Text
                    Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник
I ГЕОМЕТРИЯ
^методическое
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник
ГЕОМЕТРИЯ
методическое пособие
10
класс
профа
Москва • 2004
УДК 372.851.4
ББК 74.262.21
П64
Потоскуев Е. В.
П64 Геометрия. 10 кл.: Методическое пособие к учебнику Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича «Геометрия. 10 класс» / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник. — М.: Дрофа, 2004. — 224 с.: ил.
ISBN 5—7107—7715—3
Предлагаемое методическое пособие призвано помочь учителю в работе по комплекту, состоящему из учебника и задачника, Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича «Геометрия. 10 кл.» для классов с углубленным и профильным изучением математики. Этот комплект может быть использован для учащихся в общеобразовательных классах с сильным составом.
В данной книге приводятся общие рекомендации к изучению теоретического материала, содержится примерное почасовое планирование, даны пояснения к решению наиболее сложных задач из задачника, имеются контрольные работы, билеты к зачетам по каждой теме и к итоговому устному экзамену. В пособии приведены ответы к контрольным работам и к задачам из билетов.
УДК 372.851.4
ББК 74.262.21
ISBN 5—7107—7715—3
©ООО «Дрофа», 2004
Введение
О преподавании стереометрии в 10 классе с углубленным и профильным изучением математики
Учебно-методический комплект, состоящий из учебника, задачника и книги для учителя, предназначен для обучения геометрии (стереометрии) учащихся десятых классов с углубленным или профильным изучением математики. Речь идет об учащихся тех десятых классов, в которых углубление начиналось с 8 класса, в результате чего эти учащиеся к 10 классу уже достаточно сильно продвинуты в изучении математики, в частности планиметрии. Кроме того, к этой же категории можно отнести и учащихся тех десятых классов, в которых профильное обучение начиналось в 9 или даже в 10 классах.
Этот комплект может быть использован также для обучения учащихся в общеобразовательных классах (с сильным составом учащихся) при наличии возможностей использования дополнительного учебного времени за счет факультативных занятий или спецкурсов.
При изучении геометрии в 8—9 классах стереометрические вопросы специально не рассматривают, хотя, разумеется, школьники в абсолютном большинстве уже представляют себе, что такое пространство и плоскость. Они уже знакомы с такими геометрическими фигурами, как параллелепипед (в частности, куб), пирамида (в частности, тетраэдр), призма, цилиндр, конус, шар, а также с некоторыми их свойствами.
При. углубленном изучении планиметрии учащиеся достаточно хорошо овладевают векторами. Они умеют применять их к решению многих планиметрических задач и сравнительно легко смогут перейти к изучению векторов в пространстве. Если же изучение планиметрии проходило на общеобразовательном уровне, то учителю либо потребуется дополнительное время на изучение темы «Векторы», либо эту тему придется изучать в уменьшенном объеме, а при решении задач уменьшить использование векторного метода, что хотя и нежелательно, но возможно. То же самое можно сказать относительно
3
взаимосвязи изучения координатных методов на плоскости и в пространстве.
В процессе изучения планиметрии были рассмотрены геометрические преобразования на плоскости — движения и гомотетия. И хотя аналогичное изучение вопросов преобразований в пространстве предусматривается в курсе 11 класса, некоторые идеи преобразований могут быть вполне использованы при работе в 10 классе. Например, применение центральной симметрии при знакомстве с параллелепипедом и гомотетии при изучении параллельных сечений пирамиды.
Следует иметь в виду, что на уроки геометрии в классах с углубленным изучением математики отводится 3 часа в неделю, что, с одной стороны, в полтора раза больше, чем в общеобразовательных классах, а с другой стороны, дает дополнительно всего один час в неделю и 33—34 часа в год, что, конечно, очень мало. В связи с этим, по нашему мнению, главным отличием на занятиях по геометрии в классах с углубленным изучением математики является не только углубление и расширение теоретического материала, но и методически верная подборка решаемых задач, как в количественном, так и в качественном отношении.
Прежде всего, необходимо решить все простейшие опорные задачи курса. Этими задачами ни в коем случае не следует пренебрегать, какими бы простыми они ни казались. Кроме того, следует учитывать, что методика решения таких задач в классах с углубленным и профильным изучением математики, вообще говоря, отличается от методики их решения в общеобразовательных классах и классах гуманитарной направленности. Только после решения всех опорных задач стоит переходить к более сложным задачам. Разумеется, сам отбор этих задач не только ни прост, но и неоднозначен. В нашем задачнике мы выделили значком «©» те задачи, которые считаем основными (среди них, в частности, находятся и все опорные). Естественно, что такой выбор в определенном смысле является условным и, возможно, будет изменен учителем в процессе работы по этим учебнику и задачнику.
Значительной проблемой при преподавании геометрии является малое количество задач, которое учитель успевает рассмотреть за время урока. Но все же, решая задачи на уроке и дома, учащийся за отведенное учебное время может при умении и желании «нарешать» около 700 задач, что не так уж и мало. В нашем задачнике более чем 1000 задач, во многих из которых есть еще и «подзадачи».
4
В своей работе в классах с углубленным изучением математики мы уже более 30 лет используем опыт летних заданий по математике. Задания эти предлагаются учащимся на добровольной основе. Они состоят из шести «порций» по 20—30 задач, половина из которых по геометрии, а половина — по алгебре и математическому анализу. Каждая «порция» рассчитана на декады 20—30 июня, 1—10 июля и т. д., так до 10— 20 августа. Выполнив задание каждой декады, учащиеся помещают решения задач в конверт и по почте присылают своему преподавателю; таким образом, получается шесть писем. Каждый школьник, приславший решения более чем 80% задач каждой декады, получает в первом полугодии нового учебного года «плавающую пятерку», которую он может попросить выставить в свою строку журнала на любом уроке (разумеется, только единожды). Как показывает опыт, более двух третей учащихся выполняют летнее домашнее задание и тем самым сохраняют «спортивную математическую форму». Наш задачник, безусловно, даст возможность отбора 60 задач для таких летних заданий.
В нашей книге для учителя есть тексты контрольных работ, но нет текстов самостоятельных работ. На это есть ряд причин. С одной стороны, нам кажется, что урочного времени не так уж и много, чтобы учитель «бездействовал» во время урока, а любое домашнее задание является самостоятельной работой. С другой стороны, учитель, благосклонный к самостоятельным работам, найдет в нашем задачнике обширный и благодатный материал для их составления.
Конечно, хотелось бы именно на уроках рассмотреть со школьниками большинство из предложенных в задачнике упражнений. Для этого стоит подробнее рассмотреть способы интенсификации процесса решения задач на уроке и причины, мешающие этой интенсификации.
• На недостаточно продуманных занятиях учащиеся часто воспринимают условие задачи на слух ввиду отсутствия у них и условия. Желательно, чтобы на каждой парте лежал задачник с условием предлагаемой к решению задачи, а школьники владели навыками быстрого прочтения и уяснения текстов задач. В этой связи полезно иметь в кабинете в качестве раздаточного материала комплект из 20—25 задачников.
Кроме того, учитель может дать условие задачи, вернее, представить это условие в конструктивном виде, что значительно ускоряет ход урока.
Приведем пример.
5
Учителем зачитывается условие задачи: «Прямая MD перпендикулярна плоскости квадрата ABCD. Найдите угол между прямыми МВ и АС, если сторона квадрата в два раза больше отрезка MD». Но можно поступить иначе. Учитель вызывает ученика к доске и, не зачитывая условие задачи, говорит: «Нарисуйте изображение квадрата ABCD. К его плоскости проведите перпендикуляр MD. Соедините прямыми точки А и С, М и В. Теперь найдите угол между прямыми МВ и АС, если AD = 2MD ».
Разумеется, таким способом сообщать условие каждой задачи не следует, но в определенных ситуациях такая методика решения задач способствует ускорению хода урока в значительной мере.
•	Учащиеся затрудняются с изображением фигур по условию задачи, медленно и не всегда с первого раза верно выполняют рисунок. В этой связи целесообразно учителю на первых уроках изучения стереометрии чертежи к некоторым задачам выполнять самому или непосредственно руководить учащимися.
•	Могут использоваться и готовые чертежи. В наших учебнике и задачнике около 800 чертежей и рисунков, которые можно использовать в качестве образца при решении и других задач. Например, для описанной выше задачи можно рассмотреть рисунок 51 на с. 63 задачника, хотя он дан к задаче с другим условием.
•	Нередко «стереометрический» чертеж вообще можно не делать. Особенно это относится к обучению в 11 классе. Например, такую задачу, как «Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны а», вполне можно решить без чертежа. Задача: «Площадь полной поверхности куба равна 13. Найдите диагональ куба», разумеется, не требует чертежа. Не требует его и решение задачи такого типа: «У пирамиды 252 ребра. Сколько у нее граней и вершин?» Не требуют чертежа решения многих «качественных» и содержательных задач в 10 классе. Например: «Определите все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости квадрата, если:
а)	прямая перпендикулярна двум прямым, содержащим стороны квадрата;
б)	прямая перпендикулярна двум прямым, содержащим стороны квадрата, но не параллельна никакой прямой, содержащей сторону данного квадрата;
6
в)	прямая перпендикулярна двум прямым, одна из которых содержит сторону квадрата, а другая — его диагональ.
•	Ход урока может быть значительно ускорен применением имеющихся в классе навесных досок с заранее нанесенными на них (нестираемыми) изображениями куба, тетраэдра и т. п. Эти же изображения можно «подавать на доску» при помощи кодоскопа или компьютера со специальной приставкой так, чтобы учащемуся только и оставалось, что обвести их мелом. Полезно иметь на стенах кабинета хорошо выполненные чертежи (именно чертежи, а не цветные рисунки с тенями) многих геометрических тел. Это дает возможность учащемуся достаточно быстро перерисовать их на доску.
Позволим себе смелость сказать, что процесс урока часто замедляется из-за неумелого применения геометрических инструментов или завышенных требований по их использованию. Неплохо, если учащиеся научатся проводить прямые линии без линейки. Особенно это просто сделать в тетрадях «в клетку».
•	Во время практикума по решению задач работа может быть организована так, что большинство учащихся решают задачу, рассматриваемую на доске, а нескольким учащимся предлагаются для решения другие задачи с последующим разбором их решения перед учащимися класса. Например, учитель говорит: «Иванов пойдет решать задачу № 73 на доске, Петров на месте готовит решение задачи № 76, а Сидоров — на месте решение задачи № 80». При этом задача № 73 выбирается достаточно легкой, чтобы ее можно было решить без подготовки.
•	Во время решения задач на доске можно так организовать работу класса, что с помощью одного чертежа будут заслушаны решения нескольких нарастающих по сложности задач, предложенных различным учащимся. В нашем задачнике очень многие задачи содержат большое количество связанных друг с другом и «организованных» в таблицы «подзадач». Таковы, например, номера 2.037, 2.047, 3.006, 3.097—3.100, 4.029 и многие другие.
Такой прием качественно ускоряет работу класса и увеличивает количество рассмотренного заданного материала.
Нам представляется, что у любого учителя могут быть свои методы увеличения темпа урока.
Как мы уже говорили, очень многие «беды» учащихся на уроках стереометрии происходят от неумения сделать правильный и удобный (конструктивный для решения задачи)
7
чертеж. Причем мы ведем сейчас речь вовсе не об аккуратности, а о смысловой нагрузке чертежа.
Чертеж в стереометрии резко отличается от чертежа в планиметрии. Последний, как правило, точно (по крайней мере, с точностью до подобия на плоскости) соответствует данным задачи. Если прямые нарисованы параллельными, — они параллельны по условию, нарисованы перпендикулярными — они перпендикулярны по условию. Если отрезки нарисованы равными, то они равны по условию. Если луч ОМ на чертеже расположен во внутренней области угла РОК, то величина угла РОК равна сумме величин углов РОМ и МОК и т. д.
В стереометрии при изображении пространственных фигур на плоскости наблюдается совершенно иная картина. Об этом достаточно написано в первой главе нашего учебника.
Отметим также важность и необходимость того, чтобы каждый изучающий стереометрию, «видел» динамику (и диалектику) построения изображения геометрической фигуры на рисунке (чертеже). (Мы умышленно называем изображения то рисунками, то чертежами.)
Как уже говорилось, желательно, чтобы на стенах кабинета висело достаточное количество различных стереометрических чертежей, которые полезно обсуждать как можно чаще. При этом, конечно, надо много рисовать и чертить и на доске, и в тетради, обсуждая при этом полученные чертежи и рисунки. Мы советуем чаще вести разговоры о чертежах на протяжении всего 10 класса.
В процессе изучения стереометрического материала можно провести ряд самостоятельных работ на выполнение десятиклассниками конструктивно верных рисунков по заданным геометрическим ситуациям. При этом не столь уж важно, пользуются они линейкой или нет, но весьма важны наглядность и простота изображения, употребление штриховых линий там, где они нужны. Кроме того, полезно выполнять рисунок в «цвете», так как выполненный в двух или трех цветах рисунок не только более эффектен, но и более эффективен.
В задачнике имеются три «графические работы». Эти работы соответствуют темам: «Следствия из аксиом стереометрии» (с. 15), «Параллельность в пространстве» (с. 54), «Перпендикулярность в пространстве» (с. 70). Приведенные в этих работах задачи, с одной стороны, достаточно просты для учащихся математических классов, но, с другой стороны, они очень важны. Человек, разобравшийся в них и безукоризненно выполнивший для каждой из них рисунок, достигает необходи
8
мого уровня геометрической культуры, который позволит ему справиться в дальнейшем с решением стереометрических задач более высокого уровня сложности.
Используя идеи, заложенные в этих графических работах, учитель может составить и другие графические работы, например: «Углы в пространстве», «Сечения многогранников», «Векторы», «Координатный метод» и др.
«Вхождение» в курс стереометрии целесообразно начать с обзора всевозможных многогранников. На интуитивном (наглядном) уровне рассказать учащимся о кубе, параллелепипедах, призмах, пирамидах и, в особенности, о тетраэдрах. Можно показать и круглые тела (фигуры вращения). Следует научить учащихся изображать многогранники и фигуры вращения. (Удобно при этом использовать клетчатую тетрадную бумагу.) Необходимо ввести понятия: ребро, вершина, грань, диагональ, плоский угол многогранника.
В школьном курсе геометрии часто приходится жертвовать логической строгостью, прибегая к наглядности. При изучении стереометрии авторы считают возможным и необходимым пользоваться рисунками, так как рисунки помогают понять содержание того или иного факта, проиллюстрировать суть понятия, представить то, о чем идет речь в аксиоме, теореме, задаче. В этой связи авторы придерживаются концепции изучать начальные и основополагающие вопросы стереометрии (темы: «Аксиомы стереометрии и следствия из них», «Параллельность, перпендикулярность, расстояния в пространстве», «Векторный метод в пространстве») в задачах, используя модели и изображения куба, правильного тетраэдра, призмы, пирамиды, параллелепипеда, так как такие задачи обладают конструктивностью и содержательностью, а рассуждения учащихся при их решении становятся доступными и естественными, что, в свою очередь, приводит к сознательному и эффективному формированию у ученика конструктивных пространственных представлений.
Особый разговор следует повести о построении сечений куба и других многогранников, а в 11 классе — и тел вращения. Строить сечения куба учащиеся могут уже при изучении первой главы. В нашем задачнике приведены многочисленные блоки рисунков для построения сечений куба. Первый из таких блоков — задача 1.065, затем уже на другом уровне знаний и умений — задачи 4.030, 4.031, 4.032. Для тех, кто заинтересуется методами построения более сложных сечений, в задачнике имеется дополнение Д1 «Методы построения сечений
9
многогранника», в котором имеются свои блоки рисунков. Эти рисунки также полезно изучать во время урока. При этом важно, чтобы учащиеся видели динамику «рождения» чертежа. Пример такого «рождения» чертежей можно видеть как в учебнике, так и в задачнике (рис. 65, 69). На этих рисунках мы «сняли фильмы» о решениях данных задач. Такие «фильмы» можно «снимать» и по решению более сложных задач на построение сечений многогранников, при этом все построения удобно делать, например, простым карандашом и только отрезки, новые для данного «кадра», строить другим цветом.
Аналогичный прием двух и более цветов «развивающегося» чертежа удобно применять и при доказательствах теорем.
Не нужно путать технику графического построения чертежа с решением задач на построения в пространстве, которые носят чисто теоретический характер. Список важнейших из этих задач, построенных в логической последовательности, дается в нашем задачнике на с. 206—207. По этому списку задач возможно проведение зачетов на данную тему.
Особенности изучения теории, на наш взгляд, состоят в безусловном доказательстве на уроках всех рассматриваемых теорем (кроме особо оговоренных случаев), вынесении этих доказательств на устные зачеты, экзамены и т. п., в создании стройной системы этих доказательств. Обращаем внимание читателя, что системы именно стройной, но не занудливо строгой. В частности, на наш взгляд, совершенно не обязательно в начале курса стереометрии приводить полную систему аксиом, учитывая все требования, предъявляемые к такой системе.
В нашем учебнике нет строгого аксиоматического построения стереометрии. На основании нескольких аксиом последовательно доказываются теоремы стереометрии. При этом школьникам, естественно, можно и нужно сказать, что это не полная система аксиом, что мы изучаем школьный предмет «Геометрия», а не институтский курс «Основания геометрии». Основная цель изучения системы доказательств теорем стереометрии состоит в развитии личности учащегося — развитии логического мышления, логической памяти и т. п. Помимо этого, теоремы и их доказательства требуются при решении задач не только для обоснования того или иного утверждения, но и для поиска самого решения задачи, для устранения ложных или неоправданно сложных путей.
Изложение теории мы советовали бы вести лекционным методом, крупными тематическими блоками.
10
Отметим, что выбор учителем наших учебника и задачника в качестве основных дает большие возможности для подробного изучения стереометрии, но это вовсе не означает, что в процессе обучения не могут использоваться другие учебники, пособия и задачники. Так, например, наши учащиеся и в дальнейшем смогут «заглядывать» в целый ряд книг и использовать их. Приведем примерный список этих книг.
Атанасян Л. С. и др. Геометрия. Учебник для общеобразовательных учреждений.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. Учебник для 10—11 классов.
Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия. Задачник.
Александров А. Д. и др. Геометрия (для классов с углубленным изучением математики). Учебник для общеобразовательных учреждений.
Киселев А. П. Стереометрия (факсимильное издание, «Дрофа», 1995). Учебник для общеобразовательных учреждений.
Рыбкин Н. А. Сборник задач по стереометрии (в одной обложке с вышеуказанным учебником А. П. Киселева).
Зив Б. Г. и др. Задачи по геометрии для 7—11 классов (Библиотека учителя).
Гусев В. А. и др. Практикум по элементарной математике. Геометрия.
Аверьянов А. Д. и др. Сборник задач по геометрии для проведения устного экзамена в 9 и 11 классах (этой книгой мы пользуемся для проведения итоговой аттестации по геометрии в 9 и 11 классах и для проведения открытых зачетов по решению задач).
Звавич Л. И., Рязановский А. Р. Геометрия в таблицах (справочное пособие). М.: Дрофа, 1997 и все последующие годы).
Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М. И. Сканави.
Говоров В. М. и др. Сборник конкурсных задач по математике.
В своей работе можно весьма плодотворно использовать рабочие тетради по стереометрии Литвиненко В. Н.
Заметим, что наш комплект также может быть использован в качестве дополнительных материалов как при работе в классах с углубленным изучением математики, так и в общеобразовательных классах и классах гуманитарной направленности.
11
В курсе стереометрии 10 класса доказывается довольно большое количество теорем, необходимых как для формирования теоретических знаний и логического аппарата учащихся, так и для дальнейшего осознанного и обоснованного решения задач.
В работе с учениками очень удобно создать список изученных теорем в порядке их прохождения. Причем в списке не должна присутствовать формулировка теоремы, там находится лишь ее развернутое название. Например, «теорема о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает данную плоскость». Наличие такого списка на руках у учащихся способствует:
•	формированию представлений о логической структуре курса и порядке доказательств теорем (что из чего следует и в каком порядке излагается);
•	лучшему усвоению и запоминанию школьниками ключевых моментов курса, способности лучше и быстрее ориентироваться в пройденном материале;
•	возможности организовать на уроке быстрое повторение теории (учащимся предлагается найти в списке ту или иную теорему и по названию этой теоремы дать ее полную формулировку);
•	возможности сократить объяснение в контрольных и других письменных работах (наши ученики имеют право пользоваться данным списком на уроках, во время ответа у доски, на контрольных работах и даже на экзаменах. Правда, на экзаменах данный список дублируется текстом билетов, но там теоремы даны достаточно хаотично);
•	в определенной мере формированию умения учащихся пользоваться справочными материалами (мы используем на уроках геометрии книгу «Геометрия в таблицах», выпущенную в издательстве «Дрофа». Эта книга имеется у каждого из наших учащихся).
Заметим, что очень эффективным является умение учащихся сделать первоначальный чертеж к каждой из теорем списка и точно записать, что дано и что требуется доказать. Список может быть хорошей основой для проведения итоговой аттестации (итогового устного зачета) за курс 10 класса.
Как в учебнике, так и в задачнике помещен список теорем нашего курса (см. «Приложение», с. 205—206 учебника). Мы советуем учащимся по мере изучения переносить блоки этого списка в свой компьютер и всегда иметь перед глазами распечатку пройденного.
12
На уроках, при решении домашних заданий, а может быть, и на контрольных работах, учащиеся могут использовать помещенные в нашем задачнике «Формулы планиметрии, стереометрии и тригонометрии»; они, в определенной мере, заменят справочный материал.
Следует обращать внимание на логику построения и точность письменной записи, сделанной учащимися как в контрольной работе, так и при решении задач на уроке и дома. Не стоит позволять «придумывать» свои обозначения или заменять смысл общепринятых обозначений другими. Например, запись «а п Ь» вовсе не означает, что прямые а и b пересекаются (эта запись обозначает множество всех общих точек прямых а и Ь, которое может быть и пустым).
В задачнике помещен список принятых нами условных обозначений (с. 5—6). Эти обозначения, как правило, весьма удобны, хотя, разумеется, не стоит доводить до абсурда требования к их употреблению. Так, например, учащийся вполне может написать: «прямая АВ лежит в плоскости АВС», не употребляя ни скобок, ни знака включения.
На протяжении начального изучения стереометрии весьма полезно предлагать учащимся для решения задачи стереометрического содержания, которые очень быстро, но своеобразно сводятся к планиметрическим. Приведем пример такой задачи с заложенной в ней подсказкой решения.
«Диагональ АС четырехугольника ABCD делит его на правильный треугольник ACD со стороной 10 и прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС и катетом АВ, равным 5. Этот четырехугольник перегнули по диагонали АС так, что точка В не лежит в плоскости ACD. На прямой АС взяли такую точку М, что сумма длин отрезков ВМ и MD наименьшая. Найдите значение этой суммы». Ответ: 5^/7 .
Как мы уже говорили, в самом условии этой задачи заложена подсказка «разогнуть» четырехугольник и найти длину диагонали BD. Дадим формулировку той же задачи без «подсказки»:
«Точка В не лежит в плоскости правильного треугольника ACD со стороной 10. АВ = 5 и угол АВС — прямой. Точка М принадлежит прямой АС. Найдите наименьшее значение длины ломаной BMD».
Программа изучения стереометрии в 10 классе достаточно насыщенна. Кроме пяти тем, связанных с вопросами о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве, о вычислении расстояний между ними, а также о нахож
13
дении углов между прямыми и плоскостями, в курсе рассмотрены еще две темы: «Векторный метод в пространстве» и «Координатный метод в пространстве».
Обе эти темы, безусловно, важные, но, в отличие от предыдущих, могут изучаться на различных уровнях углубления. Это распространяется и на теоретический материал, и на заданный. Каждый учитель сам выберет подходящий его классу уровень изучения этих тем. Они могут быть изучены обзорно, с решением небольшого круга простейших задач и, напротив, могут быть изучены достаточно подробно с решением многих и многих задач, часть из которых соответствует как уровню вступительных- экзаменов в вузы, так и некоторым задачам вузовского курса аналитической геометрии.
Подробное изучение векторного метода даст возможность практического его применения. К примеру, некоторые теоремы первых пяти глав учебника доказываются с использованием векторного метода в шестой главе. В седьмой главе ряд геометрических мест точек в пространстве определяется координатным методом.
Материалы шестой и седьмой глав, а также дополнения о методах построения сечений могут быть использованы в профильной школе для проведения элективных курсов в 10 или 11 классах.
В конце учебника приводится примерное тематическое планирование. Это сделано нами не столько потому, что книга для учителя издается позже, чем учебник, сколько для того, чтобы сделать структуру преподавания курса стереометрии прозрачной и понятной для ученика. Ученик 10 класса вполне способен, рассмотрев данное планирование, оценить на некотором этапе изучения как уже накопленные им знания, так и перспективу дальнейшего изучения материала. С этой же целью мы поместили в учебнике 10 класса краткий обзор вопросов, которые будут изучены в 11 классе. Не секрет, что ученики часто спрашивают учителя о том, что будет изучаться дальше, но сами учащиеся порой не могут рассказать о том, что «прошли по предмету» в недавнем прошлом.
В представленной вам книге для учителя предложены десять контрольных работ (от нулевой до девятой). Рассматривая эти контрольные работы, учитель сам решит, полностью ли они соответствуют тому уровню знаний, который он собирается «задать» при работе с данным классом. При этом возможна как разгрузка контрольных работ за счет изменения
14
текстов задач и введения значков необязательных заданий, так и усложнение текстов.
Каждая контрольная работа предваряется списком подготовительных задач. На своем опыте мы убедились, что предложение такого списка (его можно назвать подготовительным вариантом) помогает учащимся структурировать свои знания и конкретизировать подготовку по данной теме.
К списку подготовительных задач учитель может добавить список теоретических вопросов к каждой контрольной работе, что также бывает весьма плодотворным. Вопросы для такого списка можно взять либо из списка теорем, либо из вопросов, предложенных в нашей книге для проведения зачетов.
Если учитель посчитает, что контрольных работ слишком много, он может либо не проводить часть из них, либо соединить две контрольные работы в одну, убрав часть заданий, либо провести контрольную в виде самостоятельной работы на уроке или в виде домашней контрольной работы.
Особое место уделяется «нулевой» контрольной работе, предназначенной для определения уровня знания учениками планиметрии. В почасовом планировании 10 класса можно выделить определенное время для повторения планиметрии. Однако такое выделение времени является необходимым, на наш взгляд, только тогда, когда в силу различных причин учитель не представляет себе уровня знания планиметрии его учениками (например, учитель только начал работать с этим классом) или, наоборот, представляет себе этот уровень, и он кажется ему весьма и весьма недостаточным для дальнейшего изучения геометрии.
В разделе «Дополнения» нашего задачника более чем на 40 страницах располагаются «Материалы для повторения и углубления планиметрии». В них собран обширный теоретический и заданный материал по планиметрии. Данных в этом разделе 256 задач вполне достаточно, чтобы поднять «планиметрическую культуру» учащихся. Поможет им и список формул планиметрии, помещенный в приложениях к задачнику.
Для тех учителей, которые сочтут нужным проводить зачеты по темам курса, в данной книге для учителя разработаны 4 зачета:
Зачет № 1 по темам: Введение в стереометрию. Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве (повторение темы «Треугольники»).
15
Зачет № 2 по темам: Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью (повторение темы «Окружность»).
Зачет № 3 по темам: Параллельное проектирование. Параллельные плоскости. Угол между двумя плоскостями. Расстояния в пространстве (повторение темы «Четырехугольники»),
Зачет № 4 по темам: Векторы в пространстве. Координаты в пространстве (повторение темы «Векторы и координаты на плоскости»).
Зачет состоит из 10 билетов, каждый из которых содержит два теоретических вопроса и две задачи, посвященные как новым темам стереометрии, так и темам планиметрии, повторение которых обозначено в зачете.
В большинстве школ с углубленным изучением математики в той или иной форме проводится итоговый годовой контроль. Мы предлагаем материалы для проведения устного экзамена (итогового устного испытания по курсу стереометрии). Экзамен содержит 20 билетов, 19 из которых содержат 2 устных вопроса по стереометрии и 2 задачи, одна из которых — по планиметрии. Поскольку данное испытание не носит официального характера, в качестве элемента игры введен счастливый 13-й билет, и вытянувший его учащийся вправе сам определить билет, на который он будет отвечать.
Для любителей тестов в нашей книге имеется пример итогового теста. Те, кто проводит письменное итоговое испытание по стереометрии, могут использовать материалы итоговой контрольной работы № 9.
Составляя заданный материал, мы не ставили себе целью включение трудных и уж тем более олимпиадных задач. Однако мы ^посчитали необходимым в книге для учителя рассказать о том, как стоит решать те или иные помещенные в нашем задачнике упражнения, дать наиболее оптимальные чертежи к ним. Это, разумеется, не означает, что предложенный нами способ является единственным или наилучшим. Как известно, в большинстве случаев такой способ вообще трудно определить.
Если книга для учителя попадет в руки учащегося, то он может изучать наше решение, что будет большим подспорьем в развитии его умения работать с текстом задачи и решать ее.
Авторы выражают искреннюю благодарность за неоценимую помощь в подготовке рукописи к печати учителю математики Тамаре Николаевне Потоскуевой.
16
Примерное почасовое планирование (3 ч в неделю, всего 105 ч)
Введение в стереометрию (1—8)
Предмет стереометрии. Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. О плоскости, проходящей: через прямую и не лежащую на ней точку; через две пересекающиеся прямые; через две параллельные прямые. Пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей. Техника выполнения простейших стереометрических чертежей. Стереометрические фигуры: куб, параллелепипед, призма, пирамида, сфера и шар. Построение сечений куба и тетраэдра. Графическая работа № 1.
Контрольная работа № 1.
Взаимное расположение прямых
в пространстве (9—16)
Пересекающиеся и параллельные прямые в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признаки скрещивающихся прямых. Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость. Теорема о транзитивности параллельности прямых в пространстве. Направление в пространстве. Теорема о равенстве двух углов с сонаправленными сторонами. Определение угла между скрещивающимися прямыми. Решение простейших задач на построение в пространстве (проведение через точку: прямой, параллельной данной; прямой, скрещивающейся с данной). Число решений задачи на построение.
Контрольная работа № 2.
Взаимное расположение прямой
и плоскости (17—25)
Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, парал
17
лельную другой плоскости. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых проходит через одну из параллельных прямых. О плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых параллельно другой прямой. Решение простейших задач на построение в пространстве (проведение через точку прямой, параллельной данной плоскости, и плоскости, параллельной данной прямой).
Перпендикулярность прямой
и плоскости (26—34)
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Теоремы о длинах перпендикуляра, наклонных и проекций. Теоремы о трех перпендикулярах (прямая и обратная). Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости. Теорема о двух прямых, перпендикулярных плоскости. Построение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой. Построение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости.
Контрольная работа № 3.
Угол между прямой и плоскостью (35—43)
Определение угла между наклонной и плоскостью. О величине угла между наклонной и плоскостью. Угол между прямой и плоскостью. Методы нахождения угла между наклонной и плоскостью.
Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования. Ортогональное проектирование, его свойства.
Параллельные плоскости (44—51)
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Параллельность плоскостей. Признаки параллельности двух плоскостей. Теорема о линиях пересечения двух параллельных плоскостей с третьей плоскостью. Теорема о прямой, пересекающей одну из двух параллельных плоскостей. Теорема о плоскости, пересекающей одну из двух параллельных плоскостей. Теорема о проведении плоскости, параллельной данной плоскости, через точку, не лежащую на ней; единственность такой плоскости. Теорема о транзитивности параллельности плоскостей в пространстве. Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя парал-
18
дельными плоскостями. Теорема о прямой, перпендикулярной к одной из двух параллельных плоскостей.
Контрольная работа № 4.
Угол между двумя плоскостями (52—60)
Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Теорема о линейном угле двугранного угла. Перпендикулярные плоскости. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Теорема о прямой, перпендикулярной линии пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей и лежащей в одной из них. Теорема о прямой, перпендикулярной одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и имеющей со второй плоскостью общую точку. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей. Угол между двумя плоскостями. Методы нахождения двугранных углов и углов между двумя плоскостями. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.
Контрольная работа № 5.
Расстояния в пространстве (61—69)
Расстояние между двумя точками. Расстояние между точкой и фигурой. Расстояние между точкой и прямой. Расстояние между точкой и плоскостью. Расстояние между точкой и сферой. Расстояние между двумя фигурами. Расстояние между двумя параллельными прямыми. Расстояние между прямой и плоскостью. Расстояние между двумя плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Геометрические места точек пространства, связанные с расстояниями. Приемы нахождения расстояний между фигурами в пространстве.
Контрольная работа № 6.
Уроки обобщения пройденного материала о параллельности, перпендикулярности, углах и расстояниях в пространстве (70—72)
Векторы в пространстве (73—82)
Вектор в пространстве. Коллинеарность двух векторов; компланарность трех векторов. Угол между векторами. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение вектора на скаляр) и их свойства. Разложение вектора
19
по двум неколлинеарным векторам, компланарным данному вектору. О трех некомпланарных векторах в пространстве: векторный базис пространства; разложение вектора и его координаты в данном базисе. Условие коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов. Скалярное произведение векторов и его свойства. Формулы, связанные со скалярным произведением. Условие ортогональности двух векторов. Решение геометрических задач векторным методом.
Контрольная работа № 7.
Координаты в пространстве (83—92)
Ортонормированный базис в пространстве. Прямоугольная декартовая система координат в пространстве. Координаты вектора, действия над векторами в координатах. Проекция вектора на ось в координатах. Условия коллинеарности и ортогональности двух векторов в координатах. Координаты точки. Формулы нахождения: расстояния между двумя точками в координатах; координат середины отрезка и точки, делящей отрезок в данном отношении. Уравнение и неравенства, задающие множества точек в пространстве. Уравнение сферы и неравенство шара.
Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости и его исследование. Уравнение плоскости в отрезках и другие виды уравнения плоскости. Угол между двумя плоскостями в координатах и условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Прямая в координатах. Угол между двумя прямыми в координатах, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах. Угол между прямой и плоскостью в координатах, условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости. Решение геометрических задач координатным методом.
Контрольная работа № 8.
Повторение (93—105):
теория, практикум по решению задач по планиметрии и стереометрии. Устный зачет.
Итоговая контрольная работа № 9.
20
Указания к решениям задач
В данном разделе предлагаются краткие решения и указания к решениям лишь ряда задач, помещенных в задачнике Е. В. Потоскуева и Л. И. Звавича «Геометрия. 10 класс» к учебнику «Геометрия для 10 класса с углубленным и профильным изучением математики» тех же авторов.
Заметим, что система задач к каждому разделу стереометрии, реализованная по принципу от простого — к сложному, позволяет, с одной стороны, учителю дифференцированно и целенаправленно рекомендовать каждому ученику задачи определенной сложности, с другой стороны, каждому ученику самостоятельно, «по вкусу» выбрать для решения ту или иную задачу. Вместе с тем учащийся, прежде чем приступить к решению сложной задачи, должен решить простейшие задачи к данному разделу стереометрии: эти задачи являются опорными (базисными, ключевыми).
Любая задача может быть решена не единственным методом, и приведенные ниже решения не претендуют на единственно возможные. Наоборот, авторы предполагают поиск, нахождение и учителями, и учениками других, более рациональных, решений задач. Более того, мы не пытались дать какие-то «сверхрациональные» или «сверхоригинальные» решения; наши решения в основном рабочие и достаточно стандартные.
Следует особо отметить, что эти решения ни в коем случае нельзя принимать за образцы оформления решения той или иной задачи ввиду, например, отсутствия в них полных аргументированных обоснований того или иного утверждения, что обусловлено невозможностью подробного разбора огромного количества всех задач в небольшой по объему книге.
Глава 1. Введение в стереометрию
При строгом аксиоматическом методе построения (обосновании) евклидовой геометрии доказательство того или иного геометрического утверждения должно основываться лишь на
21
логических умозаключениях. В школьном же курсе геометрии часто приходится жертвовать логической строгостью, прибегая к наглядности. Поэтому при изучении стереометрии авторы считают возможным и необходимым пользоваться рисунками, так как они помогают понять содержание того или иного факта, проиллюстрировать суть понятия, представить то, о чем идет речь в аксиоме, теореме, задаче.
В этой связи начальные и основополагающие вопросы стереометрии авторы предлагают изучать с помощью изображений куба, правильного тетраэдра, паралеллепипеда, призмы, пирамиды и соответствующих последующих построений на этих изображениях.
Учитывая, что интуитивное, живое пространственное воображение в сочетании со строгой логикой мышления — ключ к изучению стереометрии, желательно выработать у ученика умение наглядно представить, вообразить, нарисовать фигуры, о которых идет речь в аксиоме, теореме, задаче.
И хотя при изучении геометрии рисунок, вообще говоря, не имеет доказательной силы, даже если он выполнен безупречно, тем не менее, верно, наглядно и хорошо выполненный рисунок к задаче — это надежный помощник при ее решении.
§ 1—3. Предмет стереометрии. Основные понятия. Аксиомы стереометрии
Не исключено, что основные понятия и аксиомы стереометрии будут сообщены ученикам учителем в форме лекции-беседы. При этом заслуживают внимания комментарии относительно аксиомы расстояния.
Смысл этой аксиомы состоит в следующем. По аксиоме в любой плоскости выполняются аксиомы планиметрии. Следовательно, на любой плоскости любым двум точкам А и В ставится в соответствие положительное число — расстояние между ними на этой плоскости. Хотя через точки А и В проходят одновременно различные плоскости, аксиома В7 утверждает, что расстояние между точками А и В будет одно и то же на каждой из этих плоскостей. Но если точки Аи В принадлежат фигуре, не являющейся плоскостью (например, точки А и В принадлежат различным граням куба, тетраэдра или сфере), то достаточно «увидеть и построить» плоскость, содержащую эти точки, и в этой плоскости найти расстояние между ними.
Заметим, что расстояние — одно из фундаментальных понятий геометрии, поэтому в задачнике содержится большое
22
число задач на нахождение различного вида расстоянии, а вопросу о нахождении расстояний будет уделено «пристальное» внимание в задачах каждого изучаемого раздела стереометрии.
При построении (рисовании) сечений тетраэдра и куба плоскостями (задачи 1.033—1.040) полезно пояснить учащимся, какие грани данного многогранника пересекает заданная плоскость, построив при этом отрезки получающихся пересечений. При этом строить точки пересечения прямой и плоскости, «проводить» прямые пересечения двух плоскостей, отрезки пересечения грани и плоскости следует после логического обоснования их существования и единственности на основании соответствующих аксиом и теорем.
1.026. Дана плоскость а и три пря-	"х
мые АВ, ВС и АС, пересекающие ее соот- \ р	X/	\
ветственно в точках Ар В4 и С4. Докажи-	\	//к'	\
те, что точки Аг, В4 и Сг принадлежат \ Дг \	\
одной прямой.	\_1Х/_____Л--4
Решение. По условию точки А =	/•' / Ах т Схх /
= АВп АС, В = АВп ВС и С = ВСп АС не /	аА
лежат на одной прямой, значит, по акси- —------—------
оме R} через них можно провести единст-	Рис
венную плоскость. Обозначим ее р (рис. 1).
В этой плоскости по аксиоме R4 лежат прямые АВ, ВС и АС. Так как прямая АВ лежит в плоскости р и пересекает плоскость а в точке Ар то по аксиоме R5 плоскости аир пересекаются по некоторой прямой т, проходящей через АР Вследствие того, что ВС c р, AC с р, точки В4 = ВСп а и С4 = АС п а также принадлежат прямой т.
1.040. Дан правильный тетраэдр EFGS, у которого EF = 12. Точки L и N лежат на ребрах SG и SE соответственно, причем SL = 3, SN = 3. Точка Т — середина ребра SF. Найдите: а) точку У] пересечения прямой TL и плоскости EFG; б) точку У2 пересечения прямой TN и плоскости EFG; в) длину отрезка У1У2; г) точку пересечения прямой TN и плоскости ELF\ д) прямую пересечения плоскостей LY4Y2 и NFE; е) отношение, в котором плоскость ВУ1У2 делит отрезок SE, считая от точки S.
Решение, а) Так как прямые TL и GF лежат в одной плоскости FGS (рис. 2) и не параллельны, то точка их пересечения является точкой пересечения TL и плоскости EGF, т. е. У1 = TL n GF = TL n (EGF).
23
б)	Аналогично У2 = TN n EF = = TNr-, (EGF).
в)	Если К — середина стороны GS правильного A FGS, то L — середина SK, значит, ЬТЦ-КТ. Тогда YjF : FG = LK : KG = 1 : 2, откуда YXF = 0,5FG = 6. Аналогично Y2F = = 0,5FE = 6. А так как /\FGE — правильный, то ХУ1ГУ2 = 60°, поэтому У^2 = 6.
г)	Точкой пересечения прямой TN и плоскости EFL является точка У2 пересечения прямых TN и EF, лежащих в одной плоскости EFS.
д)	Плоскость LyjTg совпадает с плоскостью NTL, а плоскость NFE — с плоскостью SEF, поэтому (ЛУ^^ n (NEF) = = ny2.
е)	(£У1У2) n SE = N, значит, плоскость Ly^g делит отрезок SE в отношении SN : NE= 1:3.
§ 4. Следствия из аксиом.
Способы задания плоскости
Прежде всего следует заметить, что рассматриваемые в этом параграфе учебника простейшие следствия из аксиом доказываются нами методом от противного (от противоположного), который применяется и при решении задач.
Применяя аксиомы стереометрии и первые следствия из них, учащиеся решают стереометрические задачи, в которых исследуются некоторые свойства геометрических фигур, расположенных в пространстве. К стереометрическим относятся, например, задачи на построение сечений многогранников плоскостями, при этом каждый этап построения должен быть логически обоснован и сопровождаться вопросом: «Из чего это следует?»
Важно пояснить учащимся, что на основании аксиомы _К5 плоскость не может пересечь грань многогранника по ломаной, а может иметь с ней либо общий отрезок, либо общую точку (вершину многогранника), либо не имеет с ней общих точек. А так как сечением многогранника плоскостью является многоугольник, то число сторон многоугольника-сечения не может превышать числа граней многогранника. Причем ес
24
ли пересечением плоскости и многогранника является лишь одна точка (вершина многогранника) или лишь один отрезок (ребро многогранника), то эту плоскость мы не будем называть секущей.
Прорешав достаточное число задач этого параграфа на ло-гически-наглядном уровне, учащиеся «привыкают» к тому, что плоскость в пространстве можно задать:
а)	тремя точками, не лежащими на одной прямой;
б)	прямой и не принадлежащей ей точкой;
в)	двумя пересекающимися прямыми;
г)	двумя параллельными прямыми.
В дальнейшем они узнают, что задать плоскость в пространстве можно и другими определяющими ее элементами.
1.052. Вершина А ромба ABCD со стороной а лежит в плоскости а, а остальные его вершины лежат в одном полупространстве относительно плоскости а. Известно, что прямая BD пересекает плоскость а в точке К. а) Постройте точки Р и Q пересечения плоскости а с прямыми ВС и CD. б) Найдите отношение РА : AQ, если BD : DK = 3:1.
Решение. Пусть плоскость р, в которой лежит данный ромб, пересекает плоскость а по прямой т, проходящей через А и К. Тогда Р = ВС п а = ВС от, Q = CD па = CD п т (рис. 3).
По теореме Фалеса (в плоскости) имеем:
BA\\CD =>
AQ QK
= 3; BC\\AD ££
РА
АК
Тогда:
РА = AQ	РА = АК = AQ + QK = AQ , ,
АК QK	AQ QK QK QK
= 3 + 1 = 4 =>РА: AQ = 4:1.
25
1.055. Диагональ АС четырехугольника ABCD делит его на правильный треугольник ACD со стороной 10 и прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС и катетом АВ, равным 5. Этот четырехугольник перегнули по диагонали АС так,
что точка В не лежит в плоскости ACD. На прямой АС взяли точку М так, что сумма длин отрезков ВМ и MD — наименьшая. Найдите значение этой суммы.
Решение. Рассмотрим исходный четырехугольник ABCD (рис. 4, а). В Л ABC (ZB = 90°) имеем: АВ = 5 = 0,5 АС => Z АСВ = = 30°. Значит, ZBCD = 90°. Тогда BD = J2AC2-AB2 = 5л/7.
Так как самый короткий путь от В до D — отрезок BD, то искомая точка М есть точка пересечения диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. При перегибании четырехугольника ABCD по диагонали АС (рис. 4, б) сумма ВМ + DM остается неизменной, равной 5л/7, и является наименьшей.
1.060. ABCDAiBiC1D1 — куб с ребром а. О — точка пересечения диагоналей грани А1В1С1£>1, точка К — середина DC; точка М ле
26
жит на луче BBt, ВгМ = 2а. Постройте сечение куба плоскостью ОКМ и определите его вид.
Решение. Строим (рис. 5) точки: 1)Р = MOrxBD, причем B^D^BD => МВХ : МВ = ВХО : ВР = 2 : 3, откуда PF : FB = = 1:2, где F = ACrBD. Это означает, что А'РЦАС; 2) L = = КР C\AD, причем DL = LA; 3)77 = КР Г\АВ, причем АН : АВ = = 1 : 2; 4) Аг = НМ п А1В1; 5) Сх = АгО n CCt. При этом плоскость ОКМ пересекает плоскость грани АВВ1А1 по прямой МН. Так как МВ{ : МВ = ApBj : ВН и	то прямая
МН проходит через Av Тогда пересечением плоскости ОКМ и грани A1B1C1D1 является отрезок А^С^ следовательно, искомым сечением куба является трапеция KLA1C1.
1.063. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром длины 4 точка М принадлежит ребру АА{ и AM = 3, точка Р принадлежит ребру ССГ и РСГ = 1, точка К делит ребро DDr отношении 1 : 3, считая от D. Найдите расстояние от вершины В до прямой пересечения плоскостей КМР и ADC.
Решение. Построив точки F = РК n CD и Н = МК r.AD, получаем прямую FH = (МРК) n (ADC) (рис. 6).
Имеем: KD : PC = 1 : 3, KD\\PC => DF : FC = 1 : 3, откуда FD = 2. Аналогично находим HD = 2. Значит, равнобедренный прямоугольный A FDH гомотетичен треугольнику CDA, поэтому FH||AC, и перпендикуляр BL из точки В на прямую FH содержит диагональ BD квадрата ABCD, при этом BL = = ВР) + 0,25ВР) = 5^2.
27
Задачи к главе 1
1.071. MABCD — правильная четырехугольная пирамида. О — точка пересечения диагоналей основания ABCD. МО = = АВ = а. Точка О — середина отрезка МР; точка К — середина MD; точка Т принадлежит лучу ВС, причем СТ = | и С лежит между В и Т. Постройте сечение пирамиды плоскостью РКТ, определите его вид и найдите длину стороны сечения, лежащую на основании пирамиды.
Решение. Пусть Q — точка пересечения медиан РК и DO равнобедренного треугольника МИР (рис. 7). Тогда ВО : OQ = = ВС : СТ = 3:1. Это означает, что TQ||AC. Если при этом Н = = TQ r\AD, L = TQ о DC, то отрезок HL — искомая сторона сечения HKL данной пирамиды, причем AHKL — равнобедренный и HL = | АС =	.
О	о
Глава 2. Прямые в пространстве
§ 6. Классификация взаимного расположения двух прямых в пространстве
Не всякие две прямые пространства лежат в одной плоскости, иначе говоря, не через любые две прямые пространства можно провести плоскость: наряду с пересекающимися и па
28
раллельными прямыми, в пространстве существуют скрещивающиеся прямые. Учащимся следует пояснить, что через две параллельные или две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, в то время как через две скрещивающиеся прямые плоскость провести невозможно.
Прежде чем приступить к решению задач, учащиеся должны уяснить, что при взаимном расположении двух прямых в пространстве возможен один и только один из трех случаев: либо они пересекаются, либо параллельны, либо скрещиваются. При этом параллельные прямые в пространстве обладают рядом свойств, напоминающих свойства параллельных прямых на плоскости, в частности, через точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
При решении стереометрических задач учащиеся должны, знать, что:
•	если одна из двух параллельных прямых лежит в данной плоскости, то другая, параллельная ей прямая, не может эту плоскость пересекать;
•	через точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну;
•	из двух пересекающихся прямых только одна может быть параллельна некоторой данной прямой;
•	если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны;
•	из двух скрещивающихся прямых только одна может быть параллельна некоторой прямой;
•	если прямая а в точке М пересекает плоскость а, то эта прямая скрещивается с любой прямой плоскости а, не проходящей через точку М;
•	если четыре точки А, В, С и Е не лежат в одной плоскости, то прямые АВ и СЕ, АС и BE, АЕ и ВС попарно скрещиваются.
На моделях, изображениях тетраэдра, куба и других многогранников учащиеся наглядно могут «увидеть» различные пары прямых, определяя их взаимное расположение с помощью признаков, но не определений.
Типичной ошибкой учащихся являются их попытки доказать, что две прямые скрещиваются, пользуясь определением скрещивающихся прямых: невозможно найти плоскость, в которой лежат две данные скрещивающиеся прямые, так же как невозможно найти общую точку двух параллельных прямых в евклидовом пространстве.
29
Учащимся следует пояснить, что на «плоском» чертеже две скрещивающиеся прямые изображаются либо пересекающимися, либо параллельными прямыми, либо прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой.
2.016. Прямая АВ пересекает плоскость а. Через концы отрезка АВ и его середину С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках Ар Вг и Сг. Рассмотрите случаи: 1) отрезок АВ не пересекает плоскость а; 2) отрезок АВ пересекает а. В каждом случае найдите: а) длину отрезка CCV если: AAt = 7, BBt = 5; б) длину отрезка ААР если ВВ, = 7, СС1 = 11.
Решение. 2) а) Пусть К = СС^ГхАВ^ (рис. 8). Тогда CCt = = СГК - СК. Так как СК и СГК — средние линии треугольников соответственно ABBt и ААгВ1г то СК = 0,5ВВ1 = 2,5, СгК = 0,5 AAj = 3,5. Значит, CCt = 1.
2) б) Используя средние линии СК и С^К треугольников соответственно АВВ} и АА1В1, имеем: AAt = 2C17f = 2СК + 2СС\ = = 7 + 2 -11 = 29.
2.019. Через вершины А, В, С и D параллелограмма ABCD, расположенного в одном полупространстве относительно плоскости а, точку О пересечения его диагоналей и центроид М треугольника BCD проведены параллельные прямые, которые пересекают данную плоскость а соответственно в точках Ар Bv Cv Dv Ov Mr. Найдите ОО1 и DDt, если AAt = = 17, CCt = 5, BBt = 15.
Решение. В трапеции AA1C1C (рис. 9) отрезок ОО} — сред-
АА + СС
няя линия, поэтому OOj = ....J. -i = 11. Тогда в трапеции
30
BB^D^D co средней линией OOX находим DDX = 2 ООг - ВВ1 = 2 • 11 -- 15 = 7.
Если ОМ = ML = LC, MMillOOjlLI,! иММг = x,LL1 = у, то в трапеции СС^М^М имеем ММХ = 2LLr - ССг или х = 2у - 5, а в трапеции OOjLjL — LL1 = = 2ММ\ - ООг или у = 2х - 11. Тогда из у = 2(2у - 5) - 11 находим у = 7, значит, х = ММг = 9.
2.029. Пусть точка D не лежит в плоскости АВС; К — середина АВ; Р — середина CD; М — центроид
треугольника АВС. а) Докажите, что фигура ADPB не может быть трапецией, б) Докажите, что прямые DM и КР пересекаются. в) В каком отношении (считая от D) прямая КР делит от-
резок DM2 г) Определите взаимное положение прямых МР и AD. Ответы обоснуйте.
Решение, а) Трапеция — плоская фигура, а точки А, В, Р и D не лежат в одной плоскости, так как прямые АВ и DC скре
щиваются.
б)	Точки D, М, К и Р (рис. 10) лежат в одной плоскости DKC (Р е DC), причем точки К иР разделены прямой DM, поэтому прямые КР и DM пересекаются в некоторой точке О.
в)	Если Н — центроид A ABD, то КН : KD = КМ : КС = = 1 : 3 => НМ||СП и НМ : CD =1:3. Так как в трапеции середины оснований, точка пересечения боковых сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой, то диагонали СН и DM трапеции CDHM пересекаются в точке О. Тогда DO : ОМ = CD : НМ =3:1.
г)	Прямые AD и РМ скрещиваются по признаку скрещивающихся прямых.
§ 7. Угол между лучами.
Угол между прямыми в пространстве.
Перпендикулярные прямые
Во многих учебниках геометрии изучение этого вопроса отнесено на более позднее время. Мы считаем, что такой «принцип» тормозит как процесс решения задач, так и дальнейшее изучение теоретического материала.
31
Из планиметрии известно, что за величину угла между пересекающимися прямыми принимается величина наименьшего из углов, образованных этими прямыми.
Величину угла между скрещивающимися прямыми а и Ъ определяют следующим образом. Через произвольную точку М пространства проводят прямые о^Ца и Ьг\\Ь и находят величину угла между пересекающимися прямыми аг и Ьг. Эту величину и принимают за угол между скрещивающимися прямыми а и Ь. При этом величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М.
Величина угла <р между прямыми в пространстве принадлежит промежутку [0°; 90°]; если <р = 90°, то прямые перпендикулярны; при этом, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна некоторой прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой прямой.
Учащимся следует пояснить, что под углом между скрещивающимися прямыми понимают не «аналог» угла между пересекающимися прямыми, не геометрическую фигуру, а некоторую величину.
При решении задач для нахождения величины угла между двумя скрещивающимися прямыми а и Ъ можно взять на одной из них, например, на прямой а, любую точку М и в плоскости, определяемой прямой Ъ и точкой М, провести через точку М прямую Угол между прямыми а и Ьг равен углу между скрещивающимися прямыми а и Ъ. При этом выбирать следует ту из двух данных скрещивающихся прямых и такую точку на другой из них, чтобы полученное изображение угла было наглядным, а его построение наиболее простым; величина искомого угла не зависит от выбора точки М.
2.034. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали АС и BD грани ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между прямыми: a) ADj и AjCp б) АВ и DCT; в) АВ и CjDp г) ADr и ODX; д) ААг и ODj.
Решение. Пусть ребро куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 11) равно а. Тогда:
a)	Z (ADj, AjCj) = Z (.ADp AC) = <p. В прямоугольном A AODr AO = 1ADV поэтому <p = 60°.
6)	Z(AB, DCr)= Z(AB, ABT) = a. AABB1 — равнобедренный прямоугольный, поэтому a = 45°.
32
в)	АВ IIС1П1 => А (АВ, CpDJ = 0°.
г)	Z (ADV ODr) = у. В прямоугольном ААОГ>1 АО = | АОР поэтому у = 30°.
д)	Z (ААР O-Dj) = Z (DDV OD^) = Z ODrD = p. В прямоуголь-
a J2
OD	2~	/9
ном /\ODDr находим tgp = ----- = ----- = —, откуда p =
D D1	a	2
= arctg^l.
2.035. Точка £ — середина ребра ССг куба ABCDA1B1C1D1. Постройте угол между прямыми АгВ и ВгЕ и найдите его величину, если длина ребра куба равна а.
Решение. Если К — середина ребра DDV то АгКЦВ^, поэтому Z (ВгЕ, АгВ) = Z (AjTf, АрВ) = Z ВА^К = <р (рис. 12).
„ л	А,К2 + А,В2 - ВК2 тт	л „„
В AAjBTf: cosip = ------------------Находим: АХК2 =
2АгК * АгВ
= AJ)2 + DrK2 = а2 +	= |а2; АгВ2 = 2а2; ВК2 = BD2 + DK2 =
2	—а2 + 2а2 — —а2	>—
= 2а2 + ^- = а2. Тогда cos <р = --------— =	, откуда
44	а /5 г- 10
2-^-aj2
__	Сл
Vio
<р = arccosZ^-.
2.037. EFGHE^FyG^H^ — куб. Точки L, N иТ — середины ребер Ffi^ G,1Hl и HYH соответственно; К — точка пересечения диагоналей грани EE^F^F.
2  9061 Потоскуев	33
Заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.
	Прямые	Расположение	Угол между прямыми
1	LN и EG		
2	FrT и FH		
3	F^N и KT		
4	TN и EG		
5	FrT и KN		
6	КН, и LN		
Решение. Пусть ребро куба EFGHE^F^G^H^ (рис. 13) равно а.
1)	Прямые LN и EG скрещиваются, при этом LN\\FH, поэтому Z (LN, EG) = Z (FH, EG) = 90°.
2)	Прямые FXT и FH лежат в одной плоскости и не парал
лельны: они пересекаются под углом arctgZ- .
3)	Отрезки F1K л NT равны и параллельны => F^KTN — параллелограмм => KN => Z (F,N, KT) = 0°.
4) NT c (HGGJ, EG n (HGGX
= G <£ TN TN и EG скрещиваются. TWH-EFj => => Z(TN, EG) = Z (EFU EG) = = 60°.
5)F1Tr\KN = О
=> K^T, KN) = Z TON = Ф. В A TON имеем cos ф = = ON2 + ОТ2 - NT2
2ON-OT
Находим NT2 = 0,5a2; в AF^N: FrN2 = FrG2 + + GXN2 = 1,25a2; в LKF^H^T’. F]T2 = FXH2 + HjT2 = 2,25a2. Тогда в параллелограмме FXNTK получаем: KN2 = = 2(FX№ + NT2) - FrT2 =
34
= 2 • (1,25а2 + 0,5а2) - 2,25а2 = 1,25а2 => ON2 = ±KN2 = = 0,3125а2. Далее, ОТ2 = ^FrT2 = 0,5625а2. Тогда
0,3125а2 + 0,5625а2 - 0,5а2 ТВ
COS(p =--------Г7В-----------= ’5”
2-0,75а
4
75 откуда <р = arccos-g- .
6) LN\\FlH1 => Z (LN, KH1)= Z(FlHl, КНг)= EFXHXK = у.
Так как FXH2 = 2а2, FXK2 = НХК2 = ЕгК2 + ЕгН2 = | а2, то треугольник FrHrK прямоугольный с прямым углом F^H^, в котором FrK = ^F1H1, значит, ф = 30°. (Учитывая, что Н^К — медиана правильного треугольника F-^EH^ немедленно получаем: ф = 30°.)
Задачи к главе 2
2.046. Точки А, В, С и D не принадлежат одной плоскости. Точки К, М, L и N принадлежат соответственно отрезкам BD, AD, АС и ВС так, что DK : КВ = DM : МА = CL : LA =
= CN : NB = 1:4. Определите периметр четырехугольника
KMLN, если АВ = 25, CD = 30.
Решение. Из условия задачи следует, что 2V.Jl||C.D||LM и JCAr[|AB||7WA' (рис. 14), причем МК=
= LN = ^АВ = 5, NK = ML = 5
| CD = 24. Значит, периметр
параллелограмма MKNL равен
2-(5+ 24) = 58.
2.053. Равнобедренные трапеции АВСР и РСМК имеют общую боковую сторону и лежат в разных плоскостях, причем ВС = 3, АР = 12, РК = 24. Определите взаимное расположение прямых АВ
35
и МК при каждом из следующих значений длины отрезка МС: а) 5; б) 6; в) 7; г) 8.
Решение. Пусть АВ n СР = Н, МК п СР = Нг (рис. 15). Тогда ВС : АР = ВН : АН = СН : PH и МС : КР = МН1 : КНГ = = СНГ : PHг Если МС = 6 (случай б)), то ВС : АР = 3:12 = = 6 : 24 = МС : КР, откуда СН : PH = СНг : РНГ, т. е. точки Н и Нг совпадают. Это означает, что прямая АВ пересекает плоскость, в которой расположена трапеция РСМК, в точке Н, принадлежащей прямой КМ, поэтому прямые АВ и МК пересекаются (рис. 15, а). В остальных случаях получим ВС : АР * МС : КР, т. е. СН : PH * СНг : РНГ. Это означает, что прямые АВ и МК скрещиваются (рис. 15, б).
2.054. ABCD — правильный тетраэдр с длиной ребра 7. Точки М и К — середины ребер BD и АС соответственно. Точка Р делит ребро АС в отношении 5:2, считая от точки С. Найдите длину заключенного внутри тетраэдра отрезка пря-
мой, проходящей через точку Р параллельно прямой КМ.
Решение. Из условия задачи следует, что АР = 2, АК = 3,5 (рис. 16). Тогда АР = *АК = 2. Из РН\\КМ следует HP : КМ = АР : АК = 4 : 7.
В прямоугольном Д ВМК находим
МК = 7BTf2 - ВМ2 =
_ 7л/2
2
Тогда PH = * КМ = * • 1^? = 2 72 .
36
Глава 3. Прямая и плоскость в пространстве
§ 8. Параллельность прямой и плоскости
Учащимся следует пояснить, что при решении стереометрических задач обоснование параллельности прямой и плоскости с помощью только одного определения их параллельности затруднительно и не приводит к желаемому результату. В таких случаях пользуются признаками параллельности прямой и плоскости, которые учащиеся должны твердо усвоить и знать. При построении сечений многогранников плоскостями, проходящими через прямую, параллельную какой-либо грани многогранника, важную роль играют теоремы 10, 11 и 12. В частности, при решении задач 3.018 и 3.025 учащиеся на основании теорем 10 и 11 могут доказать, что в сечении пирамиды получается трапеция.
К сожалению, приходится констатировать, что некоторые учителя избегают подобных доказательств под предлогом очевидности того или иного факта. А жаль! Именно на начальном этапе изучения стереометрии закладываются основы стереометрической культуры, геометрической грамотности учащихся. С другой стороны, обоснованные доказательства «очевидных» фактов отнимают много времени, в результате может быть решено мало задач. Но, проявляя чувство меры, нужно все-таки стараться рассмотреть за урок (45 мин) не менее 6 задач. Для этого есть много путей. Например:
•	во время решения задач можно так организовать работу на уроке, чтобы по одному рисунку были решены последовательно несколько нарастающих по сложности задач, опросив при этом нескольких учащихся;
•	можно только один раз доказать, что в сечении правильной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону ее основания, получится трапеция, и пользоваться этим фактом далее при решении аналогичных задач;
•	у учащихся полезно выработать понимание того, что означает «рабочее решение задачи» и «полное решение задачи», и в каких случаях каждое из них применяется;
•	иногда в текст условия задачи на уроке можно вставить слова «докажите самостоятельно», «несмотря на очевидность, нуждается в доказательстве» и т. п.
Из теоремы 9, в частности, вытекает факт существования и способ'построения прямой, параллельной данной плоскости и проходящей через данную точку, не лежащую в этой плос
37
кости. А из теоремы 10 следует, что если прямая а параллельна плоскости а, то в плоскости а существуют прямые, параллельные прямой а. Эти факты применяются в тех случаях, когда для решения задачи требуется произвести некоторые дополнительные построения.
Решения учащимися задач данного и следующего параграфов будут способствовать выработке у них навыков осуществлять необходимые в будущем построения на изображениях многогранников.
Задачи данного параграфа подобраны таким образом: сначала предлагаются несложные задачи ija доказательство, построение, а также задачи развивающего характера, в которых ставятся вопросы «Параллельны ли ...?», «Каким может быть взаимное расположение ...?», «Справедливо ли утверждение ...?», «Возможно ли ...?». Далее следуют задачи более сложные по содержанию, в которых требуется не только строить сечения многогранников, но и определять форму сечений, вычислять их площади, периметры. Одним словом, решаются стереометрические задачи вычислительного характера, проводится подготовка к решению содержательных задач в 11 классе.
3.018. Основанием правильной четырехугольной пирамиды PABCD является квадрат ABCD. Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через АВ и точку К" — середину ребра PC. Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.
Решение. AB\\CD => AB\\(PCD) => КМ\\АВ, где КМ = = (АВК) n (PCD), значит, АВКМ — равнобедренная трапеция (рис. 17) с основаниями АВ = 8, КМ = 4 и высотой FL (РиН — середины соответственно АВ и CD, L = КМ n PH).
Рис. 17
Рис. 18
38
В A PHF находим медиану
„г _ \2PF2 + 2FH2 - PH2 _ J2FH2 + PF2 _ г Li — /----------з--------- — ------------- —
N	4	2
= 72-64 + (4л/3)2 =
Тогда = AB + MK-FL =	2 ,Д1 =12711.
3.023. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, P и Q — внутренние точки граней соответственно ABCD и A1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Р и Q и параллельной прямой ССг.
Решение. Через точку Q проведем в грани A1B1C1D1 любую прямую I, пересекающую В1С1 и CpDj соответственно в точках Fr и Ег (рис. 18), затем проведем прямые Е^ЦСС]^ и .БрЕЦСС^ (F е ВС, Е е DC). В плоскости EFFX проводим прямую QLljCCj (L е EF). Далее в грани ABCD проводим прямую PL, получаем точки Н = PL п АВ и М = PL n CD, через которые проводим HHjCC! и MM^CCV НММХНХ — искомое сечение.
3.024. Через вершину Р правильного тетраэдра РМВН с ребром, равным 8, проведите сечение, параллельное ребру МВ. Сколько таких сечений тетраэдра можно провести? Какие фигуры при этом получаются в сечениях? Найдите площадь сечения, проходящего через середину Л- ребра ВН.
Решение. Пусть О — центр основания ВМН данного тетра
эдра. Любое сечение этого тетраэдра — равнобедренный треугольник. Таких сечений можно провести бесконечно много.
Если L — середина МН, то /\РЬК — сечение данного тетраэдра, проходящее через К
(рис. 19) и 8ЛРКт = }-KL’PF, 'х	z ZA гА Ь О	г
где F = KL HD.
Находим:
KL = 4,PF = JPK2 - KF2 = = 7(473)2 - 22 = 2711.
Тогда SAPKL = 4711 •
Рис. 19
39
3.025. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с вершиной Р все ребра равны 4. Постройте сечение этой пирамиды, проходящее через центр О ее оснрвания параллельно ребру ВС и медиане РК грани ВСР. Установите форму полученного сечения; найдите его периметр и площадь.
Решение, В сечении получается равнобедренная трапеция FNML с боковыми сторонами FN = ML = 2, основаниями MN = 2 и FL = 4, а ее высотой является отрезок ОН = ^РК = £
= л/З (рис. 20). Поэтому периметр этой трапеции равен 10, а ее площадь — зТз.
3.026. Дан правильный тетраэдр РАВС с ребром 6. Через центр О основания АВС тетраэдра проведена плоскость а, параллельная ВС и пересекающая ребро АР в некоторой точке К. Постройте сечение тетраэдра плоскостью а. Укажите границы изменения периметра и площади этого сечения при всевозможных положениях точки К на ребре АР.
Решение. Пусть OeDL, Z>L||BC (рис. 21). В сечении тетраэдра всякий раз будет получаться равнобедренный треуголь-
2
ник с основанием DL = „ВС = 4. Наименьшие периметр и О
площадь имеет треугольник DLK, плоскость которого перпендикулярна АР. Найдем его периметр РADLK и площадь SADLK.
Пусть М и Н — середины противоположных ребер АР и ВС
2
данного тетраэдра. Так как OK LAP, МН LAP и ОА = =АМ, то
О
40
ок=1 нм = | Jam2 - ah2 = 17(з7з)2 - з2 = 2j2 ; так как 3	3	3
BH\\DK, toDK=IbH = I • 3 7з = 2 л/З. Тогда Рд DLK = 2DK + 3	3
+ DL = 4-(j3 + 1); SADLK= lDL-OK^l-4-2j2 = 4j2. Li	Ji
Высота любого треугольника — сечения тетраэдра является высотой прямоугольного треугольника АОР, проведенной из вершины О его прямого угла АОР. Вычисления показывают, что ОА = 2j3 , ОР = 2л/б , т. е. ОК < ОА < ОР. Это означает, что /\DLP имеет наибольший периметр и наибольшую площадь. Найдем их:
рдпрь = 2PD + DL= 2jOD2 + OP2 + 4 =
= 2j22 + (2л/б)2 + 4 = 4 • (77 + 1).
SADPL = *DL-OP = 1-4-276 = 476. Li	Lt
Таким образом, 4 • (73 + 1) < P&dlk 4-(7? + 1); 4 72 < <8д DLK < 4 Тб.
§ 9, 10. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах
Мы советуем изложить материал этих параграфов в форме лекции-беседы. При этом как в лекции, так и на практических занятиях следует уделить особое внимание вопросам существования и единственности прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости (плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой). Именно после изучения этого материала становится возможным решать задачи на нахождение расстояний от точки до прямой и до плоскости, между параллельными прямыми в пространстве, между параллельными прямой и плоскостью.
Необходимо пояснить учащимся, что при решении стереометрических задач затруднительно обосновывать перпендикулярность прямой и плоскости при помощи только одного определения, и «помощником» в таком обосновании становится признак перпендикулярности прямой и плоскости.
41
Целесообразно обращать внимание учащихся на определенную аналогию утверждений о перпендикуляре, наклонной и ее проекции на плоскость с соответствующими утверждениями в планиметрии относительно перпендикуляра, наклонной и ее проекции на прямую.
Необходимо подчеркнуть особую роль теорем о трех перпендикулярах при решении ряда задач, в которых определяются перпендикулярности прямых и плоскостей, а также находятся расстояния в пространстве.
Задачи данного параграфа (как и всех других) подобраны по принципу: от простого к сложному. Сначала предлагаются несложные задачи на доказательство, на вычисление расстояний, затем — задачи на построение перпендикуляров на изображениях куба и правильного тетраэдра. Очень важными являются вопросы, связанные с аргументацией построений перпендикулярных отрезков, прямых и плоскостей.
Таким образом, в данном параграфе опять решаются стереометрические задачи вычислительного и конструктивного характера. Иначе говоря, проводится пропедевтика к решению содержательных задач на вычисление площадей поверхностей и объемов многогранников и фигур вращения в 11 классе.
3.034. Точка Р удалена от каждой стороны правильного треугольника на 30 см. Найдите расстояние от точки Р до плоскости треугольника, если площадь вписанного в этот треугольник круга равна 576л см2.
42
Решение. Пусть POL(ABC), PMLAB, PKLBC, PH LAC и PM = РК = PH = 30 (рис. 22). Тогда ОМ = ОК = ОН и по теореме о трех перпендикулярах ОМ± АВ, ОК ± ВС, ОН ± АС. Это означает, что О — центр круга, вписанного в А АВС, а отрезок ОК равен радиусу г этого круга.
Так как 576л = яг2, то г =24. Тогда в прямоугольном А РОК имеем: OP = ,JPK2 - ОК2 = 7302 - 242 = 18.
3.035. Точка М удалена от плоскости прямоугольного треугольника на расстояние, равное 5 л/З, и равноудалена от каждой его стороны. Найдите расстояние от точки М до каждой из сторон этого треугольника, если его гипотенуза и один из катетов равны соответственно 25 и 15.
Решение. Пусть А АВС — данный прямоугольный треугольник, МО±(АВС) (рис. 23). Если МК LAB, МН LBC, MPLAC и МР = МК = МН, то ОМ = ОК = ОН и по теореме о трех перпендикулярах OK LAB, ОН LBC, OP LAC, т. е. точка М проектируется в центр О окружности, вписанной в треугольник АВС.
Для нахождения расстояний от М до АВ, ВС и АС (они равны между собой) достаточно найти радиус г этой окружности. Так как второй катет треугольника АВС равен 20, а его пери-25; метр Р и площадь S равны соответственно 60 и 150, то г = — = =	= 5. Тогда МК = JOM2 + ОК2 = 7(бТЗ)2 + 52 = 10.
3.052. Через точку М высоты АН равнобедренного треугольника АВС (АВ = АС) проведен к его плоскости перпенди-
куляр МР. Докажите, что BCLLH, где L — любая точка прямой АР.
Решение. Так как PML(ABC), то PMLBC. Тогда PMLAH, PMLBC => => ВСL(APH) (рис. 24), поэтому ВС перпендикулярна любой прямой плоскости АРН. А так как LHc (АРН), то BCLLH.
3.053. В кубе
ABCDAjBjCjDj точки Е, F и М — середины ребер соответ-
43
Рис. 25
Сг	В.
Рис. 26
ственно А1В1, В1С1 и ВВТ. Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости EFM.
Решение. Прямая В1П1, являющаяся проекцией прямой BXD на плоскость грани А1В1С1П1, перпендикулярна прямой А1С1 (рис. 25). Значит, BrD±А1С1, а так как £2?||А1С1, то BrD.LEF.
Аналогично доказывается, что BrDlMF. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости BrDl(MEF).
3.	062. Дан куб АВСПА1В1С1П1. Докажите, что: а) ВП1(АА1С); б) BDlACp в) ПАДАСр г) АСД^ВВ).
Решение, а) Так как BD1AC и BD 1АА1г то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости BDl(AArC) (рис. 26).
б)	АС — проекция АС1 на (АВС) — перпендикулярна BD с (АВС), значит, ACr 1BD.
в)	Проекцией прямой АС1 на плоскость грани АА1П1П является прямая AD11DA1, значит, ACr lDAr.
г)	В п. б) и в) доказано, что AClEBD и АС1±ПА1, поэтому АС11(А1ВП).
3.066.о — точка пересечения диагоналей квадрата ADCD. РО — перпендикуляр к плоскости АВС; точка М — середина стороны ВС. Докажите, что: а) прямая РМ является проекцией наклонной ОМ на плоскость РВС; б) перпендикуляр, опущенный из точки О на плоскость АВР, пересечет медиану РРГ треугольника АВР.
Решение, а) ОРЦАВС) => OPLBC; ОВ = ОС => ВР = СР; М — середина ВС => ВС1РМ (рис. 27). Тогда ВС 1.(ОМР), значит, (ОМР) 1(ВРС), поэтому РМ — проекция ОМ на (ВРС).
44
б) АВ LOP р АВ LOP (OP 1 (ABC)) => АВ-ЦОРР^ => => (ОРРг) L(ABP). Это означает, что любая прямая, проходящая через О перпендикулярно (АВР), лежит в (OPPj). А так как (ОРРг) п (АВР) = РРГ, то перпендикуляр ОК из О на (АВР) пересекает PPV
3.074. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а основание 12 см. Точка М удалена от каждой его стороны на 15 см. Найдите: а) расстояние от точки М до плоскости треугольника; б) площадь круга, вписанного в треугольник.
Решение. Пусть О — основание перпендикуляра из М на (АВС) = а, МН LAB, MKLBC, MPLAC (рис. 28). Тогда ОН LAB, OKLBC, OP LAC. Так как МН = МК = МР, то ОН — ОК = ОР = г, где г — радиус окружности, вписанной в ДАВС.
Так как г = 2&’^АВС. = 2V16-6-6-4 = 3, то; а) р(М; а) = мо = P/±ABC
= JMK2 - ОК2 = л/152 - З2 = 6л/6 (см); б) SKp = 9л (см2).
3.080. В правильном тетраэдре РАВС с ребром, равным 2, точка О — центр основания АВС. Найдите расстояние от точки О до плоскости грани РВС.
Решение. Так как АР = ВР = СР и О — центр основания АВС правильного тетраэдра РАВС, то OP ± (АВС) и ОК = i АК О (рис. 29), где К — середина ВС.
45
Аналогично, если М — центр правильного ЛРВС, то AM А (РВС), М еРК.
Пусть ОН А (РВС). Так как (АРК) А(РВС), то ОН с: (АРК) и НеРК. Это означает, что ОН\\АМ и ОН = ^-АМ =
1 /ар2 -f2PK]2 = 1 • ^9Ар2 - 4рк2 = 1 • V9 • 4 - 4 • 3
3/J	<3	)	3	3	з’ 3
= 276
9 ’
3.081. Точка Р равноудалена от всех сторон прямоугольной трапеции с острым углом в 60° и большей боковой стороной, равной 8л/3. Найдите расстояния от точки Р до сторон трапеции, если известно, что расстояние от этой точки до плоскости трапеции равно 8.
Решение. Пусть ABCD — данная трапеция (рис. 30), у которой АВ = 8л/3, ABAD = 60°, АС = AD = 90°. Основание О перпендикуляра РО к плоскости трапеции является центром окружности, вписанной в эту трапецию, причем Д АОВ — прямоугольный и ОА = АВ • cos 30° = 12.
Перпендикуляры, проведенные из точки Р к сторонам трапеции, проектируются на радиусы окружности, вписанной в данную трапецию. Если ОК — радиус этой окружности, то ОК = ОА • sin 30° = 6.
Тогда в прямоугольном Д КОР имеем: РК = JOK2 + OP2 = = 7б2 + 82 = 10.
46
§11. Угол между прямой и плоскостью
Задачи этого параграфа (как и любого другого) предназначены для дальнейшего развития пространственных представлений учащихся, главным образом, связанных с вопросами метрического характера — нахождением углов и расстояний между геометрическими фигурами и их элементами.
При решении задач на нахождение угла между прямой и плоскостью полезно пользоваться следующим фактом. Если расстояние от точки А до плоскости а равно h, а точка О лежит в плоскости а, то синус угла ср между прямой ОА и плоскостью h . h а равен — :sin(p=^.
3.085. Катет АС равнобедренного прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости а, а катет ВС образует с этой плоскостью угол в 45°. Докажите, что гипотенуза этого треугольника образует с плоскостью а угол в 30°.
Решение. Пусть АС = ВС = а, тогда АВ = а^2. Если BBj±a
(рис. 31), то ВВ1 =	Тогда в прямоугольном Д ВВХА
aj2
получаем: sin А = —L- = —- = -, откуда ZA = 30°.
АВ	2
3.086. Наклонная АВ образует с плоскостью а угол в 45°. В этой плоскости через основание А наклонной под углом 45° к ее проекции проведена прямая АС. Найдите угол между прямой АС и наклонной АВ.
47
Рис. 32
Рис. 33
Решение. Пусть АВ = а, ВМ 1 а, ВК1АС (К <=АС) (рис. 32). Тогда в прямоугольных треугольниках ABM, АМК, АВК полу-
чаем соответственно: AM =	= —, АК =	, cos А =
72	72	72	2
3.087. Прямоугольник ABCD и прямоугольный треугольник DCP лежат в различных плоскостях. Вершина В проектируется в точку В; ВР = 4 см, АВ = 472 см, АО = 4 см. Найдите угол между прямыми: a) DP и АВ; б) PC и AD.
Решение, a) AB\\CD => Z(AB, DP) = Z(CD, DP) = ZCDP. В прямоугольном ДВСР (рис. 33) имеем: СР = JBP2 + ВС2 = = 472. Тогда /\DCP — равнобедренный прямоугольный, откуда Z CDP = 45°.
б) AD||BC => Z (PC, AD) = Z (PC, ВС) = ZBCP = 45°, так как /\ВСР — равнобедренный прямоугольный.
3.095. Катет АС равнобедренного прямоугольного треугольника АВС лежит в плоскости а, гипотенуза АВ равна 4, а вершина В удалена от плоскости а на расстояние 2. Определите величину угла между плоскостью а и прямой: а) АВ; б) ВС; в) прямой, содержащей медиану ССг; г) прямой, содержащей медиану ВВр д) прямой, содержащей медиану ААР
Решение. Пусть ВНla, ВН = 2; СгК 1а (К еАН); АгМ 1а (М е СН) (рис. 34). В Д АВС имеем: АС = ВС = 272.
48
а)	В прямоугольном /\АВН катет ВН равен половине гипотенузы АВ, значит, АВАН = А (АВ, а) = 30°.
б)	В прямоугольном /\ВСН катеты ВН и СН равны, поэтому ZВСН = Z(ВС, а) = 45°.
в)	В А АВС: С,С = 'J>2AC2 + 2^cZ ~ А?2 =	16 = 2. Учи-
а	£
тывая, что С}К = 1, приходим к выводу: АС^СК = 30°.
г)	ВХВ = JBC2 + BjC2 = 7(2л/2)2 + (72)2 = ДО. Тогда sinZBBjH = ^2, значит, АВВ^Н = А(ВВ1, а) = arcsin^pL
д)	В прямоугольном A AAXC находим АА} = ,]АС2 + А1С2. А так как А,М = 1, то АА.АМ = Z (АА, а) = arcsin^l2.
1	1	х	10
3.096. О — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Сторона ромба равна 8, ZABC = 120°. Длина перпендикуляра ОК к плоскости АВС равна 6. Точка О удалена от плос-кос-ти АВК на 3. Найдите величину угла, который образует с плоскостью АВК прямая: а) ОК; б) АО; в) BD; г) КС; д) KD; е) CD.
49
ОА =
Если в пря-
Решение. В ромбе ABCD имеем: OB = ^АВ = 4, = AB • cos 30° = 4ТЗ. Обозначим (ABK) = a.
а)	Пусть ОМ-LAB, тогда KM1AB (рис. 35). OH1(ABK), то НеМК и Z(OK, a) = ZOKH. Так как моугольном ZOHK ОН = ^ОК, то ZOKH = 30°.
б)	ОН ± (АВК) => Z (ОА, a) = Z ОАН. Так как в прямоугольном АОАН ОН = 3, ОА = 473, то ZОАН = arcsin .
в)	Пусть DFZAB, тогда FL1AB (FL\\MK). ^Если DLla, то L е ВН и BL — проекция BD на а. Поэтому Z (BD, а) = = ZDBL = \|/. Так как BD = 2ОВ, то DL = 2ОН = 6. Тогда
DL 3	.3
SmV=B5 = 4^V = arCSin4’
г)	Пусть CPla, Р е а. Так как CD||a, то CP||DL и СР = DL = 6. Находим СК = JOK2 + ОС2 = 7б2 + (4ТЗ)2 = 2721. Если
Z (СК, a) = Z СКР = р, то получаем sin р =	= ....
СК 2j2i 7
О • 721
=> В = arcsin -L-— 7
д)	Так как DL ± а, то Z (DK, а) = Z DKL = у. Находим sin у =
= ^ = _£= = (KD = JOK2 + OD2 = 7б2 + 42 = 2л/13),
KD 2713	13
откуда у = arcsin	_
e)CD||a => Z (CD, a) = 0°.
50
3.098. Прямая ВК перпендикулярна плоскости равностороннего треугольника АВС. ВК = АВ; точка М — середина АС. Заполните таблицу:
	Прямая и плоскость	Измеряемый плоский угол	Величина угла
1	КА и АВС		
2	КМ и АВС		
3	СА и МВК		
4	ВА и ВМК		
5	АС и КВА		
6	ВМ и КВА		
7	АКъВКМ		
8	ВК и АСК		
9	МВ и АСК		
10	АК и ВСК		
Решение. 2) Пусть АВ = а. Так как М — середина АС, то
ВМ — проекция КМ на (АВС) (рис. 36). Поэтому
А (КМ, (АВС)) = АВМК. Значит, Х^ЛВМК =	= -5L =
= откуда АВМК = arctg?^?.
5) К(АС, (КВА)) = А С АВ = 60°.
7)	АС 1 (ВКМ) => (АСК)! (ВКМ) => КМ — проекция АК на (ВКМ) => К(АК, (ВКМ)) =
= Z (АК, КМ) = Z АКМ. Так как а
sin Z АКМ = -J- = Д то Ял/2	4
Л АКМ = arcsin2^.
4
8)	(АСК)L(BKM) => КМ — проекция ВК на (АСК) => => Z (ВК, (АСК)) = Z (ВК, КМ) = = Л ВКМ.
Ял/З
~2~
Так как IgKBKM =	=
л/3 '	л/3
= ~2, то Л ВКМ = arctg-g-.
К
С
Рис. 36
51
9)	Из (ACK)l(BKM) следует, что /(ВМ, (АСК)) =
= /(ВМ, КМ) = /ВМК. Так как tg/BMK = -2- = ^ , то а 73	3
~2~
/ВМК = arctg^.
10)	Пусть Н — середина ВС. Тогда АН/ВС. Кроме того, ВК / (АВС) => ВК/АН. Это означает, что АН /(ВСК), откуда (АКН)/(ВСК). Поэтому /(АК, (ВСК)) = /АКН = ср. Так
АН как tgcp = —
АН
J в к2 + вн2
2
Гя 7 а2
'а2 + —
4
715
—— , ТО ф = 5
= arctg^j-^ . 5
3.0	99. О — точка пересечения медиан правильного треугольника АВС. МО — перпендикуляр к плоскости АВС; МА = = АВ = а; К — середина ВС; Р — точка пересечения медиан треугольника МВС. Заполните таблицу;
	Прямая и плоскость	Измеряемый плоский угол	Величина угла
1	МСиАВС		
2	МК и. АВС		
3	СВ и AM К		
4	САиАМК		
5	ОС и AM К		
6	СМ и AMК		
7	Р Ви AMК		
8	АР и МВС		
9	ОМ и МВС		
10	АК и МВС		
11	МВ иАСР		
12	ВС и АСР		
52
Решение. Так как ОА = ОВ -= ОС, то МА = МВ = МС = АВ = = а (рис. 37). Причем ОА = ОВ =
= ос =	ок =
О Л	о
_ 1 е а«/3 _ Ял/3
3 ’ ~~2~	“(Г’
1)Z(MC, (АВС)) = ZMCO-, Ял/3
/ wrr\	ОС	3	л/3
cos Z МСО = ——, = - =	=>
МС	а	3
=> А МСО = arccos^.
2)Z(MK, (АВС)) = ZMKO-,
М
В
Рис. 37
Ял/З
cos ZMKO = ¥¥- = Д= = i => ZMKO = arccosl. МК аТз 3	3
~2~
6) Из	(AMK)l(BCM) следует,	что	Z(CM,	(АМК))	=
= Z(CM, КМ) = ZCMK = 30°.
9) Из	(AMK)Z(BCM) следует,	что	Z(OM,	(ВМС))	=
я«/3
= Z(OM, КМ) = ZOMK. Так как sin ZOMK = 2£_ = JL =
МК aj3
1 1 2
= - => ОМ К = arcsin g .
11) Так как СРZMB и СР МВ = Н, то СН1МВ,
АНLMB, откуда МВ±(АСР). Значит, Z(BM, (АСР)) = 90°.
12) МВ1(АСР) => СН — проекция ВС на (АСР). Тогда
Z (ВС, (АСР)) = Z ВСН = 30°.
§ 12. Параллельное проектирование и его свойства. Ортогональное проектирование
Учителю математики 10—11 классов известны трудности, которые возникают у начинающих изучать стереометрию. Причиной возникновения этих трудностей является неумение учащихся правильно, наглядно и «удобно» сделать рисунок, изобразить фигуру, расположенную в пространстве. Еще большую трудность вызывают дополнительные построения.
53
Уже в начале учебника (§ 5) идет речь о специфике выполнения стереометрических рисунков. В настоящем параграфе рассматриваются основные свойства параллельного проектирования, а более подробное изложение вопроса об изображениях в параллельной проекции плоских и пространственных фигур на плоскости можно прочесть в дополнительном материале «Изображение фигур в параллельной проекции» учебника. Вопрос о построении сечений многогранников в школьной геометрии изложен в дополнительном материале «Методы построения сечений многогранников» задачника.
В отличие от планиметрии, где, например, равные, параллельные и перпендикулярные отрезки изображаются соответственно равными, параллельными и перпендикулярными отрезками, в стереометрии наблюдается совершенно иная картина — правильный треугольник можно изображать треугольником любой формы, квадрат и прямоугольник — любым параллелограммом. Куб и правильный тетраэдр обычно изображают, придерживаясь определенных правил, которые, в свою очередь, основаны на свойствах параллельного проектирования. В стереометрии параллельные отрезки изображаются также параллельными или совпадающими отрезками.
Для достижения наглядности при изучении стереометрии такие ее разделы, как «Аксиомы стереометрии и следствия из них», «Параллельность, перпендикулярность, расстояния в пространстве» излагаются в учебнике с помощью моделей и изображений куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды. Зная, как изображаются в параллельной проекции плоские многоугольники, учащиеся с самого начала вырабатывают навыки правильно аргументированного изображения многогранников.
Учащиеся должны уяснить, как изображается, например, средняя линия, медиана, биссектриса и высота треугольника, а также помнить, что отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых или на одной прямой, сохраняется при параллельном проектировании.
Более того, учащиеся должны понимать, что при построении сечения многогранника на рисунке фактически строится изображение сечения многогранника на его изображении в параллельной проекции.
Для решения задачи 3.112 можно учащимся порекомендовать прочесть в дополнительном материале учебника начало заметки «Изображение фигур в параллельной проекции».
54
3.113.	Ортогональной проекцией ромба ABCD на плоскость, проходящую через вершину А ромба и параллельную его диагонали BD, является квадрат AB1C1D1 со стороной а. Найдите периметр ромба, если его диагональ АС равна т.
Решение. Так как ВО||В1О1 (рис. 38), то ОВ = О1В1 =
Тогда АВ = 7ОА2 + OB2 =	Значит, пери-
метр ромба равен 4 •	= 2 V2a2 + т2 .
3.114.	Ортогональной проекцией плоского четырехугольника ABCD является квадрат A1B1C1D1 со стороной 4; ААГ = 3, ВВ1 = 6, СС1 = 9. Найдите длину DDr, вид, периметр и площадь четырехугольника ABCD. Точки А, В, С и D расположены по одну сторону от плоскости проектирования.
Решение. Пусть О = AC n BD, О1 = А1С1 n B1Dl (рис. 39). Так как ОА — середина АгСг, то О — середина АС, поэтому ОО1 = =	+ 9 = 6. Тогда из BD||B1D1 следует, что DDr = 6.
л
Так как ABCD — плоский четырехугольник, а A1B1C1D1 — квадрат, то на основании свойств параллельного проектирования имеем: AB||CD, АВ = CD, т. е. ABCD — параллелограмм. Учитывая, кроме того, что АгСг ± B1D1, по теореме о трех перпендикулярах приходим к выводу: AC±B1D1. А так как BD||B1D1< то AC1BD. Это означает, что ABCD — ромб (но не квадрат, так как АС пересекает плоскость квадрата A1B1C1D1).
Пусть точка М на отрезке СС1 такова, что С1М = ВГВ = 6.
Тогда в прямоугольном А ВСМ находим ВС = JBM2 + СМ2 = = л/42 + З2 = 5, значит, периметр ромба ABCD равен 20.
Рис. 38	Рис. 39
55
В прямоугольном А ВОС находим
ОС = JBC2 - ОВ2 = 725-8 = 717, значит, площадь ромба ABCD равна
X-AC-BD = 1 -2717 -472 = 4734.
Задачи к главе 3
3.123.	В прямоугольнике ABCD сторона АВ = ^,А0 = 14. О
Две равные равнобедренные трапеции APFD и BCKL (АОЦРВ и ВС||КВ) имеют общую точку О, АР = 10, PF = 2. Найдите длину общего отрезка MR данных трапеций и площадь треугольника PFK, если О — середина отрезков АР и BL.
Решение. Общий отрезок MR (О = М) данных трапеций является средней линией каждой из них (рис. 40), поэтому MR = _AD 4- PF___ 14 + 2_Q ~ ~~2	~	2	~ 8'
Так как M — середина АР и BL, то AB||PL и АВ = PL =
Аналогично FK ||CD и FK = CD =
О
Учитывая, что отрезки PF и KL равны между собой и параллельны соответственно АО и ВС, заключаем, что PFKL —
прямоугольник со сторонами и 2, значит, 8ЛРКР = 1 SPfKL = о	£
1 16 9 _ 16
2 * ”3"' Т
3.125.	Основанием параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит ромб. В вершине В сходятся равные углы трех его граней. Докажите, что АСС1А1 — прямоугольник.
56
Решение. Пусть ВгН — высота данного параллелепипеда (рис. 41). Докажем, что Н е BD.
Так как грани АА^В^В и ВВ1С1С — равные параллелограммы с общей вершиной, то их высоты BVL и ВГК равны и, являясь наклонными к плоскости АВС, имеют равные проекции соответственно LH и КН на эту плоскость. Причем по теореме о трех перпендикулярах LH 1АВ и КН ± ВС. Это означает, что точка Н равноудалена от сторон угла АВС, т. е. Н принадлежит диагонали BD этого угла (ABCD — ромб). Тогда ВгН лежит в плоскости BB^D^D.
Получаем: ACLBrH, ACLBD => ACHBB^D^D) => АС±ВВг. Атак как ВВ1||АА1, то АС 1АА1 =>АА1С1С — прямоугольник.
3.127.	Через каждую из двух скрещивающихся диагоналей боковых граней правильной треугольной призмы проводятся два сечения так, что они параллельны другой из этих диагоналей. Докажите, что эти сечения равны.
Решение. Пусть Н и К — середины ребер соответственно АС и АгСг правильной призмы АВС41В1С1 (рис. 42). Тогда ВН = ВГК и BHWB^K, АгН = КС и АгН\\КС. Значит, (А^Щ^КС) и
^АВгКС-
3.135.	Точка В — середина ребра ССг v.yQaABCDA^B^C^Dy Постройте и найдите угол между прямыми АГВ и ВгЕ, если ребро куба а.
Решение. Пусть К — середина ребра DXD. Тогда А^ЦВ^ и Z(ArB, ВХЕ) = Z(ArB, ArK) = ZBA^K = ср (рис. 43).
57
Находим: АгК = JA^f + D}K2 = а2 + ^ = ^ ; АгВ =
*7	4
= а72 ; ВК = JBD2 + DK2 = J(a^/2)2 +	= |а. Тогда в ЛА^К:
АГВ2 + АГК2 - ВК2 2а2 + |«2 iaZ До
4	2-А'В-А'К	аЛ 10’
откуда ср = arccos •
3.136.	Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АР, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Известно, что PD = 6 см, ВР = 7 см, PC = 9 см. Найдите расстояние между прямыми: а) АР и ВС; б) АР и CD; в) ВР и CD; г) PD и ВС.
Решение. По теореме о трех перпендикулярах ВР 1ВС и PD±DC (рис. 44). Тогда
в A PDC: DC = JCP2 - DP2 = 3 Л =АВ;
в А ВСР: ВС = 7СР2 - ВР2 = 4а/2 = AD.
а)	Так как АВ — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых АР и ВС, то р (АР; ВС) = АВ = 3 Л •
б)	Так как AD — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых АР и DC, то р (АР; DC) = AD = 4 Л •
в)	Так как ВС — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых ВР и DC, то р (ВР; DC) = ВС = 4 л/2 .
г)	Так как DC — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых PD и ВС, то р (PD; ВС) = DC = 3^/5.
Замечание. Задачу 3.136 целесообразно решать после прохождения материала об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых.
58
3.140. Сторона ВС треугольника АВС (АВ = 13, ВС = 14, АС = 15) лежит в плоскости а; расстояние от точки А до плоскости а равно 6. Найдите расстояния от точек Вг и Cj до плоскости а, гдеВВ1 и СС1 — высоты треугольника АВС.
Решение. Пусть Д ВСК — ортогональная проекция ДВСА на плоскость а; АКДа, BjH±a, С1В±а, Н&СК, D&BK (рис. 45). Тогда р(А; а) = АК, р(Вг; а) = В1Н, р(С\; а) = CrD.
тл. В1Н В.С „ „ В.С-АК Л	„ п
Имеем:	=> В,Н = ---—----Аналогично С,В =
АК АС * 1	АС	1
_ ВС1 -АК
~ АВ
Для решения задачи достаточно найти BYC и ВСР для чего, в свою очередь, достаточно найти катеты BBY и СС1 прямоугольных треугольников ВВХС и ВССР
Находим: СС, =	|17.:6 = Ц84. Ввх =
_	= 2 • 84
АВ 15 ‘
Тогда
в ДВВ1С:В1С= JBC2 * * * - BrB2 = I142 -	= ^;
в Д ВС/?: BCi = 7вс2 - CjC2 = 142 -	™
AJ	v lo / io
12.6
Таким образом, p(Bj a) = B1H = Дрр- = ^1; p(Cp a) = CYD =
1 э
70 „
= 13	= 420
13	169"
3.141. ABCD — параллелограмм co сторонами AB = 6, BC = 14. Сторона AD лежит в плоскости p, расстояние от В до p
равно 3, М — точка пересечения биссектрис углов А и D параллелограмма. Найдите расстояние от М до плоскости р.
Решение. Обозначим F = = AM о ВС, L = DM п ВС и проведем МР||АВ; К = MP п ВС (рис. 46).
Так как АВ = BF = CL = = DC = 6 (ДАВР и ДС-DL —
59
равнобедренные), то BF + LC = 12. Значит, точка М лежит вне данного параллелограмма иР£ = 14-12 = 2. При этом равнобедренными являются A.FMK (FK = КМ) и A.MKL (МК = KL). Следовательно, FK = МК = KL = 1, поэтому МР =
= МК + КР = 1 + 6 = 7. Тогда	р(М; ₽) =
, Р) ЛГ
= МР . р(К; 3) = 7 • 3 = о 5	/
кр 6	3’5,
3.144.	В правильном тетраэдре РАВС точка О — центр его основания АВС, точка К — середина ребра PC. Проведите перпендикуляры: а) из К на (АВС); б) из К на (АВР); в) из О на (ВСР); г) из О на (АСР). Найдите длины этих перпендикуляров, если ребро тетраэдра равно 2.
Решение, а) Так как ОР ±(АВС), то в плоскости СОР проводим _К7)||ОР, D е ОС (рис. 47); получили KD + (ABC). Находим kd = | op = | 7ср2 - ос2 = 1 ^22-(|Тз)2 = .
б)	Пусть Е — центр грани АВР, тогда СЕ 1 (АВР), значит, отрезок КН\\СЕ (где Н еРЕ) перпендикулярен (АВР). Анало-
Тб
гично находим КН = -у.
в)	Если М — центр грани ВСР, тоАМ±(ВСР), значит, отрезок OL\\AM (где L е РАГ, Аг — середина ВС) перпендикулярен (ВСР). Из OAj = ^А4т и OL^AM следует, что OL = ^АМ = = 1 . 276 = 276
3	3	9 '
г)	Решение аналогично предыдущему.
3.145.	ABCDA^CyD^ — куб. Точка Е — середина ребра ВВГ, точка К — середина ребра ССГ, точка М — середина ребра А1В1. Проведите перпендикуляры: а) из точки А на плоскость BBrD; б) из точки В на (АСВГ); в) из точки Аг на (ABpDi); г) из точки В на (A1C1D); д) из точки Е на (ADDj); е) из точки К на (BBjZ)); ж) из точки М на
60
(AB1D1). Найдите длину каждого из этих перпендикуляров, если ребро куба равно а.
Решение. Пусть О = AC n BD, О! = AlCl n BlDl (рис. 48).
a)AOL(BBlD),AO= ±АС =
б)	Проекциями диагонали BDV на плоскости АВС и ВССХ являются соответственно прямые BD и BCV перпендикулярные соответственно прямым АС и BtC. Тогда прямая BDr перпендикулярна каждой из прямых АС и ВГС, а значит, и плоскости АВГС, пересекая ее в точке Р = BDr п ОВ1. Так как диагональ BDr делится параллельными плоскостями АВГС и A1C1D на три равные части, то длина перпендикуляра ВР из точки В на (АВ1С) равна | BD1 = О	о
в)	Рассуждая аналогично случаю б), получим: А17?±(А_В1П1), где R = А1СпАО1, причемА^Й = | СА1 =
г)	(А^-ОЖА^С) и BZ^ICA^C) => BD^fA^D). Учиты-о
вая, что n (A1C1D) = Н = BDr n DOr и ВН = BDV полу-О
чаем: ВН 1 (ArCrD) и ВН =
61
д)	ECUADOR и EL = a.
e)	KS HBDDy) и KS =	, где S — середина диагонали BDV
ж)	Имеем A17?±(AB1D1) и AXR = *0^- (случай в)). Проведем О
MF\\A,R, где F&RB,. Тогда MF А(АВЛ)Аи MF = IaB = 1	1	x 1	2 x о
3.151.	В кубе ABCDA1BlClD1 с ребрбм a найдите расстояние от центра грани CDD1C1 до плоскости AB±C.
Решение. Пусть М — центр грани CDD1C1 (рис. 49) и К = = BD} п (АВгС) (см. 3.145). Проводим МН||ВВР Н е СК. Тогда МН — искомый перпендикуляр; его длина равна половине длины KDV т. е. | • | а л/З = .
2 о	о
3.153. Боковая сторона AD трапеции ABCD лежит в плоскости а, а расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до плоскости а равно 12; АВ = 3CD. Найдите расстояния от точек В и С до плоскости а.
Решение. Пусть О = ACr\BD, Ог = AC1nB1D; СС1±а, ВВг±а (рис. 50). Так как OD : ОВ = ОС : ОА = CD : АВ = 1:3, то BD = 4OD, СА = 1 ОА. Это означает, что р(В; а) = 4р(О; а) = О
= 4 • 12 = 48 и р(С; а) = | р(О; а)= ^ • 12 = 16. О	о
3.156. В треугольной пирамиде КАВС на ребрах КА, КВ и АС взяты соответственно точки М {КМ: МА = 3:5), N (KN : NB = 7 : 5) и Р (АР : PC = 2:3). Найдите отношение, в котором плоскость MNP делит ребро ВС, считая от точки В.
62
Решение. Построим точки L = MN n АВ, Н = ВС n LP и сечение MNHP данного тетраэдра плоскостью MNP (рис. 51).
Воспользуемся теоремой Менелая для А.АВК и прямой
,,ЛГ w	KN	BL	AM	,	7	BL 5	.	BL	3
MN. Имеем: ——	• — • ——	= 1 или	_•_•_ =	1, откуда _	= _.
NB	LA	МК	5	LA 3	LA	7
Далее,	по	теореме	Менелая	для	А АВС	и	прямой	PL:
АР CH BL „ 2 СН 3
ре" ив' LA И И з' ив' 7
.	ВН 2
1, откуда = -.
3.161. Точка К лежит на окружности радиуса 1 с центром А. Прямая ВК перпендикулярна плоскости окружности и ВК = 1. Точка Р лежит на окружности. Составьте функцию, выражающую зависимость величины угла между прямой ВР и плоскостью окружности от величины х угла РАК (0 < х < л).
Решение. Пусть ср — величина угла между прямой ВР и плоскостью окружности (рис. 52). Если Н — середина хорды
КР окружности, то КН = sin0,5x, значит, tgcp =	, от-
Л SIH U , D X кудаф-arctg^A^.
Глава 4. Плоскости в пространстве
§ 13. Параллельность плоскостей
Накопленный и хорошо усвоецный учащимися материал о взаимном расположении прямых, прямой и плоскости способствует более осознанному изучению вопросов взаимного расположения плоскостей в пространстве.
63
Учащиеся должны понимать, что как при выяснении вопроса о параллельности, перпендикулярности, скрещиваемости двух прямых, параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости, так и при выяснении вопроса о том, параллельны ли две плоскости, используются признаки их параллельности (теоремы 18, 19). Кроме того, полезным при решении задач является утверждение: две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
Не менее важными при решении задач являются теоремы 20—25, при внимательном анализе которых учащиеся могут обнаружить определенную аналогию между свойствами параллельных плоскостей в пространстве и свойствами параллельных прямых на плоскости. Кроме того, полезным при решении задач стереометрии является «пространственный аналог теоремы Фалеса».
Авторы и в этом параграфе продолжают придерживаться своей концепции изучать свойства взаимного расположения плоскостей в задачах, используя модели и изображения куба, правильного тетраэдра, призмы, пирамиды, параллелепипеда, так как такие задачи обладают конструктивностью и содержательностью, а рассуждения учащихся при их решении становятся доступными и естественными, что, в свою очередь, приводит к сознательному и эффективному формированию у ученика конструктивных пространственных представлений. Однако некоторые задачи можно решать и без помощи рисунка (например, 4.001, 4.002, 4.008, 4.017).
Задачи, предлагаемые в графической работе № 2, с одной стороны, достаточно просты, но, с другой стороны, они очень важны. Разобравшись в их решениях и безошибочно выполнив нужный для каждой из них рисунок, ученик достигает того необходимого уровня геометрической культуры, который позволит ему в дальнейшем справиться со стереометрическими задачами более высокой сложности.
4.016. Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания. Найдите площадь этого сечения, если боковые грани призмы — квадраты со стороной 4 см.
Решение. Строим точки (рис. 53): R = ABr EF', Т = = АВ n CD; Р = REX n FF}; Q = TDlr\ CCV Шестиугольник ABQD^^P — искомое сечение.
64
Рис. 53
Так как Р и Q — середины ребер FFr и СС1г то площадь шестиугольника ABQDrErP равна удвоенной площади трапе-
ции ABQP, высота AL которой равна	где АЕГ =
Л
= ТАЯ2 + £j£2 = 7(473)2 + 42 = 8. Значит,	=
= 2 •	PQ • AL = (4 + 8) • 4 = 48 (см2).
4.018. Прямая DF пересекает параллельные плоскости а, 0 и у соответственно в точках D, ЕnF, при этом DF = 3, EF = 9. Прямая EG пересекает плоскости а и у соответственно в точках Gn Н, при этом EG =12. Найдите длину GH.
Решение. Если плоскость у лежит между плоскостями аир (рис. 54, а), то GH = 3; если плоскость а лежит между плоскостями Р и у (рис. 54, б), то GH = 6.
3 - 9061 Потоскуев
65
Рис. 55
4.022. Точка О — центр основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды PABCD. Постройте сечение этой пирамиды плоскостью а, проходящей: а) через О параллельно грани РАВ; б) через середину отрезка ОВ параллельно диагонали АС основания и ребру PD; в) через середину отрезка РО параллельно основанию пирамиды. В каждом случае определите вид фигуры-сечения и найдите ее площадь, если ВС = = 12, РВ = 10.
Решение, а) Так как сс||(АВР), то прямые МК = агААВС), МН = а п (APD), KL = а п (СРВ) параллельны соответственно АВ, АР, ВР, при этом НИМ К (рис. 55). Учитывая, что PABCD — правильная пирамида, К и М — середины ВС и AD, приходим к выводу: MHLK — равнобедренная трапеция, у которой МК = 2HL, а высота OQ = IpF = 4 (PF = JAP2 - AF2 = Cl
= 7100 - 36 = 8). Значит, SMHLK =	‘ OQ =	• 4 = 36.
б) Проведем NR^PD, N — середина OB. Так как a||AC, то прямая FK = a n (ABC) параллельна AC, значит, FK1OB. В сечении получается равнобедренный A.FKR с основанием KF = lAC = I • 12л/2 = 672 и высотой MR = ±DP = | • 10 = 2,5. Тогда SAFKR = lKF‘NR= | • 6^2 • 2,5 = ЦД Ci	Cl	Ci
66
в) Сечением пирамиды плоскостью, проходящей через середину ее высоты и параллельной ее основанию, является квадрат, площадь которого в четыре раза меньше площади основания пирамиды, т. е. равна 36.
4.028. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все ребра равны а. Точка М лежит на ребре АВ, причем AM : МВ = 3:1, точка N — середина В1С1. а) Через точку М проведите сечение параллельно плоскости АГВС. б) Найдите периметр сечения, в) Найдите площадь сечения, г) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок AN, считая от А?
Решение, а) Пусть секущая плоскость а параллельна (АТВС) и пересекает ребра АС и АгА в точках соответственно D и К, тогда МК||АТВ, Z)X'||A1C (рис. 56). Таким образом, в сечении призмы получается равнобедренный треугольник MDK (МК = DK).
б)	Из условия AM : МВ = 3:1 следует, что МК = DK =
3	3
= -гА,В, MD = -ВС. Тогда для периметра треугольника 4	4
MDK имеем:
Pamdk = I + ВС) = | (2 • aj2 + а) = | (2^2 + 1)а.
в)	MD 1 АН => MD1KH => S.MnK- = ImD-HK = z	lK1V1L>JA	p
= 1 • $BC. -A.L = —a-cL^L = Qa2^ Ггде A.L = jArA2 + AL2 = 24	4 1	32	2	64 k “	1	1
= L +	=
N k 2 )	2 A
г)	Обозначим E = AN n (MDK) = AN n KH; F = AN n ArL.
Тогда AF = \AN, AE = ?A_F. Значит, AE = ?АЛГ, откуда 2	4	8
AE : EN = 3 : 5.
67
§ 14. Двугранные углы.
Угол между двумя плоскостями
Задачи данного параграфа носят пропедевтический характер к решению содержательных задач стереометрии в 11 классе. В этой связи учащимся необходимо «привыкнуть видеть» двугранные углы, образованные различными плоскостями, находить, изображать и вычислять их линейные углы наиболее простым способом. /
Для нахождения/угла ср между двумя пересекающимися плоскостями аир удобно использовать следующий факт: если плоскости аир пересекаются по прямой с, а некоторая точка М плоскости а удалена от плоскости [3 на расстояние h и от „	. h
прямой с — на расстояние т, то smip = —.
Заметим, что при решении отдельных вопросов задачи 4.055 желательно к каждому из них выполнить специальный рисунок.
4.039. Точки А и В лежат на разных гранях двугранного угла, величина которого равна 60°. Точки Ах и Вг — проекции точек А и В на ребро двугранного угла. ААг = АХВХ = ВВг = 2. Найдите длину отрезка АВ.
Решение. Пусть D — такая точка грани А1В1В, что четырехугольник AjB^BD — квадрат (рис. 57). Тогда AAAjD — равносторонний со стороной 2.
Так как AAjIAjBj hAjDIAjBj, то AjBj J^AAjD). Значит, BZ>±(AA1Z>), поэтому A ABD — прямоугольный, в котором АВ = JBD2 + AD2 = J22 + 22 = 2^2.
Рис. 58
68
4.047. Докажите, что все двугранные углы правильного тетраэдра равны. Найдите их величину.
Решение. Пусть РАВС — правильный тетраэдр (рис. 58). Так как РА = РВ = PC, то ОА = ОВ = ОС, где POL(ABC) и О — центр правильного Л АВС, в котором СО1АВ, АО1ВС, ВО1АС. Если при этом СО п АВ = К, АО п ВС = М, ВО г АС = = L, то ОК = ОМ = OL.
Так как РК = PM = PL и PKLAB, РМ1ВС, PLLAC, то равны углы ОКР, ОМР и OLP, являющиеся линейными углами двугранных углов при ребрах соответственно АВ, ВС и АС. Аналогично доказывается равенство двугранных углов при других ребрах правильного тетраэдра.
Обозначим ip = Z ОКР = Z ОМР — Z OLP. Если ребро тетра-
эдра РАВС равно а, то РК = ОК = Тогда cos ср =	=
Ял/з
“6“ 1	1
=----— откуда ср = arccos- .
я7з 3	3
“2“
4.055. Дан куб ABCDA1B1C1D1, точка М — середина ребра C1D1. Заполните таблицу:
	Плоскости	Взаимное расположение плоскостей	Угол между плоскостями
1	АгВА и DrCD		
2	и DDrC		
3	ArBD и BrDrC		
4	ВГАС и ADC		
5	ArBD и CtDB		
6	AtBD и ССгА		
7	АВ1С1 и ADC		
8	АгМА и ВгСгС		
9	АгМА и BB1D		
10	MAtD и CA1D		
69
Решение. 5) Пусть ребро куба равно а. Плоскости ArBD и C\DB пересекаются по прямой BD, образуя двугранный угол A1(BD)C1, линейным углом которого является АА1ОС1 = <р
(рис. 59). В прямоугольном Д CjOOp где Z ОгОСг = |, нахо-aj2
дим: tgT =	= _|_ = ^ => ^ = arctg^. Тогда <р =
= 2acrtg^ .
8)	Плоскости А^МА и В^С пересекаются по прямой, параллельной AAV Так как (BCC1)||(ADB1) (см. рис. 59), то ^((А^МА), (BjCjC)) = А((АгМА), (ADDJ) = а. Линейным углом двугранного угла D^A^M служит ZMA^. В прямоуголь
а
ном Д MA-JJ-l находим: tga =
MDj = 2 = 1
AjDj а 2
=> a = arctg^ . о
9)	Плоскости АХМА и BBXD пересекаются по прямой РгР (см. рис. 59) и образуют двугранный угол K^PJ^D, линейным углом которого служит AKPD = р. В треугольнике KPD
находим: A.AKD = arctg2, APDK = 45°, тогда AKPD = 135° -
- arctg2.
70
10)	Плоскости MAXD и CA^D пересекаются по прямой АгВ, образуя двугранный угол M(A1D)C. Если FE — средняя линия AAjCD, то MF — медиана равнобедренного Д MAXD — перпендикулярна AXD. Кроме того, FE||CZ>, значит, FE VAXD, поэтому Z MFE — линейный угол двугранного угла M(A1D)C = у. Точка Е является центром куба, лежит в плоскостях ОгОМ hA^B^CD, причем ME Jt-{AXCD). Тогда в прямоугольном aj2
ЛЕЕМ находим tgy =	= -А- = 72, откуда у = arctgT2 .
г Е/ CL
2
§ 15. Перпендикулярность плоскостей
Материал о перпендикулярности плоскостей является завершающим в изложении разделов стереометрии, посвященных вопросам взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. После изучения этого материала учащиеся должны уметь решать задачи не только на определение взаимного расположения прямых и плоскостей, но и на нахождение углов и расстояний между ними, а также численных характеристик (длин, периметров, площадей и т. д.) различных геометрических фигур.
Все разделы задачи 4.067, кроме д), полезно решить с помощью единого рисунка. Сочетание задач на доказательство, построение и исследование (4.056—4.062, 4.066, 4.069, 4.072, 4.074) с задачами вычислительного характера на нахождение расстояний (4.063—4.065), периметров и площадей сечений многогранников (4.070—4.071), углов между прямыми и плоскостями (4.067—4.068, 4.073) свидетельствует о большом многообразии вопросов стереометрии, которые можно решать после изучения пройденного материала.
4.063. Плоскости аир взаимно перпендикулярны. Прямая р пересекает а и р в точках соответственной и В, образуя при этом с каждой из плоскостей углы, равные <р. Найдите длину отрезка, концами которого являются проекции точек А и В на линию пересечения данных плоскостей, если длина отрезка АВ равна а.
Решение. Обозначим а = а п р, А1 и Вг — ортогональные проекции соответственно точек А и В на прямую а. Так как АА1±а, А е а, а±р, а = а п р, то АА1 с а (рис. 60). Аналогично
71
ВВ1±а, Вер, aJ/0, a = a n р => ВВг с: р. Тогда в прямоугольных треугольниках ABBV АА}В и АА1В1 получаем соответственно АВ} = АВ • cos <р = а • cos ф, АГА = АВ • sin ф = а • sin ф, AjBj^ = jABl - AAf = a^cos2 ф - sin2 ф = aTcosTcp .
4.064. Концы А и В отрезка АВ, длина которого равна 10л/2 см, принадлежат перпендикулярным плоскостям соответственно аир. Углы между прямой АВ и плоскостями аир равны соответственно 30° и 45°. Найдите: а) расстояния от концов отрезка АВ до линии пересечения плоскостей а и Р; б) длины проекций отрезка АВ на плоскости аир.
Решение. Обозначим а = anp, Аг и В} — ортогональные проекции соответственно точек А и В на плоскости соответственно р и а. Так какА4] ±р, А е a, а±р, а = a n Р, тоА4х а: а и ААх±а (рис. 61). Аналогично доказывается, что ВВХ а р и ВВг±а.
а)	Используя прямоугольные треугольники ABBj и ААХВ, находим соответственно расстояния: р(В; а) ~ |ВВХ| = |АВ = = | • 1072 =5^2 (см)ир(А; а) = |A4j = АВ • sin45° = 1072 •	=
= 10 (см).
б)	Проекциями отрезка АВ на плоскости аир являются отрезки АВХ и АХВ, длины которых равны: |АВХ| = АВ • cos 30° = = 1072 -2^ = 576 (см); |АХВ| = АВ • cos 45° = 1072 • ^ = 10 (см).
72
4.	067. ABCD — ромб с углом 60°. Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба, причем АВ = AM = а. Найдите угол между плоскостями: а) АМВ и АВС; б) АМВ и AMD; в) MDC и АВС; г) MAD и МВС; д) MDC и ВСМ.
Решение.
a)	AM 1 (АВС) => (АМВ) 1 (АВС) => Z ((АМВ), (АВС)) = 90°.
б)	AM ± (АВС) => Z BAD — линейный угол двугранного угла B(AM)D. Поэтому, если в ромбе ABCD ABAD = 60°, то А ((АМВ), (AMD)) = 60°; если ABAD = 120°, то тогда А ((AMВ), (AMD)) = 120° (рис. 62).
в)	Плоскости MDC и АВС образуют двугранный угол с ребром DC. Пусть N — середина DC, ВТ = AM и ВТ\\АМ, тогда ABNT = а — линейный угол двугранного угла B(CD)T .	ЛОХ и	ВТ а 2л/3 ,	,2л/3
(см. рис. 62). Находим tga = —— = —— = —=> a = arctg —.
BN аАЗ 3	3
~2~
г)	Из АОЦВС следует, что прямая ML, по которой пересекаются плоскости MAD и МВС, параллельна стороне AD (см. рис. 62), т. е. плоскости MAD и МВС образуют двугранный угол A(ML)B.
73
Так как BD = DL = АВ — а, то ВМ = BL = aj2. Значит, Д MBL — равнобедренный. Если Р и Н — середины ML и AD, то АВРН = р — линейный угол двугранного углаА(М£)В.
Из АМ^РН, AM_L(АВС) следует, что Д ВНР — прямо-
/О	/0
угольный, в котором ВН = —PH = а. Тогда tg р =	, отку-
/о
да р = arctg Д-.
д)	Плоскости МВС и MDC образуют двугранный угол B(MC)D с ребром МС (рис. 63, а, б). Так как диагонали ромба ABCD взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, кроме того, (AMС) L (АВС), то плоскость AM С делит двугранный угол B(MC)D пополам.
Пусть ORLMC, тогда из CMLBD, CMLOR получаем CM ± (В RD) => Z BRD = <р — линейный угол двугранного угла B(MC)D. Найдем угол <р.
Если A BAD = 60° (см. рис. 63, а), то BD = а, АС = aj%. Так
как в прямоугольном ДАСМ МС = JAM2 + АС2 = 2а = 2АМ,
то ZACM = 30°. Значит, OR = ОС =	— Тогда в прямоуголь-
ном Д О RD, в котором Z О RD = Т, находим RD = JOR2 + OD2 =
Рис. 63
74
Если Z.BAD = 120° (см. рис. 63, б), то BD = Ял/З, АС = а. Значит, А АСМ — равнобедренный прямоугольный (А АСМ = 45°),
ОС = -, OD = Тогда OR = RD = JOR2 + OD2 = 2	2	4
а»/3
/1 ?	,	3 ?	а714	• <р	OD	~2~	742	Л „
=	оа	+	ла	=	"Л— >	S1I4	=	ой	=	—7=	=	откУДа	Ф =
А/8	4	4	2	RD	ал/14	7
о • 742
= 2arcsm-Z—.
7
4.068. Плоскости АВС и ABD образуют угол в 45°. Известно, что AD = 3, АВ = 5, ВС = 72; DAVAB, СВ ± АВ. Найдите: a) CD; б) угол между прямой CD и плоскостью АВС.
Решение, а) Пусть DK 1(АВС), К е (АВС) (рис. 64). Тогда в прямоугольном A CDK находим CD =
= JCK2 + KD2.
Так как ADV АВ, то AKVAB и
в равнобедренном прямо-
3 /2 угольном /XADK имеем DK = —— Если L — такая точка отрезка АК, что АВ = ВС, то в прямоугольном A CLK находим CL =
= АВ = 5, LK = АК - AL =	- 72 = Тогда СК =
= JCL2 + LK2 = ^25 + 1 =	Значит, CD = JCK2 + DK2 =
= В + 9 = Тзо.
*/ 2	2
б) В прямоугольном треугольнике CDK находим Z KCD = ср: 3
sintp = uf = т! = т? ’откуда ф = arcsinT^ •
4.071. В треугольной пирамиде МАВС боковые грани МАС и МВС взаимно перпендикулярны и перпендикулярны основанию пирамиды, которым служит равнобедренный треугольник АСВ. Через вершину С проведена плоскость а, перпендикуляр-
75
М
Рис. 65
ная плоскости грани МАВ. Найдите периметр и площадь фигуры, получившейся при пересечении пирамиды и плоскости а, если МС = 10 см, АВ = 20 см.
Решение. Пусть точка В — середина гипотенузы АВ равнобедренного прямоугольного ДАВС (рис. 65) с гипотенузой АВ = 20. Тогда CD - AD = 10, при этом АС = ВС =10^/2 и Д МАВ является равнобедренным с высотой MD = 1072.
Так как АВ ±(CDM), то (АМВ) L(CMD), значит, перпендикуляр СН к (AM В) лежит в плоскости CMD, Н е MD, а из CH LMD следует, что Н — середина MD (A.MCD — равнобедренный прямоугольный). Это означает, что искомое сечение данной пирамиды плоскостью а представляет собой равнобедренный треугольник СКР с основанием РК (РАГЦДВ и РК = = 0,5АВ = 10) и высотой CH = 0,5MD = 5«/2. Поэтому S^CKP — = ±РК-СН = 25 72 (см2).
В прямоугольном Д СРН находим СР = JCH2 + PH2 = = 7(572)2 + 52 = 5ТЗ . Тогда периметр треугольника СРК ра
вен РК + 2СР = 10 + 2 • 5ТЗ = 10 • (73 + 1) (см).
§ 16. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых
Вопрос об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых и о расстоянии между ними относится к одному из наиболее сложных в изучении взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. А так как с нахождением расстояния между двумя скрещивающимися прямыми связано решение многих задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений площадей и объемов геометрических фигур, то этот вопрос заслуживает подробного изложения учителем.
Учащимся следует пояснить, что для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми вовсе не обя
76
зательно строить их общий перпендикуляр (что часто не так просто сделать), а можно поступить иначе.
Если а и Ъ — данные скрещивающиеся прямые, то бывает достаточно применить один из трех следующих методов.
а)	Провести (или «увидеть» уже построенные) через прямые а и Ъ параллельные плоскости. Тогда расстояние от любой точки одной из этих плоскостей до другой плоскости равно расстоянию между а и Ь.
б)	Провести (или «увидеть» уже проведенную), например, через прямую а плоскость а, параллельную прямой Ь. Тогда расстояние от любой точки прямой b до плоскости а равно расстоянию между а и Ъ.
в)	Провести плоскость а, перпендикулярную прямой а и пересекающую ее в некоторой точке А; затем построить прямую Ьг — ортогональную проекцию прямой Ъ на эту плоскость. Тогда расстояние от точки А до прямой Ьг равно расстоянию между а и Ь.
Для успешного решения задач, в которых требуется найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, учащиеся должны уметь применять все перечисленные три метода. Целесообразно предложить учащимся решать одну и ту же задачу различными методами.
Применение этих методов показано в приведенных ниже решениях задач данного параграфа и задач к этой главе.
4.077. Плоскости квадрата ABEF и ромба ABCD перпендикулярны; CD = 6, Z С = 60°. Найдите расстояние между прямыми: a) EF и CD; 6)AF и ВС.
Решение, а) Пусть Р — середина CD правильного &BCD (рис. 66). Тогда ВР LCD => ЕР LCD. Так как EF||CD, то EPLEF, значит, ЕР — общий перпендикуляр параллельных прямых EF и CD, поэтому p(EF;
= ^ = Зл/3; РЕ = JBE2 + ВР2 = = 7б2 + (Зл/З)2 = Зл/7 .
б) Пусть ВК — медиана правильного ДАВИ (см. рис. 66). Тогда BKLAD. А так как AFL(ABC), то BKLAF, следовательно, ВК L(ADF). Получаем: BC\\(AFD), AFa(AFD) => => р(ВС; AF) = р(ВС; (AFD)) = = р(В; (AFD)) = ВК = 3 73.
CD) = РЕ. Находим: ВР =
77
4.079. На двух скрещивающихся прямых АВ и СК выбраны точки А и С так, что угол ВАС равен углу АСК и равен 90°; АВ = КС = 6. Найдите ВК, если расстояние между прямыми АВ и СК равно 3 и АВ перпендикулярна СК.
Решение. Из условия задачи следует, что АС — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых АВ и СК (рис. 67), т. е. р(АВ; СК)=АС = 3.
Проведем СН||АВ. Тогда АС 1 (САН). Если СН = АВ, то ВН .L (СКН) и ВН =АС = 3. В равнобедренном прямоугольном А. СКН находим КН = 6 72, а в прямоугольном АВКН — ВК = JBH2 + КН2 = 7з2 + (бл/2)2 = 9.
4.080. Угол между двумя скрещивающимися прямыми АВ и СК равен 60°, а расстояние между ними равно 3. Точки А и С выбраны так, что угол ВАС равен углу АСК и равен 90°; АВ = 4; КС = 2. Найдите ВК.
Решение. Из условия задачи следует, что АС — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых АВ и СК (рис. 68), т. е. р(АВ; СК) = АС — 3.
Проведем СН||АВ. Тогда АСА(СКН). Если СН = АВ, то BHL (СКН) иВН = АС = 3.
Если ZKCH = 60°, то в А СКН имеем КН2 = СН2 + СК2 -- 2СН • СК • cos 60° = 16 + 4 - 2 • 4 • 2 • 0,5 = 12; в прямоугольном АВКН находим ВК = JBH2 + КН2 = 79 + 12 = J2A.
Если Z КгСН = 120°, то в А СКГН имеем КгН2 = СН2 + КгС2 -- 2СН • КгС • cos 120° =16 + 4 + 2*4-2* 0,5 = 28; в прямоугольном А ВКгН находим ВКг = JBH2 + А^Н2 = 79 + 28 = Т37.
Рис. 67
Рис. 68
78
4.084. Из точек А и В на плоскость а опущены перпендикуляры AAt и BBt и наклонные АР и ВТ, перпендикулярные к прямой АХВХ. Найдите расстояние между прямыми АР и ВТ, если АХР = 0,5, ВХР = 3,5, а РТ = 5.
Решение. Возможны два случая.
Случай 1. Проекции АХР и ВХТ расположены в одной полуплоскости плоскости а относительно прямой А1В1 (рис. 69, а). Так как АХР||ВХР и ААХ||ВВХ, то скрещивающиеся прямые АР и ВТ лежат в параллельных плоскостях соответственно ААХР и ВВ^Т. Это означает, что расстояние между АР и ВТ равно расстоянию между плоскостями ААХР и ВВ^Т, т. е. равно длине отрезка АХВХ.
Найдем длину АХВХ, для чего проведем отрезок РК, равный и параллельный А1В1(ЛГ е ВХТ). Тогда в прямоугольном Д ТРК: ТК = ВХР - ВгК = 3,5 - 0,5 = 3, РК = 7РР2 - ТК2 = 4. Так как РК = АХВХ, то расстояние между прямыми АР и ВТ равно 4.
Случай 2. Проекции АХР и ВХР расположены в разных полуплоскостях плоскости а относительно прямой АХВХ (рис. 69, б);
A1B1r>PT = Н. Тогда — =	= 1, откуда НТ =
= 7PH, В^Н = 7АХН. Учитывая, что PT = PH + TH = 8РН = 5,
5	35
получаем: PH = TH = —. В прямоугольном треугольнике О	о
3
= °, тогда О
79
ВгН = 1AXH =	. Значит, А1В1 =	§ =3. Таким образом,
о	8	8
в этом случае расстояние между прямыми АР и ВТ равно 3.
4.087. Дан куб ABCDAlB1C1D1 с ребром а. К — середина ребра В1С1. Заполните таблицу:
№	Прямые		Расстояние между прямыми
1	АА]	DC	
2	ВВ]	DC]	
3	DC	А]К	
4	DD]	А]К	
5	B]D	АС	
6	АК	ВС	
7	В]С	C]D	
8	АК	BD	
9	DK	AC]	
Решение. 1) Ребро АО является общим перпендикуляром прямых AAt и СВ, поэтому р(АА1; СВ) = АВ = а (рис. 70).
2)ВВ1||(С1СО), ВС] с: (С]СВ)-, р(В; (С^В)) = ВС = а => => рСВВр ВС]) = ВС = а (см. рис. 70).
3)	Скрещивающиеся прямые СВ и АгК лежат в параллельных плоскостях АВС и А1В1С1, расстояние между которыми равно а, поэтому р(А]К; СВ) =ЛА1 = а (см. рис. 70).
4)	Проведем через прямую АгК плоскость АА±К (см. рис. 70), которая параллельна ВВГ. Тогда расстояние р(ВВ]-, АХК) = = р(ВВ]\ (АА]К)) = р(О; (АА]К)). Если (ААгК) гл ВС = F (F —
середина ВС) и Р — середина АВ, то ВР l(AFK) и BL = ВР.
5
Так как ВР = JAP2 + АВ2 =	+ а2 = mDL = --^ =
у 4	2	5	2
= 2а^. Это означает, что p(BBt; АгК) =
5)	С помощью теоремы о трех перпендикулярах доказывается, что В1О±(АСО1) (см. рис. 70), значит, B1D±OD1 (О = AC n ВВ), при этом М = BrB n (АСВГ) = ВгВ п ОВГ. Так как в правильном треугольнике ACZ>1 справедливо OBr ±АС, то отрезок ОМ — общий перпендикуляр скрещивающихся
80
Рис. 70
прямых BXD и АС. Учитывая, что ОМ =	| •Ас^ =
= 1	= 5^, приходим к выводу: р(АС; B,D) = EL/®.
3	2	о	6
6)	Прямая АК лежит в плоскости АВ^, которая параллельна прямой ВС (см. рис. 70). Поэтому р(ВС; АК) = = р(ВС; (АВХСХ)) = р(В; (АВ^)) = BQ = | ВАг =
7)	Скрещивающиеся прямые ВгС и CXD лежат в параллельных плоскостях соответственно АВхС и А1С1В (см. рис. 70), поэтому расстояние между прямыми ВгС и CXD равно расстоянию между этими плоскостями. Если BDX п (A^D) = Е, BD1r>(AB1C) = R, то RE = |ВВХ = Доказав, что прямая ВВ1±(А1С1В), приходим к выводу: р(ВхС; CXD) =
= pftABjC); (A^D)) = RE =
8)	Прямая AP — ортогональная проекция прямой АК на плоскость АССг, которая перпендикулярна прямой BD, при этом BD п (АССг) = О = AC п BD (рис. 71). Это означает, что р(ВВ; АЕ) = р(О; АР).
Пусть ОН LAP, Не АР. Тогда p(BD; АК) = ОН. Найдем ОН.
Так как ОН±АР, то ОН||ЕМ, где ЕМ — высота прямоугольного ААРЕ (KPllBjDp РЕЦССр ЕеАС). Учитывая, что
81
К — середина В1С1 и	Р£||СС1, заключаем, что Е —
середина ОС, значит, АЕ = ~АС = За~,/2. соотношения ОА = 4	4
2	2
= дАЕ получаем ОН = -^МЕ. Так как /\АРЕ — прямоугольный, то ME = АЕ'^Е.
АР
Находим: АР = JAE2 + РЕ2 = l^a2 + а2 = а^; ME = ч 8	4
3aj2 .
_ 4 * “ _ 3aJ17 av rm 2 3aV17 2аТ17 m -
“	“ — • Тмда он  3 • — - -щ- •Таким °б-
4
разом, p(BD; АК) = 2а^ .
9)	Прямые DK иАС1 пересекаются, поэтому p(DK; АС1)= 0.
4.0	88. МАВС — правильный тетраэдр с ребром 6. О — центр треугольника АВС. К — середина ребра МВ. Р — середина ребра АС. Заполните таблицу:
№	Прямые		Расстояние между прямыми
1	АС	МО	
2	ВС	AM	
3	ок	РМ	
4	МО	КС	
5	во	AM	
82
Решение. 1) Так как ВР±АС и МО±(АВС), то ОР — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых АС и ОМ (рис. 72). Значит, р(ОМ; АС) = OP = ±ВР = 1 • ЗТЗ = л/З.
2)	Если Е и Т — середины ребер соответственно AM и ВС, то доказывается, что ТЕ — общий перпендикуляр AM и ВС, поэтому р(АМ; ВС) = ТЕ = JAT2 - АЕ2 = 7(373)2 - З2 = = 372.
3)	Прямые ОК и РМ лежат в одной плоскости BMP и пересекаются, поэтому р(РМ; ОК) = 0.
4)	Проведем KL\\OM, L е ВР. Тогда (CKL)\\OM, значит, р(ОМ; СК) = р(ОМ; (CKL)) = р(О; CL) = ОН, где OH1CL, HeCL (см. рис. 72). Следовательно, р(ОМ; СК) равно высоте
2S треугольника COL. Найдем эту высоту по формуле ОН = — для этого в A BCL находим:
CL = Ж2 + ВС2 - 2BL • ВС • cos 30° =
J(j3)2 + 62 - 2-ТЗ-б-^ = а/21; Вд qcl =±OL-OC- sin 120° =
= 1 • /о • 2 /3 •	~
~ 2 '	" ~2 ~ ~2~’
Тогда ОН =
Таким образом, р(ОМ; СК) =
5)	Спроектируем прямую ОВ на плоскость ВСЕ, перпендикулярную AM, для чего проведем (ЛУЦАМ (AMITE => => CW± ТЕ). Пусть BN п СЕ = F (рис. 73). Тогда BF — проекция ВО на (ВСЕ). Если HE±BF, то ЕН = р(ОВ; AM). Найдем ЕН.
Так как ТЕ = 3^/2, то из ОТ : АТ = 1 : 3 и ON\\AM следует TN = | ТЕ = ^2. Тогда в прямоугольном треугольнике BTN находим: BN =
83
= л/вт2 + TN2 = 7з2 + (л/2)2 = л/П. Обозначив AN ВТ = <р, вт з зТП получаем cos <р =	= —pj—
Так как ВС1ТЕ и HE1BF, то ANEH = ZNBT = <р, и в прямоугольном треугольнике NEH находим ЕН = = NE • coscp = 2 J2 • 3^1 =	граким o6pa3OMj р(ОВ; AM) =
= 6^22
Пл-’
§ 17. Площадь ортогональной проекции многоугольника
Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника находит свое применение при решении задач на нахождение площади сечения и площади основания многогранника, угла при ребре основания пирамиды, угла между плоскостью сечения и плоскостью основания многогранника, угла между плоскостями.
4.096. В правильной треугольной пирамиде МАВС проведено сечение через середину ребра МС и вершины А и В. Пло-
8
щадь этого сечения составляет - площади основания пирами-9
ды. Определите: а) угол наклона плоскости сечения к плоское-ти основания пирамиды; б) угол, который образует плоскость
В
Рис. 74
сечения с боковым ребром пирамиды; в) угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.
Решение, а) МО — высота данной пирамиды (О — центр основания АВС), точки К и Р — середины ребер соответственно МС и АВ (рис. 74), тогда Z СРК = ф — угол наклона плоскости сечения к плоскости основания пирамиды. При этом 8ЛЛВК = = 1ялавс^кр=1рс.
84
Если АВ = а, то СР = и КР = § •	Так как
2	9	2	9
К является серединой МС и Х’НЦОМ, то НС = ОН = ОР = 6
Ял/з cLfj3	PH 3	3
значит PH = -Д_. Тогда cos ср = —— = ---— = -, откуда <р =
3	°*	4а73	“*
~9“
3 = arccos - .
4
в) Z МСР = а — угол наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды. В Д СКН находим tga =	=
СН СН
4a,j3 . л/7
=	9 г 4 =	’ откуда a = arctg^I.
Дл/3	3	3
“б"
4.097. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через ребро АВ и середину ребра МС проведено сечение, площадь которого в 1,125 раза больше площади основания. Найдите величину угла между плоскостью сечения и плоскостью основания, а также угол при ребре основания данной пирамиды.
Решение. Пусть АВ = а, точки Н nF — середины отрезков соответственно АВ и CD (рис. 75). Сечение АВКЕ — равнобед-
85
ренная трапеция с основаниями АВ = а и КЕ = 0,5АВ = Тогда а + а
Sabke = АВ 2 КЕ ‘РН = "2^-РН = ^-РН(Р-середина КЕ).
PL^ee^.SABKE=lsABCD^^>PH=la^PH= fa.
Так как Р — середина MF и РТ||ОМ, то НТ = | a, FT = при этом Z РНТ = <р — линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью и плоскостью основания пирамиды, Z PFT = а — линейный угол двугранного угла при ребре основания пирамиды.
3
— а
НТ 4	1
В прямоугольном Д РНТ находим: cos ср =	= - = -=>
Н Р	о	Л
?а
=> ф = 60°.	2
В прямоугольном Д PFT находим: tg а =	=
F Р	FP
3 73
= ---- = 3 73 => а = arctg (3 73 ).
а
4
4.09	8. К плоскости треугольника АВС по одну сторону от нее проведены перпендикуляры АК и ВМ. Найдите угол между плоскостями АВС и СКМ, если АВ = АС = ВС = АК — 0,5ВМ.
Решение. Пусть Р = МК г АВ = МК п (АВС) (рис. 76). Вследствие АК\\ВМ и ВМ = 2АК, заключаем, что АР = АВ = = АС. Эго означает, что Д АРС — равнобедренный. А так как ZCAP = 120°, то ZACP = 30°. Значит, ZBCP = 90°. Тогда по теореме о трех перпендикулярах MC.LCP, поэтому ZBCM = = Ф — линейный угол двугранного угла М(СР)В.
Найдем угол ф. Пусть АВ = а. Тогда ВМ = 2а, МС =
ВС	1	75	75
значит, совф = —откуда ф = arccos-Д.
МС	75	5	5
4.105.	В правильной треугольной призме, каждое ребро которой равно 9 дм, постройте сечение, проходящее через сторону основания и середину отрезка, соединяющего центры оснований призмы. Найдите: а) угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы; б) площадь сечения.
Решение. Пусть OOj — отрезок, соединяющий центры АВС и А1В1С1 оснований данной призмы АВСА1В1С1, К и К1 —
86
Рис. 76
середины ВС и В1С1 (рис. 77). Пересечением плоскости ВСЕ с гранью А1В1С1 является отрезок МН, который параллелен отрезку В1С1 и В1С1 — ЗМН, откуда следует, что 8ЛА^МН = ~	ЗНАЧИТ, S в^мнс^ = g	= - • .= 18л/3.
Так как ApfiTjl.BjCp В^ИМН, то A^K^VMH, значит, KLLMH (где L = МН n АрК^). Тогда по теореме о трех перпендикулярах KLLBC, поэтому ZAKL = <р — линейный угол двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью
основания призмы. Это означает, что SBMHC =	.
Найдем угол ср.
Так как ОК = ±АК = £л/з = зТз 3	3-2
= -22 = J~3, значит, <р = 60°.
Зл/З
2 = 1у = зб2з.
2
- ОЕ = 4,5, то tgcp = 22 = 2	ОК
Тогда Sce4 = SBMHC =	=
Задачи к главе 4
Задачи к этой главе имеют многоуровневый характер, поэтому каждый учащийся может самостоятельно или по рекомендации учителя выбрать для решения «интересную» зада-
87
чу. Очень важно качество выполнения учащимися рисунков к задачам, в которых требуется найти расстояния от точки до прямой или до плоскости, углы между прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. Ученики должны привыкнуть правильно аргументировать выполняемые ими рисунки. Вместе с тем, некоторые задачи, например 4.113, 4.115, можно решать без помощи рисунка.
4.116.	В кубе ABCDAlBlClDl с ребром а найдите расстояние от центра грани CDDiCi до плоскости АВгС.
Решение. Пусть точка М — центр грани CDDiCi (рис. 78). Так как прямая DrC пересекает плоскость АВуС в точке С и МС = = |т>1С, то р(М; (АВуС)) = | p(-Dx; (АВ1С)). Найдем расстояние p(Di; (АВ&).
Так как прямые ВАХ и BD, являющиеся проекциями BDr на плоскости соответственно АгАВ и АВС, перпендикулярны соответственно АВХ и АС, то по теореме о трех перпендикулярах BDlAABl и BZ>1±AC, значит, BZ>1±(AB1C). Кроме того, прямые ВгО и O^D делят.отрезок BDr = а д/З на три равные части, то рСВр (АВ1С)) = 2а-^, поэтому р(М; АВ1С)) = 1	=
О	Z О
_ CL д/3
~ Т'
4.117.	В параллельных плоскостях р и Рр расстояние между которыми Ъ, лежат два равных квадрата ABCD и A1BlClDl со стороной а, причем АВ || А1В1, ААг перпендикулярна р, ВВХ и DDr не перпендикулярны Р; точка К — середина CD. а) Постройте прямую пересечения плоскости рх и плоскости, проходящей через Вх и перпендикулярной АК. б) Докажите, что BD перпендикулярна плоскости АА1С1. в) Найдите расстояния от точки К до плоскостей АА^В и АА1С1. г) Найдите расстояние от прямой BD до плоскости В^О^К.
Решение, а) Пусть Н, и К1 — середины AlDl и AjBj соответственно, тогда C1X’1|fAK’ и HlBl±ClKl (рис. 79), а плос-
88

Рис. 79
кость, проходящая через параллельно ААР является искомой.
в)	CDlKAAjB), К g CD р(К; (АА^)) = a; KH\\BD,
BD±(AA1C) => р(К; (АА^)) =
г)	BDWtKBJ)^, O&BD => p(BD; (KB^DJ) = р(О; (KB^DJ) (см. рис. 79). Найдем р(О; (KB^D^)).
Так как КН±(АА1С), то (KBpOJlfAA^), поэтому перпендикуляр ОТ из О на (KBXDX) расположен в (АА1С), при этом его основание Т принадлежит прямой ОХЕ, по которой пересекаются эти плоскости.
Пусть АР — высота прямоугольного ДАЕЕ. Тогда из ОЕ = = ^АЕ следует ОТ = 1 АР = 1 • AE’AF. Находим ЕЕ.
О	О	О ЬГ
Из подобия треугольников AFE кА^О^Е получаем: AF : ЕАГ = =АЕ : АА = 3 : 2 => AF = | AAj = |д. Тогда ЕЕ = JAF2 + АЕ2 = э э
89
= JAb2 + la2 = ТО Теперь 0Т = 1 '	=
ЧZ0 о	1U 'У	О JLr
3 /5 3,
-а72-н&
_ 1 .	4	5	_ аЪ
3 з /25а2+ 852	725а2 + 852 ’
ТО\ 2
Таким образом, р(ВВ; (KB.D.)) = ab — .
725а2 + 852
4.119.	Основанием параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб с острым углом А, равным а, и стороной а. Известно, что вершина Аг удалена на расстояние а от точек А, В и В. Докажите, что основание перпендикуляра, проведенного из точки Аг на плоскость АВС, принадлежит прямой АС. Найдите длину этого перпендикуляра.
Решение. Так какАА1 =АгВ = АгВ, то основанием перпендикуляра АгМ из Аг на (АВС) совпадает с центром окружности, описанной около /XABD. Значит, М принадлежит серединному перпендикуляру отрезка BD, т. е. биссектрисе АС угла BAD ромба ABCD (рис. 80). Найдем АХМ.
Пусть К — середина АВ, тогда МК1АВ и АК = ? , AM =
= 7LL = а . Тогда А,М = JA,A2 - AM2 = |а2 - fl2 = a n а	1	л 9 а
cos 2cos^	. 4соз^
= —2— /4cos2 — 1 = —2— 72cos а + 1.
2008“^	2 2cos“
2	2
4.120.	Расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба равно пг. Найдите ребро этого куба.
Решение. Диагональ АСГ перпендикулярна параллельным плоскостям AXBD и В1СВ1, в которых лежат скрещивающиеся прямые АХВ и ВХС (рис. 81). Расстояние между этими плоскостями равно |аСх = | аТЗ , где а — длина ребра куба (см. 4.087, 4.116). Значит, рСАрВ; ВгС) =
90
= p((Ax.B.D); (BXCB1)). Тогда, используя условие т= Пл/З, на-О
ходим ребро куба а = т 7з.
4.121.	Дан куб АВСВА1В1С1В1. Через любую точку К ребра АВ куба проведена плоскость а, параллельная плоскости BDDr. Найдите угол между прямой и плоскостью а.
Решение. Так как а||(ВВ1В1), то в сечении получается прямоугольник ТМКЕ, стороны которого параллельны ААг и BD (рис. 82).
Пусть Р = ТЕ n ADP Н = AC n КЕ. Убедившись, что АС 1 а, приходим к выводу: АС1РН и (АСВ1)1а. Это означает, что PH — ортогональная проекция АР на плоскость а. Тогда ЛАРН — угол между прямой AD1 и плоскостью а. Так как /ХРАН — прямоугольный, a /\ACD1 — равносторонний, то ZAPH = 30°.
4.122.	Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром а. Точка А- — середина ребра ВС. Найдите расстояние между прямыми АС и С±К.
Решение. Пусть О = AC г', BD, О1 = А1С1 г', B^D^, Р = СгК о ВгВ, L = АгР п АВ (рис. 83). Тогда KL|| АС, значит, АС||(АХСХК). Поэтому расстояние р(АС; С1К) = р(АС; (А^К)) = р(О; (А1С1А')) = = ОН, где ОН ЦА^К), Н е (АхСх.йГ).
Так как А1С1 ±(ВВВ1), то (АХСХК) ± (BDD} ), значит, перпендикуляр ОН из О на (AXCX2Q расположен в (BDDJ и Н <= ОХР. Найдем длину ОН.
91
Замечание. В том, что р(АС; СгК) — ОН, можно убедиться, рассуждая иначе.
Прямая АС перпендикулярна плоскости BDDX и пересекает ее в точке О, а прямая ОХР — проекция прямой СХК на эту плоскость. Значит, р(АС; СГК) = р(О; ОГР) = ОН.
4.123.	В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота РО вдвое больше стороны основания ABCD. Найдите расстояние между прямыми АВ и PC, если сторона основания пирамиды равна 17.
Решение. Прямые АВ и СР скрещиваются. Пусть М и К — середины сторон соответственно АВ и CD (рис. 84). Тогда АВ ± (МРК), при этом АВ n (МРК) = М. Кроме того, CD l(MPK), CD п (МРК) = К, поэтому РК — проекция СР на (МРК). Сказанное означает, что р(АВ; СР) = р(М; РК) = МН, где МН1РК, Н е РК. Найдем МН.
92
Пусть ОЕ — высота прямоугольного Д ОРК. Тогда ОЕ^МН, а так как МК = 2ОК, то МН = 2ОЕ. Находим: ОЕ =
¥>34 г-
= 2 717. Тогда МН =
I 7'\2
7 + 342
25догк = ОК-ОР рк JOK2 + ОР2
= 2-2717 = 4717 . Таким образом, р(АВ; СР) = 4717 .
Глава 5. Расстояния в пространстве
Нахождение расстояний в пространстве является той важнейшей частью стереометрии, на которой основываются все метрические вопросы пространственной геометрии, в том числе — нахождение углов, площадей и объемов. Иначе говоря, нахождение расстояний в пространстве является завершающим этапом пропедевтики к изучению в 10 классе векторного и координатного методов в пространстве, а в 11 классе — преобразований пространства, многогранников и фигур вращения. Это свидетельствует о большой значимости решения задач на нахождение различных расстояний в пространстве.
§ 18. Расстояние от точки до фигуры
В данном параграфе решаются задачи на нахождение расстояний от точки до плоскости и до прямой.
Для нахождения расстояния от точки А до плоскости а удобно пользоваться следующим фактом: если прямая АВ пересекает плоскость а в точке О и известно расстояние р(В; а)
О (А. * CL	/1
от точки В до этой плоскости, то 4-=^—т. е. р(А; а) = р(В; а) ОВ
= 27 • Р(В; а) (см. 5.010, 5.015, 5.017).
ОВ
Для нахождения расстояния от точки М, не лежащей в плоскости а, до прямой а, лежащей в этой плоскости, проведем из точки М на плоскость а перпендикуляр MP (Р <= а); величина |МР| = h равна расстоянию от точки М до плоскос-=ти а.
Если точка Р принадлежит прямой а, то расстояние от точки М до прямой а равно |МР| = h.
93
р
в
Рис. 85
Если точка Р не принадлежит прямой а, то из точки Р проводим в плоскости а перпендикуляр РК к прямой а, Кеа. Тогда расстояние от точки М до прямой а равно длине отрезка МК = JMP2 + РК2.
Решение учащимися задач данного и следующего параграфов поможет им в выработке навыков осуществлять необходимые в будущем построения на изображениях многогранников. При этом решаются стерео
метрические задачи вычислительного характера; проводится подготовка к решению содержательных стереометрических задач в 11 классе.
5.008. Точка Р удалена от каждой вершины правильного треугольника АВС на расстояние л/21, а от каждой его стороны — на расстояние 2л/3. Найдите: а) расстояние от точки Р до плоскости треугольника; б) площадь данного треугольника; в) угол между плоскостями АВР и АВС.
Решение. Так как точка Р равноудалена от всех вершин правильного треугольника АВС и равноудалена от всех его сторон, то основание О перпендикуляра РО к (АВС) совпадает с центром треугольника АВС (рис. 85).
а) Пусть К — середина ВС. Находим: СК = jCP2 - РК2 =
= 7(V2i)2 - (2Тз)2 = з, вс = 2ск = б,ок= 1ак = |	=
о о Z
= 73. Тогда OP = JPK2 - ОК2 = 7(273)2 - (73)2 = 3.
=	=973.
в) Если М — середина АВ, то угол между плоскостями АВР и
АВС равен ср (см. рис. 85), cos<p =
ОМ = 7з = 1
МР 273	2
откуда <р = 60°.
5.010. Вершины А и В квадрата ABCD лежат в плоскости а, а вершина С удалена от этой плоскости на 4. Найдите расстояние до плоскости а от: а) точки D; б) точки О пересечения диагоналей квадрата; в) точки М — середины DO; г) точки К
94
Рис. 86
пересечения медиан треугольника ADO; д) точки Т пересечения медиан треугольника DOC.
Решение. Имеем (рис. 86):
a)	СВ||а => р(В; a) = р(С; a) = 4;
б)	ОА = ±АС => р(О; a) = J р(С; а) = 2;
в)	МВ о а = В, МВ = |пВ => р(М; а) = | р(В; а) = 3;
г)	МА п а = А, АК = |АМ р(АГ; а) = | р(М; а) = | • 3 = 2;
д)	пусть Н и Р — середины соответственно АВ и CD. Тогда TH = | PH	р(Г; а) = | р(Р; а) = | р(С; а) = Ё • 4 = 3 J .
о	о	о	о	о
5.015. Вершина D тетраэдра ABCD удалена от плоскости АВС на 6. На какое расстояние от этой плоскости удалены: а) точка К — середина BD; б) точка М — точка пересечения медиан треугольника ABD; в) точка N пересечения медиан треугольника ВСМ; г) середина МК; д) точка пересечения медиан треугольника СМК.
Решение. Обозначим a = (ABC); DO — высота тетраэдра => => р(В; a) = DO = 6 (рис. 87). Тогда:
а)	ВК= \ BD=> ККХ = р(К; a) = J р(В; а) = 3;
95
6)	DF — медиана ДАВВ; MF = ^DF => ММг = р(М; а) = О
= 1р(В; а) = 2;
О
в)	Г — середина ВС, NT = ^МТ => AWX = p(N; а) =
О
= 1р(М;а)=2;
О	о
г)	Е — середина МК-, АЕ = ^АК^ЕЕ,= р(Е; а) = | р(7Г; а) =
О	о
-р-2,5;
д)	СЕ — медиана Д МСК, Р — центроид этого треугольника; PC = | ЕС РРг = р(Р; а) = | р(Е- а) = | • | = 1|.
Замечание. Формально решая рассмотренную задачу, можно не строить перпендикуляры, проведенные из заданных точек на плоскость АВС. Однако в целях выработки необходимых навыков построения на построенных изображениях многогранников желательно, чтобы ученики мотивированно правильно и аккуратно изобразили все перпендикуляры, длины которых равны искомым расстояниям (см. рис. 87).
D
В
Рис. 87
96
5.017. В кубе
ABCDA1B1C1D1 проведено сечение через вершины А1г С1 и В. Расстояние от вершины Вг до плоскости сечения равно 4. Найдите расстояния до плоскости сечения от вершин: А, С, Dv D.
Решение. Обозначим а = = (ApBCJ, Or = А1С1 п B1D1 (рис. 88).
Если М = АВГ па = = АВГ пАгВ, то AM = ВГМ, значит, р(А; а) = ptBj а) = 4.
Если F = ВГС п а = ВГС г* BCV то CF = BrF, значит, р(С; а) = = р(Вр а) = 4.
BlD1 п а = Ор где Ог — середина отрезка ByD^ значит, Р(-Ор а) = р(Вр а) = 4.
Если К = BrD па = BrD о BOV то DK = 2ВГК, значит, р(В; а) = 2р(В1; а) = 8.
§ 19. Расстояние между фигурами
В данном параграфе решаются задачи на нахождение расстояний между двумя плоскостями, двумя прямыми, прямой и плоскостью. В этой связи учащимся необходимо пояснить следующие утверждения.
Если прямая лежит в плоскости или ее пересекает, то расстояние между прямой и плоскостью равно нулю.
Если прямая параллельна плоскости, то расстояние между ними равно длине отрезка перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на данную плоскость.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине отрезка перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из этих плоскостей на другую.
Если две прямые а и b параллельны и лежат в параллельных плоскостях соответственно аир, расстояние между которыми равно h, то возможны случаи. 1) Перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой а на плоскость р, пересекает прямую Ь. Тогда расстояние между прямыми а и b равно h. 2) Перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой а на плоскость р, пересекает плоскость р в некоторой точке К, удаленной от прямой Ь на расстояние т. Тогда расстояние между прямыми а и b равно Jh2 + т2.
4 - 9061 Потоскуев
97
О методах нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми говорилось в указаниях к решениям задач § 16.
При решении задач на нахождение расстояний учащиеся должны привыкать «видеть» эти расстояния и изображать отрезки, длины которых равны искомым расстояниям.
5.028. Плоскости равностороннего треугольника АВС со стороной 6 и равнобедренного треугольника АВК (АК = ВК = 9) перпендикулярны. Найдите расстояние между: а) точкой К и центром О треугольника АВС; б) прямыми АВ и СК.
Решение. Пусть точка Н — середина АВ (рис. 89). Тогда СН = = ЗТЗ, ОН - |СН = 73, НК = JAK2 - АН2 = 6^2. Тогда: а) р(О; К) = ОК = JHK2 + ОН2 = 5^3; б) имеем: КН LAB, СНLAB => АВL(HCK) => ABLHM, где НМ — высота прямоугольного Д СНК. Это означает, что МН — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых АВ и СК, поэтому р(АВ; СК) = = мн = 2S^CHK = СН-КН =	зУз-672	= 6д/б6
СК JCH2 + КН2 7(373)2 + (б72)2	11
5.029. ABCD — квадрат со стороной 4. Точка М принадлежит стороне CD и делит ее в отношении 3:1, считая от D. Прямая ТМ перпендикулярна плоскости квадрата. ТМ = 4. Найдите расстояние между прямыми: a) TD тлАВ-, б) TD и ВС; в) ТС и АО; г) ТВ и DC.
Решение, а) Плоскость DCT проходит через прямую МТ, перпендикулярную плоскости АВС, поэтому эти плоскости перпендикулярны. Кроме того, АВ||(ОСТ) (рис. 90). А так
98
как ADL(DCT), то р(АВ; TD) = р(АВ; (DCT)) = р(А; (DCT)) = = AD = 4.
б) ВС Л. (DCT) => ВС Л. СК, где СК — высота A DCT. Это означает, что СК — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых DT и ВС, поэтому р(ВС; DT) = СК = 2S£°CT = = РС'ТМ =	4 • 4 = 3 2
Jdm2 + тм2 7з2 + 42
в) Аналогично рассуждая, получим p(AD; СТ) = DE = _ 2>Sadct _ DC • ТМ _	4 • 4	_ 16
Ст JCM2 + ТМ2 712 + 42	717 ’
г) Проведя отрезок СН, равный и параллельный МТ, получим плоскость АВН, параллельную прямой CD (ТН||CD), и плоскость ВСН, перпендикулярную этой прямой (см. рис. 90). Так как ВН — проекция прямой ВТ на (ВСН), то p(DC; ВТ) = = р(С; ВН) = СР, где СР = 2^2 (как высота равнобедренного прямоугольного А ВСН, с катетом, равным 4).
5.031. В правильном тетраэдре РАВС с ребром а точки М и К — середины ребер соответственно ВР и СР, точка О — центр основания АВС. Найдите расстояние между прямыми: а) МК и ОР; б) АР и ВС; в) АВ и МК.
Решение. Пусть Т — середина АР (рис. 91). Тогда (МТК)\\(АВС), значит, ОР±(МТК). Обозначив F = OP n (МТ К),
99
Е = РНглМК, получаем EF\\OH. Поэтому из АН1ВС и МКЦ-ВС следует EF1МК, а из OP 1(МТК) следует OP1EF. Это означает, что EF — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых ОР и МК, откуда р(ОР; МК) = EF = 1 ОН = Л
_ 1 Д Т-Т _ Оа/З
- 6^ - ЙГ
имеем TH .LBC, а в равно-Значит, р(АР; ВС) = TH =
б) В равнобедренном А ТВС бедренном ЛАРН — TH 1АР.
= Jah2-ат2 =
Л 2 J
г) Скрещивающиеся прямые АВ и МК лежат в параллельных плоскостях АВС и МТ К, расстояние между которыми равно ~ОР	= 1 JAP2 -	ОА2 = 1	/а2 _ <2 о7зл2	= «Д	Это
2	2	2	^3	2 '	6
означает, что р(АВ; МК) = р((АВС); (МТК)) =
6
§ 20. Геометрические места точек, связанные с расстояниями в пространстве
Решая задачи на геометрические места точек в стереометрии, учащиеся используют ранее изученный материал о перпендикулярности прямых и плоскостей, а также о нахождении расстояний в пространстве. Кроме того, при решении таких задач у учащихся развивается конструктивное пространственное воображение, а их речь, обоснования решений приобретают необходимую математическую культуру. К тому же, если учесть, что характеристическое свойство геометрического места точек можно сформулировать не единственным способом, то трудно переоценить роль решения задач такого рода на развитие творческого мышления учащихся.
5.033. Даны пересекающиеся плоскости аир. Найдите множество всех точек пространства, принадлежащих плоскости а и удаленных на расстояние тп от плоскости р.
Указание. Множество всех точек пространства, удаленных от данной плоскости на данное расстояние, представляет собой объединение двух плоскостей, параллельных данной плоскости и расположенных в разных полупространствах относительно этой плоскости.
100
5.034. Даны пересекающиеся плоскости аир. Найдите множество всех точек пространства, каждая из которых удалена от а и р соответственно на расстояния а и b (а * О, Ъ * 0).
Указание. При пересечении двух плоскостей, параллельных плоскости а и удаленных от нее на расстояние а, с двумя плоскостями, параллельными р и удаленными от нее на расстояние Ь, образуются четыре прямые, параллельные прямой пересечения данных плоскостей.
5.036. Даны плоскость а и не принадлежащие ей точки А и В. На плоскости а найдите множество всех точек, равноудаленных от точек А и В.
Указание. Искомое множество точек может представлять собой: а) прямую, по которой плоскость а пересекается с плоскостью серединных перпендикуляров отрезка АВ, если прямая АВ не перпендикулярна плоскости а; б) плоскость а, если прямая АВ перпендикулярна плоскости а и точки А и В равноудалены от этой плоскости; в) пустое множество — во всех остальных случаях.
5.039. Точка М не принадлежит плоскости а, а точка В этой плоскости принадлежит. Что собой представляет множество оснований всех перпендикуляров, проведенных из точки М ко всем прямым плоскости а, проходящим через точку В?
Указание. Достаточно воспользоваться свойством вписанного в окружность угла, опирающегося на ее диаметр.
5.040. Точка А удалена от плоскости а на 4 см. В плоскости а найдите множество всех точек, удаленных от точки А на расстояние, равное 5 см.
Указание. Если М — любая точка искомого множества Т точек, В — основание перпендикуляра из А на а, то ВМ = 3. Следовательно, Т — окружность радиуса 3 см с центром В.
Задачи к главе 5
Как и в предыдущих главах, задачи к этой главе многоуровневые, Поэтому каждый учащийся может самостоятельно или по рекомендации учителя выбрать для решения задачу «для души». Очень важно качество выполнения учащимися рисунков к задачам: ученики должны выполнять грамотно аргументированные рисунки.
Авторы продолжают придерживаться концепции изучать свойства взаимного расположения прямых и плоскостей в задачах с использованием моделей и изображений куба, правильного тетраэдра, призмы, пирамиды, параллелепипеда,
101
так как решение таких задач эффективно формирует у ученика конструктивные пространственные представления.
Для успешного решения задач на нахождение расстояний целесообразно предлагать учащимся решать одну и ту же задачу различными методами.
5.044. Все вершины куба, кроме двух противоположных А и Ср лежащих на одной диагонали, одинаково удалены от некоторой плоскости а. Найдите расстояние от каждой из этих вершин (исключая А и Сх) до плоскости а, если ребро куба равно 6.
Решение. Пусть М, Р, К иН — середины ребер соответственно A1Z>1,A1B1, ВС и CD (рис. 92). Тогда точки Ар Bv Dv В, Си D равноудалены от плоскости а = (МРК), которая перпендикулярна диагонали АСг куба и проходит через ее середину.
Обозначим Е = АС п НК, Ег = АгСг n МР. Тогда СЕ : АЕ = = А1Е1 : С1Е1 =1:3. Это означает, что р(Ар а) = р(С; а) = = |р(А; а) = g р(С\; а). Так как р(А; а) = |аСх = 1 • 6^/3 = Зл/З, то р(Ар а) = р(Вг; а) = р(Л1; а) = р(В; а) = р(С; а) = р(Л; а) = л/3.
5.045. MABCD — правильная четырехугольная пирамида. Ребро основания пирамиды равно 6, а ее высота равна 4. Найдите расстояние от вершины А до плоскости MDC.
Решение. Пусть Р и К — середины сторон соответственно АВ и CD основания пирамиды (рис. 93). Тогда (МРК) ±(MDC),
102
поэтому перпендикуляры ОН и РЕ из О и Р на (MDC) расположены в (МРК) и пересекают МК. Из РК = 2ОК следует р(Р; (MDC)) = 2р(О; (MDC)) = 2ОН. Так как ОН = =	ОК’°^.- =	= 2,4, то р(Р; (MDC)) = 4,8. Учитывая,
JOK2 + ОМ2 5
что АВ||(МПС), заключаем: р(А; (MCD)) = 4,8.
Замечание. Можно воспользоваться и тем, что из АС = 2ОС иАСп (MDC) = С следует р(А; (MDC)) = 2р(О; (MDC)).
5.046. Прямая АВ перпендикулярна прямой СР, прямая АР перпендикулярна прямой АВ. Прямая АР перпендикулярна прямой СР; АВ = АР = СР = 4. Найдите расстояние между прямыми АР и СВ.
Решение. Из условия следует, что АВ 1(АРС) и СР ± (АВР) (рис. 94). Проведем через прямую АВ плоскость а, перпендикулярную АР и пересекающую плоскость АРС по прямой АЙГ||СР, при этомАК = PC. Отрезок ВК — ортогональная проекция отрезка ВС на (АВК), при этом АР n (АВК) = А. Это означает, что р(АР; ВС) = р(А; ВК) = АН = 2,/2 (как медиана равнобедренного прямоугольного треугольника АВК с катетом, равным 4).
Замечание. Если через ВС провести плоскость, параллельную АР (на рисунке 94 — это плоскость ВСК), то искомое расстояние равно расстоянию между АР и (ВСК), которое опять же равно длине АН. Наконец, можно на данных отрезках АВ, АР и PC построить куб (на рисунке 94 это «достраивание» показано штриховыми линиями), тогда задача сводится к нахождению расстояния между ребром куба и скрещивающейся с ним его диагональю).
103
5.062. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник АСМ, если точка М лежит на прямой В^^ Найдите эту площадь.
Решение. Площадь треугольника АСМ будет наименьшей, когда высота этого треугольника, проведенная из М на АС, будет наименьшей. А так как прямые АС и B1D1 скрещиваются, то эта высота должна быть общим перпендикуляром прямых АС и B1D1, т. е. точка М — есть точка пересечения диагоналей А1С1 и B^Dy В таком случае высота треугольника равна а, /7 2 [% а его площадь — —.
5.063. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник BDT, если точка Т лежит на прямой AjC?
Решение. Обозначим О = AC r\BD. Чтобы площадь треугольника BDT была наименьшей (при постоянном основании BD), наименьшей должна быть высота этого треугольника, проведенная из Т на BD. Так как искомая высота, с одной стороны, перпендикулярна BD, с другой стороны, точка Т должна лежать на прямой AjC и быть ближайшей к прямой BD, то искомая высота является общим перпендикуляром скрещивающихся прямых BD и АгС. Найдем этот перпенди
куляр.
Пусть М = АгС n (BDCJ. Можно доказать, что AjClfBDCj), откуда А1С1ОС1, при этом М = АгС п ОСГ Учитывая, что в равностороннем A BZ>Cj имеем ОСг ± BD, приходим к выводу: ОМ — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD и AjC, т. е. точка Т совпадает с М (рис. 95).
Площадь этого треугольника
будет равна
-BD-OT 2
_ 1 /ь 1 ((ал/2) • 73^ _ а27з
~ 2 'a'J ’ 3 ’ I------2-----) ~ -Q-
5.064. Ребро правильного тетраэдра МАВС равно а. Точка К — середина ребра АС. На прямой АВ найдите такую точку Т, чтобы площадь треугольника ТМК была наименьшей. Найдите эту площадь.
Решение. Принимая отрезок МК за основание искомого треугольника МТК с наименьшей
104
площадью и вершиной Т на АВ, приходим к выводу: высота ТЕ (Е 6 МК) треугольника МТК, проведенная из точки Т еАВ на МК, является общим перпендикуляром скрещивающихся прямых АВ и МК (рис. 96). Найдем ТЕ.
Через ОБ проведем плоскость а, перпендикулярную МК (плоскость а пересекает (AM С) по прямой ОР, проходящей через О параллельно АС) и спроектируем на а прямую АВ (для этого через А проведем прямую АР, параллельную МК). Получаем: ВР — проекция прямой АВ на плоскость а; так как МК п а = О, то р(МК; АВ) = р(О; ВР) — ОН, где ОН — высота А ВОР.
В прямоугольном А ВОР находим ОН =	=
= гОР'ОВ . Так как ОР = АК = £ JOP2 + ов2	2
_________ а. а-Уб
= /а2-(^У =	, то ОН = 3 3...... =	. Значит,
а/ < 3 з	И
А/ 4	3
р(МК', АВ) = ОН =
Проведя НТ||АР и Т£||ОН, заключаем: ТЕ — высота искомого треугольника МТК и ТЕ = ОН. Это означает, что SAMTK = = 1 МК • ТЕ = 1 •	• а"^‘ = a2V66
2	2	2	11	44 ‘
, ов = Jab2 - оа2 =
в
Рис. 96
105
5.065. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро ААг = а, АВ = За и AD = 4а. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник ADXM, если точка М лежит на прямой DC^
Решение. Площадь SAADM треугольника ADrM будет наименьшей при наименьшей высоте, проведенной из М е DCr на AD1. Это означает, что высотой искомого треугольника является общий перпендикуляр скрещивающихся прямых ADr и DCV Так как (AB1Z>1)||(C1BZ>), то p(AZ>1; DCJ = p^AB^D^; (C^BD)) (рис. 97).
Диагональ АгС делится AB1D1 и (\BD плоскостями AB^D^ и C\BD на три равные части АгР — PQ = QC, поэтому имеем pCCABjDj); (CjB-D)) = р(С; (CrBD)). Найдем р(С; (CrBD)).
Если СК .LBD, то ВВ-ЦСС^К), значит, (СК^К) .ЦС^ВВ). Поэтому перпендикуляр СН, проведенный из С к (C1BZ>), расположен в (ССгК), а его основание Н принадлежит СгК. Это означает, что СН — высота прямоугольного А ССгК. Найдем СН = p(ADj; DCj).
CD2
В прямоугольном A BCD находим: BD = 5а, KD =	=
= а. Тогда в прямоугольном ACKD: СК = JCD2 - KD2 = 5
12 ГГ	«
= — а. Таким обра-1 о
/	gj	12
= /9а2 - —а2 = —а. Наконец, в прямоугольном ДСС-.К находим д|	25	5
12 сн = СС^'СК = cci •ск = а'та Сук JCrC2 + СК2 / 2 , 144 , 'v 1	la2 + -нк-а
зом, р(С; (CjBZ))) = paABjDJ; (C\BD)) = p(ADy-, DCJ = CH=^a.
106
Если MF — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых ADl и DCr
(М е DC^ F eAD^), то MF = ~а. Тогда
1о
^AAD,M =	" MF = 2 ’ а
= 6а2Т17
13 ’
__а 13
5.066. Ребро основания правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равно а. Боковое ребро призмы равно 2а; точка Р — середина ребра ВВХ. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник АВХК, если точка К лежит на прямой СР?
Решение. Высотой искомого треугольника АВгК является общий перпендикуляр скрещивающихся прямых СР и АВХ. Длина этого перпендикуляра
между прямой АВХ и параллельной ей плоскостью CPF (F — середина АВ) (рис. 98).
Так как CF±(AB1B), то (CPF).L(AB1B). Поэтому перпендикуляр ВН, проведенный из В на (CPF), лежит в (А_ВХВ) и пересекает АВг в некоторой точке Т. Учитывая, что PF — средняя
1	_ АВ • ВВ1
2	’ АВХ ~
равна расстоянию
линия ДАВрВ, находим НТ = ВН =
^ВТ
а
J5 '
Таким образом,
а
Jb'
= 1 , АВ • BBj = 1 а • 2а 2 Jab2 + в^в2 2 ,уа2 + 4а2
р(АВх; (CPF)) = р(АВх; СР) = НТ =
Если К — искомая точка прямой СР, КМ — общий перпен-
дикуляр прямых СР и АВ., то КМ = НТ = JL . Тогда искомая
Тб
площадь треугольника ABJK равна АВГ • КМ = 1 Ci	и
а =
Ть
= °2 У
5.069. Точка А принадлежит окружности радиуса 1. Отрезок АВ длины 2 перпендикулярен плоскости этой окружнос-
107
ти; С — такая точка окружности, что длина дуги АС равна х (О < х < л). Задайте функцию расстояния между точками В и С от х.
Решение. Длина I дуги окружности радиуса R, соответствующая центральному углу а, вычисляется по формуле I = R • а. Пусть ЛАОС = = а (рис. 99). Тогда х = а. Значит, АС2 = ОА2 + ОС2-2OA-OC-cosa =
= 2 • (1 - cos а) = 4sin2^. Тогда в А АВС: ВС = „jAB2 + АС2 = = 2 Jl + sin2 |.
Глава 6. Векторный метод в пространстве
Векторное решение многих стереометрических задач значительно проще их решений средствами элементарной геометрии, при этом можно обойтись без тех дополнительных построений, которые иногда затрудняют поиск решения задачи. Более того, применение векторов при решении геометрических задач способствует развитию инициативы учащихся в поисках эффективных путей решения этих задач, интересных обобщений, которые они могут сделать, анализируя полученные решения. Чтобы векторы стали аппаратом решения геометрических задач, необходимо, прежде всего, научить учащихся переводить условие геометрической задачи в векторную символику (на «векторный язык»), затем грамотно выполнять соответствующие алгебраические операции над векторами и, наконец, полученный в векторной форме результат переводить вновь на язык элементарной геометрии.
§ 21. Понятие вектора.
Линейные операции над векторами
Для решения геометрических (и алгебраических, и физических) задач каждый учащийся должен усвоить векторные терминологию и символику, научиться безошибочно выполнять все действия над векторами.
Учащимся следует пояснить, что в стереометрии сумму двух неколлинеарных векторов а и Ъ можно найти, как и в планиметрии, по правилу треугольника или по правилу параллелограмма, а при сложении трех и более векторов приме-108
няется правило многоугольника (или правило ломаной линии). Если три век-
тора ОА, ОВ, ОС отложены от одной точки, но не лежат в одной плоскости, то их сумма находится по правилу параллелепипеда .
Вычитание векторов можно свести к сложению векторов: а-b = а + (~Ь).
Операция умножения вектора на чис-
Рис. 100
ло обладает одними и теми же свойствами как в планиметрии,
так и в стереометрии. Учащиеся должны помнить, что точка М лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда выполня
ется условие AM = хАВ.
«Рабочими» при решении задач этого параграфа (и в дальнейшем) являются векторная «формула для середины отрезка» и векторная «формула для точки пересечения медиан (центроида) треугольника».
6.016. Докажите, что если точка М — центроид треугольника АВС, то МА + МВ + МС = б.
Решение. Пусть точка Р — середина ВС (рис. 100). Тогда МР = ^(МВ + МС). С другой стороны, МР = ~^МА.
2	2
1 -->	1	-->	-->	-->	--
Тогда получаем — - МА = -(МВ + МС), откуда МА + МВ + 2	2
+ МС = б.
6.018. В тетраэдре РАВС точки Му и М2 — центроиды граней соответственно РАВ и РВС. Докажите, что МгМ2\\АС и м.м9 = 1ас.
1 z 3
Решение. Пусть О — произвольная точка пространства (рис. 101). Тогда:
Ом\ = 1 (ОА +ОВ+ ОР),
О
ОМ2 = 1(ОВ + ОС + ОР). о
Поэтому МгМ2 = ОМ2 - ом{ = 1(ОС - ОА) = ±АС. Это О	о
означает, что векторы МГМ2 и АС коллинеарны и |М1М2| =
109
Рис. 101
= g |АС|, откуда для отрезков МгМ2 и АС справедливо: mxm2||ac и мхм2 = 1ас. и
6.024. ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Укажите такую
точку М, что справедливо равенство: МА + МВ + МС + MD + + МАг + MB\ + МС^ + MDr = б.
Решение. Пусть О — AC n BD, = AtCt n B1D1 (рис. 102).
Тогда МА + МС = МВ + MD = 2МО и МАГ + МСг = Мв\ +
МА + МВ + МС + MD + МАг +
+ MDt = 2MOV Так как
+ Мв\ + МСг + MDr = б, —> -------->	—>
то МО + МОг = 0, откуда МО = ------>
= -МОГ. Это означает, что точка М — середина отрезка ООХ, соединяющего центры граней ABCD ^A^CyDy
6.030. Для данной неплоской замкнутой ломаной, состоящей из шести звеньев, по
110
строены два треугольника, вершинами каждого из которых служат середины несмежных звеньев. Докажите, что центро
иды этих треугольников совпадают.
Решение. Пусть ABCDEF — неплоская замкнутая ломаная; точки М, N, Р — середины звеньев соответственно АВ, CD, EF; точки Q, R, S — середины звеньев соответственно ВС, DE, FA; Мг и М2 — центроиды треугольников соответственно MNP и QRS. Тогда для любой точки О, центроидов Мг и М2 треугольников соответственно MNP и QRS имеем:
Ом\ = ±(ОМ + ON + OP), и
ОМ2 = 1 (OQ + OR + OS). О
Так как ОМ = l(OA + ОВ), ON = l(OC + OD), ОР = Л	л
= l(OE + OF), OQ = ±(ОВ + ОС), OR = ±(OD + ОЕ), OS = L	С	и
= 7i(OF + ОА), то после элементарных преобразований полу-Л
чаем ОМj = g {ОА + ОВ + ОС + OD + ОЕ + OF) = ОМ2, от-
куда следует, что точки М} и М2 совпадают.
§ 22. Разложение вектора по базису
Учащимся необходимо пояснить два важных векторно-геометрических факта:
•	если точка О не лежит на прямой АВ, то точка М лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда выполняется вектор-
ное равенство ОМ = х • О А + у • О В при условии, что х + у = 1;
•	если точка О не лежит в плоскости АВС, то точка М лежит в этой плоскости тогда и только тогда, когда выполняется векторное равенство ОМ = х • ОА + у • ОВ + z • ОС при условии, что х + у + z = 1.
Если при решении планиметрических задач выбирают два неколлинеарных (базисных) вектора, то для решения задач стереометрических выбирают три некомпланарных (базисных) вектора. При этом, если базисные векторы попарно не перпендикулярны и имеют попарно различные длины, то такой базис называется аффинным, а коэффициенты в разложении любого вектора пространства по базисным векторам — его
111
аффинными координатами в этом базисе. Об этом можно сказать учащимся уже теперь, а можно и чуть позднее.
Если в задаче требуется доказать, что три данные прямые параллельны некоторой плоскости (ее положение определять не нужно), то достаточно на каждой из этих прямых выбрать вектор (направленный отрезок) и доказать, воспользовавшись признаком компланарности трех векторов, что выбранные векторы компланарны.
6.046. Даны два параллелограмма ABCD и Лр/^СрОр Точки М, Р, К и Н — середины отрезков соответственно ААР BBV ССг и D-Dp Докажите, что отрезки МК и PH пересекаются в одной точке ,и делятся ею пополам.
Решение. Пусть О — любая точка пространства, Т и Тг — середины отрезков соответственно PH и МК. Тогда имеем (рис. 103):
от = 1(ор + он)= Ш(ов + OBJ+ ±(оо + 6р^)) = л ' л	л	'
= 1 ((ОБ + ОБ) + (ОВХ + ООО);
Рис. 103
112
ОТХ = У(ОМ + ОК)=1[1(ОА + ОА1) + 1(ОС + ОС1)\ = = | ((ОА + ОС) + (OAX + OCJ).
Так как ABCD и A1B1C1D1 — параллелограммы, то ОА + + ОС = ОВ + OD и ОАХ + ОСХ = ОВХ + ODX. Учитывая эти равенства, получаем ОТ = ОТХ, откуда Тх = Т, т. е. отрезки PH и МК, пересекаясь, делятся пополам.
6.047. В тетраэдре РАВС точки К и М — середины ребер соответственно РА и ВС. Докажите, что прямые АВ, КМ и PC параллельны некоторой (одной) плоскости.
Решение. С одной стороны, КМ = КР + PC + СМ (рис. 104), с другой стороны, КМ — КА + АВ + ВМ. Тогда 2КМ = (КА + КР) + (ВМ + CM) + РС + АВ = РС + АВ, откуда АВ — -PC + 2МК, значит, векторы АВ, PC и МК компланарны. Поэтому прямые АВ, PC и МК параллельны некоторой плоскости.
Прежде чем комментировать решения задач 6.048—6.057, проведем следующие рассуждения.
Если точка К лежит в плоскости АВС, то справедливо АК = = хАВ + уАС. Пусть М — любая точка пространства, не принадлежащая плоскости АВС (рис. 105). Тогда из последнего равенства получаем:
МК - МА = х(МВ - МА) + у(МС - МА) =
= ~(х + у)МА + хМВ + уМС =>
=> МК = (1 - х - у)МА + хМВ + уМС.
Если обозначить а = 1 - х - у, р = х, у = у, то следует:
МК = аМА + рМВ + уМС при а + Р + у = 1.
Оказывается справедливо обратное утверждение: если М — любая точка пространства, не принадлежащая плоскости
АВС, и справедливо МК = аМА + $МВ + '/МС при а + Р + у = 1, то точка К лежит в плоскости АВС.
113
Рис. 104
Рис. 105
В самом деле, из векторного равенства
МК = аМА + $МВ + уМС
получаем:
МА + АК = аМА + Р(МА + АВ) + у(МА + АС) => =>АК = (а + р + у- 1)МА + РАВ + уАС = = РАВ +уАС,
т. е. векторы АК, АВ и АС компланарны. А так как эти векторы отложены от одной точки, то точка К лежит в плоскости АВС.
Таким образом, для любой точки М, не принадлежащей
плоскости АВС, равенство МК = аМА + [5МВ + уМС (при а + р + у=1) справедливо тогда и только тогда, когда точка К лежит в плоскости треугольника АВС.
Можно доказать, что если в равенстве МК = а.МА + fiM В + + уМС выполняется: а + р + у>1, то точки М и К разделены плоскостью АВС; если а + р + у<1,то точки М и К не разделены плоскостью АВС. Причем если прямая МК пересекает (АВС) в точке Р, при этом а + р 4- у = т, то MP : РК = 1 : (т - 1) при т > 1 и МК : КР = т : (1 - т) при 0 < т < 1.
Кроме того, точка Р лежит внутри треугольника АВС при условии, если все коэффициенты а, р и у положительны.
Теперь можно приступать к кратким решениям задач 6.048—6.057.
114
6.048. Векторы МА, МВ и
МС некомпланарны, точка К лежит в плоскости треугольника АВС. Найдите значение чис-
ла х, если: а) МК = 0,1 МА + + 0,4 МВ + хМС; б) МВ- = = 7 МА +хМВ + 0,38 МС.
Решение. Используя признак принадлежности четырех точек одной плоскости, заключаем, что точка К лежит в плоскости АВС, если: а) 0,1 + 0,4 + + х = 1, откуда х = 0,5, причем К лежит внутри треугольника АВС; б) 7 + х + 0,38 = 1, откуда х = -6,38, причем К лежит вне треугольника АВС.
6.057. На продолжении ре-
бер МА, МВ и МС правильного тетраэдра МАВС взяты соответственно точки Аг, В1 и Сг такие, что А — середина MAV МВ} = ЗМВ и МС} = 1,5МС. К — центроид (точка пересечения
---
медиан) треугольника А1В1С1. а) Разложите вектор МК по век-
торам МА, МВ и МС. б) В каком отношении плоскость АВС делит отрезок МК, считая от М? в) Найдите расстояние от точки К до плоскости АВС, если ребро тетраэдра равно а.
Решение, а) Точка К — центроид ДА1В1С1 (рис. 106) =>
=>М^ = \{МАХ + Мв\ + Мс[) = J (2МА + ЗМВ + 1,5МС) = и	и
= | МА + МВ + J МС.
3	£1
6)a + p + y= ? + l + J = —>1. Пусть Р = МК п (АВС). Тог-
3	2	6
да МР : РК = 1 : fl? - 1= 6 : 7.
V 6	/
в) Пусть О — центроид Д АВС. Тогда р(М; (АВС)) = ОМ =
= Так как КР : РМ = 7 : 6, то КР = ^РМ. Это означает, 3	о
что р(К; (АВС)) = I р(М", (АВС)) = 7 •	.
о	о з 1о
115
§ 23. Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение двух векторов позволяет находить длину отрезка, величину угла, следовательно, находить расстояния, площади и другие метрические характеристики геометрических фигур.
Если в задаче требуется найти длину отрезка, то в качестве базисных выбирают такие векторы, длины которых и углы между которыми уже известны. При этом длину отрезка находят как длину соответствующего вектора, который разлагают по базисным векторам, затем находят его скалярный квадрат и получают длину этого вектора по формуле: |а| = л/З?.
Если в задаче требуется найти величину угла ср между прямыми, то в качестве базисных выбирают векторы с известными отношениями их длин и известными углами между ними. Кроме того, выбирают векторы а и & на сторонах этого угла с началом в его вершине и разлагают их по базису, а затем находят косинус искомого угла ср по формуле: cos ср = а \
|а| • I&I
или cos ср = ।	. При этом пользуются алгебраическими и гео-
метрическими свойствами скалярного произведения векторов.
Для доказательства перпендикулярности прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей удобно пользоваться признаком перпендикулярности двух ненулевых векторов.
6.067. В тетраэдре РАВС ребра АР и ВС, а также АВ и СР взаимно перпендикулярны. Докажите перпендикулярность ребер АС и ВР, используя векторы.
Решение. Пусть АВ = а, АС = Ъ, АР = = с (рис. 107). Исходя из условия задачи, получаем:
API ВС => АР1ВС => АР-ВС = 0 => =>с-(&-а) = 0=>с- & - с,а = 0=>а-с =
= Ь-с; АВ1СР ^АВ±СР ^АВ-СР = = 0 => а• (с - Ь) = 0 => d'C - a'b = 0 => => а- с = 3 • Ь.
Таким образом: 3'b = b- c=>b'(c~3) =
= 0 => АС • ВР = 0 => ACLBP AC IBP, что и требовалось доказать.
Рис. 107
116
[ а2 + 4ab + 4Ь2 — р2, [а2 - 4ab + 4Ь2 = р2
6.069. Найдите скалярное произведение векторов а и Ъ, если: а} |а| = 1д |&| = 2, [а + Ь\ = 3; б) |а| = 3, |&| = 4, \а - &[= 5; в) \а + Ь\ = |а - Ь\; г) \а + &| = 2, |а - Ь| = 1; д) |а + 2&| = |а - 2&| = р.
Решение, a) \а + Ь\ = 7(а + &)2 * * * = Ja2 + 2ab + Ь2 = = 71 + 2аЪ + 4 = 3 => 2аЬ = 4 => ab = 2;
д)|а + 2&| = \а - 2&| = р => 7а2 + 4аЬ + 4&2 =
= 7а2 - 4ab + 4b2 = Р =>
=> ab = 0.
Так как в задачах 6.074—6.080 базисные векторы а, Ъ, с — единичные и попарно взаимно перпендикулярные, то учащимся желательно напомнить, что a-b = b - с = а-с = 0, |а| = \Ь\ = |с| = 1,а2 = Ъ2 = с2 = 1. Учитывая это, для любого вектора р = ха + yb + гс имеют место следующие утверждения:
а) р• а = х; р’Ъ = у; р'С = г;
б) р • а = [р| • cos а, р • b = |р| • cos р, р • с = \р\ • cos у, где а, р, у — углы между вектором р и соответственно базисными векторами а, Ъ, с.
Сказанное означает, что если базисные векторы а, Ъ, с — единичные и попарно взаимно перпендикулярные, то каждая координата любого вектора в этом базисе равна произведению модуля данного вектора на косинус угла между этим вектором и соответствующим базисным вектором, т. е. х = |р| • cos а, у = |р| • cos р, z = |р| • cos у.
6.075. Найдите косинусы углов между вектором 6а - 3& + + 2с и каждым из векторов а,Ъ и с.
Решение. Пусть 6а - ЗЬ + 2с = р, Л(р, а) = a, Z(p, Ъ) = р, Z (р, с) = <р. Тогда, учитывая, что а • а = а2 = |а|2 = Ъ2 = с2 = 1, а-b = а-с = Ъ - с = 0, получаем:
РПЧП= Р'“ = (6a-3fe + 2c)-a = 7('ба 3/> • 2с)2.1
= 6а2 =6 • 1 = 6 .
д/Зба2 + 9Ь2 + 4с2	736 • 1 + 9 • 1 + 4 • 1
cos Р = jUt = (6^~ ЗЬ + 2с)	=
Й • |Ь|	7(6а - ЗЬ + 2с)2 • 1
= -зь2 =-3» 1= _3 .
л/36а2 + 9Ь2 + 4с2	736 • 1 + 9 • 1 + 4 • 1
117
р • с (6а - ЗЬ + 2с) • с COS ф =	.)................  7	- =
w  Iе' 7(6а - ЗЬ + 2с)2 • 1
2с2 = 2-1 = 2
-Узба2 + 9b2 + 4с2	V36 • 1 + 9 • 1 + 4 • 1
После решения этой задачи целесообразно обратить внима-
ние учащихся на тот факт, что cos2 а + cos2p + соэ2ф =
6V
1)
+
6.081. а) Следует ли из а • Ъ = а • сЛ что b = с? б) Известно, что для любого векторар верно а • р = Ъ • р. Верно ли, что а = Ь?
Решение, а) Из а • b = а • с следует а • (b - с) = 0, откуда dl(b-c).
б) Из а-р = b'p следует р-(а -Ъ) = 0. Если вектор р не перпендикулярен вектору q = а - Ъ, то выполнение условия р • (а - Ь) = 0 для любого векторар возможно лишь при а - b = 0, т. е. при а = Ъ.
6.089. В правильном тетраэдре РАВС на ребре PC взята точка Е такая, что РЕ : ЕС = 1 : 2, и на медиане AF грани АРВ отмечена точка М — центроид грани АРВ. Найдите длину отрезка ME, если длина ребра тетраэдра равна а.
Решение. Обозначим РА = а, РВ = b, PC = с (рис. 108). Тог-
да ME = МР + РЕ = -? РК + ±РС = - J (a + b) + J с = 1 (-а -_>	3 и	3	3	3
- Ь + с).
Учитывая, что а • b = а • с = b • с = |а| • |а| • cos 60°
az
—, полу-
Ci
чаем:	____ ___________________
ME = \МЕ\ = JmE‘2 = l(l(-a -b + c)Y =
= q Va2 + b2 + c2 + 2a • b - 2a • c - 2b • c = О	о
6.09	0. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания равна а, высота ВВХ равна h. Найдите угол между прямыми АВХ и ВСГ.
Решение. Обозначим АВ = р, АС = q, ААг = г (рис. 109),
Z (АВг, ВСГ) = р. Тогда ABr = р + г, ВСг = -р + q + г, cos Р =
АВГ -ВС,
И1-К1
118
р
Учитывая, что р’Г = д'Г = О, p-q =	, находим: |АВ1| =
= 7(р + г)2 = л/а2 + Л2, l-BCjl = *J(-p + g + г)2 = J а2 + h2, AB1’BC1 = (p + r)'(-p + q + r) =	2 a ' Т°гДа cos[3 =
\2h2 - a2| 2(a2 + h2)'
Задачи к главе 6
6.106.	Можно ли составить: а) треугольник из медиан данного треугольника; б) замкнутую ломаную из отрезков, идущих из каждой вершины тетраэдра в точку пересечения медиан противоположной грани?
Решение, а) Пусть AM, ВК и СР — медианы треугольника АВС. Найдем сумму векторов AM, ВК и СР: AM + ВК + + СР = J(AB + АС) + 1(ВС + BA) + J(CA + СВ) = J ((АВ + + ВА) + (ВС + СВ) + (СА + АС)) = i • б = б. Это означает, что Л
если вектор ВК отложить от точки М, а вектор СР — от точки К, то точка Р совпадет с точкой А, т. е. ломаная, состоящая из трех звеньев, окажется замкнутой, что и свидетельствует о том, что из медиан треугольника АВС можно составить новый треугольник.
119
б)	Пусть М, К, Т и Н — точки пересечения медиан (центроиды) граней тетраэдра РАВС, противолежащих его вершинам соответственно Р, А, В и С. Тогда РМ + АК + ВТ + СН = = 1(РА + РВ + PC) + 1(АВ + АР + АС) + 1(ВА + ВС +
3	3	3
+ ВР) + 1(СА + СВ + СР) = 1((А4 + АР) + (АВ + ВА) + 3	о
+ (АС + СА) + (ВР + РВ) + (ВС + СВ) + (PC + СР)) = 1 • б = б. Рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к выводу: из отрезков РМ, АК, ВТ и СН можно составить замкнутую ломаную.
6.107.	Точки Ар Bt и Сг взяты на сторонах соответственно ВС, АС и АВ треугольника АВС так, что АСг : СгВ = ВАг : АгС = = СВг : BjA. Докажите, что отрезки, равные ААР ВВ1 и ССг, являются сторонами некоторого треугольника.
Решение. Пусть АСг : СгВ = ВАг : АГС = СВг : BjA = k. Тогда АС\ = kC^B, ВАг = kACi, СВ^ = kB^A.
Находим: ААг = АВ + BAj = АВ + kACx = АВ + kAC -
---
- kAAx или
(1 +k)AAi = AB+kAC.
Аналогично (1 + k)BBr = ВС + kBA,
(1 + k)CCr = СА + kCB.
После сложения полученных трех равенств получаем:
(1 + k)(AAx + ВВХ + СС\) = (АВ + ВС + СА) + k(AC + СВ + + ВА) = б + k • б = б. Так как k Ф -1, то ААг + ВВг + ССг = б. Это означает, что из отрезков, равных ААг, ВВг и ССг, можно образовать треугольник.
6.110. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидором противолежащей грани, называется медианой тетраэдра. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую из медиан в отношении 3:1, считая от вершины.
Решение. Пусть М — точка, делящая медиану РНг тетраэдра РАВС в отношении РМг : МгНг = 3:1, где Нх — центроид грани АВС (рис. 110).
120
Для любой точки О пространства выполняется
ОН1 = l(OA + ОВ + ОС).
О
Тогда ОМ = ОР+ РМ = 0Р + - РН\ = 0Р + -ОН, -^0Р = 4	4	4
= 1 ОР + | • |(0А + ОВ + 0С) = l(OA + 0В + ОС + ОР).
Аналогично доказывается, что для точек К, Т и Е, делящих остальные три медианы тетраэдра в отношении 3:1, считая
от соответствующих вершин, выполняется ОК = ОТ = ОК = = | (ОА + ОВ + ОС + ОР) = ОМ. Это означает, что точки М, К, Т и Е совпадают, что и требовалось доказать.
6.116. КАВС — тетраэдр. Какую фигуру образуют точки М такие, что: а) КМ = КА + КВ + хКС; б) КМ = КА + у КВ + + хКС; в) КМ = zKA + у КВ + хКС, где 0<х<1, 0<у<1, 0 < z < 1.
Решение, а) Пусть КА + КВ==КР,КС + КР = КН
(рис. 111, а). При х = 0 получаем КМ = КР, т. е. точка М совпадает с Р-, при х = 1 получаем КМ = КА + КВ + КС = КН, т. е. М совпадает с Н. При любом х е (0; 1) концом вектора хКС является внутренняя точка отрезка КС, а концом векто
121
ра КМ = КА + КВ + хКС = КР + хКС — внутренняя точка отрезка PH. Таким образом, искомое множество точек М — отрезок PH.
б) Пусть КВ + КС = КТ, КА + КС = КЕ, тогда КВ + КС = = КТ = АР + АЕ = АН (рис. 111, б). Если КА = б, то при х =
= 1, у = 1 получаем КМ = КВ + КС = КТ, т. е. точкаМ совпадает с вершиной Т параллелограмма ВКСТ, а при любых х е [0; 1], у е [0; 1] точка М «заполняет» этот параллелограмм.
Тогда при КА / 0 и любых х е [0; 1], у е [0; 1] конец М вектора
КМ = КА + у КВ + хКС «заполняет» параллелограмм РАЕН, равный параллелограмму ВКСТ, причем соответственные стороны этих параллелограммов равны и параллельны.
в) При любом z е [0; 1] конец М вектора КМ = zKA +
+ уКВ + хКС «заполняет» параллелограмм, стороны которого равны и параллельны сторонам параллелограмма ВКСТ. Тогда при всех z е [0; 1] множество всех точек М, для которых
КМ = zKA + у КВ + х КС, образует параллелепипед, основаниями которого являются параллелограммы ВКСТ и РАЕН (см. рис. 111,6).
122
6.119. В основании пирамиды MABCD лежит трапеция ABCD (АО||ВС, AD — ЗВС). На ребре MD отметили такую точку К, что КМ : KD = 2 : 3; Р — середина МВ. В каком отношении, считая от точки М, плоскость АКР делит ребро МС?
Решение. Строим точки О = BDrKP, Т = ВС о АО, Н = = РТ о МС. Н — искомая точка пересечения плоскости АКР и прямой МС (рис. 112). Найдем отношение МН : НС.
Примем векторы МА = а, МВ = Ъ, MD = с в качестве базисных векторов. Так как Н &(АРК), то МН = х-МА + + у • МР + 2 • МК при X + у + 2 = 1.
Учитывая условие задачи, получаем
МН = x- a + yl^b\ + 2’l^c\ =
= х«а + f1у) • Ъ +
при X + у + 2 = 1.
Так как МН\\МС, то МН = t • МС. Найдем значение t.
123
Имеем: МС = МВ + ВС = МВ + ±AD = МВ + J(MZ> -О	о
--*	1/	1 ->	------------*
- МА) — --а + b + - С. Из условия МН = t• МС находим: О	о
х = -Ч
X Зг,
< У = 2t, и-
1	5
Тогда из условия х + у + z = 1 получаем t + 2t +	— 1, отку-
3	о
2	2
да t = - . Это означает, что МН = - МС или МН : МС = 2 : 5 => 5	5
=> МН : НС = 2:3.
6.120. РАВС — тетраэдр; Ьг, Ъ2, Ь3 — биссектрисы соответственно углов ВРС, СР А, АРВ. Докажите, что если биссектрисы bv b2 взаимно перпендикулярны, то каждая из них перпендикулярна биссектрисе Ь3.
Решение. Пусть а1г а2, а3 — единичные векторы с общим началом Р (рис. 113), т. е. af = а2 = а3 = 1. Тогда векторы =
124
= а2 + а3, с2 = а3 + dv с3 =	+ а2 направлены по биссектрисам
соответственно Ъх, Ъ2, Ъ3.
Если b1±b2, то с1±с2, поэтому с1-с2 = 0. Это означает, что (а2 + а3) • (а3 + аг) = 0, т. е. аг • а2 + а2 • а3 + а3 • ar + 1 = 0. Таким образом, из условия задачи следует, что для введенных единичных векторов av а2, а3 справедливо равенство: аг • а2 + + Яд • Яд + Яд * Я| +1 = 0.
Теперь, с учетом этого равенства, получаем: с2 • с3 = (я3 + + Я|) • (Я| + Я2) = Яд • Я| + Яд • Я2 + Я| + Я| • Я2 = Я| • Я2 + Я2 • Яд + + Яд • аг + 1 = 0, откуда с2±с3 => b2±b3.
Аналогично доказывается, что Ьг ± Ь3.
6.121. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, «видны» из точки пересечения его диагоналей под углами а, Р и у. Докажите, что cos а + cosP + cosy = 1.
Решение. Обозначим: ОА = я, О В = Ъ, ОС = с (рис. 114);
|ОА| = |ОВ| = |ОС| = р; АЛОВ = a, ZВОС = р, ZВОВ1 = у. Тогда:
b • (ОВ + ВВу) ъ • (Ъ - а - с) b2 — b‘a-b‘Cn
=------5---— = —---5---- =-----5-----Значит, cos а +
рг
, о ।	d’b, b‘c,bz-b'd-b'c ьг 1
+ COS Р + cosy = -у- + -5- + -=--- =	= 1.
рл рг	рг	рг
6.124. Из вершины параллелепипеда проведены три диагонали его граней. На этих диагоналях (как на ребрах) построен новый параллелепипед. Докажите, что противолежащая вершина данного параллелепипеда является серединой диагона
ли построенного параллелепипеда.
Решение. Данный и построенный параллелепипеды имеют общую вершину А. Пусть С2 — вершина построенного параллелепипеда, противоположная вершине А.
Примем векторы AD = я, АВ =
= Ъ, ААг = с в качестве базисных (рис. 115). Тогда: ACt = я +
+ b + с; ABr = b + с; АС = а + Ь;
125
ADr = a + с. Находим AC2 — АВг + AC + ADr = 2(a + b + c) = ------
= 2АСг. Это означает, что точка Сг — середина диагонали АС2 построенного параллелепипеда.
Глава 7. Координатный метод в пространстве
§ 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
Материал п. 24.1—24.3 является продолжением темы предыдущей главы с той лишь разницей, что под любым вектором пространства понимается упорядоченная тройка действительных чисел — декартовых прямоугольных координат этого вектора в ортонормированием базисе.
Теперь учащиеся должны научиться определять коллинеарны векторы или не коллинеарны, перпендикулярны они или не перпендикулярны, компланарны три данные вектора или не компланарны, если известны координаты этих векторов; должны уметь находить углы между векторами, заданными своими прямоугольными координатами, а также длину вектора и его проекции на оси координат, зная координаты этого вектора.
24.4, 24.5. Декартовы прямоугольные координаты точки.
Решение простейших задач стереометрии в координатах
В данном разделе предлагаются учебные задачи, при решении которых учащиеся определяют ту или иную числовую характеристику геометрической фигуры, пользуясь формулами расстояния между двумя точками и деления отрезка в данном отношении. При этом учащимся следует пояснить, что речь идет о делении направленного отрезка.
7.037. Найдите координаты такой точки С плоскости Оху, которая лежит на одной прямой с точками А(3; -8; 7) и В(-1; 2; -7). Какая из точек А, В, С лежит между двумя другими?
Решение. Пусть искомая точка С(х; у; 0) плоскости Оху де-л о	1	а 7 + X • (— 7)
лит отрезок АВ в отношении X = ——. 1огда 0 = —-——-,
126
откуда 1=1. Значит, точка С лежит между А и В, являясь се-3 _ 1	_о । q
рединой отрезка АВ, причем х = —-— = 1, у = —_— = -3, т. е. С(1; -3; 0).
7.038. Существует ли на оси Oz точка, лежащая на одной прямой с точками А(-1; 3; 5) и В(2; 2; 8)?
Решение. Если точка С(0; 0; г) прямой АВ принадлежит оси
Oz и делит отрезок АВ в отношении X =
АС
—то должно сущест-СВ
вовать единственное значение X, удовлетворяющее системе
уравнений
— 1 + 21 _
, 1+1 ~U’
3 + 21 _f|
1+1 “
Находим X = 0,5 — решение первого уравнения системы, X = -1,5 — решение ее второго уравнения. Это означает, что прямая АВ не пересекает ось Oz.
7.042. Лежат ли точки А, В, С и Е в одной плоскости, если: а) А(-2; -13; 3), В(1; 4; 1), С(-1; -1; -4), Е(0; 0; 0); б)А(0; 1; 0), В(3; 4; -1), С(-2; -3; 0), Е(2; 0; 3); в) А(5; -1; 0), В(-2; 7; 1), С(12; -15; -17), £(1; 1; -2)?
Решение, а) Точки А, В,СиЕ лежат в одной плоскости, если для векторов АВ(3; 17; -2), АС(1; 12; -7) и АЕ(2; 13; -3) существуют такие (одновременно не равные нулю) числа х и у, что АС = хАВ + уАЕ. Это означает, что должна иметь ненулевое решение система уравнений
|3х + 2у = 1, 17х + 13у = 12, |-2х - Зу = -7.
Так как уравнение 17х + 13у = 12 является алгебраической суммой уравнения Зх + 2у = 1, умноженного на 5, и уравнения 2х + Зу = 7, то эта система равносильна системе уравнений
13х + 2у = 1,
|2х + Зу = 7,
11	19
решением которой является пара чисел: х = у = Таким 5	5
образом, получаем 5АС + ПАВ - 19АЕ = б. Значит, векторы
127
AB, AC и AE компланарны, поэтому точки А, В, С и Е лежат в одной плоскости.
Аналогично решаются задачи б) и в).
7.059. Даны точки А(-1; 3; 8) и В(-1; 2; 9). Найдите все такие точки С плоскости Oyz, что треугольник АВС — равносторонний.
Решение. Пусть С(0; у; г) — искомая точка. Так как ВС2 = = АС2 = АВ2 = (-1 + I)2 + (2 - З)2 + (9 - 8)2 = 2, то получаем систему уравнений
11 + (у - З)2 + (z - 8)2 = 2, |1 + (г/- 2)2 + (z - 9)2 = 2, решением которой являются тройки чисел (0; 2; 8) и (0; 3; 9). Значит, искомыми являются точки СДО; 2; 8) или С2(0; 3; 9).
7.066. Основание АВС правильного тетраэдра РАВС лежит в плоскости Оху так, что вершины А и С имеют координаты: А(0; 0; 0), С(4; 0; 0). Найдите координаты: а) остальных вершин тетраэдра; б) центроидов всех его граней.
Решение. Пусть М — центроид ААВС, К(2; 0; 0) — середи-
на АС (рис. 116). Так как ВК =	= 2^/3 и ВК 10х,
то В(2; 2z/3; 0). Известно, что для любой точки S пространства и
центроидаМ треугольника АВС имеет место SM = -(SA + SB + О
+ SC). Приняв в качестве S точку А, получаем: AM = 1 (АА + О
+ АВ + АС), значит, АМ(2;	0), откуда М^2; о\
Учитывая, что высота правильного тетраэдра с ребром а равна
—и МР ЦОху), находим коорди-О
D О 2«/3 4«/б А
наты вершины Р: Р\^2; —А-; —J.
Если Mv М2, М3 — центроиды
граней соответственно РАВ, РВС,
РАС, то соотношение SM = -(SA + О
+ SB + SC), справедливое для любой точки S пространства и центроида М треугольника АВС, приме-
128
ненное последовательно для пар: Мг и А РАВ, М2 и ЛРВС, М3 и А РАС и точки А, позволяет найти координаты центроидов М,, М2 и М3:	М2(|;	1^),
М3{ 2; ЪИ; Ir/® 1
А ’ 9	9 >
7.072. Даны точки А(2; 3; 1) и В(-1; -2; 3). Найдите все такие точки С на оси Oz, что треугольник АВС — прямоугольный.
Решение. Пусть С(0; 0; z) — искомая точка. Тогда имеем:
СА(2; 3; 1 - г), ВС(Г, 2; г - 3), ВА(3; 5; -2).
Для треугольника АВС возможны случаи:
1)	ZACB = 90°. Имеем: СА 1 ВС =>СА-ВС = 0=>2 + 6 + + (1 - г) • (z - 3) = 0 => zx = -1, z2 = 5. Тогда получаем две точки: (0; 0; -1) и (0; 0; 5);
2)	ABAC = 90°. Имеем: СА АВА => СА • ВА = 0 => 6 + 15 -- 2(1 - z) = 0 => z = -9,5. Получаем точку (0; 0; -9,5);
3)	А АВС = 90°. Имеем: ВС1ВА=>ВС-ВА = 0=>3 + 10-- 2(z - 3) = 0 => z = 9,5. Получаем точку (0; 0; 9,5).
§ 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
25.1, 25.2. Уравнение сферы. Уравнение плоскости
Первые задачи этого параграфа — опорные (базисные). Учащимся следует пояснить, что для составления уравнения сферы достаточно найти координаты ее центра и радиус. Для составления общего уравнения плоскости достаточно найти координаты любой ее точки и координаты любого вектора, перпендикулярного этой плоскости (вектора нормали к плоскости), при этом в качестве нормального вектора выбирается тот, координаты которого наиболее «удобны» при вычислениях, возникающих при составлении уравнения.
Если плоскость проходит через данную точку М0(х0; г/0; z0) параллельно данной плоскости Ах + By + Cz + D = 0, то ее уравнение можно записать в виде А(х - х0) + В(у - у0) + + C(z - z0) = 0, затем преобразовать.
При составлении общего уравнения плоскости а, проходящей через две данные точки К и Н перпендикулярно данной
5 - 9061 Потоскуев	129
плоскости или данной прямой, любую из точек К и Н принимаем в качестве М0(х0; у0; z0). Координаты (а; Ь; с) вектора п нормали плоскости а являются решением системы двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными а, Ь, с (см. 7.117, 7.118). Так как все векторы, перпендикулярные плоскости а, коллинеарны между собой, то одной из координат а, Ъ, с можно придать допустимое значение (в зависимости от контекста), после чего решается система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Полученную тройку чисел (а; Ь; с) можно «нормировать», умножая на одно и то же число, отличное от нуля.
Перед решением задач на взаимное расположение двух сфер, сферы и плоскости (7.107, 7.108, 7.110, 7.111, 7.127, 7.128, 7.129, 7.130), отнесенных в данном разделе к стереометрическим задачам повышенной сложности, следует пояснить учащимся аналогичную ситуацию при решении планиметрических задач на взаимное расположение двух окружностей, окружности и прямой. Только после такого анализа геометрической ситуации (на наглядном уровне) можно приступать к решению указанных задач координатным методом.
7.102. На плоскости 2х + Зу - 5z - 1 = 0 найдите такую точку М0(х; у; г), что отрезок ММ0 перпендикулярен этой плоскости, если М(1; 2; -1).
---->
Решение. Так как вектор ММ0(х - 1; у - 2; z + 1) коллинеарен вектору п(2; 3; -5) нормали данной плоскости а (рис. 117), то их одноименные координаты пропорциональны, т. е. х =
= ---- 2 = 2 + 1 = t, откуда х = 1 + 2t, у = 2 + 3t, z = -1 - 5t. 3	—5
Значение t найдем из условия принадлежности точки Мо плоскости а (координаты точки Мо удовлетворяют уравнению этой плоскости). Получаем 2(1 + 2t) + 3(2 + 3t) - 5(-1 -- 5t) - 1 = 0 => t = - А. Тогда х = -L,
20	11	7 20
у = — , z = — , т. е. Ml____: ___
у 19	19’	<19 19
11А
19<
7.105.	Сфера задана уравнением (х - З)2 + (у - З)2 + г2 = 4. Найдите
Рис. 117
130
координаты точки этой сферы: а) ближайшей к началу О системы координат; б) самой далекой от точки О; в) ближайшей к каждой из координатных плоскостей; г) самой далекой от каждой из координатных плоскостей; д) ближайшей к каждой из координатных осей; е) самой далекой от каждой из координатных осей; ж) ближайшей к точке (3; 3; 6); з) самой далекой от точки (3; 3; 6).
Решение. Центр А(3; 3; 0) данной сферы принадлежит координатной плоскости Оху, ее радиус R = 2, причем ОА = 3^2 (рис. 118).
а)	Ближайшей к О точкой сферы является точка В ее пересечения с отрезком ОА, при этом ОВ = ОА — R — 3^2 —2. Так как абсцисса и ордината точки В равны, то из уравнения 2х2 = (Зл/2 - 2)2 находим х = 3 - J2 . Это означает, что В(3 - 72; 3 - 72; 0).
б)	Самой далекой от точки О точкой сферы является вторая точка пересечения луча ОА со сферой — точка С. Она удалена от О на расстоянии ОА + R = 3^2 + 2 и имеет координаты х = — у — 3 + 72, z — 0, т. е. С(3 + 72; 3 + 72 ; 0).
в)	Самой близкой к (Охг) является точка Р(3; 1; 0), к (Оу г) — точка К(1; 3; 0), к (Оху) — все точки окружности (х - З)2 + + (у - З)2 = 4, по которой сфера пересекает эту плоскость.
131
г)	Самой далекой точкой сферы от (Oxz) является точка Е(3; 5; 0), от (Oyz) — точка Н(5; 3; 0), от (Оху) — точки М(3; 3; 2) и S(3; 3; -2).
д)	Самой близкой точкой сферы к оси Ох является точка Р(3; 1; 0), к оси Оу — точка К(1; 3; 0), к оси Oz — точка В(3- 72; 3- 72; 0).
е)	Самой далекой точкой сферы от оси Ох является точка Е(3; 5; 0), от оси Оу — точка Н(5; 3; 0), от оси Ог — точка С(3 + 72; 3 + 72; 0).
ж)	Ближайшей точкой сферы к точке (3; 3; 6) является точка М3; 3; 2).
з)	Самой далекой точкой сферы от точки (3; 3; 6) является точка S(3; 3; -2).
7.107. Найдите длину линии, состоящей из всех общих точек двух сфер (х - I)2 + (у + З)2 + (г - 5)2 = 196 и (х + З)2 + + (у + 6)2 + (г + 7)2 = 225.
Решение. Данные уравнения задают соответственно сферу радиуса Rx =14 с центром А(1; -3; 5) и сферу радиуса R2 = 15 с центром В(-3; -6; -7).
Пусть С — одна из точек пересечения сфер. Тогда получаем треугольник АВС, в котором
АВ = 7(-3 - I)2 + (-6 + З)2 + (-7 - 5)2 = 13, АС = 14, ВС = 15.
При вращении треугольника АВС вокруг АВ точка С «пробежит» окружность, радиус которой равен высоте СН этого тпеугольника Так как СН = ^^ЛАВС = 2721'6’7’8 _ 168 _ 1 А 071. .Ь хх хх xv d• 1 dxv xvdxv xЛ. —"  1 — ——1
AB	13	13
. „12	,
= 12ух, то длина окружности пересечения данных сфер равна J. о
2л’ 168 = 25Пл
ТТ 251зл-
7.109.	Напишите уравнение плоскости, касающейся сферы х2 + 2х + у2 + 2у + z2 - 4z = 0 в начале координат.
Решение. Исходное уравнение сферы приводится к виду (х + I)2 + (у + I)2 + (г - 2)2 = 6, из которого следует, что точка А(-1; -1; 2) — центр этой сферы.
Так как плоскость касается сферы в начале координат, то она проходит через точку 0(0; 0; 0) перпендикулярно вектору ОА(-1; -1; 2). Значит, ее уравнение имеет вид х + у -- 2г = 0.
132
7.110.	Напишите уравнение сферы с центром (1; 1; 2), касающейся сферы х2 + у2 + г2 = 24.
Решение. Уравнение х2 + у2 + г2 = 24 задает сферу радиуса R = 2«/б с центром 0(0; 0; 0). Расстояние между центрами этой сферы и касающейся ее сферы равно «/б. Значит, радиус касающейся сферы может быть равен или 2«/б - л/б = «/б, или 2л/б + л/б = Зл/б. Поэтому уравнения этих сфер таковы: (х - I)2 + + (у - I)2 + (г - 2)2 = 6 или (х - I)2 + (у - I)2 +(z - 2)2 = 54.
7.116.	Найдите все точки плоскости 5х + Зу - г - 2 = 0, равноудаленные от координатных плоскостей.
Решение. Если точка М(х; у; г) равноудалена от координатных плоскостей, то она имеет равные по абсолютной величине координаты, т. е. |х| = |у| = \z\. Возможны случаи:
1)	х = у = г. Так как точка М(х; х; х) лежит в плоскости а, заданной уравнением 5х + Зу — 2 - 2 = 0, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению. Имеем 5х + Зх — х — 2 = 0 => 2	Л2 2 2Л
=> х = у. Тогда получаем	-у
о
2)	х = -у - -2. Имеем 5х-Зх + х- 2 = 0 х = -. Тогда О
/2	2	2^
получаем МI -; - ; - I.
VO о о/
2
3)	х = у = -2. Имеем 5х + Зх + х- 2 = 0=>х = д. Тогда /2 2 2А получаем М\п; -й .
'У У У/
4)	х = -у = 2. Имеем 5х - Зх - х - 2 = 0 => х — 2. Тогда получаем М(2; -2; 2).
7.117.	Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М(-1; 2; 7) и N(l; -9; 5) параллельно оси Оу.
Решение. Пусть п(а; Ь; с) — вектор нормали плоскости а, проходящей через точки М и параллельно оси Оу. Так как nl MN (2; -11; -2), nlj (0; 1; 0), то п • MN = 0, п • j = 0, поэтому координаты а, Ъ и с вектора п получаем, решая систему уравнений:
12а - 115 - 2с = О, |1 • Ъ = 0.
Находим а = с = 1,5 = 0. Значит, плоскость а имеет уравнение 1 • (х + 1) + 0 • (у - 2) + 1 • (г - 7) = 0 или х + 2 - 6 = 0.
133
7.118.	Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 3; 8) и N(2; 5; -1) перпендикулярно плоскости 2х - у + z = 0.
Решение. Так как плоскость а проходит через точки М(1; 3; 8), N(2; 5; -1) и перпендикулярна плоскости 2х - у + + г = 0, для которой векторр(2; -1; 1) является вектором нормали, то в качестве вектора п(а; Ъ; с), перпендикулярного плоскости а, можно принять вектор, перпендикулярный век-
торам MN и р. Найдя координаты вектора п, уравнение плоскости а можно записать в виде
а(х - 1) + Ь(у - 3) + с(г - 8) = 0.
Так как nlMN(1; 2; -9), Й±^(2; -1; 1), то п - MN = 0, п-р = = 0, поэтому координаты а, Ъ и с вектора и получаем, решая систему уравнений:
la + 2Ь - 9с = 0, |2а - Ъ + с = 0.
Одним из решений этой системы является тройка чисел (7; 19; 5). Тогда искомое уравнение плоскости а имеет вид: 7(х - 1) + 19(у — 3) + 5(z — 8) = 0 или lx + 19у + 5z — 104 = 0.
7.119.	Изобразите множество точек пространства, для которых |х| + |у| + |z| = 1.
Решение. Возможны 8 различных случаев расположения точек пространства в каждом из восьми координатных октантов.
Пусть х > 0, у > 0, z > 0. При этом условии исходное уравнение равносильно уравнению х + у + г = 1, которое задает плоскость, пересекающую координатные оси в точках А(0; 0; 1), С(0; 1; 0) и D(l; 0; 0), а координатные плоскости по отрезкам AC, AD и CD (рис. 119). Следовательно, при х > 0, у > 0, z > 0 уравнение х + у + + 2 = 1, равносильное исходному, задает треугольник ACD с вершинами на координатных осях, расположенный в первом координатном октанте.
Рассматривая остальные семь случаев, получим еще семь тре-
Рис. 119	угольников с вершинами на ко
134
ординатных осях. Этими вершинами, кроме А, С и D, являются точки В(—1; 0; 0), 1^(0; 0; -1) и £(0; -1; 0).
Таким образом, искомое множество точек представляет собой поверхность восьмигранника (правильного октаэдра) ABCDEK (см. рис. 119).
7.123. Найдите косинусы углов, образованных плоскостью Зх — 5у + г- 8 = 0и координатными плоскостями.
Решение. Обозначим а — плоскость, заданную уравнением Зх - 5у + z - 8 = 0; Z (а, (Оху)) = р, Z (а, (Oxz)) = у, Z(а, (Oyz) = <р; Й(3; -5; 1) — вектор нормали к плоскости а. В качестве векторов нормалей к плоскостям Оху, Oxz и Oyz примем соответственно базисные векторы/г(0; 0; 1), j(0; 1; 0)иг(1; 0; 0). Тогда:
cos р = Л = |3-0 + (-5)-0 + 1-Ц = 1
|л|Ф1	732 + (-5)2 + 12 -1	735
Q	1
-> Р = arccos ;
735
cosy = |Я = I3 ‘° +	’1 +? ‘ °1 = 5
|га|-|/|	732 + (-5)2 + I2 • 1	735
5 => у = arccos ——;
735
cosip = Illi = I3 ’1 + (~5)' 0 +? ’ 01 = 3
|«| • |i|	732 + (-5)2 + l2 • 1	735
=> ip = arccos -j—.
735
На этом примере можно убедиться, что cos2P + cos2y + + cos2<p = 1.
7.137.	Даны точки A(2; 0; 0), В(0; -2; 0), С(0; 0; 2). Найдите: а) точки, равноудаленные от точек А, В, С и отстоящие от плоскости Oxz на расстоянии, равном 3; б) координаты центра сферы радиуса 719, проходящей через точки А, В и С.
Решение, а) Пусть М(х; у; z) — любая точка искомого множества точек. Тогда AM = ВМ = СМ, следовательно, АЛ12 = = ВМ2 = СМ2.
Так как искомое множество точек принадлежит плоскостям у = ± 3, то координаты этих точек найдем, решая систему уравнений:
(х - 2)2 + у2 + z2 = х2 + у2 + (г - 2)2,
(х - 2)2 + у2 + z2 = х2 + (у + 2)2 + z2,
|гу = з,
135
Решением этой системы являются тройки чисел (3; -3; 3) и (-3; 3; -3).
б) Так как центр К(х; у; г) сферы, проходящей через точки А, В и С, равноудален от этих точек, то для его координат справедливо х = г = -у.
Поэтому, найдя КА2 = 19 и учитывая, что х = г = — у, получаем уравнение Зх2 - 4х - 15 = О, корнями которого являются
*1 = ~
5
3 ’
х2 = 3. Значит, центрами сфер, проходящих через
/ 5 к
точки А, В и С, являются точки I ; -- I и (3; -3; 3).
V <5 о О''
25.3, 25.4. Прямая в пространстве в координатах. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах
При решении задач на взаимное расположение двух прямых аиЬ в пространстве учащиеся должны «увидеть» направляющие векторы соответственно р1(а1; а2; а3) и &2> &з) этих прямых из их параметрических уравнений и опреде-
лить, параллельны ли они ( используя признак: a\\b <=>	=
= — , а также перпендикулярны ли эти прямые (используя Ь3 /
признак: alb <=> а1Ь1 + а2Ь2 + а3Ь3 = 0). Если прямые не па
раллельны и не перпендикулярны, то угол между ними находится с помощью формулы:
cos =	1а1ь1 + а2Ь2 + аЗЬз|
Jaf + aj + а| • Jbl + bf + b|
Аналогично, зная направляющий вектор р(а; Ь; с) прямой I и вектор Й(А; В; С) нормали плоскости а, можно определить, параллельны ли они (с помощью признака: Z||a<=>a-A + Z?‘B +
+ с • С = 0), а также перпендикулярны ли I с помощью призна-
1 >	d
ка: Z±a <=> -А
= ^ = £ ). Если данные прямая и плоскость не па-В С /
раллельны и не перпендикулярны, то угол между ними нахо-дится с помощью формулы:
sinZ(Z; a) = |cosZ(p; n)| = r +	+	.
7<z2 + b2 + c2 • TA2 + B2 + C2
136
Координаты точки пересечения прямой с плоскостью находят, решая систему из уравнений плоскости и прямой:
Ах + By + Cz + D = 0, х = х0 + axt, У = Уо + a2t, z = z0 + a2t. 9
7.148. При каких значениях аир точка М(1; 5; 8) лежит на прямой
х — 3 + 2f, x = 7 - at, z = 8 + p??
2t, at, РЛ
х — 3 + Решение. Точка М(1; 5; 8) принадлежит прямой г/ = 7 -z — 8 + если существуют такие значения t, а и р, что выполняется 1 = 3 + 2t,  5 = 7- at, 8 = 8 + р?.
Подставив значение t = -1 — решение первого уравнения системы — во второе и третье ее уравнения, находим а = -2, Р = 0, т. е. точка М принадлежит данной прямой при а = —2, р = 0.
7.149. Напишите параметрические уравнения каждой из прямых, по которым плоскость Зх + 8у + z = 11 пересекается с координатными плоскостями.
Решение. Плоскость а(3х + 8у + z = 11) пересекает координатные оси Ох, Оу и Ог соответственно в точках А^^; 0; о), вГо; o') и С(0; 0; 11), значит, эта плоскость пересекает ко-ординатные плоскости Оху, Oxz и Oyz соответственно по прямым АВ, АС и ВС, направляющими векторами которых служат векторы соответственно АВ	; o'), АС (—; 0; ll')
и ВС (О;	; 11). Тогда, принимая точки А, С и В в качестве
«начальных» для прямых соответственно АВ, АС и ВС, получаем их параметрические равнения: 11 1Е х = — - — t, 3	3
И. z = 0;
x = 0, ,	11 lb . D
T“T'’teK-
\z = lit;
11.
x = ~-nt, О
У = 0, z = 11 + 11£;
137
7.157. Определите взаимное расположение прямых
х = 5 + It, у = 2 - t, и
2 = 9
х = 3 - 2и, у = 5 + Зи, 2 = 8 - и.
Решение. Так как координаты направляющих векторов данных прямых не пропорциональны, то эти прямые либо пересекаются, либо скрещиваются.
Для ответа на вопрос, имеют ли прямые общую точку, достаточно выяснить, имеет ли решение система уравнений:
5 + It = 3 - 2и,
2 - t = 5 + 3u, 9 = 8 - и.
Из уравнения 9 = 8 - и находим значение и = -1, которому соответствует точка (5; 2; 9) второй прямой, являющаяся при t = 0 точкой первой прямой. Сказанное означает, что прямые пересекаются.
7.165.	Определите взаимное расположение прямой х = 1 — 3t,
• у = 2 + 21, и сферы х2 + у2 + г2 = 25.
2 = 4 + t
Решение. Прямая может пересекать сферу в двух различных точках, касаться сферы или не иметь с ней общих точек. В координатном виде сказанное означает: система уравнений, составленная из уравнений прямой и сферы, имеет соответственно два различных решения, одно решение или является несовместимой.
Таким образом решаем систему уравнений:
х2 + у2 + г2 = 25, х = 1 - 3t, y = 2 + 2t, 2 = 4 + t.
Подставив в первое уравнение вместо х, у и г их выражения через t, получаем уравнение (1 - 3£)2 + (2 + 2t)2 + (4 + t)2 = 25,
корнями которого являются = -1, t2
прямая пересекает сферу в двух точках
2 n
= -. Это означает, что 7
(1; 2^;4^И(4;О; 3).
< 7	7	7>
7.168. Напишите параметрические уравнения прямой, по которой пересекаются плоскости 2х + Зу-г = 6их + у + 2: = 1.
138
Решение. Пусть данные плоскости а(2х + Зу - г = 6) и 0(х + + у + г = 1) пересекаются по прямой тп; р(а; Ь; с) — направляющий вектор прямой т.
Координаты вектора р найдем из условий его перпендикулярности каждому из векторов п1(2; 3; -1) и Й2(1; 1; 1) нормалей соответственно плоскостей аир. Имеем:
1р±пр	1р‘Й^ = О,	I 2а + ЗЬ - с = О,
|p±n2	|р±п2 = О	| а + & 4-с = 0.
Если с = -1, то а = 4, Ь = -3. Так как точка (1; 1; -1) принадлежит каждой из плоскостей а и 0, то она принадлежит прямой т. Тогда параметрические уравнения этой прямой можно записать в виде:
\х = 1 + 4?, \у = 1 - St, \г = -1 - t.
Замечание. Так как точка (-3; 4; 0) принадлежит прямой т, то уравнения этой прямой можно записать в виде:
х = -3 + 4t, < у = 4 - 3t,
2 = ~t.
7.176. Найдите расстояние между прямыми
х = t,	х = 3 + t,
у = 3 + 2t,	и	у = -1 + 2t,
z = 2 + t	г = 2 + t.
Решение. Так как обе прямые
I х = t,	\х = 3 + t,
a:<y = 3 + 2t,	и	b:iy = -l + 2t,
I z = 2 + t	\z = 2 + t
имеют один и тот же направляющий вектор р(1; 2; 1) и система уравнений
11 = 3 + t,
3 + 2t = — 1 + 2t, 2 + t = 2 + t
не имеет решений, то а||Ь.
Для нахождения расстояния между этими прямыми проведем через точку А(0; 3; 2) прямой а плоскость а, перпендикулярную Ъ (рис. 120). Тогда расстояние между точками А и В = = а п Ъ равно расстоянию между прямыми а и Ъ.
139
Так как ala, то направляющий вектор р прямой а является вектором нормали плоскости а. Поэтому можем составить уравнение этой плоскости: х + 2(у - 3) + (г - 2) = 0 или x + 2z/ + z- 8 = 0.
Координатами точки В = a n b является решение системы уравнений
х + 2у + z - 8 = О, х = 3 + t, у = -1 + 2t, 2 = 2 + t,
составленной из уравнений плоскости а и прямой Ь. Решая <23 2 17А
ее, получаем:	; g! -g-J- Тогда
р(«; Ъ) = р(А; В) = If У + (I ~ 3У + ~ 2У =
7.179. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(3; 8; 1) параллельно плоскости 2х + + у + 2 = 0 и пересекающей ось Оу.
Решение. Пусть а — данная плоскость 2х + у + г = О, п(2; 1; 1) — вектор ее нормали. Допустим, что прямая b проходит через точку М(3; 8; 1) и пересекает ось Оу в точке А(0; а; 0).
Тогда вектор АМ(3; 8 - а; 1) является направляющим для прямой Ъ. Так как b||а, то AM 1 п. Значит, п • AM = 0, т. е. 2 • 3 + + 1  (8 - а) + 1 • 1 = 0, откуда а = 15. Тогда вектор AM имеет координаты (3; -7; 1), а параметрические уравнения прямой b записываются в виде:
х = 3 + 3t, < у = 8 - 7t, 2 = 1 + t.
§ 26. Расстояние от точки до плоскости
Пользуясь формулой расстояния от точки до плоскости, можно находить расстояния между параллельными плоскостями, между параллельными прямой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми.
Если прямые а и b скрещиваются, то для нахождения расстояния между ними достаточно составить уравнение плоскос
140
ти Р, проходящей через одну из них (например, через а) параллельно другой прямой (прямой Ь); при этом координаты вектора п нормали плоскости Р определяются из условия его перпендикулярности направляющим векторам рг и р2 данных прямых. Найдя расстояние от «начальной» точки прямой b до плоскости р, получаем искомое расстояние между прямыми а и Ь.
7.186. Напишите уравнение плоскости, содержащей ось Оу, если расстояние от этой плоскости до точки М(~3; 8; 1) равно 1.
Решение. Плоскость а, содержащая ось Оу, задается уравнением Ах + Cz = О (В = D = 0). Так как р(М; а) = 1, то получаем: hM...±£l = 1 <=> 9А2 - 6АС + С2 = А2 + С2 <=> А(4А - ЗС) = 0 <=> Та2 + с2
ГА = О, о
о . с = з • 4 с’то означает, что искомыми являются плоскости г = 0 и Зх + 4з = 0.
7.188. Найдите геометрическое место точек, удаленных от плоскости х + 2у - 2з - 5 = 0 на расстояние 2.
Решение. Пусть x + 2z/-2z-5 = 0 — данная плоскость а, М(а; Ь; с) — любая точка искомого множества точек. Тогда имеем:
р(М; а) = 2 <=> А+2Ь 2с-5\ = 2
а + 2Ъ - 2с - 5 = 6,	а + 2Ъ - 2с = 11,
а + 2Ъ - 2с - 5 = -6	а + 2Ъ - 2с = -1.
При b = с = 1 получаем а = —1 или а = 11. Значит, искомому множеству точек принадлежат точки М1(-1; 1; 1) и М2(11; 1; 1).
Так как множество всех точек пространства, равноудаленных от данной плоскости, представляет собой две плоскости, параллельные данной, то одна из них проходит через Мг, а другая — через М2. Эти плоскости имеют уравнения:
(х + 1) + 2(z/ - 1) - 2(z - 1) = 0 или х + 2у - 2z + 1 = 0, (х - 11) + 2(z/ - 1) - 2(z - 1) = 0 или х + 2у - 2г - 11 = 0.
Задачи к главе 7
Задачами к этой главе завершается изучение курса геометрии 10 класса координатным методом. Среди предлагаемых для решения задач встречаются задачи различной степени
141
сложности. Большей математической подготовки учащихся требуют задачи 7.210, 7.211, 7.212, 7.213, 7.214, 7.216.
7.194.	Найдите координаты центра и радиус сферы, описанной около тетраэдра, вершины которого имеют координаты (0; 0; 0), (8; 0; 0), (0; -2; 0), (0; 0; -6).
Решение. Центром сферы, описанной около тетраэдра, является точка пересечения плоскостей серединных перпендикуляров трех любых ребер тетраэдра, не лежащих в одной
плоскости.
Пусть а, р, у — плоскости серединных перпендикуляров ребер соответственно АВ, ВС, АР тетраэдра РАВС; К, Н, М — середины соответственно этих ребер, причем А(0; 0; 0), В(8; 0; 0), С(0; -2; 0), Р(0; 0; -6).
Находим: АВ(8; 0; 0), СВ (8; 2; 0) и РА(0; 0; 6) — векторы, перпендикулярные соответственно плоскостям а, 0 и у; lf(4; 0; 0), Н(4; -1; 0), М(0; 0; -3). Тогда уравнения плоскостей а, р и у соответственно таковы: х-4 = 0, 4x + z/-15 = 0, 2 + 3 = 0.
х - 4 = 0, Решая систему уравнений 4х + у - 15 = 0, получаем иско-2 + 3 = 0, мые координаты (4; -1; -3) центра S сферы. Тогда радиус R = SA этой сферы равен 716 + 1 + 9 = 726.
7.209.	Найдите все точки на оси Oz, через которые проходит хотя бы одна прямая, касающаяся сферы (х — I)2 + (у + 2)2 + + (г + 2)2 = 9 в точке Р(3; -1; -4).
Решение. Пусть М(0; 0; г) — искомая точка оси Oz. Так как прямая МР касается сферы с центром А(1; -2; -2), то векторы
АР (2; 1; -2) и МР(3; -1; -4 - г) перпендикулярны. Тогда:
АР -МР = 0 => 2-3 + 1- (-1) - 2 • (-4 - г) = 0 =+ z = -6,5. Таким образом, точкаМ имеет координаты (0; 0; -6,5).
7.210.	Из начала координат проведены всевозможные прямые, касающиеся сферы (х - 4)2 + (у - З)2 + (z - 12)2 = 144. Найдите уравнение плоскости, которой принадлежат все точки касания.
Решение. Пусть М(х; у; г) — точка касания прямой, проходящей через начало координат, и сферы радиуса 12 с центром А(4; 3; 12). Найдем уравнение, которому удовлетворяют координаты точки М.
142
Так как касательная к сфере прямая перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то треугольник ОАМ — прямоугольный с гипотенузой ОА. Тогда ОМI 2 = х2 + у2 + г2 = = ОА2-АМ2 = 169 - 144 = 25.
Из условия ОМ 1 AM следует ОМ - AM = 0, т. е. х(х - 4) + + у(у - 3) + z(z - 12) = 0. После преобразований, с учетом равенства х2 + у2 + z2 = 25, получаем искомое уравнение плоскости 4х + Зу + 12з -25 = 0, которому удовлетворяют координаты любой точки касания прямой ОМ и сферы.
7.211.	Найдите уравнения всех сфер с центром в начале координат, касающихся прямой
|х = 3 - 2t, \y=l + t, \z = 5.
Решение. Радиус сферы, касающейся данной прямой с направляющим вектором /?(—2; 1; 0), равен расстоянию от центра 0(0; 0; 0) сферы до этой прямой. Поэтому находим точку пересечения данной прямой и плоскости 2х — у = 0, проходящей через центр шара перпендикулярно этой прямой. Координаты (1; 2; 5) этой точки являются решением системы уравнений:
х = 3 - 2t,
У = 1 + t, z = 5, 2х - у = 0.
Тогда радиус сферы равен 712 + 22 + 52 = 730, а сфера, являющаяся единственной, удовлетворяющей условию задачи, имеет уравнение х2 + у2 + г2 = 30.
7.212.	В плоскости х + у + 2г = 0 найдите все прямые, касающиеся сферы (х - 2)2 + (У ~ 4)2 + г2 = 8 и проходящие через начало координат.
Решение. Параметрические уравнения любой прямой т, проходящей через начало координат 0(0; 0; 0), имеют вид:
I х = at,
\y = bt, 16 R.	(1)
I Z = Ct,
Любой тройке чисел (a; b\ с) соответствует некоторая прямая семейства (1).
143
Требование «лежать в плоскости х + у + 2z = 0», накладываемое на прямую (1), означает выполнение равенства: at + bt +
+ 2ct = 0, откуда получаем связь между а, b и с в виде с =
Таким образом, если прямая (1) лежит в плоскости х + у + 2z = = 0, то ее параметрические уравнения принимают вид:
х — at,
у = bt, t e R.
_ а + b Z ~~2~
Далее, прямая семейства (2) касается сферы (х - 2)2 + (у -- 4)2 + z2 = 8, если система уравнений
(2)
t,
t e R
(x - 2)2 + (y - 4)2 + z2 = 8, x = at,
<y = bt, z = -a + bt
имеет два совпавших решения, т. е. дискриминант квадратного уравнения
(at - 2)2 + (bt - 4)2 +
равен нулю.
После преобразований это уравнение приводится к виду: (a2 + b2 + (а + b)2)t2 - 2(2а + 4b)t + 12 = 0.
2
= 8
Находим = (2a + 4fe)2 - 3(4a2 + 4fe2 + (a + fe)2) = -Ila2 + + lOab + b2. Из условия = 0 решаем однородное уравнение Ila2 - lOab - b2 = 0. Если = u, то получаем уравнение llu2-- 10a - 1 = 0, корнями которого являются их = - -L, и2 = 1. Тогда имеем соответственно: b = - Ila, с = 5a; b = а, с = —а.
Последние соотношения между а, b и с выделяют из множества всех прямых семейства (2) две прямые, которые проходят через начало координат, лежат в плоскости x + z/ + 2z = 0h касаются сферы (х - 2)2 + (у - 4)2 + z2 = 8. Параметрические уравнения этих прямых таковы:
х = t,	\х = t,
y = -llt, и \y = t, teR. z = 5t	\z = -t;
144
7.213.	Напишите уравнения проекций прямой х = 3 - 2t, у = 1 + 3t, 2 = 5
на координатные плоскости.
Решение. Пусть т — данная прямая, р(~2; 3; 0) — ее направляющий вектор, который перпендикулярен оси Ог. Если прямые а, Ъ и с — проекции прямой т на координатные плоскости соответственно Оху, Охг и Оу г, то координатами направляющих векторов этих прямых являются соответственно тройки чисел: (-2; 3; 0), (-2; 0; 0) и (0; 3; 0). Точки, являющиеся проекциями точки А(3; 1; 5) данной прямой на координатные плоскости Оху, Охг и Оуг, имеют координаты соответственно (3; 1; 0), (3; 0; 5), (0; 1; 5). Тогда прямые а, Ь и с задаются соответственно следующими параметрическими уравнениями:
х = 3 - 2t, у = 1 + 3t, t e R;
2 = 0,
x = 3 - 2u,
у = 0, и е R;
2 = 5,
х = 0,
у = 1 + Зо, v е R.
2 = 5,
7.216. Найдите геометрическое место ров, что все точки прямых
х = 3 - t,
центров таких ша-
х = 2 + Зи, у = 2 + 2t, t <= R и {у = 2и, ueR
2 = 6,
2 = 1 + t
для которых t е [-1; 3] и и е [0; 6], принадлежат шарам, а все другие точки этих прямых шарам не принадлежат.
Решение. Пусть уравнения
х = 3 - t, у = 2 + 2t, t е R и г = 1 + t,
х = 2 + Зи, у = 2и, ueR
2 = 6,
задают прямые соответственно Ь и с.
Промежуток t е [-1; 3] задает на прямой Ь отрезок с концами А(4; 0; 0) и В(0; 8; 4), а промежуток и 6 [0; 6] задает на прямой с отрезок с концами Н(2; 0; 6) и 7f(2O; 12; 6).
Геометрическим местом центров всех сфер, проходящих через А и В, является плоскость ее серединных перпендикуляров отрезка АВ. Для всех шаров, определяемых этими сферами, все точки отрезка АВ являются внутренними. Аналогично геометрическим местом центров всех сфер, проходящих через Н и К, является плоскость Р серединных перпендикуляров от
145
резка КН. Для всех шаров, определяемых этими сферами, все точки отрезка КН являются внутренними. Прямая т = a n р содержит центры всех тех шаров этих семейств, для каждого из которых являются внутренними либо все точки отрезка АВ, либо все точки отрезка КН’, остальные точки прямых b и с не принадлежат шарам этих семейств.
Найдем уравнения прямой т.
Плоскость а определяется точкой Р(2; 4; 2) — серединой отрезка АВ — и вектором Й1(1; -2; -1), коллинеарным вектору
ВА(4; -8; -4), и имеет уравнение x-2z/-z + 8 = 0. Плоскость Р определяется точкой Q(11; 6; 6) — серединой отрезка КН —
и вектором Н2(3; 2; 0), коллинеарным вектору Л If (18; 12; 0), и имеет уравнение Зх + 2у - 45 = 0. Тогда прямая т пересечения этих плоскостей может быть задана системой общих уравнений
lx - 2у - z + 8 = 0, | Зх + 2у - 45 = 0
или параметрическими уравнениями
х = 15 + 2t,
y = -3t, teR, z — 23 4- St,
в которых координаты (2; -3; 8) направляющего вектора q(a; Ъ; с) прямой т являются решением системы уравнений
la - 2Ъ - с = 0,
I За + 2Ъ = 0, выражающих условия перпендикулярности направляющего вектора д(а; Ь; с) относительно векторов Й1(1; -2; -1) и Я2(3; 2; 0). Таким образом, искомое геометрическое место точек есть прямая
х = 15 + 2t,
<y = -3t, teR.
z — 23 4- St,
Контрольные работы
Контрольная работа
на повторение курса 9 класса
Задачи для подготовки
1. Точки А, В, С и D последовательно расположены (при обходе по часовой стрелке) на окружности радиуса R так, что каждая из дуг DCB и СВА равна 80°, а дуга DCA равна 100°. Найдите углы четырехугольника ABCD и длину отрезка ВС.
2. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота CN к гипотенузе АВ, при этом площади треугольников ACN и BCN равны соответственно 6 см* 1 2 3 4 5 и 54 см2. Найдите стороны треугольника АВС, а также радиусы вписанной и описанной окружностей для этого треугольника.
3. На сторонах АВ, ВС, CD и DA прямоугольника ABCD выбраны точки соответственно Е, F, М и Р так, что EFMP — ромб, а АР : PD = 2:3. Найдите отношение площадей прямоугольника и ромба, если AD : АВ = 5:3.
4. Отрезок СН — биссектриса треугольника АВС. Точки F и D — основания перпендикуляров, опущенных из точки Н на стороны АС и ВС соответственно. Найдите стороны треугольника, если АС = |вС, ZACB = 60°, HD = 14^3 .
5. В прямоугольную трапецию с острым углом а вписана окружность радиуса R. Найдите площадь трапеции.
Вариант 1
1. На окружности радиуса R последовательно отмечены точки А, В, С и В так, что величины дуг АВ и ВС равны соответственно 50° и 80°, а диагонали четырехугольника ABCD равны между собой. Найдите длину наибольшей стороны этого четырехугольника.
2. Отрезок СН — высота прямоугольного треугольника АВС (Z С = 90°); отрезки HL и НК — биссектрисы треугольни-
147
ков соответственно ВСН и АСН, причем HL = ЗНК. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 2^5.
3.	На двух сторонах прямого угла с вершиной М выбраны точки D и К соответственно так, что MD : МК = 7:1. На биссектрисе угла DMK взята точка Е, равноудаленная от D и К. Определите длину отрезка DK, если ME = 4.
4.	Отрезок СМ — биссектриса треугольника АВС. Точки К и Р — основания перпендикуляров, опущенных из точки М соответственно на стороны АС и ВС треугольника, при
о
этом ZBCA = 60°, ВС = |АС, МК = 2. Найдите длину сто-О
роны АВ и отношение площадей треугольников MCA и ВМС.
2 г~
5.	Трапецию можно вписать в круг, радиус которого в g у7 раз больше радиуса круга, вписанного в эту же трапецию. Найдите все углы данной трапеции.
Вариант 2
1.	На окружности радиуса г последовательно отмечены точки К, М, NhQ так, что величины дуг КМ и MN равны соответственно 40° и 100°, а хорды KN и MQ пересекаются под углом 70°. Найдите длину наибольшей стороны четырехугольника KMNQ.
2.	В прямоугольном треугольнике ABC (Z С = 90°) проведена высота СН. Отрезки AM и СР — медианы треугольников АСН и НСВ соответственно, причем ЗАМ = 4СР. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если его площадь равна 96.
3.	Угол АВС прямой, АВ = 4, ВС = 3. Найдите расстояние от В до точки К, лежащей на биссектрисе прямого угла, если точка If равноудалена от А и С.
4.	В остроугольном треугольнике АВС высоты ААг и ССг равны соответственно 2 и 4; BN — биссектриса треугольника,
5
при этом AN = g. Найдите длину отрезка NC и площадь треугольника АВС.
5.	В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точки касания этой окружности со сторонами трапеции являются вершинами четырехугольника, площадь которого в 4 раза меньше площади трапеции. Чему равен наименьший угол трапеции?
148
Вариант 3
1.	Для четырех точек плоскости A, D, F и N выполняется соотношение AN = 4AD - 3AF. Докажите, что точки D, N и F принадлежат одной прямой. Найдите ND, если NF = 12.
2.	На боковой стороне трапеции выбрана точка, делящая эту сторону в отношении 3:1, считая от вершины меньшего основания. Прямая, проходящая через эту точку параллельно основаниям, делит площадь трапеции в отношении 2 : 1, считая от меньшего основания. В каком отношении делит площадь трапеции ее средняя линия?
3.	Окружность радиуса R касается катета РМ прямоугольного треугольника MPN в точке М, а также касается катета PN и пересекает гипотенузу треугольника, деля ее в отношении 4:1, считая от вершины М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник MPN.
4.	В полукруг диаметра d помещены две равные касающиеся друг друга окружности. Определите длину одной из этих окружностей, если каждая из них касается также диаметра полукруга и его дуги.
5.	Докажите, что геометрическое место всех точек плоскости, сумма квадратов расстояний каждой из которых до вершин квадрата равна сумме квадратов его диагоналей, есть описанная около этого квадрата окружность. (Возможно использование координатного метода.)
Вариант 4
1.	Для четырех точек плоскости А, В, С и D выполняется соотношение 5ОВ = О А + 40С. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой. Найдите ВС, если АВ = 24.
2.	На боковой стороне CD трапеции ABCD выбраны точки М и L так, что СМ = ML = LD, а на стороне АВ выбраны точки N и Р так, что АР = PN = NB. Отношение площадей четырехугольников BNMC и APLD равно 1:3. Чему равно отношение оснований АО и ВС трапеции?
3.	В треугольнике ADF стороны АО и DF равны. Окружность касается основания треугольника в точке А, касается также стороны DF, а сторону АО пересекает в такой точке М, что AM : MD = 3:1. Найдите длину основания треугольника ADF.
4.	Две окружности, радиусы которых равны г и 0,5г, касаются внутренним образом в точке D. Отрезок DP — диаметр
149
окружности большего радиуса. Найдите радиус третьей окружности, если она касается двух данных окружностей и отрезка DP.
5.	Докажите, что геометрическое место всех точек плоскости, сумма квадратов расстояний от каждой из которых до сторон квадрата в полтора раза больше площади этого квадрата, есть вписанная в этот квадрат окружность. (Возможно использование координатного метода.)
К—10—1
Введение в стереометрию.
Аксиомы стереометрии
Задачи для подготовки
1.	В треугольнике DEF EF = 8, ED =17. Найдите площадь треугольника, если:
а)	через прямую, содержащую сторону FD, и точку пересечения высот треугольника можно провести, по крайней мере, две различные плоскости;
б)	через медиану DK и центр вписанной в треугольник окружности можно провести, по крайней мере, две различные плоскости;
в)	существует прямая, не лежащая в плоскости DEF, пересекающая биссектрису DK и содержащая центр окружности, описанной вокруг треугольника KFD.
2.	EFGS — правильный тетраэдр, EF = 12. Точки L-H.N лежат на ребрах SG и SE соответственно. SL = 3, SN = 3. Точка Т — середина ребра SF. Найдите:
а)	точку Y1 пересечения прямой LT и плоскости EFG;
б)	точку У2 пересечения прямой NTn плоскости EFG;
в)	длину отрезка Y1Y2;
г)	точку пересечения прямой NT и плоскости ELF;
д)	прямую пересечения плоскостей LYrY2 и NFE;
е)	отношение, в котором плоскость LY1Y2 делит отрезок SE (считая от точки S).
Вариант 1
1.	В треугольнике АВС АС = 12, ВС = 5. Найдите площадь треугольника, если:
а)	через прямую АВ и центр окружности, описанной около треугольника, можно провести, по крайней мере, две различные плоскости;
150
б)	через прямую АК, перпендикулярную ВС, и центр вписанной в треугольник окружности можно провести, по крайней мере, две различные плоскости;
в)	существует прямая, которая не лежит в плоскости АВС, пересекает медиану ВМ и содержит центр окружности, проходящей через вершины В, С и середину стороны АС.
2.	ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром 8; точкаМ — середина АА1; точка N лежит на ребре DDV D^ = 6. Найдите:
а)	точку Х1 пересечения MN и плоскости АСВ;
б)	точку Х2 пересечения MN и плоскости А1В1С1;
в)	длину Х1Х2;
г)	точку Х3 пересечения ВХг и плоскости DD^;
д)	в каком отношении точка Х3 делит отрезок DC (считая от D);
е)	общую прямую плоскостей Xj-Xg-Xg и АА^.
Вариант 2
1.	В треугольнике КМР КМ = 4, КР = 5. Найдите площадь треугольника, если:
а)	через прямую, содержащую сторону КР, и центр окружности, описанной около треугольника, можно провести, по крайней мере, две различные плоскости;
б)	через прямую AM, перпендикулярную КР, и центр окружности, вписанной в треугольник, можно провести, по крайней мере, две различные плоскости;
в)	существует прямая, не принадлежащая плоскости треугольника, пересекающая медиану РВ и проходящая через центр окружности, вписанной в треугольник КМР.
2.	ABCD — правильный тетраэдр. Все ребра имеют длину 8; точка М — середина AD; точка К — середина DB; точка Р лежит на ребре DC; DP = 6. Найдите:
а)	точку Х1 пересечения прямой МР и плоскости АВС;
б)	точку Х2 пересечения КР и плоскости АВС;
в)	длину X’jX’g;
г)	точку пересечения прямой МР и плоскости АКС;
д)	прямую пересечения плоскостей МХгК и X2DC;
е)	в каком отношении плоскость МХ1Х2 делит отрезок DB (считая от В).
151
К—10—2
Взаимное расположение прямых в пространстве
Задачи для подготовки
1.	В кубе EFGHE1F1G1H1 точки L, N и Т — середины ребер соответственно Ffi^ G1H1 и НгН, а диагонали грани EEyF^F пересекаются в точке К.
а)	Заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.
	Прямые	Расположение прямых	Величина угла между прямыми
1	LN и EG		
2	и FH		
3	F^ и КТ		
4	TN и EG		
5	FrT и KN		
6	КНХ и LN		
б)	Найдите площадь сечения куба плоскостью KNT, если ребро куба равно а.
2.	ABCD — правильный тетраэдр, АВ = 7. Точки М и К — середины ребер DB и АС соответственно. Точка Р делит ребро АС в отношении 5 : 2, считая от точки С. Через точку Р проведена прямая параллельно прямой КМ. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри тетраэдра.
3.	Пусть точка М — середина ребра АВ пирамиды ABCD, а точка N делит ребро АС в отношении 1:2, считая от вершины А. Докажите, что в плоскости грани BCD нет ни одной прямой, параллельной прямой MN.
Вариант I
1.	Дан правильный тетраэдр ABCD, в котором точки К, F, Р, М — середины ребер соответственно AD, DC, ВС л АВ.
а)	Заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.
152
б)	Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью KMF, если ребро тетраэдра а.
	Прямые	Расположение прямых	Величина угла между прямыми
1	KFhMP		
2	KF и ВС		
3	КР и MF		
4	BF и МР		
5	КР и ВС		
6	СМ и KF		
2.	Дан куб ABCDAlBlClDl, диагональ B^D которого равна 8. Точка К делит ребро В1С1 в отношении 3 : 5, считая от Bt. Через точку К проведена прямая параллельно прямой B^D. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри куба.
3.	Основание пирамиды MABCD — параллелограмм ABCD. Точка Р — середина ВС. Докажите, что в плоскости MDC не существует прямой, параллельной прямой АР.
Вариант 2
1.	Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром а, в котором точкиКиР — середины ребер соответственно А^Е^ и В1С1, а М и Р — точки пересечения диагоналей граней соответственно A1D1DA и DCCjDp
а)	Заполните таблицу расположения прямых и углов между ними.
	Прямые	Расположение прямых	Величина угла между прямыми
1	KF и МР		
2	КМ и FP		
3	KF и BD		
4	DCr и KF		
5	FP nAD		
6	МР и BjC		
153
б)	Найдите длину наибольшей стороны многоугольника, являющегося сечением куба плоскостью, проходящей через точки М, F и К.
2.	Дан тетраэдр ABCD, все ребра которого равны 12. Точка М — середина ребра BD, точка Р делит ребро АС в отношении 5 : 7, считая от С. Найдите длину отрезка прямой, заключенного внутри тетраэдра, если эта прямая проходит через точку Р параллельно прямой СМ.
3.	Точка К — середина ребра А1В1 треугольной призмы АВСА1В1С1. Докажите, что в плоскости ВССг не существует прямой, параллельной прямой АК.
К-10-3
Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости
Задачи для подготовки
(для контрольной работы используются аналоги заданий 4; 8 и 9)
1.	В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны а. Точка М лежит naAD, при этом А/И = х.
а)	Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым BD и АгС.
б)	Найдите периметр сечения.
в)	Найдите площадь сечения.
2.	В правильном тетраэдре ABCD с ребром а точка М лежит на отрезке АС, при этом МС = х.
а)	Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через М параллельно прямым АВ и CD.
б)	Найдите периметр сечения.
в)	Найдите площадь сечения.
3.	В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны а, точка L — середина А1В1, а точка М лежит на АС, причем МС = х.
а)	Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через М параллельно прямым АВ и CL.
б)	Определите площадь сечения.
4.	Дан куб АВСОА1В1С1О1, в котором Р, N, К, М — такие внутренние точки ребер соответственно А1В1, А1О1, DDX и BBV что прямые РМ и NK пересекаются. При этом прямые NK и AD пересекаются в точке Zv прямые РМ нАВ —
154
в точке Z2, прямые МК и BD — в точке Z3. Найдите длину отрезка Z2Z3, если Z1Z2 = 8, Z^3 = 13.
5.	Равнобокая трапеция A1B1C1D1 является изображением трапеции ABCD с основаниями AD = 10, ВС = 5. Найдите площадь трапеции A1B1C1D1, если около нее можно описать окружность с диаметром A1D1, при этом А1В1 = 3.
6.	Трапеция A1B1C1D1 является изображением трапеции ABCD с основаниями АВ = 2 и CD = 8. Найдите площадь трапеции A1B1C1D1, если около нее можно описать круг с диаметром СгВг при этом AjBj = «/б.
7.	Равнобокая трапеция A1B1C1D1 является изображением трапеции ABCD с основаниями АВ = 2 и CD = 8. Найдите площадь трапеции A^B^C^D^, если в нее можно вписать круг с диаметром 9.
8.	ABCD — четырехугольник, в котором диагонали АС и BD перпендикулярны и равны. Точка М не лежит в плоскости четырехугольника, а прямая МА перпендикулярна этой плоскости. Известно, что МА = МС = MD. Найдите углы четырехугольника ABCD.
9.	Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все ребра которой равны 2. Точка М — середина ребра В1С1.
а)	Докажите, что прямая В1С1 перпендикулярна плоскости ААГМ.
б)	Через точку пересечения диагоналей грани AAjCjC проведите прямую, перпендикулярную плоскости ААГМ.
в)	Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри призмы.
г)	В каком отношении делит этот отрезок плоскость АА^М! д) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середину отрезка СМ перпендикулярно прямой ВС.
10.	Точка М — середина ребра ВС правильной треугольной призмы АВСА1В1С1, все ребра которой равны между собой. Через точку N, лежащую на АХМ (где AjN = х, х е (0;7)), проведено сечение, перпендикулярное прямой АХМ. Как меняется сумма внутренних углов проведенного сечения этой призмы плоскостью, если АгМ = 7?
11.	В кубе ABCDA1B1C1D1 через внутреннюю точку М диагонали BDX проведено сечение перпендикулярно этой диагонали. Как меняется сумма внутренних углов сечения в зависимости от х (где х = МВ, х е (0; 6)), если диагональ куба равна 6?
155
12.	Все ребра тетраэдра ABCD равны между собой. Через точку М (где AM = х, х& (0; 6)), лежащую на медиане АК- грани АВС, проведено сечение, перпендикулярное прямой АК. Как меняется сумма внутренних углов сечения тетраэдра этой плоскостью, если АК = 6?
Вариант 1
1.	Дана треугольная призма АВСА^Ср в которой М, К, N и Р — внутренние точки ребер BBr, ВТСР AtCr иАА1 соответственно — выбраны так, что прямые MN и КР пересекаются. Пусть прямые МК и ВС пересекаются в точке Хг, прямые NP и АС — в точке Хг, прямые МР и АВ — в точке Х3. Найдите длину отрезка ХГХ3, если ХГХ2 = 10, Х2Х3 = 12.
2.	Точка М выбрана вне плоскости ромба ABCD так, что отрезки AM, ВМ и СМ равны, а отрезок MD перпендикулярен плоскости АВС. Найдите углы ромба.
3.	Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.
а)	Докажите, что прямая АГСГ перпендикулярна плоскости BDDr.
б)	Докажите, что плоскость ArCrD перпендикулярна прямой BDr.
в)	Через точку К — середину СрО]^ — проведите прямую, перпендикулярную плоскости А1С1О.
г)	Найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри куба.
д)	В каком отношении, считая от точки К, плоскость AjCjO делит этот отрезок?
Вариант 2
1.	Дан тетраэдр ABCD, в котором М, N и Р — внутренние точки ребер AD, DB и DC соответственно — выбраны так, что прямые МР и АС пересекаются в точке Ур прямые PN и ВС — в точке У2, прямые MN и АВ — в точке У3. Найдите длину отрезка У2У3, если Y1Y2 = 3, YrY3 = 5.
2.	ABCD — трапеция (АВ||СО), в которой ZADC = 50°. Точка М выбрана вне плоскости этой трапеции так, что отрезки MD, МС и МВ равны, а отрезок МА перпендикулярен плоскости АВС. Найдите углы трапеции.
3.	В правильном тетраэдре ABCD с ребром 2 точка М — середина BD.
а)	Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости AM С.
156
б)	Через точку пересечения медиан треугольника ADC проведите прямую, перпендикулярную плоскости AM С.
в)	Найдите длину отрезка проведенной прямой, расположенного внутри тетраэдра.
г)	В каком отношении делит этот отрезок плоскость AM С? д) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через середину СМ перпендикулярно прямой АС.
К—10—4
Угол между прямой и плоскостью.
Параллельные плоскости
Задачи для подготовки
(для контрольной работы используются аналоги заданий 1, 2, 6 и 10)
1.	Отрезок АС — ортогональная проекция наклонной АВ на плоскость ACD. Угол между лучами АС и AD равен 45°. Найдите угол между лучами АВ и AD, если угол между прямой АВ и плоскостью ACD равен 60°.
2.	Сторона АВ прямоугольника ABCD лежит в плоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой плоскостью угол ф. Какой угол образует диагональ BD с плоскостью АВМ, если: a) BD = 2АВ; б) ВС = 2АВ?
3.	Из одной точки проведены две наклонные к плоскости, образующие с ней равные углы. Угол между наклонными равен <р, а угол между их проекциями на эту плоскость равен р. Найдите угол между плоскостью и каждой из наклонных.
4.	Из одной точки проведены две наклонные к плоскости, образующие между собой угол р, а с плоскостью — углы, равные ф. Найдите угол между их проекциями на эту плоскость.
5.	Две наклонные к плоскости, проведенные из одной точки, образуют с ней углы, равные ф. Проекции этих наклонных на плоскость образуют угол р. Найдите угол между наклонными.
6.	Плоскости аир параллельны, плоскость у пересекает плоскость а по прямой а, а плоскость р — по прямой Ь. Плоскость 8 пересекает плоскость у по прямой с. Как могут быть расположены прямые а, Ъ и с?
157
7.	В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ все ребра равны а. На ребре АВ отмечена точка М так, что AM : МВ = = 3:1; точка N — середина ребра ВХСХ.
а)	Через точку М проведите сечение параллельно плоскости А^ВС.
б)	Найдите периметр сечения.
в)	Найдите площадь сечения.
г)	В каком отношении плоскость сечения делит отрезок AN, считая от А?
8.	На ребре АХВХ = а куба АВСОАХВХСХОХ отмечена точка М так, что ВХМ : АХМ = 2:1.
а)	Через точку М проведите сечение параллельно плоскости АВХСХ.
б)	Найдите периметр сечения.
в)	Найдите площадь сечения.
г)	В каком отношении плоскость сечения делит отрезок АХС, считая от точки Ах?
9.	Точка М — середина высоты DO правильного тетраэдра ABCD с ребром а.
а)	Через точку М проведите сечение, параллельное плоскости BCD.
б)	Найдите периметр сечения.
в)	Найдите площадь сечения.
г)	В каком отношении плоскость сечения делит высоту тетраэдра АВ, считая от точки А?
10.	Прямая DF пересекает параллельные плоскости а, р, у соответственно в точках D, Е и F, при этом DF = 3, FE = 9. Прямая EG пересекает плоскости а и у соответственно в точках GhH, при этом EG — 12. Найдите все значения, которые может принимать длина отрезка GH.
Вариант 1
1.	Отрезок АС — ортогональная проекция наклонной АВ на плоскость ACD. Лучи AD и АС образуют угол 30°. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью ACD, если угол между прямыми АВ и AD равен 60°.
2.	Сторона АВ треугольника АВС лежит в плоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой плоскостью угол <р. Какой угол образует с этой плоскостью сторона АС, если: а) треугольник АВС — равносторонний;
б)	АВ = AC, Z САВ = 90°?
3.	Плоскость ах параллельна плоскости рх, а плоскость а2 параллельна плоскости р2, ПРИ этом плоскости ах и а2 пересе
158
каются по прямой а, а плоскости Pj и р2 — по прямой Ъ. Как могут быть расположены прямые а и Ы
4.	Прямая АВ пересекает параллельные плоскости а, р, у соответственно в точках А, В, С, причем АВ = 3, ВС = 7. Прямая МК пересекает эти же плоскости а, р, у соответственно в точках М, К, Р, причем МР =10. Найдите все значения, которые может принимать длина отрезка МК.
Вариант 2
1.	Отрезок АС — ортогональная проекция наклонной АВ на плоскость ACD. Угол DAB равен 45°. Найдите угол между лучами AD и АС, если угол между наклонной АВ и плоскостью DAC равен 30°.
2.	Сторона АВ параллелограмма ABCD лежит в плоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой плоскостью угол <р. Какой угол образует с этой плоскостью диагональ BD, если: a) ABCD — квадрат;
б)	ABCD — ромб, в котором ZB = 120°?
3.	Прямые а и Ъ параллельны. Прямая а параллельна плоскости а, прямая Ъ параллельна плоскости р. Как могут быть расположены плоскости аир?
4.	Прямая АВ пересекает параллельные плоскости а, р, у соответственно в точках А, В, С, причем АВ — 14, ВС = 4. Прямая МК пересекает эти же плоскости а, р, у соответственно в точках М, К, Р, причем МР = 10. Найдите все значения, которые может принимать длина отрезка МК.
К—10—5
Угол между двумя плоскостями
Задачи для подготовки
1.	ABCD — ромб с углом 60°. Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба, причем АВ = AM = а. Найдите углы между плоскостями: а) AM В и АВС; б) АМВ и AMD', в) MDC и АВС; г) MAD и МВС; д) MDC и ВСМ.
2.	Плоскости АВС и ABD образуют угол 45°. Известно, что AD = 3, АВ = 5, ВС = л/2 , причем DA ± АВ, СВ ± АВ. Найдите: a) CD; б) угол между прямой CD и плоскостью АВС.
3.	В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение LPQ, где точка L — середина ребра ВС, точка Р лежит на ребре CD так, что
159
СР : PD = 1:5, точка Q — на ребре ССг такая, что CQ : QCY = = 1:2. Найдите угол между плоскостями LPQ
Вариант 1
1.	ABCD — ромб, в котором АВ = a, ZA = 60°. Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба и AM = 2а. Найдите углы между плоскостями: а) АМВ и АВС; б) АМВ и AMD; в) MDC и АВС; г) MAD и МВС; д) MDC и ВСМ.
2.	Угол между плоскостями АВС и ABD равен 60°, при этом DA1AB, СВ1АВ и AD = 2, АВ = 4, СВ = 3. Найдите: a) CD; б) угол между прямой CD и плоскостью АВС.
3.	В кубе ABCDAlBlClDl проведено сечение MNK, где точка М —середина ребра AD, точка N лежит на ребре АВ так, что AN : NB = 1:13, точка К — на ребре ААг такая, что АК : КАг = 1:4. Найдите угол между плоскостями MNK и
Вариант 2
1.	ABCD — ромб, в котором АВ = 2а, ZA = 60°. Прямая МА перпендикулярна плоскости ромба и AM = а. Найдите углы между плоскостями: а.) АМВ и АВС; б) АМВ vl AMD; в) MDC и АВС; г) MAD и МВС; д) MDC и МВС.
2.	Плоскости АВС и ABD образуют угол 60°, при этом DA1AB, СВ1АВиАВ = 4,АВ = 3, СВ = 2. Найдите: a) CD; б) угол между прямой CD и плоскостью АВС.
3.	В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение FGT, где точка F — середина ребра В^, точка G лежит на ребре CpDj так, что CjG : GDr = 1 : 10, точка Т — на ребре CCY такая, что СгТ : ТС = 1:9. Найдите угол между плоскостями FGT и АВС.
Тестовая работа
Выберите верный ответ.
1.	Медиана треугольника делит этот треугольник на два равнобедренных треугольника. Сколько плоскостей можно провести через эту медиану, ортоцентр и центр тяжести этого треугольника?
А) Ни одной; Б) одну; В) бесконечно много; Г) это зависит от дополнительных условий.
2.	Два равнобедренных треугольника АВК и АВМ имеют общее основание АВ = 24, при этом АК = ВК = 13, AM =
160
= ВМ = 20. Найдите сумму всех различных целых значений, которые может принимать длина отрезка МК.
А) 21; Б) 32; В) 176; Г) таких значений бесконечно много.
3.	Дан тетраэдр DABC, в котором ВС = 10, AD =11. Точка Р лежит на ребре ВС так, что PC = 3. Через точки С, Р и В проведены параллельные плоскости а, Р и у, пересекающие прямую AD соответственно в точках A, L и К, причем AL = 6. Найдите DK, если точка L лежит на ребре AD.
А) 9; Б) 7; В) 11; Г) 0.
4.	Расстояние между параллельными плоскостями аир равно 7, а расстояние между прямой а, принадлежащей а, и прямой Ъ, принадлежащей р, равно 8. Каким может быть расположение прямых а и Ь?
А) Параллельны или скрещиваются; Б) параллельны; В) скрещиваются; Г) данная ситуация невозможна.
5.	В тетраэдре DABC АС = ВС = АВ = 3, AD = 7, BD = 5. Сколько плоскостей, перпендикулярных прямой DC, можно провести через прямую АВ?
А) Одну; Б) ни одной; В) бесконечно много; Г) это зависит от длины ребра DC.
6.	Вершины треугольника АВС удалены от плоскости а на расстояния 1, 5 и 8. Сколько различных значений может принимать расстояние от точки М пересечения медиан этого треугольника до плоскости а?
А) Бесконечно много; Б) одно; В) четыре; Г) три.
7.	В кубе ABCDAj-BjCpDj с длиной ребра 6 точка К лежит на ребре BjCj так, что BYK = 2; точка М лежит на ребре АВ, при этом AM = 4. Найдите угол между прямыми АСг и КМ.
А) 0; Б) В) arctg^? ; Г) верного ответа нет. 6	5
8.	В тетраэдре DABC длины всех ребер равны. Расстояние между прямыми DC и АВ равно 6, точка Р — середина ребра АО, точка М — середина ребра ВС. Найдите расстояние между прямыми РМ и АС.
А)2л/3;Б) 0; В)373;Г)3.
9.	Прямая МА составляет с плоскостью АВС угол 57° и перпендикулярна прямой АВ; прямая КВ составляет с плоскостью АВС угол 47° и также перпендикулярна прямой АВ. Какие значения может принимать угол между прямыми МА и КВ2
6 - 9061 Потоскуев
161
A) 10° или 104°; Б) 10° или 76°; В) значения в диапазоне от 10° до 76° включительно; Г) значения в диапазоне от 0° до 90° включительно.
10.	Высота правильной четырехугольной пирамиды MABCD равна 6 и образует с плоскостями граней углы 30°. Найдите расстояние от точки А до грани МВС.
А)3л/3;Б) 6; В) «5,3; Г) в условии мало данных.
11.	Внутри двугранного угла величиной в 60° лежит точка, удаленная от его граней соответственно на 5 и 2. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
А) 7; Б) 2л/13 ; В) lOarctg^i; Г) верного ответа нет.
12.	Точка М лежит внутри куба ABCDA1B1C1D1 так, что прямая AM составляет с плоскостями АА1В1 и АВС углы соответственно в 30° и 45°. Какой угол составляет эта прямая с плоскостью A-DAj?
A) arcsin 2^; Б) 45°; В) arctg 1; Г) 30°.
5	3
13.	Два плоских угла трехгранного угла равны и Сколь-3	3
ко целых значений может принимать третий плоский угол? А) Ни одного; Б) 120; В) 3; Г) сколько угодно.
14.	Дан трехгранный угол с вершиной М, все плоские углы которого — прямые. Прямая МК лежит внутри этого трехгранного угла и составляет со всеми его гранями равные углы. Найдите величину этих углов.
/з
A) arctg 2; Б) 60°; В) arccos Г) верного ответа нет.
3
К—10-6
Расстояния в пространстве
Задачи для подготовки
(для контрольной работы используются аналоги заданий 4; 5 и 6)
1.	Плоскость, пересекая отрезок АВ, делит его в отношении 7:5, считая от точки В. Найдите расстояние от точки А до плоскости, если расстояние от середины отрезка до этой плоскости равно 2.
2.	Плоскость, пересекая отрезок АВ, делит его в отношении 3 : 7, считая от точки А. Расстояние от середины этого от
162
резка до плоскости равно 4. Найдите расстояние от точки В до этой плоскости.
3.	Плоскость, пересекая отрезок АВ, делит его в отношении 2 : 5, считая от точки В. Найдите расстояние от середины этого отрезка до плоскости, если расстояние от точки В до этой плоскости равно 10.
4.	Все вершины куба, кроме двух противоположных А и Сх (лежащих на одной диагонали), одинаково удалены от некоторой плоскости. Найдите расстояния от каждой из этих вершин (не считая А и CJ до этой плоскости, если ребро куба равно 6. (Рассмотрите два случая.)
5.	В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = а, АВ = а. Расстояние от точки М до плоскости треугольника также равно а. Проекцией точки М на плоскость треугольника является точка Мг пересечения медиан треугольника АВС. Найдите расстояния от точки М до вершин треугольника и до прямых, содержащих его стороны.
6.	Точка М лежит внутри двугранного угла величиной 60° и удалена от его граней на расстояния 3 и 5. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла.
Вариант 1
1.	Длины всех ребер тетраэдра равны 6. Все вершины тетраэдра одинаково удалены от некоторой плоскости. Найдите расстояние от вершины тетраэдра до этой плоскости (рассмотрите два случая).
2.	ABCD — ромб с острым углом ZA = а, АВ = а. Расстояние от точки М до плоскости ромба равно а. Ортогональной проекцией точки М на плоскость ромба является точка Мг, лежащая на отрезке АС так, что МГА = ЗМГС. Найдите расстояния от точки М до вершин ромба и до прямых, содержащих его стороны.
3.	Точка М лежит внутри двугранного угла величиной 45° и удалена от его граней на расстояния 4 и Зл/2 . Найдите расстояние от М до ребра двугранного угла.
Вариант 2
1.	Длины всех ребер тетраэдра равны между собой. Все вершины тетраэдра одинаково удалены от некоторой плоскости на расстояние, равное 6. Найдите длину ребра тетраэдра (два случая).
2.	ABCD — ромб с тупым углом Z А = а и АВ = а. Расстояние от точки М до плоскости ромба также равно а, при этом
163
точка Мх — проекция точки М на плоскость ромба — рас-
Q
положена на луче АС так, что МХА = -АС. Найдите рас-£
стояние от М до вершин ромба и прямых, содержащих его стороны.
3.	Точка М лежит внутри двугранного угла величиной 120° и удалена от его граней на расстояния соответственно 4 и 6. Найдите расстояние от М до ребра двугранного угла.
К—10—7
Векторы в пространстве
Задачи для подготовки
1.	Пусть Z(a, Ъ) = Z(а, с) = 60°, Ь±с, |а| = 2, |&| = 3, |с| = 4. Найдите:
а)	а • Ь, а • с; Ь'с;
б)	(2а - 3&) • (Ь + с);
в)	|3а - Ъ + с|;
г)	угол между векторами За - b + с и (-&);
д)	все такие числа х, при которых векторы За - х • b + с и а + Ъ - х • с ортогональны;
е)	такое значение у, при котором вектор (у + 1)а - 2Ъ + у • с имеет наименьшую длину;
ж)	длину проекции вектора а на плоскость, которой параллельны векторы Ъ и с.
2.	МО — высота правильной четырехугольной пирамиды MABCD, плоский угол при вершине М которой равен а, а боковое ребро равно т. Пусть МА = а, МВ = Ъ, МС = с. а) Разложите векторы МО и MD по векторам а, Ъ, с.
б)	Найдите угол между векторами AD и МС.
в)	Найдите угол между векторами МС и АК (где К — точ ка пересечения медиан треугольника MDC).
3.	Пространственный базис состоит из трех единичных векторов ОА, О В, ОС, угол между любыми двумя из которых равен 60°. Разложите в данном базисе единичный вектор OD, образующий с этими векторами равные углы. (Рассмотрите все возможные случаи.)
164
Вариант 1
1.	Пусть |а| = |&| = 2, |с| = 3; a Lb, а±с, Z(&, с) = 60°. Найдите: а) а • b; а*с; b • с; б) |а - 3& + с|; в) угол между векторами х = а - ЗЬ + с и у = Ь - с; г) все такие числа а, при которых векторы т = За + ab - с их — а-ЗЬ + с ортогональны; д) такие значения t, при которых длина вектора р = За + + 2tb — (t + 1)с наименьшая.
2.	Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, у которой длины всех ребер равны 1. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите:
а) АВ • СВ^; б) Z(i7B, СВу); ^АуМ-С^В.
3.	В четырехугольной пирамиде MABCD грань ABCD — параллелограмм и МА = а, МВ = Ъ, МС = с.
а)	Разложите вектор MD по векторам а, Ъ, с.
б)	Точка К — середина отрезка AM; Р — такая точка отрезка МС, что ЗМР = PC; L — такая точка отрезка МВ, что ML = 3LB. В каком отношении плоскость KLP делит отрезок MD, считая от точки М?
Вариант 2
1.	Пусть |а| — |&| = 2, |с| = 3; aLb, ale, Z_ (b, с) = 120°. Найдите: а) а • b; cDc; b- с; 6)Ja + ЗЬ - с|; в) угол между векторами х = а + ЗЪ-сиу = 2Ъ*+ с; г) все такие числа а, при которых векторы т = 2а-аЬ + сих = а + ЗЬ-с ортогональны; д) такие ^значения t, при которых длина вектора р = 2а -- 3(t + 1)& + 2tc наименьшая.
2.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с основанием ABCD длины всех ребер равны 1. Точка К — середина отрезка МС, Р — точка пересечения медиан треугольника АМВ. Найдите: а) AM ‘ СА; б) A(DK, АВ);
b)MC-DP.
3.	В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки D и М — середины ребер соответственно DtK и В^у Пусть АС = а, ADX — Ъ, АВГ = с. Разложите векторы АСХ и КМ по векторам а, Ъ, с.
165
К—10—8
Координаты в пространстве
Задачи для подготовки
1.	В пространстве заданы две точки А(0; 1; -1) и В(0; -1; 0). Найдите геометрическое место всех точек М пространства,
к
для которых выполняется условие AM = - ВМ.
о
Основание АВС правильной треугольной
2.
3.
призмы
ABCAjBjCp все ребра которой равны между собой, лежит в плоскости Оху, причем А(0; 1; 0), В(0; -1; 0). Найдите координаты остальных вершин. (Рассмотрите все возможные случаи.)
В пространстве заданы четыре точки: А(3; 2; 1), В(1; 1; 0), С(0; 0; 4), D(-l; 0; 1).
а)	Напишите параметрические уравнения прямой ВС.
б)	Напишите уравнение плоскости АВС.
в)	Напишите уравнение сферы, диаметром которой является отрезок AD.
г)	Определите взаимное расположение прямой ВС и этой
сферы.
д)	Напишите уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке D.
е)	Найдите расстояние между прямыми ВС и AD.
Вариант 1
1.	В пространстве заданы две точки А(0; 2; 0) и В(0; -6; 0). Найдите геометрическое место всех точек М пространства, для которых выполняется условие: AM = ЗМВ.
2.	В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны между собой, известны координаты вершин А и С: А(-2; 0; 0); С(2; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин пирамиды, если вершина Р принадлежит оси Oz.
3.	В пространстве заданы четыре точки: А(1; 1; 1), В(1; 2; -2), С(9; 0 ;0), 0(2; 3; 4).
а)	Напишите параметрические уравнения прямой ВС.
б)	Напишите уравнение плоскости АВС.
в)	Напишите уравнение сферы, диаметром которой является отрезок AD.
г)	Определите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.
166
д)	Напишите уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке А.
е)	Найдите расстояние между прямыми ВС и AD.
Вариант 2
1.	В пространстве заданы две точки А(-6; 0; 0), В(3; 0; 0). Найдите геометрическое место всех точек М пространства, для которых выполняется условие: AM = 2МВ.
2.	Основание АВС правильного тетраэдра ABCD лежит в плоскости Оху, причем известны координаты вершин А и В: А(1; 0; 0); В(-1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин тетраэдра.
3.	В пространстве заданы четыре точки: А(2; 0; 0), В(2; 1; -3), С(10;-1;-1), D(3; 2; 3).
а)	Напишите параметрические уравнения прямой ВС.
б)	Напишите уравнение плоскости АВС.
в)	Напишите уравнение сферы, диаметром которой является отрезок AD.
г)	Определите взаимное расположение прямой ВС и этой сферы.
д)	Напишите уравнение плоскости, касающейся этой сферы в точке D.
е)	Найдите расстояние между прямыми ВС и AD.
К—10—9
Итоговое повторение
Задачи для подготовки
1.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD тангенс угла наклона апофемы к плоскости основания равен л/2. Точка К лежит на стороне основания АВ и делит ее в отношении 1:5, считая от точки А. Найдите угол между прямой КМ и плоскостью DMC.
2.	ABCDA1B1C1D1 — правильная четырехугольная призма, ребро основания которой равно 15, а высота —15д/3 . Точка К лежит на ребре основания А1О1 и делит его в отношении 1 : 4, считая от Ар а точка Р лежит на ребре основания П1С1 и делит его в отношении 1 : 2, считая от П1.
167
а)	Постройте сечение призмы плоскостью ВКР.
б)	Найдите величину двугранного угла BfKPyB^
в)	Найдите площадь сечения.
3.	ABCD — квадрат со стороной 12. Точка К лежит на стороне CD так, что СК = 3. Прямая КМ перпендикулярна плоскости квадрата, при этом длина отрезка КМ равна 4 л/3. Найдите: а) угол между прямой BD и плоскостью MCD; б) расстояние между прямыми МК и АС; в) угол между прямыми MD и АС.
Вариант 1
1.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD плоские углы при вершине М равны 60°. Точка К лежит на стороне АО основания и делит ее в отношении 1 : 3, считая от точки А. Найдите угол между прямой КМ и плоскостью DM С.
2.	В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром Ь точка К лежит на ребре АО и делит его в отношении 1 : 2, считая от точки А; точка Р — середина ребра DC.
а)	Постройте сечение куба плоскостью ВХКР.
б)	Найдите величину двугранного угла ВХ(КР)В.
в)	Найдите площадь сечения.
3.	В ромбе ABCD сторона равна 6, a Z А — 60°. Точка К лежит на стороне CD так, что СК = 2. Из точки К к плоскости ромба проведен перпендикуляр КМ, длина которого равна 6. Найдите:
а)	угол между прямой АО и плоскостью MCD;
б)	расстояние между прямыми МК и BD;
в)	угол между прямыми МС и BD.
Вариант 2
1.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45°. Точка К лежит на стороне основания CD и делит ее в отношении 5 : 3, считая от точки С. Найдите угол между прямой КМ и плоскостью DMA.
2.	ABCDAlB1ClDl — правильная четырехугольная призма с ребром основания 8 см и высотой 8,8 см. Точка К лежит на ребре основания АО и делит его в отношении 5 : 3, считая от D; точка Р — середина ребра АВ.
168
а)	Постройте сечение куба плоскостью СгКР,
б)	Найдите величину двугранного угла С^КРуС.
в)	Найдите площадь сечения.
3.	В ромбе ABCD сторона равна 8, a ZA = 120°. Точка К лежит на стороне CD так, что СК = 2. К плоскости ромба проведен перпендикуляр КМ, длина которого равна 4. Найдите:
а)	угол между прямой AD и плоскостью MCD',
б)	расстояние между прямыми МК и BD;
в)	угол между прямыми МС и BD.
Ответы к контрольным работам
Контрольная работа
на повторение курса 9 класса
Задачи для подготовки
1. 40°, 140°, 140°, 40°; ВС = R. 2. 2 Л0; 6 Ло, 20 (см); радиус описанной окружности 10 см; радиус вписанной окружности (4 ДО - 10) см. 3. 9 : 5. 4. АВ = Л17; ВС = 12; АС = 9. g 22?2(sin а + 1) sin а
Вариант 1
1. 22? или	R. 2. 3. 3. 5. 4. 1,5; ™Л1. 5.60°, 60°,
120°, 120°.
Вариант 2
1. 2г или г Л • 2. 10. 3.	4. 1? ; | Л1 - 2. 5. 30°.
А	о о
Вариант 3
1. 9. 2. 11 : 7. 3. Ll^2?.4. л(Л - l)d.
Вариант 4
1. 6. 2. 7. 3. ^1§2?. 4. ir.
К—10—1
Задачи для подготовки
1. а) 60; б) 47273; в) 60. 2. в) Y1Y2 = 6; г) Y2; д) Y2N (или TN); е) 1 : 3.
Вариант 1
1. а) 30; б) в) 30. 2. в) 8 Л7; д) 1 : 1; е) ВМ.
170
Вариант 2
1. а) 6; б) 1,25л/39 ; в) 2л/21. 2. в) 4; г)Хх; д) Х2К (или РК);
е) 1 : 1.
К—10—2
Задачи для подготовки
1. а)
	Прямые	Расположение прямых	Величина угла между прямыми
1	LNnEG	Скрещиваются	90°
2	F^T и FH	Пересекаются	, 1 arctg —— 2^2
3	F^N и КТ	Параллельны	0°
4	TN и EG	Скрещиваются	60°
5	FrT и KN	Пересекаются	arccos — Тб
6	КН1 и LN	Скрещиваются	30°
б) 2. 272.
Вариант 1
1. а)
	Прямые	Расположение прямых	Величина угла между прямыми
1	KF и МР	Параллельны	0°
2	KFw.BC	Скрещиваются	60°
3	KPwMF	Пересекаются	90°’
4	BFwMP	Скрещиваются	Уз arccos 6
5	КР w ВС	Пересекаются	90°
6	CMwKF	Скрещиваются	30°
171
б) . 2. 5.
Вариант 2
1. а)
	Прямые	Расположение прямых	Величина угла между прямыми
1	КРиМР	Параллельны	0°
2	КМиРР	Параллельны	0°
3	KFW.BD	Скрещиваются	90°
4	DC1 и KF	Скрещиваются	60°
5	FPnAD	Пересекаются	arctg л/2
6	МР и BjC	Скрещиваются	60°
б) 2. 3,5л/3.
К—10—3
Задачи для подготовки
1. 6)x(V5 + V2); в) 2. б) 2а; в) х(а - х). 3. б) 1(а2 -
-x2)V7. 4. били 21. 5.	6. 1Ё^.7. 1011.8. 60°; 75°;
4	2	4
150°; 75°. 9. в) 1; г) 1 : 1; д) л/3. 10. Сумма углов равна 180°, если х е (0; 4]; 360°, если х е (4; 7). 11. 180°, если х е (0; 2]; 720°, если хе (2; 4); 180°, если хе [4; 6). 12.180°, если х е (0;4]; 360°, если х е (4; 6).
Вариант 1
1. 2 или 22. 2. 60°; 120°; 60°; 120°. 3. г) л/3 ; д) 1; 2.
Вариант 2
1. 2 или 8. 2. 50°; 130°; 65°; 115°. 3. в) г) 1 : 1; д)
172
К—10—4
Задачи для подготовки
1.	arccosУ?. 2. a) arcsin ^sin. ; б) arcsin 2	.
4	2	75
• ф	• Р
sin2	sinS	(	щ
3. arccos----4. 2arcsin-----5. 2arcsin coscp • sin£ . 6. Пря-
. В	cos <p	\	2 /
sing
мые а и b параллельны, а прямая с либо параллельна им,
либо их пересекает. 7. б)^(2л/2 + 1); в) У?; г) 3 : 5. 4	о4
8. 6)^(3 + 72); в)|а272; г) 1 : 5. 9. б) 2,5а; в)
г) 5 : 1. 10. 3 либо 6.
Вариант 1
1. arccos^. 2. а) ср; б) arcsin(72sincp). 3. a\\b. 4. 3; о	Z
Вариант 2
1. arccos /|. 2. a) arccos Д + ?0S -Т ; б) ф. 3. а||р. 4. 7? ; 14. у о	у Z	9
К—10—5
Задачи для подготовки
1. а) 90°; 6)60°; в) arctg А; г) arctg д) 2arcsin А.
7з	2	77
2. a) CD = 730; б) arcsin	3. arccos |.
Вариант 1
1.	а) 90°; б) 60°; в) arctg; г) arctg; д) 2arcsin .
7з	4
2.	a) CD = 723; б) arcsin /^5.3. arccos ? .
у 40	3
Вариант 2
1. а) 90°; б) 60°; в) 30°; г) л - 2arcsin гф; д) 60°. 2. a) CD = = 721; б) arcsin— . 3. arccos?.
77	3
173
К—10-6
Задачи для подготовки
1. 12. 2. 14. 3. 7,5. 4. л/3 и 3. 5. МА = МС =
% 110 + 8sin2 о	2
МВ
% /в + 4cos2^; о у	2
р(М; АВ) =
р(М; ВС) =
= £ 79 + sin2 а ; р(М; АС) = £ /э + cos2 £. 6. 1^?. о	3^23
Вариант 1
1. Тб
и.7^5. 2. МА =
£ U + 9cos2 “ ; МС = “ к + cos2 “ ; & у	Л	Л А]	Л
МВ = MD
% 5 + 3sin2 “; р(М; ВС) = р(М; СП) =
= | 716 + sin2 а; р(М; АВ) = р(М; AD) = “ 716 + 9sin2 а.
3.	2729.
Вариант 2
1. 676 и 1272.2.МА = а 1 + 9cos2^; МС = а 1 + cos2
AJ
а , 2 ’
МВ = MD = а 2 + 3cos2 £; р(М; ВС) = р(М; CD) = Li
= | 74 + sin2 а ; 3. 4 • Д.
Тестовая работа
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
в	В	А	Б	Б	В	В	Г	Б	Б	Б	Г	В	А	Б	А	В	Г
К—10—7
Задачи для подготовки
1. а) а • Ь = 3; а • с = 4; b • с = 0; б) -13; в) Тб7; г) 90°; д) х =
8
е) у = --L; ж) 72. 2. а) МО =	+ ^с; MD = а + с - Ь;
174
б) £ + “; в) arccos 4 5cos а . 3. OD = ^-ОА + ^-ОВ + 2	2	717- 16cosa	6	6
+ ^.ОС или 0D = ОА - ^ОВ - ОС. 6	6	6	6
Вариант 1
1. а) а • b = 0; d'C = 0; b • с = 3; б) л/31; в) arccos f- ®.
к Т2177
г) а = g; д) t = ~ Д,- 2. а) б) arccos в) 1. 3. а) а - b + с; о	Io	Z	v 4'
б) 3 : 11.
Вариант 2
1. а) а • Ъ = 0; а • с = 0; Ъ • с = -3; б) л/б7; в) arccos—;
713 • Тб7
г) а = -2; д) t = -* 2. а) -1; б) 30°; в) -*. 3. Г-а + 4 Ъ + 4 с; О	Li	О	Li	Li	Li
К—10—8
. 2. Возмож-
Задачи для подготовки 15 /5 1. Сфера радиуса —7— с центром 16
ны четыре случая: 1) С(73; 0; 0), А^О; 1; 2), В^О; -1; 2), С1(Л/3; 0; 2); 2)С(л/3; 0; 0), А^О; 1; -2), В^О; -1; -2), С^ТЗ; 0; -2); 3)C(-j3; 0; 0), Ах(0; 1; 2), Вх(0; -1; 2), С^-ТЗ; 0; 2); 4)С(-л/3; 0; 0), А^О; 1; -2), В^О; -1; -2), х = t,
Сх(-а/З; 0; 2). 3. < у = t, t е R; б) 5х — 9у - z + 4 = 0; z = 4 - 4t,
в) (х - I)2 + (у - I)2 + (z - I)2 = 5; г) прямая пересекает сфе-ру; д) 2х + у + 2 = 0; е) д.
Вариант 1
1. Сфера радиуса 3 с центром (0; -7; 0). 2. Возможны четыре случая: 1) В(0; 2; 0), В(0; -2; 0), Р(0; 0; 2); 2) В(0; -2; 0),
175
D(0; 2; 0), Р(0; 0; 2); 3) В(0; 2; 0), £>(0; -2; 0), Р(0; 0; -2); х = 9 + 8t,
4) В(0; -2; 0), £>(0; 2; 0), Р(0; 0; -2). 3. а) \у = -2t, t е Я; z — 2t,
б) х + бу + 2z - 9 = 0; в) (х - 1,5)* 2 + (у - 2)2 + (г - 2,5)2 = 3,5; г) прямая не имеет общих точек со сферой; д) х + 2г/ + 3z -
- 6 = 0; е) .
7227
Вариант 2
1. Сфера радиуса 6 с центром (6; 0; 0). 2. Возможны четыре
случая: 1)0(0; 73; 0), nfo; А; \ 2)0(0; л/З; 0), v 7з 37
l)fo; -L; -^1; 3)0(0; -л/3; 0), nfo; --L;
' А/з з j	v 7з 3 ч * * 7
9 /а л х = 2 + 8t,
. 3. а) \у = 1 -2t, teR;
3	z = -3 + 2t,
б) х + бу + 2z - 2 = 0; в) (х - 2,5)2 + (у - I)2 + (z - 1,5)2 = 3,5; г) прямая не имеет общих точек со сферой; д) х + 2у + 3z -
-16 = 0; е) --3-8.. .
7227
4) 0(0; -73; 0), Z)f0; -± v 7з
К—10—9
Задачи для подготовки
1. arcsin^!.	2. б) 60°; в) 390.	3. а) 45°; б)
731	2
ч	9
в) arccos-—=.
7201
Вариант 1
1. arcsinE. 2.6)45°; в)	3. а) 60°; 6)273;
N 1о	6
. 1
в) arccos—— .
2710
Вариант 2
1. arcsin 2. б) 45°; в) 5872.3. а) 60°; б) 3; в) arccos
176
Зачеты
Зачет № 1. Введение в стереометрию. Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве (повторение темы «Треугольники»)
Билет № 1
1. Теорема о плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней точку.
2. Теорема Пифагора. Обратная ей теорема.
3. По данным рисунка определите взаимное расположение и величину угла между данными в кубе прямыми.
4. В треугольник АВС со сторонами АВ = 10, АС = 11 и ВС = 7 вписана окружность, касающаяся стороны АС точке К. В каком из треугольников ВСК или ВАК лежит центр этой окружности?
Билет № 2
1. Теорема о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
2. Теоремы об окружности, вписанной в треугольник. Формулы для вычисления радиуса этой окружности. Частные случаи. Вневписанные окружности.
3. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные на рисунке точки. Определите вид сечения.
4. Длины двух высот треугольника равны 5 и 17. В каких пределах может изменяться третья высота треугольника?
Билет № 3
1. Теорема о плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
2. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
3. Определите взаимное расположение и величину угла между данными прямыми в правильной треугольной призме, все ребра которой равны между собой.
177
4. Длины двух медиан треугольника равны 5 и 17. В каких пределах может изменяться третья медиана треугольника?
Билет № 4
1.	Взаимное расположение прямой и плоскости. Выполнение простейших стереометрических чертежей (на примерах).
2.	Теоремы об окружности, описанной около треугольника. Формулы для вычисления радиуса этой окружности. Частные случаи. Теорема синусов.
3.	Постройте сечение правильного тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные на рисунке точки. Определите вид сечения.
4.	В треугольнике АВС АВ =12, ВС = 7, АС = 5. На стороне АВ выбрана внутренняя точка К так, что прямая СК отсекает от треугольника АВС треугольник, ему подобный. Найдите все возможные значения длины отрезка СК.
Билет № 5
1.	Изображение и простейшие свойства стереометрических фигур: куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды, сферы и шара. Построение сечений куба и тетраэдра.
2.	Теорема косинусов.
3.	Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные на рисунке точки. Определите вид сечения.
4.	Дан равносторонний треугольник АВС со стороной 8 «/3 . Расстояние от точки К до прямых АВ и АС равны соответственно 3 и 4. Какие значения может принимать расстояние от точки К до прямой ВС?
Билет № 6
1.	Пересекающиеся и параллельные прямые в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признаки скрещивающихся прямых.
2.	Признаки подобия треугольников.
3.	Постройте сечение правильной треугольной пирамиды, все ребра которой равны между собой, плоскостью, проходящей через три данные на рисунке точки. Определите вид сечения.
4.	В треугольник АВС со сторонами АВ = 7, ВС = 8, АС = 9 вписана окружность, касающаяся сторон АВ и ВС соответственно в точках Сг и АР В каком отношении делит площадь треугольника прямая А^С^? (Дайте тот ответ, в котором значение отношения больше 1.)
178
Билет № 7
1.	Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плоскость.
2.	Формулы для вычисления площади треугольника. Вывод формулы Герона.
3.	Постройте сечение правильной треугольной призмы плоскостью, проходящей через три данные на рисунке точки. Определите вид сечения.
4.	В треугольнике АВС АВ = 3, АС = 4. Найдите длину третьей стороны, если угол С в два раза меньше угла В.
Билет № 8
1.	Теорема о транзитивности параллельности прямых в пространстве.
2.	Свойства медиан треугольника. Центроид (центр тяжести) треугольника.
3.	По данным рисунка определите взаимное расположение и величину угла между данными в кубе прямыми.
4.	Постройте треугольник по двум углам и радиусу описанной окружности.
Билет № 9
1.	Направление в пространстве. Теорема о равенстве двух углов с сонаправленными сторонами. Определение угла между скрещивающимися прямыми.
2.	Свойства биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности.
3.	По данным рисунка определите взаимное расположение и величину угла между данными в правильном тетраэдре прямыми.
4.	Постройте треугольник по данным стороне, высоте, опущенной на эту сторону, и медиане, проведенной к другой стороне.
Билет № 10
1.	Простейшие задачи на построение в пространстве: проведение через точку прямой, параллельной данной; прямой, скрещивающейся с данной.
2.	Свойство серединных перпендикуляров сторон треугольника. Центр описанной окружности и ортоцентр треугольника. Прямая Эйлера.
3.	По данным рисунка определите взаимное расположение и величину угла между данными в кубе прямыми.
179
4.	На плоскости даны три произвольные точки Av Вг и Cv являющиеся основаниями высот некоторого треугольника. Постройте этот треугольник.
Ответы к задачам зачета № 1
(4-е вопросы билетов)
Билет № 1
4.	В треугольнике АВК.
Указание. Докажите, что основание Р биссектрисы АР лежит внутри отрезка АК-.
Билет № 2
4. Длина третьей высоты может принимать любое значение из /%19 „ 1 А промежутка ^3^; 7
Указание. Если h — третья высота, aS — площадь треугольника, то на основании «неравенств треугольника» 2S_2S<2S<2S,2S
5	17 h 5	17’
Билет № 3
4. Длина третьей медианы может принимать любое значение из промежутка (12; 22).
Указание. Воспользуйтесь тем фактом, что существует треугольник, стороны которого параллельны и равны соответствующим медианам данного треугольника.
Билет № 4
4. В каждом из двух возможных случаев СК = 3,5.
Билет № 5
4. 5; 11; 13; 19.
Билет № 6
4. А.
47
Билет № 7
4. ВС = 2*
О
180
Билет № 8
4. Указание. Можно начертить окружность данного радиуса, а по данным двум углам определить соответствующие хорды, являющиеся сторонами искомого треугольника.
Билет № 9
4. Указание. Воспользуйтесь методом «удвоения медианы». А именно, пусть АВС — искомый треугольник, а AM — его медиана. При анализе построения треугольника АВС продлите AM и отложите на луче AM отрезок МАг, равный отрезку AM. Рассмотрите затем четырехугольник АВАгС (в частности, докажите, что это параллелограмм).
Билет № 10
4. Указание. Воспользуйтесь тем фактом, что точка пересечения биссектрис треугольника А1В1С1 является также и точкой пересечения высот искомого треугольника.
Рисунки к зачету № 1
К билету № 1
Дан куб. Определите взаимное расположение и величину угла между прямыми СгВ и ВГК, где К — середина ребра AD.
К билету № 2
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три точки М, N и К, где М — такая точка на луче АХВ1( что Вх — середина отрезка АгМ, N — середина отрезка DDV К — середина отрезка АВ. Определите вид сечения.
К билету № 1
К билету № 2
181
К билету № 3
Дана правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой. Определите взаимное расположение и величину угла между прямыми АгС и ВС1.
N К билету № 4
К билету № 4
Постройте сечение правильного тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные на рисунке точки М, N и Р. Определите вид сечения.
К билету № 5
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три точки К, М и Р. Определите вид сечения.
К билету № 5
К билету № 6
К билету № 6
Постройте сечение правильного тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные на рисунке точки F, КиР. Определите вид сечения.
182
К билету № 7
Постройте сечение правильной треугольной призмы плоскостью, проходящей через три данные на рисунке точки М, N и Р. Определите вид сечения.
К билету № 8
К билету № 8
По данным рисунка определите взаимное расположение и величину угла между данными в кубе прямыми BrD и KF, гдеKmF — середины ребер DDr и С1Л1 соответственно.
К билету № 9
По данным рисунка определите взаимное расположение и величину угла между данными в правильном тетраэдре прямыми АК и CF, гдеКиР — середины ребер CD и BD соответственно.
К билету № 9
К билету № 10
К билету № 10
По данным рисунка определите взаимное расположение и величину угла между данными в кубе прямыми А1С1 и КМ, где К и М — середины ребер ААТ и А1В1 соответственно.
183
Зачет № 2. Взаимное расположение прямой и плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости.
Угол между прямой и плоскостью (повторение темы «Окружность»)
Билет № 1
1.	Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости.
2.	Теоремы о касательной к окружности. Построение прямой, проходящей через данную точку и касающейся данной окружности (три случая).
3.	В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М — середина ребра В1С1, точка К — середина ребра ССг. а) Определите взаимное расположение прямой AM и плоскости сечения BDK куба, б) На плоскости А1В1С1 постройте такую точку Р, чтобы прямая РК была перпендикулярна плоскости сечения BDK.
4.	В окружности радиуса 10 проведена хорда длины 12, на которой взята точка Р, делящая эту хорду в отношении 1:11. Найдите расстояние от точки Р до окружности.
Билет № 2
1.	Теорема о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых проходит через одну из параллельных прямых.
2.	Теорема об отрезках касательных, проведенных к окружности из точки, лежащей вне круга данной окружности. Построение окружности данного радиуса, вписанной в данный угол.
3.	Прямые АВ, АС и AD образуют с плоскостью равностороннего треугольника BCD углы, равные а. Найдите величину угла между прямой AD и плоскостью АВС.
4.	Через точку М, находящуюся на расстоянии 18 от окружности с центром О и радиусом 7, проведена прямая, касающаяся этой окружности в точке К. Найдите расстояние от точки К до середины отрезка ОМ.
Билет № 3
1.	О плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых параллельно другой прямой.
184
2.	Теорема о метрическом соотношении касательной и отрезков секущей, проведенных к окружности из одной точки.
3.	В правильном тетраэдре ABCD точка М — середина ребра AD, точка К делит ребро DB в отношении 1:3, считая от D, и является серединой отрезка DP. а) Определите взаимное расположение прямой МК и плоскости сечения АРС тетраэдра, б) На плоскости сечения АРС постройте такую точку Т, чтобы прямая МТ была перпендикулярна этой плоскости.
4.	Через точку М проведены две равные хорды окружности радиуса R. Угол между прямыми, содержащими эти хорды, равен 60°. Найдите наименьшее значение длин этих хорд.
Билет № 4
1.	Решение простейших задач на построение в пространстве (проведение через точку прямой, параллельной данной плоскости, и плоскости, параллельной данной прямой).
2.	Теорема об отрезках хорд окружности.
3.	Прямая АК перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, при этом АК = АВ. Найдите угол между прямой ВК и плоскостью АКМ, если С — середина отрезка MD.
4.	Через точку М проведены две равные хорды окружности радиуса R. Угол между прямыми, содержащими эти хорды, равен 60°. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями расстояния между точками касания.
Билет № 5
1.	Прямая, перпендикулярная плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
2.	Измерение углов, связанных с окружностью. (Центральный угол; вписанный угол; угол между двумя пересекающимися хордами; угол между хордой и касательной к окружности в одном из концов этой хорды; угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга данной окружности.)
3.	В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны между собой, точки N и М являются серединами ребер соответственно АА1 и ВВ1. а) Определите взаимное расположение прямой NB} и плоскости сечения АСМ призмы, б) На плоскости А1В1С1 постройте такую точку Q, чтобы прямая MQ была перпендикулярна плоскости АСМ.
4.	Из бумажного круга вырезали три равных круга. Какой наименьший процент бумаги уйдет в отходы?
185
Билет № 6
1.	Перпендикуляр и наклонная. Теоремы о длинах перпендикуляра, наклонных и проекций.
2.	Длина окружности, длина дуги, радианное измерение углов.
3.	Гипотенуза АВ равнобедренного прямоугольного треугольника АВС наклонена к плоскости АСМ под углом 30°. Прямые МС, МА и МВ образуют с плоскостью треугольника АВС равные углы. Найдите величину этих углов.
4.	В угол величиной 60° вписаны три попарно касающиеся друг друга окружности, сумма радиусов которых равна 8. Найдите радиус наибольшей из них.
Билет № 7
1.	Теоремы о трех перпендикулярах (прямая и обратная).
2.	Площади круга и его частей.
3.	Дана правильная четырехугольная призма АВСПА1В1С1П1, у которой ABCD — основание и АА± = 2АВ. Точка М — середина ребра DC, К — точка пересечения диагоналей сечения призмы плоскостью МВ1С1. а) Определите взаимное расположение прямой ArD и плоскости МВ1С1 сечения призмы, б) На плоскости ADAX постройте такую точку Т, чтобы прямая КТ была перпендикулярна плоскости МВ^.
4.	Три круга радиусов 5, 2 и 3 попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках касания.
Билет № 8
1.	Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости. Теорема о двух прямых, перпендикулярных плоскости.
2.	Взаимное расположение двух окружностей. Формула для вычисления общей хорды двух окружностей через их радиусы R, г и расстояние между центрами d.
3.	Квадрат ABCD «перегнули» по его диагонали АС так, что прямая АВ образовала с плоскостью треугольника ACD угол в 30°. Чему в этом случае равен угол между прямыми АВ и CD, если двугранный угол B(AC)D — острый?
186
4.	Две окружности радиусов 5 и 8 касаются друг друга в точке Р, а общей их внешней касательной — соответственно в точках А и В. Найдите величину угла АРВ.
Билет № 9
1.	Построение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой. Построение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости.
2.	Общие касательные прямые двух окружностей. Вычисление длин отрезков общих касательных двух касающихся друг друга окружностей через их радиусы Ви г.
3.	Дана правильная четырехугольная призма АВСВ>А1В1С1В>1, у которой ABCD — основание и АВ = J2 -АА^ Точка М — середина ребра DDr, точка К делит отрезок АС в отношении 1 : 3, считая от А. а) Определите взаимное расположение и угол между прямой АХК и плоскостью сечения АМСХ призмы. б) На плоскости А^^ постройте такую точку Е, чтобы прямая ME была перпендикулярна плоскости АМСг.
4.	В окружность радиуса R вписан одиннадцатиугольник, одна сторона которого равна R, а девять из десяти остальных сторон равны между собой. Найдите наибольшее значение, которое может принимать отношение площади этого одиннадцатиугольника к площади круга.
Билет № 10
1.	Определение угла между наклонной и плоскостью. О величине угла между наклонной и плоскостью. Угол между прямой и плоскостью.
2.	Метрические соотношения в правильных, вписанных в окружность и описанных около нее.
3.	Прямые МКг, МК2, МК3, ..., МК18 образуют равные углы с плоскостью АВС, в которой лежат все точки Kt(i = 1, ..., 18). Причем ВКг = ВКг1, аАК7 = АК15. Точки Т и Q — середины отрезков соответственно К1К11 и К7К15. Прямые BJ1 и AQ пересекаются в точке L. Найдите угол между прямой ML и плоскостью АВС.
4.	На хордах АВ и CD окружности радиуса 7 выбраны такие точки К и М, что АК • КВ = CM -MD = 40. Какое наибольшее значение может принимать длина отрезка КМЧ
187
Ответы к задачам зачета № 2
(3-й и 4-й вопросы билетов)
Билет № 1
3. Прямая AM пересекает плоскость BDK.
Указания. Рассмотрите среднюю линию ON в треугольнике АМС, где О — точка пересечения диагоналей основания ABCD, а Л' — середина МС. Докажите, что ON пересекает плоскость BDK. Для построения точки Р достаточно рассмотреть сечение А/ЦС^С. В плоскости этого сечения можно построить перпендикуляр РК к прямой ОК (точка Р лежит на АгСг).
4. 789.
Билет № 2
3. arrsin 3sinacosct 4 12 5 л/4 — 3cos2 а
Билет № 3
3. МК\\(АСР).
Указание. Докажите, что середина отрезка АР является искомой точкой Т.
4. R.
Билет № 4
3. arcsin-A= . 4. Я(73 - 1).
710
Билет № 5
3. ВГК\\(АСМ).
Указания. В плоскости сечения BBrKrK достаточно построить прямую MQ .L МК (КиК1 — середины ребер АС и АхСг соответственно). Точка Q, лежащая на В^К^ является искомой. (Другой способ: докажите, что : 0Кг — 1 : 2.)
4.	~ 2 • 100%.
473 + 7
Билет № 6
о + 72 л 72
3. arctg 4. п.
188
Билет № 7
3.
Указания. Рассмотрите плоскость сечения £>А1В1; докажите, что прямые АрО и ВАМ пересекаются. Докажите, что искомая точка Т лежит на средней линии прямоугольника AD-DpAp параллельной ААр и делит ее в отношении 13 : 19, считая от прямой А^у
л 15^3
4- —
Билет № 8
3. arccos ?—4. 90°.
4
Билет № 9
3. Прямая АгК пересекает плоскость АМСа под прямым углом.
Указание. Точку Е можно построить, например, следующим образом. Пусть С2 такая точка, что С является серединой отрезка ВС2. (Очевидно, что ACC2D — параллелограмм.) Пусть точка F делит отрезок DC2 в отношении 1 : 3, считая от D. Искомая точка Е — это середина отрезка DF.
4 10 + Тз
4л
Билет № 10
3. 90°.
Указание. Докажите, что все точки Kt лежат на одной окружности, a L — ее центр.
4. 6.
Зачет № 3. Параллельное проектирование. Параллельные плоскости.
Угол между двумя плоскостями.
Расстояния в пространстве
(повторение темы «Четырехугольники»)
Билет № 1
1.	Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования. Ортогональное проектирование, его свойства.
2.	Свойства параллелограмма.
189
3.	Пусть точка К делит ребро ААг куба ABCDA1BlC1D1 в отношении 2:1, считая от А. Через точку К проведите сечение куба, параллельное плоскости А1С1£>, и постройте ортогональную проекцию этого сечения на грань ABCD.
4.	Биссектриса угла А параллелограмма ABCD разделила сторону ВС в отношении 3 : 7, считая от В. Найдите площадь параллелограмма, если его периметр 1 м, и один из углов в два раза больше другого.
Билет № 2
1.	Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Параллельность плоскостей. Признаки параллельности двух плоскостей.
2.	Признаки параллелограмма. Площадь параллелограмма.
3.	Пусть ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром а, К и F — середины ребер DDr и C1D1 соответственно. Найдите расстояние между прямыми BrD и KF.
4.	Площадь равнобедренной трапеции равна 8, а угол между прямыми, содержащими диагонали трапеции, равен 30°. Чему равна высота трапеции?
Билет № 3
1.	Теорема о линиях пересечения двух параллельных плоскостей с третьей плоскостью. Теорема о прямой, пересекающей одну из двух параллельных плоскостей.
2.	Ромб. Свойства и признаки ромба. Формулы вычисления площади ромба.
3.	Пусть АВСА1В1С1 — правильная треугольная призма с равными ребрами (АВС — основание). Найдите угол между плоскостью сечения АгВС и гранью ВВ1С1С.
4.	В четырехугольнике ABCD величины углов А, В, С и D относятся как 2 : 3 : 4 : 3, а вершина С удалена от прямых АВ и AD соответственно на 5 и 16. Найдите диагонали четырехугольника.
Билет № 4
1.	Теорема о плоскости, пересекающей одну из двух параллельных плоскостей.
2.	Прямоугольник, его признаки и свойства. Формулы вычисления площади прямоугольника.
3.	На разных гранях двугранного угла величины 60° взяты точки А и В, при этом точки Аг и Вг — их соответствующие
190
проекции на ребро двугранного угла; А1В1 = 24, ААГ = 5, ВВХ = 8. Найдите расстояние между точками А и В.
4.	Высоты параллелограмма относятся как 2 : 7. В каком отношении делит площадь параллелограмма биссектриса его острого угла?
Билет № 5
1.	Теорема о проведении плоскости, параллельной данной плоскости, через точку, не лежащую на ней. Единственность такой плоскости. Теорема о транзитивности параллельности плоскостей в пространстве.
2.	Квадрат, его свойства и признаки квадрата. Формулы вычисления площади квадрата.
3.	Пусть ABCD — тетраэдр, а точки М, N, К находятся на его ребрах AD, BD и АС соответственно. При этом AM : MD = = 2:3; BN : MD =1:2; АК : КС = 3 : 1, а расстояние от вершины D до плоскости сечения MNK равно 18. Найдите расстояния от остальных вершин тетраэдра до этого сечения.
4.	Точки М, N, Р и Q являются серединами сторон соответственно АВ, ВС, CD и AD четырехугольника ABCD, причем МР = NQ = 5, а угол между прямыми МР и NQ равен arcsin 0,2. Найдите площадь четырехугольника MNPQ.
Билет № 6
1.	Теорема о прямой, перпендикулярной к одной из двух параллельных плоскостей.
2.	Площадь параллелограмма. Формулы вычисления площади параллелограмма.
3.	Для правильной четырехугольной пирамиды, у которой все ребра равны, найдите: а) величину угла между несмежными боковыми ребрами; б) величину угла между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани.
4.	Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников ADO и ВСО равны соответственно 49 и 4. Найдите площадь трапеции.
Билет № 7
1.	Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Теорема о линейном угле двугранного угла. Угол между двумя плоскостями.
2.	Трапеция. Теорема о средней линии трапеции. Теорема о четырех точках трапеции.
191
3.	Пусть ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром а. Докажите, ,что плоскости сечений AB1D1 и C}BD параллельны, и найдите расстояние между ними.
4.	Биссектрисы внутренних углов прямоугольника ABCD образовали четырехугольник площади 4. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 10.
Билет № 8
1.	Перпендикулярные плоскости. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Теорема о прямой, перпендикулярной линии пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей и лежащей в одной из них.
2.	Прямая и обратная теоремы о четырехугольнике, вписанном в окружность.
3.	Внутри двугранного угла величины 60° взята точка М, удаленная от его граней на расстояния 5 и 16. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла.
4.	Найдите угол между диагоналями трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен ее средней линии.
Билет № 9
1.	Теорема о прямой, перпендикулярной одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и имеющей со второй плоскостью общую точку. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей.
2.	Прямая и обратная теоремы о четырехугольнике, описанном около окружности.
3.	Построить на гранях куба множество точек, удаленных от середины диагонали куба на расстояние, равное 67,5% длины ребра куба.
4.	Точка О лежит внутри угла МТК. При помощи циркуля и линейки проведите через точку О прямую, пересекающую стороны угла МТ и КТ соответственно в точках А и В так, что О — середина АВ.
Билет № 10
1.	Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между прямой и плоскостью. Расстояние между двумя плоскостями. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
2.	Метрические соотношения в трапеции. Площадь трапеции.
3.	Найдите расстояние между прямой, содержащей боковое ребро правильного тетраэдра, и скрещивающейся с ней
192
прямой, содержащей медиану некоторой грани тетраэдра. (Длину ребра тетраэдра считать равной а.)
4.	Стороны четырехугольника МКТ В равны соответственно МК = 7; КТ = 7; ТВ = 15. Какой наибольший радиус может иметь вписанная в этот четырехугольник окружность?
Ответы к задачам зачета №3
(3-й и 4-й вопросы билетов)
Билет № 1
4 1573
’ 676 '
Билет № 2
3.	. 4. 2(73 - 1).
Билет № 3
3. arcctg^L 4. АС = 38/* 3; ВР = 19.
3	3
Билет № 4
3. АВ = 25. 4. 1:6.
Билет № 5
3. р(А; MNK) = 12, р(В; MNK) = 9, р(С; MNK) = 4. 4. 2,5.
Билет № 6
3. а) 90°; б) arccos^ . 4. 81.
3
Билет № 7
3.	4.46.
3
Билет № 8
3. 38лу/3. 4. 90°.
3
Билет № 9
on	“	а 7329
3. Совокупность шести равных окружностей радиуса —
(а — ребро куба), каждая из которых находится строго
7- 9061 Потоскуев
193
внутри квадрата соответствующей грани куба (центр квадрата является центром окружности).
Билет № 10
3.	а 4.
Л/ И 22
Зачет № 4. Векторы в пространстве.
Координаты в пространстве
(повторение темы «Координаты на плоскости»)
Билет № 1
1. Вектор в пространстве. Коллинеарность двух векторов и компланарность трех векторов. Угол между векторами. Линейные операции над векторами: сложение, вычитание, умножение вектора на число. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. О трех некомпланарных векторах в пространстве. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Векторный базис в пространстве. Координаты вектора в данном базисе пространства. Условие коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов в координатах.
2. Окружность как геометрическое место точек. Уравнение окружности в координатах.
3. Пусть М — точка, лежащая внутри куба ABCDA^B-fi^D^, а Мх, М2, М3 — ортогональные проекции точки М на ребра DC, AXDX и ВВХ соответственно. Известно, что Мг — середина DC, АХМ2 : M2Dr = 1:8, ВМ3 : М3ВХ = 1:2. Разложите
вектор AM по векторам АВ, AD, ААХ и найдите отношение ----------------->
длины вектора AM к длине ребра куба.
4. Прямая на координатной плоскости задана уравнением Зх + 4у + 12 = 0. На параболе у = х* 1 2 3 4 найдите ближайшую к этой прямой точку.
Билет № 2
1. Скалярное произведение векторов и его свойства. Формулы, связанные со скалярным произведением. Условие ортогональности двух векторов.
2. Уравнение прямой на плоскости. Виды уравнения прямой на плоскости.
194
3. Пусть ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром 2, а О — точка пересечения его диагоналей. Прямоугольная система координат с центром О определена таким образом, что положительное направление оси Ох — это луч ОМ, где М — точка отрезка B1Z>1 такая, что ОМ±ОВг; положительное направление оси Оу сонаправлено с лучом А1С1, а положительное направление оси Oz — это луч ОВг. Найдите координаты всех вершин куба.
4. Напишите уравнение окружности, симметричной окружности х2 + у2 + 2х + 7у = 0 относительно прямой у - х = 0.
Билет № 3
1.	Ортонормированный базис в пространстве. Прямоугольная декартовая система координат в пространстве. Координаты вектора, действия над векторами в координатах. Проекция вектора на ось в координатах. Условия коллинеарности и ортогональности двух векторов в координатах.
2.	Формула расстояния между точкой и прямой в координатах на плоскости.
3.	Пусть М — точка, лежащая внутри или на поверхности правильного тетраэдра ABCD, а В1г Сг, Dr — точки, полученные проектированием точки М на ребра АВ, AC wAD соответственно, — параллельно соответствующим граням, содержащим вершину А. Известно, что АВг : ВгВ = 1:5, АСг : СгС = 1:2, a Dr — середина АО. Разложите вектор
AM по векторам АВ, AC, AD и найдите отношение длины вектора AM к длине ребра тетраэдра.
4.	Даны точки А(-2; -5); В(11; -13). При каких значениях параметра а отрезок АВ не пересекает прямую 2х + Зу = а?
Билет № 4
1.	Координаты точки. Формулы нахождения: расстояния между двумя точками в координатах; координат середины отрезка и точки, делящей отрезок в данном отношении.
2.	Угол между двумя прямыми, заданными своими уравнениями на плоскости.
3.	Пусть ABCD — правильный тетраэдр с ребром 5, а О — середина ребра АВ. Прямоугольная система координат с центром О определена таким образом, что положительное направление оси Ох — это луч ОА, оси Оу — луч ОС, а положительное направление оси Oz сонаправлено с лучом HD,
195
где Н — основание высоты тетраэдра, опущенной из D. Найдите координаты всех вершин тетраэдра.
4.	Найдите геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до начала координат равно расстоянию от прямой х = 4.
Билет № 5
1.	Уравнение и неравенства, задающие множества точек в пространстве. Уравнение сферы и неравенство, задающее шар.
2.	Парабола как геометрическое место точек. Уравнение параболы в координатах.
3.	ABCDS — правильная четырехугольная пирамида с основанием ABCD, все ребра которой равны между собой. Пусть точка N делит диагональ BD основания в отношении 1 : 3, считая от В, а М — середина отрезка NS. Разложите вектор
AM по векторам АВ, AD, AS и найдите отношение длины вектора AM к длине ребра пирамиды.
4.	Даны точки А(-2; 0) и В(1; 0). Найдите геометрическое место всех точек С(х; у) плоскости, являющихся вершинами треугольника АВС с биссектрисой СО, где О — начало координат.
Билет № 6
1.	Плоскость в пространстве в координатах. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости и его частные случаи. Уравнение плоскости в отрезках; другие виды уравнений плоскости.
2.	Условие принадлежности трех точек одной прямой в координатах на плоскости.
3.	Найдите геометрическое место всех точек пространства, сумма квадратов расстояний каждой из которых до вершин правильной треугольной призмы равно 7, если каждое ребро призмы имеет длину 1.
4.	Найдите площадь треугольника с вершинами в точках А(-7; 11), В(8; 3) и С(-1; -13).
Билет № 7
1.	Формула нахождения угла между двумя плоскостями, заданными своими уравнениями; условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
196
2.	Парабола как геометрическое место точек. Уравнение параболы.
3.	АВСА1В1С1 — правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой. Пусть точка N делит ребро В1С1 в отношении 1:2, считая от Вг, аМ — середина отрез-
ка AN. Разложите вектор АМ по векторам АВ, АС, АА± -------------------------------------
и найдите отношение длины вектора АМ к длине ребра призмы.
4.	При каких значениях параметра Ъ прямая 5х + 12у = Ъ имеет хотя бы одну общую точку с окружностью х2 + у2 + 6х -- 8у = О?
Билет № 8
1.	Различные виды уравнений прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми, заданными своими уравнениями; условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве в координатах.
2.	Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам этой плоскости.
3.	Тетраэдр ABCD задан координатами своих вершин: А(1; 1; 1), В(3; 0; 1), С(0; 0; 7), £>(0; -6; 8,5). Докажите, что три вершины тетраэдра лежат в плоскости х + 2г/ + 2г-5 = 0и найдите длину высоты тетраэдра, опущенную на эту плоскость.
4.	Найдите оси симметрии гиперболы ху + 2х - Зу = 111.
Билет № 9
1.	Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах. Угол между прямой и плоскостью, условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в координатах.
2.	Гипербола как геометрическое место точек плоскости. Уравнение гиперболы.
3.	Пусть АВСА1В1С1 — прямоугольный параллелепипед такой, что АВ : AD : АА±= 3:4:6. Точка М лежит внутри этого параллелепипеда, а Мр М2, М3 — ортогональные проекции точки М на ребра АВ, AD тлАА1 соответственно, причем АМг : МгВ =2:1, АМ2 : M2D =1:1, АМ3 : М^ =
= 1:5. Разложите вектор АМ по векторам АВ, AD, ААг и найдите отношение длины вектора АМ к длине ребра параллелепипеда.
197
4.	Напишите уравнение прямой, симметричной прямой Зх + + 4у = 0 относительно точки М(-3; 2), и найдите расстояние между этими прямыми.
Билет № 10
1.	Формула расстояния от точки до плоскости в координатах. Методы вычисления расстояния между двумя параллельными плоскостями, между прямой и параллельной ей плоскостью, между двумя скрещивающимися прямыми, заданными своими уравнениями.
2.	Эллипс как геометрическое место точек плоскости. Уравнение эллипса.
3.	Найдите угол между плоскостями 2x + 2j/-z + 7 = 0h3x-- 4у - 12г = 0 и определите взаимное расположение прямой пересечения этих плоскостей и плоскости Оху.
4.	Начало координат О является центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС. Найдите координаты вершин треугольника, если Z В = 150°, точка А лежит на оси ординат, координаты точки С положительны, а длина отрезка ОС равна 2.
Ответы к задачам зачета № 4 (3-й и 4-й вопросы билетов)
Билет № 1
3.	AM = 1 • АВ + 1 • AD + 1 • ААг; 4. Точка с координа-Z	У	о	1о
/ 3 g \ тами	.
V 8 64У
»
Билет № 2
□0(0; 0; 73),а/-^; -J2; -2^\ В^О; 0; 73), с/^; J2; 2^1 V О	о /	V о	О /
D0; -2^1
1v 3	3 /
Указание. Воспользуйтесь следующими свойствами: точка О и середины шести ребер (A]?Dp £>1С, СС1 и т. д.) лежат в одной плоскости, параллельной плоскостям А1ВС1 и ADjC, кроме того, эти плоскости перпендикулярны диаго
198
нали B]D, а сечения А1ВС1 и АВ1С пересекают эту диагональ в точках, делящих ее на три равных отрезка.
4.	х2 + у2 + 7х + 2у = 0.
Билет № 3
3. AM- 1-АВ + 1 -АС + J -AD; |. 6	3	2	6
4. а е (-оо; -19) о (-17; +оо).
Билет № 4
3.	А(2,5; 0; 0), В(-2,5; 0; 0), eft); о\ Z>fo; 5а/|1 V 2	/ V о N о/
4.	Парабола х = -i у2 + 2. О
Билет № 5
—ч —1 —*	1 —/ч
3. AM = - • АВ + - • AD + - • AS;	. 4. Окружность радиуса
8	8	2	2
2 с центром (2; 0), — за исключением точек (0; 0) и (4; 0). (Окружность Аполлония.)
Билет № 6
3. Сфера радиуса с центром в середине отрезка ООГ, где О hOj — центроиды оснований призмы. 4. 39.
Билет № 7
3. AM- J -АВ + 1 -АС + J-AAj 5- 4. -32 <	98.
3	6	2	8
Билет № 8
3. 3. 4. х - у - 5 = 0; х + у - 1 = 0.
Билет № 9
3. AM = ?- AB + 1- Zd + 1-АА. ; * . 4. Зх + 4у + 2 = 0; 0,4. 3	2	6	2
Билет № 10
3. Угол между плоскостями равен arccos Их общая прямая пересекает плоскость Оху в точке с координатами (-2; -1,5; 0) и наклонена к этой плоскости под углом о
arcsin —— (Параметрические уравнения общей прямой: 729
х = -2 + 4t; у = -1,5 - St; z = 2t; t ей.) 4. A(0; 2), B(l; 73), C(73; 1).
199
Билеты по геометрии для 10 класса
Билет № 1
1.	Теорема о плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней точку.
2.	Теорема о перпендикуляре к одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, имеющем с другой плоскостью общую точку.
3.	Две стороны треугольника равны соответственно 5 и 8. При каких значениях третьей стороны этот треугольник может быть тупоугольным?
Ответ: (3; /39) (/89; 13).
4.	Найдите расстояние от точки (1; 2; 3) до прямой пересечения плоскостей х-у = 0иу~2=0.
Ответ: /2.
Билет № 2
1.	Теорема о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
2.	Теорема о линейных углах двугранного угла.
3.	Боковые стороны трапеции равны соответственно 3 и 7, а прямые, содержащие эти стороны, перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее основания относятся, как 1 : 2.
Ответ: 31,5.
4.	Квадрат ACMD и правильный треугольник АВС расположены так, что двугранный угол М(АС)В = 120°. Найдите расстояния от точки В до плоскости квадрата и от точки М до плоскости треугольника, если АС = 4.
Ответ: 3 и 2/3.
Билет № 3
1.	Теорема о плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
2.	Теорема об угле между наклонной и плоскостью.
200
3.	Стороны треугольника равны соответственно 13, 14 и 15. Найдите острый угол между прямыми, содержащими соответственно меньшую и большую высоты этого треугольника.
33
Ответ: arccos —.
65
4.	Найдите координаты всех точек М пространства, удаленных от плоскости Зх + 2у - 8z = 7 на такое же расстояние, что и начало координат О, при этом выполняется условие: отрезок ОМ не имеет общих точек с данной плоскостью. Ответ: координаты точек М удовлетворяют уравнению Зх + + 2у - 8z = 0.
Билет № 4
1.	Теорема о прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку пространства, не лежащую на данной прямой.
2.	Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых.
3.	Найдите меньший угол прямоугольного треугольника, если радиус вписанной в него окружности составляет 40% радиуса описанной около него окружности.
Ответ: arctg 0,75.
4.	Внутри двугранного угла взята точка, удаленная от граней этого угла на расстояния 12 и 15. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла, если его величина равна 60°.
Ответ: 27183.
Билет № 5
1.	Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых пересекает данную плоскость.
2.	Теорема о двух параллельных плоскостях, одна из которых перпендикулярна данной прямой.
3.	В квадрате ABCD на стороне ВС отмечена такая точка К, что ВК = 4, КС = 2; точка М — середина DC. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, К и М.
Ответ: ЦД
О
4.	Ребро правильного тетраэдра ABCD равно 6. Точки К, Н и Р лежат соответственно на ребрах AD, BD и CD так, что АК = = 3, ВН = 4 и СР = 2. Постройте на прямой АС такую точку
201
Т, что прямые РЕ и КТ пересекаются. Вычислите расстояние от точки Т до вершины D.
Ответ: бТз.
Билет № 6
1.	Признаки скрещивающихся прямых (2 теоремы).
2.	Признак параллельности двух плоскостей.
3.	В треугольнике АВС проведены высоты ААр ССг и биссектрисы АА2, СС2. При этом оказалось, что точка С} — середина АС2, а точка Аг — середина СА2. Найдите углы треугольника АВС.
Ответ: величины углов А, С и В соответственно равны
2л.
5 ’
4.	Два равных равнобедренных прямоугольных треугольника АВС и АВР лежат в разных гранях двугранного угла величины 60°. Найдите длину отрезка СР, если длина катета АВ равна 4 J2 Ответ: 8 или 4^/2.
Билет № 7
1.	Теорема о транзитивности параллельности прямых в пространстве.
2.	Теоремы о трех перпендикулярах (прямая и обратная) или обобщенная теорема о трех перпендикулярах.
3.	Касающиеся друг друга внешним образом две окружности радиусов 3 и 12 касаются прямой, по одну сторону от которой они располагаются. Найдите радиусы каждой из окружностей, касающихся данных двух окружностей и прямой.
Ответ: и 12. О
4.	MABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 10. Найдите расстояние между прямой АС и медианой МК грани MDC.
Ответ: л/10.
Билет № 8
1.	Теорема об углах между сонаправленными лучами.
2.	Теорема о проведении прямой, перпендикулярной данной плоскости.
202
3.	Сколько процентов составляет сумма квадратов медиан любого треугольника от суммы квадратов его сторон?
Ответ: 75%.
4.	Лучи АВ, АС и AM образуют острые углы ВАС, ВАМ и САМ, равные а. Луч АК образует с каждым из данных лучей равные тупые углы. Найдите величину этих тупых
углов.
Ответ: к - arccos
1 + 2cos а
3
Билет № 9
1.	Признак параллельности прямой и плоскости.
2.	Теорема о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости.
3.	Окружности радиусов 14 и 77 касаются друг друга внешним образом. Определите сторону правильного треугольника, две вершины которого лежат по две на каждой из данных окружностей.
Ответ: 22.
4.	Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины трех попарно скрещивающихся ребер куба, и найдите угол между плоскостью этого сечения и плоскостью одной из граней куба.
Ответ: arctgV2.
Билет № 10
1.	Теорема о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости.
2.	Признак перпендикулярности двух плоскостей.
3.	В трапецию вписана окружность радиуса 2. Точка касания окружности с нижним основанием трапеции делит это основание на отрезки длины 3 и 4. Найдите стороны и площадь трапеции.
Ответ: 7; 5; I; о У о
4.	Точки А и В лежат на разных гранях двугранного угла, величина которого равна 60°; Аг и В} — проекции точек А и В на ребро двугранного угла. Найдите длину отрезка АВ, если AAj = AlBi = ВВ1 = 2.
Ответ: 2 72.
203
1.
2.
3.
4.
Билет № 11
Теорема о линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых проходит через одну из двух параллельных прямых.
Уравнения плоскости.
Дана окружность радиуса R. Прямоугольный треугольник с острым углом а расположен так, что его гипотенуза является хордой данной окружности, а вершина прямого угла лежит на диаметре, параллельном этой хорде. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ: -fi2sin2a.. .
1 + sin2 2а
Постройте сечение куба АВС_ОА1В1С1_О1 плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно прямым АВг и ВК (точка К — середина ребра ССг). Сколько процентов составляет площадь сечения от площади поверхности куба?
Ответ: 12,5%.
Билет № 12
1.	Теорема о проведении плоскости, перпендикулярной данной прямой.
2.	Параметрические уравнения прямой.
3.	На сторонах прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 построены квадраты, лежащие вне треугольника. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах этих квадратов.
Ответ: 49.
4.	Точка К — середина стороны AD квадрата ABCD. Квадрат «перегнули» по прямой КС так, что образовался двугранный угол величиной 60°. Найдите отношение длины отрезка BD к длине диагонали квадрата.
Ответ: 70,4.
Билет № 13 Счастливый!
Вытащивший его ученик отвечает любой по его выбору билет из остальных 19.
Билет № 14
1.	Теорема о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.
204
2.	Теоремы о перпендикуляре и наклонной, об ортогональных проекциях равных наклонных, проведенных к плоскости из одной точки.
3.	В угол вписаны две окружности радиусов 1 и г, касающиеся друг друга. Найдите все возможные значения г, если величина данного угла а.
Ответ: tgz —-—J или tg^—-—J.
4.	Точка О не лежит в плоскости треугольника АВС и ОК =
= 3 • ОА + 2 • ОВ + 7 • ОС. Точка Т лежит на прямой ОК, и плоскость АВС проходит через середину отрезка ОТ. Разло-
жите вектор ОТ по векторам О А; О В; ОС.
Ответ: ОТ = - ОА + I- ОВ + 1-ОС.
2	3	о
Билет № 15
1.	Теорема о прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей.
2.	Теорема о двух прямых, перпендикулярных данной плоскости.
3.	Точки С и Т расположены так на дуге АВ окружности диаметра АВ = 6, что дуги АС и ВТ равны, при этом Z CAT = 20°. Найдите площадь фигуры, которая лежит во внутренней области угла CAT и ограничена хордами АС, АТ и дугой СТ. Ответ: л.
4.	В правильном тетраэдре с ребром 4 проведено сечение плоскостью, равноудаленной от всех вершин данного тетраэдра. Найдите площадь этого сечения.
Ответ: л/3 или 4.
Билет № 16
1.	Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями.
2.	Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3.	АТ — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что АТ2 = = АВ-АС-ВТ-СТ.
4.	Через вершину А в кубе проведено сечение АКТРМ так, что АК = АМ и КТ = РМ. Угол КАМ равен а. Найдите остальные углы пятиугольника АКТРМ и допустимые значения а. Ответ: два угла по 180° - а и два угла по 90° + 0,5а; 60° < а < 90°.
205
Билет № 17
1.	Теорема о проведении плоскости параллельно данной плоскости через точку пространства, не лежащую на данной плоскости.
2.	Уравнение сферы.
3.	Стороны АВ и AD параллелограмма ABCD равны соответственно 6 и 11, а диагональ BD равна 13. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются диагонали BD в точках М и К. Найдите длину МК.
Ответ: 5.
4.	Отрезок АВ — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых АК и ВТ, при этом АВ = АК = ВТ = а. Найдите угол и расстояние между прямыми ТК и АВ, если АК и ВТ перпендикулярны.
Ответ: arctgV2 и 7L.
72
Билет № 18
1.	Теорема о транзитивности параллельности плоскостей.
2.	Теорема о двух плоскостях, перпендикулярных одной прямой.
3.	Дан квадрат АВСП со стороной 5. Точки К иТ таковы, что АК2 + ВК2 + СК2 + DK2 = 99, a АТ2 + ВТ2 + СТ2 + DT2 = 101. Имеет ли отрезок КТ общие точки с описанной около квадрата окружностью?
Ответ: да.
4.	Два равных прямоугольных треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 имеют общую гипотенузу. Плоскости треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите все значения, которые может принимать расстояние между вершинами прямых углов.
Ответ: 2,4л/2; 0,27337.
Билет № 19
1.	Теорема о плоскости, пересекающей одну из двух параллельных плоскостей.
2.	Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна данной плоскости.
3.	Сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника равна 6. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Ответ: 2.
206
4.	Точки A(l; -1; 1), В(1; 3; 1) и С(4; 3; 1) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найдите координаты точки D, углы параллелограмма и длину диагонали BD.
Ответ: (4; -1; 1); все углы по 90°; BD = 5.
Билет № 20
1.	Теорема о свойстве плоских углов трехгранного угла.
2.	Скалярное произведение векторов и его свойства. Доказательство двух свойств на выбор учащегося.
3.	Окружность радиуса 2 касается дуги и диаметра полукруга радиуса 4. Найдите радиус окружности, касающейся дуги полукруга, диаметра полукруга и окружности радиуса 2. Ответ: 1.
4.	Точки М, К и Т отмечены на ребрах АВ, AD и AAt куба ABCDA1B1C1D1 так, что АК : КВ = 1 : 2, М — середина AD и АТ = 3FAV Плоскость МКТ пересекает диагональ куба АСг в точке Е. Найдите длину отрезка АЕ, если длина диагонали куба 19 м.
Ответ: 3 м.
Устные вопросы к экзамену по геометрии в 10 классе
1.	Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных точек.
2.	Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от вершин данного треугольника.
3.	Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от вершин данного прямоугольника.
4.	Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных параллельных плоскостей.
5.	Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных пересекающихся плоскостей.
6.	Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.
7.	Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.
8.	Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от трех прямых, содержащих стороны данного треугольника.
9.	Найдите геометрическое место точек пространства, удаленных от данной точки пространства на данное расстояние.
10.	Найдите геометрическое место точек пространства, из каждой из которых данный отрезок виден под прямым углом.
11.	Найдите геометрическое место точек пространства, удаленных от сферической поверхности радиуса R на расстояние R.
12.	Найдите геометрическое место точек пространства, удаленных от сферической поверхности радиуса R на данное расстояние а > 0 (рассмотрите всевозможные случаи соотношения R и а).
13.	Через данную точку вне данной плоскости проведены всевозможные прямые, параллельные этой плоскости. Найдите поверхность, образованную этими прямыми.
14.	Через данную точку проведены всевозможные прямые, перпендикулярные данной прямой. Найдите поверхность, образованную этими прямыми.
208
15.	Найдите геометрическое место точек пространства, равноудаленных от трех данных попарно пересекающихся плоскостей, перпендикулярных некоторой данной плоскости.
16.	Как расположены прямые а и Ъ, если они обе:
а)	параллельны некоторой данной прямой;
б)	параллельны некоторой данной плоскости;
в)	перпендикулярны некоторой данной прямой;
г)	перпендикулярны некоторой данной плоскости?
17.	Как расположены плоскости аир, если они обе:
а)	параллельны некоторой данной прямой;
б)	параллельны некоторой данной плоскости;
в)	перпендикулярны некоторой данной прямой;
г)	перпендикулярны некоторой данной плоскости?
18.	Как расположены прямая а и плоскость а, если они обе:
а)	параллельны некоторой данной прямой;
б)	параллельны некоторой данной плоскости;
в)	перпендикулярны некоторой данной прямой;
г)	перпендикулярны некоторой данной плоскости?
19.	Как расположены две сферы радиусов Rx и R2, если расстояние между их центрами равно а > 0 и R1 > R2?
20.	Как расположены плоскость а и сфера радиуса R, если расстояние от центра сферы до плоскости равно а? (Рассмотрите всевозможные случаи соотношения R и а.)
21.	Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) правильный треугольник; б) правильный четырехугольник; в) правильный пятиугольник; г) правильный шестиугольник; д) неправильный семиугольник?
22.	Вне плоскости а лежат две точки А и В. Найдите на плоскости а все точки, равноудаленные от точек А и В. (Рассмотрите случаи: отрезок АВ перпендикулярен плоскости а; отрезок АВ не перпендикулярен плоскости а.)
23.	На поверхности куба найдите все такие точки, из каждой из которых диагональ данной грани куба видна под прямым углом.
24.	Точка М лежит внутри куба с ребром длины а. Найдите сумму расстояний от этой точки до всех граней куба.
25.	Точка М лежит внутри правильного тетраэдра с ребром длины а. Найдите сумму расстояний от этой точки до всех граней тетраэдра.
26.	Шар радиуса R касается граней прямого двугранного угла. Найдите расстояние от центра шара до ребра этого двугранного угла.
209
27.	Шар радиуса R касается граней двугранного угла. Найдите расстояние от центра шара до ребра этого двугранного угла, если величина двугранного угла а.
28.	Где располагаются центры всех сфер, проходящих через: а) данную точку; б) две данные точки; в) три данные точки; г) четыре данные точки?
29.	Могут ли куб и сфера иметь ровно: а) одну общую точку; б) две общие точки; в) три общие точки; г) четыре общие точки; д) семь общих точек?
30.	Куб пересечен плоскостью, которая пересекает все его боковые ребра в их внутренних точках и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите ребро куба, если площадь полученного сечения равна 6л/3.
31.	Найдите угол между скрещивающимися диагоналями двух граней куба: а) соседних; б) противоположных.
32.	Высота четырехугольной пирамиды равна 6. Найдите расстояние от основания пирамиды до: а) середины бокового ребра; б) точки пересечения медиан боковой грани.
33.	Сколько существует плоскостей, равноудаленных от всех вершин куба?
34.	Сколько существует плоскостей, равноудаленных от всех вершин тетраэдра?
35.	Справедлива ли теорема: «Равные отрезки, заключенные между параллельными плоскостями, лежат на параллельных прямых»?
36.	Справедлива ли теорема: «Равные отрезки, заключенные между параллельными плоскостями, имеют равные ортогональные проекции на эти плоскости»?
37.	Справедлива ли теорема: «Если отрезки двух параллельных прямых, заключенные между плоскостями, равны, то плоскости параллельны»?
38.	Справедлива ли теорема: «Если отрезки двух любых параллельных прямых, заключенные между плоскостями, равны, то плоскости параллельны»?
39.	Справедлива ли теорема: «Если каждая из двух точек прямой равноудалена от вершин треугольника, то прямая перпендикулярна плоскости этого треугольника»?
40.	Справедлива ли теорема: «Если каждая из двух точек прямой равноудалена от прямых, содержащих стороны данного треугольника, то прямая перпендикулярна плоскости этого треугольника» ?
В заданиях 41—49 вместо ... вставьте одно из трех сочетаний: «необходимо», «достаточно», «необходимо и доста
210
точно» или укажите на невозможность ни одного из этих сочетаний.
41.	Для того чтобы расстояние между двумя параллельными плоскостями равнялось р, чтобы расстояние между двумя их скрещивающимися прямыми равнялось р.
42.	Для того чтобы расстояние между двумя прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равнялось расстоянию между этими плоскостями, ..., чтобы эти прямые были скрещивающимися.
43.	Для того чтобы около четырех точек можно было описать сферу, ..., чтобы эти точки не лежали в одной плоскости.
44.	Для того чтобы через прямую можно было провести плоскость, параллельную данной плоскости, ..., чтобы эта прямая была параллельна данной плоскости.
45.	Для того чтобы через прямую можно было провести единственную плоскость, перпендикулярную данной плоскости, ..., чтобы эта прямая была параллельна данной плоскости.
46.	Для того чтобы через прямую можно было провести не менее двух плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, ..., чтобы эта прямая была перпендикулярна данной плоскости.
47.	Для того чтобы через прямую можно было провести плоскость, параллельную данной прямой, ..., чтобы эта прямая была параллельна данной прямой.
48.	Для того чтобы в данной плоскости существовала прямая, параллельная данной прямой, ..., чтобы данная плоскость была параллельна данной прямой.
49.	Для того чтобы в данной плоскости существовала прямая, перпендикулярная данной прямой, ..., чтобы данная плоскость была перпендикулярна данной прямой.
Приложение
Тригонометрические тождества		
sin2 a + cos2 a = 1;	sin (-a) = -sin a;	tga«ctga= 1;
tga= 6in a;	cos (-a) = cos a;	1 + tg2 a = —L_;
cos a	tg (-a) = -tg a;	cos^ a
cos a ctg a = 	; sm a	ctg (-a) = -ctg a;	1 + ctg2 a = . 1 sin2 a
cos (а - Р) = cos а cos р + sin а sin Р;
cos (а + Р) — cos а cos р - sin а sin Р; sin (а + Р) = sin а cos Р + sin р sin а; sin (а - Р) = sin а cos Р + sin р cos а;
tg(a + P)=
1 - tg а • tg р
tgta-p)-
1	+ tg а • tg р sin 2а = 2sin a cos а;
cos 2а = cos2 а - sin2 а;
1 + cos 2 а о 1 - cos 2 а -2 х п 2tg а ----------= cos2 а; -------= sin2 a; tg 2а =-------;
2	2	1 - tg2 а
sin а + sin р = 2sin - -t__P cos -—-;
2	2
sin а - sin р = 2cos а + Р sin а ~ Р •
2	2
cos а + cos Р — 2cos а + Р cos 2—Р;
2	2
cos а - cos Р = -2sin SLi_P sin -—f?;
2	2
tg а + tg Р = Sin(a + P) .
cos a • cos p
tga-tgp= sin (a ~ P) .
cos a • cos p
212
Формулы приведения
Функция	Аргумент			
	90° + a	90° - a	270° + a	270° - a
sin х	cos a	cos a	-cos a	-cos a
cos X	-sin a	sin a	sin a	-sin a
tg X	-ctg a	ctg a	-ctg a	ctg a
ctg X	-tg a	tg a	-tg a	tg a
Функция	Аргумент			
	180° + a	180° - a	360° + a	360° - a
sin x	-sin a	sin a	sin a	-sin a
cos X	-cos a	-cos a	cos a	cos a
tg X	tg a	-tg a	tg a	-tg a
ctg X	ctg a	-ctg a	ctg a	-ctg a
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Функция	Величина угла							
	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin x	0	1 2	7Й 2	7з 2	1	0	-1	0
cos X	1	wl	72 2	1 2	0	-1	0	1
tg X	0	“1 wl	1	7з	—	0	—	0
ctg X	—	7з	1	7з з“	0	—	0	— 
2-13
Формулы стереометрии
Векторы и координаты
Содержание формулы	Формула	Символы (обозначения)
Правило треугольника	АВ + ВС = АС	А, В, С — произвольные точки
Правило параллелограмма ,	ОА + ОВ = ОС	ОАСВ — параллелограмм
Правило многоугольника	Ар42 + А2А3 + ... + + Ап - 1Ап = А1Ап	произвольные точки
Правило параллелепипеда	ОА + ОВ + ОС = ОС.	ОА, ОВ, ОС — ребра параллелепипеда; ОС. — диагональ параллелепипеда
Формула вычитания	ОВ - ОА = АВ	А, В, О — произвольные точки
Признак коллинеарности двух ненулевых векторов	bj= k‘ а-, |а-Ь| = |аЫЬ|	k — число, отличное от нуля, а. * 0, Ь 0
Признак компланарности трех векторов	р = ха + уЬ	х, у — числа
Середина отрезка	ОМ = 1(ОА + ОВ)	М — середина отрезка АВ; О — произвольная точка
214
Продолжение таблицы
Содержание формулы	Формула	Символы (обозначения)
Точка пересечения медиан (центроид)	ОМ = 1(ОА + ОВ + ОС)	M — центроид треугольника АВС; О — произвольная точка
Скалярное произведение векторов	a-b = |а| • |&| cos А(а; Ь)	a,b — ненулевые векторы
Сложение и вычитание векторов в координатах	a + b = = (хх ± х2, у± ± у2, zx ± г2)	а(Хр z/p zx); b (х2; у2; z2)
Умножение вектора на число	ka(kx; ky; kz)	k — число; а(х; у, г)
Скалярное произведение	a-b = x1x2 + y1y2 + z1z2	а(хр,ур, гД; Ъ (х2, у2; г2); <р — величина угла между векторами; Й(х; у; z)
Косинус угла между векторами	COS ф = =	*1*2 + У1У2 + *1*2	
Длина вектора	|a| = Jx2 + y2 + z2	
Расстояние между точками А и В	AB = = 7(X2-Xi)2 +(y2-y1)2 + (z2-z1)2	A(xj z/p гД; В(х2; у2; z2)
Уравнение плоскости	A(x - x0) + B(y - y0) + + C(z - z0) = 0	п (А; В; С) — вектор, перпендикулярный плоскости; Щ (*0; zo) — точка, принадлежащая плоскости
215
Продолжение таблицы
Содержание формулы	Формула	Символы (обозначения)
Общее уравнение плоскости	Ах + By + Cz + D = 0	M (x; z/; z) — произвольная точка плоскости
Косинус угла между двумя плоскостями Условие перпендикулярности двух плоскостей Условие параллельности двух плоскостей	COS (p = __ И-1А + A^2 + C1C2I /Af + Bf + Cf ./Al + Bj + cf -АА» + BiBa 4- C1C9 = 0; A = A = £1 A A A	АгХ 4- Вху 4- 4- C^z 4-	— 0; А9Х 4- B9u + 4- C2z 4- D2 = 0; — плоскости; (p — величина угла между этими плоскостями
Расстояние от точки до плоскости (d)	d = И-*о + Вуй + Cz0 + Z>| Ja2 + в2 + c2	мо (х0; у0; 20) — точка; Ах 4- By + Cz 4- 4- D = 0 — плоскость
Параметрические уравнения прямой	M tc К -ч* II II II II £ H c?1 + + + + Sr Sr 4?, W M	•	г — радиус-вектор произвольной точки прямой; г0 — радиус-вектор данной точки прямой; р — направляющий вектор прямой; k — параметр; мо (х0; у0-, 20) — данная точка прямой; М (х; у; z) — произвольная точка прямой; Р (Яр а2; а3) — направляющий вектор прямой
216
Окончание таблицы
Содержание формулы	Формула	Символы (обозначения)
Уравнения прямой по двум ее точкам Косинус угла между двумя прямыми Условие перпендикулярности двух прямых Условие параллельности двух прямых	X - «1 = У ~ У1 = х2 “ Х1 У2 ~ У1 г2 ~ COS (р = =	]«!&! + а2&2 + а3&3| Ja? + a? + al Jb? + bl + bl *V 1	Z	o*vl	Z	о агЪг + а2Ъ2 + a3fe3 = 0; Oj = 02 = ^3 &1	^2	&3	Ml(Xi5 Z/p 2j), M2(x2; y2; z2) — данные точки; Р1(#1» &2’ ^3)» Pi(bp b2; b3) — направляющие векторы прямых; (p — величина угла между ними
Синус угла между прямой и плоскостью Условие перпендикулярности прямой и плоскости Условие параллельности прямой и плоскости	sin (p = __	[Аах + Ba2 + Ca3| TA2 + В2 + C2 Ja^ + aj + af A = В = C . ai a2 a3 ’ Aa-L + Ba2 + Ca3 = 0	Ах + By + Cz + + D = 0 — плос- кость; р(а^ а2; а3) — направляющий вектор прямой; (р — величина угла между прямой и плоско- стью
Многогранники
Содержание формулы	Формула	Символы (обозначения)
Площадь поверхности куба(S)	S = 6а2	а — длина ребра куба
Площадь боковой поверхности прямой призмы (SgoJ	SsoK = P-h	Р — периметр основания; h — высота (длина бокового ребра)
217
Продолжение таблицы
Содержание формулы	Формула	Символы (обозначения)
Площадь боковой поверхности наклонной призмы («бок)	«бок = Р-1	P — периметр перпендикулярного сечения; 1 — длина бокового ребра
Площади боковой поверхности прямого параллелепипеда («бок)	s^P-t	Р — периметр основания; 1 — длина бокового ребра
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды («бок)	q _ Q 6°K COS ф	Р — периметр основания; a — апофема; Q — площадь основания; Ф — величина двугранного угла при стороне основания
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды (£бок)	ч = р + Pi . h йбок	2	П	Р, Рг — периметры оснований; h — апофема
Объем куба (V)	V = а3	a — длина ребра куба
Объем прямоугольного параллелепи-педа (V)	V = abc	а, Ь, с — измерения параллелепипеда
Объем призмы (параллелепипеда ) (V)	V = Зжи • Л; V = Q’l	«оск — площадь основания; h —высота; Q — площадь перпендикулярного сечения; 1 — длина бокового ребра
Объем пирамиды (V)	и 8 <Z1 r-l ICO II	«оск ~ площадь ос-нования; h — высота
218
Окончание таблицы
Содержание формулы	Формула	Символы (обозначения)
Объем усеченной пирамиды (V)	= + + Q2)	Qj, Q2 — площади оснований; h — высота
Отношение объемов двух тетраэдров МАВС и имеющих равные трехгранные углы с вершинами М и	^MAlBlCl _ ^МАВС = МАг • МВХ • МСг МА • МВ • МС	МА, МВ, МС, М^Ау MrBv МуСу — длины ребер тетраэдров
Фигуры вращения
Содержание формулы	Формула	Символы (обозначения)
Площадь боковой поверхности ци-линдра (S6oK)	«бок = 2яй-й	R — радиус основания; h — высота
Площадь полной поверхности цилиндра («Поли)	«полн = 2яЛ(й + Л)	R — радиус основания; h — высота
Площадь боковой поверхности конуса («бок)	«бок —	R — радиус основания; 1 — длина образующей
Площадь полной поверхности конуса («ноли)	«полн = ^(/ + -й)	R — радиус основания; 1 — длина образующей
Площадь боковой поверхности усеченного конуса (S6oK)	«бок = Kl(R + г)	R, г — радиусы оснований; 1 — длина образующей
Площадь сферы (S)	S = 4tlR2	R — радиус сферы
Площадь сегментной поверхности (S)	S = 2tlR • Н	R — радиус сферы; Н — высота сегментной поверхности
219
Окончание таблицы
Содержание формулы	Формула	Символы (обозначения)
Площадь шарового пояса(S)	S = 2tlR-Н	R — радиус шара; H — высота шарового пояса
Площадь поверхности шарового секто-pa (S)	S = itR-(2h + + j2Rh - h2)	R — радиус шара; h — высота шарового сегмента
Объем цилиндра (V)	V = nR2 • Н	R — радиус основания; Н — высота
Объем конуса (V)	V = lnR2'H 3	R — радиус основания; Н — высота
Объем усеченного конуса(V)	V = ±nH(r2 + Rr + + R2)	R, г — радиусы оснований; Н — высота
Объем шара (V)	V = *TtR3; V= -nd3 3	6	R — радиус шара; d — диаметр шара
Объем шарового слоя (V)	V = ^(3r? + 3rf + + H2)	т\, г2 — радиусы оснований шарового слоя; Н — высота
Объем шарового сегмента (V)	V=nH2[R - — 3 > V = ^(3r2 + H2)	R — радиус шара; Н — высота; г — радиус основания шарового сегмента
Объем шарового сектора (V)	V = 2jiR2-H 3	R — радиус шара; Н — высота
Содержание
Введение............................................... 3
Примерное почасовое планирование (3 ч в неделю, всего 105 ч)......................... 17
Указания к решениям задач ............................ 21
Глава 1. Введение в стереометрию.................... 21
Глава 2. Прямые в пространстве ..................... 28
Глава 3. Прямая и плоскость в пространстве.......... 37
Глава 4. Плоскости в пространстве................... 63
Глава 5. Расстояния в пространстве.................. 93
Глава 6. Векторный метод в пространстве............ 108
Глава 7. Координатный метод в пространстве......... 126
Контрольные работы.................................... 147	
Контрольная работа на повторение курса 9 класса..................................... 147
К—10—1. Введение в стереометрию.
Аксиомы стереометрии............................... 150
К—10—2. Взаимное расположение прямых в пространстве..................................... 152
К—10—3. Взаимное расположение прямой и плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости........................................ 154
К—10—4. Угол между прямой и плоскостью.
Параллельные плоскости............................. 157
К—10—5. Угол между двумя плоскостями............... 159
Тестовая работа.................................... 160
К—10—6. Расстояния в пространстве.................. 162
К—10—7. Векторы в пространстве..................... 164
К—10—8. Координаты в пространстве.................. 166
К—10—9. Итоговое повторение........................ 167
Ответы к контрольным работам......................... 170
221
Зачеты.................................................177
Зачет № 1. Введение в стереометрию.
Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых в пространстве
(повторение темы «Треугольники»)....................177
Ответы к задачам зачета №1
(4-е вопросы билетов)...............................180
Рисунки зачету № 1..................................181
Зачет № 2. Взаимное расположение прямой и плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью (повторение темы «Окружность»)......................184
Ответы к задачам зачета № 2
(3-й и 4-й вопросы билетов).........................188
Зачет № 3. Параллельное проектирование.
Параллельные плоскости. Угол между двумя плоскостями. Расстояния в пространстве (повторение темы «Четырехугольники»)................189
Ответы к задачам зачета № 3
(3-й и 4-й вопросы билетов).........................193
Зачет № 4. Векторы в пространстве.
Координаты в пространстве
(повторение темы «Координаты на плоскости»).........194
Ответы к задачам зачета № 4
(3-й и 4-й вопросы билетов).........................198
Билеты по геометрии для 10	класса......................200
Устные вопросы к экзамену по геометрии в 10 классе............................................208
Приложение.............................................212
Учебное издание
Потоскуев Евгений Викторович Звавич Леонид Исаакович Шляпочник Леонид Яковлевич
ГЕОМЕТРИЯ
10 класс
Методическое пособие к учебнику Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича «Геометрия. 10 класс»
Зав. редакцией Г. Н. Хромова Редактор Г. Н. Хромова Художественный редактор А. А. Шувалова Технический редактор Н. И. Герасимова Компьютерная верстка Т. В. Рыбина Корректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.99.02.953.Д.006315.08.03 от 28.08.2003.
Подписано к печати 16.01.04. Формат 60х90'/16.
Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 14,0. Тираж 3 000 экз. Заказ № 9061.
ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Тел.: (095) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (095) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А. Тел.: (095) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Магазины «Переплетные птицы»: 127018, Москва, ул. Октябрьская, д. 89, стр. 1. Тел.: (095) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76;
140408, Московская обл., г. Коломна, Голутвин, ул. Октябрьской революции, 366/2.
Тел.: (095) 741-59-76.
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в Тульской типографии.
300600, г. Тула, пр. Ленина, 109.