, В и С следующим образом: а=—— & fe=tg<p = — <р=е—у, (2.2-2) С А В p-±v^+^’ .cose==r^m? sme=±v-w^- (2-2-3) Во избежание неопределенности знак перед радикалом выбирается так; чтобы соблюдалось условие р > 0. В этом случае cos 0 и sin 0 являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую (см. п. 17.1-2). Если С = 0. то выбор положительного направления иа нормали произ- волен. 2.2- 2. Другие способы задания прямой.Лараметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде x — axt-{-xB, у-а^-}-ув (t—-переменный параметр); (2-2-4) при этом Ь—а _ аух« — ахУо . ахУ« — /2 2-61 ах’ аУ ' ах ' \ г ) ахУ« — atjXo Оу р=-----г , cos 0 =---г ±/(м2+(м2 ±К(М2+(М2 sin 0 —------7==l*aa====s , (2.2-6) ±V(M2+(cp)2’ ' } Если знак корня выбран так, что р > 0, то начало координат будет лежать справа от направления! в котором точка (х, у) перемещается по прямой при врзрастании t. ' ,
62 гл. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.3-1- Уравнение прямой в полярных координатах: р (A cos sin <р)-}-С=0 (2.2-7) ЕЛЙ pcos(<p—-Ь)=р, (2.2-8) где А, В, С, р и В имеют тот же смысл, что и в п. 2.2-1; р, <р—-полярные координаты. 2.3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ 2.3- 1. Точки и прямые. Расстояние 6 от точки Ро (х0, у0) до прямой Ax+Bj/4-С—0, определенное по величине и знаку, может быть найдено по формуле __Ах0 Ч~ -р С VA‘ + B‘ (2.3-1) где знак перед радикалом противоположен знаку С. Иногда 6 называют отклонением точки от прямой; отклонение положительно, если начало коор- динат и точка Ро (х0, 'у0) лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону. Три точки (хъ Ух), (х2, у2) и (х3, у3) лежат на одной прямой в том. и только в том случае, если (см. также п. 2.2-1) У1 1 ♦ Х2 Уг 1 = 0. (2.3-2) х3 Уз 1 2.3- 2. Две или несколько прямых. (а) Две прямые A1x+B1j/+C1=0 или y=kxx+bi (2.3-3а) и AgX В2у С2 == 0 или y^=k2x-^~b2 (2.3-36) пересекаются в точке _____________ ^>С2 — BZC, Ь, — Ь, С,Ай — С2А| kzb, — k,bz « .. X~A,Bz- AzB, ~ kz -ki’ У — AtBz — AzB,~ kz-k, ’ (b) Угол y12 между двумя пересекающимися прямыми (За) и (ЗЬ) определи* ется формулой tg Vi2= (2-3-5) Под углом у12 при этом понимается угол, на который нужно повернуть прямую (За) вокруг точки пересечения прямых против часовой стрелки-до первого совмещения с прямой (ЗЬ). Поменяв местами kt и k^, получим тан- генс смежного угла ?21=л—у12. я (с) Прямые (За) и (ЗЬ) параллельны, если А]В2—A2Bi==0 или h2=kx, (2.3-6) и перпендикулярны, если или fe2==—• (2.3-7) (d) Уравнения прямых, проходящих через точку (х^, yt) под углом у к прямой (За):
2.3-3. 2.3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ 63 В частности, нормаль к прямой (За), проходящая через точку (хх, уг), определяется уравнением У— ^1=77^—zi) или У— У1=— х1>- (2.3-9) (е) Уравнение любой прямой, параллельной (За): Д1х+В1у+С=0. (2.3-10) Расстояние 6 между параллельными прямыми (За) и (10): 6==-g?-c-. ± V а1+в1 (2.3-11) Если в (11) знак перед радикалом противоположен знаку Сх, то б будет положительным, когда начало координат и прямая (10) лежат по разные сто- роны от прямой (За). (f) Уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения прямых (За) и (36), имеет вид (Ajx + B^+CJ+X (Л2х + В21/+С2)=0, (2.3-12) где X — постоянная (см. также п. 2.1-9, с). Обратно, каждое уравнение вида (12) определяет прямую, проходящую через точку пересечения данных пря- мых. Если (За) и (36) параллельны, то (12) определяет прямую, которая в свою очередь им параллельна. Совокупность прямых, определяемых урав- нением (12) при различных значениях параметра X, называется пучком пря- мых, а точка их пересечения—центрам пучка. Если базисные прямые (За) и (36) пучка заданы нормальными уравнениями (п. 2.2-1), то (—X) равно отношению расстояний от любой точки прямой (12) до базисных прямых; при 1=1 и 1=—1 полученная прямая служит биссектрисой угла между базис- ными прямыми пучка. (g) Для того чтобы три прямые Ахх -J- ЁДу 4~СХ=0, A2x -J- B^y -J- C2—0, A^x-j- Bgy-j-Cg^^O (2.3-13) пересекались в одной точке или были параллельны, необходимо и достаточно,, чтобы Аг Bi Ag Bq Аз В3 (2.3-14) С3 т. е. чтобы левые части уравнений (13) были линейно зависимы (п. 1.9-3, а). 2.3- 3. Тангенциальные координаты. Уравнение 6x4-'!]/'+1 = 0 (2.3-15) определяет прямую линию (£, г]). Числа 5 и г] называются ее тангенциальными (линей- ными, плюккеровыми) координатами. Если точечные координаты х, у фиксированы, a g, Т1 рассматриваются как переменные, то (15) становится уравнением точки (х, у}, т. е. точки пересечения всех прямых (15). Симметрия уравнения (15) относительно точечных и тангенциальных координат влечет за собой соответствие (двойственность) между теоре- мами, относящимися к взаимному расположению точек и прямых (пп. 2.3-1 и 2.3-2). Уравнение Г (g, гр = 0 определяет семейство прямых, которое, вообще говоря, имеет .огибающую, зависящую от вида функции F (J, ЧГЩ. 17.1-7),
ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.4-1. 2.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ) 2.4- 1. Общее уравнение второй степени. Кривые второго порядка (конические сечения) определяются уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно х, у имеет вид «н-к2+^а12ху+a^y'i+2а1;|л:+2а3з у+а33—О или («и*+а12у+П1з) х + +а22у+о33) У+(«31* ~Ь «ззУ+азз) — 0. где англам (!. * = 1. 2, 3). (2.4-1) 2.4- 2. Инварианты. Для любого уравнения (1) три величины /=аи+«32, £) — Ags — «и «21 «12 «22 «ц «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 (2.4-2) являются инвариантагли относительно переноса и поворота осей (2.1-8), (2.1-9) и (2.1-10). Эти инварианты определяют свойства кривой второго по- рядка, не зависящие от ее положения на плоскости. Инвариант А, а также иногда А =8А, называют дискриминантом уравнения (1). 2.4- 3. Классификация кривых второго порядка. Табл. 2.4-1 содержит клас- сификацию кривых второго порядка, основ'анную на их инвариантах (2.4-2); в этой таблице д, = |«22 «23 +|«И «13 I (2 4 3) I а32 G33 I азз I г А' является инвариантом относительно поворота осей (семиинвариантом). 2.4- 4. Условие подобия невырожденных кривых второго порядка. Две невырожден- ные кривые второго порядка (А~£0), заданные уравнениями вида (1), подобны, если О =0 для каждого из уравнений (т. е. если обе кривые — параболы) иЛи если D ф 0 для каждого из уравнений и отношения а^-.а^'. azz для этих уравнений совпадают. 2.4- 5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение. Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены прн помощи характеристической квадратичной формы Ро (х, У) = Пи*2 4- 2G12XZ/ + а82^. (2.4-4) соответствующей уравнению (I). В частности, невырожденная кривая второго порядка (Л^О) оказывается действительным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или пара- болой в зависимости от того, будет ли Fo (х, у) положительно определенной, отрица- тельно определенной, неопределенной или полуопределенной квадратичной формой, что устанавливается по корням Ла ее характеристического уравнения ait — K ац | 0 или ^2_/x. + D=0. (S.4-5) ^21 й2Й —— Л f Кории 7l2 являются собственными значениями действительной симметрической мат- рицы (пп. 13.4-5, 13.5-2) и. как следствие этого, всегда действительны. * Заметим, что инварианты / и D кривой второго порядка следующим образом вы- ражаются через корни характеристического уравнения (5); / = -Z) == Отсюда следует, что если один из корней Л,£, равен нулю, то 0=0. а если Лй =— т. е. /=0, то D<0 (см. табл. 2.4-1). 2.4- 6. Центры и диаметры кривых второго порядка. (а) Диаметром кривой второго порядка называется прямая, являющаяся геометрическим' местом середин параллельных хорд. Говорят, что диаметр сопряжен хордам (а также направлению хорд), которые он делит пополам.
д.4-0. 2.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ) 65 Таблица 2.4-1 Классификация кривых второго порядка Невырожденные кривые Л#:0 Вырожденные (распадаю- | щиеся) кривые А = 0 Центральные кри- вые второго порядка 0 D >0 4- Действительный эллипс (окруж- ность, если Z2 = 40 или = ^221 &12 С) Действительная точка пе- ресечения двух мнимых пря- мых (эллипс, выродившийся в точку) 4>° Мнимый эллипс (ни одной дейст- вительной точки) D <0 Г ипербола Пара действительных пе- ресекающихся прямых (вы- родившаяся гипербола) Нецентральные кри- вые второго порядка (без центра или с не- определенным цент- ром) 0 = 0 0=0 Парабола А’>0 Пара мнимых па- раллельных прямых (ни одной действи- тельной точки) А'<0 - Пара действитель- ных параллельных прямых А' = 0 Одна действитель- ная прямая (пара совпавших прямых) Диаметр, сопряженный хордам, образующим угол 0 с положительным направ- лением оси Ох, определяется уравнением (йцХ + а^У + 013) СОЗ 0 (G21^“Ь“Ьй2з) sin 0=0. (2.4-6) (Ь) При D =/= 0 все диаметры кривой второго порядка пересекаются в одной точке—центре кривой (другое- определение см. в п. 2.4-10). При D=0 все диаметры параллельны или совпадают. В случае D^.O кривая вто- рого порядка называется центральной. Координаты центра (ль, у,) определяются уравнениями ПцЛГо -f- о12Ро + ° ia =10. CaiXo 4- О12Р0 4- а»з =* 0» (2.4-7) откуда следует, что Х» = -К|ц*’ М’ ““I <2Л-8» и I ai9 ai2 । и ( a2i a2S | Если кривая центральная, то перенос (2.1-8) начала координат в ее центр (8) приводит Уравнение кривой к виду - _ -- А а11х‘+2а1аху + аггу‘+——0, (2.4-9) Где х, у — координаты относительно новой системы. (с) Каждый из двух сопряженных диаметров центральной кривой второго порядка делит пополам хорды, параллельные другому диаметру (см. также
66 ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.4-7. 2.4-7. Главные оси. Диаметр, перпендикулярный к сопряженным ему хор- дам, называется главной осью кривой второго порядка и является осью сим- метрии кривой. Каждая центральная кривая второго порядка (D =# 0) либо имеет две взаимно перпендикулярные главные оси, либо каждый диаметр является главной осью; в последнем случае кривая является окружностью. При D=0 кривая имеет одну главную ось (см. табл. 2.4-1). Точки пересече- ния кривой второго порядка с ее главными осями называются вершинами этой кривой. Главные оси имеют направление собственных векторов матрицы —1, 2) (см. п. 14.8-6). Иначе говоря, направляющие косинусы cos 6, sin 6 нормалей к главным осям (п. 2.2-1) удовлетворяют уравнениям (Ди — Л) cos 6 + °i2 sin 0 = 0, cos б(бт22 — Л) sin 6 — 0, (2.4-10) где X — отличный от нуля корень уравнения (5). Направления главных осей и сопря- женных им хорд называются главными направлениями кривой второго порядка. Угол между положительным направлением оси Ох и каждым из двух главных направлений кривой определяется формулой tg2q> = tg2e = ——; (2.4-11) G11 Д22 только окружность имеет неопределенные главные направления. 2.4-8. Приведение уравнения, кривой второго порядка к стандартному (каноническому) виду. Если ввести новую систему координат, совершив пово- рот осей на угол, удовлетворяющий уравнению (11), и подходящий перенос начала (п. 2.1-7), то уравнение (1) любой невырожденной кривой второго порядка может быть приведено к следующему стандартному (или канониче- скому) виду (параметры а2, Ь2 и р, встречающиеся в канонических уравне- ниях, весьма просто выражаются через корни Xj^X2 характеристического уравнения (5) и инварианты A, D, /): (эллипс), I 2 I .Д A tn ___________ 1 А __ А a^~^D °— р-=1 (гипербола), ___Ld______- А - Ы> l*D Л1Л|’ у2—2рх (парабола), 1 Z2=0. | IT I Aj r Ai J Уравнения вырожденных (распадающихся) кривых второго порядка способом приводятся к виду хг Vя ^+Ь'=0 (твчка^ Xs и2 ~(пересекающиеся прямые), х2 —- г=з 1 (параллельные прямые). (2A-V2a) (2.4-126) (2.4-12с) аналогичным (2.4-13) хя — 0 (одна действительная прямая). Замечание. Поворот координатных осей (2.1-9) на угол, удовлетворяющий уравнению (II), привддиг к диагональному виду матрицу [а^] характеристической квадратичной формы (4) (см. также п. 14.8-6). Изменение 6 на угол, кратный зт/2, соот- ветствует некоторой перестановке переменных х, у, —х и—у. Канонические уравнения (12, G), (12, Ъ), (12, с) соответствуют такому выбору 6, при котором фокусы (п. 2.4-9) кри- вых второго порядка лежат на оси Ох,
2.4-10. 2 4 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ) 67 2.4-9. Геометрическое определение невырожденной кривой второго по- рядка". Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго по- рядка" (12) может быть' при помощи подходящего преобразования начала (п. 2.1-5) приведено к виду р2=2рж —(1 — е2)ж2 (р>0). (2.4-14) В этом случае кривая проходит через начало координат новой системы; ось Оживляется осью симметрии кривой. Уравнение (14) выражает тот факт, что невырожденная кривая второго порядка является геометрическим ме- стом точек, отношение расстояний которых е>0 (эксцентриситет) от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кри- вая есть аллипс при е<1 и, в частности, окружность при e==0t гипер- бола при е> 1 и парабола при е=1. Уравнение директрисы кривой (14): х х=~~ е (I + е) ‘ (2.4-15) координаты фокуса: У=0. (2-4-16) Директриса перпендикулярна к оси симметрии, проходящей через фокус и вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директрисой равно р/г. Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипер- бола), его прямая х== J _ ег ~а (2.4-17) является осью симметрии кривой и, следовательно, кривая имеет два фокуса и две директрисы. Фокальным параметром невырожденной кривой второго порядка назы- вается половина длины ее хорды, проходящей через фокус и перпендикуляр- ной к фокальной оси (фокальная хорда); фокальный параметр равен р. Замечание. Все типы кривых второго порядка, вырожденных и невырожден- ных, могут быть получены как плоские сечения прямого кругового конуса при различных положениях секущей плоскости относительно конуса. Если кривая распадается на пару параллельных прямых, то следует считать, что конус вырождается в цилиндр. 2.4-10. Касательные и нормали к кривым второго порядка. Полюсы и по- ляры. Уравнение касательной (п. 17.1-1) к кривой второго порядка (1) в ее точке (xj, уО имеет вид ouxix+.ai2 (Ухх ~ЬХ1У) +а22У1!/"Ьй1з (х1+^)+й23 (У1 +1/) 4-^33—0 или (°пх1+а12уг + йХз) ж + (a2i*i + й22?/1 + агз) У + (йз1х1 + азгУ1 + йзз) = 0. (2.4-18) Уравнение нормали (п. 17.1-2) к кривой второго порядка (1) в точке (*i> Ki) имеет вид ____х — х,________________у — Vi_____ (2.4-19) вцХ, 4- OizVi 4- й1з Cai*i 4- azzVi 4- o2a Уравнение (18) определяет прямую, называемую полярой точки (а>!, уд относительно кривой второго порядка (1), независимо от того, лежит ли точка (жь на кривой или нет; точка (хъ уд называется полюсом пря- ои (18). Поляра точки кривой есть касательная к кривой в этой точке.
Касательные, нормали, поляры и полюсы кривых второго порядка Т а б л и ц а 2.4-2 Кривая Окружность радиуса R с центром в начале координат Парабола с фокусом (т ’ °) и диРект₽и' г. Р сой * = -Т Эллипс с центром в начале координат; большая ось 2а иа оси Ох, малая » ось 2Ь Гипербола с центром в начале координат; дейст- вительная ось и а осн 2а, мнимая ось 2Ь Уравнение кривой № 4- = Л' Иг = 2рх ^.+ ^1,а>ь 1 ’Sj’i II Уравнения каса- тельных к кривой, проходящих через точку (хъ yt) У — -Uj _ X —Xf 1 * 'Ч 1 1 il+ * X II 1 w ч х ч 1 1 .* S II * ч 1 1 II — ад1 ± У — b*x\ + оар2 + а*ь2 а1 — xj № — л:2 2xt ~ as — Уравнения каса- тельных к кри вой, имеющих данный угловой коэффи- циент k v = kx ± R Vl + k‘ » = + Х V = kx ± V k‘a‘ 4- Ь‘ У = kx ± V k2as — Ья Уравнение поля- ры ТОЧКИ (Xj, Mi) или уравнение ка- сательной к кривой в точке (xt, yt) х,х + 1Ш — R' = г, a -i- хп п2 д2 *1* _ f/lp = а‘ Ъ* Координаты xt, pi полюса прямой Ах 4- By 4- С а= 0 с относительно кри- вой AR2 —с"- В/?’ ₽.=—— с Bp ₽.=-7д- а2 А Ь*В 1/t — с а2А с~- ь'В Vt ~. с Уравнение норма- ли к кривой в точке <*х, yt} у=^х У — Ух У1 х — Х! р у — U1 а2У1 х — Xj b2xt р — р, __ pZpt X—-Xi b2xt Уравнение, кото- р ому удов лет во - ряют «линейные ко- ординаты» %, т) лю- бой касательной & + ЧУ + 1 = 1 к кривой. / a1?’ + b*r? = I — b*r? = 1
Г 2.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИ]} СЕЧЕНИЯ) 69 Уравнения касательных, поляр и нормалей для кривых второго по- рядка,Г заданных каноническими уравнениями (п. 2.4-8), приведены в. таб- лице 2.4-2. Замечание (теоремы о полюсах и полярах). 1 Если прямая, проведенная через полюс Р, пересекает поляру в точке Q, а кри- вую второео порядка — в точках Rr и RZt то точки Р и Q гармонически разделяют Rt и Яё, т. е. (новое, определение поляр ы). 2. Рели точка лежит на некоторой прямой, то ее поляра проходит через полюс этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то ее полюс лежит на поляре этой точки. Л ч 3. Диаметр кривой второео порядка есть поляра бесконечно удаленной точки, через которую проходят сопряженные ему хорды; центр кривой второго порядка есть полюс бесконечно удаленной прямой (новое определение диаметра и центра), 4. Фокус кривой второго порядка есть центр пучка, обладающего тем свойством* что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой пучка. Директриса есть поляра фокуса (новое определение фокуса и дирек- трис ы). Из 1—4 следует, в частности, что: (а) Если через точку можно провести две касательные к кривой, то поляра этой точки проходит через точки касания. (b) Касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряженным ему хордам,. в (с) Точка пересечения касательных к кривой в концах любой ев хорды, проходящей через фокус, лежит на директрисе. (d) Каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна to прямой* проведен- ной через фокус и точку пересечения касательных в концах хорды. 2.4- 11. Другие способы задания кривых второго порядка. 1 (а) Кривая второго порядка вполне определяется пятью своими точками, если никакие четыре из них не лежат на одной прямой (п. 2.3-1). Уравнение кривой второго порядка, проходящей через пять точек (хх, уг)9 (х2, r/2)i (Хз, Уз), (-4. Vi), (хъ, уъ): X2 ху У* X У 1 X? Х1У1 У1 Xi У1 1 х» xl х?Уз ХзУз VI VI х2 Xs Уз Уз 1 1 = 0. (2.4-20) Х1 х&у. Vi *4 Ул 1 ХьУз Л х& Уъ 1 Кривая второго порядка вырождается в том и только в том случае, когда три из заданных точек лежат на одной прямой. Замечание. Построение кривой второго порядка, проходящей через пять дан- ных точек, осуществляется прн помощи теоремы Паскаля: точки пересечения противо- положных сторон шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, лежат йа оонои прямой (или являются бесконечно удаленными). .Кривая второго порядка также вполне определяется пятью касательными, если никакие четыре из иих не пересекаются в одной точке. Построение касательных «₽пГОЙ^ кРиВ°й ^производится при помощи теоремы Брианиюна: диагонали, проходящие пР°тивоположные. вершины шестиугольника, описанного около кривой второго по- ряока, пересекаются в одной точкё (или параллельны). (Ь) Если фокус невырожденной кривой второго порядка принят за полюс$ а ось симметрии — за полярную ось, то уравнение этой кривой в поляр» НЬ1х координатах р, ф будет , иметь вид ____________р Р 1- -f- е cos <р • (2.4-21)
ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.5-1, , 2.5. СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТЕЙ, ЭЛЛИПСОВ, ГИПЕРБОЛ И ПАРАБОЛ 2.5-1. Окружность: формулы и теоремы (см. также табл. 2.4-2). (а) Общее уравнение окружности в декартовых прямоугольных коорди- ватах: л*-Н/2+Ах+Вр+С=0, или (2.5-1) где (х—х0)2+(у—у0)2=R2, 2х0=— А, 2у0=—В, 2/?=КА2-Ь52—4С. Точка (х0, у0) — центр окружности, R — ее радиус. Окружность (1) касается оси Ох, если 4С—А2, и оси Оу, если 4С=В2. Уравнений окружности с центром в начале координат: x2+y2=R2. (2.5-2) (Ъ/ У равнение окружности, проходящей через три точки (xt, yt), (х2, щ), (хЛ, y9)l х2 + г/8 х у 1 + 1/3 1 (с) Длина L каждой из касательных, проведенных из точки (Хь г/4) к окружности (1)э L = V(xt — х0)2 4- (гл — ytf~R*\ <2-5"4) (d) Две окружности X2 4* у2 + А1Х 4* В\У 4- Ci е= 0, хя г/2 <Л ex 4* В%У 4"Cj»0 (2.5-5) являются концентрическими в том и только в том случае, когда А±=^ А2 и В1 = Вг. Необходимое и достаточное условие ортогональности окружностей имеет вид ^1^2 4" ^1^2 = 2 (Ci 4- С2). (е) Все окружности, проходящие через действительные илн мнимые точки пересе- чения двух окружностей (5), определяются уравнением хя + у2 4~ 1х "Ь &1У 4~ Ч* (х2 Н- у2 Н- А£х4- В2у 4~ Сг) ~ (2.5-6) Где К — параметр. Кривая (6) существует и в том случае, когда окружности (5) не имеют действительных точек пересечения. (f) При К = — 1 уравнение (6) превращается в уравнение прямой (Л! — Л2) х 4- (Вх — В2) у 4- (Ct — Cs) = 0, (2.5-7) которая называется радикальной осью двух окружностей (5). Радикальная ось является геометрическим местом точек, из которых могут быть проведены касательные равной длины к двум данным окружностям. Если две окружности пересекаются (касаются), то радикальная ось является их общей хордой (касательной к окружностям в общей точке). Радикальной осью двух концентрических окружностей служит бесконечно удаленная прямая. Три радикальные оси, связанные с тремя попарно взятыми окружностями, пересе- каются в одной точке (радикальный центр). Этот факт испольвуется при построении ради- кальной оси двух непересекающихся окружностей. Если центры трех окружностей лежат на одной прямой, то их радикальным центром служит бесконечно удаленная точка. (g) Уравнение окружности радиуса R с центром (р0, <ро) в полярных координатах: Рг — 2рр0 cos «р — <₽(,) + р«0 = R2. (2.Б-8) 2.5- 2. Эллипс и гипербола: формулы и теоремы (см. рис. 2.5-1, а также п. 2.5-3, табл. 2.4-2 и 2.5-1). (а) Длины большой и малой осей эллипса (2.4-12, а) т. е. отрезков, отсекаемых эллипсом на его осях симметрии (рис. 2.5-1, а), равны соот- ветственно 2а и 2Ь. Сумма фокальных радиусов и г2 (табл; 2.5-1,6) пос- тоянная (и равна 2а) для каждой точки эллипса.
е в_3 2.5. СВОЙСТВА ЭЛЛИПСОВ. ГИПЕРБОЛ И ПАРАБОЛ 71 (Ь) Гипербола имеет две асимптоты (п. 17.1-6), пересекающиеся в ее центре. Для гиперболы (2.4-12 6) уравнения асимптот: у = ~^х- С2-5'9) Угол <р между асимптотами гиперболы определяется из уравнения tg (<р/2) ~ = 6/а; если а == Ь, то <р = л/2 (равносторонняя гипербола). (с) Длина действительной оси гиперболы, т. е. расстояние между ее- вер- шинами (рис. 2.5-1, Ь), равна ,2а. Мнимой осью называется главная ось,, Асимптоты Рис. 2.5-1. а) эллипс, Ь) гипербола, с) парабола; каждая иэ кривых задана кано- ническим уравнением относительно изображённой иа рисунке системы координат. Пока- заны фокусы, оси и фокальный параметр. перпендикулярная к действительной оси. Касательная к гиперболе в ее вер- шине пересекает асимптоты в точках, расстояние между которыми равно 2Ь (рис. 2.5-1, Ь). Разность между фокальными радиусами rt и г2 гиперболы (табл. .2.5-1, 6) постоянна: она равнс^2а для правой ветви и—2а для левой. (d) Если di и ds —длины любых двух сопряженных диаметров (п. 2.4-6, с) эллипса ила гиперболы, то didg sin (arctg k2 — arctg ki) = 4ab. (2.5-10) где fej, — угловые коэффициенты диаметров. (e) Для пересечения гиперболы (2.4-12 b) со своим диаметром у = kx необходимо и достаточно выполнение условия k2 <Z b*/az. Асимптоту можно рассматривать как хорду, встречающую гиперболу в бесконечно удаленной то4ке и совпадающую с сопря- женным ей диаметром (а также как поляру бесконечно удаленной точки кривой). (f) Отрезки секущей, заключенные между гиперболой и ее асимптотами, равны между собой. Точка касания делит отрезок касательной, заключенный между асимптотами, пополам. Произведение расстояний от точки гиперболы да асимптот постоянно, (о) Площадь треугольника с вершинами е центре эллипса и в концах любой пары его с°пряженных диаметров постоянна. Площадь треугольника, заключенного между асиЛ1/гтотами гиперболы и любой ее касательной, постоянна. 2.5-3. Построение эллипсов и гипербол, их касательных и нормалей. (а) Построение эллипса по его осям 2а и 2b. 1. Пусть О — точка пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых. На одной тппИИх СтР°им отрезок Р'ОР — 2а, а иа другой — отрезок Q'OQ = 2b. Тем самым уже пос- н\^НЫ 4 веРшины эллипса: Р, Р\ Q, Q'. Проводим через точку О произвольную наклон* у*°’ откладываем на ней отрезки OR = Ъ и OS — а, затем проводим через точку R пря- пол п.аРаллельную Р'Р, а через точку S — прямую, параллельную Q'Q. В пересечении ( Учим точку искомого эллипса. а £ Из точки как 113 центРв раствором циркуля, равным ОР = а, делаем на отре- . ОР засечхси F' и F (фокусы эллипса). На отрезке Р'Р выбираем произвольную в лйУ Окружности радиусов Р'Г и РТ с центрами соответственно Ff и F пересекутся А ух точках искомого эллипса.
72 ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.5-3. Таблица 2.5-1 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнении и основные формулы (см. также пп. 2.4-9, 2.5-2 и рис. 2.5-1) Эллипс Гипербола Парабола 1 Стандартное (кано- ническое) уравнение — + = 1 (рис. 2.5-1, с) ^-g«l dz2 b2 (рис. 2.5-1, b) У2 — 2px (рис. 2.5-1, e) 2 * Эксцентриситет -V-£<- e = -y.+S>- 8 = 1 3 Фокусы (08, 0), (— 08, 0) (as, 0), (— 08, 0 4 Уравнения дирек- трис X II и| в X II 1 »|в a I u 1 II G 1 W If ! * —i 5 Фокальный пара- метр (см. п. 2.4-9) Ъ2 р^- b2 p=^ p 6 Фокальные радиусы (расстояния от фоку- сов до произвольной точки (х, у) кривой) Г1 = а 4- ех, ге = а — ех ri — a -|- ex, r2 — — a + ex » = * + -f- 7 Уравнение диамет- ра, сопряженного хордам с угловым коэффициентом k ь2 У=* — ~^ * a2k b2 y-^kx II 8 Площадь сегмента между дугой, выпук- лой влево, и хордой, проходящей через точки (Xi, yii и (xlt — Uii -~nab -1- Ц- as arcsin Х1У1 — 4 3 xiUi 9 Уравнение в поляр- ных координатах (ср. с уравнением (2.4-21)) 'p. = Ё! 1 — E« COS2 <p . — b2 1 — 82 COS2 <J) 2p cos <p 0 1 — cos2 <p Построение гиперболы. Пусть Р'ОР — действительная ось гиперболы, F и F* — ее фокусы. На действительной оси выбираем произвольную точку Т так, чтобы соблюдалось условие ОГ>ОР. Окружности радиусов Р'Т и РТ с центрами F и F’ пересекутся в точках гиперболы (см. табл. 2.5-1, соотношения между OF = OF*, а н Ь). (Ь) Для построения касательных и нормалей к эллипсам и гиперболам оказываются полезными следующие свойства этих, кривых: 1. ' Касательные к эллипсу (2.4-12 а) в произвольной его точке (Xi, пересекают ось Ох в той же точке, что и касательные к окружности x^-J-z/2 —па ь точках
2.0.1. 2.6. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 73 2. Касательная и нормаль к эллипсу в любой его точке делят пополам углы между прямыми, соединяющими эту точку с фокусами («фокальное свойство® эллипса); анало- гичным свойством обладает гипербола» 3. Произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу нли гипер- боле постоянно и равно Ь2. Основания перпендикуляров, опущенных из фокуса на каса- тельные, лежат на окружности, построенной на большой оси (на действительной оси) как на диаметре; эта теорема может быть использована для построения эллипса или гиперболы, как огибающей касательных к этим кривым. (с) Эллипс или гипербола могут быть приближенно построены при помощи сопри- касающихся окружностей в их вершинах (п. 17.1-4). Центры кривизны эллипса или гиперболы, соответствующие вершинам, лежащим на фокальной оси, также лежат на этой оси; радиусы кривизны в этих точках равны b2Ja. Центры кривизны для вершин, лежащих иа малой оси эллипса, также лежат на малой оси, радиус кривизны в каждой из этих точек равен a2Jb. 2.5- 4» Построение параболы, ее касательных и нормалей. (а) Если заданы ось параболы, ее фокус и расстояние между фокусом и директри- сой, то дли построения параболы могут быть использованы следующие ее свойства: 1. Расстояние между фокусом и любой точкой Р параболы равно рас- стоянию между директрисой и той же точкой Р (см. также п. 2.4-9). 2. Прямая, перпендикулярная к оси параболы и делящая пополам отре- зок перпендикуляра, опущенного нз фокуса на директрису, касается параболы в ее вершине. Перпендикуляр, восставленный в любой точке Q этой прямой к отрезку, соединяющему Q с фокусом, касается параболы. Обратно, любая касательная и перпендикуляр к ней, проведенный через фокус, пересекаются е точке, лежащей на касательной к параболе в ее вершине, (Ь) Для построения касательных и нормалей к параболе оказываются полезными следующие ее свойства: I. Расстояние между любой точкой Р параболы и фокусом равно рас- стоянию между фокусом и точкой пересечения оси параболы с касательной е Р. 2. ' Касательная и нормаль к параболе е любой ее точке Р делят пополам углЫ между проходящими через Р диаметром параболы и прямой, соединя- ющей Р с фокусом; заметим, что все диаметры параболы параллельны ее оси Эта теорема заключает в себе фокальное свойство параболы. 3. Нормаль к параболе е любой ее точке Р и перпендикуляр, опущенный из Р на ось, пересекают последнюю в точках, расстояние между которыми постоянно и равно р. 4. Директриса параболы есть геометрическое место точек пересечения взаимно перпендикулярных касательных. (с) Для уточнения формы параболы можно использовать соприкасающуюся окруж- ность кривой (п. 17.1-4) в ее вершине. Центр этой соприкасающейся окружности лежит на оси, радиус равен р. 2.6. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ*) 2.6- 1. Примеры алгебраических кривых (см. рис.2.6-1): ' (а) Парабола Нейля (полукубическая парабола): у=^<и?^, (Ь) Локон Аньези: х2у — 4а2 (2а — у). (с) Конхоида Никомеда: (х2 + У2) (* — о)2 = х2Ъ2. (d) Циссоида Диоклеса: у2(а — х)=х? или р = а(—1—_ cos<p). (е) Лемниската Бернулли: (х2 4- у2) — а2 (х2 — у2) = 0 или р2 — a2 cos 2<р = 0. (f) Овалы Кассини: (х2 у2 4- а2)2 — 4а2х2=с4 (геометрическое место то- чек, для которых произведение расстояний до точек (.— с, 0) и (fl,0) равное2). (g) Строфоида: х3-|-х (а2 4-у2) =2а (у2 4-х2). (h) «Крест» (Cruciform): х2у2 = fl2 (X2 4- у2) или р = («) Кардиоида: (л2 + #2 — ах)2 = а2 (х2 + у2) или р = а (1 + cos ср). *) Наиболее подробным справочником по плоским кривым служит книга [2.3].
74 ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ \ 2.Ь-< 0) Трисектриса: „ хя (За — х) f д 1 п2 — ——:--------- или р = а 4 cos ф — ——-). а 4- х r v cos ф / Рис. 2.6-1. Некоторые алгебраические кривые. (к) Астроида: х2/3 4- или х = a cos3 t, у = a sin3t. (1) Декартов лист: х3 + J/3 = Зйш/ или х = ?г|рр У = ( — cosS^ss + oo). . (m> Улитка Паскаля: (х2 + Z/2— ох)2 = Ь2 (х2 + У2) или р = b + a cos <р, (на рисунке обозначены декартовы координаты точек пересечения кривой с осями). 2.6- 2. Примеры трансцендентных кривых (см. рис. 2.6-2). (а) . Цепная линии: У=-%~ (exla -\-ё~х/а) =«ch-^-* (Ь) Спираль Архимеда: р = сф. (с) Параболическая спираль: р2 = 2рф. (d) Логарифмическая спираль: р =
2.6-2. 2.6. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ 75 (е) Циклоида (кривая, описанная точкой, отстоящей на расстоянии от центра круга радиуса а, катящегося без скольжения по оси абсцисс): x~at— аг sin t, у —а — o^cos/. (2.6-1) Замечание. При at < а циклоида называется укороченной, при а* > а — обычная циклоида (именно она изо- удлиненной. Если — а, то получается бражена на рис. 2.6-2). Логарифмическая. спираль t равна» Сгтраль Архимеда Рис. 2,6-2. Некоторые трансцендентные кривые. (2.6-2) (f) Эпициклоида (кривая, описанная точкой, отстоящей на расстоянии от центра круга радиуса а, катящегося без скольжения по окружности •' х2 + у2 — Ь2 и находящегося вне этой окружност! ): х = (а b) sin -g-1 — Oi sin —g— t, у = (a + b) cos 1 — ax cos -° t (см. замечание к (e)). (g) Гипоциклоида (кривая, описанная точкой, отстоящей на расстоянии от центра круга радиуса а, катящегося без скольжения по окружности и остающегося внутри нее): х=(Ь—a) sm -у г—аг sm —g—t, y — (b—a) cos cos b~a t (см. замечание к (e)). (h) Трактриса: x = a ^cos/+ In tgy), (2.6-3) у .== a sin t. (2.6-4)
ГЛАВА 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 3.1-1. Вводные замечания (см. также п. 2.1-1). Глава 3 посвящена анали- тической геометрии трехМерного евклидова пространства. Точки задаются радиусами-векторами или системами дей- ствительных чисел (своими координа- тами)» 3.1-2. Декартова система координат (см. также п. 2.1-2). Декартова си- стема координат позволяет связать с каждой точкой Р пространства, в кото- ром 5 выбраны три не лежащие в одной плоскости направленные прямые Ох, Оу, Oz (оси координат), пересекающиеся в начале О, три вполне определенных действительных числа (декартовы коор- динаты) х, у, z; при этом пишут Р (x,y,z). Пусть задана (в общем случае косо- угольная) система реей Ох. Оу, Oz (рис. 3.1-1); тогда плоскость, проходящая через точку Р и параллельная плоскости Oyz, пересекает ось Ох в точке Р'. Аналогично плоскости, и параллельные соответ- Р"*. Длине каждого из Рис. 3.1-1. Правая декартова косо- угольная система координат. Отрезки OEit OEt и ОЕ3 — единицы масштаба иа осях. проходящие через Р точке Р” и ось Oz в ствеино Oxz и Оху, пересекают ось Оу направленных отрезков OP’, ОР” и ОР'” приписывается знак плюс, если направление отрезка совпадает с направлением соответствую- щей оси, и знак минус в противном случае. Числа х=ОР', у=ОР”, z=OP"* называются декартовыми координатами точки Р (х. у, z) относительно дан- ной системы координат, образованной осями Ох, единицами масш В Оу, Oz и выбранными на осях таба. Рис. 3.1-2. Системы координат: пра- вая декартова прямоугольная, ци- линдрическая и сферическая 3.1-3. Права и система Оу, Oz могут образовывать вую систему. Для правой системы (см. рис. 3.1-1) поворот от оси Ох к осн Оу на угол, меньший л, совершается в направле- нии против часовой стрелки, если смотреть на плоскость Оху из какой-либо точки по- ложительной полуоси Oz (положительная сторона плоскости Оху). 3.1-4. Правая декартова прямоугольная система координат. В прямоугольной системе координат оси взаимно перпендикулярны (рис. 3.1-2). Координаты х, у, z точки Р равны направленным расстояниям от нача- ла координат О до плоскостей, проведенных через точку Р параллельно координатным плоскостям Oyz, Ozx, Оху. осей. Оси Ох, правую или лё-
8.1-7. ВЛ. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В настоящем справочнике, если не оговорено противное; всегда приме- няется правая декартова прямоугольная система координат, причем для изме- рения х, у, z применяется одна и та же единица масштаба. 3.1-5. Радиус-вектор. Каждая точка Р (х, у, z)sP(r) может быть задана своим радиусом-вектором r=xi-bj/J + zk={x, у, г}} - (3.1-1) этот вектор г=ОР определяет преобразование переноса, переводящее точку из начала координат О в точку Р, Базисные векторы i, j, к суть единичные векторы, направление которых совпадает соответственно с направлением осей Ох, Оу и Ог данной декартовой прямоугольной системы координат (см. также БД и п. 5.5-2). 3.1-6. Цилиндрическая и сферическая системы координат. На рис. 3.1-2 показаны также цилиндрические координаты р, Ф. z и сферические координаты г, б, <р (полярный радиус, широта и долгота), связанные с декартовыми прямоугольными координатами следующими формулами преобразования: р =Ух2 + ^2, tg <£ = —; г — Ух2 + ^ + г2, cos 6 =— г , Vx‘-t-y‘ + z‘ . tg<P=V- х = р cos<p, 1 4.= psin<p, ? z = z; J x= r sin 6 cos <p. у = г sin 8 sin <р. z~r cos 6. (3.1-2) (3.1-3) Дальнейшие сведения об этих, а также о других криволинейных координатах см. в гл. 6. 3.1- 7. . Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах и в векторной форме. Имеют место следующие формулы (операции над векто- рами см. в гл. Б). 1. Расстояние d между точками Pi (*1. У1> 21) = pi (г1) и Pz (X2, y2, Z2) = Pz (r2): . d=Kte—xx)a+ (уг—У1)2+(гг— zx)a=/(г2—Г1)-(г2 —гх) = | г2 — q1. (3.1-4) 2. Угол у между прямыми PjPz и PgPit направление которых опреде- ляется векторами Р1Р2 и cos v=_______<'х‘ ~ х,) ~ *з1 +{Vi ~ у<) {Vi ~ //а1 + <Zg ~ 21> (z* ~ 2з>_= Уйг - X,)» + -Vl)‘ + (zs - Z1P У(л4 - + {у,-у^‘ 4- (z4 - га)2 =Т73~,Г1||г ~г,|" (31"5) I г2 — «1 1 | Г4 Г8 I 3. Координаты х, у, г и радиус-вектор г точки Р, делящей направлен- ный .отрезок Р±Р2 в отношении PtP : РР2=т : п = Л : 1, определяются фор- мулами: - Или X У Z mxs 4- oxi _Х1 4- ^2 • /пл 1+А ’ туг + nyt Уг + т-\-п 1+Л ’ ; тг2 + лг, ___ Zt + т + п 1 4- X ’ mrs + tiTi fl + Лг2 m-f-n 1-1-Л • (3.1-6)
78 ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.1-84 См. замечание к аналогичным формулам для геометрии на плоскости в п. 2.1-4, 3. Координаты и радиус-вектор середины отрезка Р^Р^' v_xi + хг х— 2 ,,__j/i + #2 ___zi + z2 У— 2 , Z — 2 > _ Г1 + Г2 2 ' (3.1-7) '3.1-8. Направляющие косинусы. (а) Направляющими косинусами cos ах, cos ау, cos аг направленного от- резка /,1Р2 называются косинусы углов между РгР2 и положительными направлениями осей Ох, Оу, Ог соответственно: СОо СС v. ......— --- . - —» К(ха — х1)2 + (Z/2 — Vl)s + (z2 — zi)2 COS а = Vs—Vi __, & K(x2 zi)24-(^2—Vi)e~t~(xa—z,)£ COS rx-=—— ' Zg~Z1 —--------------; У(х2 — x,)2 + 0/2 — y,)2 + (z2 — Zi)2 cos2 ax -}- cos2 a у -J- cos2 = 1. (3.1-8) (3.1-9) Направляющие косинусы направленного отрезка Р2Р± суть — cos •— cos ау, — cos az. (b) Направление прямой может быть также определено любыми тремя числами ах, ау, аг, .пропорциональными направляющим косинусам cos а,х, cos а,у, cos аг; в этом случае ах COS ССд.- j/ ах + а| + а| cos — aV “г Cos rig — У4 + а^+“г (3.1-10) Знак перед корнем должен быть одинаковым во всех трех равенствах; его выбор определяет положительное направление на прямой. Роль этих чисел могут играть координаты любого нектора а (п. 5.2-2), совпадающего по направ- лению с РгР2 или Р2Рг. (Пример. ах=х2—хъ ау=у2—уг, аг=г2—гг.) Направляющие косинусы являются координатами единичного вектора, совпа- дающего по направлению с РГР2 (п. 5.2-5). (с) Угол у между двумя направленными отрезками, направляющие коси- нусы которых равны соответственно cos а,х, cos о.у, cos а,е и cos а'х, cos с^, cos a,'z или направления которых определяются тройками чисел ах, ау, ае и а'х, а'у, аг, находится по формуле cos у == cos ах cos а*-|- cos ау cos а^-}- cos аг cos a'z— ахах + ayay~i~ azaz____ ]/________________________________+ “z Va^+ау +2g (3.1-11)
3.1-12* :8.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 79 (3.1-12) 3.1-9. Проекции. Проекции направленного отрезка PtPi иа оси Ох, Оу и Oz равны соответственно d*=x2—«i^cosa*, ^ = p2-p1==dcosaJ/, ^=z2-Z1 = dcosa^, 4 + 4 + 4==Л где cos Од., cos a^, cos — направляющие косинусы (8), d — длина отрезка (4). Проекция PtPe на прямую с направляющими косинусами cosa^, costly, cosa2 (п. 3.2-1, Ь) равна dcosy, где cosy определяется формулой (11). Проекции Р3Ра на пло- скости Oyz, Oxz и Оху равны соответственно d,=dsina„, d„ = dslna., d_s=rfslna„. 1 Л Z у О &• Проекция PtP2 иа плоскость, нормаль которой имеет направляющие косинусы cosaX1 cos tty, cos (п. 3.2-1, b), равна dslny, где cosy определен формулой (11). 3.1-10. Вектор площади. Площадь плоской фигуры в трехмерном пространстве может быть задана вектором А, модуль которого равен площади А фигуры, а направле- ние совпадает с направлением положительной нормали (п. 17.3-2) к плоскости фигуры A = AN, (3.1-14) (3.1-13) где N — единичный вектор положительной нормали. Каждая из декартовых прямоуголь- ных координат вектора А равна площади проекции фигуры на координатную плоскость, перпендикулярную к соответствующей осн. Г^лощадь параллелограмма, построенного иа векторах а и Ь, может быть задана вектором A =s-axb (см. также п. 5.2-7). Площадь А треугольника с вершинами Pit Р2, Р9 определяется формулой или Z/1 1 2 21 *1 1 2 Xi yt 1 2Л Уз Z2 1 4- 22 xz 1 + XS Уз 1 > (3.1-15) Уз za 1 z8 X3 1 X3 Уз 1 Х1 У1 21 x2 Уз z2 (3.1-16) *3 Уз 23 где р— расстояние от начала координат до плоскости треугольника (п. 3.2-16). Площадь А положительна, если вращение правого винта в направлении Р1Р2Р3 сообщает винту поступательное движение в направлении положительной нормали к плоскости треуголь- ника (п. 3.2-1, Ь). 3.1- 11. Вычисление объемов (см. также п. 5.2-8). (а) Объем V тетраэдра с вершинами Pi, Ре, Рг, Pt Xi У1 Z1 1 1 ха Уз za 1 1 „ v=6 xs Уз z3 1 = g- [(Г3 — Г,) (Г3 — ft) (r4 — п)Ъ (3.1-17) х^ У* Z. 1 Знак V зависит от того, в каком порядке рассматриваются вершины тетраэдра, (Ь) Объем V параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с, V = [abc], (3.1-18) Иногда объем считают только положительным; тогда V = |[abc]|. 3.1- 12. Преобразование декартовых прямоугольных координат при парал- лельном переносе И повороте осей. (а) Перенос осей. Пусть х, у, г—координаты произвольной точки Р относительно декартовой прямоугольной системы координат; пусть х, у, z — координаты той же точки Р относительно другой декартовой системы коор- динат, оси которой направлены так же, как оси первой системы, и начало Которой имеет относительно системы Охуг координаты х0> Уо> zo- Если
80 ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.1-12. единицы масштаба на осях этих систем совпадают, то координаты X, д, г свя- заны с х, у, г следующими формулами преобразования: Х=Х— Хо, X — X-f-Xo, ) У=У~ Уо. У = у + Уо. < (3.1-19) z = 2—z0, z=z + a0. J (Ь) Поворот осей. Пусть х, у, г н X, д, 2—координаты одной и той же точки Р относительно двух различных правых декартовых прямоугольных систем координат с общим началом О; пусть вторая из них расположена относительно системы Охуг таким образом, что ось Ох имеет направляющие косинусы tllr f2t, 4t> ось Од имеет направляющие косинусы <i2, <22, <32> ось Ог имеет направляющие косинусы /18, <23, tss- Тогда относительно системы Оху2 ось Ох имеет направляющие косинусы <ц, <i2, <i3, ось Оу имеет направляющие косинусы <2i, <22, <23, ось Ог имеет направляющие косинусы /31, <32, t33. Если для измерения х, у, г, X, д, масштаба, то формулы преобразования, ординатами X, д, z, имеют вид X = <цХ + t21y + <3)2, д — tl2x + <22t/ + <322, ИЛИ 2 — ti3x + <ззУ+<зз2 Замечание. Преобразования (20) называют ортогональными (пп. 13.3-2 и 14.4-5); каждое t.^ равно своему алгебраическому дополнению в определителе det [tik] —1 (/.* = 1.2.3) (3.1-21) (п. 1.5-2); при этом 3 3 ДРл'/* = {о и#;*)’. <3'Ь22) z применяются одинаковые единицы связывающие координаты х, у, z с ко- + <12# + <13z» 1 </ = <21^_Ь<22^_Ь^232, / (3.1-20) г = <31ХЧ-<з2УЧ-<з22. J (с) Одновременный перенос и поворот осей. Если начало системы координат Oxgz не совпадает с началом системы Охуг и имеет отно- сительно последней координаты х0, у0, г0, то формулы преобразования при- нимают вид: X = <ц (X — Хо) + <21 (У — Уо) + ^31 (г — го). или У — <12 (х — Хо) 4~ <22 {у—Ко) + <32 (г — го)> ,2 =<13 (X— Хо) + <23 (у — J/o)H~^33 (г— 20), X = <цХ -|- t12g + <13? 4- Хо, У = <21^ + <22у + <232 + Уо, 2 = <31Х 4- <32у 4“ <33® “Ь г0> (3.1-23) где направляющие косинусы <Jft удовлетворяют соотношениям (21) и (22). Уравнения (23) связывают координаты относительно любых двух правых де- картовых прямоугольных систем с одинаковыми единицами масштаба на осях. Более общие преобразования координат рассмотрены в гл. 6. (d) Другое истолкование формул преобразования. Уравнения преобразования (23) (частными случаями которых служат (19) и (20)) могут быть истолкованы еще как соотношения, определяющие новую точку Р с координатами X, д, г относительностей же самой системы коорди- нат Охуг. Преобразование, в котором точка Р соответствует точке Р с коор- динатами х, у, г, состоит в последовательном выполнении параллельного переноса н поворота пространства (см. также пп. 14.1-3 и 15.5-1).
3.1-м. 3.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 81 Замечание. Расстояния между точками, углы между направленными отрезками следовательно, все соотношения между векторами, составляющие содержание евкли- довой геометрии, сохраняются при повороте и параллельном переносе (23), т. е. они инвариантны относительно этих преобразований (пп. 12.1-5 и 12.1-4). 3.1-13.' Аналитическое задание кривых (см. также пп. с 17.2-1 по 17.2-6). Непрерывной кривой трехмерного пространства называется множество точек Р (х, у, z) = P(r), координаты которых удовлетворяют системе параметриче- ских уравнений х=х(0, y=y(t), илиг = г(0, Z = Z (0 (— СО ti sg t t2 со)' (3.1-24) где х(0, У (0> 2 (0-непрерывные функции действительного параметра t в замкнутом интервале [1г, <г] (параметрическое задание кривой). С другой стороны, кривая может быть определена равносильной системой уравнений <Р1 (х, у, z)=>0, <р2(х, у, z)=0. (3.1-25) Кривая может иметь более чем одну ветвь. Кривая (24) называется простой кривой (простой Дугой, простым отрезком кривой) или, точнее, простой кривой в смысле Жордана, если функции х (/), у (/), z (О одно- значны, непрерывны и в замкнутом интервале [ttj fs] нет таких двух различных значе- ний Ti и тй, для которых справедливы все три равенства: хСн^хСь), z(T,) = z(T2). (3.1-26) Заметим, что термин простая дуга часто употребляется для обозначения геометрического места точек, координаты которых х, у, z в некоторой декартовой примоугольной системе координат удовлетворяют уравнениям y~f{x), z =• g (х), а х b, где функции f (х), g(x) однозначны и имеют непрерывные производные в интервале [а, 6]. Простая жорда- иова кривая состоит из-одной ветви и не имеет кратных точек, т. е. точек самопересечения. Простой замкнутой кривой называется непрерывная кривая, единственными кратными точками которой являются ее начальная и конечная точки; это значит, что единственным решением уравнений (26) в интервале [tit tz] служит =» tu т2 = ts. Кривая (24) назы- вается регулярной дугой, если при некотором параметрическом задании этой кривой функции х (/), у (i)t z (t) имеют в каждой точке кривой непрерывные производные пер- вого порядка (п. 4.5-1) по параметру t, по меньшей мере одна из которых отлична от нуля; точка кривой (24) с координатами х (Q, у (t0), z (t0) называется ее регулярной (обыкновенной) точкой, если для аначений достаточно близких к t0, кривая представ- ляет собой регулярную дугу. Регулярная кривая есть простая кривая или простая замк- нутая кривая, составленная из конечного числа регулярных дуг. * Все этн определения переносятся на кривые в двумерных пространствах (пп. 2.1-9 и 7.2-2), а также на кривые в пространствах, размерность которых больше трех (п. 17.4-2). 3.1- 14. Способы задании поверхностей (см. также пп. 17.3-1—17.3-13). Множество точек Р (х, у9 z) = P (г), координаты которых удовлетворяют системе уравнений х=х(«, v)t у=у(и, v), z—z(ut v) ' (3.1-27) при подходящих значениях действительных параметров и, vt называется непрерывной поверхностью, если правые части уравнений (27) являются непре- рывными функциями параметров. Поверхность может быть определена также Уравнением <р(х, yt z)~0 или z=f(x, у). (3.1-28) Поверхность может иметь более чем одну полость. Поверхности, определяемые уравнениями <р (х, у, г) —0 и Хф(х, у, z)~ О, (3.1-29) впадают, если только постоянная X отлична от нуля. рОСПго^ повеРхностью называется непрерывная поверхность, состоящая из одной пппгИ н не имеющая самопересечений (кратных точек). При этом подразумевается, что лисгпм -ПовеРхности являются двусторонними (односторонние поверхности, такие, как щ г^биуса. исключаются).
82 ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 8Л-Й5. Точка поверхности (27) называется регулярной точкой, если при некотором пара- метрическом задании поверхности функции (27) имеют в достаточной близости к рассмат- риваемой точке непрерывные частные производные первого порядка и по меиыней мере один из определителей. дх ду ди ди дх ду_ до до ду dz ди ди ду dz dv do dz дх ди ди dz дх ди до (3.1-30) отличен от нуля. Простой кусок поверхности, ограниченный регулярной замкнутой кри- вой, называется регулярным, если все его внутренние точки регулярные, регулярной поверхностью называется двусторонняя простая (замкнутая или незамкнутая) поверхность, составленная из конечного числа регулярных кусков с общими регулярными дугами и точками. 3.1-15. Специальные типы поверхностей. Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная движением прямой линии (ее образующей). Цилиндр есть поверхность, образованная движением прямой, остающейся параллельной некоторой данной прямой и пересекающей данную линию (направляющую). В частности, уравнения вида f(x,y)—Ot f(x^z) = 0, f(ytz)=O определяют цилиндры, образующие которых параллельны соответственно осям Oz, Оу, Ох. Коиус есть поверхность, образованная движением прямой, проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей данную линию (его направляющую). Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг неподвижной осн, лежащей в плоскости кривой. Так, уравнение z=«f (Vx34~ yz) определяет поверхность, ^описанную вращением кривой { z 3 q вокруг оси Oz. 3.1- 16. Поверхности и кривые. (а) Линия пересечения двух поверхностей <Р1 (X, у, г)=0, <р2(х, у, г)=0 (3.1-31) представляет собой кривую, точки которой (х, у, г) удовлетворяют каждому из уравнений (31) (см. также п. 3.1-13). Линия пересечения может иметь более одной ветви. Уравнения (31) могут также определять лишь одну или несколько изолированных точек, принадлежащих обеим поверхностям, или не определять ни одной точки. Кривые / Ф (0, у, 2) = 0, ( ф (х, 0, г) = 0, ( ф (х, у, 0) = 0, I х = 0; [ г/= 0; 1 2 = 0 представляют собой линии пересечения (если они существуют) поверхности ф (х, yt z)~0 с плоскостями Oyz, Oxz и Оху соответственно. (Ь) Для любого действительного значения X уравнение Ч>1(*. У, г)+Х(р2(х, у, г)=0 ' (3.1-32) соответствует поверхности, проходящей через линию пересечения поверхно- стей (31), если последняя существует. (с) Уравнение <Р1(х, у, г)-ср2(х, у, г)=0 соответствует поверхности, образованной точками обеих поверхностей (31) и не содержащей никаких других точек. (d) Уравнение проекции кривой (31) на плоскость Oyz (или Oxz, Оху) может быть получено исключением нз уравнений (31) переменной х (соответственно у, г). (е) Координаты х, у, z точек пересечения кривой (31) с поверхностью (28) должны удовлетворять всем трем уравнениям (31), (28). Для любых действительных^, Л2 уравнения Ф (*, У. z) + Ki (р! (х, у, г) = 0, ф (х, у, z) 4- Кг ф» (х, yt г) = 0 (3.1-33) определяют кривую, проходящую через все эти точки пересечения. (f) Кривая однопараметрического семейства Ф1 (X, у, z, К) = 0, ф2 (х, у, z. К) —0 (3.1-34) описывает поверхность, уравнение которой может быть получено путем исключения пара- метра К из (34).
8.2-1. 3.2. ПЛОСКОСТЬ 83 3.2. ПЛОСКОСТЬ 3.2- 1. Уравнение плоскости. (а) Уравнение, линейное относительно декартовых прямоугольных коор- динат, т. е. уравнение вида Ax-}-By+Cz-\-D=0 или А-г-|-О=0 (3.2-1) где А, В и С не равны нулю одновременно, определяет плоскость; обратно, каждую плоскость можно определить уравнением первой степени относительно декартовых прямоугольных координат. Коэффициенты А, В, С равны проекциям вектора А = {А, В, С}, перпендикуляр- ного к плоскости, на оси Ох, Оу, Ог соответственно (п. 3.1-8, Ь); вектор А имеет напра- вление положительной или отрицательной нормали к плоскости (см. ниже) и называется нормальным вектором плоскости. При D = 0 плоскость проходит через начало координат. (Ь) Особенно важное значение имеют следующие виды уравнений пло- скости: 1. Уравнение плоскости в отрезках. Плоскость, пересекаю- щая Ьсь Ох в точке (а, 0, 0), ось Оу в точке (0, Ь, 0) и ось Ог в точке (0, 0, с), имеет уравнение 2. Нормальное уравнение плоскости. Пусть р > 0 — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость; пусть cos ах, cosa^, cos a2 — направляющие косинусы (п. 3.1-8) этого направленного пер- пендикуляра, началом которого служит начало координат, а концом точка плоскости (положительная нормаль к плоскости). Тогда уравнение плоскости имеет вид х cos ах+у cos a^-|-z cos az—p=0. 3. Уравнение плоскости, проходящей через-данную точку. Если плоскость проходит через точку Рг (хъ у1г г^^Р^ (г,), а напра- влейие нормали к плоскости задано проекциями А, В, С вектора нормали А на оси декартовой прямоугольной системы координат, то уравнение плоскости имеет вид А (х—xJ-J-fi (у—У1)+С (г — zj = 0 или А-(г—rt)=0. 4. Уравнение плоскости, проходящей через три дан- н_ые точки P^Xj, У1, zJsPW, Р2(х2, у2, г2) = Р(г2), Р8(х8, y8, z8) &^(Г8), не лежащие на одной прямой (п. 3.4-3, а) имеет вид или X У г У1 Хз Уз Z2 Хз Уз ZS =0, или [(г — rt) (г — г2) (г — г3) ]=0, Vi Z1 1 Z1 Xi 1 Xi У1 1 Х1 У1 Ч «2 г2 1 х+ Z2 х2 1 У+ Хз Уз L г — х2 Уз г2 =0. Уз гз 1 Z8 *3 1 Хз Уз 1 х8 Уз zs
84 ГЛ. 8. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 8.2-2. (с) Если плоскость задана уравнением общего вида /1), то введенные выше величины a, b, с, р, cos ах, cos Яд, cos аг выражаются через . Л, В, С, D следующим образом: с=-& (3.2-2) cos ах=—_ .-- ± УА‘ + В“ + С‘ cos а„=— в--, + V А‘ + вг + С* (3.2-3) cos a, — — --- ±¥А*+В‘+Сг _____D_____ + УА‘+ В‘ + С‘’ где звак перед корнем выбирается так, чтобы соблюдалось условие р>0. Если D—0, то выбор положительного направления на нормали к плоскости произволен. 3.2-2. Параметрическое задание плоскости. Любая плоскость может быть задана следующими параметрическими уравнениями (п. 3.1-14): х = \ +'ахи + bxv, у = у+.OgU + bgt>, z^=zl + azu + b^>. ) или ( (3.2-4) г = ri + ua -h »Ь. ) 3.3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ > . 3.3-1. Уравнения прямой. (а) Два независимых линейных уравнения •Pi (*> У> г) = ^1x-|-£i1y-|-CJ2-:|-D1=0, ) (3 3 1) . фг (*» 2) — "Ь В^у + C2z О2=0 J или Ах • г-|-£>1=0, Ag*r-|~Z?2=0 (Aj х А2т^0; см. также пп; 1.9-3, а, 5.2-2 и 5.2-7) определяют прямую как пересечение двух плоскостей (п. 3.1-16, а). Обратно, каждая прямая может быть определена уравнениями вида (1). При D1 — D2=0 (и только в этом случае) прямая проходит через начало координат. (Ь) Особенно важное значение имеют следующие виды уравнений прямой: 1. Уравнения прямой, проходящей через две точки pi(*i. У1> Z1) и р2 fe Уг, 2г): X — Xt _ у— У1 _ Z--Z1 — ЛГ1 д2 — У1 zs — Z1' 2. У равнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (канонические уравнения прямой). Если прямая проходит через точку (а^, ylt zj = Р (rt) и параллельна вектору а^{ах, ау, аг} (направляющий вектор прямой; см. также п. 3.3-2), то ее уравнения могут быть приведены к виду нли г —rj=a(. ах “у “г (с) Вектор а=А! х А2 является направляющим вектором прямой (п. 3.1-8, Ь), заданной как линия пересечения двух плоскостей (уравнения (1)); его проек- ции на оси декартовой прямоугольной системы координат равны соответ- ственно B£it Су — CgAj, и2—A —- Д2Вд. (3.3-2)
8.4-1. 3.4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ И ПРЯМЫХ 85 Направляющие косинусы прямой и, следовательно, углы ах, ау, аг между прямой и осями Ох, Оу и Ог определяются по формулам cos ах=~м (BiC2—B2Cj), cos ау=-^ (CtA2—С2А]), cos «г = (AtB2 — A2Bt), М = [(В^ - ВД2+ (Ct A2—C2A + (A tB2 - A2Bi)^. (3.3-3) Тот или иной выбор знака перед корнем определяет положительное напра- вление на прямой. Уравнения (2) и (3) являются условиями того, что прямая с направляю- щими' косинусами cos ах,. cos ау, cos аг или с направляющим вектором А пер- пендикулярна к двум векторам А! и А2, заданным своими проекциями Аг, Br, С] и А2, В2, С2 на оси декартовой прямоугольной системы координат. (d) Уравнения плоскостей, проектирующих прямую (1) на плоскости Оху, Охг и Оуг соответственно (т. е. плоскостей, проходящих через прямую и перпендикулярных к соот- ветствующим координатным плоскостям), таковы: (С,АЯ — СЯА,) х 4- (С,ВЯ — CsB,) у 4- (С(ВЯ — = О, Ч (В,АЯ — ВЯА,) х 4- (В,Сг — ВЯС,) у 4- (В,ВЯ — ВЯО,) d. ? (3.3-4) , (А,ВЯ— АЯВ,) х (А,СЯ — АгСр у 4- (А,ОЯ—A^D^^O. J Любые лва из уравнений (4) определяют прямую (1). 3.3- 2. Параметрические уравнения прямой. Декартовы прямоугольные коор- динаты (х, у, г) произвольной точки прямой удовлетворяют параметрическим уравнениям (п. 3.1-13): x—Xi-f-axt, у=У1+ау1, z=z1 + ast, или r = rt-{-^a, (3.3-5) где а—направляющий вектор, Pt(xj, уь — некоторая фиксиро- ванная точка прямой. 3.4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК, ПЛОСКОСТЕЙ И ПРЯМЫХ 3.4- 1. Углы. (а) Угол Yj между двумя прямыми с направляющими косинусами cos ах, cos а„, cos а2 й cos ах, cos ау, cos аг определяется по формулам (см. также п- 3.1-8, с): cos Yi=cos ах cos ах 4- cos ау cos ау -|- cos аг cos аг> (3.4-1) sina у, = (cos ay cos аг—cos a2 cos ay)2+(cos аг cos ax—cos ax cos az)2 + + (cos ax cos av—cos ay cos a*)2. (3.4-2) Если прямые заданы параметрическими уравнениями (п. 3.3-2) r=rt4-ia и г = г[4- т'а', то COS Vt = Fa’ll 1'1 ’ sIn V* = ' <ЗЛ’3) Прямые параллельны, если cos у, — 1, и .взаимно перпендикулярны, если cos у, = 0. (3.4-4) (Ь) Угол Ya между двумя плоскостями Ax-}-By-}-Cz-[-D=0 и А'х+В'у -\- t'A-'z-|-D'=0, или A-r-|-D=0 и А'-г-{-£>'=0 (угол между их нормалями), определяется по формуле АА' 4- вв' 4- СС' А • А' COS Ya = -... . " — =------- Кд1 4- В’ 4- Сг VА'2 4- В'2 4- С'2 | А | | А' | . Если плоскости заданы параметрическими уравнениями (п. 3.2-2) г = Г = Г1 + на' 4- оЬ'. то (а X Ь) • (а' х Ь') ¥* | а X b J I а' X b' 1' (3.4-5)
86 ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 8.4-2, (с) Угол Ys между прямой х — х, у — Hi ~ г — г, ах ау аг и плоскостью Ах-\- By-\-Cz-\-D=0 (угол между прямой и ее проекцией на плоскость) определяется по формуле Аа^- —|— Bciy —р Caz sin Vg = - . . - * —— У А2+В2 + С2 Уа2 + 4 + 4 (3.4-6) В частности, прямая параллельна плоскости, если sin у3 = 0 (лежит на плоскости, если, кроме того, Axt -|- Ву{ 4- Czt 4-0=0); прямая перпендикулярна к плоскости, если sin уд = L. Угол между прямой и нормалью к плоскости равен л/2 — уа. X (d) 1.»-Условия параллельности двух прямых или r=r +ftlj ах ау аг . 1 И или г=г;-Ь(а< а,у az имеют вид @2 я —=^-, или а' = ла, или аХа'=0. ay az Если,- кроме того, прямые имеют общую точку, то они совпадают. 2. Прямая *~*‘ = л'~л'*=^——, или r = rj4-(a, и плоскость Ax-f-By А- ах ау . az +Сг-|-D=0 или А-г-{-£>=0 взаимно перпендикулярны, если прямая парал- лельна нормали к плоскости (и сама служит нормалью), т. е. если — или а=ХА, или ахА = 0. А о С 3. Две плоскости . AxA-By-j-Cz-j-D—O, или А-г-|-£>=0 и A'x4-B'//4-C'z4-D'=0, или А'-г-{-0'=0 параллельны, если параллельны их нормали, т. е. если •^=-27=7^7, илн А=ХА', или А X А'=0. А о С Если плоскости, кроме того, имеют общую точку, то они совпадают.^ 3.4- 2. Расстояния. (а) Расстояние 6 от точки Ро (х0, у0, z0) = Ро (г0) до плоскости Ах + +ВуА-Сг-\-D—0 или А-г4-Д=0 (определенное по величине и знаку): Ах0 4- Вуа 4- Сг0 4- D А • r0 + D О-- у; ' , --- ----- J (3.4-/) V да + вг + С2 ± I А I знак перед корнем противоположен знаку D. Иногда 6 называют отклоне- нием точки от плоскости. Отклонение положительно, если начало координат и точка Ро (х0, Уо’ zu) лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательно,- если по одну сторону. Если плоскость задана параметрическим уравнением (п.3.2-2) г =14 -р ua.-f- оЬ, то 6 = (г_г ,. . (3.4-8) I о> laxbl
8.4-3. 3.4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ И ПРЯМЫХ 87 (b) Расстояние d от точки Ро (х0, у0, z0) = Ро (г0) до прямой у — У1^?—11 нли r=r1-f-Za: ау °г . | аХ (Гц .— ft) I _ « = '----iVi О, а.. С1 2 а а 2 а У 2 + 2 + X У У1~~Уо г1 2о 21 — 20 Х1~Х0 Х1 — Хо У1 —Уо 2 . (3.4-9) 1/“х + а у + «г (с) Кратчайшее расстояние между прямыми у — У* 2 — 2* ' —или г = г1+й1 г = г[ + ^а': °z Х1 *1' Vi Hi г1 г1 ] ах а'х У—У^ ау а- ау ад az а'у а'г (3.4-10) или = 1 а^,^а » где stayj определяется равенством (2). Если прямые параллельны (8туг —0), то <2Г определяется равенством (9). Замечание. Если в определителе, стоящем в правой части равенства (10), заме- нить xi, Zi переменными х, у, х и приравнять его к нулю, то полученное уравнение определит плоскость, проходящую через вторую прямую параллельно первой. Если пря- мые пересекаются, то плоскость проходит через обе эти прямые. (d) Расстояние d2 между параллельными плоскостями Ак-^-By-^-Cz-^-D — = 0, A'x-\-B'y+C'z-\-D'=Gt dz I D-D'I _ I D - D' ' V A‘ + + C‘ | A | (3.4-11) 2 и sin Yl (e) Расстояние ds от плоскости до параллельной ей прямой определяется по формуле (7). 3.4-3. Специальные случаи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей. (а) Т оч к и. 1. Три точки Р, (хи yt, zt), Рг (z2, y2, z2) и Ps (jc3, y3, za) лежат на одной прямой, если (необходимое и достаточное условие) Г—Г- = 77—77 “Г—7Г• или г» - Г1 = (г‘ - Г1)- (ЗЛ-12) х2 ~~ -*1 Уг — У1 Zz — Zi или (см. также равенство (3.1-15)) У1 zt 1 1 =3 Zi Xi 1 z2 хг 1 = Xi У1 Хг Ул 1 1 = 0, (3.4-13) У2 z2 или Уз z8 1 (Гз Zs *3 1 - Г1)Х(г2- Г1 XS Уз 0. 1 (3.4-14) Вие^ 2* Четыре точки лежат в одной плоскости, если, (необходимое и достаточное усло- Xi У1 21 1 хй x3 Уе Уз Zjj 28 1 1 = 0, или [(r2 — rt) (г3 — п) (г. — г,)] = 0. (3.4-15) х4 У* 24 1 •j-D' (Ь) П л о скости. 1. Если три плоскости Ах A-ByCz-p D = 0, А'х-р В'у-}- C'zA" ~ 47 —• О, А"х 4- В"у -J- C"z 4- D" — 0 проходят через одну и ту же прямую, то А А’ А" В. В' В” С С С" Д = (3.4-16)
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.4-4. . 2. Если четыре плоскости Ах 4- By 4- Cz 4- В = 0, А'х 4- В'у 4- C'z + В' = 0, 4"*4- 4- В"у 4- С"г 4- D" = 0, А"'х 4- В'" у 4-- Сг"г 4- В"9 — 0 проходят через одну и ту же точ- ку, то А В с D А’ А” В’ В" с с В' В" = 0, (3.4-17) А’" в’" Сп’ D”’ V. е. левые части их уравнений линейно зависимы (п. 1.9-3, а). (с) Прямы е. Две прямые лежат в одной плоскости (т. е. пересекаются илн па- раллельны), если (необходимое и достаточное условие) четыре определяющие их плос- кости удовлетворяют условию (17). Если прямые заданы параметрическими уравнениями г = г^4-^а, r = rJ4-*a'» то условие (17) принимает вид {(гт — Г') аа'] = 0. (3.4-17а) 8.4- 4. Тангенциальные координаты плоскости и принцип Двойственности. Уравнение ^4-nz/ + £z4-l=Q (3.4-18) определяет плоскость (g, т), g). Числа g, т), g называются, ее тангенциальными (линей- ными, илю к керов ым и) координатами. Если точечные координаты х, у, Z фиксированы, a g, т), g рассматриваются как переменные, то (18) становится уравнением точки (х, у. z), т. е. точки пересечения всех плоскостей .(18). Симметрия уравнения (18) относительно точечных и тангенциальных координат при- водит к следующему принципу двойственности (см. также в- 2.3-3): наряду с каждой теоремой о взаимном положении точек, прямых и плоскостей справедлива другая теорема, которая получится, если в формулировке первой теоремы поменять местами термины «точка» и «плоскость». 3.4- 5. Некоторые дополнительные соотношения. (а) Если cptCx, у, z)=0 и <р2(х, У, z)—0—уравнения двух плоскостей,; <го уравнение ' - У у г)Ч-Х<р2 (аг, у, z)=0 (3.4-19) - ч определяет плоскость, проходящую через линию пересечения данных плоское- тей (или параллельную им обеим, если они параллельны). Уравнение (19) называется уравнением пучка плоскостей. Если обе плоскости заданы нормаль- ными уравнениями (п. 3.2-1,2), то (—X) равно отношению расстояний от лю- бой точки плоскости (19) до заданных (базисных) плоскостей; при л=1 и Х=— 1 полученные плоскости являются биссекторными плоскостями дву- гранных углов между данными плоскостями. Если плоскости <Pi=0 и <р2=0 параллельны, то все плоскости (19) также им параллельны. (Ь) Уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости Ax-]-By-]-Cz + + D — 0 и проходящей через точку Рв(х0, ув, z0): л^х£=^^2==г--га_ (3.4-20) (с) Направляющий вектор и направляющие косинусы линии пересечения двух плоскостей определяются по формулам (3.3-2) и (3.3-3). (d) Точка пересечения трех плоскостей AxA-By+Cz^D=0, А'хЦ-В'у 4* ф C'z^-D'—O и A"xA-B”y-}-C"zA-.D"=0 имеет следующие координаты: 1 X— д D D' D" В В' В" С С С" 1 А А' Л" D D' D" С с С" А В D А В С 1 * = — д- А' В’ D’ , А' В' С‘ А" В" D" А" В" С" (3.4-21)
a.s-4. 3.6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 89 3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 3.5- 1. Общее уравнение второй степени. - Поверхности второго порядка (квадрики) определяются уравнениями второй степени относительно декарто- вых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно переменных к, у, z имеет вид ЯцХ2+«22У2+«зз?2+Затащу+2a13xz -f - Ta^yz+2а1лх -|- 2ariiy+2а34е -|- аи=О или (О11х + а12(/4“а13г + а14)Л’ + (а21Л’ + а22(/ + а28г + а24) V + 4_(«31х + «32УЧ-«ЗЗг+«34) г=Ь«41Л: + «42?/ + «43г~1~«44 = 0» (3.5-1) где aik—aki; i, k = l, 2, 3, 4. Уравнение (1) можно записать в векторной форме (Аг) г + 2а г а44 = О, (3.5-2) где А — аффинор с координатами А^ = а.^, а — вектор с координатами at- = (см. также п. 16.9-2). 3.5- 2. Инварианты. Для любого уравнения (1) четыре величины I = «11 + «22 + «33> «и «12 «18 Z)—а44= «21 «22 «28 «31 «32 «33 J= «11 «12 1 1 «22 «28 1 । 1 «33 «31 1 «21 «22 1 1 «82 «33 1 1 «13 «11 1 «11 «12 «13 «14 Л А = «21 «22 «23 «24 «81 «32 «S3 «84 - «41 «42 «48 «44 (3.5-3) являются инвариантами относительно параллельного переноса и поворота осей (3.1-19), (3.1-20), (3.1-23). Эти инварианты определяют свойства поверх- ности, не зависящие от ее положения в пространстве. Детерминант А назы- вается дискриминантом уравневия (1). 3.5- 3. Классификация поверхностей второго порядка. Табл. 3.5-1 содержит Классификацию поверхностей второго порядка, основанную на их инвариан- тах, определенных в п. 3.5-2. В этой таблице А'— Ац + Агг+Азз, А;й обозначает алгебраическое дополнение элемента а^ в определителе A = det \ац, |, см. п. 1.5-2, ди I а11 а14 I [ I «22 «24 I «38 «84 I (3 5-4) I «41 «44 I I «42 «44 I I «43 «44 I А' и А" являются инвариантами относительно поворота осей {семиинва- риантами). 3.S- 4. Характеристическая киадр'атичная форма и характеристическое уравнение. При помощи, характеристической квадратичной формы . Рч (х, и, г) = Оц1! + ся2(/2 + a3sz2 + 2alsxy + 2a1Bxz + 2a23(/z, (3.5-5) соответствующей уравнению (1), могут быть изучены важные свойства поверхностей вто- Р°г° порядка. Б частности, невырожденная центральная поверхность второго порядка у* 0. D ф 0) оказывается действительным эллипсоидом, мнимым эллипсоидом или гипер- болоидом в зависимости от того, будет ли (х. у, х) соответственно положительно опре- деленной, отрицательно определенной или неопределенной квадратичной формой, что Устанавливается по корням Аз, ?.Е, Х3 ее характеристического уравнения (п. 13.4-5, а) °11 — А С,2 О1з О31 °22 — А О23 Ost -. Ояз «эз — А = 0 или А“ — ГА2 -j- JA — D = 0. (3.5-6)
00 ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ т 8.5-4. Корни Xt, Xj, Хз являются собственными значениями действительной симметрической матрицы (п. 13.4-2) и, как следствие этого, всегда действительны. Имеем; L X* -J- Ха -р Хд, J == XtX2 -р Х2Х3 "р XjXj, D = Х1Х2Х3. Таблица 3.5-1 (а) Классификация поверхностей второго порядка Невырожденные поверхности Вырожденные поверхности 4>0 4<0 4 = 0 Центральные поверхности D DI, J оба больше нуля Мнимый эллипсоид Эллипсоид * Точка (действитель- ная вершина мни- мого конуса) £>/, J не оба боль- ше нуля Однополостиый гиперболоид Двуполост ный гиперболоид Действ ительный конус Нецентраль- ные поверх- ности £>=0 « Г и перболический параболоид Эллиптический параболоид Цилиндры (с'м. табл. 3.5-1 (б), А'^0) Пары плоскостей (см. табл. 3.5-1 (б), А' = 0) Таблица 3.5-1 (Ь) Цилиндры А'^0 Пары плоскостей А'= 0 4 = 0, 0 = 0, J > 0 Эллиптический ци- линдр (мнимый эллиптический ци- линдр, если А'1 > 0; действительный, если А'1 < 0) Пара мнимых плоско- стей, пересекающих- ся по Действительной прямой 4 = 0, D = 0, J < 0 Гиперболический ци- линдр Пара действительных пересекающихся пло- скостей 4 = 0, D =0, J — 0 Параболический ци- линдр Пара параллельных плоскостей (мнимых, если А" > 0; дейст- вительных, если А" < 0) Пара действи- тельных совпа- дающих плоско- стей *) Ранг квадратной мат- рицы 4-го по- рядка (п. 13.2-7) 3 2 1 *) Пара совпавших плоскостей характеризуется любым из следующих двух признаков: (а) ранг [а •ft] равен 1, (б) А = D = J = А' = А" « 0, 7^0.
8.5-в. 3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 91 3.5- 5. Диаметральные плоскости, диаметры и центры поверхностей второго порядка. (а) Для любой поверхности второго порядка (вырожденной или невы- рожденной) геометрическим местом середин параллельных хорд служит плос- кость, которая называется диаметральной плоскостью поверхности, сопряжен- ной этим хордам (или направлению этих хорд). Диаметральная плоскость поверхности (1), сопряженная хордам с направляющими косинусами cosax, cosay, созаг, определяется уравнением (СцХ + «12?/ + «18г + «14) Cos aje + («21х + а22У + «23г + «24) COS аЦ + -Ь («31х «зз?/ «зз2 «34) c°s “ 0- (3.5-7) (Ь) Прямая, по которой пересекаются две диаметральные плоскости, на- вивается диаметром, сопряженным семейству плоскостей, параллельных сопря- женным хордам этих диаметральных плоскостей. С другой стороны, диаметр является геометрическим местом центров кривых второго порядка, по кото- рым пересекают поверхность параллельные между собой плоскости семейства. Уравнения диаметра, сопряженного семейству плоскостей с заданными направ- ляющими косинусами нормалей cos ах, cos ау, cos сг: ОцХ Ч~ + QlsZ -р 0,4 __«21Х ~р «221/ ~Ь аМ& ~Ь °24_Osi* + «32^ + °34 К cos ах cos ay cos аг ’ у^.О-о} (с) При D^O все диаметры поверхности второго порядка пересекаются в одной точке, центре поверхности (другое определение см. в п. 3.5-8). При 0 = 0 все диаметры параллельны или лежат в одной плоскости. В первом случае, т. е. при D 0, поверхность называется центральной. Координаты Хо, ifa, Zq откуда «14 «12 «13 Хо з=й— X «24 «22 «23 П34 «за «88 центра определяются системой уравнений «и*о + «12Х/0 + «is^o + ait «О, 1 «21*0 С22У0 “I" «23^0 0-24 «= 0, а81-Кс 4- а32Уо 4" GssZg 4- «34 ~ О, J 1 «11 «14 «13 «11 «1В «21 «31 «24 «34 «23 «38 1 «21 «31 «22 «32 «14 ая* «34 (3.5-9) (3.5-10) Если поверхность центральная, то перенос (3.1-19) начала координат в ее центр (10) приводит уравнение поверхности к виду «и*2 4" О-яйУ^ 4~ 4~ 2й12-^^4~ 2П13л:2 2«аз£/2 4" = 0» (3.5-11) где х» у, z — координаты относительно новой системы. (d) Три диаметра центральной поверхности второго порядка называются сопряженными диаметрами, если каждый из них сопряжен плоскости двух других диаметров. 3.5-6. Главные плоскости и главные оси. (а) Диаметральная плоскость, перпендикулярная к сопряженным ей хор- дам, называется главной плоскостью поверхности второго порядка и является се плоскостью симметрии. Каждая поверхность второго порядка имеет по меньшей мере одну главную плоскость и. по меньшей мере две плоскости сим- метрии. (Пример: параболический цилиндр имеет одну главную плоскость.) Только цилиндры имеют плоскости симметрии (перпендикулярные к образую- щим), которые не являются главными плоскостями. Каждая невырожденная Поверхность второго порядка имеет по меньшей мере две взаимно перпенди- кулярные главные плоскости. Каждая центральная поверхность (п. 3.5-5) имеет По меньшей мере три главные плоскости (ровно три, если она не является Поверхностью вращения), среди которых всегда существуют три взаимно пер- пендикулярные. (Ь) Диаметр, являющийся линией пересечения двух главных плоскостей, Называется главной осью поверхности и является ее осью симметрии. Если
92 ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.5-7; поверхность имеет две главные оси, то она имеет и третью, перпендикулярную к ним обеим. Каждая невырожденная поверхность имеет по меньшей мере одну главную ось. Центральная поверхность имеет по меньшей мере три (ровно три, если она не является поверхностью вращения) взаимно перпенди- кулярные главные оси, представляющие собой нормальные к ее главным пло- скостям диаметры (сопряженные как этим плоскостям, так и между собой, см. п. 3.5-4, а); среди главных осей центральной поверхности всегда имеются сгри взаимно перпендикулярные. Нормали к главным плоскостям имеют направления собственных векторов мат- рицы [а^], I, fe = l,~ 2, 3 (см. п. 14.8-6). Направляющие косинусы этих нормалей cos Цд., cos«y, cos ^определяются системой уравнений («и — X.) cos ах + Ota cos Яу + а13 cos = О, Оз1 cos ах + (Озз — X.) cos + п23 cos аг = О, (3.5-12) о„ cos Цд4- o3s cos а.д 4- (о33 — Z) cos аг = О, где к — отличный от нуля (заведомо действительный) корень характеристического урав- нения (6). ХЕсли все корни kt, кг, к, уравнения (6) отличны от нуля, то система (12) определяет для каждого из этих корней направляющие косинусы главной оси. В том случае, когда-Л *=»() является простым корнем характеристического уравнения (6), ему соответствуют направляющие косинусы единственной главной оси. Если жел=О— кратный корень, то поверхность является параболическим цилиндром или парой парал- лельных плоскостей. В этом случае система (3.5-12) содержит только одно независимое уравнение. Е£ли дополнить ее уравнением п41 cos ах + аа cos + а4а cos а2 = о. то новая система определит направление образующих цилиндра.X 3.5-7. Приведение уравнения поверхности второго порядка к стандартному (каноническому) виду. Если ввести новую систему координат, осущёствив 1) поворот координатных осей (п. 3.1-12, Ь), в результате кото- рого нормаль к каждой из взаимно перпендикулярных плоскостей Рио. 3.5-1. Невырожденные поверхности второго порядка: я) эллипсоид, 6) однополост- ный гиперболоид, с) двуполостиый гиперболоид, 4) эллиптический параболоид, е) гипер- болический параболоид. симметрии поверхности станет' параллельной одной нз новых осей (преобразование к главным осям, см. п, 14.8-6);
3.5-8.’ 3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 93 2) подходящий перенос начала (п. 3.1-12, а), то уравнение (1) любой невырожденной поверхности второго порядка может быть преобразовано к одному из видов, перечисленных в табл. 3.5-2. Эти поверхности изображены на рис. 3.5-1. Каждое из полученных уравнений называется стандартным (или каноническим) уравнением соответствующей поверхности. В табл. 3.5-2 приведены также основные свойства 'поверхно- стей и соотношения, позволяющие определить параметры а2, Ъ2, с2, р и q по инвариантам A, D, J и / уравнения (1). Уравнения вырожденных поверхностей (см. табл. 3.5-1) аналогичным образом при- водятся к следующему стандартному виду; № fj* 2® + % + = 0 (точкя), У2 22 4~ ~ ° (действительный конус; круговой, если а2 = fc2),. к2 у2 ^4-^ = 1 (эллиптический цилиндр; круговой, если а2 = Ьг), х2 у2 — — (гиперболический цилиндр), (г и* * ух ' ' ^•М3) + р =0 (прямая), х2 и2 — — = 0 (пара пересекающихся плоскостей), a2 bz уя ~2рх (параболический цилиндр), х2 — = 1 (пара параллельных плоскостей), x2*=Q (одна действительная плоскость). Направления новых осей Ох, Оу, Ог определяются уравнениями (12) с точностью до поворота на угол, кратный Л/2, вокруг любой из новых осей; этому преобразованию соответствует перестановка переменных х, —х, у; —у, г. —г в канонических уравне- нях табл. 3.5-2. 3.5-8. Касательные плоскости и нормали поверхности второго порядка. Полюсы и поляры. (а) Определение касательных плоскостей и нормалей поверхности, а также условия их' существования приведены в п. 17.3-2. Уравнение касательной- плоскости к поверхности (1) в точке Рг (хх, ylt zt) имеет вид ОцХ1Х+п22У1{/4-ОзЗг12 + а12 (У1ХЛ~Х1У) + а13 (zl-^ + XlZ) + + а23 (1/1г + г11/) + а14 (Х1 + *) -Ь °24 (У1 + у) + а34 (г1+г)+а44 == 0 ИЛИ , (°11х1 + а12?/1 + °13г1 + а14) х + (°21*1 "I- а22^14* °23г1 + а24> У + + (a31-zl+a32i'l + a33zl+a34) г+'(а4Л + а421/1 + а43г1+а44) = 0- (Ь) Уравнения нормали к поверхности (1) в точке (хх, yt, zt) (см. также п. 3.3-16, Ь): ; х— х,____________________у — щ___________ -°uxi alsyi 4- cls2i 4- ОцХг 4- ПмР1 4- HsaZi 4- а?* Z—Z1 (3.5-14) =--------------------------. (3.5-15) + аЗ&У1 4” «33*1 I й84 (с) Уравнение (14) определяет плоскость, которая называется полярной Плоскостью точки (хъ уг, Zi) относительно поверхности второго порядка (1) не- зависимо от того, лежит ли точка (хъ yt, zt) на поверхности или нет; точка U1, У1, Zj) называется полюсом плоскости (14). Полярная плоскость точки.
Таблица 3.5-2 <g Стандартные (канонические) уравнения и основные свойства невырожденных поверхностей второго порядка (см. также табл. 3.5-1; уравнения касательных и полярных плоскостей см. в п. 3.5-8) Поверхность (см. также 1 рис. 3.5-1) Стандартное (каноническое) уравнение Сечение плоскостью Замечания Параметры а, Ь, с, выраженные через инварианты Л, D и Xi, Ла, । Действительный эллип- соид (эллипсоид вращения -(сфероид), если два главных диаметра равны и либо (а) меньше, чем третий (вытя- нутый сфероид), либо (Ь) больше, чем третий (сплюс- нутый сфероид); сфера, если Я2 == М = С2) а2 Ъ* с2 (рис. 3.5-1, а) Действительныый или мнимый эллипс; точка (касательная плоскость) Вершины в точках <± а, 0, 0), (0, ± Ь, 0), (0, 0, ± с); длины главных диаметров равны соответственно 2а, 2Ь, 2с 1 Л М D ‘ Ь«=— -L2L Х2 D е= = --!_А D • К К > U > 0; D = М К, К, ОднополостныЙ гипербо- лоид (гиперболоид вращения, если а2 = Ь2} а2 "г bs с2 (рис. 3.5-1, Ь) Гипербола, парабо- ла или эллипс в за- висимости от того, параллельна секущая плоскость двум, одной или ни одной прямолинейной обра- зующей асимптотиче- ского конуса; пара пересекающихся пря- мых (касательная плоскость) Линейчатая поверхность с двумя семействами пря- молинейных образующих 4+-М'+-0| J \ а с J ' Ъ Геометрическое место пря- мых, пересекающих три данные прямые. Асимптоти- ческий конус (внутри по- верхности): Я2 t>2 С2 1* D- О’ С.=1А ^•s £) П = Дд Ха Ад ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.5-8,
Таблица 3.5-2 [продолжение)' Поверхность (см. также рис. 3.5-1) Стандартное (каноническое) уравнение Сечеине плоскостью Замечания Параметры a, b, c, p, q, выраженные через инварианты A. D И X/1, Кг, X/g Двуполостный гипербо- лоид (гиперболоид вра- щения, если Ьг — сг) к2 _у* а2 Ьг с‘ ~ (рис. 3.5-1, с) Гипербола, парабо- ла или эллипс в зави- симости от того, па- раллельна секущая плоскость двум, одной или ни одной прямо- линейной образующей асимптотического ко- нуса; пара пересекаю- щихся прямых (каса- тельная плоскость) Вершины в точках (±а, 0, 0); расстояние между вер- шинами равно 2а. Асимпто- тический конус (вне поверх- ности); С2 1 A 1 A _— Ъй = —— KaD’ , 1 A C9 - M > о > > zs, £) -— X.1 Xj X»g Эллиптический парабо- лоид (параболоид враще- ния, если р — q) - + ^ = 22 Р в (рис. 3-5-1, d) (р > 0, q > 0) Парабола (диамет- ральная плоскость); действительный нлн мнимый эллипс; точ- ка (касательная пло- скость) Вершина в начале коорди- нат |ч;|Ч — I-? — 1Л =< Il II Л O. c, A Гиперболический пара- болоид — — — = 2z Р Ч (Р > 0, <7>0) (рис. 3.5-1, е) Парабола (диамет- ральная плоскость); гипербола; пара пе- ресекающихся пря- мых (касательная плоскость) Седловая точка в начале координат. Линейчатая по- верхность с двумя семейст- вами прямолинейных обра- зующих - Vp Vq х у 2z Ур Уч Ч И X у — — = Vp Vq *. ^_2z Vp Vq ц . -чн 1 Ji -U | A II II II b. Q. Л ГО о •о о -1 о
96 ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.5-9. принадлежащей поверхности второго порядка, если касательная плоскость по- верхности в этой точке. (d) Полярная плоскость Р любой точки В данной плоскости а проходит через полюс А этой плоскости а. , (е) Центр поверхности второго порядка есть- полюс бесконечно удаленной плоскости. Диаметральная плоскость есть полярнай плоскость бесконечно удаленной точки, через которую проходят хорды, сопряженные этой диаметральной плоскости. (т) Полярные плоскости вс^х точек данной прямой пересекаются по одной прямой; эта последняя прямая содержит полюсы всех плоскостей, проходящих через данную прямую. Две полученнке прямые называют парой.полярно сопряженных прямых. (g) Диаметр поверхности второго порядка есть прямая, полярно сопряженная беско- нечно удаленной прямой пространства. (h) Полярная плоскость допускает геометрическое определение, аналогичное опреде- лению поляры (см. п. 2.4-10). З.Б-9. Некоторые дополнительные формулы и теоремы. (а) Уравнение сферы радиуса г с центром в точке Pi (хи уи Zi) == Рг Ui); (* — xj2 + {у — й)г + (z — Z02 и ли | г — Г11 = г. (3.5-16) (Ь) Общий вид уравнения сферы: А (х2 4- X/8 4- Z2) 4- 4-2Су 4- 2DZ 4- Е = 0, А -ф. 0. (3.5-17) (с) Пусть Рх и Р2 — точки пересечения сферы с прямой (секущей), проходящей через данную точку Ро (х0, yGt zc). Тогда произведение величин направленных отрезков и РйРя постоянно для всех секущих, проходящих через Ро» причем РаР1 - Ро^2 = Хв 4" Ро 4- И) — г®- (3.5-1$) Теорема остается справедливой и в том случае, когда Pt и Р2 совпадают (если рассмат- ривать вместо секущей ее предельное положение — касательную к сфере в точке Рх = Pt, проходящую через точку Ро). (d) Для половин трех сопряженных диаметров^эллипсоида (п. 3.5-5): 1. Сумма квадратов равна а2 4- Ь2 4~ с2- 2. Объем построенного на них параллелепипеда равен abc. (е) Диаметральная плоскость поверхности второго порядка (эллипсоид, оДнополостный гиперболоид или двуполостный гиперболоид, см. также табл. 3.5-2), сопряженная диаметру с направляющими косин усами cos ct*. cos cos оп- ределяются уравнением х cos а у cos ct„ z cos а —1+--------------------Д-=о. 7,2 — С2 (3.5-20) а2 Н аправляющие косинусы трех сопряженных диаметров cos a cos а , Л и cos a£;. cos PXi cos р cos р ; У *• cos у#, cos cos yz удовлетворяют соотношениям cos а cos р cos а„ cos р cos a cos р_ Л Л у у Л Я а2 — Ъ2 — с2 cos а cos у cos а cos ytl cos а, cos х Х У « . * * ’ л (3.5-21) а2 — Ъ2 ~~ с2 cos р cosy cos р cosy cos p cosy Л । У “ j Л Л Q а2 ~~ Ь2 — с2 Знаки в уравнениях (20) н (21) должны совпадать со знаком соответствующих членов в уравнениях (19). *(f) Уравнение диаметра поверхности (3.5-19), сопряженного плоскости с направля- ющими косинусами нормали cos cos <х^, cos имеет вид х _ у 'х „ . ± a2 cos ах ± b2 cos tig ± с2 cos ’
3_5-10. 3 5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 97 3.5- Ю. Параметрическое задание поверхностей второго порядка (см. также nn.3.1-14)j х = a sin и cos V, y = b sinusin о, z=^c cos и (эллипсоид),, (3.5-22) х = a ch и cos о, у = Ь ch и sin v, z = с sh и (однополостный гиперболоид),(3.5-23) х=± a ch и, у == b sh и sin v, г =с sh и cos v (двуполостный гиперболоид), (3.5-24) (знаки 4- и — соответствуют двум полостям), х = Vp и cos о, у = Vq и sin о, г = ~ и3 (эллиптический параболоид), (3.5-25) х =* Vp и ch о, у = Vq ushv, z = ~ и2 (гиперболический параболоид), (3.5-26) х аи cos v, у = bu sin v. z = cu (действительный конус). (3.5-27) Возможны также многие другие параметрические задания этих поверхностей.
ГЛАВА 4 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.1. ВВЕДЕНИЕ Эта глава посвящена главным образом числовым функциям, действительных переменных.'Введение пределов функций (пп. 4.4-1 -4.4-7) позволяет определить новые математические операции (предельные процессы), такие, как сложение и умножение бесконечного числа членов, дифференцирование и интегрирование. Определения и теоремы, изложенные в этой главе, применимы как к дейст- вительным, так и к комплексным функциям и переменным, если специально ие оговорено, что речь идет лишь о действительных величинах.'Аналитические функции комплексного переменного рассматриваются в гл. 7. * 4.2. ФУНКЦИИ 4.2- 1. Функции и переменные (см. также п. 12.1-4). (а) Если дано правило соответствия, относящее каждому данному дей- ствительному или комплексному числу х из множества Sx действительное или комплексное число (4.2-1) <го у называется (числовой) функцией аргумента х. Равенство (1) указывает значение (или значения) У — Y ~f (X) пе- ременной у, соответствующее каждому допустимому значению х=Х перемен- ной х; при этом х называется независимым переменным, а у—зависимым пере- менным. Термин «переменное х», в сущности, отсылает к множеству значений X, а равенство (1) символизирует множество соответствий, связывающих значения X переменного х и зна- чения Y f (X) переменного у. В согласии с обозначениями, применяемыми в большин- стве учебников, символам х мы будем обозначать и переменное х н значение этого перемен- ного, если только это не сможет привести к путанице. Если х и у рассматривать как декартовы координаты на плоскости (п. 2.1-2), то действительная функция у = f (х) действительного переменного х часто изображается кривой (графиком функции у от х, см. также п. 2.1-9). (Ь) Подобным же образом функция y — *2. ••txn) (4.2-2) п переменных x%t хп относит упорядоченному множеству значений (не- зависимых) переменных х^9 х2> Хп значения (зависимого) переменного у- Функция может быть определена таблицей своих значений или правилом вычисления такой таблицы с помощью известных операций (конструктивные определения). Функция может также быть определена неявно (п. 4.5-7) или с помощью определяющих свойств, описываемых функциональными, дифференциальными или интегральными уравнениями, екстремальными свойствами (п. 11.4-2), поведением при некоторых значениях аргумента и т. д. Каждое неконструктивное определение нуждается в доказательстве существования* устанавливающем, что функция, обладающая указанными свойствами, существует.
4.8-1. 4.3. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА. ИНТЕРВАЛЫ И ОБЛАСТИ 99 (С) В большинстве приложений переменные х, у или х*. х2.....хп, у обозна- лизические объекты или величины, так что соответствующие соотношения (1) Ча*иГ«21описывают физические закономерности. (Пример. у = х,х2. если Xi, хе и у соответственно обозначают напряжение, силу тока и мощность в простом электрическом контуре.) (d) Множество Sx значений х (или множество значений х±, х2, ...,- хп), для которых определены соотношения (1) или (2), есть область определения функции f (х) или f(Xi, х2, .... хп). Соответствующее множество Sy значений!/ есть множество значений функции. (е) Последовательность действительных или комплексных чисел. s0, Sj, s ... представляет функцию sn = s(n), определенную на множестве неотри- цательных целых чисел п. 4.2- 2. Функции со специальными свойствами (см. также пп. 1.4-3, 7.3-3, 7.6-5 и 7.6-7). (а) Функция однозначиа, если каждому значению аргумента соответ- ствует единственное значение функции Функция многозначна, если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции. В дальнейшем всюду в этой главе рассматриваются только однозначные фун- кции, и вто всякий раз специально не оговаривается. Функция у (х) имеет обратную функцию х (у), если из у = у (х) следует х = х (у). (Ь) Функция f (х) действительного или комплексного переменного х четна, если f(—x)^f(x), нечетна, если f(—х)=—f(x)\ является периодической с периодом Т, если f (t -f- Т) = f (t). Каждая функция f (х), область определения 3^. которой вместе с каждым входящим в него числом х содержит и число — х, может быть представлена в виде суммы четной функции (1/2) У (х) 4- f (— х)] и нечетной функции (1/2) [f (х) — f (— х)]. Периодическая функция f с периодом Т называется антипериодической, если f {t + Т/2) =— f (/). Каждая периодическая функция f (t) с периодом Т может быть представлена в виде счммы антипериодической функции (1/2) if (б — f (t + Г/2)] и функции (1/2) [f (/) + f (i + 772)], периодической с периодом Т/2. (с) у — f (х) есть алгебраическая функция от х, если х и у удовлетворяют соотношению вида F (х,у) = 0, где F (х,у)— многочлен относительно х и у (п.1.4-3). В частности, у = f (х) есть рациоиальная (рациональная алгебраическая) функция от х, если f (х) есть многочлен (целая рациональная "функция) или частное двух многочленов (дробная рациональная функция), у есть линейная функция от х, если y = ax-j-b. 4.3. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА, ИНТЕРВАЛЫ И ОБЛАСТИ 4.3- 1. Вводные замечания. При рассмотрении свойств функции f(x) дей- ствительного переменного х часто требуется указать множество значений х, для которых значение / (х) определено и удовлетворяет данным условиям. Заметим, что подобным образом могут быть описаны и функции, и множества. Обычно о значениях 2) действительного переменного х (или объектов, которым соот- ветствуют значения х) говорят как о точках (х) прямой, а о множествах таких Действительных чисел —как о линейных точечных множествах. Свойства функции f (xt, х2,..., хп) действительных переменных х^, х2, ...,хп подобным же образом связывают с множеством «точек» (хх, х2, .... хп) в «-мер- ном «пространстве», включающем все рассматриваемые точки (хх, х2, ,.е, х„) (л. 14.1-2). Использование геометрического языка подсказывается аксиомой непрерывности Кан- тора — Дедекинда, постулирующей существование взаимно однозначного соответствия ----—_____________ 1) Многие авторы категорически настаивают на том, что по определению каждая Функция’должна быть одиозиачиа, так что, например, две ветви + VX и — У X для +У X сегда следует рассматривать как две функции. См7 также п. 4.2-1.
100 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.3-2. между действительными числами и точками прямой. Эта «координатная аксиома» (и. 2.1-2) совместима как со свойствами действительных чисел, так и с постулатами, определяющи- ми евклидову и другие геометрии. В пп. 4.3-2— 4.3-6 рассматриваются главным образом те свойства точечных множеств, которые непосредственно применяются в теории функций действительных перемен- ных. В пп. 7.2-2 — 7.2-4 рассматриваются области на комплексной числовой плоскости. Вообще говоря, о любом множестве (классе) объектов (в частности, - объектов, соответствующих значениям действительного переменного или переменных) можно гово- рить как о точечном множестве. Свойства таких множеств рассматриваются ниже, в пп. 12.5-1 — 12.5-4. 4.3- 2. Свойства множеств. (а) Алгебра множеств (классов). Объект (точка) Р, содержащийся в множестве (классе) S, есть элемент множества S (Р е S). Множество Sj явля- ется подмножеством другого множества S2 (S, содержится в S2, Sj cz S2), если каждый элемент множества Sj является элементом и множества S2. Множества Si и S2 равны (S, = S2),-если они содержат одни и те же элементы, т. е. если S, с S2 и S2 с: S,. Пустое множество 0 по определению есть подмножество каждого множества S. Собственное подмножество (собственная часть) множества S есть непустое подмножество S, не равное S- Объединение (логическая сумма) S> U S2 (или S] + S2) есть множество- всех элементов, содержащихся либо в Si, либо в S2, либо и в Slt ив S2. Пересечение (общая часть, лог ческое произведе- ние) S] Г) S2 (или Si S2) множеств Sj и S2 есть множество всех элементов, содер- жащихся ив S,, и е S2. Дополнение множества S до множества /, содержа- щего S, «сть множество всех элементов из /, не содержащихся в S. Подмно- жества любого множества (класса). I с операциями логического сложения и умно- жения составляют булеву алгебру (п. 12.8-1). (Ь) Кардинальные числа и счетность. Два множества и S2 имеют одну и ту же мощность (кардинальное число), если существует взаимно однозначное соответствие между этими множествами. S есть бесконечное мно- жество, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его собствен- ных подмножеств; в противном случае S—конечное множество. Бесконечное множество S счетно, если можно установить взаимно одно- вначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел. Каждое кардинальное число конечного множества тождественно с числом его элементов. Каждое бесконечное подмножество счетного множества счетно. Объединение счетного множества счетных множеств есть счетное множество. Кардинальные числа, соответствующие бесконечным множествам, называются бесконечными кардинальными числами. Кардинальное число каждого счетного множества совпадает с кардинальным числом множества натуральных чисел и обозначается симво- лом ^0. Множество всех действительных чисел (или множество точек прямой, п. 4.3-1) несчетно; соответствующее кардинальное число обозначается символом 4.3- 3. Границы. (а) Действительное число М есть верхняя граница или нижняя граница множества Sy действительных чисел у, если для всех у е Sy соответственно у^М или у^М. Множество действительных или комплексных чисел ограни- чено (имеет абсолютную границу), если множество абсолютных величин (модулей) этих чисел имеет верхнюю границу; в противном случае множество не ограничено. Каждое (непустое) множество Sy действительных чисел у, имеющее верхнюю границу, имеет точную верхнюю границу (наименьшую верхнюю границу) sup Sy, а каждое (непустое) множество Sy действительных чисел, имеющее нижнюю границу, имеет точную нижнюю границу (наибольшую иижиюю границу) inf Sy. Если множество Sy конечно, то его точная верхняя граница sup Sj, необходимо равна наибольшему числу max Sy, принадлежащему Sj,: max Sv (максимуму Sv), а точная нижняя граница inf Sy равна минимуму min Sv. Пример. Множество всех действительных чисел, меньших 1, имеет точную верхнюю границу 1, ио не имеет максимума. (Ь) Действительная или же комплексная функция y—f(x) или же •= / (х1гх2>..., хп) ограничена на множестве S «точек» (х) или (jtlt х2.хп), если
4.3. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА. ИНТЕРВАЛЫ И ОБЛАСТИ 101 4.3-в. гпаничено соответствующее множество Sy значений функции у. Точно так же действительная функция y — f(x) или y = f (xt, х2,.... хп) имеет верхнюю гпаницу, нижнюю границу, точную верхнюю границу, точную нижнюю границу, /абсолютный) максимум и/или (абсолютный) минимум на множестве S «точек» /и или (*1> х2,хп), если это верно для .соответствующего множества значений функции.у. (с) Действительная или комплексная функция f (х, у) или f (х^, х2.хп; у) равно- мерно ограничена на множестве S «точек» (х) или х2, , хп), если абсолютная вели- чина (модуль) функции f как функция от у имеет верхнюю границу, не зависящую от к или от х^, ”• • хп иа РавномеРиые верхние границы и равномерные нижние границы определяются аналогично. 4.3г4. Интервалы (см', также пп. 4.3-3 и 4.3-5). Пусть х—действительное переменное. Множество всех значений х (точек), удовлетворяющих условиям: 1) а<х< Ь, есть ограниченный открытый интервал (а,Ь), 2) а < х, есть неограниченный открытый интервал (а, + со), 3) х<а, есть неограниченный открытый интервал (—со, а), 4) a^x^.b, есть ограниченный замкнутый интервал [а, Ь]. Замкнутый интервал называют также отрезком, или сегментом, или замкнутым промежутком. Множества точек (л), удовлетворяющих условиям а^х <Ь, а < х 6, а^х, к^а, можно называть полуоткрытыми интерва- лами. Каждый интервал /х, содержащийся в другом интервале /2, есть частич- ный интервал интервала /2. 4.3- 5. Определение окрестностей. (а) Пусть а — любое действительное число. (Открытая) б-окрестность точке (а) в пространстве действительных чисел есть любой открытый интервал вида (а—6, а+б), содержащий точку х — а, иными словами, множество всех точек (х), удовлетворяющих условию | х —а | •< б, где б—некоторое поло- жительное .число. Окрестность точки х==а есть любое множество, содержащее некоторую б-окрестность этой точки. (Ь) Множество (Л1, -f-oo) всех точек (х), для некоторого действительного числа М удовлетворяющих условию х > М, есть (открытая) окрестность «точки» плюс бесконечность (+ со) в пространстве действительных чисел; множество (—со, N) всех точек (х), для некоторого действительного числа М удовлет- воряющих условию х < N, есть (открытая) окрестность «точки» минус бесконеч- ность (—со) в пространстве действительных чисел. (с) В пространстве, «точки» которого суть (описываются как) упооядочен- ные множества (хъ х2, .... х„) действительных чисел, (открытую) 6-окрест- ность точки (alt аг, .... ап), где alt аг,.... ап конечны, можно определить как множество всех точек (хх, х2,..., х„), удовлетворяющих условиям | xt—Cj | <б, |х2—а21 < б, ..., | х„—ап | < б, где б — некоторое положительное число. Окрест- ность точки (alt а2, ...,.ап) есть любое множество, содержащее некоторую б-окрестность этой точки. Замечание. Определения окрестностей, подобные тем, которые были даны выше, нельзя считать самоочевидными; онн подчиняются постулатам, определяющим «топологические» свойства рассматриваемого пространства (см. также п. .12.5-1). В част- ности, для неограниченных значений переменных (как выше в (Ь) ) окрестности можно определить различными способами (так, + со и — со можно рвссматривать как одну и ТУ же точку или же как две разные точки; см. также п. 7,2-2). В прикладной матема- тике выбор таких определений будет зависеть от характера тех объектов, которые .«представлены» точками (х) или (х*, х2. хп). Определение окрестностей тесно свя- вано с определением открытых множеств (п. 4.3-6), областей (п. 4.3-6) и пределов функ- ций на рассматриваемом пространстве (п. 4.4-1; см. также п. 12.5-3). 4.3- 6. ^Открытые и замкнутые множества и области. Все нижеследующие определения зависят от того, каким образом определены окрестности в про- странстве С, содержащем рассматриваемые множества и области (от топологии этого пространства, см. также пп. 12.5-1 —12.5-4). (а) Точка Р есть -предельная точка (точка конденсации, точка накопле- ния) множества ScCt если каждая окрестность точки Р содержит точки
102 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.4-1, множества S, отличные от Р. Точка Р есть внутренняя точка множества S, если Р имеет окрестность, целиком содержащуюся в S. Точка Р£С, не яв- ляющаяся внутренней точкой ни множества S, ни его дополнения до С, есть граничная точка множества S. Точка Р множества S есть его изолврованная точка, если у нее есть окрестность, не содержащая других точек множества S. Точечное множество S есть: открытое множество, если оно состоит только из внутренних точек; замкнутое множество, если оно содержит все свои предельные точки; конечное множество замкнуто; дискретное (изолированное) множество, если оно содержит только изоли- рованные точки; дискретное множество на евклидовой плоскости или в евкли- довом пространстве конечно или счетно; конечное множество дискретно; связное множество, если его нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся множеств, каждое из которых не содержит предель- ных точек другого. (См. также п. 12.5-4.) (Ъ) Множество на евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве ограничено, если ограничено множество декартовых координат всех его точек. Область (открытая) есть открытое связное множество. Объединение открытой области н ее граничных точек (границы области) есть замкнутая область. Область D и а евклидовой плоскости называется односвязной, если любая простая вамкнутая кривая (п. 3.1-13), Целиком принадлежащая D, может быть стянута в точку с помощью непрерывной деформации, ие выходя из области D. Область не односвязная называется многос^язной. Область V $ евклидовом трехмерном пространстве называется: поверхиостно-односвязиой, если любую простую замкнутую кривую, лежащую в V, можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя из V; пространственно-односвязной, если любую простую замкнутую поверхность типа сферы, лежащую в V, можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя из V. Например, шар односвязен с точки зрения обоих определений, шаровое кольцо — только с точки зрения первого определения, а тор («баранка») — только с точки зрения второго. 4.4. ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 4.4- 1. Пределы функций и последовательностей (см. также пц. 4.8-1 и 12.5-3; см. примеры в табл. 4.7-1). (а) Функция f(x) имеет (необходимо единственный) предел. limf(x)=jL при х-*а х, стремящемся к конечному значению х=а (предел в точке a; f(x)—*L при х—>а), - если для каждого положительного числа в существует такое положи- тельное число 6, что при 0 < | х—а|<6 функция f (х) определена и |/(х)—L|<e. Функция f(x) действительного переменного х имеет (необходимо единст- венный) предел lim f(x)—L при х, стремящемся к плюс бесконечности Х-* + со (когда х неограниченно возрастает-, f(x)-^L при х—»-f-oo), если для каждого положительного чвсла е существует такое действительное число N, что при х> N функция f(x) определена и | f (х)—L|<e. Если функция f(x) имеет предел L, то говорят, что она стремится к L. (Ь) Последовательность чисел (п. 4.2-1) s0, Sj, sa,... (= s (n)) имеет (необ- ходимо единственный) предел lim s„ = S (сходится к S), если для каждого п-*со положительного числа е существует такой номер 7V, что при п > N выпол- няется неравенство | sn — S|<8. Критерий сходимости последовательности см. в п. 4.9-1, где рассматриваются признаки сходимости бесконечных рядов. (с) Действительная функция f (х) неограниченно возрастает (стремится к плюс бес- конечности): 1. При х, стремящемся к конечному значению х — a (f (х) + со при х-* а\ некото- рые авторы пишут lim f U) =-J-со), если для каждого действительного числа А1 суще*
4.4. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИЙ 103 4.4-3. ствует такое положительное число б, что при 0 < | х — а | < 6 функция f (х) определена в ? 'При х, стремящемся к плюс бесконечности (f (х) -* + со при х -» + оо; некоторые топы пишут lim f (х) =4*0°), если для каждого действительного числа М сущест- вятор X—--(-СО такое действительное число N, что при х> N функция f (х) определена и f(x)>M. БУ Аналогичное определение дается в случае последовательности. Действительное пере- менное х или f (х) стремится к минус бесконечности (х — — со или f (х) -» — оо), если соответствейно —х-» 4-со или —((х)—4*°°- В (Ь) и (с) устанавливается математический смысл символов 4-со и — со в системе действительных чисел (см. также пп. 4.3-5 и 7 2-2) Если f (х) -* + со или f (х) -> — со при х а (при х -* оо; при х — оо), то гово- рят что функция f (х) является бесконечно большой при х -* а (соответственно при х -к оо; при х -> — со). Если f (х) -> 0 при х -*• а (при х -> со; при х -* — со), то функ- ция f (х) называется бесконечно малой при х -> а (соответственно при х + со; при х — со). 4.4- 2. Операции над пределами (см. также пп. 4.4-6,с и 4.8-4). Если пре- делы в правой части нижеследующих равенств существуют, то существуют) пределы и в левой части равенств и lim [/(x)-f-g(x)]= lim/(x)-f-lim g(x), Jt -* а х-* а х-* а lim [af (x)] = a lim f (x), x — c x-»o lim [/(x)g(x)] = lim f (x) lim g(x), x-*a x-*a x-+a Ilm f (x) (4.4-l> где а может бить как конечным, так и бесконечным; эти правила применимы и к пределам последовательностей (п. 4.4-1), .а также к пределам функций нескольких переменных (п. 4.4-5). 7 4.4- 3. Асимптотические соотношения между двумя функциями (см. также п. 4.8-6). Если даны две действительные или комплексные функции f (х), g (х) действительного или комплексного переменного х, то пишут 1. f(x)—O [g (x)J (/(х) есть O[g(x)]); f(x) есть функция не низшего по- рядка малости чем g (х) при х —» а, если существует окрестность точки а, в которой при х =/= а отношение f (x)/g (х) ограничено. 2. /(х)=0* [g(x)]; f(x) и g(x) имеют один и тот же порядок (функция /(х) асимптотически пропорциональна g(x)) при х—-а, если предел lim [f (x)/g (х)] существует и отличен от нуля. х-*а 3. f(x)~g(x); f(x) и g(x) эквивалентны (функция f (х) асимптотически равна g(x)) при х—>а, если lim [f(x)/g (х)] = 1; отсюда следует, что отноше- х-*а ние разности f(x)—g(x) к g(x) (или к f (х)) стремится к нулю при х—а. 4. f(x)=o[g(x)] (f (х) есть o[g(x)]); f (х) есть функция более высокого порядка малости чем g(x) при х—»а, если lim [f (x)/g(x)]=O. Это иногда х — а читают и так: «функция f(x) пренебрежимо мала по сравнению с g(x)» при х-*а. В каждом из этих определений а может быть как конечным, так й бес- конечным. Бесконечно малыми порядка 1, 2, ... при х—>0 называются функ- ции того же порядка, что и соответственно функции х, ха, ... при х—>0. Бес- конечно большими порядка 1, 2, ... при х—>-4-оо называются функции того же порядка, что и соответственно функции х, ха, ... при х—-)-со, « Асимптотические соотношения часто позволяют оценивать или приближать функцию 4 Я помощью g (х) в некоторой окрестности точки х = а, . Пишут 1 f (х) = <р (х) 4- О [g (х)], если f (X) — Ч> (х) = О [g (х)]. I (х) = Ф (х) 4- о [g (X)]. если t (X) — ф (х) = о [g (х)].
104 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.4-4. 4.4-4. Равномерная сходимость. (а) Функция f (хъ х2) сходится равномерно на множестве S значений х2: 1. К функции lim }(хъ х2) = Их2), если для каждого положительного Xi а числа е существует такое положительное число б, что при 0 <|х,— а | < б и при всех x2eS функция f (хг, х2) определена и выполняется неравенство |/ (X], х2) — L (х2) | < е (б не зависит от х2). 2. К функции lim f (xt, x2)=^L (x2), если для каждого положитель- -> + °О него числа е существует такое действительное число N, что при хг > W и при всех х2 е S функция f (xlt х2) определена и выполняется неравенство 7(х1? х2) — L (х2) | < е. . (Ь) Последовательность функций s0 (х), Si (х), s2 (х), ... равномерно схо- дится на множестве S значений х к функции lim s„ (х)=s (х), 1 п~ю> если для каждого положительного числа е существует такой номер /V, что при n>W и при всех х е S выполняется неравенство | sn (х) —s (х) | < е (см. также пп. 4.6-2 и 4.8-2). 4.4- 5, Пределы по совокупности переменных и ^повторные пределы. (а) Если термин «окрестность» понимать в смысле, указанном в п. 4.3-5,с, то функ- ция f (xJt х2) имеет (необходимо единственный) предел lim f (х4, х2) = L, если для xt -> at xz-+ а2 каждого, положительного числа е существует такая окрестность £> т^)чки <alt а2), что для всех точек (xit х2) G D, исключая, быть может, точку (ai9 as), функция f (xlt х2) определена и I f (х12 х2) — L | < е. При этом at и/или ая могут быть как конечными, так и бесконечными. Двойная последовательность s00, st0, ... имеет предел lim s —s (сходится к s), * т со пп П -> СО если для каждого положительного числа е существуют такие два номера /К и IV, что при т > М и п > N выполняется неравенство | $тп — s | <е. Пределы функций более чем двух переменных определяются аналогично. (Ь) Если существует такое положительное число б, что lim " f (хи х2) = f (а1г хй) при 0 < | х2 — az I < б, Xi -* аг I ' lim f Ui, хъ) = f (хи а2) при 0 < | — О} | < б xs -> as и по крайней мере в одном из этих предельных процессов сходимость на указанном мно- жеств' равномерна, то все три предела Ilm f (хъ xz), lim Г lim f (хъ х2)1 -» ar xi я, [х2 -+ «2 I хя ая и Нт | Нт f (xt, *s)l х2 -> az [xj at ] существуют и равны друг другу. Диалогичные теоремы справедливы и в случае,, когда -<2j и/или а2 бесконечны. 4.4- 6. Непрерывные функции. (а) Функция /(х), определенная в некоторой окрестности точки х~а9 непрерывна при х~а (в точке а), если предел lim f(x) и ра- х-+а вен / (а), т. е. если для каждого положительного числа е существует такое положительное число что при |х —а|<6 выполняется неравенство 1/(х) —/(а) I <8. '
4.4-7. 4.4. ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ IU5 Точно так же функция f(xlt х2, .... хп), определенная в некоторой окрест- ности точки (аъ а2......«„), непрерывна в точке (at, а2, .... оп), если lim f(xi, х2, .... xn)=f(ai, щ......ап). х, -» ct Х% —* CI2 Функция f (xif xz, , Xn) непрерывна в точке с2, по xit если функ- ция f (Xi, аг, .... ап) непрерывна в точке xt — at. Функция, непрерывная в точке (аи а2, ..., сп) по кажДой из переменных xit хя, , хп в отдельности, может не быть непрерывной в точке (Glf w (Ь) Функция непрерывна на множестве точек (например, в интервале или в области), если она непрерывна в каждой точке этого множества. Действительная функция f (х), непрерывная на ограниченном замкнутом интервале Ь], ограничена на [о, Ь] и хотя бы по одному разу принимает каждое значение, заключенное между ее точной верхней и точной нижней гра- ницами на [а, 6] (п. 4.3-3), включая и эти границы. Аналогичная теорема верна и для действительной функции двух и большего числа переменных, не- прерывной в ограниченной замкнутой области. Функция f (х) равномерно непрерывна на множестве S, если для каждого положи- тельного числа е существует такое положительное число б, что для всех x<=S и X eS при | х— X ( < 6 выполняется неравенство | f (х) — f (X) | < е. Функция, непрерывная на ограниченном замкнутом интервале [а, £>], равномерно непрерывна на [a, fcj. (с) Если две функции fug непрерывны в данной точке х или (xit х2, ..., хп), то непрерывны в^ этой точке и функции f + g, f — g и fg-, если функция g не обращается в этой точке в нуль, то в этой точке непрерывна и функция f/g. Если дано, что Нш'у.(х)~ А- (i = 1, 2, и что функция F (уи у2, ...уп) непрерывна в точке х-*-а ' • (А, А2, ..., Ап), то lim F [#! (х), yi (х).уп (х)] = F (Ль Л2, ..., Лп) (4.4-3) (см. твкже п. 4.4-)2). В частности, если каждая из функций у- (х) непрерывна при х = а, то это верно и для F (уt (X), у£ (х).уп (х)]. Предел s (х) равномерно сходящейся на множестве S значений х последовательности функций s0 (х), st (х), ..., непрерывных на S, есть функция, непрерывная на S. 4.4- 7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. (а) Функция f (х) действительного Переменного х имеет (необходимо един- ственный) предел . lim f(x) = lim f (я) =f(a-f-O) = L+ . x-»c+O je-»a+ , в точке а справа, если для каждого положительного числа е существует такое положительное число 6, что при 0<zx—а <6 функция f (х) определена и выполняется неравенство | f (х)— L+|<e. Функция /(х) имеет в точке а пре- дел слева lim f(x)= lim f(x) = f(a—0)=L_, x-7»a—0 x->a — если для. каждого положительного числа е существует такое положительное число б, что При 0<а—х<6 функция /(х) определена и выполняется не- равенство | f (х) — L_ | < е. Если существует предел lim f (х), то пределы х-а Пгп f (х) и lim f (х) существуют и '•’Ж х-»а—О lim ' f (х) = lim f (х) = lim / (х). я.-»а+О х-га — О х-га
106 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.4-8. Обратно, если lim f (х) = lim f (х), то предел lim f (х) суще- х-»с —0 х-»а + 0 х-»а ствует. (Ь) Функция f (х) непрерывна в точке а справа или слева, если соответст- венно f (а+0) = f (а) или f(a—O) = f(a). Точка разрыва первого рода действи- тельной функции f (х) есть точка а, в которой функция f (х) разрывна (т. е. не непрерывна) и существуют пределы / (<а-(—0) и f (а—0); наибольшая раз- ность между двумя из чисел f (a), f (а+0) и f (а — 0) есть скачок функции f (х) в такой точке разрыва*). Точки разрыва первого рода функции f(x) образуют конечное или счетное множество (п. 4.3-6,а). (с) Функция f(x) кусочно-непрерывна на интервале /, если она непре- рывна-в / всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. Функция f (xt, Xs, ..., хп) кусочно-непрерывна в области V n-мерного простран- ства, если она непрерывна в V всюду, за исключением, быть может, некоторого множе- ства регулярных гиперповерхностей (регулярных кривых при п = 2, регулярных поверх- ностей при п = 3, пп. 3..1-13 и 3.1-14), разбивающих V на конечное число подобластей, в каждой из которых функция f (х,, х2, ... , хп) имеет единственный односторонний пре- дел при приближении к любой граничной точке подобласти изнутри этой подобласти, 4.4- 8. Монотонные функции и функции ограниченной вариации. (а) Действительная функция f(x) действительного переменного х строго монотонна на интервале /, если она на нем определена и если для любых двух точек Xi и х2 интервала / либо из xt < х2 всегда следует f (xj < f (х2) (возрастающая функция), либо же из Xi<x2 всегда следует f(xi)>f(x2) (убывающая фуи ция). Функция f (х) нестрого монотонна на Z, если она опре- делена на / и если для любых двух точек хг и х2 интервала / либо из Xi < х2 всегда следует f (xj f (х2) (неубывающая функция), либо же из х1 < х2 всегда следует f (xj :> f (х0 (невозрастающая функция). Аналогичные определения даются для монотонных последовательностей (п. 4.2-1). (Ь) Действительная функция f (х) действительного переменного х есть функция ограниченной вариации на интервале [а, Ь], если существует такое положительное число М, что для всех разбиений а=х0 <zx1<zx2<...<zxn=b интервала [а, Ь] выполняется неравенство 2 i/to)-н^_х) । <м. 1=1 Функция f (х) есть функция ограниченной вариации на fa, b] в том и только в том случае, если она может быть представлена в виде f(x')=f1(x)—f2 (х).,: где Д (х) и f2 (х) ограничены и не убывают иа [а, Ь]. Если f (х) и g(x)—функции ограниченной вариации на [а, 6], то и f(x)+g(x) и Т (х) g (х)—функции ограниченной вариации на [а, 6]. Функция f (х) есть функция ограниченной вариации на каждом конечном интервале [а, 6], на котором она* ограничена и имеет конечное число относительных максимумов и минимумов (п. 11.2-1) и точек разрыва первого рода (условия Дирихле). Функция ограниченной вариации на [а, Ь] ограничена на [a, fe] и имеет только точки разрыва первого рода (п. 4.4-7). В физических приложениях условие, чтобы f (х) была функцией ограниченной вари- ации на каждом ограниченном промежутке, выражает тот факт, что функция f (х) огра- ничена н что компоненты очень высокой частоты не могут существенно влиять на ее ин- тенсивность (п. 18.10-S). •) Часто скачок функции f (х) в точке а Определяют как разность f (a-pO)— f (a—0), Дла монотонной функции это определение и данное в тексте.совпадают.
4.Б-2. 4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 107 4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.5- 1. Производные и дифференцирование. (а) Пусть y=f(x)—действительная функция действительного перемен- ного х, определенная в некоторой окрестности точки х. Первая производная (производная первого порядка) функции f (х) по х в точке х есть предел Пга Hx+^)-f(x)s lim z,(x)^ дх->0 Дя->0 ах ах В каждой точке х, в которой предел (1) существует, производная ~=f'(x) есть мера скорости изменения у относительно х. Производная f' (х) есть угловой коэффициент касательной (п. 17.1-1) к графику функции y=f(x) (см. п. 4.2-1, а) в точке х. Соответствующие односторонние пределы (п. 4-4-7,а) называются левой производной р_ (X) и правой производной f (х) функции f (х) в точке х. (Ь) Вторая, третья, ..., п-я производные (производные второго, третьего, ... ,t.f n-го порядка) функции р==/(х) по х в точке х определяются соответст- венно формулами (*). -г Tx Г™ W = 5sZ'"’(x) > (4.5-2) если соответствующие пределы существуют. (с) Операция отыскания производной f (х) данной функции f (х) назы- вается дифференцированием функции [ (х) по х. Функция f (х) дифференцируема при тех значениях х или на том множестве значений х, при которых суще- ствует производная f' (х). Функция f (х) непрерывно дифференцируема, если производная f (х) существует и непрерывна. Функция f (х) называется ку- сочно-гладкой на промежутке /, если функция f (х) непрерывна на /, а ее производная f (х) кусочно-непрерывна (п.4.4-7, с) на I. Дифференцируемая функция непрерывна. Производные большого числа часто встречающихся функций приведены в табл. 4.5-1. Производные от комбинаций этих функций могут быть найдены с помощью правил дифференцирования из п. 4.5-4. 4.5- 2. Частные производные. (а) Пусть y=f(xi, х2, ..., хп)—действительная функция переменных xt, х2, ..., х„, определенная в некоторой окрестности точки (хъ х2, .... хя). Частная производная (первого порядка) функции f (хь х2, ...t х„) по хх в точке (Xi, х2, ..., х„) есть предел j. f (Xi + Дх,. хг, xs, ..., xn) — f (Xt, Ха, ..., х„) Ах, - 0 1=1 дх^ — ёх, — xit L ха х ~fxt (xif X$> (4.5-3) Производная ~- (ж1> х2, .... хп), в которой существует предел (3), есть мера скорости изме- нения у относительно при фиксированных значениях остальных независи- мых переменных. Частные производные определяются ана- логично. Каждая частная производная может быть найдена посредством дифференцирования функции f (Xj, х2, хп) по xk, если остальные n—1 Зависимых переменных рассматривать как постоянные параметры. х„) в каждой точке
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.Б-2. Таблица 4.5-1 Производные часто встречающихся функций (см. также в гл. 21 производные некоторых специальных функций) (а) fw f' (X) f ,n M xa axT1 a (a — 1) (a —2) ... (a — r + 1) xa~r X „X ax ax In a 0х (In a)r In x 1 (- if1 (r - 1)1 ~ X Ioga* 1 (- 1Г1 (r - 1)1 ’ x In a x In a sin x cos x sm + г — j COS X — sin x cos^+r 2L) (Ъ) f(x) f’ {X) > (X) f’ (*) tg* Ctg X seox cosec x sh x ch x th* cth x ' I cos2 X I sin2 x sin x COS2 X COS X - sin2 X ch x ihx 1 . ch2 x — sh»T arcsin x arccos x arctg x arcctg x arsh x arch x arth x arc th x 1 V 1 — X» 1 V1 — X3 1 1 + x3- 1 1 + X8 1 Vx‘+ 1 1 Ух2 — i 1 I — x8 1 1 — X8 x*(l -b In X) (Ь) Частные производные более высокого порядка функции y=f (xu -...txa) Определяются формулами ... _____________s‘v _____________f — Л дУ dxl~Ixkxb dxkdxk dxidxk xixk~dxkdxl ___d‘.y_= f'' = ______и !> „ dx^Xfdx* 'Vfk dxkdx.dX/ “ «•*
4.5-3. 4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ . 109 если соответствующие пределы существуют. В каждом случае число произве- денных дифференцирований есть порядок соответствующей частной производ- ной. Отметим, что дх. dxk dxk дх. ' >' (4.5-4) д2у —-— существует в некоторой окрестности точки д2у dxkdxt если: 1) производная g* g l к (Xi, x2, •••> xn) u непрерывна в точке (xt, x2, xn) и 2) производная существует в точке (xt, х2, .... хп). 4.5- 3. Дифференциалы. (а) -ХПусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности тонких И пусть дх—приращение независимого переменного х (дифференциал незави- симого переменного х). Функция y—f (х) имеет в точке х (первый) дифферен- циал, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде Ау — f (х+дх)—f (х) = А dx-f- о (дх), где А не зависит от дх. В этом случае (первым) дифференциалом функции y=f(x) называется главная линейная часть приращения функции ду = Адх. Функция, у = f (х) имеет в точке х дифференциал в том и только в том слу- чае, если она имеет в этой точке (первую) производную) ее дифференциал равен dy~df=^dx = f (х)дх. Так что Ay (х -\-dx) — f (х)=f (х) dx 4- о (dx)—dy-(-o (dx). Додобным же образом пусть функция y=f(xi,x2, ..., хп) переменных xt, х2, .... хп определена в некоторой окрестности точки (хх, х2, .... хп) и пусть dxr, dx2.... dxn — приращения независимых переменных (дифференциалы независимых переменных) хг, х2....хп. Функция y=f(xx, х2, ..., хп) имеет в точке (xj, х2, ..., х„) (первый) дифференциал (полный дифференциал), если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде by = f(xi+dxlt x2+dx2.....x„-(-dx„)—f(x1, х2, ..., xn) = = A1dxI-f-A2dx2-(-...A-Andxn-l-o(p), где p=J/ dx^+dxi + ..-+dx“ и Alt A2, ..., An не зависят от dxlt dx2, ... ..., dxn. В этом случае (первым) дифференциалом (полным дифференциалом) функции y—f(Xi, х2.....хп) называется главная линейная часть приращения функции dy=A1dx1+A2dx2+.,..+Andxn. Отметим: 1) Если функция y—f(xlt х2, ..., хп) имеет в точке (Xj, х2, ..., х„) дифференциал, то она непрерывна в этой точке и имеет в ней все частные производные первого порядка. 2) Если функция у=f (хъ х2......хп) имеет в точке (хх, х2, ..., хп) все непрерывные частные производные первого порядка, то она имеет в этой точке (первый) дифференциал. (Из одного факта суще- ствования всех частных производных еще не следует существования полного дифференциала.) Дифференциал функции ^=/(хх, х2, ..., х„), если ои суще- ствует; имеет вид dy~df=£ dX1+Д dx2+...+Д dxn, (4.5-5) где производные берутся в рассматриваемой- точке. Функция y=f(x1, х2, ..., хп) дифференцируема в точке (хх, х2, ..., хя), если она имеет в этой точке (первый) Дифференциал. В этом случае (Х1 -f. dxv ж2 -ф dx2,..., ж„ 4- dxn) — f(xu х2.хп) = = дХ1^Х1~^ дх^ dx2-(-.,.-t- ^^dxn-j-o(p) ==dy-f-o(p).
но ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ и ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-4. Функция 3/=/(а?х» жп) дифференцируема на множестве точек (xlt ж2,..., жп), если Она дифференцируема в каждой точке этого множества. Функция у—^(хг, ж2,.... ж„) непрерывно дифференцируема на некотором мно- ди ди ди •жестве, если на этом множестве все частные производные ОХг (jXz их существуют и непрерывны. Функция y—f(xlt ж2,..., ж„) называется кусочно- гладкой в области V, если она непрерывна в V, а ее частные производные 4--,..., кусочно-непрерывны в V (п. 4.4-7, с). С/Л-1 их (Ь) Дифференциал каждого независимого переменного рассматривается как постоянная, так что d2x = d (dx) = сРж = d (d^x) =... = 0. Дифференциал зависимого переменного есть функция от независимого переменного или пере- менных. Второй, третий, ...дифференциалы нужное число раз дифференцируе- мой функции находятся последовательным дифференцированием первого дифференциала, например, если ж, х1и — независимые переменные, то d2f(x)~d(df) = d^~dx)=^dx2, (4.5-6) d2f fa, ж2) ~ d (df) = dx2 + 2 dxtdx2 + ^dxU (4.5-7) drf fa, ж2) = E Су r_zЙЖ| k йж|- (4.5-8) fe=o 2 Отметим также n W К (X), u2 (x).....w„ (x)] ~ d (df) = ^dx^^d (Д) duk +^d2uk} ~ /2=1 / n n n \ = У (45-9) l dut duk dx dx ' duk dx2 I ' ' ' V=1 fe=\ k—l / (с) Все функции от dxx, dx2,..., dxn того же порядка, что и tfen dxr2.., дхгп при dxr—-0, dx2 —0,..., dxn—»0, суть бесконечно малые порядка + ••• + rn (п- 4.4-3). В частности, r-й дифференциал drf функции / fa, ж2,... ж„), если он существует и не равен нулю в данной точке, есть бесконечно малая порядка г. 4.5-4. Правила дифференцирования. В табл. 4.5-2 перечислены наиболее важные правила дифференцирования. Формулы из табл. 4.5-2, а и Ь приме- нимы и при вычислении частных производных, если в каждом случае вместо писать д|-. Так, если ' Ui = u-t fa, .....х„) (i = 1, 2...m)t то т u2,...-tum)= (к = \,2,...1П). (4.5-10) к VA-b 1=1 Умножая каждую формулу из табл. 4.5-2, а и b на dx или иа dx1, получаем ана- логичные правила для вычисления полных дифференциалов (см. также п.4.5-3); так, d(u + о) = du + dv. d (uv) = v du + и dv. (4.5-11) Правила дифференцирования интегралов указаны в табл, 4.6-1, а дифференцирова- ния бесконечных рядов — в п. 4.8-4; с.
4.5-4. 4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ill Таблица 4.5-3 Правила дифференцирования (п 4.5-4; в каждом случае существование соответствующих производных предполагается) (а) Основные правила *): d df dut Bf dut 2Г f (X)- w........am w] = + 6^ лГ + - d f Г.. dt du d‘ S Г , Л1 d‘f (du V I df dxf[uM du dx. f[«(x)J du‘\dx) +du (b) Сумма, произведение и частное. Логарифмическое дифференцирование: .В^--Йй дГ dum dx d^ dx2 ‘ d r , > du ' dv d Г и (х) I 1 d^^(x)vM1 = vd7 + udT‘ | = dx " у (*) Замечание. Чтобы продифференцировать функцию вида у = и‘ (ЭД ^2 (ЭД может оказаться полезным найти сначала ее логарифмическую производную. dr . , „ drи , „ drv dr V />* dr~ku dkv ~ (ав + Рп)=а — + p—, ^W = 2C^?- k=o (с) Обратная функции. Если функция у у (х) имеет обратную функцию х = х (у)**) и = 10 dx= _ 1 Ух ау~Ху~Ух (d) Неявная функция (см. также п. 4.5-7). Если функция задана неявно долж- ным образом дифференцируемым соотношением F (х,у) = 0,где то йХ=~ -v(F" P'^ — ZF" F’F' +F" Д'”) dx p dx2 p>s \ хх у xy x у yy x). У У (e) Функция, заданная с помощью параметра t. Если даны x=>x(t), y^y{t} и • /А__dx , л • л __dy •• ... _d2x •• ... _d2y х ~ dt^0, у ® — dt’ х ® ’ у — dt‘ ’ то dy _ у (0 d*y _ х (f) у (t) ~ х (О у (Р) d* £ (/)' dx> [х (OF *) В первой формуле (а) при 1 следует предполагать дифференцируемость функции f («!, u2, ... , «т) в соответствующей точке, для чего достаточно непрерыв- ности в этой точке всех ее первых частных производных: см. п. 4.S-3. **) Если функция у (х) на интервале а < х b строго монотонна н непрерывна, то на замкнутом интервале с концами у (с) н у (Р) она имеет обратную функцию х (у), также непрерывную. Если, кроме того, функция у (х) в точке х0, где а < хе < Ь, име- ет производную y’(xd>^0, то функция х(у) в соответствующей точке у0 = у (ю) также имеет производную и справедлива первая из нижеследующих формул. Если Функция у (х) имеет вторую производную, то имеет место и вторая на этих формул.
112 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.S-5. 4.5-5. Однородные функции. Функция f[(xt, хг,..„ хп) есть однородная функция степени г относительно аргументов х2. х2, ... , хп, если f (oxi, ахг, ..., ахп) --- arf (xt.x2,..., хп) (см. такжеп. 1.4-3,.а). Если! (лт, х2.хп) — непрерывно дифференцируемая однородная функ- ция степени г, то xi Д +жг Д+- +xn^=rf - ’М • (теорема Эйлера об однородных функциях). 4.5-6. Якобианы и функциональная 'зависимость (см. также пп. 4.6-12, 6.2-3, Ъ и 16.1-2). Если функции У1—у1(х1, .......хп) (<=1. 2........ п) (4.5-13) непрерывно дифференцируемы в некоторой области n-мерного пространства и если якобиан или функциональный определитель дУ[ (4.5-12) (4.5-14) . Уп)> окрестности. (4.5-15) в этой обла- все элементы ..........^det 'д (Х1.хг, , хп) отличен в ней от нуля, то уравнения преобразования (13) (см. также п. 14.1-3) в достаточно малой окрестности каждой точки области определяют взаимно однозначное соответствие этой окрестности и множества точек (уъ у2, образованных значениями функций (13), принимаемыми в этой Если дифференциалы п <z==1’2.....") А=1 линейно зависимы в данной области (п. 1.9-3),-то якобиан (14) сти тождественно равен нулю. Если в V нет точки, в которой якобиана (14) одновременно обращаются в нуль, то якобиан (14) тождественно равен нулю в области V в том и только в том случае, когда у каждой точки этой области существует такая окрестность; в которой функции у, связаны некоторым непрерывно дифференцируемым соотношением Ф (уь у2,..., ?/„) = 0, где производные не все одновременно равны нулю. В этом случае говорят, ОУ} что функции (13) функционально Зависимы в этой окрестности (см. также п. 4.5-7, с). 4.5- 7. Неявные функции. (а) Если функция у=^у(х) задана неявно должным образом дифферен- цируемым соотношением F (х, у)—0, то dy F' d‘y I (b) Если mфункций yt = yt (xlt x2,..., x„), y2 = уг (xb x2,..., xn), ...,ym=x =-ym (a?i, 372» • •• от n независимых переменных a^, x2t..., хп заданы неявно m соотношениями Fi (Уь Vi, —»Ут, xi, •••. xn) ~ 0 (<==1,2,..., m), (4.5-17) где Fi —i непрерывно дифференцируемые функции в рассматриваемой области, то 1. Дифференциалы dy/ и dxi связаны т линейными уравнениями d/’i=0. ду i 2. Для каяедого значения Л = 1, 2..... п все т производных - д могут быть получены по правилу Крамера (п. 1.9-2) из т линейных уравнений т 2dF.r ду, dFL ~ду/" й^' + 'й^=() 0 = (4.5-18)
'4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 113 4.6-1. если только a (A.- f2.......Fm} 6 (l/u l/г......Vm) Г SFi T det -5-i- =£0 L dvi J (4.5-19) для рассматриваемых значений xlf x2,..., xn. Дифференцируя уравнения (18), получаем соотношения, дающие производные более высокого порядка функ- ций yj. В частности, два непрерывно дифференцируемых соотношения F (х, у, г) = 0 и G (х, у,г)=0 дают , „ , , , , . dx; dyt dz = гу 2 Gy G Z гг Гх Gz Gx Гх гу Gx G'y (4.5-20) 2% Если, например, первый из определителей справа отличен от нуля, то данные соотношения определяют у и z как функции от х (см. (с)) и уравнения (20) позволяют dy dz найтн производные-- и —. X • (с) Теорема существования иеявныхфУнкций (см. также п. 4.2-1,Ь). Пусть дана точка Р = (Xi, х2, ..., хп; yi, yz> «•«» Ут). в которой выполняются соотношения (17) н (19). Если все Pi и dFi/dyj непрерывны в некоторой окрестности D точки Р, то т соотно- шений (17) в некоторой окрестности точки (Хи х2,... ,хп) определяют yj как непрерывные функции от хг, х2, ... , хп. Если, кроме того, в D непрерывны и все производные dF^ fdx^t то в указанной окрестности точки (xlf х2, ... , хп) существуют и непрерывны производ- ные ду^/дх^. Если якобиан (19) в D тождественно равен нулю, то левые части соотно- шений (17) в некоторой окрестности точки Р функционально зависимы (п. 4.5-6)» так что г/у не определены однозначно. 4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 4.6- 1. -К Определенные интегралы (интеграл Римана). (а) Пусть действительная функция f (х) определена и ограничена на огра- ниченном замкнутом интервале [а, 6]. Разобьем этот интервал на п частичных интервалов точками а — Хо <Xi <х2 <... <хп = Ь. Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке (xi_t П ^&agXi) и составим сумму (интегральная сумма) Yif (£/) (Х[ — Xi_t). i=l Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения: max (xi — х^) —»0, то функция f (х) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [а, 6]. Предел этой суммы п ь Z= lim £/(й)(х; —x;_i) —f/(x)dx, (4.6-1) max IX{ — xr-_i)-.O 1=1 a называется определенным интегралом от f (х) по интервалу [а, ft] в смысле Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого поло- жительного числа е существует такое число б > 0, что при любом разбиении интервала [а, 6] на частичные интервалы, длины которых меньше б: max (Х{ — Xi_i) < б. и при . любом выборе промежуточных точек выполняется неравенство п ^(^(Xi-X^-l Функция / (х) называется подынтегральной функцией, а а и Ь — пределами интегрирования В табл. 4.6-1 перечислены важнейшие свойства определен- ных интегралов.
114 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-1. Таблица 4.6-1 Свойства интегралов (а) Элементарные свойства. Если интегралы существуют, то b а . 6 с Ь J f (х) dx = — J f (x) dx »), J f (x) dx = J f (x) dx + J f (jc) dx, a b a a c b b b b b J [u (x) + v (x)] dx = J u (x) dx + J v (*) dx, J a и (x) dx == a J и (x) dx. a a a a a . (b) Интегрирование по частям. Если функции цируемы на интервале а х <6, то и (х) и V (х) непрерывно дифферен- или Ь b Ь J и (х) v' (х) dx = и (х) v W \ — J ° (*) «' W dx а а а b и b J и dv = uv | —J vdu. а а а (с) -X Замена переменного (интегрирование подстановкой). Если функция х = х(и) непрерывно дифференцируема на интервале с :£ и р, а функция f (х) непрерывна на интервале т х М, где т — точная нижняя, а М — точная верхняя граница функции х (и) на интервале а и < 0, то х (₽) ₽ J f (х) dx = J f lx («)] ~~ du. x (a) a (4) -К Дифференцирование по параметру. Если функция f (х, А) и ее частная производ- ная f (х, А) непрерывны на множестве a < я < Ь, Ао < А, < М, а функции и (А) и v (А) дифференцируемы на интервале А» < А < Aj и -удовлетворяют на нем условиям а < и (К) < b, а < v (А) < Ь, то при Ао < 7. А* b b . dK V {Х‘ dx==\dKf(x‘ а а и (К) v (X) 5 f(x,‘E)dx= j (х, A) dx+f(v().), },)~-f(u(k), A)^ и (X) и (X) (правило Лейбница}. Первая формула остается в силе и для несобственных интегралов, если предполо; b & д жить, что интеграл J f (х, X) dx сходится, а интеграл J f (х, К) dx равномерно схо- а а дится на интервале Хо X (При втом функция f (х, X) и ее производная f (х, X) предполагаются непрерывными лишь на множестве a^x<,bt Хо X Xj или на множестве a<Zx b. Хо X Xi.) Это равенство следует рассматривать как определение интеграла J f (х) dx а а при b а. Из него также вытекает» что J [ (х} dx = 0. а
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ. 115 4.6-2. Т а б л,н ц а 4.6-1 (продолжение) Второй случай часто можно свести к первому подходящей заменой переменных. Отметим также, что X К 4Л f (х. дх = г—1— ah> j h, — a [f (x, Х) + (Ь-«)^ +(х-й) ^dx. a a (e) Неравенства (см. также n. 4.6-19). Если интегралы существуют, то (при a<b) из f (X) на [a. следует b b J f (x) dx < J g (x) dx. a а Если 1 f (x) | < M на ограниченном интервале [a, 6], mo us существования инте- b b грала J f (x) dx вытекает и существование интеграла J | f (х) [ dx W a а * 1b ь J f (X) dx < f I f (х) [ dx < М (b — а). 1 a а b Если функция у = f (x) на интервале [а,. Ь] неотрицательна, то интеграл J f (X) dx а выражает площадь, ограниченную кривой p~t (х), осью абсцисс и двумя прямымих= а н х=^Ь. Если f (х) < 0, то интеграл выражает эту площадь, взятую со знаком минус. (Ь) Функция f (х), ограниченная на ограниченном замкнутом интервале [а, 6], интег- рируема на нем в смысле Римана в том и только в том случае, если она непрерывна почти всюду на [а, 6J (п. 4.6-14, Ь). Это, в частности, верно: 1) если функция f (х) непре- рывна на [а, Ь]; 2) если функция f (х) ограничена на [а, 6] и имеет на [а, 6] конечное или счетное множество точек разрыва; 3) если функция f (х) монотонна на [а. Ь]; 4) если f (х) есть функция ограниченной вариации на (а, Ь] (см. также п. 4.4-6). Если функция f (х) интегрируема на [а, Ь], то она интегрируема и на каждом интервале, содержащемся в [а, Ь]. 4.6-2. Несобственные интегралы (а) Если функция / (х) ограничена и интегрируема на каждом ограни- ченном интервале, содержащемся в (а, 6), то понятие определенного интег- 6 рала J/(x)dx (п. 4.6-1) можно расширить так, что оно станет применимым а и когда 1. Функция /(х) не ограничена в любой окрестности одного из пределов интегрирования а или Ъ (см. также п. 4.6-2, Ъ). 2. Интервал (а, 6) не ограничен Так, если функция / (х) ограничена и интегрируема на каждом интервале [а, X], где а<Х <_Ь, то по определению полагают ь х J / (х) dx = lim J f (x) dx a X-*b—0 a и. в частности, при b = co конечном (4.6-2в) J f[x)dx — а X lim ( f (x) dx. (4.6-2i) Точно так же b ( f (x) dx ~ lim J f (x) dx, а Л-нгфО % ь Ь Ь ( t М dx — lim ( f (х) dx. (4.6-2c) -<x> X-*-eoi
116 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-2. Каждый несобственный интеграл, определенный таким образом, сущест- вует или сходится, если существует предел в правой части равенства. Несоб- ственный интеграл от функции / (х) сходится абсолютно, если сходится соот- ветствующий несобственный интеграл от 11 / (х) |- Из абсолютной сходимости следует сходимость (см. также пп. 4.6-15, е и 4.9-3). Несобственный интеграл, • который сходится, но не абсолютно, называется условно сходящимся. (b) -X Правила интегрирования из табл. 4.6-1 применимы к должным, обра- зом сходящимся несобственным интегралам. Если функция / (х) определена в ограниченном или неограниченном интервале (а, Ь) или [с, 6], за исклю- чением, быть может, конечного числа точек о < с2 < ... < сп sc fc, не огра- ничена в любой окрестности щ каждой точки x = cI(i=l, 2, ...,п), а вне объединения окрестностей ult и2,..., ип ограничена, то несобственный интег- ь рал J / (х) dx можно определить как сумму несобственных интегралов вида (2). а Например, если сг = а и с2 = 6 н пределы в правой части равенства существуют, то “ ь d • Хг \f(x)dx = lim ( /(x)dx-f- lim ( f (x) dx, (4.6-3) J x^a+o x2->b-o где ,d — произвольная точка интервала (о, b). Если а — — со и 6 = -]- со, то со d Xi ( t(x)dx= lim f f(x)dx-f- lim ( f (x) dx. (4.6-4) —ОЭ A, -»—X2-»4-oo Если f (x) не ограничена в окрестности точки с, лежащей внутри интер- вала (а, Ь), то Ъ X, Ь \f(x)dx — lim Jf(x)dx-|- lim j/(x)dx (a<c<b). (4.6-5) a X\-*c-—0 a X 2 —> c-J-0 X 2 Б случае, если интегралы (4) и (5) не'существуют, могут все же существовать соот- ветствующие главные значения интеграла по Коши X р —б Ъ 1 lim J f М dx и lim I J f (x) dx + J f (X) dx I; (4.6-6j X-»+oo —X 6 — + 0L a c-f-6 J если какой-либо из интегралов (4) и (5) существует, ои необходимо равен своему глав- ному аиачению. b (с) Несобственный интеграл j f (х, у) dx равномерно сходится на множе- а стве S значений у, если соответствующий определенный интеграл сходится 1 ь к своему пределу (пп. 4.6-2, а и Ь) равномерно на S (п. 4.4-4). Если J / (х, y)dx а при каждом у из интервала уй<у<у\ есть интеграл вида (2а) и если функ- ция f (х, у) непрерывна на множестве а^х<Ь, у0<у <ylt а интеграл Ь ' ' ь j / (х> У) dx равномерно сходится в интервале Уь<у <У1, то (х, у) dx есть а а непрерывная функция от у в атом интервале (теорема о непрерыв- ности). Аналогичные теоремы верны и для интегралов вида (26) и (2с). . (d) Признаки сходимости и равномерной сходимости перечислены в пл.4.9-3 и 4.9-4.
4.6-6. 4.6 ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 117 1.6-3. Среднее значение. Среднее значение функции f (х) на интервалах [а £]• 10.+°°) и (—оэ.Ч-оэ) по определению соответственно равно 6 х х f (х) dx, х f (х) dx и х Д™ j f (х) dx, (4.6-7) а ' о — х если эти величины существуют. 4.6-4. Неопределенные интегралы. Функция f (х) имеет в интервале [а, 6] неопределенный интеграл J f (х) dx, если существует такая функция F (х), что F' (x)=f (х) на [«, 6J. В этом случае функция F (х) однозначно определена в [а, Ь] с точностью до произвольной аддитивной постоянной С (постоянной интегрирования); любая такая функция F (х) называется первообразной (при- митивной) функции f (х) на [а, 6]. Полагают ^f(x)dx = F (х) + С (а^х^Ь). (4.6-8) Заметим, что разность F (х) — F (a) — F (х) при а^х^Ь определена одноз- начно. ' Отметим также, что J [а и (х) + 6 о (х)] dx = a J и (х) dx + 0 Jо (х) dx, (4.6-9) J и (х) V' (х) dx ~ и (х) v (х) — J (х) v (х) dx, (4.6-10) если эти неопределенные интегралы существуют (см. также табл. 4.5-2 и 4.6-1). 4.6-5. Основная теорема интегрального исчисления. Если f (х)—функция, ограниченная и интегрируемая на интервале [а, 6]. и если существует перво- образная F (х) функции f (х) на [а, Ь], то х а а —F(x)-—F(a) (а^х^Ь). (4.6-11) В частности, это верно, если функция f ,(x) непрерывна на [а, 6]. При этом х Ъ (х) (а х < Ь). (4.6-12) а I Более общее утверждение: если функция f (х) ограничена и интегрируема на [о, &], х ' то интеграл J f © d% является функцией ограниченной вариации на [а, 6], и для почти а всех х из. [а, Ь] (п.4.6-14, Ь) имеет место равенство (12). Замечание. Основная теорема интегрального нсчислеиня дает возможность вычис- лять определенные интегралы, обращая процесс дифференцирования. 4.6- 6. Методы интегрирования. (а) Интегрирование есть операция отыскания (определенного или. неопре- деленного) интеграла от данной подынтегральной функции f (х). Определенные интегралы можно вычислять непосредственно как пределы интегральных сумм (численное интегрирование, пп.20.6-2 и 20.6-3) или путем вычисления выче- -!Гов (п.7.7-3). Чаще пытаются найти неопределенный интеграл и затем поль- зуются формулой (11). Чтобы найти неопределенный интеграл, данную подын- тегральную функцию f (х) нужно с помощью «правил интегрирования», пере- численных в табл. 4.6-1, а, Ъ, с, представить в виде суммы известных произ- водных. В дальнейшем перечисляются методы интегрирования, применимые к неко- торым специальным типам подынтегральных функций. Существуют разной
118 гл. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4-«-в. степени полноты таблицы определенных и неопределенных интегралов (см., на- пример, [4.6]). (Ь) Интегрирование многочленов: j (an+an-ix+an_sx2+...+a0xn) dx = =ал*+4-°л-1лг*+-Г£г«-8х8+—+йТТО!ох"+1тЬ0- (4-6-13) (с) Интегрирование рациональных функций. Методы, опи- санные в пп.1.7-2 и 1.7-4, сводят интегрирование каждой рациональной функ- ции к интегрированию суммы многочлена (п.4.6-6, Ь) и некоторого числа эле- ментарных дробей (1.7-5) и/или (1.7-6). Элементарные дроби последовательно интегрируются с помощью следующих формул: 1п |х—хг Ц-С (т=1); arctg—^+с1 _______dx________ [(х—a)24-io2]m + 1 — ________________х — а______2m — 1 Р______dx______. “ 2mio2 [(X— a)2 + ai2]m'1' 2mm2 J [(x — a)2 4- tti2]m’ ______x dx ______ [(x—a)2 +io2]m+1~ а (x — a) — <o2_. (2m — I) a Г__dx______ ~~ 2ma>2 [(x — a)2 + o>2]m 2тш2 ' [(x — a)2 + M2]m‘ (4.6-14) (d) Функции, интегрирование которых с помощью замены переменных сводится к интегрированию рацио- нальных функций. 1. Если подынтегральная функция f (х) 'есть рациональная функция от sin я и cosx, то полагают tz=tg~, так что 2« 1 —, 2 dti .. г, , slnx=T+^’ COSX=T+^’ = <4-6’15) 2. Если подынтегральная функция f (х) есть рациональная функция от sh я и chx» то полагают u = th-^-, так что sh*=T=-^. chx=r£77> <Ь=Г=«г- (4.6-16) Замечание. Если f (х) — рациональная функция от sin2 х, cos2 х, sin х cosx и tg х (или от соответствующих гиперболических функций), то вычисления упростятся, если сделать замену и = tg х (или и — th х). 3. Если подынтегральная функция f (х) есть рациональная функция От я и либо от ]/1 —х2, либо от ]/х2— 1, либо от J^x2+1, то задача сведется к случаю 1 или 2, если соответственно сделать подстановку x==cos», или x=cho,. или x=sho. 4. Если подынтегральная функция f (х) есть рациональная функция От я и либо от у X2 +1, либо от Ух2—1, то можно положить соответственно «==х-[-]/ х2 + 1; тогда V^TT=|(«±4)‘ dx^(l±^du. (4.6-17)
4.6-8. 4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 119 (4.6-18) применяют многочисленные другие xncosx (п^Е—1); е°х sin" х, еах cos" х по частям (табл. 4.6-1, Ь), применяя 5. Если подынтегральная функция f(x) есть рациональная функция от х и от |Aax2+6x+c, то задача сведется к случаю 3 (или 4), если сделать под- СТаН0ВКУ. 2^ + Ь v - b v — х—-----!___________- V | 4ас — Ь* | ’ 2а 6. Если подынтегральная функция f (х) есть рациональная функция от х и от и = у пРичем 0, то в качестве новой переменной берут и. 7. Если подынтегральная функция f (х) есть рациональная функция от х, f/ax-j-b и ]fcx-t-d, где а=£0, то в качестве новой переменной берут н== = }fax-f-b. В различных специальных случаях подстановки. (е) Интегралы от функций вида хпеах, хп 1п х, хп sin х, sin" х cos'" х (п-}-т^Е0), вычисляют с помощью интегрирования его,, если нужно, несколько раз. (f) Многие интегралы нельзя выразить в виде конечных сумм, содержащих только алгебраические, показательные и тригонометрические функции н функции, им обратные. В этом случае подынтегральную функцию можно разложить в бесконечный ряд (пп. 4.10-4, 4.11-4 15.2-6) или же прибегнуть к численному интегрированию. В гл. 21 можно найти х b примеры «новых» функций от лг, определяемых как интегралы вида f (£) илн J f (х, Т]) di). а а 4.6- 7. Эллиптические интегралы. Если f (х)— рациональная функция от х ь в от Vra0x4-|-«iX3-|-a2x2-|-c8x-|-c4, то ^f(x)dx называется эллиптическим ин- а тегралом; можно исключить тривиальный случай, когда уравнение аох*+а^3+а2х2+адх -|- а4=0 имеет кратные корни. Каждый эллиптический интеграл можно выразить через элементарные функции и нормальные эллиптические интегралы (п. 21.6-5); Значения последних приведены в таблицах. 4.6- 8. Кратные интегралы (см. также пп. 4.6-11, 4.6-12 и 4.6-13). (а) Пусть функция f (х, у) кусочно-непрерывна (п. 4.4-7) в ограниченной замкнутой области D, определяемой как условиями asSJc^b, gi(x) s^y^g2(x), так и условиями а ==£ </===₽, Ь (</) <хг£ Y2((/), где ft(x), g2(x), ух(г/), b(z/) — кусочно-непрерывные функции в указанных интервалах. Тогда § Vito) Р ГТг(*/> Т b g2(x) \dy V f(x, z/)dxEs\ j Д f(x,y)dx\dy = \dx \ f(x,y)dy — ° Vito) alvito) J a £,(x) = ЭД/(х, y)dxdy. (4.6-19) D Аналогичные теоремы справедливы для тройных, четырехкратных и т. д. интегралов. f Пример. Если D — область, ограниченная окружностью х2 + у3 = 1г и функция I и. у) == с постоянна, то 1 V\ — x2 1 ________ J J f (х, у) dx dy = 4 J dx J c dy — 4c J Vl — x‘ dx = nc, £> 0 4) 0
120 гл. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-9. (Ъ) Если функция f (л, у) непрерывна на множестве а х < + оо, а =<уи интег- + 00 рал J f (х, у) dx равномерно сходится на интервале a =S у :£ ₽, то а + со 4*°° dy 1 (х, у) dx — J dx а а . а а Аналогичные теоремы верны для несобственных интегралов других типов. f (х, у) dy. (4.6-20) 4.6-9. * Длина дуги спрямляемой кривой (см. также пп. 6.2-3, 6.4-3 и 17.2-1). Пусть С—дуга непрерывной кривой, лежащая в конечной части плоскости или пространства. Длиной s (С) этой дуги называется предел длины ломаной, вписанной в ату дугу, при условии, что длина наибольшего звена этой ломаной- стремится к нулю. Если указанный предел существует, to дуга называется спрямляемой. Для регулярной кривой на евклидовой плоскости или в евклидовом про- странстве, описываемой в прямоугольных декартовых координатах уравнениями или x=x(t), У=У(О на плоскости 1 м 6 211 x=x(t), y=y (t), z=z(t) в пространстве f ' ‘ ’ (п. 3.1-13), длина бесконечно малой дуги, соответствующей промежутку [Z,Z+di], есть элемент дуги = /1 + О2dx^y(f )2+ g)2dt^ di ds=J _________________на плоскости, I Vdx^+dy^+dz^ /(f/ + (f )4 dt^dt в пространстве. Знак корня выбирается обычно так, чтобы производная s'(t) была >0. Длина дуги s (С) кривой, соответствующей конечному интервалу [/0> /], равна t s=s(C) = ^ ds = ^~dt = s(t). . (4.6-23) С 4 Длина дуги s (С), есть геометрический объект, не зависящий от системы коор- динат и от выбранного для описания кривой параметра t. В пп. 6.2-3 и 6.4-3 приведены формулы, выражающие ds (а значит, и s' (Z)) в криволинейных координатах. Длина дуги s (С) существует, если функции (21) являются на [Г», /] функциями огра- ниченной вариации-, в этом случае элемент ds определен почти всюду (п. 4.6-14, Ь) на С. Даждая^регулярная кривая спрямляема. 4.6- 10. Криволинейные интегралы (см. также пп. 5.4-5, 6.2-3 и 6.4-3, где введены векторные обозначения и используются криволинейные координаты). Для данной спрямляемой дуги С, описываемой при a^t^b уравнениями (21), криволинейный интеграл J/(x, у, г) ds от ограниченной функции f (х, у, г) по с определению равен т f f (х, у, г) ds= lim У f [х (т,-), у (т,-), г (т,)] As,-, q max &s. -♦ 0 где Asf = /[% (ti) —X (ti _ OF + [y (ti) - у (ti _ OF+1* (Z,-) - z (Z;_ OF (a = Zc-c;Z1<Z2<...<Zm = fc; i==l, 2, tn), (4.6-24a)
4.6.’ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 121 4.6-U если предел существует (см. также п. 4.6-1). Криволинейный интеграл (24а) можно вычислить (или непосредственно определить) как интеграл по t: ь р(х, у, z)ds = ^f{x(t), y(t), z(t)\~dt, (4.6-246) С а где элемент дуги ds находится из (22). Опуская в (24) члены, относящиеся к г получаем криволинейный интеграл для кривой, расположенной на плоскости Оху. Несобственные криволинейные интегралы определяются по спо- собу п. 4.6-2. 4.6- 11. Площади и объемы (см. также пп. 5.4-6, 5.4-7, 6.2-3, 6.4-3 и 17.3-3, где введены векторные обозначения и используются криволинейные координаты). (а) Пусть S — ограниченная замкнутая область на евклидовой плоскости. Если точная верхняя граница множества площадей всех многоугольников, содержащихся в S, и точная нижняя граница множества площадей всех многоугольников, содержащих S, равны, то область S называется квадрируемой (измеримой по Жордану), а общее значение этих границ называется площадью Л области S. В частности, область S ограниченная простой замкнутой регуляр- ной кривой, квадрируема. Объем U ограниченной замкнутой области V в трех- мерном евклидовом пространстве определяется аналогично. Площадь А ограниченной регулярной поверхности S (п. 3.1-14) опреде- ляется следующим образом,- Разобьем S на конечное число частей; в каждой части выберем по произвольной точке и ортогонально спроектируем эту часть иа касательную плоскость к поверхности в выбранной точйе (п,- 17.3-2). Площадь поверхности А есть предел (если он существует) суммы площадей полученных таким образом проекций, когда диаметр наибольшей из рассмат- риваемых частей стремится к нулю. X Диаметром .множества Е в метрическом пространстве С (п. 12.5-2), в’ частности, в евклидовом пространстве, называется точная верхняя граница расстояний между любыми двумя точками множества Е. х (Ь) Площади и объемы можно вычислять (или даже непосредственно определять) как двойные или тройные интегралы в соответствующих коорди- натах: А = ( dA = (( dx dy в евклидовой плоскости, (4.6-25) S S t/== dxdydz в евклидовом пространстве. (4.6-26) V V Площади и объемы не зависят от выбора системы координат. В криволинейных коор- динатах х1, х2, Xs (п. 6.2-1) >) Г/ = G V -й (*' у< Z) dx’ dx’ dx’ (4.6-27) J JJJ v (x\ X2, Xя) V V (см. также пп. 4.6-13, 6.2-3 и 6.4-3). В криволинейных координатах и, и на плоскости или поверхности (п. 3.1-14) Д = JdA «= JJVa (и v) du dv, (4.6-28) t S S где a {и, v)—функция, определяемая в п. 17.3-3, с. (с) Простые частные случаи. Площадь плоской области, ограниченной прямыми х = а и х = Ь, где а < Ь, и двумя кривыми у = (х) и у = g2 (х), причем b (х) до при а х равна j [g2 (х) — gi (х)] dx (Л > 0). Площадь плоской ___• __________ а 4) Здесь 1, 2, 3 — не показатели степени, а индексы.
122 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.8-12. области, ограниченной простой замкнутой кривой С, описываемой уравнениями х = == х (/). У = У V) или уравнением г = г (ч?) (п. 2.1-8), где функции удовлетворяют долж- иым условиям, равна 4 = 4" Ф С* ~ у Л или А =-|Л г? (ЧР) dq>, (4.6-29) С с где символ ф указывает, что интегрирование производится по замкнутой кривой: А >0, если обход кривой С совершается против часовой стрелки. Площадь поверхности А, образованной вращением кривой у — f (X) 5= 0 (а х Ь) вокруг цси Ох, р объем U, ограниченный этой поверхностью, равны А = 2л J f (х) ]/ 1 + dx. U = л J [f (х)]« dx. (4.6-30) а ' 7 а 4.6-12. Интегралы по поверхности и по объему (см. также пп. 5.4-6,- 5,4-7, 6.2-3 и 6.4-3, где введены векторные обозначения и рассматриваются криволинейные координаты). Интегралы по поверхности и интегралы по объему можно определить как пределы сумм по способу пп. 4.6-1 и 4.6-10. Их можно также ввести непосредственно как двойные и тройные интегралы в помощью элементов площади и объема, определенных в п. 4.6-11 Интеграл по поверхности от кусочно-непрерывной функции f (и, о) по удовлетворяющей должным условиям поверхности S с криволинейными коор- динатами и, v равен (/(u, 0dA=jj/(u, и) )'Га (и, v)dudv. (4.6-31) Сюда в качестве частных случаев входят и интегралы по плоским областям (где, в частности, возможен и случай и—х, v—y, )'а(и, 0 = 1). . Интеграл По объему от кусочно-непрерывной функции f (х, у, г)=/[х(х1, х2, х3), у(хг, х2, х3), г (х1, х2, х3)] по ограниченной области V равен j f (х, у, г) dV = j f (x, у, г) dx dy dz — V v X*, x?), y(x\ X2, X3), z(xi, X2, х*)]-£$-^<Ы dx* dx*. (4.6-32) Несобственные интегралы по поверхности или по объему (неограниченные функции или области) определяются по способу п. 4.6-2. Формулы, связывающие интегралы по поверхности и интегралы по объему,, рассматриваются в пп. 5.6-1 и 5.6-2. Отметим частные случаи этих формул, связывающие криволинейные интегралы и интегралы по плоской области (С—граница области S; обход С совершается против часовой стрелки): где $ dA=§р (х> у} dx+Q-{Х' у} dy 8 с (формула Грина), (uV2o—oV2u) dAf и — v ds 8 с (двумерная 2-я формула Грина), (4.6-33) по / х , d2v dv , dv , dv . ™ y>.= fri+diP = dy~d~y dx'
'4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 123 1.6-14. 4.6-13. Замена переменных в интегралах по объему и по поверхности. Если" с помощью непрерывно дифференцируемого преобразования координат = (X1, X2, Xs), х2 — х2(Х1, X2, X3), х^—х3(Х1, X2, X3), Г д (х1, хг, Xs) 1 двести новые координаты X1, X2, X3 (см. также п. 6.2-1), то интеграл по объему (32) .можно переписать в новых координатах: С j (х, у, г) dV = <р (х1, х2, х3) dx1dx2dx3= v v = ЭД$ф(х1(Х\ X2, X3), х2 (Х\ X2, X3), х3 (X1, X2, х3)) ? дХгдХ2дх3. (4.6-34) Интегралы по поверхности преобразуются аналогично (см. также П. 17.3-3).. 4.6-14. Мера Лебега. Измеримые функции. (а) Мера точечного множества. Внешняя мера Лебега те (S) произвольного ограниченного точечного множества S на прямой есть точная нижняя граница (п. 4.3-3) суммы длин конечного или счетного множества интервалов, покрывающих S. Внутренняя мера Лебега m, [S] множества S есть разность между длиной b—а любого ограниченного интервала [a, fe], содержащего S, н внешней мерой дополнения множества S до [а, Ь] (п. 4.3-2, а). S есть измеримое множество с мерой Лебега т [S], если [S]=r/i;[S] = m[S] (конструктивное определение меры Лебега). Неограниченное множество S на прямой измеримо, если для всех X >• 0 измеримо пересечение (— X, X) f] S. При этих предположениях по определению полагают m[S]= lim /п [(—X, X) fl SJ; X—+ оо мера т [SJ может быть как конечной, так и бесконечной. Рассматривают и более общее определение: мера М [S], определенная на подходящем классе (вполне аддитивной булевой алгебре, п. 12.8-4) точечных множеств S, есть функ- ция множества со свойствами М [S] >о. М [ф] = 0. (4.6-35) и для каждого конечного илн счетного множества попарно непересекающихся точечных множеств Slt S£, ... М [StUS,U...] = Ar [StH-Af [S2] + ... (4.6-36) Мера Лебега m[S] точечного множества на прямой обладает дополнительным свойством т[(а, b)] = b — a (4.6-37) Для каждого ограниченного интервала (а, 6); таким образом, мера Лебега является обобщением длины интервала (аксиоматическое определение меры Лебега-, см. также пп- 12.1-1, 12.8-4 и 18.2-2). Мера Лебега точечных множеств в пространствах двух, трех, ... измерений опреде- ляется (либо конструктивно, либо аксиоматически) с помощью аналогичных обобщений площади н объема. • (Ь) Каждое ограниченное открытое множество (п. 4.3-6, а) измеримо. Можно высказать более общие утверждения. Борелевское множество на прямой есть множество, полученное посредством конечной или счетной последователь- ности объединений, пересечений и/или взятия дополнений интервалов и полу- чающихся в результате комбинаций. Класс борелевских множеств есть вполне аддитивная булева алгебра измеримых множеств. Каждое измеримое множество ёспц> объединение некоторого борелевского множества и множества лебеговой
124 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-15. меры нуль. Каждое конечное или счетное множество измеримо и имеет лебегову меру нуль. Аналогичные теоремы справедливы и в многомерном случае. Если какое-либо свойство выполняется для каждой точки данного интер- вала, области или множества, исключая, быть может, лишь множество лебе- говой меры нуль, то говорят, что это свойство выполняется на данном интервале, области или множестве почти всюду (или почти во всех точках этого интервала и т. д.). (с) И з м е р и мы е функции. Функция f (х), определенная на интервале [a, fe] !)> измерима на [я, fe], если для каждого действительного числа с мно- жество точек х интервала [a, fe], в которых /(х)^с, измеримо. В этом определении .условие f (х) можно заменить любым из условий f (х)<с, f (X) > С, f (X) > с. Функция, непрерывная на [а, Ь], измерима на [а, Ь]. Если на [а, £»] измеримы функ- ции ft(x), то на [а, 6] измеримы и функции fr(x) +.f2(x), ah(x), ft(x)fs(x)t а также и lim f (x), если этот предел на [а, Ь] существует (и даже если этот пре- п-+оэ ' дел существует на [а, Ь] лишь почти всюду). Аналогичные определения и теоремы справедливы и для измеримых функций f (Хр х2.х„), определенных иа пространстве точек (Xj, х2,..., допускающем опре- деление меры Лебега. 4.6-15. Интеграл Лебега (см. также пп. 4.6-1 и 4.6-2). (а) Интеграл Лебега от ограниченной функции. Пусть действительная функция y—f(x) измерима и ограничена на ограниченном интервале |а, Ь] и А и В — соответственно ее нижняя н верхняя точные гра- ницы. Разобьем интервал [А, В], содержащий множество значений функции / (х) на [а, 6], на п частей: A=y0<yi<ysC...<yn=B, (4.6-38) и обозначим через S[ множество точек х интервала [а, Ь], в которых у;_г < <f(x)Cyt- Составим две суммы (интегральные суммы Лебега)-. п п •S У1-1-и 2 1=1 1=1 Обе интегральные суммы стремятся к одному и тому же пределу, не зави- сящему от выбора значений у;, если только наибольшая из разностей yi—yi_t стремится к нулю. Число п Ъ I = Um У yi т [S;] = t f (х) dx (4.6-39) есть определенный интеграл от функции f (х) по интервалу [а, Ь] в смысле Лебега (интеграл Лебега). Это определение означает, что, каково бы ни было положительное число е, можно указать такое число 6>0, что при любом 'разбиении интервала [A, BJ иа части такие, что max (у;—f/i-i)<6> будут справедливы неравенства п I— 2 У1-1т 1=1 п I— S 1 = 1 Св и <А а значит, и неравенство п I— S ’ll "»[SJ 1 = 1 <е, *) Функция I (х) может быть определена на [а, Ь) не всюду, а лишь почти всюду.
4.6-16. 4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 125 где у,-л У* (интеграл Лебега можно определить и как предел суммы 2 ni'HSil »=1 (Ь) Интеграл Лебега от неограниченной функции. Если функция f (х) измерима и не ограничена на ограниченном интервале [о,. то интеграл Лебега определяется как ь ь ь \f(x}dx= lim Sf. {х) dx+ lim \fR(x)dx, J д-^ + oqJ a » где W — 0, если f (х) 0, f(x), если’ 0</(х)^Д, (z) ~ А, если /:(х)>Д; 0, если /(х)^0, f (х), если 0 > f (х)^В, В, если f (х) < В. (4.6-40) Если интеграл j f (x) dx существует, то функция f (x) интегрируема по Лебегу (суммируема) на интервале [a,.bj. (с) Интеграл Лебега по неограниченным интервалам. х Если для всех X > а существует интеграл f f (х) dx, то интеграл Лебега f (х) dx определяется условием + оо X, Х2 ( f(x)dx= lim t fi(x)+ lim ( h M dx, a Xi-»-f-oo a As-*-}-00 a Интеграл — co ством (4) на стр. 116. f (x}( °’ если f (x)^0, 1 | f (x), если f (x) > 0, f ( )=f °’ ecJ]H/W^°- 2 | f (x), если f (x) < 0. b j f (x) dx определяется аналогично, а интеграл (4.6-41) -f- co j f(x)dx—равен- (d) Интеграл Лебега по точечному множеству. Кратные Интегралы Лебега. Интеграл Лебега J f (х) dx по произвольному измеримому S множеству точек S определяется без изменения так же, как и в пп. 4.6-15, а и Ь. Крат- ный интеграл Лебега по области или измеримому множеству точек х& х^ опре- деляется аналогично. (е) Существование и свойства интеграла Лебега. Срав- нение интеграла Лебе.га и интеграла Римана. Каждая
126 Г ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-16. ограниченная измеримая функция на любом ограниченном измеримом множестве суммируема. Функция, суммируемая на измеримом множестве S, суммируема и на каждом измеримом его подмножестве. Из определений пп. 4.6-15 а, Ь, с и d следует, что интеграл Лебега f (х) dx существует в том и только в том случае, если существует интеграл s Лебега J I f (х) | dx. Если любой собственный или несобственный, простой или кратный интеграл Римана существует в смысле абсолютной сходимости (п. 4.6-2, а)!), то соответствующий интеграл Лебега существует и равен интегралу Римана. Теоремы из табл. 4.6-1 и пп. 4.6-5 и 4.7-1, с, d справедливы и для инте- грала Лебега. Для каждого конечного или счетного множества попарно непер ссекающихся изме- римых множеств Si, Sz, — J f (x) dx = f f (x) dx + f f (x) dx + ..., (4.6-42) SiUSsU ... Sr Sj если интегралы существуют. Интеграл Лебега по любому множеству (лебеговой) меры нуль равен нулю. Замечание. Лебегов ское интегрирование применимо к более общему классу функций, чем римановское интегрирование, и упрощает формулировки многих теорем. Многие теоремы, высказанные в терминах интеграла Лебега, непосредственно применимы к абсолютно сходящимся несобственным интегралам Римана (см. также пп. 4.6-16 и 4.8-4, Ь). 4.6- 16. Теоремы о сходимости (теоремы о непрерывности; см. также п. 12.5-1). (а) Если последовательность функций s0 (х), st (х), s2 (х). каждая из которых ограничена и интеерируема в смысле Римана на ограниченном интервале [а, Ь], равно- b мерно сходится на [а, Ь] к функции s (х)> то предел lim fsn (х) dx существует и равен Ъ интегралу J s (х) dx. а (Ь) Следующая более общая теорема формулируется специально для интеграла Лебе- га: пусть s0 (х), st (л), s2 (х), <... и неотрицательная функция сравнения А (х) суммуруемы на измеримом множестве S, и. пусть | sn (х) [ (х) при всех п и при почти всех х (z S (п. 4.6-14, Ь). Тогда из того, что lim sn (х) =s (х) для почти всех х £ S, следует, что п -* со предел lim J sn (х) dx существует и равен J s (х) dx (теорема сходимости Лебега’, см, n —со 5 s также п. 4.8-4, Ь). 4.6-17. Интеграл Стилтьеса. (а) Интеграл Римана — Стилтьеса/ Интеграл Римана—Стилтьеса от функции f (х) с интегрирующей функцией g (х) по ограниченному интервалу [а, 6] по определению есть Ь т f f (х) dg (х) = lim 2 f (£i) [£ (*«)—S (4.6-43) a max(xz-xz_j)-.Oz=1 где G = Xq Xf <C Xg ... Xffis= b i) Отметим, что функция f (x) fx2sin-i^ = 2x sin —~----— cos -1 dx\ x2) хг x хг не суммируема на интервале (0, 1), несмотря на то, что несобственный интеграл Римана 1 * f f (х) dx = Пт f f (х) dx = sln 1 О + существует.
4.6-П. '4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 127 и (°б определении предела см. п. 4.6-1). Если g (х)—функция ограниченной вариации (п. 4.4-8, b), 'a f (х)— непрерывная функция на [а, 6], то предел (43) существует. Несобственные интегралы Римана — Стилтьеса определяются, как и в п. 4.6-2. (Ь) Интеграл Лебег а—С тилтьеса. Каждая функция g (х), неубывающая и непрерывная справа (п. 4.4-7, Ь) на ограниченном интервале [а, Ь], с помощью соотно- шений (35), (36) и М [а < х < Р] =£ (₽) — g (а) (а < а < р < Ь), (4.6.44) где в квадратных скобках указано множество значений х, определяет меру (меру Лебега— Стилтьеса) Л1 [S] каждого борелевского множества (п. 4.6-14, Ь) на интервале [а, Ь]. Отметим, что М [а < х < р] == Ё (Р) - g (а - 0), 'М [а < х < р] = g (Р - 0) - £ (а), | до [а < х < Pl = g (Р — 0) — g (а — 0), М [х = а] = g (а) — g (а — 0) (а < а < р < b). J (4.6-45) Отправляясь от меры Лебега—Стилтьеса ограниченных интервалов по способу п. 4.6-14, а, вводят меру М [5] Лебега—Стилтьеса произвольного измеримого множества как общее значение внутренней и внешней меры. Если задана функция у = f (х), ограниченная и измеримая иа интервале [а, Ь], то интеграл Лебега—Стилтьеса по [а, Ь] от функции f (х) с интегрирующей функцией g (х) по определению есть Ъ т J f (х) dg (X) => lim . X f5/] - (4.6-46) a m ах (у} Vi — 1) -* О i = 1 для произвольного разбиения (38) интервала, содержащего множество значений функции f (х); Si и здесь есть множество значений х, в которых ___i < f (х) (об определе- нии предела см. п. 4.6-15, а). Интеграл Лебега—Стилтьеса от ограниченной или неограниченной функции f (х) ио любому измеримому множеству можно теперь определить по способу пп. 4,’6-15, Ь, с и d, предполагая, что функция £ (х) ограничена на каждом рассматриваемом ограниченном множестве. В многомерном случае функция g (х) заменяется функцией, неубывающей по каждому аргументу. Можно, далее, применяя равенство (48) к сумме двух монотонных b функций (п. 4.4-8, Ь), определить интеграл Лебега—Стилтьеса J f (х) dg (х) с любой интег- а рирующей функцией £ (х) ограниченной вариации. Если интеграл Римана — Стилтьеса существует в смысле абсолютной сходимости, то соответствующий интеграл Лебега— Стилтьеса ему равен. (с) Свойства интеграла Стилтьеса (см. также табл. 4.6-1). Если (о, ^ — ограниченный или неограниченный интервал, для которого существуют рассматриваемые интегралы, то Ь а b с Ъ dg=— \f dg1), \f dg=\f dg+]f dg, (4.6-47) a b a a c b b b b b b (Л + /2) = J/1 /2 J / fei+£a) = + (4.6-48) a a a a a a \b b b & (af) dg= d (ag) = a^f dgt (4.6-49) (a a a b h b J f dg—fg\a — ^gdf. (4.6-50) a a *) Gm. сноску на стр. 114.
128 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-Iff. Если g\x) —неубывающая функция на (а, Ь), то ь ь jlfldg (a=gf>). (4.6-51) , а а Если g(x)—неубывающая функция и f(x)^F(x) на (а, Ь), то ь ь tydg^Fdg (as£b). , (4.6-52) а а . Интегралы Стилтьеса часто имеют «наглядный» смысл (криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, по объему; интегралы по распределе- нию массы, заряда и вероятности, п. 18.3-6). Заметим, что интеграл Стилть- еса в качестве частных случаев включает в себя обычные интегралы и суммы-. ь ь j t (*) dg Р) = J / (х) g' (*) dx, (4.6-53) а а если функция g(x) непрерывно дифференцируема на (a, b) и J f(x)d S U_(x-k) L (x)= { J’ (4’6'54) k — co it L < 1 > если x sSU j 4.6-18. Свертки. Свертка Стилтьеса двух функций f (*) и g (х) по интервалу (a, fc) есть по определению функция Ь Ь W (0 = f f (t - X) dg U) = f g tf - x) df (X) (4 6-55) a a для всех значений t, для которых эти два интеграла существуют и равны. Классическая свертка f (х) н g (х) по (а, Ь) подобным же образом определяется “как b b «Г (О = J f (t — х) g (x) dx = f g (t - x) f (x) dx. (4.6-56) a a В литературе и (55) и (56) часто просто называют сверткой функций f (х) и g (х)'по (а, 6) Ь и любую из этих функций (55) к (56) обозначают символом f ft g кли f % g; точный смысл а обычно очевиден из контекста (см. также пп. 4.11-5. 8.3-1, 8.3-3 и 18.5-7). Если имеют место равенства (55) и (56), то g*f = f*g. f*(g*A) = (f*g)*A = f*g*A. f*(S + ft)='f *fi+f (4.6-57) При a = — co и/или b = + oo, если интегралы существуют, то равенства (57) спра- ведливы. Свертка двух конечных или бесконечных последовательностей а (0), а (1), а (2), ... и 6 (0), Ь (1), Ь (2), ... есть последовательность а * b = S а V— b (/ « 0, 1, 2, (4.6-58) k 4.6- 10. Неравенства Минковского и Гельдера. (а) Если (а, Ь) — ограниченный или неограниченный интервал, для которого интег* ралы в правой части существуют, то Ь 11/р Г& ll/р р fl/p f I fl + f. lp dg Eg flfilPrfg + flfil,,‘M 14.6-59) -a J , La ( J La J (1 СЧ’ОО) ^.неравенство Минковского), \ b Г6 11/pP 1(P—D/P ] J fif. dg | -£ f | h |₽ <fg f | f. |P/<P - 4 dg a La J La J (1 < p <; + oo) (неравенство Гельдера). (4.6-60)
4.7-1- 4.7. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 129 Эти неравенства справедливы, в частности, для обычных интегралов Римана и Лебега и, более общо, для многомерных интегралов При р = —~- = 2 неравенство (60) превра- щается в неравенство Коши — Шварца (15.2-3) *). (Ь) Из неравенств (59) и (60) вытекают соответствующие неравенства для сумм и для сходящихся бесконечных рядов. Если суммы справа -существуют, то ' [2 I ч + bk |₽]1Л- [2 I afc |₽]1/Р+|2 I b* 1₽],/₽ (4.6-61 (1 р < + со» (.неравенство М анкозского). | 2 р [2 I ak |₽],/₽ [2 I |РАР - ” ]<₽ - ,)/₽ (4.6-62, (К р < оо) (неравенство Гельдераи При р =—-—j- = 2 неравенство (62) превращается в неравенство Коши— Буняковского (см. также п. 1. 3-2). 47. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ. ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА О ПРИБЛИЖЕНИЙ 1 - . 4.7- 1. Теоремы о среднем 1начении (см. также п. 4.10-4). Нижеследую- щие теоремы полезны для оценки значений и пределов действительных функ- ций, производных и интегралов. (а) Если функция f (х) непрерывна на [а, 6] и дифференцируема на (а, Ь). то в интервале (а, Ь) существует такое число X. что г (b)—I (a)—f'(X) (Ь— а)' (4.7-1) (теорема Лагранжа-, теорема о конечном приращении). Число X часто запи- сывают в виде Х=а-ЬВ (Ь—а) (0 <6 < 1). При f (a) =/ (b) эта теорема на- зывается теоремой ‘ Ролля (см. также (п. 1.6-6, е). Если функция t (*r , л-п) непрерывна при а-^х^^Ь- и дифференцируема при а.< х. <z.bj(l — I, 2, . , ч), то существует напор таких чисел А^, А2, .... Ап, что а; < А/ < t>t (1 = 1.2, . . а» и $ I ' Pf b9' • •• bn) - ' (“г аг.“ni^ZjdxA (bt~~ai) (4.7-2) = 1 Х& •••» Хп (Ь/ Если 1) функции и {х) и v (х') непрерывна на [аг 6], 2) и (b) v (а) и 3) производ- ны# и" [х) и о* (х} существуют в интервале (а, Ь} и одновременно не обращаются в нуль, то в интервале (а, Ь] существует такое число Kt что ' и(Ь) - и (а, _ и' (А) 3! о lb) — о (ai V (А) (теорема Коши). (с) Если функция f (х) непрерывна на (я, Ь\, то в интервале (а, Ь) сущест- вует такое число X, что о j f (х) dx—f (X) (b —a). (4.7-4) a (d) Если функции f (x) и g(x) непрерывны на {а, A] и g(z)>0 на [a, bj (или g(z)ig0 на [a, b|). то в интервале (a, b) существует такое число X, что . b (x)g (z) dx — f (X) jg(z) dx. (4.7-5) a a *) В отечественной литературе это неравенство называют неравенством Коша — 5у- ьяковского
130 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.7-2. Если функции f (х) и g (х) непрерывны на [а, 6] и функция g (х) в этом интервале не возрастает (или не убывает), то в интервале (а’, Ь) существует такое кисло X, что Ь X Ь \ f (х) g (х) dx = g (a) J f (x) dx + g (b) J f (x) dx. (4.7-6) a a X Если, кроме того, g <x) Э 0 на (а, Ь), то в интервале (а, Ь) существует такое число X, что X ' h g (а) f (х) 4х,'если g (х) не возрастает, (4.7-7) f (ж) dx, если g (х) не убывает. 4.7-2. Раскрытие неопределенностей (примеры см. в табл. 4.7-1). (а) Пусть функция f (х) вида и (х). о (х), [и (х)]'и 1X1 и (х) — V (х) в точке х=а не определена и принимает вид 2, 0-оо, 0°, ос®, Iю или оо—со. Это значит, что f (х} = —т-!, где lim u(x) = 0 и lim t»(x)=0 в первом v (х) х-^а х-*а ( случае; f (х) = где lim и (х) = со и lim v (х) — со — во втором;- о (хх. х-»а х —а f(x) = u(x) V (х), где lim u(x)=0 и lim t»(x)=co—в третьем, и т. д. Термин х-»а х-»а «раскрытие неопределенностей» означает, что отыскивается предел lim f (х). Если х—> а, этот предел существует, то часто по определению полагают f (д) — lim / (х). х а Таблица 4.7-1 Некоторые часто встречающиеся пределы (п. 4.7-2) lim (1 + -У* = е «= 2,71828, iim (1 4- x\Ux = в. Пт---------------1 = In с, - > 0, п-*оо\ «/ х-1-0 х-*0 х х , sin х tgx sbx .. th х , lim X — 1, lim ------------- — lim ——= lim -----------= lim -------= 1, x-»O-f- x-»0 x x-»0 x x—0 x x-»0 x .. sin их , , lim ------= a (— oo < <i)< + co), * x-»0 x lim x®lnx = lim x-oln x = lim xae~x = 0 (a>0). x-»O-f- x-»-|-oo х-»+оэ (b) Случаи 0/0 и co/co. Пусть lim n(x) = lim »(x)==0. Если сущест- x-^a x->a сует окрестность точки х=а, в которой при хуЕа'. 1) t'fxJ^O к 2) произ' водные и’ (х) и v' (х) существуют и v' (х) 0, то lim = lim (4.7-8) X-.avM x-.av(x> если предел в правой части равенства существует (правило Лопиталя). Пусть lim и (х)= lim с (х)= со. Если существует окрестность точки ч х-*а х-*а x = at е которой при производные и (х) и я' (х) существуют и я' (х)у^0.
4.8-1* 4.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ 131 то равенство (8) справедливо, если предел ie правой части этого равенства су- ществует (эта теорема также называется правилом. Лопиталя). Если само отношение представляет собой неопределенность, то ука- занный метод может быть в свою очередь применен и к , так что lim = lim = lim »; (4.7-9) X^avM x-*av<x> X-.av^> 1 7 ©тот процесс, если необходимо, может быть продолжен и дальше. (с) С л у ч а и 0 • со, 0°, со0, 1°° и со—со. Выражения и (х) о (х), [и (х)]”*’ и и (х) — v (х) с помошью какого-либо из соотношений и (х) v ixi = и {ху = p u) J 1'1’ I/O (х) 1/U (х) ’ г„ (хН®'-*’ =pg’,*> Г<т (vt =-- *n и W — v W 1 L«(X)1 _es ^W___ = ___j, 1 1 u(x)-v (X) = -(f “/*> = In g(X) |g (x) U (X) ’t) (X) часто можно привести к виду , и тогда к ним становятся применимыми методы п. 4.7-2, Ь. • (d) При вычислении пределов иногда бывает полезно воспользоваться формулой Тейлора (п. 4:10-1). (е) Методы пп. 4.7-2, a, b, с' и d применимы и для отыскания одно- сторонних пределов lim f (х) и lim f (х) (п. 4.4-7). Пользуясь тем, что , х-ш—0 X—O-J-0 lim f (х)= lim f (i/y), находят lim f (x). x »+oo y-»+0 x-»+oo Г2 5~%' TeoPeMbI Вейерштрасса о приближении (см. также пп. 4.10-4, 4.11-7 1) Пусть f (х)—действительная функция, непрерывная на ограниченном зам- кнутом интервале [а, Ь].~Тогда для каждого заданного положительного числа в (максимум погрешности приближения) существует такой действительный п многочлен Р(х)= У о^х*, что | f (х) — Р (х) | <; в при всех хе [а, 6]. . *=о 2) -X Пусть функция f (х) удовлетворяет дополнительному условию f (b) = — f (а) и а> — 2тс/(Ь—а). Тогда найдется такой действительный тригонометри- т ческий многочлен Г(х)= 2 (а* cos йсох+Р* sin йсох), что |/(х) —Т(х) |<е ’ *=о при всех х е [о, Ь]. Аналогичные теоремы справедливы и для функций двух и большего числа перемен- ных. Теоремы Вейерштрасса о приближении позволяют различные свойства непрерыв- ных функций выводить из соответствующих свойств многочленов или тригонометричес- ких многочленов. 4.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ, БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ 4.8-1. Бесконечные ряды. Сходимость (см. также п. 4.4-1). Бесконечный Ряд Oo-j-Oj-j-Og-i- ... действительных или комплексных чисел (членов) а^, alt ... сходится, если последовательность s0, Sj, sa, ... его частичных сумм
ГЛ.. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.-S-2.- п sn= У cfc имеет предел s, т. е. в том и только в том случае, если после- fc=o довательность остатков /?п+г = з—з„ сходится к нулю. В этом случае s = = lim s„ называется суммой ряда, и разрешается писать n-*°° оо . п . Со + в1+в2+"- = У 0*-= 1>т УвА=1’ГП8п = 8. (4.8-1) й=0 «—°°й = 0 п-»со Ряд о0Cjс2-|-... (необходимо сходящийся) называется абсолютно схо- дящимся, если сходится ряд | о0 1 + 1 °i 1 + 1 °2 ! + •• Если ряд не сходится, то он называется расходящимся (он расходится; см. также п. 4.8-6). В пп. 4.9-1 и 4.9-2 приводятся некоторые признаки, позволяющие исследовать сходимость заданного бесконечного ряда ' 4.8-2. Ряды функций. Равномерная сходимость (см. также п. 4.4-4). Ряд функций ав (x)-|-Ci (x)+«2 (*)+••• сходится к функции (сумме) з(х) при каж- дом значении х, при котором п lim Ofc(x) = s(x). Ряд равномерное сходится к s (х) на множестве S значений х, если на мно- жестве S к функции s (х) равномерно сходится последовательность его частич- л иых сумм sn (х)= У ak (х). В п. 4.9-2 приведены некоторые признаки рав- номерной сходимости. 4.8- 3. Операции над сходящимися рядами. » оо оо (а) Сложение и умножение на число. Если У ak и У Ь^ — k-—0 z?=o сходящиеся ряды с действительными или комплексными членами и а — действи- тельное или комплексное число, то оо оо оо со со ,У-йа+ У bk- У («* + &*). а у ofe= 2} aak. (4.8-2) й=0 *=0 fe = 0 fe=0 Ai=0 В каждом из этих случаев из сходимости или абсолютной сходимости рядов в левой части вытекает сходимость или соответственно абсолютная сходимость ряда в правой части. (Ь) Перестановка членов. Коммутативно сходящийся ряд есть ряд, который сходится и имеет одну и ту же. сумму при любой перестановке его членов; это имеет место в том и только в том случае, если ряд абсо- лютно сходится. Каждый ряд, получающийся из такого ряда, если из него выбросить какие угодно члены, также абсолютно сходится. Сходящийся, • но не абсолютно сходящийся ряд называется условно сходящимся. Члены каждого условно сходящегося ряда с действительными членами можно переставить так, что-. I) последовательность его частичных сумм станет сходиться к данному пре- делу, 2) чосл )овательность его частичных сумм станет неограниченно возрастать, 3) пос- ледовательность его частичных сумм станет неограниченно убывать и 4) последователь- 'ность его частичных сумм станет колебаться между двумя любыми данными числами /теорема Римана). со оо (с) Д в о й н ы е р я д ы. Двойной ряд 2 aik сходится к s (имеет сумму i ==о fe=0 s), если т п . lim У S = s m->-oo/ = 0A = 0 п оо
4 R-4. 4 s БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ I33 (п. 4.4-5). Отметим, что , со со со / со \ а?/ео \ 2 S aik~ S ( 2 °«л)= S (S й<л)’ (4.8-3) / = 0 k = 0 i = 0\4=0 / 4=0\i = 0 I если всё три ряда сходятся (теорема Прингсгейма о суммировании по столбцам и по строкам). В частности, если рассматриваемый двойной ряд со со , со со S 2. ац, сходится абсолютно, т. е. если сходится ряд 2 2 ]aik\, то этот /±0 4 = 0 .1=0 4=о ряд имеет одну и ту же сумму при любом, порядке суммирования, со (<П П роизведение двух бесконечных рядов. Если у .4=0 со и S —а^СОЛютно сходящиеся ряды с действительными или комплексными 0 со оо 4 членами, то двойной ряд 2 2 at bk есть абсолютно сходящийся ряд с сум- 1 = 0 4 = 0 (оо \ / оо \ У] ak I1 1. Более общо: fc.= 0 / \fe = 0 / (со \ / оо \ оо п 2 е* 2М=2 S akbn-k (правило Коши), (4.8-4)- fe=0 / \k—0 I n~Qk~0 если эти три ряда сходятся. 4.8-4. Операции над бесконечными рядами функций. (а) Сложение и умножение на ограниченную функцию, со ' оо Если ряды У ак (х) и У bk (х) сходятся равномерно (п. 4.8-2) на множестве 4=0. 4=о S значений х, то равномерно на множестве S сходятся и ряды оо оо 2 lak (х) + bk (х)] и <р (х) ak (х), . 4=0 4=0 е9е<р(х)—произвольная ограниченная на S функция. (Ь) Пределы, непрерывность и интегрирование (см. также ОО п. 4.4-5). Пусть ряд У ak (х) равномерно сходится на ограниченном откры- 4 = 0 том' интервале (а, Ь), х=х0 и х = х,—две'любые точки этого интервала. Тогдл bitt СО ОО !• Пт У о*(х)= У Пт о*(х), «-►Хо 4 = 0 ft = 0X-*Xo ОО оо lim Уай(х)=У lim ай (х),' Х~+Хо+0 /г~0 /г—0 x~*xn + G оо оо lim У Ofe(x)= У . Пт ак (х)„ *->*0 —i>4 = 0 4=0Л->А:" —0
134 ГЛ. '4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.8-5. если при k—0, 1, 2, существуют соответствующие пределы lim ak(x), Х-»Х0 lim ak (х), X-»*<l + O lim ak (x). x-*xo — 0 2. Сумма ряда У (x) непрерывна в точке х—х0, если в зтой точке *=о непрерывен каждый член ряда (х). •со 3. Ряд У ak (х) равномерно сходится на замкнутом интервале [х0, хх] и Х1 OO Xl k=Ox<, Л = 0 х« если каждый член а^ (х) непрерывен на [х0, хг]. Из сделанных предположений вытекает сходимость ряда в правой части каждого из этих равенств. Нижеследующая теорема формулируется специально для интеграла Лебега. Она может применяться и к должным образом сходящимся несобственным интегралам Римана df- ОО (см. также п. 4.6-15). Если ряд а^ (х) функций, суммируемых на (ограниченном или неограниченном) измеримом множестве (в частности, на интервале) S, сходится на S почти всюду, то S1_A=O 2 J ak W dx- fc'=0 S (4.8-5) если существует п. 4.6-16), что' такое действительное число А (или функция А (х), суммируемая на S, п <*) < А для всех п и почти для есехх £ S. Заметим, что равно- £=0 мерная, сходимость не предполагается. со (с) X Дифференцирование. Пусть ряд У о* (х) сходится по край- • k=o ’ ней мере в одной точке се(а, Ь). Тогда, если производные а'^ (х), а[ (х), ОО (х), ... существуют на (а, Ь) и ряд У a'k (х) равномерно сходится в интер- fe=o cq вале (а, Ь), то ряд У о* (х) сходится в (а, Ь) и k=o СО ОО 21 й*м= (о<х<&). k=o . k = 0 (4.8-6) 4.8-5. Улучшение сходимости и суммирование рядов. Суммы некоторых рядов (см. также пп. 7.7-4 и 20.4-3). (а)Преобразоваине Эйлера. Если ряд е левой части, равенства ОО ОО k Ё <-»ч = Ё(-1>/г * и-8-7* сходится и разности Е^а0 определяются, как в п. 20.4-1, а, то зто равенство справед* лиео. Ряд в правой части равенства часто сходится- быстрее, чем ряд слева.
4.8-5. 4.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ 135 (Ь) Преобразование Куммера. Если для сходящихся рядов s“ 2j ак 4 = 0 существует предел у = 11m (ап/&п) + 0. то и S = 4 = 0 V — I a. akJ ‘ (4.8-8) 4 = 0 s~ 2jak 6 = 0 Если, сумма S известна, то преобразование Куммера может оказаться полезным при числовых 'выкладках. В таблице 4.8-1 приведены суммы некоторых числовых рядов (наиболее подробные таблицы такого рода с>м. в [4.6]). Таблица 4.8-1 Суммы некоторых числовых рядов ,* 4 = 1 4 = 1 41 k=\ (24)1 ~ Ch 11 V <-1)ft Zj (24)1 4 = 1 = cos I, (24 - 1)! sh 1, (— 1)* 1 (24-1)1 =3,П ’’ 4 = 1 4 = 1 6'* L __ л4 fe4 “ 90* VI 1 __ Л2 zL {2k- 1)а “ 8’ 1)4+1 я3 * 4* -12' 945’ л8 9450’ 4 = 1 4 = 1 4 = 1 4 = 1 4=1 — In 2, - I)*"1 _л 24 — 1 4' (24 - 1) (24 + 1) 2’ (- l)fe 1 л8 (24 - I)3 — 32’ 1 3 (4- 1)(4 + 1) “4' l)ft~L 4 = 1 4 4 = 1 4 = 1 4 = 1 4 = 2 4=1 4 (4 + 1) (4 + 2) 4 Zj 4 (4 + 1) ... (4 +'m) mml = l* 2' '"’li 4 = 1 k=G —, | a | < 1 (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) оо (С) Формула суммирования Пуассона. Если ряд f (2лА> -h t) k~— оо Равномерно сходится на интервале 0 t < 2л к функции» разлагающейся в ряд Фурье (см. гг. 4.11-4), то оо оо +. оо 2 f(2nfe)==,^i j f (Ч йт. (4.8-91 .. k — — co k~ — CO — co интеграл в правой часта, равенства существует.
136 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.8-6 (d) Формула суммирования Эйлера — Маклорева. Если производ- ная j(2m + 2) (х) существует и непрерывна при О^х^п, то п п У/Ш=Л /Wd/+-tH°> + Hn).] + fe=0 о 2 / ft? В п в + £<9Й7 —Ж^+2)(е„) \ 1*КН W'l ZJI к ~ 1 {т,п = 1,2, . . . ; 0 < 6 < 1), (4.8-10) где В,— числа Бернулли, определяемые в п. 21.5-2. Формула (10) часто позволяет Дать замкнутое выражение для приближенного пред- ft ставлеимя конечной суммы f (k) или представить ее в виде сходящегося или полу- /г = 0 сходящегося (п. 4.8*6, а) ряда. Эта формула применяется также для численного интегри- рования (п. 20.7-2, с). Отметим следующие формулы для сумм специального вида (частные случаи этих формул приведены в п. 1.2-8 и табл. 4.8-1); IX5 ^+H+,-4 * = 1 /г —1 V 1 (-1)^+1 (2я)27У Zj fe2W = 2(27V)1 • 2N- k " 1 V (-•)*+1 (-D^ + HzZAT-I-d^JV Zj .27V (27V) 1 2N' ' k — Iя y, 1 (_l)" + l(22"_1)n27V (2A-()2" 2C/V)I 2N' (4.8-11) (4.8-12> (4.8-13) В формулах (11) — (13) N — I, 2. . . . (e) Лемма Абеля. Следующая лемма иногда оказывается полезной для оценки частичных сумм. Пусть последовательность ц0, а2, « • • положительных действителен п ныл чисел удовлетворяет условиям а0 щ 2s а2 &. .5= ад .. Тогда &05ilkak^ k=0 =S CoS', где S и S' — соответственно наименьшая и наибольшая величина из последователь- г пости сумм при г =*0, 1, 2, . ..< п. 4== I п Отсюда следует, что если для любого п справедливы неравенства М =s У &=0 п то а0Л4 также для любого п. k=Q 4.8-6. Расходящиеся бесконечные ряды (см. [4.2]i т. II, гл. XII, § 6k (а) Полусходимость. Расходящийся ряд а0 + ах + + *.. может быть полезен для приближения величины s, если абсолютная погрешность |s—snl== п |/ = s—У] ay , прежде чем вновь начинает возрастать, убывает до некоторо- го | го достаточно малого минимума, достигаемого при определенном значении п0 номера п (волусходящийся ряд). х •
4.8-7. 4.8, БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ 137 Если при этом последовательные частичные суммы у с* поочередно то * = о больше, то меньше величины s, то ряд называется обвертывающмм. Соседвие члены такого ряда обязательно имеют разные.знаки (знакочередующийся ряд). со (Ь) Асимптотические ряды. Расходящийся ряд cfe (х) есть *=о асимптотический ряд, описывающий поведение функции f (х) при х—»х0 СО ()(х)~ 2 ПРИ *~*хо). если существует такой номер Л/, что при лю- Ь.= о бом" фиксированном п > Л/ lim 1 (х—х0)" п fM — У ak(x) ' ^0 (4.8-14) Расходящийся ряд У] ak(x) есть асимптотический ряд, описывающий t=o ОО повеление функции f (х) при х ->4~со (/ (х) ~ с^(х) при х -* 4-со), если су- k =0 ществует такой номер N, что при любом фиксированном п> N lim х" /(х)— J] ak(x) 1=0. (4.8-15) »-* + °° *=о J Асимптотический ряд дает полусходяшиеся приближения функции f (х), при- чем при х -* х0 или х -+ со номер п0 -* со (см. также пп. 4.4-3 и 8.4-9). (е) Суммирование средними арифметическими. Сходящийся или расходящийся ряд а0 4~ at 4- аъ 4- . . . суммируем средними арифметическими (сум- мируем по методу Чезаро средними первого порядка, суммируем Ct, суммируем (С, 1)) к Сх-сумме Sj, если последовательность о0,_ Oi, Oz, - • • средних арифметических п — 1 / k \ |где sk~ S') Х°ДИТСЯ K Каждый сходящийся ряд сумми- Л = 0 \ / = 0 / руем средними арифм( тическими и St = s. Ряде положительными членами суммируем средними арифметическими е том и только в том случае, если он сходится (см. также п. 4.11-7). . 4.8-7. Бесконечные произведения. (а) Бесконечное произведение 0 +°о) 0 +«i) (1 + ...= JJ (1 +^) k=0 действительных или комплексных множителей сходится к числу ОО (l+aft).=#0 (значению бесконечного произведения), если lim Д (l+afe) = p. СО ^то имеет место в том и только в том случае, если ряд У 1п(1 +о*) сходится fe=o
138 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.8-8. п к одному из значений In р (см. п. 21.2-10). Если ТТ (1 + о*)=0, л — °° fe = o сто говорят, что бесконечное произведение расходится к нулю. ОО (Ь) 'Бесконечное произведение ![ jj (14-я^) (необходимо сходящееся) сходится абсо- k=O оо лютно, если сходится произведение JJ (I 4-1 | ); для этого необходимо и достаточно $ k=0 ' со чтобы абсолютно сходился ряд а^. Бесконечное произведение сходится коммута- » 7г=0 тивно (т. е. его значение не зависит от порядка множителей) в том и только в том случае, если оно сходится абсолютно (см. также п. 4.8.-3, Ь). со (с) Бесконечное произведение [14-с™ (х)] равномерно сходится на множестве S /г=0 значений л, для которых прн всех ,k выполняется условие l-Ба^ (х) ^0, если последова- п тельность функций JJ [14~а£(*)1 равномерно сходится на S к функции, ие принимав ♦ £ = 0 ющей на S значения, равного нулю. Это, в частности, имеет место, если на S равна* оо i мерно сходится ряд У | а^ (х) |. ’ fe = 0 4.8-8. Непрерывные (цепные) дроби. Последовательность вида 8о=#о; si=do + *^_* s2 = b0 4> Sa =* bo 4“ (4.8.-16) называется последовательностью, определяющей данную непрерывную дробь; л-й зна- менатель равен bn_i~l~an/bn. X Сокращенно непрерывная дробь обычно записывается так: at а2 а3 ап ° bi 4- b2 4- Ь2 4- ••• + Ьп 4- ... ‘ ап Дробь ~т— называют п-м звеном .непрерывной дроби. Непрерывная дробь называется йп конечной, если она имеет конечное число звеньев, и бесконечной, если она имеет их бесконечное число. X Разложение некоторых функций в непрерывную дробь сходится быстрее, чем соот« ветствующее разложенне в степенной ряд, и оказывается полезным в некоторых прило- жениях (расчет электрических сетей; см. также п. 20.5-7). ^.Пример ы. Приведем разложения некоторых функций в непрерывную дробь (следует иметь в виду, что такое разложение не единственно): х X X X X X X X е — * + 1 — 2“ + Т — 2 + ~5 - ... _ Т + 2я-|-1 —... = = Т - Т + Т - ^4-... + -Т~ гЩ +... (-“<*<“).• „ . , х х х 2х 2х‘ пх пх п(|+*)~ ! + 2 4- 3 4- 2 4- 5 4-... 4- 2 4- 2«4-14~... (лг>_ X х% xz х~ lgx=s —______ — "5"—..._______ 2n 4“ 1 __••• (X Jt/2 4-fejt) arctg х - А ~ Л~- (- со <х < оо). Я 1 4- о 4~ б 4~ ••• 4- т" 1 i •••
4.9-1* 4.9. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ 139 4.9. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ И РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 4.9- 1. Признаки сходимости бесконечных рядов (п. 4.8-1). (а) Необходимое и достаточное, условие сходимости. Последовательность действительных или комплексных чисел s0, s2,... (на- пример, последовательность частичных сумм некоторого ряда, п. 4.8-1) схо- дится в том и только в том случае, если для каждого положительного числа е существует такой номер N, что из m~>N и n>N следует | sn — sm | < в (критерий Коши сходимости последовательностей или рядов). (Ь) Признаки сходимости рядов с положительными членами (этн признаки полезны и как признаки абсолютной сходимости рядов с произвольными действительными или комплексными членами, пп. 4.8-1 и 4.8-3). Ряд а0а2 + ••• с положительными членами сходится, если существует такой номер N, что при n>N выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1 „ М Мп+1 —-—--= „-----, где M(iМ^-\-М2-\-...—схо- ип тп дящийся ряд сравнения с положительными, членами (признак сравнения). 2. По крайней мере одна из величин °п+1 fn ап+1 1 (4.9-D In п 4-2 I V L \ п имеет точную верхнюю границу А < 1. Четвертый из этих четырех признаков сильнее третьего (признака Раабе), который в свою очередь сильнее двух первых (признака Даламбера и «ради- кальноео» признака Коши). 3. an^f (п), где f (л) — положительная невозрастающая функция, 4~00 для которой сходится (несобственный) интеграл J f (х) dx (инте- N4-1 гральный признак сходимости Коши: см. также п. 4.9-3, Ь). Ряд о0 + 01 + «2 + расходится, если существует такой номер N, что при п> N выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1. On^dn ulили - где rfo+'3?i+^2+“-—расходщийся ип п ряд сравнения с положительными членами (признаки сравнения для расходимости). 2. По крайней мере одна из величин условия 1 имеет точную, нижнюю границу А Эг 1. 3. an^f (п), где f (х)—положительная невозрастающая функция, -}- со для которой интеграл j f (х) dx расходится. Замечание. В качестве ряда сравнения часто бывает полезен ряд А=1 который при действительном К сходится, если А > 1, и расходится, если 4^1. (с) Ряд «о+а14'°2 + >” с действительными членами сходится: 1. Если соседние его члены имеют разный знак (знакочередующийся ряд), его общий член ап не' возрастает по абсолютной величине и Пт ап=0 (признак Лейбница), о -» со
140 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4-9-2; 2. Если последовательность s0, s1( s2, ... его частичных сумм огра- ничена и монотонна', эта последовательность монотонна, лишь если члены ряда имеют один и тот же знак. См. в этом случае признаки из (Ь). (d) Пусть а0, о^, а2, ...—невозрастающая последовательность положитель- ных чисел. Ряд а0о0 + а1о1-|-а2о2 + ... сходится: 1. Если сходится ряд а0 + й1+а2 + ..^признак Абеля; см. также п. 4.8-5, е). п 2. Если lim а„ = 0 и сумма. V- а^ как функция от п ограничена (признак Дирихле). 4.9- 2. Признаки равномерной сходимости бесконечных рядов (п. 4.8-2). (а) Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости. Последовательность s0 (х), Sj (х), s2(x), ... действительных или комплексных функций (например, последовательность частичных сумм некоторого ряда функций, п. 4.8-2), определенных на множестве S значений х, равномерно сходится на множе тве S. в том' и только в том случае, если дня каждого положительного числа в существует такой номер N, не зависящий от х, что из m>N и п> N для всех x^S следует | sn (х)—sm(x)|<e (критерий Коши равномерной сходимости последовательностей или рядов). (Ь) Ряд а0 (xJ-f-Oj (х).+ о2(х)-[-... действительных или комплексных функ- ций равномерно и абсолютно сходится на каждом .множестве S значений х, на котором функции ап (х) определены, и при всех п выполняется неравенство Iап (х) I ^Мп, где сходящийся ряд сравнения с положитель- ными членами, мажорирующий ряд (признак Вейерштрасса). Сходимость ряда сравнения может быть исследована с помощью признаков п. 4.9-1, Ъ. (с) Пусть аа, о^, а2, ...—невозрастающая последовательность положитель- ных чисел. Ряд а0 а^ (х)4-а, at (x)-j-a2 а2 (х) + равномерно сходится на мно- жестве S значений х: 1. Если ряд о0 (xJ-J-Oj (х) + аа (х)+... равномерно сходится на S (признак Абеля, см. также п. 4.9-1, d) 2. Если , Пип «й = 0 и существует такое число А, что п~*со п 2 afe(x) k=o при всех п и при всех x^S (признак Дирихле). X Признаки Абеля и Дирихле часто полезно применять и в более общей форме, рассматривая вместо последовательности а0, оц, ... последовательность функций. См., например, [4.2], т. II, стр. 451. X 4.9-3. Признаки сходимости несобственных интегралов (см. также п. 4.6-2). В пп. 4.9-3 и 4.9-4 приводятся признаки сходимости несобственных интегра- + со ь х лов вида f f(x)dx и (f(x) dx= lim f f (x) dx. Несобственные инте- a ' a x-^b-oi гралы других типов сводятся к интегралам этого вида (п. 4.6-2). Предполагается, что действительная функция f (х) ограничена и интегри- руема на каждом ограниченном интервале fa, X], не содержащем верхний пэе- дел интеграла. (а) Необходимое и достаточное условие сходимости 4" 00 (критерий Коши). Несобственный интеграл \ f (х) dx сходится в том и а только в том случае, если для каждого положительного числа в существует ^2 такое число М > а, .что из Х2 > Хг > М следует j / (х) dx XL
4.9-3. 4.S. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ 141 ь. • . Аналогично интеграл \ f (х) dx^cxodiwicx с том и только в. том случае, если а для что каждого положительного числа в существует такое число С (0 <; 6 < Ь— а}. из Ь—д<Х1<Х2<Ь следует f (х) dx <е. х Z (Ь)Признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных ф^'нкций (эти признаки полезны и как приз- наки абсолютной сходимости несобственных интегралов от произвольных дей- ствительных или комплексных функций; заметим, что из абсолютной сходимости следует сходимость). Если функция /(х)^гО в интервале интегрирования, пю 4-со b ' X несобственный интеграл f(x)dxuAU (х) dx— lim ^f,(x)dx сходится a a X b — 0 a X в том и только в том случае, если интеграл J / (л) dx как функция от X а ограничен в интервале интегрирования. В частности, если интервал интегри- рования содержит такое число М, что при х> М (соответственно при М < < х < b) выполняется неравенство f (л) g (х), где g (х)— функция сравнения, 4-со ’ / " Ь \ для которой сходится интеграл \ g (х) dx ( или соответственно \ g (x)dx j, М - \ г М I то первоначальный интеграл сходится (признак сравнения). 4-со - ъ Аналогично, если й(х)>Ои интеграл J g (л) dx или J g (л) dx расходится, то л/ л/ из / (л) > g (X)' следует, что расходится и соответствующий интеграл от / (л) + °% Замечание. Интеграл \ —где 0, сходится при 1 и расходится J а b при А 1, а интеграл t ——т- сходится при А<С1 и расходится при К 1. Если J (Ь - а b г t (х) =» О (1/л^) (X > 1) при х-» 4- оо, то интеграл J f (x) dx сходится абсолютно. Если а b f (х) == О [1/ (Ь —х)Ч (А < 1) при х-*Ь — 0. то интеграл J i U) dx сходится абсолютно (см. также п. 4,4-3). 4- op b . (с) Если несобственный интеграл f (х) dx или £ f (я) dx сходится абсо.- S ’ а а лютно, а а(х)— функция, ограниченная на интервале интегрирования и инте- грмруемая на каждом конечном интервале \а, XJ, не содержащем верхнего пре- 4"00 дела интеграла, то несобственный интеграл а (х) f (х) dx или соответст- . . а ь венно ^a(x)f (х) dx сходится (абсолютно). у и I (d) Пусть функция а (х) ограничена и монотонна на интервале а^л <Z-Eco. 4-со Несобственный интеграл а (л) / (х) dx сходится: и .
142 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4-9-4. + оз 1. Если интеграл J f (х) dx сходится (аналог признака Абеля, а п, 4.9-1, d) или Г х 2. Если интеграл J f (х) dx как функция от X ограничен на а интервале а ^Х <+о& и lim а(х) = О (аналог признака Дирихле, х— + 03 п. 4.9-1, d). (е) В п. 8.2-4 см. ряд приложений. 4.9-4. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов (см. также п. 4.6-2, с). (а) Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости. Критерий сходимости Коши из п. 4.9-3, а превращается со в критерий равномерной сходимости несобственного интеграла V f (x, y)dx а Ь или / (х,у) dx на множестве S значений у, если дополнительно указать, что а число М или 6* находимое по этому критерию при каждом yeS для любого положительного числа е, не зависит от у (см. также п. 4.9-2, а). -|-оо Ь (Ь) Е1есобственный интеграл Г f (х, у) dx или С f (х, у) dx равномерно и а а абсолютно сходится на каждом множестве S значений у таком, что при любом у S и любом х из интервала интегрирования выполняется неравен- ство | f (х, у) | g (х), где g(x)—функция сравнения, интеграл от которой + 03 Ь J g (х) dx (или соответственно J g (х) dx) сходится (аналог признака Вейер- а а штрасса, п. 4.9-2, Ъ). -р оо . (с) Несобственный интеграл а (х, у) f (х, у) dx равномерно сходится а на множестве S значений у, если при любом у е S функция а (х, у) не воз- растает на интервале а^х С-роо и равномерно стремится на S к нулю при х—♦ -рсо и если при х^а и ijeS абсолютная величина ничена константой А, не зависящей ни от х, ни от у Дирихле, п. 4.9-2, с). X \f(x, y)dx а огра- (аналог признака 4.10. разложение функций в бесконечный ряд И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИХ ИНТЕГРАЛОМ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И РЯД ТЕЙЛОРА 4.10-1. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их инте- гралом. Функцию f (х) часто разлагают в соответствующий бесконечный ряд СО 2 ak 4>k (х) ввиду.того, что Л = 0 ' 1. Последовательность частичных сумм (или средних арифмети- ческих, пп. 4.8-6, с и 4.11-7) этого ряда может давать полезные для вычислений приближения функции f(x).
4,10-2. 3-Ю. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И РЯД ТЕЙЛОРА 143 2. Операции над функцией f (х) может оказаться возможным описать в терминах более простых операций над функциями <рА (х) или над коэффициентами (методы преобразований см. также пп. 4.11-5, Ь и 8.6-5). Функция (х) и коэффициенты могут иметь какой-либо наглядный (физический) смысл (п. 4.11-4, Ъ). Подобные же преимущества может давать представление функций в виде (обычно ъ несобственного) интеграла j а (Л) <р (х, Л) dx (см. также пп. 4.11-4, с, 4.11-5, с н гл.8). а Возможность реализации одного или обоих преимуществ, перечисленных выше, часто нуждается в сходимости или же равномерной сходимости ряда или интеграла (отсюда — важность признаков сходимости нз пп. 4.9-1—4.9-4), но это относится не ко всем случаям (пп. 4.8-6, 4.11-5 и 4.11-7). 4.10-2. Степеннее риды. (а) Степенной ряд относительно (действительного или комплексного) пере- менного х есть ряд вида ОО ОО 2 ау(х—а)к или ao-j-a^-j-щх2-]-.^^ 2 akxk ПРИ я=0, (4.10-1) *=0 • k=o где коэффициенты а0, а±, щ, ...—действительные или комплексные числа. Для любого степенного ряда (1) существует такое действительное число rc(0^rc^-\-cd), чгпб этот ряд сходится абсолютно при |х|<гс и расходится при | xj > гс. Число гс называется радиусом сходимости данного степенного ряда. Каково бы ни было число q, удовлетворяющее условию 0 <Z.q < гс, степен- ной ряд (1) равномерно сходится при | х | (на интервале, если х—действи- тельное переменное, и в круге, если х—комплексное переменное). Ив сходимости степенного ряда (1) при х=х0 вытекает его сходимость и при [х|< <|х„ а из его расходимости при х—х0 вытекает его расходимость и при | х | >• |х01. (Ь) Сходящиеся степенные ряды можно складывать в соответствии с равен- ством (4.8-2) и перемножать в соответствии с правилом Коши (4.8-4). При •I х | -с г с сумма степенного ряда (1) есть непрерывная и сколько угодно раз диф- ференцируемая функция х. Степенной ряд (1) можно почленно дифференциро- вать при |х|<гс и интегрировать на любом замкнутом интервале, содержа- щемся в интервале (— гс, гс). Получающиеся в результате почленного диффе- ренцирования или почленного интегрирования от 0 до х ряды имеют тот же радиус сходимости гс. Некоторые правила действий со степенными рядами приведены в табл. 4.10-1. (с) Если существует такое положительное число rt что при всех х, удов- со со летворяющих •условию. | х | < г, два степенных ряда 5 акхк и 5 Ькх>г имеют Л = 0 fe=0 одну и ту же сумму f (х), то а0 = Ь0, щ—bt, a2=b2l ... (теорема единст- венности). Пример. Бесконечная геометрическая прогрессия со 1 «о 4- НоХ 4" аох? 4-а0 s flo (I XI •< 1)$ (4.10-2) (см. также пп. 1.2-7 и 1.7-2) сходится абсолютно при | х | < 1 и расходится при J л 1. Для любого q. удовлетворяющего условию прогрессия равномерно сходится
144 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.10-2. Действия со степенными рядами 1 = I + aix + а2х‘ + с3х“ + atx* + ...
4.10-4. 4.10 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И РЯД ТЕЙЛОРА 145 4.10-3. -X Теоремы Абеля и Таубера. со оо (а> Пусть г > 0. Если ряд сходится и имеет сумму s; то ряд akxfi й=0 £=0 03 с замкнутом интервале [0, г] сходится равномерно и lim У °kx^ = s Х_г—О ft==0 . (теорема А бе ля}. (bf 'Пусть г > 0. Если ряд У] а&ха сходится в интервале [0, г), причем fc=0 со со .. ,'га „ 2. — s и lim ka^rk = 0, то ряд У akr^ сходится и его сумма x-^r-0k^0 fe — co \ ft±0 равна s (теорема Таубера). Замечание. Особый интерес представляет случай г = г 4.10- 4. Ряд Тейлора (см. также п. 7.5;2). (а) Пусть f (х) — действительная функция, имеющая в интервале as^x<Zb п-ю производную ftn> (х). Тогда t (х) = f (а)+f (а) (х - а) + ± f" (а) (х - а)*+... + ' +"(И~4)! ^n-1‘ (а) (* — «)л-1+Яге (х) (а sgx < 6), (4.10-3) I х — а |" еде | Rn (х) | !——---- sup | f,n> (g) I (формула Тейлора). Rn (х) называется о<£<х остаточным членом формулы Тейлора. Более точно, существует такое число X —а-|-6(х— а), что а<Х<х (или 0 < 0 < 1) и х £ Е Яп W = p&pb-p‘re,®)rf5==^/<n’(X)(x-tt)n (а==£х<&) (4.10-4) а а а п раз (Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа). X и 6 зависят от а, х и П (см. также п. 4.7-1). Формулы (3) и (4) остаются справедливыми и если функция f (х) имеет n-ю производную в интервале—Ь < х sg о, причем здесь b < х < X < а. (Ъ) Пусть функция f(x) имеет в интервале (а—г, а-(-г) все производные и пусть для нее в этом интервале lim /?„(х)=0. Тогда п-+са со /(Х)= У ^/,ft,(a)(x-a)ftK |х—а|<г (4.10-5) о и ряд равномерно, сходится к f(x) на любом промежутке | х — а | sg q, где q<r (разложение функции f (х) в ряд Тейлора в окрестности точки а). Здесь по определению положено 01 == 1 и /<01 (a)=>f (а). Если в (5) вместо а написать х, а вместо х—а написать 4х. то соотношение (5) со можно переписать в виде f (* +'Дх) = У, Д flk> tx) &.xh (пп. 4.5-3 и 11.2-1). При а = 0 Z-J /г1 > 4 fc=0. СО Ряд Тейлора (5) — fiki (0) xk называется рядом Макларена. * = 0 ' 1 (с> Каждое разложение функции f (к) в ряд по степеням (х—а}, сходящийся при Q—r<Z 'x < а-\-г, необходимо тождественно с (5) (п. 4.10-2, с). Если f (л) — рациональ- ная функция, то ее разложение по степеням х или по степеням ‘1/х часто цолучают, не- ограниченно продолжая процесс деления (П. 1.7-2, см. также равенство (2)).* Примеры разложения в степенной ряд см. в л. 21.2-12.
146 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.10-В. Разложения в степенной ряд допускают почленное дифференцирование и интегриро- вание (см. 4.10-2, Ь) и, таким образом, оказываются полезными для интегрирования функ- ции f (л) и для решения дифференциальных уравнений (п. 9.2т5). Заметим, однако, что . п п-я частичная сумма (х—a)k ряда Тейлора не обязательно будет и ан л у ч- ft=0 ШИМ) приближением функции f (я), ’ являющимся многочленом n-й степени (см. также Функция f (х), которая может быть разложена в степенной ряд, сходящийся в неко- торой окрестности точки а, называется аналитической в этой окрестности (см. также п. 7.3-3). 4.10- 5. Кратным .ряд Тейлора. (а) Пусть f (xl9 xZt ... , хп)—действительная функция, имеющая все непрерывные частные производные порядка т в некоторой окрестности D точки а. Тогда п f (*г *2...* хп) “ f (aV °2* •** « ап) + 2 ’dx? L а а ч (**“ + /=] * Ца1» а2....п) ! пп + Й S .S дх-дх- L. а а ~ + + Rm *2’ 1=1 j=l 1 ' а...ап) ((Ч’ *2' ••• • хп) S °) (формула Тейлора!. (4.10-6) Остаточный член R.„ (xi, х„......х_) удовлетворяет соотношению, аналогичному ТП \ 1 xi П' равенству (4). Формулу (6) можно записать при помощи дифференциалов f + dxr а2 + + dxn) -f(av а2....ап) = = df+ld‘f + ... + + Rm, (4.Ю-7) где все дифференциалы вычисляются в точке о2, ... , а^, а (X = а. + ft dx-, 0<С<1, f=l, 2, .... и).’ (4.1Р-8) т mt \хг х2, .... хп) < ' 1 > . (Ь) Если функция f (Xt, Xi, ..., хп! имеет в D все непрерывные частные производные в lim R (xt, хг. ..., х ) =0 в D, то равенство (6) приводит к разложению функции нг-»со т т1 f (*i. хг, —, хп) в кратный степенной ряд '.кратный ряд Тейлора}. Если функция f (Хр х2, , хп) может быть разложена в степенной ряд, сходящийся в иекоторой окрест- ности.точки (а,, а2, ..., оп). то она называется аналитической в этой окрестности. 4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ - 4.11-1. Вводные замечания. Ряды Фурье и интегралы Фурье используются для представления и/или приближения функций (п. 4.10-1) во многих важных приложениях. Разложение в ряд Фурье есть частный случай разложения в ряд, по ортогональным функциям (см. пп! 15.2-3—15.2-6). 4.11- 2. Ряды Фурье. (а) Если задан интервал разложения —л < t < я, то ряд Фурье, порож- денный действительной функцией f (/), для которой существует интеграл я J | / (т) | dx !), есть бесконечный тригонометрический ряд — я со со 4 ао+ У, (a* cos kt -J- bk sin kt) У cfee/ws (4.11-la) . k == 1 ft=— co x) Во многих приложениях достаточно рассматривать интегралы в этом параграфе как интегралы Римана (п. 4.6-1), но использование интеграла Лебега (п. 4,6-15) делает теорию значительно шире применимой. См. в пп. J6.2-3 — 15.2-6 ряд теорем, формули- руемых специально для интеграла Лебега. «=
4.11-2. 4.П. ряды фурье и интегралы фурье коэффициенты которого определяются по формулам Эйлера—Фурье л Л «А=4 5 / (Т) cos/гт A, bk=~ § f (т) sin kx dx, —л —л л cfe=c_*=4(a*~ifcfe)=-^ J f (х) dx —я (£=0,1, 2^..). (4.11-16) Здесь а* и 6д—действительные, а с* — вообще говоря, комплексные числа (п. 4.11-2, d). (Ь) Если задан интервал разложения — 772 </<772, то ряд Фурье, порожденный действительной функцией /(/), для которой существует инте- 7/2 грал | f (т) | dx, есть бесконечный тригонометрический ряд — 7/2 СО 4-00 1о04-.2 («ACOsW+fc* sin kaot) г j1, cAe/ftra°z (coo=^).: (4.11-2a) k=l k =—oo где' 7/2 7/2 °A=T $ / (t) cos to0T dr, 6й=у J f (t) sin йсоот dx, ед = (a* — ibk> = y S f <T>e ika°X dx- — 7/2 В частном случае, когда Т — 2л, равенства (2) превращаются в равенства (1). Если в качестве интервала разложения выбрать интервал (а, а+ 7), то интегралы в (2b) сле- дует брать не между — 7/2 и 7/2, а между а и а+ Т. 7/2 (с) Если существует интеграл [/ (т)]2 dx, то средняя квадратиче- — Т/2 ская' погрешность Т/2 4 j [/(т)~(т)]2</т,; — Т/2 п еде Pn(t)=±aa+ JJ (a* cos k +pft sin k 4?) — произвольный тригонбметри- Л —i ческий многочлен, при каждом п принимает наименьшее значение, когда в ка- честве коэффициентов а^, р* многочлена Рп (/) берутся соответствующие коэф- фициенты Фурье (26) aft и bk функции f (f), т. е. когда тригонометрический многочлен Рп (t) есть частичная сумма п Sn (0 4 «о + S («fecos/г 4- 6д sin k fe=l ряда Фурье функции f (f) (см. также п. 15.2-6).
148 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.11-8. Если тригонометрический ряд (2а) сходится к f (t) в интервале (— Т/2, Т/2) равно- мерно, то его коэффициенты необходимо являются коэффициентами Фурье (2₽) функ- ции f (/) (теорема Эйлера). (<i) -X Если абсолютная величина | f (t) | интегрируема на интервале разложения, то коэффициенты Фурье а& и функции f (t) при k -»со стремятся к нулю (теорема Римана — Лебега). Если функция f (t) на всем замкнутом интервале разложения имеет непрерывные производные до (т — 1)-го порядка включительно, причем каждая из этих производных в концах этого интервала имеет одно и то же значение, и если т-я произ- водная кусочно-непрерывна, то коэффициенты Фурье а& и. функции f (t) при fe оо убывают не медленнее, чем k~mt т. е. I ak I ут* I где С — постоянная. 1 х(е) Действительные коэффициенты и и комплексные коэффициенты свя- заны формулами ak-ck-^c-h‘ bk-4ck-c-0 1 1 1 } (fe=O, 1, 2, (4.11-3) ch = т c~k = т <°* + ibk) J где be = 0. Ряд Фурье (2) четной или же нечетной функции f (f) (п. 4.2-2, b) сводится соответственно к ряду Фурье по косинусам и к ряду Фурье по синусам 4.11-3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье (примеры см. в табл. 4.11-3 — 4.11-5). (а) Интеграл Фурье, порожденный действительной функцией f (t), абсо- лютная величина |/(() I которой интегрируема на интервале —оо<<<+со (интервал разложения) !), по определению есть 4-со —со . -|-оо -^- \ do j ft) cos <о (( — т) dt = с (v) e2nlvt dv = О ' —со —со 4-оо 4-оэ ( С (со) eia‘ da = \ й (ш)dco, (4.11-4я) У2л J 231 -L — со —оо где с(у) £ j / (т) е di, — оо 4-со С(и)=-±=- С f(T)e-^dT=>c^\ — со 4-со Q (со) = f (т) dx = с J (со = 2nv). —оо (4.11-46) Функция с (у) называется преобразованием Фурье с (у) = 5г [/(/)] функции /(/). Заметим, что преобразованием Фурье функции / (t) называют не только с (у), но и С (to) или же й (со).. J) См. сноску, к п. 4.11-2.
4.11-4. 4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 149 (Ь) Косинус- и синус-интегралы Фурье, порожденные действительной функцией f (t), абсолютная величина | / (0 | которой интегрируема на интер- вале разложения 0</<+со, определяются соответственно как -J-ОО 4-со 2 сс (со) cos 2nvt dv = j/*A J Cc (co) cos d(i\ о 0 4- co 4- co 2 j cs (v) sin 2nvt dv = j/"-| J (w) sin dco, о о где 4-00 Cq (v) = 2- J f (t) cos 2jivt dr, 0 4-00 Ct (co) =s 1Z-|- f /(T) coscot dT = —L=cc (v)f 0 4-co cs (v) = 2 J f (t) sin 2nvr dr, о ______________4-c° cs (a) == 5 H^) sincoTdT=^=-cs(v) (co = 2nv). (4.11-5a) Действительные .функции сс (v) [/(i)] и cs (v) = [f (/)] называются соответственно косинус-нреобразованием Фурье и синус-преобразованием Фурье функции f(f). Часто косинус- и синус-преобразованием Фурье называют вместо этого Сс (со) и Cs (со). 4.11- 4. Функции, разложимые в ряд Фурье и представимые интегралом Фурье. Гармонический анализ (примеры см. в табл. 4.11-1). (а) Ряд Фурье или интеграл Фурье, порожденный действительной функ- цией f(f), абсолютная величина которой интегрируема на соответствующем интервале разложения /, , ,, -, f (I — 0) + f (l + 0) 1) сходится к ~------------- на каждом открытом интервале, где функция f (t) и ее производная [' (t) кусочно-непрерывны (п. 4.4-7, с); при этом на каждом замкнутом интервале, в котором функция не- прерывна, ряд Фурье равномерно сходится к f (I); 2) сходится равномерно к f (/) на каждом таком интервале (а, Ь) с с (а—б, 6 + 6) cz/, где б>0, что на (а — б, b + б) функция f (f) непрерывна и имеет ограниченную вариацию (п., 4.4-8, Ь); о, о ((/ — 0) + f (< + 0) , 3) сходится к —----!—- на каждом открытом интервале, содержащемся в I, на котором функция f (() имеет ограниченную * . вариацию (признак Жордана).. Напомним, что функция f (t), ограниченная'и имеющая конечное число отно- сительных максимумов, относительных минимумов и точек разрыва первого рода на некотором конечном интервале (условия Дирихле, п. 4.4-8, Ь), является 'на этом интервале функцией ограниченной вариации. (Ь) Гармонический анализ периодических функций. Пусть f (t)—действительная периодическая функция с периодом Т (п. 4.2-2, Ь),
150 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.11-4. Г/2 для которой существует интеграл f | f (т) | dx.' Тогда — г/2 f (0 = 4 ао + 2 C0S + bfl sin ~ S ckelkV>° = fe=l k=—co co = Co + 2 У, | Ck | cos (fta>0/ + arg eh)i k=\ T/2 ak = f $ / (t) cos fe<o0T dr (o0=T>. fe=0» 2* •••)’ — Г/2 7/2 2 C bk — f \ f (T) sin Ьа>ох dxf — T/2 *' T/2 Ck=~C_k=Y S / (T) e~ ‘А<а°Т dT — T/2 (4.11-6) на каждом открытом промежутке, на котором f(t) и fr (/) кусочно-непрерывны, если в каждой точке разрыва f (t) по определению положить 1 f (I — 0) -f- f (7 + 0) (см. также п. 4.4-8, Ь). Таким образом, функция f (t) представлена в виде суммы 1) постоянного члена (аь12)—са (среднего значения функции f (I), см. также пп. 4.6-3 и 18.10-9) и 2) некоторого множества синусоидальных членов (синусоидальных компонент) е частотами v0—l/T (основной частоты), 2v0=2/7'(2-fi гар- монической частоты), 3v0 = 3/T (3-й гармонической частоты),... k-я гармоническая компонента 21 ск | cos (k + агё cft) имеет частоту frv0 = = k/T,. круговую частоту ka0—2nkv0 = 2nk/T, амплитуду 21 ск | = у ak + bk и «фазу» • arg ch =— arctg (bk!ak). Нечетные гармонические члены в разложении часть функции f (/) (п. 4.2-2). Отметим, что (6) описывают антипернодическую Г/2 со со <р> = 4 j [f(T)]°<tt=lQo3 + l у (4 + ^)=» S — Г/2 Хг-=1 со если интеграл в левой части равенства существует (теорема Парсеваля, см. также п. 15.2-4). В табл. 4.11-1 приведены коэффициенты Фурье и средине значения квадрата (7) некоторых периодических функций, По поводу численного гармонического анализа см. п. 20.6-6.
4.11-4. 4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 151 Таблица 4.11-1 Коэффициенты Фурье и среднеквадратические значения периодических функций [; , _ Sin Л*1 S (х> s- — пх J Периодическая функция, f (1) = f (i + Т) Коэффициенты Фурье Среднее значение, <0 = -у Среднее квадрати^ ческое значение, <f2> 1 Прямо- угольный импульс ± •тН" ап = 2ЛТ S т- А т А‘^± 7 Jo_ ' * 2 b„ =0 п 2 Симме- тричный треуголь- ный импульс — Т и и ь,’|ь, о II II с е <□ -С1 А-^- 2Т А^ 37 fl /\ L 2 г 3 Симме- тричный трапе- цеидаль- ный импульс Lb . 2 2 —-т—н ЬЪ t г г Х1[^ X s 1 Ь . = 0 п Ti “ X 27 J Х (^о 4~ 7\)1 27 J’ 27 1 Л.2Г,+Г, 37 4' Полусину- со и даль- ний им- пульс х) X- ап = А^У. л А Т As-^~ 2Т Ь 2 ь , * 2 +s|4 =0 п ») При То = - + — cos6o>Z — ...^ При 7'о= Т — = £-,f (0= А (i- + -?- cosa>Z+ -i- cos2rai— ± cos 4a><+ Z CO ЗЬ \ £. Q 0 ID «детектированная» синусоида. 2л f ... 4 / 1 1 1 1 \ —» /(?) = -- A ( 4- -5- COS 2cirf -7- COS 4(i)t + -ff' cos 6cof — ...) CO 3T \ z 0 ID oD у «выпрямленная» синусоида.
152 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ''И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.11-4. Таблица 4.11-1 {продолжения Периодическая функция, /(/) = /(/ + Г) Коэффициенты Фурье Среднее значение. Средне’ квадрати- ческое аначенис. <f‘> 5 Срезанная синусоида 1Л О л *—< ч II ч 1 а А>.Г». х “n Т Х X |s [щ—1)Т?^ + + s ри + 1) — о л То / пТ 0Х1 X О С О х о Ч 4“ в к CM 1 s' -v £ ^1к « к! СО ко и ’ о 1 ч + я: -|е |С4 6 Треуголь- ная форма сигнала ♦ О" 0 а а II II 1 -° а 11 А 2 Да а (с) Функции, представимые интегралом Фурье. Пусть /(/)—действительная функция, для которой существует интеграл + ОО . . j |/(T)|dT. Тогда — ОО 4- со -f- со /(0= c(v)e2rowdv = -L ( С (<n) e'<°'d<n= J /2л > — со - — oo + ОО ~ 2Й S eI<Oi C(°’ — oo + OO c (v) = / (t) e~23tiv't dr, , — oo 1 + co C(<o)=-L= ( / (T) e-ian dT = ~ c(^\, V 2n J ^2л \ 2л; — co + co Q(<n)= § Hfl-£*,mdTsc(^ (<o=2w) -oo ) (4.11-8) \ на каждом открытом интервале,’ на котором / (/) и f (t) кусочно-непрерывны, если в каждой точке разрыва f (/) по определению положить /w=LlLU^L±a.
4.11-4. 4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 153 Функция f (0,' имеющая преобразование Фурье c(v), называется обратным преобразованием Фурье JF-1 [с (v)] функции с (v); при данных предположениях, если функция f (t) непрерывна, равенство (8) определяет ^'-l [с (v)] однозначно. Равенство (8) можно переписать в различных формах, например: 4-со 4-оо . # ____4-00 Г (Г) = — ( da ( f (т) cos <0 (t — т) dt — 1/ — ( ] С (fi>) | cos [и/ + arg С (to)] da = Л J ‘ J • Л J — со — со О 4- со = 2. J [Д (v) cos 2mvZ 4- В (v) sin 2лу7] dv (со == 2лу). (4.11-9) О Действительные функции А (v) и В (V) в (9) соответственно являются косииус-пре- образованием четной части (п. 4.2-2) функции f (0 и синус-преобразованием нечетной части функции /((): А (V) — С (V) ~*~gC (~~V) = S't. = J f <T) C0S 2ltVt dT’ — o° - В (V) = = = 4°° f № sin ta dr, > — co (V>0) (4.11-10) с (V) = c (— v) — A (V) — iB (v). A (v) — 0, если функция t (Г) нечетна, a В (v) = 0, если функция f (Г) четна (см. также п. 4.11-3, Ь). Представление интегралом Фурье описывает функцию f (Z) как сумму бесконечно малых синусоидальных компонент с частотой v или круговой частотой G) = 2ЛУ (v 0); функции 2 |«? (v) ] и argc(v) соответственно определяют амплитуду й фазу втнх сину- соидальных компонент. Отметим, что с (— v) = с (V), С (— ш) = С (со) и что 4-со 4-со 4-со J {/ (т)]Е dx = J I г (V) dv == J | С (со) |2 dto, — СО — СО — со (4.11-11) если интеграл в левой части равенства существует (теорема Парсеваля; см. также 1табл. 4.11-2). (d) Функции более общего типа могут быть представлены в виде суммы функции (8) и некоторого множества периодических функций (6), так что у них существуют как «дискретный спектр», так и «непрерывный спектр» (см. также п 18.10-9). Рассмотрение рядов Фурье и интегралов Фурье может быть формально унифицировано с помощью введения обобщенного преобразования Фурье (п. 18.10-10). (е) Теорема Пэли — Винера. Пусть ср (со) — действительная неотрицательная функ- со ция. определенная при —со <z. <Z. со, и J ф8 (со) dto существует. Для того чтобы суще- — со ствовала действительная или комплекснозначная функция f (t), равная нулю при t О и такая, что ее преобразование Фурье С (со) удовлетворяет условию I С (to) | = V 2л О § f dt = Ф (W), — со необлодамо а достаточно, чтобы интеграл I In Ф (ю) I 1 4- ®Е dto был сходящимся. — со Примечание. Теорему Пэли — Вйиера для преобразования Фурье в комплексной области см. в п. 7.6-5.
154 1 а О Л И Ц S <4. -2 Свойства преобразования Фурье (см. также п. 4.11-3 и табл. 8.3-1) Пусть + с° . ___ 3- У (О] J f (О 2’u'* dt =с(У) = /2 Л С (2лт), — 00 4- оо + со f (I) — f с (v) einivt dv= —Lr- f C «0) eicot da, J /2л J —,<x> — co 3^c У (01 = 2 J f Й c°s 2«vZ dt = cc (v), 0 -f-co 3^ У (0] = 2 J f (f) sin 2irv? dt = cs (v) 0 и предположим, что рассматриваемые преобразования Фурье существуют, (а) & [“ ft <f> + 0 fi (О] = о 3~ У* (01 + В 3~ У» <f)J (линейность), & [Л0]=с(—у). ^У «*>]=-с (-) (а >• 0) (теорема масштаба^ теорема подобия}, 3* If (( 4- t)l =? e2^vl!c (V} (теорема о сдвиге}. (Ь) Если функция f (Z) непрерывна, то нз [/ (Z, а)] — [f (Z)] при а а следует f (Z, а)-* НО (теорема непрерывности}. Аналогичные теоремы справедливы и для косинус- к синус-преобразоваиий Фурье. (с) & [fi (Л] & [Fa (Л] = & [ft (Л * f2 (Л1, ) & [fl (0 f. (0J = з= У. га * у у4 (О] гimeopeMa Бвреля °свертке}- где + ОО 4-00 fi(0 *fs(i)= f fl (T)-fj (Z-т) ЙТ= f ft (t — T) fl co dt — CO — co и 4-00 4- co ct. (v) Ж Cq (v) = J Ct (M Cz (v — Л) dK = J ct (v — K} c2 (20 dk — OO — Q3 (n. 4.6-18). [f (Z) — c (v -cvo), [f (Z) cos 2jtv0Z] = -1- [c (V — v0) 4- c (V + v0)], (теорема о модуляции}. 3* № (Л sin 2nv0^] = у- [г (v — Vo) — c (v 4- Vo)] (d) 3? [(f'r)(f)] = (2ra’v)r У [f (0] (r = 0. 1, 2. ...) ^теорема о дифференцировании}. если предположить, что . производная fir} (t} существует при всех t и что все произ- водные меньшего порядка при 11 | -> 4~ °о стремятся к нулю- 4- со 4-со (е) Если интегралы J | (Л р di и J |/а (Л I2 dt существуют, то — со — со 4- со_______ 4- со f 3^ [h (Л] З" [fs (Z)] dv = J fi (i} (Z) dt (теорема Парсеваля}. — co — co
4.11-4. 4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 155 Таблица 4.11-3 Преобразования Фурье ОО f (/) = -Дг ( С «о> ela‘da /2л J C (co) = —1— V f (/) e l(S>t at /2л J — co — co Г (0 C (co) sinrf ,„^Ch (f)1/2. 1.Ш l<n, t 0, | co | > c elat, p<t<q, I elQ ia~co) ~eip («-(О) (2 л) Va co — a o, t <P. t>0 (2л) /2 -ct+iai t>- o, #<o <c>0) i 0. (2n)Vs (a — co 4- ic) e-H2 (Re p >0). фру—Чге—юЧ^Р, е-*Чъ e-^ ./co2 Л \ elvi2. (2a)-’/2£ A 4a 4 j. COS (tf2. (a>0) (2a)-V2 Cosg_Ay sin a/2 n / 11 C02\ (2a) /.sn(T--j l<rs (0< Re s-< 1), ("n")/z r (1 ~~s> sin (4"sjt)'ш |Sl’ 1«Г*Л 1 (0 1 e~a HI (o>0) [(a2 + co2)1/2 4- n]*/s 11 lVa to2 4-co2) Vs ch at ch ni (— л < a < Л) / 2 V/s cos (o/2) ch (co/2) \ л / ch co 4- cos a sh at. sh nt — л < a < л) /J_y/s sin a \2л/ ch m 4- cos a
!бб ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.11-5. T а б л и' ц а 4.11-3 (продолжения СО f (А = ( С (со) e,tatda> Йя J — ОО 00 c (CD) = -4=- f f (A e~i<otdt ГКя. J — co ко - C (co) ch at 77 i— п < а < л) sh л/ 1/fi sh CD " i (ch co 4- cos a) sh at -г—(—п<асл} ch nt (2_У Л ‘>8 sin (0/2) ch (<o/2) i (ch co + cos a) (с? — t2)—1^' 11, ] < а. 0. | f I > а (л/2)*/г J„ (oco) sin [& (о8-!-?8)1/»] (a2 + t*)1/2 (Л/2) 0, 1 co 1 > b. 4* Jo (a Vb2 — co2). 1 co I < * cos (bVa1- f2) (a2 — t2)lH ’ a’ 0, 11 | > a (Л/2)1/2 Jo (V cd2 + b2) ch (bV a2 — t2) Ti ыТ О < a. (a2 — Z2)1/» 0, 1 f I > a 1Л/2)1/!! j„ (Vco2 — b2) pn (0. 111 < 1. A 1 f | > • inn~42 Jn 4.11- 5. Некоторые свойства коэффициентов Фурье и преобразования Фурье (см. также пп. 4.10.1 и 8.3-1). (а) Теорема единственности. Должным образом интегрируемая функция f (t) однозначно определяет свои коэффициенты Фурье (26) или свое преобразование Фурье. Обратно, полный набор коэффициентов Фурье или преобразована Фурье однозначно определяет соответствующую функцию f (t)a почти всюду (п. 4.6-11, Ь) в интервале разложения; в частности, функция f (t) однозначно определена в каждой точке непрерывности в интервале разложения. Эта теорема единственности сохраняет силу даже в том случае, если ряд Фурье или интеграл Фурье не сходятся (см. также п. 4.11-7). Заметим, что не каждый тригонометрический ряд (даже не каждый сходящийся три- гонометрический ряд) является рядом Фурье и не каждая функция с (v) является преоб- разованием Фурье (см. также и. 4.11-2. с) (Ь) Операции над рядами Фурье. Пусть / (t) — функция с коэф- фициентами Фурье ак, Ьк, с* и ф (0 — функция с коэффициентами Фурье ак,
4.11-6. 4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 157 Рк> 'i’fc- для одного и того же интервала разложения, и пусть Zap, —.дей- ствительные числа. Тогда функция X / (/) + р ф.(/) имеет коэффициенты Фурье Z,afc + pafc, W^ + j-iPfe, (почленное сложение и умножение на число). * Почленное интегрирование ряда Фурье (2) по интервалу (t0, t), содержаще- t му я в интервале разложения, дает ряд, сходящийся к \ f (т) dx. Если f (/) — *0 периодическая функция с периодом Т, то эта теорема справедлива для любых значений tQ и t. Заметим, что эти теоремы ие требуют сходимости данных рядов Фурье. По поводу дифференцирования бесконечных рядов см. п'. 4,8-4. (с) Свойства преобразования Фурье. Наиболее важные свой- ства преобразования Фурье перечислены в табл. 4.11-2 (см. также п. 8.3-1). Примеры преобразований Фурье приведены в табл. 4.11-3—'4.11-5. Значительно более подробная таблица преобразований приведена в [8.2] и [8.7]. Отметим также, что 5% У (б cos 2nv07] = у fy + vo) + у _ Ус и (7) si n 2nv07] = у [cs (V + v0) — cs (v - v0)], У & [/ (7) cos 2nv07] = у [cs (v + vu) + cs (v— v0)],. Уs [f (7) sin 2nv„7] = -I pc (v — v0) — cc (v + v0)], Ус [f,2r) (7)] = (- Dr (2nv)2rУс If (7)] - 2 (—I)7 (2m>)27 (+ 0)i 7 = 0 Ус f/,2r+1’(7)J = (- l)r (2т)2г+1У3 [/(/)]-2 (— &nv)2J f,2r 2/1 (+0). 7 = 0 Уз [f,r) (7)] = 2nv Ус [Г"”"1' (7)1 при rs=0, 1, 2, ...» предполагая, что производные в левых частях равенств сугцест- вую! при 0< t < + со и что все производные менывего порядка при t -> ф- со стремятся к 'нулю. 4.11- 6. Интегралы Дирихле и Фейера (с'м. также п. 4.11-7). Частичные .суммы п So (7) = у Со. - sn (7) = у Со + (ak cos k + 7>fc sin k fc = l - (n = l, 2, ...) (4.11-12) n—1 и соответствующие средние арифметические о (0 ==— \ s. {t)(n. 4.8-6, с) ряда Фурье /i-х п /, j « Л==0
158 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ '4.11-в, Таблица 4.11-4 Косинус-преобразования Фурье _ СО 1 (?) «и ~ £ Сс (to) COS (О? d(0 6 оо Сс (со) = J f (0 cos at dt 6 f (0 Сс(Ф) 1, 0 <_ t <5 a, 0, i a \ rt/ <o Г® (0 <; Re s < 1) ♦ (тг)/e r (I ~ s>sln (4s") ®S1 cos t, 0 < t < a, °, t> a Fs!n ° (i — ф> । s{n a (i + <0)1 \2л/ [ 1 — <0 1 + <0 J е~‘ 1 \ П ) 1 + CD® e-t2' 4 e~ щ2/4 cos (-I t") “Ц-г"—Г) sin (Л (®) > . / n (0s \ sin h--~2-) (1 - f»)v, 0 < f < 1, o, t >1 (Re v > — 1) 2vr (v + 1) co - v ~ */2 Jv + t/j ((0) Примечания. 1) Если Cc (co) — кобииус-преобразование Фурье для f (f), то / (co) — косинус- преобразоваиие для Cc (/), 2) Если f(0 — четная функция в интервале (—со, оо), то косинус-преобразова- ние Фурье для НО (0 С # < со) есть С (со). 3) Косинус-преобразоваиие Фурье для f tf/a), где а>0, есть а Сс (аю).
4.11-6. 4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 159 Синус:преобразования Фурье Таблица 4.11-5 . . / со f (0 = j/"-jj- J CS <“) sin ai d(D « co Cs (co) = J ^0 sin <at dt 0 0 fm Cs (CD) 1, о < t < a, 0. t> a ( 2 V/g 1 — cos neo \ n ) co t~s (0 < Re s < 2) lг — s) cos (‘5’ SJX) / 2 V/i co \ Л / 1 4- CD2 у/г — 1)1 (Ca + co2)’- "/2 X x sin (n arctg co/а) re-ZV2 сое- “02 sin t (2л)-1/2 In 1 * -Ь 01.1 | 1 — CO 1 t - 0, 0 < t < a. — a2)3/2. t > a (т)/г J°(ocrt t (1 - t*)\ 0 < I < 1, 0, «>1 (Re V > — 1) ' 2vr (v+ 1) cd~'v-1/2 ^v+2/2 <“> Примечания. 1) Если Cs (со) — синус-преобразование Фурье для НО, то- t (со) — синус-пре- образование для Cs (0. 2) Если НО есть нечетная функция в интервале (—со, со), то синус-преобра- зованне Фурье-для / (0 (0 < t < со) есть iC (со). 3) Сии ус-преобразование Фурье для f (Z/a), где о ^>0, есть а С& (асо).
160 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.11-7. (2) можно записать в виде- , Т{2 sin (2n + 1) ~ ' = т + « --^^ = 7 — Т/? sm у 7/2 С ( (< — т) + / (7 + т) ) г о sin (2п.4- 1) у ---------------dx . пт Sin у (-у <<<у: n = 0. 1. 2. ...у (4.11-13) Г/2 Г f U — *) + Н* 4- П J 2 О (— у < I < у ; n = 1, 2. ...) (4.11-14) (см. также интегральную формулу Дирихле, п. 21.9-4, Ь). 4.11-7. Суммирование средними арифметическими. (а) Частичные суммы ряда Фурье функции f (t) могут не представлять собой полезных приближений функции f (t). Это, в частности, может случиться, если "ряд расходится или если эти частичные суммы «отходят» от функции f (/) вбли зи ее точки разрыва (неравномерная сходимость вблизи точки разрыва, явле- ние Гиббса). В этом случае можно прибегнуть к суммированию средними ариф метическими (п. 4.8-6, с). Каждый ряд Фурье (2) суммируем средними арифметическими к функции f (/) при всех-, t в интервале (— T/2, Т/2), для которых функция f (I), непрерывна', в точках разрыва первого рода средние арифметические сходятся к f(t—0)+f(t + 0) -------2------- (теорема Фейера). Средние арифметические сходятся к f (/) почти всюду-в интервале разложения; они сходятся к/(/) равномерно на каждом таком интервале (а, Ь) сс (а — 6, Ь -f- 6) сс (—Г/2, Г/2), где б > 0, что функция f (t) на (а — б, 6-|-6) непрерывна. 4-со (в) Точно так же, если существует интеграл | / (т) | d т и функция — со f (/) непрерывна всюду, то средние арифметические k fe Н- со / . Z.T \ Я S С{<р)е^=± J U (4.11-15) 0 —6 — со \ 2 / равномерно сходятся при X—»-|-со к функции /(() на каждом ограниченном интервале. Если функция f (Z) равномерно непрерывна на всем интервале (—со, +оо), то и равномерная сходимость распространяется на интервал (—оо, -f-co). 4.11- 8 Кратные ряды и интегралы Фурье. (а) Если задана n-мерная область разложения, определяемая неравенствами «/< tj<_ aj-\-Tj, f=l, 2, ... п, то кратный ряд Фурье, порожденный функ- цией f (tlt t2, ..., tn), для которой существует интеграл ai+Ttai+TZ ап+Тп i 5 - j ^2» 1 rfCg ••• dT'fit
4.1I-В. 4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 161 по определению есть X ехр (4.11-18) dt-j ... (b) Кратный интеграл Фурье, порожденный функцией tn)t для которой существует интеграл 4-со -Р-оо 4-со J j ... J |/(Т1, и,|dTt dT8...dTn, —ОО —СО -ОО по определению есть । 4-оо 4-со 4-со г п | j J — J C (ы" “«’•••• <o„)exp J 2®^ —*оп. —00 —00 —CO | j=^i J । 4-со 4-00 C(W1.®2........................5 S — S T8,...,T„)X (4.11-17) [n ji — i 2 ®*т/ I dtirftg ... rfz„. /=1 J Как и в равенстве (4), можно ввести = со/(2л). Для областей интегрирова- ния, определяемых неравенствами 0 •< 7;<-{-со или— со<^<;0, по аналогии сп 4.11-3 получают кратные синус-и косинус-интегралы Фурье. (с) Если'задана область разложения —со < t, < 4- со, а2 < ta < as-f- /2, то для функции f ((t, t2) можно получить «смешанное» разложение Фурье: । 1 со 4’°° F —о0 • | "Ь00 г С*'Ы1,=7Ж $ 1 2Г —оо Г? /dcoj, ,/ , . 2ятл (4.11-18) б7т । dTg. Аналогично можно скомбинировать интегралы Фурье и ряды Фурье-(а также синус- и косинус-интегралы Фурье) и в случае более чем двух измерений. (d) Показательные функции в (16), (17) и (18) с помощью равенств (21.2-28) могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов. Все теоремы пи. 4 11-2 — 4.11-7 могут быть обобщены на случай кратных рядоа и ингнег- ралоз Фурье.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 5.1. ВЕКТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ _ В каждом классе векторов (например, перемещений, скоростей, сил, нап- ряженностей магнитного поля) можно определить операции, известные как сложение векторов и умножение их на [действительные) скаляры (п. 5.2-1), а также как скалярное умножение векторов (п. 5.2-6). Классы векторов, встречающиеся в геометрии и физике, чаще всего связаны с двух- или трех- мерным евклидовым пространством. 1. Векторы любого класса допускают однозначное представление в виде перемещений (т. е. направленных отрезков) в' геометрическом пространстве. Это представление сохраняет соответствие между сум- мами векторов, произведениями их на скаляры и скалярными произ- ведениями векторов (см. также пп. 12.1-6 и 14.2-1 — 14.2-7). 2. В большинстве приложений векторы появляются как функции точки в геометрическом пространстве (вектор-функции точки, п. 5.4-1). Такие векторы, как скорости и силы, обычно впервые определяются на геометрическом языке как «величины, обладающие длиной и направлением», или, несколько точнее, как величины, которые могут быть представлены в виде направленных отрезков, складывающихся по «правилу параллело- грамма». Такой геометрический подход, общий для большинства элементар- ных курсов, использован в пп. 5.2-1 и 5.2-8 при введении основных опера- ций над векторами. Рассмотрение векторов с более общей точки зрения дано в п. 12.4-1 и в гл. 14. • Векторный анализ изучает векторные (и скалярные) функции. Любой век- тор может быть задан набором числовых функций (координат вектора) в со- ответствующем базисе (пп.5.2-2, 5.2-3, 5.4-1 н 6.3-1). Замечание. Описание физического состояния векторными величинами следует рассматривать не только как способ сокращенной записи системы координатных уравне- ний одним уравнением, но и.как пример математической модели, элементы которой не ограничиваются числами. Заметим также,'что класс - объектов, допускающих взаимно однозначное соответствие с классом направленных отрезков, может и не* являться векторным пространством, если у него нет описанных выше алгебраических свойств- 5.2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 5.2-1. Сложение векторов и умножение вектора на (действительный) ска- ляр. Векторная сумма a -|- b двух векторов а и b одного класса есть вектор, соответствующий геометрической сумме соответственных направленных бтрез- ков (правило параллелограмма). Произведение вектора а на действительное чцсло (скаляр) а есть вектор, соответствующий направленному отрезку, в | а | раз более длинному, чем отрезок, соответствующий вектору а, и нап- равленному в случае отрицательного а в сторону, противоположную вектору а. Нулевой вектор 0 каждого- класса векторов соответствует перемещению нуле- вой длины2 и а-|-0 —а.
6.2-4. ' 5.2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА' 163 Определенные таким образом сложение векторов и умножение их на ска- ляры удовлетворяют соотношениям: а + b = b + a; a-|-(b + c) = (a-|-b)-|-c=:a-|-b + c; 1 а (Ра) — (ар) а; (а + р) а == аа + §а; а (а -|- b) — сса -|- ab‘ } (5.2-1) 1а = а; (—1)-а = — а; 0а = 0; а—а —0; a-J-0 = a. J Обобщение векторной алгебры см. пп. 14.2-1 — 14.2-4. 5.2-2. Разложение векторов по базисным векторам, т векторов a*, а2,-..., am линейно независимы, если из ^1а1 + + • • • + = 0 следует Xi = =... = — 0. В противном случае эти векторы линейно зависимы (см. также пп. 1.9-3 и 14.2-3). Любой вектор а трехмерного векторного пространства может быть разложен по трем линейно независимым векторам elt е2, е3, т. е. представлен в виде их линейной комбинации а = a^j + ссавз + а3е3. (5.2-2) Коэффициенты а1г а2, а3 называются координатами вектора а по отношению к базису, определенному базисными векторами elf е2, е3 (см. также п. 14.2-4). Если базисная система задана, то векторы а, Ь,... представляются упоря- доченными тройками (ccj, а2, а3), (ръ р2, ф3),... их координат; при этом а.+ Ь и оса представляются соответственно тройками (о^ + ръ + ₽2» аз + ₽з) и (aalf осос2, осос3). Соотношения между векторами могут быть выражены через соответствующие системы соотношений между их координатами. Векторы, принадлежащие двумерному векторному пространству (например, плоские перемещения), представляются подобным образом упорядоченными парами координат. Для разложения векторов, определенных в данной точке пространства (п. 5.4-1), обычно выбирают базис, связанный с используемой координатной системой. В гл. 6 специально рассматривается разложение векторов по векторам локального базиса, нап- равленным по координатным линиям-криволинейной системы координат в каждой точке и перпендикулярно к ним; величины и направления векторов локального базиса, вообще говоря, различны в различных точках. Формулы преобразования координат вектора, заданных в различных базисах, даны в табл. 6.3-1 и в п. 14.6-1. 5.2-3. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Если в пространстве вадана правая прямоугольная система декартовых координат (п. 3.1-4), то единичные векторы (п. 5.2-5) i, j, к осей Ох, Оу и Oz соответственно обра- зуют удобную систему базисных векторон. Координаты ах, ау, аг вектора а — + ау) + (5.2-3) называются декартовыми прямоугольными координатами вектора а. Заметим, что эти координаты ах ~ а • I, ау = а • j, аг — а-к (п. 5.2-6) являются проекциями вектора а; Координаты u- 1, и •/, и • к любого единичного вектора и являются его направляющими косинусами (п. 3.1-8). 5.2-4. Векторы и физические размерности. Векторы можно умножать не только на безразмерные скаляры (например, постоянный вектор скорости умножают на интервал времени, чтобы получить вектор перемещения). Если физическая величина есть вектор (2J: или (3), то ее физическую размерность целесообразно приписать координатам вектора, а ее базисным векторам. При этом последние рассматриваются как безразмерные вели- чины и могут быть использованы в качестве общей базисной системы для различных классов векторов, имеющих различные физические размеркости (например^ перемещена яг скорости,, силы н т. п.; см. также п. 16.1-4),
164 ГЛ. Б. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Б.2-Б. Б.2-5. Модуль (норма,, абсолютная величина, длина) вектора. Модуль [.а | вектора а в евклидовом пространстве есть скаляр, пропорциональ- ный длине перемещения, соответствующего вектору а (п. Б. 1-1; абстрактное определение см. пп. 14.2-5 и 14.2-7). Модуль вектора удовлетворяет соотно- щениям (1.1-4). Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором или ортом. (Попарно перпендикулярные) базисные векторы i, j, k (п. 5.2-3) являются единичными, так что I ах* I — I ах I > I ayi I ~ I ау I • I I = I I > | 7 |а|=У4 + ^ + < ' J. (5’ "4) 5.2- 6. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов. Скалярное произведение а Ь [другое обозначение (а, Ь)] двух векторов а и b есть скаляр а-Ь=|а| | b | cos у, (5.2-5) ) * • где у — угол между векторами а и b (абстрактное определение см. пп. 14.2-6 и 14.2-7). Если а и b — физические величин, то физическая размерность скалярного произведения а-Б должна быть указан^ (см. также п. 5.2-4). В табл. 5.2-1 Таблица Б.2-1 Свойства скалярного произведения (а) Основные соотношения: а.Ь = Ь-а; а-(Ь + с) — а-b-|-а-с; (аа)-Ь = а (а-Ь); а-Ь а-а = а2 == | а |2 0; [ а-b | | а | • | b I; cos у = /а2Ь2 (Ь) Выражение в прямоугольных декартовых координатах (п. 5.2-3): 1-1 == j.j ~k-k = 1; l.j = j.k = k-i = 0; a-b = (ал|.+ ayj + ^k) -(^1 + byj + bk) = + ayby + a =a-i, a ,, = a-j. a =a-k. ' л у я приведены основные соотношения для скалярного произведения. Два ненуле- вых вектора а и b взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда а • Ь = 0. • 5.2- 7. Векторное произведение двух векторов. Векторное произведение а X b (другое обозначение [а, Ь]) двух векторов а и b есть вектор, модуль которого равен [ а X b | — [ а | | b | sin у; , (5.2-6) его направление перпендикулярно к1 обоим векторам а и Ь и совпадает с. нап- равлением поступательного движения правого винта при его повороте от а к Ь на угол, меньший л. Два вектора линейно зависимы (п. 5.2-2) тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю. В табл. 5.2-2 приведены основные соотношения для векторного произведения. Более общее определе- ние векторного произведения см. п. 16.8-4; в пи. 3.1-10 и 17.3^5 даны пред- ставления площади области как вектора.
6.2-8. ' 6.2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА - • 165 Таблица 6.2-2 Свойства векторного произведения (а) Основные соотношения: а х ь = - Ь х а; а к (Ь + с) = а х Ь + а X с; (аа) х b = а (а х И); а X а = 0; а (а х Ь) = Ь . (а К Ь) = 0. р) Выражение в любом базисе elt £е. е8* . а = Oiet + a2es + a b = ptet + ₽2ея 4- р3е8> е2 X е, О: 6: ах b = «я X е( Ре С1 X е4 а3 $а (с) Выражение в прямоугольных декартовых координатах: 1 X 1 = j X J = k X к = 0. 1 X j — к. | X к = 1, к X I = j; = (°А - °Л) 1 + (°А ~ °А) * + (axby ~ °уьх) к- 5.2- 8. Смешанное (векторио-скалярное) произведение. а-(ЬХс) = |abcj = [bca] = |cab] = — [bac] = — |cba] = — [acb], (5.2-7) [abc]2= [(а X b) (b X с) (с X а)] = а2Ь2с2 — а2 (Ь - с)2 — Ь2 (с • а)2 — с2 (а • Ь)2 + -f- 2 (а • Ь) (Ь • с) (с • а) = а-а а-Ь Ь- а b-b О* W П (Т> (определитель Грама, см. (5.2-8) п. 14.2-6), с•а с* b с«с а- d а*е a*f [abc| (def] = b-d b-e b-f . (5.2-9) c*d с> е с • f В .любом базисе elt е2, е3 (п. 5.2-2, см. также пп. .5.2-3 и 6.3-4) [цЬс] = «1 31 71 «2 ₽2 72 «з ₽з 7з 01 ege8]. (5.2-10) В правой системе декартовых прямоугольных координат (abcj = ах ьх ау by аг ьг С; (>• 0, если векторы а, Ь, с к образуют правую тройку). С*1 с, (5.2-11)
166 ГЛ. Б. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Б.2-9. Б,2-9» Другие произведения, содержащие более двух векторов. а X (b X с) = b (а • с) —'С (а . Ь) == | , Ь С I (5.2-12) | (а • Ь) (а с) | {двойное векторное произведение), (а х Ь) • (с X й) = (а • с) (Ь . й) — (а • й) (Ь • с) =1 а |> (5.2-13) I а • о b - о | (а X Ь)= = а2Ь2 — (а . Ь)2, (5.2-14) (а X Ь) X (с X b) = [acd] b — [bed] а = [abd] с — [abc] d. (5.2-15) 5.2-10. Разложение вектора а по направлению единичного вектора и и ему перпен- дикулярному: а = п (а • и) 4- их(ахи). (5.2-16) 5.2-11. Решение уравнений ([abc] ф 0). (а) х • а хха Zb.} «-a£+(axb)±; (5.2-17) (Ь) с£ с? II II Cfl л к к , Р (Ьхс) + <1 (сха) + г (axb) . (5.2-18) х . с = г, 1 [abc] (с) ая 4* b# 4- cz 4- d = 0, [dbc] [айс] tabd] (5.2-19) х~ [abc]’ v [abc] ’ [abc]’ (й) (ЬХс) x -|- (сха) у + (axb) z + d == 0, й . а d • b d • c (5.2-20) х~~ [abc]’ v [abc]’ [abc]' 5.3. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 5.3- 1. Векторные функции и .их пределы. Векторная функция v=v(/) ска- лярного аргумента t ставит в соответствие каждому значению аргумента t из области определения, (см. также п. 4.2-1) одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) «значений» вектора v. В прямоугольных декартовых координатах v=v (0 = ол (t) i + Og, (0 j + vs (0 k. (5.3-1) Вектор-функция v (t) ограничена, если ограничен .ее модуль | v (t) |. Она имеет предел v,= lim v (t), если для каждого положительного числа е суще- Отвует такое число 5, что из 0 < 11—tx | < 5 следует | v {/)—v2 | < е (см. также пп. 4.4-1 и 12.5-3). Если lim v(l) существует, то limv(0=i lim »v(0 + j lim ou(f)+k lim vz(t). (5.3-2) t->tt t-^tr t->tt u t-^tt Предел суммы векторов, скалярного и векторного произведений находится по формулам, аналогичным формулам п. 4.4-2. Вектор-функция v (t) непрерывна при t—tx, если lim v (t) = v (tx). (см. также пп. 4.4-6 и 12.5-3). 5.3- 2. Дифференцирование. Векторная функция v (t) дифференцируема прй данном значении t, если существует конечная производная (см. также п. 4.5-1): = lim vp + AO-vj/). Д/-0 л Если производная d2v/dt2 от dv/dt существует, она называется второй производной от v(0i- и т- А- Табл. 5.3-1 содержит основные правила диффе- ренцирования.
Б.3-3. Б.З. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА ) 167 Таблица 5.3-1 Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента' (а) Основные правила: -£-[v(0±w(0] = ^-±4r: ^[“v(0] = a-^-(a = const): xw(01=-^- xw + v x-^: -A-v[HO]— 4-[v w w (0 u (0]=Hrwu]+[v u] + [vw4r] • (b) В прямоугольных декартовых координатах dv (f) dvx (0 dvy (Г) dvz (t) ~di~= ~di ’4 dt j 4 dt k- (с) Если базисные векторы et (0., e2 (0, e3 (/) — функции от t н v (() =щ (Г) е, (7) -J- 4- aa (0 e2 (0 + a3 (A e2 (0, to dv (/) I dat , da, , da3 \ , f de, , de, . de, \ ~м=\ЗГ е* + -йГе“ + -5гЧ + Г*‘л' + “1^Г’г“3^)- Аналогичные правила применимы к вычислению частных производных dv/dti, dv/dt2, ... векторной функций v = v(tlt t2, •) от двух или более скалярных аргументов tlt t2, ... Замечание. Если V0 (0 — орг вектора v (t): V (0 == I V (О I V® (/), то ^T = “XV» и ^^v->+|v|^=^!v»+w XV, (5.3.4) где вектор <а направлен (по правилу правого винта) вдоль оси, вокруг которой повора- чивается вектор v (0, и имеет длину, равную угловой скорости поворота вектора v(t) по отношению к t. (Пример: вектор угловой скорости в физике; см. также п, 17.2-3). В формуле (4) первое слагаемое характеризует изменение длины вектора v (О, а второе слагаемое — нзмененне его направления. Если | v (t) | = const, то векторы v (О и dvldt перпендикулярны. 5.3-3. Интегрирование и обыкновенные дифференциальные уравнения. Неопреде- ленный интеграл V (/) = J V (0 dt от векторной функции v (/) определяется как решение векторного дифференциального уравнения (см. также п. 9,1-1); ^-V(/)=v((), (5.3-5) которое можно заменить системой дифференциальных уравнений для координат вектора v (О- Другие обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные от векторной функции скалярного аргумента, трактуются подобным же образом. Определенный интеграл b п Jv (()<»= lim ZvfilfrU a' o — u :=l Где a = t„<. t, </2 <... <.tn=b 6 = max l^-^l (см. также n. 4,6-1)* может быть выражен через координаты b b b ь J V (f) dt = i-J vx (?) dt -t- j J vy (0 dt -i-k J Dg (t) dt. a a a a (5.3-6) (5,3-7)
168 ГЛ. Б. ВЕКТОРНЫЙ анализ Б.4-». 5.4. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 5.4-1. Вводные замечания. Конец этой главы посвящен скалярным и век- торным функциям точки в евклидовом пространстве. Если не оговорено про- тивное, скалярные и векторные функций предполагаются однозначными, не- прерывными и дифференцируемыми достаточное число раз. Соотношения между скалярными и векторными функциями устанавливаются: ~1) в инвариантной форме (независимо от системы координат) и 2) в координатной форме 'по отношению к правой прямоугольной декарто- вой системе координат (п. 5.2-3), гак что 1) F(r)sF (x, у, z} = Fx(x, у, г)1+^(х, у, г) j-ЬFz (х, у, г) к. (5.4-1) Соотношения в пп. 5.4-2—5.7-3 не зависят .от. выбора системы координат в пространстве. Запись векторных соотношений в локальных базисах систем криволинейных координат рассматривается в гл. 6. 5.4-2. Скалярные поля. Скалярное поле есть скалярная функция точки Ф (г) = Ф (х, у, г) вместе с областью ее определения. Поверхности Ф(г) = Ф(х, у, г) = const (5.4-2) (п. 3.1-14) называются поверхностями уровня боля; они позволяют предста- вить поле геометрически. 5.4-3. Векторные поля. Векторное поле есть векторная функция точки F(r)=F(x, у, $ вместе с областью ее определения.'Векторные линии (линии тока) в каждой точке (г) имеют направление вектора поля F (г) и опреде- ляются дифференциальными уравнениями dTXF(r) = 0 илв = (5.4-3) Векторное поле F (г) может быть представлено геометрически своими векторными линиями, относительная плотность которых в каждой точке (г) пропорциональна модулю | F(r)|. Б.4-4. Векторный элемент линии и длина дуги (см. также п. 4.6-9). ’ (а) Векторный элемент линии (дифференциал радиуса-вектора) dr вдоль кривой С, описываемой уравнениями х=х(О> У — У (0. г = г (0, г = г(() или (5.4-4) определяется в каждой точке (г) = [х (I), y(t), г (01 формулой dt=dx i+dy J + dxk = 0^ i (5.4-5) Вектор dr направлен по касательной к кривой С в каждой регулярной точке (см. также п. 17.2-2). (Ь) Длина дуги s спрямляемой кривой (4) (п. 4.6-9) выражается формулой г .’ - s= jds, I, где ds=/d^ww=К(^У+(1У+СтУ dt= =^d( = rdnd?=vff Л (5.4-6) в каждой регулярной точке (г) = |х (Z), y(t), г (01 кривой С. ’) Всюду в гл. v и 6 индексы в обозначениях Г*. f ... н- фереипировавне по л, у, 2, ... указываю! на диф-
Б. 4-6. 6.4 СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 169 5.4-5. Криволинейные (линейные) интегралы (см. также п. 4.6-10). Для спрямляемой дуги С, заданной уравнением (4), скалярные интегралы ? Ф (г)ds ='$ Ф (я, У, z)ds= $ Ф[х((), y(t), z(t)\~dt, с с с p(r)-dr= рл(х, У, z)dx + Fy(x, у, z)dy + F^(x, у, г) dz= (5.4-7) == $ F (О • ^+Fy^ + F^) dt c c можно определить непосредственно как пределы сумм тем же способом, что и в п. 4.6-10; однако более удобно подставить функции x(t), у (/), г (/); dx/dt, dy/dt, dz/dt из формул (4) в формулу (7)'и интегрировать по t. Подобным ,же обрааом определяются и векторные криволинейные интегралы: Г Ф (г) dr = < J Ф (Л. у, z) dx + j J Ф (х, д, z) dy -f- k J Ф (x, y, z) dz — C C C C = J ф lr) 37dt’= S [ф u’ y' г) 37 1 + ф <x' y’ г) л 1 + ф (A y' г} W k] dt’ <5-4'8> c c1 . . F (r)Xdr = J F (r) x^ dt = C C Значение скалярного или векторного криволинейного интеграла зависит от пути интегрирования С, если только не выполнены специальные условия п. 5.7-1. Применение криволинейных координат см. пп. 6.2-3 и 6.4-3. Замечание. Часто оказывается полезным в кзчестве нового параметра в выра- жения/ (7), (8), (9) ввести длину дуги s с помощью формулы (6). 5.4-6. Поверхностные интегралы (см. также пп. 4.6-12 и 17.3-3,с). (а) В каждой регулярной точке двусторонней- поверхности, заданной уравнением t=r(u, v) (п. 3.1-14), можно определить векторный элемент по- верхности (вектор площадки) В случае замкнутой поверхности координаты и, v на поверхности обычно упорядочивают так, чтобы направление вектора dS (направление положитель- ной нормали к поверхности, п. 17.3-2) было внешним по отношению к телу, ограниченному данной - поверхностью. Элемент площади поверхности в точке (и, v) определяется так; dS = | dS | == | ^X^ | du dv. (5.4-11) В частности, при u=x, v—y, z=z.(x, y) %i + k)dxay, dS=/gy + (g)2 + ldx^. (5.4-12).
170 ГЛ. Б. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В.4-7 (Ь) В дальнейшем предполагается, что площадь J dS (п. 4.6-11) рассма- триваемой поверхности S существует; в этом случае формула (10) определяет элемент dS почти всюду на S (п. 4.6-14,Ь). Скалярные поверхностные ин- тегралы J®(r)dS и J F (г) • dS (5.4-13) и векторные поверхностные интегралы J Ф (г) dS и J F (r)xds (5.4-14) от функций Ф (г) и F (г), заданных на поверхности, могут быть определены непосредственно как пределы сумм так же, как в пп. 4.6-1, 4.6-10 и 5.3-3. Однако удобнее применить формулу (10), чтобы выразить каждый поверх- ностный интеграл через двойной интеграл по координатам и, v (см. также п. 6.4-3,Ь). Иногда в формулах (13) и (14) вместо одного знака интеграла пишут два, например Ф (г) dS., Скалярный поверхностный интеграл' $F(r) • dS называется потоком -вектора F (г) через поверхность S. Заметим, S ♦ что J F (х, у, z) • dS= ЭД Fx [х (у, г), у, z]dydz+ V (х> г)> z] dx dz + у Fz [х, у, г(х, y)]dxdy. (5.4-15) В первом интеграле независимые переменные и —у, v—z, во втором интег- рале u = z, v;=x и т. ,д. (см. также формулу (12)). Формально к такому' же результату приводит запись dS=dz/dzi-f- + dz dx j + dx dy k, но она требует специальных оговорок относительно смысла dx, dy, dz. 5.4- 7. Объемные интегралы (см. также п. 4.6-12). Если дана область V в трехмерном евклидовом пространстве, то скалярный объемный интеграл J®(r)dV = fjf Ф(х, у, z)dxdydz (5.4-16) V v и векторный объемный интеграл $ F (r)d!/ = ^J[Ax(x, у, z)i+Fy(x, у, z)J+^(x, у, z)k]dxdydz (5.4-17) v v могут быть определены как пределы сумм тем же способом, что и в п. 4.6-1; они могут быть также выражены непосредственно через тройные интегралы по х, у, г. О применении криволинейных координат см. пп. 6.2-3,b и 6.4-33с. 5.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 5.5- 1. Градиент, дивергенция и ротор; инвариантные определения. Гради- ент скалярной функции точки Ф(г) = Ф(х, у, г) есть векторная функция точкиг определяемая формулой J Ф.(Г1) dS grad Ф (г) = V® s lim .... (5.5-1) 6^-0 J dV 1 4 Vi
5.5-2. Б.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 171 где j/t_область, содержащая точку (г), Sf—замкнутая поверхность,- ограни- чивающая область V'i, 6—>наибольшее расстояние от точки (г) до точек по- верхности Sj. _ Дивергенция'векторной функции точки F (г) есть скалярная, функция точки, определяемая формулой J dS.F (Г1) div F (г) = V • F = lim ^-7---. (5.5-2) б-о J dv vt Ротор векторной функции точки F (г) есть векторная функция точки, определяемая формулой J dSxF (го rot F(r) = VxF== lim-ti—------. (5.5-3) в-о f dV Vt Замечание. В каждой точке, где существует вектор grad Ф (г) ф 0. его модуль равен наибольшей производной по направлению йФ/rfs в этой точке, а его направление совпадает с направлением, в котором эта наибольшая производная достигается (и. 5.5-3,с). Векторные линии поля grad Ф определяются уравнениями drxVO — 0 или dx:dy: dz~^: 5 (5.5-5) Линии градиента, определяемые этими уравнениями, перпендикулярны к поверх- ностям уровня (5.4-2), 5.5- 2. Оператор V. В прямоугольных декартовых координатах линейный оператор V (набла) определяется формулой V=/-i+± j+#k. (5.5-6) дх 1 ду J 1 дг ' Его применение к скалярным и векторным функциям точки формально соот- ветствует некоммутативной операции умножения на вектор с декартовыми координатами д/дх, д/ду, д/дг‘. i/, z) = gradO(x, у, a) = |®i+^j+|®к( „ дР„ dFt. dF„ ' V-F(>;, у, z)=divF(x, у, V XF (х, у, г) s rot F (х, у, г) — (О.У)Ф==О ^+<? G а® х дх 1 У ду 1 z дг* (G • V) F = Qx £ + G„ ft+Gz = x дх 1 У ду 1 г дг = (G • VFJ i + (G • VFy) j +(G • VFJ k. T> - таблице 5.5-1 приведены правила действий с оператором V.
172 ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 6.6-3. Таблица 5.t-l Правила действий с оператором V (а) Линейность (а — const) V (Ф + 40 «= V® + V4r: V <<i®> = а V®: V • (F + G) — V • F + V • G; V • (аР) = а V • F; VX(F + G) = VXF + Vx G: V X (аР) == а V х F. (Ь) Действия с произведениями V (ФЧС) =.ЧГ V© + Ф ЧЧГ: V (F • G) = (F • V) G + (G - V) F + F X (V х G) + G X (V х'Р): V - (ФР) = ф V F 4- (V®) • F; V-(FXG) = G- VXF — F-Vx G; .G V) ©F = F (G • V®) + Ф (G • V) Е; V X (ФР) = ©V X F + V® X F; V X (Fx G) = (G • V) F - (F . VI G 4- F. (V • G) - G (V • F): (G V) F = X (F X G) + V (F G) - F (V • G) + G (V • F) — - FXfVXGt— G X (VXF)J. Заметим, что векторные соотношения, содержащие V®, V-F н VXF, не зависят от выбора системы координат. Выражение операций V®. V-F и VXF в различных системах координат см. в гл. 6 и п. 16.10-7 5.5-3. Полный дифференциал, полная производная и производная по на- правлению. (а) Полный дифференциал ЛФ скалярной функции точки Ф (г), соответ- ствующий перемещению точки dr — dx i-f-dp j + dz k, есть d®=dx-J-~ dy -J-dz = dr - grad Ф = (dr • V) Ф (5.5-8) (см. также n. 4.5-3,a). . (b) Полная производная dф/dt функции Ф (r)‘ вдоль кривой г=г (7) есть скорость изменения функции Ф (г) по отношению'к параметру t, когда г изменяется как функция от t (см. также табл. 4.5-2,а): d©_d®dx аФйд,аФйг_/л-„\ф fSS-9) dt ~ дх dt + ду dt + дг dt \dt ) ’ где Г=Г(0 ИЛИ Х = Х ((),' У~У (0, 2 = 2(0- З а м е ч а н и е. Если функция Ф явно зависит от т. е. Ф — Ф (г, 0. то &Ф /dr \ дФ = + V- (5.5-10) at \al j ot (с) Производная по направлению d®/ds от скалярной функции точки Ф (г) есть скорость изменения функции по отношению к величине Перемещения 5 точ- ки (г) вдоль выбранного направления. Если направление задано единичным- век- тором us cos ах i-J-cosa^j +созагк с направляющими косинусами cos ах, cosay, созаг (п. 3.1-8, а), то производная по этому направлению равна 3^=^ cos a*+ cos “»+ cos ®*==<u ' ф; (5.5-11) dO/ds есть полная производная от функции Ф (г) по длине дуги s кривой^ касающейся вектора u = dr/ds.
Б. 6-в. 5,5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 173 (d) Полный дифференциал, полная производная и производная по направ- лению от векторной функции точки F (г) определяются аналогично: dF = (dr-V) F = (rfr-V)7?J+ (dr-V)Fy j + (rfr • V)/^ k = ^dFx i + dFy i + dFz k, = (u - V) F = (u V) Fx i + (u - V) Fy j + (u V)FZ k = 6,5- 4. Производные высших порядков по направлению. Ряд Тейлора. Производные порядка -п от функций Ф и F по направлению единичного вектора и определяются фор- мулами dn dn Т—• Ф .г) = (и • V)n ф (г) и F (г) = (U • V)" F (г). (5.5-13) dsn dsn Если рассматриваемые ниже ряды сходятся, то (см. также п. 4; 10*5) Ф (г 4- Дг) = Ф (Г) + (Дг • V) Ф (г) 4— (Дг - V)2 ф (Г) 4- ... = • _ t(Ar - V) ф(Г) = ф (г) -J- Дг Ф (г) 4- (Дг)2 Ф (г) 4- .,(5.5-1-М F (г 4- Дг) = F (Г) 4- (Дг • V) F (г) 4- ^j- (Дг V)2 F (г) 4- . . . = = г(Дг • V) F (г) = F (г) 4- Дг 4- F (г) 4- (Дг)2 ~ F (г) + . . ., (5.5-1-ад , lls a S" где все производные по направлению берутся^ в точке (г) в направлении Дг. а Дг—|Дг|. 5.5- 5. Оператор Лапласа. Оператор Лапласа (лапласиан) V2=V-V (обозна- чаемый иногда через А) выражается в декартовых прямоугольных координа- тах формулой V2sv.v^ + g+^ (5.5-15) (другие выражения см. гл. 6 и п. 16.10-7). Этот оператор может быть при- менен- к скалярным и векторным функциям точри-с помощью некоммутатив- ного скалярного «умножения»: V2® = ф (X, у, z), 1 (5.5-16) V2F = V2FX i + УЧРу j + V2FZ к. ) Заметим, что V2(a®+p4f) = a V2®-f-p V2'F (линейность), (5.5-17) V2 (фЧ^Ф V2®+2 (VO) --(V¥)+® V24f. (5.5-18) . 5.5-6. Операции второго порядка. Отметим следующие правила повтор- ного применения оператора V: div grad <D = V • (V®) = V2<D, grad div F = V (V F) = V2F + Vx(VX F), rot rot F = Vx(VxF) = V (V-F)—V2F, rot grad Ф = Тх(УФ) = 0, div rot F = V (VxF)=0. (5.5-19)
174 ГЛ. Б. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Б.5-7. 5.5-7. Операции над простейшими функциями от г. В табл. 5.5-2 и 5.5-3 приведены результаты применения дифференциальных операций к некото- рым простейшим скалярным и векторным функциям от радиуса-вектора г. Таблица 5.5-2 Операции над скалярными функциями (г = | г |, а = const, п — 0, -ь 1, + 2, ...) ф \?2ф а ♦ г гп In г а пг Г Г г? 0 -п(п+0 гП~* 1 ' , г2 Т а б л и ц а 5.5-3 Операции иад векторными функциями F V-F V X F (G V) F V2F V (V • F) Г 3 0 G 0 0 а X г 0 2а а X G 0 0 алв пгп~* (Г • а) яг"-2 (гха) яг"-2 (г - G) а л (п + 1) X X г"'2 а ягп-2а+ + п (п — 2) гп~л х X (г • а) г гг” (п + 3) г” о 1 ' rnG + + яХ2Х X (г • G) г п (п + 3) X хЛаг п (« + 3) г"~аг а!пг г а г х а г2 (G г) а г2 а 7 а _ 2 (г • а) г г2 г4 Дополнительные формулы могут быть получены с помощью табл. 5.5-1. Отметим еще формулы {F (г) V} г = F (г), (5.5-20) - V^-=-VX5?- при a=const. (5.5-21) Б.Б-8. Функции от двух и более радиусов-векторов. В типичном случае двух радиу- сов-векторов г = (х, Й 2) и (> = (g, T), Й к функциям вида Ф (г, о ) = Ф (х, у, z; (•, i),‘g), F (г, .6) ss F (х, у, г; I], g) могут быть применены два различных оператора у; В частностиг имеем у ф (г — е) = — vc ф (г — о), V • F (г — 0) = —VQ-F (г-0), vxF(r-e) = -vexF(r-e). (5.5-22)
5.6-1. Б.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ I/O 5.6. ИНТЕ РАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 6.6- 1» Теорема о дивергенции *) и связанные с ней теоремы. (а) В табл. 5.6-1 собраны важнейшие теоремы, связывающие объемные интегралы • по области V и поверхностные интегралы по границе S этой об- ласти. Область V предполагается ограниченной и пространственно-односвяз- ной (п. 4.3-6), поверхность S—замкнутой и регулярной (п. 3.1-14), функции — однозначными и непрерывными в V и на S, причем все частные производные, Таблица 5.6-1 Теоремы, связывающие объемные и поверхностные интегралы 1. Теорема о дивергенции J V • F (г) dV = V dS • F (r) S 2. Теорема о роторе J V М F (г) dV = V / J dS x F (r) S 3. Теорема о градиенте J V® (г) dV = J V S dS Ф (r) 4. Теоремы Грина J V® • VlF dV + J Ф V2® dV = J dS • (Ч? V®) = V V s- = ? Ф dS, } an S J (’T V£<£ — Ф dV = J dS‘. VCD - Ф W) = j \ an dn / S 5. Частные случаи v2® dV = dS • V® = 1 f S J | v® I2 dv + J Ф V2® dV f V дФ dS {теорема Гаусса), = J dS » (Ф V®) = S =Л ф 4г" dS J dn S встречающиеся е объемных или поверхностных интегралах, предполагаются не- прерывными соответственно в V или на S. Все теоремы остаются справедливыми и для неограниченной области, если подынтегральные функции в поверхностных интегралах имеют порядок О(1/г$) при г—»со'(п. 4.4-3)’. Формулы для поверх- ностных и объемных интегралов в системах криволинейных координат см. гл. 6 и п. 17.3-3; приложения см. пп. 15.6-5 и 15.6-10. ’Словесная формулировка теоремы о дивергенции (теоремы Гаусса-Остро- градского) такова. Поток вектора через замкнутую поверхность (п. 5.4-6) ра- вен интегралу от дивергенции по объему, ограниченному втой поверхностью. (Ь) Замечание о нормальной производной. Нормальная производная от скалярной функции Ф (г) в регулярной точке поверхности S тео^ема в отечественной литературе называется теоремой Гаусса — Остро-
Т76 ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 5-«-2- есть производная по направлению положительной нормали, т. е. dS (если поверхность замкнута, то обычно берут внешнюю нормаль,, п. 17.3-2). Нормальная производная обозначается обычно через дФ/дп, так что Ф. 5.6-2. Теорема о роторе и связанные с ней теоремы. Если векторная функ- ция F (г) однозначна н имеет непрерывные частные производные всюду в ко- нечной поверхностно-односвязной области V и если лежащая в области V поверхность S односвязна, регулярна и ограничена регулярной замкнутой кривой С, то j dS - [VXF (г)] dr • F (г) (теорема Стокса), (5.6-1) т. е. криволинейный интеграл от F (г) по замкнутому 'контуру С равен по- току ротора VxF через поверхность, натянутую на контур С. Ориентация вектора площадки rfS должна быть согласована с ориентацией контура С по правилу правого винта. (Точнее, такая ориентация производится у края поверхности, а затем продолжается по непрерывности.) При тех же условиях, что и выше. j (dSxV)XF (r) = ^>drxF (г). (5.6-2) и для любой однозначной скалярной функции Ф (г) с непрерывными частными производ- ными в. области V JdSxV®(r)=|>dr®(r). (5.6-3) Формулы (I); (2), (3) остаются справедливыми и для неограниченной области V, если подынтегральная функция в криволинейном интеграле справа имеет порядок О (1/г») при г-> оо (п, 4.4-3). ' —- 5.6-3. Поля с разрывами на поверхностях (см. также п. 15.6-5, Ь). Пурть скалярная функция Ф (г) или координаты векторной функции F (г) непрерывно дифференцируемы по обе стороны от регулярной поверхности Si, но разрывны на Si, причем существуют предельные значения как на одной (положительной) стороне поверхности Ф+ (г) или F+ (г), так и на другой (отрицательной) стороне поверхиоств Ф„ (г) или F_ (г). В каждой точке (г) поверхности Si определим функции п<* (г) [Ф+ (г) — Ф_ (г)] (поверхностный градиент), ) п° (г) - [F+ (г) — F_ (г)] (поверхностная дивергенция), У (5.6-4) n° (r)X[F+ (г) — F_ (г)] (поверхностный ротор), • где п° — орт положительной нормали к поверхности St в точке (г) (п. 17.3-2). Тогда ин- тегральные теоремы табл. 5.6-1 останутся в силе и для таких функций, если в точках поверхности St заменить в объемных интегралах градиент,, дивергенцию и ротор на их поверхностные аналоги. 5.7. ОТЫСКАНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ПО ЕГО РОТОРУ И ДИВЕРГЕНЦИИ 5.7-1. Безвихревое векторное поле. Векторное поле F (г) называется без- вихревым в обласги V, если в каждой точке этой области VxF (г)=0, я* 6» * (5 7-1) дг ду дх дг ду дх
8 7.s. Б.7. ОТЫСКАНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 177 Поле F (г) является безвихревым тогда и только тогда, когда — F (г) есть градиент VO (г) некоторой скалярной функции точки Ф (г) в каждой точке области V (см. также формулу (5.5-19)); в атом случае выражение F (г) • dr = Fx (х, у, г) dx+ Fy (х, У, z) dy-}- Рг (x, у, z) dz = =—di-V®(r)=-(1Ф (5.7-2) есть полный дифференциал (п. 4.5-3, а). Функцию Ф (г) часто называют ска- лярным потенциалом безвихревого векторного поля. Если область F пгвёрхностно-односвязна (п: 4.3-6. Ь), то Ф (г)—однознач- ная функция, определяемая по F (г) с точностью до аддитивной постоянной, и криволинейный интеграл от F (г) по кривой С, лежащей в области не зависит от пути интегрирования'. Г J F (р) • tZp = —[Ф (г)—ф(а)]. (5.7-3) а В этом случае указывают только нижний и верхний пределы интегрирования. Криволинейный интеграл $F(p)-dp по любому замкнутому пути С (цир- куляция вектора F (г) вдоль С) в области V равен нулю. Если область V многосвязна, то функция Ф (г) может быть многозначной. В частности, условие необходимо и достаточно для того., чтобы криволинейный интеграл J (X, у} dx + F {X, у) dy С х у не зависел от пути интегрирования, т. е. чтобы подынтегральное выражение было пол- ным дифференциалом i.7-2. Соленоидальные (трубчатые) векторные поля. Векторное поле F (г) называется соленоидальным в области К, если в каждой точке этой области дрх dFu dFz V.F(r)=0, т. е. —=0. (5.7-5) Векторное поле является соленоидальным тогда и только тогда, когда F (г) есть ротор V X А(г) некоторой векторной функции точки А (г) (см. также формулы (5.5-19)), которая называется векторным потенциалом векторного ноля F (г). 5.7- 3. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции. (а) Пусть V — конечная открытая область пространства, ограниченная регулярной поверхностью S (п. 3.1-14), положительная нормаль которой однозначно определена и непрерывна в каждой точке поверхности. - Если дивергенция и ротор поля F (г) определены в каждой точке (г) обла- чи V, то всюду в |/ функция F (г) может быть представлена в виде суммы безвихревого поля Ft (г) и соленоидального поля F2 (г): где F(r) = F1(r) + FB(r). | V X Fi(r)=0; V -Fa(r)=0 J - Упеорема разложения Гельмгольца). J См. сноску к п.. 5.4-1.
178 ГЛ. Б. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В.7-3, Функция F (г) определяется однозначно при дополнительном условии зада- ния нормальной составляющей F (г) • ; функции F (г) в каждой точке поверх- нести S (теорема единственности). Эффективное отыскание функции F (г) по этим данным сводится к решению дифферен- циальных уравнений с частными производными прн некоторых краевых условиях. Важный частный случай, в котором V • F (г) = 0. V X F (П = 0, ' и, вначит, всюду в V F (г) = — V<I> (г), Г2Ф (г) = 0.. рассматривается в теории потенциала (пп- 15.6-1—15.6-10). (Ь) Если в каждой точке (г) пространства заданы функции V • F (г) = 4л Q (г); V X F (г) = 4л J (г), .. (5.7-7) то формулы. (6) определяют F, (г) и F2(r), а следовательно, и F (г), одно- значно с точностью до такого слагаемого Fo (г), для которого VaFo(r) = O. Имеют место следующие, формулы: F1(r) = — V<D (г), F2(r) = V х А (г), Ф(г) = 5Г^-|^, (5.7-8) где интегралы справа (скалярный и векторный потенциалы) предполагаются существующими (см. также ц. 15,6-5); интегрирование производится по всем точкам (р) пространства.
ГЛАВА 6 СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ 6.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ В главе 6 дается описание скалярных и векторных функций точки (см. также пп. 5.4-1—5.7-3) в криволинейных координатах (п. 6.2-1). Век- торы будут разложены по направлениям координатных линий или перпенди- кулярно к ним (пп. 6.3-1—6.3-3). Применение криволинейных координат упрощает многие задачи; например, можно выбрать такую систему координат, чтобы на координатной поверхности рассматриваемая функция была постоян- ной (пи. 6.4-3 и 10.4-1, с). Основное внимание в гл. 6 уделяется ортогональным системам координат (пп. 6.4-1—6.5-1), как наиболее важным для физических приложений. Пред- ставление векторных соотношений в неортогональных координатах рассмот- рено более подробно в тензорном анализе (гл. 16). 6.2. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ • 6.2-1. Криволинейные координаты. Система криволинейных координат, заданная в области V трехмерного евклидового пространства, ставит в соот- ветствие каждой точке (х, у, г) упорядоченную тройку действительных чисел х1, х2, х31). Криволинейные координаты х1, х2, х3 точки (х, у, г) = (х1, х2, х3) связаны с ее прямоугольными декартовыми координатами х, у, z формулами . х1=х1(х, у, г), х2=х2(х, у, z), х3=х3(х, у, г), (6.2-1) где функции (1) всюду в V однозначны и непрерывно дифференцируемы, д (х^ х2 х3) * причем якобиан ——- Ф 0 (допустимые преобразования, см. также пп. 4.5-.6 и 16.1-2). Система координат х’, х2, х“ будет декартовой (п. 3.1-2; ио, вообще говоря, не прямоугольной) в том и только в том случае, когда все уравнения (1) линейны. ,6.2-2. Координатные поверхности и координатные линии. Условие х‘ = (х, у, z) — const определяет координатную поверхность. Координатные по- верхности, соответствующие различным значениям одной и той же координаты х‘, ие пересекаются в V. Две координатные поверхности, соответствующие различным координатам х\ х4 пересекаются по координатной линии, соответ- ствующей третьей координате xh. Каждая точка (х, у, г) = (х1, х2, х3) из V может быть представлена как точка пересечения трех координатных поверх- ностей цли трех координатных линий. и ^6.2-3. Элементы длины дуги и объема (рис. 6.2-lf см. также пп. 6.4-3 , (а) Элемент длины дуги ds между двумя «соседними» точками (х, у, z) = х2, х§) и (x-j-dx, y-\-dy, z-J-dz) = (x1+dx1, x2-j-dx2, x^-j-dx?) задается ’) Значки 1, 2, 3 в обозначениях х*. x\ Xs не являются показателями степени* см- также пп. 16.1-2 и 16.1-3,
180 ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ в.3-1. квадратичной дифференциальной формой 3 3 -' ds2=dx2-\-dy2-[-dz2= у У gik (х1, х2, xs) dx1 dx11, (6.2-2) 1=14=1 где 8ik (х\ х2, х3) = ГX* + + = 8ki^> *3) А Ldx дх дх дх дх дх J(xit хг х») (i, /г=1, 2, 3). Функции gik (х1, х2, х3)—компоненты метрического тензора (п. 16.7-1). " (Ь) Шесть координатных поверхностей, соответствующих точкам (х1, х2, х3) и (x1+dx1, x2+'dx2, x3-|-dx3) (рис. 6.2-1), ограничивают- злемент объема (параллелепипеда) d V = Л1*’ v: z* dx1 dx2 dx3, (6.2-3) d (x1, x2, x3) - 17 где [•/(£ xk гД]2 = det x2’ *3)i = 8 (см. также пп. 5.4-7, 6.4-3, с, 16.10-10). Система координат называется пра- вой в области V, если касательные векторы к координатным линиям х1, х2, х3, ориентированные в сторону возрастания соответствующих координат (что определяет положительные направления координатных линий), образуют пра- вую тройку (как и орты i, j, к правой декартовой системы координат). Для правой системы координат якобиан д (х, у, г)/<Э(х],х2, x3) = |/g > 0. Описание векторных элементов линий и поверхностей в криволинейных коорди- натах см. пп. 6.4-3, 17.3-3 и 17.4-2. , ,6.3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА 6.3-1. Координаты вектора и локальный (местный) базис. В гл. 5 вектор- ные функции точки были разложены по базису i, j, к системы декартовых координат; модуль и направление каждого вектора этого базиса одни и те же в каждой точке. Если, векторная функция F (г) описывается в криволиней- ных координатах х\, х2, х3, то удобнее применять локальный базис из век- торов, касательных к координатным линиям в каждой точке (х1, х2, х3) или перпендикулярных к ним. Такие базисные векторы сами являются векторными функциями точки. В каждой системе криволинейных координат можно ука- зать три способа выбора локального базиса- (пп, 6.3-2 и 6.3-3).
в.3-1 6.3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА 181 Таблица 6.3-1 Соотношения между базисными векторами и координатами векторов в различных локальных системах отсчета (а) Соотношения между I, i, к и векторами локальных базисов t., е^, е* системы криволинейных координат, х1-. №. х3: 1 дх , , ду . , -дг , 1 Сг= "дх1 1 дх‘' 1 дх1 14 е1 = дх* . , дх1 . , дх* - „ . к « ~дх * + аГ ,4"бГ .(/ = 1,2,3), 3 1= У /=| 3 3 д<1ЛГ-1-= У е,= У -^е/. дх * “ ‘ L а* 1 X дх1 3 3 3 -2 -- У --ег= У Я «г. ду V “ X ду 1 дх‘ (=rl /=1 /=1 3 3 -3 -2 1 = 1 ^-1^7 1.=-У ^Е-е-= У дг 1 Ь“ 1 X бг 1 X дх1 1=1 /=1 (Ь) Соотношения между F F F физическими координатами F.. контрава- Хук. . 1 риантными координатами F^ и ковариантными координатами F* в системе криволи- нейных координат х\ Xя, х8: А = F1: F1 -^LF + p F • dx x ду У^ дг г- = -^F + дх‘ х дх1’ У + ТТРг « = 1‘. 2. 3). у дх1 Fx = 2 дх дх* Fi Кегг 3 « 3 1 \ -V Xf‘= V^f. dx* Z-> dx 1 i = t Z = 1 ру 3 =1 i=l ду дх‘ .. II ii if -?1 Рг У дг Fi II 0 2 /=1 дх* Vhi
182 ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ 6.3-2. Таблица 6.3-1 (продолжение} (с) Соотношения между векторами локальных базисов и координатами векторов в двух системах криволинейных координат (базисные векторы и координаты векторов для системы х1, х2, х3 отмечены чертой сверху, см. также п. 16.2-1): 3 2дх* дх* efe: 3 ё* = V е‘ 2- 3>- дх1 F.=l/g. . рк' К Г &КК Ffe= У ^>J дх‘ &ik з з 2,3). дх1 dxfi 6.3-2. Физические координаты вектора. В качестве векторов локально- го базиса в каждой точке (хх, х2, х3) = (г) выберем единичные векторы ix (хх, х2, х3), 12 (х1, х2, х3), is (хх, х2, х3), касательные к координатным лини- Рис. б.З-i. Разложение вектора F по единич- ным векторам it, i2. is; физические координа- ты Ft, F2, А вектора. ям х1, х2, х3 (см. также п. 16.8-3). Каждая векторная функция F (г) = F (х1, х2, х3) может быть однозначно представлена в виде F (г) = F (хх, х2, х3) = в каждой точке (г) = (хх, х2, х3). Физические координаты Fr (хх, х2, х3), F} F2==F2(x\ х2, х3), 1(6.3-2) F3SeFs(xX, X2, X3) вектора F н локальные базисные х2, х3) могут быть выражены не- ___г________ . , __ ___к__ ____ !х, Fy, Fz того же вектора и орты i, j, k прямоугольной декартовой системы координат (см. табл. 6.3-1). Заметим, что функции *____~ являются направляю- V^idx1' Veu дх1 ’ V&ii дх1 щими косинусами орта i, (т. е. i-й координатной линии) по отношению к осям Ох, Оу, Ог (см. также рис. 6.3-1). 6.3-3. Контравариантные и ковариантные координаты вектора. В качестве локаль- ного базиса можно также выбрать либо тройку векторов = /iit к; еа (х», хг, хя) = VgSi к; es (х1, х2, Xs) е V gaa ijf направленных по координатным линиям, либо тройку векторов векторы Ц (х1, х2, х3), i2 (х1, х2, х3), 13 (х1, посредственно через координаты Fx, Г (х1, X2, X1 (6.3-3; е* (х\ х\ х3) s ** Х ез-; е? (х‘, X2, Lele2esJ г3 Х ‘‘ л е» IX», х\ х8) == г1 (6.3-4) [е1е2е3] [eie2ea]
6.4. СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ 183 6.4-1. пакленных перпендикулярно к координатным поверхностям. Каждый вектор F (г) может быть представлен в одной из следующих форм: Г (г) = F <х’, х2, х3) — F*et + F2e2 + F3e3 = Fie* + F2e2 + F3e3 (6.3-5) x3). Как модули, так и направления базисных векто- к точке, за исключением того случая, когда х*, х2, в каждой .точке (г) ss (х*. х2, ров е. н е1 меняются от точки Х3 — декартовы координаты (п. 16.6-1,. а). Контравариантные координаты F* = F1 (х1, х2, х8) s F • е1 и ковариантные коор- динаты F- 5^ Fj (х*. X2, х3) F • (i = 1, 2, 3) в системе координат х*. х2, х3 и соот- ветствующие базисные векторы и е1 могут быть выражены непосредственно через F F , F и орты I, j, к прямоугольной декартовой системы координат Ответим еще формулы (см. также пп. 16.6-1 и 16.8-4): (табл. 6.3-1). е2 X е3 е3 X е1 . е* X е2.' 61 ~~ [е*е2е3] ’ в2 ~ [е‘е2е3]’ е’ “ [е*е!е3]’ [eiese3] = [е’е2е3]-1 = [i3l2i,} У gng22g33 = ± V~g', (6.3-6) (6.3-7) , ,-- ь ( 1 при I = k, ere* = g^ е*”е ={ о 11ри <6-3-8’ В частном случае прямоугольных декартовых координат х* = х, х3 = у, х3 = г имеем: ei = e* = i1 = i; e2 = e2=i2 = j; es = e3 = i3 = k. (6.3-9) Главное преимущество представления векторов в контравариантных н ковариант- ных координатах заключается в относительной простоте соотношений, связывающих эти координаты в различных системах координат (табл. 6.3-1: см, также п. 6.3-4). 6.3- 4. Запись векторных соотношений в криволинейных координатах. Каждое векторное соотношение, записанное в гл. 5 в прямоугольных декар- товых координатах, может быть записано в криволинейных координатах с по- мощью табл. 6.3-1. Если рассматриваемое соотношение содержит производные или интегралы, то следует учитывать, что базисные векторы в системе криво- линейных координат сами являются функциями точки. Многие практически важные задачи допускают применение системы орто- гональных координат (п. 6.4-1). В этом случае формулы пп. 6.4-1—6.4-3 и табл. 6.4-1—6.5-11 дают сравнительно простое выражение для- векторных соотношений непосредственно в физических координатах. В тех случаях, ког- да такие специальные методы непригодны, целесообразнее применять не физиче- ские координаты векторов, а контравариантные и ковариантные координаты; фор- мулировка соотношений векторного анализа в контравариантных и ковариантных координатах изложена подробно в ел. 16 как частный случай более общих соот- ношений тензорного анализа. В частности, применение формул* пп. 16.8-1—16.8-4 для вычисления скаляр- ного и векторного прЬизведений и прямой метод ковариантного дифференцирования (пп. 16.10-1—16.10-8) дают выражения для дифференциальных операторов типа УФ, V • F. У X F, 6.4. СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ. ВЕКТОРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 6.4- 1. Ортогональные координаты. Система криволинейных координат х > х3 (п. 6.2-1) называется ортогональной, если функции gik (х1, х2, х3) Удовлетворяют соотношениям gf* (х1, х2, х3)=0 при i ^=k (6.4-1) ® Каждой точке (х1, х2, х3). Координатные линии, а значит, и векторы локаль- г° базиса iu i2, i3! будут при этом перпендикулярными друг к другу
184 ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ координат 6.4-2. в каждой точке; каждая координатная линия перпендикулярна ко всем коорди- натным поверхностям, соответствующим постоянным значениям рассматривае- мой координаты. 6.4- 2. Векторные соотношения. >. (а) В табл. 6.4-1 приведены наиболее важные векторные соотношения s' ортогональных координатах. Функции gn—gu(xl< *2. *3)=leil2 для каждой системы ортогональных' координат получают из формулы (6.2-2). В этих фор- мулах знаки плюс и минус относятся к правой и левой системам координат. Таблица 6.4-1. Векторные соотношения в ортогональных координатах (Знаки плюс и минус относятся к правой и левой системам ортогональных коор- динат.) UU Скалярное и векторное произведения F-G = АЙ, + Д«2 -р >8б3; I F | = *- 1 X Р\ G 11 2 F X С = i X it Pg G = + fi, A, fi, i X ee p> 6, 6, 6 Pl Gi H, fi, G H, [FGH] = С» a> UiM,] = ± fi, « fi, fi: 6„ fi, G, fi, (b) Дифференциальные операторы *) (g g, tgItg„> / - 1 ЙФ , 1 6Ф . 1 ЙФ ,.\ va> == ± (—-— ~ 1, — i. -| —— 1» \/gi! dx Vgu dx' /g3s dx' ) /ёТГ ц ifig^ к i^gT C _ 1 й d d ' x ~ dx' dx' dx' fi, /gTi fi, V"gTs fi, 1/g^ (F-V) ф = ± —L-, — + — 1- —Д- — , X/gTi dx1 Vg„ dx' /gaa dx'/ „2ф_ । I 0 (Vi~d<b\ d /Vi MA d /Vg~ йф\1 pTf W«*l8„ dx'J 1 dx'\g„ dx') 1 dx»\ga3 йл»У] *) Выражение для VSF получают из формулы V2F = V (V-F) — V X (V X F) или из правил п. i6.10-7. Выражение для (F-V) 6 получают из табл. 5.-5-1 или из правил п. 1.6.10-7. Примечание. Формулы для VC, V • F nV х F могут быть получены и непосред- ственно из‘инвариантных определений п. 5.5-1, примененных к элементарному объему, изображенному и а рис. 6.2-1.
6.6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ 185 (Ь) Для любой системы ортогональных координат'. ( 1 при t—k, l ij X 1а=± is! i2 X is = ± it> ig X h = ± i2, 1 _ . „. I ; —J > (6-4-2) 4* * 1 О при i=/=fe; I 11 X ii = i2 X i8 = is X is=0; [iii2i3J = ±l; J , i ' ei=±|^e>; Fl = ^lF^±-7=.Fl (1=1, 2, 3); (6.4-3.) F gii * [eie2e3] = |eleae3]-! = (iji2i3l /gnfeg33= ± Кgl (6.4-4) d , , d , -4 d /1.5. 1 . д . I . d \ ._ . c. V==e*----F®2---be —~ ± I' v—' >i------F r— *2---F r—- з — I (6.4-5) dx' ffx1 dx'J dx> j/ g2S дхг |Л g,3 dx„]‘ 6.4- 3- Криволинейный интеграл, поверхностный интеграл н объемный инте- грал (см. также рис. 6.2-1). (а) Для спрямляемой кривой С векторный элемент линии dr имеет физи- ческие координаты ds1 = Kgn dx1, dsa = y gw dx2, ds3=]/^g33 dx3, t; e. dr = ~ dt = dx i-Fdji j + dzk=ds1i1 + ds2 i3-Fds3 i3 = = |/gii dx1 + Кg22 dx2.i2 + Kg33 dx3 is. (6.4-6) Подходящее выражение (6) для dr должно быть подставлено в криволинейный интеграл, определенный в п. 5.4-5. Для ортогональных координат х1, х2, х3 - f' F . ar = J Д dSi + as, -F F„ ds3 = $ (#, > + F, ^ +F, dt. (6.4-7) c c c Заметим что для любой системы криво линейных координат dr = et dx1 -4- е2 dx2 -4- ea dxВ. 9 (см. также n. 17.2-]); для ортогональных координат xl, №, x9 J F • dr = J F, dx*4- Fs dx® + F3 dx®-= J g„F® dx‘ + g22F® dx® + g„F= dx®. C C C (Ь) Описание площади поверхности S и векторного элемента поверхности dS в координатах на поверхности дано в пп. 5.4-6 и 17.3-1. В частности, 'если система ортогональных координат выбрана так, что поверхность S есть часть координатной поверхности хь = const, то координаты х* и х> образуют на этой поверхности систему ортогональных поверхностных координат, и dS= Fgugjj dx‘ dxJ ik — dsids/ik = dx‘ dxJ ek &kk (i*j ^k=f=i; k = l, 2, 3). (6.4-8) Относительная простота получающихся отсюда выражений 'для поверхностных интегралов (5.4-13) и (5.^-14) часто служит основным поводом для введения системы криволинейных координат (см. также п. 10.4-1, с). Знак квадратного корня в формуле (8) определяется выбором положительного направления нормали (п. 17.3-2): знак + соответствует правой системе координат. 1 (с) Элемент объема dV, появляющийся в выражениях (5.4-16) и (5-4-17) для объемного интеграла, дается формулой (6.2-3) или dV = ZJa) dx1 dx2 dx3 =± /g dx' dx2 dx3=± Уgng^gas dx1 dx2 dx3 = ' = ± dSi ds, ds3. (6.4-9) Вели система координат правая в формуле (9) берется знак плюс. 6-5. ФОРМУЛЫ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ В. табл. 6.5-1—6.5-12 даны формулы для некоторых специальных систем ортогональных координат. В частности, для каждой такой системы табулиро- ваны фуНКции gii(x'l x2t х3)=|е,|2.
Таблица 6.5-1 со 4 Векторные формулы в сферических и цилиндрических координатах (см- также рис. 2.1-2 и 3.1-2). Формулы для цилиндрических координат применимы также к полярным координатам на плоскости Оху (п. 2.1-8) Сферические координаты г, <p (г 0, 0 ft зг) A Цилиндрические координаты P, Ф, £ (P > 0) Координатные поверхности X* _p y2 g2 — Г2 {сферы) x* + t/2 — z2 tg2 Ф = 0 {конусы круглые} у = x tg ф {полуплоскости, проходящие через ось Ог) x* 4- y* = p2 (цидйндры круглые прямые) y — xtg(p {полуплоскости, проходящие через ось Ог) z = 2 {плоскости, параллельные пло- скости Оху) ! Преобразование координат (х, у, z — прямоугольные декартовы координаты) г = Ух24- 4/2-bz2 . г ( х = г sin Ф соз .<р ft = arccos — 1 г \ У — г sin ft sin (р tg<p=^-/'3in<p= —-£ lz=*rcosfl X \ Ул“+^_/ р = V г-г + у* ' 57 Г X = Р СОЕ Ф tg ф = ^sin <р = \ у = Р sin q \ 2=2 Z = Z . Преобразование дифферен- циалов координат dx == sin Ф cos ф dr 4- г cos Ф cos ср dft — г з!п 0 sin ф <2ф dy = sin ф sin ф dr -j- г cos Ф sin ф dft 4- г sin Ф cos ф dq> dz = cos ft dr — r sin Ф dft dx = cos ф dp — p sin <p dq> dy = sin ф dp 4- P cos <p dq> dz = dz Квадрат элемента длины riss = (dr)8 = dx* 4- dy* + dz* gii=|eil2 - ds* = dr* 4~ f* dft* 4- r* sin2 ft dtp8 grr = f- gw=r2- gw=r2sin2<> ds2 = dp1 + p1 dtp2 4- dz1 gpp ~ 1; e<p<p = p2; gzz ~ 1 ГЛ.6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ-
Т а б лиц а 6.5-1 (продолжение) Сферические координаты г/ 'О1, ф (г >'0, 0 'О =< л) Цилиндрические координаты О, Ф. г(Р-С) Vg — V gngS2g3., _/— д (х, у Z) . . п Eg = , ’ \; = Г»sin ® д (г. О, ф) Vg-=^^- = P д (р, <р. г) Трех индексные символы Кристоффеля (п. 16.10-3; символы, не приведенные в таблице, тождественно равны нулю) [ОФ; г] = — г; [qxp; г] = — г sin2 Ф: [<р<р; Ф] == = — г2 sin Ф cos О [г-О; ©] = г; [гф; ф] == г sin® fr, [Оф; ф]= г2 sin О cos 'О f 5<A = ~r; ( Г 1 = — г sin2 О'; f 1 = — sin О cos О IOOJ 1фф) . Ш-7- &}-*» \ [фф; р] = — р; [рф; ф] = р ГЬ-р: PU-i- 1фф) 1рф) р Преобразование физических координат вектора / @г — Fx sin О cos ф 4- F^ sin О sin ф 4- F^ cos О F^ = Fx cos O cos <p 4- F^ cos 0 sin <p — Fz sin О F = — F sin ф 4- F cos ф V Л v Fx = Fr sin 0 cos ф4- F^ cos 'O cos ф — 'F^ sin ф F^ = sin 0 sin ф 4- cos Ф sin ф 4- F^ cos ф F2 — cos sin Ф # = F cos <р + F sin ф р л у Р = — F sin ф + F cos ф V •* У F =F Z Z FX = cos ф — ^ф sIn Fy = 3in ф 4- cos ф F = F 1 z Z Градиент в физических ко- ординатах _ дФ , , дф . , дФ, ¥Ф = -х-1 + -ч—j + -r-k дх ду ^дг дф 1 ЙФ , 1 дФ. dr z "* r, d’Q' ft ‘ r sin дф Ф дФ j г_ЦбФ| , дФ| др Р ~т~ р дф <f' дг г 6.5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ 'КООРДИНАТ
Т аб л и ц а 6.5-1 (продолжение) Сферические координаты j г, ЧР (г & 0, 0 О я) Цилиндрические координаты р. ф, 2 (р 5= 0) Дмвергенпия в физических координатах dF dF dF V-F = дх ду дг г» дг (г Рг) 4 , г sin fl 6fl Sln + r Sin fl дф 1 8(р^р) 1 8Лф 'дРг ' р др ОЙ дг Ротор в физических' коорди- натах I j к _ д д д V X F =- -Ч— “5— ~а— дх. ду dz F F F । х г 1 Гд ' бЛ>1 г sin fl [бА (^ф sin 6<p J + , Г 1 < д Рф)] , , 1 R0A>) aJ?rl, r |_sin Ф dtp dr J О r L dr dd J ЧР ( + \ О dtp dz / Р \ дг др / Ф 1 р(Р#ф) аЛр1 р L 8р ЙФ _| * Лапласиан скалярной функ- пии г) дх* ду* dz9 *) Лапласиан векторной 1 d_f , бф\ i д/ а8Ф\ , 1 б2Ф r* dr \ . dr ) ‘ r* sin ф d$ \ n ) r» sin2 Ф дц? функпии находят no форwvле V2F = V (V-F) — V X (V X F 1 б ( дФХ 1 б»Ф <Э«Ф р др V 8р / + р2 бф2 + бг* ил(1 по формуле (6.4-5) и по табл. 16.10-1. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
6.5.'СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ 189 Таблица 6.5-2 Общие эллипсоидальные координаты X, р, v (а) координатные поверхности (X > — с‘ > ц > — Ь2 > v > — а‘) • ЛсТ + = 1 Эллипсоиды), a2 -f- л и -f- л с + л, х2 uz z® -------h 7—-----1—7-7— == I {однополостные гиперболоиды), д2 + д *2 + М + U № uz zz - о 4- Ь» 4. v £2 -|- у “ 1 {двуполостные гиперболоиды). (Ь) Преобразование к эллипсоидальным координатам _ (д2 + Л) (а2 + ц) (о2 + V). {а2 — Ь2) {а2 — с*> , (Ь2 + X) {Ь- + ц) (62 + V). у ' lbs — с2) (Ь2 — о2) . (е2 + X) (с2 + Ц) (с2 + V) {с2 — п2) {с2 — Ь£) (с) Специальная система эллипсоидальных координат формулами M, V, w , Л а2 -4- Ь2 4- с2 ' Х = 4(Р (»)-- Т-|_-Ь.с ., ’ - так что (см. п. 21.6-2) . , du . dv VfTM /Н)Т) ’ V f(v) где f (Г) = (д2 + л (b‘ -t- n <c2 + 0. - (Ф „ (X — И) (X — V) „ (p. — v) (ц — X) „ (V — X) (v — p) ЬЛЛ 4f (X) • РЦ 4f. (U) • bvv 4f (V) g„„ = 4 [{P («) — IP (n)] [4° («) - 4P (to)], ВВОДИТСЯ svv = 4 № <D> “ (иу)] W {v) — %> («)], sww = 4 № №) ~ I? М] (“О — 4° (*’)]• (е) Лапласиан скалярной функции V20) == —_______________________ . & — ц) (Ti — V) дк L и* 4f (ц) д Г^-ут-т ЙФ1 , 4 f (у) Я Гт/ТТ^Г ЙФ1 + (ц ~ v) (д — 1) ац [. <ц) ац ]+ cv — X) (v — и) av г f (v) av ]= i г___________ 1______________агФ______________________1_______________а^Ф 4 U4P <«) — {? (V)] [{? (д) - (Р (to)] a«2 + [j? (о) - (Р (to)] [SP (о) - (р.(и)] dv‘ + _______________1 ____________а2Ф] + [4° (to) - (р («л [ip (to) — (р (о» а®2Г
19° ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ Таблица 6.5-3 Координаты а, т, ср вытянутого эллипсоида вращения (ось Oz—ось вращения; см. также рис. 6.5-1) Рио. 6.5-1. Ортогональная система софокусных эллипсов и гипербол с фокусами F, F'. Эти кривые ойределяют систему эллиптических координат иа плоскости и порождают , координатные поверхности в следующих системах координат: 1) вытянутого эллипсоида вращения (если эти кривые вращаются вокруг оси Р'ОР', табл. 6.5-3); ' «* 2) сплюснутого эллипсоида вращения (если этн кривые вращаются вокруг оси Q'OQ; табл. 6.5-4); 3) эллиптического цилиндра (если эти кривые смещаются перпендикулярно к пло- скости рисунка; табл. 6.5-5). (а) Координатные поверхности (О & I 2= Т 5= — 1) х2 + у2 , zs , . _ Q2 (0g _ в' “г q2'q2 м * {вытянутые эллипсоиды вращения), X2 _L о2 £2 8 ----— 4—~ 1 {двуполостные гиперболоиды вращения), а \ т ~~ j ) а т, y — xtgtp (полуплоскости, проходящие через ось Oz). Все эллипсоиды и гиперболоиды имеют общие фокусы (0, 0, а) и (0,' 0, —а)\ сумма и разность фокальных радиусов в любой точке (х, yt Z) равны соответственно 2«О и 2ах. (Ь) Преобразование к координатам вытянутого эллипсоида вращения 1 х2 = а2 (ОЕ — 1) (1 — т2) cos2 <р, у2 = а2 (о2 — 1) (1 — т2) sin2 <р, z — аса. (с) Специальная система и, V, <р вводится формулами а = ch и, т = cos v, <р = ф (0 < и < со, о при этом х = a sh и sin v cos ф, у = a sh и sin v sin <р, z = a ch и cos 02 __ -rS 02 __q-2 (d) eec = a2^—у. «1т;Га2Т=^’ 8w = aa42-1Hl-t2); = S-m, = a‘ (shZ “ + sin2 gmm = °2 sha “ sin‘ v‘ ci/ 4*4* (e) Лапласиан скалярной функции у!ф =______!___(ЛГ(оЕ_п бф],±Г(1_тЕ)^2.1 + __°2-^ dg<t v а2 (О2- т2) (da [,о 11 eaj+d-r[tl ’ dt J + (о2- 1) (1 —
6 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ 191 Таблица 6.5-4 Координаты о, т, <р сплюснутого эллипсоида вращения (ось Oz— ось вращения; см. также рис. 6.5-1) (а) Координатные поверхности «у 3= 0; — 1 т < 1) х2 -J- Z/2 Z2 '2 (1'*+о2) а2 о2 3381 Сплюснутые эллипсоиды вращения) х2 4- и* z2 „г ц—-т2) — = 1 (°днвпоЛостные гиперболоиды вращения), у = х tg (р (полуплоскости, проводящие через ось Oz). (b) Преобразование к координатам сплюснутого эллипсоида вращения а2 (1 + G2) (1 — т2) cos2 (р, у2 ~ а2 (1 4- о2) (1 — т2) sin2 (р; г — аох. (с) Специальная система и, v, (р вводится формулами о = sh w. т= cos У, <р = (р (0 < и < со, 0 v л, 0 (р < 2л); при этом х = a ch и sin v cos <р, у = a ch и sin v sin <р, z ~ a sh и cos v. G2 4- T2 G2 -4- т2 <d) ®оа-с21 + о2' 1„T!- «фф = “2<1+°2)<1 *2); еии = sm> = °2 (sh2 “ + cos2 и>’ г<р<р = °2 с112 и sin2 v- (е) Лапласиан скалярной функции 1 1д Гл x^lx ЙГ,, .„««lx а2 + т2__ а2®! V С2 (О* + т2) да да. ат ' ' ат J 1 (1 + с2) (1 — т2) аср2 J’ Т а б л н ц а 6.5-5 Координаты о, т, z эллиптического цилиндра (применяются также как (софокусиые) эллиптические координаты на плоскости Оху, см. также рис. 6.5-1) (а) Координатные поверхности (G 1; — 1 1) х2 и2 а?& + ё2 (а2 — 1) = 1 (зллип^ические цилиндры),. X2 t)2 + т, . rr = * (гиперболические цилиндры ). а2!2 а2 (т2 — 1) 2 = 2 (плоскости, параллельные плоскости Оху). (Ь) Преобразование к координатам эллиптического цилиндра х ~ сот, у2 = a2 (G2 — 1) (1 — т2), 2 = 2. (с) Специальная система и, v, z вводится формулами G = ch и, т = cos v (0 и < со; 0 v л)( при этом x = achwcosv, £r = ashw sinti, 2 = 2. №Лаа = «2^- 8тт = “2^. g„„ = gV7I = а‘ (sh2 и + sin2 v), g , = 1. (e) Лапласиан скалярной функции V2<I> = _—1 \ 4- VTT^-г A f - ^(с2 — т?) г aaV + к arv ат )J + az2 ~ _ 1 /а2© агФ\ а2Ф ~ a2 (sh2 и + sin2 v) \du9 ‘ dv2 ) ’ dz2
*92ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ Таблица 6.5-6 Конические координаты и, о, tm (а) Координатные поверхности ;гй 2> о» > b2 > w2t (сферы), (конусы, ось которых совпатает с осью Oz), л . „ , (конусы, ось которых совпадает с осью Ох» оу2 ы2 — b* — сг к- + У 4- га == и2 ZL + _X_ + _£L_ = o V‘ t’2 - Ьг t’2 — С‘ Г „А (Ъ) Преобразование к коническим координатам uvw g _ и2 (V2 — b2) (w* — bs) t ___________ а2 (о2 — с2) (ш2 — с2) ~bc~' и ~~bi' Ьг — сг ' * ~ Т5 с2 — Ь* и2 (V2 — а'8) и2 (V2 — ws) , (с) ^ии *’ Svv т (V2 - Ь2) (V2 ~‘ (w2 — b2i .о> — c*i* Параболоидальные координаты X, р, v Таблица 6.5-7 <а) Координатные поверхности (А < В <Z ц < А X2 I/2 5 7 + а = 2г + А - (эллиптические параболоиды), л. — А Л — В х2 и2 •* -J— • == 2г + ц (гиперболические параболоиды), ц — А ц — В X2 и2 (Ъ) 1 А v — A v — В Преобразование к параболоидальным координатам — ми — Ц) И — V) , _ (В — м (В - И) (В — V) х° - В - Л • * А — В г = ^-(А + Д — X — д—V). 1 (ц — М (V — М 1. (V — Ц) (К — Ц) (Q — 4 (Л — М (В — М’ W i (Л — U) (В — и»’ 1 (А. — V) (ц — V) < Syv 4 (Л — V) (В — V»
6.5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ 193 Таблица ,6.5-8 Параболические координаты О', т, <р (ось Oz — ось вращения; см- также рис. 6.5^21 (а) Координатные поверхности + = + О3 t • (софокусные параболоиды ^+1^-2* + ?» т2 вращения; фокусы в начале координат), у = х tg <р (полуплоскости, проходящие через ось Oz). (Ъ) Преобразование к параболическим коор- динатам X = ОТ COS ф, ^ = OTSin(p, 2 = -i-(T2— О2). W «аа = «гт = о! + г*- 8W = o!xa- (d) Лапласиан скалярной функции V о2 -Ь т2 [о да \ до ) дФ\ < 1 I \ д2Ф| ' т ди v дт / ’ \ ог 1г ) dtp21 Рис. 6.5-2. Ортогональная си- стема софокусиых парабол с фокусом F. Эти кривые опреде- ляют систему параболических координат иа плоскости и по- рождают координатные поверх- ности в следующих системах -координат; 1) параболических (если эти кривые вращаются вокруг оси P’FP; табл. 6.5-8); 2) параболического цилинд- ра (если эти кривые смещаются перпендикулярно к плоскости рисунка; табл. 6.5-9). Таблица 6.5-9 Координаты <у, т, z параболического цилиндра (применяются также как параболические координаты- на плоскости Оху; см. также рис. 6.5-2) (а) Координатные поверхности ^ = 24,4-0». ^- = — 24' + г2 (софокусные прямые параболические цилиндры), г = г (плоскости, параллельные плоскости Оху). (Ъ) Преобравованис к координатам параболического цилиндра X ~ ОТ, у = ~ (т2 — О3), 2 = 2. <с) ®<Ю = йГТ = °2 + г2- (d) Лапласиан скалярной функции ¥2Ф 1 ог 4- т2 д*Ф ^ФХ д2Ф ,до* dr2) ' дгъ
194 ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ Т а б л и ц а 6.5-10 Би цилиндрические координаты а, т, z (применяются также как биполярные координаты нв плоскости Оху, см. также рис. 6-5-3) (а) Координатные поверхности хй + (у — a ctg о)2 = a? (ctg2 о 4- I) (прямые круглые цилиндры). (х — a cth т)2 + у2 = a2 (cth2 т — 1) (прямые круглые цилиндры), z = z (плоскости, параллельные плоскости Оху). Для каждой точки (х, у) плоскости Оху G есть угол, образованный лучами, идущими из полюсов А (—а, 0) и В (а, 0) в точку (х, у)', е1— отношение полярных радиусов точки (х, у). (Ь) Преобразования _________д sh т______________________________ I х2 4- (у — ia)2 х ~~ ch т — cos о’ ° 2 П х2 + (у 4- in)2’ ____ а sin G _____________ 1 1 & У2 & — ch т — cos о’ 2 П (х — а)2 -р у2* (с) еаа = етт = (ch т — cos с)2’ 8zz = 1' «1) ¥£Ф = (ch т — cos о)2 02 Ф 02ф\ 02ф до2 дх2 ) "г дг2 * Рис. 6.5-3. Семейство окружностей с двумя полюсами А, В и семейство окружностей, ортогональных к ним. Эти крявые определяют биполярную систему координат на пло- скости н порождают координатные поверхности в следующих системах коордшГат: 1) бицилиндрических (если эти кривые смещаются перпендикулярно к плоскости рисунка; табл. 6.5-10); 2) тороидальных (если этн кривые вращаются вокруг оси Q'OQ; табл. 6.5-11);, 3) биполярных (если этн кривые вращаются вокруг осн Р'ОР; табл. 6.5-12).
6.5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ 195 (а) (Ъ) (с) ‘Ф Т а б л и ц в 6.5-11 Тороидальные координаты о* т,- ср (ось Ог ось ьрасгевия; см. также рио. 6.5-3) Координатные поверхности ** + V2 + (г — a ctg о)2 = сферы), (Vr2 + и* — a cth г)2 + г2 — [торы). у » х tg <р толу плоскости, проходящие через ось Ог). Преобразования a sh х х = -г-------------COS ф. ch 1 — cos G о = — In + У* -ь (2 — ш)* 2 *г Е У* -+- (г -+- a sh т -7------------ s;n О), ch I — cos о a sm о ch х — cos o' В == в = -----------------------— <тп (Ch г — cos о)8* а9 1 == — In —:. 2 (/*"+- и2 — о)2 + г* tg(p = X a? sh8 x в — — —— ®Ф (ch x — cos Qi2' Лапласиан скалярной функции У = 2 = О (ch I - cos O)a [ 0 ( sh г дф\ a2 sh г 1 do \ ch x — cos о dQ ) d / sh x дФ\________________1_________дзф dx \ch т — cos о dx j sh x fa/* т — cos о дф8 Биполярные координаты о, т, <р Г а б л и ц a 6.5-12 юсь Ог — ось вращения; см. также рис. 6.5-3' (а) Координатные поверхности а8 к* + у2 + (2 — a cth с)2 — (сферы). _______ а'г (Vx2 + y2 — a cig u)2 + z* “ Q (поверхности, полученные при вра деиии дур окружностей {у — a ct G)£ 4- г2 — ° вокруг оси Ог; так как | ct, о । <; -—J— Sill О I Sill О то окружности пересекают ось 02), £/»xtg(p (полуплоскости, проходящие через ось Oz), Преобразования a sin о cos ф ch х — со? G' (bj Т = т1п о _ » lnI/*2 4 t/2 — la]2 + г2 2 IV iai‘ + z‘‘ tg ч> - __a sin о sin ф & ch г — cos a* a sh x 2 = -----------, ch X — COS G — со < х < со, о =5 о < П, 0 =5 Ф < 2л. а9 a2 s пе о Чт hGG (Ch т — соь 0)2’ (РФ (ch х — cos оИ (d) Лапласиан скалярной функции У8ф__(ch т— со* о)* Г д / s.n G дФ\ д f sin о дФ\ _________________I______ a- sin о j Эт\сЬт—cos о дт ) ""доУсЬ г—cos о dosin о (ch т—cos оi dtp81
196 ГЛ. 6. СИСТЕМЫ криволинейных координат Примечание. Семейство координатных поверхностей л* = х1 (х, у, 2) = const, х2 = X2 (х, у, 2) = const, х3 = х3 (х, V, z) = const является в го же время семейством координатных поверхностей и для всех систем коор- динат = х2=72(Л, Т3=хЧл3)- &В таблицах 6.5-2 — 6.5-12 не приведены выражения для дифференциаль- ных операторов УФ, V-F и VxF в соответствующих системах координат. Их легко получить, пользуясь общими формулами табл. 6.4-1 (Ь), так как для всех систем координат даны выражения для функций gu. Полные таблицы выражений для дифференциальных операторов приведены в [5.2]. Следует отметить, что применяются различные обозначения для координат; поэтому необходима осторожность при пользовании разными источниками. Формулы п. 6.4-3 позволяют получать выражения для векторных элемен- тов линии dr и поверхности dS и элемента объема dV. Различные дополнительные формулы (например, символы Кристоффеля) могут быть получены с помощью соотношений, приведенных в пп. 16,10-1 — —16.10-6. *
ГЛАВА 7 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Теория аналитических функций комплексного переменного доставляет инженерам и исследователям много полезных математических моделей. Многие математические теоремы упрощаются, если рассматривать действительные пере* менные как частный случай комплексных переменных. Комплексные перемен- ные употребляют для описания двумерных векторов в физике; аналитические функции комплексного переменного описывают двумерные скалярные и вектор- ные поля (п. 15.6-8 и п. 15.6-9). Наконец, аналитические функции комплекс- ного переменного реализуют конформные отображения одной плоскости на другую (пп. 7.9-1 — 7.9-5). 7.2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОБЛАСТИ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 7.2-1. Функции комплексного переменного (см. также п. 1.3-2 и п. 4.2-1 и табл. 7.2-1; отсылаем к гл. 21 для дополнительных примеров). Комплексная функция w=f(z) = u(x, y)+iv (х, y) = \w\etti (7-2-1) (г=х+(у=1 г | ez4>) каждому значению независимой комплексной переменной z из некоторой области определения ставит в соответствие одно или несколько значений зави- симой комплексной переменной ш. Однозначные, многозначные и ограниченные функции комплексного перемен- ного определены в пп. 4.2-2, а и 4.3-2, Ь. Пределы комплексных функций и последовательностей и непрерывность комплексных функций, а также сходимость, абсолютная сходимость и равномерная сходимость комплексных рядов и несобст- венных интегралов были определены в гл. 4; теоремы гл. 4 применимы к комп- лексным функциям и переменным, если они не сформулированы специально Для действительных количеств. оо В частности, каждый комплексный степенной ряд У ад (г—а)* имеет fe=0 действительный радиус сходимости гс (0 гс со) такой, что ряд сходится рав- номерной абсолютно при | z—а| <гс и расходится при | г—а | > гс (п. 4.10-2, а). 7.2-2. z-плоскость и ^-плоскость. Окрестности. Бесконечно удаленные точки (см. также п. 4.3-5). Значения независимой переменной z—x-^-iy ставятся в соответствие единственной точке (х, у) комплексной плоскости г. Значения tv—u-^-iv таким же образом ставятся в соответствие точкам (и, о) плоскости го. Окрестность (открытая) точки г = а, лежащей в конечной части плоскости, определяется как совокупность точек г таких, что [г—где: 6>-0»
Таблица 7.2-1 Действительная и мнимая части, нули и особенности для наиболее часто встречающихся функций f (г) = и (х, y)-}-iv(x, у) комплексного переменного z = x-[-iy (см. также п. 1.3-2 в пп. 21.2-0—21.2-11) | f (z) | = V и2 + о2; если arg f (z) = 0. то tge = 3-. Функция f (г) и (х, т V (X, у) Нули <т — порядок) Изолированные особенности 2 X У г = 0, т — 1 Полюс (m = 1) при 2 = со Z* х‘-у1 2хи г = 0, т = 2 Полюс (т = 2) при г = со 1 г х2 + //2 V X2 + g2 г — оо, т — 1 Полюс {т— 1) при г = 0 1 2» х2-г/2 (х2 + У2)1 — 2xg (х2 + I/2)2 г — оо, т = 2 Полюс (т = 2) при г = 0 1 х а У — ь г = оо, т — I Полюс (т — 1) при г = а 4- ib г — (а + ib) (а, дей- ствительны) (х — а)2 + (у - Ь)2 (х - а)2 + (у - Ь)2 УТ + x + ^x2 + ^p/2 г = 0 (точка разветвления) Точка разветвления порядка 1 при г = 0 Точка разветвления порядка 1 При 3 — 00 г* ех cos р ех sin у Существенно особая точка при г =7 оо ГЛ. 7, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО . 7.2-2.
Таблица 7.2-1 {продолжение} Функция / (?) a 'x. y) f(x, Ifi Нули (m — порядок) Изолированные особенности Sin 2 sin x ch у cos x sh у z = ksi, m — 1 №=0, ± l.±2. ...» Существенно особая точка при 2 — СО COS 2 cos x ch r/ — sin x sh у 5: n »A .° * i+ + - w|- i+ A w ; 5 : ii Существенно особая точка прн 2 = со sh z sh x cos у ch x sin у - II CS S +1 E XI s- +1 II o- ~ II S Существенно особая точка при 2 = СО ch г ch x cos у 4 sh x sin у г = (*+4) TO- m = 1 (fe = 0, ± 1. ±2. . . .) Существенно особая точка при 2 — 03 tgz sin 2x cos 2x ~r ch 2y sh Чу cos 2л + ch 2y г — /гл, m = \ (k = 0. ± 1, ±2, . . ,) Полюсы {т = 1) прн г=(*+4)я (А- — 0, ± 1. ± 2, . . г = оо — точка, предельная для полюсов th 2 sh 2x ch 2* -f- cos 2y sin 2» ch 2л h- cos 2y ? — kni, m — 1 (/г = 0. ± 1, ± 2, ...) Полюсы (т — 1) прн г=^+4‘)п/ (к = 0, ±1, +2, . . 2 == со — точка, предельная для полюсов In 2 -i- In + jl*) аг» г 4- 2ЛЛ (A> =0. +1. ±2. ...» г — 1, m = 1 (для ветви, соответствую- щей k ~ 0) .Логарифмические точки развет- вления при г = 0, z — оо □ Ь О о X о о S
200 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.2-3. Бесконечно удаленная точка (z = co) определяется как точка z, соответст- вующая началу координат (z = 0) при преобразовании z = l/z. Окрестностью точки г—со является внешность любого круга. 7.2-3. Кривые и контуры (см. также п. 2.1-9 и п. 3.1-13). Непрерывная кривая в z-плоскости есть последовательность точек z=x+tf/ таких, что z=z(0 или x=x(t), y=y(t} > (—со ;g со), (7.2-2) где х (/) и у (/) — непрерывные функции действительного параметра t. Непре- рывная кривая (или ее часть) есть простая кривая (жорданова дуга), если она состоит из единой ветви и не содержит кратных точек; это значит, что функции х (/) и у (/) однозначны и в замкнутом интервале (/j, f2] нет таких двух различных значений т, и т2, для которых справедливы оба равенства X (Т1) = X (т2) и у (tJ = у (т2). Простая замкнутая кривая (замкнутая жорданова кривая) есть непрерыв- ная кривая, состоящая из единой ветви без кратных точек, кроме совпадаю- щих начальной и конечной точек. Простая кривая или простая замкнутая кривая называется (простым) контуром, если она спрямляема (п. 4.6-9)J). Элемент расстояния между соот- ветствующими точками z и гЦ-dz контура (2) есть ds=| dz | = j/dx2+dj/2. 7.2-4. Границы и области (см. также пп. 4.3-6, 7.9-16 и 12.5-1). Геометрия комп- лексной плоскости (включая определение расстояния и угла) тождественна с геометрией евклидовой плоскости точек (х, у) или векторов г — xl + у! для конечных значений х и у, кроме определения точки г ~ со (п. 7.2-2)*). Точки комплексной плоскости z пред- ставляют гомеоморфное (п. 12.5-1) отображение точек сферы с долготой arg г и широтой ~ — 2 arctg —(стереографическая проекция); при этом точки 2 = 0 и z = со соответст- вуют противоположным полюсам. Точки каждой простой замкнутой кривой С разделяют плоскость на две связные открытые области: каждая непрерывная кривая, содержащая точки’ обеих областей, содержит точку их общей границы (теорема Жордана). Если С не содержит точку z = оо, то одна из двух областей ограничена (т. е. нахо- дится целиком в конечной части плоскости, где | z | ограничен), а другая не ограничена; если С содержит точку г = оо, то обе области не ограничены. В более общем случае граница С области D может быть множеством непересекаю- щихся простых кривых (многосвязная область, см. также п. 4.3-6). В этом случае поло- жительное направление (положительный обход) граничной кривой определяется как оставляющее область D (внутренность граничной кривой) слева (против часовой стрелки для наружной компоненты границы, см. также ниже рис. 7.5-1). Открытое множество точек по одну сторону от граничной кривой С есть открытая область; добавляя к этому множеству точки, лежащие на самой границе, получаем замкнутую область. В дальнейшем, если область D дополняется ее граничными точками, то получив- шуюся замкнутую область будем обозначать D- 7.2-5*. Комплексные контурные интегралы (см. также п. 4.6-1 и 4.6-10). По определению п U(z)dz = Um S/(^(Zi-Zi-i), (7.2-За) C max |zf — zz _ 1 | —0/ = I где точки z0, zlt..., гп расположены одна за другой вдоль контура С; а — г0 — J) Некоторые авторы применяют термин контур только к регулярным кривым (п. 3,1-13). *) В комплексной плоскости вводится только одна бесконечно удаленная точка. В проективной плоскости, т. е. в евклидовой плоскости, дополненной несобственными элементами (бесконечно удаленными точками) любая совокупность параллельных прямых определяет свою бесконечно удаленную точку; эти точки образуют бесконечно удален- ную прямую.
7.3-2. 7.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ начальная точка контура, Ь — гп—конечная. Каждая из точек лежит на участке кривой [z,-^, г,] и может совпадать с одним из его концов. У Из определения интеграла (За) следует, что f f (г) dz= (а (х, у) dx—v (х, у) dy + i\v (х, у} dx-j-u (х, у) dy, (7.2-36) £ С С где действительные криволинейные интегралы берутся по тому же контуру, что и комплексный интеграл Свойства интегралов табл. 4.6-1 переносятся на рассматриваемые интегралы; в частности, изменение направления интег- рирования на контуре С изменяет знак интеграла. Если вдоль контура С функции и (л, у) и v (х, у) непрерывны (т. е. непре- рывны функции и [х (/), у (01 и и \х (/), у (/)], где х (0, у (0 — параметрические уравнения контура (см. (7.2-3)), та интеграл (За) существует. Если при атом длина контура С равна L и на контуре \f(z)\^M, то | р (г) dz | sg ML. (7.2-4) Если контур С содержит точку г=оо или если f (г) не ограничена на С, то интеграл (3) может быть определен как несобственный интеграл в смысле п. 4.6-2. 7.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ (РЕГУЛЯРНЫЕ, ГОЛОМОРФНЫЕ) ФУНКЦИИ 7.3-1. Производная функция (см. также п. 4.5-1). Функция w—f(z) назы- вается дифференцируемой в точке г —а, если предел = lim + (7.3-1) 02 Дг —» 0 аг (производная f (г) по z) существует при г—а н не зависит от способа стрем- ления Дг к нулю. Функция может быть дифференцируема р точке (например, I г |2 при г = 0), на кривой и во всей области. 7.3-2. Уравнения Коши — Римана. Для того чтобы функция f(z) — u (х, у) + +1 о (л;, у), определенная в некоторой области, была дифференцируемой в точ- ке г атой области, необходимо и достаточно, чтобы функции и (х, у) и v (х, у) были дифференцируемы *) в той же точке и чтобы, кроме того, выполнялись условия —® (уравнения Коши — Римана). (7.3-2) Тогда dw__ди , _ди ди___ди__ ди бч , йр /7 4^ dz дх дх ду ду дх ду^ ду~^~ дх\ ' ' * При переходе к полярной системе координат я —г cost,о, у—г sin <р, где 2==12! и <p=argz, уравнения Кошн — Римана принимают следующий внд v =/= 0); ди 1 ду до 1 ди dr г dtpr dr г dtp- Производная f (г) равна и г (du,,dv\ 1 [ди dv\ —______f + + Т. е. имели полные дифференциалы; для этого достаточно, чтобы частные произ- ЬОД1Ц.| • » г • - их,> Uy, vXt Vy были непрерывны в рассматриваемой точке (см. п. 4.5-3).
202 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.3-3. 7.3- 3. Аналитические функции. (а) Однозначная функция f (z) называется аналитической (регулярной,- голоморфной) в точке z=a, если она дифференцируема в некоторой окрест- ности точки а. f (г) — аналитическая в точке а тогда и только тогда, когда она предала- ОО вима степенным рядом f (г)= У ak (г—a)ft, сходящимся в некоторой окрест- k = o ности точки г=а (равносильное определение). Функция называется аналитической в открытой области D, если она ана- литическая в каждой точке этой области. Отсылаем к пп. 7.4-1—7.4-3 для расширения этого определения приме- нительно к многозначным функциям. (b) f (г) называется аналитической в бесконечности, если функция F (г) = =/(Vz) — аналитическая в точке г=0. Функция f (г) аналитична в бесконечности тогда и только тогда, когда ОО она может быть представлена рядом f (г) = У] по отрицательным сте- k = o пеням г, сходящимся для достаточно больших значений | г | (см. также п. 7.5-3). Термины дифференцируемая, аналитическая, регулярная и голоморфная применя- лись в одном и том же смысле разными авторами, 7.3- 4. Свойства аналитических функций. Пусть f(z)—аналитическая в от- крытой области D. Тогда во всей области D: 1) уравнения Коши—Римана (2) удовлетворяются (верно и об- ратное утверждение); 2) и (х, у) и v(x, у)—сопряженные гармонические функции (п. 15.6-8); 3) все производные функции f(z) существуют и являются анали- тическими функциями (см. также п. 7.5-1); г 4) в односвязной области D интеграл J f (£) d£ не зависит от конту- а ра интегрирования, если только этот контур имеет конечную длину и целиком лежит в области D; производная интеграла есть {(г) (см. также п. 7.5-1); 5) значения f (г) на линии или в подобласти, целиком лежащих в области D, определяют / (г) единственным образом всюду в D. - Все обычные правила дифференцирования и интегрирования (пп. 4.5-4 и 4.6-1) применимы к аналитическим функциям комплексного переменного. Если функция w=f(z) аналитична в точке г=а и /'(а)=#0, то f (z) имеет аналитическую обратную функцию г (ш) (п. 4.2-2, а), определенную в окрестности точки w—f(a). Если W=F(w) и w=f (г)—обе аналитические, то W есть аналитичес- кая функция от г. Если последовательность (или ряд, п. 4.8-1) функций fk (г), аналитичес- ких в открытой области D, сходится равномерно к пределу f (г) всюду в D, то f(z)—аналитическая функция и последовательность (или ряд) производных f'k (г) сходится равномерно к f (г) всюду в D (теорема Вейерштрасса). X Если функции fy (г) — аналитические в области D и непрерывны в D, то равно- мерная сходимость последовательности (или ряда) fy (г) во всей замкнутой области D будет следовать из равномерной сходимости на границе этой области. При этом можно гарантировать сходимость последовательности производных только в открытой области D. *
7.4. МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ 203 7.4-2. В условии теоремы Вейерштрасса последовательность (или ряд) контурных интегралов j fk(z)dz, где контур С—конечной длины и лежит в D, сходится С равномерно к J f (z) dz. 7.3- 5. Теорема о максимуме модуля. Абсолютное значение | f (г) | функ- ции f (г), аналитической в открытой ограниченной области D, не может дости- гать максимума ни в одной точке области D, если только f(z) не константа. Если, кроме того, функция /(г) непрерывна в замкнутой области D и |/(г)| на границе, то | f (г) | < М всюду внутри D при условии, что f (г) ф const. Если функция / (г) при приведенных условиях не обращается в нуль в области D, то и минимум | / (г) | не может достигаться внутри области. * 7.4. МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ 7.4- 1. Ветви. Обобщением теории аналитических функций является рас- смотрение ветвей (г), f2 (г), ... многозначной функции f(z), которые опреде- ляются как однозначные непрерывные функции в области их определения. Каждая ветвь принимает некоторое множество значений функции f (г) (см. также п. 7.8-1). 7.4. -2. Точки разветвления и разрезы. (а) Пусть многозначная функция f (г) определена всюду в окрестности D точки z=a, исключая, быть может, саму точку а. Тогда точка а называется точкой разветвления (точкой ветвления) функции f (г), если f (г) переходит от одной своей ветви к другой, когда переменная точка г описывает в окрест- ности D замкнутую кривую вокруг точки а. Если после m-кратного обхода этой кривой в одном и том же направлении мы снова впервые вернемся* к первоначальной ветви, то число т—1 называется порядком точки разветвле- ния. Если f(z) определена в точке разветвления, то значение f (а) есть общее для всех ветвей, полученных при указанном обходе. (Пример ы. Функ- ция г имеет точку разветвления порядка 2 при г=0; все три ветвн равны нулю в точке разветвления. Функция 1/|Лг также имеет точку разветвлении порядка 2 при г=0; все три ветви в этой точке не определены (см. п. 7.6-2, Ь).) * Если г—а—точка разветвления порядка т—1, то функция ф (£) = = /(£т+°) однозначна в окрестности точки £=0; если эту окрестность раз- бить на т секторов лучами arg£ = 2nA/m (й=0, 1, ..., т — 1), то значения функции ф (£) в каждом из таких секторов совпадают с соответствующими значениями одной нз ветвей / (г). Если, описывая кривую вокруг точки г=а сколько угодно раз в одном и том же направлении, мы каждый раз будем получать новые ветви, то точка^д называется точкой разветвлении бесконечного порядка или логарифми- ческой точкой разветвления. (Пример: га = 1пг прн г=0.) * Точка г=оо есть точка разветвления функции f (г), если начало коорди- нат есть точка разветвления для функции f (1/г) (см. также п. 7.6-3). Пусть для функции f (2) обратная функция Ф (to) существует и однозначна всюду о окрестности точки w ~f (а). Тогда г = аф<х> является точкой разветвления порядка т Ля I (г), если Ф' (to) имеет нуль порядка т (п. 7.6-1) или полюс порядка т4-2 (п. 7.6-2) при ю = / (Q) (Пример: w = Уг и w = l!Vz, а = 0.) ки 1!одрбным образом, если Ф (to) существует и однозначна всюду в окрестности точ- ссл Лоч»' (°0)’ то точка г = оо является точкой разветвления порядка т функции f (г), ли (ц,) имеет нуль порядка m-f-2 или полюс порядка т при w — f (оо). (Пример: ® = Уг и w = \IV~z.) * Если точка а является точкой разветвления функции f(z), то в ее акРестности функция f(z) может иметь несколько различных групп ветвей, также ветви, аналитические или не аналитические в точке а и для которых
204 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.4-3. эта точка не является точкой разветвления. Каждая группа ветвей или отдель- ная ветвь определяются выбором начального значения функции f (z) (элемента функции / (z), см. п. 7.8-1). При обходе точки а ветви выбранной группы переходят друг в друга; все ветви этой группы имеют одно и то же значение в точке а, или они в ней не определены. Если в окрестности точки разветвления z== а функция f (г) имеет несколько разных групп ветвей, то говорят, что функция f (z) имеет над точкой а разные точки разветвления. На римановой поверхности функции f (z) (см. п. 7.4-3) им соответствуют разные точки. Для каждой точки а функция f (г) может иметь не более счетного множества различных групп ветвей. Пример. Функция w = у 1 -J- Vz имеет четыре ветви. В окрестности точки 2=0 эти ветви распадаются на две группы, по две ветви в каждой. Ветви первой группы объединяются значением w — 1, а ветви второй группы значением w |гИ) = — 1. Для каждой группы точка z = 0 является точкой разветвления первого порядка. В окрестности точки 2 = 1 ветви распадаются иа три группы. Две ветви, образующие первую группу, объединяются условием Vz |г=т1 = — 1 (тогда w =0); для этой группы точка 2 = 1 служит точкой разветвления первого порядка. Вторая и третья группы, полу- чающиеся при условии Vz = 1, состоят каждая из одной аналитической в точке 2=1 ветви, соответствен ио принимающей значения w |j?_i = Vr2 и w = —1^2. Более сложные примеры см. в [7.7]. -И (Ь) Отдельные однозначные ветви функции f(z) определены в областях, ограниченных разрезами, которые являются простыми кривыми, выбранными так, что ни одна замкнутая кривая, окружающая точку разветвления, не лежит в области определения какой-либо однозначной ветви. Выбор ветвей н разре- зов для заданной функции f (г) не единствен, однако точки разветвления и число ветвей определяются единственным образом. Примеры. Для функций w = z и w — In г разрезом может служить любая простая кривая, соединяющая точки разветвления 2 = 0 и 2=оо, например, положитель- ная или отрицательная части действительной оси. Для функций w = Vl — 2й и w ~ Arcsin г разрезом может служить любая простая кривая, соединяющая точки разветвления — I и I, например, отрезок действительной оси (проходящий через точку 2 = 0 или через точку 2 = оо). Для функций w = V1 -J- г2 и w = Arctg г разрезом может служить, например, отре- зок мнимой осн, соединяющий точки разветвления — i и I. Все ветви моногенной аналитической функции могут быть последовательно получены аналитическим продолжением ее элемента (п. 7.8-1). 7.4- 3. Римановы поверхности. Часто бывает полезно представить много- значную функпию как однозначную, определенную на римановой поверхности. Такая поверхность состоит нз некоторого числа z-плоскостен, или «листов», соответствующих ветвям функции f (г) и соединенных вдоль соответствующим образом выбранных разрезов. О способах построения рнмановых поверхностей см. [7.2], [7.4]. Заметим, что конструкция римановых поверхностей для произвольных функций может быть весьма сложной и требовать большой изобретательности при построении. Если функция щ=/(г) и ей обратная обе многозначны, то г-плоскость и щ-плоскость можно заменить соответствующими римановыми поверхностями; при этом функция w—f(z) будет определять взаимно однозначное соответст- вие между точками обеих римановых поверхностей, исключая точки разветв- ления. Замечание. Рима нова поверхность для моиогеииой аналитической функции (полученной аналитическим продолжением, п. 7.8-1) будет связной; таким образом, мно- гозначная функция f (z) = ± 1, несмотря иа аналитичность каждой ветви, ие является моногенной аналитической функцией. X Более сложный пример представляет многозначная функция w — lnez, распадаю- щаяся на бесконечное множество различных однозначных ветвей w = z-^2ktti (k = 0, 1, 2, , . .). Эта функция ие имеет точек разветвления. X
7.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ 205 Всюду в этой книге, исключая специальные утверждения, применимые к многозначным функциям, речь идет только об однозначных аналитических функциях или об однозначных ветвях аналитических функций (см. п. 7.8-1). •к 7.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ f : 7.5-1. Интегральные теоремы. Пусть / (z)—функция, аналитическая в не- которой области, С—замкнутый контур, принадлежащий этой области вместе со своей внутренностью D, и z—любая точка, из D. Тогда if (£)</£ =0 (интегральная теорема Коши), С f(z) (интегральная формула Коши), гм =2-Ц(А^’ ГМ f’"’ (2) « «I f НЕ) е-2)л+1 (7.5-1) (7.5-2) Рнс. 7.5-1 иллюстрирует применение интегральной теоремы Коши к много- связной области (см. также п. 7.7-1). Равенства (2) выражают функцию f(z) и ее производные через граничные значения f (z). В частности, ^-=2^. (7.5-3) Интегральная теорема Коши обоб- щается на тот случай, когда на кон- туре С функция f (z) перестает быть Рис.'7.5-1. Теорема Коши для много- связной области (пп. 7.2-4 и 7.5-1). Об- ласть D ограничена внешним контуром С и внутренними контурами Cit С2, ... .... C/gi направления обхода контуров указаны и а рисунке; k J f ©dg= Е С <=1 Cl аналитической, оставаясь непрерывной: если функция f(z) аналитична в одно- связной области D и непрерывна в замк- нутой области D, то интеграл (1), взя- тый по ее границе С, равен нулю. * Интеграл вида где с с ь замкнутый или незамкнутый кон- тур и ф (£)—функция, непрерывная на ТУР и ф g)—функция, непрерывная на контуре С, называется интегралом типа Коши. Интеграл типа Коши представляет функцию F (г), аналитическую В каждой области, не содержащей точек контура С. При этом Г1”' (г) = 2ni S Ф ^п-н ® свойствах и приложениях интегралов типа Коши см. 17-Ч. гл. 3, § 3. * Функция f(z) непрерывна в односвязной области D и равенство (1) m место для любого замкнутого контура С, лежащего в D, то f (z) — анали- ияеская в этой области (теорема Морера).
206 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.5-2. 7.5- 2. Разложение в ряд Тейлора (см. также п. 4.10-4). (а) Если f (г) аналитична внутри окружности К радиуса г с центром в точке z==a (а со), то существует единственный ряд по степеням (г—а), рав- номерно сходящийся к f (г) при | г—а | г' <Z г: f(z) = ^ak(z—a)kt (7.5-4) k = 0 где и К'—окружность |z—а|=г'. Наибольший круг (| г—а[=Сгс), все внутренние точки которого лежат внутри области, в которой f (г) аналитична, является кругом сходимости степенного ряда (4); гс есть радиус сходимости (п. 4.10-2, а). Наиболее важ- ные разложения функций в степенные ряды приведены в п. 21.2-12. (Ь) Если М(г')— верхняя граница | f (г) | на К', то | ап | = ~ | fln> (а) | =ё (неравенства Коши). (7.5-5) (с) Если в ряде Тейлора (4) отбросить все члены, стоящие за an_i(z—а)п *, то остаточный член Rn (г) равен 2л« К’ (g-a)«(g-z)’ I Rn (Z) I 'I z — a | \ n fM <r') r' —I z — a)' (7.5-6) ^Если положить | г—a\ — kr', где k<Zl, то Rn (г) jp1 7.5- 3. Разложение в ряд Лорана. (а) Если f (г) аналитична в кольце между двумя концентрическими окруж- ностями Ki и К2 с центрами в точке г=а(аф.со) и радиусами щ и г2 <щ, то существует единственное разложение в ряд по положительным и отрица- тельным степеням (г—а) f(z)= 2 а1г (г-а)*-)- £ bk (z-a)^ (r2 с | г-а | < гх), (7.5-7) fe=0 Л = 1 где ak = — J -~(g) ^= - \ (£-а)*“*/(£)/& 2stfX.(g-e)*+b * 2m/- b K'i—окружность |z—a|=rJ<rj и K2— окружность | г—a | = r2 > r2. Первая сумма в равенстве (7) равномерно сходится для | г—af^gZrj и ана- литична внутри Ki, вторая сумма (главная часть разложения для f (г)) равно- мерно сходится для \г—af^r2 и аналитична во внешности окружности Кг- Замечание. Случай а = оо приводится к предыдущему при помощи преобразо- вания г=1/г, переводящего 2 = оо в начало координат. * Ряд (7.5-7) можно записать в виде оо где Г —любая окружность, расположенная между Ki и К2 *
•j.e-2. 7.6. НУЛИ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 207 (Ь) Если (7.5-8) в первой сумме равенства (7) ограничиться членами по включительно, то остаточный член Rn (г) будет равен т?„(г)= J _HSMg 2m- к; (g-o)«(g-z) ’ второй сумме равенства (7) последним слагаемым взять Если во . . . bn j (z—а)'_(П-1,1 то остаточный член 7?* (г) будет равен RS(Z,“ |R"Wle(iT^ (7.5-9) J (g-g)nHg) га г'2М Щ 1 ir-al-r’ « Л1 (rj) и М (Га) — верхние границы для | f (г) | на Z<J и К'2 соответственно. 7.6. НУЛИ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 7.6-1. Нули (см. также п. 1.6-2). Точки г, для которых /(z) = 0, назы- ваются нулями функции /(г) (корнями уравнения /(z) = 0). Функция / (г), аналитическая в точке г=а, имеет нуль порядка т, где т—целое положи- тельное число, если в точке г=а первые т коэффициентов а0, alt а2,..., ат_^ разложения функции f (г) в ряд Тейлора (7.5-4) равны нулю. При этом f (г) = = (z—а)тф(г), где <р (г) аналитична в точке а и (р(а)т^О. Нули функции f (г), аналитической в области D, все изолированы друг от друга (т. е. каждый нуль имеет окрестность, внутри’которой f (z) У-0, исключая сам нуль), или f (2) тождественно равна нулю в области D. X Иначе говоря, нули функции f (z), ие равной тождественно нулю, не могут иметь предельной точки в области D. В то же время они могут иметь предельную точку на границе области D. Например, пусть D — круг | z | < 1 и f (z) = sin Нули z=1 — — имеют предельную точку z = 1. -К Если ft (г) и f2(z)— аналитические в односвязной ограниченной области D и на ее контуре С и если | f2 (z) | < | ft (z) | ф. О на С, то функции ft (z) -и fi (z)-j-f2 (г) имеют одинаковое число нулей в области D (теорема Руше). Каждый многочлен степени п имеет п нулей с учетом их кратности (основная теорема алгебры, см. также п. 1.6-3). 7.6-2#. Особые точки. (а) Особые точки однозначных аналитических функ- ций. Особой точкой или особенностью функции f (z) называется точка, в которой f (г) не аналитична. Точка z=a называется изолированной особен- ностью f (г), если существует действительное число б > 0 такое, что f (г) ана- литична при 0< | z—а|<б, но не в самой точке г—а. Изолированные осо- бенности для г—аф.со могут быть такими: 1. Устранимая особенность, если функция f (г) ограничена в некоторой окрестности г=а, исключая, возможно, саму точку а, т. е. когда все коэффициенты Ьд. разложения в ряд Лорана (7.5-7) функции f (г) в точке а равны нулю. Пример. имеет устранимую особенность при z=0. В дальнейшем устранимые особые точки обычно не считаются особыми. 2. Полюс порядка т(т = 1, 2,...), если в разложении Лорана (7.5-7) функции f(z) по степеням (г—а) &т+1 = ^т+2 = -”=®
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (главная часть разложения содержит лишь конечное число членов). В этом случае Иш/:(г)=оэ при любом стремлении г к а. При этом г-* со функция Г (z)= 1//(г) будет аналитична в некоторой окрестности точки а (если положить F (а) = 0) и иметь в этой точке нуль порядка т. Функцию f (г) в окрестности ., , il> (г) т—можно представить в виде /.(г) — - - (г — а) точки а—полюса порядка —, где ф (г) аналитична н Ч>(я)^0. Примеры, ta —,, имеет полюс 3-го порядка при 2=2; (2 aa=tg г имеет полюсы 1-го порядка вточках z-~-}-kn (k=0, ± 1,...). 3. Существенно особая точка, если в разложении Лорана (7.5-7) функции f (г) имеется бесконечное число членов, содержащих отри- цательные степени (г—а); при этом не существует ни конечного,- ни бесконечного предела функции /(г) при 2, стремящемся к а. Примеры. Функции sin (1/г) и е А/2 имеют существенно особую точку при г=0. * (Ь) Особые точки многозначного характера. Особые точки многозначного характера являются точками разветвления многознач- ной функции f (z). Определение точки разветвления конечного порядка и логарифмической точки разветвления дано в п. 7.4-2. Пусть точка разветвления г=а имеет конечный порядок, равный т—1, т. е. объединяет группу из ветвей функции f(z). Если все эти ветви имеют конечный или бесконечный предел при г —а, то точка а называется алгебраической точкой разветвления. В этом случае однозначная функция (см. п. 7.4-2) (7.6-1) F (0=Н£т+«) имеет прн £=0 правильную точку или полюс. Если ветви функции f (z) не имеют предела при 2 —а, то точка а назы- вается трансцендентной точкой разветвления *). В этом случае однозначная функция F (£) имеет при £=0 существенно особую точку. Разложение функции F (£) в окрестности точки £=0 в ряд Лорана порож- дает представление многозначной функции f (г) в окрестности точки развет- вления конечного порядка ОО f(z)= 2 Сп(г—а)п/т (а^со). п^= — ОО Если а — алгебраическая точка разветвления, то лишь конечное число коэффициентов сп с отрицательными индексами отлично от нуля; в противном случае а — трансцендентная точка разветвления. Примеры. Функция |/V— 1 имеет алгебраическую точку разветвления порядка 2 при z= I; эта точка есть нуль для всех трех ветвей. Для функции 1/|Л2— I точка z — I также является алгебраической точкой разветв- ления порядка 2; предел любой ветви при 2 —> 1 равеи со. Соответствующая однозначная функция Ф (£) — 1/£ имеет в точке £ = 0 полюс. Функция sin (1 /|Лz ) имеет трансцендентную точку разветвления порядка 2 при 2=0. Соответствующая функция Ф (£) = sin (I/g) имеет при £ = 0 существенно особую точку Если в окрестности точки а функция f (г) имеет несколько разных групп ветвей, т. е. если над точкой а лежат разные точки разветвления (см. п. 7.4-2), то поведение каждой такой группы ветвей нужно рассматривать независимо ) Логарифмические точки разветвления относят к числу трансцендентных.
7.6-5. 7.6. НУЛИ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 209 друг от друга; Для каждой такой группы строится своя однозначная функ- ция F (О- * й й л 7.6-3. Нули и особенности в бесконечности. Функция f (z) аналитична в бесконечности, если f (l/z)— аналитическая в начале координат (п. 7.3-3, Ь). Точка z=oo есть нуль или особенность одного из типов, указанных в п. 7.6-2, если f (l/z) имеет соответственный характер в начале координат. Поведение /(z) в бесконечности может быть исследовано с помощью разложения f (l/z) в ряд Лорана в окрестности z—0. 7.6-4. Теоремы Вейерштрасса и Пикара. Пусть f (z) — однозначная функ- ция, имеющая изолированную существенно особую точку при г = а. Тогда 1) для любого комплексного числа А (включая А =со) существует последовательность точек г^-э-а такая, что lim f (zk) — А (теорема А—»со Вейерштрасса *)); 2) для любого комплексного числа А -ф. оо, за исключением, быть может, одного значения А — А 0, каждая окрестность точки а содержит бесконечное множество точек г таких, что f (г) = А (теорема Пикара) ^Примеры. Функция еЧ2 имеет существенно особую точку 2 — 0. Уравне- ние е^!г—А имеет в каждой окрестности этой точки бесконечное число корней для лю- бого А уЬоо, кроме Л =0. Для функции sin (l/z), также имеющей существенно особую точку z = 0, исключительных значений для А нет. 7.6-5. Целые функции. (а) Целой функцией f (z) называется однозначная аналитическая функция, не имеющая особых точек в конечной части плоскости. Она представляется всюду сходящимся степенным рядом f (г) — су,-j-a^zanzn+-.. Таким образом, целая функция может иметь единственную особую точку при а=сю. Если зта особенность есть полюс порядка т, то f (z)—многочлен (целая рациональная функция) степени т. Если z = co—существенно особая точка, то f (z) называется целой трансцендентной функцией. Если, наконец, z=co— правильная точка (т. е. f (г)—аналитическая для всех значений г), то f (z) есть константа (теорема Лиувилля). Целая трансцендентная функция принимает любое значение w, исключая, возможно, одно значение, в бесчисленном множестве точек z. X (b) Характеристики роста целых функций. Пусть f(г) — целая функция и М (г) = max |/(z)|. В силу теоремы о максимуме модуля |2|=Г (п. 7.3-5) М (г) — возрастающая функция от г и lim М (г)=оо, если только Г со f (г) — не константа. Если М (г)=О (г'1), то f(z)—многочлен степени не выше [р] (целая часть р). Пусть f(z) — целая трансцендентная функция. Если существует число (j>0 такое, что М (г) < ег для всех достаточно больших г, то f (z) называется Функцией конечного порядка. Число p=inf называется порядком целой Функции. Примеры, в2, sin 2, cos z — функции порядка 1, — функция порядка 2, ее не имеет конечного порядка (целая функция бесконечного порядка). Если функция f (г) имеет порядок р и существует число К > 0 такое, что /И (г) Се^гР, то f (z) называется функцией конечного типа. Число o=inf 7<^0 называется типом целой функции. *) Эта теорема была ранее доказана русским математиком Ю. Сохоцким и италь- янским математиком С. Казорапипи. Отметим, что теорема справедлива для неизолированной особой точки, являющейся предельной для полюсов.
210 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.в-в. Если о>0, то /(г)—функция нормального типа, если о=0, то мини- мального типа. Для функции бесконечного (максимального) типа пола- гают о=со. Если пределы справа существуют, то р= lim in 1п м (г) Г —* СО In г ' or= lim in м (г) г—>со гР Целая функция f (z) называется функцией экспоненциального типа, если она первого порядка и конечного типа (р=1, о<со), а также если р<1. (с) Преобразование Фурье и целыефункции (см. п. 4.11-3). Пусть функция f (t) обращается в нуль при 111 5 а. Тогда ее преобразование Фурье а Q(s)= J f(t}e~is‘dt — а есть целая аналитическая функция от s экспоненциального типа sg:a (р = 1 и osga, или р< 1). Теорема Винера — Пэли. Пусть ф (s) — целая функция желанен- СО циального типаа и такая, что |ф(л)|гйх<со (интеграл берется — оо по действительной оси). Тогда существует функция f (/), равная нулю при 111 а, преобразование Фурье которой равно ф (s). -X- 7.6-6. Разложение целой функции в произведение. Для каждой последова- тельности точек z0, г1г z2, ..., не имеющих предельной точки (п. 4.3-6,а) в конеч- ной части плоскости (т. е. имеющих г = сю своей единственной предельной точкой), существует целая функция f (z), которая своими единственными нулями имеет нули порядка nip, в точках z=zk. Пусть го=О, гл#=0 (й>0); если го=О не является нулем, то то=О- Функция f (г) может быть представлена в виде ОО '<г,=г-№,п{(--4)»рц++(е+-+4й)'‘])"'. (7.6-2) где g(z)— некоторая целая функция, а целые числа гр выбираются так, чтобы бесконечное произведение равномерно сходилось в любой ограниченной области (теорема Вейерштрасса; примеры см. в п. 21.2-13). со Ж Если последовательность ги г2, ... такова, что ряд ,--j— сходится для неко- I zn |₽ п = I дорого целого положительного числа р, то все числа гр можно положить равными р— 1. Если последовательность произвольная, то можно взять гр = [In А] (целая часть In А). -X- 7.6-7. Мероморфные функции. Однозначная функция f (г) называется меро- морфной в области D, если ее единственными особенностями в D являются полюсы. Число этих полюсов в каждой конечной замкнутой части D обяза- тельно конечно. Полюсы могут иметь предельную точку на границе области D. В частности, D может совпадать со всей конечной комплексной пло- скостью (исключая z = oo); тогда в любой конечной части плоскости имеется только конечное число полюсов, и единственной предельной точкой для полю- сов может быть бесконечно удаленная точка.
7.7-1. 7.7. ВЫЧЕТЫ И КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 211 Каждую функцию, мерс морфную в конечной плоскости, можно представить в виде отношения двух целых функций, не имеющих общих нулей, и, следовательно, в виде от- ношения двух 'произведений вида (7.6-2). Функция, мероморфная в конечной плоскости и имеющая в бесконечности правиль- ную точку или полюс, есть рациональная алгебраическая функция, представимая в виде отношения двух многочленов (см. также п. 4.2-2, с). 7.6-6. Разложение мероморфных функций иа простейшие дроби (см. также п. 1.7-4). Пусть f (z) — функция, мероморфная в конечной плоскости и имеющая полюсы с задан- ии ними главными частями (п. 7.5-3) У ^ki(z — zk) в точках z — z& число которых j = 1 конечно или бесконечно и которые не имеют предельных точек в конечной части пло- скости. Тогда можно найти такие многочлены pt {z}, р2 (z), ... и целую функцию g (z), что Гтй f(z) => —Pk (z) I + g (Z). (7.6-3) Ряд равномерно сходится в каждой ограниченной области, в которой f (г) аналитична (теорема Миттаг-Леффлера). 7.6-9. Нули и полюсы мероморфных функций. Пусть f(z)—мероморфная функция в некоторой области G и С—замкнутый контур, принадлежащий вместе со своей внутренностью области G и не проходящий ни через нули, ни через полюсы функции f (г). Пусть N—число нулей и Р—число полюсов fW, лежащих внутри G, причем нуль или полюс порядка т считается т раз. Тогда N — P — _LAf_&L(fr Zsti J f (£) “ь с AcArg f (z) 2л если Р—О, то формула (4) дает число нулей Д „Arg f (z) W=—------- 2л (7.6-4) (7.6-5) где &с Arg f (г) обозначает изменение аргумента f (г) при обходе точкой z контура С в положительном направлении (принцип аргумента). Формула (5) означает что w = f (г) отображает движущуюся точку г, описывающую один раз контур С, па движущуюся точку w, окружающую в ю-плоскости начало коор- динат столько раз, сколько нулей имеет функция f (z) внутри контура С в z-плоскости. Формулы (4) и (5) играют важную роль для определения положения нулей и полюсов Hz) и лежат в основе геометрических критериев устойчивости (см. [7.1]). 7.7. ВЫЧЕТЫ И КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7.7-1. Вычеты. Пусть в точке г=а функция f (х) или аналитична или имеет изолированную особенность. Тогда вычетом Res f (а) х) функции f (г) в точке а называется коэффициент при (г—а)-1 в разложении Лорана (7.5-7), или Res/(а) =2^ ©С с (7.7-1а) где С — контур, окружающий точку а и не содержащей внутри себя особен- ностей f(z), отличных от а. *) Вычеты обозначаются также Res [f (z); а] или Res f (г), z = а
212 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.7-2. Вычет Res/(со) функции f (г) при г=со определяется как Res / (оо) =-Tj- /(£)< (7.7-16) -с где интегрирование производится в отрицательном направлении по контуру С (в этом случае внешность контура С остается слева), заключающему внутри себя все особые точки f (z), лежащие в конечной части плоскости. Это значит, что г—оэ является для функции /(г) или правильной, или изолированной особой точкой. Res f (cd) равен взятому со знаком минус коэффициенту при г-1 в раз- ложении Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Отметим, что Res/ (оо) = lim [—zf(z)], (7.7-2) г-» со если этот предел существует. Если f (г) или аналитична, или имеет устранимую особенность при г^а^со, то Res f (а)—О (см. также формулу (7.5-1)). Если г=афсо есть полюс порядка т, то Res/(я) = * ,im [(г—а)"7(г)1. (7.7-3) (т — 1)1 dzm 1 В частности, пусть г=а=#оо—простой полюс и f (z)—p (z)/q (z), где p(z) и q (z)—аналитические функции в точке а и р(я)#=О. Тогда д(я)=О, q' (я) =# 0 и Res^=Fsr (7‘7’4) •ХЕсли бесконечность—правильная точка для функции /(г), то вычет Res/(со) может и не равнятся нулю. Например, если /(z) = 1/2, то г=со есть нуль, a Res/(oo) =—1.>К 7.7-2. Теорема о вычетах (см. также и. 7.5-1). Пусть однозначная функ- ция f (z) аналитична в области D, за исключением изолированных особых точек, а замкнутый контур С принадлежит вместе со своей внутренностью области D, содержит внутри себя конечное число zlt z2, ..., zn особых точек и не проходит ни через одну из них. Тогда п ~ S Res/(aft) (теорема о вычетах). (7.7-5) С k=i С особой осторожностью нужно следить, чтобы контур С не пересекал раз- резы для f (z) (см. также п. 7.4-2). ХЕсли функция f (2) однозначна и аналитична во всей комплексной плоскости, за исключением только изолированных особых точек (необходимо конечного числа, так как иначе существовала бы конечная или бесконечно удаленная предельная точка множества особых точек), то сумма всех ее вычетов (включая вычет Res f (со)) равна иулю.4£ 7.7-3. Вычисление определенных интегралов. (а) Часто можно вычислять действительный определенный интеграл ь j / (х) dx, рассматривая его как часть комплексного контурного интеграла а J / (г) dz при условии, что контур С включает интервал (я, Ь) действитель- с ной оси. Теорема о вычетах (5) может помогать в таких вычислениях и может, в частности, сводить неизвестные интегралы к уже известным.
7.7-4. 7.7. ВЫЧЕТЫ И КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 213 (Ь) Для вычисления некоторых интегралов вида j f(x)dx следует при- —со пенить формулу (5) к контуру С, состоящему из интервала (—R, R) дейст- вительной оси и дуги Cr окружности | z | = R в верхней полуплоскости. Сле- дующие леммы часто позволяют отбросить интегралы по дуге CR при R — co: 1. lim \f(z)dz — 0, если f (z) аналитична при | z | > RB и *~mCR z f (z) стремится к нулю при | z | —* со, когда у^О; последнее, в частности, выполняется, если | f (z) | < —где « > 0, при всех достаточно больших | z |. 2. Лемма Жордана. Если F (г) аналитична в верхней полуплос- кости, исключая, возможно, конечное число полюсов, и стремится к нулю при | z | ♦ со, когда у О, то для любого действительного положительного числа т lim ( F (□ eimi <=0. «-co cR Метод контурного интегрирования может давать главное значение интеграла по оо Коши (см. п. 4.6-2) для J f (х) dx, когда сам интеграл в обычном смысле ие существует. — со Лемма Жордана бывает особенно полезна для вычисления несобственных интегра* ©о лов вида J F (х) elmx dx и, согласно формуле Эйлера, интегралов вида — со со со [ F (х) cos nix dx и J F (х) sin тх dx — со —со эти интегралы встречаются при преобразовании Фурье п. 4.11-3 и в формуле обраще- ния для преобразования Лапласа, п. 8.2-6). (с) Если s — какая-либо полу окру (ясность круга | г — а | = е, где точка z = а— прос- той полюс функции f (2), то lim ( f (£) d? — эт/ Res f (a). E->0 s Это используется, во-первых, при вычислении интегралов по контурам, когда прихо- С eiz дится «огибать» простой полюс (например, при вычислении \ dz по контуру, состоя- щему из отрезка (— R, R) действительной оси и полуокружностей | z | = R и f z | = г при R со и г -> 0) и, во-вторых, для вычисления главного значения по Коши некото- рых несобственных интегралов. (d) Теорему о вычетах можно применять к интегралам вида 2л J R (cos ф, sin ф) dtp, О где R — рациональная функция от cos ф и sin ф, если совершить подстановку z = <4Ф, cos<p = l(2 + l I л аф = dz. (7.7-6) 7.7-4. Применение вычетов к суммированию рядов. Пусть контур С окружает точки г — т, z = т ф- 1, z = т ф- 2, , z ~ п, где т — целое число* и пусть f (z) аналитична
214 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.S-1. внутри С, sa исключением, быть может, конечного числа полюсов аг ... , а//, из которых ни один не совпадает с точками г = т, z = т + 1, г = т 4- 2, ..., Z = п. Тогда п N У, = ResS(°z). (7-7*7> k=m С ; = 1 где Res g (а^) — вычет функции g (z) = л f (г) ctgnz в точке z = afi п N У (-1)* f (ft) = л f «) cosec Jig dZ- У Res gt (o(), (7.7-8) k—m C i = I где gt (z) = л I (z) cosec яг. Иногда бывает возможно выбрать контур С так, что интеграл в правой части формулы (7) или (В) исчезает. 7.8. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 7.8- 1. Аналитическое продолжение и моногенные аналитические функпии (см. также пп. 7.4-1—7.4-3). (а) Пусть однозначная функция (z) определена и аналитична всюду в области Dp, функция f2(z), определенная и аналитическая в области D2, есть аналитическое продолжение ft (г), если существует пересечение областей и Ог, содержащее открытую область Dc, в которой функции ft (г) и /2 (г) совпадают. Аналитическое продолжение f2 (г) определяется единственным образом по значениям (z) в Dc (см. также п. 7.3-3). Сверх того, аналитические продол- жения (г) удовлетворяют каждому функциональному уравнению и, в частно- сти, каждому дифференциальному уравнению, которому удовлетворяет ft (г) (принцип консерватизма функциональных уравнений). Можно также воспользо- ваться функцией /2 (z) для расширения области определения Д (г) и обратно: рассматривать ft (г) и fz (г) как элементы единой аналитической функции / (г), определенной всюду в Dt и О2. fi (г) и/или f2 (z) могут допускать дальнейшее аналитическое продолже- ние, ведущее к другим элементам функции f(z). (b) Многозначные функции. Заметим, что /у (z) и f2 (z) не обя- зательно совпадают во всем пересечении областей их определения. f2 (z) мо- жет иметь аналитическое продолжение fs (г), определенное в D,, но не совпа- дающее с f, (z). Аналитическое продолжение может производить элементы, принадлежащие к различным ветвям многозначной аналитической функции f(zp, два значения f (z0), полученные при аналитическом продолжении ft (г) вдоль двух различных путей С и Сг, совпадают, если С и С, не окружают точку развет- вления f(z). (с) Возможные аналитические продолжения данного элемента образуют моногенную аналитическую функцию f (г), определенную, исключая изолиро- ванные особенности, во всей плоскости или в связной области с естествен- ными границами. В то время как выбор последовательности элементов, опре- деляющих f (z), не является фиксированным, принцип консерватизма функциональных уравнений применим ко всем элементам и каждый такой один элемент единственным образом определяет все ветви, изолированные особенности и естественную границу j (г). 7.8- 2. -X Методы аналитического продолжения. (а) Стандартный метод аналитического продолжения отправляется от функции f(z), определенной степенным рядом (7.5-4), сходящимся в круге |z—п|<г. Для каждой точки z~b этого круга значения f (b), f (b),... известны и определяют разложение в ряд Тейлора в окрестности г — b. Но- вый степенной ряд сходится внутри круга jz — б | < г', который может иметь
7.9-1. 7 9 КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 215 часть, расположенную вне первого круга. Тогда мы получаем аналитическое продолжение функции / (г) в часть круга с пентром в точке Ь, лежащую вне круга с центром в точке а. Этот процесс может быть продолжен вплоть до естественных границ функции; каждый степенной ряд есть элемент f (z). Замечание. Функция, определенная степенным рядом с конечным радиусом сходимости, имеет по крайней мере одну особую точку на границе круга сходимости. (Ь) Пусть даны две односвязные области Dt и D2 без общих точек такие, что их границы имеют один общий кусок у. Если функции fa (г) и fa (г) аналитичны соответственно в областях и D2, непрерывны в Dj+y и D2+Y (т. е. вплоть до линии -у) и совпадают во всех точках кривой -у, то функции fa (z) и fa (г) являются аналитическими продолжениями друг друга. (с) Принцип симметрии. Пусть f (z) определена и аналитична в области D, граница которой содержит отрезок у оси Ох, непрерывна в О+у и принимает на у действительные значения. Тогда функция f* (г), определен- ная в области О*, симметричной с областью D относительно действительной оси, соотношением Г = (7.8-1) является аналитическим продолжением f (г) в области D*. Более общо, пусть f(z) определена и аналитична в области D, граница которой содержит дугу окружности или прямолинейный отрезок 5г, на котором f (г) непрерывна и принимает значения, лежащие на некоторой дуге окружности или прямолиней- ном отрезке Sw в плоскости w. Тогда функция f (г) может быть аналитически продолжена в область D *, симметричную с областью D относительно Sz, причем ее значения в точках, симметричных относительно Sg, будут симмет- ричны относительно Sw. 7.9. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 7.9- 1. Конформное отображение. (а) Функция w=f(z) отображает точки z-плоскости (или римановой по- верхности, п. 7.4-3) в соответствующие точки w-плоскости (или римановой поверхности). В каждой точке z такой, что f (z) аналитична и f (z) О, отображение w=f(z) конформно, т. е. угол между двумя кривыми, проходя- щими через точку г, переходит в равный по величине и по направлению отсчета угол между соответствующими кривыми в плоскости w. Бесконечно малый треугольник около такой точки z отображается в подобный беско- вечно малый треугольник ш-плоскости; каждая сторона треугольника «растягивается» В отношении I f' (z) | : 1 в поворачивается на угол arg f' (z). Коэффициент искажения (локальное отношение малых площадей) при отображении w = f (z) = и (х, у) i v (х, у) равен |Г (г)|2 = д (и, у) д ис, у} ди ди дх ду dv dv дх ду (7.9-1) в каждой точке z, где отображение конформно. Конформное отображение преобразует линии х = const, у = const в семейство ортогональных траекторий в ^-плоскости. Обратно, •яииии и (х, у) = const, у (х, у) ~ const соответствуют ортогональным траекториям в z-плоскости (см. также табл. 7.2-1). Область z-плоскости, отображающаяся иа всю ш-плоскость функцией f (z), называется Фундаментальной областью функции f (z). Точки, где f* (z) — 0 называются критическими точками отображения ei = /(z)1). Отображение, которое сохраняет величину, ио не направление отсчета угла между двумя кривыми, называется изогональным или кои- Ф°Рмиым отображением второго рода (пример изогонального, но не конформного отобра- жения-. w = z) • _ ’) Некоторые авторы называют особые точки, где l/f' (z) также критическими ’точками f (z).
216 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.9-2. (Ь) Отображение w=/(z) конформно в бесконечно удаленной точке, если функция W = f (l/Z) = F (Z) отображает начало z=0 конформно в ^-плоскость. Две кривые пересекаются под углом у в точке z=co, если преобразова- ние z=l/z переводит их в две кривые, пересекающиеся под углом у в точке z=0. Аналогично w=f (г) отображает точку г=а конформно в точку ш=со, если w= 1// (г) отображает z — a конформно в точку о>=0 (см. также п. 7.2-3). 7.9.2. Дробно-линейное отображение (преобразование). (а) Дробно-линейное отображение (be-ad)^0 (7.9-2) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками z-плоскости и точками ai-плоскости. Оно имеет две инвариантные точки г=^1(а —d) ± V (a—d)2 +4Ьс] (7.9-3) (которые могут и совпадать), отображающиеся сами в себя. Отображение конформно всюду, исключая точку г——d/c, которой соответствует w—co. Прямым и окружностям z-плоскости соответствуют прямые или окружно- сти ш-плоскости и обратно; в этой связи можно прямые рассматривать как окружности с бесконечным радиусом, проходящие через бесконечно удаленную точку. Для каждого дробно-линейного отображения, отображающего четыре точки Zj, z2, zs, г соответственно в wlt w2, w3, w, Zi — z . Zt — zg _wt —w , Wt—a>2 (7.9-4) z3 — Z * Zs — Zp w3 — w ' w3 — tvz (инвариантное двойное отношение или ангармоническое отношение 9). Равен- ство (4) определяет единственное дробно-линейное отображение, переводящее три данные точки zlt г2, z3 соответственно в три данные точки w2, w3. Существует дробно-линейное отображение, которое преобразует заданную окружность или прямую в z-плоскости в заданную окружность или прямую в w-плоскости (см. также табл. 7,9-2 и п. 7.9-3). Частные случаи. Отображение , w == Az + Я, (7.9-5) где А и В — произвольные комплексные числа, соответствует вращению на угол arg At растяжению в | А | раз н параллельному сдвигу па вектор В. Линейное отображение (5) есть самое общее конформное отображение, которое сохраняет подобие геометрических фигур. Отображение w = — (7.9-6) z представляет геометрически инверсию точки z относительно единичной окружности с центром в начале координат с последующим симметричным отображением относительно действительной оси. Отображение (6) преобразует: i) прямые,^ проходящие через начало координат, в прямые, также прохо- дящие через начало координат; 2) окружности, проходящие через начало координат, в прямые, ие прохо- дящие через начало координат, и наоборот (прямые, ие проходящие через начало координат, в окружности, проходящие через начало); 3) окружности, которые не проходят через начало координат, в окруж- ности, также не проходящие через начало координат (4) действительно, если точки zz, z3, z (и следовахельво, на окружности или прямой. •) Двойное отношение точки Щ1, ц>2, «Ъ, лежат
217 7.9-4. 7.9. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (Ь) Дробно-линейные отображения (2) образуют группу; обратные преоб- разования и произведения дробно-линейных отображений также являются пробио-линейными (п. 12.2-7). Каждое дробно-линейное отображение (2) может быть представлено как результат (произведение) трех последовательных простейших дробно-линейных отображений: z'==z-|--^- (параллельный перенос), (7.9-7а) г'= (инверсия и симметрия), (7.9-76) w=-bc z”+y (сращение и растяжение с последующим парал- лельным переносом). (7.9-74 7.9- 3. Отображение ^z-f- *). Отображение ш = (7.9-8а) эквивалентно следующим: .Ц'.-.1..==(А-1У или z = a>+J/^=l (7.9-86) U>+ 1 \ z+ 1 / ИЛИ и=4 (lzl + -i4-j-)cos<p, -и = -^|г| — -losing). (7.9-8с) Преобразование (8) конформно, за исключением критических точек г=1 и г = — 1. И внешность, и внутренносгь единичной окружности |г| = 1 отображаются на всю плоскость w, из которой удален прямолинейный отрезок — 1uez 1, соответствующий единичной окружности |г|=1. Некоторые важные свойства преобразования (7.9-8а) приведены в табл. 7.9-1. 7.9-4. Интеграл феля z § (г— п У а,-=п—2 /=1 Шварца — Кристоффеля. Интеграл Шварца — Кристоф- (г-х^г*1... (г — хП)ап~1 dz + B, (7.9-9) отображает верхнюю полуплоскость у > 0 конформно во внутренность много- угольника в w-плоскостн; контур многоугольника соответствует действительной °еи, вершины wt, и)г,..., шп соответствуют различным точкам х,, х2,...,х„ оси Ох и внутреннкй угол многоугольника в вершине w, равен a,n(/=l, 2,..., и). Для каждого данного многоугольника в w-плоскости три из точек х i могут быть Это отображение обычно называют отображением Чуковского.
218 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.9-5. Таблица 7.9-1 Свойства отображения w = -|Yz-|- -i (см. также табл. 7.9-2 и 7.9-3) г = х + in = | z | е*4*; ю = и + tv = гс*^ Точка, кривая (ые) или область в г’-плоскости Точка кривая (ые), или область в ги-плоек ости Замечания Окружности с центром в 0 | 2 | = еа = const ф. 1 Эллипсы с фокусами ± i иъ Vs ch5 а sh2 а Если ф возрастает, то 0 возрастает для | z | > 1 и убывает для | z | < 1 Прямолинейные лучи, выхо- дящие из начала координат ф =3 const ф. 0 Гиперболы с фокусами + 1 К2 Vs _ cos8 ф sin2 ф Единичная полуокружность 1 2 | = 1, //>0 Прямолинейный отрезок — 1 С и 1 Если ф возрастает, то и убывает Единичная полуокружность |2|= 1, Прямолинейный отрезок - 1 с « С 1 Если ф возрастает, то и возрастает Прямолинейные отрезки действительной оси у = 0, соответствующие интервалам — оо < х < — 1, - 1 < х < 0, 0< 1, 1 < X < со Прямолинейные отрезки дей- ствительной оси V = 0 — оо < и < — 1. — 1 > U > — СО, оо > и > 1, 1 < и < со Линии тока для течения, обтекающего единичный круг со скоростью х/2 в со V = const Соответствующие линии по- стоянного потенциала ско- ростей и — const выбраны произвольно; остальные точки Xj и параметры А к В определяются единственным образом. Если одной из вершин многоугольника соответствует бесконечно удаленная точка, например, хп = оо, то формула (9) приводится к виду Z ш = Л' J (а—(г—— ,)“»-!-1 dz+В’, (7.9-10) 20 А' и В' — постоянные параметры и x'lt x’2t...» — новые точки оси Ох. Фактическое определение точек Xj или ху весьма сложно, за исключением некото- рых вырожденных случаев и когда один или несколько углов обращаются в нуль <см. [7.6]). Приложения формулы Шварца — Кристоффеля к отображению параллелограммов и прямоугольников в су-плоскости приводят к эллиптическим функциям (п. 21.6.-1). Отображения 26 — 30 в табл. 7.9-2 суть частные случаи формулы Шварца — Крис- тоффеля. 7.9-5. Таблица отображений. Табл. 7.9-2 иллюстрирует некоторые отобра- жения, часто встречающиеся в различных приложениях.
7.8-5. 7.S. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 219 Таблица 7.S-2 Примеры конформных отображений Рис. 4. w = I/Z.
220 гл. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО . 7.9-5. Таблица 7.9-2 (продолжение} Рис. 5. W =S 1/2. Л Е fit F Рис. 6. w — ez. Рис. 7. w — ег. Рис. 8. w = ег. Рис. 9. w = sin 2.
7.9-Б. 7.9. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 221 Г а б л и ц я 7.9-2 {продолжение}
ГЛ 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.9-5. Таблица 7-9-9 (продолжение}
7.9. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 7.9-2 Т а б л и ц а
224 ГЛ, 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.9-5. Таблица 7.9-2 {продолжение}
'Л-5. 7.9. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ Таблица 7.9-2 Рис. 26. tej — т + z —• In г. К Рис. 27. ю = 2 (2 + l)Vs + In ‘'Z*.—-. (z + 1) */» + 1 Рис. 29. a> = — [(z1 — I)1/4 + Arch z]-
гл. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.9-5. Таблица 7.9-3 Конформные отображения некоторых областей D на единичный круг ( | w | sg 1) z -- х + iy = | z | er<₽, a> = и + iv = | w |e‘® Область О в г-плоскости Преобразование Замечания 1 Верхняя полуплоскость у>ь z — а (Z действительно) 2 == а преобразуется в точку W = 0 2 Правая полуплоскость х > 0 г + а (1 действительно) 3 Единичный круг \2 | С 1 * №=Л-г-„а . 1 — аг (Z действительно) z= а преобразуется в точку W = 0 4 Полоса шириной л 0 х л, — оо < у <С со .w-l.= iete ш + 1 Частный случай пре- образования Швар- ца — Кристоффеля (7.9-9) 5 Сектор единичного круга 1*1 < 1 о ф ла (1 +г1''”)2-1(1 - г1/”)3 (1+г1/«)2+<(1— г1/*1)3 6 z-плоскость с разрезом от г — 0 до z = со вдоль положительной части действительной оси /г — i W = — Vz + i 7 Внешность эллипса — + ^- = 1 а* + fc2 2 2 [<а b>tv+ ш ] См. также п. 7.9-3 8 Внешность параболы | Z | COS2 — = 1 9 Внутренность параболы | Z 1 cos2 = 1 w ~tg! (т 10 Полукруг | г | С R, х > 0 z‘- 2Rz - Я2 11 Область, ограниченная прямыми линиями (мно- гоугольник) Комбинация отображения Шварца — Кристоффеля (п. 7.9-4) с отображением 1
7.9. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 227 7.9-6. 7.9- 6. Функции, отображающие специальные области на единичный круг. (а) Теорема Римана об отображении. Для каждой односвязной области D в z-плоскости, кроме всей г-плоскости и г-плоскости, из которой удалена одна точка, существует конформное отображение w — f (г), которое устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками области D и внутренними точками единичного круга |ш|-<1. Аналитическая функция / (г) определена единственным образом, если задан образ точки а области D и угол поворота любой кривой, проходящей через зту точку, т. е. f (a)—w„ и argf (а) = а, где Wq и а—заданные величины. Если D ограничена регулярной кривой (п. 3.1-13) С, то функция f (z) непрерывна на С и устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками С и точками единичной окружности |и>| = 1. Замечания. 1) Отображение задается определенной аналитической функцией f (2); S) за исключением отмеченных выше тривиальных случаев, каждую область D, ограни- ченную простым контуром, можно отобразить конформно иа другую область D', также ограниченную простым контуром. Проблема конформного отображения области D на единичный круг тесно связана с решением краевой задачи Дирихле для области D (п. 15.6-9). Часто требуемое конформ- ное отображение может быть получено последовательным применением простых преоб- разований. (Ь) В табл. 7.9-3 приведены некоторые конформные отображения заданных областей D на единичный круг.
ГЛАВА 8 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 8.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Преобразовав не Лапласа (п. 8.2-1) связывает одвозначную функцию F (в) комплексной переменной s (изображение) с соответствующей функцией f (t) действительной переменной t (оригинал). Это соответствие, по существу, взаимно однозначное для большинства практических целей (п. 8.2-8); соответ- ствующие пары f (t) и F(s) часто определяются при помощи таблиц. Преобра- зование Лапласа характерно тем, что многим соотношениям и операциям над оригиналами f (t) соответствуют более простые соотношения и операции над нх изображениями F (s) (пп. 8.3-1—8.3-4). Оно применяется, в частности, для решения дифференциальных и интегральных уравнений; метод решения заключается в преобразовании данного уравнения, содержащего оригиналы f (t), в эквивалентное уравнение, относительно соответствующих изображений Лапласа F (s). (Операционное исчисление, основанное на преобразовании Лапласа, пп. 9.3-7, 9.4-5 и 10.5-2.) 8.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.2-1. Определение. Преобразование Лапласа (одностороннее) со F (s)=X (/ (0] = J / (0 e~st dt (8.2-1) о ставит в соответствие каждой однозначной функции (оригиналу) f (t) (t действи- тельно), для которой несобственный интеграл (1) сходится, единственную функцию F (s) (изображение) комплексной переменной s=o+ico. Интеграл (1) называется интегралом Лапласа, а функция F (s)—преобра- зованием Лапласа (односторонним) функции f (f). Часто употребляются запнсн F(s)=X[f(t),s] или F (s) =.f(t). 8.2-2. Абсолютная сходимость. Если интеграл Лапласа (1) абсолютно сходится при а~о0, т. е. существует предел b со lim \\f(t) \e~c<f dt= f \f(t) \e~c,fdt, (8.2-2) fc —cog g то он сходится абсолютно и равномерно для о "5: о0 и изображение F (в) — аналитическая функция (п. 7.3-3) при Re s=o^o0. Точная нижняя грань оа действительных чисел о0, для которых это условие соблюдается, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа [/ (Z)]; в полупло- скости Res>oe изображение F (s)—функция аналитическая. Хотя некоторые теоремы, относящиеся к преобразованию Лапласа, нуждаются только в существовании преобразования (простой сходимости), существование абсциссы абсолют- ной сходимости будет предполагаться во всем дальнейшем наложении. Там, где необхо- димо специально отмечать область абсолютной сходимости, связанную с соотношением, включающим преобразование Лапласа, будем писать о > са справа от исследуемого соотношения, как в формуле (3).
8.2-6. 8.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 229 8.2- 3. Область определения. Область определения аналитической функции /7(s)=«S?(A(0] (o>att) (8.2-3) обычно расширяется при помощи аналитического продолжения (пп. 7.8-1 и 7.8-2) до полной s-плоскости, за исключением особых точек (см. п. 7.6-2), расположенных слева от прямой о=оа. Такое расширение области определения всегда подразумевается. 8.2- 4. Достаточные условия существования преобразования Лапласа. Пре- образование Лапласа £ [f (7)], определенное формулой (1), существует в смысле абсолютной сходимости (п. 8.2-2; см. также п. 4.9-3): со 1) для о S; 0, если [ | f (7) | dt существует} 2) для о > оа, если интеграл (возможно, несобственный) существует для каждого конечного (j>Ou |/(7) ^ля 7>78Э> ^0 (/(7) имеет экспоненциальный порядок или f (t)=o(e°a) при t—»оо, п. 4.4-3); 3) для о > 0 или о > оо (какая из границ больше), если X [f (01 существует (не обязательно в смысле абсолютной сходимости) для о>са. 8.2- 5. Обратное преобразование Лапласа. Обратное преобразование Лапласа «5?-11^(01 функции/ («) комплексной переменной s=o+ico есть функция f(t), для которой преобразование Лапласа (1) есть F (s). Не каждая функция F {&) имеет обратное преобразование Лапласа. 8.2- 6. Теорема обращения. Пусть F (s)=[f (7)], о>ов; тогда в каждом открытом интервале, где /(/) ограничена и имеет конечное число точек мак- симума, минимума и точек разрыва (или, более общо, /(7) имеет ограничен- ную вариацию (п. 4.4-8, Ь)), Ito $ F(s)^ds« R_>00o1—iR |[/«-0)+/(7-}-0)] для 7>0, У (0+0) для 7=0, для 7<0 (<*i > оа). (8.2-4а) 0 В частности, для каждого 7 > 0, где f (f) непрерывна, Ot+iR МО = 2^ lim J F (s)estds=f (f) (01><то). (8.2-46) Путь интегрирования в формулах (4) лежит справа от всех особых точен 4-/00 F (s). Интеграл приводится к интегралу J F (s) estds, если последний с,—<оо существует; в противном случае /у (7) есть главное значение интеграла по Коши (п. 4.6-2, Ь).
230 ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.2-7. 8.2- 7. Существование обратного преобразования Лапласа. Особо следует обратить внимание иа то, что существование предела (4) еще не достаточно для того, чтобы F (s) имело обратное преобразование Лапласа, (пример: F (s) =eS .) Существование («)] должно быть проверено для каждого применения теоремы обращения. Сле- дующие теоремы дают достаточные (но не необходимые} условия для существования Х~г £*’ <«>]• 1. Если F (s) аналитична для о и имеет порядок <—-1 in. 4.4-3), то j^~4F (s)J существует; оно непрерывно для всех i и f (Z) = О \е / при <-»со и соответствующая абсцисса абсолютной сходимости есть Ga. Заметим, что при этих условиях формула (4b) справедлива и £-'\F (s)]=^0 для 2) Пусть F (s) (s), F^ (s), .... Fn (S)], так что ф (2р 2g, .... 2Д) аналитична относительно каждого Z& и равна нулю для z1~z2=..,—zn=^6J и Fk^ = Xllk^] ^>°ak'< л = 1. 2, .... n); тогда Jjf-’ffXs)] существует и соответствующее преобразование Лапласа имеет абсциссу абсолютной сходимости. 8.2- 8. Единственность преобразования Лапласа и его обращения. Преобра- зование Лапласа (\) единственно для каждой функции f (/), имеющей такое преобразование. Обратно, две функции fA (t) и fz (/), имеющие одинаковые пре- образования Лапласа, совпадают для всех t > 0, за исключением, возможно, множества меры нуль (п. 4.6-14); для всех />0, где обе функции непрерывны (теорема Лерха). f (t) определяется единственным образом по пре- образованию Лапласа для почти всех t > 0 (п. 4.6-14, Ъ); данная функция F (s) не может иметь более одного обратного преобразования Лапласа, непрерыв- ного для всех />0. Различные разрывные функции могут иметь одинаковое преобразование Лапласа. В частности, единичная функция (см. также п. 21.9-1) )(/)— Одля /<0 и f (О = I для />0 имеет преобразование Лапласа 1/s независимо от значения, принимаемого f (/) при t =0. 8.3. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОПЕРАЦИЯМИ НАД ОРИГИНАЛАМИ И ИЗОБРАЖЕНИЯМИ 8.3- 1. Таблица соответствия операций. Табл. 8.3-1 содержит некоторые теоремы, устанавливающие соответствие между операциями над оригиналами f(t) и операциями над их изображениями F (s) и обратно. Эти теоремы составляют основу применения преобразования Лапласа (операционного исчис- ления, основанного на употреблении преобразования Лапласа). 8.3- 2. Преобразования Лапласа периодических функций и пронзведеннй оригиналов на синус или косинус. (а) Если f (/)—периодическая функция с периодом Т (п. 4.2-2, Ь) и т j I f (0 I dt существует, то Т £ (/ (01=------5 fW (° > °)- (8-3-1) 1 — е о Замечание. Интеграл в правой части равенства есть целая функция (п. 7.6-5), так что [f (/)] не имеет особенностей для конечных s, sa исключением простых полюсов на мнимой осн.
Таблица 8.3-1 Теоремы соответствия операций вад оригиналами и изображениями Следующие теоремы все справедливы, если преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости (см. также пп. 8.3-2 и 20.4-5) Номер тео- ремы Операция Оригинал Изображение 1 Линейность (а, р — постоянные) f 1 (0 Ч- 0 (?) a Ft (s) + ₽ F s (s) 2а 2Ь 2с Дифференцирование оригинала 1), если f* (#) существует при всех t >• 0 если ftn (/) существует при всех i > 0 если f (f) ограничена при 1 > 0 и f* (/) суще- ствует при t >. 0, исключая точки t = tt, tz, ...» где f (/) имеет односторонние пределы fm f,n т (г= 1. 2, ...) ['(П s F (s) — f (0 + 0) srF (s) - s'-1 f (0 + 0) - - s'*"2/ • (0 + 0) - ... — fr~1’ (0 + 0) s F (s) - f (0 + О - 2 e г x 3 Интегрирование оригинала t J f (t) T 0 f (S) s 4 Изменение масштаба f c/) (a > 0) 5 Сдвиг аргумента у оригинала, если / (/) = 0 для t 0 f V — b) (b > 0) e~bs F (s) 1 Абсцисса абсолютной сходимости для [/ fri /)] равна 0 или ca в. зависимости от того, что больше со Ъэ О о о со го СП S го £ го ё *< о □ го и П S >Q S
Т а б л и ц а 8.3-1 (продолжение) g ________________________________ Номер тео- ремы Операция Оригинал Изображение 6 Свертка оригиналов *) t fi X fa = J f i (T) fs (t — T) di == 0 " fa X fi F, (s) F2 (s) 7 Соответствие пределов оригиналов и изобра- жений (теорема непрерывности; а ие зависит от i u s) lim f (t, од a -* а lim F (s, a) a -* a 8 Дифференцирование и иитегрирование по па- раметру а. не зависящему от i и s a) f (t, a), b) J f (?, a) da ai a) F (s, a), b) F (s, a) da a, 9а 9Ь Дифференцирование изображения -tfm (-l/ffto F'(s) F‘r> (s) 10 оо Интегрирование изображения, если J F (s) ds s сходится (путь интегрирования расположен справа от абсциссы абсолютной сходимости) CO J F (s) ds s 11 Сдвиг аргумента у изображения ealt(t> F(s — a) Ч Существование fi X fz предполагается; абсолютная сходимость <53 (/)] и <53 (?)] есть достаточное условие для абсолют- ной сходимости <53 [h X fsj- См- также п. 8.3-3. ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.3-2.
8.3-4. 8.3. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОПЕРАЦИЯМИ 233 (Ь) Если I (0 — антнпериодическая функция (п. 4.2-2, Ь) с периодом Т, т. е. f (/-)- Г/2) = —____f (<) *) и J | f (I) | dt существует, то О Г/2 X У (/)1 -------— «Т/У f <л ~ St dt (с > <8.3-2) < + « /2 s (с) Если f (/) — антнпериодическая функция, положительная для <Т/_2, и функ- ция (0 получена в результате ее детектирования, т. е. ф1(0=4f(<) при fw>°- I 0 при f (0 О, то X [Ф1 (01 = sr/2- X V <0] <с > 0). (8.3-3) (d) Если f (0 — антнпериодическая функция, положительная для 0 </< 772, и функция <₽2 (О получена в результате ее выпрямления, т. в. . ( f (0 при f (0 > О, Фг ( I —f (0 при f (0 <0, то X [ф* <0 ] = c‘h % X и (01 Ю > 0). (8.3-4) (е) Преобразование произведений оригиналов на синус или косинус. Если F (s)—преобразование Лапласа для f (/), то X [/ (/) sin со/] = ~ [F (s—i<u)—F (s -}- to)], ) 1 ' (8.3-5) X [/ (/) cos co/]=~ ]F (s—to) + F (s+to)]. J 8.3- 3*. Преобразование произведения (теорема о свертке). Пусть Fi(s}=X\h{t)\ (о>О!), Fa (s) ]/2 (/)] (о>о2). Тогда #И1(0 h (01 = Л 4- zoo 2^ J fi(2)F2(s —г)с/г Л —ZQO Л 4-^оо J Fa(z)Ft(s-z)dz А, — z'oo a>oi), (8.з-б) (X > о2). (8.3-7) В обеих формулах следует считать, что Res>o1+o!,' это значит, что изображение произведения /1(/)/2(/)—аналитическая функция в полуплоскости o=Res>o1-[-o2. 8.3-4. Предельные теоремы. Если F (s)—преобразование Лапласа для f(l) и X [/' (/)] существует, то lim sF (s)=/(0+0). (83.8) S-» ОО v Если, кроме того, существует предел f (/) при t—»со, то lim sF(s)= lim /(/). (8 3.9) S —»оо t -»оо ' *) Такую функцию называют еще «функцией с зеркально сдвинутыми полуволнами».
234 ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА! 8.4-t. 8.4. ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА 8.4- 1. Таблицы преобразования Лапласа. Таблицы преобразования Лапласа имеются во многих справочниках, например, [8.2] [8.7]. В табл. 8.4-1 и 8.4-2 приведены наиболее часто встречающиеся преобразования. 8.4- 2. Вычисление обратных преобразований Лапласа. В пп. 8.4-3—8.4-9 описываются различные приемы отыскания оригинала f (/), соответствующего заданному изображению F (s) (см. также пп. 9.3-7, 9.4-5 и 10.5-2). Замечание. Если существование ЗБ"1 [F(s)] заранее неизвестно, то результаты, полученные применением теоремы обращения (8.2-4), должны быть проверены с помощью формулы (8,2-1). ' Особая осторожность рекомендуется при применении разложения в ряды для полу- чения ЗБ"1 [F (s)]; по-видимому, непосредственное асимптотическое или даже сходящееся разложения могут не привести к правильному результату, если F (s) и f (() не удовлетво- ряют специальным ограничительным условиям. Некоторые достаточные (но не необходимые) условия для справедливости разложения в ряд [F (s)] приведены в пп. 8.4-6—8.4-9. Во многих случаях, где функция f (/) подозревается как 35 1 [F (s)J, это может быть проверено подстановкой в исходное диф- ференциальное уравнение; поэтому эвристический метод отыскания 35 1 [F (S)] может оказаться весьма полезным. 8.4- 3. Применение контурного интегрирования. Значение контурного инте- грала (8.2-4) часто удается получить при помощи теоремы о вычетах (пп. 7.7-1 — 7.7-3) и леммы Жордана (п. 7.7-3, Ь). Если F (s) — многозначная функция, то контуры не должны, конечно, пересекать разрезы для F (s) (п. 7.4-2). 8.4- 4. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций: разложение Хевисайда. (а) Если F (s)—рациональная алгебраическая функция, выраженная отно- шением двух многочленов (8.4-1) причем степень многочлена D (s) выше степени многочлена Dr (s), то ЗБ"1 [Е (s)] равно сумме вычетов (п. 7.7-1) функции F (s) esl по всем особым точкам (полю- сам) F (s). Для вычисления обратного преобразования Лапласа ЗБ"1 [F (s)] сначала находим корни s* уравнения D (s) = 0 (которые определяют полюсы F (s)) методами, описанными в пп. 1.8-1—1.8-6 или 20.2-2—20.2-3; тогда: 1. Если D (s)=a0(s—Sj) (s—s2) ... (s—s„) (все корни уравнения D(s)=0 простые), то [£>, (s)'| 3-, Dt (s.) „ , Di?] = S > 0)- (8,4'2O) 2. Если D (s) — ag(s—s1)m‘ (s—... (s—sn)m", to (™*~ ‘)’L D<s> Js = s. = fe=l K n mk t = S S <'>°)- <8-4-2^ fe=l /=1 где 1 dJ-l b/./ —-------------- -------------------| D(S) J
8.4-4. В.4 ГА ЛИ Ы РЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 23t> Таблица 8.4-1 Таблица преобразований Лапласа (а, b и с — различные постоянные) F (s) f(/) (*>0) 1 1/s 1 2 l/s‘ t tn-i l/s” (n = 1, 2, . . .) (n — 1)1 4 1/VF 1 Vnt 5 «-’/» 2 Vi/si 6 s— («+ Va) („= 1. 2, . . .) 2ntn—4i 1 -3-5 ... &n— 1) /л 7 sk 8 1 s — а e°* 9 J teat (s — c)®_ 1 tn—iat (» - 1)1 6 (S-C)« (" ' ’ 11 r(fe). (k > 0) (s — a)k ^-lcar 12 1 (s — a) (s — b) 13 s —L- (aeat - bebt) a — v (s — o) (s — b) 14 1 {b - c) eat + (c — a) ebt + (a - b) ec‘ (s — a) ls — b) (s —c) (a — b) {b — c) (c — a) 15 1 1 . — sin at a S2 4-O2 16 s cos at s8 + a‘ 17 1 1 T. 4 — sh at a s8 — a2 18 s ch at s2 — a2 19 1 -L (1 — cos a?) a* s (s® 4- a2) 20 1 -4- {at — sin at} aa s’(s8 + a8) 21 1 (sin at — at cos at} 2 a8 (s8 + a2)2
ГЛ. 8Г ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-4. Таблица 8 4-1 (продолжение} F(s) f (0 (t > 0) 0,2 S I (s2 4- а2)2 -75— Sin at 2a 23 S* -J— (sin al -4- at cos at} 2a (s2 + а2)2 24 s2 — а* t cos al (S® + О2)2 25 S (a? be\ cos at cos Ы (s2 + a2) (s2 + 62) ' ' b‘ — a2 26 1 eat si n bi b (s — а)2 + fc> 27 s — а ea^ cos bi (s — а)2 + Ьг За® V3sln atVs\ s3 4- а3 2 / 29 4а# sin at ch at — cos al sh at тД=- sin at sh at 2a2 -л-; (sh at — sin at) 2a® 30 31 s4 4- 4а« S s4 4- 1 s4 — а* ' 32 S (ch at — cos at} s4 — а4 33 8a’s* (1 + a2<2) sin at — al cos al (s2 + а2)’ 34 (0 35 S J— eat (1 + 2c() Vni (s —а)8/2 36 Vs — a — Vs—b (eW - eat) 2 Vnts 37 1 Vs + а Vnt 38 Vs s — ая Vnt 39 Vs s 4- а® aVt 1 _ gg e— a‘t C £ Vnt Vi. J 0 dk 40 I -i- ea * erf (a Vt) Vs (S — a2) 41 1 aVt 2 е~аЧ [ АЕЛ Vs (s + a2) aVn \ 0
8.4-4. 8.4. ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 237 Таблица 8,4-1 (продолжение) F (S) fit) (t>0) 42 *а — а‘ ea^ [b — a erf (а УГ)] — be^st eric (b VT) (s — o’) ( b + l<s ) 43 1 e04 erfc (a Vt) /s + а) 44 1 (s + О) Vs 4-Й ~ £ eri (у b — и у t) V b — a 45 fc2 — а2 eaat erf (а УГ) — I j 4-e^ erfo (6 V?) /s (s — a*) (Vs -t- b) 46 (1 - s)" sn + l/£ 47 (1 - S)n УлЪ+ш Sn + »/s 48 V s + 2a Vs * ae~at [7i (al) + la (of)] 49 1 e_./i(c+fc)//o ys-|-afs + b Г(И <*^01 Vn ^_±_y-Vae_»/fi(Q+fc)f x « ^-Vs (s + a)k (S + fe)A 51 1 (S + o)*/s (s + b)*/s 52 Vs 2a — Vs h (at) Vs + 2a + V s 53 (a — b)& 64 (I'l+S + l'T+B1* lt'<’ ocr-.+gr». tv>_1> Vs Vs + а 55 1 Jo (at) V s« + а» 56 (ys. + o.-^ (v>_1} avJv (at) Vss + a3 57 ! r- (4>0) (s» 4- a»)« Ул ( t \k-4s, Г (ft) \2c) Jk-4t{at> kak , , A -Г"4(ав 58 (Vs* + a«—s)" (4>o) 59 Cv/V (ci) Vs* —a? —
238 ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-4. Таблица 8.4-1 (продолжение) F (s) f (О (7 > 0) 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 --------г- (*>0) (S2 — О2)« e~ks s -ks s2 -*s —ООО) 1 - e~ks s , * 1 + cth (-1- ks s (1 — 2s 1 s (e^s — a) — th ks s s (1 -f- e~~ks) ^-thfa 1 s sh ks 1 s ch ks — cth ks s k «ns s“ + fc2 cth ~2k~ 1 (s2+ 1) (1 - e-«s) _Le-(ft/s) s ---L_e—(ft/s) Vs —L-e*/s /s Vn ( t \k-Ht, ... Г (ft) \ 2u ) Ik-t/2<a^ 1 0, если 0 < t < k, I 1, если t > k О, если 0 < t < k. t — k, если Oft 0, (< - ft)^ Г (Ц) если 0 < t < fcj если t > ft 1, если 0<7 < ft, 0, если Oft • + [7/ft] = n, если (n — 1) ft < t < nft (n= 1, 2, (рис. 8.4-1, u) 0, если 0 < t < ft, • 1 + a +1? 4- ... + Q"~\ если nft < t < (n -|- 1) ft (n = 1, 2, ...) M ;2ft, t} = (- I)"”1, если 2k (n — 1) < i < 2kn (n = 1, 2, ..,) (рис. 8.4-1, b) 4^0 44=1^)1 если (n — I) k < t < nk H (2k, t) (рис. 8.4-1, c} F(t)^2(n~ 1), если (2/i — 3) k < t < (2n — 1) k (t > 0) M (2ft, 14- 3fe) 4- 1 = 1+ (- 1)". если (2n — 3) ft < t < (2n т- 1) ft (7 > 0) F (7) = 2n — 1, если 2fc (n — 1) < t < 2An I si n kt I ( sin t, если (2n — 2) л <7 < (2n — 1) л, I 0, если (2n — 1) л < t < 2пл Jo (2 Vkt) —-— cos 2 Vkt Vnt —U-ch2 VftT Vnt
8 ,4-4. 8А ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ^39 F (s) Таблица 8,4-1 (продолжение) t(t) (i>0) 78 79 80 81 82 83 84 85 86 ___!— е— (*/s) s’/« —— «-(ft/s) 5P (U>0) -№ <P > 0) e- ft Vs (ft >0) ±e-ft/s s (ftS SO) —L_^_ft Vs j/s (ft; so) s-«/a e-ftVs (ftS » 0) ae (*; SO) s (a + Vs) e-kVs Vs (<? +Vs) 87 88 — k Vs (s + a) 89 90 91 92 93 (ft>0) f-fc Vs24-a2 Vs2 + a2 — k Vs2 —a2 e___________ Vs2 — a2 e— k /s2 4- a2 — s /s2 + a2 e-fcs_e-*^a + °a e-~kVs*- a*e—ks —L- sin 2 Vkt Vnft U- sh 2VftT Vnft e°* e°2< erfc (a Vi 4------— \ 2 V< . О, если 0 < t <_k, e a V i2 — ft2^ , если i > k О, если 0 < t < k, Jo (a Vt2- ft2), если t > k О, если 0 < i < k, Ц (a vi2 — ft2) , если i > k Jo (a Vi2 + 2kl) О, если 0 < t < kt — ofe - J! (a VF — ft2), если t > k Vt‘ - Л2 0, если 0 < t < ft, — Ji (a Vi2 — k‘). если i> ft V/2 —ft2
240 ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-4. I а б л и ц а 8.4-1 (продолжение} F (S) 7(7) (t > Oi ave~ k V s' + o' ( 0, если 0 < t < ft. 94 ^s' + a' (Vs' + a“ + s)v 1 (hr*) /e^ JV (°17 iZ ~ ks^ если г > k I v + ft/ v 95 1 . — In s s Гг (1) — In 7 [Г'(1) = —0,5772] 1 , f Г' Ik) In t ] 96 —2- In s (k > 0) sk 1[Г(А)]» Г (A) J 97 lnS (o>0) eot [Inc— El (— al)] s — a 98 In s cos t SI t — sin t Ci/ S' + 1 99 s In s — sin t SI t — cos t Cl t S' + 1 100 — tn (1 + As) (ft > 0) s 101 s — a in - s — b -~(eU-sa/) 102 - In (1 + ft's') -!44) 103 — In (s« 4- a8) (a > 0) s 2 In a— 2C1 lai) 104 -L In (s2 a2) (a > 0) s* 2 [at In a -b sin at — at Ci (g/)] 105 in s2 2 (1 — cos at} 106 . S8 — G2 ID - S2 2 — (1 — ch at) 107 . * arctg — -J- sin kt 108 1 . k ~ arctg — Si (A7) 109 e*2s' eric (As) (A > 0) ft \ 4ft8 / 110 1 ft®Ss — e erfc (As) (ft>0) s " U) 111 e eric Vks (ft > 0) Vk nVt <7 + k) 112 erfc Wks) ( 0, если 0 <7 <A yr l (л/)- c, если t > ft 113 1 Vs Vn(7 + *> 114 -te) -L sin (2k Vi) sit
8.4-4. 8.4.. ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 241 Т а б л и ц а 8.4-1 (продолжение) F(s> f (t) (t > 0) 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 _J_e*a/s erfc Vs \Vs) (ks) Ko (k Vs ) -i- eksKi (ks) Ki (ftVs) (t) ле-**/. (ks) ne~ksIt (As) — eas El (— as) 1 as — + se El (— as) Si a) cos s + Cl s sin s _L_e-2*KZ Vnt ( 0, если 0 < Z C A, I (Z« — k‘)~l!i. если Z>* Vt(t + 2k) 4-(-4) -;L.- Ko (2 V2kT) Vnt 1 [Z (2k — Z)]~ ’/21 если 0 < Z < 2k, I 0, если t >> 2k ( 'k — f . r I . . если 0 < Z < 2k, < k Vt (2k ~tf t 0, если t>2k 7ТУ ,й>0’ (Z + a)8 (a>°' 1 -b 1 Рис, 8.4-1. Графики оригиналов к изображениям 66, 67 — 69, 71.
Таблица 8.4-2 Таблица преобразований Лапласа для рациональных изображений F (s) = Каждая формула справедлива для многочленов (s) и Е> (s) как с комплексными, так и с действительными коэффициентами. Наибольший практический интерес представляет последний случай; при этом корни многочленов действительны и/или комплексно сопряженные, а функции f (t) — действительные. Заметим, что (s — <3)2 + <В2 = [s — (а + ta)] [s — (а — «о)] и К t sin at + cos at = ]/K| + sin (or + а), где а = arctg (K2/KJ ьэ to № F(s) f (о а > 0) 1.1 1 S 1 1.2 1 s — а 1.3 1 s (s — а) Aeat + К А~ — , к= L а а 1.4 s + d s (s — а) ь II + о | а. * Я 1 n|a. 1.5 1 (s — a) (S — Ь) Аеа1 + ВеЫ А~а-Ь • В= Ь-а 1.6 S + (S — a) (s — 6) А^1±±. В*±± а — b Ь — а 1.7 1 s (s — a) (s — Ь} Aeat + ВеЫ + К А = . Б = = “V а (а — b) b (b ~ a) ab 1.8 s -j- d s (s — a) (S — Ь) А = a + d в = ь + а к _ а а(а — Ь) ’ Ь (Ь — а) ’ ab ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-4.
8.4-4. 8.4. ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 243
Таблица 8.4-2 [продолжение) № F(s) f d) (t > 0) 2.6 1 (s — *) 1(S — а)2 + со2] sin (cof -|" a) 4~ A = ! , В = ! , co [(a — b)z 4- <02]7z (G _ _j_ ы2 co a = — arctg r a — b 2.7 s d ' (s - 6) 1(S — а)2 + со2] A = _L [ (a + <?)2 + <a2 17г B = b + d co I. (« — b)2 -h co2 J ’ (a — by 4- to2 co , co a == arctg —~- arctg — B a 4 d ° a—b 2.8 s’ + gs + d A = J- CO ia^ - <n2 H gg + d)- + co2 (2n + g)2 ~| i/£ (a — b)2 + co2 J ’ 62 + bg + d (s — b) [(s — a)2 + co2] (a — by 4- co2 * co (2c 4- g) A co “ arctg Q2-^ + Qg + d arctg 2.9 1 Aeat sin (at + a) Bebt + К д = _1 I t a co2 + to2)1/» £(c — 6)2 + co2]1/2 В — 1 К — 1 s (s — b) j(s — a)* -j- co2] b [ifc — ay 4- co2] ’ b (a2 4- co2J ’ co x co a = — arctg г- — arctg —- a — ь a 2.10 s 4~ c? s (s — b) [(s — a)2 + to2] л 1 r « + <l)2+ffi"j1/! co (a2 + co2)'/2 Lie —b)’+co2J в o_+J K d b [(b — ay 4- co2] ’ b (a2 4- co2j * ® * co , co “ arCtSg + rf arCtgfl-6 arCtg a ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-4.

246 ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-4. Таблица 8.4-2 (продолжение) Г (о3 — <0i4-cg+d)s+ и? (2с + g)s Т/г O10J S О1 + 010» 3 1 S + + 3 S с сч J •е 1 + 54-И S 1 04 О 0104 + «-4 п 3 > J И" ^<3 0401 ю S О1 ад + ot 04 04 т •е Ч—' L (а2 + и3 — со2)2 + 4c2of J : + arctg —. 2о^ з д Og a -J- coj -— Од 7[ с -1° 1 II < 1 II •е & ч Ь ° 1 ; с" 1 \з ч тз + ад <3 « 1 < f 1 4 N <3 - Я S 1 j а <02 3 e arctg "в ч 7 . In “1° II ч + о ч N а 1 с + С4 С ч f (0 « > 0) 1 и ч Ч vol j voj -J- + В sin («2/ 4- ₽) - с QJ S + к + Ч> ч (s) J 43 + Si + *W [(s — с)2+ <4] (s3+ <в|) -1" 1 to S - 1 W, •е + и « О' и (о — s) zs 1 Р + s s2 (s — а) •е + 3) + N И е 1 ,40, «4 W 2.14 со CN СО с* 3.4 3.5 С£ <Х
8.4-4. 8.4. ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 247
ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-4.
8.4-4. 8.4. ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 249 (A + Ait) em + К + Kit
250 ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-4. Т аб л и ц а 8.4-2 (продолжение) та СЧ 4" Ч "Q СО + ч W о в та ч it та 4~ с + я о Ч * 4 а 3 с < ч ° ар 9 + N Q 3 О Сч It 3 4- о сч"1 3 4- Я О. « W 3 4- Тз 4- Q. 1—8 Ч 3 4- 2 3 о . та 1’ оо J Ь 3 N + + а 3 S + J 1 5 5з 1 а 8 м 3 + □ <м «ч 4* S 4- - 3 4- тз 4- ад CJ 4" 3 1 м g Ч 3 4* «4 О 3 3 я 4~ а сч 3 ° ар 5 ч тз 4* ад <3 4" 01 3 1 с ар та та о GM 4- ад 3 4- м з ь- 04 3 4- □ ✓ « 3 4" S 3 G Ч 7 а ар 4“ 7 Q. 3 а -S' ! о сч <Х сч 3 4- м 7 а । Г 3 4- м 7 а. О А 4- Q QJ Ч 84 + + 8? + 84 + o' + g с ОТ ТЗ я: ь. та 4- & + и И О 1 « « и - « 3 4- ч 1 ’ V) 04 W та 4- сл « 3 + м 3 1 (А м <л •е + Q + Чл 04 3 4- о 1 и я и - 01 3 4- а 1 <л « 7 « СЧ <4 СЧ со <
8.4-4. 8.4, ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 251 л I(g + <0* + to [(a — b)2 -h io2] ’ to - to а arctg a + d 2arctg C-b ' <o — by + a>= + 2 (o — 6) (6 + d) [(а — ЬУ + аУу В b + d 1 (a — b)‘ + <oE 4 4 > 3 1 b с a - 3 tw « + u 1 SA <S^ « S3 Г з 7 « + si +x + J -o Sf !A .о + -и 1 43 I S u IS + i +1 S“ ад c r r-i ? 3 &3 3 » 3 T S 1 + + + s J Jk ^2, i a г !“ “b £? 1 T 1 ад с «е> c я Z - II II II. II ° « of Ae0* sin (®? 4- ct) 4- 4 BiO S-M (S — b)‘ L(S — ay + ог] 17® + И” — S>1 г'<? — s) P + S3 + jS 4.6 S от О ад S at te sin tear cos to? аг е (sin ©г -* 1 — £(s — а)2 4~ о2]2 <3 1 от [<s — а)г 4- ®2]г sis® + »(a — s)] jW — S(O — s) 4.7 co
252 ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-5. (Ь) Иногда удобно получать обратное преобразование Лапласа в случае кратных корней уравнения D (s) == 0 прямо предельным переходом, ведущим к совпадению раз- личных простых корней (см. также табл. 8.3-1, 7). Приме р: [ 7-4-.]= » [ 7-----4------1 L(s — a)‘J ft_0 L(s — a — ft) (s — a) j = lim ft-.O h (OO) и, более общий случай: JT1 [----*---] L(s - C)CTJ 1 (m- 1)1 (/>0). (с) Комплексные корни. В формулах (2) пары членов, соответствующих комплексно сопряженным корням s = а ± ie>, можно преобразовать следующим образом (см. также п. 8.4-5): (Л + iB) treta+/е” 1 + (Д — /В) trе,а ,Ю| г = ‘2Mreat cos иг — 2Btreat sin s>t = = Rt'eat sin (и( + a) = Rlreat cos (иг + a'), ______________________________ л /3 R — 2 V A‘ + Й2 , a = — arctg — , a' = arctg : (8.4-3) A, Bt R, а и a' все действительны, если коэффициенты многочленов Dt (s) и D (s) дей- ствительны; X 1 [F (s)] есть тогда действительная функция от г. (d) Если один из корней уравнения D (s) = 0 будет также корнем уравнения D, (s) = 0, то один или несколько членов разложения (2) исчезают. Вообще же в случае общих корней многочлены В (s) и Dt (s) имеют общие множители, на которые их следует сократить. 8.4-5. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций: разложение на простейшие дроби. Вместо применения формул раз- ложения Хевисайда (2) можно воспользоваться разложением F (s) =Ох (s)/D (s) на сумму простейших дробей методом, описанным в п. 1.7-4. Если D (s) и £>i (s) не имеют совпадающих корней, то каждому действи- тельному корню s* = a уравнения D(s)=0 отвечает mk простых дробей вида Ь' Ь* bmk s — a (s — a)8 ’ * (s — a * где rrtfg — кратность корня s^-a. Каждой паре комплексно сопряженных кор- ней s/j— а-± io) отвечает простых дробей вида s + s -р ^2 s + C1 (S — а)‘ + и8 ’ 4(s — a)2 + <o2]s............... Cm*[(s — a)8 + e>«l'nfc’ где т^—кратность корней s*=a± ito, [Г (s)l находится как сумма обрат- ных преобразований Лапласа таких слагаемых (табл. 8.4-2). 8.4-6. Разложения в ряды. Если функция F (s) сложная или если F (s) задана неявно, например, как решение дифференциального уравнения (п. 9.4-5), то иногда возможно находить [Г (s)J, раскладывая F (s) в сходящиеся ряды н беря обратное преобразование Лапласа последовательных членов ряда. Этот процесс можно также применять для аппроксимации [Е (s)J. Часто метод разложения в ряды опирается на следующую теорему. Пусть функцию F (s) можно представить в полуплоскости Re s 2s а в виде ряда F(s)= § Fk(s), k=0 где Fk \fk (0J I» > <>а1 *=0. h 2. •••)•
8,4-8. 8.4. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 253 со Пусть далее все интегралы J | fk (О I dt существуют и сходится ряд о СО СО ЕО У1 \ I fk (О I е~Оа‘ Тогда ряд У] fk (/) сходится абсолютно к функции f (t) л^оо k=o почти для всех t (п. 4.6-14, Ь) и s fk (t) _k=o CO co = X #[M*)] = S /гй(8) = /?(8) k=0 k=0 (o>ao). (8.4-4) 8.4-7. Разложения по степеням t. Если изображение F (s) может быть разложено в ряд по отрицательным степеням s F (s)=^+?J+-‘ (в.+б) сходящийся при | з | > г > 0, то при всех t > О 8, Ь. ^(0=^,-Ч/=‘(8)1=й1+^-Ь2|/2-Ь (8-4'6) (Ряд справа сходится при всех значениях Z.) Разложение (8.4-5) часто можно получать как разложение Лорана (п. 7.5-3) в окрестности точки з=со или, в случае рациональных алгебраических функ- ций типа рассмотренного в п. 8.4-4, простым делением. Если F (s) при | s j > г представляется сходящимся рядом со ^ («) = -« (Rea>0), | (8.4-7) 8 = 0 ТО со X-1 [F (s)] = <“-1 Y ‘R 0). (8,4-8) fa мт J. v* VLJ k = o В частности, если ряд слева сходится, то Г 03 „ 1 1 VI G, 1 Г С1 С2 Cfi “1 X 1]-ГГ У 4 =-т= <?о+- (20+-----------(20> +-----(2()8 + ... (<>0). (8.4-9) Is1/» faJ s* Vnt L 1 ЬЗ 1-3.5 J L fc=0 8,4-8. Разложения по многочленам Лагерра. Каждая функция F (s) - X У (W (°>°a), аналитическая в точке s = co, может быть разложена в абсолютно сходящийся ряд по степеням для соответствующий ряд Тейлора сходится для | 2 |<1. В частности, для = 0 изображение F (s) можно представить в виде оо оо fW = (l-4) £ сьг^-^ £ (С>ов). (М-П> k — О А = 0
2ЕТ ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-9. где ti = 5 CkliFU)(Ji) (* = 0. ’.2. ...). /=0 Если условия п. 8.4-6 выполняются, то для почти всех 1^0 f{t'> = X~1lF(s}]=e-tl'i У (8.4-12) * = 0 где Lk (О — полиномы Лагерра, определенные в п. 21.7-1. 8.4- 9. Разложения в асимптотические ряды. Аппроксимацию [/ (0] и Jf-1 [Л (s)] иногда удается получить при помощи асимптотических рядов (п 4.8-6, Ь). «(а) Асимптотическое разложение изображения. Пусть F (s) — (Z)j и оригинал [(f) может быть разложен в окрестности точки t—О в абсолютно сходящийся ряд вида c,-t\ (— 1 < Ко < -------со). (8.4 13) t Тогда F (s) имеет при s —» со асимптотическое разложение р V Г(\+1) (8-4-,4) 7 = 0 Ряд справа формально получается почленным переходом из ряда (13) путем преобразования Лапласа (Ь) Ас имптотическое разложение оригинала. Пусть F (s) = X [/ (0J (о>о„) и выполняются следующие условия 1) F (s) имеет лишь изолированные особые точки — полюсы и алгеб- раические точки разветвления, 2) F (s) в полуплоскости Re s < 0 стремится к нулю при | s | — со, 3) число особых точек s—s^ с наибольшей действительной частью конечно (£=1, 2, .... /) и разложение F (s) в окрестности каждой такой точки дается рядом У c\k} (s—s,/' (— Nk < < — — co)- (8.4-15) /=o Тогда оригинал f (0 имеет при t—><x> асимптотическое представление где — 0, если ZAft>=0, 1, 2, ... » г (- Ь<*>) ' Следующий частный тип асимптотического разложения важен в связи с решением некоторых дифференциальных уравнений с частными производ- ными (п. 10.5-2).
8.5. ФОРМАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 255 Если функцию F (s) в окрестности точки s=0 можно разложить в сходя- щийся ряд вида ОО /?(8) = | (a0 + aiS1/2+a2s+c3s°/2+ ...) = 1 у ajS]/2 t (8.4-17) 7=0 а все остальные особые точки F (s) (если они имеются) расположены в полу- плоскости Re s <10, то оригинал f (t) имеет при t —» со асимптотическое пред- ставление co 2 (- 1)7Й2/+1 £<L±2A>. (8.4-18) 31 V I Л""-- V /=о При переходе от формулы (16) к формуле (18) учтено, что 1 Г (* */2-7) г И)-) Более тонкие достаточные условия для справедливости асимптотических разложений приведены в [8.3]. 8.5. ФОРМАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ИМПУЛЬСНЫХ ФУНКЦИЙ (а) Заметим, что в формуле (8.4-13) и в аналогичных разложениях в ряды обратное преобразование Лапласа отдельных слагаемых, равных a, a$l\as, cs /г, ... , строго говоря, не существует, так как эти функции не стремятся к нулю при s —со. Во многих приложениях члены такого вида могут по- являться под знаком суммы или интеграла, несмотря на то, что сама сумма или интеграл имеют обратное преобразование Лапласа. (Ь) Если применить преобразование Лапласа (8.2-1) к определениям импульсных функций 6(7) и 6+ (/) i) н их «производных» (пп. 9-4-3 и 21.9), го получим формальные результаты: х[«+ u)i=i. х[в;(oi=s, ..., X[8(t-a)] = X |8+(/-c)] = e-«« (a>0), X[dlk)(t-a)] = Xl^ (t — a)} — e~assk (a>0, * = 1, 2, ...) (8.5-1) и, если f(t) непрерывна для 7 = c^0, (8.5-2) Равенства (1) и (2) употребляются во многих приложениях, хотя нельзя забывать, что эти соотношения не имеют строгого математического смысла. Новые результаты, полученные применением равенств (1) и (2), должны всегда проверяться с точки зрения законности математических действий *) (см. также п. 8.2-7 и 21.9-2, а). ') Односторонняя импульсная функция (?) более подходит для употребления в. связи с односторонним преобразованием Лапласа, чем симметрическая импульсная Функция б (?). *) В настоящее время большое развитие получила теория «обобщенных» функций, включающая в себя затронутые здесь вопросы (см. [8.6], [13.6], [21.6]).
256 ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.6-1. 8.6. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 8.6- 1. Вводные замечания. Преобразование Лапласа (8.2-1) есть функцио- нальное преобразование, связывающее «точки» F (s) в пространстве изображе- ний с «точками» f(t) в пространстве оригиналов (см. также пп. 12.1-4 и 15.2-7). Табл. 8.6-1 и пп. 8.6-2 —8.6-4 знакомят с некоторыми другими функ- циональными преобразованиями (см. также п. 4.11-5). 8.6- 2. Двустороннее преобразование Лапласа. (а) Двустороннее преобразование Лапласа СО • Хв Г/ W] = J / (О dt=Х [/ (/); S]+X и (- 0; - з], (8.6-1) — со есть заманчивое обобщение преобразования Лапласа, применимое, подобно преобразованию Фурье (пп. 4.11-3—4.11-7), к задачам, где участвуют зна- чения f (/) для t < 0. Хв If (0! s] сходится абсолютно тогда и только тогда, когда оба интеграла X [f (0; s] и X If (— f); — s] абсолютно сходятся, так что область абсолютной сходимости, если она существует, есть полоса в s-пло- скости, определенная двумя абсциссами абсолютной сходимости. Многие свойства двустороннего преобразования Лапласа просто получаются из соответ- ствующих свойств одностороннего преобразования Лапласа. В частности, XB[f(t)] = X\f(t)\, если /(/)=0 для /s=0, (8.6-2) Хв V(t)] = Xlf(t)]-1, если Ц0=с Для (8.6-3) (Ь) Значения обратного преобразования Хв 1 (s)l не обязательно равны нулю для t < 0, так что Х~в 1 If (s)J существует для более широкого класса функций F (s), чем X-1 [f (s)j. Если дано изображение f(s)=^B[f(0] (%<°<%), то для каждого значения t, имеющего окрестность, в которой f (t)—функция ограниченной вариации, Ci + iR lim $ f (s)^ds=i[f(/-O)+f(Z+O)] (8.6-4) (теорема обращения). Теорема обращения для одностороннего преобразования Лапласа (п. 8.2-6) может рассматриваться как частный случай формулы (4). Двустороннее преобразование Лапласа и его приложения детально рас- сматриваются в [8.3]. 8.6- 3. Преобразование Лапласа в форме интеграла Стилтьеса. Преобразование Лап- ласа в форме интеграла Стилтьеса со <%s [ф (0J = J e-st dtp (Л (8.6-5) 0 дает возможность сформулировать в более общем виде.многие.^теоремы обыкновенного преобразования Лапласа (см. также п. 4.6-17). Другие функциональные преобразования, приведенные в табл. 8.6-1, также могут быть записаны в форме интегралов Стилтьеса. Заметим, что F (s) = можно представить в форме (5), не употребляя импуль- сных функций (п. 8.5-1). Преобразование Лапласа — К арсоиа (табл. 8.6-1,1)-иногда упот- ребляется для подобных целей.
Таблица 8.6-1 Некоторые линейные интегральные преобразования, связанные с преобразованием Лапласа 1 (см. также пп. 4.11-3—4.11-5, 8.6-1 -8.6-5, 10.5-1, 15.2-7, 15.3-1, 18.3-8 и 20.4-5) Преобразование Определение Формула обращения Связь с односторонним преобразованием Лапласа *) Примечание 1 1 Преобразование «Лапласа ‘— Карсона со s J f (/) e~stdl 0 Oi -p i co ( — F (s) est ds 2Ш J s — i co s X If (t); s] i 2 Двусторонее преобразов ание Лапласа J f (t. e~stdl — co Gt + i co ( F (s) est ds 2SU J Gp £ CO £в s] = = <£? [f (0; s] + + Je[H-t); — s] n. 8.6-2 3 Преобразование Фурье — co CO J F (V) eZItlvt dv — co В (f (0; 2rav] пп. 4.11-3 — 4.11-5 4 П реобразов ание Меллина co J f (/) 0 Ci + i co ~ ? F(s) t~s ds (Z>0) J Gj — I co If (ef): —s] п 20.4-5 5 Преобразование Гильберта (упот- ребляется главное значение интег- рала) Ч Предполагается, CO - \ эх J s — t — co ft что преобразование С} co 1 c F (s) — \ 1 «s л - J t — s — co гществует. <£ {J? [f !—0; s']; s} — (0; s'l; -s} fit) н F(s) таковы, что если со fF (0 — jj [« «о cos о/ + 0 4- b (со) sin ©П d®, то оо’ F (S) — \ [fc (И) COS (OS — л J 0 — а (®) sin ©s] do е ч X я с S о X > ь О' X ег й
258 ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.6-4. 8.6-4. Преобразования Ганкеля и Фурье—Бесселя. (а) Определение и теоремы обращения. Интегральное преоб- разование f (0 = Жт [f (0] = Жт [f (t): S] = р (О t Jm (S0 di (8.6-6a) о (преобразование Ганкеля порядка m), где f(t)—действительная функпия н Jm (г)—функпия Бесселя порядка щ оо (п. 21.8-1), существует в смысле абсолютной сходимости, когда J |/(0|«# о существует. Если, кроме того, f (0—функция ограниченной вариации в окрест- ности точки t, то имеет место формула обращения h (0s Jm (s0 ds=4 [f 0-0)4-/04-0)] (8.6-66) (mf£z—1/2) (теорема обращения Ганкеля), которая определяет обратное преобразование единственным образом в точке непрерывности. (Ь) Свойства преобразований Ганкеля. Отметим следующие соотношения Жт [f (at); sj [/ (0; , (8.6-7) Жт [|/ 0)]=^ {^m-i[/(0]4-^m+i[f (0]}( (8.6-8) If' (0]=^ {(«- О If (01 ~ (m+ 0 Ы (0П. (8.6-9) Wm [/" (04-|Г (0-^f (0 ]=-s2^m[/0)l, (8.6-10) 7s^m[/(0]^mte(0]ds=p/(0g(0df (m’^-1/2) (8.6-Г1) о 0 (теорема Парсеваля для преобразования Ганкеля). Примеры преобразований Ганкеля см. в табл. 8.6-2. (с) Преобразования Фурье —Бесселя (см. также пп. 21.8-1 и 21.8-2). Следующие парные интегральные преобразования связаны с интегральным преобразова- нием Ганкеля (6): ОО f (S) - J f (0 tJm М dti 0 oo fj W = J F(S) S Jm (si) ds = ~ If v - 0) 4- f(t 4- 0)] 0 (m = 0, V 2, ...), co 7 (s> = J f (0 7m+i /. (SO di, 0 (m = 1, 2, ...). oo 1/(0= J 7(s)-i=: Jm+l/5(sOS»<fs= l[Hi-0)+fff 4-0)] 0 (8.6-12) (8.6-13) Оба интегральных преобразования относятся к парным преобразовиям Фурье — Бесселя; для т — 0 формулы (13) сводятся к синус-преобразоваяню Фурье.
8.6. ДРУГИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 259 Т а б л й ц а 8.6-2 Преобразования Ганкеля со _ со . /(/)={ S7 (s) Jm (st) ds, f (s) = J t f (t) Jm (st) dt 0 0 f (0 tn f (s) 0 < t < a 0, t>« >— 1 am+l a V *- a V л О V 0 fl r / ~ /1 («S) (a2 _ /2), 0 < t < a 0 f > a 0 4a 2as J, (sa) Jo (so) >— 1 sv r (m/2 + U/2) „ f m . U , . s»\ г^+ГрР/а + тЛгп+т)1 1\2Г2’ ’ *P) f^P*1 >— 1 4 e 4p (2p)m + 1 tv.-ie-pt > — 1 2^smr (Ц/2 + m/2 + 7S) Г (1 + ц/2 + m/2) (s2 + P2)U/2 + m/2 + 1/2 Г (m + 1) Г (*/г) X aF1 \ 2 + 2 + 2 ’ 2 2 ’ + ’ s2 + p‘) > — 1 2^Г (»/2+ ц/2+m/2) . (*/2 - ц/2 + m/2) t 0 (s2 + p2)—Vs е~Р* 0 p (Ss 4. p2)— 7а e~P( & 1 (sg + pS)1/2 - p s e~Pt t J J p S S (S2 + p2)Vs e-'P‘ 1 S (S2 + p®) 8^2
ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.7-1. Таблица 8.6-2 (продолжение} КО m f(s) а + <3)“А 0 e-as sin at t 0 (a3 — s*)— *7», 0 < s < a 0. s> a sin at I 1 0, s < a a — S>fl s (s2 — az} • я sin t p * 0 л/2, s < 1 1 - i aresin —s>> i s 8.7. КОНЕЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ,: ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И «-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 8.7-1. Ряды как функциональные преобразования. Конечные преобразова- ния Фурье и Ганкеля. Конечная сумма или сходящийся ряд со ®И= I] fk^(x,k) (8.7-1) fe=— со представляет функциональное преобразование функции (последовательности) (k), определенной на дискретном множестве значений k=0, ± 1, ± 2,.... Заметим, что для некоторых fk и V (х, к) этот ряд можно записать как интег- ральное преобразование в форме интеграла Стилтьеса (п. 4.6-17) Ф(х) = J ¥.(х,' к) dtp (к). —оо Ряды (1) и формулы типа (4.10-5), (4.11-6), (7.5-4) и (7.5-7), определяю- щие коэффициенты fk по функции Ф (х), составляют соответствующие взаимно, обратные функциональные преобразования. В табл. 8.7-1 приведены соотно- шения для коэффициентов рядов Фурье и рядов Фурье — Бесселя, рассматри- ваемых как интегральные преобразования с конечным интервалом интегриро- вания (конечные интегральные преобразования). В каждом случае приведено преобразование подходящего линейного дифференциального оператора вто- рого порядка в связи с применением метода интегральных преобразований для решения краевых задач (см. пп. 10.4-9, 10.5-3, 15.2-4, 21.8-4, d и [8.51). 8.7-2. Производящие функции. Если функциональное преобразование (1) имеёт вид сходящегося степенного ряда ОО V(s)=S/feS% - (8.7-2) А=0
...—I-a-б л и Ч а 8.7-1 Некоторые конечные интегральные преобразования х — действительное переменное, а > О , (а) Конечные преобразования, полезные для краевых условий типа ф = 0 или Ф’ = О fk Ф (x) или ; */г[Ф(х — o) + ®u + e)] — по- ложитель- ные корни Дфавнеяиз Преобразование дифференциального оператора Конечное, косинус- преобразование (ряд Фурье по коси- нусам, п. 4.11-2, е) а J Ф (z) cos 7 ^ x dx —+ — У! fbCosX-x a » a « « fe=I tg aX «= 0 ч=- r a (4=0, 1, 2, ...) a f Фм (x) cos к. x dx = 0 = — 7,f fk— ФГ 10) + (— E* Ф1 to) Конечное синус- преобразование (ряд Фурье по сину- сам, п. 4.11-2, е). a J Ф Ct) sin x dx '4 ijAslnV 4=1 a f Ф*' (x) sin Z, x dx == 0 *1 tk + [Ф <0) + + (_ 1)*+>ф to)] Конечное преобразо- вание Гаикеля (ряд Фурье — Бесселя п. 21.8-4, d) a 2 V f Jm (4х) R— I J Ф W x Jm (}.kx-) dx ,/ :aZ)s=0 m J 1 + X x‘ J x ax 0 - — kpfc — J’m (^h) Ф to) Конечное кольцевое преобразование Ганкеля а' > а >- 0, <aW a* J <K(x)xBm(i.kx)dX a У f ^(°'4)Вт(4х) 2 * Jj, (cT,^) — Jsm (a4k) В^аГЪ^й a* Г Г фл /72®Ф1 = -фй + 2 Г (d^tA 1 + ^r \-гЛф (o')-® ta) и LJm (a 4) J
Таблица '8.7-1 {продолжение) (Ъ) Конечные преобразования, полезные для краевых условий типа Ф (а) + Ъ Ф' {а) = О {Ь > 0) h Ф (х) или */» [Ф(х — 0)-J-Ф (х+'0)] Aft-no- лож и тель- ные корни уравнения Преобразование дифференциального оператора v Конечное косииус- преобразоваиие а J Ф (х) cos х dx 0 V (A^ + ba)ffecosAfex 6 + ° С4 +fc2) Я= 1 X tg ак = Ъ а Г Ф" (х) cos Аьх dx => 0 + ГФ' (а) + Ь Ф (о)] cos сА^ Конечное синус- преобразование а f Ф (х) sinXft;t dx 0 У (Al + b2)ffesinAfex Ь +а (А| + Ь2> k~l A ctg сЛ = — Ъ а . , ч w J Ф" (х) sin А^х dx => 0 = -А|Гй + АйФ(О) + + [Ф' (о) + 6 Ф (о)] sin alj Конечное преобра- зование Ганкеля 0 2 V ^kJmM [(А| + Ь2) а2 - m2] Jsm (аАй) Jm (а^) 4~ + bJmx X (сА) = 0 0 XxJmMdx==-^kfk^ + [Ф' (и) + Ь Ф (о)] а Jm (aAft) Заметим, что j'q (А^о) = — Jj ГЛ. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.7-2.
8.7-3. 8.7. КОНЕЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ . 263 то у (s) называется производящей функцией для последовательности коэффи- циентов (^)- Функция T£(s)=S4sfe (8.7-3) л=о называется экспоненциальной производящей функцией. Применения и свой- ства производящих функций см. в пп 18.3-8 и 18.7-2.' Пример. Числа Фибоначчи определяются рекуррентными соотноше- ниями /Ь=4=Ь fk^fb-i+fk-2 (*=2,3»...). (8.7-4) Для них производящая функция T(s)= i-J-^ = 1+s+2s*+3s4+5s*+8s5.+... (8.7-5) 8.7-3. ^-преобразование. Определение и формула обращения. 2-преобразо- ванием последовательности называется функция комплексного переменного Z[/*; z]—Fz(z)t определенная рядом 2]=fz (B)=f0-1A+J+... (| г | > ra)f (8.7-6) сходящимся (абсолютно и равномерно) вне некоторого круга радиуса га, зависящего от данной последовательности. Так, если \fk\^Meak, то ряд (6) сходится при |z|>e“. Подразумевается, что область | z | > га определения функции Fz (z) рас- ширена с помощью аналитического продолжения, как и в п. 8.2-3. Соответствующая формула обращения имеет вид h-=^FZ(z)z^dz (*=0,1,2,...), (8.7-7) с где С—любой замкнутый контур, окружающий все особые точки функции Fz (г)> в частности, любая окружность | z | > га. Значение интеграла (7) часто удается получить с помощью теоремы о вы- четах (пп. 7.7-1—7.7-3). Если Fz (z) — рациональная функция, то можно пользоваться разложением, на простейшие дроби (как в п. 8.4-5). Обращение особенно просто, если Fz(z) может быть разложено по степеням 1/z. В табл. 8:7-2 собраны важнейшие свойства г-преобразования. Их прило- жения ц решению разностных уравнений и к анализу систем управления по выборочным данным приведены в п. 20.4-6; там же обсуждается связь между z-преобразованием и преобразованием Лапласа ступенчатых функций. В табл. 20.4-1 приведены некоторые z-преобразования/ z-преобразования связаны с преобразованием Мел ли на из табл. 8.6-1. Заметим, что связь между степенными рядами и преобразованием Меллниа аналогична связи между со рядами Дирихле f&e~&s и преобразованием Лапласа. \ k = 0 ^Замена переменной z=e® приводит к дискретному преобразованию Ла- пласа оо Г*(9)=Гг(е?)=2 fne~nq-* п=0
264 гл. 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.7-3. Т а б Л и ц а 8.7-2 Соответствие операций при г-преобразований Следующие теоремы справедливы в области абсолютной сходимости преобразований; все пределы предполагаются существующими (см. также табл. 8.3-1) и /_i = f—2 = ... ... =«>_i = g_2= ... =0. Номер теоре- мы Операция П оследо ватель н ость (оригинал) г-преобраэование (изображение) 1 Линейность (а, £ — по- стоянные) afk + eg*. a FZ (z) +'₽ GZ (z) 2 Опережение (см. п. 20.4-2) fk+i — Е^> ''н^Ег . (г = 1. 2, ...) . 4 1 Thu £ s 4 3 Запаздывание - (г = 1. 2, ...) z rFz (z) 4д 46 Конечные разности (см. п. 20.4-1) Нисходящие (правые) разности Восходящие разности lk+i~fk = (z — I) Fz (z) — fgz. 5 Суммирование последо- вательности k S fi i=0 6 Свертка последователь- ностей co S hek-i i=0 Fz (z> Gz (z> 7 Непрерывность (а не за- висит от k й г) lim f. (a) a -* a lim <2» a) a -> a 8 Дифференцирование и интегрирование по па- раметру а, ие заввся- щему от k и г d . Я'ft (a>- Cig f fk (a) da Os J Fz (z, a) da Oi 9 Предельные теоремы Ze» lim Fz (z), z~> co 11m (2—l)Fz(z) z -* 1 10 Дифференцирование изображения (r = ’•2> _г^К-Чй;г]
ГЛАВА 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.1. ВВЕДЕНИЕ 9.1- 1. Вводные замечания. Дифференциальные уравнения позволяют вы- разить соотношения между изменениями физических величин, и потому они имеют большое значение в приложениях. В §§ 9.1, 9.2 и 9.3 дано классиче- ское введение в теорию. В § 9.4 рассматриваются линейные дифференциаль- ные уравнения с постоянными коэффициентами, причем упор делается на решение их методом преобразования Лапласа. В § 9.5 речь идет о нелиней- ных уравнениях второго порядка. В § 9.6 приведены дифференциальные уравнения Пфаффа, хотя они и не являются обыкновенными дифференциаль- ными уравнениями. Некоторые вопросы, относящиеся к дифференциальным уравнениям, рас- сматриваются в других главах: преобразование Лапласа—в гл. 8, краевые задачи и задачи о собственных значениях — в гл. 15, дифференциальные урав- нения, определяющие специальные'функции,—в гл. 21. Применяемые далее обозначения выбраны так, чтобы облегчить ссылки на общие учебники. Поэтому действительные переменные обозначаются через х, у^=у{Х}\ комплекс- ные переменные, встречающиеся в общей теории линейных дифференциальных уравне- ний. обозначаются через 2, ki=w(z). Независимое переменное в §§ 9.4 и 9.5, обычно представляющее время, обозначено через t. 9.1- 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенным диффе- ренциальным уравнением порядка г называется уравнение У(х), у' (х), ..., !/<г> (х)]=0, (9.1-1) которое связывает независимое переменное х, искомую функцию у—у(х) и ее производные у’(х), .... у1Г,(х). Решение (интег <рование) дифференциального уравнения (1) заключается в отыскании функций (решений, интегралов) у^х), которые удовлетворяют этому уравнению для всех значений х в определенном конечном или бесконечном интервале (а, Ь). Заметим, что решения могут быть проверены подстановкой в уравнение. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения порядка г имеет вид У—у(х', Ci, С2, ..., Сг), (9.1-2) где Clt С2, ..., Сг—произвольные постоянные (постоянные интегрирования, см. также п. 4.6-4). Каждый частный выбор этих постоянных дает частное решение. В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение, Удовлетворяющее г начальным условиям У(х0)—ув, У' (хо) = у’о, ..., (х0) = ^г_1), (9.1-3) по которым определяются г постоянных Сг, С2, .... Сг. В краевой задаче иа У(х) и ее производные накладываются г краевых условий в точках х=а и Х=;Ь (см. также п. 9.3-4) *). ’) Строго говоря, начальные и краевые условия относятся к односторонним произ* водным (п. 4.5-1).
ГЛ. 9, ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.1-3. График каждого частного решения называется интегральной кривой; совокупность всех таких графиков образует r-параметрнческое семейство интегральных кривых. Обратно, если дано r-параметрическое семейство достаточное число раз дифферен- цируемых функций (2), то, исключая постоянные С,. Са...Сг из г +1 уравнений р'-'1 = (x; Ct, Cit ..., Cr) U = О, 1, 2, ... , г). получим Дифференциальное уравнение r-го порядка, описывающее это семейство. Некоторые дифференциальные уравнения имеют еще дополнительные решения — особые интегралы, которые не включаются в общее решение (2) (см. также п. 9.2-2.Ь). 9.1-3. Системы дифференциальных уравнений (см. также пп. 13.6-1—13.6-7). Система обыкновенных дифференциальных уравнений Fite У1> Уг> •••5 У'и Vai ...)=0 (« = 1, 2е ...) (9.1-4) связывает одно независимое переменное х и несколько искомых функций У1=У1 (х), Уг=у2 (х), ... и их производных. Порядком г, каждого уравне- ния (4) называется наивысший порядок входящей в него производной. Вообще говоря, требуется п уравнений (4) для отыскания п искомых функций yktet общее решение , . . . F У1=УЛх), Уг = Уг(х\ — должно содержать r==rj-f-r2-|-...-}-r„ произвольных постоянных. Интегрирование системы (4) часто можно- свести к интегрированию одного обыкновенного дифференциального уравнения порядка г путем исклю- чения п—1 переменных уу и их производных. Гораздо важнее, что каждую систему (4) можно свести к равносильной ей системе г уравнений первого порядка путем замены высших производных вспомогательными неизвестными функциями. 9.1-4. Существование решений. Для корректности постановки начальной или краевой задачи требуется доказательство существования решения, указы- вающее иногда и путь его построения. Существование физического явления, описываемого Данным дифференциальным уравнением, может лишь подска- зать, но не доказать существование решения; доказательство существования проверяет состоятельность математической модели (см. также пп. 4.2-1,Ь и 12.1-1; примеры теорем существования см. в пп. 9.2-1 и 9.3-5). 4 Правильно построенная математическая модель должна допускать реше- ния в виде непрерывных функций от параметров, начальных значений и т. п. 9.1- 5. Общие указания. (а) Подстановка ряда Тейлора (и. 4.10-4) нлн других рядов для у (х) в данное диффе- ренциальное уравнение может дать уравнения для неизвестных коэффициентов (см. также пп. 9.2-5, b и 9.3-5). Некоторые дифференциальные уравнения могут быть упрощены заме- ной переменных (пп. 9.1-5,Ъ, 9.2-3, 9.3-8,с). Каждое дифференциальное уравнение или система таких уравнений могут быть сведены к системе уравнений первого порядка, к которым применимы методы п. 9.2-5. (Ь) Следующие типы неполных дифференциальных уравнений легко сводятся к урав- нениям низших порядков (см. также пп. 9.2-3, 9.5-6)? F (х. у<п\ у1п^\ ..., ут+т) = 0 (подстановка у = ут), £/'. у"...«/‘Г‘) = 0 (- - , ,, dy’ dy' dy dy - подстановка x = у, у = у'; тогда у” — -^- = -~у и т. ц. dx ау ах Если дифференциальное уравнение F (х, у, у\ ..., у,Г}) = 0 однородно по аргумен- там у, у*, ..., у,г> в смысле п. 4.5-5, то вводят у = tf!y. 9.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.2- 1. Существование и единственность решений. (а) Дифференциальное уравнение первого порядка..вида KT=fte У) (9.2-1)
8.2-2. 5.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 267 имеет решение у=у (х), удовлетворяющее условию у(хо)=‘уог если f (х, у) не- прерывна в некоторой окрестности точки (х0, г/0). Более определенно, если f (х, у) непрерывна в открытой области D и удовлетворяет в этой области условию Липшица I/ (*. УУ—f (х( Т|) | sS M | у—T) I, . (9.2-2) еде M—некоторая положительная постоянная, то дифференциальное уравне- ние (1) при любом начальном условии у(х^—уе, еде точка (ха, yv) принадле- окит области D, имеет единственное решение у—у(х). Каждое решение может быть продолжено до границы области D. Геометрическая формулировка теоремы такова: через каждую точку обла- сти D проходит единственная интегральная кривая. Условие Липшица (2) удовлетворяется, в частности, если f (х, у) имеет в D ограни- ченную производную df/dy. (Ь) (см. также п. 9.1-3). Аналогичная теорема существования справедлива и для систем дифференциальных уравнений первого порядка в нормальном виде, dy, d^ = fi (л: «V «V •••' «п) « = *• 2" — 1 п)- (9-2'3’ если условие Липшица (2) заменить на I ft (Х-. yv .... уп) - (х; Пр ..., чп) | М £ I yh - |. (9.2-4) fc=i Условие (4) соблюдается, в частности, если все df^dy^ ограничены. 9.2- 2. Геометрическое толкование. Особые интегралы (см. также пп. с 17.1-1 по 17.1-7). (а) Если х, у—декартовы прямоугольные координаты точки, то диффе- ренциальное уравнение первого порядка F(x,y, р)=0 ' (9.2-5) описывает поле направлений или поле линейных элементов (х, у, р), проходя- щих через точку (х, у) с угловым коэффициентом p=dy/dx—f (х, у). Каждый линейный элемент касателен к некоторой интегральной кривой однопарамет- рического семейства решений г/=г/(х, X) или <р(х, у, Z)—0. (9.2-6) Поле направлений позволяет приближенно графически построить интегральные кривые; общий характер семейства интегральных кривых может быть исследован мето- дом п. 9.5-2. При построении интегральных кривых могут оказаться полезными изоклины F (#» Pi) — 0 или f (х, у) = Ри на угловой коэффициент pt. Кривая него перегиба. (Ь) Особые интегралы (см. также п. 9.1-2). Пусть F(x, у, р) не- прерывно дифференцируема. Исключение р из уравнений F (х, у, р) = 0, ~^0 (9.2-7) Дает дискриминантную кривую данного дифференциального уравнения (гео- метрическое место особых линейных элементов). Кривая, определяемая урав- нениями (7), есть особая интегральная кривая, если на этой кривой g~ + d~p=O, причем обе производные dF/dx и dF/dy не обращаются в нуль одновременно. Огибающая семейства интегральных кривых (6) всегда является особой интегральной кривой; она может быть найдена по общему интегралу Методом п. 17.1-7. которых интегральные кривые имеют фиксированный -b I = 0 дает геометрическое место точек возмож-
ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.2-3: 9.2-3. ^Преобразование переменных (примеры см. в п. 9.2-4)- (а) Замена переменных (точечное преобразование) х=Х (X, у), у = У(Х, у) ЩМг=#=01, La (х, у) J by , ау - „—dy _ дх ду I __ dy\ p~dx~ дХ дХ - \р— дх ду (9.2-8) преобразует данное уравнение (1) или (5) в новое дифференциальное уравне- ние относительно X и у, которое может оказаться проще исходного. Найдя решение у—у (X), мы получаем искомое решение в параметрическом виде: х=Х (X, у (х)), y=Y (X, у (X)). Если решение преобразованного уравнения получено в неявном виде и (Х, у) = 0, то искомая связь между у и « может быть найдена исключением X-и у из трех уравнений: х—Х (X, у), y=Y (х, у) и и(Х, д)=0. (Ь) Контактные преобразования (см. также пп. 10.2-5, 10.2-6 и 11.6-8). Замена переменных « х = х (х, у. р). у = у (х, у, р) (р = Ц) (9.2-9а) при условии + + (9.2.96) др \дх ду j др \дх ду/ определяет контактное преобразование, сопоставляющее линейные элементы Х„ у, р и - - - dy дх‘дур dp X, у, р — -= =—----— — dx dx дх dx дх' ду р dp таким образом, что линейные элементы, образующие гладкую дугу, "отображаются на гладкую дугу и касание дуг сохраняется. Контактное преобразование может быть задано формулами х».х(х, р, р), р=р(х, у. р), р = р (х, у. р) (9.2-9с) L о {*» yt р) j при условии dy — р dx = fi (х, у. р) (dy — р dx) [g (х, у, р) ф 0]. ' (9.2-9d) При этом формулы р = dy/dx и р = dy/dx эквивалентны. В частности, g (х, у, р) = -—1 дает легко обратимое контактное преобразование Ле- жандра х = р, У — рх~у, Р — х, (9.2-10) которое преобразует данное дифференциальное уравнение (5) в ' F(p, рх — у, х) = о. (9.2-11) Уравнение (11) может оказаться более простым, чещ исходное. Если его решение будет найдено, то решение исходного уравнения получится обращением формул (10). 9.2- 4. Решение специальных типов уравнений первого порядка. (а) Следующие уравнения интегрируются в квадратурах: 1. Уравнение с разделяющимися переменными у' =ft (x)/f2(y)- Общий интеграл J f2 (у) dy=j (х) dx+C. 2. «Однородное» уравнение первого порядка: y'=f (уlx). Замена у=у/х приводит уравнение к типу 1: у’ =
9.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 269 3. Уравнение в полных дифференциалах есть уравнение вида Р(х, y)dx+Q(x, y)dy=Q, (9.2-12) где левая часть представляет собой полный дифференциал rf<p; это значит, что выполнено условие.^- = (п. 5.7-1). Общий интеграл Ф (х, у) = J Р (х, у) dx+ Q (х0, у), dy—C. (9.2-13) Ло Уо Если левая часть уравнения (12) не является полным дифференциалом то можно найти интегрирующий множитель |1=|1(х, у) такой, что. произведение р. (Р dx+Q dy} будет полным дифференциалом. Интегрирующий множитель (х (х, у) удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными производными P-fa-—(9.2-14) ох) ох ду ' ' 4. Линейное уравнение первого порядка у'+а (х) y=f (х) (см. также пп. 9.3-1 и 9.3-3) допускает интегрирующий множитель . . -Г а (х) dx p=p(x) = eJ Общее решение > [5 f (Х) (х) d*+C]- (9-2-15) Некоторые уравнения первого порядка можно привести к одному из указанных типов заменой переменных (п. 9 rt n' " ----'• ----------' *•<-«* - -- к типу I заменой у=?ах-\-$у. Уравнение у' приводится к типу 2 заменой 9.2-3). В частности, уравнение ут — f (ах -j-- fjp) приводится ' а^ 4- fity 4- Yt \ ' n -------------------------, * —— I при Oifij azx 4- $2y 4- y2 J 11 (9.2-17) — а201 ф О приводится к типу 2 заменой х = х — х0, У~У~УО (параллельный перенос осей коор- динат), где х0, у0 — точка пересечения прямых щх 4- pi?/ -}- =0 и а2х + $гУ + Тг = 0. Если же <Xi0s — a2fJi =0. то это уравнение приводится к типу 1 заменой p~=«ix4- Эх!/. _ Уравнение yr = ft (х) у 4- f2 (х) уп (уравнение Бернулли} приводится к типу -4 заменой У = ИХ~п(п ф I). (Ь) X Если уравнение первого порядка дано в виде y = h(x, у’), (9.2-16) то иногда оказывается удобным продифференцировать обе его части по х и получить дифференциальное уравнение относительно у' (л); , __ д!г д!г dy' ~ дх ' ду' dx ’ Если последнее уравнение удается решить и найтн у' — уг (х), то подстановка этого результата в данное уравнение (16) позволяет найти искомую функцию у (х). Если реше- ние уравнения (i7) получается в виде и (х, у'} =0, то соотношение между х и у дается в параметрической форме через параметр р = у': и(х, р) = 0, у ~ 1г (х, р). I Аналогично уравнение x = h(y, у’) дифференцированием по у приводится к уравнению ~уГ с ^зависимой переменной у и искомой функцией у* (у}. Примеры. Дифференциальное уравнение Длеро у=* у’х 4- f (ут) имеет общее реше- P=j=Cx4-f (С) н особый интеграл (в параметрической форме) х —— Г (р)э y=—‘pft (р) -f. Дифференциальное уравнение Лагранжа y — xt (у') 4- g (у'} приводится к уравнению f (у'} 4- 1>Г (у'} 4-Яг (£/')] записав последнее в виде [f (у'} — у'} + Г W) х + + ёт Ху1) = о, получаем линейное дифференциальное уравнение относительно х (у'). U) УравнеииеРикка ти. Общее уравнение Риккати уг — а (л) 4- b (х) у 4-, с (х) 19 2-18)
270 ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ- УРАВНЕНИЯ 9.2-5. иногда упрощается подстановкой у = \1у. Замена х— х, у =---------- а(х)у приводит к однородному линейному уравнению второго порядка относительно «/= у (х)? V" — Г ° У? .4- ь (х)1 ~у' + а (х)с (x)jT=O. (9.2-19) L и \х) J » Если известно одно частное решение yi (х) уравнения (18)д то подстановка , . . 1 У = У1 М + — У приводит к линейному дифференциальному уравнению. Если известны два частных решения у и ул или три частных решения yt, У а Ул, то имеем соответственно Уг — Уг y=yt-\--------------------2,2 „ у ±. +.С^ ~ (9.2-20) 1 + С exp J а (х) (г/2 — j/,) dx * (у6 — у„) + С (yt — р8) * Для- любых четырех частных решений уи уь, у,, двойное (ангармоническое) отношение —-----~ &г. постояиио. Дх — Уз Уз — Ул Специальное уравнение Риккати tf 4- ар2 = Ьхт (9.2-21) при т = 0 относится к типу 1> а при т = типу путем А-кратного подстановка 4k 1 — 2k (fe=±l, ±2.„.) приводится к этому дает повторения одной из указанных ниже подстановок. При k > 0 1 *=jrm+3» р”—5=4- 4- х‘у ах mt (9.2-22а) dx где ' — b -r а — m-i-4 а = т + 3’ — /й 4- 3’ m =*' m 4- 3 ’ При А С 0 подстановка х=х~^+1» у---------- -------- х (Ь х у-t- m-j-1) дает уравнение (22с) с — Ь — а — 3m 4-4 а -----—г—г, b ----г-г, т = — ----- m 4- 1 т + i т + 1 (9.2.226) ' (9.2-22с) X Наконец, при т = — 2 уравнение (21) приводится к типу 2 подстановкой у= 1/ р» Многочисленные примеры специальных типов дифференциальных уравнений приве- дены в [9.4]. Ж 9.2- 5. Общие методы интегрирования. (а) Метод последовательных приближен и'й Пикара. Для интегрирования дифференциального уравнения у' =f (х, у) при данном- начальном условии у (х0) = у0 выбирают- некоторую начальную функцию (х) и вычисляют последовательные приближения искомого решения: 2/П+13 (х) = у0 + р [х, уШ (х)] dx (j=0,1,2,...). (9.2-23) хо Этот процесс сходится при выполнении условий п. 9.2-1. Метод Пикара осо- бенно удобен, если интегралы в формуле (23) могут быть вычислены в замк- нутой форме, хотя в принципе можно применять и численное интегрирование.
9.S-2. S.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 271 Вполне аналогичный метод применяется к системам (3) дифференциальных уравнений первого порядка. (Ь) Разло ж е н и е решения в ряд Тейлора (см. также п. 4.10-4). Если данная функция / (х, у) дифференцируема достаточное число раз, то коэффициенты y,m,(x0)lmi ряда Тейлора У (х) =-у (хе) 4- у' (х0) (х — хд) 4- — у" (х0) (х — х0)2 4- • •• (9.2-24) можно получить последовательным дифференцированием данного [дифферен- циального уравнения: г/' (x)=f (х, у), „ . . df , df , df . df t. !/ (*) gx + ву У — dx + dy t ^X’ и последующей подстановкой x = x0, y = y (x0) = y0. Аналогичный метод применяется к системам дифференциальных уравне- ний первого порядка. 9.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - 9.3-1< Линейные дифференциальные уравнения. Принцип наложения (см. также пп. 10.4-2, 14.3-1 и 15.4-2). Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение порядка г,- связывающее действительные или комплексные пере- менные z и w — w(z), имеет вид Lw == а0 (z)4-Ci(z)-^^-4-...4-«r(z)w==/:(z). (9.3-1) dz dz 1 Общее решение уравнения (1) есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения Lw == «0 (z) 4- (z) -d 4- ••• 4- «г (z) w = °- (9.3-2) az az По отношению к неоднородному уравнению (1) уравнение (2) называется приведенным. Если (z) и w2 (z) — частные решения линейного дифференциального урав- нения (1) для правых-частей f (z) = ft(z) и f (z) ~ f2 (z) соответственно, то a (z) 4- р w2 (z) будет частным решением уравнения (1) для правой части f (z) = а Д (z) 4- Р fz (z) (принцип наложения, суперпозиции). В частности, каждая линейная комбинация решений однородного линейного дифференциального урав- нения (2) также является его решением. Ж Очевидное решение w = 0 уравнения (2) называется нулевым или три- виальным. В дальнейшем предполагается, что все функции а0 (z), а^(г),..., ar (z) и f (z) непрерывны в некоторой области D изменения независимого перемен- ного, причем в точках этой области коэффициент а0 (z) не равен нулю. Точки, в которых ao(z)=O, являются особыми для уравнения (1). Ж 9.3- 2. Линейная независимость и фундаментальные системы решений (см. также пп. 1.9-3, 14.2-3 и 15.2-1). (а) Пусть wt (z), w2 (z).wr (z) суть г — 1 раз непрерывно дифференци- руемые решения линейного однородного дифференциального уравнения (2). Г г решений и>ь (z) называются линейно независимыми в Dt если У] %* (z) = 0 Л=1
272 ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.3-3. в D только при Z,] = Х,2 = ...= Z,r — О (п. 1.9-3). Это имеет место'тогда и только тогда, когда определитель Вронского (вронскиан) W [wb w2, ..., wr] = Wi(z) w2(z) ... wr(z) w\(z) w'2(z) ... w'r (z) (9.3-3) w\' wlf J>(z)...' ир-!) (z) отличен от нуля всюду в D. Равенство РК = О в какой-либо точке z из D вле- чет за собой тождество РР = О для всех z из В1). (Ь) Однородное линейное дифференциальное уравнение (2) порядка г имеет не больше г линейно независимых решений. Любые г линейно независимых решений иц (z), w2 (z),wr(z) составляют фундаментальную систему ренте- г ний, линейные комбинации которых У] a* u>j,(z) дают все частные решения уравнения (2). (с) Ж И с пользование известных частных решений для пои и- вке н и я порядка. Если известно одно нетривиальное решение toj однородного урав- нения (2), то преобразование w — J v dz приводит это уравнение к однородному линей- ному дифференциальному уравнению порядка г—1, т. е. понижает его''порядок на еди- ницу. Указанное преобразование эквивалентно двум последовательным преобразованиям W = и и' = V. Если известно т линейно независимых решений к>2, ... , wm уравнения (2); то можно понизить его порядок до г—т последовательным применением следующего про- цесса. Преобразование w=^wm J v dz приводит к уравнению порядка г-1 с известными линейно независимыми решениями Повторяя этот процесс т раз, придем к линейному однородному уравнению порядка г — т.* 9.3- 3. Решение методом вариации постоянных. Функции Грина. (а) Если функции (z), w2 (z). —, wr (z) представляют г линейно независи- мых решений однородного линейного дифференциального уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) есть где w = Сх (z) и>! (z) 4- С2 (z) w2 (z) 4-..-. + Сг (z) wr (z), 2 Ck (z) w <f> (z) =0 (/ =0, 1....r - 2), ft=i Y C'.(z)W<’'-1)(z)=-l^-. « ' ' « ' ' По (z) Решив систему г уравнений (5) относительно неизвестных Ck (z), простым интегрированием находим затем Cfe (z) = J Ck (z) dz 4- Kk. (9.3-4) (9.3-5) производных В принципе втот метод сводит решение любого линейного дифференциального уравнения к решению однородного линейного дифференциального уравнения. *) Заметим, что эта теорема неприменима к любому множеству г — I раз непре- рывно дифференцируемых функций (z); они должны быть решениями подходящего, дифференциального уравнении (2), коэффициенты которого удовлетворяют условиям сформулированным в п. 9.3-1.
0.3-3. 9.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 273 (Ь) В случае действительных переменных z = х и w = w (х) частное реше- ние неоднородного уравнения (1) часто бывает удобнее представить в виде ь w = SG(X,®f(E)&, (а<х<Ь), (9.3-6) а где G(x, £) есть функция Грина (п. 9.4-3), дающая «фундаментальное» реше- ние. Прц этом общее решение уравнения (1) есть . ь - г w=jG(t, g)f (g) dg + Е Ak wk (х), (9.3-7) а fe = l где Wk (х) — линейно независимые решения уравнения (2), a Ak — произволь- ные постоянные, определяемые по начальным или краевым условиям. Функцию Грина G(x, g) можно выразить через любые г линейно незави- симых решений Wfe(x) однородного уравнения (2): '. G (х, g) = у® ( C'k (g) wk (х) U (х - g), (9.3-8) где Ck (х) получаются из уравнений (5), a U (t) — единичная функция, опре- деленная в п, 21.9-1 (tf(0 = *<§’) Для линейных дифференциальных уравнений порядка г = 2 общее решение дается формулой (4) или (7), где б-i W — — С2 = \ G(x,® = ~ f (х)______________________a>2 (х)_______________________ а0 (х) w1 (х) ш' (х) — ю2 (х> ш' (х) • f (х)_______________________Wt (х)____________________ aD (х) (х) of (х) - о>2 (х) о>' (х) ’ 1 (х) ws © — fl’s (х) tt>t (g) rr , a0 © tu1 (J) ш' (J) - w2 © t»'t (s) ' (9.3-9) (с) xB то время как общее решение (7), получающееся с помощью функ- ции Грина (8), есть только другой способ записи формулы (4), часто оказы- вается возможным построить функцию Грина G (х, g) так, чтобы частное решение (6) удовлетворяло определенным начальным или краевым условиям. Если краевые условия линейны, и однородны относительно w (х) и ее производных, то искомая функция Грина G (х, g) должна удовлетворять сле- дующим условиям: 1. G(x, g) при фиксированном значении g является непрерывной функцией от х и удовлетворяет заданным однородным краевым усло- виям. 2. Производные до r-го порядка включительно от G (х, ,g) по х непрерывны для х £ [а, 6], за исключением точки x = g; в этой точке непрерывны производные до (г — 2)-го порядка, а (г — 1)-я произ- водная имеет разрыв первого рода со скачком дг 1G1 _ дг lG I _ 1 бхг-1|х=5+0 dx'-l|x=g—О а0 © (a<g<b). (9.3-10) 3. G (х, g) как» функция от х всюду в [я, 6], за исключением точки x = g, удовлетворяет уравнению LG(x, g) = 0 (x^g). (9.3-11) Функцию Грина G(x, g) можно определить условием LG (х, g) == — О(х~ g), Где б(/) — функция Дирака, определенная в п. 21.9-2,
274 ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ®.3-3. Отсюда следует, что 6 LG (х, □ = 0 (х^ В) и J LG (х, Q dg = 1. (9.3-11а) а Существование и свойства таких функций Грина рассматриваются с более общей точки зрения в п 15.5-1; см. также п. 9.4-3. В табл. 9.3-1 приведены функции Грина для некоторых краевых задач. - Таблица 9.3-1 Функции Грина для линейных краевых задач Ь Каждая приведенная ниже краевая задача имеет решение а> (х) — J 6 (х, g) f © 4g. а Формула (9.3-7) дозволяет получить решение при других начальных или краевых усло- виях (см. также пп. 9.3-3, 9.4-3, 10.4-2, 15.4-8, 15.5-1). Решения для других интервалов (о, 6) получаются из табличных с помощью линейного преобразования координат. № п/п Дифференциальное уравнение Интервал (а, Ы Краевые условия G (х, g) (x=Sg) G(g, x) (x&g) 1а ♦ 4х« f <*> а = 0 6 = 1 а> (0) = ta (1) = 0 — (1 — g) X 16 са (0) = 0 W' (1) = б — X 1с w (0) .=« — w (1) w* (0) = — w' (1) 1 , _ 1 2 {X 4 14 о* a II II - 1 w (— 1) = ta (1) = 0 -4- (x-g-xg + 1) 1е W (— 1) —W (1) ta' (—1 ) = ta' (1) 2 42Я) 8 1 8 II II G 45 w конечна В (— GO, ОО) -T*"S За d2w + A‘ta = f (х) а — 0 6 = 1 w (0) = а> (1) = 0 sin sin k (I —%) k sin k 36 а = — 1 6= 1 w (—’ 1) = W (1) wf (— 1) — W* (1) COS fe (X — g+ 1) 26 sin k 4а dx> k2w *) Это есть обобщен! ет уравнению (9.3-10). а = 0 b = 1 ta (О’ = ta (1) = 0 sh Лх sh fe (1 — %) k sh k 46 ря 3 3* к 1 - II II * О « § w (— 1) = tn (1) ta' (— 1) = ai' (1) я Грина в смысле п. _ ch*=(x —g+ !) 2k sh k 5.5>l,b: она не удовлетво-
9.3-5. 9.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Таблица 9.3-1 {продолжение} № п/п Дифференциальное уравнение Интервал (a, b) Краевые условия G{x, g)(z=Sg) G (g, X) (x == g) 5 d / dw \ dF V dx) {неоднородное уравнение Бесселя) o* a 0 !l •— о w (0) конечно w (1) = 0 In g (m — 0) (m = 1, 2, ...) 6 dx L dx J {неоднородное уравнение Лежандра) 1 - n II О Л w (—1), to (1) конечны -i-lna-tf (1 +g)- - In 2 + -i- (m = 0) *) 1 Р+ж 1 — SW2 2m kl— x ‘ 1+gJ (m= 1, 2, .<•) 7 d*w ,, , a — 0 6-=l w (0) = w' (0) = — w (1) = a' (1) = 0 _£4irJ)_« (2j£ + x_3S) (9.3-12&) 9.3-4. Приведение двухточечных краевых задач к аадачам Коши. Общая теория краевых задач н задач о собственных значениях, включающая н обыкновенные диф- ференциальные уравнения, рассмотрена в пп. с 15.4-1 по 15.5-2 (см. также п. 9.3-3). В связи с методами численного решения часто бывает полезен следующий прием. Если дано линейное дифференциальное уравнение r-го порядка L,at = f (z) с г крае- выми условиями, наложенными иа w {z) и ее производные в двух точках z = a, z—b, ХО решение задачи записывается в виде г w = wQ (z) 4- Е ak {z)f ' (9.3-12а) где функции wk (z) находятся из (г 4- 1)-й задачи Kouiul |_^0 (2) » f (х) прн (а) = 0 (/ = 0e I, ..., г — 1), . ч п' (Л/V (/ = 0, 1,... Подставляя заданные краевые условия в общее решение (12а), получают систему Г Уравнений с г неизвестными коэффициентами Примечание. Если краевая задача не линейна, например, i= f {г, w, ше) при w (а) = &af w {b) = wbf (9.3-13) то часто можно вычислить значения w {b) для двух или трех выбранных значений неизвестного начального условия к,' (а) и затем исправить значение w' (а) с помощью интерполяции. 9.3-5. Линейные дифференциальные уравнения в комплексной области. Тей- лоровские разложения решения и влияние особенностей. (а) Линейное дифференциальное уравнение Тг + а1 (*)^г=т+—+°г (г) W==f (г> dz dz r аналитическое решение w=w(z) в каждой регулярной точке г, где Функции aft (г) и f (г) аналитичны. Если эти функции однозначны и если
276 ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, S.3-6. область D односвязка и состоит только из регулярных точек, то заданные начальные значения w (z0), w' (zu), , a)""-11 (z0) в любой точке z0^D опреде- ляют единственное решение w (z) в D. Чтобы получить это решение в виде ряда Тейлора (см. также п. 4.10-4), надо подставить w (z)=w (z0)Ч-а/ (z0) (z—z0)+^ w" (z0) (z-z0)2+... (9.3-14) и f (г)=f (z0)+f' (z0) (z — z0) + f" (z0) (z—z0)2+..., ak (z0) +a’k (z0) (z — z0) + ^al (z0) (z-z0)2+— (* = 1. — . r) в данное дифференциальное уравнение; сравнение коэффициентов получающихся степенных рядов даст рекуррентные соотношения для неизвестных коэффи- циентов Jj-ai'*’ (z0) (k=r, r+1, •••) (Значения производных wik> (г0) для t=^0, 1, ..., г—1 заданы в виде начальных условий.) Ряды (14) сходятся- абсолютно-и равномерно в каждом круге |z—г0|<7?, лежащем в D. (Ь) Аналитическое продолжение любого решения w (г) линейного диффе- ренциального уравнения вокруг особых точек одного или нескольких коэффи- циентов ak (z) даст, вообще говоря, различные ветви некоторого многознач- ного решения (см. также пп. 7.4-2, 7.6-2, 7.8-1). В частности, полный обход вокруг особой точки преобразует фундаментальную систему решений (2). к>2 (z), • • •, w (2) однородного линейного дифференциального уравнения в новую фундаментальную систему (z), пу2 (z), •••. W (z). Эти две фундаментальные системы обязательно связаны невырожденным линейным преобразо- ванием (9.3-15) wi & = У aikwk (г> = ’>2’ •" * r>- k= 1 Собственные значения матрицы [a^] (п. 13.4-2) не зависят от частного выбора фун- даментальной системы toj (2), w2 (z), • » wr (г). 9.3- 6. Ж Решение однородных уравнений путем разложения в ряд в окрест- ности правильной особой точки. (а) Особая точка z=zt одного или нескольких коэффициентов, о (z) назы- вается изолированной особой точкой однородного линейного дифференциаль- ного уравнения * ^+й1(г>^+...+аг(г)и,=0, dzr dz * если в. некоторой ее окрестности нет других особых точек. Изолированная особая точка z=zt называется правильной (слабо особой), если, все коэффи- циенты ak (г) имеют в этой точке полюсы порядка ие выше k, т. е. ak (г) — — Pk^--—b. где все рь (г) аналитичны в некоторой окрестности D, точки г.1). (г-г,)®’ В этом случае уравнение (15) можно записать в виде , df w , . ,,__ , . dr Чю (г— г1)Г 3~г+(г — г1)Г 1 Pl (Z) Г-1" + • . • dz dz ...4-(z—z])pr_1(z)~+pr(z)w=0. . (9.3-16) ’) Если некоторые р^ (2) имеют нули в точке Zi, то соответствующие коэффи- циенты (2) будут иметь полюсы порядка меньшего чем Л; они могут даже быть регулярными функциями в окрестности точки 2Л>
9.3-7; 9.3, ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 277 Остальные изолированные особые точки называются существенно особыми. Если z=Zi есть правильная особая точка (или регулярная точка), то однород- ное ли'нейное дифференциальное уравнение (15) допускает решение вида w=(z—гфр 2 ak (e—z^k. (9.3-17) А = 0 ч Если р.—не целое число, то (z—zjl1 означает какую-либо однозначную ветвь многозначной функции, регулярную в комплексной плоскости с разре- зом вдоль некоторого луча, выходящего из точки z( (см. п. 7.4-2). Показа- тель р должен удовлетворять алгебраическому уравнению степени г—опре- деляющему уравнению р(р—1)... (р—r+D+Mp—1) — (р — г+2)Р1 (ZJ+... -.+.PPr-I(^)+PrW=O. (9.3-18) Коэффициент а0 #= 0 может . быть выбран произвольно, остальные коэф- фициенты ak определяются последовательно из рекуррентных соотношений, получающихся при подстановке ряда (17) в уравнение П5) или (16). Ряды в (17) сходятся' абсолютно и равномерно в каждом круге ]г—zx | < R, лежа- щем в Dx. Различные корни p = plt р2, ..., рг определяющего уравнения (18) дают линейно независимые решения (17) данного дифференциального уравнения, за исключением тех случаев, когда некоторые из них отличаются иа целое число. В таких случаях, а также в случае равных корней определяющего уравнения можно использовать известные решения для понижения порядка данного, дифференциального уравнения (п. 9.3-2, с) или отыскивать решения по методу Фробениуса (см. также п. 9.3-8, а). Показатели р# связаны с собственными значениями X* матрицы преобра- зования (aik) п. 9.3-5,Ь для одного обхода правильной особой точки гг соот- ношением Z,ft — е * • ' (Ь) Правильные особые точки на бесконечности (см. также пп. 7.2-1 и 7.6-3). z=co называется правильной особой точкой уравне- ния (15), если преобразование г=Х, и> (z)=w (~]—w (г), г 'г2 _ (9.3-19) — =— г2 —=г*~+2г3 ... dz dz ’ dz2 dz2 dz ’ . приводит к дифференциальному уравнению с правильной особой точкой г= =0. В этом . случае решение преобразованного уравнения можно получить, как показано выше. (с) О б о б щ е и н e./f Если z — z, не является правильной особой точкой, причем Функции pk (г) имеют полюсы в г = zlt то все же можно искать решение в виде, аналогичном (17), заменяя степенной ряд рядом Лорана (п. 7.6-3) по положительным н отрицательным степеням (г — Zi). 9.3-7. Методы интегральных преобразований. Если в линейном дифференциальном Уравнении (1) коэффициентами служат многочлены (г) = У] ahif, т0 еГО интегРн" h рованне при начальных условиях (0) = ai(d часто укрощается применением преоб- разования Лапласа, как в п. 9.4-5. Применяя формулу й Г й — 1 X [z'W*’ (z); s] = (- 1)Л { sk% [г» (z); - s] - £ а*"7"1»»'7’ (0 + 0)}, ds —0 J (9.3-20)
278 . ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.3-8, можно получить новое и, может быть, более простое дифференциальное уравнение дли изображения £ [в> (г); s] решения. Более общие интегральные преобразования (табл. 8.6-1) могут быть подобным образом । применены в различных специальных случаях' (см. также п. 10.6-1 и [10.4]). 9.3- 8. Линейные уравнения второго порядка (см. также пп. 15.4-3,с и 15.5-4). (а) Результаты общей теории применимы, в частности, к линейным урав- нениям второго порядка. Главный интерес представляет здесь однородное уравнение Ы = ^ + ^(2)^+«2(г)^=0. (9.3-21) Уравнение (21) равносильно уравнению 4- [р (z) + ? (г) а»=0, Лг 1 1 (9.3-22) p(z)=exp Ja,(z)dz, <7 (z) =aj (z) p (z). Если известно одно решение wt (г) уравнения (21) или (22), то общее реше- ние есть w (г) (г) [С1+С2 Ц-^р-Т)]. (9-3-23) (Ь) Разложение решения в ряд (см. также пп. 9.3-5, 9.3-6, 9.3-9 и 9.3-10). В важном частном случае уравнения второго порядка, пред- ставимого в виде (г-?1)2 ^ + ^-2^(2) ^+р2 (г)ш=0, (9.3-24) где Pi (г) и p2(z) аналитичны в z=zx, определяющее уравнение^ 18) сводится к g2+glpt (Zt)- U+pa(Zi)=0. (9.3-25) Это уравнение имеет два корня. Корень p=pt с большей действительной частью приводит к решению вида i0=i0i (z) = (z—Zx)*11 2 аб(г~г1)/г' (9.3-26) й = 0 Второй корень р>2 приводит к линейно независимому от Wj (z) решению подоб- ного вида, если р2 не совпадает с рц [или не-отличается от него на целое число. В противном случае линейно независимое от wx (г) решение может быть записано в виде 10=Д i0x(z)ln (г—Zx)+(z —гх)Ц2 2 bk(z~zjft. (9.3-27) fc = 0 Подставляя каждое из решений (26) или (27) в данное дифференциальное уравнение (24), получаем рекуррентные соотношения для коэффициентов. (с) Преобразование переменных. Следующие преобразования могут иногда упростить данное дифференциальное уравнение (21) или при- вести его к дифференциальному уравнению с известным решением. 1. Подстановка w = w exp j <p (z) dz дает .. + К (г)+2<P (z)] (z)+(h (z) Ф (z)+<p' (z) + <p2 (z)J w=0. (9.3-28) Надо попробовать выбрать <p (z) так, чтобы получить более простое новое дифференциальное уравнение; в частности,, выбор <р(г) =
6.3-9. S.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 279 е= — аг (г) исключает коэффициент при Подходящая подста- новка z=z (г) также может дать некоторое упрощение дифферен- циального уравнения. 2. Подстановка w=Ae^^dz-, (9-3-29) W преобразует уравнение (21) в дифференциальное уравнение первого порядка типа Риккати (п. 9.2-4, с). (d) Существование решения н его нули при действитель- ном аргументе. Пусть х — действительное переменное. Однородное линейное дифференциальное уравнение + «1 (*) + аг (х) w = 0 (9.3-30) имеет решение w — w (х) в каждом интервале [а, Ь], где at (х) и ав (лг) действительны и непрерывны; решение однозначно определяется начальными значениями w (х0), (х0) для любого значения Хо'.С [а, Ь]. w (х) может иметь лишь конечное число нулей в любом конечном интервале [а, 6], в котором w (х) 0; нули двух линейно независимых решений перемежаются в [а, Ь]. 9.3- 9. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение Гаусса и Р-урав- нение Римана (см. также пп. 9.3-5 и 9.3-6). (а)* Гипергеометрическое дифференциальное уравнение г (1 -г) [с-(а+6+1) г] (9.3-31) имеет правильные особые точки 2=со (с показателями р=а, р — Ь), 2=1 (с показателями р=0, р=с—а—6) и г=0 (с показателями р=0, |д=1—с) и не имеет других особых точек. Решения уравнения (31) содержат в каче- стве. частных случаев многие элементарные функции и специальные функции,- рассмотренные в гл. 21. Разложение в ряд вблизи 2=21=0 дает гипергеометрическую функцию вида (17) при |д=0 и р=1— с с - ___ (о + U + АМА 4- U + А) ft + 1 * (с + ц +А) (1Ч-Р + А) k' При [1=0 получаем специальную гипергеометрическую функцию—гипергео- метрической ряд w—F (а, Ы с; г) = 1 г+1 *+„. (9.3-32) (с не должно равняться нулю или целому отрицательному числу). Этот ряд сходится абсолютно и равномерно при | г | < 1; сходимость распространяется и на единичную окружность, если Re(a+6—с) СО1). Ряд (9.3-32) сводит- ся к геометрической прогрессии при а — 1, b—с и к многочленам Якоби (й. 21.7-8),если а равно целому отрицательному числу. Ясно, что F (а, Ь; с‘, г) = - k=F (Ъ, а; с; г). Второе (линейно независимое) решение уравнения (31) может быть получено спо- собом, указанным в п. 9.3-8. Ь; в частности, ги пер геометрическая функций1 второго рода ф (а. 6; с; г) =э г1-еF-с + ’• ь-с +1:2-с: г) (9’3'33) является решением уравнения, если с отлично от целого числа. 1) При 0 Re (а’4- b —. с)< 1 ряд условно сходится во всех точках единичной °кРужностн, кроме ТОЧКИ 2 = 1.
V ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.3-9. Отметим следующие соотношения ( | z | < 1); F (а.6; с\ г) = 1 = Г(О>гГ-а) 5 £“-1 (1 - £>С"а-1 <’ - г0~° [Re О Re а> 0], <9.3-3п > -0 ^=^F(a+l. 6 + 1; е+1; г); ^=.^-Ф(а + 1; 6 + 1; е+1; г), (9,3-351 м-л v lZZ С Fla. Ь-, с-. [Re (а + 6 — с) < 0], (9.3-36)' F(a, b; с; г) = (1 — zf~a~b F (с — а, с — 6; с; г). Приведем некоторые линейные преобразования F (a, b't с; 2) (полный перечень та- ких преобразований приведен в’ [21.3]): Г {а, Ь- с- г) == (1 — z}~a F (а, с — b; с; = (1 — z)“° F (b, с — а; с; (9.3-37) Формулы (37) позволяют аналитически продолжить F (а, Ь‘. с; 2) в полуплоскость I 2 — 1 I < т- е‘ Re 2 < V2. F{a' bi С! i>^F(c-a).r(“-SF<a- b: ° + й-е + 1: 1“г> + + (1 - z)S~a~b F(c-a, с-Ь'. c-a-b^Y, I —г) 19.3-38) A (u) Д. \и) [ | arg (1 — г) | < я; а 4- b — с Ф 0. ±1. ± 2. • • • ]. ’ С помощью формулы (38) гнпергеометрнческую функцию * можно продолжить в круг | 2 — 1 | < 1 с разрезом по отрезку [1, 2]. а также выявить характер ее осо- бенности в точке 2 = 1. f(a-й; с; г)=тат^,~гГЙГ(а‘1-с+а:1-г, + о: 1) + +г~ьр (ь> 1 -с+»’ 1 - “+й: 4) <9-3-39» [ | arg (— 2) | < л: а — b ф 0, ± I. ± 2, • ♦ Ч- Формула (39) позволяет продолжить F(o, &: с; 2) во внешность единичной окруж- ности | z 11 с разрезом по лучу [1, со]. В табл. 9.3-2 приведены дополнительные формулы. (b) Р-у равнение Рнмана. Уравнение (31) является частным случаем P-уравнения Римана d*w 1 f 1 — а — а' , 1—- р — р' , 1 - у — V \dw t dz2 z — zt + z — z2 + 2-z3 ) dz + , [acr (Zj — za) (Zi — za) , 33' (Z2 — 2S) (22 — Zi» , + L------—--------------+-----+ + JX.(^-Z»>(^-^>.1 _______:________________ 0 (9.3.-40) Z — Z3 J (Z — Zt) (Z — Zg) (z — z3) которое имеет три различные правильные особые точки:z —zt (с показателями а, а'). z = гг (с показателями р, Р'> и г = г3 (с показателями V, у'у, здесь а + аг + р + Р‘ + V + V' = 1, Решение уравнения (40) обозначается так: [ г, гя zs 1 ai (г) s= Р ( а Р у г>. V а’ Р' у* / Одним нз решений служит функция (£rJl)a/'l=J’yF(a + p + v, а + р» +v ; 1 + а_а^ .<г ~ г»> ,<гз ~..Z8L\ (9.3-41) \г —г3/ \г—г2/ н .. (г — г2) (г3 - г.) > Это решение сводится к (32) при г1=0, г3 = «», г3 = 1 и а=0, Р = а, 7=0; а‘ = 1 — с, Р’ = 6. у' = с —а— О,
>.з-в. е.з. линейные дифференциальные уравнения 281 Таблица 9.3-2 Дополнительные формулы для гипергеометрических функций 1. Формулы приведения Гаусса. с F (а, b — 1; с; г) — с F (а — 1, 6; с; г) + (о — b) г F (а, Ь; с 4- Г, г) = О с (а _ ft) F (а, Ь; с, г) — а (с — 6) F (о 4- 1, Ь; с + 1; г) 4- 4- Ь (с — a) F (а. Ь + 1; с -J- 1; г) = О с (с 4-1) [F (a, b; ср г) — F (а, 6; с 4- 1; г)] — abz F (а 4- 1, Ь 4- 1; с 4- 2; г) = О с F (а, Ь-, с; г) — (с — a) F (а, Ъ 4- 1; с 4- 1; г) — а (1 — z) F (а 4- 1. Ь 4- 1; с 4- 1; г) = О cF (а, Ь-, « г) 4- (b — с) F <а 4- 1, 6; с 4- 1; г) — b (1 — г) F (а + 1, Ъ 4- 1; с 4- И 2) = О с (с — bz — a) F (а, Ь; с; г) — с (с — a) F (а — 1, Ь; с; г) 4- 4- abz (1 — г) F (а 4-1. Ь 4- 1; с 4- 1; г).= О с (е — az — b) F (а, Ь; с; г) — с (с — b) F (а. Ъ — 1; с; г) 4- 4- abz (1 — z) F (а 4- 1, Ъ 4- 1; с 4-1; г) = О с F (а, Ь; с; г) —_cF (а, Ь 4- 1; с; г) -4 аг F (а 4- 1, Ъ 4- 1; с 4- 1; г) = О с F (а, Ь; с; г) — с F (а 4- 1. Ь; с; г) 4- bz F (а 4-1, b 4-1; с 4- 1; г) = О с [а — (с_— Ь) г] F (а, 6; с; г) — ас (1 — г) F (а 4-1. Ь, с; г) 4- 4- (С — а) (с — Ь) г F (а, Ь; с 4- Г. г) = О с [Ь — (с — a) z] F (а, Ь; с; г) — be (1 — z) F (а, b 4- 1; с; г) 4- ' 4- (с — о) (с — b} z F (а, 6; с 4- 1; г) == О с (с 4-1) [F (а, 6; d г) — F (а. 6 4-1; с 4-1; г)] 4- 4- а (с — Ь) г F (а 4- 1. 6 4- 1; с 4- 2; г) = О с (с 4- О [Е (а, 6; с; г) — F (а 4- 1, 6: с 4- 1; г)] 4- 4- Ь (с — а) г F (а 4- 1. b 4- 1; «4-2; г) = О с F (a, b; ~a г) — (с — 6) F (а, Ь; с 4-1; г) — b F (а, Ь 4- 1; с 4- 1; г) = О с F (а, Ь; с; г) — (с — a) F (а, Ь; с 4- 1; г) — a F (а 4- 1. 6; с 4- 1; г) = О 2. Разные формулы. к » я.(,_|)-»44 =41; . + 4 (^)*]. (14-г)2о/(а, O4-2--6; 64--I-; г^Е^а, 6; 26; (1 Д)г], (1 +z)2aF (2а, 2а 4- 1 — с; с; г) =F Га, а 4- 4-; с; „ 1. L ' * "1“[ F^a, b; a-j-b-t-—; sin* й^ =Е^2а. 26; а 4- 6 4--^-! sin2 -у'У 3. Выражение некоторых алементарных функций через гипергеометрические (см. также'таблицу 21.7-1). (1 4- Х)п = F (— п, 1; 1; — х). In (1 4-х) = xF (1, 1; 2; — х), arcsinz = zF(±-, ±; Ь х^, arctg х = х F (±-, 1;
282 ' ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.3-10. Таблица 9.3-2 Продолжение) sin пх = п sin х F + ”, - ~ п; sin8 л), COS ПХ = F — А; -к; sin8 x'j = e cos xF Цр; v: sin‘ *) = = cos” x F (- 1^: -b - tg8 *). ' ь^=-Ч^4-=-)- e-”*=(2ch<”th*F(l + -=-, i+TS l+ni-^Y \ Л Vll Л/ Kd)=yF(y, j; k,\ E(ft)="f(_’ J_; 1; ft8). A \ A A ] A \ A A J 9.3-10. Вырожденные гипергеометрические 'функции. Особую точку z=l гнпергеометрического дифференциального уравнения (31) можно передвинуть в г=Ь заменой г на z/b; тогда при Ь->оо особая точка z=b будет стре- миться к уже имеющейся особой точке г=оо (вырождение особой точки). Это приводит к дифференциальному уравнению вырожденной гипергеометрической функции (Куммера) z^+<P-z)~-a®=Q, (9.3-42) которое имеет одну правильную особую точку г=0 и одну существенно осо- бую точку г=оо. Многие специальные функции являются решением уравне- ния (42) прн частном выборе значений а и с (гл. 21). Разложение решения в ряд в точке z=0 дается формулой (17) прн р=0 н р = 1—с, где c + n + ft “ft+i — (с + м + ft, (1+(i+ft) “*• При [л = 0 получаем вырожденную гипергеометрическую функцию Куммера — вырожденный гипергеометрический ряд (см. п. 21.7-5): w=F(a;C;z)^l+^z + l^±Jz2+.„ (| г | <оо). (9.3-43) Второе (линейно независимое) решение можно получить тем же способом, что и в ц. &.3-8, Ь; в частности, вырожденная гипергеометрическая функция второго рода Ф (а; с; г) =Г (°(С~ °- z1-* F (а - с + 1: ? - с; г) (9.3-44) и. а 1 Cf является решением, если только с — ие целое. Отметим следующие соотношения: ч 1 F (а: е: z) = it Е“"1 (1 - t)e-C"leZ£ Re c > Re a > 0; (9.3-45) Ц. U. ч/ J о ^ = -5 F(o+ 1; c+ 1; z); Ф (o + 1; C + 1; z)j (9.3-46) F (о; с; г) = ezF (c — a; c-, — z), (9.3-47) В табл, 9.3-3 приведевы дополнительные формулы.
е.4-1. В.4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 283 >. Таблица 9.3-3 Дополнительные формулы для вырожденных гипергеометрических функций F (а; 2а; 2г) = 2 2 * * е 2 ( 2 ) Г (a -J- егг 2 J j (ze 2 ), а~1Г F (а; с; z) =ег F (с —а? с; — г), a F {а + 1; c-J-1; г) = (o-<?)F (о; с + 1; z) + с F (а; с, г), a F (а 4-1; с; г) = (z + 2а — с) F (а; с; г) + (с — а) F (а — 1; с; г), ”т гЬ F (с; С: г) = *> - (с + "~П F (а + п + If п + 2; г) с— п И- “Г U* (га == 0, 1, 2Й ...), , _с . г 1 zt_ '<“=«г>=ТО^>е2 S — I (О < Re а < Re с), а со а ^~Г (аХ~П** F <~ v: ” + R Z) = е*г 2 t ~1 ? 2 J (zVzi)dt U- (и -г И J О [Re (а + v -}- 1) > 0; | arg г | < л/2]. 9.3-11. Обобщенные гипергеометрические ряды.'Степенные ряды (32) и (43) являются частными случаями рядов mPnlflii. • ••> amt ci> с2>: •••} cnt 2) s ©О s S 2fe («. л=1, 24 ...), (9.3-48) ^*0 И1)й (ct)k ••• (cn)k где (x)fe == x (x +1) ... (x+k—1). В этих обозначениях гипергеомет р ические ряды (32) и (43) запишутся соответственно как еВ± (a; с^ г) и (а; с; z). 9.4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 9.4-1. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами (см. также п. 9.3-1) (а) Уравнение первого порядка ао^ + а1У=° («о^О) , (9.4-1) имеет решение у=Се а° [С=у(0)]. (9.4-2) При ао/а1>0 (а0/ал называется иногда постоянной времени) V Ысу = у (0) е_1 «=а 0,37г/ (0), у (4a0/aj) «= 0,02у (0).
284. ГЛ 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 6.4И, (Ь) Уравнение второго порядка (ао^О) (9.4-3? °o ~Si + a* ~di+=0 имеет решение {/=Cies*' + C2es-!Z, ' й___+ (а|—4айа2 ф 0)j (9.4-4а) (а^ — 4аоа2 —0). (9.4-46), Если aQ, alt аг действительны, то прн ast—4аоа2<0 корни sj, выбудут ком- плексными; в этом случае формулу (4а) удобнее представить в виде у—eQt (A cos <ot В sin at) = Reat sin (w^+ a),. (9.4-4c) где величины 2j2, (9.4-4d) называются соответственно постоянной затухания и собственной круговой ча- стотой. Постоянные С1( С2, А, В, J?, а определяются по начальным или кра- евым условиям (см. также п. 9.4-5, а). Если о», аа >> 0, то величина £ = 11 называется коэффициентом затухания; при £>1. t = l, 0 < С < 1 получаем соответственно апериодическое затухание (4а), критиче- ское затухание (46), затухающие колебания (4с). В последнем случае логарифмический декремент 2ла/а> есть натуральный логарифм отношения последовательных решения у (<). . Уравнение (3) записывают иногда в безразмерном виде e>2 dt* ш, dt v максимумов G при слабом затухании (£» < 1) имеем «и = У с2/а0 <о. (с) Для интегрирования уравнения порядка л Ц/ s «о «1 ^Нг+—+ад=0 («о^О) (9.4-5) надо найти корни характеристического уравнения—алгебраического уравнения степени г: cosr4-a1sr-1+...4-a/._1s+ar=O. (9.4-6) Если все корни sj, s2, sr этого уравнения различны, то общее решение дифференциального уравнения (5) есть {/=C1eS1'+C2es»'+...+Cres''Z. ^9.4-7а) Если некоторый корень имеет кратность то соответствующие. члены в (7а) надо заменить на (ck^Cklt+Ck2P+...+Ck (т)_ (9.4-76) Различные члены в решении (7) называются собственными колебаниями, г по- стоянных Ck и Ckl определяются по начальным или краевым условиям (см. также п. 0.4-5» а). '
9.4-2. 9.4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 285 Если коэффициенты уравнения (5) действительны, то комплексные корни характеристического уравнения встречаются сопряженными парами о ± ia. Соответствующие пары членов в решении также будут комплексно сопря- жены и могут быть заменены действительными членами: ^тСе(а+,й>)/+<тСе<о-,й”? = /те°г(Л cos<nt-\-B sinaty—Rt"1^3*sin(a>t + a), (9.4-7c) гДё А и В иля R и a— новые (действительные) постоянные интегрирования. (d) Если дана система п однородных линейных дифференциальных уравне- ний с постоянными коэффициентами <Р/1(^)г/1+<Р/2(^)г/г + --+<Р/Л.(й){/л.=0 (7=1.2......п), (9.4-8) где (d/df) — многочлены от d/dt, то каждая из п функций, составляющих решение Уь=Уь (0 (k— 1, 2, .... ft), имеет вид (7); показатели s; будут теперь, корнями характеристического уравнения системы D (s) ss det (s)| = 0. (9.4-9) Подставляя выражения вида (7) в уравнения (8), мы получаем соотношения между коэффициентами; коэффициенты, оставшиеся произвольными (постоян- ные интегрирования), определяются по начальным или краевым условиям (см. также п. 9.4-5, Ь и п. 13.6-2). 9.4-2. Неоднородные уравнения (см. также п. 9.3-1). (а) Методы, изложенные в пп. 9.3-1—9.3-4, применимы ко всем линейным дифференциальным уравнениям. Поэтому общее решение неоднородного уравнения L{/^floM+ai^4+...+arj/=f (t) (9.4-10) dr dr 1 можно представить в виде суммы общего решения (7) приведенного уравне- ния (5) и какого-либо частного решения уравнения (10). Если, как это часто бывает в приложениях, f(t) — O при /^О1), то част- ное решение y=yN (t) уравнения (10) такое, что y!V—y'N=...—y<^~~ 1J = 0 при 1^0, называется нормальной реакцией на внешнюю нагрузку f (t). Реше- ние уравнения (10) при заданных начальных значениях величин у, у', у,г~и есть сумма решения соответствующей начальной задачи для однородного урав- нения /5) и нормальной реакции yN (t). Во многих приложениях (устойчивые электрические цепи, колебания) все корни характеристического уравнения [(6) или (9)] имеют отрицательные действительные части, и общее решение уравнения (5) исчезает более или менее быстро (устойчивый «переход- ный процесс»). В таких случаях главный интересчпредставляет обычно «установившийся процесс» у = уss (/) — частное решение, вызванное данной нагрузкой f (/). В других слу- чаях определяется не только данным дифференциальным уравнением, но и началь- ными условиями. Нормальная реакция уд/ (О может как содержать, так и не содержать переходные члены, (Ь) Всякое решение Уь—Уь^) (й= 1, 2, ..., п) неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений + = (7 = 1,2,..., п) (9.4-11) есть сумма частного решения этой системы и общего решения соответствую. Щей однородной системы (8). Нормальная реакция системы (11) на множество внешних нагрузок ff (/), равных нулю при / 0, есть частное решение, в ко- тором при t^0 все функции yk вместе со своими соответствующими произ- водными равны нулю. ——: .. __________ гл Это означает, что рассматриваются правые части только вида / (/) = / (О (/), Де _ единичная функция, определенная в п. 21.9-1.
286 ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ©.4-3. (с) Если правая часть содержит периодический член, частота которого совпадает с частотой незатухающего синусоидального члена в общем решении соответствующего однородного уравнения или системы, то данное уравнение или система не будет иметь ограниченного решения (резонанс). 9.4- 3. Свертки и функции Грина (см. также пп. 9.3-3, 9.4-7 н 15.5-1). (а) Физически реализуемые задачи Коши. Применение метода функции Грина (п. 9.3-3, Ь) к дифференциальному уравнению (10) позволяет представить нормальную реакцию на внешнюю нагрузку [ (0 в виде интеграла Дюамеля нлн свертки t t y=yN (0 = f (* —T)f CO dT = J h+ (T) f (t — т) dTt (9.4-12) о о если предположить, что f(f)=O при t^O н h+(t—т) = 0 прн isgT, так что «будущие» значения f (0 не могут воздействовать на «более ранние» значения у (0 и «мгновенные» влияния исключаются (физически реализуемые системы). При этом ‘ т (т=0, 1, 2( ..., г), (9.4-13) о6' если существуют производные в правой части. Функция h+(t—т) есть част- ный случай функции Грина н определяется условиями со Lh+(t—т)=0 (/>т); ^Lft+(i—т)А = 1 (£>0), (9.4-14а) h+(t—T)=h‘+(t— т) = ,..=/4г-1) (t—т)=0 U^t). (9.4-146) h+(t—т) есть нормальная реакция на единичный импульс 6+(7—т) (п. 21. 9-6); уравнение (14а) можно записать в символической форме L/i+(/—t) = S+(/—т). (9.4-14с) Заметим, что ?ft+(i—т)</т есть нормальная реакция на единичную нагрузку 0 U+(t—т) (п. 21.9-1), т. е. ft+(i—т) есть производная от нормальной реакции на единичную нагрузку. Символическое дифференциальное уравнение (14с) часто легко решается операторным методом п. 9.4-5; другой путь нахожде- ния ft+(0 заключается в ннтегрнрованни однородного дифференциального уравнения ' ' ' “ (9.4-14Й) Lft+(0 = O (О0) при начальных условиях Л+(°.+°) =h+ (0+0)=...=ft$'—4 (0+0) =0, (0+0) =Л о (9.4-14e) Пример. Для Ly — a^+y имеем: h+(t)—~e t/a (ОО). (b) При аналогичных условиях нормальная реакция системы линейных днффергн- циальных уравнений (11) может быть представлена в виде п t ijk = S f (T)dt = 2...........n), 7=10 где (Л+)^/ (*— т) — решения системы (II), соответствующие правым частям fj (0=0 (9.4-15)
в.4-4. 9.4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 287 ft). ?£(?) = 6+ (t — и). Матрица функций [(A+)y (? — т)] есть частный случай матрицы Грина. (с) Свертка (12) дает нормальные реакции также и в том случае, когда i (О и у (О связаны дифференциальным уравнением вида “• +-+•*-».«£+•<«£(+-+V- 7 Такие соотношения могут получиться, в частности, когда система (11) приводится к одному уравнению путем исключения (п — 1) искомых функций. Некоторые (/), а значит, и (О, в случае соотношений типа (16) могут содер- жать особенности типа дельта-функции (обобщенные функции Грина, п. 15.5-1, Ъ). Если при этом (О = U — G) 4- ^2^+ (f —^2) 4- ••• (О» то формула (12) сводится к V = UN т = С/ (I—+ Cjf (t — ?2) 4-... + J *0 (t — T) f (T) du (t > 0). 0 (d) Более общие задачи. «Симметрические» и «асимме- трические» функции Грина. В случае, когда правая часть при ?=g;0 отлична от нуля, можно ввести «симметрическую» функцию^ (?—т). определяемую уравнением (см. п. 21.9-2) Lh(t—= т) (9.4-17) и подходящими начальными или краевыми условиями. Решение у— J ft(?—т)/(т)??т= J h (u)f (t — т) du (9.4-18) — со —оо будет, в частности, удовлетворять уравнению (10) при /^Ои jr(0-0)=/(0-0)=...=j/"-»»(0-0)=0, если f (?) es f (?) U (?) (п. 21.9-1) и если h(t—T)=h'(t—— —т)==0 (?<т). (9.4-19я) «Асимметрические» функции ft+ (?) удобнее применять вместе с преобразова- нием Лапласа, а «симметрические» h (?)—с преобразованием Фурье. В обыч- ных физических приложениях сохраняют условия (19а), так как «будущие» значения функции не могут влиять на решение; при этом ft+(?) и ft(?) сов- падают в точках непрерывности. Часто внешняя нагрузка не может оказать мгновенного действия на решение, так что h(t—т) удовлетворяет более силь- ным условиям h(t—т)=/г'(?-?) = ...= ft"-i>(?-T)=0 (?s=t) (9.4-196) и ft (?) совпадает c ft+ (?). п ример. В электрической цепи, содержащей только сопротивление R, сила тока »(?) и напряжение f (?) связаны соотношением у (t) — f (?)/??, так что здесь ft+(?) = б+(?)/?? и Л (?) = 6 (?)/??. Но для Ly = а + у имеем h (?) = ft (?) = — е— ‘ at + а 9.4- 4. Устойчивость. Линейное дифференциальное уравнение (10) или сис- тема (11) устойчивы,' если все корни соответствующего характеристического Уравнения (6) или (9) имеют отрицательные действительные части; тогда малое изменение начальных условий не может вызвать больших изменений решения (более общее определение устойчивости см. п. 9.5-4, а). Характер корней может быть исследован методами пп. 1.6-6 и 7.6-9 (критерии устойчивости для элек- трических цепей и систем управления). Дифференциальное уравнение (10)
288 гл. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЙЛ-5. ОО / устойчиво тогда и только тогда, когда существует J | й+ (т) | dr I или соответ- o' \ СО \ ственно J |/i(r)|drj. Аналогичные условия для каждой функции /ц,/(т) — со / системы (11) (п. 9.4-3,Ь) являются необходимыми и достаточными для устой- чивости этой системы. 9.4- 5. Операторный метод решения (см. также п. 8.1-1, 8.4-1 — 8.4-5, 9.3-7, 10.5-2 и 13.6-2, с). (а) Для интегрирования линейного дифференциального уравнения (10) С начальными значениями j/(0+0), у' (0+0), .... у1Г~х> (0+0) применяют преббразование Лапласа (8.2-1) к обеим частям' уравнения, полагая J5’[j/(0]s = Y (s) н X [f (01 = Р (0- Получающееся линейное алгебраическое уравнение (вспомогательное уравнение) (aosr+a1sr~1+ ... +ar) Y (s)=F (s)+G (s), 1 О (s) s j/ (0+0) (aosr-1+«1s,~?+ ... +«r-i) 4* I + y' (0+0) (aas>-2+«1sr-3+ ..+^-2)+ f (9>4'20) + J/"“2' (0+0) (aoS+oO+ew'r-i» (0+0) J легко разрешимо относительно изображения искомого решения: У(0= г, --------------S~+ -Гл_ -------------—• (9-4-21) aos +°is + ••• +°r v + °is +•••+“/• Здесь первый член есть изображение YN (s) нормальной реакции yN (0 (п. 9.4-2, а), а второй член представляет влияние ненулевых начальных значений функции y(t) и ее производных. Решения j/(0 и yN(t) находятся по своим изображе- ниям с помощью табл. 8.4-1 или 8.4-2 или по правилам пп. 8.4-2 —8.4-9. В*> ч G (s) частности, каждый из г членов разложения функции -—------------ (%s + 1 + ...,+ аг) на простейшие дроби (п. 8.4-5) дает соответствующий член в решении (7). Этот метод решения применяется без существенных изменений и к диф- ференциальным уравнениям вида (16). (Ь) Применение преобразования Лапласа к системе дифференциальных уравнений (11) приводит к системе линейных алгебраических уравнений <P/i (з) Yi (s)+<р/2 (s) Y2 (s) + ... + qjn (s) Yn (s)=F/ (s)+Gt (s) (/=1, 2...n), (9.4-22) где функции Gy (s) зависят от начальных условий. Решая полученную систему по правилу Крамера (1.9-4), находят изображения искомого решения п Afk Aik Is! D (s) Fi (®)+ D (s) Gf (s) 1 = 1 (й=1, 2.........n), (9.4-23) где Afk (s) — алгебраические дополнения элементов qyft (s) в определителе системы D (s) s det [<pyfe (s)J (см. также n. 1.9-2). Первая сумма в формуле (23) есть изображение нормальной реакции, а вторая представляет влияние начальных условий. Искомое решение (t) находится путем обращения преобразования Лапласа.
©.4-6. 9.4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 289 В задачах, содержащих неустойчивое дифференциальное уравнение (п. 9.4-4) или импульсные внешние нагрузки, решение может иметь особен- ности типа дельта-функций (см. также пп. 8.5-1 и 21.9-6). 9.4- 6. Периодические внешние нагрузки и решения. (а) Синусоидальные внешние нагрузки и решения. Синусоидальные установившиеся решения. Любая система линейных дифференциальных уравнений (11) с действительными коэффициен- тами и синусоидальными внешними нагрузками одной частоты fj (t) = В, sin (co<+₽/) (/=1, 2, ..., n) (9.4-24 a) допускает единственное частное решение вида yk (t) = Л sin (co<+<xfe) (fe=l, 2, .... n) (9.4-24 b) (если нет резонанса, т. е. если coi не является корнем характеристического уравнения). В частности, если все корни характеристического уравнения (9) имеют отрицательные действительные части. (устойчивая система, п. 9.4-4), то синусоидальное решение (24 Ь) будет единственным установившимся реше- нием (п. 9.4-2). (Ь) Метод комплексных амплитуд. Синусоидальные внешние нагрузки и решения (24) можно поставить во взаимно .однозначное соответ- ствие комплексным числам (комплексным амплитудам) (9.4-25) ' В1 /в В1 Fj=-Lep>^= -Lfy (/=1,2............п), ' У 2 У 2 ' А. цт A f. (fe=l, 2, ...,«). Абсолютная величина каждой комплексной амплитуды равна среднему квадра- тическому значению соответствующей синусоиды, а ее аргумент равен началь- ной. фазе синусоиды. Комплексные амплитуды (25) связаны (комплексными) линейными алгебраическими уравнениями <Р/1(М Yx+ф/г (г’“) Ya+ ••• +ф/л (й>) Y«=F/ (7 == 1, 2, ..., п), (9.4-26) которые отвечают системе (11) и могут быть решены относительно неизвестных комплексных амплитуд (ср. п. 9.4-5, Ь): -^-Fy (й=1, 2, ..., п). (9.4-27) /=1 В случае резонанса (п. 9.4-2, с) выражение (27) может не иметь смысла. (с) Синусоидальные величины (24) удовлетворяют данной системе дифференциальных Уравнений (11) тогда и только, тогда» когда этим же свойством обладают комплексные еармоническив функции t. (/) = В.е' = F.e'“z У2 (j= 1. 2........я), ] ' ' ' ’ > (9.4-28) + .Л = >,2.......я).] которые часто более удобны в расчетах, чем сами синусоиды (24). (d) Более общие периодические внешние нагрузки (ем. также пп. 4.11-4, 4.11-5 и 9.4-5, Ь). Если дан? устойчивая система (11) с периодическими внешними нагрузками вида со f(t) = 2 cos + sin (9.4-29) h=l
290 ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.4-7. то метод комплексных амплитуд можно применить к каждому синусоидаль- ному члену отдельно и затем путем наложения получить установившееся периодическое решение. Этот метод может оказаться более удобным, чем метод преобразования Лапласа, если в решении надо найти только небольшое число гармоник. 9.4- 7. Передаточные функции и частотные характеристики. (а) Передаточные функции. Передаточной функцией называется функция Я(з) = 1 __Yn (s) aosr + a1sr-1 + ... + аг F (s) (9.4-30) (см. формулу (21)). Передаточная функция представляет некоторый линейный оператор (п. 15.2-7), который преобразует внешнюю нагрузку на входе в нор- мальную реакцию на выходе (рис. 9.4-1). Рис. 9.4-1. Представление линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью передаточных функций. Если становится внешней на- грузкой для второго дифференциального уравнения с нормальной реакцией zjy (О, то две передаточные функции перемножаются, т. е. ^±L = H1(s)Hs(S). Более общо, каждая функция —h в формуле (23) есть передаточная (S) функция, относящая нормальную реакцию уь (t) системы (11) на выходе внеш- ней нагрузке /у (t) на входе, когда все остальные внешние нагрузки отсутст- вуют. Эти передаточные функции образуют передаточную матрицу. Передаточная функция для уравнения (16) есть fcos₽ + bis₽-1+ ••• +*0 И (з) =—-------—----------- aosr+ Ojf 1+ ... +аг (9.4-31) (Ь) Частот ные характеристики (см. также п. 9.4-6, а). Частот- •Ayj, (;<о) ные характеристики Я (гео) и - • связывают комплексные амплитуды, пред- ставляющие синусоидальные внешние нагрузки, и установившиеся решения с одной и той же частотой <в. В частности, абсолютная величина и аргумент частотной характеристики связывают амплитуды и фазы синусоид на входе jt выходе: если f (f) = B sin (erf-|-P), j/(?) = Л sin (<o/-j-a), to |Я(й>)|=^, argff(i«o) = a-₽. (9.4-32) Для схемы, представленной на рис. 9.4-1, амплитудные характеристики | Я (йо) | перемножаются, а фазовые характеристики arg Я (ito) складываются. (с) Соотношения между передаточными функциями,; частотными характеристиками и функциями Грина (см. также п. 9.4-3 и теоремы о свертках в табл. 8.3-1). Передаточная функция Я (s) есть преобразование Лапласа от асимметрической функции h+ (t): Я(з) = { dt. (9.4-33)
9.4-8. 9.4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ' 291 Частотная характеристика И (йо) есть преобразование Фурье от симметри- ческой функции h (t): И (ico) = J h(t)e~iatdt. (9.4-34) — co формулы (33) и (34) указывают возможность получения функций h+ (t) и h (t) как обращений преобразований Лапласа или Фурье для рациональных функций. 9.4- 8. Нормальные координаты и собственные колебания. (а)’Свободные колебания. Малые незатухающие колебания меха- нических или электрических систем часто описываются системой п линейных дифференциальных уравнений второго порядка’ п S £ + ajk) (7=1. 2( ... t п\ (9.4-35) k=\ в которой обе матрицы и'[6/7г] симметричны, положительно определены (п. 13.5-2) и таковы, что характеристическое уравнение (9) имеет 2п различных ненулевых чисто мнимых корней + + ico2> ... , ± iotn- Такие п пар корней соответствуют свободным синусоидальным колебаниям с п собственными часто- “1 и2 “п тами 2Й> 2Й* ”” гИ' Для данной системы (35) можно ввести нормальные координаты yit yZl ... • ••г Уп с помощью линейного преобразования S <fe = 1> 2> п) (9-4-36) h=\ - с такими коэффициентами чтобы привести одновременно обе матрицы [«/&] и [bjh] к диагональному виду (пп. 13.5-5 й 14.8-7); преобразованная система будет иметь простой вид: 5+°%=0 <ft=sl’2’ (э-4-з?) Получающиеся здесь свободные синусоидальные (собственные) колебания Уь = Аь sin (со^+ед) (h—1, 2, ... п) (9.4-38) не влияют одно на другое (разъединены). Нормальные координаты могут иметь непосредственное физическое истолкование. Пример. Для системы dsVt 2 2 , \ &*УЬ 2 2 . \ -^- = — ФоЩ — “ (Щ — Дг); = _ СОоРг — « (02 — 01) нормальными координатами являются yt = ух + уг, Si~yi— yt- При начальных условиях 01 = 1, 0г = О, = = 0 ПРИ ( = ° уравнения длй нормальных координат f^ = _(fi>s-|-2a“)y dt* oV dt* v °- 72 Дают У1 — cos coo t\ Уa = cos V co2 + 2a2 t, н следовательно, , ________• ! У COS + 2<x2 - (Й У COS + 2as + co„ 0c = y (УГ + У2) = соз / ° 2----“zcosi----1—-------- 1,- j/’cos + 2a2 — C0o У cos + 2aa + w0 02 = I (1/1 -1/2) = sin °- ------° t sin --------1.
292 ГЛ, 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.5-1, При а£«< со2 (слабая связь) эти решения описывают так называемое явление резонанса. Рис. 9.5-1. Изоклины, направления поля и некоторые решейия дифференциального урав- нения dy У ’ соответствующего уравнению Ван дер Поля где = у, ц = 1. Показана лишь правая полуплоскость. (Ь) Вынужденные колеба- ния, Соответствующая задача о вы- нужденных колебаниях п S +с«)=(0 • fe=l .(/ = !, 2, .... (9.4-39) может быть решена в принципе мето- дом п. 14.8-10 путем разложения внеш- ней нагрузки fj (/) по собственным функ- циям. Обычно более удобен оператор- ный метод п. 9.4-5. 9.5. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 9.5-1. Вводные замечания. В пп. 9.5-2—9.5-5 вводится общая терминология и наиболее простой метод приближенного решения из теории нелинейных колебаний. Для дальнейшего изучения реко- мендуются [9.6], [9.7]. Многие ме- тоды решения тесно связаны со специфическими приложениями. Метод возмущений нз п. 10.2-7, с часто применяется для упрощения не- линейных задач, особенно в небесной механике. Численные методы решения см. пп. 20.7-4 и 20.7-5. 9J5-2. Представление на фазо- вой плоскости. Графический метод решения (см. также п. 9.2-2). Диф- ференциальное уравнение второго порядка l=/M) (9-5-D равносильно системе уравнений первого порядка а. (9-5-2) Общее решение y=y(t) уравнений (1) или (2) может быть представлено геометрически семей- ством ориентированных фазовых траекторий на фазовой плоскости Оуу. Такое представление полез- нее всего в том случае, когда данная функция f(t, у, у) не содержит явно независимого переменного I. В этом случае система (2) относится к системам вида (/); (9.5-3)
9.5-3. 9.5 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 293 (автономная система) и фазовые траектории удовлетворяют дифференциаль- ному уравнению первого порядка Г=4тН» (9.5-4) dy р (у, у) ’ которое каждой точке (у, у) ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой. Получающееся поле направлений («изображение» дифференциального уравнения на фазовой плоскости) позволяет сделать на бросок у (у) и отсюда у (t) по заданным начальным значениям у и tfi можно начать с построения геометрического места точек постоянного наклона dy/dy=m. (изоклин, рис. 9.5-1). 9.5- 3. Особые точки и предельные циклы (см. также п. 9.5-4). (а) Обыкновенные и особые точки фазе.вой плоское®и. Точка (у, у) фазовой плоскости системы (3) называется обыкновенной точкой, если Р(у, у) и Q(z/, у) дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль» через каждую обыкновенную точку проходит единственная фазовая траектория. Точка (г/0, t/0) называется особой точкой, если Q((/о» Уо)-®- (9.5-5) характеру фазовых траекторий в ия Р (Уо> Уо)=О; Особые точки классифицируются по Рио. 9.5-2. Фазовые траектории в окрестности особых точек шести типов (пп. 9.5-3 я 9.5-4). а> Устойчивый узел; 6) неустойчивый узел; с) устойчивый фокусе d) неустойчивый фокуса е) седло; f) центр. окрестности; наиболее важные типы особых точек изображены на рио. 9.6-2. изически особые точки есть точки покоя (равновесия), допускающие устой- «вые или неустойчивые положения равновесия у=уй (п. 9.5-4).
294 ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.5-4. (Ъ) Периодичес к-и е решения и предельные циклы. Перио- дические решения y=y(t) соответствуют замкнутым фазовым траекториям, и обратно. Замкнутая фазовая траектория С называется, предельным циклом, если она имеет окрестность из обыкновенных точек, в которой все фазовые траектории спиралевидно приближаются к С (устойчивый предельный цикл) Рис. 9.5-3. с) Устойчивый предельный цикл, заключающий неустойчивую особую точку в начале. «Мягкое» самовозбуждение колебаний при произвольно малых начальных зна- чениях у и у. Ь) Устойчивый предельный цикл, заключающий устойчивую особую точку в начале и неустойчивый предельный цикл (показанный пунктиром). «Жесткое» самовоз- буждение колебаний при начальных значениях вне неустойчивого цикла. или удаляются от С (неустойчивый предельный цикл) или приближаются к С с одной стороны и удаляются от нее с другой (полуустойчивый предельный цикл). Примеры см. пп. 9.5-4, с и 9.5-5 (см. также рис. 9.5-3). (с) Индекс Пуанкаре и теоремы Бендиксона. Во многих приложениях представляет интерес существование предельных циклов (устойчивых колебаний), В до- полнение к аналитическому критерию п. 9.5-4 полезна иногда следующая теория. Индексом замкнутой кривой С, состоящей из обыкновенных точек фазовой плоскости, называется число полных оборотов вектора, задающего направление поля, при обходе точкой (у, у) контура С. Индексом изолированной особой точки Р называется индекс любой замкнутой кривой, охватывающей точку Р и не содержащей других особых точек. При этом; 1. Индекс замкнутой кривой С равен сумме индексов всех (изолированных) особых точек, лежащих внутри С; если внутри С все точки обыкновенные, то ее индекс равен нулю. 2. Индекс узла, фокуса или центра равен 1; индекс седла равен —1 (см. рисг-9.5-2). 3. Индекс любой фазовой траектории равен 1; следовательно, предельный цикл должен содержать по 'крайней мере одну особую точку помимо седла (рис. 9.5-3). дР дО Внутри любой области фазовой плоскости, где — 4- -»-v сохраняет знак, сущест- ду ду вуют незамкнутые фазовые траектории (первая теорема Бендиксона). Траектория, кото- рая остается внутри ограниченной области и не приближается ни к какой особой, точке при либо является замкнутой, либо асимптотически приближается к некото- рой замкнутой траектории (вторая теорема Бендиксона). 9.5-4. X Устойчивость решений по Ляпунову *) (см. также пп. 13.6-5 —13.6-7). (а) Решение yi — yi(t) 2t ...4 п) системы обыкновенных дифференци- альных уравнений вида =fi & У1> У* — Уп) (г=1> 2> —• и). (9.5-6) соответствующее начальным условиям yi(t0)=yi0, называется устойчивым по Ляпунову, если для любого в>0 можно найти такое 6=б(в)>.0, что из системы неравенств | х,0—Ую | < 6 будут следовать неравенства | xt (t) —y-t (t) | < в для всех где xi (О— решение, определяемое начальными условиями *) Теория устойчивости по Ляпунову изложена во многих руководствах; ОД.» ра" . пример, [9.1], [9,3], „ "
9.В-4. 9.Б. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 295 х. нл =х,о- Это значит, что малое изменение начальных условий не может вызвать больших изменений решения. Устойчивое решение у^ (t) называется асимптотически устойчивым, если можно указать такое число г, что из неравенств —Ут I < г будут следо- вать соотношения lim ,X;(Z)—yi (t) |=0 (i=l, 2...n). Асимптотически yc- i-»co (гойчивое решение называется асимптотически устойчивым в целом (вполне ус- тойчивым), если г=со, т. е. если при любых начальных условиях х;0 решение ПРИ . я В частности, все решения устойчивой системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами асимптотически устойчивы в целом (все корни характеристического уравнения такой системы имеют отрицатель- ные действительные части, см. п.''9.4-4). ^Устойчивость положения равновесия автономной системы. Пусть (/{/• (У1> №. Уп) (i= 1. 2,.... л) (9.5-7) автономная система дифференциальных уравнений (все функции ft не зависят явно от t) и Q/lo, z/20, ..., Упо)"~какая-либо ее точка покоя, т. е. fi(y10, Угй< •••> 4/ио) = О (1=1, 2, и). Тривиальное «равновесное» решение У1(0=Ую (1=1.2....и), соответствующее данной точке покоя, является асимптотически устойчивым, если линеаризованная система (система первого приближения) п du- f df-\ <9-5-8) k=i устойчива (все частные производные берутся в исследуемой точке покоя (Ую’Узо< •••> Упя))- Это имеет место тогда, когда все корни з характеристического уравнения del[® -збП=0 (9-5-9) L\ yk!o J имеют отрицательные действительные части. Тривиальное решение будет не- устойчивым, если уравнение (9) имеет хотя бы один корень с положительной действительной частью; если нет корней с положительной действительной частью, но среди корней есть чисто мнимые, то трёбуется дополнительное ис- следование (см. п. 13.6-7). В частности, для системы (3) характеристическое уравнение есть ^+ЭД.\ 8+(?₽ЭД._£р ЭД) =0, By By Jo \ ду ду ду ду Jo (9.5-10) где все частные производные берутся в точке покоя (у0, у0). Для уравнения второго порядка y—f (у, у) и точки покоя (у0, у0) (зна- чит> f (Уо, Уо)=О) характеристическое уравнение можно записать, не переходя к системе (3): (Ю) Точка покоя системы (3) есть (см. рис. 9.5-2) z —устойчивый или неустойчивый узел, если оба корня Sj и з2- уравнения действительны и соответственно отрицательны или положительны^ седлоt если sx и з2 действительны и имеют разные знакил
296 ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.S-5. —устойчивый или неустойчивый фокус, если s2 и s2 комплексно- сопря- жены и имеют соответственно отрицательную или положительную действитель- ную -часть. Если корни уравнения (1-0) чисто мнимы, то для линеаризованной системы (точка покоя является центром,. Выяснение характера точки покоя данной не- линейной системы требует, как уже. отмечалось, дополнительного исследования. (9.5-11) 1 (с) Устойчивость периодических решений. Устойчивость периоди- ческого решения у ~ у& (t) =£ 0, у ~ ур (/) системы (3) зависит от устойчивости такого же решения линеаризованной системы dt>y ар ; ар —г = —е»+ --вд, dt ду ду dCy dQ , dt ду ду которой удовлетворяют малые вариации (п. 11.4-1) Су, Су периодического решения. (Здесь все частные производные берутся в точке (у? (0, Ур^)') Это— система линей- ных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, имеющими тот же период Г, что и данное решение; уравнения (11) допускают два линейно независимых ^решения вида ' Су = hit (t), Су = h12 (0; = № h2i (0, Су = е^ h22 (0< где h-k (0 — периодические функции, а (9.5-12) Л = (9.5-13) dt. Периодическое решение устойчиво при К<0 и неустойчиво при К > 0; случай X = 0 тре- бует дополнительного исследования. Пример. Дифференциальное уравнение Ван дер Поля ^- + д-ц (1 -J,2) ^ = 0 (ц>0) (9.5-14) "Имеет устойчивый предельный цикл в окрестности приближенно периодического решения О') 2 cosу ~ УрМХ^'- 2 sin t и К = — у, [1 + О (pt)] (см. также п. 9.5-5)' 9.5-5. Приближенный метод Крылова и Боголюбова. (а) П ервое приближение. Эквивалентная регуляриза- ция. Решение дифференциального уравнения вида , ^+o^y + llf^y, g=0, (9.5-15) где р — малая постоянная, так что последний член представляет малое не- линейное возмущение, ищут в виде У=г (t) cosqi(f). Пренебрегая ошибкой порядка ра, находим «амплитуду» г (t) и «полную фазу» <р (/) из дифференциальных уравнений первого порядка -- 2л § Кг cos sin sin й! (г), о 2л ® + 2^ j f(r CQS X, — го sin X) cos X dX=V а2 (г), о (9.5-16) (9.5-17) При данном начальном значении г(О)=го решение аквивалентного ли- нейного дифференциального уравнения ^+а1(го)^+аг(г0)у=0 . (9.5-10
9.В-в. 9 5. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 297 аппроксимирует решение данного дифференциального уравнения (15) с ошиб- кой порядка р2. Для периодического решения типа предельного цикла (п. 9;5-3, Ь) приближенная амплитуда находится из «1(rL) = 0, а круговая частота приближенно равна j/"а2 (rL}. Этот предельный цикл устойчив, если >0, и неустойчив, если г=г^ dai состояния покоя должно быть (0) < 0, <0. Для самовозбуждения из Указанное первое приближение представляет интерес в связи с периодическими нелинейными колебаниями. В таких случаях эквивалентное линейное дифференциальное уравнение (18) дает то же накопление и рассеяние энергии по циклу, что и данное не- линейное уравнение (15). Поэтому эквивалентное линейное уравнение может применяться в исследованиях явления нелинейного резонанса.. (Ь) Улучшенное первое приближение. Улучшенное приближение пер* вого порядка дается формулой Z ОО ч у = г (0 cos <р (0 + ~ [“ft (r) cos + ₽* fr> sin ktt> <Z).l f <9-5'19) *=2 ' J где г (t) и y (0 определяются из уравнений (17)* а 2л ah (г) ~ —77-^-----77 t f (г cos к, — гео sin к) cos kk dk (А = 0, 2, 3* . , л л (я2 — Ц J О 2л В. (О == •—777-----гг ( f (Г cos к, — гео sin Z) sin kk dk (A = 2, 3, . . • « Л (я2 •— 1) J 0 ) (9.5-20) Пример. В случае дифференциального уравнения Ван дер Поля (14) уравнения (17) дают При г = г^ = 2 имеется устойчивый предельный цикл. Все коэффициенты (20) исчезают, за исключением р3; улучшенное первое приближение есть г3 ((} у = Г(0 cos (/ -Ь <р0) — Ji —si п 3 (/ -J- <р0). (9.5-22) Приближение Крылова — Боголюбова (19) есть улучшение более простого метода Ван дер Поля, который строил приближения вида у ~ а (/)-cos cat 4- b (0 sin о/. Метод Крылова — Боголюбова может быть распространен на-случай периодической внешней нагрузки в правой части дифференциального уравнения (15) (нелинейные вы- нужденные колебания, субгармонический резонанс). 9-5-6. Интеграл живых сил. Дифференциальное уравнение вида = f <М. (9.5-23) представляющее значительный интерес в динамике, может быть приведено к уравнению первого порядка умножением на dyjdt и интегрированием^ (^)2 = 2ff (У)^ + С4. (9.5-24, / = ( — dv +£.. (9.5-25)
298 ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Э.в-1. 9.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПФАФФА 9.6-1.- Дифференциальные уравнения Пфаффа (см. также пп. 3.1-16 и 17.2-2). Дифференциальное уравнение Пфаффа Р(х, у, z) dx+Q (х, у, z)dy-\-R(x, у, z)dz=O (9.6-1) с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами Р/ Qf R может быть ис- толковано геометрически как условие ортогональности интегральных кривых (с касательным вектором (dx, dy, dz)) заданному полю направлений (Р, Q, R). Чтобы найти интегральную кривую, лежащую на произвольной (регулярной) поверхности f(x, у, z)=0, (9.6-2) надо решить обыкновенное дифференциальное’ уравнение, получающееся при исключении г и dz из уравнения (1) и df(x, у, г)=0. При этом интеграль- ные кривые будут описываться двумя уравнениями f (х, у, г)=0, g (х, у, г, С) =0( где С—постоянная интегрирования. 9.6-2. Вполне нтегрируемый случай (см. также п. 9.2-4). Дифференциаль- ное уравнение Пфаффа (1) вполне интегрируемо, если существует интегриру- ющий множитель [Х = [т (х, у, г) такой, что p (Р dx-)-Qdy-i-R dz) есть полный дифференциал d<p (х, у, е); это имеет место тогда и только тогда, когда ' (9.6-3) В этом случае каждая линия на интегральной поверхности ф(х, у, z)=C, (9.6-4) ортогональной семейству кривых, описываемых системой р Q—R* (9.6-5) является интегральной кривой. Отсюда следует, что решения, найденные ме- тодом п. 9.6-1 по подходящим образом выбранному семейству поверхностей (обычно плоскостей) f(x, у, z)=f(x, у,- г,’ А)= 0, (9.6-6) лежат на некоторой интегральной поверхности (4), получающейся путем ис- ключения X из решения f (х, у, z; Х)=0, g (х, у, г, С; Х)=0 (метод Майера). Другой метод нахождения интегральной поверхности (4): считая г посто- янным, находят решение обыкновенного дифференциального уравнения Р dxr)- Qdy=0 в виде и (х, у, z)—К—0. Тогда интегральная поверхность описывается уравнением ф (х, у, г) = и (х, у, г)—ф (г)=С,- (9.6-7) где ф(г)—решение обыкновенного дифференциального уравнения^ получающе- гося путем исключения х и у из 1 ди I да 1 (да гГф\ „ „ _ Р дх Q ду R \dz dz)‘ (9.6-8) Заметим, что общее значение отношения в (8) есть упомянутый интегрирую- щий множитель [г (х, у, г). Приложения в термодинамике? адиабатическое. условие 6?=0 имеет вид (1), ин- тегрирующим множителем служит 1/7\ где Г — абсолютная температура, bq/Т — (пол- ный) дифференциал энтропии.
ГЛАВА 10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ уравнения с частными производными 10.1. введение и обзор 10 .1.1. Вводные замечания. Пункты 10.2-1—10.2-71 посвящены дифферен- циальным уравнениям с частными производными первого порядка и их геомет- рической интерпретации и включают элементы теории Гамильтона—Якоби канонических уравнений. , В пп. 10.3-1—10.3-4 изучаются характеристики и краевые задачи для ги- перболических, параболических и эллиптических уравнений второго порядка. В- пп. 10.4-1—10.5-4 представлены решения наиболее важных линейных дифференциальных уравнений математической физики (уравнение теплопровод- ности, волновое уравнение и т. д.) с эвристической точки зрения и простей- шие применения метода интегральных преобразований. Более усложненная теория линейных краевых задач и проблемы собственных значений описыва- ются в гл. 15. 10 .1-2. Дифференциальные уравнения с частными производными (см. так- же п. 9.1-2). (а) Дифференциальное уравнение с частными производными r-го порядка есть функциональное уравнение вида _ [ ЙФ ЙФ ЙФ. Й=Ф А F xSi •••» xril йХ1* йл:а”"’йхл' й*2 1 ’** J 0’ (10.1-1) включающее по меньшей мере одну частную производную r-го порядка от неизвестной функции Ф (Xjt x2l ..., хп) двух или более независимых перемен- ных х1э х2, ..., хп. Функция Ф (Xi, х2, ...,х„), удовлетворяющая данному, уравнению (1) в не- которой области точек (х^, х2, ..., хп), называется решением или интегралом Дифференциального уравнения с частными производными" Общее решение (общий интеграл) данного уравнения r-го порядка (1) содержит, как правило, произвольные функции. Выделение частных интегра- лов производится путем задания соответствующих дополнительных условий,; т. е. условий, налагаемых на функцию Фи/ или ее производные, на кривой, поверхности и т. д. в пространстве точек (x15 х2, ..., хп) (краевые условия, начальные условия). Многие дифференциальные уравнения с частными производными допускают дополнительные решения (особые интегралы)/ которые не могут быть полу- чены из общего интеграла ни при каком выборе произвольных функций (п. 10.2-1, с). (Ь) Дифференциальное уравнение с частными производными называется однородным, если произведение аФ любой постоянной а на решение Ф также является решением. Дифференциальное уравнение (1) называется линейным, если А—-линейная Функция от Ф и ее производных (см. также пп. 10.4-1 и 10.4-2). (с) Система дифференциальных уравнений с частными про- “Зводиыыи. Условия совместности. Система дифференциальных урав- иений и==*.2.Ч0-1-2)
зоо ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.1-3. содержит несколько неизвестных функций (х^ х2, ..., xnj, Ф2 (Хр х^, ... * хл), ... и их частные производные. Каждое дифференциальное уравнение (1) или систему дифференциальных уравнений (2) можно свести к системе дифференциальных уравнений первоео порядка, принимая подходящие производные за новые неизвестные функции (см. также п. 9.1-3). Система дифференциальных уравнений (2) допускает решение Фъ Ф2, ... только тогда, когда заданные функции F- и их производные удовлетворяют условиям совмест- ности (условиям интегрируемости), которые гарантируют, что дифференцирование двух пли более уравнений (2) приводит к совпадению производных высшего порядка от функ- ций Ф.в Условия совместности получаются исключением функций Ф^ и их производных из последовательности уравнений, полученных дифференцированием данных дифференци- альных уравнений системы (2). Пример. Дана система <ЗФ , г , V п дФ . г . . п 4" fi [Xi, Хв) — 0, /в (хъ х2) — 0^ ОХ-ц ОХ2 Дифференцируя, получим э^ф _ _ oh а*Ф _ _ afэ dxi дхв “ dXa дхв dxt “ дх/ так что данная Система уравнений совместна, (d) Существование решений. dfi д!я если -к™ = . дх2 0X1 , , „ , . Как для обыкновенных дифференциальных уравнений (п. 9.1-4). фактическое существование и единственность решений для данного дифференциального уравнения с частными производными илн системы таких уравнений требуют доказательства в каждом случае, даже если условия совместности соблюдаются. См. [10.5], где приведены некоторые теоремы существования. 10.1-3. Решение дифференциальных уравнений с частными производными; разделение переменных (см. также пп. 10.4-2—10.4-9). Во многих важных случаях попытка найти решение в виде Ф=Ф(Хр х2, , хга) == ф! (Х1) фо (-«2, Xs.хп) (10.1-3) позволяет записать данное дифференциальное уравнение (1) в разделенной форме "<(««. Я5- ».....& •••)• Неизвестные функции <j>t (х0 и ф0 (х2, х3, ..., хп) должны удовлетворять диф- ференциальным уравнениям А(*г. Ф1, ...)=С. (10.1 4а) Р2(х2, х3, .... х„;.ф0; g-, ...)^С, ' (10.1-46) где С—константа разделения, которая определяется в соответствии с задан- ными краевыми условиями или другими присоединенными условиями. Заме- тим, что уравнение (4а)—обыкновенное дифференциальное уравнение относи- тельно неизвестной функции ф! (Xj); для уравнения (46) иногда возможно повторение процесса разделения. Разделение переменных с успехом применяется при решении многих ли- нейных однородных уравнений с частными производными математической физики; иногда разделение становится возможным после соответствующей замены переменных (в качестве примеров см. пп. 10.4-3—10.4-9).
10.2-1. 10.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 301 10.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 10.2-1. ^Уравнения с двумя независимыми переменными. Геометрическая интерпретация (см. также пп. 9.2-2 и 17.3-11). (а) Возьмем дифференциальное уравнение с частными производными пер- вого порядка относительно неизвестной функции z=z(x, у)1 F (х, у, г, р, q) = 0 (p = g, q=^, ' (10.2-1) где данная функция F дважды непрерывно дифференцируема, и рассмотрим х, и, г как декартовы прямоугольные координаты. Тогда каждое решение z = ==z(x, у) уравнения (1) представляет поверхность (интегральную поверхность). Для любой интегральной поверхности, проходящей через фиксированную точку М (х, у, z), уравнение касатель- ной плоскости имеет вид Z—z=p(X — x) + q(Y~ у). где р и g связаны уравнением (1), в котором х, у и z рассматриваются как постоянные. Огибающей семейства - ка- сательных плоскостей является конус (коиус Монжа). Касательная плоскость к любой интегральной поверхности ка- сается также конуса Монжа вдоль од- ной из его образующих. Линии на интегральной' поверхности, касающиеся в каждой своей точке соответствующей образующей, называются характеристи- ческими линиями или характеристиками. Вдоль характеристик выполняются со- отношения Рис. 10.2-1. Начальная полоса и одна характеристическая полоса на инте- гральной поверхности. / — конус Мон- жа в точке Ро. dx dy dz ^P~Fq~PFP + 0F9‘ Последовательность значений (x, у, z, р, q), как говорят, описывает плоский элемент, связывающий угловые коэффициенты р и q касательной пло- скости с точкой (х, у, г). Данное уравнение (1) определяет поле плоских элементов (х, у, z, р, q), касательных к конусам Монжа (рис. 10.2-1). Если Fp и Fq явно не зависят от р и q (квазилинейное уравнение первого порядка), то каждый конус Монжа вырождается в прямую (ось Монжа). (Ь) Полосы и уравнения характеристик. Совокупность дифференцируемых функций x=x(t), y=y(t), z=z(t), p = p(t), .q = q(t) (10.2-2) представляет плоские элементы (точки и касательные плоскости) вдоль полосы регулярной поверхности, если функции (2) удовлетворяют условию полосы dz dx . du dt=Pdt+4-3i- Для данного уравнения с частными производными (1) каждая совокуп- ность функций (2), удовлетворяющая системе обыкновенных дифференциаль- ных уравнений dt^PFp+qFg, ~=Fg, ^—Fq, 1 (характеристические урав- ар > нения, связанные с урав- (10.2-3) ^-(p^-f-FJ, ^=-(^+fp) J нением (l))t
302 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.2-2. описывает вместе с уравнением (1) характеристическую полосу. Характери- стическая полоса касается конуса Монжа в каждой точке (x, yt z)j соответ- ствующая кривая *=*(0. У—уВ), z=z(f) лежит на интегральной поверхности и является характеристикой. Интеграль- ные поверхности могут касаться друг друга только вдоль характеристик. (с) Особые интегралы (см. также пп. 9.2-2,Ь, 10.1-2,а и 10.2-3,с). Решения z — Z (х, у) уравнения (1), полученные исключением р и q из уравнений дЕ дЕ F(x. у, г, р. в)=0. ^-=0, ^ = 0, (10.2-4) являются особыми интегралами. Они не удовлетворяют условию fp + f9^0 и не могут быть получены из общего интеграла уравнения (1). 10.2-2. Задача с начальными условиями (задача Коши). Требуется найти решение z—z(x, у) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (гра- ничным условиям типа Коши) х=х0(т), у=у0(т:), z=z0(t), р=р0(т), (Ю.2-5а) где * /4*0 СО. Уо СО. 20(т), Ро(т), <7оС01 = 0, 1 dza__ dx»i„ dVo. 1 (10.2-56) —"o й> ) эти условия задают начальную полосу, т. е. точки и касательные плоскости к искомой интегральной поверхности вдоль регулярной кривой Со; проекция Со на плоскость Оху есть простая кривая (п. 3.1/13). Чт*обы решить задачу Коши, надо найти решение x^=x(t, т), y=y(t, т), z = z(6, т), p—p(t, т), q=q(t, т) (10.2-6) системы характеристических уравнений (3), удовлетворяющее начальным усло- виям (5) при 6=0. Результирующие функции (6) удовлетворяют уравнению (1); решение г—г(х, у) или в неявном виде <р(х, у, z)=0 находим, исключая параметры бит. Задача с начальными условиями имеет единственное решение, если из данных на- чальных условий (5) следует р 4о_р ^.±0- р.<*- У).| дьо1. (102-7) Р dx Q dx [д (/, х) J 1 } В противном случае задача имеет решение только тоеда, когда данные начальные усло- вия (Б) описывают характеристическую полосу: при этом имеется бесчисленное множе- ство решений. 5К При постановке задачи можно было бы сначала считать заданной только началь- ную кривую Со, а величины р0 н q0 определить нз двух соотношений - (56). Если эти уравнения имеют несколько решений, то кривая Со может принадлежать различным начальным полосам, для каждой из которых задача Коши решается отдельно. Пример. Найти решение уравиення pq — г =* 0, удовлетворяющее начальным условиям: х0 ~ 1, у0 = т, z0=t8(t. е. найти интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую). Система уравнений (3) имеет вид dx dy dz _ dp do <Г2и = 2г' = = Ее решение, принимающее при 6 = 0 значения (х0, ув, га, р0, у0)} р ~ Ров , у = Уов f х ~ ZqC^ , х = q^e 4- хо — Уо. У ~ Ptf? 4- Уч Ро. Начальные значения р0 и Уо связаны условиями рау0 = тг и уа = 2т, откува уа = 2т, Ро=>т/2. Следовательно, х = 2т:(ее— 1) 4- 1, р = ^(/—1)+т, 2=tsA
10.2-8. 10.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА' 803 Здесь = 2т °- Исключая параметры t и т, получаем единственное реше- (4г/ + х — I)2 вне г = -----1в Если ищется решение Данного уравиеиия pq — z = 0, удовлетворяющее начальным условиям ха — х, г/о = т2, z0 = T8, то уравнения (55) принимают вид pQqQ = т3 и р0 4- I 2тд„ = Зт2 и имеют две системы решений р' = т2, q' = т н р" = 2т2, q" —т/Ъ. Соответ- ственно этому надлежит решать две .задачи Коши. Для первой из иих х — хе*, у = tVj, г = tVZ, откуда z = тр. Для второй х — х{е* + 1)/2, р = т2 (2е — 1), г = т3е . В обоих случаях-условие единственности выполняется.X 10.2- 3. Полные интегралы. Общие, частные, особые интегралы; решения характеристических уравнений. (а) Полный интеграл уравнения с частными производными первого по- рядка (1) есть двупараметрическое семейство решений г=Ф(х, у, К р) ^01 (Ю.2-8) v а \дхд/.дуди дудЪдхдц Д v ' причем функция Ф и ее производные дФ - I п , йФ . , , -^=P(^, К, X, р)=р, ^- = <7(х, у, к, р) = <? в некоторой области пространства х, у, К, р должны иметь непрерывные •частные производные по х, у, К, р. Данная последовательность значений (х, у, z, р, у), удовлетворяющая уравнению (1), должна определять единствен- ные значения параметров X, р. Полный интеграл (8) производит общий интеграл, если ввести произ- вольную функцию р=р(Х) и исключить X из уравнений г-Ф[х, у, X, Р(Х)]=О, + (10.2-9) (огибающая однопараметрического семейства интегральных поверхностей,, п. 17.3-11). (Ь) П олучение частных интегралов из общего. Для получения частного интеграла, соответствующего 'заданным начальным усло- виям (5), надо найти соответствующую функцию р (X), входящую в общий интеграл, определенный в п. 10.2-3,а. Функцию р (X) находим, исключая х, у и т из соотношений —%"’ Л, Ю=ро(т)> W.=go(T)t х=х0(т), y=j/0(T). (10.2-10) (с) Отыскание особых интегралов. Исключая К н р, из уравнений z-Фи. У, л, Ю=о, аФ(х г/. К и)=0> . (1О2.П ОЛ ор можно получить особый интеграл (огибающую двупараметрнческого семейства интег- ральных поверхностей). (d) р ешение характеристических уравнений. Каждый полный интеграл (8) уравнения с частными производными -первого порядка (1) производит решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (3). Функции x=x(f), y=y(t) получаются из соотношений дФ(х, у, Л, ц)^ дФ(х, у,}., (10.2-12) где X, р и Р—произвольные постоянные интегрирования; z==z(/), р^р(1), получаются подстановкой x=x(t, X, р, ₽) и у—у (t, К, р, ₽) в ра- венства „ Л. , а , дФ(х, у, Л, ц) „ 5Ф(х, г/. Л, ц) о iqx г=Ф(^> £(1^р)1 Р=----------ёх х
304 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.2-4, (е) Специальные случаи. Табл. 10.2-1 содержит полные интег- ралы для некоторых часто встречающихся типов уравнений с частными про- изводными первого порядка и позволяет применять методы п. 10.2-3 ко мно- гим задачам. Таблица 10.2-1 Полные интегралы для некоторых специальных типов уравнений с частными производными первого порядка *) № Тип уравнения Полный, интеграл 2 = Ф (х. у, К р) 1 х, у, z яв£о..не со- держатся’ в уравне- нии Р (Р. 0=0 г = Кх + Х'р -р ц, где F (X, 7/) = 0 2a • Содержится только одна из переменных А У, * Р = f (*. 0. <7 = f (У. Р) . г = J f (л, 7J dx + Ку + ц, г — J f (у, М dy + Kx + n 2b Р = f (2, 0 С dz * + М = ц + щ где фр. есть решение уравнения Р — f (г- Кр) 2c Р = f (21 3 V Переменные разде- лены Fl {X, Р) = Р-г [у, q} (=Л, п. 10.1-3) ИЛИ Р — fl {X. К), У === fz {у, М г ~ J ft (х. М dx + + f fz (У. М dy -Ь и 4 Обобщенное уравне- ние Клеро (см. так- же п. 9.2-4) г = рх + уу + f (р, у) г = Кх + р.у + f {К, ц) *) Многие другие специальные типы уравнений приведены в [10.8] 10.2-4. Уравнения с п независимыми переменными. (а) Задача с начальными условиями (см. также пп. 10.2-1 и 10.2-2). Требуется найти решение 2==Ф(Х1( Х2...Хпу уравнении с частными производными первого порядка F Uii хг, г; рь р2, .... р„)=0 [п дг . . о V1 ( dF \3 / л Pi~ix;' l~ l’ 21 "•* ”• Zj (apj * A=1' (10.2-14)
10.2-4. 10.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 305 удовлетворяющее начальным условиям 2=го (Ti, т2< •••> Tn-i)> xi—xfa (Ti> т2>, ••_•> 1 (10 2 15а) Pl~Pio (т1> т2> ••• > тп-1) (1—1> 2, ..., П), J где система уравнений xi~xi0 (т1г т2, t„_j) представляет гиперповерх- ность, не имеющую кратных точек, и F (^I0> ^20* • • • • хПО> г0» Р1Я< Р20> • • • > Рпо) == дгп ж-i дх.„ = S ^-4 (/=»’2.......«-1)- (10-2-15fc) 1 6=1 1 Чтобы получить соотношение меаду х2, ...» хп и zt надо, найти решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений dz v1 ^xk &xi &F dt Xj dt ’ dt др£ dt dx^ dz k ~ 1 (10.2-16) (( = 1, 2, , n) (характеристические уравнения), удовлетворяющее началь- ным условиям (15) при (=0, и исключить п параметров Tj, т2 ..., тл-1 и t. *Как и в случае п=2 (см. п. 10.2-2),’ можно в качестве начальных условий задать только функции z0 и х;0, а функции pi0 определить из урав- нений (156).* Задача с начальными условиями имеет единственное решение, если данные началь- ные условия (15) приводят к тому, что dF dF dF др1 бр2 - дрп dxi дх2 дхп ^n-l dTn-i " 5тп-1 (Ь) Полные интегралы и решение характеристических уравнений (см. также п. 10.2-3). Полный интеграл дифференциального уравнения (14) есть «-параметрическое семейство решений 2=Ф(х1, *2, ..., хп; alt a2, ..., a„) {det причем функция Ф и ее производные [а^У *0}’ (10-2-18> §^ = Pi(*l. *2, ...» ХП’ «1. «2, — . «п) должны иметь непрерывные частные производные по всем х/ и а/. Данная последовательность значений (xj, х2, ..., х„; г; рг, рг, ..., р„), удовлетво- ряющая уравнению (14),- должна определять единственные значения парамет- ров а,, а2, ..., а„. Полный интеграл (18) производит общий интеграл, если ввести п произ- вольных функций ak=ak(‘k1, Х2, .... XB_i) (£=1, 2, п) и исключить п—1 параметров X/ из п уравнений г=Ф[Х1, х2......х„; ai(Xji, Xg, , X„_i), 1 otjj (Xi, X2, ^ra--i), ..., йв (^-1> ^2» 1)1» I n я } (10.2-19) v-, дФ да, . I V 5— = 0 (7=1, 2Х .... П — 1). I Х-J да, дл., . '• • ’ 1 1 ’ I Л=1 * f }
306 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.2-6. Каждый полный интеграл (18) производит решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений (16). Функции Xi—Xi(t) (1=1, 2, .... п) полу- чим из соотношений £=IW (fc=l, 2( и—1), ^=1* (10.2-20) где Oj, a2, ...» a„; f2, ..., p„_x—(2n—1) произвольных постоянных интегрирования; функции z — z(f) и pi=pi(f) (1=1, 2, ..., и) найдем, под- ставляя Xi=xi(ti аг, a2, .... an\ px, p2, ..., Pn_i) в выражения 2=Ф(х1, x2, .... xn; alt a2, ...» a„), Pi=|^ (1=1, 2, ..., n). (с) Особый интеграл (см. также пп. 10.2-1,с и 10.2-3,с). Особый интеграл дифференциального уравнения (14) есть решение г — Ф (х*, х2, ...• хп), получающееся исключением р^ из п 4- 1 уравнения F(XV Х2....Хп- г- Рр ₽2......₽П)=°- 1 ^ = 0 (/-1.2..............................<10-2-21> °pi J Из данного полного интегралз особый интеграл получается, если исключить параметры ар а2, ..., ап из «4- I уравнения z - Ф (*г х„ .... х„; ах, а2.ап) = 0, 10.2-5. Преобразования соприкосновения (см. также п. 9.2-3,Ь). Некоторые задачи, содержащие уравнения с частными производными первого порядка, могут быть упрощены введением дважды дифференцируемого преобразования Xi=Xi(xi, х2.......хп; г; рг, р2, .... р„), P=Pi(xlt х2, .... хп\ г; рх, р2, ..... р„), z = z (хг, х2, .... хп-, г; рх, ....рп) где д(х1-Х2....ХП’ РУ Р2.........Рп) , г, д (xv Х2, ..., хп; г; р±, Р2.рп) е 1 (1=1, 2, ..., (10.2-23) выбранного таким образом, что и / п \ dz— 2 PkdXk=8(xi, х2, ...» х„; z; рь p2t ...» pn)ldz— 2 Pkdxk] k=i \ k=L / [g(*i, x2,...f, xn; z; pi, ps, pn)=#OJ. ' (10.2-24) П I При этом условии полный дифференциал dz= 2 Pkdxk преобразуется также " вг в полный дифференциал dz= V p^dx^,, где Pi—-=- (1 = 1, ,,,, и). дх1 Такое преобразование называется преобразованием соприкосновения; пре- образование соприкосновения необходимо сохраняет каждое условие полосы и будет также сохранять касание регулярных элементов поверхности для п=2 (см. также и. 10.2-1).
10.2-е. 110.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 307 Преобразование соприкосновения (23) преобразует данное дифференци- альное уравнение (14) в новое дифференциальное уравнение •••» Р1’ Р2’ Pn)=°F (xi> x2i. •••> xrA zi Ph Pit <"г Pn)=^ !pi=^-, 1=1, 2, ..., n\ (10.2-26) \ dxi / с решениями z — z(Xi, .... X„). Иногда случается, что новое уравнение (25) не содержит pt и не является тогда дифференциальным уравнением. Пример, п-мерное преобразование Лежандра (см. также п. 9.2-3,Ь и 11.6-8)1 xi = pi’ pi ~ xi 2> ••• • n>. n * = 2 Pkxk~z + C‘ fe = l (10.2-26) 10.2-6. Канонические уравнения и канонические преобразования. (а) Канонические уравнения. Для уравнения с частными про- изводными первого порядка G(xlt х%, •• > хп", pi, р2, ..., Рл) = 0 /°=1». 2S ...j nj, (10.2-27) которое явно не содержит искомую функцию Z, характеристические уравне- ния (16) имеют особенно простой вид п . £-£р»& (10-2-28) /г=1 dxt dG dpj dG и dT = 5pP ~dt=~'dxi (t==1> 2> •••» n) (10.2-29) (канонические уравнения). Замечание. Решение каждого дифференциального уравнения (14) может быть сведено к решению дифференциального уравнения простого вида (27) относительно n-f-1 независимых переменных х2, ..., хп, г; каждое решение “ = “(*!• Х2.Хп- г) Дифференциального уравнения (ди ди ди \ дх, дх. дх 1 ХГ х2..хп‘ 25 '~~дй~' ~ди"’ •••• ёп" 1=0 (10.2-30) дг дг дг ' производит соответствующее решение z = z(Xp х2, ..., яи) данного уравнения (14), такое, что и (лх, х2..xni г) = 0. (Ь)« Канонические преобразования (см. также п. 11.6-8). Дважды непрерывно дифференцируемое преобразование xi=xi(xi, xz, ) хп\ pi, p%,,,,f Рл)Л g Р/= Pi (^i> х2,... । хп~, pi, рг,... j рп) J (10.2-31) где Д= d(xt. Xi..... хп. pt, рг, , Рп) д * Xfp pi, pzt t
308 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.2-6. называется каноническим преобразованием, если оио преобразует канонические уравнения (29) в новые канонические уравнения =~ 1рГ G ~х* -1 ~Хп; Р1’ - р^‘ dPi д _ _ _ д~ Р' (Х1> Х^,..., Хп~, рг, PZ, , рп) (1=1, 2, п). (10.2-32) Это должно иметь место для произвольной' дважды дифференцируемой функции G(Xj, х2......хп; plf р2,.--, рп)- Преобразование (29) будет канони- п _ ческим, если выражение £ (рк dxk — pk dxk) будет полным диффереициа- лом для производящей функции й = й (xlt х2,.... хп; р1г р2.............. рп), <г. е. п _ , ' У (Pk dxk— Pk dxk) =dti*) (10.2-33) fe=i (имеется в виду, что pfc и xk выражены по формулам (31)). При соблюдении условия (33) функция G (хг, х2,..., х„; plt р2,..., рп) получается из функции G путем подстановки вместо X} и р,- их выражений через xt и р/. Каноническое преобразование может быть выражено в терминах произво- дящей функции й (хг, х2,..., хп; р1г р2,..., рп); последняя часто задается как функция Xi и х, или рг и р;. В частности, каждая, дважды дифференци- руемая функция fi=y(xlt х2,..., хп; xlt хг,..., хп) определяет каноническое преобразование такое, что п 2 (Pkdxk~ Pkdxk)=dV k=i aw - aw ИЛИ. Pi-~^T>. Pl==~~d^ (< = 1,2..............................n); (10.2-34) чтобы получить формулы (31), нужно от независимых переменных Х{ и Xi пе- рейти К Xi и pi. dpi dpk Из формулы (34) следует, что -ч— =------=—. Если записать соотноше- °xk dxi иие (34) в виде п 2 1 (Pk dxk -Ь xk dpk) = d f?+£ xkpk),. то получатся формулы ^xi gPk . __ == —_e Аналогично получаются еще две группы oxk dpf формул , dxk dpi dxk ~^Pk!=~~d^" ~dPk~ dxt (i, й = 1, 2,..., n). *) Ииргдз такие канонические преобразования называют униеалентными-, в даль- нейшем речь идет только о них.. Более общие канонические преобразования рассмотрены в книге [1U.8J.
10.2-6. 10.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 309 Отметим, что для'рассматриваемого канонического преобразования определитель матрицы Як°би Д=1. - Канонические преобразования (31) образуют группу (см. также п. 12.2-8). Заданное дифференциальное уравнение первого порядка (27) с канониче- скими уравнениями (29), новыми каноническими уравнениями (32) связано с дифференциальным уравнением С (хь х2....хп; ри р2.....PB) = Q (р,= i = l, 2...............п). (10.2-35) Решение z = z(xlt х2,..., хп) преобразованного уравнения (35) связано с решением z=z(xx, х2, .... хп) исходного уравнения (27) соотношением z~=z —й (*!, х2, ..., хп; р^ р2,..., рп). (10.2-36) Уравнения (31) и (36) совместно составляют преобразование прикосно- вения (п. 10.2-5). (с) «Скобки Пуассона. Данная пара дважды непрерывно дифферен- цируемых функций g (xlf х2.хп-, р^ ....рп), h (xlt.x2,... ,хп\ ръ р2.рп) определяет скобку Пуассона п и. ч-S (<<-£.£)• fc =1 Скобки Пуассона обладают следующими свойствами: [h, g]=— [g, h], [g, g] = 0, [g, const]=0, (10.2-38) [gi+g2> 4==[gi. M + [g2. h], lgig2, /i]=g2[gi, /i]+gi[g2, Л], (10.2-39) [/, [g, A]] + [g, [h, /]] + [h, [/, g]]=0 (тождество Пуассона). (10.2-40) Заметим, что из [f, g]=0, [/, А]=0 следует [g, /г] = 0. Дано преобразование (31) и пусть g(xi, х2...хп, ръ р2.....Pn)=g(Xi. х2, ...» хп; Pi, р2....Рп),. h(xlt х2,.... хп; pv р2, ...t pn)=fi(Xi, х2, .... хп; pt, рг, .... рв) И п (10.2-41) 2 У.5** dPkj A=1 (Первые два равенства означают, что функции g и h получены из функций gull иутем замены переменных хг, Pt через х,, р, с помощью преобразования, обрат- ного к преобразованию (31).) Данное преобразование (31) есть каноническое преобразование тогда и только тогда, когда оно сохраняет скобки Пуассона, т. е. если [g, AJ = [g, Л] для всех дважды непрерывно дифференцируемых функций g, h. Любое каноническое преобразование (31) удовлетворяет условиям .’ [*/. = Di- Pfe]^0, _ ( 0, если i^k, - PfcJ | е(у]и (i, ft = 1,2.......n). (10.2-42) Условия (42) необходимы и достаточны для того, чтобы преобразова- ние (31) было каноническим.
310 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.2-7. Если [g, й]= 1, то функции g и h называются канонически сопряженными; в частности, из (42) следует, что любая пара функций xk, pp(k—\, 2,..., п) является канонически сопряженной. Часто приходится рассматривать преоб- разование вида (31), зависящее от параметра t: Xi = Xi(t; х1г х2,..., хп\ pt, р2,... г рп), Pi=\Pl (t', Xi, Х2, ... , Хп\ Pi, р2,-.., Рп)- (10.2-43) Это преобразование будет каноническим (т. е. сохраняющим канонические уравнения (29), если соотношения (42) выполняются для любого значения t (см. п. 10.2-7, с)). Отметим, что если xi и pi являются функциями параметра t, так что совокупность канонических уравнений (29) удовлетворяется, то для каждой дифференцируемой функции f(t', х±, Хр ...,хп; PpPp—i Рп) имеем: (Ю.2-44) В частности, из =0 и [/, G] = 0 следует, что f=const. 10.2-7. Уравнение Гамильтона— Якоби. Решение канонических уравнений. (а) Важным приложением теории уравнений с частными производными первого порядка является решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые могут быть записаны как канонические уравнения, свя- занные с дифференциальным уравнением специального вида р+Н (х, Xi, хр ... , Хп, Pi, рр ...м Рп)=0» (10.2-45) (р=тг4 i=l, 2,..., п) (уравнение Гамильтона—Якоби), их их^ Заметим, что уравнение содержит п-|-1 независимых переменных х и хр Из уравнений (29) следует, что dx/d/=l; это можно записать как x=t (принимая х=0 для Z=0); 2п канонических уравнений (29) для X} и р, имеют вид *) — = (t, Xi, х2.....хп; Pi, Pzt —i Pn)t (10.2-46) H (t, xp x2, ..., x„; Pi, p2, .... Рп) (Л = 1, 2t ...j n). Система обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющая приведен- ную форму (46), играет важную роль в вариационном исчислении (п. 11. 6-8),, а также в аналитической динамике и оптике. Если удалось найти п-параметрическое решение г=Ф(4 Xi, х2, ..., хп‘, ар ар ...t ап) (10.2-47) уравнения Гамилыпона—Якоби (45), для которого det J 0/ т° реше- ние Xi—Xi(t), Pi=Pi(f) (i = l, 2, ..., п) системы 2n обыкновенных дифферент циальных уравнений (46) получается из соотношений да1 Ф(^ Xp хр ...j хп> ар ag, ..., осв) = Р/ (i = 18 2t ri)t (10.2-48) еде и pz суть 2n постоянных интегрирования^ после отыскания функции Xi(t, ар а2,..., а„; Pi, Ра, •••! Рп) функции pt находятся подстановкой х, в соотношения р, — дФ1дх1 (7 = 1, 2, .... п) (см. также п. 10.2-4г Ь). 1) Остающееся каноническое уравнение есть dpldt — — SHldtj
10.2-7. 10.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ’ 311 (Ъ) Применение канонических преобразований (см. также _ 10 2-6, Ь). Если полный интеграл (47). дающий решенне уравнений (46), неизвестен, то можно пытаться ввести каноническое преобразование, связывающее 2л -f- 2 перемен- ных х = t, р, х? ° 2п + 2 новыми переменными х=4, р, х-, р? так что р + Н — ^р + Н, и _ _ dx, дН dp, дН —=i- = —— . — -------— (i = 1. 2, ... J и). (10.2-491 dt др^ ’ dt дх^ В этом случае выражение п / в _____\ у, Pkdxk - Hdt - I '2 Pk dxk - Hdt .) = dQ (10.2-50) , *=1 \ft = l /“ должно быть полным дифференциалом производящей функции Q (4, Хц хц ..., *и; _ Рг —» Рп)' ® частности, пусть t = t. Тогда каждая дважды дифференцируемая функция £2 = W (I. Xt, xit Xi,xs. , xn), для которой det I 0- HfeO, определяет,каноническое преобразование такое, что № дЧГ „ . „ Р;= ------ Р; ---------тг=- (z = Ъ 2 ... й П), 1 дх. > £ дх. (10.2-51) Иногда возможно так выбрать это преобразование,' что Н уже Яе зависит явно от х. (преобразование к циклическим переменным х.); тогда соответствующие уравнения (49) интегрируются непосредственно: р- = const. (с) Теория возмущений. Дано решение (47) _уравнеиия Гамильтона — Якоби (45): производящая функция W — Ф (I, xlt хя, ..., xlt хя, ...х^ определяет кавоннческое преобразование 1,51), дающее постоянные значения преобразованным пере- менным х. = ai« i>l = ~ (Z s ’’ 2* ••• * Л)- (10.2-52) Как показано в п. 10.2-7,а 2о уравнений (52) дают решение х^ =х- (t)( p£ = pj(t) кано- нической системы (46). Данное решенне «невозмущенной» канонической системы (46) часто позволяет решить канонические уравнения дК 2* ••• « dx. дК dp^ ~dt др. » dt где A = H (tt Xls x& ... fi xn; Pi, Pas ... i Pn) + -J- (tg Xig хяв ... | x^ pts pit «»• £ рд) (10.2-53) и — малый дополнительный член (возмущение т. е. эффект малого отклонения тела в небесной механике). Применение известного решения (47)_дли «иевозмущенного» урав- нения Гамильтона — Якоби (45) вводит новые переменные х.6 р. каноническими преобра- зованиями (51) о производящей функцией Ф (^ xls Xas ... « хд; xif хяе ... s Хд). Теперь уравнения (46) заменены уравнениями (53): ~х. и р^ уже не являются до- стоянными и удовлетворяют преобразованным каноническим уравнениям dxt дН^ dpf дН* —-------------------*- = _е_А (/== Ij 2Й ... в n)g (10.2-54J dt др. ’ dt дх. которые,- возможно, легче решить, чем данную систему (53). Если записать xi = а£ 4- е Xt (£), рг =• — ₽г + в («) (i = 1, 2, ... , и), 10 поправки е (*)4 в Р. (4) и константам (52) производят соответствующие поправки я Решениям невозмущенной системы (46).
312 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.3-1. 10.3. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ, ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ. ХАРАКТЕРИСТИКИ 10.3-1. Квазилинейные уравнения с частными произнодными второго по- рядка с двумя независимыми переменными. Характеристики. (а) Уравнение с частными производными r-го порядка называется квази- линейным, если оно линейно относительно производных' r-го порядка от неиз- вестной функции Ф. Квазилинейное уравнение второго порядка с двумя неза- висимыми переменными к и у имеет вид + (Ю.3-1) где Oil, at2, а22 и В—функпии от х, у, Ф, и Предполагается, что все встречающиеся функции и нх производные непрерывны. (Ь)* Характеристики. Дана кривая Со (в плоскости Оху), описы- ваемая уравнениями х=х(т), У==у(т), ;(10.3-2а) и последовательность краевых условий типа Коши *) ф = г(и" ’^=<7(т) + <10-3-26). (эти условия в п. 10.2-2 назывались начальными). Кривая Со вместе с функциями (2&) образует полосу первого порядка Сг. Заданная совокупность функций (2) единственным образом определяет значения дгФ . , д’Ф ’ . . д’Ф , . ^-г = и (т), тг—j- = V (Т), 5-;-=Ш(т) дх2 ' дх ду ’ ' ду2 ' ’ (и также значения производных высшего порядка от Ф) на кривой (2а) в каж- дой точке Ро, где функции (2а) не удовлетворяют обыкновенному дифферен- циальному уравнению “и (ж) —2aia^+«22=° или -------- (10.3-4) dx «и В самом деле, производные и, v, ш от Ф на С± должны удовлетворять уравнению (1) и условиям полосы второго порядка dp .. dx , dy dg dx . dy _ dx—“dx + ^dx’ dx~V dx+® dx’ , ‘ О0-3'5) так что, например, «и dydp + a„t dx dq + B dxdy . Ou dy2 - 2a„ dx dy -f- aM dx’ ‘ (1U.O-O) ’) Если заданы граничные значения нормальной производной дФ/дп (п. 5.6-1) бф 1 ( dx dy\ то решая уравнение дЗ) вместе с условием = р q найдем р (х) в q (х).
w.3-2.' 50.3. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 313 Уравнения (4) выполняются в точке Ро, если Со есть дуга характеристи- ческой кривой (называемой часто характеристикой) у=у(х), удовлетворяю- щей уравнению (4), или если Со касается такой кривой в точке Ро. Собственно говоря, характеристики связывают с дифференциальным уравнением (1) кривые х = х (т), у = у (т), 2 = 2 (т) на интегральной поверхности z =s Ф (х, у), так что у~у(х) удовлетворяет уравнению (4). Если уравнение (1) линейно, т. е. а11г G а2в и В не зависят от 2, р и /?, то характеристики определяются независимо от ’выбора 2, р и <у, т. е. независимо от интегральной поверхности. Основная задача Коши для уравнения (1) ставится следующим образом. Дана полоса первого порядка Сг; надо найтн решение Ф (х, у) уравнения (1) такое, чтобы поверхность Ф (х, у) содержала полосу Ct. (Решение ищется в некоторой малой ок- рестности кривой Со; см. также п. 10.3-4.) Если полоса Ct целиком состоит из точек, в- которых уравнения (4) соблюдаются (характеристическая полоса), то, чтобы на ней можно было построить полосу второго порядка, должно соблюдаться дополнительное условие. Так как на интегральной поверхности выражение (6) должно быть конеч- ным, то /• дф и дф 4~~di должны удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению «и dy dp + azz dx dq + В dx dy = Q или z = __£_(^\ dp a22 aBa \dp] (10.3-7) на каждой характеристйке, определенной уравнением (4) с соответствующим знаком плюс или минус. В этом случае полоса второго порядка определяется не однозначно. Это означает, что на харак4ернстическнх полосах возможно ветвление интегральной поверхности, т. е. имеются различные интегральные поверхности, для которых вдоль характеристики значения Ф, р и q совпадают, а некоторые производные высших по-, рядков оказываются различными. Замечание. Производные второго порядка от Ф могут быть разрывны (но обязательно конечны) на характеристике, так что различные решения могут быть соединены .вместе вдоль характеристик. (с) Гиперболическое, параболическое и эллиптиче- ское уравнения. Данное ‘ квазилинейное уравнение с частными произ- водными. (I) является на выбранной интегральной поверхности: 1) гиперболическим, если ацО^—во всех точках поверх- ности; тогда уравнение (4) описывает два различных семейства харак- теристик; 2) параболическим, если апа22—^12=0; тогда существует одно семейство характеристик; 3) эллиптическим, если аиа22— тогда действительных характеристик не существует. Следовательно, тип квазилинейного уравнения зависит от того, какое решение рассматривается, и может быть разным для разных решений. 10.3-2. Решение гиперболических уравнений методом характеристик (см. также п- 10.3-4). Б гиперболическом случае (°11°22 — °ДновРеменное решение четы- рех обыкновенных дифференциальных уравнений (4) и (7) выражает р — дФ/дх н q = — уФ/ду на интегральной поверхности как функции х и у, так что Ф = ф(х, у} мо- жет быть получена дальнейшим интегрированием. Во многнх приложениях дФ/дх и оФ/ду более важны, чем Ф (х, у} (компоненты скорости); этот метод образует ос-; н°Бу дЛЯ многих аналитических и численных методов решения в теории сжимаемой Жидкости. Вычисления значительно упрощаются в специальном случае. Если В==0, то dy\ ==—1 .dx)i \dpjz ’ \dx)9 \dp)i (10.3-8) Де индекс означает, что в уравнениях характеристик (4) и (7) выбираются соответ- знакн плюс илн минус. Если в дополнение дх1> Oia и a2Z зависят только от (itrX и ^Ф/д#, то нужно решать только уравнение (7) для получения характеристик ^“УМернбе устойчивое сверхзвуковое течение жидкости). Напротив, если Пц, в1а и azz ..висят только от х и то нужно решать только уравнение (4).
314 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.3-3. 10.3-3. [Преобразование гиперболических, параболических и эллиптических уравнений к каноническому виду. .Пусть Яц, а12 и я22—функции только от х и у, так что обыкновенное дифференциальное уравнение (4) разделяется на два уравнения первого порядка ^=Х1(х, у) с решениями h^x, у) = а,1( (10.3-9а) ~=Х2(х, у) с решениями h2(x, у) = а2, (10.3-96) где «j, а2—произвольные константы. В зависимости от знака функции ЯцЯ^—а[2 в рассматриваемой области вначений х, у1) возможны три случая. 1. Гиперболическое дифференциальное уравнение (а11я22—а|2 < 0). (х, у) и Х2(х, у) действительны и различны. Существуют два однопараметричеспих семейства действительных характеристик (9а) и (96); через каждую точку рассматриваемой области проходит одна кривая каждого семейства. Вводя новые координаты х=й1(х, у), y=h2(x, у), (10.3-10) преобразуем данное уравнение (1) к канонической форме ^=f(x, у, Ф, дх ду \ дх ду] Система координат (10.3-11) (10.3-12) производит вторую каноническую форму д2Ф дгФ дФ дФ\ д%? Ф’ dg’ дч\)‘ (10.3-13) 2. Параболическое дифференциальное уравнение (яиа22—а|2=0). Хх(х, у) и Х2(х, у) действительны и тождественны. Сущест- вует одно однопараметрическое семейство действительных характеристик (9); через каждую точку (х, у) рассматриваемой области проходит одна характе- ристика. Вводя новые координаты - x=h1(x, у), y=h0(x, у), (10.3-14) где йо (х, у) есть произвольная дифференцируемая функция такая, что ? преобразуем уравнение (1) к каноническому виду 3. Эллиптическое дифференциальное уравнение (яия,2 —а?2>0). ?.i(x, у) и Х2 (х, у) и, следовательно, hi (х, у) и h2(x, у) — комплексно сопряженные; действительных характеристик не существует. Вводя „ Л, (*. у} + (х, д) „ ht(x. у) — Щ(х, у} ллона л — 2 Л у — 2^ , (1 и. о- х) В обычных случаях дискриминант С12 ие меняет знака в рассматри- ваемой области. Заметим, что знак — a2g есть инвариант относительно непре- рывно дифференцируемых преобразований координат х = х(х, у)Л у = у(х, у) с нену- левым якобианом. -X- В последнее время большое значение получили задачи смешанного типа, когда дискриминант йи°22 й|2 меняет знак s рассматриваемой области (см. [10.7J), ft
10.3-4. 10.3. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Д15 преобразуем уравнение (1) к каноническому виду (я, у,, Ф, (10.3-17) дх‘ ду“ \ дх ду) Эти три типа уравнений с частными производными существенно отли- чаются друг от друга заданием краевых условий, обеспечивающих существо- вание и единственность решения (пп. 10.3-4 и 15.6-2). 10.3-4. Типичные краевые задачи для уравнений второго порядка. (а) Гиперболические дифференциальные уравнения. В задаче Коши (задача с начальными условиями) в п. 10.3-1, b требовалось Рис. 10.3-1. Краевые задачи для гиперболических дифференциальных уравнений. найти решение гиперболического дифференциального уравнения (1), задавая Ф, ёф дх и ду~ на дуге РегУляРн°й кривой, которая не является характеристи- кой (4) и не касается характеристик. Такая кривая пересекает каждую ха- рактеристику не более чем в одной точке; заданные начальные значения опре- деляют ф в треугольной области DBt ограниченной Со и характеристиками каждого семейства (рис. 10.3-1, а). Более точно, значения Ф в каждой точке Р области DB определяются значениями Ф и ер производных на части Ср дуги С01 которая ограничена характеристиками! проходящими через точку Р.
ГЛ 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.3-5. Второй тип краевой задачи задает только линейное соотношение а РФ = ft (ж, у) на дуге Со, определённой выше; в дополнение Ф задана на характеристике Сс, проходящей через конечную точку дуги Со (рис. 10.3-1, ft). Третий тип краевой задачи задает Ф на двух пересекающихся дугах характеристик Сс и С'с (рис. 10.3-1, с) (задача. Гурса). Комбинации этих трех типов задач могут указывать допустимые краевые условия для более сложных границ. Так, на рис. 10. 3-1, d Ф, йФ/йх и йФ/йг/ могут быть заданы на Со, а соотношения вида 0Ф=6(х, у) — на каж- дой из дуг С'а и Q'. Решения в разных областях, показанных на рис. 10.3-1, «склеиваются» вдоль характеристик так, что Ф непрерывна, а йФ/йх и дФ/ду могут быть разрывными. Заметим, что замкнутые границы в плоскости Оху не допускаются. ' Пример. Начальные задачи для гиперболического одномерного волнового урав~ нения, п. 10.3-5г - (Ь) Параболические дифференциальные уравнения. Здесь -существует только одно семейство характеристик. Хотя задача Коши может опять быть разрешима для соответствующей дуги Со, однако обычно задается Ф на характеристике х(=/)=0 и линейная комбинация а рф на двух кривых, которые не пересекают и не касаются друг друга или характеристик. Замкнутые границы в плоскости Оху не допускаются. Пример. чДопустима следующая краевая задача для параболического уравне- ния диффузии g~ + “5"^ — 0; аадано Ф (х, /) = Ф0(х) иа характеристике Z—0 V дФ (начально? условие) и а (х, t) + (3 (х, t) Ф на кривых х = а в х = Р краевые условия). (с) Эллиптические дифференциальные уравнения (см. также пп. 10.4-1 и 15.6-2). Действительных характеристик не существует; краевые условия типа КоШи не допускаются. Типичные задачи: задают ли- нейную комбинацию а(х, у) +0 (хг у) Ф на кривой С, окружающей Рис. 10.3-2. Характеристики для одномерного волнового уравнения д8Ф 1 д8Ф - dx» с» dt» ~ • ограниченную область hjjh неогра- ниченную область (корректная краевая задача}. 10.3- 5. Одномерное волновое уравнение (см. также пп. 10.3-4, а 10 4-8, а и 10.4-9, Ь). Гиперболиче- ское дифференциальное уравнение д»Ф (х, о 1 й5Ф (х, ц „ дх» с» dt» (одномерное волновое уравнение) (10.3-18) имеет общее решение Ф(х, <)=Ф1(х—е/)-}-Ф2(%+rf), (10.3-19) которое представляет пару бегу- щих волн, распространяющихся соответственно вправо и влево вдоль оси Ох с постоянной скоростью с. Характеристики х ± ct—const есть геометрическое место точек постоянной фазы (рис. 10.3-2). В пп. 10.3-5, а, b и с приведены решения для трех типов задач с начальными условиями. На практике метод
К).3-6. ’0.3. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ - 317 Фурье (п. 10.4-9) может быть предпочтительнее, особенно в приложениях к неоднородным дифференциальным уравнениям (вынужденные колебания). (а) Начальные условия Ф(х, О) = Фо(х), ^|< = 0=voW (—со<х<.со). (10.3-20) представляют корректную задачу Коши (пп. 10,3-1 и 10.3-4, а; см. также оис. 10.3-1, а и 10.3-2). Решение есть 1 х.+а Ф(х,/)=2-[Ф„(х-с/) + Ф0(*+<*)]+й $ *о(М (10.3-21) х — ct (решение Даламбера). Возмущение начальных условий, произведенное на заданном интервале a<Zx<.b, затрагивает решение в интервале а — d < к <. b 4- ct. Разрывность Фо (я) распростра- няется в оба направления. (Ь) Начальные условия Ф(х, О) = Фо(х), ^|< = 0=vo(x) (xSsO) (10.3-22) и краевое условие Ф(0, 0=0 ((=э0) (10.3-23) представляют смешанный тип краевой задачи (см. также п. 10.3-4, а и рис. 10.3-1, d и 10.3-2). Решение Ф(х,0=4 [Р(х-с04-Р(х+сО1 + ^ j QM, (10.3-24) X—ct D. . / фоМ (*^0), f v0(x) (xSsO), .,-„OC4 . P(x)—\ <2(х)={ (10.3-25) ( _ф0(__ x) (x<0), I—v0(—*) (*<0) представляет суперпозицию прямой и отраженной волн. (с) Начальные условия Ф(х, О) = Фо(х), ^|z = o = VoW (O^x^L) и краевые условия Ф(0, /) = Ф(£, 0=0 (<3s0) (10.3-26) (10.3-27) определяют другую смешанную задачу (см. также рис. 10.3-1, и 10.3-2). Решение дается формулой (24), где Р (х) и Q (х) интерпретируются как перио- дические функции с периодом 2£ и соответственно равные Фо (х) и v0 (х) для O^xscL и —Фо(—х) и—v0(—х) для —£--=:х<0. 10.3-6. Метод Римана —Вольтерра для линейных гиперболических уравнений (см. также пп. 10.3-4 и 15.5-1). Метод позволяет иногда получать решение задачи Коши(п. 10.3-1) для действительного гиперболического дифференциаль- ного уравнения L®(x, + S+c(x’ у) ф=Нх, У), (Ю.3-28) где ф и £2 заданы на граничной кривой Со, удовлетворяющей условиям п- Ю.3-1. В соответствии с рис. 10.34, а решение в каждой точке Р с коор- динатами х=£, у=Ц выражается в зависимости от начальных значений
318 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.3-7. Ф (х, у), дФ/дх, дО)/ду на сегменте граничной кривой Ср, ограниченном харак- теристиками, проходящими через точку Р х): Ф (£._ 4Q) = ОдФ |д — $ Од® (a dy—b dx) + Ср + $ + + • - Ср * Dp р С / дФ \ f г — J GR<b(ady—bdx)~ J (Ф-^“ dx+OR-^dyj + ) J GRfdxdy, (10.3-29) Cp Cp D p где так называемая функция Римана—Грииа GR(x, у\ г;) непрерывно диф- ференцируема внутри области Dp, ограниченной Ср и характеристиками, про- ходящими через точку Р, и удовлетворяет условиям простой краевой задачи dzG п д д LGR--d^-^(aGp)~^(bGp)+cGK-° (х- У ВНУТ₽И °₽), У Gp = exP. Je(£> У)йУ (* — £)> (10.3-30) X GR = exp § b (х, t])dx (у=т]). 5 Пример ы. Для а = b ~ с = 0 функция = I. Для а — Ъ ~ 0,' с — const функ- ция Gp= [У4с (л — £) {у — т])],- где (2) — функция гБесселя первого рода порядка нуль (п. 21.8-1). Для многих практических применений,- в которых встречаются линей- ные гиперболические дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами^ предпочтительнее метод интегральных преобразований (п. 10.5-1). 10.3- 7. Уравнения с тремя и более независимыми переменными. Действи- тельное уравнение с частными производными вида п п 5 S а* ••• > i=l k—1 ‘ к + В(х1,х2, .... хп’< Ф; = (10.3-31) \ 1 и/ где Ф = Ф(х£, х%, хп), называется эллиптическим дифференциальным урав- нением, если матрица [aifc] положительно определена (п. 13.5-2) всюду в рас- сматриваемой области. Во многих задачах рассматриваются неэллиптические дифференциальные уравнения с неизвестной функцией Ф, зависящей от п пространственных координат х1г хг, .... хп и временной координаты t. Дифференциальные уравнения вида п п п п д‘Ф _ X1 X1 г дгФ , р дФ_ д‘Ф „ „ „0. dt‘ ~ 2d 2d С‘к дх. дх+dt 2d 2d Cik дх. dxb~^Bi О0-3’32) j=lfc=l 1 k i=lA=l 1 k где матрица [с,д.] = [c£-ft (х., х2, .... хп', f)I положительно определена и В есть функция от Х[, t, Ф и йФ/йх,-, являются соответственно примерами уравнений гиперболического и параболического типов [10.7J. 1) См. также формулу (10.3-4),
10.4-1. 10.4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 319 Характеристики более общих дифференциальных уравнений (31) н (32) суть поверх- ности или гиперповерхности, .на которых краевые условна типа Коши не позволяют определить производные высших порядков искомого решения. Эллиптические дифферен- циальные уравнения не имеют действительных характеристик. Понятие характеристик может быть распространено иа уравнения с частными производными порядка высшего,, чем два, и на некоторые системы уравнений с частными, производными [10.5]. ЮЛ. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ 10.4- 1. Физические основы и обзор. (а) Многие проблемы классической физики приводят к отысканию реше- ния Ф (х, t) или Ф (г, t) линейного уравнения с частными производными в заданном интервале или области У (табл. 10.4-1). Неизвестная функция Ф и/или ее производные должны, кроме того, удовлетворять заданным началь- ным. условиям при /=0 и линейным краевым условиям на границе S области У. Аналогичные задачи возникают в квантовой механике. Каждое дифференциальное уравнение, приведенное в табл. 10.4-1, является однородным (п. 10.1-2, Ь), если f—О. Заданное краевое условие также одно- родно, если наряду с каждой функцией Ф, которая удовлетворяет краевому условию, ему удовлетворяет и функция аФ. Неоднородности возникают в результате действия внешних влияний (силы, источники тепла, электриче- ские заряды или токи) на рассматриваемую физическую систему. Для эллип- (гических уравнений типично описание стационарных процессов (стационарные температурные и электростатические поля, упругая деформация). Параболи- ческое и гиперболическое дифференциальные уравнения описывают переходные процессы (свободные колебания, возникающие вследствие заданных начальных возмущений) или, если имеются неоднородности, зависящие от времени («вы- нуждающие» функции в дифференциальных уравнениях или краевых условиях), описывают процессы распространения возмущений (вынужденные колебания, излучение). Можно связать каждую задачу обсуждаемого типа со своей аппроксимирующей системой обыкновенных - дифференциальных уравнений, заменяющей каждую простран- ственную производную разностным коэффициентом в смысле п, 20.8-3 {метод разностно дифференциальных уравнений). Этот метод применим не только для численного решения; аналогия с дискретными проблемами типа»> описанного в пп. 9.4-1 — 9.4-8» может приво- дить к интересным физическим аналогиям. (Ь) Конструкция решения методом суперпозиции. Мно- гие важные методы решения линейных дифференциальных уравнений осно- вываются на фундаментальных (теоремах суперпозиции, сформулированных явно в пп. 9.3-1 и 15.4-2. Метод наложения (суперпозиции) разумно выбран- ной последовательности основных функций дает возможность получать реше- ния, удовлетворяющие заданным краевым условиям и/или заданным начальным условиям, а также получать решения неоднородных уравнений. Разложения по собственным функциям (пп. 10.4-2 и 15.4-12) и методы интегральных преобра- зований (пп. 9.3-7, 9.4-5 и 10.5-1 —10,5-3) представляют систематические схемы для конструирования таких .решений. Методы функций Грина (пп. 9.3-3, 9.4-3, 15.5-1 —15.5-4, 15.6-6, 15.6-9 и 15.6-10) являются суперпозиционными схемами, которые сводят решение соответствующих задач к задачам с простыми вынуждающими функциями или краевыми условиями. Общая теория линейных краевых задач содержится в гл. 15. Пункты 10.4-3 — 10.4-8 представляют применение частных методов с эвристической Точки зрения элементарного курса. (с) Выбор системы координат. Система координат х1, х2 или х1,' х2, я3, определяющая точку г, обычно выбирается так, что, во-первых, возможно разделение переменных (п. 10.1-3) и/или, во-вторых, заданная гра- ница S представляет координатную линию или поверхность или пару коорди- натных линий или поверхностей.
Таблица 10.4-1 “ Важнейшие линейные дифференциальные уравнения математической физики Тип Физический смысл Одномерное уравнение ’ Многомерное уравнение Дополнительные условия Параболический Уравнение теплопроводно- сти, диффузии д»Ф 1 дф. ,, л дх» у» dt ~ (*’ 0 ?2ф— Краевые условия; на- чальное условие для^Ф Г иперболический ВолНы (струны, мембраны, течение жидкости), затухаю- щие . волны. Телеграфное уравнение д»Ф 1 д»Ф ,, дх» с» др “ 1 (*’ °’ д2Ф д2Ф ' дф дх» а° dt» ~а' St ~ — а2Ф = f (х. f) \ <Э!Ф дФ — . , — а»ф — 1 (г- Краевые условия; на- чальные условия для Ф дФ И dt fi Эллиптический Статический случай д»Ф ft X , дх» ~ ffx} ргф = f (г) i Только краевые условия Уравнения 4-го порядка Упругие колебания д*Ф , 1 дгФ „ дх* + с» дР f **’ t} 1 д»Ф V’V2® + -^-^=f(r. D Краевые условия; на- чальные условия для Ф дФ и ~dt Статический случай д*Ф ., - dx* —f(x) рг\?2ф = / (Г) Только краевые условия ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.4-1.
10.4-2. 10.4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 321 10.4- 2. Линейные краевые задачи (см. также пп. 15.4-1 и 15.4-2). (а) Пусть V—заданная трех- или двумерная область точек (г) и пусть 3 — граничная поверхность илн граничная кривая области V. Требуется найти решение данного дифференциального уравнения ЬФ(г)=/(г) (г е= V), (10.41а) удовлетворяющее последовательности краевых условий ВгФ(г)=Мг) (« = 1, 2, ...» N; ге$), (10.4-16) где L© и В,-Ф—линейные однородные функции от неизвестной функции Ф (г) и ее производных. Каждое решение этой линейной краевой задачи можно запи- сать в виде суммы Ф = ФЛ + ФВ решений простых краевых задач 1_Фд(г)=0 (г е И), (10.4-2а) В£Фд(г) = ^(г) (4 = 1, 2, К] re=S) (10.4-26) и ЬФД (г) =/ (г) (г е= К). (10.4-За) В£Фв(г)=0 (4 = 1,2...N-, reS). (10.4-3*) Заметим, что уравнение (2) является однородным дифференциальным уравне- нием, в то время как уравнение (3) имеет однородные краевые условия. (Ь) Однородные дифференциальные уравнения с неод- нородными краевыми условиями. Частные решения, приведенные в пп. 10.4-3—10.4-6, обычно позволяют представить Фл (г) как сумму ряда или определенный интеграл! ФЛ (г)=2] амФм(г) или Фл(г)=| а(р)Фи(г)ф (10.4-4) от подходяще выбранных частных решений Фи (г) уравнения (2а). Коэффици- енты или а(ц) выбираются так, чтобы удовлетворялись краевые усло- вия (26). Часто функции Фц (г) образуют полную ортонормированную систему (п 15.2-4; например, ряды Фурье, интегралы Фурье); тогда возможно предста- вить данные функции Ь, (г) в виде (4) 44 найти неопределенные коэффициенты или а(р) методой сравнения коэффициентов (п. 10.4-9). (с) Неоднородные дифференциальные уравнения с однородными краевыми условиями; разложения по собственным функциям (см. также пп. 15.4-5—15.4-12). Для важ- ного класса дифференциальных уравнений (1) решение Фд (г) уравнения (3) можно получить простой суперпозицией решений V (г), соответствующих однородным дифференциальным уравнениям L4r(r)=ZV(r) (re.l-') (10.4-5а) для различных возможных значений X, при которых Т (г) удовлетворяет) однородным краевым условиям В/У(г)=0 (4 = 1,2..N} re=S). (10.4-56) Вообще такие решения (ненулевые) существуют только при специальных зна- чениях параметра ^(собственные значения); решения V = (г), соответст- вующие каждому собственному значению, называются собственными функциями краевой задачи (5). В пп. 10.4-3 —10.4-8 приводятся частные решения Т (г) для некоторых Дифференциальных уравнений вида (5а). Эти функции позволяют при помощи
322 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ЮЛ-3, метода наложения получать решения соответствующих неоднородных уравне- ний (3). Собственные функции, соответствующие дискретной последовательно- сти собственных значений, часто образуют удобные ортонормированные си- стемы (п. 15.2-4) для представления правых частей и решений в виде f(r)=S/A(r), Фв=2₽Л(г). ?. л (10.4-6а) Непрерывная совокупность (непрерывный спектр) S& собственных значений к приводит к интегральным представлениям fW=\F (к) 47 (г) А, Фв = ( ₽ (к) 47 (г) dk. (10.4-65) Подстановка выражений (6а) или (65) в уравнение (3) позволяет найти неизвестные коэффициенты (7 или р (X). Отсылаем к пп. 10.5-1 и 15.4-12 дли общей теории этого метода решения и его области применения. Важный альтернативный метод решения уравнения (3), так называемый метод функ- ций Грина, трактуется в пп. 15.5-1 —15.5-4. (d) Задачи, включающие зависимость от времени. В задачах, в которых искомые функции зависят и от пространственных координат и от времени, решается линейное дифференциальное уравнение 1.Ф (г, t) = f (г, 0 (г е V, / > 0) (10.4-7а) при соответствующих линейных начальных условиях А/Ф (г, 0) = Р/ (г) (/ = 1, 2,...,,М\ г <= V) (10.4-75) и линейных краевых условиях ВгФ (г, t) = bt (г, 0 (1=1, 2,... , Л'; г eS; /> 0). (10.4-7с) Так как начальные условия (75) есть просто краевые условия на коор- динатной поверхности 1—0, то применимы методы пп. 10.4-2, а и b (п. 10.4-0). Следующие методы позволяют упростить решение задач с начальными усло- виями- 1. ФВ = ФВ(Г, о может быть представлено в виде суммы функ- ций, соответственно удовлетворяющих однородным начальным усло- виям и однородным краевым условиям. 2. Разделение переменных (пп. 10.1-3, 10.4-7, b и 10.4-8). 3. Преобразование Лапласа по переменной t (пп. 10.5-2 и 10.5-3, а). 4. Метод Дюамеля (п. 10.5-4). 10.4-3. Частные решения уравнения Лапласа: трехмерный случай (см. также табл. 6.5-1, пп. 10.1-3 и 15.6-1 —15.6-9; решения в других координат- ных системах приведены в [10.7]). (а) П р я м о у г о л ь н ы е декартовы к о о р д и н а т ы х,у, г: V2 Ф аеФ , бгФ , агФ q дх2 + ду2 "* dz2 ~ (10.4-8) Допустимы частные решения Ф*1Й2*, (*. У, г) = е*1л+*2?/+*аг (kit k$, £3—любые комплекс- ные числа, удовлетворяющие условию 55+5Ц-/г|=0)1 ФоаА У’ (/г* + = 0), Фсио (х, у, г) = (а + Ьх)(а-}-^у)(А-}-£г)! (10.4-9)
10.4-3. 10,4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ “МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 323 которые образуют различные произведения действительных линейных, пока- зательных, тригонометрических и/или гиперболических функций. (Ь) Цилиндрические координаты р, <р, z. Пусть Ф=« (<р) X Xv(z)w(p) (п. 10.1-3). Тогда ?гФ = -1-4*-(Р7г')+4??+^ =0- (10.4-10) р dp V ор / 1 р2 о<р2 1 дгх ' ' Разделение переменных приводит к трем обыкновенным дифференциальным уравнениям: ^u(<p)+maK(<p)=0t (10.4-11) v (z) - № v (г)=04 (10.4-12) w (р)+| i w <р)+(*2—w (р)=°> <10-4-13> где функция и (<р) удовлетворяет условию периодичности: и (ф-|-2л) = н (<р); это будет, когда т—0, ±1, ±2,...; К—произвольная константа (кон- станта разделения, п. 10.1-3), которая определяется по данным краевым усло- виям. Уравнение (10) допускает частные решения (цилиндрические гармоники) вида Ф±Кт(р, <р, z) = e±Kz Zm (Kp) (acosmtp+P sinmcp), ф±ко<Р- Ф. z)=e±KzZ0(Kp) (а+Рф). ф0/7! (Р> Ф- г) = (« + М (АРт + (а с®8 тф+ Р sin rntp); фоо (р. ф> 2) = (а + бг)(Л+В1пр)(а+р<р) (т=0, 1,2,...), (10.4-14) где Zm (t) — цилиндрическая функция (п. 21.8-1); в частности, если данная задача требует ограниченности решения Ф при р=0, то Zm (£) должна быть функцией Бесселя первого рода Jm(t) (п. 21.8-1). Если в последнем случае положить /(=IX, то комбинации комплексно сопряженных решений Ф-ьат образуют действительные решения вида (a cos Z.z-|-6 sin Kz)/m (Xp) (a cos p sin mcp), где = m (i'Kij)— модифицированная функция Бесселя (п. 21.8-6). Заметим, что в случае осевдй симметрии, т. е. когда ф не зависит от <р, т=0. (с) С ф е р и ч е с к и е к о о р д и н а т ы г, 6, ф. Пусть Ф = и (<р) v (cos 6) w (г). Тогда г2 у2ф = <L (sin 6 =0. (10.4-15) Разделение переменных дает ~и((р)+т^и(ц>)=0, (10.4-16) (1~^^-НО-2^ц©+[7(7+1)—г^]цС)=о (£=cose), (10.4-17) S3 w W +? Tr w W—' (10.4-18)
324 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.4-4. Функция v (J) = v (cos 6) должна быть непрерывна при 6 — 0 и 6 = л; это означает, что т—0, ± 1, ±2, ...,±/ и /=0, 1, 2... Уравнение (15) допус- кает частные решения вида Ф/m (G в, <р) = Jp?1 (cos 6) (a cos m<p+р sin m<p) (j=0, 1, 2, ...; m=0, 1, 2, ..../), (10.4-19) где Py1 (g)—присоединенная функция Лежандра первого рода порядка j (п. 21.8-10). Комбинация таких решений производит более общие частные решения Ф/(г, 6, <р) = (Лг/+д^-г^У/(6, <р) (/=0.1.2,...), (10.4-20) гае / У,- (6. Ф)= Л (C0S 8) (ат cos тф+ sin '"ф) == m=Q i = TmP)m'(cose)e«'w (/=0,1,2,...). (10.4-21) rn- -— j Функции (21) удовлетворяют уравнению (15) для г = const и называются поверхностными сферическими гармониками степени / (см. также п. 21.8-12). Имеется 2j -J- 1 линейно независимых поверхностных сферических гармоник сте- пени /, Для разложения в ряд по ортогональным решениям заметим, что функции 1/”"г/ <cos cos 1 / т "у; Р? <cos е) sin т9 У 2л (/ + т)1 I ' г 2я (/ + т)1 < (/ = 0, 1, 2, ...; m = 0, 1, 2./) или более удобные функции -(i l! т 1)! Р\т 1 (cos е) е‘т<1) (/ = 0- 1-2,...:т = 0,±1.+2,...,±/) /г л (/ I т |)1 ! образуют ортонормальную систему в смысле п. 21.8-12. Эти функции называются тессе- ральными сферическими гармониками (секториальными сферическими гармониками для т-р, см. также пп. 10.4-9, 15.2-6 и 21.8-11). Ортонормальные функции 'У 2/ * - Pj (cos 6) называются зональными сферическими гармониками. Если допускаются решения с особенностями для 6=0, 6 = л, то появляются ана- логичные решения, содержащие ассоциированные функции Лежандра второго рода [21.3]. 10.4-4. Частные решения для трехмерного уравнения Гельмгольца (см. также п. 10.3-5). Дифференциальное уравнение у2Ф-|-Л2Ф = 0 (уравнение Гельмгольца) (10.4-22) встречается при разделении переменных в трехмерном волновом уравнении (п. 10.4-8, Ъ) и в уравнении теплопроводности (п. 10.4-7, Ь). Коэффициент А2 может быть отрицательным (А = in, пространственный вид уравнения Клейна — Гордона). Для заданного однородного линейного краевого условия (например, Ф = 0 на границе S ограниченной области F) уравнение (22) допускает решения только для соответствующей дискретной последовательности значений А2 (проб- лема собственных значений, п. 15.4-5). (а) Прямоугольные декартовы координаты х, у, г. Уравнение (22) имеет частные решения; ФА1*2*з (х, у, г) = е<<*1ж+*!4'+*8г) Фо*2Ав (х, У, г) = (а + bx) el(ktil+M Фоо* (х, у, z) = (а + bx) (a J- ft/) е’*гг (А2+*2 + А2 = й2), (kf + А2 = A2)t (10.4-23)
10.4-5. 10.4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 325 которые можно представить в виде различных произведений действительных линейных, показательных, тригонометрических и/или гиперболических функций. (Ь) Цилиндрические к о о р д и н а т ы р, <р, z (см. также п. 10.4-3, Ь). Пусть Ф = и (ф) и (z) иг (р); тогда уравнение (22) разделяется на уравне- ния (11), (12) и “’(Р)+ “’<Р)+ [(^ + /с2)- Я“’(Р)=°. (Ю.4-24) где т = 0, ± 1, ± 2,... и К — произвольная константа разделения, определяе- мая краевыми условиями. Уравнение (22) допускает решения вида ф±Кт(Р. Ф, 2)=«±/<ггт (р ]Аг -|- Af2) (a cos тф + р sin тф) (т — 0, 1,2,...). Если К = /X. то Ф+Й1т (р, ф, z) = е±Лг2т(р Va2 — X2) (а cos mw -J- р sin тф), ®on (р. ф. z) = (а + bz) Zo (bp) (а + Рф). (10.4-25) Заметим, что для осевой симметрии т = 0. (с) Сферические координаты г, 0, ф (см. также п. 10.4-3, с). Пусть Ф = и (ф) v (cos 0) w (г). Тогда уравнение (22) разделяется на уравнения (16), (17) и £и(г) + |> (г) + [k* - (г) = 0. (10.4-26) Уравнение (22) допускает частные решения вида <-г> ®- Ф) — Z/+i/2 (М Y i (®> Ф) </ = 2> •••) _ e±ikr Ф/;П(г, 0,ф) =---- (центральная симметрия), (10.4-27) где УЦ6, ф) — сферическая поверхностная гармоника (21). В частности, если данная задача требует непрерывности решения для г = 0, то 1/2 (/гг)/^/" есть сферическая функция Бесселя первого рода (п. 21.8-8). 10.4-5. Частные решения двумерных задач (см. также пп. 15.6-7 и 15.6-10, Ь). (а) Уравнение Лапласа ^2ф==.^^4.-^=—— + —-^- = 0 (10.4-28) v — дх* ди* — г dr \Г dr г* dtp* v > допускает частные решения Фк(х,2/)=е±К(ж + ^, Ф0(зд)=(а + Ьл:)(а + Рг/), (10.4-29) фт(г, ф) = ^4гт4- (а созтф+р sin тф) (т = 0, 1,2,...), Фо (г, ф) == A В In г, где а также а, Ь, а, р, А, В — произвольные постоянные, определяемые краевыми условиями. (Ь) Двумерное уравнение Гельмгольца. Двумерное урав- нение вида (22) допускает частные решения уУ = <^+ы' М + ki = 1 (10 4 31) .. : Фо* (*> У) = (а + М eiby< > ф*т(г, ф) = Zm (/гг) (асоэ тф J-р sin тф) (m=0t 1, 2,—.), | Фо (г, ф) — Zo (kr) (а + Ьф). J
321 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (с) Комплексно сопряженные решения (29) и (31) образуют различные произведения действительных линейных, показательных, тригонометрических и/или гиперболических функций. 10.4-6. Уравнение Шредингера. Трехмерное дифференциальное уравнение V2® + ^-y-Л2 J0 = O допускает частные решения (г< ®»<p) = /Je^rLzf+1 (2>.r) q>)« Т + / %_/(/•, е, <Р) <2V) У,(6, ф) Т~'~1 (/ = 0, 1, 2,...), (10.4-33) (10.4-34) где (р — функции Лагерра (п. 21.7-5). Если Ф нормировано (п. 15.2-16), то оно обра- зуется решениями первого типа (34). Нормированные решения существуют только для собственных значений (п. 15.4-5) Л2 таких, что с/К = п = 0, 1, 2, ... В этом случае функ- ции Лагерра сводятся к присоединенным полиномам Лагерра и решения (34) образуют ортогональную систему в смысле пп. 21.7-5 и 21.8-12. 10.4-7. Частные решения для уравнения теплопроводности и диффузии (см. также пп. 10.3-4, Ь, 10.4-9, 10.5-3, 10.5-4 и 15.5-3). (а) Одномерное уравнение диффузии д2ф дх‘ 1 у? ^- = 0 dt (10.4-35) допускает частные решения ФА(х, t)~e±ikx f Фо (x, t) = a 4- bx, Ф (х, /) == —4 е Vt X2 4y2/ (t>0), (10.4-36) где k — произвольная константа разделения, определяемая краевыми условиями. (Ь) Двух- или трехмерное уравнение диффузии У2Ф------L-£® — о (10.4-37) У'2 О1 допускает частные решения Ф (г, t) = ФА (г) Г k^4 , (10.4-38) где ФА (г) — частное решение соответствующего уравнения Гельмгольца (22) (пп. 10.4-2 и 10.4-5, b); k — произвольная константа разделения, определяе- мая краевыми условиями. Уравнение (37) также допускает частное решение Г2 1 е (двумерный случай), г* 1 е № (трехмерный случай), ур Ф(г, = (10.4-39) 10.4- 8. Частные решения для волнового уравнения. Синусоидальные волны (см. также пп. 4.11-4, Ь, 10.3-5, 10.4-9, 10.5-2 и 15.6-10). (а) Одномерное волновое уравнение -^-—4--^- = 0 (10.4-40) дх2 с2 dtz ' * допускает частные решения вида Ф(х, t) =e±,kxe±,at =e±lk^x—ct> (a = ke), (10.4-41) где й — произвольная константа, определяемая краевыми условиями. Функ-*
10,4.s. J0.4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 327 пии (41) и соответствующие значения /г2 образуют собственные функции и собственные значения (пп. 10.4-2 и 15.4-5). Решения вида (41) образуют следующие действительные решения: Ф (х, /) = С cos (at + ТО cos (kx + ?2) (синусоидальные стоячие волны), Ф (х, t) — a cos (at + kx)-\-b sin (at + kx) = = A cos (at + kx -ф y) (a=kc). (10.4-42) (синусоидальные волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлении оси Зс) Круговая частота со, частота v = co/(2n), волновое число k, длина волны X = 2n/fe и фазовая скорость с синусоидальной волны связаны соотношениями 1.. и AV — = С. k (10.4-43) Суперпозиция синусоидальных волн (42) в виде рядов Фурье или интегралов Фурье образует более общие волны. (Ь) Двух- или трехмерное волновое уравнение ' О0-4'44) допускает частные решения вида Ф(г, 0 = = (10.4-45) где Ф/г (г) — частное решение соответствующего уравнения Гельмгольца (22) (пп. 10.4-4 и 10.4-5, b); k — произвольная константа разделения, определяе- мая краевыми условиями. Решения вида (45) образуют решения, содержащие действительные тригонометрические функции; в частности, отметим следующие решения: Ф (х, у, z; t) = A cos [со/ + (kxx fe2y -ф fe3z) -ф у] (/ef -ф /г|-|- kl = k2; a = kc) (10.4-46) (синусоидальные плоские волны, нормаль к фронту которых имеет направление -{/гх, fe2, fe3[), Ф (р, <р, г; /) = Zm (р j/fe2 — Д'2) cos (at + Kz + m(p -[- у) (m = 0, 1, 2,...; co fee) (синусоидальные цилиндрические волны), Ф (г, О, <р; /) = ~ Zj+1/2 (fer) Y (О, <р) cos (at -ф у) (/ = 0, 1, 2,... J со = /гс) (синусоидальные сферические стоячие волны), Ф (г, О, <р, t) — — cos (at + kr -ф у) (излучение точечного источника), Ф (г, 6, <р, t) — А cos (со/ + kr) + sin (со/ + kr)j cos б (излучение диполя), (10.4-47) (10.4-48) (10.4-49) (10.4-50) Ф (г, <р; /) = Zm (kr) (a cos тер -ф р sin пир) (a cos со/ -ф b sin со/) А (m = 0, 1, 2,...; co=fec) 1 (10.4-51) (двумерные синусоидальные круговые стоячие волны). J
328 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.4-0. Цилиндрические волны (47) распространяются в положительном и отрицательном направлении оси Oz с фазовой скоростью o'— ш К = kc/К, которая, как видно, зависит от и и К (дисперсия). Групповая скорость в направлении оси Oz равна du/d&^Rc/k. (с) Общее одномерное затухающее волновое уравнение (телеграфное уравнение). Уравнение передачи по линии д2Ф д2ф дф п /1Л Л 491 аГ-°гФ = 0 (10л 52) допускает частные решения вида Ф (х, t) = е— ikxest, (10.4-53) где s = о 4- ш есть корень квадратного уравнения aosz -h Qis + (а2 4 k2} = 0. (10.4-54) Комплексно сопряженные решения (53) образуют затухающие синусоидальные волны в смысле п. 9.4-6; в случае кратных корней уравнения (54) следует поступать так, как в п. 9.4-1, Ь. Уравнение (52) включает уравнения (35) и (40) как частные случаи. Анало- гичные обобщения имеют место в многомерном случае. 10.4-9. Решение краевой задачи резложением в ортогональные ряды. Примеры (см. также п. 10.5-3). Следующие примеры иллюстрируют применение частных решений, при- веденных в пп. 10.4-3 — 10.4-8. (а) Задача Дирихле длясферы (см. также пп. 10.4-3, с, 15.6-2, а и 15.6-6, с). Требуется иайти функцию ф (г, 6, ф), которая удовлетворяет уравнению Лап- ласа v20> = 0 вну’гри данной сферы г <С R и принимает заданные краевые значения Ф (R, <Р) = Ъ (6, <р) на сфере. Ясно, что следует применять сферические координаты г, 6, ф (п. 10.4-1, с). Записываем неизвестную функцию в виде суммы решений (19), которые необходимо конечны при г = 0 (В = 0): со / Ф = Ф (г, 6, ф) — 2 2 г1 Р™ (cos 6) (<x/m cos m<p + sin m<p). / = 0 m=0 Неизвестные коэффициенты <xym, ₽ym вычисляются по заданным краевым условиям c° / ф (Я, е, <р) = 2 У РТ <cos °* (“/m cos m<p + sln m4>) = b (®' 7=0 m=0 Согласно условиям ортогональности п. 21.8-12 2л л am =2Ci_L _L г <7<р ( ь (в, <р) р,- (cos 6) sin е de, 4Л pl J J о 0 2л я a.-m = 1 —---— -U f d<p f b (0, ф) P™ (cos 6) cos m<p sin 6 de, 2n (/' + m)l pl J J I 0 0 2л я f d<p f b (6, q>) P™ (cos 6) sin m<p sin 6 de 2л (7 + m)l pl J J I 0 0 U=0, 1, 2, . . m = 1, 2........j). (10.4-55) (Ъ) Свободные колебания упругой струны (см. также п. 10.3-5). Поперечные смещения Ф (х, 1} упругой струны удовлетворяют одномерному волновому уравнению д2Ф___1^ й2Ф _ дх‘ са di‘ ’ начальным условиям Ф (х, 0) =Фо(х), |/= о = vo (*) (0 < L) и краевым условиям Ф (0. I) = Фл (/), Ф (L, /) = Фь (О.
10.5.. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ .ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 329 Рассмотрим частный случай Фд (0 = Ф^ (/) = 0. Стоячие волны (42) одномерного волно- вого уравнения удовлетворяют заданным краевым условиям, когда Те = — л/2 и поло- вина длины волны Х./2==л/& целое число раз укладывается в длине струны Li ЯЛ . ППС , « 1 п k — , (ц — kc — ~j~ (n = Q, 1, 2S . . .). Записываем решение в виде ряда из частных решений со Ф (х, 0 = \ \ап cos t 4- bn sin — t\ sln-^- x n — 1 и определяем коэффициенты an и Ъп из начальных условий, пользуясь формулами для коэффициентов Фурье (п. 4.11-4, Ь): L (Л) 9in jrx<lx (« = h 2, . . 0 L Ъ = V vn (х) sin х dx (я « 1. 2, , . П ппс J 0 L * 0 Решение представляет сумму гармонических стоячих волн, возбужденных задан- ными начальными условиями. (с) Свободные колебания круглой мембраны. Поперечные смеще- ния Ф (г) мембраны, закрепленной по окружности г = 1, удовлетворяют волновому урав* нению v2® —т - J?* ~ 0 (г <; 1), краевому условию Ф = 0 при г = 1 и начальным условиям с* otz дФ Ф = Фо (Г), ~—v0 (Г) при t = 0 (Г < 1). Применим полярные координаты г, ср. Так как Ф непрерывна при г=0, то образуем суперпозицию решений (51), содержащих только функции Бесселя первого рода, т. е. Zm = Такие решения образуют характеристические колебания, удовлетворяющие заданному краевому условию, если * = 7 = *™ („.т = 0. 1.2, ...), где kmn есть n-it действительный положительный нуль функции Jт (£); эта задача есть задача о собственных значениях. Решение представляется в виде суммы характеристических колебаний со со ф (Г. Ф, 0 = 2 2 Jm (kmnr) <атп соэ т” + ₽тП 61П тЧ>)х т==0 п — J cos sin ckt)i V тп тп тп тп где неизвестные коэффициенты определяются как обыкновенные коэффициенты Фурье при подстановке заданных начальных условий. 10.5. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГО.5-1. Общая теория (см. также пп. 8.2-1, 8.6-1, 9.3-7, 9.4-5, 10.4-2, с и 15.4-12). Требуется найти решение Ф=Ф (Xj, х2, ..., хп), удовлетворяющее заданным краевым условиям действительного линейного дифференциального Уравнения с частными производными (Ц+Ц) Ф=а, (хп) +at (хя) +аг (хп) Ф+ЦФ = ол,3 дхп =f(xit х$,...( хп), (10.5-1) где L2—линейный однородный дифференциальный оператор с производными и коэффициентами, содержащими xlt хг, xn_i, но не хп.
330 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ SO.5-2. Для простоты примем хп изменяющимся в некотором ограниченном или неограниченном интервале (а, Ь) для всех хг, х2.....так, что граница S области решения состоит из двух координатных поверхностей (см. также п. 10.4-1, с). Уравнение (1) можно часто упростить, применяя линейное интег- ральное преобразование Ь ф (xi, х2, ..., xn_i, s) = J /<(*«, s) <р (хг, х2,.... хп) dxn. (10.5-2) а Если ядро преобразования К(хп, s) выбрано так, что 8) = ^(н0Ю- ^~{a1K)+^K=K(s) Kt (Ю.5-3) дх ft п Li*—оператор, сопряженный с Ц (п. 14.4-3)), то интегрирование по частям, (обобщенная формула Грина, п. 15.4-3) приводит к возможно более простому дифференциальному уравнению [Ц + ^(5)]Ф = | х — b ~ f (-^It ^2> •••> ХП-1» S) Р (*!» ^2» ХП> S) а > P(xlt х2, ..., хп; в) = а0 (к~—Ф^-} + (а1—а'0)ФК (10.5-4) относительно неизвестной функции Ф (хг, х2, ..., хП-1’> s), являющейся интег- ральным преобразованием искомого решения. Заметим, что новое дифференци- альное уравнение включает в себя краевые значения Ф и дФ1дхп, заданные для хп=а, хп — Ь и переменных xlt х2, ..., хп_г. Метод интегрального преобразо- вания предполагает существование интегралов (2) и сходимость формулы об- ращения Р Ф (*!, х2, ..., xn) = $ Н (хп, в) Ф (Xi, х2.х„_г; s) ds, (10.5-5) а (см. также п. 15.3-7). Табл. 8.6-1 на стр. 257 содержит некоторое число употребительных интегральных преобразований и формул обращения. Заметим, что в решениях преобразованного дифференциального уравнения (4) кон- станты интегрирования следует рассматривать как произвольные функции от s. Метод интегральных преобразований можно обобщить на дифференциальные урав- нения, содержащие производные высших порядков от хп; кроме того, интегральное преобразование можно применять по двум переменным хп, хп_г одновременно. Если в вы- ражении Н (хп, s) допускается б-функция, то формула (5) может приводить к разложе- ниям е ряды для Ф в конечном интервале (а, Ь) (конечные интегральные преобразова- ния [8.5]). 10.5-2. Преобразование Лапласа по временной переменной (см. также пп. 8.2-1, 8.3-1, 9.3-7 и 9.4-5). Задача с начальными условиями для гиперболи- ческих и параболических дифференциальных уравнений часто упрощается введением одностороннего преобразования Лапласа <р(s) = j <р (t) e~st dtt и которое преобразует каждое линейное дифференциальное уравнение с част- ными производными с постоянными коэффициентами г2ф - “о — а! —О2ф=/ (г> 0 (10.5-6)
10.В-3. 10.5. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ "ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 331 в новое и, возможно, более простое дифференциальное уравнение v2o_(0cS2+ais+a2)o=7(ri s)_[(0cS+Cl)o+flc ^]z=0+0 (10.5-7) для неизвестного интегрального преобразования Ф (г, s) решения Ф (г, Г). Краевые условия преобразуются подобным же образом; заметим, что уравне- ние (7) включает в себя заданные начальные условия. 10.5- 3. Решение краевых задач методом интегральных преобразований. Примеры (см. также п. 10.4-9). Следующие примеры иллюстрируют простейшие применения ин- тегральных преобразований к решению краевых задач (см. также [8.5]). (а) Одномерное уравнение теплопроводности в случае фик- сированной температуры иа концах: применение преобразо- вания Лапласа. Теорема Дюамеля (п. 10.5-4) сводит важный класс одномерных задач теплопроводности к виду д2Ф (л, О 1 дФ (х, /) , , —д^ <“<*<*• оо». Ф (х, 0 4-0)= Фо (х) (начальное условие), Ф (а, I) — Фа = const, Ф (6, 0 = Ф^ = const (t > 0) (краевые условия). Дифференциальное уравнение преобразуется к виду S>--s)=“ ^ф» <*’ Если, в частности, Фо (х) = Фо = const, то Ф (ж, s) = Ct (s) еХ Vs/y 4- Ct (s) е~ X Vs/у _|_ , где функции Ci (s) и С2 (s) должны быть выбраны так, чтобы выполнялись преобразо- ванные краевые условия ф ________ ф, Ф (a, s) = , Ф (6, s) = ; Ф (х, t) получается как обратное преобразование Лапласа методами пп. 8.4-2 — 8.4-9. В частности, для а — 0, Фд=0, Фо=0 имеем sh x^s 00 Ф (X, S) = -----У— , Ф (х, о = Фь £ 4-1 V ^4^ е— (fry/b)* t sin s bys о b л Jfed 7 ° Заметим, что эта задача может быть решена методом п. 10.4-9. (Ь) Задача теплопроводности в случае бесконечного интер- вала. Примеиениесину с- н косину с-п реобразованнй Фурье. Ме- тоды п. 10.5-3, а также применимы, если с = 0, Ъ = со: д2Ф (х, /)__£ дф (х, t) __ дхг уг dt (х > 0; t > 0), Ф (х, 0 4- 0) = Фо (х) Ф (0, 0 - ф^ (О, (х>0) (начальное условие)* (t > 0) (краевые условия). Ф (s, 0 со J | Ф (х, t) \2 dx существует 0 Применяя синус-преобразование Фурье со — J Ф [х, t) sin sx dx 0 (и- 4.11-3), можно, как в п. 4.11-5, с, получить преобразованное дифференциальное урав- нение 1 дФ (s, о , „, ,. 1 /"г" s фо (0
332 ГЛ. 10. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.5-4 и преобразованное начальное условие Ф (s, б + 0) — Фо (s). Преобразованная задача имеет решение t Ф (sf о = фо (s) е- Y2^ 4- y2s Фа (О е- & ~г) dx, 0 откуда оо Ф (JC, t) *= Ф (s, t) sin sjv ds. 0 Если, в частности, задано Фд (Z) = const = Фд н Фо (л) ss 0, то Фо (s) и Ф (s, /) = Ф *— VS--l/r Ф (аг, П = Ф (1 —erf —т=). ® s гл’ а \ 2yV t J Если задано краевое условие дф (*, 0 I „ дх [л = 0 + 0 (/>0) (теплоизолированный конец), то применяется косинус-преобразоеание Фуры оо V(s, П = j/”<р (х, О cos sx dx. 0 10.5- 4. Формулы Дюамеля (см. также п. 9.4-3). (а) Пусть L — однородный линейный оператор с производными и коэф- фициентами, не содержащими переменную t. Пусть Ф (х, t) есть решение задачи с начальными и краевыми условиями L Ф -(-/о (х) <РФ л Ф(х, 04-0=0, ^|0 + 0=0 а^4-₽ф = М0 (0 < х < L; t>0), (0 < х < L), (х=0, t > 0), (10.5-8) и пусть ¥ (х, t) — решение этой задачи для £>(£) = ! (^2> 0). Тогда t t Ф(лг, () = ¥(х, 0М0 + 0)4- $ ¥(лг, Z—т)6'(т)Л = й| $¥(х, t—т)6(т)А о о (0<х<Т; г>0). (Ь) Решение Ф (г, 1} общего уравнения диффузии 1 6Ф V • 1* (О V] Ф + а (г) Ф — — = f (г, О (г е V, (> 0), Ф (г, 0) = Фо (г) (г Е V), дФ а + ₽Ф = Ь (г, О (reS, <>0) (10.5-9) (10.5-10) с зависящими от времени возмущающей функцией f (г, t) н краевым условием b (г, 0 связано с решением (₽ (г, /; ^) более простой задачи 1 дЧ? V‘[Mr) (rev. *>0), (г, 0; к) 7= Фо (г) а^- + Р’Г-Иг, X) (10.5-11) (г е V), где f (г, X) и b (г. X) зависят от параметра X и не зависят от времени t. Решение Ф (г, /) получаем нз формулы Ф(г, 0 = ^-^ (г, t—K KdK (10.5-12) U :
ГЛАВА И МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ПЛ. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Очень широкий класс задач составляют экстремальные задачи, в которых требуется найти значения параметров или функций, реализующих максимум или минимум некоторой зависящей от ннх величины. Во многих инженерных задачах, например, желательно найти максимум меры выполнения или минимум стоимости. Кроме того, можно по крайней мере приблизить решения многих задач, выбрав неизвестные значения параметров или функций так, чтобы они давали минимум ошибки в пробных решениях; иногда такой прием позволяет применить для решения данной задачи мощные методы численных приближений. Примеры: решение задач о собственных значениях в теории колебаний и Кван- совой механике (пп. 15.4-7 и 15. 4-8, Ь); принципы Гамильтона и Якоби в динамике. 11.2 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО 11.2- 1. Локальные максимумы и минимумы (см. также п. 4.3-3). Действи- тельная функция f (х), определенная при х—а, имеет в точке а (локальный) максимум или (локальный) минимум f (а), если существует такое положитель- ное число 6, ’ что при всех Дх=х—а, для которых выполняются неравенства О < | Ех | < 6 и существует значение f (а-]-Дх), соответственно ’) Д/ = Цй+Дх)-/(й)<0 или Д/ = /(с+Дх)-Нй)>0. Если в каждом из этих случаев выполняются нестрогие неравенства или ^), то говорят, что функция f (л) имеет в точке а нестрогий максимум (минимум). Локальный максимум (минимум) называется внутренним максимумом (внутренним минимумом) или граничным максимумом (граничным минимумом), если соответственно точка а является внутренней точкой или граничной точкой области определения функции f(x) (п. 4.3-6, а)2). 11.2- 2. Условия существования внутренних максимумов и минимумов. (а) Если существует производная f (а), то функция f (х) может иметь в точке а внутренний максимум или минимум лишь в том случае, когда при х=а f(a) = 0 (11.2-1) {необходимое условие экстремума). (Ь) Если существует вторая производная f" (а), то функция f (х) имеет в точке а максимум при /'(«) =0 и /"(#)< О, минимум при f (a) —0 и f" (a)>* *0. ’) А/ есть приращение дайной функции f (х), соответствующее приращению Ал неза- висимого переменного х. Приращеине Af есть функция от а и от Ал; его не следует сме- щив^ть с вариацией вводимой в п. 11.4-1. * а) В формулировке задачи должна быть точно указана область определения функции | '*)• Например, функция К(х)=х(—оо<л<-Ьсо) не имеет максимума, а функция V, (л 1) имеет при х = 1 граничный максимум
834 ГЛ. П. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.3-1. (с) Более общее утверждение: если существует производная f,n> (а) и если — то функция f (х) имеет в точке а максимум при п четном и /(л,(а) <0, минимум при п четном и ffn> (а) > 0. Если п нечетно, то функция / (х) в точке а не имеет ни минимума, ии максимума, а имеет точку перегиба (п. 17.1-5). (Условия, сформулированные в b и с, являются достаточными условиями экстремума.) Если f (а) —0, то во всех случаях говорят, что функция f(x) при х—а имеет стационарное значение. Примеры. Каждая из функций хг. х\ х\ . . . имеет прн х — 0 минимум, а каждая из функций л8, хи, х7, .. . имеет х = 0 точкой перегиба. 11.3. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ И БОЛЬШЕГО ЧИСЛА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 11.3- 1. Локальные максимумы и минимумы1). Действительная функция f(xlt х2,..., хп), определенная при х1 = а1, х2=а2,..., хп = ап, имеет в точке (сц, сц, .... ап) (локальный) максимум или (локальный) минимум f(aL, а2,..., ап), если существует такое положительное число 6, что при всех Ахх, Дх2.£s.xnt для которых выполняются неравенства 0 < ]/Дх^-|-Дх%-f-Дх^ < 6 и существует значение /(^-(-Дх,, а2+Дх2,...,- ап-\-й.хп), приращение функции Ог+Д^,.... an+/^xn)—f(a1, а2.... а„), (11.3-1) соответственно меньше нуля или больше нуля. Локальный максимум (минимум) называется внутренним максимумом (внутренним минимумом) или граничным максимумом (граничным минимумом), если точка (а,, с2,..., ап) является соответственно внутренней точкой или граничной точкой области определения функции f(xlt х2,..., хп) (п. 4.3-6, а). Определение строгого и нестрогого экстремума аналогично п. 11.2-1. 11.3- 2. Формула Тейлора для приращения функции. Приращение функции Д), определяемое соотношением (1), является функцией от аг, а2,..., ап и от Дх,, Дх21..., Дх„. Если функция f(xlt х2,.... хп) имеет в некоторой окрест- ности точки (а,, а2,..., ап) непрерывные частные производные до второго порядка включительно, то п ’ (й1>°2. Дх,+ п п Sv dsf дх. dxh . = 1/е=1 1 k (й1, Дх/Дхй+о^), (11.3-2) 2> где р=)^Дх|+Дх| + ...+Д*п (локальная формула Тейлора, см. п. 4.10-5). Члены порядка 1 и 2 относительно Дх,- в этой формуле соответственно составляют первый дифференциал df и половину второго дифференциала d2f функции f (xlt х2,..., хп) в точке (с,, а2,..., ап) (см. также п. 4.5-3, Ь). 11.3- 3. Условия существования внутренних максимумов и минимумов. (а) Если функция f(xlt х2,.... хп) дифференцируема в точке (а1г а2,..., ап), то она может иметь в точке (а1г а2,..., ап) внутренний максимум или минимум *) См. сноски к п. П.2-1.
11.3-4. 51-3. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 333 лишь в том случае, когда ее первый дифференциал df обращается в этой точке в нуль, т. е, когда 4,=° (П.3-3) при Xi—Utt Х2 = а^,...у хп — ап (необходимые условия экстремума). (Ь) Если функция f (xj. х2,хп) имеет в некоторой окрестности точки (fli, а%,..., сл) непрерывные вторые частные производные и если в этой точке выполняются необходимые условия (3), то в случае, когда второй дифференциал п п s 4^ / (11-3'4) /=1*=1 » * (“is “й,..о сп) есть отрицательно определенная квадратичная форма (п. 13.5-2), функция f(xit х2,..., хп) имеет в точке (о$, а2,..., ап) максимум, а в случае, когда втот дифференциал есть положительно определенная квадратичная форма, функция f (Xj, х2,.... хп) имеет в этой точке минимум (достаточные условия экстремума). Если условия (3) выполняются в точке (aj, с2, •••> ап), то во всех случаях говорят, что функция f (хх, х2, ..., хп) имеет в этой точке стационарное значение) сама точка называется стационарной. Пример. Найти максимумы и минимумы функции z = Зх3 — х + у'а — Зуг — 1. Необходимые условия dz dz = 9*2 _ 1 = о и ~ = 3^ — 6/7 = О дх ду удовлетворяются здесь при х — 1/3, £/ = 0; х =—1/3, £/ = 0; х= 1/3, у = 2: х = — 1/3, у~2. Но, рассматривая характеристическое уравнение квадратичной формы (4) (см. пп. 13.4-Е и 13.5-6) (18л — ц) (бу — 6 —- ц) = О, видим, что единственными экстремальными значениями являются максимум (jXj =—6, |Л2 = — 6) z = — 7/9 при х=— 1/3 и у 0 и минимум (Ц1 = 6, ц2 = 6) z = — 47/9 при х = 1/3 и у = 2. (с) Если первый дифференциал df достаточное число раз непрерывно дифференци- руемой функции f (Хр х9^ обращается в точке ^2, с/2) в нуль, а второй дифференциал d2f есть полу определенная квадратичная форма (п. 13.5-2), то характер стационарного значения зависит от дифференциалов более высокого порядка. Если же «2/ есть неопределенная форма, то функция f (х.. .... jd не имеет в точке fa,. a_ ... a ) ни максимума, нн минимума. — Если из уравнений (3) получена система значений х^ = ,,.э *л = йп, то характер квадратичной формы (4) можно определить любым из методов, перечисленных в п. 13.5-6. Можно также исследовать функцию на максимум и минимум, фактически вычислив значения f (а-^ 4~ °2 + Д^2, •••» ап Лхл) АлЯ РазУмным образом выбранных комбинаций приращений Д*2, Д*л. 11.3-4. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа. Максимумы и минимумы действительной функции /(хи х2» •••» хп) переменных х19 х2,...» хП91 подчиненных достаточно гладким дополнительным условиям в виде m < п Уравнений связи 4>i(Xi, х2,..., хп) = 0, ...... хл) = 0, ...j <рт(-Ч, *2> ••> хп)=0, (11.3-5) в принципе можно найти по способу п. 11.3-3, исключив т из п переменных ль x2l ...j Xfl с помощью уравнений (5). Если непосредственное исключение
336 гл. JI. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ п.з-в. т переменных невозможно или нецелесообразно, то применяют следующее необходимое условие максимума или минимума функции при ограничениях (5): = - аф —о (11.3-6) dxt дх2 дхп ’ где т ф(*1. Х$,..., Xn)=f(Xi, х$.... Х„)+ 2 fyqy(*i. Х2,..„ /=1 т параметров Ку называются множителями Лагранжа; n-j-m неизвестных Xi = aj и К/ находят из п-\-т уравнений (5) и (6). Заметим, что уравнения (6) представляют собой необходимые условия экстремума функции Ф(Х1, xit ...» хп), если х2.хп считать независимыми переменными. Пример. Найти стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в окружность: х2 4- у2 = г2. Площадь А прямоугольника можно записать в виде А — 4ху. Тогда ф U, у) = 4xy + k (х2 4- У2 — Г2). Необходимые условия экстремума дают с)Ф дФ = 4у + 2?.х = 0 и = 4х + %.у = О, так что искомый максимум дают значения X = — 2 н х~ у — 11.3-5. Численные методы. Если, как это часто бывает, при отыскании максимумов и минимумов функций многих переменных получают сложную систему уравнений или если явное дифференцирование затруднено или невоз- можно, то экстремумы находятся при помощи последовательного применения метода проб. Некоторые важные численные методы для решения такого рода задач описаны в пп. 20.2-6 и 20.3-2. 11.4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ, ИГРЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 11.4- 1. Задача линейного программирования. (а) Постановка задачи. Задача линейного программирования за- ключается в нахождении г переменных Хх, Х2,.... Хг, минимизирующих дан- ную линейную функцию (целевую функцию) e=F(Xt, Х2..... Хг)^С1Х1 + С2Х2+...+СЛг (П.4-1а) (или максимизирующую—г) при линейных ограничениях-равенствах a»iXi-|-ai2X24_...-]-oJyXr=Aj (i = l, 2,..., и) (11.4-16) и линейных ограничениях-неравенствах АдХ1~|~Ау2Х2-|~.-.-l-AjrXrВ/ (/ = 1, 2,..., /и). (11.4-1с) Заметим, что не каждая задача указанного типа имеет решение. Рис. 11.4-1 иллюстрирует один простой пример. В типичных приложениях это — задача о нахождении необходимо положительных величин Xt, Xa, ..., Хг, т. е. г видов сырьевых материалов («входные» данные), мини-
11.4-1. J1.4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВ.. ИГРЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 337 мизирующнх общую стоимость B(Xt, Х2. .... Хг> (1а) соответствующих величин т «вы- водных» продуктов = АдX।А(ГХГ (/==1. 2. .... tn) с нижними уровнями Bj, Вг.Вт. Имея в виду г условий Х^ > 0 (ft = 1, 2. г) и т ограничений q^Bi (1=1, 2.tn), мы получаем п = г + ш ограничений-неравенств. Большое количество примеров, рассмотрено в [11.1], [11.2]. Рнс. 11.4-1. Множество решений а) на плоскости (Xlf Х2), и 6) в пространстве (лс*, х2, х3) для задачи линейного программирования г = 3Xj + 2Хг — min при условиях xt = Xt > 0, х2 = Х2 > о, х2 = 5Хг + Х2 — 5 > О или г = 3xt + 2xs = min при условиях 5х. + х2 — хг = 5, Xi > 0, х2 >0, х2 0. (Ь) Задача линейного программирования в стандартной форме. Допустимые решения. Задача линейного программирования, сформулированная в п. 1, может быть путем введения в случае необходимости вспомогательных пере- менных сведена к стандартной форме (основная задача линейного програм- мирования): Требуется минимизировать целевую функцию z=f(x±, х2,..., хв) = с1х1-4-с2х2-{-...4_СдХл (11.4-2с) при т<_п линейных ограничениях-равенствах «1Л+^2 + --•+alnxn=bi (i=l, 2.....т) (11.4-26) и п линейных ограничениях-неравенствах xft2s0 (fe = l, 2..... л). (11.4-2с) Допустимое решение (план) задачи линейного программирования, данной в стандартной форме, есть упорядоченное множество чисел (хх, х»,.... хп), удов- летворяющих ограничениям (26) и (2с); это — точка в «-мерном пространстве.
338 ГЛ. 11. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.4-1, Допустимое решение, минимизирующее целевую функцию (2с), называется оп- тимальным решением (оптимальным планом). Чаще всего оптимальное решение, если оно существует, единственно, однако возможны случаи, когда оптимальных решений бесчисленное множество. Для существования допустимого решения необходимо (но не достаточно!), чтобы система (26) была совместна. В дальнейшем считается, что это выпол- няется; ранг матрицы системы г т < п. Тогда г линейно независимых урав- нений системы (26) определяют некоторые г неизвестных как линейные функ- ции остальных п—г неизвестных—свободных неизвестных (см. п. 1.9-4). Фактически выражая все переменные через свободные неизвестные, можно прийти к задаче линейного программирования, содержащей п—г переменных и п линейных ограничений-неравенств, выражающих неотрицательность исход- ных п переменных. Допустимое решение, соответствующее нулевым значениям свободных неизвестных, называется базисным допустимым решением (опорным планом),, невырожденным, если все остальные переменные положительны, и вырожден- ным, если среди них есть хоть одно нулевое. Если существует какое-либо допустимое решение для задачи линейного программирования, то существует и базисное допустимое решение. Если, кроме того, целевая функция имеет нижнюю границу на множестве решений, т. е. существует оптимальное решение, то существует и оптимальное базисное решение. Множество всех допустимых решений данной задачи линейного програм- мирования есть выпуклое множество в n-мерном пространстве решений; это значит, что каждая точка (gj, Н2, •••, прямолинейного отрезка, соединяю- щего два допустимых решения (х1( х2.. хп) и (х'ь х'2г,х^): gft = axft+(l—а)х'А (Osgasgl; 6=1, 2,..., п) (см. также п. 3.1-7), есть также допустимое решение. Более точно, множество допустимых решений есть выпуклый многоуголь- ник или многогранник в плоскости или гиперплоскости, определяемый урав- нениями (26) с граничными линиями, плоскостями или гиперплоскостями (2с), как это указано в простом примере на рис. 11.4-1, 6. Если существует конечное оптимальное решение, то задача линейного программирования либо имеет единственное оптимальное решение в одной из вершин многогранника решений, либо минимальное значение г достигается на всем выпуклом множестве, порождаемом двумя или более вершинами (вырож- денное решение). (с) Двойственность. Задача минимизации г=/?(Х1, Х2.... Xr) = ClXi+C2X2+...+CrXr==min с ограничениями л 1 4 31 AilX,+AizX2+...+AirXr-Bi^0 (1 = 1, 2t...2 m), Xk^0 (6=1,2,...,/-) и соответствующая задача максимизации w = G(Yt, Y2... Ут)^В1У1+В2У2+...+ВтГт = тах ) с ограничениями I д.д\ AikYi~]-A2i1Y2-{-...-l-AmiiYm Ck^Q (6=1, 2,..., г), ( Ух^>0 (« = 1, 2,..., т) J называются двойственными задачами линейного программирования. Если одна из задач (3) или (4) имеет конечное оптимальное решение, то то же имеет место для второй задачи, причем min z=rriaxay, (11.4-5)
11.4-2. 11.4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВ., ИГРЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 339 Если одна из задач имеет неограниченное решение, то вторая задача не имеет допустимых решений. Теорема двойственности позволяет заменить данную задачу линейного программирования другой, имеющей меньшее количество неизвестных или меньшее количество ограничений-неравенств, и поэтому используется в неко- торых численных методах решений. 11.4- 2. * Симплекс-метод. (а) Задачи линейного программирования могут быть решены численными методами наискорейшего спуска, указанными в п. 20.2-6, однако симплекс- метод извлекает' выгоду из линейности выражений (1) и (2). В дальнейшем предполагается, что система уравнений (26) линейно неза- висима, т. е. что г=т. Если решение задачи линейного программирования существует, то оно достигается в одной из вершин многогранника решений; последние могут быть найдены совместным решением т линейных уравнений (26) и каких-то п—т уравнений хк = 0. Очевидно, что при большом числе переменных и ограничений этот процесс практически неосуществим ввиду крайне большого числа возможных вершин многогранника решений; симплекс- метод доставляет вычислительную схему перехода от вершины к вершине (от одного базисного решения к другому) в направлении наименьшего значения г. (Ь) Применение симплекс-метода начинается с выбора какого-либо допу- стимого базисного решения. В принципе это можно сделать так: выбираются п—т свободных переменных (свободных неизвестных), а остальные т пере- менных (базисные переменные) с помощью последовательного исключения переменных (п. 1.9-1 и 20.3-1) выражаются через них. Если базисные пере- менные обозначены через лу, х2,..., хт, то уравнения (2с) и (26) в резуль- тате исключения могут быть записаны в следующей канонической форме: Х1 + («1. т+1хт+1 + • • + а1пхп) — Р1> л:2 + (а2, + • • • + а2п^л) = ₽2> хт + (ат. m-A-i-l + • • • + атпхп) = Рт> 2 = (Ут+1хт+1 + • • + Упхп) + 20- Если все р; неотрицательны, то (11.4-6) ( 6,-, 1 = 1, 2, ..., т, х,-=Л „ (И-4-7) I 0, i=m-J-l, /п+2, ..., п образуют базисное допустимое решение. Произведенный выбор свободных и базисных переменных далеко не очеви- ден; процедура, облегчающая выбор начального решения, будет описана в (d). Если в выражении для целевой функции г в (6) все у,- неотрицательны, то решение (7) есть оптимальное решение (никакое допустимое изменение свободных переменных не может уменьшить г). Это оптимальное решение единственно, если все yft положительны. (с) Рассмотрим теперь случай, когда решение (7) является невырожденным базисным допустимым решением (т. е. plt р2, ..., рт>0, см. п. 11.4-1), которое не оптимально, т. е. среди уд. есть отрицательные. Пусть, для определенности, у^-—наибольшее по абсолютной величине из отрицательных у*. Для получения улучшенного базисного допустимого решения в следующий итерационный цикл в качестве базисной переменной вводится хк, заменяющее предшествующую базисную переменную xt, которая в соответствии с уравнениями *i = Pt— аи<хк (/ = 1- 2, .... да) Первой убывает до нуля, когда х% возрастает от нулевого значения (это
340 ГЛ. П. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.4-2. возможно тогда, когда среди ail( есть положительные). Значит, индекс 1 ассо- циируется с наименьшей возможной величиной (обязательно положительной) Х„= ---. К а1К Улучшенное базисное решение дается равенством (8с) и J Pf—а^Хд.^0 (« = 1, 2, ..., т; заметим, что х/=0), ' [0 (i = m+l, m-]-2..п, i=£K.). При этом г= гп+Т,Л*'== г<1+Т*'-т;— < гп- и 1 1 i\ о 1 1 л a j к и Теперь введение Хк~~^гк ^7кГ/+ -S аихА \ — m + l I (11.4-8а) (11.4-86) (11.4-9) в систему (6) приводит ее к канонической форме относительно новых базисных переменных. Замечание. Симплекс-метод не реализуем, если все неположи- тельны; тогда целевая функция z не имеет нижней границы на множестве решений. Полный симплекс-алгоритм можно удобным образом табулировать в виде симплекс-таблицы и осуществить с помощью электронных вычислительных машин; обычно оптимальное решение достигается за конечное число шагов. Рис. 11.4-2. Множество решений в пространстве (Xi, Х2). Если в процессе вычислений базисные переменные соответствуют выро- ждающемуся базисному допустимому решению (т. е. одна из базисных перемен- ных возвращается к нулевому значению, см. п. П.4-1, Ь), дальнейшее уточнение значения целевой функции, в принципе, прекращается; однако в практических задачах это встречается редко. Можно распространить симплекс-метод на случаи вырождения посредством малых изменений данных коэффициентов (метод возмущений). Пример (рис. 11.4-2). Задача минимизации функции Z = T х* + |
11.4-2. 11.4 ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВ., ИГРЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 341 с ограничениями-неравенствами 5Х24-Х2 — 55г О, 2Xt+5Xj —10>0. Х,>0, Х2>0 путем введения вспомогательных переменных Xj = Xt, xs = 5Xi4-X2 — 5. xs=2Xi + 5X2 —10, z4 = Х2 преобразуется к стандартной форме 1 , 1 , z = 4- «1 + У ** = rain> 5xrt—х2+ х4 = 5, 2xt — xs 4- 5х4 = 10, xt, хг, х3, xt 5= 0. Отправляясь от xt и х2 как базисных переменных (первая вершина справа на рис. 11.4-2), получаем каноническую форму задачи: * ,5 г г. xt---g хз + ~2 *4 = 5>0, х2--g- х2 -g- — 20 > 0, 24z = Зха — 7х4 30. Коэффициент при xt в последнем выражении отрицателен, целевая функция убывает при возрастании х4. При этом возрастании первой обращается в нуль переменная хе. Таким образом, хй заменяет базисную переменную х2, К = 4, 1 = 2 и 20 40 15 . ~ 23 ~ 23 ’ Xl ~~ 23 ’ Xz Xs 2 Новая каноническая форма задачи относительно xlt .v4 есть 5 , 1 15 А **~23*а + 23*а —23>0, . 2 5 40 **+ 23*а~23 Xs~Й>0’ 12 • 23z =7х2 Ч- ^7х^ —р 205. В целевой функции коэффициенты при свободных переменных х%, х3 положительны: значит, получено единственное оптимальное решение — 205 _ 205 гт1п— 12.23 — 276’ (d) Использование искусственных переменных для начала симплекс-про- цедуры. Симплекс-метод, как описано, предполагает, что подходящий выбор начальных базисных переменных хп х2, ..., хт образует некоторое базисное допустимое решение с Рл, р2.ртЭ=0. Указанный выбор ие очевиден. Нижеследующая процедура может быть применена для начала решения; она же позволяет установить существование допустимых решений. Рассмотрим задачу линейного программирования в стандартной форме (2) и будем считать, что уравнения (26) записаны так, что все 6, :> 0. Введем т искусственных переменных х„+1, х„+а, ..., х„+т и решим вспомогательную задачу о минимизации линейной формы ^=х„+1+Хп+а+...+Хп+т (11.4-10а) при условиях йцХ1 + °12х2 + • • - + а1пхп + Х„+1 = 1>1 2=: 0, a2ixt + аггхг + • • • + cs«x« + хп+а — Ь2 -5 0, (11.4-106) + итгх2 + • • • + атпхп + хл+т — Ьт 0, хАЭ=0 (k= 1, 2, ..., п+т).
342 ГЛ. И. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.4-3; Принимая Xi, х2, .... хп за свободные переменные, a xn+t, хп+2, • хп+т-— за базисные, получаем базисное допустимое решение вспомогательной задачи: х,=0 для Isglsgn и xnJrj—bj для l^j^m. Применяя симплекс-метод, находим оптимальное решение вспомогательной задачи. Если это решение •таково, что K)mjn = 0, т. е. все х„+1, ..., xn+m равны нулю, то оно определяет допустимое решение исходной задачи. Если же для оптимального решения K>min>0, то исходная задача не имеет допустимых решений. 11.4-3. Нелинейное программирование. Теорема Куна — Такера. Если линей- ная целевая функция и/или одно или более линейных ограничений в задаче линейного программирования (1) заменены нелинейными относительно перемен- ных Xk, то имеет место задача нелинейного программирования. Такая задача возникает, например, если границы множества решений и/илн линии уровня г на рис. 11.4-1, а заменены кривыми. Задачи нелинейного программирования представляют практический инте- рес, но, за малым исключением, поддаются лишь численным методам решения (п. 20.2-6). Необходимое (но не достаточное) условие максимума функции z=f(xlt .......хп) (11.4-11) при условиях-неравенствах <Р»(хь х2, .... х„)г<0 (1=1, 2, ..., т) заключается в существовании т-}-1 неотрицательных множителей Лагранжа Zo, Xlt ..., (см. п. 11.3-4), не равных одновременно нулю и таких, что М>*=° df dtp. и дх. 1 1 дх. (1 = 0, 1, ..., т), I (1=1, 2, .... т), > (11.4-12а) (k — 1, 2...п). (Теорема Ф. Джона-, функции f и фг- предполагаются дифференцируемыми.) В условиях (12а) положительно и может считаться равным единице всякий раз, когда существуют п действительных чисел (ylt у2, уп) таких, что для рассматриваемых значений xt, х2.....хп 1=1, 2, .... т f 0, если <рг—линейная функ- I ция в некоторой окрестности 1 (Xi, х2, .... хп), | < 0 в остальных случаях (11.4-126) (формулировка Эйбеди теоремы Куна — Такера). 11.4- 4. Введение в конечные игры двух партнеров с нулевой суммой. (а) Игры с чистыми стратегиями. Конечная игра двух парт- неров с нулевой суммой есть модель конфликтной ситуации, характеризуемой конечной матрицей выигрышен а11 а12 ••• а1т \ °21 а22 ••• а2Ш 1 4-13) ат ап2 ••• апт / где api — (положительные или отрицательные) выигрыши игрока А у игрока В, если А выбирает 1-ю из п чистых стратегий Sx, S2.......S„, удобных для него, а В выбирает k-ю из т чистых стратегий Sj, Sj, .,.t S'm, возможных для него. Ни один из игроков не знает выбора другого.
11.4-4. 11.4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВ., ИГРЫ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 343 Заметим, что сумма выигрышей обоих игроков равна нулю при каждом ходе (отсюда и название — игра с нулевой суммой). Игра симметрична, когда m = n и ад./ =—cttk для всех i, k. Для выигрыша максимизирующий игрок А выбирает i-ю строку матрицы выигрышей с тем, чтобы максимизировать min ац,, тогда как минимизирующий игрок В должен минимизировать max а,-*. Для каждой заданной матрицы (13) i max min min max а;*. (11.4-14) i k k i Если обе величины в (14) равны для (не обязательно единственной) пары 1=1, k — K, то говорят, что игра имеет седловую точку илн решение /, К и (единственную) цену а;к. Оптимальные стратегии для такой игры не имеют смысла, если игрок А знает предстоящий ход В, и обратно. (Ь) Игры со смешанными стратегиями. Смешанные стратегии определяются с помощью вероятностей (п. 18.2-2) plt р2..рп, приписываемых игроком А его п возможным стратегиям Sv S2, ..., Sn, и вероятностей р{, р'2, р'т, приписываемых игроком В его стратегиям SJ, S'2, ..., S'm In т \ 2 рд= 2 p/=1 • V=1 7 = 1 / В игре со смешанными стратегиями А стремится максимизировать минимум математического ожидания (п. 18.3-3) п т , ™in .22 aikPtP'k Pl, Р%, — , Pml=lk=l посредством выбора plt р2, рп, тогда как В стремится минимизировать п т тах 2 2 atkPiP'k Pf Р%* рп ‘ =1 k = i путем выбора р[, р2, .... р'т. Для любой заданной матрицы выигрышей (13) [п т min ,22 aibPiPk Pl, Pg, „„Pm 1 = 1 * = 1 п m , min , max J] J] aikpiP'k PI.P2....PmL₽r₽S....Pni = lk = \ (11.4-15) (теорема минимакса для конечной игры двух партнеров с нулевой суммой выигрыша). Общая величина (15) называется ценой v игры. Каждая конечная игра двух партнеров с нулевой суммой имеет по меньшей мере одно решение, определяемое оптимальными стратегиями р,, р2, .... рп', Pl’ Р2.....Р'т- Возможны н несколько решений, но цена игры необходимо единственна. Безобидная игра двух партнеров с нулевой суммой имеет цену, равную нулю. Пр и м е р. Известная игра «герб-решка» имеет матрицу выигрышей
344 гл. II. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.8ЛГ в которой стратегия Г для каждого игрока есть решка-герб, а стратегия 2 т- герб-решка. Игра симметричная, безобидная и не имеет седловых точек. Решение: = р' » 1/2. pQ = р' = 1/2. (с) Связь с линей ным программированием. Игры со сме- шанными стратегиями привели к развитию некоторых приближенных методов,, однако наиболее важные приложения связаны с линейным программированием. Решение данной матричной игры не изменяется от прибавления ко всем одной и той же положительной константы а, так что не будет ограничением рассматривать игры с положительной ценой о>0. В этом случае оптималь- ные стратегии pv р2, рп и р\, р'2, .... р'т и цена v конечной игры двух партнеров с нулевой суммой с заданной матрицей выигрышей (13) есть Pi = vXi (« = 1, 2...п), p'k = vYk (А = 1, 2..щ), (п 4 1б) 2min “max где ZmIn, №max, Хг, Yk определяются как решения двойственных задач линей- ного программирования (п. 11.4-1): г=Xj, + Х2 -f- Х„=min с ограничениями “ifcXt + a2j,X2 +...Ц-t/„ftXn 1 (A = l, 2, tri), Х;=аО (j = l, 2, ..., и), и а>=У1+Уа+...+ Ут = тах с ограничениями аИ^1Ч-а12^г~Ь-"~1~а1т^т^ 1 (< = 1» 2, ..., Я), Уй2г0 (Л=1, 2, .... т). 11.5. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 11.5- 1. Вариации. (а) Вариация ду функции у (х) переменного х есть функция от х, опреде- ляемая при каждом значении х как разность dy = Y (х)— у(х) новой функ- ции ¥ (х) и функции у (х). Вариацию ду, вызывающую изменение функционального отношения между у н х, не следует смешивать с приращением At/ значения данной функции у(х), вызываемым приращением Дх независимого переменного х (п. 11.2-1). (Ь) Если дана функция F(yt (х), у2 (х).уп (х); х], то ее приращение, соответствующее вариациям dylt ду2, .... дуп функций уг (х), у2(х), ...,уп(х), есть ДЕ^Р(У1+дуъ у2+ду2, .... уп + дуп-, x)—F(yv у2.....уп; х). (11.5-1) Если функции у (х) и ду дифференцируемы, то вариация ду' производной у' (х), вызываемая вариацией ду, есть ду' д (ду) ш Y' (х)-у (х). (11.5-2) Если дана функция /[г/, (х), у2(х), .... уп (х); у[ (х), у2 (х), .... у'п (х); х|« то ее приращение, соответствующее вариациям дуь ду2, дуп, есть ДЕ s=F (yt+дух, у2+ду2........уп+дуп, у[+ду[, у'2+ду'2.Уп+^Ут *)“ —Р(У1< ......Ут У\< У2> •••> Уп\ х). (1J.5-3)
11.5-2. ‘ 11.6. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 345 (с) Если функция F имеет в некоторой области непрерывные частные производные второго порядка, то ее приращение, определяемое равенством (3), можно представить в виде АЕ= 2 (г‘6г// + ^'6г/‘’1+ / = ! 14- dyi J + 4' 2 IйУь + 2 тЯг7 byt 6г/4+°(p2)’ <11 ’6‘4) 2 i = l A=1 \dUidUk dVidyk 'J где _____________________________________ p=Vег/|+бг/р+б1/|+бу22+.--+ЭД+бг/'пг (п. 4.10-5). Члены степени 1 и 2 относительно бу и бу' в формуле Тейлора (4) соответст- венно составляют первую вариацию 6F функции F и половину второй ее вариа- ции 62F. (d) Определения и формулы пп. 11.5-1.а, b и с без изменений перено- сятся иа функции у, yi и F двух и большего числа независимых перемен- ных Хт, х2, ... 11.5-2. Максимумы и минимумы определенных интегралов. В то время как теория обыкновенных максимумов и минимумов (пп. 11.2-1 —11.3-5) имеет дело с неизвестными значениями независимых переменных х или х/, соответствую- щими максимумам и минимумам заданных функций, предметом вариационного исчисления является отыскание неизвестных функций у (х) или yi (х), реали- зующих максимум или минимум определенных интегралов вида Хр 1— j F[y(x), у’ (х), х] dx (11.5-5а) Хо или ХЕ ? = У2М, ...» уп(х)‘, у\(х), у’2(х), ...» у'п(х)\ x]dx> (11.5-56) х0 где F—данная функция, причем заданы конечные пределы интегрирования х0, Хр и граничные значения у(х0), y(xf) или yi(x0), У;(Хр). В других зада- чах пределы интегрирования и/или граничные значения также неизвестны и нуждаются в определении. / есть функционал (п. 12.1-4), определенный на соответствующем множестве функций. Определенный интеграл (5) имеет сильный максимум или сильный минимум для данной функции у (х) или данной системы функций yt (х), если существует такое число е > О, что Хр Хр Д/^Д jEdxs jAEdxCO или Д7>0 (11.5-6) х„ х0 для всех вариаций бу или для всех систем вариаций 6yi, для которых соот- ветственно 0 < | бу | < е или 0 <е при Xo=^xsgxF. Интеграл / имеет слабый максимум нли слабый минимум, если неравен- ство (6) выполняется для всех вариаций бу или 6yi, для которых соответст- венно 0 < у^бу2 + бу'2 <е или 0 < + + 61/Й2 <-8 ПРИ х» s? X Хр. Условия слабого экстремума сужают множество допустимых функций срав- нения; поэтому сильный максимум (или минимум) является в то же время и слабым максимумом (или минимумом)."
346 ГЛ. It. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.5-3 Пусть область значений допустимых функций у (ж) или y-t (ж) удовлетворяет нера- венствам типа f(yp у^, рп)>0. Тогда, если значения функций у (ж) или у. (ж), реализующих экстремум интеграла I, лежат внутри области значений, то говорят о внутреннем экстремуме; если же эти значе- ния полностью или частично лежат на границе области значений, то говорят о граничном экстремуме. В большинстве приложений функции у (ж) или у, (ж), дающие максимум или минимум интегралу (5), должны выбираться не среди множества всех воз- можных функций от х, а лишь среди множества функций определенного класса. В дальнейшем всюду, где это необходимо, предполагается, что рассматриваемые интегралы существуют и что 1) функции, дающие максимум или минимум инте- гралу, выбираются среди множества всех функций, имеющих на рассматриваемом промежутке или области непрерывные вторые производные, и 2) каждая подынтег- ральная функция F имеет непрерывные вторые производные. 11.5- 3. Решение вариационных задач. Функции у (ж) или г/; (ж), реализую- щие максимум или минимум данного определенного интеграла, могут быть найдены 1) как решения, дифференциальных уравнений, получающихся из усло- вия 6F=0 (пп. 11.6-1 —11.6-7), или же 2) «.прямыми* методами, описанными в пп. 11.7-1 — 11.7-3. Нетривиально замечание, что задача рассматриваемого здесь типа может не иметь решения. Для каждого решения, полученного с помощью необходи- мых (но не достаточных) условий пп. 11.6-1 — 11.6-7, должно быть проверено, действительно ли оно обладает свойствами максимума или минимума. Неко- торые достаточные условия существования экстремума определенных интегра- лов рассмотрены в п. 11.6-9. 11.6. ЭКСТРЕМАЛИ КАК РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 11.6-1. Необходимые условия максимумов и минимумов. (а) Необходимым условием существования максимума или минимума опре- деленного интеграла Хр I— J F [у (ж), у' (ж), ж] dx (11.6-1) Жо при фиксированных ж0 и хр является равенство Хр Хр Хр W=\6F dx=d£ бу - Ц dx=° Жо Жо Жо для произвольно малой вариации ду. Поэтому каждая функция у (ж), реализую- щая максимум или минимум этого интеграла, должна удовлетворять диффе- ренциальному уравнению d*F " । S*F ’ । S*F /или dx\dy') dy^dy'2^ ' dy dy’У ' dx dy' dy ' ‘ (уравнение Эйлера). Общее решение уравнения (2) содержит две произвольные постоянные (если Fg,y, Ф 0): они определяются из того, что функция у (ж) либо принимает заданные граничные значения у(ж0) и/или у(Хр), либо же удовлетворяет каким-либо другим условиям, определяющим ее граничные значения (п. 11.6-5).
11.6-1. 11.6. ЭКСТРЕМАЛИ КАК РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 47 Приведенное условие является необходимым условием слабого экстремума, а зна- чит, и сильного. Отметим, что достаточные условия слабого экстремума менее ограничи- тельны, чем сильного (и. 11.6-10). (Ь) Точно так же каждая система из п функций (х), у2(х), .... уп(х), реализующая максимум или минимум определенного интеграла xF 1 = J F[yi(X)’ У2(х}, Уп(х)‘< У'Лх), у'а(х)...Уп<Х)г x]dx’ (11-6-3) х„ должна удовлетворять системе п дифференциальных уравнений d [8F\_dF_ dx\dy’lj (i = 1, 2,, n) (уравнения Эйлера) (11.6-4) и некоторым заданным граничным условиям (см. также п. 11.6-1, с). Функции у (х) или у, (х), удовлетворяющие уравнению или уравнениям Эйлера для данной вариационной задачи, называются экстремалями рассмат- риваемой задачи; они образуют 2п-параметрическое семейство. (с) Дальнейшим необходимым (но не достаточным) условием максимума или мини- мума I является то, что на экстремали матрица Г_1 соответственно нвположи- тельна или, неотрицательна (п. 13.5-2) (условие Лежандра). В одномерном случае эти 02/7 02/7 условия сводятся соответственно к ^0 илн г——-^0 (см. пп. 11.6-7 и 11.6-10). ду2 ду'г Вообще говоря, необходимые условия п. 11.6-1, а и b предполагают, что функции у (х) или Ul (х) дважды непрерывно дифференцируемы, однако это не является каким-либо дополнительным ограничением. Если интегрируемая функция F имеет непрерывные вто- рые производные, то все непрерывно дифференцируемые функции у (к) или у$ (х), реализую- щие экстремум интеграла I, необходимо имеют непрерывные вторые производные во всех точках интервала (*0. Хр), в которых д2Р/ду'2фО или соответственно матрица Г —1— [ ду^дуу J положительно или отрицательно определенная (п. 13.5-2) (теорема Дюбуа — Реймона). (d) Получение условий (2) и (4) из 6/ =0 основано на фундаментальных леммах вариационного исчисления: xF 1. Если f (х) непрерывна на замкнутом интервале [xq, хр] и f (х) g (х) dx = 0 для любой функции g (х), имеющей непрерывную производную и такой, что g Uo) = К (хр) = О, то f (х) = 0 на [яо, *р]- Х/7 2. Если f (х) непрерывна на [хо» f (х) g (х) dx~ 0 для любой непрерывной х0 Хр функции g (х) такой, что j g (х) dx — 0, то f (х) является константой. х0 Примеры приложений, в которых рассматриваются вариа- ционные задачи: геодезические в римановых пространствах (и. 17.4-3); вывод Уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. См. также п. 15.4-7. Пример. Брахистохрона е трехмерном пространстве. Если в трехмерном про- странстве задана прямоугольная декартова система координат, причем ось Ох направлена вертикально вниз, то эта классическая задача состоит в определении пространственной кривой у ~ у (х), z ~ z (х), для которой материальная точка, скользя по этой кривой без трения под действием силы тяжести из начала координат, достигает некоторой заданной точки У (хр), Z (Хр)} за наименьшее время. Так как в силу закона сохранения енергии
348 ГЛ. И. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ И. 6-2, где g — ускорение силы тяжести, то нужно найти минимум интеграла t V2g = \ -1— V1 + (г/)2 + (г')2 dx. J X /а ч О Уравнения Эйлера имеют вид А /---------£----------\ = « I-----------*----------\ = о х \хЧг тГt + (у')2 + (г')2/ dX \х*^2 V1 + (г/')2 + (г')2 / ИЛИ (/' г' Ж1/» /1 + (г/')2 + (z')2 V1 _|_ (/)2 _|_ (г')2 где ct и Ci — константы. Так как ~ =в~. то кривая должна лежать в вертикальной d Z Oz плоскости, которая, если задать граничные условия У {хр} = ур, г (хр} = О, будет плоскостью Оху. В этом случае z'~On ...- — Положив, у' — tg(//2X* ч х /2 /1 /.'* найдем х — а (1 — cos 0, гДе а = Далее 1 и dy = y'dx = tg (//2) a sin t dt = a (1 — cos t} dt у = a (t — si n t) -J- k. Поскольку £/ = 0 при ,v=0, постоянная k должна быть равна нулю. Постоянная а будет зависеть от значений хр и ур. Искомая кривая является циклоидой (п. 2.6-2, е) с осно- ван нем на осн Оу и точкой возврата в начале координат. Замечание. Задача о брахистохроне, как и задача нз п. 11.6-3, представляет пример задачи на минимум криволинейного интеграла (п. 4.6-10).'Задачи этого типа всегда можно свести к случаю, когда интегрирование производится лишь по одной независимой переменной. 11.6- 2. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа. Требуется найти систему функций yt (х), у2(х),..., уп(х), реализующую максимум или минимум определенного интеграла (3) и, кроме того, подчиняющуюся т < п достаточно гладким дополнительным условиям или уравнениям связи <P/(Xi. Js. •••. Угй *) = 0 (/ = 1, 2, ...;лг<п). (11.6-5) Если невозможно непосредственно исключить т из п переменных yi, вос- пользовавшись соотношениями (5), то искомую систему функций у, (х), у2 (х)....уп (х) получают как решение системы дифференциальных уравне- ний (уравнений Эйлера) (* = 1.2.—.«К (Н.6-6) подчиненное условиям (5), где т Ф = г+ 2 1,(х)ф,. (11.6-7) /= t Неизвестные функции Х/(х) называются множителями Лагранжа (см. также п. 11.3-4). Если задача имеет решение, то п-}-т функций и Z,/ определи-
n.s-s. U.S. ЭКСТРЕМАЛИ КАК РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕН11 УРАВНЕНИЙ 349 ются из п+т уравнений (6) и (5) и из заданных граничных условий. Диф- ференциальные уравнения (6) являются необходимыми, ио не достаточными условиями максимума или минимума. Метод множителей «Лагранжа можно применять и в случае достаточно гладких него- лономных условий вида Ф; (44, Уг... уп; y't, у*. у„; х) =0 (7=1, 2.....т). (11.6.-8) 11.6-3. Изопериметрические задачи. В изопериметрической задаче требу- ется найти систему функций (х), _у2(х),.... уп (х), реализующую максимум или минимум определенного интеграла (3) и подчиняющуюся условиям XF J У2, — ,Уп, У\, y's,, — , У'п; x)dx=Cy (й=1, 2...., г), (11.6-9) Хо где Су г— заданные постоянные. Если функции достаточно гл.адкие, то при- меним метод множителей Лагранжа: неизвестные функции _уг- (х), подчиненные условиям (9), должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений (6), где в этом случае Ф = т+ 2 (11.6-10) k = 1 г множителей Лагранжа |xft являются постоянными и их вместе с п неиз- вестными функциями yi (х) находят из r-j-n уравнений (9) и (6) и заданных граничных условий. Пример. Площадь плоской области, ограниченной кривой х = х (0, У ~ У можно найти с помощью формулы 2л О где t — подходящим образом выбранный параметр. Чтобы иайти максимум площади 1 при дополнительном условии 2л о где R — отличная от нуля постоянная, положим _ 1 / dy dx\ . Г 7dx\2 . 7d*Д21 Уравнения Эйлера (6) имеют вид dy , _ dzx п dx . _ d2y dt+^dlT-0- Заданное дополнительное условие н эти уравнения удовлетворяются при г» I , ~ . I , 1 /~ я .v = /?cos — 4-л0, £/ = —flsin~ + z/0, где ц = у —, w. е. искомая кривая есть окружность радиуса 7? (см. также п. 11.7-1). Замечание. Чтобы найти максимум или минимум интеграла (3), подчиненного т Дополнительным условиям (5) и г условиям (9), пользуются уравнениями (6), где Ф^Е+ 2 ^<Х)Ф/+ 5 /=1 *=1
350 ГЛ. И. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.6-4. 11.6-4. Решение вариационных задач в случае, когда подынтегральная функ- ция содержит производные высших порядков. Чтобы найти максимум или минимум определенных интегралов вида XF /= $ FУ? > Уп' y'v y'v ••• • Уп’ у'{> Уг...Уп’ ? *) (п-6-11) можно все производные выше первого порядка ввести в качестве новых неза- висимых переменных, связав их друг с другом и с y-t условиями у'[ — dy'Jdx, у'-' =dy"ildx, ... В результате необходимые условия максимума и минимума интеграла (14) принимают вид dF d fdF\ d‘ f BF\ d‘/dF\ dy. dx у dy'i j d>? \dy"i J di? dy- j (t= 1, 2.......n); (11.6-12) при этом предполагается, что подынтегральная функция является достаточно гладкой. Для того чтобы решить задачу полностью, следует еще задать гра- ничные значения всех производных до (п—1)-го порядка включительно каж- дой из функций yt, входящих в F. 11.6- 5. Вариационные задачи с неизвестными граничными значениями и неизвестными пределами интегрирования. (а) Даны пределы интегрирования, неизвестны гра- ничные значения. Чтобы найти максимум или минимум определенного интеграла (3) в случае, когда одно или несколько граничных значений y-L (я0) и/или yt (Хр) не заданы и не связаны какими-либо условиями (см. п. 11.6-5с), каждое отсутствующее условие заменяется соответствующим естественным граничным условием -^-=0 (я=я0 и/или х=Хр). (11.6-13) Общее число условий по-прежнему равно 2п и позволяет найти 2п произволь- ных постоянных, содержащихся в общем решении уравнений Эйлера. (Ь) Даны граничные значения, неизвестны пределы интегрирования. Если один из пределов интегрирования, например, Хр, не дай, но граничные значения у; (xf) даны, то экстремаль у. (я) должна удовлетворять соотношению 2 (x==*f)- (1L6'14) a=i (с) Общее условие трансверсальности. Часто один из пре- делов интегрирования, например, хр и/или одно или несколько значений у{(Хр) не даны явно, но известно, что «точка» [яр y^Xpj, y2(Xpj, уп (xf)] удов- летворяет п непрерывно дифференцируемым соотношениям G;[x; yv (я), ..., Й!Й] = 0 (/=1, 2..п,^п). (11.6-15) Предел интегрирования хр и неизвестные функции у1(х), ..., уп (я), мак- симизирующие или минимизирующие интеграл (3), удовлетворяют уравнениям Эйлера (4), граничным условиям (15) и условиям трансверсальности. dF dy\ 1=1 о, 2 ^7=° (x=xf) (11.6-160)
11.6-е. 11.8. ЭКСТРЕМАЛИ КАК РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 351 для каждого значения у. \Хр), не заданного явно, в дЕ dJktJk~F дС/ А.-Т = 0 i дх (*=М, (11.6-166) если xF неизвестно. Ау суть nj множителей Лагранжа, подлежащие определе- нию вместе с и-j-l неизвестными yt (хр) и/или хр из n-j-Hj + l соотноше- ний (15) и (16). Заметим, что уравнения (13) и (14) являются частными случаями уравне- ний (16а) и (166). В простейшем частном случае л=1 и G(x, у) = у—<р(х)=О условие трансверсальности имеет вид F (X, у, у') + [<р' (х)—гЛЛ/ (X, у, у')=0 (x=xF). (d) Аналогичные методы используются в случае, когда заданы не все гра- ничные условия, соответствующие х — х0. Пример. Минимизировать интеграл 'Е 1 = ( О [х (0, р (/), г (0) ds = fF *0 [6 (X, У. & 01 где у^, z0) и (хр, ур, 2ру лежат на двух подходящих (выпуклых) непересекающихся регулярных поверхностях и Sp, определенных уравнениями (*, У, 2) = 0, Вр (х, у, z) = 0. Здесь условия трансверсальности имеют вид . dffp дВ$ _________ tfx <Zz/ dz_ дх 1 ду 1 dz ' °'* dt 1 dt 1 df dBp дВр dBp дх * ду dz ‘ ~~ т. е. экстремаль пересекает поверхности SG и Sp ортогонально. Если, в частности, G (х, у, z) s= 1, то I есть расстояние между поверхностями и экстремаль есть прямая. Существование минимума зависит от специальных свойств (выпуклости) данных по- верхностей. 11.6-6. Задачи Больца и Майера. Функционал вида J F (х), W..........Vn W! Ё\ W, U2 (л), ..., у'п (х); х] dx-f- Хо + h Щ (xf). (xf).........Уп {ХР)' (11.6-17) который максимизируется на некотором классе функций у^ (х) (sadana Больца), удовле- творяющих заданным граничным условиям (15), может быть записан в виде J ^ + ^+1)^. (11.6-18) Хо
352 ГЛ. II. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.6-7. где — дополнительная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравне- нию-связи п «71+1= 2j + (П-6-19) £ = 1 я и граничным условиям vn+1 (*о) = °. Уп+1 (*F) = h [У1 (*F), «г (XF), • vn (XF}> М; (1 L6’20' удовлетворяют уравнениям Эйлера для интеграла (18), составленным с учетом наложенных связей (ем. п. 11.6-2). Аналогичная процедура используется, если дополни- тельно даны условия, связывающие граничные значения на конце х~х0. Если у^ (х) удовлетворяет ваданным дифференциальным связям, но F ~ 0, так что минимизируется или максимизируется только граничная функция ht то такая вадача назы- вается задачей Майера, которая будет рассмотрена в пп 11.8-1 — 11.8-6, посвященных теории упразления. 11.6-7. Ломаные экстремали. Отражение, преломление и односторонние экстремумы. Функции у (х) или у^(х), максимизирующие или минимизирующие определенный интег- рал (1) нли (3), могут предполагаться принадлежащими классу непрерывных функций, обладающих кусочно-непрерывной производной (п 11.5-2). Они могут иметь угловые точки для значений х, таких, d*F ЧТО ~ ° или матРии-а Vv У tv Уг у\. ••> Уп I--- I — полуопределеиная для некоторых у, у или у*, I dyk J 1 или же когда F имеет разрывы (п. 11.6-1 и 13.5-2). Угловые точки, в частности, могут встречаться. 1. Для некоторых х на интервале значений рнс. 11.6-1, а. 2. На кривой, поверхности, гиперповерхности как это показано на S (х, у) ~ 0 илн S (х‘. Up ..., уп) ~ О, (11.6-21) пересекаемых экстремалями («преломление» экстремалей, рис. 11.6-1, Ь). 3. На границе некоторой области, из которой экстремзли исключены по- средством огр анн чени й-нер авеиств S (х, у)^0 нли S (х; ур у& ..., Рп)^° (11.6-22) (рис. 11.6-1, с и d). В каждой «свободной» угловой точке [х*, у (х^)] или [хр у^ (хр, у % (хр, . . ., уп (хр] (см. рнс. 11.6-1, а, но не bt с, d) экстремали должны удовлетворять соотношениям Fy> (xt — 0) == Fyf 4- 0), [Fyty1 — _ о = [Fyty* — _p q; ИЛН F ’ (x. — 0) = F • (x -4-0) i = 1, 2....................... У1 1 Vi i * (условия Вейерштрасса— Эрдмана}» Разбор примеров, соответствующих рис, 11.6-1, a— d. см. [9.3]. В случае отражения (рис. 11.6-1. Ь) и преломления (рис. 11.6-1, с) экстремалей линия, поверхность или гиперповерхность, определенные уравнениями (21) нли (22), являются промежуточными границами, в точках пересечения с которыми экстремали должны удов- летворять угловым условиям где постоянная Л — множитель Лагранжа.
11.6-8. 11.6. ЭКСТРЕМАЛИ КАК РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИИ 353 В каждом случае угловые условия дополняют заданные граничные условия для нахождения угловых точек. В случае граничного (одностороннего) экстремума, показанного на рис. 11.6-1, с, экстремум может достигаться лишь на кривых, состоящих из дуг экстремалей и частей границы указанной выше области, причем в точках перехода экстремалей на границу они имеют общую касательную (см. также п. 11.8-5). Замечание. В частном случае I — J G (х, у,z) ds, dsz = dx* + dy2 + dzz, утло- го вне условия соответствуют законам отражения и преломления в оптике, если G (х, у, г} интерпретировать как величину, обратную скорости распространения света. Рнс. 11.6-1. Экстремали о угловыми точками. а) Две бесконечные последовательности кусочно-линейных экстремалей мн ним из и-, руют 2 I = У (1 — у'Р У'2 dx, у (0) = 0, у (2) = 1. 0 Уравнение Эйлера — Лагранжа определяет семейство экстремалей у — ах Ь, где а и Ъ находятся из граничных условий н услоаий Вейерштрасса — Эрдмана* откуда следуем что а равно либо 0* либо 1. Заметим, что 12^4-2 d2F ие может обращаться в нуль иа (0, 2) и > 0 каждой минимизирующей экстремали. Заметим также* что не существует гладкой экстремали, доставляющей наименьшее зиа-« чение I. Ь) Преломление экстремалей. с) Отражение экстремалей от граничной линии. d) Экстремаль* частично совпадающая с граничной линией. / 11.6-8. Канонические уравнения и уравнение Гамильтона—Якоби. (а) п уравнений Эйлера (4), соответствующих вариационной задаче п. 11.6-1, Ь, экви- валентны 2п уравнениям первого порядка: = 1 = 1,2...,,» (11,6-253) . 1 к ду^
354 ГЛ. II. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ II. 6-9, относительно 2п функций yj. и pi = dF[6y'i, где Я (^1- Ч....t>n' Pf "а- РП’ х) " п Л Piv’t-F^. ий. .... уп; у’, у’.....у^ *)> i= 1 (11.6-256) (контзктные преобразования, см. также п. 10.2-6 и 10.2-7). Система (11.6-25 а) называется канонической системой уравнений Эйлера или кратко- каноническими уравнениями. Заметим, что условия трансверсальности (13), (14), (16) и угловые условия (23), (24) значительно упрощаются введением функций р- и И. В классической динамике канони- чески сопряженные или присоединенные переменные р- интерпретируются как обобщен- ные моменты, а гамильтонова функция Н имеет размерность энергии. В пп. 11.8-1 — 11.8-6, в связи с теорией управления, задачи вариационного исчисления переформулированы в терминах канонических уравнений- Иногда можно упростить решение вадачн введением 2п J- 1 новых переменных У it Pi Н (£1» ^2» » Уп» Ръ Pi> •••» Рп. х) посредством канонических преобразований (п. 10,2-6), из которых следуют новые канонические уравнения В'^ 1 dpi Pi дН dpi а = 1,2...л). (Ь) Предполагая, что минимум . XF mln 1 = min Г F (fa, fa....у ; y\, у- ..., у-; jc) dx = Ух W, Уй(*), - , Уп (*) xo 1 ® " * 2 « == S [x0, у± (х0), у-й (хй), ... , yn (x0); уi (Xp), y2 (xp).yn (xF)] a B s K>. У1 (*o). Ъ (*o)' ••• ‘ «П (*o)J B 5 (* Yi- y2- - • Yn) определяет единственную екстремаль при фиксированных хр, щ (хр) и переменных Хе — х. У,- (*0) = Y1 <{ — 1, 2. л), функция S (X, Ур Y*, ..., У„) удовлетворяет уравнению в частных производных первого порядка 6S , ,, ,v ,, dS dS dS „ ex H (yv Yt...Yn’ ay ar • ay •x)—0 111.6-ад 12 П (уравнение Гамильтона — Якоби). Обыкновенные дифференциальные уравнения (25а> являются уравнениями характе- ристик для (26) (см. также п. 10.2-7). 11.6- 9. Вариационные задачи в случае нескольких независимых переменных; максимумы и минимумы кратных интегралов. Часто требуется найти систему п функций х2,хт), ys(xlt х2,...., хт), ..., yn(xt, хг, .... хт) от т независимых переменных xlt х2, ...» хт, реализующую максимум или мини- мум кратного интеграла 1=J 5 ”• SF dXi dXi—dx™ p1 -6'27) где F—данная функция n+m+mn переменных yb xk и yi,k^dyi/dxk. При етом граница S области интегрирования V и граничные значения функций yi могут быть как заданы, так и не заданы. Предполагается, что функции yi выбираются среди множества всех функций, имеющих б U непрерывные вто- рые частные производные (см. также п. 11.5-2). Если подынтегральная функция F является достаточно гладкой, сто каж~ боя система функций, у и у^ .r.t упг реализующая максимум или минимум
ll.e-10. 11.6. ЭКСТРЕМАЛИ КАК РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ интеграла (18), должна удовлетворять системе уравнений с частными произ- водными т 2. ••> "> (11.6-28) и надлежащим граничным условиям. Для решения вариационных задач с урав- нениями связи применим метод множителей Лагранжа, описанный в пп. 11.6-2 и 11.6-3. Если граничные значения одной или нескольких неизвестных функций у. ие заданы, то следует с помощью условия б/ — О получить естественные граничные условия, анало- гичные уравнениям (13). Пусть, например, в случае двух независимых переменных х , х$ граница S есть регулярная замкнутая кривая, задаваемая уравнениями — (s), (s), где з — длина дуги. Тогда естественные граничные условия имеют вид = 0 = ь 2 . п) (11.6-29) dyia ds dyiA ds Пример. Малые смещения струны длины L могут быть описаны функцией у {х, t) координаты х, измеряемой идоль струны, и времени I. Кинетическая и потенциальная энергия всей струны соответственно равны 17=4 S y'xdx- о о где т — масса единицы длины, a Q — иатяженне струны. Чтобы интеграл tp tpL J (Г — U) dt = у ( (ту £ — Чу\ ) dx dt to to о имел минимум (принцип Гамильтона), должно выполняться соотношение " $ ** 1Ц в ^7 Vxx, являющееся уравнением колебаний струны. *11.6-16. Достаточные условия для максимума и минимума в простейшей задаче. Пусть функция 0=0 (*) (^^р) (11.6-30) является экстремалью интеграла . /= J F(x„ у, y')dx (11.6-31) Хо при заданных x0,xF и 0(*О)=0О, р(х/г)=0/> Дифференциальное уравнение второго порядка Гх (ру-у'г') + {тХруу'-руу) г=°- (П-6-32) где вместо у и у' подставлены их выражения из (30), называется уравнением Якоби. Если существует решение уравнения Якоби, равное нулю при х=х0 и не обращающееся в нуль при хо^-х^хр то говорят, что экстремаль (30) удовле- творяет условию Якоби. Геометрически это означает, что существует однопараметрическое семей- ство экстремале^ включающее данную экстремаль, выходящих из точки
356 ГЛ. II. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.7-1, (л0, г/0) и не пересекающихся при х0 < х Хр, — поле экстремалей с центром в точке (х0, г/0). Если для зкстремали (30) условие Якоби выполняется и функция Е {х, у, у', p)<==F(x, у, y')—F{x, у, p) — (y'—p)Fy,(x, у, р) (11.6-33) {функция Вейерштрасса) неположительна во всех точках (х, у), близких к точкам зкстремали у—у(х), и при значениях у', близких к p=dy/dx на той 'оке зкстремали, то зта зкстремаль реализует слабый максимум интеграла (31). Это, в частности, выполняется, если вдоль выбранной экстремали <0 (усиленное условие Лежандре!). (11.6-34) Если зкстремаль удовлетворяет условию Якоби и функция Е неположи- тельна при всех (х, у), близких к точкам зкстремали, и при всех у', то зта зкстремаль реализует сильный максимум. Достаточное условие минимума получается при выполнении неравенства Е 0 (соответственно Ру,у, > 0). Достаточные условия экстремума в многомерном случае приведены в 111.12], [11.13].* 11.7. РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ПРЯМЫМИ МЕТОДАМИ 11.7- 1. Прямые методы. В каждом из так называемых прямых методов нахождения максимума или минимума данного определенного интеграла / = J ? [у W, у' (*), X] dx , (11.7-1) *0 искомую функцию у(х) пытаются приблизить последовательностью функций (х), и2 (х), ... , выбираемых так, чтобы все они удовлетворяли граничным условиям, наложенным на у (х). Каждая функция иг (х) должна быть диффе- ренцируемой функцией от х и г параметров ап, юг2> > агг- Последние определяются так, чтобы они давали максимум или минимум функции . Хр 1г{аГ1, а.гс,, oirr)~ § F[ur(x), u'r(x), x]dx, (11.7-2) Хо О', е. удовлетворяли уравнениям 61 й^=0 (1=1, 2,..., г; г=1, 2,...) (11.7-3) Н (см. п. 11.3-3, а). Для каждой функции у (х), полученной таким путем в качестве предела последовательности приближающих функций щ (х), и2(х),л., требуется еще доказать, что она действительно реализует максимум или минимум опреде- ленного интеграла (1)-. Аналогичными методами можно решать вариационные задачи и в случае нескольких неизвестных функций (п. 11.6-1, Ъ) и/или нескольких независи- мых переменных (п. 11.6-9). 'Если заданы уравнения связи (пп. 11.6-2 и 11.6-3), то им подчиняют каждую приближающуюся функцию; максимумы и минимумы приближающих интегралов можно тогда находить с помощью метода множителей Лагранжа из п. 11.3-4 (см. пример). Прямые методы могут давать числовые приближения и/или точные реше- ния. Так как при условиях! перечисленных в п, 11.5-2, решения вариацион-
11.8-1. 1'1.8. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА 357 ных задач- должны удовлетворять дифференциальным уравнениям, выражаю- щий условие 6/ =0, то каждый прямой метод решения вариационной задачи является также приближенным методом решения дифференциальных уравнений. Пример. Решить изопериметрическую задачу, рассмотренную в качестве примера в п. 11.6-3, приближая х (0 и у (/) соответственно последовательностями г иг (0 s у- + 2 (“й cos kl + bk sin kty 4=1 r or (t) = + 2 (akcos ki + p* sln *9 <r = •••>< 4=1 так что f dv du \ Г 'r-i \ {ar^--°r-^)dt=n S * (akh -bkak) <r = *' 2- -)• О A==l Чтобы найтн максимум интеграла I при дополнительном условии 2зт г S ОУ + & Л dt =31 S (“* + 64 + «й + Рй) = о . 4 = 1 применим метод множителей Лагранжа из п. 11.3-4 и найдем $k + 2Xrkak e °’ ak + ?M^fe = °’ I — =0, — == 0, j 1 • ••• « r) при r»l, 2, Начиная c k = 1, получим К = 1/2, = —at G.t=bt‘ при А>1 = 0. В этом примере Прямой метод дает точное решение х = -}- at cos t -}- bi. sin lt у =-^ ~&»cosZ + ax sin/, где a| 4- = /?2. 11.7-2. Метод Релея—Ритца. В этом методе искомое решение у (х) пытаются разло- жить в ряд по полной системе функЦнй (х) (п. 15.2-4) так, чтобы приближающие функции аг (*) 2 “г/ w i=0 удовлетворяли заданным граничным условиям. Как правило, функции Ф*у(х) ортого- нальны, и таким образом, параметры не зависят от г (п. 15.2-4), в точности так же, как в примере п. 11.7-1. Метод Релея — Ритца оказывается полезным для численных решений некоторых вадач о собственных значениях в теории колебаний и квантовой механике (см. Также п. 15.4-7). , 11.7-3. Приближение у (х) полигональными функциями. Решение у (х) можно приб- лизить полигональными функциями и (х), каждая из которых определяется, напрймер, г своими значениями пг1 = иг (х0 4- Дх), аг2 иг (х0 4- 2Дх), ... , агг = иг (хв 4~ =• ~ аг[хр — ^х). В этом случае условия (3) дают дифференциальное уравнение (п. 20.4-3), приближающее уравнение Эйлера (11.6-2) данной вариационной задачи 11.8. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА 11.8 I. Постановка задачи. (а) Уравнения состояния, управления и критерий. В задачах управления состояние динамической (механической, электрической, химической и т. д.) системы характеризуется п переменными состоя- ния (фазовыми переменными) Xi(/)j *2 Wi хп Wi удовлетворяющими п
358 ГЛ. II. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.8-I. дифференциальным уравнениям первого порядка dx. •gf —fi (xi> x2. ••• > xn> ui> un) (уравнение состояния). (11.8-1) Типичные переменные состояния—обобщенные координаты и скорости в меха- нике, электрические токи и напряжения, концентрации в химии (п. 11.8-3); независимая переменная t обычно является временем. Задача состоит в определении г управляющих переменных (управления) uk = uil(t) (k — 1, 2.. г) как функций от t в интервале t0^t^tp, мини- мизирующих заданный критерий-функционал (критерий качества) tp *о(М= J fo<xi> х2> •••> хп> иъ иь •••> ur)dt (11.8-2) to (например, цену, среднеквадратическую ошибку, время достижения цели и т.-д.) и удовлетворяющих неравенствам ‘ Qj(.uH “2> •••> ur)s^Q (/ = 1, 2, .... N), (11.8-3) определяющим замкнутую область допустимых управлен й U. Возможные ограничения фазовых координат (jq, х2,.... хп) будут рас- смотрены в пп. «11.8-1, d й 11.8-5. Оптимальное' управление uk (t) определяет оптимальную траекторию хг=х,(0 в n-мерном фазовом пространстве. Решение такой задачи управле- ния требует задания подходящих граничных условий для определения на- чальных и конечных значений х, (t0), Xt (^); начальное и конечное время (0, fp могут'быть неизвестными (п. 11.8-1, с). (Ь)Задача оптимального управления и в а р и а ц и он н ое исчисление. Методы пп. 11.8-2 —11.8-5 могут рассматриваться как обоб- щенное вариационное исчисление, применяемое для решения важного класса задач,, поставленных в п. 11.8-1. На языке предыдущих пунктов Xi(t) и uk(f) являются неизвестными переменными. . Например, все задачи пп. 11.6-1 — 11.6-7, связанные с максимизацией или миними- вацней интегралов ХР . ' » 1 — J F[у, (X), yt (х), ... , уп (X); (х).. (х); х] Ох х« при соответствующих ограничениях и/или граничных условиях, формулируются как задачи оптимального управления, если произвести замену ts I, х0 - -Хр - tp, dx. , I = Хо (tp), (x) s= xt (/), (0 s Pj (X) (1 = 1. 2. ... , n). В этом частном случае теория п. 11.8-2 приводит к классическим каноническим уравне- ниям п. 11.6-8; этот подход иногда может упростить данную задачу. Уравнения состояния (1) являются дифференциальными связями, перемен- ные pi, определяемые в п. 11.8-2, суть соответствующие множители Лагранжа. Сопряженные уравнения и принцип максимума, введенный в п. 11.8-2, образуют необходимые (но не достаточные) условия для оптимальных uk, xi и в существенном эквивалентны уравнению Эйлера (11.6-4) вместе е усло- вием Е^О (п. 11.6-10), когда последние применимы. Принцип максимума устанавливает условия оптимизации в элегантной, удобной и наиболее общей форме, позволяющей непосредственное исследова- ние систем с разрывными управлениями (п. 11,8-3).
11.8-1. 11.8. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА 859 (с) Многообразия начальных и конечных состояний. Во многих задачах управления вместо задания начального момента времени t0 и начальных значений xl(/0)> х2 (Zo)......хп (/0) указывается, что начальное состояние [Xi(f0), x2(Z0), ...,хп(<0)] принадлежит (п—п0)-мерному многообразию начальных состояний (гиперповерхность, линия или точка в пространстве со- стояний), задаваемому уравнениями В/ (0, х2 (0, ... , хп (0] = 0 (/ = 1, 2, ... ,п0 п). (11,8-4п) Конечное состояние [Хт (tF), x2(tp), ..., хп (ff)] аналогичным образом принадлежит (п— -мерному многообразию конечных состояний G;[X1(0, х2(0, .... Хп (0]=О (/=1, 2,.„,ПГ^П) (11.8-46) В дополнение могут быть даны ограничения-неравенства, определяющие соответствующие области в каждом многообразии (4). Заметим, что каждое неравенство G [х3 (О. *2 (0, .... Хп (0] < 0, (11.8-5) содержащее, например, конечные состояния внутри данной п-мерной области'простран- ства состояний, в существенном эквивалентно-соответствующему ограничению-равенству, так как каждая траектория, входящая в область конечных состояний, должна пересечь ее границу. (d) Непре р'ывность, дифференцируемость и условия независимости (см. также п. 11.5-2). Если не оговорено противное, то относительно Хр tip и t предполагается: 1. Данные функции /о» •••» fn непрерывно дифференцируемы по переменным состояния Х{ и непрерывны относительно переменных управления uk. 2. Функции Qj непрерывно дифференцируемы и имеют ненуле- вые градиенты. 3. п0 функций Bt и Пр функций G., определяющие многообразия начальных и конечных состояний, непрерывно дифференцируемы; их функциональная независимость выражается в том, что ранги (п. 13.2-7) матриц [ЗВудхг (<0)] и [5Су5хг соответственно равны «0 и Пр. Все допустимые управления Up (0 принадлежат классу функций с ограни- ченной вариацией на интервале (Zo, (односторонние пределы существуют почти всюду, п. 4.4-8) и кусочно-непрерывно дифференцируемы там, где они непрерывны. Соответствующие х, (/) кусочно-непрерывно " дифференцируемы. Возможны менее ограничительные предположения, однако результирующие теоремы ста- новятся более громоздкими. (е) Обобщения (см.также пп. 11.8-4 и 11.8-5). Оптимизационные методы, введенные в пп. 11.8-1 —11.8-5, могут быть применены, к более общим задачам. В частности, 1. Если одна или несколько данных функций fp Qj, q>j, явно зависят от независи- мой переменной t («неавтономные» системы), то можно свести задачу к более простой посредством введения новой переменной состояния = Для которой dx„ . , ' Hr1 = 1 = fn + r Хл + 1 (М = хп+1 М (И.8-6) Этот же способ применим и в случаях, когда некоторые В- или G - зависят явно соответст- венно от и 2,.Если заданы непрерывно дифференцируемые ограничения-равенства, содержащие беременные состояния ха, *«» ° U' = l. 2» "О (11.8-7) J К X й • Л/
360 гл. И. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 1Г8-2. н изопери метрические условия О7 J (ХГ Х2......хп) dt = 9 (/ = 2« — (11-8-8) с кусочно-непрерывно дифференцируемыми^, то задача может изучаться с помощью метода множителей Лагранжа (пп. 11.6-2, 11.6-3). При этом функция /0 в критерии-функциоиале (2) заменяется на т т' F„ = fo+ 2 ^(0ч>/+ z (11.8-0) 7=1 k — 1 где X - (?) и суть соответственно переменные и постоянные множители Лагранжа. Ограничения иа переменные-состояния, включающие также н управление, рассмат- риваются в п. 11.8-5. 3. Критерий-функционал о? = J F(XV х2......ХП- UV “s......“г)Л + Л[*1М...........хп (М] (Ч.8-Ю) Л) приводится к простейшей форме (2), если ввести /о (*!• *2...хп' “г “2......«г) = F + Л (0 - Л (<0), W . ’’ d " dh - (11.8-11) МП Л Ь (Г). х2 (0...........(0] Л ft i=l ' (см. также п. 11.6-6). 4. Если ограничения (4) на управляющие переменные явно зависят от перемен- ных состояния х- (включая, возможно, * = xra+1)> то эту зависимость обычно можно исключить путем введения новых управляющих переменных. Пример. Ограничение (4) вида 1 uk I < « (ХГ х2..*л) приводится к форме I v | < 1, если ввести новую переменную управления о, полагая и. = v q (x^t х_, . , К \ А 2 71/ 11.8- 2. Принцип максимума Понтрягина. (а) Сопряженные переменные и оптимальный гамил ь- <г о н и а н. Удобно трактовать критерий-функционал (2) как конечное значе- ние х0 (tpj дополнительной переменной состояния х0 (/), удовлетворяющей уравнению ^Г=М*1> *2.........хп; ии Иа, ..., ur) (11.8-12) и начальному условию xB(tB)=Q. (11.8-13) Необходимое условие. оптимального управления выражается принципом максимума Понтрягина. Определим п-}-1 сопряженных переменных рв (t), Pi(i)....pn(t) как решения (п-}-1) дифференциальных уравнений первого по- рядка п -^=— 2 g^_ Ph (‘=°г 1» 2J ••• «> (сопряженныеуравнения^ 4=0 ‘ (11.8-14) причем, рв (/) = const =^0.' (11,8-15)
11.8-2. 11.8. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА 361 Тогда оптимальное управление, минимизирующее функционал (2), реали- зуется допустимыми управляющими переменными uk = uit(t), которые макси- мизируют гамильтонову функцию н(хъ х2, ...» Хпч р09 Рх, ...» Рпч иъ и2,.... иг) = 2 Pifit (11.8-16) i=0 для каждого t между t0 и tF: более того, М (xt, х2...хп> Ро, Pi, •> Рп) = max s("r "s.....uJczU H (хг, xz..... xni pit р2, ..., pn; Ui, ....ur)=0 (11.8-17) Кроме того, оптимальные x, (t) и щ, (t) должны удовлетворять данным усло- виям (1) и (4) и условиям трансверсальности По V дВ1 Pi + aS7=0 (*=4J <=1. 2> «)» (11.8-18a) V dGi Pi+2^ Л/ ° (t=tP’ f==1, 2....n)f (11.8-186) соответствующим условиям (4); AJ-, Л; — неизвестные константы (см. также пп. 11.6-5, 11.6-8, 11.8-2, Ь). В предположениях, указанных в п. 11.8-1, с, сопряженные переменные Pi (/) должны быть кусочно-непрерывно дифференцируемыми функциями. Они остаются непрерывными и ''тогда, когда fn и/или flt f2, .... fn претерпевают разрывы на гиперповерхности S, определенной уравнением g(xt, х2, хп)=0, где g—непрерывно дифференцируемая функция и fi имеют односторонние производные по xlt х2, ..., хп с каждой стороны S («отражение» оптимальных траекторий, см. также п. 11.6-7). При этих условиях оптимальный гамильтониан остается непрерывным иа S. (Ь) Краевая задача. Условия принципа .максимума имеют своим следствием соотношения, выражающие каждую управляющую переменную че- рез Xi И Pil uk = uk(x0,xt....x„j Ро, Pt....р„) (6 = 1, 2, m). (11.8-19) Эти соотношения могут быть получены посредством решения задачи на макси- мум [возможно, с ограничениями-неравенствами (3)] для каждого t. Задача оптимального управления сводится к решению 2л ф-2 дифферен- циальных уравнений (1), (12) и (14) или dx, дН dp, дН -dF=-^ ('=0.1—«). dl-8-20) следующих из уравнения (17), при указанных выше краевых условиях. Так как сопряженные уравнения (14) однородны относительно р,, можно произ- вольным образом выбрать константу в уравнении (15) так, что ро (/)=-! (11,8-21)
362 ГЛ. 11. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.8-3. Таким образом, имеется точно 2n-j-n0+nF-[-2 краевых условий (4), (13), (18) и (21) для определения 2п-\-2 неизвестных постоянных интегрирования, «0+nF неизвестных множителей Л'-, А;- и неизвестного интервала tF—10. Недостающие краевые условия получаются подстановкой t=tF в уравне- ние (17). Если /0 или tF не даны явно, то вводится дополнительная перемен- ная состояния хп+1: dx„ -5Г- = Ь Я/и-iKoWo (см. также п. 11.8-1, е). Замечание. Если некоторое краевое условие (4), например Cj — 0, позволяет явно выразить или исключить какое-либо краевое зиачеиие, например, х/(/^), то р/ (tF) не определяется из (4) и (18). В этом случае J-e уравнение (45) (и, следовательно, Aj) и /-е уравнение (18b) просто пропускаются. Если, с другой стороны, краевое условие переменной состояния, например, xj (tp), остается «свободным» или неопреде- ленным посредством соотношений (4Ь), то /-е Уравнение (18Ь) влечет соответствующее «естественное условие» — Pz(^f) = 0 (см. также п. 11.6-5). Аналогичные частные случаи связаны с уравнениями (4о) и (18а). (с) Так как принцип максимума выражает лишь необходимые (но не доста- точные) условия оптимальности управления (по этому вопросу см. [11.17]), то метод Понтрягцна может давать несколько кандидатур оптимального решения, либо же решения не существует. Решение двухточечной краевой задачи обычно достигается численными итерационными методами (см. также п. 20.9-2 и 20.9-3). Помимо этого полу- чение максимизирующих функций (19) может быть достигнуто последователь- ными приближениями. 11.8-3. Примеры. (а) Навигационная задача Цер ме л о. В стационарном поле скоростей v {vi (Xi, х2), v2 (xlt х2).}, где х^ и х2 —- прямоугольные декартовы координаты, движется точка с постоянной по величине скоростью V = V2). Дано: Xi (0) =0, х2 (0) =0; требуется минимизировать время {F •*o(4=^ = j dt (fo^!)- о необходимое для достижения заданной конечной точки х2/?) посредством выбора и (t) утла между направлением скорости V точки и осью хк. Уравнения состояния (| v j = У): ^7- = щ (х,. х,) + V cos и, щ (х,, х,) + V sin и, ~~ = 1 (х0 = I), dt at at Отсюда Н = Pi (Vi 4- V cos u) -f Рг (^з + V sin «) — 1* где принято ро =— 1- Для максимума Н необходимо выполнения равенств cos и ---/ Р1 '» si n и =----—р2 - ; Pi и Ра должны удовлетворять сопряженным уравнениям dpi / dvt . dv£\ dPz f , dv2\ dF = ~\Pl ai't+htol)’ ~di V’’a£ + p’ad a ______ M = max H = + p2&2 — V |/p2 + p| — 1=0.. и Если, в частности, й v2 постоянны, то таковы же рь р2, и; их значения! вместе с tpt удовлетворяют условиям Х1(Р)=0, *а(0)=0, *X(<F) = *1F. *2‘(zf)=*2F<
11.8-3. П.8. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА 363 .(b) Простейшая задача регулирования'по быстродейс тв и ю Даны Xt (0), х2 (0) = Xt (0) и уравнения состояния dx2 ... ( d‘x, . \ dt~x‘- dt ~“{t} е‘~dt^ ~и^)- Требуется минимизировать время fF = = j dt (fosl). о необходимое для достижения заданного конечного состояния ~х2 (fF) ~ xi (^j = 0 " посредством оптимального управления такого, что ’ I « (0 К 1. Максимизация гамильтониана И = Р1Х2 + Р2« ~ 1 при условии | и | 1 приводит к управлению 1 f 1 (Рй>0), и = sign р2 = 4 . 7* /’ 1—1 (ра < 0) в ' = ^=-Рх = const, так что Pi = Pi (0), р2 = Р2 (0) — t Pi (0), Оптимальные траектории в плоскости xit xz суть дуги парабол, соответствующих u*= 1 и «=— 1. Эти дуги пересекают «кривую переключений», соответствующую д2 = 0, и каждая траектория продолжается к началу координат вдоль этой кривой (рис. 11.8-1)! Каждая траектория зависит от параметров Pt (0), р2 (0), которые должны выби- раться так, чтобы удовлетворялись заданные граничные условия pj?) = х% (tp} == 0. Рис. 11.8-1. Траектории иа фазовой плос- кости для простейшей задачи регулиро- вания. Рис. 11.8-2. Геометрия задачи пере- вода ракеты с одной орбиты на дру- гую. (с) Простейшие задачи о переходе с одной орбиты на дру- гую и о встрече за минимальное время. Соответственно рис. 11.8-2 дви- жение ракеты в вертикальной плоскости в предположении постоянства ускорения силы состо И И ОТСУТСТВИЯ сопротивления воздуха задается четырьмя уравнениями dx • dx Т cos и — = х, —- =--------;------- di dt m0 + m (t —t0) dy___ • dy __T sin и & dt dt m0-{- m (t —t0) . x^xlt x=xz, y = x3t у —переменные состояния; g, T (тяга), m0 (масса ракеты На старте), /п<0 (постоянная скорость расхода горючего) — данные постоянные, требуется перевести ракету с данной горизонтальной стартовой орбиты X (to) = X (^о) ~ ^0» ^(^0)=у0. /(/0)=0
364 ГЛ. 11. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.8-4. на заданную горизонтальную орбиту некоторой цели так, чтобы * Г^) = VF fF + °. * (tp) — Vp-, У(1р) = Ур. . ИМ = 0- Таким образом, решение задачи завершается программированием управляющей пе- ременной — угла и = и (/) так, чтобы минимизировать общий расход горючего m(tp — или просто (j dt. ^0 Так как многообразия начальных и конечных состояний зависят явно от t0 и tpt то полагаем == t, dx^dt ~ 1, х$ (?0) — tQ, (//?) = tp. Максимизация гамильтониана „ £ , Т COS и I • . Г г sin И 1 . Н ~pix+ рг---------:-------Ь РзУ + ₽4 ----7-----------£ + Рб — 1 т0 + т (t — t0) im0 + т (t — t0) J дает (ди = 0 или — р2 sin и + Pt cos и — 0 и Рг 1 Pi cos и =------- , sin и — — - —. VpI + p^ Ур1 + р1 Сопряженные уравнения . 'ч dpi _dpz __dpb __n dp2 __ _ dpi —аГ-~аГ~0’ -dT^-^ ^=-р> дают Pi (0 == Pi (to), Рг (t) = — pi (t0) (t — tQ) + p2 (tD)f Рг (0 = Рз (to), Pi (t) =?—p3 (to) (t — to) + Pi (to). Рь (t) == Pt, (t0). Так как начальные и конечные значения х, у, у фиксированы, то представляют интерес лишь условия трансверсальности (18). Имеем * Го) — и(/о = °’ *(tp)-Vftp-a = 0, P1(Zo) + a:=0’ ^(M + A^O, Или P8 Го) - л; o0=О, рБ (tp) - A1Vp=0. Учитывая, что pt и p6 постоянны, получаем pt = p6=0. Кроме того, максимальное вначение гамильтониана равно нулю при t — tp*. ~ ,1 Ipi + р* Со)+ р« Со) " 2р» Со) Р* Со) Гр - W/’ + то — т (с — г0) + SPs Го) (‘F - *о) -2Р4 Го) - 1 = 0- : Последнее, вместе с восемью данными начальными и конечными условиями, оцре- деляют девять величин «0, tp, х (t0), * (t0), у (t0), у (Q. Рг (t0), р8 (tQ), Р4 (tQ) и тем са- мым все решение. И.8-4. Матричные обозначения в задачах управления. Для задач управления удобно использовать матричные обозначения п. 13.6-1 (а также соответствующие тензор- ные обозначения, п. 14.7-7). Введем: х = х (t) « {%0, л?г •••»*„}“ матрица-столбец (п + 1)Х1, представляющая вектор состояния, и =а= и (t) = {Ир «2, ..urj — матрица-столбец -ГХ1, представляющая вектор управления, р==р (t) s (р0, рр .. рй) — матрица-строка 1Х(«+ 0, представляющая сопряженный вектор (см. также п. 14.5-2). Соотношения п. 11.8-1 и 11.8-2 можно записать теперь в болееком- а/ Г#А1 Байтной форме; заметим, что | есть матрица размера (п 1)Х(л + 1).
ft.8-5. 11.8, ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЦИП МАКСИМУМА 365 В частности, имеем dx г , v дН == / (•*,«) ss (уравнения состояния), dp df дН . = — Р sh — (сопряженные уравнения), Н (р, х, и) esz pf (гамильтониан). Критерий-фуикционал (2) может рассматриваться как матричное произведение (вну- треннее произведение п. 14.7-1) л0— сх матрицы-столбца х и матрицы-строки с=(1, 0, 0, , 0) размера 1Х И + f В [11.14] рассмотрен случай, когда критерий-функционал определен как сх с более общей матрицей-строкой с. 11.8- 5. Ограничения-неравенства для переменных состояния. Угловые условия (см. также п. 11.6-6). (а) Если область X допустимых систем состояний ..... хп} ограничена нера- венствами - ' - ---- - (j= 1, 2, ... , т). (11.8-23) (11.8-22) SI (х0- х1> - > Хп- UV UV 5,—непрерывно дифференцируемые функции, зависящие от управления в процессе обра- зования оптимальной траектории (см. также п. 11.8-1, е), то теория п. 11.8-2 остается без изменения для траекторий или их частей, находящихся внутри замкнутой области X, определенной уравнениями (23). Для траекторий и частей траекторий, находящихся на границе X, по меньшей мере одно из ограничений (23) превращается в равенство. Для простоты рассмотрим граничную область D$, определенную единственным уравнением S(x0. В этой области применим метод множителей Лагранжа пп. 11.6-2 и 11.8-l.e; таким обра- зом, каждая оптимальная траектория удовлетворяет уравнению (24) и соотношениям п. 11.8-2,а с заменой f0 на где К — множитель Лагранжа. Аналогично f0 может быть заменеиз в D g одним из следующих выражений: [(*<>> *1.......... (11.8-24) (11.8-25) Fo = /о 4- U (0 — fo 4~ м (0 t=0 1 [(*0, .....*п) G DS, k = 1» 2, ... , и], (11.8-26) где п = S(1) ==£- = V fi=0, ... . (11.8-27) i —0 1 Ц (0 — множитель Лагранжа. (Ь) Если $(К) есть первая из функций (27), содержащая управляющую перемен- ную и явно, то неравенство S 0 называют ограничением-неравенством К-го порядка. В этом случае оптимальная траектория, входящая в граничную область D^, опре- деленную уравнением (24), изнутри X в момент / » должна удовлетворять угловым условиям (условиям скачка) ₽, л-о)=^(#1+о)+2; vk~^- k = 0 1 a = i. 2, HlG-o=«|(t + o. . dS(^— *> + (V/c_j+fc) ----g— / = /t * ... n). (11.8-28) =h где постоянные — множители Лагранжа, b — произвольная постоянная. Оптимальная траектория, покидающая граничную область состояний в момент t — в первый раз после вхождения в нее прн t = ti, должна удовлетворять угловым условиям 55 (А—1) I ] А; - 0) = ₽/ (Ч + °) - о « = *. 2. . «>. (11,8.29J -Л 1(=/,-0 = -1-0, .. . J
366 ГЛ. И. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.5-6. Произвольную постоянную bt встречающуюся в обоих уравнениях (28) и (29), обычно полагают равной нулю, так что р- (/) непрерывны в точке выхода. Если оптимальная траектория преломляется в граничной области D$t соответствующей единственному ограничению (24), то = tz и угловое условие (28) выполняется с b — 0. Если единственное ограничение (24) заменяется двумя или более такими ограниче- ниями, члены, соответствующие новым ограничениям (с дополнительными множителями), прибавляются к каждой сумме в уравнениях (25), (26), (28) и (29). Случаи явной зави- симости от времени изучаются способом п. 11^-1,е. Замечание. Относительно угловых условий (28), (29) в специальных случаях см. [11.14]. 11.8- 6. Метод динамического программирования (см. также п. 11.9-2). Если задача оптимального управления, поставленная в п. 11.8-1, определяет единственную-оптимальную экстремаль для фиксированных xt(tp) и переменных Xi{t0) = Xi (1 = 1, 2, .... п), до минимум критерия-функционала fF min ( M*i. х2, ..., ult и2, ..., ur)dt~ ut V), и2 (О, ..., иг (/) *2 (М’ Хп ft))’ *1(М* ** Xn((f)] = = 5(Хг, Х2......Хп) (11.8-30) удовлетворяет уравнению с частными производными первого порядка М (xlt Х2, ..., Хп; Ц-. ....=0 (уравнение Гамильтона—.Якоби), ‘ 2 " (11.8-31) где М — оптимальная (максимизированная) функция Гамильтона из уравне- ния (17) (см. также п. 11.6-8). Обыкновенные дифференциальные уравнения (20) суть соответствующие уравнения характеристик, и способ получения их решений из полного инте- грала уравнения (31) известен (п. 10.2-4). Динамическое программирование «погружает» данную задачу оптималь- ного управления в класс аналогичных задач с различными начальными коор- динатами. Уравнение с частными производными (31), которое дает решение для всего указанного множества задач, выражает тот факт, что каждая часть оптимальной. траектории оптимизирует критерий-функционал для соответ- ствующих начальных и конечных точек (принцип оптимальности Веллмана). Из принципа оптимальности можно получить цельную теорию оптималь- ного управления при весьма общих предположениях. Вообще же численное решение уравнения (31) при п >2 затруднительно (см. [11.16] [11.17], где динамическое программирование рассмотрено в более общем виде). 11.9. ШАГОВЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ И ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 11.9-1. Пос ановка задачи. Важный класс оптимизационных задач, вклю- чающих шаговое управление (что содержит управление непрерывными системами посредством вычислительных машин) или шаговую оптимизацию ресурсов, может быть сформулирован следующим образом: Система описывается множеством переменных состояния х=(хг, х2,..., xn)i образующих последовательность •••! ,,,, так что каждое изме-
11.9-2. 11.9. ШАГОВЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ 367 некие состояния дается уравнениями состояния (в этом случае конечно-разно- стными, см. также п. 20.4-3) *+гх; =fi (kxlt kx2, .... kxni k+lult к+1и2, ...,к^иг) (t==l, 2, ...L n) (11.9-1) или k+1x=f(kx, k+1u), где «управляющая переменная» *+1u = {fe+1u(, ft+lw2, .... ft+1wr} определяет последовательность решений (стратегий), изменяющих k-vi систему состояний в (Л+1)-ю. Если задано начальное состояние °х (и,- возможно, некоторое множество ограничений-равенств или неравенств для переменных состояния и управле- ния), то задача заключается в нахождении оптимальной стратегии lu, -2и, ... минимизирующей данный критерий JV-1 = 2 /о (Ч *+1М) + h (Nx) = Nx0 (Ox), - (11.9-2) * = o где N=l, 2, ...—количество рассматриваемых шагов (динамическое програм- мирование). Как и в случае непрерывных задач оптимального управления, начальные и конечные состояния могут быть Либо заданными, либо. не заданными, возможно также обобщить постановку задачи способом, указан- ным в п. 11.8-1, е. 11.9- 2. Принцип оптимальности Веллмана (см. также п. 11.8-6). Если ги, 2и, ..., ми—некоторая оптимальная стратегия для последовательно- сти состояний °х, гх, ...,^х в некоторой задаче динамического программирова- ния с начальным состоянием °х, то 2и, 8и, ..., Nu есть оптимальная страте- гия для тех же критерия-функции и конечного состояния Nx, но с начальным состоянием гх. Если обозначить min wx0 (X) через NS(X), то принцип опти- и мальности выражается рекуррентным соотношением (уравнением с частными конечными разностями, п. 20.4-3, Ь) JV5(X)=min{/0(X,1U)4-2v-,,S[/(X1,ti)]} (1V==2,3,...), . (11.9-3) »S(X) = min/0(X,1H), ' 7 где минимум определяется в соответствии с заданными ограничениями. Численное решение этого функционального уравнения с неизвестными функциями NS (X) заключается в шаговой конструкции класса оптимальных стратегий для некоторого класса начальных состояний. Ожидаемая оптимальная стратегия «погружена» в этом классе. Решение обычно использует вычислительные устройства, но даже в этом случае решение задачи с более чем двумя или тремя переменными состояния xj практически возможно лишь в частных случаях. Ряд примеров и приближен- ных методов содержится в [11.16], [11.17] в [11.20] рассмотрено шаговое управ- ление, аналогичное принципу максимума.
ГЛАВА 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ: СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА И АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 12.1. ВВЕДЕНИЕ 12.1-1. 'Математические модели. Физические процессы, вообще говоря, описываются в терминах операций (наблюдений, экспериментов), связывающих физические объекты. ‘ Сложность подлинных физических ситуаций требует упрощенных описа- ний с помощью словесных, символических и даже физических моделей, кото- рые «абстрагируют» подходящим образом выбранные «существенные» свойства физических.объектов и ситуаций. Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами. Математическое отношение — это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта (см. также пп. 12.1-3 и Г2.8-1). Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций, связы- вающих один или несколько объектов (операнд, операнды) с другим объектом или множеством объектов (результатом операции). Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы, отношениями и операциями определяется непротиворечивым набором правил (определяющих аксиом), вводящих опера- ции, которыми можно пользоваться, и устанавливающих общие отношения между их результатами (аксиоматическое определение математической модели с помощью ее свойств; примеры см. в пп. 12.2-1, 12.3-1, 12.4-1, 12.5-2, 12.6-1, 12.8-1 и 1.1-2). Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умноже- ния' чисел, п. 13.2-2). Непротиворечивость аксиоматического определения должна быть доказана конструктивным построением примера, удовлетворяющего определяющим аксио- мам (доказательство существования, см. также пп. 4.2-1 и 9.1-4). Кроме того, обычно проверяют взаимную независимость определяющих аксиом. Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбран- ные стороны физической ситуации, если можно установить правила соответ- ствия, связывающие специфические физические объекты и отношения с опре- деленными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для который в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел (п. 1.1-2) и евклидова геометрия; определяющие свойства этих моделей пред- ставляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счет, упорядочение, сравнение, измерение). Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоци- ируются с множествами действительных чисел; которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений. Получающиеся таким образом представ- ления математических моделей с помощью числовых операций специально рассматриваются в главах 14 и 16,
12.1-4. 12.1. ВВЕДЕНИЕ 369 12.1-2. Обзор. Современная (абстрактная) алгебра1) имеет дело с ма- тематическими моделями, определяемыми в терминах бинарных операций («алгебраических» операций, обычно представляющих собой различные ти- пы «сложения» й «умножения»), которые связывают пары математических объектов (операнды или оператор и операнд) с соответствующими результа- тами операций. В пп. 12.2-1 — 12.4-2 вводятся некоторые из наиболее обще- употребительных моделей такого рода, именно: группы, кольца, поля, векторные пространства и линейные алгебры, булевы алгебры отдельно рассматриваются в пп. 12.8-1 —12.8-6. ( Важный вопрос о линейных преобразованиях (линейных операторах) и их собствен- ных векторах и собственных Значениях излагается в гл. 14. Представление векторов и операторов с Помощью числовых компонент и матриц подробно обсуждается.в гла- вах 14, 15 и 16. Пункты 12.5-1 —12.6-3 служат кратким введением к теории математичес- ких моделей, позволяющих определить предельные процессы и порядок, в част- ности, в пп. 12.5-2—12.5-4 рассматриваются метрические^ пространства. В пп. 12.7-1 — Г2.7-5 указаны простые схемы комбинирования математических моделей {прямые произведения и прямые суммы). 12.1- 3. «Равенство» и отношения эквивалентности. (а) Предполагается, что аксиоматическое определение каждого класса математических объектов, рассматриваемых в этой главе,' влечет за собой существование правила, устанавливающего, являются ли два данных матема- тических объекта а и Ь «равными» (эквивалентными или неразличимыми с точки зрения модели, а=Ь) или нет; это правило должно быть таким, что: •• 1) а=а {рефлексивность отношения равенства), 2) из а=Ь следует Ь=а {симметрия), 3) из а = Ь, ,Ь = с следует а—с {транзитивность). В пп. 13.2-2 и 16.3-1 приводятся примеры определения равенства в конструктивно определяемых моделях. (Ь) Вообще любое отношение а ~ Ь между двумя объектами а, Ь класса С называется отношением эквивалентности в том и только в том случае, если оно рефлексивно (а ~ а), симметрично (из а ~ b следует Ь ~ а) и транзитивно (нз а ~ Ь, Ь ~ с следует а - с). Любое отношение эквивалентности определяет разбиение класса С, т; е. подразделение класса С на подклассы без общих элементов. Элементы одного и того же такого подкласса эквивалентны в смысле свойств, определяющих отношение эквивалентности. При меры. Равенство, тождественность функций (п. 1.1-4), равенство и подобие треугольников, изоморфизм (п. 12.1-6).; 12.1-4. Преобразования, функции, операции (см. также пп. 4.2-1, 14.1-3 и 14.3-1). Набор правил х —*х', ставящих каждому объекту х класса С в соответствие некоторые объекты х' класса С, называется преобразованием (отображением) класса С в класс4 С'; х' есть функции х'=х' (x)=f (х) (12.1-1) аргумента х с областью определения С и множеством значений, содержащимся в С. Классы С и С могут быть различными, но могут и совпадать. Соотноше- ние(1)можно рассматривать как операцию'над операндом х, дающую результат х'. Если в классах С и С даны удовлетворяющие нужным условиям определе- ния равенства (п. 12.1-3), то операция (преобразование, функция) (1) опреде- лена корректно, если из х=у следует х'=у'. Предполагается, что если спе- циально не будет оговорено противное, это. условие всегда будет выполняться. Отображение (1) называется однозначным {х) — однозначная функциях], если каждому объекту х соответствует единственный объект х'. Все отобра- *) Слово алгебра имеет три слабо связанных между собой значения: 1) общий предмет, как в данном случае (абстрактная алгебра, элементарная алгебра); 2) теория алгебраических операций, используемая в связи со специфической моделью (матричная алеебра, тензорная алгебра); 3) тип математической модели (линейная алгебра, булева Алгебра).
370 ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА 12. t-5. жеиия в дальнейшем всегда предполагаются однозначными, и это специально не о сваривается. Отображение класса' С на класс С называется взаимно однозначным (взаимно однозначным соответствием классов С и С), если оно отображает класс С на весь класс С и определяет однозначное обратное отоб- ражение (обратное преобразование) х' — х. Многие авторы категорически настаи- вают на том, что каждое отображение по определению должно быть одно- значно (см. также сноску к п. 4.2-2). Множество пар (х, х') называется графи- ком функции f (х). Каждый объект х в равенстве (1) может сам быть множеством некоторых объектов хг, х2, ... ; таким путем можно определить функции x'=f(xb х2, ...) двух и более аргументов. Числовая (действительная или комплексная) функция, определенная на некотором множестве функций, называется функционалом (например, интеграл J <р (х) dx, наибольшее значение функции (х) на [а, 5] и т. д,). и Сами преобразования (функции, операции) можно рассматривать как новые матема- тические объекты (см., например, п. 14.3-1). 12.1-5. Инвариантность (см. также пп. 12.2-8, 13.14-1, 14.4-5, 16.1-4 и 16.4-1). Если дано преобразование (1) класса (пространства) С в себя, то любая функцид F (х, у, ...) такая, что F [/ (х), f (у), ...]=F(x, у, ...) для всех х, у, ... из С, и любое соотношение О (х, у, ...)=Д такое, что О [f (х), f (у), ...] — А для всех х, у, ... из С, называются инвариантными отно- сительно преобразования (1). 12.1-6. Представление одной модели другой: гомоморфизмы и изоморфизмы. Пусть М — математическая модель (п. 12.1-1), состоящая из объектов а, Ь, ... и включающая операции О, Р, результаты которых О (а, Ь, ...), Р (с, Ь, ...), ... являются элементами модели /И1), и М' — вторая модель с операциями О'(а', Ь', ...), Р' (а', Ь', ...), ... Отображение а—>а' множества элементов модели М в множество элементов модели М' называется гомоморфиз- мом модели М в модель М' (относительно указанных операций), если при этом отображении О (а, Ь, ...) —О' (d, Ь', ...), Р (а, Ь, ...) — Р' (d, Ь', ...), ... Гомоморфизм сохраняет все отношения, основанные на рассматриваемых опе- рациях, т. е. каждое такое отношение между элементами а, Ь, ... модели /И порождает соответствующее отношение между элементами а', Ь', ... модели М'. Гомоморфизм, отображающий модель М в себя, называется1 эндоморфизмом. Если гомоморфизм отображает модель М на всю модель М’, то М' назы- вается гомоморфным образом модели М. Изоморфизм—это взаимно однозначный гомоморфизм. Если существует изоморфизм модели М на модель М', то модели М и М' называются изоморф- ными относительно рассматриваемых операций; в этом случае как отображение М —> АГ, так и обратное отображение М' —► М. являются гомоморфизмами. Изо- морфизм, отображающий М на себя, называется автоморфизмом модели М. Понятие гомоморфизма и родственные с ним понятия изоморфизма и авто- морфизма имеют огромное практическое значение, так как они позволяют представлять одну модель другой моделью. Можно, в частности, представлять математические объекты некоторыми множествами действительных чисел (ана- литическая геометрия, матричное и тензорное представления). Заметим, что изоморфизм есть отношение эквивалентности (п. 12-1-3, Ь) между моделями: свойства целого класса изоморфных моделей можно выводить из (или рас- сматривать на примере) свойств любой модели этого класса. * Некоторые авторы требуют, чтобы каждый гомоморфизм М — М’ отображал М на всю модель М'. В этом случае гомоморфизм определяет изоморфизм между моделью, состоящей из непересекающихся классов элементов модели М. и. моделью М'. 1) Элементы, а, Ь, ... не обязательно должны принадлежать одному классу математн веских объектов (например, они могут быть векторами и скалярами, п. 12,4-1).
12.2-2.12.2. ГРУППЫ 37T 12.2. АЛГЕБРА МОДЕЛЕЙ С ОДНОЙ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ ОПЕРАЦИЕЙ: ГРУППЫ 12.2-1. Определение и основные свойства группы. (а) Класс G объектов (элементов) а, Ь, с, ... называется группой, ес- ли определена бинарная операция, которая каждой паре элементов а, b клас- са G ставит в соответствие некоторый объект (результат операции) a Q Ь так, что: 1) а 0 b являетси элементом класса G (замкнутость по отноше- нию к определяющей операции); 2) а 0 (Ь 0 с) = (а 0 Ь) 0 с (ассоциативный закон}-, 3) G содержит (левую) единицу Е такую, что для каждого эле- мента а из G, EQa = a; 4) для каждого элемента а из G в G существует (левый) обрат- ный элемент а-1 такой, что й-10с=£. Два элемента а, b некоторой группы перестановочны, если aQb = bQa. Если все элементы а, b группы G перестановочны, то определяющая операция называется коммутативной, а группа G—коммутативной или абелевой группой. Группа G, содержащая конечное число g элементов, называется конечной группой (группой порядка g)-, в противном случае G—бесконечная группа. В этом последнем случае группа G может быть счетной 'или несчетной. (Ь) Каждая группа G имеет единственную левую и единственную правую единицу, и эти единицы равны (E 'Q a=aQ Е = а). Каждый элемент а имеет единственный левый и единственный правый обратный элемент, и эти элементы равны (аГ1 0 а —а 0 а^ — Е). Отсюда из cQa=cQb следует а=&, ) , „ „ > (законы сокращения). (12.2-1) из aQc — bQc следует а — Ь ) Группа G содержит единственное решение х любого уравнения cQx=b или xQc—b, т. е. в группе возможны однозначно определенные правое и левое «деление». (с) Операцию, определяющую группу, часто называют (абстрактным) умножением (см., однако, п. 12.2-10); тогда ее результат записывается как произведение ab, а элемент, обратный элементу а,—как а-1. Это соглашение свободно используется в следующих пунктах. Кра тные произведения аа, ааа. ... записывают в виде целых степеней а2, аъ, ..., причем сР = Е. Заметим, что (о-1)-1 = а, (Гап = «т+в, (ат)" = (аб)*1 = (12.2-2) 12.2-2. Подгруппы. Подмножество Gj группы G называется ее подгруппой, если Gj является группой в смысле определяющей операции группы G. Это спра- ведливо в том и только в том случае, если 1) множество Gi содержит все произведения принадлежащих ему элементов и все элементы, обратные его эле- ментам *), или 2) для любой пары элементов а, Ь из Gt множество Gt содер- жит и произведение аЬ~г. . Пересечение (п. 4.3-2, а) двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G. Сама группа G и Е называются несобственными подгруппами группы G; все остальные под- группы — собственные. Если G—группа конечного порядка g (п. 12.2-1), то порядок gt любой ее подгруппы Gt является делителем порядка группы (теорема Лагранжа); число g/gi называется индексом подгруппы Gt (в группе G). *) В случае конечной группы второе требование излишне* так как оно следует из первого.
372 ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА ‘ ' 12.2-3. 12.2-3. Циклические группы. Порядок элемента группы. Циклическая группа состоит из степеней а, а2, ... одного элемента а н обязательно коммутативна. Любая группа простого порядка и любая подгруппа циклической группы являются циклическими. Каждый элемент а любой группы и порождает в G циклическую подгруппу, состо- ящую из всех его степеней. Порядок этой подгруппы называется порядком элемента а; если он конечен, то он равен такому наименьшему натуральному числу т, что ат — в противном же случае а называется элементом бесконечного порядка. 12,2- 4. Произведения подмножеств. Смежные классы. (а) Произведение ’) CjCj двух подмножеств Сг и С2 группы G есть множество, состоящее из всех (различных) произведений вдвь элементов at из Ct и элементов а2 из С2. Произведение CiCs двух подгрупп группы G является подгруппой в G в том и только в том случае, если G±G2 = G2G±. (Ь) Левым смежным классом xGi в группе G по ее подгруппе Gj называется мно- жество всех произведений хаг данного элемента х из G и любых элементов at из Сд. Аналогично правый смежный класс Gtx есть множество всех произведений вида atx. Смежный класс по подгруппе Gi.com является подгруппой в том и только в том случае если х есть элемент из Gr, прн этом условии xGi — Grx = Gt. Два левых смежных класса, по Gt либо совпадают, либо не имеют ни одного общего элемента; то же самое справед- ливо и для двух правых смежных классов. Каждая подгруппа Gt группы G определяет разбиение (п. 12.1-3) группы G на конечное или бесконечное число левых смежных классов и разбиение G на п± правых смежных классов; если G — группа конечного по- рядка g, то П1 равняется индексу ё/ёг подгруппы Gt (и. 12.2-2). Два элемента а, Ъ груп- пы G принадлежат одному и тому же левому смежному классу по подгруппе Gi, если Gi содержит аг1Ь одному и тому же правому смежному классу по Gt, если Gt содер- жит bar*. 12.2- 5. Сопряженные элементы в подгруппы. Нормальные делители. Фактор-группы. ♦ (а) Два элемента х и х' группы G называются сопряженными, если они связаны преобразованием (п. 12.1-4) х'—агЪса (или х—ах'а^1), (12.2-3) где а — некоторый элемент группы G. Тогда говорят, что х' является результатом трансформирования элемента х элементом а. Сопряженность является отношением эквивалентности (п. 12.1-3) и определяет разбиение группы G на классы сопряженных элементов. (Ь) Преобразование (3) переводит каждую подгруппу Gr группы G н сопряженную подгруппу G[ = аГЧ^а. Подгруппа G± отображается сама на себя (G[ = Gx) для любого элемента а из G в том и только в том случае, если 1) элементы аг подгруппы Gt перестановочны с любым элементом а группы G (aGi — G^a) или 2) подгруппа Gi содержит все элементы, сопряжен- ные с ее элементами. Подгруппа, отличающаяся этими свойствами, называется нормально^ подгруппой (нормальным делителем, инвариантной подгруппой) группы G. Любая подгруппа индекса 2 (п. 12.2-2) является нормальным делителям группы G. Простая группа не содержит никаких нормальных делителей, кроме себя самой и Е. (с) Левые смежные классы (п. 12.2-4,-Ь) по нормальному делителю совпа- дают с соответствующими правыми смежными классами и образуют группу по отношению к операции умножения, определенной в п. 12.2-4, а; эта группа называется фактор-группой G/G1 группы G по нормальному делителю Gj. Если G—группа конечного порядка, то порядок фактор-группы 0/0г равен индексу g/gi подгруппы (п. 12.2-2). 12.2-6. Нормальный ряд. Композиционный ряд. Для любой группы G нормальным рядом называется такая (конечная) последовательность подгрупп G0«=G, Ср Gg, "• • Ет = Е’ 410 каждая подгруппа G^ является нормальным делителем подгруппы G Нормальный ряд называется композиционным рядом группы G, если G. прн любом i есть собственный нормальный делитель подгруппы Gf.j и если между G-и G. нельзя вставить никакого другого нормального делителя, т. е. если каждый композиционный ’) Произведение С,С2 двух подмножеств не следует смешивать с их пересечением (логическим произведением, п. 4.3-2) а также с прямы произведением (п. 12.7-2)..
12.2-9. 12.2. ГРУППЫ 73 фактор G-^/G^— простая группа (п. 12.2-5). Между любыми двумя композиционными рядами одной и той же группы G существует такое взаимно однозначное соответствие, что соответствующие их элементы являются изоморфными группами {теорема Жорда- на — Гальдера). Группа G называется разрешимой, если все ее композиционные факторы являются циклическими группами (п. 12.2-3). 12.2-7. Центр. Нормализаторы. (а) Множество всех элементов группы G, перестановочных с любым элементом этой группы, является нормальным делителем группы G; он называется центром группы G. ф) Множество всех элементов' группы G, перестановочных с данным элементом а из G, является подгруппой группы G (нормализатором элемента а), которая содержит циклическую подгруппу, порожденную элементом а (п. 12.2-3), в качестве своего нормаль- ного делителя. Множество элементов группы 6, перестановочных с каждым элементом данной подгруппы Gi группы G, является подгруппой группы G (нормализатором подгруппы Gt), которая содержит Gi в качестве нормального делителя. Число различных элементов или подгрупп группы G, сопряженных (п. 12.2-5) с неко- торым ее элементом или подгруппой, равно индексу (п. 12.2-2) нормализатора этого элемента (или соответственно этой подгруппы) в группе G. 12.2- 8. Группы преобразований или операторов (см. также пп. 12.1-4, 14.9-1 —14.10-7 и 16.1-2). Множество G всех взаимно однозначных преобразо- ваний х' = f (х) любого класса С на себя образует группу, определяющей опе- рацией в которой является последовательное применение двух преобразова- ний (умножение преобразований или операторов). Если Gi — произвольная подгруппа группы преобразований G, то два объекта х, х', связанные каким-либо преобразованием х' = f (х) из подгруппы Gt, называются эквивалентными относительно подгруппы Gt. Это. отношение есть отношение эквива- лентности (п. 12.1-3), так что каждая подгруппа Gi определяет разбиение (классифика- цию) множества С. Каждое свойство, инвариантное (п. 12.1-5) по отношению к Gi {ко всем преобразованиям из Gt), присуще всем объектам х, эквивалентным относитель- но Gt- Множество (обычно числовых) функций {х), F2 {х), ... , инвариантных по отно- шению к Gi, называется полной системой инвариантов группы G,, если множество зна- чений этих функций однозначно определяет класс эквивалентности любого данного объ- екта л нз С. Примеры групп преобразований: все и! подстановок нз п элементов (симметрическая группа степени п); все nl/2 четных подстановок, соответствующих чет- ным числам транспозиций из п элементов (знакопеременная группа степени п). Любая подстановка счетного множества объектов S может быть выражена как произведение циклических подстановок некоторых подмножеств множества S так, что никакие два таких цикла ие действуют на одни и те же элементы из S. 12.2- 9. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Представление групп (см. также пп. 12.2-4, 12.2-5.и 14.9-1 — 14.10-7). (а) Гомоморфизм .или изоморфизм (по отношению к определяющей опе- рации, п. 12.1-6) переводит элементы а, Ь, ... данной группы G в элементы а', Ь’, ... некоторой группы G’ так, что (ah)’ —.а’Ь’. Единица группы G пере- ходит в единицу группы О'; обратные элементы переходят в обратные. При каждом гомоморфизме группы G на группу G' множество элементов группы G, отображающихся в единицу группы G', есть нормальный делитель Gg группы G, а мно- жество элементов, отображающихся в произвольный элемент группы G', есть некото- рый смежный класс по Gg; фактор-группа G/Gg изоморфна группе G'. Нормальный делитель Gg называется ядром гомоморфизма. Каждый нормальный делитель Gt группы G является ядром гомоморфизма, переводящего G в фактор-группу G/G±. Класс всех автоморфизмов любой группы G образует еруппу; класс всех преобразова- ний вида (3) группы G (внутренних автоморфизмов группы G) есть подгруппа группы автоморфизмов. Сопряженные подгруппы обязательно изоморфны. (Ь) Всякая группа G изоморфна некоторой подгруппе (может быть пред- ставлена такой подгруппой, реализована в виде такой подгруппы) группы всех взаимно однозначных преобразований некоторого класса объектов на себя (тео- рема Кэли, см. также п. 12.2-8). В частности, каждая конечная группа изо- морфна некоторой группе подстановок (регулярное представление конечной группы, п. 14.9-1,а). Представления групп с помощью линейных преобразо- ваний и матриц см. в пп. 14.9-1 —14.10-7.
374 ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА 12.2-10. 12.2- 10. Аддитивные группы. Классы вычетов и сравнимость. (а) На определяющую операцию в коммутативной группе (абелевой группе, п. 12.2-1, а) часто смотрят как на (абстрактное) сложение. Ее результат можно записы- вать в виде суммы, а + Ь, а единицу и элемент, обратный данному элементу а, соответ- ственно как 0 {нуль или нулевой элемент) н — а; прн атом пишут а + (— Ь) = а —• Ь. Группу в этом случае называют аддитивной (группой по сложению), а выражения вида а + а + а 4-а, — а~а, ... обозначают символами 2а, За, —2а, ... (Ь) Каждая подгруппа коммутативной группы есть нормальный делитель. Смеж- ные классы по подгруппе Gi аддитивной группы G называются классами вычетов по модулю Gt; два элемента а, Ь группы G, принадлежащие одному и тому же классу вычетов (т. е. для которых Gi содержит а — Ъ\ см. также п. 12.2-4,Ь), называются срав- нимыми по модулю Gj [a зз b (GJ]. Сравнимость есть отношение эквивалентности (п. 12.1-3, см. также п. 12.2-4, Ь). Фактор-группа GjGi аддитивной группы G является группой классов вычетов по модулю Gi и может быть обозначена символом G [mod Gi’j. Два целых числа т и п сравнимы по модулю г [т = п (mod г)], где г — целое число, если разность т — п делится на г; это значит, что тип при делении на г дают одинаковые остатки. 12.3 . АЛГЕБРА МОДЕЛЕЙ С ДВУМЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ ОПЕРАЦИЯМИ^ КОЛЬЦА, ПОЛЯ И ОБЛАСТИ ЦЕЛОСТНОСТИ 12.3- 1. Определения и основные теоремы. (а) Класс объектов (элементов) а, Ь, с, ... называется кольцом, если определены две бинарные операции, обычно называемые (абстрактными) сло- жением и умножением, такие, что 1) R есть коммутативная группа по сложению (аддитивная группа, п. 12.2-10), т. е. R замкнуто по отношению к сложению, и a-)-b = b-l-a, o + (i» + c) = (а+6)+с, а-]-0=а, а+(—а)—а—а=0; 2) произведение ab есть элемент R (замкнутость по отношению к. умножению);, 3) a (be) = (ab) с (ассоциативный закон для умножения) *); 4) а (Ь-)-с)=аЬ-}-ас, (b-j-c) а = Ьа-)-са (дистрибутивные законы). Заметим, что а-0 = 0-а=0 для любого элемента а кольца R. Два эле- мента р#=0 и 9#=0 кольца R, для которых pq — O, называются соответствен- но левым -и правым делителями нуля. В кольце без делителей нуля из ab=0 следует либо а = 0, либо fe—0, либо а=Ь — 0 и действуют законы сокраще- ния (12.2-1). Целочисленные «кратные» элементы а кольца, например, 2а, За, ... (п. 12.2-10,а), вообще говоря, не являются произведением элементов кольца. Целые степени элементов кольца определяются, как в п. 12.2-1, с. (Ь) Если кольцо R содержит левую единицу, т. е. такой элемент Е, что Еа—а для всех а (см. также п. 12.2-1,а), и правую единицу, т. е. такой элемент Е', что аЕ' = а для всех а, то Е' = Е и Е обязательно является как единственной левой, так и единственной правой единицей. В этом случае Е называется кольцом с единицей, Могут быть и такие кольца, в которых существует одна или несколько правых еди- ниц, но нет ли одной левой един'ицы, или наоборот. Если а — произвольный элемент кольца с единицей Е, то его левым обрат- ным (мультипликативным) элементом называют такой элемент of1, что а~[~1а — Е. Аналогично, называется правым обратным элементом, если аа~1=Е. *) Иногда также рассматривают неассоциатиеные кольца, в которых ассоциативный закон не соблюдается.
12-4-1. 12.4. ЛИНЕЙН. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙН, АЛГЕБРЫ 375 Если элемент а обладает как левым, так и правым обратным элементом, то они равны между собой: а^ 1 = = в этом случае элемент а обла- дает единственным обратным элементом. Заметим, что не все элементы кольцз обязаны иметь обратные элементы. (с) Поле есть кольцо с единицей, которое содержит: 1) по крайней мере один элемент, отличный от нуля, и 2) для каждого элемента ау=0 мульти- пликативный обратный элемент а-1. Ненулевые элементы поля F образуют группу по умножению. Если а и с—произвольные элементы поля F, причем с=^=0, то уравнения сх=Ь и хс=Ь имеют в F решения-, эти решения единственны (однозначно определенные левое и правое деление, см. также в п. 12.2-1, Ь). Делителей нуля в поле нет. (d) Кольцо или поле коммутативны, если ab—ba для всех а и Ь. Коммутативное поле иногда называют просто полем, в отличие от тела или некоммутативного поля. Полем Галуа называют конечное коммута- тивное поле. Область целостности—это коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля. Любая конечная область целостности является полем Галуа. В любой области целостности ёсв ненулевые элементы аддитивной группы имеют один и тот эюе порядок (п. 12.2-3). Его называют характеристикой этой области целост- ности. (е) Краткие сведения об упорядоченных полях см. в п. 12.6-3. Примеры полей: рациональные числа, действительные числа, комплексные числа. Примеры областей целостности: целые числа, комплексные числа с целой действительной и мнимой частью, многочлены с действительными или с комп- лексными коэффициентами. П р им еры коммутативных колец: четные целые. числа (кольцо без единицы), непрерывные функции на конечном интервале (кольцо имеет делители нуля). 12.3- 2. Подкольца и подполя. Идеалы. (а) Подмножество Ri кольца R называется его подкольцом, если Rr является коль- цом в смысле определяющих операций кольца R. Это имеет место в том и только в том случае, если Rv для любой пары своих элементов а и b содержит а — Ъ и ab. Аналогично подмножество Fi поля F называется его подполем, если Гг есть под- кольцо кольца F, имеющее по крайней мере один ненулевой элемент, и если для каж- дой пары элементов а и Ь ф 0 множества Ft оно содержит и ab 1. Ненулевые эле- менты подполя Ft образуют подгруппу мультипликативной группы поля F. (Ь) Подмножество кольца R называется идеалом в R, если 1) Ii есть подгруппа R по сложению; 2) Ii содержит все произведения ab (левый идеал), или все произве- дения Ьа (правый идеал), или все произведения ab и Ьа (двусторонний идеал), где а —любой элемент из Iu а Ъ — любой элемент из R. Пример. В кольце всех целых чисел числа, кратные некоторому числу р, составляют двусторонний идеал. 12.3-3. Расширения. Коммутативное кольцо илн поле часто оказывается возмож- ным включить в качестве подкольца или подполя в «более широкое» поле (поле отно- шений. алгебраическое расширение н т. д.; см. также пример в п. 12.4-2). Теория полей, включающая так называемую теорию Галуа, занимается вопросом о сущест- вовании таких расширений. (Приложения: исследование возможности построения с помощью циркуля и линейки, нли решения алгебраических уравнений с помощью радикалов, или построения латинских квадратов.) ‘ 12.4. МОДЕЛИ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ В СЕБЯ БОЛЕЕ ОДНОГО КЛАССА МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ: ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 12.4- 1. Линейные векторные пространства. Пусть R—кольцо (с мультип- ликативной) единицей 1 (п. 12.3-1); элементы а, р, ... кольца R будем назы- вать скалярами. Класс /Z объектов (элементов) а, Ь, с, ... называется (линей- вым) векторным' пространством над кольцом R, а элементы класса U
376 ГЛ. .12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА 12.4-2. называются векторами, если определены две бинарные операции — векторное сложение и умножение вектора на скаляр такие, что1) 1) /Z есть коммутативная группа по векторному* сложению: для ' каждой пары элементов а, Ь е Ц пространство U содержит их век- торную сумму а-|-Ь н a-|-b=b-|-a, a+(b+c) = (a+b)+c, а-|-0=а, а+(—а) = а—а=0, где 0 — аддитивный нулевой элемент (нулевой вектор) пространства Uf а —а — элемент, аддитивный обратный элементу а (п. 12.2-10); 2) если а—любой вектор из U и «-—любой скаляр из /?, то И содержит вектор аа,. произведение вектора а на скаляр « (замкну- тость по отношению к умножению на скаляр)’, . 3) («р) а=а (Ра) (ассоциативный закон для умножения наскаляр); 4) «(а+Ь) = аа+«Ь, (а+Р) а=аа+ра (дистрибутивные законы); 5) 1 • а=а. Заметим, что 0-а=0, (—1)а=—а, (—а) а—— (аа). (12.4-1) / Линейные векторные пространства искл/эчительно важны для прикладной математики; они будут детально рассмотрены в гл. 14 (См. также главы 5, 6, 15, 16 и 17). 12.4- 2. Линейные алгебры. Пусть 7? — кольцо скаляров с единицей. Класс SB называется линейной алгеброй (линейной ассоциативной алгеброй, систе- мой гиперкомплексных чисел) над кольцом R, если определены три бинарные, операции (сложение и умножение в X и умножение элементов из на ска- ляры) такие, что 1) X есть кольцо, 2) ЗБ есть линейное векторное пространство над кольцом ска- ляров R. Рангом линейной алгебры называется ее размерность как векторного про- странства (п. 14.2-4). Если линейная алгебра есть поле, то она называется алгеброй с делением (п. 12.3-1). Матричное представление линейных алгебр см. в п. 14.9-7. Элемент А ф 0 линейной алгебры называется идемпотентным, если Аа= А, н ниль- потентным, если существует такое натуральное число mz> 1, что Ат = о. .Эти опре- деления, в частности, применимы к матрицам (п. 13.2-2) и к линейным операторам (п. 14.3-6). Примеры (см. также пп. 13.2-2 и 14.4-2). 1) Поле комплексных чисел — комму- тативная алгебра с делением ранга два над полем действительных чисел. 2) Поле кватернионов а, Ь, • •- является единственным расширением (п. 12.3-3) поля комплекс- ных чисел, которое образует некоммутативную алгебру с делением над полем дей- ствительных чисел. Каждый кватернион а может быть представлен в виде а = а0 + iai + уа2 + кал = (а0 + i«t) + (аа + I. (12.4-2) где’ а®, а2 ае, а2— действительные числа, а I, / и к— специальные кватернионы (вместе с I они являются элементами базиса), подчиняющиеся следующим правилам умножения: = /г = А» = — 1, 1 (12.4-3) jk=°—ki = i, kt^—ik — 1, 4 = — li-k. J *) Некоторые авторы требуют, чтобы Ц содержало не только сумму любых двух векторов, но и всякую бесконечную сумму 4-а2+• • •, сходящуюся в некотором специальном смысле; определенные таким образом векторные пространства не отно- сятся к алгебре в собственном смысле слова (см. также п. 14.2-1).
12.6-1. 12.5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 377 Если положить а ~ Щ — (Щ -* fas — Аа,, то I a |« = aa = aa = a$ + a? + of 4- a|> (12.4-4) a-1 = a/) a |2, а ф 0 (12.4-5) (см. также n. 14.10-4). 12.5 . МОДЕЛИ, ДОПУСКАЮЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ: ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 12.5- 1. Топологические пространства (элементарные свойства точечных множеств см. в п. 4.3-2). (а) Класс С объектов (точек) х называется топологическим пространством, если' он может быть представлен как объединение некоторого ^семейства / своих подмножеств, которое содержит: 1) пересечение любой пары своих множеств, 2) объединение любого множества своих множеств. Элементы семейства I и пустое множество называются открытыми множествами пространства С, а семейство открытых множеств — топологией пространства С. Некоторое семейство & открытых множеств называется базой пространства С, если каждое множество из / есть объединение каких-либо множеств из Пересечения любого подмножества Сг топологического пространства С с открытыми множествами этого пространства задают топологию в Сх (отно- сительная топология подпространства Ci). Одно и то же множество может допускать несколько топологий (и при этом полу- чаются различные топологические пространства); всякое множество С допускает триви- альную топологию, при которой открытыми множествами считаются только С и пустое множество, и дискретную топологию, когда открыто любое подмножество пространства С< (Ь) При данной топологии окрестностью точки х е С называют любое мно- жество в С, которое содержит открытое множество, содержащее х. Часто под окрестностью точки х понимают только открытое множество, содержащее х. Коль Скоро определены окрестности, точно так же как в п. 4.3-6, а, можно определить предельные точки, внутренние точки, граничные точки и изолиро- ванные точки множеств; топологические пространства очевидным образом обоб- щают и абстрагируют некоторые свойства системы действительных чисел. В любом топологическом пространстве С множество является открытым в том и только в том случае, если оно содержит только внутренние точки-, множество S замкнуто; 1) если S есть дополнение в С некоторого открытого множества или 2) если S содержит все свои предельные точки (равносильные определения). Множество S всюду плотно в С, если в каждом открытом мно- жестве пространства С содержится хотя бы одна точка из S. Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно содержит счетное всюду плотное множество. Если в пространстве С существует счетная база, то С сепарабельно. Топологическое пространство С называется компактным, если всякая бес- конечная последовательность его точек имеет в нем хотя бы одну предельную почку; это имеет место в том и только в том случае, если каждое счетное семейство открытых множеств, покрывающее С (т. е. объединение которого Равно С) , содержит конечное подсемейство, покрывающее С (см. также п. 12.5-4). Множество точек S топологического пространства С называется относи- тельно компактным (компактным в С), если всякая бесконечная последова- тельность точек множества S имеет предельную точку в С. Множество S ком- пактно (компактно в себе), если каждая бесконечная последовательность его точек имеет предельную точку в S. Топологическое пространство С называется бикомпактным, если .каждое семейство открытых множеств, покрывающее С, содержит конечное подсе- MeflcTBOj покрывающее С. Бикомпактное пространство компактно.
378 ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА 12.5-2. Бикомпактность н компактность являются обобщением понятия ограниченности и замкнутости множества (п. 4.3-6) в конечномерных пространствах, где имеют место тео- ремы Больцано — Вейерштрасса и Гейне — Бореля (п. 12.5-4). (с) Предельные и граничные точки множества S соответственно образуют его произ- водное множество S' и его границу. Замкнутое множество S U S' называется замыканием множества S. Два множества отделены, если никакое из них не пересекается с замыка- нием другого. Множество называется связным, если оно не может быть представлено в виде объединения двух отделенных собственных его подмножеств (пример: область в евклидовом пространстве, п. 4.3-6, d). (d) Непрерывность. Гомеоморфизмы. Отображение (преобра- зование, соответствие, функция, операция) х —-х' = f (х) топологического прост- ранства С в топологическое пространство С называется непрерывным в точке о е С, если для каждой окрестности V точки f (а) в С .существует такая окрестность V точки а в С, образ которой содержится в U'. Отображение f (х) непрерывно в С, если оно непрерывно в каждой точке пространства С; для этого необходимо и достаточно, чтобы множество всех точек, отображающихся в любое открытое множество V пространства С (полный прообраз множе- ства U'), было открыто в С. Непрерывное взаимно однозначное отображение, имеющее непрерывное обратное отображение, называется гомеоморфизмом или топологическим отоб- ражением, соответствующие топологические пространства называются гомео- морфными или топологически эквивалентными. (ё) Топология — наука о свойствах и величинах, инвариантных относительно топо- логических отображений (топологические инварианты; см. также п. 12.1-5). Весьма существенно, что подходящие топологические пространства служат моделями, допускаю- щими определение сходящихся предельных процессов с помощью понятия окрестности (см. также пп. 4.3-5, 4.4-1 и 12.5-3) *). В конкретных случаях топология часто вво- дится прямо путем определения окрестностей или сходимости. Примеры. Определение окрестностей, данное в п. 4.3-5, устанавливает в системе действительных чисел «обычную» топологию и позволяет ввести пределы, дифференциро- вание, интегрирование, бесконечные ряды и т.д. Подобным ike образом в п. 5.3-1 дается определение топологии для пространства евклидовых векторов (см. также пп. 12.5-3 и 14.2-7). 12.5-2. Метрические пространства. Класс С объектов (точек) х, у, г, ... называется метрическим пространством, если для каждой упорядоченной пары точек х, у из С определено действительное число d (х, у) (расстояние между х и у, метрика) такое, что 1) d(x, у)=0 в том и только в том случае, если х=у, 2) d(x, y)s^d(x, z)-j~d(y, г) (неравенство треугольника) для любых х, у, г из С. Из этого определения вытекает d(x, у)^0, d(y, x)'=d(x, у) (12.5-1) для всех х и у из С. Два метрических пространства называются изометричными, если между ними Существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее расстояние (изометрия.). Свойства, общие для всех метрических пространств, изометричных данному, называются метрически инвариантными. Примеры. Де ствительные и комплексные числа обр зуют метрические про- странства с метрикой d (х, у} = | х — у | . Вообще любое нормированное векторное про- странство (п. 14.2-5) допускает метрику d (ic, у} = — уЦ (см. также пп. 14.2-6, 14.2-7 и 15.2.-2). 12.5- 3. Топология, окрестности и сходимость в метрическом пространстве. (а) Если а — любая точка метрического пространства С, то множество точек х е С, для которых d (а, х) < 6, называется открытым шаром радиуса, б с центром а. Открытые шары конечных радиусов составляют базу в про- странстве С (п. 12.5-1). Открытые множества в С — объединения любых мно- жеств открытых шаров. Окрестностью точки а в С называется любое множество, содержащее открытый шар с центром а. Множество точек хе С, для которых ») Целиком за пределами этого справбчника остается алгебраическая топология.
12.Б-4. 12.5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 379 d (а, х) 6. называется за мкнутым шаром радиуса б с центром а. Множество в пространстве С называется ограниченным, если оно содержится в некото- ром замкнутом шаре этого пространства. (Ь) Последовательность точек %0, xlt х2, ...метрического ' пространства С сходится к пределу а еС, если d(xn, а)—*0 при п—>со (см. также п. 14.2-7). Если переменная точка х (g) пространства С является функцией действительного переменного g, то говорят, что функция х (g) сходится к пределу of С при g —а. если d [x(g), а]— 0 при ^ — а. Функция x'=f(x), связывающая точки х метриче- ского пространства Cj^ и точки х' метрического пространства Сд|, непрерывна в точке о € если d У (х>, f (о)] — 0 при d (х, а) —0. 12.5- 4.Х Метрические пространства со- специальными свойствами. Теория точечных множеств. (а) Метрическое пространство С называется: полным, если любая последовательность xlt х2, ... точек про- странства С, для которой lim d (хт, хп)—0 (последовательность т-*со п -* со Коши, фундаментальная последовательность), сходится к некоторой почке из С (см. также пп. 4.9-1, а, 4.9-2, а, 4.9-3, а, 14.2-7 и 15.2-2); компактным, если любая бесконечная последовательность точек пространства С содержит подпоследовательность, сходящуюся к неко- торой точке из С. Компактное метрическое пространство называется также компактом (см. п. 12.5-1, Ь); вполне ограниченным, если для любого 6 > 0- пространство С есть объединение конечного числа открытых шаров радиуса 5; локально компактным, если у каждой его точки есть окрестность, замыкание (п. 12.5-1, Ь) которой компактно. Множество S в полном метрическом пространстве, С является полным метрическим подпространством С (см. также п. 12.5-1, а) в том и только в том случае, если S замк- нуто. Для того чтобы метрическое пространство С было компактно, необходимо и до- статочно, чтобы оно было полным и вполне ограниченным, а для того чтобы оно было вполне ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы любое бесконечное его подмноже- ство содержало последовательность Коши. Всякое конечномерное нормированное пространство является сепарабельным и полным Сем. также п. 14,2-7). Л юбой замкнутый шаре нем компактен, и потому такое пространство локально компактно. (Ь) Понятия, введенные в пп. 12.5-2—12.5-4, а, дают удобную терминологию для многих задач, касающихся приближения произвольного элемента х подходящего класса С последовательностью элементов Xi, хя. ... из С. В таких случаях d ^xfit х) измеряет погрешность приближения. Примеры. Важные приложения имеет приближение функции f (/) последова- тельностью функций s0 (О, Si (О, s2 (О, • • • (частичные суммы бесконечного ряда). Если дано пространство С функций f (/), g (0, . . .. непрерывных в интервале 0 t 1, То можно использовать метрики! di (f, g) = max | f (0 — g (t) | (Максимальная погрешность — ведет к определению равномерной сходимости, п.4 ,4-4); 1 ds(f. Ю== Jlf (т) -£(т) i9da 0 (средняя квадратическая погрешность — ведет к определению сходимости в среднем с пока- зателем 2 и к приближениям по методу наименьших квадратов) и другие. С тополо- гией, определяемой метрикой dr {f, g), С есть полное и сепарабельное пространство; счетное множество S многочленов с рациональными коэффициентами всюду плотно в € а годнтсяж таким образом, для приближений (см. также п. 4.7-3).
380 ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА 12.5-5. (с) Компактное метрическое пространство бикомпактно (см. п. 12.5-1, Ь). В любом компактном метрическом пространстве С: 1) всякое бесконечное множество имеет по крайней мере одну предельную точку; 2) если S — произвольное замкнутое множество и А — произвольное семей- ство открытых множеств пространства С, объединение которых содержит S (покрытие множества S), то уже некоторое конечное число множеств из семей- ства А образует покрытие множества S. Всякое ограниченное замкнутое подмножество евклидова пространства компактно. Поэтому теоремы 1 и 2, в частности, применимы к ограниченным замкнутым множе- ствам действительных и комплексных чисел и к таким же множествам в двух- н трех- мерном евклидовом пространстве. Они называются в этом случае соответственно тео- ремой Больцано — Вейерштрасса и теоремой Гейне — Бореля о выделении конечного по- крытия. . 12.5-5. Примеры; пространства числовых последовательностей и функций. Понятия, введенные в пп. 12.5-2—12.5-4, обеспечивают четкую и стимулирую- щую терминологию для многих задач, касающихся приближения произволь- ного элемента подходящего класса С некоторой последовательностью элемен- тов Xi,-х2, ... из С. В таком случае расстояние d (хп, х) измеряет погреш- ность приближения или степень того, насколько система, характеризуемая последовательностью х1г х2, ....-отклоняется от требуемого результата х. В таблицах 12.5-1 и 12.5-2 приведено несколько примеров топологических пространств. Особенно важные приложения касаются приближения некоторой функции f (/) последовательностью функций Sj (^), s2 (/), являющейся, например, последовательностью частичных сумм какого-либо бесконечного ряда (см. также пп. 4.7-3, 5.3-11, 13.2-1, 13.2-il, 14.2-7 и 15.2-2). Таблица 12.5-1 Некоторые пространства числовых последовательностей Х=(§!, §2, ...), 0 =1(1)1, Па, •••) Обычное обозна- чение Определение Расстояние d (х. у) Замечания т Ограниченные последо- вательности действитель- ных чисел supl6fc-’lfel к Полное, не сепарабельное с Сходящиеся последова- тельности действитель- ных чисел S“P 1 6ft - nfc| к Все полные и сепарабельные р Последовательности ком- плексных чисел, для ко- торых сходится ряд со 5 IW Л=1 2 I6*-4*!2 -А — 1 V. IP Последовательности ком- плексных чисел, для ко- торых сходится ряд °0 о 2 16*1₽ (р = 1, 2, . . .) со S. i?ft-Tiftl₽ _ft=i j i/p
12.Б-5. 12.5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 381 Таблица 12.5-2 Некоторые пространства функцвй х (Z), у (f) (см также пп. 14.2-7, 15.2-2 и 18.10-9; определения легко распространяются на функции двух или более переменных) Обычное обозна-’ чение Определение Расстояние Замечания ЕЮ. ч Действительные функ- ции, определенные на [0. 1] Метрики не существует. Топология опреде- ляется поточечной сходимостью С[0. Л Непрерывные действи- тельные функции, опре- деленные на [0, 1] sup 1 X (/) — и (/) | Полное; сепара- бельное (п. 4.7-3); равно- мерная сходи- мость L* (а, Ь) Комплексные функции, для которых интеграл Ъ J ! х (/) |« dt а * существует в смысле Лебега (п. 4.6-15; -ь j 1 X (t) - и (0 !• dt _а V, 1 Полные (п. 15.2-2); сепа- рабельные, даже когда интервал (fl, Ъ) не ограни- чен; сходимость в среднем Lp (а. 6) Комплексные функции, для которых интеграл b J 1 X (2) \Р dt а существует в смысле Лебега (р = 1, 2, . . .) Р Ц|*(П-Х/(Л \р dt 1/р Р Комплексные функции, для которых существует предел 1. 1 lim х 7-»+со т Т/2 X j | х (0 Is dt, - Т]2 причем интегралы пони- маются в смысле Ле- бега *) Г Г/2 L «я 4 । х ю - I Т —»-4- со * у. L с -772 Vi - и (0 Is dt Полное, не сепа- рабельное ’) Точками пространств L2 (о, b а классы функций; в каждый такой всюду (СМ. п. 4.6-14, Ь). , L& (с, b) и E2 являются не сами функции, класс входят функции, совпадающие почти
ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА 12.5-6. 12.5- 6. Теорема Банаха о сжатых отображениях и последовательные прибли- жения. Пусть x'—f(x) — любое отображение замкнутого множества S полного метрического пространства С в себя, удовлетворяющее для всех х, у из S условию d I/ (*). f (г/)] a d (х, у), (12.5-2) где а—некоторое положительное число, меньшее, чем единица («сжатое ото- бражение»). Тогда множество S содержит единственную неподвижную точку х, отображения f, для которой f(xj)=xf. (12.5-3) Кроме того, решение х/ уравнения (3) является пределом всякой последователь- ности точек xn+i=f(xn) («=0, 1, 2, ...) (12.5-4) для произвольной начальной точки х0 из S. Скорость сходимости приближаю- щей последовательности оценивается по формуле пп d(xn, xj) d(xlt х0) (и=0, 1, 2, ...). (12.5-5) Теорема Банаха (принцип сжатых отображений) служит мощным методом установления сходимости В'обширной области применения аппарата приближе- ний (пп. 20.2-1, 20.2-6 и 20.3-5). 12.6. ПОРЯДОК 12.6-1. Частично упорядоченные множества. (а)х- Пор я до к. Класс S объектов (элементов) а, Ь, с, ... называется ча- стично упорядоченным множеством, если между некоторыми парами его элемен- тов а, Ь определено отношение порядка (правило предшествования) at^b такое, что 1) из а^Ь и Ь^с следует а с (транзитивность), 2) а^а (рефлексивность). J Если aи афЬ, то пишут а<.Ь. Часто, кроме того, предполагается, что 3) из а-^b и 6 «с а следует а=6 х) (антисимметричность). (12.6-1а) Для любого подмножества частично упорядоченного множества, так же как в п. 4.3-3, можно определить понятия верхней границы, нижней границы, точной нижней границы, точной верхней границы, наибольшего и наименьшего элементов. Если час- тично упорядоченное множество удовлетворяет условию 3), то точная^. верхняя (точная нижняй) граница любого его подмножества, если она существует, единственна. Частично упорядоченное множество называется полным (полной структурой), если в нем выполняется условие 3) н если каждое непустое его подмножество имеет точ- ную верхнюю и точную ннжнюю границы. Частично упорядоченное множество назы- вается условно полным, если в нем выполняется условие 3) и если каждое непустое его подмножество, имеющее верхнюю границу (ограниченное сверху), имеет и точ- ную верхнюю границу. Последнее условие выполняется в том н только в том слу- чае, если каждое непустое его подмножество, имеющее нижнюю границу (ограничен- ное снизу), • имеет и точную нижнюю границу. (Ь) Структуры. Частично упорядоченное множество называется структурой, если в нем выполняется условие 3) п. 12.6-1, а и если у каждой пары а, b его элементов имеется (необходимо единственная) точная верхняя граница sup (а, Ь) и (необходимо единственная) точная нижняя граница inf (а, Ь). В каждой структуре можно опреде- лить «сумму» а sup (а, Ь) и «произведение» ab = inf (а, Ь) любых двух элемен- тов. Так определенные сумма и произведение обладают свойствами 1, 2, 3, 5, 6 булевых алгебр, перечисленными в п. 12.8-1. 12.6-2. Линейно упорядоченные множества. Класс S элементов а, Ь, с, ... называется линейно (просто, совершенно) упорядоченным множеством (цепью), еслц в нем определено отношение порядка, удовлетворяющее условиям 1), 2) •) Некоторые авторы это условие формулируют в виде: «а <; Ь исключает b < а».
12.7-3. 12.7. КОМБИНАЦИИ МОДЕЛЕЙ 383 и 3) л. 12.6-1, и, кроме того, условию, что для любой пары а, b различных элементов множества S либо и Ь2 либо b а. Линейно упорядоченное множество S называется вполне упорядоченным множе- ством если всякое непустое его подмножество имеет наименьший элемент. С 12.6-ЗХ- Упорядоченные поля (см. также пп. 1.1-5 и 12.3-1). (а) Коммутативное поле К называется упорядоченным полем, если некоторые его элементы называются положительными (>0) и если выполняются условия: 1) для всякого элемента а £ К имеет место одно и только А г (12 6-2) одно из трех отношений: с>0, с —0, —я>0; J ‘ 1 2) из а > О и & > 0 следует о + Ь > О и аЬ > 0. Если —О, то элемент а называют отрицательным и пишут а<0. Если поло- жить а">Ь. когда а-г~6>0, то поле становится линейно упорядоченным множеством (п 12.6-2).* (Ь) Всякое условно полное (п. 12.6-1, а) упорядоченное поле изоморфно {по сложению и умножению) полю действительных чисел. Любая упорядоченная область целостности„ множество положительных элементов который вполне упорядочено (п. 12.6-2), изоморфна кольцу целых чисел. 5,2.7. КОМБИНАЦИИ МОДЕЛЕЙ: ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ^ ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ПРЯМАЯ СУММА 12.7-1. Декартово произведение. Пусть С,, С2, ...—некоторые классы объектов. В пп. 12.7-1 —12.7-5 рассматривается новый класс С, элементы кото- рого представляют собой всевозможные упорядоченные множества {а,, о2, ...}• объектов а1( а2, ...» взятых соответственно из классов С1; С2, ... По опре- делению {о,, а2, = Ь2, ...} в том и только в-том случае, если а1=Ь1, а2—Ь2, ... Класс С называется декартовым произведением классов Сх, С2, ... Этот метод комбинирования математических объектов в более сложные мате- матические объекты ассоциативен'. {а,, {а2, а3}} = {{аь а2}, aJsK, а2, оя}. (12.7-1) Остается связать операции в С с операциями в С,, С2, ... 12.7-2. Прямое произведение групп (см. также п. 12.2-1). Прямым произ- ведением G=Gi®G2 двух групп G, и С2 называется группа, образованная всеми упорядоченными парами {а,, а2}, где а, — любой элемент группы G,, a Og—любой элемент группы С2 с умножением, определяемым формулой {at, а2} {(>!,. Ь2} = {аА. «аМ- . (12.7-2) Порядок группы G равен произведению порядков групп G, и С2. Группа G имеет единицу Е—{Ег, £2}, где Ег и Е2 — единицы соответственно в G, и в С2. Если у групп Gt и С2 нет общих элементов, то {а,, а2} можно записывать как внешнее произведение сца^, причем а1Е2^а1, Eta2 = a2 и G, и G2— под- группы в G. Примеры. Любая скалярная величина в физике является внешним произведением числа и единицы измерения. Выражения виДа работа — массе X ускорение х перемещение — тоже внешние произведения. 12.7-3. Прямое произведение действительных векторных пространств (см. также пп. 12.4-1, 14.2-1 и 14.2-4); Прямым произведением U — Ux ®U2 двух действительных векторных пространств 22, и U2 называется действительное век- торное пространство, образованное всеми упорядоченными парами (внешними произведениями) {а„ a2}saia2, где а,—любой элемент из Uv а а2 —любой элемент из U2 а. векторным сложением и умножением векторов на скаляры, определяемыми формулами х' а1 (а2+Ь2) = а,а2 a,b2> (а, -(- Ь,) аа = а,а2 bja,, | (12.7-3) аа,аа = (ocaj аа = а, (ааа). J
384 ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА 12.7-4. Линейная размерность векторного пространства U равна произведению линей- ных размерностей пространств и Uz. Пример. Построение тензоров как внешних произведений векторов приведено в пп. 16.3-6, 16.6-1 и 16.9-1. 12.7-4. Топологическое произведение (см. также п. 12.5-1). Топологическое произведение двух топологических пространств Сг и Cz есть их декартово про- изведение с топологией (семейством .открытых множеств), определяемой следую- щие образом: открытое множество есть декартово произведение любых двух множеств и S2, где Sj—открытое множество в Clt a S2—открытое мно- жество в С2. 12.7- 5. Прямая сумма. (а) Прямой суммой U’ = Ux ф ZZ2 двух векторных пространств и ZZ2, взятых над одним и тем же кольцом скаляров R, называется векторное прост- ранство, образованное всеми парами [at, а2], где ах—любой элемент из а а2—любой элемент из ZZ2, с векторным сложением и умножением векторов на скаляры а из R, определяемыми формулами [а^, ajJ-Jrfbx, b2] = [a^-J-bj, а2+Ь2], ос[aj, a2] = [ocai, оса2]. (12.7-4) Размерность пространства И' равна сумме р'азмерностей пространств Ut и Uz. Если Ut и «#2 не имеют общих элементов, то можно писать [а!, а2] = а1+а2 и пространства и ZZ2 являются тогда подпространствами W. Каокдое линей- ное векторное пространство размерности большей, чем единица, может быть представлено в виде прямой суммы его непересекающихся подпространств. (Ь) Прямой суммой /?' = В1фВ2 двух колец R^ и Rz называется кольцо, образованное всеми упорядоченными парами (часто называемыми прямыми сум- мами) [а1( а2] со сложением и умножением, определяемыми формулами [«1, а2] + [£>т, Ь2) = [алfef, а2+&2], [Oi, а2] [(ц, bs] = [а^, (12.7-5) (с) Прямая сумма двух линейных алгебр (п. 12.4-2) есть линейная алгебра из упорядоченных пар со сложением, умножением и умножением на скаляр,, определяемыми формулами (4) и (5). / 12.8 . БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 12.8- 1. Булевы алгебры. Булевой алгеброй называется класс § объектов А, В, С, ..., в котором определены две бинарные операции, обозначаемые как (логические) сложение и умножение, со следующими свойствами: (а) Для всех А, В, С из § 1) § содержит А-ф-В и АВ (замкнутость); 2)А+В = В+Д, 1 АВ В A J (коммутативные законы)} 3) A-J-(B-|-C) = (A-|-B)-[-C, 1 А (ВС) = (А В) С J (ассоциативные законы)-, 4) А (В-)-С) = АВ-|-АС, 1 А + ВС=(А+В)(А+С), / 5) А-|-А=АА=А (свойства идемпотентности); 6) А-\-В—В в том и только в том случае, если АВ = А (свойство совместимости). (Ь) Кроме того, 7) § содержит элементы / и 0 такие, что для всякого эле- мента А из § A-f-0=At А/=Аг A0=0t 'A + /=/j
12.8-2. 12.8. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ Ж 8) для каждого элемента А класс § содержит элемент А (дополне- ние элемента А, часто обозначаемое символами А или /—A) такой, что Д+Д=/, дд=о. В каждой булевой алгебре А (А-|-В) = А-|-АВ = А {законы поглощения)/ (12.8-1) ' ’ } {двойственность, законы де Моргана), (12.8-2) (АВ)=А+В ) А=А, 7=0, 0=1, . ; (12.8-3) A+ABsA-J-B, АВ+АС+ВС == АС+ВС. (12.8-4) Если А -f- В = В, то вместо АВ можно писать В — А (дополнение А до В}, Эле- -менты А, В, С, ... булевой алгебры называются дизъюнктными, если попарные произ- ведения любых элементов этого множества равны 0. Символы [J и Q, используемые в пп. 4.3-2, а, 12.8-5, b и 1В.2-1 для обозначения объединения и пересечения множеств и событий, часто употребляются и для обозначе- ния логического сложения и умножения в любой булевой алгебре, причем вместо А Ц- В пишут Д U В, а вместо АВ пишут A f) В 12.8-2. Булевы функции. Приведение к каноническому виду. Если даны п булевых переменных Хх, Х2.....Хп, каждое из которых , может быть равно любому элементу данной булевой алгебры, то булевой функцией Y=F{Xlt Х2, .... Хп) называется выражение, получаемое из Хх, Х2, .... Хп путем сложения,, умножения и взятия дополнения. В каждой булевой алгебре существует ровно 2’2П> различных булевых функ- ций п переменных. Из соотношений п. 12.8-1 следует' F{X, Y.....+ ,-) = f(X, Y, (12.8-5) F(X, X, Y, ...)~X^(F 0, Y, ...) + XF(0, I, Y, ...)== = [Х+Г(0, I, Y, ...))[X+F(Z, 0, У, ...)], (12.8-6) XF(X, X. Y, ...) = XF{1, 0, Y, ...), ) ~ } (12.8-7) X + F.(X, X, Y,...}~X + F(0, I, У, ...). J (b) Всякая булева функция либо тождественно равна 0, либо может быть единственным образом представлена в виде суммы одночленов ZXZ2 ...Zn, где Z, равно или X,, или X, {канонический вид булевой функщш, геометричес- кую иллюстрацию см. на рис. 12.8-1). Булеву функцию Y =F'(X1, Х2,..., Хп) можно привести к каноническому виду следующим образом: 1) пользуясь равенством. (2), разложит^ дополнения к суммам и произведениям; , 2) с помощью первого дистрибутивного закона свести функцию F (Хх, Х2, .... Хп) к сумме произведений; 3) с помощью тождеств X;X/ = Xf и ХгХ/ = 0 и равенств (4) упростить полученное выражение; 4) если какой-либо член f не содержит одной из переменных, например Xi, то переписать f В виде fXi+fXi. .
386 ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА 12.8-3. Во многих приложениях может оказаться полезным опустить шаг 4) и, продолжив шаг 3), как можно больше упростить каждый член разложения. Ввиду законов де Моргана (2) каждую булеву функцию, не равную тож- дественно нулю, можно также единственным образом представить в виде Рис. 12.fi-!. Диаграмма Вейна (диаграмма Эйлера). Диаграммы этого типа иллюстри- руют отношения в алгебре классов (п. Ц2.8-5). Если прямоугольник, круг, квадрат и треугольник обозначить соответственно через /, Х2, Х3, то диаграмма показывает,, что всякая булева функция от Х1>г Х2, Х8 может быть представлена как объединение минимальных многочленов от Хгв Х2, ХЛ (п. 12.8-2). Заметим, что имеется 23 == 8 различ- ных одночленов. произведения сумм Zi’-]-Z2-}-...-|-ZA, где Zt равно либо Xt, либоХр Всего имеется 2" таких сумм. Примеры: (АВ+СО)= (АЧ-В) (С+О) = АС4-АП+ВСЧ-ВО, ' (Д+В)(С+О). = АВ+СП = (А + С) (А+П) (fi-J-C) (S-]-Z5). (12.8-8) 12.8-3. Отношение включения (см. также п. 12.6-1). (а) Равенство А-\-В = В, или АВ—А, эквивалентно рефлексивному отно- шению частичного упорядочения А^В [или В А; (логическое) [отношение включения]. (Ь) Во всякой булевой алгебре ив А а В следует А— В и A -J- В = sup (А, В), АВ— inf (А, В), (12.8-9) где границы определяются отношением включения. Каждая булева алгебра является структурой (п. 12.6-1, Ь). (с) Если А — произвольный элемент булевой алгебры §, то элементыХА А алгеб- ры § образуют булеву алгебру, в которой А играет роль I. 12.8-4. Алгебра классов. Подмножества (подклассы) А, В, ... любого множества (класса) / образуют булеву алгебру (алгебру классов) по отноше- нию к операциям логического сложения (объединения), логического умноже- ния (пересечения) и взятия дополнения, определенного в п. 4.3-2, а. Пустое множество (или любое множество, не содержащее ни одного элемента из /) обозначают символом 0. Отношение (п. 12.8-3) превращается в логическое отношение включения с. 12.8-5. Изоморфиз булевых алгебр. Диаграммы Венна. Дее булевы алге- бры с конечным числом элементов изоморфны (по отношению к сложению, умножению и взятию дополнения, п. 12.1-6) в том и только в том случае, если они имеют одно и то же число элементов. Всякая булева алгебра изо- морфна некоторой алгебре классов (п. 12.8-4). Диаграммы Венна (диаграммы Эйлера), подобные диаграмме, изображенной на рис. 12.8-1, наглядно иллю- стрируют свойства булевых алгебр с помощью алгебры классов.
12.8-6. 12.8. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 387 12.8-6. Алгебры событий и символическая логика. Алгебры событий слу кат моделями для комбинирования событий (должным образом определенных исходов идеализированных экспериментов; см. п. 18.2-1). Если Elt Е%, ...— такие события, то Ej(JE2—событие (предложение) Е± или Ег (или и то, и другое, не исключающее или), Е1(]Е2— событие (предложение) Et и Е2, ’ Е — событие (предложение) не Е, I—достоверное событие (объединение всех возможных исходов, п. 18.2-1), О — невозможное событие. В двузначной (аристотелевой) логике алгебра гипотетических событий (логических высказываний, утверждений) Е связана с более простой булевой алгеброй значений истинности 7" [£], равных или 1 (Е Истинно) или О (Е ложно), гомоморфизмом (п. 12.1-6): 7[/} = 1, Л0]=0, Т [Et (JE^T (Ех) + Т (Е2), ДЕ1Л Е2] = Т [EJ Т [Е2], 7,[Е] = ПЕТ (12.8-10) На основании этих предложений высказывание Е либо истинно, либо ложно (закон исключенного третьего), и значение истинности любого высказывания £,- d) Рис. 12.8-2. Карты Карно а) — d) соответственно для двух, трех, четырех и пяти буле- вых переменных и е) карта для функции из табл. 12.8-1 от трех переменных. ' представимого как булева функция Е(Е1э Е2, ...) от множества событий Ej, Е2. ... (логически связанного с этим множеством), дается формулой Г[Е]=7[Е (Elt Е2, ...)]=Е(ПЕЛ, Т{Ег], ...), (12.8-11) где 0-(-0=0, 0-0=0, 6 = 1, 0+1 = 1, 0-1=0, 1=0. 1+1 = 1, 1-1=1, (12.8-12)
ГЛ. 12. СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА ,12.8-6. = ВС+АВС^ (В+С)(А+ё+С) Рис. 12.8-3. Логическое упрощение с помощью карты Карно.
12.8, БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 389 12.8-8. 12.8-7. Представление булевых функций истинностными таблицами. Карты Карно. Вели» задана система булевых переменных Х^ Л2, ... , каждая из которых может принимать значения 0 или 1 (п. 12.8-6), то всякая из булевых функций r-F(Xt. X, .... Х„) однози ачно определяется соответствующей истинностной таблицей (таблица 12.84', в кото- рой указаны значения данной функции для всех возможных аргументов. В таблице Таблица 12.8-1 Истинностная таблица для булевой функции F = XFZ4-Xrz4-Xrz + Xrz + Xrz = (X + r + Z)(X4-y4-Z) (Х + У+Z) к V Z F . Соответ- ствующий одночлен X Y z F Соответ- ствующий одночлен 0 f 0 0 0 X YZ = т0 1 0 0 0 X YZ = tp.. - 0 0 1 1 XYZ = mt 1 0 1 1 XYZ—m, 0 1 0 1 %YZ = m.t 1 1 0 I X YZ — m. 0 1 . 1 1 %YZ = т, 1 1 1 0 XYZ = m, 12.8-1 указано также обычное расположение соответствующих одночленов (п. 12.8-2); каждому одночлену ставится в соответствие двоичное число, определяемое порядком нулей и единиц относительно Х9 F, Z. Функция F равна булевой сумме тех одночле- нов, для которых в этой таблице указано значение функции 1. Карта Карно —это диаграмма Венна (п. 12.8-5). состоящая из правильно располо- женных квадратов, каждый из которых соответствует одному из 2я одночленов, порож- денных п переменными (рнс. 12.8-2). Значения данной функции F из истинностной таб- лицы вносят в нужные квадраты; тогда функция F равна сумме всех одночленов, для которых в соответствующих квадратах стоит едийица. Для функций, пожалуй, дошестй переменных карта Карио позволяет удобным образом перегруппировать эти одночлены в объединения н пересечения так, чтобы, минимизировать, скажем, число логических сложений, умножений и/или взятия дополнений. Это полезно для экономного конструи- рования схем электронных вычислительных машин (рис. 12.8-3). 12.8-8. Полная аддитивность. Алгебры меры (см. также пп. 18,2-1 и 18.2-2). Многие алгебры классов и алгебры событий требуют распространения определяющих постула- тов на объединения и пересечения бесконечного множества членов (т. е., строго говоря, выхода за пределы собственно алгебры, п. 12.1-2). Булева алгебра $ называется вполне аддитивной, если каждая бесконечная сумма +... единственным образом определена как элемент Вполне аддитивная булева алгебра $ называется алгеброй меры, если существует действительная функция (мера) М (Д), определенная для всех элементов такая, что 1) М (Д) > О, 2) М (0) = 0, 3) М (Л! 4- Д2 -|- ...) =» М (Д!) 4- М (Д2) 4- • для любого конечного или счетного множества элементов Дъ Дй, ..., удовлетворяющего условию’ AiAk “ 0 при 1 k’ Примеры мер: Мощность конечного множества (п. 4.2-3), длина, площадь, объем, меры Лебега н.Стилтьеса (пп. 4,6-14, 4.6-17). значение истинности (п. 12.8-6), вероятность Ш. 18.2-2).
ГЛАВА 13 МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ и эрмитовы формы 13.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Аппарат матриц позволяет более просто представлять различные мате- матические и физические операции с помощью числовых операций над элемен- тами матриц. Для большей легкости ссылок в пп. 13.2-1 —13.4-7 алгебра матриц и матричное исчисление вводятся как независимый объект, а в гл., 14 описы- вается применение матриц для представления векторов, линейных преобразова- ний (линейных операторов) и скалярного произведения. В пп. 13.5-1 —13.5-6 подобным же образом квадратичные и эрмитовы формы вводятся с точки зрения алгебры; их значение для представления скалярного произведения выясняется в пп. 14.7-1 и 14.7-2. 13.2. АЛГЕБРА МАТРИЦ И МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 13.2-1. Прямоугольные матрицы. (а) Если собираются воспользоваться какой-либо из «матричных опера- ций», определяемых в п. 13.2-2, то таблицу /с11 °12 ••• ат \ Л = [С21 °22 — «2П j _= [a.ft] \ami ат2 ••• атп! (13.2-1) «скаляров» alft, взятых из коммутативного поля F (п. 12.3-1), называют (пря- моугольной) матрицей размера т X п над полем F. Элементы называются элементами матрицы; элемент a,k расположен в i-й строке и в А-м столбце матрицы (1); т есть число строк, а п—число столбцов. Матрица конечна, если она имеет конечное число строк и конечное число столбцов; в против- ном случае она бесконечна. Матрица (1) над полем комплексных чисел ограничена, если она имеет конечную норму. Вот типичное определение нормы матрицы || А || s sup т п 2 2 aikimk 1=1 A = 1 I m n 12 i?«-i2=2 iw=i v=i k=i (13.2-2) (см. также табл. 13.2-1 и п. 14.4-1). Конечная матрица над полем комплекс- ных чисел всегда ограничена. В этом 'справочнике все матрицы предполагаются конечными матрицами вад полем комплексных чисел *). Матрица А в= [а^] называется действительной, если все ее элементы агй—действительные числа. *) Бесконечные матрицы рассматриваются, йапример> в £13.1].
13.2-1. 13.2. АЛГЕБРА МАТРИЦ И МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Таблица 391 13 2 I Некоторые нормы матриц (я и/или т могут быть и бесконечными; см. также пп 12.5-5 и 14.4-1) (а) Прямоугольные матрицы размера т х п As (т, п > 1) т п S S а^1> (=1 *=1 II А || £= sup || А Пт = sup k т .2 lalk\f II А llll^sup £ 1°;*Г *=1 п А Ир |Р 1/р (Р = 1, 2, 1 = 1 fe = l (евклидова норма). .1=1*=1 (Ь) Столбцы х = или строки X S 62, \Р 1/р (р = 1, 2, . . .) т п т п 1=1 й=1 т п ’ 6. " 6, п г м .*=1 п k=l S IM’ Л=1 1 V. (евклидова норма) II х Псо *— II х lloo “ SUP | I . (с) Соотношения. Для каждой нормы выполняются соотношения л + в IK И А 11 + 11 В 11, II аА и =с I а | Ц А Ц „ || АВ Ц < 1 В частности. ПАх ||2 <|| А ||, || х ||,.
392 ГЛ. 13. МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.2-2. (Ь) Матрица размера nxl называется 1Хп—строкой. Будут применяться следущие столбцом, а матрица размера обозначения: /ЕтХ Г* \lJ (El • Е2» • • • » Ей) = [Eft] — х ’ 1 .........Е„)^[ёл]=**. J (13,2-3) где — комплексное-число, сопряженное с (см. также пп. 1’3.3-1, 14.5-1 и 14.5-2).' (с) Матрица размера, пхп называется квадратной матрицей порядка п. Квадратная матрица А = называется: треугольной (наддиагональной), если из i>£ следует c,j==0, строго треугольной, если из i^k следует aih=Q, диагональной, если-из i=£k следует <Zjfc=O, мономиальной, если в каждой ее строке и в каждом столбце имеется лишь один элемент, отличный от нуля. 13.2-2. Основные операции. Операции над матрицами определяются с по- мощью операций над их элементами. 1. Две матрицы А = и В as [t/j] размера тхп равны друг другу (А — В) в том и только в том случае, если цк=Ьц для всех » и 1г (см. также п. 12.1-3). 2. Сумма двух матриц А = [а/й] и В s [Ьц,] размера тХп есть матрица- размера, тхп А+В bs [cisl+[fyfe] = [огл+^»л]' 3. Произведение матрицы А = [с;*] размера тхп на скаляр а есть матрица размера тхп «А = a [aiA] е= [aaijS]. 4. Произведение матрицы А [с/у] .размера тхп на матрицу В = [Ь/А] размера пхг есть матрица С es [c/J размера т'/г С = АВ^ [а,у] [6,А] > где п 2 aifojk' i=i Таким образом, элемент с,й матрицы С=АВ есть сумма произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы й-го столбца матрицы В. В каждом произведении матриц АВ число п столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В (форма матриц А и В должна быть согласованной). Из существования произведения АВ вовсе не следует сущест- вование произведения ВЛ. Если существуют оба произведения АВ и ВА (это, в частности, будет всегда, если А и В — квадратные матрицы одного и того же порядка), то, вообще говоря, ВА=£АВ (см. также п. 13.4-4). Отметим, что А+В=В+А, а (РД) = (оф) А, А (ВС) —(АВ) С, а(А-)-В) — аА-)-аВ, А (В + С) = АВ-j-АС, Д+(В+С)=(Д+В) + С, а (ДБ) = (аД) В—А (аВ), (а+р) Д = аД + рД, (В+С)Д =ВА+СА, - (13.2-4) IIД+В II <11А || +1| В П, || аД || = | а 11| Д ||, || АВ ||«|| А ||.Ц В ||. (13.2-5)
13.2-5. 13.2. АЛГЕБРА МАТРИЦ И МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 393 13.2- 3. Нулевая и единичная матрицы; обратные матрицы. Отметим сле- дующие определения: 1. Нулевая матрица [0] размера туп есть матрица этого раз- мера, все элементы которой равны нулю. Тогда А + [0]=А, 0А = [0], [0]£=С[б} = [0], еде А—произвольная матрица размера тхп, В—произвольная мат- рица, имеющая п строк, и С—произвольная матрица, имеющая т столбцов. 2. Аддитивно обратная (противоположная) матрица —А для мат- рицы А = [<4*1 размера тхп есть матрица размера тхп - -А = (-1)А = [-^]? 'тогда А+(—Я)^Л—A = [OJ. 3. Единичная матрица / порядка п есть диагональная матрица размера пхп с единичными диагональными элементами: , _г® . „„ д (0, если' i #= k. где = есди i==k> Тогда IB=B, CI=C„ где В—произвольная матрица, имеющая п строк, а С—произволь- ная матрица, имеющая п столбцов; для любой же квадратной' мат- рицы А порядка п 1А—А1=А. 4. Квадратная матрица А называется неособе ной (невырожден- ной), если она имеет (необходимо единственную) мультипликативно обратную или просто обратную матрицу А-1, определяемую условиями АА-1=А-1А==/. В противном случае А — особенная (вырожденная) матрица. Квадратная матрица А = [а^] порядка п является невырожден- ной в том и только в том случае, если det (А) = det [агА] #= 0; в этом случае А-1 есть квадратная матрица того же порядка п: [А,. 1 ;-.,М , , det KJJ’ . еде A/h—алгебраическое дополнение элемента а^ в определителе det [aik] (см. также пп. 1.9-2 и 14.5-3). Квадратная матрица не вырождена в том и только в том слу- чае, если ее строки (столбцы) линейно независимы. Произведение двух невырожденных матриц и матрица,-обратная невырож- денной матрице, не вырождены', если Д и В не вырождены и ct 0, то (aAJ-^crVT1, (A“i)-i = A. (13.2-6) 13.2-4. Целочисленные степени квадратных матриц. По определению Д0 = /, 5=2 А, Д« = А А, Д® — А А А, .... и если А — невырожденная матрица, А"? = (Д'*1)* = (АР)"1 - ’* 2. Применимы обычные правила действий со степенями (см. также п. 14.3-6). н г *3.2-5. Матрицы как строительные блоки математических моделейс Из определен Вультаты^ ^ И ^-2’3 (конструктивные определения, п. 12.1-1) вытекают следующие ре- 1. Для любой пары натуральных чисел тип класс всех матриц размера тхп над полем F есть тп-мерное векторное пространство над F (пп. 12.4-1 и 14.2-4). В частности, строки или столбцы из п элементов образуют л -мерные векторные пространства (см. также п. 14.5-2).
394 ГЛ, J3. МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.2-в. 2. Класс всех квадратных матриц данного порядка п над полем F есть линейная алгебра порядка п? над F; вырожденные матрицы являются делите- лями нуля (п. 12.4-2). 3. Класс всех невырожденных квадратных матриц данного порядка п над полем F образует мультипликативную группу (п. 12.2-1) и вместе с нулевой матрицей размера пХп — алгебру с делением порядка пя£над полем F (п. 12.4-2). Аналогичные теоремы справедливы и для ограниченных бесконечных матриц над полем действительных или комплексных чисел. 13.2-G. X Умножение на матрицы специального нида. Матрицы перестановки. Пусть А — произвольная квадратная матрица порядка п. Тогда 1. Если В — матрица, полученная из единичной матрицы п-го порядка заменой числа 1 в г-й строке на комплексное число а, то матрица АВ полу- чается из матрицы А умножением всех элементов £-го столбца на а. Матрица В А получается из матрицы А умножением всех элементов i-й строки на а. 2. Если С — матрица, полученная из единичной матрицы п-го порядка заменой недиагонального элемента 6^ =» 0 на 1, то матрица АС получается из матрицы А заменой k-го столбца на сумму k-го и l-го столбцов. Матрица С А . получается из матрицы А заменой i-й строки на сумму l-й и k-й строк. 3. Если £) — матрица перестановки, получающаяся из единичной матрицы перестановкой каких-либо ее двух столбцов (или, что то же самое, двух ее строк с теми же номерами), то матрица AD получается из матрицы А пере- становкой соответствующих столбцов, а матрица DA перестановкой соответ- / ствующих строк. 13.2-7. Ранг, след и определитель матрицы (см. также п.14.3-2). Ранг дан- ной Матрицы Д есть такое число г = гА, что по крайней мере один опреде- литель г-го порядка (п. 1.5-1), получаемый из этой матрицы при удалении некоторых строк и/или столбцов, отличен от нуля, а все определители (г-}-1)-го порядка равны нулю. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно неза- висимых строк (или столбцов). Квадратная матрица А порядка п является невырожденной в том и только в том случае, если ее ранг r—п, т. е. det (Д) =f= О (п. 13.2-3), *Ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов: Гд+вгё:гд+гв. Если матрица А имеет размеры mXn, а матрица В — размеры nXq, то для ранга матрицы АВ имеют место неравенства Гд-|-гв—п sJ rAB min (гЛ,гв} (неравенства Сильвестра). X След (шпур) матрицы А = [ацД размера п X п есть сумма п Тг (Д) = S чц i = l ее диагональных элементов *). Для двух квадратных матриц А и В одного и того же порядка Тг (Д +В)=Тг (Д)+Тг (В), Тг(аД)=аТг(Д), \ 9 7ч Тг(ВД) = Тг(ДВ), . Тг(АВ—ВД)=0. f (М^-О det (АВ) = det (BA) = det (Д) det (В). (13.2-8) 13.2- 8. Разбиение матриц. Матрица, имеющая более чем одну строку и столбец, прямыми, проведенными между строками и/или столбцами, может быть разбита на меньшие прямоугольные подматрицы. Две соответствующим образом разбитые матрицы А и В размера пхп можно перемножить, поль- зуясь входящими в них прямоугольными подматрицами кай элементами в обыч- ной формуле произведения матриц (п. 13.2-2); получающиеся таким путем элементы произведения являются подматрицами матрицы АВ размера пХп- Эта теорема бывает полезна при некоторых выкладках (п. 20.-3-4). *) Иногда след матрицы обозначают Sp(A).
13.2-12» 1 13.2. АЛГЕБРА .МАТРИЦ И МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 95 13.2- 9. Клеточные матрицы. Прямые суммы (см. также пп. 13.4-6, 14.8-2 и 14.9-2). Клеточная матрица есть квадратная матрица А, которую можно разбить так, чтобы получилась диагональная матрица (п. 13.2-1, с), вдоль диагонали которой идут квадратные подматрицы Д1ж А2, (13.2-9) Клеточную матрицу часто рассматривают как прямую сумму Д—Д] ф Да © ... квадратных матриц, идущих вдоль ее диагонали (см. также п. 12.7-5). Отме- тим, что Д₽=Д? © А§ ©... при р=0, 1, 2, ... (а если А—невырожденная матрица, то и при р= — К —2, ...) и Тг(Д) = Тг(Д1) + Тг(Д2)+...} 1 det (Л) = det (AJ det (Д2)... J - 4 13.2- 10. Прямое (внешнее) произведение матриц (см. также п. 12.7-3). Прямое (внеш- нее) произведение А®В матрицы Д = [а^| размера т^п и матрицы В== [&/'£'] размера т'хп' есть матрица Д ® В = [eih ] (Cjh = aikb^) (13.2-11) размера тт'Хпп', где индекс / означает порядковый номер пары (i, 1г) в последовательно- сти (1, 1), (1, 2), .... (1, т'), (2, .1), (2, 2), .... (т, m')t а индекс Л —порядковый номер пары (Л. k') в аналогичной последовательности. Отметим, что (Д ®В) (C®D) == AC&BD, (13.2-12) Тг (Д ® В) = Тг (Д) Тг (В). (13.2-13) X В (12) предполагается, что число строк матрицы С равно числу столбцов матрицы А и число строк матрицы D равно числу столбцов матрицы В, а в (13) — что А и В — ква- дратные матрицы. -X 13.2- 11. Сходимость и дифференцирование. (а) Последовательность матриц So, Si, S2, ..., имеющих одно и то же число строк и одно и то же число столбцов, называется сходящейся к такой же матрице S, если при и—-со каждый элемент матрицы Sn сходится к соот- ветствующему элементу матрицы S, т. е. если lim || S—S„ ||=0. Подобным же п со образом определяется предел матричной функции Л=Л(/) скалярного аргу- мента t (см. также п. 12.5-3). (Ь) Если элементы матрицы А = [aj/J являются дифференцируемыми функциями (/) скалярного аргумента t, то пишут [da*t Id 4 -^\^[а^]^А(1). (13.2-14) Частные производные и интегралы от матриц определяются аналогично. 13.2- 12. Функции матриц. Матричные многочлены и алгебраические функ- ции матриц определяются с помощью элементарных матричных операций. . со Теорема Кэли—Гамильтона (п. 13.4-7) каждый сходящийся ряд 2 ' *=о по степеням квадратной матрицы А порядка п (аналитическую функцию матрицы А) сводит к некоторому многочлену л-й степени от Д.
396 . ГЛ. 13. МАТРИЦЫ. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.3-1. 13.3. МАТРИЦЫ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ СИММЕТРИИ 13.3- 1. Транспонированная и эрмитово сопряженная матрица (см. также пп. 14.4-3 и 14.4-6, а). Если A = [aift]— произвольная матрица размера тхп над полем комплексных чисел, то Матрица, транспонированная по отношению к А, есть матрица A' = [aki] размера пхт. Матрица, эрмитово сопряженная с А (просто сопряженная, присоединенная, ассоциированная)1), есть матрица, A*==[aftI-l размера пхт. Отметим следующие соотношения: (А4-В)' = А' + В', (аА)'=аА', (Д-^ИТ1, (А')'=А [0]' = [0], /'=/; (Д + Й)* = А* + Й*, (аД)*=аД*, (Д-1)* = (Д*)~1, (Д*)*=Д, [0]*=[0], /*=/. (АВ)'= В'Д', 1 1|А||=ца||, I (13.3-1) (АВ)*=В*А*, IIД* II = II д II, (13.3-2) Матрицы А, Д' и Д* необходимо имеют один и тот же ранг. Для каждой квадратной матрицы А Тг (Д') = Тг (Д), det (Д’)=det (А); (13.3-3) Тг (Д *) = Тг(Д), det (Д *)=det(A). (13.3-4) 13.3- 2. Матрицы со специальными свойствами симметрии (см. также пп. 14.4Г4 —14.4-6), Квадратная матрица Д = [сг-д,] называется симметрической, если Д' = Д, т. е. если а^—аы, кососимметрической (антисимметрической), если А' =—Д. т. е. если aik = —akh эрмитовой (самосопряженной), если Д* = А, т. е. если а^ — й^, косоэрмитовой (альтернирующей), если А*——А, т. е. если atk~ akt* ~ ортогональной, если А'А = АА' = /, т. е. если А' = А х, унитарной, если А*А = АА*.=/, т. е. если А*—А~1. Эрмитова матрица является симметрической, косоэрмитова — кососимметрической и унитарная — ортогональной в том и только в том случае, если все их элементы действи- тельны. Диагональные элементы эрмитовой, косоэрмитовой и кососимметрической матрицы соответственно действительны, чисто мнимы и равны нулю. Определитель эрмитовой матрицы действителен. Определитель косозрмитовой матрицы размера п\ п является действительным, если п'четно, и чисто мнимым, если п нечетно. Определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю. Определитель унитарной матрицы по модулю равен 1, а определитель ортогональной матрицы равен + 1 или — I. 13.3- 3. Правила комбинирования (см. также п. 14.4-7). (а) Если А—симметрическая матрица, той АР (р —О, 1,2,...), А~1,ГА71 и аА—симметрические матрицы. *) Термины сопряженная, присоединенная и ассоциированная употребляются в различ- ных смыслах (см. Также пп. 12,2-5, 14.4-3. 16.7-1 и 16.7-2); некоторые авторы называют присоединенной к А матрицу Д-1 det (А) (состоящую из алгебраических дополнений с переставленными индексами) Символы Д'. А* и ss (Д')*, обозначающие соот- ветственно матрицу транспонированную, эрмитово сопряженную н комплексно сопряжен- ную с данной матрицей Д, также варьируются; некоторые авторы матрицу, эрмитово сопряженную с Д, обозначают символом Д+.
13.3-4- 13.3. МАТРИЦЫ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ СИММЕТРИИ 397 Если Т—произвольная невырожденная матрица, то матрица Т'АТ будет симметрической в том и только в том случае, если симметрической будет и матрица А; поэтому для любой ортогональной матрицы Т матрица ТХАТ будет симметрической в том и только в том случае, если симметрической будет и матрица А. Если А и В—симметрические матрицы, то и А + В — симметрическая матрица. Произведение АВ двух симметрических. матриц А и В есть симмет- рическая матрица в том и только в том случае, если В А —АВ. % Произведение АВ двух кососимметрических матриц А и В есть симметрическая матрица в том и только в том случае, если BA = AJ3, и кососимметрическая, если ВА = = - АВ. X (Ь) Если А—эрмитова матрица, то и А?(р—0, 1, 2,...), А~1 и Т*АТ — эрмитовы матрицы; аА — эрмитова матрица, если сс — действительное, икосо- эрмитова матрица, если а — чисто мнимое. Если Т—произвольная невырожденная матрица, то матрица Т*АТ будет эрмитовой в том и только в том случае, если эрмитовой будет и матрица А; поэтому для любой унитарной матрицы Т матрица Т~гАТ будет эрмитовой в том и только в том случае, если эрмитовой будет и матрица А. Если А и В — эрмитовы матрицы, то и А-\-В—эрмитова матрица. Произведение АВ двух эрмитовых матриц А и В есть эрмитова матрица в том и только в том случае, если ВА=АВ. % Произведение /\В двух косоэрмитовых матриц А и В есть эрмитова матрица в том в только в том случае, если В А — АВ, и косоэрмитова, если В А = — АВ * (с) Если А—ортогональная матрица, то и Д₽(р = 0, 1, 2, ...), А~\ А' и — Д— ортогональные матрицы. Если матрицы А и В ортогональны, то и матрица АВ ортогональна. Если А—унитарная матрица, то и АР (р=0, 1,2, ...), Д-1, А* и аА при | а | = 1 — унитарные матрицы. Если матрицы А и В унитарны, то и матрица АВ унитарна. 13-3-4. Теоремы о разложении. Нормальные матрицы (см. также пп. 13.4-4, а и 14.4 8). (а) Для каждой квадратной матрицы А над полем комплексных чисел 1. (Д-|-Д') = 51 есть симметрическая, а (Д—Д')=Х2—ко- сосимметрическая матрица, Д=$1-)-£2. есть (единственное) разложе- ние данной матрицы А в сумму симметрической и кососимметрической матриц. 2. ~ (Д +/*)=#! и gr (Д — А*) = П2—эрмитовы матрицы; ма- трица —косоэрмитова; A — Hl-[-iH2 есть (единственное) разло- жение данной матрицы А в сумму эрмитовой и косоэрмитовой мат- риц (аналогичное разложению комплексного числа, на действитель- ную и мнимую части). 3. АА* и А*А есть эрмитовы неотрицательные (см. п. 13.5-3) матрицы. . 4. Существуют полярные разложения матрицы А A—QU и Д = (/А, где Q и Qj—Неотрицательные эрмитовы матрицы, однозначно опре- деляемые условиями 52=ДД* и Q‘f = A*A, a U и (4—унитарные матрицы, однозначно определяемые в том и только в том случае, если А — невырожденная матрица (полярные разложения матрицы аналогичны представлению комплексного чиста в тригонометрической форме г = г (cos <р + i sm <р)). (b) Квадратная матрица Д называется нормальной матрицей, если А*А = ~~ АА* или, эквивалентно, если Д2//1 = Д1Я2.
398 ГЛ. 13. МАТРИЦЫ. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ ; 13.4-1. 13.4. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МАТРИЦЫ, СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, ' ПРИВЕДЕНИЕ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 13.4- 1. Эквивалентные и подобные матрицы (см. также пп. 12.2-5, 13.5-4, 13.5-5 и 14.6-2). (а) Две прямоугольные матрицы А и В эквивалент ы, если существуют такие две квадратные невырожденные матрицы S и Т, что А н в связаны преобразованием B = SAT. (13.4-1) Каждая матрица В, эквивалентная данной матрице А, имеет столько же строк и столько же столбцов, сколько и матрица А, и может быть получена из А с помощью последовательного применения шести операций, определенных в п, 13.2-6. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг; две мат- рицы размера тхп, имеющие один и тот же-ранг, эквивалентны. Если B—QA. или B — AQ, где Q—невырожденная матрица, то А и В эк- вивалентны. (Ъ) В частности, две квадратные матрицы А и А подобны (иногда их на- зывают просто эквивалентными), если существует такая невырожденная мат- рица Т (преобразующая матрица), что А и А связаны преобразованием подобия А=7~1А7' или А = ТАТ~1', (13.4-2) Д, А и Т необходимо являются квадратными матрицами одного и -того же по- рядка. При каждом преобразовании подобия (2) сохраняется результат сложения матриц, умножения матриц и умножения матрицы на скаляр (см. также п. 12.1-6). Две подобные матрицы имеют один и тот же ранг, один и тот же след и один и тот же определитель (см. также п. 13.4-2, а). (с) Две квадратные матрицы А и А, связанные преобразованием Л = ГД7’, (13.4-3) где Т — невырожденная матрица, называются конгруэнтными. Две квадратные матрицы А и А» связанные преобразованием А = 7 » А Г. (13.4-4) где Т — невырожденная матрица, называются соединенными. В каждом из этих случаев А, А и Т необходимо являются квадратными матрицами одного и того же порядка. (d) Эквивалентность, подобие, конгруэнтность и соединенность матриц являются отношениями эквивалентности', каждое из ннх определяет разбиение класса рассматри- ваемых матриц (п. 12.1-3, Ь). В большинстве приложений две или несколько подобных матриц дают различные представления некоторого линейного преобразования (линей- ного оператора) А (п. 14.6-2). В этой связи представляет интерес: 1) нахождение преоб- разования подобия, дающего особенно простое представление оператора А (приведение данной матрицы к диагональному или какому-либо иному «каноническому» виду), и 2) на- хождение свойств матриц,' инвариантных относительно преобразований подобия и, таким образом, общих для каждого класса подобных матриц (к числу таких свойств, например, относятся ранг, след, определитель, собственные значения). 13.4- 2. Собственные значения и спектры квадратных матриц (см. также п. 14.8-3). (а) Собственными значениями (собственн ши числами, характери тическими числами) квадратной матрицы А = [ац,] называются те значения скалярного параметра К, для которых матрица А—KI является вырожденной. Спектр (спектр собственных значений) матрицы А есть множество всех ее собственных значений. Собственные значения квадратной матрицы А можно определить и не- посредственно как собственные значения линейного оператора, представляе- мого матрицей А (п. 14.8-3); подобные матрицы имеют один и тот же спектр-
13,4-4.13.4. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МАТРИЦЫ, СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 399 (Ь) Если нормальная матрица А (А* А —А А*, п. 13.3-4, Ь) имеет собст- веннее значение к, то матрица А* имеет собственное значение К, матрица — 1. (Д + Д*) имеет собственное значение Re X и матрица ffz= (А—А*) имеет собственное значение Im X (см. также, п. 13.3-4, а). Все собственные значения данной нормальной матрицы являются действи- тельными в том и только в том случае, если эта матрица подобна некото- рой эрмитовой матрице (см. также п. 14.8-4). В частности, все собственные значения эрмитовых и действительных симметрических матриц действительны. Все собственные значения унитарной матрицы по модулю равны 1; в частности, действительные собственные значения действительных ортогональных матриц равны 4-1 или —1, а их комплексные собственные значения появляются парами Квадратная матрица невырождена в том и только в том случае, если все ее собственные значения отличны от нуля. О вычислении собственных зна- чений см. пп. 13.4-5, а,' 14.8-5, 14.8-9 и 20.3-5. 13.4- 3. Приведение квадратной матрицы к треугольному виду. Алгебраи- ческая кратность собственного значения (см. также п. 14.8-3, е). - (а) Для любой квадратной матрицы А существует такое преобразование подобия А = Т~1 АТ, что А есть треугольная матрица (п. 13.2-1, с). Диаго- нальные элементы каждой треугольной матрицы, подобной матрице А, явля- ются собственными значениями матрицы А, и каждое собственное значение К] матрицы А встречается в качестве диагонального элемента во всякой такой треугольной матрице одно и то же число mj 1 раз-, число mj называется алгебраической кратностью данного собственного значения X. Замечание. Алгебраическая кратность mj собственного значения может ве совпадать о его геометрической кратностью т^ определяемой в п. 14.8-3, Ь. (Ь) След Тг (Д) равен сумме всех собственных значений матрицы А, при- чем каждое собственное значение считается столько раз, какова его алгебраи- ческая кратность. Определитель det (Д) (п. 13.2-7) равен точно таким ясе образом подсчитанному произведению собственных значений (см. также п. 13.4-5). ‘13.4-4. Приведение матриц к диагональному виду (см. также п. 14.8-5). (а) Квадратная матрица А может быть преобразованием подоб я при- ведена к .диагональному виду (т. е. существует такая невырожденная преоб- разующая матрица Т, что матрица А — Т~гАТ диагонально, п. 13.2-1, с) в том и только в том случае, если А подобна некоторой нормальной мат- рице (п. 13.3-4, Ь). Более конкретно, данная матрица А может быть преоб-, разованием подобия с унитарной преобразующей матрицей Т (или, если матрица А действительна,—с действительной ортогональной преобразующей Матрицей) приведена к диагональному виду в том и только в том случае, если А—нормальная матрица (А*Д = ДА*, п. 13.3-4, Ь). В любом случае диагональные элементы матрицы А являются собственными значениями мат- рицы Д; каждое собственное значение матрицы А встречается в качестве диа- гонального элемента матрицы А ровно столько раз, какова его алгебраичес- кая кратность. Метод, дающий преобразующую матрицу Т с нужными свойст- вами, описан в п. 14.8-6. Частные случаи матриц, приводимых к диагональному в и Д у. Эрмитовы и унитарные матрицы (а потому действительные и симметрические или ортогональные матрицы) представляют собой частные случаи нормальных матриц. Каждая матрица, имеющая собственные значения только алгебраической кратности L Подобна некоторой нормальной матрице. (Ь) Две эрмитовы матрицы А и В могут быть приведены к диагональ- ному виду одним и тем же преобразованием подобия (и, в частности, одним w тем же преобразованием подобия с унитарной преобразующей матрицей Т) 6 том и только в том случае, если ВА — АВ (См. также пп. 13.5-5 и 14.8-6, е).
4W ГЛ. 13. МАТРИЦЫ, квадратичные и эрмитовы формы 13.4-5. (с) Для любой ермитовой матрицы А существует такая невырожденная матрица Т, что матрица А = Т*АТ диагонально; диагональные элементы матрицы А в этом случае действительны. В частности, существует такая ревырозкденная матрица Т, что диагональные элементы матрицы А прини- мают только значения 4-1, —1 и/или 0. Для любой действительной симметрической матрицы 4 существует такая действительная невырожденная матрица Г. что матрица А =Т'АТ диагонально. В частности, существует такая действительная невырожденная матрица Т, что диагональные элементы матрицы А принимают только зна- чения 4-1, '—1 и/или 0. Матрицы Т с искомыми свойствами получают из соотношения Т = DU, где U — унитарная (или действительная ортогональная) матрица, для которой матрица (J-'AU диагональна, a D—действительная диагональная матрица; матрицу О находят по ме- тоду. п. 14.8-6 (см. также п. 13.5-4, d). 13-4-5. Собственные, значения и характеристическое уравнение матрицы. (а) Спектр собственных Значений квадратной матрицы А = порядка п совпадает р множеством корней алгебраического уравнения п-й степени Fa (A) == det (Д'—A/) ss det \aik —A6/fe] = Яц — A ... ^21 ^22— A ... (13.4-5) ant am ••• ann A (характеристическое уравнение или вековое уравнение матрицы А). Кратность (порядок, п. 1.6-2) каждого корня К/ этого уравнения равна его алгебраической кратности гт как собственного значения, так что т\ 4- 4- т% 4-... —и. Подобные матрицы размера пхп имеют одни и те же характеристи- ческие уравнения; коэффициенты уравнения (5) являются симметрическими функциями п корней Ах, Aj, ..., А„ (п. 1.6-4). В частности, коэффициент при А"-1 и свободный член уравнения (5) соответственно равны (- 1)"-1(А14-А2+...4-Ая) = (- 1)"-1Тг (4), 1 AjA3... A„ = det(4). I ( Коэффициент при Кп~г равен взятой с множителем (— 1)г сумме всех главных миноров r-го порядка (п. 1.5-4) определителя det (4). (b) (См. также п. 14.8-3). Для любой квадратной матрицы А с собствен- ными значениями fy матрица аА имеет собственные значения аА/, а матрица АР—собственные значения А? (р==0, 1, 2, ..., а если А — невырожденная мат- рица, то р=0, ± 1, + 2, ...). Каждый многочлен или аналитическая . функция /(А) (п. 13.2-12) имеет собственные значения f (А,-). ОО Матричный степенной ряд У afe4ft сходится (п. 13.2-1, а) в том fe=0 СО 1 и только в том случае, если степенной ряд У сходится для каждого k=o собственного значения К/ матрицы А. Если две квадратные матрицы А и В имеют соответственно собственные значения А/ и то спектром собствен- ных значений прямого произведения А® В ’(п. 13.2-10) ябляергся множество всевозможных произведений К/Рп-
13.5-2. 13.5. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ ТОТ 13.4- 6. Собственные значения клеточных матриц (прямых сумм', п. 13.2-9). Спектр клеточной матрицы (прямой суммы), А = А, @ А2 ... есть объеди- нение спектров^ матриц А(, А2, ...; алгебраические кратности складываются. Вклад в спектр каждой подматрицы Ak может быть найден с помощью ее характеристического уравнения. 13.4- 7. Теорема Кэли—Гамильтона и смежные вопросы. (а) Каждая квадратная матрица А удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению (п. 13.4-5, а), т. е. FА (Л) = 0 (теорема Кэли — Гамильтона). " (13.4-71 (Ь) Теорема Кэли—Гамильтона позволяет каждую целочисленную степень, а потому и каждую аналитическую функцию квадратной матрицы А порядка п представлять в виде линейной функции от л различных положительных целочисленных степеней матрицы А сем- также п. 13.2-12). Точнее. £ *«_**"* где А я-определитель Вандермонда (п. 1.6-5) det мый если в Л вместо Х.£ X.*..х/ подставить f (Х^). F (&•„> Если все собственные значения Х.р ... v Х.^ матрицы А различны, то равенство (8) можно переписать в виде п П (А — К,I) k=l t^k k 1 (13.4-8) ь__п " I, а Л,— определитель, получае- , подставить f (Хр. f (Хр, (13.4-9) (теорема Сильвестра). 13.5. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.5- 1. Билинейные формы. Билинейная форма от 2п действительный или комплексных переменных Е,, Ё9....... ть, п,, .... есть однородный мно гочлен второй степени (п. 1.4-3) х'Ау == 2 5 (13.5-1) » = 1 I x' = [gfe]—матрица-строка, )/ = [т]*| — матрица-столбец (п. 13.2-1, Ь). 13.5- 2. Квадратичные формы. Квадратичная (однородная) форма от п дей- ствительных или комплексных переменных .............. gn есть многочлен xMxes 2 2 aikb£k s х’А^к, (13.5-2) (=1 Й=1 где (/JИ') — «симметрическая часть» (п. 13.3-4) матрицы Л [а^|. Выражение (2) тождественно равно нулю в том и только в там случае^ если Д—кососимметрическая матрица (aki=^—aik, п. 13-.3-2). Квадратичная форма-(2) называется симметрической, если А—симметрическая матрица (аы=* п. 13.3-2), и действительной, если Л— действительная матрица (и таким образом, каждый элемент aik—действительное число, п. 13.2-1)*). *) Каждой квадратичной форме можно поставить в соответствие бесконечно много различных матриц А, для которых эта форма равна х'Ак. Среди них одна матрица (мат- рица At, о которой шла речь выше) является, симметрической. Обычно квадратичную Форму записывают именное помощью этой матрнцы-н, таким образом, всякая квадратич- ная форма является симметрической. Квадратичная форма называется действитель- ной, если действительной является эта симметрическая матрица. Например, форма fef Действительна, так как ее симметрическая запись имеет вид gj-frEs*
402 ГЛ. 13. МАТРИЦЫ. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.Б-3. Действительная симметрическая квадратичная форма (2) (а также соот- ветствующая действительная симметрическая матрица А) называется положи- тельно определенной, отрицательно определенной^ неотрицательной или непо- ложительной, если соответственно х'Ах>0, х'Ах<0, х'Ах О или х'Ах^О для каждого набора действительных чисел glt g2, ..., не все из которых равны нулю. Все остальные квадратичные формы являются неопределенными (т. е. знак х'Ах зависит от выбора чисел £2> ••• > £л) или тождественно равными нулю. Действительная симметрическая квадратичная форма (2) (а также соответствующая действительная симметрическая матрица А) называется положительно полуопределенной или отрицательно полуопределенной, если соответственно она неотрицательна или непо- ложительна и если х'АхО для некоторого набора ... , 5п действительных чисел, не все из которых равны нулю. 13.5- 3. Эрмитовы формы. Эрмитова форма от п действительных или ком- плексных переменных jj, g2, ..., есть многочлен п п х*Ах~ У У, «=1*=1 (13.5-3) где Л = [а,-Й]—эрмитова матрица (aik=akl), а матрица х* = [jj, g2, .... £„]. Форма (3) принимает действительные значения для каждого набора комплексных чисел £2, в том и только в том случае, если А—эрмитова матрица (см. также п. 14.4-4). Эрмитова форма (3), а также соответствующая эрмитова матрица А = называется положительно определенной, отрицательно определенной, неотри- цательной или неположительной, если соответственно х*Ах>0, х*Ах<0, х*Ах 0 или х*Ах^ 0 для каждого набора комплексных чисел glt £2, ..., не все из которых равны нулю. Все остальные эрмитовы формы (или эрми- товы матрицы) являются неопределенными (т. е. знак х*Ах зависит от выбора чисел g2, ..., gn) или тождественно равными нулю. Эрмитова форма (3) (а также соответствующая эрмитова матрица Л) называется положительно полуопределенной или отрицательно полуопределенной, если соответственно она неотрицательна нли неположительна и если х*Ах = 0 для некоторого набора ком- плексных чисел £2, ... , не все из которых равны нулю. 13.5’ 4. Преобразование квадратичных и эрмитовых форм. Приведение к сумме квадратов. (а) Линейная подстановка . илн Ь’= 2 Ый (1 = 1, 2, .... п) fe=i х=7> (detfe^O) (13.Б-4) (невырожденное однородное линейное преобразование координат вектора, «пас- сивная» точка зрения, п. 14.6-1) переводит-каждую квадратичную форму (2) в квадратичную форму от новых переменных g2, ..., х'Ах = У, i = 1 2 ai&&>k ==^ k— 1 где п aik 838 zEj п ajhlfi?hto (f'l ^==1B • •• i я) Д13.5-5) или А=Т‘АТ
f3.5-4. 13.5. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 403 Если А —симметрическая матрица, то и А — симметрическая матрица, если д и Т—действительные матрицы, то и А—действительная матрица. Линейная подстановка (4) переводит каждую эрмитову форму (3) в новую эрмитову форму: где n=l (!> k = l< 2.«), (13.5 6) или /= 1 л= 1 ч А = Т*АТ. (Ь) Для каждой данной действительной симметрической квадратичной формы (2) существует такое линейное преобразование (4) с действительными коэффипиентами tik, что новая матрица А и (5) является диагональной (см. также п. 13.4-4, с), так что ' >?Ах~~х'Ах~ - (13.5-7) i=i Точно так же для каждой эрмитовой формы (3) существует такое линей- ное преобразование (4), что х*Ах=~х*Ах=- 2 2гг|5Н2- (13.5-8) ё=1 Число г отличных от нуля коэффициентов в равенствах (7) или (8) не зависит от выбора преобразования, приводящего матрицу А к диагональному виду, и равно рангу матрицы А; число г называется рангом данной квадратичной или эрмитовой формы. Для любой данной действительной симметрической квад- ратичной формы (2) разность между числом положительных и числом отрица- тельных коэффициентов ац в равенстве (7) не зависит от выбора преобразова— ния, приводящего матрицу А к диагональному виду (закон инерции квадратичных форм); это число называется сигнатурой данной квадратичной формы. В точ- ности такое же утверждение справедливо и для эрмитовых форм (закон инерции эрмитовых форм). (с) В частности, для каждой действительной симметрической квадратичной формы (2) существует действительная ортогональная матрица Т, а для каждой эрмитовой формы-(3)—унитарная матрица Т, приводящая матрицу А к диаго- нальному виду (см. также п. 13.4-4). Получающееся в результате преобразо- вание к главным осям (преобразование к нормальным координатам fj, |2,..., см. также п. 9.4-8) дает нормальный вид данной квадратичной или эрмитовой формы х'Ах = х?А~х=- J] 1$ или х*Ах = х*Ах= 112, (13.5-9) 8=1 8=1 где множество действительных чисел X,- составляет спектр собственных значений Данной матрицы А (п.- 13.4-2). (d) Добавочное преобразование £,-=£//К| X/1 (1 = 1, 2, ..., п) приводит выражение (9) К каноническому виду х'Ах = -У] е, или х*Ах s V е,-1Е/12„ (13.5-10)
404 гл. 13. МАТРИЦЫ. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.5-5. где каждый коэффициент щ равен 4-1, —1 или 0, если соответствующее собственное значение X,- положительно, отрицательно или равно нулю. (е) Вопрос о нахождении подходящих матриц, приводящих'данную мат- рицу А к диагональному виду,' рассмотрен в п. 14.8^6. 13.5- 5. Одновременное приведение двух квадратичных или эрмитовых форм к сумме квадратов (см. также пп. 13.4-4, Ъ и 14.8-7). Если даны две действительные симметрические квадратичные формы х'Ах и х'Вх, причем х'Вх—положительно определенная форма, то можно найти действительное преобразование (4), одновременно приводящее к сумме квадратов формы х'Ах и х'Вх. В частности, существует такое действительное преобразование (4) к новым координатам |lt |2......|п, что п п х'Ах= х’Ах= У 14, х'Вх— х'Вх= У, f? . (13.5-11) i = l , i=l Точно так же, если даны две эрмитовы формы х*Ах и х*Вх, причем х*Вх — положительно определенная форма, то существует такое преобразование (4) к новым координатам f2, ..., gn, что п п х*Ах= х*Ах= J] gillil2, х*Вх== х*Вх= У ||г|а. (13.5-12) * Z=1 /=1 В любом случае множество действительных чисел р,2, состав- ляет спектр собственных значений матрицы В~*А, получаемый как мно- жество корней алгебраического уравнения n-й степени det (А — \хВ) ==. det p/>ife]=0. (13.5-13) Искомую матрицу преобразования Т можно найти по методу п. 14.8-7 или же С помощью равенства Т = UT0, где То — матрица преобразования, приводящего форму х'Вх или х*Вх' к каноническому виду (п. 13.5-4, d), a U — унитарная матрица, приво- дящей форму х'Ах или х*Ах к сумме квадратов (п. 13.5-4, с). Замечание. Две действительные симметрические квадратичные формы х'Ах и х'Вх илн две эрмитовы формы х*Ах и х*Вх можно одновременно привести к сумме квадратов с помощью одной и той же унитарной матрицы преобразования Т в том и только в том случае, если В А = АВ (см. также пп. 13.4-4. b и 14.8-6, е). 13.5- 6. Признаки положительной определенности, неотрицательности и т. д. (а) Действительная симметрическая квадратичная форма, или эрмитова форма, является положительно определенной, отрицательно определенной, неотрицательной, неположительной, неопределенной или тождественно равной нулю (пп. 13.5-2 и 13.5-3) в том и только в том случае, если {необходимо действительные) собственные значения матрицы А = [а^] соответственно все положительны, все отрицательны, все неотрицательны, все. неположительны, имеют различные знаки или все равны нулю. Действительная симметрическая квадратичная форма, или эрмитова форма, явля- ется положительно по луо пределе иной или отрицательно определенной в том и только в том случае, если она соответственно неотрицательна или неположительна и если по крайней мере одно собственное значение матрицы А = [я^] равно нулю. Заметим, что числа являются корнями характеристического уравнение (13.4-5); знаки этих корней часто можно исследовать одним из методой п. 1.6-6'. (Ь) X Для того чтобы эрмитова матрица (и соответствующая эрмитова форма, или действительная симметрическая квадратичная форма) была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы каждый из определителей аи> аи «21 «12 «22 а11 «12 «13 «21 «22 й23 » • • • » det («^] (13.5-14) «31 «32 «S3
13.6-1- 13.6. ВОЗМУЩЕНИЯ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 405 был положителен. Для того чтобы эрмитова матрица А = |a,-ftJ (и соответ- ствующая эрмитова форма или действительная симметрическая квадратич- ная форма) была неотрицательна, необходимо и достаточно, чтобы все глав- ные миноры определителя det (т. е. все миноры, получающиеся из этого определителя вычеркиванием строк и столбцов с одними и теми же номерами или, иначе говоря, миноры, симметричные относительно главной диагонали этого определителя) были неотрицательны. Отметим, что дли неотрицательности эрмитовой матрицы неотрицательность только угловых миноров (14) недостаточна. (с) Эрмитова матрица А (и соответствующая эрмитова форма или дей- ствительная симметрическая квадратичная форма) отрицательно определена, неположительна или отрицательно полуопределена в том и только в том случае, если матрица —А соответственно положительно определена, неотри- цательна или положительно полуопределена. (d) Матрица А является неотрицательной эрмитовой матрицей в том и только в том случае, если существует такая матрица В, что А=В*В Действительная матрица А является неотрицателной симметрической мат- рицей в том и только в том случае, если существует такая действительная матрица В, что А —В'В. В любом из этих случаев матрица А положительно определена, если В, а значит и А, — невырожденная матрица. (е) Если эрмитовы матрицы А и В положительно определены или неот- рицательны, то это же верно и для матрицы АВ. Каждая положительно определенная эрмитова матрица А имеет единственный квадратный корень Н, определяемый условиями, что Н^ — А и что Н—эрмитова положительно опре- деленная матрица (см. также п. 13.3-4). 13,0. МАТРИЧНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ). ВОЗМУЩЕНИЯ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 13.6-1. Системы обыкновенных дифференциальных, уравнений. Матричные обозначения. Как мы заметили в п. 9.1-3, если подходящие производные ввести в качестве новых переменных, общую систему обыкновенных дифферен- циальных уравнений (9.1-4) можно свести к системе уравнений первого порядка dy} ~ar=h(0 Уъ Уг.......Уп) V— 1. 2, .... ,п). (13.6- 1а) Систему (1а) записывают в виде одного матричного дифференциального уравнения (i/i (0\ /А (0 Уь Уг...Уп) Уг (О j_/А((> У1» Уг* •••» Уп) • /I Уп W \fn (0 Уъ Уг.....Уп) (см. также п. 13.2-11), где y(t) и f(t, у) — матрицы размера п X 1 (столбцы). Если функции ft в интересующей нас области непрерывны и удовлетворяют условию Липшица (9.2-4), то решение у (() уравнения (16) однозначно опреде- ляется начальным условием = /«, у) (13.6-16) /Ух(О)\ / 1/10 V (0) =| г/2(0) = ' Уго 1 = Уо- (13.6-1с) \уп$)1 \ Упо/
406 ГЛ. 13. МАТРИЦЫ. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.6-2. Если f в явном виде не зависит от независимой переменной t, то система (1) называется автономной (стационарной). Помимо того, что матричные обозначения удобны, они, как мы увидим, позволяют распространить интуитивные представления, возникающие при изучении простых диф- ференциальных уравнений первого порядка, на системы уравнений первого порядка. Кроме того, матричные операции, нужные для решений линейных систем (п. 13.6-2),, легко выполняются электронными вычислительными машинами. В большинстве важных приложений / обозначает время, а (/) — фазовые перемен- ные {переменные состояния), описывающие состояние некоторой механической системы» В таком случае система (1) называется динамической системой (см. также п. 11.8-4) *). 13.6- 2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффи* циеитами. (а) Однородные системы. Нормальная форма решения. Решение однородной линейной системы п 2 ^(°)=Ko (i=l, 2, n) (13.6-2a) fc=i ИЛИ ^Ay, f/(O)=j/o (Л = [а/л]) (13.6 2b) с постоянными коэффициентами vcm. также пп. 9.3-1 и 9.4-1, d) имеет вид у(0=еЛ/{/0 (/=>0), (13.6-3) где матричная функция является матрицей размера п х п, определяемой в соответствии с пп. 13.2-12 и 13.4-7. Разложение функции eAt по формуле (13.4-8) требует громоздких перемножений матриц, но если данная матрица А имеет п различных собственных значений, его разложение функции eAl по тео- реме Сильвестра (13.4-9) дает нормальную форму решения из п. 9.4-1. Часто можно упростить решение вадачи (2) путем введения п новых фазовых переменных у^ с помощью такого невырождеваого линейного преобразования: Vt = У, tihVh (1 = 1. 2, . . . , о) нли у = T~yt (13.6-4) где (13.6-5) чтобы получающаяся в результате система dy — = У <°) = Уо* А==Т~гЛТ, у^ — Т^у.,, стала проще, чем первоначальная (см. также пп. 14.6-1 и 14.6-2). Если, е частности, 'существует преобразование (4), приводящее данную матрицу системы £ к диагональ- ному виду (пп. 13.4-4 и 14.8-6), то новые переменные у& называются нормальными координатами рассматриваемой лннейиой системы (см. также п. 9.4-8). Они удовлет- воряют системе уравнений с «разделенными» переменными где Л-2, . - •, кп — собственные виачеиня матрицы А. Если матрица А имеет п различных собственных значений, то решение первоначальной системы (2) на основа- нии (4) имеет вид УК = W h* = Ь 2‘ (Л =» 1, 2, . . . , п). (13.6-6) (13.6-7) Я). *) Во многих технических книгах столбец у (t) называют вектором состояния. Пра- вильней было бы сказать, что элементы у^ (t) матрицы у (О (переменные состояния) опи- сывают вектор состояния в некото рой определенной системе координат (в смысле тензор- ного анализа, гл. 16).
Ю-З. 13.6. ВОЗМУЩЕНИЯ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА Комплексно сопряженные члены в решении (7), а также совпадающие и нуле- вые собственные значения можно рассмотреть подобно тому, как это сделано в п. 9.4-1. В общем случае с помощью преобразования (4) можно получить треуголь- ную матрицу А (п. 13.4-3), так что функции у? (t) можно последовательно вычислить одну зя Другой. (Ь) Неодаородные уравнения. Матрица Грина. Линейная система п 2 Ш+ЬЮ. yi№=yio (i = l. 2, n) (13.6-8a) A=1 ИЛИ y(O)=ye (A = [ailt]). (13.6-86) где f (0 — матрица размера n X 1 (столбец), описывает реакцию линейной системы на внешние нагрузки ft (<). Как и в пп. 9.3-1 и 9.4-2, решение y(t) получается в результате сложения решения (3) соответствующей однородной системы и некоторого частного решения (нормальной реакции) yN(t): где t t yN w = j h+ (Z-t)/(t) dx=J h+ (Й/ <%. о 0 (/^0) (13.6-9) Матрица Грина h+(t—t) = [{/i+(Z—T)};fe| размера nXn для задачи Коши (8) является обобщением одномерной функции Грина в п. 9.4-3 и удов- летворяет уравнению dh, (I) (t>0), Л+(0) = /, (13.6-10) <гак что h+(t)=eAt (/SsO). (13.6-11) Матрица h^. (/) является реакцией из набор (асимметричных) единичных импуль- сов = (f = 1, 2, см. также п. 9.4-3, d). Заметим, что решение (9) полностью аналогично решению одномерной задачи dyfdt = ay -f- f (О. у (0) = y0. (с) Операторное решение (см. также п. 9.4-5). Применяя преоб- разование Лапласа к элементам матрицы данной системы уравнений (8) с постоянными коэффициентами, получаем sY(s)-y0^AY(s)+F(s) или Y (s)==(sI—A'f~1y0-}-(sl—Ay~1F (s), (13.6-12) где Y (s) и F (s) соответственно обозначают изображения функций у (/) и f (/) Члены равенства (12) являются изображениями членов равенства (9). Обрат- ное преобразование Лапласа каждого элемента K,-(s) матрицы Y (s) дает yi(t). 13.6- 3. Линейные системы с переменными коэффициентами (см. также пп. 9.2-4, 9.3-3). (а) Самая общая линейная система (1) имеет вид #=A(f)y+f(t), (13.6-13) где A (t) == [а,*(0] — матрица размера п х п, а /(0 —матрица размера п х 1 (столбец) (система линейных дифференциальных уравнений с переменными
408 ГЛ. 13. МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.6-4. y(f)=w+(t, 0)r/0+ (13.6-15) коэффициентами и внешними нагрузками). Решение снова можно записать в виде i w+(t, X)/ (X)rfX PSaO), (13.6-14) где о>+ (t, X)— матрица Грина размера п X п, определяемая при как решение задачи (0 о>+ (t, X) (i > X), о>+(Х, Х)=/ или как реакция на набор (асимметрических) единичных импульсов (0 = = б+(<—X), где 1=1, 2, п; см. также п. '9.4-3, d. Для системы с постоян- ными коэффициентами (t, = — X). (Ь) Для любой действительной или комплексной матрицы Д (?) с непрерывными элементами решение однородной линейной системы = (13.6-16) at имеет вид У (/) у (0), где У ~ У (/) — матрица размера п X п, являющаяся единствен- ным решением матричного дифференциального уравнения Матрица У (О является невырожденной; ее столбцы образуют п линейно независимых решений системы (16) (фундаментальная матрица решении, см. также п. 9.3?2). Мат- рица U (/) = [У-1 (/)]* служит единственном решением уравнения -^ = А*«)(7. . Ц(0)=1. (13.6-18) at Уравнения (17) и (18)?называются сопряженными линейными уравнениями *). Матрица Грина w+ (t, Z) из п. 13.6-3, а равна КУ+ (/, М = У (/) У-‘ (X) SS У (/) и* (X) (/ > м. (13.6-19) тан что решение (14) соответствует матричной форме решения из п. 9.3-3 методом вариации постоянных. 13.6- 4. Методы возмущений и уравнения в вариациях. (а) Пусть задана Система дифференциальных уравнений ^=/(0 У> «), 4/(О)=^о. (13.6-20) зависящая от набора (столбца) {о^, а,, .... ат} т параметров aft, и пусть Viii (0—известное ее решение для значений параметров а=а, = {ап, а12, ... ..., oiim}- Возмущенное решени^ г/,,, (0 + бр (0, соответствующее возмущен- ному столбцу параметров a=a1+6a, может оказаться легче найти путем решения системы Уч>+^У «i+ба)—/(<, ущ-, aj), бу(О)=О (13.6-21) 1) I ~— д (t) и — I ~~~— ^4* (t) являются сопряженными операторами в прост- ои at CD ранстве матричных функций и (t) размера п X 1. для которых ийтеграл J и* (/) и (О 0 существует и ы<0)=0ж если скалярное произведение двух таких функций и и О сю определить формулой (u, v) = Ju* U) v (t) dt (n. 14.4-3; см., также n. 15.4-3). 0 “.
13.6-6. 13.6. ВОЗМУЩЕНИЯ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 409 для возмущения' (вариации, и. 11.Б-1) by, чем с’помощью непосредственного решения системы (20). Система (21) является точной. Однако для должным образом дифференцируемой матричной функции f (t, у, а) можно, пренебрегая всеми членами разложения правой части (21) в ряд Тейлора, кроме членов' первого порядка, найти приближение для by (возмущение первого порядка), решая линейную систему «У(0)=0, . (13.6-22) где элементы матрицы df/ду ss \dfildyk\y а а==с^ размера п X п и матрицы df/да s [dfildak] yi=y a=a размера n x m, вообще говоря, зависят от выбран- ного решения уа, (/), а потому и от t. Если возмущения by, малы по срав- нению с | yt |, то можно пренебречь ошибками, возникающими от замены точ- ной системы приближенной. (Ь) Зависимость решения у (0, от параметров часто описывают коэффициен- тами чувствительности, т. е. производными решения по параметрам z образующими матрицу Z = ду]да === • • размера яхт. Для каждого данного решения у (0 коэффициенты чувствительности являются функциями от t и" удовлетворяют тп линейным дифференциальным уравнениям (уравнениям в вариа- циях по параметрам или уравнениям чувствительности) — Z 4-^- dt~ ду ' да’ Z (0) = 0. (13.6-23) (с) При изучении зависимости решения от начальных значений у^ (0) = у^ эти вначения можно рассматривать как параметры. В этом случае начальные условия tty (0) =» 0 в системах (21) и (22) можно вамеиить условиями Ьу (О) - у (0) - (0) = б^0. Для уравнения (23) в вариациях по начальным значениям 2^ = ду^ду^ц начальные условии следует взять в виде k 8уЫ> 1а'=4'(1) и («=*) 13.6-5. Устойчивость решений: определения (см. также п. 9.5-4). Различ- ные виды устойчивости решения у=Уч>(1) системы (13.6-24) п). (13.6-25) (i. й — 1. 2, f=f(t, у) (fS^o) (13.6-26) можно определить с помощью того эффекта, который вызывают возмущения параметров (п. 13.6-4). Нижеследующая теория относится к устойчивости в смцоле Ляпунова, которая определяется эффектом от малого изменения начального значения Ьу Ро) = У Ро)—4/<i> Ро) на получающееся в результате возмущение М^РМшР) ПРИ О t0. Решение «/=#<!> Р) системы (26) называется: • Устойчивым в смысле Ляпунова, если для каждого е > 0 суще- ствует такое Д(е, /0)> 0, что из || by (t0) || < Д (е, i0) следует, что || 6^(0 II <е при всех В противном случае решение назы- вается неустойчивым. Асимптотически устойчивым в области D1 р0) фазового про- странства, состоящего из точек у {уг, у г, ...» уп}> если решение
410 ГЛ. 13. МАТРИЦЫ. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.В-в. {Ли (0 устойчиво и если из того, что у (to) принадлежит области bt^o), следует, что Um 8у (f) =0 (т. е. || ду (0 II “* ° ПРИ 1->со п. 13-2-11). Асимптотически устойчивым в целом (вполне устойчивым, гло- бально асимптотически устойчивым), если областью асимптотической устойчивости является все фазовое пространство. Замечание. В приведенных выше определениях норма II бу II матрицы раз- мера п X 1 (столбца) by as {®У1, . • - , определяется в соответствии с равен- ством (13.2-2) формулой II by II = sup | + Ъг1>у2 -|-1- t,nt>yn | (13.6-270) ' (11 + н—I- й = О- Если это удобно, ее можно ваменить одной из норм (таблица 13.2-1) II fy/ lla « + (^2)2 + **" + (^п)2]1^ {евклидова норма) (13.6-27&) II t>y llr“ I t>yt | + I 6ya I + •• + I 6yn |. (13.6-270 Заметим, что в этих определениях речь идет об устойчивости решений в не систем (см. также -пп. 9.4-4 и 13.6-7). Если решение устойчиво в смысле Ляпунова, то достаточно малые изменения начальных значений не могут при- вести к большим изменениям решения за какой угодно промежуток времени. Для асимптотически устойчивого решения эффект от конечного изменения начальных значений в указанных границах станет сколь угодно малым после того, как пройдет достаточно большой промежуток времени. Если решение асимптотически устойчиво в целом, то даже сколь угодно большое изменение начальных • значений в конце концов вызовет пренебрежимый эффект. Асимптотическая устойчивость является требованием для практических конт- рольных систем. 13.6- 6. Функции Ляпунова и устойчивость. (а) Устойчивость равновесия автономных систем (см. также п. 9.5-4, Ъ). Точка покоя у (t)=ytl, ,(t ^0) автономной системы 1—f(S) (^0) (13.6-28) определяется условием f(y(i,)=O. (13.6-29) Достаточно рассматривать точки покоя у (t)=ylv—O, так как другие точки покоя у—Ум, в фазовом пространстве можно перевести в начало координат с помощью простого преобразования координат. Функцией Ляпунова для решения у(()=0 данной системы (28) называется любая такая действительная функция V (у) = V (уг, у2, .... уп), что в неко- торой окрестности D точки у—0 в фазовом пространстве, состоящем из точек yt={yt, у2, .,.; уп}, функция V (у) непрерывно дифференцируема и V (у)>0 при у=/=0, У(0)=0, d VI 5V VI ev (13.6-30) I fe=l V (y) = ~- V [y (<)] — производная функции Vt вычисленная в силу системы (28), т. е. вдоль интегральных кривых.
18.6-7. '13.6. ВОЗМУЩЕНИЯ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 411 Решение (точка покоя) у (Г) = 0 устойчиво в смысле Ляпунова в том. (и только в том) случае, если существует соответствующая функция Ляпунова (теорема Ляпунова об устойчивости). Решение y(t) = O асимптотически устойчиво в окрестности D, если суще- ствует функция Ляпунова V (у), удовлетворяющая в D строгому неравенству dV/dt -< 0 для всех у=£0 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчи- вости). Решение y(t) = O асимптотически устойчиво в целом, если функцию Ляпу- нова V (у) можно определить для всего фазового пространства так, что выпол- няются условия теоремы об асимптотической устойчивости и V (у) -» со при || j, || -j. со (теорема Лассаля). Решение y (t)=O уравнения (28) неустойчиво, если существует область Di, содержащаяся в некоторой окрестности D точки 1^ = 0, и действительная функция U (у) такие, что 1. Функция' U (у) непрерывно дифференцируема в D± и п для всех 6 Dt; 2. U (у)—0 во всех граничных 'точках области Dy лежащих внутри D; 3. у=0 есть граничная точка области Dt (теорема .Четаева о неустойчивости). В частности, решение неустойчиво, если условие 1) выполняется во всей окрестности D точки у=0 (теорема Ляпунова о неустойчи- вости). (Ь) Неавтономные системы. Каждое решение у (f)—yty (t) системы У) (t^O) при помощи замены х (t)=y (t)—уа) (/) можно преобразо- вать в решение х (f) = 0 новой системы ^f(t, x+yiy)-f(t, y{y)^F(t, х) (t^O). (13.6-31) При этом Р (t, 0) = 0 для всех t^O. Функция V (t, х) = V (t, xlt хг, , хп) называется функцией Ляпунова иля системы (31), если 1. V (t, х) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестно- сти £2 точки х = 0 в фазовом пространстве (хг, х2, ..., х„) при всех / S? 0. 2. V (t, 0) = 0 при всех 1^0. 3. V (t, х) W (х) для всех точек х, принадлежащих Q, и при всех t^O, где функция W (х) такова, что W (х) > 0 для всех х=40 и W (0)=0. п 4- + 2 ^VkFk^° ДЛЯ всех й и * = 1 При таком определении функции Ляпунова теорема п. (а) об устойчиво- сти переносится на неавтономные системы б.ез всяких изменений. В теореме об асимптотической устойчивости нужно дополнительно потребовать выпол- нения неравенства W\(x) для всех хеЙ и 1^0, где функция №\(х)>0 при х=#0 и И7х(0)=0. 13.6- 7. Приложения и примеры (см. также п. 9.5-4). , (а) Приложения такие, как проектирование контрольных систем,-мотиви- руют поиск функций Ляпунова, позволяющих установить асимптотическую
412 JJL 13. МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.6-7, устойчивость в рассматриваемых областях фазового пространства или же в возможно больших его областях («прямой метод» исследования устойчивости по Ляпунову).. Функции Ляпунова для частных решений не являются един- ственными, и практические методы поиска являются скорее искусством, чем наукой. (Ь) Как мы отметили в п. 9.5-4, а, решение у (f) = 0 линейной однородной системы с постоянными коэффициентами ~~=Ау (13.6-32) (п. 13.6-2, а) асимптотически устойчиво в целом (вполне устойчиво) в том и только в том случае, если эта система устойчива в смысле п. 9.4-4, т. в. если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части. Это выполняется в том и только в том случае, если для произвольной положительно определенной сим- метрической матрицы Q существует такая положительно определенная симметрическая матрица Р, что . / А'Р + PA= — Q. (13.6-33)
13.6-7. 13.6. ВОЗМУЩЕНИЯ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛЯПУНОВА 413 Тогда У(р) tsey'Py есть функция Ляпуноеа для решения у = д (у‘ — транспонированная матрица для р). (с) Уравнение Дуффинга ' ^-+“^ + у+^»=о описывает нелинейные колебания пружины. Полагая y = yt, у = уг, получаем нели- нейную систему первого порядка ~ ~аГ —~аУз~У1~ (Il Gf 1 л Л 1 Теория п. 13.6-6 показывает, что v (ylt У2) | (М + 2р! + 2р|), = - ау* есть функция Ляпунова для решения ух (/) — р2 (Z) = 0 при а>0 н б>0 («сильная пружина»); это решение асимптотически устойчиво в целом. При а>0 н Ъ <0 («слабая пружина») решение (Z) = ps (() = 0 асимптотически устойчиво, но не в целом (рис. 13.6-1). '
ГЛАВА 14 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ). ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТРИЦАМИ 14.1. введение: СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ 14.1- 1. Вводные замечания. В этой главе дается обзор теории линейных векторных пространств (см. также и. 12.4-1) и линейных преобразований (ли- нейных операторов). Векторы и линейные операторы представляют физи- ческие объекты и операции во многих важных приложениях. , Большинство практических задач требует описания (представления) мате- матических моделей (п. 12.1-1) с помощью упорядоченных наборов действитель- ных или комплексных чисел. В частности, понятия гомоморфизма и изомор- физма (и. 12J1-6) позволяют многие математические модели «представлять» соответствующими классами матриц (п. 13.2-1; см. также п. 13.2-5), так что абстрактным математическим операциям соответствуют числовые операции над элементами матриц. (Примеры; матричные представления операторов квантовой механики и электрических преобразователей.) В пп. 14.5-1 — 14.10-7 описывается применение матриц для представления векторов, линейных опе- раторов и элементов групп. 14.1- 2. Числовое описание математических моделей: системы отсчета (см. также пп. 2.1-2, 3.1-2, 5.2-2, 6.2-1, 12.1-1 и 16.1-2). Система отсчета (система координат) есть схема правил, описывающих (представляющих) каждый объект (точку) некоторого класса (пространства, области некоторого пространства) С соответствующим упорядоченным набором (действительных или комплексных) чисел (компонент, координат) xlt х2, ... Число координат, требуемых для определения каждой точки (лгх, х2, ...), называется размерностью |прост- ранства С (см. также п. 14.2-4). Во многих приложениих значения координат связаны с системами физических мер. 14.1- 3. Преобразования координат (см. также пп. 2.1-5 — 2.1-8, 3.1-12, 6.2-1 и 16.1-2). Преобразование координат хг, х2, ... есть множество правил или соотношений, ставящих каждой точке (хх, х2, ...) в соответствие новый набор координат. Преобразование координат допускает две интерпретации: 1. «Активная» точка зрения, или точка зрения «alibi»: преобра- вование координат Xi=x't(xlt х2, ...), х2=х2 (хх, х2,...), ..., (14.1-1) описывает операцию (функцию, отображение, 'П. 12.1-4), относящую каждому данному математическому объекту (точке) (хь х2, ...) неко- торую новую точку-(xj, x’s, ...). 2. «Пассивная» точка зрения, или точка зрения «alias»: преоб- разование координат (*1. х2> •••)• х2=х2(х1, х$, ,..), ... (14.1-2) вводит новое описание (новое представление) каждой точки (хх, х2, •••) посредством новых координат xlt х2, ... Преобразования координат позволяют абстрактные математические отношения пред- ставлять числовыми соотношениями («активная» точка зрении) и заменять системы
14.2-1. 14.2. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 415 («пассивная» точка зрения). Замена системы отсчета часто упрощает данную olnanv (Примеры: приведение к главным осям. пп. 2.4-8, .3.5-7, 9.4-8 и. 17.4-8; кон- тактные преобразования. пп. 10.2-5 и 11.6-6, обобщенные координаты в динамике.) 14.1- 4. Инвариантность (см. также пп. 12.1-5 и 16.2-1; для более подроб- ного рассмотрения отсылаем к пп. 16.1-4 н 16.4-1). Функция координат, пос- тавленных в соответствие некоторому объекту или объектам, инвариантна отно- сительно данного преобразования координат (1) или (2), если значение этой функции ие меняется при подстановке вместо каждой координаты х, функции х'(xj. х2, ...) или Xi (Xi, Xg, ...). Соотношение между значениями координат инвариантно, если оно сохраняет силу при любых подстановках такого рода. Инвариантность относительно преобразования координат «активного» типа / интерпретируется в духе п. 12.1-5. Функпии и соотношения, инвариантные относительно какого-либо класса преобразований координат «пассивного» типа, можно рассматривать как функции от реальных объектов (инвариантов), пред- ставляемых различными наборами координат в различных системах отсчета или соответственно как соотношения между ними. Полная система инвариантов fr(Xi, х2, ...), /г(х1. х2, ...), ... однозначно характеризует все свойства объекта (Xj, х2, ...), инвариантные относительно данного класса (группы) преобразо- ваний координат (см. также п. 12.2-8). 14.1- 5. Системы мер. Представление модели, включающей два или более класса объектов, требует, вообще говоря, системы отсчета для каждого класса объектов; получающееся в результате множество систем отсчета называется системой мер. Изменение системы мер включает в себя преобразование коор- динат «пассивного» типа для каждого класса объектов; обычно эти преобра- зования связывают таким образом, чтобы обеспечить инвариантность некото- рых важных функций и/или соотношений (см. также пп. 16.1-4, 16.2-1 и 16.4-1). 14.2. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 14.2- 1. Определяющие свойства. Как уже говорилось в п. 12.4-1, линей- ное векторное пространство U, состоящее из векторов а, Ь, с, ..., над'коль- цом (с единицей, п. 12.3-1) R, состоящим из скаляров а, р, ... , допускает сложение векторов и умножение векторов на скаляры, обладающие следую- щими свойствами: 1. U есть коммутативная группа относительно сложения векто- ров: для каждой пары векторов а, Ь из U пространство Й содер- жит их сумму a-j-b, причем a-|-b=b-|-a, а-}-(Ь+с) = (а-|-Ь)-|-с. Кроме того, U содержит нулевой вектор 0 и для каждого вектора а противоположный вектор —а такие, что а-|-0 = а, а+(—а) = а—а=0. 2. U содержит произведение аа каждого вектора а е й па любой скаляр а е R, причем (ар)а = а(ра), 1а==а, a(a-j-b)”=aa-j-ab, (d-j-P) а = аа+Ра( где 1 —единица кольца R. Отметим, что 0-а=0, (—1)а = — а, (—а)а=—(аа). (14.2-1) Если специально не оговорено противное, то подразумевается, что все ^инейные векторные пространства, рассматриваемые в этом справочнике, явля-
416 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ' «4.2-2, ются действительными векторными пространствами йлн же комплексными век- торными пространствами, соответственно определяемыми как линейные век- торные -пространства над полем действительных чисел и над полем комплекс- ны^ чисел. В случае векторных пространств, допускающих определение сходимости (п. 14.2-7, Ь), некоторые авторы называют совокупность векторов, обладаю- щую описанными выше свойствами, линейным многообразием, а термин век- торное пространство резервируют для замкнутых линейных многообразий,, т; е. линейных многообразий, содержащих все свои предельные точки (п. 12.5-1, Ь); в случае конечномерных многообразий эти два понятия равно- сильны (п. 14.2-4). 14.2- 2. .Линейные многообразия и подпространства в U. Подмножество линейного векторного пространства U есть линейное многообразие в U, если есть линейное многообразие иад тем же кольцом скаляров, что и U; называется подпространством пространства И, если оно является замкнутым линейным многообразием в U (см. также п. 14.2-1). Собственное подпростран- ство пространства U есть его подпространство, отличное от 0 и от самого И. Любое данное множество векторов ег, е2, ... пространства U порождает (определяет) линейное многообразие, содержащее всевозможные линейные ком- бинации векторов ej, е2, ... Пример: прямые линии & плоскости, проходящие через начало координат в трех- мерном евклидовом пространстве. 14.2- 3. Линейно независимые и линейно зависимые векторы (см. также пп. 1.9-3, 5.2-2 и 9.3-2). (а) Конечное множество векторов аг, а2, ... линейно независимо, если из Z,iai + Z,2a2-|-...=0 следует, что Z,i = X,2=...=0. (14.2-2) В противном- случае векторы alf а2, ... линейно зависимы и по крайней мере один из них, например. ай, может быть выражен в виде линейной.комбинации а^=^[1;а; остальных векторов а* этого множества. Это, в частности, верно i в том ^тривиальном случае, когда а^ — нулевой вектор. (Ь) Определения п. 14.2-3, а применимы и к бесконечным множествам векторов at, as...... если можно приписать смысл условию (2). Вообще говоря, для этого требуется, чтобы, помимо алгебраических постулатов из п. 14.2-1, векторное подпространство допус- кало определение сходимости (пп. 12.5-3 и 14.2-7, Ь). 14.2- 4. Размерность линейного многообразия или векторного пространства. Базисы и системы координат (системы отсчета). (а) Базис (линейный) линейного многообразия U есть такое множество линейно независимых векторов ej, eg, ... многообразия U, что каждый вектор а е U может быть представлен в виде линейной формы а = а1ех:-|_^2е2Ч_.>'- (14.2-3) относительно базисных векторов е;. Каждое множество линейно независимых векторов образует базис линейного многообразия, состоящего из всевозмож- ных линейных комбинаций данных векторов. (Ъ) В конечномерном . 'линейном многообразии или векторном пространстве, порожденном п базисными векторами: 1) каждое множество из п линейно независимых векторов явля- ется базисом; 2) никакое множество из т<_п векторов не является бдзисом; 3) каждое множество из m > п векторов необходимо линейно зависимо. i Число п называется (линейной) размерностью данного векторного про- странства. Бесконечномерное векторное пространство не допускает никакого конечного базиса. • •
14.2-в. 14.2. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 417 (с) В каждом действительном или комплексном векторном пространстве размерное™ п числа Ор а2.........и.п являются единственными координатами вектора а=а1е1 + -.-4-«пе„ в системе координат (система отсчета), опреде- ляемой базисными векторами elt е2, .... е„. Отметим, что вектор a-f-b имеет координаты а/+₽(-, а вектор аа — координаты аа, (i = l, 2, ..., п; см. п. 5.2-2). (d) Два линейных векторных пространства U и W над одним и тем же кольцом скаляров а, р, ... изоморфны (п. 12.1-6) в том и только в том слу- чае, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие а^а', Ь—*• Ь', ... , при котором а+Ъ-^а'+Ь' и аа—-аа'. В случае конеч- номерных векторных пространств для этого необходимо и достаточно, чтобы U и W имели, одну и ту же линейную размерность. В частности, каждое л-мерное действительное или комплексное векторное простран- ство изоморфно пространству матриц столбцов, имеющих л строк, соответственно иад полем действительных или комплексных чисел (матричное представление, п. 14.5-2). 14.2-5. Нормированные векторные пространства. Действительное или ком- плексное векторное пространство ZZ называется нормированным векторным пространством, если для каждого вектора а е U существует такое действи- тельное число || а || (норма, абсолютная величина, модуль вектора, а), .что из а=Ь следует |] а |] = || Ь |] и что для всех а, b из U'. (| а|| 0, из || а ||=0 следует, что а=0, || аа |]=| а ||| аЦ, . || а + b || ;£ [| а [| -|-1| b || (неравенство Минковского'). Единичный вектор есть вектор с единичной нормой (см. также п. 5.2-5). Отметим, что || — а|]=[|а|| и [|0|]=0. 14.2-6. Унитарные , векторные пр странства. (а) Действительное или комплексное векторное пространство U называ- ется унитарным (эрмитовым, предгильбертовым) векторным пространством, если можно определить бинарную операцию, ставящую .каждой паре а, b векторов из U в соответствие скаляр (а, Ь) — скалярное, или внутреннее, про- изведение а и Ь, причем: 1) (a. b) = (b?i) (эрмитова симметрия)', 2) (a, b-f-c) = (a, b)-f-(a, с) (дистрибутивный закон)-, 3) (a, ab)=a (a, Ь) (ассоциативный закон)1)', 4) (а, а)^0; из (а, а)=0 следует а=0 (положительная определенность). Отсюда следует, что в каждом унитарном векторном пространстве (14.2-4) (Ь+с, а) = (Ь, а)+(с, а), (аа, Ь) = а(а, Ь), (14.2-5) | (а, Ь) |2 (а, а) (Ь, Ь) (неравенство Коши—Шварца). (14.2-6) Неравенство Коши —Шварца (6) (см. также п. 1.3-2) превращается в равен- ство в том и только в том случае, если а и b линейно зависимы (см. также пп. 1.3-2, 4.6-19 и 15.2-1, с). т векторов а1; а2, ..., ат пространства К линейно независимы в том и только в том случае, если определитель det [(а/, а^)] т-порядка (определитель Г рама, см. также 5.2-8 и 15.2-1, а) отличен от нуля. (Ь) Если унитарное векторное пространство действительно,, то все ска- лярные произведения (а, Ь) действительны, и скалярное умножение векторов коммутативно, так что (а, Ь) = (Ь, а), (аа, Ь) = а(а, Ь). (14.2-7) Замечание. Используемые в теории относительности пространства с ''внутрен- ним произведением с неопределенной метрикой являются действительными или комплекс- ными векторными пространствами, допускающими определение скалярного произведения ‘) Некоторые авторы вместо этого требуют, чтобы (ааг Ь) = а(а, Ь), что сводится к перестановке й и b в определении произведения (а, Ь); тогда (a, ab) =а (а. Ь),
418 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.2-7. (а, Ь), удовлетворяющего условиям (1) — (3), но не удовлетворяющего условию (4) из п. 14.2-6, а. Все векторы такого пространства могут быть подразделены на векторы с положительным, отрицательным или нулевым квадратом (а, а). Полагают || а || = V’jKa.'a)||/ См. также пп. 14.2-5 и 16.8-1. 14.2- 7. Норма, метрика и сходимость в унитарных векторных простран- ствах. Гильбертовы пространства. (а) Каждое нормированное векторное пространство (п. 14.2-5) является метрическим пространством с метрикой d (а, Ь)=||а—Ь|] (п. 12.5-2) и в нем (как и в п. 12.5-3) можно определить окрестности и сходимость (см. также п. 5.3-1). В этом смысле ряд a0-|-ai-j-a2-|-... сходится, и его сумма равна П со - вектору s= lim ай= У] aft пространства U в том и только в том слу- п-»оо А = 0 &.= 0 п S- S а* =0- чае, если lim п—*оо . Нормированное векторное пространство является полным (п. 12.5-4) в дом й только в том случае, если каждая последовательность векторов s0, s„ s2, ... пространства U, удовлетворяющая условию lim ||s„—sm|]=0 n-*oo *- (последовательность Коши, фундаментальная последовательность, см. также п. 4.9-1), сходится к некоторому вектору s е U. , Полное нормированное векторное пространство называется банаховым пространством. Каждое конечномерное нормированное векторное пространство является полным. (Ь) Каждое унитарное векторное пространство позволяет формулами |]а|]=]/(а, а), d(a, b) = ||a —b|| = ]/(a —Ь, а—Ь), (14.2-8) cosy (а, Ь) - II а II || Ы| ввести норму (абсолютную величину, модуль) || а || каждого вектора а, рассто- яние d (а, Ь) между двумя «точками» а, b из U и угол у между любыми двумя векторами а и Ь. Функции |] а || и d(a, Ь), определенные в (8), удовле- творяют всем условиям пп, 14.2-5 и 12.5-2. Если Ц — действительное унитарное векторное пространство, то cos у — действи- тельное число для всех а и b и в силу неравенства (6) Коши — Шварца — 1 cos у 1. j ?< ;. (с) Конечномерные действительные унитарные векторные 'пространства называются евклидовыми векторными пространствами. Они являются сепара- бельными, полными и локально компактными (п. 12.5-4) и служат моделями для л-мерных евклидовых геометрий (см. также главы 2 и 3 и пп. 5.2-6 н 17.4-6). Полное унитарное векторное пространство называется гильбертовым про- странством *). Все полные пространства последовательностей и функций, перечисленные в.табл. 12.5-1, являются гильбертовыми (а потому и банахо- выми) пространствами. ’) Некоторые авторы раньше требовала, чтобы каждое гильбертово пространство было не только полным, но и сепарабельным (п. 12.5-1, Ь); иногда гильбертовым назы- вают только бесконечномерное полное унитарное пространство.
14.3-2. 14.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ! 419 Гильбертовы пространства- сохраняют многие свойства евклидовых про- странств. В частности, каждое сепарабельное (п. 12.5-1) бесконечномерное дей- ствительное или комплексное гильбертово пространство изоморфно и изомет- пично пространству I2 соответственно действительных или комплексных бесконечных последовательностей (£ь g2, ...), для которых сходится ряд [iff g2, ...)|]2=| |2+11г |®+... (табл. 12.5-1). Поэтому каждому вектору из сепарабельного бесконечномерного гильбертова пространства можно поста- вить в соответствие счетное множество координат. Каждое подпространство еильбертова пространства является полным его подпрост- ранством (см. также п. 14.2-2) и, таким образом, н само является гильбертовым прост- ранством. 14.2- 8. Теорема о проекции. Если заданы произвольный вектор х унитар- ного векторного пространства И и полное его подпространство 11г, то суще- ствует единственный вектор у=хр из реализующий минимум расстояния [|х—у|] для всех у из 11х. Кроме того, хр является единственным вектором у из Zfj, для которого разность х—у ортогональна каждому вектору хх из %lt т. е. (х—Хр, Xj)=0 (xj из Zfj) (14.2-9) (см. также п. 14.7-3). Отображение х—»хр есть ограниченный линейный опе- ратор (п. 14,4-2), называемый ортогональной проекцией пространства U на Теорема о проекции чрезвычайно важна для практики, потому что усло- вие (9) определяет оптимальное приближение вектора х вектором у из «более простого» класса 11х, если погрешность приближения измеряется числом ||х—у||2. Примеры: Проекция точек на плоскость в евклидовой геометрии, ортогонапь- ные приближения (пп. 15.2-3, 15.2-6, 20.6-2 и 20.6-3), средняя квадратическая регрессия (п. 18.4-6). 14.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ) • 14.3-1. Линейные преобразования векторных пространств. Линейные опе- раторы. Пусть U и W—линейные векторные пространства над одним и тем же полем скаляров а, р, ... Тогда (однородное) линейное преобразование пространства U в пространство W есть отображение х'=)(х)е=Ах, (14.3-1) ставящее каждому вектору х е U в соответствие некоторый вектор х' е W так, что при этом сохраняются «линейные» операции сложения векторов и умножения векторов на скаляры: { R f(x-hy) = f(x) + f(у), f(ax) = af(x). (14.3-2) Каждое линейное преобразование может быть записано как умножение век- тора» на линейный оператор А (линейную операцию), причем А (х+у) = Ах 4- Ау, А (ах) = а (Ах). (14.3-3) Линейное преобразование (оператор), отображающее линейное векторное про- странство U в себя, называется линейным оператором в пространстве U. Функция f(x)=Ax-(-a' называется-линейной векторной функцией. При задании каждого линейного оператора должна быть указана область его определения. В физике первое из соотношений (3) часто называют принципом суперпозиции для данного класса операций. 14.3- 2. Множество значений, ядро и ранг линейного преобразования (опе- ратора). Множество значений линейного преобразования А (образ при преоб- разовании А, п, 12.1-4) линейного векторного пространства И в линейное
420 ГЛ. И ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14;з-з. векторное пространство 22' есть линейное многообразие (п. 14.2-2) в 22'. Ядро- линейного преобразования А есть многообразие в 22, состоящее из всех векторов, отображающихся в нулевой вектор пространства 22'. Ранг г и размерность ядра г' линейного преобразования А—это соответственно линей- ные размерности (п. 14.2-4, Ь) множества его значений и его ядра. Если 22 имеет конечную размерность п, то множество значений и ядро любого линей- ного преобразования А являются подпространствами, и r-j-r'=n. 14.3- 3. Сложение и умножен е на скаляры. Нулевое преобразование. (а) Пусть А и В—линейные преобразования (операторы), отображающие U в 22'. Тогда по определению А + В и кА—линейные преобразования про- странства U в 22', при которых (А ± В) х=Ах ± Вх, (аА) х = а (Ах) (14.3-4) для всех векторов х е 22. (Ь) Нулевое преобразование О пространства 22 в 22' определяется условием Ох == О для всех векторов х е 22, где 0—нулевой вектор пространства И'. 14.3- 4. Произведение двух линейных преобразований (операторов). Тож- дественное преобразование. (а) Пусть А — линейное преобразование (оператор), отображающее 22 в 22', и В—линейное преобразование, отображающее 22' (множество значений пре- образования А в 22". Произведение ВА есть линейное преобразование про- странства 22. в 22", получающееся; если последовательно произвести преобра- зования А и В (см. также п. 12.2-8): (ВА)х = В(Ах). (14.3-5) (Ь) Тождественное преобразование I любого векторного пространства 22 переводит каждый вектор х е 22 в себя: 1х = х, ГА = А1 = А, (14.3-6) где А — линейное преобразование пространства 22 в 22', а I и Г—соответ- ственно тождественные преобразования этих пространств. 14.3- 5. Невырожденные линейные преобразования (операторы). Обратные преобразования (операторы). Линейное преобразование (оператор) А называ- ется невырожденным (неособенным), если оно взаимно однозначно отображает пространств'о 22 на все пространство 22' (пространства 22 и 22' в этом случае необходимо изоморфны, п. 14.2-2); Преобразование А является невырожден- ным в том и только в том случае, если оно имеет единственное обратное преобразование (обратный оператор) А-1, отображающее 22' на 22 так, что из х' — Ах следует х = А-1х', и наоборот, или АА-1=1', А~1А = 1, (14.3-7) где I и Г — тождественные преобразования соответственно в 22 и в 22'. Произведения и обратные преобразования невырожденных преобразований (операторов) являются невырожденными-, если А и В не вырождены' и а -ф 0, то (АВ)”1=В-i А"1, (<хА)~1 = а-1А-1, (A~i)-i = A. (14.3-8) Невырожденные линейные преобразования (операторы) сохраняют линейную независимость векторов, а потому и линейные размерности отображаемых многообразий (пп. 14.2-3 и 14.2-4). Линейное преобразование (оператор) К, определеннее на конечномерном векторном пространстве, невырождено в том и только в том случае, если из Ах=0 следует х=0, т. е. если г=п и г' =0 (п. 14.3-2). 14.3- 6. Целые степени операторов. Пусть А —линейный оператор в линей- ном векторном пространстве 22. По определению А° = 1, АХ==А, А2=АА, А3=ААА, ... и, если А — невырожденный, А р — (А.~1)р=(АР)-1 (р = 1, 2, ..•) Справедливы обычные правила действий со степенями (см. также и. 12.4-2).
14.4-3. 14.4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 421 14.4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРбВАННОМ ИЛИ ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. ЭРМИТОВЫ И УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 14.4-1. Ограниченные линейные преобразования (см. также п. 13.2-1, а). Линейное преобразование А нормированного векторного пространства (п. 14.2-5) И в нормированное векторное пространство W называется ограни- ченным, если А имеет конечную норму . - = sup X62Z 11 11 х^ЬО sup ||х|| = 1 ||Ах|. (14.4-1) Отметим, что I A||S= О, ||«А[|=| а| ||А||, ||А + В[|^|]А||-Н|В[|, || АВ ||sg [| А |||| В (|, ||Ax||^JA||||x||. (14.4-2) Каждое линейное преобразование (оператор), определенное на конечномерном нормированном векторном пространстве, ограничено. ^Линейное преобразование А нормированного векторного пространства. U в нормированное векторное пространство W непрерывно, если оно непре- рывно как отображение. метрического пространства U в метрическое прост- ранство й' (см. пп. 14.2-7 и 12.5-3,. Ь). Линейное преобразование одного-нор- мированного векторного пространства в другое непрерывно в том и только в том случае, если оно ограничено.К Если U—унитарное векторное .пространство (п. 14.2-6) и А—линейный оператор в U, т. е. оператор, отображающий U в себя (п. 14.3-1), то АЦ= sup = sup ИАх1! = хе U 11 11 Их ||= 1 к ЗТ®Г-„Д,.1 !<«• (14.м> 14.4- 2. Ограниченные линейные операторы в нормированном векторном пространстве. (а) 'Ограниченные линейные операторы А, В, ... в нормированном вектор- ном пространстве U составляют линейную алгебру (п. 12.4-2), операции в которой определены в пп. 14.3-3 и 14.3-4, причем нулем служит нулевой, а единицей тождественный оператор. Вырожденные операторы являются в этой алгебре делителями нуля (п. 12.3-1, а), а невырожденные образуют мультипликативную группу и вместе с нулевым оператором — алгебру с деле- нием (п. 12.4-2). Если # —пространство конечной размерности п, то алгебра линейных операторов имеет ранг п2. Алгебра операторов, вообще говоря, не коммутативна (см. также п. 12.4-2). Оператор АВ — В А называется коммутатором операторов А и В.’ (Ь) Ограниченные линейные операторы в гильбертовом пространстве (п. 14.2-7, Ь) позволяют, как в пп. 13.2-11 и I3.2-I2, определить с помощью метрики || А — В || сходящиеся последовательности и аналитические функции операторов (п. 12.5-3). 14.4- 3. Сопряженный оператор. Каждый ограниченный линейный оператор А в Гильбертовом пространстве. Z/ имеет единственный сопряженный оператор А*( определяемый условием (xi Ду) = (А* х, у) для всех х и у нз U. . (14.4-4)
422 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.4-4. При этом (А+В)*=А* + В*, (аА)* = аА*, (АВ)* = В*А*, (А~1)* = (А*)-1, (А*)* = А, 1|А*||=||А||, || А* А ||=|| А |Р, О*=О, 1* = 1; (Ах, By) = (х, A* By) ss (В* Ах, у). (14.4-5) (14.4-6) (см. также пп. 14.2-6, а, 14.2-7, Ь и 14.4-9). 14.4- 4. Эрмитовы операторы. Линейный оператор А в гильбертовом про- странстве U называется эрмитовым (самосопряженным), если А* = А, т. е. (х, Ау) = (Ах, у) для всех х и у из U. (14.4-7) Если U—комплексное гильбертово пространство, то оператор А является врмитовым в- том и только в том. случае, если скалярное произведение (х. Ах) для всех х действительно, или (х, Ах) = (Ах, х) = (Ах, х) для всех х £ U. (14.4-8) Всякий врмитов оператор в комплексном гильбертовом пространстве является ограниченным. Оператор А, удовлетворяющий условию А* =—А, называется косоэрмитовым. Эрмитовы операторы играют важную роль в тех приложениях, где требуется, чтобы скалярное произведение (х, Ах) было действительным числом (теория колебаний, кванто- вая механика). Эрмитов оператор А называется соответственно положительно определен- ным, отрицательно определенным, неотрицательным, неположительным, положительно полуопределенным, отрицательно полуопределенным, неопределенным или нулевым, если бто же верно для скалярного произведения (эрмитовой формы) (х. Ах) (см. также пп.< 13.5-3 н 14.7-1). 14.4- 5. Унитарные операторы. Линейный оператор А в гильбертовом пространстве U называется унитарным, если А* А=АА* = 1, т. е. А* = А-1. (14.4-9) Каждый унитарный оператор является невырожденным и ограниченным и || А || = 1. Каждое унитарное преобразование х' = Ах, где А—унитарный оператор, сохраняет скалярное произведение: (х', у') = (Ах, Ау) = (х, у) для всех х и у из И, ||х'||=II Ах||=||х|| для всех х £ U. Если пространство U конечномерно, то каждое из соотношений (10) влечет за собой унитарность оператора А. Унитарные операторы сохраняют скалярное произведение векторов, а также сложе- ние векторов и произведение векторов на скаляры; таким образом, при унитарных преоб- разованиях норма векторов, расстояния, углы, ортогональность и ортонормнровавность (пп. 14.2-7, а и 14.7-3) инвариантны (п. 12.1-5). 14.4- 6. Симметрические, кососимметрические и ортогональные операторы в действительных унитарных векторных пространствах. (а) Оператор А*, сопряженный (п. 14.4-3) с линейным оператором А в действительном гильбертовом пространстве Е, часто называется транспони- рованным оператором (преобразованием) и обозначается символом А'; он удов- летворяет соотношениям (х, Ау) = (Ау, х) = (А'х, у) = (у, А'х) для всех х и у из U. (14.4-11) Если рассматриваемое векторное пространство действительно, то во всех соотношениях из п. 14.4-3 вместо А* можно писать Д'. (14.4-10)
14.4-8. 14.4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 423 (Ь) Линейный оператор (преобразование) А в действительном гильберто- вом пространстве U называется симметрическим, если А' = А, т. е. (х, Ау) = (у, Ах) для всех х и у из U, (14.4-12) кососимметрическим (антисимметрическим), если А' =—А, т. е. (х, Ау) = —(у, Ах) для всех х и у из U, (14.4-13) ортогональным, если А'А = АА' = 1, т. е. А' = А-1. (14.4-14) Ортогональные операторы в действительном гильбертовом пространстве являются унитарными, так. что для них верны утверждения из п. 14.4-5. 14.4- 7. Правила комбинирования (см. также л. 13.3-3). (а) Если А—эрмитов оператор, то это же верно и для операторов Ар(р=0, 1, 2, ...), А-1, Т*АТ и, если а—действительное число, для опера- рюра а А. Если а — чисто мнимое, то оператор аА—косоэрмитов. Если Т — любой невырожденный оператор, то оператор Т*АТ является эрмитовым в том и только в том случае, если эрмитовым является оператор А; поэтому для любого унитарного оператора Т оператор Т-1АТ является эрми- товым в том и только в том случае, если это же верно для оператора А. В частности, если рассматриваемое гильбертово пространство действительно и а — симметрический оператор, то такими же будут и операторы (Р= 0, 1, 2, ...), А-1, Т'АТ и аК. Если Т — любой невырожденный оператор, то оператор Т'АТ явля- ется симметрическим в том и только в том случае, если симметрическим является а А; для любого ортогонального оператора Т оператор Т’АТ является симметрическим в том и только в том случае, если это же верно и для А. (Ь) Если А и В — эрмитовы (или симметрические) операторы, то это же верно и для суммы А+В. Произведение АВ двух эрмитовых (или симметри- ческих) операторов А и В является эрмитовым (или симметрическим) опера- тором в том и только в том случае, если В А —АВ (см. также п. 13.4-4, Ь). (с) Если А — унитарный оператор, то этб же верно и для Ар (р = 0,1, 2,...), АЧ А*, а если | а | = 1, то а для аА. Если А и В—унитарные операторы, то и АВ—унитарный оператор. Если А—ортогональный оператор, то это же верно и для Ар (р=0, 1, 2, ...), А~1 = А' и —А. Если А и В—ортогональные операторы, то АВ—орто- гональный оператор. 14.4-8. Теоремы о разложении. Нормальные операторы (см. также пп. 13.3-4 и 14.8-4). (а) Для каждого ограниченного линейного оператора А в гильбертовом пространстве # операторы(А-|-А*) = Н1 и X (А — А*)=Н2 являются эрми- товыми. Представление А = Н1+г'Н2 есть (единственное) разложение данного оператора А на эрмитову и косоэрмитову части (ср. с разложением компле- ксного числа на действительную и мнимую части). Если пространство К действительно, то это разложение превращается в (единственное) разложение оператора А на симметрическую часть -|-(А-{-А') и кососимметрическую часть -±- (А—А'). Для каждого ограниченного линейного оператора А в гильбертовом про- странстве операторы АА* и А*А являются эрмитовыми и неотрицательными. Существует разложение A = QU оператора А в произведение неотрицатель- ного эрмитова оператора О и унитарного оператора U. Оператор О однозначно определяется условием О2=АА*, а оператор U определяется однозначно в том и только в том случае, если А — невырожденный оператор. Аналогично A = U1Oii, где Qf = A*A (ср. с п. 13.3-4, а).
424 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.4-9. (Ь) Оператор А в гильбертовом пространстве U называется нормальным оператором, если А*А = АА* или, что эквивалентно, если H2Hi = HiH2. Огра- ниченный линецный оператор А нормален* в том и только в том случае, если ||Ах||=|] А || || х || для всех кесИ. Эрмитовы и унитарные операторы нор- мальны. 14.4- 9. Сопряженные векторные пространства. Более общее определение сопряженных операторов. (а) Ограниченные линейные преобразования А нормированного векторного пространства U в произвольное полное нормированное векторное пространство (банахово пространство, п. 14.2-7) образуют полное нормированное векторное пространство, сложение и умножение вкоторомопределяютсяформулами(14.3-4), а нормой служит || А ||. В частности, множество ограниченных (в смысле п. 14.4-1) линейных (и однородных) скалярных функций ф(х) (линейных функцио- налов), определенных на нормированном векторном пространстве 21, составляет полное нормированное векторное пространство И*, сопряженное (дуальное,, двойственное) к пространству U. Пусть х' = Ах — ограниченное линейное преобразование пространства U в какое-либо другое нормированное векторное пространство W. Тогда условие * ’ фЧх')^ф'(Ах) = ?(х) (14.4-15<г) определяет ограниченное линейное преобразование Ф=А*ф' (14.4-156) пространства 22'*, сопряженного к ZZ', в пространство' U*, сопряженное к 22. Оператор А* называется сопряженным оператором к оператору А; имеем II А* || = || А ||. (14.4-16) Заметим', что (А*)*, вообще говоря, не совпадает с А. (Ь) Каждую ограниченную линейную (однородную) скалярную функцию <р (х) (линейный функционал), определенную на гильбертовом пространстве 12, можно представить в виде скалярного произведения <р(х) = (и,,х), (14.4-17) где п—некоторый вектор из 22. Соответствие между векторами <р из 22* и векторами и из U является изоморфизмом, и на основании п. 14.4-1 ||<р(х)||= sup <р (х) s= || и ||, (14.4-18) 8*11 = 1 и следовательно, это соответствие является изометрией (пп. 12.5-2 и 14.2-7). Поэтому гильбертово пространство является самосопряженным, т. е. оно изо- морфно и изометрично сопряженному к нему пространству. Определение опе- ратора, сопряженного к линейному оператору в гильбертовом пространстве, можно тогда свести к простому определению сопряженного оператора, приве- денному в п. Г4.4-3. 14.4- 10. Бесконечно малые линейные преобразования (см. также пп.4.5-3 и 14.10-5). ' - (а) Бесконечно малое линейное преобразование (бесконечно малый линей- ный 'оператор) в нормированном действительном или комплексном векторном пространстве имеет вид А = 1+еВ, (14.4-19) где В—ограниченный оператор, а | в |2 пренебрежимо мало по сравнению с 1 (обычно е — скалярный дифференциал), т. е. |e|2«s(i, .
14.6-1. 14.5. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ. 425 (Ь) Для бесконечно малых линейных преобразований A —J-j-eB, Ai = J-f-e1B1, A2 = I4~s2B2 А-1 = 1 —eB, A1A8 = l+(e1B1+e2B2) = A2At. (14.4-20) Бесконечно малые линейные преобразования (операторы) перестановочны. (с) Бесконечно малое линейное преобразование А — I -f- еВ в унитарном век- торном пространстве является унитарным в том и только в том случае, если оператор еВ косоэрмитов. Бесконечно малое линейное преобразование А = 1+вВ в действительном унитарном векторном пространстве является ортогональным в том и только в том случае, если оператор еВ кососиммет- ричен. 14.5 . МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ (ОПЕРАТОРОВ) 14.5- 1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: «актив- ная» точка зрения (см. также п. 14.1-3). Рассмотрим конечномерное1) дейст- вительное или комплексное векторное пространство с системой координат, определяемой п базисными векторами е1; е2.....е„ (п. 14.2-4). Каждый вектор x==liei+52e2 + -.-+b»e„— У Еле4 (14.5-1) 4=1 описывается своими координатами Ei, g2, |п. Линейное преобразование (оператор) А в пространстве (п. 14.3-1) переводит каждый базисный век- тор е* в соответствующий вектор п eft = Aefe^alftei+fl!2fte3+.,.+artfeen= J] aik^ (/г = 1, 2, и), (14.5-2) i=i а каждый вектор х £ Un—в соответствующий вектор х' £ Uni п п п х' = Ах=А J ?4«4= S У g#.. fe=l fe = l i— 1 (14.5-3) Координаты g'- вектора х' и координаты Е* вектора х отнесены к одному и тому же базису еь е2, ел и связаны п линейными однородными соот- ношениями преобразования Е1 = а11£1 + а12?2 + • • • + й1п£п> & = “2iL+a22?2 + "-+a2n?n. (преобразование коорди- нат векторов, «активная» .(14.5-4) * " ‘ ?................... ‘ точка зрения). ап1£1 + апг1г + • • • + апп%>п I *1 Теория пп. 14,5-1 — 14.7-7 применима и к некоторым бесконечномерным векторным пространствам (пп. 14.2-4 14.2-7, Ь). Такие пространства должны допускать определение 14 9 ?Ых базисов (и. 14.2-4), а также ортонормированных базисов (п. 14.7-4) и сходимости (п. б так что суммы вроде той, которая рассматривается в (1). превращаются в сходящиеся ескоиечцые ряды. В частности, это справедливо для всякого сепарабельного гильбертова Р^СтРанства (п. 14.2-7, с). Векторные пространства, не допускающие счетных базисовж °гУт быть представлены подходящими пространствами функций (п. 15.2-1).;
426 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.5-2. 14.5-2. Матричное ; представление векторов и линейных преобразований (операторов). Для каждого данного базиса еъ е2, ..... еп в пространстве 2Zn: 1) векторы х ssgiei+g2e2+...+5nen в Un взаимно однозначно представляются матрицами-столбцами { g* } (п. 13.2-1); 2) линейные преобразования (операторы) в 11п взаимно одно- значно представляются квадратными матрицами А == [а,-*] порядка п, определяемыми в (2) или (4). Соответствие между векторами и. операторами и указанными матрицами есть изоморфизм (п. 12.1-6): суммы и произведения, содержащие скаляры, векторы и операторы, переходят в аналогичные суммы и произведения мат- риц. Тождественный оператор переходит в единичную матрицу, а обратный оператор—в обратную матрицу; невырожденным операторам соответствуют невырожденные матрицы, и наоборот. В частности, бескоординатное векторное равенство s х'=Ах (14.5-5) представляется в базисе е±, е2, ..., е„ матричным равенством (S1 \ /й11 й12 ••• й1л\ /51 \ 5а I / Й21 й22 ••• Й2Л I I ?2 I 1 = 1 II | = Дх, (14.5-6) 5П/ \йл1 йл2 ••• апп/ \in/ которое эквивалентно п соотношениям (4); произведение линейных преобразо- ваний А и В представляется произведением соответствующих матриц А и В. Зам еч а н и е. Преобразования «-мерного векторного пространства Цп в т-мерное векторное пространство Цт можно подобным же образом представить матрицами раз- мера тхп. Преобрааоваиия, связывающие два действительных векторных пространства, всегда можно представить действительными матрицами. 14.5-3. Матричные обозначения для систем линейных уравнений (см. также ПП. 1.9-2—1.9-5). Система линейных уравнений aikxk = bi — (14.5-7) эквивалентна матричному уравнению (й11 й12 ••• й1л \ / Xi\ /^1 \ Й21 й22 ••• Й2Л I I Х2 I I ^2 I е о. | 1 = 1 ]• (14.5-8) апЛ. апй ••• атп! \хп/ \^т / Неизвестные хк можно рассматривать как координаты неизвестного вектора,; для которого преобразование (8) дает вектор с координатами 6,. Если, в част- ности, матрица [а(к] не вырождена (п. 13.2-3)( то матричное уравнение (8) имеет единственное решение х=А~1Ь‘, (14.5-9) Формула (9) эквивалентна правилу Крамера (1,9-4).
14.6-1. 14.6. ЗАМЕНА СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 427 14 6-4. Диадическое представление линейных операторов. Линейный оператор А п мерном' векторном пространстве может быть выражен в виде суммы п внешних про- изведений пар векторов (п диад) по способу п. 16.9-1. Соответствующая матрица А раз- епап X п может быть аналогично выражена в виде суммы внешних произведений пар матриц-строк и матриц-столбцов (см. также п. 13.2-10). 14.6. ЗАМЕНА СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 14.6- 1. Преобразование базисных векторов н координат векторов: «пассив- ная» точка зрения (см. также п. 14.1-3). (а) Если дан координатный базис еп е2....еп в конечномерном *) векторном п пространстве Un, то т векторов aft — У] aikei(k=l, 2, т) линейно неза- Г=1 висимы (п. 14.2-3) в том и только в том случае, если матрица имеет ранг т .(см. также п. 1.9-3). В частности, для каждого координатного базиса е1э е2, ..., е„ в Ип п Cft=/ifeCi-|-12j((e2-]-...-|-Znften= У (k—l, 2, n)t (14.6-1) <=| где det [//*] ф 0 (преобразование базисных векторов). Матрица Т представляет (необходимо невырожденное) преобразо- вание Т, связывающее старые базисные векторы е, и новые базисные вен- доры eft = Teft (в смысле равенства (14.5-2)). (Ь) Теперь каждый вектор х £ Un может быть выражен как через коорди- наты g; относительно системы е,-, так и через координаты относительно системы е*: п , п Х= 2 (14.6-2) ,==1 *=| Координаты и одного и того же вектора х связаны п линейными одно- родными соотношениями преобразования — kill + кг1г+• • + j. _ г । f е । if е (преобразование коорди- 62 ‘21S1 т ‘2262+• - т ‘2лбл» нат векторов: «пассивная» ...........................точка зрения) In — ^П1В1 + ^Л2?2 + • • • + ?nnln или в матричной форме (14.16-3) Смысл соотношений преобразования (3) следует отличать от смысла формально аналогичных соотношений (14.5-4) и (14.5-6). , •) См, скоску к п. 14.6-1,
428 ГЛ. И. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ «4.6-2. Отметим также обратные соотношения, именно п <г = 1-2.ft,; (14М’ k «= 1 п **-2^т&гь ................................. <«« 1 = 1 или Л = Т~1х. где r(j__алгебраическое дополнение элемента в определителе det (п.1.5-2). 14.6-2. Представление линейного оператора в различных базисах. (а) Рассмотрим линейный оператор А, представляемый матрицей А в базисе еп е2,...» е„ (п. 14.5-2) и матрицей Л в базисе ео е8,..., е„ так, что для каж- дого вектора х' = Ах, х'=Ах, х' = Ах, (14.6-6) Если дана матрица преобразования Т, связывающая базисы ej и е^, так . что х=Тх, х =Тх (14.6-7) (п. 14.6-1), то матрицы А и А связаны преобразованием подобия (п. 13.4-1) , 4= УМ Г или А = ТАГ-1. (14.6-8) Наоборот, каждая матрица А. связанная с матрицей А преобразованием подо- бия (8), представляет тот же самый линейный оператор А. в координатном базисе ei, е2,.... еп. Если линейный оператор А в 'базисе eft и линейный оператор В в базисе eft = Teft представляются одной и той же матрицей, то В = ТАТ-1. (Ь)” Все матрицы (8), представляющие один и тот же оператор А, имеют один и тот. же ранг г, равный рангу оператора А (п. 14.3-2). След и опре- делитель матрицы А также являются общими для всех матриц (8) и назы- ваются следом Тг (А) и определителем det (А) оператора А (см. также пп. 14.1-4 и 13.4-1, Ь). (с).Матричная"запись преобразования базисных векторов. Если разрешить рассматривать строки и столбцы, состоящие нз векторов, то соотноше- ния (I) и (6) можно соответственно записать в виде (ё, ёг ...)=(е, е, ...» Т. (14.6-9) (е1 е2...) = <е* е» —) А‘ (14.6-10) где х « (е, е. . ..) (ё, ё2...) ё, 1 6Ч 1( х'= (е, е, ...)*' — (е! е2...)х J (см. также п. 16.6-2). 14.6- 3. Последовательное применение операторов (см. также пп. 14.5-2 и 14.10-6). (а) Пусть даны два невырожденных линейных оператора А и В, пред- ставленных, в базисе en е2,..., е„ матрицами A = и В = [&//,]. Их после- довательное црименение . ix'=Axj х' = Вх' = ВАх .. (14.6-12)
14.7-1. 14.7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 429 представляется соотношениями х'=Лх, х"=Вх'—ВАх, х=(ВЛ)-1х', (14.6-13) где. xs{£i. Ь,-, £„}, x' = {g;, g;,..., g;} и %,..., g;}_ столбцы из компонент соответствующих векторов относительно базиса е,-. В частности, последовательное применение операторов А и В к базисным- векторам е^ приводит к новым системам базисных векторов п е;==Ае*= J] aikeb i == 1 ел=Вел=ВАеа (Л=1, 2,...» n). (14.6-14) Следует обратить внимание на то, что оператор В, вообще говоря, отли- чается от оператора, определяемого преобразованием базисных векторов с помощью матрицы В: л ел = SM=ABA"let=ABe*,4 (14.6-15) 7 = 1 и следовательно,- х"' = АВх, х'" = АВх,. (14.6-16) так как матрица В = [Ь/л] относительно . базиса е^ представляет оператор АВА-1, а не В (см. п. 14.6-2, а). (Ь) Столбцы *={go g2. Ы. * = {£1. ёг. •••> fzi} и X == {glt g2,.... gn}, представляющие один и тот же вектор п п п х= У Ье» = У, (14.6-17) 7=1 Л=1 *=1 связаны преобразованиями пассивного типа х—А^ВАх, х=Ах=ВАх, ~х = (ВЛ)-1х. (14.6-18) Еще раз отметим, что, вообще говоря, Х=£Вх. 14.7 . ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ 14.7- 1. Представление скалярного произведения (см. также пп. 14.2-6, п п 14.7-6 и 16.8-1). Пусть векторы а= У а/е, и Ь= У Р^е, в конечномерном *) 7=1 7=1 унитарном векторном пространстве U соответственно представляются матри- цами-столбцами'а = {а,} и b s {Pi} по способу п. 14.5-2 (см. также п. 13.2-1, Ъ). Тогда п п (a’b)=S % gi&ifa=a*Gb, (14.7-1) i = 1 k = 1 где ' 6 = [gift], &л = (ег, efc) ((, й = 1, 2...n) *) См. сноску к п. 14.6-1.
430 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ . 14.7-3. и a* = (at, а2,..., ап)—матрица-строка. Матрица G= 1^1 необходимо явля- ется эрмитовой (gik=gki) и положительно определенной (п. 13.5-2); если U— действительное унитарное векторное пространство, то G—действительная и симметрическая матрица. Соотношение (1) позволяет описать через числовые координаты векторов нормы, углы, расстояния, сходимость ит.д.в Ц (см. также п. 14.2-7). В частности, для каждого вектора 11 х «’ = S £ = х*Ск- - (14.7-2) i ---1 k == 1 Эрмитова форма (2) (см. п. 13.5-3) называется основной формой пространства Ц относи- тельно базиса е1} e2f еп. 14.7- 2. Замена системы координат (см. также пп. 14.6-1 и 16.8-1). Если ввести новые базисные векторы для которых а — Та, b ~ ТЬ (п. 14.6-1), то из инвариантности (14.1-4) скалярного произведения 1 п п п п (а, Ь) = а*66=2 S 5 S = (>4.7-3) * i = I *•==! i = l * = 1 следует, что М«йЫ(ч = T*GT- (>4.7-4> 14.7- 3. Ортогональные векторы и ортонормированные системы векторов. (а) Два вектора а и b унитарного векторного пространства Z/ (взаимно) ортогональны, если (a, b) = 0 (cosy=0, п. 14.2-7, Ь). Ортонормированная (орто- гональная нормированная) система векторов есть система попарно ортогональ- ных единичных векторов ulf u2,... так, что <u.. { “ Г '•*.*’ } ('• -) <»•’-» ( 1, если i=k ) Каждая система попарно ортогональных ненулевых векторов (и, в частности, каждая ортонормированная система) линейно независима. Таким образом, наибольшее число векторов в любой такой системе (ортогональная размер- ность пространства ZZ) не может превышать линейную размерность прост- ранства U (см. также пп. 14.2-3 и 14.2-4, Ь). (Ь) Неравенство Бесселя (см. также п. 15.2-3, Ь). Если даны конечная или бесконечная ортонормированная система Up и2,... и любой век- тор то т 5 I (и*, а) |2 II а ||2 (неравенство Бесселя). (14.7-6) k = 1 Знак равенства имеет здесь место в том и только в том случае, если век- тор а принадлежит линейному многообразию, порождаемому данной орто- нормированной системой (см. также п. 14.7-4); т может быть как конечным, так и бесконечным; неравенство Бесселя часто используется для доказательства схо- димости бесконечных рядов. 14.7- 4. Ортонормированные базисы (полные ортонормированные системы). (а) В конечномерном унитарном векторном пространстве размерности п каждая ортонормированная система из п векторов образует базис (ортонор- мированный базис). Вот более общее утверждение. В каждом гильбертовом пространстве И (п. 14.2-7г Ь) ортонормированная система векторов u13 и2, •••
14.7-Б. 14.7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 431 образует ортднормированный базис (полную ортонормированную систему) в том и только в том случае, если она удовлетворяет следующим условиям: 1. Каждый вектор а е 11 может быть записан в виде а=«1и1+й2и2где aft = (uft, а) (4=1, 2,...). 2. Для любого вектора а = агих-]-а2и2-|-... || а ||2 = | a 112+1 а 2 |а . (равенство Парсеваля). 3. Для любой пары векторов a = a1Ui+a2u2и Ь=^|1щ + (a, b) = S1^1+a2^2+... 4. Ортонормированная система и,, и2,... не содержится ни в какой другой ортонормированной системе пространства 21. Для любого вектора а <= 11 из (и*, а)=О(/г=1, 2,...) следует, что а=0. Из каждого из этих четырех условий следуют остальные три условия. Сравнительная простота выписанных выше выражений для || а ||2 и (а, Ь) делает ортонормированные базисы особенно удобными в качестве координат- ных базисов. Заметим, что если а и а'—два вектора с одними и теми же координатами ak, то || а — а'||=0 (теорема единственности). (Ь) Построение ортонормированной системы векторов. Если е^, е2,...—любая конечная или счетная система линейно независимых векторов в гильбертовом пространстве, то существует ортонормированная система i^, u2,... порождающая то же самое линейное многообразие. Такую ортонормированную систему можно построить с помощью следую- щих рекуррентных формул (процесс ортогонализации Грама—Шмидта, см. также п. 15.2-5): “/=11 (1=1, 2,...). (14.7-7) *1=1*' vi+l=eI+i— S (u*> u* л=1 14.7- 5. Матрицы, соответствующие сопряженным операторам (см. также пп. 14.4-3 — 14.4-6, 13.3-1 .и 13.3-2). (а) Если линейный оператор А в конечномерном пространстве представ- ляется в некотором базисе матрицей А, то сопряженный оператор А* пред- ставляется в этом же базцсе матрицей G~1A*G1) (см. п. 14.7-1). (Ь) Для ортонормированного базиса ux, и2, ... имеем G---1 (см. п. 14.7-3) и Ай*)]. (14.7-8) Значит, сопряженным операторам соответствуют сопряженные матрицы, и наоборот. Таким образом, в случае ортонормированного базиса эрмитовым, косоэрмитовым и унитарным операторам соответствуют матрицы тех же типов, и наоборот. В частности, симметрическим, кососимметрическим и ортогональ- ным операторам в действительных векторных пространствах соответствуют симметрические, кососимметрические и ортогональные матрицы. Верно и более общее утверждение. В случае ортогонального (но не обя- зательно ортонормированного) базиса унитарным или ортогональным опера- торам соответствуют матрицы того же типа. „ *) Заметим, что ее взаимном базисе (п. 14.7-6) оператор А* представляется мат- . Рицей А»,
432 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.7-6. 14.7- 6. Взаимные базисы/ (а) Для каждого базиса е^, е2, .... в конечномерном векторном пространстве существует единственный взаимный (дуальный) базис el, ез. .... ел, определяемый сим- метричными соотношениями (О, если I ф kA (еЧ е.) ==6.,= ' 7 2* —• П)' (14.7-9® R lR ( 1. если I = k J так что каждый вектор е* ортогонален всем efe с k ф I и [(et, е*)| == G-l = [(е{, (14.7-9&) eft = £ gffte> (й = I. 2, .... m. (14.7-101 (b) Векторы а, b.представляемые в базисе матрицами-столбцами а, Ьг «... в базисе е1 представляются матрицами-столбцами Gar Gbt ...»1) и ♦ (а, Ь) = a*Gb = a* (Ой) = (G®*& — (Ga)*G-‘ (G&). (14.7-11) Таблица 14.7-t Сравнение различных обозначений скаляров, векторов и линейных операторов Бескоордииатные (я н вариантные) обозначения Матричные представления Координаты (элементы матриц) условные обозначения тензорные обозначения а (скаляр) а а а (%’ ей) 1(®с MJ - ° hk 6(й (е1. eft) Ке‘. eft)l^G-1 Нет специального символа а (вектор) а а1 . L а ва Нет специального символа у = Ах Я = Ах п ^=2 fe=l v = Л1гх А (.линейный опе- ратор) А uife GA Нет специальных символов Alk = 6ЦАк AG'1 А1к = Aljglk GAG'1 А^ = gijAlflglk 1) Векторы а, Ь можно также представить матрицами-строками (Ga)**{Gb}#, .. или {Gai', (Gb)', что соответствует представлению ах ковариантными компонентами (и а 16.2-1 н 16.7-3),
14.8-г. . 14.8. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 433 В частности, если п а = У а|вр то (ei. а) — а,. 1= I Линейный оператор А. задаваемый в базисе матрицей А. в базисе е* представ- ляется матрицей, GЛ (с) Базис е1, еа. .... ея, взаимный другой системе базисных векторов п ek= S ‘ikh- где detjt^o,. ( = 1 задается формулами п У (14.7-12) <=1 Говорят, что базисные векторы е( и eft преобразуются контраградиентно (см. также п. 16.6-2). Аналогично из к — Тх следует Gx = Т (Сх). (14.7-13; (d) Каждый ортонормированием базис (п. 14.7-4, а) совпадает со взаимным к нему базисом (является самодуальным), так что el ее- = и. (I = г. 2, ..., п) и G = /, Gx=sx, GAG~‘=3A. (14.7-14) 14.7-7. Сравнение обозначений. Для того чтобы облегчить ссылки на стан- дартные учебники, в гл. 12-14 координаты векторов помечаются только ниж- ними индексами. В усовершенствованной системе обозначений, применяемой в тензорном анализе и описываемой в п. 16.1-3, употребляются не только ниж- ние, но и верхние индексы. В табл. 14.7-1 дается обзор различных обозначе- ний, применяемых для описания векторов и линейных операторов; ею можно пользоваться для перевода одних обозначений в другие.(см. также п. 16.2-1). 14.8. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 14.8-1. Вводные замечания. Изучение собственных векторов и собственных значений представляет исключительный практический интерес ввиду того, что 1) многие соотношения, в которые входит некоторый линейный оператор, радикально упрощаются, если в качестве координатных базисных векторов взять его собственные векторы (приведение мат- риц к диагональному виду, квадратичных форм к сумме квадратов, решение операторных уравнений в спектральной форме; см. также п. 15.1-1); 2) собственные значения линейного оператора выражают важные свойства этого оператора без ссылки на какую бы то ни было кон- кретную систему координат. Во многих приложениях собственные векторы и собственные значения линейных операторов имеют прямей геометрический или физический смысл; обычно они могут быть интерпретированы на языке задачи о.максимуме и мини- муме (п. 14.8-8). Наиболее важные приложения относятся к эрмитовым опе- раторам, имеющим действительные собственные значения (пп. 14.8-4 и 14.8-10),. 14.8-2. Инвариантные многообразия. Разложим е линейные преобразования (линейные операторы) и матрицы. Многообразие в линейном векторном про- странстве U называется инвариантным относительно данного линейного опера- тора А в пространстве U, если А переводит каждый вектор в некото- рый вектор Ax£z/X. Если U конечномерно и ej, е2, ..., em, ет+1, ...д е„—
434 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.8-3. координатный базис в И, обладающий тем свойством, что векторы е^, е2.ега порождают Zfj, . то оператор А представляется матрицей А, которую можно подразделить следующим образом: А = I..... \I0jjA (14.8-1) где Aj — матрица размера тХт, представляющая оператор Aj в простран- стве «индуцированный» оператором А. Может случиться,, что оператор А* можно подвергнуть дальнейшему приведению. Линейное преобразование (линейный оператор) А в векторном простран- стве U называется разложимым (приводимым, вполне приводимым *)), если про- странство U есть прямая сумма II —Ux © U2 © ... (п. 12.7-5, а) двух или более подпространств U2, каждое из которых, инвариантно относительно А. В этом случае оператор А записывают как прямую сумму А = А1ф А2 ф ... линейных операторов Alt А2, ..., индуцированных оператором А соответственно в #1, U2, ... Квадратная матрица А представляет разложимый оператор А в том и только в том случае, если матрица А подобна клеточной матрице (прямой сумме матриц Aj, Аг, .... соответствующих операторам At, А2, .... см. также п. 13.2-9). Матрица А, обладающая этим свойством также, называется разло- жимой (приводимой, вполне приводимой). 14.8- 3. Собственные векторы, собственные значения и спектр (см. также п. 13.4-2). (а) Собственный вектор (характеристический вектор) линейного оператора (линейного преобразования) А в линейном векторном, пространстве U есть такой вектор учто Ау=1у (У =#= 0), (14.8-2) где X—некоторый скаляр, называемый собственным значением (характеристи- ческим значением) оператора А, соответствующим собственному вектору у. (Ь) Если у—собственный вектор оператора К, соответствующий собствен- ному значению "К, то это же верно для любого вектора ау =/= 0. Если yv у2,уs— собственные векторы оператора К, соответствующие собственному значению X, то это же верно и для каждого вектора a1y1+cx2y2-|-...-|-asys =/= 0; эти век- торы порождают линейное многообразие, инвариантное относительно А (п. 14.8-2; см. также п. 14.8-4, с). Эта теорема также справедлива для сходящихся бесконечных рядов соб- ственных векторов в гильбертовых' пространствах. Если собственному значению А соответствует ровно /п 1 линейно неза- висимых собственных векторов, то т называется геометрической кратностью собственного значения X. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям одного и того же линейного оператора, линейно независимы. Линейный оператор в n-мерном векторном пространстве имеет не более п различных собственных значений. Каждое собственное значение невырожден- ного оператора отлично от нуля. (с) Если ограниченный линейный оператор А имеет собственное значение X. то оператор аК имеет собственное значение <Л, а оператор имеет соб- ственное значение №(р = 0, 1, 2, ..., а если А—невырожденный оператор, то р=0,г+ 1, ±2, ...). Каждый многочлен f (А) (п. 14.4-2, Ь) имеет собственное значение f (X) (см. также п. 13.4-5, Ь). Все эти функции от А имеют те же собственные векторы, соответствующие указанному собственному значению, что и А. *) См. своему к п. 14.9-2, Ь.
14.8-4. t4.8. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 435 (d) Спектр линейного оператора. Спектром ограниченного линейного оператора А в банаховом пространстве (полном нормированном про- странстве, п. 14.2-7, a) U называется множество всех комплексных чисел (спектральных значений, собственных значений1)) А, для которых векторное уравнение Ах—Ax=f не имеет для каждого вектора' f единственного решения х = (А—А1)~Ч (см. также п. 14.8-10). Оператор (А—AI)-1 (резольвентный оператор, резоль- вента) для множества значений А, не принадлежащих спектру оператора А, определен и ограничен на всем пространстве U. Спектр можно подразделить на 1) дискретный спектр (точечный спектр), определяемый равен- ством (2) с собственными векторами у =/= 0; 2) непрерывный спектр, состоящий из тех спектральных значе- ний А, для которых оператор (А—AI)-1 имеет область определения, плотную в 11, и неограничен; 3) остаточный спектр, состоящий из тех спектральных значений А, для которых оператор (А—А1)-1 имеет область определения, не плот- ную в U, и неограничен. Спектр ограниченного линейного оператора А содержит его предельный спектр, определяемый как множество вСех комплексных чисел А, для которых существует такая последовательность единичных векторов Uj, н2........что || (А—Al) и„ || 1/п (л=1, 2, ...). Предельный спектр содержит дискретный и непрерывный спектр (см. также п. 14.8-4). Остаточный спектр ограниченного лиуейного оператора А в гильбертовом простран- стве содержится в дискретном спектре оператора А*. (е) Спектр линейного оператора А в конечномерном нормированном вектор- ном пространстве совпадает со спектром каждой матрицы. А, представляю- щей оператор А, как в п. 14.5-2. Алгебраической кратностью mj любого соб- ственного значения Ау оператора А называется алгебраическая кратность числа Ау как собственного значения соответствующей матрицы (п. 13.4-3, а). Алгебраическая кратность mj больше или равна геометрической кратности пу собственного значения А/(см. также п. 14.8-4, с). Для каждого линейного оператора в конечномерном нормированном векторном про- странстве след Тг (А) оператора А равен сумме веек его собственных значений, каждое из которых считается столько раз, какова его алгебраическая кратность, а определитель det (А) равен таким же образом подсчитываемому произведению всех собственных значений (см. также п. 13.4-3. Ь). Характеристическое уравнение Рд(Л)=0, соответствующее классу подобных конеч- ных матриц (п. 13.4-5, а), называется характеристическим уравнением представляемого этими матрицами оператора А; оно дает его собственные значения вместе с их алгебраи- ческими кратностями. Теорема Кэли — Гамильтона (Гд (А) = 0. п. 13.4-7, а) и теоремы из п. 13.4-7, Ь применимы и к линейным операторам в конечномерных нормированных век- торных пространствах. (f) Если А—ограниченный линейный операторе гильбертовом пространстве то из Ау=Ау и A*z=p,z следует, что либо р=А, либо (у, z)=0 (см. также п. 14.8-4). 14.8- 4. Собственные векторы и собственные значения нормальных и эрми- товых операторов (см. также пп. 13.4-2, 13.4-4, 14.4-6, 14.8-8, 15.3-3, Ь, 15.3-4 и 15.4-6). (а) Если А—нормальный оператор в гильбертовом пространстве (А *А = s= АА*, п. 14.4-8, Ь), то А и А* имеют одни и те же собственные векторы; соответствующие собственные значения операторов А и А* является 'комплекс- ными сопряженными числами. Спектр каждого нормального оператора совпадает с его предельным спектром; остаточный спектр пуст (см. также п. 14.8-3, d). х) Некоторые авторы называют собственными значениями все спектральные значе- ния, а другие пользуются этим термином только для дискретного спектра.
436 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.8-6. Для каждого нормального оператора А с собственными значениями К эрмитовы операторы Н, = (А + А *), На = (А — А?) и А*А имеют те же собственные век- торы, что и А, и соответственно собственные значения Re X, Im К и | X |г. (Ь) Все спектральные значения любого эрмитова оператора действительны. Обратное верно не всегда, но каждый нормальный оператор, имеющий действительный спектр, является эрмитовым. (с) Следующими важными спектральными свойствами нормальных опера- торов, в частности, обладают эрмитовы операторы: 1. Ортогональность собственных векторов. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям нормального опе- ратора, попарно ортогональны. 2. Свойство полноты собственных векторов. Каждый ограниченный нормальный оператор А в гильбертовом пространстве U вполне приводим (п. 14.8-2); При этом U есть прямая сумма подпространства, порождаемого ортонормированной системой собственных векторов оператора А (п. 14.7-4), ‘и подпространства, состоящего из векторов, ортогональных каждому собственному вектору оператора А. В конечно- мерном случае ортонормированная система собственных векторов -. . порождает U. Каждый нормальный оператор А в конечномерном унитарном векторном пространстве Ц разложим в прямую сумму (п. 14.8-2) нормальных операторов Ai, Аа, . . определенных в соответствующих подпространствах #2,... пространства Ц таких, что каждый оператор А? имеет единственное собственное значение Ъ,.. В каждом подпространстве существует полная ортонормированная система собственных векторов . Если собственное значение X нормального оператора имеет алгебраическую кратность т, то геометрическая кратность значения X также равна т, и наоборот. (d)X Спектральное представление. Следующими свойствами нормальных операторов обладают, в частности, эрмитовы операторы. Если уь Уп—ортонормированная система собственных векторов нормального оператора А в конечномерном пространстве U и х—любой вектор вида х = =7 £1У1+12У2+--+1пУп (Ь = (Уь X) п- 14.7-4, а), то Ax=Z1tiy1+Z2t2y2+... + A„|„y„, (спектральное представление оператора А), (х, Ах) = 2ц | |2J-A2 l_IгР+• • •+An I tre (14.8-3) где X* — собственное значение, соответствующее у* (см. также, п. 13.5-4, Ь). -X Вопросу о спектральном представлении операторов в произвольном гильбертовом пространстве (спектральный анализ операторов) посвящена обширная литература; см., например, [13.4], [13.6]. К 14.8-5. Определение собственных значений и собственных векторов! конечно- мерный случай (см. также пп. 13.4-5 и 13.5-5; численные методы см. в п. 20.3-5). Если А = [аг*] — матрица размера пХп, представляющая линейный оператор А относительно, базиса вр е2,..., е„, то собственные значения А и собственные векторы у=+т]2е2 т]пе„ оператора А определяют следующим образом: 1. Собственные значения находят как корни алгебраического уравнения n-й степени (характеристического уравнения) det (A—Ai) = det (А —А/) ее °п—A fli2 ... ain °21 (hs—^...Щп ага ап2 апп А
14.8-8. 14.8. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 437 2. Координаты т)<Л, <г]<д, всех т/ линейно независимых собственных векторов у(/> = т](ре1 + г](Ле2+... + т)(/)е„,- » соответствующих каждому отдельному собственному значению Л./, ' получают, решая систему п однородных линейных уравнений (Оц— fy)'*J(/>+ + — + «1Л4](Л=0, + М + =0, [................................................ ОгиЧ<'>+ ап2^+--+(апп—М Ч(/>=0, матрица которой имеет "ранг n—mt (п. 1.9-5). Л1('Л ' / <п(/> | пи матриц-столбцов у<-,|==| 2 I называются модальными столбцами (или \ч7 просто собственными векторами) данной матрицы А,. соответствующими собст- венному значению Z/. Каждый модальный столбец можно умножить на произ- вольную постоянную, отличную от нуля. 14.8-6. Приведение и диагонализация матриц. Преобразование к главным осям (см. также п. 14.8-2). (а) Каждая конечная система линейно независимых собственных векто- ров У1, Уг... Ул. соответствующих однбму и тому же • собственному зна- чению линейного оператора А, порождает подпространство 2Zt, инвариантное относительно А (п. 14.8-3, Ь). Если ylt у2, .... ys взять в качестве пер- вых s базисных векторов, то оператор А будет представляться матрицей вида 4 = 1....='.. . (14.8-4) \I01M/ (b) Пусть, в частности, А—норцальнмй оператор ,в конечномерном вектор- ном - пространстве размерности п. Тогда метод п. 14.8-5 дает ровно п линейно независимых собственных векторов у(/) = T](/)ei + т](/)е2+...+г](/)ея. . 1 z П Соответствующие п модальных столбцов образуют невырожденную модальную матрицу где (14-8-5) причем каждому отдельному собственному значению К/ соответствует mj сосед- них столбцов; столбцов имеют индексами последовательные значения й=1, 2,..., и. Преобразование координат пассивного типа х—Тх (14.8-6) (п. 14.6-1) вводит е качестве координатного базиса п собственных векторов yiJ> нормального оператора К. Преобразование подобия . &=T~JAT (14.8-7)
438 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.8-в. дает матрицу А, представляющую оператор А в новой системе координат; А есть клеточная матрица где каждая подматрица А/ соответствует собственному значению X/ оператора А, отличному от других его собственных значений, и имеет ровно т/ строк и mf столбцов (см. также п. 14.8-4, с). (с) Если, п собственных векторов, определяющих столбцы модальной матрицы (5), попарно ортогональны, то преобразование подобия (7) дает диа- гональную матрицу А (приведение данной матрицы А к диагональному виду,, диагонализация, п. 13.4-4, а). Чтобы получить, матрицу Т преобразования, приводящего данную матрицу А, представляющую нормальный оператор А,, к диагональному виду, поступают следующим образом: 1. Если все собственные значения К/—простые (это верно, если характеристическое уравнение не имеет кратных корней), то мат- рицу А диагонализирует каждая модальная матрица (5). 21 Если существуют кратные собственные значения К/, то с по- мощью процесса Грама — Шмидга (п. 14.7-4, Ь) ортогонализируем каждое множество т/ собственных векторов у =Ч1^е1Ч-т)2^е2+--- /пГ’Х •••+г1л^ел- п модальных столбцов I ^2 I, представляющих по- \Чл’/ лучающиеся в результате т1-{-т2-\-...—п попарно ортогональных собственных векторов У(П = Ч1/,е1 + ФЧ+—+^'е«’ составляют тогда искомую матрицу преобразования Т. (d) Во многих приложениях первоначальный координатный базис е^, eg,... ..., е„ является ортонормированным (прямоугольные декартовы координаты), так что п , л (х, Ах) = х*Ах= J] 'J] (14.8-9) i=I*=I (п. 14.7-4, а), а в' качестве нового координатного базиса берется ортонорми- рованная система собственных 'векторов у</( (получаемая, если нужно, с по- мощью процесса Грама—Шмидта). Тогда каждая модальная матрица Т, обра- зованная из у(/\ является унитарной матрицей. Унитарное преобразование координат (6), вводящее в качестве базисных векторов п ортонормированных собственных векторов, называется преобразованием к главным осям для опе- ратора А (см. также пп. 2.4-7 и 3.5-6). Преобразование к главным осям для эрмитова оператора А приводит соответствую- щую эрмитову форму (9) к ее нормальной форме (13.5-9) (см. также и. 13.5-4). (е) Два эрмитовых оператора А и В могут быть в одном и том же базисе представлены диагональными матрицами в том и только е том случае, если ВА=АВ (см. также пп. 13.4-4j Ь и 13.5-5).
14.8-8. 14.8. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 439 14.8- 7. «Обобщенная» задача о собственных значениях (см. также пп. 13.5-5 и 15.4-5). (а) В некоторых приложениях требуется найти «собственные векторы» у и «собственные значения» р, определяемые соотношением вида Ау = рВу (у =/=()), (14.8-10) Где 8—невырожденный оператор. Векторы у и числа р обязательно являются собственными векторами и собственными значениями оператора В-1А; если В___тождественный оператор, то задача сводится-к задаче, определяемой ра- венством (2). Если А и В—эрмитовы операторы и В положительно опреде- лен (п. 14.4-4), то 1) все собственные значения р действительны; 2) можно ввести новое скалярное произведение (а, Ь)в = (а, ВЬ) (14.8-11) (см. также п. 14.2-6, а). По. отношению к этому новому скалярному произведению оператор В-1А оказывается эрмитовым, и к нему при- менимы теоремы об ортогональности и о полноте из п. 14.8-4, с. В частности, собственные векторы у, соответствующие различным соб- ственным значениям р, попарно ортогонамзны-относительно скаляр- ного произведения (11) (см. также п. 14.7-3, а). (Ь) Рассмотрим конечномерное унитарное векторное пространство и орто- п нормированную систему координат u1( Uj, ...5 u„, так что (a, b)= J] ft = I (п. 14.7-4, а). Пусть А и В представляются эрмитовыми матрицами А = н В~[Ь[у], причем матрица В является положительно определенной. Тогда собственные значения р, определяемые равенством (10), совпадают с корнями алгебраического уравнения n-й степени det (А—рВ) == det \aik — pb1A]=0 (14.8-1'2) (характеристическое уравнение для «обобщенной» задачи о собственных значениях). Для каждого корня р, кратности т/ существует ровно т/ линейно независи- мых собственных векторов у(/1-=ч{/>и1+т^/,и2+...+ »]{/,ия; координаты этих векторов получаются из системы линейных однородных уравнений 2 (aik-pjbik)^^Q (1=1, 2, ..., п). (14.8-13) /г = 1 ' J Ч = Д Применяя к «1-Ь л собственным векторам процесс Грама—Шмидта tn. 14.7-4, b)> находим полную ортонормированную систему?векторов относительно нового Скалярного произведения п п (a,b)B,= a*B&= J] J] blk°rtk- (14.8-14) В i = l й=1 Если в качестве координатного базиса взять эту ортонормированную систему собственных векторов, подобно тому как это было сделано в п. 14.8-6, с, то эрмитовы формы (х. Ах) ~ с=х*Лх и (х, Вх) = х*Вх примут внд (13.5-12) (одновременное приведение двух эрмитовых форм к сумме квадратов, ti. 13.5-5). (с) Аналогичная «обобщенная» задача о собственных значениях для случая бесконечномерных векторных пространств рассматривается в п. 15.4-5. 14.8-8. Задачи о собственных значениях как задачи о стационарных зна- чениях (см. также п. 15,4-7).
440- ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.8-fi. (а) Рассмотрим эрмитов оператор А в конечномерном унитарном вектор- ном пространстве U и выберем в U ортонормированный координатный базис 1) Uj, u2, так что А представляется эрмитовой матрицей Важ- ная задача нахождения собственных векторов y^^TjpUj+ir](2,>u2+.--+4n>un и соответствующих собственных значений X/ оператора А в точности эквива- лентна каждой из следующих задач: 1. Найти каждый вектор у ф 0 (т. е. его координаты г|,), для которого п п (У, Ау) у*Ау ' анычь —— =---------= ------- (частное Релея) (14.8-15) (у, у) и“у . 2 Д/Д/ (=1 принимает стационарное значение. Эти стационарные значения у =у(л «1 (ytO, Ау^О определяют м как отношение > —77т—. (уи>, Уи)) 2. Найти каждый вектор у, для которого форма п п (у, Ау) = у*Ау = 2 2 ««ВД» (14.8-16) 1=1 принимает стационарное значение при условии, что л (у, у) = у*у=2 (14.8-17) ’ ic=l z Эти стационарные значения у = у'7’ определяют Х,-=(у(/>, Ау(/)). . 3. Найти каждый вектор у ф 0, для которого скалярное произ- ведение (у, у) принимает стационарное значение при условии, что (У» Ау) = 1. Эти стационарные значения у'7’ дают Х,= -!—— (у(/), у(/)) Пусть собственные значения оператора А .занумерованы в порядке воз- растания, причем собственное значение кратности т повторяется т раз: X, sgX2 sg... г£Х„. Наименьшее собственное значение X] равно минимальному зна- чению частного Релея (15) для произвольного вектора у ^16. r-е собственное значение Хг в этой последовательности подобным же образом меньше или равно частному Релея для всех ненулевых векторов, ортогональных ко всем собственным векторам, соответствующим собственным значениям Хи Xg,..., /г1. Число Хг есть максимум минимума min (у, Ау)/(у, у) для произвольных уёИг (г-1)-мерных подпространств Ur пространства U (принцип минимакса Ку- ранта). Последние теоремы можно высказать и для задач 2 н 3, и для максимумов вместо минимумов; заметим, что минимум в задачах 1 и 2 соответствует максимуму в задаче 3, и наоборот. Эрмитова форма (у, Ау) обычно имеет прямой физический смысл. Задача 3 собственным значениям оператора А ставит в соответствие главные оси некоторой поверх- ности второго порядка (см. также пп. 2.4-7 и 3.5-6). (Ь) Обобщения. Теория п.‘ 14.8-8, а может быть распространена на «обобщенную» задачу о собственных значениях, определяемую условием Ау = ’) В большинстве приложений для.удобства берут ортонормированный базис; в общ<’М случае нужно только в равенствах (15) — (17) сделать замену (у. Ay) =y*GAyn (у, У)^=
14:8-9; 14.8. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 441 == цВу; гДе А—эрмитов, а В — положительно определенный эрмитов опера- торГ (п.' 14.8-7). Нужно только в формулировке каждой задачи из п. 14.8-8, а заменить (у, у) на (у, у)в = (у, By). При--этом частное Релея (15) заменяется отношением п п (У, Ay) У*Ау «iA’li’lfe ------=--------------------------- С14.8-18) <У, By) У*Ву hikwk 1 = 1 k — \ (частное Релея для «обобщенной» задачи о собственных значениях).' Аналогичные теоремы справедливы и для подходящих классов операторов в гильбер- товых пространствах; в этом случае формы (у, Ау), (у, у) и (у, By) могут оказаться не суммами, а интегралами, так что задачи о стационарных значениях из п. 14.8-8, а превра- щаются в вариационные задачи (п. 15.4-7). 14.8-9. Границы для собственных значений линейных операторов (см. так- же п. 15.4-10). Для исследования собственных значений часто оказываются полезными следующие теоремы. (а)* Для каждого собственного значения К линейного оператора А, пред- • етавляемого матрицей А = [а,/([ размера п X п, где (14.8-19) п . п Р= max J] |aZfe|, Q = max V |aA/|. Для действительной и мнимой частей характеристических чисел имеют месте; оценки: min [Rea/j—РД ReXsg max [Re а/г+ЛЬ min [Ima,-t-—Pz[ Im max [Imat-t-|-P,-], П п где Р{= I aij I- В этих оценках Р, можно заменить на Q,= V | ар |. 7=1 /=1 Если дополнительно предположить, что | ац | > Р, для 1 = 1, 2, ..., п/то 1 i п (Величины -Р; могут быть заменены, на Q/.) Действительная часть Re Ji лежит между наименьшим и наибольшим собственными значениями матрицы Нг = —(АА*), а мнимая часть Im К — между наименьшим и наибольшим собственными значениями матрицы Н2~^(А— Л*) (см. также п. 13.3-4, а). (Ь) Для эрмитовых матриц и операторов (14.8-20) i k (ic) Т е о р е м ы сравнения. Пусть щ |i2 ... ==: рп—последователь- ность (с учетом кратностей) собственных значений конечномерной задачи .о
442 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ- 14.8-10. собственных значениях (10), где А и В—эрмитовы операторы, причем В является положительно определенным. Тогда: 1) прибавление положительно определенного эрмитова оператора к К не может уменьшить ни одно из собственных значений цг в этой последовательности', 2) прибавление положительно определенного эрмитова оператора к В не может увеличить ни одно из собственных значений р/ 3) если векторы у рассматривать только в некотором (п—т)-мер- ном подпространстве пространства U, то п—т собственных значе- ний pi р-2 p'n _ т задачи, получаемой при таком ограниче- нии, будут удовлетворять соотношениям РА Sg р,; Pr+m (г=1, 2, п—т). '(14.8-21) Эти ограничения обычно принимают вид т независимых линейных уравнений, связывающих векторные координаты Эти- теоремы применимы к операторам в гильбертовых пространствах, если А и В — положительно определенные операторы, дающие дискретную последовательность щ... с конечными кратностями. 14.8-10. Неоднородные линейные векторные уравнения (см. также пп. 1.9-4, 15.3-7 и. 15.4-12). (а) Если А—ограниченный линейный оператор в гильбертовом простран- стве, то векторное уравнение Ах—2.x—f (14.8-22) имеет для каждого данного вектора f единственное решение х в том и только в том. случае, если скаляр А не принадлежит спектру оператора А (п. 14.8-3, d). Если 2. есть собственное значение 2^ оператора А в смысле равенства (2), то уравнение (22) имеет решение только в том случае, если данный, вектор f ортогонален каждому собственному вектору оператора К*, соответствующему собственному значению В этом последнем случае существует бесконечное множество решений: решением является каждая сумма любого частного реше- ния и произвольной линейной комбинации собственных векторов, соответ- ствующих собственному значению Ар (Ъ) В важном частном случае Ах = 1, (14.8-23) где А—ограниченный нормальный оператор, единственное решение х для каждого данного вектора f существует в том и только в том случае, если из Ах = 0 следует х = 0, т. е. если А—невырожденный оператор. Если А — вырожденный оператор, то уравнение (23) имеет решение только в том случае, если вектор 1 ортогонален каждому: собственному вектору оператора А*, соответствующему собственному значению нуль. (с) Для эрмитова оператора А = А*, имеющего ортонормированную систему СО собственных векторов у у, для которых f= У (у у, f)yft, решение уравнения А = 1 (22) дается формулой — '2 fei»- (14.8-24) k = 1 k где Ку — (не обязательно различные) собственные значения( соответствующие каждому вектору yk
14.9-2. 14.9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 443 14.9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ ' 14.9-1. Представления групп. (а) Каждая группа (п. 12.2-1) может быть представлена гомоморфизмом (п 12.1-6), отображающим ее в группу невырожденных линейных преобразова- ний некоторого векторного пространства (представляющего пространства, ппостранстна-нрсителя) и, следовательно, в некоторую группу невырожденных матриц (это—одна из форм теоремы Кэли, сформулированной в п. 12.2-9, Ь). Представление степени или размерности п группы G в поле F есть группа матриц А, В, ... размера пХп над полем F, связанная с элементами а, Ь, ... группы О гомоморфизмом А—А (а), В==В(б), ..., так что из ab-с для всех а и Ь из группы G следует, что А (а) В (6) — С (с) {условие представления). Число п равно линейной размерности представляющего пространства. Пред- ставление называется точным (истинным), если оно взаимно однозначно (и, таким образом, является изоморфизмом, п. 12.1-6). Каждая группа допускает в качестве представляющего пространства некоторое комплексное векторное пространство, т. е. каждая группа имеет представление в поле комплексных чисел. Такое представление позволяет описать определяющую операцию произвольной группы в терминах сложения и умножения чисел (см. также пп. 12.1-1 и 14.1-1). В большинстве приложе- ний речь идет о группах преобразований (п. 12.2-8; примеры см в п. 14.10-7). Каждая группа а^, а2......а& конечного порядка В допускает точное представление, содержащее в линейно независимых матриц перестановки (п. 13.2-6) Лу (ау)=[°;д (а,)]. определяемых условиями ( 1, если а~11а1а.=Е, ) = { ( (1, /, fc = l, 2, .... g). (14.9-1) ' I 0 в противном случае ) еде Е — единичный элемент данной группы (регулярное представление конечной группы). Таким образом, каждая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок (см. также п. 12.2-8). (Ъ) Два представления & и & группы G называются подобными или еквивалентными, если все пары матриц А (а) представления & и А (а) пред- ставления еЯ’ связаны одним и тем же преобразованием подобия (п. 13.4-1, Ь) А =Т~ХАТ. В этом случае говорят, что матрицы А (а) и А (а) описывают одно и то же линейное преобразование А (а) представляющего пространства,, ^Общего для & и (см. также п. 14.6-2). Представление называется ограниченным, унитарным и/или ортогональ- ным, если соответствующим свойством обладают все его матрицы. Каждое представление конечной группы и каждое унитарное представление ограничено. Для каждого ограниченного представления существует эквивалентное унитар- ное представление. (с) Ранг любого представления & есть наибольшее число линейно неза- висимых матриц !) в 14.9- 2. Приведение представлений. (а) Представление & группы G называется приводимым2), если представ- ляющее пространство U имеет собственное подпространство Uv, инвариантное относительно т. е. относительно каждого линейного преобразования, *) Так как матрицы можно рассматривать как векторы, линейная независимость матРиц определяется точно так же, как в п. 14.2-3. й *) Определения в этом пункте применимы н к любому множеству лииейнык преобра- зований в векторном пространстве или к соответствующему множеству матриц (не обя- а»ельно группе).
444 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.9-3. описываемого матрицей из (п. 14.5-2). Это верно в том и только в том случае, если существует преобразование подобия А=7'-М7', одновременно переводящее матрицы А (а), В(Ь), ... представления в соот- ветствующие матрицы вида А(а)~ At (а) : А (а) 10] Аг (а) / Вг(6) В(Ь) = [-..... - \ [0] В(Ь) В2(Ь) (14.9-2) где At (а), Вг (6), ... — квадратные матрицы одного и того же порядка. Матрицы At (a), Bt(b), ...—образуют представление еЯд данной группы G с представляющим пространство^ Представление, которое не является приводимым, называется неприводимым. (Ь) Представление & называется разложимым!), если его представляющее пространство И является прямой суммой И — iiv © ll2 ф... (п. 12.7-5, а) подпространств 211, 212.инвариантных относительно Это имеет место в том и только в- том случае, если существует преобразование подобия А=7^1АТ, одновременно переводящее матрицы Л (а), В (6), ... представле- ния & в соответствующие клеточные матрицы А(а) = [ At (а) ГО] ... [ Pl Аа (а) ... ... ... В(Ь) = В1(6) ]0] ГО] Вв (Ь) ••• ... ... (14.9-3) (прямые суммы матриц, п. 13.2-9), где соответствующие подматрицы имеют один и тот же порядок. Каждое множество матриц At (а), В, (fe), ... (1 = 1, 2,...) образует представление данной группы G с представляющим простран- ством 21,. Представление & записывается как прямая сумма e%'=e%'i© © е^а© ••• (с) Представление называется вполне приводимым, если оно разложимо на неприводимые представления (неприводимые компоненты) е%"2'. ••• (d) Условия приводимости (см. также п. 14.9-5, Ь). Каждое ограниченное представление (и, в частности, каждое представление конечной группы) либо вполне приводимо, либо неприводимо. Группа G имеет разложимое представление в том и только в том случае, если она является прямым произведением (п. 12.7-2) простых групп (п. 12,2-5, Ь). Ограниченное представление вполне приводимо в том и только в том случае, если существует матрица Q, не имеющая вида al, перестановочная с каждой матрицей из . Неприводимые представления коммутативных (абелевых) групп необходимо одномерны. Если все соответствующие матрицы А, А двух неприводимых представлений и связаны одним и тем оке преобразованием .Q А = A Q, то либо и эквивалентны^ либр Q =г [0] (лемма Шу ph). 14.9- 3. Неприводимые представления группы. (а) Разложение ё^ = е%г'1* ф е%"2-© ••• данного вполне приводимого пред- ставления некоторой группы на, неприводимые компоненты единственно с точностью до эквивалентности и перестановки порядка слагаемых. Каждое 1) Термины приводимое, разложимое и вполне приводимое различными авторами переставляются по-разному. В действительности .в случае ограниченных матриц, преобра- зований и представлений, а значит, для всех представлений конечных групп, они^экви- валентны (д. 14.9-2).
14.9-В. 14.9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 445 вполне приводимое представление однозначно определяется (с точностью до экви- валентности) своими неприводимыми компонентами. Если е^Ч/)—одно из т/ имеющихся взаимно эквивалентных неприводимых компонент представления ^^ = 1, 2, ...), то. можно писать = ф т^^> ф ... ч (Ь) Для каждой группы G конечного порядка ё 1) числа т различных неэквивалентных неприводимых представлений конечно- и равно числу различных классов сопряженных элементов(п. 12.2-5, а); 2) если П] — размерность j-го неприводимого представления, то его ранг равен п2 (теорема Бернсайда); ранг каждого представления группы G равен сумме* рангов п2 различных неприводимых компонент 3) каждое число п? является делителем £ и «1 +4 + + пт =2; (14.9-4) 4) регулярное представление группы G (п. 14.9-1, а) содержит j-e неприво- димое представление группы G ровно п- раз. (с) Нахождение полного множества неприводимых представлений группы G опера- торов представляет особый интерес как ключ к решению некоторых задач о собственных значениях. Если Н—эрмитов оператор, перестановочный с.каждым оператором из группы G, то между различными собственными значениями оператора Н и неэквивалентными неприводимыми представлениями группы G существует взаимно однозначное соот- ветствиеу и геометрическая кратность каждого собственного значения К- равна размерно- сти (классификация собственных значений в квантовой механике из соображений сймметрии [13.7]). 14.9-4. Характер представления. (а) Характер представления есть функция X (а) = Тг ]Л (а)}, (14.9-5) определенная на элементах а группы G, представляемой Сопряженные элементы группы (п. 12.2-5, а) имеют равные значения характера. Для каждого ограниченного представления Х(а1)^Да). ' (14.9-6) Два вполне приводимых представления одной и той же группы G эквивалентны в том и только в том случае, если их характеры совпадают. ’(b)" Характеры неприводимых представлений называются простыми или примитивными характерами, а характеры приводимых представлений—состав- ными характерами. Из <=%=ф ф... следует % (а) ~ Xi (°)+Xs (fl) + • • •. еде Х(а)> Xi(°)> Xs(0)> •••—характеры соответственно представлений ... ' - 14.9- 5. Соотношения ортогональности (см. также п. 14.9-6). (а) Примитивные характеры X'11 (°), Х‘а1 (а)> •••> соответствующие неэкви- валентным неприводимым представлениям ... конечной группы G, удовлетворяют соотношениям сРедн. ар. {х(/> («) Х(/ > (")} = 4 У X0)f(«) Х(Г) а £ G I * ( 0, если /#=/'. ) вОй’= ! /} (ь Г = 1» 2,...,«). (14.9-7) " (. 1, если ] —]'}.
443 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Й ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.9-е Для каждого вполне приводимого представления <2% = гще/?'11 ф ф ... группы G X (a) s= т1х(1> (&)' + тгх<^ (а) + — . (14.9-8) mf = средн, ар. {%</> (о) х (а)} =. -L JTJ х(/) (а) X (а). (14.9-9) ней среди, ар. {х (о) х (а)} = ~ J1, | X (а) I' = т* + /п| + ... > 1. (14.9-10) 066 Если g^1 неприводимо, то средн, ар. {| х (о) |*} = 1. (Ь) Каждое из т неэквивалентных неприводимых представлений конечной группы Q эквивалентно соответствующему унитарному неприводимому представлению, содержащему матрицы (a)J (см. также п. 14.9-1. Ь). Элементы этих унитарных матриц удовлетворяют соотношениям средн, ар. (о) u<fy (о)} = ~ <а) и^, (а) = ± 6/Г6ц,6кк. (И 9.П) оеО ' (I, Р = 1. 2..т- i. k = 1, 2, ... , nf; i'. fit = 1, 2, ..., n/,). 14.9- 6. Прямые произведения представлений. (а) Если —^-мерное, а еЯ’2—«а-мерное представления одной и той же группы G, то матрицы размера щщхщщ, получаемые как прямые про- изведение (п. 13.2-10) матриц из на матрицы из образуют щп^мер- ное представление группы G—прямое (кронекеровское) произведение (gj представлений и еЯ’2 (см. также п. 12.7-2). Его представляющее про- странство является прямым произведением представляющих пространств для e^i и е^а (п- 12.7-3). Характер % (а) представления ® равен про- изведению характера Xi(°) представления и характера %2(а) представ- ления X (а) = Xi (а) %2 (а)- (14.9-12) Если и ограничены или унитарны, то это же верно и для ® (Ь) Прямое произведение ® е??'21 двух ограниченных неприводимых представлений е^11' и е^'2* группы G неприводимо, если размерность пред- ставления ^Л‘ и/или g%,l2i равна 1; в противном случае вполне приводимо. С помощью этого последнего факта можно из данного неприводи- мого представления группы G получать новые ее неприводимые представления. (с) Неприводимые представления прямого произведения Gi ® Ga двух групп Gt и G* (п. 12.7-2) являются прямыми произведениями R^ ® R^l'* неприводимых представлений R(fi группы G£ н R([') группы Gb- 1 Л 14.9- 7. Представления колец, полей и линейных алгебр (см. также п. 12.3-1 и 12.4-2). Кольца, поля и линейные алгебры также могут быть представлены подходящими классами матриц или линейных преобразований. В частности, линейная алгебра порядка пг над полем F, имеющая единицу, изоморфна ал- гебре матриц порядка пХп над полем F (регулярное представление линейной алгебры, см. также пп. 14.9-1, а и 14.10-6). 14.10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИЙ 14.10- 1. Вращения в трехмерном евклидовом векторном пространстве. (а) Каждое ортогональное линейное преобразование х'=Ах (А'А—АА' = 1) (14.Ю-1О) в трехмерном евклидовом векторном пространстве (п. 14.2-7, а) сохраняет
14.10-2. 14.10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИИ 447 векторов). вращением 14.7-4), и модули векторов и углы между векторами (пп. 14.4-5 и 14.4-6). Такое преоб- разование называется (собственным) вращением, если det (А)=’1, т. е. если это преобразование, кроме того, сохраняет относительную ориентацию любых трех базисных векторов (и потому правую и левую системы координат, век- торное произведение двух векторов и смешанное произведение трех —'------' Преобразование (la) с det(A)=—1 называется несобственным или вращением с отражением. (Ь) Пусть ut, u2, us—любой ортонормированный базис (п. пусть х — £1и14* £аиа + ?зиз> х' = +Lu24*Взиз- Каждое преобразование (1а) задается формулами к L == а11В1 + a12?2 + О1з£з> Es = 4* а28?2 4* ОгзВз, Ез ~ °31 Е14" °32?2 4* °33а3 . или в матричной форме х'=Ах, где для собственных вращений det [alfc] = det (Л) = 1. (14.10-15) (14.10-lc) (14.10-2) Так как рассматриваемая система координат является ортонормированной, действительная матрица А = [aift], описывающая каждое вращение, ортого- нальна (Л'Л = ЛЛ'=/, см. также п. 14.7-5), т. е; 3 3 и каждый коэффициент а,-Л равен алгебраическому дополнению элемента в определителе det [а^]. Любые три из коэффициентов а/д, определяют все 9. Геометрически коэффициент есть косинус угла между базисным век- 3 сором и,- и повернутым базисным вектором u*=Aufe= aikvj (см. также / = 1 п. 14.5-1): «,* = «(• «4= u/-(Auft) (1, й = 1, 2, 3). (14.10-4) 14.10- 2. Угол поворота. Ось вращения. (а) Вращение (1) поворачивает радиус-вектор х каждой точки трехмер- ного евклидова пространства на угол поворота 6 вокруг направленной оси вращения, точки которой инвариантны. Угол поворота 6 и направляющие косинусы с1г с2, ся положительной оси вращения определяются формулами - cos 6—-я- Гтг (А)—11 — у Гтг (Л) —11 = (flii4~ft224~°зз—1)« L J L J z I ,14 IQ-51 r __Д52 — fl2a _ ______6is — Q3i ___Д21 ~ Д1я I ' * ’ 1 2 sin 0 * 2 2 sin 6 * 3 2 sin 6 ’ s" так что 6 > 0 соответствует вращению правого винта, вворачиваемого в направ- лении положительной оси вращения. Либо знак угла 6, либо направление °си вращения могут выбираться произвольно. Направление положительной осн вращения — это направление собственного вектора ЙР1 4“+ e8u8r соответствующего собственному значению + 1 оператора А и находи-- ого путем приведения матрицы А к диагональному виду (п. 14.8-6) Остальными соб- аченными значениями оператора А являются cos б ± i sin £ = £—
448 гл. 14, ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.10-3. (Ь) Матрица преобразования А, соответствующая данному вращению, описываемому числами 6, сг, с2, с3, есть (° 11 °12 а1з\ С21 аВ2 ^23 13=3 °31 а32 ^33' /1 0 0\ 7са CjC2 CiC3\ 7 0 с3 са\ ‘«=cos6l0 1 0 — cos 6) I cgCj cf с^с3 ]-|-sin б I cs 0 —сг I. (14.10-6) \0 0 1/ \cgcj csca cf J \— с2 ct .0/ 14.10>3. Параметры Эйлера и вектор Гиббса. (а) Четыре симметричных параметра Эйлера A,=Cj sin ~, р=са sin v=cs sin p=cos £ (14.10-7) (Z,2-|-p2-|-va-|-p2=l) однозначно определяют вращение, так как из равенства (6) следует: /X2 —р2—v2+pa 2(Хр —vp) 2(vX+pp)\ Л = 1 2(Xp + vp) р2 —v2 —Х2 + р2 2(pv — Хр) j, (14.10-8) 2(vX—ppj 2(|xv-|-Xp) va—Xa—jia + p2/ параметры X, p, v, p и —'X,—p,—v, —p представляют одно и то же вра- щение. ' (Ь) Вектор Гиббса G — Gitii -|“ G2u2 -|- G3U3, где Ga=catg|=H-> G3=c3tg|-=4-. (14.10-9) также однозначно определяет вращение. Повернутый вектор х' можно запи- сать в виде - ч х' = Ax=cosa [(1 — | G|e)x-|-2(G-x) GJ-2G X х]. (14.10-10) 14.10- 4. Представление векторов и вращений спиновыми матрицами и ква- тернионами. Параметры Кэли — Клейна. (а) Если задан ортонормированный базис Uj, Ug, u3, то каждый действи- тельный вектор x^liUi-J-ggUg+gsUg может быть представлен (вообще говоря, комплексной) эрмитовой матрицей размера 2x2 £1 + *|г +|252 -|- £з53, — S3 -• / где эрмитовые спиновые матрицы Паули (° -Ч S3Jl °} \i 0/’ 3 \0 — 1/ (14.10-11) (14.10-12) 51 Л1 о/* соответствует базисным векторам ut, u2, us. Соответствие (11) является изо- морфизмом, сохраняющим результат сложения векторов и умножения векторов на (действительные) скаляры. Для каждого вращения (1) вектор вращения х' = Ах=ф- ggUs + gju3
14.10-5. 14.10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИИ 449 представляется матрицей ff'=g;s1+g2s2+E;s8=i//7t/*, (14.Ю-13) Где U—(вообще говоря, комплексная) унитарная матрица с определителем, равным 1 (унимодулярная матрица): /а — Ь\ _ / а Ь\ {/= Щ = (14.10-14) \Ь а/’ \ —b в)’ где a = p+iv, fe = p + iA., |а |в_|_| ft|2=Xa+,u2+v2+p3=l. Комплексные числа а, b определяют соответствующее вращение одно- значно, но а, b и —а, —b (а потому матрицы U и — U) описывают одно н то же вращение. Числа а, Ь,—Ь, а или числа a, ib, —ib, а называются параметрами Кэли — Клейна данного вращения. (14.10-15) Геометрически комплексные параметры а, b определяют преобразование комплексной плоскости , аи — b =--------(|fl|2 + |6|2 = 1) Ьи + а (дробно-линейное преобразование, п. 7.9-2), переводящее стереографическую проекцию и точки (gi, £s> g3) сферы на комплексную плоскость (п. 7.2-4) в стереографическую проек- цию и' повернутой точки (gj, g’, £'). (Ь) Линейные комбинации матриц 1, iSt, iS2 и iSs с действительными коэффициентами образуют представление алгебры кватернионов (п. 12.4-2), скаляры которой соответствуют действительным кратным матрицы 1, а обра- зующие соответствуют матрицам iSlt iS2, iSs, причем Sf = S| = S| = Z, SgSg —--- Sg52~/Sl, SqS-; —----SiSg=ZS2, *S1<$2 =— S2S| = 1S3. (14.10-16) Каждая комплексная матрица размера 2x2 может быть представлена в виде такой линейной комбинации; в частности, U—pf— i (Z/Si-j-pSg-j-vSa), ) U* — pI -J-f (TtSi +p.S2-|-vS3) J (представление вращения кватернионами). (14.10-17) Снова матрицы U и —U определяют одно и то же вращение однозначно. 14.10-5. Вращения вокруг осей координат. Следующие матрицы преобра- зования описывают правые вращения вокруг положительных координатных осей: /1 0 0 /-1(Ф) = ^г(Ф) = 0 созф \ 0 sin ф 1 cosip 0 sin ф 'cos ф — — sin ф cos ф? 0 sin ф\ 1 0 0 cos ф / sin ф 0\ (вращение на угол ф вокруг Uj), (14.10-18 а) j (вращение на угол ф вокруг и2), (14.10-18 Ь) ^s№) = ( sin ф 1 0 cos ф 0 1 0 1/ j (вращение на угол ф вокруг и3). (14.10-18 с)
ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.10-6, Ваметим, что А~' №) = Л^(ф) = ^(— Ч>) (£=1,2,3). (14.10-19) 14.10-6. Углы Эйлера. (а) Каждая матрица А = [«/ft], описывающая собственное вращение в Трехмерном евклидовом пространстве, может быть различными способами представлена в виде произведения трех матриц (18), и, в частности, так: А = Дя (а) Ае (Р) Л3 (у) г cos а sin а 0\ / cos р 0 sin р\ /cos у sin сс cos сс 0 ° 1 0 1 1 sin у ° 0 1 у \— sin р 0 cos Ру \0 ' (cos а cos Р cos у— —(cos а cos Р sin у + — sin а sin у) + sin а cos у) (sin а cos Р cos у + (— sin a cos Р sin у + + cos а siny) cos а cos у) <— sjn р cos у sin р sin у == Л32 («, р, у). — sin у 0^ cosy 0 | =; ° V cos a sin Р^ sin а sin р cos р 1 (14.10-20) Рнс. 14.10-1. Углы Эйлера а,- р,- у. Ось OL второго вращения (на угол Р) часто называют линией узлов. Заметим,- что сс и р — сферические координаты вектора ц' в системе «2, и3. Три угла Эйлера а, Р, у однозначно определяют вращение; в свою оче- редь, они однозначно определяются данным вращением с точностью до цело- численного кратного 2л, за исключением случая, когда Р = 0 («карданов под- вес», п. 14.10-6, d). Оси х', у', z' прямоугольной декартовой системы координат (рассматри- ваемые как твердое тело), вначале направленные вдоль векторов u1? u5, можно повернуть так, чтобы они стали на- правлены вдоль векторов uj, u2, и' с по- мощью трех последовательных вращений (18) (см. рис. 14.10-1; обратите внимание на п. 14.6-3, где объясняется, казалось бы, об- ратный порядок матриц в равенстве (20)). 1) Поворот вокруг оси г' на угол Эй- лера а, 2) поворот вокруг оси у' на угол Эйле- ₽а ₽’ 3; поворот вокруг оси г9 на угол Эйле- ра у. Обратное вращение А 1 (переводящее вектор х7 в исходный вектор х) представ- ляется матрицей А ! = А' = /3 (— у)'Дв (— ₽) As (— а) == = У.— ₽»—а) = = Дз2 (л—у, р, л—а). (14 10-21) Существует шесть способов, которыми матрицу вращения (1) можно выразить в виде произведения ifc, фз) (1,4 = 1,2,3; i^k), (14.10-22) вращений вокруг двух различных осей координат. Из других получающихся
14.10-6. J4.10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИЙ 451 в результате систем углов Эйлера часто пользуются той, которая определя- ется произведением А = А3 (a') At ф') Л3 (у') == Л31 (а', 0', у'). (14.10-23) Она связана с системой (20) соотношениями <х' = а+л/2, Р'=ф, у'=у—я/2. (14.10-24) (Ь) Кроме того, существует шесть способов представления матрицы вра- щения А в виде произведения Л=Л/(0))Л/(е2) Лй(В3) = Л17й(01, 68. 03) . (i, j, k—1, 2, 3; i =й= j, i =/= k, j =# k) (14.10-25) вращений вокруг трех различных осей координат. В частности, матрица А == Аг (ф) Л2 (6) Л3 (ф) == / cos 6 соэ ф — cos 6 sin ф = I sin <psin9cosi|)-}-cos<psinip — sin <p sin 9 81пф-{-созфсозф - cos ф sin 9 cost]) -{- sin ф sin ф cos <p sin 9 sin ф -j- sin <p созф = Л123 (о, 0, ф) sin 6 \ — sin ф cos О | = cosфcos9 / (14.10-26) часто используется для описания положения самолета илн космического корабля, совершившего последовательно поворот на угол крена ф, угол тангажа 6 и угол курса ф вокруг осей, проходящих через его центр тяжести и направленных соответственно вперед, в сторону его правого борта и к его Дну (рис. 14.10-2). (с) И без того большой набор, состоящий из 12 систем углов Эйлера, определенных выше, еще увеличивается из-за того, что некоторые авторы один или несколько из углов Эйлера берут с обратным знаком и что иногда в литературе пользуются левыми систе- мами координат. Кроме того, нужно предостеречь читателя, что ему необходимо прове- рять, определено ли данное преобразование с помощью углов Эйлера как оператор («активная» интерпретация, п. 14.5-1) или как преобразование координат («пассивная» интерпретация, п. 14.6-1), так как можно спутать матрицы А и А~* = А'. В частности, матрица х = 1ч} координат вектора х а неподвижной системе ib и матрица |2f |3} его координат в повернутой системе связаны отношениями х = Ахг х — A~Lx = A'xt (U. 10-27)
452 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.10-7. в матрицы из базисных векторов (п. 14.6-2) преобразуются по формулам (u; = «з)л См. также, п. 14.6-3. (d) Параметры мощью равенств (5) (14.10-28) О. ^э» ^3, 6 и X, |i, v, р легко выразить через углы и матрицы углов Эйлера; Таким образом1), Эйлера с по- , л < 6 - V — а . 5 X = Cl sin — = sin ’ sin ~, ,а + ? 1~о- ₽ а —е z cos у, . б a —v. Р Н = сг sin — = cos —2— sin , . 0 . a J-у ₽ T = cs sin = sm —g-I cos L , (14.10-29) С a -I- v p P = eos^ = cos —— cos -, .a— V b — e 2 sin y . Заметим, что прибавление 2я к одному из углов Эблера меняет знак всех парамет- ров г'29) и не меняет матрицы вращения А. Если <12 = 0 в равенстве (22) или Вг = л/2 в равенстве (2Б) (нзпример, р = 0, В' — 0 или 6 — л/2), то два остающихся угла Эйлера уже одиоаиачпо не определяют данное вращение («карданов подвес»). Таким образом, углы Эйлера можно применять для опи- сания вращений лишь при известных ограничениях. 14.10- 7. Бесконечно малые вращения, непрерывное вращение н угловая ско- рость (см. также пп. 5.3-2 и 14.4-9). (а) Бесконечно малое трехмерное вращение на бесконечно малый угол df> вокруг оси вращения с направляющими косинусами clf cz, с3 описывается соотношением x'=x+dx' = (l-|-dA) х. (14.10-30) 1 + dA есть ортогональное бесконечно малое преобразование, так что прео- бразование dA кососимметрично (п. 14.4-10). В ортоиормированвом координат- ном базисе Uj, й2, и3 преобразование ал описывается кососимметрической матрицей / 0 — с3 с2 \ dA = Oiftle-o] с3 0 —Cj I d6, (14.10-31) \— cz Cj 0 / получаемой дифференцированием соотношения (6). Отметим, что dx' = (dA) х = (с X х) а&, (14.10-32) где с=с1иг+с2и2+с3113 — единичный вектор в направлении положитель- ной оси вращения. . Вот более общее утверждение. Если W — любой кососимметрический ли- нейный оператор в трехмерном евклидовом векторном пространстве И, пред- *) а и Ь определены в п. 14.10-4. Заметим, что иногда употребляются несколько другие определения параметров Кэли —• Клейна.
14.10-7. 14.10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИЙ 453 ставляемый в ортонормированием координатном базисе Uj, ug, u4 кососимме- лирической мсиирицей / 0 — ша F = I 0 — w-f \— wi О то для каждого вектора хе U и' =s\Afx—w х х, Где w=aj1Uj+®2ug+a,;)Wg (см. также п. 16.9-2). (Ь) Для непрерывного трехмерного вращения, описываемого соотношением1) х'(/)=А(0х, 1 где х — постоянный вектор, формула (32) дает ^~ = ^У--х = «в(0Хх' (0==®(0Х(А(0 х]. (14.10-ЗЗа) Вектор и (0, выражающийся через неподвижные и вращающиеся базис- ные векторы по формулам И (0 = Их (0 U j 4- ft>2 (0 U9 + «Оз (0 II3 s = иг (0 «г' (0-{-Ha (0 4g' (0 + и3 (0 u3' (0, (14.10-ЗЗЛ) направлен вдоль мгновенной оси вращения (оси вращения х' -> x'0-cix'), а | и (0 | есть мгновенная скорость вращения относительно t. Если параметр t есть время, то вектор и (0 называется угловой скоростью вращения. Из равенств (33) получаем ^=Я(,)А(0, (14.1 Л-34) Щ, ,а2» U3 где Q — кососимметрический оператор, описываемый в системах координат и °; (0, Ug (О» Уд (0 соответственно матрицами / 0 — 0)3 (О (Dg </)\ £2 (1) = 0)з (0 \— шя (/) 0 — 0), (0 0), (П 0 / 1 0 — 0)з (0 о)р (()' Q (0 =| Из (0 0 — 0! (/) — 0)2 (0 ®| (0 0 Пользуясь соотношениями (14.6-8) и тем. что А 1 — А', находим </А п (й — — Ай, sb 4 А А ~ТГ 1) Здесь, как и ранее, к' — не производная, а вектор, получающийся из х в ре- зультате вращения. (14.10-35) (14.10-36)
Л54 ГЛ. 14. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 14.10-8. Подставляя (8), (20) или (26) в (36), получаем соотношения между компонентами угло- вой скорости и элементами матриц (направляющими косинусами), параметрами Эйлера и углами Эйлера. В частности, (^3^12 — (02й1з — _ <03^22 — <92^23 'С0з^32 ^2^33 01^13 —• <Йз*2ц (Ох^гз — Фз^ах <^1^33 ~~ ())3а31 С02Пц — £01*212 \ C02^2i — £01*722 IJ £02*7з1 —- £01*7з2 ' (14.10-37) <01 (t) = 2 (£р — Лр — jl-v + pv) s </R </v bs—sina + cos a sin 6 dt dt <o2 (0 = 2 (Др — цр — vA -}- vA) =>: <03 , . . „ dy s= cos a + sin a sin ₽ b>2 (0 s 2 (vp — vp — Ap + A p) e= <0x , . dy s^ + cos₽^: О1 (О = 2 (ip — 1р jrv — ру) == . D */a . . rf(3 =— sin (3 cos V-^+ sm у — e= . .dtp . d9 ~ cos 6 cos 1: + sin 1: —• dt dt’ Os (0 2 (pp — [ip + vA — vA.) s= . „ . da , dp у = sin (3 sm у — + cos у ~ = . . , dtp , , de =—cos 6 sini|i + cos ip —; ёГ3 (0 == 2 (vp — vp + Ap — Ap.) s= „ da , dy . .dtp , <0p scos₽ M+4i^sinBdi +m-} (компоненты co (/) в неподвижной системе координат) (компоненты о (0 во вращающейся системе координат) ~dt s с^ё (И1 cos — “2 sin ф)’ <?е - . , , — — = (Ox Sin чр + (02 cos чр, s (б>2 sin ф — cit cos ф) tg е + а2. 14.10- 8. Группа трехмерных вращений и ее представления (см. также пп. 12.2-1—12.2-12 и 14.9-1—14.9-6). (а) Ортогональные преобразования (1) трехмерного евклидова вектор- ного пространства в себя необходимо ограничены и невырождены и об- разуют группу трехмерных вращений-отражений Собственные вращения (det (А)= 1) образуют нормальный делитель группы 7?^ , группу трехмерных вращений /?|. Ни группа Rf, ни группа 7?+ не коммутативны. Вращения, имеющие один и тот же по абсолютной величине угол враще- ния 16 принадлежат к одному и тому же классу сопряженных элементов. Вращения вокруг произвольной фиксированной оси образуют коммутативную подгруппу группы (двумерные вращения). ti-~ является подгруппой группы всех невырожденных линейных преобразований евклидова векторного пространства на себя (полная линейная группа, ПЛГ). Заметим, что каждое преобразование из ПЛГ является произведением собственного или несобст-
14.10-8. 14.10. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВРАЩЕНИЙ 455 веяного вращения и неотрицательного симметрического преобразования (аффинного преобразования, сжатия или растяжения; см. также пп. 14.4-8 и 13.3-4). (Ь) Неприводимые представления группы /?+. Матрицы (20) образуют неприводимое унитарное двукратное представление группы в поле комплексных чисел, т. е. группа трехмерных вращений /?+ представ- ляется группой унитарных преобразований с определителем 1 двумерного унитарного векторного пространства на себя (двумерная унимодулярная уни- тарная группа, специальная унитарная группа, СУГ). Справедливо и более общее утверждение. Группа трехмерных враще- ний R% имеет ограниченные неприводимые представления размерностей п=2, 3, 4, ... Полную систему унитарных неприводимых представлений удобно обозначить символами е??'75*, •> где имеег размерность п=2/+1, а матрица размера (2/-Ц- 1)Х(2/+1), представляющая вращение с параметрами Кэли—Клейна а, Ь, — Ь, а (п. 14.10-4) или углами Эйлера ос. р, у (п. 14.10-6), имеет вид [f/W (а, р, у)] = — Г VT У</+"|>! о-m)! (7 + 0! </—01 M+g-h (hdi+m-g bh — +J ti — m — hy. (i + q — h)\ yi—a-\m)l ft! ' 7 ' ’ h=0 i- co . ______;_________________ __ V’1 (—1) У (7 + >+! (/ — m)l (7 + 0! (7 — 01 w ’ (; —m — ft)! (/ + <7 —ft)i (ft —? + m)l ft! _ft=0 (coS|)2/-m+'7-2/i(sin |)CT-’+2/l (14.10-41) (/ = y. i. 4’ •i m’ <7 = ~/ —/+1. / —>> /) Считается, что l/(A4) = 0 при /V<0, и поэтому каждая сумма имеет только конечное число членов. Представление является точным (взаимно одно- значным) при /=1, 2, ... и двукратным при 7=1/2> s/a. ••• (см- также п. 14.10-4). Характером (п. 14.9-4) представления е%"7> служит функция (а, р, у) = Тг (а, р, у)]=6- (14’ 10'42) (/=0, 1/8, 1, %, где 6 — угол поворота, определенный в п. 14.10-2. Особые индексы /, т и q, применяемые для g/F'7’ и U^q, — это как раз индексы, связанные с сферическими функциями степени / (п. 21.8-12). Для целочисленных значений / эти функции образуют (2/-|-1)-мерное представляю- щее пространство для с функциями (21.8-66) в качестве ортонормиро- ванного базиса.
ГЛАВА 15 ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ js.l. ВВЕДЕНИЕ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 15.1-1. Вводные замечания. Функциональный анализ рассматривает под- ходящим образом выбранные классы функций как множества «точек» в топо- логических пространствах (гл. 12) и, в частности, классы функций, состоящих из многомерных векторов, допускающих определение скалярного произведения (п. 15.2-1) и разложения по ортогональным функциям (базисным векторам, см. п. 15.3-4). Изящные и богатые геометрическими аналогиями выводы теории линейных преобразований, введенной в гл. 14, распространяются на широкий класс операций, включающий линейные интегральные преобразования и диф- ференцирование. Решения линейных дифференциальных уравнений, обыкно- венных и с частными производными, и линейных интегральных уравнений находятся путем более 'или • менее простого обобщения решения систем линей- ных уравнений, в частности, сюда могут быть включены задачи о собственных значениях (пп. 14.8-3 и 15.4-5). В пп. 15.3-1—15.3-10 рассматриваются линейные интегральные уравне- ния, в пп. от 15.4-1 до 15.4-12 вводятся линейные краевые задачи и задачи о собственных значениях для дифференциальных уравнений. Остальная часть главы содержит различные методы решения линейных краевых задач, а именно: 1. Разложения по собственным функциям (п.15.4-12); этот метод может быть расширен включением различных методов интегральных преобразований (и. 10.5-1). 2. Функции Грина (пп. 15.5-1, 15.5-3, 15.6-6, 15.6-9). 3. Сведение к интегральным уравнениям (п. 15.3-2). 4. Вариационные методы (п. 15.4-7, см. также пп. 11.7-1—11.7-3). В част- ности, в пп. 15.6-1—15.6-10 рассматриваются краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона (теория потенциала) и пространственная форма волнового уравнения. Несмотря на то, что многие практические задачи поддаются лить числен- ному решению- (п, 20.9-4), общая и интуитивно наглядная точки зрения функ- ционального анализа предоставляют возможность далеко идущего проникнове- ния в теорию поведения колебательных систем, атомных явлений и т. д. 15.1- 2. Обозначения (см. также п. 15.4-1). На всем протяжении пп. с 15.2-1 до 15.5-4 Ф(х), f(x), F (х), ... обозначают или функции одной неза- висимой переменной х или, для краткости, функции нескольких переменных х1, х2, хп (см. также пп. 6.2-1 и 16.1-2). В одномерном случае dx есть просто дифференциал, в многомерном случае dx = dx1 dx2... dxn. Интеграл (15.1-D v представляет в одномерном случае определенный интеграл ь а
15.2-1. 15.2. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ 457 по ограниченному или неограниченному интервалу V = (а, Ь), а в п-мерном случае—n-кратный интеграл / = j(...(/(gi, I2, .... (15.1-2) ~ v ' по области V в n-мерном пространстве. Как правило, возможно ввести эле- мент объема dl/ (Е) =1^1 g (g) | d£ так, что каждый интеграл (2) приобретает вид объемного интеграла (пп. 6.2-3, 15.4-1,о и 16.10-10). 15.2. ФУНКЦИИ КАК ВЕКТОРЫ. РАЗЛОЖЕНИЯ НО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ 15.2- 1. Квадратично интегрируемые функции как векторы. Скалярное про- изведение и нормирование]). (а) Действительная или комплексная функция, определенная на измери- мом множестве Е «точек» (х) или (х1, х2, х"), квадратично интегрируема па Е, если существует в смысле Лебега интеграл $|/(£)|2<*Е (п. 4.6-15). Е Класс £2 (более точно £2 (V)) всех действительных или комплексных квадра- тично интегрируемых функций на некотором интервале или в некоторой об- ласти соответственно образует бесконечномерное действительное или комплекс- ное унитарное векторное пространство (п. 14.2-6), если рассматривать функ- ции f (х), h(x), ... как векторы и определить вектор-сумму функций f(x) и h (х) как /:(х)+й(х); произведение вектора f (х) на скаляр а как a f (х); скалярное произведение векторов f(х) и h (х) как (A A)s $у(ё)7ШМ, (15.2-1) v где у (х)—данная действительная неотрицательная функция (весовая функция), квадратично интегрируемая на У. Замене весовой функции соответствует замена независимой переменной; во многих приложениях у (х) = 1 или есть элемент объема (п. 15.4-1, Ь). Линейная независимость множества функций (векторов) в определяется способом п. 1.9-3 (см. также п. 14.2-3). Квадратично интегрируемые функции линейно независимы тогда и только тогда, когда определитель Грама det отли- чен от нуля (см. также п. 14.2-6, а). (Ь) Как и в п. 14.2-7J' норма функции (вектора) f (х) в £а есть число II/11=/О = [ J V (S) I / (I) I2 (15.2-2) : Функция /(х) (необходимо квадратично интегрируемая) нормируема тогда и только тогда, когда ||1|| существует и отлична от нуля. Умножение на 1/ /Ц нормируемой функции f (х) доставляет функцию f (х)/|| f || с единичной нормой (нормирование f (х)). (с) Скалярное произведение, определенное равенством (1), имеет свойства, перечисленные в п. 14.2-6. В частности, если f(x), Л (х) и действительная неотрицательная весовая функция у (х) квадратично интегрируемы на V, то имеет место неравенство Ёоши—Шварца |(А й)|®=| 5уМ^|2^у|ЛайЦу|йрМ£ = (/, /)(Л, h) (15.2-3) Ъ Обозначения см. п. 15.1-2.
458 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.2-2. и неравенство Минковского 1/+лц= = у Т \f+h |2 dg у/2 ss Q т | f I2 ^у/4 +( J т I h I2 d^ = llfll +11 h ||. (15.2-4) 15.2- 2. Метрика и сходимость в Ц. Сходимость в среднем (см. также пп. 12.5-2—12.5-4, 14.2-7 и 18.6-3). (а) Как унитарное векторное пространство, L2 допускает введение рас- стояния между функциями (метрика, п. 12.5-2) d (f, h) = 17-h II [J T (£) I ME) - h (E) I2 dgp- (15.2-5) Корень (5) из среднего квадратичного разности между f (х) и h (х) равен нулю (метрическая эквивалентность f(x) и h (х)) тогда и только тогда, когда f(x)—h(x) для почти всех х в V (п. 4.6-14, Ь). (Ь) Сходимость в среднем. Метрика (5) порождает следующее определение сходимости по метрике в L2. Для данного интервала или обла- сти V последовательность квадратично интегрируемых функций s0 (х), s1(x), ... сходится в среднем (с индексом 2) к пределу s (х) (s„ (х) - cpe„g^ s (х) при п—со), если d2(s„, s)hs||s„ — s||2s= fT(E)|s„(g) — sg)|2d? — О при —co. (15.2-6) v В атом случае последовательность определяет ее предел в среднем: 1. 1. m. sn (x)=s (х), единственным образом почти всюду в V и, в частности, п-> со в каждой точке непрерывности s(x). Сходимость в среднем не обязательно имеет своим следствием обычную сходимость последовательности s0 (х), s] (х), ... в каждой точке, а обычная сходимость последовательности в каждой точке области V не имеет следствием сходимость в среднем. В частности, бес- конечный ряд квадратично интегрируемых функций По (х)+а1(х) + W + "* сходится в среднем к пределу s (х), если п Л ak^)-^^^s(x) при п-»со. k = 0 В этом случае пишут «а (*)+«1 W+«г(*)+— = s (х). в среднем (с) Полнота Ь2. Теорема Рисса—Фишера. Пространство £а,- ассоциированное с данным интервалом или областью V, является полным (п. 12.5-4, а). Именно, каждая фундаментальная последовательность квадра- тично интегрируемых функций s0(x), st(x), s2(x), ..., т. е. последователь- ность, для которой lim d(sm, sn)=0, сходится в среднем к квадратично т-*аз п — ео интегрируемой функции s(x) и определяет s(x) однозначно для почти всех х в V (теорема Рисса—Фишера). За м еч а и и е. Свойство полноты, выраженное теоремой Рнсса — Фишера, превра- щает Ls в гильбертово пространство (п. 14.2-7, с); в нем можно ввести ортонормирован- ный базис со всеми свойствами, указанными в пп. 14.7-4 и 15.2-4. Это является важнь-М обстоятельством дли использования интегрирования по Лебегу и сходимости в среднем. (d) По определению, f(x, а) -в сред-нем‘ F (х) при а-» а, если lim ||/(х, а) —Г(х)[|=0.
15.2-4. 15.2. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ 459 15.2- 3. Ортогональные функции и ортонормированные последовательности функций (см. также п. 14.7-3). (а) Две квадратично интегрируемые функции f (х), h (х) называются вза- имно ортогональными (ортогональными относительно действительной неотри- цательной весовой функции у (х) ’)), если (A h)~ ^(Ш©Л(И=0- (15.2-7) v Последовательность функций и± (х), и2 (х), ... называется ортонормированной, если г „ (0, если i^=k,) (Щ, uk)~ J yuiuk =&ik — т. *ппя _ ь ( (А = 2, ...). (15.2-8) , если i — к j Каждое множество нормируемых взаимно ортогональных функций (и, в част- ности, каждая ортонормированная последовательность) является линейно не- зависимым. (Ь) Неравенство Бесселя. Для любой конечной или бесконечной ортонормированной последовательности и. (х), и2(х), ...и любой квадратично интегрируемой на V функции f(x) выполняется неравенство Бесселя Sl(«b f)la=S(A f)- (15-2-9) k Знак равенства возможен тогда и только тогда, когда f (х) принадлежит линейному многообразию, натянутому на uv(x), ие (х), ... (см. пп. 14.2-2, 14.7-3 и 15.2-4). 15.2- 4. Полные ортонормированные последовательности функций. Орто- нормированные базисы (см. также п. 14.7-4). Ортонормированная последова- тельность «1(х), п9(х), ... в £2(К) является полной ортонормированной после- довательностью (ортонормированным базисом) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1. Каждая квадратично интегрируемая функция может быть представлена в форме f (х) = Дну (х) + f2u2 (х) 4-..., где fk = в среднем = («Ь f) (й=1, 2, ...). 2. Для каждой квадратично интегрируемой функции )(х) такой, что (x)-)-f2u2 (x)-j-... — f (x), имеет место тождество Пар- в среднем сееаля или соотношение полноты (см. также п. 14.7-3, b и 15.2-3, Ь) (A n=!/il9+l.fal9+- 3. Для каждой пары квадратично интегрируемых функций f (х), Л(х) таких, что fi^i{x)+f2uz(x)+... = f(x), в среднем htUi (x)-\-h2u2 (х)+... = h(x)t в среднем имеет место соотношение (A +А^2+--- ') Некоторые авторы называют f (х) и h (х) взаимно ортогональными только в слу- чае у (х) = 1, т. е. если J fh dg = 0. V
460 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.2-5. 4. Ортонормированная последовательность щ (х), щ (х), ... не содержится в какой-либо другой ортонормированной последователь- ности в £2 (И); каждая квадратично интегрируемая функция f(x), ортогональная к каждой uk (х), равна нулю почти всюду в V. Каждое из этих четырех предложений имеет следствиями три осталь- ных. Если на интервале или в области V дана полная ортонормированная последовательность функций и±(х), и2(х), ... и некоторая последовательность СО комплексных чисел f±, f2, ... такая, что II2 сходится, то существует k=\ квадратично интегрируемая функция f (х) такая, что (x)-j-f2u2 (х) + -.- сходится в среднем к f(x) (теорема Рисса—Фишера, см. также п. 15.2-2, с); fft определяют / (х) однозначно почти всюду в V и, в частности, если f (х) непрерывна, то всюду в V (теорема единственности, см. также п. 4.11-5). 15.2- 5. Ортогонализация и нормирование последовательности функций (см. также п. 14.7-4, Ь). Пусть дано счетное (конечное или бесконечное) множество линейно независимых (п. 1.9-3) функций <рт (х), (р2 (х), .... нормируемых на V; тогда существует ортонормированная последовательность функций щ (х). и2(х), ..., порождающая то же самое многообразие функций. Эта последова- тельность гложет быть построена посредством следующих рекуррентных фор- мул (процесс ортогонализации Грама—Шмидта)'. ’ , vi <*> vi <А'> и: (х)=— ------= -, 11°1«|1 К(^ьг) * (15.2-10) (х) = <Р1 (х), f/+l (X) = <PZ+1 (х) — 2j (ий> <Pi+l) uk (x), ft=l (i=l, 2, ...). См, также n. 21.7-1, примеры. 15.2-6. Аппроксимации и разложения в ряды по ортогональным функция^, (см. также пп. 4.11-2, с, 4.11-4, Ь, 15.4-12,20.6-2,20.6-3,20.9-9,21.8-12). Пусть дана квадратично интегрируемая функция f (х) и ортонормированная последовательность и1(х), и2 (х), ... Аппроксимация f (x) в форме s„ (x) = c1n1(x) + c2M2(x) + ...+a„M„(x) (п=1, 2, ...) (15.2-11) доставляет наименьшее значение средней квадратической' погрешности 5 I «л (х)—f(x) |2 dx, если ak=[uk, f). v Заметим, что выбор коэффициентов не зависит от п. Это свойство вместе с относительной простотой формул, указанных в п. 15.2-4, делает очень важными разложения в ряды Их) = fi«i(x)+^«2(x)-|-..., где fft = (ufc, f) (k=\, 2, ...) е среднем по подходящим образом выбранной последовательности ортонормированных функций. 15.2- 7. Линейные операции над функциями. В пп. 8.2-1, 8.6-1—8.6-4, 15.3-1, 15.4-1, 20.4-2 введены различные линейные операции (п. 14.3-1) ф (х) = ЬФ (5), (15.2-12) связывающие функцию <р (х) с данной функцией Ф (д) так, что L [Ф1 (5) + Ф2 (6)1 = ЬФ. (6) + ЬФ2 L [а Ф ©] = а L® (£). (15.2-13)
15.3-1. 15.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И УРАВНЕНИЯ 461 Ф (£) и ф (л) могут принадлежать одной или различным областям. Как и в п. 14.1-3# существуют две различный интерпретация функционального преобразования (12): 1. уравнение (12) описывает операцию над функцией (точка зрения «alibi» или «активиая-О- 2. Ф (£) и ф (х) представляют один и гот же абстрактный вектор (в том же смысле, как две матрицы, п. 14.6-1, Ь), и уравнение (12) описывает замену представления (точка зрения «alias» или «пассивная», особенно используемая в квантовой механике, см. также п. 8.1-1). 15.3 . ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.3- 1. Линейные интегральные преобразования г). (а) В пп. 15.3-1 —15.3-10 рассматриваются линейные образования J К(х, P/(g)dg=f(x), v интегральные пре- (15.3-1) связывающие пары функций f (Е) и Г (х). Функция К (х, Е) называется ядром линейного интегрального преобразования. Все интегралы предполагаются существующими в смысле Лебега (п. 4.6-15). Области, которым принадлежат функция-объект / (Е) и результирующая функция F (х) в уравнении (1), не обязательно тождественны (см., например, преобразования Лапласа, п. 8.2-1). В пп. 15.3Д, 5—15.3-10 предполагается, что х и Е изменяются а одном и том же интервале или в одной и той же области. «Символическое» интегральное преобразование ( 6(х, E)f©dE^f(i V представляет единичное преобразование (см. также пп. 15.5-1 и 21.9-2). Линейное интегральное преобразование (1) может быть трактовано или с точки зре- ния «alibi», илн с точки зрения «alias* (и. 15.2-7). Каждое ядро представляет линейный оператор в том же смысле, что н матрица (п. 14.5-2, см. также п. 15.3-1, с). (Ь) Для данного ядра /< (х, |), К (х, Е) = К (§, х) называется транспониро- ванным ядром, К* (х, Е) ss К (д, х) называется сопряженным (эрмитово сопря- женным) ядром (см. также п. 14.4-3). Данное ядро К (х, Е) называется симметричным, если К (Е, х) = К (х, £);- эрмитовым, если К (Е, х) s== /< (х, Е,); нормируемым, если (( | К (х, Е) |2«Еdx существует и отличен ГУ от нуля; непрерывным в среднем на V, если lim ( jtf(x+Ax,E)-K(x, Е)|*ЙЕ=О Дх —0 V (см. также п. 12.5-1, с); вырожденным (разделяющимся), если К (х, Е) может быть пред- т ставлено в виде конечной суммы /< (х, Е) = fi (х) ht (Е). £=1 Нормируемое ядро представляет ограниченный оператор (п. 14.4-1) так, что F (х) нормируема, если 1(g) нормируема (п. 15.2-1, Ь). Вырожденные ядра представляют опе- раторы конечного ранга (п. 14.3-2). Если К (х, g) эрмитово, нормируемо и непрерывно « среднем на V и f (g) квадратично интегрируема на V. то F (х) непрерывна в V. Обозначения см. п. 15,1-2, см. также п. 15.4-1, Ь.
462 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.3-2. (с) Матричное представление. Произведение д в у х 'интег- ральных преобразований. Дано нормируемое ядро К (х, В) и ортонормиро- ванный базис (п. 15.2-4) щ (х), и$ (х). ... в пространстве функций f (х). Пусть со со t© = у fk4k ®, f(х) = s F.uk и), в Среднем " в среднем — j " xt*. э = Л 2 (,s’3’2) в среднем t-=i fe==i л ‘ R PiA ~ П ui W К (х, g) и. © dx dg|. L VV J Тогда уравнение (1) эквивалентно матричному уравнению ft}=ftft] ft}- Заметим, что произведение матриц [Юэд] соответствующее ядру J М (х, л) К (Т), 0 Л), V представляет произведение двух последовательных интегральных преобразований (1), ядра которых К (х, 0, М (х, 0 соответствуют Если К <х, 0 — вырожденное ядро, то возможен выбор (х) такой, что матрица [А^г] будет конечной. 15.3- 2. Линейные интегральные уравнения. Обзор. Интегральное уравне- ние есть функциональное уравнение (п. 9.1-2), включающее интегральное преобразование над неизвестной функцией Ф (х) (если функциональное уравне- ние включает также производные от ф (х), то говорят об интегро-дифферен- циальном уравнении). Интегральное уравнение называется однородным, если каждое кратное аФ(х) некоторого решения Ф (х) также есть решение. В пп. 15.3-2 —15.3-10 рассматриваются линейные интегральные уравнения в общей форме ₽ (х) Ф (х) -Ц Л (х, 0 Ф (|) dg=F (X), (15.3-3) v где ядро 7< (х, 0 и функции fS (х), F (х) являются заданными. Область интегри- рования V может быть фиксированной (интегральные уравнения типа фред- гольмовых) или переменной (интегральные уравнения типа вольтерровых, п. 15.3-10). Назовем три важных типа задач. 1. Линейные интегральные уравнения первого рода (Р (х) = 0, Х=— 1;- п. 15.3-9), в которых надо найти неизвестную функцию Ф (х) по данному ее интегральному преобразованию F (х). Соответствую- щее операторное уравнение КФ=/7 аналогично матричному урав- нению [AifcH®/J=={ft}- 2. Однородное линейное интегральное уравнение второго рода (F(x) = 0, Р(х)^=1, X неизвестно; пп. 15.3-3 — 15.3-6) представляет задачу о собственных значениях. Соответствующее операторное урав- нение ЖФ = Ф аналогично матричному уравнению X. {ФА} = {Ф;}. 3. Неоднородное линейное интегральное уравнение второго ро- да (Р(х)=1, задано; п. 15.3-7) может быть записано в виде ф—ХКФ=/7 и представляет задачу, тип которой был обсужден в п. 14.8-10. Если р (х) — действительная положительная функция всюду в V, то можно свести общее линейное интегральное уравнение (3) посредством преобразования Ф (х) = , F (х) = F (х) УРСО, К (х, 0 = А (х, 0 У Р (х) р ® , (15.3-4) У Р (х> к линейному интегральному уравнению второго рода.
15.8-4. 55.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И УРАВНЕНИЯ 463 15.3- 3. Однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные функции и собственные значения (см. также п. 14.8-3 и 15.4-5). (а) Функция ф='ф(х), не равная тождественно нулю в Г и удовлетво- ряющая однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода ЛКф g) К f К (х, |) ф (g) dg =ф (х) (15.3-5) v прн определенном значении параметра Z, называется собственной функцией (характеристической функцией) линейного интегрального уравнения (5) или ядра К (х, Е). Соответствующее значение X есть собственное значение интеграль- ного уравнения. Если Ф1 (х) и фг (х) — собственные функции, соответствующие одному и тому оке собственному значению X, то то оке самое относится к их линейной комбинации (х) + а2ф2 (х). Число т линейно независимых собственных функций, соответствующих некоторому собственному значению, называется рангом X; если /<(х, g) — нормируемое ядро, то каждое т конечно. Собствен- ные функции, соответствующие различным собственным значениям линейного интегрального уравнения (5), линейно независимы. Общее количество линейно независимых собственных функций конечно только в том случае, когда К (х, Е) — выроокденное ядро. Если линейный оператор К, описываемый линейным интегральным преобразованием (5), имеет единственный обратный L = К-1, то ф (х) н К суть собственная функция и собственное значение неособенного оператора L (см. также п. 15.4-5) н все собственные значения отличны от нуля. Во многих приложениях L является дифференциальным опе- ратором, а К (х, £) — функцией Грина (п. 15.5-1). (Ь) Собственные функции и собственные значения эрмитовых ядер (см. также пп. 14.8-4 и 15.4-6). Если К(х, Е)— эрми- тово ядро, то имеют место следующие свойства-. 1. Все собственные значения интегрального уравнения (5) дей- ствительны. 2. Собственные функции, соответствующие различным собст- венным значениям, взаимно ортогональны (с весом 1, п. 15.2-3). 3. Если ядро К (х, Е) нормируемо, то все собственные значения отличны от нуля. 4. Существует по меньшей мере одно собственное значение, отлич- ное от нуля’, собственные значения образуют дискретную последова- тельность, содержащую не более конечного числа собственных значе- ний в каждом конечном интервале, и каждое собственное знамение имеет конечный ранг. 15.3-4. Теоремы разложения. (а) Теор емы разложения для эрмитовых ядер. В соот- ветствии с определениями скалярного произведения (п. 15.2-1) и сходимости в среднем (п. 15.2-2) с у (х) = 1 каждое нормируемое эрмитово ядро К (х, Е) обладает ортонормированной последовательностью собственных функций Ф1(х), Ф2(х), ... так, что для каждой функции F (х), представимой в форме F (х) = = 5 К (х, Е) f (Е) (интегральное преобразование (1) функции f (Е) или «истоко- v образное» представление F (х)), справедливо разложение F(x) = 2 F (х) (х е V), в среднем £„1 С /й=(фь f)=J (У di (*=h 2* ...). V (15.3-6)
464 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.8-5.- Ряд (6) сходится абсолютно и равномерно к F (х) для всех xeV, если f (£) кусочно-непрерывна в V или если f(c.) квадратично интегрируема, а ядро К (х, |) непрерывно в среднем. Эрмитово ядро (х, Е) называется полным, если каждая квадратично интегрируемая функция F (х) может быть пред- ставлена в форме (1) или (6), так что собственные функции ф* (х) образуют полную ортонормированпую последовательность (п. 15.2-4); это имеет мест, например, если К(х, fj)—положительно или отрицательно определенное (п. 15.3-6). Каждое нормируемое эрмитово ядро К (х, Е) может быть разложено е ряд СО К (х, Э = У ‘ ф—фф (л:) (х, EeV). (15.8-71 в среднем R к Ряд сходится равномерно к К-(х, для всех х, Ё€= V, если К (х, £) непргрыг.чо в среднем или если V есть ограниченный интервал или ограниченная область, так что К (х, %) непрерывно для всех х, | е V иинтегралъное уравнение (Г?) имеет конечное чис w положительных или отрицательных собственных значений (теорема Мерсера). (1>) Вспомогательные ядра и теоремы разложения для н е э р • митовых ядер. Пусть К (х, %) — нормируемое ядро н ц,г > 0 -- положительные числа, для которых существуют ненулевые решения системы уравнений JК (х’ vb d^==wk W’ |Х/г 1 К* 'Х' wk ® = vk <х)- (,5 38) V V Тогда числа р-^, являются собственными значениями вспомогательных эрмитовых ядер f К* (х, т]) К (т], I) dt) и J К (х, п) К* (Л» £> V V Любая функция F (х), представимая как интегральное преобразование (1) с ядром К илн /(*, может быть разложена в ряды ?(*) = 2 где bk~^k* F) (15.3-90) в среднем й==1 или. р&> = 2 ИЛ(А)’ где aksss(vk'F)* в среднем к Эти ряды сходятся абсолютно и равномерно к F (х) для всех х в V, если f (О кусочно-непре- рывна в V, или f (%) квадратично интегрируема, а К (х, £) непрерывно в "среднем; весомая функция равна 1 (п. 15.2-1). Для каждого нормируемого ядра К (к, £) со К (X, э = У (X. lev). (15.8-10 в среднем к Если ядро К (х, |) самосопряжено, то vfi (х) — (х), и формула (10) превращается в формулу (7). 15.3'5. Итерированные ядра. Итерированные ядра определяются соотно- шениями Кг (х, р К (х, I), К„+1 (х, |) = 1 Кр (х, п) К (Ч. I) dt] (р = 2, 3, ...) (15.3-U) и представляют степени КР линейного оператора К уравнения (1). Линейное интегральное уравнение 1КРф(§)^М Кр(х,5)фа)(/ё=ф(х) ' (15.3-12) v
15.8-7. 1Б.З. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И УРАВНЕНИЯ 465 имеет те же собственные функции <р (х), что и уравнение (5), с соответст- вующими собственными знамениями /Е' (см. также п. 14.8-3, d). Обратно, каждое решение ip(x) уравнения (12) является решением уравнения (5). Если ядро К (х, Е) эрмитово и нормируемо, то со Kv(x, У Р=2, 3, ...;х,£еГ (15.3-13) и эти ряды сходятся абсолютно и равномерно в V. 15.3-6. Эрмитовы интегральные формы. Задача о собственных значениях как па- риационная задача (см. также пп. 11.1-1, 13.5-2, 13.5-3, 14.8-8, а, 15.4-7). (а) Пусть дано нормируемое эрмитово ядро К (х, £); скалярное произведение (необ- ходимо действительное) (Ф. КФ) = (]ф IX) К IX, Е) Ф (Е) dx d% (15.3-14) v V называется эрмитовой интегральной формой или, в частности, действительной квадра- тической интегральной формой, если К (х, £)—действительное н симметричное1). Эрми- това интегральная форма (14) (а также эрмитово ядро К (х, £)) называется лоломк- телыю определенным, отрицательно опр&деленаызл, неотрицательным или неположитель- ным, если выражение (14) соответственно положительно, отрицательно, неотрицательно или неположительно для каждой функции Ф (х), не равной тождественно нулю в V и такой, что интеграл существует. Интегральная форма (14) положительно определена или отрицательно определена в том и только в том случае, когда все собственные значения соответственно положительны или отрицательны. (Ь) Проблема нахождения собственных функций -ф (х) и собственного значения Я. нор- мируемого эрмитова ядра может быть сформулирована как задача о стационарных значе- ниях, способом, подобным излоо1сенному в п. 14.8-8, а. Найдем квадратично интегрируемую функцию Ф (х) такую, что эрмитова интегралъ- ная форма (14) имеет стационарное значение при условии (Ф. Ф) = 5 I ф <?> I* = 1- V Функция Ф = ф&(х) доставляет указанное стационарное значение форме (14), причем к, = _ -----------------------------!-------------. J J <*) К <*• №k (F.) dx di V V Здесь также приложимы все другие теоремы п. 14,8-8, а. Следует лишь вспомнить, что оператор К, представимый данным ядром К (х, £), имеет собстаенные функции (£) и собственные значения Часто бывает возможно решить интегральное уравнение вида (5), точно или приближенно, методами вариационного исчисления. 15.3- 7. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода (см. также п. 14.8-10). (а) Существование и единственность решения. Ф р ед голь- мово линейное интегральное уравнение второго рода Ф (х)-Ь К (х, I) Ф (В) dg=F (х) (15.3-16) v имеет следующее «альтернативное» свойство: 1. Если данный параметр X, не является собственным значением ядра К (х, Е), то уравнение (16) имеет единственное решение Ф (х). *) Заметим, что в матричных обозначениях, введенных в п. 15.3-1, с, (Ф, КФ) =22 (15.3-15) /=1й=1
466 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.3-7* 2. Если К равно одному из собственных значений Xj уравнения (5), то «союзное» однородное интегральное уравнение М $ X © (*) (15.3-17) v имеет решение % (х), не равное тождественно нулю в V, и данное интегральное уравнение (16) имеет решение Ф (х), лишь если F (х) ортогональна (с весовой функцией 1) каждому решению % (х) уравне- ния (17). Заметим, что уравнения (17) и (5) идентичны для ер ма- товых ядер. При указанных выше условиях решения существуют, в частности, когда К (х, t) кусочно-непрерывно и нормируемо, a F (х) непрерывна и квадратично интегрируема на V. Если во втором случае решение Ф (х) существует, то урав- нение (16) имеет бесконечное количество решений, так как каждая сумма некоторого частного решения и линейной комбинации собственных функций ф (х), соответствующих Х17 является решением; в частности, существует един- ственное решение Ф (х), ортогональное ко всем этим собственным функциям. Ь) Сведение к интегральному уравнению с эрмито- вым ядром. Если К (х, £) нормируемо, то каждое решение Ф (х) уравне- ния (16) есть решение интегрального уравнения Ф (х) -1 X | J Я (х© Ф © dl (х) - X $ КОF © <%, (15.3-180) V V где Н (х, Е) есть эрмитово ядро, определяемое формулой Н (х, g) = ars*K* -1 X | $7<(fl, х) К (fl, |) dfl. (15.3-186) Вследствие зтого достаточно изучить методы решений для эрмитовых ядер. Замечание. Н (х, g) и К (х, g) имеют тождественные собственные функции, со- ответствующие собственным значениям ( Хд, | и (с) Резольвентное ядро. Решение Ф(х) линейного интегрального уравнения (16) удобно писать в форме Ф (х)=Е(х)+X J Г (х, g; Х)Е ©<%. (15.3-19) v Функция Г (х, X) называется резольвентным ядром (иногда она называется взаимным ядром) для интегрального уравнения (16); уравнения (16) и (19) представляют взаимно обратные линейные преобразования. Когда резольвентное ядро Г (х, g: X) существует, оно удовлетворяет интегральным уравнениям Г (х, g; X) — X J К (X, t) Г (Г, g; Л = К (х, g), V Г (х, g; Х> —X (К (f, g) Г(х, f, X) dt — K (х, g), у (lO.iWvJ Г (х, g; X) — Г (х, g; X') = (X —X') Г (х, f, X) Г (t, g; X') di I V J для произвольных X, X', не являющихся собственными значениями К, (х, g).
15.3-8. 15.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И УРАВНЕНИЯ 467 15.3- 8. Решение линейного интегрального уравнения (16) (см. также п. 20.8-5, численные методы). (а) Решение последовательными приближениями. Ря- ды Неймана. Полагая Ф[0](х)=Г(х)( вычисляют последовательные приближения ф[7 +1] (х)=/7 (х)+х j К(х, I) Фи (|) dg (/=0, 1, 2, ...) (15.3-21) v искомого решения Ф (х) уравнения (16). Функции (21) можно рассматривать как частичные суммы бесконечного ряда (называемого рядом Неймана) F(x) + ^K(x, g)F(g) dg+X«U2(x, I) F (ft <%+...= v v = (1+Ж+ХаК2+...)Г(х). (15.3-22) Если К (х, g) нормируемо, F (х) квадратично интегрируема на V, то су- ществует действительное число такое, что ряд Неймана (22) сходится в среднем к решению (19) при | X | < гс. Если, кроме того, J|K(x,g)|adg и J| К(Е. x)|Srfg равномерно ограничены в V, то степенной ряд (22) и соответствующий ряд для резольвентного ядра Г(х, g; Х) = /<(х, g) + X/<2(x, g)+XaKs(x, g)+„. (15.3-23) сходятся равномерно к указанным пределам при х, g s V и | X | < гс. Функция (23) в таком случае является аналитической функцией от X при |Х|<гс и может быть аналитически продолжена (п. 7.8-1), давая тем самым резольвентное ядро для других возможных значений X. Ряд (23), как и ряд (22), известен под названием ряда Неймана. Если нормируемое ядро К (х, g) эрмитово, то радиус сходимости (или сходимости в среднем) гс дается формулой гс = |Х1|, где Хх есть наименьшее по абсолютной величине собственное значение ядра. (Ь) Формула Гильберта — Шмидта для резольвентного ядра (см. также п. 14.8-10). Для каждого нормируемого и эрмитова ядра /< (х, g) решение линейного интегрального уравнения (16) дается формулой (19) е резольвентным ядром Г(хД;/.)2/((хД)+>. (Х^Хй, А = 1, 2, ...) (формула Гильберта—Шмидта), (15.3-24) где фй — ортонормированные собственные функциих) ядра К (х, g)- Ряд схо- дится равномерно для х, g s V и X ф kk- 1) Если есть собственное значение, имеющее ранг т (п. 15.3-3, а), то пишут ==.,,= %.и таким образом, ряд (24) имеет т членов, содержащих соб- ственные функции (х), UQ, .... СМ». соответствующих fy.
468 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.3-9. Г (х, Л) есть мероморфная функция И в конечной части ^-плоскости; вычеты Г (л, Л) в ее полюсах связаны простыми соотношениями (пп. 7.6-8 и 7-7-1) с собствен- ными функциями (л). Формула Гильберта — Шмидта для решения, когда Л равно собственному значению К.. Если параметр Tv равен некоторому собственному значению Tv* данного ядра /< (х, £). то из суммы (24) (не являющейся теперь резольвентным ядром) исключаются члены, содер- жащие Те*, и к правой части (19) прибавляется произвольная собственная функция ф(х)« соответствующая X*. Результирующая функция Ф (х) является решением данного ин- тегрального уравнения (16) при ограничениях случая 2 в п. 15.3-7, а. (с) Формулы Фредгольма для резольвентного ядра. Если /< (х, t) нормируемо, резольвентное ядро Г (х, Е,; ?.) может быть выра- жено в виде отношения двух целых функций (см. также и. 7.6-7) (15.3-25) (15.3-26) Со=1, DB(x, £> = К(х, g) и для k — 1, 2, ... Cft =j V d'i< v Dk(x, c) = Cft K(x—E) —k K(x, g)dr). v Оба степенных ряда сходятся для всех конечных Л? степенной ряд пл я D (х, X) сходится равномерно в I/. Полюсы Г(х, g; X)) совпадают с нуля- ми D (Л). Отметим аналогию между функциями D {х, Tv), D (Tv) и определителями, испсль- вуемыми для нахождения решения х^ аналогичной конечномерной задачи, по правилу п Крамера (1.9-4) £ (o/ft = b. [i = 1. 2, ... . n). ft=l (g) Сингулярные ядра. Если данное ядро К (х, |) ие ограничено в окрест- ности х — тогда как итерированное ядро f\z (х, ё) остается ограниченным, решение Ф (х) уравнения (16) находят посредством решения интегрального уравнения Ф (х) — К2 i К2 (X, 5) Ф (Е) d* = F \х) + К $ К (Л, £) F (S) d?. (15.3-?,7) V V Уравнение (27) получено подстановкой ф (*) = F (х, + 7. 5 К <х- Е) ф ® V в левую часть уравнения (16). Эта процедура может быть использована, если первым ите- рированным ядром, остающимся ограниченным, является К3 (х, £), А'* (х, |) ... 15*3-9. Решение линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода (см. также пп. 14.8-10, Ь, 15.4-12, 15.5-1). Если линейное интегральное уравнение j Х(х, |) Ф (У d&=f(x) (15.3-28) V
15.3-10. 15.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И УРАВНЕНИЯ 469 с нормируемым ядром К (х, |) имеет решение Ф (х), то теорема разложения п. 15.3-4, b дает СО = S и* (“'л* ЛМ*)+ф(-0. (15.3-29) в среднем k= 1 где Vy (х), wk (х) и определены в п. 15.3-4, b и ф (х) —произвольная функ- ция, ортогональная ко всем vk (х). Если Vfr (х) образуют полную ортонормированную последовательность е Lz (Vj (п. 15.2-4), то ф(х)=0 для почти всех х в V и решение (29) единственно почти всюду в V. Если {к), как и (х), образуют полную ортонормированную последовательность в Ег (V). то интегральное преобразование (28) является неособенным и допускает однознач- ное обращение pC-i(x, &F<& ^ = Ф(х), V где > (15.3-39) со 1 K-i <*•£>= 2 vk w- | *=i ) К-i (х, |) называется взаимным ядром, ассоциированным с К \х, |), и представляет линейный оператор К”1. Для эрмитовых ядер К (х, £) имеем (х) — (х), (, 15.3- 10. Интегральные уравнения Вольтерра. (а) Пусть х и g—одномерные действительные переменные. Тогда 1. Интегральное уравнение Вольтерра второго рода Ф(х)-Ь\Н (х, g) Ф © dg = F (х) (15.3-31) о сводится к интегральному уравнению Фредгольма (16) на интервале V = (0, оо), если ввести новое ядро К(х, l) = H(x, t)U+(x-£)={ ® | } (15.3-32) и дли g л. / 2. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода | Я (х, g) Ф (g) dg == Г (х) (15.3-33) о посредством дифференцирования сводится к виду (31), где дН (х, 6) dF (х) Н (X, g) = ---- F (х) = -л; dx -. (15.3-34) Н (х, х) ’ И (х. х) (Ъ) Следующий пример иллюстрирует метод решения для одного класса интеграль- ных уравнений Вольтерра, имеющих неограниченные ядра. Для нахождения решения уравнения С . Ф <Ё)... = F (д ) (0 < а < 1) (15.3-35) J (х - Е)« умножают обе его части на (у— х)а 1 и интегрируют во х в пределах от а до у. По- лучаемое при этом интегральное уравнение имеет ограниченное ядро. Его решением является х 31 п ла F (а) I Г F' (|) л (х — а)1 ~а J (х — 1 а а (15.3-36) В частном случае при а — */а уравнение (35) известно под названием интегрального урав- нения Абеля.
470 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.4-1. 15.4 . ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 15.4- 1. Линейные краевые задачи. Постановка задачи и обозначения (см. также пп. 9.3-1, 10.3-4, 15.1-2, 15.2-7). (а) Линейную однородную функцию от функции Ф (х) и ее производных будем записывать в виде произведения 1_Ф (х) функции Ф (х) и линейного дифференциального оператора L, например, вида d/dx или — V2—q (х1, х2, х3). Требуется найти неизвестную функцию Ф (х), удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению 1_Ф(х)=/(х) (хе К) (15.4-1а) внутри открытого интервала или области V, и N линейным краевым усло- виям Б,Ф (х) = Ь (х) (i = l, 2, ..., N; x<=S), (15.4-lfe) где S — граница области V; каждая из ВгФ(х) есть, линейная однородная функция от Ф (х) и ее производных. (Ь) Обозначения. Объемные интегралы и скалярные произведения (см. также пп. 4.6-12, 15.1-2, 15.2-1, 16.10-10). В одно- мерном случае х есть действительная переменная, уравнение (1с) есть обык- новенное дифференциальное уравнение, V есть ограниченный или неограничен- ный открытый интервал, концы которого х = а, х=Ь образуют границу S. В п-мерном случае х обозначает «точку» (хг, х2, ..., х„) в п-мерном пространстве, уравнение (1с) есть уравнение с частными производными. Пред- полагается возможным ввести объемный элемент dV (х) = У^х1, х2, ... ,х«)| dx1 dx2 ... dx" = /|g(x)| dx тем же способом, что в пп. 6.2-3, b и 16.10-10; j/|g(x)| действителен и поло- жителен всюду в V. Тогда <р (£) dV (Е) есть n-мерный объемный интеграл V по V и можно определить скалярное произведение двух функций и (х), v (х), как в п. 15.2-1, (и, v) == ( уо (g) if© v g) d2 = (v ® dV (£). (15.4-2) V V Заметим, что т() (х) = У | g (х) | зависит от системы координат. Аналогично можно предположить существование соответствующего элемента поверхности dA, (х) (х в S) на границе гиперповерхности S; тогда t <p (|) dA (|)—интеграл по S поверхности в п-мерном пространстве (см. также п. 4.6-12 и 6.4-3, Ь). В частности, при n=3 V есть ограниченная или неограниченная открытая область пространства с граничной поверхностью S; S есть регулярная поверх- ность (п. 3.1-14). При n=2 V есть соответственно плоская область с (регу- лярной) граничной линией S. 15.4- 2. Дополнительное дифференциальное уравнение и краевые условия для линейной краевой задачи. Теоремы о суперпозиции (см. также пп. 9.3-lt 10.4-2, 14.3-1, 15.2-7). С каждой линейной краевой задачей (1) можно свя- зать однородное дополнительное или приведенное дифференциальное уравнение 1_Ф(х)=0 (хе У) (15.4-Зй) и совокупность однородных «дополнительных краевых условий» В;Ф(х)=0 (i = l, 2, ...г N; x<=S). (15.4-3fc)
15.4-3. 15.4. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 471 Следующие важные теоремы устанавливают связь между решениями Ф (х) данной линейной краевой задачи (1) и функциями, удовлетворяющими более простым условиям вида (3). 1. Решение каждой линейной краевой задачи (1) может быть сведено к линейной краевой задаче с тем же оператором L и крае- выми условиями (3) (см. также п. 15.5-4)1). 2. Наиболее общий вид функции, удовлетворяющей линейному дифференциальному уравнению (1а), может быть записан в виде суммы некоторого частного решения уравнения (1а) и наиболее общего решения дополнительного уравнения (За). 3. Однородному линейному дифференциальному уравнению удов- летворяет любая линейная комбинация его решений. 4. Пусть Фх (х) й Ф2 (х) удовлетворяют соответственно диффе- ренциальным уравнениям ЬФ1(х) = /1(х) и ЬФ2 (х)=)2 (х) с одинако- выми линейными однородными краевыми условиями В,Ф(х)=0. Тогда аФх (х) + f Ф2 (х) удовлетворяет уравнению L® (х) = а/х (х) + + Р/з W при указанных краевых условиях. 5. Пусть Фх (х) и Ф2 (х) удовлетворяют однородному линейному дифференциальному уравнению 1_Ф(х)=0 с соответственными линей- ными краевыми условиями В,:ФХ (х) = Ьц (х) и В,Ф2 (х) — bsi (х). Тогда аФх (х) + рФ2 (х) удовлетворяет заданному уравнению и крае- вым условиям ВгФ(х)=а6Х1-(х)+рб2/(х). 15.4- 3. Эрмитово сопряженные и сопряженные краевые задачи. Эрмитовы операторы (см. также пп. 14.4-3, 14.4-4, 15.3-1, Ь). (а) Данная однородная линейная краевая задача (3) и определение ска- лярного произведения (2) порождают эрмитово сопряженную краевую задачу L*x(x)=O (xsV), (15.4-5а) В;?х(х)=0 (/ = 1, 2, .... N; xeS) (15.4-56) посредством условия (v, Lu) — (L*v, а) = ( [oLa+wL*o]dV=0,- (15.4-6) v где u = u(x), o=o (x) —пара соответственно дифференцируемых функций, причем и (х) удовлетворяет заданным краевым условиям (36), о (х) удовлетво- ряет эрмитово сопряженным краевым условиям (56); и и о могут рассматри- ваться как принадлежащие сопряженным векторным пространствам (14.4-9). Два линейных дифференциальных оператора второго порядка L и L* являются врмитово сопряженными тогда и только тогда, когда функция vl.u — u\~*v имеет форму «-мерной дивергенции п _______ У1, —г [ I g (х) I (табл. 16.10-1), где каждая рА есть функция от и, V, V I g (х) | , dxk - _ « = 1 v и их производных первого порядка 2). При этом становится возможным представить объемный интеграл J [dLm — uL*u]^V V через интеграл по границе S; формулы такого типа известны как обобщенные формулы 1) Если записать Ф (х) — Ф (х) ф- v (х), где v (х) — соответствующим образом выбран- ная функция, удовлетворяющая граничным условиям (1), то Ф (х) есть решение линейной краевой задачи Цф (х) = f (х) — Lo (х) (х е V); В^Ф (х) == О (Z = 1, 2, ..., JV; х в S); (15.4-4) Ln (х) определяется выбором v (х) и может содержать члены с 6-функциямн; часто воз- можно найти v (х) так, что Ln (х) =0 (см. также п. 10.4-2). g) Верхние значки как и'в гл. 6 и 16, не являются показателями степени.
472 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.4-3. Грина (см. также п. 15.4-3, с). Эрмитово сопряженные краевые условия В -и — О, В* с = 0 (х в S) определяются из условия обращения в нуль интеграла по границе, т. е. выполнения условия (6). В случае действительных функций и операторов эрмитово сопряженные задачи,, операторы и краевые условия обычно называются взаимно сопряженными. (Ь) Эрмитовы операторы. Дифференциальный оператор L называет- ся эрмитовым (самосопряженным), если (v, La)—(Lt), а)=( [t)Lu— a Lt)] dV =0 (15.4-7) для каждой пары соответственно дифференцируемых функций и —и (х), v — v (х), удовлетворяющих одинаковым однородным краевым условиям, определяющим некоторое линейное многообразие функций. Эрмитово сопряженные краевые задачи с эрмитовыми операторами, имеющие одинаковые краевые условия, тождественны (самосопряженные краевые задачи). (с) Частные случаи. Действительные операторы Штур- ма — Ли у билля и обобщение теоремы Грина (см. также пп. 5.6-1 и 15.5-4). В одномерном, случае уравнения (За) и (5а) являются обыкно- венными линейными дифференциальными уравнениями с заданными краевыми условиями на концах интервала (a, b)^sV. Если скалярное произведение * определено формулой (и, v)=^uvdx (п. 15.2-1), то для действительных диф- a ференциальных операторов второго порядка имеем Lu = а0 (х) -^г- + at (х) ^-+аг (х) и, L*v — £r[ao (х) а] — — [at (X) а] + а2 (х) v, vLu—uL*v = Р (х) а0 (х) (vu' — uv') + [at (х)—ап (х)] uv. (15.4-8) Р (х) иногда называют конъюнкцией и (х) и &(х) относительно оператора L. Условие at (х) а'с (х) превращает L в самосопряженный оператор Штур- ма— Лиувилля L [р (х) - q (х), (15.4-9) где р(х)—-—а0 (х) и q(x) ——а2 (х) (см. также п. 15.4-8); интегрирование по частям приводит к обобщенной формуле Грина b j (oLb — uLv) dS,— — p(x) (vu‘ — uv') a b a (15.4-10) В трехмерном случае определим скалярное произведение формулой (2), а оператор V2—так же как в табл. 6.4-1 или 16.10-1. Тогда, считая q-= = <7(х1, х2, х3) действительной дифференцируемой функцией, будем иметь, что действительный дифференциальный оператор L ==—V2 — q (х\ х2, х8) (15.4-11) является самосопряженным и удовлетворяет обобщенной формуле Грина ( (t)La-uLt))dV=-$ (vVu-uVv)-db=-\(v~~-u~)dA (15.4-12)
IS.4-5. 15.4. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 473 (см. также табл. 5.6-1). Аналогичная формула может быть написана для двумерного случая. 15.4- 4. Теорема Фредгольма об альтернативе (см. также пп. 14.8-10, 15.3-7, а, 15.4-12). Линейная краевая задача, определяемая дифференциальным уравнением L®(x)=f(x) (xelz) (15.4-13а) с однородными краевыми условиями ВгФ(х)=0 (1=1, 2, ..., A; xeS), (15.4-136) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда эрмитово сопряжен- ная {сопряженная) краевая задача (5) имеет лишь решение у {х), тождественно равное нулю, у (х) = 0. Если же однородная краевая задача (5) имеет решения у(х), отличные от нуля, то данная задача (13) разрешима, лишь если f (х) ортогональна к каждому %(х), т. с.1) (X. IfdV^O. (15.4-14) V Если последнее условие выполнено, то данная задача (13) имеет бесчисленное множество решений. Замечание. Во многих приложениях L есть эрмитов оператор, и эрмитово соп- ряженная задача (5) совпадает с данной задачей (13). 15.4- 5. Задачи о собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений (см. также пп. 10.4-2,с, 14.8-3, 15.1-1). (а) Для заданной совокупности линейных краевых условий собственной функцией (характеристической функцией) линейного дифференциального опе- ратора L называется решение ф (х), не равное тождественно нулю в V, дифференциального уравнения L ф (х) = К ф (х) (х е= 7), (15.4-15) где 7 есть соответствующим образом определенное число, называемое собст- венным значением (характеристическим числом) оператора L, связанным с собственной функцией ф (х). (Ь) Более общие задачи о собственных значениях приводят к нахождению собственных функций ф(х)-^0 и собственных значений X, удовлетворяющих линейному дифференциальному уравнению L ф (х) = X. В (х) ф (х) (х е 7) (15.4-16) и заданным линейным однородным краевым условиям; В (х) есть действитель- ная и положительная функция в Р. (с) Если ф(х) есть собственная функция, принадлежащая собственному значению X., то зто же самое можно сказать q а ф (х) 0. Если (х), ф2 W> • • ..., i|5s. (х) суть собственные функции, принадлежащие собственному значению X., то то же самое имеет место для любой функции «1ф1 (х) -ф а2ф2.(х) +...+(х) ф 0. Эта теорема приложима также к равномерно сходящимся рядам по соб- ственным функциям. Собственные функции, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы (пп. 1.9-3, 9.3-2). Если собственному значению X. принад- лежат т > 1 линейно независимых собственных функций, то число т назы- вается рангом собственного значения *) В одномерном случае dV совпадает с dx.
474 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.4-6. (d) Спектр линейной задачи о собственных значениях. Неп- рерывный спектр и обобщенные собственные функции (см. также пп. 14.8-3, d и 15.4-12). Для заданных однородных линейных краевых условий и В(г)>0 спектр линейной задачи о собственных значениях (16) есть множество комплексных чисел 1 таких, что дифференциальное уравнение L Ф W - W) Ф (*) = f (х) (х е V) (15.4-17) с заданной нормируемой «возмущающей» функцией f (х) не имеет единственного норми- руемого решения, удовлетворяющего заданным краевым условиям. Спектр может быть непрерывным и остаточным, а также дискретным, который определен уравнением (16) с нормируемыми собственными функциями ф (х). В частном случае, когда В (х)^1, говорят© спектре дифференциального оператора L. Если L — эрмитов оператор и В (х) > 0, то дискретный и непрерывный спектр задачи (16) включается в предельный спектр (п. 14.8-3, d). Часто можно получить пре- дельный спектр приближением задачи о собственных значениях последовательностью задач о собственных значениях, имеющих лишь дискретный спектр. В процессе таких предельных переходов собственные функции заменяются множеством функций, зависящих от непрерывно изменяющегося параметра X; такие функции известны под названием обобщенных собственных функций; они удовлетворяют уравнению (16). Пример. Обыкновенное дифференциальное уравнение при краевых условиях = с V = (0, со) СО Ф (0) = О, J I Ф (g) |2 rfg < оо 0 имеет непрерывный спектр 0 Z, < со. Этот спектр аппроксимируется дискретным спект- ром 1=(4л/а)2 (4 = 0, I. 2, задач о собственных значениях г?2Фя (х) ---—----= - 7, фа (л:) с V = (0, а), ф (0) = Ф (а) = О при а -» со. Собственные функции sin~L х (4 = 0, 1, 2, ...) последней задачи аппрокси- мируют обобщенные собственные функции sin (7), х при а-»оо (переход от рядов Фурье к интегралам Фурье). 15.4- 6. Собственные значения и собственные функции эрмитовой задачи о собственных значениях. Полные ортонормированные множества собственных функций (см. также пп. 14.8-4, 14.8-7, 15.2-4, 15.3-3, 15.4-3, Ь). (а) Если оператор L в уравнении (15) эрмитов, то 1. Все значения спектра действительны. 2. Нормируемые собственные функции ф,, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны: (Чъ f dV = 0 (i ф k). V Если L—эрмитов оператор, имеющий чисто дискретный спектр, то имеет место следующая теорема разложения: 3. Существует ортонормированная последовательность собствен- ных функций ф1(х), ф2 (*)• доставляющая разложение в ряд (fW = «1Ф1 (х) + а2^2 (х)+... в среднем («4 = jifecpdV, А=1, 2, ...) (15.4-18с) каждой квадратично интегрируемой функции гр (х), удовлетворяющей краевым условиям задачи и такой, что L <р (х) существует почти всюду в V. (Ь) Эти же теоремы распространяются на «обобщенную» задачу о собст- венных значениях (16), где L—эрмитов оператор и В (х) > 0 в предположении.
IS.4-7. 85.4. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 475 что ортогональность и нормированность переопределены посредством скаляр- ного произведения 1) (и, v)B = ( uvB dV. v Таким образом, разложение (18 а) заменяется более общим разложением ф(х) = а1'ф1(х) + а2'ф2(А:) + .«. = j 6=1, 2, ...). (15.4-18 b) V Ортонормированность собственных функций фд (х) определена как г — . „ (0, если I -ф k, 1 f ty$kB dV = §ik = ! . > (i, kz£\, 2, ...). (15.4-19 a) 7, 1. 1, если J Эти соотношения содержат как частный случай соотношения, полученные для задачи (15). (с) Для эрмитовой задачи с (необходимо действительным) непрерывным спектром, обладающим обобщенными собственными функциями (см. п. 15.4-5, d), существует мно- жество обобщенных собственных функций (х, X.), для которых J Ф Й, М ф Й, ?/) в (Е) d V(E) = fi (X - A'). (15.4-19 fc) V 15.4- 7. Эрмитова задача о собственных значениях как вариационная задача (см. также пп. 11.7-1 — 11.7-3, 14.8-8, 15.3-6, Ь, 15.4-10). (а) Задана о собственных значениях (16) для зрмитова дифференциального оператора L с дискретными собственными значениями Х.3, Х2, ... эквивалентна каждой из следующих вариационных задач х). 1. Найти функцию ф(х)^Ё0 в V, удовлетворяющую данным краевым условиям и обращающую вариацию (пп. 11.5-1 и 11.5-2) функционала | ф!_ф dV №, r.4)__ V------- (частное Релея) (15.4-20) J4]x В'ф) J ]ф|2Вб(Т V в нуль. 2. Найти функцию ф (х), удовлетворяющую данным краевым условиям и обращающую вариацию функционала (ф, 1_ф)=( ф1_ф dV (15.4-21) V в нуль при условии, что (ф, Вф)= £|ф|®В(/У = 1. (15.4-22) V В каждом из этих случаев функция ф=фд. (х) доставляет функционалу ста- ционарное значение Х.д. Таким образом, возможно использовать прямые методы вариационного исчисления, в частности, метод Релея — Ритца (п. 11.7-2), при решении задачи о собственных значениях для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. (Ь) Пусть дан эрмитов оператор L с дискретным спектром, содержащим не более конечного числа отрицательных собственных значений (пп. 15.4-8, 15.4-9), и пусть собственные значения расположены в порядке их возрастания, >) В одномерном случае dV = dx.
476 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.4-8, причем собственные значения ранга т повторены т раз: ?4^X2sg... Наи- меньшее собственное значение Xj равно минимуму частного Релея (20) для произвольных «допустимых» функций ф(х), т. е. для произвольных норми- руемых ф (*), которые удовлетворяют данным краевым условиям и таких, что частное Релея существует. Аналогично r-е собственное значение "кг указанной выше последовательности не превосходит частного Релея для всех «допустимых» функций ф (х) таких, что ^ф*ф£с(Е=О (15.4-23) для каждой собственной функции ф^,, соответствующей К,, .... (прин- цип минимакса Куранта). 15.4- 8. Одномерная задача Штурма—Лиувилля о собственных значениях. (а) Рассмотрим одномерную действительную переменную х и пусть V — ограниченный интервал (а, Ь). Тогда наиболее общий действительный эрмитов дифференциальный оператор второго порядка L имеет вид (9). Действительное дифференциальное уравнение (однородное дифференциальное уравнение Штур- ма — Лиувилля} L’P { й- [Р М ~] +<?(х) } ф = - L (х) + р' (х) 41 + q (х) ф 1 = X В м Ф (15.4-24<г) ф | СХА- ил j определяет самосопряженную задачу о собственных значениях, если это ура- внение дополнить однородными линейными краевыми условиями В1ф=а1ф' (а) + р1 ф(а)=0, Е2ф=й5ф'(й)+^ф(Ь)=0, (15.4-246) или условиями периодичности В!ф = ф(а)—ф(6) = 0, В2ф = ф'(а)—ф'(6)=0. (15.4-24с) Здесь предполагается, что р (х), q(x) и В (х) дифференцируемы в [«, 6], р (х) и В (х) положительны в [а, 6] и не существует собственных функций, отве- чающих числу Х = 0. Эти предположения обеспечивают дискретность спектра. *При условии (246) все собственные значения имеют ранг 1. При усло- виях периодичности (24с) ранг может равняться двум. Например, уравнение ф"-}-Хф = О с условиями (24с) при а=0 и 6=2л имеет собственные числа Х = и2 и собственные функции cos пх и sin пх. Больше двух ранг быть не может. Если в задаче (24 а, Ь) р (х) >0, В (х) > 0, g (х) 0, C£jpi 0, а2Рг 2= 0. ai + Р1 > 0> + Pi > 0, то все собственные значения положительны, за иск- лючением случая, когда q(x)?==0, р1 = рг = О, в котором Ао=0. * Если собственные значения расположить в порядке возрастания X, ..., то асимптотически пропорционально № при п—» со (п. 4.4-3).' В пп. 9.3-4—9.340, а также в пп. 21.74—21.842 изучены различные упрощающие преобразования и методы решения однородных дифференциальных уравнений типа (24). Задачи Штурма — Лиувилля возникают, в частности, при разделении переменных в крае- вых задачах для линейных дифференциальных уравнений с частными производными (см. пп. 10-4-3—10.4-9) Ъ имеют важное значение в квантовой механике. Заметим, что каждое дифференциальное уравнение вида «о w 4^ + °* W ~d'x~ + °2 U) Ф = Х h W Ф (15.4-25) можно привести к виду (24g) посредством умножения обеих частей его на ехр( Ах J а0 (х) (см. также п. 9.3-8, а). Отсюда следует, что примеры пп. 10.4-3—10.4-9 могут рассматри- ваться как задачи Штурма —Лиувилля.
15.4-10. 15.4. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 477 (Ь) Если в формуле (9) положить <) (z) (х)—(х), то b ь ь f «Lud£= Г[(ри'г + 2<71й«' + <72«г)<1£ —(ргш' + <71И2)] , j j а а а b b ь j «Lt> dg= J [pu'v' + Qt iu'v + uv’} + <7suo] — — u] . a a (15.4-26) Интегралам (26) во многих приложениях (см. также п. 15Л-7) можно придать физический смысл. К) Об о б ще и и я и родственные задачи. Многие общие задачи связаны с рассмотрением неограниченного интервала V = (0, со) или V = (—сс, оо) с краевыми условиями, в которых указывается асимптотическое поведение *ф(х) на бесконечности или другие ограничения. Далее, .могут допускаться особенности в точке х — а или х — Ъ у Функций р{х), q (х) или В(х). В случае, когда функции р(х), q (х) или В (л) имеют особенности на концах ограничен ио го интервала (о, &), спектр может оставаться чисто дискретным. Неоднородная краевая задача, включающая оператор Штурма — Лиувилля L, может быть решена методами пп. 9.3-3, 9.3-4, 15.4-12, 15.5-1. 15.4- 9. Задача Штурма — Лиувилля для уравнений с частными производ- ными второго порядка (см. также п. 15.4-3, с). (а) Пусть х = (х1, х2, хп). Определим скалярное произведение фор- мулой (2) с dV = dxldx?...dxn. Тогда действительное уравнение с частными производными (многомерное однородное уравнение Штурма — Лиувилля) п Ь|> = - + q ф = ЛВф (15.4-27) с функциями р — р (х1, л'2, ..., хп) > О, В (х1, х2, ..., хп) > 0, q = q (х1, х2, ..., хп), дифференцируемыми на V и S, определяет самосопряженную задачу о соб- ственных значениях при однородных краевых условиях вида а-~+Рф=0. Если заданная область ограничена, то спектр собственных значений указанной задачи дискретен и содержит не более чем конечное число отрицательных соб- ственных значений. Если расположить собственные значения в порядке их возрастания X, «й ..., то — со при п —» со. (Ь) В трехмерном случае последняя теорема приложима к задаче о собственных значениях для дифференциального уравнения — У2Ф— <1 (х1, хх, х3; ф = А В (х1, х‘, х3) ф с краевыми условиями вида п -Г|--|-рф = О1 В>0 и q, дифференцируемыми в V и на S. Из обобщенной формулы Грина (12) следует J и\_и dV = J [(vk)3 — qus1 dV — J (H v<A • rfA. (15.4-28) V V S Интегралу (26) во многих приложениях (см. также п. 15.4-7 и табл. 5.6-1) можно придать физический смысл 15.4- 10. Теоремы сравнения (см. также п. 5.6-1, Ь, 14.8-9, с и 15.4-7). Нижеследующие теоремы сравнения имеют место для дифференциальных ура- внений Штурма—Лиувилля как обыкновенных, так и с частными производ- НБ1МИ, определенных в пп. 15.4-8—15.4-9. Пусть дано некоторое дифференциальное уравнение (24с) или (27) и интер- вал или область 17 с краевыми условиями (246) или (24с) (р/а 5:0); тогда: 1. Возрастание р и q и!или убывание В влечет возрастание соб- ственных значений Х&; аналогично убывание р и q и/или возрастание В влечет убывание собственных значений.
4Ж ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.4-11. 2. Расширение интервала или области V влечет убывание соб- ственных значений "hp, порождаемых условиями ф (а) — ф (6) = 0 или ф(хь х2, ..., х„)=О на S, (15.4-29а) и убывание собственных значений Кр, порождаемых условиями ф'(а)=ф'(6) = О или = 0 на S. (15.4-296) 3. Каждое собственное значение к/,, порождаемое краевыми усло- виями а ф' (а) + р ф (а) = а ф' (6) + р ф (6) =0 или а 4^- -J- Рф = 0 на S с 0/а=аО, есть неубывающая функция от p/а. В частности, усло- вия Неймана (296) не увеличивают собственных значений сравни- тельно с условиями Дирихле (29a). 4. Модификации задачи о собственных значениях, усиливающие ограничения (присоединение условий) на ф, влекут неубывание соб- ственных значений. Теоремы сравнения имеют важное значение для теории колебаний (эффект масс, жесткость, геометрия натуральных частот). Примеры (см. также п. 10.4-9): ф" =—Хф(х) (колебания струны) н v8 'Ф (х, у, г) = = — Аф (я, у, г) (колебания мембраны). 15.4- 11. Решение дискретных задач о собственных значениях методами возмущений. Даны собственные значения и ортонормированные собственные функции ф^ эрмитовой задача 1_ф = Хф. (15.4-30) Требуется аппроксимировать собственные значения и собственные функции ф^ «воз- мущенной» эрмитовой задачи ЬФ + гЬ'ф = Хф (15.4-31) при неизменных краевых условиях; г!_'Ф — малый, возмущающий член (е «е 1). (а) Р а и г 7.^ равен 1. Для каждого собственного значения X. невозмущенной задачи имеем kz/zi 1 , } (1 = 1,2,.,.), (15.4-32) *«=,p‘+E 2 k ф1 где Lik = f av V. = !. 2. • • (15.4-33) V (Ь) Раиг^равен т. Для каждого собственного значения рангз т с собствен- ными функциями фр ф2, ... , фт существуют т различных собственных значений воз- мущенного оператора. Соответствующие значения ДХ = (Л — ^у)/е аппроксимируются корнями векового уравнения /n-Й степени 41 — А?ь 4а • • Llrn 41 4а—4m = 0, (15.4-34) (-ml (-m2 • • • (-mm которые могут быть и совпадающими. Собственная функция или собственные функции, соответствующие каждому значению X = Ху + ДХ. аппроксимируются выражением т S °/Л’ А=1
15.4-12. 15.4. ЛИНЕЙНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 479 гае ak получены из уравнений У, «й (*4 - с» ДЬ) = о, i=l,2..........т. (15.4-35) Заметим, что не существует других т собственных функций, кроме указанных выше, доставляющих аппроксимации К и ф для случая ранга, большего чем единица; полученные аппроксимации для ф имеют «нулевой порядок» и не пропорциональны в. Относительно приближений высшего порядка см. [5.2]. (с) Изучение непрерывного спектра см. [10.6]. 15.4- 12. Решение краевых задач посредством разложений в ряды по соб- ственным функциям (см. также пп. 10.4-2, с, 14.8-10, 15.4-4, 15.5-2; примеры см. п. 10.4-9). (а) Очень важный класс физических краевых задач (например, упругие колебания, электромагнитная теория) относится к действительным линейным дифференциальным уравнениям — обыкновенным или с частными производными L Ф (х) — X В (х) Ф (х)=f (х) (х е V), (15.4-36) L—-эрмитов оператор (см. п. 15.4-3, Ъ), В(х)>0в 17 при заданных однородных краевых условиях. Если f(x) = O в V (нет приложенных сил, токов и т. п.),. до уравнение (36) сводится к дополнительному уравнению L ф (х) = X В (х) ф (х) (х е V), (15.4-37) которое удовлетворяется только собственными или обобщенными собственными функциями ф(х) со спектральными значениями X. В неоднородном случае (36) (например, вынужденные колебания) X является заданным параметром. Рассмотрим сначала задачу (36), при условии, что задача о собственных значениях (37) имеет чисто дискретный спектр (не обязательно различных) собственных значений X,, Х2, ... с соответствующими ортонормироваиными функциями ф1(х), ф2(х), ... (п. 15.4-6, Ь). Предполагая, что «вынуждающая функция» может быть разложена в ряд СО /(х) = В(х) 2 /йФаМ ^/й=|ФаМЦ 6=1,2,...) (15.4-38) для почти всех хе У, можно ожидать, что решение уравнения (36) имеет вид «разложения по главным колебаниям» со Ф(х) = (15.4-39) и среднем/»^ А я = 1 Ряд (39) определяет решение Ф (х) однозначно в каждой точке непрерывности, если только параметр X не равен некоторому собственному значению (резонанс!). В последнем случае решение существует, лишь когда f (х) орто- гонально ко всем собственным функциям, принадлежащим X*, так что />=£). Тогда существует бесконечное количество решений, состоящих из ряда (39) плюс линейная комбинация собственных функций, принадлежащих X*. (Ь) Если краевая задача (37) обладает чисто непрерывным спектром £>л с обобщенными собственными функциями ф (х, X), имеющими свойство орто- гональности (196) (например, оператор Штурма—Лиувилля имеет особенности ® 17, или же V леограничена), то возможно представить решение Ф (х) как «обобщенный интеграл Фурье» по (необходимо действительному) спектру £>д.
480 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.5-1. Имеем тогда почти для всех х е V Ф(х) = $ /7(А)ф(х, Л)йЛ, Н(Л.)=-К^- (§, (15.4-401 °л v (см. также п. 10.5-1, методы интегральных преобразований). Если задача о собственных значениях (37) имеет как дискретный, так и непрерывный спектр, то решение будет содержать члены вида (39) и интег- рал (40); оба типа членов могут быть объединены в интеграл Стилтьеса по спектру. (с) Методы решений пп. 15.4-12, а и 15.4-12, b могут быть применены и тогда, когда данный оператор L не эрмитов, если только доказано суще- ствование соответствующих ортонормированных разложений по собственным функциям. 15.5 . ФУНКЦИИ ГРИНА. СВЯЗЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ЗАДАЧ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 15.5- 1. Функции Грина для краевой задачи с однородными краевыми усло- виями (см. также пп. 9.3-3, 9.4-3, 15.4-4; примеры см. в табл. 9.3-1, пп. 15.6-6, 15.6-9). (а) Линейная краевая задача L®(x)=/W (хе V), (15.5-1а) 6гф(х) = 0 (i=l, 2, .... А; х е S) (15.5-Ц) представляет данную функцию f(x) как результат линейной операции над неизвестной функцией Ф(х), удовлетворяющей заданным краевым условиям. Если возможно записать соответствующую обратную операцию в форме линей- ного интегрального преобразования (п. 15.3-1) *) Ф(х)= \С(х, E)f©dV@ V (15.5-2) для каждой возможной функции ‘(х), то ядро G(x, |) называют функцией Грина для данной краевой задачи (1). G(x, ?) должна удовлетворять однородным краевым условиям. (1Ь) вместе с условиями LG(x, g)=0 UG(x, g) dV © = 1 (x, £ s V; x^ E), (x<= V) или L G(x, |) = S(x, I) (x, EeV), (15.5-За) (15.5-36) где 6 (x, E) есть дельта-функция в системе координат, в которой поставлена краевая задача (п. 21.9-7). Формула (2) представляет решение Ф (х) краевой задачи (1) как суперпозицию эле- ментарных решений G (х, g) f (g), имеющих особенность при x = g. Эти элементарные решении могут быть интерпретированы как эффект импульсных сил, точечных зиряоое и т. д., f (g) С (х, g) в точке x = g (см. пп. 9.4-3, 15.5-4, 15.6-6, 15.6-9). Функция Срвна часто может быть найдена непосредственно интегрированием «символического дифФе' ренциального уравнения» (36) с данными краевыми условиями методами, указанными в пп. 9.4-5, 10.5-1, 15.4-12. См. табл. 9.3-3, пп. 15.6-6 и 15.6-9, где даны примеры функции Грина. *) В одномерном случае dV — dx.
16.6-2. 15.5. ФУНКЦИЙ ГРИНА 481 (Ь)Модифицированнаяфункция Грина (см. также п. 15.4-4). Краевая задача (1) не имеет функции Грина, удовлетворяющей уравнению (3). если эрмитово сопряженная краевая задача L*Z(x) = O (xgV), B*Z(x) = 0 (х <= S) (15.5-4) имеет решение х (х), отличное от % (х) == 0 (см. п. 15.4-4). В этом случае тем не менее возможно построить модифицированную функцию Грина G (х, £), доставляющую предста- вление (2) для всех / (х), ортогональных к % (х). G (х, £) должна удовлетворять уравнению оо L G (х, £) = б (х. |) — 2 № (15.5-5) fe = I и краевым условиям (1&). Здесь (х) есть полная орто корми ров энная последователь- ность решений вадачи (4). В рассматриваемом случае результирующее решение (2) не может быть единственным, однако существует единственная модифицированная функция Грина, которая удовлетворяет дополнительным условиям ортогональности Jxofe @G(X, а)4К(Э=О (fc = l. 2, ...). (15.5-6) V Если L — эрмитов оператор, то Х0£'Суть просто его собственные функции для X = 0. (15.5-7) (с) Функции Грина для эрмитово сопряженных краевых задач (п. 15.4-3, а) являются эрмитово сопряженными ядрами (п. 15.3-1, Ь). Для каждой функции Грина G (х, g). принадлежащей эрмитову оператору L (п. 15.4-3), G (g, х) = ==G(x, g). 15.5- 2. Связь краевых задач и задач о собственных значениях с интеграль- ными уравнениями. Резольвента Грина. (а) Если существует функция Грина G(x, g) краевой задачи (1), то из формулы (2) следует, что общая краевая задача ЕФ(х)-ХВ(л)Ф(х)=/И (хеГ), ВгФ(х)=0 (1 = 1, 2, ..., N-, х е S) эквивалентна линейному интегральному уравнению O(x)-Xj/<(x, <$<%== F(x), ' К (х, g)= G (х, g) В ® /ПГйП > F(x) = ( G(x, Dfl&dVfE). (15.5-8) Заметим, что интегральное уравненве включает в себя заданные краевые условия. В одномерном случае dV (g) = dg и | g (g) | = 1. Полученное интегральное уравнение распространяет теорию пп. 15.3-1 — 15.3-9 и численные методы п. 20.9-10 на линейные краевые задачи и задачи о собственных значениях. В частности, можно использовать ряды Неймана (15.3-23) и аналитическое продолжение для введения резольвентного ядра (п. 15.3-7, с) Г (х, g; X) так, что решение принимает форму Ф (х) =F (х) + Х (Г (х, g;z X) F (g) dg. (15.5-9) Й Г (х; g; Х\ называют резольвентой Грина; она является ядром линейного пре- образования, представляющего резольвентный оператор (L — X)”1 (п. 14.8-3, d). Г (х, g; X) часто можно построить методами п. 15.3-8; следует отметить, что -ядро Д (х, g) не необходимо должно быть нормируемым. Множество особых уточек X функции Г (х, g; X) совпадает со спектром оператора L (п. 15.4-5, d), ^Который может включать и непрерывный спектр. В частности, полюсы Г (х, g;. X) Соответствуют дискретным собственным значениям L, тогда как точки раз- ветвления указывают на наличие непрерывного спектра (см. 15.2).
482 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.5-3» (Ь) Задачи для эрмитовых операторов. Разложение функции Грина по собственны мфункциям (см. также п. 15.3-3, 15.3-4, 15.4-6, 15.4-12). В важном частном случае, когда L—-врмитоп оператор и В (х) действи- тельна и положительна в V, можно ввести новую неизвестную функцию. ф (х)=Ф (X] VВ (х] g (X) I и заменить уравнение (8) линейным интегральным уравнением ядром Ф (х)-X j /< (х, Е) Ф (g) d'i = F (X), * К(х, У=G (х, Е) V В (х) В (У Ki g (X) g (6) i • F W = Vв (x)/i7wT J G (X, У f (У dV (У. Эрмитова задача-о собственных значениях L Ф (х) = А В (х) ф (х) (х е V), Вг ф (х) == 0 |i = J, 2, ..., A; j е S) в интегральное уравнение ф (X) = A J К lx, |) ф (|) ' V (15.5-10) с врмитовым (15.5-11) (15.5-12а) (15.5-126) имеют идентичный спектр; соответствующие собственные функции ф (х) и ф (х) связаны соотношением ф (х) — ф (х) V В (х) V | g (х) | • Если спектр собственных значений чисто дискретный, то существует полная последовательность' собственных функций ф. (х) и ф| (х) так, что J е e $ Ф/ Ф/г dV = Gfa (15.1>13) V V В этом случае К (х5 £) есть нормируемое ядрд и со G (х, а) = V Ф/' (g) фй (X) (х, Е s V). (15.5-1-1) в среднем fk Последнее выражение не содержит явно В (х) или g (х). В случае задачи Штурма — Лиу- вилля с чисто дискретным спектром (пп. 15.4-8, а и 15.4-9) ряды (14) сходятся абсолютно v равномерно в. У (см. также теорему Мерсера п. 15,3-4). (с) Если данная краевая аадача<7) выражается в терминах дифференциальных инва- риантов (п. 16.10-7), то G(x, £), К (х, В) и К (х, В) являются функциями точки, январи- ентиыми относительно преобразований используемой системы координат. 15.5- 3. Приложение метода функций Грина к задаче с начальными условиями: обоб- щенное уравнение диффузии (см. также пп. 10.4-7, 10.5-3, 10.5-4). Требуется найти реше- ние Ф = Ф (х, 0 задачи V2 Ф — as -------£ф = f (X, 0, ) ’ «г г di ? (X G V) (15.5-15) Ф (х, 0) == Фо (х) J с заданными константами a2, b и однородными краевыми условиями Ф = 0 или (?Ф/<?д = 0 на границе данной /г-мерной области V, п — 1,2 или 3. Имеем Ф (X, о = J J G (X, t; 5, т) I Й, Г) Hi HV й) — й! J G (X, I; g, 0) Фо (g) 4V (g) ₽ > 0).
15.5-4. ’ 15.5. ФУНКЦИИ ГРИНА 483 где G (х, t: Е. t) — функция Грина, удовлетворяющая заданным краевым условиям, и v2G — а2 — t>G = 6 (х. 6) 6 (/ — т), 1 v dt ы У (xg V). (15.5-17) G = 0 (/<т) J Если ф^ (х) и — соответственно собственные функции и собственные значения про- странственного волнового уравнения у2Ф (х) + Лф (х) =0 (xg V) (15.5-18) при заданных краевых условиях (пп. 10.4-4 и 10.4-5, Ь), то 1 Ч + 6 1 VT----^5—Т)_ G (х, t; Е, О = -~ >,е а* ФЛ (Е) фл (х) (t >г). (15.5-19) k Если V совпадает с® всем пространством, то G (х, I; Е. Т) = [л2 1^/2 1 Г дг2 I г ------ Л |2 f) Т 4SV=d ^e4-TL7trr--5F<'--')] 3). (15.5-20) где | г — О I — расстояние между точками (х) = (г) и (?) = (о). Результирующее решение (1-6) известно как интегральное решение Пуассона задачи о диффузии. 15.5- 4. Метод функций Грина для неоднородных краевых условий (см. также- п. 15.4-2). (а) Решение Ф (х трехмерной линейной краевой задачи L<i>(x)=0 (xeV), ВФ(х)=5(х) (х е S) (15.5-21) часто может быть записано в форме поверхностного интеграла Ф (х) = j Gs (х, g) b (g) dA (Р (15.5-22) для каждой заданной функции b (х), интегрируемой на S. Gs (х, g) должна удовлетворять данному дифференциальному уравнению при х е V, £ е S и В65(х, g)==0 (х, geS; x¥=g), 1 |B6s(x, t,)dA (g) = l. j (15.5-23) Gs(x, I) называют либо функцией Грина второго рода, либо просто функцией Грина (см'. также п. 15.6-6). Аналогичные соотношения имеют место и в дву- мерном случае (см. также п. 15.6-9). Линейные краевые задачи для неодно- родных дифференциальных уравнений, так же как и при неоднородных кра- евых условиях, могут быть часто решены суперпозицией объемного (2) и по- верхностного (22) интегралов. (Ь) Как указано в п. 15.4-2, каждая краевая задача (21) может рас- сматриваться как краевая задача типа (1). Отсюда следует, что Gs(x, g) может быть выражена через обычную функцию Грина G (х, g), определенную способом п. 15.5-1 для задачи с «дополнительными» однородными краевыми усло- виями. В частности, рассмотрим двумерную и трехмерную краевую задачу Для действительного самосопряженного дифференциального уравнения вида кФ(х)^-[Г2+д]Ф(х)=0 (хе К), (15.5-24) где у— ^(х)—действительная дифференцируемая функция. Если 6(х, g)— Функция Грина2 удовлетворяющая уравнению -IV2+,91 G (х2 |) =S(x, ё) (15.5-25)
484 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ • 15 .6-1. при заданных однородных краевых условиях (п., 15.5-1), то формула Грина (15.4-12) дает - ®U)=J[G(^g)^-®(g)^ii]dXl(a (х е 17), (15.5-26) s где символ д/дч обозначает производную по нормали. Отсюда для краевых условий вида ВФ(х) = ф(х)=К1) (xeS) (15.5-27) (т. е. для условий Дирихле) решение (22) приводит к соотношению Gs (*> «= ~ е 3)> (15.5-28) где G (х, £) удовлетворяет в V уравнению (25) и обращается в нуль на S. Для краевых условий (задача Неймана) ВФ(х)^^=5(х) (xeS) (15.5-29) решение (22) дифференциального уравнения (24) сводится к использованию «функции Неймана» Gs (x, g)=G(x, g) (geS), (15.5-30) где G(x, g) удовлетворяет уравнению (25) в V и dG(x, Q/дп — О на S. В пп. 15.6-6 и 15.6-9 указаны приложения этих соотношений при решении краевых Задач для эллиптических дифференциальных уравнений. В п. 10-3-6 показан сходный ме- тод при решении задач с начальными значениями для уравнений гиперболического типа к см. также п. 10.3-5). 15.6 . ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 15.6- 1. Введение. Дифференциальные уравнения Лапласа и Пуассона (см. также п. 5.7-3, 10.4-3 и 10.4-5). Многие важные приложения связаны с ре- шением Ф (г) линейных уравнений с частными производными: уравнения Лапласа ?2ф(г)=0> (15.6-1) уравнения Пуассона ?2ф(г) = _ 4nQ (г), (15.6-2) где Ф(г) и Q (г)—функции точки в трехмерном точечном евклидовом про- странстве (г) = (х, у, г) ss (хх, х2, х8) или двумерном точечном евклидовом пространстве (г) = (х, у) = (х1, х2)^ Ф (г) часто интерпретируется как потен- циал безвихревого векторного поля F(r) = V®(r), порождаемого распределением зарядов или масс, так что V • F (г) = 4л <2 (г) (пп. 5.7-2, 5.7-3, 15.6-5). Изучение такихх потенциалов и, в частности, реше- ний дифференциального уравнения Лапласа (1) известно как теория потен- циала. 15.6- 2. Трехмерная теория потенциала. Классические краевые условия задачи. (а) Задача Дирихле. Ограниченная область V, допускающая реше- ние краевой задачи (Дирихле) Г2Ф(г)==0 (ге 17)',' Ф(г)=£>(г) (ге5> (15.6-3) для всякой заданной непрерывной функции Ь (г), называется областью Ди- рихле. Если решение существует, то оно необходимо единственно. Если У — неограниченная область^ то должно быть указано асимптотическое поведение
15 6-4. 15.8. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 4Я5 решения на бесконечности, скажем, Ф(г) = О(1/г) (при г— со; последнее условие влечёт единственность решения в случае его существования. В п. 15.6 6, d обсуждаются вопросы существования решения. Решеиие Ф (г) задачи Дирихле (3) доставляет стационарное значение интегралу Ди- рихле J (\?Ф)2 dV, где Ф (г) предполагается дважды непрерывно дифференцируемой в V V и на S и удовлетворяющей данным краевым условиям (см. также п. 15.4-7, а). Задача Дирихле имеет особую важность для электростатики (см. п. 10.4-5). (Ь) Задача Неймана. Для второй классической краевой задачи (Неймана) V*®(r)=0 (г eV), = (г) (reS), (15.6-4) где b (г) —данная непрерывная функция; существование решения требует выполнения условия Jfe(r)<M=O (см. также теорему Гаусса, табл. 5.6-1). Если V —неограниченная область, то для существования решения необходимо ф (г) = О (1/г) и дФ/дп — О (1/г2) при г—» со. Решение задачи Нейманов огра- ниченной области V единственно с точностью до аддитивной постоянной. Задача Неймана возникает, в частности, при изучении течения несжимаемой жидко- сти (см. п. 10.4-5). 15.6- 3. Теорема Кельвина об инверсии. Если Ф (г) есть решение дифференциального уравнения Лапласа в некоторой области V, лежащей внутри сферы | г — а | = /С, то функция ф <г> = ТГ^ТГ ф (г “ а) + а] <15-6'5’ есть решение уравнения Лапласа в соответствующей области, лежащей вне сферы, и рбратно. В сферических координатах г, 6, <р это означает, что если Ф (к, 5, ф) есть решение при г < R, то Ф е» есть Решение при г > R, и обратно. Отсюда следует, что так называемая внешняя краевая задача V8 Ф (П == 0 ’ (г вне И, а^+0Ф = 6(г) (rsS), оп (10.6-6) Ф (Г) = О 0-) при г -* со для ограниченной области V может быть преобразована в соответствующую краевую вадачу для внутренней области V, полученной из V -посредством преобразования ин- версии - Я2 Г - а = j г — а Р (Г ~ а)- (15 Ъ'7) 15*6-4. Свойства гармонических функций. (а) Т еоремы о среднем значении и максимуме мо- дуля. Решения Ф (г) уравнения Лапласа (1) называют гармоническими Функциями. Каждая функция Ф (г), гармоническая в открытой области I', аналитична (п. 4.10-5, Ь) и имеет в V гармонические производные любого порядка. Каждое значение Ф (гх) равно среднеарифметическому (п. 4.6-3) зна- чений Ф (г) на поверхности (а отсюда и по объему) сферы с центром в точке г = г1 в предположении, что сфера содержится внутри области V (теорема о среднем значении). Обратно, непрерывная функция Ф (г) является гармони- ческой в каждой открытой области, в которой выполняется свойство среднего значения. Функция Ф (г), гармоническая внутри ограниченной области V и на ее границе S, не может иметь максимума или минимума внутри V (теорема
ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.6-5. о максимуме модуля, см. также п. 7.3-5). Если Ф(г)— гармоническая в V, непрерывна в V и на S и равна нулю на 5, то Ф(г)еО в V. Если Ф(г) — гармоническая в V, непрерывно дифференцируема в V и на S и дФ/дп—0 на S, то Ф (г) постоянна в V. Теорема об инверсии п. 15.6-3 доставляет ана- логичные теоремы для неограниченной области V' вне S. (Ь) Теоремы Гарнака. Следующие ниже теоремы интересны в связи с аппро- симацией гармонических функций. Если последовательность s0 (г), st (г), s2 (г), ... функций, гармонических е V и непрерывных на границе S области V, равномерно сходится на 3, то эта последователь- ность сходится равномерно в V к некоторой функции s (г), гармонической е V и такой, что s (г) = lim s (г) на S Последовательность частных производных от функций в (г) п-*=оо п . п сходится равномерно к соответствующей частной производной s (г) в каждой замкнутой подобласти V (первая теорема Гарнака). Пусть дана последовательность фу/ищий s0 (г), (г), s2 (г), ... , гармонических в V и таких, что s0-(r) s2 (г) sz (г) ....для есех г в V. Из сходимости этой последова- тельности в некоторой точке V следует сходимость последовательности всюду в V и равномерная сходимость в каждой замкнутой подобласти V; предел данной последова- тельности есть функция, гармоническая в V (вторая теорема Гарнака). 15.6-5. Решения уравнений Лапласа и Пуассона как потенциалы. (а) Потенциалы точечного заряда, диполя и мульти- поля. Следующие ниже частные решения уравнения Лапласа имеют осо- бенно простую физическую интерпретацию: потенциал единичного точечного заряда в точке (р) ss (tj, т], £): «Ро (г — р) s11 г 1 п~| = г ' (г Р)> (15.6-8) ,r-el ру-нг—?)2 > потенциал единичного диполя, направленного вдоль единичного вектора iij в точке (р): <Pi(r-p)s — (u1-V)<p0(r-p) ' (г=И=р). (15.6-9) Более общо, потенциал мультиполя порядка j в точке р = 0: Ф, (г) = (-1)> (ру • V) (рА1 • V) ... (Р1 • V) <р0 (г) = <*»). оз-в-'о) » + fc + Z = J где так называемые компоненты момента мультиполя суть константы, определяемые посредством / векторов pi, р2, ... . р/, образующих мультиполь. В сферических координатах г, 6, <р имеем фНг)=7^фХт)=7^Уу(ф’е) (г*0)’ (15-6’П) где У/(ф> 6) — сферическая функция /-го порядка (п. 21.8-12). Мультиполи второго и третьего порядков известны под названием соответственно квадри- поля и октиполя. (Ь) Потенциалы распределений з а р я д о в. Со о т н о ш е н и я для разрывов. Другие частные решения уравнения Лапласа получаются линейной суперпозйцией (или интегрированием) простых потенциалов и потен- циалов диполей. В частности, представляют интерес объемные потенциалы распределений зарядов и диполей ^(p)«Po(r-p)dV(p)=5T^MTdV(p), (15.6'12) V ' V -$[p(p)-V]<p0(r-p)dV(p) = - $[p(p)-V] —±_-dV(p) (15.6-13) V V
15.6-5. 15.6. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 487 и потенциалы поверхностных распределений зарядов и диполей (потенциалы простого и двойного слоев) J о (р) <р0 (г —р) dA (р)= °2!» Г dA (Р). (15.6-14) s — \ Р (Р) ИА (Р) • V1 <Р« (г—Р)=— Р (Р)^„“ dA (р) = S - S = -$Р (Р) Ж(т^т)dA(Р). (15.6-15) представляют Потенциалы одномерных распределений зарядое (линейные интегралы) интерес главным образом в двумерной теории потенциала (п. 15.6-7). Если плотность вар ядов Q (г) ограничена и интегрируема в V, то простой объемный потенциал (12) и все его производные существуют и равномерно непрерывны прн всех г; производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла. Потен- циал удовлетворяет уравнению Пуассона (2), если Q (г) ограничена и непрерывно диф- ференцируема. Если функции поверхностной плотности су (г) и р (г) дважды дифферен- цируемы на S, то: 1. Потенциал простого слоя (14) непрерывен в каждой регулярной точке г0 поверх- ности S’. То же самое имеет место для производной дф/dt в некотором направлении, касательном к S в точке г0; однако производная дФ/дп вдоль нормали к S в точке г« претерпевает разрыв, причем дФ 6nJ+ dnj- дф' — 4ло (Го). (15.6-16) Здесь индексы 4- и — указывают соответствующие односторонние пределы, когда г -* rd по положительной или отрицательной стороне нормали к S. 2. Разрывы потенциала двойного слоя (15) и его касательных производных удовлет- воряют соотношениям Ф+ (г«) — Ф (г0) = Ф (г0) — Ф- (г0) = 2пр (г0), дф St. дФ' г__г dt г — г0 др dt (15.6-17) (15.6-18) в каждой регулярной точке г0, принадлежащей S, в которой нормальная производная дФ/дп непрерывна. Замечание. В частном случае, когда р (г) = р, потенциал двойного слоя (15) равен умноженному на р телесному углу с вершиной в точке (г); этот угол принимается положительным, если точка (г) расположена на положительной стороне нормали к S. Для замкнутой поверхности S потенциал равен —4лр, если (г) внутри S, и равен нулю,? если (г) находится вне S. (с) Разложение по мультиполям и теорема Гаусса Рассмот- рим потенциал Ф (г), порождаемый некоторой комбинацией распределений вар ядов, за- ключенных в ограниченной сфере ] г | R; пусть Qy — конечный общий ааряд. Ф (г) является линейной комбинацией потенциалов типа (12)—(15); для | г | > К можно разло- жить Ф (г) в ряд Тейлора (5.5-4) с членами (Ю) или в ряд по сферическим функциям (11). Для достаточно больших г потенциал таким образом последовательно аппроксимируется потенциалом точечного заряда расположенного в начале, потенциалом точечного заряда плюс потенциал диполя и т. р,, (разложение по мультиполям). Для каждой регу- лярной поверхности, ваключающей внутри себя распределение зарядов, теорема Гаусса (табл. 5.6-1) принимает специальный вид JA*\/Ф == J dA = — AnQf. s s п (15.6-19) (d) Общие решения уравнений Лапласа и Пуассона как потенциалы. Пусть V—односвязная, ограниченная или неограни- ченная трехмерная область с регулярной граничной поверхностью S, и пусть ® (г) дважды непрерывно дифференцируема в V и непрерывно диффереццц.
488 гл 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.6-6. руема на S; ф(г) = 0(1/г) при г —со. Тогда теорема Грина (табл. 5.6-1 или и. 15.4-3, с) позволяет представить Ф (г) в форме Ф(г)=^- $[фо(«--рРрф(Р)ЬЙА<Р)-;^ S[®(p)Vp<po(r—Р)]-ЙА(Р) — S S’ - $ <Po'(r~P) V2 Ф (p) dV (p) (г e V), (15.6-20a) v • <Po(r—Р)=|Г Joi. (15.6-206) где Vp означает дифференцирование по компоненте р; заметим, что Vp<po(r—р)= = V<p0(r—р). Формула (20) выражает любое решение Ф (г) уравнения Пуас- сона(2) как потенциал, порожденный тремя распределениями-. 1. Распределения простого слоя (14) с плотностью 1 уФр-rfA__1 дф 4л dA 4л дп' 2. Распределения двойного слоя (15) с плотностью — ф. . < 4Л 3> Объемного распределения (12) с плотностью -^V2®=Q(r). Последний потенциал равен нулю, если Ф (г) удовлетворяет в V уравне- нию Лапласа (1). Замечание. Выражение (20а) обращается в нуль, если точка г находится вне V, и равно Ф (г)/2 для точек г, принадлежащих поверхности S. 15.6-6. Решение трехмерных краевых задач посредством функций Грина. Метод функций Грина пп. 15.5-1 и 15.5-4 позволяет выразить решение Ф (г) задачи Дирихле (3) и задачи Неймана (4) для подходящих областей V в форме поверхностных интегралов Ф (r)=J Gs (г, р) b (р) dA (р). (15.6-21) s . В п. 15.5-4,b указана связь между «поверхностной» функцией Gs(r, р) Грина и обычной функцией Грина 6 (г, р), доставляющей решение . Ф(г) = 4л J G(r, р) Q (р) dV (р) (15.6-22) V уравнения Пуассона (2) при «дополнительных» однородных условиях Дирихле или Неймана. Суперпозиция решений (21) и (22) доставляет решение уравне- ния Пуассона с заданными граничными значениями b (р) функции Ф или дф/дп (п. 15.4-2). Заметим, что G (р, r) = G(r, р) (п. 15.5-1). Функции Грина легко найти в следующих частных случаях (заметим, что положительное направление нормали идет вне замкнутой поверхности). (а) Функция Грина для всего пространства. Если V есть все трехмерное пространство, то формула (20) доставляет единственное решение (22) уравнения Пуассона при «краевом условии» Ф(г) = О(1/г) при г —со. Соответствующая функция Грина есть ° Р) = = 4Л <r - Р>' ( !5.б23) (см. также п. 5.7-3).
15.6-6. 15.6. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 489 (b) Полупространство с условиями Дирихле. Если V — полупространство z>0, то функции Грина для условий Дирихле имеют вид О (г. 1 р)-фо(г-р)], (15.6-24) 4л \ | Г — о I I г о I у 4л Ос (г, р) = — ^ = 4-1.. _ =--:----------05.6-25) S dv dU£ = 0 2л [(я-4 £)*-Hl/ —Л)2 + г2] /г ' где точка (р) = (%, т),—£) есть зеркальное отражение точки '-(р) s (£, Ч» ?) в граничной плоскости. Решение (22) может быть интерпретировано как объемный потенциал, порождаемый данным зарядом и индуцированным им зарядом в точке (р); решение (21) выражает влияние неоднородных условий Дирихле в виде потенциала двойного слоя, расположенного на границе. (с) Сфера с условиями Дирихле. Интеграл Пу'ассона. Если V есть внутренность сферы |г|=/?, то функции Грина при условиях Дирихле имеют вид ° (г, р>=^ /гтзЬн-7 pH /) = V |75Г-О|/ = 47 [fo (Г-Р)-“ <Ро г-р)], (15.6-26) P)=~|v=-g]p^=-^^^Sg^/a. (15-6-27) где у — угол между г и р, или cos у=cos 6 cos 6' +sin 6 sin6'cos(<p—ф')> (15.6-28) если сферические координаты точегГ (г) и (р) обозначены соответственно через г, 6, <р и р', 6', <р'. Второй член в формуле (26) можно рассматривать как эффект индуцированного заряда, симметричного данному относительно сферы в соответствии с теоремой Кельвина об инверсии (п. 15.6-3). Решение (21) задачи Дирихле Г2Ф(г, 6, <р)=0 (r<J?), Ф|Г==7?=Н6, <р) имеет вид Ф (г, 6, <р)= 2л л О . о 6 (6', <р') sin 6' <Уб' (У?2 + гг — 2Rr cos у)% (интегральная формула Пуассона) (15.6-29) Р =«’ и может быть интерпретировано как потенциал двойного слоя. Выражение (27) может быть разложено по сферическим гармоникам в соот- ветствии с (21.8-68) (разложение по мультиполям, п. 15.6-5, с, см. также п. 10.4-9). Формулы (26)—(29) доставляют решения для внутренности сферы О' </?). Если V—внешность сферы (г>/?), О(Г; р) также дается формулой (26), однако теперь Г. tr — д(3 (Г- С> д0 (Г- О) °s(r> Р)-----dv — др так что знаки правых частей формул (27) и (29) должны быть изменены на обратные. W) Теорема су щес.твов аи и я. Функция Г рина G (г, е) уравнения Пуассона условиями Дирихле и, следовательно, решение задачи Дирихле с разумными краевыми условиями существует для каждой области, ограниченной конечным числом куское рееу- ярньи поверхностей, каждая точка которых может быть вершиной тетраэдра, распо- ложенного вн% V.
490 ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.6-7. 15.6-7. Двумерная теория потенциала. Логарифмический потенциал. (а) Во многих трехмерных задачах теории потенциала функция Ф (х, у, г) не зависит от координаты г ti V есть прямой цилиндр, граничная поверх- ность S которого пересекает плоскость Оху по некоторой линии С (например, потенциал и течение вблизи бесконечного цилиндра, плоские границы). Эти вадачи составляют содержание двумерной теории потенциала. Теорема о дивергенции и теорема Гаусса принимают вид (4.6-33); исполь- вуя прямоугольные декартовы координаты х, у или плоские полярные коор- динаты г, <р, можно записать уравнение Лапласа в виде ?2ф s s 1 * (, =0. (15.6-30) дхг 1 ду* г dr \ dr j 1 rz дф8 ' 1 уравнение Пуассона — * V2© = б-г5 + = 1 (г +1 =—2nQ, (15.6-31) дх* 1 ду* г dr \ dr J ' г* оф® ’с» \ / где Ф == Ф (г), Q = Q (г), г = (х, у) = (г, <р). На двумерные гармонические функции полностью переносятся теоремы п. 15.6-4; следует только в теоремах о среднем значении заменить сферы на окружности. Формула Кельвина (5) имеет место для каждой окружности |г—а[=/?; таким образом, если Ф (г, <р) есть -решение для г</?, то уФ^у, <р) есть решение для r>R, и обратно. . (Ь) Двумерное уравнение Лапласа (30) имеет элементарное решение, назы- ваемое логарифмическим потенциалом точечного источника в г = р, Фо (г —р)= 1п г—-Ц-?=1п г - ‘ ' ' (15.6-32) r |r-el - р» + (у - ч)' которое описывает потенциал равномерно заряженной прямой линии в направ- лении оси г. Функция (32) играет роль функции (8) в двумерной теории так, что потенциалы (12), (14) и (15) из п. 15.6-5 заменяются соответствующими логарифмическими потенциалами $ <2(Р)Фи(г —Р)Ф4(Р) = § Q(P)ln|rle-| dA (Р)’ (15.6-33) D о $ <Чр)Фо(г-рМЧР) = §о(Р)1п|г4^7‘Мр). (15.6-34) с с 1 - \р (Р) ds (р)=- р (р) In ds (р). (15.6-35) с с Уравнение (20) заменяется на Ф W =-^5’М''~ р) ds “ с $ ф ds (P)~^5 — Р) ?2рФ(Р) dA (р). S D Ваметим, что tfjp) ds {р)« SfJp. ап - dg. dv * дг} ь (15.6-36) (15.6-37) 15.6- 8. Двумерная теория потенциала; сопряженные гармонические функции (см. также пп. 7.3-2 и 7.3-3). (а) Плоскость Оху может рассматриваться как комплексная числовая плоскость с точками z=x-[-iy. Пара (необходимо гармонических) функций
15.8-8. 15.6. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 491 ф (Хг у) и 4е (х, у) называются гармонически сопряженными в области D пло- скости Оху, тогда н только тогда, когда функция Н = Ф(х, у) -f-PF (х, у) есть аналитическая функция от z=x-[-iy в области D. Сопряженные гармонические функции связаны уравнениями мана фф_йф' дф Дф- дх ду' ду дх Коши — Ри- (15.6-38) и определяют одна другую всюду' в D с точностью до аддитивной постоянной. Если дана функция Ф (х, у), гармоническая в D, то Т (х, у) выражается криволинейным интегралом (х, д) ЧЧх, (15.6-39«) (х0, До) где х0 и —произвольные постоянные, а путь интегрирования расположен внутри D. Если дана Чг (х, у), то имеем (х, д) ф (*’.«/)= 5 (^dx-d^dy)' (15.6-395) (хо, До) Линии Ф(х, у) = const и 4е (х, у) = const образуют взаимно ортогональные семейства. Эти линии имеют важную физическую интерпретацию (вквипотен- циальные линии и линии градиента в электростатике, линии уровня потен- циала скоростей и линии тока для несжимаемых течений). Е часто называют комплексным потенциалом. (Ь) Каждое преобразование z—z(z) (z=x-}-iy, z=x-j-iy), (15.6-40) аналитическое в V и такое, что dz/dz ф 0 в V (конформные отображения, п. 7.9-1), преобразует сопряженные гармонические функции Ф(х, у), Чг (х, у) в сопряженные гармонические функции Ф (х> у), Ф (х, у) с взаимно ортого- нальными линиями уровней. Эта теорема позволяет упрощать граничные линии и линии уровня посредством конформных отображений (см. также п. 15.6-9). (с) Пусть V {X, у) есть решение задачи Неймана dur V2^ = 0 (в D), = b {х, у) = b (s) (на С) (15.6-41) так, что Ф* (х, у) и ее производные непрерывны на С и, следовательно, в D. Тогда функ- ция (396), комплексно сопряженная функции Ф* (х, у), есть решенне задачи Дирихле у2ф = 0 (в D), Ф (х, у) ~ В (х, у) = В (s) (иа C)t (15.6-42) где (иа С) или В (s) = — f 6 (s) ds 4- const. (15.6-43) ds on J Решение Ф (x, у) задачи Дирихле (42) аналогичным образом доставляет решение (39а) задачи Неймана (41), если только — ф Ь (s) ds = ф ds = 0, (15.6-44) с с s T2Kt что теорема Гаусса выполняется (см. также табл. 5.6-1 и п. 15.6-5, с).
ГЛ. 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15.5-9. 15.6- 9. Решение двумерных краевых задач. Функции Грина и конформные отображения (см. также пп. 15.5-1, 15.5-4. 15.6-6). Методы, функций' Грина пп. 15.5-1 и 15.5-3 позволяют выразить решение Ф (г) уравнения Пуассона (31) с однородными линейными краевыми, условиями в виде ф (г) = 5 G (Г, р) Q (р) dA (р) (15.6-45) D и решение Ф (г) уравнения Лапласа (30) с данными краевыми значениями Ь (г) функции Ф или дф/дп в виде ф (0 = 5 Gs <r> Р) b (Р) ds (Р)’ (15.6-46) G Решение уравнения Пуассона при неоднородных линейных краевых условиях может быть получено суперпозицией интегралов вида (45) и (46). Заметим, что G(r, p) = G(p, г). Функции Грина легко находятся в нижеследующих специальных случаях. (а) Функция Грина для всей плоскости. Если D — вся плоскость, то формула (36) доставляет единственное решение (45) уравнения Пуассона при «краевом условии» Ф (г) —• 0 при г — оо. Соответствующая функция Грина есть . G(r, р)= ± 1п.——г. - (15.6-47) . * ' 2л 1Г — QI » ’ вид (Ь) Полуплоскость с условиями Дирихле. Если D — полу- плоскость х> 0, то функции Грина для условий Дирихле имеют G(r, р)=— [1п^—!--In!---^т] = 4 Р 2л L ir-ol lr~cl-l (г-р)-фо (r-p)] = ^ In g + (15.6-48) gs^ о5-6-49» где точка (р) ss (— g, т]) есть зеркальное отражение точки (р) = (g, Т|) в гра- ничной линии. (с) Окружность с условиями Дирихле. Интегральная форм у. ла Пуассона. Если D есть круг г < R, то функции Г рина для условий Дирихле имеют вид г202 , R‘ + -pj---2гр cos (q> — q>') G С’ Р) = 4Й 1П Г. + Р.-2ГР cos(<p —ф') (15’6-5°) г Ir nl— йо _ 561 _ 1 №-г‘ Ы5(Г, Pl— dv— 5pjp 2лЯ- R2 + г2 — 2Rr cos (ф — ф') где p', <p' — полярные координаты точки (p). Решение (45) задачи Дирихле ¥2Ф (г, <р) = 0 (r<R), Фг_д = &(ф), (15.6-52) принимает вид 2л ф <' ф>- s s '15-6'5” о и может быть разложено в ряд Фурье по <р. Уравнения (50)—(53) доставляют решения для круга r<.R. Если D есть область r>R, то G(r, р) также выражается формулой (50), но в этом случае Gs(r, р) = —= = так,-что знак в правых частях формул (51) и (53) должен быть изменен на обратный.
15.3-10. Щ.6. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 493 (d) Существование функц.ий Грина и конформные отображения. Из п. 15.6-9,с и теоремы Римана об отображениях (п. 7.9-6) следует существование функции Грина (а отсюда и решения задачи Дирихле) для некоторой области D, которая вместе со своей границей может быть отображена конформно на единичный круг. Более точно, пусть w—w(z)— аналитическая функция, отображающая точки z—x^iy замкнутой области D в точки единичного круга так, что точка £=£-Н'т) области D переходит в начало, или ш(г) = 1 (г на С), ш(£)=0. (15.6-54) (Тогда задача Дирихле для области D имеет функцию Грина G {x, у, g, г)) = G(z, о=1п—1^. (15.6-55) 15.6- 10. Распространение теории на более общие дифференциальные урав нения. Запаздывающие и опережающие потенциалы (см. также п. 10.4-4). Теория пп. 15.6-5, 15.6-7 и 15.6-9 позволяет конструировать решения уравнения Лапласа и Пуассона посредством суперпозиции точечных и диполь- ных потенциалов. Эта теория легко обобщается на более общие дифферен- циальные уравнения W> + 42(D=0, (15.6-56) ¥2ф+^ф==_ 4л9(г), (15.6-57) которые включают пространственную форму волнового уравнения (k—дейст- вительно, п. 10.4-4) и пространственную форму уравнений Клейна — Гордона, используемого, в ядерной физике (#=ix). Дифференциальное уравнение (57) принадлежит к типу, изученному в п. 15.5-4, Ь. (а) Трехмерный случай. Трехмерное уравнение (56) имеет элемен- тарное частное решение - i р~ ik (г—о) Фо(«--Р)—|—-oi ~ (15.6-58) Для действительных k положительный знак соответствует уходящим волнам, отрицательный знак — приходящим волнам, при мнимых k — ы. представляет большой интерес только отрицательный показатель — |х|. Подстановка выражения (58) вместо <р(, (г — р) = в формулы (8) — (15), (23), (24) доставляет решения дифференциальных уравнений (56) и (57) вместо соответствующих решений уравнений Лапласа и Пуассона. Результирующие решения волнового уравнения (п. 10.4-8) суть частные случаи ‘запаздывающих потенциалов (положительный знак в формуле (58)) и опережающих потен- циалов (отрицательный знак в формуле (58)). В частности если Ф (г) —дважды непрерывно дифференцируемое решение однород- ного дифференциального уравнения (56), формула (20) заменяется по теореме Гельм- гольца на •»-i 5('7*-7' <«>Чs(-%Л-.?')-"“ О о (г 6 V). (Ь) Дв умерный.случай. В случав двумерных дифференциальных уравнений вида (56) и (57) элементарные частные решения (32) заменяются на ' ( —Н'Л (k I г—р I) (уходящие волны}, Фо(г. Р>={ щ (15.6-60) I -у Н^' (k | г — р |) (приходящие волны), где (г)—функции Ганкеля (п. 21.8-1).
ГЛАВА 16 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ у 16.1. ВВЕДЕНИЕ 16.1- 1. Вводные замечания. В тензорном исчислении рассматриваются спе- циальные математические объекты (см. п. 12.1-1), тензоры, задаваемые обычно в каждой точке пространства и меняющиеся от точки к точке. Эти объекты представляют собой, следовательно, функции точки; роль «точек» могут играть элементы различной природы, определяемые системами чисел — координат этих точек. Предполагается, что каждый тензор может быть аналитически охарактеризован упорядоченной системой функций от -координат точки (ком- понент тензора); эти функции могут выбираться по-разному, но так, чтобы введенные с их помощью математические соотношения между тензорами не зависели от конкретного выбора аналитической характеристики. Тензорная'алгебра является обобщением теории векторных пространств (пп. 12.4-1 и 14.2-1 — 14.2-7), линейных алгебр (пп. 12.4-2 и 14.3-5) и их представлений (п. 14.1-2). Тензорный анализ занимается изучением тензоров как функций точки (тен- зорное поле) и применяется в основном для описания пространства с кривизной (гл. 17) и в теории поля в физике. Тензорные методы часто позволяют проследить иа отно- сительно простой математической модели изменение сложных количественных харак- теристик при переходе от одной системы отсчета к другой. 16.1- 2. Системы координат и допустимые преобразования. Рассмотрим мно- жество объектов, которые будем называть точками. Предположим, что каж- дой точке множества отнесена по определенному правилу упорядоченная система «<оо действительных чисел х1, х2, .... хп (ее координат), причем точки множества взаимно однозначно соответствуют точкам некоторой области п-мер- ного арифметического пространства переменных *) х1, х2, ..., хя. Преобразо- вание координат («пассивная» точка зрения на формулы преобразования, см. п. 14.1-3), допустимое в смысле последующего изложения, состоит в том, что каждой точке относятся п новых координат х1, х2, ..., хя, связанных следую- щими формулами преобразования с координатами относительно исходной си- стемы: xfe=Jcfc.(x1, х2, ..., х”) (fe=l, 2, ..., и). (16.1-1) Уравнения (1) должны удовлетворять в рассматриваемой области следую- щим двум требованиям: 1) функции х* (х1, х2, ..., х”) непрерывно дифференцируемы, 2) якобиан (п. 4.5-5) det [йх6 / 5х‘] отличен от нуля. Множество допустимых преобразований образует группу (ft. 12.2-1) относительно «умножения», т. е. последовательного выполнения преобразований (см. также п. 12.2-8). Якобиан произведения двух преобразований равен произведению якобианов этих преобразова- ний. Каждое допустимое преобразование (1) имеет единственное обратное преобразова- ние, якобиан которого равен обратной величине якобиана данного преобразования. 16.1 -3. Компоненты объектов. Индексные обозначения. В тензорном анализе рассматриваются объекты, связанные с точками (х1, х2, ..., хя) пространства п измерений (и < оо, п. 14.1-2) и представляющие собой функции точек (п. 5.4-1), определенные в некоторой области . пространства. Каждая такая функция, *) Здесь и дальше верхние индексы не являются степенями,
16.1-4. ' 16.1. ВВЕДЕНИЕ 495 обозначим ее ©(х1, х2, хп), может быть, по предположению, определена (координатное представление объекта Q) системой rfi < оо скалярных функций Q (у1э у2.. /Л;’ х1, х2, ..., х'1) ее компонент (координат) (см. также п. 14.1-2); индексы ..., пробегают целые значения от 1 до п. В зависимости от типа объекта (пп. 16.2-1 и 16.2-2) некоторые из индексов записываются в каждой компоненте наверху, другие — внизу. Например, объект Q может определяться nr+s.компонентами ,2-‘" ,г-(х1, х2, ... , х.п), где все индексы принимают Z1 *2 • • • ls значения от 1 до п. Эти обозначения .позволяют сокращенно записать суммы вида 2 Д/АВ*=С1 (1=1, 2, .... п) как AlkBk — Cl, Л=1 п п у 2 = (j, h=l, 2, .... и) как А*ЫВ* Cih=Djh, 1=1Л=1 а также суммы, содержащие векторы: п 2 aftefe = a как afeefe=a. Л=1 Сокращенная запись суммы основана на следующих соглашениях: 1.. Соглашение о суммировании. Суммирование от 1 до п произ- водится по каждому немому индексу, встречающемуся дважды, один раз внизу и один раз наверху. Обозначение любого немого’ индекса может быть изменено, так как немые индексы ч «взаимно уничтожаются» при суммировании. (Пример: AlkB^ = = А11В] При перемножении сумм следует использовать различ- ные индексы суммирования. 2. Соглашение о ранге. Все свободные индексы, встречающиеся только внизу или только наверху, пробегают .значения от 1 до п, так что уравнение с R свободными индексами является сокращенной за- лисью п уравнении: Как верхние, так и нижние индексы из различных частей уравнения должны совпадать. 3. В производных, вида daljdxk индекс k считается ниоюним. В настоящей главе немые индексы в соответствии с соглашениями 1), 2) всегда используются для обозначения суммирования. Так, выражения вида AikBk следует рассматривать как суммы, если специально не оговорено про- тивное, например AlkBk (не суммировать!). Во многих приложениях индексные обозначения оказываются: более совершенными, чем матричная запись, использованная в гл. 13 (см. табл. 14.7-1 для сравнения обоз- начений). 16.1-4. Системы отсчета и индуцированные преобразования. Геометрические объекты (см. также пп. 14.1-5 и 16.2-1). Рассмотрим класс объектов, являю- щихся функциями точки. ^Говорят, что для этого класса или для множества классов задана система отсчета (координатная система), если каждому объекту по некоторому правилу соответствует (взаимно однозначно) система действи- тельных чисел — компонент (координат) объекта. Каждый объект должен определяться во всех системах отсчета одним и тем же числом компонент. В физике значение каждой компоненты представляет, собой обычно Результат физического измерения.
496 гл. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.2-1. Полезно считать, что с каждой системой координат х1, х2, , хп свя- зана своя система отсчета (система отсчета х). Тогда компоненты (л-!, х2. t хп^ объекта СЦх1, х2, ...,хп) в системе отсчета х и ком- ‘1*8 —*s _ £ £ ... k поненты Q k? ' S (х1, х2......Хп) того же объекта в системе отсчета X свя- завы индуцированным преобразованием k1kQ...^S lQ"::: 1 <xl-*2....хП^ - > Q™:::” *2- - • *")]> <16- Ь2> 1 2 s щ которое порождается каждым допустимым преобразованием координат (1). Класс С объектов Q (Л х2, ...хп), определяемых в системе отсчета х скалярными компонентами О.'1/ / (Л х2 .... хп), называется классом инвариантных или геоме- »1«2 — £s трических объектов (иногда называемых тензорами в наиболее широком смысле слова), если математические свойства объектов этого класса могут быть описаны в терминах операций, не зависящих от системы отсчета (см. также пп. 12.1-1 и 16.4-1). Это значит, что индуцированные преобразования (2) следующим образом связаны с операциями, заданными в С: I. Соответствие между допустимыми преобразованиями координат (I) ' и соответствующими индуцированными преобразованиями (2) есть гомомор- физм (п. 12.1-6), сохраняющий произведение двух индуцированных преобра- зований. 2. Каждое индуцированное преобразование является изоморфизмом, , сохраняющим операции, определенные в С (см. также п. 16.4-1). Если опре- делены операции, связывающие элементы двух или более классов С,, Сг, ... (например, скаляры и векторы), то они также сохраняются прн преобразо- ваниях, индуцированных в С,, С2, ... Можно рассматривать также классы объектов, инвариантных лишь относительно подгруппы множества допустимых преобразований (п. 12.2-8). 16.2. АБСОЛЮТНЫЕ (ИСТИННЫЕ) ТЕНЗОРЫ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ (ПСЕВДОТЕНЗОРЫ) 16.2- 1. Определение абсолютных и относ! тельных тензоров, основанное на законе преобразования их компонент (см. также табл. 16.2-1 и п. 6 3-3). В настоящем справочнике, а также в большинстве приложений рассматрива- ются действительные (абсолютные или относительные) тензоры, т. е. тензоры с действительными компонентами. В основу определения тензора можно положить соотношения, связывающие компоненты тензора в различных коор- динатных системах. При переходе от одной координатной системы к дру- гой компоненты тензора подвергаются линейному однородному преобразо- ванию (4) или (5), различному для абсолютных или относительных тензоров различного типа', тип тензора определяется законом преобразования его ком- понент. Если задано пространство точек (х1, х2, ..., хп) и группа допустимых преобразований координат (16.1-2), то 1. Скаляром (абсолютным скаляром; тензором ранга 0) а называ- ется объект, который в. координатной системе х определяется функцией «(х1, х2, ... , х”) и в координатной системе X функцией а (х1, X2, ... , Хп), связанной с а (х1, х2г ... , х") в каждой точке пространства соотношением а = а. (16.2-1)
16.2-1. 16.2. АБСОЛЮТНЫЕ Й ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ 497 Таблица 16.2-1 Определения тензорных величин наиболее распространенного типа, основанные на законе преобразования их компонент • (п. 16.2-1; п. 16.1-3, система индексных обозначений) Тип тензорной величины .( • Компоненты в системе координат Компоненты в системе координат х1. х2. . . . . хя х\ =? хп I. Абсолютный скаляр (тензор ранга" 0) . (R = r = s = 0) - а (х1, х2 хя) а(3?. х2 = а (х1. х2. .. хп) = . . Xя) .2./Абсолютный контра- вариантный вектор а (Я=г = 1, s — 0) а1 (х\ х2 Xя) дх1 3. Абсолютный " кова- риантный вектор а (R = s = 1, г = 0) at (х1. х2 Xя) £,ft 6xk “l 4. Абсолютный контра- варнантный тензор А ранга 2 х (R = г = 2. s = 0) Aik (х1, х2, ... . Xя) -д]П = dxj дхп дх/ dxk 5. Абсолютный кова- риантный тензор1 А ранга 2 (R = s = 2, г = 0) Alk(x\ Л... .Xя) -J бхг dxk ]h dxj дх'1 Aik 6. Абсолютный сме- шанный тензор А ранга 2 (Я = 2. r = s= 1) ^(х1. х2. ... Xя) dxi дх'г h дх1 6xh Ak 2. Контравариантным вектором (абсолютным контравариант- ным вектором; абсолютным контравариантным тензором ранга 1) называется объект, который в координатной системе х определяет- ся п упорядоченными числами или функциями (компонентами) *) а‘ (х1, х2, ... , хп) и в системе х определяется п упорядоченными ком- понентами й'^1, х2, ... , хп), связанными с а1 (х1, х2, ... , хп) в каждой точке пространства преобразованием ak = ^-j-d. (16.2-2) дх1 3. Ковариантным вектором (абсолютным ковариантным вектором; абсолютным ковариантным тензором ранга 1) называется объект, который в координатной системе х определяется п упорядоченными компонентами ai(xl, х2, ... , хп) и в системе х определяется п упо- рядоченными компонентами и,(х1, х2, ... , хп), связанными с аг (х1, х2, ... , хп) в каждой точке пространства преобразованием = (16.2-3) #) В векторной алгебре (гл. 5) компоненты вектора назывались координатами векюра Отметим, что термины компоненты тензора и координаты тензора применя- ется взаимозаменяемо.
4 а ГЛ. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.2-2. 4. Тензором А, г раз контравариантным и s раз ковариантным (истинным тензором, абсолютным тензором, г раз контравариантным и s раз ковариантным), называемся объект, который в координатных системах х и х определяется соответственно nr+s компонентами А/Й / (х1, х2,...,. хп) и nr+s компонентами ••• > -к"), связанными с (х1, х2, ..., хп) в каждой точке преобразо- ванием “д*1^2 *’' дх&1 дх^я дх^Г дх 1 дх 2 ee 9 dx*s /1^2'’ * (16 2 4) kiki — k's дх{1 дхЪ dxlr dxk'i dxka d-k's ЧЧ — 1Ь Общее число индексов r-|-s называется рангом (валентностью) тен- зора А. б. Относительным тензором (псевдотензором) А веса W, г раз контрава- риантным и s раз ковариантным, называется объект, определяемый в каждой координатной системе nr+s упорядоченными компонентами, которые при переходе к новой системе координат преобразуются по закону 1^2 ° „ дх&* дх&в дх^г дх*1 dx^s k-^—k's ,dXh fail Sxlr g~k[ g~k'z аЛ' z g-kS 4‘a “• *s L® (x1’ X2.xn)J (16.2-5) где W — целое число. При W =» 4- I относительный тензор называется тензор- ной плотностью, при W = — 1 — тензорной емкостью. Уравнение (5) включает (1), (2), (3) и (4) как частные случаи, соответствующие W = 0. ЧГ*2 —zr Тензор с компонентами А.,., называется смешанным тензором, если ни га ни s i j i9...is не равны нулю. Преобразование (5), характеризующее любую тензорную величину, является линейным и однородным относительно компонент тензора. Преобразование, обратное преобразованию (5), имеет вид ^2 •• • дх^ дх*я дх*г dxki dx&s dx^s —^1^2 * *• Г д (х*> х2, ... . хп) I ‘iZ2 — ‘s dxki дх&‘ dxkr дх11 дх1'а dx!'s "-k's U1, x2, ... , л") J 1 (16.2-6) Замечание. Для того чтобы не вводить новых символов, компоненты тензоров иногда различают относительным положением верхних и нижних индексов. Так, Alk и обозначают различные системы компонент (см. пп. 16.7-2 и 16.9-1). 16.2-2. Инфинитезимальное перемещение. Градиент скалярного поля (см. также пп. 5.2-2, 5.7-1, 6.2-3, 16:10-7). Дифференциалы координат dx1 определяют контр а вариант- ный вектор, который называется вектором инфинитезимального перемещения dr. Если скаляр а задан дифференцируемой функцией от координат х\ то ды/дх1 служат компо- нентами ковариантного вектора — градиента уа скаляра а. Ковариантный вектор, задан- ный компонентами а-, является градиентом скаляра в том и только в том случае, если да- да. —£ — '—i 0 для всех it h’t при этом предполагается, что все частные производные дх дх* непрерывны.
16.3-5. 16.3. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 4УУ 16.3. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ "ОПЕРАЦИЙ 16.3-1. Равенство тензоров. Два тензора А и В одного и того же типа, ранга и веса называются равными (А = В) в точке (х1, х2, ..., хп), если в этой точке равны соответствующие компоненты тензоров относительно неко- торой координатной системы I I ...I 1л9"'1г I А^-2 [' (я1» х2> [' С*1» х2> ••• • *”) f (равенство тензоров). 1‘®"’ S ** S (16.3-1) Отсюда следует, что соответствующие компоненты тензоров А и В равны в каждой координатной системе (см. также п. 16.4-1). Равенство тензоров обладает свойствами симметрии, рефлексивности и транзитивности (и. 12.1-3). Замечание. В тензорной алгебре не определяются никакие соотношения между значениями тензоров в различных точках пространства. Некоторые из этих соотноше- ний для частного случая тензоров в римановых пространствах рассматриваются в п. 16.10-9. 16.3-2. Нуль-тензор. Нуль-тензором 0 любого заданного типа, ранга и веса называется тензор, обладающий тем свойством, что все его компоненты в некоторой координатной системе равны нулю. Условие того, что А = 0 в точке (х1, х2, .... хп), имеет вид А.1..2. '(х\ х2, ... , хп)=0 (нуль-тензор). (16.3-2) '1‘а — ‘s Все компоненты нуль-тензора А равны нулю в любой координатной системе. 16.3-3; Сложение тензоров. Если задан класс тензоров одного и того же типа, ранга и веса, то суммой С = А + ₽ двух тензоров А и В называется тензор, компоненты которого в некоторой координатной системе (и, следова- тельно, в каждой координатной системе) равны суммам соответствующих компонент тензоров А и В: — г i i i i i i i i \ Ci? •” '.—Ai?'" .- + B.-1.2 " / } (сложение тензоров). (16.3-3) III2 ... lS 4lS ... lS ... (s J 7 Сумма тензоров A + В является тензором того же ранга, типа и веса, что и каждое из слагаемых. Сложение тензоров коммутативно и ассоциативно. 16.3-4. Умножение тензора на абсолютный скаляр. Произведением В = аА тензора А на скаляр а называется тензор, компоненты которого в каждой координатной системе равны произведениям компонент тензора А на скаляр а: i i i it i \ В?2 / = аАД? j (умножение на скаляр). (16.3-4) аА является тензором того же ранга, типа и веса, что и А. Умножение иа скаляр коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения как тензоров, так и скаляров. Б частности, (— 1) А = — А есть тензор, противоположный тензору А т. е. А + (- А) = 0. 16.3-5. Свертывание смешанного тензора. Свертывание—операция, кото- рая может быть применена к смешанному тензору. Рассмотрим смешанный i i i тензор А с компонентами А??5. Если выбрать какой-нибудь верхний индекс и какой-нибудь нижний индекс и просуммировать все компоненты с совпадающими значениями этих индексов, то полученные nr+s~2 суммы будут компонентами нового тензора того же веса, что и А, г— 1 раз контра- вариантного и s — 1 раз ковариантного. Смешанный тензор может быть.
500 ГЛ. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.3-6. вообще говоря, свернут различными способами; кроме того, свертывание может быть повторено несколько раз. Пример. Свертывание абсолютного или относительного смешанного тензора А ранга 2 с компонентами А^ порождает абсолютный илн относительный скаляр Aj. = AJ + Ag + ... + Д" (след А). 16.3-6. Произведение (внешнее) двух тензоров (см. также п. 12.7-3). Произведением- С = АВ (внешним) двух тензоров А и В веса W и W соот- i i i k k k ветственно, определяемых компонентами Л.Ии‘/и В • % называется ,..lS ... kq тензор с компонентами i i - !' k k k i i i k-k k x C.\. ” ,r, ? ? ” = " ,r.B i J " ? ) (внешнее умножение). (16.3-5) £ll2 ... *s*i*2 ... *1*2 ... ... kg f Произведение AB является тензором веса W + W", T + P раз контравариантным и s -p q раз ковариантным. Умножение тензоров ассоциативно и дистрибутивно относи- тельно сложения. Одиако оио, вообще говоря, не коммутативно, так как порядок следования индексов в, формулах (5> является существенным. Примеры. a^bk = Aik, ~ ~ Произведение (4) является част- ным случаем внешнего произведения тензоров. 16.3-7. Внутреннее произведение. Если произведение двух тензоров А и В, определяемое формулами (5), можно свернуть (п. 16.3-5) таким образом, что в каждом из слагаемых один или несколько верхних индексов компоненты Л5 будут совпадать с одним или несколькими нижними индексами *1*2 ... ls k k k компоненты В ?,?’*’Л. то полученные суммы будут служить компонентами *1*2 ... нового тензора, который называется внутренним произведением тензоров А и В. В общем случае можно образовать несколько таких внутренних произведений. Каждое внутреннее произведение тензоров А и В является тензором того }ке веса, что и АВ. Ранг внутреннего произведения равен разности между рангом АВ и числом попарно взятых индексов, по которым производилось суммирование. Внутреннее умно- жение дистрибутивно относительно сложения тензоров. Иногда внутреннее умножение тензоров называют свертыванием этих тензоров. Примеры. а*Ь. = у, с*, A^b.—D., B^b. = CJhak — hs. t fZ R, l R I In I 16.3-8. Признак тензора. Пусть в координатной системе х заданы пВ компонент Q(jv j2, ..., jR; х1, х2....хп) объекта Q. и. пусть X—тензор, i i ’ описываемый компонентами ‘ < (х1, х2, ..., хп). Как и в и. 16.3-6, «1‘8 ... ‘S внешнее произведение ОХ будет определяться пл+г+® компонентами 0 (/г /а’’"’ /„) < к/ Ч12 ... ‘S Внутреннее произведение Q и X определяется сумма- ми, образованными таким свертыванием (п. 16.3-5) объекта QX, при кото- ром один или несколько индексов каждой компоненты Q(/1( /2, ..., jR) совпадает с одним или несколькими индексами (верхними или нижними). i i i компоненты X/ входящей в то же слагаемое. Для того чтобы объект О *1*2 ... *5 был тензором, необходимо и достаточно, чтобы для каждого тензора X некоторого определенного (фиксированного) ранга, типа и веса внешнее произ- ведение ОХ или какое-нибудь внутреннее произведение объекта О и тензора X было тензором Y определенного (фиксированного) ранга1 типа и веса.
ie,4-l. 16.4. ИНВАРИАНТНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 501 Можно получить аналогичную теорему, заменив X внешним проведением R различ- ных произвольных векторов определенных фиксированных типов и весов. Ранг и тип О, мо- гут быть в каждом случае определены на основании подсчета верхних и нижних индек- сов. Вес Q равен разности весов Y и X. Примеры. 1)0, является абсолютным тензором, г раз контравариантным и s раз ковариантным, если для каждого абсолютного вектора а с компонентами а1 S С(Л. /2" 4+5)а?г+5=вУг7‘lr i j 5—1 V1 2 +Sf lr+l} Г+2 1 r+S-1 ‘r+s где правые части служат компонентами абсолютного тензора, зависящего от а. 2) О, является абсолютным тензором, г раз контравариантным и s раз ковариантным, если для каждого абсолютного тензора А с компонентами А Я ? ... «г Xi-, .......................... '1“ ‘2 fr + S где а — абсолютный скаляр, зависящий от А. ХЗ амечан не. Объект Q, определяемый -п2 компонентами является абсолют- ным ковариантным тензором ранга 2 в том и только в том случае, если п п /=lfe=l для каждых двух абсолютных контравариантных векторов с компонентами а* н - Объект Q-^ является тензором, если п п s s Wafc=a i=l k = l есть абсолютный скаляр для каждого абсолютного контравариантного вектора а с ком- понентами а1, и Qik = Л 16.4. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА. ИНВАРИАНТНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 16.4- 1. Инвариантность тензорных уравнений. При любом допустимом преобразовании координат (16.1-1) компоненты тензоров преобразуются по законам, сохраняющим результаты сложения, свертывания и внешнего (следо- вательно, и внутреннего) умножения, а также равенство тензоров. Каждое соотношение между тензорами, которое можно выразить через эти операции (и операцию предельного перехода), инвариантно относительно группы допу- стимых преобразований координат. Если соотношение,’ записанное и виде уравнений между компонентами, имеет место в одной координатной системе, то оно справедливо во всех координатных системах (см. также пп. 12.1-6 и 16.1-4). Пример. Из А,.. Г, +В ’ "=С . , . Ч ^2 • • ‘S *1 ^2 z2 • • .следует Zj ^2 . . . iS ^2 • • • is 12 • • • is и обратно; это соотношение может быть символически записано в виде А + В = С. Следовательно, о тензорах и тензорных операциях можно говорить безот- носительно к координатным системам (системам отсчета). Каждую подобранную
5(1 ГЛ. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.5-1. подходящим образом систему тензорных величин можно рассматривать как класс инвариантных объектов с определенными в этом классе и вполне опре- деляющими его (с точностью до изоморфизма, п. 12.1-6) абстрактными опе- рациями, не связанными с координатным представлением объектов. Так, классы абсолютных тензоров ранга 0, 1 и 2 представляют собой соответ- ственно скалярные поля (п. 12.3-1, с), векторные пространства (п. 12.4-1), линейные алгебры (п. 12.4-2; см. также п. 16.9-2) илн кольца линейных операторов (пп. 14.5-2, 14.6-2, 16.3-8). Классы тензоров ранга 2, 3, • • • можно рассматривать как прямые произведения векторных пространств (п. 12.7-3; см. также п. 16.6-1. с). 16.5. СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ 16.5- 1. Симметричные и антисимметричные объекты. Объект Q с ком- понентами Q(/v .... 1^),. каждая из которых снабжена упорядоченной системой нз R индексов jv jv jR, называется 1. Симметричным по какой-нибудь паре индексов, например /1 и /а» если о /2=*- 7з..........Ъ?)=<2(Л=^ /2=1’> 4’ •••’ //?)• » 2. Антисимметричным (кососимметричным) по какой-нибудь паре индексов, например и /2, если h=k< 7з- 7«)=-Q(7i=fe- i2=1’’ 4....../й) для всех значений 1, k, ja, ..., jR от 1 до и. Объект О называется симметричным (абсолютно симметричным) или анти- симметричным (абсолютно антисимметричным) относительно всех индексов, если он соответственно симметричен или антисимметричен по любой паре индексов. Симметричность (антисимметричность) тензора или псевдотензора отно- сительно некоторой пары верхних или нижних индексов является свойством, инвариантным относительно группы допустимых преобразований координат. 16.5- 2. Символы Кронекера. Обобщенным символом Кронекера ранга 2г (6-объектом ранга 2г) называется абсолютный тензор, п2Г компонент которого 6 *‘2 " /определяются следующим образом: Ms--- kr 1) 6‘i‘s / = + 1 или — 1, если все верхние индексы ilt 12, ... ..., ir различны и система нижних индексов k2, .... kr получена соответственно четным или нечетным числом транспозиций из системы / верхних индексов. гZ- ... ir 2) kr~® Для всех других комбинаций верхних и ниж- них индексов. Особенно важную роль играют 6-символы Кронекера ранга 2, определяе- мые следующими условиями: О ((=#*), 1 (i=k). (16.5-1) Свертывание любого смешанного тензора Д по верхнему индексу I и нижнему индексу /* (п. 16.3-5) равносильно внутреннему умножению (п. 16.3-7) Д на 6^ . Каж- дый символ Кронекера абсолютно антисимметричен (п. 16.5-1) как по верхним, тай и по нижним индексам. Все символы Кронекера ранга 2г > 2я равны нулю.
16.5-4. 16 5. СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ БОЗ Если А^' ... *8 симметричен по любой паре верхних индексов, то V?’*’ ? = 0. (16.5-2) Если aV- симметричен по любой паре нижних индексов, то А И *2 . . . i’c Л . Л „ 6 SA 1 ? Г. = 0. fetfe2 ... ks ij 14.. . is 1(16.5-3) Если fe.fe, А 1 2 ' абсолютно антисимметричен, то lhrAk^2 ’"kr = п А klk2 ••kr ir (16.5-4) Следует также отметить, что 6<l<8... V (л — s)! 6Уа ••• lr lr+i---ls ‘г «I klki...kr {n — r)lklk2...krtr^i...is' (Я —г)1» (16.5-5) (16.5-6) 16.5- 3. ^е-объекты (символы Леви-Чивита) (см. также п. 16.7-2). е-сим- волы с16-6-7) определяют абсолютно антисимметричные относительные тензоры (е-объекты) ранга п и веса 1 и — 1 соответственно. Из (16.5-7) следует: 1. е 1 2 ’' ’ ‘п=е1 i =0, если среди индексов ilt i2...in имеется хотя бы два одинаковых. ill 2. е 1 2‘"‘ п—е, - . =1, если упорядоченная система ин- 1 а • • • п дексов i1( i2, ..., in отличается четным числом транспозиций от системы 1, 2, ..., п. 3. е*1 2 ‘ " ‘п=е, , , =—1, если упорядоченная система li г • • • 1п индексов i'i, i2, ..., in отличается от 1, 2.и нечетным числом транспозиций. Следует также отметить, что -2 • • • . krir+i... г„=(«-н1б^:(16.5-8) еМ2---*яе =«!, (16.5-9) eh4 {пА \А2.* . _ _ {А^А122 ... У" =det [4].’ (16.5-10) 16.5- 4, Альтернированное произведение двух векторов (см. также пп. 16.8-4 и 16.10-6). Альтернированным произведением двух контравариантных нли двух кова- риантных векторов (иногда бивектором) называют антисимметричный тензор ранга 2 с компонентами Vtj=<tb>—Jbi или V Об „,6 (16.5-11) If If ft Вес альтернированного произведения равен сумме весов его сомножителей.
504 ГЛ. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.6-1. 16.6. ЛОКАЛЬНАЯ СИСТЕМА БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ (ЛОКАЛЬНЫЙ БАЗИС) 16.6- 1. Выражение векторов и тензоров через векторы локального базиса. (а) Если задана координатная система х, то каждый (абсолютный или относительный) контравариантный вектор с • компонентами а‘(х1, х2, ..., хп) может быть представлен в виде инвариантной формы a = at'(x1, х2, ... ,x") et (х1, х2, ...’, хп). (16.6-1) Эта форма линейна относйтельно и абсолютных контравариантных векторов е^х1, х2, ..., Xя), е2(хг, х2, .... хп), .... е„(х1, х2, .... Xя); ' последние назы- ваются контравариантиыми локальными базисными векторами координатной системы х (о значении немых индексов см. п. 16.1-3). Компоненты i-го базис- ного вектора ei равны 6|, 6?, ..., 6" (см. также п. 14.2-3). (Ь) Аналогично каждый (абсолютный или относительный) ковариант- ный вектор Ь с компонентами Ь, (х1, -х2.....хя) может быть следующим образом выражен через п абсолютных ковариантных локальных базисных векторов е1 (х1, .... хя), е2(х!, х2...хя).....ея (х1, х2, ..., хя) координатной системы х: b=bt (х1, х2, ..., хя) е* (х1, х2, ..., хп). (16.6-2) Компоненты i-ro базисного вектора е‘ равны 6lj, б|, ..., 6^. Следует отметить; что векторы (1) и (2) принадлежат, вообще говоря, различным векторным пространствам. (с) Каждый абсолютный или относительный тензор А с компонентами i I л,, i А л 2, К может быть представлен в виде инвариантной формы *2 • • • is А=V4®2 (16.6-3) Эта форма однородна относительно локальных- базисных векторов е,- и е;'. 16.6- 2. Преобразование локального базиса при преобразовании координат. 2и локальных базисных векторов еДх1, х2, ..., хя) и е1 (х1, х2...хя), свя- занных с системой координат ‘‘х1, х2, ..., хп, позволяют получить аналитиче- ское представление любого тензора в виде системы его компонент (п. 16.1-4). Новые локальные базисные векторы efe(JP, х2, ..., хп) и е* (х1, х2, ..., хп), связанные с системой координат х1, ..., хп, имеют в этой системе компоненты, равные соответственно 6^ и 6*. Векторы локального базиса системы X1 выражаются через векторы ло- кального базиса системы х* следующим образом: еь (х1, х2, ..., х”) = е/(х1, х2.Xя), дх * efe (х1, х2.хя) =е‘(х1, х2, ..., хя). йх* (16.6-4) Необходимо помнить, что е; (х1, х3, ..., хп) и е^ (JI, *8, . ^Л) ЯВЛЯются вооб- ще говоря, различными векторами (одного н того же векторного простравства), а не одявм и тем же вектором, заданным различными способами. Векторы е. преобразую гея формально так же, как компоненты абсолютного ковариантного вектора (когредиентно
16.7-1. 16.7.' ТЕНЗОРЫ В РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Б05 этим компонентам); закон'преобразования е* 1 совпадает с законом преобразования ком- понент контравариантного вектора. Компоненты а1 абсолютных контравариантных век- торов и .компоненты Ь- абсолютных ковариантных векторов (я, как следствие, контра- вариантные и ковариантные базисные векторы е- и е1) преобразуются контрагредиентно, т. е. таким образом, что внутреннее произведение alb^ является инвариантом (см. также п. 16.4-1). 16.7. ТЕНЗОРЫ В РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. АССОЦИИРОВАННЫЕ ТЕНЗОРЫ 16.7- 4. Риманово пространство н фундаментальные тензоры. В каждом римановом пространстве может быть определено скалярное произведение, а вместе с ним длины и углы (п. 16.8-1; см. также п. 14.2-7); эти определе- ния приводят в свою очередь к полезным обобщениям евклидовой геометрии (см. также пп. 17.4-1—17.4-7). Пространство конечного числа измерений, точки которого определяются упорядоченными системами п действительных1) чисел (координат) х1, х2, ... ..., х", называется римановым пространством, если в нем задан абсолютный ковариантный тензор ранга 2 (п. 16.2-1) с компонентами giftCx1, х2, ..., хя), удовлетворяющими в рассматриваемой области пространства следующим трем требованиям; 1) Каждая компонента gtkix1, х2, ..., х") является действитель- ной функцией координат и имеет непрерывные частные производные; 2) gifeU'1. *2. ..., x«)=gw(x1, х2, .... -х"); 3) g=det [gik (х1, х2, .... х")] #= 0. Квадратичная форма, соответствующая матрице [g-д, (х1, х2, .. ./*”)], часто пред- полагается положительно определенной (п. 13.5-2), хотя это не является необходимым; случай неопределенной формы представляет интерес для теории относительности, (см также пп. 16.6-1 и 17.4-6). Все перечисленные свойства тензора gik инвариантны относительно допус- тимых (п. 16.1-2) преобразований координат. Тензор (см. также п. 17.4-2) с компонентами gik(xl, х2, ..., х^) (метрический тензор) и абсолютный сим- метрический тензор ранга 2, компоненты которого glk (х1, х2..Xя) опреде- ляются соотношениями glftg« = 6/ или 8Ife = -V’ °6-7’1) где Gik — Gki есть алгебраическое дополнение (п. 1.5-2) gik в определителе det (ассоциированими метрический тензор), называются фундаменталь- ными тензорами риманова пространства. X Компоненты каждого из фундаментальных тензоров определяют дифференциал длины дуги ds (или линейный элемент ds2) и, следовательно, всю внутреннюю геомет- рию риманова пространства (п. 17.4-1—17.4-7). Так как при любом преобразовании коор- динат g = det преобразуется по формуле g (Л х2....хя) = g (х1. X2, .. .,- хя) - \ д (л1, х, лг)/ то естественно принять, что K|g(?. х2, ...,F)| = VlgV, х2.....*")| --g. д (л > » ...,x ) *)• Теория, изложенная в пп. 16.7-1—16.10-11, применима к векторам и тензорам с Действительными компонентами, определенными в действительных римановых про- странствах (последнее означает, что координаты точек действительны), а также в ри- мановых пространствах теории относительности, где мнимые координаты используются, Е сущности, лишь как форма записи. . #
506 ГЛ. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 1G.7-2. При этом допущении выбор знака перед V | g (л1, л2.х") | в одной системе коор- динат однозначно определяет соответствующий знак для любой системы. Система коор- динат х1, х2...хп называется правой, если в этой системе координат скалярная плот- ность |g (х1, х2...хп) | положительна, и левой, если она отрицательна (см. также пп. j6.2-3, b н 6.4-3, с). X 16.7-2. Ассоциированные- тензоры х). Поднятие и опускание индексов. Контравариантный (абсолютный или относительный) вектор с компонентами а1 и ковариантный вектор с компонентами а,, заданные в римановом пространстве, называются ассоциированными, если их компоненты связаны в каждой точке следующими соотношениями: ak = aiglk и, следовательно, ai=gikak-. (16.7-2) Аналогично, для того чтобы получить тензор, ассоциированный данному тензору с компонентами А‘^‘2 ‘rk , следует, по определению, поднять индекс k пос- 1 2 ” s ki редством внутреннего умножения на g или опустить индекс i посредством внутреннего умножения на gjf, можно также совершить несколько операций этого рода. Тензор, ранг которого больше единицы, имеет несколько различных ассоциированных тензоров. Поскольку компоненты всех тензоров, ассоцииро- ванных данному, тензору А, целесообразно обозначать одной и той же буквой А, необходимо принимать во внимание порядок, в котором верхние индексы рас- положены по отношению к нижним (см. также п. 16.2-1).' Так, результат поднятия индекса k2 в A^'j* записывается следующим образом: Поднятие ранее опущенных или опускание ранее поднятых индексов возвра- щает к компонентам первоначального тензора. Замечание. Контравариантные и ковариантные е-снмволы (п. 16.5-3) связаны соотношениями ei t i = 4"gi k gi k - gi k ehlki-kn. 12"‘n 8 1. 1 2 2 П П fe.ft,... k„ 1 „k.nk,io bi ' e i 2 л = — g 1 1g 2 2.„ g a Be, , g ’ ‘1'2 — 'n и не являются ассоциированными относительными тензорами. 16.7- 3. Эквивалентность ассоциированных тензоров. Соответствие между ассоциированными тензорами в римановом пространстве устанавливает между ними отношение эквивалентности, разбивающее множество всех тензоров на классы эквивалентных тензоров, не имеющие общих элементов (п. 12.1-3, Ь). Поэтому в римановом пространстве компоненты всех тензоров, ассоциированных тензору А, рассматриваются как различные аналитические представления тен- зора А (см. также п. 16.9-1). В частности, компоненты ak и а/, связанные соотношениями (2), молено интерпретировать как контравариантные и ковариантные составляющие одного и того ясе вектора а относительно локального базиса, связанного с данной системой координат. В обозначениях п. 16.6-1 a=afteft = aje1’. (16.7-5) Следовательно, базисные векторы в], е2, ..., еп и е1, е2, ..., еп в случае рима- нова пространства можно рассматривать как два различных базиса одного 9 См. также сноску в п. 13.3-1.
16.8-2. 16.8. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 507 и того же векторного пространства; их называют взаимными базисами (см. (также п. 16.8-2). Зависимость между векторами взаимных базисов совпадает по форме с зависимостью между компонентами ассоциированных векторов: efe=gi*e.i e[==g.kek' (16.7-6) Подстановка выражений (6) для некоторых из е^ и е- в (16.6-3) соответствует подня- тию или опусканию индексов тензора А (см. также п. 16.9-1). 16.7- 4. Операции над тензорами в римановых пространствах. В римановом прост- ранствез , 1). Любые два тензора одного ранга и веса можно сложить, согласно определению, приведенному в п. 16.3-3, для чего в случае необходимости нужно предварительно поднять или опустить индексы таким образом, чтобы компо- ненты слагаемых приобрели одинаковую структуру, т. е. одинаковое располо- жение верхних и нижних индексов. 2). Тензор может быть свернут по любой паре индексов согласно правилу . п. 16.3-5, для чего в случае необходимости один из этих индексов должен быть предварительно поднят или опущен. Свертывание по двум верхним индек- сам i, k соответствует внутреннему умножению на g.fe; свертывание по двум инжним индексам Z, k соответствует внутреннему умножению на g1*. 3. Внутреннее произведение двух тензоров А и В определяется как свер- тка их внешнего произведения АВ по некоторому индексу (или индексам) А и соответствующему индексу (или индексам) В согласно правилу (2). 16.8. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ПОНЯТИЯ 16.8-1. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов в римановом пространстве. В соответствии с содержанием п. 16.7-4 в римановом простран- стве можно определить скалярное, (внутреннее) произведение (см. также пп. 5.2-6, 6.4-2,а, 14.2-6) а-b для любых абсолютных или относительных век- торов а и Ь с действительными компонентами а1 или и Ы или Ьь'. &-b=gik(xl, х2.....хп)а1(х\ х2, .... хп)Ьк(хг, х2...х") = = akbk = a‘bi=g‘kalbk = b а. (16.8-1) Длиной (модулем) | а | абсолютного или относительного вектора а с ком- понентами (действительными) а1 или ак называется соответственно абсолютный или относительный скалярный инвариант | а | = + Щга, аа = а • а =gtka‘ak = а’’а,=gikaiak. (16.8-2) Если квадратичная форма gj* а1 ак является положительно определенной,; то длину вектора а можно рассматривать как норму || а || (см. п. 14.2-5). Единичным вектором называется абсолютный вектор, длина которого равна 1. Косинусом угла у (определение угла) между двумя абсолютными или относительными векторами называется абсолютный скалярный инвариант cosv=T^rw <16-8-3) Формулы (2) и (3) обобщают элементарное определение скалярного произве- дения. Замечание. Если квадратичная форма не является определенной (неоп- ределенная метрика, см. также п. 17. 4-4) в точке (х\ х2, ... 9 л/2), то скалярный квад- рат а • а абсолютного или относительного вектора а в этой точке может быть положи- тельным, отрицательным илн равным нулю в зависимости от знака выражения g^c a t причем из равенства | а| = 0 не следует, вообще говоря, что а = 0. 16.8- 2. Скалярные произведения локальных базисных векторов. Ортого- нальная система координат (см. также пп. 6.3-3, 6.4-1, 17.4-7, а). Длины локаль- ных базисных векторов ех, е2, ... , е„; е1, еа, ...е'г и углы между ними
608 ГЛ. «В. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.8-4. в каждой точке (х1, х2, х”) (п. 16.6-1) определяются соотношениями ei-e*=gI-fc(x1, х2....хп), е'• е* =£'й (х1, х2, х”), e<-e* = 6'ft. (16.8-4) Векторы е« направлены по касательным к соответствующим координатным линиям,- е* имеют направления нормалей к координатным гиперповерхностям. Каждый е* перпен- дикулярен ко всем е., кроме е^. Система координат х1, х2, ... , хга называется ортогональ- ной. если (х1, х2, ... . хп) = 0 для I ф k; в этом случае (а также еА) попарно орто- гональны. Не каждое рнманово пространство допускает введение ортогональной системы координат. Две системы базисных векторов е; и'е1, связанные соотношениями ег • е. == 6‘иа- 1 R k вываются взаимными базисами рассматриваемого риманова пространства (см. также п. 14.7-6). 16.8- 3. Физические компоненты тензора (см. также п. 6.3-4) Локальные единичные векторы и-, каждый из которых имеет направление координатной линчи, соответствующей индексу вектора, следующим .образом выражаются через и еЛг иг=^ЙГгег=^Й7Г^еЧ . ег=гт^“г’ е*=8'*е‘- (,6-8-5> Физическими компонентами А. ; : тензора А (в частности, физическими компонен- /1/2 ‘К тами а вектора а) называются величины, определяемые уравнения ми п _______ а= S f==l п п п А = 2 S - S й717а ... iR % % - "//?• '1 = 1 >2 = 1 //?=1 (16.8-6) (16.8-7) для определения A, t ... , достаточно внести в (16.8-7) вместо А его выражение (16,6-3) •'172 „ и заменить и£- по формулам (16.8-5). Физическая компонента вектора а в направлении вектора Ь определяется как а • Ь/| b |. 16.8-4. Векторное произведение и смешанное произведение (см. также цп. 5.2-7, 5.2-8, 6.3-3, 6.4-2). Векторным произведением ах b двух абсолютных или относительных векторов а и Ь трехмерного риманова пространства (и—3) называется ‘вектор с компонентами (см. также п. 16.5-3) или ^ajbj = 4" -7== elJk (flibj—ajbi) /|g| ' 7 2 /|g| * ' J 1 L’ /ill eijk a'b] = -i- /ППalb1). (16.8-8) Отсюда следует, что е1 е2 ах а2 аз Ь$ aXb-/Fg| Полезно отметить, что ci es. X e3 e2____________ ез X Ct [eie2es] ’ [eie2es] * e8 X e3 es X e1 el = [eiei£»J • e2 — е1 е2 е3 а1 а2 а3 61 62 дЯ,. et X e, [eie2e3] ’ __ e1 X e2 es —|_eie,ea] • (16.8-9) (16.8-10)
te.9-1. 16.9. ТЕНЗОРЫ РАНГА 2 В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 509 где смешанное произведение [abc| определяется, как и в п. 5.2-8, следующим образом: “l bi ft а1 61 с1 |abc]=a • (ЬХс)= а2 ^2 ^2 й3 fe2 с2 = а3 Ьз сз а3 63 с3 e^aibfCk 8 I etj^bJc^ (16.8-11) в частности, [6^]= И71,- 1^=^=- (ie.8-12) Формулы табл. 5.2-2 и п. 5.2-9 остаются в силе. Замечание. Определение векторного произведения (8) охватывает элементарное соотношение (5.2*6) и определяет векторное произведение Двух абсолютных векторов как абсолютный вектор. Некоторые авторы опускают множитель vQ g I в определении (8), вследствие чего векторное произведение Двух абсолютных векторов становится «аксиаль- ным» вектором (в отличие от «полярного» илн абсолютного вектора), который можно рас- сматривать либо как относительный контравариантный вектор веса -Ь 1, либо как относи- тельный ковариантный вектор веса — 1. 16.9. ТЕНЗОРЫ РАНГА 2 В РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 16.9-1. Диадные произведения. Абсолютные (истинные) или относительные тензоры ранга 2 А, В, ... , риманова пространства, определенные, иапрнмер, своими смешанными компонентами А1^, .В& ... (см. также п. 16.7-2, замечание о порядке индексов), представляют интерес для многих приложений. С ними иногда связывают особую систему обозначений, краткое описание которой дано в следующих пунктах. Каждый тензор А (ранга 2) может быть представлен в виде суммы п диадных произ- ведений (диад), т. е. тензорных (внешних) произведений двух векторов; * А = Р/Ч' = (₽' ег) А*=*р‘ (16.9-1) Либо левые множители либо правые множители q-^ могут быть выбраны произвольно» если только оии являются линейно независимыми (п. 14.2-3). В частности, А = A,fee/ efc = A{k elek = A,kejek = (16.9-2) A = e^A* = A^e*. A1 = A^e*. Aft = A^e;. (16.9-3) Используя физические компоненты A-k (п. 16.8-3), можно представить тензор А в виде п п А = S S Aifeuzufe. л 1 ~J k~~' (16.9-4) Aik = А у | gfl-gftfe | (не суммировать!), «А: Ki„i A =g Af. f В случае ортогональных координат (п. 16.8-2) (не суммировать!). (16.9-5) X 3 амечание. Иногда диадой называют произвольную сумму диодных произведений* е. призвольный теиаор ранга 2. X
510 ГЛ. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16,9-2, (16.9-6) 06.9-7) (16.9-8) 16.9-2. Умножение тензоров ранга 2 й векторов и связанная с ним система обозна- чений. Для обозначения внутреннего произведения, образованного из (действительных) тензоров ранга 2 и векторов риманова пространства (см. также п. 16.8-1), используются следующие обозначения: д . а => р ,(q^ • а) — вектор с компонентами A j а\ • k а . А = (а • р •) q^— вектор с компонентами A^agi А-В-рДс/.р^/* 1 — тензор с компонентами А^. В^ где В — Pyq'7 == В^ ek. Благодаря принятым обозначениям алгебра тензоров ранга 2 в точности совпадает с алгеброй линейных операторов {аффиноров), изложенной в пп. 14.3-1 — 14.3-6, так как тензор ранга 2 связывает с каждой точкой (х1, х2, ... , хп) некоторое линейное преобра- зование. В табл. 14.7-1 осуществляется сравнение тензорных обозначений, «классических» обозначений гл. 14 и матричных обозначений тензоров и векторов. Определения симметричного и антисимметричного тензора ранга 2 аналогичны соот- ветствующим определениям из п. 16.5-1. Именно, тензор А называется симметричным, если Aki = А*\ или А.^ = А&-, илн А^ = А&.; но отсюда не следует с необходимостью, k i что А; =* А & так же как это соотношение не означает, п. 14.7-5). След матрицы 3 Скаляр А •• В =ч S (Р« * pfe)(q< ‘ q,fc) |, т. е. Тг (А) =х р. • q-^, называется 3 называется что А симметричен (см. также первым скаляром тензора (1). двойным скалярным произвел дением. Прн п = 3 можно определить векторное произведение а х А = (а X Ру) q7, А X a = pz-(q7 х а), А X В = py(q/X Р^) q'A- (16.9-9) Вектор vyj =ру X q-' называется вектором тензора (I), vyj = 0в том и только в том случае, если А симметричен. Если А антисимметричен, то для любого вектора а а . А = 4~vyi х а = — А • а, (16.9-10) т. е. векторное умножение эквивалентно внутреннему умножению на антисимметричный тензор ранга 2. 16.9-3. Собственные векторы и собственные значения (см. также п. 14.8-3). Собст- венные значения и собственные векторы тензоров ранга 2 определяются в каждой точке (х1, Xs...х”) так же, как в п. 14.8-3. Коэффициенты характеристического уравнения (п. 14.8-5), соответствующего тензору, являются абсолютными нли относительными ска- лярами. Симметричный тензор ранга 2 А в трехмерном евклидовом пространстве может быть геометрически интерпретирован при помощи семейства поверхностей второго поряд- ка (3.5-1) с коэффициентами = А-^ (z. k = 1, 2, 3) (см. также п. 3.5-1). 16.10. АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 16.10-1. Абсолютные дифференциалы. (а) Ни для определения бесконечно малого приращения тензорной вели- чины, ни для определения ее дифференциала не может быть использовано поня- тие разности между «значениями» тензора в точках (xi-j-dx1, ..., xn-]-dxn) и (х1, х2 ..., хп), так как тензорная алгебра в римановом пространстве (пп. 16.3-1 —16.3-7) не определяет соотношений между «значениями» тензора в различных точках пространства. Вместо этого в тензорном анализе форму- лируются следующие требования (постулаты), определяющие абсолютные диф- ференциалы da, da, db, dA, dB, ... скаляров, векторов и тензоров *) (компо- *| Если не оговорено противное, имеются в виду абсолютные скаляры, векторы и тензоры,
16.10-1. 16.10. АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 511 центы скаляров, векторов и тензоров риманова пространства предполагаются дифференцируемыми): 1. Абсолютные дифференциалу da, da и dA являются тензорами того же ранга и типа, что и, а и А. 2. Абсолютный дифференциал da скаляра и определяется в соот- ветствующей координатной системе выражением Da = -‘j dxJ=a,jdxi. (16.10-1) 6xJ 3. Имеют место -следующие правила дифференцирования: d(a-b)=a • db-J-b-da, , d(A-{-B)=dA-{-dB, ..с «л d(AB) = AdB + BdA, 1 } d(raA) = Adra-J-adA. В частности, d(a4-b) = da-|-db, d(aa)=ada-|-Kda; отсюда следует, что da = d («'в/) = ег da1 + a1 de;=of j (я1, я2, ..я”) dxie{ — = d (<г/е,)=е* dOj+flj de‘ = ai j (я1, я2, ..., яя) dx-fe*, (16.10-3) т. е. компоненты вектора da равны Dal-ai-dx! или Da. = a, ,dxi. 'J 1 J Постулаты,” перечисленные выше, определяют инвариантные операции (пп. 16.4-1 и 16.10-7) и приводят к независимому обобщению, векторного ана- лиза, изложенного в гл. 5; постулаты удовлетворяются, если положить (16.Ю-4) Функции (я1, я2, ...» я”) представляют собой трехиндексные символы Крис- тоффеля 2-го рода, определенные в п. 16.10-3. Замечание. Формулы (3) и (4) определяют каждую компоненту абсолютного дифференциала tfa как сумму «относительных дифференциалов» da1 или da. и членов, вызванных изменением базисных векторов при переходе о г точки к точке (и, следова- тельно, изменением метрики при этом переходе). Производные дъ/дх^ вектора а можно определить соотношением da = — dxi. (16.10-5) 6x1 Прн этом «а 6 ' со1 , бе, . 6 , [6а, , —- = —г (а‘е:) ——- е; + “* —— °'7е» =--------------- (cie*) = —ег + 6x1 6x1 К *' 6x1 1 г дх! 6x1 4 1 ' 6x1 + а.~ = а. (16.10-6) 1 6x1 1’1 йе7- 6x1 бе/ бе1 . . Г*.еь=Г., е* = —4, —7 = — Г*i.eft Ч k if', k 6x1 ’ дх! kl (16.10-7) ft — СНМВОЛБ1 Кристоффеля первого рода (см. п. 16.10-3)). (Ь) Из постулатов п. 16.10-1, а следует, что абсолютный дифференциал любого тензора А,, заданного в римановом пространстве дифференцируемыми
51-2 ГЛ. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.10-2. компонентами Л.5? £, является тензором того же ранга и типа, прячем ^1*2 ••• s его компоненты DAJ?”' Г определяются следующим уравнением: ijt2... zs ' V2 ls Ll„ •' lr DA*2 f = lll2 Zi /0 Zq\ е^.-.е^е ‘e 2.B.e s) = =^Xr::.^2- 1 2 k dx7, -4/ Z T Zo Zo e^e ‘e *... e s, (16.10-8) где (символы Кристоффеля Г определены в п. 16.10-3) лу?-у ==-ДЛ‘6"Л= Ч‘2 's,/ вх> 4*24 _ _д_ д‘112 — 1Г _ г ft. Л*ф ••• У _ _г* Л‘У?"‘У dxi 4*2 ••• 4 ‘I1 ft‘2 — ls " Ф 4*2 ••• *s—1ft + Ф «2,- 4*2 •• (16.10-9) & Иногда для обозначения абсолютного дифференциала вместо da, dA пишут Da, DA. 5(. 16.10-2. Абсолютный дифференциал относительного тензора. Абсолютный дифферен- циал относительного тензора (п. 16.2-1) определяется по аналогии с абсолютным днффе-* ренциалом тензора (п. 16.10-1). В частности, абсолютный дифференциал а относительного скаляра а веса W определяется в соответствующей координатной системе выражением D'n — а . dJ > где а j = — WTfla. .7 dxi /« (16.10-10) При 17 — 0 формула (10) переходит в (1). Абсолютный дифференциал dA любого относительного'тензора веса W (с дифференцируемыми компонентами) определяется вы- ражением (8) с дополнительным слагаемым вида - WVkjk Alfy'" /« Ц12 ... is - <16.10-10 в правой части формулы (9), так что А лу? - 1г. , дх> ‘1‘2 — ls дх! 1 лУа " 'г1. Vjgl^ «1»2 ... »sj’ (16.10-12) dA является относительным тензором, ранг, тнп и/вес которого совпадают с рангом, типом и весом А. 16.10-3. Символы Кристоффеля. (а) Если риманово пространство отнесено к координатам х1, х2, ..., хп, то его символами Кристоффеля первого рода [if, А] = Гу; х2, ..., х") и символами Кристоффеля второго рода {1*/} =Г*у(х1,л«1...,хп) (трехиндексными) называются следующие функции координат х1, х2,-..., хп: г . _ ц -.ы _ 1 !dgik , dsik г?7 = {/ \^gkh[ii; fl], u I) dxft / (16.10-13) где gih и g‘ft—компоненты фундаментального тензора риманова пространства.
16.10-4. 16.10. АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 513 Символы Кристоффеля*) не являются, вообще говоря, тензорами и при пере- ходе к новой системе координат преобразуются по закону: р . ____dx? dxl dx? р , д2х^ dxl 0xh gxk дхг W,s dx^dx^ dx? . .. рг ___йх* дх> dxr ps б3 Xs дх1" , ЬА gxk И gx^dxk dx? ’ функции r aa rhk. r (x1, X2.......x”) И Trhk ES Vrhk (x1, x,2..., x") суть символы Кристоффеля, связанные с системой координат х1, х2, ...» х”. (Ь) Символы Кристоффеля удовлетворяют следующим соотношениям; г,. =г.. г* = г* i/lk p;k »/ Il (16.10-15) dsa —— = Г -l-Г —й T" 4- а ГЛ dxh ik'.i~ jk;i &hj ik~sih Ik' (16.10-16) (16.10-17) d&lJ t , (16.10-18) -^-1пГГё7 = Г^ (16.10-19) r*==£!L.eA = ^/ .eA = _±^.eZ, r.. b_ 6ez dxl (16.10-20) 11 8xi dxl 8xi ’ (с) В важном случае ортогональных координат л1, x2i хп (пп, 6.4-1 и 36.8-2), который характеризуется условием g^ — g-б^, предыдущие соотношения принимают вид 1 д^Н Г... . - 2 дхк (1ф1ф11ф i), (1 # k). - . 1 “ r/<; i — - 1 8e agjj dxl ’ ii ... ... (16.10-21) й ’ 2ё/г/г axk Pk —rk — 1 _ * 6 In g*A ~kL ’ ^kk dx‘ 2 dxi 16.10-4. Ковариантное дифференцирование. Вследствие аналогии между выражениями (4), (-9) и обычными частными производными операцию образо- вания функций Л.'-2- 5 С по компонентам тензора ЛЗ.2- 3 ll‘2 — is,j 6x1 Ц»2 —»s ’ Ч12 — ls называют ковариантным дифференцированием по метрике, определяемой тен- зором gik. •) В математической литературе символы Кристоффеля предпочтительно обознача- ются I'ij-h, Ггу. Однако во многих руководствах для них сохраняется обозначение скоб- “а“и [1/; kl {ifc ,}.
514 ГЛ. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.10-5. Если АЗ? f являются компонентами абсолютного тензора А, то ком- поненты А,1? Г также определяют абсолютный тензор *1'2 ... lStj VA=aX2-"‘ eilel-...eieltei2...e^ei, (16.10-22) ... j т раз контравариантный и «4-1- раз ковариантный. Тензор VA (а иногда также каждую отдельную его компоненту) Называют ковариантной производ- ной теизора Aj для компонент тензора А используют также обозначение DA ' ' • V/АУ? lr, = ,'1г2*"4 ‘г. 4'2 ••• 4 дх> 4^2 ••• 4,(/ Следует иметь в виду, что ни частные производныеf» ни от- носительные» дифференциалы dA^ / не являются, вообще говоря, компо- 4'2 — ls нентами тензору,. 16.10-5, Правила ковариантного дифференцирования (см. также п. 16.10-7). Применение тензорного анализа часто упрощается благодаря тому, что обыч- ные правила дифференцирования суммы и произведения (табл. 4.2-5) остаются справедливыми для ковариантного дифференцирования: (Alfi "• 1Г'+В1.^= А Ъ У ", дх> \ 4'2 — 4 4'2 — 4/ 4'2 ••• ls,j 4'2—4,/ д (А 1/? - lr BklkZ - М = Oxi \ 4'2 — 4 Л1*2 — *s/ == а‘-1? Bk^ ” + вV? " *<• a ‘i ,<а'“ ‘г 4'2 — 4 *1*2 — ks,J ~ *1*2 — *s *1*2 •••*s,/’ £> i,L ...k... I —-A,-.- . .-—A.-.’ , : (правило для свертки), dx' '1'2...*...'S . '1'2. ..*... 4, Г И Р 7 (16.10-23) Последние два правила применяются также для ковариантного дифференци- рования внутреннего произведения (пп. 16.3-7 и 16.8-1). Важное значение имеют соотношения Й*;/=^*./==0 (теорема Риччи), } (J6 J() 24) Уравнения (24) показывают, что фундаментальные тензоры ведут себя отно- сительно ковариантного дифференцирования как константы. Ковариантная производная тензора, ассоциированного тензору А, является тензором, ассоциированным VA (см. также пп. 16.7-2 и 16.7-3). Ковариантные производные ^-символов Кронекера и е-объекта (пп. 16.5-2 и 16.5-3) равны нулю. 16.10-6. Ковариантные производные высших порядков. Если компоненты данного тензора и компоненты метрического тензора gik имеют производные достаточно высокого порядка, то можно рассматривать ковариантные произ- 44 ••• 4 водные высшего порядка с компонентами щ / . Полученные при этом тензоры, вообще говоря, не симметричны по нижним индексам /? ковариантная производная не зависит от последовательности дифференциро- вания в том и только в том случае, если риманово пространство является
16.10-8. 16.10. АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ плоским (локально евклидовым) (п. 17.4-6, с). Для любого вектора с компо- нентами Of aijk~ai,kj~Rri jkar' (16.10-25) где Rijb — компоненты смешанного тензора пространства. 16.10- 7. Дифференциальные операторы и (см. также пп. 5.5-2 и 5.5-5). (а) Если рассматривать выражение А.*$’’’ / е^е,„ ... е; е1,е‘2... es = V.-А dx! *1«2 - Zs П 2 r 1 «1'2 zs кривизны (п. 17.4-5) риманова дифференциальные инварианты !i1ei2...e/ref*eJ2...e‘s = А.М г122 < e;ieI-2...e;re'IeZ2...e/s J 1, как результат «умножения» тензора у... I ... is ече’2 — e're e "• e на символ то ковариантную производную (22) тензора А можно dxl записать в виде внешнего «произведения» (п. 16.3-6) тензора А и (инвариант- лого) «вектора» (16.10-26) который называется дифференциальным оператором набла; его «компоненты» преобразуются, как ковариантные компоненты вектора (п. 16.2-1). Для любого преобразования координат н римановом пространстве D о яли у «у (16.10-27) dxk dxk dxl dxk ’ ’ (b) Соотношения между компонентами тензоров, полученные в результате ковариантного дифференцирования, а также сложения и умножения тензоров, инвариантны относительно группы допустимых преобразований координат (см. также пп. 16.4-1 и 16.10-1). Тензорные величины, образованные по- средством внешнего и внутреннего умножения других тензорных величин на инвариантный оператор (26), называются дифференциальными инвариантами. В табл. 16.10-1 указаны важнейшие дифференциальные инварианты. 16.10-8. Абсолютные (внутренние) производные и производные по направ- лению (см. также п. 5.5-3). Если в римановом пространстве задана регуляр- ная кривая х*=xi (/) (^ === Z === /2), (16.10-28) то компоненты dxl!dt определяют контравариантный вектор drjdt, «направлен- ный» по касательной к данной кривой (п. 17.4-2). Абсолютной (внутренней) производной dA/dt истинного или относительного тензора А (с дифференциру- емыми компонентами) по йараметру t вдоль данной кривой называется следу- ющий тензор того же веса, ранга и типа, как А: ^.=(*-V) А} at \ai j компоненты тензора равны D Л l1l2 — Л '1!2 'г dxiJ dt ip2 ... >’s *ll2 — zs,y (16.10-29)
516 'ГЛ. 16. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.10-8. Т а б л и ц а. 16.10-1 Дифференциальные инварианты, определенные в римановых пространствах V = е-7 —см. также пп. 16.2-2, 16.10-1 — 16.10 7, табл. 6.4-1 — 6.5-11 ’ dxi (а) Градиент (абсолютного) скаляра а есть (абсолютный) вектор j да п да Va = е7 —-г = е-gyi---------. дх! * 1 дх! (b) Ковариантная производная va (абсолютного) вектора а называется градиен- том или локальным аффинором вектора а. Дивергенция (абсолютного) вектора а является (абсолютным) скаляром у • а; она равна _ £>о' да1 , b i 1 д ----; . == ——-—- —j— U 11 , дх1 дх1 ы УТёТ 8х1 (VI в I а)‘ Замечание. Соответствующие формулы табл. 5.5-1 могут применяться к градиенту и дивергенции в римановых пространствах (см. также п. 16.10-5). (с) Оператор Лапласа v2 s V • V является инвариантным скалярным операто- ром ——----~ gikyjVh- в частности, лапласиан \72а (абсолютного) скаляра о дх1 dxk 1 R имеет вид gift ____ва ба —gik( а‘п г? JLU дх1 dxk 1 дх& \ dx'djfi dxi ) «= !_______L_ (gi* УТйТ йа—1. дх* Г lgl dx*) (d) Если (абсолютный) вектор а задан компонентами а^, то антисимметрич- ный (абсолютный) тензор с компонентами 1 ' Da( Daj да i да? С‘> dxi дх1 == V,a‘' ~ V‘°' “ dxi дх1 тождественно обращается в нуль в том и только в том случае, если а является градиентом (абсолютного) скаляра. Замечание. При п = 3 можно определить ротор (абсолютного) вектора а как (абсолютный) вектор V X а с компонентами 1 Dai У"ТёТ 8х1 e‘ik = , v-a-e'lk = УI в I 1 ' I f Den Da/ \ ... s-----------(-----L--------L ) e‘lk 2 V| g f \ dx> dx! / 1____________________ 2 УI g I \ dx‘ dxi J (см. также n. 16.8-4). К (абсолютным) векторам трехмерного риманова пространства могут применяться формулы табл. 5.5-1 и уравнения (5.5-19). Если компоненты тензора А зависят от t не только через координаты х ио. и явно» то dA __ di А. ‘l‘s — ‘s __ ‘1‘Я — ‘s 11гз — ‘г dx' dt ~ 8t *' /Jig ... 4. i dt ’ (16.10-30) Производной по направлению dA/ds тензора А в направлении данной кри- вой (rfs=/=0, п. 17.4-2) называется абсолютная производная тензора А по длине дуги s вдоль кривой.
16.10-11. 16.10. АБСОЛЮТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 517 16.10-9. Тензоры, постоянные вдоль кривой. Уравнения параллелизма* Тензор А является по определению постоянным вдоль регулярной кривой (28) (т. е. его «значения» в соседних точках кривой «равны»), если его абсолют- ная производная (30) (и, следовательно, также его абсолютный дифференциал dA = ^~ds) вдоль кривой равны нулю. Суммы и произведения таких тензо- ров также постоянны вдоль рассматриваемой кривой, так что, например, мо- дули постоянных векторов и углы между ними постоянны. Каждый вектор а, компоненты которого а1 (х1, х2, ..., хп), а^х1, х2, ..., хп) удовлетворяют диф- ференциальным уравнениям Da‘ = 0 или Dai—0 (уравнения параллелизма') (16.10-31) при условии, что дифференциалы, координат х1, х2, ..., хп определяют сме- щение вдоль кривой (28), подвергается «параллельному переносу» вдоль кривой. Замечание. Вектор, полученный в результате «параллельного переноса» дан- ного вектора а вдоль замкнутой кривой, не совпадает, вообще говоря, с этим вектором по возвращении в исходную точку (см. также п. 17.4-6). 16.10-10. Интегрирование тензорных величии. Элемент объема. Интегралы от тен- ворных величин вдоль кривых в римановом пространстве могут быть определены при помощи скалярных интегралов по параметру -так же, как это сделано для векторов В-пп. 5.4-5 и 6.2-3, а. Элемент объема dV определяется (см. также пп. 6.2-3, b и 6.4-3, с) следующим вы- ражением: 'Х dV = УТЦ dx1 dx2 ... dxn. (16.10-32) ХЕсли в выражении для dV опустить множитель Vj £ |, то элемент объема оказы- вается псевдоскаляром веса -vl, т. е. скалярной емкостью (п. 16.2-1); так как VTs I — скалярная плотность, то (16.10-32) определяет dV как инвариант.^ Интегралы по объему от скалярных инвариантов являются скалярными инвариан- тами, ио интегралы по объему от тензоров ранга /? >0 не являются, вообще говоря, тензорами. Элемент объема может быть определен также для подпространства; он яв- ляется аналогом элемента площади в трехмерном пространстве. Существуют обобщения интегральных теорем, приведенных в пп. 5.6-1 н 5.6-2 (см. п. 16.10-11). 16.10-11. Дифференциальные инварианты тензоров ранга 2; интегральные теоремы (см. также п. 16.9-1). Дивергенцией тензора А ранга 2 (с дифференцируемыми компонен- тами), определенного в римановом пространстве, называется вектор vA; оператор V (п. 16.10-7) действует как ковариантный вектор. Следует отметить соотношения V-(«A) = avA 4-A-(16.10-33) V-(a*A) = (va)-«A + (V-A)-a, v(A«a) = (va)-• A + (V-A)-a, (16.10-34) где тензор А получен транспонированием A = Тензор va называется гради- ентом а (табл. 16.10-1). Для функций, кривых й поверхностей, удовлетворяющих известным условиям, имеют место интегральные теоремы, аналогичные теоремам^пп 5.6-1 н 5.6-2; J V*A dV = J <7А-А, (16.10-35) V s . fvadv= f dAa; * f (ухА) dV = f (dAxA), (16.10-36) V S V S f V-(A-a) dV = JdA-(A-a), (16.10-37) V S J dA-(yxA) = J dr-A. . (16.10-38) s c
ГЛАВА 17 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.1. КРИВЫЕ НА ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 17.1- 1. Касательная к плоской кривой. Пусть кривая С задана (п. 2.1-9) уравнениями « x=x(fj, y=y(t"j (17.1-Ia) или <р (х, у)—О, (17.1-16) или У=Кх). (17.1-lc) Касательной к кривой С в ее точке Pt (xlt у£ Рг [х (fx), у (Zj)]. называется прямая, являющаяся предельным положением секущей, проходящей через, Рг и через отличную от нее точку Р2 втой кривой, при стремлении Р2 к Pt. Кривая (1) имеет единственную касательную с уравненийми x=@i(Z-6t)+x1, У=($\ {t-t^yi, (17.1-2а) ИЛИ (у-уЛ=о, И7-1'-26) или л,) (17.1-2с) в каждой регулярной точке (х^, у^) кривой; регулярная точка характеризуется либо тем, что а) при некотором выборе параметра функции х(f), y(t) будут иметь в достаточной близости от tr непрерывные производные первого по- рядка, не равные одновременно нулю, либо тем, что Ъ) для некоторого урав- нения <р (х, у)—0 кривой С функция <р(х, у) имеет в достаточно малой окрестности точки (хп уг) непрерывные частные производные первого порядка, из которых по меньшей мере одна отлична от нуля Из Ь) всегда следует а); условия а) и Ь) эквивалентны, если (хг, уг) не является кратной точкой кри- вой С, что заведомо имеет место для той дуги кривой, на которой хотя бы одна из производных х' (/), у' (fj сохраняет знак. Угловой коэффициент касательной (2) равен 17.1- 2. Нормаль к плоской кривой. Нормалью к кривой (1) в регулярной точке Pifa, уг) называется прямая, проходящая через Pt и перпендикуляр- ная к касательной в точке Рр <171'4) Положительное направление нормали может быть тем или иным-способом согласовано с положительным направлением касательной; последнее совпадает с положительным направлением кривой. Положительное направление кривой определяется некоторым дополнительным условием (возрастание t, возраста- ние хит. д.; см. также п. 2.2-1).
17.1-4. 17.1. КРИВЫЕ НА ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ 519 17.1- 3. -^Особы точки. Всякая иючжа кривей, не являющаяся регулярной, называется особой. Пусть кривая (14>) обладает тем свойством, что все произ- водные от ф (к, у) до («.—1)-го порядка включительно- равны нулю в точке Pt (*! уИ' в т0 вРемя как производные n-го порядка непрерывны в некото- рой окрестности (xb yj и не равны' одновременно нулю в этой точке. Тогда кривая имеет п касательных в Рг- некоторые из них могут совпадать или оказаться мнимыми (последних будет четное число). Так, если все производ- ные первого порядка от <р (х, у) равны нулю в точке Рг (хг, ул), а производ- ные второго порядка не все равны нулю, то угловые .коэффициенты dy/dx двух касательных в точке Р^ являются корнями квадратного уравнения 5(£У+*Йг£+5-» »=ы- <чл-5) Корни уравнения (5) и, следовательио, две касательные, могут быть дейст- вительными и различными (двойная точка, узел), совпадающими (точка воз- врата либо точка 'самоприкосновения) или мнимыми (изолированная точка)-, во всех, этих случаях точка (хх, уг) является особой. Свойства кривой в -особой точке могут быль описаны также в терминах производных от x(i) и y(t). 17.1- 4. Кривизна иаюской кривой. Соприкасающейся окружностью (кругом кривизны) плоской кривой С в ее точке Р) называется предельное положение окружности, проходящей через Pi и две соседние точки кривой Р2 и Р3, при стремлении Р2 и Р3 к Рг. Центр этой окружности (центр кривизны кривой С, соответствующий точке Pj) лежит на нормали к С, проведенной в точке Pv Координаты центра кривизны равны „71в (17.1-6) ,, jji < И*г + */'2). все производные вычисляются при х=Х1(/==.Ц); точками обозначено длффе- ренцироваиие по t. Радиус pft .круга кривизны .(радиус кривизны кривой С в точке Pj) равен обратной величине кривизны k кривой С в точке Р^, кри- визну можно определить как предел отноиеяия угла поворота касательной к длине соответствующей дуги As кривой С при стремлении As к нулю: *=£-L = ^. = ^/ [ l/’l + (W]8 = (17.1-7) ds dx2' (г ^dxj J ^+^)3 все производные подсчитываются при x=xj (t—t{) *) Данная кривая С яв- ляется соответственно вогнутой или. выпуклой в положительном направлении оси -Оу в зависимости от того, будет ли производная cpy/dx2 и, следовательно, кривизна k положительной или отрицательной. Многие авторы называют кри- визной, как это и сделано в п. 17.2-3, не k, а | k |. В полярных координатах р, ф (п. 2.1-8) дифференциал длины дуги ds и угол р между касательной к кривой .р =р(ф) и поляряым радиусом-вектором определяется формулами dS3=dp2-4-p'2 йф2, tgp—p]—, (Г7.1-8) откуда следует, что +2/*еЛ‘ f,__ 1 _<Z<P , dp _р \dw / *а<Р8 (17 19) .°* “ "• " [l/WlrT J) Правые части формул (6) и (7) можно выразить через частные производные от левой части ур'ФВ’не-н'И’я 'кривой Ф {х, -у) = 0 при -тгошэщи 'формул
520 ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.1-5. 17.1-5. Порядок касания плоских кривых. Говорят, что кривые y—f(x) и y=g(x) имеют в точке Pi(xt, уг) касание п-го порядка, если f(X1)=g(X1), f'(*l) = g'(*l)..ГЛ,(Х1)=0(Л)(Х1), Гл+1)(^)^§<л+1,(х1)? ' (17.1-10) это определение предполагает, что f (х) и g (х) имеют в точке xf производные до (n-f-l)-ro порядка включительно. ХПри соблюдении условий (10) разность /(хЦ-Дх)—g(x+Ax) является бесконечно малой (л-[-1)-го порядка относительно Дх.* В точке касания касательные к кривым совпадают. Одна из кривых лежит по разные стороны от другой В достаточной бли- вости от точки касания, т. е. кривые пересекаются в этой точке в том и только в том случае, если п чётно. Точка, в которой кривая и касательная к ней имеют касание второго порядка (или любого чётного порядка), назы- вается точкой перегиба. В точке перегиба кривая пересекает свою касатель- ную. Кривизна в точке перегиба равна нулю. 17.1-6, Асимптоты. Прямую линию называют асимптотой данной кривой С,; если расстояние от точки Р (х, у) кривой до прямой стремится к нулю при х2-|-г/2 —» оо; говорят также, что кривая С асимптотическ! приближается.к этой прямой. Предельное положение касательной к регулярной кривой есть асимп- тота; обратное утверждение неверно. ХЕслн кривая задана уравнением у = f (х) и пределы lim Т = а и 11m [f (X)—ах] = Ь х-->со х х-хо существуют, то прямая у — ах b является асимптотой кривой.^ 17.1-7. Огибающая семейства плоски! кривых. Огибающей однопараметри- ческого семейства кривых <р (х, у, Х)=0 ' (17.1-11) называется кривая, касающаяся в каждой своей точке одной из кривых се- мейства. Иногда к огибающей относят также точки, которые принадлежат одновременно всем кривым семейства. В дальнейшем имеется в виду именно это последнее определение. Уравнение огибающей можно получить, если исключить параметр К из уравнений (11) и уравнения Йф(У М ^Фх(х, у, К) =0; (17.1-12) такое исключение параметра возможно и заведомо приводит к огибающей, если в рассматриваемой области значений х, у и К выполняются условия ^Г^О, Фхх^О. (17.1-13) В общем случае уравнения (11) и (12) определяют ^.-дискриминантную кри- вую, т. е. геометрическое место точек, в которых пересекаются бесконечно близкие кривые семейства (предельное положение точек пересечения кривых <р(х, у, Xr)=0 и <р(х, у, Х2) = 0 при -Л,). Наряду с огибающей К-дискри- минантная кривая содержит и особые точки кривых, принадлежащих се- мейству. 17.1-8. Изогональные траектории. Семейство кривых, пересекающих все кривые однопараметрического семейства <р(х, у, Х)=0 под данным углом у. определяется дифференциальным уравнением (g^cosT—^8тт)«Ь;+(^япТ+|7Со8т)ф=03 (17.1-14) при у=л/2 уравнение (14) определяет1 ортогональные траектории.
17.2-2. 17.2. КРИВЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 521 17.2. КРИВЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 17.2-1- Вводные замечания (см. также п. 3.1-13). В пп. 17.2-1—17.2-6 рассматриваются геометрические свойства кривой С, определяемой урав- нениями г=г(/) ) или 1 (17.2-1) - x=x(0, f/=f/(O, г=г(0 J (1х и t2 могут равняться соответственно — со и -}- со). Функции (1) имеют непрерывные производные по t, и dr/dt^O для всех значений t из проме- жутка т. е. С—регулярная дуга. В случае необходимости будет предполагаться существование производных более высокого порядка. Удобно принять за новый параметр длину дуги ________________________________________ ______________ ja $ds = V }/dr• dr = J/dx2+dy2+da2= ( Vxz-\-^+^di С С C it (n. 5.5-4); знак ds выбирается произвольно и определяет положительное на- правление на кривой и касательной (см. также пп. 17.2-2 и 17.2-3). Произ- водные по s будут обозначаться штрихами, так что, например, , , Дх____dx ids х ~xs~ ds ~~dtl dt " Уравнения кривых в криволинейных координатах (гл. 6) кратко рассмотрены в п. 17.4-1. 17.2- 2. Подвижной трехгранник (см. также пп. 17.2-3 и 17.2-4). (а) Касательная к кривой. Касательной к кривой С в точке Рг (rj = = Pi (х1> Уь zi) называется прямая, являющаяся предельным положением секущей, проходящей через и отличную от нее точку Р2 кривой при стремлении Р2 к Рг. Кривая (1) имеет единственную касательную в каждой точке, в’которой существует dr/dt^O. Положительное направление касатель- ной соответствует положительному направлению на кривой. (Ь) Соприкасающаяся плоскость и соприкасающаяся окружность. Главная нормаль. Соприкасающейся окружностью или кругом кривизны кривой С в точке Рг называется предельное поло- Соприкасающаяся плоскость , Главная нормаль / Касательная /Ь Спрямляющая плоскость / жеиие окружности, проходящей через Pi и две соседние точки Р2 и Рз кривой при стремлении Р2 и Ps к Р^ Плоскость этой окружности называется соприкасаю- щейся плоскостью кривой С в точке Рг\ она содержит касательную к С в точке Pt- Направленная прямая, идущая из точки Pt в центр соприкасающейся окру- жности, называется главной нормалью кривой С в точке Pf, главная нормаль перпендикулярна к касательной. (с) Бинормаль. Нормальная и спрям- ляющая плоскость. Бинормалью кривой С в точке Pj называется направленная пря- мая, проходящая через точку Рг и обра- зующая^ вместе с положительной каса- тельной и главной нормалью правую систему декартовых прямоугольных осей (п. 3.1-3). Плоскости,. определяемые ося- ми этого «подвижного трехгранника», на- зываются: нормальной (плоскость, перпендикулярная к касательной), спрям- ляющей (плоскость, перпендикулярная к главной нормали), соприкасающейся (плоскость, перпендикулярная к бинормали) (см. рис. 17.2-1). . /Бинормаль Рис. 17.2-1. Подвижный трехгранник,- связанный с пространственной кри- вой С.
522 ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.2-3. (d) Единичные векторы t, п и Ь, направленные, соответственно вдоль положительной касательной, главной нормали и бинормали, следующим'обра- зом выражаются через производные от функции r=r(s) по s; здесь и далее производные по s обозначаются штрихами: t = r! b=txn (единичный вектор касательной}, -jr- г" (единичный вектор главной нормали), (единичный вектор бинормали). (17.2-2) Вектор kn — rrt называется вектором кривизны; через k обозначена кривизна,- рассмотренная в и. 17.2-3. 17.2- 3. Формулы Френе — Серре. Кривизна и кручение пространственной кривой (см. также пп. 17.2-4 и 17.2-5). (а) Единичные векторы (2) удовлетворяют в каждой точке кривой соот- ношениям п'=—fet-j-Tb, Ъ' ——tn (формулы Френе—Серре), яде fe=4‘=,t'l=|r"1’ т=Р7=^1г'г"г"г (17-2'3) * При возрастании s точка Рг движется по кривой С; при этом: 1. Касательная вращается вокруг мгновенного положения би- нормали с положительной угловой скоростью k (кривизна кривой С в точке Рг). 2. Бинормаль вращается вокруг мгновенного положения каса- тельной с угловой скоростью т (кручение кривой С в точке Рг); t положительно, если вид кривой напоминает правую винтовую нарезку. 3. Трехгранник вращается как твердое тело вокруг мгновенной оси, направление которой определяется вектором Дарбу £l=Tt + /eb, с угловой скоростью (положительной), равной | S2 | = (полная кривизна кривой С в точке Рг). Механический смысл производных от базисных векторов трехгранника Френе стано- вится более очевидным, если переписать формулы Френе в виде t' = В X t = (feb) X t, п' = й X и, b' = В X b = (Tt) X b; (17.2-4) p^=l/fc есть радиус кривизны кривой С в точке Pi (радиус соприкасающейся окруж- ности); Рт= 1 /т называется радиусом кручении. (Ь) Скалярные функции k=k(s) и t=t(s) определяют кривую с точностью до поло- жения в пространстве {естественные уравнения кривой). С является плоской кривой в том и только в том случае, если ее кручение тождественно равно нулю; аналогично С — пря- мая линия, если ее кривизна тождественно равна нулю, и только в этом случае. (с) Прн произвольном выборе параметра t точками обозначено дифференцирование по /. Полезно отметить, что r = stH—— s2 n —s t +( b | х г 0* \Pfe / (17.2-6) (разложение ускорения движущейся точки на тангенциальную и нормальную составляю- щие; см. также п. 5.3-2).
17,2-б. 17.2. КРИВЫЕ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 523 17.2- 4. Уравнения касательной, нормали и бинормали; уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей. (а) Касательная, главная нормали и бинормаль кривой С в точке Рг (rtf ==з р= Pt (х< Z/ж, 2tf определяются соответственно следующими векторными уравнениями: г = Ft 4- ut, г = Г1 + un, г = гх J- uh, (17.2-7) где а—переменный параметр. Векторные уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей имеют соответственно следующий вид: (г —Г1)»Ь=О, (Г — rt) • t == 0. (г —Г1)-п = 0. (17.2-3) (Ь) Координаты единичных векторов (2) относительно правой декартовой прямо- угольной системы координат равны: — e~ = z* (направляющие косинусы касательной), Ц7.2-9а) х у Z п = 4-х", п„ и =4- г" (направляющие косинусы главной нормали). (17.2-96) X R У К % К Ьг^(у1г"—у'‘г>), 6 =4-(г'*"—г"*'). Ь=~ (х'у“ — х"у') (17.2-90 > х /г У R -- & к (направляющие косинусы бинормали.}. (17,2-10) (17.2-11) Кривизна и кручение выражаются формулами х* у' Z*. | ft == — = / х"2 4- у"‘ + г'“, г=— = ^ Xе1 у" г1' xtM yttt zett I Подстановка направляющих косинусов (9) в х — xt _ У — Ул _ г — cosa ~ cos а„ ~ cos а х у % приводят к уравнениям касательной, нормали и бинормали в декартовых прямоугольных координатах; уравнение (X —хг) cos ах + (у — у$ cos a{/ + (z — zj cos ag = 0 (17.2-12) определяет соприкасающуюся, нормальную, спрямляющую плоскости. 17.2-5. Дополнительные замечания. (а) Центр кривизны кривой С, связанный с ее точкой Plt определяется радиусом- вектором ffc==rf+t)An (17.2-13) (Ь) Предельное положение сферы, проходящей через четыре различные точки Ptr рй Р» и Р4 кривой, при стремлении Рг, Рл и Р4 к Pt называется соприкасающейся сферой кривой в точке Ра. Ее центр лежит на прямой, проходящей через центр кривизны и имеющей направление бинормали. Радиус-вектор гц центра соприкасающейся сферы н ёе радиус vq таковы: Pq= ]/₽« + (РгР*)3 . rQ = rk + ргр^Ь = rt + pfen + ptPfeb. (17.2-14) Кривая С лежит на сфере радиуса R, если qq R (необходимое и достаточное Условие). Полярными прямыми кривой С называются касательные к ее полярной кривой; определяется как геометрическое место центров соприкасающихся сфер кри- вой С. Полярная поверхность кривой С есть линейчатая поверхность (п. 3.1-15), образо- ванная касательными к полярной кривой (с) Эвольвенты « эволюты. Касательная к кривой С описывает линейчатую поверхность, состоящую из двух полостей, касающихся вдоль данной кривой. Эвольвен- ами (развертками) кривой называются кривые, лежащие на этой поверхности и орто го- альные ее образующим, т. е. касательным к кривой С. Если известно уравнение r=r(s) Ривой С, то уравнения эвольвент имеют вид р = р (s) = r (s) 4- (d — s)t (s). (17.2-15) Каждой эвольвенте соответствует свое значение d, представляющее собой постоянную умму длины дуги s и отрезка касательной PqP( от точки Pq кривой С до точки Р t ©волюты. Кривая С* называется эволютой кривой С, если касательные к С* являются ормалями к С, г. е. если С есть эвольвента кривой Се, Эволюты кривой С лежат на ее полярной поверхности.
524 ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.3-1, 17.2-6. Порядок касания (см. также п. 17.1-j). Пусть кривые r = f (s) и r = g(s) про- ходят через точку Pt (п), где rf = f (st) — g (si). Если расстояние между точками этих кривых | f (Si 4- As) — g (si 4- As) | является бесконечно малой (n + 1)-го порядка относи- тельно As, то говорят, что кривые имеют касание п-го порядка в точке Pt. Необходимым и достаточным условием того, что регулярные кривые г = f (s) и t==g(s) имеют касание и-го порядка в точке Pi(xit уи gj) ~ Pj (rj), являются соотно- шения f(Si)=g(Si) = r1, f'(sJ)=g'{s1).......... (st) = g<n> (Si), f<n + I>(s1):#g<'» + I)(sI), (17.2-16) которые должны выполняться при подходящем выборе начала отсчета и направления на каждой из кривых. Для кривой, заданной уравнениями г = г(А:), У = у{х), условия касания п-го порядка принимают вид, аналогичный (17.1-10). 17.3. ПОВЕРХНОСТИ В ТРЕХМЕРНОМ ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ * 17.3-1. Вводные замечания (см. также п. 3.1-14, примеры см. в п. 3.5-10). В пп. 17.3-1 —17.3-14 рассматривается геометрия регулярного куска поверх- ности S, определяемого векторным уравнением . г = г(и, о), (17.3-1а) или уравнениями х=х(и, о), у=*у(ц, о), г=г(и, о), (17.3-16) или <р(х, у, z)=0, (17.3-lc) для некоторой области изменения параметров (криволинейных координат на поверхности) и, о (п. 3.1-14). Предполагается, что функции (1) имеют непре- рывные частные производные первого порядка, и ранг матрицы (дх ду дг \ дя“ (’7.3-2) ох ду oz j v ' dv dv dv * равен 2 (п. 13.2-7), <г. е. три функциональных определителя д(х, у)/д(и, о) д(у, z)[d(u, о), д(г, х)/д(и, v) не обращаются в нуль одновременно, или • иХГщ^О = (17.3-3) В случае необходимости предполагается существование производных более высокого порядка. Условия; перечисленные выше, обеспечивают существование и линейную независи- мость векторов ги и Ту, направленных соответственно по касательным к координатным линиям u=const и о —const на поверхности, проходящим через точку (и, о). Точки поверхности, в которых три определителя существуют, но обращаются в нуль при любом выборе параметров и, v, называются особыми точками; им соответствуют ребра, вершины и т. н.' 17.3- 2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. (а) В каждой точке поверхности Рг (сх) = Р1 (xr уг, zj = (ult oj, удовлет- воряющей условиям п. 17.3-1 (регулярная точка поверхности), существует единственная касательная плоскость, которая определяется как предельное положение плоскости, проходящей через три различные точки поверхности Рt> Рг, РЯ при стремлении Рги Р3к Р^, при этом Р2 и Ря перемещаются вдоль кривых, имеющих различные касательные в точке Pv Эта плоскость содержит
17.3-8. 17.3. ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 525 касательные ко всем регулярным кривым поверхности, проходящим через Р^. Касательная плоскость определяется уравнением X — У—У1 2 —2^ дх ду dz - _ ди ди да дх ду дг ди dv dv =0е (17.3-4) [г—rlt г„, rj=o или где все производные берутся при и—иу v—v±. (b) Нормалью к поверхности S в ее регулярной точке Р± называется пря- мая, проходящая через Рг и перпендикулярная к касательной плоскости в этой точке. Уравнение нормали имеет вид , г—r1=7N, (17.3-5) где д (V, z) j , д (г, х) д(х, у) N -= г» х г« _ б (и, ч) а (и, о) J а (и, о)_ g_g. I ru-x Tv I -if r a (;/, z) у [a (z, x) p r a (x, v) Y |_ a (u, v) J + L a (u, p) J L a (u, p) J есть единичный вектор нормали к поверхности S в точке Рр, все производные берутся при «==«!, 0 = 0!- Направление вектора N называется направлением положительно нормали в точке положительное направление линии и (направление вектора ги), положительное направление линии v (направление вектора гщ) и положительная нормаль образуют правую систему осей (п. 3.1-3). 17.3 -3. Первая основная квадратичная форма поверхности. Дифференциал длины дуги и элемент площади. (а) Дифференциал радиуса-вектора -г вдоль кривой г = г [«(/), v (0] или и=«(/), v=v(f)t (17.3-7) лежащей на поверхности S, имеет вид dr=ra du+r^ dv (17.3-8) и, следовательно, квадрат дифференциала длины дуги ds=|dr| на поверх- ности (1) в точке (а, о) равен ds2=| dr р=£ (и, v)du2+2F (и, v)dudv+ G(u, v) dv2 (первая основная квадратичная форма поверхности), где ( дх \2 , / ду \2 , [ дг \2 Е (и, V)—Ги-Ги—(а„) +(ав) +(<jup - (17.3-9) Flu nl — г -г — — — Г(и, V) — ra rv~dudv^ дидо+диди' X - I дх \2 , / ду \2 ( дг \2 В каждой регулярной точке поверхности (1), отнесенной к (действительным) координатам и, V, квадратичная форма (9) является положительно определен- ной (п. 13.5-2), т. е. £>0, О О, EG—F2>0. (17.3-10) lb) Угол у между двумя регулярными кривыми на поверхности! в r = R!(0 или u = f/,(O, »=V,(i‘) r=«sp) или и = иг(1}, v—Viit),
526 ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.3-4- проходящими через точку (и, п), определяется формулой cos у = =______Е dUt dUz + F(dUt 4Уг + еШг dVJ + G dVidVt_____ |dRil|dR»l yE aul + 2FdUi dVi+ G dV^V E dU% +2F dUs dV2 + G dV% dVi dUz ,p(dUt dVz dUz tfVt\ dV, dVz ds ds \ ds ds ds ds J+ ds ds ' (17.3-11) В частности,' угол Vi между координатными линиями и = const и v = const,- проходящими через точку (к. v)f определяется формулами СОЗ Vi = -—=• g sin Vi = 7= Veg Veg (17.3-12) Условие ортогональности координатных линий а.- V имеет вид F = 0 (см. также пп. 6.4-1 И 16.8-2). (с) Векторный элемент площади dA и элемент площади dA в регулярной точке поверхности (и, v) определяются выражениями dA=(r„ х Г-J du do=N | dA [, dA — ± | dA | =У«(«, о) du dv, где а(и, p) = |r,xrB|2=£G-f2=[^]4[^J2+[^]2. (17.3-13) Знак dA может быть выбраи произвольно (см. также пп. 4.6-11, 5.2-7, 6.4-3, Ь). 17.3- 4. Геодезическая и нормальная кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье. (а) В каждой точке (и, о) регулярной кривой С r=r[u(s), o(s)] или u = u(s), v=v(s), (17.3-14) лежащей на поверхности S, вектор кривизны г"=/гп (п. 17.2-2, d) может быть единственным образом представлен в виде суммы двух векторов, один из которых (вектор геодезической или тангенциальной кривизны) лежит в каса- тельной плоскости, а другой (вектор нормальной кривизны) направлен вдоль нормали к поверхности S, т. е. r" = kn=ko(N X r')+fyvN;- (17.3-15) N — единичный вектор нормали к поверхности. В каждой точке [w(s), o(s)] величина ftG = [ftr'nN] = [r'r"N] (геодезическая кривизна кривой С в точке (и, v)) (17.3-16) является кривизной проекции кривой С на касательную плоскость (см. также п. 17.4-2, d) и kN=k(n- N) = r". N=— г'. N' (нормальная кривизна кривой С в точке (и, V)) (17.3-17) является кривизной нормального сечения (сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль к поверхности, плоскость которого проходит через каса- тельную к С; см. также п. 17.3-5). (Ь) Теорема Менье. Кривизна k кривой, лежащей на поверхности, равна кривизне kN нормального сечения, плоскость которого проходит через касательную к кривой в данной ее точке, деленной на косинус угла а между соприкасающейся плоскостью кривой в этой точке и плоскостью нормального сечения, т. е. = (17.3-18) | cos а| 4
17.3-5. 17.3. ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 527 Уравнение (18) выражает кривизну любого наклонного сечения через кривизну нормального сечения с той же касательной. 17.3- 5. Вторая основная квадратичная форма. Главные кривизны, гаус- сова кривизна и средняя кривизна. (а) Для "того чтобы записать выражения для kN (формула (17)) в криво- линейных координатах и, v, рассматриваем dN — Nu du + N„ dv и вводим обозначения —dr • dN — L(u, v) du2-[-2 M (и, v) du dv-(-N («, o) dv2 (вторая основная квадратичная форма поверхности), где 1 ’ а а VEG-F2 (17.3-19) М(и, o) = -r„.NB=-rB.N„=LM^L У — г* N(u, 0)=-го-М„ = -[^-ГцГ^-. Veg — f2 Все производные берутся в точке (и, о); подробные выражения для смешан- ных произведений можно написать по формуле (5.2-11). Кривизна нормального сечения в точке (и, о) поверхности S, плоскость которого проходит через бесконечно близкую точку атой поверхности (и-)-du, v-j-do), равна . _ dr dN RN--------d*F- г fdu\2 । пял du do , /dv\2___ L du2 4- 2M du dv + N dv1 \ds ) ds ds \ ds) E du2 + 2F du dv + G dv2 (17.3-20) следует, что отноше-’ * Из формулы (8), записанной в виде dr — ние dv/du вполне определяет направление касательной к рассматриваемому нормаль- ному сечению. * du v (Ь) Точка поверхности, в которой kN имеет одно и то же значение для всех нормальных сечений (L : М : N—E : F : G), называется омбилической. В каж- дой неомбилической точке (и, о) существует два нормальных сечения (глав- ные нормальные сечения), которым соответствуют наибольшая величина kt и наименьшая величина k2 кривизны kN (главные кривизны поверхности S в точке (и, V)). Плоскости главных нормальных сечений взаимно перпендику- лярны; для любого нормального сечения в точке (и, о), плоскость которого образует угол 6 с плоскостью первого главного нормального сечения, kN=k1co&2b-\-k2sra2G (теорема Эйлера). (17.3-21) Величины ki и k2 являются корнями характеристического уравнения *) £-/гЕ М — kF M—kF N — kG (17.3-22) =0. *) Иначе говоря, fe, и ks есть собственные числа обобщенной задачи о собствен- ных значениях матрицы А — kB, где в А и матрица В положительно определена (п. 14.8-7).
528 - ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.3-6. Симметрические функции Н (tt, t')s | (ki 4-fcg) И К (W, 0 53 k-fa называются соответственно средней и полной (гауссовой) кривизной поверхно- сти S в точке (и, 0; они следующим образом выражаются через коэффициенты основных квадратичных форм: # — 4 fa+^г) 555 у + GL> (средняя кривизна),. (17.3-23) I\^ktk2^ (гауссова кривизна) * (17.3-24) w (см. также пп. 17.3-8 и 17.3-13). Значения функций kt, k$9 Н и К не зависят от выбора криволинейных координат. В зависимости от того, будет.ли квадратичная форма (19) определенной, полуопределенной или неопределенной (п. 13.5-2) в точке (и, v), эта послед- няя является эллиптической точкой, в которой/C=s=^ifeg> О (нормальные сече- ния все выпуклы или все вогнуты; поверхность не пересекает каса- тельную плоскость;* пример: любая точка эллипсоида); параболической точкой, в которой /< — /^2=0 (например,, .любая точка цилиндра); гиперболической точкой (седловой точкой), в которой С О (имеются как выпуклые, так и вогнутые нормальные сечения; поверх- ность пересекает касательную плоскость; пример: любая точка однополостного гиперболоида). Омбилическая точка п. 17.3-5, Ь) необходимо является либо эллиптической, либо параболической. 17.3- 6. Некоторые направления и кривые на поверхности. Минимальные поверх- ности. (а) Линией .кривизны на поверхности называется кривая, в каждой точке которой касательная принадлежит плоскости главного нормального сечения в этой точке. Через каждую неомбилическую точку (и, о) поверхности S проходят две fлиний кривизны v — V (и), которые являются взаимно перпендикулярными; их дифференциальное уравне- ние имеет вид Е — du dv F du2 G = 0. (17.3-25) L М Я (Ъ) Асимптотической линией поверхности называется кривая, нормальная кривизна (20) которой в каждой точке равна нулю; асимптотические линии определяются диффе- ренциальным уравнением L dus 4- 2М du dv + N dv2 = 0. fl7.3-26) (Пример: любая прямая линия на поверхности.) Направления касательных к асимп- тотическим линиям называются асимптотическими направлениями поверхности. X В эллиптической точке поверхности' асимптотические направления являются мнимыми. В гиперболической точке имеются два различных асимптотических направления. Линии кривизны,делят пополам угол между ними. В параболической точке имеется одно асимптотическое направление, которое совпа- дает с направлением касательной к главному нормальному сечен ню. имеющему нулевую кривизну. (с) Направления двух регулярных дуг поверхности a — Utlt), v=Vi(i) и « = €/§(/) называются сопряженными в точке их пересечения (и, v)t если касательная к одной из
17.3-7, 17.3, ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 529 этих дуг в точке («, v) является предельным положением прямой, по которой касатель- ная плоскость поверхности в точке («, V) пересекается с касательной плоскостью поверх- ности в некоторой точке второй дуги при стремлении этой точки к (u, v). Условие со- пряженности имеет вид L dUt dU*’+ М (dU1 dV2 + dU2 dVd 4- N dV2 = 0. (17.3-27) (Пример: направления линий кривизны.) Отношение сопряженности является взаимным. (d) Координатные линии к = const, и = const являются ортогональными, если F ~ 0, сопряженными, еслв М = 0, линиями кривизны, если F = 0, М О, асимптотическими, если-L = 0, N = 0. Все приведенные условия необходимы и достаточны. (е) X Минимальной поверхностью называется поверхность, у которой Н (и, V) » 0. т. е. k2 — — ki (формула (23)). Это имеет место е том и только в том случае, когда асимптотические линии образуют ортогональную сеть. X Пусть дана поверхность в виде односвязной области, ограниченной замкнутым кон- туром. Если остаанть неизменным контур и менять натянутую на него поверхность (как меняется упругая пленка), то поверхность, имеющая наименьшую площадь, будет обяза- тельно минимальной; отыскание минимальной поверхности по заданному контуру назы- вается задачей Плато. Физическим аналогом минимальной- поверхности может служить мыльная пленка, натянутая на изогнутый в пространстве проволочный контур. 17.3-7. Поверхности как римановы пространства. Трехиидексные символы Кристоф- феля и параметры Бельтрами. Регулярный кусок поверхности S с первой основной квадратичной формой (9) является двумерным риманоеым пространством, отнесенным к координатам и, v, метрический тензор которого имеет компоненты: Е, £12 = = ^2i=/?, £2э = G (пп. 16.7-1 и 17.4-1; см. также п. 17.3-12); а (и, и) = EG — F2 есть оп- редилитель метрического тензора (п. 16.7-1), Если рассматривать поверхность как рима- ново пространство, то на ней можно определить векторы, тензоры, скалярное произведе- ние и ковариантное дифференцирование (п. 16.2-1, 16.8-1 и 16.10-1), Трехиндексные сим- волы Кристоффеля второго Рода (п. 16.10-3) имеют для поверхности S следующий вид *): ;1 у _geu-2ffu+fev 11 1JS~ 2 (EG — F2) । 1 1 _J 1 I _ GEv~FGu H 2jS=l2 l/s~ 2 (EG — F2) ’ ' j + .2 2 J S 2 (EG — F2) ’ ( 2 1 -FE^SE^-EE^ U 1JS — 2 (EG — F2) f 2 I I 2 1 .EGu~FEv U 2)S ~ \2 ifs ~ 2 (EG — F2)’ 2 | .^-2^ + ^. (2 2 J S' ~~ 2 (EG — F2) ’ (17.3-28) обозначение. «S» использовано для того, чтобы отличить символы Кристоффеля поверх- ности от символов Кристоффеля Д' объемлющего пространства. Для функций Ф (и, v), Ч? [и, v), имеющих непрерывные частные- производные нуж- ного порядка, могут быть составлены дифференциальные инварианты V упЕфъ р (ф А + ФЛ) + Оф А VS 1 ’ 1 EG — F2 (первый дифференциальный параметр Бельтрами), 1___ГЙОФК-ЕфР й£фв-^фц1 VEG — F‘ldu VEG — F2 + dv V EG — F2 J (второй дифференциальный параметр Бельтрами). (17.3-29) V^(®) вполне аналогичные и определенным в табл. 16.10-1. Так как двумерное римаиово пространство «погружено» в трехмерное евклидово пространство, ковариантное дифференцирование на поверхности можно интерпретировать прн помощи действитель- ного сравнения векторов поверхности в соседних ее точках; однако прн этом должно рассматриваться ие приращение вектора, а его ортогональная проекция на касательную плоскость. *-) См, сноску на стр. 513.
530 ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.3-8. 17.3-8. Уравнения с частными производными, связывающие коэффициенты основ- ных квадратичных форм. Theorema Egregium Гаусса. (а) Изменение линейно независимых векторов смещении вдоль координатных линиий поверхности ниями: г/ш = {1 l}sru + {l l}sr» + LN’ ги» N («локальный базис») при описывается следующими соотноше- гии {1 2}s Ги + {1 2}sr»+WN’ rim~ {2 2}s ги + {г 2}s rB + ArNi (уравнения Гауссе^, (17.3-30) N„ = тг/г- Г(™ — GL) r„ + (FL — ЕМ} г 1, « EG — FE I « {уравнения 1 Вейнгартена') N® = EG-F* №N - Ги + - £Ar> %]. (b) Условия совместности системы дифференциальных уравнений (17.3-30) (условия интегрируемости, п. 10.1-2, с), равносильные соотношениям г„_ = г _ r_w/— г . имеют вид + {i *1}S м + {A}s N = ^+{/2}s L + {i22}s м- ^ + {l’2}s м + {122}s N =7Vk + {2‘2}S L + {ЛЬ (уравнения Майнарда — Кодацци *)) (17.3-32) 7Й{ ,'Л.}«+{/.}«{.‘=h-{.2.}s WJ-«• V (17.3-33) (с) Уравнения (33) выражают К только через Е, F, G и их производные, откуда следует, что гауссова кривизна К(и, о) поверхности является инвариантом изгибания, т. в. не меняется при таких деформациях поверхности, при которых сохраняется ее пер- вая квадратичная форма (Theorema Egregium Гаусса). 17.3-9. Определение поверхности коэффициентами ее основных квадратич- ных форм. Три функции Е (и, v), G (и, о) nF (и, о), удовлетворяющие усло- виям Е(и, и)>0, G(u, v)>Q, EG—F2>0, определяют метрику (внутрен- нюю. геометрию) поверхности. Шесть функций Е, F, G, L, М, N, удовлетво- ряющих указанным выше неравенствам, и условиям совместности (32) и (33), однозначно определяют действительную поверхность г=г(а, с) с точностью до ее положения в пространстве (основная теорема теории поверхностей). 17.3- 10. Отображения. (а) Взаимно однозначное преобразование (отображение) «=й (и, v), v = v(u, о), [-*(“’ °* (17.3-34) ставит в соответствие каждой точке (и, о) данного регулярного куска поверх- ности г=г(«, о) определенную точку («, о) регулярного куска другой поверх- ности г = г(а, о). В дальнейшем символы с чертой сверху будут относиться ко второй поверхности. Функции и (и, v), v (и, v) предполагаются дифферен- цируемыми достаточное число раз. Отображение называется изометрическим (сохраняет все метрические величины на поверхно- сти), если Е (и, v) = Е (и, v), F (и, v) = F (и( г), G («, о) G (и, о); *) В отечественной литературе уравнения (17.3-32), основываясь на хронологической последовательности; в которой они рассматривались; называют уравнениями Петерсона Кодацци.
17.3-12. 17.3. ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 531 конформным (сохраняет углы), если Е (и, v) :F (и, v) :G(u, v)=E (ut v) :F (и, v): G (u, o); эквиареальным (сохраняет площади), если а (й, v) _ 1 /~EG — F‘ д(и, v)~V EG — F2' (Ь) Для получения конформного отображения (34) каждая из поверхностей конформно отображается на плоскость, а затем одна плоскость отображается на другую прн помощи аналитической функции комплексного переменного (п. 7.9-1). Для того чтобы отобразить конформно поверхность г —г {ut V) на плоскость с декар- товыми прямоугольными координатами g (w, v)t т) (ц, о), решается дифференциальное урав- нение Е (u, v)du2~\- 2F («, о) du dv 4- Q (и, v} dvz = 0 (17.3-35 a) илн, что то же, ^- = -^(-F + iVEQ-F‘) к = EG—Е2). (17.3-35 6) С. U LZ HU LZ Интегралы этих уравнений определяют мнимые кривые (изотропные или минималь- ные «кривые» иа поверхности, которые характеризуются условием dsE = 0) U (к, V) = const, V (К, V) = const. Тогда первая квадратичная форма поверхности в действительных ортогональных коорди- натах Е (и, &)=-!(£/ + V), 1) («, У) (U - V) (17.3-36) (изотропные или изотермические координаты) принимает вид ds2 = ф (£, ii) (d|2 + dif) (17.3 -37) и становится пропорциональной первой квадратичной форме d£s-f-dT]2 плоскости с декар- товыми прямоугольными координатами 1). 17.3-11. Огибающие (см. также пп? 10.2-3 и 17.1-7). Пусть уравнение Ф (х, у, z, К) ~0 (17.3-38) определяет одиопараметрическое семейство поверхностей, для которого ФАЛ?40 Х (17.3-39) в некоторой области V пространства. Тогда в области V существует поверхность (огибаю- щая данного семейства), которая касается каждой из поверхностей (38) вдоль кривой (характеристики), определяемой уравнениями Ф (х, у, zt Л) =0 ф£ (х, у, z, X) =0, (17.3-40) т. е. имеет с поверхностью семейства общую касательную плоскость в каждой точке характеристики. Если, кроме того, в области V выполняется условие f ¥Ф7ФА¥ФМ,] Ф 0, то огибаю- щая имеет ребро возврата, т. е. кривую, которая касается каждой характеристики (40); точка касания ребра возврата и характеристики называется фокусом. Координаты фокуса определяются уравнениями Ф (х, у, 2, X) =0, ф£ (х, у, 2, X) =0, ф£^ (х, у, z, Л) == 0. (17.3-41) Исключение X из уравнений (41) приводит к уравнениям ребра возврата. Уравнения (40) определяют при фиксированном значении h = кривую» являющуюся предельным положением линии пересечения поверхностей Ф (х, у, z, Ki) = 0 и ф (х, у, z, Kz) = 0 при Л2 -> А*; если К произвольно, то уравнения (40) определяют геометрическое место таких кривых. Зто геометрическое место (^.-дискриминантная поверхность) содержит, наряду с оги- бающей, все особые точки поверхностей семейства (ребра, узловые точки и т. Д.). Ребро возврата является, аналогично, геометрическим местом точек пересечения трех бесконечно близких поверхностей (38). 17.3-12. Геодезические линии поверхности (см. также п. 17.4-3). Геодези- ческой линией регулярного куска поверхности S называется регулярная Дуга, геодезическая кривизна которой (п. 17.3-4, а) тождественно равна нулю;
532 ГЛ. 17.-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.3-13- геодезическая либо является прямой линией, либо ее главная нормаль совпа- дает с нормалью к поверхности в каждой точке. Для любой геодезической и — и (з), V.= о (s) или v=v (и) соответствующие функции и (s), о (s) и о (и) удовлетворяют дифференциальным уравнениям d‘u , ( 1 I (au\z_i_nf 1 I dudv , f I | [dv\z ^s + ll IJs U) + (1 2Js** 42 2J$VM ’ (17.3-42Й) или s-Ws®x+H.,2}s-{2yj®‘+ + ПД1 —(Al • (17-3-426) Lu Us ii U Us Эти соотношения определяют единственную геодезическую, проходящую через каждую данную точку в каждом данном направлении. Геодезические линии кривой поверхности имеют много свойств, аналогичных свойствам прямых линий на плоскости (см. также п. 17.4-3). Если на поверхности существует кривая наибольшей или наименьшей длины, соединяющая две данные точки поверхности, то она является геодезической. Вопрос о существовании геодези- ческой, проходящей через две данные точки поверхности, требует специального исследования в каждом отдельном случае. 17.3- 13. Геодезические нормальные координаты. Геометрия на поверхности (см. также п. 17.4-7). (а) X- Система геодезических нормальных координат и, V (полугеодезические коор- динаты) характеризуется тем, что координатные линии v — const являются геодезическими линиями, а координатные линии «=const— их ортогональными траекториями. -X Всегда можно так выбрать систему полу геодезических координат, что вдоль каждой из геодезических координата и играет роль длины дуги s и длина отрезка геодезической между линиями и = и1 и и=и2 равна иа —Тогда семейство линий и — const назы? вается геодезическими параллелями, так как заключенные между любыми двумя из таких линий отрезки ортогональных к ним геодезических имеют равные длины. Первая основная квадратичная форма поверхности, отнесенной к подугеодезическим координатам, принимает вид ds* ~du3 * s -j- G (и, v) dv*. (17.3-43) В полугеодезических координатах полная (гауссова) кривизна Г б2 Г О Gl-2QGUU ---- = -------— . V О ди* 4G* (17.3-44) (Ь) В специальном случае геодезических полярных координат геодезические v — const пересекаются в одной точке (полюсе), а сч есть угол (п. 17.3-3, Ь) между геодезическими Г —О и v~vt. Каждая линия и = const е'Сть «геодезическая окружность» радиуса пересекающая все линии v~ const под прямым углом. «Дуга окружности радиуса соответствующая центральному углу dv, равна VG(«# v) dv =з о (tz8)j dv, (17.3-45) где Ко— гауссова кривизна в полюсе. Величина (45) меньше, равна или больше чем udv^ если соответственно Ко>»0, Ко==0 или Ko<0. Длина окружности Cq (и) и площадь Aq (и) геодезического круга малого радиуса и с центром в полюсе связаны с длиной окружности 2пи и площадью пи* круга того же радиуса на плоскости следующими соотношениями: 3 2 тш — Cq(u) 12 sius—Aq(u) — lim -----------== — lim -----т---- п a-»0 “8 л я —0 «* Ko. (17.3-46)
17.4-2. 17.4. ПРОСТРАНСТВА С КРИВИЗНОЙ 533 (с) Для любого геодезического треугольника на поверхности постоянной гауссовой кривизны К разность п — (А + В -}- С), где А, В, С — углы треугольника (дефект треуголь- ника), связана с его площадью Sy соотношением A-j-B-J-C — n = KST - (17.3-47) Как следствие, геометрия на поверхности постоянной кривизны является евклидовой при К = О, гиперболической при /<<0 и вллиптической при К >0. Поверхности постоян- ной равной гауссовой кривизны изометричны (теорема Миндинга). Прим е р ы. Для сферы радиуса 7? гауссова кривизна К — 1/Я8. Поверхность посто- янной отрицательной кривизны К. может быть получена вращением трактрисы X = —!---31П t. у —- (\п tg — + cos t V- К \ 2 вокруг ее асимптоты (псевдосфера). 17.3- 14. Теорема Гаусса—Бонне. Пусть гауссова кривизна К (и, о) непре- рывна в замкнутой односвязной области поверхности S, граница- которой С состоит из п регулярных дуг с геодезической кривизной (и, v). Тогда сумма 6 всех п внешних углов границы связана с интегральной кривизной J j KdA области 8 следующей формулой: j KQ ds-|- К dA=2n—6 (теорема Гаусса—Бонне). (17.3-48) Первый из интегралов обращается в нуль, если область ограничена геодезическими; формула (47) является частным случаем теоремы Гаусса—Бонне. 17.4. ПРОСТРАНСТВА С КРИВИЗНОЙ 17.4- 1. Вводные замечания. Теория, изложенная в пп. 17.4-2—17..4-7, посвящена изучению в криволинейных координатах таких геометрических понятий, как длина, угол, кривизна, и обобщению их на некоторый класс многомерных пространств, а именно римановых пространств, введенных в гл. 16. 17.4- 2. Кривые, длины и направления в римановом пространстве (см. также пп.'4.6-9, 5.4-4, 6.2-3)!). (а) Метрические свойства, связанные с n-мерным точечным римановым пространством, отнесенным к координатам х1, х2, .... хп, задаются компонен- тами его метрического тензора gnt(x1, х2, .... хп) (п. 16.7-1), который опре- деляет скалярное произведение и, следовательно, модули и направления век- торов в каждой точке (п. 16.8-1). (Ь) Регулярная дуга С определяется п параметрическими уравнениями e xl—xl(f) (17.4-1) с непрерывными производными dx‘/dt, не обращающимися одновременно в нуль. Дифференциалы dx1 = (dxl/dt) dt служат компонентами вектора, который южно рассматривать как направляющий вектор dr касательной к кривой С в ее Точке (х1, х2, .... хп)', элемент расстояния ds между двумя соседними точками кривой (х1, х2, ..., хп) н (хЧ-dx1, x2-|-dx2, .... xn+dxn) определяется сле- дующим образом: & s Vgik (*l. X2.....х") dx1 dxk = j/"gik X2, ..., xn} dt. (17.4-2a) Знак ds выбирается так, что ds > 0 для dt > 0 [положительное направление на х) Уравнения (4) — (6) могут применяться непосредственно лишь в случае Изотропные направления и линии нулевой длины (аг ds = |rfr|=0) в римановых пространствах с неопределенной метрикой кратко рассмотрены в п. 17.4-4.
534 ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.4-3. кривой О в случае положительно определенной квадратичной формы gik dx‘dxK). В некоторых случаях ds определяется соотношением ds = V| gi* (х1, x2, .... x”) dx1 dx“ | . (17.4-2fc) Длина дуги s кривой С от точки кривой, соответствующей значению параметра t—10, определяется интегралом s=$ ds = $ Vgik~ ~ dt. (17.4-3) fa f0 Величина интеграла (3) не зависит от выбора параметра t на кривой. (с) Под направлением кривой (1) в каждой ее точке (х\ х2,...» хп) по- нимается направление вектора dr; иными словами, угол у между любым век- тором а, заданным в точке (х1, х2, ..., х”), и кривой определяется формулой соз у = - ” <п. 16.8-1). В частности, угол у между двумя регулярными дугами x‘=X.i (t) и x‘ — X^(t) находится по формуле ах1 йХ* cosY=ft* -aT-dT- (J7.4-4) Общие точки (п— 1) из п координатных гиперповерхностей xl = const (i = 1, 2. .... т. проходящих через данную точку (х\ х2, ..., х”), лежат на координатной линии, соответ- ствующей и-й координате (см. также п. 6.2-2). Косинус угла между i-й и fe-й координат- ными линиями в точке (х1. х2, .... х”) равен (<3) Единичный вектор dr/ds (с компонентами dx‘/ds) является единичным вектором касательной к кривой С в точке (х1, х2.....хл). Первый вектор кри- визны dar/ds2 (с компонентами перпендикулярен к ' кривой (направ- ление главной нормали, см. также п. 17.2-2, Ь); его абсолютная величина называется первой кривизной кривой С в точке (х1, х2,.... хл) (см. также п. 17.3-7). 17.4- 3. Геодезические линии в римановом пространстве (см. также п. 17.3-12). (а) Геодезической линией риманова пространства называется регулярная дуга, геодезическая кривизна которой равна нулю в каждой точке кривой или, что то же, единичный касательный вектор которой dr/ds сохраняет по- стоянное значение (в смысле параллельного перенесения^ п. 16.10-9) вдоль кривой: d2r л „„„ Р (dxl\ cflx1 , 1 ildx/dx* п zit л fit ds2 “° или — —=0. (17.4-6) Дифференциальные уравнения (6) (п уравнений второго порядка) определяют единственную геодезическую x‘=x'(s), проходящую через данную точку pd = х1 (Sj)J в любом данном направлении (соответствующем заданным значе- ниям dxl/ds При 8 = 8]). Геодезические линии могут определяться также уравнениями более .общего вида, а именно, дифференциальные уравнения (17.4-7) dt2 т U *1 dt dt dt
17.4-5. ПЛ. ПРОСТРАНСТВА С КРИВИЗНОЙ 535 (17.4-8) (с заданными начальными значениями х£ и dx4di) определяют геодезическую х® = (/); ВНД ФУНКЦИИ 1(Л=_М? ds*/ \ds J связан с выбором параметра I иа геодезической, но не меняет кривую как таковую. (Ь) Геодезические линии обладают многими свойствами прямых евклидо- вой геометрии (см. также п? 17.4-6). Если существует кривая наименьшей или наибольшей длины (3), соединяющая две данные точки риманова прост- ранства, то она является геодезической. Дифференциальные уравнения геоде- зической (6) или (7) можно рассматривать как уравнения Эйлера (пп. 11.6-1 и 11.6-2), выражающие тот факт, что первая вариация длины дуги (3), соеди- . няющей данные точки, равна нулю. Вопрос о существовании геодезической, соединяющей две данные точки риманова пространства, 'требует в каждом отдельном случае специального исследования. 17,4-4. Римановы пространства с неопределенной метрикой. Изотропные на- правления и геодезические нулевой длины. Если фундаментальная форма gik (ж1, х2, •••» хп) dx£dxk у риманова пространства являетсн неопределенной (п. 13.5-2) в точке (х^, х2, • ••» хп)» то квадрат I а |2 = g^ala^ вектора а может быть положительным, отрицательным или равным нулю, и из | а | = 0 не следует, вообще говоря, что а = 0. В любой точке (х1, х2, • :п) направление вектора аф0, удовлетворяющего условию | a J2 —= О, называется изотропным направлением. Для вектора элементарного перемещения dr ф О, имеющего изотропное направление, ris = ) dr | =0; при этом точки (х1т х2э хп) и (x^-j-dx1, .«•, хп + dxn}> связанные таким изотропным перемещением» различны. Кри- вая ж1 == х1 (/)» удовлетворяющая условию dx£ dx& gik di ~dt~ = 0,- (17.4-9) имеет изотропное направление в каждой своей точке (кривая нулевой длины, изотроп- ная криван, см. также п, 17.3-10, Ь). Кривая х£=х£(^), удовлетворяющая одновременно уравнениям (7) и (9), называ- ется геодезической линией нулевой длины. Каждое изотропное направление определяет единственную геодезическую линию нулевой длины, проходящую через данную точку в этом направлении (одно из применений — траектории светового луча в римановом пространстве теории относительности). 17,4-5. Тензор кривизны риманова пространства. (а) Тензором кривизны (тензором Римана — Кристоффеля) данного рима- нова пространства называется абсолютный тензор ранга 4 со следующими смешанными компонентами (здесь г—немой индекс): "7Л-1О) или с ковариантными компонентами RUkh^gir^rikh^ -^k [jh; П-^i lib «1+ {Д} [ih; [^; _ i Г , g2g/fe __ e2«ik _ a2g/ft 1 j 2 dx‘dx^ dxJdxh dx^dx^J +grs{№ r]—[jh; s] [ik; /•]}. (17.4-11) К Иногда пользуются также обозначениями Rijkh ~Rij, Jib и R jkh ~ R-i,kh~ Rhk, j.
536 ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17 4-G. Компоненты.тензора кривизны удовлетворяют следующим соотношениям; ^kh=-^hk-^rikh. ^jkh+^khj+Khik-0' <17-4-'2’ Rijkh ~Rkhij “ ~ Rjikh == ^ifhki ^Ijkh + ikhj + Я ihjk = °» (17.4-13). вторые соотношения в формулах (12) н (13) столбца называются тождествами. Риччи. - - п2 (пй — 1) Тензор кривизны, п-мерного риманова пространства имеет ---- существенных Компонент, через которые выражаются остальные его компоненты. Абсолютные произ- водные тензора кривизны удовлетворяют тождествам Бианки (Бианки — Падова) fkh,r jhr.k jrkth * 1 (тождества Бианки). (17.4-14) R-ijkh,r + R.ijht\ А + J (b) Тензором Риччи данного риманова пространства называется абсолют- ный тензор ранга 2 с ковариантными компонентами ra+WW . "(17.4-15) или со смешанными компонентами Р‘- = ^kRhj Тензор Риччи в п-мерном рима- новом пространстве является симметричным и имеет £L2L+-!1 существенных компонент. Собственные направления тензора Риччи (п. 14.8-3) называются глав- ными направлениями Риччи; они определены в каждой точке риманова прост- ранства. (с) Скалярным инвариантом или скалярной кривизной риманова прост- ранства называется скалярный (абсолютный) инвариант Я ^iki. (17.4-16) (d) ензором Эйнштейна данного риманова пространства называется абсо- лютный тензор ранга 2 с компонентами CW/~^ или С17-4'17) Дивергенция (п. 16.10-7) Оу , тензора Эйнштейна тождественно равна нулю. 17.4-6. Геометрическое истолкование тензора кривизны. Плоские прост- ранства и евклидовы пространства. (а) Параллельное перенесение вектора вдоль замк- нутого контура. Параллельное перенесение вектора a (Da1 = 0, п. 16.10-9) вдоль бесконечно малого замкнутого контура (х1, х2,..., хп) —’(x1-j-dx1, xz-j-dxz,xn-j-dxn)~* (х1 + dx1+dg», x2+dxz+dg2,..xn+dxn+dg”) — — (xi-F-dg1, x2+dg2,..., x«+dg”)-*(x1, x2,.... x”) вызывает изменение каждой компоненты а1 вектора а на l>ai——Rijkhaidxkd§h (17.4-18) (см. также уравнение (16.10-25)). (Ь) «Геодезически параллельные линии. Пусть х1 = = х1 (s, X) !) — уравнения однопараметрического семейства геодезических, где *) Принятое здесь обозначение Xе = xl (s, X) исключает геодезические нулевой длины.
17.4-7. 17.4. ПРОСТРАНСТВА С КРИВИЗНОЙ 537 s — длина дуги геодезической, X—параметр семейства. Ортогональные траек- тории семейства (геодезические параллельные) отсекают на геодезических линиях дуги равной длины. Следовательно, эти ортогональные траектории можно при подходящем выборе начала отсчета па каждой из геодезических определить уравнением s=const. Вектор с компонентами ^р = чг(8- х) будет иметь направление нормали к геодезической Х = const, касаясь в то же время двумерной поверхности риманова пространства x‘=x‘(s, X) (s, X—пере- менные параметры). Вектор т]* меняется при перемещении вдоль любой из геодезических семейства таким образом, что (17-4-19) где р]~координаты единичного вектора касательной к данной геодезической линии. (с)^< Плоские пространства. Римаиово пространство называется плоским, если в окрестности каждой его точки существует такая система коор- динат g1, g2, ...» (декартовы прямоугольные координаты), что в этой окрестности ds2=61 ЙТ+е2 (^)2+-+е„ ft")2, (17.4-20) где е£ постоянны и равны либо -J-1, либо —1. Римаиово пространство является плоским в том и только в том случае, если все компоненты его тензора кривизны R1.^ или Rt]kh равны нулю в каж- дой точке пространства, так что в плоском пространстве смешанные кова- риантные производные не зависят от последовательности дифференцирования, и параллельное перенесение тензора вдоль замкнутого контура оставляет все компоненты тензора неизменными (пп. 16.10-9 и 17.4-6, а)1)- , В любой декартовой координатной системе все символы Кристоффеля тождественно равны нулю; ковариантное дифференцирование сводится к обычному дифференцированию и любая геодезическая определяется линейными параметрическими уравнениями gl = o//-|-6t. Фундаментальная форма (20) может быть дополнительно упрощена посредством вве- дения координат е является мнимым, если е- = — 1 (это последнее обстоя- тельство имеет место в теорий относительности). * (d) Плоское римаиово пространство с положительно определенной мет- рикой (все е£- в (20) равны-)-1) называют локально евклидовым. Топология (п. 12.5-1) локально евклидова пространства может отличаться от «обычной» топологии евклидова пространства элементарной геометрии (гл. 2 и 3);’иногда, впрочем, локально евклидово пространство также называют евклидовым неза- висимо от его топологии. С другой стороны, плоское пространство иногда назы- вают локально евклидовым независимо от того, является ли его фундамен- тальная форма положительно определенной, а в случае положительно опреде- ленной формы (17.4-20) употребляют термин «собственно евклидово простран- ство»; если же форма (20) не является положительно определённой, то пространство называют псевдоевклидовым. * 17.4-7. Специальные координатные системы. Благодаря инвариантности тензорных уравнений (и. 16.1-4, 16.4-1, 16.10-7, Ь) часто удается упростить Математические рассуждения путем использования одной из специальных коор- динатных систем. 1) При этом предполагается, что контур может служить границей поверхности, все точки которой принадлежат плоскому пространству.
Б 38 ГЛ. 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.4-7. (а) Не каждое римаиово пространство допускает ортогональные координаты (gih^_0 для i =£k, п. 16.8-2), но всегда возможно выбрать одну из координат, пусть для определенности это будет хп, так, что ее координатные линии будут ортогональны ко всем остальным координатным линиям, вследствие чего фун- даментальная квадратичная форма принимает вид п — 1п~1 ds2= S S dxk+gnn(dxnY (17.4-21) i= 1 л= 1 в каждой точке (х1, х2, ..., хп). При этом всегда можно выбрать систему коор- динат так, что будет выполняться одно из дополнительных условий = 1 или впп~—1; *" является тогда длиной s дуги каждой из координатных линий х' = const (i=l, 2, ..., п—1), представляющих собой геодезические; ортогональные ко всем гиперплоскостям хп = const (нормальные геодезические или полугеодезические координаты, см. также и. 17.3-13). - (Ь) Ж Каждое римаиово пространство допускает такую систему координат Е1, £2, ..., что его фундаментальная квадратичная форма будет иметь вид (20) в одной наперед заданной точке пространства. Более того, система координат может быть выбрана таким образом, что в этой точке компоненты тензора gik и частные производные первого порядка dg^dx1 будут совпадать соответственно с компонентами метрического тензора псевдоевклидова прост- ранства и их частными производными; оно называется соприкасающимся псевдо- евклидовым пространством риманова пространства в данной его точке. В окрест- ности каждой своей точки римаиово пространство с точностью до бесконечно малых высшего порядка нзометрично соприкасающемуся псевдоевклидову (собственно евклидову, если метрика положительно определенная) пространству. (с) Римановыми (нормальными) координатами с началом О называются числа xl=spl, где р‘ — компоненты единичного вектора касательной в точке О к геодезической линии, соединяющей О с точкой (х1, №, ..., хи), a s—геоде- зическое расстояние между О и точкой (х1, х2, ..., х®). Каждое риманево про- странство допускает геодезические координаты с любым началом О; при этом символы Кристоффеля обращаются в точке О в нуль.
ГЛАВ Л 18 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.1. ВВЕДЕНИЕ 18.1-1. Вводные замечания. Вероятностями называются значения некоторой действительной функции, определенной на классе идеализированных событий, которые представляют собой результаты испытания (опыта или наблюдения). Вероятности вводятся посредством определенных аксиом (п. 18.2-2; см. также п. 12.1-1), абстрагируемых из основных свойств статистических относительных частот (п. 19.2-1). Практически понятие вероятности проявляется в том, что обычно относительная частота случайного события в каждой последователь- ности- независимых повторных испытаний приближается к соответствующей вероятности (п.~ 19.2-1)*). Теория вероятностей занимается определением и описанием моделей, свя- занных с понятием вероятности. В частности, здесь рассматриваются методы вычисления вероятности некоторого события по известным или заданным ве- роятностям других событий, которые с ним логически связаны. Многие прило- жения теории вероятностей относятся к области случайных процессов (пп. с 18.8-1 и©' 18.11-5). 18.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ 18.2- 1. Алгебра событий,, связанных с данным испытанием. Каждая вероят- ностная модель описывает некоторый идеализированный опыт (или наблю- дение), обладающий тем свойством, что для класса его возможных исходов (событий) имеют смысл следующие определения. 1. Объединение (логическая сумма) £хU£zU (или E^-J-^-}-...) конечной или бесконечной последовательности событий Е1г Е2>... есть событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из собы- тии Еъ Е2, ... 2. Совмещение (логическое произведение) £х П Е2 (или Е,Е2) двух событий £( и Е2 есть событие, состоящее в осуществлении и Е, и Ё2. 3. Дополнение (логическое отрицание) Е события Е есть событие, состоящее в неосуществлении события Е (событие Е называют «про- тивоположным» событию £). 4. Достоверное событие / состоит в осуществлении хотя бы одного йз событий класса §+. 5. Невозможное событие О состоит в том, что не осуществляется ни одно из событий класса $+. Класс S событий, состоящий из класса и 0, образует вполне аддитив- ную булеву алгебру (пп. 12.8-1 и 12.8-4)—алгебру событий,, связанных с данным испытанием. Любое из соотношений или Е!(]Е2—Е2 заключает в себе логическое отношение включения £zcz£j. (£z влечет Е,). Отметим, что 0с:£ с.1. События £х и £г называются несовместными, если Ег П £z=0с Множество ') До тех пор, пока это. положение имеет место», оно может рассматриваться как закон природы', не надо смешивать это положение с математическими теоремами типа теоремы П€Рн'улли нлн закона больших чисел (и. 18~6>5)).
540 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.2-2. совмещений Е П Ег образует алгебру событий, связанных с данным испытанием при дополнительном условии, что имеет место событие Ег; Е1(}Е1 = Е1 есть достоверное событие в (см. также п. 12.8-3). 18.2- 2. Определение вероятности. Условные вероятности. Пусть с данным испытанием связан класс § событий Е (и. 18.2-1). Вероятностью Р{£} собы- тия Е называется определенная на § однозначная действительная функция, удовлетворяющая трем условиям (аксиомам вероятностей): 1) Р {Е} 0 для любого события Е из $;• 2) Р vl==l Для достоверного события /; 3) Р {fj U faU-.-^P {£\} + Р {£2} + ••• Для любой (конечной или бесконечной) последовательности попарно несовместных собы- тий Е1г Е2 ... Из аксиом 1), 2), 3) следует, что О^Р {£} sg 1; в частности) если 0 — невозможное событие, то Р {0}=0. Важно отметить, что из равенств Р {£'} = 1 или Р{Е}=0 не следует, что Е является достоверным или соответственно невозможным событием. Вводимая далее аксиома 4) связывает «абсолютную» вероятность Р{£}, относящуюся к данному испытанию, и «условную» вероятность Р {Е | fij}, отно- сящуюся к испытанию, ограниченному дополнительным условием осуществле- ния события Ег. Условная вероятность Р{£ |£х} события Е при условии осу- ществления события £х определяется аксиомой £) Вероятность совмещения событий Е П Ег равна Р {Е П £х} = Р {£х} Р {£ |'£х} (правило умножения вероятностей)’ вероятность Р {£ | £х} не определена, если Р{£1}=0. По отношению к указанному выше «ограниченному» испытанию все величины Р (£ | £1) являются обычными вероятностями, именно вероятностями совмещенных собы- тий ЕПЕ1, образующих алгебру исходов этого испытания (п. 18.2-1). На практике каж- дан вероятноть может быть истолкована как условная вероятность, соответствующая неко- торым условиям, наложенным при проведении испытания. 18.2-3. Независимость случайных событий. Два события Е± и £2 назы- ваются независимыми (независимыми по вероятности), если Р{£Щ£2}=Р{£1}Р{£2}, (18.2-1) так что Р {£х | £2} = Р {£х}, если Р{£2}=/=0, и Р {£2 | £Г} = Р {£2}, если Р{Е1}=#0. । События Ej, Е2, ..., En называются независимыми в совокупности, если выполняются все указанные ниже соотношения: Р = Р{£<}Р{£/} (l^Kj^N), P{EtOEf(]Ek}=P {Et} Р {£/} Р {£ft} (l^i<j<k^N), 2.2) P {£1П£гП-П= P{£J P {£a} - P {Xvi-....................- 48.2-4. Сложные испытания. Независимые испытания и повторные независимые испытания. Часто испытание можно расчленить на отдельные частичные испытания (см. также пп. 18.7-3 и 18.8-1). Результаты первого, второго, ... частичных испытаний обозна- чим через Е', Е", ... Результат Е сложного испытания может быть описан как совмеще- ние событий Е — в общем случае нх вероятности будут зависеть от приводы и взаимодействия частичных испытаний. Два (или боЛее) частичных испытания называются независимыми, если независимы их результаты Е', Е", полученные в процессе сложного испытания. Если некоторое частичное испытание независимо от остальных, то вероятность осуществления любого его исхода при проведении сложного испытания равна соответствующей вероятности при самостоятельном проведении частичного испытания. Повторными независимыми испытаниями называется последовательность независи- мых испытаний, каждое из которых имеет одни и тот же набор возможных исходов Е и их вероятностей Р {£}• Вероятность получения определенной последовательности резуль- угатов Е ...» Е_ при проведении п повторных независимых испытаний равна Р {£v £а, .... Еп} = Р {£J Р_{£а} ... Р {£„}
18.2-5. 18.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ 18.2-5. Правила сочетаний (см. также пп. Г8.7-1 —18.7-3). Каждая из тео- рем табл. 18-2-1 выражает вероятность некоторого события через вероятности других событий, логически связанных с ним. Таблица 18.2-1 Вероятности логически связанных событий (а) Вероятность неосуществления со- бытия Е Р {£ } = 1 -- Р {£ } Вероятность осуществления хотя бы одного из двух событий Et и Es (Ei или Ее или обоих) Р’ и £=} = = Р {£,} + Р {Д2} -Р{£, П Ег} Вероятность совмещения всех собы- тий £*, Е2, Ед/ Р{£1ПЬ2П..<П£д1} = = Р{Д1}Р{£2|£1}... ...P^jvlEi П £2 Л ... Л en_ ,} (Ь) Вероятность осуществления хотя бы одного из N независимых в сово- купности событий Ер £g, .Ед/ P{£jU £2и ... и Ejv} = = 1-(1-Р{£фх * (> - p {£2}) • • • о -p {M) Вероятность совмещения событий Ер Е2, ... , Ед/, независимых в сово- купности p {£i n Ea n ... n £iv} = = p{£i}p{£2}---p{£w} Вероятности осуществления .-не менее т и точно т из N (не обязательно незави- симых) событий Е^, Е^, ... , равны соответственно IV /V рт- 2 p[m]= 2 1 = т 4 ' ] = т 4 7 (m = 1, 2...NY (18.2-4) где si = 2p{£«}; 52 = 22р{£/П £а}; •••; «л=р{ММ..~пм. («.г-» г i < k '• Заметим, что N N Si=^ (/Z11) pk= 2 (;) ’ <'=1-2’ - • *>• <18-2-6) 6 = /V *z A = /VZ Если E^, Eg, ... , Ед/ независимы в совокупности, то величины (5) приводятся к сим- метрическим функциям (1.4-9) от PjE^J. (табл. 18.2-1, Ь). Примеры. Если вероятность выпадения каждой стороны игральной кости равна 1/6S «го вероятность выпадения или 1 или 6 есть 1/6 4- 1/6 = 1/3, вероятность невыпадения 6 есть 1— 1/6 = 5/6, I вероятность выпадения 6 хоть один раз эа. два бросания кости есть 1/6 4“ 1/6 — — V36 = п/36, вероятность выпадения 6 точно один раз за два бросания кости есть 1/3—2/36=5/18, -вероятность выпадения 6 дважды за два бросания есть 1/36.
542 гл. is. теория вероятностей и случайные процессы 18.2-6. 18.2- 6. Теоремы Байеса (см. также п. 18.4-5, Ъ).- Пусть Hlt Н2, ...—после- довательность попарно несовместных событий, образующих полную группу, т. е. Нг (J Н2 U ...=/. Тогда для каждой пары событий Е имеет место формула Байеса Р IH. I F1 Р{Е} 2 Р {",} Р {£ I (18.2-7) Формула (7) позволяет вычислять «апостериорные» вероятности Р {Н. | EJ через «априорные» вероятности Р {И,} «гипотез» Н.. 18.2- 7. Представление событий как множеств в пространстве выборок. Каж- дый класс § событий Е может быть представлен как множество g попарно несовместных событий Е 0 так, что каждое событие Е есть объединение некоторого подмножества событий из g. g называется пространством выборок или множеством элементарных событий, связанных с данным испытанием. Каж- дое множество элементарных событий Е из g соответствует некоторому собы- тию Е. В частности, само g соответствует достоверному событию, а пустое множество из g—невозможному событию. Вероятности Р {Е} могут рассмат- риваться при этом как значения некоторой аддитивной функции множества, вероятностной функции, определяющей распределение вероятностей в прост- ранстве выборок. Таким образом, алгебра событий $ изоморфно отображается на алгебру измеримых множеств (см. также пп. 4.6-17. b и 12.8-4). Множество элементарных событий, соответст- вующее условным вероятностям Р есть подмножество, составляющее событие Et. Обратно, множество элементарных событий, связанное с некоторым испытанием, может рассматриваться как подмножество в пространстве выборок,- связанном с' более общим испытанием. 18.2- 8. Случайные величины. Случайная величина есть любая (не обяза- тельно численная) переменная х, «значения» которой х = Х образуют множество элементарных событий {х = Х} или, другими словами, обозначают точки в про- странстве выборок. Соответствующее распределение вероятностей называется распределением случайной величины х. Каждая измеримая функция (п. 4.6-14, с) х, определенная на некотором множестве элементарных событий, есть случайная величина; ее распределение задается вероятно- стями событий — измеримых подмножеств значений х. 18.2- 9. Описание вероятностных моделей на языке случайных величин в их функций распределения. Во многих задачах элементарные события Е бывают отмечены значениями X действительной случайной величины х. Таковы, например, результаты измерения. Сложные события, скажем, {х^а}, {sinx>0,5} или {х = arctg 2.}, соответствуют измеримым множествам значений величины х. Более общим образом каждое случайное событие может быть отмечено упорядоченным набором Х = (Хх, Х2, ...) действительных чисел Xi, Х2, .... который дает «значение» многомерной случайной величины x = (xlt х2, .--)• Каждая из действительных величин x-t, х2, ... сама является случайной вели- чиной. Если множество элементарных событий, связанное с данным испытанием, отмечено случайной величиной х или х, то вероятности случайных событий однозначно описываются распределением вероятностей этой случайной величины. В настоящем справочнике все действительные случайные величины считаются заданными в интервале (—со, -|-со); значения случайной величины, не соот- ветствующие элементарным событиям Е, трактуются как невозможные события и нм приписывается вероятность 0.
18.3-2. 18.3. ОДНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 543 Распределение действительной случайной величины х задается ее функцией распределения ) фл (Х) Ф (X) = Р {х < X}. (18.2.8) Распределение многомерной случайной величины Х“(Хх, х2, ...) задается функцией совместного распределения Фх (Хх, Ха, ...)=Ф(Х? Х2, ...) = Р < Х£, х2 < Ха, ...}. (18.2-9) Обратно, функция распределения определяется по данному распределению вероят- ностей однозначно для всех значений случайной величины, за возможным исключением множества меры нуль (п. 4.6-14). Функция распределения всегда определена однозначно в точках непрерывности. Каждая функция распределения является неубывающей функ- цией от каждого из своих аргументов и ф*(—оо) = 0. <Т’х(|сф.4, (18.2-10) Фх (—со, Xg, Х3, ...)= Фх (Xfi -00. X* ...) =... =0, | (18 2 • „ ФХ(+<?О, +оо, +оо, ...)=1. J 18.3. ОДНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 18.3- 1. Дискретные одномерные распределения вероятностей (примеры см. в табл. 18.8-1 —18.8-7). Действительная случайная величина х называется дискретной, если вероятности рх(Х) = рт=Р{х=Х} (18.3-1) отличны от нуля" только для счетного множества спектральных значений X = = Х(1), Х|21, ... (спектр дискретной случайной величины). Каждое дискретное - распределение вероятностей описывается или функцией (1) илн функцией распределения . Фх(Х) = Ф(Х)==Р{х<Х} = J] р(Х1й). (18.3-20) *(0<* Функцию распределения удобно записывать с помощью единичной функции (О такой, что (7+ (О — 0 при t 0, £/+ (t) = 1 прн t >. О (п. 21.9-1); Ф (X) = р (Х{1)) <7+ (X - х(1)) + р (Х{2)) t/+ (X - Х{2)) + ... (18.3-26) В настоящем справочнике символ У у(х) обозначает сумму значений функ- X ции у (х) по всем спектральным значениям дискретной случайной величины х. Заметим, что 2₽(х)=Ф(+со) = 1. (18.3-3) 18.3- 2. Непрерывные одномерные распределения вероятностей (примеры см. в табл. 18.8-11). Действительная случайная величина х называется непрерыв- ной, если ее функция распределения Фх(Х)^Ф(Х) непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную—плотность распределения вероятностей величины х: РГХ=~л:<Х + ДХ1 аф <px (X) = <р (X) = Jim о —1----------=гг. (18.3-4) *) В некоторых руководствах функция распределения определяется несколько иначе; Ф (X) == Р {л < Л
544 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.3-3. Дифференциал dfI> — <p(X)dX‘=sP{X^x<ZX-{-dX} называется элементом вероятности. Отметим формулы Р{х<Х}==Ф(Х) = J <p(x)dx, — со b Р {а х < Ь} = Ф (Ь) — Ф (а) == j ср (%) dx, (18.3-5) а J cp(x)dx=©(co) = l. (18.3-6) — со Если х — непрерывная случайная величина, то каждое событие имеет веро- ятность нуль, но не обязательно является невозможным. Спектром непрерывной случай- ной величины х называется множество значений х = Х,и которых tp (X) ф 0. 18.3-3. Математическое ожидание и дисперсия. Числовые характеристики одномерного распределения вероятностей (см. также п. 18.3-6). (а) Математическое ожидание (среднее значение) функции у (х) от дискрет- ной или непрерывной случайной величины х есть *Mj(x)=. J]y(x)p(x) X оо J y(x)q(x)dx (х дискретна), (х непрерывна), (18.3-7) если эти выражения существуют в смысле абсолютной сходимости (см. пп. 4.6-2). (Ь) В частности, математическое ожидание (среднее значение, центр распре- деления) Мх=5 и дисперсия Dx=o2 дискретной или непрерывной случайной величины х определяются по формулам 2хр(х) (х дискретна), Мх = £ = . X со J х <р (х) dx — со Л(Х-?)2Р(Х) (х непрерывна), (х дискретна), . (18.3-8) Dx=o2 = M (х—5)2 = X J (*—?)2<p(x)dx — со (х непрерывна). Для вычисления дисперсии можно применять формулы Dx=c2 = Mx2—|2=?=Мх(х— 1)— g(g — 1). (18.3-9) Если существуют Мх и Dx, то средний квадрат отклонения М(х—X)2=c2-]-(g—X)2 случайной величины х от данного числа X будет наименьшим (н равным а2) при X =s- (с) Мх и Dx не являются функциями от х: это—функционалы (п. 12.1-4), описывающие свойства распределения случайной величины х: Мх характеризует положение величины х, a Dx — ее рассеяние. Определения других числовых характеристик одномерного распределения вероятностей даны в табл. 18.3-1 и в пп. 18.3-7 и 18.3-9. Заметим,' что некоторые параметры типа Мх, Dx, М|х—g|, ... могут не существовать у данного "распределения вероятностей. (d) Табл. 18.8-1 — 18.8-7 и 18.8-11 дают математические ожидания и дис- персии некоторых часто употребляемых распределений.
’18.3-8. 18.3. ОДНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН 545 Таблица 18.3-1 Числовые характеристики одномерных распределений вероятностей (см. также пп. 18.3-3, 18.3-7, 18.3-9) (а) Квантили. Квантиль порядка Р одномерного распределения есть такое зна- чение хр случайной величины л, для которого Р {х<хр} = Ф(хр)=Р (0<Р<1), есть медиана распределения. Квартили Xij^ Ха/^ децили^0 f, g, и процентили *0>01. *0#02> • • » х0>99 Делят область изменения х соответственно на 4, 10 и 100 интервалов, попадания в которые имеют равные вероятности. Квантили существуют у каждого распределения вероятностей, но они не обя- зательно однозначно определены. Таблицы квантилей широко используются в ста- тистике (пп, 19.6-3, 19..5-4). (Ь) Характеристики положения. 1. Центр распределения (математическое ожидание) Мх === £ (п. 18.3-3). 2. Медиана xtyg (см. выше). 3. Мода непрерывного распределения есть точка максимума плотности распреде- ления вероятностей <р (х). Мода дискретного распределения есть такое спектральное значение ^т, что предшествующее и следующее за ним спектральные значения имеют вероятности, меньшие чем р Распределения, имеющие одну, две или более мод, называются соответственно одномодальиыми, двухмодальными или многомодальными. (с) Характеристики рассеяния. * 1. Дисперсия ог = Dx (п. 18.3-3). 2. Среднее квадратическое отклонение (стандарт) o==VDx. 8. Коэффициент вариации и/£. 4. Среднее абсолютное отклонение М | х — Ц. 5. Интерквартильная широта Хз^—Ху и (10—90)-процентильная широта х0,9 ~ *0,Г 6. Размах (разность между наибольшим н наименьшим спектральными значе- ниями). 7. Полу широта одиомодального непрерывного распределения есть полуразность двух значений величины х, в которых <Р (х) =-'2~ max Ф w = J Ф (gm). (d) Характеристики асимметрии и эксцесса. Первые две из вводимых ниже ха- рактеристик определяются через моменты (см. пп. 18.3-7 и 18.3-9). ця и. 1. Коэффициент асимметрии V, =—57— =—57—• 2. Коэффициент эксцесса ---3 — . Hi «а 3. Пирсонояская мера асимметрии для одномоцального распределении g - I s = —(см. также п. 19.3-5). Вместо величин т, и V2 употребляются также vf и Та + 3 или
546 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.3-4. 18 .3-4. Нормирование. Если известно, что функция ф (х) 0 пропорциональна веро- ятности р (х) дискретной случайной величины х (п. 18.3-1), то У у (ж) Ф (ж) р(Ж)=1ф(ж)=-^-! М{,(Ж) = А------. (18.3-10) k £ Ф (ж) £ ф (x) X X Если функция ф (х) О пропорциональна плотности ф (х) распределения непрерыв- ной случайной величины х (п. 18.3-2), то со J у (ж) Ф (ж) dx Ч> (ж) = i ф (ж) = —(х)--: М у (ж) = ~С°—-----------• (18.3-11) J ф (х) dx J ф (х) dx —со —со В обоих случаях 1/k называется нормирующим множителем. Подобный метод при- меним н в случае .многомерных распределений. 18 .3-5. X Неравенство Чебышева и связанные с ним формулы. Неравенство Чебышева дает оценку сверху для вероятности того, что абсолютное откло- нение |х — g| случайной величины х от ее центра распределения g = превзойдет данное число (а>0). (18.3-12) Если все значения ж^>0, то имеет место оценка P{xSsa}=^|- (а>0). (18.3-13) Если х имеет непрерывное одномодальное распределение, то справедлива более сильная оценка P{|x-g|2s4==477r!^4?, (18.3-14) ( -- — i s I 1 где s—пирсоновская мера асимметрии (табл. 18.3-1); заметим, что s=0, если распределение симметрично относительно моды. 18 .3-6. Единое описание распределений вероятностей с помощью интеграла Стилтьеса. Изучение дискретных и непрерывных распределений вероятностей можно объединить, если представить вероятность каждого события {а х < Ь} как интеграл Лебега—Стилтьеса (п. 4.6-17) ь Р {« X < &} = J ЙФ (х), а (18.3-15) где Ф(ж)е=Р {ж<Х} — функция распределения случайной величины х (пп. 18.2-9, 18.3-1, 18.3-2). В случае непрерывного распределения интеграл (15) приводится к. интегралу Римана. В случае дискретного распределения функция Ф (ж) определяется формулой (2) и интеграл (15) приводится к сумме 2 ₽(*) с^ж<Ь G помощью интеграла Стилтьеса мы получаем единые выражения оо Мж = j ж <2Ф (ж); — со со = $ y{x)dO{x)-t « —00 Иж= J (ж—ё)МФ(ж) (18.3-16) как для дискретного, так и для непрерывного распределений. Интеграл
18.3-7. 18.3. ОДНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 547 Стилтьеса применим также и к более общим распределениям, в частности, к распределениям, которые частично дискретны, а частично непрерывны. -Аналогичные понятия применяются в случае многомерных распределений (пп. 18.4-4 и 18.4-8). 18.3- 7. Моменты одномерного распределения вероятностей. (а) Моментом порядка г:>0 случайной величины х относительно числа X называется математическое ожидание М (к—Х)г. (Ь) В частности, начальный момент порядка г .относительно Х=0) есть со ar= J хг ЙФ (х)= —оо 4 (X) X со J Хг (р(х)Их —со . (х дискретна), (18.3-17) (х непрерывна). Центральный момент порядка г (относительно центра распределения g=M x) есть 5 (х~Р (х) (X дискретна), оо х Иг=М(х-£Г=$ (х — £/ЙФ (х) = < оо —°° J (х—g)rq>(x)dx (х непрерывна). (18.3-18) Если существует величина аг нли цг, то существуют все моменты и порядков k г; если интеграл [или ряд) для аг или iir расходится, то расходятся все интегралы {ряды) для ak и порядков г. Если распределение вероятностей симметрично относительно своего центра, то все (существующие) центральные моменты и нечетного порядка г равны нулю. (с) Факториальным моментом порядка г случайной величины х относительно X ’=0 называется а[г] = = Мл (ж — 1) ... (л — г + 1). (18.3-19) Центральным факториальным моментом порядка г называется М (х— Абсолютным моментом порядка г относительно X = 0 называется = М | х |г. Отметим формулы М {х - Х)2 = ц2 + - Х)2 > цЕ; (18.3-20) (d) Одномерное распределение вероятностей однозначно определяется своими момен- S, I a. I sk тами а0> аь а», .... если все они существуют и если ряд У -——— сходится при не- RI k=Q втором s > 0 (см. также соотношение (28) и сноску на стр. 548). (е) Примеры приведены в табл. 18.8-1 — 18.8-7; в п. 18.3-10 указана связь между ar, и
048 • ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.3-8. 18.3-8. Характеристические и производящие функции (примеры см. в табл. 18.8-1 —18.8-8). (а) По распределению вероятностей одномерной случайной величины х однозначно определяется (в общем случае комплексная) характеристическая функция Хд. (<7) = Me1?* ЕЕ. \ е’?*4Ф(х)= —00 2 e'?*p (х) (х дискретна), х ОО (18.3-21) j e‘?*q> (х) dx (х непрерывна), — оо „ 1 где а — действительная переменная, изменяющаяся от —со до +оо. (Ь) По распределению вероятностей случайной величины х однозначно определяются производящая функция моментов ©о ' Мх (s) ss es § esx с1Ф (x) = —co У] esxp (x) (x дискретна) ©0 $ esxy (x) dx (x непрерывна) — oo (18.3-22) и производящая функция факториальных моментов {У, s*p (х) (х дискретна),- _JC оо J. s*<p(x)dx (х непрерывна), — ©о (18.3-23) где s—любое комплексное число, для которого приведенные интегралы или ряды сходятся абсолютно. (с) Характеристическая функция %x\q) однозначно определяет распределе- ние вероятностей1). Это же справедливо и для каждой | из функций Мх (s) и Ух (s), если они существуют в смысле абсолютной сходимости в некотором интервале действительной оси, включающем точку s=0 в случае Mx(s) или точку s=l в случае Yx (s)- В частности, для дискретной или непрерывной случайной величины х имеем р(х) = lim Q—>со A J е_,«*7х (<7) d<7 (* дискретна), — Q ©О (х непрерывна). (18.3-24) —со Формула (24) дает также выражение р(х) или <р.(х) через AIx(s), так как Л4х(»<7)=Ь(<7)- ‘ (18.3-25) (d) Во многих задачах бывает значительно легче описать распределение вероятно- стей через %х (q), Mx.(s) или (s), чем вычислить непосредственно Ф (х), р (х) или <р(х) (пп. 18.5-3, 18.5-7 и 18.5-8). Методы п. 18.3-10 позволяют просто вычислять математиче- ское ожидание, дисперсию -и момевты через (q)t Мх (s) илн (s). Линейные инте- ’) Ф (х) определяется однозначно, за возможным исключением множества точек меры нуль; если Ф (х) непрерывна, то она определяется однозначно (см. также п. 18.2-9).
1Й.-8--10 18.3. ОДНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 549 тральные преобразования с (21) по (24) можно .осуществлять с помощью таблиц преобра- зования Фурье или Лапласа. (е) Производящая функция T^(s) применяется, в частности, в задачах, содержащих дискретные распределения со спектром 0, 1, 2, .... для которых со T,(s)S У Р(Ы=4гЛа(О) (* = 0,1,2....). Л ( J л *=0 18.3- 9. Семиинварианты (см. также п. 18.3-10). Если для одномерного распределения вероятностей существует момент r-го порядка аг, то сущест- вуют семиинварианты Xj, %2> определяемые разложением r k , In Хх (<7) = 2 +о (/)• (18.3-26) • *=1 При условиях п. 18.3-7, d все семиинварианты существуют и однозначно определяют распределение вероятностей. 18.3-10. Вычисление моментов и семиинвариантов через Xx(<7)> Al^s) в yx(s). Соотношения между моментами и семиинвариантами. Многие характе- ристики распределения могут быть вычислены непосредственно по Хх (q), Mx{s) и ух(s) без предварительного нахождения Ф(х), р (х) или <р(х). Если рассматриваемые далее выражения существуют, то «г=^^(0)=<>(0); ам = у<Г> (1). Хг-Г^1пхх(<7)| =-£rindMs)| • (18.3-27) dq = O ds |s=0 Заметим, что co co cd (S) = 2 afe s_: In мх (S) = 2 L_; (s + 1) = £ a[fe] (18.3-28, fe = 0 /? = 1 fe=0 если только стоящие слева функции (производящая функция моментов, производящая функция семиинвариантов и производящая функция факториальных моментов соответ-, ственно) аналитичны в окрестности точки s = 0. Из формул (28) можно получить Мх и Dx: Mx=g = a1 = arll = x ] L J (18.3-29) Dx=a2 = p2 = a2—g2 = a[2]—g(g —l)=x2. J В табл. 18.3-1 указаны и другие характеристики, которые могут быть выражены через моменты. Следующие формулы связывают моменты и семиинварианты Г г 2 «,= S/W • (Г = 0.1. 2. ...). (18.3-30) А==0. ' k=0 г—1 aLrJ' =° У skar k <r==0> 2* ••• ’ см- также n. 21.5-3), ' (18.3-31) 4=0 “8 = “£2J + “[1] = ”3 + ] cij = + 3aj2] + Пц] = xs + SXjXg.-l-и®; > (18.3-32) “4 = «£41 + 6<X[3] + 7«[2] + «[ 1 ] = «4 + e*si«n + 4и1Из + 8и1 + ”1. J 1^3 = И31 »*4 + Зи1. (18.3-33) ”4 = ^ —ЗЦ|, ив = Нв — 10H2USl ив = Ив — 1б|ла114 — Юр|-1-30ц|. (18.3-34)
550 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.4-1. 18.4. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 18.4- 1. ж Многомерные случайные величины (см. также п. 18.2-9). Если случайное событие описывается упорядоченным набором действительных чисел ХА, Х2, ... , Хп, то этот набор представляет значение n-мерной случайной величины х — (х1г х2, ... , хп). Можно также говорить о системе случайных величин или о п-мерном случайном векторе. Каждое элементарное событие может рассматриваться как результат сложного испытания, состоящего в измерении всех величин Xj, х2, ... , хп и интерпретироваться как точка n-мерного пространства (хг, х2, ... , хп) или как вектор х {хх, х2, ... , х„}. Каждая из величин хх, х2, .... хп является случайной величиной (одномер- ной). Если говорят, что х—случайный вектор (или n-мерная случайная величина), то величины хт, х2, ..., хп называют его случайными координа- тами. 18.4- 2. Двумерные распределения вероятностей. Распределения-координат случайной величины. Распределение системы двух случайных величин хг, х2 или двумерного случайного вектора х {хг, х2} задается функцией совместного распределения <DS (Хг, Х2).^ Ф (Хг, Х2) Р {х, < Хг, х2 < Х2}_ (18,4-1) Каждая *нз случайных величин хх и х2 (координаты случайного вектора) определяется соответствующей функцией распределения (одномерной) (^1) = Р {-«1 < х1} « р {*! < *Г> х2 < со}=Ф(Х1, со), > Ф2(Х2)в=Р{х2<Х2} = Р{х1<со; х2<Х2} = Ф(со, Х2). J Отметим, что функция (1) полностью определяет функции (2). Наоборот, функции (2) определяют функцию (1) только при условии, что случайные величины хх и х2 независимы (см. п. 18.4-11). 18.4- 3. Дискретные и непрерывные двумерные распределения вероятностей. (а) Двумерная случайная величина х = (хх, х2) называется дискретной (имеет дискретное распределение вероятностей), если совместная вероятность выполнения условий x^Xj, х2 = Х2 Рх (Хх, Х2) р (Xi, XJ =1 Р {X! = Хг х2 = Х2} (18.4-3) отлична от нуля только для счетного множества (спектра) точек (Хъ Х2), т. е. если и хх и х2 являются дискретными случайными величинами (п. 18.3-1). Распределения случайных координат хх и х2 определяются вероятностями Pr(X1)^P{x1 = X1}=2 p(Xlt Х2), Х2 р2(Х2)^Р{х2=Х2}^р(Хь Х2). Х1 (18.4-4) (Ь) Двумерная случайная величина xs(xt, х2) называется непрерывной (имеет непрерывное распределение вероятностей), если функция распределе- нид Ф (Xi, Х2) непрерывна всюду и если двумерная плотность распределения вероятностей фх (ХЬ Х2) Ф (Xi, Х2) (18.4-5) существует и кусочно-непрерывна. Дифференциал ф (xj, х2) дхг dx2 называется элементом вероятности. Спектр непрерывного двумерного распределения веро- ятностей есть множество точекг в которых плотность распределения (5) от-
18.4-4. 18.4. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 551 лична от нуля. Распределения координат Xj и х2 определяются плотностями распределения <Pi f ф(Х1, x2)dx2, — ОО оо ф2 (Х2) J ф (Х1, Х2) dxt. — оо (с) Отметим формулы x2) = Jjpi(x1)=Sp2(x2) = l, Xi Ха х‘ х‘ оо СО со ОО f j ф(Я1, x2)dxldx2 = J Ф1 (xt) dXj — § ф2 (xs) dx2 = 1. (18.4-6) (18.4-7) — QO ---©О 18.4- 4. Математическое ожидание, моменты, ковариация и коэффициент корреляции. (а) Математическое ожидание (среднее значение) функции j (х,, х2) двух случайных величин хг, х2 определяется через их совместное распределение формулой оо со Му (хь х2) = $ J у (Xp х2) дФ (хъ х2) = — оо -—-со Л 2 y(xlt х2)р(хп х2) Х1 х2 для дискретного распределения, оо со $ $ У(ХЪ х2)ф(хь x2)dxldx2 — СО —00 для непрерывного распределения, (18.4-8) если эти выражения существуют в смысле абсолютной сходимости. Замечание. Если и есть функция только одного хг, то среднее значение (8) совпадает со средним значением, определенным по распределению величины xt. (Ь) Средние значения (математические ожидания) Мх1=Е1, Mx2 = g2 опре- деляют точку (£х, £2), называемую центром совместного распределевия веро- ятностей (центром рассеяния). Величины М(Хг—Xj/1 (х2— Х2)Ге называются моментами порядка гг~}-г2 относительно точки (Xj, Х2). В частности, моменты порядка rt~(-r2 относительно начала (начальяые 'моменты) и относительно центра распределения (центральные моменты) определяются соответственно формулами (см. также п. 18.3-7): %Ге = MxV1; — М (хг —Е1)Г1 (х2 — £2)г‘. (18.4-9) (с) Центральные моменты второго порядка представляют особый интерес и имеют специальные названия и обозначения Лц = М(хг—E1)2=Dxi=o?, 1 . ^12 = ^21 “ М (Х1 —51) (Х2 —5г) = C0V {*1> *2} (ковариация и Хд, корреляционный момент, сме- шанный момент второго порядка), Pn=P2i=Pta. = а. (коэффициент корреляции между Х1 и х2). (18.4-10)
552 ГЛ. IS. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.4-5. Заметим, что —I===pl2^1> ^12— MXgXg—£1£2 — (18.4-11.) 18.4- 5. Условные распределения вероятностей,; связанные с двумя случай- ными величинами. (а) Распределение системы двух случайных величин Xj, х2 определяет условное распределение величины х± при х2=Х2, и условное распределение величины х2 при х1=Х1. В случав дискретного совместного распределения эти условные распределения также являются дискретными и описываются условными вероятностями (п. 18.2-2): . р, , 2 (X, j Х2) Р {Xi = Xi | х2 = Х2}=р-^^Хг)-, ц Р2! 1 (Х21 ХП Р {х2=Х21 xt=XJ = В случае непрерывного совместного распределения условные распределения условными (18.4-12) величин хг и х2 также являются непрерывными и описываются плотностями распределений: ,. /у I У \ _ Ф Xg) . /V IV \ __ Ф (Xg, Xg) 4’1 |2(л1 | Л2)— фг (Х2) > *Р2|1 (Л2|Л1)— q>i(Xg) • (Ь) Отменим формулы 2>112 (X) I *2) = S Р211 (*2 Ит) = 11 ^1 х% (18.4-13) .оо — S *P2|l(*2|Jcl)dx2=l<l (18.4-14) р2)1(х2|Х1)= 111 Ф1 (2 (%! | X.) = /,1(Х1)Ф2|1(Х2|Х1) , _7Ф1(Х1Т,>,2|1(Х2Г1)^1 m / V I Y \ Ф2 (^2) ^1 I 2 (^11 ^2) Ф211 (Х2|Х1) = ~^ V ’ 1 v Д ’ ф1|2(*1р2) dx2 (формулы Байеса, см. также п. 18.2-6) (18.4-15) М {(/(*!> Xg)|-Xl} = (с) Если дано дискретное или непрерывное распределение вероятностей системы двух случайных величин х±. и х2, то условное математическое ожида- ние функции у (х1г х2) ПРИ «1=Х1 есть хг) ₽2|i для дискретного xt распределения, \ оо (18.4-16) J у (Хр х2) <j^| 1 (x2|Xj) dx2 для непрерывного оо распределения, если эти выражения, существуют в смысле абсолютной сходимости. Заметим, что M{t/(x1, Хг)!Х^ есть функция от ХР
18.4-7. 18.4. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 553 Пример. Условные дисперсии величин х, и х, равны соответственно D{x1|X4 = M{(x,-M{x1|X4)2|X4> л D{x2|X1} = M{(xa-M{xa|X1})2|X1}. f (18.4-17) 18.4- 6. Регрессии (см. также пп. 18.4-9 и 19.7-2). (а) Если дано распределение системы двух случайных величин xt и х3, то регрессией х2- на *1 называется любая функция g2 (xt), приближенно пред- ставляющая статистическую зависимость’ х2 от Xj. При этом величина х2 представляется как сумма двух случайных величин • *2=g2(*i)+M*i. х2), , (18.4-18) где h2(xlt х2) рассматривается в качестве поправочного члена (остатка). В частности, средняя квадратическая регрессия х2 на хг g2(x1)sM{x2|x1} = У х2 р21 j (х21Х1) для дискретного хг распределения, оо (18.4-19) J *2 *Р2| 1 (х2 |ж1) для непрерывного —со распределения минимизирует средний квадрат отклонения М [х2—g2(xx)]2=M [ft2(x.i, х2)]2. (Г8.4-20) Соответствующая кривая х2 = М|х2|х1} называется кривой средней квадрати- ческой регрессии величины х2. (Ь) Часто оказывается достаточным аппроксимировать регрессию (19) линейной функцией g2(x1) = g'|,(^i) = ?2-|-P2i(.«i—Ь); ₽21=Р12^- (линейная регрессия х2 на xt). (18.4-21) Уравнение (21) описывает прямую линию — прямую регрессии величины х2; Р’21 есть коэффициент регрессии х2 на хх. Формула (21) представляет линейную функцию aXi-j-fc, коэффициенты которой а=р21 и fc=g2—p21£i минимизируют средний квадрат отклонения • М fх2—(aXi+fc)]2=cr|+a2of — 2ар1га1а2 + [g2—(ogi+6)]2- Наименьший средний квадрат отклонения (остаточная дисперсия) равен (1—Pis): таким образом, коэффициент корреляции р12 измеряет качество «наи- лучшего» линейного приближения. (с) Регрессия (19) может быть аппроксимирована более точно с помощью многочлена степени т > 1 (параболическая регрессия порядка tri) нлн с помощью других функций^ коэффициенты которых выбираются так, чтобы минимизировать отклонение, (20). (d) Если рассматривать в качестве независимой переменной величину х2, то мы полу- чим подобным образом среднюю квадратическую регрессию хЛ на хя; Ы — М {*11*2}, (18.4-22) и лииейиую регрессию на xs: + Э1й = р12^. (18.4-23) Заметим,- что в общем случае ни функции (19) и (22),- и и функции (21) и (23) е являются взаимно обратными. Все линнн регрессии проходят через центр (gt, распределения вероятностей. 18.4- 7. n-мерные распределения вероятностей. - (а) Распределение системы п случайных величин xj, *2,..., хп или п-мер- ного случайного вектора х задается функцией совместного распределения Ф« И1, А2>..., хп) = ф (Хь х2,..., Хп) =Р {х, < хь х2 < Х2)..., хп<Хп} (18.4-24)
554 гл. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.4-7. (п. 18.2-9). Распределение подсистемы т<п величин xit х2,хт есть m-мер- ное распределение, получаемое из исходного распределения (маргинальное распределение). Соответствующая m-мерная функция распределения (маргиналь- ная функция распределения) получается из n-мерной функции распределения (24) подстановкой Х,-=оэ для каждого из п—т аргументов X/, которые не вхо- дят в выбранную подсистему, например, Ф1г(^1> хг) == Ф со,..., со); Ф2 (Х2) — Ф С00! ^2> СО, • • •, СО), И T. Д. (Ь) n-мерная случайная величина x = (xi, х2,.... хп) называется дискретной (имеет дискретное распределение вероятностей), если совместные вероятности Рх(Х1, ^2, Хп)=р (Х1, Х2, •••’ Хп) = Р {*1 = Х1» *2 = Х2, ••• хп = Хп} (18.4-25) отличны от нуля лишь для счетного множества (спектра) точек (Xj,..., Хп), т. е. если каждая из величин xlt х2,..., хп дискретна (см. также пп. 18.3-1 и 18.4-3, а). Распределения подсистем случайных величин и условные распределения определя- ются так же, как в пп. 18.4-3,а и 18.4-5, а, т. е. Р12(^1, Х2) = 2-”5 Р(Х\, Х2, *3,..., хп), х3 хп Р2 (Х2) = Р(х1, Х2> х3..... *п) = 2Р12(*,> Х2) И Т- Д-« jci *3 хп xt Pi|2(xi lx2) = g,*(XV Гг): piI23(xil^, хз)=^гз(Х‘, Ху Хз); Рг (** 2/ &23 (-“2»’ -“8/J Р23| 1 (Х2, Х3 | X! ) == Xs) И T. Д. (с) n-мерная случайная величина x = (xi, х2, ... , хп) называется непре- рывной (имеет непрерывное распределение вероятностей), если функция рас- пределения Ф(Х1, Х2, .... Х„) непрерывна всюду и если плотность распре- деления вероятностей й"ф (Хъ х,..XI Фх (Хь Х2, ..., Х„) = ф (Хх, Х2, ... ,ХП) = вХ1дХ2...дХп (18.4-26) существует и кусочно-непрерывна. Дифференциал <p(xi, х2, ..., x„)dxidx2 ... dxn называется элементом вероятности (см. также пп. 18.3-2 и 18.4-3, Ь). Спектр непрерывного распределения вероятностей есть множество всех точек (Хх, Х2.....Хп), в которых плотность распределения (26) отлична от нуля. (d) Отметим формулы 25 — х* —хл) = 1. *1 Х2 ХП со со со j J ... J фСч, х2, ..., хп) dxj^dxst ... dx„ = l. — GO—ОЭ —ОЭ (184-27)
18.4-8. 38.4. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 555 (е) Плотности т-мерных маргинальных распределений и условных распределений, получаемых из непрерывного л-мериого распределения вероятностей, определяются так же как в пп. 18.4-3, b и 18.4-5, а, например. со оо (X X ) с с <Pi2 (Xi. xs) — eXjfix’s = J j v txi’ *s’ "' dxnt — GO — OO Ф1 । -X®) <Pia(Xi,X2) zv t v v» <₽129<-Xi, X2, X8) —ф2 (х7) ' Ф1123(Х11 Xs< Xs) = ?s(Oj • /V У | у у _______ Ф123 (-^1» А2, Х8) .Ф12|3 Иь х* I А3)----------‘ (f) Распределение системы двух или более многомерных случайных величин х =3 Ui. *2» У = (У-ь Уз, •••)» -• есть совместное распределение всех величин xi, х2, Уи Уге ... Замечание. Совместное распределение может оказаться дискретным по одной или нескольким случайным величинам н непрерывным по другим; кроме того, каждая случайная координата может быть частично дискретной и частично непрерывной. 18.4-8. Математические ожидания и моменты (см. также п. 18.4-4). (а) Математическое ожидание (среднее значение) функции j/=j/(xx..х„) от п случайных величин х1г х2, .... хп определяется формулой со со оо М {/(*!, х2, ..., хп) — $ J ... J х2, ...»хп)дФ(х1, х2,..., ха)~ — со— со — оо у (хх, х2, ..., хп) р (хх, х2, ..., хп) (для дискретного х± х2 хп распределения), —. со со оо (18.4-28) ( ( ... ( y(xlt х2, хп)ф(.ч, х2, ..., хп) dxtdx2 ... dxn — со—со —со (для непрерывного распределения), если эти выражения существуют в смысле абсолютной сходимости. Замечание. Если у есть функция только т < п из п случайных величин х^, х2* ••• > хп' то математичесКое ожидание (28) совпадает с математическим ожиданием у ио отношению к т-мерном у распределению только рассматриваемых т величин. (Ь) п математических ожиданий Mx1=g1, Мх2=^г, ..., Mxn=gn опреде- ляют точку (§!, £2> ..., £п), которая называется центром распределения веро- ятностей. Величины М (xt — Х1)Г1 (%2 — Х2)Гг ... (хп—Х„)Г" называются момен- тами порядка rt + г2-)-... + гп относительно точки (Xi, Х2, .... Хп). В част- ности, моменты относительно начала (начальные моменты) и относительно центра распределения (центральные моменты) определяются формулами a, r r =MxrUf2 ...хгп Г1Г2 — гп « prr r =M(x1-g1)ri(x2-b)r2...(xn-Ur'1- Г ГХГ2 ... Гп (18.4-29) (с) Центральные моменты второго порядка представляют особый интерес и имеют специальные названия и обозначения: ^ik = hi = М (Xi—Ь) (xk—gft) = ( Dxz=o? при i=k (дисперсия), | (^=1>2.........п). (18.4-30) ( cov {%;, хр) при i -ф. k (ковариация) J Эти моменты определяют матрицу моментов Ее определитель det 1Х,А]
ГЛ. 18 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.4-0. называется обобщённой дисперсией «-мерного распределения. Коэффициенты корреляции P«ft=Pfe ^) = -;7^-=М (i, fe=l, 2..n) (18.4-31) V Wkk °i ak определяют корреляционную матрицу [p^J «-мерного распределения, если только все о, ф 0. величину ™=™ иногда называют коэффициентом разброса. Матрицы и [Pj'jJ действительны и симметричны. Их общий ранг (п. 13.2-7) г есть ранг «-мерного распределения вероятностей. •^Распределение называется собственным или несобственным в зависимости от того, будет ли г —« или г<п. В случае собственного распределения матрицы и являются положительно определенными (п. 13.5-2).-Х- Эллипсоидом рассеяния для собственного «-мерного распределения вероятностей с центром в начале координат называется «-мерный «эллипсоид» п п . £ S Aikxixk‘=n + 2' ' (18.4-32) j=l Л = 1 где [А *л] _ есть матрица, обратная матрице моментов. Эллипсоид рассеяния обладает тем свойством, что при равномерном распределении вероятностей в нем матрица моментов такого распределения совпадает с Эллип- соид рассеяния иллюстрирует распределение вероятностей по различным направлениям. «Объем» этого эллипсоида пропорционален корню квадратному из обобщенной диспер- сии. Для несобственного распределения вероятностей (при г < п) спектр (п. 18.4-7) сосре- доточен на некотором r-мерном линейном многообразны (прямой, плоскости, гипер- плоскости) в «-мерном пространстве точек (х^, х%, ... , и там же расположен его эллипсоид рассеяния. Так, например, спектр двумерного распределения вероятностей при г ~1 лежит на прямой, а при г = 0 находится в одной точке. 18.4- 9. Регрессия. Коэффициенты корреляции (см. также пп. 18.4-6 и 19.7-2). (а) Если дано совместное распределение п случайных величин х}, х2, ... .... хп, то зависимость одной из этих величин, например xlt от остальных п — Г величин можно изучать с помощью формулы *l = gl(*2. *3, •••, *п) + М*1, *2> •••> Хп)> (18.4-33) где hi(xu х2, .... хп) рассматривается как поправочный член. (Средняя квадратическая) регрессия xt на х2, х2, .... хп есть функция . gi (*2, х3....хп) == М {ях | х2, ха, ..., хп} = S*1P1I23-" хз.....хп), если Xi дискретна, -Ч (18.4-34) § X] фц2з п (^11 ^2> хз> хп) dxu если хг непрерывна, которая минимизирует средний квадрат,отклонения M[xt—gt(x2, ха, ..., х2, .... хп)]г. М {xi|X2, Xs , ... ,Хп} есть условное среднее значение величины хг при х2 — Х2, Хз — Х8, ..., хп — Х„ (см. также п. 18;4-5). (Ь) Регрессия величины х, на остальные п—1 величин частр аппроксими- руется линейной функцией—линейной регрессией + <18-4’35j
18.4-11. • 18.4. МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 657 где [Л;*] = [Xi*]-1 есть матрица, обратная матрице моментов. Коэффициенты регрессии Р;* определяются единственным образом, если распределение — соб- ственное (п. 18.4-8). Сводный коэффициент корреляции Р = /1—(18.4-36) является мерой корреляции между Х( и остальными п—1 величинами. (с) Случайная величина h^ = xi—gj-1* (разность между xt и ее «линейной оценкой» gj1' при Д^-^0) называется остатком Х[ относительно остальных п— 1 величин. Заметим, что covjhp), Яд} = 0 (t=/=fe), Dh(1)==-^— {остаточная дисперсия). (18.4-37) (d) Коэффициент корреляции величин х^ и х$ по отношению к величинам х&., .s*nZ Р12134.. .n = р(Ц J34 ... n- 4?34. . .n )--v== <18’4-38> У АцАва измеряет корреляцию между x± и x2 после устранения линейных изменений,- вызванных влиянием величин *3, х^, ..., хп. В частности, при л = 3; . л , __ Р12---- 013028 0121S--7--" - . . Fc-pye-py ' . 18.4-10. Характеристические функции (см. также п. 18.3-8). Совместное распределение вероятностей n-мерной случайной величины №(х1( хг, ...,хп) однозначно определяет характеристическую функцию (п \ 1 2 чл s /? = 1 / со со со / П \ = J J ... $ expft 2 <7АрФх(*£. ..., х„). (18.4-39) Для непрерывного распределения имеет место формула обращения фх(л^, xg, .... х„) = со оо со / п \ = 5 1 •" 5 еХр -1‘ 2 V*)%x(9i. <72........Чп) dqidq2 ... dqn. — со — оо —со \ k — 1 / (18.4-40) Характеристическая функция, соответствующая т-мер ному маргинальному распре- делению т из п величин х^, х^ .... находится путем подстановки в формулу (39) значений <7ft = 0 для всех тех х& которые не входят в m-мерное распределение; так^ например, х12 (?г Чг) = Хх (9V <7г. 0.0). Моменты и семиинварианты многомерных распределений могут быть получены как коэффициенты разложений в степенные ряды функций Хх и Хх подобно тому, как это сделано в п. 18.3-10. 18.4-11. Независимость случайных величин (см. также п. 18.2-3). (а) Случайные величины Ху х^, .... хп называются (взаимно) независи- мыми, если независимы в совокупности события {хг е Si}, (x2eS2|, ... •••, {хп е Sn} для любого набора множеств Si, S2, .... Sn действительных чисел. Для этого необходимо и достаточно, чтобы Ф(*и х2! хп) = Ф1 (%1) Ф2(х2) ... фп(^л) (18.4-41)
Б58 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.4-12. или в случаях дискретных и непрерывных случайных величин соответственно, чтобы р(*х. х2, ..... хп) = р1(х1)р2(х2} ... рп(хп), j ф(Ч> х2, ..., х„) = ф1(х1)ф2(х2) ... <р„(хп). / (18.4-42) Распределение системы независимых случайных величин вполне опреде- ляется их индивидуальными распределениями. Независимые случайные вели- чины не коррелированы, т. е. pik = 0 при всех izfik (п. 18.4-8, с}, ио обратное утверждение не всегда справедливо. (b) Независимость многомерных случайных величин хь Ха, ... определяется формулами вида (41) или (42), в которые 'вместо хх, х2, ... надо подставить Хх, х2, ... Пример. Многомерные случайные величины (Хц xz) и (хя, Хц х6) независимы тогда и только тогда, когда Ф1234Б (*1₽ х2* xZt Хф, Хл) =3 Ф12 (Zi? Хг) Фз« (*зг **• -*б)- (18.4-43) Заметим, что формула (43) влечет за собой независимость xt и хъ, xt и (х8, z4), (zi, xs) и (х8, z6) и т. д. (с) Если в распределении дискретной или непрерывной л-мерной случайной вели- чины z2,- ... f xnJ m-мерная величина (z^ х^ ... в хт) независима от (п — т)-мерной величины (xm+ig . .. , zn), то р12 ... tn | (т -Ь 1) ... л (*г х2‘ • • • »' xmlxm+if — sp12 ... V • • • ’ хт) нли Ф12 ... m|(m4-l)... п (zi* V ••• 9 хт\хт+19 ••• 9 хп) = s012...m(VV •••’ *т)- (18.4-44) (d) Случайные величины х, и х2 независимы тогда и только тогда, ковда характери- стическая функция двумерной случайной величины (х,. х2) равна произведению инд идуа ft- ных характеристических функций координат xt и х2 (п. 18.4-10), т. е. Xis (91» 9г) = Х1 (91) Xs (9s). (18.4-45) Диалогичная теорема верна для многомерных случайных величии. (е) Если случайные величины xt, х2, ... независимы, то независимы и случайные вели- чины у! (х,). у2 (х2), ... Аналогичная теорема верна и для многомерных случайных величин. 18.4- 12. Энтропия распределения вероятностей. (а) Энтропия распределения вероятностей для одномерной случайной вели- чины х с дискретным или непрерывным распределением определяется соответ- ственно формулами Mlog2—= &2 Р(Х) — 2 Р (Ч logs р (х), Я(х) = оо (18.4.46) Mlog2-4-r = 62 Ф (х) — J ф (V) log2 Ф (х) dx. — со Н (х) есть мера априорной неопределенности измерения величины х. В случае дискретного распределения вероятностей Н (х)^0, причем Д(х) = 0 тогда и только тогда, когда х имеет вырожденное (причинное) распределение (табл. 18.8-1). Непрерывное распределение, имеющее наибольшую энтропию при данной дисперсии о2, является нормальным распределением (п. 18.8-3) с Н (х) = = log2 (Ь) Для дискретного или непрерывного распределения вероятностей дву- мерной случайной величины (xlt х2) энтропия определяется соответственно следующими формулами: , ( — М 10g2 р (хх, Х2), Н (хх, х2)— 1 . ( — М1о&ф(хх, х2). I (18.4-47)
18.5-2. 18.5. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ ' 559 Условная энтропия НХа (хх) определяется, соответственно как — М log» p1i9 (х, 1х2), . (18.4-48) — М log2 ф!|2 (хг|х2) (это не условные математические ожидания). Переставляя индексы 1 и 2, полу- чим условную энтропию Н (х2). Имеют место соотношения Я xj = « + (xz) = H(x2) + HXs (xj H Ю + Я (x2). (18.4-49) Равенство в правой части достигается тогда н- только тогда, когда величины Х1 и х2 независимы (п. 18.4-11). Неотрицательная величина J (xv хг) = Н (Х1)+Н (.Хг)-И (*р Х2) = Я (xi)~Hx2 (Xj) = fi(x2) - HXi (xj (18.-4-50) может служить мерой зависимости между х± и х2. Функционалы (46)—(48) и (50) играют важную роль в статистической механике и теории информации. 18.5 . ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ , 18.5-1. Вводные замечания. Ниже даются соотношения, позволяющие рас- считывать распределения вероятностей функций от случайных величин. 18.5- 2. Функции (или преобразо ания) одномерной случайной величины. (а) Распределение вероятностей функции у=у(х) вполне определяется рас- пределением вероятностей случайной величины х (см. также п. 18.2-8). (Ь) Пусть случайные величины х и у -связаны взаимно однозначным соотно- шением у—у (х), х=х(у). Тогда: 1. Если у(х)—возрастающая функция, то фу (Г)=ФЛ*ОЭЬ Фх(Х)=ФН»(Х)Ь Г ня кп ур=у(хр), хр = х;(ур) .(0<Р<1). J U Ь',) Заметим, что соотношение yi/2 = у (Xi/2), связывающее медианы и Щ/а4 справед- ливо как для возрастающей, так и для убывающей функции у, (х). 2. Если х и у—непрерывные случайные величины, то Фу(Г)1^| = Фх[х(ПП^1 или Фр(-П = Фх[*(П1|-^|г/=у (18.5-2) для всех значений Y величины у, при которых производная dx/dy существуем и непрерывна. Замечание. Если функция х (у) многозначна, то Фу(У) = Фх(У) + фв(У) + ...» где Ф1 (У), ф2 (У), ... — плотности распределения, получаемые из формулы (2) для соот- ветствующих однозначных ветвей х, (у), х2 (у),_функции х (у). Пример. Если у=х2г то х»=+1/у, хв=—-Vy и ( 0 при У 0,
60 гл. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.5-3. (с) Для сложной функции / {у (x)J согласно п. 18.3-6 имеем со М/(«/)=М f\y (х)] = J f [у (я)} йФх (х). ’ (18.5-4) • —ро ч Заметим, что ни существование однозначной обратной функции х (у), ни диф- ференцируемость у (х) не предполагаются. В частности, для f (у) — езд полу- чаем производящую функцию моментов Му (s) = Мезд, а для /(у) = ег^ — характеристическую функцию уу(д)=1Ле1ЧУ (п. 18.3-8). Пример. Пусть д.= Б1п (z-ро), где а=const, а случайная величина х распределена равномерно в (0, 2л). Тогда 2л л/2 ' 1 V(P) = _L f ?/<*)</* = Л f еЩди)</л: = — ( е‘ЧУ- dy и 2п Л П „/О Я 1 /1—1/’ О — 31/2 . — I откуда, согласно формуле (18.3-21); f —-=L== при (Z/) = < Л У 1 - V 0 при | у | > 1 (см. также п, 18.11-1, Ы (д) G помощью теоремы о свертке (п. 8.3-3) для двустороннего преобразования Лап- ласа (п. 8.6-2) формулу ,(4) можно записать в виде 01 -f- £00 СО м fly} = J М* (S) ds f [у (Л)] e~sX dx't (18.5-5) Oj — £СО — ОО где внешнее интегрирование проводится по такой вертикальной прямой,- чтобы интеграл вбсолютно сходился. Этот комплексный интеграл иногда легче вычислить, чем интег- рал (4). (е) Заметим, что вообще М у (х) ф у (Мх) (см. также п. 18.5-3). 18.5-3. Линейные преобразования одномерной случайной величины. (а) Если к-—непрерывная случайная величина, и у~ах-\-Ь, то Ф?/ <г)=т4т ч* • (18-5-6) (Ь) Если рассматриваемые ниже средние существуют, то М (ax~i~b)=^a Mx-j-b, . D (ax-f-b)=a2Dx, (18.5-7) M(ax+6)'- = a'-ar+^i)tz'-4ar_j+1 ('18 5-8) ^ax+6(9) = e/69X^(“9). Max+b(s)=e6sMx(as), Yax(s) = Vx(s“). J Семиинварианты для x (n. 18.3-9) связаны с семиинвариантами и* для у = ах + Ь соотиошени ями и* = ajq -1-6, и* — arv.r (г > 1). ' (с) Особый интерес представляет хинейное преобразование к стандартному виду (нормирование): хг— с Mx'=0, Dx' = l. (18.5-9) х' называется стандартизованной (нормированной) случайной величиной. (d) Если функцию у—у(х) на большей чаетн спектра величины х можно представить приближенно линейной функцией (линеаризация), то (В)(*—& Му(х)<^у(1)1 . Dy(x)=[y' (g)j2Dx. (18.5-10)
18.Б-4. 18.5. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 561 18.5- 4. Функции (или преобразования) многомерных случайных величин. (а) Если случайные величины = хп), у2—у2(х1,х2,...,хп),... (18.5-11) представляют функции п случайных величин xlt х2, хп, то распределение вероятностей каждой случайной величины yi однозначно определяется распреде- лением вероятностей системы величин xlt х2, ..., хп', то же верно для каждого совместного или условного распределения любого конечного числа случайных величин yi Например^ функция распределения величины у^ и функция распределения системы, величин у- и у^ определяются соответственно формулами ®yt (Yi) = I J • - • Г (*V ‘ xn)’ 4W(yi’^s JJ--J "MV *2'•••’*»)• <18-5’13> vi (ЖГ' • • • • xn) ^YP «k (X1> •••’*»)< yfe (b) Если x^(xt, x2,..., Xn) и у={уг, y2, ..., yn)—непрерывные п-мерные случайные величины, связанные взаимно однозначным невырожденным преобра- .зованием (11), то их плотности распределения (рх (Х1? Х2, ... . Хп) и <pv (У1, У2, ..., Yn) связаны соотношением <₽y(^i’ ^s’ ^л) I ^i^2”,^n|==4’x (-^i* Ха, Xn)^(lx1dx2...dxll\ или J I в (X,...JC) I <Py(yi- •••• yn)=M*i. •••> (18-5-14) где Xi=Xi(Yi.......Yn) (i=l, 2, ..., и), для всех Ylt Y2, ..., Yn, для кото- рых якобиан существует и непрерывен. » , Если функция х (у) многозначна, то фу (У-р У^, ..., Уп) может быть вычислена способом, аналогичным указанному в п. 18.5-2, Ь. (с) Для функции / (у-t, у2,..., ут), гз№уг=у( {Xi, х2,..., хп) {1=1, ...,т), СО со со г/а.....Ут)= J j — J хг — » хп)- (18.5-15) —оо—оэ —со Как ивп. 18.5-2, с, здесь не предполагается дифференцируемость функций У,(хъх2.....*л)(г=1,2, ...,т). Для f ss exp (s^ +s2y2+ ... +smym) получаем совместную производящую функцию моментов величин уг, у2, ут, а для / sexp (iQi{/i + iQ2r/2 + -..+ 1ЯтУт)—совместную характеристическую функцию. Преобразование, подобное формуле (5), применяется в некоторых задачах для случайных процессов (п. 18.12-5). (d) Для любых двух случайных величин и xz = MxiMxjj + cov (xlt х2), (18.5-16) если етн средние существуют. Если ... , хп взаимно независимы, то МЖ1Л2 - ХП = М*1Мж2 - М*Л при условий существования этих средних. (е) Если у= х-.хп и (р^ (хЛ == 0 при х1 < 0, то (п. 18.5-4, Ь) У (ЛГ У) = х, I [
5о2 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.5-5. со со (у) = 5 <Г'**- У V> ах1 = S <Рх*- х‘ (Xi‘ st) Ш dXi- О • о (18.5-17) Подобным образом можно рассматривать и другие подходящие функции p=.J'(a:1, х2). 18.5-5. Линейные преобразования (см. также пп. 14.5-1 и 14.6-1). Для каждого невырожденного линейного преобразования (J86.18) (в матричной форме и = 7} 4* А (х — £)) распределения n-мерных случайных величин хд, ..., хп) н (у^, ... f у^ имеют одинаковый ранг (п. 18.4-8, с), причем = Т]г а =1, 2. .... п) (18.5-19) (18.5-20) (в матричной форме = Т]), п п ^й=М(Дг-*-Чг)(^-Чй) = 2 U ^ihaijabh /=1А=] . (2, k — 1, 2, ... , п) (в матричной форме Л' « А ДА'), если рассматриваемые средние существуют. Здесь Л — р^] и Л' = |X‘fc] — матрицы мо- ментов (п. 18.4-8, с) для (хг х2, ... , хп) и (уг у^ ..., у^ соответственно. Методы п. 13.5-5 позволяют найти: I) такое ортогональное преобразование вида (18), чтобы матрица новых моментов (а значит, н новая корреляционная матрица) была диагональной (приведение к некоррелированным случайным величинам у^ 2) такое преобразование вида (18)., чтобы = 0 и =* = (приведение к некоррелированным стандартизованным случайным вели- чинам у.). 18.5-6. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин. (а) Для любых двух (не обязательно независимых) случайных величин Xf, х2 М (xt ± X2) = M%1 ± Мх2 = Ь ± Е2, D ± x2) = D%i + Da:2 ± 2 cov pi, х2} =a|+<7f ± 2р12о1о2 (закон сложения дисперсий). если рассматриваемые средние существуют. (Ь) Более общие формулы: (п \ п аа + У! afxi | = ай+ 2 а£ь 1=1 / 1=1 (п \ п п Яо+ S Я S 1=1 / l—l fe=l (18.5-21J (18.5-22) (с) Если функцию у — у (Яр х^, ..., иа большей части спектра л-мерной вели- чины (х х . . х 1 можно приближенно представить линейной функцией, то I 1’ 2 * П/ П j' (Ч’ .....-n) + дх? L — t fe=l хп (xk ~ Efe) н средние Мл н Du можно приближенно вычислять с помощью формул (19) и (20),
18.5-7-. 18.5. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 563 18.5- 7. Суммы независимых случайных величин (примеры см. п. 18.8-9). (а) Если X] и хв—независимые случайные величины, то ФЛ1+Х2 (Х)=Фх (X) * Ф2 (X) s ®2 х1) (^1) == Ф1 (X—Xg) й’Фо (Xg), —со —оо 7Xt+x2^ = ^^(cl)> рХ1+Хг (^=Pi * р* м 2 р2 (х -*i) pi (*1) ^^Р1(Х—xs)pg(Xg) (xlt Xg дискретны), хл оо •Px1+*JX)='MX)*MX)SE $ Ф2(х-лг1)'Р1(лг1)^1^ . —оо оо ва J Ф1(х—Xg) tpg (х2) dXg (xlt х2 непрерывны), — CO где индексы I и 2 относятся соответственно к распределениям Xj и xg. (Ь) В более общем случае, если х — хг + + ... -f- хп есть сумма фиксированного числа п взаимно независимых случайных величии х^, л?2, ..., хп, то ф (X) = Ф (X) X Ф2 (х) X ... X Ф_ (X), у (д) = у (?) х (ff) ... у (ff), (18.5-24) л Ct IL Л. А Л П в если существуют рассматриваемые выражения, то Рх (X) = ₽1 (X) * р2 (X) * ... X pn(X), ч>х (X) = <р1 (X) * <р2 (X) * ... ж <pn (X), (18.5-25) мх (S) = Mj (s) M2(s) ... Мп (s), ух (s) = ух (s) у2 (s) ... уп (s); (18.5-26) п п п п М* = £ = 2 МЧ = S Ед Dx = a' = 2 D4= 2 аЬ (18.5-27) 1=1 1 = 1 Z=1 Z=1 м (л - & = 2 м (xt - £-)*; (18.5-28) 1=1 п Kr= S х(Л (18.5-29) где — семиинвариант .r-го порядка величины « Формулы (24) и (26) позволяют вычислять моменты высших порядков с помощью соотношений, приведенных в п. 18.3-10. Распределение суммы х = х^х% + ... Л-хп взаимно независимых случайных вели- чии г. хп, .... х с. математическими ожиданиями В,, Е_, .... Е и дисперсиями <г2 1 d II 1 а П 1’ <г|, .... Од даже для небольших п иногда можно удовлетворительно аппроксимировать нормальным распределением (п. 18.8-3) с поправочным членом. Пусть g = М* = 61 + Е2 + ... + !„. а2 = D* = а| + а| + ... + Од = П2, a pa, ц4- центральные моменты третьего и четвертого порядков суммы х. Тогда плотность <рх (х) можно аппроксимировать рядом Грама — Шарлье (п. 19.3-3), если <рх = 0 при | х 1 > а цля некоторого а > 0. В ©том случае формулы (18.8-6) и (19.3-3) дают — <р w = —£=е 2 Г1 +^-ViU'3 — Эх') + тгТг (*'4 — 6*'2 + 3) + —L ау2л L J
564 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 15.5-8. , X --- £ Цз М-4 „ где х' Yi ~08 и Тз ~^Г — 3 — коэффициенты асимметрии н эксцесса для X (табл. 18.3-1). Нормальное приближение можно считать удовлетворительным тогда, когда каждая величина х- распределена симметрично относительно так что^^О (см. также п. 18.6-5, центральная предельная теорема). (с) Распределение суммы zs=(Zi, z2, ...)«=xj-y двух независимых многомерных случайных величин х = (jcj, ха, ...) н у == (у19 yz, ...) описывается формулами со со со <MZ1- Z2, ...) = J J ... J Фу^-^, Z2-*2, ...)йфх(*г л2, (18.5-30) -тСО—СО —СО М’1' <?2, -) = Хх(9р «2- —)Ху («1. •••).’ (18.5-31) 18.5-8. Распределение суммы случайного количества случайных величин. Пусть хц хЪг ... — независимые случайные величины с одним и тем же распределением вероятно- стей, и пусть k — дискретная случайная величина со спектральными значениями О, I, 2, ..., причем величина k независима от хг, х3г ... Если производящие функции (s) (s) существуют, то распределение суммы л = + *2 4-...-р Дается производя- щей функцией V* <s) = Yfe №1 (S)L (18.5-32) 18.6. СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 18.6- 1. Последовательность распределений вероятностей. Сходимость по вероятности. Последовательность случайных величин ylt у2, ... сходится по вероятности к случайной величине у, если. вероятность того, что уп отли- чается от у на любое конечное число стремится к нулю при п—-со: Уп вер> У при п—.со, если lim Р {| у—уп|>е}=0 для любого е>0. (18.6-1) П-.0О • m-мерная случайная величина Уп сходится по вероятности к m-мерной случайной величине у, если каждая координата величины уп сходится по вероятности к соответст- вующей координате величины у. Если случайные величины уп1, уп2, , упт сходятся по вероятности соот- ветственно к постоянным аг, а2, ..., ат при п—,со, то любая рациональная функция g(ynt,Упя.. •••• Упт) сходится по вероятности к g(alt а„..., аш), если только g(alt 0%, .... ат) конечно. 18.6- 2. Пределы функций распределения, характеристических и произво- дящих функций. Теоремы непрерывности. (а) уп сходится по вероятности к у при п->-со тогда и только тогда, когда последовательность функций распределения ФУп (У) сходится к пределу (У) во всех точках Y, где Ф^ (У) непрерывна (сходимость в основном). (Ь) уп сходится по вероятности к у при п — со тогда и только тогда, когда последовательность характеристических функций %Уп (q) при любом q сходится к предельной функции х(?)> непрерывной при q=0; в этом случае (^)=у(^)= lim (q) (теорема непрерывности для характеристических п-*оо п функций). (с) Последовательность дискретных случайных величин у,, у2, сходится по веро- ятности к дискретной случайной величине у при п-»оо тогда и только тогда, когда lim р (У) = р„(У). (18.6-2) п-*со «п У Если все случайные величины yi, у2, ... имеют целые неотрицательные спектральные значения 0, 1, 2, ... и обладают производящими функциями \yi (s), ууг (s), ... то фор- мула (2) справедлива тогда и только тогда, когда lim у (s) = y (s) при 0^s<l п-»со ® (теорема непрерывности для производящих функций).
18.6-5. 18.6. СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 565 Заметим, что последовательность дискретных случайных величин может сходиться по вероятности - к случайной величине, которая’ не будет, дискретной (см, например, табл. 18.8-3). . * (d) Аналогичные теоремы применимы, если у (п) сходится как функция непрерывного параметра п. , (е) Аналогичные теоремы применимы к многомерным случайным величинам. 18.6-3. Сходимость в среднем (см. также п. 15.2-2). Последовательность случайных величин уг,у2, ..., имеющих конечные начальные . моменты Му/ (и, следовательно, конечные математические ожидания и дисперсии (п. 18.3-7)), сходится в среднем (квадратичном) к случайной величине у (Mr/2 •< со),' если lim М (j/„—#)2=0. (18.6-3) п-*оо . Отсюда следует, что и М (у^—у) 0. Сходимость в среднем влечет за собой сходимость по вероятности. Обрат- ное, вообще говоря, неверно; более того, из сходимости уп —»у не следует даже, что Му и Dy существуют.. 18.6-4. Асимптотически нормальные распределения вероятностей (примеры см. в табл. 18.8-3 и п. 19.5-3). Случайная величина уп с функцией распре- деления Ф^п (У) распределена асимптотически нормально, если существует последовательность пар действительных чисел г]„, а2 таких, что случайные величины (уп — '<\п)/оп сходятся по вероятности к стандартизованной нормаль- ной величине (п. 18.8-3). Это имеет место тогда и только тогда, когда для всех а и Ь > а Нт Р{1]п-Ь«оп<г/п<'Г]п+6а„} = Фв(&) — ф„(а), (18.6-4) п —> СО гдё Ф„ (х)—нормальная функция распределения. Формула (4) позволяет аппроксимировать распределение вероятностей величины. уп для достаточно больших п нормальным распределением с центром 1Г)Я и дисперсией о2. Заметим, что из формулы (4) не следует ни то, что т]л и с?п являются математическим ожиданием и дисперсией величины унн тр, что последовательность сходится по веро- ятности, ни то, что пределы М#п и или Dt/n н совпадают. На самом деле эти.пре- делы могут даже не существовать. 18.6-5. Предельные теоремы. (а) Пусть — число появлений события Ееп независимых испытаниях иР{Е}=* —вероятность появления события Е в каждом из испытаний. Тогда 1) последовательность относительных частот hn==pn/n появления события Е за п независимых повторных испытаний при п—><со схо- дится в среднем и, следовательно, по вероятности к Р {£’} = & {тео- рема Бернулли); 2) hn имеет асимптотически нормальное распределение с цент- ром т]„==6 и дисперсией о^ = ^-6(1—6) (см. также табл. 18.8-3). Заметим, что Р(М = йп)®Ц"(1-в)П_Ця К=0,1,2.............п), и и , <18-6’5) Df=-^»(l-6). • (b) Пусть хг, х2,...—последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих одно и то же распределение вероятностей с конечным математическим ожиданием Тогда при п-*со имеем:
566 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.7-1. 1) случайная величина хп=~ (Xi + х2+...+хп) сходится по веро- ятности к g {теорема Хинчина, закон больших чисел)-, 2) случайная величина хп имеет асимптотически нормальное рас- пределение вероятностей с центром т|и=^ и дисперсией <jsn = a2/n при условии, что существует общая дисперсия а2 величин х2, ...{тео- рема Линдеберга—Леви, центральная предельная теорема). (с) Пусть xv х2,...—последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания ^2)... и дисперсии о?, of,... Тогда при п—»оо: 1) из — О следует, что хп—gn —-Р0; п 2) из lim V] o'j — 0 следует о -» оо n {закон больших чисел, теорема Чебышева)-, в . 3) случайная величина У] Х{ имеет асимптотически нормальное i = l - п П распределение с центром »]n = У и дисперсией <Уп = У о! при i — 1 1 = 1 условии, что для любого положительного числа в 1, где Zi п Xi, если (лг —Ь)2^е * = 1 О, если (x/-~gj)2>e 2 а? i = i (18.6-6) {центральная предельная теорема, условия Линдеберга). Я- Условия Линдеберга удовлетворяются, в частности, если существует такое поло- житель ное число а, чпи\ при п -* оо °n i=l п где S2 = а2 (условия Ляпунова). Ж 1=1 18.7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ 18.7- 1. Вводные замечания. Многие задачи теории вероятностей сводятся к нахождению распределения случайной величины х (или системы случайных величин) по данному распределению Других случайных величин xltx2,... Как правило, простые события, отмечаемые значениями величины х, оказы- ваются сложными событиями по отношению к значениям величин xlt х2, ... Первый шаг в решении любой такой задачи должен состоять в четком опре- делении множества элементарных событий, отмеченного каждой случайной вели- чиной. Тогда вероятности сложных событий могут быть вычислены методами
18.7-2. 18.7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ 567 пп. 18.2-2 — 18.2-6 и 18.5-1 — 18.7-3. Формулы (18.3-3), (18.3-6), (18.4-7) или (18.4-27) могут применяться для контроля вычислений. 18.7- 2. Задачи с дискретным распределением вероятностей: подсчет собы- тий и комбинаторный анализ. Следующие соотношения (каждое в отдельности или в сочетании с соотношениями пп. 18.2-2 — 18.2-6) помогают вычислять вероятности сложных событий по данному множеству элементарных событий. (а) Если множество элементарных событий конечно (состоит из N «случаев») и все элементарные события равновероятны, то вероятность сложного события («успеха»), определяемого как объединение элементарных событий («благо- приятствующих» случаев), можно вычислить по формуле вероятность успеха = ^° благоприятствующих случаев __ М. r J общее число всех случаев N' ' */ (b) Если множество элементарных событий счетно (конечно или бесконечно) и событие Е состоит в объединении элементарных событий с вероятнос- тями pi и Н2 элементарных событий с вероятностями Ра,.... то Р {£}=W1p1+W2p2+..., (18.7-2) причем + ••• не обязано быть конечным. (с) Во многих задачах рассматриваемые элементарные события представ- ляют собой различные возможные расположения данного множества или мно- жеств элементов, так что числа Nlt N2,... в приведенных выше соотноше- ниях являются количествами перестановок, сочетаний и т. п. Наиболее важные определения и формулы для них приведены в таблицах 18.7-1 —18.7-3. Свой- ства факториалов и биномиальных коэффициентов приведены в п. 1.2-4 и табл. 21.5-1. Для приближенных вычислений применяется формула Стир- линга (п. 21.4-2). Дополнительный материал содержится в книге [18.10]. Таблица 18.7-1 Перестановки и разбиения 1 Число различных перестановок из п различных объектов nl 2 а) Число различимых последовательностей из 7V объектов, содержащих п N неразличимых объек- тов типа I и N — п неразличимых объектов типа 2, или Ь) Число различимых разбиений последователь- ности из N различных объектов на два класса из п N и N — п объектов соответственно (н\._ т \п ) (N — n)I nt (биномиальные коэффи- циенты, п. 21.5-1) 3 а) Число различимых последовательностей из N == -J- 4- . .. N г объектов, содержащих TVj неразличимых объектов типа 1, Nz неразличимых объектов типа 2, ... и N неразличимых объектов типа г, или Ь) Число различимых разбиений последователь- ности N 4- Z/2 4- . . . 4- ДГ различных объектов на г классов из , N г объектов соответ- ственно A^l . МГ1 (мультиномиальные коэффициенты)
568 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.7-2. Таблица 18.7-2 выборки N = п и N ~>п Сочетания и Каждая формула справедлива для N < п. 1 Число различимых неупорядоченных со- четаний из 7V объектов различного типа по п в каждом: а) объект каждого типа может встре- чаться не более одного раза в любом со- четании {сочетания без повторений) Ь) объект каждого типа может встре- чаться 0, I, 2, , > . или п раз в любом со- четании {сочетания с повторениями) t с) объект каждого типа должен встре- чаться по крайней мере один раз в каждом сочетании + 8 а 1 _ S? я .— 1 1 11 * + 1 а - 1 2 Число рззличимых выборок (размеще- ний, упорядоченных рядов) объема п из совокупности N различного типа объектов: а) объект каждого типа может встре- чаться не более одного раза в любой вы- борке {выборки без возвращения, размеще- ния без повторений) Ь) объект каждого типа может встре- чаться 0, I, 2, ... или п раз в каждой выборке {выборки с возвращением, разме- щения с повторением) . N (N — 1)... (N - и + 1) = л1 JVn Пример. Дано множество. 2V=3 различного типа элементов a, Ь, с. Для п~2 существуют 3 сочетания 'без повторения {ab, ас, Ьс), 6 сочетаний с .повторениями {аа, ab, ас, ЪЪ, Ъс, сс), 6 различимых выборок без возвращения {ab, ас, ba, be, са, cb), 9 разли- чимых выборок с возвращением {аа, ab, ас, ba, bb, be, са, cb, сс). Таблица 18.7-3 Размещения в ячейках или расположения Каждая формула справедлива для N<n, М — п и N > п 1 Число различимых размещений из п не- различимых объектов в N различных ячей- ках (положениях): а) нет ячейки, которая содержит более одного объекта 1 Ь) каждая ячейка может содержать 0, 1, 2, ... нли п объектов С) каждая ячейка должна содержать хотя бы один объект 1 7 с 1 + * < ' II .11 '—- - е 1 ' -И **—— 2 Число различимых размещений из п раз- личных объектов ь N различных ячейках: а) нет ячейки, которая содержит более одного объекта Ь) каждая ячейка может содержать 0, 1, 2, . . . или п объектов N (N — 1).. . [N — п + 1) -= П1 Nn
18.7-3. 18.7. СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ 569 18.7- 3. X Применение производящих функций. Теорема Пойа. (а) Сочетания из п различных объектов А2, .... Ап по k без повторе- ний могут быть получены как коэффициенты ak производящей функции F (s)= a*s* = (l + As) (l+^2s)... (1 +Д„8). k=o Число таких сочетаний равно коэффициенту ak — (^) перечисляющей про- изводящей функции (энумератора) f*(s)= S flAs* = (l+s)n. k=o Более общая модель описывает сочетания с повторениями.. Если какой- либо объект Af может повторяться 0, rlt г2, ... или rq раз, то в выражении для F (в) множитель следует заменить на 1+Ду1вГ1+...+Ду9аГ®. Со- ответственно, в выражении для (s) один множитель 1-J-s заменяется на 1+s •••+s Если повторяются и другие объекты, то подобным же образом заменя- ются другие множители. Если каждый из объектов может повторяться любое число раз, то Fs(S) = (l+s+s2+...r=(r±?) = 2 (n+k у. . Й = О ' ' Если при этом каждый- из п объектов должен встретиться хоть один раз, то : 1 f,(s)=(s+ (Ь) Число размещений .из п различных объектов по k без повторений равно коэффициенту перечисляющей производящей функции Gs(s)= 2 ^s*==(l+s)«; bk=k\ Q. Если один из объектов может повторяться 0, гг, г2, ... или гд раз, то [ ri ri\ С. (s) = 1 + ^ +... + ^ (1 +s)"-i. \ г <?*/ Если допустимо любое число повторений каждого объекта, то G* (s) = (l+s +£+ Если при этом каждый из п объектов должен встретиться хоть один раз, то о* (S)=(s +^+ ...)" = (es-l)". (с) Теорема Пойа о подсчете. Пусть конечное множество D состоит, из п элемёитов (точек) рис каждой точкой р сопоставлен определенный элемент (объект) / из другого конечного множества при этом с несколькими
570 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.7-3. разными точками р может быть сопоставлен один и тот же объект f. Это отобра- жение D в 7? можно представить в виде конфигурации (схемы) (рис. 18.7-1). Рйо. 18.7-1. Два примера конфигураций. Конфигурация 2 получена из конфигурации 1 перестановкой точек р, и рг. Две такие конфигурации могут быть эквивалентными при соответствующем соглашении о симметрии точек множества D и неразличимости двух (или более) символов в R (для примера ft и f3). Пусть G—группа подстановок (перестановок) элементов множества D (п. 12.2-8). Две конфигурации С] и С2 называются эквивалентными по отно- шению к груцпе G, если некоторая перестановка в G переводит Q в С2; эквивалентные конфигурации обязательно содержат одни и те же объекты. Каждая перестановка Р из G разбивает точки р на определенные под- множества (циклы) так, что в каждом подмножестве перестановка будет цик- лической (п. 12.2-8). Обозначим через Ьр число таких циклов длины k для некоторой перестановки (ЬгЦ-2Ь2Ц-пЬп — п). Тогда циклический индекс Zg группы G определяется как многочлен ZG (S1, в2, ... , 8„) = 1 Ч Ь2 ... bn ^1S22 - fa PeG 2 " где g—общее число перестановок в G (т. е. порядок группы 6), gbib2-„bn— число перестановок, содержащих Ьг циклов длины 1, Ь2 циклов длины 2, ... ..., Ьп циклов длины п (сумма берется по всем перестановкам Р из G). Сопоставим далее с каждым объектом f из R неотрицательное целое число w (вес объекта) и обозначим через aw число различных объектов f веса to. Весом конфигурации назовем сумму весов входящих в нее объектов. Обозначим через Aw число неэквивалентных конфигураций веса to. Теорема Пой а. Производящие функции a(s) = S а®3™ и л<8)= S ш=0 01=0 связаны соотношением A (s) — Zc[a(s), a(s2), ..., a(s")]. СО В частности, общее число конфигураций Л (1)= 2 связано с общим ai=0 ОО числом объектов а(1)= У, Ощ, соотношением oi=0 A (1) = ZG [а (1), а(1).д(1)]. Теорема может быть обобщена на случай, когда объекты [ и конфигурации харак- теризуются двумя или более весами [18.10].
is 8-1.- 18 8 СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 57Г 18.7- 4. Задачи с дискретным распределением вероятностей: успехи и не- удачи в составляющих испытаниях. Часто рассматриваются такие составляющие испытания, которые допускают только два возможных исхода («успех» и «не- удача»). Вероятности различных сложных событий при этом могут быть под- считаны методами пп. 18.2-2 — 18.2-6 через вероятности &2, ... успехов в первом, втором, ... составляющих испытаниях. Для применения методов пп. 18.5-3 — 18.5-8 следует связать с А-м составляющим испытанием дискретную случайную величину Xj{ со спектральными значениями 1 и О, соответствующими событиям «успех» и «неудача»; для этой величины имеем: РхА<1>='0'й- ₽х* Ю) = ’ “«fc. (18.7-3) =Qk, Dxk =vk (1 - Ofe), (18.7-4) V-xk = (1 " +^kelQ- Mxk} =<1 _'0'fe)+'0'feeS ' ^xk (s) = (l -Hft)+«fes. (18.7-5) Успехи в двух или более независимых испытаниях будут по определению незави- симыми событиями (п. 18.2-4). Повторные независимые испытания, каждое из которых имеет лишь два возможных исхода, называются испытаниями по схеме Бернулли (Oi = = 02 — ... = О). Вероятность появления точно х = х, + хг + ... +хп успехов -в п испы- таниях по схеме Бернулли дается биномиальным распределением (табл. 18.8-3). 18.8. СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 18.8- 1. Дискретные одномерные распределения вероятностей. Таблицы 18.8-1 — 18.8-7 описывают некоторые дискретные одномерные распределения, представляющие интерес в связи с выборочными обследованиями, теорией Таблица 18.8-1 Вырожденное (причинное) распределение (см. также табл. 18.8-11) ✓ ( 1 при x = g, ) (а) р (х) = 6? = ( f (х = 0, ± 1, + 2, . ..; g — целое). * I 0 при х ф £ J (b) Мх — %, Dx = О, у* (s) = sE Таблица 18.8-2 Гипергеометрическое распределение /А\\ /ДГ —лд (а) р (х) = (* = °’ 1,2....л: N == п s 0: N Ni = Ol- li» Mx = ^ = nO; Ox = nAf‘ О-таН* В"») (l-та)' (с) Типичное толкование, р (х) есть вероятность того, что случайная бесповтор- ная выборка объема п (п. 19.5-5) содержит точно х элементов типа 1,'если эта вы- борка производится из генеральной совокупности N элементов, среди которых = элементов принадлежат типу 1. (d) Приближения. Если /V-> со, в то время как п и 0 = Nt/N остаются фикси- рованными, то гипергеометрическое распределение стремится к биномиальному распределению (табл. 18.8-3; бесповториые выборки мало отличаются от повторных выборок, если отношение nfN мало). Аппроксимация биномиальным распределением применима, если n/N <0,1.
572 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.8-1 Таблица 18.8-3 Биномиальное распределение (рис. 18.8-1; см. также п. 18-7-3) (а) р (х) = Vх (1 — fl)” х (х = 0, 1, 2, ... , п 0 < « < 1). ( Вероятность р (х) имеет наибольшее значение, когда х равен целой части числа (л + 1) fl (если это число целое, то р [(л + 1) А] = р [(л + 1) О — 1]). При О > — п 1 последовательность р (0), р (1), р (2), монотонно возрастает, при 0 < —!—~ она п ~г 1 монотонно убывает, в остальных случаях биномиальное распределение од но модально (рис. 18.8-1). Заметим также, что i (?) г = 0 л* . (mi тг\ . (тг \ с т, = 2 (х + 1), тй — 2 (л —х) (см. пп. 19.5-3 и 21.4-5). (Ь) Мх = лО; Dx = лО (1 — О), (s) = (Os 4-1 — О)” аг = лО + п (л — 1) 0s, а3 = л (л — 1) (л — 2) О3 4- Зл (л — 1) О3 4- лО, ц3 = лО (1 — О) (1 — 20), |л4 = л0 (1 — О) [1 4-3 (л —2)0 (1 — О)], 1—20 1—60(1—0) Vi = -— д —=-. Тз =------------------- УлО (1 — О) ' • лО (1 — О) (с)‘ Типичное толкование, р (х) есть: 1) вероятность того, что повторная случайная выборка объема п (п. 19.5-5) содержит точно х элементов типа 1, если генеральная совокуп- ность объема N содержит QN элементов типа 1; 2) вероятность появления события точно х раз в п независимых испы- таниях по схеме Бернулли (п. 18.7-3) при условии, что вероятность события в каждом испытании равна Ф.
18.8-2. 18.8. СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 573 Таблица 18.8-3 {продолжение) (d) Приближения. Биномиальное распределение при /2->со является асимпто- тически нормальным с центром /г&=| и дисперсией п-д (1 — = G2 {предельная теорема Муавра— Лапласа, частный случай центральной предельной теоремы, п 18.6-5). При 0 < < 1 когда п ** со при фиксированных а, Ъ. Приближения, основанные на этих соотношениях, применимы при о2 = пЪ (1 — й) >: 9. Об исследовании ошибок приближения см. [18.8]. .Аппроксимацию биномиального распределения распределением Пуассона см. в табл. 18.8-4. игр и т. п. В первую очередь табулированы производящие функции ух (s), так как по' ним легко найти характеристические функции и производящие функции моментов по формулам %х (?) = Ух (eI?); м.х (s) — ух (es) (см. также п. 18.3-8). Моменты, не приведенные в таблице, можно вычислить методами п. 18.3-10. 18.8-2. Дискретные многомерные распределения вероятностей (см. также п. 18.4-2). (а) Полиномиальное распределение описывается формулой Р **........^-хх1хгН..ля1 »22 - (18-81) (Xf, х2, •••, хл = 0, 1, 2, = ^V), где fl*, ft2, —положительные числа, сумма которых &1+&2 + ... + ^ = 1, Если испытание имеет п попарно несовместных исходов Е^, Е2, ... , Еп с вероятно- стями ... , где ^4-4-... 4-^п — 1» то выражение (1) дает вероятность того, что события Е2,.... , Еп произойдут соответственно х^ xg.хп раз за N повтор- ных независимых испытаний (см. также п. 18.7-3). В классической статистической механике х*, х2, ... , хй—числа замещений п незави- симых состояний с априорными вероятностями ф Ф2, ... , Фй соответственно. (Ь) Многомерное распределение Пуассона описывается формулой Р(*1. Х2: £ 1 Ё 2 Ё П х ) _ е~ (^1 + «2 + - + 6„) Ч Лп)— х2* — Хп1 (*i, xs, *n = °. Ъ 2, ...; ё*>02 k — 1, 2, .... п). (18.8-2)
ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.8-2. Таблица 16.8-4 Распределение Пуассона (рис. 18.8-2) р(И -t Iх & р (х) = е 6 -ij- (х = 0, 1, 2, ... ; g > 0), (Ь) Мх == Dx = g, ух (s) == es^~ as = gg+D. <ха = g (g2 + 3g + 1), a4 = g(gs + 6g» + 7g+f), u.8 = g, щ = 3&' + Ь Yi=g-1/‘. V2=r1’ (с) Распределение Пуассона .аппроксимирует гипергеометрическое распределение (табл. 18.8-2) и биномиальное распределение (табл. 18.8-3), когда tW -> оо, п оо, О -» 0 при услов'ни, что 'On имеет конечный предел £ (закон малых чисел). Это при- ближение применяется при Ф<0,1. Наиболее важные приложения распределения Пуассона, связанные со случайными процессами, см. п. 18.9-3. Таблица 18.8-5 Геометрическое распределение (а) Р (X) = « (1 — -О)-* (х = 0, 1,2, ; 0 < 'О < 1). 1 — й 1 — © © (Ь) Мх = —. Dx = —. V (s) = 1-------------——. V Uz » 1 — (1 — и) s (с) Типичное толкование, р (х) есть вероятность появления события («успеха») в первый раз после точно х испытаний по схеме Бернулли при вероятности успеха Ф (х) = 1 — (1 — О)л + 1 (х = 0, 1,2, ...) есть вероятность того, что первый успех появится самов большее после х испытаний (см. также табл. 18.8-6). Таблица 18.8-6 Распределение Паскаля (а) Р W = (т +х (1 ~ ~ °' If •" : т = *' 2- "" 5 ° < ® < *>• 1 — в 1 — & / ® \т (b) Mx = rn—. Dx = m-^-, _(i _ . (с) Типичное толкование, р (х) есть вероятность появления события («успеха») в т-й раз после точно tn 4- х —1 испытаний по, схеме Бернулли при вероятности успеха О. Ф (х) есть вероятность того, что m-й успех наступит самое большее после т• х — 1 испытаний. При т = 1 распределение Паскаля сводится к геометриче- скому распределению (табл. 18.8-5).
18.8-3. 18.8. СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕН 575' Iа б л я ц а 18.8-7 Распределение Пойа (а> Р^ = (ттЫУи1±Р)-^-— Р (0) = (1 + РВ) Э (ь > о, ₽ > 0). __ 2. (b) Dx=i(i + pe), yx<s) = (14-^-^S) з. (с) Распределение Пойа сводится к распределению Пуассона (табл. 18.8-4) при (1 = 0 и к геометрическому распределению (табл. 18.8-5) при (3 = 1. О толковании иа языке случайных процессов (процесс размножения) см. [18.8]. 18.8-3. Непрерывные распределения вероятностей: нормальное распределе- ние (Гаусса). Непрерывная случайная величина х распределена нормально с математическим ожиданием (центром) £ и дисперсией о2 (или нормальна с параметрами g, о2), если <р(Х) —-=е <fu ( 1 G а X_____1 7x-g\2 Ф(Х) = —1= f е 2 \ а ) dx==l ат/ 2л J (18.8-3) Распределение стандартизованной нормальной величины (нормального х ——— Е * отклонения) и=—~ (см. также п. 18.5-3,с и п. 18.8-4) дается формулами (рис. 18.8-3): __Lf/2 2 = -±=_ехр(—l-U*\ V 2л V 2 л \ 2 ) (плотность нормального распределения-, см. табл. 18.8-8), I (18.8-4) — со (нормальная функция распределения; см. табл. 18.8-9), М u==0, D и — 1. erf z—функция ошибок (см. также п. 21.3-2 и табл. 18.8-10): erf г = - erf (-г) е= -JL- $ еЧ2^ =2Ф„(г)/2 ) -1. (18.8-5) о имеет точки перегиба при X я= % ± С. Заметим, что где (z) — многочлен Эрмита степени А (п. 21.7-1). (18.8-6)
576 I ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.8-4. Каждое нормальное распределение симметрично относительно центра (•; § есть меди- ана и единственная мода. Коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю; ц2* = 1 • 8 -Г(2А - ’> =° <* == !. 2- (18.8-7) И1 = ё Кг= С2, х3 == и. = ... = О, (18,8-8) (оа \ ------2’9г+гё?1. (18.8-9) Моменты а относительно начала можно вычислить способом, указанным в п, 18.3-10, 0,5/6 0,4/б 0,3/6 0,2/6 o/la -0,5 -0,4 -0,3 - О, Z -о/ О Ь~3б Цб^'^-б { Ь/ 12 3 0 Точна перегиба Центр тяжести . площади мд кривой '^cnpaSa от X’t, i+zs Х 1/10 - 075 0,50 ~0,Z5 -з -г о а) Ф(х') / -Центр распределения в-Стандартнее отклонение irfx-ttfe 0.о=ДВ745б с.ао=О, 7379б £ ^го-^Гх —з -г -1 о'1 г зи У Рнс. 18.8-3. а) Плотность нормального распределения , _1.(2Ы.\2 , х_ ' 2 k ° } и-~ Ь) Нормальная функция распределения I * J 7л-§\2 . х_ <D (X)——— J е 2\ о ) dx = фи (U), U —----—. oV 2л —со о 18.8-4. Нормальные случайные величины: распределение отклонений от центра, (а) Для любой нормальной случайной величины х с центром g и дисперсией о2 (18.8-Ю)
577 18.8-4. 188. СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Таблица 18.8-8 Плотность нормального распределения (стандартизованного) и 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.1 0,2 0.3 0.4 0.5 0.6 0,7 0.8 0,9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1,5 1.6 1.7 118 1.9 2,0 2,1 2.3 2,3 2,4 2.5 2.6 2.7 2,8 2.9 0.39894 39695 39104 38139 36827 35207 33322 31225 28969 26609 24197 21785 19419 17137 14973 12952 11092 09405 07895 06562 05399 04398 03547 02833 02239 01753 01358 01042 00792 00595 39892 39654 39024 38023 36678 35029 33121 31006 28737 26369 23955 21546 19186 16915 14764 12758 10915 09246 07754 06438 05292 04307 03470 02768 02186 01709 01323 01014 00770 00578 39886 39608 38940 37903 36526 34849 32918 30785 28504 26129 23713 21307 18954 16694 14556 12566 10741 09089 07614 06316 05186 04217 03394 02705 02434 01667 01289 00987 00748 00562 39876 39559 38853 37780 36371 34667 32713 30563 28269 25888 23471 21069 18724 16474 14350 12376 10567 08933 07477 06195 05082 04128 03319 02643 02083 01625 01256 00961 00727 00545 39862 39505 38762 37654 36213 34482 32506 30339 28034 25647 23230 20831 18494 16256 14146 12188 10396 08780 07341 06077 04980 04041 03246 02582 02033 01585 01223 00935 00707 00530 39844 39448 38667 37524 36053 34294 32297 30114 27798 25406 22988 20594 18265 16038 . 13943 12001 10226 08628 07206 05959 04879 03955 03174 02522 01984 01545 01191 00909 00687 00514 39822 39387 38568 3739! 35889 34105 32086 29887 27562 25164 22747 20357 18037 15822 13742 11816 10059 08478 07074 05844 04780 03871 03103 02463 01936 01506 01160 00885 00668 00499 39797 39322 33466 37255 35723 33912 31874 29658 27324 24923 22506 20121 17810 15608 13542 11632 09893 08329 06943 05730 04682 03788 03034 02406 01888 01468 01130 00861 00649 00485 39767 39253 38361 37115 35553 33718 31659 29430 27086 24681 22265 19886 17585 15395 13344 11450 09728 08183 06814 05618 04586 03706 02965 02349 01842 01431 01100 00837 00631 00470 39733 39181 38251 36973 85381 33521 31443 29200 .26848 24439 22025 19652 17360 15183 13147 11270 09566 08038 06687 05508 04491 03626 02898 02294 01797 01394 0I07I 00814 00613 00457 и при Y > 0s Р {|*-£1<Го} = р{5-Ус<л:<5+Уо} = У _и« = —L- ( е 2 do = 2Ф„ (F) _ 1 =ег! Л /2л J “11 — Y СО IIя р { 1 *-£]> Ya ( е 2 du = 2[l - ф (П] = № J и (и) Квантили lolp =о1 + р=|и|1_а = о а . 2 1 2 определяемые формулой ^ = Ф|„| (П. (18.8-11) ) = 1-Ф1о( (Г). (18.8-12) (18.8-13) (18.8-14)
678 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Интеграл вероятностей Таблица 18.8-9 е е dt — J_ erf ZJ— ф (jj)----------L 2 №2 Iй 2 Ф (t/)=-Lz- V 1<2л J О и 0 1 2 3 4 б 6 7 8 9 0,0 0,00000 00399 00798 01197 01595 01994 02892 02790 03188 03586 0,1 03983 04380 04776 05172 05567 05962 06356 06749 07142 07535 0,2 07926 08317 08706 09095 09483 09871 10257 10642 11026 11409 0,3 11791 12172 12552 12930 13307 13683 14058 14431 14803 15173 0,4 15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 18082 18439 18793 0.5 19146 19497 19847 20194 20540 20884 21226 21566 21904 22240 0,6 22575 22907 23237 23565 23891 24215 24537 24857 25175 25490 0,7 25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 28524 0,8 28814 29103 29389 29673 29955 30234 30511 30785 31057 31327 0,9 31594 31859 32121 32381 32639 32894 33147 33398 33646 33891 ьо 34134 34375 34614 34850 35083 35314 35543 35769 35993 36214 1,1 36433 36650 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 38298 1,2 38493 38686 38877 39065 39251 89435 39617 39796 39973 40147 1,3 40320 40490 40658 40824 40988 41149 41308 41466 41621 41774 1,4 41924 42073 42220 42364 42507 42647 42786 42922 43056 43189 1,5 43319 43448 43574 43699 43822 43943 44062 44179 44295 44408 1.6 44520 44630 44738 44845 44950 45053 45154 45254 45352 45449 1,7 45543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 46164 46246 46327 1.8 46407 46485 46562 '46638- 46712 46784 46856 46926 46995 47062 1,9 47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 47670 2,0 47725 47778 47831 47882 47932 47982 48030 48077 48124 48169 2.1 48214 48257 48300 48341 48382 48422 48461 48500 48537 48574 2,2. 48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 48899 2,3 48928 48956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 49158 2,4 49180 49202 49224 49245 49266 49286 49305 49324 49343 49361 25 49379 49396 49413 49430 49446 49461 49477 49492 49506 49520 2,6 49534 49547 49560 49573 49585 49598 49609 49621 49632 49643 2.7 49663 49664 49674 49683 49693 , 497-02 49711 49720 49728 49736 2,8 49744 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 49807 2,9 3.0 3.5 4,0 4,5 5,0 49813 49865 4997674 4999683 4999966 4999997133 49819 49825 49831 49336 49841 49846 49851 49856 49861 часто принимаются в качестве доверительных границ нормального отклонения и или в качестве ^-значений нормального отклонения (см, также п. 19.6-4). Заметим, что I « 1о,95 = « 0,975 ,*96« I « 1о,99 = «0,995 2-58» Г« 1о,Э99 “ «0,9995 3’29- <18-8’ 15> (с) Для нормального распределения применяются следующие характеристики рас- сеяния (.см. также табл. 18.3-1): среднее абсолютное отклонение (с. а. о,) М | jc — g I = о М I и I — j/~ ~ ст 0,798 о; вероятное отклонение (в. о., медиана величины ] х — £ В | и |1у2 О — — U 1Д О = и ад О 0.674 с,
18.8-4, 18.8. СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 579 Функция ошибок Z erf z = V е~** dt Ул J О Таблица 18.8-10 г 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,00 0,0000 ООП 0023 0034 0045 0056 0068 0079 0090 0102 1 0113 .0124 0135 0147 0158 0169 0181 0192 0203 0214 2 0226 0237 0248 0260 0271 0282 0293 0305 0316 0327 3 0338 0350 0361 0372 0384 0395 0406 0417 0429 0440 4 0451 0462 0474 0485 0496 0507 0519 0530 0541 0553 5 0564 0575 0586 0598 0609 0620 0631 0643 0654 0665 6 0676 0688 0699 0710 0721 0732 0744 0755 0766 0777 7 0789 0800 0811 0822 0834 0845 0856 0867 0878 0890 8 0901 0912 0923 0934 0946 0957 0968 0979 0990 1002 9 1013 1024 1035 1046 1058 1069 1080 1091 1102 1113 10 1125 1136 1147 1158 1169 1180 1192 1203 1214 1225 1 1236 1247 1259 1270 1281 1292 1303 1314 1325 1386 2 1348 1359 137-0 1381 .1392 -1403 . -1414 J425 1436 1448 3 1459 1470 1481 1492 1503 1514 1525 1536 1547 1558 4 1569 1581 1592 1603 1614 1625 1636 1647 1658 1669 5 .1680 1691 1702 1713 1724 1735 1746 1757 1768 1779 6 1790 1801 1812 1823 1834 1845 1856 1867 1878 1889 7 1900 1911 1922 1933 1944 1955 1966 1977 1988 1998 8 2009 2020 2031 2042 2053 2064 2075 2086 2097 2108 9 2118 2129 2140 2151 2162 2173 2184 2194 2205 2216 20 2227 2238 2249 2260 2270 2281 2292 2303 2314 2324 1 2335 2346 2357 2368 2378 2389 2400 2411 2421 2432 2 2443 2454 2464 2475 2486 2497 2507 2518 2529 2540 3 2550 2561 2572 2582 2593 2604 .2614 2625 2636 2646 4 2657 2668 2678 2689 2700 2710 2721 2731 2742 2753 5 2763 2774 2784 2795 2806 2816 . 2827 2837 2848 2858 6 2869 2880 2890 2901 2911 2922 2932 2943 2953 2964 7 2974 2985 2995 3006 3016 3027 3037 3047 3058 3068 8 3079 3089 3100 3110 3120 3131 3141 3152 3162 3172 9 3183 3193 3204 3214 3224 3235 3245 3255 3266 3276 30 3286 3297 3307 3317 3327 3338 3348 3358 3369 3379 1 3389 -3399 3410 3420 3430 3440 3450 3461 3471 3481 2 3491 3501 3512 3522 3532 3542 3552 3562 3573 3583 3 3593 3603 3613 3623 3633 3643 3653 3663 3674 3684 4 3694 3704 3714 3724 8734 3744 3754 3764 3774 3784 б 3794 3804 3814 3824 3834 3844 3854 3864 3873 3883 6 3893 3903 3913 3923 3933 8943 3953 3963 3972 3982 7 3992 4002 4012 4022 4031 4041 4051 4061 4071 4080 8 4090 4100 4110 4119 4129 4189 4149 4158 4168 4178 9 4187 4197 4207 4216 4226 4236 4245 4255 4265 4274 40 4284 4294 4303 4313 4322 4332 4341 4351 4361 4370 1 4380 4389 4399 4408 4418 4427 4437 4446 4456 4465 2 4475 4484 4494 4503 4512 4522 4531 4541 4550 4559 3 4569 4578 4588 4597 4606 4616 4625 4634 4644 4653 4 4663 4672 4681 4690 4699 4709 4718 4727 4736 4746 5 4755 4764 4773 4782 4792 4801 4810 4819 4828' 4837 6 4847 4856 4865 4874 4883 4892 4901 4910 4919 4928 7 4937 4946 4956 4965 4974 4983 4992 5001 5010 5019 8 5027 5036 5045 5054 5063 5072 5081 5090 5099 5108 9 5117 5126 5134 5143 5152 5161 5170 5179 5187 5196 50 5205 5214 5223 5231 5240 5249 5258 5266 5275 5284
Таблица 18.8-1 J Непрерывные одномерные распределения вероятностей Распреде- ление Плотность распределения Ф (к) Функция распределения Ф (х) Центр М (х) * Дис- персия D (х) Характе- ристиче- ская функ- ция %х (<?) Примечания Вырожденное (причинное) распределение к, f ° '**в> 6 (х — Е) = 4 1 СО (X = Ё) см. п. 21.9-2) и + (х - Е) (см. п. 21.9-1) £ 0 х равен | почти всегда. Вы- рожденное распределение аппроксимирует распределе- ние равномерное, Коши или Лапласа при а -> 0 или 3-0 Равномерное (пг я моуго ль- нов) распреде- ление 1 0 < | ж — ё | > <х) - Я» я|- о в 1 X X I * W /А + /А <т т = + + । 3 8 В £ а2 3 Sin ад Величина х равномерно рас- пределена на интервале (Е — а, Е + “) t А Распределе- ние Коши 1 1 ’-1,1 . X — 5 —- arctg S 2 л s а Мл и Dx ие существуют, главное зна- чение поХоши (п. 4.6-2, с) среднего Мх равно £ е 1 «а- «j» Это есть распределение вели- чины х = £ -Ь a tg 1}у ' если величина у распределена равномерно в интервале (—311/2, Л/2). Распределение симметрично относительно х = £ ГЛ: 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.8-4.
Таблица 18.8-11 (продолжение} Распреде- ление Плотность распределения Ф (х) Функция распределения Ф (X) Центр М (х) Дис- персия D (х) Характе- ристиче- ская функ- ’ Ния хх (9) Примечания 4 Распределе- ние Лап- ласа ix-ei i' е 1х-Е| -^е ₽ (х«Е). |X-g| l-1-е 6 (x>g) 5 2₽« № 1 + В2«£ При £ = 0 характеристиче- ская функция пропорцио- нальна плотности распреде- tz 1 ления Коши с а — Р 5 Бэта-рас- пределение 0 (х^ 0, х& 1), Г<”+Р) Г (а) Г (В) 1 х> (0 < х < 1), (а>0, ₽>0> 0 Сх«О), В «х. В) В (а. В) . 1 4x3=1) а «+ в § I (1 + Й + О) г(Й + п) F (а, а + В; iq} (п. 9.3-10) ( Вх (а, |3) — неполная бэта- функция (и. 21.4-5). Единст- венная мода а,+ р_2 п₽и «>•.₽>•- Г (с + г) Г (а + В) аг ~ Г (а) Г (а + В + х) 6 Г амма-рас- пределение ' 0 (x=S0), . (а > 0, В > 0) С 0 (х == 0), 1пй)-г₽х^ ^о> а В а В2 (-1-Г Гх (а) — неполная гамма- фуикция (п. 21.4-5) 1Я.8.«. 18.8 СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
582 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 13.8-5. половина полушироты V2 In 2 о as 1,177 о, нижний и верхний квартили xi^ = E + ui/4O = E — |и|»дО, х»д“=Е-|-иэ/4 = “= Е + I « 11/, о. мера точности h •= •—-—л о/2 18.8- 5. Различные непрерывные одномерные распределения вероятностей. Табл. 18.8-11 описывает некоторые непрерывные одномерные распределения. 18.8- 6. Двумерные нормальные распределения. (а) Двумерное нормальное распределение задается плотностью распределе- ния «₽(«!. х2)=------ ' ехр/---------------—— (uj— 2p12ui“2+“i)l, (18.8-16) 2natO,V 1 - р2 | 2(1- р2 \ J где я «1= Л‘к2 = о, (°1 > О, О2 > О, I Рй I < 1). Распределения координат Xj н х2 являются нормальными с центрами |j, |2 н дисперсиями of, ef соответственно; р12—коэффициент корреляции между «1 н х2. Пять параметров |2, of, of, р12 вполне определяют распределение. Условные распределения xt и х2 тоже нормальны с М { Xi | хе } =^+Р12 (х2—Ь); D { X! | х2 } (1 — pf2), (18.8-17) М { х2 | хх } ==^+р12 (xt-Ы D { х2 | хх }=of (1-р?2), (18.8-18) так что кривые средней квадратической регрессии совпадают с прямыми рег- рессии (п. 18.4-6). хх н хг независимы тогда и только тогда, когда они не коррелированы (Pi2=0, см. также п. 18.4-11). Заметим, что р { x2^l2 } = P{Xj^gi; x2sg(;2}=4+J-arcsinp12, ] 4 7 } (18.8-19) р { *1 SsLi xt^l2 } = P{xi^b; —^arcsinpuj. J (b) Каждое двумерное нормальное распределение (16) может быть описано стандарти- зованными нормальными величинами их, иъ с коэффициентом корреляции р13 или неза- висимыми стандартизованными нормальными величинами и' (п, 18.5-5)., а именно: V ха) dxt dx* »= ехр [- (“? -2+ “i)] d“А = = Чи (“1) (“2) dul du'e = 4>и (“D *и (u2) dui, (18-8‘ад Где О, У? U ' = О4*1-. (18.8-21) °* °2 1 V*-р?2 2 /«-р?2 (с) Распределение (16) можно представить графически с помощью эллипсов равной вероятности {х^9 х2) — const или К^)2 - 2₽*2 + (V1)*] = AS =const- <18-8-2?’ Вероятность того, что точка (хи х3) лежит внутри эллипса (22), равна Р «= Фу 2 (2) Л2), что означает А2 = хр (2) (табл. 19.5-1). Две прямые регрессии, определенные уравнени- ями (17) и (18), делят пополам все хорды эллипса1 равных вероятностей, идущие в на- правлениях осей xt и хе соответственно (см. также п. 2.4-6).
18.8-9. 18.8. СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 583 18.8-7. Круговое нормальное распределение. Формула (16) определяет кру- говое нормальное распределение с центром (glt g2) и дисперсией а2, если р12= _-0, сг1 = <т2=о. Прн этом эллипсы равных вероятностей сводятся к окружно- стям, соответствующим квантилям радиального отклонения (радиальной ошибки) г=Г(Х1-Е1)2+(х2-£2)2- Распределение г дается формулами (см. также табл. 19.5-1) Фг (r) Фх»(2) (е?) —&е 201 (г^°)« Ц Фг(Я) = р {(*1-£1)2 + (*2-^)2^Я2} = j <p,(r)dr=®zI(2) (£). • о Отметим формулы r*/i= V х*/« <2) ° ““ l’ima (круговая вероятная ошибка), (средняя радиальная ошибка). a «= 1.25330 (18.8-23) (18.8-24) (18.8-25) 18.8-8. n-мерные нормальные распределения. Распределение «-мерной слу- чайной величины (хг, хг, , хп) называется «-мерным нормальным распреде- лением, если оно является непрерывным с плотностью распределения ф(Х1, х2, ...» х„) = п п i=i k=i где ^/k = ^kf и [А/й1 = [fy*]"1. . .. -exp V (гл)” det [^/й] (18.8-26) Нормальное распределение вполне определяется своим центром. (gj, g2, ..., gn) и матрицей моментов [?ь//г] = [Лу^]”1 или дисперсиями и коэффициентами кор- реляции (п. 18.4-8). Характеристическая функция равна г- п п п Хх (*7р' ^2» , qn)=exp i • (18.8-27) Каждое m-мерное маргинальное илн условное распределение, получаемое из нор- мального распределения, является нормальным. Все гиперповерхности средней квадра- тической регрессии совпадают с соответствующими гиперплоскостями регрессии (п. 18.4-9). п случайных величин х%> ..., хп, имеющих нормальное п-мерное распределение, взаимно независимы тогда и только тогда, когда они не корродированы (см. также п. 18.4-11). Каждое «-мерное нормальное распределение может быть описано как рас- пределение системы п взаимно независимых стандартизованных нормальных величин, связанных с исходными величинами лниейным преобразованием (п. 18.5-5). 18.8- 9. Теоремы сложения для специальных распределений (см. также п. 18.5-7 и табл. 19.5-1). (а) Биномиальное распределение (табл. 18.8-3), распределение Пуассона (табл. 18.8-4) и распределение Коши (табл. 18.8-8) устойчивы («самовоспроиз- водятся») при сложении независимых величин. Если случайная величина х является суммой Х = Х1-]-Х2-}-... + а7П .
584 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.9-1. т взаимно независимых случайных величин xlt х2, ..., хп, то из = — следует рл(х) = ^й-*(1—&)"“* (п=И}-f-n2-}-пт), (18.8-28) lxi .х из Pi{xi)=^i^ следует px(x)=^Ja(l=h+l2+—+lm), (18.8-29) «з 4>i (х/) ---/Д-ё,> следует W = уг «+нн 1+ьт) (£=11+^+...+^)- (18.8-30) (Ь) Сумма.. х=хх-)-х24-...-)-х„ взаимно независимых случайных величин хх, х2, ... , хп имеет нормальное распределение тогда и только тогда, когда все они нормально распределены. В этом случае E=E14<+-+U ^=о|+о|+...+о=. (18.8-31) Если случайные величины х9, , хп (ие обязательно независимые) имеют нор- мальные распределения, то величина х = а^х^ + а2Х2 “Р апХп имеет нормальное распределение с,центром н дисперсией, определяемыми формулами (18,5-22). 18.9 . ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 18.9- 1. Случайные процессы. Случайный процесс есть случайная функция х (7) от независимой переменной 7. Каждое испытание дает определенную функцию X (t), которая называется реализацией процесса или выборочной функцией. Случайный процесс .можно рассматривать либо как совокупность реализаций процесса X (7), либо как совокупность случайных величин, зави- сящих от параметра t. При этом должны быть заданы распределения вероят- ностей систем случайных величин xl=x(tl), x2—x(t2), ••• (выборочных зна- чений) для любого конечного множества значений 7Х, t2, ... (выборочных моментов). Случайный процесс дискретен или непрерывен, если дискретно или непрерывно распределение величин х(7х), x(t2), ... для каждого конечного множества 7Х, t2. ... Процесс называется случайной последовательностью (про- цессом с дискретным временем), если независимая переменная может прини- мать только- счетное множество значений-. Более общо случайный процесс может описываться многомерной случайной величиной x(7)s[x(7), у (7), ...]. В большинстве приложений независимой переменной I служит время, а величина х (О или х (О означает состояние физической системы. Примеры: результаты последовательных наблюдений, состояния динамической системы в статистической механике Гиббсв или квантовой механике, сообщения н шумы в системах связи, временные ряды в экономике 18.9- 2. Описание случайных процессов. (а) Для описания случайного процесса надо задать распределение вели- чины х(7х) и совместные распределения систем величин |х(7х), х(72)|, 1x170, х(72), х (73)], ... для каждого конечного множества'значений 7t, 72, ts,... (первое, второе, ... конечномерные распределения вероятностей случайного про- лесса) Эти распределения описываются функциями распределения соответст- венно первого, второго, ... порядкоа (см. также п. 18.4-7): Ф11,(А1,71) = Р{х(/1)<Х1}, v 1 ^i2i (-^t> ^1» ^2» Аг) (^1) х (/2) , / (18.9-1о)
18.9-3. 18.9. ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 585 Дискретные и непрерывные случайные процессы описываются соответст- венно вероятностями или плотностями распределения: PwtXi, Zi)^P{x№) = X1}, ' P<2j (Ах, tj", Х2, /2) = Р (^i) — Xi, х (t2)— Хг}, 4) ф(2) (Х1, /х; Х2, У = ... u/i|(yzi2 (18.9-16) Замечание. Последовательность функций распределения (1с) описывает слу- чайный процесс с возрастающей подробностью, так как каждая функция распределения <Х>(П) вполне определяет все предыдущие функции распределения Ф(т) (т < п) (п. 18.4-7). Это же справедливо и для каждой из последовательностей {lb). Каждая из функций (I) симметрична относительно перестановки пар Х^, t. и Х^, i&. (Ь) Условные распределения вероятностей для случайного процесса полу- чаются из функций (16) так же, как в п. 18.4-7, например р (Xi, ty ...; Хт, ...J Хп, tn) — ~ PiniXvtii^-n'x}tv <i8-9-2fl) ₽(л-Я1>1л»1+1’ lm+i..Лп' ln) <P (Xi, •••! Хщ» $т I ^Gn-н» ^m+i> •••> =------Ф,";(УХ1’V TV- (18-9-26) (Xm+r *m+i....Xn' *n) Замечание. Функции (2), вообще говоря, уже не будут симметричными отно- сительно перестановки пар X? I- и Х^, t^, отделенных вертикальной чертой. (с) Многомерный случайный процесс, порождаемый, например, парой функ- ций x(Z), y(t), определяется подобным же образом с помощью совместных распределений выборочных значений х(Ч), y(t^). В частности, Ф2 (Хх, /х; У2, ts) = Р{ х (/х) < Хх, у (/2) < Г2}. (18.9-3) 18.9- 3. Средние по множеству наблюдений. Корреляционные функции. (а) Общие- определения. Для функции f [я (/х)........х (/„)] от п выборочных значений х(/х), .... x(t„) (статистик, см. ц. 19.1-1) формула [xtfi), .... *(/„)] = = f ... J f (Xx, .... X„)d®,„, Xx, /x; ...; X„, tn) (18.9-4) —co —co определяет среднее по множеству наблюдений (предполагается, что стоящий справа интеграл сходится абсолютно). В формуле (4) интегрирование произво- дится по Хх, ..., Хп; М/ есть функция от /х, ..., tn. Аналогично для многомерного процесса,' описываемого функциями y(t), M/|x(G). I/U2); x(ts), у (ЧУ, ...] = = f ... j’ ЦХх, Г2; Xs, Г4; ...)ЙФ(ХХ, /х; У2, Z2; X3, 4; Yt, 4; ...j. (18.9-5) — 00 —co (b) Корреляционные функции. Особый интерес представляют средние Мх(/)=£(ф Мх2(/) и корреляционные функции; автокорреляционная функция . IW1. У = Мк(/х)л((2)1 (18.9-бя)
586 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.9-4. и взаимная корреляционная функция Rxy (4. tt) = М |х (4) у (4)]. (18.9-66) Они выражают важнейшие свойства случайного процесса и часто представ- ляют все, что известно о данном процессе; заметим, что Mx2(0=RJtx(4 0. Dx(0=Rw(4 0—[g(OF. COV [х (<0, у (4)] = RXy (tu t2)—g (4) Т) (4), (18.9-7) где т] (4) = Mz/ (/2). Формулы (18.9-6) и (18.9-7) относятся только к действи-. тельным случайным процессам. •Х-3 амечание. Во многих руководствах введенные функции R^ и R называют ковариационными. Автокорреляционная функция вводится соотношением Кхх(\» в = М [* (М*(*2)], где х {t) — х (0 — £ (/) — центрированная случайная функция. Легко проверить, что *хх ('р 4) “ Rxx Ср 4) - ЧУ 5 (У- Аналогично, взаимная корреляционная функция определяется как Vr У = М [№)№))• Прн таком определении корреляционных функций Dx И = Кхх tf, П в cov [х (4). у (у] = Кху (4. /2) X. Если х (/) и у (Z) являются комплексными случайными процессами (фактически двумерными случайными процессами), то корреляционные функ- ции определяются соотношениями Rxx (4. 4)~М [х (4) х (4)] — Rxx (4> 4). 1 (18 9 8) RxV(4. 4)=М [х (4) у (4)]1 Rj-x (4» 4). J которые содержат соотношения (6) как частный случай. Заметим, что и для действительных и для комплексных х и у RxxP. 0=М|х(П|®, (18.9-9) I Rx, (4, 4) F < М | х (4) I2 М | у |2, (18.9-10) причем из существования математических ожиданий в правой части вытекает существование корреляционных функций в левой части. (с) Характеристические функции, n-мерная характеристиче- ская функция, соответствующая функции распределения n-го порядка для случайного процесса, есть (см. также п. 18.4-10) [п А = 1 (18.9-11) Аналогично определяется совместная характеристическая функция для х (/), y(t), ... Дифференцирование характеристических функций позволяет находить моменты Мх (4), Мх2(4)> Rxxvi. 4)> •••» так же как в пп- 18.3-10 и 18.4-10. 18.9-4.-& Интегрирование и дифференц рование случайных функций. (а) Пусть х (0 — случайная функция, a f(t) — заданная не случайная функ- ция. Интеграл ь y=\f(t)x(t)dt Р (18.9-12) а
18.9-4. 18.9. ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 587 ь есть случайная величина, значения которой суть j f (0 X (0 dt, где X(t)— а какая-либо реализация х (0 (предполагается, что интегралы существуют для всех реализаций X (0). Справедлива формула ь ь Му ss М j/ (0 х (t) dt = Jj (0 Мх (0 dt. (18.9-13) а а Делено идущим обобщением является определение интеграла (12) как предела в среднем (п. 18;6-3) соответствующих, интегральных сумм (стохастический интеграл). Интеграл существует в среднем тогда и только тогда, когда существует Ъ____ Ъ J f (О <«I J f М Rxx (/t, у dt2 = М I У Is. (18.9-14) а а Несобственный интеграл (а = — со н/нли 6 = со) определяется обычным образом, как предел собственных интегралов. (Ь) Пусть случайная функция x(f) такова, что все ее реализации X(t) — дифференцируемые функции. Тогда производная случайной функции х(0=^ будет представлять собой случайную функцию, возможные реализации кото- рой суть производные соответствующих реализаций X (t). Математическое ожидание и корреляционные функции для производной определяются формулами (18.9-15) (О . М^(0=-^- = |(/), ^ХХ&Ь Ч) dt, dt, * R;x(0. <a) - dt, (18.9-16а) Если существуют производные от X (0 высших 'порядков, то формулы (16а) обобщаются следующим образом (р и q— целые числа, порядок произ- водной): йР + 9р (t t\ Mx'P>(0=g<P>(0, КХ<Р>Л<9>(0. 4)=-----. (18.9-16*) Л Л OtVOt" Случайный процесс к (t) непрерывен в среднем в смысле п. 18,6-3,- если lim М1*(* + Д0— х{1) 1» = и. А/-* О Это имеет место тогда н только \когда (tнепрерывна при == = I, Случайный процесс к (/) называется производной в среднем от случайного процесса х (О» если lim м|л«+АП-^0_.(Л^0| А/-* О I I Для существования производной в среднем от случайного процесса х (0 необходимо И достаточно, чтобы существовала производная -ПРИ = Oil O12 Если производная в среднем существует при всех I, то для нее справедливы фор- мулы (Гб). Можно также определить интеграл и производную в смысле сходимости по вероят- ности (п. 18.6-1).
588 ГЛ. 1в. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.9-5, Важные соотношения этого пункта применяются, в частности, для вывода соотношений между входными и выходными сигналами в п. 18.12-2. 18.9-5. Процессы, определяемые случайными параметрами. Иногда случай- ный процесс можно представить как неслучайную функцию x=x(t', i]i, rj2, от t и случайных параметров т)т, к]2, ... При этом случайный процесс вполне определяется совместным распределением параметров »]i, к]2, ... и Mf .... х (/„)] = ОО оо = J ••• J f[x (*v Ч2. — ОО —оо (/„; Ч1, т)2, ...)] . (Tjp п2,...). (18.9-17) В частности, каждое распределение вероятностей для такого случайного процесса однозначно определяется его характеристической функцией (п. 18.4-10) %<п> (?i> ••• • Чп< tn)— ср оо ~ п *7 = j ... J exp i 2 qkx(tk-,^, Т]2,...) </ФП1П> (Пр к]2, ...). (18.9-18) — СО —СО* L k~I J 18.9-6, Разложение по ортонормиров энной системе. Если действительный или комп- лексный случайный процесс х (0 с конечным математическим ожиданием М * (О и непре- рывной корреляционной функцией задай на замкнутом интервале [а, Ь], то существует полная ортонормироваиная система функций (0} (п. 15.2-4) такая, что со b X(t)= У ckuk (О, ck =» J (О л: (0 dt (/г = I, 2, ...), (18.9-19) Л=1 а где интегралы и ряд сходятся в среднем в смысле п. 18.6-3 (см. также п. 18.9-4, а). Таким образом, случайный процесс представляется множеством случайных коэффи- циентов первые п коэффициентов могут дать подходящее приближенное представ- леиие. В частности, существует такая полная ортонор миров анная система (О s= ф^ (О, что все величины будут некоррелированными стандартизованными случайными вели- чинами, т. е. = °. М (Z, k = I, 2, ,..) (18.9-20) {теорема Карунена—Лоэва). А именно, упомянутые функции ф^ (0 будут собственными функциями интегрального уравнения b Ч R^(Z1, У * ( у Л2 = * ( м а (18.9-21) (см. также п. 15.3-3). Соответствующие собственные значения неотрицательны и могут иметь кратность не более конечного порядка (по теореме Мерсера, п. 15.3-4), причем b b со 0*= 2 Г- a a fe==l k (18.9-22) Теорема Карунеиа— Лоэва обобщает теорему п. 18.5-5. Примеры. Периодический случайный процесс (п. 18.11-1), щум с огр^ниче! ной полосой частот (п. 18.11-2, Ь). Несмотря на то, что явное аналитическое решение интег- рального уравнения (21) редко возможно, эта теорема применяется в теории обнаруже- ния сигналов. . • - • •
. 18.10-2. 18.10. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 589 18.10. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ 18.10-1. Стационарные случайные процессы. Случайный процесс х(/) назы- вается стационарным,- если все его конечномерные распределения вероятно- стей инвариантны относительно сдвига по параметру ft ф<„,№- ^1+4; а2, 4+(0;...; ап, еФ.иЙ, ti; Х2, ts; ...; Хп, tn) (—-со </0 < со; n= 1, 2, ...), (18.10-1) т. е. если распределение вероятностей п-го порядка зависит только от п—1 разностей Ti = t2—tlt t3=/s—4, ..., Tn_1 = tn—(18.10-2) выборочных моментов tk. Аналогично, два' или более случайных процессов х(?), y (t),... называются совместно стационарными, если все их совместные распределения вероятностей инвариантны относительно сдвига по параметру ft Для стационарных н совместно стационарных случайных процессов каж- дое среднее по множеству наблюдений (п. 18.9-3) зависит только от п—1 раз- ности (2); например, МН*(<1)> x(t2), ..., х(/„)] = М f [х(0), xCq), .... x(t„_!)] (18.10-3) для всех ti (см. также п. 18.10-2). 18.10- 2. Корреляционные функции по множеству наблюдений (см.* также п. 18.9-3). (а) Для действительного или комплексного стационарного процесса х (t) [и совместно стационарных процессов х (t), у (7)) средние значения Мх(/) = Мх(0) = Мх=^; М|х(7) |2 = М | х (0) |2=М | х |2; Му(7)=Ч, М|у(7).|2 = М|у|2 постоянны, а корреляционные функции зависят только от запаздывания т = В этом случае*) Rj« (Т) = М [7(0 X (/ + ?)] = Rjex (— т), | Кзд(т)=М [х(0у(t+т)] = R^(— т), J I R*x (т) I Rjcjc (0) = М | х |2, (18.10-5) IR^ (т) I2 =s= R« (0) Rw (0) = М | х |2 М | у |2. (18.10-6) В последних формулах из существования математических ожиданий справа вытекает существование корреляционных функций слева. Если корреляционная функция Rxjc(t) непрерывна при т=0, то она непрерывна при всех т. Матрица [Ехх (tj — является эрмитовой и положительно полуопределенной (п. 13.5-3) для любого конечного множества значений t^, t^. ..., t^. Случайные процессы называются стационарными (или совместно стационар- ными) в широком смысле, если для них средние Мх (/), Му (/) постоянны и корреляционные функции зависят только от т, как в формулах (4). (Ь) Нормированные корреляционные функции определяются формулами Pxjc(t)=——---------} о,.„ (Т1 = - --- у - ---(18.10-7) ' М | х |» - I § Is Р1/' Ум I XIs-|£|» При этом I рхх (т) [ ==с 1, I рху (тс) I Щ 1. *) См. замечание к п. 18.9-3, Ь,
590 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18Л0-3. » (с) Для действительных стационарных процессов x(i') и у (/) корреляци- онные функции действительны и R^ (Т) - Rxx (- т), СО R^ (- т). (18.10-8) Нормированные корреляционные функции рхх (т) и рху (т) являются дей- ствительными коэффициентами корреляции (и. 18.4-4). 18.10-3. Спектральная плотность по множеству наблюдений. .Для стацио- нарного случайного процесса x(t) и совместно стационарных случайных про- цессов х(£), y(t) спектральная плотность Фхх-(<о) и взаимная спектральная плотность Фху (со) по множеству наблюдений (по множеству реализаций) определяются с помощью соотношений Хинчина—Винера со _______ (и) = J R«x СО e-toT dt=Фхх (со), — со со _______ Фда/ (ft)) — J Raij/CO e itiyt dt = —co (18.10-9) Спектральная плотность ФХА: (co) всегда действительна, даже для комплек- сного процесса ,x-.(t); \но взаимная спектральная плотность Фху (со) может быть комплексной даже при действительных х (t) и у (t). При соответствующих условиях сходимости имеют место формулы обра- щения со _________ • Rxx(,c) = 2S J da = Rxx(— t), —со со ________ R*y(T)=S I ®^(“)e£'“T^co=R^(— т). —со 4 (18.10-10) Преобразования Фурье (9) вводятся обычно для упрощения соотношений между корреляционными функциями входного и выходного сигналов в линей- ной стационарной системе (п. 18.12-3). Существование преобразований (9) тре- бует, кроме существования М | х |2 и М | у |2 (п. 18.9-3), еще и достаточно быст- рого стремления к нулю величин R^ (т) и RXi, (т) при т —- оо. В случае периодического процесса для возможности применения спектральных плотнос- тей приходится вводить члены с дельта-функциями (п. 18.10-9). 18.10-4. Корреляционные функции и спектры действительных процессов. Если x(f) и y(t) действительны, то действительны и корреляционные функ- ции Rjjjj (т), R^,(t); в этом случае (см. также формулы (8)) f Я^^созсотг/т^Ф^— ©),; (18.10-11) о ФО Rxx(t)=-^J Фжж (to) cos шт dco = R^ (—1)( (18.10-12) Фед(«)=Ф</л:(-Ш)=Фх4,(-ш). (18.10-13) 18.10-5. Спектральное разложение средней «мощности» действительных процессов. Для действительного процесса x(t) подстановка т = 0 в соотноше- ние (12) дает М lxl2 = RjfX (0)=^- J Фхх(<») dco=i J Флл.(о)йш. (18.10-14) 0 —со
18.10-7. 18.10. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 691 Это можно толковать как спектральное разложение средней «мощности» M| x |2 по частотам ш в (0, со) или (—со, со). Второй интеграл дает разло- жение по всем: положительным и отрицательным частотам со спектральной плотностью ФдаДш) (размерность Ф^(ш) есть (единицы х^/герц), первый интеграл — по неотрицательным («действительным») частотам с «односторонней» спектральной плотностью 2Фхл.(<в). Взаимная спектральная плотность Флв (ш), вообще, говоря, комплексная, не может быть истолкована так. просто. Для действительных процессов х (<)> у (Z) подстановка т=0 в соотношение (10) дает оо оо Mx# = RXB(0)=^ J Фжв(®)йш=А- j Re Ф*в (со) da. (18.10-15) — оо 0 Величину Re Фху (<в) иногда назыиают взаимной спектральной плотностью мощности. Мнимая часть Im Фхг/ (со) не дает вклада в среднюю мощность (15). 18.10-6. Другие виды спектральной плотности по множеству наблюдений. В; литературе: спектральная: плотность записывается, еще н следующих видах: S^(vj=®^(2nv) е МИ2= f Sxx(S)dv, (18.10-16) — оо где v«=^, размерность S^tv) есть (единицы х^/герц, ф^(“) с м1.*12 = J g^(®)rfw, (18.10-17) — со размерность gXJC(co) есть (единицы х)2/радиан в секунду. Дли односторонней плотности применяютси обозначения ГЛЛ:(у) = 28хд.(у)=2Флд:(2лу) (vSsO), (18.10-18) Охл:(ш) = 2ёЛл;(ш) = ^-ФЛ:Л:(ш) (й =Э 0). (18.10-19) Аналогично записываются ' также и взаимные спектральные плотности. Большое количество различных обозначений требует внимания при работе с литературой. 18.10- 7. Средние по времени и эргодические процессы. (а) Средние по времени. Для любого процесса х (t) среднее по времени (по параметру /) от функции f [x(G), x(t2), ..., *(6i)l определяется так: *(4), ... » * (/„)]) = J /1*(А+0.*(4+0, .... *(4+/)]Л. (18.10-20) —т если этот предел существует *). Если х (<), описывает случайный процесс, то </) есть случайная величина для каждого данного множества значений tlt ta, ... • . Заметим, что М </} = №/, (18.10-21) если соответствующие интегралы существуют. *) Вместо обозначения <f>, так же как и вместо Mf, иногда применяют t; но послед- нее обозначение лучше сохранить для эмпирического среднего f =±(if+2f+...+«a где ft еСть аначенне t для Л-й выборки х (О = ьх (I) (k = 1, 2, ... , п) (см, также п. 18.8-4).
592 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.10-8. (Ъ) Эр годические процессы. Стационарный случайный процесс x(t) обладает эргодическим свойством, если для любой функции Дх(^), ..., х(1„)] с вероятностью 1 среднее по времени (20) совпадает со средним по множеству наблюдений (18.9-4), т. е. Р{(/) = МД = 1 (18.10-22) (при условии, что эти средние существуют). При этом каждаи реализапия х(?) определяет случайный процесс однозначно с вероятностью 1, например, через характеристическую функцию (18.9-11), вычисляемую по х (I) с помощью формулы (21). Каждое среднее по времени t, например, (х), (х2) или Rxx(t) (п. 18.10-8) описывает с вероятностью 1 общее свойство всего множества реа- лизаций х(Г). Стационарный процесс эр годичен, если вероятность любого его стационарного подмножества равна 0 или 1. Два или более совместно стационарных случайных процессов называются совместно эргодическими, если эргодическое свойство имеет место для любых выборочных средних. 18.10-8. Корреляционные функции и спектральные плотности ito времени. Для действительных или комплексных функций х (/), у (t) (которые могут и не быть реализациями случайного процесса) с конечными средними квадра- тами по временй Т < I ж (0) р> =* ^lim^ 5 |x(Z)M, т <Iz/(0)|2)= lim Т—►СО _ у существую! корреляционные функции по иремени: автокорреляционная функция Rxx (т) = 6(0) х (т)> =^lim j 7(0 х (t-J-т) dt и взаимная корреляционная функция т ^xv(T) = 6(0)Z/(T)>= lim ? xy)y(t+T)dt Т-со21 (18.10-23) (18.10-24) (18.10-25) (обращаем внимание на разнипу н обозначениях корреляционных функций по множеству наблюдений (R) и по времени (/?)). Эти корреляционные функции удовлетворяют соотношениям, которые получаются из соотношений п. 18.10-2, если каждое среднее по множеству наблюдений (математическое ожидание) заменить соответствующим средним по времени! Спектральная плотность (ш) и взаимная спектральная плотность (ш) Для средних по времени вводятся с помощью соотношений Хинчина —• Винера оо ^х(<в)= J ^(т)е-'“Мт=Ф^), — сю со ^(w)= J Rx ciT=^vx(^). —оо (18.10-26)
18.10-9. 18.10. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 593 Если эти спектральные плотности существуют (без формального допуска членов с дельта-функциями), то они удовлетворяют соотношениям, аналогич- ным тем, которые приведены в пп. 18.10-3—18.10-5. Другие виды спектральных плотностей вводятся так же, как в. п. 18.10-6, Если x(t), y(t) — реализация совместно стационарного процесса, то корре- ляционные функции (24), (25) и спектральные плотности (26) являются слу- чайными величинами, математические ожидания которых равны соответству- ющим средним характеристикам по множеству наблюдений. Если x(t), y(t) совместно эр годичны, то с вероятностью 1 их корреляционные функции (24), (25) и спектральные плотности (26) совпадают с соответствующими средними характеристиками по множеству наблюдений. Спектральные плотности можно ввести также с помощью формального соотношения (tt) = lim Д; ау (й) ЪТ (©). (18.10-27а) XV Т-*еа21 где ау (о) и бу (о) —преобразовании Фурье от «усеченных» функций х-f (/) и t/y (/),• равных соответственно х (t), у (t) при 1t | < Т и равных 0 при | 11 >• Т; Т Т ay (со) = J х (i) dt; bT((&) = J у (t) dt. (18.10-276) — T — T Соответствующую спектральную плотность по множеству наблюдений можно при этом определить как математическое ожидание: Ф (©) = (©); тогда соотношения Хинчина— Винера (26) будут следовать нз теоремы Бореля о свертке (табл. 4,11-2). Однако формулы (27) имеют смысл только, если спектральные плотности не содержат членов с дельта-функциями (п. 18.10-9 и 18.11-5; см. также п. 18,10-10). 18.10-9. Функции с периодическими компонентами (см. также п. 18.11-1). Также как и другие средние по времени, корреляционные функции и спектральные плотности по ^времени представляют особый интерес, когда они с вероятностью 1 совпадают с соот- ветствующими характеристиками по множеству наблюдений (в случае эргодических про- цессов, п. 18.10-7, Ь, это верно для всех средних по времени). 'Если это. имеет место, то простые интегралы (24), (25) обычно легче вычислить, чем двойные интегралы (4). Таким образом, эргодическое свойство позволяет истолковать, например, &хх (©) как «частотный спектр» одной «типичной» реализации х (0* так как <1> (о) s XX XX с вероятностью 1. Корреляционные функции и спектральные плотности по времени легко вычислить для функций x(t), у (/),. представимых в виде сумм периодических слагаемых. В част- ности, для х (t) == a cos (©4/ 4- <Р),. у (0 = a cos (©2^ -Ь'Ф) (18.10-28а) имеем о а8 „ f 4-аа cos «01Т + ф — <р) при ©2«©и мочлмм Rxx ™ cos (т> = { 2 (18.10-286) I О ©2 Ф при (01. Более общо, пусть х (t) — действительная функция с ограниченной вариацией в каж- дом конечном интервале (п. 4.4-8), имеющая конечный средний квадрат (среднюю мощ- ность) < | х (0) |2>. Тогда функция х (t) может быть представлена почти всюду (п. 4.6-14, 6) как сумма ее среднего значения Сх(0)>=£о, некоторого ряда периодических слагаемых и апериодической компоненты р (/): х (9 = + Р (О = 4- У (% cos ©fe/ 4- bk sin ©ftQ 4- P (0 =* k~ — CO k=l = <4)4- 2 cos (©feZ 4-<РЛ)4-P (0. (18.I0-29C) ft=l где ©о = Oj ak = — ©_ft > 0,- 4 ck=4 (°* - tbk>=4 лйе,ч>*=(*=*’2-- 4=4+4,=Ф*Г.
594 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ t8.10-9, При этом Г Co при о = 0# ck при to = G)fe (ft = ±1 li ± 2f ,».)s — T 0 для остальных значений о; T Со при о — 0,- lim та f * (i) cos at dt = Г-»eo 21 J i ah при to =ofe (ft = 1, 2, ...)« —* я . 0 для остальных значений о; ’ T fl. Um £ x (/) sin at dt = T-»co2T 2- bk при .о> = aft (ft= 1, 2, ...)f L 0 для остальных значений ю; (18.10-296) и Т Um -?= ( р (0 e-,W Д = 0. (18.10-290 7-* со J Пусть, далее, функция у (/) удовлетворяет тем же условиям, что и х (О» так что . ia.t У ft) *= у Уке k + q (П =• ft——со со = То + У (aft cos q>kt + ₽fc sin co,/) + q W = ft=l co “To+ У Bfecos(a>fe< + $ft) + ?(0; (18.10-30) ft=l круговые частоты <о1# <o2, ... можно считать общими для обеих функций х (/) и у (О* Тогда справедливы соотношения „ Ito т ^<т> = Е \ck\*e k +RPpM~ ft —— СО оо “=ce+4 S Akc°s(akx+Rpp^< ft—1 со ^‘“> = 2л У |сй|26(“-“й) + ^рр(“> = ft = —СО со «=2л^ С «в) +-" У А|[6(ю — 6>ft) + 6 (« + aft)] 4-^рр (со), k=l CO Rxv W = S W^k1 + Rpg (D =. ft = — co (18.10-31) co •= Vo + 4 У [(aft«ft + 6ft₽ft) cos “ftT + (aft₽ft - Mfe) sIn “ft T] + Rpq ft=l co = Vo +4 lj AkBk cos (“ftT + % ~ <Ы + Rpq ft=l (T) = (18.10-82) CO V (О) = 2л У сЛ6 (o> - + Wpq (0>). ft=—oo
IKTO-tO. 18.10. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Взаимная корреляционнаи функция R (т) измеряет связь между x{f} и y{t) или «сериальную корреляцию» между значениями функций х (0 и у (t + т), разделенными запаздыванием т. Функции х (!) и у (() называются некоррелированными, если R (т) э 0. Замечание. Функции х (/), У (0 принадлежат гильбертовому пространству со скалярным произведением (и, о) = (и (0) v (0)) (п. 14.2-6). Отметим соотношения орто- гональности Нт 4т 1 п₽и °? = £1' (18.10-33) Г—>оо 2* I 0 при Т Г | 1 р I -х- cos (а — В) при со— Пт -у=г \ cos (erf 4- а) cos (Q^ + P) dt — \ 2 (18.10-34) ^“*®° jr ( 0 18.10- 10. Обобщенные преобразования Фурье и спектральные функции. (а) Чтобы избежать затруднений с членами, содержащими 1 дельта-функции в преобра- зованиях Фурье и спектральных плотностях периодических функций, можно ввести обоб- щенное преобразование Фурье (i®) от x(t) по формуле оо р р^~ l&t — «—“ id^t XInt(to)-XInt(to0) = 5 X(tl --------------------- di. (18.10-35) — co Формула обращения здесь записывается с помощью интеграла Стилтьеса (п. 4.6-17)| ©о х(Ч = f ei<i>l dxlnt (io). (18.10-36) — оо Если существует обычное преобразование Фурье то со xlnt (/ю> — xlnt J XF(ie»da; ®" (18.10-37) Хр (io) = 2л-----. °° id t Если функцию х (/) можно представить рядом У с^е ** (например, в случае k = — оо периодических функций.- см. также п. 18.11-1),> то обобщенное преобразование Xjnf (Z®) будет ступенчатой функцией (п. 21.9-1). (Ь) Обобщенная спектральная функция Ф^ (о) для стационарного или стационарного в широком смысле случайного процесса х (/) есть обобщенное преоб- разование Фурье от его корреляционной функции; Ф1П1 (а) — ®lnt (Ио) = °О ю Sp- 4ОТ «—“ »СОо*С I 1 с* Rxx (т)---------5^77----йт= \ фхх (к>) de>‘ хх — 2лгс 2л J хх — СО ®о (18.10-38) причем со Rxx(T)= J е'ИТ d®Int (“)• — оо Аналогичные соотношения имеют место для корреляционных н спектральных функ- ций по времени.
596 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ ^18.11-1. (с) Для действительных стационарных или стационарных в широком - смысле про- цессов х (/) имеют место следующие обобщения соотношений Хинчинз—Винера (9) и (26)2 2J- М | Xint [i (a + е)] - Xlnt [* (а - е)] |2 = ~ [®int (а +Й - <Kint «> - Й] = о 4"Е °0 = 4НГ j (18-10-39’ О— Е — со СО 2л Hm -- J | I1'(а+й] —-^int П (a —e)J |2 cos ат da = Е~*0 — со Г — lim t х (О к [t + т) dt = R (Т). (18.10-40) T-ioo 2Г _Jj, хх Отсюда при т = 0 получаем теорему Винера о квадратичном отклонении: оо Г 2л lim J- ( I Xlnt It (а + е)] - Xint [( (а -?)] |! 4а= = 11m ~ I х (О I2 dt. е-*о 2e J 1 Т ->оо ZJ — со — 1 (18.10-41) Если существует спектральная плотность по времени ^хх (со),' то соотношение (40) приводит к соотношению Хинчина— Винера (26), причем Vxx (а) = 2л lin^ | Xint [Г (а +е)] - Xlnt [( (а-в)]|2. (18.10-42) 18.11 . ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРИМЕРЫ 18.11- 1. Процессы с постоянными и периодическими реализациями. (а) П остоянная выборочная функция (рис. 18.11-1, а). Если каждая выборочная функция (реализация) х (/) тождественно равна постоянному Рис. 18.11-1. Выборочные функции (реализации) для пяти примеров случайных процес- сов. На рис. 18.11-1,е х (Z) есть сумма показанных отдельных импульсов akv U — (ft'- случайному параметру а с определенным распределением вероятностей, то этим вполне определяется случайный процесс. Такой процесс является
18,ц.1. 18.11. ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРИМЕРЫ 697. стационарным, но не эргодическим. Если существует М а2, то Мх(/) = Ма, R^ (т) = Ма2, в то время как <х (/))=«, 7?хх(т) = а2. (18.11-1а) (18.11-16) (Ь) Синусоидальный случайный процесс (рис. 18.11-1,6) х (t) = a sin (fiit а). (18.11-2) Если амплитуда а постоянна, а фаза а — случайная величина с равномерным распределением вероятностей в интервале (0, 2л), то процесс х (/) стационарен и Эргодичен с ф<1>[*(0]=~ 1 я , 1 (18.11-3) Мх (/) = <х (0> = 0, RXJC (т) = Rxx (т) = ~ cos сот. J 4>а («) da Va* — x* (01----- п (18.11-4) Если амплитуда а—непрерывная случайная величина с плотностью <ра(а), не зависящая от фазы а, то процесс х (/) стационарен, но, вообще говоря, не эргодичен. При этом ф<1) I* Мх (0=0, Rxx (т) = 2 Ма2 • cos сот. СО С Фл (°) 54 (Здесь предполагается, что интеграл j а g — сходится.) Ж — оо В частности, если амплитуда а имеет распределение Релея с плотностью (п. i8.8-7) то случайный процесс х (0 будет гауссовским (п. 18.11-3). Если фаза а распределена неравномерно на интервале (0, 2я), то процесс не будет стационарным даже при постоянной амплитуде а. (с) . Общий периодический процесс (см. также п. 18.10-9). Синусоидальный случайный процесс есть частный случай общего периодиче- ского процесса со случайной фазой вида со *(0=со+ У [aftCos&(o>(/+a)+6ft sin&(<»</+«)], 4 = 1 где фаза а распределена равномерно в интервале (0, 2л) (предполагается, что Ряд сходится в среднем в смысле п. 18.6-3). Такой процесс стационарен и эр- годичен, причем Мх(/) = (х (0>=со, ОО У, (a|+6|)cosfea>0T, k = 1 ®хх (Ю) = ^ХХ (®) “ ео =2nc26(®) + f 2 (al+&k) [б (<»-*%) +б(®+*®0)]. 4 = 1 (18.11-9) (18.11-7) 1
598 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.11-2. Более общий периодический процесс Определяется рядом Фурье оо *(О = со+ S (ak cos k(dQt + bk sin AG>0*), k= 1 (18.11-8) в котором все (действительные) коэффициенты cQi случайны, а ряд предполагается сходящимся в среднем. Такой процесс будет стационарен в широком смысле при выпол- нении следующих условий; Mcoal=McQbk^Maibk = O, (18.11-Я) — 0 (i Ф k). В этом случае формула (8) дает разложение процесса х (t) по ортогональной системе в смысле п. 18.9-5, причем ©о М*(/) = Мс0; R^ (т) =. Mcg + У, М (4 + 6|) cos Лйог. (18.11-10) й=1 К (а) В елы й шум. Стационарный случайный процесс х (О с постоянной спект- ральной плотностью &хх (О) — Фо называется белым шумом. Это название объясняется некоторой аналогией с белым светом: белый свет представ- ляет собой сумму всех спектральных составляющих, имеющих одну и ту же интенсив- ность, белый шум представляет собой сумму гармонических колебаний всех частот, имею- { щих одну и ту же дисперсию амплитуды., Рис. 18.11-2. График функции , sin лС sine t ---------------—. nt Корреляционная функция для х(0 равна оо (т) — ~ J Фог/ит da = Фо0 (т) — оэ (см. формулу (21.9-25)). Величина Фо называется интенсивностью белого шу- ма. Белый шум представляет чисто слу- чайный процесс (см. п. 18.11-4, b). X 18.11-2. Процессы с ограничен- ным спектром. Теорема Котельни- кова. (а) Процесс х (/) имеет огра- ниченный спектр или ограничен- ную полосу частот, если его преобразование Фурье XF(ico) (п. 4.11-3) равно нулю при | со | > 2лВ; число В называется шириной спектра процесса x(t) и измеряется в герцах, если t изме- ряется в секундах. Теорема В. А. Котель- никова. Каждый процесс х (0 с ограниченным спектром может быть представлен в виде DO 2 sin 2лВ (t — tb\ 2nB(i-tk) • (hr=k/(2B), A=o, + 1, ±2, ...), k=s= — co (18.11-П) t. e. процесс x (t) для всех t однозначно определяется своими выборочными зна- чениями х (tk) в точках t^, разделенных промежутками 1/(2В). функции (рис. 18.11-2) ____ ___sin 2лВ (t —1.\ “fe Ю = /ДВ sine 2В (f - Cfe) |<2В - 2яВ V_ f (й = 0. ±1, ±2, ...) (18.11-12) I ki
18.11-0. 18.11. ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРИМЕРЫ 599 образуют полную ортонормированную систему в пространстве функций х (t) с ограничен- ным спектром ширины В; отметим «выборочное свойство» функции sine; со = X (ifc) = 2В f х (П sine 2В (t — tk) dt (fe = 0, ± 1, ±2, ..,) (18.11-13) — @0 (в точках tk непрерывности функции х (0)« СО J sine (X — О sine (X — k) dK — — оо = 2В sine 2В (t - у sine 2В (1 - tk} dt = = { ° < J * | (1. fe = 0. ± 1, ±2, ...). (18.11-14) (b) Стационарный или стационарный в широком смысле случайный про- цесс х (t) имеет ограниченный спектр ширины В тогда и только тогда, когда его спектральная плотность по, множеству наблюдений Флх (ш) равна нулю при | ш | > 2лВ. В этом случае разложение (11) сходится в среднем (п. 18.6-3), т. е. М I х (/)— У jf£Sinc2B(/—tk) [ =0 (18.11-15) 1 k = — 00 J и формула (11) представляет каждую реализацию х (t) через ее выборочные значения Xk—x (k/(2B)) с вероятностью 1. Замечание, спектром частот; В частном случае стационарного процесса с «плоским» ограниченным (Ф, Ф^(<й) = {о (I а I < 2лВ). (| ь> | > 2ЛВ); К^(Т) = 2Ф0В / sin 2лВт . 2яВТ ’ (18.11-16) (18.11-17) выборочные значения х& = х [k/{2B)) центрированы и некоррелнрованы. 18.11- 3. Гауссовские случайные процессы (см. также пп. 18.8-3 —18.8-8. и 18.12-6). Случайный процесс называется гауссовским, если все его распре- деления вероятностей нормальны для всех tlt t%, ... Каждый гауссовский про- цесс однозначно определяется своим (обязательно нормальным) распределением вероятностей второго порядка и, следовательно, корреляционной функцией Rjcx(^i. /2) = Мх (/,) х (/2) вместе с g(/) = Mx(Z). В частности, совместное рас- пределение каждого множества выборочных значений Xi=x(G)i x2=x(tz), ... ..., хп=х (tn) является нормальным распределением, плотность которого дается формулой (18.8-26) с £/= Мх (t/), U = (tp tk)-ljlk (7. 1. 2, ..., n)t (18.11-18) [A/ft] = [^r. (18.11-19) Процессы, получаемые при сложении гауссовских процессов или при линейных действиях над ними, являются снова гауссовскими (п. 18.12-2). Коэффициенты разложения гауссовского процесса по ортонормированной системе (п. 18.9-5) являются совместно нормальными случайными величинами. 18.11- 4. Марковские процессы и процесс Пуассона. (а) Случайный процесс порядка п. Случайный процесс имеет порядок п, если он вполне определяется своими функциями распределения Ф(и) порядка п (п. 18.9-2), но не определяется функциями распределения порядка п— 1.. (Ь) Чисто случай ный процесс. Случайный процесс х (f) назы- вается чисто случайным, если случайные величины x(ti), x(t^), ... взаимно
600 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.11-4. независимы для любого конечного множества tu t2, ... Чисто случайный про- цесс вполне определяется функцией Ф(1, (Xlf ЭД, р(1, (Xi ЭД или ф(1, (Xi ti). -Призеры: последовательность независимых наблюдений,- испытания по схеме Бер- нулли, случайный выбор в статистике (п. 19.1-2) представляют чисто случайные последо- вательности. Чисто случайный процесс с непрерывным параметром предполагает реали- зации с неограниченным спектром и, строго говоря, не может описывать действительные физические явлении. (с) Марковские процессы. Дискретный или непрерывный случай- ный процесс.х (t) называется (простым) марковским процессом, если для любого конечного-множества ti<Zt2 ... <t n_1<tn Р&п, tn | Xi, ЭД Xn_i, ^n_i) = p(Xn, Zn|Xn_j, Zn_i) (18.1 l-20a) или Ф (-^n> tn I Xj, ty, ...; Xn_j, £n_i) = <p(Xn, tn | Xn_j, Zn_i) (18.11-20b) соответственно. Если дано x(tn_-^ — Xn_i, то знание х (/и_2), х (/я_8), ... не добавляет никакой новой информации о распределении х (tn). Марковский процесс вполне определяется своим распределением вероят- ностей второго порядка и, следовательно, может быть задан распределениями вероятностей первого порядка и «вероятностей перехода» р(Х2, /2.| х, 0 или <р(Х2, /2|х, t) (Z<Z2). (18.11-21) Марковбкие случайные последовательности часто называются цепями Мар- кова. Каждый чисто случайный процесс является марковским. Многие физические процессы могут быть описаны как марковские. Важ- ный класс' задач состоит в отыскании функций (21) по заданным их «началь- ным значениям» при t=ti. Из определяющего свойства (20) марковского про- цесса вытекают уравнения Колмогорова—Смолуховского — Чепмена р(Х2, f2\Xlt ЭД=2>(Х2, /2 | х, t)p(x, t\Xlt /J * (О или со <Р (Х2, /2 | хп ЭД = J <р (Х2, t2 IX, 0 <р (х, t1 Xb tj) dx — co (ti^t^tl) (18. Ц-22a) (18.11-22M Уравнение (22) есть разностное уравнение первого порядка (п. 20.4-3), которое может быть решено относительно неизвестной функции (21) незави- симой переменной t, если задана р (х, 11 Хь ЭД или <р (х, 11 X,, ЭД. Если Рп, (Xi, ЭД или ф(1, (Хь ti) известна, то марковский процесс вполне опреде- лен при всех t > ti. (d) Пуассоновский процесс. Во многих задачах со случайным поиском, очередями, радиоактивным распадом и т. п. х (t) есть дискретная случайная величина со спектральными значениями 0, 1, 2, ... (число «успе- хов», телефонных вызовов, распадов и т. п.). Применяемые модели часто пред- полагают выполнение марковского свойства (20а) и следующих свойств пере- ходных вероятностей; р(Х2, /2| х, t)== 0 1—аД/+о(Д/) аД<4-о (Д/) о (Д/) при Х2<х, при при Х2=х, Х2=х+1, (18.11-23) при Х3>х+1, обозначены такие члены, где Д/=/2—t; х, Х3=0, 1, 2, ..., а через о(Д/) что при Д/—»0 (п. 4.4-3).
18.11-Б. 18.11. ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРИМЕРЫ 601 Чтобы найти.. ' р(Х, /| Xi, 1г) = Р(К, Т) (7С = Х-Лх = 0, 1, 2, T=t-tJ. -подставим переходные вероятности (23) в уравнение Колмогорова (22а) при t2=/-)-&/ и получим разностное уравнение Р(К, Т+Д0-Р(К. 7) + аР(К—1, + (18.11-24) (Х=0, 1, 2, ...), где Р( —1, Т)~0. При Д/—>0 уравнение (24) приводится к дифференпиально- разностному уравнению - -~Р(К. Т)=-аР(К, Т)+аР(К-\, Т) (К=0, 1, 2, ...). (18.11-25) Решая уравнение (25) последовательно для /С=0, 1, 2, ... при начальных условиях Р(0, О)=Р(Х1, М Хх, /х) = 1, Р(К, 0)=р(Лх'+К, /х]Хх, (К>0) (18.11-26) получаем Р(К, 7)=е-“т^^. (TSaO, К=0, 1, 2, ...). (18.11-27) Таким образом, число К изменений состояния в любом интервале времени длины Т имеет распределение Пуассона (табл. 18.8-4); а есть средняя плот- ность числа событий за единицу времени или средняя скорость отсчетов в процессе Пуассона. Вероятность того, что не произойдет ни одного изменения состояния, равна Р (0,- Т) = е~аТ (Т > 0); (18.11-28) поэтому вероятность того, что состояние изменится по крайней мере один раз,* равна 1 — Р(0, Т) = 1 — е—аТ (Т>0). (18.11-29) Интервал времени 7\.между последовательными изменениями состояния есть случай- ная величина с плотностью распределения \>г (ft)=ae— “T1 (Л>0) (18.11-30) и математическим ожиданием Л/а. Внутри любого конечного интервала времени длины Т пуассоновский процесс одно- значно определен распределением множества взаимно независимых случайных величин К; ^2. ..., 1ц, где К есть число изменений состояния в течение времени Г, а /2. ... _ моменты времени первого, второго, ... f К-го изменения состояния в течение этого интервала времени. При этом р (К) =Р (К„ Г) - е-аТ^^- (К = 0, 1, 2, ...), | (^Й I-К) = "У" (К = 1. 2, ...; А: = 1, 2, ... t К), i».n-w| (К = 1.2.-...). 18.11-Б. Некоторые случайные процессы, порождаемые процессом Пуассона. . (а). С л уч а й н а я ’т е л е г р аф н а я волна (рис. 18.11-1, с). Функ- циях^) принимает только значения +д или —а, причем последовательность изменений знака представляет собой процесс Пуассона со средней скоростью
602 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ • 18.11-6. отсчетов а (п. 18.11-4, d). Такой процесс стационарен и эргодичен, если он начинается с t=—со и для него Мх(0=0, RJt.J[.(r)=a2e—2а'т', . . 4a2a (®) — , , (18.11-32) (Ь) Процесс, порождаемый пуассоновской выборкой (рис. 18.11-1, d). Функция x(t) изменяет значение с каждым изменением состоя- ния некоторого процесса Пуассона со средней скоростью отсчетов а; между изменениями состояния функция x(f) постоянна и принимает непрерывно распределенное значение х с математическим ожиданием £ и дисперсией о2. Такой процесс стационарен и эргодичен, если он начинается ct——со и для него * Мх (/)=£, R^(T)==g2+oV~G|T|, Ojrj((to) = 2Ilg26(to)+;g^. (18.11-33) (с) Дробовой эффект и формулы Кемпбелла (рис. 18.11-1, е). Функция x(t) есть сумма большого числа кратковременных импульсов: ОО *и=2 4). *=1 форма которых дается функцией v=v(t) с v (/) е latdt—V (18.11-34) (18.11-35) в то время как амплитуда импульса ak есть случайная величина с конечной дисперсией, а последовательность случайных моментов th представляет про- цесс Пуассона со средней скоростью отсчетов а. Такой процесс стационарен и эргодичен, если он начинается с t=—со; он аппроксимируется гауссовским случайным процессом, если импульсы перекрывают друг друга достаточно часто. Для этого процесса со Мх (Z) = | = аМод • J V (/) dt, — 00 ОО Mx2(/)=g2 + aMa|. J ц2 (t) dt, — оо (18.11-36) RA.x (T)=g2 + aMa|« J v(t) o(i-f-r)dt, — co фхх (®) = 2jl^s S (®) + • I VF (M Г- В частном случае, когда ak—фиксированные постоянные, формулы (36) известны как формулы Кемпбелла. 18.11- 6. Случайные процессы, порождаемые периодической выборкой. Со- стояние некоторого стационарного и эргодического случайного процесса q(t). измеряется периодически и результат фиксируется в течение постоянного промежутка времени Д/. Получаемый случайный процесс х (/) стационарен и эргодичен, если момент начального измерения выбирается случайно и ’рас- пределен равномерно в интервале (О, Д/). Реализация х(/) подобна изобра- женной на рис. 18.11-1, d, но здесь изменения состояния отделяются интер- валами, кратными Д/._ Если q—случайная величина, принимающая только два
18.12-1. 48.12. ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ БОЗ значения + а и — яс вероятностями 1/2 и */2, то х (f) имеет вид случайной телеграфной волны, как на рис. 18.11-1, с (с той же оговоркой, что и выше). Если различные измерения величины q независимы, то Rxx (т) = (М<?)2 = (Мдс)2 = ПрИ | т | > Д/; Rxx СО = М (д2) Р (t, t+x—в одном промежутке Д/)+ + (Мд)2 • Р (/, 44-т — в разных промежутках Д/) = = Dx.(l-^+g2 ПрИ |Т|^д/ и, следовательно, (, ДМ2 sin ю — \ —дТ^-1 +2л526(®). ЮТ / (18.11-37) (18.11-38) На рис. 18.11-3 дано сравнение Rxx(T) и Флх(<о) для случайной теле- графной волны и процесса жеребьевки с одинаковыми средними значениями 5=0, дисперсиями Мх2 = о2 и средней скоростью отсчетов а=-^,Л/. Рис. 18.11-3. Корреляционная функция и спектральная плотность для случайной теле- графной волны (с) и процесса бросания монеты (Ь) с одинаковыми средними значениями 6 = 0, дисперсиями Мх2 — о2 и средней скоростью отсчетов а =-д- Д/ (на шкалах ю в слу- чаях а) и Ь) приняты разные единицы масштаба). 18.12. ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ 18.12- 1. Корреляционные функции и спектры сумм. Пусть x(t), q(t)~- случайные процессы. Для их линейной комбинации z(0=o«(0 + Pl/(0 (18.12-1) с действительными или комплексными коэффициентами а, Р корреляционные Функции RxHli, /2), R2jcVi. У. Rzaft- У даются формулами Rxz=aRxx+PRxji> Rzx=aRxx4*PRi/x> 1 pg jg-2) Rxe = I a I2 Rxx +1 P I2 Ryy + «Р R-ед + aP R(/*' J
604 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.12-2. Эти формулы остаются справедливыми и для корреляционный функций Rx«(t), Rzx(t), Rzz(t) в случае стационарных процессов; соответствующие спектральные плотности равны = = а^хх + P^j/X" ] (18 12-3) Ф2г= | а |2 Фхл+1 Р |2 ®W+SP®^+ арФ^. J 18.12- 2. Соотношения между входным и выходным сигналами для линей- ных систем. Рассматривается действительная линейная система с действитель- ными входным сигналом х (<) и выходным сигналом ИП= $ Wtt, Х)х(Х)А= $ Л(/, t,)x{t-Qd£, Я —ОО —00 (18.12-4) где весовая функция w (функция Грина, п. 9.3-3 и п. 9.4-3) есть реакция системы на единичный импульсный входной сигнал 6(/—2.) и h(t, Q за /-£). В наиболее важных приложениях t есть время и w (£, 7.) = 0 ПРИ f \ так как физически реализуемые системы ие могут реагировать на будущий импульс (см. также п. 9.4-3). е Если «(^ — действительный случайный процесс и если средние квадраты Мх2 (0 и Mr/2 (/). конечны, то №{/(/)= j w (/, X) Мх (2.) dk; (18.12-5) — ОО Код (^1> ^2) — (^2» ^1) — J W Р2» КнУР (^1> оо K/HZ1> h)= 5 Р-)Ф- —со (обобщенные соотношения Винера—Ли); оо М«/2 (/) = § w (t, ц) R^ (t,. ц) dp. — со (18.12-6) (18.12-7) Если х (/) — гауссовский процесс, то у (t) — тоже гауссовский процесс и он вполне определяется соотношениями (5)—(7). 18.12- 3. Стационарный случай. (а) Если входной сигнал х (0 стационарен и если линейная система инва- риантна во времени, т. е. 00 w(t, k),= h{t—2.), h{t, Q = h{Q=~ J H (ico) e10^ dto, где co /7(to)= h (0 e-^ cZ, —co (18.12-8) то выходной сигнал {реакция системы) y{t) тоже стационарен. Если при этом х (0 эргодичен (п. 18.10-7, Ь), то и y{t) тоже эргодичен.
18.12-8. 18.12. ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ 605 Соотношения (4)—(7) для действительных x(f), y(t) сводятся к следующим: У (0= h V-ty x(k)dk^\ h (Qx К-йС (18.12-9) — ОО —оз Му = Мх- f h(Qdt, —оо Rxf/W = Ryx(-T)- fft(T-X)R^(X)dX= j h©Rxx(T-t)<, —oo —co J ft p) (p) ^p" § (£) R^ ft Q — OO —OO (соотношения Винера—Ли), f HOR^M- ' —co Для физически реализуемых систем й(£)0 при £ < 0. (18.12-10) (18.12-11) (18.12-12) (18.12-13) (Ь) Важные соотношения (11) значительно упрощаются, если их предста- вить через спектральные плотности (п. 18.10-3): ®ху (“) = Н (to) Фхл: (<о); Фух (со) = Н («о) (со), фуу (®)=Я Ца) ФХу (а)—Н («со) Фух (со) = | // («со) |2ФЛХ (со). (с) Отметим также следующие соотношения} оо 1 Ryy™*= J Ч>АА<МКлх(Т-М4Л, —оо I где I (18.12-14) со оо I <РЙЙ й) = jj A (W А (У + А) dy. = ~ | Н (Ко) |« ete>K da. I — ОО —со г J В частном случае, когда входной сигнал есть стационарный белый шум с Км-С*)» = Фоб (Т) (п. 18.11-1, d): Rxy <т) “ Ф0Л (т)’ (18.12-15) (18.12-16) Му’ = Ф0<рйй (0) = Фо J h‘ (£) dj. (18.12-17) — оо ) 18.12- 4. Соотношения для корреляционных функций и спектров по вре- мени. Соотношения (2), (4) и (10)—(17) справедливы и для соответствующих средних по времени (п. 18.10-7—18.10-9), если они существуют. 18.12- 5. Нелинейные операции. Если х (/)—случайный процесс, то l/=l/(x)=ylx(t)] (18.12-18) определяет новый случайный процесс) распределения и средние по множеству наблюдений для процесса у находятся методами пп. 18.5-2 и 18.5-4. В част- ности, корреляционная функция выходного .сигнала y(t) для действительного
606 ГЛ. 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.12-8. процесса находится по формуле оо оо ROT#i’ *2)=$ V(xi)y(x2)<pXtXs(Xi, XsjdXidxzt (18.12-19) — ОО —оо где хг=х(/!), x2=x(t2). Иногда удобнее формула %у (‘г *2) = - (2SF и м*х, (»г V У (Ч) У Ь) ч> СЦ сг гда оо у (S)= J У W e~xs dx (ст, < Re s <at), T> . —OO контуры интегрирования Ct и C8 параллельны мнимой осн и лежат в полосе абсолют- ной сходимости интеграла. 18.12- 6. Нелинейные операции над гауссовскими процессами. (а) Теорема Пр ай. с а. Если даны две совместно нормальные случай- ные величины х1г х2 с ковариацией Xi2 и если функция f (хх, х2) для некото- рых действительных а > О, b < 2 допускает оценку х2)\<ае^ + х*\ то । дп cPnf <*«» *2) x2) = Md (n=l, 2, ...). (18.12-21) ОЛ"2 OX” OX” Эта теорема позволяет находить средние и, в частности, корреляционные функции по формулам вида Ms Mf (Xj, х2)= $ М <а12+С, (18.12-22) о * 2 где С есть среднее значение Mf(xi, х2) при Х12=0, т. е. для некоррелиро- ванных xlt х2. Эта теорема приводит также к полезным рекуррентным соотношениям: А, г Mx^x"=mn J Мх^-’х"-1 dX12+Mx^-Mx" (n, т=1, 2, ...). (18.12-23) о В частности, Мх|х| = 2X|S + 4X12Mxj Мх2+Мх| • Мх|. (18.12-24) (Ь) Разложение в ряд. Если стационарный гауссовский процесс х (/) имеет Мх = О, R^ (т) — огрхх (т) и если для функции у (х) существует Rpptr). то СО Mj/ = aa; Rjcp (т)=77 (т)> Rw (т) ~ У akPxx где 00 Ok= у(ооУ2) e~v‘Hk(v)dv [k = 0, 1, 2, ...), У2*лЛ1 (18.12-25) (о) —многочлены Эрмита (табл. 21.7-1).
ГЛАВА 19 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.1. ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 19.1-1. Статистики. Математическая статистика занимается как статисти- ческим описанием результатов опытов или' наблюдений, так и построением и проверкой подходящих математических моделей, содержащих понятие вероят- ности. Ее методы расширяют возможности научного предсказания и рацио- нального принятия решения во многих задачах, где существенные параметры не могут быть известны или контролируемы с достаточной точностью. Статистическое описание и вероятностные модели применяются к физи- ческим процессам, обладающим тем свойством, что хотя результат отдель- ного измерения физической величины х не может быть предсказан с доста- точной точностью, значение некоторой подходящей функции у=у (xlt х2,.... х„) от множества результатов xlf х2, ... . хп повторных измерений может быть предсказано с существенно лучшей точностью. Такая функция называется статистикой, а указанное свойство физического процесса — его статистиче- ской устойчивостью. Статистическая устойчивость в каждой конкретной ситу- ации есть эмпирический физический закон, который может быть проверен только опытом. Часто точность предсказания некоторой статистики возрастает с возра- станием объема п выборки (х1т х2, ..., х„) {физический закон больших чисел). Наиболее известные статистики—относительная частота (п. 19.2-1) и выбо- рочные средние (п. 19.2-3). 19.1-2. Классическая вероятностная модель: статистики случайной вы- борки. Понятие о генеральной совокупности. (а) В классической модели наблюдаемая физическая величина х рассма- тривается как одномерная случайная величина с подлежащей определению или оценке плотностью <р(х). Каждая выборка (xt, х2, .... хп) значений х рассматривается как результат п независимых повторных измерений (п. 18.2-4). При этом xlt х2, ..., хп представляют собой взаимно независимые случайные величины с одинаковой плотностью вероятности <р (х). Такая выборка назы- вается случайной выборкой объема п и представляет собой n-мерную случай- ную величину (xj, х2, .... хп). Плотность ее распределения называется функ- цией правдоподобия: £(xlf х2, ..., х„)=<р(х1)<р(х2)...<р(х„). (19.1-1) Каждая статистика, определяемая как некоторая функция y=y{xt, х2, .... х„) выборочных значений xlt х2, .... х„, представляет собой случайную величину, Распределение которой (выборочное распределение статистики у) однозначно определяется функцией правдоподобия, а следовательно, и распределением величины х. Каждое выборочное распределение зависит, как правило, от объема выборки п. КрЬме рассматриваемой модели, могут встречаться и другие! распределение х может быть Дискретным (игры, контроль качества), выборка может иметь бесконечный объем, вначеиия х^ могут быть не одинаково распределены и не быть взаимно независимыми, случайная величина х может быть многомерной.
608 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 191-3. (Ь) Когда возрастает объем выборки (и), многие выборочные статистики сходятся по вероятности (п. 18.6-1) к соответствующим параметрам теорети- ческого распределения величины х; в частности, относительные частоты схо- дятся по вероятности (и даже в среднем; п. 18.6-3) к соответствующим веро- ятностям (п. 19.2-1). Поэтому каждую выборку рассматривают как выборку из теоретически бесконечной генеральной совокупности, распределение при- знака в которой совпадает с теоретическим распределением вероятностей величины х. Последнее называется распределением генеральной совокупности, а его параметры—параметрами генеральной совокупности. Во многих прило- жениях теоретическая генеральная совокупность есть идеализация действи- тельной совокупности, из которой получена выборка. О выборочном методе для конечной совокупности см. п. 19.5-5. 19.1- 3. Связь вероятностной модели с опытом: оценка и проверка. (а) Оценка параметров. Статистические методы позволяют учесть данные, опыта (выборочные значения) для уточнения деталей вероятностной модели, например, для оценки плотности вероятностей <р(х) случайной вели- чины х. Знание же вероятностной модели позволяет прогнозировать будущие события, что важно для принятия решений. В большинстве приложений отно- сительные частоты (п. 19.2-1) применяются непосредственно только для гру- бой качественной оценки распределения генеральной совокупности. Обычно задаются определенным типом закона распределения генеральной совокуп- ности * ф=<р(х; »)1. Пг. —) (19.1-2) и по данным случайной выборки (хх, х2, ..., хп) оценивают лишь неизвестные параметры 4Ь т)2. ••• В пп. 19.3-1—19.3-5 приведено некоторое количество ти- повых законов распределения для подбора их в соответствии с физическими предпосылками. Параметры т)1т т]2, ... обычно характеризуют определенное свойство теоре- тического распределения величины х (например, генеральное среднее, диспер- сию, асимметрию, см. табл. 18.3-1). Для опенки значений этих параметров по данным выборки (хх, х2, ..., х„) пользуются значениями таких статистик У1(хи х2,...., хп), j/2(xx, х2, ..., хга), .... которые характеризуют аналогич- ные свойства выборки (например, выборочное среднее, выборочную дисперсию, пп. 19.2-3—19.2-6). Выбор «подходящих» статистик не обязательно однозна- чен; предпочитают оценки j/(xx, х2, ..., х„), которые сходятся по вероятности к 4 при п —> оо (состоятельные оценки), у которых математическое ожидание равно 4 (несмещенные оценки) или у которых выборочное распределение имеет наименьшую дисперсию (эффективные оценки) и/или которые легче вы- числить (пп. 19.4-1—19.4-5). (Ь) Проверка -статистических гипотез. Для проверки ста- тистических гипотез, устанавливающих некоторые свойства теоретического распределения (например, значения параметров tp, 42, ...), оценивается правдоподобие (1) испытываемой выборки (хх, х2, ..., х„) при условии, что для вычисления функции L (хь х2.....хп) применяется предполагаемая плот- ность распределения (2). Гипотеза отбрасывается, если испытываемая выборка (хх, х2, .... х„) попадает в область малого правдоподобия, т. е. если найден- ное из опыта значение статистики {/(хх, х2, х„) маловероятно при выбран- ной гипотетической функции правдоподобия. Выбор вероятности, которую следует считать малой (уровня значимости критерия), зависит от условии задачи. Непараметрические критерии проверяют свойства гипотетического распре- деления, которые не сводятся к значениям параметров (например, ность двух распределений, независимость.двух случайных величин, пп. 19.6 о и 19.7-6); эти критерии удобны тем, что не требуют знания типа распреде- ления (2) генеральной совокупности.
19.2-2. 19.2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ 609 Примечание. Некорректное применение статистических методов4 может при- вести к неверным заключениям. Все (возможно, и не высказанные явно) предположения, относящиеся к теоретическому распределению, должны быть проверены. Никогда нг следует применять одну и ту же выборку для оценки и для проверки. Заметим, наконец, что статистические критерии не могут доказать ии одной гипотезы: они могут лишь указать иа «отсутствие опровержения». 19. 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ . И ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ 19.2 -1. Относительные частоты. (а) Определение. Пусть событие Е состоит в том, что значение слу- чайной величины х принадлежит некоторому множеству SE (обычно некото- рому классовому интервалу, п. 19.2-2, Ь), и пусть дана случайная выборка (Х1, х2, .... хп) значений величины х. Частотой события Е в данной случай- ной выборке называется количество пЕ выборочных значений xk, попадающих в SE, а относительной частотой — отношение пЕ к объему выборки п: Пр h{E}—-^. (19.2-1) (b) Центр распределения и дисперсия. Так как случайная выборка может рассматриваться как результат последовательности п испы- таний по схеме Бернулли (п. 18.7-3), то случайная величина пЕ имеет бино- миальное распределение (табл. 18.8-3), где € = Р{£}= ( ЙФ (х) есть вероят- SE ность события Е и Мй{Е} = Р{Е}, . Dfe{E}=-P{£}(1~|J (19.2-2) Относительная частота h {Е} есть несмещенная состоятельная оценка для соответствующей вероятности Р {Е}; при п->'оо эта, оценка h {£} асимп- тотически нормальна с параметрами (2) (пп. 18.6-4 и 18.6-5, а). 19.2- 2.. Распределение выборки. Группированные данные. (а) Эмпирическая функция распределения. Для данной случайной выборки (x1F х2, .... х„) эмпирическая функция распределения Е(Х)=Л{х<Х} (19.2-3) есть неубывающая ступенчатая функция с F(—оо) = 0, F(+oo)=l. Она является несмещенной состоятельной оценкой для функции распределения Ф(Х) = Р{х<Х} (п. 18.2-9) и определяет частотное распределение выборки (эмпирическое распределение). (Ь) Классовые интервалы и группированные данные. Пусть размах случайной величины х разделен на конечное (или бесконечное) число подходящим" образом выбранных классовых интервалов X/—AX/sg; <х<Х/+-|-ДХ/ (/=1,2,...), длины которых соответственно равны ДХр ДХ2, ... (середины интервалов суть Х(<Х2 <...)• Для данной случайной выборки групповая частота п/ есть число тех х&, которые попадают в /-й классовой интервал (описание выборки через группированные данные). Относительные частоты hj—nj/n попадания в /-й классовой интервал должны в сумме давать единицу; они являются несмещенными состоятельными оценками для соответствующих вероятностей л/+4дх/ pz= f ЙФ(Х). х/-4да/
610 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.2-3. Накопленные частоты Nj и накопленные относительные частоты F/ опре- деляются формулами */= £ ni( F,= j] Лг=± £ nJ==^=F (X/+|AX/). (19.2-4) 1=1 1 = 1 1 = 1 Для выборок достаточно большого объема при достаточно малых классовых интер- валах все выборочные статистики могут быть вычислены по относительным частотам h.=a *=п.]п, точно так же как соответствующие параметры генеральной совокупности’Вычис- ляются по вероятностям. Применение группированных данных дает зкономию в расче- тах, если объем выборки п больше,- чем 25. Кроме того, статистики F (X), п^, h?, N и F? дают различные .графические представления выборочного распределения и, следова- тельно, оцениваемого распределения генеральной совокупности (гистограмма, полигон распределения и т. д). (с) Выборочные квантили Хр определяются формулой (см. также табл. 18.3-1 и п. 19.5-2), ч h rx< Хр} = F {Лр} = Р (0<Р<1). (19.2-5) ©та формула определяет Xр неоднозначно', она лишь указывает границы выборочных вна- чевий Х£ называется выборочной медианой, Хждж и ^®Ze— выборочными квартилями; аналогично определяются выборочные децили и процентили. 19.2- 3. Выборочные средние (см. также пп. 18.3-3, 19.2-5 и 19.5-3). (а) В ыб орочное среднее значение величины х. Пусть дана случайная выборка (хх, х2, ..., хп); выборочным средним значением величины х называется п *=у7(*1+*2+.••+*«)==“- У, xk. (19.2-6) fc=i Для выборочного распределения, заданного классовыми интервалами с центрами x = Xlt Х2, ..., Хт (п. 19.2-2), выборочное среднее X аппрокси- мируется значением т (ni^i + n2X2 + ... -рптХт)—~ У ti/Xf (19.2-7) i — 1 (выборочное среднее при группированных данных). х есть характеристика положения для выборочного распределения. Отме- ним моменты распределения величины х: Мл=ё, Dx=^-, (19.2-8) M(JE—|)з=Ул М (J? -1)« = -(" - (19.2-9) если величины справа существуют (рп и щ—центральные моменты теоретиче- ского распределения величины х). Выборочное среднее X есть несмещенная состоятельная оценка для генерального среднего g=Mx. Если о2 существует, то X имеет асимптотически нормальное распределение с параметрами (8) при п->со (пп. 18.6-4 и 19.5-2). (Ь) Выборочное среднее для у (х). Выборочное среднее для функ- ции у (х) случайной величины х есть п У=^-[у(х1)+у(х2)+...+у(хп)]=^ У y(xk) (19.2-10) А=1 вдиА при группированных данных, т 5 пт W <19-2'п) /=1
19 2-4. 19.2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ 6П Опенки, основанные на формуле (11), иногда можно улучшить введением поправочного члена (п. 19.2-5). ' 19.2- 4. Выборочные дисперсии и моменты (см. также пи. 18.3-3, 18.3-7, 19.2-5, 19.4-2 и 19.5-2). (а) Выборочные дисперсии з2=(х—х)2=-~ У (xk—х)\ А —1 k=\ (19.2-12) являются характеристиками рассеяния выборочного распределения; s назы- вается выборочным стандартным отклонением. Отметим формулы Ms2=о2; MS2=o2, (19.2-13) DS2=v(H4-^Ta4)- (19.2-14) А если величины справа существуют. S2 есть несмещенная состоятельная оценка для генеральной дисперсии а2—Ох, и потому она чаще применяется, чем s2. (b) Моменты выборки. Выборочные начальные моменты аГ и выбо- рочные центральные моменты тг порядка г определяются формулами аг=хГ=~ х^, тг=(х—ху=~ У, (xk—xY. (19.2-15) * = 1 Й = 1 Заметим, что I; ®2r — Or МаЛ=аг, Dar=— ----------. (19.2-16) = + (^-Ч-Л+1-|‘Н'ЗД-1) +0 (^). (19.2-17) если величины справа существуют, аг есть несмещенная состоятельная оценка для соответствующего теоретического начального момента аг — Мхг генераль- ной совокупности. Если существует а2г, то аг имеет при я —> со асимптоти- чески нормальное распределение с параметрами (16). тГ есть состоятельная,, но смещенная оценка для теоретического центрального момента рг = М (х— g/. Несмещенными и состоятельными оценками для Из и щ будут соответственно гр п (Л* — 2п 4- 3) т4 — Зп (2п — 3) ms (п — 1) (п — 2) т“ и (п - 1) (п - 2) (п — 3) ‘ (с) Характеристики асимметрии и эксцесса (см. также табл. 13,3-1 и п. 19,3-5). Статистики = (19.2-18) V* ’ т‘ характеризуют соответственно асимметрию и эксцесс выборки и являются, состоятельными оценками асимметрии и эксцесса генеральной совокупности (см. также п. 19.4-2). Грубо Говоря, gt > 0 указывает на длинный «хвост»? в правой части распределения. Некоторые авторы вводят g£ и “b вместо gj и gg.
612 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.2-5. 19.2- 5. Упрощенное вычисление выборочных средних и дисперсий. Поправка на группировку. (а) При вычислении удобно выбрать начало отсчета Хв вблизи центра выборочного распределения н считать по формуле п *=л«+4 S (19-2-19> 4=1 или, при группированных данных* ' т *6 = V | *») (19.2-20) (Ъ) Выборочные дисперсии s8 и S2 могут быть подсчитаны по формуле V = 2 ’*“** (19.2-21) 4 = 1 или, при группированных данных* т SG = Sb = 4 2 "rf - (19.2-22) /= 1 . (с) Вычисления при группированных данных особенно упрощаются, если все клас- совые интервалы имеют одинаковую длину ДХ и если за начало отсчета принята сере- дина одного нз классовых интервалов, так что Ао + (19.2-23) где Уу принимает только целые значения 0, + 1, + 2# ,.. Тогда т *С= х0 + йвхх- йс = -^ niVi' (19.2-24) 1=1 (х т ч 4 2 п/И ~ <ЛХ)’ <19-2-25» /=1 / Проверять вычисления можно, выбирая другое начало отсчета, например, Xe J- ДХ. (d) Поправка Шеппарда на группировку. Пусть все классовые интервалы имеют одинаковую длину ДХ. Если для теоретического распределения вели- чины х оба «хвоста» имеют высокий порядок соприкосновения с осью х, то приближение sq к истинной выборочной дисперсии ss можно улучшить путем прибавления поправки Л (А*)3 п « Шеппарда-----—• Для выборочных моментов по группированным данным т т 5 arG = ~^ 2 = v 2 пЛх,— хо)г (19.2-26) 1 = 1 /=1 можно ввести аналогичные поправки с помощью оценок °;=°iG. °2 = °2G ~ 4-2(дл>‘. = (ДХ)». 1 (19.2-27) ае = °зС ~ 2- с1С <дх)*, = т8б, °;=°а6- 2- сае <дл)1 + 2_ (дл)< m; = miG “4 (ДХ)» + Л (ДХ)‘. Вообще = i (л) (21'* - O^.z-Al G и = 1.2. .. .). (19.2-28) А = 0' ' где В^ — числа Бернулли (п. 21.6-2),
19.3-2. 39.3. ТИПОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 613 Приведенные оценки совпадают с оценками по негруппированным данным в том слу- чае, когда Ух (?) = о при | q | > — в (в > 0). Для нормально распределенной вели- чины х прн &Х 2о Oj = о' с точностью до.2,3.10“3 ДХ при 5 ^0, о1 = а' — ~ с точностью до 3,1 10—2а“ при 5 = 0. Примечание. Поправка Шеппарда часто применима в качестве оценки ошибки, возникающей при округлении выборочных значений в точных формулах (12) и (15). На- пример, средняя ошибка округления ДХ/2 в значениях х^ воздействует обычно на s* только как (ДХ)2/12. 19.2-6. Размах выборки (см. также п. 19.5-4). Размах w случайной выборки х2, .... хп) есть разность между -наибольшим и наименьшим значениями xk. Размах выборки имеет физический смысл (контроль качества) и служит для грубой, но удобно вычисляемой оценки характеристик генеральной сово- купности. Размах выборки, наименьшее н наибольшее выборочные значения дают примеры порядковых статистик. 19.3. ТИПОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 19.3-1. Вводные замечания. В качестве теоретического распределения (генеральной совокупности) в статистических моделях могут служить распре- деления вероятностей, описанные в пп. 18.8-1 — 18.8-9, в частности, нормаль- ное, биномиальное, гипергеометрическое и пуассоновское распределения. При- менимость тех или иных частных типов распределения (с подходящими пара- метрами) может быть установлена как теоретически, так и по графику эмпирического распределения. Особенно удобно нормальное распределение. Каждое нормальное распределение вполне определяется своим первым и вторым моментами. В случае нормального распре- делении генеральной совокупности точно рассчитаны статистические критерии кяыбороч- ного распределения (пп. 19.6-4 и 19.6-6). Применимость нормального распределения часто обосновывается центральной предельной теоремой (п. 18.6-5); в частности, ошибки изме- рения часто рассматриваются как нормально распределенные суммы большого количества независимых «элементарных» ошибок. 19.3-2. * Класс распределений Кэп теина. Часто оказывается желательным сопоставить с опытными данными такое распределение случайной величины х в интервале (а, Ь), чтобы некоторая функция g(x) имела нормальное распре- деление, т. е. чтобы <,93.0 Функпия g(x) должна 'быть монотонной при a<Zx<Zb н изменяться от —оо № -J-oo. После того как функция g(x) выбрана (например, из теоретических соображений), остается оценить только два параметра p,=.Mg (х) и og, что для нормального распределения сделать нетрудно. Случайная величина х, описываемая распределением (1), может рассматриваться как предел последовательности Случайных величин V+l “ ХГ + 2r+l h (М - 0* ’* 2' •"><! 'каждая из которых есть результат действия малых независимых импульсов г^, ... * гп. Удовлетворяющих условиям п. 18.6-5, с, причем г1+ га+ "• * гг= S ~^ = s w' _(=0 1 ” к,,
614 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.3*3. В частности, если h (х) = const = С, то Е (х) — (х — хс)/С и распределение (1) нормаль- ное. Если h (х) = х, т. е. эффект действия импульса пропорционален уже достигнутому вначению случайной величины, и х„ — 1, то g(x) = lnx, и мы имеем логарифмически нормальное распределение (° (X < 0), I »W = — * еХр Г_ * (х > 0). (19.3-2) 19.3- 3. Ряды Грама—Шарлье и Эджворта. Плотность стандартизованной случайной величины х=—(п. 18.5-5) часто удобно аппроксимировать с помощью формулы (*)4-Й(^-3)<Рн4’<*Н^(Й‘№ (*)]. (19.3-30) К где о2=р2, pg, pi—параметры теоретического распределения величины г (п. 18.3-7, Ь). Вводя коэффипиенты асимметрии и эксцесса (табл. 18.3-1, d), формуле (За) можно придать вид Фх W «« Фи <Ри (*)+pff Фи” Ф'и ’ (*)]• (19.3-36) ^Формула (3) дает поправочные члены при замене плотности распреде- ления <рд: (х) плотностью нормального распределения <ра (х). В частности, фор- мула (3) может применяться для приближенного построения плотности рас- пределения суммы п независимых случайных величин; в этом случае коэф- фициент при фи имеет порядок 0(п~'ty, а коэффициенты при слагаемых, объединенных квадратной скобкой, — 0(п-1).^ Аналогичное выражение для функции распределения Фх (х) получается из (3) заменой ф^ (х) на (х). Заметим, что для входящих в формулу (3) производных от плотности нормального распределения фя (х) имеются широко распространенные таблицы и что параметры (коэффициенты) могут быть легко оценены как функции моментов (п. 19.4-3); все же расчет выборочных рас- пределений здесь не прост. Для весьма ограниченного класса распределений формула (3) содержит первые члены разложения в ряд Грама — Шарлье по ортогональным функциям (п. 15.2-6); Ф (X) = Ф (х) + ф'и (х) + Ф^4’ (X) + ... , (19.3-40) <₽- (х) = <Р„ (X) + <Ри (X) + 77 Фи1 (х) + ... / (19.3-46) О! *11 где =(- £)* Xн* Ш w dx> о9-з‘ад Н& (х) — многочлен Эрмита степени k (п. 21.7-1). В частности, r]s =— Ряд (4о) сходится кФ (х), если существуют все моменты pt, ц„ ... и если оо -х» J а 4 , дФх (х) сходится; ряд (46) будет при этом сходиться к <рх (х) во всех точках — со непрерывности, если q>x (х) есть функция ограниченной вариации (п. 4.4-8, Ь) в (— Для очень большого класса распределений аппроксимация (3) может быть обоснована асимптотическими рядами Эджеорта [18.6]. 19.3- 4. Усеченные нормальные распределения и распределение Парето. - (а) Усеченные нормальные распределения. Если из нормальв совокупности со средним р и дисперсией о* (п. 19.1-2) исключить все события |х<-Ла),
19.4-1.' 19.4. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ БТ5 то оставшаяся совокупность будет иметь одностороннее усеченное нормальное распре» деление, для которого ф (ж) = Ф (ж) = 0 при х < ж0 и Ф(*)==------- 1 = Т------ <*>*«>' (19.3-5) где х = Ф„ — степень усечения, равная вероятности Р {ж < ж0} в исходном рас- пределении. Первые два начальных момента усеченного распределения равны а, = )* + <,«<₽ (ж.), 1 аа = ц» + а‘ (и + ж») <р (ж„) + о». J Еели заданы жь и моменты at, аа (последние оцениваются выборочными моментами at, ау, nJ 19.2-4, Ь), то И н о могут быть найдены с помощью таблиц Пирсона, дающих числен- ное решение уравнений (6) [18.5]. (Ь) Распределение Парето определяется формулами ф (ж) = Ф (ж) = 0 при ж < ж0 и Ф (ж) Ф (ж) = 1 — (ж > ж0; а > 0), (19.3-7) g = Мж = —5-» х0 (а > 1). Ж1 / =2*^аж0. (19.3-8) U^~ 1 'Я (19.3-9) 19.3- 5. Типы распределений Пирсона. Плотность многих непрерывных распреде- лений вероятностей может быть определена как решение дифференциального уравнения 4<Р _ ж+ тц m <(ж Ца + 1ЦЖ + ц,х2 44 '* содержащего четыре параметра. Каждый параметр может быть выражен через первые четыре момента аг или цг (п. 19.4-3),. но расчет выборочных распределений, даже в наиболее простых случаях, труден. Распределения, определяемые уравнением (9), могут быть классифицированы в зависимости от характера корней уравнения ть 4-Т13ж4- + Ч4жа = 0. Эти распределения охватывают многие распределения, приведенные в табл. 18.8-11. пп. 18.8-3 и 9.5-3, как частные случаи. Для распределений Пирсона вводится пирсоновская мера асимметрии (табл. !8.3-l)s % У1(1>2 + 6) о 2 (5у2 - 6у| + 6) • при малых у,, уо отсюда следует, что gm g —g cyt- (19.3-10) 19.4. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ 19.4- 1. Свойства оценок (см. также п. 19.1-3). (а) Статистика y(xlt х2, ..., хп) называется состоятельной оценкой для параметра т] теоретической совокупности, если у сходится к т) по вероятно- сти при увеличении объема выборки п, т. е. если вероятность любого конеч- ного отклонения 1у —т] | стремится к нулю при я—»со (п. 18.6-1). (Ь) Смещением некоторой оценки у параметра 1] называется разность Му—т]. Оценка у называется несмещенной оценкой параметра tj, если Му=т). (с) Асимптотически эффективные оценки и эффектив- ные-оценки. Желательно применять такие оценки, выборочные распре- деления которых возможно меньше рассеиваются около искомого значения параметра, т. е. оценки с возможно меньшей стандартной ошибкой [ЛЭу = = о(у). Для важного класса оценок у(хг, х2, .... хп), выборочные распреде- ления которых асимптотически нормальны со средней т] н дисперсией Х/п (см. также п. 19.5-2), постоянная X определяется формулой lim rcDy^Xmln== (19.4-1)
ЕГО ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.4,2. Асимптотическая эффективность eO0{j/}=—7“ такой оценки измеряет рас- сеяние асимптотического распределения около параметра т); у называется асимптотически эффективной оценкой параметра т), если Л=Хга1п. Каждая асимптотически эффективная оценка является состоятельной. Более общо, «относительная эффективность» оценки у х2, , хп) параметра ц по данной выборке объема п измеряется обратной величиной среднего квадрата откло- нения М (у — Т)>2. При достаточно общих условиях средний квадрат отклонения М(р—тра различных возможных оценок у данного параметра ц имеет конечную нижнюю грань, определяемую формулой Л , у п М ) , \ / где Ь (ц) == Му — п (см. [18.6]). Для несмещенных оценок у выражение (2) сводится к ^mln 0(/ » —~ ~-------- п М (19.4-3) 2 Л Эффективность е {у} = несмещенной оценки, удовлетворяющей соотношению (3), на- меряет рассеяние выборочного распределения около ц — М«/. В этом случае предел 11m е "если он существует, называется асимптотической эффектная остью. Некото- п -».со . 1 1 рая (обязательно несмещенная и состоятельная) оценка у называется эффективной оцен- „ ^пп'п кой параметра т], если Dr/ существует и равна нижней грани —-—. (d) Достаточные оценки. Оценка у(хъ х2, ..., хп) параметра т] называется достаточной оценкой, если функцию правдоподобия для выборки (п. 19.1,2) можно представить в виде L (Хх, X......Х„; т]) О'. Ч) Ц (Хг, Х2.....Хп), ] хг......х„), f • ) где £2 не зависит от т]. В этом случае условное распределение вероятностей величины (xt, х2, .... хп) при условии {у = У} не зависит от тр так что до- статочная оценка у параметра ч подытоживает всю информацию относи- тельно ч> содержащуюся в выборке. Эффективная оценка обязательно является достаточной. (е) Обо б щен и я. Формулы (1) —(3) применимы и к дискретным рас- пределениям, если вместо плотности распределения <p(xt, х2, .... хп) подста- вить в них р(х1г х2, ..., хп). Теория, изложенная выше, применима без изме- нения к совокупностям, описываемым многомерными случайными величинами. Совокупность т подходящих несмещенных оценок у^, у2, ... • Ут называется совме- стно эффективной оценкой т параметров цг т^. ..., ч\т, если эллипсоид рассеяния (п. 18.4-8, с) совместного выборочного распределения совпадает с «эллипсоидом минимального рассеяния», аналогично минимуму дисперсии, определенному формулой (3). Совместные асимптотически эффективные оценки определяются подобным образом через асимптоти- ческие выборочные распределения. Обратная величина обобщенной дисперсии (п. 18.4-8, с), соответствующей совместному выборочному распределению величин у^, У2.ит, явля- ется мерой относительной совместной эффективности этой совокупности оценок. Чтобы определить совокупность т совместно достаточных оценок yv У2, ... Ущ’ надо только заменить случайную величину у в формуле (4) m-мерной случайной величи- ной (уг у2, ... . Ут). 19.4- 2. Некоторые свойства статистик, применяемых в качестве оценок (см. также п. 19.2-4). (а) Функции от моментов. Каждая статистика, представимая в виде рациональной функции от выборочных моментов аг, является состоя-
*0.4-4. 19.4. ОПЕНКИ ПАРАМЕТРОВ 617 тельной оценкой той же самой функции от соответствующих моментов аг генеральной совокупности при условии, что рассматриваемые моменты сущест- вуют и что значение функции в них конечно (см. также п. 18.3-7). Несмещенную состоятельную оценку часто удается получить из смещенной состоятельной оценки путем умножения ее на подходящую функцию от п. Аналогичная теорема применима к функции от выборочных моментов ar г 1 2 для многомерных выборок. В частности, величины gj, g2, l^k, r.^ ur m (п. 19.7-2) являются состоятельными оценками соответствующих параметров у^, у2, я р генеральной совокупности. ' 12 • вл ••• т (Ь) Для выборок из нормальной совокупности имеем: 1) X—эффективная оценка для g. 2) х и s2—совместные асимптотически эффективные оценки для £ и , сгв, но $2—смещенная оценка; х и S2 == s2 — совместные достаточ- ные и асимптотически эффективные оценки для £ и a2; S2 имеет эффек- тивность . п ______ —. 3) Если § известно, то s2 = (х—g)2—эффективная оценка для о2. 4) Выборочная медиана х», имеет асимптотическую эффектив- ность 2/л. ° Для выборок из биномиального распределения (табл. 18.8-3) х—эффектив- ная оценка для g. Для выборок из двумерного нормального распределения (п. 18.8-6) с изве- стным центром распределения выборочные центральные моменты 7ц, /12 и 122 (и. 19.7-2) являются совместными асимптотически эффективными оценками ДЛЯ Хц, Хщ И Х22. 19.4-3. Нахождение оцеиок. Метод моментов. Если распределение гене-, ральной совокупности описывается функцией Ф(я; 41. Т)2. •). <р(*; 41. 4а. •••) или р(х; 41. 42, ...) заданного вида с подлежащими определению параметрами гц, 42, ..., то каж- дая числовая характеристика распределения Мх, Dx, аг и т. д. является функцией параметров тц, т)2, ... В частности, а, = «1(41, 4а, ...), «2 = аа (41. 4г> ••)> — . если эти моменты существуют. Метод моментов определяет (совместные) оценки У1 (х*, х2, ..., Хп), У2 (х», Х2, ... , хп), ... , ут (х», х2, ..., хп) для соответствующих параметров т]г, 42, ..., У}т посредством т уравнений «г(У1. #2. — . Ут) = аг(Х1, х2, .... х„) (г = 1, 2, .... т), (19.4-5) получаемых путем приравнивания первых т выборочных моментов аг соответст- вующим моментам <хг генеральной совокупности. Получаемые при этом оценки Ул будут функциями от выборочных моментов (см. также п. 19.4-2, а). 19.4-4. Метод наибольшего правдоподобий. Для любой данной выборки (хъ х2, .... хп) значение функции правдоподобия L(xlt х2, .... хп) (п. 19.1-2) •есть функция неизвестных параметров iji, 42, ... По методу наибольшего правдоподобия в качестве оценки каждого параметра 4д выбирается такая Функция уь (xf, х2, ..., х„), которая придает возможно большее значение вели- чине Цхъ х2......... х„; г/i, г/2, ...) для всех выборок (xi, х2, .... х„). Для получения совокупности т (совместно) наиболее. правдоподобных оцеиок 271 (хц х2. ...» *л). у2(xlt хЯ1 Xait ...» ym(.xti х* "ч хп)
618 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.4-1 решают систему т уравнений наибольшего правдоподобия *) ^-lnL(xi, х2, хп\ ylt у2,..., ут) — 0 (fe=l, 2.......т), (19.4-6) которые выражают необходимые условия максимума функции правдоподобия, если последняя дифференцируема (и. 11.3-3). Хотя метод наибольшего правдоподобия часто приводит к более слож- ным вычислениям, чем метод моментов,, наиболее правдоподобные оценки могут оказаться предпочтительнее, особенно в случае малых выборок, так как: 1) Если эффективная оценка (или совокупность совместно аффек- тивных оценок) существует, то она будет единственным решением уравнения (или системы уравнении) правдоподобия (6). 2) Если достаточная- оценка, (или совокупность достаточных оценок) существует, то каждое решение уравнения (или системы уравнений) правдоподобия (6) будет функцией этой оценки (или оценок). Кроме того, прн достаточно общих условиях уравнения правдоподобия (6) имеют решения дающие состоятельные; асимптотически нормальные и асимптотически эффек- тивные оценки [18.6]. Пример. Если величина к распределена нормально,, наиболее правдоподобная п оценка X = х для £ является эффективной оценкой и минимизирует У, (Х[~ Х)2 (метод I — 1 наименьших квадратов в теории ошибок). Заметим, что метод наибольшего правдоподобия применим также к многомерным совокупностям. 19,.4-5. Другие методы нахождения оценок. Некоторые методы, обычно применяемые в критериях согласия, могут быть использованы и для оценок параметров (п. 19.6-7, см. также пп. 19.9-1 — 19.9-5), 19.5. ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 19.5-1. Вводные замечания. Здесь рассматриваются распределения ста- тистик, часто применяемых в качестве состоятельных оценок для соответст- вующих параметров генеральной совокупности. В п. 19.5-2 речь вдет о при- ближенном расчете выборочного распределения для больших выборок, в пп. 19.5-3 и 19.5-4—о распределении статистик, получаемых из нормальных совокупностей'. 19.5-2. Асимптотически нормальные выборочные распределения (см. также п. 18.6-4). При достаточно большом объеме выборки выборочные распреде- ления многих статистик можно аппроксимировать нормальным распределением с помощью'следующих теорем, получаемых из п. 18.6 5. (а) Пусть статистика у(хг, х2, .... х„) представима в виде функции y=f (т.р /п2, ...) от выборочных моментов ть, и пусть f(mlt т2, ...) определена и дважды непрерывно дифференцируемав окрестности точки т1 = у], т2—у2, ... Тогда выборочное распределение статистики у. при п—>со асимптотически нормально с центром f (ih, pi2, •••) « дисперсией вида -?^st _{.() Эта тео- рема применима, в частности, к выборочному среднему х, к выборочным дис- персиям s2 н 5® и ко всем1 выборочным моментам- аг и тг (п. 19.2-4). Анало- гичная теорема применима к многомерным распределениям. (Ь> распределение каждой выборочной. квантили X р асимптотически нормально , . Р (1 —₽ ), с центром Хр. и дисперсией —---------г-, если1 только- генеральная квантиль хр единст- *- П (J)*5 f Х.р, I * венна. и если производная ф' существует it непрерывна в окрестности^ точки х — хр. Эта- теорема применима^ в частности^ К- выбор,очной| медиане Ху . При аналогичный усло- виях любое совместное распределение выборочных квантилей (и, следовательно, напри- мер, выборочной интерквартильной широты) также является асимптотически нормальным. *) Функции L и 1л L достигают максимума одновременно.
19.5-4. 19.5. ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 619 19.5-3. Выборки «з нормальной совокупности. Распределения %2, t и t>2. (а) В случае выборок из нормальной совокупности (нормальных выборок) все выборочные значения являются нормальными случайными величинами и многие выборочные распределения могут быть вычислены явно с помощью пп. 18.5-7 и 18.8-9. Предположение о нормальности генеральной совокупности часто опирается на центральную предельную теорему (п. 18.6-5; пример: ошибки измерения). Для любой выборки объема п из нормальной совокупности с центром g л дисперсией о2 х __ Е 1)—г-~- имеет стандартизованное нормальное распределение olvn («-распределение, п. 18.8-4); X _ Е х ____ Е '2) —г-Д: = -, г (отношение Стьюдента) имеет /-распределе- Slvn sivn—l ние с п—1 степенью свободы (табл. 19.5-2); (П - 1) S2 ns2 1 VI / 9 3) -—-г----.= — ==— >, (xft—х)2 имеет ^-распределение *=1 сп—1 степенью свободы (табл. 19.5-1); 4) ——— имеет стандартизованное нормальное распределение; — £ х- — | 1 Ли — .1 5) ——=—-— V —~ имеет /-распределение с п — 1 степенью свободы; —*1/ п xt — х о) - у ———-— имеет r-распределение с т — п—2 сте- пенями свободы (п. 19.7-4); Л2 П 7) -^-=-55- 2 имеет ^^распределение с п степенями 1=1 свободы. Дополнительные формулы см. ниже в табл. 19.6-1. Табл. 19.5-1 —19.5-3 описывают распределения %2, / и о2; квантили этих функций табулированы (см. табл. 19.5-4 —19.5-6). (Ь) Выборочное среднее х и выборочная дисперсия s2 независимы тогда и только тогда, когда рассматриваемая выборка получена из нормальной сово- купности. Для каждой нормальной выборки х, s2 и взаимно независимы для всех г, для й=тз®Г‘А, £2=^—3 имеем Мй=О, (19.5-1) ® -24/2 {п — 2) ,(/2 —- 3) /Ю :Е Mg2= ^2—(п 4-1)« (п + 3)(„ -}-5у (19.5-2) 19.5- 4. Распределение размаха выборки (см. также пп. 19.2-6 и 19.7-6). (а) Если генеральная совокупность имеет непрерывное распределе- ние, то размах w случайной выборки объема п имеет плотность распре- деления СО фто(щ)=л(я—1) j (Ф(х-)-К1)— ФЭДГ*(р(х)у(Н-в)Л, (19.5-3) —со
620 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.5-5. Эта функция табулирована для некоторых видов распределений генеральной совокупности [18.9]. (Ь) Для нормальной генеральной совокупности среднее значение и средне- квадратическое отклонение размаха w пропорциональны среднему квадратичес- кому отклонению о генеральной совокупности: Mw=kno, Da>=c£o2; (19.5 4) kn, сп и cnlkn табулированы как функции от n; w/kn есть несмещенная оценка для а. Средний размах _ и>, + w2 + ... + ы> w —--------------— т для т случайных выборок объема п имеет при т—>оо асимптотически нор- С2ОВ мальное распределение с центром 7с„о и дисперсией ; w/kn является при этом несмещенной состоятельной оценкой для а. (с) Для равномерного распределения генеральной совокупности в интер- вале (а, Ь) . Mw=(b-a)-^-, (19.5-5) и w есть несмещенная состоятельная оценка для Ь—а. Заметим, что арифметическое среднее из наименьшего и наибольшего выборочных значений есть состоятельная несмещенная-оценка для Мх. ' (d) Для любого непрерывного распределения генеральной совокупности вероятность того, что по крайней мере доля q всей совокупности расположена между крайними зна- чениями xmln н хтах данной случайной выборки объема п, равна l-nq'!-l + (n-l)qn. (19.5-6) 19.5-5. ^Выборочный метод для конечной совокупности. Пусть дана конеч- ная совокупность А/ элементов (событий, результатов измерений или наблю- дений) fj, Ev ... , En, каждый из которых отмечен одним из М rg: N различных спектральных значений ХГ Х2, ..., Хм некоторой дискретной случайной величины х (п. 18.3-1). Функция р(х) определяется значениями Р (^i) — А/i/TV, где Ni—количество элементов, отмеченных спектральным зна- чением Хр Математическое ожидание и дисперсия случайной величины х равны м м Мх=^=Д- U № Dx=o2 = ^- 2 (19.5-7) i=l 1 = 1 Пусть (x1( x2.......x„)—бесповторная случайная выборка объема п. Здесь х4 рассматривается как случайная величина, соответствующая числовой от- метке первого случайно выбранного элемента, х2— второго элемента и т. д., причем элементы выбираются без возвращения. Любая из случайных величин xi имеет то же распределение, что и сама величина х, однако, в отличйе от выборки нз бесконечной генеральной совокупности, величины Х[ и х/ не явля- ются независимыми. Имеем Mxf-=g, Dxj=o\ , . аг cov(xit х/) = — р(х/, Xf)=—ТйТГГ. (19.5-8)
19.6-6. 19.6. ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 621 п а Пусть Xi и (Xi—х)2 — соответственно выборочное 1=1 1=1 среднее значение и выборочная дисперсия. Тогда Dx=A^, MS2=^a\ пса_=-------У ~ я)-----------_____х (А/ — I)2 (N — 2) (А/ — 3) п (п - 1) А X [2п№-а («+ 1) (N- 1) +(п- 1) (N — I)2 уа], где у2—коэффициент эксцесса. Этв формулы при N —► со приводятся к формулам пп. 19.2-3 и 19.2-4. Если коэффициентом эксцесса можно пренебречь (у2 =г= 0), то прн больших N вели- 1/’(Л/ — 1) п х — g _ . ГА/(п —1)1 чина t = у ---g— имеет в первом приближении /-распределение с ---i I числом степеней свободы. Таблица 19.6-1 ^-распределение с т степенями свободы ' (рис. 19.5-1 и табл. 19.5-4; см, также пп. 18.8-7, 19.5-3 и 19.6-7) Рис. 16.5-1. %2-распределение для различных значений т. (а) ч>у (У) = ч>%, (т) (У) - 0 т — 2 - Y _______!----- у 2 с 2 Г(т/2) 2"1/2 при У <0, при Y >0. (Ь) Му — т, Dy = 2т. ЭДода т — 2 (т 2). Момент порядка г, относительно у = 0; т (т + 2> ... (т + 2т — 2). Семиинвариант порядка ri 2Г-1 (г— Dim. Коэффициент асимметрии 2 Vzjnu Коэффициент эксцесса 12/т. 'Характеристическая функция (1 — 2еп)—т/2
622 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 16.5-5. Таблица 19.5-1 (продолжение) (с) Типичная интерпретация. Если т взаимно независимых стандартизованных случайных величин и. = ------ имеют нормальные распределения, то сумма их к °* - т квадратов X2 883 S имеет Xs-распределение с т степенями свободы. А= 1 т Если S выражена в виде суммы от г квадратичных форм' у. (и*, и& ... 1 рангов соответственно mj (п. 13.5-4, Ь), то у^, у2, ...,уг взаимно независимый имеют %2-распределения с т*, т^ ...» т? степенями свободы тогда и только тогда, когда т^-\- т^-\-тг= т (теорема разложения). Сумма г независимых случайных величин yv у2.....yf1 имеющих ^-распределе- ние с т*, т9, .... тг степенями свободы соответственно, имеет ^-распределение с т = 4- т2 4*... + тг степенями свободы (теорема сложения ила свойство устой- чивости, см. также п. 18.8-9). (d) Квантили для у обозначаются через хр или хр (т)« в таблицах часто дается х|__ц (пг) в зависимости от а. (е) Приближения. При т -* со: у распределена асимптотически нормально с центром т в диспер- сией 2/п. у/т распределена асимптотически нормально с центром 1 и диспер- сией 2/т. V2y распределена асимптотически нормально с центром V 2т — 1 и дисперсией 1. Из последнего свойства вытекает аппроксимация квантилей Хр (т) ъ (V 2m - 1 + ир )2 (m > 30), где Up — квантили стандартизованного нормального распределении (п. 18.8-4, Ь). Эта аппроксимация не годится прн значениях Р, близких к 0 или 1. Лучшая аппрок- симация дается формулой 4(m> ~ т (‘ “+up КЕ)’ Таблица 19.5-2 /-распределение Стьюдента с т степенями свободы (рис. 19.5-2 и табл. 19.5-5: см. также пп. 19.5-3 и 19.6-6) Рио. 19,5-2. /-распределение Стьюдента; сравнение со стандартизованным нормальным распределением.
19.5-5. ае.5. ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 623 Таблица 19.5-2 (продолжение) (b) Mp = 0 (m>l), Dy — (m>2). Коэффициент асимметрии 0. (т > 4). р = 0: Мода 0. „ .. 3(m —2) Коэффициент эксцесса — Моменты порядка 2г относительно 1-3 ... (2г — 1) (т-2) (т-4) . . .(т-2п (с) /Типичная интерпретация. Распределению Стьюдента подчинено отношение где х^ xg, ... , хт — взаимно независимые нормально распределенные случайные величины-с центрами 0‘и дисперсиями о2. Заметим, что I от О'2 не зависит. (d) Квантили у? для у обозначаются через t ; заметим, что t?— — _р. распределение величины ] у | == \11 связано с /-распределением формулами Р{|»ку}=р{-уо<у} = У ~ J (т) W = 2Ф/ (т) (У) - 1 = Ф11 М I <у). Р {I V I > у} = 2 J Ф/ (т) (у) dy 2 [1 - Ф/ (ш) (У)] = 1 - ФИ (т), (У). У Квантили |/ |] _a = lj _п/2. определяемые соотношением Р {| у | > | t 1^} = а, табулированы; в некоторых таблицах значения 11 ll a обозначены через / (е) Приближения. При т -* оо распределение у асимптотически нормально с центром 0 и дисперсией 1, так что (см. п. 18.8-4, Ь) tp^up и l<l1_a = S-a/2^l“li-a = "l-a/2 <т>30>- Таблица 19.5-3 Распределение отношения дисперсий (^-распределение) и связанные с ним распределения (табл. 19.5-6; см. также п. 19.6-6) (а) Фу (у) = Фо2 (т, т’) — 0 ^(т + т’ , m лт/2 2 ) (т-2)/2 ( т \—(т+т'У/2 . \ т'J Г(т/2)Г(т'/2) \ + т’ ) при У «С 0, при У > 0.
624 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.5-5, Таблица 19.5-3 (продолжение) <ь> м* = тга->2»’ >*> .. т' ’гп — 2) . . „ Мода ---• оГ (т> 2). т (tn 4- 2) Л Г (пг/2 Ч- г) г (m72 — Н , •, г Момент порядка г относительно у = Оз ---------------— „ -,/9.---------(пг/т, . 1 (/22/ 2) 1 (/?2 /2) (с) Типичная интерпретация. Этому распределению подчинено отношение V3 * s двух случайных величин, имеющих х£- распределен и я с т и т' степенями свободы, или V~v‘=* --------------— = - — -г^Чг • 1 / ,2 л л \ т I — gs m'Vl +xi + - — +хт’) где все т + т величии х{ и Хг, взаимно независимы и нормально распределены с центрами 0 и дисперсиями ст*. Заметим, что Vs от о® не. зависит. (о) Преобразование переменных. Распределение отношения дисперсий V* описы- вается также другими случайными величинами: 1) V с плотностью ф v (т, т*\ (П = 0 при V < 0, = т /т + т'\ 2(2М2 V vm-4 \m'J „fmX (т’\ \ т 4~ fa* при V > 0; Ч 2 J4 2 ) 2) г = = In V = 1П V* с плотностью — ч(т + т'\ 9 ( т \ 2 \ 2 ) Ф ,1 (Z) = 2 I —г ) 7 г г-т- (m, mr) \ /22' / / т \ / тг \ _emZ ^i+^_ e2Z^ m 4- m' 2 \ 2 J \ 2 ) (распределение Фишера)', 3) g* = р» (1 4--^ 1 с бета-распределением (табл. 18.8-11), т.\ т' ] (е) Квантили of (т, т') — 1 — а 1 (m, mr) c/j _ (mt tn') и «j _а (m. m') табулированы в функциях от а для равличных значений т. т*. Специальные случаи. к* (1, m) = 4 + P (m>. VP (m, co) = ъ-4(т>- t>p (1, oo) = П1 + Р ’ 2 2 81 #. «. L Vs 1 O2 1 i 1 ^/2(m»' vp m X® _ p (m) ’ uP/2 (I) Приближения. При т-*©о, т'-* оо величина г распределена асимптотически т — тг л « т + аг* ~ нормально с центром ^тт*' И ДиспеРсисй '~2тт,~ * аппРокСимация пригодна при т > 30. т* > 30.
^’-распределение В таблице приведены значения квантилей X2 (т) 1 Ct б зависимости от числа степеней свободы т и вероятности, а Т а б л и ц а 19.5-4 Вероятность Р |х! > XI _ а 0.99 0,98 0,95 0,90 0,80 0.20 0.10 0,05 0,02 0,01 0.001 1 0.00016 0,00063 0.00393 0.0158 0.0642 1,642 2.706 3.841 5,412 6,635 10.827 2 0,0201 0,0404 0 103 0,211 0.446 3,219 ' 4,605 5,991 7,824 9,210 13,815 3 0,115 0.185 0,352 0.584 1,005 4,642 6,251 7,815 9.837 11.341 16,268 4 0.297 0,429 0,711 1.064 1,649 5,989 7,779 9.488 11,668 13.277 18,465 5 0,554 0,752 1,145 1.610 2.343 7,289 • 9.236 11,070 13.388 15,086 20,517 6 0,872 1,134 1,635 2,204 3,070 8,558 10.645 12.592 15.033 16,812 22.457 7 1.239 1,564 2,167 2.833 3,822 9,803 12.017 14,067 16.622 18,475 24.322 8 1.646 2,032 2,733 3,490 4,594 11,030 13,362 15,507 18,168 20.090 26.125 9 2,088 2,532 3.325 4,168 5,380 12.242 14,684 16,919 J9.679 21,666 27.877 10 2,558 3.059 3.940 4,865 6.179 13,442 15,987 18.307 21,161 23.209 29,588 11 3,053 3,609 4,575 5.578 6,989 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725 31,264 12 3,571 4 178 5,226 6,304 7,807 15.812 18,549 21,026 24,054 26 217 32,909 13 4,107 4,765 5,892 7.042 8,634 16,985 19,812 22,362 25.472 27,688 34,528 14 4,660 5.368 6,571 7.790 9,467 18,151 21.064 23.685 26,873 29,141 36,123 15 5,229 5,985 7,262 8,547 10,307 19,311 22,307 - 24,996 28.259 30,578 37,697 16 5,812 6,614 7,962 9.312 11,152 20.465 23.542 26.296 29.633 32.000 39,252 17 6,408 7,255 8,672 10,085 12.002 21,615 24,769 27,587 30.995 33,409 40.790 18 7,015 7,906 9,390 10.865 12,857 22,760 25,989 28,869 32.346 34,805 42.312 19 7.633 8,567 10,117 11,651 13.716 23,900 27,204 30,144 33.687 36,191 43.820 20 8,260 9,237 10,851 12.443 14,578 25.038 28,412 31,410 35,020 37,566 45,315 21 8,897 9,915 11,591 13,240 15,445 • 26.171 29.615 32,671 36.343 38,932 46.797 22 9,542 10,600 12.338 14,041 16,314 27.301 30,813 33,924 37,659 40,289 48,268 23 10.196 11,29*3 13,091 14,848 17,187 28,429 32,007 35,172 38,968 41 638 49.728 24 10,856 11,992 13 848 15,659 18,062 29,553 33,196 36,415 40,270 42 980 51.179 25 11,524 12,697 14,611 16,473 18,940 30,675 34,382 37,652 41,566 44,314 52,620 26 12,198 13,409 15,379 17,292 19.820 31,795 35,563 38,885 42.856 45.642 54,052 27 12,879 14,125 16.(51 18,114 20,703 32,912 86,741 40,113 44,140 46,963 ' 55.476 28 13,565 14,847 16,928 18,939 21.588 34,027 37,916 41,337 45.419 48,278 56.893 29 14,256 15,574 17,708 19,768 22.475 35,139 39.087 42.557 46,693 49,588 58,302 30 14.953 16,306 18,493 20,599 23,364 36,250 40.256 43,773 47,962 50,892 59.703 19.Б-Б. 10.5 ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
626 ГЛ. 18. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 1'9.5-Б. /-распределение Стьюдента Таблица 19.Б-Б В таблице приведены значения квантилей [ t (т) | j_п в зависимости от числа степеней свободы т и вероятности п , Вероятность Р j |<|>| / (т) 11 _а} \ а ГП 0,80 0,40 0.20; 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 0,325 1,376 3,078 6,314. 12,706 31,821 63,657 636,619 2 0,289 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 - 31,598 3 0,277 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,941 4 0,271 * 0,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 5 0,267 ода 1476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859 е 0,265 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 7 0,263 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,405 8 0,262 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 9 0,261 0,883 1,383 1.833 2,262 2,821 3,250 4,781 10 0,260 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 11 0,260 0,876 1,363 1,796 2,201 2 718 3,106 4,437 12 0,259 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 13 0,259 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 14 0,258 0.868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 19 0258 ода 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 0,258 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 0,257 О;863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 0,257 0,862 1,330 1,734 2.101 2,552 2,878 3,922 19 0,257 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 20 0,257 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 21 0,257 ода 1.323 1,721 2,080 : 2,518 2,831 3,819 22 0,256 0.858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 23 0,256 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,767 24 0,256 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 26 ода ода . 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 8,725 26 ода 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 27 ода ода 1.314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690 28 0,256 ода 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 29 ода 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659 30 ода ода 1,310 1,697 2,042 2.457 2,750 3,646 40 ода 0,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 60 0,254 0.848 1,296 1,671 2 ЛОО 2,390 2,660 3,460 120 0,254 0,845 1,289 1.658 1,980 2,358 2,617 3,373 ОО 0,253 0,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291
Таблица 195-6. О f ^-распределение (распределение и2) В таблице приведены значения квантилей _ а (т, т') Для с = 0,05 (обычный шрифт) и а = 0,01 (жирный шрифт) в зависимости от числа степеней свободы т и т’. т — число степеней свободы для большей дисперсии иг' — числ о степеней свободы для меньшей дисперсии Число степеней свободы для большей дисперсии \ т т' \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 20 2,4 30 40 50 100 200 OQ 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,36 19.37 19.38 19,39 19,41 19,42 19,43 19,44 19,45 19.46 19.47 19,47 19,49 19,49 19,50 98,49 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,34 99,36 99,38 99,40 99,42 99,43 99,44 99,45 99,46 99,47 99,48 99,48 99,49 99,49 99,50 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78 8,74 8,71 8,69 8,66 8,64 8,62 8,60 8,58 8,56 8,54 8,53 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,05 26,92 26,83 26,69 26,60 26,50 26,41 26,35 26,23 26,18 26,12 4 7;71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5 91 5,87 5,84 5,80 5,77 5 74 5.71 5,70 5,66 5,65 5,63 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,54 14,37 14,24 14,15 14,02 13,93 13,83 13,74 13,69 13,57 13,52 13,46 5 6,61 5,79 6,41 5,19 5,05 4 95 4,88 4,82 4,78 4,74 4,68 4,64 4,60 4,56 4,53 4,50 4,46 4,44 4,40 4,38 4,36 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,45 10,27 10,15 10,05 9,89 9,77 9,68 9,55 9,47 9,33 9,29 9,24 9,13 9,07 9,02 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,00 3,96 3,92 3,87 3,84 3,81 3,77 3,75 3.71 3,69 3,67 13,74 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,72 7,60 7,52 7,39 7,31 7,23 7,14 7,09 6,99 6,94 6,88 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3 73 3,68 3.63 3,57 3.52 3,49 3.44 3.41 3.38 3,34 3,32 3,28 3.25 3,23 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 7,00 6,84 6,71 6,62 6,47 6,35 6,27 6,15 6,07 5,98 5,90 5,85 5,75 5,70 5,65 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3.69 3,58 3.50 3,44 3,39 3,34 3,28 3,23 3,20 3,15 3,12 3.08 3,05 3,03 2.98 2,96 2,93 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,19 6,03 5,91 5,82 5,67 5,56 5,43 5,36 5,28 5,20 5,11 5,06 4,96 4,91 4,86 ’ 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3.48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,07 3.02 2,98 2,93 2,90 2.86 2,82 2,80 2,76 2,73 2,71 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,62 5,47 5,35 5,26 5,11 5,00 4,92 4,80 4,73 4,64 4,56 4,51 4,41 4,36 4,31 10 4.96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3 07 3,02 2,97 2.91 2.86 2,82 2,77 2,74 2.70 2,67 2 64 2.59 2.56 2',54 10,04 7,56 6.55 5,99 5,64 5,39 5,21 5,06 4,95 4,85 4,71 4,60 4,52 4,41 4,33 4,25 4,17 4,12 4,01 3,96 3,91 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,86 2,79 2,74 2,70 2.65 2,61 2,57 2,53 2.50 2,45 2,42 2,40 9,65 7,20 6,22 5,67 5,32 5,07 4,88 4,74 4,63 4,54 4,40 4,29 4,21 4,10 4,02 3,94 3,86 3,80 3,70 3,66 3,60 12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,92 2.85 2.80 2,76 2,69 2.64 2,60 2,54 2,50 2,46 2,42 2 40 2,35 ' 2,32 2,30 13 9,33 6,93 5,95 5,41 5 06 4,82 4,65 4,50 4,39 4,30 4,16 4,05 3,98 3,86 3,78 3,70 3,61 3,56 3,46 3,41 3,36 4,67 3.80 3.41 3,18 3,02 2,92 2,84 2,77 2,72 2,67 2,60 2.55 251 2,46 2,42 2,38 2,34 2,32 2.26 2,24 2'21 9,07 6,70 5,74 5,20 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 3,96 3,85 3,78 3,67 3,59 3,51 3,42 3,37 3,27 3,21 3,16 13,5-5. 19.5. ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Таблица 19.5-6 (продолжение) « Число степеней свободы для большей дисперсии \ т т' \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 20 24 30 40 50 100 200 оо 36 38 40 42 44 46 48 50 55 60 65 70 80 100 125 150 200 400' со 4,11 7,39 4,10 7,35 4,08 7,31 4Л7 7,27 4,06 7,24 4,05 7,21 4,04 7,19 4,03 7,17 4,02 7,12 4.00 7,08 3,99 7,04 3,98 7,01 3,96 6,96 3,94 6,90 3,92 6,84 3,91 6,81 3,89 6,76 3,86 6,70 8.84 6,64 3,26 5,25 3,25 5,21 3,23 5,18 3,22 5,15 3,21 5,12 3,20 5,10 339 5,03 3,18 5,06 3,17 5,01 3,15 4,98 3,14 4,95 3,13 4,92 3,11 4,88 3,09 4,82 3,07 4,78 3,06 4,75 3,04 4,71 3,02 4,66 2,99 4,60 2,86 4;38 2.85 4,34 2,84 4,31 2,83 4,29 2,82 4,26 2,81 4,24 2,80 4,22 2,79 4,20 2,78 4,16 2,76 4,13 2,75 4,10 2,74 4,08 2,72 4,04 2.70 3,98 2.68 3,94 2,67 3,91 2,65 3,88 2,62 3,83 2.60 3,78 2,63 3,89 2,62 3,86 2,61 3,83 2,59 3,80 2,58 3,78 2,57 3,76 2,56 3,74 2.56 3,72 2,54 3,68 2,52 3,65 2,51 3,62 2.50 3,60 2.48 3,56 2.46 3,51 2,44 3,47 2.43 3,44 2,41 3,41 2.39 3,36 2.37 3,32 2,48 3,55 2.46 3,54 2.45 3,51 2,44 3,49 2,43 3,46 2,42 3,44 2,41 3,42 2,40 3,41 2,38 3,37 2,37 3,34 2,36 3,31 2,35 8,29 2,33 3,25 2,30 3,20 2,29 3,17 2,27 3,14 2.26 3,11 2.23 3,06 2.21 3,02 2,36 3,35 2,35 3,32 2,34 3,29 2,32 3,26 2,31 3,24 2,30 3,22 2,30 3,20 2,29 3,18 2.27 3,15 2,25 3,12 2,24 3,09 2.23 3,07 2.21„_ 3,04 2,19 2,99 2.17 2,95 2.16 2,92 2.14 2,90 2,12 2,85 2.09 2,80 '2,28 3,18 2.26 3,15 2.25 3,12 2.24 3,10 2.23 3,07 2.22 3,05 2.21 3,04 2,20 3,02 2,18 2,98 2,17 2,95 2.15 2,93 2.14 2,91 2,12 2,87 2,10 2,82 2,08 2,79 2,07 2,76 2.05 2,73 2,03 2,69 2.01 2.64 2.21 3,04 2,19 3,02 2.18 2,99 2.17 2,96 2,16 2,94 2.14 2,92 2.14 2,90 2,13 2,88 2,11 2,85 2,10 2,82 2,08 2,79 2.07 2,77 2.05 2,74 2.03 2,69 2.01 2,65 2,00 2,62 1,98 2,60 1,96 2,55 1,94 2.51 2,15 2,94 2.14 2,91 2,12 2,88 2,11 2,86 2,10 2,84 2,09 2,82 2.08 2,80 2,07 2,78 2,05 2,75 2,04 2,72 2.02 2,70 2.01' 2,67 1,99 2,64 1,97 2,59 1,95 2,56 1.94 2,53 1,92 2,50 1,90 2,46 1,88 2,41 2,10 2,86 2.09 2,82 2.07 2,80 2,06 2,77 2,05 2,75 2,04 2,78 2,03 2,71 2,02 2,70 2.00 2,66 1,99 2,63 1,98 2,61 1,97 2,59 1,95 2,55 1.92 2,51 1,90 2,47 1,89 2,44 1,87 2,41 1,85 2,37 1.83 2,32 2,03 2,72 2,02 2,69 2.00 2,66 1,99 2,64 1,98 2,62 1,97 2,60 1,96 2,58 1,95 2,56 1,93 2,53 1,92 2,50 1.90 2,47 1,89 2,45 1,88 2,41 1.85 2,36 1,83 2,33 1,82 2,30 1,80 2,28 1.78 2,23 1,75 2,18 1,98 2,62 1,96 2,59 1,95 2,56 1,94 2,54 1,92 2,52 1,91 2,50 1,90 2,48 1,90 2,46 1,88 2,43 1.86 2,40 1,85 2,37 1,84 2,35 1,82 2,32 1,79 2,26 1,77 2,23 1,76 2,20 1,74 2,17 1,72 2,12 1,69 2,07 1,93 2,54 1,92 2,51 1,90 2,49 1,89 2,46 1,88 2,44 1,87 2,42 1,86 2,40 1,85 2,39 1,83 2,35 1.81 2,32 1,80 2,30 1.79 2,23 1,77 2,24 1,75 2,19 1,72 2,15 1.71 2,12 1.69 2,09 1.67 2,04 1,64 1,99 , 1.87 2,43 1,85 2,40 1.84 2,37 1,82 2,35 1.81 2,32 1,80 2,30 1,79 2,23 1,78 2,26 1.76 2,23 1.75 2,20 1.73 2,18 1,72 2,15 1,70 2,11 1.68 2,06 1,65 2,03 1,64 2,00 1,62 1,97 1,60 1,92 1.57 1,87 1,82 2,35 1,80- 2,32 1.79 2,29 1,78 2,26 1,76 2,24 1’,75 2,22 1,74 2,20 1.74 2,18 1.72 2,15 1,70 2,12 1,68 2,09 1,67 2,07 1.65 2,03 1,63 1,98 1,60 1,94 1,59 1,91 1,57 1,88 1.54 1,84 1,52 1,79 1,78 2,26 1,76 2,22 1.74 2,20 1,73 2,17 1,72 2,15 1,71 2,13 1,70 2,11 1,69 2,10 1,67 2,06 1.65 2,03 1.63 2,00 1,62 1,98 1,60 1,94 1,57 1,89 1.55 1,85 1,54 1,83 1.52 1,79 1.49 1,74 1.46 1,69 1,72 2,17 1.71 2,14 1.69 2,11 1.68 2,03 1,66 2,06 1,65 2,04 1,64 2,02 1.63 2,00 1,61 1,96 1,59 1,93 1,57 1,90 1.56 1,88 1,54 1,84 1,51 1,79 1.49 1,75 1.47 1,72 1.45 1,69 1,42 1,64 1,40 1,59 1,69 2,12 1,67 2,08 1.66 2,05 1.64 2,02 1,63 2,00 1,62 1,98 1>61 1,96 1,60 1,94 1,58 1,90 1,56 1,87 1,54 1,84 1,53 1,82 1,51 1,78 1,48 1,73 1,45 1,68 1,44 1,66 1,42 1,62 1.38 1,57 1,35 1,52 1.62 2,00 1.60 1,97 1,59 1,94 1.57 1,91 1,56 1,88 1,54 1,86 1,53 1,84 1,52 1,82 1.50 1,78 1.48 1,74 1.46 1,71 1.45 1,69 1.42 1,65 1.39 1,59 1.36 1,54 1.34 1,51 1,32 1,48 1,28 1,42 1.24 1,86 1,59 1,94 1,57 1,90 1,55 1,88 1,54 1,85 1.52 1,82 1,51 1,8Й) 1,50 1,78 1.48 1,76 1,46 1,71 1,44 1,68 1,42 1,64 1,40 1,62 1.38 1,57 1,34 1,51 1,31 1,46 1,29 1,43 1,26 1,39 1,22 1,82 1.17 1,25 1,55 1,87 1.53 1,84 1.51 1,81 1,49 1,78 1,48 1,75 1,46 1,72 1,45 1,70 1,44 1,68 1,41 1,64 1,39 1,60 1,37 1,56 1,35 1,53 1,32 1,49 1,28 1,43 1.25 1,37 1,22 1,33 1,19 1,28 1,13 1,19 1,00 1,00 62S . ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.5.5.
Число степеней свободы для большей дисперсии \т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 20 24 30 40 50 100 200 со 14 4,60 3,74 3,34 8,11 2.96 2,85 2.77 2,70 2.65 2,60- 2.53 2.48 2.44 2,39 2,35 2,31 2,27 2,24 2,19 2,16 2,13 6,86 6,51 5,56 5,03 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,80 3,70 3,62 3,51 3,43 3,34 3,26 3,21 3,11 3,06 3,00 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2.90 2,79 2.70 2,64 2,59 2,55 2.48 2,43 2,39 2.33 2,29 2,25 2.2 b 2.18 2.12 2,10 2.U7 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,67 3,56 3,48 3,36 3,29 3,20 3,12 3,07 2,97 2,92 2,87 16 4,49 3.63 3.24 3,01 2,85 2.74 2.66 2,59 2,54 2.49 2.42 2,37 2,33 2.28 2.24 2.20 2,16 2.13 2,07 2,04 2,01 8,53 6,23 5.23 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,55 3,45 3,37 3,25 3,18 3,10 3,01 2,96 2,86 2,80 2,75 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2.81 2,70 2,62 2,55 2.50 2.45 2,38 2.33 2.29 2,23 2.19 2.15 2.11 2,08 2,02 1,99 1,96 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,45 3,35 3,27 3,16 3,08 3,00 2,92 2,86 2,76 2,70 2,65 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2.66 2.58 2.51 2,46 2,41 2,34 2.29 2,25 2,19 2,15 2,11 2,07 2.04 1,98 1.95 1.92 8,23 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,85 3,71 3,60 3,51 3,37 3,27 3,19 3,07 3,00 2,91 2,83 2,78 2,68 2,62 2,57 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2.74 2.63 2.55 2.48 2,43 2,38 2,31 2,26 2,21 2,15 2.11 2,07 2.02 - 2,00 1,94 1,91 1,88 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,30 3,19 3,12 3,00 2,92 2,84 2,76 2,70 2,60 2,54 2,49 20 4,35 3,49 3,10 2.87 2.71 2.60 2.52 2,45 2.40 2,35 2.28 2,23 2,18 2,12 2,08 2,04 1.99 1.96 1,90 1.87 1.84 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,71 3,56 3,45 3,37 3,23 3,13 3,05 2,94 2,86 2,77 2,69 2,63 2,53 2,47 2,42 21 4,32 3,47 3,07 2,84- 2,68 2,57 2,49 2,42 2,87 2,32 2.25 2.20J 2.15 2,09 2.05 2,00 1.96 1,93 1,87 1.84 1,81 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,65 3,51 3,40 3,31 3,17 3,07 2,99 2,88 2,80 2,72 2,63 2,58 2,47 2,42 2,36 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2.66 2,55 2.47 2.40 2.35 2,30 2,23 2,18 2,13 2,07 2.03 .1,98 1.93 1,91 1,84 1,81 1,78 7,94 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,12 3,02 2,94 2,83 2,75 2,67 2,58 2,53 2,42 2,37 2,31 23 4,28 3.42 3,03 2.80 2.64 2,58 2.45 2,38 2,39 2,28 2,20 2,14 2,10 2,04 2.00 1,96 .1,91 1,88 1,82 1,79 1,76 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,07 2,97 2,89 2,78 2,70 2,62 2,53 2,48 2,37 2,32 2,26 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2.62 2.51 2.43 2.36 2,30 2,26 2,18 2,13 2,09 2,02 1,98 1,94 1,89 1,86 1,80 1,76 1,73 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,25 3,17 3,03 2,93 2,85 2,74 2,66 2,58 2,49 2,44 2,33 2,27 2,21 25 4,24 3,38 2,99 2.76 2,60 2,49 2.41 2.34 2,28 2,24 2,16 2,1! 2,06 2,00 1,96 1,92 1,87 1,84 1,77 1,74 1,71 7,77 5,57 4,68 4,18 3,86 3,63 3,46 3,32 3,21 3,13 2,99 2,89 2,81 2,70 2,62 2,54 2,45 2,40 2,29 2,23 2,17 26 4,22 3,37 2,98 2.74 2,59 2,47 2.39 2,32 2.27 2,22 2,15 2.10 2,05 1,99 1,95 1,-90 1,85 1,82 1,76 1,72 1,69 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 зле 3,42 3,29 3,17 3,09 2,96 2,86 2,77 2,66 2,53 2,50 2,41 2,36 2,25 2,19 2,13 27 4,21 3,35 2,96 2.73 2,57 2.46 2,37 2,30 2,25 2,20 2,13 2,08 2,03 1,97 1,93 1,88 1.84 1,80 1.74 1.71 1,67 7,68 5,49 4,60 4,11 3,79 3,56 3,39 3,26 3,14 3,06 2,93 2,83 2,74 2,63 2,55 2,47 2,38 2,33 2,21 2,16 2,10- 28 4,20 3.34 2,95 2.71 2,56 2.44 2.36 2,29 2,24 2,19 2,12 2,06 2,02 1,96 1,91 1,87 1,81 1,78 1,72 1,69 1,65 7,64 5,45 4,57 4,07 3,76 3,53 3,36 3,23 3,11 3,03 2,90 2,80 2,71 2,60 2,52 2,44 2,35 2,30 2,18 2,13 2,06 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,54 2.43 2,35 2.28 2,22 2.18 2,10 2,05 2,00 1,94 1,90 1,85 1,80 1,77 1,71 1,68 1.64 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,08 3,00 2,87 2,77 2,68 2,57 2,49 2,41 2,32 2,27 2,15 2,10 2,03 30 4,17 3.32 2,92 2,69 2,53 2,42 2.34 2.27 2.21 2.16 2.09 2,04 1,99 1.93j 1,89 1,84 1,79 1,76 1,69 1,66 1.62 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,06 2,98 2,84 2,74 2,66 2,55 2,47 2,33 2,29 2,24 2,13 2,07 2,01 32 4,15 3.30 2,90 2.67 2.51 2,40 2.32 2.25 2,19 2,14 2.07 2,02 1,97 1,91 1,86 1,82 1,76 1.74 1.67 1.64 1,59 7,50 5,34 4,46 3,97 3,66 3,42 3,25 3,12 3,01 2,94 2,80 2,70 2,62 2,51 2,42 2,34 2,25 2,20 2,03 2,02 1,96 34 4,13 3,28 2,88 2.65 2.49 2.38 2.30 2,23 2,17 2,12 2.05 2.00 1,95 1,89 1,84 1,80 1,74 1.71 1.64 1,61 1,57 7,44 5,29 4,42 -3,98 3,61 3,38 3,21 3,08 2,97 2,89 2,76 2,66 2,58 2,47 2,38 2,30 2,21 2,15 2,04 1,98 1,91 .5-5. 19.5 ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
630 ГЛ. И. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.6-1. 19.6, ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 19.6- 1. Статистические гипотезы. Рассмотрим пространство выборок (хъ ха> ..., хп), где Xj, ..., хп—действительные случайные величины. Каждое непротиворечивое множество предположений, относящихся к распределению n-мерной величины (хх, ... , х„), называется статистической гипотезой. Стати- стическая гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение вероятностей; в противном случае она называется сложной. Пусть распределение n-мерной величины (xt, х2, ..., х„) определено од- ной вз функций Ф(хх, х2.......хя; 4а, ...), <р(ла, х2, .... хя; 4,, т)а, ...) или p(xlt х$, ..., хп-, Tji, «]а, ...), где г]!, rjs, ... — параметры (см. также п. 19.1-3). Тогда простая статистическая гипотеза приписывает параметрам т]2, ... вполне определенные значения т]10, orj20, ... («точка» в пространстве, парамет- ров), тогда как сложная статистическая гипотеза ограничивает «точки» «11, Ча/-., некоторой областью в пространстве параметров. Класс допустимых статистических гипотез (допустимых комбинаций параметров) ограничен усло- виями рассматриваемой задачи. Если случайная выборка (х.^ х£, , хп) получена из одной теоретической сово- купности (т. е. если случайные величины взаимно независимы и одинаково распре- делены)» то статистические гипотезы относятся к значениям параметров совокупности илн к отношениям между ними. Заметим, однако, что теория пп. 19.6-! и 19.6-2 отно- сится не только к таким выборкам, но и к выборкам йз любого случайного процесса. 19.6- 2. Критерии с фиксированной выборкой; определения. Пусть дана некоторая фиксированная выборка объема п; критерий статистической гипо- тезы Н есть правило, позволяющее отвергнуть или не отвергнуть гипотезу И на основании выборки (Xlt Х2, ... , Хп). Каждый критерий определяет критическое множество (область) S «точек» (хп х2, ... , хп): гипотеза Н отвер- гается, если выборка (Хх, Х2, ... , Хп) принадлежит критическому множеству,; И не отвергается в противном случае. Такое принятие или отбрасывание гипотезы не дает логического доказа- тельства ее или опровержения. Здесь возможны четыре случая: 1. Гипотеза Н верна и принимается согласно критерию. 2. Гипотеза Л неверна и отвергается согласно критерию. 3. Гипотеза Н верна, но отвергается согласно критерию (ошибка . первого рода). 4. Гипотеза Н неверна, но принимается согласно критерию (ошибка второго рода). Для любого множества (фактических) значений параметров »)lf т]а, ... вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу по данной критической обла- сти S равна Ча. %2.....Чр 4а, ...} = = \M)(xlt х2......хп; <г)2, ...). (19.6-1) S Если с гипотезой Н конкурирует лишь одна альтернативная простая гипотеза {41=411, 4а=421, •••}, то вероятность л5(4п, 4а1, ...) отвер- гнуть гипотезу Н, когда верна гипотеза Ни называется мощностью критерия,; определенного иа S, по отношению к гипотезе (см. также рис. 19.6-1, а). График вероятности 1 — {3 правильного отбрасывания гипотезы Н в зависи- мости от вероятности а ложного отбрасывания ее называется оперативной характеристикой критерия (рис.' 19.6-1, Ь", см. также п. 19.6-3). 19.6- 3. Уровень значимости. Правило Неймана — Пирсона отбора крите- риев для простых гипотез. (а) Желательно применять такую критическую область S, чтобы вероят- ность л5(41, 4а, была мала, если проверяемая гипотеза верна, и велика
te.e-з. 19.6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 631 в противном случае. Пусть критическая область S применяется для проверки простой гипотезы Но = {т)х=т]10, т]г=т]20, ...} («нулевая гипотеза»), и пусть эта гипотеза верна. Тогда вероятность напрасно отвергнуть гипотезу На Плотность вероятно- сти статистики у при справедливости нулевой гипотезы Но Плотность бероятности статистики у Вероятность сс ложного отбрасывания гипотезы Но Вероятность правильною отбрасывания 1-fi (мощ- ность критерия) Плотность вероят- ности статистики у при справедли- вости конкирирц- ющеО гипотезы ——Критическая ------->- Вероятность fl орасть (при попадании л— ложного принятия Но В р ° у гипотеза Но отбросы бается} а) Рис. l9.6-l.fl) Проверка нулевой гипотезы Но по сравнению с простой конкурирующей гипотезой Hi с помощью статистики у = у х* Ь} Оперативная характе- ристика критерия. п (ошибки первого рода) есть (г}10, т)20, ...) = а; а называется уровнем зна- чимости данного критерия: критическая область S проверяет простую гипо- тезу на уровне значимости а. В случае дискретных случайных величин х& ... хп нельзя задавать а произ- вольным образом, можно лишь указать верхнюю границу для а. Критическая область^ применяемая для проверки сложной гипотезы Н = {(Th. г]2Л ...) G £>}, будет даватьй вообще говоря, различные уровни значимости для различных простых гипотез (комби- наций параметров 711, 712, ...), допускаемых гипотезой Н\> можно указать точную верх- нюю грань этих уровней значимости. (Ъ) Для каждой выборки объема п и данного уровня значимости- а: 1. Наиболее мощный критерий для простой гипотезы Но = — {т11=т)1о> Г12=Ч2О> •••} относительно простой альтернативной гипотезы Н1 = {ч]1=ч]п> Ч2 —'•Isi. определяется такой критичес- кой областью S, которая дает наибольшее значение вероятности «<?(Чц. *1а’ -)• 2. Равномерно наиболее мощный критерий есть наиболее мощ- ный критерий относительно всех допустимых альтернативных гипо- тез; такой критерий не всегда существует.
632 гл. ia. математическая статистика 19.6-4. 3. Критерий называется несмещенным, если зт5 (тщ, T)2f, ...):> а для каждой простой альтернативной гипотезы Нг; в противном слу- чае критерий будет смещенным. Наиболее мощный несмещенный критерий относительно данной альтернативной гипотезы Нх и рав- номерно наиболее мощный несмещенный критерий выделяются из несмещенных критериев, как указано выше. Критическая область S для наиболее мощного критерия строится так, чтобы для всех выборочных точек (xlt х2, ... , хп) отношение правдоподобия х2, ... , хп', «Но, <х)го» ...)/<р(Х1, х2, .... хп", т)и, »]21, ...) или р(хи х2, ... , хп; Т)1О, t]20, ...)/₽(%!, х2, ..., хп; чи, т)21, ...) было меньше некоторого постоянного С; различные значения С будут давагь «лучшие» критические области при различных уровнях значимости а. Равно- мерно наиболее мощный критерий представляет особый интерес при проверке гипотезы Но по отношению к сложной альтернативной гипотезе. На практике в отборе критерия решающим фактором может оказаться легкость вычисления. Обычно можно увеличить мощность каждого критерия путем увеличения объ- ема выборки п (см. также п. 19.6-9). 19.6-4. Критерии значимости. Пусть проверяемое свойство генеральной совокупности сводится к множеству значений параметров ч]1=ч]ю, Чг^Чго- ••• > которые сравниваются с выборочными оценками этих параметров. В качестве основы критерия пробуют построить такую статистику У=У(хъ х2, ... , хп-, <г]10, Ч2о. —)=g(f/i. Уг, •••; 4ю. Чао. •••). (19-6-2) значения которой измеряют отклонения яли отношения сравниваемых пара- метров генеральной совокупности и выборки. При этом простая гипотеза Но == {Ч1 = Ч1о> Ч2=Ч2о. ••!•} отвергается с данным уровнем значимости а («отклонение» значимо), если выборочное значение у попадает вне допустимого интервала \Ур1^У^Ур^, для которого Р ^y^yP1\—Pi—Pi=l — а. (19.6-3) Таким способом определенные критерии часто называются критериями значимости. Формула (3) определяет Ур,=Ур, (т\10. Ч20> ••-) 11 Ур,— —Ур, (Ч10. Ч2о’ •••) как квантили выборочного распределения статистики у (xlt х2, ... , хп', Чю, ч20, ...). Часто оказывается возможным выбрать ста- тистику у так, чтобы ее квантили ур были независимы от т]1(), т)20, ... Важ- ные примеры приведены в табл. 19.6-1 и в пп. 19.6-6 и 19.6-7. В приложениях к контролю качества границы у и у , определенные формулой (3), называются . границами допуска при данном уровне значимости а, а интервал (Ур . Ур ) называется интервалом допуска (см. также рис. 19.6-2). 19.6-5. Доверительная область. (а) Пусть построено, семейство критических областей So(4!, т]3, ... ,) для проверки множества простых гипотез (допустимых комбинаций параметров 41, 4г> ••) ПРН некотором заданном уровне значимости а !). Тогда для любой фиксированной выборки (х1 = Х1 хп — Хп) множество Da (Xlt Х2,..., Хп) комбинаций параметров (Tjlf т)2, ...) («точек» в пространстве параметров), сог- ласуемых с данной выборкой, есть доверительная область уровня а; 1 — а называется доверительной вероятностью. Доверительная область содержит все допустимые комбинации параметров, принятие которых на основе ) В случае дискретного распределения критические области (ijj. т)2, ...) опре- деляются для уровня значимости, не превосходящего а.
10.6-5. 19.6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 633 Т а б л и и а 19.6-1 Некоторые критерии значимости, относящиеся к параметрам £, о2 нормальной совокупности (см. также пп. 19.5-3,а и 19.6-4). Выборки предполагаются случайными. Квантили находятся по таблицам. При большом объеме выборки применимы аппроксимации квантилей, данные в табл. 19.5-1 и 19.5-2 *) № Проверяемая гипотеза Статистика 0=^(*1 хп)> на основе которой построен критерий- Критическая область S отбрасывания гипотезы при данном уровне значимости а (=5 а для сложных гипотез) Мощность "5 (ё. а) Примечания 1 g=go (о изве- стие) *• —Во с/Тп 1V1 > 1и lj—а“ ”'-4 й'.-)+ Простая гипотеза. Наиболее мощный не- смещенный критерий; равномерно наиболее мощный -критерий не существует 2 g^go (О изве- стно) « > и1-а Ф (и.. +— Сложные гипотезы. Если допустимые ги- потезы ограничены условием | £0 для критерия 2 или | |о для критерия 3, -то любой из этих крите- риев будет равно- мерно наиболее, мощ- ным для простой ги- потезы | £в 3 gS^go (o' изве- стно) V<ua = “k“ cVn ) 4 Е = Ь X— Во ? Jv 3 1 ' »|е я = Л Применяется фор- мула (19.6-1) Простая гипотеза; «двусторонний /-кри- терий». См. примеча- ние к критерию 1 б s/УлГ > *1-а (т = п — 1) Сложные гипотезы; «односторонний /-критерий». См. при- мечание к критериям 2 и 3 6 gs=g« Ч-а (m = п — 1) 7 О» = О2 , SE <n - ” да 0 гих таблиц м, что в та ьио провер У < Ха/2 (т = п — 1) V > X® _ а „ 1 2 ph<alxsl + r р 02 ^а/2) + Г О'2 л +р{х2>^г_-4 1 2 J Простая гипотеза; не существует равномер- но наиболее мощный критерий 8 О» «02 V> Xi — а (т = п — 1) ph>^zs - (х > 02 Л1 — а i Сложные гипотезы; если допустимые ги- потезы ограничены условием (У® для критерия 8 или о2 =5 =S os для критерия 9, то любой ИЗ ЭТИХ Кри- . терпев будет равно- мерно наиболее мощ- ным для простой ги- потезы О2 = О'2 в каждом случае'еле- 9 ДУ« СР 02 0 *) Во мне я) Замети st виимател 4^<Ха (tn = п — 1) ах 11 обозг элицах чаще дак ять указания к Р{ха<^й} ачено через t^. отся Х]_а, чем Ха!- таблицам.
634 ГЛ. 10. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.6-6. Таблица 1S.6-2 Доверительные границы для нормальной совокупности При больших п применима аппроксимация, данная в табл. 19.5-1 — 19.5-3 .№ Параметр Доверительный интервал rjj ^у2}. Доверительная вероятность 1 — а — Рг — Pi 1 g (О8 известно) о „ _ - а к~иР Т^^-Х~ир 2 £ (О2 неизвестно) - S — S 3 а» zps данной выборки имеет вероятность P{(Xj, Х2, , Хп) е Sa (Цр, т)а, ...)}>: 1— а. (Ь) Доверительные интервалы, построенные по кри- териям значимости (см. также п. 19.6-4 и табл. 19.6-2). Чтобы найти доверительные области, связывающие значения одного нз неизвестных пара- ' метров, скажем, тъ, с данным выбороч- ным значением г=р(Х1, Ха, ... , Хп) подходящей статистики у, обратимся к рис. 19.6-2. Начертим нижнюю и верхнюю границы допуска ур (1]х) и Теоретические значения параметра Рио. 19.6-2. Построение доверительных интервалов. (Чх) в зависимости от rjx для данного уровня значимости а. Пересечение этих граничных кривых с каждой прямой у=¥ определяет нижнюю и верхнюю границы Yi=Yi (И. Т2=?а(П довери- тельного интервала Da sa (у1т уа) уровня а. Доверительный интервал содержит такие значения параметра T)lt приня- тие которых на основе выборочного значения у = У имеет вероятность Р {УР1 (Г)1) «= У Ур2 (Пт)} 5S 1 -а. 19.6- 6. Критерии сравнения нормаль- ных совокупностей. Дисперсионный анализ. (а) Статистики объединенных выборок. Рассмотрим г взаимно независимых случайных выборок (хд, х,2,..... xinij из г генеральных сово- купностей с центрами н дисперсиями и|(» = 1, 2.г). Пусть i-я выборка объема и, имеет центр и дисперсию "i nl ^~~п^ У. x‘kr пг — 1 s? = n. — l X (Xik~XiF й = 1 k = 1 (i=l, 2, ...» r). (19.6-4)
1В. 6-е. IS.6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 635 Эти г выборок можно рассматривать как «объединенную» выборку, объем которой, центр и дисперсия даются формулами (19.6-5) ' ni i=l А = 1 (19.6-6) где г г Sl = ~r s S2A=V^r S М*.-*)8. i=1 f = 1 Статистики S® (суммарная дисперсия) н SJj измеряют рассеяние внутри выбо- рок и между выборками соответственно. (Ь) Сравнение нормальных совокупностей (см. также табл. 19.5-1 —19.5-3). Если имеется г независимых выборок из нормальных совокупностей с центрами gj и одинаковыми дисперсиями of —о2, то S2, S2 и являются состоятельными несмещенными оценками для дисперсии гене- ральной совокупности о2 (как правило, неизвестной). Случайные величины s2 «51 (и—г)-^|- и (г—независимы и имеют ^-распределения со степенями свободы п—г и г—1 соответственно. Отметим выборочные распределения следующих статистик: а ’ ni + nk мальное распределение. имеет стандартизованное нор- 2 (Si-M 1/~ n^k •So Т пг + пк ni + nk—2 степенями свободы. имеет t-распределение о 3. $*• —j- имеет ^-распределение, sk S- In имеет г-распределение bk SA имеет v2-распределение, ° О (т = П[—1, m' = nk—1). (m = r—1, т'= п—г). In имеет г-распределение •Ьо Таблица 19.6-3 показывает применение этих статистик в критериях сравне- ния нормальных совокупностей. Доверительные границы для разности g,—g<, можно вычислить из /-распределения. Случай нормальных распределений с различными дисперсиями рассмотрен в [18.9]. (с) Дисперсионный анализ. В третьем критерии табл. 19.63 средние,значения g/ сравниваются путем разбиения общей дисперсии S? на
636 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА составляющие 5® н 5^, обусловленные соответственно статистической флук- туацией внутри выборок и различием между выборками. Этот метод известен как дисперсионный анализ; рассматриваемый здесь частный случай относится Та б л и ц а 19.6-3 Критерии значимости для сравнения нормальных совокупностей - (см. также табл. 19.5-2 и 19.5-3) № Проверяемая гипотеза Критическая область, в которой гипотеза отвергается при уровне значимости la lb t) о V/ ВЙ 8 1 ' J « ' — • ° а А Л Л ’ ££ <м'« I , “! « ч <о <0 1 ю <0)<0 _ = - J уп — ni — 1, m' = nk — 1) (критерий Фишера) 2a 2b (дано of = c|) Eft (дано of = osk) X 1 >5 1 со j J’ l X 1 Rr i , 1 V ni + nk 1/ V nt + nn >1 _c^, (m=n,-+nfc-2) 1 2 1 (^-критерий; } отметим cue- I циальный слу- >'l_a J 3 6, =S2 ~ — = ~r (дано o| — = ... = a*) l> s*l- 1ln srl (m = r — 1, m> = n — r) > г. a (критерий Фшиера) 1 2 к группировке по одному признаку, соответствующему значению индекса I, Подобные критерии применяются в исследованиях эффекта различных методов лечения, обработки почвы и т. п. [18.6], [18.9]. Дисперсионный анализ для группировки по двум признакам (случайные блоки). Рас- смотрим rq выборочных значений х расположенных в таблицу *11 *12 • • • *17 *21 *22 “• *27 ХП ХП • • • xrq и введем средние по строкам xt-., средние по столбцам х.^ и общее среднее х с помощью формул 7 г ' Ч . .' . ! Е *(*• *-* = 7.S*«’ *=7? S (1S>7) 4 = 1 « = 1. i — 1 k~l
is.6-7. 19.6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 637 Общая дисперсия разбивается следующим образом; г Ч i=\k=l = —L-p [(,-!) w-l) S2-J-('-l) «sf + rW-DSh]. r q , , - 1 _ _ _ [дисперсия, обусловленная sn = — iMo — п' У > У> (x‘k ~ xi- — x-k + XY флуктуацией внутри ° " 11'4 ' строк и столбцов). (19.6-8) .а [дисперсия между строками). У 1 V1 _________-ха [дисперсия между столбцами). *=1 Если случайные величины распределены нормально с одинаковыми дисперсиями* <го случайные величины S2, Sj и Sjj вваимно независимы и имеют %2-распределения со степенями свободы [г — 1) (<7 — 1), г—1 иф—1 соответственно. Статистика S2/S2 имеет ^’-распределение с т = г—1, т' = [г—1) [q— 1) и служит для проверки равенства сред- них по строкам Mxj. = g,. тем же способом,- что и в табл. 19 6-3. Аналогично Sji/S2 имеет ^’-распределение cm = q — 1. т' — [г— 1) [q — 1) и служит для проверки равенства сред- них по столбцам Мх.у = g.£. 19.6-7. Критерий согласия %2 (см. также табл. 19.5-1). (а) Критерий х2 контролирует согласованность гипотетических вероят- ностей Ру — Р случайных событий Ег, Е2, .... Ег с их относительными частотами hy—h {Еу} = пу/п в выборке из п независимых наблюдений. Во мно- гих приложениях каждое событие Еу состоит в том, что некоторая случайная величина х попадает в определенный классовый интервал (п. 19.2-2), так что критерий х2 позволяет сравнивать гипотетическое теоретическое распределение величины х с ее эмпирическим распределением. Согласие измеряется с помощью статистики s=„ 2 <^ (19.6.9) А=1 А=1 распределение которой при п —-со стремится к распределению х2 с т—г—1 степенями свободы. Если все пру > 10 (для этого при необходимости объеди- няют некоторые классовые интервалы), то критерий х2 отвергает гипотети- ческие вероятности с уровнем значимости а прн J/>Xi_a(m)- Если т>30, то вместо х2-распределейия можно пользоваться нормальным распределением величины 2х2 с центром )/2т — 1 и дисперсией 1. (Ь) Критерий .у2 с оцениваемыми параметрами. Если 'гипотетические вероятности ру зависят от q неизвестных параметров «jj; ... .... if)9, то сначала находят совместные наиболее‘правдоподобные оценки этих параметров по данной выборке (п. 19.4-4) и подставляют полученные значе- ния Рй = Рй(т)1, Ча. .... i]j) в формулу (9). При достаточно общих условиях (см. ниже) статистика у сходится по вероятности к х2 с m=r—q— 1 степе- нями свободы и критерий х2 применим с т—г—q—1. Критерии этого типа проверяют применимость нормального распределения, распределения Пуассона 6 др. с параметрами, оцениваемыми по выборке.
638 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.6-8. Указанная сходимость имеет место, если функции ... г 1]^) в некоторой окрестности точки ("Hj. Ч2« ... i Пд) совместного максимума правдоподобия удовлетворяют следующим условиям: г k = 1 2. Вероятности ('П1> Т|2, ... , ц^) имеют положительную нижнюю грань и дважды непрерывно дифференцируемы, а матрица (йРр/йПу) имеет ранг q. 19.6- 8. Непараметрическое сравнение двух совокупностей: критерий знаков. Проверяемая гипотеза состоит в том, что дев случайные величины х и у неза- висимы и одинаково распределены, последнее утверждение мы будем понимать в следующем смысле: « р {х—{/>о}=р {х—г/<о}=з=^« если известно, что Р{х=г/}=0. Рассмотрим случайную выборку п пар (xj, j/j), (хг, t/2). •••» (*п> Уп)> при вычислении объема выборки п пренебрежем парами, для которых x/==yi (совпадения). Вероятность того, что более чем т разностей xt-—yt положи- тельны, равна Пусть теперь та есть наименьшее значение т, для которого р (т) а. Одно- сторонний критерий знаков требует отвергнуть проверяемую гипотезу с уров- нем значимости а, если число положительных разностей х£-—у, превосходит та. Двусторонний критерий знаков требует отвергнуть гипотезу с-уровнем значи- мости 2а, если число положительных или число отрицательных разностей превосходит та; та табулировано в зависимости от а и п (см. [18.3], [18.5]). Критерий знаков может применяться также для проверки: 1) симметрии распределения вероятностей, 2) гипотезы о том, что значение х — Х является медианой распределения. 19.6- 9. Обобщения. Критерии, основанные на фиксированной выборке (пп. 19.6-1 — 19.6-7), допускают только две возможности: отвергнуть или не отвергнуть проверяемую гипотезу на основании выборки. Последовательные критерии разрешают увеличение объема выборки (дополнительные наблюдения) в качестве третьего возможного решения; тогда можно уточнять оба уровня значимости и мощность критерия (относительно неко- торой альтернативной гипотезы), пока проверяемая гипотеза ие будет в конце концов принята или отвергнута. Схемы критериев с фиксированной выборкой и последовательных критериев пред- ставляют собой частные случаи решающих функций или правил поведения, связанных С принятием гипотезы (решением) по каждой выборке некоторого наблюдаемого признака. 19.7. НЕКОТОРЫЕ СТАТИСТИКИ, ВЫБОРОЧНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И КРИТЕРИИ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 19.7- 1. Вводные замечания. Здесь даются лишь некоторые часто приме- няемые определения, формулы и критерии, не исчерпывающие исследования многомерных статистик. Отметим, что многомерные статистики служат для оценки и проверки стохастических связей между случайными величинами. 19.7- 2. Статистики, получаемые на основе многомерных выборок. (а) Пусть дана многомерная случайная величина x = (xt, ха; ..., xv) (п. 18.2-9); по аналогии с пп, 19.1-2, 19.2-2, 19.2-4 определим случайную выборку объема и: (х11 К2> ••• I хп) — (*lll х211 •••! *vli *12> *228 XVZt *2Л1 •••4 Х™
18.7-3. 19.7. СТАТИСТИКИ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИИ 639 и статистики: выборочное среднее от xi п Xi^^xik (Z = lf 2, ...* v)4 (19.7-1) л=1 выборочное среднее от ((х±, х2, ...s xv) п f(xi, Х2....xv) — ± У, f(xik. X2ki ...5 xvk)t (19.7-2) k=i выборочные дисперсии (при l = j) и ковариации (при l^£j) lii^(xi-Xi)(x,—xi)=.lfi (i, 7 = 1, 2, .... v) (19.7-3) и выборочные коэффициенты корреляции I., rir*-£=~rfi (I, j=l, 2, ..., v). (19.7-4). Точка x = (xlt х2, ..., xv) есть центр выборочного распределения, матрица L = —матрица моментов выборки. (Ь) Для двумерной случайной выборки (хц, ха1; х12, х22; ...; х1п, х2п) двумерной случайной величины (xj, ха) определяют выборочные коэффициенты регрессии г’21=ТГ='-12Т-. b12=-~=rl2~-. (19.7-5) •11 Sj гм Sa * Эмпирическая линейная средняя квадратическая регрессия х2 на х± ga(x1)=xa-[-6al(x1—%i) (19.7-6) представляет линейную функцию ахг -f-b, которая минимизирует средний квад- рат отклонения в выборке и [ха—(пх1+Ь)]2=1 у [xaft—(ах1Л,+Ь)]2 (19.7-7) А=1 (см. также пп. 18.4-6, b и 19.7-4, с). Для' v-мерных совокупностей эмпирические сводный и частные коэффи- циенты корреляции, и коэффициенты регрессии получаются -из выборочных моментов 1ц по.формулам, аналогичным формулам (18.4-35) — (18.4-38), и служат для оценки соответствующих параметров генеральной совокупности. Полную теорию см. в [18.6J и [18.9]. (с) Статистики (1)—(4) могут быть аппроксимированы оценками по груп- пированным данным по способу пп. 19.2-3 —19.2-5. Оценки по группированным данным likO центральных моментов второго порядка можно улучшить поправками Шеппарда = 12" (A^i)2’ lik = likG где ДХ/—длины классовых интервалов. Эти поправки часто сглаживают ошибки, возникающие от группировки, если ДХ/ не превосходит восьмой части размаха величины х/. Практические схемы вычислений даны в [18.9]. 19.7-3. Оценки параметров (см. также п. 19.4-1). Теорема п. 19.4-2, а применима к многомерным распределениям, и поэтому статистики (3) — (5), так же как и выборочные средние xlt являются состоятельными оценками соответствующих параметров генеральной совокупности. Среднее значение
640 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 18.7-4. и дисперсия каждого выборочного среднего xt и выборочной дисперсии lit — sj даются формулами (19.2-8), (19.2-13) и (19.2-14); дополнительно отметим формулы ^/=Им(^-уг(^-^)г-Ч]+0^)- <19-7-9) cov{Zt7, (19.7-10) cov{/h, M=|[M(xi-gi)4x/-y-W+0(7k)’ (19.7-11) Мг,7=р,7+0(|). (19.7-12) Dry имеет порядок 1/п при возрастании и. Для многомерных нормальных распределений (см. также п. 19.7-4) М det р г/1 = .(»-)(».-2) ... (»-V) det [М< П det Г/ 1 = Т(2П-Ц-У) („-!)»(„-?). ... (« —у)» 2). ° ' ri/1 (n—V) (п —V+ 1)' nav ‘ Рт/Ь (19.7-13) 19.7-4. Выборочные распределения в случае нормальной совокупности (см. также пп. 18.8-6 и 18.8-8). Для- случайной выборки из многомерной нормальной совокупности выборочные распределения и критерии, содержащие только выборочные средние хг и выборочные дисперсии 1ц—в}, получаются непосредственно из п. 19.5-3. Остается исследовать статистики, которые описы- вают стохастические связи между случайными величинами хц в частности, выборочный коэффициент корреляции и коэффициенты регрессии. (а) Распределение выборочного коэффициента корре- ляции. Рассмотрим случайную выборку (zn, x2i5 *ia> х22> хт> хгп) из двумерной нормальной совокупности с плотностью распределения *а)=.2^. ехр {- ТТгЪг (19-7’14> где “1= «2=-^^- (oi>0, <т2>0, — 1<р = р12<1). Плотность распределения выборочного коэффициента корреляции г12=г (п. 19.7-2) равна _ п —1 п—4 оо . 2 (1-г2) 2 = А=0 = ^-(1-р*) 2 П-'8) 2 } (- 1<г<1) (19.7-15) и равна 0 при | г | > 1; отметим формулы Мг=р+о(-), (19.7-16) \п/ и \ п /• ) Заметим, что <рг(П)(г) не зависит от g2, ах, <j2j n^4. Полезно ввести новую случайную величину »=^1пТ^7‘ (19,7-17)
19.7-4. 19.7. СТАТИСТИКИ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИИ 641 которая при п >10 распределена приблизительно нормально с центром и дисперсией М^11П4±Е+_Р_( (19.7-18) Рис. 19.7-1. Плотности распределения статистик г и у, применяемых для оценок коэф- фициента корреляции р двумерных нормальных распределений. Если у и у* — значения статистики (17), вычисленные для Двух независимых случай- ных выборок объемов п и п' нз одной и той же нормальной совокупности, то у — у* имеет приближенно нормальное распределение с центром 0 и дисперсией «ь - Ч- _ -g- (b) r-р ас п р ед е л е н и е. Критерий'некоррелированности величин. В важном частном случае р=0 (гипотеза некоррелированности величин!) плотность распределения (15) сводится к (-1<г<1). (19.7-191 В этом случае величина ( = ]^п — 2 j имеет (-распределение с п —2 степенями свободы (табл. 19.5-2). Статистика г У п—1 имеет г-распределение с п— 2 степенями свободы, г-распределение табулировано; оно асимптотически нормально со средним 0 и дисперсией. 1 при п—-со. Как (-распределение, так и г-распределение дают критерии для гипотезы р = 0. (с) Проверка гипотетического значения ко» ф ф и ц и е н т а репрессии (см. также п.19.7-2). Если дана случайная выборка из двумер- ной нормальной совокупности с плотностью (14), то гипотетическое значение коэффициента регрессии Р21 =_^~ = Pi2 (п- 18.4-6, Ь) проверяют при помоци статистики (*21-₽81), (19.7-20)
642 ГЛ. t9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.7-5. которая имеет {-распределение с п — 2 степенями свободы. Этот критерий значи- тельно более удобен, чем непосредственное применение распределения выбороч- ного коэффициента регрессии btl [18.9]. (d) v-м е р н ы е выборки. Для случайной выборки из v-мерной нормаль- ной совокупности с плотностью распределения (18.8-26) совместное распреде- ление выборочных средних хь х2, ..., xv является нормальным со средними значениями g2, .... и матрицей моментов Л/n. Совместное распределение величин Xi не зависит от совместного распределения v выборочных моментов (обобщенная теорема Фишера, см. также п. 19.5-3, Ь). 19.7-5. Выборочная средняя квадратическая сопряженность признаков. Кри- терий независимости двух случайных величин, основанный на таблице сопря- женности признаков (см. также п. 19.6-7). (а) Пусть дана двумерная случайная выборка (хъ уг; х2, г/2; ...; хП, уп) случайных величин х, у. В таблице сопряженности признаков эти п выборочных пар размещены в г классовых х-интервалах и s классовых (/-интервалах. Пусть л,-. пар (xk, yk) попадают в i-й классовый х-интервал, п./ пар (xft, уь) попадают в /-й классовый ^-интервал, Щ] пар (xfe, уь) попадают в i-й классовый х-интервал и /'-й классовый ^-интервал. Выборочная средняя квадратическая сопряженность признаков есть статис- тика г S ( ПЦ nj. n.j \а Г S р= У У з = У V _2£L-1, (19.7-21) 1 ni- n.j /„I Л. n. которая измеряет зависимость между i и у. Величина f2 заключена между О и min (г, s)— 1 и достигает последнего значения тогда и только тогда, когда каж-‘ дая строка (при г s) или каждый столбец (при г ^s) содержит только один элемент, отличный от нуля. (Ь) Если х и у независимы, то при п —► со статистика п[2 сходится по вероятности к %2 с т=(г—1) (s—1) степенями свободы (табл. 19.5-1). Если все 10 (при необходимости некоторые Классовые интервалы объединяются), то гипотеза о независимости отвергается с уровнем значимости а в критиче- ской области nf2>y$__a(m) (п. 19.6-3). (с) Особый интерес представляет частный случай r=s=2 (таблица сопря- женности признаков 2 X 2); в этом случае Г2 (ДцДаа — ^12^21)* zjg 7-22) - (см. также [18.6]). 19.7-6. Порядковая корреляция по Спирмену. Непараметрический критерий независимости. Пусть относительно случайной выборки п пар (xt, ус,..., хп, уп) известно только, что xk в порядке убывания величины занимает Л/г-е место, a уь в порядке убывания величины занимает Дг-е место (£=1, 2......п). Если» величины х и у независимы, то при п—»со статистика (коэффициент порядковой корреляции) * = £(Л*-^)г (19.7-23) А = 1 распределена асимптотически нормально с центром 0 и дисперсией 11(п—1). Для любого значения п > 1 гипотеза о независимости отвергается с уровнем значимости а (п. 19.6-3), если Д>—(односторонний критерий) (19.7-24)
19-8-1. 19.8. СТАТИСТИКИ И ИЗМЕРЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА 543 ИЛИ (19.7-25) ш,- Ы1 — а/2 , „ |/?| > — (двусторонний критерии). vn — I Примечание. Если двумерное распределение (х₽ у) нормально, то 2 sin—— есть О состоятельная оценка для коэффициента корреляции р 19.8. СТАТИСТИКИ И ИЗМЕРЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА 19.8-1. Средние по конечному промежутку времени. Пусть flh, ht —> х(Ъ),. ...» x(tn); y(tj, .... y(in); ...] (19.8-1) есть функция от выборочных значений x(ti), у (ti), ... одномерного или мно- гомерного случайного процесса х((), y(t), ... (п. 18.9-1). Средние по конечному промежутку времени вычисляются либо через выборочные значения, либо путем непрерывного усреднения по конечному промежутку времени с помощью формул S f(b+kM, h+kM............ln+feA0=4 %f(kbt), (19.8-2) >6=1 >6=1 T T ' = + K.....^ + A.)dX = 4-5 (X)dA" ’ (t9-8-3) о 0 Эти средние [/]„ и (f)T представляют собой случайные величины, распре- деление которых определяется данными случайными процессами. . • Если случайный процесс х (t) стационарен, то М[ЛП=М</>Г = МА (19.8-4) т. е. средние по конечному промежутку времени [/]л и (f)r являются несме- щенными оценками центра распределения МД Дисперсия оценки [/]„ равна D1/1»=S If-(iAt), f (*Д0) = n — I = T D' + T 2 (1 - t)cov Ч(0)’f (^1- (19-8-5) Среднее (3), если оно существует, может быть получено предельным переходом из среднего (2) при AZ —-0, « = —.со, k&t = 'k. Такой предель- ный переход приводит к дисперсии опенки (f)j-: Г D </>z = 4- j (1 - cov [/ (0), f (X)) d\. (19.8 6) и В зависимости от характера корреляционной функции Kff (X) = cov (0), / (М) = М |/ (0) - М Л If (А.) - М f | = = М f (0) f (А) — (М Д2 = (М -(М Л2 (19.8-7) дисперсии (5) или (6) могут убывать или не убывать при возрастании объема выборки п или промежутка времени интегрирования Т,
644 ГЛ. 19. математическая статистика 19.8-2. 19.8-2. Усредняющие фильтры. Усреднение по времени часто осуществляется низ- кочастотным фильтром четырехполюсника или электромеханическим измерительным при- бором с инерцией и затуханием. Рассмотрим, в частности, фильтр, инвариантный относи- тельно сдвига времени, со стацибнарным входным сигналом f + *** * ограниченной функцией влияния h (|) и частотной характеристикой Н (/to) (п. 9.4-7). Если входной сигнал действует от t = 0 до t — Т (время усреднения), то выходной сигнал фильтра будет Т оо г(Г) = j hT (Г-Л)Г(А)<П,^ J Л г (О / (Г - й (19.8-8) —со 0 где . . „ .... ( ма (o<tcr)(- 1 1 о £ £ <о, Л. (19.8-9) Таким образом,' т М г (л = М / J h{l)d^=^a (Т) М L (19.8-10) О так что z (Г)/ц (Г) есть несмещенная оценка для М/. Дисперсия этой оценки находится из соотношения оо D z (Л = М [г (Л - М z (Г)]* « J <pft h (К) - (М h2] dhf (19.8-11) » « — оо где (см. также п. 18.12-3) со 4>h h Л) = f *Т<В*гС + МС. (19.8-12) Т Г —со При Т —> со дисперсия D 2 (Г) не стремится, вообще говоря, к нулю, а рбычно приближается к стационарной дисперсии выходного сигнала: со со D z (со) = J 9hh (Л) [Rff (Л.) - (М ft’] dk =— J | H (to) |“ Ф (to) de> =» -со —00 , s»2 | Н (0) Is Ф.(0) BEQt (19.8-13) где Ф (о) — спектральная плотность (п. 18.10-3} функции f (/) — М/, В eq ~~ ширина спек- тра эквивалентного «равномерного» низкочастотного фильтра с частотной характеристикой f Н (0) при | to | < ZsiBeQ, HEQ о при । to । 23tB£q. В eq есть мера приведенного рассеяния усредняющего фильтра. Табл. 19.8-1 дает Н (гщ) и B^q для некоторых фильтров (с плоским спектром на входе). Таблица 19.8-1 Усредняющие фильтры Н (iwj BEQ ФнЛьтр первого порядка Фильтры второго порядка с сильным затуханием с критическим затуханием со слабым затуханием l/(tor0 + 1) 1/[(£оГ1 1) (toTa -|- 1)] l/(tor0 + 1)! as + (to + а)2 + aia 1/(4 Г») 1/[4 (Г1+ Г8)1 1/(2 Г.) . а? + (о j 2©!
19.8-3. 19.8, СТАТИСТИКИ И ИЗМЕРЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА 645 19.8- 3. Примеры. (а) Измерение среднего значения. При измерении математического ожидания М х~ g некоторого стационарного случайного напряжения х (() с Rvv СО - а»а-«|Т| Ц- g«, ф (и) = —- + 2л^б(И) (19.8-14) (белый шум, проходящий через простой фильтр с шириной спектра а/(2л) еерц9 нли случайная телеграфная волна со средней скоростью отсчетов а/2, п. 18.1Ь5) дисперсия оценки {х)р равна о МТ = j («- в- (19.8-15) и для усредняющего фильтра первого порядка из табл. 19.8-1 с Т То (практиче- ски Т > 4Г0) U9.8-.6) (Ь) Измерение среднего, к а а др а т а. При измерении среднего квадрата МГ= Мх® для гауссовского шума х (/), удовлетворяющего условиям (14). R (т) = 2а*е~ 2“1Т1 + (а2 + g2)2, 8ан> (19.8-17) ф//(“) = SЧuw + 2я(Ciг+6^16,й,• ° М>т (2аГ “ 1 + е~2аГ> < (19.8-18) * gU1 } ид и для усредняющего фильтра первого порядка с Z > Го и f == х2 2а* а* D z (7) Ъ D г (оэ)^-хпТ- Z1-^ (19.8-19) лсм о 1 ui q (с) Измерение корреляционных функций (см. также п. 18.9-3). Дисперсия оценки корреляционных функций для совместно стационарных процессов х (О»- у (i) дается соотношениями (5), (6) и (11) при f (/) = к (/) у {t 4- т). К сожалению, эта дисперсия зависит от момента четвертого порядка М [f (0) f (MJ =» М [* (О к (t 4- М у {t -J- т) у $ + т + М], (19.8-20) который редко бывает известен. В частном случае совместно гауссовских и стационарных сигналов х (/), у {1} с нулевыми средними значениями М [f (0) f (Л)] = R (Л) R (Л) + R® (т) + R (т + М R (т - М. (19.8-21) ЛЛ у у ' л у л у но даже это выражение содержит неизвестную корреляционную функцию (т) н, следовательно, бывает полезным только в простых случаях. Для стационарного гауссовского процесса х (/) со D <х (О х (t 4- т)>г < ~ (111 < Г). (19.8-22) 0 Зависимость оценки автокорреляционной функции Т (х (/) х (/ 4- т))г= $ х (Л) х (Л 4- т) dk (19.8-23) 0 от ширины спектра сигнала и от запаздывания можно иллюстрировать на примере гауссовского шума x{t}» удовлетворяющего условиям (14). В этом случае Q (* (() х (t + t)>T=* с {2ог— 1 + 2в—2аГ + [(2ат+ 1-)(2аГ—1) —2(ат)2]е—(Г>т>0). (19.8-24)
646 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.8-4. Прн т = 0 это выражение совпадает с (18). Если время наблюдения Т велико по сравне- нию с обратной величиной ширины спектра сигнала (при аТ 10е), то < D <л (О х (/ + т)>7, < 2^ (| т | < Т). (19.8-25) Для более общего случая стационарного гауссовского сигнала х (/) с Rxa. (т) = Л““а 1ТJ cos ©it 4-| 1VU (19.8-26) получается такое же неравенство D<* (Л*« + т)>г <2^ (аГ > 10% | т К Т). (19.8-27) 19.8-4. Выборочные средние. Через гх((), 2x(f), ...здесь обозначены раз- личные реализации случайного процесса (рис. 19.8-1). Независимость реали- заций означает, что любое конечное множество выборочных значений ‘х(©# Рис. 19.8-1. Четыре независимые реализации х (<) = х (Д непрерывного случайного процесса. lx(t2), ... не зависит от любого множества выборочных значений другой реа- лизации kx (1). Если в последовательности независимых опытов можно получить некото- рое множество реализаций *х (t), 2х (1), ..., пх (t), то выборочные значения (tj), 2х (У.....пх (t,) образуют классическую случайную выборку объема п, д. е. (ZJ — независимые случайные величины с одинаковым распределением вероятностей. Аналогично, lx (tj), ]x(f2), 2х ((J, 2х (t2), ..., пх(1г), пх (t2) или ^(G), 'г/К2), 2x(ti), 2y(t2), ..., "х(Ч), ny{t2) образуют двумерную случайную выборку.
19.9-1. 19.9. ЗАДАЧИ CO СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 647 Поэтому такие выборочные средние как I1* 01) + 2* (<1) + -. + П* («1)1. п п х(У. ...1=4 S kf=-l~ 2 HMi), M4), ...1, k=l k=tl f \ / * n =4 kx {ti} ky^ k=l являются статистиками в смысле классической статистической теории. Для нахождения выборочных средних нужны повторные или множественные опыты, но обычно проще получить дисперсии и распределения вероятностей для вы- борочных средних, чем для средних по времени. В частности, Dx(tJ==±D х(О, D/=±D/, D (x(G){/(<2) =4 D х (G) у (Ц), (19,8-29) как и в я. 19.2-3,(см. также рис. 19.8-1). 19.9. ПРОВЕРКА И ОЦЕНКА В ЗАДАЧАХ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 19.9- 1. Постановка задачи. Практически важный класс ситуаций, требу- ющих принятия решения, может быть представлен на модели рис. 19.9-1. Рис. 19.9-1. Контекст для статистических решений (привитие гипотезы). Цена С {риск) некоторого действия системы есть функция от состояния среды, представленного m-мерной случайной величиной ses(S], з2, .... з.„). ,и решения, представленного г-мерной величиной ysfei, у2, .... уг)'- C=C(s, у). (19.9-Ц
гая ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.9-2. Человек, машина или система принимает решение у, основываясь на дан- ных, представленных «.-мерной случайной величиной xs(xb xt......хп), которая связана с состоянием среды через совместное распределение s и х. Принимающий решение образует у как решающую функцию (см. также п,-19.6-9) от имеющихся данных1): у=у(х). (19.9-2) Если дано совместное распределение $ и х вместе с функцией риска (1), представляющей действие системы для каждой комбинации состояния среды и решения, то задача состоит в минимизации ожидаемого риска MC(s, У) = § ^C[s, У (X)I d® (s, х) (19.9-3) S X "- путем оптимального выбора решающей функции у(х). Величины s, х и у могут быть как непрерывными, так и дискретными. 19.9-2 . Оценка и проверка с помощью формул Байеса. Если параметры состояния среды s^.s^...sm рассматриваются как параметры неизвестно о распределения вероятностей наблюдаемой выборки (хъ х2, .... хп), то задача похожа на классическую задачу оценки и контроля; существенное различие состоит в том, что параметры st, s2.sm являются теперь случайными ее личинами. Для непрерывных величин s, х знание состояния системы на основе полу- ченной выборки х означает знание плотности условной вероятности <р (s | х). Минимизация ожидаемого риска (3) или М С (s, у) = J йФ (х) С [s, у (х)J е!Ф (s | х) (19.9-4) X S сводится при этом к минимизации условного риска М С (s, у j х) = С [s, у (х)] йФ (s | х) (19.9-5) S для каждой выборки х путем выбора подходящей решающей функции у (х). Если дано «априорное» распределение s и плотность условного распреде- ления <р (х | s), то «апостериорное» распределение вероятностей, нужное для формулы (5), получается с помощью формул Байеса (пп. 18.2-6 и 18.4-5) в виде йф (s |'х)=-Л(*-1?-——(19.9-6) J <р (х I s) <7Ф (S) s Метод принятия решений, основанный на такой минимизации ожидаемого риска, называется оценкой по Байесу. Если, как это часто бывает, неизвестны функция риска С (s, у) или «априорное» распределение величины s, то оценка по Байесу становится не- возможной. Иногда удается свести задачу к классическим методам оценок наибо’льшего правдоподобия (п. 19.4-4) и критерию Неймана — Пирсона (п. 19.6-3). 19.9-3 . Случай двух состояний, проверка гипотез (см. также пп. 19.6-1— 19.6-4). Пусть существуют только два состояная среды: s=0 (нулевая гипо- теза) и s=l (конкурирующая гипотеза). Допустим два возможных решения ’) Здесь не рассматривается случайный' илн частично случайный выбор решения (как в играх со смешанной стратегией, п. 11.4-4, Ь).
19.9-3. J9.9. ЗАДАЧИ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 649 у=0, у=1, которые соответствуют принятию или отбрасыванию нулевой гипо- тезы на основе выборки наблюденных значений (Xj, х2, хп). Задача сво- дится к установлению критической области (области отбрасывания) S выбо- рочных точек (xlt х2, .... хи), которая дает минимум ожидаемого риска MC(s, t/)=C(s=O, у=0)рв х2.................xn|s=0)dxldx2...dx„ + .s +C(s=O, у = 1)рв<р(хъ х2............ ]s=0)dx1dx2...dx„ + + C(s=l, J/=0)(l —рс) x2, .... xn\s = \)dxidx2...dxn-{- s +C(s = l, 1) (1 — Po) § <P (*!• *2....xn\s=V)dx1dx2...dxn, (19.9-7) s где Po=F(s=O), a S—дополнение к S (область принятия гипотезы). Ожи- даемый риск М С (s, у) будет минимальным, если нулевая гипотеза отвергается каждый раз, когда отношение правдоподобия Л (xlt х2....хп) == ......X”!S° n? (19.9-8) I 2> > п> ч> (*г .... жл | S = 0) ' ' (см. также п. 19.6-3) превосходит критическое значение < д _ Рп с (S = о, р — 1) — с (s = о, у = 0)_ С 1 — Ро С U = 1, у = 0) — С (s = 1, у = 1)~~ __ Ро цена ложного отбрасывания (ложная тревога) ,<g g g. 1 — Ро цена ложного принятия (промах) ’ \ * 1 Заметим, что любая возрастающая или убывающая функция от отноше- ния правдоподобия (8) может заменить его в качестве статистики для про- верки гипотезы; само отношение правдоподобия является монотонной функ- цией от «апостериорной» условной вероятности р (s | xlt х2, .... хп), которая тоже может служить в качестве такой статистики. Пример. Обнаружение сигнала на фоне гауссовского шума с плоским спектром. Надо решить, является ли принятый сигнал х (/) с шириной спектра В чистым шумом [$ == 0 или к (i) = п (/)] .или полезным сигналом с добавочным шумом [s — 1 или х (Z) = ==s (Z) 4-/г (/)]. Конечная ширина спектра позволяет описать и сигнал и шум с помощью выборочных значений х& = х (&AZ), sk~ s П^ — П (&AZ), где AZ = 2^-; А=1, 2, , 2ВГ; Т — время наблюдения (п. 18.11-2). Отсюда / 2ВТ \ 4>х |s(*r х2...X2BT]^ = °)=(Z^PN)~BT ехР|-г/^7 У **)>
650 ГЛ. 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.9-4. Так как величина 2ВТ 2ВТ Г 1 г(хг *2’ — ’ Х2ВТ) = 2^~ Л V/г = S s (*А° х (feA/) А/ *** S s (/) х (/) di fe=l *=1 0 есть возрастающая функция от отношения правдоподобия -А *2, ... ; Х2ВТ)* то она может быть использована как статистика для проверки гипотезы. Подсчитав эту вели- чину либо путем дискретного суммирования, либо путем интегрирования, сравнивают ее с критическим значением 2^, определяемым с помощью р0 и С (s, у}‘ неравенство 2 > Zq соответствует решению у = 1. 19.0-4. Оценки по методу наименьших квадратов. Пусть среда имеет не- прерывно распределенное множество .состояний, представляемых значениями величины s == (sj, s2....sm), и пусть m компонент yk решающей функции у=(уь у2, ,,.ч ут) надо выбирать так, чтобы аппроксимировать соответст- вующие значения Sj, возможно лучше в некотором смысле, уточняемом функ- цией риска С (s, у). В практически важном случае оценок по методу наимень- ших квадратов функция риска задается в виде - т C(s, y)=C(sI, s2, ..., sm", У1, y2, ..., Ут)= У, (s* J/ft)2- (19.9-10) fc=i В этом случае минимум М С (s, у) достигается, когда каждая компонента yk равна условному математическому ожиданию величины s* для полученной вы- борки (хъ х2, .... х„): 0° 0Л = М (S* 1*1, *2> — . *п)= 5 S*‘P(S* 1*1> *2> ••• (fe=l, 2......т) — оо (19.9-11) (см. также пп. 18.4-5, 18.4-6 и 18.4-9), где <р (s* | xlt х2, .... хп) получается из <р(хъ х2, ..., хп | slt s2, ..., sm) с помощью формулы Байеса <₽S|x(sl, •••• sm I *1...*л) = <Pxls(*i...*п|Ч.......WMS1..........sm) (19.9-12) J 4>х | s (*r .-•*„ | 4.sm) <₽s (®!..sm) ' s 4 Пример. Измерение случайной величины на фоне гауссовского шума. Надо оценить случайную величину s по выборке (л*, х^, ..., x^j измеренных значений если для величины s известна плотность априорного распределения вероятностей <ts (s) =--1—: ехр Г--Ц (S — Ь)а1, s [ 2ар s' J а относительно величин известно, что онн независимы между собой и от s, причем Формула Байеса дает «Ъ I х (® J .....*„) = ~^= е*Р [- 25?
19.9-4. 19.9. ЗАДАЧИ СО СЛУЧАЙНЫМИ- ПАРАМЕТРАМИ 651 где t пх £ \ 1- 5 = М (s | Хр х2, .... хп) = а> — + — , x = t2jx^ V N us/ Л—1 о» = D (s | xr- x2> ..., ^=[Л-+1Г \PN °s / Поэтому оценка по методу наименьших квадратов (минимизация М (у — $)2) приво- дит к значению °Ssx + h~rT n которое зависит от выборочных значений только через статистику х (выборочное среднее) и является смещенной оценкой; смещение возрастает с возрастанием Рщ и убы- ванием объема выборки п. Для полученной оценки ожидаемый риск равен М (у } « 2 рг О® 4-- Ь I п
ГЛАВА 20 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.1. ВВЕДЕНИЕ 20.1-1. Вводные замечании. Глава 20 содержит описание вычислительных методов, причем упор делается на методику, а не на схемы или программы расчета. В пп. 20.4-1—20.5-7 дается исчисление конечных разностей. Разност- ные методы представляют интерес не только для численного интегрирования дифференциальных уравнений, но также и в тех математических моделях, где переменные изменяются дискретными шагами. 20.1-2. Ошибки. За исключением возможных промахов (грубых ошибок) в приближенных вычислениях встречаются ошибки начальных данных, ошибки округления, вцзванные использованием конечного числа знаков, и ошибки усечения, вызванные конечной аппроксимацией бесконечного процесса. Влия- 'Дх, ние малых ошибок Ах,- или малых относительных ошибок —- на результат Х‘ f (xlt х2, ...) может быть оценено с помощью дифференциала (п. 4.5-3); так, A (xf+Лг) = А*1+Ах2, Д (х1х2)=х1 AXg+xgAxx, (20.1-1) I А (х, — х,) I I Ах, I + 1 Дхг | А (х,х2) __ Дх, Дха <20 1-2) I X, — Ха I | X, — Ха I ’ Х,Ха X, f ха • ‘ ‘ Возникновение и распространение ошибок в более сложных вычислениях составляют предмет продолжающихся исследований; точные результаты полу- чены лишь в отдельных классах вычислений. Желательно своевременно обна- руживать промахи и ошибки с помощью различных программ контроля (например, подстановкой приближенного решения в исходное уравнение), осу- ществляемых на каждом этапе расчета. В качестве весьма грубого- практи- ческого совета можно рекомендовать сохранять на две значащие цифры больше, чем это оправдывается точностью исходных данных или требуемой точностью результата. В сходящихся итерационных процессах (п.п. 20.2-2, 20.2-4, 20.3-2, 20.8-3 н 20.9-3) влияние ошибки уменьшается, за исключением ошибок, нару- шающих сходимость. Вычислительная схема называется устойчивой, если ошибки округления (абсолют- ные или относительные) в исходных данных и при расчете не вызывают возрастающего эффекта. Более точно, определение устойчивости вычислительной схемы часто оказы- вается возможным связать с асимптотической устойчивостью решения разностного урав- нения (рекуррентного соотношения), как в п. 20.8-5. Вместо слова «ошибка» часто применяют «погрешность». 20.2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 20.2-1. Вводные замечания. Численному решению уравнения ((г)=0 (20.2-1) должно быть предпослано хотя бы грубое исследование вопросов существова- ния и положения корней, их оценка и т.-д. (см. также пп. 1.6-6 и 7.6-9). Решения могут быть проверены подстановкой.
20.2-2. 20.2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1553 20.2- 2. Итерационные методы. (а) Данное уравнение (1) приводят к виду г=ф(г). (20.2-2) Выбирая некоторое начальное приближение z^, вычисляют последовательные приближения г1/+1]==ф(г[Л) (; = Oj j, 2, ...). (20.2-3) Сходимость таких приближений к искомому решению г -требует отдельного исследования. Теорема о сжимающих отображениях п. 12.5-6 часто позволяет устано- вить сходимость и оценить быстроту сходимости. Итерации заканчивают (тогда, когда отношение ----- , ------- становится достаточно малым. |zlH| Признак сходимости и оценка ошибки. Если существует такая область D в ком- плексной плоскости и такое положительное число М < 1, что | <p (Zt) — <р (Z2) | М | Zj — Za |. для всех Zlt Z2 из Df и если Е содержит яХП и все точки г, удовлетворяющие неравенству | г — г!Л | < ।г[Л — г[/ — 111 (20.2-4) для каждого значения /> 1, то приближения (3) сходятся к некоторому решению г уравнения (1); это решение удовлетворяет неравенству (4) и является единственным в D. Заметим, что правая часть неравенства (4) дает верхнюю грань_ошибкв /-го приближе- ния zip- (20.2-5) (b) Возможны различные способы приведения уравнения (1) к виду (2). Вот некоторые итерационные формулы,-основанные на специальном выборе функ- ции ф (г): gll + Ч = Л — kf гП+П=г[Л—(метод Ньютона), [/+ 1]_ ГЛ HzlB)____1 {/(zl/1)}2/" (zl'l) f'(al/l) ’2 {/' (al/])}« (20.2-6) (20.2-7) Зти итерационные формулы особенно удобны при вычислении действительных кор- ней, Для нахождения комплексных корней действительных уравнений надо выбирать комплексное начальное приближение Признак сходимости и оценка ошибки из и. 20,2-2,а применимы во всех случаях. Формула (6). есть частный случай общего метода Ньютона (п. 20.2-8), Если производ- ная f' (2) непрерывно дифференцируема в рассматриваемой области и если можно найти такие положительные числа А, В. С, что (20.2-8Д) (20.2-8^) (20.2-8с) при I г - гГ°] I == (1 - VI - 2АВС), то искомый корень z удовлетворяет последнему неравенству и быстрота сходимости метода Ньютона оценивается неравенством |г— г1Л | (2АВС)2,—’ (7=1,2,...). (20.2-9) г' Отметим, что здесь имеет место относительно быстрая сходимость.
654 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20 2-2. Примеры. Применение метода (6) к уравнениям 1/z—а —0, г2— а=0# 1/z2 — 1/а = ОИ2К — а = О дает итерационные формулы вычисления 1/а, (а> 0)} -* со, 0< zfOJ <; Я а } -> оо, гДО] > о (алгоритм Герона)е г£/4-1] к ?[/] (2 — aztty при i * Щугг при z х gLJJ / гЕ/Ч-1] = 4> -Я—Q ..J_j _ ПрИ ; со, 0 < гДО] <; Узд, г[/ + 1] = ^_2^гШ + _А_—прн /-.СО, г[0]>0. (20.2-10) (20.2-11) (2С.2-12) (20.2-13) (с) ^Правило ложного положения (regula falsi, метод секущих). Правило ложного положения отличается от приведенных выше итерационных методов тем, что для определения нового приближения г^+1^ используют два предыдущих (возможны и более общие схемы, использующие несколько предыдущих приближений, см. п. 20.2-4, Ь). Для решения уравне- ния (1) выбирают два начальных приближения г^, гЩ и строят последова- тельные приближения ’ (/=1-'2..............................................>• (2°-2-1м Для отыскания действительных корней действительных уравнений прибли- жение /' + 4 обычно строят по и где k—k (i)<j— наибольший индекс, такой, что / (г^^) и f (г^) имеют разные знаки: В частности, разные знаки должны иметь / (г^) и /(г^,]); при указанной схеме обеспечена локализация корня между гЩ и гЩ (d) Улучшение сходимости по Э й т к е н у — С те ффенсену F ели ф (г) действительна и трижды непрерывно дифференцируема в окрестности действитель- ного корня г, причем q>' (z) ф I, то сходимость итерационного процесса (3) можно улуч- шить с помощью следующей итерационной схемы: & ц; (g[01), г £2] = ф («П 3), J3T- J0T (г[Ч_г[0])2 г[2] -2г[Н + г1°Г г[4] = ф (г[31), г[5] = ф (г[Н), (20.2-15) (гГ4]_^[3])2 г15] _ 2г[4] + 2[3]’ Итерации заканчивают, когда один из знаменателей оказывается близким к нулю (вообще говоря, желаемая точность достигается раньше этого, если последовательность (15) сходится). Этот метод, подобно методу секущих, може> применяться вместо быстро сходящегося метода Ньютона, если вычисление значений Г (г) вызывает затруднения. (е) Кратные корни. Итерационные схемы, опирающиеся на фор- мулы (6) (метод Ньютона) или (7), не будут сходиться в окрестности кратного корня уравнения. Заметим, что кратные корни функции /(г) являются кор- нями ее производной /' (г); для алгебраических уравнений наибольший общий аелитель функций /(г) и /'(z) может бьпь получен методом п. 1.7-3.
20 2-4. 20.2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ 655 (f) Метод проб. Если изолированный простой корень действительного уравне- ния (1) лежит между г —а и г = й, то вычисляют I Если имеет тот же знак, скажем,- что в f (b)s то далее вычисляют I (а + и + и т- Д. 20.2- 3. Вычисление значений многочлена. (а) Последовательные умножения. Для применения рассмат- риваемых далее итерационных методов надо уметь вычислять 'значения многочлена f (2) = ав^п + а\гП~1+---+ап-1г + ап- (20.2-16) Для этой цели либо вычисляют последовательно 2 (аог 4- яг)4-а^, .... либо предварительно находят величины Л (с), f* (с), ... по схеме Гор- нера и затем пользуются формулой (17). (Ь) Схема Горнера. Деление многочлена f (г) на (г—с) дает новый многочлен Д (г) и остаток / (с) (п. 1.7-2); деление ft(z) на (г—-с) дает много- член /2 (г) и остаток Д (с). Продолжая этот процесс, получаем последова- тельно остатки / (с), f (с), ^f" (с), ^/'"(с), ..., которые являются коэф- фициентами разложения многочлена 7 (u)e/(u4-c)s (c)+f‘ (с)ч+~Р' (с) п24--+^,л'(с)и"^^г). (20.2-17) Схема Горнера для комплексного аргумента. Если f (г)—многочлен с дейст- вительными коэффициентами, a c-a^-ib, то f (с) AcА-В==(Ап A-B)-f-iAbt где Дг4гВ—действительный остаток от деления f (г) ра (2а — 2аг-|-а2-}-&2). 20.2- 4. Численное решение алгебраических уравнений. Итерационные методы. (а) Общие методы. Чтобы вычислить изолированный простой корень алгебраического уравнения f (г) S3 a02« + O12"-1 + -. 4- an_Az A-an = 0, (20.2-18) можно: 1) применить метод Ньютона (6); 2) применить формулу (5) с A'=l/nn_i, вычисляя по схеме Гор- нера последовательные значения многочлена гУ + 1] = г[П--!_ / (ZC71) _ (20.2-19) Un-1 Если ол_| == 0, заменяют z на и —г—с и применяют формулу (17), чтобы привести уравнение (18) к BHflyF(u)==0; 3) применить метод секущих (п. 20.2-2, с). Сходимость этих и излагаемых ниже других методов итерации аависят от выбора начального приближения. Начальное приближение может быть получено нли из предва- рительного исследования, или из квадратичной интерполяции функции / (г), или мето* дамн п. 20.2-5. При отсутствии такой информации иногда можно выбирать в качестве начального приближения нуль или малое действительное число. В случае комплексных корней применима схема Горнера для комплексного аргумента, если только t (г) есть многочлен с действительными коэффициентами: при этом в качестве начального прибли- жения можно испытать такое число а 4- ibT которое минимизирует величины I Д| и |В| в указанной схеме. Как только найдеи одни из корней zfc, можно разделить многочлен f (г) на (z — zft) и затем в качестве начального приближения для следующего корня можно выбирать или (1 4- О Для комплексных корней методы Мюллера и Бэрстоу упрощают вычисления и обеспечивают более быструю сходимость, чем метод Ньютона, если корни близки друг к Другу.
656 ГЛ. 20, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.2-5. (Ь) Метод Мюллера. Вместо линейной интерполяции метода секу- щих здесь применяется квадратичная интерполяция, что приводит к итерации вида г[/ +1] = г1/1 _(гСЛ_г1/~ И)-2С1 -slgn Bft (20.2-20а) где Al=qjfl~qi + = (2<77+ 1) (1 + Ci=(l+qi)ff, (/=0,1,2,...). (20.2-207?) Для начала решения можно положить г[°]=-1, гп]=1, ги=о (%=-у) В ' fo = an—fln-i + an-2+ •••• fi ==оп + оп-1 + °п-г+""> fi~an- Метод Мюглера распространяется также и ,на неалгебраические уравнения. (с) Метод Бэр ст о у. Пусть многочлен (16) содержит квадратный множитель г2—иг — v, определяющий два различных простых корня уравне- ния (18), и пусть известны достаточно хорошие начальные приближения г?0' и для.и и V. 'Тогда последовательность лучших приближений, сходящихся к и и v, дается формулами J/]-!/) _ь171 ,[/] °п сп—З п—1сп — 2 ulf + И = „[/] . ________________ + /с[/] „у_с1Л ,С[Д „ \сп—2/ сп —Ги—3 ь!Л ,171 _fcl/l,[/] + 1 ]_„[/] . п-1сп-1 Ьп сп-2 -v + (ЛЛ у_Д/1 J/J \ л —2/ п — I п—6 (20.2-2М где величины tfjp, вычисляются последовательно для каждого мулам 1 = ak + 1 + = 1 + й[Л = Ь^2 = = С^2 = 0. (k=0, 1, 2, ..., п), j по фор- (20.2-216) Этот метод более удобен для многочленов четной степени. 20.2- 5. Специальные методы решения алгебраических уравнений. (а) Алгоритм разделенных р а з н о ст е й. Этот метод, обобщаю- щий классический метод. Бернулли, может давать приближения ко всем кор- ням алгебраического уравнения (18) за один цикл, расчета. Он применяется также для получения начальных приближений в итерационных методах. Вычисления располагают по схеме табл. 20.2-1, где + 1] Чч-I (1 = 1, 2, ...) (20.2-22)
20.2-5. 20.2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 657 Таблица 20.2-1 Вычисления становятся невозможными, если t или Е^ обращается в нуль. Тем не менее, метод разделенных разностей эффективен вр многих частных случаях. Например, если все п корней Zj, z2, ..., гп уравнения (18) положительны или если все корни являются простыми с различными ненуле- выми абсолютными величинами, то для каждого k имеем lim Qp] = 2., (20.2-23) i-*co lim Ep3 = 0, (20.2-24) /-►CO так что каждый, столбец таблицы 20.2-1 дает приближение к корню. Вообще, пусть | zt | | г2 | ... | гп | >• 0. Если алгоритм разделенных разностей не отказывает, то формула (23) дает каждый корень гк, который .отличается по абсолютной величине от соседних с ним в указанной выше последовательности, а формула (24) остается справедливой при | гА j >' | zfc+1 |. Это помогает указать корни с равными абсолютными величинами, например, сопряженные комплексные корни. (Ь) Метод Греффе—Лобачевского. Если дано алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами п = П (z —zft) = 2«+«iZn-1+... + o„=0, /г = 1 то сначала находят коэффициенты o'/' многочлена /(г)/(—г) = (— 1)« 1)"(гТ+а/ И==1
6Б8 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.2-5. С помощью таблицы k = п k = п — 1 Ь=П—2 k = п — 3- (Номер столбца) ап ап °п-1 ~°п-1 ап-з °П-3 ... “п к «О I Й * « X. к I *« «е се <3 с с CS СМ I + — “п—3 + 2°П-2 °П-4 -2йп-1 сп-в + 2пп «п-с ... п о(1> , п 1 п — 2 aU) п — > Повторяя этот процесс, получают последовательно коэффициенты пр много- членов (- 1)" П (z2'-z2') - (- 1)" И)и+ар W'1 + ...+4Л. k=i При возрастании j столбцы в расчетных таблицах оказываются одного из трех типов: 1) В некоторых столбцах удвоенные произведения становятся пренебрежимо малыми, так что последовательные записи в этих столбцах становятся квадратами с одинаковыми знаками (правильные столбцы)', если- последовательные записи имеют одинаковые знаки, а их абсолютные значения оказываются равными определенной доле квадрата предыдущего значения, то мы имеем частично правильные столбцы.. 2) Записи столбцов могут иметь чередующиеся знаки (колеблю- щиеся столбцы). 3) Некоторые столбцы могут не обладать указанной выше пра- вильностью. Каждая пара правильных столбцов (например, k и k — г), разделенная г—1 неправильными столбцами, соответствует г корням, г с равными моду- лями такими, что W-r | г при / -» оо. (20.2-25) Эти г корней все либо действительны, либо чисто мнимы, если г—1 разделяю- щих столбцов частично правильны. В частности: 1. Два соседних правильных столбца (например, k и k—1) определяют простой действительный корень г такой, что ~ | z при j -* оо.
20.2-6. 20.2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 659 2. Два правильных столбца (k и k — 2), разделенные одним колеблющимся столбцом, определяют пару простых комплексно сопряженных корней г таких, что - ~ | г I27*1 при / -» со. На практике сначала находят действительные корни и чисто мнимые; знаки определяют подстановкой или с помощью п. 1.6-6. Затем упрощают уравнение делением на выделенные множители. (р) Матричный метод. Корни алгебраического уравнения (18) n-й степени с Со — 1 можно вычислить как собственные значения (п х «(-матрицы -• . 0 1 0 ... 0 0 /б 0 1 ... 0 0 \ A = ................................... (20.2-26) 10 0 0 ... О 1 / °П ~ “п-1 ~РП-2 ••• ~а2 ~ а1 одним из методов, описанных в и. 20.3-5. (d) Метод Горнера. Метод Горнера (для действительных корней) сводится, к последовательному вычислению коэффициентов многочленов Г, (с) = f (и + с,), К2 (и) s ss К, (с + гг), ... по схеме Горнера, где clt cs, ... выбираются так, чтобы уменьшить абсолютные величины остатков. Если удается получить F. (0) 0, то искомый корень приближенно равен с, + cg + ... + <^. 20.2- 6. Системы уравнений и экстремальные задачи (см. также пп. 11.1-1, 12.5-6, 20.2-2 и 20.2-3). (а) Постановка задачи. Итерационные методы. Задача решения системы п уравнений ft (х„ х2, ..., х„) = 0 (i= 1, 2.....п) (20.2-27) с п неизвестными х2, ..., хп эквивалентна задаче минимизации функции F (хи *2» ..., хп) = 2 I fi х2, хп) I2 (20.2-28) i = i или какой-либо другой возрастающей функции от абсолютных величин I /,-1 невязок (ошибок) f,- = /i(xi, х2, ..., хп), 1=1, 2,..., п. Задача отыскания минимума (или максимума) функции п переменных и сама по себе имеет боль- шое практическое значение. Для решения этой задачи итерационными методами начинают с произ- вольных значений (1=1, 2, ...» п) и строят последовательные приближе- ния хр+ 1] = хр + ар'ЦЛ (i=l, 2,.... п; /=0,1,2,...), (20.2-29) которые сходятся к некоторому решению х, при /-> оо. Различные методы отличаются выбором «направления» /-го шага, т. е. выбором отношений ЦЯ : : ... : nJ/]. Величинашага определяется значением параметра Хр], минимизирующим величину F г+ '], х\^+ *], ...,х^ + 1^) как функцию от XPL Эту функцию обычно аппроксимируют ее тейлоровским разложением или интерполяционным многочленом по трем—пяти выбранным значениям ZVL Последний метод применим для отыскания шах и min таб- лично заданной функции F (xlt х2 ,..., хп).
660 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.2-7. Сходимость таких итерационных методов часто можно установить с помощью тео- ремы о 'сжимающем отображении п. 12.5-6; при этом искомое решение рассматривается как вектор с нормой + х| + ... + хД или | хг | + | х2 ( + ... + | хя'|. (Ь) И з м е н е н и е на каждом шагетолько одного пере- менного. На каждом шаге изменяют только одно из xi, либо циклически, либо так, чтобы уменьшить наибольшую по модулю невязку (см. также п. 20.3-2, с, релаксация). (с) Методы поиска. Чисто случайный поиск состоит в отборе наи- большего (или наименьшего) из значений F (х1г х2, .... хп) для некоторого количества случайно выбранных точек (хь х2, .... хп); он применяется, глав- ным образом, при отыскании начальных приближений для итерационных мето- дов. В метсде случайных возмущенийначшают с некоторой точки (хх, х2,..., хп) и вводят множество случайных возмущений всех неизвестных Axj, Дх2. для получения .большего (или меньшего) значения исследуемой функции F. Рассчитанная при этом точка дает следующее приближение, и поиск продол- жается. При этом методе, в отличие от метода чисто случайного поиска, можно использовать свойство непрерывности исследуемой функции. Метод случайных возмущений чаёто применяегся в тех случаях, когда градиентные методы отка- зывают из-за таких особенностей многомерной области, как «хребты», «ущелья», «плоскогорья» и’ кратные экстремумы. Дальнейшее развитие этого метода при- водит к стратегиям, включающим изменение шага и предпочтение определен- ных направлений, зависящих от прошлых успехов или промахов. .(d) Условный экстремум (см. также пп. 11.3-4, 11.4-1 и 11.4-3). Задачи иа условный экстремум с .уравнениями связей q>t. *2> .... хя) = 0 (l = 1, 2.г) можно решать методом вспомогательных функций, добавляя к исследуемой функции ‘-г - г F (Х1, Х2, • • - . хп) член ви«а 2 Зг I Ч>/ (*!, х2.хп) | или 2 (•*!. • • ’ V i~l • i~l где каждый множитель /С.— некоторое большое положительное число при отыскании минимума (отрицательное — при отыскании максимума), а т—четное положительное число. Существуют программы по оптимизации на цифровых ЭВМ, включающие выбор меняющейся стратегии поиска в случае медленной сходимости. 20.2- 7. Градиентные методы. (а) Метод наискорейшего спуска. Выбирают =— дР/дх^ |;де все производные вычисляются при х£—.х^, и уменьшают величину шага Zpl по мере приближения к минимуму функции F (рис. 20.2-1). Для аналитических функций F и малых значений тейлоровское разло- жение F (Х.1Л) позволяет выбрать оптимальную величину шага п V !SF V Zj ( dxk) Х[,1 = —-------------------- (/=0,1,2,...), (20.2-30) V-I ут д1~ S,L 2-1 2-1 дх. дх. дх. дхТ, fc==I/i=I k h k h где все производные вычисляются при x{—xV\ Параболическая интерполяция функции F (XpJ) может оказаться более удобной. (Ь) Спуск с вычислением координат градиента. Часто вычисление координат вектора градиента dFldxy, необходимых для метола наи- скорейшего спуска, оказывается невозможным или непрактичным. Тогда ука- занные производные заменяют разностными отношениями ДГ/Дхй, получаемыми путем .поочередного изменения только одного переменного хк. Так как при этом на каждый шаг расчета в направлении градиента затрачивается п шагов
20.2-8.. 20.2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 661 расчета координат градиента, то предпочитают продолжать расчеты в вычис- -ленном направлении до тех пор, пока больше нельзя уточнить исследуемую функцию, и только после этого снова пересчитывать координаты градиента. Рис. 20.2-1. График исследуемой на минимум функции в случае двух независимых пере- менных. Показано три минимума, линии уровня и линии наискорейшего спуска. В этом примере все три минимума функции F (xt, хг) имеют одно и то же нулевое значение. 20.2- 8. Метод Ньютона и теорема Канторовича (см: также пп. 20.2-2 и 20.9-3). (а) Метод Ньютона. Выбирая некоторое начальное приближение х(01, находят последовательные приближения ных уравнений *=1 путем решения системы линей- (1=1,2.........п), • (20.2-31) где значения функций ft н частных производных dfildxk берутся при xk — х^1 7 = 0, 1, 2,... (Ь) Теорема Канторовича о сходимости. Предположим, что матрица [dfi/dxf,] имеет обратную матрицу (п. 13.2-3) [dfi/dx^1 =. = [Г/* (xt, х2, .... x„)j для рассматриваемых значений х^. Пусть А, В, С—такие положительные числа (нормы матриц, п. 13.2-1), что в начальной точке х(=х^ ч п п шах 2 max J] С < (20.2-32п) . 1 6 = 1 • 1 К=1 Если fa (xlf x2, ..., хп) дважды непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию п 2 1 : I (‘ = 1.2.....п) (20.2-326) I 1 К I 1, fe=l для всех точек (хх, х2, ..., п) в кубической области . maxI х _ ДО] J _ j/ 1-2АВС), (20.2-33) 4 I “ v i /»G
662 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.3-1. то система (27) имеет решение (хи х2, .... хп) в той же области (33), и ско- рость сходимости оценивается так: шах |хг - (2АВС)^. (20.2-34) Это указывает на относительно быструю сходимость. 20.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦ 20.3- 1. Методы исключения. (а) Решение системы линейных уравнений s ацх1~Ьа12Х2-Ь---~ЬаШХЛ = ^1г °21Х1 + а42х2 + • • + а2ПХП — ^2> аП1Х1 + аП2Х2 + • • • +o«nXn = Ьп (20.3-1) по правилу Крамера (п. 1.9-2) требует слишком большого количества умно- жений, если п Э: 4. Излагаемые ниже методы позволяют решить систему (1) путем последовательного исключения неизвестных. (Ь) Мет о д ’ и с к л юч е н и я по главным элементам (метод Гаусса). Пусть —коэффициент, наибольший по абсолютной величине. Чтобы исключить Xj из i-ro уравнения (i =#= /), умножим /-е уравнение на aij!atj и вычтем из f-го уравнения. Затем повторяем этот процесс для исклю- чения другого неизвестного из оставшихся п — 1 уравнений я (с) Компактная схема исключения. Находим в указанном порядке из уравнений Х1+а12*9 + а13Хз4'-"4'а1л*л —Рь ' х2 + а23Х3 + • - + а2пхп — Рг» т. д. хп> хп-ъ ••• • xi (20.3-2) хп — Рл после вычисления элементов следующей п х («+ 1)-матрины: Т11 а12 а13 ••• ain Pi , Тг! Тгг а23 ••• агл Ра , Tnf Тлг Тлз ••• Тля Рл с помощью рекуррентных формул: Уа = ац (i = l, 2, .... n); (fe = 2, 3, ..., п), ft—1 4ik~aik У Tz/^/л (Ч fc«=2, 3, ..., н, 1 = 1 (I—1 \ о/д— j 0=2, 3, ..., n; Kk}, Z=1 / (i-i \ bi- У YyP/j (1=2,3, ...tn). / /=1 / (20.3-3)
20.3-2. 20.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ 663 Вычисление определителя производится по формуле det [aik] = TuTss ... у„„. (20.3-4) Компактный метод требует меньшего количества промежуточных записей, чем метод Гаусса, и становится особенно простым, когда матрица [а,-*] сим- метрична (aki~aik)- В этом важном частном случае (20.3-5) Hi (d) Матричная запись ме т о д а исключения. Метод Г аус са можно толковать как преобразование данной системы (1) вида Ах — b к виду TnTn-t- T1Ax=TnTn-i- Tlb с помощью последовательности неособенных матриц Гр Т Тп, выбираемых так чтобы получающаяся матрица ? пТ * ... была треугольной матрицей, как в си- стеме (2). Кроме того, в компактной схеме речь идет об отыскании простой матрицы преобра- зования Т такой, чтобы система ТАх = ТЪ имела треугольную форму (2). Встречаются и другие методы, в которых вместо умножения слева применяется умножение справа. Некоторые из модифицированных схем, приведенных в литературе [20.5], позволяют уменьшить накопление ошибок округления. 20.3-2. Итерационные методы (см. также пп. 20.2-6 и 20.2-7). (а) Итерационные методы имеют преимущество перед методами исключе- ния для таких систем линейных уравнений, которые имеют достаточно «раз- реженную» матрицу [а,-*], т. е. для которых многие из a!k, особенно вдали от главной диагонали, равны нулю. Такие системы (и притом очень большие) встречаются в задачах численного интегрирования дифференциальных уравне- ний с, частными производными (п. 20.9-4). Излагаемые ниже итерационные методы для системы линейных уравне- ний (1) с действительными коэффициентами дают последовательные прибли- жения решения x,(f=l, 2, ..., и) в виде (20.2-29). Невязки, получаемые на каждом шаге итерации, будем обозначать через бЛ= S (4 = 1, 2, .... щ /=0, 1, 2, ...). (20.3-6) fe=l Замечание. Для многих итерационных схем требуется, чтобы матрица коэф- фициентов А === была нормальна с положительно определенной симметричной частью (п. 13.3-4) или чтобы матрица А была симметричной и положительно определен- ной (п. 13.5-2). Если для данной матрицы коэффициентов это условие ие выполнено, то можно попробовать так переставить или преобразовать данные уравнения, чтобы полу- чить относительно большие диагональные коэффициенты, или можно решать эквива- лентную систему п п ' п У S аыа;ьхь~ У (й — 1, 2f ... ? я), (20.3-7) Л1 IR fl .fit I i=\k=l матрица коэффициентов которой обязательно симметрична и положительно-определена, если только матрица А не вырождена. (Ь) Простая итерация и итерация Зейде л я. Преобра- зуем-данную систему (путем перестановки уравнений и/или умножения их на постоянные) к такому виду, чтобы диагональные коэффициенты ац были положительными и возможно большими. Начиная с произвольных значений
664 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ ' > 20.3-3. = 2. •••. и). вычислим последовательные приближения по формуле простой итерации £ чЛР-»<) “ “4=1 / (^1, 2, .... п; /=0, 1, 2, ...) (20.3-8) или по методу Зейделя “ 4=1 k—i I - (i=l, 2, .... n; i = 0, 1, 2, ...) (20.3-9) Обе схемы просты,- но могут сходиться медленно или не сходиться совсем. Положи- тельная определенность матрицы [а^] гарантирует сходимость. (с) Методы релаксации позволяют ускорить сходимость итера- ционного процесса при вычислении вручную. Начиная с произвольного приб- лижения Х^ (обычно просто xj°l== 1, — х|°]=... = х£0-1 = 0), пробуют находить последовательные приближения хр] таким'образом, чтобы свести п невязок (6) к нулю. На каждом шаге выписывают невязки /р] и комбини- руют следующие методы: 1. Координатная релаксация. На каждом шаге «ликвидируют» наибольшую по абсолютной величине невязку /р] путем исправле- ния одного только Xf. Л] хрЧ1]~хр]--^-; xp-HW'l (i^/). (20.3-10) 1 * Q f r I I- * Для начальных шагов допустим грубый подсчет 2. Блочная и групповая релаксации. В некотором множестве («блоке») координат х^ придадим им равные приращения х|/+*] — —х\^ так, чтобы ликвидировать одну из невязок /р^1] или чтобы свести к нулю сумму всех невязок. Этот последний метод применя- ется, в частности, когда все начальные невязки имеют одинако- вый знак. При групповой релаксации для выбранного множества координат хр] приращения могут быть различными. 3. Сверхрелаксация. Иногда можно ускорить сходимость релак- сации, изменяя знак регулируемой невязки и уменьшая ее абсолют- ную величину, вместо того чтобы полностью ликвидировать ее на данном этапе. Методы релаксации особенно удобны при решении вручную большого количества простых линейных разностных уравнений, используемых обычно для приближенного решения уравнений с частными производными (п. 20.9-3). Эффективность методов релак- сации во многом зависит от навыков и искусства вычислителя, а также от знания им физического существа вопроса, (d) Систематическая сверхрелаксация применяется при решении «разреженных» систем, возникающих в задачах численного интегри- рования уравнений с частными производными. Рассмотрим систему уравне-
20.3-3. 20.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ 665 ний (1),. преобразованную так, чтобы все диагональные коэффициенты были равны Г(ац=1), и заменим итерацию (9) на следующую: xU+l]=A:[/]_а/ I ц№4' + 1]+ 2 aikx^— \Л = 1 fc = i / (t = l, 2...п; j=0, 1, 2, ...), где сверхрелаксационный множитель оу > 1 выбирается для ускорения сходи- мости. Методы выбора множителей «у описаны в [20.5J. (е) Градиентные методы минимизируют некоторую положитель- ную функцию типа л п F=^\ft\, F = J] [А-[® ...' r=i ‘•=1 способом, изложенным в п. 20.2;7. Если матрица коэффициентов [в/*] симметрична и положительно определена, можно вести расчет по формулам хИ+1]=хр‘1 £ Ь=1 .______ЛП п п *1 у у о ДЛ дл “kh'k 'h *=1h=l 7=1, 2, ..., n\ j=0, 1, 2, .../ (20.3-11) Если сходимость имеет колеблющийся характер, то ее можно ускорить путем умно- жения последнего члена формулы (11) на 0,9 при некоторых значениях /. (f) Метод взаимных градиентов. Пусть дана система линей- ных уравнений (1) с действительной, симметричной и положительно опреде- ленной матрицей коэффициентов [а,*], и пусть — начальное приближение. Положим v^ — f^ и вычислим последовательно 1 ,[/+!]_ ДЛ _ *=» 1 ’ mill £ W1 f[;4-n =fi/i * = * opl, ml/J n ' n aik$P. 7 = 1, 2, ..., п, j = 0, 1, 2, ... , (20.3-12) vi * = 1 /1 = 1 m[/l о fl n где m^= У У а*лор}цр}. Значения /р} удовлетворяют формуле (6). При *=1л=1 отсутствии ошибок округления этот метод дает точное решение Xj=x|"} после п шагов; сверх того, этот метод имеет все преимущества итерацион- ной схемы, но требует много умножений. 20.3-3. Обращение матриц (см. 'Также пп. 13.2-3 и 14.5-3). (а) Методы пп. 20.3-1 и 20.3-2 непосредственно применимы для числен- ного обращения данной невырожденной матрицы Д = [а,-*], .а также для вычисления det [а,*].
666 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.3-4. (Ь) Итерационная схема обращения матрицы. Чтобы для данной (n X л)-матрицы А найти обратную матрицу Л"1, начинают с произвольной (п Хл)-матрицы (скажем, = £) и вычисляют последовательные приближения А[/ + 1] = х[/1 (2£ _ дЛ9'1) у = 0> j. 2, ...). (20.3-13) Если эта последовательность сходится, ее пределом является Д~1 (см. также п. 20.2-2, Ь). (с) (см. также п. 13.4-7). Для каждой невырожденной (пхп)-матрицы А А 1 = -/-(А"~1 + а1АП~2+- + аП-2А+ап-1Е)' ' п где Gi — — Тг Д,- с, = - у [О/1 Тг А + а,_2 Тг Аг + ... + Тг А''1 + Тг А'] « (/ = 2, 3,- ... , л). (20.3-14) 20.3-4. Решение системы линейных уравнений и обращение матриц при Уравнение (15) можно преобразовать путем разбиения матриц на клетки: Решение системы матричных уравнений АиХ1+А1гХ3=В1, | (20.3-17) А 21X1 -|- А 22Х2 = В3 ) приводит к уравнению (Дп — А 1зА22 ^21) Хг — Bi — Ai2A22B2, (20.3-18) которое дает т линейных уравнений для первых т неизвестных Xt, х2, ..., хт, если только известна обратная матрица А22 порядка п—т. Этот метод осо- бенно удобен, если надо найти лишь первые т неизвестных. (Ь) Обратная матрица Л-1 получается тоже разбитой на клетки д-1— 1 н :С„/’ где I (20.3 19) Сц=(Лц—AfgA^Agi) С21 = — А22А21Сц, | С22 ~(А22 A2jAtiAi2) С12== Д.МиСи, J так что обращение матрицы порядка-п сводится к обращению двух матриц меньших порядков (т и п—т).
20.3-5. 20.3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ 667 20.3- 5. Собственные значения и собственные векторы матриц (см. также пп. 13.4-2—13.4-6, 14.8-5 и 14.8-9). (а) Характеристическое уравнение. Собственные значения Х/г матрицы Д = [aik] порядка п находят как корни характеристического уравнения Fa (X) == det-la^=0 (20.3-20) одним из методов, описанных в пп. 20.2-1 — 20.2-3. Чтобы избежать непосред- ственного развертывания определителя, можно Вычислить FA (к) для п-|-1 выбранного значения X (скажем, Х = 0, 1, 2, ..., п), после чего многочлен n-й степени FА (к) находится по одной из интерполяционных формул п. 20.5^3. (Ь) Итерационный метод. Пусть матрица А — эрмитова, так что все ее собственные значения действительны; во многих приложениях А дей- ствительна и симметрична. Если наибольшее по модулю собственное значение км—простое, то,, начиная с произвольного начального вектора х^, например, {1, 0, 0, 0}, вычисляют последовательно произведения х1/+1] = а.Лх1/] (/-=0, 1, 2, ...), (20.3-21) где а;—подходящий множитель, выбираемый, например, так, чтобы наиболь- шая по модулю координата вектора равнялась 1. При возрастании j векторы лР-1 будут приближаться к собственному вектору, принадлежащему доминирующему собственному значению последнее можно вычислить по формуле п п S Zj aikxixk n ______(х, Дх) (х, х) (20.3-22) п Этот метод сходится тем быстрее, чем значительнее отличается | км | от моду- лей всех остальных собственных значений матрицы А и чем ближе направ- ление начального вектора х^ к направлению искомого собственного вектора; если х6°3 = {1, 0, 0, ..., 0} не удовлетворяет этому условию, то пробуют {0, 1, 0, .... 0} и т. д. Можно ускорить сходимость путем применения А2 или Д3 вместо А в формуле (21). Последующие собственные значения и собственные векторы находят после приведения матрицы (п. 14.8-6). О других методах см. [20.5], [20.9]. Если наибольшее по модулю собственное значение Л.имеет кратность т>-1, то последовательность векторов, определенных формулой (21), сходится к одному из соб- ственных векторов, принадлежащих Выбирая различные начальные векторы xt0J? можно построить tn линейно независимых векторов инвариантного подпространства, при- надлежащего (с) Метод вращений. Если дана действительная симметричная матрица Дэ ==[а^] == , то начинаем с исключения недиатонального элемента имеющего наибольшую абсолютную величину, путем ортогонального преобразования ЛН] = r—1 л[о]т^, г, = (, где llk = [’ + (cos — 1) (б/ + бд)] + sin ®1(бКб1 — б/в* ) (»„*=!, 2, (20.3-23) t п). t3 2®, = 2а/К аи — акк
668 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.4-1., (вращение на угол Фч в плоскости,- натянутой иа еу и еуг> см. также пп. 2.1-6 и ГН ' [21 14.10- 2,- Ь). Применяя аналогичный прием к AL Jf получают А 3 и т. д. Произведение матриц преобразования Тг Т2 Т3 ... сходится к некоторой ортогональной матрице, кото- рая приводит матрицу А к диагональному виду,- даже если она имеет кратные собствен- ные значения. 20.4. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 20.4-1, Конечные разности и центральные средние. (а) Пусть у=у (х)—функция действительного переменного к. Для данного множества равноотстоящих значений аргумента х^=х0+ЛДх (Л=0, ±1, ±2, ; Ах=Л>0) у и соответствующих значений функции yk—У (хь)~У (х0+&дх) определяют нисходящие разности (для интерполяции вперед) ^Vk^yk+1— У1г> l^yk ==' ^ykЛ.1—Луь=у ft+2—2j/ft+jI + yk, (20.4-1) А'Иг = Аг-1^+1—Ar-1l/ft = У, (— 1и(у)у*+г-/ (г—2, 3, ...; fe=0, ±1, ±2, ...) и восходящие разности (для интерполяции назад) Чук^Уь—Ук-л^Ьук-х, ] = J (20.4-2) (г==2, 3, ...; fe=0, ±1, ±2, ...). J Число г называется порядком разности. (Ь) Центральные разности определяются формулами СЛ=УН1/2_г/4-1/2=Ч-1/2, 1 д, . 6Г^ = в'"Ч + 1/2-еГ~1^-1/2 = Д%-г/2 (*- = 2, 3, ...). J 1 Центральные средние определяются формулами 14/ft == 2 (Уь — 1/2 +,^Л 4- 1/2). - Нг^=4(Нг_1%-1/2 + Нг~Ч< + 1/2) (20.4-4) (г = 2. 3. ...). Если значения функции yk—У (x0+feAx) известны лишь для целых зна- чений k, то центральные разности и центральные средние можно вычислить для fe=±1/zI ± ®/2, .... если порядок г нечетный, и для ft=0, ±1, ± 2, ..., если порядок г четнйй.
20.4-2. 20.4. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 669 (с) Конечные разности удобно располагать в таблицы таких гинов; Х-1 У-1 &У-1 Хо Уо &гУ-1 &Уо &3У-1 х, yt Л‘у0 ^‘У-1 (20.4-5) А»! А»и> *2 Уо Л*А1 &Vi Хо Уо х-о У-о Vy-i x-i У-s V!y_, Vv-t V’r/o X-I У~, ?гУо ^Уо (20.4-6) УУо РУ1 Хо Уо V2(/i ЧУ1 «I У1. x—z У—в «У->/4 *-» У-, йУ-i/s &у -i/4 Хо Уо б‘Уо Ь*Уо ' J (20.4-7) fij'Va 6’У>/а *1 Уо 6‘Уо Cj/ад Хо vi Заметим, что вычисление разности порядка г требует знания r+1 значе- ния функции и что у многочлена п-й степени разности п-го порядка постоянны. 20.4- 2. Операторные обозначения. (а) Определения. Оператор смещения Е для функции у=у(х) дей- ствительного переменного х и фиксированного приращения kx=h определяют формулами • Е у(х)=у(х-\-1\х), Егу(х)=у (х-}-гДх), (20.4-8) где г — любое действительное число. ч Разностные операторы Д, V, б и оператор усреднения р определяются так: Д у (х) —у (х+Дх) — у (х), V у (х)=у (х) — у (х — Дх), 6 у(х) = (х + ~) —у (х —Д2*) . [Нх—r0+H*+~O* Заметим, что прн uft = и (xQ + *Ах), = о (х0 + ААх) Д ("А + vk) = buk + Лг,А> Д (aufe) = aAuA> А (ukvk) = vk+lAub + VbAuk = uhAvk + vk-VXAuk = = + oftAnft + AOftAoft. (20.4-9) (20.4-10) (20.4-11)
67(У ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.4-3. Заметим также, что при Дх = 1 Дх1г] = д [х (х—1) ... (х — г-|-1)] = гх(х — 1) ..-.(х — г+2) = гх[, — *1» •C)-U>) (20.4-12) (Г=1< 2, ...). (Ь) Соотношения между операторами (см. также п. 14.3-1): Д = Е—l=EV=Et/e6, V=l — Е~ 1 = Е~1Д = Е~ 1/а6, б=E*/fl—Е ~*/й=Е - 1/sA = E,/eV, р = | (E>/s+Е - ‘Л), Е=1+Д, уД = Ду = б2. (20.4-13) Отметим ^цля памяти Д'=(Е-1)'= 2 (- 1У ( Г. 'j Е'-^ ;=0 \1 ! (г=1, 2(...), (20.4-14) откуда легко получаются формулы для V=E *Д и б = Е-*^Д. Заметим также, что Ег=(1 + ДГ = 1 +( ' ) Д + ( 2 ) Д2+ ••• (20.4-15) Если г—целое и положительное, то ряд (15) конечен) в, противном случае его сходимость требует исследования. (с) Для аналитической функции Ег=егДлО = 1 + гДхО-{-^-(гДхО)2+... (20.4-16) ^1 \ Да f (операторное обозначение ряда Тейлора, п. 4.10-4). 20.4- 3. Разностные уравнения. (а) Обыкновенное разностное уравнение порядка р есть уравнение (Хд, Vkt Уй+t» •••» Vk+r)s G У kt ^ykt •••». Vyk) ~о (ft = 0, ±1, ±2, ...? r=l, 2, ...), (20.4-17) связывающее значения yk = y(xk)—y(x0-\-k&x) функции y — y(x) на дискрет- ном множестве значений x=xjt=x0-\-k Дх, где Дх—фиксированное прираще- ние. Часто бывает удобно ввести в качестве новой независимой переменной величину k — ^~- = G, ±1, ±2, ... Обыкновенное разностное уравнение порядка г можно представить как соотношение, связывающее значение yft и конечные разности Муь, V4yft или &уь вплоть до порядка г. Разностное уравнение может также связывать yk и раз- Д(р6 V'/fe ностные отношения —- , -----или -------- вплоть до порядка г. Ах* Дх1 Дх4 Решением разностного уравнения (17) называется такая функция у —у (х), что последовательность у* удовлетворяет данным уравнениям для некоторой области значений k. Общее решение обыкновенного разностного уравнения порядка г содержит, вообще говоря, г произвольных постоянных, которые должны быть определены по начальным, краевым или другим дополнительным условиям, налагаемым на yfe. Решение разностного уравнения в любой конеч- ной области значений k сводится в принципе к решению системы уравнений. Разностные уравнения применяются: I) для аппроксимации дифференциалы ых уравнений (пп. 20.9-2 и 20.9-3) и 2) для решения задач( представляющих модели с дискрет- ными переменными.
20.4-4. 20.4. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 67т Пример: суммирование рядов. Задача решения разностного уравнения первого порядка вида = = или Vk=Vb-l + ak (20.4-18) с данным начальным значением у0 = а0 равносильна задаче суммирования ряда (п. 4.8-5) k ek = l'k-l+ak = ау /=0 (20.4-19) (k = 0. 1, 2, ...). Эта задача аналогична интегрированию дифференциального уравнения у'=f (х). Опера- торы S и V являются взаимно обратными. Отметим суммирование по частям п п k=m k—m (20.4-20) (b) Уравнение с частными разностями связывает значения Фу ... = - Ф (х0 +«Дх, у0 + /Ду, . ..) (t, /, ... = 0, ± 1, ± 2, ...) функции Ф = Ф (х, у, . . .); порядок уравнения с частными разностями есть наибольшая разность между зиачеииями i, значениями /, . . . , встречающимися в этом уравнении. В п. 20.9-3 приведены формулы, выражающие различные разностные операторы через значения функции Ф- .... и указано их применение для приближенного решения диф- ференциальных уравнений с частными производными. 20.4-4. Линейные обыкновенные разностные уравнения. "(а) Структура общего решения (см. также пп. 9.3-1 и 15.4-2). Линейное обыкновенное разностное уравнение порядка г имеет вид «о(*)г/*+г+«1(А)г/й+г-1Н- +ar(k)yk^ ^[а0(й)Е'Ч-а1(й)Е'-Ч- ... +ar(k)]yk=f(k), (2бЛ-21) где а/(Аг) и f (k)—данные функции от /г = 0, ± 1,'± 2, ... Общее решение уравнения (21) может быть представлено в виде суммы какого-либо его частного решения и общего решения соответствующе о однородного уравнения (^приве- денного-^ уравнения) [а0 (k) Е'Ч-а, (k) Е'-^+ ... Н-аДй)] yk=0. (20.4-22) Любая линейная комбинация решений линейного однородного разностного уравнения (22) является решением этого уравнения (принцип наложения). Теория обыкновенных разностных уравнений во многом подобна теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, однородное линейное разностное уравнение (22) допускает не более г решений У^ь » У^ь * • • • » линейно независимых на множестве Аг = О, 1, 2, ... Линейная независимость г таких решений равносильна требованию, чтобы определитель Казоратти У(1) k yCL) k+1 У<2) k *" У1П k У(2> fe + 1 * * * У<Г1 k + 1 (20.4-23) y(l) k + r-1 y(2) % + r-l У<Г) k+T—1 не был тождественно равен нулю при k — 0, 1,- 2, ... Этот определитель аналогичен определителю Вронского в п. 9.3-2. Если в неоднородном уравнении (21) правая часть представляет собой линейную комбинацию f (k) = ct /j (k) + p ft ik), то решение^ этого уравнения есть подобная же линейная комбинация решений, отвечающих правым частям ft (k) и /з (k). (b) Метод вариации произвольных постоянных (см. также и. 9.3-3). Если известны г линейно независимых решений y(Z) ...» У(г) «при- веденного» уравнения (22), то общее решение неоднородного линейного разностного урав- нения (21) можно няйти в виде «k = ClW Vtlik + С2 <ft) е<21 k+ • • • + cr ^inkt (20.4-24О)
672 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.4-5. где г 1 S (7=1. 2, h = l S ^Л>4+гДСЛ<й=^«- 6 = 1, (20.4-246) После решения системы г линейных уравнений (246) относительно ДС^ (Д>) находим каж- дое (6) путем суммирования, как в формуле (10). 20.4-5. Линейные обыкновенные разностные уравнения с постоянными коэффициентами (см. также пп. 9.4-1 — 9.4-8). Общее решение линейного однородного разностного уравнения a^k+r+aiyk+r-i+-- + aryk = (аоЕ'’+а1Е'~’1+—+°г) Уь=0 (20.4-25) с постоянными коэффициентами а0, , аг имеет внд yfe = CiXj + СгХ*+...+СГ'К,, Хг—корни характеристического уравнения 1 -|-...-{- иг 0, где Хъ Хг, (20.4-26) (20.4-27) если только все его г корней различны. Если некоторый корень, скажем, Х1( имеет кратность т, то соответствующий член в решении (26) составляет (С1+/гС2+...-|-/гт“1Ст) Если все коэффициенты су действительны, то два* члена, соответствующих простым комплексно сопряженным корням Х=ре—1ф, можно заменить на р*.(Д cosfap-j-B sin fep). Коэффициенты С/, А, В, ... должны быть определены по начальным или краевым условиям. Решение неоднородного линейного разностного уравнения а^У^r + ctiyk+r-i + --- + aryk (aoEr+«iE'‘“1 + ---+ar) Vk = f W (20.4-28) можно находить общим методом п. 20.4-4, Ь, но более удобными могут ока- заться .специальные методы, излагаемые ниже. 20.4-6. Me оды преобразований для линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. (а) Метод z-преобразования (см. также пп. 8.7-3 н 9.4-5). Подвергнем обе части разностного уравнения (28) г-преобразованию с помощью теоремы сдвига 2 нз таблицы 8.7-2, обозначив через (20.4-30) Kz(z)=g[yft; г]^у0+^+^- + ... (20.4-29) z-преобразование неизвестного решения — последовательности yQt ylt y.2l ...Это приводит к формуле Fу (z) Gy (z) ' у (?) —___________-_____________j_________-_____ . Z aozr + a^ -1 + ... + ar aozr + a^r ~1 + где первое слагаемое справа, как и в п. 9.4-5, представляет «нормальную реакцию» на заданное внешнее воздействие—последовательность f (0), /fl), / (2), ... , а второе слагаемое отражает действие г начальных значений у0, yt, У2, , У г-i- Здесь Gz (z) s У о (а^г+«i2'"-1 +••+аг-1г) + ~гУ1 (аогГ~1Ч~а1гГа~^'---Ч~аг-2г)Ч~----1~Уг-1е:1ог- (20.4-31) Неизвестные у у могут быть получены либо как коэффициенты при l/z4 в разложении Yz (г) по степеням г, либо с помощью таблицы г-преобразова-
20.4-6. 20.4. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 673 ния (таблица 20.4-1). Как и в случае преобразования Лапласа, обращение Yz (г) можно упростить с помощью разложения на простейшие дроби, кото- рые представляют «собственные колебания^ соответствующие корням харак- теристического уравнения (27). Таблица 20.4-1 Краткая таблица z-преобразований и преобразований "Лапласа от ступенчатых функций Последователь- ность выбранных значений vk = y (&> (* = 0. 1, 2, ...) z- преобразование Ik*: г] = co = у л г1 i—o Преобразование Лапласа ступенчатой функции со [1+У Ю1 = 1~е - 2 » (/) e~]S i = 0 z 1 1 1 z — I s 2 k z (г — I)1 1 1 S Л — 1 з z (z + 1) eS + 1 (z — I)8 sH-l)2 4 2 i (Z-l)" + 1 s (^ - 1)" 5 а* z z —a — 1 1- / s f,s — a . k ' на az es — 1 a (z — a)2 s (es - a)2 7 с I « st е, 2 es — 1 1 (2 - n)" + 1 s (^_a)«+i 8 2 es- 1 1 а-b (z — a> (z — by s (es — a) (es — b) 9 ak sin bk az sin b es — 1 aslnb z2 — 2az cos b 4- a2 s p2s — 2aes cos b -j- a2 10 k a cos bk z (z — a cos b) es — 1 es —* a cos b z2 — 2az cos b a2 s e2s — 2aes cos b 4- a2 (b) Представление выборочных данных рядами импульс- ных функций н ступенчатыми функциями. Метод преобразо- вания Лапласа. Если формально ввести асимметричную импульсную функцию 6+ (О. то последовательность выборочных значений у0. Щ. ... можно представлять (и притом взаимно однозначно) рядом импульсных функций */* (О - г/о (О + г/1б+ (t - Т) + уй&+ (t - 27) + ... 0 > Oh (20.4-32) где Т —положительная постоянная {выборочный интереал}.\ Если две последовательности выборочных значений yOi yti уц ... и f (0)# f (Ih / (tyt ... удовлетворяют разностному уравнению (28), то соответствующие функции у* (/):и /* (О удовлетворяют функциональному уравнению (разностному уравнению для функций): а0Ч* К + rT) + aty* [/ + (г - 1) Г] + ... 4- (t) = I*- (<) (< > 0) (20.4-33) с определенными начальными условиями.
674 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.4-7. К уравнению (33) можно применить формальное преобразование Лапласа импульсных функций (п. 8.5) <5? [у* (0; s] == <5? [д* (0] = у0 + yyi-Ts + yrf-2Ts + ... (20.4-34) При этом <£ [</* (t + Л7)1 = е*т* {<% ly* + ... + rs)}. Изложенный метод преобразования аналогичен методу z-преобразовання с г = (дискретное преобразование Лапласа; п. 8.7-3). Вместо того чтобы применять обобщенные функции, можно представить последова- тельность т/с, х/i, у... с помощью соответствующей ступенчатой функции (см. п. 21.9-1) t 1^у(1) = JV = Ур ПРИ bT<t^ (k 4- 1) ? (* > 0; k = о,- h 2,- ...>. (20.4-35) 0 . Функции 2+^(0 н 2+НО удовлетворяют тому же функциональному уравнению^ что и у* (I) и f* (/). так что снова допустимо преобразование Лапласа. Отметим формулы <S? П+ </(')] = (До + йе - Ts + ...) = — JS [у* (OL ( -Т k~1 1 # <*+А7’>1=ekTs {П+* w] -^4—- У 4те-/г®|- » I 1=0 ) В табл. 20.4-1 приведены пары преобразований Лапласа для некоторых ступенчатых функций; при этом принято, что Г = 1. 20.4-7. Системы обыкновенных разностных уравнений. Матричная запись. Как и в случае дифференциальных уравнений, мощно рассматривать систему обыкновенных разностных уравнений, содержащую две или более неизвестных функций у (xk) — yk, z(xk) = zk, ... Любое разностное уравнение (17) порядка г можно привести к системе г уравнений первого порядка введением новых переменных E‘z//; или А1 у у (i = l, 2, ... , г—1). Так же, как в п. 13.6-1, система линейных разностных уравнений пер- вого порядка (рекуррентных соотношений) Ук+i—аиУ1г+и12г* + • • •+fi (ty, i Zfe+i = «2iJ/fc + «22ZfcH--"+f2W> ( (20.4-36а) с постоянными коэффициентами ау может быть записана в матричной форме (см. также п. 14.5-3): Yk+i=AYb+F(k), (ЫЛ-ЫЬ) где Yk = {уу, zy, ...}, F (k) = {/т (k), fz(k), ...[—векторы (матрицы-столбцы), a A = [ау]. Если дано E0 = {t/0, z0, ...}, то решением является k-t Yk=AkY0+ 2 (/i), (20.4-37) л=о где матрица Ak, по аналогии с п. 13.6-2, Ь, называется матрицей изменения состояния для системы (36). Степени матрицы Ak, нужные для решения, могут быть вычислены с помощью теоремы Сильвестра (п. 13.4-7, Ь), так что каждое собственное значение матрицы А, т. е. корень характеристиче- ского уравнения det [Л— Х£]=0, (20.4-38) снова соответствует собственным колебаниям (см. также пп. 13.6-2 и 20.4-5).
80.5-2. 80.5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ 675 Этот метод применим, в частности, к решению линейного разностного уравнения (28) порядка г( если оно сначала приведено к системе вида (36) путем введения Уь+i, Уь+и •••, Uk+r-i. в качестве новых переменных, так что У& s {(/ft+r—1» Уь+г—ъ* ••• i Vk\* 0, 0.......0|, \и0 J ' at aa ar-l ar\ a° a° a° “° I . (20.4-39) , 1 0 ... 0 0 4 = .01 .... о 0 \ 0 0 ... 1 0/ 20.4- 8. Устойчивость. (а) Аналогично n. 9.4-4, линейное разностное уравнение (28) или система (36) с постоянными коэффициентами называется устойчивой, если все корни соответствующего характеристического уравнения (27) или (38) по абсолют- ной величине меньше единицы.. При этом действие малых изменений началь- ных условий затухает (стремится к 0) при возрастании k. Имеется признак устойчивости, аналогичный условию Раусса—Гурвица (п. 1.6-6, Ь) для корней с отрицательной действительной частью. (Ь) Определение устойчивости и асимптотической устойчивости решений по Ляпунову (п. 13.6-5) и соответствующие теоремы (п. 13.6-6) легко рас- пространяются на решения Уо, Уь У2, ••• линейных и нелинейных автоном- ных систем разностных уравнений Yk^FiYk) №=0,1,2,...). (20.4-40) Условия типа ^-.^0 для функций Ляпунова V (у) непрерывного аргу- мента просто превращаются в условия ДИ (Yk) ^0 для функции Ляпунова V (У*) дискретного аргумента. 20.5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ 20.5- 1. Вводные замечания (см. также пп. 12.5-4, b и 15.2-5). Интерполяци- онная формула сопоставляет с функцией у (х) функцию известного класса У (х) = У (х; а0, аа, ..., ап), зависящую оти-|-1 параметров а/, выбран- ных так, чтобы значения Y (х) совпадали со значениями у (х) для данного •множества п-|-1 значений аргумента хл (узлов интерполяции): У = В пп. 20.5-2—20.5-6 излагается параболическая интерполяция. Другие интерполяционные методы рассматриваются в пп. 20.5-7 и 20.6-6. Применение интерполяции (и, в частности, интерполяционных многочленов) но всегда оправдано. В случае эмпирических функций может оказаться желательным-села- оказание колебаний у (хь)> вызванных случайными ошибками, например# посредством аппроксимации по методу наименьших квадратов. 20.5-2. Общие формулы параболической интерполяции (значения аргу- мента могут быть и неравноотстоящими). Интерполяционная формула л-го порядка аппроксимирует функцию у (х) многочленом n-й степени V (х), удов- летворяющим условиям У (xk)=y (xk)=yk в и-f-l узлах интерполяции—точ- ках xk (k=01 lj 2, ...г и). ,
676 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.5-2. (а) Интерполяционная формула Лагранжа ( о *1) (хо хг) • • • (*о п) , (х ~ хо) (х ~ xs) — (х ~ хп) „ , *>1 - \>) (*1 * *2) - (‘1 ~ Хп) (хп - *о) (хп - *1) (хп - *«->) Уп' (20.5-1) (Ь) мула Разделенные разности и интерполяционная фор- Нью т о н а. Разделенные разности определяются так: Д1 (х0, xj iss ** *“> ’-хо («о. Х1> Х2, •V (20.5-2) О - (г—2, 3, ...). Интерполяционная формула Ньютона имеет вид И (x)=j/u+(x—х0) Д1(х0, xJ + Cx—х0) (х—х,) Да(х0, хъ х2)+... п— 1 • +п (X Хд.) Дл (Хр, ХЬ Х2, ... , хп)‘ *=о (20.5-3) В отличие от формулы (1), прибавление новой пары значений (хпД, (/я+1) сво- дится здесь просто к прибавлению одного нового члена. Разделенные раз- ности (2) для формулы (3) удобно записывать в таблицу того же типа, что (20.4-5)'. Нахождение разделенных разностей есть линейная операция (п. 15.2-7) над у (х). Каждая функция (2) вполне симметрична по всем своим аргументам. (Xfe, (/ft)» (с) Итерационно-интерполяционный метод ЭйтКена. Если требуется найтн лишь значения интерполяционного многочлена У (х), а не его представление, то может быть применена следующая схема. Пусть интерполяционный многочлен, определяемый парами (X;, yt), (х,-, у/), .... так что Yoi2...n~Y (х). Интерполяционные многочлены возрастающих степеней могут быть получены последовательно так: У01= 1 |x —x0 Уо I У12 = 1 I x — хг J/il Xi — *0 i I x — хг У11. xa — xt 1 X —x2 J/2 k • умл— 1 1 X — x0 r01| v 1 1 X — x0 r012 I r 012 x2 — XO I X— x2 rM|' > ••> 1 0123 *8 — *0 | X — xs К23|', Этот процесс можно закончить, когда у значений двух интерполяционных многочленов последовательных степеней совпадет требуемое количество знаков. (d) Остаточные члены. Если у (х) достаточное число раз диффе- ренцируема, то для интерполяционной формулы, базирующейся на n-j- 1 зна- чениях функции у0, у1г Уг,..., уп, остаточный член (ошибка интерполяции) может быть записан в виде п Ял+1 W У (X) - У (X) = у”»»® П (x-xft)t (20.5-4) k =0
SO.В-4; 20.5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ 677 где § лежит в наименьшем интервале /, содержащем все точки х0, х(, х2, хя и х (см. также п. 4.10-4; вообще говоря, § зависит от х). Отсюда следует оценка „ I Rn+i W I щТпГ тах । Ут+1 ’ (X) | П | х-xft |, (20.5-5) ' + ” хе/ ,k±±0 20.5-3. Интерполяционные формулы для эав оотстоящих значений аргу- мента. Ромбовидные диаграммы. Пусть уь=у (xfc), xk=xa+k Ах (k — 0, х 1,...), где Дх—фиксированное приращение, как в п. ,20.4-1; введем обозначение (20.5-6) (а) Интерполяционные формулы Н ь ю т о н а.. Если даны у0, Ук Уг>'" или Уо< У-и У-2< то из формулы (3) получаем соответственно у Ю=Уо+ £Д0о+е^^Д!!0о+-, У (х)=г/о+ -п- Vj/o+i!^L21Wo+... Первая формула применяется для интерполирования «вперед», а вторая для интерполирования «назад». ‘ (Ь) Интерполяционные формулы с центральными раз- ностями. Табл. 20.5-1 дает наиболее употребительные интерполяционные формулы для того случая, когда заданы значения.у0, у1г у2,... и y_lt у_г,... (см. также рис. 20.5-1). Заметим, что формулы Эверетта и Стеффенсена удобны при работе с такими таблицами, для которых проще составлять таблицы раз- ностей только четного или только нечетного порядков. Коэффициенты всех указанных выше формул приведены в табл. 20.5-2. (с) Применение ромбовидной диаграммы. Многие интер- поляционные формулы можно получить с помощью ромбовидной диаграммы (диаграммы Фрезера), приведенной на рис. 20.5-1. Некоторые более сложные интерполяционные формулы (например, формулу Эверетта) можно получить, усредняя несколько эквивалентных интерполяционных многочленов. 20.5-4. Обратная интерполяция. (а) По данным значениям = + //л = г/(хл) (^ = 0, 1,2,..., п) требуется найти заключенное между х0 и xt значение £ аргумента х, соответствующее данному значению Т) функции у (х); Дх предполагается настолько малым, чтобы t было единственным. Можно применить общую формулу (1) или (3), меняя ролями х и у. Вместо ©того можно применить одну из итерационных схем п. 20.2-2 для решения уравнения У (£) — *] = 0, где У (х)— подходящий интерполяционный многочлен,- аппроксимирующий у (х); для первого шага итерации применяют линейную интерполяцию, для второго шага — квад- ратичную и т. д. Наиболее удобен итерационно-интерполяционный метод Эйткена (и. 20.5-2, с), в котором надо поменять местами х и у. (Ь) Обратная интерполяция с помощью обращения.рядов. Применяя любую подходящую интерполяционную формулу в виде степенного ряда У (х) = «о 4- «1Х агх* ... у9 получаем
Т а б л н ц а 20.5-1 О Интерполяционные формулы с центральными разностями сЙ Дано нечетное число п + 1 = 2т + 1 значений функции yk == у (х0 k &х) (k — 0» ± 1, ± 2.± т\ где Ддг—фиксированное приращение: и = ' № Название формулы Интерполяционный многочлен Y (X) • *- Остаточный член x> Rn+1(x> 35 tx} 1 Стирлинга ') Я1—1 л2*+1„ _1_л2й+1„ т „ . V /> + feV е-'7г + 6 УЧг , V ц (а + * - >\ V,,+ 2-J \2A-f-l) 2 + Al 2k k 2k — 1 k=0 ft=l (9+4™!^“’^2CT+1 2 Бесселя 8) m— 1 m—1 . , </о+У1 , V » — Vs /» + * — 1\ л2*+1„ . V /« + fe — 1\ Uc + . 2 1 Al 2*4-1 I 2k y4^+ A l 2k )~~ 2 k = 0 * = 1 (Ut2m“ 3 Эверетта *) m— 1 • fc=l (U+2mm~ ® Дл2т 4 Стеффенсеиа m k~ 1 (2m++l)^m+1,^^m+1 0 £ лежит в наименьшем интервале, содержащем х и все применяемые узлы интерполяции. „о « (и2 — 1) (и2 — 22) ... (и2 — k2) •) Заметим, что (2А+1)- (2fc+ 1)t ®) Модифицированная формула Бесселя дает простейший многочлен, учитывающий влияние разностей до 6-го порядка: у W = ^ + uei/1/s + ы {и~ ° + «(«-.»/,) <«-1) + . («+ 2) (»* — 1) я (t>*Vo + 194 Ъ'Уо 4- СуЛ 24 \ 2 924 2 )' ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.5-4.
В-4 l“+4)i &гУ-^и+5'1з^4У-о (и*6)5^ВУ-т (u+7h 1^^Лу.4^(и+4)^Д3у.5^(и <5)уЛ5у-^(и+В)б^У-7 У-3-^+3>^ Дгу-4^1]+4^ Д4У-5^и+5)5^&еУ-в^6)7 t^Ау-3^ЦиЗ)г^й3у-4 '1(и44)4^Л.5у-^(и+5)^7у.е У-г ^^+г)г^^гУ-з^+3)3^А4у-4^(и+4)^ й ву.5Ус+5)7 f ^Ду-г^(и+2)2 &3у-3 (и+3)4^&5у-4^^4)6^7у.5 Уч ^+/)j^+Z^^&4d-3^t3')s^ &ey-4(a*4)7 I /Уч ^fa+1hA\-Z'^+2U^5y-3^*3)6^7y-4 у0'^^)1-^-йгу_1^Чи^)3^-^4у_г^-^2^^Лву-^-(исЗ)7 1-^Ду^-(и)^;Д3у^ (M^Asy_z-~ (u<-2)g-~A7y.3 У,, ^(и-1)1^Д3у0^и)3^&4у-3^и+ Г^Дву-г^(и+2)7 1 Лу, 1)г^ДЗув^(и)4^Л5у-!^(и4Пб^7у-г У2 '^~2)i^AZyl ^и-1)^Д4ув ^и)5^Дву4^(и+<)7 1Ду2 ^lu~?h A3yt л5Уо ^1и^а,7Уч ' " 3^й % ~^и~г^ &4У) 21 В^е (1 ^Ду3 (и~31г^ &Уг^(ч~2}4^ Д5У, й?Уо 'двУ, (Цг1)7 »-— Бесселя У4 (u~4)i "дгу3 (и-З)з Д4у2 (u~2)s » Ньютона (Вперед) ---------- Гаусса (!) ^—Ньютона (назад) 'Сгпирлинга Рис. 20.5-1. Ромбовидная диаграмма для интерполяционных формул. Сокращенное обозначение l« + »s=Jr(u + *)[s] = ^“ + *y Для получения интерполяционной формулы вдоль некоторого пути диаграммы при- меняются следующие правила: 1. Когда столбец разностей пересекается слева направо, добавляется один член. 2. Если путь входит (слева) в некоторый столбец разностей с положительным на- клоном, то добавочный член равен произведению разности, стоящей на пересечении пути и столбца, скажем, Д^р^д, иа коэффициент (и + р — 1)^ лежащий точно под этой раз- ностью. 3. Если путь входит (слева) в некоторый столбец разностей с отрицательным накло- ном, то добавочный член равен произведению разности, стоящей на пересечении пути и столбца, скажем, Д^г/^д, на коэффициент (и 4- Р)&, лежащий точно над этой разностью. * 4. Если путь входит (слева) в некоторый столбец разностей горизонтально, то доба- вочный член равен произведению разности, стоящей на пересечении пути и столбца,, скажем, Д*г/_р. на среднее арифметическое двух коэффициентов (и-\- р}^ н (и + р — 1)^ лежащих соответственно точно над и под этой разностью. 5. Если путь пересекает (слева направо)" столбец разностей между двумя разно- стями, скажем, Д^/_(д_|_1) и Д^р_д, то добавочный член равен произведению среднего ариф- метического этих двух разностей на коэффициент (и + p)fe, стоящий на пересечении пути и столбца. 6. Каждая часть пути, проходимая справа налево, вызывает те же самые члены, что и при прохождении слева направо, но с противоположным знаком. 7. Со столбцом табличных значений функции можно обращаться, как со столбцом разностей нулевого порядка, по тем же правилам, что и с остальными столбцами раз- ностей, если только ромб входит точно в этот столбец (левым концом). Таким образом, этот столбец может пересекаться путем, образующим положительный. отрицательны»! или нулевой наклон* как и с остальными столбцами.
680 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.5-4. Таблица 20.6-2 Коэффициенты интерполяционных формул Интерполяционная формула Лагранжа по пяти точкам fs «= L_2 (s) f_2 + E_j (s) f_± + Lo (s) f0 + (s) + L2 (s) f2. Для отрицательных s обозначения столбцов указаны внизу S Е_£ (s) Е-i (S) Ео (S) Ei (s) ^2 (S) 0,0 0,000000 0.000000 1,000000 0,000000 0.000000 0,0 0.1 0,007838 —0.059850 0,987525 '0,073150 —0.008663 -0,1 0.2 0,014400 —0,105600 0,950400 0,158400 —0,017600 -0,2 0.3 0.01 У 338 —0,136850 0.889525 0.254150 —0,026163 —0,3 0.4 - 0,022400 —0,153600 0,806400 0,358400 —0,033600 —0,4 0.5 0,023438 —0,156250 0,703125 0,468750 . —0,039063 -0,5 0.6 0;022400 -0,145600 0582400 0,582400 -0,041600 —0,6 0.7 0,019338 -0,122850 0.447525 0.696150 —0.040163 —0,7 0.8 0,014400 —0,089600 0,302400 0,806400 —0,033600 -0.8 0.9 0,007838 -0,047850 0,151525 0,909150 -0,020663 -0.9 1,0 0,000000 0,000000 0.600000 1,000000 О-,000000 —1.0 1.1 —0,008663. 0,051150 -0,146475 1,074150 0.029838 -1.1 1.2 —0.017600 0,102400 —0,281600 1.126400 0,070400 -1.2 1.3 —0.026163 0,130150 —0,398475 1,151150 0,123338 -1.3 1.4 —0,033600 0,190400 —0,489600 1,142400 0,190400 -1,4 1.5 —0,039063 0,218750 —0,546875 1,093750 . 0.273438 -1.5 1.6 —0,041600 0,230400 —0,561000 0,998400 0,374400 -1,6 1,7 —0.040163 0,220150 —0,524475 0,849150 0,495338 -1,7 1,8 —0,033600 0,182400 -0,425600 0.638400 0,638400 -1.8 1,9 —0.020663 0,111150 —0.254475 0,358150 0.805838 -1.9 2,0 0.000000 0,000000 0,000000 0,000000 1.000000 -2,0 Е£ Cs) Е, (S) Е» (S) Е-i (S) L_a (s) S П римечани е. Вее коэффициенты становятся точными, если заменить каждую конечную цифру 8 на 75, а 3 на 25. Интерполяционная формула Стирлинга fs ъ f0 + sn6f0 + С2 (s) б^0 + Cs (s) цб»/0 + С4 (s) б‘/0 6 cs (s) С3 (s) С4 (S) S 0,0 0,00000 0,00000 0,00000 0,0 0,1 0,00500 —0,01650 •) —0,00041 —0,1 0,2 OJ02000 —0,03200 *) —0,00160 -0.2 0,3 0,04500 —0,04550 •) —0,00341 -0,3 0,4 0,08000 —0,05600 *) —0,00560 -0,4 0,5 0,12500 —0.06250 *) —0,00781 —0,5 0,6 0.18000 —0,06400 •) —0,00960 -0,6 0.7 0,24500 —0,05950 ») -0,01041 -0.7 0.8 0,32000 —0,04800 *) —0,00960 -0.8 0.9 0.40500 —0,02850 *) —0.00641 -0,9 1,0 0,50000 0,00000 0,00000 -1,0 * Для s из правого столбца надо изменить в на к. -
20.6-4. 20.5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ Т а б л и ц а 20.5-2 (продолжение) Интерполяционная формула Ньютона fS ~ f0 + * Ч + CS (s> Д2,0 + C3 <s> А"'о + C4 <S> A*'o + C8 <s> t„ - sVfn + C2 (s) V4n - C3 (s) V‘fn + Ct (s) V‘fn - Ce (s) (для интерполяции надо брать положительные s) s c2 (s) Cg (S) C, (s) c, (s) -1,0 1,00000 —1,00000 1,00000 —1,00000 -0.9 0,85500 —0.82650 0,80584 —0,78972 —0,8 0,72000 —0,67200 0.63840 —0,6)286 -0,7 0,59500 —0,53550 0,49534 —0,46562 -0,6 0,48000 —0,41600 0,37440 —0,34445 -0,5 0,37500 —0,31250 0.27344 —0,24609 -0,4 0.28000 —0.22400 0,19040 —0,16755 -t0,3 0,19500 -0,14950 0,12334 —0.10607 -0,2 0,12000 —0,08800 0,07040 —0,05914 -o,l 0,05500 —0,03850 0,02984 —0,02447 0,0 0.00000 0,00000 0,00000 0.00000 0,1 —0.04500 0,02850 —0.02066 0,01612 0,2 —0,08000 0.04800 —0,03360 0,02554 0,3 —0,10500 0,05950 —0,04016 0,0297.2 0,4 —0.12000 0.06400 —0,04160 0,02995 0.5 —0,12500 0,06250 -0,03906 0,02734 0,6 -0.12000 0,05600 —0,03360 0,02285 0.7 —0,10500 0,04550 —0,02616 0,01727 0,8 —0,08000 0,03200 —0,01760 0,01126 0,9 —0,04500 0,01650 —0,00866 0.00537 1,0 0,00000 0,60000 0,00000 0,00000 Интерполяционная формула Бесселя fs Ufl/S + (s------+ Cg + Cg <s) + ^4 <s> U®4fi/a + Cg (S) 6”/l/2 5 Ca (s) С3 (s) С4 (s) ce (s) S 0,0 0,00000 0.00000 0,00000 0,00000 1.0 0,1 -0.04500 0,00600 *) 0,00784 —0,000'63 *) О.9 0,2 -0,08000 0,00800 *) 0,01440 —0,00086 *) 0.8 03 -0,10500 0,00700 *) 0,01934 —0,00077 *) 0,7 0,4 —0,12000 0,00400 *) 0,02240 —0.00045 *) 0,6 05 —0,12500 0,00000 0,02344 0,00000 05 * Для s из правого столбца надо изменить знак.
682 mj20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.5-Б. Таблица 20.5-2 (продолжение) Интерполяционная формула Эверетта fs (1 - s) /0 + С2 (s) б% + с4 (s) б^0 + sf± + с2 (1 - s) + с4 (1 - s) б*^ S Со (s) C4 (s) s C2 (s) c4(e) 0,0 0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,00000 —0,02850 —0.04800 —0,05950 —0,06400 —0,06250 0,00000 0,00455 0,00806 0,01044 0,01165 0,01172 0,6 0.7 0.8 0,9 1.0 —0,05600 —0,04550 —0.03200 —0,01650 0,00000 0,01075 0,00890 i 0,00634 ; 0,00329 0,00000 - Интерполяционная формула Стеффенсена fs = f0 + C1<S> С^/2 + сз <s) cs^/2 - Ci (- S) 6?_1/2 - Cs (- S) 6»f _Vj S C, (s) c3 (s) s C, (s) Cg (S) -0,5 —0.4 —0.3 —0,2 —0.1 0.0 —0’12500 —0,12000 —0,10500 —0,08000 —0,04500 0,00000 0,02344 0,02240 0,01934 0,01440 0,00784 0,00000 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,05500 0,12000 0,19500 0.28000 0,37500 —0,00866 —0,01760 —0,02616 —0,03360 —0,03906 20.5-5. Интерполяция с оптимальным выбором узлов (см. также п. 20.7-3). Много- член Y (х) степени п. который совпадает с у (х) в п + I точках х = (/ = 0. 1, 2, ...» п) п П (X-Xk) 6 = 0 на [а,- таких? что шах а х b будет иметь наименьшее значение, приб- лиженно минимизирует максимум абсолютной величины ошибки интерполяции (4) на [а, б]. Такой многочлен Y (X) дается формулой k = l где Ak = 7ГГ1 S V (Xl) COS (2/2^1)2Д' <* == °- *• 2. «)• i=o — многочлен Чебышева степени k (п. 21.7-4)? (20.5-8И) *7= + ь-° СО£<2/ + П л 2 . 2 2п + 2 (/ = 0, 1, 2, п). (20.5-86) 20.5-6. Интерполяция функций нескольких переменных. Для аппроксимации функ- ции г = г(х, у) многочленом Z (х, у), удовлетворяющим условию Z (х, у) = г (х, у) на заданном множестве точек (хц y^t можно сначала интерполировать по х функцию г (х, у^) при фиксированных у^, а затем интерполировать относительно х, что даст Z (х, у). Другой путь заключается вподстановке в интерполяционную формулу по у интер- поляционной формулы относительно х. Если Дх = Ду = h — фиксированное приращение и г (х0 + / Дх, Уо + k by) = Zjk и = х — х° v _ У —Уо Дх j Ду i (A k = 0, ± 1, ± 2,- (20.5-9)
20.6-2. 20.6. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 683 то, дважды применяя интерполяционную формулу Бесселя из табл. 20.5-1 ₽ получаем формулу Бесселя интерполяции по двум переменным; Z У) = (г09 + 210 + *01 + 2ц) 4“ ---(Z10 —200 + 2И — Z»l) 4" 4“ ~2~ -2~^ <201 — 200 4" 211 — Zio) 4- -------------—(2ц — 210 — 2oi 4“ Zoo) 4" —• (20.5-10) Аналогичные методы применяются для функций трех и более переменных. См. также [20.1]. 20.5-7. Обратные разности и интерполяция рациональными дробями. Пусть у (х£) =а “=Z/^ (* = °*' 1* •••)» rfle *0> хъ х2» — произвольные узлы интерполяции; определим обратные разности: Pl (XOi ^i) Ря (*0i ХИ Хя) = - ---- ° _ 2 j----— 4“Z/1* Уо — Уi Pi \х0, xj — pi (Хц x2) Pf (*0* *1* X2* •••* Xr) ~ = "o-------------------~\)"-p-------------------ГГ + Pr - 2 <*i>x* " Xr ~ 0 Pr - 1 (X0> *1» •••• Xr - 1) Pr — 1 (*1, x2, —• xr) (r = 3.4t „.). (20.5-11) Функция y(x) для узлов ги хц x2i ... аппроксимируется рациональной функцией, кото- рая получается из разложения в непрерывную дробь вида где v . X — Xi yw=** + FT(^) (2О.5-12а) х — х2 Pi (Xs Xt) - p, (Xlf Xi) + Рг (x, Xu xz) — yt Ps (Xs Xts х2) = pi (xtl х2 х.) -----------------.--------2--------------- Рв (х, х2, ха, Ха) —Pl (Xts Xi) (20.5-126) Если у (л:) — рациональная функция,- то непрерывная дробь обрывается. 20.6. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ МНОГОЧЛЕНАМИ, ОТРЕЗКАМИ РЯДА ФУРЬЕ И ДРУГИМИ МЕТОДАМИ 20.6-1. Вводные замечания. Параболическая интерполяция на практике хороша лишь для аналитических функций и только тогда, когда их значения не искажены шумом (случайными ошибками). Случайные ошибки н значениях функции сильно искажают интерполяционные многочлены высоких степеней, а при интерполяции многочленами низких степеней теряется существенная информация. Поэтому при наличии случайных ошибок предпочитают применять «сглаживающую» аппроксимацию такими многочленами или рациональными дробями, которые минимизируют либо взвешенную среднюю квадратическую ошибку аппроксимации, либо максимум абсолютной ошибки на всем выбран- ном интервале (а, Ь). Отметим, что разложения в ряд Тейлора аппроксими- руют аналитическую функцию лишь в непосредственной близости от одной выбранной точки и поэтому редко применяются в численной аппроксимации (только при условии сверхбыстрой сходимости). 20.6-2. Приближения функций многочленами по методу наименьших квад- ратов на интервале (см. также п. 15.2-6). Для данной функции / (х) требуется построить функцию F (х) нида F (х)=а0 ф0 (x)-f-Oi<j>i (х) -b...-1-ал Фи (х) (20.6-1)
684 гл. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.6-3. так, чтобы минимизировать взвешенную среднюю квадратическую ошибку на интервале (а, Ь)‘. ь о2 = Jy (х) [Г (х) — f (х)]2 dx, (20.6-2) а где у(х)—заданная неотрицательная весовая функция. Если функции ф* (х) действительны и попарно ортогональны с весом у (х) на интервале (о, Ь), т. е, если. Ь j Т W ф< (х) ф/ (х) dx=0 (I =# j), (20.6-3) а то искомые коэффициенты о/ определяются по формулам Ь J У (X) f (х) <PI (х) dx ' -------------- ((=0,1,2,...). (20.6-4) f Y (x) q>s (x) dx J I a Аппроксийация ортогональными функциями, например, ортогональными многочленами (пп. 20.6-2— 20.6-4) или тригонометрическими полиномами (п.20.6-6), имеет то замечательное преимущество, что улучшение аппроксимации путем добавления нового члена <pn+j (х) не меняет ранее вычисленных коэффициентов а0, сц, а%,..., ап. Подстановка х=аг+Р, dx=adz в формулах (1)—(4) позволяет изменить масштаб или сдвинуть рассматриваемый интервал. Заметим, что вычисление коэффициентов по формуле (4) требует знания функции / (х) на всем рассматриваемом интервале (а, Ь). 20.6-3. Приближения функций многочленами по методу наименьших квад- ратов на дискретном множестве точек. Если функция f (х) задана только на дискретном множестве (m-f-1) точек х0, х^, х2,.... хт, то приближение (1) по методу наименьших кнадратов принимает другой нид. Здесь надо миними- вировать нзвешенную среднюю квадратическую ошибку вида т - О'2= S % [^(xft)-f (xft)]2,; (20.6-5) 4 = 0 где fk — заданные положительные веса.- Это опять-таки проще всего сделать в том случае, когда функции <рг (х) представляют собой многочлены степени г, попарно ортогональные с весами у* на заданном множестве точек, т. е. когда т 5 Tft ф/ Ы Ф/ (xft) =0 У =# /)• (20.6-6) 4 = 0 Такие многочлены можно получить из последовательности 1, х, х2,... методом ортогонализации Шмидта, п. 14.7-4. Коэффициенты а, определяются по формулам т = ~--------------- ((=0, 1, 2»...4 п; п^т). (20.6-7) 2 Vft Ф? (xft) 4 = 0 1 .
20.6-8. 20.6. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 685 При n=m получающийся многочлен совпадает с интерполяционным много- членом; если п<т, то добавление нового члена ап +, <рп +1 (х) оставляет предьщущие члены без изменения. Особый интерес представляют указанные ниже два частных случая. (а) Многочлены Чебышева. Если значения аргумента х0, хи xs..... хт можно свободно выбирать, скажем, в интервале (— 1, 1), то целесо- образно в качестве этих значений взять корни многочлена Чебышева Тт+1 (х) (п. 21.7-4), т. е. положить- xft=cos^~n (* = 0, 1, 2,..., т). (20.6-8) Тогда при единичных весах Уд.= 1 ортогональные многочлены, определяемые соотношением (6), совпадают с многочленами Чебышева ^.(х) (см. также п. 20.5-5). (Ь) Равноотстоящие точки. Если m+1 =2Л4-|-1 точек хк делят отрезок [а, 6] на 22И равных частей, так что xk=?-±-^ -t-k&c /г=0, ±1, ± 2...„ ±Л1), (20.6-9) то ортогональные многочлены «р, (х), определяемые соотношением (6) при еди- ничных весах Тл> = 1, имеют, вид фДх) = р,^~=^^ Л1, 2М^ {i=0, 1, 2.2М; Л1 = 1, 2,...), где (20.6-10) Pi (i, 2М) - £ (- 1)‘+* + (20.6-11а) (Al)2 (2 Af )L«J z[ftl==z(z—l)(z —2)... (z—Л-f-l) (Л=1, 2,...), } z[°l=l (z=sC), 01*1 = 0 (*=1. 2,...); J ( • ’ ) (' = 0. b 2....2M-, M=l, 2, ...) (20.6-12) и другие нормировки ортогональных многочленов). при этом /и k=-M (встречаются - Ортогональные многочлены до пятой степени: Ро(*> 2Л4)=1, P1(t, 2М)=^. ,, ОЛЛЧ ЗР — М (М + 1) Р*«’ 2М^' WM-1) ‘ „ I/ 9М\ 5/3-(ЗЛР + ЗМ- I)/ Рз V, х.т)~ м w _ (2;и _ . ОЛП 35/4 — 5 (6АР + 6М — 5) 4- ЗМ (Mt — 1) (Л( + 2) Pi (г. z!Al) — 2М (М — I) (2М - 1) (2М — 3) ръ (/, 2Л4) = 63/s —35(2М! + 2Л( — 3)/® + (15Ма + 3'0М* 8-35М2—60М + 12) Г — 2М (М - 1) (2М - 1) (2М — 3) (М - 2) В частности, при Л1==2 (пять точек): Ро(0=1. Р1(0=Ь- р2(0=4(^-2), Рз(0 = | (Б*’- 170т Р4 10 = Т2 (35^-155^+72). (20.6-13) (20.6-141)
686 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.6-4. Если обозначить значения функции f (х^) через /ft, то аппроксимация мно- гочленами до третьей степени при М — 2 дает следующие сглаженные значения: ^-2=4 (69ь+4/-1-6/о+^-м=ь-^ (2/_2.‘+ 27/_, +12/0 -8/, + 2/2) =/_, + ^ 6Vo. Л>=4 (_ з/_2+12/_1 +17/0+ 12/j —3/2)==/0—6%, Л =4 (2/-2-8/-i+ 12/0 + 27^ + 2^) = /,+ 6V0> ^2= 70 (—/-s+4/-t — 6/о+4/, + 69/2)=/2 — ур б4/о- (20.6-15) 20.6-4. Равномерные приближения. (а) Равномерные приближения минимизируют наибольшее значение абсо- лютной ошибки [Г (х)—/(х) | либо на всем отрезке [a, fej, либо на дискретном множестве точек. Вычисление коэффициентов а, многочлена (1), дающего рав- номерное приближение к функции / (х), весьма трудоемко. На практике при использовании в формуле (1) в качестве <pfe (х) многочле- нов Чебышева (возможно, с изменением начала отсчета и масштаба, см. также п. 20.6-4, Ь) равномерные приближения оказываются близкими к приближе- ниям по методу наименьших квадратов. Это имеет место тогда, когда прибли- жение многочленами Чебышева п F (х)= a^Tk (их) \Tb (x)=cos k®, cos &=x] A=f0 имеет ошибку того же порядка, что щ первый отбрасываемый член ап+1 Т„+1 (ах) для всех х е [а, &]. Так как многочлен- Tn+t (ах) в рассматриваемом интер- вале колеблется с амплитудой 1, то наибольшее значение абсолютной ошибки приближенно равно | ап+11. (Ь) Иногда удобно применять смещенные многочлены Чебышева Т*(х) опре- деляемые на отрезке [0, 1] формулами Т*(х) — Тп(2х—l)=cosn,& (cos‘&==2x—1; л = 0, 1, 2, ...) (20.6-16) или 7g(x)=l, 7’f= (х) = 2х—1, Т*+1(х)=2(2х-1)7*(х)-7*_1(х) (п=1, 2, ...). (20 6-17) (с) Таблица 20.6-1 дает несколько первых многочленов Тп(х) и Т* (х), а также разложения степеней 1, х, х2, ..., х5 по этим многочленам (см. также п. 21.7-4). Таблицы 20.6-2—20.6-4 дают некоторые полезные приближения трансцендентных функций многочленами. 20.6-5. Экономизация степенных рядов. Если вычисление коэффициентов разложения по ортогональным функциям значительно сложнее, чем вычисле- ние отрезков степенного ряда для функции / (х), то с небольшой потерей точ- ности можно понизить степени этих отрезков, выразив высшие степени х через низшие степени и многочлены Чебышева. Например, из табл. 20.6-1 находим х«=4 (-9х+ 120х^-432хб+576х’) + 4 Г„(х). Последний член на отрезке [— 1, 1] колеблется с относительно малой амплитудой Отбрасывая этот член, мы получаем представление х9 через многочлен седьмой степени; далее эту процедуру можно'повторить с х7 и т. д. Вместо этого можно нее степени выразить через многочлены Чебышева и пренебречь теми из них2 которые будут иметь малые коэффициенты.
20.6-6. 20.6. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ 687 м Таблица 20.6*1 Многочлены Чебышева Т„ (х) и Т* (х) и степени х J — ч й II II II 1 =г. X =?! *’=4,2'»+7'*) 7а = 4х* — Зх х»=-1(37-14- 7'а) 7, = 8х® — 8х« + 1 ** = 4 <ЗГо + 4Г« + Г.) 7, = 16х» — 20х’ + 5х х® =-1(107-, 4-57, 4- Г.) 7, = 32х’ — 48х* + 18х» — 1 х» = А (ЮГ, 4- 157, 4- СГ4 4- 7 ) 7, = 64х’ — 112хв + 56х« — 7х *’ = 4 f357:* + 21 Г, 4- 77, 4- 7.) Г, == 128хв — 256х® + 160х» — 32х» 4- 1 х’ = -jjg (357, 4- 567, -}- 287, 4- 87. 4- 7.) Ти = 256х® — 576х’ + 4?2хв — 120х® 4- 9х Т*= 1 о Т*=2х — 1 X* = 2^ (1267, 4- 847, 4- 367, 4- 97,4- 7,) 1 =г? V х =4(г?+7’п Г*=8х*—3x4-1 **=4(зго+4гг+7’г) Т* = 32х3 — 48х2 4- 18х — 1 8 Т* = 128х* — 256х8 4- 160х« — 32х 4- 1 *’=4-(107’«*+157’г+6Гг+2'п x* = -jl-(357’*+567*4-287*4-87*4- 7*) 20.6-6. Численный гармонический, анализ и тригонометрическая интерполя- ция (см. также пп. 4.11-4, b и 20.5-1). (а) Даны m значений функции г/(х/,)=г/й при xk-=k~ (k=0, 1, 2, ... ... , иг—1); требуется аппроксимировать у (х) на интервале (0, Т) тригономе- трическим полиномом п Y (Х)=| Ло+ 2 (л/cos 7 Bi sin 1(п < у) (20.6-18) /71—1 'так, чтобы минимизировать сумму квадратов отклонений У] [Т Ы —yk]*. Искомые коэффициенты А/, В/ определяются по формулам m—1 т— 1 4 (0^/<f). (20.6-19) Л=0 /1=0 В частном случае п<=т[2 формулы (18) и (19) вместе с т — 1 Л„-Лт/2=1 i20-6*201 * = о цают Y = у {тригонометрическая интерполяция) при произвольном Вп. Аналогичные формулы для не равноотстоящих x^f а также численные методы для многомерного анализа и синтеза см. в [20.11],
Т 8 б л и ц а 20.6-2 сл Приближения некоторых функций многочленами 2 Г U) .Приближение F (х) Коэффициенты а. Наибольшая абсолютная ошибка е~х ,0 С х < 1п 2) 1 + atx + а8х2 а, = —0,9664 а е = 0.3536 3 - IO”8 1-4-01* + а2х‘ + ... + с,*1 Gi = —0,99986 84 as = —0,15953 32 аг = 0,49829 26 а4 = 0,02936 41 3 • 10-* 1 + агх + а,*1 + ... + а,*’ аг = —0.99999 99995 а3 = —0,16666 53019 Of, = —0,00830 13598 а, = —0,00014 I3I61 а, = 0,49999 99206 а. = 0,04165 73475 ав = 0 0132 98820 2 . 10“10 1П (1 + X) (0 "С х С 1) агх + а2*2 + ... -4- а6*“ at = 0.999® 556 as = 0,28947 478 а8 = 0,03215 845 - а2 = —0,49190 896 а4 = —0,13606 275 10-6 а8х + агх‘ + ... +а8ха at = 0.99999 64239 а3 = 0.33179 90258 аб = 0,16765 40711 а9 = 0,03608 84937 а2 = —0,49987 41238 с4 = —0,24073 38084 св = —0,09532 93897 ае = —0.00645 35442 3 - 10~г 10х (0 С х 1) (1 + OiX + ... + с4л4)2 а, = 1,14991 96 • а8 = 0,20800 30 а£ = 0,67743 23 а4 = 0,12680 89 7 • 10“* (1 + О1* + ... +й,х7)2 аг = 1,15129 27ZG0 as = 0.25439 35748 аБ = 0,01742 11199 а7 = 0.00093 26427 й. = 0,66273 08843 а4 = 0.07295 17367 а, == 0.00255 49,180 5 . 10-6 sin х (»«'•= Я 1 + С£Х! + с4х4 а2 = —0.16605 п4 = 0,00761 2 - 10-* 1 + О2*г + .... ф о10х« ав = —0,16666 66664 йв = —0,00019 84090 а10= —0,00000 00239 а4 = 0,00833 33315 с8 = 0,00000 27526 2 . Ю-» COS X I + агх‘ + с4х* а2 = —0,49670 а4 = 0,03705 9 • 10-4 1 4- nsx® 4~ —. + flio-*10 а2 = —0,49999 99963 ае = —0,00138 88397 а1(>= —0,00000 02605 й =0,04166 66418 а6 = 0,00002 47609 2 . 10-® ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.6-в
20.6-6, 206 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ 0»У Т а б л ица 20.6-2 (продолжение) Наибольшая абсолютная ошибка в-01 в-01 • г 1 го от—01 * Т о но в-01 • г 1 «0 is 1 tn i ' СО <г 3 S ф го ГО) о II сГ а. =0 13339 23995 а. =0,02456 50893 аи = 0,00951 68091 а4 = —0,02436 9 а4 = —0 02222 20287 аа = —O.OQ020 78504 0,2)211 44 0,01872 93 at = ---0,21459 88016 а. = —0,05017 43046 “• а, =—0,01708 81256 а, = —0.00126 24911 а, = —0,33029 95 а, = —0.08513 30 , а. =0,19993 55085 а6 = 0,10656 26393 Q1. = 0,04290 96138 а16 = 0,00286 62257 а, = 0,95123 63 а4 = 0,42455 49 аа = 0,98820 5891 а. 0.91820 6857 ав = 0,48219 9394 а„ = 0.03586 8343 1 II II Q Q S •в- е о» о g го о' •II « Q С2 = 0,33333 14036 а. =0,05337 40603 а10 = 0,00290 05250 1, а, = —0,33286 7 | сг =—0,33333 33410 а, = —0,00211 77168 а1в =—0,00002 62619 ас — 1.57072 88 аг — 0,07426 10 а» = 1,57079 63050 в. = 0,08897 89874 а" = 0,03089 18810 а, = 0,00667 00901 О1 = 0,99986 60 = 0,18014 10 ав ~ 0,02083 51 0„ = —0,33333 14528 а. =—0.14208 89944 а10 = —0,07528 96400 alt = —0,01616 57367 а. = —0,57486 46 с3 = —0,69985 88 с6 — —0,10106 78 а, = —0,57719 1652 а, = —0,89705 6937 о6 = —0,75670 4078 at = —0,19352 7818 Приближение F (х) Ъ С? + с? + 1 „Хг’О + "• + ,х=п + I »**П + гхгп + I X о <3 + + W X м а 4~ — V 1 — х (“о + а,х + ... + а3хя) | — У1 — х (a0 + atx 4-... +а,х7) 1 сз + + « С? + X 91х»’о + — + + J 1 + °ix + — + а^х” 1 + а,х + ... 4- авх8 f u> tgX X ctg X a resin х (0 X с 1) arctg х (-1 <: х 1) arctg х X (-1 Сх С 1) Г(х + 1) = Й (0 < х < 1)
Таблица 20.6-3 Некоторые приближения цилиндрических функций Функция Приближения Коэффициенты Наибольшая абсолютная ошибка Jt (X) (—3 < х < 3) 1+а‘ (4)+-+°*г (4) LS a, =—2.24999 97 o, = — 0.31Q38 66 ai0 = —0.00394 44 a. = 1,26562 08 a, =0.04444 79 a12 = 0,00021 00 5 . Ю~е J® (*) = 4=2 COS Фо V х Nt U3 =-7== sin О» VX (3 < х < со) fo — Co -г Gj + — + °6 >)• o0 = 0,79788 456 az = —0,00552 740 a. = 0.00137 237 щ == 0.00014 476 a, = —0,00000 077 a, = —0.00009 512 a6 = —0,00072 805 1,6 . 10~b (для f„) = x + ь0 + bt +... + fc / 3 Xе еЫ bt = —0,78539 816 b, = —0 00003 954 ft, = —0.00054 125 b, = 0,00013 558 ft, = —0.04166 397 ft. = 0.00262 573 ft, = —0,00029 333 7 . IO-8 (ДЛЯ Фо) J, (X) X (—3 < х < 3) т+at(4)+-+a“(4 ) аг =—0,5624'9 985 a. =—0,03954 289 a10 = —0,00031 761 a. =0,21093 573 a. =0,00443 319 a, 2 = 0.00001 109 1,3 • 10-‘ Nt (х) (0 < х < 3) 2 x , , , 7 x V — In -j It (X) + a„ + a2 I — j -MF +-... a„ = 0.36746 691 a, = —0.74350 384 a, = —0,04261 214 <zJ2 = —0,00024 846 • a, = 0,60559 366 a =0.25300 117 a,„ = 0.00427 916 1.4 • 10-' Ji (X) == cos Ф-i vx Nt (x) = 4k sin Ф. vx (3 x < co) f1=ao + «.(4) + - + a«(" ij ae = 0,79788 456 a2 — 0,01659 667 a4 = —0,00249 511 Oe = —0.00020 033 a, = 0.00000 156 a. = 0.00017 103 a, = 0,00113 653 4 - 10V (для fi) Фх = x 4- b0 4- bi 4" 4- be (4У b„ = —2,35619 449 bt = 0,00005 650 ft. = 0,00074 348 ft, = —0,00029 166 ft, = 0,12499 612 ft, = —0,00637 879 ft, = 0,00079 824 9 . 10-' (для 0,) Л x Nt (xl <0 < x < 3) 2 x ( x V . — x In -g /, (x: J- o, + o, ( -g j ... + an (4) 4- •- a, = —0 63661 98 a, = 2.16827 09 a8 = 031239 51 an = 0,00278 73 a, = 0.22120 91 a. = —1,31648 27 a,„ = —0.04009 76 1,1 • 10-’ 690, ГЛ, 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.6-6.
20.6*6. 20.6. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ 691 Таблица 20.6-4. Приближения многочленами Чебышева Tn (x) = cos пФ, где cos •&—2х— 1 f (X) Приближение п Ап п ~Ап с~Х 7 0 0,64503 5270 4 0,00019 9919 (0 х 1) V А Г* (х) 1 —0,31284 1606 5 —0.00000 9975 2 0,03870 4116 6 0,00000 0415 3 -0,00320 8683 7 —0.00000 0015 е* 8 0 1,75338 7654 4 0,00054 3437 (0 < х < 1) 2 Аптп^ 1 2 0,85039 1654 0.10520 8694 5 6 0,00002 7115 0,00000 1128 а 0,00872 2105 7 0.00000 0040 8 0,00000 0001 111 (1 + X) 11 0 0,37645 2813 6 —0.00000 8503 (0 < X sC 1) 1 0,34314 5750 7 0,00000 1250 2 —0,02943 7252 8 —0,00000 0188 3 0,00336 7089 9 0,00000 0029 4 —0,00043 3276 10 —0,000(10 0004 5 О.00СО5 9471 11 0.00000 0001 5 ' 0 0,47200 1216 3 —0,00059 6695 2 S АпТ* (х>) 1 -0,49940 3258 4 0,00000 6704 (-Ю < 1) п=0 2 0,02799 2080 5 —0,00000 0047 ЛЯ 5 0 1,27627 8962 3 —0,00013 6587 2 * S Аптп 1 —0,28526 1569 4 0,00000 1185 (-1 < X < и 2 0,00911 8016 5 —0,00000 0007 arctg х 10 0 0,88137 3587 6 0,00000 3821 (—1 < х < 1) х V д г* (х‘> 1 —0,10589 2925 7 —0,00000 0570 2 0,01113 5843 8 0.00000 0086 3 —0.00138 1195 9 —0.00000 0013 4 0,00018 5743 10 0,00000 0002 5 —0.00002 6215 При ]х| >* 1 полагают arctg х — - Ft 2 , 1 arctg — arcsin л 9 0 1,05123 1959 5 0.00000 5881 / V~2 /2Л Х S Аптп <2jcS) 1 0,05494 6487 6 0.00000 0777 2 0,00408 0631 7 0.00000 0107 \ 2 2 / (г—0 3 0,00040 7890 8 0,00000 0015 4 0,00004 6985 9 0.00000 0002 Замечание: Л arccos х = —= arcsin х. При /2/2 < х S а 1 полагают arcsin х = arccos V1 - х2', arccosх — arcsin /Г - х2- ; •(b) Схема на 12 ординат. Вычисление сумм (19) упрощается, если т делится на 4. Удобная расчетная схема при т=12 приведена в табл. 20.6-5.
Схема гармонического анализа на 12 ординат Таблица 20.6-5 Строка Действие и результат 1 2 Данные значения функции Уо У1 Ун У9 У io ys Ул Уъ Уо Уо Уч Уо 3 Сумма 1 и 2 s0 Si S2 sd s4 Si se 4 Рззность 1 и 2 — df d, dB df d^ — 5 Перестановка s0 St S2 Ss dt dB ЙЗ 6 se Sfi Sd - dt d. — 7 Сумма 5 и 6 so s; s; s’ s" 8 1 2 s"s 8 Разность 5 и 6 - Й’ 9 Перестановка и умножение s' Sj d' — s' — s' d’ d’ s" — — — s, s’ на коэффициенты ± 1/2; /3 /2 ьз — — — — — 11 d’ 1 , 1 , _-ls’ — — — — — 2 2 2 2 2 1 2 1 12 ^-d- V3 „ /Г j/з" — — — —s'7 d” —r— d” — —• 2 । 2 2 2 1 2 2 13 Суммз (с 9 по 12) S, Ti S, Тг S„ s« Tt Si, Tr S, T, S, T, 14 6A 0 6Aj 6A} — 6B, 6B„ — 15 Si-Ti 12A * 6Ль 6Л,, 6Л, -6Bj 6B-, 6B, ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ . 20.6-6.
20.8-7. 20.6. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ Отметим более простые формулы для случая, третьего порядка: когда нужны гармоники не выше 6Ав — Уо + yi + у& + ... + Уш 4Аг = ул — + у, — yai 1 ' Ai = -g- (ро — Ув) + А3, 6А3 = Ув — уг + у1—у, + у, — ytl>, &}г = yt — у, + yt — у, + у, — Bi = -g- (р3 — Уа) + B3g (20.6-21) Четыре добавочных значения функции для формулы (22)- часто можно снять непо- средственно с графика функции у (х). (с) Отыскание неизвестных периодических компонент. Если для функции вида f (М) = л cos со. и 4 sin С1Ъ« 4- Ао cos com 4 В sin со,ы 4 ... 4 sin со ы £1 XI a a a a tit lilt > известны нз опыта /V (N > 3m 4 1) значений f0 = f (0), = f2 = f (2b ... < ^_Л = Г(^-1Ъ то COS СОр COS C02f ... f COS C0m определяются как корни (алгебраического) уравнения cos mco — Gj cos (m — I) co — ... — am _ 1 cos co — ~ am = 0,- коэффициенты которого ct^ должны удовлетворять системе, линейных уравнений т— 1 ez = 2 (f‘ + k — 1 + hm + i — k — 1) “ft + fm + I — \am ~ fl — 1 ~ f2m + I — 1 = 0 ft=l - (I — I, 2, ...» N — 2m). Для нахождения m коэффициентов ct^ по методу наименьших квадратов надо решить систему т линейных уравнений /V—2т 5SZ S После того как (0^ найдены, относительно легко нзйти Ak н методом, указанным в п. 20.6-6,- а. 20.6- 7. Разные приближения. ( (а) Более общие методы приближений не ограничиваются линейными агрегатами вида (1), но используют рациональные или другие легко вычислимые аппроксимирующие функции F(x) = F(x\ ar 0t2, ... , а„) с параметрами аг а2.ад. которые определя- ются так,- чтобы минимизировать взвешенную среднюю квадратическую ошибку или наибольшую абсолютную ошибку аппроксимации. (Ь> Метод Падэ дает приближения достаточное число раз дифференцируемой ф»уикции f (х) с помощью рациональных дробей по + а1х + ... + 0т^ i + v + ..i + i,nZ (m, п = 0, 1, 2, ...), (20.6-23) коэффициенты которых определяются из тождества р (0)+ti (0) *+...+4 f'm> ® **”] о+bix+-г+z,nx")— = “о + а1х + — + ап/П' (20.6-2 П Отсюда получается система m4n + 1 линейных уравнений с т 4 п 4 I неизвестными коэффициентами и Ь^. Предполагается, что дробь (20.6-23) несократима. При п = 0 функция, (Ч дает просто отрезок ряда Тейлора (п. 4,10-4),
694 ГЛ. .20, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.6-7. Разные приближения
20.7-1. 20.7. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ Пример. Для I (х) = ех имеем RnmM~ Rmn\-*) В Й40 W = l + * + |x‘+|«'+^»*l Дз1 Дзв (х) = 24 + 18х + б** + х3 24 — 6х ,v>_. 12 + 6Х.+ Х» 1 ' ~ 12 - 6х + х2* (с) В последние годы разработано много методов аппроксимации в связи с цифро- выми ЭВМ. Оптимальная форма аппроксимации выбирается в зависимости не только от вида аппроксимируемой функции, ио и от применяемой машины. Некоторое количество примеров различных типов приведено в табл. 20.6-6. 20.7. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 20.7-1. Численное дифференцирование. Численное дифференцирование чувст- вительно к ошибкам, вызванным неточностью исходных данных, отбрасыва- нием членов ряда и т. д., и поэтому должно применяться с осторожностью. (а) Применение таблицы разностей для равноотстоя- щих значений аргумента (см. также п. 20.4-1). Для дифференци- руемой достаточное число раз функции у (х) -<=D'=[—1п(1+Д)|Г = —Мд--Д2+-Д3-...У, (20.7-1) dZ |_Дх J (Дх) \ 2 3 J так что если х*=х0+&Дх (Л=0, ± 1, ± 2, ...), то %=^'Ь)=°^=^(л^-4лч+1ач--). 1 (20 у'Ь=у" (xk) =D!tyk (д2^-дг%+н Д4^-| дЧ + ••)•/ Дифференцирование интерполяционных формул Стирлинга и Бесселя дает соответственно -•••)’ (207.3 Уь~ (Дх)з 12 + ^вУк~ "•)> 1 (20.7.4) У>г~ (Дх)2 24 &Ук +•••)• J Многие подобные формулы, а также и формулы для аппроксимации про- изводных высших порядков, могут быть выведены путем дифференцирования подходящих интерполяционных формул (см. также рис. 20.9-1). Приведем еще явные трехточечные формулы дифференцирования с остаточными чле* нами! у'-1= гк (“ 3i,-i+ 4i/o ~ у'“ (U у о = 5^ (“ + *1) “ © *1 = 2^ (*-1 ~ 4уч + 3yl) *• "Г- у'“ (20.7-5)
ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.7-2. (Ь) Применение разделенных р аз в осте й (см. также п. 20.5-2, Ь). Дифференцирование интерполяционной формулы Ньютона (20.5-3) для произвольных узлов интерполяции хе, xt, хг; ... дает у(г) <х) =& (х) Дг (х^ х ,... . , + + 4 + 1 <*>Д,- + 1(\’ *• ••«*, + !) + •.. ('=Ь 2- • • где 7-1 F.(x)= 2 (x~xk) (7 = 1.2,...). /г==0 (20.7-6) (С) Ч и с лени О е дифференцирование после сглаживания. Сле- дующие формулы получаются путем дифференцирования многочленов наилучшего сред- неквадратического ^приближения, и поэтому иа иих меньше сказываются случайные ошибки опытных данных п Дх/Г(п + 1)(2п+ 1) -S 1&k+j* (20.7-7) . п При п — 2 это дает уЬ (- 2г,*-2 ~ Ук-1 + «'fe+l + 2^ + s)- °-7-8 Вот еще несколько формул: (3г,Л + 1+ 1%-1+%_2-**-з), уЬ 12Дх Кук-2 ~~ yk + s) ~ 8 (yk-l ~ I'ft + l)]. Vk =* I2ZJ ^*+3 ~%+2 + 18i,ft + l - ~ (20.7-9) (d) Численное дифференцирование по отрезку' ряда Фурье. Если функция р (х) аппроксимирована тригонометрическим полиномом Y (х) (20.6-18), то для производной р' (х) можно получить оценку п (20.7-10) 20.7-2. Численное интегрирование для равноотстоящих узлои. (а) Квадратурные формулы Ньютона — Котеса. Квадратурные формулы Ньютона—Котеса замкнутого типа (табл. 20.7-1) основаны, на аппроксимации хе + лДх J у (х) dx«=o0(/04-a1(/14-d2z/24-...+«„y„, X» где (20.7-11) (— Dn~ft Дх Г Л (Л — 1) (Л — 2) -... (X — п) аЬ ~~ fe! (п — А)1 J . (X — К) 0 yk=y (хд)—данные значения функции для nj-l равноотстоящих значений аргумента xft = x0-f-AAx (fe—0, 1, 2, ... , п). Формулы являются точными, если у (х)—многочлен степени не выше чем п. Вместо того чтобы применять зва-
20.7-2. 20.7. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 697 Таблица 20.7-1 Квадратурные формулы Ньютона—Котеса, замкнутый тип / № х0 4- п Дх Г J у (х) dx — 1 х0 Погрешность 7 — 7' (х0 < £ < Хо 4- л Дх) 1 Правило трапеций (/2 = 1) &х -g- (До + Д1> — &хгУ" (Е) 2 Правило Симпсона (п = 2) ДХ. 1 Л 1 V • ~з" - Дхвр14) «) . 3 Правило Уэддл я (п = 6) *) з *10^ Дх (Уо + tyi 4- У1 Ч- 4- ЪУз + Ул 4- %В 4- У») + едх2р,ю (go) •) При выводе правила Уэддля точный коэффициент 41/140 при Дв//0 заме- нен иа 3/10. чения п>6, складывают т сумм вида (11) 'при и^б для последовательных подынтервалов: х0-^тп &х J y(x)dx= Хо х0 4- п &х х0 4~ 2/1 Дх х0 + тп &х = J y(x)dx+ j j/(x)dx4-...+ J y(x)dx. (20.7-12)' Хо х. + лДх x0 + (m—1)пДх (b) Фо рмула Грегори. Симметричная квадратурная формула Грегорн х04~п Дх $ у(х) dx^Ax[(4jfo+J'1-b--+j/n-1 + yl/n)+4(Alfo—Aj/n-i) — *о -4 (А^о+А2^-2) + #о(Л3^+Л3^-8)-^(Д4Уо+Д4Уп_4)+...] (20.7-13) дает поправочные члены к правилу трзпеций (табл. 20.7-1). Если эта фор- мула доведена до разностей порядка 2т, то она является точной для много- членов у (х) степени не выше (2m-f-l) (пг=0, 1, 2, ...). I В частности, отбрасывание всех разностей дает правило трапеций х„+лДх . J у(х) ахъЬх (“2''VH/1Z/2 +••• + ^п-1 + ~2Уп\ (20.7-14) точное для линейных функций. Отбрасывание разностей третьего порядка и выше дает формулу х0 -f-н Дх J y[x)dx^ (24^0+ 24^1+"24 У» + + ДЯ + ... + Д„_я + 4 «'л-2 + 4 vn-i + ~24 уп}' (20>7’15) точную для многочленов у (х) третьей степени.
698 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.7-3. (с) Применение формулы Эйлера — Маклорена. Формула суммиро- вания Эйлера — Маклорена (4.8-10) дает ряд квадратурных формул, содержащих, кроме значений у (х), также и значения ее производных = у* (хд>), У^ = у" (*&)«. •• Полу- чающиеся квадратурные формулы J у(х) + "”^) + 720 (^" ~ Уъ") — • •• <20-7-!6) х0 дают поправочные члены к правилу трапеций (табл. 20.7-1). 20.7- 3. Квадратурные формулы Гаусса и Чебышева ь (а) Интеграл ^y(x)dx с помощью замены переменных а (20.7-17) 1 приводится сначала к виду J ?] (£) dg. Квадратурная формула Гаусса’, —1 1 п ‘ . \ Ч(g) 2 akТ) (lk), ay — , ,s. * (n= 1, 2, ...), (20.7-18) где n значений аргумента являются корнями многочлена Лежандра Рп (£) (п. 21.7-1). Абсциссы и веса а* для некоторых значений п приведены в табл. 20.7-2. Погрешность квадратурной формулы Гаусса (18) равна <*<*<*> (Ь) Квадратурные формулы Чебышева применяются тоже после предвари- тельной замены переменных (17); они имеют вид 1 । J П (fe) dg «= ~ (6i)+П &) + • • •+П (?/.)] («=2. 3, 4, 5, 6, 7, 9). (20.7-20) —1 Абсциссы Z,k приведены в табл. 20.7-2. Применение равных весов минимизирует вероятную ошибку, если значения у(х) подвержены нормально распределен- . иым случайным ошибкам. При п = 3 погрешность квадратурной формулы (20) равна (~2~^ la<X<b). (с) Отметим еще квадратурную формулу Лагерра оо п где Ед, —корни многочлена Лагерра Ln (£) (п. 21.7-1), и квадратурную формулу Эрмита оо л п+1 __ е-62Г)(6)^^ 2 afen(Bft), g*= <«=» 2- ). ‘2и-?-22> —оо А==1 где — корни многочлена Эрмита (|) (п. 21.7-1). Абсциссы и веса для формул (21) и (22) приведены в табл, 20,7-2,
20.7-3. 20.7. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 699 Таблица 20.7-2 Абсциссы и веса для квадратурных формул. (а) Абсциссы и веса ak для квадратурной формулы Гаусса (18) п Абсциссы Веса п Абсциссы Веса 2 3 ± 0,577350 0 ± 0,774597 1 8 9 5 9 4 б + 0,339981 ±0,861136 0 ± 0,538469 . ±0,906180 0,652145 0.347855 0,568889 0,478629 0,236927 (Ь) Абсциссы g* для квадратурной формулы Чебышева (20) п Абсциссы п Абсциссы 2 + 0,577350 7 0 3 0 м- 0,707107 ± 0,323912 + 0,529657 4 + 0,187592 + 0,883862 + 0,794654 9 0 5 0 -ь 0,374541 -1- 0,832497 ± 0,167906 ± 0.528762 + 0,601019 6 ± 0,266635 ± 0,422519 ± 0,866247 ±0,911589 (с) Абсциссы и веса аь для квадратурной формулы Лагерра (21) (d) Абсциссы и веса ак для квадратурной формулы Эрмита (22) п Абсциссы Веса 2 0,585786 0,853553 3,414214 0,146447- 3 0,415775 0,711098 2,294280 0,278518 6,289945 0,0103893 4 0,322548 0,603154 1,745761 0 357419 4,536620 0,0388879 9,395071 0.0005.39295 5 0,263560 0,521756 1,413403 0,398667 3,596426 0,0759424 7,085810 0,00361176 12,640801 0,0000233700 п Абсци ссы Веса 2 ± 0,707107 0,886227 3 0 1,181636 ± 1,224745 0,295409 4 ± 0,524648 0,804914 ± 1,650680 0,0813128 5 0 0,945309 ± 0,958572 0,393619 +- 2,020183 0,0199532
ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.7-4. Отметим также квадратурную формулу Гаусса— Чебышева 1 п С 11 At "V „ ™ /£ ч fc 2А — 1 /к. и я J JqtrgF 2j <6*)- °ft=—• £* = c°s-^--" (* = 1. 2, ...,-Ч). . ' ’ ' (20.7-23) где — корни многочлена Чебышева Тп (х) (п. 21.7-4). 20.7-4. Построение и сравнение квадратурных формул. (а) Коэффициенты ау и абсциссы х^ квадратурной формулы b . J у (х) у (х) dx «а Оо у (х0)+ary (xt)+..;+ап у (хп) (20.7-24) а можно получить разными способами. 1. Можно потребовать, чтобы формула была точной для у (х) = 1, з£, х2, ... .... хт (m<z2n). Это дает m-j-1 уравнений для неизвестных'а* и Хд,: Ь J хг у (х) dx=TZ0xJ)4-«1Xj + ...+«nx' (r=0, 1, 2, .... т; т<2п). (20.7-25) 2. Можно* предписать некоторые или все абсциссы х* (формулы Ньютона — Котеса, Грегори) или все ak (формулы Чебышева). При этом некоторые абсциссы могут находиться вне области интегрирования. 3. Можно наложить на веса условия симметрии (формула Грегори) или условия минимизации влияния ошибок округления. Для последнего условия всё веса ak должны быть положительны. Относительная ценность этих требований зависит от области применения. ' (Ь) Формулы интегрирования типа Гаусса, наприцер, (18), точны для многочленов степени ^2п—1, в то время как формулы Ньютона — Котеса точны лишь для многочленов степени ^п. В этом смысле формулы Гаусса лучше для функций, имеющих, производные'высоких порядков. Если же функ- ция имеет только кусочно-непрерывную первую производную, то лучшей может оказаться формула трапеций. Имеются обобщения квадратурных фор- мул Гаусса, которые оказываются точными для тригонометрических полино- мов и других специальных функций. 20.7-5. Вычисление кратных интегралоа. Кратные интегралы можно вычислять повторным-применением методов, описанных в пп. 20.7-2 и 20.7-3. Для двойных интег- ралов можно пользоваться формулами h h S 5 f {x' y} dx dy IT (2foo + fio + fol + Li.o + fo. -1) t20-7’26» —ft—ftz или {Симпсона) ft ft J J f (x, У) dx dy «= -g- [16100 + 4 (fj0 -f- fol + 0 -f- fOi + —ft—ft + fii + fi.-i + f-i,i + f-t,_1] t (20.7-27) где f/k=f U &x, k&y), Ojc = O.y = h. (/, ft=0, ±1). Для тройных интегралов: ft ft ft S § $ dx dy dxs<s~^ & Uloo + folo + foot + t—ii oo + ^o.—I. о + ^oo. —1)> —ft -ft (20.7-28)
20.8-2. 20.8. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 701 iijk = f Ч Дх, 1 by, k Дг), Дх=Д#=Дг=’Л. (i, /, k = 0, ± 1). При этом область интегрирования разбивают на части с помощью декартовой сетки координатных линий илн поверхностей. Простейшая двумерная формула интегрирования гауссова типа есть 11 3 3 f f / и, м dx dy ъ £ у; (\-, ьй), —1 —1 1=1 4=1 где ' ___ ____________________ х., = — К з/б, а*=о, а,3 = Кз/5, ) О1 = 5/9, о2 = 8/9. cg = 5/9; aik = арь. j (20.7-29) Для многомерных интегралов больший интерес представляют методы Монте-Карло, п. 20.10-1. 20.8. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 20.8- 1. Вводные замечания. Численному интегрированию иногда целесо- образно предпослать грубое графическое решение (п. 9.5-2) для ориентировки. Решение начальных задач (Коши) рассматривается в пп. 20.8-2—20.8-8, реше- ние краевых задач — в пп. 20.9-1 и 20.9-3. При численном интегрировании дифференциального уравнения первого порядка л- y'=f(x,y) (20.8-1) с данным начальным условием y(x(t)=yQ выберем фиксированное приращение Дх=Л независимого переменного х и введем следующие обозначения: х*=х0-|-йДх (А—0, 1, 2, ...); вычисленные (вообще говоря, приближенные) значения решения у(х) и про- изводной у' (х): yk == у (х*) = у (х0+k Дх), 1 Ук ~fk=f(xk> Уъ) У (xk) J (й=0, 1, 2, ...). (20.8-2) Отвлекаясь от ошибок округления, разность уь+1—y(Xk+i) между вычис- ленным и точным значениями решения назовем ошибкой усечения. Если в фор- муле численного интегрирования заменить точные значения y(xk), y(xk_1), ... на Vh’ Ук-к то разность уь+]—у(ху+1) даст локальную ошибку усечения. Полная ошибка усечения вызывается не только локальной ошибкой, но и распространением ошибок от более ранних шагов интегрирования (п. 20.8-5). 20.8- 2. Одношаговые методы решения задачи Коши. Методы Эйлера и Рунге — Кутта. (а) Метод Эйлера состоит в пошаговом применении простой формулы ^+1 = ^'+/лДх (£=0,1,2,...). (20.8-3) Он дает хорошее приближение решения только при достаточно малом Дх=А и только для нескольких первых точек. Модификации этого метода опреде- ляются формулами: yk^yk+f{xk + ^, yk+fk^yx, (20.8-4) yk+i = yk+^-[fk+f(Xk+i' Vk+fk^x)] Дх. (20.8-5) (b) Методы Рунге—Кутта различных порядков приведены в таб- лице 20.8-1. Методы (а) и (Ь) называют методами третьего порядкаг так как
702 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.8-2. Таблица 20.8-1 Некоторые методы Рунге—Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений (п. 20.8-2) и систем таких уравнений (п. 20.8-6) В каждой формуле &х =• f (х^ у&] кх. (а) ^+1==^ + 4‘(*1 + 4*г + *з)-- fta = f (*й+1Р ^+т)й*' k3 ~f (Xk + Д*' ^fe'+ 2*2 ~ *l) 4Xi ’ * (Ь) vk+i = vk + T + 3*з)- *3 =f + T Да:< «k+Tk^x‘ (с) Uk+i^Vk + T <*i + 2*s + 2k* + k4>’ - Jft* Й* ft* ft» « • to II II II ** ft* ft* + + + »? £ + + + кэ|5Г ю|5* > — И > > (d) ^fe+1= vk + T (ki + + 3*S + *«)• *a = f (Л* + Т‘ {'* + т)Дл' *3 = f(zA+TAz- *k~T+iii)&x> = f (Xk + ^X< «k + kt - *2 + fts) Дх: (е) ^ + 1 = Vk + 4" 1*1 + (2 - VT> *2 + (2 + *3 + *d- *2 = f (^ + ^- ^+Т)ДЛ:’ *3 = ф* + Vk - (у -тг) ft‘+ (‘ -?г) M Дл' *4 = ф* + Д*. Vk~^ki+(l +?г)Ч ДХ- — *
20.8-3. 20.8. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 703 формулы для уь+1 являются точными при f(x, у)=1, х, х2, х3; для достаточ- ное число раз дифференцируемой функции f (х, у) локальная ошибка усечения имеет порядок О (Дх4) при Дх —> 0 (п. 4.4-3). По аналогичным соображениям методы (с), (d), (е) называют методами четвертого порядка. Из них метод (с) является'наиболее употребительным. 20.8- 3. Многошаговые методы решения задачи Коши. (а) Н а ч ало решения. Сверх заданного начального значения у0 каж- дая из приведенных далее схем решения требует вычисления еще нескольких значений функции ylt yz, ..., что может быть сделано одним из методов пп. 9.2-5, 20.8-2 нли 20.8-4. Это «начало решения» должно быть вычислено с большей точностью, чем требуется для всего решения, ,по крайней мере в 10 раз. Если для начала решения применяется метод Рунге—Кутта, то вели- чину шага Дх=Л для него надо брать меньшую, чем для последующей схемы расчета. (Ь) Простые экстраполяционные схемы. Если уже известны yk, (/k-it Ук-г> то для аппроксимации последующего значения решения У(*А-ы)^Ук+ J fix, y)dx (20.8-6) xk интегрируют вместо f(x, у) какой-либо интерполяционный многочлен, опреде- ляемый значениями /*, fk-i, fk-г* (экстраполяция). Применяя вторую интер- поляционную формулу Ньютона (20.5-6), получают формулу Адамса Ук+1=Ук+(^ + т + +725?*fk+ jg V%+-) bx. (20.8-7) Обрывая общую формулу интегрирования (7) последовательно на разностях все более высоких порядков, получаем формулу Эйлера (3), правило трапеций = - fk -1) (20.8-8) формулу третьего порядка »k + l = + 12 <?3fk - 16/й-1 + 5fk^) <20-^5) и формулу Адамса — Башфорта четвертого порядка, приведенную в табл. 20.8-2. (с) Методы типа «прогноз — коррекция»-» изменение величины шага. Обозначая «предсказанное» (прогнозированное) значение yk + j по формуле (7) через и соответствующее значение функции f через /^₽^Др можно ,с помощью значения =/(** +1- ₽() УлУчшить аппроксимацию J((x*+1). При этом уточненное, скорректированное значение использует предсказанное значение /А+1 в квадратурной формуле замкну- того типа и _ „корр %+ 1~У& +1 =^+(/д+1-| V7*+i- й Vsfk+i-^fk+i~ v»ffe+1-...) Дх. (20.8-10) Формула коррекции (10) усекается подобно формуле (7) на разностях соответствующих порядков. Получающаяся разность У%°^ — У/^Ч между скор- ректированным и предсказанным значениями может. служить для оценки локальной ошибки усечения; при подходящем выборе приращения Дх=Л эту ошибку можно сделать меньше заданного допуска.
704 - гл; 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.8-4. Чтобы уменьшить вдвое величину шага расчета h = Ax, для формул чет- вертого порядка применяются следующие интерполяционные формулы: Vk [4^*+72№-т + 1^*-г+(—9/*+36/й_1 + 3/й_г) Дх], 1 2 , ' | (20.8-11) У , 1 =_128 П1^*+72№-1+4%*-г’-(3/:й+36/;й_1—9ffe_2) Дх]. I й+-2 J Чтобы увеличить вдвое величину шага расчета, достаточно использовать найденные значений решения через одно. 20.8- 4. Улучшенные многошаговые методы. (а) Более общие формулы интегрирования открытого типа (используемые как предсказывающие) и замкнутого типа (используемые как формулы коррек- ции) можно записать соответственно в виде Уь+1=^ьУь+A iUk -1+А 2уь _ 2+A3yk _ з+ +(Bofk + Bifk-i + B2f/l_2-^Bsfk_3) Лх (предсказание)', (20.8-12) Pk +1= a0&k + а1УЬ -1 + аъУк - 2 + r-H&-if* + i+W* + 6iffe-i + W*-2) А* (коррекция). (20.8-13) Обычно не принято определять все коэффициенты из условия, чтобы каж- дая формула была точйой для функций f(x, у)=1, х,. х2, ... Вместо этого тре- буют согласования лишь до гленов четвертого порядка (т. е. до х1 включи- тельно), а остающиеся свободные коэффициенты выбирают так,, чтобы умень- шить распространение ошибок или чтобы упростить вычисления (п. 20.8-5). В табл. 20.8-2 приведены некоторые наиболее употребительные формулы чет- вертого порядка. (Ь) Применение модификаций. В каждом методе «предсказа- ние-коррекция» разность у£°^ — почти пропорциональна локальной ошибке усечения. Поэтому можно уточнить решение с помощью следующей модификации. До' подстановки предсказанного значения у^1} в формулу кор- рекции к нему прибавляют поправку а (</“ор.₽—у£ред). пропорциональную ука- занной разности на предыдущем шаге расчета, а затем от скорректированного значения у^р вычитают величину (1—а) (^°+₽—^**+*1) для получения окон- чательного значения y^+i (табл. 20.8-2). (с) В'мето д е Д имсдейла четвертого порядка производится итерация по фор- мулам ^+l==4(^+*,* + 2) + |(f*-f* + 2) ДЛ’ 1 ( } (20.8-14) д*+2 = 4'* + 'з (fk+4fk+l + fk^2) &х- J начиная с некоторого выбранного, значения Рл+а» например, ^Ри этом метод допускает изменение величины шага путем простой подстановки нового зна- чения Дл. Этот метод не требует специального расчета начала решения, но после того, как решение начато, можно избежать итераций с помощью применения- экстраполяции для предсказания l//g+2- 20.8-5. Сравнение различных методов решения. Контроль величины шага и устойчивость. (а) Формулы интегрирования, выбранные из-за малой локальной ошибки усечения, могут способствовать накоплению ошибок в последовательности зна- чений решения. Выбор метода решения дифференциального уравнения требует некоторого компромисса между учетом локальной ошибки усечения, устойчивостью и аре-
20.8-6. 20.8. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 705 Таблица 20.8-2 Некоторые методы четвертого порядка типа «предсказание1—коррекция» "Каждая схема может быть использована как с модификацией, так и без нее. Моди- фицированные значения обозначены через ^°д ^МОД =//хь рм°Д к Во всех к + 1 k+ 1 \ Я + 1 k+lj случаях величина уточнения в последней строке дает верхнюю грань локальной ошибки усечения. г (а) Предсказание по Адамсу—Вашфорту с коррекц не й по Адамсу-Мултону и модификацией (55fk - ™k-l + 37^-2 - 9fft_s) ^Д=уП₽еД + ^(у-РР-уПреД) ^°₽!Р = + 4* (9/Я + 19f* “ 5fk-1 + fk -2) ^+1=Cpf-^(^°+pf-^p+T) (b) Метод X ем м инг а (2fk~fk-l+2fk-2) та=ет+4т(тар-^ред) тар=4- (% -^-8)+т (та+-та) . ^+1=тар-ы(тар-тад) > (с) Метод Милна, модифицированный Хеммингом, имеет относительно малую локальную ошибку усечения, но является неустойчивым, если df/dy отрица- тельна или представляет матрицу с отрицательными собственными значениями ет = ^_з + т(2^-^-1 + 2^-з) дл та=тад+1(тар-*гд) тар=+4- (та+% та=срг-4нтар-тад) мнем расчета. Сверх этого предпочтительнее те формулы, в которых слагае- мые имеют одинаковые знаки и не слишком отличаются по абсолютной вели- чине. так как при атом уменьшается влияние ошибок, вызванных округлением. Окончательный выбор зависит от области применения и от применяемых вычис- лительных средств. Часто применяется двойная точность вычисления значений переменных. Если данная функция f(x, -y) очень сложная, то основное время расчета связано с вычислением ее значений. Для задачи Коши с умеренно гладкой функцией f (х, у) многошаговые схемы интегрирования требуют относительно мало вычислений производных и допускают экономный автоматический конт- роль величины шага по величине |у^рр—Методы Рунге—Кутта очень устойчивы (п. 20.8-5) и не требуют отдельной программы для начала
706 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ ' 26.8-6. решения; поэтому они предпочтительнее для задач, связанных с частым изме- нением шага. Но методы Рунге — Кутта требуют относительно большого коли- чества вычислений производных на каждом шаге и для них весьма сложен эффективный контроль величины шага. Чтобы оценить локальную ошибку усечения для контроля величины шага в мето- дах Рунге—Кутта, можно сравнить результаты, полученные при разной величине шага (используя, по возможности, ужр накопленные значения производных), или же иссле- довать подходящие функции от 1г Для часто применяемого метода Рунге — Кутта (с) из табл. 20.8-1 величина е =3fft+1 Дх -Ь kt — (20.8-15) дает грубую оценку локальной ошибки усечения. (Ь) Устойчивость приближенного решения уй, yti y2f ... уравнения (1),- вычислен- ного с помощыд многоточечной формулы г/*+1 = + AiVk-t + ... + ArVk_r + + + BDfk + + ... + bxs (20.8-16) зависит от устойчивости соответствующего линеаризованного разностного уравнения для последовательности ошибок е0, е2, ... , а именно е*+1 + A1Ck-l+ — + Arek-r + + % <Б-1е^1 + В^ + В^-1+- + Вг^-г) <20-8-17) (п. 20.4-8). Отвечающее ему характеристическое уравнение (- 1 + B-tAft) zr+1 + (А„ 4- B0Aft) гг(A, + B,Aft) z^1 + ... ... + И_4-В Ah) = 0, (20.8-18) оу |х = Xk h = &х. будет иметь корень =i=exp Ah при малых значениях I Ah Если А — I _______ >> 0. Оу |х — х& то соответствующее собственное колебание последовательности ошибок будет неустойчи- вым; но таким же будет и точное решение у (х) вблизи х — х^, так что относительная ошибка может оказаться и незначительной при малых Дх. При г —0 (простой одношаговый метод) корень zt будет единственным. Прн г>0 уравнение (18) будет иметь дополнительные корни, отвечающие побочным колебаниям в вычисленном решении, возникающим вследствие разностной аппроксимации высокого порядка. Для относительной устойчивости вычисленного решения требуется, чтобы все такие дополнительные корни при рассматриваемых значениях Дх лежали внутри еди- ничного круга | z | < 1 (п. 20-4-8). Наибольший риск существует при изменении шага (которое, подобно ошибкам округления, может вызвать побочные колебания) и вблизи границ устойчивости исход- ного дифференциального уравнения. Если есть подозрение в возникновении такой ситу- ации, то его можно проверить путем искусственного введения малого возмущения. Устойчивость схем «прогноз — коррекция» зависит н от предсказывающей формулы- и от формулы коррекции, но в большей степени от последней, если величина коррекции мала. 20.8- 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений. (а) Каждое обыкновенное дифференциальное уравнение второго или более высокого порядка равносильно системе уравнений первого порядка (п. 9.1-3). Если записать последнюю в матричной форме п. 13.6-1, то кажый метод реше- ния из пп. 20.8-2 — 20.8-4 дает аналогичный метод численного интегрирования системы. (Ь) В частности, рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида y'=f(x, у, г,z'=g(x, у, г, (20.8-19) с решением у=у (я), г=г(х),...
20.8-7. го.8. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ УРАВНЕНИЙ тит Интегрирование системы (19) методом последовательных приближений Пикара млн с помощью рядов Тейлора по существу уже описано в п. 9.2-5. .Метод Рунге—Кутта применяется по схеме, подобной п. 20.8-2, Ь: . У/г+i=Vk+ё" (^1++2^з+fej), z*+i —г*+у V’ti+2»i2+2/ns+m4),... г где ki=f(xk, yk, zk, ...)Дх, mi — g(xk, yk, zA, ...)Дх,... . + za+^,...Ux, \ J (20.8-20) m2~Уа+41’ й+Д*> "•! fe3=/ (xk+ %.Уь+%, Zfc+^,...) ДХ, m3 = g^X* + yk + ~, Zk + ~, ...j X,...T ki=f(xk + ^, yk+ks, zk+ms, ...)Дх, ^4=§(х*+Дх, yk+ks, zk+ms,...)Kx,... Любая разностная схема из п. 20.8-3 может быть применена к каждому из уравнений (19) с обозначениями У (xk)=yk, г (xk) = zkt..., 1 f(xk,yk,zlt,...)=fk, g(xk, yk, zk,...)=gkf... J (20.8-21) (с) Устойчивость точного решения y — y(x) системы в матричных обозна- чениях d/x = f^y) зависит от матрицы (df/dy) (п. 13.6-5). Уравнение (17) становится матричным, разностным уравнением; при исследовании относительной устойчивости собствен- ные .значения этого уравнения надо сравнивать с собственными значениями матрицы (df/dy) |х = Хд, [20.12]. 20.8- 7. Специальные формулы для уравнений второго порядка. Ввиду практической важности дифференциальных уравнений второго порядка пред- ставляют интерес приведенные ниже схемы численного интегрирования диф- ференциального уравнения * У”—f (х, у, у') (20.8-22) при начальных условиях у(х0)=у0, у' (х0)=у^; в этих схемах введены обоз- начения: хй+k Кх=хк, у (xk) = yk, у' (xk)=у & f (xk, yk, yk) = fk (fe=0, 1, 2,...). (20.8-23) Приведенные ниже методы могут быть распространены на системы уравнений второго порядка так, как указано в п.20.8-6.
708 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ (а) Метод.Ру нге—К у тта для у р а в н е н и я (22): Ум — Vk+y'k bx+-g (fei+ks+ka) &x, У/г+1 = Уь~1~Т (ki + 2k2+2k3-l-ke), где ki=f (xk, Vk, y'k) bx, kt—f(xk+^,,-yk + ykY’ Vk+^bx, ka=f £**+ jF> yk+y'k ^+^bx, y’k +^&X, kt—f (xb-^-bx, yk + y’k A»+ -y Ax, + bx. (b) Интерполяционно-итерациовная некоторого пробного значения /й+1, итерируют Ук +1 = 2Ук—Ум + (fk+Тг V'2 fk+ij bx2„ y‘k+x = y'k-\ + (2/a+j v2/fc+i) bx. схема. Начиная с (20.8-25) (с) С х е м а «предсказание—коррекциях *4+1 =*4—3 + 4 &fk~ ?м+2?м) bx («предсказание»), Ум = Ум+1 Wk +1 + 4*4+У'к -1) bx, Ук +1 = Ум i + 4 (4+i+4/fc+/й-i) bx («коррекция»). (20.8-26) Бели f (x, у, у’), ие содержит явно у', то можно применять в качестве предсказывающей формулу ^fc+T=2Ум—Уь_з+ "з (fk-J-fk-i +fk-i) bx2, (20.8-27a) а для уточнения формулу (Штермера) = 2Уь-Ум + ± (/ЭТ+ 10/ft +fk-i) bx2 (20.8-276) (см. также п. 9.1-5, Ь). (d) Метод Нумерова для линейных уравнений (см. [20.12]). Линейное дифференциальное уравнение вида y" = f <x)y+g{x) (20.8-28) можно решить с помощью одной лишь формулы коррёкции (27Ь); подставляя в уравне- ние (28), получаем “м = 2uk - иМ + [ fk«k + g* + 12 <g*+l - 2g* + g*-l)] Дл2‘ где (20.8-29) 20.8-8. Анализ частотных характеристик. Если дана устойчивая формула интегри- рования (12), то синусоидальный ввод k вызовет синусоидальное решение
20.9-2. 20.9. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ; ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ' 709 #£ = Н.(/®) (так же как в п. 9.4-6). Подстановка дает частотную характеристику (20.8-30) Здесь формулы интегрирования можно толковать как приближения к идеальному оператору интегрирования — по амплитуде и фазе. Для уменьшения распространения ошибок округления надо, чтобы ошибка Н (Zo) —Д- убывала с частотой, см. [20,12]. I 20.9. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ; ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 20.9-1. Вводные замечания. В пп. 20.9-2— 20.9-5 описываются разностные методы, применимые для численного решения краевых задач как для обыкно- венных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с частными про- изводными, а также и для численного интегрирования гиперболических и параболических уравнений с частными производными. Кроме описанных здесь методов имеются еще следующие методы решения. ’ Приведение уравнения с частными производными к обыкновенным диффе- ренциальным уравнениям, путем разделения переменных (пп. 10.1-3 и 10.4-9), решения характеристического уравнения (пп. 10.2-2 н 10.2-4) или метода характеристик (п. 10.3-2). Приведение к вариационной задаче (пп. 11.6-9 и 15.4-7) н решение ее прямыми методами, например .методом Ритца (п. 11.7-2). Приведение к интегральному уравнению (п.15.5-2), которое можно решать прямыми методами или с помощью методов аппроксимации п. 20.9-10. Методы возмущений для решения задачи о собственных значениях описаны в п. 15.4-11. 20.9-2. Двухточечная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. также пп. 9.3-3, 15.4-5 и 15.5-2). Двухточечная краевая задача, т. е. задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравне- ния, удовлетворяющего краевым условиям на границе интервала (а, Ь), может быть сведена к задаче Коши методом п. 9.3-4. Более подходящим может оказаться следующий разностный метод. Разделим данный интервал (а, Ь) на равные промежутки точками .х0 — а, Xi—Xg-j-Ax, х2—х0-{-2Дх, .... хп=х0-|-яДх=& и заменим каждую производную и в дифференциальном уравнении и в крае- вых условиях соответствующим разностным отношением того же порядка (п. 20.7-1, а, рис. 20.9-1 и 20.9-6). Это позволяет аппроксимировать данное дифференциальное уравнение разностным уравнением того же порядка. Числен- ное решение разностного уравнения сводится к решению системы уравнений относительно неизвестных значений функции у^=у (x0-j-k&x) (пп. 20.2-5 — 20.3-2). При расчетах вручную особенно удобны релаксационные методы (п. 20.3-2, с). Пример. Чтобы найти решение уравнения = 0, удовлетворяющее краевым условиям у(0) = 1, р(1)=0, делим интервал (0, 1) иа^п промежутков длины At == 1/п и, заменяя === получаем разностное уравнение «'А-Н - + ^-1 + I = ° = * 21 - ‘ п~ °
710 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.9-3. (20.9-1) с дополнительными условиями Уо — 1.- уя = 0. При п = 4 (ft = h 2, 3) получаем следующую систему относительно Ул, Ул, У», — 1,99^> 4~ Ул = — 1 Ул — Ii99//a4- Уг = 0, Ул — 1,99//, = 0. 20.9-3. Обобщенный метод Ньютона (квазилинеаризация). Хотя численные методы пп. 9.3-4 и 20.9-2 применимы как к линейным, так и к нелинейным двухточечным крае- вым задачам, зги методы легче применять к линейным задачам. Для решения важного класса нелинейных двухточечных краевых задач вида у" = f (х, у, у'} (а < х < 6),. Ч> [У (о). 1/ (а)] = 0* Ф [У (Ь)> У' №)] = 0 часто применяется метод квазилинеаризации. Начиная с пробного решения рЮ (х), которое удовлетворяет заданным краевым'условиям,' получают последовательные прибли- жения Д23(л)< ... путем решения линейных задач р"[/+1] = f (х, рЕЛ, р’ЕЛ) 4-f^ (х, рЕЛ, р’ЕЛ) (р[/+ П — J71) + + ^(х,рЕЛ,р-ЕЛ)(р-[/+1]_р-ЕЛХ Ч>р[р[Л (а), р’ЕЛ (а)] [рЕ/+ П (а) — рЕЛ (а)] -р ’ . ’ . . . (20.9-2) + <9У' [рГ-73 (а), р’ЕЛ (а)] [р’Е/+ Л (а) —р’ЕЛ (а) ] = 0, % 1р[Л (t). р’ЕЛ (Ь)] [рЕ/+ Ц(Ь) - рЕЛ (Ь)] + + [/ДЛ (Ь). ИЛ (Ь) ] [р'Е/+ Л(Ь) —уЕЛ (Ь)1 =о. Этот метод без труда обобщается на системы дифференциальных уравнений с помощью матричных обозначений п. 13.6-1 и является обобщением метода Ньютона п. 20.2-8: подобно последнему, он может сходиться весьма быстро. Здесь можно сформулировать и общие условия сходимости, но удобнее проверять сходимость методом проб. 20.9- 4. Разностные методы численного решения уравнений с частными производными для случая двух независимых переменных. Методы решения задач для уравнений с частными производными аналогичны изложенным в п. 20.9-2. Введем подходящую сетку значений координат х,=х04-1Дх, ук= =y9+k&y (i, fe=0, ± 1, ±2, ...); неизвестная функция Ф(х, у) будет представлена дискретным множеством своих значений Ф(х>, у у) = Ф,*. Аппрок- симируем каждый дифференциальный оператор соответствующим разностным оператором того же порядка так, что любая производная будет аппроксими- рована соответствующим разностным отношением. Получаемое разностное уравнение будет давать систему уравнений для неизвестных значений Ф,*. Наиболее важные задачи приводят к следующим ситуациям. 1. Краевая задача для эллиптического уравнения (например, задача ^Дирихле для ’р2ф=0, п- 15-6-2) приводит к системе N линейных уравнений относи- тельно N неизвестных Ф;д,. Большое число уравнений и неизвестных, связанное с такими разностны- ми методами, затрудняет решение задач даже на больших ЭВМ. С другой стороны, характерные особенности разностных операторов, получающихся для обычных линейных уравнений с частными производными второго и чет- вертого порядков (табл. 10.4-1), приводят к системе линейных уравнений с «разреженными» матрицами, которые имеют мало ненулевых членов вдали от главной диагонали. Поэтому к таким задачам хорошо подходят итераци- онные методы п. 20.3-2. 2. Линейная задача о собственных значениях (например, у/2Ф=^ф с под' кодящими краевыми условиями, п. 15.4-1) приводит к задаче о собственных значениях некоторой матрицы. 3. Задача Коши для параболического или гиперболического. уравнения (в. 10'.3-4) приводит к системе уравнений если выбранная схема сведения к раз-
80.9-е. 40.9. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ» ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 711 постным уравнениям сопоставляет каждое неизвестное значение Ф л с другим неизвестным, так же как и с известным, значением функции (неявные методы решения заДач Коши). 4. Если для производных по времени в задаче Коши применяется разност- ная аппроксимация (п. 20.7-1), те мы получаем рекуррентные формулы для по ледовательных значений Ф,£, начинающихся от заданных начальных значе- ний (явные методы решения задачи Коши). Вообще говоря, явные методы решения задачи Коши требуют меньше вы- числений, чем неявные методы, но в рекуррентных схемах распространение ешибок и вопросы устойчивости подобны тем, которые возникают при числен- ном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений. Как и в последнем случае, аппроксимация может быть улучшена с помощью метода «предсказание — коррекция», аналогичного рассмотренному в п. 20.8-3 (см. также и. 20.9-8). 20.9-5. Двумерные разностные операторы. На рис. 20.9-1—20.9-6 приве- дены часто встречающиеся линейные разностные операторы. В частности, каж- дая диаграмма на рис. с 20.9-1 по 20.9-5 дает центрально-разностное выраже- ние для центра «звездочки» через взнешенную сумму значений функции «свер- ку», «снизу», «справа» и т. д. относительно центра} каЖдый весовой коэффи- циент помещен в соответствующем узле сетки. Например, рис. 20.9-1 надо понимать так: /М^^Ф^Н №)+Ф;(х(-—/I, «/й)+Ф(хг, г/л+л)+Ф(х/, i/л—А) — —4Ф(Х|, г/л)=Ф/ + 1,л+ф/-1. л+фг. л + 1+Ф/, л-i-4Ф/л, где й = Дх=Ду есть шаг сетки по обоим переменным х и у. Рис. 20.9-1 применяется для сетки прямоугольных декартовых коорди- нат при равных шагах по х и у. Рис. 20.9-3 применяется при изменении шага сетки, либо чтобы приспособить ее к неправильным границам, либо чтобы увеличить точность вычислений в некоторой области, представляющей особый интерес. В любом случае используемая сетка может быть уточнена после первых грубых подсчетов. Рисунки 20.9-2, 20.9-4 и 20.9-5 демонстрируют разностные операторы для сеток, отличающихся от прямоугольных декартоных. На рис. 20.9-6 приведены разностные операторы для интерполирования вперед и назад. Для расчетных целей сетка точек (х/, //л) часто обозначается простой пос- ледовательностью 1, 2,....} соответствующие значения Ф(й обозначаются при этом через Фп Ф2, ... (см., например, рис. 20.9-7). В расчетах релаксацион- ного типа (п.20.3-2) при решении линейных краевых задач вошло в обычай применять крупный план области и записывать значения функции и невязки непосредственно в каждой точке сетки. Значения функции и невязки от пред- шествующих шагов релаксационного процесса просто вычеркиваются или сти- раются. Примечание. Дифференциальный оператор в линейных краевых задачах нельзя за- менять разностным оператором более высокого порядка, так как это может вызвать ложные колебательные составляющие в решении получающегося разностного уравнения. С дру- гой стороны, в разностных схемах решения задач Коши для гиперболических или пара- болических уравнений часто используют разностные операторы высших порядков, чем соответствующие производные, подобно тому как это сделано в пп. 20.8-1—20.8-5. 20.9-6. Представление краевых условий (рис. 20.9-7). Аппроксимируем Данные границы линиями применяемой сетки;- если нужно, нводим градуиро- ванную сетку (рис. 20.9-3). Тогда: 1. Если заданы краевые значения искомой функции Ф, то впи- сываем их в соответствующих точках границы (рис. 20.9-7, а). 2. Если заданы краевые значения производных (таких, как дФ/дп, п. 5.6-1, Ь), то продолжаем сетку за границу области и ап- проксимируем краевые условия соответствующими разностными
712 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ «0.9-6. Рис. 20.9-1. Операторы для центрально-разностной аппроксимации (прямоугольная сетка декартовых координат: Ал = Агл — ft). Относительная погрешность имеет порядок А2. Рис. 20.9-2. Центрально-разностная аппроксимация для сетки из правильных треуголь ц ников со стороной А. Относительная погрешность имеет порядок
20.9-6. 20.9. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ; ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 713 Рис. 20.9-4. Центрально-разностный оператор, применяемый для косоугольной сетки дека- ртовых координат. Относительная погреш- ность имеет порядок Ряс. 20.9-3. Центрально-разно- стный оператор, применяемый для градуированной сетки или для аппроксимации вблизи гра- ницы. Относительная погреш- ность имеет порядок ft. Рис. 20.9-5. Центрально-разностный оператор, применяемый для сетки полярных коор- динат ге ф. Относительная погрешность имеет порядок г ДгДф. Удобна сетка, градуи- рованная соотношением Дг => гДф. Рис. 20.9-6. Разностная аппроксимация для интерполирования вперед или назад (пря- моугольная сетка декартовых координат Дл = Дг/ = ft). Относительная погрешность ймеет порядок ft2.
714 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.0-7, отношениями. Получающиеся уравнения, так же как и разностные отношения, аппроксимирующие само дифференциальное уравнение в точках вблизи границы, будут включать значения функции в точках, лежащих вне области; но все такие значения можно исключить алгебраическими преобразованиями. Гранича Ъ_____«к. £2____ ъ) Прямоугольная сетка Рио. 20.9-7. Представление краевых условий для V2® = 0 или V4® = 0. Сетка продол- жена влево от данной границы и введены «отраженные значения» Фа — Ф2, Ф4 = Ф. для представления условия дф/дп — 0 на границе разностным отношением. Краевое усло- вие Ф = 0, 7гФ = 0 (например, свободный край упругой пластины) представляется по- добным же образом через Ф, = ®з = 0, Фа = —Фа, Ф4 = —Ф«. . Пример. На рис. 20.9-7, Ь показано, как аппроксимируются краевые условия <)Ф,'5п=0 путем «отражения» значений функции в границах так, что Ф' — Ф2=0, ®J— »-®4 = 0. Для дифференциального уравнения у2Ф = 0, применяя первый разностный оператор рис. 20.9-2, получаем ®’ + ®’ + ®5 + ®4 + ®2 + ®1-6®а =0 или, так как из краевого условия вытекает Ф' = ®2, Ф' = Ф^, 2Фа + 2Ф« + Ф8 + Ф, — 6Ф8 = 0. Последнее уравнение содержит только точки, лежащие внутри области или на Гранине. 20.9-7. Задачи, содержащие более двух независимых переменных. Анало- гичные методы применимы к задачам, содержащим более двух независимых переменных. В частности, й2\72Ф (х, у, г)г=Ф (х-]-Л, у,,г)+Ф (х—/г, у, г)+Ф(х, y-}-h, г) + Ф (х, y—h, 2)+ 4-Ф(х, у, г+й)+Ф(х, у, г—й)—6Ф(х, у, г). (20.9-3) Число независимых переменных часто может быть уменьшено путем разделе- ния переменных (п. 10.1-3). 20.9-8. Пригодность разностных схем. Условия устойчивости. Пригодность решении# полученного разностной аппроксимацией, требует исследования. Если дифференциаль- ное уравнение аппроксимируется дзумя различными разностными уравнениями, то даже при одном и том же шаге сетки мы можем получить значительное расхождение. Сверх того, не всегда возможно улучшить аппроксимацию путем уменьшения шага сетки, даже если разностное уравнение допускает точное решение. Пригодны только такие схемы# в которых при уменьшении шага сетки решение разностного уравнения сходится к ре- шению рассматриваемого дифференциального уравнения. Для параболических и гипер- болических уравнений с частными производными такая сходимость имеет место только тогда, когда шаги сетки по обеим координатам удовлетворяют некоторому условию устой* чивости. Так, решение разностного уравнения Ф {х + Д-М) — 2Ф (х, Z) + Ф (л — Дх, Д _ 1 Ф (х, I 4- ДО — Ф (х, П Дл* а* Д4
го.»-». 20.9. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ; ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ сходится, к решению уравнения теплопроводности (п. 10.4-1) д2Ф _ 1 дФ дх* ~ a2 dt при kt -» 0,- Дх -> 0, если kt < Ах2. Решение разностного уравнения Ф (х + Ах, О — 2 Ф (х, /) 4- Ф,(х — Ах, 0 _ 1 Ф (х,- Z -Ь ДО — 2 Ф (х, t) + Ф (*,I — ДО Дх2 ~ с* сходится к решению волнового уравнения д2ф 1 д2Ф дх2 с2 dt2. 1 ? при kt -* О,- Дх -* 0,- если kt < — Дх. с Такие условия устойчивости обеспечивают также лучшую аппроксимацию при ко- нечном шаге сетки. Заметим, что неявные методы (п. 20.9-4) не требуют таких ограничений, как явные методы, приведенные выше. Например, неявный метод, основанный на аппроксимации Никольсона a* kt I a2kt\ — [Ф (х — Ьх, t + M) + <S> (х+ Дх, t + ДО] + + д^г) ф (*• <+*<,= (а2ДМ a*kt 1 “ k&) Ф {Xi ° + k^~ [Ф (* “ *Xi 0 + ф (x + kXi П, дает приближенное решенне уравнения теплопроводности, которое сходится к точному решению, как только Дх -> 0, kt -> 0. 20.9-9. Методы аппроксимирующих функций для численного решения крае- вых задач. (а) А п п р о к с н м..а ц н я функциями, точно удовлетворяю- щими краевым условиям. Пусть переменное х одномерно или много- мерно, x=(xlt х2, хп) (п. 15.4-1). Требуется найти решение дифферен- циального уравнения обыкновенного или с частными производными L Ф (х)=f (х) (x£V)t (20.9-4а) удовлетворяющее краевому условию В Ф (х)=b (х) (х £ S) (20.9-46) на границе S данной области V (п. 15.4-1). Аппроксимируем искомое реше- ние Ф (х) некоторой аппроксимирующей функцией <р=<р(х; «!, «2, ..., ат), (20.9-5а) которая удовлетворяет краевым условиям и зависит от т параметров ах, а2, ... ..., ат. Во многих приложениях уравнения (4) линейны и функцию Ф (х) аппроксимируют линейной комбинацией известных функций т Ф= .2 «л ф*(*)> (20.9-56) где ф1(х).удовлетворяет краевому условию (4,6), а <р2(х), ... , <рт(х) удовлет- воряют однородному краевому условию В Ф (х)=0 (х ( S) (см. также п. 15.4-2). Ошибка аппроксимации (5а) или (56) есть функция от- ах, a?, ...t am: Е(х; alt а2, .... am) = Lq>(x; at, o^, ..., am)—f(x). (20.9-6) Неизвестные параметры at, a2> am выражения (5a) или (56) определяют no одной из следующих схем.
716 ГЛ. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20;9-10; 1. Коллокация. Выбирают так, чтобы <р(х; ах, ocm) точно удовлетворяла данному дифференциальному уравнению (4а) в т точках х—Хи х — Х2, х—Хт, т. е. чтобы Е(Хр, alt a2, .... am)=0 (Z = 1, 2, ..., m). (20.9-7) 2. Средние квадратические приближения (см. также п. 20.6-2). Выбирают а* так, чтобы минимизировать среднюю квадра- тическую ошибку J («1, а2, .... am) = р Е © ах, ......ат) | а (20.-9-8) или величину ТУ J (осх, , ®m) s У 6д I Е (^h'< ••• • «т) I а> (20.9-9) h — l где bft — подходящим образом определенные весовые коэффициенты, приданные N точкам Хи Х2, .... XN из V. Например, можно взять равноотстоящие точки и положить b1~b2~...=bN = 1. Коэффициенты а* определяются из т условий или ~=0 (Л=1, 2...т). (20.9-10) 3. Метод Галеркина. Выбирают т линейно независимых «весовых функций» фх (х), ф2 (*) Фт (х) (часто применяют фй=<рй) и определяют а* так, чтобы Ф» (5) Е (?; at, а2.am)d?=0 (Z = l, 2, .... т). (20.9-11) Если данные уравнения (4) линейны (линейная краевая задача), то и полу-, чающиеся при аппроксимации вида (56) уравнения (7), (10) или (11) будут ли- нейны. (Ь) Аппроксимация функциями, которые точно удов- летворяют дифференциальному у р а в н е н и ю. Часто предпочти- тельнее использовать аппроксимирующие функции (5), которые для всех х йз V точно удовлетворяют дифференциальному уравнению (4a), и подбирать пара- метры ah по краевым условиям одням из указанных выше методов. ' 20.9-10. Численное решение интегральных уравнен ий (см. также п. 15.3-2). (а) Решение Ф (х) линейного интегрального уравнения Ф (х) - X Г X (х, 0 Ф © dg =F (х) (20.9-12) V часто можно аппроксимировать итерационным методом п. 15.3-8, а, или же можно аппроксимировать данное ядро X (х, ?) многочленом илн. другим вырожденным ядром (п. 15.3-1, Ь), чтобы упростить решение. Задача о собст- венных значениях (F = 0) часто может рассматриваться как вариационная задача (п.' 15.3-6). • (Ь) Метод аппроксимирующих функций п. 20.9-9 применйм также непо- средственно к численному решению линейного интегрального уравнения (12). Выберем аппроксимирующую функцию вида (56) и вычислим.т функций' th (х)=Фа (х) - Ц X (х, g) фй © dg- (k=lt 2, ... z т). (20.9-13)
20.10-1. 20.10. МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО 717 Тогда 1. Метод коллокации дает т линейных уравнений £ «Л fk (*i) —F (Xi) (i = 1, 2, ..., m) (20.9-14) fe=i 2. Метод наименьших квадратов приводит к системе линейных уравнений 2 Ai*aft=₽i (1 = 1, 2, ...,т), где 1 Aik = fk (Xh), (20,9‘15) h = f N ₽1= 2 bhfi(Xll)F (Xhy, A = 1 bjt—весовые коэффициенты, определяемые так же, как в формуле (9). 3. Метод Галеркина приводит к системе линейных, уравнений 2 Aik<*k=Pi (1 —1. 2.....и). А=1 где Aik = Ji|>i ®fk (D ₽. = ®F ® d£. (20.9-16) 20.10. МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО 20.10-1. Методы Монте-Карло. Каждый расчет методом Монте-Карло можно рассматривать как оценку некоторого интеграла /= j j 5 /(Х” Ks............Х2, .... Хд,) (20.10-1) —со—со —оо с помощью выборочного среднего значения f(xlt х2, ..., х„) = -А- 2 нч, .... kxN), (20.10-2) где (xt, хй, ..., xN)—некоторая (вообще говоря, многомерная, М>1) слу- чайная величина с известной функцией распределения Ф (xj, ха, .... xw). Методы Монте-Карло широко применяются прн исследовании явлений в- случайных процессах, слишком сложных для явного решения методами теории вероятностей, а именно, в задачах диффузии нейтронов,„задачах детек- тирования. и связи и в разнообразных исследованиях операций. Сверх этого, часто имеет смысл преобразовать задачи других типов, особенно содержащие сложные многомерные интегралы, в такую форму, которая позволяет решать их методами Монте-Карло.
718 гл. 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.10-2. Для простоты ограничимся рассмотрением оценки методом Монте-Карло одномерного интеграла Z= j /(X)d®(A.) (20.10-3) — со с помощью среднего значения Cx)+f (2x) + ...+f (”х)]. (20.10-4) Дисперсия этой оценки по случайной выборке (Ч, 2х,...., лх) равна Of(x) — ^-Df(x), (20.10-5) гак что средняя квадратическая ошибка убывает только как 1/Vra~ при воз- растаний п (пт 19.2-3). Дисперсия оценки вызвана случайными флуктуациями в распределении различных выборок, Qx, 2х, ..., пх). 20.10-2. Два метода уменьшения дисперсии оценки. Следующие методы «подправ- ляют» выборку Сх, 2х* , пх) так, чтобы уменьшить дисперсию выборочной средней при условии сохранения соотношения (2'0.10-6) М f « = М f W - Л т. е. без смещения оценки. (а) Метод расслоенной выборки. Диапазон изменения случайной вели- чины х делят на некоторое число подходящим образом выбранных классовых интервалов и фиксируют число в остальном независимых выборочных значений ях = ^Xf (i = 1,- 2# ... f попадающих в /-й классовый интервал. Предполагая заранее известными вероятности Р; = Р { М “ ф (£/) - ф (S/-1) <2tU0-7> попадания в f-Й классовый интервал, можно 'в качестве несмещенной оценки / применить среднее по расслоенной выборке ^)рассл“2р/тг S f(S)« <20-10-8> f • 1=1 причем р2 Заметим, что повторные расслоенные выборки будут отличаться только внутри клас- совых интервалов. Дисперсия (9) может оказаться меньше дисперсии случайной выборки D f (Х)/п при л “ 2 если предварительная информация позволяет удачно выбрать i значения и п? Лучше всего было бы выбрать классовые интервалы с одинаковыми дисперсиями Г1/' Г D t (lxf) “ р- j f‘ (М аф (М - р- J f ал <?Ф (МI <20.10-10» }b-i 'бм J и затем назначить теоретически точные числа выборок в каждом классовом интервале не формуле nj^nPp (20.10-11) В этом идеальном случае будем иметь относительно малую дисперсию оценки D кресел " V D f Cxi)‘ (20-10-12) При уменьшении величины классовых интервалов метод расслоенной выборки при- водит к результатам, аналогичным тем, которые дают квадратурные формулы. Но обычно берут большие' классовые интервалы; на практике особый интерес представляют много- мерные интегралы, где простые соотношения симметрии могут помочь удачному выбору классовых интервалов.
20.10-4. 20.10. МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО 719 ( '(b) Применение коррелированных выборок. Если выборочные значения ^х не являются независимыми (как это бывает в чисто случайной выборке^ то выражение (5) для дисперсии оценки надо заменить иа (см. также п. 19.8-l)s D Н*)корр = 4 D f W + У, У cov { f f }• (20.10-13) i < k Разумно введенная отрицательная корреляция (т. е. корреляция с отрицательным коэффициентом корреляции) между выбранными парами выборочных значений *х, kx будет приводить к отрицательным членам с ковариациями в формуле (13) и может умень- шить дисперсию по сравнению с дисперсией случайной выборки D f (х)/п без смещения оценки. Приведем простой пример. Пусть величина х распределена равномерно в интервале ех _ 1 (0, 1) и пусть f (х) есть монотонная функция g. Планируем выборку так# чтобы п было четным и 2х == 1 — lx# 4х — 1 — Зх* ... * пх 1 — в остальном выборочные врачей и я независимы. Так как f (х) и f, (1 — х) кор рели рованы отрицательно* то диспер- сия средней уменьшается: D f~®Kopp *= ЗГ D так что средняя квадратическая ошибка уменьшаете^ примерно в 5# 6 раз. Кроме того# коррелированная выборка требует генерирования меньшего количества случайных чисел. С другой стороны, более интересны применения к многомерным задачам. Заметим, что метод расслоенной выборки фактически также приводит к отрицатель- ной корреляции между выборочными значениями: значение *+1х ие может попасть в данный классовый интервал,- если значение kx его уже заполнило. 20.10-3. Использование предварительной информации. Метод значимой выборки. Вычисления по методу Монте-Карло часто могут быть упрощены путем разумного исполь- зования предварительной информации о возможном результате. В методе значимой выборки пробуют оценить интеграл (1) с помощью выборочного среднего f {у) IS, (У)> где у — случайная величина с плотностью распределения вероятностей (У) = S (у) (У) dy (20.10-14) Легко видеть# что такая оценка является несмещенной. Функция g (у) выбирается так, чтобы дисперсия D^T“MKr-/]2 <“5) со была мала,- при условии* что J <р^ (у) dy — I. —со В частности,- выбор g (£/) = f (y)Jl уменьшает дисперсию (15) до нуля,- но Для этого надо знать неизвестное значение /. Значимая выборка позволяет «сконцентрировать» выбор вблизи нужных значений у9 например* там* где f (у) быстрее изменяется. • 20.10-4. Некоторые методы генерирования случайных чисел. Проверка случайности. В методах сравнения для генерирования псевдослучайных чисел х£-# меньших данного положительного модуля /п* начинают с некоторого неотрицательного числа х0 н вычисляют последовательные значения xt = 4-e]mod т (/= h 2, ; 0 <а <ms 0 Сс <«)• (20.10-16) где сложение по модулю т определено в п. 12.2-10. В двоичной вычислительной машине модуль т удобно выбирать равным 2^* где I — длина машинного слова (число разрядов). При е«0 генератор называется мультипликативным генератором сравнения, в против- ном случае — смешанным генератором сравнения. Последовательности* получаемые этим способом,- ие вполне случайны* но имеют такие «псевдослучайные» свойства* как равномерное распределение в интервале (О,- т)< некоррелированность различных х-* случайно выступающий ряд четных и нечетных чисел и т._ Д. Равномерность распределения может быть проверена по критерию согла- сия X2 (п. 19.6-7)* а порядковая (сериальная) корреляция — так, как указано в п. 19.7-4. Заметим* однако* что даже при отсутствии корреляции выборки (Хр х2* ... # хл)₽ обра- зованные при помощи последовательности псевдослучайных чисел* могут не быть неза- висимыми* что может привести к неприятным сюрпризам. Может оказаться разумным получить вполне случайные выборки с помощью цифрового преобразования белого шума. Псевдослучайные числа с распределением, отличным от равномерного, легко полу- чить как функцию F (xj) от равномерно распределенных случайных величин.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.1. ВВЕДЕНИЕ 21.1-1. Вводные замечания. Глава 21 представляет по существу собрание формул, связывающих специальные функции. Отсылаем к гл. 7 для связи с теорией функций комплексного переменного и к гл. 9, 10 и 15 для приме- нений к дифференциальным уравнениям. Гораздо более подробное изложение, а также сведения о реже встречающихся специальных функциях можно найти в книгах [21.1] и [21.3]. В книгах [21.5] содержится перечень числовых таблиц специальных функций. 21.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ 21.2-1. Тригонометрические функции (см. также табл. 7.2-1). (а) Тригонометрические функции w = sinz, to=cos г -могут быть опреде- лены при помощи степенных рядов (п. 21.2-12); как решения дифференциаль- ного уравнения ^+w=0, dz1 1 как z = arcsin tv, г — arccosw (интегральные представления, п. 21.2-4) или, для действительных г, в геометрических терминах (гониометрия, рис., 21.2-1). Остальные тригонометрические функции определяются как tgz=^, ctg2=_L=^., (21.2-1) 5 cos z 6 tg z sm z * ' sec z=—^—, cosec г=-Д—. (21.2-2) cos z ’ sin z ' Таблица 21.2-1 Специальные значения тригонометрических функций А' (градусы) 0° 360° 30° 45® 60“ 90® 180° 270® А (радианы) 0 л 6 Л 4 л 3 Л 2 л Зл 2 sin Л 0 I 2 У2 2 Уз" 2 1 0 — 1 cos А 1 Уз" 2 УГ 2 1 2 0 — 1 0 tg А 0 УТ 3 1 У.Г ± оо 0 + со ctg А db со Уз” - 1 УзГ 3 0 ± со 0
21.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ 721
722 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.2-2. (b) sinz и cosz—периодические функции с периодом 2л; tgz и ctg? периодичны и имеют период л; sin г, tgz и ctgг — нечетные функции, а cosz— четная функция. На рис. 21.2-2 изображены графики sinz, cosz, tgz и ctg г для дейст- вительного аргумента. На рис. 21.2-3 показаны прямоугольные треугольники, которые облегчают запоминание значений тригонометрических функций для г=л/6(=30°), г = = л/4(=45?) и г=л/3(=605) (см. так- Рис. 21.2-3. Специальные треугольники для вычисления значений тригонометриче- ских функций углов 30е,- 45°, 60е. ,же табл. 21.2-1). (с) Соотношения ctgz = tgg—г), позволяют выражать значения триго- нометрических функций любого дей- . ствительного аргумента через значения функций для аргумента, заключенного между 0 и л/2 ро5(=902) (табл. 21.2-2 и рис. 21.2-1). Таблица 21.2-2 Соотношения между тригонометрическими функциями различных аргументов — A 31 ± A — + A 2 - A 2л ± A sin —sin A cos A T sin A — cos A ± sin A cos cos A + sin A — cos A ± sin A cos A tg — tg A T ctg A . ±tg A + ctg A ±tg A ctg ctg A +.tg A ± ctg A T-tg A ± ctg A 21.2-2. Соотношения между тригонометрическими функциями (см. также п. 21.2-6). Основные соотношения . о о 1 SIT! В । sm2 г-!-cos2 z = l, —-=tgz=~;— 1 cosz ° ctgz (21.2-4) имеют следствиями формулы: sin г = К1 — cos2 г = tgz - = 1 , V 1 + tg2 г TrI+ctg2z 1 <i - о" 1 C’ts 2 cos г1 —У 1 — sm2 z ~ =-- —, l^l+tg2z /l+ctg2Z _ sinz Vi — cos2 z 1 ё г — У1 — sin2z— cosz “ctgz’ (21.2-5) . У1 — sin2z ctg z --------=----- COS 2 sin г V1 — COS2Z 2'
21.2-3.’ 21.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ 723 21.2-3. Теоремы сложения и формулы для кратных углов. (а) Из основного соотношения sin (А+В) = sin A cos В -f- sin В cos А (21.2-6) следуют: sin (А ± В) = sin A cos В ± sin В cos А, cos (А ± В) =cos A cos В + sin A sin Bt sin 2А = 2 sin A cos А, cos2A = cos2Л — sin2A = 2cos2A—1 = 1—2 sin2 Д, te 2Д = 2 tg л 1ё ! _ tg2 а • с^2А =-ТХа-1-=4 <ctsА Z LlfJ л z А "l/Ч — cos А ... A |/"l-|-cosA sm 2 у g , cos -2 — у , А____ sin А _____1 — cos А l-|-cosA sin А * , А____ .sin А______1 4- cos А а 2 1 — cos A sin А * ' о sin A-f-t cos А=г sin (A-]-B)=r cos(909— А —В), r = +V&+&, sin А ± sin В = 2 sin Л~В- cos - cos А-}-cos В=2 cos cos Л ~ cos А —cos В — — 2 sin А + ~ sin Л-~^~ - ,- tg А ± tg В = Sln (Л 11 BL ctg а ± ctg В ° cos A cos В ’ sin (В jz A)g sin A sin В * 2 cos A cos В = cos (А — В) + cos (А + В), 2 sin A sin В —cos (А —В)—cos (A-f-B), 2 sin A cos В = sin (А — В) -f-sin (A-f-B), 2 cos2 A = 1 -f-cos 2A, 2 sin2 A = 1 —cos 2A. i (b) Если n—целое положительное число, то БШ nz cos"-1 г sin 2 cos" ? г sin3 г -f- (21.2-7) (21.2-8) (21.2-9) (21.2-10) (21.2-11) (21.2-12) cos" 8- г sin8, z + 1 COS AZ = cos" 2 cos"-2 2 sin2 z-f- (21.2-13) cos"-4 2 sin4 Z Г .
724 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.2-4. Если п — нечетное целое число, то п—1 г sin" 2 = '-"дл-г— [sin пг—sin (п—2) z-f-Q) sin (n — 4) г — sin (n—6) z+...+(—1) 2 (n - 1 j sin z cos" z—1 £cos cos (n— 2) z cos (n~4) г+ „ (3) C0S (W~6) г + --+( я-l jc°S 2 Если n—четное целое число, то п г sin" г = [cos пг — cos (и—2) z -f- Q) cos (n—4) г — n —2 , —9— / n \ 1 /П \ 1 . — .. + (—1) п-2 )сО82? + „Ipj, \ 2 / J \2/ cosnz = ^|y-1 £cos пг 4-^j'jcos (п—2) г+^ cos («—4) г + . / п \ 1 /п\ 1 +—+ „-2 cos2z|+{ п \ 2 / J \2/ 21.2-4. Обратные тригонометрические функции (см. также (а) Обратные тригонометрические функции (21.2-14) (21.2-15) табл. 7.2-1). w = arcsin z, w=arccos z, to = arctg z; w = arcctg zl) определяются как обратные соответственно к функциям г — sin wt z=cosw, z = tgw, z=ctgto или как arcsin 2 = 0 z arctg z = 0 dz z f dz arccos г = J /] _ г2 ’ z TTS. S iSr- /1 — (21.2-16) ') В английской литературе эти функции иногда обозначаются через sin-1 г, cos~*z, tg~* z, ctg-* z.
21.2-5. 21.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ 725 На рис. 21.2-4 изображены графики обратных тригонометрических функций, для действительного аргумента; заметим, что arcsin 2 и arccos 2 действительны только при z действительном и | z | sg 1. Все четыре обратные тригонометри- ческие функции бесконечнозначны, потому что тригонометрические функции — периодические. Для действительного аргумента главные значения arcsin z и arctg z заключены между —л/2. и зт/2 (см. рис. 21.2-4); главное значение arccos г и arcctgz заключено между Ойл. (Ь) Отметим формулы arcsin а ± arcsin b = arcsin (а — Ьг ± Ь V 1 — а‘) = =« arccos (/1 — аг V1 — Ьг Т ab), I . , _ г------ -------- (21.2-17) arccos а ± arccos ₽ =» arccos {ab + yl — а2 V Г — Ь2) ==» - arcsin (b УЧ — а‘ ± а V I — Ь”), • , , а <- 6 arctg а + arctg b = arctg t — ду* 21.2-5. Гиперболические функции (см. также табл. 7.2-1). Гиперболиче- ские функции a»=shz, ta=chz определяются степенными рядами (п. 21.2-12), arcsin л-А ' s 1 I 4 . ч” arctg xt / Зл 2 — - -7 2 1 __—' ! т _ Л 2 arcctg х,, _ ’2л- ""-ЗА,. л - —— -Л 1 х -л|- ' Рис. 21.2-4. Графики обратных тригонометрических функций, как решения дифференциального уравнения dat® „ и)=0, агг или просто соотношениями Рг _ р~г -4- Е-г shz= 2 , chz=-^b—, (21.2-18)
726 гл. 21. Специальные функции 21.2-6. Четыре дополнительные гиперболические функции определяются как th г =4^ ch z cth 2 sh z sech2=^’ cosech г — -r— Sil z (21.2-19) На рис. 21.2-5 изображены графики sh z, ch г, th г для действительного аргумента. Функция ch г — четная, a sh г и th г — нечетные. Геометрическая интерпретация sh t и eh t для действительных t. Если t/2 — пло- щадь, ограниченная равносторонней гиперболой (п. 2.5-2, Ь) хг — yz = 1, осью х и ра- днусом-вектором точки (х, у) гиперболы, то = x = chf. Заметим, что если гипер- болу заменить окружностью х2 -j- у2 = 1* то у — sin t, х = cos t. 21.2-6. Соотношения между гиперболическими функциями (см. также ii. 21.2-8). Из основных соотношений (21.2-20) ch2Z-Sh2Z=M, ^ = thZ=-^ следуют th z 1 sh z= -]/ ch2 2—1 = /1 — th2 z 1 Veth* z _ ] cthz ch г = = J/ lj-sh2z = V-1—th2z Veth2 z—1’ th г = sh z Veh2 z — 1 V1 + sh2z ch z cthz V1 + sh2 z ch z sh 2 Vch2 z — 1 (21.2-21) 21.2-7. Формулы сложения для гиперболических функций (эти формулы могут быть получены из соответствующих формул для тригонометрических
si 0-8. И.«. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ 727 функций применением соотношений п. 21.2-9). sh (Л ± В)=sh Л ch В ± ch A sh В( ch (Л ± В) = ch Л ch В ± sh A sh В, .к /л . m th А 1 th В th (Л ± В)=- , (21.2-22) ,, , . , cth A cth В ± 1 cthH±B) = cth^_-..h—; sh 2Л =2 ch Л sh Л, ch 2Л =ch2 Л + sh2 Л, cth 2Л (21.2-23) chT cth’ А + 1 , - 2 cth А * Я sh A ch А — 1 П 2 ““ch Л + 1*”’ sh A f .. A sh А ___________ch А 4- 1 С1П 2 ~ ch А — 1 ~ sh А (21.2-24) sh Л ± sh В=2 sh Л 5 ch Л ch Л+ch В=2 ch -^±-5- ch , ch Л — chB=2sh -А^В sh л~ В , th^thB=^^ cth4±cthB = ^<f^ 2 ch Л ch B = ch (Л +В) + ch (Л —В), 2 sh Л sh B=ch (Л-}-В) —ch (Л—В), 2 sh Л ch B=sh (Л 4-В) 4-sh (Л — В), 2 ch2 Л = 1-j-ch 2Л, 2 sh2 Л =2 ch 2Л — 1. (21.2-25) (21.2-26) 21.2-8. Обратные гиперболические функции (см. также п. 21.2-4). Обрат- ные гиперболические функции1) w=arshz, u>=archz, m=arthz определяются соответственно как z = shw, z=chui, z = thw. Отметим соотношения arsh а ± arsh Ь = arsh (а Уб2 + 1 + b Vo’ + 1) = arch (V«a + 1 Vft’ + 1 ± об). arch a ± arch b = arch (ab ± Vo2 — 1 УЬг — 1) = = arsh (b Vo2 — 1 ± a Vba — 1), arth a ± arth b = arth ° (21.2-27) ') В английской литературе применяются также символы sh-1 г, ch~* г, th~* г (см. сноску на стр. 724).
728 ГЛ. 21. специальные функции 21.2-0. 21.2-9. Соотношения между показательной, тригонометрическими и гипер- боличесгими функциями (см. также пп. 1.2-3 и 21.2-12 и табл. 7.2-1). е,г=cos г+i sin z, е'г +е~‘г cos г——, sin z е~11г= cos z—i sin z; ez=ch z-}-sh z, e~z=chz—shzj (21.2-28) (21.2-29) (21.2-30) Chz = ^£ shz==—— cos z=ch iz, sin z = — i sh iz, tg z =— i th iz, ctg z = i cth iz, ch г=cos iz, sh z=— i sin iz, thz=— itgiz, cth z — i ctg iz; (21.2-31) (21.2-32) , alx—elx ln ° = cos (x In a) -}-i sin (x In a), x‘==e‘,n x = cos (In x) + i sin (in x), i-*=exlni=cos^+isin^ (главное значение), е<2П+1>Я1___ j (n=0, ± 1, ±2, ...), il=e‘ in‘=e~n/2 (главное значение). (21.2-33) 21.2-10. Определение логарифма (см. также пп. 1.2-3 и 21.2-12, табл. 7.2-1 и рис. 21.2-6). in z = ln | z |-}-i Arg z; . (21.2f34) ln(ix) = lnx+(2n+y)3H, I ±2 (21.2-35) in (—x) = lnx4-(2n-J-l)ni J
£1.2-12. 21.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ 729 ' 21.2-11. Соот ошения между обратными тригонометрическими, обратными гиперболическими и логарифмической функциями. arccos 2 = i arch z, arcsin z= — i arsh iz, arctg z==—i arth iz, arcctgz = i arcth iz, arch z= i arccos z, arsh z =— i arcsin iz. arth z=— i arctg iz, arcth 2=i arcctg iz; (21.2-36) arccos z=— i In (2 4- i у 1 — г2), arch г = In (z V г2— 1), arcsin г=— i In (iz-j-j/1 —г2), arsh z = In (z + У z2 +1), arctg г=— 1 inlilj, arth z=lin (21.2-37) arcctg z- 2ln&+1, arcth z=1 In ‘. 21.2-12. Разложения в степеннйе ряды (см. также пп. 4.10-1—4.10-4). jl—j = 1-}-z-}-z2-}-... (| г | < 1; геометрическая прогрессия, п. 1.2-7); (21.2-38) (1 -j-z)₽ = 1-Ь^ г + (I 21 < 1: биномиальный ряд, см. также пп. 1.4-1 и 21.5-1); (21.2-39) ^=1 + г+^+^+... (|г|<со)г (21.2-40) sinz=z—+ —> cosг=1—§4-^ + ... |z|<co; (21.2-41). sh z = z-}-|j-}-||-}-..., chz=l+|]-}-|j-}-... |z|<co;^ (21.2-42) In (l + z)=z-|’4-^-~ ± ... (I г I < 1), (21.2-43) 1 z3 1 arcsin z=z-}-2 3 + 2- 3.^-L.±.3 4 6 + 2 4 6 7+"'» arshz=z-±|s + |-| A 5 2’4 (| z I < 1); (21.2-44) 5_ Z» 6’7 ± ••• > arctg г=z-f+£ + ..., arth z = l Inl^z + f + f-b- (I 2 I <D- (21.2-45) В терминах чисел Бернулли (п. 21.5-2) *г = jp (_))^--(?а.2.)11)г» + Аг» + 2Lг»4-... Л= 1 (|г|<5-), (21.2-46)- ctgz=l (1г.1<л). (21.2-47) л=с Из разложений (46) в (47) можно получить разложения для функций th г и cth г с по- мощью формул (32).
730 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.2-13. 21.2-13. Разложения в бесконечные произведения (см. также п. 7.6-6). оо со 12|<о°-' <21ЛМ8> Аналогичные разложения для функций sh z и ch z м®гут быть получены в по- мощью формул (32). 21.2- 14. Некоторые полезные неравенства. sinx<x<tg* (0<х<л/2), sin х > 2х/я (—л/2 < х < л/2), созх<^<1 (—л<х<л); ex>l+xt еХ<Т=7 (х < 1), X е *< 1— х<ё~х (х<1); * <In (1 +ж) <х (х> — 1), р Х< — 1П(1—Л'Хр?— (х< 1), | In (1 —х) 1 < Зх/2 (0 < х < 0,5828). Приведенные неравенства обращаются в равенства при х=0. (21.2-49) (21.2-50) (21.2-51) (21.2-52) (21.2-53) 21.3. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.3- 1. Интегральные синус,: косинус,; логарифм и показательная функция. По определению X ео с- / ч С sin х А л Г sin х » л , . . . 1 х8 , 1 х8 S1 W = J 2 ~— dX= 2 +sl W= x~ 31 3 +si 5 - 0 x (интегральный синус). (21.3-1) Значения интегрального синуса приведены в табл. 21.3-1; см. также рис. 21.3-1. ОО X Ci(x) = -$^dx=C+.lnx-(L=^dx-C+lnx-^+±^... X о- (х>0) (интегральный косинус), (21.3-2) где С = 0,577216 — постоянная Эйлера—Маскерони, определенная в п. 21.4-1. Значения интегрального косинуса находятся при помощи табл. 21.3-2. ? ех Ei (х)= \ —dx (х<0) (интегральная показательная функция), (21.3-3) Ц (х) = ^^ (^>0) (интегральный логарифм). (21.3-4) о
£1.3-1, Й.З. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 731 ЯПри St J> 1 функция И (х) определяется как (главное значение интеграла в смысле Коши). Функция Ei (х) представляется в виде ряда 00 k Ei (x) = C-Hn (—х)+ У, ~ k=t [х < 0), с помощью которого она продолжается на всю комплексную плоскость z с раз- резом вдоль положительной части действительной оси *): “ -fe Ei (г) = С4-1п (— г) + <1 arg z) I < я)- А=1 00 ь .— Ж-1 jrfe Если z=x >0, то Re Ei (x) = Ei (х) = С-Нпх+ /, называется модифи- *=1 цированиой интегральвой показательной функцией. При приближении точкг z—x-\-iy к разрезу (х>0) имеют место соотношения lim Ei (х ± iy)=Ei (х) + ni. Я у-»о , (г/>0) Отметим следующие соотношения: Ei (х) = ii (еж) (х < 0), Ei (In х) = ii (х) (х < 1), Ei (± ix)=Ci (х) ± i Si (х) + ~ (х > 0). (21.3-5) Значения интегральной показательной функции и родственных с ней функ- ций приведены в табл. 21.3-3. *) Все введенные функции можно рассматривать как функции комплексного пере- Леиного z (см., например, [2L1]).
732 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.3-1 Таблица 21.3-1 Интегральный синус Sipe) х , . с sin и . SUx) = \—^da о к St (х) X Si (х) X Si (х) X Si (х) X Si (х) X Si (X) OJO 0.00000 5,0 1,54993 10.0 1,65835 15,0 1,61819 20,0 1,54824 25,0 1,53148 0.1 09994 5,1 53125 10,1 65253 15,1 62226 20.1 55289 50,0 55162 0,2 19956 ; 5,2 51367 10,2 64600 15,2 62575 20,2 55767 0,3 29850 5,3 49732 10,3 63883 15,3 62865 20,3 56253 0.4 39646 5,4 48230 10,4 63112 15,4 63093 20.4 56743 0.5 49311 5,5 46872 10,5 62294 15,5 63258 205 57232 0,6 58813 5.6 45667 10,6 61439 15,6 63359 20,6 57714 0,7 68122 5,7 44620 10.7 60556 15,7 63396 20,7 58186 0,8 77210 5,8 43736 10.8 59654 15.8 63370 20.8 58641 0.9 86047 5,9 43018 10,9 58743 . 15,9 63280 20,9 59077 1,0 94608 6 6,0 42469 11,0 57831 16.0 63130 21,0 59489 1.1 1,02869 6,1 42087 11.1 56927 16,1 62921 21,1 59873 1.2 10805 6,2 41871 11,2 56042 16,2 62657 21,2 60225 1.3 18396 6,3 41817 11,3 55182 16,3 62339 21,3 60543 1.4 25623 6,4 41922 11,4 54356 16,4 61973 21,4 60823 1.5 32468 6,5 42179 11,5 53571 16,5 61563 21,5 61063 1,6 38918 6.6 42582 11,6 52835 16,6 61112 21,6 61261 1.7 44959 6,7 43121 11,7 52155 16,7 60627 21,7 61415 1,8 50582 6,8 43787 11,8 51535 16.8 60111 21,8 61525 1.9 55778 6.9 44570 11,9 50961 16,9 59572 21,9 61590 2,0 60541 7,0 45460 12,0 50497 17,0 59014 22,0 61608 2.1 64870 7,1 46443 12.1 50088 17.1 58443 22.1 61582 2,2 68763 7,2 47509 12,2 49755 17,2 57865 22.2 61510 2.3 72221 7,3 48644 12,3 49501 17,3 57285 22,3 61395 2.4 75249 7,4 49834 12,4 49327 17,4 56711 22,4 61238 2.5 77852 7.5 51068 125 49234 17,5 56146 22,5 61041 2,6 80039 7,6 52331 12.6 49221 17,6 55598 22,6 60806 2,7 81821 7,7 53611 12,7 49287 17,7 55070 22.7 60536 2,8 83210 7.8 54894 12,8 49430 17,8 54568 22.8 60234 2.9 84219 7,9 56167 12,9 49647 17,9 54097 22.9 59902 3.0 84865 8.0 57419 13,0 49936 18,0 53661 23.0 59546 3.1 85166 8,1 58637 13,1 50292 18,1 53264 23,1 59168 3,2 85140 • 8,2 59810 13,2 50711 18,2 52909 23,2 58772 3.3 84808 8.3 60928 13.3 51188 18,3 52600 23,3 58363 3,4 84191 8,4 61981 13,4 51716 18,4 52339 23,4 57945 3,5 83313 8,5 62960 13,5 52291 185 52128 235 57521 3,6 82195 8,6 63857 13,6 52905 18,6 51969 23,6 57097 3,7 80862 8,7 64665 13,7 53352 18,7 51863 23,7 56676 3,8 79333 8,8-' 65379 13,8 54225 18,8 51810 23,8 56262 3,9 77650 8,9 65993 13,9 54917 18,9 51810 23,9 55860 4,0 75820 9,0. 66504 14,0 55621 19,0 51863 24,0 55474 4,1 73874 9,1 66908 14,1 56330 19,1 . 51967 24,1 55107 4,2 71837 9,2 67205 14,2 57036 19,2 52122 24,2 54762 4,3 69732 9,3 67393 14,3 57733 19.3 52324 24,3 54444 4,4 67583 9,4 67473 14,4 58414 19,4 62572 24,4 54154 4,5 65414 9,5 67446 14,5 59072 19,5 52863 24,5 53897 4,6 63246 9,6 67316 14,6 59702 19.6 53192 24,6 53672 4,7 61101 9,7 67084 14,7 60296 19,7 53357 24,7 53484 4.3 58998 9,8 66757 14,8 60851 19,8 53954 24,8 53333 4,9 56956 9,9 66338 143 61360 19,9 54378 24,9 53221
аьЗ-1, 21.3. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 733 Таблица 21.3-2 Si(x) и интегральный косинус Ci (х) S, (л) = In х -р С — Ci (X) == J 1 ~ cos." due О " Ci(x) = — J du — |П x + c _ S1U) IC <ss 0,5772 — постоянная Эйлера — Маскерони) X S, (x) X S, (x) X S, w X S, (X) X S, (x) X S, (x) 0.0 0,00000 5,0 2,37669 10,0 2,92527 15,0 3,23899 20,0 3,52853 25,0 3,80295 0.1 00249 5,1 38994 10.1 94327 15.1 25090 20,1 53173 50 j) 4,49486 0.2 00998 5,2 40113 10.2 96050 15.2 26398 20,2 53535 0.3 02241 5,3 41044 10,3 97688 15,3 27552 20,3 53946 0,4 03973 5,4 41801 10.4 99234 15,4 28814 20,4 54402 0.5 06185 5,5 42402 10,5 33)0688 15,5 30087 20,5 . 54905 0,6 08866 5,6 42866 10,6 02045 15,6 31863 20,6 55456 0.7 12002 5,7 43210 0.7 03300 >5,7 32641 20 7 56049 0.8 15579 5,8 43452 10,8 04457 15.8 33911 20,8 56687 0,9 19578 5,9 43610 10.9 05514 15,9 35167 20,9 57368 1.0 23981 6,0 43704 11,0 06467 16,0 36401 21,0 58085 1.1 28766 6,1 43749 11,1 07323 16,1 37612 21,1 58840 1.2 33908 6,2 43764 11,2 08083 16,2 38790 21,2 59629 1,3 39384 6,3 43766 11,3 08749 16,3 .39932 21.3 60446 1.4 45168 6,4 43770 11,4 09322 16,4 41032 21,4 61288 1,5 51233 6,5 43792 11.5 09814 16,5 42088 21,5 62155 1,6 57549 66 43847 11,6 10225 16,6 43096 21,6 63037 1.7 64088 6,7 43947 11.7 10561 16,7 44050 21.7 63935 1,8 70820 6,8 44106 11,8 10828 16,8 44947 21,8 64842 1.9 77713 6.9 44335 11.9 11038 16,9 45788 21,9 65751 2.0 84739 7,0 44643 12,0 11190 17,0 46568 22,0 66662 2,1 91865 7,1 45040 12.1 11301 17,1 47288 22,1 67568 2,2 99060 M 45534 12.2 11370 17,2 47945 22,2 68465 2,3 1,06295 7.3 . 46130 12,3 11412 17,3 48543 22,3 69348 2,4 13540 7,4 46834 12.4 11429 17.4 49077 22,4 70216 2.5 20764 7,5 47649 12,5 11436 17.5 49553 22.5 71059 2,6 27939 7,6 48577 12,6 11437 17,6 49969 22,6 71879 2,7 35038 7,7 49619 12.7 11438 17,7 50330 22,7 72670 2,3 42035 7,8 50775 12,8 11453 17,8 50639 22.8 73427 2,9 . 48903 7,9 52044 12,9 11484 17,9 50895 22,9 74153 з,о 55620 80 53423 13,0 ' 11540 18.0 51107 23,0 74838 3,1 62163 8,1 54906 13,1 11628 18,1 51276 23,1 75483 3,2 68511 8,2 56491 13,2 11754 18,2 51404 23,2 76089 з,з 74646 8,3 56171 13,3 11924 18,3 51500 23,3 76651 3,4 80552 8,4 59938 13.4 12142 18,4 51568 23.4 77170 315 86211 8,5 61786 13,5 12414 18,5 51610 23,5 77644 3,6 91613 8,6 68704 13.6 12745 18,6 51633 23,6 78072 3,7 96745 8,7 65686 13,7 13134 18,7 51645 23,7 78459 3,8 2,01600 8,8 - 67721 13.8 13587 18,8 51648 - 23,8 78801 3,9 06170 8,9 69799 13,9 14104 18,9 51648 23,9 79101 4,0 10449 9,0 71909 14,0 14688 '19,0 51660 24,0 79360 4,1 14438 9,1 74042 14,1 15338 19,1 51661 24,1 79582 4,2 18131 9,2 76186 14,2 16054 19,2 51685 24,2 79767 4,3 21535' 9,3 78332 14,3 16835 19,3 51727 24,3 79917 4,4 24648 9,4 80468 14,4 17677 19,4 51790 24,4 80036 4.5 27479 95 82583 14.5 18583' 19,5 51879 24,5 80129 4,6 30033 9.6 84669 14.6 19515 19,6 52002 24,6 80197 4,7 32317 9.7 86713 14,7 20564 19,7 52156 24,7 80243 4,8 34344 9.8 88712 14,8 21630 19.8 52348 24,8 80271 4,9 36124 9,9 90651 14,9 22746 19.9 52578 24,9 80288
734 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.3-1, Таблица 21.3-3 Интегральная показательная функция Интегральные показательные функции обычно применяются в комбинации; 1) интегральных показательных функций Е1 (х) и Е1 (ж) или 2) £о (х), Et (х) = — Е1 (—ж) и Е2 (х), где оо Еп (х) = J e~xuu~ndu. Во всех случаях х > 0. _____ Малые значения аргумента. Для вычисления значений Е1 (—х) и Е1 (х) при малых значениях х можно пользоваться разложениями в ряд, приведенными в соответствующей таблице. Большие значения аргумента для Е1 (—х) и Ei (х): а) для 5 <х < 16 значения даны , е~х ________ ех в таблицах; Ь) для 5 < х < 40, Е, (х) = — Ei (—х) — Ft —-— и Ei (х) = F,-, где F, и Fj имеют значения: 5 10 15 20 25 30 35 40 F, 0,8516 0,9156 0,9408 0,9549 0,9627 0,9687 0,9729 0.9753 F, 1,354 1,1316 1,0781 1,0560 1,0440 1,0358 1,0305 1,0264 Fj = 1 с) для больших значений х величины Ft и Fj могут быть вычислены о помощью асимптотических рядов 11 , 21_____3[ х + х> ха „ , , Н . 21 . 31 f2 = i + — + —• + — е~* ' ' X 0 1 2 3 4. 5 6 7 8 9 0,0 оо 99,00 49,01 32,35 24,02 19,02 15,70 13,32 11,54 10,15 1 9,048 8,144 7,391 6.755 6,210 5,738 5,326 4,963 4,640 4,352 2 4,094 . 3,860 3,648 3,454 3,278 3,115 2,966 2,827 2,699 2,580 3 2,469 2,366 2,269 2,179 2£93 2,013 1,938 1,867 1,800 1,736 4 1,676 1,619 1,564 1,513 1,464 1,417 1,372 1,330 1,289 1,250 б 1,213 1,177 1,143 1,111 1,079 1,049 1,020 *9921 *9653 *9395 6 0,9147 8907 8677 8454 8239 8031 7831 7637 7450 7269 7 7094 6925 6760 6601 6447 6298 6154 6013 5877 5745 8 5617 5492 5871 5254 5139 5028 4920 4816 4713 4614 9 4517 4423 4332 4243 4156 4071 3988 3908 3830 3753 1,0 3679 3606 3535 3466 3399 3333 3268 3206 3144 8085 1 3026 2969 2913 2859 2805 2753 2702 2653 2604 2556 2 2510 2464 2420 2376 2334 2292 2251 2211 2172 2134 3 2096 2060 2024 1989 1954- 1920 1887 1855 1823 1792 4 1761 1732 1722 1673 1645 1618 1591 1564 1538 1513 5 1488 1463 1439 1415 1392 1369 1347 1325 1304 1283 6 1262 1242 1222 1202 1183 1164 1145 1127 1109 1092 7 1075 1058 1041 1025 1009 *9930 *9775 *9623 *9474 *9327 8 0,09183 9042 8903 8766 8631 8500 8370 8242 8116 7993 9 7872 7753 7636 7521 7407 7296 7187 7079 6973 6869 2 10-1x0,6767 5831 5037 4359 8780 3283 2857 2489 2172 1897 3 Ю-’х 1,660 1,453 1,274 1,118 0,9816 8628 7590 6682 5887 5190 4. 10-«х0,4579 4042 8570 3155 2790 2469 2185 1935 1714 1520 5 10~»х 1,348 1,195 1,061 0,9418 8364 7431 6603 5870 5220 4643 6 10-»х0,4131 3677 3273 2915 2596 2313 2061 1837 1638 1461 7 10-<х1,303 1,1621 1,087 0,9254 8260 7375 6585 5881 5253 4693 8 10-’Х0.4193 3747 3349 2994 2677 2394 2141 1915- 1713 1533 9 Ю-’Х1,371 1,227 1,098 0,9831 8800 7879 7055 6318 5658 5068
JI .3-1. 21.3. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ У35 : ' Таблица 21.3-3 (продолжение) _ , . _• / X Г „ , , X , X2 X3 , 1 £i(x)— Е1( х) — ^С+1пх 1.11 + 2-21 где С= 0,5772 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 со 4,038 3,355 2,959 2,681 2,468 2,295 2,151 2,027- 1,919 1 1,823- 1,737 1,660 1,589 1,524 1,464 1.409 1,358 1,310 1,265 2 1,223 1,183 1,145 1,110 1,076 1,044 1,014 0,9849 9573 9309 3 0,9057 8815 8583 8361 8147 7942 7745 7554 7371 7194 4 7024 6859 6700 6546 6397 6253 6114 5979 5848 5721 5 6598 5478 5362 5250 5140 5034 4930 4830 4732 4636 6 4544 4454 4366 4230 4197 4115 4036 3959 3883 3810 7 3788 3668 3599 3532 3467 3403 3341 3280 3221 3168 8 3106 3050 2996 2943 2891 2840 2790 2742 2694 2647 9 2602 2557 2513 2470 2429 2387 2347 2308 2269 2231 1,0 ' 2194 2157 2122 2087 2052 2019 1986 1953 1922 1890 1 1860 1830 1801 1772 1743 1716 1688 1662 1635 1609 2 1584 1559 1535 1511 1487 1464 1441 1419 1397 1376 3 1355 1334 1313 1293 1274 1254 1235 1216 1198 1180 4 1162 1145 1128 1111 1094 1078 1062 1046 1030 1015 5 1000 *9854 -*9709 *9567 -*9426 *9288 *5152 *9019 •*8887 *8758 6 0,08631 8506 8383 8261 8142 8025 7909 7796 7684 7574 7 7465 7359 7254 7151 7049 6949 6850 6753 6658 6564 8 6471 6380 6290 6202 6115 6029 5945 5862 5780 5700 9 5620 5542 5465 5390 5315 5241 5169 5098 5027 4958 2,0 4890 4823 4757 4692 4627 4564 4502 4440 '4380 4320 1 4261 4204 4147 4090 4035 3980 3927 3874 3821 3770 2 3719 3669 3620 3571 3523 3476 3430 3384 3339 3294 3 3250 3207 3164 3122 3081 3040 3000 2960 2921 2882 /4 2844 2806 2769 2733 2697 2662 2627 2592 2558 2525 5 2491 2459 2427 2395 2364 2333 2303 2273 2243 2214 6 2185 2.157 - 2129 2101 2074 2047 2021 1994 1969 1943 7 1918 1393 1869 1845 1821 1798 1775 1752 1730 1707 8 1686 1664 1643 1622 1601 1581 1560 1540 1521 1502 9 1482 1464 1445 1427 1409 1391 1373 1356 1338 1322 3,0 1305 1288 1272 1256 1240 1225 1209 1194 1179 1164 1 1149 1135 1121 1107 1093 1079 1066 1052 1039 1026 2 1013 1001 *9882 *9758 -*9637 *9517 •*9398 *9281 *9166 9052 3 0,003939 8828 8718 8610 8503 8398 8294 8191 8090 7990 4 7891 7793 7697 7602 7508 7416 7324 7234 7145 7057 5 6970 6884 6800 6716 6634 6552 6472 6393 6314 6237 6 6160 6085 6011 5937 5864 5793 5722 5652 5583 5515 7 5448 5881 5316 5251 5187 5124 5062 5000 4939 4879' 8 4820 4762 4704 4647 4591 4535 4480 4426 4372 4319 9 4267 4216 4165 4114 4065 4016 3967 3919 3872 3825 4,0 3779 3734 3689 3645 3601 3557 3515 3472 3431 3390 1 3349 3309 3269 3230 3191 3153 3115 3078 3041 3005 2 2969 2933 2898 2864 2879 2796 2762 2729 2697 2665 3 2633 2602 2571 2540 2510 2480 2450 2421 2393 2364 4 2336 2308 2281 2254 2227 2201 2175 2149 2123 2098 5 2073 2049 2025 2001 1977 1954 1931 1908 1885 1863 6 1841 1819 1798 1777 1756 1735 1715 1694 1674 1655 7 1635 1616 1597 1578 1560 1541 1523 1505 1488 1470 8 1453 1436 1419 1402 1386 1370 1354 1388 1322 1307 9 1291 1276 126J 1247 1232 1218 1204 1189 1176 1162 5,0 1148 1135 1122 1'109 1096 1083 1070 1058 1045 1083
736 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.3-1. Таблица. 21.3-3 {продолжение} Jc хЗ Е1 (х) = С + In х+ j.,, + 2.2Г + ~ЗЛЗГ К 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 —СО . 4,018 . 3.315 2,899 2,601 2,368 2,175 2,011 1,867 1,739 1 —1.623 1,517 1.419 1.329 1.244 1.164 1,089 1,017 .0.9491 0,8841 2 —0,8218 7619 7042 6485 5947 5425 4919 4427 3949 3482 3 —0.3027 2582 2147 1721 1304 0894 0493 0098 ♦0290 *0672 4 +0,4048 1418 1783 2143 - 2498 2849 3195 3537 8876 4211 5 0.4542 4870 5195 5517 5836 6153 6467 6778 7087 7394 6 0,7699 8002 8302 8601 8898 9194 9488 9780 1.007 1,036 7 1,065 1,094 1,122 1,151 1,179 1,207 1,236 1,264 1.292 1,320 8 1,347 1 375 1,403 1,431 1,458 1,486 1,513 1,541 1.568 1,595 9 1,623 1,650 1,677 1,705 1,732 1,759 1.786 1,814 1,841 1,868 1.0 1,895 1,922 1.949 1.977 2,004 27031 2.058 2.086 2.113 2.140 1 2.167 2,195 2,222 2,249 2 277 2,304 2,332 2,359 2.387 2 414 2 2.442 2,470 2,498 2,525 2,553 2,581 2,609 2,637 2,665 2.693 3 2.721 2,750 2.778 2,806 2,835 2,863 2,892 2,921 2,949 2,978 4 8.007 3,036 3.065 3,094 3,124 3,153 3,183 3,212 3.242 3,271 5 3.301 3,331 3.361 3,391 3,422 3,452 3.482 3,513 3.544 3,574 6 3.605 3,636 3.667 3,699 3,730 3,762 3,793 3,825 3,857 3,889 7 3,921 3,953 3,986 4,018 4,051 4.084 4,117 4,150 4.183 4,216 8 4,250 ’ 4,284 4.317 4 351 4 386 4,420 4,454 4,489 4,524 4,559 9 4,594 4 629 4.664 4,700 4,736 4,772 4,808 4,844 4,881 4,917 20 4,954 4,991 5.028 5,066 5,104 5,141 5,179 5,217 5,256 5,294 1 5 333 5 372 5.411 5,451 5 490 5,530 5,570 5,611 5,651 5,692 2 5.733 5,774 5,815 5,857 5,899 5,941 5,983 6,025 6,068 6,111 3 6,154 6.198 6,242 6.286 6,330 6,374 6,419 6,464 6,509 6,555 4 6.601 6,647 6,693 6,740 6,787 6,834 6,881 6,929 6,977 7,025 5 7.074. 7,123 7,172 7,221 7,271 7,321 7,372 7,422 7.473 7,524 6 7,576 7,628 7.680 7 733 7,786 7,839 7,893 7,947 8,001 8,055 7 8,110 8,166 8,221 8,277 8,334 8,390 8,447 8,505 8.563 8,621 8 8.679 8,738 8,798 8 857 8,917 8,978 9,039 9,100 9,162 9,224 9 9,286 9.349 9,412 9,476 9 540 9,605 9,670 9,735 9.801 9.867 3,0 9,934 10,00 10.07 10 14 10,21 10,27 10,34 10,41 10,48 10,55 1 10,63 10,70 10 77 10,84 10,92 10,99 11,06 11,14 11.22 11,29 2 11.37 11,44 11,52 11,60 11,68 11.76 11.84 11,92 12.00 1208 3 12.16 12,24 12.33 1241 12,49 12,58 12.66 12,75 12.84 12,92 4 13.01 13.-10 13.19 13,28 13,37 13.46 13,55 13,64 13,74 13,83 5 13,93 14,02 14,12 14,21 14,31 14,41 14,51 14,60 14,70 14,80 6 14,91 15,01 15,11 15,21 15,32 15,42 15,53 15,64 15,74 15,85 7 15.96 16,07 16.18 16,29 16,40 16,52 16,63 16,75 16.86 16,98 8 17.09 17.21 17.33 17 45 17,57 17,69 17 82 17 94 18.06 18,19 9 18,32 18,44 18.57 18,70 18,83 18,96 19,09 19,23 19,36 19,49 4,0 19,63 19,77 19,91 20,05 20,19 20.33 20,47 20,61 20,76 20,90 1 21,05 21,20 21.35 21 50 21,65 21,80 21,95 22,11 22,26 22,42 2 22,58 22,74 22,90 23,06 23,22 23.39 23.55 23,72 23.89 24,06 3 24,23 24,40 24,57 24,75 24,92 25,10 25,28 25 46 25,64 25,82 4 26,01 26,19 26,38 26,57 26,76 26.95 27,15 27,34 27.54 27,73 5 27.93 28,13 28,34 28,54 28,75 28,95 29,16 29,37 29,58 29,80 6 30.01 30,23 30,45 30.67 30,89 31,12 31.34 31,57 31,80 32.03 7 32.26 32,50 32,74 32,97 33,21 33.46 33,70 33,95 34,20 34,45 8 34,70 34,95 35,21 35,47 35,73 35.99 36,25 36,52 36.79 37.06 9 37.33 37,61 37,88 38,16 38,45 38,73 39.02 39.31 39,60 39,89 5.0 40,19 40.48 40,78 41,09 41,39 41,70 42,01 42.32 42,64 42,96
21.3-1. 21.3. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 737 Таблица 21.3-3 (продолжение} . Ег(х) ~ — Ei (— х), 5 < х < 16 К 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 ю-’XI. 148 1,021 9086 8086 7198 6409 5708 5085 4532 4039 6 10'» ХО,3601 3211 2864 2555 2279 2034 1816 1621 1448 1293 7 10-“Х1.155 1,032 9219 8239 7364 6583 5886 5263 4707 4210 8 10-‘Х0,3767 3370 3015 2699- 2415 2162 1936 1733 1552 1390 9 10“‘Х 1,245 1,115 9988 8948 8018 7185 6439 5771 5173 4637 10 10- “Х0.4157 3727 3342 2997 2687 2410 2162 1939 1740 1561 11 10-»х 1,400 1,256 1,127 1.012 0,9080 8149 7315 6566 5894 5291 12 10-’Х0.4751 4266 3830 3440 3039 2774 2491 2238 2010 1805 13 10-’xl.622 1.457 1,309 1,176 1,057 0,9-495 8532 7667 6890 6193 14 10-’х0,5566 5002 4500 4042 3633 3266 2936 2640 2373 2134 Ei(x), 5<х< 16 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10’ X 0,4019 10“ ХО,8599 10“ ХО, 1915 10“х0,4404 10“ X 0,1038 10“Х0,2492 10<х0,6071 10“ Х0,1496 10“ X0,3720 10“ X 0,9319 4328 9300 2079 4793 1132 2723 • 6641 1638 4076 1,022 4662 1.006 2257 5218 1235 2975 7265 1794 4467 1,121 5026 ‘ 1,089 2451 • 5682 1347 3251 1 7949 1964 4896. 1,229 5419 1,179 2663 6189 1471 3553 8698 2151 5367 1,348 ' 5847 1.277 2894 6743 1605 3884 9518 2357 5883 1,479 6310 1,384 3146 7347 1752 4246 1,042 2581 6449 1,622 6813 1,501 3420 8007 1913 4642 1,140 2828 7070 1,779 7360 ' 1.627 3720 • 8729 2089 5076 1,248 3098 7751 1,952 7954 1,765 4047 9517 2282 5551 1,366 3395 8499 2,142 - ОО Е2(х) = Je -ХИЫ 2Ди —е X — х£1(х) = х[Е’0(х)- - fiWl 0,0 1,000 0,9497 9131 8817 8535 8278 8040 7818 7610 7412 1 0.7225 7048 6878 6715 6560 6410 6267 6128 5995 5866 2 5742 5622 5505 5393 5283 5177 5074 4974 4877 4783 3 4691 4602 4515 4430 4348 4267 4189 4112 4038 3963 4 3894 3824 3756 3690 3626 3562 3500 3440 3381 3325 5 3266 3211 3157 3104 3052 3001 2951 2902 2855 2808 6 2762 .2717 2673 2630 2587 2546 2505 2465 2426 2387 7 2349 2312 2276 2240 2205 2171 2137 2104 2072 2040 8 2009 1978 1948 1918 1889 1860 1832 1804 1777 1750 9 1724 1698 1673 1648 1623 1599 1576 1552 1530 1507 1.0 1485 1463 1442 1421 1400 1380 1360 1340 1321 1302 1 1283 1264 1246 1228 1211 1193 1176 1160 1143 1127 2 1111 1095 1080 1065 1050 1035 1020 1006 *9920 *9781 3 0,09645 9510 9378 9247 9119 8993 8868 8746 8625 8506 4 8389 8274 8160 8048 7938 7829 7722 7617 7513 7411 б 7310 72 И 7113 7017 6922 6828 6736 6645 6555 6467 6 6380 6295 6210 6127 6045 5964 5884 5806 5729 5652 7 5577 5503 5430 5358 5287 5217 5148 5080 5013 4947 8 4882 4817 4754 4691 4630 4569 4509 4450 4392 4335 9 4278 4222 4167 4113 4059 4007 3955 3903, 3852 8803 2 10“’х0,3753 3297 2898 • 2550 2246 1980 1746 1541 1362 1203 3 Ю-“Х 1,064 0,9417' 8337 7384 . 6544 5802 5146 4567 4054 3600 4 10~“Х0.3198 2842 2527 2247 1999 4779 1583 1410 1255 1118 5 10-“ХО.9965 8881 7917 7060 6296 5617 5012 4473 3992 3564 6 10-“х0,3183 2842 2539 2268 2027 1812 1619 1448 1294 1157 7 Ю-“ X 1,085 0,9259 8283 7411 6632 5935 5313 4756 4258 3812 8 10-“X0.34I4 3057 2738 2453 2198 1969 1764 1581 1417 1270 9 10-“ X 1,138 1,021 0.9149 8203 ,7356 6597 5916 5306 4760 4270
738 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.3-2. 21.3-2. Интегралы Френеля и интеграл вероятностей (см. также п. 18.8-3). По определению C(x) = 5cGS^XMx = J1/2g^) +Л/гЦХ2) + Л/2(^) + .... о S(x)=5Sinf + Л/20р) +МзИ + о {интегралы Френеля) (21.3-6) где Jn/2 (г)—функции Бесселя, порядок которых равен- половине нечетного числа (см. п. 21.8-1, е). Графики функций С (х) и S (х) изображены нг рис. 21.3-2. Отметим, что С (оо) = S (со) = 1/2. х с 2 С — Хг J % I ОС8 . 1 Xs 1 х’ . \ ,П, о -Г\ егЬ==7^$е dx==7^r~3+2i 6-317 ± -) С21-3’7) о (функция ошибок); (см. также п. 18.8-3 и табл. 18.8-10). Заметим, что erf (со) = 1. Отметим формулы: С(х) —iS(x) = T^-f erf С«=4 1 \ ПЛИ X- '5М=|-^со8-2-ж2 + 101 х2 (21.3-8) (21.3-9)
21.4-1. 21.4. ГАММА ФУНКЦИЯ И СВЯЗАННЫЕ С НЕИ ФУНКЦИИ 739 Некоторые интегралы: к J С (*) dx = х С (*) — ~ sin ~ х*, О х V S (л) dx—x S (х) + ~ СОЗ хг — ~ t J 31 л О X ( erf х dx =х erf х -}- (в— х‘ — 1). J .Гл Интегралы > X 2Vx J Vx 3 7 31 11 61 О х _!_f^.dA.==l_2^L+12«L---------- 2Vx J Vx 5 21 9 41 13 61 0 также иногда называются интегралами Френеля. Функция СО erfcx=l—erf V ё~*2dx /я J X \ называется дополнительным интегралом .вероятностей. (21.3-10) (21.3-11) (21.3-12) 21.4. ГАММА-ФУНКЦИЯ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ФУНКЦИИ 21.4-1. Гамма-функция. (а) Интегральные представления. Гамма-функция Г (г) обычно определяется как Г (z) = е"^-1 dt (Re г > 0) (интеграл Эйлера второго рода) (21.4-1) или для Rez<0 Г (г) 2ni “ dt С (21.4-2) (интегральное представление Ганкеля), где контур С идет-из —со по отрицательной части действительной оси. обходит начало координат в положительном направлении (против часовой стрелки) и опять по отрицательной части осн х возвращается к исходной точке. Это определение может быть расширено при помощи аналитического продолжения (и.. 7.8-1). Единственными особенностями Г (г) в конечной части плоскости
740 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.4-1. 1— 1)" являются простые полюсы с вычетами '—~~ при -/Д-г есть целая 1L (2) г=—п (n=0, 1, 2, ...); функция. Рис. 21.4-1 представляет график Г (х) для Рис. .21.4-1. График Г (и + ti для действительных значений и. Последовательные относительные максимумы и минимумы приближенно равны Г (1,462) = 0,886; Г (—1,573) = 2,302; Г (—0.5040) = —3,545; Г (—2,611) = —0,388. действительных х. Значения Г (х) приведены в табл. 21.4-1. Заметим, что г(|)=Г«» Г(1)=1, 1 Г(п+1) = п1 (л—0, 1, 2, ...). ) (Ь) Другие представления для Г (г). Г (г) = lim ;(2+ i) (g-p7g) .. (z+'n) ”г (определение Эйлера), п оо со г 1 __,„Сг тт Л . г\ — £ [бесконечное произведение Г (г) ~ге 11 \1 k ) е Вейёрштрасса), k = 1 (21.4-3) (21 4-4) (21.4-5) С —постоянная Эйлера — Маскерони, определенная как С= Uni ( V 1 —1пп\=_( е-Чпт'Л==—Inin | Л =«0,5772157. / О 0 (21.4-6) (с) Функциональные уравнения Г (г-j- l)=z Г (г), (21.4-7) Г (г)Г(-2) = --^. Г(г)Г(1-г) = ^Г, г(1+г)г(4-г)=^г- (2Ь4-8) г^=/£^ГйГ Mr Н) -г (г+^) (п=2Л 3, ...) (теорема умножения Гаусса). (21.4-9)
2t.4-t 21.4. ГАММА-ФУНКЦИЯ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ФУНКЦИИ 741- Таблица 21.4-1 оэ Гамма-функция Г (х) = j dt о Для больших значений аргумента Г (х) вычисляется при помощи формулы Г (х) = (х — 1> Г (х — 1) = (х — 1) (х — 2) Г (х — 2) = . .. Пример./ (4.7) = 3,7 X 2,7 X 1.7 X 0.9086 == 15,43. Если х < Ги х ф 0, — 1, — 2, .... .то it ,и _ Г(х + 1) Г (х + 2) _ ' х х (х + 1) Примеры. Г(0.7)=^ЦЬД-= 1,298. Г ( 3,2) (_ 3 2) 2>2) ! i2) ( — 0,2) (0,8) ~ 0,689‘ X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,00 1,0000 0,9994 9983 9983 9977 9971 9966 9960 9954 9949 1 0,9943 9938 9932 9927 9921 9916 9910 9905 9899 9894 2 9888 9883 9878 9872 9867 9862 9856 9851 9846 9841 3 9835 9830 9825 9820 9815 9810 9805 9800 9794 9789 4 9784 9779 9774 9769 9764 9759 9755 9750 9745 9740 5 9735 9730 9725 9721 9716 9711 9706 9702 9697 9692 6 9687 9683 9678 9673 9669 9664 9660 9655 9651 9646 7 9642 9637 9633 9628 9624 9619 9615 9610 9606 9602 8 9597 9593 9589 9584 9580 9576 9571 9567 9563 9559 9 9555 9550 9546 9542 .9538 9534 9530 9526 9522 9518 - 1,10 9514 9509, 9505 9501 9498 9494 9490 9486 9482 9478 1 9474 9470 9466 9462 9459 9455 9451 9447 9443 9440 2 9436 9432 9428 9425 9421 9417 9414 9410 9407 9403 3 9399 9396 9392 9389 9385 9382 9378 9375 9371 9368 4 9364 9361 9357 9354 9350 9347 9344 9340 9337 9334 5 9330 9327 9324 9321 9317 9314 9311 9308 9304 9301 6 . 9298 9295 9292 9289 9285 9282 9279 9276 9273 9270 7” 9267 9264 9261 9258 9255 9252 9249 9246 9243 9240 8 9237 9234 9231 9229 9226 9223 9220 9217 9214 9212 9 9209 9206 9203 9201 9198 9195 9192 9190 9187 9184 1,20 9182 9179 9176 9174 9171 9169 9166 9163 9161 9158 1 9156 9153 9151 9148 9146 9143 9141 9138 9136 9133 2 9131 9129 9126 9124 9122 9119 9117 9114 9112 9110 3 9108 9105 9103 9101 9098 9096 9094 9092 9090 9087 4 9085 9083 9081 9079 9077 9074 9072 9070 9068 9066 5 9064 9062 9060 9058 9056 9054 9052 9050 9048 9046 6 9044 9042 9040 9038 9036 9034 9032 . 9031 9029 9027 7 4025 9023 9021 9020 9018 9016 9014 9012 9011 9009 8 9007 9005 9004 9002 9000 8999 8997 8995 8994 8992 9 8990 8989 8987 8986 8984 8982 8981 8979 8978 8976 1.30 8975 8973 8972 8970 8969 8967 8966 8964 8963 8961 1 8960 8959 8957 8956 8954 8953 8952 8950 8949 8948 2 8946 8945 8944 8943 8941 8940 8939 8937 8936 8935 3 8934 8933 8981 8930 8929 8928 8927 8926 8924 8923 4 8§22 8921 8920 8919 8918 8917 8916 8915 8914 8913 5 8912 8911 8910 8909 8908 8907 8906 8905 8904 8903 6 8902 8901 8900 8899 8898 8897 8897 8896 8895 8894 7 8893 8892 8892 8891 8890 8889 8888 8888 8887 8886 8 8885 8885 8884 8383 8883 8882 8881. 8880 8880 8879 9 8879 8878 8877 8877 8876 8875 8875 8874 8874 8873 1,40 8873 8872 8872 8871 8871 8870 8870 8869 8869 8868 1 8868 8867 8867 8866 8866 8865 8865 8865 8864 8864 2 8864 8863 8863 8863 8862 8862 8862 8861 8861 8861 3 8860 8858 8860 8860 8859 8859 8859 8859 8858 8858 4 8858 8858 8858 8858 8857 8857 8857 8857 8857 8857
742 ГЛ 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.4-1 Таблица 21.4-1 (продолжение) X 0 1 2 8 4 5 6 7 8 9 5 8857 8857 8856 8856 8856 8856 8856 8856 8856 8856 6 8856 8856 8856 8856 8856 8856 8856 8856 8856 8856 7 8856 8856 8856 8857 8857 8857 8857 8857 8857 8857 8 8857 8858 8858 8858 8858 8858 8859 8859 8859 8859 9 8859 8860 8860 8860 8860 8861 8861 8861 8862 8862 1,60 0.8862 8863 8863 8863 8864 8864 8864 8865 8865 8866 1 8866 8866 8867 8867 8868 8868 8869 8869 8869 8870 2 8870 8871 8871 8872 8872 8873 8373 8874 8875 8875 3 8876 8876 8877 8877 8878 8879 8879 8880 8880 8881 4 8882 8882 8883 8884 8884 8885 8886 8887 8887 8888 Б 8889 8889 8890 8891 8892 8892 8893 8894 8895 8896 6 8896 8897 8898 8899 8900 8901 8901 8902 8903 8904 7 8905 8906 8907 8998 8909 8909 8910 8911 8912 8913 8 8914 8915 8916 8917 8918 8919 8920 8921 8922 8923 9 8924 8925 8926 8927 8929 8930 8931 8932 8933 8934 1,60 8935 8936 8937 8939 8940 8941 8942 8943 8944 8946 1 8947 8948 8949 8950 8952 8953 8954 8955 8957 8958 2 8959 8961 8962 8963 8964 8966 8967 8968 8970 8971 3 8972 8974 8975 8977 8978 8979 8981 8982 8984 8985 4 8986 8988 8989 8991 8992 8994 8995 8997 8998 9000 Б 9001 9003 9004 9006 9007 9009 9010 9012 9014 9015 6 9017 9018 9020 9021 9023 9025 9026 9028 9030 9031 7 9033 9035 9036 9038 9040 9041 9043 9045 9047 9048 8 9050 9052 1 9054 9055 9057 9059 9061 9062 9064 9066 9 9068 9070 9071 9073 9075 9077 9079 9081 9083 9084 1.70 9086 9088 9090 9092 9094 9096 9098 9100 910-2 9104 1 9106 9108 9110 9112 9114 9116 9118 9120 9122 9125 2 9126 9128 9130 9132 9134 9136 9138 9140 9142 9145 3 9147 9149 9151 9153 9155 9157 9160 9162 9164 9166 4 9168 9170 9173 9175 9177 9179 9182 9184 9186 9188 Б 9191 9193 9195 9197 9200 9202 9204 9207 9209 9211 & 9214 9216 9218 9221 9223 9226 9228 9230 9233 9235 7 9238 9240 9242 9245 9247 9250 9252 9255 9257 9260 8 9262 9265 9267 9270 9272 9275 9277 9280 9283 9285 9 9288 ’9290 9293 9295 9298 9301 9303 9306 9309 9311 1,80 9314 9316 9319 9322 9325 9327 9330 9333 9335 9338 1 9341 9343 9346 9349 9352 9355 9357 9360 9363 9366 2 9368 9371 9374 9377 9380 9383 9385 9388 9391 9394 3 9397 9400 9403 9406 9403 9411 9414 9417 9420 9423 4 9426 ' 9429 9432 9435 9438 9441 9444 9447 9450 9453 Б 9456 9459 9462 9465 9468 9471 9474 9478 9481 9484 6 9487 9490 9493 9496 9499 9503 9506 9509 9512 9515 7 9518 9522 9525 9528 9531 9534 9538 9541 9544 9547 8 9551 9554 9557 9561 9564' 9567 9570 9574 9577 9580 9 9584 9587 9591 9594 9597 9601 9604 9607 9611 9614 1,90 9618 9621 9625 9628 9631 9635 9638 9642 9645 9649 1 9652 9656 9659 9663 9666 9670 9673 9677 9681 9684 2 9688 9691 9695 9699 9702 9706 9709 9713 9717 9720 3 9724 9728 9731 9735 9739 9742 9746 9750 9754 9757 4 9761 9765 9768 9772 9776 9780 9784 9787 9791 9795 Б 9799 9803 9806 9810 9814 9818 9822 9826 9830 9834 6 9837 9841 9845 9849 9853 9857 9861 9865 9869 9873 7 9877 9881 9885 9889 9893 9897 9901. 9905 9909 9913 8 9917 9921 9925 9929 9933 9938 9942 9946 9950 9954 9 9958 9962 9966 9971 9975 9979 9983 9987 9992 9996 2,00 1,0000 0004 0008 0013 0017 0021 0026 0030 0034 0038
21.4-4. 21.4. ГАММА ФУНКЦИЯ И СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ ФУНКЦИИ 743 21.4-2. Асимптотическое разложение Стирлинга для Г (г) и nt (см. также пп. 4.4-3, 4.8-6, Ь и 21.5-4). Г (z) — е~г2г~"А Г'йг Г 1-| ! L—!_______________ 1 (ZJ — е 2 у р Ч- 12г -j- 288га 51 840г3 (| arg z | < л) (ряд Стирлинга). 2 488 320г4 6)j (21.4-10) Ряд Стирлинга особенно полезен для больших значений | г |1 для действитель- ных положительных г абсолютная величина ошибки меньше, чем абсолютная величина последнего из взятых членов. Заметим, в частности, что lim или п!«гяяеГ’"УГ2лп при л —со . (21.4-11) 1»»OQ П 8 ' (формула Стирлинга). Относительная ошибка формулы Стирлинга убывает с возрастанием п; асимпто- тическая формула часто применяется при вычислении отношения двух факто- риалов или гамма-функций. Отметим более специальные формулы; ____ ______ — д ——1—. ппе~п Vinn < ni <пл У2лп е 12п, (21.4-12) П1 ~ пп /2ЙЙ ехр (_.п + -А-- ^А_ + .. .) (21.4-13) при л -* оо. 21.4-3. Логарифмическая производная гамма-функции. оо Ф U) =^- ш Г (2) = --4у) - С, (21.4-14) fe=0 ф (z) = f (-------dt = — f (— + ----dt (Re z > 0). (21.4-15) J \ t L—e~4 J \Ini l — tj 0 0 Заметим, что ф(1) = —С, ф (г + 1) = ф (г) + А (21.4-16) (<_постоянная Эйлера — Маскерони). 21.4-4. Бета-функция. Бета-функция (полная) определяется как B^A)=SS=B^₽) (21.4-17) или при помощи аналитическоге продолжения интеграла 1 B(pt <7,=^₽-IU—0«"*« (Rep>0, Re<?>0) (21.4-18) (интеграл Эйлера первого рода), со п/2 SP~l с ——~p+q~ dt=2 1 sin^-1<j> cos2®"ltpdtp. (21,4-19) JU 0
744 ГЛ. S1. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.4-6. Отметим формулы В(р, <?)В(р + <?, r) = B(q, г)В(9+л, р), (24.4-20) 1 (п+т—1\ /п-кт—1\ , . „ ' , , т Гп\ « ) («. ««=1 2, ...). (21.4-21) 21.4-5* Неполные гамма- и бета-функцни. Неполная гамма-функция (р) и непол- ная бета-функция (р, q} соответственно определяются аналитическим продолжением интегралов 2 Гг (₽) = I ,р~1е~‘ Ш (Re р> 0), (21.4-22) . . ч О 2 Вг(у, 0) = J«P"X(1 — O9~1dl(Rep>0, Re q > tt. 0 sg г «S 1). (21.4-23) 0 Величина !г (Р. 0) = Вг (Р. 0) В (р, 0) называется отношением неполной бета-функции. Большое число определенных и неопределенных интегралов, связанных с гамма- функцией, содержится в [4.6], [21.3]. 21.5. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ И ФАКТОРИАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ. МНОГОЧЛЕНЫ И ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 21.5-1. Биномиальные коэффициенты и факториальные многочлены (см. также п. 1.4-1 и 21.5-3). В табл. 21.5-1 приведены определение и основные (х \ 1. Выражение = —х(х—1) ... (х—п-(-1)= = Sl"\n-VSV\"-1+...+S("li* (n = 0, 1, 2, ...) (21.5-1) называется факториальным многочленом степени п. Коэффициенты S^l> назы- ваются числами Стирлинга первого рода н могут быть получены с помошыо рекуррентной формулы $<,« + 1 > = $(«) _ nSW j, (2 1 .5-2) Заметим, что п (X+у)[п^ = 2 ( й ~ *=6 ' (n=0, 1, 2, ...) (21.5-3) (биномиальная теорема Вандермонда).
21.Б-1. 21.5. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ МО Таблица 21.6-1 Определение и свойства биномиальных коэффициентов (см. также пп. 1.4-1 и 21.5-4) (а) Определение и основные свойства. п — целое число', то х (х — 1) ../(х — п 4- 1) Если Xf у, г — действительные числа и для (определение) t п~ О, in > Oh ДЛЯ для (п 0) {теорема сложения},
746 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.В-2. 21.5- 2. Многочлены и числа Бернулли. (а) Определения. Многочлены Бернулли (х) порядка п=^ 0, 1,2,... в степени k определяются из разложения производящей функции (п. 8.6-5) JlJCt “ tk ТТ^П = S w 4г («=0. Ь 2« -)• (21.5-4) ~ и k=0 Многочлены Бернулли порядка 1 обычно называются просто многочленами Бернулли. Заметим, что В^(х)=х«, В^г+1)х=-^-^J[(x-l)(x-2)...(x-n)] (n>k). (21.5.5) ч Числа В^п) (0) = В^> называются числами Бернуллн’порядка п; имеем п ОО £ В<я> = 1, Bf”> = —В^=4п(Зп-1), В|"> = —-§-«а (п-1), В^=~п (15пЗ-30п24-5п+2), 1 (21.5-7) В£п) = — §£ «2 (п — 1) (Зи2 - 7п - 2), Вбп> = 4^2 п (63пв--315п4+315п®+91п2_42п_ 16). Числа Бернулли порядка 1 обычно просто называют числами Бернулли. Вр = В*; Bk—0 для всех нечетных k> 1, н Во = 1, В! = ~4-, вв=^... (21.5-8) Числа Бернулли В2П положительны при п нечетном и отрицательны при п четном. Числа Бернулли могут также быть получены с помощью рекур- рентной формулы Во=1, lX9B1+fflB*+",+G-l)B*-I==° (*=2гЗг...) (21.5-9) или в виде определителей (формула Лапласа) 1 21 1 0 0 1 31 1 21 1 0 Bn=(-l)nnl 1 41 1 31 1 21 0 4 1 1 • • • ••• 1 1 (Я +1)1 п| (а-1)1 " 21
21.6-4. 21.5. БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ 747 (Ъ) Некоторые свойства многочленов и чисел Бернулли. В<£1 W- Н <21.5-10) а (Я = mB mLp (A>1 = *> — (m — n + l')km~n (ft = 0, ± 1, + 2, ... ; m > n) (cm. n. 20.4-1), (21.5-11) ВР)(*+1)=Й1,(Л)+*В("'||,(1)( в1п)(1) = В<«> + (21.5-12) j В1Л>О>« = й4йДВ^1 «=В^“1>(*)-5ВЙ1) «>^“ВйП-1) « (21.5-13) X О Вй") Iя — *) = (— (теоремао дополнительном аргументе}-, (21.5-14) вГ+1) + W' В<" + 1> (1) = (1--^в(п>, (21.5-15) я \ п ) k ‘ т— 1 В<?> (тх} •= т^~^ У В<» f х -}- —) (теорема умножения}', /—о 4 т ' В<^> (х)=2(—1)*+* B2* + l «=2(-1)*+1 XI cos 2лгл (2А)| 2’7^’ г = 1 (21.5-16) Х^ sln2nrx (2А+1)1 2й(2лг)2й+Г 21.5-3. Формулы, связывающие многочлены Бернулли и факториальные мно- гочлены. Многочлены и числа Бернулли связаны с факториальными многочленами (п. 21.5-1) по степеням х; эти связи используются при решении разностных уравнений и, в частности, при суммировании рядов (п. 4.8-5, d). х^ = (*) п! —х (х— 1)'... (х—n+1) = В(" + » (х +1) = п = S (й=!)В«-й х* («=°> Ь 2, ...), (21.5-17) 5(Е-1)Й-2)...(?-2г+1)4=((Е-1)^"П = о о = ^^(х)-В^)] (г=1, 2, ...). (21.5-18) 21.6-4. Приближенные формулы для (см. также п, 21, 4-2). Если N ~ положа- 2 | N | ^/~Г тельное целое число их=^-|-2— п | < у JL , то А/-1 „ AZ3 М-1 . , Мг» \ ' (N\ _ 2М + 1 2 2 1-г 2М+1 2 (1-}-а----}-...) (21.5-19) ' V2iiM “ У2ЙМ ‘ \ 1 —г У
748 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.6-1 Если то п» „Я, При больших значениях N, п и N —n применяется формула Стирлинга (21.4-11). 21.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФУНКЦИИ 21.6-1. Эллиптические функции; общие свойства. Функция w=f(z) комп- лексной переменной z называется эллиптической функцией, если: I. f (г) является двоякопериодической функцией с двумя конеч- ными примитивными периодами (наименьшими периодами) coj и о>2, отношение которых не есть действительное число *), т. е. /:(z-|-mcoi+nco2)=f(z) (т, п—0, ± 1, ± 2, ...; Im (21.6-1) Точки z плоскости, отличающиеся друг от друга . на период, назы- ваются конгруэнтными. 2. Единственные особенности f (г) в конечной части плоскости , суть полюсы (см. также пп. 7.6-7 — 7.6-9). Двоякопериодическая функция повторяет значения, принимаемые ею в парал- лелограмме периодов, определенном точками 0, ш1, ш2, причем две стороны, соединяющие три последние, точки, нужно исключить как принадле- жащие смежному параллелограмму. Порядком эллиптической функции назы- вается число полюсов в параллелограмме периодов, причем каждый полюс считается столько раз, какова его кратность. Двоякопериодическая функция, не имеющая полюсов в параллелограмме пери- одов (целая двоякопериодическая функция), есть постоянная. Сумма вычетов двоякопериодической функции в ее полюсах в параллелограмме периодов равна нулю\ отсюда следует, что простейшая нетривиальная эллиптическая функция имеет порядок 2. Эллиптическая функция f (г) порядка г принимает каждое значение w в точности г раз в каждом параллелограмме периодов, если это значение считать столько раз, какова кратность корня уравнения f (г)—к>=0. Разность между суммой всех нулей и суммой всех полюсов функции f (г), рас- положенных в параллелограмме периодов, равна некоторому ее периоду. Эллиптические функции обычно встречаются в связи с интегралами или дифферен- циальными уравнениями, содержащими квадратные корни из многочленов третьей или четвертой степеней (например, при вычислении длины дуги эллипса, при решении урав- нения колебаний маятника; см. также пп. 4.6-7 и 21.6-4.) Эллиптические функции Вейершт- росса и нормальные эллиптические интегралы образуются из простых функций с известными особенностями и просты для теоретических исследований (пп. 21.6-2* 21.6-3 и 21.6-5 Ь). Для численных расчетов предпочтительнее эллиптические функции Якоби (п. 21.6-7)й которые могут рассматриваться как обобщение тригонометрических функций; нормальные эллиптические интегралы Лежандра, тесно связанные с обратными функциями Якобив также подробно табулированы шп. 21.6-5 и 21.6-6). 21.6-2. ^-функция Вейерштрасса. (a) (г) = Щг | col,'mJ есть четная эллиптическая функция порядка 2 с периодами й>!, а>2 и двукратными полюсами в точках г=тсо14-пшг (п, т = = 0, ±1, ±2, .'..). Функция р (г) определяется как F (2) = F (z I “1> “г) = 5? + 2 [-(г - mat - (mo, + na>8H] = J8 (—z) т, п т2 4" л- ф О [1т(ът)>0]- (21.6-2) *) Следует иметь в виду, что во многих руководствах периоды обозначаются через 2а>! н 2<о,.
21.6-2. 21.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ 749 Суммирование распространяется по всем целым значениям т и п (положи- тельным, отрицательным и нулевым), за исключением одновременных нулевых значений тип. Функция to=^(z) удовлетворяет дифференциальному урав- нению =4а’4—gs = 4 (ш—ej (to —(to—е3), (21.6-3) где *i=F(-v). ^=^(-^4^-), (21-6-4) е1+еа+ез = 0> е1е2+е1ез + е2ея = —j- gs, eie^s — ^ g3, (21.6-5) Параметры g2, gs определяют постоянные 04, <в„ связанные с каждой ^-функ- цией, и называются инвариантами ft (2)=tf> (г\ь)ъ ^ — ^(z; g2, g3); заметим, что при любом I -ф О Р(Й|/Ш1, ^=/-2 р (г I 0)1, Шг), $>(tz\ t^g2, r«gs)=t^ ft (z; gt, g3). (21.6-6) Точки w—e-i, е2, es и ю=ссесть точки разветвления обратной для Р (г | o>i, (oj функции • ta р - dvu г=5 ,(2L6-7) со (нормальный эллиптический интеграл Вейерштрасса первого рода). • Заметим следующие разложения в ряды. ip U; £2. £ J = — -k — za -к 24 -к • - г6 -4- —eg - -к 4 1 а* 2® ’ 20 * ’ 28 * ’ 1200 6160 +------ 1 °° “4- + S °*г2/!"2 [0 < I г I < mln (| и, |, |<os|)J, А=2 3 °k~ (А — 3) (2* 4- 1) (°2аА-2 + азаА-з + •••+а*_гаг); &-боУ--------!----= {Ш(£ц -1- Лй)г)4 \С0г / т, п т9 -р пй ^0 (mcoi псо2)в т, п т*-\-п*ф0 (21.6-9) и теорему сложения F И + в, = -р (Д) - р (В) + j- (21.6-8) (21.6-10) (Ь) Каждая эллиптическая функция f(z) с периодами ац, а>2 может быть представлена как рациональная функция от (г; а>р шг) и ^'(z,\a>lt Юг). Более точно, / (г) может быть записана в виде f (z) = Ri [$э (г)] +F (z) /?а [р (г)], (21.6-11) где /?1 и /?а — рациональные функции; Р'(г) —нечётная эллиптическая функ- ция порядка 3. .
750 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.6-3. 21.6- 3. g- и G-функции Вейерштрасса. (а) g- и о-функции Вейерштрасса не являются эллиптическими функциями,: однако могут быть использованы для построения эллиптических функций в заданными особенностями. По определению £(z)=g(z| colt <в2) = г [г — m<0i — л<ва me>t 4- я<ой (тоц -}- ладs] г)« т, п. с(г)=о (г | cot, ш2) = 2 i 1 0 m0)i + п®г) еХР [™>i + п<оа 2 (ma>i+лад £] т, п ” [1тОЮ>0]’ (21.6-12) где сумма и произведение распространяются по всем целым (положительным, отрицательным и нулевым) значениям т и п, за исключением одновременных нулевых значений т и п. £ (г) имеет простые полюсы и а (г) имеет простые нули в точках z=mco]+n<B2, и (21.6-13) Формулы (8) и (13) позволяют получить разложения функций g(z) и o(z) в ряды Лорана в окрестности точки г=0. Отметим, что ja(z) £ (z) = f w (нормальный эллиптический интеграл const^4w‘—St^ — sa Вейерштрасса второгорода). (21.6-14) Теорема сложения для g-функции gn+B) = gH) + g(B) + 45^^. (21.6-15) Если ввести обозначения*) 2g(co1/2) =i]£, 2 g (co2/2) = q2, то tliro2—112®1=2ж и g (z-{-/no)1-|-na)2)=g (2)-Ьттц-|-лг]а (m, n~0, + 1, +2, ...),т G (z 4-mcOj + nco2) = = (— i)m+n + mn a(z) exp [(«гцх + гау (z4-m<af* (21.6-16) (b) * Если эллиптическая функция f (г) имеет в параллелограмме перио- дов только простые полюсы bk с вычетами A/l(k=ll 2, г), то Г Hz)= S Akl(z~bk)+C. (21.6-17 а) ь = 1 Если эллиптическая функция f(z) имеет в параллелограмме периодов нули аь и полюсы bh(k=\, 2, ..., г), каждый из которых пишется столько раз, какова его кратность, то ' о (г — аЛо (г — аЛ ... о (г — а.1 f й (21-6-17 Ь} где 2 ak— 2 6ft—полюв функции /(z), конгруэнтный полюсу bt. fe=r fe=2 *) Есла периоды обозначены через 2o>i и 2<иа (см. сноску на стр. М3), то полагают Ш = Ч> = £ (“а).
21.6-5. S1.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ 751 21.6- 4. Эллиптические интегралы (см. также п. 4.6-7). Функция F(z)=\f(z)dz (21.6-18) а называется эллиптическим интегралом, если f (г) есть рациональная функция от z и квадратного корвя VG (г) из многочлена G (z)=aoz4+a1z?+c2z2+fl8z+a4=ao (z—at) (z —a2)(z—a3) (z—aj, (21.6-19) не имеющего кратных корней; сюда включается случай многочлена третьей степени G (z) — Gs (г), который рассматривается как многочлен четвертой сте- пени G(z) = G4(z) при условии, что а4=со и во=О так, что формально c0(z—a4)=a1. В формуле (18) считается, что нижний предел интегрирования а не сов- падает ни с одним корнем многочлена G (z). Каждый эллиптический интеграл есть многозначная функция от г; раз- ные пути интегрирования производят бесчисленное множество значений функ- ции. Точки z=ai, z=a2, z=a3, z=a4 являются точками разветвления. Соединяя at, а2 и а3, а4 двумя соответствующим образом определенными разрезами, можно получить связную риманову поверхность (п. 7.4-3), подоб- ную поверхности тора. . 21.6-5. Приведение эллиптических интегралов. Следующие действия при- водят каждый эллиптический интеграл к сумме элементарных функций и трех так называемых нормальных еллиптических интегралов (см. также [21.2], [21.3]; в [21.3] содержится очень подробная таблица явных формул, выража- ющих эллиптические интегралы через нормальные эллиптические интегралы). (а) Алгебраическое приведение. Заметим, что четные степени V G (z) есть многочлены от г, и запишем / (2) р> <г> + р‘ <г> = ^р 1 + Рг Ср . ~ р* i'g) 1 ’ Pa (Z) + Pt (г) VO (г) (Ps)a - (P4)s G =«i(2)+^, (21.6-20) где Pi (z)—многочлены, a (z) и R2 (z).— рациональные функции. Интегри- рование (z) приводит к элементарным функциям (п. 4.6-6). Разлагая рациональную функцию (2) на простейшие дроби (п. 1.7-4)t С' Рг (z) . приведем вычисление j — - - аг к интегралам вида /n = t^--C-dz (п=0, ±1, ±2, ...). (21.6-21) » Volz) Каждый такой интеграл может быть выражен через /0, Ц, 12 и /_4 при помощи рекуррентной формулы (2n-}-6) fc(/n+4-[-(2n+5) ЬiJn+з +(2n+4) V П+2 4” ______ + (2п+3) Ь3/л+1+(2п+2) Ь4/„ = 2 (z—c)n+1 /G (z) (n=0, ±1, ±2, ...),; (21.6-22) где коэффициенты ft* определяются из тождества G (z) = aoz* -[- otZ® 4- c2z2 4- a3z 4- a4= = fc0 (z—c)44-*i (z-c)«-H2 (z-c)24-63 (z-e)4-fc4. (21.6-23) Формула (22) позволяет явно выразить /2 через JOl It и 1_и если aa=0
752 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.В-5. (т. е. &о=О) или если с есть корень уравнения G(z)=0 (т. е. б4=0). Пусть с не является таким корнем; тогда можно записать /2 как J VG (г) j Ус (г) dz ' l/GUF (21.6-24) где z=c' есть корень G(z)=O. Следовательно, каждый эллиптический интег- рал (18) может быть выражен в виде суммы элементарных функций и трех сравнительно простых типов эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода (п. 21.6-4): 2 Г z dz а 2 г d2______________ ' (z — с) /G (г). а (21.6-25) Первый из этих интегралов обычно рассматривают как нормальный эллипти- ческий интеграл первого рода; другие два интеграла (25) непосредственно применяются редко, и чаще пользуются их линейными комбинациями — нор- мальными эллиптическими интегралами второго и третьего рода (пп. 21.6-2, 21.6-3 и 21.6-6). Эллиптичёбки^ Интеграл первого рода конечен для всех г; он аналитичен всюду, за исключением алгебраических точек разветвления а1? а2, а3, а4. Эллиптический интеграл второго рода аналитичен всюду, исключая те же точки разветвления и полюс на бесконечности (если Яо=О, то а4=со и интеграл имеет на бесконечности точку разветвления и принимает в ней бес- конечное значение). Эллиптический интеграл третьего рода помимо алгебраических точек раз- ветвления а4, а2, а3, а4 имеет еще логарифмическую точку разветвления при г—с. (Ь) Замена переменных. Нормальные формы Вейер- штрасса и Римана. В процессе приведения можно ввести новую пере- менную интегрирования z = z (г), преобразующую эллиптические интегралы (21) или (25) в новые эллиптические интегралы, содержащие более удобные многочлены G (z) и, возможно', более простую рекуррентную формулу (22). В частности, дробно-линейное преобразование , г — (ДО-ВС^О) (21.6-26) Cz+D (п. 7.9-2), выбранное так, что точки разветвления z = Of, о^, а3, а4 преобразу- ются в точки г = е1? е2, е3, со, приводит к эллиптическим интегралам в.нор- мальной форме Вейерштрасса, где G(z)=4z3—g2z—g3. Эти интегралы свя- заны с функцией Вейерштрасса %> (п. 21.6-2). Напротив, преобразование (26), отображающее точки г = а1, а2, а3, а4 в z=0, 1, 1/fe, — 1/й, где k есть действительное число, заключенное между 0 и 1, приводит к эллиптическим интегралам в нормальной форме Римана, где G(z)=z(l — z)(1— fe2z2.) (с) Приведение к нормальной форме Лежандра. Чаше х требуется преобразовать действительный интеграл j f (х) dx к нормальной форме а Лежандра, где G(z) = (l— z?)(l—й3г2) и k есть действительное число, заклю- ченное мевду 0 и 1. Процесс приведения приводит к действительным нор- мальным интегралам Лежандра (п. 21.6-6), для которых имеются подробные ча блицы. , •
21.6-6. S1.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ 753 интервале интервал G(x)—0. интервал (21.6-27) Пусть G(x)—действительный многочлен, положительный в X (а, х); тогда J f (х) dx принимает действительные значения, если а -интегрирования не содержит действительных корней уравнения Табл. 21.6-1 содержит преобразования х=х(<р), отображающие интегрирования (а, х) в соответствующий интервал действительного аргумента <р между 0 и л/2, так что dx. _____________________________dy_____ VG (X) —11 /1 — *2 sin2 <р для различных возможных типов действительных многочленов четвертой сте- пени G (x) = Gt(x) и третьей степени G (x) = G3(x). Соответствующие значения постоянных параметров fe2 и р также табулированы. Во всех случаях старшие коэффициенты (й0 или яг) многочленов G (х) приняты равными 1 или —1. В случае действительных корней принимаем «1 > «а > «з > комплексные корни обозначаем Ьг ± 1сг и b2 ± ic2, где bi^b2, Ci>0, с2 > 0. Иногда вводятся вспомогательные величины: а/* = ад —oq (i, fe^=l, 2, 3, 4), <«. К. т. . (21.6-28) tg03=^. tg04=^. tg[((Wl=^, v=tg[(02-01)/2]tg[(01+02)/2]. . 21.6-6. Нормальные эллиптические интегралы Лежандра (см. также пп. 21.6-4 и 21.6-5). (а) Определения. Нормальные эллиптические интегралы Лежандра (неполные) определяются формулами < , F (ф, k) =А '7~ d<?----= f dZ — = F (г, k) J Vl — sin2 <B j V(1 — Z2) (1 -5*2Z2) ' 0 0 (нормальный эллиптический интеграл Лежандра первого рода); Е (ф, k) = J j/'l—^8Ш2ф <*р = J ]/ 1 = £ (Z, k) о о (нормальный эллиптический интеграл Лежандра второго рода), Ф (21.6-29) dtp J (1 +csin2<p) Vt — k‘ sin2 <p 0 z dz = \-------=====JI (Z, c, k) J(1 -f-CZ2) >^(1 — Z2) (1 — fe2Z2) ' 0 (нормальный эллиптический интеграл Лежандра третьего рода), где z = sin<p, так что Е (sin (р, k)=F((p, k) и т. д.
Таблица 21.6-1 Преобразование к нормальной форме Лежандра Все корни G(x) действительны сл G(x) корни Старший коэффи- циент Интервал Преобразование X = sin* <р = Соответ- ствующие значения k* м X Ф (Х), ж четыре дейст- вительных корня 1 СС1 X или X а4 «iOm — cB«4i sin8 <p а4а — а41 sin8 ф «42 х — at «41 х — а2 8 «?, 0 п/2 (ai. «г. а4> а«) 2 а8 < х < аг «8«4£ ~ «4«82 ф «4а — «82 Sin8 ф «« х —аэ авг х — а4 а8 ‘ а2 0 31/2 —1 а4 С х < а3 «4<?Si + «i«48 sin8 ф «81 + °«s Sin8 ф «31 х — «4 «43 «1 — х 8 0 0 Л/2 (аа, а2, а4, ац («si«42) Оа < X <Zi ca«8i —n8«8i sin8 ф «81 — «81 Sin8 ф «31 X С&2 а21 х — а3 «8 «1 0 31/2 G8 (х) три действи- тельных корня 1 аг < х < а2 «з + aa2'sin8 ф х~а3 «32 а» ая 0 31/2 «32 «31 2 «1 < X (%i —«8 sin2 <р 1 — sin2 ф X — «I х — аа 0 Л/2 —1 х^а3 а Юз1 1 sin2 ф «81 «1 “X 8 1 " 8 0 п/2 «21 «31 <«81)1/4 а3 х а! «а«81 — <X8<Xat Sin8 ф «81 — «81 Sin8 ф «si x — as «21 X 0^8 as ai 0 п/2 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.8-ei
Т а б л в ц a 21.6-1 (продолжение) 6(х) имеет комплексные корни G W корнв Стар- ший коэф- фи- циент Интер вал Преобразование Вспомо- гательная величина Соответствующие значения е м X ч> G4(хЪ два действитель- ных и два комплексных 1 а,! < х ' или X "-S <ха х 2 — V —COS ф 2 1—vcosqi (is У = cos6‘ ai—x \ 8 2 / cos62 х—аг Bi — острый угол. ей —тупой «1 а2 0 л 1 (Л 1 3 03 N 1 <в ю ЬО (— COS 61 COS бё)1^ Cl корня — 1 61, е2 — острые _ <cose* cos 6g)Vs Cl G« {x)t два комплексных корня 1 at < х х а< Cl 1 ~cos *₽ 6, — тупой «1 со 0 л (— cos 6i\V2 COS 61 1 -}- COS ф /. ф\® cosBi Vs I) V’ Cl ) — 1 х ci! 0, — ост- рый -(^ О* {x)i четыре комплексных корня« x—6»+e* tg(4>+^ + ^) (я/<р+е»+еЛ *-*> ^3» ®4»2 острые — со я Оз Ч~ в* 2 sin» е, 7 cos 6, \ Va \ C1C, J 9 <?4 (х), четыре комплексных корня bi-ь, С1 > ct 1 — оо < <<оо ®\,ф + 2 + 2^ e2 Ьх со 68 -ф 64 x = bi — ct ctg q> tg ф = j~— e v bi — x е3=е.=-^ 2 Л — 6д — 6 4 2 -®s 1 Ci 21.6-6. 21.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
/об ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21-в-в. k есть комплексное число, называемое модулем эллиптического интеграла, с называется параметром интеграла 3-го рода. Эллиптические интегралы (29) — нечетные функции от z (и от <j>) и четные от модуля k. Если k действительно и | k | 1, то эллиптические интегралы а) Ь) ( Рис. 21.6-1. Неполный эллиптический интеграл первого рода F (<р, k) = F (ф, sin all а) как функция ф при постоянном а; &) как функция модулярного угла а при по- стоянном ф. Рис. 21.6-2. Неполный эллиптический интеграл первого рода F (ф, к) как функция от ф, для трех разных значений к. первого и второго рода действительны для действительных 2, таких, что — 1 z sg 1, т. е. для действительных <р. Для указанных значений <р и k функции F (<р, k) и Е (<р, k) табулированы [21.21. При табулировании вместо модуля k обычно вводят модулярный угол a = arcsin k. На рис. 21.6-1 показаны графики функции F (<р, sin а) при постоянных а и при постоянных <р. На рис. 21.6-2 показаны графики функции F (qtk) в за- висимости от <р при разных ki см. также [2L2[.
21.8-6. 21.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ 757 (Ь) Поли ы е нормальные эллиптические Лежандра (см. также рис. 21.6-3). Функции л/2 S »> 0 л/2 - _______ Е — Е (fe) = j }^1 — № sin2 q> dip=Е (л/2, k) о </<р интегралы (21.6-30) соответственно известны как полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра первого и второго рода; k н fe'==)^l— fe2 называются дополнитель- ными'модулями; К (fe) и K'(fe) = K(fe') называются связанными эллиптичес- кими интегралами первого рода, а Е (fe) и E'(fe)=E(fe')—связанными эллип- тическими интегралами второго рода. Заметим, что EK'-J-E'K — КК'=у (соотношение Лежандра) (21.6-31) К (0) = К' (1)= 5 К(1)=К'(0)=оо, Е(0) —Е' (1) = ^, Е(1) = Е'(0)=1. Обычно полные эллиптические интегралы К (fe) и Е (fe) табулируются в виде функций модулярного угла а—arcsin fe. При этом дополнительному модулю fe' соответствует угол п/2—а (см. рис. 21.6-3 и табл. 21.6-4). Рис. 21.6-3. Полные эллиптические интегралы с) К (fe) = К (sin а) и К' (fe); b) Е (ft) и Ее (ft) как функции модулярного угла а. К (fe) и Е (fe) удовлетворяют дифференциальным уравнениям k (l-*2)^+(l-3fea)^-feK=0, (21.6-32)
Таблица 21.6-2 Преобразования эллиптических Интегралов k sin <p . COS Ip F(i>. k) E (ф, k) I k k sin ф - - А (Ф, kt k F (ф, k) I -® -i- [E (Ф, A) - k’z F (Ф, *)] k' —i tg Ф sec <p — 1 F (ф, k) i [E (ф, A) — F (ф, *) — (tg ф) A (<p, *)] 1 k' — Ik' tg q> А (Ф, k) COS ф — ikr F (ф, k) [E (ф, *) — *'2 F (ф, *) — (tg ф) А (ф, *)] Ik k' k* sin <p A (Ф, A) COS ф A (Ф, k} k’ F (ф, fe) ik ik sin <p‘ A (Ф. *) 1 А (Ф. k) — tk F (ф, fe) 1 — k' l+*'~ (I 4-fey) sin ф cos <p . A (q>, k) cos1 ф —k' sins <p А (Ф, k) (1 + A') F (ф, fe) npv r£ k'+k’F ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.6-в,
21.6-6. S1.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ 759 так что для действительных ks < 1 К (Л) =5-Г (1,1} 1; ^)=| [1 + (4р+ (ЙУ**+ -]< 1 E(A)=^j (21.6-33) где F (a, bi с; г)—гипергеометрическая функция, определенная в п. 9.3-9. (с) Пре образования. Нормальные эллиптические интегралы Лежан- дра (29) с модулями k, 1//г, k', Ilk', ik[k’, k'jik, (1— A')/(l-J-fe')» 2^/(1+^) связаны соотношениями, приведенными в табл. 21.6-2, где ]/"1—/г2з1п2<р=Д(ф, k) (21.6-34) (см. также п. 21.6-7, а). Табл. 21.6-3 содержит различные соотношения для полных нормальных эллиптических интегралов (30), а табл. 21.6-4 — значения этих интегралов. > Т а б л и ц а 21.6-3 Преобразования полных эллиптических интегралов I K(fe) K' (fe) E (fe) E' (fe) k k (k+ZK') MV 4- [E — fe'»K — i (E' —fe»K')J fe TE< k' K' - к E' E i fe* fe'(K'+«K) fe'K 1- [E' — fe*K'—i (E — fe'» K)] ' P’E ik k' k’V. fe'(K'+4<) ^E 4- [E' — fe»K'—I (E — fe'»K)] fe • fe< ik MV k (K + IK') VE' 4- [E — fe'»K - i (E' - fe»K')] К 1 — fe' 1 + *' l + fe'„ 2 K (1 + fe') K' E + *'K 1 + *' 2E' — fe»K' 1 + fe' 2/fe 1 -bfe (1 + fe) К L±*K' 2E - fe'» К 1 +* E' + feK' 1 + fe В частности, «и-гпО Положим в (35) последовательно A0=/s*i i-j-ft'" (n=0t 1г 2, (21.6-35) (21.6-36)
60 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.6-6. Таблица 21.6-4 Полные эллиптические интегралы К и Е Я/2 S1/2 К = V dx , Е = ( У1 — k2 sin! * dx J V\—k2 sin'z fi k = sin a 4 к E a К E a К E O' 1,5708 1,5708 50' 1,9356 1,3055 81' 3,2553 1,0338 1 5709 5707 51 9539 2963 81,2 2771 0336 2 5713 5703 52 9729 2870 81,4 2995 0314 3 5719 5697 53 9927 2776 81,6 3223 0302 4 5727 5689 54 2,0133 2681 - 81,8 3458 0290 3 5738 5678 55 0347 2587 82,0 3699 0278 0 5751 5665 56 0571 2492 82,2 3946 0267 7 5767 5649 57 0804 2397 82,4 4199 0256 8 5785 Б632 58 1047 2301 82,6 4460 0245 9 5805 5611 59 1300 2206 82',8 4728 0234 10 5828 5589 60 1565 21П 83,0 5004 0223 11 5854 5564 61 1842 , 2015 83,2 5288 0213 12 5882 5537 62 2132 1920 83,4 5581 0202 13 5913 5507 ' 63 2435 . 1826 83,6 6884 0192 14 5946 5476 64 2754 1732 83,8 6196 0182 15 5981 5442 65 3088 1638 84,0 6519 0172 16 6020 5405 65,5 3261 1592 84,2 6852 0163 17 6061 5367 66,0 3439 1545 84,4 7198 0153 18 6105 5326 66,5' 3622 1499 84,6 7557 0144 19 6151 5283 67,0 3809 1453 84,8 7930 0135 20 6200 5238 67,5 4001 1408 85,0 8317 0127 21 6252 5191 68,0 4198 1362 85,2 8721 0118 22 6307 5141 68,5 4401 1317 85,4 9142 0110 23 6365 5090 69,0 4610 1272 85,6 9583 0102 24 6426 , 5037 69,5 4825 1228 85,8 4,0044 0094 25 6490 4981 70,0 5046 1184 86,0 0528 0086 - 26 6557 4924 70,5 5273 1140 86,2 1037 0079 27 6627 4864 71,0 5507 1096 86,4 1574 0072 28 6701 4803 71,5 5749 1053 86,6 2142 ' 0065 29 6777 4740 72,0 5998 1011 86,8 2744 0059 30 6858 4675 72,5 6256 0968 87,0 3387 0053 31 6941 4608 73,0 6521 0927 87,2 4073 0047 32 7028 4539 73,5 6796 0885 87,4 4811 . 0041 33 7119 4469 74,0 7081 0844 87,6 5609 0036 84 7214 4397 74,5 7375 0804 87,8 6477 0031 35 7312 4323 75,0 7681 0764 88,0 7427 0026 36 7415 4248 75£ 7998 0725 88,2 8478 0021 37 7522 4171 76,0 8327 0686 88,4 96Й4 0017 88 7633 4092 76,5 8669 0648 88,6 5,0988 0014 39 7748 4013 77,0 9026 0611 88,8 2527 0010 40 7868 3931 77,5 9397 0574 89,0 4349 0008 41 7992 3849 78,0 9786 0538 89,1 5402 0006 42 8122 3765 78,5 3,0192 ' 0502 89,2 6579 0005 43 8256 3680 79,0 0617 0468 89,3 7914 0004 44 3396 3594 79,5 1064 0434 89,4 9455 0003 45 8541 3506 80,0- 1534 0401 89,5 6,1278 0002 46 ’ ' 8691 3418 80,2 1729 0388 89,6 3509 0001 47 8848 3329 80,4 1928 0375 89,7 6385 0001 , 48 9011 3238 80,6 2132 0363 89,8 7,0440 oooo 49 9180 3147 80,8 2340 0350 89,9 7371 ' 0000
21.6-7. 21.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Й ИНТЕГРАЛЫ 761 Так как получим при этом к'п — формулу 1, то (1——»0; учитывая, что К(0)=л/2, К(А)=4 п п = 0 2 1 + *п (21.6-37) которую можно использовать для вычислении К (А). 21.6- 7. Эллиптические функции Якоби. (а) Определения. Обращение эллиптических интегралов z —F («р, k) и z=F (w, k) (п. 21.6-6, а) порождает функции amz (амплитуда г) и snz = s sin (am г) (синус амплитуды z), т. е. ф=ат г, Ф С dtp --------—=F(<f, k), 1 — A8 sin® ср (21.6-38) W = sn Z, _____dw________ У(1 — Ш2)(1 — F(w, k) о w ч о Различные значения многозначного эллиптического интеграла F (w, k) отличаются друг от друга на 4mK-f-2n»K', где т, n=0, ± 1, ±2, ... Это значит, что обратная функция sn г—двоякопериодическая с периодами 4К и 2гК'. Функции , сп г (косинус амплитуды г) н dn г (дельта амплитуды г) опреде- ляются формулами сп г=cos (am z) — ]^ 1 —sn2 z (cn 0= 1), 1 ,_________ V (21.6-39) dnz=A(4, am z)=V 1 —k2 sn2 г (dnO = l)j ) sn z, сп z и dn z называются эллиптическими функциями Якоби. Данное зна- чение параметра k явно не участвует в обозначениях этих функций; когда это необходимо, будем писать sn (г, k), сп (г, ft), dn (г, 4). k', К, К', Е и Е' определены в п. 21.6-6, Ь. Эллиптические функции Якоби все действительны для действительных г и действительных 42, заключенных между 0 и 1; на Рис. 21.6-4. Эллиптические функции Якоби sn сп и и dn и для № = T7j. рис. 21.6-4 приведены графики эллиптических функций Якоби для 42==1/а- Эллиптические функции вырождаются, если 42=0 или 42= 1; при этом один из периодов становится равным со: 4=0, K=y» К'=со, sn (г, 0)=sinz, сп (г, 0)=cosz, dn (z, 0) = 1; &=11К=со1 К' =^, sn (zt 1) = Н1гг сп(г, l)=dn (г, 1) = ^р (21.6-40)
21.6-7. 762 ГЛ. 2Г. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Эллиптические функции Якоби могут быть также определены в терминах р-, 5*» о- или 6-функций соотношениями п. 21.6-9. (Ь) Различные свойства и специальные значения. Все эллиптические функции Якоби имеют порядок 2 (п. 26.1-1); их периоды, нули (простые) и полюсы (простые) приведены в табл. 21.6-5. snz есть нечегная Таблица 21.6-5 Периоды,; нули, полюсы и вычеты эллиптических функций Якоби Функция Примитивные периоды Нули Полюсы Вычеты sn (г,- k) О 4K 21 К* 2m К + 2л1 К' 2m К 4- (2п + 1) 1 К' (- 1)т к сп (г, k) 4К 2К + 21 К' (2m + 1) К + 2п1 К’ (- 1)т+" Ik dn (z, A) • 2К 41 К' (2m-1- 1)К4- + (2п + 1) 1 К' (-1)я+11 функция, а сп г и dnz—чегные функции от г. В табл. 21.6-6 приведены спе- циальные значения функций. Табл. 21.6-7 показывает эффект изменения аргумента на четверть и половину периода; обозначения при этом используются удобные dn(z, k)—d (21.6-41) dna z—А2 сп2 г=fe'2j сп z, dn(—z) = dnz; sn (2еК'—z)=— sn z, 1 cnz, | — dn z; > (21.6-42) (21.6-43) sn (z, k) =st cn (z, k) —ct (например, ks—ksn(z, k)). Отметим еще соотношения: sn2 z-]-cna z~kz sn2 z-|-dna z= 1, sn(—z)=—snz, cn (—z) sn (2K—z)=sn z, сп (2K—z) = — cn z, cn (2iK*—z) dn (2K — z) = dn z, dn (2»K'—z) z Ё (sn z, k)=j dn2 z dz. о (с) Теоремы сложения: , . . m sn A cn В dn В -J-sn В cn A dn A sn (A-J-B) =------1 — fe2 sn* A sn1 в- f л । cn A cn В — sn A dn Д sn В dn В cn (A + B) =-----f_Jfe.sn-.ASn.-B--' л f л t dn A dn В — k* sn A cn A sn В cn В dn (A + c) =------7---л --------------< ' 1 7 1 — fe2 sna A sna В (21.6-44) (21.6-45) (21.6-46) (d) Дифференцирование: £^=cnzdnz, aZ = -snz dnz, sn 2 cn г- ал (21.6-47)
Таблица 21.6-6 Специальные значения эллиптических функций Якоби »/»тК */»шК' с */»к К »/,K sn ('/гт К 4- »/2п/К') 0 0 (1 4- Л')-1/’ 1 (1 4- ft')-1/» »/»/ К' (ft-1/» (2ft)-1/» [(1 4- л)*/г 4. i о _ ft)1/»] ft-1/» (2ft)-*/» f(l + ft)*/» - I (1 - ft)1/»] К’ ео (1 - ft')1/» ft-1 (1 - ft')-1/» ‘/г' К' — (ft-1/» (2ft)-1/» [(1 4- ft)1/» _ i (1 _ ft)1/»] ft-1/» (2ft)-1/» [(1 4- ft)1/» 4-1 (1 - ft)1/»] СП (1/2тК4-1/»Л‘К') 0 1 ft'1/» (1 4. ft')-1/» 0 — ft'1/» (1 4- ft*)-1/» */»< К' ft-1/» (1 -J. ft)1/» ft*1/» (2ft)-1/= (1 - I) - (ft-1/» (1 - ft)1/» — ft'1/» (2ft)-1/» (1 4- () г К' ОО — Ik’1!' (1 — ft')-1/» — ik-' ft' — ik'1/' (1 — ft')-1/» ’/»«К' - ft"*/» (1 4. rf/г - ft'*/» (2ft)-1/» (1 4- i) — (ft1/» (1 — ft)1/» ft*1/» (2ft)-1/» (1 _ i) dn (*/2m К + */»«/ К') 0 1 ft'1/» ft* -ft'1/» WK' (1 4- ft),/a (‘/aft')1/» [(1 4- ft')1/» _ j(l - ft')1/»] (1 — ft)1/» (*/»ft')7» [<i 4. ft')1/» 4-/(1- ft')]1/» Ж' СО — (ft*1/» 0 Zft'1/» - (1 + ft)1/» - (‘/aft'l’Mfl 4- ft')1/1 +» (I - ftO1/»] — (1 — ft)1/» - (‘/aft')*/» 1(1 4-ft')’/»-/(l-ft')1/»l 21,6-7. 21.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ
764 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.6-7. Таблица 21.6-7 Изменение переменной на четверть и половину периода тК ni К' — К 0 К 2K 3K sn (т к + ni К' ± г) -1 К' — d/(kc) ± l/(fes) d/(te) + l/(fe>) - d/ikc) 0 V — с (d 2t s c,'d + S — c/d IW — d/(te) ± 1/(*S) d!(kc) + 17(fes) — d/{kc) 2i К' — cld 2t S c/d + s — c/d ♦ сп (га К 4- ni К' ± z) тК ni — к 0 К 2K 3K. — iK' — ik'/^kc) ± id/(ks) Ik'Kkc} - +‘dHks) — ik'Hkc) 0 ± k's/d c + k's/d — c ± k’s/d 1 К' ik'/ikc) ч + idHks) — ik’Ukcf ± id/iks) ik’/(kc} 21 К' T k's/d — c ± k's/d c + k's/d dn (m К + ni К' ± г) тК ni — К 0 К 2K — i- К' + ik's/c ± fa's + ik'sfc ± ic/s 0 k'/d d k’/d d i К‘ ± ik’s/c + ic/s ± ik'^/c Л- ic/s 21 К' — k'/d — d — k'/d — d Зе К' * — 4- ik's/C ± ic/s + ik’s/c ± tc/s
21.6-8. 21.6. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИНТЕГРАЛЫ 765 -(e) Преобразования. Табл. 21.6-8 показывает соотношения между эллиптическими функциями Якоби с модулями k n'iklk', k', Ilk, l/й', k'lik (см. также п. 21.6-6, с). (^Разложения в ряды: snz=z-(l + *2)g-+(l + 14A2+fe4)^ -..., СП г = 1 - £+(1 + 4Л*) £ - (1 + 44й2 +16й4) .., dn z=l— /г2~ + /г2 (4-Ьй2) ~ — й2 (16 + 44й2 + й4)|^-|-..., fz | < min (I К' I, 12K-MK' |, 12K-/K' |). 21.6-8. Тэта-функции Якоби.. (а) Даны комплексная переменная v и комплексный параметр q=etm такой, что х имеет положительную аднимую часть. Четыре тэта-функции1) Ох (0)=®, (t> | т) = 2 (— 1)" </" + 1/2)S sin (2л+1) ли = л— О (_ 1)п9<п-1/2)£ )2П-1, п — — оо 02 (п) = 0а (р | г) =2 2 q(n + cos (2n-J-1) nt>= л— О 2 g(« - 1/2)£ (е1ЛЬ)2Л--1 п — — оо оо Оз (р) = 0з(р|’г) = 1 + 2 2 qn‘cos 2пт = п=о (21-6-49) 2 №п’)2", (] = -О0 $4 (v) — #4 (о I т) — 1 + 2 2 (—l)nQn‘ cos2nsw=. n=o. У (—1)№ (е‘т)2п — все периодические целые функции от v соответственно с периодами 2, 2, 1, 1. Четыре тэта-функции (49) имеют нули соответственно в точках v—m+m, m-J-OT+Va, т+(п+1/е)х+1/г, т+(п+Ч2)х, где т,п — 0, ±1, ±2, ...; эти нули позволяют представить тэта-функции в виде бесконечных произведений (7.6-2) [21.3]. 1) Ивегда (v) обозначают через '0'(| (о) или О \v).
766 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.6-8. Таблица 21.8-8 Преобразования первого порядка эллиптических функций Якоби Пре- образо- вание 2 к к' К k' ЗП (z, k) cn (2, ft) dn (z. ft) А krZ ik] 1 A'K fe'(K'-HK) fc, sn (Z; *) cn (z, ft) 1 k‘ k* dn (2, k) dn (2,- k) dn (2, ft) В k* k K1 к . sn (2, ft) 1 dn (z, ft) * cn (z, ft) cn (Z, ft) cn (z, ft) с kz*- 1 k kf ik A(K+«K') ftK' k sn (z, k) dn (z, ft) cn (z, ft) [) — ife’Z 1 k kf (К'4-Ж) fe'K _fft,sn^ft) cn (2, k) dn (2, ft) 1 k' ik' cn (2, ft) cn (z, ft) Е —ikz k‘ 1 AK' fe(K+(K') _(fe.sn<z- dn (2, ft) 1 cn (2» ft) ik k dn (z, k) dn (z. ft) Тэта-функции не являются эллиптическими функциями. Очень хорошая сходимость рядов (49) позволяет вычислять различные эллиптические функции и эллиптические инте- гралы с помощью соотношений п. 21.6-9; тэта-функции являются решениями дифферен- циального уравнения с частными производными . ,дФ „ -з-s--4п1 -з- = О, до‘ дх которое связано с уравнением диффузии (п. 10.3-4; Ь). (Ь) Отметим соотношения: (°+4)=(° 4) ~ ~ (v+4)в <°>« (°+4)=&s ®s^ + 4)=e Л(4+ )о-г(0); + (4 + )в1(0). (21.6-50) (21.6-51) (21.6-52) (с) Для отыскания О* ' о ;СТ 4-£> I Ат4-В\ I сх + D ) применяются формулы] (о I Т + 1) — е‘Л/4&1 (о | T)t (V 1 т + 1) = е,Л/4&1 (о | т)4 (о I т + 1) = ©4 (о I т)« (о 1 т -}- 1) = в, (о | т); ®1(4|-4) = 4рГр^х(₽|г), #2 | — -0 = jZy в«Л0*/Т#4 (р |T)j о, (41 - 4)=Vt ^(4|-4)=/теМ<>* fc!T)- (21.6-53) (21.6-54)
21.7-1. 21.7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 767 (d) Значения четырех тэта-функций и их производных при г = 0 для краткости обозначают так: (0) — #г, #'• (0) =&,, ... (г = 1, 2, 3, 4). Эти значения удовлетворяют соотношениям &'" Ъ” V" + + <21.6-55) 21.6-9. Соотношения между эллиптическими функциями Якоби, Вейер- штрасса и тэта-функциями. Если различные параметры, входящие в опреде- ления sn z, сп z, dn z, (г), t,(z), о (г) и &( (г) (пп. 21.6-2, 21.6-3, 21.6-6 — 21.6-8), связаны соотношениями (21.6.56) Г в!—е3 КФз/ г в!—es \г>в/ ’ 1 > И ТО 1К'=^1^1-еэ=гК, ‘ щ = г/ех—е3 =2Kt>, 1 Г г, — е. &! (о) sn®— У «Г^4 Ог (р) спад dncei IP (2) — «а ©г ©4 (Р) ’ 1° (2) — «г <>4 Фа (Р). IP (2) — «а Аа #4 (Р) ’ . - . . , сп2 w . . , dn2 w , Р (г) — ei + (ei — ез) —е2+(ех — е3) — е3 ф gt — gg sn2 w * (21.6-57) (21.6-58) (21.6-59) (21.6-60) 21.7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 21.7-1. Введение. Ортогональные многочлены, рассматриваемые в пп. 21.7-1— 21.7-8, являются специальными решениями линейных однородных дифферен- циальных уравнений второго порядка, связанных с гипергеометрическим уравнением (9.3-31) (многочлены Лежандра, Чебышева и Якоби) или с выро- жденным гипергеометрическим дифференциальным уравнением (9.3-42) (много- члены Лагерра и Эрмита). Эти специальные решения порождаются специаль- ными однородными краевыми условиями; каждый класс ортогональных многочленов есть последовательность собственных функций для проблемы собственных значений типа Штурма—Лиувилля. Для большинства приложений важны только действительные значения аргумента г=х*). Многочлены фо М, Фх(х)> Фз W> ...каждого типа определяются с точ- ностью до постоянных множителей, которые обычно (но не всегда) выбираются так, что коэффициент при х" в многочлене n-й степени фп (х) равен единице. Последовательные многочлены каждого типа могут быть определены 1) в терминах соответствующих гипергеометрических рядов (п. 9.3-9, а) или вырожденных гипергеометрических рядов (п. 9.3-10); 2) с помощью рекуррентных формул, получающихся нз диффе- ренциальных уравнений; ») Ортогональные многочлены в комплексной области рассматриваются в [7,1], [21.3].
768 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.7-2. 3) последовательным дифференцированием производящей функ- ции Ф (х, s) (см. также п. 8.7-2); 4) процевсом ортогонализации Грама — Шмидта степеней ], х, х2, ... с соответствующим весом у (х) на некотором интервале (п. 15.2-1, а, 15.2-5); 5) из интегральных представлений (п. 21.7-7), которые обычно связаны с интегральными преобразованиями решений дифференциаль- • ных уравнений или с коэффициентами рядов Тейлора или Лорана производящих функций. В табл, 21.7-1 приведены основные соотношения для многочленов Лежан- дра, Чебышева, Лагерра и Эрмита. В табл. 21.7-2 приведены выражения для первых семи многочленов (многочлены Ч.ебышева приведены в,табл. 20.6-1); одновременно даны выражения для степеней х через многочлены Лежандра. Выражения для последующих многочленов см. в [21.4]. Подчеркнем, что единой системы нормировки ортогональных многочленов нет; поэтому необходима осторожность при пользовании разными источниками. Разложения в ряды по ортогональным многочленам производятся в смысле п. 15.2-4 и дают важные приближения с минимальной соответственно опреде- ленной средней квадратической ошибкой (п. 15.2-6; см. также пп. 20.5-1, 20.6-3). 21.7- 2.Действительные нули ортогональных многочленов. Все нули каждого из ортогональных многочленов, рассмотренных в пп. 21.7-1—21.7-8, простые. Два последовательных нуля фп (х) разделяются одним нулем фп+1 (х) и. по мень- шей мере одним нулем фт(х) для каждого т>п. Таблицы нулей многочле- нов приведены в [21.4]. 21.7- 3. Функции Лежандра (см. также пп. 21.8-10, 21.8-11 и 21.8-13). Дифференциаль- ному уравнению (дифференциальному уравнению Лежандра} и рекуррентным формулам для многочленов Лежандра (табл. 21.7-1) удовлетворяют не только многочлены Лежандра первого рода Рп (г) (табл. 21.7-1), но также н функции Лежандра второго рода Q (г); для г = х и — 1 < х < 1 они равны <2о (х) = ~ 1п 01(х) = А1прЦ_1, X 1 -Л 4-1 ~~~ X Qi (X) = - (3x2 - 1) In х‘ •" (21.7-1) Более общо, метод п. 9.3-8, b позволяет получить линейно независимые решения Р& (z)< Qa (z) дифференциального уравнения Лежандра [функции Лежандра первого и второго рода) для нецелых положительных и отрицательных, а также для комплексных значе- ний п ~ а; решения для п — а н п = — а — 1 тождественны. 21.7-4. Многочлены Чебышева первого и второго рода. Дифференциальному урав- нению и рекуррентным формулам для многочленов Чебышева (табл. 21.7-1) удовлет- воряют не только многочлены Чебышева первого рода (табл. 21.7-1) * V (х) = cos (п arccos х) (п — 0, 1, 2, ...), (21.7-2) но также функции Чебышева аторого рода Uo (х) = arcsin х, з/ 1 — у-2 /7 Un ~ sin <П агссо£ —------п----Ox (п — I, 2, (21.7-3) Функции V„ (х) не являются многочленами от х: функции—!—г гс-Н. есть МНОго- " п -1~ 1 ах члены; их обычно называют многочленами Чебышева второго рода. Отметим формулы У1 _ д ТпМ=~’^~71-------diUnM (« = 0.1.2,...), (21.7-4) f Un Um w ' ( 0 при п ф т или л = т = 0, 1 <91 7 51 J --- U/2 при п = т ф о. J (2'-7й’
Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита (см. также пп. 21.7-1—21.7-7) Т а б л и ц а 21.7-4 Многочлены «Лежандра Р п (х) (рис. 21.7-1) Многочлены Чебышева Тп (х) (рис. 21.7-2) 1 Дифференциальное уравне- ние d2w л dw . . —+n(n+l)w = ° . „ - d2a> da> . . „ (1 — *s) =-= — X —j— + п*и> = 0 dx2 dx 2 Вес и интервал ортогонали- зации Т (*) = 1. а = —1, 6 = 1 ' V1 — x2 a = —1. 6 = 1 3 Ортогональность и норми- ровка 1 ГО (т + п). {Р„ WP lx)dx = [ 2 -i bn+i<m-"> cTnMTmMdx (° \ -J* m - — <л/2 (m — n -ф. 0) -—I — x2 ( n (tn = n — 0) 4 Явные выражения!) (см. 9.3-32) 1 Рп ™ = F "• п +.1: 1: рпм- н = 2-« V (—П « <2»-2т>' _ хП~т Zj ml (п — т)! (п — 2т)! т~0 Pn = p (”• — ~2 ’ 2 ) ’ Tn {xl = cos (n arccos x) = И _ JL V t- nm <n~m-W tSxtn~llm ” 2 Z-J ( * ml (n — 2т)! { ' m = 0 5 Рекуррентные формулы х‘ - 1 dPn с=хРп(х)+ п+1 dx Tn+1 = 2л Pn ~ Tn-1 п п — Г ’) 1 -g- равно , если п — четное, и —-— , если п — нечетное. 21.7-4. 217 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
о Таблипэ 21.7-1 (про^ллжбнг/б) нис. 21./-1. многочлены Лежандра rn 1ХК а} и Ь) как функции от х, с} как функции от — arccos ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.7-4
Т а б л й ц а'21.7-1 (продолжение} Многочлены Лежандра Рп (х) (рис. 21.7-1) Многочлены Чебышева Тп (х) (рис. 21.7-2) 6 Обобщенная формула Род- рига п 2"nl dxn (— 2)" п! dn (2л), 11 7 Производящая функция 1 У 1—2sx4-s« V А Г « 1 и и Е S го 81ХЦ 8^ СО 1 — 2sx 4- s2 ” Тп s (|s| < 1) я=0. ! ! be сз **, be бз н4 п3 1 к & гг /"г\ 6 .Ху Y* 4 к /7/\ /\ 2 ж._| // / । У, \ । i>T п i 1 1 1 1 1 1 1 1 - А ч? ‘ f 1^ W//2' з/\4 \ 5 6>х _j X V а) Рис. 21.7-3. а) Многочлены Лагер! /г г з- Ъ) за, 6) многочлены Эрмита. 21.7-4. 21.7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 771
Таблица 27.7-1 {продолжение} Многочлены Лагерра *) Ln (л) (рно. 21.7-3, а) Многочлены Эрмита г) Нп (х) (рис. 21.7-3, Ъ) 1 Дифференциальное уравне- ние d?w dw лл^ + (1-л)г + п“’ = с dlw „ dw , „ . -т-г — 2х -j—Ь 2лк> = 0 dx* dx 2 Вес и интервал ортогонали- зации у (я) е~х с = 0, b = со Y (x) = e Л t a = — co, b = co 3 Ортогональность и норми- ровка й l(nl)= (т = «) e~X* Hn(x}Hm(x}dx^ — oo < о (m ф n). 1 2й nl Ул (m = n) ) Иногда многочлены Ln (я) обозначают через Ln (я). *) Иногда рассматривают многочлены Нея(х)=2— п№ Нп (х/УГ2),: которые удовлетворяют дифференциальному уравнению S'dcw dw , ГЛ 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.7-4,
Таблица 21.7-1 (продолжение} * Многочлены Лагерра Ln (х) (рис. 21.7-3, а) Многочлены Эрмита Нп (х) (рис. 21.7-3, 6) 4 Явные выражения (см, 9.3-43) Ln f Пг 1: п L (X) = (nl)® V (- Dm £ п! Н2п (х) = (-1)" (2л)! F (- п-, 1 ; х«) . nl ^sn+l W = = (— 1)я (2п+ 1)! 2х F^—n. ; Гх1) , Гл! ™ (’>х\п~2т Н„{х)^п! V (-l)m-Yr 5-й п 1 7 ^74 ' ml (n — 2m)J m = C 5 Рекуррентные формулы Ln+1 Сх) = (?п + 1 — *) Ln W — n*. (jc), <ZLn + l(-*) №п(х) 1 ах -<« + »[ 2х . Hn+i (x) = 2x Hn (x).2n Hn-1(x)* (x) 2n Hn-1^ 6 Обобщенная формула Род- рига £»(х,=е"5(л’х) H (x) = (— 1)"ex (e~ *’) ” dxn 7 Производшцая функция 41 н- 1 1 4 И lit» <Л 1 II ii Ьф о а g а|“а о /л > X /л 8 ' 00 n e- s* + 2sx = У Hn (x) n=0 21,7.4. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
774 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ' 21.7-5. Таблица 21.7-2 Первые ортогональные многочлены (см. также табл. 20.6-1) (Ро (х)=Д0 (x)=HD (х) = 1) (а) Многочлены Лежандра Рп (х) Pi (х) = X X’ = 4^ (16Р, 4- 88Р6 4- 182Р„ 4- 143Р,) Pi (х) = v (Зх! - 1) Xе = 251 (16Р» + 72Р‘ + 110Р* + ЗЗР.) Рг U) = ~ <5х’ - За) x‘ = l(8Pe4-28P34-27Pt) QE> Pt (х) = 4 (35х‘ — 30х“ 4- 3) О . Х* = ~(8Р44-20Р24-7Ро) Pl (X) = 4 (63x4 - 70х’ 4- 15х) О х’ = 4РР’+ЗР>) О Р, (X) = (231х’ — 315х4 4- 105ха — 5) х‘=~(2Ра + Р0) р,(х) = 1 (429х7 — 693x4 4- 315х’ — 35х) 1D X =Рц (Ь) Многочлены Чебышева см. в табл. 20.6-1. (с) Многочлены Лагегра Ln (х) Lt (х) = — х + 1 (х) == хг — 4х + 2 La (х) = — Xs + Эх» — 18х -J- 6 £4 (X) = х* — 16xs + 72ха — 96х 4- 24 Lt (х) = — xi 4- 25x* — 200x° 4- 600x’ — 600x 4- 120 Le (x) = x® — 36x® 4- 450x* — 2400x“ 4- 6400x« — 4320x 4- 720 L, (x) = - x’ 4- 49X> - 882x’ 4- 7350x® — 29400x« 4- 52920x’ — 35280x 4- 5O4o' (d) Многочлены Эрмита Hn (x) H. (x) = 2x Hs (x) = 4x« — 2 Ha (x) = 8xa — 12x Ha (X) —' 16x® — 48x« 4- 12 Ht (x) = 32x’ — 160x’ 4- 120x H, (x) = 64x’ — 480X4 4- 720x® — 120 H, (x) = 128x’ — 1344xs 4- 3360x’ — 1680x 21.7- 5. Обобщенные многочлены и присоединенные функции Лагерра (см. также пп. 9.3-10 и 10.4-6). (а) Обобщенные многочлены Лагерра степени n—k и порядка k Ln М = 1)к (Э F (k ~ ”5 k +1J x) (21 -7'6) (n=l, 2, ...j fe=0, 1, 2, ..., n), где F (k — n; k-j-1; x)— вырожденная гипергеометрическая функция, удовлет- воряют дифференциальному уравнению *^ + (^+1-х)^+(п-А)®=° (21.7-7)
21.7-в. 21.7. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 775 для целых значений п = 1, 2, ...5 k=0, 1, 2, ..., п. Уравнение (7) приво- дится к дифференциальному уравнению для многочленов Лагерра (табл. 21.7-1) при й=0'. Производящая функция для обобщенных многочленов Лагерра SX —Z7T 00 п = S W £ (*=А lt 2, ...). (21.7-8) n—k Условия ортогональности и нормировки оо 5 A-^ (x) * (21.7-9) о *(Ь) Обобщенные многочлены Лагерра (х) обычно определяются с по- мощью обобщенной формулы Родрига I(„o) W = (ё~ххп+а). Если а=Л—целое число, то (х) — , L^+k(x), где L^(x)—мно- гочлены, определенные формулой (6). (Часто (х) называют просто много- членами Лагерра и обозначают Д“(х).) Многочлены (х) удовлетворяют дифференциальному уравнению хт имеют явное выражение m=?0 s X --г e s 1 н производящую функцию —-----ja+Г' При a> — 1 многочлены (x) ортогональны на интервале (0, со) с ве- СО сом у (х) =е-лх“; они нормированы: J ё~хха [£^а) (х)]а dx—nl Г (n + a-f-1). х- о (с) Функции 1]>иу (л) = xJe~ (л) (п = 1,- 2, = О,- 1, 2г ... t п — 1), кото, рые часто называются присоединенными функциями Лагерра, удовлетворяют дифферен- циальному уравнению Jt^ + 2^+[n_T_^^Ll “, = 0 (я=1< 2* , = 0‘ *«2.."1-1) <21-7-‘°> ил ил L •* "J и условию СО $ dx = ?" ~ (21-7'П) О (см. также п. 10.4-6). - х*/2 21.7- 6. Функции Эрмита. Функции 1]>и (х) =е Нп (х) (п =0, 1, 2» ...)s обычно называемые функциями Эрмита, удовлетворяют дифференциальному уравнению |^ + (2п+1-х«)с»=0 (л = 0. 1, 2, .„), ' ' (21.7-12) в условию ©о J <*> dx = 2"nI 6п т- (21.7-13) J П U» lit и» ' —со
776 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.7-7. 21.7- 7. Некоторые интегральные формулы. п Рп (cos 6) = (cos е 4- i sin 6 cos Z)« dt (n — 0, 1, 2, ...) (21.7-14) О (интеграл Лапласа}', Рп М = dt <п = °- ’ 2. -> 071.7-15» (интеграл Шлефли), контур интегрирования в формуле (15) окружает точиу z=x: _____ со Z2 Нп (х) = у J (х V2 4- itjne 2 dt (Я-—0, 1. 2. ...); (21,7-16) Д —со * 4 ёо (Si-' О Р^-*[^(х)]2^^-^^(2П-Л+1), (21.7.17) ° I. ( хк*2е~х IL* (х)Г dx = (п1)*. - (6л* - Ъпь + + 6л - 3k + 2) J L п 1 (Л — я)! О (П = 1, 2, = О, 1, 2, ...и - 1); со _ I J хе~х* Нп (х) Нт (х) dx = 2" хл! Уя 6n,m-i + 2й(л + 1)1 УЯ 6n, m+1. (21.7-18) — оо 21.7- 8. Многочлены Якоби и Гегенбауэра. (а) Многочлены Якоби (гипергеометрические многочлены) есть специальный случай гипергеометрнческих функций .1—у <1 — х1У~(Х > ..л ' ф (х) = F (— п, а + л; у; х) ---------------------— [хт+п~1 (1— х)“-^+я] (21.7-19) п У (У + О ... (у+л-1) dx" - (п. 9.3-9); они удовлетворяют условиям ортогональности ») 1 J xY~l (1 - х)“ 7 фя (х) фй (х) dx = О 1Г (у) Г (а —,у+ 1) (а — у + I) (а — у + 2) ... (а — у + л)_л! . Г (а) а (а + 1) ... (а + л — 1) г (у + 1) ... (у + л — 1) а+2п л>»1 (Rey>0: Re (а— у)>— 1). (21.7-20 (Ь) Функции % CnW^r-Kbr(2ajf(B + 2n- <2, 7-2,> называются многочленами Гегенбауэра (ультрасферическими). Онн представляют обобще- ние многочленов Лежандра (табл. 21.7-1), к которым н приводятся при а — 1/я- Много- члены Гегенбауэра удовлетворяют дифференциальному уравнению d^u) duo (Х2 ° + (2C1 + ° Х ~ Л (" + 2a) (21,7-22) *) Многочлены, определенные формулой (21.7-19), ортогональны на интервале [О, I]. Чаще рассматриваются-многочлены Якоби, ортогональные на интервале [— 1, 1]; одни сводятся к другим заменой переменной.
£1.8-1. 21.8. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 777 в условиям ортогональности х»)о-*/*С“(х)С“ (X) йх=-Га_1ЛГ(211 + п)------б (21.7-23) п т 2" *(a + n) nl [Г (а)Р п,гп Многочлены Гегенбауэра могут быть получены как коэффициенты разложения в степен- ной ряд производящей функции (1 - 2sx + s*) ° = У, С“ (х) s'*. п=0 (21.7-24) 21.8 . ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА И СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ 21.8- 1. Функции Бесселя и другие цилиндрические функции. - (а) Цилиндрическая функция (круговая цилиндрическая функция) порядка т есть решение w — Zm (г) линейного дифференциального уравнения (дифференциальное уравнение Бесселя), (21.8-1) где т—действительное число; цилиндрические функции Zm (г) удовлетворяют рекуррентным соотношениям %т+1 (г) — (г) ^т-1 (г) ~ ' Zm (г) -А Zm (г)==— г» А {г-т2/п (г)]; (21.8-2) при т—0 получим Z1(z) =—Z'o (г). Функции ekze—,m^Zm (Кр) суть решения уравнения Лапласа в цилиндрических координатах р, <р, г (цилиндрические гармоники, п. 10.4-3, Ь). Цилиндрические функции нецелого порядка много- значны (п. 9.3-5, Ь); . их. главная ветвь определяется условием | arg г | <; л (разрез от г=0 до г=—оо; п. 7.4-2). (Ь) Наиболее часто встречаются следующие цилиндрические функции по- рядка т: °° ь Jm (г) = 2 мг(т+й + 1) ЙУ (I аг§ 2 I < k—0 (функции Бесселя первого рода); (21.8-3) Nm (г) cos mn~J-m <г)1 °> ± 2> —)> Am (z)=(-l)m (г)=Л Jm (z) (inf+ c)_ ' CO . / k tn~^k \ 1 (z\m yr (-1)® 7z\2fe/yi 1 , yi 1 ' Я \2j Z-i A! (m + *)l \2j IZj /** Zj /I k—0 \i=i i=i / V <"* — 1)1 (г\*к Я \2J Zj kl \2) *=0 (m=G, 1, 2* ...; |аг§г|<л) (функции Бесселя второго рода илн функции Неймана); Нт Нт (г)> Нт (^) = ^т(г)'. (функции Ганкеля первого и второго рода). (21.8-4) (21.8-5)
778 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.8-1. В формуле (4) последнюю сумму следует считать равной нулю, если т—0; С—постоянная Эйлера—Маскерони (21.4-6). Важно отметить, что каждая функция Неймана-имеет особенность в начале координат1). На рис. 21.8-1 показаны графики функций Бесселя и Неймана (m=0, 1) для г=х > 0. Рис. 21.8-1. Функции Бесселя и Неймана. (с) Аналитическое рродолжен и е. Значения функций для | arg z | > л получаются из формул Jm (eiratz)=e‘mn:ItJm (г), Л'т (е'пл2)=е-1тия Nm (z)-}-2i Jm (г) sin mnn.ctg mn (n—0, 1, 2, ...), цилиндрических (21.8-6) где sin mnn ctg пгл=(—l)m" и для m — ± n; (efjIz) =- (г) =- (г), 1 ^•(е-‘яг)=-е‘тлЯ^(г) = -Я2>т(г). J (2L8’7) Цилиндрические функции целого порядка суть однозначные целые функции (н. 7.6-5). (d) Каждая цилиндрическая функция порядка т может быть представлена как линейная комбинация, функций Jm (г) и Nm (г) или как линейная комби- нация Н'" (г) и (г): Zm (г) =n (г) +& Nm (г) = а (г)+₽ (г) (21.8-8) (фундаментальная система, п. 9.3-2). Jm (г) и (г) образуют фундамен- тальную систему, если т не равно целому числу (т^£0, ±1, ±2, ...), так как при т целых *) Функции Nm (г) обозначаются также через Уот(г); иногда, вместо функций Ней- мана берут аналогичные им функции Вебера [21.3].
2I.S-2. 21.8. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 779 Вронскианы (п. 9.3-2) указанных систем равны V {Jm (г). Nm (*)} =^. W \Н'" (г). Н'« (г)} =-^,_ Первые два вронскиана не зависят от т. Отметим, что ^(г)=у[Я^(г)+Я^(г)], Nm (г) = ^ [Н'" (г)-Н% (г)], (21.8-9) j-m (г) =4 [eimrt (г) +е™* Н'*> (г)]. (21.8-10) (е) Цилиндрические, функции, порядок которых равен половине нечетного целого числа (яг=± ’/а, ± 3/а, ...), выражаются через элементарные функции (см. также п. 21.8-8): (2L8'n) <2L8-12> + + (fe=l, 2, ...); (21.8-13) 4 / 9“ i -j Г *)' HW (z) = 1/ 4-4-^, Я'2’1/ (z) = V 5v=; (21.8-14) /2 ' ’ r Hl yTz • -/s'7 ' я yz' ' ’ H'& (г)=— 1/54С-. Я'21,, (г) = 1/55^• (21 -8-15) /г ' • г я i j<z ’ - /ал ' г я ]Лг ' ' 21.8- 2. Интегральные формулы (см. п. 8'.6-4). (а) Интегральные представления для JQ (г), Jx (г), 72(г), ... я (г) = 5 5 cos ^~г s’n (т—0, 1, 2Х ...) в (21.8-16) (интегральная формула Бесселя)^ , Я/2 J2m (г) =5 § cos (г sin О cos о Я/2 ^2m+l (г) = 5 S Sin Sin Sin +l)tdt о (m = 0, 1, 2, ...); (21.8-17) Jm(z)=t^5e'zcos<C0S/n/^ (m=0, 1, 2, ...); ’ '(21.8-18) о Jm (г)= 2ЙГ (4)m 4/dt (|argz|<n; m=0, 1, 2, ...) (21.8-19) (интеграл Сонина—Шлефли), где контур интегрирования начинается в точке t—cOi идет по отрицательной
780 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.8-3. части действительной оси, окружает в положительном .направлении начало коордиват и возвращается по отрицательной части действительной оси в бес- конечность. (Ь) Фо рмулы Зоммерфельда и Пуассона. Комплексный ин- теграл (рис. 21.8-2) Рис. 21.8-2. Контуры интегрирова- ния для интегралов. Зоммерфель- да; t = у -J- й). р — /тл/2 С (2) = —----) ei (г cos t + mt) dt (21.8-20) с (интеграл Зоммерфельда) равен (г), для контура Clt Н'% (г) для контура Са и 27,п(г) для контура С3. Эти контуры могут быть деформированы при условии, что начало и конец каждого из них стремятся к точке t=co в указанных заштрихованных областях; t — О и t—n могут быть использованы как седловые точки (точки перевала) для Ci и С2 при вычисле- нии Zm(z) для больших значений г (см. тадже п. 21.8-9). Отметим еще формулу т л/2 Jm (г) = --—2-? cos (г cos t) sin2m t dt Vn r(m + Vs) J (m>—’/2) (21.8-21) (интегральная формула Пуассона). (с) Некоторые интегральные формулы, содержащие цилин- дрические функции (см. также п. 21.8-4, с). J Jm (“*) J {fix)xdx = О = [“Ли Jm+1 (ах) - VJm <“*> Ап+1 (И] = = <“*“₽’*0): (2L8’22) J Рт(а*’]84:‘,д: = ТР"»(адг)Г + 4(ж,~^)1,;»п(0и;)]8 , (интегралы ЛоммеляУ, oo r(«+ 1\ f K-m+nj (ajc) dx = ^i-mam-n-l A 2—Z__ (—1 < n < 2m + 1). (21.8-23) o . r(---42) 21.8-3. Нули цилиндрических функций. ' (а) Все нули цилиндрических функций простые, за исключением, быть может, г=0. Последовательные положительные или отрицательные действи- тельные нули двух линейно независимых действительных цилиндрических функ- ций порядка т перемежаются; 2=0 есть единственный возможный общий нуль. (Ь) (См. также рис. 21.8-3). Функция Jm(z) имеет бесконечное число дей- ствительных- нулей; для т>—1 все ее нули действительны. Для т^О, ’/2, 1. s/a> 2, ... и п=1, 2..Jm (г) и Jm+n(z) не имеют общих нулей. Для т = 1, 2, ... последовательные положительные или отрицательные действительные нули Jm (2) разделяются единственными действительными нулями Jro+i(z).« единственными действительными нулями J'm(z).
21.8-4. 21 8. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 7Ы 21.8-4. Функции Бесселя целого порядка. (а) Производящая^ функция. Функции Бесселя неотрицатель- )/НКЦИИ от 2. ряд Лорана ... — т = и, 1, 2, ...—все однозначные целые ч Они могут быть получены как коэффициенты разложения в (ц. 7.5-3) производящей функции (см. также п. 8.7-2) Д ет е V s7=-/oW+2 !sm + (-sFmPmW, m=l или как коэффициенты рядов Фурье ОО COS (2 sin /) = Jo (z)+2 2* J2k (z) COS 2^, *=! sin (z sin 0=2'J] (z) si11 (2/e — 1) ft - co e±/zsin/= J! Jm(z)e±iml = rn —— co — Je (г)+ У l-Ffc (z) cos 2kt ± iJ2k-i (z) sin (2k — 1) /]. ft=i Отметим еще формулы l==J0W + 2 2 J2ft(z) = JHz)+2 2 k=\ k= I co gn = 2n V + <"+*->' J2/;+n (2) (« = 1, 2, ...). (21.8-24) (21.8-25 а) (21.8-256) (21.8-26) (21.8-27) *• = 0 (Ь) Графики функций Бесселя. Для действительного г=х функ- ции J0(2), J](z), J2(z),... все действительны; рис. 21.8-3 иллюстрирует их Рис. 21.8-3. Графики функций Бесселя Jo (х), J, (х), J, (х), (х) для действительного аргументе. Заметим, что — (— 1)тЛт(х). нули, максимумы и минимумы и их асимптотическое поведение при х-» ео (см. также пп. 21.8-3 и 21.8-9). .
782 , ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.8-5. (с) Условия ортогональности (см. также пп. 15.2-3 и 21.8-2, с). Если р,£- и —два нуля функции Jm (г) (необходимо действительные), то имеют место условия ортогональности (p iX) Jm (l^x) X dx= ( 0, если I -ф. k = I 4 [Jm (п/)]в = 4 Um+i (H,)E если I = fe, (2L8’28) X(d) Ряды .Фурье—Бесселя. При достаточно общих условиях функцию f (х) можно разложить в ряд ОО f (х) — ak Jm (цьх) (ряд Фурье— Бесселя), (21.8-29) e 6=1 где рх, р,2, ...— положительные нули функции Jm (г), расположенные в по- рядке их возрастания, а коэффициенты равны = [Jjwi2 J Ю -т М Разложение (29) имеет место для любого действительного т > — ’/а. если f (дг) ку- сочно-непрерывна и имеет ограниченную вариацию в (0, 1), и интеграл J Vx | f (х) | dx О существует. В точках разрыва функции f (х) сумма ряда (29) принимает значение «/.If (x~0) + f Р + О)].Х 21.8-5. Решение дифференциальных уравнений при помощи функций Бес- селя и связанных с ними функций. Линейное дифференциальное уравнение + + [(Ьс^У + ш=0 (21.8-30) имеет решение вида w = zaZm(bV). (21.8-31) Многие специальные случаи уравнения (30) представляют значительный инте- рес (пп. 21.8-6 — 21.8-8; см. [9.4]). 21.8-6. Модифицированные функции Бесселя и Ганкеля. Модифицирован- ные цилиндрические функции порядка т: Jm (г) — i~m Jm @г) (модифицированные функции Бесселя), 1 ? {21 8-32) (z) = у im+1 Н'£ (iz) (модифицированные функции Ганкеля) ( k ’ ' ' определяются с помощью формул (3) —(5); определения могут быть расширены с помоШью формул (6) и (7). Функции (32) суть линейно 'независимые реше- ния дифференциального уравнения ; (1+^)к’==0 (21.8-33) (модифицированное дифференциальное уравнение Бесселя) (см. также п. 10.4-3, Ь) и удовлетворяют рекуррентным формулам Jт+1 (г) ~ Jm-1 (г) Jm (z)~^ az Jm (г) Jm-l (г)> 1 2т d } (21.S-34) /</„u(z)=Km_1(z)+^K„l(z) = =-2^Km(z)-Km_i(2){ J
21.8-7. 21.8. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 783 lm (z) и Кт (г) — действительные монотонные функции для /п=0, +1, ± 2,... и действительных г (см. рис. 21.8-4). 21.8-7. Функции berOT г, beim г, herm г, heim z, kerm z, keimz. Функции berOT z, beiOT г, herOT г, heim z, kerOT г, keim г определяются соотношениями (1±г/гх) = berm z + i beiOT z, Нт = herOT z+Z hei,n z, i+ mKm (i± ,/гг) = kerOT г ± I keiOT z. (21.8-35) (21.8-36) Все эти функции действительны для действительных значений г. На рис. 21.8-5 Рис. 21.8-5. Графики функций ber х, bel х, кег я и ке! х. Рис. 21.8-4. Модифицированные функции Бесселя н Ганкеля. Заметим, что кег 2 == — -Ц hei_ z, kei 2 = -Ц her 2, ber zf bel zf her 2 и hel 2. m % tn tn % tn ' так же как J0(x—8/® 2) и ’ (<8^® z), удовлетворяют дифференциальному уравнению d2w , 1 dw . . dz“ + 2 dz —°- (21.8-37) Имеют места, разложения ter z = l — (21)2 (z/2)« (41)2 г’ , z’ £.42 £2425232 Ье» 2 = (4 2У (г/2)« (31)s ф г» z’ 2s 2‘426« — (21.8-38) Во многих приложениях удобно вводить ] Jm (i’H г) | | Кт 0’^4 г) Ь arS Jm и arg [i~m Кт (f’^2 г)] как специальные функции вместо или одновременно с berm г. beim г, kerm г и kel^z. Все эти функции действительны для действительных значений г.
784 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.8-8. 21.8-8. Сферические функции Бессели. Сферические функции Бесселя пер- вого, второго, третьего и четвертого рода & % Ji + (г), пу (г)=]/'^ N. + 1/2 (г), (г)=ОЯ7’+ V.(2>- Ю= KIн7\ч,<*) (21.8-39) jj(x) Рис. 21.8-6. Сферические функции Бессели. удовлетворяют дифференциальному уравнению о В1М0) (см. также п. 10.4-4, с) и рекуррентным формулам г' ^,[г"^(гЛ. (21.8-40)
21.8-10. 21.8. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 785 Для целых значений / сферические функции Бесселя суть элементарные транс- цендентные функции (см. также п. 21.8-1): /0(г)=^, С(г) = -^-« С(г)=-^,] ,/ . с21-8-42) /_.(*)=“» ft-iW = V’ C(*)=V> //(г) = г^-4^У-^ , пу(г) = (-1)'+1/ (г). (21.8-43) Графики функций /у (г) и яу(г) для г=х>0 показаны на рис. 21.8-6 о) и б); на рис. с) показана зависимость /у(х) и п/(х) от’ индекса / при х = 10. 21.8- 9. Асимптотические разложения цилиндрических функций и сфери- ческих функций Бесселя для больших значений | г | (см. также пп. 4.4-3, 4.8-6). При г —оо Jm (г) ъ [лт (г) cos (г—- —вт (г) sin (г—— — ")] , Wm(2)^'|/’^[Am(?)sin(a-^-^)+ - +Bm(z) cos (г —f)] (| arg г | < л), (21.8-44) где Ат (г) и Вт (г) имеют асимптотические разложения Ат(г)==1 {Ат2 — 1) {4 т2 — 9) 21 (82)а (4т» — 1) (4т» — 9) (4т» — 25) (4т» — 49) 41 (8г)‘ (21.8-45) + „ . . 4т» — 1 (4т> — 1) (4т* — 9) (4т« — 25) (г) — 8г 31 (8г)Е Подставляя разложения (44) и (45) в формулы (5), получим соответствующие асимптотические разложения для (г) и (г). Из разложений (44) и (45) следует, что для | г | т при г —► оо > __ ./ _тл___зх\ ) > (21.8-46) __ _ .( ___тл лХ I , 4 S<M /, (г) 4cos (г—л)» «/ (г) 4sin (г —я)« (г) «= 4 (— 07+1е'г. А7’ (г) «= 4 «7+1е"/г- (21.8-47) (21.8-48) 21.8- 10. Присоединенные функции и многочлены Лежандра; (а) Присоединенные функции Лежандра степени ] и порядка т есть реше- ния дифференциального уравнения d “2г W + Р G + »—Г^г] ш'=°* С21-8'49) .. ил L * ** i
786 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.8-10. где / и т—действительные или комплексные числа; уравнение (49) приводится к дифференциальному уравнению Лежандра (табл. 21.7-1 и 21.7-3) для т=0. Общая теория присоединенных функций Лежандра- содержится в [21.3J. Во многих важных приложениях (пп. 10.4-3, с и 21.8-12) / и т—действитель- ные целые числа, а г=х—действительное число, заключенное между — 1 u 1; Рис. 21.8-7, Присоединенные функции Лежандра Pj11 (х), Pj11 lx).- P'a1' положим x=cos6. При этих условиях уравнению (49) удовлетворяют присое- диненные функции Лежандра первого рода «+/+» ”+>! V)- = (1— X2)m/2 — Pj (х) dxm (1 - *’)m/2 (ta_ , J = 2'/I / = (—Г)7 + m (—х) (— Isgxsgl), (21.8-50) /=0, 1, 2, ...; m=0, 1, 2, .... ] (см. также n. 9.3-9), причем P° (x) = Pj (x) и P™ (x)—0 для m>j. В частности, P{ W — 1 — x2= sin 6, Pl (x) = 3x ]/ 1—x2=s/2 sin 26, I PI (x) = 3 (1 - x2) = % (1 - cos 26), J Pl (x) = s/2 (5*2— О /1— x2=3/8 (sin 6+5 sin 36), РЦх) — 15x (1 —x2) = ls/4 cos 6 (cos 6 — cos 36), Pl (x) = 15 (1 —x2) /1-х2=“У1 (3 sin 6 — sin 36), . Pj (x) = 1 • 3*5 ... (2/—1) (1 —xa),/2 = l 3• 5 ... (2/—1) sin^e (/=0, 1, 2, ...)я (21.8-54) (21.8-51) (21.8-52) (21.8-53)
21.8-12. 21.8. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 787 где cos6=x (см. также п. 21.8-12). Соответствующие графики показаны на рис. 21.8-7. (Ь) Присоединенные функции Лежандра, определенные формулами (50), удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям (— 1 < х <, 1): (2/Ч-1)хР^(х)-(/-/п+1)Р^+1 (х) = 0 (Osgmsg/ —1); (21.8-55) (х2- РТ W-(/-«’+ О Р?+ 1 W + (/+1) * Р? (х)=0 (Osgmsg/); (21.8-56) Р «+2 (х) - 2 (т + 1) Р? + 1 (х) + [/ (7 +1) - т (т +1)] Р” (х) = 0 (0sgmsg7-2); (21.8-57) /’7+1(х)-/’7!_1(х) = (2/+1)/Т^Р^-1(х) (0^щ^/-1); (21.8-58) = (2/+ 1) /1 -х2 Pf +1 (х) (0sgm</—-1). (21.8-59) (с) Асимптотическое поведение. При 7-*со , pm (cos е> = (_ у) т у 2 cos +е _ л + mnj + 0 (/ _ щ (0<0<л). (21.8-60) 21.8- II. Интегральные свойства присоединенных функций Лежандра (см. также п. 21.7-7). л Р ™ (х) = (— 1)т/2 + (х + V х* — 1 cos /У cos mt dt ’ 1 0 (/ = 0, 1, 2. ... ; ш—Q, 1, 2,- /) (интегральная формула Гейне)', (21.8-61) 5 P™WF™W^^J±gt/i, — 1 (А- г —0, 1. 2. ... ; m = 0, 1, 2, ."..); (21.8-62) * m 1» 1 «+"»' с 1 (' + m)l J Г/ w] dx~2i+ 1 u-m)l * J 1 -X2 dx~2in 0 0 (/ = 0, 1, 2( ... ; m = 1, 2, ... , /) (21.8-63) 21.8- 12. Сферические гармоники. Ортогональность (см. также пп. 10.4-3, с, 14.10-7, Ь и 15.2-6). (а) Решения Ф (г, 6, <р) уравнения Лапласа *в сферических координатах (10.4-15) называются сферическими гармониками. Сферические поверхностные гармоники степени / суть решения дифференциального уравнения с частными производными ^+Ctg6 -^-4-^ -g-4-7 (1 + 1) У=о, (21.8-64) полученного разделением переменных в уравнении (10.4-15). Если потребовать, чтобы решения 'были регулярны при 0 s: 6 sg л, 0 sg <р sg 2л и удовлетворяли условию Yf(6t ф+2л) = У/(в, <f)t то мы .приходим к проблеме собственных
788 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.8-12. значений (п. 15.4-5), допускающей решения только при целых значениях /. Можно не касаться отрицательных значений j, так как — / — 1 и / дают одинаковые значения /(/ + 1). Действительные собственные функции Р? (cos 6) cos «Ф, V S РТ (cos6) sin m(₽ (21.8-65) называются тессеральными сферическими гармониками степени / и порядка т; они периодичны на поверхности сферы и меняют знак вдоль узловых линий 6 = const й <p=const (рис. 21.8-8);. на самих этих линиях они равны нулю. При т=] функции (65) называются секториальными сферическими гармониками и при т=0—зональными сферическими гармониками. Обе функции (65) и белее часто встречающиеся комплексные функции 1 рГs±±1 (/-IznjH р|т | (cos e) (i=0, 1, 2, ...; m=0, ± 1, ± 2, ..., ± j) (21.8-66) образуют ортонормированную последовательность собственных функций а смысле скалярного произведения . 6 '2л л_________ (/, h) = 5 f (?» ф) МО» ф) Sin е d0 (21.8-67) о о (п. 15.4-6, Ь)., (/, Л)=0 для каждой пары функций (65) или функций (66), если f^ h-, если же f—h, то скалярное произведение равно единице: (/, f)=l. Существует 2/+ 1 линейно независимых сферических поверхностных гармоник степени /. (Ь) Каждая дважды дифференцируемая действительная функция ....... Ф (0, ср) (0^6 sgn, 0^ fpsg2ji), Ф (0, ф-|-2ц) = Ф (0, ср).
21.8-13. 21.8. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 789 определенная на поверхности сферы, допускает разложение в абсолютно и равно- мерно сходящийся ряд со / • Ф(6, ,<р)=2 [4 «/О ^(№5 6)+ У, Р™ (cos 0) (a/mcosm<p+P;OT sin /п«р)1 = 1=0 m = l m ! -s s ylm P|m I (cos 6) e'w, (21,8-68a) , /=0m=—/ где 2л л . 2л '(Jjl'mfl J 'VI г j цлви/иц.и», 0 0 2л я = 2±^Г u+mv' 5 d<₽ Sin тЧ 5 ф (е’ ф) РТ (cos 6) sin 6 de> 0 0 ! ' 2 ^aim— = 2л - 2Л =24^'-((т-я $ d(₽eim4’ $ ф <9-ф) p7 (cos®>sin 6 d0’ 0 0 (/ = 0, 1, 2, ...) m=0, 1, 2 /). (21.8-686) Разложения вида (68) физически интерпретируются как разложения потен- циалов по мультиполям (пп. 15.6-5, а и с). . 21.8- 13. Теоремы сложения. Рис. 21.8-9. Геометрическая иллюстрация к теоремам сложения. (а) Теор емы сложения для цилиндрических функций. Пусть Pi и Р2—две точки плоскости с полярными координатами (рх, фх).. (ра, фз). Согласно рис. 21.8-9, с пусть рх>р2, так что 0 sg |ф | <у и Тогда для <Р=Pi + Ра—2рхРа cos (фх — ф2), С2»Д>_ Pi ~ Рге~* (Ф1 - фа). Р1 — Рв6* ” Фе^ каждой цилиндрической функции Zm (г)? (21.8-69) удовлетвоярющей-
790 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.9-1. уравнению (1), Zm(ad)elm*= J] А = —со (теорема сложения для цилиндрических функций), (21.8-70) где а—произвольное комплексное число. В частности, если фр— ф2=п, то ' ZOT [а(р1 + р2)]= z* («Pi) An-fe (аРг)- (21.8-71) k =—со (Ь) Теоремы сложения для сферических функций Бес- селя и многочленов Лежандра. Пусть Р± и Р2—две точки прост- ранства со сферическими координатами (/у, eb (pj, (r2, 62, (pj. Согласно рис. 21.8-4, Ьлусть б!+62<л; тогда d2=rf + rf—2г±гг cos у, 1 cos у =cos 6j cos 62 + sin0! sin 62 cos (<pi — <p2) J « co 1 /о (ad)== У (2/г+!) Ik (ari) ik (ars) Pk (cos y), *=o ♦ tad Ч1’ (ad) = -—d- = У (26+1) H" (arY) jk (агг) Pk (cos y) (rt >r 2) л=о (теорема сложения для сферических функций Бесселя порядка нуль). Pj (cos у) —Pj (cos Pj (cos 62) + / , O’ + 2 у -(j + m)' P7 <cos 61) P7 (c0S c°s m m=I (теорема сложения для многочленов Лежандра)* (21.8-72) (21.8-73) (21.8-74) 21.9 . СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ И СИМВОЛИЧЕСКИЕ ИМПУЛЬСНЫЕ ФУНКЦИИ 21.9- 1. Ступенчатые функции (см. также пп. 4.6-17, с, 18.3-1 и 20.4-6). (а) Ступенчатой функцией действительной переменной х называется функ- ция, которая изменяет свои значения только в дискретной последовательности точек разрыва (необходимо первого рода, п.а. 4.4-7, Ь). Значения функции в точках разрыва могут быть как определены, так и не определены. Наиболее часто применяются ступенчатые функции *) U (х) = / */_(*)={ ВД={ 0 при х < 0, _ V2 при х=0, (симметричная единичная функция), 1 при х > 0 0 при х < 0, 0 "ри х<о' (аси1л1^тРичные единичные функции) 1 при х>0 (21.9-1) (см. также рис. 21.9-1). ‘) Система обозначений различных единичных функций ие является общепринятой; поэтому необходима осторожность при пользовании разными источниками.
21.9-1. 21.9. СТУПЕНЧАТЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ ФУНКЦИИ 791 Замётам, что £/(0—0)=0, {7(0 + 0) = 1, 1/(ех) = 1; (21.9-2) U [(х—а) (х—6)] = U [х—max (a, b)]-j-U [min (а, b) — х]. (21.9-3) Каждая ступенчатая функция может быть представлена (за исключением, возможно, ее значений в точках разрыва х=х*) как сумма вида 2aft£/(x—xfc), ^iakU_(x—xk) или У ak 1/+ (х—хА). k k k (Примеры: sgn х = 2£7 (х) — 1; функции скачков в п. 20.4-5). .UJi) Рис. 21.9^1. Единичные ступенчатые функций 17 (х) и 17+ (х) и аппроксимации импульс- ных функций б (х), 6+ (х), 6' (х) н 6+ (х). (Ь) Аппроксимация ступенчатых функций непрерыв- ными функциями U (х)= lim Г’+± arctg ах] t (21.9-4) а-»со1-^ л -1 (7(х) = lim 4-[erf (ах)-[-1], (21.9-5) а-»оо' 2 £/(х) = lim 2-®"“*, (21.9-6) а->со l/(x)L lim ± t B^dt. (21.9-7)
792 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.9-2. . (с) Представления интеграл ом Фурье (см. также и. 4.11-6). 1 С° Комплексный контурный интеграл \ —— соответственно равен U (/) — со или — U (— 0 в зависимости от того, огибает ли контур интегрирования начало координат против часовой стрелки (т. е. по полуокружности, распо- ложенной в нижней полуплоскости) или по часовой стрелке (по полуокруж- ности в верхней полуплоскости). Главное значение интеграла по Коши (п. 4.6-2, Ь) равно U (/)—’/z- Отделяя действительную и мнимую части, по- лучим оо —оо Отметим также формулу ОО (7 (1-0=1 J ^..№^os do (21.9-9) —оо 21-9-2. Символическая дельта-фуикция Дирака *). (а) Симметричная единичная импульсная функция или функция Дирака 8 (х) действительной переменной х (Определяется условием ь а (О при X < а или X > Ь, ) Vz/W ПРИ Х = а или X—b, >(а<6), (21.9-10а) f (X) при а < X < b J где f (х) — произвольная функция, непрерывная в точке х — Х. Более общее определение функции 6 (х): а о VzffX+O) = i/2f(X-0) b/2[f(X-0)+/(X+0)] при Х<а при X = а, при Х = Ъ,' при а < X < b или X > Ь, (а<Ь), (21.9-106) где f (х)— произвольная функпия ограниченной вариации в окрестности точки х=Х. б(х) не является- функцией в обычном смысле; из определения (10) следуют несовместимые условия ОО 6(х)=0 (х¥=0),' (21.9-Юс) — со S (х) есть символическая (обобщенная) функция, позволяющая формально пред- ставить функциональное преобразование /(£)—» / (х) как интегральное преоб- разование (п. 15.3-1, а). Формальное применение 6 (х) приводит к удобным обозначениям, подсказывающим обобщения многих математических соотношений (см. также пп. 8.5-1, а, 15.5-4 и 18.3-1). Хотя функций, обладающих в точ- ’) В настоящее время широкое развитие получила теория обобщенных функций, играющая важную роль при изучении дифференциальных уравнений математической физики. 6-функция Дирака может рассматриваться как один из примеров обобщенных функций, По этому поводу см., например, [13.6].
SI.9-3. 21.9..СТУПЕНЧАТЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ ФУНКЦИИ 793 ности- свойствами (10), не существует, возможно в некотором смысле рассматри- ' вать 6 (х) как пределы обычных функций (п. 21.9-4). Математические предложения, в которых применяются импульсные функ- ции, следует рассматривать как эвристические и нуждающиеся в строгих обоснованиях. Можно избежать применения импульсных функций, вводя интегралы Стилтьеса (п. 4,6-17); тогда ъ ь \f®e&-x)dt=\f®du(i-x). а ‘а При этом возможно ввести обобщения понятий «функции» и .«дифференциала» (теория распределений Лорана Шварца) *). (Ь) Формальные соотношения, содержащие 6 (х). 6 (ах) — ^ 8 (х) (а> 0), 6(—х)—6(х), (21.9-11) /(х)6(х-а) = |[/(а-0)+/:(а+0)]6(х-я), х8(х)=0, (21.9-12) 6(х“-с“) = Т [6(х-«) + б(х-Ь«)] (а>0), (21.9-13) оо . 8(а—х)8(х—b)dx — 8(a—b). (21.9-14) — 00 21.9- 3. Производные ступенчатых и импульсных фуикций (см. также п. 8.5-1). Формулы (10) приводят к соотношению (а > 0) [8(/-а)]=$ 8((-а)е~*' dt==e~as=s £(U (t-a)], 0 откуда следует символическое равенство (21.9-15) (это равенство формально можно получить также из формулы (19) п. 21.9-4, Ь). Производные 8' (х), 8" (х),... импульсной функции 8 (х) определяются условиями ь 1 и • (0. , при X< а или X > Ь,' _ . ‘М— 1)'7'п(Х+0) л при х=а, !/2 (—l)rf,r,(X — O) при х—Ь, ' " */2(— 1)ЧГ'(Л-0)+/<^(Х+0)1 при а<Х<Ь (21.9-16) где f (х)’— произвольная функция такая, что односторонние пределы f{r} (X—0) и flr> (Х-}-0) существуют. Функции 8tr> (g — X) есть ядра линейных интеграль- ных преобразований (п. 15.2-1), представляющих повторные дифференцирования. Отметим символическое соотношение 8tr,(x)=(— l/r!-^- (т = 0, 1, 2, ...). (21.9-17) х' *) См. сноску на стр. 792.
794 ГЛ. 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.9-4. 21.9-4. Аппроксимация импульсных функций (см. также рис. 21.9-1). (а) Аппроксимация 6 (х) непрерывно дифференцируе- мыми функциями. Возможно аппроксимировать 6 (х) непрерывно диффе- ренцируемыми функциями S(x, а) я при а-* со, (21.9-18а) в(х, = /л при а — cot (21.9-18&) я . » а sin ах 0(х, д) = — ах при а -* со (21.9-18С) в том смысле, что lim б(х, а)=0 (х^О) и а-» со 00 lim f /@6(x-L a)ds=|[/(x-O)+/(x+O)] при условии, что f (х—0) и /(x-j-O) существуют; заметим еще, что lim ( 6(§, a)dg = l. а-юо-Ует Интегрирование аппроксимирующих функций (18) приводит к соответствующим аппроксимациям ступенчатых функций (формулы (4) и (5)). X [6 (х—а, а)] (а 0) схо- дится к e~as = X [б(х —а)] при а-»со для каждой функции (18) (см. раздел 8.5). (Ь) Аппроксимация. 6 (х) разрывными функциями. 6 (х) часто аппроксимируется центральной конечной разностью (п. 20.4-3) 6(х, h) = U{x + hy-U (x-h^ при (21.9-19) Отметим также, что ОО * Нт 2 f f ® 22“ I* -| [f(X-O) +/(X4-0)] (-co<X<cq) to -> co n л * (интегральная формула Дирихле) (21.9-20) и J’?1 5 f © 1-2aсоз7х”ё) +a^ ^=41/+f (X + °)l (—л<Х<л), (21.9-21) если /(x)—функция ограниченной вариации в окрестности точки х==Х (см. также п. 4.11-6). (с) Аппроксимация функций 6' (х), 6" (х), ..., 6,’,> (х). Последо- вательное дифференцирование формулы (18а) приводит к аппроксимирующим функциям У (х, ст) = — | при а —со, (21.9-22) r sin | (г+ 1) arctg —1 б‘”(х. ₽)=^-£!—Lпри ₽ —00 (/-=0,1,2,...). (21.9-23) Л (x“ + P»)(r + 1)/2 г ' 1 ' ' Заметим также, что б' (xt ft) = V25.+.ft>~ 2£ <*> + Ч ~fi> При /,_0. (21.9-24)
21.9-7. 21.9. СТУПЕНЧАТЫЕ Й ИМПУЛЬСНЫЕ ФУНКЦИИ 795 21.9- 5. Представления 'интегралом Фурье. Отметим формальные соотношения Ъ.(х-Х)=~ e~i(i>xele>x da, (21.9-25) — со &г> (х-Х) = ~ $ ({а)гё~1е>хе1е>х da, (21.9-26) — со ~ [6 (х—X)-f-6 (х+Х)]=1 J cos аХ cos ах da. (21.9-27) о 21.9-6 . Асимметричные импульсные функции (см. такжеч пп. 8.5-1 и 9.4-3). (а) Асимметричиые импульсные функции 6+(х), .6* (х), ..., * (х) опреде- ляются соотношениями с „ ... „ (0 при Х<а или Х^Ь, ) J £>+(£ — X)d^— ) . /v ,m ( (a<b), афо U(X-f-O) при aszX<b J (21.9-28) \ при X<a или x^b'\ До + 1(-1ГГ’(Х+0) при a^X<b f (a<b; r = l, 2, ...). (21.9-29) Можно записать 6+ (x) = 26 (x) и (X) = V+ (x). (21.9-30) Чтобы получить аппроксимирующие функции для б+(х), нужно подставить аппроксими- рующие функции п. 21.9-4 в соотношения (30), например, 6+ (х, К) = --(^) ~ Д* ~Л) при Л-0, (21.9-31) 6+ (х. Л) = 4 W U {Х ~ Л) при Л->0. (21.9-32) (Ъ) Можно ввести В+(—х) = В- (х) как вторую асимметричную импульсную функ- цию, соответствующую «производной» асимметричной ступенчатой функции (/_ (х) (п. 21.9-1). 21.9-7. Многомерные дельта-функции (см. также п. 15.5-1). В п-мерном пространстве точек (х1, х2, ... f хп) с элементом объема dV = dV (х1, х2, ... i хп) — V | ё (л1, х2, ... х”) | dx1 dx2 ... dxn (п. 16.10-10) «-мерная дельта-функция 6 (х1, £г; x?t £2; ...; х”, должна удовлетворять условию 5 f (ft ft ...» 6") 6 (Хг. В1; X2, Хп, £") dV (^ ft ..., £п) =. V = f (хг, х2. ... , х") (21.9-33) для каждой точки (X1, X2, ... , X")’ в V, где f (х£, х2,- ...» хи) непрерывна. Заметим, что определение 6 (х1, ft х2, ft_; х”, ft) зависит от выбора системы координат и теряет смысл, если dV — 0. В частности, для прямоугольной декартовой системы коор- динат х, у, z имеем dV = dx dy dz и 6 (ж. Е: у. ч; г. £) == с U - а 6 (у - ч) 6 (z - у. 4 (21,9-34)
ЛИТЕРАТУРА t К г л а ве 1 |.1. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, «Наука», 1971. 1.2. Мишин а А. П. и П р о с к у р я к о в И. В., Высшая алгебра, СМБ, «Наука», 1965. 1.3. Погорелов А. В., Элементарная геометрия, «Наука», 1972. 1.4. Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, ОНТИ, 1936. 1.5. Кемеии Д., Введение в конечную математику, «Мир», 1965. 1.6. Кокстер X., Введение в геометрию, «Наука», 1966. 1.7. Ландау Э., Основания анализа, ИЛ, 1947. 1.8. Фефер май С„ Числовые системы.- Основания алгебры и анализа, «Наука», 1971. 1.9. Стр о й к Д., Краткий очерк истории математики, «Наука», 1964. К главам 2 и 3 2.1. Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, дополненные необходимыми сведениями из алгебры, «Наука», 1968. 2.2. Ильин В. А. и Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, «Наука», 1971. 2.3. Погорелов А. В., Аналитическая геометрия, «Наука», 1968. 2.4. Ефимов Н. В., Квадратичные’формы и матрицы, «Наука», 1972. 2.5. Савелов А. А„ Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (спра- вочное руководство), Физматгиз, 1960. См. также [1.6]. К главе 4 4,1. Смирнов В. Й., Курс высшей математики, в пяти томах, «Наука», 1967. 4.2. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального н интегрального исчисления, тт. I—ТП, «Наука», 1969. 4.3. Колмогоров А. Н. и Фомин С. В., Элементы теории функций и функ- ционального анализа, «Наука», 1-972. 4.4. Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, тт. 1, 2, «Высшая школа», 1970, 1971. < 4.5. Никольский С. М., Куре математического анализа, тт. 1, 2, «Наука», 1973. 4.6. Градштейн И. С. и Рыжик И. М„ Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, «Наука». 1971. 4.7. Ильин В. А. и Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 1, 2, «Наука», 1971. 4.8. Будак Б. М. и Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, «Наука». 1967. 4.-9 . НатансонИ. П., Теория функций вещественной переменной, Физматгиз, 1957. 4.10. Дье.доние Ж., Основы современного анализа, «Мир», 1964. 4.11. Рудин У., Основы математического анализа, «Мир», 1966. К главам 5 и 6 6.L Кочин Н. Е., Векторное исчислейие и начала тензорного исчисления. Изд-во АН СССР, 1961. 5.2. Маделунг Э.г Математический аппарат физики (справочное руководство), «Наука», 1968. 5.3. Шилов Г. Е., Лекции по векторному анализу, Гостехиздат, 1954. 5.4. Хал мош Г!.. Конечномерные векторные пространства, Физматгиз, 1963. К главе? 7.1. Лаврентьев М; А. и Шабат Б. В., Методы теории функций комплекс- ного переменного, «Наука», 1965. 7.2. Маркушевнч А. И., а) Краткий курс теории аналитических функций, «Нау- ка»,41966. б) Теория аналитических функций, тт. 1, 2, «Наука», 1967. 7.3. Свешников А. Г. и Тихонов А. Н., Теория функций, комплексного переменного», «Наука», 1970. 7.4. Евграфов М. А., Аналитические функции, «Наука», 1965. 7.5. Уиттекер Э. Т. и В ат со Н - Д ж. Н.» Курс современйого анализа, гт. 1* П, Физматгиз, . 1962--1963,
ЛИТЕРАТУРА 797 7.6. Коппенфельс В. и Штальмаи Ц., Практика конформного отображе- ния, ИЛ,-1963. 7.7. М ы ш к и с А. Д., Математика для втузов. Специальные курсы, «Наука», 1971. 7.8. Привалов И. И.. Введение в теорию функций комплексного переменного, «Наука», 1967. 7.9. Фильчаков П. Ф., Приближенные методы конформных отображений, «Нау- кова думка», 1964. 7.10. Л а в р и к В. И. и Савенков В. Н., Справочник по конформным отобра- жениям, «Наукова думка», 1970. 7.11. Г у р в и ц А. и Курант Р., Теория функций, «Наука», 1968. 7.12. Шабат Б. В., Введение,в комплексный анализ, «Наука», 1969. К главе 8 8.1. Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразоваиия, «Наука». 1971. 8.2. Диткии В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, СМБ, Фивматгиз, 1961. 8.3. Ван-дер Поль В. и Г. Брем мер, Операционное исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапласа, ИЛ, 1952. 8.4. Снеддон И., Преобразования Фурье, ИЛ, 1955. 8.5. Трантер Д.. Интегральные преобразования в математической физике, Гостех- издат, 1956. 8.6. 3 е м а н я н А., Интегральные преобразования обобщенных функций, «Наука», в печати. 8.7. Бейтмеи Г. и Эр д ей и А., Таблицы интегральных преобразований в двух томах, СМБ, «На*ука»: т. 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, 1969; т. 2. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций, 1970. См. также [7.1], [7.4]. [7.7]. К г л а в е 9 9.1. Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, «Наука», 1970. 9.2. Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, «Наука», 1970. 9.3. Эльсгольц Л. Э„ Дифференциальные уравнения и .вариационное исчисление, «Наука», 1969. 9.4. Камке Э., - Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, «Наука», 1971. . 9.5. Б е л л м а н Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, ИЛ, 1954. , 9.6. Андронов А. А., Витт А. А., X а й к и н С. Э., Теория колебаний. Физ- матгиз, 1959. 9.7. Боголюбов Н. Н. иМитропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз, 1963. 9.8. Боголюбов Н. Н. и Крылов Н. М., Введение в нелинейную механику, Киев, 1937. 9.9. Стокер Й., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, ИЛ, 1952. 9.10. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений; «Наука», 1966. 9.11. К о дд и и г то н Э. и Левинсон Н.» Теория обыкновенных дифференциаль- ных уравнений, ИЛ, 1958. 9.12. Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ. 1961. 9.13. Сансоне Д., Обыкновенные дифференциальные уравнения, тт. 1, 2, ИЛ, 1953. 9.14. Т р и к о ml и Ф., Дифференциальные уравнения, ИЛ, 1962. 9.1 Б. X артм а и Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, «Мир», 1970. К главе 10 10.1. Петровский И. Г.» Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961. 10.2. Соболев С. Л.< Уравнения математической физики, «Наука», 1966. 10.3. Тихонов А. Н„ Самарский А. А., Уравнения математической физики, «Наука», 1966. 10.4. Кураит Р. и Гильберт Д., Методы математической фнзйки, т. 1, Гос- те» изд ат, 1951. 10,5. Кураит Р., Дифференциальные уравнения с частными производными, «Науиа», 1965. 10.6. Морс Ф. М. и Фешбах Г., Методы теоретической физики, тт. 1, 11, ИЛ, 1958. 10.7. Линейные-уравнения математической физики, СМБ, «Наука», 1964. 10.8. Камке Э., Справочник по дифференциальным уравнениям в частных произ- водных первого порядка, «Наука», 1966. J0.9, Г а н т м а х ер Ф. Рп Лекции по аналитической механике, «Наука», 1966,
798 ЛИТЕРАТУРА 10.10, Владимиров В. С., Уравнения математической физики, «Наука», 1971, 10.11. Годунов С. К., Уравнения математической физики, «Наука», 1971. 10.12. Зоммерфельд А., Дифференциальные уравнения в частных производных физики, ИЛ, 1950. 10.13. Франк Ф. и Миаес Р., Дифференциальные н интегральные уравнения математической физики, ОНТИ, 1937. К главе И 11.1.. Веитцель Е. С.. Исследование операций, «Советское радио», -1972. 11.2. Г е р м е й е р Ю. Б., Ваедение в теорию исследования операций, «Наука», 1971* 11,3. Вайда Ф., Теория игр и линейное программирование, в сборнике «Линейные неравенства и смежные вопросы», ИЛ, 1959. 11.4. Гасс С., Линейное программирование, Физматгиз, 1961. 11.5. Гейл Д., Теория линейных экономических моделей, ИЛ, 1963. 11.6. Данциг Г., Линейное программирование, «Прогресс», 1966. 11.7. Дрешер М.» Стратегические игры, «Советское радио», 1964. 11.8. Карлин С., Математические методы в теории игр, программировании и эко- номике, «Мир», 1964. 11.9. Льюс Р“., Р а йф а X., Игры и решения, ИЛ, 1961. 11.10. Неймаи Д./М оргенштерн О.» Теория игр и экономическое поведение, «Наука», 1970. 11.11. Хедли Д., а) Линейная алгебра (для экономистов), «Высшая школа», 1966; б) Нелинейное и динамическое программирование, «Мир», 1967. 11.12. Г е л ь ф а и д И. М. и Фомин С. В., Вариационное исчисление, Физмат- гиз, 1962. 11.13. В л и сс Г., Лекции по вариационному исчислению, ИЛ, 1950. 11.14. Понтрягин Л. С„ Болтянский В. Г., ГамкрелидзеР. В.,- Мищенко Е. Ф., Математическая теория оптимальных процессов, «Наука», 1969. 11.15. Болтянский В. Г., а) Математические методы оптимального управления, «Наука», 1969. б) Оптимальное управление дискретными системами, «Наука», 1973. 11.16. Белл м ан Р., Динамическое программирование, ИЛ,-I960. 11.17. Беллман Р. и Дрейфус С., Прикладные задачи динамического програм- мирования, «Наука», 1965. 11.18. Уайльд Д„ Методы поиска экстремума, «Наука», 1967. 11.19. Фан Лянь-цень и Ваиь Г у-с е н, Дискретный принцип максимума, «Мир», 1967. 11.20. Л е й т м а н Д., Введение в теорию оптимального управления, «Наука», 1968. 11.21. Мерриэм К.» Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью, «Мир», 1967. 11.22. Моисеев Н. Н., Численные методы в проблемах синтеза оптимальных систем, «Наука», 1972. См. также [7.7], [9.3], [10.4]. К главе 12 12.1. Ваи-дер Варден В., Современная алгебра, ч. 1, 2, Гостехиздат, 1947. 12.2. Ку рош А. Г., Лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962. 12.3. К у р о ш А. Г., Теория групп, «Наука», 1967. 12.4. Александров П. С., Комбинаторная топология, Гостехиздат, 1947. 12.5. Понтрягин Л. С.» Основы комбинаторной топологии, Гостехиздат, 1947. 12.6. Келли Д., Общая топология, «Наука», 1968. 12.7. Новиков П. С., Элементы математической логики, «Наука», 1973. 12.8. Мендельсон Э., Введение в математическую логику, «Наука», 1970. 12.9. Вл адимиров Д. А., Булевы алгебры, «Наука», 1969. К г л а в а м 13 и 14 13.1. Г а н т м а х е р Ф. Р.» Теория матриц, «Наука», 1966. 13.2. Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, «Наука», 1971. 13.3. Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, «Наука», 1970. 13.4. Ахнезер Н. И. иГлазманИ. М., Теория линейных операторов в гиль- бертовом пространстве., «Наука», 1966. 13.5, Люстерник Л. А. иСоболев В. И., Элементы функционального анализа* «Наука», 1965. 13.6. Функциональный анализ, СМБ, «Наука», 1972. 13.7, Беллман Р.» Введение в теорию матриц, «Наука», 1969. 13.8. Баи ах С., Курс функционального анализу, «Радяньска школа», Ки1в, 1948. 13.9. В у л и х Б. 3., Введение в функциональный анализ, «Наука», 1967. 13.10. Д а н ф о р д Н. н Ш в а р ц Л., Линейные операторы, ИЛ, 1962. 13.11. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу* ИЛ, 1954. 13.12, Эдвардс Р.м Функциональный анализ* «Мир»* 1969.
ЛИТЕРАТУРА 799 13.13. Баи-дер Варден Б., Методы теории групп в квантовой механике, ДНВТУ* 1938. 13.14. Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, ИЛ, 1947. 13.15. В и г и е р Е„ Теория групп, ИЛ, 1961. 13.16. Виленкин Н. Я., Специальные функции н теория представлений групп, «Наука», 1965. 13.17. Кириллов А. А., Элементы теории представлений, «Наука», Д972. 13.18. Мурнагаи Ф.» Теория представлений групп. ИЛ, 1950. 13.19. Барб аши и Е. А., Введение в теорию устойчивости, «Наука», 1967. 13.20. Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, 1959. 13.21. Летов А. М„ Устойчивость нелинейных регулируемых систем, Физматгиз* 1962. 13.22. Л а - С а л л ь Ж., Л ефш ец G., Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, «Мир». 1964. 13.23. Же л о б ен к о Д. П-, Компактные группы Ли и их представления, «Наука», 1970. См» также [4.3], [4.4], [5.4], [9.3], [10.4]. К г л а в е 15 15.1. Петровский И. Г„ Лекции по интегральным уравнениям, «Наука», 1965. 15.2. Три ко ми Ф„ Интегральные уравнения, ИЛ, I960. 15.3. Интегральные уравнения, СМБ, «Наука», 1968. 15.4. Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, «Наука», 1965. 15.5. Бохнер С., Лекции об интегралах Фурье, Физматгиз, 1962. 15.6. Михлин G. Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям, Физматгиз. 1959. 15.7, Мусхелишвили Н- И., Сингулярные интегральные уравнения, «Наука», 1968. См. также [4.3], [4.J0], [5.2], [10.5], [10.6], [13.4], [13.5], [13.8] — [13.12]. К г л а в а м 16 и 17 16.1. Погор ел о в А. В., Дифференциальная геометрия, «Наука», 1969. 16.2. Рашевский П. К., Дифференциальная геометрия, Физматгиз, 1956. 16.3. Рашевский П. К-. Риманова геометрия и тензорный анализ, «Наука», 1967. 16.4. Сокольников И. С., Тензорный анализ (теория н применения в геометрии и в механике сплошных сред), «Наука», 1971. 16.5. Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, «Мир», 1970. 16.6. Эйаенхарт Л., Риманова геометрия, ИЛ, 1948. • Кглавам 18и19 18.1. Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, ОНТИ, 1936. 18.2. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, «Наука», 1967. 18.3. Боровков А. А., Курс теории вероятностей, «Наука», 1972. 18.4. Арлей Н.иБух К-, Введение в теорию вероятностей и математическую ста- тистику, ИЛ, 1951. 18.5. Ван-дер Варден Б., Математическая статистика, ИЛ, 1960, 18.6. Крамер Г., Математические методы статистики, ИЛ, 1948.' 18.7. Лоэв М., Теория вероятностей, ИЛ, 1962. 18.8. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, ИЛ, 1952. 18.9. 'Хальд А., Математическая статистика с техническими приложениями, ИЛ, 1956. 18.10. Риордан Д., Комбинаторный анализ, ИЛ, 1963. 18.11. Большее Л. Н„ Смирнов Н. В., Таблицы математической статистинц,, «Наука», 1965. 18.12. Прохоров Ю. В. «Розанов Ю. А., Теория вероятностей, СМБ, «Наука», 1973. 18.13. Дуб Д., Вероятностные процессы, ИЛ, 1956. 18.14. Розанов Ю. А., Случайные процессы, «Наука», 1971. 18.15. Уилкс С., Математическая статистика, «Наукам 1967. 18.16- Саати Т. Л„ Элементы теории массового обслуживания и ее приложения* «Советское радио», 1971. К г л а в е 20 20.1. В е р е з и и И. С. и Ж и д к о в Н. П., Методы вычислений, тт. 1, 2, «Наука»,; 1966. 20.2. Б а х в а л о в Н. С., Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные диффе- ренциальные уравнения), «Наука», 1973. 20.3. Гельфоид А. О., Исчисление конечных разностей, «Наука», 1967. 20.4. Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, Физматгиз, 1962. 20.5. Фаддеев Д. К. и Ф а д де е в а В» Н.» Вычислительные методы линейной ал- гебры, Фнзматгиз, 1963.
800 ЛИТЕРАТУРА 20.6. Михлин С. Г- иСмолицкий ,Х. Л., Приближенные методы решения диф- ференциальных и интегральных уравнений. СМБ, «Наука», №65. 20.7. Мили В. Э., Численный анализ, ИЛ, 1951. 20.8. Милн В. Э.. Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955. 20.9. Даусхолдер А. С., Основы численного анализа, ИЛ, 1956. 20.10. Островский А. М.» Решение уравнений и систем уравнений, ИЛ, 1963. 20.11. Уиттекер Э. и Робинсон Г., Математическая обработка результатов наблюдений, ОНТИ, 1935. 20.12. X е м м и н г Р. В., Численные методы, «Наука», 1972. 20.13. Ко л л а т ц Л., Функциональный анализ и вычислительная математика, «Мир», 1969. 20.14. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), СМБ, Физматгиз, 1962, 20.15. Ермаков С. М„ Методы Монте-Карло и смежные вопросы, «Наука», 1971. 20.16. В аз о в В., Ф о-p сайт Д., Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, ИЛ, 1963. 20.17. Уилкинсон Д., Алгебраическая проблема собственных вначений, «Наука», 1970. Я R гл а в е 21 21.1. Л е б е д е в Н. _Н., Специальные функции и их приложения, ФизматгиЗ, 1963. 21.2. Яике Е„ Эм де Ф., Л е_ш Ф.» Специальные функции (формулы, графики, таблицы), «Наука», 1968. 21.3. Бейтмен Г. и Эрдейв А./ Высшие трансцендентные функции, в трех томах» СМБ, «Наука»: т. 1. Гипергеометрическая функция н ее обобщения. Функции Лежандра, 1967; т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные много- члены, 1968; т. 3. Эллиптические и автоморфные функции, функции Ламе и Матье, 1969. 21.4. Математический анализ (вычисление элементарных функций), СМБ, Физматгиз, 1963. 21.5. Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, «Наука», 1970. 21.6. Гельфанд И.М. и Ш и л о в Г. Е„ Обобщенные функции и действия над ними, Физматгиз, 1959. 21.7. 1) Лебедев А. В. в Федорова Р. М-, Справочник по математическим таб- лицам, Изд-во АН СССР, 1956. 2) Б у р у но,в а Н. М., Справочник по математическим таблицам (дополнение). Изд-во АН СССР, 1959. r , г См. также [4.6], [5.2], [7:1], [7.5], [8.6], [8.7]. [10.4], [13.16].
УКАЗАТЕЛЬ ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ Ниже"ук азаны главы или пункты, в которых вводятся или определяются обозначе- ния, используемые в книге Скаляры и матрицы ' а, Р ... скалярные (числовые) величины — главы 5, 6, 12 — 16. а комплексно сопряженная с а 1.3-2 | а | абсолютная величина а, модуль а« 1.3-2 А, В, ... ; А — матрицы (чаще всего _ квадратные) 13.2-1 A матрица комплексно сопряжен- ная с А 13.3-1 А' == [<*£/] матрица, транспонированная с A J3.3-1 A* =i матрица эрмитово сопряжен- ная с А 13.3-1 xzs матрица-столбец 13.2-1 ^'^fe^fe ^2» •••) матрица-строка 13.2-1 Векторы и координаты векторов а, Ь, ... и х, у, ... векторы 5.2-1,- 12.4-Ь 14.2-1, 16.2-1 -г и единичный вектор 5.2-5, 14.2-5, 16.8-1 i, j, к правый прямоугольный декартов базис 5.-2.-3 е-, е1 базисные векторы 6.3-3, 14.2-4, 16.6-1 Ь и Uj. единичные базисные векторы 6.3-2, 16.8-3; ортогональные единичные базис- ные векторы 6.4-1, 14.7-4 г « Я 4- ы 4- Л ч Радиусы-векторы в — т т 1 трехмерном евклидо- Q == gi 4- т] j 4~ £k J в ом пространстве гла- вы 5, 15, 17 а ~ о^е! 4- а2е2 + ... вектор, представлен- ный в виде линейной формы относи- тельно базисных векторов 14.2-4 а ~ 4- a2u2 4-... вектор, выраженный через ортонормированный базис векто- •роа 14.7-4 а = а*ел = агег +a2es + ... + апе.п контра- вариантный вектор (функция) с коорди- натами 6.3-3, 16.6-1 а “ ak^k ~ Giel + а2&2 + ... + кова- риантный вектор (функция) с коорди- натами ak 6.3-3, 16.6-1 а = aJu1 4- o2u24- ... 4" апип вектор, выра- женный посредством физических коор- динат ak 6.3-2, 16.8-3 a«b скалярное произведение векторов а и Ь 5.2-6, 16.8-1 { a f == (а-ар/2 абсолютная величина (нор- ма) а 5.2-5, 16.8-1 (а, Ь) общее скалярное произведение 14.2-6 f|a|| = (a, а)1/2 норма а 14.2-5, 14.2-7 (/, h) скалярное, произведение функций 15.2-1 II f II = (Л f)1/2 норма функции 15.2-1 axb векторное произведение векторов а, Ь, 5.2-7, 16.8-4 [abc] смешанное произведение векторов 5.2-8, 16.8-4. См. также 16.1-3 по поводу немых индексных обозначений и 14.7-7 для сравнения обозначений. Линейные операторы и тензоры А, В ... линейные операторы — глав ы 14, 15 и 20 или тензоры диадика.—глава 16 L, В линейные дифференциальные опера- торы 9.3-1, 10.4-2, 15.2-7, 15.4-1 К линейный интегральный оператор 15.3-1 А', В', ; L', К', транспонированные к А, В, ... ; L, К 14.4.-6, 15.3-1, 15.4-3 А*, В*, .'. ; L*, К* сопряженные и эрми- тово сопряженные с А, В, ... ; L, К . 14.4-3, 15.4-3 . D оператор дифференцирования 20.4-2 V (набла) векторный дифференциальный оператор 5.5-2, 16.10-7 = V*V оператор Лапласа 5.5-5, 16.10-7 Е оператор смещения 20.4-2 V оператор восходящих разностей 20.4-2 Д оператор нисходящих разностей 20.4-2 Латинский алфавит arcsin г, arccos z, arctg г обратные тригоно- метрические функции Арксинус, аркко- синус, арктангенс 21.2-4 arg z аргумент z ft 3-2 arsh 2, arch 2, arth z обратные гиперболи- ческие функции ареасинус, ареакоси* нус, ареатангенс 21.2-8 В&; В^ числа Бернулли 21.5-2 В^ многочлены Бернулли 21.5-2 berm 2, beim г 21.8-7 С (s, у) цена (риск) действия системы 19.9.1 С® (х) многочлена Гегенбауэра 21.7-8 С” или (™) биномиальные коэффициенты 21.5-1 С (х) интеграл Френеля 21.3-2 ch z гиперболический косинус 21.2-5 Ci х интегральный косинус 21.3-1
802 УКАЗАТЕЛЬ ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ' cn z (косинус амплитуды) эллиптическая функция 21.6-7 cos 2 косинус 21.2-1 ch*'1 z гиперболический ареакосинус (arch г) 21.2-8 dn z (дельта амплитуды) эллиптическая функция 21.6-7 det определитель 1.5-1 —±5якобиан.4.5-6 й (V Л2, ... , хп) erf х функция ошибок 21.3-2 erf с х дополнительная функция ошибок 21.3-2 и Е (ср, k) нормальный эллиптический интег- рал Лежандра второго рода 21.6-6 Ei л:, Eix экспоненциальный интеграл 21.3-1 Е (k) полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра второго рода 21.6-6 <f) среднее по времени (случайной величины) 18.10-7 [/] . {Г>т среднее по конечному промежут- ку времени^Ю.в-! F (а> b; с; z) == zFi (а» b‘t с* г) гипергеомет- рнческая функция 9.3.9, 9.3-11 F (а; с\ z) sb tFt (а; с; z) вырожденная гипергеометрическая функция 9.3-10, 9.3-11 F (ср, k) нормальный эллиптический интег- рал Лежандра первого рода 21.6-6 F* (у) — F % (е^) дискретное преобразование г Лапласа 8.7-3 г? [/(01 преобразование Фурье 4.11-3 & с (01» &s [f (01 косинус- и синус-пре- образованне Фурье 4.11-3 ^хх ^ху спектральные плотности по множеству наблюдений 18.10-6 hj-1) (z), (z) сферические функции Бес- селя третьего рода 21.8-8 ft (£) функция влияния 19.8-2 Е (гео) частотные характеристики 9.4-7 Е (s) передаточные функции 9.4-7 Еп (z) многочлены Эрмита 21.7-1 Е^ ФУНКЛИИ Ганкеля 21.8-1 herm ^eim г 21'8’7 i == V—1 мнимая единицы 1.3-1 Jm (z) модифицированная функция Бесселя 21.8-6 7^ (р, у) отношение неполной бета-функ- ции 21.4-5 Im z мнимая часть z 1.3-1 inf х точная нижняя грань 4.3-3 zx (/) реализация случайного процесса 19.8-4 j - (z) сферическая функция Бесселя перво- го рода 21.8-8 J m Функция Бесселя первого рода 21.8-1 К (А) полный эллиптический интеграл Ле- жандра первого рода 21.8-1 (г) модифицированная функция Ганке- ля 21.8-6 Кхх (‘r ‘J- Кху *г) автокорреляцией- ная и взаимная корреляционная функ--. ции соответственно 18.9-3 her г, kef г 21.8-7 //* щ Lz класс действительных или комплексных квадратично интегрируемых функций 15.2-1 Ln (z) многочлены Лагерра 21.7-1 (х), L^1) (х) обобщенные многочлены Лагерра 21.7-5 L [f (0] = /-[/ (О, s] преобразование Лап- ласа 8.2-1 li (z) интегральный логарифм 21.3-1 lim z предел 4.4-1 1. i. m. х предел в среднем 15.2-2 logfc 2 логарифм 1.2-3, 21.2-10 М |х| = g математическое ожидание 18.3-8, 18.4-4, 18.4-8, 18.9-2 max х, min х максимальное и минимальное значения 4.3-3 Е m цилиндрическая функция Неймана второго рода 21.8-1 nl факториал 1.2-4 Пу (г) сферическая функция Бесселя второ- го рода 21.8-8 О [£ (*)], о [£ (х)] асимптотические соотно- шения 4.4-3 Р п (z) многочлены Лежандра первого рода, 21.7-1 Р™ (z) присоединенные функции Лежандра первого рода 21.8-10 (z) функции Лежандра второго рода 21.7-3 Jfcp группа трехмерных вращений- отражений и вращений соответственно 14.10-8. (с), Л (т) соответственно автркорре- XX Ху ляциониая й взаимная корреляционная функция по времени 18.10-8 •Wr У- Rw('r У’ Rw(T) автокорреляционные и взаимные кор- реляционные функции по множеству наблюдений 18.9-3, 18.10-2 Re z действительная часть z 1.3-1 Res f (а) вычет функции f (z) в точке г = « 7.7Л S (х) интеграл Френеля 21.3-2 числа Стирлинга 21.5-1- sgn х функция-сигнум (знак) 21.9-1 Si (х) интегральный синус 21.3-1 sin z синус 21.2-1 sin"1 г арксинус (arcsin z) 21.2-4 sin л/ sine t = — 18.11-2 ST/ S xx (v), $ху (v), спектральные плотно’сти по множеству наблюдений 18.1(H) sh z гиперболический синус 21.2-5 sh-1 z гиперболический ареасинус (arsh z) 21.2-8 sn z (синус амплитуды) эллиптическая функ- ция 21.6-7 sup х точная верхняя граница 4.3-3 Т (z) многочлен Чебышева первого рода 21.7-1 tgz тангенс 21.2-1 tg—1 z арктангенс (arctg z) 21.2-4 . th z гиперболический тангенс 21.2-5 th"1 z гиперболический ареатангенс (arth z) 21.2-8 Тг (А) или Sp (А) след матрицы 13.2-7
УКАЗАТЕЛЬ ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 803 U п (2) функции Чебышева второго рода .. 21.7-4 -U векторное пространство 12.4-1 * = - (*i -}- х2 + ... хп) выборочное сред- нее значецие 19.2-3 ^int 0®) обобщенное преобразование Фурье 18.10-10 УI (#, <р) сферическая поверхностная гар- моника 21.8-12 z z] = Z% (2) Z — преобразование пос- ледовательности 8.7-3. Zq циклический индекс группы G 18.7-3 Zm (z) цилиндрическая функция 21.8-1 Греческий алфавит В (р, q) бета-функция 21.4-4 JB„(p, Q) неполная бета-функция 21.4-5 Г (2) гамма-фуикция 21.4-1 (р) неполная гамма-функция 21.4-5 (V) односторонняя спектральная плот- ность по множеству наблюдений 18.10-6 6^ — символ кронекера 13.2-3, 16.5-2 6 (х), 6+ (х), б_ (х) импульсные функции 21.9-2 С (xt |) многомерная дельта-функция 21.9-7 нисходящие разности 20.4-1 восходящие разности 20.4-1 t (z) дзета-функция Вейерштрасса 21.6-3 фч (2) тэта-функция Якоби 21.6-8 центральное среднее 20.4-1 &хх рху нормированные корреляци- онные функции 18.10-2 o(z) сигма-функция Вейерштрасса 21.6-3 (®) обобщенная спектральная функ- ция 18.10-10 Фху соответственно спектраль- ная и взаимная спектральная плотнос- ти, по множеству наблюдений 18.10-3 %х(?) характеристическая функция 18.4-10 *(„) («Г «J. ‘г> : «„• *п) n-мерная характеристическая функция 18.9-3 ф (2) пси-функция 21.4-3 ^лгл: ^ху соответственно спектраль- ная и взаимная спектральная плотнос- ти по времени 18.10-8 (z) — функция Вейерштрасса 21.6-2 Специальные математические знаки S у {t) функция скачка 20.4-5 © прямая сумма 12.7-5, 13.2-9, 14.8-2* 14.9-2 ® прямое произведение 12.7-2* 13.2-10 П логическое умножение 12.8-1, 18.2-1 U логическое сложение 12.8-1, 18.2-1 Ei U — событие Ег или Е2 12.8-6 Ei П Е2 — событие Et и Ег 12.8-6 Е — событие не Е 12,8-6 I—достоверное событие 12.8-6 0 — невозможное событие 12.8-6 X— символ свертки 4.6-18 п У] суммирование 1.2-5 k=m п П произведение 1.2-5 k~m — символ равенства 1.1-3, 12.1-3 = символ тождества 1.1-4 приближенно равно асимптотически равно 4.4-3 <5 >. 5С.- символы неравенства 1.1-5* 12.6-1 <= принадлежность элемента 4.3-2 Э так, что [ц] целая часть ц (наибольшее целое число* не превосходящее р)
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (Цифры указывают номера пунктов, например 14.2-5 означает п. 5 из § 2 гл. 14) А Абсолютная величина вектора 5.2-5; 14.2-5 — — действительного числа 1.1-6, Абсцисса 2.1-2 — абсолютной сходимости преобразования Лапласа 8.2-2 Автоморфизм 12.1-6 — группы внутренний 12.2-9 Аксиома координатная 2.1-2 — непрерывности 2.1-2 — — .Кантора — Дедекинда 4.3-1 Аксиомы вероятностей 18.2-2 — определяющие 12.1-1 — Пеано 1.1-2 Алгебра 12.1-2 .— Дулева 12.8-1 — — значений истинности 12.8-6 — гипотетических событий 12.8-6 — классов 12.8-4 — линейная ассоциативная 12.4-2 — — и ад кольцом 12.4-2 — меры 12.8-8 — операторов линейная 14.4-2 — с делением 12.4-2, 14.4-2 — событий 12.8-5, 18.2-1 — утверждений 12.8-6 Алгебраическая кратность собственного значения 13.4-3 Алгебраическое дополнение 1.5-2 Алгоритм Герона 20.2-2 — разделенных разностей 20.2-5 Амплитуда 4.11-4, 21.6-7 — комплексная 9.4-6 Аналитическая функция матрицы 13.2-12 Аналитическое продолжение функции 7.8-1 Аналогии Дел амбр а н Гаусса 1.12-4 — Непера 1.12-4 Ангармоническое отношение 7.9-2 Аппроксимация импульсных функций 21.9-4 — Никольсона 20.9-8 — см. также Приближение — функции 15.2-6 Аргумент комплексного числа 1.3-2 — — —, главное значение 1.3-2 Асимметрия табл. 18.3-1, 19.2-4 Асимптота 17.7-6 — гиперболы 2.5-2 Асимптотические соотношения между функ- циями 4.4-3 Астроида 2.6-1 Аффинор 16.9-2 — локальный вектора табл. 16.10-1 Б Бавйс 5.2-2 — дуальный взаимный 14.7-6 — линейного многообразия 14.2-4 — локальный 6.3-1, 17.3-8 Базис ортонормированный 14.7-4, 15.2-4 Базисная переменная 11.4-2 Базисные векторы 3.1-5 Базисы взаимные 16.7-3 — — риманова пространства 16.8-2 Белый шум 18.11-1 Бесконечное произведение 4.8-7 Бесконечный ряд 4.8-1 Бета-.распределение вероятностей 18.8-5 Бета-функция неполная 21.4-5 ш — полная 21.4-4 Бивектор 16.5-4 Билинейная форма 13.5-1 Бином Ньютона 1.4-1 Биномиальные коэффициенты 1.4-1, 21.5-1# табл. 18.7-1 — —, приближенные формулы 21.5-4 — —, свойства 21.5-1 — —, теорема сложения 21.5-1 Бинормаль 17.2-2, 17.2-4 Биссектриса 1.11-3 Борелевское множество 4.6-14 Брахистохрона 11.6-1 Булева алгебра 4.3-2, 12.8-S — — вполне аддитивная 12.8-8 — функция 12.8-2 — ’—, канонический вид 12.8-2 Булевы алгебры изоморфные 12-8-5 В Валентность тензора 16.2-1 Вариационное исчисление 11.5-2 Вариация 11.4-1- Вектор 5.1, 12.4-1 — аксиальный 16.8-4 — бинормали единичный 17.2-2, 17.2-3 —, выражение через векторы локального базиса 16.6-1 — Гиббса 14.10-3 — главной нормали единичный 17.2-2, 17.2-3 — Дарбу 17.2-3 — диадика 16.9-2 — единичный 5.2-5, 14.2-8, 16.8-1 — — локальный 16.8-3 — инфинитезимального перемещения 16.2-2 —. касательной единичный 17.2-2, 17.2-3, 17.4-2 — ковариантный 16.2-1 — — абсолютный 16.2-1 — контравариантный 16.2-1 — — абсолютный 16.2-1 — Кривизны 17.2-2 — — геодезической 17.3-4 — — нормальной 17.3-4 — — первый 17.4-2 — — тангенциальной 17.3-4 — , матричное представление 14.5-2
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 805 Вектор нормали единичный 17.3-2 — нормальный плоскости 3.2-1 — нулевой 5.2-1 — площади 3.1-10 — площадки 5.4-6 — полярный 15.8-4 —, представление комплексными матрица- ми 14.10-4 — случайный многомерный 18.4-1 18.4-7 — собственный 14.8-5 — сопряженный 11.8-4 — состояния 11.8-4 — угловой скорости 5.3-2 — управления 11.8-4 Векторная линия 5.4-3 — сумма 5.2-1 — функция линейная 14.3-1 Векторное двойное произведение трех векторов 5.2-9 — поле 5.4-3 — произведение двух векторов 5.2-7 — пространство 14.2-1 — — бесконечномерное 14.2-4 — — евклидово 14.2-7 , линейная размерность 14.2-4 — — линейное 14.2-1 Векторное пространство линейное над кольцом 12.4-1 — —, матричное представление 14.2-4 — — нормированное 14.2-5 — — полное 14.2-7 — — предгильбертово 14.2-6 — — унитарное 14.2-6, 14.2-7 — — эрмитово 14.2-6 Вектор ио-скал яр ное произведение трех векторов 5.2-8 Векторные 'уравнения 5.2-11 — функции поля 5.5-1 Векторный анализ 5.1-1 — Элемент линии 5.4-4 — — поверхности 5.4-6 Вектор-сумма функций 15.2-1 Вектор-функция 5.3-1 —. правила дифференцирования 5.3-2 Векторы ассоциированные 16.7-2 — базисные 5.2-2, 6.3-1 — — локальные 6.3-2 — — — контравариантные 16.6-1 — линейно зависимые 5.2-2, 5.2-7 — — независимые 5.2-2 — ортогональные 14.7-3 — . условие перпендикулярности 5.2-6 Величина случайная см. Случайная вели- чина Вероятности событий, правило умножения 18.2-2 Вероятностная функция 18.2-7 Вероятность неосуществления события 18.2-5 — осуществления т 'событий из А/ 18.2-5 — — хотя бы одного события 18.2-5 — события 18.1-1, 18-2-2 — — апостериорная 18.2-6 — — априорная 18.2-6 — — сложного 18.7-2 — — условная 18.2-2 — совмещения событий 18.2-2, 18.2-5 Вершина конуса 3.1-15 Вершины кривой второго порядка 2.4-7 Вес конфигурации 18.7-3 — объекта 18.7-3 Ветвь функции 7.4-1 Возмущение 10.2-7, 13.6-4 — первого порядка 13.6-4 Волна приходящая 15.6-10 — синусоидальная круговая 10.4-8 Волна синусоидальная круговая сфериче- скаяЛО.4-8 — — стоячая 10.4-8 — — цилиндрическая 10.4-8 — уходящая 15.6-10 Волны 10.4-1 — затухающие *10.4-1 Восьмиугольник 1.10-1 Вращение 14.10-1 Вращение вокруг осей координат 14.10-5 — двумерное 14.10-8 — на бесконечно малый угол 14.10-7 — несобственное 14.10-1 — , представление комплексными матрица- ми 14.10-4 — с отражением 14.10-1 Время усреднения 19.8-2 Вронскиан 9.3-2 Выборка без возвращения табл. 18.7-2 — с возвращением, табл, 18.7-2 — случайная 19.7-2 — — многомерная 19.7-4 Выборки из нормальной совокупности 10.5-3 Выборочная дисперсия 19.2-4, 19.7-2 — медиана 19.2-2 — средняя квадратичная сопряженности признаков 19.7-5 — функция 18.9-1 Выборочное значение 18.9-1 — —. представление рядом импульсных функций 20.4-6 — —, — ступенчатыми функциями 20.4-6 — среднее 19.7-2, 19.8-4 — — при группированных данных 19.2-3 — — случайной величины 19.2-3 — —, упрощенное вычисление 19.2-5 — — функции случайной величины 19.2-3 — стандартное отклонение 19.2-4 Выборочный интервал 20.4-6 — квантиль 19.2-2 — квартиль 19.2-2 — коэффициент корреляции 19.7-2 — — регрессии 19.7-2 — момент 18.9-1 — — начальный 19.2-4 — — центральный 19.2-4 Вырождение особой точки 9.3-10 Высота 1.11-3 а Вычет функции 7.7-1 Вычисление значений многочлена 20.2-3 Г Гамма-распределение вероятностей 18.8-5 Гамма-функция 21.4-1 —, асимптотическое разложение Стирлин- га 21.4-2 — —, бесконечное произведение Вейер- штрасса 21.4-1 —. интегральное представление Гаикеля 21.4-1 —, интегральные представления 21.4-1 —, логарифмическая производная 21.4-3 — неполная 21.4-5 —, определение Эйлера 21.4-1 —, теорема умножения Гаусса 21.4-1 —, функциональные уравнения 21.4-1 Гамильтониан. 11.8-4 Гармоника сферическая зональная 10.4-3 — — поверхностная степени / 10.4-3 — — векториальная 10.4-3 — — тессеральная 10.4-3 Гармоника цилиндрическая 10.4-3 Гармоническая компонента 4.11-4
с06 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ / Гармонический анализ периодических функ- ций 4.11-4 — — численный 20.6-6 Генеральная совокупность 19.1-2 Генератор сравнения мультипликативный 20.10-4 — — смешанный 20.10-4 Геодезическая линия 17.3-12 — окружность 17.3-13 — параллель 17.3-13 Гильбертово пространство 14.2-7 Гипербола 2.4-8, 2.4-9 — , построение 2.5-3 — , — касательных и нормалей 2.5-3 — равносторонняя 2.5-2 Гиперболоид двуполостный 3.5-7,- 3.5-Ю — одиополостный 3.5-7, 3.5-10 Гипергеометр нческая функция см. Функ- ция гипер геометрическая z Гинер геометрические многочлены см. Мно- гочлены гипергеометрические Гипергеометрический ряд см. Ряд гипер- геометрический Гипотеза конкурирующая 19.9-3 — некоррелированности величин 19.7-4 — нулевая 19.9-Зх — статистическая 19.6-1 Гипоциклоида 2.6-2 Главная линейная часть приращения функ- ции 4.5-3 — ось кривой второго порядка 2.4-6 — — поверхности второго порядка 3.5-6 — плоскость поверхности второго порядка ' 3.5-6 Главные направления кривой второго по- рядка 2.4-7 Гомеоморфизм 12.5-1 Гомоморфизм 12.2-9 Градиент вектора 16.10-7, 16.10-11 — поверхностный 5.6-2 — скаляра 16.2-2, 16.10-7 — скалярной функции точки 5.5-1 Граница множества 12.5-1 _ — — абсолютная 4.3-3 — — верхняя 4.3-3 — — нижняя 4.3-3 — — точная 4.3-3 — области 4.3-6 — функции верхняя 4.3-3 — — нижняя 4.3-3 — — точная 4.3-3 Границы допуска 19.6-4 График функции 4.2-1, 12.1-4 Группа 12.2-1 — абелева 12.2-1 — аддитивная 12.2-10 — бесконечная 12.2-1 Группа вращений двумерных 14.10-8 — вращений-отражений 14.10-8 — вращений трехмерных 14.10-8 — вращений-отражений трехмерных ч 14.10-8 знакопеременная степени п 12.2-8 — коммутативная 12.2-1 — конечная 12.2-1 — линейная полная (ПЛГ) 14.10-8 — по сложению 12.2-10 — простая 12.2-5 — разрешимая 12.2-6 — симметрическая степени п 12.2-8 — унитарная специальная (СУГ) 14.10-8 — — унимодулярная двумерная 14.10-8 — циклическая 12.2-3 Группированные данные 19.2-2 Д Двойное отношение инвариантное 7.9-2 Двойственность 12.8-1 Двойственные вадачи линейного програм- мирования 11.4-11 Действительная ось 1.3-2 — часть комплексного числа 1.3-1 Действительные числа, свойства 1.1-2 Декартов лист 2.6-1 Деление левое, правое 12.2-1 — многочленов 1.7-2 — отрезка 2.1-4 Делители многочлена 1.7-1 Делитель многочленов общий 1.7-3 — нормальный 12.2-5 — нуля, левый, правый 12.3-1 Дельта амплитуды 21.6-7 Дельта-объект ранга 2г 16.5-2 Дельта-окрестность. 4.3-5 Дельта-символ Кроиекера ранга 2 16.5-2 Дельта-функция 21.9-2 — многомерная 21.9-7 Десятиугольник 1.10-11 Детектирование функции 8.3-2 Детерминант 1.5-1 Дефект треугольника 17.3-13 Дециль 18.3-3 Диагонализация матриц 14.8-6 Диаграмма ромбовидная 20.5-3 — Фрезера 20.5-3 Диаграммы Венна 12.8-5 — Эйлера 12.8-5 Диада 14.5-4, 16.9-1 Диадиое произведение 16.9-1 Диаметр кривой второго порядка 2.4-6 — множества 4.6-11 —, сопряженный семейству плоскостей 3.5-5 Диаметральная плоскость поверхности вто- рого порядка 3.5-5 Диаметры (сопряженные) поверхиостн вто- рого порядка 3.5-5 — — центральной кривой второго порядка 2.4-6 Дивергенция вектора 16.10-7 — векторной функции точки 5.5-1 — поверхностная 5.6-2 — тензора ранга 2 16.10-11 Динамическое программирование 11.8-6, 11.9- 1 Директриса 2.4-9 Дискретное преобразование Лапласа 8.7-3 Дискриминант алгебраического уравнения 1.6-5 — общего уравнения второй степени 2.4-2, 3.5-2 Дискриминантная кривая 9.2-2 Дисперсионный анализ 19.6-6 — — для группировки по двум признакам 19.6-6 Дисперсия между столбцами 19.6-6 — — строками 19.6-6 — - обобщенная 18.4-8 — , ^обусловленная флуктуацией внутри строк и столбцов 19.6-6 — остаточная 18.4-9 — случайной величины 18.3-3 — суммарная 19.6-6 — Суммы случайных величин 18.5-6 — условная 18.4*5, 18.4-8 Дифференциал абсолютный вектора 16.10-1 — — относительного скаляра 16.10-2 — — — тензора 16.10-2 — — скаляра 16.10-1 . — — тензора 16.10-1
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 807 ' i Дифференциал дури в полярных коорди- натах 17.1-4 — независимого переменного 4.5=3 — относительный скаляра 16.10-1 — полный векторной функции точки 5.5-3 — — скалярной функции точки 5.5-3 — функции 4.5-3 — функции второй# третий, ... 4.5-3 — — первый 4.5-3 Дифференциальная форма квадратичная 6.2-3 Дифференциальное исчисление 4.1-1 _ — уравнение Бернулли 9.2-4 — — Бесселя 21.8-1 — — — модифицированное 21.8-6 — — неоднородное 9.3-3 — — Ван дер Поля 9.5-4, 9.5-5 — — вырожденной ги пер гео метрической функции Куммера 9.3-10 — — ги пер гео метрическое Гаусса 9.3-9 — — для многочленов Гегенбауэра 21.7-8 — — — — Лагерра 21.7-5 Дифференциальное уравнение для много- членов Чебышева 21.7=4 — присоединенных функций Ле- жандра 21.8-10 — — — сферических функций Бесселя 21.8-8 — — — функций Эрмита 21.7=6 — — дополнительное 15.4-2 — — Клеро 9.2-4 — — Лапласа 15.6-1 — — Лежандра 9.3-3, 21.7-3 — — линейное в комплексной области 9.3-5, 9.3-6, 9.3-7 — — — второго порядка 9.8-8 — — —# метод вариации постоянных 9.3-3 — — — неоднородное с постоянными ко- эффициентами 9.4-2 — — —, нулевое (тривиальное) решение 9.3=1 — — — однородное, понижение порядка 9.3-2 — — — — с постоянными коэффициента- ми 9.4-1 — — —, операторный метод решения 9.4-4 — — —, особые точки 9.3-1 — — — первого порядка 9.2-4 — — — порядка г 9.3-1 — — — приведенное 9.3-1 — — —, принцип наложения 9.3-1 — — —, — суперпозиции 9.3-1 — — — устойчивое 9.4-4 — — —, фундаментальная система реше- ний 9.3-2 — —, метод последовательных приближе- ний Пикара 9.2-5 — — нелинейное 9.5-2 — — неполное 9.1-5 — — обыкновенное 9.1-2 — — однородное 9.2-4 — —, Преобразование контактное 9.2-3 — —, — Лежандра 9.2-3 — —, — точечное 2.2-3 — — приведенное 15.4-2 — — Пуассона 15.6-1 — — Пфаффа 9.6-1 — - — — вполне интегрируемое 9.6-2 — —, разложение решения в ряд Тейлора 9; 2-5 — —, решение с помощью функций Бес- селя 21.8-5 — — Рнккати общее 9.2-4 — — — специальное 9.2=4 Дифференциальное уравнение Риккати Q разделяющимися переменными 9.2-4 — — с частными производными см. Урав- нение с частными производными — —, теорема существования и единст- венности решения 9.2=1 — — устойчивое 9.4-4 — — Штурма—Лиувилля 15.4-8 — — — — многомерное 15.4-9 Дифференциальные инварианты 16.10-7 — — тензора ранга 2 16.10-11 — параметры Бельтрами 17.3-7 Дифференциальный оператор набла 16.10-7 Дифференцирование вектор-функции 5.3-2 — ковариантное 16.10=4 . — матриц 13.2-11 — по параметру 4.6-1 — случайных функций 18.9=4 — функции 4.5-1 — функциональных рядов 4.8-4 — численное 20.7-1 — — по отрезку ряда Фурье 20.7-1 Длина, вектора 5.2-5, 16.8-1 — дуги 4.6-9, 5.4-4, 17.4-2 — интервала, обобщение 4.8-14 — касательной к окружности 2.5-1 Доверительная вероятность 19.5-5 — область 19.6-5 Доверительный интервал 19.6=5 Додекаэдр 1.10=6 Долгота 3.1-6 Дополнение А до В 12.8-1 — множества 4.3-2 — события 18.2-1 — элемента 12.8-1 Допустимое решение см. Решение допусти- мое Дробь непрерывная см. Непрерывная дробь — элементарная 1.7-4 Дуга жорданова 7.2-3 — простая ЗЛ-13 — регулярная 3.1-13, 17.2-1, 17.4=2 — спрямляемая 4.6-9 Е Единица 12.2=1 « 3 Задача Больца 11.6-6 — вариационная, методы решения 11.6-4# 11.6-5, 11.6-9, 11.7-1, 11.7-2 — взаимно сопряженная 15.4-3 — Гурса 10.3-4 — Дирихле 15.6-2 — — для сферы 10.4-9 — изопери метрическая 11.6-3 — Коши 9.1-2, 10.2-2, 10.2-3 — — корректная 10.3-5 — —, метод решения Милна «предсказа- ние коррекция» 20.8-3 — —, — — Эйлера 20.8-3 — , методы решения многошаговые 20.8-3, 20.8-4 — —, — — одношаговые 20.8-2 —- —•, — — Рунге—Кутта 20.8-2, 20.8-4,, 20.8-5, 20.8-6, 20.8-7/ табл. 20.8-1 — —, — — типа «предсказание — кор- рекция» 20.8-3, табл. 20.8-2 — —, схемы решения интерполяцией ио- итерационные 20.8-3 — —, — — разностные 20.8-3 — — — экстраполяционные 20.8=3 — — физически реализуемая 9.4-3
€08 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Задача Коши (г -ф 1)-я 9.3-4 — краевая см. Краевая задача — линейного программирования И.4-1 — — — в стандартной форме 11.4-1 — — основная 11.4-1 Задача Майера 11.6-6 — навигационная Цермело 11.8-3 — начальная-9.1-2 — —, метод решения одношаговый 20.8-2 — —t — — Рунге—Кутта 20.8-2 — Неймана 15.6-2 — нелинейного программирования 11.4-3 — о встрече за минимальное время 11.8-3 о диффузии, интегральное решение Пуассона 15.5-3 '— о переходе ракеты с одной орбиты на другую 11.8-3 — о собственных значениях дискретная 15.4-11 — — — — для линейньТх дифференциаль- ных уравнений 15.4-5 — — — — для эрмитовых операторов 15.5-2. — — — — обобщенная 14.8-7 — _ — — эрмитова 15.4-6, 15.4-7 — оптим-ального управления 11.8-1 — Плато 17.3-6 — регулирования по быстродействию 11.8-3 — с начальными условиями 10.2-2, 10.2-4 — управления 11.8-1 — Штурма—Лиувилля для уравнений с частными производными второго поряд- ка 15.4-9 — — — о собственных значениях 15.4-8 Задачи линейного программирования двой- Л ствеиные 11.4-1 • на условный экстремум 20.2-7 — управления шаговые 11.9-1 Закон ассоциативный 12.2-1 — — для умножения 12.3-1 — больших чисел 18.6-5 — дистрибутивный 12.3-1 — инерции квадратичных форм 13.5-4 — — эрмитовых форм 13.5-4 — исключенного третьего 12.8-6 — малых чисел 18.8-1 — сложения дисперсий 18.5-6 Законы де Моргана 12.8-1 Замкнутость 12.2-1 — по отношению к умножению 12.3-1 Замыкание множества 12.5-1 Затухание апериодическое 9.4-1 — критическое 9.4-1 Звено непрерывной дроби 4.8-8 Знаменатель прогрессии 1.2-7 Значение функции наибольшее 4.3-3, — — наименьшее 4.3-3 И Игра безобидная 11.4-4 — конечная двух партнеров с нулевой сум- мой 11.4-4 — с чистой стратегией 11.4-4 — симметричная 11.4-4 — со смешанной стратегией 11.4-4 Игрок максимизирующий 11.4-4 — минимизирующий 11.4-4 Идеал 12.3-2 — двусторонний 12.3-3 — левый 12.3-2 — правый 12.8-2 Излучение диполя 10,4-8 — точечного источника 10.4-8 Изображение 8.2-1 Изображение, асимптотическое разложе- ние 8.4-9 Изоклина 9.2-2,9.5-2 Изометрия 12.5-2 Изоморфизм 12.1-6 — булевых алгебр 12.8-5 Икосаэдр 1.10-6 Импульс полусинусоидальныЙ 4.11-4 — прямоугольный 4.11-4 — трапецеидальный симметричный 4.11-4 — треугольный симметричный 4.11-4 Инвариант 14.1-4, 16.2-1 — изгибания 17.3-8 скалярный 17.4-5 Инвариантность относительно преобразо- вания координат 14.1-4 — преобразований 12.1-5 Инварианты кривой второго порядка 2.4-2 — общего уравнения второй степени 3.5-2 — топологические 12.5-1 — функции Вейерштрасса 21.6-2 Инверсия точки 7.9-2 Индекс группы циклический 18.7-3 — замкнутой кривой 9.5-3 — изолированной особой точки 9.5-3 — подгруппы 12.2-2 — свободный 16.1-3 Индексные обозначения 16.1-3 Интеграл вероятностей 18.8-3, 21.3-2 — — дополнительный 21.3-2 — Дирихле 4.11-6 — дифференциального уравнения с част- ными производными общий, частный, особый, полней 10.1-2,10.2-3 — Дюамеля 9.4-3 — живых сил 9.5-6 — Зоммерфельда 21.8-2 — Лапласа 21.7-7 — Лебега кратный 4.6-15 — — от неограниченной функции 4.6-15 — — от ограниченной функции 4.6-15 — — по неограниченным интервалам 4.6-15 — —, свойства 4.6-15 — —, сравнение с интегралом Римана 4.6-15 — —> условие существования 4.6-15 — Лебега—Стилтьеса 4.6-17 — несобственный 4.6-2 — —. признаки сходимости 4.9-3 — особый 9.1-2, 9.2-2 — — по Коши, главные значения 4.6-2 — по объему 4.6-12 — — —, замена переменных 4.6-13 — по поверхности 4.6-12 — — —, замена переменных 4.6-13 ’ — Римана 4.6-1, 4.6-1,5 — Римана—Стилтьеса 4.6-17 — случайной функции 18.9-4 — Сонина—Шлефли 21.8-2 — Стилтьеса 4.6-17 — стохастический 18.9-4 — типа Коши 7.5-1 — Фейера 4.11-6 — Фурье 4.11-3 — Шварца—Кристоффеля 7.9-4 — Шлефли 21.7-7 — Эйлера второго рода 21.4-1 — — первого рода 21.4-4 — эллиптический см. Эллиптический ин- теграл Интегралы Ломмеля 21.8-2 — Френеля 21.3-2 Интегральная кривая 9.1-2 — поверхность 10.2-1 — показательная функция 21.3-1
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 809 Интегральная сумма ^.6-1 — форма квадратичная действительная 15.3-6 — — эрмитова 15.3-6 — — — неотрицательная 15.3-6 — — — отрицательно определенная 15.3-6 — — — положительно определенная 15.3-6 Интегральное исчисление 4.1-1 — преобразование Ганкеля 8.6-4 — — единичное 15.3-1 — — конечное 8.7-1, 10.5-1, табл. 8.7-1 — — линейное 8.6-1,15.3-1 — — —, матричное представление 15:3-1 — — символическое 15.3-1 — — Фурье 4.11-3 — — — обратное 4.11-4 — — —, свойства 4.11-5 — — Фурье—Бесселя 9.6-4 — уравнение 15.3-2 — — Абеля 15.3-10 — — Вольтерра второго рода 15.3-10 — — — первого рода 15.3-10 — линейное неоднородное второго рода 15.3-3 — — — однородное второго рода 15.3-2 — — — первого рода 15.3-2 — — общее 15.3-2 — — однородное 15.3-2 — — с эрмитовым ядром 15.5-2 — — типа Вольтерра 15.3-2 — — — Фредгольма 15.3-2 ——.Фредгольма линейное второго рода 15.3-7, 15.3-8.. — — — — первого рода 15.3-9 — — — однородное второго рода 15.3-2 Интегральные суммы Лебега 4.6-15 — теоремы 5.6-2, 16.10-11 — уравнения, численные методы решения 20.8-5 Интегральный косинус 21.3-1 — логарифм 21.3-1 — "синус 21.3-1 Интегрирование 4.6-6 — вектор-функцим 5.3-3 — дифференциальных уравнений 9.1-2 — многочленов 4.6-6 — неравенств 4.6-1 — по частям 4.6-1, 4.6-6 — подстановкой 4.6-1 — рациональных функций 4.6-6 — случайных функций 18.9-4 — тензорных величин 16.10-9 — функционального ряда 4.8-4 — численное см. Численное интегрирова- ние элементарных дробей 4.6-6 Интегрирующий множитель 9.2-4 Интегро-дифференциальное уравнение 15.3-2 Интенсивность белого шума 18.11-i Интервал допуска 19.6-4 неограниченный открытый 4.3-4 ограниченный замкнутый 4.3-4 ~~ — открытый 4.3-4 — полуоткрытый 4.3-4 — частичный 4.3-4 Интерквартильная широта 18.3-3 Интерполяционная формула 20.5-1 — Бесселя 20.5-3 ___ — модифицированная 20.5-3 _ по двум переменным 20.5-6 — Лагранжа 20.5-2 Интерполяционная формула Ньютона 20.5-2 — — Стеффенсена 20.5-3 — — Стирлинга 20.5-3 — — Эверетта 20.5-3 — — п-го порядка 20.5-2 Интерполяционные формулы Ньютона 20.5-3 — — с центральными разностями 20.5*3 Интерполяционный многочлен 20.5-3 Интерполяция обратная 20.5-4 — — с помощью' обращения рядов 20.5г4 . — параболическая 20.5-2 — рациональными дробями 20.5-7 — с оптимальным выбором узлов 20.5-5 — тригонометрическая 20.6-6 — функций нескольких переменных 20.5-6 Испытание сложное 18.2-4 Испытания независимые 18.2-4 — — повторные 18.2-4 — по схеме Бернулли 18.7-4 Истинностная таблица 12.8-7 Итерационно-интерполяционный метод Эйт- кена 20.5-2 Итерационные методы численного решения уравнений 20.2-2, 20.2-4 — формулы численного решения уравне- ний 20.2-2 Итерационный процесс, оценка ошибки 20.2-2 — —, признак сходимости 20.2-2 — —, улучшение сходимости по Эйтке- ну—Стеффенсену 20.2-2 Итерация Зейделя 20.3-2 — простая 20.3-2 ч К Каноническая система уравнений Эйлера П.6-8 Карданов подвес 14.10-6 Кардинальное число 4.3-2 — — бесконечное 4.3-2 Кардиоида 2.6-1 Карта Карно 12.8-7 Касание л-го порядка 17.1-5, 17.2-6 Касательная к кривой плоской 17.1-1 — — — пространственной 17.2-2, 17.2-4 —, направляющие косинусы 17.2-4 — плоскость 17.2-2 — — к поверхности второго порядка 3.5-8 Квадрант 2.1-2 Квадрат 1./L0-1 Квадратичная форма 13.5-2 — — действительная 13.5-2 — — неопределенная 13.5-2 — — неотрицательная 13.5-2 — — неположительная 13.5-2 — — отрицательно определенная 13.5-2 — — — полуопределенная 13.5-2 — — поверхности вторая основная 17.3-5 — — — первая основная 17.3-3 — — положительно определенная 13.5-2 — — — полуопределенная 13.5-2 . — — симметрическая 13.5-2 — — характеристическая 2.4-5, 3.5-4 Квадратурная формула Гаусса 20.7-3 — — Гаусса—Чебышева 20.7-3 — — Грегори 20.7-2 — — двумерная 20.7-5 — — Лагерра 20.7-3 — — Чебышева 20.7-3 — — Эрмита 20.7-3 Квадратурные формулы Ньютона—Котеса, замкнутый тип 20.7-2
810 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Квадратурные формулы, построение и сравнение 20.7-4 Квадрика 3.5-1 Квадриполь 15.6-5 Квазилинеаризация 20.9-3 Квантиль порядка Р 18.3-3 Квартиль 18.3-3 Кватернион 12.4-2 х Класс вычетов по модулю 12.2-10 — геометрических объектов 16.1-4 — инвариантных объектов 16.1-4 распределений Кэптейна 19.3-2 — смежный левый, правый 12.2-4 — сопряженных элементов 12.2-5 Ковариация 18.4-4, 18.4-8 Колебание вынужденное 9.4-8 — затухающее 9.4-1 — свободное 9.4-8 — собственное 9;4-1 Колебания круглой мембраны свободные 10.4-9 — Упругие 10.4-1 — упругой струны свободные 10.4-9 ~ характеристические 10.4-9 Коллокация 20.9-9 Кольцо 12.3-1 — без делителей нуля 12.3-1 — коммутативное 12.3-1 — с единицей /2.3-1 Коммутатор операторов 14.4-2 Компакт 12.5-4 Комплексная плоскость 1.3-2, 7.2-4 Комплексные числа сопряженные 1.3-1 Комплексный контурный интеграл 7.2-5 Композиционный ряд 12.2-6 — фактор 12.2-6 Компонента 14.1-2 Компоненты вектора физические 16.8-3 — метрического тензора 6.2-3, 16.7-1 — момента мультиполя 15.6-5 — тензора 16.2-1 — — физические 16.8-3 — функции 16.1-3 Конические сечения 2.4-1 Контур 7.2-3 Конус 1.10-4, 3.1-15 — действительный 3.5-7, 3.5-10 — Монжа 10.2-1 Конфигурации эквивалентные по отноше- нию к группе 18.7-3 Конформное отображение 7.9-1 Конхоида Никомеда 2.6-1 Конъюнкция 15.4-3 Координата 14.1-2 Координатная гиперповерхность 17.4-2 — линия 6.2-2, 17.4-2 — поверхность 6^2-2 Координатные линии на поверхности 17.3-1 — плоскости 3.1-2 Координаты биполярные 6.5-10 — бицилиндрические 6.5-10 — вектора 5.2-2 — — декартовы прямоугольные 5.2-3 — — ковариантные 6.3-3 — — коитравариантные 6.3-3 — — физические 6.3-2 — геодезические нормальные 17.4-7 — — полярные 17.3-13 — декартовы 2.1-2, 3.1-2 — — прямоугольные, общее преобразова- ние переноса и поворота 3.1-12 — — —, одновременное преобразование переноса и поворота 2.1-7 — — —, преобразование параллельного переноса 2.1-5, 3.1-12 — — —, — поворота 2.1-6, 3.1-12 Координаты декартовы, связь с поляр* ными 2.1-8 — изотермические 17.3-10 — изотропные 17.3-10 — конические S.5-6 — криволинейные иа поверхности 17.3-1 — — ортогональные, векторное произве- дение 6.4-2 — — —, векторный элемент линии 6.4-8 — — —, дифференциальные операторы 6.4-2 — — —, криволинейный интеграл 6.4-3 — — —, площадь поверхности 6.4-3 — — —, символы Кристоффеля 6.5-1 — — —f скалярное произведение 6.4-2 — — —, элемент объема 6.4-3 — — точки 6.2-1 — —, элемент длины дуги 6.2-3 Координаты линейные 2.3-3, 3.4-4 — неподвижной системы 14.10-5 — нормальные 9.4-8, 13.6-2 — ортогональные 17.4-7 — параболические 6.5-8, 6.5-9 — параболического цилиндра 6.5-9 — параболоидальные 6.5-7 — плюккеровы 2.3-3, 3.4-4 — повернутой системы 14.10-7 — полу геодезические 17.3-13, 17.4-7 — полярные 2.1-8, 6.5-1 — —, связь с декартовыми 2.1-8 — римановы с началом О 17.4-7 — середины отрезка 2.1-4, 3.1-7 — сферические 3.1-6, 6.5-1 — —, связь с декартовыми 3.1-6 — тангенциальные 2.3-3, 3.4-4 — тензора 16.2-1 — тороидальные 6.5-11 — точечные 2.3-3 — точки 2.1-1, 16.1-2 — —, делящей отрезок в отношении X 2.1-4, 3.1-7 — — пересечения трех плоскостей 3.4-5 — фокуса 2.4-9, 17.3-11 — функции 16.1-3 — центра кривизны 17.1-4 — — поверхности второго порядка 3.5-5 — цилиндрические 3.1-6, 6.5-1 — —, связь с декартовыми 3.1-6 — эллипсоида вращения вытянутого 6.5-3 — — — сплюснутого 6.5-4 — эллипсоидальные' общие 6.5-2 — эллиптического цилиндра 6.5-5 Корень алгебраического уравнения 1.6-2 — — — кратный 1.6-3 — арифметический из действительного чис- ла 1.2-1 — — л-й степени 1.2-1 — из комплексного числа 1.3-3 Корректность определения операции 12.1-4 -Корреляция отрицательная 20.10-2 — ранговая по Спирмену 19.7-6 Косинус амплитуды 21.6-7 Косинус-иитеграл Фурье 4.11-3 Косинус-преобразование конечное табл. 8.7-1 — Фурье 4.11-3 Коэффициент' асимметрии 18.3-3 — вариации 18.3-3 — затухания 9.4-1 — искажения 7.9-1 — корреляции 18.4-4, 18.4-8, 18.4-9 — — сводный 18.4-9 — — ранговой 19.7-6 — разброса 18.4-8 — регрессии 18.4-6,. 18.4-9
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 811 Коэффициент регрессии, проверка гипо- тетического значения 19.7-4 — чувствительности 13.6-4 — эксцесса 18.3-3 Коэффициенты алгебраического уравнения 1.6-3 — биномиальные, см. Биномиальные коэф- фициенты — мультиномиальные табл. 18.7-1 — Фурье 4.11-1 Краевая задача 9.1-2 — — двумерная, решение посредством функции Грина 15.6-9 — — двухточечная, приведение к задаче Коши 9.3-4 — — для уравнения гиперболического 10.3-4 — — — — параболического 10.3-4 — — — — эллиптического 10.3-4 — — корректная 10.3-4 — — линейная 10.4-2, 15.4-1, 15.4-2 — — общая, связь с интегральным урав- нением 15.5-2 — —, решение 15.4-12 — —, — методом интегральных преобра- зований 10.5-1, 10.5-3 — —• — разложением в ортогональные ряды 10.4-9 — — самосопряженная 15.4-3 — —.. трехмерная, решение посредством функции ” Грина 15.6-6 — — эрмитово сопряженная 15.4-3 Краевые условия 15.4-1 — — взаимно сопряженные 15.4-3 — — дополнительные 15.4-2 — — Неймана 15.5-7 — — эрмитово сопряженные 15.4-3 Крамера правило 1.9-2 Кратность собственного значения алгебраи- ческая 14.8-3 — — — геометрическая 14.8-3 Кратные интегралы, вычисление 20.7-5 «Крест» 2.6-1 Кривая, асимптотически приближающаяся к прямой 17.1-6 — вогнутая 17.1-4 — второго порядка 2.4-1 — — , инварианты 2.4-2 — — — невырожденная, геометрическое определение 2.4-9 — — — центральная 2.4-6 — выпуклая 17.1-4 — жорданова замкнутая 7.2-3 — изотропная 17.3-10, 17.4-4 — минимальная 17.3-10 — непрерывная 3,1-13, 7.2-3 — нулевой длины 17.4-4 — , параметрическое задание 2.1-9 — простая 7.2-3 — — в смысле Жордана 3.1-13 — — замкнутая 3.1-13, 7.2-3 — регулярная 3.1-14 — средней квадратической регрессии 18.4-6 — характеристическая 10.3-1 — л-го порядка 2.1-9 Кривизна 17.1-4, 17.2-3 — гауссова 17.3-5 — геодезическая 17.3-4 — нормальная 17.3-4 — нормального сечения 17.3-5 — области интегральная 17.3-14 — первая 17.4-2 — полная 17.2-3, 17.3-5 — скалярная 17.4-5 — средняя 17.3-5 Кривизна, формула 17.2-4 * Кривизны главные 17.3-5 Криволинейные координаты см. Координа- ты криволинейные Криволинейный интеграл 4.6-10 — — векторный 5.4-5 — — скалярный 5.4-5 — —, условие независимости от пути интегрирования 5.7-1 Кривы® второго порядка вырожденные 2.4-8 — плоские алгебраические, примеры 2.6-1 — — трансцендентные, примеры 2.6-2 Критерии непараметрические 19.1-3 Критерий знаков односторонний, двусто- ронний 19.6-8 — значимости 19.6-4 — качества 11.8-1 — Коши равномерной сходимости несобст- венных интегралов 4.9-4 — — — — последовательностей или ря- дов 4.9-2 — — сходимости несобственных интегра- лов 4.9-3 -------последовательностей или рядов . 4.9-1 — Льенара—Шипара 1.6-6 — некоррелированности величин 19.7-4 — Рауса—Гурвица 1.6-6 — с фиксированной выборкой 19.6-9 — статистической гипотезы 19.6-2 — — — наиболее мощный 19.6-3 — — — несмещенный 19.6-3 — — — равномерно наиболее мощный 19.6-3 — — — смещенный 19.6-3 — %2 с оцениваемыми параметрами 19.6-7 — — согласия 19.6-7 Критерий-функционал 11.8-1, 11.8-4 Критическая область 19.6-2 Критическое множество 19.6-2 Круг 1.10-3 — кривизны 17.1-4, 17.2-2 — сходимости степенного ряда 7.5-2 Кручение 17.2-3 — , формула 17.2-4 * Куб 1.10-6 Л Лапласиан 5.5-5, 5.5-6 — скаляра 16.10-7 Лемма Абеля 4.8-5 — Жордана 7.7-3 — основная вариационного исчисления 11.6-1 — Шура 14,9-2 Леммы фундаментальные вариационного исчисления 11.6-1 Лемниската Бернулли 2.6-1 Линейная алгебра над кольцом 12.4-2 — функция 11.4-1 Линейное многообразие 14.2-1 — —, линейный базис 14.2-4 — программирование 11.4-1 Линейные дифференциальные уравнения сопряженные 13.6-3 — ограничения-неравенства 11.4-1 — ограничения-равенства 11.4-1 Линейный интеграл 5.4-5 — функционал 14.4-9 Линии градиента 5.5-1 — пересечения поверхности с координат- ными плоскостями 3.1-16 Линия асимптотическая 17.3-6
812 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Линия геодезическая 17.3-12, 17.4-3. — — нулевой длины 17.4-4 — кривизны 17.3-6 — пересечения двух поверхностей 3.1-16 — тока 5.4-3 — узлов 14.10-6 — характеристическая 10.2-1 Логарифм 21.2-10 — действительного числа 1.2-3 — — свойства 1.2-3 — десятичный 1.2-3 — натуральный (неперов) 1.2-3 Логарифмическая точка разветвления 7.4-2 Логарифмический декремент 9.4-1 Логика Аристотелева 12.8-6 — двузначная 12.8-6 — символическая 12.8-6 Локон Аньези 2^6-1 Ломаная Эйлера 20.8.-2 Х-дискриминаитная кривая 17.1-7, 17.3-11 М Максимум внутренний 11.2-1, 11.3-1 — граничный 11.2-11, 11.3-1 — кратного интеграла 11.6-9 — локальный 11.2-1, 11.3-1 — нестрогий 11.2-1 — определенного интеграла 11.5-2 — — — внутренний 11.5-2 — — — граничный 11.5-2 — — — сильный 11.5-2 — слабый 11.5-2 — условный 11.3-4 — функции , абсолютный 4.3-3 Математическая операция 12.1-1 — статистика 19.1-1 Математическое ожидание случайной ве- личины 18.3-3 — — суммы случайных величин 18.5-6 — — условное 18.4-5, 18.4-9 — — функции от случайной величины 18.3-3, 18.4-4, 18.4-8 Матрица аддитивно обратная 13.2-3 — альтернирующая 13.3-2 — антисимметрическая 13.3-2 — ассоциированная 13.3-1 — бесконечная 13.2-1 — , вековое уравнение 13.4-5 — вращений 14.10-6 — выигрышей 11.4-4 — Грнна 9.4-3, 13.6-2 — действительная 13.2-1 — диагональная 13.2-1 — единичная порядка п 13.2-3 — изменения состояния 20.4-7 — квадратная вполне приводимая 14.8-2 — — невырожденная 13г2-3 — — неособенная 13.2-3 — — порядка п 13.2-1 — —, приведение к диагональному виду 13.4-4 — —. — к треугольному виду 13.4-3 — — приводимая 14.8-2 — — разложимая 14.8-2 — —, собственные значения 13.4-2 — - —. — числа 13.4-2 — —, условие невырожденности 13;2-3, 13.4-2 — —, характеристические числа 13.4-2 — —, целочисленные степени 13.2-4 — клеточная 13.2-9 — —, собственные значения 13.4-6 — —, спектр 13.4-6 _дЯ,. ‘ — комплексно сопряженная 13.3-1 Матрица конечная 13.2-1 — корреляционная 18.4-8, 18.10-2 — кососимметрическая 13.3-2 — косоэрмитова 13.3-2 — модальная 14.8-6 — моментов 18.4-8 z — — выборки 19.7-2 — мономиальная 13.2-1 — над полем комплексных чисел ограни- ченная 13.2-1 — наддиагональная 13.2-1 — неотрицательная 13.5-2 — неположительная 13.5-2 — нормальная 13.3-4 — нулевая 13.2-3 — ортогональная 13.3-2 — отрицательно определенная 13.5-2 — — полуопределенная 13.5-2 — передаточная 9.4-7 — перестановки 13.2-6 — положительно определенная 13.5-2 — — полуопределенная 13.5-2 — , правила комбинирования 13.3-3 — присоединенная 13.3-1 — противоположная 13.2-3 — прямоугольная размера т х п и ад полем 13.2-1 —. разбиение на клетки 20.3-4 — решений фундаментальная 13.6-3 — самосопряженная 13.3-2 — - симметрическая 13.3-2 — системы 1.9-4 — — расширенная 1.9-4 —, соответствующая сопряженному one- ратрру 14.7-5 — сопряженная 13.3-1 - S спектр'собственных значений 13.4-2 — строго треугольная 13.2-1 — , теоремы о разложении 13.3-4 — транспонированная 13.3-1 — треугольная 13.2-1 — унимодулярная 14.10-4 — унитарная 13.3-2 —, характеристическое уравнение 13.4-8 — эрмитова см. Эрмитова матрица — эрмитово сопряженная 13.3-1 Матрица-столбец 13.2-1 Матрица-строка 13.2-1.• Матрицы конгруэнтные 13.4-1 — подобные 13.4-1 — просто эквивалентные 13.4-1 — „ равные друг другу 13.2-2 — , -связанные преобразованием подобия 13.4-1 — соединенные 13.4-1 — эквивалентные 13.4-1 Медиана 1.11-3 — распределения 18.3-3 Мера 12.8-8 — асимметрии пирсоновская 18.3-3 — Лебега в пространствах двух, трех,... измерений 4.6-14 ч — — внешняя 4.6-14 — — внутренняя 4.6-14 — —, определение аксиоматическое 4,6-14 — —, — конструктивное 4.6-14 — Лебега — Стилтьеса 4.6-17 — точности 18.8-4 Метод Бэрстоу решения алгебраических уравнений 20.2-4 — взаимных градиентов 20.3-2 — вращения 20.3-5 — вспомогательных функций решения за- дачи на условный экстремум 20.2-6 — Галеркина 20.9-10 — Гаусса 20.3-1
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 813 I I I I I 111 I Метод градиента 20.2-4, 20.3-2 Горнера 20.2-5 Греффе — Лобачевского 20.2-5 ДимсдеЙла 20.8-4 динамического программирования 11.8-6 Зейделя 20.3-2 значимой выборки 20.10-3 исключения, матричная -запись 20.3-2 — по главным элементам 20.3-1 исследования устойчивости по Ляпу- нову 13.6-7 —- итерационный отыскания собственных значений и собственных векторов ма- трицы 20.3-5 —_ квазилинезризации для решения нели- нейных двухточечных краевых задач 20.9-3 — коллокации 20.8-4, 20.8-5 — Крылова — Боголюбова приближенно- го решения дифференциальных уравне- ний 9.5-5 Майера решения дифференциального уравнения Пфаффа 2.6-2 — матричный численного решения урав- нений 20.2-5 — Милна «предсказание — коррекция» 20.8-3, табл. 20.8-2 — моментов для отыскания оценок 19.4-3 — Мюллера решения уравнений 20.2-4 — наибольшего правдоподобия для отыс- кания оценок 19.4-4 — -наименьших квадратов 20.9-10 — — — дискретный гО.б-’Г— — наискорейшего спуска 20.2-7, ’20.3-2 — Нумерова решения линейных диффе- ренциальных уравнений 20.8-7 — Ньютона численного решения уравне- ний 20.2-2, 20.2-8, 20.9-3 — Падэ 20.6-7 — Пикара последовательных приближе- ний -20.8-6 ' - г- преобразования Лапласа 20.4-6 — проб 20.2-2 — простой итерации 20.3-2 — расслоенной выборки 20.10-2 — ' секущих 20.2-2 — случайных возмущений 20.2-6 — средних' квадратических приближений 20.9-9 — функций Грина для неоднородных крае- вых условий 15.5-4 — — —, приложение к задаче с началь- ными условиями 15.5-3 — Хемминга «предсказание — коррекция» 20.8-2 — чисто случайного поиска 20.2-6 — Штурма 1.6-6 — Эйлера рещения задачи Коши 20.8-2 —; ^-преобразования для линейных раз- ностных уравнений 20.4-6 Методы аппроксимирующих функций 20.9-9, 20.9-10 — возмущений 11.4-2, 13.6-4 — генерирования случайных чисел 20.10-4 — исключения 20.3-1 — итерационные численного решения си- стемы уравнений 20.2-6, 20.3-2 — — — — уравнения 20.2-2, 20.2-4 т- многошаговые решения задачи Коши 20.8-3 — — улучшенные 20.8-4 — Монте-Карло 20.10-1 — одношаговые решения задачи Коши 20.8-2 — поиска 20.2-6 , — рёлаксации 20.3-2 Методы Рунге-Кутта решения задачи Коши 20.8-2, 20.8-4 — 20.8-7, табл. 20.8-1 — типа «предсказание — коррекция» 20.8-3 табл. 20.8-2 — третьего порядка 20.8-2 — уменьшения дисперсии оценки 21). 10-2 — четвертого порядка 20.8-2 Метрика 12.5-2 — в пространстве Lz 15.2-2 Метрическая эквивалентность функций 15.2-2 Минимум внутренний 11.2-1, 11.3-1 — граничный 11.2-1, 11.3-1 — кратного интеграла 11.6-9 — локальный 10.2-1, 11.3-1 — нестрогий 11.2-1 Минимум определенного интеграла 11.5-2 — — — внутренний 11.5-2 — — — граничный 11.5-2 — — — сильный 11.5-2 — — —слабый 11.5-2 — условный Г1.3-4 — функции абсолютный 4.3-3 Минор 1.5-2 — главный 1.5-4 — дополнительный 1.5-4 — т-го порядка 1.5-4- Мнимая единица 1.3-1 — ось 1.3-2 * — часть комплексного числа 1.3-1 Многогранник решений задачи линейного программирования 11.4-1 Многогранники правильные 1.10-6 Многообразие начальных и конечных со- стояний 11.8-1 Многообразия инвариантные 14.8-2 Многоугольники правильные 1.10-1, 1.10-2 Многочлен 1.4-3, 7.6-5 ч—, алгоритм деления 1.7-2 — , разложение на множители 1.7-1 — симметрический 1.4-3 — тригонометрический 4.11-2 Многочлены Бернулли 21.5-2, 21.5-3 — — порядка п 21.5-2 — Гегенбауэра 21.7-8 — гипергеометрические 21.7-8 — Лагерра обобщенные 21.7-5 — Лежандра первого рода 21.7- — —, теорема сложения 21.8-3 — ультрасферические 21.7-8 — Чебышева первого, второго рода 20.6-3,’ 21.7-7, табл. 20.6-1 — — смещенные 20-6-4, табл. 20.6-1 — Якоби 21.7-8 Множества отделенные 12.5-1 Множество бесконечное 4.3-2 — векторов линейно зависимое- 14.2-3 — — — независимое 14.2-3 вполне упорядоченное 12.6-2 — всюду плотное. 12.5-1 — выпуклое 11.4-1 — дискретное 4.3-6 — допустимых значений задачи линейного программирования 11.4-1 — замкнутое 4.3-6, 12.5-1 — значений функции 4.2-1 — измеримое с мерой Лебега 4.6-14 — компактное 12.5-1 — — в себе 12.5-1 ---в С 12.5-1 — конечное 4.3-2 — линейно упорядоченное 12.6-2 — неограниченное 4.3-3 — ограниченное 4.3-3, 4.3-6, 12.5-3 — открытое 4.3-6, 12.5-1 — относительно компактное 12.5-1
814 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Множество полное 12.6-1 — производное 12.5-1 — просто упорядоченное 12.6-2 — пустое 4.3-2 — связное 4.3-6, 12.5-1 — собственное 4.3-2 — совершенно упорядоченное 12.6-2 — счетное 4.3-2 — топологического пространства откры- тое 12.5-1 — точечное линейное 4.3-1 — условно полное 12.6-1 — частично упорядоченное 12.6-1 — элементарных событий 18.2-7 Множители Лагранжа 1НЗ-4, 11.6-2 — многочлена 1.7-1 Множитель левый 16.9-1 — многочленов общий 1.7-3 — нормирующий 18.3-4 — правый 16.9-1 Мода распределения дискретного 18.3-3 — — непрерывного 18.3.3 Модели изоморфные 12.1-6 Модель 12.1-1 — математическая 12.1-1 — термоэлектронного тока 18.11-4 Модули дополнительные полного нормаль- ного эллиптического интеграла Ле- жандра 21.6-6* Модуль 12.2-10 — вектора 5.2-5, 14.2-5, 16.8-1 — действительного числа 1.3-2 — комплексного числа 1.3-2 — нормального эллиптического интегра- ла Лежандра 21.6-6 Модулярный угол нормального эллипти- ческого интеграла Лежандра 21.6-6 Момент выборочный 18.9-1 — корреляционный 18.4-4 — случайной величины 18.3-7, 18.4-4, 18.4-8 — — — абсолютный 18.3-7 — — — начальный 18.3-7, 18.4-4, 18.4-8 — — факториальный 18.3-7 — — — — центральный 18.3-7 — — — центральный 18.3-7, 18.4-4, 18.4-8 — — — второго порядка 18.4-4, Мощность критерия 19.6-2 — множества 4.3-2 Н Направление асимптотическое 17.3-6 — главное Риччи 17.4-5 — главной нормали 17.4-2 — изотропное 17.4-4 — кривой 17.4-2 — координатных линий положительное 6.2-3 — положительное 7.2-4 — положительной нормали 17.3-2 Направления сопряженные 17.3-6 Направляющая конуса 3.1-15 — цилиндра 3.1-15 Направляющие косинусы 2.1-4, 3.1-8 — — вектора 5.2-3 — — прямой 3.3-1 Направляющий вектор прямой 3.3-1 Натуральные числа, принцип полной ин- дукции 1.1-2 Невязка 20.2-4 Нелинейное программирование 11.4?^ Неопределенный интеграл 4.6-4 — — от вектор-функцни 5.3-3 Непрерывная дробь 4.8-8 Непрерывность суммы функционального ряда 4.8-4 — функции 4.4-6 — — равномерная 4.4-6 Неравенства 1.1-5, 12.6-2, 12.6-3 Неравенство Адамара 1.5-1 — Бесселя 14.7-3, 15.2-3 — Гельдера 4.6-19 — Коши 1.3-2 — Коши — Буияковского 4.6-19 — Коши — Шварца 4.6-19, 14.2-6, 15.2-1 — Минковского 4.6-19, 14.2-5, 15.2-1 — Сильвестра 13.2-7 — треугольника 12.5-2 — Чебышева 18.3-5 Несобственный интеграл 4.6-2 — — сходящийся 4.6-2 — — — абсолютно 4.6-2 — — — равномерно 4.6-2 — — — условно 4.6-2 Норма вектора 14.2-5, 15.2-1, 16.8-1 — матрицы 13.2-1 — — евклидова 13.6-5 — оператора конечная ,14.4-1 “ функции 15.2-1 Нормализатор подгруппы 12.2-7 — элемента 12.2-7 Нормаль главная 17.2-2, 17.2-4 — —, направляющие косинусы 17.2-4 — к кривой 17.1-2 — к поверхности 17.3-2 —------второго порядка 3.5-8 Нормальная плоскость 17.2-2, 17.2-4 — производная от скалярной функции 5.6-2 — реакция на внешнюю нагрузку 9.4-2 — — на единичный импульс 9.4-3 Нормальное сечение 17.3-4 Нормальные сечения главные 17.3-5 Нормальный делитель 12.2-5 — ряд 12.2-6 Нормирование 18.3-4 — последовательности функций 15.2-5 — случайной величины 18.5-3 — функции 15.2-1 Нормы матриц табл. 13.2-1 Нули ортогональных многочленов 21.7-2 — цилиндрических функций 21.8-3 Нуль 1.1-2 — функции 1.6<-2, 7.6-1 — — порядка т 7.6-1 Нуль-тензор 16.3-2 О Область 4.3-6 — Дирихле 15.6-2 — допустимых управлений 11.8-1 — замкнутая 4.3-6 — измеримая по Ж°РДану 4.6-11 — квадрируемая 4.6-11 — многосвязная 4.3-6 — ограниченная 7.2-4 — односвязная 4.3-6 — определения 4.2-1 — о естественными границами 7.8-1 — отбрасывания 19.9-3 — принятия гипотезы 19.9-3 — функции фундаментальная 7.9-1 — целостности 12.3-1 Образ модели гомоморфный 12.1-6 Образующая линейчатой поверхности 3.1-15 Обращение матриц 20.3-3, 20.3-4
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ S15 Обращение преобразования Лапласа 8.2-5, 8.2-6, 8.2-8. Обход положительный 7.2-4 Объединение 4.3-2 — событий 18.2-1 Объект абсолютно антисимметричный по всем индексам 16.5-1 — — симметричный по всем индексам — антисимметричный по паре индексов 16.5-1 — — по всем индексам 16.5-1 — кососимметричный по паре индексов 16.5-1 симметричный по паре индексов 16.5-1 — — по всем индексам 16.5-1 Объем выборки 19.1-1 — области 4.6-11 — параллелепипеда 3.1-11 — тетраэдра 3.1-11 Объемный интеграл векторный 5.4-7 — —, связь с поверхностным 5.6-1 — — скалярный 5.4-7 Овалы Кассини 2.6-1 Огибающая поверхность 17.3-11 — семейства интегральных кривых 9.2-2 — — плоских кривых 17.1-7 Ограничение-неравенство К-го порядка для переменных состояния 11.8-4 Одночлен 12.8-2 Окрестность точек -|-оо, —со 4.3-5 — точки 4.3-5, 7.2-2, 12.5-1, 12.5-3 Окружности концентрические 2.5-1 —, условие ортогональности 2.5-1 Окружность 1.10-3, 2.5-1 — девяти точек 1.11-2 — Фейербаха 1.11-2 Октаэдр 1.10-6 Октиполь 15.6-5 Операнд 12.1-1 Оператор антисимметрический 14.4-6 — взаимно сопряженный 15.4-3 — кососимметрический 14.4-6 — косоэрмитов 14.4-4 — Лапласа 5.5-5, 16.10-7 — —, правила повторного применения 5.5-6 — линейный 14.3-1 — — бесконечно малый 14.4-10 — — вполне приводимый 14.8-2 — — невырожденный 14.3-5 — — несобственный 14.3-5 — — ограниченный 14.4-1 — —, отыскание собственных векторов 14.8-5 — —, — — значений 14.8-5 — —, представление в различных бази- сах 14.6-2 — —, -— диадическое 14.5-4 — —, — матричное 14.5-2 — — приводимый 14.8-2 — разложимый 14.8-2 — —, характеристическое уравнение 14.8-3 -г набла (V) 5.5-2, 5.5-8 — —, свойства 5.5-2 — нормальный 14.4-8 — —, спектральное представление 14.8-4 — обратный 14.3-5 — ортогональный 14.4-6 —, правила комбинирования 14.4-7 — резольвентный 14.8-3 — самосопряженный 15.4-3 — — Штурма — Лиувилля 15.4-3 — симметрический 14.4-6 — смещения 20.4-2 Оператор сопряженный 14.4-3, 14.4-9 —, теоремы о разложении 14.4-8 — транспонированный 14.4-6 — унитарный 14.4-5 — усреднения 20.4-2 — , целые степени 14.3-6 — эрмитов 14.4-4, 15.4-3 — — неотрицательный 14.4-4 — — неположительный 14.4-4 — — отрицательно определенный 14.4-4 — — — полуопределеиный 14.4-4 — — положительно определенный 14.4-4 — — — полуопределеиный 14.4-4 — — самосопряженный 14.4-4 — —, спектральное представление 14.8-4 Операторы дифференциальные эрмитово сопряженные 15.4-3 —1 последовательное применение 14.6-3 — разностные 20.4-2 — ~ двумерные 20.9-4 — соотношения между ними 20.4-2 Операции над векторными функциями 5.5-1 — — скалярными функциями 5.5-7 Операция 12.1-1 — коммутативная 12.2-1 — корректная 12.1-4 — линейная 14.3-1 Опорный план 11.4-J Определение аксиоматическое 12.1-1 — конструктивное 12.1-1 Определенный интеграл в смысле Римана 4.6-1 — —, важнейшие свойства 4.6-1 — —, вычисление с помощью теоремы о вычетах 7.7-3 ---от вектор-функции 5.3-3 Определитель 1.5-1 — Вандермонда 1.6-5 — Вронского 9.3-2 — Грама 5.2-8 — . изменение порядка 1.5-7 — Казоратти 20.4-4 — метрического тензора 17.3*7 — оператора 14.6-2 — , разложение Лапласа 1.5-4 — , свойства 1.5-5 — системы линейных уравнений 1.9-2 Оптимальное решение 11.4-1 Оптимальный план 11.4-1 Ордината 2.1-2 Оригинал 8.2-1 — , асимптотическое разложение 8.4-9 Орт 5.2-5 Ортогонализация последовательности функ- ций* 15.2-5 Ортогональная проекция пространства 14.2-8. Ортогональные многочлены 21.7-1, 21.7-2 Оси координат 2.1-2, 3.1-2 Основание степени 1.2-1 Особая точка вырожденная 9.3-10 — — функции 7.6-2 Особенность функции 7.6-2 — — изолированная 7.6-2 — — устранимая 7.6-2 Остаток 1.7-2 — ряде 4.7-1 Остаточный член 20.5-2 — — ряда Лорана 7.5-3 — — — Тейлора 7.5-2 — —- формулы Тейлора 4.10-4 — — — — в форме Лагранжа 4.10-4 Ось вращения 14.10-2 — гиперболы действительная 2.5-2 — — мнимая 2.5-2 — эллипса большая, малая 2.5-2
816 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Отклонение вероятное (в. о.) 18.8-4 — от точки до прямой 2.3-1 — радиальное 18.8-7 — среднее абсолютное (с. а. о.) 18.3-3 — — квадратическое 18.3-3 — точки от плоскости 3.4-2 Отношение включения логическое 12.8-3, 18.2-1 — неполной бета-функции 21.4-5 — - порядка 12.6-1 — равенства, симметрия 1.1-3, 12.1-3 — —, транзитивность 1.1-3, 12.1-3 — Стьюдента 19.5-3 — тождества 1.1-4 — эквивалентности 12.1-3 Отображение взаимно однозначное 12.1-4 — дробно-линейное 7.9-2 — Жуксгвского 7.9-3 изогональное- 7.9-1 — изометрическое 1.7.3-10 — класса в класс 12.1-4 — конформное 7.9-1, 17.3-10 — — второго рода 7.9-1 — непрерывное в топологическом прост- ранстве 12.5-1 — — .в точке 12.5-1 — обратное 12.1-4 — однозначное 12.1-4 — сжатое 12.5-6® — топологическое 12.5-1 — эквиареальное 17.3-10 - w=-~ (*+4)7-9'3 Отражение экстремалей от граничной ли- нии 11.6-7 Отрезок 4.3-4 Отрицание логического события 18.2-1 Оценка асимптотически эффективная 19.4-1 — достаточная 19.4-1 — несмещенная 19.1-3, 19.4-1 — ошибки приближения 20.2-2 — по Байесу 19.9-2 — по методу наименьших квадратов 19.9-4 — совместная асимптотически эффектив- ная 19.4-1 — совместно достаточная 19.4-1 — — эффективная 19.4-1 — состоятельная 19.1-3, 19.4-1 — эффективная 19.1-3, 19.4-1 Ошибка 20.2-4 — вероятная круговая 18.8-7 — второго рода 19.6-2 — квадратичная средняя взвешенная 20.5-1 — начальных данных 20.1-2 — округления 20.1-2 — первого рода 19.6-2 — радиальная 18.8-7 — — средняя 18.8-7 Ошибка, см. также Погрешность — усечения 20.1-2, 20.8-1 — — локальная 20.8-1 П Пара полярно сопряженных прямых 3.5-8 Парабола 2.4-8, 2.4-9 Нейля 2.6-1 — полукубическая 2.6-1 —, построение 2.5-4 —, — касательных и нормалей 2.5-4 Параболоид гиперболический 3.5-7, 3.5-10 — эллиптический 3.5-7, 3.5-10 . Параллелограмм периодов 21.6-1 Параллельность прямых 2.3-2 Параллельные геодезические 17.4-6 Параметр генеральной совокупности 19.1-2 — нормального эллиптического интегра- ла Лежандра третьего рода 21.6-8 Параметрическое задание кривой 3.1-13 — — плоскости 3.2-2 Параметры Кэли — Клей и а 14.10-4 — Эйлера 14.10-3 Первообразная 4.6-4 Переменная зависимая 4.2-1 — канонически сопряженная 11.6-8 — независимая 4.2-1 — присоединенная 11.6-8 — состояния 11.8-1, 13.6-1 — управляющая 11.8-1, 11.9-1 — фазовая 11.8-1, 13.6-1 Переменные сопряженные 11.8-2 Пересечение 4.3-2 Период примитивный 21.6-1 — функции 4.2-2 Перпендикулярность прямых 2.3-2 Пирамида 1.10-4 План задачи линейного программирова- ния в стандартной форме 11.4-1 — опорный 11.4-1 — оптимальный 11.4-1 Плоскость 3.2-1 Плотность распределения вероятностей 18.3-2, 18.4-3 — — нормального 18.8-4 — — случайных величин 18.5-4 . — — условная 18.4-5 — спектральная взаимная по множеству наблюдений 18.10-3,- 18.10-6 — — мощности взаимная 18.10-5 — — по времени 18.10-8 — стандартизованной случайной величины 19.3-3 Площадь области 4.6-11 — параллелограмма 3.1-10 — поверхности 4.6-11 — треугольника 2.1-4, 2.1-8, 3.10-10 Поверхности второго порядка, классифи- кация 3.5-3 — — —, параметрическое задание 3.5-10 Поверхностный интеграл векторный 5.4-6 — —, связь с объемным 5.6-1 — — скалярный 5.4-6 Поверхность вращения 3.11-15 — второго порядка 3.5-1 —. — — центральная 3.5-5 — как риманово пространство 17.3-7 — линейчатая 3.1-15 — минимальная 17.3-6 — непрерывная 3.1-14 — простая 3.1-14 — регулярная 3.1-14 — уровня 5.4-2 Погрешность квадратной формулы Гаусса 20.7-3 — — — Чебышева 20.7-3 — максимальная 12.5-4 — приближения 12.5-4, 12.5-5 —, см._также Ошибка — средняя квадратическая 12.5-4 Подвижный трехгранник 17.2-2 Подгруппа 12.2-2 — инвариантная 12.2-5 — несобственная 12.2-2 — нормальная 12.2-5 ' — собственная 12.2-2 — сопряженная 12.2-5 Подкольцо 12.3-2 Подматрица 13.2-8 Подмножество 4.3-2 Подполе 12,3?2
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 817 Подпространство 14.2-2 — собственное 14.2-2 Покрытие множества 12.5-4 Поле 12.3-1 — векторное 5.4-3 ~ — безвихревое 5.7-1 — — соленой дальнее 5.7-2 — —, теорема единственности 5.7-3 — Галуа 12.3-1 — кватернионов 12.4-2 —- коммутативное 12.3-1 — линейных элементов 9.2-2 — направлений 9.2-2 -~ некоммутативное 12.3-1 — отношений 12.3-3 ~ скалярное 5.4--2 — упорядоченное 12.6-2 — экстремалей 11.6-10 Полоса 10.2-1 — характеристическая 10.2-1 Полуширотз 18.3-3 Полюе 2.1-8, 2.4-10, 17.3-13 — касательной плоскости к поверхности второго порядка 3.5-8 — функции порядка т 7.6-2 Поляра точки 2.4-10 Полярная кривая 17.2-5 — ось 2.1-8. — плоскости точки относительно поверх- ности второго порядка 3.5-8 — поверхность 17.2-5 — прямая 17.2-5 Полярные координаты 2.1-8 Полярный радиус 2.1-8, 3.1-6 — угол 2.1-8 Поправка Шеппарда на группировку 19.2-5 Порядок 12.6-1 — группы 12.6-1, 18.7-3 — дифференциального уравнения 9.1-3 — определителя 1.5-1 — разности 20.4-1 — точки разветвления 7.4-2 — целой функции 7.6-5 — частной производной 4.5-2 — элемента 12.2-3 — эллиптической функции 21.6-1 Последовательность 4.2-2 — двойная сходящаяся 4.4-5 — квадратично интегрируемых функций, сходящаяся в среднем 15.2-2 — Коши 12.5-4 — матриц сходящаяся 13.2-11 — случайных величин, сходящаяся в среднем 18.6-3 — случайных величии, сходящаяся в сред- нем 18.6-3 — — —t — по вероятности 18.6-1 — сходящаяся 4.4-1 — , — к пределу 12.5-3 — фундаментальная 12.5-4 — функций ортонормированная 15.2-3 — — — полная 15.2-4 — — равномерно сходящаяся 4.4-4 Постоянная времени 9.4-1 — затухания 9.4-1 — интегрирования 4.6-1 — Эйлера — Маскерони 21.3-1, 21.4-1 Потенциал безвихревого векторного поля 15.6-1 — векторный векторного поля 5.7-2 — двойного слоя 15.6-5 — диполя 15.6-5 — запаздывающий 15.6-10 — комплексный 15.6-8 — логарифмический точечного источника 15.6-7 Потенциал мультиполя 15.6-5 — опережающий 15.6-10 — простого слоя 15.6-5 —, разложение по мультиполям 15.6-5 — скалярный безвихревого векторного по- ля 5.7-1 — точечного заряда 15.6-5 Потенциалы распределений вар ядов и ди- полей объемные, поверхностные 15.6-5 Поток вектора, через поверхность 5.4-6 Почти всюду 4.6-14 Правила’дифференцирования 4.5-4. — — ковариантного 16.10-5 — Непера 1.12-3 Правило Коши умножения рядов 4.8-3 — Крамера 1.9-2 — Лейбница 4.6-1 — ложного положения 20.2-2 — Лопиталя 4.7-2 — параллелограмма 5.2-1 — Симпсона 20.6-2 — соответствия 4.2-1, 12.1-1 — трапеций 20.6-2 — Уэддл я 20." 6-.2 Предел в среднем квадратично интегри- руемых функций 15.2-2 — вектор-функции 5.3-1 — двойной последовательности 4.4-5 — матричной функции. 13.2-11 — последовательности 4.4-1 — — производящих функций 18.6-2 — — характеристических функций 18.6-2 — суммы функционального ряда 4.8-4 — функции 4.4-1 — — по совокупности переменных 4.4-5 — — распределения-18.6-2 — — слева 4.4-7 — — справа 4.4-7 Пределы интегрирования 4.6-1 — , операции над ними 4.4-2 Предельный цикл 9.5-3 — — неустойчивый 9.5-3 — — полуустойчивый 9.5-3 — — устойчивый' 9.5-3 Представление алгебры кватернионов 14.10-4 - — вращение кватернионов 14.10-4 — групп 12.2-9 — группы вполне приводимое 14.9-2 — — гомоморфизмов 14.9-1 — — истинное' 14.9-1 — — конечной регулярное 14.9-1 — — неприводимое 14.9-2, 14.9-3 — —, неприводимые компоненты 14.9-2 — — ограниченное 14.9-1 — — ортогональное 14.9-1 • - — — приводимое 14.9-2 — — разложимое" 14.9-2 — — размерности 14.9-1 — — степени п 14.9-1 — — точное 14.9-1 — — унитарное 14.9-1 — —, условия приводимости . 14.9-2 Представления группы подобные 14.9-1 — — эквивалентные 14.9-1 Преломление экстремалей 11.6-7 Преобразование антисимметрическое 14.4-6 — аффинное 14.10-8 — базисных векторов 4.5-1, 14.6-1 — — —t матричная запись 14.6-2 — Гаикеля конечное табл. 8.7-1 — — — кольцевое табл. 8.7-1 — Гильберта 8.6-1 — допустимое 6.2-1 — инвариантное 12.1-5 — индуцированное 16.1-4
818 предметный указатель Преобразование интегральное см. Интег- ральное преобразование — к главным осям 14.8-6 — каноническое 10.2-6 — — унивалент.ное 10.2-6 — квадратичных форм 13.5-4 — класса в класс 12.1-4 — когредиентное 16.6-2 — контрагредиеитное 16.6-2 — — базисных векторов 14.7-6 — координат 14.1-3 — —, активная и пассивная точки вре- иия 14.1-3 — — векторов, активная и пассивная точки зрения 14.5-1, 14.6-1 — кососимметрическое 14.4-6 —. Куммера 4.8-5 — Лапласа, абсолютная сходимость 8.2-2 — —. абсцисса абсолютной сходимости 8.2-2 — — в форме интеграла Стилтьеса 8.6-3 Преобразование Лапласа дискретное 8.7-3 — — двустороннее 8.6-1, 8.6-2 — — для произведений оригиналов на синус или косинус 8.3-2 — —, достаточные условия существова- ния 8.2-4 — — импульсных функций 8.5-2, 20.4-6 — — обратное 8.2-5 — — — для рациональных функций 8.4-4, 8.4-5 — — -чг, достаточные условия существо- вания 8.2-7 — — —, приемы вычисления 8.4-3, 8.4-9 — — —, условие единственности 8.2-8 — — одностороннее 8.2-1, 10.5-2 — — периодических функций 8.3-2 — —предельные теоремы 8.3-4 — — ступенчатой функции 20.4-5 — —, таблица соответствия операций 8.3-1 — —, таблицы 8.4-1 — —, теорема обращения 8.6-2 — —, теоремы соответствия операций 8.3-1 — — условие единственности 8.2-8 — Лвпласа — Карсона 8.6-1 — Лежандра и-мерное 10.2-5 — линейное бесконечно малое 14.4-10 — — вполне приводимое 14.8-2 — —, матричное представление 14.5-2 — — невырожденное 14.3-5 — — несобственное 14.3-5 — — ограниченное 14.4-1 — — приводимое 14.8-2 — — разложимое 14.8-2 — Меллина 8.6-1 — нулевое 14.3-3 — обратное 12.1-4, 14.3-5 — ортогональное 3.1-12, 14.4-6 — подобия 13.4-1 — пространства линейное однородное 14.3-1 — симметрическое 14.4-6 — случайной величины 18.5-2 — — — линейное 18.5-3 — соприкосиовення 10.2-5 — тождественное 14.3-4 — транспонированное 14.4-6 — Функциональное 8.7-1 — Фурье 8.6-1 — — и целые функции 7.6-5 — — обобщенное 4.11-4, 18.10-10 — Эйлера 4.8-4 — эрмитовых форм 13.5-4 -преобразование 8.7-3 Приближения многочленами Чебышева табл. 20.6-4 — равномерные 20.6-4 — — функций многочленами табл. 20.6-2 и табл. 20.6-3 — рациональными дробями 20.6-7 — г см. также Аппроксимация — функций многочленами по методу наи- меньших квадратов на интервале 20.6-2 — — — — — — — — дискретном мно- жестве 20.6-3 Приведение матриц 14.8-6 Призма 1.10-4 Признак сходимости, см. Сходимость — устойчивости решений системы линей- ных разностных уравнений 20.4-8 Примитивная 4.6-4 Принцип аргумента 7.6-9 — Гамильтона 11.5-7 — двойственности 3.4-4 — консерватизм функциональных урав- нений 7.8-1 — максимума Понтрягина 11.8-2 — минимакса Куранта 14.8-8, 15.4-7 — наложения 20.4-4 — оптимальности Беллмана 11.8-6, 11.9-2 — сжатых отображений 11.5-6 — симметрии 7.8-2 — суперпозиции для класса операции 14.3-1 Приращение функции 11.4-1 Программа контроля 20.1-2 Программирование динамическое 11.9-1 — лйнейное 11.4-1 — нелинейное 11.4-3 Прогрессия арифметическая 1.2-6 — геометрическая 1.2-7, 21.2-12 — — бесконечная 4.10-2 Проективная плоскость 7.2-4 Проекции направляющего вектора на коор- динатные оси 3.3-1 Проекция вектора на подпространство 14.2-7 — направленного отрезка иа ось 3.1-9 ---— иа плоскость 3.1-9 — — — на прямую Эч 1-9 — пространства ортогональная 14,2-8 — стереографическая 7.2-4 Произведение 12.2-1 — бесконечное 4.8-7 — вектора иа диадик 16.9-2 — — на скаляр 5.2-1, 15.2-1 — векторное 16.8-4 — — векторов альтернированное 16.5-4 — — скалярное 15.2-1 — внешнее 12.7-2 — внутреннее 16.8-1 — групп вращений прямое 14.10-8 — — прямое 12.7-2 — действительных векторных пространств прямое 12.7-3 — диадика на вектор 16.9-2 — диадиков 16.9-2 — — векторное 16.9-2 — диадное 16.9-1 — интегральных преобразований 15.3-1 — классов декартово 12.7-Г — комплексных чисел 1.3-1, 1.3-3 — линейных операторов 14.3-4 — — преобразований 14.3-4 — логическое 4.3-2 — матриц 13.2-2 — — внешнее 13.2-10 — — прямое 13.2-10 — матрицы на скаляр 13.2-2 — подмножеств 12.2-4
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 819 Произведение представлений кронекеров- ское 14.9-6 — — прямое 14.9-6 — . рядов 4.8-3 — скалярное 16.8-1 — смешанное 16.8-4 — событий логическое 18.2-1 — тензора иа скаляр 16.3-4 — тензоров внешнее 16.3-6 — — внутреннее 16.3-7 — топологическое 12.7-4 Производная абсолютная истинного тензора 16.10-8 — — относительного тензора 16.10-8 Производная в среднем от случайного про- цесса 18.9-4 — вектора 16.10-1 — вектор-фу нкцни-5.3-2 — импульсной функции 21.9-3, 21.9-4 — ковариантная 16.10-4 — неявной функции 4.5-4, 4.5-7 — нормальная от скалярной функции -5.6-2 • — обратной функции 4.5-4 — по дуге, обозначение 17.2-1 — по направлению высшего порядка 5.5-4 — — — от векторной функции точки 5.5-3 — — — от скалярной, функции точки 5.5-3 — по нормали 15.5-4 — полная векторной функции вдоль кри- вой 5.5-3 — — скалярной функции вдоль кривой 5.5-3 — случайной функции 18.9-4 — — —, математическое ожидание 18.9-4 — — —t корреляционные функции 18.9-4 — ступенчатой функции 21.9-3 — тензора по направлению 16.10-8 — функции вторая, третья, ... (второго, третьего, ... порядка) 4.5-1 — —, заданной параметрически 4.5-4 — — левая 4.5-1 - — — первая (первого порядка) 4.5-1 — — правая 4.5-1 — функция 7.3-1 — частная см. Частная производная Производные ковариантные высших по- рядков 16.10-6 Производящая функция 8.7-2 — — многочленов Лагерра табл. 21,7-1 — — — Лежандра табл. 21.7-1 — — — Чебышева табл. 21.7-1 — — — Эрмита табл. 21.7-1 — — моментов 18.3-8 — — обобщенных многочленов Лагерра 21.7-7 — — семиинвариантов 18.3-10 — — сочетаний и размещений 18.7-2 — — факториальных моментов 18.3-8 — — экспоненциальная 8.7-2 Промах 20.1-2 Промежуток замкнутый 4.3-4 Прообраз множества полный 12.5-1 Пропорции производные 1.4-2 Пропорция 1.4-2 Пространства гомеоморфные 12.5-2 — изометричные 12.5-2 — функций, примеры табл. 12.5-2 — числовых последовательностей, при- меры, табл. 12.5-1 Пространство банахово 14.2-7 — бикомпактное 12.5-1 — векторное линейное 14.2-1 — — — иад кольцом 12.4-1 — выборок 18.2-7 — гильбертово 14.2-7 Пространство гомеоморфное 12.5-1 — двойственное 14.4-9 — дуальное 14.4-9 — компактное 12.5-1 — локально евклидово 17.4-6 — метрическое 12.5-2 — — вполне ограниченное 12.5-4 — — компактное 12.5-4 — — локально компактное 12.5-4 — — полное 12.5-4 — представляющее 14.9-1 — псевдоевклидово 17.4-6 — — соприкасающееся 17.4-7 — римаиово 16.7-1 — — плоское 17.4-6 — с внутренним произведением с индефи- нитной метрикой 14.2-6 — сепарабельное 12.5-1 — собственно евклидово 17.4-6 — сопряженное 14.4-9 — топологически эквивалентное 12.5-1 — топологическое 12.5-1 Пространств о-носитель 14.9-1 Процентиль 18.3-3 Процентильная широта 18.3-3 Процесс гауссовский 18.11-3, 18.12-6 — марковский 18.11-4 — ортогонализации Грама — Шмидта 14.7-4, 15.2-5 — переходный 1Q.4-1 —, порождаемый пуассоновской выборкой 18.11-5 — пуассоновский 18.11-4 — —, средняя скорость отсчетов 18.11-4 — распространения возмущений 10.4-1 — случайный 18.9-1 — — дискретный 18.9-1 — — многомерный 18.9-2 — — непрерывный 18.9-1 — — — в среднем 18.9-4 — — общий периодический 18.11-1 — —, порождаемый периодической вы- боркой 18.11-6 — —, — пуассоновским процессом 18.11-1 — — порядка п 18.11-4- Процесс случайный.разложение по ортоиор- мированной системе 18.9-6 — — С дискретным временем 18.9-1 — — с ограниченным спектром 18.11-2 — — с периодическими реализациями 18.11-1 — — с постоянной реализацией 18.11-1 — — синусоидальный 18.11-1 — — стационарный 18.10-1 — — — в широком смысле 18.10-2 — стационарный 10.4-1 — чисто случайный 18.11-4 — эргодический 18.10-7 Процессы случайные, действия над ними 18.12 — — совместно стационарные 18.10-1 — — — — в широкой смысле 18.10-2 — — — эргодические 18.10-7 Прямая 3.3-1 — регрессии 18.4-6 Прямоугольный треугольник 1.11-1 Псевдосфера 17.3-13 Псевдотензор 16.2-1 Псевдоэкспбиента 21.5-1 Пучок прямых 2.3-2 Пятиугольник 1.10-1 Р Равенство 12.1-3 — матриц 13.2-2
820 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Равенство множеств 4.3-2 — Парсеваля 14.7-4 — тензоров 16.3-4 Радикальная ось двух окружностей 2.6-1 Радикальный центр 2.5-1 Радиус кривизны 17.1-4, 17.2-3 — кручения 17.2-3 — сходимости степенного ряда 4.10-2, 7.5-2 Радиус-вектор середины отрезка 3.1-7 -г- точки 3.1-5 — —, делящей отрезок в отношении А 3.1-7 Разбиение класса С 12.1-3 — матриц 13.2-8 Размах 18.3-3 — выборки 19.2-6 Размерность векторного пространства ли- нейная 14.2-4 — пространства 14.1-2 — — ортогональная 14.7-3 — ядра линейного преобразования 14.3-2 Размещения без повторений 18.7-3, табл. X 18.7-2 — С повторениями 18.7-3, табл. 18.7-2' Разности разделенные 20.5-2, Разностное отношение 20.4-3 — уравнение линейное 20.4-4 — — — с постоянными коэффициентами 20.4-5 — — обыкновенное 20.4-3 Разность восходящая 20.4-1 — нисходящая 20.4-1 — обратная 20.5-7 — прогрессии 1.2-6 — центральная 20.4-1 Разрез 7.4-2 Ранг квадратичной формы 13.5-4 — линейного преобразования 14.3-2 — линейной алгебры 12.4-2 — матрицы 13.2-7 — многомерного распределения вероят- ностей 18.4-8 — представления 14.9-1 — произведения матриц 13.2-7 — собственного значения 15.3-3, 15.4-5 — суммы матриц 13.2-7 — тензора 16.2-1 — эрмитовой формы 13.5-4 Раскрытие неопределенностей 4.7-2 Распределение вероятностей 18.2-7 — •— асимптотически нормальное 18.6-4 — — биномиальное 18.7-4, 18.8-1 — — — Пуассона обобщенное 18.7-4 — — вырожденное (причинное) 18.8-1»- 18.8-5 — — геометрическое 18.8-1 — — ги пер гео метрическое 18.8-1 — — Коши 18.8-5 — — Лапласа 18.8-5 — — маргинальное 18.4-7 — — многомерное 18.4-7 — — непрерывное 18.8-3 — — несобственное 18.4-8 ---нормальное двумерное 18.8-6 — — — круговое 18.8-7 — — усеченное 19.3-4 — —, описание с помощью интеграла Стилтьеса 18.3-6 — — Парето 19.3-4 — — Паскаля 18.8-1 — — Пойа 18.8-1 — — полиномиальное 18.8-2 — — Пуассона 18.8-1 — — — многомерное 18.8-2 — — равномерное 18.8-5 Распределение вероятностей случайного процесса 18.9-2 — '— случайной величины 18.5-4 — — собственное 18.4-8 — — условное 18.4-5 — выборки частотное 19.2-2 Распределение выборочного коэффициента корреляции 19.7-4 — выборочное асимптотически нормаль- ное 19.5-2 — генеральной совокупности 19.1-2 — логарифмически нормальное 12.3-2 — ^нормального отклонения 18.8-4 — нормальное (Гаусса) 18.4-3 — — многомерное 18.8-8 — одномерное, числовые характеристики 18.3-3 — одно модальное, дву мод аль ное, много- модальное 18.3-3 — отношения дисперсий 19.5-3 — размаха выборки 19.5-4 — случайной величины 18.2-8 — стандартизованной нормальной вели- чины 18.4-3 \ — статистики выборочное 19.1-2 — Стьюдента 19.5-3, 19.7-4 — суммы случайных величин .18.5-7, 18.5-8 — Фишера 19.5-3 — эмпирическое 19.2-2 — г 19.7-4 — t 19.5-3 — и 19.5-3 — X2 19.5-3. Расстояние 12.5-2 — между параллельными плоскостями 3.4-2 — — — Прямыми 2.3-2 — — прямыми кратчайшее 3.4-2 — — точками 2.1-4, 2.1-8, 3.1-7 — от плоскости до параллельной ей пря- мой 3.4-2 — от точки до плоскости 3.4-2 — — — до прямой 2.3-1, 3.4-2 Расходимость ряда, признаки сравнения 4.9-1 Расширение алгебраическое 12.3-3 Реализация процесса 18.9-1 Ребро возврата 17.3-11 Регрессия 18.4-6, 18.4-9 — линейная 18.4-6 — параболическая 18.4-6 — средняя квадратическая 18.4-6, 18.4-9 — — — линейная эмпирическая 18.7-2 Резольвента 14.8-3 — Грина 15.5-2 — уравнения четвертой степени 1.8-6 Резонанс 9.4-2 Результант 1.6-5 — многочлена 1.7-3 Результат операции 12.1-1 Релаксация блочная 20.3-2 — групповая 20.3-2 — координатная 20.3-2 Рефлексивность 12.1-3 Решающая функция 19.6-9 Решение алгебраического уравнения 1.6-2 — — — полное 1.6-3 — — — численное 20.2-4, 20.2-5 — асимптотически устойчивое в области 13.6-5 -------в целом 13.6-5 — — — глобально 13.6-5 — вполне устойчивое 13.6-Б — вырожденное 11.4-1 — Даламбера 10.3-5
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ о2Т Решение дифференциального уравнения общее 9.1-2 — — — приближенное, метод Крылова — Боголюбова 9.5-5 — — — с частными производными общее, частное 10.1-2 — — — частное 9.1-2 Решенне допустимое 11.4-1 — — базисное 11.4-1 — — — вырожденное, невырожденное 11.4-1 — игры П.4-4 — неустойчивое 13.6-5 — оптимальное 11.4-1 — устойчивое по Ляпунову 13.6-5 — разностного уравнения 20.4-3 — системы дифференциальных уравнений асимптотически устойчивое, устойчивое в целом 9.5-4 — — — — вполне устойчивое 9.5-4 — — — — неустойчивое 9.5-4 — — — — периодическое устойчивое, неустойчивое 9.5-4 — — — — тривиальное устойчивое, не- устойчивое 9.5-4 — — — — устойчивое по Ляпунову 9.5-4 — ~ уравнений операторное 13.6-2 Решения линейного дифференциального уравнения линейно независимые 9.3-2 Риманова поверхность 7.4-3 Риманово пространство, операции над тен- зорами 16.7-4 Риск 19.9-1 — ожидаемый 19.9-1 — условный 19.9-2 Ротор вектора 16.10-7 — векторной функции точки 5.5-1 — поверхностный 5.6-2 Ряд 4.8-1 — асимптотический 4.8-6 — биномиальный 21 2-12 — гнпергеометрический 9.3-9 — — вырожденный 9.3-10 * — — обобщенный 9.3-11 — двойной 4.8-3 f— импульсных функций 20.4-6 — как функциональное преобразование 8.7-1 — композиционный 12.2-6 — Лорана 7.5-3 — —, главная часть 7.5-3 — Маклорена 4.10-4 — Неймана 15.3-8 «— нормальный 12.2-6 — обвертывающий. 4.8-6 — полусходящийся 4.8-6 — , признаки сходимости 4.9-1 — расходящийся 4.8-1 — степенной 4.10-2 — — комплексный 7.2-1 — —, свойства 4.10-2 — - Стирлинга 21.4-2 — , суммируемый по методу Чезаро 4.8-6 — , — средними арифметическими 4.8-6 — , — Ci 4.8-6 — , — (Ct 1) 4.8-6 — сходящийся 4.8-1 — — абсолютно 4.8-1 — — коммутативно 4.8-3 • .— —, перестановка членов 4.8-3 — — равномерно 4.8-2 «—•— —, свойства 4.8-4 — —, свойства 4.8-3 — , — условно 4.8-3 — Тейлора 4.10-4, 5.5-4, 7.5-2 — — кратный 4.10-5 Ряд Тейлора, операторное обозначение 20.4-2 — тригонометрический 4.11-2 — функциональный 4.8-2 — —, признаки сходимости 4.9-2 — —• условие интегрируемости 4.8-4 — Фурье 4.11-2 — — кратный 4.11-8 — —, операции над ннм 4.11-5 — Фурье—Бесселя 21.8-4 С Самосопряженность гильбертова простран- ства 14.4-9 Свертка 9.4-3 — двух последовательностей 4.6-18 — — функций 4.6-18 — Стилтьеса 4.6-18 Свертывание смешанного тензора 16.3-5 — тензоров 16.3-7 Сверхрелаксационный множитель 20.3-2 Сверх релаксация 20.3-2 — систематическая 20.3-2 Свободное неизвестное 11.4-1, 11.4-2 Свободный член многочлена 1.6-3 Свойства метрически инвариантные 12.5-2 Сегмент 4.3-4 Седло 9.5-4 Седловая точка игры 11.4-4 Семейство интегральных кривых 9.1-2 Семиинвариант 18.3-9, 18.4-10 Семиинварианты (инварианты относитель- но поворота осей) 2.4-3, 3.5-3 — , связь с моментами 18.3-10 Сигнал, треугольная форма 4.11-4 — фильтра выходной 19.8-2 Сигнатура квадратичной формы 13.5-4 Символ Кронекера обобщенный ранга. 2г 16.5-2 Символы Кристоффеля второго рода16.10-3, 17.3-7, табл. 6.5-1 — — первого рода 16.10-3, табл. 6.5-1 — Леви—Чивита 16.5.3 Симметрия 18.1-3 Симплекс-метод, введение искусственных переменных 11.4-2 — решения задачи линейного программи- рования 11.4-2 Сннус амплитуды 21.6-7 Синус — интеграл Фурье 4.11-3 Синусоида выпрямленная 4.11-4 — детектированная 4.11-4 — срезанная 4.11-4 Синус—преобразование Фурье 4.11-3 — — Конечное табл. 8.7-1 Система алгебраических уравнений 1.9-1 — векторов ортонормированная 14.7-3 — — полная 14.7-4 — — —, построение 14.7-4 — геодезических нормальный координат 17.3-13 — гиперкомплексных чисел 12.4-2 — дифференциальных уравнений 2.1-3 — — — автономная 9.5-2, 9.5-4, 13.6-1 — — — динамическая 13.6-1 — — —, матричные обозначения 13.6-1 — — — линеаризованная 9.5-4 — — — неавтономная 13.6-6 — — — с частными производными 10.1-2 _ — — стационарная 13.6-1 — — —, теорема существования и един- ственности решения 9.2-4 — инвариантов полная 12.2-8, 14.1-4 Система криволинейных координат 6.2-1 — — — ортогональная 6.4-1
822 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Система криволинейных координат правая 6.2-3 — координат 14.1-2, 16.1-4 — — аффинная 2.1-2 — — декартова 2.1-2, 3.1-2 — — — общая 2.1-2 — — — прямоугольная правая 2.1-3,' 3.1-3, 3.1-4 — — левая 2.1-2, 16.7-1 — — ортогональная 16.8-2 — — полярная 2.1-8 — — правая 2.1-2, 16.7-1 — - — сферическая 3.6-6 — — цилиндрическая 3.1-6 — линейных дифференциальных уравне- ний, операторный метод решения 9.4-4 — — — —, периодические внешние на- грузки 9.4-6 — — — — устойчивая 9.4-4 — — однородных дифференциальных урав- нений с постоянными коэффициентами 9.4-1 — — уравнений 1.9-2 — — — несовместная 1.9-4 — — —, общая теория 1.9-4 — — — однородных 1.9-5 — — —, правило Крамера 1.9-2 — мер 14.1-5 — отсчета 14.1-/, 16.1-4 — разностных уравнений, матричная за- пись 20.4-7 — — — устойчивая 20.4-8 — случайных величин 18.4-1 — уравнений Эйлера каноническая 11.6-8 — физически реализуемая 9.4-3 Скаляр 5.2-1, 12.4-1, 16.2-1 — абсолютный 16.2-1 — диадика первый 16.9-2 Скалярное поле 5.4-2 — произведение векторов 5.2-6 — — двойное 16.9-2 Скачок функции 4.4-7 Скобка Пуассона 10.2-6 Скорость вращения мгновенная 14.10-7 — — угловая 14.10-7 — средняя отсчетов в процессе Пуассона 18.11-4 След матрицы 13.2-7, 13.4-3 — оператора 14.6-2 Сложение абстрактное 12.3-1 — векторное 12.4-1 — векторов 5.2-1 — комплексных чисел 1.3-1 — логическое 12.8-1 — рядов 4.8-3, 4.8-4 — тензоров 16.3-3 Случайная величина 18.2-8 — — Двумерная дискретная 18.4-3 — — дискретная 18.3-1, 18.4-3 — — многомерная 18.4-1 — — — дискретная 18.4-7 — — — непрерывная 18.4-7 — — непрерывная 18.3-2, 18.4-3 — — нормированная 18.5-3 — _ стандартизованная 18.5-3 — выборка 19.8-4 — — двумерная 19.8-4 — — объема 19.1-2 — последовательность 18.9-1 — телеграфная волна 18.11-5 — функция, дифференцирование 18.9-4 — —, интегрирование 18.9-4 Случайные блоки 19.6-6 — величины независимые 18.4-11 — — некоррелированные 18.4-11 — —, условие независимости 18.4-11 Случайные'координаты 18.4-1 Случайный вектор многомерный 18.4-1,’ 18.4-7 — процесс см. Процесс случайный Смешанное произведение трех векторов 5.2-8 Смещение оценки 19.4-1 Собственная функцйя интегрального урав- нения 15.3-3 — — краевой задачи 10.4-2 — — линейного дифференциального опе- ратора 15.4-5 — — обобщенная 15.4-5 — — эрмитова ядра 15.3-3 — — ядра 15.3-3 Собственное значение 10.4-2 — — диадика 16.9-2 — — интегрального уравнения 15.3-3 — — линейного дифференциального опе- ратора 15.4-5 — — оператора 14.8-3, 14.8-4 — — эрмитова ядра 15.3-3 Собственный вектор диадика 16.9-2 — — оператора 14.8-3, 14.8-4 Событие 18.2-1. — достоверное 18.2-1 — невозможное 18.2-1 — противоположное 18.2-1 События, независимые в совокупности 18.2-3 —, — по вероятности 18.2-3 — несовместимые 18.2-1 Совмещение событий 18.2-1 Соотношение Лежандра 21.6-6 Соотношения Винера—Ли 18.12-2, 18.12-3 — Хинчнна — Винера 18.10-3, 18.10-10 Соприкасающаяся окружность 17.1-4, 17.2-2 — плоскость 17.2-2, 17.2-4 — сфера 17.2-5 Состояние конечное 11.8-1 — начальное 11.8-1 Сочетания без повторений 18.7-3, табл. 18.7-2 — с повторениями 18.7-3, табл. 1₽.7-2 Спектр дифференциального оператора 15.4-5 — линейного оператора 14.8-3 — — — дискретный 14.8-3 — — — непрерывный 14.8-3 Спектр линейного оператора остаточный 14.8-3 — — — предельный 14.8-3 — — — точечный 14.8-3 — линейной задачи о собственных значе- ниях 15.4-5 — матрицы 13.4-2 — непрерывный 15.4-5 — случайной величины дискретной 18.3-1 — — — непрерывной 18.3-2, 18.4-3, 18.4-7 — собственных значений 10.4-2 Спектральная функция, см. функция спек- тральная Спектральное значение 18.3-1 Спектры действительных случайных про- цессов 18.10-4 Спиновые матрицы Паули 14.10-4 Спираль Архимеда 2.6-2 — логарифмическая 2.6-2 — параболическая 2.6-2 Спрямляющая плоскость 17.2-2, 17.2-4 Среднее выборочное 19.8-4 — значение случайной величины 18.3-3 — — функции 4.6-3 — — — от случайной величины 18.3-3, 18.4-4, 18,4-8
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 823 Среднее по времени 18.10-7 — по конечному промежутку времени 19.8-1 — по множеству наблюдений 18-9-3 — по параметру 18.10-7 — по расслоенной выборке 20.10-2 — эмпирическое 18.10-7 Статистика 19.1-1 — объединённых выборок 19.6-6 — порядковая 19.2-6 Статистическая гипотеза 19.6-1 — —, проверка 19.1-3 — — простая 19.6-1 — — сложная 12.6-1 — устойчивость 19.1-1 Стационарное значение 11.2-2, 11.3-3 Степень многочлена 1.4-3 — усечения 19.3-4 — целая 12.2-1 — числа действительного 1.2-1 — — комплексного 1.3-3 Столбец колеблющийся 20.2-3 — матрицы 13.2-1 — модальный 14.8-5 — правильный 20.2-3 — — частично 20.2-3 Стратегия 11.9-1 — оптимальная 11.4-4, 11.9-1 — смешанная 11.4-4 — чистая 11.4-4 Строка матрицы 13.2-1 Строфоида 2.6-1 Структура 12.6-1 — полная 12.6-1 Ступенчатая функция 20.4-6 Сумма комплексных чисел 1.3-1, 1.3-3 — логическая 4.3-2 — — событий 18.2-1 — матриц 13.2-2 — прямая векторных пространств 12.7-5 — — колец 12.7-5 — — линейных алгебр 12.7-5 — ряда 4.8-1 — — из обратных степеней целых чисел 4.8-5 — степеней натуральных чисел 1.2-8, 4.8-5 — тензоров 16.3-3 — , сокращенная запись 16.1-3 Суммирование по частям 20.4-3 — рядов, применение вычетов 7.7-4 — —, связь с решением разностного урав- нения 20.4-3 — — средними арифметическими 4.8-6 — —, формула Пуассона 4.8-5 — —, — Эйлера — Маклорена 4.8-5 Сфера 1.10-5, 3.5-9 Сферические гармоники 21.8-12 — — зональные 21.8-12 — — поверхностные 21.8-12 — — секториальиые 21.8-12 — — тессеральные 21.8-12 Сферический дефект 1.12-2 — сегмент 1.10-5 — треугольник, см. Треугольник сфери- ческий — эксцесс (избыток) 1.12-2 Сфероид 1.10-5 Схема Горнера 20.2-3 — — для комплексного аргумента 20.2-3 — исключения компактная 20.3-1 Сходимость в среднем в пространстве Lz 15.2-2 — — — последовательности случайных величин 18.6-3 — неравномерная вблизи точки разрыва 4.11-7 Сходимость несобственных интегралов, признак Абеля 4.9-3 — — —, — Дирихле 4.9-3 — — —г — сравнения 4.9-3 — — — равномерная, признак Вейер- штрасса 4.9-4 — — — —э — Дирихле 4.9-4 — по вероятности 18.6-1 — последовательности 12.5-3 — последовательных приближений 20.2-2 — ряда 4.8-1 — —, признак Абеля 4.9-1 — —. — Даламбера 4.9-1 — —, — Дирихле 4.9-1 — —, — Коши интегральный «радикаль- ный» 4.9-1 — —, — Лейбница 4.9-1 — —, — Раабе 4.9-1 — —, — сравнения 4.9-1 — — равномерная, признак Абеля 4.9-2 — — —, — Вейерштрасса 4.9-2 — функции 12.5-3 — — равномерная 4.4-4 Т Таблица истинностная 12.8-7 — отображений 7.9-5 — сопряженности признаков 19.7-5 Тела вращения Ы0-5- Тело 12.3-1 Тензор 16.1-4 — абсолютный ковариантный ранга 1 16.2-1 .— — контравариантный ранга 1 16.2-1 — — г раз контравариантный и s раз ковариантный 16.2-1 —, аналитические представления 16.7-3 — ассоциированный данному 16.7-2 — выражение через векторы локального базиса 16.6-1 — истинный 16.2-1 — кривизны 17.4-5 — метрический 16.7-1 — — ассоциированный 16.7-1 — относительный веса W, г раз контра- вариантный и s раз ковариантный 16.2-1 — постоянный вдоль кривой 16.10-9 — ранга 0 16.2-1 --- 2 16.9-1 — — — антисимметричный 16.9-1 — — —, дивергенция 16.10-11 — — —, дифференциальные инварианты 16.10-11 — — —, интегральные теоремы 16.10-11 — — — симметричный 16.9-2 — Рнмана — Кристоффеля 17.4-5 — риманова пространства фундаменталь- ный 16.7-1 — Риччи 17.4-5 — смешанный 16.2-1 — Эйнштейна 17.4-5 Тензорная емкость 16.2-1 — плотность 16.2-1 Тензорные уравнения, инвариантность 16.4-1 Тензоры, равные в точке 16.3-1 Теорема Абеля для степенных рядов 4.10-3 — Банаха о сжатых отображениях 12.5-6 — Безу 1.7-2 — Бендиксона первая, вторая 9.5-3 — Бернсайда 14.9-3 — Бернулли 18.6-5 — Больцано — Вейерштрасса 12.5-4 — Брианшона 2.4-11
824 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ I 1111 I 111 11 1111 I 1111 Теорема Бюдана 1.6-6 — Вандермонда биномиальная 21.5-1 — Вейерштрасса 7.3-3, 7.3-4, 7.6-4, 7.6-6 — Винера' о квадратичном отклонении 18.10-10 — Винера — Пэли 4.11-4, 7.6-5 — Гаусса 5.6-1, 15.6-5 — умножения гамма-функций 21.4-1 — Гаусса — Бонне 17.3-14 — Гаусса — Остро гр адского 5.6-1 — Гейне — Борел я о выделении конеч- ного покрытия 12.5-4 — двойственности в линейном программи- ровании 11.4-1 — Джона 11.4-3 — Дюбуа — Реймона 11.5-2 — единственности векторного поля 5.7-3 — — для степенного ряда 4.10-2 * — — преобразования Фурье 4.11-5 — — ряда Фурье 4.11-5 — — сходимости в среднем 15.2-4 — Жордана 7.2-4 \ — Жордана — Гельдера 12.2-6 — Канторовича о сходимости решения си- стемы алгебраических уравнений 20.2-8 — Карунена — Лоэва 18.9-6 — Кельвина об инверсии 15.6-3 — косинусов 1Л1-3 — -«-для сторон сферического треуголь- ника 1.12-4 — — для углов сферического треуголь- ника 1.12-4 Котельникова 18.11-2 Коши 4.7-1 — интегральная 7.5-1 Куна — Такера 11.4-3 Кэли 12.2-9, 14.9-1 Кэли — Гамильтона 13.4-7 Лагранжа 4.7-1 — о порядке подгруппы 12.2-2 Лассаля об асимптотической устойчи- вости 13.6-6 Лебега о сходимости 4.6-16 Лерха 8.2-8 Лиидеберга — Леви 18.6-5 Л«увнлля 7.6-5 Ляпунова о неустойчивости 13.6-6 — об асимптотической устойчивости 13.6-6, — об устойчивости 13.6-6 Меиье 17.3-4 Мерсера 15.3-4 Мнндинга 17.3-13 минимакса для конечной игры Двух партнеров с нулевой суммой выигрыша 11.4-4 — Миттаг—Леффлера 7.6-8 — Морера 7.5-1 — непрерывности для производящих функ- ций 18.6-2 — — для характеристических функций 18.6-2 — о выборе 18.10-6 — о вычетах 7.7-2 — о градиенте 5.6-1 — о дивергенции 5.6-1 — о дополнительном аргументе многочле- нов Бернулли 21.5-2 - . — о конечном приращении 4.7-1 — о максимуме модуля 7.3-5 — ~ — для гармонических функций — о непрерывности определенного инте- грала, зависящего от параметра 4.6-2 о проекциях 1.11-3, 14.2-8 Теорема о ’’"разложении многочлена на множители 1.7-1 — о роторе 5.6-1 — о свертке преобразования произведе- ния 8.3-3 — о среднем для гармонических функций 15.6-4 — обращения Ганкеля 8.6-4 — — для одностороннего преобразования Лапласа 8.6-2 — — преобразования Лапласа 8.2-6 — основная алгебры 7.6-1 — — интегрального исчисления 4.6-5 — — теория поверхностей 17.3-9 — Парсеваля 4.11-4 — — для преобразования Ганкеля 8.6-4 — Паскаля 2.4-11 — Пикара 7.6-4 — Пойа о подсчете 18.7-3 — Прайса 18.12-6 — предельная Муавра — Лапласа 18.8-1 — — центральная 18.6-5 — Прингсгейма о суммировании по столб- цам и строкам-4.8-3 — разложения 19.5-3 — — Гельмгольца 5.7-3 — Рауса — Гурвица 1.6-6 — Римана об отображении 7.9-6 — — об условно сходящихся рядах 4.8-3 — Римана — Лебега 4.11-2 — — — о тригонометрических рядах 4.11-2 — Рисса — Фишера 15.2-4 — — — о свойстве полноты 15.2-2 — Риччн 16.10-5 — Ролля 1.6-6, 4.7-1 ' , — Руше 7.6-1 — Сильвестра 13.4-7 — синусов 1.11-3, 1.12-4 — сложения 19.5-3 — — для биномиальных коэффициентов 2!.5-! — — для многочленов Лежандра 21.8-3 — — для сферических функций 21.8-3 — — для цилиндрических функций 21.8-13 — Стокса 5.6-2 — существования неявных функций 4.5-7 — — функции Грина 15.6-6 — Таубера для степенных рядов 4.10-3 — ‘Умножения для многочленов Бернулли 21.5-2 — Фейера 4.11-7 — Фишера обобщенная 19.7-4 — Фредгольма об альтернативе 15.4-4 — . Хинчина 18.6-5 — Чебышева 18.6-5 — Четаева о неустойчивости 13.6-6 — Эйлера 17.3-5 ---о коэффициентах тригонометрического ряда 4.11-2 — — о тригонометрических рядах 4.11-2 — — об однородных функциях 4.5-5 Theorema Egregium Гаусса 17.3-8 Теоремы Байеса 18.2-6 — Вейерштрасса о приближении 4.7-2 — Гарнака о гармонических функциях 15.6-4 — Грина 5.6-1 — Лиувилля об эллиптических функциях 21.6-1 — о непрерывности 4.6-16 * — о нормальном распределении суммы слу- чайных величин 18.8-9 — о Полюсах и полярах 2.4-10 — о'разложении операторов 14Л-8 — о среднем 4.7-1
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 825 Теоремы о суперпозиции 15.4-2 — о сходимости 4.6-16 — предельные теории вероятностей 18.6-5 — разложения для эрмитовых ядер 15.3-4 — сложения для эллиптических -функций Якобн 21.6-7 — соответствия операций и ад оригиналами и их изображениями 8.3-1 — сравнения для уравнений Штурма — Лиувилля 15Л-10 Теория вероятностей 18.1-1 — возмущений 10.2-7 — потенциала 15.6-1 — — двумерная 15.6-7 — распределений Лорана Шварца 21.9-2 Тета-функции см. Тэта-функции Тэтраэдр 1.10-6 Тип целой функции 7.6-5 Тождества Бианки 17.4-5 Тождество Пуассона 10.2-6 — Риччи 17.4-5 Топология 12.5-1 — дискретная 12.5-1 — пространства 12.5-1 — — относительная 12.5-1 — — тривиальная 12.5-1 Тор 1.10-5 Точка 16.1-2 — бесконечно удаленная 7.2-2 — внутренняя 4.3-6 — возврата 17.1-3 — гиперболическая 17.3-5 — гранитная 4.3-6 — двойная 17.1-3 — дифференциального уравнения особая изолированная 9.3-6 •— — — — правильная 9.3-6 — -т- — слабо особая 9.3-6 — — — существенно особая 9.3-6 — изолированная 4.3-6, 17.Г-3 — инвариантная 7.9-2 — конденсация 4.3-6 — накопления 4.3-6 — омбилическая 17.3-5 — особая 17.1-3, 17.3-1 — — многозначного характера 7.6-2 — отображения критическая 7.9-1 — параболическая 17.3-5 — перегиба 17.1-5 — пересечения кривых 2.1-9 — — прямых 2.3-2 — покоя 9.5-3, 13.6-6 — предельная 4.3-6 — равновесия 9.5-3 — разветвления (ветвления) 7.4-2, 21.6-4 — — алгебраическая 7.6-2 — — бесконечного порядка 7.4-2 — — конечного порядка 7.4-2 — — логарифмическая 7.4-2 — — трансцендентная конечного поряд- ка 7.6-2 — — функции 7.6-2 — разрыва первого рода 4.4-7 — регулярная 3.1-13, 3.1-14, 17.1-1 — самоприкосновения 17.1-3 — седловая 17.3-5 — существенно особая 7.6-2 — угловая 11.6-7 — — свободная 11.6-7 — фазовой плоскости обыкновенная 9.5-3 — — — особая 6.5-3 — эллиптическая 17.3-5 7 оч к и конгруэнтные 21.6-1 Траектория изогональная семейства кри- вых 17.1-8 Траектория ортогональная семейства кри- вых 17.1-8 Трактриса 2.6-2 Транзитивность 12.1-3 Трансформирование элемента 12.2-5 Трапеция 1.10-1 Треугольник 1.10-1 — квадратный 1.12-3 ’ — плоский, свойства 1.11-2 — —, формулы для решения 1.11-3 — Полярный 1.12-2 — сферический, вершины, стороны, углы 1.12-1 — — прямоугольный 1.12-3 — —, свойства 1.12-2 — —, формулы для решения 1.12-4 Трехгранник Френе 17.2-3 Тригонометрия на плоскости 1.11г! — сферическая 1.12-1 Трисектриса 2.6-1 Тэта-функции Якоби 21.6-8 У Угловая точка свободная 11.6-7 Угловой коэффициент 2.2-1 Углы Эйлера 14.10-6 — —, геометрическая интерпретация 14.10-6 Угол между асимптотами гиперболы 2.5-2 — между векторами 16.8-1 — между дугами 17.4-2 — между координатными линиями 17.4-2 — между кривыми на поверхности 17.3-3 — между направленными отрезками 2.1=4# 3.1-8 — между плоскостями 3.4-1 - — между прямой и плоскостью 3.4-1 — между Прямыми 2.3-2, 3.1-7# 3.4т1 — поворота 17.10-2 Узел 17.1-3 — интерполяции 20.5-1 — неустойчивый, устойчивый 9.5-4 Улитка Паскаля 2.6-1 Умножение абстрактное 12.2-1, 12.3-1 — вектора на скаляр 5.2-1, 12.4-1 — вероятностей 18.2-2 — комплексных чисел 1.3-1 — логическое 12.8-1 — операторов 12.2-8 —. определителей 1.5-6 преобразований 12.2-8 — ряда на число или ограниченную функ- цию 4.8-3, 4.8-4 — тензора на скаляр 16.3-4 — тензоров внешнее 16.3-6 — — внутреннее 16.3-7 Управление оптимальное 11.8-1 — шаговое 11.9-1 Управления 11.8-1 Управляющая переменная 11.8-1 Уравнение алгебраическое действительное 1.6-6 — — —, отделение корней'1.6-6 — —• , свойства корней 1.6-6 — — степени п 1.6-3 — —, численные методы решения 20.2-4# 20.2-5 — асимптотической линии 17.3-6 — бинормали 17.2-4 — в полных дифференциалах 9.2-4 — вековое матрицы 13.4-5 — векторное линейное неоднородное 14.8-10 — волновое двумерное, частные решения 10.4-8
B26 предметный указатель I И I I II II III I I II I 1.1 I I I I I II II ill I II I I I I I I I I I I J I III I I I I I Уравнение волновое одномерное 10.3-5 — — — затухающее, частные решения 10.4-8 — —, частные решения 10.4-8 — трехмерное, частные решения 10.4-8 второй степени общее 2.4-1, 3.5-1 Гамильтона— Якоби 10.2-7, 11.6-8 Гельмгольца двумерное, частные ре- шения 10.4-5 — трехмерное 10.4-4 — —, прямоугольные декартовы ко- ординаты 10.4-4 — —, сферические координаты 10.4-4 -------цилиндрические координаты 10.4-4 геодезической линии 17.4-3 главной нормали 17.2-4 диаметра конического сечения, сопря- женного хордам 2.4-6 — поверхности второго порядка, сопря- женного семейству плоскостей 3.5-5 диаметральной плоскости поверхности второго порядка 3.5-5 директрисы 2.4-9 дифференциальное см. Дифференциаль- ное уравнение диффузии 10.4-1 — двумерное, частные решения 10.4-7 — обобщеннее 15.5-3 — одномерное, частные решения 10.4-7 — трехмерное, частные решения 10.4-7 Дуффинга 13.6-7 интегральное см. Интегральное урав- нение касательной к кривой второго порядка 2.4-10 — — — плоской 17.1-1 — — — пространственной 17.2-2, 17.2-4 — плоскости 17.3-2 — — к. поверхности второго порядка 3.5-8 квадратное 1.8-2 Клейна — Гордона 10.4-4 конического сечения в полярных ко- ординатах 2.4-11 — —, проходящего через пять точек 2.4-11 кривой 2.1-9 — второго порядка, приведение к кано- ническому виду 2.4-8 кубическое 1.8-3 — неполное 1.8-3 —, неприводимый случай 1.8т4 —, решение Кардана 1.8-3 —, — тригонометрическое 1.8-4 Лапласа двумерное 15.6-7 — —, частные решения 10.4-5 — трехмерное, прямоугольные декар- товы координаты 10.4-3 — —t сферические координаты 10.4-3 -----, цилиндрические координаты 10.4-3 линейное 1.8-1 — однородное, матричное обозначение 14.5-3 линии кривизны 17.3-6 Люилье 1.12-4 нормали к кривой второго порядка 2.4-10 — — — плоской 17.1-2 — к поверхности 17.3-2 — к прямой 2.3-2 нормальной плоскости 17.2-4 огибающей семейства плоских кривых 17.1-7 Уравнение окружности в полярных коор- динатах 2.5-1 — — общее 2.5-1 — —, проходящей через точки пересече- ния двух окружностей 2.5-1 — —, — через три точки 2.5-1 — — с центром в начале координат 2.5-1 — определяющее 9.3-6 — плоскости в отрезках 3.2-1 — — нормальное 3.2-1 — — общее 3.2-1 — — проходящей через данную точку 3.2-1 — —, —через три точки, не лежащие на одной прямой 3.2-1 — поверхности второго порядка, приве- дение к каноническому виду 3.5-7 — —, проходящей через линию пересече- ния поверхностей 3.1?!6 — проекции кривой на координатную плоскость 3.1-16 — прямой в отрезках 2.2-1 — — в полярных координатах 2.2-2 — — нормальное 2.2-1 — — общее 2.2-1 — —, параллельной данной 2.3-2 — —, проходящей через данную точку перпендикулярно плоскости 3.4-5 — —, — через две точки 2.2-1 — —, — через точку пересечения прямых 2.3-2 — —, — — — под углом к примой 2.3-2 — — с угловым коэффициентом 2.2-1 — Пуассона двумерное 15.6-7 — пучка плоскостей 3.4-5 — — прямых 2.2-1 — с частными производными 10.1-2 — — — — гиперболическое 10.3-1 — 10.3-3, 10.3-6, 10.3-7 — — — — квазилинейное 10.2-1, 10.3-1 —- — — — линейное 10.1-2 — — — —, метод разделения перемен- ных 10.1-3 — — — — однородное 10.1-2 — — — — параболическое 10.3-1, 10.3-3,' 10.3-7 — — — — первого порядка 10.2-1 — — — — эллиптическое 10.3-1, 16.3-3,' 10.3-7 — — — разностями 20.4-3 — связи 11.3-4 «— соприкасающейся плоскости 17.2-4 — спрямляющей плоскости 17.2-4 — сферы 3.5-9 — телеграфное 10.4-1 — —, частные решения 10.4-8 теплопроводности 10.4-1 — — одномерное, преобразование Лап- ласа 10.5-3 — — —. синус- и косинус-преобразования Фурье 10.5-3 — функциональное 20.4-6 — характеристики 17.3-11 — характеристическое 10.2-2, 10.2-4 — — квадратичной формы 2.4-5, 3.5-4 — — матрицы 13.4-5 — четвертой степени 1.8-5 — — — неполное 1.8-5 — , решение Декарта — Эйлера 1.3-5 — — —, — Феррори 1.8-6 — Шредингера, частные решения 10.4-6 — Эйлера 11.6-1 — Якоби 11.6-10 Уравнения асимптот гиперболы 2.5-2 — в вариациях по параметрам 13.6-4 г- Вейнгартена 17.3-8
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 827 Уравнения Гаусса 17.3-8 — геодезической линии 17.3-12 — канонические 10.2-6 — канонических поверхностей Второго по- рядка 3.5-7 — Колмогорова — Смолуховского — Чепмена 18.11-4 — Коши — Римана 7.3-2 — кривой естественные 17.2-3 — —, проходящей через точки пересе- чения кривой с поверхностью 3.1-16 — кривых второго порядка канонические 2.4-8, 2.4-9 — линейно зависимые 1.9-3 — — независимые 1.9-3 — Майнарди — Кодацци 17.3-8 — нормали к поверхности второго порядка 3.5-8 — параллелизма 16.10-9 — Петерсона — Кодацци 17.3-8 плоскостей, проектирующих прямую на координатные плоскости 3.3-1 — преобразования 4.5-6 — прямой как пересечения двух плоско- стей 2.3-1 — — канонические 3.3-1 — — параметрические 2.2-2, 3.3-2 — —, проходящей через данную точку в данном направлении 3.3-1 — —, — через две точки 3.3-1 — ребра возврата 17.3-11 — сопряженные 11.8-2, 11-8-4 — Состояния 11.8-1, 11.8-4 — — конечно-разностные 11.9-1 — чувствительности 13.6-4 — эвольвент 17.2-5 * — Эйлера Г1.6-1 Уровень значимости критерия 19.1-3, 19.6-3 Ускорение движущейся точки, разложение на тангенциальную и нормальную со- ставляющие 12.2-3 Условие граничное естественное 11.6-5 — Лежандра усиленное 11.6-10 — Липшица 9.2-1 — необходимое максимума функции при условиях-неравенствах 11.4-3 — параллельности плоскостей 3.4-1 — — прямой н плоскости 3.4-1 — — прямых 2.3-2 — пересечения трех прямых в одной точке 2.3-2 — перпендикулярности прямой и плос- кости 3.4-1 — — прямых 4.3-2, 3.4-1 — представления 14.9-1 Условие того, что две прямые лежат в плоскости 3.4-3 — —, — три плоскости проходят через одну прямую 3.4-3 — —, — — точки лежат на одной пря- мой 2.3-1, 3.4-3 — , — четыре плоскости проходят че- рез одну точку 3.4-3 — — — точки лежат в одной плос- кости 3.4-3 — трансверсальности 11.6-5, 11.6-8 — — общее 11.6-5 Условия Вейерштрасса — Эрдмана для эк- стремалей 11.6-7 — граничные типа Коши 10,2-1 — Дирихле 4.4-8, 4.11-4 — интегрируемости 10, Н2 — краевые 9.1-2 — Линдеберга 18.6-5 — Ляпунова 18.6-5 Условия начальные 9.1-2, 10.2-1 — параллельности прямых 3.4-1 — периодичности 15.4-8 — полосы 10.2-1 — скачка 11.8-5 — совместности 10.1-2 — трансверсальности 11.8-2 — угловые 11.6-7, 11.6-8, 11.8-3 — Якоби 11.6-8 Устойчивость дифференциального уравне- ния 9.4-4 — — — асимптотическая 9.5-4 — периодических решений системы диф- ференциальных уравнений 9.5-4 — по Ляпунову решений системы диффе- ренциальных уравнений 9.5-4, 13.6-5 — равновесия автономных систем 13.6-6 — равновесного решения системы диффе- ренциальных уравнений 9.5-4 — решений автономной системы 9.5-4 — — системы линейных разностных урав- нений 20.4-8 — статистическая 19.1-1 Ф Фаза 4.11-4 Фазовая переменная 11.8-1 — плоскость 9.5-2 — траектория 9.5-2 Фактор композиционный 12.2-6 Фактор—группа группы по нормальному делителю 12.2-6 Факториал 1.2-4" Факториальный многочлен степени п 21.5-1, 21.5-3 Фильтры усредняющие 19.8-2 Фокальная ось 2.4-9 — хорда 2.4-9 Фокальный параметр 2.4-9 Фокус 2.4-9, 17.3-11 — устойчивый, неустойчивый 9.5-4 Форма билинейная 13.5-1 — квадратичная 13.5-2 — однородная 13.5-2 — пространства основная относительно базиса 14.7-1 — эрмитова см. Эрмитова форма Формула Адамса 20.8-3 — Адамса — Башфорта четвертого поряд- ка 20.8-3, табл. 20.8-2 — Бессели интегральная 21.8-2 — Гильберта — Шмидта для резольвент- вого ядра 15.3-8 — Грнна для окружности с условиями Дирихле 15.6-9 — — обобщенная 15.4-3 — Дюамеля 10.5-4 — интегральная Гейне 21.8-11 — — Дирихле 21.9-4 — — Коши 7.5-1 — — Пуассона 15.6-6, 15.6-9, 21.8-2 — интерполяционная см. Интерполяцион- ная формула — квадратурная, см. квадратурная формула — Лапласа для чисел Бернулли 21.5-2 — Муавра 1.3-3 ' — обращения 10.5-1 — Родрига обобщенная 21.7-5, табл. 21.7-2 — Стирлинга 21.4-2 — Тейлора 4.10-4, 4.10-5 — — локальная 11.3-2 — третьего порядка 20.8-3 — Штермера 20.8-7 — Эйлера для выпуклых многогранников 1.10-6
828 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ. п Формула Байеса 18.2-6, 18.4-5 — Грина 4.6-12 — дифференцирования 4.5-1 — для уничтожения иррациональности в знаменателе 1.2-2 — квадратурные см. Квадратурные фор- мулы —- Кемпбелла 18.11-5 — Ньютона 1.4-3, 1.6-3 — параболической интерполяции 20.5-2 —.половинных углов 1.12-4 — приведения Гаусса для гипергеометрн- чёских функций табл. 9.3-2 — разложения Хевисайда 8,4-4 — Фредгольма для резольвентного ядра 15.3-8 — Френе — Серре 17.2-3 — Эйлера — Фурье 4.11-2 — Функции асимптотически пропорциональ- ные 4.4-3 — — равные 4.4-3 — асимптотические соотношения 4.4-3 — бесконечно большие порядка 1, 2, ... 4.4-3 — — — экспоненциального порядка 4.4-3 — — малые порядка 1,2, ... 4.4-3 — Бесселя сферические 21.8-8 — — —, асимптотические разложения 21.8-9 — — —, теорема сложения 21.8-3 — —.условия ортогональности 21.8-4 цилиндрические, асимптотические разложения 21.8-9 — — — второго рода 21.8-1 — — —, интегральные представления 21.8-2 — — —,• — формулы 21.8-2 — — модифицированные 21.8-6 — — — нецелого порядка 21.8-1 — — — первого рода 21.8-1 — — — целого порядка 21.8-1, 21.8-4 — Вебера 21.8-1 — Вейерштрасса 21.6-2, 21.6-3, 21.6-9 — взаимно ортогональные 15.2-3 — Ганкеля, асимптотические разложения 21.8-9 —- — второго рода 21,8-1 — — модифицированные 21.8-6 — — первого рода 21.8-1 *— гармонически сопряженные 15.6-8 — гиперболические 21.2-5, 21.2-6, 21.2-7, 21.2-9 — —, геометрическая интерпретация 21.2-5 — —, разложение в степенной ряд 21.2-12 — единичные асимметричные 21.9-1 — импульсные асимметричные 21.9-6 — канонически сопряженные 10.2-6 — корреляционные действительных слу- чайных процессов 18.10-4 — — для линейной комбинации случай- ных процессов 18.12-1 — Лагерра .присоединенные 21.7-5 — Лежандра второго рода 21.7-3 — — первого рода 21.7-3 — — присоединенные 21.8-10 — —« —, интегральные свойства 21.8-11 — — — первого рода 21.8-10 г— линейно зависимые 1.9-3 — независимые 1.9-3 г— Неймана 21.8-1 т- —, асимптотические разложения 21.8-9 некоррелированные 18.10-9 неявные, теорема существования 4.5-7 обратные гиперболические 21.2-8, 21.2-11 Функции обратные гиперболические, рдз? ложение в степенной ряд 21.2-12 — — тригонометрические 21.2-4, 21.2-11 — — —, главные значения 21.2-4 — — —, разложение в степенной ряд 21.2-12 — одинакового порядка 4.4-3 — от многих радиусов-векторов 5.5-8 —, отображающие специальные области на единичный круг 7.9-6 — симметрические элементарные 1.4-3 — случайные величины одномерной 18.5-2 — случайных величин многомерных 18.5-4 — тригонометрические 21.2-1, 21.2-2, 21.2-3, 21.2-9 — —, разложение в бесконечные произве- дения 21.2-13 — —, — в степенной ряд 21.2-12 — функционально зависимые 4.5-6 — цилиндрические, теорема сложения 21.8-13 — Чебышева второго рода 21.7-4 — эквивалентные 4.4-3 — элементарные, выражение через ги- пергеометрические табл. 9.3-2 — эллиптические см. Эллиптические функ- ции — Эрмита 21.4-6 — bermz, beimz, herwz, hel^z, кег^г^ kelmz 21.8-7 Функционал 12.1-4 — линейный 14.4-9 Функциональное уравнение 20.4-6 Функциональный анализ 15.1-1 — определитель 4.5-6 Функция автокорреляционная 18.9-3/ 18.10-8 — алгебраическая 4.2-2 — аналитическая 4.10-4 — — в бесконечности 7.3-3 — — в открытой области 7.3-3 — — в точке 7.3-3 — —, интегральные теоремы 7.5 — — моиогениая 7.4-2 — — — с естественными границами 7.8-1 — —, разложение в ряд 7.5-2, 7.5-3 — —, свойства 7.3-4 — антипериодическая 4.2-2, 8.3-2 — аппроксимирующая 20.8-4 — аргумента х 4.2-1 — бесконечно большая 4.4-1 — — малая 4.4-1 — бесконечного порядка 7.6-5 — — типа 7.6-5 — Вейерштрасса 11.6-10 ~ векторная линейная 14.3-1 — — точки 5.4-3 — вероятностная 18.2-7 — весовая 15.2-1- — взаимная корреляционная 18.9-3,) 18.10-8 — влияния 19.S-2 — возрастающая 4.4-8 —, выпрямление 8.3-2 — Гамильтона 11.6-8 — гармоническая 15.6-4 — гипер гео метр и ческа я 9.3-9 — — второго рода 9.3-8 — — вырожденная второго рода 9.3-10 — — —, дополнительные формулы табл, 9.3-3 — — — Куммера 9.3-10 — —, формулы приведения Гаусса табл, 9.3-2 — голоморфная 7.3-3
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 829 ill 111111 11111 11 I I I I 1.1.11 111- I 11111 11 11 1.11 11 .1 I 1111'11111 Функция Грина 9.3-3 — — асимметрическая 9.4-3 — — второго рода 15.5-4 *— — для краевой задачи с однородными краевыми условиями 15.5-1 — — для линейных краевых задач 9.3-3 — — для плоскости 15.6-9 — — для полуплоскости с условиями Дирихле 15.6-9 — — для полупространства с условиями Дирихле 15.6-6 — — для сферы с условиями Дирихле 15.6-6 — модифицированная 15.5-1 — обобщенная 9.3-3 — разложение по собственным функ- циям 15.5г2 — симметрическая 9.4-3 двоякопериодическая 21.6-1 —, детектирование 8.3-2 — целая 21.6-1 Дирихле S (х) 21.9-2 дифференцируемая 7.3-1 — в точке 4.5-1, 4.5-3 — на множестве 4.5-3 дробная рациональная 4.2-2 единичная симметричная 21.9-1 * измеримая 4.6-14 —, свойства 4.6-14 импульсная, аппроксимация непрерыв- но дифференцируемыми функциями 21.9-4 —, — разрывными функциями 21.9-4 — единичная'симметричная 21.9-2 —, представления интегралом Фурье 21.9-5 интегральный синус, интегральный ко- синус и’ т. д. см. Интегральный сииуС и Т. Д. интегрируемая в смысле Римана 4.6-1 — по Лебегу 4.6-15 квадратически интегрируемая 15.2-1 комплексная 7.2-1 конечного порядка 7.6-5 — типа 7.6-5 координат, инвариантная относительно преобразований координат 14.1-4 корреляционная 18.9-3 — нормированная 18.10-2 — по времени 18.10-8 — по множеству наблюдений 18.10-2 кусочно-гладкая 4.5-1, 4.5-3 кусочно-непрерывная 4.4-7 линейная 11.4-1 логарифмическая 21.2-10, 21.2-11 —, разложение в степенной ряд 21.2-12 Ляпунова 13.6-6 матрицы 13.2-12 мероморфная 7.6-7 —, разложение на простейшие дроби - 7.6-7 минимального типа 7-6-5 многих переменных 4.2-1 — — аналитическая 4.10-5 — —. разложение в кратный ряд Тейлора 4.10-5 многозначная 4.2-2 монотонная строго 4.4-8 — нестрого 4.4-8 невозрастающая 4.4-8 Неймана 15.5-7 неограниченно возрастающая 4.4-1 непрерывная в точке 4.4-6 — — — слева 4.4-7 — — — справа 4.4-7 Функция непрерывная на множестве 4.4-6 — непрерывно дифференцируемая 4.5-3 — неубывающая 4.4-8 — нечетная 4.4-2 — нормального типа 7.6-5^ — нормируемая 15.2-1 — обратная 4.2-2 — ограниченная 4.3-3 — ограниченной вариации 4.4-8 — однозначная 4.2-2, 12.1-4 — однородная степени г 4.5-5 — ош ноок 18.8-3 — передаточная 9.4-7 — периодическая 4.2-2, 8.3-2 - т- подынтегральная 4.6-1 — показательная 21.2-9 — —, разложение в степенной ряд 21.2-12 — полигональная 11.7-3 — правдоподобия 19.1-2 — представление интегралом 4.10-1 — , — — Фурье 4.11-4 — производящая см. Производящая функ- ция — равномерно непрерывная на множестве 4.4-6 — — ограниченная 4.3-3 — — сходящаяся 4.4-4 —, разложение в непрерывную дробь 4.8-8 — , — в ряд 15.2-6 , — — — степенной 4.10-1 — , — — — Тейлора 4.10-4 —, —-------Фурье 4.11-4 — распределения 18.2-9 — .— вероятностей случайного процесса 18.9-2 — — двумерного случайного вектора 18.4-2 — — маргинальная 1-8.4-7 — — многомерная 18.4-7 — — нормальная 18.3-3 — • — эмпирическая 19.2-2 — рациональная 4.2-2 — ' —, разложение на элементарные дроби 1.7-4 — регулярная 7.3-3 — результирующая 15.3-1 — решающая 19.9-1 — Римана — Грина 10.3-6 — с зеркально сдвинутыми полуволнами 8.3-2 — скалярная точки 5.4-2 — случайная, см. Случайная функция — собственная краевой задачи 10.4-2. — спектральная обобщенная 18.10-10 —, среднее значение 4.11-4 — , стремящаяся к пределу 4.4-1 — , — к 4“ с0» — со’ 4.4-1 — ступенчатая 21.9-1 — —, аппроксимация непрерывными функ- циями 21.9-1 — —, представления интегралом Фурье 21.9-1 — суммируемая 4.6-15 —, сходящаяся к пределу 12.5-3 — точек 16.1-3 — убывающая 4.4-8 — , условие аналитичности в точке 7.3-3 — , условие дифференцируемости 7.3-2 — характеристическая 18.3-8, 18.4-10 — — п-мерная 18.9-3 ч — — совместная 18.9-3 — целая 7.6-5 — —, разложение в произведение 7.6-5. — — рациональная 1.4-3, 4.2-2, 7.6-5 — . — трансцендентная 7.6-5
830 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Функция целевая 11.4-1 — цилиндрическая 21.8-1 — — круговая 21.8-1 — четная 4.2-2 — экспоненциального типа 7.6-5 — эллиптическая см. Эллиптическая функция Функция-объект 15.3-1 Частное Релея 14.8-8, 15.4-7 — — для обобщенной задачи о собствен- ных значениях 14.8-8 Частота круговая 4.11-4 — — собственная 9.4-1 ' — основная 4.11-4 — — гармоническая вторая, третья 4.11-4 — попадания относительная в /\й классо- вый интервал 19.2-2 X — события 19.2-1 Карактер представления 14.9-4 — — примитивный 14.9-4 — — простой 14.9-4 — — составной 14.9-4 Карактеристика 10.2-1, 10.3-1, 10.3-7# 17.3-11 Ч — области целостности 12.3-1 — оперативная критерия 19.6-2 — частотная 9.4-7, 20.8-8 (Характеристическая функция 18.3-8, 18.4-10 — — интегрального уравнения 15.3-3 — — линейного дифференциального опе- ратора 15.4-5 — — ядра 15.3-3 Характеристический вектор оператора 14.8- 4, 14.8-^ Характеристическое значение оператора 14.8- 3, 14.8-4 — уравнение оператора 14.8-3 — число линейного дифференциальйого оператора 15.4-5 — —- групповая 19.2-2 — — накопленная 19.2-2 — — относительная 19.2-1 — — — накопленная 19.2-2 Частотная характеристика 9.4-7 Числа алгебраические 1.1-2 — Бернулли 21.5-2, 21.5-3 — — порядка п 21.5-2 — —, рекуррентная формула 21.5-2 — —; формула Лапласа 21.5-2 — иррациональные 1.1-2 — натуральные 1.1-2 — —, полная упорядоченность 1.1-2 — —, свойства 1.1-2 — —, упорядоченность 1.1-2 — Стирлинга 21.5-1 — трансцендентные 1.1-2 — Фибоначчи 8.7-2 — целые 1.1-2 — —, сравнимые по модулю 12.2-10 Численное дифференцирование 20.7-1 — интегрирование дифференциальных уравнений 20.8-2 — — — — второго порядка 20.8-7 Ц Целевая функция 11.4-1 Цена действия системы 19.9-1 — игры 11.4-4 Центр выборочного распределения 19.7-2 — группы 12.2-7 — кривизны 17.1-4, 17.2-5 — кривой второго порядка 2.4-6 — окружности 2.5-1 — поверхности второго порядка 3.5-5 — пучка 2.3-2 х — распределения вероятностей 18.3-3# 18.4-4, 18.4-8 — рассеивания 18.4-4 соприкасающейся сферы 17.2-5 Цепная линия 2.6-2 — дробь 4.8-8 Цепь 12.6-2 — Маркова 18.11-4 Цикл 18.7-3 Циклоида 2.6-2 г — удлиненная 2.6-2 — укороченная 2.6-2 Цилиндр 1.10-4, 3.1-15 — гиперболический 3.5-7 — параболический 3.5-7 — эллиптический 3.5-7 Цилиндрическая функция см. Функция цилиндрическая Цилиндрические гармоники 21.8-1 Циркуляция вектора 5.7-1 Циссоида Диоклесса 2.6-1 — — — — высших порядков 20.8-6 — — для равноотстоящих узлов 20.7-2 — — систем дифференциальных уравне- ний 20.8-6 — — уравнений с частными производ- ными 20.9-1, 20.9-4 Численное решение алгебраических урав- нений 20.2-4 — _ двухточечной краевой задачи для дифференциальных уравнений 20.9-2 — — краевых задач, методы аппроксими- рующих функций 20.9-9 — — интегральных уравнений 20.9-10 Число алгебраическое 1.6-3 — действительное 1.1-2, 1.3-1 — комплексное 1.3-1 — мнимое 1.3-1 — обратное 1.1-2 — противоположное 1.1-2 — чисто мнимое 1.3-1 — Эйлера е 112-3 Числовые ряды 4.8-5 — суммы 1.2-8 Ш Шар конечного радиуса замкнутый 12.5-3 — — — открытый 12.5-3 Шестиугольник 1.10-1 Ширина спектра случайного процесса 18.11-2 Широта 3.1-6 Э Ч Эвольвента 17.2-5 Частичная сумма ряда 4.8-1 Частная производная вектор-функции 5.3-2 — — функции 4.5-2- — — — более высокого порядка 4.5-2 Частное 1.7-2 — комплексных чисел 1.3-3 Эволюта 17.2-5 Экстремаль 11.6-1 — ломаная 11.6-7 — с угловыми точками 11.6-7 Экстремум, достаточные условия 11.2-2, 11,3-3
ИРЬДМЫНЫИ УКАЗАТЕЛЬ w 831 Экстремум, необходимые условия 11.2-2, ' 11.8-3 t — односторонний 11.6-7 — определенного интеграла, необходимое условие 11.6-1 — — — условный 11.6-2 — условный, необходимое условие 11,3-4 Эксцентриситет 2.4-9 Эксцесс 19.2-4 Элемент булевой алгебры дизъюнктивный 12.8-1 — вероятности 18.8-2, 18.4-8, 18.4-7 — группы 12.2-1 — — обратный левый 12.2-1 — дуги 4.6-9 Элемент кольца с единицей левый обрат- ный, правый обратный 12.3-1 — линейной алгебры идемпотентный 12.4-2 — — — нильпотентный 12.4-2 — матрицы 13.2-1 — множества 4.3-2 — объема 6.2-3, 16.10-10 — плоский 10.2-1 — площади 17.3-3 — — векторный 17.3-3 — — поверхности 5.4-6 — расстояния 17.4-2 Элементы группы перестановочные 12.2-1 — — сопряженные 12.2-5 — —, сравнимые по модулю 12.2-10 — определителя 1.5-1 —,- эквивалентные относительно подгруп- пы 12.2-8 Эллипс 2.4-8, 2.4-9 —, построение касательных и нормалей 2.5-3 —, — по осям 2.5-8 Эллипсоид вращения вытянутый 1.10-5 — — сплюснутый 1.10-5 — действительный 3.5-7, 3.5-10 — рассеяния 18.4-8 Эллипсы равной вероятности 18.8-6 Эллиптическая функция 21.6-1, 21.6-2 Эллиптические функции Якоби 21.6-7, 21.6-9 — — —, дифференцирование 21.6-7 — — —J разложения , в ряды 21.6-7 — — —. теорема сложения 21.6-7 Эллиптический интеграл 4.6-7, 21.6-4 — —, алгебраическое приведение 21.6-5 — — Вейерштрасса нормальный второго рода 21.6-3 — — — — первого рода 21.6-2 — — Лежандра -нормальный неполный 21.6-6 — —- — — ПОЛНЫЙ 21.6-6 — —, нормальная форма Вейерштрасса 21.6-5 — —t — — Римана 21.6-5 — — нормальный первого, второго, треть- его рода 21.6-5 Эллиптический интеграл первого, второго третьего рода 21.6-4, 21.6-5 — —, приведение к нормальной форме Лежандра 21.6-5 — — связанный 21.6-6 Эндоморфизм 21.1-6 Энтропия распределения вероятностей 18.4-12 —* условная 18.4-12 Энумератор 18.7-3 Эпициклоида 2.6-2 Эргодический процесс 18.10-7 Эргодическое свойство 18.10-7 Эрмитова матрица неопределенная 13.5-3 — — неположительная 13.5-3 — — неотрицательная 13.5-3 .— — отрицательно определенная 13.5-3 — — — полуопределенная 13.5-3 — — положительно определенная 13.5-3 — — — полуопределенная 13.5-3 — форма 13.5-3 — —, линейная подстановка 13.5-4 — — неопределенная 13.5-3’ — — неотрицательная 13.5-3 — — неположительная 13.5-3 — — отрицательно определенная 13.5-3 — — — полуопределенная 13.5-3 — — положительно определенная 13.5-3 — ~ — полуопределенная 13.5-3 Эффект дробовой 18.11-5 Эффективность оценки 19.4-1 — — асимптотическая 19.4-1 Я Явление Гиббса 4.11-7 Ядро взаимное 1513-7, 15.3-9 — вырожденное разделяющееся 15.3-1 — гомоморфизма 12.2-9 интегрального преобразования 15.3-1 — итерированное 15.8-5 — линейного преобразования 14.3-2 — непрерывное в среднем 15.3-1 — нормируемое 15.3-1 — резольвентное 15.3-7 — симметричное 15.3-1 — сингулярное 15.3-8 ч — сопряженное 15.3-1 — траиспоиированное 15.3-1 — эрмитово 15.3-1, 15.3-2 — — вспомогательное 15.3-4 — — неотрицательное 15.3-6 — — неположительное 15.3-6 — — отрицательно определенное 15.8-6 — — полное 15.3-4 — — положительно определенное 15.3-6 — —, разложение в ряд 15.3-6 — — сопряженное 15.3-1 — —, теоремы разложения 15.3-4 Якобиан 4.5-6