I
_ W 1

В. H. Соломин
К. М. Столбов
М. Я. Пратусевич
1ГЕБРА
И НАЧАЛА
«ТЕМАТИЧЕСКОГО
К АНАЛИЗА
ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
УДК 372.8:[512+517]
ББК 74.262.21
С60
Соломин В. Н.
С60 Алгебра и начала математического анализа.
Дидактические материалы. 10 класс : профил.
уровень / В. Н. Соломин, К. М. Столбов, М. Я. Пра-
тусевич. — М. : Просвещение, 2010. — 159 с. —
ISBN 978-5-09-017189-2.
Дидактические материалы предназначены для классов с углуб-
лённым изучением математики и составлены по учебнику Пратусе-
вича М. Я. и др. «Алгебра и начала математического анализа.
10 класс». Дидактические материалы содержат самостоятельные и
контрольные работы.
Возможно использование дидактических материалов и в обыч-
ных классах с целью повышения уровня предметной компетенции
учащихся по алгебре и началам математического анализа, а также
при подготовке к экзаменам.
УДК 372.8:[512+517]
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-09-017189-2	© Издательство «Просвещение», 2010
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2010
Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное пособие разрабатывалось для работы с учебни-
ком «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс»
авторов М. Я. Пратусевича, К. Н. Столбова и А. Н. Голови-
на. Дидактические материалы содержат самостоятельные и
контрольные работы к каждой главе учебника, а также от-
веты к большинству из них. В таблице использования само-
стоятельных и контрольных работ (с. 4) приведены парагра-
фы и пункты учебника, после которых рекомендуется да-
вать предложенные работы.
Каждая самостоятельная работа обозначена буквой С и
двойным номером, обозначающим соответственно номер
главы, к которой относится эта самостоятельная работа, и
её порядковый номер. Самостоятельные работы даны в
двух вариантах.
Задания в достаточной степени обеспечивают проверку
усвоения программы по математике в специализированных
физико-математических классах. Каждой теме отдельной
главы соответствуют несколько самостоятельных работ, ко-
торые, как правило, избыточны. Это сделано для того, что-
бы учитель сам мог, ориентируясь на конкретные условия,
разгружать самостоятельные работы или их комбинировать.
Кроме того, авторы рекомендуют часть самостоятельных
работ давать учащимся в качестве контрольного домашнего
задания с дальнейшей его проверкой и обсуждением.
Каждая самостоятельная работа рассчитана на проведе-
ние в течение одного урока.
Каждая глава снабжена одной или несколькими конт-
рольными работами, которые обозначены буквой К и соот-
ветствующим номером. Каждая контрольная работа дана в
двух вариантах. В каждом варианте авторы старались рас-
положить задачи по мере возрастания сложности. В зави-
симости от уровня подготовки класса контрольные работы
могут быть предложены учащимся не полностью Учитель
сам выбирает норму оценивания этих работ.
Контрольные работы рассчитаны на проведение в тече-
ние двух уроков.
Большая часть заданий взята из опыта преподавания
авторами курса математики в физико-математическом ли-
цее № 239 Санкт-Петербурга в течение ряда лет.
Многие задачи в дидактических материалах требуют
глубокого и неформального понимания пройденного мате-
риала. Зачастую даже в «технических» задачах существует
возможность для поиска более простого решения, чем «ло-
3
бового». Наиболее трудные задания пособия отмечены
звездочкой.
Авторы будут благодарны за все замечания, прислан-
ные либо в издательство, либо на электронный адрес:
nimolos@mail. ru.
Таблица использования самостоятельных
и контрольных работ
Номер работы	Тема самостоятельной работы	Параграф, пункт учебника
С-1.1.	Высказывания и предикаты. Логиче- ские операции над ними	§ 1
С-1.2.	Понятие множества. Способы зада- ния множеств. Подмножества	§ 2, п. 3
С-1.3.	Операции над множествами	§ 2, п. 5
С-1.4.	Кванторы	§ 3, п. 1
С—1.5.	Отрицание. Следование и равноси- льность	§ 3, п. 3
С-1.6.	Структура теорем. Необходимые и достаточные условия	§ 3, п. 4
С-1.7.	Метод математической индукции	§ 4, п. 3
С-1.8.	Разбор случаев. Правило умножения	§ 5, п. 2
С-1.9.	Размещения и перестановки	§ 5, п. 3
С-1.10.	Ограниченные числовые множества. Точные границы	§ 6
К-1	.	Глава I
С-2.1.	Деление с остатком	§ 11, п. 1
С-2.2. С-2.3.	Делимость	§ 11, п. 2
С-2.4.	Сравнения	§ 12
С-2.5.	Наибольший общий делитель. Наи- меньшее общее кратное	§ 13
С-2.6.	Взаимно простые числа	§ 14
С—2.7.	Простые числа	§ 15, п. 2
С-2.8.	Основная теорема арифметики	§ 15, п. 4
С-2.9.	Решение уравнений в целых числах	§ 15, п. 4
Продолжение
Номер работы	Тема самостоятельной работы	Параграф, пункт учебника
—— К-2		Глава II
С-3.1.	Определение многочлена. Степень многочлена	§ 16, п. 1
С-3.2.	Действия с многочленами	§ 16, п. 2
С—3.3.	Метод неопределённых коэффици- ентов	§ 17
С-3.4.	Деление многочленов с остатком	§ 18, п. 2
С-3.5.	Схема Горнера	§ 18, п. 4
С-3.6.	Многочлен как функция	§ 19, п. 1
С-3.7.	Применение теоремы Безу. Корни многочленов	§ 19, п. 2
С-3.8.	Следствия теоремы Безу	§ 19
С-3.9.	Многочлены с целыми коэффициен- тами и их рациональные корни	§ 20
С-3.10.	Рациональные корни многочлена	§ 20
С-3.11.	Теорема Виета	§ 21
К-3		Глава III
С—4.1.	Определение функции	§ 22
С-4.2.	Способы задания функции	§ 23, п. 1
С-4.3.	Область определения и множество значений функции	§ 23, п. 1
С—4.4.	Кусочное задание функции	§ 23, п. 3
С—4.5.	Ограниченность функции	§ 24, п. 1
С-4.6.	Монотонность функции	§ 24, п. 2
С-4.7.	Применение монотонности функции	§ 24, п. 2
С-4.8. С-4.9.	Чётные и нечётные функции	§ 24, п. 3
С-4.10. С—4.11.	Периодические функции	§ 24, п. 4
С—4.12.	Композиция функций	§ 26, п. 2
С-4.13. —	Простейшие функциональные уравне- ния	§ 26, п. 2
Продолжение
Номер работы	Тема самостоятельной работы	Параграф, пункт учебника
С-4.14.	Обратная функция	§ 26, п. 4
С-4.15.	Элементарные преобразования гра- фиков	§ 27
С-4.16. С-4.17.	Построение графиков функций	§ 28
К-4		Глава IV
С-5.1.	Определение корня. Свойства кор- ней, вытекающие из определения	§ 29, п. 2
С-5.2.	Свойства корней, связанные с ариф- метическими действиями	§ 29, п. 3
С-5.3.	Определение степени с рациональ- ным показателем	§ 30, п. 2
К-5		§ 30, п. 2
С—5.4.	Степенная функция	§ 30, п. 4
С-5.5.	Показательная функция. График по- казательной функции	§ 30, п. 5
С-5.6.	Свойства показательной функции	§ 30, п. 5
С-5.7.	Простейшие показательные уравне- ния и неравенства	§ 30, п. 5
С-5.8*.	Показательные уравнения и неравен- ства	§ 30, п. 5
С-5.9.	Определение логарифма	§ 31, п. 2
С-5.10.	Свойства логарифмов, связанные с арифметическими действиями	§ 31, п. 3
С-5.11.	Формула перехода к другому осно- ванию	§ 31, п. 4
С-5.12.	Логарифмическая функция и её мо- нотонность	§ 31, п. 5
С-5.13.	Свойства логарифмической функции	§ 31, п. 5
С-5.14.	Простейшие логарифмические урав- нения и неравенства	§ 31, п. 5
С-5.15.	Логарифмические уравнения и нера- венства	§ 31, п. 5
К-6		§ 31, п. 5
Продолжение
Номер работы	Тема самостоятельной работы	Параграф, пункт учебника
С—6.1.	Радианное измерение углов	§ 32, п. 2
С-6.2. С—6.3.	Изображение вещественных чисел на единичной окружности	§ 32, п. 3
С-6.4.	Синус и косинус числа. Вычисление значений	§ 33, п. 1
С-6.5.	Синус и косинус числа. Простейшие уравнения и неравенства	§ 33, п. 1
С-6.6.	Основное тригонометрическое тож- дество	§ 33, п. 2
С-6.7.	Простейшие свойства синуса и коси- нуса	§ 33, п. 3
С-6.8.	Простейшие тригонометрические уравнения. Арксинус и арккосинус	§ 33, п. 4
С-6.9.	Определение тангенса и котангенса. Геометрическое изображение тан- генса и котангенса	§ 34, п. 1
С-6.10.	Простейшие свойства тангенса и ко- тангенса	§ 34, п. 1
С-6.11.	Следствия из основного тригономет- рического тождества	§ 34, п. 2
С-6.12.	Арктангенс и арккотангенс	§ 34, п. 3
С-6.13.	Синус и косинус суммы и разности	§ 35, п. 1
С—6.14.	Формулы приведения	§ 35, п. 2
С-6.15. С-6.16.	Формулы двойного и половинного углов	§ 35, п. 5
С-6.17.	Выражение тригонометрических функ- ций через тангенс половинного аргу- мента. Метод вспомогательного аргу- мента	§ 35, п. 7
С-6.18.	Преобразование суммы тригономет- рических функций в произведение и обратно	§ 35, п. 9
С-6.19. С-6.20.	Т ригонометрические преобразования	§ 35, п. 10
|к-7			§ 35
7
Продолжение
Номер работы	Тема самостоятельной работы	Параграф, пункт учебника
С-6.21.	Наибольшее и наименьшее значения тригонометрических функций	§ 36
С-6.22. С-6.23.	Свойства и графики тригонометри- ческих функций	§ 36
С-6.24.	Периодичность тригонометрических функций	§ 36
К-8		§ 36
С-6.25. С-6.26.	Обратные тригонометрические функ- ции	§ 37
С-6.27.	Уравнения и неравенства, содержа- щие обратные тригонометрические функции	§ 37
К-9		§ 37
С-6.28.	Тригонометрические уравнения, сво- дящиеся к простейшим	§ 38, п. 2
С-6.29. С-6.30.	Тригонометрические уравнения	§ 38, п. 4
С-6.31.	Тригонометрические неравенства	§ 38, п. 4
К-10		§ 38
С-7.1.	Способы задания последовательно- стей	§ 39, п. 1
С-7.2. С-7.3.	Общие свойства последовательно- стей	§ 39, п. 2
С-7.4.	Определение предела последователь- ности	§ 40, п. 1
С-7.5.	Свойства предела последовательности	§ 40, п. 3
С-7.6.	Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности	§ 41, п. 1
С-7.7.	Арифметические действия над схо- дящимися последовательностями	§ 41, п. 2
С-7.8.	Вычисление пределов. Разные методы	§ 41, п. 2
С-7.9.	Предел монотонной последователь- ности. Теорема Вейерштрасса	§ 42, п. 2
К-11		Глава VII

Высказывания и предикаты.
Логические операции над ними
Вариант 1
1.	Является ли высказыванием или предикатом выражение:
а)	Луна есть спутник Марса; б) 2 + V3 - V2;
в) 2 + V3 - V6 > 100;	г) х + 2 = 0;
д)	натуральное число п не меньше 5;
е)	«Пусть нам повезет!»;
ж)	ученик 10 класса; з) х2 + у2 0?
Какие из высказываний истинны?
2.	Изобразите на координатной плоскости множество ис-
тинности предиката:
a) -i(x > 2) л (х < у);	б) (х у) v (|х| 1);
в) ху > 0 -> ху < 1;	г) -,((х 6 [1; 4]) -> (х е [3; 8])).
3.	При каких вещественных а следующие предикаты яв-
ляются тождествами:
а)	(х е [1; a]) v (х ё [а; 2]);
б)	(х ё [а; 2]) -> (х е [1; 2а])?
4.	На вопрос: «Кто из трёх школьников изучал математи-
ческую логику?» — получен верный ответ: «Если изу-
чал первый, то изучал и третий, но неверно, что если
изучал второй, то изучал и третий». Кто изучал матема-
тическую логику?
Вариант 2
1.	Является ли высказыванием или предикатом выражение:
а)	Лондон — столица Франции; б) 3 - У 5 + 'Уб;
в) 2 - Уб + -У18 > 100;	г) х - 5 = 0;
д)	целое число х больше 3;
е)	«Да будет с нами удача!»;
ж)	студент первого курса;	з) х2 + у2 + 1 > 0?
Какие из высказываний истинны?
2.	Изобразите на координатной плоскости множество ис-
тинности предиката:
a) -t(x < 3) а (х > у);	б) (х С у) v (|у| 1);
в) ху 0 —► ху < 1;	г) —i((x е [2; 5]) -» (х е [4; 9])).
9
3.	При каких вещественных а следующие предикаты яв-
ляются тождествами:
а) х g [1; 2] а х <£ [1; а]; б) х е [а; 3] -> х е [2; а + 2]?
4.	На вопрос: «Кто из трёх друзей ходил в кино?» — полу-
чен верный ответ: «Если ходил Миша, то ходил и Ва-
дик, но неверно, что если Лёня был в кино, то там же
был и Вадик». Кто из трех друзей ходил в кино?
Понятие множества.
Способы задания множеств. Подмножества
Вариант 1
1.	Является ли истинным высказывание:
а)	{1; -1; 2} с {х : х3 + х2 - х - 1 = 0};
б)	7 е {5k + 2 : k е Z};
в)	{х: х2 + 12х > 28} с {х : х2 + 20х + 92 0};
г)	{1; 2; 3} = {3; 2; 2; 1}; д) {1; {2; 3}} = {1; 2; 3}?
2.	Придумайте предикат Р(х), такой, чтобы оказалось ис-
тинным предложение:
а) {х : Р(х)} = [1; 3); б) {х : Р(х)} = {-1; 2; 3; 7};
в*) {х - 1 : Р(х)} с {х : Р(х)}.
3*. Найдите целые значения а тл Ъ, при которых истинно
предложение {ах + b : х2 - Зх + 2 = 0} = {3; 4}. Сколько
решений имеет задача?
Вариант 2
1.	Является ли истинным высказывание:
а)	{0; -1; 2} с {х: х4 + х3 - х2 - х = 0};
б)	11 е {Зй + 2: k е Z};
в)	{х: х2 + х > 12} с {х: х2 + 2х - 16 > 0};
г)	{2; 3; 9} = {2; 2; 9; 3}; д) {{2}; 3; 9} = {2; 3; 9}?
2.	Придумайте предикат Р(х), такой, чтобы оказалось ис-
тинным предложение:
а) {х: Р(х)} = (5; 7]; б) {х: Р(х)} = {0; 3; 11; 13};
в*) {2х + 1 : Р(х)} с {х: Р(х)}.
3*. Найдите целые значения а и Ь, при которых истинно
предложение {ах + Ь: х2 - 4х + 3 = 0} = {2; 4}. Сколько
решений имеет задача?
®=ъз.
Операции над множествами
Вариант 1
1.	Изобразите на числовой оси множества А Г) В, A U В,
А \ В, если А = {х е R : х2 - 6х + 8 0},
В = {х g R : х2 - 5х + б > 0}.
2.	На рисунке изображены множе-
ства А, В и С. Закрасьте на ри-
сунке множество:
a)	A U (В П С);
б)	(А \ В) U (В \ А);
в)	(A U В) \ (В П А).
3.	На рисунке изображены множе-
ства А, В и С. Выразите множест-
во, закрашенное на рисунке, че-
рез множества А, В, С.
Вариант 2
1.	Изобразите на числовой оси множества А Г) В, A U В,
А \ В, если А = {х е R : х2 - 10х + 24 < 0},
В = {х g R : х2 - 9х + 20 > 0}.
2.	На рисунке изображены множе-
ства А, В и С. Закрасьте на ри-
сунке множество:
а)	А П (В U С);
б)	(А \ С) U (С \ А);
в)	(A U С) \ (С ПА).
3.	На рисунке изображены мно-
жества А, В и С. Выразите мно-
жество, закрашенное на рисунке,
через множества А, В, С.
Кванторы
Вариант 1
1.	Установите истинностное значение высказывания:
а)	Зх : х + 1 = х;
б)	Vx (х2 - 5х + 7 > 0);
в)	Зх : ((х е [2; 4]) -> (х2 - 8х + 15 > 0)).
2.	Запишите в виде формул с кванторами, обозначив пре-
дикаты и переменные буквами, высказывание:
а)	по крайней мере одно чётное число делится на 8;
б)	не все птицы умеют летать;
в)	кто хочет, тот добьётся;
г)	если кому-то повезло, то и нам повезёт;
д)	в подмножестве множества натуральных чисел всегда
найдется наименьшее.
3.	При каких а истинно высказывание
Vx (ах2 + ах + 1 > 0)?
Вариант 2
1.	Установите истинностное значение высказывания:
а)	Зх : х2 + х + 1 = х;
б)	Vx (х2 - Зх + 4 > 0);
в)	Зх: ((х 6 [2; 3]) -> (х2 - 5х + 6 > 0)).
2.	Запишите в виде формул с кванторами, обозначив пре-
дикаты и переменные буквами, высказывание:
а)	по крайней мере одно простое число двузначное;
б)	не все млекопитающие четвероногие;
в)	кто ищет, тот найдёт;
г)	если кто-нибудь перепрыгнет ручей, то и Вася сможет;
д)	в множестве натуральных чисел всегда найдётся
наибольшее.
3.	При каких а истинно высказывание
Vx (ах2 + (а + 1)х + а + 2^ 0)?
Q-15.__________________________________
Отрицание. Следование и равносильность
Вариант 1
1.	Является ли условие:
а) х > -3; б) х > -2; в) х -1 и х < 3;
г) х > -1 и х < 10; д) -2 < х 10
необходимым и является ли оно достаточным для того,
чтобы выполнялось неравенство х2 - 2х - 8 < 0?
2.	Составьте отрицание высказывания:
а)	весь наш класс поехал на турслет;
б)	ни один из сомножителей произведения abc не равен 0;
в)	некоторым студентам не платят стипендию;
г)	все числа х и у рациональные;
д)	по крайней мере одно из чисел х и у является рацио-
нальным;
е)	Vx, у & N Вс е R : х с С у.
3.	Выясните, следует ли из предиката х 5= 5 предикат:
а) х2 - 4х - 5 > 0;	б) 10 + Зх - х20;
в) ^<0;	г) Vx - 5 • (V4 - х) > -1;
х-6	4	7
д) Vx - 5 - 7(4-х)2 > 0; е) х + -^>-^ + 5;
Вариант 2
1.	Является ли условие:
а) х > -2;	б) х > -3; в) х > -1 и х С1;
г) х > -1 и х < 5; д) -3 < х 10
необходимым и является ли оно достаточным для того,
чтобы выполнялось неравенство х2 + х - 6 0?
2.	Составьте отрицание высказывания:
а)	все мои друзья живут в моём городе;
б)	ни одно из слагаемых суммы а + Ь + с не является
отрицательным;
в)	некоторые школьники любят молоко;
г)	все числа х и у целые;
д)	некоторые из чисел х и у являются целыми;
е)	Vx, у е R Эс е N: | х | + | у | > с.
3.	Выясните, следует ли из предиката х > 2 предикат:
а) х2 - Зх + 2 > 0;	б) 6 - х - х2 0;
в) < 0;	г) >/х-2.(>/1-х)2 > -2;
д) Vx- 2 -д/(1 - х)2 > 0; е) х + —Ц > —+ 2;
х-1	х-1
Q-1.6.______________________
Структура теорем.
Необходимые и достаточные условия
Вариант 1
1.	Сформулируйте с помощью предикатов определение по-
нятия:
а)	чётного числа;
б)	положительного решения неравенства х2 + х — 17 > 0;
в)	числового множества, обладающего наименьшим
элементом.
2.	Сформулируйте теорему, обратную, противоположную
и обратную противоположной к теореме:
а)	сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов его сторон;
б)	если а делится на Ъ и Ъ делится на с, то а делится на с.
3.	Вставьте вместо ... такой предикат, чтобы при любых f
и g выполнялось
f(.x)y[g(x)^0	{ /(х)>0’
4.	Каким условиям должна удовлетворять функция f для
того, чтобы /(х) Vx - 3 > 0 => /(х) > 0?
Вариант 2
1.	Сформулируйте с помощью предикатов определение
понятия:
а)	нечётного числа;
б)	отрицательного решения неравенства х2 + х — 3 > 0;
в)	числового множества, обладающего наименьшим
элементом.
2.	Сформулируйте теорему, обратную, противоположную и
обратную противоположной к теореме:
а)	сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов его сторон;
б)	если а делится на Ъ и с делится на d, то ас делится
на bd.
3.	Вставьте вместо ... такой предикат, чтобы при любых f
и g выполнялось
f (х)y[g(x) > 0 « | /(Х) С °’
4.	Каким условиям должна удовлетворять функция f для
того, чтобы f (х) >/х - 3 > 0 <= f (х) > 0?
Метод математической индукции
Вариант 1
1.	Докажите, что
£*(26 + 1)=п(', + 1)<4'! + 5).
.-1 6
2.	Докажите с помощью метода математической индук-
ции, что для любого натурального п выражение
5" + 2 • 3" - 3 делится на 8.
3.	Докажите, что если а1 = 4, ап + 1 = Зап - 2, то ап = 3" + 1
при п е N.
4.	Докажите, что 3" > 5п + 1 при п е N, 3.
_ _	п2 - Зп
5.	Докажите, что в выпуклом п-угольнике —-— диагона-
Zj
лей (п > 3).
15
Вариант 2
1.	Докажите, что
J/e(3/?-l) = п2(п + 1).
А = 1
2.	Докажите с помощью метода математической ин-
дукции, что для любого натурального п выражение
42п + 1 + 32П + 1 _ 7 делится на 84
3.	Докажите, что если а! = 2, а2 = 3, ап + 2 = Зап + 1 - 2ап, то
ап = 2П ’1 + 1 при n е N.
4.	Докажите, что 5" > 11п + 3 при n е N, л 3.
5.	Докажите, что п различных точек на прямой определяют
п(п-1)
—-— отрезков с концами в этих точках.
ф-1-8._________________________________________
Разбор случаев. Правило умножения
Вариант 1
1.	Сколько имеется путей, которыми можно попасть из го-
рода А в город С через город В, если из А в В ведут две
дороги, а из В в С — три дороги?
2.	В каждую клетку таблицы 3x3 произвольно ставят
крестик или нолик.
а)	Сколькими способами можно заполнить эту табли-
цу?
б)	В скольких случаях в первом столбце будут одни
крестики?
в)	В скольких случаях по диагонали будут стоять одни
нолики?
г)	В скольких случаях во второй строке будет стоять
ровно один крестик? 3
3. Сколько трёхзначных чисел, меньших 400, можно со-
ставить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр
может использоваться только один раз?
16
Вариант 2
1.	Сколько имеется путей, которыми можно попасть из го-
рода А в город С через город В, если из А в В ведут три
дороги, а из В в С — две дороги?
2.	За четверть в классе прошли пять тем по алгебре. Конт-
рольная работа будет состоять из пяти задач: по одной
задаче из каждой темы. К каждой теме заранее был со-
ставлен список из 10 задач, одна из которых будет вхо-
дить в вариант контрольной. Ученик умеет решать
только по 8 задач в каждой теме. Найдите:
а) общее число вариантов контрольной работы;
б)	число тех вариантов, в которых ученик умеет ре-
шать все пять задач;
в)	число тех вариантов, в которых ученик ничего не
может решить;
г)	число тех вариантов, в которых ученик умеет решать
все задачи, кроме первой.
3.	Сколько трёхзначных чисел, меньших 500, можно со-
ставить из цифр 2, 4, 6, 8, 9, если любая из этих цифр
может использоваться только один раз?
Q—1.9.________________________________________
Размещения и перестановки
Вариант 1
1.	Сколько имеется способов поставить оценки четырём
школьникам по пятибалльной системе так, чтобы все
они получили разные оценки?
2.	Сколько существует пятизначных чисел, у которых
цифры убывают, например, как у числа 76310?
3.	В городе 10 музеев. Турист решил их все посетить, но
никак не может решить, в каком порядке это сделать.
Сколько у него вариантов?
4.	Сколькими способами можно сделать трёхцветный флаг
с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если
имеются материалы шести различных цветов?
17
Вариант 2
1.	Сколько существует способов занумеровать 5 контроль-
ных пунктов на соревнованиях по спортивному ориен-
тированию?
2.	Сколько существует четырёхзначных чисел, у которых
цифры возрастают, например, как у числа 1379?
3.	Турнир проводят 25 шахматистов. Его исходом считает-
ся указание того, кто занял первое место, кто — второе
и кто — третье. Сколько исходов может иметь турнир?
4.	Сколькими способами можно разместить 4 разные фото-
графии одинакового формата, если имеются рамки пяти
различных цветов?
(Э-1.10._______________________________________
Ограниченные числовые множества.
Точные границы
Вариант 1
1.	Докажите ограниченность множества А, если:
а) А = [-1; 2] U {3}; б) А =	: п е Лг};
в) А = ] П : п е N .
[7^71
2.	Пусть множества А и В ограничены. Докажите, что
множество А А В также ограничено.
3.	Докажите, что множество А = [5; +оо) не ограничено.
4.	Найдите sup А и inf А, если А = [-1; 2] U {3}.
5.	Докажите, что для непустых множеств А и В выполня-
ется равенство sup (A U В) = max {sup A, sup В}.
Вариант 2
1.	Докажите ограниченность множества А, если:
а) А = [-3; 1] U {5}; б) А = пе ЛГИ
I 71 + Z
2.	Пусть множества А и В ограничены. Докажите, что
множество A U В также ограничено.
3.	Докажите, что множество В = (-оо; 3] не ограничено.
4.	Найдите sup А и inf А, если А = [-1; 2] U {3}.
5.	Докажите, что для непустых множеств А и В выполня-
ется равенство inf (A U В) = min {inf A, inf В}.
Q-2J-.__________________________________________
Деление с остатком
Вариант 1
1.	Выполните деление с остатком:
а)	37 521 на 43;
б)	-37 521 на 43.
2.	Какой остаток даёт число:
а)	7п - 3 при делении на 7;
б)	4п + 3 при делении на 2п + 1;
в)	4п + 3 при делении на п?
3.	Найдите наименьшее пятизначное число, которое при
делении на 130 даёт остаток 17.
4.	Какие остатки могут давать квадраты целых чисел при
делении на 4?
Вариант 2
1.	Выполните деление с остатком:
а)	41 247 на 38;
б)	-41 247 на 38.
2.	Какой остаток даёт число:
а)	6п + 5 при делении на 3;
б)	4п + 3 при делении на 2п - 1;
в)	Зп + 1 при делении на и?
3.	Найдите наименьшее пятизначное число, которое при
делении на 120 даёт остаток 51.
4.	Какие остатки могут давать квадраты целых чисел при
делении на 5?
19
Делимость
Вариант 1
1.	Выясните, верно ли утверждение для целых а, Ъ и с:
а)	если а • 6 и b / 6, то (а + Ъ) / 6;
б)	если а / 6 и Ъ / 6, то (а + Ь) ) 6;
в)	если а / 6 и Ъ / 6, то ab / 6;
г)	если а • 6 и Ь • 10, то ab  60.
2.	Докажите утверждение:
а)	(З11 + 511) • 8;
б)	если ab • с и (а + Ъ)  с, то (а2 + Ь2) • с при а, Ъ, с е Z.
3.	Пусть остаток от деления натурального числа т на 7 ра-
вен 3. Найдите остаток от деления на 7 числа
Зт2 + 5тп + 1.
4.	Известно, что За + 2Ь делится на с и 10а + 7Ь делится
на с. Докажите, что а + Ъ делится на с (а, Ъ, с — целые
числа).
Вариант 2
1.	Выясните, верно ли утверждение для целых а, b и с:
а)	если	а	•	3	и	Ъ	/ 3,	то	(а + Ъ) /	3;
б)	если	а	/	3	и	b	/ 3,	то	(а + Ь) /	3;
в)	если	а	/	3	и	b	/ 3,	то	ab / 3;
г)	если	а	•	3	и	b	• 10, то ab  30.
2.	Докажите утверждение:
а)	(222 + З11) • 7;
б)	если а2 • (а + Ь), то Ь2  (а + Ъ) при a, b, с е Z.
3.	Пусть остаток от деления натурального числа и на 9 ра-
вен 5. Найдите остаток от деления на 9 числа
4п2 + 7п + 2.
4.	Известно, что 2а + ЗЬ делится на с и 9а + 13& не делится
на с. Докажите, что а + Ъ не делится на с (а, Ь, с — це-
лые числа).
20
Делимость
Вариант 1
1.	Докажите, что при любом натуральном п число
7" + 12п - 1 кратно 18.
2.	Известно, что число а при делении на 4 даёт остаток 1,
а при делении на 3 даёт остаток 2. Найдите остаток от
деления числа а на 12.
3.	Докажите, что п3 + Зп2 + 2п делится на 6 при любом на-
туральном п.
4.	Докажите, что если либо числитель, либо знаменатель
k2 — 5fe + 8
дроби —-------делится на 11 при k g N, то дробь мож-
k + 6 k + 19
но сократить на 11.
5.	Может ли сумма квадратов двух последовательных на-
туральных чисел равняться сумме кубов трёх последо-
вательных натуральных чисел?
Вариант 2
1. Докажите, что при любом натуральном п число
6" + 20п - 1 кратно 25.
2. Известно, что число а при делении на 5 даёт остаток 2,
а при делении на 6 даёт остаток 1. Найдите остаток от
деления числа а на 30.
3.
Докажите, что п(п2
натуральном п.
+ 6п + 5) делится на 6 при любом
4.
Докажите, что если
в Л2-3/г + 7
ДР° И fe2+ 10/г + 20
можно сократить
либо числитель, либо знаменатель
делится на 13 при k g N, то дробь
на 13.
5. Может ли сумма четвёртых степеней двух последова-
тельных натуральных чисел равняться сумме кубов
трёх последовательных натуральных чисел?
121
0-2.4.__________________________________________
Сравнения
Вариант 1
1.	Найдите остаток от деления 273273 на 7.
2.	Найдите последнюю цифру числа 189 - 23 • 27- З15.
3.	Верно ли сравнение -539 s -42?
7
4.	Решите в натуральных числах уравнение
1! + 2! + 3! + ... + х! = у2.
5.	Решите уравнение 4х - 3 s 2 - х.
13
Вариант 2
1.	Найдите остаток от деления 159951 на 13.
2.	Найдите последнюю цифру числа 3 • 711 - 13 • 29 + 8.
3.	Верно ли сравнение 2435 = -583?
42
4.	Решите в натуральных числах уравнение х! + у\ = 4z + 3.
5.	Решите уравнение 5х — 1 = х - 4.
18
(9-2.5.
Наибольший общий делитель.
Наименьшее общее кратное
Вариант 1
1.	Найдите наибольший общий делитель и его линейное
представление для чисел 493 и 221.
2.	Найдите НОД (2п + 3; п + 1) при п е N.
3.	Докажите, что НОК (п2 + 6п + 9; п + 4) = и3 + 10п2 +
+ ЗЗп + 36 при всех натуральных значениях п.
. „	504  540
4.	Вычислите ------------.
НОК (504; 540)
5.	Найдите все натуральные числа k, для которых наи-
меньшее общее кратное натуральных чисел k и k + 1
равно З/г.
221
Вариант 2
1	Найдите НОД и его линейное представление для чисел
391 и 253.
2.	Найдите НОД (Зп - 1; 2п - 1).
3.	Докажите, что НОК (п2 + 10п + 21; п2 + 9п + 18) = п + 3
при всех натуральных значениях п.
„	540  576
4.	Вычислите НОК(МО;576)-
5.	Для скольких натуральных чисел п значение
НОК (п; 15) не превосходит 30?
________________________________________
Взаимно простые числа
Вариант 1
1.	Докажите, что произведение пяти последовательных це-
лых чисел делится на 120.
2.	Докажите, что п3 - 4п делится на 48, если п.3 - 4п де-
лится на 2 при п 6 N.
3.	Пусть а и Ь — взаимно простые числа. Докажите, что
при любых натуральных т и п числа ат и Ьп также вза-
имно просты.
4.	Пусть т и п — взаимно простые числа. Какие значения
может принимать НОД (4m + Зп; 6m + 5п)?
Вариант 2
1.	Докажите, что при любом целом п число п(п+1)2х
х (п + 2) делится на 12.
2.	Докажите, что п3 — 9п делится на 162, если п3 — 9п де-
лится на 3 при п g N.
3.	Докажите, что любое натуральное нечётное число и поло-
вина следующего за ним чётного числа взаимно просты.
4.	Пусть тип — взаимно простые числа. Какие значения
может принимать НОД (6m + Зп; 9m + 5п)?
23
Простые числа
Вариант J
1.	Докажите, что при любом натуральном значении п чис-
ло п2 + 13л + 42 составное.
2.	Докажите, что число 389 простое.
3.	Найдите все простые числа р, такие, что р + 10 и р + 14
тоже будут простыми.
4.	Докажите, что число 4n4 + 1 только при п — 1 является
простым, а при всех остальных натуральных п — со-
ставным.
5.	Докажите или опровергните утверждение: «Для того
чтобы сумма двух натуральных чисел была простым
числом, необходимо, чтобы они были взаимно просты».
Является ли это утверждение достаточным?
Вариант 2
1.	Докажите, что при любом натуральном значении п чис-
ло п2 + 15п + 56 составное.
2.	Докажите, что число 401 простое.
3.	Найдите все простые числа р, такие, что р + 20 и р + 4
тоже будут простыми.
4.	Докажите, что число и4 + 4 только при п = 1 является про-
стым, а при всех остальных натуральных п — составным.
5.	Докажите или опровергните утверждение: «Для того
чтобы сумма двух натуральных чисел была простым
числом, необходимо, чтобы одно из них было простым».
Является ли это утверждение достаточным?
24
(Э.-2-8-
Основная теорема арифметики
Вариант 1
1. а) Докажите, что если т2 делится на 5, то и т делится
на 5 (m g N).
б) Верно ли, что если т2 делится на 50, то и т делится
на 50?
2. а) Найдите количество различных натуральных делите-
лей числа 24 • 53.
б*) Найдите количество лежащих на кривой
х2 - у2 = 2000 точек плоскости, координаты которых
являются целыми числами.
3*. Найдите все натуральные числа т и п, такие, что
2т - 3" = 1.
Вариант 2
1. а) Докажите, что если т2 делится на 3, то и т делится
на 3 (т е N).
б) Верно ли, что если пг2 делится на 18, то и т делится
на 18?
2. а) Найдите количество различных натуральных делите-
лей числа 2® • 53.
б*) Найдите количество лежащих на кривой х2 - у2 =
= 8000 точек плоскости, координаты которых явля-
ются целыми числами.
3*. Найдите все натуральные числа т и п, такие, что
2т -5" = 1.
25
0—2.9.
Решение уравнений в целых числах
Вариант 1
1.	Решите уравнение в целых числах:
а)	(х - 3)(хг/ + 5) = 5;
б)	х2 - Зху + 2у2 = 3;
в)	Их - 5у = 73.
2.	Существуют ли такие натуральные а и Ь, что (а + Ь) х
х (За - &) = 10?
3.	При каких целых значениях а уравнение 4х2 + ах + 9 = О
имеет рациональные корни, сумма которых является
целым числом?
Вариант 2
1.	Решите уравнение в целых числах:
а)	(у + 1)(ху - 1) = 3;
б)	х2 - 2ху - Зу2 = 5;
в)	5х + Зу = 44.
2.	Существуют ли такие натуральные а и Ь, что (а + Ь) х
х(3а - Ь) = 6?
3.	При каких целых значениях а уравнение ах2 + 20х +
+ 9 = 0 имеет рациональные корни, сумма которых яв-
ляется целым числом?
26

Определение многочлена.
Степень многочлена
Вариант 1
1.	Приведите многочлен к стандартному виду:
а)	(х2 + I)3 - (х3 + 2)2 + 4х2 (х2 + х + 1);
б)	х (х - 1)(х - 2) (х - 3) - (х2 - Зх + I)2.
2.	Найдите степень многочлена:
а)	(х2 - х + 5)13 + (х11 + х10 + ... + 7)2;
б)	Зхуг2 + Sx2yz - (х + у + z)2.
3*. Представьте выражение 2а (а2 + ЗЬ2) в виде суммы ку-
бов двух многочленов.
4. Докажите, что функция /(х) = Vx + 2х2 не является
многочленом.
Вариант 2
1.	Приведите многочлен к стандартному виду:
а)	(х2 - I)3 - (х3 - 2)2 + Зх2(х2 - х + 1);
б)	(х + 1)(х + 2)(х + 4)(х + 5) - (х2 + 6х + 5)2.
2.	Найдите степень многочлена:
а)	(9х2 - Зх + I)11 + (х7 + х5 + ... + 7)10;
б)	5a3bc + 5ab3c - (а + Ъ + с)3. ,
3*. Представьте выражение 2Ь (За2 + Ь2) в виде разности ку-
бов двух многочленов.
4.	Докажите, что функция /(х) = 'V3x2 +1 не является мно-
гочленом.
27
(Э-3.2.________________
Действия с многочленами
Вариант 1
1.	Запишите в каноническом виде композиции P(Q(x)) и
Q(P(x)), если Р(х) = Зх3 - х, a Q(x) = х2 - 1.
2.	Найдите Р(х + 1), если Р(2х - 1) = 8х3 - 6х + 3.
3.	Дано число х. Разрешается производить только умноже-
ние. За какое наименьшее число умножений можно
найти х13?
4.	Найдите сумму коэффициентов многочлена f(x - 1), где
f(x) = 2х4 + Их3 - 7х2 - 8х + 1.
5.	Старший коэффициент многочлена Р(х) равен 1 + V2.
Докажите, что при любом натуральном k многочлен
Р*(х) имеет иррациональный старший коэффициент.
Вариант 2
1.	Запишите в каноническом виде композиции P(Q(x))
и Q(P(x)), если Р(х) = 2х3 + х, a Q(x) = 1 - х2.
2.	Найдите Р(х - 2), если Р(3х + 1) = 27х3 + 27х2.
3.	Дано число х. Разрешается производить только умноже-
ние. За какое наименьшее число умножений можно
найти х15?
4. Найдите сумму коэффициентов многочлена /(х - 1), где
f(x) = 2х4 5 - Зх3 + 4х2 - 7х + 2.
5. Старший коэффициент многочлена Р (х) равен 1 + V3.
Докажите, что при любом натуральном k многочлен
Р*(х) имеет иррациональный старший коэффициент.
28
A—3.3.___________________
Метод неопределённых коэффициентов
Вариант 1
1.	При каких а, Ь, с равны многочлены (х2 + ах + Ь) (х + с)
и х3 + 2х2 + х + 2.
2.	С помощью метода неопределённых коэффициентов раз-
ложите на множители многочлен
х4 - 10х3 + 27х2 - 14х + 2.
3.	Найдите многочлен Р(х), удовлетворяющий тождеству
Р(Р(х)) = х4 - 6х3 + 8х2 + Зх - 1.
4*. Докажите, что многочлен от двух переменных
f(x, у) = (ху)3 + 1 нельзя представить в виде произведе-
ния двух многочленов — одного от х и другого от у.
Вариант 2
1.	При каких а, Ь, с равны многочлены (х2 + ах + Ь) (х + с)
и х3 + 4х2 + 5х + 6?
2.	С помощью метода неопределённых коэффициентов раз-
ложите на множители многочлен
х4 - 12х3 + 43х2 - 42х + 6.
3.	Найдите многочлен Р(х), удовлетворяющий тождеству
Р(Р(х)) = х4 - 4х3 - 4х2 + 16х + 12.
4*. Докажите, что многочлен от двух переменных
Р(х, у) = (ху)4 + 1 нельзя представить в виде произведе-
ния двух многочленов — одного от х и другого от у.
29
Деление многочленов с остатком
Вариант 1
1.	Выполните деление с остатком х4 - Зх2 +1 на х - 2.
2.	При каком вещественном а многочлен Р (х) - 6х2 + 7х + а
делится без остатка на многочлен Q(x) = 2х + 3?
3.	Может ли многочлен х3 + ах2 + 1 делиться на многочлен
х3 + (а + 1) X + 1?
п3-5п2+5п-2
4*. При каких целых значениях п выражение-------
п2 -Зп + 1
является целым числом?
Вариант 2
1.	Выполните деление с остатком х5 + 2 на х - 1.
2.	При каком вещественном а многочлен Р (х) = - 4Х2 + ах + 5
делится без остатка на многочлен Q (х) — 4х + 5?
3.	Может ли многочлен 2х3 + ах2 + 8 делиться на много-
член х3 + (а + 1)х + 1?
.. „	п3+5п2+8п + 17
4*. При каких целых значениях п выражение--—----
является целым числом?
0-3.5.__________________________________________
Схема Горнера
Вариант 1
1.	Используя схему Горнера, выполните деление много-
члена 2х4 - х3 - х2 + Зх - 2 на двучлен х + 2.
2.	При каком вещественном а многочлен х3 + ах + 1 при
делении на двучлен х - а дает остаток 1?
3.	Разложите многочлен Р (х) = х4 - 5х3 - Зх2 + 9 по степе-
ням х + 3.
2	2
4.	Разложите на простейшие дроби Q(x) =---—.
(х + 3)
Вариант 2
1.	Используя схему Горнера, выполните деление много-
члена 2х4 - 6х3 - х2 + 4х - 7 на двучлен х - 3.
2.	При каком значении а многочлен х3 + ах + 1 при деле-
нии на двучлен х - а даёт остаток 13?
3.	Разложите многочлен Р(х) = х4 + 4х3 + 6х2 + 10х + 20 по
степеням х + 2.
+ X + 1
4.	Разложите на простейшие дроби Q(x) =---т-.
(х + 2)4
0-3.6.
Многочлен как функция
Вариант 1
1.	Многочлен Р(х) при делении на х + 1 даёт остаток 1,
а при делении на (х + 1) (х + 2) (х + 3) в остатке получа-
ется многочлен, все коэффициенты которого равны. Ка-
кой остаток дает Р(х) при делении на (х + 2)?
2.	Зная, что многочлен f(x) = х5 - Зх + 2 имеет корень с,
т. е. f(c) = 0, запишите многочлен с целыми коэффици-
ентами, имеющий корень:
а) -с;
3.	Найдите свободный член и сумму коэффициентов мно-
гочлена:
а)	(Зх2 - 4х + 2)100;
б)	(х + 1)".
4.	Найдите все корни многочлена 6х3 + Ьх2 - 5х - 2, если
1
одним из его корней является число
Zu
5*. Докажите, что не существует многочлена f с целыми ко-
эффициентами, такого, что f(-l) = 2007 и /(1) = 2008.
31
Вариант 2
1.	Многочлен Р(х) при делении на х - 1 даёт остаток 1,
а при делении на (х - 1)(х - 2)(х - 3) в остатке получа-
ется многочлен, все коэффициенты которого равны. Ка-
кой остаток он даёт при делении на (х - 2)?
2.	Зная, что многочлен /(х) = х6 - 2х + 3 имеет корень с,
т. е. /(с) = 0, запишите многочлен с целыми коэффици-
ентами, имеющий корень:
а) -с;
6>i;
в)
3.	Найдите свободный член и сумму коэффициентов мно-
гочлена:
а)	(2х* 1 2 - Зх - 2)98;
б)	(х - 1)л.
4.	Найдите все корни многочлена 2х3 + ах2 - Зх - 1, если
одним из его корней является число
5*. Докажите, что не существует многочлена f с целыми
коэффициентами, такого, что f(l) = 566 и f(-1) = 239.
Oz-3.7.
Применение теоремы Безу.
Корни многочленов
Вариант 1
1. Найдите кратность корня х = 1 многочлена х5 - 2х4 + х3.
2. Докажите, что число 235 + 1 делится на 11.
3. Докажите, что (а - b) (а + b - с)2с + (Ъ - с) (Ь + с - а)2а
делится на (а - Ь + с) при любых целых а, Ъ, с.
4*. Многочлен Р(х) с целыми коэффициентами принимает
значение 5 при подстановке пяти различных целых зна-
чений аргумента. Выясните, может ли он иметь целый
корень.
5. Докажите равенство V20 + 14-72 + ^20 - 14-72 = 4.
32
В ар и ант 2
1.	Найдите кратность корня х = 1 многочлена
х4 - х3 - Зх2 + 5х - 2.
2.	Докажите, что число З60 + 1 делится на 82.
3.	Докажите, что (х - у)5 + (у - г)5 + (г - х)5 делится на
(х - у) (у - z)(z - х) при любых целых х, у, г.
4*. Многочлен Р(х) с целыми коэффициентами принимает
значение 7 при подстановке семи различных целых зна-
чений аргумента. Выясните, может ли он иметь целый
корень.
5.	Докажите равенство 8 +J1&T - Va/189 - 8 = 1.
0-3.8.___________________________________________
Следствия теоремы Безу
Вариант 1
1.	Найдите многочлен f третьей степени по его значениям
/•(-1) = 8, /(0) = 8, НО,5) = 11, f(1) = 24.
2.	Приведите к стандартному виду многочлен
2 (x-b)(x-c)	(x-g)(x-c) 2 (x-a)(x-fe)
а (а-Ъ)(а-с)	(Ь-а)(Ь-с) С (с-а)(с-Ь) '
3.	Пусть f и g многочлены с рациональными коэффициен-
тами, и многочлен f(x2) + xg(x2) делится на х2 - 2. До-
кажите, что многочлены f и g делятся на х - 2.
4. Найдите все многочлены f, для которых выполняется
равенство /(х3) = x6f(x).
Вариант 2
1.	Найдите многочлен f третьей степени по его значениям
7(1) = 2, /(2) =1, 7(3) = 4, 7(4) = 3.
2.	Приведите к стандартному виду многочлен
(х-&)(х-с)	(х-а)(х-с)	(x-a)(x-fe)
(а-&)(а-с)	(Ь-а)(&-с) С (с-а)(с-&) '
3.	Пусть 7 и g многочлены с рациональными коэффициен-
тами, и многочлен 7(х2) + xg(x2) делится на х2 - 3. До-
кажите, что многочлены f и g делятся на х - 3.
4.	Найдите все многочлены f, для которых выполняется
равенство f(x3) = x3f(x).
0-3.9.________________________________
Многочлены с целыми коэффициентами
и их рациональные корни
Вариант 1
1.	Найдите все действительные корни уравнения
2х4 + Зх3 - 8х2 - 9х + 6 = 0.
2.	Составьте многочлен наименьшей степени с целыми ко-
эффициентами, одним из корней которого является
число V3 + V2.
3.	Решите уравнение
х4 + х (х + 2) + 1 = 0.
4*. Пусть f(x) — 2х3 - 7х2 + 2х - 3. Существует ли такое ир-
рациональное число z, что 7(г) — рациональное число?
Вариант 2
1.	Найдите все действительные корни уравнения
4х4 - Зх3 - 8х2 + Зх + 6 = 0.
2.	Составьте многочлен наименьшей степени с целыми ко-
эффициентами, одним из корней которого является
число V2 + 'V4.
3.	Решите уравнение
х4 + (х + 2) (х + 2) + 1 = 0.
4*. Пусть f(x) = 2х3 - 6х2 - Зх + 2. Существует ли такое ир-
рациональное число г, что f(z) — рациональное число?
34
0-3.10.________________________________
Рациональные корни многочлена
Вариант 1
1.	Докажите, что уравнение 5х5 - 20х4 - 125х + 11 = 0 не
имеет целых корней.
2.	Докажите, что уравнение х3 + 2х - 5 = 0 не имеет ра-
циональных корней.
3.	Раскладывается ли многочлен (х - 1)(х-2)(х-3)~ 1 в
произведение многочленов ненулевой степени с целыми
коэффициентами?
4*. Найдите все значения параметра а, при которых урав-
нение х4 + 4ах + а2 + 4 = 0 имеет хотя бы одно решение.
Вариант 2
1.	Докажите, что уравнение Зх7 - 15х5 + 21х4 - 96х + 8 = 0
не имеет целых корней.
2.	Докажите, что уравнение х3 + Зх - 3 = 0 имеет вещест-
венные корни, но не имеет рациональных.
3.	Раскладывается ли многочлен (х + 1) (х + 2) (х + 3) - 1 в
произведение многочленов ненулевой степени с целыми
коэффициентами?
4*. Найдите все значения параметра а, при которых урав-
нение х4 - 4ах + а2 + 4 = 0 имеет хотя бы одно решение.
35

Теорема Виета
Вариант 1
1. Не решая уравнение
a) Xj + х2 + х3;
в) XjX2x3;
*1*2	*2*3 Х3Х!
х3 - 4х2 + Зх + 2 = 0, найдите:
б) х^х2 + х2х3 + x3xj
,111
г) —+ — + —;
*1 х2 Х3
е) х2 + х2 + х3.
2.
Найдите какой-либо многочлен наименьшей степени
с целыми коэффициентами, имеющий корни первой
1	1 о
кратности: —, -, 3.
Л о
3.
Решите систему уравнений
х + у + г = 9
X у 2
хуг = 27.
4*. Докажите, что уравнение х3 - Зх2 + 6х + а = 0 при лю-
бом а е R имеет только один вещественный корень.
Вариант 2
1.	Не решая уравнения х3 - Зх2 + 2х + 2 - 0, найдите:
a) Xj + х2 + х3;	б)	XjX2 + х2х3 + x3Xj;
в) хЛх3;	г)
х2 Х3
Д) —+—;	е)	х2 +xf +xf.
*1*2 x2x3 X3Xi
2.	Найдите какой-либо многочлен наименьшей степени
с целыми коэффициентами, имеющий корни первой
1	1 о
кратности: —, 2.
3 4
Jx + у + 2 = 1,
х2 +у2 + г2 =15,
1117
X + у + 2	5 '
4. Докажите, что уравнение х3 - 2х2 + 5х + а = 0 при лю-
бом а 6 R имеет только один вещественный корень.
Зб|
Определение функции
Вариант 1
1.	Периметр прямоугольника равен 20 см. Выразите дли-
ну диагоналей прямоугольника как функцию длины
стороны прямоугольника и найдите область определе-
ния этой функции.
2.	Дана функция:
хг при х е Q П (-1; 1),
при хе I П(-1; 1),
П ’	0 при х е Q П ((-оо;-1] U [1;+оо)),
-2 при х е I А ((—оо;-1] U [1; +оо)).
Найдите:	f{^];	/(-л); f(-0,3(3)).
у \ z )
3.	Найдите по графику область определения и множество
значений функции.
4.	Найдите естественную область определения и множест-
во значений функции:
а)	у = (х- I)4 - 3;
б)	у = ...1. =;
у]х2 - 4х + 5
в)	у = 74-И;
137
Вариант 2
1.	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна
12 см. Выразите площадь треугольника как функцию
длины высоты, проведенной к его основанию, и найдите
область определения этой функции.
2.	Дана функция:
х3 при х е Q П (-1; 1),
f = -х3 при х е I Г) (-1; 1),
О прих е Q П((-оо; —1] U [1; +оо)),
-1 прих 6 /П((-оо; — 1]U[1; +оо)).
Найдите:	/(1); /(л); /(-0,7(7)).
\ о J \ J
3.	Найдите по графику область определения и множество
значений функции.
4.	Найдите естественную область определения и множест-
во значений функции:
а)	у = (х + I)4 + 5;
б)	у = ,	1 ^=;
Л/х2-8х + 17
в)	у = V9 - |х|;
38
Q—4.2.
Способы задания функции
Вариант 1
1. Задаёт ли функцию у(х) формула:
а) ху = -1; б) | у + 11 = 2 - х; в) у2 + х2 = 2х - 1?
{х = 3 — 2£
_ к .
У — Э "г оС.
Задайте её аналитически.
3. Задайте формулой и постройте график какой-либо
функции, если её область определения — отрезок [0; 1],
а множество значений — интервал (0; 1).
4. На рисунке представлен график
функции, определённой на от-
резке [а; &]. S(x) — площадь
«подграфика» на отрезке [а; х],
а С х < Ъ. Выразите величину
S(x) через х и постройте гра-
фик функции у = S(x). По это-
му графику найдите множество
значений функции у = S (х).
Вариант 2
1. Задаёт ли функцию у(х) формула:
а) ху = 2; б) \у - 11 = 1 - х; в) у2 + х2 = -2у - 1?
{х — 7 _ 5t
о.	’
У = oi-
Задайте её аналитически.
3. Задайте формулой и постройте график какой-либо функ-
ции, если её область определения — интервал (0; 1),
а множество значений — отрезок [0; 1].
4. На рисунке представлен график
функции, определённой на от-
резке [а; &]. S(x) — площадь
«подграфика» на отрезке [а; х],
а < х Ь. Выразите величину
S (х) через х и постройте график
функции у = S (х). По этому гра-
фику найдите множество значе-
ний функции y = S(x).
0-4.3.
Область определения
и множество значений функции
Вариант 1
1.
2.
з.
4.
Найдите естественную область определения функции:
\ Гп~л------Г 1	у]2х2 -5х-3
а) у = J24-X2 +-.		; б) у = -------;----г.
у/х2 +х-20	х-2 + \2-х\
Найдите множество значений функции:
а) У ° 2х‘ -4x4-7 ' б)У = ^7з! в) » = V20 + 8x-x".
Найдите наибольшее значение функции
у = Зх - V9x2 - 6х + 1 - д/4х2 -12х + 9.
Множество значений функции f — отрезок [-3; 5]. Най-
л.	5 + /(х)
дите все целочисленные значения функции у = -—-.
2 + f (х)
5. Найдите все значения параметра а, при каждом из кото-
рых областью определения функции у = Vx - 3 - -Уах 4-4
будет: а) луч; б) отрезок; в) единственная точка;
г) пустое множество.
Вариант 2
1.	Найдите естественную область определения функции:
а) у = у/х2 - 2х - 7 • 74 - х;
б) у = 7'|х2 -б| -х2 -
1
9-9х4-2х2 ’
2.	Найдите множество значений функции:
а)*' = З^Ьв;
3.	Найдите наименьшее значение функции
У = V9х2 - бХ 4-1 4- 7х2 4- 2х 4-1 - Зх.
4.	Множество значений функции f — отрезок [-3; 5]. Най-
,	9 + /(х)
дите все целочисленные значения функции у = -—.
4 4-/(х)
5.	Найдите все значения параметра а, при каждом из кото-
рых областью определения функции у = *Jx- 2 4- 4ах 4-1
будет: а) луч; б) отрезок; в) единственная точка;
г) пустое множество.
е-4.4.
Кусочное задание функции
х2 + 4
х2 + 3
Вариант 1
1.	Постройте график функции:
а) у = sign (х2 - 6х + 8); б) у =
2.	Найдите область определения функции
{х}~1	1
х3-25х	[х]-2’
3.	Докажите тождество [3 + х] = 3 + [х].
4.	Найдите [а] и {а}, где а = 31,2+ 28 у.
5.	Решите уравнение:
а)	3[х] = 2х;
б)	[х] + [2х] = 3;
в)	[х] - 3{х} = 2.
Вариант 2
1.	Постройте график функции:
а) у = sign (х2 - Зх + 2); б) у =
2.	Найдите область определения функции
У \ х3- 36х	[х] + 3
3.	Докажите тождество [х - 5] = [х] - 5.
2
4.	Найдите [а] и {а}, где а = 17,1 + 13-.
5.	Решите уравнение:
а)	4[х] = Зх;
б)	[х] + [3х] = 4;
в)	[х]-2{х} = 4.
141
Ограниченность функции
Вариант 1
Докажите, что функция у =
2 + 9 является ограниченной.
2.	Является ли функция ограниченной при х е [-10; 10] и
если да, то в каких границах лежат её значения:
а) у = х2 + 9; б) у = х3 + 1.
3.	Докажите, что функция у = при х > 1 не имеет ни
наименьшего, ни наибольшего значения.
4.	Функция f ограничена на R. Будет ли ограниченной
функция: а) 31 f |- 2; б) f2; в)
— L
5.	Приведите пример неограниченных функций f и g, сум-
ма которых ограничена.
6.	Верно ли, что произведение неограниченной функции f
и ограниченной функции g не ограничено?
7.	Используя свойство ограниченности функции, решите
уравнение у]4у2 +8у +8 + yj3y2 + 6у +12 = 4 - 2у - у2.
Вариант 2
1.	Докажите, что функция у = является ограниченной.
X2 +1
2.	Является ли функция ограниченной при х 6 [-5; 5] и ес-
ли да, то в каких границах лежат её значения:
а) г/= х2 - 4; б) г/ = х3-6.
3.	Докажите, что функция у = —Цг при х > -2 не имеет ни
X + Z
наименьшего, ни наибольшего значения.
4.	Функция f ограничена на R. Будет ли ограниченной
функция: а) 2|/| + 1; б) f3; в) —377.
о/ -г1
5.	Приведите пример неограниченной функции f и ограни-
ченной функции g, таких, что Df = Dg и функция f • g
ограничена.
6.	Верно ли, что сумма неограниченной функции f и огра-
ниченной функции g не ограничена?
7.	Используя свойство ограниченности функции, решите
уравнение J2y2 -4у + 3 + ^Ъу2 -Юг/+9 = 2 - у2 + 2у.
42
Монотонность функции
Вариант 1
1.	Функция f убывает на R. Решите неравенство:
а) /(5) > /(х); б) /(Зх - 1) < /(4х + 1).
2.	Нарисуйте график всюду определённой функции, кото-
рая возрастает на промежутках (-оо; -1] и [2; +оо) и
при этом положительна и ограниченна на R.
3.	Используя определения возрастания и убывания функции
на промежутке, докажите, что функция у = х3 - Зх возра-
стает на промежутке [1; +оо).
4.	Исследуйте на монотонность функцию:
а) /(а) = За4 + | а | - 1; б) у(х) =	J-—.
Л- “г" U Л । х ч/
5.	Пусть / — возрастающая и положительная на R функ-
ция. Докажите, что функция /2 возрастает на R.
6.	Верно ли, что если функции у и г возрастают на ка-
ком-то промежутке, то функция у  г монотонна на этом
промежутке?
Вариант 2
1.	Функция / убывает на R. Решите неравенство:
а) /(3) < /(х); б) /(2х - 1) > /(7х - 3).
2.	Нарисуйте график всюду определённой функции, кото-
рая убывает на промежутках (-оо; -1] и [2; +оо) и при
этом отрицательна и ограниченна на R.
3.	Используя определения возрастания и убывания функ-
ции на промежутке, докажите, что функция
у = 12х - х3 убывает на промежутке [2; +оо).
4.	Исследуйте на монотонность функцию:
а) /(а) = -2а6 - | а | + 1; б) у (х) =	1	.
xi -4х + 12
5.	Пусть / — возрастающая и положительная на R функ-
ция. Докажите, что функция -77 возрастает на R.
6.	Верно ли, что если функции у и z возрастают на ка-
ком-то промежутке, то функция - монотонна на этом
2
промежутке?
43
Применение монотонности функции
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
а) х3 = 10 - х; б) Vx + Vx - 3 = 43 - 6х - х2.
2.	Докажите, что если функции f и g возрастают на ка-
ком-то промежутке и неотрицательны на нем, то функ-
ция й(х) = /(х) • g(x) также возрастает на этом проме-
жутке. Используя это, решите уравнение
(х2 + 4х + 9) д/4х + 1 = 9.
3.	Функция f удовлетворяет условию: VXj g R Вх2 g R :
Xj < х2 и /(xt) < /(х2). Следует ли отсюда, что f не убы-
вает на Я?
4*. Пусть функция f определена на отрезке [-1; 1] и убыва-
ет на нем.
а)	Решите уравнение /(Зх + 2) = /(4х2 + х).
б)	Решите неравенство /(Зх + 2) < /(4х2 + х).
5. Является ли функция f возрастающей на R, если при
любом х выполняется неравенство /(х) > f(x - 1)?
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
а) х5 = 34 - х; б) Vx + Vx - 5 = 95 - х - х2.
2.	Докажите, что если функции fug убывают на каком-то
промежутке и неположительны на нем, то функция
Л(х) = /(х) • g(x) возрастает на этом промежутке. Ис-
пользуя это, решите уравнение
(2х-х2)(-1-Vx^3) =16.
3.	Функция f удовлетворяет условию: Vxj g R Зх2 е R :
X; < х2 и f (xj > f(x^. Следует ли отсюда, что f не возра-
стает на Я?
4*. Пусть функция f определена на отрезке [-1; 1] и убыва-
ет на нем.
а)	Решите уравнение /(Зх - 2) = /(4х2 - Зх).
б)	Решите неравенство /(Зх - 2) < /(4х2 - Зх).
5. Является ли функция / убывающей на R, если при лю-
бом х выполняется неравенство /(х + 1) < /(х)?
441
(Ц—4.8.__________________________________________
Чётные и нечётные функции
Вариант 1
1.	Исследуйте функцию на чётность, нечётность:
а)	ГМ =
б)	g(x) = (х + 3)|х - 11 + (х - 3)Iх + 11;
в)	h (х) = Vx2 - Зх + 5;
г)	;(!/)= 71+У+У2 - ^~У-У2 •
2.	Известно, что функция g нечётная и обращается в нуль
при х = -3их = 4. Укажите другие значения аргумента,
при которых g обязательно обращается в нуль, Dg = R.
3.	Пусть f — чётная функция, a g — нечётная и Df = Dg.
Докажите, что 3g2 - f — чётная функция.
4.	Достройте график функции, изображённый на рисунке,
до графика всюду определённой, непрерывной на R:
а) чётной функции; б) нечётной функции.
В ар и ант 2
1.	Исследуйте функцию на чётность, нечётность:
a)
б)	g(x) = (х + 5) |х - 3| + (х - 5) |х + 3|;
в)	h (х) = 7 х2 - 4х + 9;
г)	j(y) = 7 6- 5у + у2 - у/ 6 +5у-у2 .
2.	Известно, что функция g нечётная и обращается в нуль
при х = -7 и х = 10. Укажите другие значения аргумента,
при которых g обязательно обращается в нуль, Dg = R.
3.	Пусть f — чётная функция, a g — нечётная и Df = Dg.
Докажите, что 2g • f3 — нечётная функция.
4.	Достройте график функции, изображённый на рисунке,
до графика всюду определённой, непрерывной на R:
а) чётной функции; б) нечётной функции.
Q-4.9._________________________________________
Чётные и нечётные функции
Вариант 1
1.	Существуют ли всюду определённые функции, являю-
щиеся одновременно:
а)	чётными и возрастающими на R;
б)	нечётными и убывающими на R;
в)	нечётными и положительными на R.
2.	Функция f(x)-2x-x2 определена на [0;+оо). Продол-
жите f на R так, чтобы получить чётную функцию,
и постройте график полученной функции.
3.	Дана функция i/ = a|x + 3|-|2x-6|. Найдите все зна-
чения а, при которых функция является:
а) чётной; б) нечётной.
4.	Существует ли функция f, определённая на [0; +оо) и для
всех х е R удовлетворяющая условию f (х2) - 1 = х5?
5. Может ли уравнение Vx2 +4 = х4 - 4х2 + 2 иметь ровно
8 корней?
461
Вариант 2
1.	Существуют ли всюду определённые функции, являю-
щиеся одновременно:
а)	чётными и убывающими на R;
б)	нечётными и возрастающими на R;
в)	нечётными и отрицательными на R.
2.	Функция f(x)=2x-x2 определена на [0; +оо). Продол-
жите f на R так, чтобы получить нечётную функцию, и
постройте график полученной функции.
3.	Дана функция у = |3х + 15| + а|х-5|. Найдите все зна-
чения а, при которых функция является:
а) чётной; б) нечётной.
4.	Существует ли функция f, определенная на [0; +оо) и для
всех х е R, удовлетворяющая условию f(x4) - 1 = х3?
5.	Может ли уравнение Vx2 +9 = 2х4 - х2 + 3 иметь ровно
8 корней?
0-4.10.______________________________________
Периодические функции
Вариант 1
1.	Достройте, если возможно, данный график до графика
периодической функции, которая была бы:
а) чётной; б) нечётной.
Если это невозможно, то объясните почему (Т — основ-
ной период функции).

2.	Функции f и g определены на Я, их основные периоды
Т. 5
соответственно равны Тх и Т2. Известно, что —.
'2 О
Найдите наименьший положительный период функции
f + g-
3.	Может ли сумма двух всюду определённых непериоди-
ческих функций быть периодической функцией?
4.	Найдите основной период функции или докажите, что
его не существует:
а) /(X) =	б) Их) =
J	X т JL
Вариант 2
1.	Достройте, если возможно, данный график до графика
периодической функции, которая была бы:
а) чётной; б) нечётной.
Если это невозможно, то объясните почему (Т — основ-
ной период функции).
2.	Функции f и g определены на Я, их основные периоды
Т 7
соответственно равны Тх и Т2. Известно, что — = —.
?2	8
Найдите наименьший положительный период функции
f - g-
3.	Может ли сумма двух всюду определённых периодиче-
ской и непериодической функций быть периодической
функцией?
4.	Найдите основной период функции или докажите, что
его не существует:
а) /(х) = {2х};	б)/(х) = |^.
£ X — о
481
Q-4.11.
Периодические функции
Вариант 1
1.	Функция f — периодическая с периодом Т = 4, нечёт-
ная и для х е [0; 2] её значения вычисляются по форму-
ле /(х) = 2х - х2.
а)	Начертите график функции f.
б)	Найдите /(-27), f[^~ |.
в)	Решите уравнение 9/(-x)f(x - 8) = 5f(x + 20).
2.	.Можно ли функцию /(х) = х3 представить в виде суммы
двух функций, одна из которых чётная, а другая перио-
дическая?
3.	Функция f определена на й, и для всех вещественных
х выполняется /(х) Ф 0, и при этом f(x + l) =	Д°'
кажите, что f является периодической функцией.
Вариант 2
1.	Функция f — периодическая с периодом Т = 8, чётная и
для х 6 [-4; 0] её значения вычисляются по формуле
/(х) = х + 2.
а)	Начертите график функции f.
б)	Найдите f(-95), f(105).
в)	Решите уравнение 4f(-x)f(x -I- 16) = 7f(x - 24).
2.	Можно ли функцию /(х) = х4 представить в виде суммы
двух функций, одна из которых нечётная, а другая пе-
риодическая?
3.
Функция f определена на й, и для всех вещественных
х выполняется f(x) 0, и при этом f(x - 1) = - 77—;• До-
кажите, что f является периодической функцией.
49
Композиция функций
Вариант 1
1.	Даны функции f(x) = х2 + 2х - 3 и g(x) = 5х + 1. Найди-
те композицию:
а) <р(х) =/(£(*)); б) ф(х)=/
в) ф(х) = /(g(/(x))).
2.	Даны функции /(«) = —, g(x) = Jx, ф(х) = 1 + х на
D(f) = D(g) = -О(ф) = (0; +оо). Какие из следующих функ-
ций являются возрастающими, а какие — убываю-
щими:
а) 1/ = У(ф(х));	б) г/ = ф(/(х));	в) г/ = £(ф(х));
г) г/ = Ф(£(х));	д) у = /(Ф(£(х)))?
3.	Исследуйте на монотонность и найдите множество зна-
чений функции f(x) = х(х - I)2 (х - 2).
4*. Придумайте функцию, отличную от линейной, которая
при любом х удовлетворяет равенству f (/(/(х))) = /(х).
Вариант 2
1.	Даны функции f(x) = х2 - х + 1 и g(x) = Зх - 2. Найдите
композицию:
а) Ф(х) =/(^(х)); б) ф(х)=/^|^;
в) ф(х) = f(g(f(x))).
2.	Даны функции f(x) = ~, g(x) = x3, ф(х) = Зх-1 на
VX
D(f) = D(g) - 1)(ф) = (0; +оо). Какие из следующих функ-
ций являются возрастающими, а какие — убываю-
щими:
а) У = /(ф(х));	б) у = ф(/(х));	в) у = £(ф(х));
г) у = ф(£(х));	д) у = /(ф(£(х)))?
3.	Исследуйте на монотонность и найдите множество зна-
чений функции f(x) - х(х - 4)(х - 2)2.
4*. Придумайте функцию, отличную от линейной, которая
при любом х удовлетворяет равенству f(/(x)) = -f(x).
50
Q-4..13,--------------------------------
Простейшие функциональные уравнения
Вариант 1
1.	Найдите какую-нибудь функцию f, удовлетворяющую
условию:
a)	Vx ей f(x + 1) = х2 - Зх + 2;
б)	Vx е Я\{0} f(x + ±] = x2 +-Ь
у Л у	X
в)	Vx > О /1 — | = х + 7 1 + х2;
V х у
г*) Vxg[-1; 1] х2 + /2(х) =1.
2.	Найдите функцию f, если D(f) = R\{0; 1} и VxeD(f)
выполняется тождество
(х-1)/чх)+Я|] = А-
Вариант 2
1.	Найдите какую-нибудь функцию f, удовлетворяющую
условию:
a)	Vx ей f (х - 1) = х2 - Зх + 2;
б)	Vx 6 Я\{0} /(х+|) = х2+р--1;
b)Vx>0 f\ — | = х - Vl +х2;
г*) V | х | > 1 x2-/2(x) = l.
2.	Найдите функцию f, если D (f) = jR\{1} и Vx e	2}
выполняется тождество
1
0-4.14,
Обратная функция
Вариант 1
1.	Найдите функцию, обратную данной:
а)	у = V2x - 3, х > 3;
б)	у = х2 - 6х, х 6 [-10; 0].
Постройте графики найденных функций.
2.	Найдите функцию, обратную данной
|4 - х2 при х 6 [-2; 0],
У [-Зх при хе (0; 2].
3.	Докажите, что функция, обратная к обратимой нечёт-
ной функции, также является нечётной.
4*. Существует ли обратимая функция f, удовлетворяющая
условию /(х2) - /2(х) > 4 для всех х g R?
4
Вариант 2
1.	Найдите функцию, обратную данной:
а)	у = -2-Ух - 5, х > 6;
б)	у = х2 + 4х, х G [-2; 2].
Постройте графики найденных функций.
2.	Найдите функцию, обратную данной
|5 + 4х-х2 при х g [-1; 0],
[-2х при х g (0; 2].
3.	Докажите, что функция, обратная к убывающей, также
является убывающей.
4*. Докажите, что функция, удовлетворяющая тождеству
= х для всех х g R, обратима. Обобщите этот
результат.
521
Элементарные преобразования графиков
Вариант 1
1. Построите график функции при помощи элементарных
преобразований:
а) у = ^ТГ ; б) У =
2.
Функция f задана условием: f(x) =
в) У = |х2 -4 |х| + 3|.
х +1, хе [-1; 0],
-|х + 1, хе [0; 2].
Постройте график функции:
а) у = /(-х); б) у = f(2x); в) у = 2/(2х - 2).
3. Определите все значения k, при которых образ графика
у = —, сдвинутого на k единиц вдоль оси ординат, не
х + 2
, 1
пересекается с графиком у = —.
4. При каких а и Ъ имеет решение уравнение
(а - х)2 - b = -у/х - а?
Вариант 2
1. Постройте график функции при помощи элементарных
преобразований:
2.
а) у =
Зх - 4
х - 1
б) у = 71х + 11; в) у = |х2 + 4|х|+ 3|.
Функция f задана условием: /(х) =
-|х-1, хе [-2; 0],
х-1, хе [0; 1].
Постройте график функции:
а) у = -/(х); б) у = /(-2х);
в) у = 2/(2 - 2х).
3. Определите все значения k, при которых образ графика
у = * сдвинутого на k единиц вдоль оси ординат, не
X + 4
1
пересекается с графиком у =----
4. При каких а и b имеет решение уравнение
(а - х)2 + b = —у/х - а ?
|53
О- 4.16.___________________________________
Построение графиков функций
Вариант 1
1.	Пусть f(x) = -Ух + 1 - х.
а)	Найдите множество значений функции f.
б)	Постройте график функции f и найдите с помощью
него число решений уравнения |/(х)| = а в зависимо-
сти от а.
2.	Постройте эскиз графика:
а,’=Ц7^);
Ух + 2 - -Ух"
1
|х2-Зх-2|
°* У |хг-Зх-2|'
Вариант 2
1.	Пусть f(x) = -Ух -1 - х.
а)	Найдите множество значений функции f.
б)	Постройте график функции f и найдите с помощью
него число решений уравнения |/(х)| = а в зависимо-
сти от а.
2.	Постройте эскиз графика:
а> !/ = Ц7Л);
б) у = -Ух - 2 - -Ух + 1;
В) У ~ |х2-4х+3|"
54
Построение графиков функций
Вариант 1
1.	Решите графически неравенство х+ ^/|Зх+ 11 - 1	0.
2.	Может ли изображённый на рисунке график являться
графиком отношения двух многочленов?
3.	Найдите асимптоты, корни, промежутки знакопостоян-
х2 + 12
ства и постройте эскиз графика у = ——=—.
Вариант 2
1. Решите графически неравенство х 1 Зх -11 -1.
2. Может ли изображённый на рисунке график являться
графиком отношения двух многочленов?
3.
Найдите асимптоты, корни, промежутки знакопостоян-
х2 + 5
ства и постройте эскиз графика у = —.———.
Л ( X "г Л)
Q—5.1._________________________________
Определение корня. Свойства корней,
вытекающие из определения
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
а)	Зх7 + 7 = 2;
б)	V2x^l = 3.
2.	Сравните числа:
a)	V20 и л/3+1;
б)	V^3+ Тб и Тб + VQ3-
3.	Решите неравенство:
a)	Тх + 1 < 2;
б)	Т2х^1 < -2.
4.	Постройте график функции у = Тх+2|1-Тх|ипо графику
укажите промежутки монотонности и точки экстремума.
5.	При каком значении а область определения функции
У = V-х2 + 4х + а + Vx - 6 состоит из одной точки?
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
а)	2х5 + 11 = 3;
б)	V4x - 3 = 2.
2.	Сравните числа:
a)	Тб и Тб - 1;
б)	V6?8 + Тб и Т7 + Тб^8.
3.	Решите неравенство:
а)	Т2х-1	1;
б)	ТЗх + 1 > -2.
4.	Постройте график функции у = 3|Тх-1|-Тхипо графику
укажите промежутки монотонности и точки экстремума.
5.	При каком значении а область определения функции
У = Т-х2 + 6х - а + V1 - х состоит из одной точки?
56
е-5.2.
Свойства корней, связанные
с арифметическими действиями
Вариант 1
1. Вычислите V121 • I ^/13 + 4-Уз + ?/ I • Vl - 2-/3.
1	V о 4 )
2. Упростите выражение
Расположите числа £= , З/З-V3,2^625
V8
3.
в порядке возрас-
тания.
4. Вынесите переменные из-под знака корня
5. Решите уравнение:
a) VxTT + V8-"x = 3; б) х 	+ (х + 5)-	= 12.
у х	у х + о
Вариант 2
Вычислите
1+_3_
8 4>/2
2. Упростите выражение
3.	Расположите числа , ’^7 -V7, ^0,5-/20 в порядке воз-
растания.	"*32
4.	Вынесите переменные из-под знака корня
V-Z7m12 +V-Z4m1B.
5.	Решите уравнение:
a)	V4 - х + >/5 + х = 3;
б)	(x-5)-J^+(x + 2). f|H| = 14V2.
у Л — О	у X т Сл
Определение степени
с рациональным показателем
Вариант 1
1. Вычислите 2.25-1’5 -(-0,5)'4 +6250’25 -Г^ -(V9)3’5.
2. При каких значениях а определено выражение:
a) Va; б) % За + 5;	в) (4а-3)5;
4	3
г) (16 —а2)3; д) (27-а3) 4?
3. Представьте выражение
в виде степени
с основанием х.
4. Упростите выражение
/	4-1 f	А
| 2х+у0,5 • х0,5 |	х1,5 - у1’5 х-у
I Зх I х —х0,5 • и0-5	1	1
(	Х2 +у2 J
5. Докажите, что б0’06 + 7°-07 + 8°-08 + 9°’09 > V63.
Вариант 2
1.	Вычислите ^94 - (0,5 • 3V0,5) °’75 j • ^810,125 + |^j j-
2.	При каких значениях а определено выражение:
а) у/a; б) V5a - 2; в) (За-1)3;
6	2
г) (9-а2)3; д) (а3 - 8) 3?
X • л/X3 • ^Vx2
3.	Представьте выражение -------==---- в виде степени
VX7
с основанием х.
4.	Упростите выражение
2 2
х + у	х-у	хз	- уз
2	11	2	2 1.1	2	1	1	‘
ХЗ-хЗ-уЗ+уЗ	X3 + ХЗ • уЗ	+ уЗ	ХЗ	- уЗ
5. Докажите, что	7-°’07	+ в’0’08 + 9-°’09 + IO 0’1	V17.
Степенная функция
gepuftKm 1
1.	Постройте фигуру, ограниченную графиками функций:
у = 2х\ у = (2-x)i -1 и1/Л[(-х)^ .
2
,	.. .	( 3 + 4х V
2.	Дана функция f (х) = I -—— I . Вычислите отношение
/(0,59)
/(-0,59)’
3.	Решите уравнение	*
4.	Решите неравенство:
2	1
а) х* 3 - 5х3 + 4 > 0;
б)
Зх + Пз 1
—---- < X3
1-х )
Вариант 2
1. Постройте фигуру, ограниченную графиками функций:
1	1	/	1V
у = (х + 1)3, у = (7-х)2 +2 и у= (—х — I)2 .
2.
Дана функция /(х)=	- -
\ о + < X
/(-0,28)
/(0,28) ’
Вычислите отношение
3. Решите уравнение
(х2Л + х2)0'2 + (х0-4 * + I)0’2 = V64.
4. Решите неравенство:
А 1	( х +1 7	—
а) 2х3 - Зх6 4-15=0; б) J—	>х7.
\ о X )
59
Показательная функция.
График показательной функции
Вариант 1
1.	Найдите область определения функции
у = у/21-^-^ -1.
2.	Расположите в порядке возрастания числа 2^,
(Л-if, 1, (V2+lf.
3.	Постройте график функции:
a)	z/ = 3x+|x|;
б)	г/ = |2Х - 1| + |2х-8|;
в)	у = 2*.
4.	Найдите множество значений функции, если х е [0; 1]:
а)!/ = 2х2-2- 6)У = [|УХ'1.
Вариант 2
1.	Найдите область определения функции
у =	.
2.	Расположите в порядке возрастания числа 3^,
(3 + 272)^, (3-2V2)’2, 1.
3.	Постройте график функции:
а)	у = 2х-|х';
б)	z/ = |3x- 1| — |3Х — 9|;
в)	у = 21-х.
4.	Найдите множество значений функции, если х е [0; 2]:
a)i/ = 24x-x2;	б)1/ = (|У’2*.
\о /
60
0-5.6.
Свойства показательной функции
Вариант 1
1, Исследуйте на монотонность функцию:
\ х - 2	____ 5 _ 9х
-	-Зх+1; б)у = 28х"2-V5-x; в)у = -—.
Z /	&
2.	Исследуйте функцию на чётность:
a) у = 2х + 2’х; б) у = (3х - З’х)(5х +1 + 51 ~х);
. 1 1
B)y = F^I+2-
3.	Найдите множество значений функции:
/	\2х - х%
а) у = -	; б) у = 2х + 24 5~х + х2 - 4х + 5.
(1V
4.	Даны функции f(x) = 2х, ф(х) = 1 - х, g(x) = - . Ис-
\ О 7
следуйте на монотонность функцию:
а) у = <р(/(х)); б) у = ф(#(х)); в) у = f(g(cp(x))).
5.	При каких значениях параметра а функция f (х) =
= 2х + 2а+ 2О-Х+ 21-х является чётной?
Вариант 2
1.	Исследуйте на монотонность функцию:
а)у = 2х-3+ |	; б)у = Л -V2X-3; в)у = —
\о J	\О 7	О
2.	Исследуйте функцию на чётность:
2* + 1+21 _ *	1
а) и - 2х — 2-х; б) у	; в) у =--------0,5.
з1'х-31 + х 1+ (1,5)х
3.	Найдите множество значений функции:
/	\ х2 - 4 х
а) у= -	; б) у = Зх + 1 + З3-х + х2 - 2х + 2.
4. Даны функции f(x) = 2-х, <р(х) = 1 + х, g(x) = 3х. Иссле-
дуйте на монотонность функцию:
a) у = /(ф(х)); б) у = ф(£(х)); в) у = f(ф(#(х))).
5. При каких значениях параметра а функция f (х) =
= 34а + х+ 2 • 32о-х+ 31-х является чётной?
Простейшие показательные уравнения
и неравенства
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
а)	(л/5 - 2)"+1 = V9 + 4V5;
б)	3 • 2Х + 2Х + 1 = 3Х’1 + 3Х+1;
в)	4х + 2х + 3 • 2х1 = 9;
г)	= л/З;
д)	4*2 = 3-2х2+х + 41 + х.
2.	Решите неравенство:
а) 22х2-5х’1 >0,5-^42Г;
б)	д/Зх -54 - 7 • V3X -58 <162.
3*. При каких значениях параметра а неравенство
9х + (2а + 4)-3х + 8а + 1 > О выполняется при всех воз-
можных значениях х?
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
а)	(71 + V2У = 3-2-72;
б)	3-2х21-21-х = 23-х - 2х2;
в)	22х - 9х -6х + 1-6х + 6 = 0;
г)	З2'-»2 = V10;
д)	32х2 + 1 +81х = 4-Зх2 + 2х.
2.	Решите неравенство:
a)	22x2 + 5x-j <0,5-з/(0,25)2х ;
б)	V346 - х - 7 • л/З42 ’ х > 162.
3*. При каких значениях параметра а неравенство
16х + (2а + 1) • 4х + а2 - 4 < 0 имеет хотя бы одно решение?
0-5.8*._________________________________
Показательные уравнения и неравенства
Вариант 1
1.	Докажите, что уравнение Зу ~ (0,5)у~1 = х задает неко-
торую функцию у - f(x), и найдите /(8,5).
2.	Решите уравнение:
а)	х2 + 4х~' -2х + 2 = 2х;
б)	3-2|х~2| + |х’4|+2х2-6х + 10 =14.
3.	Решите неравенство х • 2х > 8.
Вариант 2
1.
Докажите, что уравнение
iy
3 J
+ 21 * у = х задает некото-
рую функцию у = f(x), и найдите /(7).
2.	Решите уравнение:
а)	х2 + 2х + 4Х +1 = 2Х + 2 - 3;
б)	2-3|х-1|+|х + 21+Зх2 + 2х + 3 = 63.
Уз
3.	Решите неравенство х3 -3х > —.
63
Q—5.9.
Определение логарифма
Вариант 1
1.	Вычислите:
a) log±(225.Vl5); б) 1ог|18.
is	^9'
2.	Постройте график функции:
а) у = 41о82('-п. б) у = logxX + 2х.
3.	Сравните числа:
a) log47 и log, 23; б) log20,8 и log2l;
ч ,	3	3
в) log310 и logg70.
4.	Решите уравнение:
а)	2х2+1 = 7;
б)	Iog0 3(-x2 + 5х + 7) = log08(10x - 7).
5.	Докажите иррациональность числа log54.
Вариант 2
1.	Вычислите:
а) ’<«. W 6>
2
2.	Постройте график функции:
а) у = 91о«з<-1); б) y = logx_j(x- 1)-х.
3.	Сравните числа:
a) log9V15 и log913; б) log±| и log , 1;
13*	12
в) log29 и log470.
4.	Решите уравнение:
а)	9°-5ж2 = 2;
б)	log, (7х2 - 200) = log,(50x).
2	2
5.	Докажите иррациональность числа log78.
Свойства логарифмов, связанные
с арифметическими действиями
Вариант 1
1.	Вычислите:
... ,	7 log, 64-2 log, 2
a) V5(log336 -log34 + 51^8)' ‘ ; б) --г—-------.
X	z	lOg3Z
„ v	V(^-3)2 lg(3-х)2
2.	Упростите выражение ———-----и
3.	Исследуйте функцию на чётность и нечётность:
а)	у = (|x + l|-|x-l|)iog2 I****,;
б)	у = log2 (V16 + х2 - х) - 2.
4.	Решите уравнение:
a)	log2(x + 2) + log2x = log2(6 - х) + 1;
б)	log4(x + 2)2 + log4(10 - х)2 = 4 + log4x2.
Вариант 2
1.	Вычислите:
a)	^(log123 + log124+7^74)21°B5
loge12+21og62
б)	1-------------•
— log627 + 41og62
О
2.
Упростите выражение
7(2-х)2 , lg(4-x)2
2-х	lg(x-4) ’
3.	Исследуйте функцию на чётность и нечётность:
a) y = (|x + l| + |x-l|)logi|^|;
б)	у = log2 (л/64 + х2 - х) - 3.
4.	Решите уравнение:
a)	log3x + log3(4x - 3) = 1 + log3(12 - х);
б)	log4(7 - х)2 + log4(5 + х)2 = 4 + log4(5 - х)2.
65
Q-5.11.________________________________
Формула перехода к другому основанию
1.
Вариант 1
Вычислите:
Iog3 24 _ Iog3216
’ log72 3 log83 ’
6) log63 • log612 + logg 2;
i
I 491oS95 + 2 )4
B) --------
V 51OS3 7 )
Решите уравнение 5log9X =2-х1огз5.
2.
з.
Пусть logB 6 = а. Найдите log, = —==.
Вариант 2
Вычислите:
1°бз 135 log3 5
1.
б)
10gl5 3	1°б405 3
10 • 3Ig5°
50lg3° ’
log3 25 • log564 - 121og420.
2.
в)
Решите уравнение 31ов4Х = 6-xlog23.
3.
л/18
Пусть log46 = а. Найдите log, .
Л V12
0-5.12._____________________________________
Логарифмическая функция
и её монотонность
Вариант 1
1.	Постройте график функции:
а)	у = |1 - log3(x - 2)|;
б)	y = log2^3+^;
в)	у = log2(4x2 - 241 х | + 36).
2.	Найдите функцию, обратную данной:
б)	у = 2|х|-1, х < 0.
3.	Исследуйте на монотонность функцию:
а) у = log2(l - 2х);
б)	у = log 1 (3-х);
в)	у = 2х -logi(x-l).
2
Вариант 2
1.	Постройте график функции:
а)	у = |2 - log2(x - 1)|;
б)	У = log2^3-^j;
f „2	\
в)	у = log2 — -2|х| + 2 .
I Ci	1
2.	Найдите функцию, обратную данной:
а) у = 2х + 1;
б)	у = 5х2*1, х 0.
3.	Исследуйте на монотонность функцию:
a) y = logi(l-x);
б)	у = log3(3x - 2);
в)	У =	-log5(4x-l).
\ Ci J
Свойства логарифмической функции
Вариант 1
1.	Сравните числа:
a)	log23 и 1,5;
б)	log53 и |;
в*) log34 и V2.
2.	Найдите наименьшее значение функции:
а)	у = log2(x2 - 6х + 11);
б)	y = log2(x + ^.
3.	Исследуйте функцию и постройте её график:
а) у = Iog2(x2 - 6х + 8);
б) У = 7 1°ег (1 “	•
4*.Имеет ли график функции у = х + 1g —Х + 2х— центе
х2 + 10х + 24
симметрии?
Вариант 2
1.	Сравните числа:
a)	log47 и 1,5;
б)	log52 и 0,5;
в*) log23 и V7.
2.	Найдите наибольшее значение функции:
а) У = log2(4 - |х - 11);
3.	Исследуйте функцию и постройте её график:
а) у = log2(x2 - 10х + 24);
б) у = 7 log2(l-|x|) .
4~ X
4*. Имеет ли график функции z/ = x+lg—-------- центр
хг+7х + 12
симметрии?
68
Простейшие логарифмические уравнения
и неравенства
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
a)	log^x3 - 101og5^ - 14 = 0;
э
б)	51оКвХ = 2 - ж108’5;
в)	31og2(x + 1) - 4 log3(2x + 1) • log3(x + 1) +
+ log|(2x+1) = 0;
г)	(х2 - 20х + 101) 1g2х - 21gx + 1 = 0.
2.	Решите неравенство:
a)	log2(x - I)4 < 0;
7
б)	log7x — + log7x < 51og93;
в)	+ 4 Ss log7(7s + х).
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
a)	log| х4 -61og2 -^= + 12 = 0;
vx
б)	310в4Х = 6-xlog23;
в)	31og3 (2 - х) - 4 log3(3 - 2х) • log3(2 - х) +
+ log2 (3 - 2х) = 0;
г)	log2 х + 4х - 8 • 2Х +1 - 21og3x + 65 = 0.
2.	Решите неравенство:
a)	log1 (х - З)4 > 0;
2
б)	log2 2х - log2x 51g0,l;
X
в)	(|)*+3 > log8(84 + x).
69
0-5.15.
Логарифмические уравнения
и неравенства
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
V х _ f 6 Y°‘x36.
а)66 111J	;
б) (х 2 - 20х + 101)lg2x- 21gx + 1 = 0.
2.	Решите неравенство:
a)	|log3(x2 - х + 1) + Зх + 71 > |log3(x2 - х + 1)| + |3х + 7|;
б)	(2х - 3)(2 log2x - l)log2 х 0.
3.	Для всех а > 0, а Ф 1 решите неравенство x1+u>gaX > а2х.
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
/9^108^26	4 5
а)	15 J х2 ;
б)	logf х + 4х - 8 • 2X + 1 - 21og3x + 65 = 0.
2.	Решите неравенство:
a)	|log2(x2 + х + 1) - Зх + 17 |log2(x2 + х + 1) +|17-Зх|;
б)	(2 - 5х) (7х2 - 10х + 3) 1g2(х + 1) > 0.
3.	Для всех а > 0, а Ф 1 решите неравенство xlogaX > а.
0-6-1-
Радианное измерение углов
Вариант 1
1.	Найдите радианную меру угла, равного:
а) 60°; б) 72°; в) 75°;
г) 150°; д) 120°.
2.	Найдите градусную меру угла, радианная мера которого
равна:
а) з;	б)	ч 7л в) т5
ч 11л г) -г:	д) Зл.	
3.	Вторая четверть единичной окружности разделена на
две равные части точкой М, а третья — на три равные
части точками К и Р, соответственно против движения
часовой стрелки. Точка А имеет координаты (1; 0),
а В(0; 1). Найдите длину дуги:
а) AM; б) ВК; в) РМ; г) РК.
Вариант 2
1.	Найдите радианную меру угла, равного:
а) 45°; б) 36°; в) 15°;
г) 160°; д) 300°.
2.	Найдите градусную меру угла, радианная мера которого
равна:
\ л	2 тс	ч	5 тс
а) 4’	б)	Т:	В)	Т5
г)	д>	4л-
3.	Первая четверть единичной окружности разделена на
две равные части точкой М, а четвертая — на три рав-
ные части точками К и Р, соответственно против дви-
жения часовой стрелки. Точка С имеет координаты
(-1; 0), а D(0; -1). Найдите длину дуги:
a) DM; б) СК; в) РМ; г) РК.
Изображение вещественных чисел
на единичной окружности
Вариант 1
1.	Отметьте на единичной окружности точку, соответству-
ющую числу:
а)	б) 31л. в) 1>5; г) _7; д) 239я.
2.	Найдите на единичной окружности все точки M(t), со-
ответствующие числам:
a) t = ±J + 2nn, neZ;	б) t = п е Z;
О	о
в) t = (-l)n ^ + пп, neZ; г) t = + ^, п е Z.
о	4	4
3.	Выделите на единичной окружности дугу, точки кото-
рой удовлетворяют неравенству:
5 7С
а)	2пп < t < — + 2пп, neZ;
4
б)	- ^ + 2яп < t < ^ + 2яп, п е Z;
о	4
в)	-~ + nn<t<% + ЯП, п € Z.
о	о
Вариант 2
1.	Отметьте на единичной окружности точку, соответству-
ющую числу:
а)	б)	в) 6; г) -11; д) 566л.
2.	Найдите на единичной окружности все точки M(t), со-
ответствующие числам:
a) г = ±£+2яп, neZ;	6)t = ^,neZ;
в) * = (-1)" % + тт, п eZ;	г) t =	+^, п е Z.
о	4	2
3.	Выделите на единичной окружности дугу, точки кото-
рой удовлетворяют неравенству:
а)	£ + 2яп < t <	+ 2пп, п е Z;
&	о
б)	-	+ 2лп < t <	+ 2пп, п е Z;
4	о
в)	~2г + ЛП<г<^ + ЯП, П € Z.
о	о
72;
6)6.3.______________________________________________
Изображение вещественных чисел
на единичной окружности
Вариант 1
1.	Запишите две серии точек единичной окружности с по-
мощью одной формулы:
а)	+ 2л/г, k е Z, и 2л/г, k е Z;
О
б)	(-1)* £ + л/г, k е Z, и (-1)*+1 £ + л/г, /г е Z;
О	о
в)	- 4 + л/г, k 6 Z, и 4 ± тт + л/г, k е Z.
4	4	6
2.	На числовой прямой и единичной окружности отметьте
все точки М(Z), принадлежащие отрезку [—2; 4] и за-
данные формулой:
a)	t = ±	+ л/г, /г е Z;
О
б)	t = (-1)*+1 £ + /г е Z.
о 4
3.	Сравните по модулю абсциссу и ординату заданной точ-
ки единичной окружности:
а)	Р(1);
б)	Р(-4).
4.	На единичной окружности укажите точки, координаты
которых удовлетворяют данному условию, и составьте
формулу для всех чисел, которым соответствуют эти
точки:
ч V2
а)	х = —;
б)
в)	х = у > 0.
Ct
173
Вариант 2
1.	Запишите две серии точек единичной окружности с по-
мощью одной формулы:
а)	+ nk, k е Z, и 2nk, k е Z;
О
б)	(-1)* ^ + nk, keZ, п (-1)* +1 £ + nk, k g Z;
4	4
в)	-£ + n(2fc + l), keZ, и + keZ.
o	oU э
2.	На числовой прямой и единичной окружности отметьте
все точки M(t), принадлежащие отрезку [—2; 4] и за-
данные формулой:
a)	t = ±+ nk, keZ;
4
б)	t = (-l)*^ + ^, keZ.
3.	Сравните по модулю абсциссу и ординату заданной точ-
ки единичной окружности:
а)	Р(2);
б)	Р(-5).
4.	На единичной окружности укажите точки, координаты
которых удовлетворяют данному условию, и составьте
формулу для всех чисел, которым соответствуют эти
точки:
к	1
а)	х = -;
б)	У = ~^
в)	х = ^~, у<0.
е-6.4.
Синус и косинус числа.
Вычисление значений
Вариант 1
1.
2.
Вычислите значение выражения:
\	•	I	I ।	Л	,	| Л	]	й* \
a)	sin I - — 14- cos —	+	cos I - —	I;	о)
\ 4) о	\ о)
v	11л , . 11л	. 5л
в)	cos —— + sin —.--sin —.
о	4	о
т,	Vcosa
Имеет ли смысл выражение ,
V-2 sin a
V 4
11л
л л л
cos — • cos — • cos —;
о 4	2
Q тт
, если < а < 2л?
С1
л
3. Определите знак выражения:
а) sin2 -cosl; б) sin—+ cos —; в) sin-—cos — ,
bo	о	о
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а) у = 3 - 5sint; б) у = .	;
2I sin t1 + о
в) у = 2cos2t - 3cost + 1.
Вариант 2
Вычислите значение выражения:
\	I ТС I , • Л . • I Л
а) cos	I - — + sin — 4- sin I - — I;	о)
V 4 J	о у о J
л	л
sm — • sin — • sin л;
16	4
v . 13л	. 21л , 7л
в) sin—---sin—— +cos —.
о	4	о
2.	Имеет ли смысл выражение ^s^na .) если < a < л ?
7-4cosa	&
3.	Определите знак выражения:
х . , о	. 8л , л ч . 7л 5л
а) sin 1-cos2;	б) sin—+ cos—;	в) sm——cos—.
7 b	bo
4.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
7
а) у = 4 - 6cost; б) у = .	.	;
О I COS Г | + о
в) у = 3 sin21 - 2 sin t.
0-65.
Синус и косинус числа. Простейшие
уравнения и неравенства
Вариант 1
1.	Решите неравенство:
a)	(cos t - 5) (Зх - 1)^0;
б)	cos 3 • cos 5 • (Зх2 - 4) 0.
2.	Решите уравнение:
а)	10 sin t = V75;
sin х -1
б)		= 0;
COS X
в)	sin/ • cos 2/ = -1;
г)	Vx + Vl - х = cos Vx -1.
л/з
3.	Решите неравенство cosx <——. Ответ изобразите на
единичной окружности и запишите в виде числовых
промежутков.
Вариант 2
1.	Решите неравенство:
a)	(sin / - 2) (9 - 7х) С 0;
б)	sin 7 • sin 4 • (х2 - 9) 0.
2.	Решите уравнение:
а)	V8 sin t + 2 = 0;
в)	| sin / • cos 2/1 = 2;
г)	Vx + Vl - x = cos Vl - x.
3.	Решите неравенство sinx > i. Ответ изобразите на еди-
ничной окружности и запишите в виде числовых про-
межутков.
761
0=6^_________________________________
Основное тригонометрическое тождество
Вариант 1
1. Могут ли синус и косинус некоторого угла равняться со-
си	J1 + 2а	1	119
ответственно ---и —------, где а > — — и а г- -1 г
1 + а	1 + а	2
(sin t + cos t)2
Упростите выражение 2 sin t cos i'
Постройте график функции
.	,	1 t 2	1
у = sin2 —z—- + cos2 ——- .
x-4	x^-4
2.
3.
4.	Вычислите:
a)	cos а, если sina = -0,6 и - <a <0;
6)	sin a, если cos a = J sin2 x +	| для некоторого x.
5.	Вычислите
sin615° + 3 sin215° • cos215° +cos615°.
Вариант 2
1.	Могут ли синус и косинус некоторого угла равняться
a	2	9
соответственно , и ,	— (
Va2 + 4	+4
_	1-2sint • cost
2.	Упростите выражение —-------_—-z-.
(cost-sint)'1
3.	Постройте график функции
у = sin2 у/х + cos2 4х.
4.	Вычислите:
„	.	5 л
а)	sin а, если cos a = -—и — <а<л;
1 о Z
/	Г 2
б)	cos а, если sin а = , cos2 х + — +- для некоторого х.
N	У о
5.	Вычислите
sin6A + 3sin2A.cos2 2L+cos6^.
1ZZ.
Простейшие свойства синуса и косинуса
Вариант 1
1.	Сравните числа:
a) sinl и i; б) sin2+cos2 и 1; в) sin79° и cos 11°.
2.	Вычислите:
к . 11л с, ( 41л
a) sin-—-; б) cos --х- .
О	\ О J
3.	Замените тригонометрической функцией угла а:
a) cos(a-2n); б) sin a - £ .
4.	Известно, что a, Р и у — углы треугольника. Верно ли,
а+ ₽	у „
что sin —-— = cos ?
d	di
5.	При каких натуральных значениях п значение выраже-
ния cosl° • cos2° • cos3° •	• cosn°:
а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю?
Вариант 2
1.	Сравните числа:
а) соз2и-^; б) sinl+coslnl; в) cos85° и sin5°.
d
2.	Вычислите:
ч 14л	|	25л
а) cos-——; б) sm	.
о	\ Q J
3.	Замените тригонометрической функцией угла а:
а) sin (а - 2л); б) cos а -	.
4.	Известно, что а, р и у — углы треугольника. Верно ли,
а	-Гр у К
что sin — = sin X + X ?
di	\d d J
5.	При каких натуральных значениях п значение выраже-
ния sinl° • sin2° • sin3° •	• sinn0:
а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю?
0=6,8.___________________________________
Простейшие тригонометрические уравнения.
Арксинус и арккосинус
1.
Вариант 1
Выясните, имеет ли смысл выражение:
a) arcsin(3 - V20);
Ч -fl
в) arcsin —- + х -
( х-1
6) arccos (sin (5х - 1));
2.
„	Ч ’	1
Вычислите: a) sin arccos - —
3.
б) cos arcsin 1 + arcsin
\ "
—
2 JJ5
_	4	1
Решите уравнение: a) cosx = --;
в) arcsin(sin5).
6) sin 2x -
О
4*. Сравните: a) sin arcsin sin
\ \ & )
arcsin(|3 - x| + |x - 2|)
cos
arccos
cos 3
6) arccos
и 0,9.
и
2
Вариант 2
1.
Выясните, имеет ли смысл выражение:
a)	arccos (4 - V24); б) arcsin (cos (Зх + 2));
в) arcsin
—i-^+X + 3 I.
x + 3 J
2.
ч •	V3
Вычислите: a) sin arccos ——
\ \
1 i ,
2 J J”
ч •	3
Решите уравнение: a) sinx = -y;
4*. Сравните: a) sin arcsin sin 4	1
\	\ J /
6) sin 2 arcsin - 3 arccos
\
в) arcsin (cos 4).
3.
cos
б) cos Зх = i.
О
1
cos 2
arccos
и
6)	arcsin (arccos (| x - 41 + | 3 - x|)) и 0,01.
Q—6.9.
Определение тангенса и котангенса.
Геометрическое изображение
тангенса и котангенса
Вариант 1
1. Вычислите:
2.
3.
1 - ctg210
ctg 10°
«ч ^„28jc.	tglO°
б) ctg в) -------------
3	tg210°-l
Отметьте на линиях тангенсов и котангенсов точки, со-
ответствующие углам: а)	б)	в)
4	6	3
a) tg
Решите уравнение: a) tgx = —i
б) ctg3x = 1.
4.	Решите неравенство ctgx>-l.
5.	Могут ли тангенс и котангенс некоторого угла равняться
2Ь	8
соответственно ~^=  и —== , где Ь Ф О?
Л7-1 bJ17+b
6.	Вычислите tg4a + ctg4a, если tga-ctga = a.
Вариант 2
1.	Вычислите:
в)1вЦ»; в) ctg20°
V d >	b	1-ctg220°	tg20°
2.	Отметьте на линиях тангенсов и котангенсов точки,
соответствующие углам: а) б)	в)
6	3	4
3.	Решите уравнение: a) ctgx =-V3; б) tg2x=l.
4.	Решите неравенство tgx<-l.
5.	Могут ли тангенс и котангенс некоторого угла равняться
соответственно -=^-= и ———=, где b Ф 0?
V5-V3 bV5+hV3
6.	Вычислите 7tg3a + 7ctg3a, если tg a + ctg a = a2 - 2, где
a > 2.
801
(9-6. ю.________________________________
Простейшие свойства тангенса и котангенса
Вариант 1
1.	Определите знак выражения
. 5л 5л . | 7л | , 9л
slnTcosT’tgrTj'ctgT-
2.	Вычислите значение выражения
, ( л л')	| Зл , л ।
Л . ( Л I
sin— • ctg Л - -
1о \ о)
3.	Расположите в порядке возрастания числа: 1, si.nl,
cosl, tgl.
4.	Докажите неравенство
О < tg -у + cos-2 у- < 1.
Вариант 2
1.	Определите знак выражения
. ( 6л 'l 5л . 9л . „ ( 11л |
sin[" Т) cos V tg П ctg г Т) •
2.	Вычислите значение выражения
cos 2 • tg^ + 2)
. (Зл	 (П о!
ctgl —-2 I • sinl- -2 I
3.	Расположите в порядке возрастания числа: 2, sin2,
cos2, tg2.
4.	Докажите неравенство
-1 < sin-2 4 + ctg4 < 1.
181
0-6.11.
Следствия из основного
тригонометрического тождества
Вариант 1
1. Зная, что sin а = 1 - t2 и 90° < а < 180°, найдите cos а,
tga, ctga. Укажите область допустимых значений t.
2. Известно, что ctga = &и^<а<тг. Выразите остальные
тригонометрические функции угла а через Ь.
3.
Вычислите sin t + cos t, если tgi---— = -J-nO<t<-.
tgi 12	2
4. Вычислите
sin2l° + sin2 2° + sin23° + ... + sin290°.
5. При каких натуральных значениях п положительно вы-
ражение
tgl° + tg2° + tg3° + ... + tgn°?
Вариант 2
1.	Зная, что cosa = l-t2 и 0° < a < 90°, найдите sin a,
cos a, ctga. Укажите область допустимых значений t.
2.	Известно, что tga = fen^<a<n. Выразите остальные
тригонометрические функции угла а через Ъ.
3.	Вычислите 2sint + cost, если 4ctgi + 6tgi + 11 = 0 и
^<t <И5
2	4
4.	Вычислите
cos2l° + cos2 2° + cos23° + ... + cos2180°.
5.	При каких натуральных значениях п положительно вы-
ражение
ctgl° + ctg2° + ctg3° + ... + ctgn°?
82
0-6,12.
Арктангенс и арккотангенс
Вариант 1
1.	Вычислите:
a) tg (arctg 1); б) sin (arctg (--/з));
. , (, (
в) arctg tg	.
\	\	& у /
2.	Сравните ctgl и arcctgl.
3.	Решите неравенство
arctg(-3,l) • arccos(2x + 1) • arcctg(-2) < 0.
4.	Решите систему уравнений, исходя из геометрического
смысла:
2
sinx = — ,
о
[ctgx=- —.
5*. Решите уравнение sin ( у arccos х I = 1.
Вариант 2
1. Вычислите:
a) ctg(arctg(-1)); б) sin(arcctg(7з));
в) arcctg(ctg(--£^.
2. Сравните tgl и arctg 1.
3. Решите неравенство
arctg у j • arccos (2х - 1) • arcctg (-13) < 0.
4. Решите систему уравнений, исходя из геометрического
смысла:	V15 COS X = —— , 4 1 x	1 tg X =	7= . -/15
5*. Решите уравнение cos — arcsinx = -1.
\ о	J
183
(Э-6.13.___________________________________
Синус и косинус суммы и разности
Вариант 1
1.	Вычислите:
a)	sin а +	, если sinа = -^-и^<а<л;
у О)	41 Z
б)	sin а, если cos | а + £ = - ^ и £ < а + £ < я.
\ о ) э Z	о
2.	Докажите неравенство sin (а + Р) < sin а + sin р, если
7Г л о 7Г
О <а < - и О <Р <-.
3.	Докажите равенство:
. sin (а + В) - 2 sin а • cos В ,
й) 2cosa-cosP-cos(a + P) “ g^"a^;
б)	cos 10° • cos 20° + cos 70° • cos 80° = cos 10°.
4.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выраже-
ния sin a - -Уз cos a.
1 — t2	2t	1 — p2
5*. Пусть p =--q =-------т» Может ли выражение----r
1 +12	1 +12	1-9
быть больше 3?
Вариант 2
8	Зл
, если cos а = - — и л < а < —;
1 (	£
1. Вычислите:
а) cos - a
\
• ( я	] 2У2	л	л
б) cos а, если sin — - a = —г— и — < — - a < л.
О	J О	£	О
2. Докажите неравенство cos (a - Р) < cos а + sinp,
л	7С л п
0 < а < — и О < р <-.
если
3.
Докажите равенство:
2 cos a • cos р - cos (а - р)
’ 2 cos а • sinp + sin (а - р)
= ctg (а +Р);
б) sin 46° • sin 72° + sin 18° • sin 44° = sin 64°.
4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выраже-
ния -УЗ cos р - sin р.
„	-1 + t2 -2t	1-р2
5*. Пусть р =--z—, q =---z-. Может ли выражение---г
l + tz l + tz	1-9
быть больше 5?
84
Q—6.14.________________________________
Формулы приведения
Вариант 1
1. Вычислите:
a) sin 420°;
. Г 7л
в) cos - —
к ь
б) ctg405°;
г) ctgl° • ctg3° • ctg5° •
ctg89°.
2.	Замените выражения тригонометрической функцией
угла а:
\	я
a)	cos а - —
к "
б)	ctg(2a-^
\ • ( 7л ,	|
в)	sin — + а .
к	J
(л , Зл 'l , (Зл	.7л
sin — + — • tg —- + л • sin —-
or)	\ 2	7 у \ 7	)	3
3.	Вычислите --------------------------------
| Зл	Зл| .|7л	_ )
cos —----— • sin —- + 5л
к 7	2 )	3	)
4.	Сравните sin(cosl) и cos(sinl).
Вариант 2
1. Вычислите:
a) cos 570°;
, • ( 7 л
в) sin ;
\ V J
б) tg315°;
г) tg88° • tg86° • tg84° • ... • tg2°.
2. Замените выражения тригонометрической функцией
угла а:
a) sin|a--^|; б) tg | За +	|; в) cosfi^--a|.
у Z у	у "/.	к4^	7
, f л л(Зл ,
tgV2 + 8 J’C°St~2~
л
Sln 16
Сравните sin (sin 1) и cos (cos 1).
85
ф-6.15.__________
Формулы двойного и половинного углов
Вариант 1
1.	Вычислите:
a)	sin2а, если tga = 3;
tg7° • sin 14° - 1
б)		;
cos 14°
в)	cos615° + sin615°;
ч	sin 39°
Г) /----------
Vl-Sin 12°
2.	Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения
(sin a - cos a)2
1 + sin a • cos a ’
3.	Докажите, что число a иррациональное, если a = tg5°.
Вариант 2
1.	Вычислите:
а)	cos2a, если ctga = 0,5;
ctg5°- sin 10° - 1
б)		;
cos 10°
в)	cos6 £ + sin6 £;
О	о
ч .	*41°
г)	Sin ——----
Vl-sin8°
2.	Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения
1 - 6 sin2 j
\ с» J
3 + cos a
3. Докажите, что число а иррациональное, если a = cos 5°.
86
Формулы двойного и половинного углов
Вариант 1
1.	Существует ли угол а, такой, что выполняется равенство
sin а • cos а = sin40°?
2.	Докажите, что для всех допустимых значений а
sin 16а , с
sin а
3.	Пусть 2 cos 2а + 7sina = 0. Найдите sin а и cos 2а.
4.	Упростите выражение
72 +/2+ 2 cos4а , если 0 < а 4-
4
5*. Изобразите множество точек, заданных неравенством
cos (х + у) > cos (х - у).
Вариант 2
1.	Существует ли угол а, такой, что выполняется равенство
cos 2a + sin2 a - - = cos40°?
dl
2.	Докажите, что для всех допустимых значений a
=^+16>0.
cos a
3.	Пусть 13 cos a - 2 cos 2a = 5. Найдите cos a и cos 2a.
4.	Упростите выражение
~ J+ ? cos P ’ если л C [3 2л.
d V d d
5*. Изобразите множество точек, заданных неравенством
sin (х + г/) > sin (х - у).
87
Q—6.17._______________________________________
Выражение тригонометрических функций
через тангенс половинного аргумента.
Метод вспомогательного аргумента
Вариант 1
1.	Вычислите tg2a + 3tg^, если tga = и л < a <
Z	о	£
2.	Какие целые значения может принимать выражение
7 cos a - 3 sin a?
3.	Найдите наибольшее значение функции
,, ч 6х 2-4х2+2х4
/(х) = ;--------------+—--------у- •
1+х	(1+х2)2
4.	Решите уравнение
з
sin Зх + sin 10х • cos Зх = —.
2
Вариант 2
Вычислите tg 2a - 5tg если tga = -^n^<a<n.
2	4	2
Какие целые значения может принимать выражение
5 cos a + 4 sin a?
Найдите наибольшее значение функции
8х2 З-Зх2
1.
2.
3.
/(х) =
1 + х2
4.
Решите уравнение
з
cos 5х + sin Их • sin 5х = —.
88
Q—6.18._________________________________
Преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение и обратно
Вариант 1
1.	Упростите выражение
cos Зх + cos 5х + cos 7 х
sin Зх + sin 5х + sin 7 х"
2.	Вычислите
73 (ctg 70° + 4 cos 70°).
3.	Найдите
sin 2а • cos 5а - sin а • cos 6а, если sin а = а.
4.	Вычислите
sin50°(l - 2 cos80°).
5.	Пусть а, р и у — величины углов некоторого остро-
угольного треугольника. Докажите, что если
sin (а - Р) + sin(p - у) + sin (у - а) - 0, то этот треуголь-
ник равнобедренный.
Вариант 2
1.	Упростите выражение
4sin2y • sin3y
sin 2у + sin 4у - sin бу'
2.	Вычислите
V3(tg70° - 4 sin 70°).
3.	Найдите
cos 7а • cos 4а - sin 8а • cos За, если cos а = а.
4.	Вычислите
sin 10° || + sin 70° |.
V Zu	J
5.	Пусть а, P и у — величины углов некоторого остро-
угольного треугольника. Докажите, что если
tg(a - Р) + tg(P - у) + tg(y-a) = O, то этот треугольник
равнобедренный.
0-6.19._________________________________
Тригонометрические преобразования
Вариант 1
1.	Вычислите sin200 --УЗcos20°	.	г- 	+ 4cos 20 + уЗ cos 510 . sin 20°
2.	Сравните числа: a) sin4 и cos 2; б) cos 5 и ctgl.
3.	Какое из чисел ближе к единице: 2 sin 29° или 2 sin31°?
4.	Существуют ли числа а и Ь, такие, что a cos х - Ъ cos 2х > 1?
5. Вычислите
2л ,	4л , 6л
cos — + cos — + cos —
7	7	7
Вариант 2
1.	Вычислите
8(sin4 2° + cos42°)
l + cos24°
2.	Сравните числа:
a)	sin 5 и cos 2;
б)	ctg6 и sin4.
3.	Какое из чисел ближе к единице: tg44° или tg46°?
4.	Существуют ли числа а и Ь, такие, что
a cos 2х - b cos х > 1?
5.	Вычислите
2л ,	4л , 8л
cos — + cos — + cos —.
У	У	У
90
Q-6.20._________________________________
Тригонометрические преобразования
з.
Вариант 1
. тт „	3 - 4cos2a + cos 4a	.	1
1. Найдите -— --=------—, если ctga = -.
3 + 4cos2a + cos 4a	&	2
2. Докажите, что на отрезке [0; тс] существует бесконечно
много значений х, для которых
cosx + cos2x + ... + cos 1997х > 998.
Найдите множество значений функции
f (х) = —---tg2x.
COS4X
Найдите все а, при которых
cos а = (Vl + sin 2а + Vl - sin 2а).
Докажите, что для х е 0; справедливо равенство
к о /
4.
5.
1 - tg х + tg2 X - tg3 X +
о •	Л
2 sin x + —
\	4
Вариант 2
3tg2|+ 10tg| + 3	T
Найдите ---------------, если sin a = —.
, , , о a	5
i + ‘e2 a
Докажите, что на отрезке [0; тс] существует бесконечно
много значений х, для которых
sin х + sin 2х + ... + sin 1997х 999.
Найдите множество значений функции
f(x) = —i---ctg2x.
sin’x
Найдите все а, при которых
sin a = (Vl - sin 2a + Vl + sin 2a).
Докажите, что для хе О; | справедливо равенство
\ b )
1.
2.
3.
4.
5.
1 - ctgx + ctg2x - ctg3x +
о •	, TC
2 sin x + —
\	4
|91
0-6.21.
Наибольшее и наименьшее значения
тригонометрических функций
Вариант 1
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
a) (sina - V3cosa)2;
б)	cosx-cos2x;
в)	sin4 a + cos4 a;
г)	sin2 [J + 3 sin 20 + 5cos20.
2.
Найдите наибольшее значение функции:
а)	у = 2 sin х - cos 2х при х е
Зл
4
л
4
б)	у = V4cos2x - cosx .
3. Найдите наименьшее значение функции
0 7^2
f(x) = 4х +	+ sinx при х > 0.
Вариант 2
1.	Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:
а) |sina - cosa|;
б)	4cosx + cos3x;
в)	sin3 a + cos3 a;
г)	3 cos2 0 + 2,5 sin 20 - 9 sin2 0.
2.	Найдите наименьшее значение функции:
а)	у = sinx + cos2x при х е [0; тс];
б)	у = 1 - 73sin2x + sinx.
3.	Найдите наибольшее значение функции
f (*) = —9 + 3 sinх при х > 0.
4xz + л*2
92
0-6.22._________________________________
Свойства и графики тригонометрических
функций
Вариант 1
Верно ли, что функция у = cos6x - sin6x является убы-
вающей на отрезке 0;	?
Ct
Чему равны наибольшие и
наименьшие значения этой функции на:
а) этом отрезке; б) на 7??
2.	Исследуйте на чётность функцию
у = sin (х3 + х) + sin (х + | х |) + sin (х - | х |).
3.	Постройте график функции:
а)	у = (| sin х | - | cos х |)1 2;
(1 - tgx)tg^ + х^
б)	у = Vl - sin2x --------------—.
1 - tg | ~ + х I *
V Ci J
4.	Выясните, для каких peR функция y=pcosx +
+ (1 - р) sinx при х g R будет: а) чётной; б) нечётной.
Вариант 2
1.
Верно ли, что функция у - sin8x - cos8x является возра-
п
2
стающей на отрезке 0;
2 Чему равны наибольшие и
наименьшие значения этой функции на:
а) этом отрезке; б) на R?
2.	Исследуйте на чётность функцию
у = V2x2 - х4 - 1 + sin3 лх + sin лх -1.
3.	Постройте график функции:
а)	у = (sin | х | - cos | х |)2;
Л • 2 ctg2x(l + tg2x)
б)	у = VI - snrx ------------г-.
1 + tg(^-2x |
у Ci	J
4. Выясните, для каких p&R функция y=psinx +
+ (1 - р) cosx при х 6 R будет: а) чётной; б) нечётной.
93
Э-6.23.__________________________________
Свойства и графики тригонометрических
функций
Вариант 1
1.
2.
3.
4.
Исследуйте на монотонность функцию у = sin2 х - sin х
на отрезке

Докажите, что функция у = sin4 х + cos4 х не является
возрастающей.
Известно, что /(Зх - 1) = 6х + 4 и f(2g(x) + 1) = 4 sinx - 1.
Найдите g.
6
Дана функция f (х) = tg х - £ + tg х + £ . Найдите
\ bJ \ О 7
наибольшее значение функции f на отрезке 0;	.
6 _
5. Дана функция /"(х) = (а2 + 2) cos 4х - 4а (cos4x + sin4x) + 1.
Найдите все а, при которых функция f положительна на
всей числовой оси.
Вариант 2
Исследуйте на монотонность функцию у = cos2 х - 4 cos х
на отрезке
Л
4
л
4
2. Докажите, что функция у = sin3x + cos3x не является
убывающей.
3. Известно, что /(2х - 3) = 6х + 1 и f(2g(x) - 1) = 2 cosx + 3.
Найдите g.
4.
Дана функция /(х) =
tgfx-jl + tg[x +
Найдите
наибольшее значение функции / на отрезке
л
3
л
2
5. Дана функция /(х) = 2(а2- l)cos4x + (15а - 36) х
х (cos4x + sin4x). Найдите все а, при которых функция /
положительна на всей числовой оси.
941
Qz:6.24.__________________________________
Периодичность тригонометрических функций
pap иант 1
1.	Докажите, что число является, а число 2 не является
£
4х
периодом функции f(x) - 2sin—.
О
2.	Найдите основной период функции
f (х) = cos 5х + cos2	.
О
3.	Докажите, что функция у = cosx + cos (J5x) непериоди-
ческая.
4.	Для каких значений a, b е R функция у = sin ах + b cos х
будет чётной периодической?
Вариант 2
5я
1.	Докажите, что число — является, а число 3 не является
4х
периодом функции /(x) = 3cos—.
э
2.	Найдите основной период функции
6 X
f (х) = cos Зх + cos — .
э
3.	Докажите, что функция у - sinx2 непериодическая.
4.	Для каких значений a, b е R функция у = sin ах + bcosx
будет нечётной периодической?
95
ф-6.25._________________________________
Обратные тригонометрические функции
Вариант 1
1.	Найдите D(f), если
/(х) = arcsin (4х2 + 2х - 1) +
2.	Вычислите:
(	2
a) sin 2 arcsin - ; б) arcsin (sin 8).
\	о J
1	7
3.	Верно ли равенство 2 arcsin-'= arccos—?
о	9
4.	Найдите наибольшее значение функции
f(x) = 2 arcsin х + arctgх - п.
5*. Найдите множество значений функции
if. . х + ^/1 - х2
у = — arcsin х + arcsin----------==-- .
4	я )
Вариант 2
1.	Найдите D(t), если
/(х) = arccos (бх2 + 4х - 1) + б/	Зх + 2
v	’ у (2-х)(4х-1)2
2.	Вычислите:
Г з 'I
a) sin I 2 arccos - I; б) arcsin (sin 11).
3	1
3.	Верно ли равенство 2arccos — = arccos—?
4	8
4.	Найдите наименьшее значение функции
/(х) = 3 arcsin х + 2 arctg х +
£
5*. Найдите множество значений функции
if .	. х - J1 - х2
у = — arcsin х - arcsin--==--- .
п	V2 J
961
ф-6.26._________________________________________
Обратные тригонометрические функции
Вариант 1
1.	Вычислите
cos (2 arctg 7) - sin (4 arctg 3).
2.	Для функции у = arcsin Vl - х2 при х е [-1; 0] найдите
обратную.
3.	Исследуйте на монотонность функцию
у = arcsin (х2 - 6х + 9).
4.	Постройте график функции:
а) у = |-2 - arcsin(2 - |х|)|; б) у = arcctg Vx.
5*. Упростите выражение
arctg 1 + arctg ^ +... + arctg —=—--.
3	nS + п + 1
Вариант 2
1.
Вычислите
г— [ i	3
5cos —arccos - - 2arctg(-2) .
\ &	D	1
2.
Для функции у = arcsin (sin х) при х 6
обратную.
7 л 9л
.2’2
найдите
3. Исследуйте на монотонность функцию
у = 2 arcsin2 х - arcsin х.
4. Постройте график функции:
а) у = |2 - arcsin(-2 + |х|)|; б) у = arctg—.
5*. Упростите выражение
arcctg 3 + arcctg 7 + ... + arcctg (n2 + n + 1).
97
Уравнения и неравенства, содержащие
обратные тригонометрические функции
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
a)	arcsin (х2 - Зх +1) =
6
б)	arccos (2х3 + Зх2 + 0,1) = arccos (х + 2х2 + 0,1);
в)	arctg 6х - arctgх =
4
г)	arctg х + arctg 2х + arctg Зх = it;
д)	arcsin (х2 - 2х + 2) =
Ct
2.	Решите неравенство:
\	• it
a)	arcsin х > —;
О
4	4	1
б)	arcsin — + arccos — >
х*	х*	2
в)	3 arctg2x - 2я arctg х it2;
г) arcctg z > arctg г2.
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
a)	arccos (х2 + 4х - 1) =
О
б)	arcsin (Зх3 - х2 + 1) = arcsin (2х + 1);
в)	arctg Зх + arctg 2х = 4;
4
г)	arcctg х + arcctg 2х + arcctg Зх = ^;
д)	arcsin (х2 - 6х +10) =
2.	Решите неравенство:
\	it
a)	arccos х < —;
О
б)	arcsin — + arccos — < 2;
X	X
в)	4 arctg2 х + 5it arctg x >-it2;
r) arctg z < arcctg z2.
98
ф-6.28._________________________________
Тригонометрические уравнения,
сводящиеся к простейшим
V
sin^ + 2cos-^
Ci	Ci J
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
2
I = 9 + cos2x;
б)	2 cos х + ctg х - 2>/3 sin х - V3 = 0, если х 6
. sin2x - 5 sin х • cos х + 2	. .
в)		------------------= 4 sin х + 2 cos x;
sin x - cos x
r)	3 sin (2 - x) - V7 cos(x - 2) = V8.
л , 3л
2’ ~2
2.	Найдите все решения уравнения cos 2х = 5 cos х + 2,
принадлежащие отрезку [-л; 0].
3.
Найдите все значения параметра а, при которых урав-
нение cos2x + (а - 1) cosx + а - 1 = 0 имеет ровно три
корня на отрезке
Зл
2
. Найдите эти корни.
л .
2 ’
Вариант 2
1. Решите уравнение:
/	\2	/	\2
ч • х , о х	х , о . X	.о о
a)	sin- + 2cos— - cos — + 2sin=snrx-3;
\	Ci	Ci J	\	Ci	Ci )
6)	2 sin x + tg x - 2V3 cos x = V3, если x e [л; 2л];
в)
5cos2 x - 3sin x • cos x - 4
--------;------------------ = 2 COS X - Sin X
sm x + cos x
r) Vll sin(x - 3) + 5cos(3 - x) = -V27.
2.
Найдите все решения уравнения 3 sinx - 1 = cos2х,
принадлежащие отрезку
Зл . _ я
2 ’	2_|’
3.	Найдите все значения параметра а, при которых урав-
нение 3 sin2 х - (а - 2) sin х + а - 2 - 0 имеет ровно три
корня на отрезке [л; Зл]. Найдите эти корни.
99
0—6.29.
Тригонометрические уравнения
Вариант 1
1.	Решите уравнение:
a)	2cos2x = 1 + 4sin4x;
б)	sin 8х - sin 2х = (cos 10х - 1) sin Зх;
в)	cos х - 2 sin 2x • sin x - 4 cos 2x = 4 sin2x;
r)	|sinx + cosx| = 1 + 2sin2x.
2.	Найдите для любого a e R все решения уравнения
tgx-a _
2 sin x - 1
3.	При каких значениях а уравнение 2(Ь +l)sinx -cosx +
+ (а - l)cos2x = 2 имеет решение при любом Ь?
Вариант 2
1.	Решите уравнение:
a)	2sin2x = 1 - 3sin4x;
б)	sin 2х - sin 4х = (1 + cos 2х) cos Зх;
в)	6 sin х + 6 cos 2х = sin 2х • cos х + 6 cos2x;
г)	| cos х - sin х | = 1 + sin 2x.
2.	Найдите для любого a e R все решения уравнения
sinx—a _ q
2cosx + l
3.
При каких значениях а уравнение (a + Ъ +1) sin 5x -
. 4 5x 4 5x
sin4-—cos4 —
&	Л
-(a-1)
=1 имеет решение при любом 6?

Q-6.30._________________________________
Тригонометрические уравнения
Вари ант 1
Решите уравнение:
а)	Зх2 + sin2x = -Зх2 cos х;
б)	cos (V2x) - 2 sin2 х = 1;
в)	2cos2x - (3 + 2x2)cosx + 1 + х2 = 0;
г)	(3cosx + 2)2 +(2tgx--Уб) =0;
д)
2л sin х =
л
Х 2
, л
Х + 2
Вариант 2
Решите уравнение:
а)	х2 + sin2x = -х2 cos х;
ГЗл-1 'l ГЗл + 1	,
б)	cos —-— х • cos —-— х = 1;
k Z /	\ "	/
в) 2 cos2x - (1 + 4х2) cos х-1 - 2х2 = 0;
г) (3cosx+ 1)2 +(2V2ctgx+ 1) =0;
д) 2kcosx = |х| - |х - л|.
Q-6.31._________________________________
Тригонометрические неравенства
Вариант 1
1.	Решите неравенство:
а) 3cos^ - >/3 sin-^ < V3; б) tg [ 2х ->—УЗ;
Z	&	у О у
в) 4 sinx---— >8; г) 5 sin2x + sin22x > 4 cos 2х.
sin х
2.	Найдите для функции
f(x) = V-l - 2cosx + -У 5x - x2 - 4.
3.	Пусть ctgz>l и sinz>a. Следует ли из этого, что
cos г > а?
hoi
Вариант 2
1.	Решите неравенство:
а) V3cos3x+ 3sin3x >—Уб; б)
3
в) 4cosxd----<8; г) 2 cos 2х + sin 2х < ctgx.
cos х
2.	Найдите D(f) для функции
f (х) = V1 - 2 sinx + >/8х - х2 - 12.
3.	Пусть tgz>l и cosz > а. Следует ли из этого, что
sin z > а?
ф-7.1.______________
Способы задания
последовательностей
Вариант 1
1.	Выпишите первые четыре члена последовательности
{а„}, если:
_ (2га)П .	_ v 1
) " (2га+ 1)!!’ б) а"	+ 1)’
в) аг = 1, а2 = 2, ап + 1 = ап + 1 + an_v
2.	По заданным первым членам последовательности запи-
шите одну из формул общего члена:
1	3	5	7	9	.
42' 2’ 242' 4’ 442'
б) 3 _(б? f_9_y _(12)4
44 {1) ' 110J ’ 113) '	’
3.	Для рекуррентно заданной последовательности dx = 2,
dk + 1 = 2 (dk + (2fe +1) 2*), докажите, что её общий член
может быть задан формулой dn = га2 • 2".
4*. Пусть | у | Ф 1 и	у Ф 0, известно также, что
У-1 xi ~ 1 х2 - 1
Х1 = 77ГТ ’ х2 = 7Т7 ’ Х3 = -г—7 > — • ЧемУ равен у, ес-
У ' J-	-vj I х	• J-
ли х2006 = 3?
Вариант 2
1.
Выпишите первые четыре члена последовательности
{&„}, если:
1 • 3 • 5 • ... • (2п - 1)	.. "у1	1	.
а) Ьп 2 • 4 • 6 • ... -2п ’	> п л?2Л2-1’
в) &1 = 2, Ьи+1=|
. • 2п
Ъп + Л
" ьп)
По заданным первым членам последовательности запи-
шите одну
ч 1	4	9
а) ’9’6’
3__________________________
22 • З2 ’ З2 • 42 ’ 42 • 52 ’	52- б2 ’
2.
б)
3.
Для
жет
из формул общего члена:
16 25	36
24’ 120’ 720
5	7
9
1
рекуррентно заданной последовательности аА = —,
О
if	2& +1	«
= — а. ч----, докажите, что ее общий член мо-
з v з* J
л	л,	-	п2
быть задан формулой ап = —.
О
4*. Числовая последовательность состоит только из единиц
и нулей. Если вычеркнуть все члены, стоящие на нечёт-
ных местах, то оставшиеся числа образуют точно такую
же числовую последовательность. Приведите примеры
таких последовательностей.
Q-7.2.________________________________________
Общие свойства последовательностей
Вариант 1
1.	Докажите, что последовательность {сп} монотонно возра-
стающая и ограниченная:
. Зп -1	п
а)с”=ЙГП; б|с"=7^ТГ
2.	Последовательность {ап} задана рекуррентно: ау = а,
an + i = 2an_v При каких значениях а последователь-
ность {ап} является монотонно убывающей?
3.	Найдите наибольший член последовательности {ап}, ес-
103
Вариант 2
1.	Докажите, что последовательность {Ьп} монотонно убы-
вающая и ограниченная:
б) Ъп = 42^3-4^.
О “Г &Г1
2.	Последовательность {ап} задана рекуррентно: ах = а,
ап + 1 = 2ап - 1. При каких значениях а последователь-
ность {ап} является монотонно возрастающей?
3.	Найдите наименьший член последовательности {Ьп}, ес-
0-7.3._____________________________________________
Общие свойства последовательностей
Вариант 1
1.	Последовательность {ап} ограниченная. Выясните, какие
из следующих последовательностей обязательно являют-
ся ограниченными, какие могут быть ограниченными:
а) хп = ^~; б) хп = \ап + 3\;
ип
в) xn = sman; г) хп = —.
2.	Докажите, что возрастающая последовательность, все
члены которой отрицательны, является ограниченной.
3.	Докажите, что последовательность {ап}, начиная с неко-
торого номера, является монотонной, если:
а) ап = logj (Зп2 - 18п + 29); б) ап =	.
2	2"
4.	Последовательность {Ьп} задана условиями Ь1 = 2,
bn+i = ьп- Найдите &124.
5*. Последовательность {хп} задана начальными условиями
х0 = 1, хх = 6 и соотношением
x„ + sinxn, если х„ > х„
J П	П 7	П	Л - 1 ’
n+1 ~ |xn + cosxn, если хп «S хп_1.
Докажите, что при всех натуральных п выполняется
хп < 100.
104|
Вариант 2
1.	Последовательность {ал} неограниченная. Выясните, ка-
кие из следующих последовательностей обязательно яв-
ляются неограниченными, какие могут быть ограничен-
ными:
а) хп
б)	х„ = |а„ + 3|;
в)	x„ = sinan;
г)	х = —
' Хп п '
2.	Известно, что, начиная с некоторого номера п,
хп е [А; В]. Докажите, что последовательность {хл} огра-
ничена.
3.	Докажите, что последовательность {ал}, начиная с неко-
торого номера, является монотонной, если:
а) ап = log5(n2 - 8п + 17); б) ап = Ц-.
п
4.	Последовательность {ап} задана условиями аг = 4,
ап +1 = ап + п. Найдите а76.
5*. Последовательность {ап} задана начальными условиями
х0 = 2, Xj = 6 и соотношением
хл +cosxn, если хл > хл_г,
хл +sinx„, если х„ <x„_v
Докажите, что при всех натуральных п выполняется
хи < 100.
105
0—7.4.
Определение предела
последовательности
Вариант 1
1.	Последовательность {6J задана общим условием
_ Пп - i
" “ Зл + 5 *
а)	Вычислите первые шесть членов последовательности
{&„} и изобразите их точками на координатной
прямой.
б)	Докажите, что, начиная с некоторого номера, все
члены последовательности {Ьп} находятся в отрезке
[3,5; 4].
в)	Какое предположение о пределе последовательности
{&„} можно сделать? Проведите доказательство.
2.	Всегда ли сходится последовательность {хп}, если последо-
вательность {г/п}, заданная формулой уп = arctg (х2п - 1),
сходится?
3.	Известно, что lim ап = 0. Верно ли, что lim а. = О?
Л-* оо 1	1	л-> оо
4.	Докажите, что последовательность {хп} не имеет преде-
ла, если
—, если п = 2k-1,
п
, если п = 2k.
п + 2
Вариант 2
1.	Последовательность {ап} задана общим условием
2 -9п
а)	Вычислите первые шесть членов последовательности
{ап} и изобразите их точками на координатной
прямой.
106
б)	Докажите, что, начиная с некоторого номера, все
члены последовательности {ап} находятся в отрезке
[5; -4,2].
в)	Какое предположение о пределе последовательности
{ап} можно сделать? Проведите доказательство.
2.	Всегда ли сходится последовательность {хп}, если последо-
вательность {уп}, заданная формулой уп = arcctg(x„ + 1),
сходится?
3.	Докажите, что если lim ап = 0, то и lim I ап = 0.
4.	Докажите, что последовательность {хп} предела не име-
ет, если
2П, если п - 2k,
1
—, если п = 2k - 1.
Ln
0-7.5.
Свойства предела
последовательности
Вариант 1
1.	Докажите, что последовательность, заданная формулой
хл = {лп}, не имеет предела ({лп} — дробная часть чис-
ла пп).
2.	Приведите пример немонотонной сходящейся последо-
вательности.
3.	Пусть для бесконечного множества номеров п е N хп > Ь
и lim х„ = а. Докажите, что а > Ъ.
п-* оо
4.	Найдите lim ап, если известно, что при п е N выполни-
п—* оо
_ п + 1
ется 0<ап <—г-.
nz
5.	Верно ли утверждение: если lim хп = а и а > 0, то для
всех п е N, начиная с некоторого номера, хп > 0?
107
Вариант 2
1.	Докажите, что никакое число а не является членом по-
следовательности, заданной формулой хл = 1 - (-1)".
2.	Приведите пример монотонной расходящейся последо-
вательности.
3.	Пусть lim хл = а > Ъ. Докажите, что для всех п е N, на-
п—+ оо
чиная с некоторого номера, хп > Ъ.
4.	Найдите lim ал, если известно, что при п е N выполни-
П-* оо
_	2п + 7
ется 2<а„ <----—.
” п + 1
5.	Верно ли утверждение: если lim хп = а и а < 0, то для
Л-»- оо
всех п е N, начиная с некоторого номера, хп < О?
Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности
Вариант 1
1.	Приведите пример последовательности, стремящейся
к бесконечности, но не к +оо и не к -оо.
2.	Докажите, что последовательность с общим членом
хп = 7sin (2n-l) |
fL	Сл
бесконечно малая при п —> оо.
3.	Приведите пример последовательности, удовлетворяю-
щей условию и не удовлетворяющей ему (если такие су-
ществуют):
а)	Зе > 0: 3n0 е N: Vn > п0, | хп | > е;
б)	Vn е N, Зе > 0: | хп | > е.
Охарактеризуйте множество всех последовательностей,
удовлетворяющих данному условию.
108-1
4.	Известно, что lim х = +оо и lim уп = + оа. Докажите,
п-*+оо	л-*+оо
что lim (хп + z/„) = + оо.
п-*+сох
5.	Известно, что limx„ = oo и lim уп = оо. Можно ли утверж-
п-* оо	п—* оо
дать, что lim (хп + уп ) = оо?
Вариант 2
1.	Приведите пример неограниченной последовательности,
не имеющей бесконечного предела.
2.	Докажите, что последовательность с общим членом
2(-1)п	Л
х„ = /пГ-—г при п —> оо бесконечно малая.
" 5(Vn + l)
3.	Приведите пример последовательности, удовлетворяю-
щей условию и не удовлетворяющей ему (если такие су-
ществуют):
a)	Ve > О, Зп g N: | хп | > е;
б)	Эе > 0: Vn0 g N, Зп g N: n > n0 | xn | > e.
Охарактеризуйте множество всех последовательностей,
удовлетворяющих данному условию.
4.	Известно, что Итхп = -оои limy„ = -oo. Докажите,
п—► +ОО	и—*+оо
что lim (хл +уп} =- оо.
л-*+оох	'
5.	Известно, что limxn = oo и limj/n=oo. Можно ли утвер-
л—> оо	п —* оо
ждать, что lim (х„уп) =оо?
Арифметические действия над сходящимися
последовательностями
Вариант 1
1.	Найдите lim х„:
„ч „	(—3)" + 2"	,	(2 + Зп)2
Я Х" ~ (-3)»-i+ 2n+1 + (Зп - l)(n + 1)’
3 + 6 + 12 + ...+3 • 2Л-1
б)	х„ =-----------;;
5-2л+1+3
в)	х - 1 f 1 । 1 ,	1-
Jn \ 1 + -Уз Уз + -У5	^2п - 1 + д/2п + 1 J ’
(-1)п +А ,________________
г)	Х„ =------д) хп = л/п2 - 5 - п + 1;
е)	хп = sin^Tt^/n2 +1)-
2.	Постройте на координатной плоскости совокупность то-
чек с координатами (х, у), удовлетворяющими условию
lim |г/|" = lim |хГ.
71 —> + оо	л->+оо
Вариант 2
1.	Найдите lim хп:
П-* +0О
.	6 • 4Л + 1	„ .
а)	х„ =-------2Л+1;
л 3 • 2Л + 1
1 + 6 + 36+ ... +6""1
б)	=----4-6л+2 + 1--;
х =_J_ + _A_.	,	'1
7	л 1-7	7 • 13	•"	(6п-5)(6п + 1)’
(-1)П-А	,_________
г)	хп  --——'>	д) xn = -v4n2 + Зп - 2 - 2п - 1;
е)	xn = sin(л^п2 - 1).
2.	Постройте на координатной плоскости совокупность то-
чек с координатами (х, у), удовлетворяющими условию
lim \ху|л = 1.
Q-7.8._____________________________________
Вычисление пределов. Разные методы
Вариант 1
1.	Выясните, существует ли последовательность {хп}, та-
кая, что lim хп = 0 и для любого п е N выполняется
2.	Вычислите:
a)	lim arctg | + arctg 1-- + ... +arctg  1	;
n-^+oo	2	2 • 2г	2 •	)
б)	lim (Vl10 + 210 + ... + n10).
3.	На графике функции у = х2 задаются точки Ап и Вп с аб-
сциссами соответственно — и - —. Через А„ и В„ и начало
п п
координат проводится окружность с центром в точке Сп.
Найдите предел последовательности точек Сп.
Вариант 2
1.	Выясните, существует ли последовательность {хп}, та-
кая, что lim хп = 0 и для любого п > 1 выполняется
п—► +оо
О < хп < х2„.
2.	Вычислите:
a)	lim arctg+ arctg+ ... + arctg „ 1--- ;
n—+oo	<3	7	п/+п + 1)
б)	lim	Jп + Jn-1 + Jn- 2 + ... + 71 .
п—*+оо \yjri *	у
3.	На параболе, которая является графиком функции
у = х2, берётся точка Ао с абсциссой а и последователь-
ность точек Ап с абсциссами а + Пусть Мп — абсцисса
точки пересечения оси ОХ с секущей, проведённой че-
рез точки Ао и Ап. Найдите предел последовательности
Мп при п -» оо.
111
(Э-7.9.________________________________________
Предел монотонной последовательности.
Теорема Вейерштрасса
Вариант 1
1.	Докажите по теореме Вейерштрасса, что последователь-
ность {ап} имеет конечный предел, если а1 = 1,
6
а„.
Л+1 5-ап
2.	Найдите lim хп, если xn+1 = yl6 + xn, хх = 1.
Л—* оо
3.	Докажите, что последовательность {х„} сходится:
х=_1_ + _±_ +	+-J—
п 2 + 1 22+1	2"+Г
Вариант 2
1.	Докажите по теореме Вейерштрасса, что последователь-
ность {ап} имеет конечный предел, если ах = 2,
3
"+1 4-а/
2.	Найдите lim хп , если xn+1 = J12 + хп , хх = 2.
п—* оо
3.	Докажите, что последовательность {х„} сходится:
X	+-J—
п 3+1 з2+1 зв+Г
0=1
Вариант 1
1.	Проверьте с помощью таблицы истинности, что для лю-
бых высказываний а, Ъ, с выполняется равенство
((a v Ь) (а v с)) = (а v ->(b v с)).
2.	Докажите, что для произвольных множеств А и В выпол-
нено тождество А \ В = (A U В) \ В. Проиллюстрируйте
тождество рисунком.
3.	Отрицанием какого предложения является высказыва-
ние: «В каждом городе Сибири есть улица, на которой
находится дом, все окна которого выходят на юг»?
4.	Придумайте и докажите теорему: «Для того чтобы
A U В = А \ В, необходимо и достаточно, чтобы...».
5.	Пусть Р(х) обозначает «х — простое число», В(х) —
«х — чётное число», Z(x) — «х — целое число»,
В(х, у) — «у делится на х», G(x, у) - «х > у». Расшиф-
руйте высказывание Зх : Vу (Z(x) л Z(у) —» В(х, у))
и выясните, истинно ли оно.
6.	Приведите пример такой функции /, чтобы:
а) /(х) • х = 0 <=> х = 0; б) / (х) • х = 0 <=> х = 1;
в) / (х) Vx +1 = 0 « Х ~ 1’
7.	Найдите все такие & ей, что система уравнений
Гу = х2 -1,
[у = kx + Ь:
а)	имеет решение при любом k е R;
б)	не имеет решения при некотором k е R;
в) имеет решение при всяком Л > 1, k & R',
г) не имеет решения при некотором k е -
1
113
Вариант 2
1.	Проверьте с помощью таблицы истинности, что для лю-
бых высказываний а, Ь, с выполняется равенство
((а -> Ь) -» (а л с)) = (а л (-ib v с)).
2.	Докажите, что для произвольных множеств А и В вы-
полняется тождество А П (В \ С) = (А П В) \ С. Проил-
люстрируйте тождество рисунком.
3.	Отрицанием какого предложения является высказыва-
ние: «Найдётся книга, содержащая страницу, в каждой
строке которой встречается хотя бы одна буква ,,а“»?
4.	Придумайте и докажите теорему: «Для того чтобы
А \ В = A U В, необходимо и достаточно, чтобы...».
5.	Пусть Р(х) обозначает «х — простое число», Е(х) —
«х—чётное число», Z(x)— «х—целое число»,
В(х, у) — «у делится на х», G(x, у) — «х > у». Расшиф-
руйте высказывание Vx3y : (Z(x) л Z(y) —> D(x, у)) и
выясните, истинно ли оно.
6.	Приведите пример такой функции f, чтобы:
a)	f (х) Vx -1 = 0 <=> х = 1;
б)	/(x)Vx-l = 0<=>х = 2;
в)	/ (х) • х — 0 <=> * Z 1’
7.	Найдите все такие а е R, что система уравнений
у = х2 +1,
у = kx + а:
а)	имеет решение при любом k е R;
б)	не имеет решения при некотором k е R;
в)	имеет решение при всяком fe > 1, k е R;
имеет решение при некотором k е
1
2
-1;
0=2______________________________________________
Вариант 1
1.	Найдите значения, которые может принимать пропу-
щенная цифра (*), чтобы число а делилось на число Ь:
а) а = 765*8, 6 = 4; б) а = 1387*, 6 = 3;
в) а = 24*379, 6 = 11.
2.	Пусть остаток от деления целого числа х на 11 равен 7.
Найдите остаток от деления на 11 числа х2 + 6х.
3.	Докажите, что число 2п3 - Зп2 + п кратно 6 при любом
целом п.
4.	Найдите общий вид чисел, кратных 4 и дающих при де-
лении на 3 остаток 2.
5.	Докажите, что числа 4n + 1 и 5n + 1 взаимно простые
при любом целом п.
6.	Докажите, что число т4 - 21т2 + 36 является состав-
ным при любом целом т.
7.	Докажите иррациональность числа а = л/5/г + 3, k е N.
8.	Найдите все целые положительные решения уравнения
Зх2 + Зхг/ + 2х - у — 56.
Вариант 2
1.	Найдите значения, которые может принимать пропу-
щенная цифра (*), чтобы число а делилось на число 6:
а) а = 234*6, 6 = 4; б) а = 21*74, 6 = 3;
в) а = 222*34, 6 = 11.
2.	Пусть остаток от деления целого числа х на 7 равен 5.
Найдите остаток от деления на 7 числа х2 + 5х.
3.	Докажите, что число п5 + 5п3 + 4п кратно 5 при любом
целом п.
4.	Найдите общий вид чисел, которые при делении на 4
дают в остатке 3, а при делении на 6 — остаток 5.
5.	Докажите, что числа 2п + 1 и Зп + 1 взаимно простые
при любом целом п.
6.	Докажите, что число т4 — 19т2 + 9 является составным
при любом целом т.
7.	Докажите иррациональность числа а - л/36 + 2, k е N.
8.	Найдите все целые положительные решения уравнения
2х2 + 2ху - х + у = 112.
115
Вариант 1
1.	При каких вещественных а и b многочлен 2х4 + Зх3 -
- ах2 + Ьх - 3 делится без остатка на х + 3, а при деле-
нии на х - 2 даёт остаток 5?
2.	Докажите, что многочлен (х + l)2n + 1 + x2n + 1 - 2х - 1,
где п е N, делится на х(2х + 1)(х + 1) без остатка.
3.	Найдите все рациональные корни многочлена:
а)	12х5 - 44х4 + 23х3 + 4х2 - Зх;
б)	12х5 + 44х4 + 23х3 - 4х2 - Зх.
4.	Докажите, что многочлен (х2 + 2х + 2) (4х2 + 16х + 25)
представим в виде суммы квадратов двух многочленов.
5.	Один из корней многочлена Р(х) = х3 - 7х2 + 14х + г
в два раза больше другого. Найдите Р(х) и его корни.
6.	С помощью разложения по степеням х - 1 многочлена
Р(х) = х3 - 4х2 + 7х + 0,1 докажите, что данный много-
член не имеет корней на отрезке [0; 2].
7.	Найдите вещественные a, b, р, q, такие, что для любого х
имеет место равенство (х + I)8 - (ах - д)8 = (х2 + рх + д)4.
Вариант 2
1.	При каких вещественных а и Ъ многочлен Зх4 - 2х3 +
+ 14х2 + ах + Ъ делится без остатка на х + 1, а при деле-
нии на х + 2 даёт остаток 101?
2.	Докажите, что многочлен (х + 1)2п - х2п - 2х - 1, где
п 6 N, делится на х(2х + 1)(х + 1) без остатка.
3.	Найдите все рациональные корни многочлена:
а)	12х4 - 44х3 + 39х2 + 8х - 12;
б)	12х4 + 44х3 + 39х2 - 8х - 12.
4.	Докажите, что многочлен (х2 + 4х + 5) (х2 + 8х 4- 20)
представим в виде суммы квадратов двух многочленов.
5.	Корни многочлена х3 - 18х2 + qx + 24 образуют арифме-
тическую прогрессию. Найдите многочлен и его корни.
6.	С помощью разложения по степеням х + 1 многочлена
Р(х) = х3 + х2 + 2х + 8,1 докажите, что данный много-
член не имеет корней на отрезке [-2; 0].
7.	Найдите вещественные a, b, р, q, такие, что для любого
х имеет место равенство (х - I)2 - (ах + &)20 = (х2 + рх + д)10.
Вариант 1
1.	Постройте график функции
1-д/4х2 -4х + 1
у = ад •
2.	Найдите промежутки монотонности и множество значе-
ний функции
3.	Известно, что f(x + 1) = 2х - 3 и f(g(x)) = Зх - 4. Най-
дите функцию g.
4.	Найдите обратную функцию для функции г/ = х|х|. На
одном чертеже постройте их графики.
5.	Найдите функции f и g, удовлетворяющие системе
f (2х + 2) + 2g (4х + 7) = х - 1,
f (х - 1) + g (2х +1) = 2х-
6.	Даны функции: /(х) = х3 + Зх, <р(х) = 1 - х. Решите не-
равенство /(<p(f(x))) < f(cp(4)).
7.	Найдите все значения а, при которых наименьшее зна-
чение функции у = |х + 21 + |х| + |х - а| равно 4. По-
стройте график функции при найденных значениях а
и исследуйте её на чётность, нечётность.
8.	Решите уравнение
(2х +1) (2 + V(2x +1)2 + 3) + Зх (2 + V9x2 + 3) = 0.
Вариант 2
1.	Постройте график функции
л/9х2+ 6х + 1 - 1
11 = -----:--------
2.
Найдите промежутки монотонности и множество значе-
ний функции
/(*) =
X2 4-4x4-9
X2 4-4x4-5'
3. Известно, что f(x - 1) = 2х - 3, f(g(x)) = х3. Найдите
функцию g.
4. Найдите обратную функцию для функции у = 2х 4-1 х - 1|.
На одном чертеже постройте их графики.
5.
Найдите функцию /, удовлетворяющую условию
у Ct Л J- J
при х*|.
6.	Даны функции: /(х) = х3 + 7х, <р(х) = 2 - х. Решите не-
равенство /(<р(/(х))) < /(ф(8)).
7.	При каких значениях а функция у= а| 2х - 31 4- (2а - 3) х
х|2х4-3| будет: а) чётной; б) нечётной?
Постройте график функции при найденных значениях
а и укажите наименьшее значение функции.
8.	Решите уравнение
(2х - I)5 • (д/(2х - I)2 4- б) 4- х5 • (Vx2 +5) = 0.
Ц81
0-5
Вариант 1
1.	Проверьте равенство Ц/26 + 15л/3 (2 - Уз) = 1.
X '"уГх— 1 л/X2— 1
2.	Решите уравнение —-----------=----= 4.
Vx2-!	VX+1
3.	Упростите выражение
1
2Ьз	1
4	1 +	1	1
,ft3 -4ft3	&2 -46 2 ,
(&2 +8Ь + 1б)2.
4.	Постройте график функции у = r\jx2 - 6|х| + 9.
11 1
5.	Существует ли треугольник со сторонами 23, 43 и 153.
6.	Найдите многочлен Q(x) с целыми коэффициентами
наименьшей степени, корнем которого является число
V2 +V3.
Вариант 2
1.	Проверьте равенство ^26 - 15-УЗ (2 + -/з) = 1.
х + 8 Vx2 — 25
2.	Решите уравнение ----к аГ— — = 5.
Vx + 2	V7 + 5
3.	Упростите выражение
z	2	,	.2
(	ft1-5 у fa0-5-ft015	ft0-5 уз
Г + a0^ J ’ [	^5	+ ao.5_ b0,5 J •
4.	Постройте график функции у = ^16 - 8|х| + х2 .
11 1
5.	Существует ли треугольник со сторонами З3, 93 и 313.
6.	Найдите многочлен Q(x) с целыми коэффициентами
наименьшей степени, корнем которого является число
V4+V2.
19
Вариант 1
1.	Найдите произведение xyzt, если известно, что 25^* = 3,
27^=16, (V2)'^= 5и 9'= 8.
2.	Дана функция
39
а)	Решите уравнение f(x) = —;
б)	Сравните /(log25) и /(log23);
в)	Найдите множество значений данной функции.
3.	Дана функция
f(x) = log Дх - 1) - log2(х +1) - logх17 - х|.
2	у[2
а)	Решите уравнение f(x) = 1.
б)	Найдите область определения функции
у = log0 2 (1 - fM).
в)	Найдите все значения параметра а, при которых
уравнение /(х) = а имеет единственное решение.
1
х---
4.	Докажите, что функция f (х) = log2 —5-^- строго моно-
О
тонна на (-1; 0) и найдите обратную функцию f~x на
(-1; 0).
5.	Докажите, что при всех п е N число logn + 2(n2 + 1) ирра-
ционально.
6.	Пусть fix) = log21 - x I - 8 log i I -j - x I. Изобразите на
\4 J Ц 4	)
плоскости множество всех точек (х; у), координаты ко-
торых удовлетворяют уравнению f (х) = f (у).
Вариант 2
1.	Найдите произведение abed, если известно, что 49'/а = 3,
9" = 8, (V2)'d = 7 и 3е = 4.
2.	Дана функция
31
а)	Решите уравнение f(x) = —.
б)	Сравните /(log35) и /(log32).
в)	Найдите множество значений данной функции.
3.	Дана функция
f(x) = logj (х -1) + logj (х +1) + log^15 - х|.
з	з
а)	Решите уравнение /(х) = 1.
б)	Найдите область определения функции
1
У = • ,
Jl-f(x)
в)	Найдите все значения параметра а, при которых
уравнение /(х) = а имеет единственное решение.
1
---X
4.	Докажите, что функция f (х) = log3 — строго монотон-
О
на на (0; 1) и найдите обратную функцию /-1 на (0; 1).
5.	Докажите, что при всех п е N число log^ 2(п + 3) ирра-
ционально.
6.	Пусть f(x) = log? (25 - х) + 21og j(25-x). Изобразите на
45
плоскости множество всех точек (х; у), координаты ко-
торых удовлетворяют уравнению f(x) = f(y).
Q=7
Вариант 1
(	It	л/З
1.	Найдите cos 2а - — , если tga = —.
7	О /
2.	Найдите значение выражения (3 + 2 sin a) (3 + 2 cos a),
если sin a + cos a = a.
3.	Найдите (2 cos a - 5 sin a) (cos a + 2 sin a), если tg a = 2.
4.	Вычислите
cos20° + cos 40° + cos 100°
71 - cos 260°
5.	Найдите cos 20 a, если
sin2a • sin5a -cos--7a - cos2a -cos — + 5a -cos7a = —.
6.	Докажите неравенство 16 cos2 a - ctg2a 9.
7.	Найдите величины a и P острых углов прямоугольного
треугольника, если
2 cos a + sin (a - р) + |sin (2 a + P)| = 2 (1 + cos (a + P)).
8*. Решите систему уравнений
X2 + у2 =1,
(l-2x2)(2i/2 -1) = 1.
122
Вариант 2
1.	Найдите sin^2a+^J, если ctga =
2.	Найдите значение выражения (5 - 2 sin а) (5 + 2 cos а),
если sin а - cos а = а.
3.	Найдите (3 cos а - 2 sin a) (sin а + 7 cos а), если ctg а = 2.
4.	Вычислите
cos20° + sin50° - cos80°
71 + cos 280°
5.	Найдите cos 16a, если

cos
• cos 4a • cos 3a - cos 7a • sin	+ 4a • sin 3a =
\ J
I оо
6. Докажите неравенство 9 sin2a - tg2a C 4.
7. Найдите величины аир смежных углов параллелог-
рамма, если
| sin (2a + Р) | + sin р = 2д/3 (sin (a + Р) + cos (a - р)).
8*. Решите систему уравнений
(х2 + у2 =1,
\4ху(2у2 -1) = 1.
1123
0—8
Вариант 1
Сравните числа:
a) sin4 и cos 2;
в) ctg и V3.
б) tg3 и ctg 5;
2.
3.
функция f(x) = tgx +
4.
5.
Найдите промежутки монотонности, нули, период, область
значений функции у = 2 sin х (cos х - V3 sin х) - 1 + V3.
Постройте график функции.
В какой точке интервала 0;
+ 3ctgx принимает наименьшее значение?
Найдите множество значений функции
о
/(х) =------;---F 2cos4x.
'	1 + 4cos2 2х
Найдите наименьший положительный период функции
у = cosx (4 cos2x - 3).
X _ л
5	3
6.
При каких значениях а функция у = 3cos
возра-
71 о
стает на промежутке а - —; а I
7. Найдите такую функцию g, что при всех х справедливо
равенство
g (cos х - sin х) + g I V2 cos I x - I I = 1.
8*. Дана функция f(x) = cos3x - a cos2x - sinx + bcosx x
x sin2x - sin3x. Найдите все пары (a; b), при которых
,	.2л
период функции f равен —
О
1241
Вариант 2
Сравните числа:
a) sin 5 и cos 2;
ч . 9л 1
в) ctg— и -=.
о -у О
б) tgl и ctg8;
2.	Найдите промежутки монотонности, нули, период, область
значений функции у = 2 cos х (-Уз sin х - cos х) +1,5. По-
стройте график функции.
3.	В какой точке интервала 0; функция /(х) = 4tgx +
+ 9ctgx принимает наименьшее значение?
4.	Найдите множество значений функции
/(*) = , л 9 го-----------------2cos4x.
1 + 4sinz2x
5.	Найдите наименьший положительный период функции
у - cos х (1 - 4 sin2 х).
6.	При каких значениях а функция у = - 5 sin 11 х +
\ о	4
( 71
возрастает на промежутке а; а + — ?
7.	Найдите такую функцию g, что при всех х справедливо
равенство
g (cos х + sin х) + g
7? 	71
2 sin х - —
k 4
-3.
8*. Дана функция f(x) = cos3 x + a cos2 x • sin x + b cos x x
x sin2x + sin3x. Найдите все пары (a; b), при которых
,	,2л
период функции f равен —.
О
125
0=9
Вариант 1
Найдите:
ч .	• 3
a) sin 2 arcsin —
\ &
б)
tg2
1 21
-arccos -I;
в) arccos(cos 5).
2.	Найдите область определения функции
и = arcsin — + V2x + 3 - х2.
у	х
1 з
3.	Сравните числа arcsin-- и arctg- + arctg-.
2	4	Э
4.	Решите уравнение arcsin х = 2 arctg —.
О
5.	Докажите неравенство arctg 3 - arctg 2	1.
6.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = arccos (sin х) - х и у = -х при условии, что
Зл л
Хе [ 2’2.*
7.	При каких а уравнение arcsin х - arccos (а - 2х) = име-
ет решение?
8.	Определите все значения параметра а ей, для которых
„ f arccos х + arcsin у = а,
система уравнении 2	. „ . arecos v _ _2 имеет ре-
d 1 СЫН Л- cLL у ~~
шение. Найдите эти решения.
126
Вариант 2
б)
Найдите:
о	4
cos 2 arccos —
к 5 7
. 2fl 1
ctg* 1 2 - arccos -
\ &	о
в) arcsin (sin 6).
2.	Найдите область определения функции
у = arccos — - V10 - Зх - х2 .
х
о „	-Уз . 2 ,	, 1
3.	Сравните числа arccos —- и arctg — + arctg —.
2	о	э
Зх
4.	Решите уравнение arcsinх = 2arctg—.
5.	Докажите неравенство arctg 4 - arctg 3	1.
6.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
/(х) = х + arcsin (sin х), у = 0 и х =
Zu
7.	При каких а уравнение arcsin х + arccos (а - 2х) = име-
Zu
ет решение?
8.	Для всех целых значений k е Z решите систему уравне-
„ I arccos х + arccos у = ——,
нии s	°	2
(4arcsinх • arcsinу = тс2.
0-1 о»________________________________
Вариант 1
1. Решите уравнение
1 + sin3 х + cos3 х = sin 2х.
Си
2. Решите уравнение
sin2x + cos23x + sin25x + cos27x = 2.
3. Решите уравнение:
a) cos х • cos 2х • cos 4х = ^;
б) 2хsin----их2 +1 = 0.
х4 + 1
1127
4.	Найдите все значения параметра а, при которых нера-
венство a cos2 х + (3 + 2а) sin х - а - 6 < 0 выполняется
при всех значениях х.
5.	Найдите все значения параметра а, при которых облас-
ти определения функций f(x) = —-— и g(x) = —--------F
cos х	cos х
1
+------— совпадают.
а — cos2x
6.	Решите уравнение
Vl-x = 2х2 - 1 + 2xVl - х2 .
7.	Решите неравенство
| 2sinx - V5cosx | < 3.
Вариант 2
1.	Решите уравнение
2cos2x = sin3x + cos3x.
2.	Решите уравнение
cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2.
3.	Решите уравнение:
x	1
a) cos — • cos x • cos 2x • cos 4x = —;
6> <x+4,,BP7ie = -7-
4.	Найдите все значения параметра а, при которых нера-
венство a sin2 х - (2 - За) cos х + 6 - а > 0 выполняется
при всех значениях х.
5.	Найдите все значения параметра а, при которых области
определения функций f(x) = и g(x) =
совпадают.
6.	Решите уравнение
= 2x2 -1-
V 2
7.	Решите неравенство
(3 sin х - V7 cos х)2 < 16.
О-u
Вариант 1
1.
Исследуйте последовательность ап
4п + 3
2п-1
п g N, на Mo-
нотонность. Докажите, что, начиная с некоторого номе-
ра, все члены последовательности удовлетворяют усло-
вию 2 < ап < 2,5.
г.
Вычислите предел:
a) lim
П-* оо
п4 п(п + 2)
п3 + 1 п + 1
б) lim
л-* оо
Г 2 + 5 + 8+ ... +(3п-1)
t (2п-1)(3-4п) J’
в)
lim
Л-* оо
3 • 2" - 2 • Зп
5 - Зп + 1
г) lim (Vn + 2 - Vn + 1) (2 - cos n).
3.	Имеет ли предел последовательность (ответ обоснуйте):
А 1. 1. 1	1	1	1
а)	1, 3, 1, з2, 1, з3, ...;
„ ЛГ О . _ . (2п + 9)п
в)	0,4; 0,42; 0,422; ...; 0,422222; ...;
л-1 двоек
г)	ап = (-1)" 2" + 1?
4.	Существует ли последовательность, сходящаяся к 0 и
удовлетворяющая условию
5.	Докажите, что последовательность {ап}, такая, что
а! = 1,2, ал+1 = —— п , имеет предел. Найдите этот
Л
предел.
6.	Дана последовательность хп = а • 2" + Ъ • 3-п, п = 0, 1 ....
а)	Докажите, что 3xn + 1 = 7хп - 2х„_р при всех n > 1.
б)	Известно, что х1999 > 0. Верно ли, что х2000 > 0?
в)	Пусть а = & = 1. Существует ли арифметическая про-
грессия, среди членов которой содержатся все числа
х0, хр ...?
1129
Вариант 2
1.	Исследуйте последовательность ап =	п е N, на
£п 4- Э
монотонность. Докажите, что, начиная с некоторого но-
мера, все члены последовательности удовлетворяют
условию 1,5 < ап < 2.
2.	Вычислите предел:
.	(га(3п + 2) 6л2 - 5^
a) lim -------- • —т---- ;
п—оо^ 2п2 - 1 4га2 - 1 J
Г1 + 4+7+... + (Зга-2)\
) А™ (2га + 3)(1 - Зга) J’
ч f 2 • 4л - 3 • 7n+1
г) lim (vra +1 - vra) sin га.
71 —> ОО '	'
3.	Имеет ли предел последовательность (ответ обоснуйте):
а> 2; 1; 2; ± 2; „
б)	Vra g N 0 < а. < —---—;
'	п га(га + 2)
в)	0,2; 0,23; 0,233; ...; 0,233333; ...;
п-1 троек
г)	а„ = (-1)л 3n + 1?
4.	Существует ли последовательность, сходящаяся к 0 и
удовлетворяющая условию VneN х„ >	—А?
1000 га3
5.	Докажите, что последовательность {ап}, такая, что ах = 1,
ап+г =-------, имеет предел. Найдите этот предел.
£
6.	Дана последовательность хп = а • 2-л + Ъ • Зл, га = 0,1 ... .
а) Докажите, что 2хп + 1 = 7хп - Зх„_х при всех га 1.
б)	Известно, что х1999 < 0. Верно ли, что х1998 < 0?
в)	Пусть а - b = 1. Существует ли арифметическая про-
грессия, среди членов которой содержатся все числа
^0’ ^1’ •••?
130
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
I С—1.1.
Вар. 1. 1. а), в) Высказывания, г), д), з) предикаты. Истинных вы-
сказываний нет. 3. а) а = 2; б)	а е[1; 2]. 4.	Второй.
Вар. 2.	1.	См. вар. 1. 3. а) 1 <	а < 2; б) а >	2. 4. Лёня.
С—1.2.
Вар. 1.	1.	а), д) Ложно; б), в),	г) истинно.	3. (1; 2)	или	(-1;	5).
Вар. 2.	1.	а), в), д) Ложно; б),	г) истинно.	3. (1; 1)	или	(-1;	5).
с-1.3.
Вар. 1. 3. ((А П С) U (В П С)) \ (А П В).
Вар. 2. 3. ((С \ A) U (С\В)) U((А ПВ)\С).
Вар. 1. 1. а) Ложно; б), в) истинно. 3. а е [0; 4].
2 г—
Вар. 2. 1. а) Ложно; б), в) истинно. 3. а > -1 + —V3.
3
♦ С-1.5.
Вар. 1. 1. а) Необходимое, не достаточное; б) не необходимое, не
! достаточное; в) не необходимое, достаточное; г), д) не необходи-
мое, не достаточное. 3. б), д), е) следует; а), в), г), ж) не следует.
Вар. 2. 1. а) Необходимое, не достаточное; б) не необходимое, не
достаточное; в) не необходимое, достаточное; г), д) не необходи-
мое, не достаточное. 3. б), д), е) следует; а), в), г), ж) не следует.
I С—1.6.
Вар. 1. 4. Vx > 3 /(х) > 0.
Вар. 2. 4. f должна быть определена на [3;+оо].
	С—1.8.
Вар. 1. 1. 6. 2. а) 29; б) 26; в)2-26; г) 3 • 26. 3. 24.
Вар. 2. 1. 6. 2. а) 105; б) 85; в) 25; г) 2 • 84. 3. 24.
	С—1.9.
Вар. 1. 1. 4!. 2. С®0. 3. 10!. 4. 6 • 5 • 4.
Вар. 2. 1. 5!. 2.С*0. 3.25-24- 23. 4. 4-3 -2.
Bap.l. 1. а) 872 • 43 + 25; б) -853 • 44 + 11. 2. а) 4; б) 1; в) 3.
3. 10027. 4. 0; 1.
1131
Bap. 2. 1. a) 1085-38 + 17; 6) -1086-38 + 21. 2. a) 2; 6) 5;
в) 1. 3. 10131. 4. 0; 1; 4.
C—2.2.
Bap.l. 1. а) Верно; б) неверно; в) неверно; г) верно. 3. 1.
Вар. 2. 1. См. вар. 1. 3. 2.
C—2.3.
Bap. 1.2. 5. 5. Нет (различные остатки при делении на 3).
Вар. 2. 2. 7. 5. Нет (см. вар. 1).
С—2.4.
Вар. 1. 1. 0. 2. 7. 3. Да. 4. (1; 1); (3; 3). 5. х = 1 (mod 13).
Вар. 2. 1. 1. 2. 1. 3. Нет. 4. (1; 3; 1); (3; 1; 1). 5. 0.
С—2.5.
Вар. 1. 1. НОД (493; 221) = 17; 9 • 221 - 4 • 493 = 17. 2. 1. 4. 36.
5. 2.
Вар. 2. 1. НОД (391; 253) = 23; 3 • 391 - 3 • 253 = 23. 2. 1. 4. 36.
5. Для 8 чисел (1; 3; 5; 15; 2; 6; 10; 30).
С—2.6.
Вар. 1.4. пг = 1; п = 2. Вар. 2. 4. т = 1; п = 3.
С—2.7.
Вар.1. 4. 3. Вар. 2. 4. 3.
С—2.8.
Bap.l. 1. б) Неверно. 2. а) 20; б) 24 точки ((х + у)(х - у) =
= 24 • 53, х + у, х - у — одинаковой чётности). 3. т = 2; n = 1.
Вар. 2. 1. б) Неверно. 2. а) 28; б) 40 точек. 3. т = 3; п = 2.
С—2.9.
Bap.l. 1. а) (-2; 3); (2;-5); (4; 0); б) (-5;-2); (1; 2); (-1;-2);
(5; 2); в) (8 + 51; 3 + lit), t e Z. 2. Нет. 3. ±12; ±20.
Bap. 2. 1. a) (0; 4); (1;-2); (1; 2); 6) (-4;-1); (-2; 1); (2;-1);
(4; 1); в) (7 - 3t; 3 + 5t), t e Z. 2. Нет. 3. 4.
C—3.1.
Bap. 1. 2. a) 7x4 + 7x2 - 3; 6) 1. 3. a) 26; 6) 4. 4. (a + b)3 + (a - b)3-
Bap. 2. 2. a) x3 + 6x2 - 5; 6) 3x2 + 18x + 15. 3. a) 27; 6) 4.
4. (a + b)3 - (a - b)3.
1321
С—3.2.
Вар. 1. 1. P(Q(x)) = Зх® - 9х4 + 8х2 - 2; Q(P(x)) = 9х6 * - бх4 + х2 - 1.
2. х3 + 6х2 + 9х + 5. 3. 5. 4. 1. 5. Индукцией доказывается, что
V/г (1 + V2 V = а + Ьл/2 при a, b е Z.
Вар. 2. 1. P(Q(x)) = -2x®+6x4-7x2+3; Q(P(x)) = -4х® -4Х4 - х2 + 1.
2. х3 - 6х2 + 9х. 3. 6. 4. 2. 5. Индукцией доказывается, что
V/г (1 + -УЗ ) = а + fe-Уз при a, b e Z.
С—3.3.
Bap.l. 1. а = 0, b = 1, с = 2.	2. (х2 - 4х + 1)(х2 - 6х + 2).
3. Р(х) = х2 - Зх + 1.
Вар. 2.	1. а = 1, Ь = 2, с = 3.	2. (х2 - 6х + 1) (х2 - 6х + 6).
3. Р(х) = х2 - 2х - 3. 4. Пусть (ху)4 + 1 = /(х) • g(x). При х = О и
У = 0; 1 = /(0)• g(y) = f(x)  g(0) = /(0) • g(x). f(x) = -±-,g(x) = -A-,
g(Q) f(O)
тогда (xy)4 +1 = 1, t. e. (xj/)4 =0, что невозможно, так как
(1 • 1)4 = 1.
| С—3.4.
Bap.l. 1. (х —2)(х3 + 2Х2 + х + 2) + 5. 2. -3. 3. Нет. 4. 0; 1; 2; 3.
Вар. 2.	1. х5 + 2 = (х - 1)(х4 + х3 + х2 + х + 1) + 4.	2. а = -1.
3. Нет. 4. п = -1.
| С—3.5.
0; -1. 3. (х + 3)4-
4.	-------**- +
х + 3 (х + 3)2
Bap.l. 1. (х + 2)(2ха - 5х2 + 9х - 15) + 28. 2.
I - 17(х + З)3 + 96(х + З)2 - 225(х + 3) + 198.
И ! 53_________54
(х + З)3	(х + 3)4’
Вар. 2. 1. (х - З)(2х3 - х + 1) - 4. 2. 2. 3.
+ б(х + 2)2 + 2(х + 2) + 8. 4. —------+
х + 2 (х + 2)2 (
С—3.6.
Bap.l. 1. 3 или 1. 2. а) -х5 + Зх + 2
в) 2х15 - Зх12 + 1. 3. а) 2100; 1; б) 1; 2П. 4
(х + 2)4 - 4(х + 2)3 +
13 9
х + 2)3 (х + 2)4
б) 2х8 * * - Зх4 + 1;
= -1; х = -2;
2	3
х = -A b = 1. 5. 2007 + 2008 = 2 (а + а_ , + ...). В левой части
нечётное число, а в правой — чётное.
1133
Bap. 2. 1. 2 j. 2. a) -x5 + 2x + 3; б) Зх5 - 2X4 + 1; в) Зх15 - 2x12 + 1.
3. a) 298; (—3)98; 6) -1; 0. 4. x = |; x = ~5±^> a = 9. 5. См. вар. 1.
C—3.7.
Bap. 1. 1. 2. 2. Достаточно рассмотреть P(x) = x7 + 1, где x = 25.
3. Рассмотрим P(b) = (a - b)(a + b - c)2 + (b - c)(b + с - а)2 а, то-
гда P(b) = 0 при b = a + c. 5. Нет. S(x) = (x - a4)(x - a2)(x - a3) x
x(x - a4)(x - a5)Q(x) + 5, где ap ..., a6 данные точки. Если
f(c) = 0, то (с - ajfc - a2)(c - a3)(c - a4)(c - a5) Q(x) = -5, что не-
возможно, так как у - 5 имеет 4 различных делителя.
Вар. 2. 1. 3. 2. См. вар. 1. 4. См. вар. 1. 5. Нет, см. вар. 1.
С—3.8.
Bap.l. 1. /(х) = 8х3 + 8х2 + 8. 2. х2. 3. Пусть x = V2; f(2) +
+g(2)V2 = 0. /(2), g(2) e Q, a/2 g Q. Тогда /(2) = g(2) = 0. 4. ax3.
Bap. 2. 1. f (x) = — x3 + 10x2 — — x + 15. 2. x. 3. См. вар. 1. 4. ax4.
3	3
C—3.9.
Bap.l. 1. -2; j; ±V3. 2. x3 - 15x2 + 21x - 125. 3. 0 (так как
x4 + x (x + 2) + 1 = x4 + (x + I)2). 4. Да, например г0 = ^(7 + -УЗЗ)
(так как f (z0) = -3).
Вар. 2. 1. ±1; ——2. х3 - 6х - 6. 3. 0. 4. Да, например
О
.0=(так как Н2°)= 2)’
С—3.10.
Вар. 1. 3. Нет. 4. + 242 (решаем уравнение относительно а).
Вар. 2. 3. Нет. 4. +2-У2 (см. вар. 1).
С—3.11.
Bap.l. 1. а) 4; б) 3; в) -2; г) д) -2; е) 10. 3. (3; 3; 3).
Li
4. х? + х.? + х, = (х. + х, + х,)2 - 2(х.х, + х„х„ + х„х.) < 0.
Вар.2. 1. а) 3; б) 2; в) 2; г) 1,5; д) 0,5; е) 5. 3. (1 + л/б; -1; 1-7ё);
(1-V6;-1; 1+V6);	(-1; 1 - Тб; 1 + Тб); (-1; 1 +Тб; 1-л/б);
(1-л/б;1 + 7б;-1); (1 +Тб; 1-Тб;-1).
134|
Bap.l. 1. d(x) - Jx2 + (10 - x)2
при 0<x< 10. 2.	= ||;
Z^) = "4:	/(-1) = 0;	^-л) = -2;	Л-0,3(3)) =/(-|] = 1.
3. a) Df = R,Ef= (-oo; 3); 6) Df = (-2; 1] U (2; +oo); Ef = {1} U (2; 5];
в) Df = R,Ef = (-oo; 0) U (0; 1]. 4. a) Dy = R, Ey = [-3; +oo); 6) Dy = R,
Ey = (0; 1]; в) Dy = [-4; 4], Ey = [0; 2]; r) Dy = R \ {3}, Ey = R \ {5}.
Bap. 2. 1. S(x) = йл/144-Л2 при h e (0; 12). 2. f
= Z(i) = 0; /(я) = —1; f (-0,7(7)) =	=
\ L-* J	*	\<7/(
l3j 27
3. a) Dy = R, Ey = [-2; +oo);	6) Dy = (-4; -2] U (-1; +oo);
Ey = {-3} U [1; 4); в) Dy = R, Ey = [-1; 0) U (0; +oo). 4. a) Dy = R,
Ey = [5; +oo); 6) Dy = R, Ey = (0; 1); в) Dy = [-3; 3], Ey = [0; 3];
r) Dy = R \ {-1}, Ey = R \ {-3}.
C—4.2.
Bap. 1. 1. а) Да; б) нет; в) да. 2. у = -| х +	. 4. S(x) =	+ 2х,
хе[0;2]; Ер = [0;2].
Вар.2. 1. а) Да; б) нет; в) да. 2. t/ = -|x + ^.4. S(x) = -^- + 2x,
х е [0; 2]; Еу = [0; 2].
С—4.3.
Bap.l. 1. а) (4; 2л/б); б) [3;+оо). 2. а) |0;А
v 5.
в) [0; 6]. 3. 1. 4. {-2; 2; 4}. 5. а) а > 0; б) -- < а < 0; в) а =
3	3
г) а <
3
Вар. 2. 1. а) (-00; 1 - 2л/2] U [1 + 2л/2; 4];
2. а) | 0; —
к	2 J
б)
____5_. _5_
. 2V2 2-/2.
в) [0; 4]. 3.
б) [-V3; 1,5) U(1,5; 73].
|. 4. {6; 2}. 5. а) а > 0;
О
б) < а < 0; в) а = - —; г) а < -—.
2	2	2
1135
С—4.4.
Вар. 1. 2. (-оо; -5) U (0; 2) U [3; 5). 4. [а] = 59; {а} =	5. а) А); £
35	[ 2
б) 1; в) Ь; 3-; 4-1.
L 2J ’ I 3	3)
Вар. 2.	2. (-оо; -3] U (-2; 0) U (6; +оо).
5. а) (о; 2^1; б) Г1; А в) h; 5 |1.
I 33j L 3J I 2)
4. [а] = 30;
{а} = 29.
11 90
С—4.5.
Вар. 1. 2. а) Да,
в) нет, например
[9; 109]; б) да, [-999; 1001]. 4. а) Да; б) да;
—4—г. 5. /(х) = х - 1, g(x) = -х + 10. 6. Нет,
2{х}-1
/(х) = Д, g(x) = {х}. 7. 0.
{х}
Вар. 2. 2. а) Да, [-4; 21]; б) да, [-131; 119]. 4. а) Да; б) да;
в) нет, например ———5. g(x) = 0; /(х) = — при х*О. 6. Да.
2{х} + 1	х
7. {1}.
С—4.6.
Вар. 1. 1. а) х 6 (-оо; 5); б) х 6 (-оо; -2). 4. a) f возрастает на
[0; +оо) и убывает на (-оо; 0]; б) у возрастает на (-оо; -3] и убыва
ет на [-3; +оо). 6.
Не всегда, например у = х + 1 и z = х +
при
х е [-2; 0].
Вар. 2. 1. а) х е (-оо; 3); б) х е (0,4; +оо). 4. a) f убывает на
[0; +оо) и возрастает на (-оо; 0]; б) у возрастает на (-оо; 2]
и убывает на [2; +оо). 6. Не всегда, например у = х2 и z = х3 при
у 1
х е [-1; 1] функция — = — монотонна на [-1; 0) U (0; 1].
Z X
С—4.7.
Bap.l. 1. а) {2}; б) {4}. 2. {0}. 3. Нет. 4. а)
Н4б)
2’
5. Нет.
Вар. 2. 1. а) {2}; б) {9}. 2. {4}. 3. Нет. 4. а)
11; б) (|; 11.
12 J 12 )
5. Нет.
С—4.8.
Bap.l. 1. а) Общего вида; б) нечётная; в) общего вида; г) обще-
го вида. 2. {3}; {-4}.
1361
Bap. 2. 1. а) общего вида; б) нечётная; в) общего вида; г) обще-
го вида. 2. {7}; {-10}.
С—4.9.
Bap.l. 1. а) Нет; б) да, например -х3; в) нет. 2. /(х) = 2|х|- х2.
3. а) а = - 2; б) а = 2. 4. Нет (f(x2) чётная, а 1 + х5 общего вида).
5. Нет (/(х) = х2 + 9 - (2х4 - х2 + З)2 чётная, но /(0) = 0).
Вар. 2. 1. а) Нет; б) да, например х3; в) нет.
2. f(x) =	~ *2 ’ Х 3. а = 3; а = -3. 4. Нет (см. вар. 1).
|х2 +2х, х < 0.
5. Нет (см. вар. 1).
С—4.10.
2
Вар.1. 2. 30. 3. Да, например у = х и у =-х. 4. а) -; б) не су-
О
ществует.
Вар. 2. 2. 56. 3. Нет, так как в этом случае g(x) = g(x + Т), где
g — непериодическая. 4. а) 1; б) не существует.
Zu
С—4.11.
Bap.l. 1. б) /(-27) = 1; /|^ | = ~|; в) \2k-, -1 + 4п; -1 + 4m:fe,
\ Z )	4	[ о	о
m e z|. 2. Нет.
Вар. 2. 1. б) /(-95) =/(105) = 3; в) |-2 + 4fe; ± | + 8р :k, р е Z |.
2.	Нет.
С—4.12.
б) 11 + 20; в) 25х4 + 10х3 - ЗОх2 -
X2 X
- 260х + 165. 2. а), б), д) — убывающие; в), г) — возрастающие.
"	Г '	Г 1	.
и на —= + 1; 1 ;
42 J
Bap.l. 1. а) 25х2 + 20х;
3. Ef =
—	1; +оо ; / возрастает
на
-	4= +1; +°°
42
/ убывает на
1
/2
на
-	оо; —5= +1 . 4. Например
42 J
и
0, х =0,
'<*>= 1,х*0.
Вар. 2. 1. а) 9х2 - 15х + 7; б)
— + — + 7; в) 9х4 - 18х3 + 12х2 -
х2 х
- Зх + 1. 2. а), б), д) — убывающие; в), г) — возрастающие.
137
и на
3.	Ef = [-4; +оо); f возрастает на
f убывает на [2; V2 + 2] и на (-оо; 2 - >/2]. 4. Например
Г(х)=-[х].
С—4.13.
Вар. 1. 1. а) /(х) = х2 * - 5х + 6; б) /(х) = х:
в)
/(х) =----------, х > 0;
х
г)
7(Х) =
2.
v	’	где А с [-1; 1].
х2 +1, х G [-1; 1]\ А,
/(х) = ———, х*0, х* 1.
1-х
Вар. 2. 1. а) /(х) = х2 - х; б) /(х) = х2 - 3, |х|>2;
в) /(х) =
г) Z(x) =
1, X е (-оо; -1] и [1; 4"оо] \ А,
где А с (- оо;- 1] U[1; + оо).
2.	/(х) = --Х- 5.
Зх- 3
С—4.14.
4. Нет, так как ^/(O)-^j^O,
2. /(х) =
у 2 I Q
Вар. 1. 1. а) у = —-—, х > V3; б) у = 3 - Vx + 9, х е [0; 160].
-V4- х, хе[0;4],
'Iх’ хе[-6;0).
т. е. /(0) =	Д1)- /2(1) Д и /(1) = |.
х2 + 20
Вар. 2. 1. а) у =---------, х 1; б) у = -2 + Vx + 4, х е [-4; 12].
4
2 ’ *11 4’	4- Пусть /(Xj) = /(х2). Тогда
2 - V9-x, х 6 [0; 5].
^(/(/(х1))) = /(/(/(х2))), т. е. Xj = x2. Если /(/(...(/(х))...)) = g(x),
х е R, где g — обратима, то и f — обратима.
138-j
2. f(x) =
С—4.15.
Вар. 2.3. fee (-2; 0]. 4. b > 0, а е R.
Вар. 2. 3. k е (-2; 0]. 4. b С 0, а е R.
С—4.16.
(	51	5
Вар. 1. 1. а) Е, = -оо; - ; б) при а > - и а = 0 — одно решение;
' к	4J	4
5	5
при а = — и 0 < а < 1 — два решения; при 1 а < — — три решения.
4	4
(	з 1	3
Вар. 2. 1. а) Е, = I -оо; — ; б) при а = — и а > 1 — одно реше-
' V	4J	4
3	,
ние; — < а < 1 — два решения.
С—4.17.
Bap.l. 1. [0;+оо) U {-1}. 2. Нет. 3. у =
1
- — х - — — наклонная
2
4
асимптота; х = А — вертикальная асимптота; f (х) >0 на
2
; f (х) < 0 на
1
—оо; —
2
А; +оо ]; f убывает на (-оо; -4] и на [3; +оо);
2	/
f возрастает на
—4; А | и на \ А; 3
2)	12
Вар. 2. 1. (-оо; 0] U {1}. 2. Нет. 3. у = А х - 2 — наклонная асимп-
тота; х = -2 — вертикальная асимптота; f(x) > 0 на (-2; +оо);
f(x) < 0 на (-оо; -2); f убывает на [-5; -2) и на (-2; 1]; f возраста-
ет на (-оо; -5] и на [1; +оо).
С—5.1.
Вар. 1.
1. >
б) 41.
< V6+V03- 3. а) [-1; 63]; б)
2. a) V20 < V3 + 1;
х С5. 12.
2
6)V^3+V5 <
Вар. 2.	1. a)	б) —.
2. a) V5 > V5 - 1;
б) Vo£ + Ve <
1
2
<	3. а)
1 ; б) х^-11. 5. 5.
С—5.2.
Вар. 1. 1. -16,5. 2. -2 • Vfe. 3. ^/3- V3;
—; 2Уб25.
V8
4. -ab2 • Ма2Ъ +
+ Ьа • У-а3Ь. 5. а) {7; 0}; б) 4.
139
Bap. 2. 1. -25,5. 2. 2. 3. ^0,5-720; ^7 -V7; -JL. 4. -Im2 • ^4+
y32
+ lm3  M-m3 . 5. a) {3;-4}; 6) 12.
C—5.3.
Bap. 1. 1.
Bap. 2. 1.
-14^|. 3.
27
39	1
*20. 4. 3y2.
5	11
-1. 3. xe . 4. y3 - x3.
C—5.4.
з
Bap. 1. 2. 1. 3. 32 . 4. a) 0 x < 1; x > 64. 6) 0.
Bap. 2. 2. 1.3. 1. 4. a) 0 < x C —; x > 1; 6) [0; 3).
C—5.5.
Bap.l. 1. [-1; 1]. 2. 1; 2^; (V2 + 1)7®; (V2-1)’2. 4. a)
б) Г|;3 .
_ о
1
Bap.2. 1. {0}. 2. 1; 3^; (2^2+3); (3-2V2)’2. 4. а) [1; 16];
б) [|;27 .
_ о
С—5.6.
Вар. 2.1. а) Убывает на Я; б) возрастает на (—оо; 5]; в) убывает
на R. 2. а) Чётная; б) нечётная; в) нечётная. 3. а)
1 Л. I
—; +оо ;
L2 )
б) [9; +<х>). 4. а) Убывает; б) возрастает; в) возрастает. 5. 1.
Г Q Л
Вар. 2. 1. а) Возрастает на Я; б) убывает на —; +оо ]; в) возрас-
_ 2
тает на R. 2. а) Нечётная; б) нечётная
3. а) (-оо; 16]; б) [19; +оо).	4. а) Убывает;
в) убывает. 5.
в) нечётная,
б) возрастает;
С—5.7.
Bap.l. 1. а) б) 1; в) 1; г) 0; д) -1; 2.
О
и I —; +оо I; б) (-оо; 66). 3. а >
I 6 Л	8
2. а) (-оо; 0) U
Вар.2. 1. а) -3; б) 1; -2; в) 0; 1; г) 0; д) 0; 1. 2. а) —;0
( 17	А
б) (-оо; 34). 3. -^т-; 2 .
V 4	)
С—5.8.
Bap.l. 1. 2. 2. а) 1; б) 3. 3. (2;+оо).
Вар.2. 1. -1. 2. а) -1; б) -1. 3. 11; +оо ].
\ /
С—5.9.
Вар. 1. 1. а) -Ь б) 2. 3. в) log310 > log970. 4. a) {±Vlog2 7 ~1};
б) {2}.
Вар.2. 1. а) -6; б) 1. 3. в) log29 > log470. 4. а) {±721og92 ];
б) {Ю}.
С—5.10.
Bap.l. 1. а) 5; б) 1. 2. 1. 3. а) Чётная; б) нечётная. 4. а) {2};
б) {-10; 2; 12±2л/41}.
Вар.2. 1. а) 22; б) 1. 2. 1. 3. а) Нечётная; б) нечётная.
4.	а) {3}; б) {3; 15;-7 ±2Л1}.
С—5.11.
Bap.l. 1. а) 2; б) 1; в) 7. 2. 1. 3. | - ***	4. Да, например
О Z Л + 1
log34 • log23.
Вар. 2. 1. а) 3; б) 0,2; в) -12. 2. 2log34.3. ^-Ц-|. 4. См. вар. 1.
ZtZ + 1 о
С—5.12.
Вар. 1. 2.
(	1
ет на -оо; —
I	2
Вар. 2. 2. а) у = log2x
тает на (-оо; 1); б) возрастает на
а)	у = 1-logjX ; б) у = -1 - log2 х, х >	3. а) Убыва-
з
; б) возрастает на (-оо; 3); в) возрастает на (1; +оо).
- 1; б) у = -д/loggX-l, х 5. 3. а) Возрас-
2	_
—; +оо ; в) убывает на
3	/
1
4
141
С—5.13.
Bap.l. 1. a) log23 > 1,5; б) log53 > |; в) log34>V2. 2. а) 1;
О
б)	2. 4. Да, (-3; -3). ^Замена х + 3 = t приводит к нечётной
t-2 'l
функции f(i) = t-3 + lgy^. I
Вар. 2. 1. a) logj < 1,5; б) log52 < 0,5; в) log23<V7. 2. а) 2;
б)	1. 4. Да, (-2; -2). См. вар. 1.
С—5.14.
-- I	f -J'S— 3 1
Вар. 1. 1. а) 5; 5 э U б) {1}; в) 0; к г) {10}. 2. а) (0; 1) U
Л
и (1; 2); б) (о; |)и[V7; 73); в) (-75; 0].
Вар. 2.	1. а)	3 1;2 w	; б) {21овз4|; в) |	5-V5 1
			’ 2 J
2. а) (2; 3) U (3; 4); б) (0; 2) U [4; 8]; в) (-84; 0].
г) {3}.
С—5.15.
Вар. 1.
1. а) ;3б|;
16 J
б) {Ю}.
2. а) -^;0 U [1; +оо];
О J
б) V2 х < log23, х=1. 3. х е (О; а U (а^; +осЛ при а > 1;
х е (a, при 0 < а < 1.
Вар.2. 1. а) |±5;±-=1; б) {3}.
I л/5 J
о
б) -1 < х < 0; 0 < х < у; logs2 < х < 1.
х е (0; а) U I —; +оо I при 0< а < 1.
2. а) [-оо; -1] U 0; — ;
L з .
3. хе|—;а| при а > 1;
\а )
С—6.1.
Вар. 1. 1. а) б) в) г) д) 2. а) 60°; б) 135°;
о э 1Z о о
в) 210°; г) 660°; д) 540°. 3. а) б) в) г)
4 о 1Z О
Вар.2. 1. а) Ь б) £; в) 2L; г) д) 2. а) 45°; б) 120°;
4	□ 1Z У о
в) 150°; г)	420°; д)	720°. 3. а) —;	б) —;	в) —;	г) -.
’	'	4	3	12	6
142]
С—6.2.
Bap.l. 2. a)f^;±|l; б) (1; 0); (±|;^П;
. ( . V2 , V2"|
ГЧ±1_; ’г’)'
Вар.2. 2. а)[|;^'|;	6) <0; О);	(±^; ±А
[±|; ±^]; (0; ±1); (±1; 0); в) [±^-; j); г) [±^-; ±^.
С—6.3.
Bap.l. 1. а) ± — + 2nk, k е Z; б) ±^ + nk, k е Z-,
3	о
3. а) Абсцисса меньше; б) абсцисса больше. 4.
+ ^ + 2nk,keZ-,6) ±|;-^- ;(-l)*+1 -% + nk, keZ;
4	у Z Z J	о
± — + 2nk, k & Z.
3
Bap. 2.1. a) ±— + 2nk, k e Z; 6) ±^+nk, k e Z; в)
r	3	4
3. а) Абсцисса меньше; б) абсцисса больше.
л , 2nk . = ~
---1	, к е Z.
30-5
1;±М
2	2
4. а)
±^ + 2nk, keZ-,6)	j;(-l)* •J + nft, AeZ; в) -y-5±| p
±— + 2itk, k e Z.
6
C—6.4.
Bap.l. 1. a) ~^ + 1 —; б) О; в) +	2. Да. 3. а) Положи-
2
тельно; б) положительно; в) положительно. 4. а) 8; —2; б) 5; 3;
”б; 4-
Вар.2. 1. a) + б) о; в) 2+	 2. Да. 3. а) Отрицатель-
2
7 7
но; б) положительно; в) отрицательно. 4. а) 10; -2; б) —; —;
в) 5;
О
1143
С—6.5.
Bap.l. 1. а) х<|; б) -JL^xC-^L 2. a) (-l)*.£ + nfe, k е Z,
3	л/3 V3	3
б) 0; в) £ + 2лЛ, k е Z; г) х = 1. 3.	+ 2лА < х < — + 2л/г,keZ.
2	6	6
Вар. 2. 1. а) х«Д; б) 3 0^-3. 2. а) (-1)*+1 • + nk, k е Z,
У	4
б) 0; в) ~^- + 2nk, k е Z; г) х = 1. 3. - + 2nk < х < — + 2nk,
2	6	6
k е Z.
С—6.6.
Bap.l. 1. Да. 2. 1. 4. а) б) 0. 5. 1.
5
Вар. 2. 1. Да. 2. 1. 4. а) —; б) 0. 5. 1.
13
С—6.7.
Bap.l. 1. a) sinl>-l; б) sin2 + cos2>l; в) sin79° = cos 11°.
2.	а) б) 3. a) cos а; б) -сова. 4. Да. 5. а) п = 1; 2;
3; ...; 89; б) ни при каких; в) п > 90.
Вар. 2. 1. a) cos 2 > -i; б) sinl + cosl>l; в) sin 5° = cos85°.
2.	a) -i; б) -i. 3. a) sin а; б) sin а. 4. Нет. 5. a) п = 1; 2;
3; ...; 179; б) ни при каких; в) п > 180.
С—6.8.
Вар.1. а) Нет; б) да; в) нет. 2. а) —; б) 1; в) 5 - 2л.
2
(-1)* arcsin —
___________3 + nfe
2	2 ’
3. а) ± л -arccos- +2лk, keZ; в)
\	47
4. а) Первое число меньше; б) первое число больше.
k е Z.
Вар. 2. 1. а) Нет; б) да; в) нет. 2. а) -; б) —; в) 4 - л.
2	2
3.	a) (-1)*+1 arcsin + л/г, keZ; в) ±---------5 + 2л& keZ.
7	3	3
4.	а) Первое число больше; б) первое число меньше.
1441
С—6.9.
Bap.l. 1. a) -1; б) -|=; в) 1. 3. a) -~ + nk, k £ Z; 6) — + nk,
V3	6	12
k e Z. 4. nk < x <	+ nk, k e Z. 5. Да. 6. a4 + 4a2 + 2.
4
Bap. 2. 1. а) -2=; б) в) 1. 3. a) + nk, k e Z; 6) 2nk, k e Z.
4.	+ nk < x < - — + nk,
2	4
k g Z. 5. Да. 6. a3 - За.
C—6.10.
Bap. 1. 1. Отрицательно.
Bap. 2. 1. Отрицательно.
2. -1. 3. cosl; sin 1; tg 1
2. 1. 3. cos 2; sin 2; tg2.
C—6.11.
-------------------------- /о/2 ____________________________/4
Bap.l. 1. cos a = -V2t2 -t4 ; tga =—.	; ctga = --------.
72t2-t4	1-t2
1	I 1	I h2
2.	tga = -; sina= --------cosa = - --------. 3. 1,4. 4. 45,5.
b	p + b2	\l + b2
5. n — 1; 2; ...; 89; 91; ...; 179.
i------------------------- ,/2<2 — t4	1— t2
Bap. 2. 1. sin a = V2t2 -t4 ; tg a = ----—; ctg a =  
1-t2	72t2-t4
1	I i	I h2
2.	ctga = -; cosa = -------; sina= ----------.	3. 1.	4. 90.
b	ijl+b2	V+b2
5. См. вар. 1.
C—6.12.
Bap.l. 1. a) 1; б) А в) 2.
А	О
9
4. x = n - arcsin — + 2nk, ktZ. 5.
5
Bap. 2. 1. a) -1; б) |; в)
Z о
V15
4. x = -arccos-----н2л/г, k e Z. 5. 0.
4
ctg 1 < arcctg 1. 3. -1 $ x < 0.
0.
2. tg 1 > arctg 1. 3. 0 < x < 1.
1145
С—6.13.
„	,	„	„	9-УЗ-40 ЗТЗ + 4	. п п	е тт
Вар. 1.	1. а)	-—-----;	б) ———.	4. 2;	-2.	5. Да,	так как
1~ р* 2
р2 + q2 = 1, то р = sin t; q = cos t => tg t =-.
1-9
Bap. 2. 1. a) 15^*—g)	4. 2; —2. 5. Да, см. вар. 1.
С—6.14.
Bap.l. 1. а) б) 1; в) г) 1- 2. a) cosa; б) -ctg2a;
в) cosa. 3. -1. 4. sin (cos 1) < cos (sin 1).
Bap. 2. 1. а) 6) -1; в) -i; г) 1. 2. a) -sina; 6) -ctg3a;
Ci	Ci
в) -sina. 3. 1. 4. sin (sin 1) < cos (cos 1).
C—6.15.
Bap.l. 1. а) 6) -1; в) 0,8125; г) i 2. 0; 4.
5	V2
Bap. 2. 1. a) --; 6) 1; в) 0,625; г) i 2. -2,5; 0,25.
5	V2
C—6.16.
Bap.l. 1. Нет. 3. --; 0,875. 4. 2 cosa.
4
Bap. 2. 1. Нет. 3. 0,25; -0,875. 4. 2cos^.
4
C—6.17.
о	7
Bap.l. 1. -9^. 2. [-7; 7]. 3. —. 4. 0, так как sin(cp + 3x) =
7	8
- 3 *
2^/1 + sin210x
Bap. 2. 1. -18—. 2. [-6; 6]. 3. -. 4. 0, см. вар. 1.
7	8
C—6.18.
Bap.l. 1. ctg 5x. 2. 3. 3. 4a5 - 4a3. 4.
2
Bap. 2. 1. ——. 2. 1. 3. 4a (1 -a2)(2a2- 1). 4. -.
sin у	4
146
С—6.19.
о
Bap.l. 1.	2. a) sin4<cos2; б) cos5<ctgl. 3. 2 sin31°.
4.	Да. 5. -1
Вар.2. 1. 4. 2. a) sin5<cos2; б) ctg6<sin4. 3. tg44°. 4. Да.
5.	0.
С—6.20.
Вар. 1. 1. 16. 2. Если х е 0;
л
31997
то каждое слагаемое не
1
меньше 3. (1;+оо). 4. -—+ 2л/г; — + 2лй
2	14	4
k е Z.
2
Вар.2. 1.4. 2. См. вар. 1. 3. (1;+оо). 4.
—+ 2лЛ; — + 2nk
|_4	4
keZ.
С—6.21.
Bap.l. 1. а) 4 и 0; б) 1 и -1; в) 1 и 0,5; г) 5,5 и 0,5. 2. а) 3;
б)	V5 и 0. 3. 12л- 1.
Вар.2. 1. a) V2 и 0; б) 5 и -5; в) 1 и -1; г) 3,5 и -9,5. 2. а) 0;
б)	1 -V2 и 1. 3. 3,5.
С—6.22.
Вар. 1.1. Верно; 1 и -1. 2. Нечётная. 4. у чётная при р = 1; у не-
чётная при р = 0.
Вар.2. 1. Верно; 1 и -1. 2. Чётная. 4. у чётная при р = 1; у не-
чётная при р = 0.
С—6.23.
Вар. 1.	1. Убывает на
о , . 4sinx-9
3. g(x) =-------. 4.
4
41
возрастает на
Л
-6’ 2.
Вар. 2. 1. Убывает
3. g(x) =
cos х-2
----=---• 4.
-; о
4 J
0. 5. <а
2
на
< 2.
возрастает на
ч-
и
и
3
л
С—6.24.
Вар. 1. 2.
Вар. 2. 2.
8л .
Т-4-
4. а е R; Ь = 0.
а = 0; Ъ е R.
1147
С—6.25.
Вар. 1. 1.
к [ 3 З’
’• L”4 4.
Вар. 1. 1. -
4.	5.
2
2
3
1. 1
4’ 4
1
2.
4 V5	тт
. 2. а)----; б) Зл - 8. 3. Верно. 4. —
A j U [^1; 1 .2. а) б) 11 - 4л. 3. Верно.
-!;-1 и
U О
С—6.26.
Вар. 1. 1. 0. 2. у = —71 - х2 при х 6 [0; 1]. 3. у убывает на [2; 3]
и возрастает на [3; 4]. 5. arctg п.
Вар. 2. 1. -2. 2. у = х + 4л, х е
’ 4 • 11	Г ' 1 1
-1; sin— и возрастает на sin — ; 1
4J	L 4
—; — . 3. у убывает
2 2 _
5. — - arcctg (n + 1).
4
на
С—6.27.
Bap.l. 1. а) ЦД; б) 0; в) г) 1; д) 1. 2. а)
б) (-оо; -2] U [2; +оо); в) [—УЗ; + оо); г) (-оо; 1).
Вар.2. 1. а) ~4±2^; б) 0; 1;-|; в) |; г) 1; д) 3. 2. а)
б) (-оо; -1] U [1; +оо); в) [-1; +оо); г) [-оо; 1).
С—6.28.
Bap.l. 1. а) ^ + 2л/г, k е Z; б) в) -arctg 4 +л/г, k е Z;
г) 2 - arctg + (-1)* + 1 — + л/г, k е Z. 2.	3. 1; 0,5.
3	4	3
4тт	1
Вар.2. 1. а) х = л + 2л/г, k е Z; б) —; в) -arctg-+ л/г, /г е Z;
3	3
т) x = 3-arctg-^=+(-1)*+1| + лЛ, keZ. 2. -^. 3. 2; 0,5.
С—6.29.
(-1)* arcsin i	,
Bap.l. 1. а) - + ^-, -------------- + $, keZ-, б) /г е Z,
4	2	2	2	о
в)	— + л/г; ± — + л/г, /г е Z; г) х = —;	± | л - arccos | + 2л/г,
2	3	4 4 ^	4 )
148
keZ. 2. х = ^Д + 2лА при а = х =- — + 2nk при а =—
6	V3 6 F 7з’
х = arctg а + nk при а * ±-±=. 3. а < -1; а > 3.
V3
(-1)* arcsin^	1
Вар. 2. 1. а) — +	;-------------- + k е Z; б) (-1)* arcsin —-—
4 Ct	Ci	Ci	2i
+ nk, k e Z;
V3
при a = —;
в) k g Z; r) 2nfe; -£ + 2лА, k e Z. 2. x = - + 2nfe
2	2	3
7t	3
x = - — + 2nk при a = -—; x e 0 при a g (-oo; -1) U
o	2
и (1; +oo);
x e (— 1)* arcsin a + nk при a e -1:
3.	a > 2; a C 0.
C—6.30.
Bap. 1. a) 0; n + 2nk, k g Z; 6) 0; в) 0; ±— + 2 nA, k e Z; r) arccos — -
3	3
-л + 2пА; 0; д) (~l)k^-nk, k gN; (-1)* + 1 - + nA, k e N.
О	6
Bap. 2. a) 0; n + 2nk, k e Z; 6) 0; в) 0; ±— + 2nk, k g Z;
3
r) arccbs + 2nk-, д)	±	- 2nk, k g N; ±- + 2nk,
к 3)	2	3	3	3
k g N.
C—6.31.
Bap.l. 1. a) + 4nk; 3n + 4nk
6)
_]^_ + ^k. n nk
12	2’32
в) (л + 2лА; ^ + 2nk
+ 2nk; 2n + 2nk j,
6	J
—; 4 . 3. Нет.
L 3
Вар.2. 1. а) -ЁД+2яА. 13Е+2яА
L 36	3	36	3
k g Z;
k g Z;
r) I + nk-, — + nk
16	6
k g Z. 2.
6)
в)
-^ + 2nk-,— + 2nk
2	6
k g Z;
k g Z;
+ 2nk; + 2nk U -•£ + 2nk-, - + 2nk
Л	2	7 \ 3	3
k g Z;
149
I 4
3. Нет.
— + л/г; arcctg 2 + nk j U (+ nk; + nk |,
4	J к 4	4 J
k e Z.
2.
^Ь;6 .
L 6 J
C—7.1.
. 1.2. 3. 4
' 2’3’ 4’ 5
Зп
Зп + 1
,	. 2 8 16 128	1
1. а) —;—;—;------; б) —
7 3 15 35 315
= 2п^1. б) ав = (_1)Л+1
22
1 1-3 13-5 1-3-5-7 И, 21
Вар. . . ) 2> t 4» 2 4 6> 2 4 б 8> 6) 1, 24>
=	=(-1)-Ч2п + 1) 4 1; 1;
п! " (п + 1)2(п + 2)2
1; 1; 0; 1; 1; 1; 1; 0; ....
Bap. 1.
2. а) ап
2
I • 4. у
в) 1;
1
3’
2;
4; 7.
41; 3281. 2. а)
40 3280
ап
0; 1; 1; 0; ... и
1;
1
C—7.2.
Bap. 1. 2.
a < 1.
3.
а5
Bap. 2. 2.
3.

11
= a„ = —
6	32
-h -3
— ^2 — z-* *
2	2
17.
40’ 30’
в) 2;^
4
0; 1; 1;
С—7.3.
Вар. 1. 1.
ограни-
ченная; в) обязательно ограниченная; г) обязательно ограничен-
ная. 4. Ь124 = 15500.
Вар. 2. 1. а) Может быть ограниченной; б) может быть ограни-
ченной снизу; в) обязательно ограниченная; г) может быть огра-
ниченной. 4. а76 = 2854.
а) Может быть ограниченной; б) обязательно
С—7.4.
Вар. 1. 1.
lim b,
Вар. 2. 1.
lim а
П-+ оо
—. 2. Нет, например xn = n. 3. Да.
3
9
2
2. Нет, например хп = п.
С—7.5.
Вар. 1. 2.
Вар. 2. 2.
-Ы)" л
п2 '
х = п3. 4. lim ап =2. 5. Нет, например хп
п	П-» со
п
lim ап = 0. 5. Нет, например х
= _JL
n
1.
n
150
С—7.6.
Bap.l. 1. xn = (-l)"-n. 3. а) Все последовательности, имеющие
элемент хп 0, п > 2; б) множество всех последовательностей,
не содержащих нуля. 5. Нет, например х =(-!)"• п,
Уп = (“l)n + 1 • п.
Вар. 2. 1. хп = п<-1,п . 3. а) Множество всех неограниченных по-
следовательностей; б) множество последовательностей, не стре-
мящихся к нулю. 5. Нет, например х =(-1)п + 1-п;
Уп = (-1)л + 3 • л2.
С—7.7.
Вар. 1. 1. а) 0; б) 0,3; в) ~^=; г) 0; д) 1; е) не существует.
V2
2. Квадрат с вершинами (-1; 1); (1; 1); (1; -1); (-1; -1) без
сторон.
2	11	1
Вар. 2. 1. а) б) ——; в) -; г) 0; д) е) не существует,
о	(О	4
2.	Объединение гипербол у = — и у = — — .
х	х
С—7.8.
Bap.l. 1. Нет (так как по условию Vn > 20 и хп >
>	= и lim хп 2- а) б) 1. 3. Последователь-
1U Л() Ли п-»оо	4
ность точек Сп стремится к точке ^0; i).
Вар. 2. 1. Нет (так как по условию Vn е N х2п > х2 > 0. 2. а)
б) 1.3. Последовательность точек Мп стремится к точке М с абс-
циссой а.
С—7.9.
Вар.1. 2. lim х„=3.
Вар. 2. 2. lim х = 4.
оо
К—1
Вар. 1. 3. В Сибири есть город, на каждой улице которого в каж-
дом доме найдётся окно, выходящее не на юг. 5. Существует та-
кое х, что для всех у, если у и х целые, то у делится на х. Истин-
но. 7. а) b > -1; б) Ь < -1; в) b > г) b < -1.
4
1151
Bap. 2. 3. В любой книге на любой странице найдётся строка, на
которой не встречается ни одной буквы «а». 5. Для всякого х най-
дётся такое число у, что если х и у целые, то у делится на х. Ис-
к
тинно. 7. a) b > 1; б) & < 1; в) Ь > —; г) b < 1.
К—2
Bap.l. 1. а) 0; 2; 4; 6; 8; б) 2; 5; 8; в) 7. 2. 3. 4. 12п + 8.
5. Воспользуйтесь свойством НОД (а; Ь) = НОД (а - Ь; Ь).
6. т4 — 21т2 + 36 = (тп2 - Sm - 6)(т2 + Sm - 6). 8. х = 2; у = 8
(так как у = -х - 1 + —
Зх-1
Вар.2. 1. а) 1; 3; 5; 7; 9; б) 1; 4; 7; в) 1. 2. 1. 4. 12га + 11.
5. См. вар. 1. 6. т4 - 19m2 + 9 = (zra2 - 5п + 3)(m2 + 5т + 3).
8. х = 1; у = 37.
К—3
Bap.l. 1. а = 10; Ь = -4. 3. а) 0; |; 3; -j;	б)	0;	-3;	|.
5. г = -8; 1; 2; 4. 7. а = 0, Ь = 0, q = 1, р = 2.
Вар.2. 1. а = 0; Ь = -19. 3. а) |; |; 2;	б)	-2; -1,5; -|;	|.
5. q = 68; 6 ± 2V10; 6. 7. а = 0; b = 0, q = 1.
К—4
Вар.1. 2. f возрастает на [-1;+оо), f убывает на (-оо;-1];
Е, - [А; 4 3. ,(х) - %"’. 4. Г‘<Х> -	» 2'
7	4	7
5. f(x) = — x + 6; g(x) = —x-.6. x > 1. 7. f чётная при a = 2;
2	4	4
f общего вида при a = -4. 8. <— k
15 J
Bap. 2. 2. f возрастает на (—oo; — 2], f убывает на [—2;+oo);
x3 + 1	[x-l,xC2,
E =(1; 5]. 3.	=	4. Г1(х)= x + 1
• 2	ГГ’
5.
/(x) = ^-^. 6. x>l. 7.
1-x
f чётная при a = 3; наименьшее зна-
чение—18; f нечётная приа=1; наименьшего значения нет.
152
К—5
Вар. 1. 2. {8}. 3. -4VF. 5. Да. 6. х6 + 18х4 - 4х3 + 54х2 - 90х - 23.
2
Вар. 2. 2. {27}. 3. (а - ЪУ . 5. Да. 6. х6 + 12х“ - вх3 + 18х2 - 72х + 8.
К—6
Вар. 1.	1. {2}.
2(0 = 1 - „4 , где
t2+ 1
2. а) 2; б) f (log25) > /(log23), так как
t = 3х возрастает на (0; +оо); в) (-3; 1). 3. а) {3};
б) (3; 7) U (7; 4-оо); в) а > 0.	4. ГЧ*) = | (з • 2х - л?9 • 22х + 4
5. Числа (п + 2)р = (п2 + 1)« разной чётности.
Вар.2. 1. {3}. 2. а) {2}; б) /(log35) > f (log32); в) (-1; 2). 3. а) {2};
б) (2; 5) U (5;+оо); в) а > 0. 4. /^(х) = V16 32х +1 - 4-3х. 5. См.
вар. 1.
К—7
Вар. 1. 1.	2. 2а2 + 6а + 7. 3.
8. {(1; 0); (-1; 0); (0; - 1); (0; 1)}.
Вар. 2. 1. И. 2. 2а2 - 10а + 23. 3.
14
-8. 4. V2. 5. -. 7. 30°; 60°.
9
12. 4.	5. -. 7. 30°; 150°.
V2 8
8.
. 5л 5л^1
sin — cos — };
8	8 J]
f„._ 9?C .	971 Y
sm —; cos — ;
I 8	8 )
• 13л	13л
sin----; cos----
8	8
растает на
+ nk; — + nk
12	12
и убывает на
К—8
Вар. 1.1. a) sin 4 < cos 2; б) tg 3 < ctg 5; в) ctg > 73. 2. Воз-
4
2L + nk;^ + nk ,
L12	12 J
keZ. f(x) = O при x = -~ + nk; х = ^ + лА; Ef = [-3; 1]. 3. -.
12	4	3
4. [3; 7]. 5.	6. -Зл + 10л/г < fl С у + 10л/г, keZ.7. g(t) = y.
8. a = b = -3.
Bap. 2.	1.	a) sin 5 < cos	2;	6)	tg 1	< ctg 8;	в)	tg—	< -4=.	2.	Возра-
8 V3
стает на - ^ + nk; ^ + nk	и	убывает на - —	+ nk;	- — + nk	, k	e Z.
L	6	3	J	L	3	6
л
Л
6
3
1153
• _	3.5
7 L 5’2.
1
arccos —
/(x) = 0 при x = -£ +-------—i + nk;Et
О &
4. [3; 3,5]. 5.—. 6. — + 3nfe «S a < i^ + Злй. 7. g(t) =
L	3	8	8
8. a = b = -3.
3. arctg |.
Zj
-3f2.
2
K—9
Bap. 1. 1. a) —; б) -; в) 2л - 5. 2. [2; 3]. 3. arcsin-^- > arctg i +
25	5	2	4
+ arctg-. 4. 0; ±Д 6.	7. a = 3. 8. a = -£ (1;-1).
5	2	16	2
7	2
Bap. 2. 1. a) —; 6) 2; в) 6 -2л. 2. [-5; -3]. 3. arccos^— < arctg- +
25	2	3
+ arctg —. 4. 0; ±	 6.
5	3
7. [-3; 3]. 8. k = 0; (1; 1).
4
K—11
4	9	19
Bap. 1.2. a) 0; б) - —; в) г) 0. 3. а) Нет; 6) lima„ = 2; в) —;
16	3	n-»oo	46
г) нет. 4. Нет. 5. lim an = V5. 6. б) Нет (так как найдутся та-
Л—► ОО
кие а и Ъ, при которых х1999 = 1, а х2000 = -1; в) нет.
(Пусть 2" + 3"" = aQ + dKn, где Кп е N, aQ, d е Q. Пусть q — их об-
щий знаменатель. Тогда 3-л = а0 + dKn — 2п. Левая часть стремит-
ся к 0 при п—» оо; а правая нет.)
Вар. 2. 2. а) 0; б) --; в) -21; г) 0. 3. а) Нет; б) да; lim ап = 2;
4	П-* оо
7	г~
в) —; г) нет. 4. Нет. 5. lim ап = -УЗ. 6. См. вар. 1.
30	>»-► °°
1541
СОДЕРЖАН И Е
Предисловие ................................... 3
С—1.1.	Высказывания и предикаты.
Логические операции над ними.......... 9
С—1.2.	Понятие множества. Способы задания
множеств. Подмножества................10
С—1.3.	Операции над множествами...............11
С—1.4.	Кванторы...............................12
С—1.5.	Отрицание. Следование и равносильность 13
С—1.6.	Структура теорем.
Необходимые и достаточные условия.....14
С—1.7.	Метод математической индукции..........15
С—1.8.	Разбор случаев. Правило умножения......16
С—1.9.	Размещения и перестановки..............17
С—1.10.	Ограниченные числовые множества.
Точные границы........................18
С—2.1.	Деление с остатком.....................19
С—2.2.	Делимость..............................20
С—2.3.	Делимость..............................21
С—2.4.	Сравнения..............................22
С—2.5.	Наибольший общий делитель.
Наименьшее общее кратное...............—
С—2.6.	Взаимно простые числа..................23
С—2.7.	Простые числа..........................24
С—2.8.	Основная теорема арифметики............25
С—2.9.	Решение уравнений в целых числах.......26
С—3.1.	Определение многочлена.
Степень многочлена....................27
С—3.2.	Действия с многочленами................28
С—3.3.	Метод неопределённых коэффициентов ... 29
С—3.4.	Деление многочленов с остатком.........30
1155
С—3.5.	Схема Горнера..........................30
С—3.6.	Многочлен как функция..................31
С—3.7. Применение теоремы Безу.
Корни многочленов...............................32
С—3.8.	Следствия теоремы Безу.................33
С—3.9.	Многочлены с целыми коэффициентами
и их рациональные корни................34
С—3.10.	Рациональные корни многочлена..........35
С—3.11.	Теорема Виета........................  36
С—4.1.	Определение функции....................37
С—4.2.	Способы задания функции................39
С—4.3.	Область определения
и множество значений функции...........40
С—4.4.	Кусочное задание функции...............41
С—4.5.	Ограниченность функции.................42
С—4.6.	Монотонность функции...................43
С—4.7.	Применение монотонности функции........44
С—4.8.	Чётные и нечётные функции..............45
С—4.9.	Чётные и нечётные функции..............46
С—4.10.	Периодические функции..................47
С—4.11.	Периодические функции..................49
С—4.12.	Композиция функций.....................50
С—4.13.	Простейшие функциональные уравнения . . 51
С—4.14.	Обратная функция.......................52
С—4.15.	Элементарные преобразования графиков. . . 53
С—4.16.	Построение графиков функций............54
С—4.17.	Построение графиков функций............55
С—5.1. Определение корня. Свойства корней,
вытекающие из определения........................56
С—5.2.	Свойства корней, связанные
с арифметическими действиями...........57
1561
С—5.3.	Определение степени
с рациональным показателем..............58
С—5.4.	Степенная функция.......................59
С—5.5.	Показательная функция.
График показательной функции............60
С—5.6.	Свойства показательной функции..........61
С—5.7.	Простейшие показательные уравнения
и неравенства...........................62
С—5.8*.	Показательные уравнения и неравенства	63
С—5.9.	Определение логарифма...................64
С—5.10.	Свойства логарифмов, связанные
с арифметическими действиями............65
С—5.11.	Формула перехода к другому основанию	66
С—5.12.	Логарифмическая функция
и её монотонность.......................67
С—5.13.	Свойства логарифмической функции........68
С—5.14.	Простейшие логарифмические уравнения
и неравенства...........................69
С—5.15.	Логарифмические уравнения и неравенства 70
С—6.1.	Радианное измерение углов...............71
С—6.2.	Изображение вещественных чисел
на единичной окружности.................72
С—6.3.	Изображение вещественных чисел
на единичной окружности.................73
С—6.4.	Синус и косинус числа.
Вычисление значений.....................75
С—6.5.	Синус и косинус числа.
Простейшие уравнения и неравенства .... 76
С—6.6.	Основное тригонометрическое тождество . . 77
С—6.7.	Простейшие свойства синуса и косинуса	78
С—6.8.	Простейшие тригонометрические уравнения.
Арксинус и арккосинус...................79
1157
С—6.9.	Определение тангенса и котангенса.
Геометрическое изображение тангенса
и котангенса............................80
С—6.10. Простейшие свойства
тангенса и котангенса............................81
С—6.11. Следствия из основного
тригонометрического тождества....................82
С—6.12.	Арктангенс и арккотангенс...............83
С—6.13.	Синус и косинус суммы и разности........84
С—6.14.	Формулы приведения......................85
С—6.15.	Формулы двойного и половинного углов	86
С—6.16.	Формулы двойного и половинного углов	87
С—6.17.	Выражение тригонометрических функций
через тангенс половинного аргумента.
Метод вспомогательного аргумента........88
С—6.18.	Преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение и обратно........89
С—6.19.	Тригонометрические преобразования.......90
С—6.20.	Тригонометрические преобразования.......91
С—6.21.	Наибольшее и наименьшее значения
тригонометрических функций..............92
С—6.22.	Свойства и графики
тригонометрических функций..............93
С—6.23.	Свойства и графики
тригонометрических функций..............94
С—6.24.	Периодичность
тригонометрических функций..............95
С—6.25.	Обратные тригонометрические функции	96
С—6.26.	Обратные тригонометрические функции	97
С—6.27.	Уравнения и неравенства, содержащие
обратные тригонометрические функции ... 98
С—6.28.	Тригонометрические уравнения,
сводящиеся к простейшим.................99
158|
С—6.29. Тригонометрические уравнения...........100
С—6.30. Тригонометрические уравнения...........101
С—6.31. Тригонометрические неравенства...........—
С—7.1. Способы задания последовательностей . . . .102
С—7.2. Общие свойства последовательностей .... 103
С—7.3. Общие свойства последовательностей . . . .104
С—7.4. Определение предела последовательности 106
С—7.5. Свойства предела последовательности .... 107
С—7.6.	Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности .................. 108
С—7.7.	Арифметические действия
над сходящимися последовательностями	110
С—7.8.	Вычисление пределов. Разные методы. . . .111
С—7.9.	Предел монотонной последовательности.
Теорема Вейерштрасса..................112
К—1	 113
К—2	 115
К—3	 116
К—4	 117
К—5	 119
К—6	 120
К—7	 122
К—8	 124
К—9	 126
К—10	 127
К—11	 129
Ответы и указания..............................131
159
Учебное издание
Соломин Вадим Николаевич
Столбов Константин Михайлович
Пратусевич Максим Яковлевич
АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Дидактические материалы
10 класс
Профильный уровень
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор П. А. Бессарабова
Младший редактор Е. А. Андреенкова
Художественный редактор О. П. Богомолова
Компьютерная графика И. В. Губиной
Технический редактор и верстальщик Н. Н. Репьева
Корректоры Л. С. Александрова, С. В. Николаева
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01.
Подписано в печать с оригинал-макета 20.01.10. Формат 60 х 9О‘/1в.
Бумага писчая. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 4,92.
Тираж 2000 экз. Заказ № 1540.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
ОАО «Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат
детской литературы им. 50-летия СССР»
170040, г. Тверь, проспект 50 лет Октября, 46.
£