БМ МВЛЕВ СМ СААКЯН СИ ШВАРЦБУРД
ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ШЕЯ1D КЛАССА
БМ.ИВЛЕВ С. М. СААКЯН С.И.ШВАРЦБУРД
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 10 КЛАССА
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Рекомендовано Главным учебно-методическим управлением общего среднего образования Государственного комитета СССР по народному образованию
2-Е ИЗДАНИЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
МОСКВА
.ПРОСВЕЩЕНИЕ’ 1988
ББК 74.262 И25
Рецензенты: учитель-метод и ст школы № 67 Москвы Л. И. Звавич; учитель школы № 5 г. Люберцы Московской области В. В. Гузеев
Ивлев Б. М. и др.
И25 Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса: Пособие для учителя / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд.— 2-е изд., перераб.— М.: Просвещение, 1988.— 143 с.: ил.
ISBN 5-09-000413-7
Дидактические материалы предназначены для учителей средней школы в качестве дополнительного пособия. Тексты самостоятельных и контрольных работ даны в соответствии с действующим учебным пособием «Алгебра и начала анализа, 9—10».
и 4306010000— 678 103 (03)—88
инф. письмо — 88
ББК 74.262
ISBN 5-09-000413-7
© Издательство «Просвещение», 1988
ПРЕДИСЛОВИЕ
В пособии содержатся самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа по курсу X класса, материал для уроков обобщающего повторения и подготовки учащихся к письменному экзамену по алгебре и началам анализа, примерные варианты экзаменационных работ за курс средней школы. Дидактические цели письменных работ того и другого вида учителям известны.
Самостоятельные работы обозначены буквой С с соответствующим номером. Например, С-5 — это пятая самостоятельная работа. Самостоятельные работы рассчитаны на 8—15 мин, могут быть проведены на различных этапах урока с последующим обсуждением результатов на том же уроке. Это важная форма работы для выработки навыков решения основных типов задач на уровне обязательных результатов обучения. Проведение таких работ может носить контролирующий характер. При этом работы учащихся проверяются и оцениваются учителем после урока. В классный журнал могут быть выставлены не все оценки.
К некоторым пунктам учебного пособия даны 2—3 самостоятельные работы. Это обусловлено тем, что в системе упражнений к данному пункту даны различные группы типичных упражнений, имеющих большую образовательную ценность, в то же время тематическим планированием на изучение данного пункта отводится несколько уроков.
По усмотрению учителя любая из работ может быть предложена учащимся не полностью.
Самостоятельные работы даны в 10 вариантах. Первые два из них, как правило, несколько легче остальных вариантов. Последние два варианта содержат задания повышенной сложности. Они могут быть использованы для работы с учащимися, проявляющими повышенный интерес к математике. Эти задания могут быть даны учащимся после выполнения ими основной работы наравне со всеми учащимися класса в оставшееся время или использованы в качестве необязательных заданий для домашней работы, а также на занятиях математического кружка. Наличие
10 вариантов заданий позволит учителю один экземпляр книги разделить на 10 маленьких книг, каждая из которых дается отдельному ученику.
В контрольных работах некоторые упражнения вариантов 3 и 4 труднее по сравнению с соответствующими заданиями вариантов 1 и 2.
Основная часть работы оценивается по пятибалльной системе оценок. Так, например, за правильное выполнение заданий 1 — 4 (а, б) в контрольной работе № 1 ученику может быть выставлена оценка «5».
Необязательные задания контрольных работ адресованы учащимся, проявл тощим повышенный интерес к математике. Они выполняются на отдельных листочках и сдаются учителю в случае полного решения задания. В противном случае работа над ними может быть продолжена дома или на занятии математического кружка.
Учитывая важность повторения в выпускном, X классе, в книге помещены 16 повторительных работ (ПС), содержащих материал за курс алгебры и начал анализа средней школы.
Пособие содержит также 16 вариантов примерных экзаменационных работ, составленных на основе экзаменационных работ МП РСФСР за последние несколько лет. Эти варианты могут быть разобраны на уроках, что поможет организовать одновременно повторение соответствующих вопросов теории. Частично их можно использовать для домашних письменных работ, в процессе выполнения которых учащиеся приводят краткие теоретические обоснования, готовятся к экзамену. Эта работа способствует выработке и закреплению специальных умений и навыков решения задач, повышению уровня математической грамотности учащихся.
В конце пособия даны ответы к большинству заданий самостоятельных, контрольных и других работ.
Замечания и предложения просим направлять по адресу: 12-9846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, д. 41, издательство «Просвещение», редакция математики.
Авторы
УКАЗАТЕЛЬ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО СОДЕРЖАНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ
Содержание учебного материала	Пункты учебного пособия	Номера соответствующих самостоятельных работ
Определение первообразной. Основное свойство первообразной	30,31	С—1
Три правила нахождения первообразных	32	С—2
Площадь криволинейной трапеции. Приближенное вычисление интегралов	33	С—З.С—4
Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница	34	С—5
Упражнения на вычисление площадей Корень n-й степени и его свойства	36	С—6,С—7 С—8,С—9
Иррациональные уравнения	37	С—10
Степень с рациональным показателем	38	С—11
Показательная функция	39	С—12
Решение показательных уравнений и неравенств	40	С—13, С—14
Понятие об обратной функции	41	С—15
Логарифмическая функция	42	С—16
Основные свойства логарифмов	43	С—17
Решение логарифмических уравнений и неравенств	44	С—18, С—19, С—20,
Производная и первообразная показательной функции	45	С—21
Производная логарифмической функции	46	С—22
Степенная функция и ее производная	47	С—23
Дифференциальное уравнение показательного роста и показательного убывания	48	С—24
Обобщающее повторение курса алгебры и начал анализа. Решение задач		С ПС—1 по ПС—16
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 1
С—1
1.	Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке (— оо; оо):
a)	F(x)=xa-2x+l, f (х)=3х* 2 —2;
б)	F (х)=2 sin 2х — 2, f (л) = 4 cos 2х.
2.	Для функции f(x)=x2 найдите первообразную, график которой проходит через! точку М(—1; 2).
С—2
Найдите первообразную для функции: а) f (х) = 2 sin x-f-3 cos х;
б) f (х) = -тН-х2 на (0; оо).
ух
С-3
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у = х\ х=1, х = 3, у = 0\
б)	у = 2 cos х, i/ = 0, —
С-4
Вычислите:
5	2
а) $ 4dx; б) $ sin xdx.
2	0
Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент t равна v (/) = 10 —0,2/. Найдите путь, пройденный точкой за время от 3 до 10 с, если скорость измеряется в метрах в секунду.
С—6
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у — х* 1 2— 3x4-4, у = 4 — х;
б)	y = sinx, y = cosx, у = 0, О^х^у-.
Вычислите интеграл:
С—7
1
a)	J (х-Ь I)5 dx; о
2л
б)	J cos yr-dx. п
С—8
1.	Верно ли равенство л/9 —4 -\/5 = 2 — -\/5?
2.	Найдите значение числового выражения:
a) V(—Н)4; б) V25-135.
3.	Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите приближенное значение корня: а) -\/83,7; б)
4.	Сравните числа V&0 и ^/9.
С—9
1.	Внесите множитель под знак корня в выражении a-fi, где а<0.
2.	Решите уравнение:
а) х34-18 = 0; б) л/х4-4 4/х-5 = О.
3.	Упростите выражение:
а)	л/4-л/7-л/4 + л/7;
б)	где а>0.
С—10
1. Решите уравнение -\/54-л/х—Т=3.
2. Решите систему уравнений
Г Vx—Vy=i,
I A£+W=3.
1.	Найдите вначение числового выражения: _5	2	11	1
а) 83 б) (V9)* 1 2; в) (9 + 732)3 «(9-VW
2.	Какое из чисел больше:	или (-тг)13?
3.	Упростите выражение 8---------
и3 —2 V“4-4
С—12
1.	Изобразите схематически график функции у—(4^)
2.	Вычислите:
а) 2(^+1)г:4^; б) ((7б)^)^
3.	Найдите область значений функции f (х) = Зх — 2. I _______________________________
4.	Упростите выражение
С—13
1. Решите уравнение 27-3х=(-у^
2
2. Решите неравенство 0,7х <2—.
1. Решите уравнение 9 х —6-3х —27 = 0.
2. Решите неравенство (-у)	+2>0.
С—14
Рис. 1
С—15
1. Выведите формулу, задающую функцию gt обратную к данной функции f. Найдите область определения и область значений функции g: a) f(x) = 4 —Зх; б) f (х) = д/1 —	х>0.
2. По заданному графику найдите значения обратной к f функции g в точках — 1; 2; 3 (рис. 1). Постройте график функции g, укажите ее область определения и область значений.
	С—16
1.	Вычислите:
a)	•ogy^; б) logei V3-
2.	Найдите область определения функции t/ = logi (Зх + 4). "з"
3.	Изобразите схематически график функции у = 2 1g х.
	С—17
1.	Прологарифмируйте по основанию 10 выражение 7a3V^
2.	Вычислите без таблиц и калькулятора:
a)	log» 84 log» 14; 6)	•
3.	Найдите logi,3 2,6 с помощью таблиц или калькулятора.
	С—18
1.	Решите уравнение:
a)	log2(x2 — 3x4-Ю) = 3; б) log3(3x —5) = log3(x —3).
2.	Решите неравенство:
a)	log3 (2x4-3)>log3 (х— 1); б) log । (2х —5)< —2. "2
	С—19
1.	Решите уравнение:
a)	log2 х log3x-2; б) lgx_34-lgx+1-l.
2.	Решите неравенство:
a)	1g2 х4-3 1g х<4; б) 4х-2-2г + 5>2х
n	.	C—20 Решите систему уравнении:	
a)	р4-у = 8,	б) Г2Х4-3» = 7, (Iogt2x4-logi2i/=l;	\22*4-32tf = 25.
	С—21
1.	Найдите производную функции:
a)	f(x) = e-5x; б) f(x) = x-2x
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции f
в точке с абсциссой х0, если f (х) = 2е х, хо=1.	
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции
	f (х) = х-е2х
1.	Найдите нроизводную функции:
a) f(x) = In (2х+1); б) f (х)= log3 (2x2-3x-|- 1).
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой х3, если f(x) = log2X, хо = 2.
3.	Найдите максимумы и минимумы функции
f (х) = х2 In х.
С—23
1.	Найдите производную функции f (х) = х~^ — х-л/3
2.	Найдите приближенное значение V125,15.
3.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 0, у=хА х = 0, х=1.
С—24
1. Докажите, что функция у = 3е~2х удовлетворяет дифференциальному уравнению у'=— 2у.
2. Найдите решение f (х) дифференциального уравнения f' (х) = = 3/(х), такое, что f (0) = 3.
Вариант 2
С-1
1, Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке (— оо; оо):
a)	F (х)=х4 — Зх24-7, f (х) = 4х3 — 6х;
б)	F (х) = cos (2х — 4) 4-1, f (х)= — 2 sin (2х — 4).
2. Для функции f (х) = х3 найдите первообразную, график которой проходит через точку М (1; — 1).
Найдите первообразную для функции: a) f (х) = 3 sin х — 2 cos х;
б) g (x)=-^z—x на (0; оо).
ух
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = х\ х=1, х = 3, у = 0;
б) y = 2cosx, у = 0, О^х^л.
С—2
С—3
Вычислите: 3
а) 2xdx‘, ।
cos х dx.
С-5
Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент t равна v (0=	• Найдите координату точки в момент /, если
в начальный момент времени 1 = 0 ее координата равна 1 (/^0).
С-6
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у = х* 1 2— 5x-j-3; у — 3— х;
б)	y = sinx, y — cosx, х = 0.
С—7
Вычислите:
3	я
а) ^(1—x)4dx; б) sinF-----------dx.
J	J	\ 2	О
2	л
з"
С—8
1.	Верно ли равенство д/20 —6-7ТТ=-\/ТТ—3?
2.	Найдите значение числового выражения:
a) VF?)5; б)
3.	Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите приближенное значение корня: а) -\/29,4; б) ^3.
4.	Сравните числа V? и '^/47.
С-9
1. Внесите множитель под знак корня в выражении b -^5, где 6<0.
2. Решите уравнение:
а) х3 + 24 = 0; б) ^х-3^/х = 4.
3. Упростите выражение:
a) Va/65-7-VV65 + 7;
б) fya5—а<0.
1. Решите уравнение д/7 —т/х+ 1 =2.
2. Решите систему уравнений
i Vr + Vy = 5.
С—11
1.	Найдите значение числового выражения: _2	________ _1_
а) 27 3; б) (V16)4’5; в) 712^/80-(12 +80°’5)3
2.	Какое из чисел больше: ^З^или З13?
3.	Упростите выражение —2 8v~*~* 1 2-.
4 и3 —2 V?+l
С—12
1.	Изобразите схематически график функции у = 2*
2.	Вычислите: a) 3(^-1)’: (-0^ б) ((^/2)^)^
3.	Укажите область значений функции f(x)=l—(-р) / 1 \ 1 1
4.	Упростите выражение ( — J
С—13
/ 2 \ + з
1. Решите уравнение f-g-J	=4,5х-2
19
2. Решите неравенство 0,9х
С—14
1. Решите уравнение 4х—14-2х —32 = 0.
2. Решите неравенство	“
1. Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции f. Укажите область определения и область значений функции g, если: a) f(x) = 3 —4х; б) f (х) = д/х2 —4, х^О.
2. По заданному графику найдите значения обратной к f функции g в точках —2; 1 (рис. 2). Постройте график функции g, укажите ее область определения и область значений.
С—16
1.	Вычислите: a) log^ 9; б) logieV^-
2.	Найдите область определения функции г/= logs (2х — 1).
3.	Изобразите схематически график функции r/ = lg( —х).
С—17
1.	Прологарифмируйте по основанию 2 выражение
2.	Вычислите без таблиц и калькулятора:
а) 1оВ„84-1оВ„12; 6)
3.	Найдите logi.42,8 с помощью таблиц или калькулятора.
С—18
1. Решите уравнение:
a) log I (х2 —4х—1)= —2; б) log7 (4х — 6) = log7 (2х — 4). ~2
2. Решите неравенство:
a) logi (3 —2x)>logi (1—х); б) log2 (2х4-5)<3.
У	У * 1 2
С—19
1. Решите уравнение:
a) log2, x-log, х = 6; б) +1-2-?=3.
2. Решите неравенство:
a) lg2x + 5 lgx4-9>0; б) 9Х-3-3Х + 2^О.
Решите систему уравнений:
а>Гх+у = 6,	б) (2х+(-|У==5,
1 log2x-f-log2t/=»3; г
V”+(f) =13-
1.	Найдите производную функции:
a) f(x) = e-°'3jt; б) f(x) = x-3x.
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой хо, если f (х) = 0,5е-*, хо—— 1.
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х) = х-е~3х
С—22
1.	Найдите производную функции:
a) f (х) = 1п (Зх—4); б) f (x) = log± (Зх* 1 2-2х-{-5).
2
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой хо, если f(x) = log3x, хо = 3.
3.	Найдите максимумы и минимумы функции у = х31пх.
С—23
1.	Найдите производную функции f (х)=»х^-|-х_А
2.	Вычислите приближенное значение Vi6,08.
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 0, у=ях^, х = 0, х=1.
С—24
1. Докажите, что функция у = 5е~3х удовлетворяет дифференциальному уравнеяию у'=—3у.
2. Найдите решение f (х) дифференциального уравнения f' (x) — 4f (х), такое, что f(0) — 5.
Вариант 3
С—1
1. Докажите, что функция F(x) = 6xV* есть первообразная для функции /?(х) = 8^/х на промежутке (— оо; оо).
2. Для функции f(x)=cosx найдите первообразную, график
которой проходит через точку А (л; 1). Начертите этот график.
1. Для функции f(x)==2x —2 найдите первообразную F (х), график которой проходит череэ точку А (2; 1). Начертите график функции F (х).
2. Для функции f (x) = V2x+1 — sin найдите общий вид первообразных на промежутке (—0,5; оо).
1. Запишите формулу, выражающую площадь S (х) трапеции, заштрихованной на рисунке 3, как функцию от х. Вычислив производную, покажите, что S' (x) = f (х).
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 cos х, у = 0, -^-^х^у-, используя формулу S = F(6)-F(a).
С—3
Рис. 3
С—4
Начертите трапецию, ограниченную линиями у = х, у = 0, х = 1, х = 2.
а)	Вычислите площадь этой трапеции по известной из курса геометрии формуле.
б)	Вычислите приближенно площадь этой трапеции, разделив отрезок [1; 2] на 10 равных частей и построив вписанную ступенчатую фигуру из прямоугольников. Найдите абсолютную погрешность полученного значения.
в)	Выведите формулу площади Sn вписанной ступенчатой фигуры, разделив отрезок [1; 2] на п равных частей. Найдите lim Sn.
Л—► оо
a)\^-dx; бИ (х2 —6x4-9) dx; в) <j % dx.
2. Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент t равна о(/)=8 + 0,4Л Найдите путь, пройденный точкой за время от 2 до 9 с, если скорость измеряется в метрах в секунду.
С—6
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: a) у = х2, у= —х2 + 2;
f2 cos х, если —|-^х^0,
— х4~2, если 0<х^2	и у = 0.
С—7*
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у = 3 sin х, у= —2 sin х, О^х^у-;
б)	у= —х2+2, у = —х.
С—8
1. Упростите выражение:
а) д/(2 —т/7)4 — V?; б)	если а<0-
2. Решите уравнение:
а) х4 —1=0; б) 125х34-1=0.
С—9
1. Упростите выражение
V10 + 2 V17 • V10-2 V17-
2. Представьте в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня:
з-Уз з+Уз
3. Решите неравенство х4>16.
1. Решите уравнение -\/2х2 — Зх + 2 = 4 — х.
2. Решите систему уравнений
( х2 + у2 = 5, ( х2 + 3ху+у2 = — 1.
С—11
1. Найдите значение выражения _ £	2
27 3 +81 4 4-(0,25)"2.
2. Упростите выражение
х2 + у2
2	2
ху2 +хг
-+М-ЧГ1
у2 +*2
С—12
а) Начертите график функции у = 2х — 1. б) Назовите область значений функции, в) Выделите на рисунке часть графика, для которой —и найдите соответствующие значения х. г) Начертите график функции у=|2х—1| и выпишите наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [ — 2; 4].
1. Решите уравнение:
а) 9~х = 27; б) 4-л/27^Г=4-'-25 О
2. Решите неравенство:
/	х х — 0,5
a)(cos-^)	>л/2; б) 4°'5х-3>8.
X <5
С—13
С—14
1. Решите неравенство 9|х+1|>3.
2. Решите уравнение:
а) 5х+1 -3-5х-2 = 122; б) 9х-2• 3х = 63.
С-15
Для данной функции найдите обратную и постройте графики данной и обратной функций в одной и той же системе координат:
а) у——5-х + 2; б) у=х2—1, где х>0.
<5
а) Начертите график функции у•= loga х — 1. б) Выделите на рисунке часть графика, для которой —2<t/<2, и найдите соответствующие значения х. в) Начертите график функции y=|log2X—II и выпишите наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [0,5; 8].
С—17
1.	Вычислите без таблиц и калькулятора 2 lg 54-^-lg 16.
2.	Найдите х, если
logs х==2 logs 3+-5“log6 49—|-log5 27. z	О
3.	Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
х —
10а 5/10 10а
С—18
1. Решите неравенство log2(l—х)<1.
2. Решите уравнение:
a) log4p-+log43; б) lg(10x)-lg(0,lx)=3.
С—19
1. Решите неравенство logo.i х> 1.
2. Решите уравнение
logo.5 (2х — 3) —log0 j (2х 4- 3) = 0.
С—20
Решите систему уравнений:
а) ( log3x—log3 */= 1, б) f log3(y —х)=1, (х —2у = 9;	^3x+l • 2*=24.
1.	Дана функция f (x)=e-2x«cos Зх. Найдите f' (х), f' (0).
з
2.	Вычислите интеграл $ 3“dx.
— I
3.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у — е“, у= 1, х=»2.
С—22
1.	Дана функция f (х)= 10 1п(-^-х) Найдите f' (х), /'(у)
2.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции <р (х)=1п х — х.
3.	Найдите (с точностью до 0,01) площадь фигуры, ограниченной линиями
У=^-, х=1, у=\.
С—23
1.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х3, у = 0, х = 1, х = 8.
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции /(х)=х-2 в точке его с абсциссой хо= —1. Выполните рисунок к задаче.
С—24
1. Докажите, что функция у = 3е-4х удовлетворяет уравнению у’ = —• 4у.
2. Запишите общий вид решения дифференциального уравнения у'= — 2у и найдите решение этого уравнения, удовлетворяющее условию у(0)=е.
Вариант 4
С—1
1. Докажите, что функция F (х)=10х\/х есть первообразная для функции f (x)=12V* на промежутке (— оо; оо).
2. Для функции f(x)=sinx найдите первообразную F (х), график которой проходит через точку	—1) Начертите
график функции F (х).
1. Для функции f(x) = 2x-f-4 найдите первообразную F (х), график которой проходит через точку В (— 1; 1). Начертите график функции F (х).
1	х
2. Для функции f (х) = ——=—|- cos — найдите общий вид -уЗх— 1	2 * *
первообразных на промежутке оо
С—3
1. Запишите формулу, выражающую площадь S (х) трапеции, заштрихованной на рисунке 4, как функцию от х. Вычислив производную, покажите, что S' (х) = = f(x).
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у — = 2 sin х, у = 0, л х 2л, используя формулу S = F(b) — F (а).
С—4
Начертите трапецию, ограниченную линиями j/ = 0,5x, y = 0t х= 1, х = 2.
а)	Вычислите площадь этой трапеции по известной из курса геометрии формуле.
б)	Вычислите приближенно площадь этой трапеции, разделив отрезок [1; 2] на 10 равных частей и построив вписанную ступенчатую фигуру из прямоугольников. Найдите абсолютную погрешность полученного значения.
в)	Выведите формулу площади Sn вписанной ступенчатой фигуры, разделив отрезок [1; 2] на п равных частей. Найдите lim <Sn«
П-*-ОО
С—5
1. Вычислите интеграл:	л
8	1	4
a) \ -^Tdx' б *) 5 (x2 + 8*+16)dx; в) ( Yin^2х~dx-
1	~5	21
6
2. Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент
времени t равна v (/) = 3-|-0,2/. Найдите путь, пройденный точкой за время от 1 до 7 с, если скорость измеряется в метрах в секунду.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = 2х* 1 2, у=— 2х24-4;
f *4-2, если — 2^х^0,
б)	у=| 2 cos х, если 0<х^у- и у = 0.
С—7*
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
a)	u=cos х, у= — 2 cos х, —
б)	у= —Х24-3, у = 2х.
С—8
1. Упростите выражение:
a) V(3-V10)6+V10; б)	если ж о.
2. Решите уравнение:
а) х6—1=0; б) 27х3 *—1=0.
С—9
1.	Упростите выражение
V12 4-4^5-V12-4V5.
2.	Представьте в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня:
5 + V5
5-д/5
3.	Решите неравенство х6<1.
С—10
1. Решите уравнение -\/Зх2 + 6х + 1 = 7 — х.
2. Решите систему уравнений
f х2 + у2 = 10,
1 х2 — 2ху + у2 = 16.
1. Найдите значение выражения
/ 1 \	/1х —0,75
(-J-)	4-3’0,0081 "°’25 4-(-^)
2. Упростите выражение
a2+ab2 а2+Ь2
С—12
а) Начертите график функции у = Зх — 1. б) Назовите область значений функции, в) Выделите на рисунке часть графика, для
2
которой ——<у<2, и найдите соответствующие значения х.
г) Начертите график функции у=|Зх—1| и выпишите наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [ — 2; 2].
С—13
1. Решите уравнение:
а) 8~х=16; б) 102х = 0,1-7Т0бб-
2. Решите неравенство:
a) (tgу-)*”'<9-0,5; б) 905х’-3<27.
С-14
1. Решите неравенство 4|х-||<8.
2. Решите уравнение:
а) Зх+‘— 4-Зх-2 = 69; б) 4х-3-2х = 40.
С—15
Для данной функции найдите обратную и постройте графики данной и обратной функций в одной и той же системе координат:
а) у= — 0,5х-|-2; б) у = х2 — 2, где х^О.
С—16
а) Начертите график функции y = log2 (х—1). б) Выделите на рисунке часть графика, для которой — 1<у<2, и найдите соответствующие значения х. в) Начертите график функции у= |log2(х— 1)1 и выпишите наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [1,5; 9].
1.	Вычислите без таблиц и калькулятора
31S 5+v’g 64. £
2.	Найдите х, если
log7x=2 log7 54-4"log7 36—T-log7 125. z	о
3.	Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
-yiu	0
100а	’
С—18
1. Решите неравенство log05 (1 — х)> — 1.
2. Решите уравнение:
a) logo.5 7-+41°go.5^=-l: б) lg (100x)-lg (0,01х) = 5.
С—19
1. Решите неравенство logo,2X<l.
2. Решите уравнение
у log3 (5х — 1) —log3 (х+ 1) = 0.
С—20
Решите систему уравнений:
а) Г log4х —log4у= 1, б) ( log2(x — у)=1, |х-Зу=16;	\2‘.3*+1 = 72.
С—21
1. Дана функция f (х)=е~*’81п 2х. Найдите f' (х), f' (0).
2
2. Вычислите интеграл $ 5xdx.
— 1
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = е~“, у—\, х=—2.
1.	Дана функция f (х)=-|-1п ( — 4х). Найдите f' (х),
2.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции
<р (х)=х— In X.
3.	Вычислите (с точностью до 0,01) площадь фигуры, ограниченной линиями
У=~ х=1, у=-.
С—23
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями £
у = 2х3 t/ = 0, х=1, х = 8.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x-3 в точке его с абсциссой %о=1. Выполните рисунок к задаче.
С—24
1. Докажите, что функция у = 8е~2х удовлетворяет уравнению У'=— 2у.
2. Запишите общий вид решения дифференциального уравнения г/' = —4г/ и найдите решение этого уравнения, удовлетворяющее условию г/ (1) = е.
Вариант 5
С—1
1.	Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке (— оо; 0):
a)	F (x)=V^x, f (х)= —  - L_i ;
2 у — х
б)	F (x) = sin2 х+ 1, f(x)=sin2x.
2.	Для функции f (х)= — х+ 1 найдите первообразную, график которой проходит через точку М (— 2; —3). * ч
С—2
Найдите первообразную для функции:
ч г / \	1.x	1 X
a) f (х)=—sin ———cos —;
б) g (x) = V7x+l на (—у-; оо")
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у — 1 — х* 1 2 3, у = 0;
б) y = sin2x, у—О, О^х^-^-.
С—4
Вычислите интеграл:
5л
4	~6
a)	x-yzdx', б) \ cos xdx.
6
С-5
Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент t равна v (f) = 2t — sin л Л Найдите путь, пройденный точкой за время от 2 до 6.
С-6
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) £/ = х, у = 2 — х2, х = 0 (х>0);
б)	у =—"т-> w = 8cosx, х = 0, 7 cos2 х и	2
2	4	с2
Вычислите: а) ^(1—dx\ б) \ —
7 J \	2	7 J sin2 2х
л б"
С-8
1. Верно ли равенство -у99 — 10-\/2 = 7 — 5-\/2?
2. Найдите значение числового выражения:
a)	б) (VF+д/^У) :(л/3+дД-)
3. Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите приближенное значение числового выражения:
a) V10.731; б) ^2 + л/2-
4. Какое из чисел больше: д/2 или
L Вынесите множитель из-под знака корня в выражении 5/2а\ где а<0.
2. Решите уравнение:
а) х6 —Зх3—• 10 = 0; б) -Jx + 3tfx-4 = 0.
3. Упростите выражение:
a) V7-a/22-V7+V22; б)
С—10
1. Решите уравнение -\/4 + х--\/5 —х = 2 -\/2.
2. Решите систему уравнений
1 s/x — -\[у = 1
С—11
1.	Найдите значение числового выражения:
2	1	1_1
а)	(273 Ч- 1253 4-83) 4;
1 _ 1 1
б)	(10+73* 1 2) 3:(10 —л/73)3
_ _5
2.	Сравните числа (5/5) 3 и д/5_| :5/25.
3.	Упростите выражение
и+8	и—8
““2	2
и3— 2^Й4"4	V“T4"2«3
С—12
1.	Изобразите схематически график функции у — 5'~х.
2.	Вычислите: а) ^/5(^+1)1-25-^; б) ((у) )
3.	Укажите области определения и значений функции у=Л/3^9.
4.	Упростите выражение
1
((х^ -уУ") (х^ +у^)+у2 ^)А
С—13
1. Решите уравнение 2х 4* 2х 3=18.
2. Решите неравенство 3|х1+2<27.
1. Решите уравнение 4-Зх+3=12.
2. Решите неравенство — 21-х—8<0.
1. Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции f. Укажите области определения и значений функции g;
а)	Н*)=т±7;
б)	f(x)=^3^x\ х<0.
2. По заданному графику найдите значения обратной к f функции g в точках —2; 0; 1 (рис. 5). Постройте график функции g, укажите ее области определения и значений.
С—16
1.	Определите знак числа:
а)	б) logo,5 0,75.
2.	Найдите область определения функции
__	1 — X logs (х* 1 2—9) 
3.	Изобразите схематически график функции y=10go,4 ( — х).
С—17
1. Вычислите без таблиц и калькулятора:
a) log^l2-log,9; 6)
2. Прологарифмируйте по основанию 2 выражение
. а>0, 6>0, с>0. 9^У
3. Сравните числа:
а) 3,ов’" и П108'3; б) log25 + log52 и 2.
1. Решите уравнение:
a) log^ (х2-5х—3)=2; б) lg (х-1)=0,5 lg (1 + 1,5х).
2. Решите неравенство:
a) log2 (2х—l)>log2 (Зх —4); б) ^->0.
1g л
1. Решите уравнение:
а) 2 log2i х —51og3X = 7; б)	——т-= — 4.
'	ь	' Igx —2 * 1 2 3 Igx —3
2. Решите неравенство:
a) lg2x2 + 3 lgx>l; б) 72х —3-7х>10.
С—20
Решите систему уравнений:
а) Г log2(x+y)=3, 1 logi5x=l — log15 у;
б) ( 2cosx + 4sin* = 3, 1 2C0S х , ^sin у___g
1.	Найдите производную функции:
✓ 1 \ 2х +0,5
a) f (х) = О,2е7+о,|х; б) f (x)=(f)
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции f (х) = — е'~х в точке с абсциссой хо=1.
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х)=(х— 1) ех+1
С—22
1.	Найдите производную функции:
a) f (x)=ln (1 — 0,2х); б) f (х) = logs (х2 — 2 -\[х).
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции f (х) в точке с абсциссой хо=1, если f (x) = log2 (х-|-3).
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (х)=х2 log2 х.
я	С—23
/ ] \-9
1. Найдите производную функции f(x)=( —1	+х- .
2. Вычислите приближенное значение ^/125,15—^124,85.
3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 0, у=хл, х=1, х = л.
1. Запишите дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция f(x) = e~ix.
2. Найдите решение дифференциального уравнения f'(х) = = f (х) 1п 4, такое, что f (1) = 2.
Вариант 6
С—1
1.	Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке (0; оо):
a)	F (х)=пД+7^-2, f
б)	F (х) = 3 — cos2 х, f(x)=sin2x.
2.	Для функции ft(x)=l — 4х найдите первообразную, график которой проходит через точку Л1(—1; 9).
С—2
Найдите первообразную для функции:
a)	f(x)=-y-sin—+—cos-y;
б)	g (х)=д/бх —2 на оо)
С-3
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у=х3, х= — 1, у = 0;
б)	f/ = cos0,5x, г/ = 0, х=—где — л^х^— «5	«5
Вычислите интеграл:
2л
4	3
a) J— dx\ б) J sin xdx.
1	л
з"
С-4
С-5
Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент t равна v (/) = VH-cos л/. Найдите координату точки в момент /, если ее координата в момент времени / = 0 равна 3.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у=х, у=»2—х\ у==О, где х^О;
б)	у==^7’ &“*<***> У^> Л=в°-
С—7
0	12
Вычислите: а)	б) (—тт—
' J	3	J cos	Зх
1	о
С—8
1.	Верно ли равенство 8 — 4	12 —64 -\/3?
2.	Найдите значение числового выражения:
а>	б) (^-л/Жт/б--^)
3.	Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите при-ближенное значение числового выражения:
a) V2CX39; б) V3+A/3.
4.	Какое из чисел больше: -у/3 или д/д/28?
С—9
___1. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении V466, где 6<0.
2. Решите уравнение:
а) х6 —2х3—15=0; б) ^[х — 4\/х = 5.
3. Упростите выражение:
a) V9-V17-V9+V17; б)
С—10
1. Решите уравнение -yfo+x «-^в— х =х.
2. Решите систему уравнений
fV^+Vy=3,
1 Л^+л/у = 9-
1.	Найдите значение числового выражения:
/-/14	~ 2	11	1 _1
а)(83+('э’)	+ V 1253) б) (12—191 2)3 :(12-(-192) 3.
_ £	П IT5”
2.	Какое из чисел больше: (^9) 4 или у— *9 7?
3.	Упростите выражение 8ч-|-1_____________________8ч— 1___
4ч3 — 2^+1	4^йТ+2ч3+1
С—12
1.	Изобразите схематически график функции у = 0,2|-х.
2.	Вычислите: a) •^3(''®+1),-9-'^; б)
3.	Укажите области определения и значений функции у = =у/2^4.	э 2	_ 1
4.	Упростите выражение ((х”’— у") (х"’+ ул) Ц-(у2)л)
С—13
1. Решите уравнение Зх-(-4-Зх+1 = 13.
2. Решите неравенство 3х’>98.
С—14
, j ч2х’ + 3х-1
1. Решите уравнение (у)	= 4Х .
2. Решите неравенство (у) — 3|-х + 6<0.
1. Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции f. Укажите области определения и значений функции^: a) f(x)=yy; б) f(x) = =-\/2—х2, х^О.
2. По заданному графику найдите значения обратной к f функции g в точках —1; 1; 3 (рис. 6). Постройте график функции g, укажите ее области определения и значений.
1.	Определите знак числа:
a) logs 4; б) log^ 0,9. "з
2.	Найдите область определения функции у-
3.	Изобразите схематически график функции y = lg |х|.
X______
log2(№ —4) 
С—17
1.	Вычислите без таблиц и калькулятора:
a) logV5 18 —log34; б) /!21в27±21оЦ\3
4 log, V6^5+log, 4 ' О
2.	Прологарифмируйте по основанию 5 выражение
1-25а Я/Zjjc3 1 л л л
---тЛ-—, &>0, х>0, z>0.
Зт/«/г3
3.	Сравните числа:
а) 7|оез" и 11’°В17; б) log25 + log53 и 4.
С—18
1. Решите уравнение: a) log^ (х1 2 —Зх)=4; б)
2. Решите неравенство: а) 3 log2 х — 2 1og2x<5;
lg (2х+1)=0,5 lg (1 —Зх).
б)	О-
Ig (*+1)
С—19
1. Решите уравнение:
а) 3 log2 x4-2 1og2x = 5; б) , 2| , +, 3, о = 2.
'	6-j	6	’ lgx-bl lgx+2
2. Решите неравенство:
a) 1g2 х-21gx>2; б) 152х + 3- 15ж> 10.
С—20
Решите систему уравнений:
a) pog3x4-log3 y = 24-log3 2, Ilog3 (х+у) = 2;
{/ 1 \sin^ 4СО5Ж + (2_) =3, / 1 \siny 4““ (-!-)	=2.
1.	Найдите производную функции:
a) f (х) = Зе3+2х; б) f (х) = 14°'* 1 2-5х
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = el+x в точке с абсциссой хо =— 1.
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции
С—22
1.	Найдите производную функции:
a) f(x)=ln(2—|-х) ; б) f (x) = log4 (х3 —
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой хо=1, если f (x) = log3 (2х + 1).
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x) = lg2(*+l)-lg(x+l).
С—23
/ 1	/ 1 \3
1.	Найдите производную функции f (х) = ^—)	4д—J
2.	Вычислите приближенное значение 6,08—\/32,15.
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 0у у = хе, х=1, х = е.
С—24
1. Запишите дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция f (х) = е-0,4х.
2. Найдите решение дифференциального уравнения (х) = = f (х) In 3, такое, что f (1) = 9.
Вариант 7
С—1
1. Является ли функция F первообразной для функции f на промежутке I:
a) F(x)=^T+2, f(x)=—L=-, 1=(1; оо);
2 ух— 1
б) F(x) = 3x2—1, f (х) = х3 — х, 1 = ( — оо; оо)?
2. Для функции ft(x) = sinx найдите первообразную Н (х), такую, что = 2.
Найдите первообразную для функции:
a) f(x) = sin(l,5x-l)+V*: б) ё(х)=-—~ =- +у-о сиъ — Xj Z
С—3
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у —0, у = 2х, у = 3 — х1 2 3 4, х^О, б) у= |sin х|, у = 0, х=у-, где л<х<^-.
О
Вычислите:
5 -у[х dx\
б)
л
з"
(
J cos2 X ’ о
С-4
9
а) J
1
С—5
Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени t равна v (/)= 10/ — 0,008/3 Найдите путь, пройденный точкой за промежуток от /=10 с до t = 20 с, и ее ускорение в конце пути, если скорость измеряется в метрах в. секунду.
С-6
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	У = х2, У = 4х —3;
б)	(/ = cos2x, t/ = sin х, у = 0
Вычислите:
С—7
3	1,2л
a) $(3x+l)3dx; б) $4,2sinf-y--------------cosf-y---------dx.
0	1,6л
1. Верно ли равенство -д/52 — 30 л/3= 5 — 3 л/3?
2. Найдите значение числового выражения:
а) ТЦ/З-Ш б) ^-д/^.у^-у/2-^/1^
3. Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите приближенно значение числового выражения:
a) V20.991; б) ^5 + л/б-
4. Сравните числа -\Д/2 и пД/3.
1.	При каких а справедливо неравенство
2.	Решите уравнение:
а) —+—1—=2; б) 3^=10.
ух— 1 ух+\
3.	Упростите выражение:
а) -74-2^3+л/4 + * 1 2л/3; б) VU~W(1+W+WT-
С—10
1. Решите уравнение -\/х2 + Зх + 3=2х+ 1-
2. Решите систему уравнений
f V*-Vy=i.
t X —у = 7.
С—11
1.	Упростите выражение и вычислите его значение:
a) 15-2.45j:75,j + 2t.4«; б) (b2 -y/bf - (b3 -y/b)7 при 6 = 3.
2.	При каких значениях переменной верно равенство:
а) (а5)5 = а; б) (а4)4=|а|?
3.	Упростите выражение
(х2 +у2)(х—х2у2 +у3)+(х2 —У2)(х+х2у2 +у3).
С—12
1.	Изобразите схематически график функции г/ = 3“х.
2.	Сравните числа:
a) и З-2,25; б)	и З15.
3.	Укажите области определения и значений функции »=л/'-(т)'
4.	Упростите выражение
С—13
1. Решите уравнение 0,53~2jt-|-3'0,25I_*=7.
1 + 1 -1
2. Решите неравенство 252х «<125 3
1. Решите уравнение 2 «3х 6 + 6-9°,5х * 1 2 = 56.
2. Решите неравенство 4х+(у-)	—8^0.
Рис. 7
С—15
1.	Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к данной функции /. Укажите области определения и значений функции g:
a)	f(x) = 3 —х3;
б)	f (x)=(VT+x2)-	х>0.
2.	По заданному графику найдите значения обратной к f функции g в точках —1; 1, 2 (рис. 7). Постройте график функции g. Укажите ее области определения и значений.
С—16
1.	Определите знак числа:
a) logo,з 4; б) 1g 3—К О
2.	Найдите область определения функции
у = -.-7—тг+л/7-х
logi2(x — 3)
3.	Изобразите схематически график функции y = \g-^c.
С—17
1. Прологарифмируйте выражение по основанию 7:
7 л/7а3 5d0,5 -yjk
2. Известно, что Iog3o3 = a, Iog3o5 = 6. Найдите log3o 8.
3. Найдите значение числового выражения:
a) logV3 24 - log9 46; б) 7'°*"2- 2|0*"7
1. Решите уравнение:
a) log2x 64 — log2x 8 = 3; б) х'8Х=100х.
2. Решите неравенство:
a) lg(x-l)* 1 2>0; б) log2 (х — 1) > log ।
1. Решите уравнение:
а) 1g2 х2 —3 1g х2=4; б) 4 —lg х = 3 -\/lg х.
2. Решите неравенство:
a) log± (2x-3)>log± (х2 —6); б) 4х — 7-2х + 12>0. 2	2
С—20
Решите систему уравнений:
а) Г log3 x + log3 у= 1 — log3 2, б) Г 3х-2^ = 576,
( log3(x + y) = 2;	[log^(t/ — х) = 4.
С—21
1.	Найдите производную функции:
✓ । х 0,5х 4- 1
a) f(х) = е2-|4х; б) Цх)=(-^)
2.	Найдите уравнение касательной к графику функции ех — е~х, параллельной прямой j/ = 2x-|-l.
3.	Найдите точки максимума и минимума функции /(x) = ^3-3x
С—22
1.	Найдите производную функции:
a) f (х)=1п(х3 — 2х2+1); б) f (х) = log^ V3 —2х.
2.	При каком а касательная к графику у = а In (Зх — 1) в точке с абсциссой хо = 2 наклонена к оси абсцисс под углом 45°?
3.	Найдите точки максимума и минимума функции f (х)= In3 х —3 In х.
С—23
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (х) = (2 —х) х^3
2. Вычислите приближенное значение	12 — ^63,64.
3. Найдите первообразную для функции f (х) = х^ + х“А
। --q x
1. Удовлетворяет ли функция f (х) = е дифференциальному уравнению f' (x)=-b-f (х)?
О
2. Найдите решение дифференциального уравнения f (х) = = 1п 5f (х), такое, что f (6)=5.
Вариант 8
С-1
1.	Является ли функция F первообразной для функции f на промежутке I:
a)	F(x)=2VT+7+1, f(x)=—I=(—1; оо);
•уЧ-х
б)	F(x)=x* 4 *—f (х)=4х3 — 2	1 = (0; оо)?
Vх
2.	Для функции ft(x) = cosx найдите первообразную Н (х), такую, что Н ( —= 1.
С-2
Найдите первообразную для функции:
a) f (x) = cos(l-l,5x)+Vx+l; б) g(x)= - / U olll	О
С—3
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) У = 0, у=-^-, у = 5 —ха(х>0); б) у— |cos х|,
С—4
Вычислите интеграл:
Л
4	3
а) ( 6 dx; б)	—^г
J	x-Jx	J	Sln'
1	л
т
Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент времени t равна v (f) = t1 2 —	1. Известно, что в начальный момент
/ = 0 точка имеет координату —1. Найдите координату и ускорение точки в момент времени t.
С—6
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у = 2х2, у=х+1;
б)	y = cos 2х, t/ = sin х, х = 0 f
Вычислите:	л
1,5	24
a) j(l— 2x)3 *dx; б) $ (cos2^2x——sin2(2x—j-)) dx.
12
C-8
1.	Верно ли равенство-у97 —56 V3 = 7 — 4 V3?
2.	Найдите значение числового выражения:
a) V5VF-V5^; б) :(V5+V1-)
3.	Пользуясь калькулятором или таблицами, найдите значение (приближенное) числового выражения:
a) V273T; б) A/7 + V7-
4.	Сравните числа -\/УГЗ и VV2-
С-9
1.	При каких b справедливо неравенство
2.	Решите уравнение:
a)wr+wr=l; б)^+3^=18.
3.	Упростите выражение:	______________
а) Л/3-2'\/2+'\/3 + 2 V2;	б) -7(л/а + л/Ь)2-4^.
1. Решите уравнение х— 1 =-\/2х2 —Зх —5.
2. Решите систему уравнений
(V*+W=3,
I х+у=9.
С—10
1.	Упростите выражение и вычислите его значение: -1—1	12	1	1
а) (12 3 - 18 3 .б315)* 1 2-34 -98 ; б) (а3 \/а)3-(а2 \[~а)7 при а = 3.
2.	При каких значениях переменной верно равенство:
2
а) (а7)7= — |а|; б) (а6)6 = а?
3.	Упростите выражение
Д 1	2
/ х2 —у2	| X2+у2 \ ' х—у
\	~2 	*2	2	*2	'	2 ~\/хи
ху -^х у ху —х у v у
С—12
1.	Изобразите схематически график функции г/= 0,5“*
2.	Сравните числа:
а) и у2-75- б) ((V5)^ и 52,5
3.	Укажите области определения и значений функции »=л/з-(4-)'
4.	Упростите выражение
(£(t/5-2)’;£(V5 + 2)’)“2
С—13
1. Решите уравнение 0,23 2х + 3-0,042 х = 8. 1+2	/1ч-1
2. Решите неравенство 273х >( —1 2
С—14
1. Решите уравнение 4-9|,5х_| —27х-, = 33.
х; + 2х- 15
2. Решите неравенство 7,3 х~4 >1.
1. Выведите формулу, задающую функцию g, обратную к функции f. Найдите области определения и значений функции g:
a)	f(x)=l—8х3;
б)	f (x) = (V2 + ?)-3, х<0.
2. По заданному графику найдите значения обратной к f функции g в точках —2; — 1; 3 (рис. 8). Постройте график функции g. Укажите ее области определения и значений.
С—16
1.	Определите знак числа:
a) log^/2 3 —3; б) log2 3 + log2 0,09.
2.	Найдите область определения функции
3.	Изобразите схематически график функции y = lgy-.
С—17
1.	Прологарифмируйте выражение по основанию 5:
0,04 ~\/b
2.	Известно, что logeo2 = a, Iog6o5 = fe. Найдите logeo 27
3.	Найдите значение числового выражения:
a) log^ 54-log4 96; б) 2logl 11 - 1 llogj2
1. Решите уравнение:
а) 3-2х+1 —6-2х-' = 12; б) xlgx=1000x1 2
2. Решите неравенство:
а) 27<8т+*; б) log3 (х+ l)<log . -5^—
1. Решите уравнение:	___
a) lg* 1 2 *x24-lg х2 = 6; б) 5 —2 lg х = 3 -0g х.
2. Решите неравенство:
a) logs (х2 + 5)> log3 (х+7); б) 9х-8-Зх+15<0.
С—20
Решите систему уравнений:
а) Г logs x + log2 y = 2 + log2 5, б) ( 3х-2* = 972,
I logo.5(x — у) = 0;	log^(x—у)=2.
С—21
1.	Найдите производную функции:
a) f (х) = е4-7х; б) /(х) = 42-3х.
2.	Напишите уравнение горизонтальной касательной к графику функции ех + е-х.
3.	Найдите точки максимума и минимума функции
f(x) = ex<~2x’
С—22
1.	Найдите производную функции:	_______
a) f (х) = In (х4 — Зх2 + х); б) f (х) = log^j \/4—0,\х.
2.	При каком а касательная к графику функции а In (2 — Зх) в точке с абсциссой хо=— 1 наклонена к оси абсцисс под углом 60°?
3.	Найдите точки максимума и минимума функции
f (x)=log2X — 2 10g2X+2.
С—23
1.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=(x-l)xA
2.	Вычислите приближенное значение ^/32,15 — ^/31,75.
3.	Найдите первообразную для функции f (х)=х^+х_А
С—24
1. Удовлетворяет ли функция f (х) = е-3х дифференциальному уравнению f' (x) = 3f (х)?
2. Найдите решение дифференциального уравнения f' (х) =
= 1п9/(х), такое, что f(3) = 9.
С—1
1.	Докажите, что функция F (х) = х |х| является первообразной для функции f(x) = 2 |х| на промежутке (— оо; оо).
2.	Найдите первообразную для функции:
a)	/(*) =	б) f(*) = cos2x.
-ух — 1
С-2
Найдите первообразную для функции:
а)	—г?—й—3 sin (4 —Зх)+1;
' cos^(x—1)	4	' 1
б)	х sin х + У2х— 1, используя формулу производной функции X COS X.
С—3
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
{2 cos х при — > О A J — *4-2 при 0<х^2;
б)	У=^1\х\, у = 0, х=— 4, х—\.
2	С—4
1. Вычислите \ (1 +2х)3 dx. О	А
2. При каких А выражение | \	11 меньше 0,1? 0,001? е?
С—5
Материальная точка массой 5 кг движется по прямой так, что о действующая на нее сила в момент времени t равна 6/ —Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от 2 до 5 с, если известно, что ее скорость в момент /= 1 равна 3 м/с. (Сила измеряется в ньютонах, время — в секундах.)
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
У = р-. х=1> у = х— 1-
2. Из геометрических соображений найдите интеграл
2
(3 +	—^2) dx.
-2
Вычислите:	С—7 Л
4	8 a)J(l+f)dx; б)	3 5 (cos2(x+y-) — sin2(x4-y-)) dx. Л "б
С—8
1.	Верно ли равенство --Е— —=~\/	?
уЗ + 1	’ 94“5 уЗ
2.	Докажите формулу сложного радикала
3.	Сократите дробь у а— yb
4.	Какое из чисел больше:
V1986 + V1988 или 2VT987?
С—9
1.	Найдите значение числового выражения
л/2 + л/З	+	--\/2+-/2+л/2 + ^3 X
xV2-V2+V2+V3.
2. Решите уравнение:
a) x-l=7(Vx-l);
б) -2
3. Упростите выражение: а>
б) У а2 + а ^8 + 2 +У а2 — а ^8 + 2.
1. Решите уравнение
V10-x-V3-x = l.
2. Решите систему уравнений
( х ^fx + Зу ->/х = 36, \у -^у + 3х^у = 28.
С—11
1. Найдите значение числового выражения
2	2	2 2	2222
/ 2 * 1 2 -3 3 +2 3 -3 2 \ 3 , / 2 2 -3 3 —2 3 -3 2 >
'	2®+3®	'	'	2®—3®	'
2. Упростите выражение
/ (х2 + <Г) 2 +(х2 —а2) 2 \~2 (х2 + <г) 1 — (х2 — а2)
I
(~,2 । „2 \ 2
——)	а>0, 0<Zm<Zn.
2тп /
С—12
1.	Изобразите схематически график функции lg lg 10x+l
2.	Сравните числа (7 — 4 -д/З)3,8 и (7 4- 4 д/З)-3,5
3.	Найдите область определения и область значений функции у = Л/22х-2х+3+ 15.
С—13
1. Решите уравнение 2х’ 1 =(-!-)
X2 —9х+ 14
2. Решите неравенство 2,5 х-3 >1.
С—14
1. Решите уравнение
(V5 + 2-V6)x + (^5-2 2б)х = 10.
2. Решите неравенство 3s,nx
1. Выясните, какие из указанных функций обратимы на всей числовой прямой:
а) у — х* 1 2— 3;	б) у = 2х3— 5x4-3;
в) t/ = x3-|-4x; г) у—\[х.
2. Может ли обратимая на отрезке [1; 3] функция иметь максимум в точке 2? Ответ обоснуйте.
1.	Изобразите схематически график функции	С—16
у= I |1п X—1 | — 1 |.
2.	Вычислите
lg tg 1 ° + lg tg 2° 4-... 4- lg tg 88° 4- lg tg 89°.
3.	Найдите область определения функции
у=-Vlg2x —4 lgx4-3.
С—17
1.	Известно, что lg2 = a, log2? = &. Найдите 1g 56.
2.	Упростите выражение
1 . _!_ I 4
(х 21og,x + 831ogjtJ2+0
3.	Какое из чисел больше: log2 3 или logs 5?
С—18
1. Решите уравнение:
a) log* (х4-2) = 2; б) log^x = x — 4.
з
2. Решите неравенство:
a) lg(x—l)4-lg(x —3)<lg(-|-x —3) б)	— xlgx>0.
С—19
1. Решите уравнение:
a) log*+1 (х —0,5) = logx_0,5 (х 4* 1);
б) [-I—l°g. х| +±=|А_log±x| 8	8
2. Решите неравенство:
a) log* x + log2 х2< — 1; б) -VlogxVSx< — logx 5.
Решите систему уравнений:
а) ( х* 1 2 = 1 +6 log4 у, б) ((2Х+1) 2»+‘ =9, (у2=у.2х + 25х*1;	\^+^=х + у.
С—21
1.	Найдите точки экстремумов функции f (х)=хех,~3х
2.	Постройте график функции у = 3|огэ(х’-4х+1).
3.	Какое из чисел больше: 2^ или 3^?
С—22
1.	Найдите производную функции:
a) f (x)=log2 (x3 + cos х); б) f (x)=ln sin-£-.
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции Л(х)=1п(—1—2x)4-log2(1 — х) в точке с абсциссой хо= —1.
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (х)= 1,5 In2 х — In3 х.
С—23
1.	Найдите производную функции у = хх.
2.	Вычислите приближенно значение V16,08 — ^32,60.
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = (х2 —2х+ 1)-хА
С—24
1. Период полураспада радиоактивного вещества равен 3 ч. Через какой промежуток времени от 8 кг этого радиоактивного вещества останется 0,25 кг?
2. Запишите решение дифференциального уравнения Зу2у' = у3.
Вариант 10
С—1
1. Докажите, что функция Г(х) = х3 |х| является первообразной для функции f(x) = 4x2 |х| на промежутке (— оо; оо).
2. Найдите первообразную для функции:
a) f (х)=	б) f(x) = sin2x.
2 Vх “Ь1
Найдите первообразную для функции:
а> fW=T^W+3cos(3-4.)+l;
б) g (*)=х cos х — у/1 + 2х, используя формулу производной функции х sin X.
С—3
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: {х + 2 при — 2^х^0, 2 cos х при 0<х^—;
б) y = -yj\x\, х =—9, х = 4.
С—4
Вычислите интеграл:
I	з
а) ( (l+2x)4dx; б) ( -(2-Кл- dx.
J	J	ч
О	2
С—5
Материальная точка массой 1 кг движется по прямой так, что действующая на нее сила в момент времени t равна 6/-^-. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени от 3 до 8 с, если известно, что ее скорость в момент t = 2 равна 2 м/с. (Сила измеряется в ньютонах, время — в секундах.)
С-6
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
«/=7*. У = х — 2, х = 2.
2. Из геометрических соображений найдите интеграл
J (3- л/Э^х2) dx.
-3
Вычислите:
о
a) J l^dx;
— 1
б) ( 12sin(-£—х^ cosf-£—х\ dx.
J \ 8	/	\ о /
л 7
1.	Верно ли равенство —г. =	___ — ?
И F	2V2	V2O+12-V3
2.	Докажите формулу сложного радикала
3.	Сократите дробь —.
4.	Какое из чисел больше:
V9999 + V1 000 1 или 2^10000?
С—9
1.	Найдите значение числового выражения
л/3 + л/8 -л/3+л/3 + л/8-л/з+Тз+л/З + л/в X хд/з-д/з+л/з+Тз •
2.	Решите уравнение:
а)	х+1 =3(^+1);
б)	V(1 +х)* 1 2-3 УГ^Р+2 V(1 -х)2 = 0.
3.	Упростите выражение
Vo3 — д/а2Ь 4- Vab2 — д/б^ \\[а \Jb)
б)	д/х + 2 лД — 1 +VX —2 лД- 1
С—!•
1. Решите уравнение
V9-x + V7 + * = 4-
2. Решите систему уравнений
х2 + х Vxt/2 = 8®, У2 + У ^/ух^=5.
1.	Найдите значение числового выражения
2 2	2 2	2222
/ б3 -23 +53 -23 \ 3  /б3 -23 —53 -23 \ 3
s'5—23
2.	Упростите выражение
(а+х)	3 (6+х)	* 1 2 +(а—х)	3 (х—6)	3	\ 2
(аЦ-х)	3 (x+ft)	3 —(а—х)	3 (х—Ь)	3
С—12
1. Изобразите схематически график функции log2 log2 4|-х 2. Сравните числа (5 —2-\/б)3,3 и (54-2-Тб)-31.
3.	Найдите область определения и область значений функции t/=-^/32x —Зх+24-20.
С—13
1. Решите уравнение 3X’+I=^—)
хг4~3х—10 < ।
2. Решите неравенство 8,6 х“3
С—14
1. Решите уравнение
(-V74-W+(л/7-л/48)х ^14-
/ 1 \-ctgx
2. Решите неравенство 2gx>(-^-)
С—15
1. Выясните, какие из указанных функций обратимы на всей числовой прямой:
a) t/ = x2+l; б) у—х3—31x4-2;
в) у = х34-7х; г) у=^х.
2. Может ли обратимая на отрезке [—1; 1] функция иметь минимум в точке 0? Ответ обоснуйте.
1.	Изобразите схематически график функции у=||1пх—2| —1|.
2.	Вычислите
lg tg 10 • lg tg 2° •... • lg tg 88° • lg tg 89°.
3.	Найдите область определения функции
у = Vlg2x4-51gx4-4.
С—17
1.	Известно, что lg5 = a, lg3 = &. Найдите logao 8.
2.	Упростите выражение
^log2 2х2 ч- log2 х • x10g'(log’х+1 >+4" !°g< X4 + 2-310g»-5 ,og2 х.
3.	Какое из чисел больше: log2 3 или logs 8?
С—18
1.	Решите уравнение:
a) log* (х+6)=2; б) ->/log*	= — log* 5.
2.	Решите неравенство:
a)	lg(2x-l) + lg(2x-3)>lg(3x-3);
б)	2vnr?i-(x-9)lg(x-9)<0.
С—19
1.	Решите уравнение:
а)	0,5 1g(8-х) = lg(1+7^+5);
б)	11 — log^ х| + 1 = |2 — log^ х|.
9	9
2.	Решите неравенство:
a)	log2x+log4-/«> 1-5;
б)	logx 2x<Vl°g* (2х3).
С—20
Решите систему уравнений:
а) Гх»’-'^+56=1, б) (х2 —у-\/ху = 36, (у—х = 5;	у2 — х -\[ху = 72.
С—21
X* 1 2 — X
1.	Найдите точки максимумов функции f (х) = х>(-~-^
2.	Постройте график функции у = 10,g 1х+11-2
3.	Какое из чисел больше: л* или ел?
С—22
1.	Найдите производную функции:
а) f (х)= log! (х2 —sin х); б) f (х) = In cos -у-.
2.	Напишите уравнение касательной к графику функции h (х) = log0 5 х + 1g (3 — 2х) в точке с абсциссой хо = О,5.
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции у=1,5 lg2 х + 1g3 х.
С—23
1.	Найдите производную функции у = -\[х2'с.
2.	Вычислите приближенное значение V^2,20 — \/15,88.
3.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции # = (х2 —4х + 4)-хл/3
С—24
1. Период полураспада радиоактивного вещества равен 2,5 ч. Через какой промежуток времени от 4 кг этого вещества останется 0,5 кг?
2. Запишите решения дифференциального уравнения 2уу' = у2
ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 1
ПС-1
1.	Вычислите Z^. + l+<4.
7H-4-V3	7-4^3
2.	Число деталей, которые рабочий должен был изготовить по плану, составляет 80% числа фактически изготовленных деталей. На сколько процентов рабочий перевыполнил план?
3.	Найдите неизвестный член пропорции
х:(10,5-0,24- 15,15:7,5)=( 1^-0,945:0,9) : (1 JL__|_)
ПС—2
1.	Скорость поезда увеличилась с 70 до 85 км/ч. На сколько процентов уменьшилось время, затрачиваемое поездом на один и тот же путь?
2.	Напишите уравнение прямой, параллельной прямой у = = 2х— 1 и проходящей через точку М (5; 1).
3.	Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
( х — 2у>4, ( 2х + у^ — 1.
пс-з
1. Упростите выражение
а2 — ас2 + 2с2 — 4   а2 — 4а 4-4
а2 4- 2а 4- 2с2 — с4	а2 4-ас2 — 2а — 2с2
2. Решите уравнение -£^+-1^=-^-
1.	Для функции у = 2х* 1 2 * — Зх+1 укажите множество значений переменной х, для которых r/^0, f/<0.
2.	Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен х2 —7х4-Ю на множители.
3.	Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат числа —0,2 и —5.
ПС-5
1.	Найдите формулу n-го члена и сумму первых 15 членов арифметической прогрессии с первым членом 3,4 и разностью 0,9.
2.	Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии
2
с первым членом 3,5 и знаменателем —г-, о
3.	Представьте бесконечную десятичную дробь 2,3(45) в виде обыкновенной.
1. Упростите выражение:	111
ч cos 2а-|-1 — cos2 а „	Зя
а) -----—!-------—, найдите его значение при а=—— ;
«..(-=- + 2а)	4
sin I — а) cos (л — а) б)------.
cos2 (л — а) tg^Y + “)
2. Докажите тождество:
ч 2 sin 2а —sin 4а  , 2 sin 4а4*2 sin 2а g *
sin а । sin а __________ 2
1 4-cos а ' 1 — cos a sin а
ПС-7
1. Решите уравнение:
a) cos5x = cos3x; б) tg2 х — 3 tg х + 2 = 0.
2. Решите неравенство:
a) sin2x>— б) tg(x—
1.	Найдите область определения функции:	_________ _____________________
а) у=л/5 — х + log2 х; б) y=^sin х.
2.	Исследуйте функции на четность и нечетность:
a)	f(x) = x5 — x;
б)	f (х) = cos х + cos 2х;
в)	f (x)=tg(x— 1).
3.	На рисунке 9 изображен график функции f на отрезке [0; 2]. Известно, что период функции f равен 2. Постройте график функции f на отрезке [ — 2; 8].
ПС-9
1. Изобразите схематически график функции f, непрерывной на всей числовой прямой, возрастающей на промежутках (— оо; —2] и [2; оо), убывающей на промежутке [—2; 2] и такой, что f ( —2) = 3, f (2)= 1.
2. Постройте схематически график функции (без помощи производной), а также укажите ее области определения и значений, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы:
a) f(x) = x* 1 2 — 4; б) f (x)=cos х+2; в) f (x)=lg (х— 1).
ПС—10
1.	Найдите производную функции:
а) у = 3х34-2х^ — 1; б) у=хех-{ в)	•
х т z
2.	С помощью формулы дифференцирования сложной функции найдите производную функции f (х)=(х2 — I)102.
3.	Запишите уравнение касательной к графику функции f (х) = х3 —3x4-5 в точке с абсциссой Хо==2.
ПС—11
1. Проверьте, что функция f (х) = 2 sin 2х-|-3 cos 2х удовлетворяет уравнению у"=—4у гармонических колебаний.
2. Решите методом интервалов неравенство:
а) х24-х-6>0; б) ^^-(х+1)2 <0; в)	>°-
X — Z	Л — ОХ “Г о
1.	Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции f (х) = х3 — 12x4-2. Постройте ее график.
2.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = х3 — 3x4-7 на отрезке [ — 3; 1].
3.	Требуется изготовить коническую воронку с образующей I — 15 см. Найдите высоту воронки наибольшего объема.
ПС—13
1.	Найдите общий вид первообразных для функции f:
а) f (х) = х24-3 sin х; б) f (х)=	—cos(3x—1).
Л
1	~4
2.	Вычислите интеграл: а) $ (4х3 4- 6х) dx\ б) $ sin 2xdx. — 2	о
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 0, у = 2х2—1, х=1, х = 3.
,	ПС-14
— logs 12
1.	Упростите выражение 252	_|_72iog72
2.	Решите уравнение:
a) log2 (2х —3) = log2 (Зх —5); б) 32х-4=(^-)2“Х
3.	Решите неравенство ( —)	.
1.	Решите уравнение:
а) 32х+,-10-Зх4-3 = 0; б) V*+13 —V*+1 =2.
2.	Решите неравенство lg (х24-х4-8)< 1.
3.	Решите систему уравнений z x3_|_y3_g, [ log2х4-log2у— 1 •
ПС-16
1. Найдите производную функции:
а) у = е3х —б) y = ln(3x—1); в) у = (х4-1)х^
2. Найдите общий вид первообразных для функции:
a) fW=37TF; б> fW = e2x —3х; в) f(x) = (2x4-7)^
ОД “Г" 1
3. Напишите уравнение касательной к графику функции f (х) = 2х-3 в точке с абсциссой хо = 4.
ПС—1
1. Вычислите
9 —4 д/5
9 + 4 д/5
9 + 4 д/5 9—4/5
2. Число деталей, которые рабочий должен был изготовить по плану, составляет 60% числа фактически изготовленных им деталей. На сколько процентов рабочий перевыполнил план?
3. Найдите х из пропорции
(-Г + 0'* 1 +Т?) : (4- + 0’1 -iV)	+ 0.25 —у-) :0,52х.
ПС—2
1.	Скорость поезда увеличилась с 75 до 80 км/ч. На сколько процентов уменьшилось время, затрачиваемое поездом на один и тот же путь?
2.	Напишите уравнение прямой, параллельной прямой у = = 3 — 0,5% и проходящей через точку М (—1; 3).
3.	Изобразите на координатной плоскости множество решений ( 2х + 0,5ц^З, системы < Q
( х — оу> 1.
ПС—3
1. Упростите выражение — а4 — Ь4-	ab2~ь3
Н	к	4а2 3 — 2аb — b2	2a-b
2. Решите уравнение +7+7+^=++-
ПС—4
1.	Для функции £/ = Зх2 + 2%+1 укажите множество значений переменной %, для которых у СО, у>0.
2.	Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен х2 + 9х+18 на множители.
3.	Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат
1	о
числа —у и —3.
ПС—5
1. Найдите формулу л-го члена и сумму первых 20 членов арифметической прогрессии с первым членом 5,7 и разностью 0,8.
2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом —4,5 и знаменателем —0,75.
3. Обратите бесконечную десятичную дробь 1,4 (54) в обыкно-
венную.
1.	Упростите выражение:
ч 2 sin (л — а) + sin 2а	»	5л
а)		*-----, найдите его значение при а = ——;
2 cos а 4-1 + cos* 1 2 -у + sin2 —
tg(y + a) sin (л—а)
б)	/3^	\
e°s(y-«)
2.	Докажите тождество: > sin2tt+tg2a _ 9	2	cos а  cos а _ 2
tg 2а	14- sm а 1 — sin a cos а
ПС—7
1. Решите уравнение:
a) sin7x = sin3x; б) tg х + З ctg х = 4.
2. Решите неравенство: a) cos2x>4-; б) tg(x+4-)^_7r-*	\ о ' -уЗ
Рис. 10
ПС—8
1.	Найдите область определения функции: ______
а)	»/ = уЗ —x + logo,5 х;
б)	z/ = VC0S х-
2.	Исследуйте функции на четность и нечетность:
а)	f(x) = 3x7—х3;
б)	f (x)=xctgx+x4 * *;
в)	f (x)=ctg(x—2).
3. На рисунке 10 изображен график функции f на отрезке [ — 2; 1]. Известно, что период функции f равен 3. Постройте график функции f на отрезке [—6; 6].
ПС—9
1. Изобразите схематически график функции, непрерывной на всей числовой прямой, возрастающей на промежутке [ — 3; 1] и убывающей на промежутках (— оо; —3] и [1; оо) и такой, что f( —2)=—2, /(!)=!.
2. Постройте схематически график функции (без помощи
производной), а также укажите ее области определения и значе-
ний, промежутки возрастания и убывания, максимумы и мини-
мумы:
a) f(x) = 9 —х2; б) f (х) = 2 sin х— 1; в) f (x) = ln (х + 1).
1.	Найдите производную функции:
а) у = 2х4— Зх^+12; б) y=xlnx;
2.	С помощью правила дифференцирования сложной функции найдите производную функции f (х)=(х3 + 1,5х2)68.
3.	Запишите уравнение касательной к графику функции f(x)=x3—|-х—1 в точке с абсциссой хо = 3.
U
ПС—11
1. Проверьте, что функция f (х) = 3 cos Зх — 2 sin Зх удовлетворяет уравнению у"=—9у гармонических колебаний.
2. Решите методом интервалов неравенство:
а) х2 + 2х- 15<0; б) .(^+‘Их~3)2 >0; в)
'	х + 4	’ х2+6х + 8
ПС—12
1.	Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции у= — х3 + Зх+1. Постройте ее график.
2.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = Зх3 — х+ 1 на отрезке [ — 2; 3].
3.	Требуется изготовить коническую воронку с образующей /=10 см. Каков должен быть радиус основания воронки, чтобы ее объем был наибольшим?
ПС—13
1.	Найдите общий вид первообразных для функции f:
a) f(x) = x3 — 2 cos х; б) /(х)=-^^—sinJSx— л 2	?
2.	Вычислите интеграл: a) J (5х4 + 6х2) dx; б) $ cos 3xdx. -I	о
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у —0, у = 2х2+1, х = 2, х = 3.
ПС—14
1 А ,Og2 16
1.	Упростите выражение 9 Вз :2
2.	Решите уравнение:
a) lg (2х —3)=lg (Зх —2); б) (0,2)3ж-4 = 52~5х
3.	Решите неравенство log2 х —2 log2 х2> — 3.
1.	Решите уравнение:
а) 22х+1 — 5>2ж + 2 = 0; б) V%+17-^х+Т=2.
2.	Решите неравенство lg (х* 1 2 — %4-8)> 1. ( х3___________________________и3 = 56
3.	Решите систему уравнений J у ’	.
J	( log2x — log2 i/=l.
ПС—16
1.	Найдите производную функции:
a) £/ = e-0,3x + 2l-2x; б) i/ = ln(2x+l); в) у = (2х — 1) хА
2.	Найдите общий вид первообразных для функции:
3)	Ш = 2ГГГ; б) /(х) = е-°-5ж + 2ж; в) f(x) = (2x-3)^
3.	Напишите уравнение касательной к графику функции f (х) = 32х—3 в точке с абсциссой хо = 2.
Вариант 3
ПС—1
1. Упростите выражение:
a) V7 + 2 VT0-V7-2 V10; б)
2. Решите уравнение:
а) х5 4-32 = 0; б) х4 —81=0;
5-УЗ
5 + т/З
в) Vr + 2 V*-3 = 0.
ПС-2
1. Для данной функции найдите обратную и постройте их графики в одной и той же системе координат:
а) £/ = Зх —2; б) i/ = 0,5x2 —2, где х^О.
2. Сумма двух чисел равна 65, а их среднее арифметическое на 2,5 больше среднего геометрического. Найдите эти числа.
ПС-3
1. Может ли числовое значение выражения
(J\—1.5	0,4	9 - 0.6
4.)	-2(х+5)“+
3
быть равным 5—? Ответ объясните.
2. Решите уравнение 2х i х~3 — 7х~~27
х — 3 ' х — 4	х2 —7x4-12
1. Найдите корни уравнения х2 —3 |х| +2 = 0, удовлетворяющие неравенству |х—1|^2,5.
2. Найдите значения а, при которых парабола i/ = x2 + ax + 25 пересекает ось абсцисс в двух различных точках. Выпишите интервалы знакопостоянства функции для одного из найденных значений а.
ПС—5
logs (4+1+4+-)
1.	Вычислите 0,2	4
2.	Найдите сумму первых 20 членов последовательности, общий член которой выражается формулой bn = 3n— 1.
3.	При каких значениях х последовательность cos х; sin х; 1,5 является геометрической прогрессией?
ПС—6
1. Докажите тождество
лД cos a —sin а = 2 cos(-£- + a)
Найдите наибольшее значение выражения пД cos a —sin a.
2. Упростите выражение
1 — sin (1,5л + 2a) + sin 2a cos a + sin a
Укажите какое-нибудь значение a, при котором: а) данное выражение не имеет смысла; б) значение данного выражения отрицательно; в) значение данного выражения равно 2.
ПС—7
Решите уравнение:
а)	2 —cos х = 2 sin2 х; б) 2 cos(y- + Vx) + 1 =0;
в) f sin х-----—+f cos х------!—=1.
\	Sin X/ \	COS X /
ПС—8
Найдите область определения функции: а) у = V4 — х2-I- log3 (1 —х);
б)	у = V1 -г-2 sin х.
Постройте график функции:
а) у = 0,5х2 — 2х; б) у = 6 log2 -\/* + 1°£2
в)	t/ = 2cos(-|—2х)
ПС—10
1. Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s (/)=2/3-|-4 sin (0,5л/), в момент времени /=1 с, если путь $ измеряется в сантиметрах.
2. Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции f (х)=0,5х2-|-х — 1,5 в точке его с абсциссой хо =—2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к задаче.
ПС—11
1. Найдите f' (х), если f (х)=2 V*+(2 — 0,5х)2. Сравните с нулем f' (2).
2. Решите неравенство f' (x)<g' (х), если
f(x)=^-, g(x)=6x+^-.
ПС—12
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке [—1; 2].
2. Число 18 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.
ПС—13
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	У=у-> У = 0,5, х=1;
б)	у = х2 — 2x4-4 и у = 4.
ПС—14
Решите уравнение:
a)	log2(22x4-16<)=21og4 12;
б)	V(3x4-4) (x-5)4-5=x.
1. Решите неравенство log4 x* 1 2 * **log4-~^2.
2. Решите систему уравнений
Г 3* + %=10,
1 у —log3x = 2.
1.	Вычислите интеграл: 3	14
С	dx	.	f	dx
а) J	2x4-3	’ б) J	х In 7 *
1	2
2.	Докажите, что площади криволинейных трапеций, заштрихованных на рисунке 11, равны.
3.	Составьте уравнение касательной к графику функции f (х) = 2 In (х — 1) в точке его с абсциссой хо = 3. Выполните рисунок к задаче.
Рис. 11
Вариант 4
ПС-1
1. Упростите выражение:
а))	+ 3л/5-л/7-Зл/5; б) .
2. Решите уравнение:
а) х5 + 243 = 0; б) х6 —64 = 0; в) Цх-'Цх — 2 = 0.
ПС—2
1. Для данной функции найдите обратную и постройте их графики в одной и той же системе координат:
а) у = 2х + 5; б) у = 0,5х2—1, где х^О.
2. Найдите двузначное число, зная, что число его единиц
на 2 меньше числа его десятков, а произведение искомого числа
и суммы его цифр равно 252.
1. Может ли числовое значение выражения vl,8_vl,5	n
f-.rv^~(0’09)~—+ 3)
быть равным 5? Ответ объясните.
2. Решите уравнение 4-	2 =  2 -~о--
*4-2 1 х — 4	х2 — 2х — 8
ПС—4
1. Найдите корни уравнения х2 —4 |х| +3 = 0, удовлетворяющие неравенству |х+ 11 ^3,5.
2. Найдите значения а, при которых парабола у = х2 + ах + 9 пересекает ось абсцисс в двух различных точках. Выпишите интервалы знакопостоянства функции для одного из найденных значений а.
ПС—5
/ 1 ч log7(3+l+y...)
1.	Вычислите (—j
2.	Найдите сумму первых 10 членов последовательности, общий член которой выражается формулой Ьп = -^-.
3.	При каких значениях х последовательность 3 sin х, sin2 х, — 1 является арифметической прогрессией?
ПС—6
1. Докажите тождество
sin а —д/З cos а = 2 sin (а—
Найдите наименьшее значение выражения sin а — д/З cos а. ~	1—cos 2а—sin 2а
2. Упростите выражение cos(l>5n+a)_cos а •
Укажите какое-нибудь значение а, при котором: а) данное выражение не имеет смысла; б) значение данного выражения положительно; в) значение данного выражения равно 2.
ПС-7
Решите уравнение:
а) 2 —sin х = 2 cos2 х; б) 2sin^—д/х) — д/3 = 0;
в) 3 — 2 sin (n + 2x) = tg x + ctg х.
Найдите область определения функции:
a)	z/ = Vx + 2 + lg(9 — х2);
б)	у=^/1 +2'Cos 2х.
ПС-9
Постройте график функции:
а) у=— 0,5х2 + х; б) у = log05	log0,5 х2;
в)	у = 3 sin (л — 2%).
ПС—10
1.	Найдите скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s (/) = 3/2 + 4 cos (0,5л/) в момент времени / = 2 с, если путь s измеряется в сантиметрах.
2.	Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции f (х) = — 0,5х2 + * + 1,5 в точке его с абсциссой %о = 2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к задаче.
ПС—11
1. Найдите f' (х), если f (х) = 3 д/х + (2 — 0,5х)4	Сравните
с нулем f' (2).
2. Решите неравенство f'(x)>gz (х), если
f(x)=8x+p-, g(x)=-^tl
ПС—12
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = 32х + 2-33"х
на отрезке [—1; 2].
2. Число 24 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в три раза больше другого, а произведение "всех трех слагаемых было наибольшим.
ПС—13
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у=-|-, У= 1. х = 1;
б)	у = х2 + 4х-|-5 и у--"
3 Заказ 242
G5
Решите уравнение:
a)	log3(25*-2-5*) = 2 1og9 15;
б)	V(2x + 3)(x-4) + 4 = x.
ПС—15
1. Решите неравенство log3x*-log3-^-^ — 2.
2. Решите систему уравнений
( 2х+у = 5, I х — log2y = 2.
1. Вычислите интеграл: 4	15
dx
х In 5
площади
\ С dx 4? \ С
а) J зТ+Г- б) 2	3
2. Докажите, что криволинейных трапеций, за
штрихованных на рисунке 12, равны.
3. Составьте уравнение касательной к графику функции f (%) = 2 In (х + 1) в точке его с абсциссой %о=1. Выполните рисунок к задаче.
Вариант 5
ПС—1
1. Вычислите	-]—- 5 * *  -
V5—V2	л/7 + л/2	л/7-л/5
2. Рейку длиной 525 см разрезали на две части так, что первая из них оказалась короче второй на 25%. Найдите длину каждой части.
3. Найдите неизвестный член пропорции
1,2:0,375-2  0,016:0,12 + 0,7
4	2
625:15Т + 0’8
1.	Из 20-процентного раствора поваренной соли испарилось 25% имеющейся в растворе воды. Найдите онцентрацию получившегося раствора.
2.	Напишите уравнение прямой, параллельной прямой у = = 1 — Зх и проходящей через точку М (3; — 1).
3.	Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
f k—yl + k+f/K8,
{ x + 2t/>8.
ПС-3
1. Упростите выражение
/ х2________лГу \ . / х2 + у 2 _ хг —л/у \
\Х2-^	х2 + у^ ) \	X2 )
2. Решите уравнение
ПС—4
1.	Для функции i/ = 6x2 + 5x+l укажите множество значений переменной х, для которых у ^0, у>0.
2.	Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен 4х2 + 20х + 25 на множители.
3.	Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат 1	1
числа—— и —.
з	4
ПС-5
1.	Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (ал), если известно, что аз = 8, ан = 17.
2.	Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с 3	2
первым членом bi=—— и знаменателем q = — .
3.	Обратите в обыкновенную дробь бесконечную десятичную периодическую дробь 0,2 (142857).
1.	Упростите выражение:
х	sin 2а 4- cos (л 4- а)	»	х
а) -т-2—. z ,—,-Т -—2—, найдите его значение при а =
' sin а + sin (л -f- a) -f-1 — cos а	г
л
8”’’
-ч sin (х— л) cos (x-f-2л) sin (4л — х)
. / л । \ ,	. /Зл • \
sin ( у + X Y ctg (2л — х) ctg ( — + X}
2.	Докажите тождество:
х 1—2 cos2 2а , о in
a)	—j--------=tg2a — ctg 2a;
— sin 4a
^x cos a 4-ctg a < .
6)	---s—=l+sina.
ctg a
ПС—7
1. Решите уравнение:
a) sin 6% + sin 2x = sin 4x; 6) 3 sin2 x-|-cos2 x = 2 sin 2x.
2. Решите неравенство:
a) sin x cos 2xZ> cos x sin 2хЦ-у-; 6) tg^3x—
ПС—8
1. Найдите область определения функции: а) -у/х2 — 2х— 15 + log3 ( —х);
б)		; в) logtgxsinx.
Vtgx-l
Рис. 13
2.'Исследуйте функцию на четность и нечетность:
а)	(х2 — 1) (х3 + х);
б)	lg lx| — log2 х4;
в)	-yJx — 3.
3. На рисунке 13 изображен график функции f на отрезке [0; 1]. Известно, что функция f четна и ее период равен 2. Постройте график, функции f на отрезке [-4; 4].
1. Изобразите схематически график функции f, непрерывной на всей числовой прямой, кроме точки 1, возрастающей на промежутках ( — оо; —2] и (1; 3], убывающей на промежутках [ — 2; 1) и [3; оо) и такой, что f (— 2) = 1, lim f (х) = — 1, f (3) = 5.
X—► 1
2. Постройте схематически график функции (без помощи производной), а также укажите ее области определения и значений, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы:
a) f (х) = х* 1 2 — 2х + 3; б) f(x) = cos2x; в) f(x)=|lnx|.
ПС-10
1.	Найдите производную функции:
а) у = 4х4-2х^+^; б) у = (х-1)-2\ в) У=^^-
2.	Запишите уравнение касательной к графику функции /(х) = х3, параллельной прямой г/= 3x4-1,5.
3.	Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите производную функции f(x) = sin23x.
ПС—11
1. Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна x(/) = r4-sin 2/. Найдите действующую на нее силу в момент времени /, если масса точки равна 3 кг, х измеряется в метрах, а время — в секундах.
2. Решите методом интервалов неравенство:
(х-1)(х_зу
J	(х + 2)2
(<-^>73)3 >Qr в)
х3 — Зх2 4- 2х q х2 —4х-|-3
ПС—12
1. Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции f (х)= — х44-2х34-2. Постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x4—|-х34-1 на промежутке [—1; 3].
3. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак емко-
стью V При каком радиусе основания на изготовление бака уйдет наименьшее количество материала?
1.	Найдите общий вид первообразных для функции f (х)=—-Л-----------------И sin 5х + 1.
75^27
2.	Для функции х3 + 1——2х найдите первообразную, график которой проходит через точку М (0; —2).
3.	Вычислите интеграл:
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=6х — х2, у = 0.
ПС—14
1.	Упростите выражение lg (25logs 0,8 + 9logs°'6).
2.	Решите уравнение:
a) log2(2x-l)+log2(x-|-5)=log2 13; б) (0,25у‘2-4 * = 2х2+‘
3.	Решите неравенство lg (х2 — х)С 1g (Зх — 3).
ПС—15
1.	Решите уравнение:
a) 3iogb-iog!x=^y°g2 б) iog3(2x-5)vrT7=Vx^2.
2.	Решите неравенство lg2 x-|-lg х — 2^0.
3.	Решите систему уравнений
{_*__I У __ 13
У "г х 6 ’
х + у = 5.
ПС—16
1. Найдите производную функции:
a) Z-’+2x; б) 1п (Зх—1)-|-log2 (Зх—1); в) (х-М)^-1
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
У=-~Г< х+у=6.
3. Найдите решение дифференциального уравнения у' = —2у, удовлетворяющее условию у(1) = е4
ПС—1
1.	Вычислите _ * 1 -----_3 г----------.
V7 — л/6	т/6—л/3	т/7+л/3
2.	Планку длиной 436 см распилили на две части так, что первая из них оказалась длиннее второй на 18%. Найдите длину каждой части.
3.	Найдите неизвестный член пропорции
9f 111—0,945:0,9
х	__ \ 20
10,5*0,24—15,15:7,5 ~	, 3	3
*40-4-8:7
ПС—2
1.	Из 25-процентного раствора поваренной соли испарилась 4- имеющейся в растворе воды. Найдите концентрацию получив-о шегося раствора.
2.	Напишите уравнение прямой, параллельной прямой у = = 2-|-Зх и проходящей через точку М (2; —4).
3.	Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
Ixl + I^l<6, 2х —г/^4.
ПС-3
1. Упростите выражение
\ с2 Ь™
2. Решите уравнение --- ^4- п
2 — 3^’ 3t/4-2	9г/2 —4
ПС-4
1. Для функции у = 8х2 — 2х — 1 укажите множество значений переменной х, для которых у<0, у^0.
2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен 9х2—10x4-1 на множители.
3. Запишите квадратное уравнение, корнями которого служат 1 1 числа —— и —.
4 о
1.	Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (аЛ), если известно, что ^4 = 8, а13=—5.
2.	Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с
5	5
первым членом &i = — — и вторым членом &2 = -jy-
3.	Обратите бесконечную десятичную дробь 0,4(428571) в обыкновенную.
1. Упростите выражение:	ь
ч 2 —2 sin* 1 2 а . 1 х	Зл
a) ~_c~s—htgactga, найдите его значение при а=—;
sin (л —х) cos^y + x) tg (j—
/ 71	\	\ 1	/	X
cosf у — x) cost — — x \ tg(x —л)
2. Докажите тождество:
2 cos2 — 1
a) ----7------------7------T=]
2cte —
i ।	sina + tga
6) 14-cosa=-------  —
tg a
ПС—7
1. Решите уравнение:
a) cos3xtgx = 0; б) 3 sin x-j-cos 2x= — 1.
2. Решите неравенство:
a)	cos2 x + y- > sin2 x;
6)		
, / л\ v ctgv“o
ПС—8
1. Найдите область определения функции а) -yjx2 + 2х — 3 + In (5 — х);
б) V2 sin’x— 1; в) logctgxcosx.
2. Исследуйте функцию на четность и нечетность:
а) (х2 +1) (х3 —х4); б) cos х2sin |х|;
в) 3 sin х cos Х’Х4
3. На рисунке 14 приведен график функции f на отрезке [—1; 0]. Известно, что функция f нечетна и что ее период
равен 2. Постройте график функции f на отрезке [ — 5; 5].
1. Изобразите схематически график функции f, непрерывной на всей числовой прямой, кро^е точки 2, возрастающей на промежутках [ — 3; 0] и (2; оо), убывающей на промежутках (— оо; — 3] и [0; 2) и такой, что f (— 3) = — 1, f (0) = 3, lim f (x) = 1.
x->2
2. Постройте схематически график функции (без помощи производной), а также укажите ее области определения и значений, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы:
a) f (х) = 3 — 2х — х* 1 2; б) f(x) = sin--x; в) f (х)= Ilog i х|.
ПС—10
1.	Найдите производную функции:
а) у = 5х^-4х2-^; б) у =(*+1)-0,5*; в) У=^г-
2.	Запишите уравнение касательной к графику функции f (х) = - -*"2- , параллельной прямой 4у = х — 1.
3.	Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, наймите производную функции f (x) = cos2 о
ПС—11
1.	Материальная точка массой 2 кг движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна х (/) =/3 + cos Найдите действующую на нее силу в момент времени /, если х
измеряется в метрах, а время — в секундах.
2.	Решите методом интервалов неравенство:
(X + 1) (X + З)2 <0. б) (х — 1 )3 (х —- 2)2 >0.
Э)	(х+2)’	^+з	>0’ В
х3 — 4х2 -f- Зх х2 — 5х + 6
ПС-12
1. Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции f(x) = x4 —2х3 Постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = 3х5 — 20х34-4 на промежутке [—1; 3].
3. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак
емкостью V При каком радиусе основания на его изготовление
уйдет наименьшее количество материала?
1.	Найдите общий вид первообразных для функции
2.	Для функции f (x)=V*4-cos 2лх найдите первообразную, график которой проходит через точку М (1; 3).
3.	Вычислите интеграл:
Л 24 f ______dx______,
о cos2 (2*4-7-)
о
f 3dx
' J (5 + 2x)* 1 2 3 ’ -2
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х — х2, у = 0.
1.	Упростите выражение logs (49log724-(0,(2))°).
2.	Решите уравнение:
a) log2(x24-8) — log2(x — l)=log0>5-|-;
g) glogaX — log,»*	1 y°8> X +4'5
3.	Решите неравенство х2-Зх—Зх+* <0.
ПС-15
1.	Решите уравнение:
a) 52x-3 —2«5x-2 = 3; 6) --±L=V3x+l. yx — 1
2.	Решите неравенство lg (x2 + 2)> lg (3x — 7). on	*> ( xy + x + y= “
3.	Решите систему уравнении J _|_ Xy2 = __
ПС-16
1. Найдите производную функции:
a) ^+'+(y)_X; 6) ln(3x+l)+logl(3x+l); в) (x-l)^+*
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
У=—. х + у=8.
3. Найдите решение дифференциального уравнения у' =
= —^-у, удовлетворяющее условию у ( — 2) = е2.
О
ПС-1
I.	Вычислите (4+V15) (V16—
2.	В одном автопарке 250 машин, из них 24% составляют самосвалы, во втором автопарке 150 машин, из них 8% — самосвалы. Какой процент общего числа машин в обоих парках составляют самосвалы?
3.	Найдите х из пропорции
0,125х
/19_2h 7_
\24 40/ ° 16
0,675-2,4-0,02 ’
ПС—2
1.	Стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5. Наибольшая сторона превосходит наименьшую на 3,6 см. Найдите периметр и площадь треугольника.
2.	Решите систему неравенств
( 1,25х-0,12 >0,3x4-0,07, ( 1- х>0,5х-4.
3.	Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
( |х—у\4- |х4-у| >4, I (х—2)24-у2<4.
ПС-3
1. Упростите выражение
112
2. Решите уравнение -——=—5—г
*/—1 J/ + 2	1
ПС—4
1. Для функции (/ = 5х2 + 26х + 5 укажите множество значений переменной х, для которых t/^0, t/^0.
2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен 2х2 —5х—1 на множители.
3. Напишите квадратное уравнение, корнями которого служат числа д/7-1 и л/74-1-
1.	Найдите число членов арифметической прогрессии, если известно, что d=— 3, ai=2, Sn= — 208.
2.	Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 2 и третьим членом 0,5.
3.	Обратите бесконечную десятичную дробь 0,1(076923) в обыкновенную.
ПС—6
1. Упростите выражение:
v sin 2а cos (л + а) , cos а —2 sin За —cos 5а
' l-|-cos2a cos (л —а)—1 ’	' sin а + 2 cos За — sin 5а
2. Докажите тождество:
ч 2 cos a cos р — cos (а + р) cos (а — р) .
' cos (а —р) —2 sin a sin р	cos(a-f-P) ’
sin(-£- + 2a)+cos(^ + 2a)
б) -----------7  .	---------- (sin (л 4- а) + cos (л — а)) = — 1.
7	cos а + sin За	4	4	7	4	77
ПС-7
1.	Решите уравнение:
а) sin3xctgx = 0; б) sin 4х — sin 2x = sin х.
2.	Решите неравенство:
а)	—sin Зх sin 4x + -^-<cos Зх cos 4х;
6)	tg(5x + f)>f.
ПС—8
1. Найдите область определения функции:
а) £/ = V** 1 2 —6х + 8 + --—-—-;
7 v	11 logs (4 — х)— 1
б) */=у2 cos х —д/З; в) £/ = logxsinx.
2. Исследуйте функцию на четность и нечетность:
а) f (х) = (х5 + 1) (* + *2); б) f (x) = sin4 x + cos 2х;
в) f (x) = sin х3 |x|.
3. Найдите наименьший положительный период функции:
а) f(x) = cos^3x—б) f(x) = sin2x;
в) fW=ltgx|.
1. Функция f является четной, периодической с периодом 2, убывающей на отрезке [0; 0,5], возрастающей на промежутке [0,5; 1), не определена в точке 1, причем limf(x)=l, непрерывна на промежутке [0; 1), f(0) = 2, f(0,5) = 0. Изобразите схематически график этой функции на промежутке ( — 5; 5).
2. Постройте схематически график функции (без помощи производной), а также укажите ее области определения и значений, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы:
а)	б) fW=x4-2x* 1 2+i; в) f W=-5-tg2x.
Л 1
ПС—10
1.	Найдите производную функции:
а) у = (л/2х4 —2х^)1; б) «/=1^7;
в) y = sin x-f-cos -тг+tg2 7-.
2.	Запишите уравнение касательной к графику функции f (х) = 2х2 — 2х3 + 5, параллельной прямой г/ = 3—10х.
3.	Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите производную функции f (х) = (2х3 + 3х2)307.
ПС-11
1. Материальная точка массой 1 кг движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна х (/) = 2/2—j In |/|. Найдите действующую на нее силу в момент времени /, если х измеряется в метрах, a t — в секундах.
2. Решите методом интервалов неравенство:
а) (х—I)2 (х —2)3 (х —З)4 <0.
Ух-1 (х —2)(х —З)2	. X 2х_________1_
°'	(* + 4)2	В' х+1^% + 3	4’
ПС—12
1. Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции f (х) = 3х5 — 5х3+ 1. Постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = Зх4 — 8х3 + 6х2 + 5 на промежутке ( — 2; 1).
3. В полушар радиуса 3 вписан конус так, что вершина конуса лежит в центре полушара. При каком радиусе основания этот конус будет иметь наибольший объем?
ПС—13
1.	Докажите, что функция F(x)=x — In х3 является первообразной для функции f (х)=~~ на промежутке (0; оо).
2.	Найдите общий вид первообразных для функции Нх)=х^-Зх3 + -^-г
3.	Вычислите интеграл: л "З	4
а) (cosу-4-sinу-) dx- б) ^х2-7х^х. л	0
"б
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 + 3х—х2, у = х+\.
ПС-14
1.	Упростите выражение 36log‘5 + 10' lg2 —3log»36.
2.	Решите уравнение:
a) lg2 (2х —l) = lg (х—0,5)4-1g 2; б) 5log?x-|og3x3 = ^-.
ZD
3.	Решите неравенство 3*!-x-3Z>27.
ПС—15
I. Решите уравнение:
а) 2х+‘4-0,5ж-’ = 5; б) -^Зх+4+^/х-4=2^х.
2. Решите неравенство loge (х2 — 4х 4-3) < 1.
3. Решите систему уравнений
(х — у) ху = 30, (х 4- у) ху = 120.
ПС—16
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (х)=2 — 3 In2 х — 2 In3 х.
2. Найдите общий вид первообразных для функции f (х) = (х-1)х^4-^4-^-
3. Запишите общий вид решений дифференциального уравнения у' = —^/2 у.
ПС-1
1.	Вычислите -\/3—\/5 -(3 Ч--\/5) (-\flQ—^2).
2.	В первой стопке 150 тетрадей, из них 32% составляют тетради в клетку, во второй стопке 210 тетрадей, из них 20% составляют тетради в клетку. Какой процент составляют тетради в клетку от общего числа тетрадей?
3.	Найдите х из пропорции
(4-3.5.(21-1±)):0.16
84	60
ПС—2
1.	Стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4, 5. Наибольшая сторона меньше суммы двух других на 2,4 см. Найдите периметр и площадь треугольника.
2.	Решите систему неравенств
( 3,4х-(х + 0,6)<0,6х, ( 3,5 - х + 2,5 (2х - 2,4) > 0,5х - 13.
3.	Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
ПС—3
1. Упростите выражение
(	- 2а+4а2~4^\ : (—
к + 2а+У> ) \bl_ia2
1
2а 4- Z?3
2	2	1
2. Решите уравнение т—=-гтг+—гт ~ У У * У I *
ПС—4
1. Для функции f/ = 6x2 + 37x + 6 укажите множество значений переменной х, для которых у^О, у^О-
2. Разложите (если это возможно) квадратный трехчлен Зх2 — 4х — 2 на множители.
3. Напишите квадратное уравнение, корнями которого служат числа V6 — 2 и л/б + 2.
1. Найдите число членов арифметической прогрессии, если известно, что а\ =48, а2 = 44, 5л = 300.
2. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии л	1
с первым членом —9 и пятым членом ——.
& Обратите бесконечную десятичную дробь 0,2(153846) в обыкновенную.
ПС—6
1. Упростите выражение:
ч sin (л — ос) (cos а — sin а)-]- 1 .
3	1+ctga
б) sin ( а —cos а — sin* 1 2 (л — а) sin2 а —
— cos2 (л —а) cos2 (-у-+ а)
2. Докажите тождество:
a) 2 sin 4<z (1 — tg2 2а)	. cos 2x-f-5 cos Зх + cos 4х =cf 3%
1 ।	2/ л in \	sin 2хН-5 sin 3% + sin 4х
ПС—7
1. Решите уравнение: \ cos 2х — sin 4х л	\ [гъ • л г* 2	о
а) --r-z--:—=0; б) д/З sin 2х — 6 cos х = — 3.
2. Решите неравенство:
a) cos2x——<sin2(л+%); б) -----4---
ПС—8
1. Найдите область определения функции:
а) л/3^2 + 2х—1 + lg(2_x)_1 ; б) д/sin2 х—i-;
в) logx cos X.
2. Исследуйте функцию на четность и нечетность:
а) (х’+х)(х<-хг); б)	; в) лР=3.
3. Найдите наименьший положительный период функции:
a) f(x) = sin(5x—у-)	б) f(x) = cos|x|; в) f(x)=|ctgx|.
1. Функция f является нечетной, периодической с периодом 4, убывающей на отрезке [0; 1], возрастающей на промежутке [1; 2), не определена в точке 2, причем limf (х)=1, непрерывна на про-х-+2
межутке [0; 2), f(l)= — 1. Изобразите схематически график этой функции на промежутке [ — 8; 8].
2. Постройте схематически график функции (без помощи производной), а также укажите ее области определения и значений, промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы:
а)	б) f(x) = x4 —8х* 1 2+16; в) f (x)=-i-ctg2 х.
ПС—10
1.	Найдите производную функции:
а) 1/ = (л/Зх5 — бх73)	Й б) У=^',
в) y = sin Зх + cos 4— ctg2-^-.
2.	Запишите уравнение касательной к графику функции f (х)=(х— I)2 (х — З)2, параллельной прямой у = Б — 12х.
3.	Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите производную функции f (х) = (3х2 — 2х3)119
ПС—И
1. Материальная точка массой 5 кг движется по прямей так, что ее координата в момент времени t равна х(/) = /3 — In |2/Ц-/. Найдите действующую на нее силу в момент времени /, если х измеряется в метрах, a t — в секундах.
2. Решите методом интервалов неравенство:
а) (х4И)(х + 2)2(х+В)3 >о.
(х-3)2х3	пх х 2х , 1
ПС—12
1. Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы функции [ (х) = 1 Ох6 — 12х5 — 15х4 + 20х3 Постройте ее график.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = 4х5— 15х4 — 3 на промежутке (—1; 1).
3. В полушар радиуса 4 вписан цилиндр гак, что плоскость основания цилиндра совпадает с плоскостью, ограничивающей полушар. Найдите высоту цилиндра, чго его объем наибольший.
ПС—13
1.	Докажите, что функция F (х) = х-|-1п х3 является первообразной для функции на промежутке (0; оо).
2.	Найдите общий вид первообразных для функции f(x)=x^-sin (2x4-1)—
3.	Вычислите интеграл: л
а) $ (£2Г£'+т) 6)\xtfcdx. л т
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=—х* 1 24-4, у = х2 — 2х.
1.	Упростите выражение	ПС
-Г—х- log, 4 + 251о«>»8
(81 4 2	)-490g’2.
2.	Решите уравнение:
a) log, 24- log2 х=3-Ь б)
3.	Решите неравенство 4-|х-51 ^0,125.
ПС—15
1.	Решите уравнение:
а) 5х-0,2х-' = 4; б) ^/х+ 1 4-V**4- 13 =х/3х + 12.
2.	Решите неравенство logo.3 (х2 —5x4*7) >0.
г (х п\	~— 4
3.	Решите систему уравнений J (у_1_ м г2*2—12
ПС—16
1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (х) = log2 X — 2 log! X 4* 3.
2. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = (x+l)x^4-e°’5x+v-
3» Запишите общий вид решений дифференциального уравнения	, и
_________ ПС-
1.	Проверьте равенство ^/454-29-\/2 — ^/45 — 29->/2 = 2-72.
2.	Хозяйка налила в дырявый бидон керосин. Сколько керосина (в процентах) вылилось из бидона за 1 ч, если через 3 ч в нем осталось на 19% меньше того количества керосина, которое в нем было через 1 ч после наполнения?
3.	Упростите выражение и вычислите его значение при х = 5:
х* 1 2 3 + 2х-3+(х-Ц) д/х^Э х2 —2х—3+(х— 1) V*2—9
ПС-2
1.	Синусы углов треугольника пропорциональны числам 5, 12, 13. Найдите периметр и площадь этого треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 6,5 см.
2.	Решите систему неравенств
( х24-х4- 1	— 1 — 4х — х2,
I |х| <6.
3.	Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
{х2 — 2х+у2 + 4у 4, у^х2 — Зх-}-2, i/4-l <х.
ПС—3
1. Упростите выражение
4а0'25+ 6 с1 5	.	а*с^—4Ь
(4-f-c1,5) (а0,25 —ft) + (4_с1.5)(^_&) •
о г>	12.1
2. Решите уравнение -—г=—?—;——гтт-
2—у2 у — 1 «г-н
ПС—4
1. Разложите (если это возможно) многочлен Зх4—10х24-3 на множители.
2. При каких значениях параметра b (6=/=0) оба корня квадратного уравнения 2Ь2х2 — Ьх— 1=0 по модулю меньше 1?
3. Найдите сумму четвертых степеней корней уравнения
х2 4-х — 1 =0.
ПС—5
1.	Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 6, а их произведение равно q—-. Найдите сумму первых 15 членов этой прогрессии.
2.	Найдите сумму 1 + 11 4-111+ + 111...11.
3.	Найдите сумму 1 + 2-2'+ 3-2* 1 24-4• 23 + +р-2р~'
ПС—6
1.	Упростите выражение:
а)	2	(sin4	a + sin2 a cos2 a + cos4	a)2 —sin8 a —cos8 a;
л	2л Зл	4л	5л 6л 7л
б)	COS—COS — COS —	COS — COS	— COS — COS—
’	15	15 15	15	15	15 lo
n r,	3 — 4 cos 2a 4-cos 4a	, 4
2.	Докажите тождество -------------------—--—=tg a.
3 -f- 4 cos 2a + cos 4a	0
3.	Известно, что a + p+y = n. Докажите, что tg a + tg p + tg y = tg a tg p tgy.
ПС—7
1. Решите уравнение:
a) (sin x + ?/3 cos x) sin 4x = 2; 6) cos cos cos 4"=4"-Ь 5 bo
2. Решите неравенство:
a) 2tg2.r^C3tgx; 6) sin (-у- cos (лх))
ПС—8
1. Найдите область определения функции:
а) // — sin2 х + 5 sin х — 1;
б) f/ = log2 log4 log8 х; в) t/ = logsinx cos 2х.
2. Исследуйте функцию на четность и нечетность:
а) f (x) = cos2 х —tg х4; б) f (х) = In (х + д/х2— 1);
в) f (x) = tgctgx — ctgtgx.
3. Известно, что функция f нечетна и возрастает на проме-
жутке [0; оо). Решите неравенство \f (х) 1^/(3).
1. По данному графику функции f (рис. 15) постройте графики функций:
a) fW+2; б) Нх-1);
в) /(Зх—1)4-2;
г) |f(x)|; д) f (|х|);
е) lf(- 1x1)1.
2. Постройте графики функций:
a) 2,og2(,x,-l); б) loglxl2;
в) I sin х—^-|
г) arcsin (sin х).
1.	Найдите производную функции:
a)	j; = x* 1 2sin— в точке О (Н0)=0);
б)	y = lg(x^ + 2x ')5;
в)
2.	По эскизу графика функции f постройте эскиз графика Г (рис. 16).
3.	Запишите уравнения касательных к графику функции f (х) = х2 — 2х + 2, проходящих через точку М (4; 1).
ПС—11
1. Пусть у\ и уъ — два решения дифференциального уравнения у" = — 2у. Докажите, что 3z/i Ч--^-г/2 также решение этого дифференциального уравнения.
2. Решите, пользуясь методом интервалов, неравенство:
а) х4 + Зх3 + 2х2 + Зх+ 1<0;
б) 4х2-12х VT=T<27(1-x);
В) .-У,х~32 , >0.
tgx(l — tg2x)
ПС—12
1.	Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремумов функции
„3 г* 1 2 3 f(x)=—
2.	Постройте график функции f (х)=	предвари-
тельно исследовав ее с помощью производной. Запишите уравнение касательной к графику в точке с абсциссой хо=—2.
3.	Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объеме имеет наименьшую полную поверхность.
ПС—13
1.	Найдите первообразную для функции f (х) = ех sin х, пользуясь формулами производных функций ех sin х н ех cos х.
2.	Вычислите интеграл:

dx; б) ) cos х cos 2xdx. — л
3.	Докажите, что для четной функции f справедливо равенство
J f (х) dx=J f (х) dx. — а	О
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у=х2, у = 4х — 4, х = 0.
ПС—14
log» log» N
1. Упростите выражение a log,°
2. Решите уравнение:
a) logio * + log уте х-f- logyjo х +... + log.iyjo х = 5,5;
6) 3X + Iog2x=10.
3. Решите неравенство з|&х+2<;3|е*2+5_2.
1. Решите уравнение:
а) 2 lg (lg x) = lg (3 —2 1g х); б) ^+7-7x4^3 = 0.
(2 \ logo.25 (х* 1 2 3 —5х-|-8)
—)	"""
о. гсшитс систему	'
{-^х+у 4-Уху 4-21 = 13, Мх+у 4-V-4/4-21 = 5, ху>0.
ПС—16
1.	Запишите дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция у = 4х.
2.	Тело проходит 45 м за 3 с, а 90 м за 6 с. Найдите зависимость координаты от времени, если известно, что скорость тела пропорциональна координате.
3.	Найдите первообразную для функции f (x)=ln--^lnx- на промежутке (0; оо), предварительно выяснив, для какой функции является первообразной функция Fi (х) = 1п2х.
Вариант 10
ПС-1
1. Проверьте равенство
V84-2 л/Т04-2л/5-л/8-2 У104-2л/5=л/2°-4л/5.
2. Из сосуда испарялась вода. Сколько воды (в процентах) испаряется из сосуда в день, если через 4 дня в нем оставалось на 48,8% меньше того количества, которое в нем было через день?
3. Упростите выражение и найдите его значение при / = 5,2:
/2 + ^-6-(/-3)
1.	Синусы углов треугольника пропорциональны числам 12, 35, 37. Найдите периметр и площадь этого треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 18,5 см.
2.	Решите систему неравенств
(? + %+!> — 2 — 9хх— 2х* 1 2, t |х|<4.
3.	Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
{х2 — 4х + у2 + бу 12,
(х-1)у<2,
х — 2у^ 1.
ПС—3
1. Упростите выражение
а 3 с2 — 36 2	। За 3 -{-Ь^ с2
(с2 + 3)(а 3 +Vb)	(с2 —3)(а 3 + Л/б)
2. Решите уравнение y^+^2^=yzT
ПС—4
1.	Разложите (если это возможно) многочлен 2х4 + 5х2 + 2 на множители.
2.	При каких значениях параметра Ь (Ь Ф 0) оба корня квадратного уравнения 2&2х2 — Ьх — 3 = 0 по модулю не превосходят единицы?
3.	Найдите сумму четвертых степеней корней квадратного уравнения х2 —2х —2 = 0.
ПС—5
1. Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии равно 406. При делении девятого члена этой прогрессии на ее четвертый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найдите первый член и разность прогрессии.
2. Найдите сумму 3 + 33 + 333+ +333...33.
1987 раз
3. Найдите сумму 1 + 2• -у+ 3+- + ?'(4У
1.	Упростите выражение:
a) cos a cos у-cos -у cos-^-, а=#2л-£л, k£Z\
—sin 47° —sin 61°4-sin 1 l°4-sin 25°
°'	cos 7°
2.	Докажите тождество
cosec а + cosec 2а + cosec 4а +... + cosec 2Л а =
= ctg ctg 2Л а.
3.	Известно, что 3 sin p = sin (2а + Р). Докажите, что tg(a + ₽) = 2tg а.
ПС—7
1.	Решите уравнение:
а)	-\/2 (sin x + cos x) = tg x + ctg x\
6)	2 sin lx + л/З cos 3x + sin 3x = 0.
2.	Решите неравенство:
a)	cos x —sin x —cos 2x>0;
б)	-д/З —2 sin x^6 sin x — 1.
ПС—8
1. Найдите область определения функции:
а) у = -д/8 cos* 1 2 х — 6 cos х + 1;
б) f/ = log1 logj^ log^ х; в) t/ = logcosx sin 2х. 2	4	8
2. Исследуйте функцию на четность и нечетность:
a) f (x) = tg3 * х — sin х5;
6) fW=ln|^|
в) f (x) = sin cos x — cos sin x.
3. Известно, что функция f четна, убывает и положительна на
промежутке [0; оо). Решите неравенство
lfWI<f(2).
1.	По данному графику функции f (рис. 17) постройте график функции:
a)	f(x)—3; б) f (х4-2);
в)	f(2x-1)4-1;
г)	If (ж)|; д) f (1х|);
е) lf(-lx|)|.
2.	Постройте график функции:
а)	З* 1’8-» (и+ч-’);
б)	logx.-|-;
в)	| cosx + -|-|
г)	arccos (cos х).
ПС—10
1.	Найдите производную функции:
а)	у=х |х| в точке 0;
б)	у = 2^-,’,‘;
в)	у = 1пх|п*.
2.	По эскизу графика функции f (рис. 18) постройте эскиз графика f'
3.	Запишите уравнения касательных к графику функции f (х) = х2 * * * * — 2х — 3, проходящих через точку М (— 1; — 4).
ПС—11
1. Пусть 1/1 и у2 — два решения дифференциального уравнения у"——^-у. Докажите, что 4у2 тоже решение этого уравнения.
2. Решите, пользуясь методом интервалов, неравенство:
а) 7ТТ+7ТТ<7ТГ: б) 4x2+12xVm<27(l+x);
Л "Т* Z Л"j- О
в)
3—tg х
1.	Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремумов функции
I 2 In* 1 2 x-j-3 In х
х2 । 5
2.	Постройте график функции f (х) =	* предварительно
исследовав ее с помощью производной. Напишите уравнение касательной к графику в точке с абсциссой хо = 2.
3.	Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса, который при заданном объеме имеет наименьшую боковую поверхность.
ПС—13
1.	Найдите первообразную для функции f (х) = ех cos х, пользуясь формулами производных функций ех sin х и ех cos х.
2.	Вычислите интеграл:
— 4
а) п/(4 — Зх)3 dx;
о л б) $ sin х sin 2xdx.
— л
3.	Докажите для нечетной функции f справедливость равенства	а
J f (х) dx = 0. — а
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
t/ = x3, у= — х24-4х-|-4, х> —1.
ПС—14
1. Упростите выражение 2^Iog2X — x^,ogx2 при х> 1.
2. Решите уравнение:
a) 2_|х| =-L=.(|x+11 4- |х- 11);
б) 2X + Iog3x = 9.
3. Решите неравенство
logcos’xSinX>l.
1.	Решите уравнение:
а)	2 logs (lg х) = logs (10 —9 1g х);
б)	V3x* 1 2 3 —2x+15 + V3x2-2x + 8 = 7
2.	Решите неравенство
sin 2х
0,5^ < 0,51-cos 2х < 0,5.
3.	Решите систему уравнений
/ Зх—_2^__|_ /________2х_____ g
V 2х ' V Зх — 2у х2 — 18 = 2i/ (4f/ —9).
ПС—16
1. Запишите дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция
2. Тело проходит 15 м за 5 с, а 60 м за 10 с. Найдите зависимость пути от времени, если известно, что скорость тела пропорциональна пройденному пути.	±
3. Найдите область значений функции f(x) = xх (х>0).
ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ
Проверочная работа 1 (по материалу главы III учебного пособия)
Вариант 1
1.	Является ли функция у = 2х2 — 3 первообразной для функции у-=4х на промежутке [0; 1]?
Дайте определение первообразной.
2.	Найдите первообразную для функции h (х) = х3 — х, график которой проходит через точку М (0; 0).
3.	Найдите первообразную для функции:
a) x2 + 5Vr; б) sin(2x —3)—ёо?"
4.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
w = cos 5х, ц = 0, х = 0, х = -^-.
’ю
5.	Чему равна производная переменной площади S (х) (рис. 19) в точке 2? в точке 1?
4
6.	Вычислите интеграл $ dx, i
Дайте определение интеграла от а до b функции / (х). 7*. Найдите производную функции
Ф (x) = J sin /2 dt. i
Запишите первообразную для функции sin t , принимающую в точке 0 значение 3.
8* Ускорение точки (при движении пю прямой) в момент t равно 1 4-sin t. Найдите координату как функцию времени, если в момент / = 0 координата равна 1 и скорость равна 1 (/ в секундах, единица масштаба на прямой соответствует 1 м).
Рис. 19
9*. Запишите интегральные суммы 2Л(О; 2) для функции t/ = x4 по отрезку [0; 2]. Чему равен lim л (0; 2)?
«-►оо
10*. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, образованной линиями
у = 0,	х=1, х = 3.
Вариант 2
1.	Одна из первообразных для функции f(x) на промежутке [0; 1] равна sin(x2 —3). Найдите все первообразные для функции f(x).
Сформулируйте признак постоянства функции.
2.	Найдите первообразную для функции:
а)	х^/х — З^/х^;
б)	cos (0,5х — 1)+-Д—
3.
4.
Найдите функцию F (х\ если F' (х) = —— и F(l) = 2. у2х— 1
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 — 2x4-1 и у =\.
Какая фигура называется криволинейной трапецией? ь
5. Выразите J f (х) dx через Si, S2, S3 и S4 (рис. 20). а
8
6. Вычислите J ^dx. 1
Запишите формулу Ньютона—Лейбница. X
7*. Пусть ср (х)=5 2/2 dt. Найдите: а) <р(1); б) ср' (0). ।
Чему равна производная интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?
Рис. 20
8*. Материальная точка движется по прямой, при этом ее скорость в момент времени t равна 2t — t2 Найдите путь, пройденный точкой от / = 0 до / = 3, и ее ускорение в конце пути, т. е. при / = 3 (/ измеряется в секундах, путь — в метрах).
9*. Найдите предел lim bn, если bn = ^( sin 0+ sin — + n->oo	4 \	П
4-sin—-4- 4~sin	вычислив J sin xdx.
Почему	л
lim sin *dx?
10*. Найдите работу, затраченную на перемещение материальной точки по прямой из точки с координатой 1 в точку с координатой 3 переменной силой f (х) = 3х2 (единица масштаба на прямой соответствует 1 м, а сила измеряется в ньютонах).
Проверочная работа 2
(по материалу главы IV учебного пособия)
Вариант 1
1.	Изобразите схематически график функции:
a) f (х)=2,3'-2; б) f (х) = logo.7 (х + 2);
в) =	г) [(х) = хл.
При каких а показательная функция у = ах убывает? возрастает?
2.	Решите неравенство logo.s (2х — l)<log0t5 (3* — 2).
3.	Найдите производную функции f (х) = г6х +1g (8х). Чему равно приближенное значение числа е?
4.	Напишите уравнение горизонтальной касательной к графику функции h (х) = х—\п х.
5.	Найдите F (х), если известно, что F' (х) = е~2х и что F (1) = 0.
6.	Вычислите: a) 2,og27; б) (^/27 З/З)1,5.
Дайте определение корня n-й степени из числа.
7.	Найдите область определения функции f (х) = 1п (х2 — 8x4-4-16). Дайте определение логарифмической функции z/ = logflx.
8.	Найдите решение дифференциального уравнения у' = — 2у, зная, что у (0) = 0,7.
9.	Найдите точки экстремумов функции у = Зх’“3х
10.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции
<p(x) = x^-V2x^
Найдите область определения функции <р.
Вариант 2
1.	Изобразите схематически график функции:
a) f (х) = 0,7х+3; б) f (x) = log2,3 х;
В) f(x)=Vv; Г) f(x)=x~e
При каких а логарифмическая функция y = \ogax убывает? возрастает?
2.	Решите неравенство 2Х-1>4Х-1
3.	Найдите производную функции f (х) = 10-8х + In (8х). Как определяется функция f/ = lnx?
4.	Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f/ = exln(x+l) в точке с абсциссой х = 0.
5.	Найдите первообразную для функции f(x) = ^-, график которой проходит через точку М (1; 1).
6.	Вычислите log3 2, если известно, что 1g 2«0,3010 и 1g 3«0,4771.
Как вычисляется loga b при помощи таблиц В. М. Брадиса?
7.	Найдите область определения функции у = х~л-\-хе и ее производную.
При каких р степенная функция у = хр возрастает? убывает? Дайте определение степени с дробным показателем.
8.	Напишите дифференциальное уравнение, решением которого является функция у = 0,5х
9.	Начертите график функции у = 2~,og2X Запишите основное логарифмическое тождество.
10.	Найдите промежутки возрастания функции f (х) = 1п4 х —2 In2 3 х.
Проверочная работа 3
(на повторение темы «Уравнения, неравенства, системы»)
Вариант 1
1. Что называется уравнением? корнем уравнения? Какие два уравнения называются равносильными?
2. Равносильны ли системы	о и ( 2х(х-(-//)—1,
I х + у = 2х ( х + у = 2х? Перечислите правила преобразований систем в равносильные.
Г х + г/ — z = 2,
3. Решите систему < 2х —f/ + 4z=l,
I — x + 6y + z = 5.
4.	Решите систему и дайте ее графическую интерпретацию: ( Зх + 5г/= — 4, I —х + 3г/ = 6.
5.	Система двух линейных уравнений с двумя переменными не имеет решений. Что можно сказать о прямых, определяемых уравнениями такой системы? Приведите примеры.
Решите уравнение (в примерах 6—8).
6.	log2 (2х—1)= log2 (х2 —4х—1).
7.	Vx2-2x+ 1 +Vx2 + 2x+ 1=2.
8.	0,25х + 0,5х = 6.
л	( log2(x + i/) = 3,
9.	Решите систему уравнении { .	;	,
V log!2 х+Iogi2 £/= 1.
10.	Изобразите на координатной плоскости множество решений системы
х2 + г/2< 16, х^О, х2 + (у-4)2> 16.
Вариант 2
1.	Что называют системой уравнений? решением системы уравнений? Какие две системы уравнений называют равносильными?
2.	Равносильны ли уравнения
^-!-=1 и х—1=2у?
2(/
3.	Решите систему методом исключения переменных:
(—х —2z/ + z= 1, х + у — 2 = 2, 2х + */ —2z = 9.
4.	Система трех линейных уравнений с двумя переменными имеет единственное решение. Что можно сказать о прямых, определяемых уравнениями системы? Приведите пример.
5.	Решите систему и дайте ее графическую интерпретацию:
( 2х + 6г/= — 7, ( 5х+ 10г/= —35.
Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными? Приведите примеры.
6.	Решите уравнение
д/х2 + 5х + 3 = VЗх2 + 8х + 4.
Почему х= —1 не является корнем уравнения?
Решите уравнение (в примерах 7, 8).
7. x*og,x = 8x2.
8. 31-хЧ-Зх+2=28.
9. Решите систему уравнений
10. Изобразите ний системы	( х2+у2=25, ( lgx+lgy=lg 12 на координатной плоскости множество реше- Z	^2 | у^х , < уСЗх —2, у + Зх + 2 >0.
ПРИМЕРНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1.	Докажите, что функция F (х)=-|-— есть первообразная
О X
для функции f (х)=р- на промежутке (0; оо).
2.	Для функции f(x)=4sinx найдите: а) множество всех первообразных; б) первообразную, график которой проходит через точку о)
3.	Вычислите	.
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	i/ = 0,5x2, у=0, х = 3;
б)	t/ = 0,5x2, «/ = 0,5, х = 2.
5*. Необязательное задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2 sin х, у — —sin х, О^х^^-. и
Вариант 2
1.	Докажите, что функция F (х)=—--есть первообраз-
х о
ная для функции f {х)= —	на промежутке (0; оо).
2.	Для функции f (х) = 8 cos х найдите: а) множество всех первообразных; б) первообразную, график которой проходит через точку А (л; 0).
3.	Вычислите	а
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	г/ = 2х2, г/= 0, % = 2;
б)	z/ = 2x2, £/ = 2, х = 2.
5* Необязательное задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = sin х, у = —2 sin х, О^х^ — о
Вариант 3
х 3
1.	Докажите, что функция F (х) = —-~ есть первообраз-
ная для функции f (х)=-^-+р- на промежутке (— оо; 0).
2.	Для функции f(x) = 2sin3x найдите: а) множество всех первообразных; б) первообразную, график которой проходит через точку о)
3.	Вычислите	4
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)	у= — х2 + 4, £/ = 0;
б)	у= — х2 + 4, у = 3.
5*. Необязательное задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2 cos2—Р 1, у = 0, х = 0, х = л.
Вариант 4
х 4
1.	Докажите, что функция F (х) = — + — есть первообразная для функции f (х) = -~-на промежутке (— оо; 0).
О X
2.	Для функции f(x) = 3cos2x найдите: а) множество всех первообразных; б) первообразную, график которой проходит через точку	0^
3.	Вычислите	о
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) У = — х2 + 3, у = 0;	б) у = — х2 + 3, у —2.
5* Необязательное задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
t/ = 2sin2-^—|-L */ = 0, х = 0, х = л.
Контрольная работа №2
Вариант 1
1.	Найдите значение выражения
V7-V33-V7 + V33.
2.	Сократите дробь —.
ab^ Ч-а7b
3.	Решите уравнение:
а) 8х3—1=0; б) ^х-2 = 4-х.
4.	Решите систему уравнений f х + у = & t Х2у + ху2= —96.
5*	. Необязательное задание. Решите уравнение
->/2 — 2,5 sin х = cos х.
Вариант 2
1.	Найдите значение выражения
V9-V17-V9 + V17
2.	Сократите дробь -°" —
а —а 2 b
3.	Решите уравнение:
а) 27х3+1=0; б) ^х+\=х-\.
4.	Решите систему уравнений ( х — у = 8, \х2у — ху2 = —96.
5*. Необязательное задание. Решите уравнение д/2 —2,5 cos х — sin х.
Вариант 3
1.	Найдите значение выражения
VV95-V14-VV95+V14-
2.	Сократите дробь —£—Ц-.
а’-Р
3.	Решите уравнение:
а) 16х4—1=0; б) V2x2-3x+2=2x-2.
4.	Решите систему уравнений р2 + у2 = 97, \Vxy=6.
5*	. Необязательное задание. Решите методом интервалов неравенство
>/х4-2 — х>0.
Вариант 4
1.	Найдите значение выражения
VV75+VH -VV75-VH.
2.	Сократите дробь , a’+ft’
3.	Решите уравнение:
а) 64х6 — 1=0; б) д/2х2 +5x4-4 = 2х+2.
4.	Решите систему уравнений ( х2 — ху = 12, 1 у2 — ху = 4.
5*. Необязательное задание. Решите методом интервалов неравенство
-\/2 —х —х>0.
Контрольная работа №3 (на 20 минут)
Вариант 1
1.	Постройте график функции у = У. Как изменяется у, когда х возрастает от — 1 до 3?
2.	Решите уравнение:
а) 8-2-2х = 4; б) 2Х4-3.2Х"3 = 22.
3.	Решите неравенство 3х’-4 ^243.
4*. Необязательное задание. Решите уравнение
nlsin X— 1 I_Q
Вариант 2
1.	Постройте график функции У—(^~) Как изменяется у, когда х возрастает от — 1 до 3?
2.	Решите уравнение:
а) 27“*•32ж = 81; б) 2-Зх + Зх~2 = 57.
3.	Решите неравенство 2х’-1 ^8.
4*. Необязательное задание. Решите уравнение
2lcos х — 2| = g
Вариант 3
1.	Постройте график функции у = 4х. Как изменяется у, когда х возрастает от —2 до 2?
2.	Решите уравнение:
a) у/5-53х=-|-; б) 4Х-3.4Х“2 = 52.
3.	Решите неравенство (0,3)х,_2х+2^0,09.
4*. Необязательное задание. Решите уравнение
Вариант 4
1.	Постройте график функции У=(-{-) Как изменяется у, когда х возрастает от —2 до 2?
2.	Решите уравнение:
a) ^/3.32x=4-; б) 5х-7-5х-2 = 90.
У
3.	Решите неравенство (1,3)х2_4х+2С 1,69.
4*. Необязательное'задание. Решите уравнение
5|х+" =(0,2)-х-1.
Контрольная работа №4
Вариант 1
1.	Постройте график функции у = logs*. Как изменяется у, когда х возрастает от до 27?
2.	Решите уравнение:
а) logo.s (х2 —Зх)= — 2; б) log2 у/х — log2-^-=3.
3.	Решите неравенство log4 (х+1)< —0,5.
4.	Решите систему уравнений
( 10g4x+10g4 у=1,
I у — 2х = 7
5*. Необязательное задание. Решите методом интервалов неравенство
log2(3 —х)
X
Вариант 2
1.	Постройте график функции f/ = logi х. Как изменяется у, когда х возрастает от — до 27?
2.	Решите уравнение:
a) logo,2 (х2 + 4х) = — 1; б) log3-~+log3 д/х= — 1.
3.	Решите неравенство log0j5 (х—1)> — 2.
4.	Решите систему уравнений
( log3x+log3 1/=1, ( у — Зх = 8.
5*	. Необязательное задание. Решите методом интервалов неравенство
logo.5 (*4-3)
X
Вариант 3
1.	Постройте график функции у == logo,5 х. Как изменяется у, когда х возрастает от до 8?
2.	Решите уравнение:
a) log 1 (х2 + 6х)= — 2; б) log2 у— log2 -\[2х= —0,5.
3.	Решите неравенство lg2 х— lgx>0.
4.	Решите систему уравнений
( log2x + log21/ = 2, [ х —4f/= 15.
5*. Необязательное задание. Решите методом интервалов неравенство
logo.4(x-2)
х — 6
Вариант 4
1.	Постройте график функции f/ = log4 х. Как изменяется у, когда х возрастает от до 16?
2.	Решите уравнение:
a) log^ (х2 + 8х)= — 2; б) logs — + logs л/5х = 2. з	х
3.	Решите неравенство lg2x+lgx<0.
4.	Решите систему уравнений
Г logo,5 x + logo,5 у= — I, t х — 2у = 3.
5* Необязательное задание. Решите методом интервалов неравенство
logs (8 —х)
4 — х
Контрольная работа №5
Вариант 1
1.	а) Дана функция f (х) = ех• cos х. Найдите f' (х), f' (0).
б)	Дана функция ср (х) =1 п (— 2х). Найдите q/ (х), q/(—0
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = ех, у — 1, х = 2.
3.	Исследуйте на возрастание (убывание) и на экстремумы функцию f(x) = 2x-lnx.
4* Необязательное задание. Решите неравенство Г(0>ф'(0. ес’пи f (0=4', <р(/)=2'+1
Вариант 2
1.	а) Дана функция f (x) = £x-sin х. Найдите f' (х), f' (0).
б)	Дана функция ср (х) = -^-1п ( —Зх). Найдите q/ (х), ф'( —
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
У =	У=1, Х = 4.
3.	Исследуйте на возрастание (убывание) и на экстремумы функцию f (х) = х*вх
4* Необязательное задание. Решите неравенство Г(0<ф'(0> если f(C = 9z-1, cp(/) = 2-3z.
Вариант 3
1.	а) Дана функция f (x) = 2x*cos х. Найдите f' (х), f' (0).
б) Дана функция ср (х) = 6 In (-|-х) Найдите q>'(х), ф'(-0
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = е~х, у=1, х=—2.
3.	Исследуйте на возрастание (убывание) и на экстремумы функцию f (х)=2 х .
4*. Необязательное задание. Найдите наименьшее значение функции f (х)=-^-(Зх4-3-х) на отрезке [ — 2; 2].
Вариант 4
1.	а) Дана функция f (x) = 3x-sin х. Найдите f' (х), f' (0).
б) Дана функция <р (х) = 6 1п(-|-х) Найдите <р' (х),
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2, х = 3.
3.	Исследуйте на возрастание (убывание) и на экстремумы 4х
функцию /(%) = — .
4*	. Необязательное задание. Найдите наименьшее значение функции f (х) = ~^-(2х + 2“х) на отрезке [—1; 1].
Контрольная работа №6 (на 2 урока)
Вариант 1
1.	Решите уравнение sin 2% + cos 2х = 0.
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
У = х2, у = 4.
3.	Решите систему уравнений
f log3(y —х)=1, (Зх+,.2* = 24.
4.	Периметр боковой грани правильной треугольной призмы равен 12 см. При какой длине стороны основания призмы ее объем наибольший?
Вариант 2
1.	Решите уравнение sin 2х—cos 2х = 0.
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 0,5х2, у = 2.
3.	Решите систему уравнений
f 10g2 (* — */)= 1, 2х-3^+1 = 72.
4.	Периметр боковой грани правильной четырехугольной призмы равен 6 см. При какой длине стороны основания призмы ее объем наибольший?
Вариант 3
1.	Решите уравнение 1 +sin x-cos x = cos2 х.
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=—х2+1, у=— %+1.
3.	Решите систему уравнений
logvs (*-</)=2, 2х-2*5у-, = 40.
4.	Сумма длин стороны основания и высоты правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см. При какой длине стороны основания пирамиды ее объем наибольший?
Вариант 4
1.	Решите уравнение 1 — sin x*cos x = sin2 х.
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
У= —Х2+ 1, у = х+ 1.
3.	Решите систему уравнений
log^2 U + y) = 2, 36-х.4!/ + 3 = 3б
4.	Сумма длин стороны основания и высоты правильной треугольной пирамиды равна 9 см. При какой длине стороны основания пирамиды ее объем наибольший?
ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ РАБОТ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ЗА КУРС СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Вариант 1
1.	Решите уравнение
(sin х + cos х)2 = 1 + cos х.
2.	Решите уравнение
log2 (1 — x) + log2 ( —5х —2) = 2 + log2 3.
3.	Решите неравенство
V^+з
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х2 и у = 5 — 2х2.
v__3
5.	Найдите наибольшее значение функции </==!+—.^— на отрезке [—1; 6].
Вариант 2
1.	Решите уравнение
(sin х — cos х)2= 1 +sin х.
2.	Решите уравнение
logs (4х + 1) + logs (х + 1) = logs 35 — 1.
3.	Решите неравенство
V*2 —5 >Q
3 —х
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2+ 1 и у= — х2 + 3.
х I 3
5.	Найдите наименьшее значение функции у = 9—з”“2 на отрезке [ — 3; 3].
Вариант 3
1.	Решите уравнение
cos2 х — cos 2х = sin х.
2.	Решите неравенство
logo,4 (3,5 — 5х) > 2 logo,4 0,2 — 1.
3.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 — 2х + 3 и у = 6.
4.	Решите уравнение
V(x-3) (2x4-7) 4- 3 = х.
5.	Какой наибольший объем может иметь конус, образующая которого равна 2 дм?
Вариант 4
1.	Решите уравнение
cos 2х 4- sin2 х = cos х.
2.	Решите неравенство
1 4- 2 log2 0,3 > log2 (1,5х - 3).
3.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (/=— х2 — 2x4-8 и у = 5.
4.	Решите уравнение
V(x-2) (2x4-5) 4- 2 = х.
5.	Какой наибольший объем может иметь цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна 5 -у/3 дм?
Вариант 5
1.	Решите неравенство
1g	1) —lg *<lg 0,6.
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 5 — х2 и г/ = х4-3.
3.	Решите уравнение 2 tg x4-3 = tg (1,5л4-*)- Является ли число 0,75л корнем этого уравнения?
4.	Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции
в точке М (4; 0). Напишите уравнение этой касательной.
5.	Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы равна 6 дм2. Найдите наибольший объем этой призмы, зная, что длина стороны основания призмы может- принимать любые значения, принадлежащие промежутку (0,5; -^3).
Вариант 6
1.	Решите неравенство
log2 (2 — х) — log2 X < log2 0,2.
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = — х2 + 2х + 3 и у=3 — х.
3.	Решите уравнение 2 tg х4-3 tg (1,5л — х) = 5. Является ли число —1,75л корнем этого уравнения?
4.	Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции
в точке М (2; 6). Напишите уравнение этой касательной.
5.	Объем правильной четырехугольной призмы равен 8 дм3. Найдите наименьшую полную поверхность этой призмы, зная, что длина стороны основания призмы может принимать любые значения, принадлежащие промежутку (1; 4).
Вариант 7
1.	Решите неравенство
2.	Упростите выражение
2 ctg ( f - 2а) +----.	.
sin \ а) tg “ sin ~
Найдите его значение при а=—
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 —2х-|-3 и у = 3 + 2х.
4.	Решите систему уравнений ( х + 2у=13, ( 2 log4 х — log4 (2у — 1) = 0,5.
5.	Найдите наибольший возможный объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой имеет длину 6 -уЗ см.
1. Решите неравенство
Вариант 8
2.	Упростите выражение
/ п \ ।	2 sin (л— 2а)
cos (- 2а)+-------к	.
ctga + ctg^y + aj
Найдите его значение при а=-^-.
3.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = х2 + 2х + 5 и у = 5 — 2х.
4.	Решите систему уравнений ( 2х—у— 19, ( log9 (2х — 1) — 2 log9 у= —0,5.
5.	Найдите наибольший возможный объем правильной треугольной пирамиды, апофема которой имеет длину 6 дм.
Вариант 9
1.	Упростите выражение
2 cos2 a I о _ /1 с \ —2 cos (1,5л — а).
14-sin (л+а) 1	4	'
Назовите два значения а, для которых данное выражение не имеет смысла.
2.	Решите неравенство 9х + 3х >6.
3.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у= — 0,5х2 + 2, у + х = 2.
4.	Исследуйте на возрастание, убывание и экстремумы функцию
z/ = 2x*ln х.
5.	Основанием пирамиды MABCD служит квадрат. МВ Л. АВС, MD = 4-у]3 см. Найдите длину высоты пирамиды, при которой ее объем наибольший, и вычислите этот объем.
Вариант 10
1.	Решите уравнение
д/3 cos2 х — 0,5 sin 2х = 0.
Назовите один положительный и один отрицательный корень этого уравнения.
2.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у=— 0,5х2 + 2х и г/ = 0,5х.
3.	Решите неравенство
log2(x — l)+log2(x — 3)<3.
4.	Решите систему уравнений
Г gl + log3 (x + 2t/) __
1 Г^х2 — 2y_g0,5x
5.	Найдите наибольший возможный объем конуса, периметр осевого сечения которого равен 8 дм.
Вариант 11
1.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
t/ = sin х, y = v, х = —, О^х^С — о	о
2.	Упростите выражение
2 cos a —sin 2а sin2 а — sin а + cos2 а
Укажите множество значений а, при которых значение данного выражения равно —1.
3.	Решите уравнение
4 In2 х —In х2 = 2.
4.	Исследуйте функцию f(x) =—~х3 + ^2 и постройте ее график.
5.	Требуется изготовить закрытый ящик с квадратным дном, объем которого равен 8 дм3 Каковы должны быть линейные размеры ящика, чтобы его полная поверхность была наименьшей?
Вариант 12
1.	Найдите область определения функции
f (х) = 1 п (х2 — 2х) + V8 —X.
2.	Решите неравенство
2sin(2x—^) + 1>0.
3.	Для функции f (х) = 2х + “— найдите первообразную.
4.	Решите уравнение
log4 (Зх — 4) — log4 (5—х2)=0,5.
5.	Сумма длин всех ребер правильной шестиугольной призмы равна 36 см. Найдите длину стороны основания призмы, при которой объем призмы наибольший.
Вариант 13
1.	Решите уравнение 5 sin х + 2 cos х= —2.
2.	Для функции f (х) = 4 sin 2х+х-2 найдите первообразную, график которой проходит через точку	1)
3.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 и у=х + 2.
4.	Решите неравенство In (2х —3)< In (х+1).
5.	Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна 4 -\/3 дм. При какой высоте призмы объем ее будет наибольшим? Вычислите этот объем.
Вариант 14
1.	Решите уравнение
5 — 5 cos —х) = 2 cos2 (л — х).
Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [л; 5л].
2.	Решите неравенство
2 1og2(3-2x) <Q logo,2 0,1
3.	Напишите уравнение касательной к графику функции {/= In (3 — 2х) — sin (0,5лх) в точке его с абсциссой х0=1.
4.	Решите систему уравнений
(I	Я
х+у=Т’ sin x + sin у = — д/2
и запишите какие-либо три решения этой системы.
5.	Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 4 -^3 см. Высота пирамиды может принимать только те значения, которые принадлежат отрезку [1; 5]. Найдите наибольший объем пирамиды.
1.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х2 и у=0,5х2+2.
2.	При помощи производной исследуйте на монотонность функцию y=10go,3 (6 —2х).
3.	Решите уравнение
( 1 — cos(-|—х)) (1 4-sin х) = 1,5 sin (х —9л).
4.	Решите неравенство
16х-2 < 4х.
5.	Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник АВС, в котором 2.ЛСВ = 90°, СВ — ЗАС. Высотой пирамиды служит ребро МС, МА = 4^/3 дм. При какой высоте пирамиды ее объем будет наибольшим? Вычислите этот объем.
Вариант 16
1.	Решите неравенство
2.	Упростите выражение
sin4 <х -|- 2 cos a sin a —cos* a 2 cos2 a — 1	'
Найдите числовое значение данного выражения при а=—
3.	Решите уравнение
log4 (-\/59— 10х— l) = 0,5 + log4 (х—4).
4.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2— 2x4-2, прямыми у = 0, х = 0 и касательной к данной параболе в точке ее с абсциссой хо = 2.
5.	Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 16 -\/3 дм2. Какой наибольший объем может иметь эта пирамида?
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОГРАММИРОВАННОГО КОНТРОЛЯ
Работа 1. Основное свойство первообразной
Задание		Ответ			
Вариант 1	|	Вариант 2	1	2	3	4
Для функции первообразну f(x)=p-. F(l)=l Найдите общий bi для фу f (х) = 2 sin Зх fw=i+—U-cos 4х	f (х) найдите ю ff (ж), если: /М-р-. f(l)=l ид первообразных ъкций: f (х) = 3 cos 2х нх)=1+^-4— v	sin2 4х	—х”2—2 2 —— cos 3x4-С о X—^-ctg 4хЦ-С	и + СЧ	1	"Г 4-	'	* 7	00 V	s 1	?	-Н СЧ |<?О	4“ *	—2х-1 —1 з —— sin 2x4-С X—|-tg4x+C	2х~* —1 з — sin 2x4-С *+4ct84x+C
Верный ответ: вариант 1—213; вариант 2—341.
Работа 2. Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций
Задание		Ответ			
Вариант 1	Вариант 2	1	2	3	4
Вычис; л 7	2 С	.	(dx \ cos хах; \	—т J	J	* 0	1 Вычислите пл< ограничение У = х2, у = 0, х = 2	гите:	2 С	.	,	С	dx \	sin хах;	\	—г J	J	х л	1 "з эщадь фигуры, >й линиями: I	i/ = x3, «/ = 0. х=2	л/3	15 2 ;	8 4	л/2.	15 2 ’	64 8	1	15 2 ’	16 4	i 2
Верный ответ: вариант 1—243; вариант 2—321.
Работа 3. Обобщение понятия степени
Задание		Ответ			
Вариант 1	Вариант 2	1	2	3	4
Найдите значение выражения:					
V6-2a/5-V6+2-s/5	^7-4^3-V + 4t/3	1	— 2	-1	2
Решите у	эавнение:				
-у/2 + х —х	п/2 —х =х	2	1	-1	-2
Упростите выражение:					
л/5 —2	л/54-2	[JO сч 1 о	9 + 2^5	9-4^5	9 + 4 ^/5
V5 + 2	V5-2				
Верный ответ: вариант	вариант
Работа 4. Показательные уравнения и неравенства
Задание		Ответ			
Вариант 1	Вариант 2	1	2	3	4
Решите у 9"’. 3х=81 Решите не (4)‘<25 Решите у 2х+2х+г=20	эавнение: 4-’-2х = 8 равенство: (!)'>’ >авнение: 3*+2 —3'=24	6 (-со; -2) -1	2 (-2; 0) 2	т 1	СП ю Л	1 (0; 2) 1
Верный ответ: вариант ЦК вариант
’"Работа 5. Логарифмические уравнения и неравенства
Задание		Ответ			
Вариант 1	Вариант 2	1	2	3	4
Решите yi logo.5 (V*— 1)= — 1 1 lg2x —lgx = 0	1 Решите не logs( — х)<0	равнение: logo,2 (6 — V*)= — 1 |	lg2x + lgx = 0 равенство: logo,4 ( —х)<0	1 1; 100 (-~; 0)	5 1; 0,1 (-1; 0)	8 1; 10 (0; 00)	9 1; 0,01 (—оо; —1)
Верный ответ: вариант 1—432; вариант 2—124.
Работа 6. Производная показательной и'логарифмической функций
Задание		Ответ			
Вариант 1	Вариант 2	1	2	3	4
Найдите f f(x) = x-2x Вычислите (с точное фигуры, огранш у = ех, t/ = 0, х = 0, х= 1 Найдите промежутки 1 2х	' (0), если: |	f(x)=x-2x+l тью до 0,1) площадь {енной линиями: !/=у.«/=0. х=1, х=3 возрастания функции: <₽(*)= е	-2 1,1 [1; °°)	-1 2,8 (-оо; 1]	1 1,2 (-«; 2]	2 1,7 [2; оо)
Верный ответ: вариант 1—342; вариант 2—413.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Самостоятельные работы
Вариант 1
С—1. 2.у+2-1-. С—2. а) — 2 cos хЦ-3 sin х+С; б) 6V*+y+C. С-3, а) 8-|-; б) 4. С—4. а) 12; б) 1. С—5. 60,9 м. С—6. а) 1у; б) 2—^2. С—7. а) 10,5; б) 3 л/3— 3. С—8. 1. Нет. 2. а) 11; б) 15. 3. а) 9,1488; б) 2,7589. 4. Второе больше. С—9.1.	^а^.г.а) — УГ8;б) 1.3. а) 3; б) 2а. С—10.1. 17.2. (8; 1). С—11.1.а) 32;
б) 27; в) 2. 2. Первое больше. 3. и1 4-2. С—12. 2. а) 8; б) 6. 3. ( — 2; оо). 4. а. С—13. 1. 1,5. 2. (—2; оо). С—14. I. 2. 2. (—оо; — 1)U(O; оо). С—15. 1. a) y=^L, D(g)=E(g)=R- б) g(x)=Vr=T?, D(g)=£(g)=[0; 1]. 2. g(-1)= - 1; g (2)=-|; g(3)=l, D(g)=[—2; 4]; £(g)=[-2; у] (рис. 21). C-16. 1. a) -10; 6) 2. (~yi °°)- C-17- ’• Ig7+31ga+-|-lg |ft|. 2. a) 0,5; 6) 2. 3. 3,6419. C—18.1.a) 1; 2; 6) 0.2.a)(l; oo); 6) (4,5; oo). C—19.1. a) 3; у ; 6) 10; 10000 000. 2. a) (0,0001; 10); б) (-оо; оо). C-20. a) (2; 6); (6; 2); 6) (2; 1); (logs 3; log34). C—21. L a) — 5e 5x; б) 2х (14-x In 2). 2. y=-. 3. Убывает на (— oo; —0,5],
2	4x_3	1
возрастает на [-0,5; oo). C-22.1. a)	6) фГ_3х+|)|п3-	*+
+ 1—3. x=^= — точка минимума. C—23. I.	+	2. 5,002.
3.	C—24. 2. f (x)=3e\
Варшиа 2
С—1. 2. —I* €—2. а) —3 cos х—2 sin *+C;i б) 8 -Jx—0,5х24-С. С—3. а) 20; 44	1	2
б) 4. С-4, а) 8; б)' 1. С-5. 1,5-о-, -,-г.т С-6, а) 10—; б) ^2- 1. С—7. а) 6,2; М*"Г	&
б) 1. С—8. L Да. 2. а) 7; б) 15. 3. а) 5,4222; б) 3,2075. 4. Первое больше. С—9. 1.	2. а) -V24; б) 46 = 4096. 3. а) 4; б) -2а. С—10. 1. 8. 2. (64; 1).
।
С—11.L а) -Ь; б) 64; в) 4. 2. Первое. 3. 2и5 +1. С—12. 2. а) 81; б) 8. 3. (- оо; 1).
1
4. b. С—13. 1. —тг. 2. (—оо; — 2]. С—14. 1. 4. 2. [—2; оо). С—15. 1. a) g(x)= «3
=^-. D(g)=R, E(g)=R; б) g(x)=V?+4, D(g)=[0; оо), £(g)=[2; оо). 2'. g(—2)=2; g (1)= — 1,5; D (g)=[—3; 2]; £(g)={~3; 3] (рис. 22). C-15. La) 8;
б) 2. (0,5; оо). С—17. 1. 4+6 log, |а|+0,6 log, fr. 2. a) 0,5; 6) 2. 3. 3,0600.
O'
C—18. 1. a) -1; 5;. 6) 0. 2. a) 0; 6) (-2,5; 1,5). C—19. 1. a) 4; 6) 100;
V10 000 000. 2. a) (0; oo); 6) [0; log3 2). C—20. a) (2; 4);. (4; 2); 6) (1; -1); (log,3; — logs 2). C—21. 1. a) — 0,3e—0,3x; 6) 3x(14-*ln3). 2. y=— 0,5ex. 3. Возрастает /	11 x	Г 1	\	< x 3	2 —6x
Ha ( - °°:	-3 J ’ убывает	Ha Lt ; °°)	C“22- *• a)	37=4	= 6) (3?-2x+5)	In 2 •
2. y=  ? x—-г—o“+ 1. 3. Минимум в точке x=--=•. С—23. 1.-^2 (x^-1 — x”^2”1).
о In о In о*
../к_i
2. 2,0025. 3.	—. C—24. 2. f(x)=5?\
Вариант 3
€—1. 2. F(x)=sinx+1. C—2. 1. F(x)=(x—1)*. 2. £(x)=-l- V(2x+1)’ + +4cos~-+C. C—3. 1. S (x)= l,5x2+x —2,5. 2. 4. €-4. a). S=l,5; 6) 1,45; 0,05; в) 5л=-4(з—lim S„=l,5. C—5. 1. a) 10; б) 3; в) 6-^3. 2. 71,4 м.
2 \	n /	n-»-oo
2	1
C—6. a), 2^-; 6) 4. C—7. a) 7,5; 6) 4,5; C—8. 1. a); -2; 6) 0,2. a) -1; 1; 6) -y. C— 9, 1. 2. 2;,2.—V3. 3, (-00; -2)(J(2;. oe). C—10. 1. 2; —7.. 2. (2; -1); (-1; 2); (-2; 1); (1; —2). C—11. 1. 43-^-. 2. л/^-л/х. C-12. 6) (—1; 00); в) (-1; 2); г) max f (*)=f (4)= 15, min f (x)=f (0)=0. С—IX1. a) —1,5; 6) 2. 2. aj (— oo; 0); [-2; 4]	[-2; 4]
6:)(—oo; —3)U(3; oo). C—14. l.(-oo; - 1,5)U(-0,5; oo). 2. a) 2; 6) 2. C—15* а) Обратная функция #= —Зх+6; б) обратная1 функция {/=V*4-1 • С—16. б) ; 8^ ; в) max f (x) = f (0,5) = f (8) = 2, min f (x) = f (2) = 0. C—17. 1. 2. 2. 21. 3. lgx = [0,&; 8]	[0,5; 8]
= --g—y Iga.C—18. l.(—1; l).2.a) 16; 6) 100; 0,01. C-19. l.(o;(J [10; oo). 2. 3. C—20. a) (27; 9); 6) (0; 3). C—21. 1. e~2x-(-2 cos 3x-3 sin 3x); -2. 2. з in з^24,3. 3. e2 —3«4,4. C—22. 1.	6. 2. Возрастает на промежутке
(0; 1]; убывает на промежутке [1; оо). 3. 4 In 4 — 3^2,55. С—23. 1. 11,25. 2. у = = 2x4-3. С—24. 2. у = С-е~2х, у = е~2х+'.
Вариант 4
С—1. 2. F(х)= — созх— 1. С—2. 1. F(x)=(x4-2)2. 2. f (x)=4V3*—1 + 4-2sin4+C. С—3. 1. S(x)=4*’+*- 2- 4. С—4. a) S=0,75; б) 0,725; 0,025; в) 3„=4(з—-) ; lim S„=0,75. С—5. 1. а) 21; б) 42; в) • 2. 22,8 м.
4 \ п /	л—► оо	3
1	2	г-
С—6. a) 5-J-; б) 4. С—7. а) 4,5; б) 10— . С—8. 1. а) 2 VT6—3; б) 2а. 2. а) - 1; 1; о	О
б) 4- С-9. 1- 4. 2.	• 3. (-1; 1). с-10. 1. -12; 2. 2. (3; -1); (-1; 3);
( —3; 1); (1; -3). С—11. 1. 26. 2.	С—12. б) (—1; оо); в) (—1; 1);
г) max f(x)=f(2)=8, min f(x)=f(O)=O. С—13. 1. а) —14; б) 0,25.
[ — 2; 2]	[ — 2; 2]	3
2. а) (- оо; -1); б) (-3; 3). С-14. 1. (-0,5; 2,5). 2. а) 3; б) 3. С-15, а) Обратная функция у= — 2x4-4; б) обратная функция y=^Jx-]-2. С—16. б) (1,5; 5);
1	2
в) max f (x)=f(9)=3, min f(x)=f(2) = 0. C-17. 1. 3. 2. 30. 3. -1-^—=-lga. [1,5; 9]	[1,5; 9]	2	3
C—18. l.(-l; 1). 2. a) 8; 6) 1000; 0,001. C-19. 1. [0,2; 5} 2. 1; 2. C-20. a) (64; 16); 94 я
6) (3; 1). C—21. 1. e~* (-sin 2x-f-2 cos 2x); 2. 2. -^-«15,4. 3. e2-3«4,4. In э
C—22. 1.	;	. 2. Возрастает на промежутке [1; оо), убывает на промежутке
(0; 1]. 3. 2 In 4— 1,5« 1,3. С-23. 1. 22,5. 2. i/=-3x + 4. С-24. 2. у = С-е~4я, у=е~~4х+5.
Вариант S
С-1. 2. 14-Х—С-2. 1. a) -cos4-sin4+C; б) 4(7*+l)V^+T+ С. Z	Z	О	Z1
С—3. а) 14; б) 1. С-4, а) 4-|-; б) 0. С-5. 32. С—в. а) 14 ; б) 3 л/3. С-7, а) 0,4; <5	О	О
б)----4 С—8. 1. Нет. 2. а) 2; б) 24- 3. а) 2,2057; б) 2,4491. 4. Первое больше.
у/3	3
С—9.1. — а \[2. 2. a) ^5; —А/2'. б) 1.3. а) 3; б) 2а при а>0; Опри а<0. С—10.1. —3;
4. 2. (64; 1). С—И. 1. а) 0,5; б) у - 2- Числа равны. 3. 4. С-12. 2. а) 25; б)
3. D(j/)=[2; ~); £(у)=[0; 00) 4. х2. С-13. 1. 4. 2. (-1; 1). С-14, 1. —2; -1.
2. (-2; оо). С-15. 1. a) g(x)=^l, D(g)=(-oo; -1)U(-1; оо), £(g)= =(-оо; 1)U(1; оо); б) g(x)=-V3=7, D(g)=[0; -fi], £ (g)=[—>/3; 0} 2. g(-2)=3, g(0)=0, g(l)=—2, D(g)=(-3; -1,5](J[-1; 2J £(g)=[-4; 4] (рис. 23). C—16. 1. а) Минус; б) плюс. 2. (— оо; —тДб)и(-710; — 3)(J(3; V>0)U (J(ViO; оо). C—17. 1. a) 4; 6) 9. 2. 1,5—2 log, 34- log, «4-4 log, ^ + 4 '°S2 c~
—у log, x —2 log, |g|. 3. а) Равны; б) первое больше. С—18. 1. а) —1; 6; б) 3,5. 2. а) (±; з) ; б) (1; оо). С-19. 1. а) -Ь; 27-^3; б) 10; 100 V1000. 2. а) (-оо; O.l)U(VH); оо); б) (log, 5; оо). С-20, а) (3; 5); (5; 3); б) (2л*>; лп); (4+л*; (—1)“-4+я")’ k^Z> п^г- с—2|- *• а) 0.02е7+в-,х; б) -2 1пЗХ
Рис. 24
✓ I Ч 2х + о,5
Х(-д-)	2. у= — x-j-2. 3. Убывает иа (— оо; 0], возрастает на [0; оо).
С—22. 1. а) —Ц-; б) —. 2. у=-А- + 2--4—. 3. Убывает
*-5	ln3(x2V*-2x)	4 In 2 Г 4 In 2
_2
на (0; е 2), возрастает на [е 2 со). С—23. 1. -^2х^~'— 2х~3. 2. 0,004. эт«4-1___1
3. -—-г— «27,4167. С—24. 1. у'=-3у. 2. /(л) = 22ж-'
Вариант 6
С—1. 2. X—2х24-12. С—2. a) -cos4+sin 4+с- б) 4-(6х—2)7бх—2+С. ох	У
С-З. а) 4-; б) 1. С-4, а) 2; б) 1. С-5. 4 * л/Н-^-^+З. С-6, а) 1-1-; 4	О	Л	о О
б) 8—3 V3. С—7. а) — 13; б) у С—8. 1. Да. 2. а) 1; б) 6,2. 3. а) 2,7320; б) 2,7583. 4. Второе больше. С—9. 1. — Ь^/2. 2. a)	б)	625. 3. а) 4; б) 2а при а^0,
0 при а<0. С—10. 1. 4 -у/2. 2. (64; 1); (1; 64). С—11. 1. а) 6; б) 5. 2. Первое больше.
3. 2. С—12. 2. а) 3; б) . 3. D (у)=[2; оо), £(у)=[0; оо). 4. х~3. С—13. 1. 0. 2.(—оо; -4)0(4; оо). С-14. 1. -3,5; 1. 2. 0. С-15. 1. a) g (х)=|^у, D (g) = =(-оо; —1)(J(—1; оо), £(g)=(—oo; -1)U(-1; ОО); б) g (х)= -л/2=7, E(g)=[-^2; 0J D(g)=[0; -у/2]. 2. g(-l)=-2, g(l)=2, g(3)=0, D(g)= =[-1,5; 0]U(0,5; 4]4.£(g)=[-3; -1,5]U[-1; 3) (рис. 24). C—16. 1. а) Плюс; б) плюс. 2. (—oo; —V5)U(—V5; — 2)U(2; V^UCVS; oo). 3. График получается из графика i/=lgx симметрией относительно оси Оу. С—17. 1. а) 4; б) —27.
1	5	1
2. 3 — log53 + 21og6 1<я|+—log5 d+ — log5x — ylogst/ — 3 log5 z. 3. а) Равны;
б) второе больше. С—18. 1. а) —1; 4; б) 0. 2. а) [0,5; 2 V?]; б) (—1; 0)U(0; оо).
:3 —2x-o s) In 4 ’
возрастает на [— 14-ee+1 — 1
3. ——г—10,8097.
С—19. 1. а) 2; -Д=; б) 10; 0,1 -у/ОД. 2. а) (0; Ю'-^иОО'+Л оо); б) (log16 2; оо). 2 V4
С—20. а) (3; 6); (6; 3); б) (±у + 2лЛ; яп) ; (у+ nfe; -у + 2лп) , k£Z, n£Z.
С—21. 1. а) 6е3+2х; б) -5 In 14- 14°-2-Бж. 2. у=х+2. 3. Убывает на (-оо; -21 1	Зх2 I х ~1,5
возрастает на [-2; оо). С—22. 1. а) *_6 ; б) (жз_0у-о,8и„ А •	2.	у =
= «-г^х—й-ДоН-1- 3? Убывает на (—1; — 1+VTo];
О 1П О О 1П о
+ V10; оо). С—23. 1. т/Зх^-1 —1,5х~26. 2.
С—24. 1. у'=—0,41/. 2. f(x) = 3x+l.
0,0006.
Вариант 7
2	2
С— 1. 1. а) Да; б) нет. 2. 2,5 — cos х. С—2. а) —— cos (1,5х—1)+ —х <5	3
б) 4-tg(x-7)+4+C. С-3, a) 2V3-14; б) 0.5. С-4, а) 86-1; б) -fi. 3	О	3	д
С—5. 1200 м; 0,4 м/с2. С—6. а) 1у; б)	С—7. а) 1,25; б) 0. С—8. 1. Нет.
2. а) 3; б) 3,5. 3. а) 2,7585; б) 3,2053. 4. Первое больше. С—9. 1. При а>0. 2. а) 0; 16; б) 5в=15 625. 3. а) 2у/3; б) 1. С-10. I.	2. (8; 1); (-1; -8).
3
С—11.1. a) ; б) Ь\ 3. 2. а) При а>0; б) при всех а. 3. 2х, Б. С—12. 2. а) Первое больше; б) равны. 3. D(y)=[0; оо), Е (t/) = [0; оо). 4. а12. С—13. L 1,5. 2. (0,25; О). С-14. 1. 6. 2. [1; оо). С-15. 1. a) g(x)=73-x, D (g) = E (g) = R\ б) g(x) =
=	O(g)=(0; 11 £(g)=[0; оо). 2. g(-l)=l, g(l)=2, g(2)----&,
D(g)=[— 2; 31 E(g)=( — 2; 0]U[0,5; 2] (рис. 25). C—16. 1. а) Минус; б) плюс.
2. (3; 4)(J(4; 7} C-17. 1. l.S+^-logy а+Д log716|+Д-log7 с-Д-log7 d-о	О	Z	Z
-logT 5-у log? k. 2. 3(1 —a—b). 3. a) 2; 6) 0. C—18. 1. a) 1; 6) 0,1; 100. 2. a) (—oo;0)(J(2; oo); 6) (1,5; 2). C—19. 1. а) ±y/5J, ±100; 6) 10. 2. a) (3; oo);
6) (-oo; log23)U(2; oo). C-20. a) (&+^; S^3):	й (2; 6)
C—21. 1. a) — 14e2-|u; 6) — In 2-0,5°-5x+2.
2. y=2x. 3. x= —1—точка максимума; х=1 — точка минимума. С—22. 1.
Зх2—4х	4	5
Э) х3-2х2 + 1 ’ ' 3(2х-3)1п2 ’	2' 3
„ 1
3. х=~-----точка максимума, х=е — точка
минимума С—23. 1. Возрастает на Ji); J
[2л/3	\	х^+1	х-^24*1
——; оо) 2. 0,0025. 3. —------------------1----7“ + ^- С—24. Нет.
1/3±1	/	V2+1	1-1/2
2. f(x) = 5J
Вариант 8
С—1. 1. а) Да; б) нет. 2. sin х+1,5. С—2. а)	sin (1,5х — 1)-|--^-(х +1) л/х + 1 + С;
о	о
б) 4ctg(2-x)—£+С. С-3, а) 10У^~_19 ; б) о,5. С-4, а) 6; б) 1— □	о	3	-ft
С-5. у—у+/-1; 2/-1.С-6. а) у; б) 1^-1. С-7, а) -1у;б) 1^-. С—8. 1. Да. 2. а) 1; б) 4,2. 3. а) 3,0114; б) 3,5395. 4. Первое больше. С—9. 1. При всех Ь. 2. а) 1; б) 729. 3. а) 2 д/2; б)	С-10. 1. 3. 2. (8; 1); (1; 8).
С—11. 1. а) 21; б) а; 3. 2. а) При а=0; б) при а>0. 3.	. С—12. 2. а) Первое
больше; б) равны. 3. D(y) = [— 1; оо), Е(#) = [0; оо). 4. 620. С—13. 1. 2. 2. (-оо; -у) (J (0; оо). С-14. 1. у. 2. (-5; 3)U(4; оо). С-15. 1. a) g(x) =
=(—оо; 0} 2. g(—2) не определено, g(—1)=1—у/3, g(3)= —1,5, D(g)= =[—3; —2,5]U(—2; 4], £(g)=[—2; 1)(J[2; 3] (рис. 26). С—16. 1. а) Плюс; минус.
2. (-2; -1)U(-1; 31 С—17. 1. -2+уlogs b-logs a. 2. 3(l-2a-&). 3. a) 2; 6) 6. C—18. 1. a) 2; 6) 0,1; 1000. 2. a) (—oo; 0)U(3; oo); 6) (—1; oo). С-1». 1. a) ±10;	6) 10. 2. a) (-7; - 1)U(2; oo); 6) (1; logs5).
C—20. a) (5; 4); 6) (5; 2). C—21. 1. a) -7e4~7x; 6) -6tn2-42-3x. 2. y=2. 4x3 — 9x? 4- 1
3. x— ± 1 — точкгГминимума; x = 0 — точка максимума. С—22. 1. a) —5—q-tt— » X — OX -J- X x=2 — точки минимума, x= 1 — точка
б) (2х—80) In 3 ' 2' максимума. С—23. 1.
5 о 1 Тз ’ "7 "
, Убывает на
на
Ц/2 . ж-*+'
|0; —-=!-J , возрастает
\	+1	х^+'
оо) 2. 0,005. 3. —------
/	т/3+1
С—24. 1. Нет. 2. f (х) = 32х-4.
Вариант 9
С—1.1. При хФ0 равенство F' (x)=f (х)
проверяется просто. Прих = 0 получаем
F(x)-F(0). Пт xk|-0;.
х->0 X
а) V*2 —1 + С;
F' (O) = lim x-*0
= lim |x| =0.
2.
Рис. 27
Рис. 28
2x + sin2x , _	2 l+cos2x _ л . ft. .
б)		-------рс. Указание, cos х=----------. С—2. a) 2tg(x—l) —
— cos (4 —Зх)+х + С;	б) sin х — х cos х+-|--\/(2х + 1)5 + ^- Указание,
(х cos х)' = — х sin x + cos х. С—3. а) 4; б) 6. С—4. 1. 78. 2. А >10; Л >1000;
1	4
Л>—. С—5. 30,06 м. С—6. 1. 1,5. Указание. -у=х—1 при х3 —х2 —4 = 0; е	х
раскладывая левую часть на множители, получаем (х3 —8)—(х2 —4)=(х —2)Х Х(х24-2х4-4 —х —2)=(х —2) (х24-х-Р2); это выражение обращается в нуль при х = 2; следовательно (рис. 27), S = Jdx — J(х— 1) dx =—~ 11	1 =
= —2 + 4—1- + 0=1,5. 2. 12 +2л. Указание (рис. 28). Искомый интеграл равен сумме площади прямоугольника ABCD со сторонами 3 и 4 и полукруга радиуса 2. С—7. а) — (З9 —0,59); б) —	С—8. 1. Да. 2. Указание. Возведите обе части равенства в квадрат. 3. (V^+V^)	+	4. Второе.
Указание. V1988 —V1987 =—==   *	------   <
V19882 + V1988 • 1987 + V19872
1	<1/--- -»/- 14
<---	 -.....- _ • - = У1987-У1986. С-9. 1. 1. 2. а) 0;	.
V1987*+V1987 • 1986+VT9862	_____ 13
Указание. При х=/=1 поделим обе части уравнения на V(x~~ 1 )2» после чего
Vx+ 1 х~Т * б) 1; 8; —27. У к а з а н и е. Перенести все члены в левую часть и вынести за скобки множитель Цх—1. 3. а) — \/а при 6>0, а#=6; б) — 2а при а< — -^2; 2 д/2 при —У2<а<д/2; 2а при а^^/2. С—10. 1. 2; 11. Указание. Один из способов решения — обозначить первый корень через м, второй — через v и решить 124
второе уравнение которой получается при ис-
.	— v = 1.
систему уравнении |мз_из_7
ключении х из уравнений замены. 2. (9; 1). У к а з а н и е. Сложим и вычтем уравнения системы, в результате получим равносильную данной систему “б4» с— и. 1. 12. У к а з а н и е. Вынести из числителя каждой дроби (V^—у^)3 = 8.	1 1 т2
(до возведения в куб) произведение 2 3 -3 3.2. С—12. 1. Совпадает с графиком y=]g(x+l). Второе больше. Указание. (7 — 4-^3)г8 = (74-4^3)“3,8. 3. D(y)= — оо,
log2 3]UDog2 5; оо), Е(у)= [0;оо). С-13. 1. -1; 0; 1. 2. (2; 3)U(7; оо). С-14. 1. ±2. Указание. Обозначим (-^54-2 через у, тогда (л/5-2<б)х = —; решая квадратное уравнение у— 10i/4- 1 =0» получаем (/ = 54-2 V6 (откуда х = 2) или у = 5 — 2^6 (откуда х=—2, так как (*д/5 —2 -\/б )* = (/“ ‘). 2. —^-4-2лЛ; 5р4-2лб) , k£Z. С—15. 1. в) и г). 2. Да (рис. 29). С—16. 1. См. рис. 30. 2. 0. Указание. lg tg l°4-lg tg 89° = lg (tg l°-tg 89°)=lg (tg l°.ctg l°)=lg 1=0,
аналогично lg tg 2°4-lg tg 88° = 0 и т. д. 3. (0; 10)U[1000; oo). C—17. 1. a(3+b).
2. *4-1- 3. Первое. Указание. Iog2 3> log2 2 ^2= 1,5, a log3 5< log3 3 ->J3= 1,5. C—18. 1. a) 2; б) 3. Указание. Данное уравнение равносильно уравнению х = 34-ж, которое не может иметь более одного корня, так как левая часть —
возрастающая функция, а правая — убывающая, один корень легко угадать: х = 3. 2. а) (3; 4); б) (0; 1]. Указание. Проверьте, что в любой точке области определения левая часть положительна. С—19. 1. а) 1; б) [0,5; оо). 2. а) 0,5;
б)
; 41 .Указание. Сделайте замену t/=logx 5. С—20. а) (—1; 1); (4; 32); 25 5 J
б) (3; —1); (0; 2 1og2 3 —2). Указание. Из второго уравнения х = 0 или х = = 1— 2у. С—21. 1. х = 0,5 — точка максимума, х=1 —точка минимума. 2. Совпадает с графиком у=х2 — 4x4-1 при х2 —4x4- 1 >0. 3. Первое меньше. Указание. Достаточно сравнить натуральные логарифмы этих чисел, т. е. -\/3 In 2
/о 1 о П	1п 2	1п 3 _
н -у2 In 3. Сравним числа —--и ——Эти два числа — значения функции / (х) =
= в точках 2 и 3. Функция f возрастает на промежутке (0; е2\ так как /' (х) =
„„„„„ ,я<;(3). с—22.1..)	
х-\[х	(x+cosx)ln3
б> TctgT-2-	л~пп-1-3-Убывает на (0; 1] и на [в: то)>
возрастает на [1; е} С—23. 1. Xх (1 + In х). Р е ш е н и е. хх = ехХпх и (хг)'=(еж,пл)' = =ех,п х (х 1п х)'=х* (1 4-In х). 2. « —0,005. 3. Возрастает на [0; -^2 — 1] и на [1; оо), X
убывает на [->/2—1; 1]. С—24. 1. 15 ч. 2. у = Се3 Указание. Функция у3 удовлетворяет дифференциальному уравнению (t/3)' = t/3 (так как Q/3)'= 3t/2t/' по правилу дифференцирования сложной функции), поэтому t/3=Cie*, откуда
y=\/Ciex = Се 3, где C=Vci-
Вариант 10
С—1. 1. См. указание к вар. 9. 2. а) -yjx* +1 + С; б) ——s^-n— | С. Указание. sin2x=-—C°S 2— . С—2. а) —2 ctg (х+1)+~ sin (4х —3)4-х4-С; б) xsin<x4--l-cosx—i-V(l+2x)34-C. Указ а н и е. (х sin x)' = sin х+х cos х. С—3. а) 4; б) 2з4- . С—4. а) 24,2; б)	• С-5. 412^ м. С-6. 1. 1.Указание,
о	10	00	/У0	12
о
-т=х—2 при х3 —2х2 —9=0, имеем х3 —2х2—9=(х3 —27)—2 (х2—9)=(х —3)Х х
Х(*2 + * + 3), это выражение обращается в нуль только при х = 3, далее, S = 2)2dx₽ —	I’—^Х~2^ |,= 1 (ср. с вар. 9). 2. 18—4,5л.
2х г	х । z ।
Указание. Искомый интеграл равен разности площадей прямоугольника 26
со сторонами 3 и 6 и полукруга радиуса 3 (рис. 31). С—7. а) 9—; б) —3. оо
С—8. 1., Да. 2. Указание. Возведите обе части равенства в квадрат.
3. (Va—-y/b)	4. Второе больше (см. указание к вар. 9).
С-9. 1. (л/2+ 1)-78+т/2. 2. а) - 1; 8; б) 0; (см. указание к вар. 9). 3. a) \[ab
(при а>0, d>0. а#= Ь)\ б) 2 при 1<х< <2; 2 -\/х — 1 при х>2; не определено при х< 1. С—10. 1. 1 (см. указание к вар. 9). 2. (8; 1); (-8; 1); (8; -1); (-8; -1). У к а-з а н и е. После деления первого уравнения системы на второе получим х Я/х	х
———=16, откуда —= ±8, т. е. x=±8t/. у Чу	У
С—11. 1. 20 (см. указание к вар. 9). b
2. —. С—12. 1. Совпадает с графиком
t/=log2 (2 —2х). 2. Второе больше. У к а-
зание. (6-2л/5)3'3=(5+2л/5)-эЛ 3. D (</)=(-оо; logs 4]U [logs 5; оо), £(</) = =[0; оо). С—13. 1. — 1. 2. (— оо; —5]U[2; 3). С—14. 1. ±2 (см. указание к вар. 9).
(Л . ЯП л , лп\	„
п^* Указание. Данное неравенство равносильно
неравенству tg х> ctg xoctg 2х<0. С—15. 1. в) и г). 2. Да; например, г/=
0<x<e, i/ = lnx—1 при е<х<е2, £/ = 3 —Inx при е2<х<е3, у=1пх-3 при х>е3.2,0. Указание. Среди множителей есть lg tg 45° = lg 1=0. 3. (0; 0,0001 JU U[0,l; oo). C—17. 1. -3	• 2. Iog2 x4-1- 3. Первое больше. Решение. Iog2 3>
> log, 2-72 = 1,5=logs 5-^б>logs 8. C—18. 1. a) 3; 6)	. 2. a) (2; oo); 6) 0.
zb
Указание. Область определения неравенства — (9; 10], а при 9<х< 10 левая часть неравенства положительна. С—19. 1. а) — 1; б) 1-^-; оо) . 2. а) (0; —) U
и(4; оо); б) ^0; U [2; оо). С-20, а) (1; 6); (2; 7); (3; 8); б) (-2; -8). Указание. Рассмотрите Arfa случая:
{..<л Н 1иС0.
После деления второго уравнения на первое в первом случае получим -^=—2, /-------------------------------------------	-у*
что невозможно, а во втором случае получим ,	= 2 и после подстановки
у — х
в первое уравнение находим х: (V—*)4=4, откуда х = — 2. С—21. 1. х = 1 — точка максимума. 2. Совпадает с графиком £/=0,01 |х4-1|, где х=# —1. 3. Второе больше. Указание. Сравним логарифмы этих чисел и поделим обе части In л In е _
на ле, получим, что достаточно сравнить числа —— и —. Эти числа — зна-
Л.	£/ \ 1ПХ	£//\	1— In х cz/. л
чения функции f (х)=—— в точках л и е; f (х)=----и f (х)<0 при х>е,
следовательно, f убывает на промежутке [е; оо), в частности f(e)>f(n). -	ч 2 (2х — cos х) log2 (х2— sin х)	1.x Л	_ .
С-22.1. а) (ху_<Л)!п2------------ ’ б) -2tgT- 2’ *=,+lg2+
+ГППо+кГТ_(кГ2-+-ППо) х- 3- ВозРастает на (°: <М]и на [*: “)• Убывает на [0,1; 1]. С—23. 1. Xх (14-In х). Указание. (^/x)2x = ((V*)2)x=xx, далее см. решение вар. 9. 2. «0,00625. 3. Возрастает на р); J и на Р* 00)» убывает на ; 2*1. С—24. 1. 7,5 ч. 2. г/ = Се0,бх. Решение. Пусть у (х) — решение z -у- уЗ J
этого дифференциального уравнения, тогда функция f(x)=r/2 удовлетворяет дифференциальному уравнению fz(x)=f(x) (так как f' (х)=2у»у' по правилу дифференцирования сложной функции), откуда f(x) = Cie*. Далее, Ci>0 и
Повторительные самостоятельные работы
Вариант 1
ПС-1.1.194. 2. На 25%. 3.. ПС-2. 1. -у % « 17,6%. 2.у=2х-9. См. рис. 32.
ПС-3. 1. 0. 2. -10. ПС-4. 1. (-оо; 0,5]U[l; оо); (0,5; 1). 2. (х-2)(х-5).
3. 5х2 4-26х-|-5=0. ПС—5. 1. 2,5 4-0,9л;
19	I
145,5. 2. 2,1. 3. 2^. ПС-6. 1. а) —1-Х оо	2
Xctga. -у; б) - tg а. ПС-7. 1. а) , n£Z; б) -^-4-ли; arctg24-nn; n^Z. 2. а) (—^--f-ли; у + лп) , б) (у4-ли;	n£Z.
ПС—8. 1. а) (0; 5]; б) [2ли; л4-2ли], n£Z. 2. а) Нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная. 3. Рис. 33. ПС—10. 1. а) 9х24-2-72х*-‘; б) хех4-еж; 7
в) (7+2р-	2‘	204*(^-1),°*.
3. (/ = 9х— 11. ПС—И. 2. а) (-оо; --3)11(2; оо); б) (2; 3] и х= -1; в) (-оо; 1)(J
U(2; 4)0(4; оо). ПС-12.
1. См. рис. 34. 2. min f = f(— 3)= —11; max f = [-3; I]	[-3; I]
= f(-l)=9. 3. 5^/3 см. Указание. V=4-л/?2Я=-|-лЯ (/2-№), V' (Я)=0 о	о
при Н=-^—. ПС—13. 1. а) —3 cos.x-f-C; б) tg х—— sin (Зх — 1)4-С. 2. а) —24;
V3 .	6	6
б) 0,5. 3. 15-i-. ПС—14. 1. 16. 2. а) 2; б) 2. 3. (-1; 7). ПС—15. 1. а) ±1; б) 3.
О
2. (-2; 1). 3. (2; 1); (1; 2). ПС-16. 1. а) Зе3'-1п 2-0,52'-2; б) ох — 1
в) (V34-l)x^ 4-л/Зх^3-'	2. а) ± In 13x4-114-С; б) 0,5е2*--Д-4-С;
3	1П о
в) (2х + ^'1'1—|_с з. у = 2 In 2-Х4-2-8 In 2.
2(л/5+1)
Вариант 2
9
ПС—1. 1. 322. 2. 66— -%. 3. 0,25. ПС—2. 1. 6,25%. 2. £/ = 2,5-0,5х.
4	5
ПС—5. 1.4,9 + 0,8л; 266. 2. -2—. 3. 1 —.
л/2
ПС—6. 1. a) sin a; -y ; 6) — ctg a.
ПС—7.1. a) — , — +— , n(EZ; 6) — + лл, arctg 3+лл, n£Z. 2. a) —у + лп; -^» + 4-ял) , n£Z; 6) ( —у 4-ял; — у 4-ял] , n£Z. ПС—8. 1. a) (0; 3]; б) £ —^Н-2лл; у 4-2ял] , ngZ. 2. а) Нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная. 3. См. рис. 35. ПС—10. 1. а) 8х3 —3т/Зх?-'; б) 14-1пх; в) ГтЧ?. 2- 204(х24-х)(х’4-1.5х2)67 9
3. (/ = 26—х —55. ПС—11. 2. а) ( — 5; 3); б) (—оо; —4)U[— 1; °°); в) ( — 2; — 1]. ПС—12. 1. См. рис. 36. 2. min f = f( — 2) = [—2.3] г-_ /2
= —21, max f — f (3) = 79. 3. 10 Д/— см.
[-2; 3]	V 3
ПС—13. 1. а) у—2 sin х + С; б) —ctg х + 4-LCOs(3x-y)+C. 2. а) 51; б) у. 2
3. 13у ПС—14. 1. 9. 2. а) 0; б)
3. (0; 2)U(8; оо). ПС—15. 1. а) ±1; б) 8. ПС—16.
2 2х+1 ’
2. а) — 0,5х . 2' + Ж2;
2. (-CO, — 1)0(2; oo). 3. (4; 2).
1. a) — О.Зе-0,3* —22- '-In 2; 6)
в) 2(V24-1)x^-v'2xv5-‘
0,5 In |2x—11 4-C; 6) C-2e
X		-I	(-Ы)	2	(2;-oo)
f'(x)	+	0	—	0	+
f(x)		18		-74	
		max		min	
X	(-оо ;Ч)	-/	(Ч ; П	/	(1-00)
		0	+	0	—
f(K)				3	
		min		max	
Вариант 3
ПС—1. 1. а) 3; б) 14~ц • 2. а) -2; б) -3; 3; в) 1. ПС—2. *• а)	б) У=^2х+4.
2. 45 и 20. ПС—3. 1. Не может. 2. Уравнение не имеет корней. ПС—4. 1. — 1; 1; 2. 2. (— оо; -10)U(l0; оо).
Q	Л
ПС-б. 1. -пг. 2. 610. 3. ±-т4-2лл, 1о	о
n£Z. ПС—6. 1. Наибольшее значение равно 2. 2. 2 cos а. ПС—7. а) -у + ля, ±-у + 2лп, n£Z; б) указание.	^-^- + 2лп)
п € Z»,	(-т-+2лп) , п £ Z<>;
в) 4+4 " п& ПС-8. а) И2! *)• б) Г-^ + 2яп; 4+2яя1- n^z-ПС—9. Указание, б) i/ = 2 log2 х\ в) у = 2 sin 2х, ПС—10. 1. 6 см/с. 2. 135°, у=*-х-3,5. ПС-11. 1. Г (*)=-!=+0,5х-2, Г(2)<0. 2. (-оо; 0)(J(0; 3).
Vх
27—
ПС-12. 1. max2]f(x)=f(-l)=-n?A, (пип J (x)=f (1)=-А- 2. Слагаемые 4, 8, 6. ПС-13, a) In 2-0,5»0,2; б) 14. ПС—14. a) log« 3; б) 5. ПС—16.1.4. «3
2. (1; 2). ПС—16. 1. a) In т/ГД б) 1. 3. у=х+(1п4-3).
Вариант 4
ПС—1. 1. а) 2; б) 19+вт/2 •
2. а) —3; б) —2; 2; в) 64. ПС—2. 1. a) t/=0,5x —2,5; б) 1/=д/2х-{-2. 2. 42. ПС—3. 1. Да. При х = 3 значение данного выражения равно 5. 2. Уравнение не имеет корней. ПС—4.1. -3; -1; 1.2.(-оо; -$)U U(6; оо). ПС-5. 1. 4- 2.
3. 4 + 2лп, (-ly-l+jw, n£Z. Z	о
ПС—6. 1. Наименьшее значение выражения равно —2. 2. 2 sin а.
ПС—7. а) лп, (— 1)"-£-4-лп, n£Z; б) указание. ^-^-4-2ля^ n£Zo, (—|-+2пп) .«€Л?;в) (—1)"-^+ул, ngZ. ПС-8, а) [-2; 3); б) [~у + 4-лл, -j-4-nnJ, n£Z. ПС—9. Указание. б) f/=log2x; в) у=3 sin 2х. ПС—10.	1. 12 см/с. 2. 135°;
у=—x-J-3,5. ПС—11. 1. Г(х)= =-2_- 2 (2 - 0,5х)3, f' (2) < 0. 2. ( - оо;
2 -\[х
0)U(0;4). ПС—12. 1. [inaxf(x)s =f (- 1)= 162 4 . min f(x)=f(l)=27.
» ( —1;2]
2. Слагаемые 4, 12, 8. ПС—13. а) 1п4 — 9
— 1 «0,39; б) К>у. ПС—14. а) 1; б) 4. ПС—15. 1. 3. 2. (2; 1). ПС—16. 1. а) lnVL6; б) 1. 3. </=х+(1п 4-1).
Вариант 5 к
ПС—1. 1. 0. 2. 2,25 и 3 м. 3. —. ПС—2. 1. 25%. 2. у=3—Зх. 3. См. рис. 37. о
ПС-3. I. ^4- 2. -3. ПС-4. ..[-1; -±]	-±) и ( Ц .
2. (2х+5)2. 3. 12х2+х-1=0. ПС-5.1.б4-;-|-.2. “ 3.-^. ПС-0.1. a) ctg а; 4 о оо 14
•>/24-1; б) sin2 х. ПС—7. 1. а) , ±-?-4-лп, n£Z‘, б) -^-4-лп, arcctg 34-лп, 4 о	4
(5л , о л . _ \	„ Г7л, лп л , лп\
—-4-2лл; —-4-2лл), n^Z\ б) L~4-v; т+v ) ’ о	о /	I оо 3	4	3/
ПС—8. 1. а) (— оо; —3]; б) (-^-4-лп; -^-4-лп^ , n£Z; в) ^2лл; -^-4"2лл^ U
и 4-2лп; -^4-2лл^, n£Z. 2. а) Нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная. 3. См. рис. 38. ПС—10. 1. а) 16л3 — 2	; б) 2* (1 +(х— 1) ki 2);
в)	2. y = 3x-2, t/ = 3% + 2. 2. 3 sin 6л. ПС-11. 1. 6(1-2 sin 2f) Н.
2. а) (-оо; -2)U(-2; 1]U[3; оо); б) (3; 6)U(6; оо); в) (-оо; 0)U(2; 3). ПС—12. 1. См. рис. 39. 2. max f (x) — f (3)= 10, min f (x) = f (2)= — 4-|-.
3 fv	\	« V\	V
3. v 7— Указание. S = 2л/?2 4-2л/?Я = 2 ( jiR2-}- —) , так как H=—F-T.
V 2л	\ R /	л/?2
V	,___ 1	x4
Далее, S'(/?) = 0 при /?3=— ПС—13. 1. —^j5 — 2x—— cos 5л4-л4-С. 2. —+ 2Л	О	4___
+*—у tg2x—2. 3. а) 1-л/З; б) 4. 36. ПС-14. 1. 0. 2. а) 1.5; б) ± у у • 3. (1; 3) ПС—15. 1. а) 1; 16; б) 4. 2. [0,01; 10]. 3. (2; 3); ^3; 2). ПС—16. 1. а) 2хХ Х^-' + 2'1п2; б)	в) (л/3-1) (Л I)73’ 2. 12-5 In 5«
ж 3,9528. 3. е-2х+6.
Вариант 6
ПС—1. 1. 0. 2. 2,36 и 2 м. 3. 5. ПС—2. 1. Зз4-%. 2. у=3х— 10. 3. См. рис. 40. О
ПС—3. 1. -т~=. 2. 4. ПС—4. 1. ( — 0,25; 0,5); с2
(-оо; — 0,25]U[0.5; оо). 2. (9х-1)(х-1). 3. 20х2 +
1	4	OR
+ х-1=0. ПС-5. 1. 12у; -1-. 2.
3.	ПС-6. 1. а) -4-; 4-2л/2; б) ctg2x.
‘V	sim а
ПС-7. 1. а) +	««. nez-, б) (-1у+'4 +
4-Л/1, n£Z. 2. а) ( —у + лп; -у + ллJ, n£Z\ б)	+	ПС—8. 1. а) (—оо;
— 3]U[1; 5); б)
Ум
4- 2rtVr,	4-2ллj , п £ Z; в) ( 2лл;
Рис. 41
у4-2лл) (J (у4-2лл; -у4-2лл), n£Z. 2. а> Ни четная, ни нечетная; б) четная; в) нечетная; 3. См. рис. 41. ПС-10. 1. а) бл/Зх^-'-вх+р;
б) 0,5г(1 — (х+1) In 2);
. х2 In x-f-ln x-f-1 —х2	1
•> -------(ГГТР----------- * «-Т--
1	2х
3. —4-sin=^. ПС-11. 1. (12/—2cos/)H. «3	<5
Л		0	(0J.5)	1,5	(1.5;^)
гм	—	0	—	0	4-
fW		0		-1^-16	
		нет экстремума		min	
2. а) (-2; -1] и х= -3; б) [1; оо);
В) (_ оо; O)U(1; 2). ПС—12. 1. См. рис. 42.
2. max (x) = f (3)= 193, ^min^
3 / V =f (2)= —60. 3.	Указание.
S = jiR2 + 2iiRH = л/?2-|-^- ^так как
- Далее, S' (R)=0 при /?’=—. ла /	л
пс-1з. 1. 4-‘g2jc-4-^/(2'c-3)2+ Z	3
о	1	1
-f-2x-f-C. 2. —-sin 2лх+2—-3	ХЛ	3
3. а) у(-^—1) ; б) 1,2. 4. 4,5.
ПС—15. 1. а) 2; б) 5. 2.
ПС—14. I. 1. 2. а) 4; б) 2; 29 = 512. 3. [—n/З; д/З}.
(у; оо) 3. (-1; -1); (-1; 2); (2; -1).
ПС-16. 1. a) 2xex' + ,+2” In 2; б)	' в) «2+ 1)(х— l)^2 2. 24-7 In 7«
»10,3786. 3. y=e~s~
Вариант 7
ПС-1. 1. 2. 2. 18%. 3. 5. ПС-2. 1. 21,6 см; 19,44 см2. 2. (4- ; ^1. 3. Рис. 43 ।	\ 5	3 I
ПС—3. 1. b (а3 4-6). 2. —1,5. ПС—4. 1.(-оо; -5]U[—0,2; оо);[-5; -0,2}
3. х2—2-77x4-6=0. ПС—5. 1. 13. 2. 4
ИЛИ Т* 3‘ Й- пс“6- *• а)
б) —tg За. ПС—7. 1. а) ± —4~лп; у4-лп. n€Z; б) ял; ±Л-|-2^, лег. 2. а) (—у4-2лл; у4-2лл) , ngZ; б) Гу; -^4-у).
L 5	15	5 /
X		-/	(-Г.0)	0	(.0,13	1	(/i+oo)
rw	+	0	—	0	—	0	+
f(x)		3		1			
		mt				min	
n£Z. ПС—8. 1. a) (-00; - 1)U(—1; 2];
<5)[—£ + 2лл;£+2лп],л€2;в) (0; 1)U U(l; л)и(2лЛ; л4-2л£), k£N. 2. а) Ни четная, ни нечетная; б) четная; в) четная.
3. а) у; б) л; в) л. ПС—10.	1.
а) (4V2?-2')V7+T+ ^х<~2^;
2^/х+Т
1	tgz
+ -=- ----— • 2. у= — 10х— 1 и у =
Лл	п Л
COS^ —
4
= - 10х-^ . 3. 1842 (х2 +х) (2л3+Зх2)30? ПС-11. 1. (4—Н. 2. а) (0; 2] и х=3; б) [2; оо) и х=1; в) ( — 3; — 1)U и (—з). ПС—12. 1. См. рис. 44. 2. Наибольшего значения не существует; min f (x) — f (0) = 5. 3. Указа-(-2; L)
н и е. Пусть г и h— радиус основания и высота конуса. Тогда г24-Л2 = 32=9, V = 4 лЛ (9 — Л2), V' (Л) = 0 при h = ~\/3, при этом г = -\j9-h2 = -д/б. о уУ2+1	1	9	4	2
ПС-13. 2. 4=---------4-------По + С. 3. а) 4 ; б) З64.4. 10-т. ПС-14. 1. 24.
-^2-f-l	4 х + 2	3	7	3
2.	а) 1; 5,5; б) 3; 9. 3. (-оо; -2]U[3; оо). ПС-15. 1. а) ±1; б) 4. 2. (-1; 1)U
U(3; 5). 3. (5; 3). ПС—16. 1. Убывает на промежутках ^0; -yj и [1; оо), возрастает Г* л п х^+2 на промежутке |_—; 1J 2. ——-
х72+!	1	1
-^цт+^‘+^пх+а 3- у= = Се~^\
Вариант 8
ПС—1. 1. 8. 2. 25%. 3. 1. ПС—2. 1. 14,4 см;
8,64 см2. 2. £ — 3; у) 3. См. рис. 45.
ПС-3. 1. Ь3 (Ь3—2а). 2. 4. ПС-4.
О
‘•[-6:	“6]и[_Т; °°)
— 2V6*4-2 = 0. ПС—5. 1. 10 или 15.
14
2.	—13,5 или —6,75. 3.	ПС—6. 1.
оо
а)	0,5 sin 2а; б) -1. ПС—7. 1. а) ^+лл; (“О’^+у.	«€2; б) у+у.
л€2. 2. а) (у-|-лп; ^-|-яп) , n£Z; б) ( — -^-|-лл; у+лл) ’	—8‘
1.	а) (-со; -8)U(-8; 1); б) [у + лл; у+ял], n€Z; в) (0; 1)и( 1; у) 0
-у + 2пй; у + 2лл) , kQN. 2. а) Не-
V	« ч 2л
четная; &) нечетная; в) четная. 3. а) б) 2л; в) л. ПС—10. 1. а) 5т/3(х4-2^—1
б)	——“V11 Х ; в) 3 cos Зх—sin 4 4-хе*	'	3	3
. х
2 ctgT
4-4-----—. 2. у=- 12x4-9. 3. 714Х
о . п х s,n т
Х.(х-х*)(3хг—2хэ)||в. ПС—11. 1. (з01+ +р)н. 2. а) (-00; -3]U[-1;0)U(0; оо) и х=— 2; б) (—1; 0); в) (—оо; —3)(J и(т: ‘)и(3; °0)’ ПС—*2- *• См-рис. 46. 2. max f (x)=f (0)= — 3; наименьшего значения не существует.
4
3.	—. Указание. Пусть г и Л — радиус основания и высота ци-
Л	(-oo;-/)	4	(-no)	0	(0,1)	1	(/; oo)
f'M	—	0	4-	0	4-	0	4-
f(x)		43		0		3	
min
Рис. 46
4
линдра. Тогда V=nr2h = nh (16—Л5), V'(й)=0 при Л=—. Далее, V(0)= _V(,W. v(±)>0. ПС-,3. 2. ^Г.+ 1со,(21 + 1) + ^1_л+С. 3. a) y-g£ ; 6) 54y. 4. 9. ПС—14. 1. 317 2. a) 8; A/2; 6)	55 = 3125. 3. (-oo;
3,5]	U[6,5; oo). ПС-15. 1. a) 1; 6) -1. 2. (2; 3). 3. (2; 1). ПС-16. 1. Убывает на
(o; yj и на [1; 2J возрастает на £y; ij и на [2; + 2e°'5'+2 1nx+C. 3. у = СеА
+2 ^J5 4-1
oo). 2. —--------1— -----
л/3+2 л/34-l
Вариант 9
ПС—1. 1. Указание. Предположив противное, возведите обе части неравен-ства в куб. 2. 10%. 3.~^+3; 2. ПС—2. 1. 30 см; 30 см’. 2. (—6; — 2]U[—0,5; 6).
-у/х — 3
3.	См. рис. 47. ПС-3. 1.	2. ±^. ПС-4. 1. (у/Зх-1) (V3x+1) (x-^/3)X
Х(х-|-^3)- 2. |Ь|>1. 3. 7. Указание. Проверьте, что корни существуют (дискриминант положителен), и примените теорему Виета. ПС—5. 1. 37,5 или Ю1988— 10 — 9* 1987	1
52	,5. 2. —-	. 3. (р-1)2'+1. ПС-6. 1. а) 1; б) 3. У к а з а-
61	128	Юлл
н и е. Подставьте у = л — а — р в обе части равенства. ПС—7. 1. а) 0; б) —у— (пУ=7Л),	+	(п#=9/г + 4). 2. а) (—-р + л*;	+ Т+лй)’
keZ- б)	_ « +2Л □ Г • +2Л; arccos0,25 1 и Х==1+2Й>
Ln	о J L з	л	J
k£Z. ПС—8. 1. a) £arcsin-^--Ь2л£;	-]-2л^ U + 2л£; л — arcsin -^--}-2n&J,
k£Z-t б) (8; оо); в) ^2лл; -^--|-2лп^ U ^^-}-2лл; л-}-2лл^ , n£Z. 2. а) Четная; б) ни четная, ни нечетная; в) нечетная. 3. (—оо; —3]U[3; оо). ПС—9. 2. а) Совпадает с графиком (/= |х| — 1 при |х| > 1 (при остальных х функция не определена); г) см. рис. 48. ПС—10. 1. а) 0; б) $	; в) (lnx-f-
(^ + 2х-’)1п 10	\2/ 4
___3—_/5 ___2“’
- +	6) (_31	_»+.ф(_-+1*
л&)	+	“у+яЛ]» ПС—12. 1. Убывает на (—оо; — 1—-^3] и на
[0; — 1+л/З} возрастает на [—1—-^3; 0] и на [— 1+V3; 00); х— —1 ±^3—
точки минимума, х = 0 — точка максимума. 2. Убывает на (— оо; — 1) и на ( — 1; 0J возрастает на [0; 1) и на (1; оо); х = 0— точка минимума; уравнение касательной 8	22
у= ——х—— . 3. 2. Указание. Пусть радиус основания и высота цилиндра
2V
объема V равны г и h. Тогда 5 = 2лг24-2лгЛ = 2лгН-. Далее, З'(г) = 4лг —
2V
—-р-, S' (г)=0 при 4лг3 = 2У, т. е. 4лг = 2лг2Л, откуда 2r = /i, т. е. h:r = 2. в* sin X—€Х COS X
ПС—13. 1. ----------------|-С. Указание. Можно применить формулу
интегрирования по частям. Иначе можно сложить равенства — (^cosx)'= = —е* cos х4-е* sin х и (ех sin ху^е* cos х4-е* sin х и результат разделить на 2. 2. а) 38,4; б) 0. 4. 2-^-. ПС—14. 1. logt А/. 2. a) ‘V10. Указание. Перейдите <5
к логарифмам по основанию 10; б) 2. Указание. Корень х = 2 угадывается легко; других корней нет, так как левая часть — возрастающая функция. 3. (0,01; оо). Указание. Замена z/ = 3l8Jt+2. ПС—15. 1. а) 10; б) 1. Указание. Возведите равенство V*4~7 =л/х4"3 в шестую степень, после чего («угадав» корень х= 1) разложите левую часть полученного уравнения х34-8х24-13х —22 = 0 на множители (например, способом группировки): (х — 1) (х2 4-9х 4-22) = 0. 2. [1; 4]. 3. (6; 10); (10; 6). Указание. Сделайте замену переменных а = 4/х4-У>
v=\fxy + 2A. ПС—16. 1. у' = 2\п2у. 2. х (0 = 22,5-2 3. Указание. Общее решение дифференциального уравнения x' = kx есть х(/) = Се*\ Осталось найти
„ и	- (Се34 = 45,	.	.	*
С и я из системы уравнении	получаемой подстановкой в общее решение
значений / = 3 и / = 6. 3. F (х)=~ 1п2 х4-1п 2 In х4-С.
Вариант 10
ПС—1. 1. Указание. Возведите обе части равенства в квадрат. 2. 20%.
-1,5. ПС—2. 1. 84 см; 210 см2. 2. (—4; —3)и(—у; 4) 3. См.
рис. 50. ПС—3.1.	. 2. 0. ПС—4. 1. (х2 + 2)	1). 2. |6| > 1,5. 3.56. У к а-
з а н и е. Проверьте, что корни существуют (дискриминант положителен), и при-2	9
мените теорему Виета. ПС—5. 1. 4; 5 или —И — ; — 2— (если считать, что
101988-10-9.1987
оэ и — целые числа, то второе решение надо отбросить. 2.---------.
Л 9	94-.6р Л х sin 2а	. л , _
3. —-----—гт—. ПС—6. 1. а)	....; б) —1. ПС—7. 1. а) ——|-2лп, n£Z.
4	пг»+1 • а	4
2"+* sin
Указание. Модуль левой части не больше 2, а модуль правой части не мень* Л Л fl	Л Л fl	—	_
ше 2; б) —	; ‘о"+“сг » Указание. Преобразуйте уравнение
□О	о	о	2
к виду 2 sin 7x4-2 sin (зх4--^ =0. 2. а) ^4-2лп; 2лл) U	+ 2лл;
у + 2лл), fi£Z; б) [-^ + 2лл; ^-4-2лп^, n£Z. ПС-8. 1. а) £~4-2лл;
-^-4-2лл] U ^arccos-^-4-2лгг, 2л — arccos -^-4“2nnJ , n^Z\ б)
(1; 1); в) (2ЯЯ;
-^-4-2лл^ , n£Z. 2. а) Нечетная; б) нечетная; в) четная. 3. (— оо; — 2)0(2; оо). ПС—9. 2. а) Совпадает с графиком у=	при |х4-11 > 1 (при остальных
х функция ие определена); г) см. рис. 51. ПС—10. 1. а) 0; б)	2Х
Х15(х—I)14; в) In	, Указание. In x,nx=elnx ,n ,пх. 2. См.
рис. 52. 3. {/=—4 и у=— 8х —12. Указание. Запишите уравнение касательной в произвольной точке (хо; хо —2хо —3) графика (получается уравнение i/= =2 (хог—1)х—хо—3) и определите,, при каких хо касательная проходит через точку М ( — 1; —4), получим хо=1 или х0= — 3. ПС—11. 2. а) ( — 4; —3)U
U(-2,5; -2); б)	з);	|+ля; —J + лл] U [««; -£ + ™]и
и^-у + лп; “Tf, n£Z. ПС—12. 1. Убывает на^О; и на [е^/е\ оо), возрастает на	*=“--точка минимума, х=еу/ё— точка максимума.
2.	Возрастает на (— оо; — 1) и на (— 1; 0J убывает на [0; 1) и на (1; оо); х=0 — точка максимума; уравнение касательной у= —— х-|-—’ ^казание-Пусть радиус основания, высота и образующая конуса объема V равны г, А и /. „ L ЗУ о , I 2	-л / 2 , 9V2	/ 4 , 9V2 п
Тогда А=—в, $=лг/=лг-yr 4-/г = лг у/г Я—5-г=л у/г Н—j-y. Достаточ-лг	v л г V л г
9 у2
но найти наименьшее значение функции f(r)=r4-|—2т на (0; оо); f' (х) = 4г3 — л г
—, J' (г) = 0 при 18У2 = 4л2гв, т. е. 9У2 = л2г4А2 = 2л2г6, откуда h2 = 2r2 и Л Г	I----
1г.г=^/2. При этом f убывает на (0; г0] и возрастает на [г0; оо)^ где г0= у » поэтому при г=го функция достигает наименьшего значения на (0; оо). ПС—13. 1. —Ь-----2_-----Ч-С (см. указание к вар. 9). 2. а) —132—; б) 0.
2
Указание, sin х sin 2х=— (cos х—cos Зх). 4. 11,25. ПС—14. 1.0. 2. а) ±0,5.
Указание. При |х| > 1 левая часть не превосходит 0,5, а правая — не меньше Дг, при |х|^1 получаем уравнение 2“1x1 =-1^, корни которого ±4-; б) 3 у/2	у/2	2
(см. указание к вар. 9). 3. ^2лл; arcsin	—-±2лп^	— arcsin — 2 -~}-2лп;
л+2лл) ,n£Z. ПС—15. 1. а) 10; б) --у ; 1. 2. (-£•+"»; у+ял]. n€:Z. 3. (6; 3); (3; 1,5). ПС—16. 1. у'=— 2 In 3«/. 2. х (/) = 15 •40,21”1 (см. указание к вар. 9).
2	2	122
3.	(0; ее). Р е ш е н и е. Рассмотрим функцию f (х)=х х =е х . При х, приближающихся к 0, значения f (х) неограниченно приближаются к 0 (при этом f(x)>0
— 1— In х
для любого х). Далее, f'(х) = е х----—, f'(x)=O при х=е, f'(x)>0 при
0<х<е, поэтому f возрастает на промежутке (0; е\ при этом в силу непрерывности f ее значения пробегают промежуток (0; f (e)J f'(x)<0 при х>е, поэтому f убывает на промежутке [е; оо) и все ее значения лежат в промежутке (0; f (e)J так как f положительна при всех х. Замечание. Можно доказать, что при х^е значения f лежат в промежутке (1; f (e)J но для решения данной задачи это несущественно.
Проверочные работы
ПР-1. Вар. 1.1. Да. 2. —2.3. а) 2+4 у?+ с; б) -0,5 cos (2x-3)-tg х+С.
4.	0,2. 5. 1; 2. 6. 12,4. 7. sin х2; 3+$sin t2 dt. 8. 0,51’4-21+1—sin 1. 9. 2.(0; 2)=
Вар. 2. 1. sin (х2 —3)4-С. 2. а) ~л[х^— —	б) 2 sin (0,5х—1)—ctg х4-С.
О	7
3. л/2*=Т+ 1- 4. 1 * ,5.Si-S2+S3+S4.6. 18,6. 7. а) 0; б) 1.8.0; -4 м/с3. 9. 2. О
10. 26 Дж. ПР—2. Вар. 1. 2. (Д-; А 3. 8еа'+-, ' ,А. 4. </=1. 5. 2е-’_
1	\ 6	/	х In 1U	о
—«-е“3х. 6. а) 7; б) 3. 7. ( — оо; 4)(J(4; оо). 8. у = 0,7е~	9. х= —1 —точка
о
максимума, х=1 —точка минимума. 10. Убывает на [0; 1], возрастает на [1; оо); D(<p)=[0; оо). Вар. 2. 2. (— оо; 1)(J(1; оо). 3. -8 In 10-10“ai+^-. 4. 1.5.ylnx+ + 1.. 6. logs 2 « 0,6309; k>ga6=]|l. 7. D (</)=(0; oo), i/' =-nx-’-'+ex'-'.
8. y'= — in 2-y. 9. Ветвь гиперболы У=~~~> лежащая в I координатной четверти. 10. Возрастает на ; 1^ и на [е; оо). ПР—3. Вар. 1. 2. Да. 3. (1; 1; 0). 4. ( — 3; 1); прямые пересекаются. 5. Параллельны. 6. 6. 7. [—1; 1]. 8. —1. 9. (2; 6); (6; 2). Вар. 2. 2. Нет. 3. 0.4. Проходят через одну точку, причем хотя бы две из них не совпадают. 5. (—14; 3,5); прямые пересекаются. 6. —0,5. 7. -у; 8. 8. —2; 1. 9. (3; 4); (4; 3).
Примерные контрольные работы о	2
К-1. Вар. 1. 2. a) -4cosx4-C; б) F(x)= -4cosx. 3. 4—. 4. а) 4,5; б) -±-. о	3
Q	1	9
5* 4,5. Вар. 2. 2. a) 8sinx + C; б) F(x) = 8sinx. 3. 18-^-. 4. а) 54; б) 2—. О	о	и
2	2	2	2
5* 4,5. Вар. 3. 2. а) ——cos 3x4-С\ б) —— cos Зх—— . 3. 12,4. 4. а) Ю- ; о	3	о	3
б) 14- 5*. 2л «6,28. Вар. 4. 2. а) 1,5 sin 2x4-С; 6) 1,5 sin 2х—1,5. 3. 95. 3	о
4. а) 4д/3; б) 12. 5*. 2л«6,28.
К-2. Вар. 1. 1. 2. 2.	3. а) 2; б) 2. 4. (8; —2); (—2; 8). 5*. -£-+2лп,
т/ab	2	6
n£Z. Вар. 2. 1. 2. 2. ^£+21. з. а) —* ; б) 5. 4. (2; —6); (6; —2). 5». -Д+2™. -yja	*
_2	2 2	_
n£Z. Вар. 3. 1. 3. 2. а3 4-а36 3 +Ь 3 3. а) ±0,5; б) 2. 4. (9; 4); (4; 9); (-9; -4);
1	2 2	2
(-4; -9). 5*. [-2; 2). Вар. 4. 1. 2. 2. а 3 -а 3 b 3 +Ь 3 3. а) ±0,5; б) 0. 4. (3; - 1); (-3; 1). 5*. (-оо; 1).
К—3. Вар. 1. 1. Возрастает от 2 до 27. 2. а) 8; б) 4. 3. [—3; 3]. 4*. —+2лл, n^Z. Вар. 2.1. Убывает от 3 до^. 2. а) 3,5; б) 3. 3. (— оо; — 2](J[2; оо). 4*. л4-2лп, n^Z. Вар. 3. 1. Возрастает от ~ до 16. 2. а) —0,5; б) 3. 3. (—оо; 0]U[2; оо).
4*. [1; oo). Bap. 4. 1. Убывает от 16 до . 2. а) — 1,25; б) 3. 3. [0; 4} 4*. [—1; оо).
К—4. Вар. 1. 1. Возрастает от — 1 до 3. 2. а) 4; —1; б) 4. 3. (—1; —0,5). 4.	8^ 5*. (0; 2]. Вар. 2. 1. Убывает от 1 до —3. 2. а) — 5; 1; б) 9. 3. (1; 5).
4. (_!_; 9) 5*. [—2; 0). Вар. 3. 1. Убывает от 2 до -3. 2. а) -8; 2; б) 4. 3. (0; 1)U U(10; оо). 4.06;	. 5*. (2; 3]U(6; 00). Вар. 4.1. Возрастает от — 1 до 2. 2. а) — 9;
1; б) 5. 3. (0,1; 1). 4. 0; -0 5*. (4; 7].
К—5. Вар. 1. 1. а) ех (cos х — sin х); 1; б) ; — 1-^-. 2. е2 — 3«4,4. 3. Убывает на 0; -i-J, возрастает на ; °°^ , х~~----------точка минимума, /0|-^ =—~ •
4*. (0; оо). Вар. 2.1. а) е* (sin x-f-cos х); 1; б) ; — 1,5. 2. 3 —In 4« 1,61. 3. Убывает на (— оо; — 1], возрастает на [— 1; оо), х= — 1—точка минимума, /(—!)= = —-. 4*. ( — оо ; 2). Вар. 3. 1. а) 2х (In 2» cos х —sin х); In 2; б) -у; 12. 2. е2 —3« «4,4. 3. Возрастает на (0; е], убывает на [е; оо), х = е — точка максимума, f (е) =—.
2	6
4*. [ пмп f (x) = f (0)=-[^"з-« ВаР- !• а) 3х (In 3‘Sin x-f-cos х); 1; б) —; 18.
2. 4 —1п9«1,8. 3. Возрастает на (—оо; Ц убывает на [1; оо), х=1—точка 4	2
максимума, /(!)=—. 4*- {	W = f (0)=-^.
К—6. Вар. 1. 1. --£+-£ n. 2. 10-1-. 3. (0; 3). 4. 4 ем. Вар. 2. 1. 4 + о 2	о	о
+у п, n£Z. 2. 5-|-. 3. (3; 1). 4.2 см. Вар. 3. 1. яп; — ^--f-nn, n£Z. 2.-Ь. 3.(5; 2).
4. 4 см. Вар. 4. 1. -y-f-лп, -^--|-лл, n£Z. 2. -i-. 3. (4; —2). 4. 6 см.
Примерные варианты экзаменационных работ за курс средней школы
Вар. 1. 1. 4+лл; (-1)"4 + яп, n£Z. 2. -1.4. 3. (-3; -V7]Uh/7; <*)• 4. 6-?-. 2	О	о
9—
5. max j/=i/(6)=10. Вар. 2. 1. яп, ±-5- + 2лл, n£Z. 2. 0,75. 3. (—оо; —V5]U [-1;6]	3
О	jr
U[V5; 3). 4. 2—. 5. min у = у (3) = 0. Вар. 3. 1. яп, — Ч-2лл, n£Z. 2. (0,68; 0,7).
о	[ —3; 3]	*
3.	10-|-. 4. 3. 6. 5-|-л О	о
4.	2. 5. 62,5л дм3. Вар.
Число 0,75л является
5.	max V(x)=V(l)=l (0,5; -у/3)
дм3. Вар. 4. 1. 2лл, -^--f-лл, n£Z. 2. (2; 2,12). 3. 10-|-. 5. 1. (1; 2,5). 2. 4,5. 3. —^--f-лл, — arctg 0,5+лл, n£Z. корнем данного уравнения. 4. tga= —1, </=—x-f-4. дм3. Вар. 6. 1. 0~|“ J 2^ 2. 4,5. 3. + лл, arctg 1,5 +ял,
n£Z. Число —1,75л является корнем данного уравнения. 4. tga = 4, у = 4х — 2. „	г- 2
5. min S (x) = S (2) = 24 дм2. Вар. 7. 1. (0,4; оо). 2. 3 tg 2a; —Д 3. 10— . 4. (4; 4,5). (1:4)	*>
1	г-	2
5. 288 см3. Вар. 8. 1. (-4; оо). 2. --fi. 3. 1(4-. 4. (14; 9). б. 144 дм3.
r v	cos 2а	3	4	1
Вар. Л 1. 2;	• V 2- <loS3 2; оо). 3.	. 4. Убывает на Гб; —1, возрастает на
£	£	О	у £ |
Г* \ I	( 1 \	2 е 4	1	3
I — ; 00 ) > х==-^-точка минимума, t/f—1 =——. 5. 4 см, 21—см .
Вар. /0.1.4+ЯП, 4+"".«€*; 4 > -^Г • 2- 2-25- 3- (3; 5)-4- (2; ’)• 5. Цл/З^я дм3.
Z	О	о о	/О
Вар. //. 1. 1,5. 2. 2 cos а; ±^+2лп, n£Z. 3. е\ -!=. 4. Убывает на (—оо; 0] и на 3	-уё
[2; оо), возрастает на [0; 2]; х=0 — точка минимума, х=2 — точка максимума; f(0)-0J(2)=l-1.5. 2X2X2. Вар. 12. 1. (-оо; 0)U(6; 8} 2.[^+ял; ^+яп], n£Z. 3. x2+31n*+Ci, если х>0; х2 + 3 In (—х)+С2, если х<0. 4. 2. 5. 2 см.
1	3
Вар, 13, 1. л + 2лп, — 2 arctg 0,4 + 2лп, n£Z. 2, F(x)=— 2 cos 2х-1-.
X л
3. 4,5. 4. (1,5; 4). 5. 4 дм, 32-^3 дм3. Вар. 14. Ьу+Зяп, я	2,5л, 4,5я. 2. (1; 1,5)
3. у—— 2ж+1. 4. (4л-|-2лп; —7"Я —2яп) , n£Z. 5. 85-^-см3. Вар. IS. 1. 5-|-.
2. Возрастает на (— оо; 3). 3. (— 1)л+1~+лп, n£Z. 4. (— оо; 0,5). 5. 4 дм, 64 дм3.
2	32 л/2
Вар. 16. 1. (0,2; оо). 2. tg2a-l; 0. 3. 5. 4. 14. 5. дм3, о	«5
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие	3
Самостоятельные работы	6
Повторительные самостоятельные работы	53
Проверочные работы	93
Примерные контрольные работы	99
Примерные варианты экзаменационных работ по алгебре и началам анализа за курс средней школы	108
Материал для проведения программированного контроля	115
Ответы и указания...............................................118
Учебное издание
Ивлев Борис Михайлович Саакян Самвел Манасович Шварцбурд Семен Исаакович
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ 10 КЛАССА
Зав. редакцией Р. А. Хабиб Редактор Л. Н. Белоновская Младшие, редакторы Л. И. Заседателева, Т. Н. Клюева, Е. А. Сафронова
Художники Г. А. Алексеев, Б. Л. Николаев Художественный редактор Е. Г. Дашук Технический редактор Н. Т. Рудникова Корректор Н, С. Соболева
ИБ № 10280
Сдано в набор 02.10.87. Подписано к печати 08.07.88. Формат 60X90’/ie- Бум. офсетная книжно* журнальная отечественная. Гарнитура литер. Печать высокая. Усл. печ. л. 9. Усл. кр.-отт. 9.25.
Уч.-нзд. л. 6.18. Тираж 868 000 экз. Заказ 242. Цена 15 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA