Text
                    

Б. Г. Зив ГЕОМЕТРИЯ ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ 10-е издание Москва "Просвещение” 2009
УДК 372.8:514 ББК 74.262.21 3-59 Зив Б. Г. 3-59 Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс / Б. Г. Зив. — 10-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 159 с. : ил. — ISBN 978-5-09-021737-8. Данное пособие содержит самостоятельные и контрольные рабо- ты по геометрии, а также математические диктанты. Дидактиче- ские материалы адресованы учителям, работающим по учебни- ку «Геометрия, 10—11» авторов Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Л. С. Киселевой, Э. Г. Позняка, но могут быть ис- пользованы при работе и по другим учебникам. УДК 372.8:514 ББК 74.262.21 ISBN 978-5-09-021737-8 © Издательство «Просвещение», 1994 © Художественное оформление. Издательство «Просвещение», 2007 Все права защищены
---ПРЕДИСЛОВИЕ В пособии приведены 23 самостоятельные работы, 2 самостоятельные работы на повторение планиметрии, 6 контрольных работ и 4 математических диктанта. Дополнительные работы могут быть использованы на фа- культативных занятиях. Самостоятельные работы обозначены буквой С с соответ- ствующим номером, самостоятельные работы на повторе- ние планиметрии — буквами СП, дополнительные само- стоятельные работы — ДС, контрольные работы — К и математические диктанты — буквами МД. Основная цель этих самостоятельных работ — помочь учителю организо- вать деятельность учащихся по решению задач с учетом их индивидуальных особенностей и уровня подготовки. Кроме того, самостоятельные работы могут использоваться для те- кущего контроля умений и навыков школьников. Самостоятельные работы даны в восьми вариантах. В первом и втором вариантах каждой работы предлагаются задачи, для успешного решения которых учащиеся долж- ны применить знания на уровне минимальных программ- ных требований. Третий и четвертый варианты состоят из задач среднего уровня сложности. Задачи этих вариантов по сложности примерно соответствуют большинству основных задач учеб- ника. Пятый и шестой варианты предназначены для более подготовленных учащихся. При решении задач этих вари- антов необходимо применять знания в усложненных ситуа- циях, иметь достаточно высокий уровень развития вычис- лительных навыков и навыков проведения тождественных преобразований. По сложности эти задачи примерно соот- ветствуют наиболее трудным из основных и дополнитель- ных задач учебника. Седьмой и восьмой варианты состоят из задач, при ре- шении которых требуется творческое применение знаний. Здесь приходится анализировать достаточно сложные гео- метрические ситуации, самостоятельно открывать новые факты, устанавливать отношения между ними. Задачи из седьмого и восьмого вариантов могут быть предложены от- дельным учащимся после выполнения ими основной рабо- ты наравне со всеми учащимися класса в оставшееся время или использованы в качестве необязательного задания для домашней работы, а также на факультативных занятиях либо занятиях математического кружка. 3
Учителю не следует обязательно выполнять с учащими- ся все задания каждой из работ. Надеемся, что представ- ленные в пособии работы позволят ему на любом уровне отобрать необходимые задания в зависимости от цели уро- ка, наличия учебного времени, уровня подготовки уча- щихся. Самостоятельные работы на повторение планиметрии даны в восьми вариантах, сгруппированных попарно. Дополнительные самостоятельные работы составлены в шести вариантах в зависимости от уровня сложности. Контрольные работы приведены в четырех вариантах. Они предлагаются для проведения итоговой проверки зна- ний по каждой теме курса 10 класса. По сложности все ва- рианты работ примерно одинаковы. В каждом вариан- те имеется задание, отмеченное звездочкой. Эти задания потребуют творческого применения знаний, анализа не- стандартных геометрических конфигураций. Оценка вы- ставляется только за основную часть работы, а учащиеся, решившие дополнительную задачу, могут по усмотрению учителя получить вторую оценку за работу. Контрольная работа К—6 предлагается для повторения планиметрии. Математические диктанты предназначаются для систе- матизации теоретических знаний учащихся. Диктант со- ставлен из небольших задач по прямому применению тео- рии. При проведении диктанта ученик должен в течение нескольких минут ответить на вопрос или решить задачу, предложенную учителем. Необходимое для ответа время регулирует учитель в зависимости от сложности вопроса и подготовленности класса. На такую работу можно отвести примерно 35 минут, после чего учитель вместе с классом проверяет ответы, обращает внимание класса на допущен- ные ошибки. Учитель сам решает, какие задачи дать в виде текста, а какие — с использованием чертежа. Он же по своему усмотрению может предлагать не все вопросы диктанта, а только их часть. В конце пособия даны ответы ко всем са- мостоятельным и контрольным работам. К наиболее слож- ным задачам приведены указания или решения. При составлении самостоятельных и контрольных работ на повторение планиметрии принимал участие учитель из Санкт-Петербурга Александр Хаимович Шахмейстер. Замечания и предложения просим направлять в изда- тельство «Просвещение» по адресу: 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Автор
--=] САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ Вариант 1 С-1 1. Точки А, В и С не лежат на одной прямой М е АВ, К е AC, X е МК. Докажите, что точка X лежит в плос- кости АВС. 2. Плоскости а и Р пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в плоскости а и пересекает плоскость р. Пересе- каются ли прямые а и т? Почему? С-2 1. На рисунке 1 плоскости а и Р пересекаются по прямой EF. Прямая АВ лежит в плоскости а. В плоскости р че- рез точку С проведите прямую так, чтобы она: 1) пересекала прямую АВ; 2) была скрещивающейся с прямой АВ; 3) была параллельна прямой АВ. 2. На рисунке 2 ААг || CCn AAj || ВВХ, ВВХ = ССХ. Докажи- те, что ВХСХ = ВС. С-3 1. В параллелограмме ABCD точки Е и F принадлежат сторонам АВ и CD, причем BE : ЕА - CF : FD. Через эти точки проведена плоскость а. Докажите, что ВС || а. 2. Прямая а параллельна плоскости а. Через прямую а проведена плоскость р, пересекающая плоскость а по прямой Ь. В плоскости а существует прямая с, которая параллельна а. Докажите, что Ь || с. 5
С-4 1. Дано Z.EMC = Z.MCA и ZPEB = Z.EBC (рис. 3). Докажи- те, что плоскости МЕР и АВС параллельны. 2. Отрезок CD лежит в плоскости а. Концы отрезка ЕМ ле- жат в параллельных плоскостях а и 0 (рис. 4). Построй- те линии пересечения плоскостей ECD, ЕМС и EMD с плоскостью 0. С-5 1. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед, BE лежит в плоско- сти AXBD. Докажите, что BE параллельна плоскости BXDXC. 2. В тетраэдре DABC Z.DBC = Z.DBA = Z.ABC = 90 , BD = = В А = ВС = 2 см. Найдите площадь грани ADC. С-6 1. Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью, прохо- дящей через точки Р, М и К, где Р € AD, М € BD и К € ВС, причем АР = PD и DM = МВ. 2. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основание ABCD — квадрат со стороной, равной 8 см, остальные грани — прямоугольники. Боковое ребро равно 3 см, Е — середи- на Л]#!. Постройте сечение параллелепипеда плоско- стью, проходящей через АС и точку Е, и найдите пери- метр сечения. С-7 1. АВС — правильный треугольник, О — его центр, ОМ — перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона тре- угольника равна 3. Найдите расстояния от точки М до вершин треугольника. 2. ABCD — параллелограмм, BE и FD — перпендикуляры к плоскости АВС. Докажите, что плоскости АВЕ и DFC параллельны. 6
С-8 1. ABCD— квадрат, ЕА ± ВС, К € ЕВ. Докажите, что ВС ± АК. 2. Через сторону АС треугольника ABC (Z.C = 90°) прове- дена плоскость а; ВВХ ± а, СВ, ± АС, АВ = 25, АС = 24. Найдите площадь треугольника АВС. С-9 Из точки М к плоскости а проведены две наклонные, длины которых 18 и 2 ч 109 см. Их проекции на эту плоскость относятся как 3:4. Найдите расстояние от точки М до плоскости а. С-10 1. В треугольнике АВС АВ = ВС = 25, АС = 48, BD — пер- пендикуляр к плоскости ABC, BD = V15. Найдите рас- стояние от точки D до прямой АС. 2. В параллелепипеде ABCZ>A1BiC,D1 ABCD — квадрат со стороной, равной 2 см. Все боковые грани — прямо- угольники, BXD = 5 см. Найдите углы между BXD и плоскостью АВС и между BXD и плоскостью DD£X. С-11 1. Чему равен угол между ребром двугранного угла и лю- бой прямой, лежащей в плоскости его линейного угла? 2. Треугольник АВС — прямоугольный (ZC = 90°), Z.A = = 30°, АС = a, DC ± ABC, DC = ^^-. Чему равен угол между плоскостями ADB и АСВ1 С-12 1. Треугольник AM В и прямоугольник ABCD расположе- ны так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол MAD — прямой. 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAxBxCxDi точ- ки Е, F и К — середины ребер АХВХ, AXDX и AD соответ- ственно, АВ = 4, ААХ = 6, С = -756. 1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, про- ходящей через точки Е, F и К, и докажите, что плоско- сти сечения и основания взаимно перпендикулярны. 2) Найдите AD. 7
С-13 1. В правильной треугольной призме ABCA1B1Ci каждая 2 , из сторон основания равна —, а боковое ребро — 2V3, М — центр грани CC^BjB. Найдите угол между прямой AM и плоскостью основания. 2. В правильной четырехугольной призме каждая из сторон основания равна 4 см. Через диагональ основания под углом 45° к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите площадь сечения. С-14 В основании прямой призмы ABCAiBiCi лежит прямо- угольный треугольник АСВ (ZC = 90°), АС = 4, ВС = 3. Через сторону АС и вершину В, проведена плоскость, ZB]AC = 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы. С-15 1. В наклонной треугольной призме ABCAxB^Ct основани- ем служит прямоугольный треугольник АСВ (ZC = 90°). Плоскость грани AAxCtC перпендикулярна плоскости основания. Докажите, что СС1В1В — прямоугольник. 2. В наклонной треугольной призме площади двух граней равны 70 и 150 см2, угол между ними — 60°. Боковое ребро равно 10 см. Найдите площадь боковой поверхно- сти призмы. С-16 1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см, а длина диагонали основания равна 6 <2 см. Най- дите площадь полной поверхности пирамиды. 2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а высота равна 2а. Найдите углы наклона боко- вых ребер и боковых граней к плоскости основания. С-17 1. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник ABC (Z.C = 90°), ВС = a, ZA = 30°. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°. Найдите высоту пирамиды. 2. В пирамиде МАВС боковое ребро МА перпендикулярно плоскости основания АВС, а грань МВС составляет с ним угол 60°, АВ = АС = 10, ВС = 16. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 8
С-18 1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковые грани наклонены к нему под уг- лом 60°. Найдите площадь сечения, проведенного через среднюю линию основания параллельно боковой грани. 2. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 6 и 8 см, а боковые грани на- клонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. С-19 1. Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDU ABCD — прямо- угольник, Е и F — середины ребер В1С1 и CpDj соответ- ственно. Запишите векторы с началом и концом в вер- шинах параллелепипеда, которые: 1) сонаправлены с вектором EF; 2) противоположно направлены вектору АВХ; 3) имеют длину, равную длине вектора АхСг. 2. Прямая а не лежит в плоскости а. Через прямую а про- ходит плоскость р, пересекающая плоскость а по пря- мой Ь. Точки А и В принадлежат прямой а, а точки С и D — прямой Ь. При каком условии векторы АВ и CD будут коллинеарными? С-20 1. ABCDAiBtCiDi — параллелепипед. Укажите вектор, равный сумме векторов АВ + В^С^ + DDi + CD. 2. Докажите, что векторы АСг - АС + С^АХ и AjA - СВ + 4- АВ противоположны. С-21 1. DABC — тетраэдр. Изобразите вектор DM = 2D А - * DC. 2. Точка К не лежит в плоскости треугольника АВС, Е и Р — середины отрезков АВ и ВС соответственно. Выра- зите разность векторов KE - КР через вектор АС. 9
С—22 1. Дан тетраэдр DABC, К — середина ребра АС, М — сере- ' » ' > -► * -♦ дина отрезка KD, DA = a, DB = b, DC = с. Разложите вектор ВМ по векторам а, b и с. 2. В параллелепипеде ABCDA^B^^D^ М — точка пересе- чения медиан треугольника АВХВ. Разложите вектор » » DM по векторам DA, DC и DDX. С-23 В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ АВ = 2 см, ААХ = 1 см. 1) Найдите площадь полной поверхности призмы. 2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью АСВХ. 3) Найдите угол, который составляет прямая АВХ с плоскостью АВС. 4) Найдите угол между плоскостями АВХС и АВС. 5) Найдите длину вектора ААХ - АС + 2ВХВ — СХС. 6) Докажите, что прямая АХСХ параллельна плоско- сти АСВХ.
Вариант 2 С-1 1. Прямые а и b пересекаются в точке О, А е а, ВеЬ, Y е АВ. Докажите, что прямые а и Ь и точка Y лежат в одной плоскости. 2. Даны пересекающиеся плоскости аир. Прямая а лежит в плоскости а и пересекает плоскость Р в точке А. Пря- мая b лежит в плоскости р и пересекает плоскость а в точке В. Докажите, что АВ — линия пересечения плос- костей а и р. С-2 1. На рисунке 5 плоскости аир пересекаются по пря- мой EF. Прямая АВ лежит в плоскости а и параллель- на EF. В плоскости Р через точку С проведите прямую так, чтобы она: 1) пересекала прямую АВ; 2) была скрещивающейся с прямой АВ; 3) была параллельна прямой АВ. 2. На рисунке 6 AtCx = AC, AtCt || АС, АХВХ = АВ, АХВХ || АВ. Докажите, что CCt || ВВХ. С-3 1. Точки Е и F принадлежат сторонам АВ и ВС треуголь- ника АВС, причем BE : ЕА = 2:3. Через эти точки проведена плоскость, параллельная АС. Найдите отно- шение BF : FC. 2. В плоскости а выбраны точки А и В. С концами в этих точках проведены в одном направлении от плоскости а равные и параллельные между собой отрезки ААХ и ВВХ. Докажите, что АХВХ || а. 11
л n DE DK DM t „ 1. Дано —— = —— = ——• (рис. 7). Докажите, что плоскости DA D(. Dd ЕКМ и ABC параллельны. 2. Концы отрезков АВ и CD лежат на параллельных плос- костях а и Р (рис. 8). Постройте линии пересечения плоскости АВС с плоскостью а и плоскости BDC с плос- костью р. С-5 1. ABCDAtBxCiDt — параллелепипед, АК лежит в плоскости ADyC. Докажите, что АК параллельна плоскости Afi^B. 2. В тетраэдре DABC Z.DBC = Z.DBA = ZABC = 60°, BD = = ВА = ВС - 4 см. Найдите площадь грани ADC. С-6 1. В тетраэдре DABC DA = DC = 13, AC = 10, E — середи- на ВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, прохо- дящей через точку Е параллельно плоскости ADC, и найдите площадь сечения. 2. В параллелепипеде ABCBA^C^t Р е AxDi и К е BtCt. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, прохо- дящей через точки Р и К и параллельной AAt. С-7 1. ABCD — квадрат со стороной, равной V2, О — точка пе- ресечения его диагоналей, ОЕ — перпендикуляр к плос- кости АВС, ОЕ = Л. Найдите расстояние от точки Е до вершин квадрата. 2. Дан треугольник ABC, AD и BE — перпендикуляры к плоскости АВС. Каково взаимное расположение линии пересечения плоскостей DAC и ЕВС и прямых AD и BE? 12
С-8 1. Дан прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°), Е е ВС9 ЕМ ± АВС. Докажите, что АС ± МВ. 2. ABCD — параллелограмм, AD = 4, CD = 6, МС — пер- пендикуляр к плоскости ABC, MD ± AD. Найдите пло- щадь параллелограмма. Из точки М к плоскости а проведены две наклонные, каждая из которых образует со своей проекцией на плос- кость а угол 30°. Угол между наклонными равен 90°. Найдите расстояние между основаниями наклонных, ес- ли расстояние от точки М до плоскости а равно J2 см. С-10 1. Треугольник АВС — прямоугольный (ZC = 90°), ZA = 30°, АС = а, МС ± АВС, МС = а^. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. 2. В параллелепипеде ABCDAlBiClDl ABCD — прямоуголь- ник. Все боковые грани тоже прямоугольники, AD= 12, CD = 5, AtC = 15. Найдите углы между А^С и плоско- стью АВС и между АгС и плоскостью ВВ^С^ 1. Плоскость а пересекают грани двугранного угла по пря- мым АВ и АС. Две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости а, перпендикулярны ребру этого угла. Дока- жите, что ZBAC — линейный угол этого двугранного угла. 2. ABCD — ромб, ZA = 60°, АВ = т, BE 1 ABC, BE = Найдите угол между плоскостями AED и АВС. С-12 1. Прямоугольник ABCD и параллелограмм ВЕМС распо- ложены так, что их плоскости взаимно перпендикуляр- ны. Докажите, что Z.MCD — прямой. 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точ- ка В — середина CXDX, AD = 5, АВ = 4, BXD = </77. 1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, про- ходящей через AD и точку В, и докажите, что плос- кость сечения перпендикулярна плоскости боковой гра- ни DDXCXC. 2) Найдите ААХ. 13
С-13 1. В правильной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX сторона основания равна 1, а боковое ребро равно V5, К — центр грани ААХВХВ. Найдите угол между прямой КС и плоскостью основания. 2. В правильной треугольной призме через среднюю линию основания под углом 60° к плоскости основания проведе- на плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите пло- щадь сечения, если сторона основания равна 4 см. С-14 В основании прямой призмы АВСАХВХСХ лежит прямо- угольный треугольник АСВ (Z.C = 90°). Через сторо- ну ВС и вершину Aj проведена плоскость, ZBAtC = 30°, AjB = 10, AC = 5. Найдите площадь боковой поверхно- сти призмы. С-15 1. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAjBiCjDj служит прямоугольник ABCD. Грань AApDpD перпенди- кулярна плоскости основания. Докажите, что DDXCXC — прямоугольник. 2. В наклонной треугольной призме площади двух граней равны 15 и 25 см2. Угол между ними 120°. Длина бо- кового ребра равна 5 см. Найдите площадь боковой по- верхности призмы. С-16 1. В правильной треугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота основания равна 15 см. Найдите площадь пол- ной поверхности пирамиды. 2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основа- ния равна а, а высота равна За. Найдите углы наклона боковых ребер и боковых граней к плоскости основания. С-17 1. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник АВС, у которого АВ = а и ZACB = 150°. Боковые ребра накло- нены к основанию под углом 45°. Найдите высоту пира- миды. 2. Основанием пирамиды PEFM служит равнобедренный треугольник, EF = ЕМ, MF = 20Тб. Боковое ребро РЕ равно 10 и перпендикулярно плоскости основания. Угол между РЕ и плоскостью MPF равен 60°. Найдите пло- щадь боковой поверхности пирамиды. 14
С-18 1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона осно- вания равна а9 а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°. Через диагональ основания параллельно боковому ребру проведена плоскость. Най- дите площадь сечения. 2. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 6 и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. С-19 1. В прямом параллелепипеде ABCDA1BiC1D1 точки К и М — середины ребер AD и DDX соответственно. Запиши- те векторы с началом и концом в вершинах параллеле- пипеда, которые: 1) противоположно направлены вектору КМ; 2) сонаправлены с вектором DC; 3) имеют длину, равную длине вектора АХВ. 2. Пусть плоскость у пересекает плоскости а и р по прямым а и b соответственно, А € а, В е а, С е b, 1) е Ь. Могут ли векторы АВ и CD быть коллинеарными? Если да, то укажите хотя бы одну из таких возмож- ностей. С-20 1. ABCDAXBXCXDX— параллелепипед. Укажите вектор, равный сумме векторов ВС + CXDX + АХА + DBX. 2. Докажите, что векторы DE + DF - KF и МС - МК - ЕС противоположны. С-21 1. FABC — тетраэдр. Изобразите вектор FK = 1,5СВ + 0.5CF. 2. В треугольнике АВС точки Е и F — середины сторон АВ и ВС соответственно. Точка М не лежит в плоскости треугольника АВС. Выразите вектор С А через разность векторов MF и ME. 15
С-22 1. ABCDAlBlClDl — параллелепипед, М — точка пересе- чения £К\ и DXC, АВ = a, AD = Ь, AAt = с. Разложите вектор AM по векторам а, Ъ и с. 2. В тетраэдре DABC М — точка пересечения медиан тре- угольника АВС. Разложите вектор DM по векторам С А, СВ и CD. С-23 В правильной четырехугольной пирамиде EABCD ребро ЕА = 2-У2 см, АВ = 2 см. 1) Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 2) Найдите площадь сечения пирамиды плоско- стью АЕС. 3) Найдите угол, который составляет прямая ЕС с плос- костью АВС. 4) Найдите угол между плоскостями ECD и АВС. ' > » » 5) Найдите длину вектора BE + ЕС - АВ + DE. 6) Докажите, что плоскости АЕС и АВС взаимно пер- пендикулярны.
Вариант 3 С-1 1. В чем ошибка чертежа (рис. 9)? Дайте объяснение. Сде- лайте верный чертеж. 2. По данным рисунка 10 постройте: 1) точки пересечения прямой EF с плоскостями АВС и AjBiCi; 2) линию пересечения плоскостей ADF и EFD‘, 3) линию пересечения плоскостей EFD и АВС. С-2 1. Докажите, что прямые AAt и CtDlt AAt и BXD, АС и BXDX являются скрещивающимися (рис. 11). 2. Прямая Ь лежит в плоскости а. Прямая а не лежит в плоскости а и параллельна прямой Ь. Через точку М, лежащую в плоскости а (М « Ь), проведена прямая с, параллельная а. Докажите, что с лежит в плоскости а. 17
С-3 1. а || Ь, а || а. В каком взаим- ном положении находятся прямая Ь и плоскость а? Дай- те объяснение. 2. На рисунке 12 ABCD — па- раллелограмм, Z.ABC = 130°, ААХ || ВВ, || СС, || DDt и ААХ = BBj = СС, = DDX. 1) Постройте линии пересече- ния плоскости AMD с плоско- стями AAxBlt BBiCj и DDXCX. 2) Найдите угол между пря- мыми АВ и AtDx. С-4 1. На рисунке 13 EF || EXFX и ЕМ || ЕХМХ. Докажите, что ZDFM = Z.DFMX. Рис. 13 Рис. 14 2. Отрезки АВ и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях а и Р (рис. 14). Что можно сказать о взаим- ном расположении прямых AD и ВС? С-5 1. В параллелепипеде ABCPA1B1CiD1 точки Е и F — сере- дины Bfix и CjD, соответственно, ААХ ± EF. Докажите, что BXD = BDX. 2. В тетраэдре DABC Z.DBC = Z.DBA = 60°, ВА = ВС = = 5 см, DB = 8 см, АС = 8 см. Найдите площадь тре- угольника ADC. 18
С-6 1. В тетраэдре DABC точка М — середина AD, Р е DC и DP : PC =1:3. Постройте сечение тетраэдра плоско- стью, проходящей через точки М и Р и параллельной ВС. Найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны а. 2. Постройте сечение параллелепипеда ABCDAxBiCxDx плоскостью, проходящей через точки Af, Р и Е, где М е BtCu Р е СС, и Е е АВ. С-7 1. Отрезок АВ не пересекает плоскость а, АС 1 а и BD ± а, АС = 20, BD = 30, М е АВ, причем AM : МВ = 2:3, ММ, ± а. Найдите ММ,. 2. а ± а и а ± р. Плоскость у пересекает плоскость а по прямой Ь, а плоскость |5 по прямой с. Каково взаимное расположение прямых b и с? С-8 1. ABCD — квадрат. Отрезок MD перпендикулярен плос- кости АВС. Докажите, что МВ ± АС. 2. ABCD — прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости АВС, ЕВ = 15, ЕС = 24, ED = 20. Докажите, что треугольник EDC — прямоугольный, и найдите АЕ. С-9 Плоскости аир параллельны. Из точки М (плоскости а и Р расположены по одну сторону от точки М) проведе- ны две прямые. Первая прямая пересекает плоскости а и Р соответственно в точках А и В, а вторая — в точках С и D, AM = CD, МС = 16, АВ = 25. Расстояние от точ- ки М до плоскости а равно 12. Найдите расстояние между плоскостями. С-10 1. ABCD — ромб со стороной, равной а, Z.A = 60°, AM ± ABC, AM = . Найдите расстояние от точки М до прямой CD. 2. В треугольнике АВС АС = СВ = 8, ZACB = 130°. Точка М удалена от плоскости АВС на расстояние, равное 12, и находится на равном расстоянии от вершин треуголь- ника АВС. Найдите угол между МА и плоскостью АВС. 19
С-11 1. На гранях двугранного угла взяты две точки, удаленные от ребра двугранного угла на 6 и 10 см. Известно, что одна из этих точек удалена от второй грани на 7,5 см. Найдите расстояние от другой точки до противополож- ной грани двугранного угла. 2. Через сторону ромба ABCD проведена плоскость а. Сто- рона АВ составляет с этой плоскостью угол 30°. Найди- те угол между плоскостью ромба и плоскостью а, если острый угол ромба равен 45°. С-12 1. Два правильных треугольника АВС и ВВС расположе- ны так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите тангенс двугранного угла, образованного плос- костями ADC и АВС. 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX осно- вание ABCD — квадрат, AD = 2, АСХ = 2v6. 1) Найдите ССХ. 2) Докажите, что плоскости АССХ и BBXDX взаимно пер- пендикулярны . С-13 1. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ сторона основания равна 4 см. Через середину АХСХ и сторону основания ВС проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если длина бокового ребра равна 2 см. 2. В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основанием служит ромб со стороной, равной a, Z.BAD = 60°. Через сторону AD и вершину Вх проведена плоскость, состав- ляющая с плоскостью основания угол 45°. Найдите дли- ну бокового ребра и площадь сечения. С-14 В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX АВ=1, ВС = 7-УЗ, ZABC = 150°. Через диагональ АС и вершину Вх проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверх- ности параллелепипеда. 20
С-15 1. Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ служит пра- вильный треугольник со стороной, равной а. Длина бо- кового ребра равна Ь, Z.AXAC = ЛАХАВ. Найдите пло- щадь грани CCjBjB. 2. В наклонном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX боковое ребро равно 10, а площадь боковой поверхности равна 420. Расстояние между ребрами ААХ и DDX на 11 боль- ше расстояния между ребрами ААХ и ВВХ. Расстояние между ребрами ВВХ и DDX равно 19. Найдите углы меж- ду смежными боковыми гранями параллелепипеда. С-16 1. В правильной треугольной пирамиде боковые грани на- клонены к основанию под углом 60°. Расстояние от вер- шины основания до боковой грани равно 3-J3. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона осно- вания равна 4 см, а расстояние от центра основания до бокового ребра равно 2 см. Найдите: 1) угол между смежными боковыми гранями; 2) плоский угол при вершине пирамиды. С-17 1. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапе- ция, основания которой равны 2 и 8 см. Боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите высоту пирамиды и площадь ее боковой поверхности. 2. В основании пирамиды лежит ромб со стороной, равной а, и углом 60°. Боковые грани, проходящие через сторо- ны острого угла ромба, перпендикулярны плоскости основания, а остальные две боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60е. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. С-18 1. В правильной четырехугольной пирамиде каждая из сторон основания равна а, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Через центр основа- ния параллельно боковой грани проведена плоскость. Найдите площадь сечения. 2. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 10 и 6 см, а площадь диаго- нального сечения 8% 10 см2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 21
С-19 1. В призме АВСАХВХСХ АВ = AC, ZAXAC = ХАхАВ, Е и F — середины ребер АС и АВ соответственно. Запишите векто- ры с началом и концом в вершинах призмы, которые: 1) сонаправлены с вектором EF", __„ 2) противоположно направлены вектору CtC; 3) имеют длину, равную длине вектора СВИ 2. Прямые АВ и CD параллельны. Через эти прямые про- ведены соответственно плоскости а и 0, которые пересе- каются по прямой EF. Будут ли коллинеарными векто- ры EF и CD, EF и АВ? Если да, то почему? С-20 1. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Укажите вектор, рав- ный сумме векторов ВХСХ + АВ + DDX + СВХ + ВС + АХА. 2. В пирамиде MABCD (основание — прямоугольник ABCD! ABj 8 см, ВС^15 см. Найдите'Л/В +A/) -VA|. С-21 1. В треугольной призме АВСАХВХСХ диагонали грани ВВХСХС пересекаются в точке М. Выразите вектор AM через векторы АС, ВВХ и ВС. 2. Диагонали параллелепипеда ABCDAXBXCXDX пересека- ются в точке О. При каком значении к справедливо соотношение АВ + ВХСХ + СО = kCxA? С-22 1. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX М € AD, причем AM : MD =1:3, а Ре DC, причем DP : РСХ = 2:5. Разложите вектор МР по векторам АВ, AD и ААХ. 2. Используя векторы, докажите, что отрезки, соединяю- щие середины противоположных ребер тетраэдра, пере- секаются в одной точке и делятся ею пополам. С-23 В прямой призме АВСАХВХСХ ХАВС = 90°, ХСАВ = 60°; АВ = 2 см, ААХ = 2<3 см. 1) Найдите площадь полной поверхности призмы. 2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью АХВС. 3) Найдите угол между плоскостями АХВС и АВС. 4) Найдите угол междупрямой ССХ и плоскостью АХВС. 5) Разложите вектор АХМ по векторам АХА, АХВ и АХС, если М — точка пересечения медиан треугольника АВС. 6) Найдите угол между плоскостями ААХВХ и АХВС. 22
Вариант 4 С-1 1. В чем ошибка чертежа, где О € EF (рис. 15)? Дайте объ- яснение. Сделайте верный чертеж. 2. По данным рисунка 16 постройте: 1) точку пересечения прямой РМ с плоскостями DCCt и АА1В1; 2) линию пересечения плоскостей PBtM и AB,Af; 3) линию пересечения плоскостей РМСХ и DDXCX. С-2 1. Докажите, что прямые AD и CXDX, AXD и DXC, DXC и АВХ являются скрещивающимися (рис. 17). 2. Даны две параллельные прямые а и Ь и точка М, не ле- жащая ни на одной из них. Лежит ли точка М в одной плоскости с прямыми а и Ь, если известно, что через точку М можно провести прямую, пересекающую толь- ко одну из данных прямых? 23
С-3 1. а || а, М е а. Докажите, что в плоскости а существует пря- мая Ь, проходящая через точ- ку М и параллельная пря- мой а. 2. На рисунке 18 ABCD — па- раллелограмм, Z.ADC = 100°, АА, = ВВХ = ССХ = DDX и ААХ || ВВХ || ССХ || DDX. 1) Постройте линии пересече- ния плоскости ААХЕ с плоско- стями AXDXCX, DDXCX и АВС. 2) Чему равен угол между прямыми AD и DXCX4 С-4 1. На рисунке 19 а || b || с и не лежат в одной плоскости, АВ || АХВХ и ВС || ВХСХ. Докажите, что АС = АХСХ. Рис. 19 2. Отрезки АВ и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях аир (рис. 20). Что можно сказать о взаим- ном расположении прямых АС и BD2 С-5 1. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX точки Р и К — сере- дины АВ и ВС соответственно, АХС = АСХ. Найдите угол между прямыми DDX и РК. 2. В тетраэдре DABC ребро DA = Гн 2 см, АВ = АС = 14 см, Z.DAB = Z.DAC = 45°, ВС = 16 см. Найдите площадь гра- ни В DC. 24
с-6 1. В тетраэдре DABC точка Р — середина AD, Е е DB, причем DE : ЕВ =1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки Р и Е и парал- лельной АС, и найдите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно а. 2. В параллелепипеде ABCDA^jCjDj М е DXCX, Р е DDX и К е ВС. Постройте сечение параллелепипеда плоско- стью, проходящей через точки М, Р и К. С-7 1. Отрезок АВ пересекает плоскость а, АС ± а и BD ± а, АС = 14, BD = 10, точка Е — середина АВ, ЕЕХ ± а. Найдите ЕЕХ. 2. а ± а, b ± а (Ь е а). Через прямую b проведена плоскость р. пересекающая плоскость а по прямой с. Каково вза- имное расположение прямых b и с? С-8 1. Треугольник АВС — равнобедренный, АВ = АС, точка D — середина ВС, прямая ED перпендикулярна плоско- сти АВС. Докажите, что АЕ ± ВС. 2. Точка А принадлежит окружности, АК — перпендику- ляр к ее плоскости, АК = 1 см, АВ — диаметр, ВС — хорда окружности, составляющая с АВ угол 45°. Радиус окружности равен 2 см. Докажите, что треугольник КСВ — прямоугольный, и найдите КС. С-9 Точка М расположена между параллельными плоско- стями а и р. Через точку М проведены две прямые. Пер- вая прямая пересекает плоскость а в точке А, а плос- кость р в точке В. Вторая пересекает эти плоскости соответственно в точках С и D, МА = MD, МС = 32, МВ = 50. Расстояние от точки М до плоскости а рав- но 24. Найдите расстояние между плоскостями. С-10 1. В треугольнике АВС АС = ВС = т, Z АСВ = 120°, РА ± АВС. Точка Р удалена на расстояние, равное т, от прямой ВС. Найдите расстояние от точки Р до плоско- сти АВС. 2. Треугольник АВС — прямоугольный (ZC = 90’), ZA = 20°, АС = 15. Точка М удалена на расстояние, равное 25, от каждой из вершин треугольника. Найдите угол между МС и плоскостью АВС. 25
С-11 1. Две точки лежат на грани двугранного угла и удалены от второй грани соответственно на 48 и 60 см. Одна из этих точек отстает от ребра двугранного угла на 50 см. Найди- те расстояние от второй точки до ребра двугранного угла. 2. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямо- угольного треугольника АСВ проведена плоскость а, параллельная гипотенузе и составляющая с катетом угол 30°. Найдите угол между плоскостью АВС и плос- костью а. С-12 1. Сторона правильного треугольника АВС равна 4. Тре- угольник DBC — равнобедренный (DB = DC). Их плос- кости взаимно перпендикулярны. Плоскость ADC со- ставляет с плоскостью АВС угол 60°. Найдите площадь треугольника DBC. 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX бо- ковая грань DDXCXC — квадрат, DC = 3, BDX = 422. 1) Найдите ВС. 2) Докажите, что плоскости BCDX и DCXBX взаимно пер- пендикулярны. С-13 1. В правильной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX сторона основания равна а, а боковое ребро равно —-—. £ Через диагональ основания BD и середину D^i проведе- на плоскость. Найдите площадь сечения. 2. В прямом параллелепипеде АВСВА,В1С1В1 основанием служит ромб со стороной, равной т, 2.ADC = 135°. Че- рез сторону DC и вершину At проведена плоскость под углом 60° к плоскости основания. Найдите длину боко- вого ребра и площадь сечения. С-14 В прямом параллелепипеде ABCDAjBjCjDj ВС = 7, CD =15, Z.BCD = 60’. Через диагональ BD и вершину С, проведена плоскость под углом 45° к плоскости основа- ния. Найдите площадь боковой поверхности параллеле- пипеда. 26
С-15 1. В наклонном параллелепипеде ABCDA^B^iDi основа- нием служит квадрат ABCD со стороной, равной а, ААХ = Ь, Z.AXAD = ЛАХАВ. Найдите площадь диаго- нального сечения BBXDXD. 2. В наклонном параллелепипеде ABCDA^B^C^D^ боковое ребро равно 10, а площадь боковой поверхности равна 880. Расстояния от ребра DDX др ребер ССХ и AAf отно- сятся как 7 : 15. Расстояние между ребрами ААг и CCt равно 26. Найдите углы между смежными боковыми гранями параллелепипеда. С-16 1. В правильной четырехугольной пирамиде боковые гра- ни наклонены к основанию под углом 60°, а расстояние от середины стороны основания до противоположной бо- ковой грани равно 4/3. Найдите площадь боковой по- верхности пирамиды. 2. В правильной треугольной пирамиде высота основания равна 2/3 см, а расстояние от середины стороны основания до противоположного бокового ребра равно 3 см. Найдите: 1) угол между боковыми гранями; 2) плоский угол при вершине пирамиды. С-17 1. Основанием пирамиды служит ромб, сторона которого равна а, а острый угол равен 60°. Боковые грани накло- нены к основанию под углом 45°. Найдите высоту пира- миды и площадь ее боковой поверхности. 2. В основании пирамиды DABC лежит равнобедренный треугольник АВС, АС = СВ = a, ZACB = 120°. Грани DAC и DAB перпендикулярны плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. С-18 1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона осно- вания равна а, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Через сторону основания, пер- пендикулярную противоположной боковой грани, про- ведена плоскость. Найдите площадь сечения. 2. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 8/3 и б/З см. Через боковое ребро и середину противоположной стороны верхнего основания тт 21/3 2 проведена плоскость. Площадь сечения равна —-— см • Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 27
С-19 1. Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX9 ABCD — ромб, Z.AXAD = ZA,AB, точки Е и F — середины ребер АХВХ и AXDX соответственно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые: 1) сонаправлены с вектором EF; __* 2) противоположно направлены вектору РСХ; 3) имеют длину, равную длине вектора BXD. 2. Плоскости а и Р перпендикулярны плоскости у и пересека- ются по прямой АВ. Прямая CD, не принадлежащая этим плоскостям, перпендикулярна плоскости у. Будут ли кол- линеарными векторы АВ и CD? Если да, то почему? С-20 1. ABCDAiBlClDl — параллелепипед. Укажите вектор, рав- ный сумме векторов BA + АС + AXDX + СВ + DA + DC. 2. В треугольной призме АВСА1В1С1 основанием служит правильный треугольник АВС, сторонакоторого равна 2-/3 см, О — середина АВ. Найдите | AtA - О А - AtC|. С-21 1. В тетраэдре МАВС СЕ — медиана грани ВМС, К — середина СЕ. Выразите АК через векторы АС, СВ и ВМ. 2. Диагонали параллелепипеда ABCDAtBiCtDt пересека- ются в точке О. При каком значении k справедливо соотношение k (CD + DA + АО) = А ХС"1 С-22 1. В тетраэдре DABC О — точка пересечения медиан тре- угольника ABC, F е AD, причем AF : FD = 3:1. Разло- жите лектор OF по векторам С А, СВ и CD. 2. Используя векторы, докажите: диагонали параллелепи- педа пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. С-23 В пирамиде DABC AD=4>f3 см и перпендикулярно основа- нию, АВ=2 см, ZABC=90”, ZBAC=60°, М — середина DA. 1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ВМС. 3) Найдите угол между плоскостями МВС и АВС. 4) Найдите угол между прямой BD и плоскостью ВМС. 5) Разложите вектор DO по векторам DA, DB и DC, ес- ли О — точка пересечения медиан треугольника АВС. 6) Найдите угол между плоскостями МВС и ABD. 28
Вариант 5 С-1 1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) АВ пересекает CD в точке М, Е — середина AD, О 6 ВС. Точка К распо- ложена вне плоскости трапеции. При каком условии точ- ки К, М, О и Е лежат в одной плоскости? 2. Постройте линию пересечения плоскостей АВХС и АХСХВ (рис. 21). С-2 1. На рисунке 22 прямые а и b — скрещивающиеся. Како- во взаимное расположение прямых EF и a, EF и 6? 2. На рисунке 23 точки Е, F, Р и М — середины отрезков AD, CD, ВС и АВ соответственно. Докажите, что ЕР и MF пересекаются и точкой пересечения делятся по- полам. 29
1. Треугольники АВС и DBC не лежат в одной плоскости. Точки М, Н и К — середины отрезков BD, CD и АС со- ответственно. Плоскость МКН пересекает отрезок АВ в точке Р. Докажите, что отрезки PH и МК пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 2. На рисунке 24 ABCD — параллелограмм, ZBCC1 = 120°, ААХ = ВВХ = CCi = DDX и АА1 || ВВХ II ССХ II DDX. 1) Постройте линию пересечения ООХ плоскостей, про- ходящих через прямую ААХ и точку М и прямую DDX и точку К. 2) Каково взаимное расположение прямых ООХ и ААХ? 3) Чему равен угол между прямыми ООХ и AD2 С-4 1. Три плоскости параллельны. Скрещивающиеся прямые /, и 12 пересекают эти плоскости в точках Ах, А2, Аа и Bi, В2, В3. Известно, что ВХВ2 = 5 см, А2А3 = 6 см, АХА2 : В2В3 = 8 : 15. Найдите длины отрезков АХА3 и BjB3. 2. Пересекающиеся прямые р и q лежат в плоскости а, А«а, АВ || р, АС || q, А е р, С е р. Каково взаимное расположение плоскостей а и 0? С-5 1. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX Е е ВХСХ, F е AD, причем ВХЕ : ЕСХ = FD : AF =5:2. Докажите, что точ- ки Е и F симметричны относительно точки пересечения диагоналей параллелепипеда. 2. Докажите, что сумма квадратов ребер тетраэдра в четы- ре раза больше суммы квадратов отрезков, соединяю- щих середины противолежащих ребер. 30
С-6 1. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX все грани — квадра- ты со стороной, равной 8 см (куб). Точки Р, М и Т соот- ветствуют серединам ребер АХВХ, СХС и AD. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей че- рез точки Р, М и Т, и найдите площадь сечения. 2. DABC — тетраэдр, Р е АВ, DE — медиана грани CDB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и Р и параллельной DE. 1. Через вершину А треуголь- ника АВС проведена плос- кость а, параллельная ВС, ВВХ ± а и ССХ ± а, ССХ = 4. ZBAC = 60°. АСХ = >209, АВХ = >33. Найдите ВС. 2. Плоскости а и 0 парал- лельны, а ± а и пересекает плоскость а в точке А, Ь ± 0 и пересекает плоскость 0 в точ- ке В, РРХ пересекает плос- кость а в точке М. Постройте точки пересечения прямой а с плоскостью 0 и прямой Ь с плоскостью а. Дайте обосно- вание (рис. 25). С-8 1. В тетраэдре DABC АВ = ВС, Z.DBC = ZDBA. Докажите, что AC i DB. 2. DABC — тетраэдр, каждое из ребер которого равно а, точка Е — середина ВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку Е и перпендику- лярной DB, и найдите площадь сечения. С-9 Вершины А и D параллелограмма ABCD лежат в пло- скости а, а две другие — вне этой плоскости, АВ = 15 см, ВС = 19 см. Проекции диагоналей паралле- лограмма на плоскость а равны 20 и 22 см. Найдите расстояние от стороны ВС до плоскости а. 31
С-10 1. Точка М удалена от каждой из сторон равнобедренной трапеции на расстояние, равное 12 см. Основания тра- пеции равны 18 см и 32 см. Найдите расстояние от точ- ки М до плоскости трапеции. 2. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена на- клонная AM к плоскости прямоугольника, составляю- щая угол 50° со сторонами AD и АВ. Найдите угол меж- ду этой наклонной и плоскостью прямоугольника. С-11 1. Концы отрезка АВ = 25 см лежат на гранях двугранного угла, равного 60°. Из точек А и В опущены перпендику- ляры АС и BD на ребро двугранного угла, АС = 5 см, BD = 8 см. Найдите CD. 2. ABCD — квадрат, О — точка пересечения диагоналей, ОМ ± АВС, ОМ = 3. Сторона квадрата равна 4V2. Най- дите угол между плоскостями ВМС и DMC. С-12 1. В прямоугольнике ABCD АВ = 3, AD = 4. Этот прямо- угольник перегнут по диагонали АС так, что образовал- ся прямой двугранный угол. Найдите расстояние между вершинами В и D. 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX АВ = 4, АВХ = 15, BXD = V305. Найдите расстояние между АВ и BXD и изобразите на рисунке общий пер- пендикуляр этих скрещивающихся прямых. С-13 1. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ все ребра равны 2V3. Через сторону основания под углом 60' к его плоскости проведена плоскость. Найдите площадь сече- ния. 2. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна Q. Найдите площадь сечения, перпенди- кулярного меньшей диагонали основания и делящего эту диагональ пополам. 32
С-14 В прямой призме ABCAiBjCi АВ = 13, ВС = 21, АС = 20. Диагональ боковой грани АХС составляет с плоскостью грани CCjBiB угол 30°. Найдите площадь полной поверхности призмы. С-15 1. В наклонной треугольной призме ABCAjBjC] все ребра равны между собой. Ребро AAj составляет с плоскостью основания угол 60°, ZAjAC = ZAtAB < 90°. Площадь грани CCjBjB равна Q. Найдите площадь боковой по- верхности призмы. 2. В наклонном параллелепипеде ABC-DAjBjCj-D! расстоя- ние от ребра AAj до ребра DDX равно 10, а от ААХ до BBj равно 17. Площадь диагонального сечения BBXDXD рав- на 210. Расстояние между ребром AAj и диагональю BXD равно 8. Найдите площадь боковой поверхности па- раллелепипеда. С-16 1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона осно- вания равна а, угол между смежными боковыми граня- ми равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 2. В правильной л-угольной пирамиде боковые грани на- клонены к основанию под углом <р. Найдите плоский угол при вершине пирамиды и вычислите его при <р = 40° и л = 10. С-17 1. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник АВС, у которого АВ = ВС, АС = b и ZA = а. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом <р. Найдите высоту пирамиды и площадь ее боковой поверхности. 2. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник АВС, у которого АВ = АС = 50, ВС = 80, Z.MAC = AM АВ < 90°. Плоскости МВС и АВС взаимно перпендикулярны. Осно- вание высоты пирамиды удалено от грани АМС на рас- стояние, равное 12-/3. Найдите площадь боковой поверх- ности пирамиды. 2 Зиг. 10 кд 33
С-18 1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD че- рез середины сторон АВ и AD параллельно боковому ребру AM проведена плоскость. Найдите площадь сече- ния, если сторона основания равна а, а боковое ребро равно Ь. 2. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 8^3 и 6v3. Через вершину верхнего основания перпендикулярно плоскости основания и па- раллельно противолежащей стороне основания проведе- на плоскость. Площадь сечения равна 4>/2. Найдите пло- щадь боковой поверхности пирамиды и высоту полной пирамиды, частью которой является данная усеченная пирамида. С-19 1. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, Л/, Т и К — середины ребер DC, DB, ВА и АС соответст- венно. 1) Перечислите пары противоположно направленных векторов, не лежащих на одной прямой, с началом и концом в точках Е, Л/, Т и К. 2) Перечислите пары равных векторов с началом и кон- цом в точках Е, Л/, Т и К. 3) Перечислите векторы, имеющие равные длины, с концами в точках Е, Л/, Т и К. Рис. 26 2. На рисунке 26 MABCD — правильная пирамида, ME = ЕС. Какие из указанных на рисунке векторов коллинеарны? Почему? 34
С-20 1. EABCDF— правильный октаэдр с ребром, равным а. Найдите |FA + BC + DC + FA|. 2. Два треугольника АВС и AiB^Ci произвольно располо- жены в пространстве. Докажите, что АД । + ВВ, + CCj — АВ, + ВС, + CAj. С-21 1. Точка Af расположена вне плоскости правильного тре- угольника АВС на равном расстоянии от его вершин, МО — перпендикуляр, опущенный из точки М на плос- кость треугольника. Выразите вектор МО через векторы МВ, ВС и СА. 2. Векторы а и Ь отличны от нулевого вектора и неколли- неарны. Найдите тип, если За + 5Ь = та + (2 л + 1) Ь. С-22 1. Длина стороны основания ABCDEF правильной шести- угольной призмы ABCDEFAtBxCtDtEiFt равна а. Диаго- наль АВ, боковой грани AAjBjB наклонена к стороне АВ основания под углом <р. Пусть е„ е2 и е3 — единичные век- торы, сонаправленные с векторами АВ, AF и АА, соответ- ———* -» -* -* ственно. Разложите вектор ADX по векторам е2 и е3. 2. В наклонной треугольной призме проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и параллельная осно- ваниям. Докажите, что точки пересечения медиан осно- ваний и сечения лежат на одной прямой. С-23 В прямой призме ABCA^Cf АС = 13 см, АВ = 14 см, ВС = 15 см, AAt = 10 см. Точки М и Н — середины ре- бер ААХ и BBj соответственно. 1) Найдите площадь полной поверхности призмы. 2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью МНС. 3) Найдите угол между плоскостями МНС и АВС. 4) Найдите угол между прямой ААХ и плоскостью МНС. ___* __~ 5) Разложите вектор МК по векторам АА19 АС и АВ, если К — середина отрезка СН. 6) Постройте линию пересечения плоскостей МНС и АВС. 35

Вариант 6 С-1 1. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и С пересека- ются в точке О, АВ : ВС = 2 : 3, Е е АС, точка D лежит вне плоскости АВС. При каком условии можно прове- сти плоскость через точки D, В, О и ЕЧ 2. Постройте линию пересечения плоскостей РКТ и MCE (рис. 27). С-2 1. На рисунке 28 прямые а и Ь — скрещивающиеся. Како- во взаимное расположение прямых PQ и a, PQ и Ь? 2. На рисунке 29 Е, F, Р и М — середины AtDu DtC, CD и AtD соответственно. Докажите, что ЕР и MF пересека- ются и точкой пересечения делятся пополам. 37
1. Треугольник APD и трапеция ABCD имеют общую сто- рону AD и лежат в разных плоскостях. Через основание ВС трапеции и середину отрезка PD — точку К проведе- на плоскость, которая пересекает прямую АР в точке Л/, AD = 2ВС. Докажите, что отрезки МС и ВК пересе- каются и точкой пересечения делятся пополам. 2. На рисунке 30 ABCD— параллелограмм, ZАВС = 110°, ААХ = ВВХ = ССХ = DDX и ААХ || ВВХ || ССХ || DDX. 1) Постройте линию пересечения ККХ плоскостей, про- ходящих через прямую AD и точку М и прямую AXDX и точку Е. 2) Каково взаимное расположение прямых ККХ и ВС? 3) Чему равен угол между прямыми ККХ и DC1 С-4 1. Три плоскости параллельны между собой. Скрещиваю- щиеся прямые 1Х и 12 пересекают эти плоскости в точках 1, А29 Аз и D29 А|А.2= см, В'В2 = 9 см, А2-А3 = ВХВ2. Найдите длины отрезков АХА2 и ВХВ2. 2. Дано а || а, а || р, Ь || а, b || р. Каково должно быть взаим- ное расположение данных прямых, чтобы плоскости а и Р были параллельными? С-5 1. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX К € АХВХ и Р е ВС, причем АХК : КВХ = СР : PD = 3:1. Докажите, что точ- ки К и Р симметричны относительно точки пересечения диагоналей параллелепипеда. 2. Докажите, что прямые, проходящие через вершины тет- раэдра и точки пересечения медиан противолежащих граней, пересекаются в одной точке. 38
С-6 1. В параллелепипеде ABCDAxBlC1Dl все грани — квадра- ты со стороной, равной 4 см (куб). Диагонали оснований ABCD и AXBXCXDX пересекаются в точках О и Ох соответ- ственно, точка Р — середина AD, а точка Т — середина CD. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Р, Т и середину отрезка ООХ9 и найдите площадь сечения. 2. В тетраэдре DABC Р е АВ, СЕ — медиана грани DCB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки D и Р и параллельной СЕ. С-7 1. Через вершину Е треугольни- ка EFM проведена плос- im кость а, параллельная FM, ММХ ± a, ММ, = 12 см, Р — ------— точка пересечения медиан ( треугольника, РРХ ± а. Най- \______ дите РРХ. ___ 2. Плоскости а и 0 параллель- \ ны, m 1 Р и n 1 а. Прямая п --------- пересекает плоскость а в точ- ( \ к ке Р, а прямая m пересекает \______Af| \ плоскость Р в точке М. Пря- х. \ мая ЕТ пересекает плос- кость Р в точке К. Постройте точки пересечения прямой m с плоскостью а и прямой п с Рис 31 плоскостью р. Дайте обосно- вание (рис. 31). С-8 1. В тетраэдре DABC ZD АС = ZD АВ и ZADC = ZADB. Докажите, что ВС ± AD. 2. В тетраэдре DABC ребро DB перпендикулярно плоско- сти ABC, ZACB = 90°, ВС = BD, точка F — середина AD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходя- щей через точку F и перпендикулярной CD. С-9 Одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Средняя линия трапеции параллельна плоскости а и удалена от нее на 13 см, точка пересечения диагоналей трапеции удалена от плоскости на 15 см. Найдите рас- стояния от оснований трапеции до плоскости а. 39
С-10 1. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол равен 30°. Точка М удалена от плоскости трапеции на расстояние, равное 2V3, и находится на равном рассто- янии от ее сторон. Найдите расстояние от точки М до сто- рон трапеции. 2. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая AAf, составляющая с плоскостью прямоуголь- ника угол 40 ’, AMAD = ZM АВ. Найдите эти углы. С-11 1. Концы отрезка АВ = 16 см лежат на гранях двугранного угла, равного 120°. Из точек А и В опущены перпенди- куляры АС и BD на ребро двугранного угла. Найдите CD, если АС = 7 см и BD =11 см. 2. АВС — правильный треугольник, О — середина OD ± ABC. OD = 3. Сторона треугольника равна Найдите угол между плоскостями ABD и CBD. АС. 8V3 3 ’ С-12 1. В параллелограмме ABCD АВ = 4, АС = 5, ABAC = 60°. Этот параллелограмм перегнут по диагонали АС так, что образовался прямой двугранный угол. Найдите рас- стояние между вершинами В и D. 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX ABCD — квадрат со стороной 5 см. Расстояние между ВС и АСХ равно 4 см. Найдите АСХ и изобразите на ри- сунке общий перпендикуляр этих скрещивающихся прямых. С-13 1. В правильной четырехугольной призме сторона основа- ния равна 8 см, а боковое ребро равно 3>/2 см. Через диагональ основания под углом 45° к его плоскости про- ведено сечение. Найдите его площадь. 2. Площадь боковой грани правильной шестиугольной приз- мы равна Q. Найдите площадь сечения, которое перпен- дикулярно большей диагонали основания и делит эту диагональ пополам. 40
С-14 В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX AD = 17, DC = 28, AC = 39. Диагональ боковой грани AXD состав- ляет с плоскостью боковой грани DDXCXC угол 45°. Най- дите площадь полной поверхности параллелепипеда. С-15 1. В наклонном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основа- нием служит квадрат ABCD. Все ребра параллелепипе- да равны между собой. Боковое ребро ААХ составляет с плоскостью основания угол 60°, Z.AXAD = Z.AXAB < 90°. Площадь диагонального сечения BBXDXD равна Q. Най- дите площадь боковой поверхности параллелепипеда. 2. В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ двугран- ные углы с ребрами ССХ и ВВХ соответственно равны 45° и 30е. Расстояние от ребра ААХ до диагонали ВХС грани ССХВХВ равно 1. Площадь грани ССХВХВ равна 4 (1 4- V3). Найдите площадь боковой поверхности призмы. С-16 1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна т. Угол между смежными боковыми гранями ра- вен 120°. Найдите площадь боковой поверхности пира- миды. 2. В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Найдите угол наклона боковых граней к плоскости основания и вычислите его, если а = 10° и п = 20. С-17 1. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник АВС, у которого АВ = АС, ВС = a, ZBAC = а. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под рав- ными углами, а боковые грани, проходящие через рав- ные стороны основания, наклонены к плоскости основа- ния под углом ср. Найдите высоту пирамиды и площадь каждой из этих граней. 2. В основании пирамиды МАВС лежит прямоуголь- ный треугольник ABC (Z.C = 90°), АС = 4 см, ВС = 3 см. Грань МАС перпендикулярна плоскости основания, а остальные две грани наклонены к плоскости основания под равными углами, расстояние от основания высоты 3^2 до грани ВМС равно —— см. Найдите площадь боковой 4 поверхности пирамиды. 41
С-18 1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковые грани наклонены к плоскости осно- вания под углом 60°. Через центр основания проведена плоскость, параллельная стороне основания и перпенди- кулярная грани, проходящей через эту сторону. Найди- те площадь сечения. 2. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторо- на верхнего основания равна 2. Плоский угол при вер- шине нижнего основания равен 60°. Через сторону верх- него основания параллельно боковому ребру проведена плоскость. Площадь сечения равна 8. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и высоту полной пира- миды, частью которой является данная усеченная пира- мида. С-19 1. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точки К, М, Т и Е — середины ребер АВ, РА, PC и ВС соот- ветственно. 1) Перечислите пары сонаправленных векторов с кон- цами в точках К, М, Т и Е. 2) Перечислите пары равных векторов с концами в точ- ках К, М, Т и Е. 3) Перечислите векторы, имеющие равные длины, с концами в точках К, М, Т и Е. 2. На рисунке 32 АВСА^^ — правильная призма, Е и F — середины ребер СС\ и ВХВ. Какие из указанных на рисунке векторов коллинеарны? Почему? 42
С—20 1. PABCDT — правильный октаэдр с ребром, равным а, К — середина ребра PC. Найдите |ЛТ> + АВ + СТ + СР\. 2. Два четырехугольника ABCD и AXBXCXDX произвольно расположены в пространстве. Докажите, что АВ^ + BCj + CDX + DAi = AAj + BB± + CCt + DD^. C—21 1. В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ точка Е — середина BjB, CjB пересекает СЕ в точке Р. Выра- зите вектор АР через векторы АСП СВ и СС\. 2. Векторы а и Ь отличны от нулевого вектора и неколли- неарны. Найдите х и у, если (х + у - 1) а + (2х - у) Ь = 0. С-22 1. В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF сто- рона основания равна а, а боковые ребра составля- ют с плоскостью основания угол ф, Р 6 МС, причем MP : PC = 2:3. Пусть е2 и е3 — единичные векторы, сонаправленные с векторами FA, FE и FM. Разложите —► -♦ вектор FP по векторам е2 и е3. 2. В треугольной пирамиде проведены две плоскости, па- раллельные основанию и пересекающие три боковых ребра. Докажите, что точки пересечения медиан основа- ния и полученных сечений лежат на одной прямой. С-23 В пирамиде DABC DA = DB = DC = AC = 2 см, AB = ВС, Z.ABC = 90°. Точки M и Н — середины ребер AD и DC соответственно. 1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ВМН. 3) Найдите угол между плоскостями ВМН и АВС. 4) Найдите угол между прямой BD и плоскостью ВМН. 5) Разложите вектор МК по векторам AD, АВ, АС, если К — середина отрезка ВН. 6) Постройте линию пересечения плоскостей МВН и АВС. 43

Вариант 7 С-1 1. Точка К лежит в плоскости АВС. Постройте точку пере- сечения прямой DK и плоскости EFM (рис. 33). 2. Точка О — центр окружности, описанной около тре- угольника АВС. Принадлежит ли точка С плоскости, в которой лежат точки А, В и О? С-2 1. Точка О не лежит в плоскости у, которая задается па- раллельными прямыми а и Ь. Плоскость а прохо- дит через точку О и прямую а, а плоскость |i про- ходит через точку О и прямую Ь. Докажите, что линия пересечения этих плоскостей параллельна пря- мым а и Ь. 2. В плоскости а расположен треугольник АВС. Через его вершины проведены параллельные отрезки ААи BBt и ССО расположенные по одну сторону от плоско- сти а, = ВВ, = CCj. Точки Е, F и М — середины отрезков АВ, ВС и АС соответственно. Докажите, что отрезки A^F, ВХМ и CjE пересекаются в одной точке. В каком отношении точка пересечения делит эти от- резки? 45
1. Параллельна ли плоскость АМС прямой, проходящей через точки Н и Ht пересечения медиан треугольников MAD и MCD1 Дайте объяснение (рис. 34). 2. На рисунке 35 точки М, F и Е — середины отрезков CD, ВС и АВ. 1) Постройте линии пересечения плоскости MFE с плоскостями ABC, CDB, ADC и ADB. Дайте объясне- ние. 2) Найдите угол между прямыми АС и DB, если АС = 10, BD = 20, а площадь четырехугольника, образо- ванного построенными линиями пересечения, равна 25V3. 1. На рисунке 36 АА^ || BBt || ССг и АА, = BBt = СС\, точ- ка М лежит в плоскости AAtC(. Через точку М проведе- на плоскость, параллельная плоскости ВХВК. Постройте линию пересечения этой плоскости с плоскостью АА^В^ 2. М е а. Где расположены все прямые, проходящие через точку М и параллельные плоскости а? 46
С-5 1. Дан четырехугольник ABCD, ААХ || ВВХ || ССХ || DDX и AAi = ВВХ = ССХ = DDX, причем указанные отрезки рас- положены по одну сторону от плоскости АВС. Отрез- ки АСХ, АХС, BXD и BDX пересекаются в одной точке. Докажите, что ABCDAxByCxDx — параллелепипед. 2. В тетраэдре DABC боковое ребро равно 3 см. Каждый из углов при основании в боковых гранях равен 75°. Точ- ка А начинает двигаться по грани ADC, затем по гра- ни CDB и наконец по грани ADB и возвращается в ис- ходное положение. Какой наименьший путь проходит эта точка? С-6 1. В тетраэдре DABC АЕ — высота треугольника АВС, О — середина АЕ, DO ± АЕ и DO ± ВС, К е АС, причем АК : КС = 3:1, ВС = a, DO = Ь. Постройте сечение тет- раэдра плоскостью, проходящей через точку К и парал- лельной прямым ВС и DO, и найдите площадь сечения. 2. ABCDAlBlClDi — параллелепипед. Точка Р лежит в грани ААХВХВ, точка R — в грани AAXDXD, Т е CXDX, М € ААХ. Постройте сечение параллелепипеда плоско- стью, которая проходит через точку М и параллельна плоскости PRT (рис. 37). С-7 1. ABCD — параллелограмм. Из точек А, В, С и D на плос- кость а опущены перпендикуляры ААХ, ВВХ, ССХ и DDX, ААХ = 13, ВВХ = 36 и ССХ = 19. Найдите DDX. 2. На данной прямой найдите точки, равноудаленные от двух данных точек. 47
С-8 1. Все грани параллелепипеда ABCDAiBlCiDl — равные ромбы, углы между ребрами, имеющие общую точку А19 равны. Докажите, что А^С ± BjDp 2. Все грани параллелепипеда ABCDAlB1C1Dl — прямо- угольники, М — внутренняя точка сечения AAjCjC. По- стройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходя- щей через точку М и перпендикулярной ВВХ. С-9 Дан квадрат ABCD со стороной, равной 1, МВ ± АВС, МВ = 1. Найдите расстояние между прямыми АС и MD. С-10 1. В параллелепипеде ABCDAtBxC^Di все грани — квадра- ты, Е и F — середины ребер AD и ЛА, соответствен- но, К — точка пересечения диагоналей грани DDxCtC. Докажите, что BtE ± FK. 2. В тетраэдре DABC АВС — правильный треугольник со стороной, равной 2-/3, DA = DB = DC, DO ± АВС, DO = v3. Найдите угол между АС и плоскостью В DC. С-11 1. Равнобедренные треугольники АВС и ADC образуют острый двугранный угол (рис. 38). Прямая т, которая перпендикулярна ребру угла АС, пересекает одну из граней в точке X. Постройте точку пересечения этой прямой с другой гранью. 2. ABCD — квадрат со стороной, равной а, ВМ ± АВС, ВМ = а. Найдите двугранный угол, образованный гра- нями AMD и CMD. 48
С-12 1. Катет и гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника лежат в разных гранях прямого двугран- ного угла. Вершина прямого угла треугольника удалена от ребра на расстояние, равное 2 см, а вершина острого угла — на расстояние, равное % 15 см. Найдите площадь треугольника. 2. Стороны основания и боковое ребро прямоугольного па- раллелепипеда равны 3, 4 и 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середины двух смежных сторон основания и точку пересечения диагоналей па- раллелепипеда. С-13 1. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ все ребра равны между собой. Найдите угол между диагоналями АСХ и BjC ее боковых граней. 2. В правильной шестиугольной призме меньшая диаго- наль основания равна боковому ребру. Проведено се- чение, которое перпендикулярно меньшей диагонали призмы и делит ее пополам. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна а. С—14 Основанием прямого параллелепипеда ABCDAXBXCXDX служит ромб ABCD. Угол между ребром ААХ и диаго- налью BjD равен 60°, а расстояние между ними равно 3 см. Расстояние между диагональю основания АС и диагональю BXD равно 2 см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. С-15 1. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX служит ромб ABCD, АС = 40, BD = 30, ААХ = 2VI7, AAXAD = ААХАВ < 90°. Высота параллелепипеда равна 2. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. 2. Основанием наклонной треугольной призмы АВСАХВХСХ служит прямоугольный треугольник ABC (Z.C = 90°), у которого ВС = а. Вершина Вх проектируется в точку С. Двугранный угол с ребром ВВХ равен <р, боковые ребра составляют с плоскостью основания угол а. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 49
С-16 1. В правильной треугольной пирамиде МАВС сторо- на основания равна а, а высота равна 2а. Найдите угол между стороной основания АС и плоскостью гра- ни СМВ. 2. В правильной шестиугольной пирамиде PABCDEF сто- рона основания равна а, угол между гранями РВС и PAF равен а. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. С-17 1. Основанием треугольной пирамиды служит правиль- ный треугольник со стороной, равной а. Боковые гра- ни имеют разные площади. Высота пирамиды рав- на а. Найдите площадь боковой поверхности пира- миды. 2. Если высота треугольной пирамиды проходит через точ- ку пересечения высот основания, то суммы квадратов скрещивающихся ребер пирамиды равны между собой. Докажите. С-18 1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плос- кости основания под углом 60°. Через вершину основания проведена плоскость, перпендикулярная противоположному боковому ребру. Найдите площадь сечения. 2. В основании пирамиды лежит правильный треуголь- . 20V3 ~ * ник со стороной, равной —. Одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а остальные две наклонены к нему под равными углами. Высота пирамиды равна 12. На одном из боковых ребер вы- брана точка, которая делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины. Через эту точку проведена плос- кость, параллельная основанию. Найдите площадь бо- ковой поверхности образовавшейся усеченной пира- миды. 50
с—19 1. Точка О — центр нижнего основания правильной шес- тиугольной призмы ABCDEFAiBiCiDiEtFi, М е ААХ. 1) Запишите векторы с началом и концом в вершинах призмы, которые: а) сонаправлены с вектором ОС; б) равны вектору FD. 2) От точки М отложите векторы, равные векторам FD и ОС. 2. В тетраэдре DABC F и Е — точки пересечения медиан граней ADB и CDB соответственно, М е АВ, N е ВС, причем AM : МВ = CN : NB. 1) Докажите, что векторы FE и MN коллинеарны. 2) Найдите | FE |, если АС = 18 см. С-20 1. Дан параллелепипед АВС-ОА^С^В,. Представьте век- торАА, как алгебраическую сумму векторов DAt, DCX и DBX. 2. ABCDAXBXCXDX—параллелепипед. Укажите такую точ- ку М, для которой верно равенство МА + МВ + МС + MD + МA* + МВ, + МС, + MD\ = б. С-21 1. В тетраэдре DABC Z.DAC = Z.DAB. Грань DBC перпен- дикулярна плоскости ABC, DM — высота тетраэдра, АС = а, АВ = b, AD = с. От точки А отложены единич- ные векторы е2 и е3, сонаправленные соответственно с векторами АС, АВ и AD. Выразите вектор DM через векторы е19 е2 и е3. 2. Точка О находится вне плоскости трапеции ABCD (AD и ВС — основания), AD в k раз больше ВС. • - » » -* » -► Выразите вектор OD через векторы О А = а, О В = b и ОС = с. 51
С-22 1. Основанием пирамиды PABCD служит параллелограмм ABCD, М е BD и N е PC, причем MN || AF, где F — се- MN редина РВ. Найдите отношение ~др- 2. Даны четыре точки А, В, С и D, причем А й ВС. Докажите, что если OD = хОА + уОВ + гОС, причем х + р + г=1иО — произвольная точка пространства, то эти точки принадлежат одной плоскости. С-23 В прямом параллелепипеде ABCDA^BfiiDi основанием служит ромб ABCD, АС = 8 см, BD = 6 см, ВВХ = 6 см. 1. Через сторону AD и точку Р (Р € ВВХ и РВ = 2 см) про- ведена плоскость. Найдите площадь боковой поверхно- сти образовавшейся треугольной призмы. 2. Через диагональ параллелепипеда параллельно диа- гонали АС основания проведена плоскость. 1) Найдите площадь сечения. 2) Найдите расстояние ОК от точки пересечения диаго- налей ромба ABCD до плоскости сечения. 3) Найдите расстояние между ААХ и BXD. 4) Разложите вектор ОК по векторам АВ, AD и ААХ. 5) Найдите угол между AD и плоскостью сечения.
Вариант 8 1. Точка М лежит в плоскости BDC. Постройте точку пе- ресечения прямой AM с плоскостью DBE (рис. 39). 2. Точка О — центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD. Точки А, О и С принадлежат плоскости а. Принадлежит ли этой плоскости верши- на D? С-2 1. Пусть а и b — скрещивающиеся прямые и точка М не принадлежит ни одной из них. Всегда ли существует прямая, проходящая через точку М и пересекающая обе данные прямые? 2. В плоскости а расположен треугольник АВС. Через его вершины проведены параллельные отрезки ААХ, ВВХ и ССХ, расположенные по одну сторону от плоскости а, AAt = BBt = ССХ. Точки F, Е и М — середины отрезков BjC, АСХ и АХВ соответственно. Докажите, что треуголь- ники EMF и АВС подобны. 53
С-3 1. Параллельна ли плоскость АНС прямой, проходящей через точки М и Мj пересечения медиан треугольников АВС и НАВ (рис. 40)? 2. На рисунке 41 ABCD — параллелограмм, ААХ = ВВХ = = ССХ = DDX и ААХ || ВВ, || СО, II DDX, точки К, M и Р — середины отрезков АВ, АХВ и AD, ААХ = 20, BD = 40. Угол между прямыми СС, и BD — прямой. 1) Постройте линии пересечения плоскости МКР с плоскостями ААХВ, BAXD, AAXDX и АВС. 2) Найдите площадь четырехугольника, образованного построенными линиями пересечения. 1. Дано: ААХ || ВВХ || ССХ || DDt и ААХ = ВВХ = CCt = DDlt точка М лежит в плоскости ААХВХ (рис. 42). Через точку М проведена плоскость, па- раллельная плоскости СХСЕ. Постройте линию пересече- ния этой плоскости с плоско- стью AAXDX. 2. Дано а || р. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М. Точки А и С лежат в плоско- сти а, а точки D и В — в плоскости р. Докажите, что АМ_ _ СМ_ MB MD' 54
С-5 1. Докажите, что диагональ АСг параллелепипеда ABCDAiBtCiDi проходит через точку пересечения меди- ан сечения BDAt. 2. В тетраэдре DABC угол при основании боковых граней равен 70°. Точка А начинает двигаться по грани ADC, затем по грани CDB и наконец по грани ADB и возвра- щается в исходное положение. Наименьший путь, кото- рый проходит точка, равен 12V3 см. Найдите длину бо- кового ребра. С-6 1. В тетраэдре DABC АС =12, DB = 9, О — точка пересече- ния медиан треугольника АВС. Постройте сечение тет- раэдра плоскостью, которая проходит через точку О и параллельна прямым АС и DB. Найдите площадь сече- ния, если угол между прямыми АС и DB равен 60°. 2. ABCDA^BtCtDi — параллелепипед, Т е AtBt, М е DDX. Точка К лежит в плоскости грани DDXCXC, а точка Е — в плоскости грани AAXDXD. Постройте сечение па- раллелепипеда плоскостью, которая параллельна плос- кости ТЕК (рис. 43). С-7 1. Плоскость а параллельна наибольшей средней линии прямоугольного треугольника ABC (Z.C = 90°), ААХ ± а, ВВ. ± а и СС,1а, CtBi = 11 см, CiAt = 12 см и AxBx = 19 см. Найдите площадь треугольника. 2. На данной плоскости найдите точки, равноудаленные от двух данных точек. 55
С-8 1. В параллелепипеде МРКНМХРХКХНХ все грани — ромбы, АМХМН + ZMХМР = 180°. Докажите, что РХН 1 МК. 2. Все грани параллелепипеда ABCDAXBXCXDX — прямо- угольники, М — внутренняя точка сечения ААХСХС. По- стройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходя- щей через точку М и перпендикулярной ВС. С-9 Отрезки АВ и CD упираются своими концами в две па- раллельные плоскости а и р, причем точки А и С лежат в плоскости а, а точки В и D — в плоскости Р, АВ ± а. Найдите расстояние между АВ и CD, если АВ = 20, CD = 25, АС = 14 и BD = 13. С-10 1. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX все грани — прямо- угольники, К — середина АА>, L — точка пересечения диагоналей грани DDXCXC, Е е AD, AD = 4, CD = 2, АЕ = Докажите, что ВХЕ ± KL. 2. ABCD — квадрат, О — точка пересечения его диагона- лей, МО ± ABC, F — середина АВ. Сторона квадрата равна 4, МО = 2>/3. Найдите угол между FD и плоско- стью DM С, С-11 1. В плоскостях а и Р располо- жены равнобедренные трапе- ции ABCD и ADEF (рис. 44). Прямая а перпендикулярна ребру AD острого двугранно- го угла, образованного этими плоскостями. Прямая а пере- секает плоскость Р в точке X. Постройте точку ее пересече- ния с плоскостью а. 2. Все грани параллелепипеда ABCDAXBXCXDX — квадраты. Найдите величину двугран- ного угла, который образован сечениями ABXCXD и CBXAXD параллелепипеда. Рис. 44 56
С-12 1. Два равных квадрата ABCD и CEFK расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что их стороны CD и СЕ лежат на линии пересечения этих плоскостей по разным сторонам от общей вершины С. Найдите угол между прямыми DB и ЕК. 2. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX AD = 4, CD = 3 и ССХ = 14. Постройте сечение параллелепипеда плоско- стью, проходящей через середины AD и DC и парал- лельной BXD. Найдите площадь сечения. С-13 1. В прямой треугольной призме АВСАХВХСХ основанием служит прямоугольный треугольник АСВ (Z.C = 90°), АС = 4, ВС = 3, ВВХ = 4. Найдите угол между диагона- лями АСХ и ВХС двух боковых граней. 2. Сторона основания правильной шестиугольной приз- мы ABCDEFAXBXCXDXEXFX равна а, а боковое ребро рав- но 2а. Через середину диагонали FXC и перпендикуляр- но к ней проведено сечение. Найдите его площадь. С-14 Основанием прямого параллелепипеда ABCDAXBXCXDX служит ромб ABCD, /.BAD = 60°. Длина бокового реб- ра равна 4 см, а расстояние между AD и DXC рав- 12 „ - но — см. Найдите площадь полной поверхности парал- 5 лелепипеда. С-15 1. В наклонном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основа- нием служит параллелограмм ABCD, AD = 15, BD = 7, Z.BDA = 60°, Z.AXAD = ЛАХАВ < 90°, AXD составляет с плоскостью основания угол 45°. Вершина Ах проектиру- ется на BD. Найдите площадь боковой поверхности па- раллелен ипеда. 2. Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ служит пря- моугольный треугольник ABC (Z.C = 90°). Вершина Вх проектируется на середину ВС. Боковое ребро равно I и составляет с плоскостью основания угол <р. Двугранный угол с ребром ВВХ равен а. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 57
С-16 1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сто- рона основания равна а, а высота равна aV2. Найди- те угол между боковым ребром МА и плоскостью DMC. 2. В правильной шестиугольной пирамиде сторона осно- вания равна а, угол между смежными боковыми гра- нями равен ф. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. С-17 1. В пирамиде МАВС основанием служит равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ = АС, ВС = 24, а высо- та АК = 5. Высоты боковых граней, проведенные из вер- шины Af, равны между собой. Высота пирамиды равна 12. Найдите площадь боковой поверхности, если извест- но, что ZAf АВ * AM АС. 2. Если одна из высот треугольной пирамиды проекти- руется в точку пересечения высот соответствующей грани, то и другая высота имеет такое же свойство. Докажите. С-18 1. В основании пирамиды MABCD лежит ромб с диа- гоналями АС = 32 см и BD = 18 см. Грани, проходя- щие через стороны АВ и AD основания, перпендику- лярны плоскости основания. Их общее ребро равно 24 см. Через точку А и середину ребра МС проведе- на плоскость, параллельная BD. Найдите площадь сечения. 2. В основании пирамиды лежит прямоугольный тре- угольник, катеты которого 32 и 10 см. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под рав- ными углами. Высота пирамиды равна 12 см. На боко- вом ребре выбрана точка, которая делит его в отно- шении 1 : 3, считая от вершины. Через эту точку проведена плоскость, параллельная основанию. Найди- те площадь боковой поверхности образовавшейся усе- ченной пирамиды. 58
С-19 1. Точка Oj — центр верхнего основания правильной шес- тиугольной призмы ABCDEFAXBXCXDXEXFX. 1) Запишите векторы с началом и концом в вер- шинах призмы, которые: а) противоположно направ- лены вектору OXFX\ б) имеют равные с вектором FC длины. 2) От точки Ах отложите векторы, равные векторам BXD и ОЕ. 2. В пирамиде PABCD основанием служит параллело- грамм ABCD, Р нТ — точки пересечения медиан граней ВРС и DPC, точки Е и F — середины ребер АВ и CD со- ответственно. 1) Докажите, что векторы РТ и FE коллинеарны. 2) Найдите | FE |, если РТ = 6 см. С-20 1. Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Представьте век- ► ' » » тор DB как алгебраическую сумму векторов DAX, DBX и DCX. 2. EABCDF— правильный октаэдр. Укажите такую точ- ку К, что КЕ + КА + КВ + КС + KD + KF = 6. С-21 1. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX ZAXAD = ZAXAB, AD = a, AB = b (a > b), AAX = c, AXM — высота паралле- лепипеда, AM пересекает ВС в точке Р. Выразите век- тор АХР через единичные векторы ех, е2 и е3, отложен- ные от вершины А и сонаправленные соответственно с векторами AD, АВ и ААХ. 2. В треугольнике АВС точки Е и F лежат на сторонах АВ АЕ CF 3 и ВС, причем = — - -. Точка О расположена вне ЕН FB 2 плоскости треугольника АВС. Выразите вектор OF че- --------------* -» - » -» » -» рез векторы ОЕ = т, О А = р и ОС = k. 59
С-22 1. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX М е BD и N е ВХС, причем MN || АСХ. Найдите отношения и ми Г\1С 2. Даны четыре точки А, В, С и D, причем А й ВС. Дока- жите, что если эти точки принадлежат одной плоскости, то OD = хОА + уОВ + zOC, причем х + у + z = 1 и О — произвольная точка пространства. С-23 Основанием пирамиды MABCD служит квадрат ABCD со стороной, равной а. Грань МАВ — правильный тре- угольник — перпендикулярна плоскости основания. 1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 2) Найдите площадь сечения, проведенного через сере- дину ребра MD перпендикулярно плоскости основания и параллельно АВ. 3) Найдите угол между плоскостями АМВ и DMC. 4) Найдите угол между MD и плоскостью сечения. 5) Пусть Н — точка пересечения диагоналей сечения. Разложите вектор АН по векторам АВ, AD и AM. 6) Найдите расстояние между ВС и MD.
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИИ СП—1 Вариант 1 СП—1 Вариант 2 1. Дано: 1. Дано: ДАВС, ДАВС, АВ 1 ВС, В АВ 1 ВС, BD 1 АС, BD 1 АС, AM = МС, AM = МС, BD = 4, ВМ = 25. ВМ = 5 (рис. 45). A DM С DM — 5 (рис. 45). Найти: Рис. 45 Найти: 1) &ААВС 1) ^ДАВС 2) cos (ZBMC). 2) cos (ЛВМС). 2. Дано: 2. Дано: ДАВС, ДАВС, АС = 30, а АС = 8, АВ = 28, АВ = 7, ВС = 26 (рис. 46). ВС = 6 (рис. 46). Найти: А Найти: 1) Ro г,; Рис. 46 1) Ro • г.; 2) тАС' 2) тАС. 3. Дано: В 3. Дано: АВ — касательная АВ — касательная к окружности, J к окружности, АО = 85, АВ = 77, ВО = 36 (рис. 47). Рис. 47 ОВ = 36 (рис. 47). Найти АС. Найти АС. 61

СП—1 Вариант 3 1. Дано: ВС || AD, АВ = 13, ВС = 6, CD = 20, AD = 27 (рис. 48). A D Рис. 48 Найти: СП—1 Вариант 4 1. Дано: ВС || AD, АВ = 17, ВС = 5, CD = 25, AD = 33 (рис. 48). Найти: 1) Sabcd’’ 1) ^ABCDf 2) , 2. Дано: ABCD — четырехугольник, АС = BD, Р, М, К, N — середины сторон, РК = 6, MN = 4 (рис. 49). Найти SXBtT>. В М С 2. Дано: ABCD — четырехугольник, АС = BD = 13, РАГ = 5, Р, К — середины сторон (рис. 49). Найти Вдвс©. 3. Дано: АВ, АС — касательные к окружности, ОВ = 11, АВ + АС = 120 (рис. 50). Найти AD. Рис. 50 3. Дано: АВ, АС — касательные к окружности, ОА = 61, АВ + АС = 120 (рис. 50). Найти AD. 63
:оврД .£ аэадк, . хмии лотч» хчц мт»р лш « ЭК Z . Л . Л Я ,HOqor> mhnjv iQ)
СП—1 Вариант 5 1. Дано: ДАВС, Лвс = 20, Лхс=12, Лдв =15. Найти вдхвс. СП—1 Вариант 6 1. Дано: ДАВС, Лдс = ь0, Лхс = 21, Ллв = 28. Найти вддвс. 2. Дано: ABCD — трапеция, З.квг — П‘ ' S&akd = m2» т + п = 10 (рис. 51). Найти Влвсо- Рис. 51 2. Дано: ABCD — трапеция, описанная около окружности, MN - средняя линия, МЛ’= 5, ^MBCN _ 7 &AMND 13 (рис. 51). Найти Лавсл’ 3. Дано: АВ ± ВС, BD ± АС, КВ = 18, ВР= 12 (рис. 52). Найти: 1) АВ; 2) ВС. 3 Зив, 10 кл. Рис. 52 3. Дано: АВ ± ВС, BD ± АС, КВ = 12, ВР = 8 (рис. 52). Найти: 1) АВ; 2) ВС. 65

СП—1 Вариант 8 СП—1 Вариант 7 1. Дано: ABCD — трапеция, описанная около окружности, AB = CD, ВС = 3V15, AD = 5V15 (рис. 53). Найти Sabcd. 1. Дано: ABCD — трапеция, описанная около окружности, АВ = CD, ВС = 8, AD = 18 (рис. 53). Найти S^ABC. 2. Дано: ДАВС, ZABD = ZCBD, АВ = 35, ВС = 14, BD- 12 (рис. 54). Найти SAXBC. 2. Дано: ДАВС, ZABD = ZCBD, АВ = 22, ВС = 10, В.\лвс ~ 105,6 (рис. 54). Найти BD. 3. Дано: ДАВС, АВ ± ВС. О„ О2 — центры полуокружностей, АТ = 80, ВС = 75 (рис. 55). Найти: 1) АР; 2) СК. Рис. 55 3. Дано: ДАВС, АВ ± ВС. О>, О2 — центры полуокружностей, ТС = 45, АВ = 100 (рис. 55). Найти: 1) АР; 2) СК. 67
< ПЭ .I JW ИИ»ЧМ»'К' .ti r MMUttvqTn gT£e » <FVa »i kA ,(M ,Wfl ,a 1т*яН g d •> Ц .S /AU лЩ'11 ЛЙАа ,gR SI * СЛ (U .jnq} г м гйаН
СП—2 Вариант 1 1. Дано: ДАВС, АВ = АС = 9, ВС = 6, AM = 6 (рис. 56). Найти: 1) ВМ; 2) 5длмВ; 3) тлв- С СП—2 Вариант 2 1. Дано: ДАВС, АВ = АС = 16, ВС = 8, AM = 4 (рис. 56). Найти: 1) ВМ; 2) 5дХМВ; 3) тлв. А Рис. 56 В 2. Дано: 2. Дано: ДАВС, ДАВС, АВ 1 ВС, Г» АВ 1 ВС, ВН 1 АС, D ВН 1 АС, АН = 6, АН = 28, ВС = 12 BC-7-J5 (рис. 57). А н С (рис. 57). Найти: Рис. 57 Найти: 1) АВ; 1) АВ; 2) 1лс- 2) 1АС- 3. Дано: 3. Дано: окружность, В окружность, ВМ, DM — ВМ, DM — секущие, секущие, ВМ - 10, AM = 20, MD = 15, ' м CD =11, CD = MA Рис. 58 АВ = МС (рис. 58). (рис. 58). Найти CD. Найти АВ. 69
C THONqoS ПЭ f 1нп<що1 £ — ПЭ • ЗА -- > К .д » за (д£ нц» ;М8 Н <>н*Д $ ,‘залЛ в ла а = на >а .j«q) ч
СП—2 Вариант 3 1. Дано: ДАВС, А (-3; 2), В (4; -1), С (1; 5). Найти: 1) тАС; 2) Вддвс’, 3) tg (ZABC). СП—2 Вариант 4 1. Дано: ДАВС, А (2; -3), В (-1; 4), С (5; 1). Найти: 1) твс"’ 2) S^ABC* 3) tg (ZABC). 2. Дано: 2. Дано: ДАВС, ДАВС, АС 1 ВС, В АС 1 ВС, CCi ± АВ, ZACC2 = ZBCC2, СС, = 4/2, CCj 1 АВ, ZBCC2 = zacc2, CCi = 3/2, СС2 = 5/2 СС2 = 5/2 (рис 59). (рис 59). Найти: Ла Найти: 1) тсв; Рис. 59 1) "»лв; 2) АС; 2) АС; 3) ВС. 3) ВС. 3. Дано: 3. Дано: АВ — касательная, В АВ — касательная, АВ + АС = 30, CD + АВ = 20, А В - CD = 2 АВ - CD = 8 (рис. 60). (рис. 60). Найти: Рис. 60 Найти: 1) АВ; 1) АВ; 2) АС. 2) АС. 71

СП—2 Вариант 5 1. Дано: ДАВС, Z.ABD = ZCBD, АВ = 21, BD = 8/7, DC = b (рис. 61). Найти Здлвс. Рис. 61 СП—2 Вариант 6 1. Дано: ДАВС, AABD = ACBD, АВ = 21, DC = 8, AD + DC = 31 (рис. 61). Найти BD. 2. Дано: ВС || AD, ABAC = а, ACAD = а, АВ = а, АВ 1 CD (рис. 62). Найти SABCD. В С A D Рис. 62 2. Дано: ВС || AD, ABAD = 2 (ZADC), ZBAC = ACAD = а, ВС = а (рис. 62). Найти SABCD. 3. Дано: ABCD — квадрат, вписанный в окружность, S»™™™ = 2л - 4 (рис. 63). Найти: 1) Флвсхн 2) S 3. Дано: ABCD — квадрат, вписанный в окружность, ^роаочкн = 2Л ~ 4 (рис. 63). Найти: 1) &ABCD’ 2) 73
си- 3 i »t‘* C*J . с U . . ’ -
СП—2 Вариант 7 СП—2 Вариант 8 1. Дано: 1. Дано: ДАВС, ДАВС, АВ = ВС, АВ = ВС, АС = а, МК = а, АВАК = АСАК, В МК || АС, МК || АС, Z.BAK = ZCAK, ZA = а, ZA = а, РТ || АС, Mj Г РТ || АС, О е РТ (рис. 64). Р/ -X* z 11 \ ОеРТ (рис. 64). А* с Найти: Рис. 64 Найти: 1) Дш. ДЛВГ» 1) Дш. ллвк» 2) 2) 3ДАВК; 3) Г»п. длвк» 3) Gn. ДАЛО 4) РТ. 4) РТ. 2. Дано: 2. Дано: окружность окружность с центром О, с центром О, &АВС — ЛАВС — правильный, 11 °* правильный, 5<ж™вят. = 4лУЗ-9 (рис. 65). v--1 1 / S.p.o, = |"V3 (рис. 65). Найти: с:— Найти: Рис. 65 1) ^*ДЛВС» 2) S^p.Oj 1) ^ДЛВС» 2) Згггменис

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ДС-1 Вариант 1 1. Три точки проектируются на плоскость. Сколько при этом может получиться точек на плоскости проекции? 2. Изобразите ромб с перпендикулярами, опущенными из середины одной из сторон на его диагонали. 3. Изобразите правильный шестиугольник с перпендику- ляром, опущенным из его центра на одну из его сторон. ДС—1 Вариант 2 1. Что представляют собой проекции двух параллельных прямых на плоскости? 2. Изобразите равнобедренный треугольник с перпендику- ляром, опущенным из середины боковой стороны на основание. 3. Изобразите правильный шестиугольник с перпендику- ляром, опущенным из его центра на меньшую диаго- наль. ДС—1 Вариант 3 1. Перечислите свойства прямоугольника, которые сохра- няются при параллельном проектировании. 2. Изобразите правильный шестиугольник с биссектрисой одного из его внешних углов. 3. Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника АВС (ZC = 90°) относятся как 2:3. Изобразите треугольник с высотой, опущенной из вершины прямого угла. ДС—1 Вариант 4 1. Перечислите свойства ромба, которые сохраняются при параллельном проектировании. 2. Изобразите ромб с углом 60° и перпендикуляром, опу- щенным из точки пересечения диагоналей на сторону. 3. Изобразите равнобедренный треугольник АВС, у кото- рого АВ = ВС = 4 и АС = 5, с центром вписанной в тре- угольник окружности. 77
ДС—1 Вариант 5 1. Что представляют собой проекции двух скрещивающих- ся прямых на плоскости? 2. Изобразите квадрат ABCD с перпендикуляром, опущен- ным из вершины С на отрезок BE, где Е — середина AD. 3. Изобразите равнобедренную трапецию ABCD (AD и ВС — основания) с углом при основании 45° и с центром описанной около нее окружности. ДС—1 вариант 6 1. Проекции двух прямых на плоскости параллельны. Каково взаимное расположение самих прямых? 2. Дано изображение некоторого треугольника и центра его описанной окружности, расположенного внутри треугольника. Постройте изображения высот этого треугольника. 3. Изобразите равнобедренный прямоугольный треуголь- ник с квадратом, построенным на его гипотенузе (квад- рат расположен вне треугольника). ДС—2 Вариант 1 1. Существует ли трехгранный угол с плоскими углами: а) 90°, 20°, 120°; б) 40°, 30°, 70°? 2. В трехгранном угле О АВС каждый из плоских углов равен 60°. Какой угол с плоскостью ВОС составляет ребро О А? 3. Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 60° и 90°. Найдите двугранный угол, лежащий против плоского угла 60°. ДС —2 Вариант 2 1. Существует ли трехгранный угол с плоскими углами: а) 100°, 150°, 110°; б) 60°, 90°, 120°? 2. В трехгранном угле О ABC Z.AOC = Z.AOB, Z.BOC = 90°. Ребро ОА составляет с плоскостью противолежащего плоского угла угол 45°. Найдите равные плоские углы. 3. В трехгранном угле плоские углы равны 120°, 120' и 90°. Найдите двугранный угол, лежащий против мень- шего плоского угла. 78
ДС—2 Вариант 3 1. В трехгранном угле два плоских угла равны 110° и 100°. В каких границах может находиться третий плоский угол? 2. В пирамиде DABC Z.DAC = Z.DAB = 30°. Двугранный угол при ребре AD равен 90°, DC ± АС и DB ± АВ, DC = DB = 20. Найдите площадь грани BDC. 3. Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. Если сечение этого угла плоскостью, перпендикулярной грани с наибольшим плоским углом, имеет форму рав- нобедренного треугольника (основание треугольника ле- жит в плоскости прямого угла), то секущая плоскость отсекает на ребрах трехгранного угла равные отрезки. Докажите. ДС—2 Вариант 4 1. В каких границах могут изменяться плоские углы при стороне основания правильной пятиугольной пира- миды? 2. В пирамиде DABC Z.DAC = Z.DAB = 60°. Двугранный угол при ребре AD равен 120°, DC ± AC, DB ± АВ, ВС = V39. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BDC. 3. Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. Докажите, что плоскость, отсекающая от ребер три равных отрезка, перпендикулярна плоскости прямого угла. ДС—2 Вариант 5 1. Докажите, что в трехгранном угле против равных плос- ких углов лежат равные двугранные углы. 2. В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ £АХАС = 45°, ZAjAB = 60°, ZBAC = 90°, АС = ?6, АВ = 2-/3, AAj = 5. Найдите площадь боковой поверхно- сти призмы. 3. Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со сто- роной а. Грань МАВ — правильный треугольник, плос- кость которого перпендикулярна плоскости основания. Найдите двугранный угол при ребре MD. 79
ДС—2 Вариант 6 1. Докажите, что в трехгранном угле против равных дву- гранных углов лежат равные плоские углы. 2. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен 120°, а высота боковой грани равна т. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3. Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со сто- роной а. Ребро МВ равно а и перпендикулярно плоско- сти основания. Найдите величину двугранного угла с ребром MD.
---={ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ } К—1 Вариант 1 1. Точки А, С, М и Р лежат в плоскости а, а точка В « а (рис. 66). Постройте точку пересечения прямой МР с плоскостью АВС. Поясните. 2. Треугольники АВС и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Е лежит на стороне АВ, а точка F — на стороне ВС, причем EF параллель- на плоскости ADC, точка Р — середина AD, а точка К — середина DC. 1) Докажите, что EF || РК. 2) Каково взаимное расположение прямых РК и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если Л АВС = 40° и ЛВС А = 80°? 3. Плоскости а и Р пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в плоскости а. Каково возможное взаимное расположение прямой а и плоскости Р? Сделайте рису- нок и поясните. 4*. Используя рисунок 67, постройте линию пересечения плоскости EFM с плоскостью а. Поясните. Рис. 67 81

К—1 Вариант 2 1. Точки А и В лежат в плоскости а, а точка С — в плос- кости р (рис. 68). Постройте линии пересечения плос- кости АВС с плоскостями аир. Поясните. 2. Треугольники АВС и DCE лежат в разных плоскостях и имеют общую вершину С, АВ || DE. 1) Постройте линию пересечения плоскостей АВС и DCE. Поясните. 2) Каково взаимное расположение прямых АВ и DF, где точка F лежит на стороне СЕ? Чему равен угол между этими прямыми, если ZFED = 60' и Z.DFE = = 100°? Поясните. 3. Прямая а параллельна плоскости а, точка М и пря- мая с лежат в плоскости а (М й с). Через точку М про- ведена прямая Ь, параллельная а. Каково взаимное расположение прямых Ь и с? Поясните. 4*. Плоскости аир пересекаются по прямой т (рис. 69). Прямая АВ лежит в плоскости a, a CD — в плоскости р. Что нужно изменить в условии, чтобы прямые EF и МК были параллельными? Поясните. 83
/Tfu Ц.П Vv/ •.и 4 «МРПГ м»оН »*'ХИ -- ’ e л •»'<*». » мм . ]! • 4.«t н ч»лзов.П \ кямжцП
К—1 Вариант 3 1. Точки А, С, Е и F лежат в плоскости а, а точка В в а (рис. 70). Постройте точку пересечения прямой EF с плоскостью АВС. Поясните. Рис. 70 2. Трапеция ABCD (AD и ВС — основания) и треугольник AED имеют общую сторону AD и лежат в разных плос- костях. Точка М лежит на стороне АЕ, а точка Р — на стороне DE, причем МР параллельна плоскости трапе- ции. 1) Докажите, что МР || ВС. 2) Каково взаимное расположение прямых МР и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если Z.ABC = = 110°? Поясните. 3. Плоскости аир пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в плоскости а, а & — в плоскости р. Каково воз- можное взаимное расположение прямых а и Ь? Сделай- те рисунок и поясните. 4*. Используя рисунок 71, постройте линию пересечения плоскости МРК с плоскостью а. Поясните. 85
«.'I’P up- ,-^и ’’Ч. H И 4Шни 1&> *ЧГ 14 N QTfj^ ль ^»oqt>vf л»а' • ч;» <Л м4ниТ «хтцгюч .JttHl ч:оП г 'ИГ >tr II I HiMUll ! 4Ц >4
К—1 Вариант 4 1. Точки Е и F лежат в плоскости Р, а точка М — в плос- кости а (рис. 72). Постройте линии пересечения плос- кости EMF с плоскостями аир. Поясните. 2. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости а. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках Е и F соответст- венно. 1) Докажите, что BCFE — параллелограмм. 2) Каково взаимное расположение прямых EF и АВЧ Чему равен угол между ними, если Z.ABC = 150°? Поясните. 3. Отрезок АВ параллелен плоскости а, а отрезок CD ле- жит в этой плоскости, причем АВ = CD. Можно ли утверждать, что четырехугольник ABDC — паралле- лограмм? Поясните. 4*. Плоскости а и Р пересекаются по прямой т (рис. 73). Прямая АВ лежит в плоскости a, a CD — в плоскости р. Что нужно изменить в условии, чтобы прямые АС и BD пересекались? В каком случае это возможно? Рис. 73 87
. . .V» • тня г , А н ТА м. I ’ •опчэн .^тигамоД Н • HF*) Н^ДЗ| ГЧ1ОХЯИ (S la »П^*И>ГП Н — Q*' .n f Л Н 1CO9IL П, НЯ>К(]!1 . TU! Ч/8Н ОМ>Ч<Н г *-ОЛЛЯ - I \ •ur.bM‘lO*.p'U <\П
К—2 Вариант 1 1. Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AD. Прямая т, параллельная ВС, пересекает плоскости АВЕ и DCF соответственно в точках Н и Р. Докажите, что HPFE — параллелограмм. 2. Плоскости а и Р параллельны, а II at (рис. 74). Пря- мая а пересекает плоскости а и Р соответственно в точ- ках А и В, а прямая пересекает плоскость а в точ- ке Ар Постройте точку пересечения а, с плоскостью р. Поясните. 3. В тетраэдре DABC Z.DBA = Z.DBC = 90°, DB = 6, АВ = ВС = 8, АС = 12. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DB и парал- лельной плоскости ADC. Найдите площадь сечения. 4*. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, про- ходящей через точки Е и F параллельно прямой а (рис. 75). 89

К—2 Вариант 2 1. Вне плоскости а расположен треугольник АВС, у кото- рого медианы и BBj параллельны плоскости а. Через вершины В и С треугольника проведены парал- лельные прямые, которые пересекают плоскость а со- ответственно в точках Е и F. Докажите, что ECBF — параллелограмм. 2. Плоскости аир параллельны (рис. 76). Прямая а пере- секает плоскости а и Р соответственно в точках А и В, а прямая b — в точках С и D. Найдите взаимное распо- ложение прямых а и Ь. Поясните. 3. Все грани параллелепипеда ABCDAxByCxDi — квадра- ты со стороной а. Через середину ребра AD параллель- но плоскости DAXBX проведена плоскость. Найдите пе- риметр сечения. 4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и К параллельно прямой а (рис. 77). 91
11 • / V •f ( »П П , •AU I WP Ui/H'<un0 л IdT I r*
К—2 Вариант 3 1. Прямоугольники ABCD и EBCF лежат в разных плос- костях и имеют общую сторону ВС. Прямая а парал- лельна AD и пересекает плоскости АВЕ и DCF соответ- ственно в точках Р и Н. Докажите, что РВСН — параллелограмм. 2. Плоскости аир параллельны (рис. 78). Прямые а и Ь пересекаются в точке М. Прямая а пересекает плоско- сти а и Р соответственно в точках А и В, а прямая Ь пе- ресекает плоскость р в точке D. Постройте точку пере- сечения прямой Ь с плоскостью а. 3. В тетраэдре DABC точка М — середина AC, DB - 6, MD = 10, Z.DBM = 90°. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра DC па- раллельно плоскости DMB, и найдите площадь сечения. 4*. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, про- ходящей через точки Е и Р параллельно прямой а (рис. 79). 93

К-2 Вариант 4 1. Трапеция ABCD (AD и ВС — основания) расположена вне плоскости а. Диагонали трапеции параллельны плоскости а. Через вершины А и В проведены парал- лельные прямые, которые пересекают плоскость а со- ответственно в точках Е и F. Докажите, что EABF — параллелограмм. 2. Плоскости а и Р параллельны (рис. 80). Прямая а пере- секает плоскости аир соответственно в точках А и В, а прямая Ь — в точках С и D. Каково взаимное распо- ложение прямых а и Ь? Поясните. Рис. 80 3. ABCDAiBiClDl — параллелепипед, все грани которо- го — прямоугольники, AD = 4, DC = 8, СС, = 6. По- стройте сечение параллелепипеда плоскостью, прохо- дящей через середину ребра DC параллельно плоскости АВхСц и найдите периметр сечения. 4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и М параллельно прямой а (рис. 81). 95

К—3 Вариант 1 1. В треугольнике АВС АС = СВ = 10 см, ZA = 30°, ВК — перпендикуляр к плоскости треугольника, равный 5>/б см. Найдите расстояние от точки К до АС. 2. Точка М равноудалена от всех вершин равнобедренно- го прямоугольного треугольника АСВ (Z.C = 90°), АС = ВС - 4 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 2 v 3 см. 1) Докажите, что плоскость AM В перпендикулярна плоскости АВС. 2) Какой угол плоскость ВМС составляет с плоско- стью АВС? 3) Найдите угол между МС и плоскостью АВС. 3*. Найдите расстояние от точки Е — середины стороны АС до плоскости ВМС. К—3 Вариант 2 1. Через сторону АС треугольника АВС проведена плос- кость а, удаленная от вершины В на расстояние, рав- ное 4 см, АС = ВС = 8 см, Z.ABC = 22°30'. Найдите угол между плоскостями АВС и а. 2. ABCD — квадрат со стороной, равной 4 см. Треуголь- ник AM В имеет общую сторону АВ с квадратом, AM = ВМ = 2-Уб см. Плоскости треугольника и квадра- та взаимно перпендикулярны. 1) Докажите, что ВС ± AM. 2) Найдите угол между МС и плоскостью квадрата. 3*. Найдите расстояние от точки А до плоскости DMC. К—3 Вариант 3 1. ABCD — ромб со стороной 4 см, Z.ADC = 150°, ВМ — перпендикуляр к плоскости ромба, равный 2> 3 см. Найдите расстояние от точки М до AD. 2*. Точка М равноудалена от всех сторон правильного тре- угольника АВС, сторона которого равна 4 см. Расстоя- ние от точки М до плоскости АВС равно 2 см. 1) Докажите, что плоскость AMО перпендикулярна плоскости ВМС (О — основание перпендикуляра, опу- щенного из точки М на плоскость АВС). 2) Найдите угол между плоскостью ВМС и плоско- стью АВС. 3) Найдите угол между МС и плоскостью АВС. 3*. Точка Е принадлежит АС, причем АЕ : ЕС = 2:1. Найдите расстояние от точки Е до плоскости ВМС. 4 Зии, 10 кл. 97

К—3 Вариант 4 1. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость а, удаленная от ВС на расстояние, равное 3-/3 см. Сторо- на ромба равна 12 см, Z.BCD = 30°. Найдите угол меж- ду плоскостью ромба и плоскостью а. 2. Треугольник АСВ — прямоугольный (ZC = 90°), АС = = СВ “ 3 см. Треугольник AM С имеет общую сторону АС с треугольником АСВ, AM = СМ = ч 6 см. Плоско- сти треугольников взаимно перпендикулярны. 1) Докажите, что МС ± ВС. 2) Найдите угол между МВ и плоскостью АВС. 3*. Найдите расстояние от точки Е — середины АВ до плоскости ВМС. К—4 Вариант 1 1. В основании прямого параллелепипеда ABCDAiBiC^Dx лежит ромб ABCD со стороной, равной а, и углом BAD, равным 60°. Плоскость BCiD составляет с плос- костью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. 2. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, Z.C = 90°, Z.A - 30°, ВС = 10. Боко- вые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами. Высота пирамиды равна 5. Най- дите площадь боковой поверхности пирамиды. 3*. В указанной выше пирамиде найдите угол между пря- мыми АС и DB. К—4 Вариант 2 1. Основанием прямого параллелепипеда служит парал- лелограмм со сторонами 3 и 5 см. Острый угол парал- лелограмма равен 60°. Площадь большего диагональ- ного сечения равна 63 см2. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда. 2. Основанием пирамиды MABCD служит ромб ABCD, АС = 8, BD = 6. Высота пирамиды равна 1. Все дву- гранные углы при основании равны. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 3*. В указанной выше пирамиде найдите угол между гра- нями ВМС и DMC. 99

К—4 Вариант 3 1. В основании прямого параллелепипеда ABCDA^B^C^Dx лежит параллелограмм ABCD, у которого BD ± АВ, АВ = 3 см, BD = 4 см. Плоскость ABtCt составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь пол- ной поверхности параллелепипеда. 2. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной 12. Грани MBA и МВС перпенди- кулярны плоскости основания. Высота пирамиды рав- на 5. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 3. В указанной выше пирамиде найдите расстояние меж- ду прямыми ВС и MD. К—4 Вариант 4 1. В прямом параллелепипеде ABCDA^Bfi^D^ основани- ем служит параллелограмм ABCD, AD = 2, DC = 2-J3, ZA = 30°. Большая диагональ составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверх- ности параллелепипеда. 2. Основанием пирамиды МАВС служит прямоуголь- ный треугольник АВС, катеты которого АС = 8 см, ВС = 6 см. Высота пирамиды равна 3-/5 см. Двугран- ные углы при основании пирамиды равны между со- бой. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 3*. В указанном выше параллелепипеде найдите угол меж- ду А,С и плоскостью грани DDXCVC. К—5 Вариант 1 1. ABCDAiBiCiDi — параллелепипед. Изобразите на ри- сунке векторы, равные: 1) АС[ + ОА[ + Bjj + ВА‘, 2) ВА-В£Х. 2. В тетраэдре DABC М — точка пересечения медиан грани BDC, а точка Е — середина ребра АС. Разло- жите вектор ЕМ по векторам АС, АВ и AD. 3. Даны три неколлинеарных вектора а, Ь и с. Найдите значения р и q, при которых векторы т = pa + qb + 8с и h = а + pb + qc коллинеарны. 4*. В тетраэдре DABC точки М и Н — середины ребер AD и ВС соответственно. Докажите, используя векторы, что прямые АВ, НМ и DC параллельны одной пло- скости. 101

К—5 Вариант 2 1. ABCDAiBiCiDx — параллелепипед. Изобразите на ри- сункевекторы, равные: 1) B^Ci + АВ + СС\ + 2) DC-CBi. 2. В тетраэдре DABC точка Е — середина ребра AD, а точ- ка М — точка пересечения медиан грани В DC. Разложи- те вектор ЕМ по векторам АВ, АС и AD. 3. Докажите, что векторы т = а + b — с, h — 2a-b + c и р = 8а - b + с компланарны. 4*. В тетраэдре DABC точки М и К — середины ребер АВ и CD соответственно. Докажите, что середины отрезков МС, MD, NA и NB являются вершинами параллелограмма. К—5 Вариант 3 1. ABCDA^BtCiDi — параллелепипед. Изобразите на ри- сунке векторы, равные: 1) ВС + С^ + В,В + DxAi, 2) Dfii-AiB. 2. В тетраэдре DABC точка Е — середина DB, а точка М — точка пересечения медиан грани АВС. Разложите век- тор ЕМ по векторам DA, DB и DC. 3. Даны три неколлинеарных вектора а, Ь и с. Найдите значение k, при котором векторы т = ka + k* 1 2 3b + 2с и п = а + kb + с коллинеарны. 4*. В кубе ABCDAiB^CtDi точки Е и F — середины от- резков BD и С]С. Докажите, используя векторы, что прямые ВСц EF и DC параллельны одной плоскости. К—5 Вариант 4 1. АВСВА1В1С1В1 — параллелепипед. Изобразите на ри- сунке векторы, равные: 1) АВ + В В + CD + DA', 2) DB - АВХ. 2. В тетраэдре DABC точка М — точка пересечения ме- диан грани ACD, а точка АВ — середина ребра АВ. Разложите вектор КМ по векторам В А, ВС и BD. 3. Докажите, что векторы т = а + 2Ь + Зс, п = 2а-Ь-си р = За - 4Ь - 5с компланарны. 4*. В пространстве расположен параллелограмм ABCD и про- извольный четырехугольник A}ByC{D,. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников AXBBV, В£СХ, CXDDX и AXADX являются вершинами параллелограмма. 103

К—6 Вариант 1 В треугольнике АВС АВ = 14, ВС = 13, АС = 15 (рис. 82). Найдите: 1) высоту, проведенную к стороне АС; 2) косинус угла А; 3) синус угла В; 4) тангенс угла С; 5) радиус описанной окружности; 6) радиус вписанной окружности; 7) медиану, проведенную к стороне ВС; 8) биссектрису, проведенную из вершины С. К—6 Вариант 2 В треугольнике АВС высоты, проведенные к сторонам АС, ВС и АВ, соответственно равны 15, 35 и 21 (рис. 83). Найдите: 1) площадь треугольника; 2) сторону АВ; 3) сторону ВС; 4) сторону АС; 5) радиус описанной окружности; 6) радиус вписанной окружности; 7) медиану, проведенную к стороне ВС; 8) биссектрису, проведенную из вершины В. 105

К-6 Вариант 3 В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС боковая сто- рона CD = 15, диагональ АС = 41, причем AC ± CD, АВ ± BD. Через точку О пересечения диагоналей прове- ден отрезок MN параллельно основаниям трапеции. Па- раллельно основаниям трапеции проведены отрезки TL и AXDX так, что трапеции ATLD и TBCL подобны, а пло- щади трапеций AAXDXD и AXBCDX равны (рис. 84). Найдите: в С 1) сторону АВ; 2) косинус угла CDB; T/L,\ l 3) площадь трапеции ABCD; A.ZZZ---------- — I- 2 J’ тангенс 5) отрезок MN; 6) площадь треугольника BOA; 7) радиус окружности, описанной около трапеции ABCD; 8) радиус окружности, вписанной в треугольник АВС; 9) отрезок TL; 10) отрезок AXDX. К—6 Вариант 4 В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали АС и BD перпендикулярны. Средняя ли- ния трапеции РК = 2,5. Через точку О пересечения диа- гоналей проведен отрезок MN =1,6 параллельно осно- ваниям трапеции. Параллельно основаниям трапеции проведены отрезки TL и AXDX так, что трапеции ATLD и TBCL подобны, а площади трапеций AAXDXD и AXBCDX равны (рис. 85). Найдите: 1) площадь трапеции ABCD; 2) основание ВС; в-__________с 3) основание AD; Г 4) косинус угла ВАС; / \о/ \ 5) радиус окружности, Mf---------- *------ описанной около трапе- т/---------X X,-----\ L ции ABCD; PL -А------X -\ЛГ в) — У 7) отрезок ОК; /• х\ 8) площадь трапеции д*—----------------------- PMNK; 9) отрезок TL; 10) отрезок AXD Рис. 85 107

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ }= МД-1 вариант 1 1. В каком случае три точки в пространстве не опреде- ляют положение плоскости, проходящей через эти точки? 2. Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую точку? 3. Точка М не лежит на прямой а. Через точку М прове- дены прямые, пересекающие прямую а. Лежат ли эти прямые в одной плоскости? 4. Каково взаимное расположение прямых (рис. 86): 1) ADt и MN; 2) ADt и BCt; 3) MN и DC? 5. Прямые а и ft скрещиваются с прямой с. Могут ли пря- мые а и ft пересекаться? 6. Прямая а параллельна плоскости а. Существуют ли на плоскости а прямые, не параллельные а? Если да, то каково их взаимное расположение? 7. Прямые т и п пересекаются в точке М (рис. 87), А е т, В е л, ft лежит в плоскости а, а II 6. Каково вза- имное расположение прямых 6 и с? 8. Даны треугольник АВС и плоскость а, АВ || а, АС || а. Каково взаимное расположение прямой ВС и плоско- сти а? 9. Плоскости аир параллельны (рис. 88). Пересекаю- щиеся в точке М прямые а и ft пересекают плоскость а в точках А и С, а р в точках В и D, = %. Найдите АН о мс отношение тттт- MD 10. Плоскость а пересекает только боковые ребра паралле- лепипеда. Определите вид сечения. 109
Вариант 2 1. Что можно сказать о взаимном расположении двух плоскостей, имеющих три общие точки, не лежащие на одной прямой? 2. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки? 3. Прямые а и b пересекаются в точке Af. Прямая с, не проходящая через точку Л/, пересекает прямые а и Ь. Лежат ли все эти прямые в одной плоскости? 4. Каково взаимное расположение прямых (рис. 89): 1) AXD и MN; 2) A.D и В.С; 3) MN и AXBJ 5. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли пря- мые а и Ь быть параллельными? 6. Две прямые параллельны одной и той же плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны? Если нет, то каково их взаимное расположение? 7. Прямые тип параллельны (рис. 90). Точки А и В со- ответственно принадлежат прямым т и л; Ь лежит в плоскости а, а || Ь. Каково взаимное расположение прямых бис? 8. Даны четырехугольник ABCD и плоскость а. Его диагонали АС и BD параллельны плоскости а. Ка- ково взаимное расположение прямой АВ и плоско- сти а? 9. Плоскости а и Р параллельны (рис. 91). Пересекающи- еся в точке М прямые а и b пересекают плоскость а со- ответственно в точках В и А, а плоскость Р в точках Е „ ЕМ 2 „ ч МВ и F, —- = -. Найдите отношение —- . MF 5 МА 10. Плоскость а проходит через диагональ основания па- раллелепипеда и середину одной из сторон верхнего основания. Определите вид сечения. 110
мд—2 Вариант 1 1. АВ ± а, CD ± а, В g а, D е а, АВ = CD. Каково взаим- ное расположение прямой АС и плоскости а? 2. К плоскости проведены две равные наклонные. Равны ли их проекции? 3. Точка М равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника, катеты которого 6 и 8 см. Расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 12 см. Найдите расстояние от точки М до вершин треуголь- ника. 4. Основанием прямоугольного параллелепипеда являет- ся квадрат со стороной, равной а. Расстояние от боко- вого ребра до скрещивающейся с ним диагонали парал- лелепипеда равно .... 5. ABCD — квадрат (рис. 92). Сторона АЕ перпендику- лярна плоскости квадрата, К g ЕВ. Чему равен угол между ВС и АК*1 6. В треугольнике АВС АВ = 10, ZA = 30°, BD ± АВС, BD =12. Расстояние от точки D до АС равно .... 7. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со стороной, равной 4. Диагональ паралле- лепипеда равна 8. Угол между диагональю и боковой гранью равен .... 8. Точка М равноудалена от всех сторон квадрата ABCD, сторона которого равна 8 см. Расстояние от точки М до плоскости квадрата равно 4 см. Угол между плоско- стью MCD и плоскостью квадрата равен .... 9. Прямая а и плоскость а перпендикулярны плоско- сти р. Каково взаимное расположение прямой а и плос- кости а? 10. Треугольник МАВ и квадрат ABCD имеют общую сто- рону АВ, и их плоскости взаимно перпендикулярны. Угол MAD равен .... Рис. 92 111
Вариант 2 1. АВ ± а, CD || АВ, В g a, Dea, Ееа, Z.ECD = 40’. Тогда Z.CED равен .... 2. Две наклонные, проведенные к плоскости, имеют рав- ные проекции. Равны ли сами наклонные? 3. Точка D равноудалена от всех вершин правильного треугольника и находится на расстоянии 3 см от его плоскости. Высота треугольника равна 6 см. Расстоя- ние от точки D до вершины треугольника равно .... 4. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со стороной, равной а. Расстояние между скре- щивающимися диагоналями противоположных граней параллелепипеда равно .... 5. ABCD — квадрат (рис. 93). Сторона АЕ перпендику- лярна плоскости квадрата, М с ЕС. Угол между BD и AM равен .... 6. В треугольнике АВС АВ =16 см, ZA = 30°, сторона ВК перпендикулярна плоскости треугольника. Найди- те ВК, если расстояние от точки К до АС равно 17 см. 7. В прямоугольном параллелепипеде основанием служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 10 см и со- ставляет с плоскостью боковой грани угол 60°. Найди- те сторону основания. 8. Точка D равноудалена от всех сторон правильного тре- угольника АВС. Расстояние от точки D до плоскости треугольника равно 2-/3. Радиус описанной около тре- угольника окружности равен 4. Угол между плоско- стью CDB и плоскостью треугольника равен .... 9. Две плоскости перпендикулярны третьей. Линии пересе- чения этих плоскостей с третьей плоскостью параллель- ны. Каково взаимное расположение этих плоскостей? 10. Прямоугольный треугольник АСВ (Z.C = 90°) и тре- угольник СМВ имеют общую сторону ВС. Плоскости треугольников взаимно перпендикулярны. Угол АСМ равен .... 112
мд—3 Вариант 1 1. Сторона основания правильной четырехугольной приз- мы ABCDAXBXCXDX равна 4 см, а боковое ребро равно 5 см. Найдите площадь сечения, которое проходит че- рез ребро AAt и вершину С. 2. В правильной треугольной призме сторона основания равна 3 см, а диагональ боковой грани составляет с плоскостью основания угол 60°. Площадь боковой по- верхности призмы равна .... 3. В наклонном параллелепипеде основанием служит квадрат. Две противоположные боковые грани перпен- дикулярны плоскости основания. Все ребра параллеле- пипеда равны 4 см. Найдите площадь каждой из на- клонных боковых граней. 4. В наклонной треугольной призме ABCDAiBiCiDf осно- ванием служит правильный треугольник со стороной, равной а. Боковое ребро равно b9 ZAtAC = ZAtAB. Площадь грани ССХВХВ равна .... 5. В наклонной треугольной призме боковое ребро равно 10 см. Площади двух боковых граней равны 30 и 40 см2, угол между ними прямой. Площадь боковой по- верхности призмы равна .... 6. В правильной четырехугольной пирамиде угол между диагональю основания и скрещивающимся с ней боко- вым ребром равен .... 7. В правильной четырехугольной пирамиде угол между противоположными боковыми гранями равен 40°. Най- дите угол наклона боковых граней к плоскости основа- ния. 8. Основанием пирамиды служит треугольник со сторо- ной, равной 8 см, и с противоположным этой стороне углом 150°. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Высота пирамиды равна .... 9. Основанием пирамиды служит трапеция, основания которой равны 2 и 8 см. Боковые грани пирамиды на- клонены к плоскости основания под равными углами. Высота одной из боковых граней равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 10. В пирамиде MABCD основанием служит квадрат со стороной, равной а. Грань МАВ— правильный тре- угольник, плоскость которой перпендикулярна плос- кости основания. Площади граней MAD и МВС равны .... ИЗ
Вариант 2 1. Сторона основания правильной четырехугольной приз- мы ABCDAXBXCXDX равна 3 см, а боковое ребро равно 4 см. Найдите площадь сечения, которое проходит че- рез сторону основания AD и вершину Сх. 2. В правильной треугольной призме боковое ребро равно 4 см, а диагональ боковой грани составляет с плоско- стью основания угол 45°. Площадь боковой поверхно- сти призмы равна .... 3. В наклонном параллелепипеде основанием служит квадрат. Две противоположные боковые грани перпен- дикулярны плоскости основания. Все ребра параллеле- пипеда равны между собой. Площадь наклонной боко- вой грани равна 25 см2. Длина ребра параллелепипеда равна .... 4. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX служит квадрат со стороной, равной а. Боковое ребро равно Ь. Вершина Ах равноудалена от всех вершин нижнего основания. Площадь диагонального сечения BBXDXD равна .... 5. В наклонной треугольной призме боковое ребро равно 5 см. Площади двух боковых граней равны 20 см2, угол между ними 60°. Площадь боковой поверхности призмы равна .... 6. В правильной треугольной пирамиде угол между скре- щивающимися ребрами равен .... 7. В правильной четырехугольной пирамиде боковые гра- ни наклонены к основанию под углом 50°. Угол меж- ду противоположными боковыми гранями пирамиды равен .... 8. В пирамиде основанием служит треугольник со сторо- ной 6 см и противолежащим углом 30°. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°. Длина бокового ребра равна .... 9. Основанием пирамиды служит трапеция, боковые сто- роны которой равны 2 см и 4 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под рав- ными углами. Высота одной из боковых граней равна 5 см. Найдите площадь боковой поверхности пира- миды. 10. Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со стороной 6 см. Ребро МВ перпендикулярно плоско- сти основания. Равные боковые ребра равны 8 см. Площадь каждой из наклонных боковых граней равна .... 114
МД—4 Вариант 1 1. DABC — правильная треугольная пирамида. Сторона основания равна -/3. Боковые ребра наклонены к осно- ванию под углом 60е. Найдите | DA + СВ + АС |. 2. Ребро куба ABCDAXBXCXDX равно 1. Найдите |5с;-вХ|. 3. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед, АХС пересекает BXD в точке М, BXD = xDM. Найдите х. 4. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Укажите какой- нибудь вектор с началом и концом в вершинах парал- лелепипеда, который был бы компланарен с векторами АВХ и АС. 5. АС = хАВ + yAD. Могут ли прямые АС и BD быть скрещивающимися? 6. Даны векторы т = а - b + с, п = 2а - b + 2с, р = = За - 4Ь + с, k = За - 2Ь + Зс. Укажите тройку ком- планарных векторов. 7. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Найдите ВА + ВС + ВВХ. 8. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед, DXC пересекает CXD в точке М. Выразите вектор AM через векторы ADX и АС. 9. Дано: PABCD — пирамида, ABCD — параллелограмм, ----» -» » -* » -» » РА = а, РВ = b, PC = с. Выразите вектор PD = х через векторы а, Ь и с. 10. В правильной треугольной пирамиде DABC отрезок DO — высота. Разложите вектор DO по векторам DA, DB и DC. 115
Вариант 2 1. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник АСВ (Z.C = 90°), АС = 6, ВС = 8. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под уг- лом 60°. Найдите | АС + ВМ + СВ |. 2. В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ сторона основания равна 1, точка Е — середина АХСХ. Найдите |СЕ-СВ^|. 3. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед, АХС пересекает BXD в точке М, АХС = хСМ. Найдите х. 4. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед, Е и F — середины AD и CD соответственно. Будут ли компланарны век- торы AC, EF и DDX1 5. Даны векторы т = 2а - b + с, п = - а + b - 2с, р = а + 2b + с, k = За + b + 2с. Укажите тройку компла- нарных векторов. 6. АС хАВ + yAD. При всех х и у векторы АВ и AD не являются коллинеарными. Могут ли пересекаться пря- мые АС и BD? 7. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. Найдите СХВХ + CXDX + СХС. 8. ABCDAXBXCXDX — параллелепипед, где АВХ пересекает АХВ в точке Е. Выразите вектор DE через векторы DBX и DA. 9. В пирамиде EABCD основанием служит параллело- грамм ABCD, ЕВ = /и, ЕС = и, ED = р, ЕА = у. Выра- зите вектор у через векторы т, п и р. 10. В тетраэдре DABC отрезки DE и CF — медианы грани BDC, DE пересекает CF в точке О. Выразите вектор AD через векторы АО, АС и АВ.
j ОТВЕТЫ } Самостоятельные работы с—1 Вар. 1. 2. Да, пересекаются. Вар. 3. 1. Точки A, Af, В должны лежать на одной прямой. 2. 1) Прямая EF пересекает ВС в точке X, а ВХСХ в точке Y. Тогда X — точка пересечения EF с плоскостью АВС, а У — с плоскостью AjBjCi. 2) Линия пересечения плоскостей ADF и EFD — прямая FD. 3) Линия пересечения плоскостей EFD и АВС — прямая XD. Вар. 5. 1. При условии, что ВО = ОС. 2. Пусть ABj и AjB пересекаются в точке X, а ВСХ и ВХС — в точке У. Тогда можно доказать, что ХУ — линия пересечения плоскостей АВХС и AjCjB. Вар. 6. 1. При условии, что АЕ : ЕС = 2:3. 2. Пусть ME пересекается с РТ в точке X. Тогда можно дока- зать, что XX — линия пересечения плоскостей РТК и MCE. Вар. 7. 1. Пусть ВК пересекает АС в точке Р, a PD пересе- кает EF в точке L. Искомой точкой X является точка пересече- ния DK и LM. Это требует доказательства. 2. Если ZC = 90°, то центр О описанной окружности принад- лежит АВ. Через эту прямую можно провести плоскость, в кото- рой точка С не лежит. Поэтому точка С необязательно лежит в плоскости АВС. Ва р. 8. 1. Пусть DM пересекает ВС в точке L, a AL пере- секает BE в точке Р. Искомой точкой У является точка пересече- ния AM и DP. Это требует доказательства. 2. Необязательно. С—2 Вар. 1. 1. 1) Прямая ВС. 2) Любая прямая, лежащая в плоскости Р и проходящая через точку С, но не совпадающая с ВС. 3) Таких прямых нет. Вар. 2. 1. 1) Таких прямых нет. 2) Любая прямая, лежащая в плоскости Р и проходящая через точку С, но не параллельная EF. 3) Прямая, проходящая через точку С и параллельная пря- мой EF. Вар. 4. 2. Нет, не лежит. 117
Bap. 5. 1. Прямые EF и a, EF и b — скрещивающиеся, так как в противном случае прямые ААХ и ВВХ лежали бы в одной плоскости, что невозможно. Вар. 6. 1. Решается аналогично задаче 1 из варианта 5. Вар. 7. 1. Прямые с и а лежат в одной плоскости и не пересе- каются. Если предположить, что с и а пересекаются в точке X, то тогда легко установить, что точка X принадлежит трем плоско- стям a, Р и у, а значит, что она лежит и на линиях пересечения этих плоскостей, взятых попарно. Но тогда прямые а и Ь будут иметь общую точку X, что противоречит условию. Аналогично до- казывается, что с || Ь. 2. Рассмотрим отрезки AXF и CjE, EF || АС, так как EF — сред- няя линия треугольника АВС. Легко доказать, что АС || А1С1. Отсю- да следует, что EF || AjCp В таком случае EFCiAj — трапеция, основания которой EF и AjCp причем EF : АХСХ = 1:2. Пусть диа- гонали этой трапеции AXF и СХЕ пересекаются в точке К. Из по- добия треугольников АХКСХ и EKF следует, что АХК : KF = = С)Х : КЕ =1:2. Рассмотрим теперь отрезки AXF и ВХМ. Анало- гично можно доказать, что они пересекаются в некоторой точке Kl9 причем АХКХ : XjF = BjXj : КХМ = 1 : 2. В таком случае точки К и Кх совпадают. Этим и доказывается данное утверждение. Вар. 8. 1. Через прямую а и точку М проходит плоскость а. Если эта плоскость пересекает прямую b в некоторой точке X, то прямая XAf, если она непараллельна а, является искомой. 2. Легко доказать, что ССХВХВ, ААХСХС и ААХВХВ — паралле- лограммы и точки F, Е и М — точки пересечения их диагоналей, EF — средняя линия треугольника АСХВ и EF = — АВ. Аналогич- 2 но MF = - АС и ЕМ = -ВС. Отсюда следует подобие треугольни- 2 2 ков EMF и АВС по третьему признаку подобия. С—3 Вар. 2. 1. BF : FC = 2 : 3. Вар. 3. 1. Прямая b либо параллельна плоскости а, либо ле- жит в этой плоскости. 2. 2) 50°. Вар. 4. 2. 2) 80°. Вар. 5. 1. Необходимо доказать, что четырехугольник РКНМ является параллелограммом. 2. 2) ООХ || ААр 3) 60°. Вар. 6. 1. Решается аналогично задаче 1 из варианта 5. 2. 2) ККХ || ВС. 3) 70°. Вар. 7. 1. Пусть ME и MF — медианы треугольников AMD и DMC. Рассмотрим треугольники EMF и НМНХ, где МН MHi 2 ~МЕ ~ ~ MF = 3" КР°ме того* У этих треугольников угол EMF — 118
общий. Отсюда следует, что fxEMF 00 &HMHV В таком слу- чае ННХ || EF. Так как EF — средняя линия треугольника ADC, то EF || АС. Поэтому ННХ || АС и ННХ параллельна плоскости АМС. 2. MF и EF — линии пересечения плоскости MFE с плос- костями CDB и АВС. Линия пересечения с плоскостью ADC проходит через точку М и параллельна АС. Пусть ее точка пересечения с AD есть точка Р. Тогда РЕ — линия пересече- ния с плоскостью ADB> PMFE — параллелограмм, Z.EFM — угол между скрещивающимися прямыми АС и DB, EF = 5, MF = 10, S = EF • MF sin Z.EFM, 25 V3 = 50 sin Z.EFM, sin Z.EFM = —, 2 Z.EFM - 60° (угол между скрещивающимися прямыми — острый или прямой). Вар. 8. 1. Да, параллельны. 2. 200. Задача решается аналогично задаче из варианта 7. С—4 Вар. 3. 2. Если прямые АВ и CD — скрещивающиеся, то AD и ВС тоже скрещивающиеся прямые. Если же АВ || CD, то AD и ВС пересекаются или параллельны. Вар. 4. 2. АС и BD скрещивающиеся, пересекающиеся или параллельны. См. ответ к задаче 2 из варианта 3. Вар. 5. 1. 10 см, 12,5 см. 2. О положении плоскостей судить нельзя. Вар. 6. 1. 10 см, 15 см. 2. Прямые должны пересекаться или скрещиваться. Вар. 7. 1. Через точку М проводим прямую, параллель- ную ВВП до пересечения с АС в точке Е. Через точку Е проводим прямую, параллельную КВ, до пересечения с прямой АВ в точке Р. Через точку Р проводим прямую, параллельную ВВХ. Легко до- казать, что эта прямая является линией пересечения указанной плоскости с плоскостью АВВХ. 2. В плоскости, проходящей через точку М и параллельной а. Вар. 8. 1. Решается аналогично задаче 1 из варианта 7. С—5 Вар. 1. 2. 2</Зсм2. Вар. 2. 2. 4</Зсм2. Вар. 3. 2. 4v33 см2. Вар. 4. 1. 90°. 2. 48 см2. Вар. 5. 2. Каждые два из указанных отрезков являются диа- гоналями параллелограмма, причем стороны этого параллело- грамма являются средними линиями соответствующих граней тетраэдра. Для доказательства следует воспользоваться теоремой о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. Вар. 6. 2. Рассмотрите любые два отрезка указанных прямых и докажите, что, пересекаясь, они делятся в отношении 1:3. 119
Bap. 7. 1. Для решения задачи нужно доказать, что ABCD — параллелограмм. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке О, ААХСХС— параллелограмм, так как ААХ || ССХ и ААХ=ССХ. Тогда АХО = ОС и АО = ОС^; BBXDXD — параллелограмм, так как ВВХ || DDX и ВВХ = DDX. Тогда ВХО = OD и ВО = ODX. В четырех- угольнике AXBXCD АХО = ОС и ВХО = OD. Значит, AXBXCD — па- раллелограмм и АХВХ || СВ, но АХВХ || АВ, а потому АВ || CD. Аналогично можно доказать, что ВС || АВ, и тогда ABCD — па- раллелограмм. Итак, ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. 2. Необходимо сделать разверт- ку боковой поверхности тетраэдра (рис. 94). Наименьший путь равен длине отрезка АА', ZABA' = 30° • 3 = = 90е. Тогда АА' = 3V2 см. Вар. 8. 1. Плоскости BDAX и ААХСХ пересекаются по прямой AtO, где О — точка пересечения диагона- лей параллелограмма АВСВ, АСХ пе- ресекает АХО в точке М. Это и есть точка пересечения АСХ и плоскости ВВАр Обозначим точку пересечения АСХ и АХС через Р. Тогда АР и АХО — медианы треугольника ААХС. Рис. 94 В таком случае А ХМ : МО = 2 : 1, а это и означает, что М — точка пересечения медиан сечения BDAX. 2. 12 см. Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 7. С—6 Вар. 1. 2. (10 + V2) см. Вар. 2. 1. 15. „ о , а2Л1 Вар. 3. 1. -----. 64 Вар. 4. 1. °2 16 Вар. 5. 1. Построение сечения показано на рисунке 95. Надо доказать, что в сечении получился правильный шестиугольник со стороной, равной 4^2 см. Его площадь равна 48V3 см2. 2. Построение сечения показано на рисунке 96. Секущая плоскость пересекает плоскость BDC по прямой СХ, параллель- ной DE. Доказательство построения очевидно. Вар. 6. 1. Построение сечения показано на рисунке 97. Надо доказать, что в сечении получился правильный шестиугольник со стороной, равной 2^2 см. Его площадь равна 12v3 см2. 2. Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 5. Вар. 7. 1. Построение сечения показано на рисунке 98. В сече- Q нии получилась трапеция KPTL, у которой основания KL = — а и 120
121
Рис. 99 PT — . Высота трапеции FM = . Тогда площадь трапеции . 2. Построение сечения показано на рисунке 99. При построе- нии использовалось свойство параллельных плоскостей. Вар. 8. 1. Сечением является параллелограмм, стороны ко- торого равны 8 и 3, а угол 60°. Тогда площадь сечения равна 12Л. 2. Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 7. С—7 Вар. 1. 1. 2. Вар. 2. 1. 2. 2. Линия пересечения параллельна прямым AD и BE. Вар. 3. 1. 24. 2. b || с. Вар. 4. 1. 2. 2. b || с. Вар. 5. 1. 13. 2. Точкой пересечения прямой b с плоскостью а является точ- ка пересечения прямой AM с прямой Ь. Точкой пересечения пря- мой а с плоскостью Р является точка пересечения а с прямой, про- ходящей через точку В и параллельной прямой AM. Вар. 6. 1. 8 см. 2. Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 5. Вар. 7. 1. Рассмотрим случай, когда вершины параллело- грамма расположены по одну сторону от плоскости а. Пусть АС и BD пересекаются в точке О, а АХСХ и B1Di — в точке Ох. Легко 122
доказать, что ООХ параллельна прямым ААи ВВи ССХ и DDX. В таком случае ООХ — средняя линия в трапециях АССХАХ и BDDjBp __ ДА| + CCj ВВ| + ZXBj оо, = —---------, ось =---------. 2 2 Отсюда ААх + ССг = BBj + DDX. Исходя из условия задачи 13 + 19 = 36 + DDU чего не может быть. Это означает, что точка D находится по другую сторону от плоскости по отношению к точ- кам А, В и С. В таком случае в плоскости BBXDXD мы имеем пе- ресекающиеся отрезки BD и BjDj, BBj ± BjDj, DDX ± BjDp BBj = 36. Расстояние OOX между серединами BD и BjDj равно 16. Тогда легко получить, что DDX = 4. 2. Рассмотрим две точки А и В и искомую прямую т. Множе- ством точек, одинаково удаленных от точек А и В, является плос- кость а, перпендикулярная АВ и проходящая через середину АВ. Если т || а, то таких точек нет; если а пересекает прямую т, то искомой является эта точка пересечения; если т лежит в плоско- сти а, то условию удовлетворяет каждая точка прямой т. Вар. 8. 1. Легко доказать, что АВ || а и АВ = AjBj = 19. Че- рез точку С проведена плоскость 0, параллельная плоскости а. Эта плоскость пересекает BBt в точке В2, a AAj в точке А2, СВ2 =11 см, СА2 = 12 см и А2В2 = 19 см. Треугольники СВ2В и СА2А — прямоугольные. Пусть ВВ2 = АА2 = х, СВ2 = х2 + 121, С А2 = х2 + 144, АВ2 = С А2 + СВ2, х2 + 121 +х2 + 144 = 361. Отсюда х2 = 48, СА = 748 + 121 = 13, СВ = 748 + 144 = 8ТЗ, SACB =--873 13 = 5273 (см2). 2 2. Множеством точек, равноудаленных от двух данных то- чек А и В, является плоскость 0, перпендикулярная АВ и прохо- дящая через середину АВ. Если плоскость 0 пересекает дан- ную плоскость а, то искомым множеством является линия пересе- чения плоскостей а и 0. Если 0 || а, то таких точек нет. Если же а и 0 совпадут, то данному условию удовлетворяет любая точка плоскости а. С—8 Вар. 1. 2. 84. Вар. 2. 2. 24. Вар. 3. 2. 7. Вар. 4. 2. 3 см. Вар. 5. 1. Из равенства треугольников DBC и DBA вытекает, что DA = DC. Пусть Е — середина АС, тогда DE и BE — медианы треугольников ADC и АВС. Так как эти треугольники — равно- бедренные, то АС ± ЕВ и AC ± ED, т. е. АС — перпендикуляр к плоскости DEB, а значит, AC ± DB. 2. Пусть F — середина DB. Так как все грани тетраэд- ра — правильные треугольники, то CF ± DB и AF ± DB. Строим 123
EM || CF и MK || AF, M e DB. Тогда треугольник KME — иско- 17 °2 ^2 мое сечение. Его площадь равна-----. 16 Вар. 6. 1. Решается аналогично задаче 1 из варианта 5. 2. Строим FE параллельно АС и соединяем точки Е и В, FEB — искомое сечение. Легко доказать, что FE ± CD и ЕВ ± СВ, т. е. плоскость FEB перпендикулярна CD. Вар. 7. 1. Треугольники AAXDX и ААХВХ равны, а потому ABj = ADX. Пусть О — середина отрезка BlDl. Тогда BjDj ± АО и BiDj ± AjCp т. е. BjDj — перпендикуляр к плоскости АСС1Э а по- тому Bj^! ± AjC, так как А>С лежит в этой плоскости. 2. Через точку М проводим прямую, параллельную АС, через точку пересечения этой прямой с ребром ААХ проводим прямую, параллельную АВ. Дальнейшее построение очевидно. Вар. 8. Решения аналогичны задачам из варианта 7. С—9 Вар. 1. бУб см. Вар. 2. 4 см. Вар. 3. 15. Вар. 4. 54. Вар. 5. 12 см. Необходимо воспользоваться теоремой о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. Вар. 6. Пусть ААр BBn CCj и DDX — перпендикуляры к плоскости а. Плоскости, определяемые параллельными прямыми AAj, CCj и BBj, DDl9 пересекаются по прямой ООХ. Очевидно, что ООХ ± а и ООХ = 15 см. Так как средняя линия трапеции парал- лельна плоскости а, то этой плоскости параллельны и основания трапеции AD и ВС. Пусть ААХ = х. Так как средняя линия тра- пеции удалена от плоскости а на расстояние, равное 13, то ВВХ = 26 - г. Рассмотрим трапецию BDDXBX. Так как основания трапеции относятся как 1 : 2, то очевидно, что и ВО : OD = 1:2. Итак, в трапеции BDDXBX ВВХ = 26 - х, DDX = х, ООХ II ВВР при- чем ВО : OD =1:2. Отсюда легко найти, что х = 7. Тогда рассто- яния от оснований до плоскости а равны 7 и 19 см. Вар. 7. В треугольнике MBD необходимо опустить пер- пендикуляр ОК на прямую MD, где О — точка пересечения диаго- налей квадрата. Легко доказать, что ОК — искомое расстояние. Из подобия треугольников MBD и OKD находим, что ОК = — . 6 Вар. 8. Из точки С опустим перпендикуляр ССХ на плоскость a, CCj = 20. Из треугольника CCXD находим, что DCX = 15. Легко доказать, что искомое расстояние будет равно высоте треугольни- ка BCjD, опущенной на сторону DCX. Ответ: 11,2. С—10 Вар. 1. 1. 8. 2. 55°33', 23°35'. Вар. 2. 1. а. 2. 29 56', 19°28'. 124
Bap. 3. 1. a. 2. 51°45'. Bap. 4. 1. 2. 28c42'. Bap. 5. 1. Точка M лежит в плоскости трапеции. 2. 32°57'. Пусть ММХ ± ЛВС, Мх лежит на биссектрисе угла BAD. Опустим из точки Мх перпендикуляр МХЕ на сторону AD и соединим точки М и Е. Легко доказать, что ME ± AD. Пусть AM = а. Тогда из треугольника АМЕ находим ЛЕ, а затем из тре- угольника АЕМХ находим АМХ. Зная АМХ, находим косинус ис- комого угла. Вар. 6. 1. 4. 2. 57°12'. Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 5. Вар. 7. 1. Пусть ККХ ± ABC (Кх е CD). Очевидно, что АКХ || FK. Легко доказать, что в квадрате отрезки BE и АКХ вза- имно перпендикулярны. Тогда, используя теорему о трех перпен- дикулярах, можно доказать, что ВХЕ ± АКХ, а так как FK || АКХ, то и ВХЕ 1 FK. 2. 48°35'. Вершина D проектируется в центр О правильного тре- угольника АВС. Опустим перпендикуляр AM на плоскость CDB. Необходимо доказать, что точка М лежит на высоте DF грани CDB, ЛАСМ — искомый. Для нахождения синуса этого угла достаточно найти высоту AM треугольника ADF. Вар. 8. 2. 50°46'. Обе задачи решаются аналогично задачам из варианта 7. С—11 Вар. 1. 1. 90е. 2. 60е. Вар. 2. 2. 45°. Вар. 3. 1. 4,5 см. 2. 45°. Вар. 4. 1. 62,5 см. 2. 45°. Вар. 5. 1. 24 см. 2. 118°4'. Вар. 6. 1. 3. 2. 87°48'. Вар. 7. 1. Необходимо построить линейный угол, одна из сторон которого проходила бы через данную точку X. Стороны этого угла параллельны высотам, опущенным на общую сторону треугольников. 2. 120°. Необходимо из точки О пересечения диагоналей квад- рата опустить перпендикуляр ОК на ребро MD и точку К соеди- нить отрезками с вершинами А и С. Тогда ЛАКС — линейный угол искомого двугранного угла. Из треугольника BMD находим, что ОК =-----. Дальнейшее решение очевидно. 2-УЗ Вар. 8. 1. Задача решается аналогично задаче 1 из варианта 7. 2. 120°. Ребром двугранного угла является прямая BXD. Линей- ным углом двугранного угла является угол, образованный высота- ми АХК и СХК равных треугольников BXAXD и BXCXD, опущенны- ми на общее основание BXD. Очевидно, что этот угол равен 120°. 125
Рис. 100 Рис. 101 С—12 Вар. 1. 2. Вар. 2. 2. Вар. 3. 1. Вар. 4. 1. Вар. 5. 1. о 4ч1045 17 2) 2. 2) 6. 2. 2. 1) 4. 6. 2. 1) 2. <337 5 См. рисунок 100. На этом рисунке АЕ ± AxDt EF || CD и QP || АЕ, QP — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых АВ и BXD. Вар. 6. 1. 5. О 5ч/34 о 2. —-— см. Задача решается анало- гично задаче 2 из варианта 5. Вар. 7. 1. Пусть АС = СВ = х. Тогда АВ = х 42 (рис. 101). Из прямоугольных треугольников АЕС и СЕВ имеем АЕ = = BE = ч х2 - 4. Из треугольника EFB получаем EF = ^х2 -4-15 = Vx2 -19, AF = Vx2 -4 + Vx2 -19. Из треугольника AFB получаем 2х2 = х2 — 4 + х2 - 19 + 2^(х2 — 4)(х2 -19) + 15. Отсюда х4 - 23Х2 + 60 = 0 и х2 = 20. Тогда SACB = 10. Ответ: 10 см2. 2. На рисунке 102 показано искомое сечение, ML || EF, 5 EF = -,ML = 5. Строим РК 1 ЕР и точки О и К соединяем отрез- 2 ком. Тогда ОК 1 EF, РК равняется половине высоты треуголь- ника ADC, т. е. РК = -. Из А ОРК ОК = /^ + 49 = ---—, 5 У 25 5 Smlfe=^(EF + MD) OK = ^1261. Тогда 5^ = 25^=^71261. 2 4 2 Ответ: —^1261 см2. 2 Вар. 8. 1. Построим квадрат DCKM, как это показано на ри- сунке 103. Тогда СМ || ЕК. На квадрате DCKM построим куб. Очевидно, что МТ || DB. Треугольник МТС — равносторонний и Z.CMT = 60°, а это и есть угол между данными скрещивающимися прямыми. Ответ: 60°. 2. Построение сечения показано на рисунке 104, MN || BVD и KL || АС. Строим BP 1 EF. Тогда и MP 1 EF, = SKML + SEKLP. 126
Рис. 102 Рис. 103 Пусть МР = Л, SKML =-AC-QM (KL = AC), £ seklf = ~IacQP. A ib Из подобия треугольников MBP 2 и QTP следует, что MQ = — Л и 3 QP = ^. Тогда Sce4 = |-Ac|h + + 1.3 л(, Л = 7 АС-Л 2 2 3 12 Легко получить, что ВР = --, МВ = ~, ВВ, = —. Это 5 4 2 следует из подобия треуголь- ников BXBD и MBN. Тогда из треугольника МВР следует, что Рис. 104 V 4 25 10 Ч ,7-5-111 _ 259 сет 1210 8* л . 259 Ответ:---- 8 С—13 Вар. 1. 1. 60°. 2. 8V2 см2. Вар. 2. 1. 45°. 2. 2-/3 см2. Вар. 3. 1. 3-/7 см2. 2. 2—^., 2 2 127
Bap. 4. 1. За2 \ 2 o Шчб 2 /а -------. 2. -----, m £ V2 4 2 Bap. 5. 1. Построение сечения показано на рисунке 105. BE = —= 3, ГВ = 373. Тогда FBi = 73. Из подобия тре- 2 КВ 1 угольников FBXK и FBE следует, что---- = — и КВХ = 1. Из подо- ЕВ 3 РТ 1 бия треугольников РВ^Т и АХВХСХ следует, что -------= — и A i^i РТ = ^^. Из треугольника КМЕ (ЛКМЕ = 90°) имеем, что КЕ = —~ =4, SW=-(PT + AC) KE = 1^-. Ответ: l^Zf. sin60° 2 3 3 2. 2Q. Вар. 6. 1. 30^2 см2. Задача решается аналогично задаче 1 из варианта 5. 2. QV3. Вар. 7. 1. Необходимо достроить призму до прямого паралле- лепипеда ADBCAlDiBlC1^ основанием которого будет ромб ADBC. В таком случае угол между АС\ и BYC равен величине угла D^AC^. Этот угол можно найти, используя теорему косинусов, из треуголь- ника DjACj, где ADi = А€\ = aJ2 и Dx(\ = (ребро призмы при- нято за а). Ответ: arccos — ® 75°ЗГ. 4 2. Искомое сечение изображено на рисунке 106. Сечение стро- им перпендикулярно диагонали FXB. Следует отметить, что так 128
как BXFXFB — квадрат, то меньшая диагональ FXB перпендику- лярна BXF. Кроме того, легко доказать, что FXB ± ВС, а так как РТ || ВС, то FjB ± РТ. Таким образом, диагональ FjB перпендику- лярна двум пересекающимся прямым РТ и BXF* которые и задают плоскость сечения. Плоскость сечения составляет с основанием угол 45°. Тогда с _ «оси За2 Уз _ За2 Уб cos 45' 2 J_ 2 V2 Ответ: За2 Уб 2 Вар. 8. 1. arccos---~ 55°33'. Задача решается аналогично задаче 1 из варианта 7. 2. Искомое сечение изображено на рисунке 107. Следует отме- тить, что FFXCXC — квадрат, а потому FXC ± CXF. Кроме того, FXC ± АЕ, а так как PQ || АЕ, то FXC ± PQ. Таким образом, диаго- наль FXC— перпендикуляр к двум пересекающимся прямым CXF и PQ, которые задает плоскость сечения. При построении учиты- валось, что плоскость сечения пересекает плоскость BBXDX по прямой МТ, параллельной PQ. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 45°: _ *^осн _ За * Уб ’ *ч ~ cos 45 2 Ответ: За2 Уб 2 Рис. 107 5 Зии. 10 кл. 129
С—14 Вар. 1. 12739. Вар. 2. 50(72 + 1). Вар. 3. ||(7Тз + 1). и . 231073 Вар. 4. ------. 13 Вар. 5. 36(7+67П). Вар. 6. 30(37161 + 28). Вар. 7. Пусть диагонали основания пересекаются в точке О. Тогда АО = 3, Z.BBXD = 60°. В плоскости BBXDX опускаем из точ- ки О перпендикуляр ОК на BXD. Можно доказать, что длина ОК есть расстояние между АС и BXD9 которое равно 2. Дальнейшее решение очевидно. Ответ: —(1073+9) см2. 3 Вар. 8. Расстояние между AD и DXC равно расстоянию между AD и плоскостью сечения BAXDXC. Из точки А опускаем перпенди- куляр AM на прямую ВС (М не принадлежит стороне ВС) и точку М соединяем с точкой В треугольнике АХАМ опускаем высоту АК на АХМ. Можно доказать, что длина АК и есть расстояние меж- 12 ду AD и DjC, которое равно —. Из треугольника АХАМ находим, 5 что АМ-3. Дальнейшее решение очевидно. Ответ: 44V3 см2. С—15 Вар. 1. 2. 350 см2. Вар. 2. 2. 75 см2. Вар. 3. 1. ab. 2. 120°, 60°. Вар. 4. 1. abj2. 2. 60°, 120°. Вар. 5. 1. ^(2 + ЛЗ). 2. Строим перпендикулярное сечение A2B2C2D2 параллелепипе- да. Тогда А2В2 = 17, а В^£>2 = W* Длина высоты А^С треугольника B2A2D2 и есть расстояние между ААХ и BYD9 которое равно 8. Из треугольника B2A2D2 находим, что B2D2 = 21 или 9. Зная площадь диагонального сечения BB^D, находим возможную длину боково- 210 го ребра, которая равна 10 или--. В таком случае площадь боко- 9 вой поверхности равна 540 или 1260. Ответ: 540 или 1260. Вар. 6. 1. QT7. 2. 4(3 + 72 + 73). Решается аналогично задаче 2 из варианта 5. Вар. 7. 1. Высота AYK параллелепипеда проектируется на диа- гональ основания АС. Из точки К опускаем перпендикуляр на AD и точки Ai и М соединяем. Легко доказать, что АХМ — высота бо- ковой грани AAiDiD. Из треугольника ААгК находим, что АК = 8. 130
Используя подобие треугольников АКМ и AOD (О — точка пересе- чения АС и BD), находим, что 24 КМ = —. Из треугольника АХКМ 26 находим, что АХМ =—. Тогда 5 5^ = 520. Ответ: 520. 2. Применяя теорему о трех перпендикулярах, можно дока- зать, что АС ± ВХВ (рис. 108). Пер- пендикулярным сечением призмы др = а8*па СОЗф является прямоугольный A ACF (ZACF = 90°), CF = a sin а, АС = a sin а tg ф, Периметр перпендикулярного сечения ( 1 asina(l+ созф + зтф) Р = a sin а 1 + +---- =-----------------------. ( СОЗф ) СОЗф Из треугольника ВХСВ находим, что а с aI 2tga(l + cos9 + sin9) ВВХ-------*^бок------------------------- cos a cos ф а2 tgaU + созф + втф) Ответ: ------------------ СОЗф Вар. 8. 1. Пусть AtK — высота параллелепипеда, К е BD. Так как Z.AXAD = ЛАХАВ, то АК — биссектриса треугольника ABD. По теореме косинусов находим, что АВ = 13, и, используя 15 свойство биссектрисы треугольника, находим, что KD = —.Тогда 4 15 высота параллелепипеда АХК = — (ZAjD/C = 45°). Из точки К 4 опускаем перпендикуляр KF на AD и точки Ах и F соединяем, AXF — высота боковой грани AAjDjD, KF = KD • sin 60° = . _________________ 8 Из A AyKF находим, что Ax F = JI •I + | — 1 • — = AA/T . V \ 4 / V 4 ) 4 8 15 VV* Легко доказать, что высота грани AAjBjB тоже равна--. вбок =56 —— = 105-/7. Ответ: 105 -J1. 8 I2 зт2ф(1 + соза + зта) 2. ---------------------. Задача решается аналогично за- cos a даче 2 из варианта 7. 131
С—16 Вар. 1. 1. 96 см2. 2. arctg 2-/3 = 73°54', arctg 4</3 == 81’47'. Вар. 2. 1. 270-/3 см2. 2. arctg 6 = 80’32', arctg 3^2 = 76°44'. Вар. 3. 1. 24-Д. 2. 1) 2 arctg 42 = 109°28'; 2) 60°. Вар. 4. 1. 128. 2. 1) 2 arctg | = 67’23'; 2) 180’- 2 arctg ^^ == 51’19'. Вар. 5. 1. а2 42. 2. 2arctgl созср • tgi^ ); ==27’57'. Вар. 6. 1. 3m2^.2. arccosf tg--ctgi®21 к =56 28'. 8 \ 2 п ) Вар. 7. 1. На рисунке 109 АК ± MF. Можно доказать, что АК перпендикулярна плоскости СМВ. Тогда ЛАСК есть угол меж- ду АС и плоскостью СМВ, OF - -^-=9 MF = J4a2 + — = 2V3 V 12 2V3 АК • MF = МО • AF. Отсюда следует, что А К = "» sin ZACK = — = — ,ZACK » 59°. Ответ: arcsin - ~ 59°. AC 7 7 2. Плоскости РВС и PAF пересекаются по прямой NP (рис. 110), КМ ± PN. Можно доказать, что ЛВМА = а, МК = ~ctg —. Из подобия треугольников NMK и NPO следует, 2 2 что — — = . Отсюда РО = в Из Д NMK следует, что МК MN MN 132
MN = /3£l-£lctg2^ = £ /з-ctg2—. V 4 4 2 2V 2 aV3ctg£ В таком случае PO = —— 2 . Из треугольника POL следует, что апофема пирамиды Г£ = 3a2ctg2 £ 3a 2 +2 _ ay 4 3-ctg2 “ 2 2 q _ A . p *^6oK 2 * осн •PL - 3 + 3ctg2 - 9a2 За 2 sin— 3-ctg2 - 2 V 2 Ответ: 2 sin — j3-ctg 9a2 2 а 2 2 а 2 2sin — .3-ctg 2 N Bap. 8. 1. На рисунке 111 EK — перпендикуляр к плоскости CMD. Плоскость, определяемая прямыми АВ и ЕК, пересекает плоскость CMD по прямой, параллельной АВ; АР || ЕК, а так как ЕК — перпендикуляр к плоскости CMD, то и АР — перпендику- ляр к той же плоскости. В таком случае ZAMP = a — искомый; MF = .[На2 +— = — V 4 2 Отсюда ЕК = = MF aj2-a-2 2aV2 3a 3 ’ но АР = ЕК = ^2.. 3 Из треугольника АМР si n a = - • А М = .АЛ/ - /2а2 V 4 2 т 4V5 Тогда sin a =---, , MOEF = EKMF. М a = а resin------ 36°36'. 15 Ответ: arcsin ~ 36°36'. 15 Рис. 111 133
2. За2 Уз 2 sin — Jl-3ctg2 — 21 2 . Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 7. С—17 Вар. 1. 1. аУЗ. 2. 12(5Уз+8). Вар. 2. 1. а. 2. 100(3+ 2Уб). Вар. 3. 1. 1) 2УЗсм; 2) 40 см2. 2. —(3 + 2УЗ). 2 Вар. 4. 1. ^-,^—^.2. — (З + Уб + УЗ). 4 2 4 Ь а b2tga Вар. 5. 1. £tg^tg<p, ---. 2 2 4coscp 2. 480(5 + 273). Необходимо учесть, что грани МАС и МАВ наклонены к основанию под углом 60'. Вар. 6. 1. . 4СО8« 8 sin a -cos <р 2 2. 3(1 + 2У2) см2. Необходимо учесть, что грани МАВ и МВС наклонены к основанию под углом 45°. Вар. 7. 1. Так как площади боковых граней равны между собой и в основании пирамиды лежит правильный треугольник, то высоты боковых граней, опущенные из вершины пирамиды, равны между собой. Это значит, что вершина пирамиды одинаково удалена от сто- рон основания или от прямых, на которых лежат эти стороны. В та- ком случае вершина пирамиды проектируется либо в центр вписан- ной в основание окружности, либо в один из центров вневписанных окружностей. Для данного случая возможны только два различных варианта (рис. 112, а, б). В случае а радиус вписанной окружности а - о а“ a 713 m равен —— и высота боковой грани равна Ja* + — = ——. Тогда 2 УЗ » 12 2 УЗ риметр. Радиус вневписанной окружности г = q _1 р h _3а аУ13_а2У39 вок 2 °си 6<ж пжш‘ 2 ’ 2УЗ 4 ‘ В случае б радиус вневписанной окружности определяется по формуле га = , где га — радиус вневписанной окружности, кото- р-а рая касается стороны a; S — площадь треугольника; р — его полупе- аТЗ 2 134
Тогда высоты боковых граней равны: » ^бок 2 008 За aV7 _ За2 41 'бок. грани • - За2 а41 4---- =----- 4 2 a2V39 За2 41 -----или------ .Ответ: 2. Пусть высоты АВ, BE и СК треугольника АВС, лежащего в основании пирамиды МАВС, пересекаются в точке О. По усло- вию МО — высота пирамиды. По теореме о трех перпендикулярах ME ± АС. Тогда из треугольников ME А и МЕС следует, что ME2 = МА2 - АЕ2, ME2 = МС2 - ЕС2. Отсюда МА2 - МС2 = АЕ2 - ЕС2. (1) Из треугольников BE А и ВЕС следует, что АЕ2 = АВ2 - BE2, ЕС2 = ВС2 - BE2. Отсюда АЕ2 - ЕС2 = АВ2 - ВС2. (2) Из уравнений (1) и (2) имеем МА2 - МС2 = АВ2 - ВС2, т. е. МА2 + ВС2 = МС2 + АВ2 (МА и ВС, МС и АВ — скрещиваю- щиеся ребра пирамиды). Аналогично можно получить, что М А2 + ВС2 = МВ2 + АС2. Вар. 8. 1. Задача решается аналогично задаче 1 из вариан- та 7. Следует только учесть, что так как ZAf АВ ЛМАС, то вер- шина пирамиды может проектироваться только в центры вне- вписанных окружностей, которые касаются равных сторон основания; ВЛВС = 60, р = 25. Радиус вневписанной окружности г = -™- = 5. 25-13 Тогда высота боковых граней равна 13 и BgOK = — Р©сн ' ^бок грани = 25 • 13 = 325. Ответ: 325. 135
2. Пусть высоты АЕ, ВР и СТ треугольника АВС, лежащего в осно- вании пирамиды МАВС, пересекают- ся в точке О и пусть МО — перпенди- куляр к плоскости АВС. Докажем, что высота АК пирамиды, опущен- ная из вершины А, проектируется в точку К — точку пересечения высот грани МВС. По теореме о трех пер- пендикулярах ME 1 ВС (рис. 113). По построению АК ± ME. Тогда лег- ко доказать, что АК — перпендику- ляр к плоскости МВС. Теперь имеем АК ± МВС, АС — наклонная к этой плоскости, СК — ее проекция на эту плоскость, МВ лежит в этой плоскости и МВ ± АС (доказывается элементарно). Тогда на основа- нии теоремы о трех перпендикулярах СК 1 МВ, т. е. и CF 1 МВ. Это значит, что точка К — точка пересечения высот грани МВС. Для остальных высот пирамиды доказательство аналогично. Рис. 115 М С—18 Вар. 1. 1. . 2. 28V2 см2. 24 Вар. 2. 1. ^-.2. 14V3 см2. Вар. 3. 1. 2. 96 см2. Вар. 4. 1. 3fl28^. 2. 42V3 см2. D - - 5abj2 ~ Вар. 5. 1. -----. Сечение показа- 16 но на рисунке 114. Необходимо учесть, что EQTF — прямоугольник. 2. 10573,876. 17а2 Вар. 6. 1. -----. Сечение показа- 96 но на рисунке 115; ОК — перпенди- куляр к плоскости АМВ, РТ II АВ и находится из подобия треугольников PMТ и АМВ. 2. 2473,2Тб. Необходимо доказать, что сечением служит прямоугольник. Тогда длина бокового ребра равна 4. Дальнейшее решение очевидно. 136
Bap. 7. 1. Сечение показано на рисунке 116; АР X МС и EF || BD, причем KE = KF и EF1 АР, S^^APEF, АР = ау/2- = ^-. 2 2 Точка К — центр правильного тре- угольника BMD, а потому EF = - BD = -aj2, 3 3 2. Необходимо сначала найти площадь боковой поверхности 380 3 полной пирамиды, которая равна —— . Площади боковых по- 3 верхностей отсеченной треугольной пирамиды и полной пирами- ды относятся как 4 : 25. Тогда у сеч. пирамиды = 21. с о_ ^бок. полной пирамиды 21 380УЗ _ 532УЗ 25 3 5 „ 532УЗ Ответ: ------. 5 Вар. 8. 1. 120 см2. Сечение показано на рисунке 117. Необхо- димо учесть, что АК = — МС и точка Р — точка пересечения медиан треугольника BMD. В остальном задача решается аналогично задаче 1 из варианта 7. 2. ^(77 +ЗУ281) см2. Прин- цип решения задачи аналогичен задаче 2 из варианта 7. с _ *^бок. у сеч. пирамиды — 1*) . Q \ г» ’ *^бок. ПС1НО11 пиркмилы* С—19 Вар. 1. 1. 1) BVDX, BD; 2) BjA, CjD; 3) C\At, Bjo[, DtBu BD, DB, AC, CA. 2. Если a || a. 137
Bap. 2. 1. 1) MK, DXA, CXB; 2) AB, AXBX, DXCX; 3) BAX, ABX, BXA, DXC, CDX, DCX, CXD. 2. Да, могут. Например, если а || |J. Вар. 3. 1. 1) СВ, С^ВХ; 2) ССХ, ВВХ, ААХ; 3) В^С, С^В, ВСХ. 2. Да, будут. Вар. 4. 1. 1) BXDX, BD; 2) CXD, ВХА; 3) DBX, BDX, DXB. 2. Да, будут. Вар. 5. 1. 1) ЕМ и ТК, КТ и ME, ТМ и ЕК, МТ и КЕ; 2) КТ и ЕМ, ТК и ME, ЕК и МТ, КЕ и ТМ; 3) КТ, ТК, ЕМ и ME, КЕ, ЕК, МТ и ТМ, ЁТ, ТЕ, КМ и МК. 2. AM и ОЕ. Вар 6. 1. 1) МТ и КЕ, ТМ и ЁК, МК и ТЕ, КМ и ЕТ; 2) МТ и КЕ, ТМ и ЁК, МК и ТЕ, КМ и ЁТ; 3) МТ, ТМ, КЕ и ЁК, МК, КМ, ТЕ и ЁТ, КТ, ТК, ME и ЕМ. 2. ЁВХ и FC. Вар. 7. 1. 1) FC, АВ, ED, А^в\. EXDX, FXCX; 2) AC, F^DX, AA- 2. Необходимо через точку М провести плоскость, парал- лельную плоскости основания. Пусть эта плоскость пересечет реб- ра ВВХ и ССХ в точках К и Р. Тогда MP = FD, МК = ОС. 1) Точки F и Е лежат на медианах АР и СР треугольников рр РР 1 ADB и CDB. Так как-----=----= —, то FE || АС. Из второго усло- АР СР 3 вия следует, что MN || АС. Тогда FE || MN и векторы FE и MN коллинеарны. 2) | FE | = 6 см. Вар. 8. 1. 1) a) F\Clt FC. АХВХ. EXD19 АВ. ED; б) CF. AD. DA. BE. ЕВ. CJ\. F\CX. A^DX. DXAX. B^EX. EXBX. 2) AXE и AXFX. 2. 1) Задача решается аналогично задаче 2, пункт 1 из вари- анта 7. 2) | FE | = 9 см. С—20 Вар. 1. 1. ADX. Вар. 2. 1. 0. Вар. 3. 1. АСХ. 2. 17 см. Вар. 4. 1. DC. 2. 3 см. Вар. 5. 1. а42. Необходимо учесть, что BC = AD и FA = СЕ. Тогдь FA + BC + DC + FA = FA +AD + 15C + CE = FE, \FE\ = aj2. 138
2. Составим разность: ААХ + ВВ1 + CCt - АВХ - BCt - CAt = = (Аа\ - AB’i) + (BB\ -,BCi) + (CC\ - CAO = BXAX + + A^CX = = AjCj + CiB] + BXAX = AAj = О, откуда и следует доказываемое. Вар. 6. 1. |KD + АВ + СТ + СР| = + DC + СТ + ТА| = |УА|. А АРС — прямоугольный (ZAPC = 90°). Тогда КА =J~AP^ + РК$ = [~г . а2 Л аТб = а н----------.Ответ: -----. V 4 2 2 2. Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 5. Вар. 7. 1. AAl=DA1-DA = DA1-C1Bl = bAl-(DB\-DCi) = = DAX * DBX + DCX. 2. M — точка пересечения диагоналей параллелепипеда. Вар. 8. 1. DB = DC + СВ = Ахв\ + СХВХ = DBX - DAX + DBX - - DCX = 2DBX - DAX - DCX. 2. К — центр симметрии октаэдра. С—21 Вар. 1. 2. ~±АС. Вар. 2. 2. 2 (ME - MF). Вар. 3. 1. АС + -ВВ\- — ВС. 2. 2 2 2 Вар. 4. 1. AC + -СВ + - ВМ. 2. -2. 2 2 Вар. 5. 1. МВ+ — ВС + —СА. 3 3 2. Из данного равенства следует, что (3 - т) а = (2л - 4) Ь. Отсюда т = 3 и п = 2. Вар. 6. 1. АР = АСХ + СрР = АСХ + ~(\В = АСХ +1 (СВ -ССХ) = —► 2 —* 2 —* = АСХ + — СВ —ССР Необходимо учесть, что Р — точка пересече- 3 3 ния медиан треугольника СВХВ. 1 2 2. х = —, у = —. Решается аналогично задаче 2 из варианта 5. 3 3 Вар. 7. 1. Основание высоты DM — точка М лежит на сто- роне ВС, причем AM — биссектриса Д АВС. В таком случае С— =°,DM = AM - Al). AM = -- AB ¥ — AC. Отсюда MB b a + b a + b DM = AB + -^—AC - AD, AB = be2, AC = aet, AD = ce3. a^b a-k-b Тргда DM = ex + —e2 - ce3. Ответ: ex + g - e2 - ce3. a + b a + b a + b a + b 139
2. OD = О A + AD = О A + kBC = OA + k (ОС - OB) = a + kc - kb. Ответ: a + kc - kb. Bap. 8. 1. Исходя из условия следует, что вершина Ах проек- тируется на биссектрису АР угла BAD (Р е ВС). В таком случае АВ = BP = b, AtP = АР - AaJ, АР = АВ + BP = АВ + - AD. Тогда а АХР = АВ 4- — AD - ААХ = Ьех + Ье2 - се3. Ответ: Ьех + Ье2 - се3. а EF 2 2. Из подобия треугольников EPF и АВС следует, что —— = —, АС 5 OF = OE + EF = OE + -AC = OE+-(ОС-ОА) = m + -k--p. 5 5 5 5 —♦ 2 * 2 * Ответ: т + — k — р. 5 5 С—22 Вар. 1. 1. -a + ic-fe. 2. DA + - DC + -Db\. 4 4 3 3 Bap. 2. 1. b + 1 a + - c. 2. - CA + — CB ~ CD. 2 2 3 3 Bap. 3. 1. - AD + -AB + - AA. 4 7 7 2. Рассмотрим тетраэдр DABC. Пусть E — середина ребра AC, a F — середина ребра DB и пусть О — середина отрезка EF. Тогда СО = - (СЕ + CF) - 1 CA + 1 СВ + 1 CD. 2 4 4 4 Пусть теперь Р — середина AD, F — середина ВС и Ох — сере- дина PF. Тогда COj = — С А 4- i СВ 4- — CD. 4 4 4 Если теперь рассмотрим точку О2 — середину отрезка, соединя- ющего середины ребер АВ и ОС, то и в этом случае получим, что со. ~-са + -св + -сЬ. 4 4 4 Отсюда вытекает, что СО = COj = СО2» т. е. точки О, Ох и О2 совпадают. Этим и доказывается данное утверждение. Вар. 4. 1. -CA--CB+-CD. 12 3 4 2. Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 3. Вар. 5. 1. ADX = AF+ FE + ED + DI)X = AF + АВ + AF + АВ + 4- OOj = 2AF 4- 2АВ 4- OOj = 2аех 4- 2а е2 4- a tg ф е3. Ответ: 2аех 4- 2ае2 4- a tg ф е3. 2. Рассмотрим призму АВСАХВХСХ. Пусть А2В2С2 — сечение призмы плоскостью, параллельной основаниям, Мх и М— точки пересечения медиан соответственно верхнего и нижнего оснований, 140
а М2 — точка пересечения медиан сечения. Выберем в пространст- ве произвольную точку О. Тогда получим МХМ2 = ОМ2 - ОМХ = = - (ОА2 + ОВг + ОС2 - ОАХ - ов\ - ОСХ) = - (АХА2 + ВХВ2 + СХС2). 3 3 Аналогично МХМ = — (АХА + ВХВ + CjC). Отметим, что 3 2 BiB2 ^1^2 . т -----=------= «. Хогда В,В С.С МхМг = k • - (АХА + RXB + СХС) = k • МХМ. 3 Это и значит, что точки Мп М2 и М лежат на одной прямой. Вар. 6. 1. — а?! + — ае2 + ——— е3. Задача решается анало- 5 5 5cos<p гично задаче 1 из варианта 5. 2. Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 5. Вар. 7. 1. Пусть PV- = ™, MN = MD + DC + CN = MD у NC п = -У— BD + AB + СР, BD=AD- АВ, СР = -АВ -AD + АР. х + у т + п Тогда MN = —— (AD - АВ) + АВ + —5— (-АВ - AD + АР) = х + 1/ m + n = (—------—]aD + [1-—-------—1аВ + —— АР, (1) \х + у т + п) х+у т + п) т + п AF=— АВ+— АР. Так как MN || AF, то 2 2 = -АВ + -АР. (2) 2 2 Из равенств (1) и (2) следует, что ___________________________2_ = о, х + у т + п х+у т+п 2 п _ k т + п 2 2 —* —* Отсюда можно получить, что k = —. Так как MN = kAF, то 3 |AfN| = |*|.|AF|, !^! = |Л|. т.е.^ = |. |AF| *F 3 2 Ответ: —. 3 141
2. z = 1 - х - OD = х • ОА + у • OB + (1 - х - у) • ОС, CD = OD — ОС = х • ОА + у • ОВ + ОС - х - ОС - у • дс - ОС = = х (ОА - ОС) + у (ОВ -ОС) = х СА +у СВ. Отсюда следует, что векторы CD, СА и СВ компланарны, т. е. точки А, В, С и D лежат в одной плоскости. Вар. 8. 1. Пусть *Д£ = ™,^=*. MD п NC у MN = MD + DC + CN = —S— BD + DC + —^—СВ\ = т + п х+у = —5— (AD - АВ) + АВ + —— (ЛА] - AD) = т + п х+у —-----— 1аВ + (1---— | АВ + —— АА\, (1) т + п х + у) \ т + п) х+у АСХ = AD АВ ААР Так как MN || АС, то Af .V = kACx = kAD + kAB + kAAx. (2) Из равенств (1) и (2) следует, что л У . ---------= Л, т 4- п х + у 1— = k, т + п х+у Отсюда А? = —. Следовательно, = -, —1 . 3 п 2 у 1 MD 2 NC 1 1 2 Ответ: —, —. 2 1 2. Если точки А, В, С и D принадлежат одной плоскости, то CD = х • С А + у • СВ. Пусть О — произвольная точка пространст- ва, тогда CD = OD - ОС, С А = О А - ОС, СВ = ОВ - ОС. Тогда OD - ОС = х • О А - х • ОС 4- у • ОВ - у • ОС, OD = х • О А + у • ОВ + 4- (1 - х - у) • ОС = х • ОА 4- у • ОВ + z • ОС, где х 4- у 4- 2 = 1. С—23 Вар. 1. 1) (6 + 2V3)cm2; 2) 2 см2; 3) arctg4) 30°; 5) 2 см. 2 Вар. 2. 1) 4(77+1) см2; 2) 2</3 см2; 3) 60°; 4) агссоз-^; 77 5) 272 см. 142
Bap. 3. 1) 4 (4^3+3) см2; 2) 473 см2; 3) 60°; 4) 30°; 5) AtM = -J AiA + | AYB + | AC; 6) 90е. Bap. 4. 1) (12VS + VT56)cm2; 2) 4-/3 cm2; 3) 60°; 4) arctg 2V3 - 60°; 5) DO = - DA + - DB + - DC; 6) 90°. 3 3 3 Bap. 5. По данным задачи легко найти площадь треуголь- ника ABC*. SABC = 84. Площадь поверхности S = РАВС ' + 4 2Sabc = 588 (рис. 118); МНС — сечение, площадь которого надо найти. Плоскости МНС и АВС пересекаются по прямой PQ, при- чем PQ || АВ. Из точки А опускаем перпендикуляр АР на прямую PQ и точки М и Р соединяем; МР — высота треугольника МНС; 2 две 2 * 84 АР = ——=12. Из треугольника МАР следует, что МР = 13; SMHC = - • 14 • 13 = 91; Z.MPA — линейный угол дву- 2 грани ого угла, образованного плоскостями МНС и АВС; АР 12 12 cos MPA =---= —, отсюда Z.MPA = arccos —; ЛАМР — угол МВ 13 13 5 между прямой ААХ и плоскостью МНС; Л АМР = arccos —; 13 МК = 1МС + -МН = - М А 4 - АС 4 - АВ = - - АА\ 4 - АС 4 1 АВ. 2 2 2 2 2 4 22 Ответ: 1) 588 см2; 2) 91см2; 3) arccos—; 4) arccos—; 13 13 5) ААг 4 - AC 4 — AB; 6) см. рисунок 118. 4 2 2 Bap. 6. Так как DA = DB = DC, то вершина D проектируется в центр описанной около основания окружности, в данном случае на середину гипотенузы АС (рис. 119). Из точки О опускаем 143
перпендикуляр ОЕ на АВ и точки D и Е соединяем; DE — высота г- V2 боковой грани ADB> DO = V3, ОЕ = Из треугольника DOE следует, что DE = J3 + — = ~ = — AC • DO + 2 • — AB • DE = v 2 v 2 2 2 = VY +V3; FB— высота сечения BMH. Из треугольника FOB следует, что FB = J- + 1 =—; S„4 = -МН FB = - AC FB = V4 2 2 4 1 V7 41 = — • 2 • ; Z.FBO — линейный угол двугранного угла, обра- FO V3 зованного плоскостями ВМН и ABC; tg ЛЕВО =----=--. ОВ 2 Отсюда ЛЕВО = arctg —, £DBF — угол между прямой BD и 2 r\f\ плоскостью BMH, tg ЛЕВО =----= V3. Отсюда ЛЕВО = 60°. Тогда ОВ /.DBF = 60° - arctg —, 2 МК = - МВ + 1 МН = - МА + -АВ + -АС = 2 2 2 2 4 =-- AD+ -АВ+ -АС. 4 2 4 Ответ: 1) (V7 + 73)см2; 2) см2; 3) arctg 4) 60° - arctg : 5) -1 AD + | АВ + | АС; 6) см. рисунок 119. Вар. 7. 1. Сечение, проведенное через AD и точку Р, показа* но на рисунке 120, a; PQ || AD. Из точки В опускаем перпендику- ляр ВТ на сторону AD и точки Р и Т соединяем. Очевидно, что РТ ± AD; РВТ — перпендикулярное сечение призмы APBDQC. «бок = Ррвт • AD • AD = 5, ВТ = —,РТ = J®+4 = — , в0“ рвт 5 V 25 5 Pn.p„.«, = ^ + v + 2 = 12’ «бок = 12 • 5 = 60. О э 2. Сечение, проходящее через BXD и параллельное АС, пока- зано на рисунке 120, б, причем EF || АС и EF ± BXD; Sct4 = -EF- BXD, но EF = АС. Тогда = -8-6V2 = 24^2. 2 2 В плоскости BBXDX опускаем перпендикуляр ОК из точки О на BXD. Можно доказать, что ОК — перпендикуляр к плоскости се- 3 V2 чения; ОК =---. Расстояние между ААХ и BXD является длиной 2 отрезка АО; АО = 4. Очевидно, что ВХК : KD = 3:1. Тогда имеем 144
Рис. 120 OK = - Ов[ + -OD = - (ОВ + BBJ + -BD = 4 4 4 8 = if- lBD + AA. ] + -ВЛ =-BD + -= 4l 2 J 8 4 4 = 1 (AD - AB) + - ЛЛ, = -- AB + - AD + - AA\. 4 4 4 4 4 Плоскость, заданная пересекающимися прямыми АС и ОК, пе- ресекает плоскость сечения по прямой XY, которая параллель- на АС. В этой плоскости проводим AN || ОК. Очевидно, что AN — перпендикуляр к плоскости сечения и Z.ADN = а есть угол меж- лг. .AN 3V2 . 3V2 ду AD и плоскостью сечения; sin а =-= — ; а = arcsin-. AD 10 10 Ответ: 1. 60 см2. 2. 1) 24 V2 см2; 2) см; 3) 4 см; 4) АВ+ ± AD + - AAf, 5) arcsin^1. 4 4 4 10 Вар. 8. 1) Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней, причем треугольники MAD и МВС — рав- ные равнобедренные прямоуголь- ные треугольники. Высота пирами- ды МО = (рис. 121). На 2 рисунке ОЕ ± CD, тогда и ME ± CD. Высота треугольни- ка DMC МЕ = J^- + a2 V 4 2 Следовательно, 145
+ 2 -a2 2 = ^i(V3 + V7 + 4). 2 4 При построении сечения учитывалось, что плоскости сечения и грани АМВ параллельны; PT = а~, FK = а, а высота сечения равна - МО, т. е. . Тогда 2 4 Q —Л ~ч 2 а) аТЗ За2 УЗ а + —------- 2/4 16 Легко доказать, что линейным углом двугранного угла, обра- зованного гранями DMC и АМВ, является АОМЕ = а, ОЕ 2^3 4 2V3 tg а =---=-----, а = arctg--. ОМ 3 3 Так как AD — перпендикуляр к плоскости АМВ, то /.AMD есть угол между AD и плоскостью АМВ, но плоскость сечения па- раллельна плоскости АМВ, а потому искомый угол равен величи- не угла AMD, т. е. 45°. Из подобия треугольников РНТ и FHK следует, что НТ : HF =1:2. Тогда АН = -АТ + -AF = -- (AM + АС) + ±±-AD = 3 3 3 2 3 2 = - AM + — AC + — AD = — AM + - (AD + АВ) + -AD = 3 3 6 3 3 6 = - AM + -AD + - AB. 3 2 3 Расстояние между ВС и MD равно расстоянию между ВС и плоскостью AMD, которая параллельна ВС. Это расстояние равно длине высоты BN треугольника АМВ, т. е. -——. 2 Ответ: 1) 2±-(/3 +/7 + 4); 2) 3) arctg 4) 45°; 5) 1 АВ+± AD + - AM; 6) 3 2 3 2 Самостоятельные работы на повторение планиметрии СП—1 Вар. 1. 1. 1) 20; 2) -0,6. 2. 1) 130; 2) /505. 3. 49. Вар. 2. 1. 1) 500; 2) -0,6. 2. 1) 8; 2) ±7106.3. 49. 2 146
Bap. 3. 1. 1) 198; 2) 1. 2. 24. 3. 50. Bap. 4. 1. 1) 285; 2) 5. 2. 60. 3. 50. Bap. 5. 1. 150. 2. 100. 3. 1) 39; 2) 26. Bap. 6. 1. 1050. 2. 4. 3. 1) 26; 2) 171. Bap. 7. 1. 60. 2. 235,2. 3. 1) 64; 2) 27. Bap. 8. 1. 48. 2. 8y 11. 3. 1) 64; 2) 27. СП—2 Bap. 1. 1. 1) V33; 2) 12-/2; 3) 1.5-/I7. 2. 1) 6V5; 2) 4Л0. 3. 9. Bap. 2. 1. 1) 4Л5; 2) 8V15; 3) 4<Уб. 2. 1) 14^5; 2) у V5. 3. 25. Bap. 3. 1. 1) Л83;2) 16,5; 3) 2. 1) 10V6; 2) 5; 3) 20. 3. 1) 12; 2) 18. Bap. 4. 1. 1) 0.5V82; 2) 16,5; 3) 2. 1) — V61;2) 30; 3) 3-.3. 1) 12; 2) 36. 3 3 a 2 etc a Bap. 5. 1. 60. 2. --— .3. 1) 16; 2) 8л - 16. 2 cos 2 a Bap. 6. 1. 8/7.2. i a2 (3 + 2 cos 2a) sin 2a. 3. 1) 4; 2) 2 Bap. 7. 1. 1) -----------; 2) -a2 — ; 4cosa • sin 1,5a 4 sin 1,5a 3) —------------; 4) -------. 2 [cos — + cosa] 1 + cosa I 2 ) 2. 1) 27; 2) ^лТЗ. 4 Bap. 8. 2. 1) 27; 2) 4лТЗ-9. 147
Дополнительные самостоятельные работы ДС-1 Вар. 1. 1. Одна, две или три точки. Вар. 2. 1. Две параллельные прямые, одна прямая или две точки. Вар. 3. 1. Сохраняются все свойства прямоугольника как па- раллелограмма . 2. См. рисунок 122. Биссектриса I параллельна OjAfj. 3. Изображением служит произвольный треугольник АХВХСХ. г Так как катеты треугольника Рис. 122 Вар. 4. 1. Сохраняются все относятся как z : «5, то их про- екции на гипотенузу относят- ся как 4 : 9. Поэтому на изоб- ражении гипотенузы нужно построить такую точку Кх, чтобы AjKi : КХВХ = 4:9. Тог- да Cj/Cj — изображение высо- ты треугольника. свойства ромба как параллело- грамма. 2. Пусть ABCD — ромб с углом BAD, равным 60э. Тогда тре- угольник ABD правильный и высота BE, опущенная на сторону AD, делит ее пополам. Перпендикуляр OF, опущенный из точки пересечения диагоналей О на AD, параллелен BE. Изображением ромба служит произвольный параллелограмм AXBXCXDX. Строим медиану ВХЕХ треугольника AXBXDX и проводим OXFX || ВХЕХ\ OXFX — искомый перпендикуляр. 3. Центр вписанной в треугольник окружности есть точка пересечения его биссектрис. Пусть произвольный треугольник АХВХСХ есть изображение данного треугольника. Медиана ВХЕХ есть изображение одной из биссектрис этого треугольника. Чтобы построить изображение другой биссектрисы, необходимо на сторо- не ВХСХ построить такую точку Кх> что ВХКХ : КХСХ =4:5. Тогда АХКХ — изображение второй биссектрисы. Точка их пересечения и есть изображение центра вписанной в треугольник окружности. Вар. 5. 1. Две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые, прямая и точка. 2. Пусть параллелограмм AXBXCXDX есть изображение данного квадрата и точка Ех — середина AXDX. В оригинале катеты тре- угольника ВАЕ относятся как 2:1. Строим изображение АХМ — высоты этого треугольника (см. указание к задач 3 из варианта 3). Теперь на изображении строим СХРХ II АХМХ. Это и будет изобра- жением перпендикуляра, опущенного из точки С на BE. 3. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения се- рединных перпендикуляров. Один из этих перпендикуляров есть 148
Рис. 123 ось симметрии данной трапеции, а дру- гой проходит через основание высоты BE этой трапеции. Построение показа- но на рисунке 123. Вар. 6. 1. Прямые — параллель- ные или скрещивающиеся. 2. Пусть треугольник АХВХСХ есть изображение треугольника АВС 1лОх — изображение центра описанной окруж- ности. На рисунке 124 Dx и Ех — середины сторон ВХСХ и АХВХ. То- гда OiDj и ОХЕХ — изображения серединных перпендикуляров. В таком случае изображения высот АХРХ и СХКХ параллельны OXDX и ОХЕХ. Изображение третьей высоты ВХТХ проходит через точку Нх пересечения изображений первых двух высот. 3. Построение показано на рисунке 125. Параллелограмм AXDXEXBX — изображение искомого квадрата. ДС-2 Вар. 1. 1. а) Нет; б) нет. 2. arccos ~ 70°32'. 3. 45°. При решении необходимо использовать теорему коси- нусов для трехгранного угла. Вар. 2. 1. а) Нет; б) да. 2. 60°. 3. arccos [ - - | ~ 109°28'. См. указание к задаче 3 из варианта 1. Вар. 3. 1. Пусть х — величина третьего плоского угла. Исхо- дя из свойств плоских углов трехгранного угла, имеем х > 10°, х < 210°, х + 100’ + 110° < 360°. Отсюда 10° < х < 150°. От ет: 10° < х < 150°. 2. Рассмотрим трехгранный угол DABC, у которого два плос- ких угла ADC и ADB равны 60°. Двугранный угол с ребром AD равен 90°. Тогда по теореме косинусов cos Z.BDC = cos2 60° 4- sin2 60° • cos 90° = -, 4 SBDC = * -400, 1- — = 200 — = 50/15. 2 \ 16 4 Ответ: 50/15. 149
3. Рассмотрим трехгранный угол ОАВС, у которого ZAOB = ЛАОС = 60°, ЛВОС = 90°. Плоскость ВАС перпендикулярна плоскости ВОС и АВ = АС. Тогда перпендикуляр AM, опущенный из точки А на плоскость ВОС, попадет в точку М — середину ВС, т. е. в центр описанной около прямоугольного треугольника ВОС окружности. Отсюда следует, что АВ = АС = АО. Так как ЛАОС = ЛАОВ = 60°, то АО = ОВ = ОС, что и требовалось доказать. Вар. 4. 1. 54° < х < 90°. Необходимо учесть, что сумма плос- ких углов при вершине пирамиды должна быть меньше 360°. 2. Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 3. По те- 5 ореме косинусов находим, что cos ЛВОС = —. Тогда В ВС sinZBDC = —, R =---—----= = 4. 8 2 sin ZBDC 2v39 Ответ: 4. 3. Рассмотрим трехгранный угол ОАВС, у которого ЛАОВ = ЛАОС = 60е, ЛВОС = 90°. Пусть О А = ОВ = ОС. Легко доказать, что тогда АО = АВ = АС и точка А проектируется в центр описанной около прямоугольного треугольника окружности, т. е. на середину ВС. В таком случае плоскость ВАС перпендикулярна плоскости прямого угла. Вар. 5. 2. Построим перпендикулярное сечение приз- мы А2В2С2, А2С2 = AC sin 45° = Тб • = V3, А2В2 = АВ sin 60° = V 2 = 2^3----= 3. Угол В2А2С2 находим, используя теорему косину- 2 сов для трехгранного угла. Имеем cos 90° = cos 45° • cos 60° + sin 45° • sin 60° • cos ЛВ2А2С2, -% + -v cos ЛВ2А2С2 = 0, cos ЛВ2А2С2 = ——. 4 4 V3 Сторону B2C2 находим по теореме косинусов: B2C2 = J9 + 3-2-3 7з(—LI =3V2. V I Js) РАгв2сг =3 + V3+3 + 3V2 = V3(V3 + 1 + V6), Sftox = 5V3(V3 + 1 + V6). Ответ: 5V3(V3 + 1 + V6). 3. Необходимо рассмотреть трехгранный угол DAMC, у кото- рого ЛМИА = 45°, ЛАОС = 90е и cos ЛМВС = —. Пусть иско- 272 мый двугранный угол равен а. Тогда 1 41 cos 90* = cos 45° —— + sin 45 ’ ——cosа. 242 242 150
Отсюда cos а = —"., а = arccos I —I ~ 112°12'. 41 I 41) Ответ: arccos I —1- I « 112°12'. I 41 J Bap. 6. 2. Рассмотрим правильную пирамиду MABCD. В трехгранном угле CMBD один плоский угол BCD — прямой, а два других — MCD и МСВ обозначим через а. Двугранный угол при ребре МС равен 120°. Тогда по теореме косинусов для трех- гранного угла имеем cos 90° = cos2 а + sin2 а cos 120°. Отсюда tg2 а = 2. Пусть МК — высота боковой грани DMC. Тогда КС = т • ctg а = 4IL. v2 В таком случае сторона основания равна т42, S6oK = -Ртся • Мк = 2m V2 • m = 2m2 V2. 2 Ответ: 2т2 42. 3. Необходимо рассмотреть трехгранный угол DAMC, у которо- го cos ZAfDA = cos Z.MDC = , Z.ADC = 90°. Пусть a — величина V3 1 1 42 42 искомого двугранного угла. Тогда cos90°=+-—--—cos a. 4з 4з 4з 4з Отсюда cosa =- —, a = 120°. Ответ: 120°. 2 Контрольные работы К—1 Вар. 1. 2. 2) Прямые — скрещивающиеся, 60°. 3. Любое. Вар. 2. 2. 1) Линия пересечения проходит через вершину С и параллельна прямым АВ и DE\ 2) прямые — скрещивающие- ся, 20°. 3. Пересекаются или параллельны. 4. Прямые EF и МК являются скрещивающимися. Они могут быть параллельными, если АВ пересекает CD или АВ || CD. Вар. 3. 2. 2) Прямые — скрещивающиеся, 70 . 3. Прямые могут быть в любых взаимных положениях. Вар. 4. 2. 2) Прямые — скрещивающиеся, 30°. 3. Нет, нельзя. 4. Прямые АС и BD являются скрещивающимися. Они мо- гут пересекаться, если АВ пересекает CD или АВ || CD. 151
К—2 Вар. 1. 3. 12. Вар. 2. 2. Прямые — скрещивающиеся. 3. 2а + а~/2. Вар. 3. 3. 6. Вар. 4. 2. Прямые — скрещивающиеся. 3. 18. К—3 Вар. 1. 1. 15см. 2. 2) 60°; 3) arctg—. 2 3*. -Уз см. Необходимо учесть, что ЕО || ВС, где О — основа- ние перпендикуляра МО, опущенного из точки М на плоскость АВС; О — середина гипотенузы. Расстояние от точки Е до плоско- сти ВМС равно расстоянию от точки О до этой плоскости. Вар. 2. 1. 45°. 2. 2) 45°. 4 75 3*. ---см. Необходимо учесть, что АВ || CD. 3 /о Вар. 3. 1. 4см. 2. 2) 60°; 3) arctg—. 2 3*. 1 см. Необходимо учесть, что ЕО || ВС, где О — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость АВС. Вар. 4. 1. 60°. 2. 2) 30°. 3*. см. Необходимо учесть, 8 что ОЕ || ВС, где О — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость АВС. Вар. 1. 1. а2(6 + 73). 2. 25(4 +Тб). 3*. Необходимо достроить пирамиду до пирамиды, основанием которой будет прямоугольник ACBF. Для решения задачи следует найти величину угла DBF. В треугольнике DFB DB = DF = FB = 10-УЗ. Тогда cqsZ.DBF - Ответ: arccos . 5 75 5 5 Вар. 2. 1. 3(48 + 5^3) см2. 2. 50. 3*. Необходимо из основания высоты точки О опустить пер- пендикуляр ОЕ на ребро МС. Тогда угол BED — искомый. Из Д МОС ОЕ = = 111 = _1_. Отсюда tgZOED = ' . МС V17 vl7 4 В таком случае ZOED = arctg ffVlL, ZBED = 2 arctg *L_LL. 4 4 „ o t 3-/17 Ответ: 2 arctg—-—. 152
Bap. 3. 1. 62,4 см2. 2. 360. 3*. Расстоянием будет являться длина высоты треугольника MBA, опущенной из вершины В. Ответ: Вар. 4. 1. 8V7(1 + V3). 2. 108 см2. 3*. Необходимо в плоскости верхнего основания из верши- ны Aj опустить перпендикуляр АХК на CXDX. Так как ZAiDjCj = 150°, то точка К не принадлежит стороне DXCX; АХК = — AXDX = 1, АХС = 2V14. Для решения задачи следует най- 2 А. К 1 ти величину угла АХСК. sinZAiC/f = —1— = —-—. АХС 2-/14 Ответ: arcsin—7—. 2/14 К—5 Вар. 1. 1. 1) AAt; 2) СА. 2. — АВ - — АС + — A^D. 3 6 3 3. Векторы тип будут коллинеарными, если т = kn (k 0). Тогда pa + qb + 8с = ka + kpb + kqc. Отсюда q = kp, 8=kq. Решая систему, получаем, что Л = 2, р = 2 и д = 4. Ответ: р = 2, q = 4. 4*. Необходимо доказать, что векторы НМ, АВ и DC компла- нарны: НМ = DM-DH--DA--DC--DB, (1) 2 2 2 АВ + DC = DB - DA + DC. (2) Из уравнений (1) и (2) следует, что НМ = АВ - — DC, т. е. 2 2 векторы НМ, АВ и DC компланарны, а потому прямые НМ, АВ и DC параллельны одной плоскости. Вар. 2. 1. 1) АО; 2) А^С. 2. --AD + - АВ + - АС. 6 3 3 3. 2m = 2а + 2Ь — 2с, Зп = 6а - 3d + Зс. Отсюда 2m + Зл = 8а - Ь + с, т. е. р = 2m + Зл. Это и значит, что указанные векторы компла- нарны. 153
4*. Пусть Рр Р2, Р3 и Р4 — середины соответственно отрезков NA, MD, NB и МС. Выберем в пространстве произвольную точку О. Тогда РхРг = ор} - ОРХ = - (ОМ + OD-OA- ON) = - (AM + ND), (1) 2 2 PJ3 = OP3 - OP4 = - (OB + ON-OM-OC) = - (MB + CN), (2) 2 2 но AM = MB и ND = CN. Тогда из уравнений (1) и (2) вытекает, что PjP2 = Р4Рз, т- е- — параллелограмм. (Предваритель- но нужно доказать, что точки Рь Р2, Р3 и Р4 не лежат на одной прямой.) Вар. 3. 1. 1) BjA; 2) СС\. 2. - DA - - DB + - DC. 3 6 3 3. k = 2. Задача решается аналогично задаче 3 из варианта 1. 4*. Задача решается аналогично задаче 4* из варианта 1. Вар. 4. 1. 1) DtA; 2) С\В. 2. — BD - - ВА + — ВС. 3 6 3 3. Необходимо доказать, что р = 2п - т. 4*. Пусть Afi, Af2, Af3 и М4 — точки пересечения медиан со- ответственно треугольников AXBBU BXCCU CXDDX и AXADX. В про- странстве выбираем произвольную точку О. Тогда М\м* = ОМ . - ом\ = 1 * * * (ОВ’ + ОС, + ОС) - 3 - - (OBi + ОА\ + ОВ) = - (А^С} + ВС), (1) 3 3 М(.w’4 = ОМ\ - ом\ = 1 (OD + ОС, + ODX) - 3 - - (OAi + ОА + ODX) = 1 (АА + AD). (2) 3 3 Так как ABCD — параллелограмм, то ВС = AD. Тогда из уравнений (1) и (2) следует, что МХМ2 = М4М3, т. е. МГМ2М3М4 — параллелограмм. (Предварительно нужно дока- зать, что точки Ми М2, М3 и М4 не лежат на одной прямой.) К—6 Вар. 1. 8) 3V65. Вар. 4. 7) 1,25; 8) 1) 11,2; 2) -; 3) —; 4) -; 5) 8-; 6) 4; 7) ±7673; 5 13 3 8 2 1) 5; 2) 1; 3) 4; 4) 5) 0,25/17; 6) 2; 1 —; 9) 2; 10) /О. 80 154
1 ПРИЛОЖЕНИЕ Основные геометрические соотношения 1. Дано: ДАВС, АВ ± ВС, BD 1 АС. 1. АВ2 + ВС2 = АС2. 2. АВ2 = AC AD. 3. ВС2 = AC DC. 4. BD2 = AD DC. 5. mAC = BM=-AC. Ct 2. Дано: ДАВС, ZABD = ZCBD, т. e. BD = lAC. . AB = AD BC DC' 2. BD2 = AB AC - AD DC. 3- l вс = 3. 1. AB • AC • sin a. 2. = p • r.. 4. = 7p(P - a)(P - &)(P ~ c)- _a2sinP*siny л ~ 2sin (P + y) 155
4. 1. 2. 3. 4. 5. . Р . Y a sin — • sin x 2 2 a cos 2 - a — — c 2 sin a 2 sin |5 2 sin у ’ r, = (p-a) tg£. Ru r. cos a = a • b • c Ap b2 + c2 - a2 2N 6. ma - m M = 2 м 26 * 2 3 4+ 2c~- ax . !• ^AAiDiD— S AiBCDp n /a2+b2 , A,!), = J—-----среднее квадратичное отрезков a и о. о л тъ AD+ВС < 2. A2D2 =---5-----среднее арифметическое отрезков а и Ь. л 3. AA2D2D ~ A3BCD3, A3D3 = -Jab — среднее геометрическое отрезков а и Ь. 4. A4Dt || AD, О е A4D4, . п 2аЬ . A4D4 =---среднее гармоническое отрезков а и о. ab [a2 Tb2 ^а + b г- 2аЬ J~Va6 >----------г. V 2 2 а + b 156
6. Дано: АС и BD — хорды окружности. 17МА-МС=МВMD. 2. АВ — касательная, АВг = АС AD. 7. Дано: четырехугольник ABCD вписан в окружность. 1. ZA + ZC = ZB + ZD = 180°. 2- &ABCD = 4(р - а)(р - b)(p - с)(р - d). 3- SABCD = | (ab + cd) sin a. 8. Дано: четырехугольник ABCD описан около окружности. 1. а + с = b + d. 2. Если ZA + ZC = ZB + ZP, ТО & ABCD = "Jo ^b^c^d. Условные обозначения: а, Ь, с — стороны треугольника АВС; р = ±(а+Ь+с) — полупериметр треугольника АВС; ЛЛВ — высота, проведенная к стороне АВ; твс — медиана, проведенная к стороне ВС; 1АС — биссектриса, проведенная к стороне АС; Ro — радиус описанной окружности; г, — радиус вписанной окружности. 157
Учебное издание Зив Борис Германович ГЕОМЕТРИЯ ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ 10 КЛАСС Зав. редакцией Г. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Кузнецова Младший редактор С. В. Дубова Художники О. В. Корытов, О. П. Богомолова Художественный редактор О. П. Богомолова Технический редактор Н. В. Лукина Корректор А. К. Райхчин Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005- 93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диапозитивов 17.03.09. Формат 60 х 90!/1в. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 6,18. Тираж 15 000 экз. Заказ № 28060. Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат». 410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru
ПРОФИЛЬНЫМ ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВ^ тодические рекоменда! к к учебнику Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханскии ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ для 7-11 классов ГЕОМЕТРИЯ Учебник для 10 11 классов С М Саакян, В.Ф. Бутузов ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ в 10-11 классах Учебно-методический комплект включает: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев Л.С. Киселева, Э.Г. Позняк В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, И И. Юдина РАБОЧИЕ ТЕТРАДИ по геометрии для 10 и 11 классов Б.Г. Зив ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ по геометрии для 10 и 11 классов