К. В. Степаньянц
КЛАССИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
УДК 530.145(075.8)
ББК 22.31
С 79
Степаньянц К. В. Классическая теория поля. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 540 с. - ISBN 978-5-9221-1082-2.
В основе книги лежат лекции по классической теории поля, а также ряду других спецкурсов, которые читаются на кафедре теоретической физики физического факультета МГУ для студентов 3-го и 4-го курсов. Она посвящена основополагающим вопросам теории поля и представляет собой современное введение в физику фундаментальных взаимодействий. Рассмотрены как базисные сведения классической теории поля, так и наиболее простые модели физики элементарных частиц. В частности, подробно обсуждается Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий, а также теория поля в искривленном пространстве-времени и общая теория относительности. Кроме того, затронут и ряд более специальных вопросов.
Для удобства чтения технические детали вычислений вынесены в подробно разобранные задачи. Такая структура книги позволяет использовать ее не только в качестве учебного пособия для студентов, но и в качестве справочника, который может быть полезен студентам старших курсов, аспирантам и научным работникам, специализирующимся в области физики высоких энергий.
Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 010701.65 — физика и направлению 010700.62 — физика.
ISBN 978-5-9221-1082-2
© ФИЗМАТЛИТ, 2009
© К. В. Степаньянц. 2009
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................................ 7
Список литературы.................................................. 9
Обозначения...................................................... 11
Глава 1. Описание	электромагнитного	взаимодействия............... 14
1.1.	Электродинамика с внешним источником....................... 14
1.2.	Лагранжев формализм в теории поля.......................... 17
1.3.	Об используемой системе единиц............................. 20
1.4.	Излучение электромагнитных волн............................ 21
Список литературы ........................................... 30
Глава 2. Основы классической	теории	поля.................... 31
2.1.	Локальная калибровочная инвариантность..................... 31
2.2.	Массивное и безмассовое векторные поля..................... 35
2.3.	Теорема Нетер: симметрии и законы сохранения............... 37
2.3.1.	Теорема Нетер (37). 2.3.2. Сохранение тензора энергии-импульса (40). 2.3.3. Сохранение тензора углового момента (44).
2.3.4.	Сохранение электрического заряда (47).	2.3.5. Метод
Нетер (48).
2.4.	Поля и волновые функции.................................... 50
2.5.	Спектр частиц в теориях с калибровочной симметрией. Понятие о спонтанном нарушении симметрии................................ 61
2.5.1. Глобальная абелева симметрия (61). 2.5.2. Локальная абелева симметрия (66).
Список литературы ........................................... 68
Глава 3. Спинорные поля........................................... 69
3.1.	Дираковское спинорное поле................................. 69
3.I.I.	Уравнение Дирака (69).	3.1.2. Алгебра 7-матриц (76).
3.1.3.	Спиноры и преобразования Лоренца (83). 3.1.4. Класси-
4
Оглавление
ческая электродинамика (91). 3.1.5. Киральная инвариантность и киральные фермионы (101). 3.1.6. Майорановские спиноры и их свойства (105).
3.2.	Плоские волны в теории Дирака............................. 111
3.3.	Решение уравнения Дирака в кулоновском потенциале......... 117
3.4.	Спиноры в произвольных размерностях....................... 128
3.4.1.	Алгебра 7-матриц (128). 3.4.2. Майорановские и вейлевские спиноры (135).
Список литературы ........................................ 143
Глава 4. Неабелевы калибровочные теории........................ 145
4.1.	Поля Янга-Миллса.......................................... 145
4.I.I.	Построение неабелевых калибровочных	полей (145).
4.1.2.	Неабелевы калибровочные теории (151).	4.1.3. Теория
сильных взаимодействий (160).
4.2.	Спектр частиц в неабелевых теориях. Общая теория спонтанного нарушения симметрии.......................................... 163
4.2.1.	Глобальная калибровочная симметрия (163). 4.2.2. Локальная калибровочная симметрия (171).
Список литературы ........................................ 181
Глава 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий ................................................... 182
5.1.	Структура Стандартной модели.............................. 182
5.2.	Бозонный сектор Стандартной модели........................ 182
5.3.	Фермионный сектор Стандартной модели...................... 187
5.3.1.	Состав частиц (187). 5.3.2. Лагранжиан лептонного сектора (189). 5.3.3. Лагранжиан кваркового сектора (196). 5.3.4. Матрица Кабиббо-Кобаяши-Маскава (202).
5.4.	Взаимодействие полей в электрослабой теории............... 206
5.5.	Вопрос об описании нейтрино............................... 216
5.5.1.	Проблема малой массы нейтрино (216). 5.5.2. Нейтринные осцилляции (225).
5.6.	Полный лагранжиан Стандартной модели...................... 234
5.7.	Стандартная модель и современная физика................... 237
Список литературы......................................... 237
Глава 6. Теория поля в искривленном пространстве............... 239
6.1.	Геометрия искривленного пространства...................... 239
6.1.1.	Поверхности в евклидовом пространстве (239). 6.1.2. Общекоординатная инвариантность. Тензоры (245). 6.1.3. Ковариантная производная (253). 6.1.4. Тензор кривизны (260).
6.2.	Теория поля в искривленном пространстве................... 268
Оглавление
5
6.3.	Тетрадный формализм....................................... 272
6.4.	Спиноры в искривленном пространстве....................... 281
6.5.	Бесконечно малые общекоординатные преобразования. Производные Ли....................................................... 286
6.6.	Другое определение тензора энергии-импульса............... 298
6.7.	Конформная инвариантность................................. 309
6.8.	Конформная группа......................................... 317
6.8.1.	Масштабная инвариантность (317). 6.8.2. Специальные конформные преобразования (322). 6.8.3. Конформная группа (330).
Список литературы......................................... 333
Глава 7. Гравитация............................................ 334
7.1.	Лагранжиан гравитационного	взаимодействия................. 334
7.2.	Приближение слабого поля в	гравитации................... 339
7.2.1.	Линеаризованные уравнения гравитационного поля (339).
7.2.2.	Энергия и импульс гравитационного поля (344). 7.2.3. Гравитон (352).
7.3.	Движение классической частицы в искривленном пространстве. . . 354
7.3.1.	Лагранжиан точечной частицы. Геодезические (354).
7.3.2.	Переход от полей к точечным частицам. Уравнения Матиссона-Папапетру (361).
7.4.	Ньютоновский предел в общей теории	относительности........ 370
7.5.	Гравитационное красное смещение........................... 375
7.6.	Излучение гравитационных волн............................. 378
Список литературы......................................... 393
Глава 8. Модифицированные теории гравитации.................... 394
8.1.	Формализм первого порядка................................. 394
8.2.	Геометрические свойства пространств	с кручением.......... 402
8.3.	Гравитино. N=1 супергравитация............................ 408
8.3.1.	Гравитино на фоне плоского пространства-времени (408).
8.3.2.	Гравитино в искривленном пространстве-времени (420).
Список литературы......................................... 431
Глава 9. Тензорные поля высших рангов.......................... 432
9.1.	Антисимметричные тензорные поля........................... 432
9.1.1.	Основные операции над антисимметричными тензорами (432).	9.1.2. Интегрирование антисимметричных тензорных
полей (441). 9.1.3. Действие для антисимметричных тензорных полей (449).
9.2.	Действие для свободных полей высших спинов................ 453
9.2.1.	Бозонные поля (453). 9.2.2. Фермионные поля (460).
6	Оглавление
Список литературы........................................ 467
Приложение А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли . . . 468
А.1. Понятие о группах Ли.................................... 468
А.2. Алгебры Ли. Экспоненциальное отображение................ 480
А.З. 5Щ2) и 50(3)............................................ 496
А.4. Понятие о представлениях групп и алгебр Ли.............. 501
А.5. Представления алгебры	Ли su(2).......................... 514
А.6. Группа Пуанкаре и ее представления...................... 522
Список литературы........................................ 530
Предметный указатель......................................... 531
Предисловие
В этой книге речь идет о физике высоких энергий. И прежде всего, необходимо объяснить, что будет под этим пониматься. Большие энергии выделяются, например, при взрывах бомб. Но при этом характерная энергия химической связи имеет порядок около 1 эВ. Значительно большие энергии выделяются при взрывах ядерных бомб. Это связано с тем, что энергия связи в ядрах имеет порядок 1 МэВ и примерно в 106 раз превышает энергию химической связи. Однако с точки зрения физики элементарных частиц эти энергии все же являются достаточно малыми. Например, характерный масштаб, на котором электромагнитное и слабое взаимодействие соединяются в некоторую единую теорию, имеет порядок 102 ГэВ и примерно в 105 раз превышает энергию связи в атомных ядрах. Максимальная энергия, которая будет достигнута после ввода в строй Большого адронного коллайдера в ЦЕРНе, составляет около 104 ГэВ. По сравнению с энергией химической связи эта величина громадна. Однако в физике элементарных частиц существует и еще один масштаб, величина которого просто поражает воображение — это т.н. масса Планка, которая является характерной энергией гравитационного взаимодействия и по порядку величины равна 1019 ГэВ. Как странно бы это ни казалось на первый взгляд, но тщательное исследование сильного и электрослабого взаимодействий также указывает на существование близкого энергетического масштаба — 1016 ГэВ. По-видимому, при таких энергиях мы должны встретиться с интереснейшими и нетривиальными явлениями, суть которых до сих пор не вполне понятна.
Несмотря на то что большие масштабы энергий еще очень и очень далеки от экспериментально достижимых, многие вещи уже известны. Например, построена теория, которая описывает сильное, слабое и электромагнитное взаимодействия на основе т.н. неабелевых калибровочных теорий. На классическом уровне построена теория гравитационного взаимодействия. В настоящее время физика высоких энергий представляет собой обширную и быстро развивающуюся область. Современные теоретические научные исследования уже позволяют строить гипотезы о том, как устроен мир при энергиях порядка массы Планка. При этом особенно важным направлением является построение единой теории всех фундаментальных взаимодействий: сильного, слабого, электромагнитного и гравитационного. Для того чтобы будущие ученые могли легко войти в курс современных исследований, желательно, чтобы они уверенно владели самыми различными аспектами
8
Предисловие
теории этих взаимодействий. При этом не должна возникать преграда, связанная с тем, что описание теории гравитации существенно отличается от описания остальных взаимодействий, например, в рамках Стандартной модели.
В предлагаемой книге приводятся основные конструкции классической теории поля. При этом основное внимание уделено важнейшей роли, которую играют различные симметрии, прежде всего, калибровочная и общекоординатная. Используя эти конструкции, дается описание всех фундаментальных взаимодействий, по возможности, проводя между ними сравнения. Рассмотрены основные явления, к которым приводят эти взаимодействия. Затронут также и ряд более специальных тем, которые требуются для понимания современных направлений физики высоких энергий, например, простейшие теории с высшими спинами или супергравитация. Тем не менее, многие важнейшие принципиальные вопросы теории поля в эту книгу войти не смогли, поскольку они требуют знания квантовой теории поля и проблем, которые возникают при квантовании. В частности, здесь не рассматриваются, например, суперсимметричные модели физики элементарных частиц, теории Великого объединения и теории струн. Кроме того, не рассматриваются вопросы, связанные с эффектами общей теории относительности, например, движение планет или приложения общей теории относительности к космологии.
Предлагаемый здесь курс предназначен, прежде всего, студентам 3-4 курсов, приступающих к изучению современной теории поля. Возможно, эта книга также будет полезна аспирантам и ученым, специализирующимся в физике высоких энергий.
Структура книги определяется тем, что для понимания современной физики высоких энергий требуется знание достаточно сложных математических конструкций и умение проводить достаточно сложные вычисления. Поэтому основной материал излагается достаточно кратко, а все технические детали вычислений проводятся в виде ряда подробно решенных задач в конце каждого параграфа. Я надеюсь, что такая структура книги позволит, с одной стороны, не потерять основные идеи и конструкции среди длинных вычислений, а, с другой стороны, поможет читателю в полной мере овладеть технической стороной рассматриваемых вопросов. Мне хотелось бы, чтобы предлагаемая книга стала хорошим дополнением к ряду специальных курсов, посвященных различным аспектам теории поля, которые читаются автором и его коллегами на кафедре теоретической физики физического факультета МГУ.
В заключение я хотел бы поблагодарить моих коллег А.В.Борисова, В.И.Денисова, П.И.Пронина и А.А.Славнова за поддержку и помощь при издании книги, а также А.Б.Пименова и Е.С.Шевцову за внимательное чтение некоторых глав рукописи. Издание этой книги было осуществлено при поддержке гранта РФФИ N 08-01-00281а.
Список литературы
9
P.S. В приведенном далее списке литературы автор хотел бы указать многие другие учебные пособия и монографии, посвященные вопросам, затрагиваемым в этой книге. Заранее прошу извинения, если этот список окажется неполным. Литература, цитируемая в тексте книги, собрана в конце каждой из ее глав.
Список литературы
1.	Книг, в которых не производится разделение теории поля и гравитации, достаточно мало. Из них я бы выделил
Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб, пособие, т.2. Теория поля, Москва, Физматлит, 2006;
Б.С. ДеВитт. Динамическая теория групп и полей, Москва, Наука, 1987.
2.	Из других многочисленных учебников по классической электродинамике я бы отметил
В.И. Денисов. Лекции по электродинамике, Москва, УНЦ ДО, 2007;
Дж. Джексон. Классическая электродинамика, Москва, Мир, 1965;
И.Е. Тамм. Основы теории электричества, Москва, Физматлит, 2003.
3.	Квантовая электродинамика подробна описана в книгах
А.И. Ахиезер, В.Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика, Москва, Наука, 1981;
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: т.4. Квантовая электродинамика, Москва, Физматилит, 2002;
А.А. Соколов, И.М. Тернов, В.Ч. Жуковский, А.В.Борисов. Квантовая электродинамика, Москва, Изд.МГУ, 1983.
4.	Подробное изложение вопросов, связанных с квантовой механикой, можно найти в книгах
А.С. Давыдов. Квантовая механика, Москва, Наука, 1973;
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: т.З. Квантовая механика, Москва, Физматилит, 2006;
А.А. Соколов, Ю.М. Лоскутов, И.М. Тернов. Квантовая механика, Москва, Просвещение, 1965.
5.	Прекрасное изложение основ классической теории поля содержится в книге
В.А. Рубаков. Классические калибровочные поля. Москва, УРСС, 1999.
6.	Однако, как правило, классическая теория поля рассматривается вместе с квантовой теорией поля:
Н.	Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей, Москва, Наука, 1984;
Дж	.Д. Бьеркен, С.Д. Дрелл. Релятивистская квантовая теория поля. Издательский отдел Новокузнецкого Физико-математического института, Новокузнецк, 2000;
С.	Вайнберг. Квантовая теория поля, Москва, Физматлит, 2003;
К.	Ициксон. Ж. Зюбер. Квантовая теория поля, Москва, Мир, 1984;
М.	Пескин, Д. Шредер. Введение в квантовую теорию поля, Москва, Ижевск, 2001;
П.	Рамон. Теория поля: Современный вводный курс, Могилев, Бибфиз-мат, 1995;
Л.	Райдер. Квантовая теория поля, Волгоград, Платон, 1998;
10
Список литературы
А.А	. Соколов, И.М. Тернов, В.Ч. Жуковский, А.В. Борисов. Калибровочные поля, Москва, Изд.МГУ, 1986;
А.А	. Славнов, Л.Д. Фаддеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей, Москва, Наука, 1978.
К.	Хуанг. Кварки, лептоны и калибровочные поля, Москва, Мир, 1985; Т.-П. Ченг, Л.-Ф. Ли. Калибровочные теории в физике элементарных частиц, Мир, 1987.
7. Вопросы, связанные с гравитацией и космологией, как правило, излагаются отдельно от теории поля. Отметим, например, следующие монографии: П.Г. Бергман. Введение в теорию относительности, Москва - Ижевск, РХД, 2003;
У. Берке. Пространство-время, геометрия, космология, Москва, Мир, 1985;
С. Вейнберг. Гравитация и космология, Волгоград, Платон, 2000;
Д.Д. Иваненко, П.И. Пронин, Г.А. Сарданашвили. Калибровочная теория гравитации, Москва, Изд.МГУ, 1985;
А. Лайтман, В. Пресс, Р. Прайс, С. Тюкольски. Сборник задач по теории относительности и гравитации, Москва, Мир, 1979;
Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, Москва, Мир, 1977;
Дж.Л. Синг. Общая теория относительности, Москва, ИЛ, 1963;
Р. Толмен. Относительность. Термодинамика и космология, Москва, Наука, 1974;
С. Хокинг, Дж. Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени, Москва, Мир, 1977;
Г. т'Хоофт. Введение в общую теорию относительности, Москва -Ижевск, РХД, 2003;
И.Б. Хриплович. Общая теория относительности, Ижевск, РХД, 2001; В.А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения, Москва, ЛКИ, 2007.
8.	Теории суперсимметрии посвящены, например, книги
I.L. Buchbinder, S.V. Kuzenko. Ideas and methods of supersymmetry and supergravity, Bristol and Philadelphia, Institute of Physics Publishing, 1998; S.J. Gates, M.T. Grisaru, M. Rocek, W. Siegel. Superspace or one thousand and one lessons in supersymmetry, hep-th/0108200;
Ю. Весе, Дж. Беггер. Суперсимметрия и супергравитация, Новокузнецк, ИО НФМИ, 1998;
П. Уэст. Введение в суперсиммметрию и супергравитацию, Москва, Мир, 1989.
9.	Другие современные вопросы физики элементарных частиц обсуждаются, например, в книгах
R.N. Mohapatra. Unification and supersymmetry: the frontiers of quark-lepton physics, Springer, 2003;
B.M. Емельянов. Стандартная модель и ее расширения, Москва, Физ-матлит, 2007.
10.	Определения специальных функции и многие полезные математические формулы содержатся в справочнике
И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Москва, Наука, 1971.
Обозначения
В этой книге мы считаем, что пространство Минковского имеет сигнатуру (-1-----) или (если сигнатура специально не указа-
на) (-1—•-) Для пространств других размерностей. Размерность пространства обозначается обычно буквой D. Метрический тензор пространства Минковского обозначается а метрический тензор в случае искривленного пространства-времени — д^. Его определитель det д^ обозначается как д.
Полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты (с эйнштейновскими индексами) определяется равенством е0123 = 1. При этом его индексы можно опускать стандартным образом с помощью метрического тензора. Как следствие, eoi23 = 9- В частности, для случая плоского пространства-времени S0123 = — 1- Е-символ с локально лоренцевыми индексами получается проектированием на тетраду. В частности, если все индексы е-символа локально лоренцевы, то в наших обозначениях е0123 = у/\д\.
Если не оговорено противное, то ti — 1 и с — 1. При этом постоянная тонкой структуры будет а — е2/4тг, причем константа связи е в наших обозначениях положительна. (В случае электродинамики заряд электрона равен qe — —е.)
Трехмерные векторы, как правило, выделены жирными буквами, а стрелочка над векторами не ставится.
Производные по координатам х^ — (t,х) обозначаются через дц = д/дх^. В частности,
я	d , д , д	/А ..
&	о "В &1)	ТГ- •	(0- 1 )
ОХ и оу OZ
При этом мы также используем обозначение
<Э2 = дЩ, =	- д2.	(0.2)
Для 7-матриц Дирака, как правило, используется представление, в котором
Однако такое представление используется не всегда. В отдельных случаях более удобны другие представления. Тогда в тексте это отдельно
12
Обозначения
оговаривается. Антисимметризованные произведения из к 7-матриц обозначаются через
ynw-.-Mfc = ^у^7М17М2  •7Mfc ± перестановки).	(0-4)
(В других случаях определения операций симметризации или антисимметризации также включают в себя множитель 1/fc!.) Матрица зарядового сопряжения в 4-х измерениях определяется как С = 27°72.
Правые и левые компоненты дираковского спинора имеют вид
Фн = |(1 +75)V>; Фь = |(1 - 7ьМ	(0-5)
В наших обозначениях операция дираковского сопряжения всегда выполняется последней. Например,
Фн = ФМ-	(0-6)
Если необходимо выполнить эти операции в обратном порядке, то это будет обозначаться как (V’)k-
Фермионы Стандартной модели обозначаются по названию соответствующей частицы первого поколения, а индексы, нумерующие поколения — большими латинскими буквами.
Генераторы компактных калибровочных групп мы считаем эрмитовыми. При этом через ta обозначаются генераторы фундаментального представления, которые нормируются условием
tr(faffc) = ^ab,	(0.7)
а Та обозначают генераторы калибровочной группы в произвольном представлении. Структурные константы алгебры Ли определяются формулой
[Ta,Tb] = ifabcTc.	(0.8)
Разложение поля Янга-Миллса по генераторам записывается в виде
= ieA“ta,	(0.9)
где е — константа связи для рассматриваемой калибровочной группы. При этом поле Afl будет являться элементом алгебры Ли калибровочной группы. Калибровочная ковариантная производная обозначается через = сф. + Ам.
Канонический тензор энергии-импульса обозначается через Т*"7, а симметризованный — через
Обозначения
13
Тензор углового момента через симметризованный тензор энергии-импульса определяется как
J^ = xa^0-x0^a.	(0.11)
В случае искривленного пространства-времени греческие буквы обозначают эйнштейновские индексы, а латинские — локально лорен-цевы. Тетрада обозначается как етм или етм, причем по определению Малое отклонение метрического тензора (с нижними индексами) от метрики Минковского обозначаем через h^u, а малое отклонение тетрады от дар, через Hafi.
Символы Кристоффеля или связность обозначаются через Если связность не согласована с метрикой, то символы Кристоффеля также могут обозначаться через Г"р(е). Спиновая связность обозначается через ц/(Л Если существенно, что спиновая связность согласована с метрикой, то также используется обозначение шм<хь(е). Гравитационная ковариантная производная обозначается через VM.
Тензор кривизны определяется как
R^ae = Э,г^ -	+ г°7г^ - Г“7г;3,	(о. 12)
а тензор Риччи — как R„0 = Rwa0- В ряде случаев для символов Кристоффеля, спиновой связности и тензора кривизны используются матричные обозначения:
(ГЯ)^ = Г“0;	(шм)? = шмаь; (И^)а0 = R^a0.	(0.13)
Тензор кручения полагается равным
Quua = диеаи -	+ еЬ^ьа - eb^ba. (0.14)
Космологическая постоянная определяется выражением для гравитационного действия
16тгй
d4x (R + 2Л).
(0.15)
В этом случае ее экспериментальное значение положительно. При этом помимо гравитационной постоянной G также используются еще 2 определяемые с ее помощью величины:
fc2 = 87rG; и MPi=G~l/2.	(0.16)
Наконец, под сферой S” понимается сфера размерности п (которая обычно вкладывается в пространство размерности п + 1).
Глава 1
ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
1.1.	Электродинамика с внешним источником
В качестве простейшего примера теории поля можно рассмотреть электродинамику с внешним классическим источником [1]. Если задан ток j и плотность электрического заряда р, то напряженности электрического и магнитного полей могут быть найдены из уравнений Максвелла
divH = 0; rotE = -с dt
divE = 4тгр; rotH = —j + -^.	(1.1)
с с at
(В данном параграфе мы используем систему единиц СГС.) При этом ток должен удовлетворять уравнению непрерывности
^ + divj = O.	(1.2)
Первая пара уравнений Максвелла не содержит источников и может быть решена введением потенциалов р и А, определяемых при помощи соотношений
1 <9 А
Н = rotA; Е = -~-др.	(1.3)
сот
Несложно проверить, что в этом случае первые два уравнения (1.1) удовлетворяются тождественно.
Заметим, что из уравнений (1.3) потенциалы электромагнитного поля определяются неоднозначно. Действительно, если некоторые функции р и А удовлетворяют (1.3), то решениями также являются и
А' = А + 0а;	^' = ^-1^,	(1.4)
где а — a(x,t) — произвольная функция координат и времени. Поэтому говорят, что решение уравнений (1.3) определено с точностью до калибровочного преобразования
А —» А + да-,	р—>р — ^^.	(1.5)
(1.7)
1.1. Электродинамика с внешним источником	15
Для того чтобы явно видеть релятивистскую инвариантность уравнений электродинамики, их необходимо записать в четырехмерных обозначениях. С этой целью мы рассмотрим пространство Минковского с координатами = (ct, х) и сигнатурой (н-----) ’).
В Задаче 1 проверено, что, вводя четырехвектор потенциала Afl = = (<^,-А), можно переписать уравнения (1.3) в виде
/	О	Ех	Еу	Ez
F — ЭД _ ЭД — ~Ех 0	— Hz Ну
-	_Еу	0	_н
\	-Ez	-Ну	Нх	О
так что
Ег = FOi; Нг =-X-£ijkFjk.	(1.8)
Построенный таким образом тензор поля F)W с очевидностью является инвариантным относительно калибровочных преобразований (см. Задачу 1)
А^А^-д^а.	(1.9)
В терминах F^, а также четырехвектора тока = (ср,j), вторая пара уравнений Максвелла запишется следующим образом:
=	(1.10)
Свертывая (1.10) с dv, мы приходим к уравнению непрерывности в форме
V = 0,	(1.11)
что, конечно, совпадает с (1.2).
Первая пара уравнений Максвелла представляет собой тождество Бьянки
dflF^ = 0,	(1,12)
где F^ — дуальный тензор поля, который определяется как
') Последнее означает, что скалярное произведение двух четырехвекторов а = (ао, а) и b — (Ьо, Ь) определяется как (a, b) = aQb0 - ab = a,lby = а,,;1'1'!),,, где
Ц.У Ч =	=	/ 1 0 0	0 -1 0	0 0 -1	и 0
	\ о	0	0	-1 /
(1.6)
При этом индексы четырехвекторов поднимаются и опускаются с помощью в соответствии с правилами о(1 = р^а1' и = р^а,,.
16
Гл. 1. Описание электромагнитного взаимодействия
/ 0 Нл
Г — If „Fal3 — I О
-Ег
\ -Я2 Еу
Ну Hz \ Ег -Еу ] о Ех ’
-Ех 6 /
(1-13)
a Eyvau — абсолютно антисимметричный тензор Леви-Чивиты. В наших обозначениях £qi23 = -1, а е0123 = 1.
Уравнения (1.12), очевидно, следуют из (1.7), поскольку
dtlF^ = \е^д^даАв - дрАа) = 0.	(1.14)
(Несложно показать, что любая свертка симметричного тензора с антисимметричным равна 0, см. Задачу 2.)
Задачи
1. Проверить, что система уравнений Максвелла (1.1) эквивалентна уравнениям
Fy„ = дуА„ - 9„Ау-, dyF^ = -Ef.	(1.15)
Доказать калибровочную инвариантность тензора поля FyV.
В тексте параграфа показано, что из соотношения F(ll, = dyAv — dvAy следует уравнение ОуЁЩ1' = 0.
Принимая во внимание, что Ау = (у?,—А), а также учитывая правила поднимания и опускания индексов, имеем:
7[2 — дуАх дхАу — Ez,
dflF^ = дхЕх + дуЕу + dzEz = divE = ^j° = 4тгр;
= _ 1 дъ + д _	= / _ 1 а® + rotH\ = 4тг
с at	\ с at	/ х с
dyF1'0 = дхНх + dylly +dzHz = divH = 0;
aMF'il = --^-^JE\ + azF, = ('--^-rotE') =0.	(1.16)
с. dt	\ с dl	)х
Остальные уравнения проверяются аналогично.
Тензор поля FyV инвариантен относительно калибровочных преобразований (1.9), поскольку он преобразуется как
Г — д у. А и	ду А у * Fyiz -1-	ди ду ос — Fyu.	(1.17)
1.2. Лагранжев формализм в теории поля
17
2. Доказать, что свертка произвольного симметричного тензора с антисимметричным равна 0.
Рассмотрим некоторый симметричный тензор и антисимметричный тензор А/г,у. Тогда S^A^ — -S"liAVi,. Переобозначая индексы суммирования, мы получаем, что это выражение будет равно — S^A^v, а следовательно, есть 0.
1.2. Лагранжев формализм в теории поля
Уравнения (1.10) могут быть записаны в лагранжевой форме и выведены из принципа наименьшего действия [2]. Напомним, что в соответствии с принципом наименьшего действия движение любой системы происходит таким образом, чтобы функционал действия, определяемый как интеграл по времени от функции Лагранжа L
S= I dtL,	(1.18)
являлся бы минимальным.
В классической механике функция Лагранжа зависит от конечного числа обобщенных координат и их производных по времени. В теории поля количество обобщенных координат становится бесконечным. Более точно, значение полевой переменной в каждой пространственной точке представляет собой некоторую независимую обобщенную координату. Математически это можно сформулировать как
L = с у <13х£(ф{, d^i, г, £),	(1.19)
где £ — некоторая функция полевых переменных, их производных, а также (возможно) координат и времени, которую мы будем далее называть функцией Лагранжа. Поскольку х° = ct, действие запишется в виде
S= У dt L = у с?4жД(ф;,Э;1^,жм).	(1.20)
Так как в точке минимума вариация этого функционала равна 0, то
0 = 6S = б(с [ dtd3x£} = [ d4x( 4- §(дцфг)\ = \ J J J \дфг	Ч
' = t dS^r^5(h + [d"x (т£ -	О-21)
J 1о(др.фф J \дфг д(д^фф J
При этом пространственный интеграл берется по бесконечно большой поверхности, ограничивающей четырехмерное пространство-
18
Гл. 1. Описание электромагнитного взаимодействия
время. Его можно отбросить, предположив, что значения полей являются фиксированными на данной поверхности (а следовательно, — 0). Поэтому
О = 3S =

(1.22)
Поскольку функции Зф(х) являются произвольными, это равенство может быть справедливо только в том случае, если
дС „ дС дфг~ " д{д^Фф
(1.23)
Уравнения (1.23) и представляют собой уравнения Лагранжа в теории поля.
Примером применения рассмотренного формализма может служить классическая электродинамика с внешним источником, которая описывается действием ’)
=	(1.24)
Действительно, в Задаче 1 показано, что соответствующие уравнения Лагранжа
дС 9 дС дА,
(1.25)
совпадают со второй парой уравнений Максвелла (1.10).
Действие (1.24) является инвариантным относительно калибровочных преобразований (1.9) с точностью до интеграла от четырехдивир-генции, что проверено в Задаче 2. (Заметим, что прибавление четы-рехдивиргенции к функции Лагранжа не меняет уравнений Лагранжа, см. Задачу 3.)
Если в качестве источника поля выступает заряженная точечная частица, движущаяся по заданной траектории х(£), то
у0 = CQ(53(x-x(f)); j =<7v(f)i53(x-x(f)),	(1.26)
и второе слагаемое в (1.24) переходит в стандартное выражение, описывающее взаимодействие заряженной частицы с электромагнитным полем
SB3 = dt Q(vA) -
(1.27)
') Здесь и далее (если специально не оговорено обратное) мы будем считать, что по любым двум повторяющимся индексам производится свертка с так что ai,bfl = аГЬ'1 = ар1Г. В частности, F'^ = F'^F1'1'.
1.2. Лагранжев формализм в теории поля
19
Задачи
1.	Показать, что уравнения Лагранжа для действия (1.24) совпадают с уравнениями Максвелла (1.10).
Поскольку dAv/dAp = 8®, а д(д^Аи)/д{даАв) = 8^8„, для производных функции Лагранжа получаем следующие выражения:
^ = -^ = -j7q;	(1.28)
= --^-2F^ (6^-623^ = —---Гяо.	(1.29)
d(OfiAa) 16тгг \	1	4тгс
Поэтому уравнение движения (1.25) может быть записано в виде
dpF,La =	(1.30)
и совпадает с уравнением (1.10).
2.	Проверить, что действие (1.24) является инвариантным относительно калибровочных преобразований (1.9) с точностью до интеграла от четырехди-виргенции.
Поскольку тензор поля инвариантен относительно калибровочных преобразований, то
- J <?х (-	(Л, - ад) -
= 5эД + ^ р4Цадм-ад«). (1.31)
Принимая во внимание уравнение непрерывности сфф’ = 0, получаем, что
5ЭД 5ЭД +- (к dS^j^a,
(1-32)
откуда и следует требуемое утверждение.
3.	Доказать, что прибавление четырехдивиргенции к функции Лагранжа не меняет уравнений Лагранжа.
Предположим, что
£ г£ - ад-." зз>
где производная d/dxil действует на все xf‘ (в том числе на аргумент ф;), а производная д/дх>1 — только на второй аргумент f>l. (Заметим, что в этих обозначениях д)£ = d/dx11.) Из (1.33) очевидно, что
20
Гл. 1. Описание электромагнитного взаимодействия
и, следовательно,
0 = д ~д^- =д -д- +д	Г
дф} ^(д^) дф3+	дф}\
= э 9С - —
'1 д(д^ф3) дф/
Поэтому уравнения Лагранжа, получающиеся из функции £’, совпадают с уравнениями Лагранжа, которые следуют из функции £.
1.3. Об используемой системе единиц
Далее мы будем использовать систему единиц, в которой постоянная Планка и скорость света положены равными 1:
П=1;	с=1.	(1.36)
В такой системе единиц все величины имеют размерность массы в некоторой степени. В частности, в Задаче показано, что
масса [m] = т;
энергия [Д] = т;
импульс [р] = т;
координата [ж] = 1 /т;
время [f] = 1/m;
производная по координате [Эм] — т;
действие [S] = 1;
потенциал эл./м. поля [Ам] = т;
ток [,Д] = m3;
заряд [gj = 1;	(1.37)
напряженность эл./м. поля [F^,] = m2;
гравитационная постоянная [G] — т~2.	(1.38)
Размерности других величин будут при необходимости указываться в тексте книги.
Кроме того, мы переопределим потенциал электромагнитного поля и модуль заряда электрона следующим образом:
(1.39) v4tf
Так как ток пропорционален модулю заряда электрона е, то при этом
1 г (140)
V 4тг
1.4. Излучение электромагнитных волн
21
После таких преобразований действие электромагнитного поля с внешним источником (1.24) и постоянная тонкой структуры а будут записываться следующим образом:
5ЭД = ~	~	а =	(1.41)
а уравнения Максвелла, получающиеся при варьировании 5ЭД, принимают вид

(1.42)
Задача
Найти размерности физических величин в системе единиц Й = 1, с. = 1.
[Е] = [тс2] = [т] = т;
[р] = [тс] = т;
И = [h/p] = 1/[р] = 1/т;
[t] = [х/с] = [ж] = 1/т;
[<9М] = 1/И = т.	(1.43)
Кроме того, рассмотрев выражение ехр(г5/Й), мы заключаем, что
[S] = [Й] = I.	(1.44)
Используя (1.24) и (1.44), получаем, что
[EMJ = у/1/[ж4] = гп;
Им] =
[7^] = 1/И.х4] = т3;
[9] = [/ж3] = 1.	(1.45)
Наконец, размерность гравитационной постоянной можно вычислить, исходя из закона всемирного тяготения:
[G] = [Fx2]/[m2': = [mx/t2][x2]/[m2j = т~2.	(1.46)
1.4. Излучение электромагнитных волн
Найдем теперь решение уравнений Максвелла при условии, что известны слагаемые с источниками. Мы будем использовать калибровку Лоренца д^А^1 = 0, в которой они запишутся в виде
duFlw = &А1' = F.
(1.47)
22
Гл. 1. Описание электромагнитного взаимодействия
Решать это уравнение удобно с помощью преобразования Фурье. Этот способ решения подробно описан в Задаче 1, где показано, что
= / <PyG(x -у^Лу)’
(1.48)
где функция Грина G(x — у) записывается в виде
С(*-У) = - [	У"’’	(L49)
причем А;2 =	— к2. Однако это выражение нуждается в доопреде-
лении, поскольку при интегрировании по А’о мы встречаем 2 полюса на вещественной оси. Для того чтобы аккуратно определить интеграл, необходимо дополнительно указать правила обхода этих полюсов. Для этого необходимо использовать физические соображения: потенциал, который создается некоторым распределением источников, должен зависеть только от того, как источники были распределены в прошлом и не зависеть от того, как они будут распределены в будущем. Это соответствует тому, что
G(x — y) = 0, если х°<у°.	(1.50)
Для того чтобы такое условие выполнялось, необходимо доопределить функцию Грина (1.49) следующим образом:
Gret(x -у) = -
Г d'k lim / ---------- =----------------.
?—-0 J (2тг)4 А<2 - к2 + 2г~ ко
(1.51)
(Функция Грина, определенная таким образом, называется запаздывающей.) Действительно, полюса знаменателя в этом случае будут находиться в точках ')
к0 - iVk2 (1 -	= iVk2 - is.	(1.52)
\ к2 /
Это означает, что оба полюса будут находиться ниже вещественной оси или, эквивалентно, оба полюса обходятся сверху в комплексной плоскости. Если при этом х° < у°, то, в соответствии с леммой Жордана, при вычислении интеграла по ко необходимо производить замыкание в верхнюю полуплоскость (см . Рис 1.1). Но в верхней полуплоскости рассматриваемая функция не имеет ни одной особенности, благодаря чему интеграл от нее оказывается равным 0. Это и означает выполнение условия (1.50).
') Произведение г на любое конечное положительное число можно считать равным г, поскольку мы берем предел е —> +0.
1.4. Излучение электромагнитных волн
Вычисление запаздывающей функции Грина при а:0 > у° проведено в Задаче 2, в которой показано, что
Gret(x) = —6(г - х°), 4тгг
(1.53)
где г = Vx?. Подставляя это выражение в формулу (1.48), получаем, что решение уравнений Максвелла может быть представлено в виде
Л„((.х) =	(1.54)
Это решение имеет очень простую интерпретацию: электромагнитное поле распространяется из точки у, где находится источник, в точку х, где поле измеряется, со скоростью с = 1. Поэтому поле в точке х и момент t определяется значением источника в точке у и в момент времени t - |х - у|. Поэтому решение уравнений Максвелла (1.54) называется запаздывающим потенциалом.
Однако решение (1.54) не всегда является удобным, поскольку содержит достаточно сложное интегрирование. При этом типичной является ситуация, когда источники сосредоточены в некоторой ограниченной области пространства, а электромагнитное поле измеряется в точке, далекой от этой области. Оказывается, что в таком случае можно существенно упростить формулу для запаздывающего потенциала, используя приближение г L, где через L мы обозначили характерный размер области, в которой расположены источники, a i— расстояние от этой области до точки, в которой измеряется электромагнитное поле.
При этом мы будем считать, что система зарядов, которые являются источниками электромагнитного поля, в целом электрически нейтральна. При г L, считая, что источники находятся вблизи начала координат, можно ограничиться низшими порядками разложения
!х - у| = г - пу + 0(1/г).
(1.55)
24	Гл. 1. Описание электромагнитного взаимодействия
где г = Vj?, а п = х/г — единичный вектор, который смотрит из точки, где находятся источники, в точку, где находится приемник электромагнитных волн. Другими словами, п представляет собой единичный вектор, указывающий направление распространения электромагнитной волны. В самом низшем приближении
АЖХ) ~ 4"; Id3yjp(l “ Г’У)-	С1-56)
Однако нулевая компонента этого выражения оказывается равной О в силу сохранения электрического заряда и электрической нейтральности системы:
q=l d3yj0(t,y) = 0.	(1.57)
Поэтому для нахождения первого нетривиального вклада в нулевую компоненту потенциала необходимо учитывать следующий порядок. Принимая во внимание, что нулевая компонента тока представляет собой плотность электрического заряда р, и используя разложение в ряд Тейлора, получаем, что
jo(t - lx -у\,у) = p(t - г + пу + О(1/г),у) и
~ p(t - г) + ^p(t - г, у) пу. (1.58)
Важно заметить, что мы ограничились только двумя первыми слагаемыми разложения этой величины в ряд Тейлора и пренебрегли всеми остальными. Это можно делать в том случае, если каждый последующий член разложения существенно меньше предыдущего. Если движение зарядов происходит по гармоническому закону с частотой ш, то дор ~ ыр. Поэтому второе слагаемое будет существенно меньше первого в случае, если шу 1. Но при гармонических колебаниях величина сцу представляет собой характерную величину скорости зарядов. Поэтому выполненное нами разложение будет справедливо в том случае, если скорости движения зарядов, создающих электромагнитное поле, являются малыми по сравнению со скоростью света с= 1.
Заметим теперь, что величина
р = У d3yp(t,y)y = p(t)	(1.59)
представляет собой дипольный момент системы зарядов, которые создают электромагнитное поле. Поэтому в соответствии с формулами (1.54) и (1.58) нулевая компонента потенциала калибровочного поля будет приближенно равна
(1.60)
1.4. Излучение электромагнитных волн
25
Вычислим теперь пространственные компоненты потенциала электромагнитного поля. В Задаче 3 показано, что они оказываются отличными от 0 уже в низшем порядке разложения в ряд Тейлора формулы (1.54) и равными
А яе -J- f d^yyit - г, у) = 4тгг J 7	7 4тгг
(1.61)
Поэтому в рассматриваемом приближении скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля равны
np(i-r). A=p(t-r).	(162)
4тгг	4тгг
Важным преимуществом этих выражений по сравнению с формулой (1.54) является отсутствие достаточно сложного интегрирования. Заметим также (Задача 4), что потенциалы (1.62) удовлетворяют калибровочному условию Лоренца
= дур + 9 А = 0	(1.63)
с точностью до слагаемых О(1/г2), которые достаточно быстро убывают на пространственной бесконечности и в рассматриваемом приближении могут быть отброшены. В Задаче 5 показано, что с точностью до таких же слагаемых электрическое и магнитное поля, соответствующие потенциалам (1.62), могут быть представлены в виде
Е _ [п х [п X р]]. н _ [п х р].	(1
4тгг ’	4тгг
Для вычисления потока энергии, который переносится электромагнитной волной, необходимо найти величину вектора Умова-Пойнтинга ’)
[Е х Н] =
[п х р]2 (4тгг)2
(1.65)
(Последнее равенство следует из того, что векторы Е и Н, очевидно, перпендикулярны, а их векторное произведение, как несложно убедиться, направлено вдоль п.) Хорошо известно (см., например, далее, Часть 2.3.2), что модуль вектора [Е х Н] представляет собой энергию, которая переносится электромагнитной волной через единицу площади за единицу времени. Поэтому, если обозначить через $ угол между вектором р и вектором п, который указывает направление распростра-
*) Вектор Умова-Пойнтинга представляет собой компоненты Ог симметризо-ванного тензора энергии-импульса, который будет построен далее, см. формулу (2.79).
26 Гл. 1. Описание электромагнитного взаимодействия
нения электромагнитной волны, то энергия, излучаемая за единицу времени в телесный угол rfQ, будет равна
di -	(1.66)
(4тг)-
Полный поток энергии за единицу времени вычислен в Задаче 6 и оказывается равным
0-67)
О7Г
Еще раз подчеркнем, что при получении потенциалов (1.62) (а значит, и всех последующих формул) мы ограничились только низшими слагаемыми в разложении Тейлора, что фактически соответствует разложению по малым скоростям зарядов, создающих электромагнитное поле. При этом результат для потенциалов выражается через величину электрического дипольного момента системы зарядов. Поэтому говорят, что соответствующие им электромагнитные волны получаются в результате дипольного излучения. Все остальные слагаемые можно учесть, аккуратно сформулировав способ разложения потенциалов электромагнитного поля. Соответствующее разложение называется мультипольным.
Задачи
1. Найти решение уравнений Максвелла в калибровке Лоренца.
Представим калибровочное поле и ток в виде интеграла Фурье:
= У	=	(1.68)
Подставляя эти выражения в уравнения Максвелла в калибровке Лоренца, которые записываются как д2А1' — получаем, что
=	(1.69)
к
где к2 —	- к2. Совершая обратное преобразование Фурье, окончательно
получаем:
/
= ~ [ 7Г^е~'к"Ха I	(1-70)
./ {/’'К) к	J
что может быть эквивалентно переписано в форме (1.48) и (1.49).
2. Вычислить запаздывающую функцию Грина (1.51) при х® > у0.
Вначале мы вычисляем интеграл по dkg. Для этого мы производим замыкание контура интегрирования, которое в рассматриваемом случае произ-
1.4. Излучение электромагнитных волн
27
водится в нижнюю полуплоскость, как это показано на Рис. 1.1. При этом подынтегральное выражение будет иметь два полюса первого порядка в точках /с0 = ±/с — ге, где k = у/№ . Вычисляя вычеты в этих полюсах, получаем, что
_ Ип1 [ ±
е—*0 J 2тг fcg - k- ч- 2iek0 2k \ Поэтому запаздывающая функция Грина будет равна
(1.71)
Gret(x) = f -Sm(fa0) c?kx.	(172)
J (2тг) k
Этот интеграл может быть вычислен в сферических координатах. При этом ось z удобно направить вдоль вектора х, благодаря чему kx = кг cosi9, где г = а/з? , а мера интегрирования окажется равной
ОС	7Г	2тг
j d3k = J dkk2 У dd sin d j dip.	(1-73)
0	0	0
Поскольку подынтегральное выражение не зависит от угла р, интеграл по нему дает 2тт. При взятии интеграла по dd удобно сделать замену х = cos 19. С ее помощью получаем, что
—sin( /с.г0) sin(fcr) =
о -
—( cos(kx° — кг) — cos(fcs() — кг)^ . (1.74)
о
Для того чтобы вычислить этот интеграл, можно воспользоваться интегральным представлением для <5-функции:
<5(а?) = У У dkekj: = — у dk cos(kx) = — J dk cos(kx). (1.75) -oo	— oc	0
Можно проверить этот результат и непосредственно. Для этого доопределим рассматриваемый интеграл следующим образом:
У dk cos(kx) = lim‘ I dk^e ek+lkx ^e-ek-ikxy^ lira ~£-~.	(1.76)
о	b
В случае, если x / 0, этот предел, очевидно, равен 0. Если же х = 0, то при е —> +0 получается Гоо. При этом
(1.77)
28
Гл. 1. Описание электромагнитного взаимодействия
Поэтому можно считать, что
dkcosikx) = тг<5(ж).	(1.78)
о
Используя это равенство, из формулы (1.74) находим, что
- ж0) - 5(т- +ж0)) = Х5(г_ж0),	(179)
47ГГ \	/ 47ГГ
поскольку г > 0 и х° > 0 и, следовательно, вторая <5-функция оказывается равной 0.
3.	Вычислить векторный потенциал электромагнитного поля в низшем порядке мультипольного разложения.
Сохраняя в формуле для пространственных компонент запаздывающего потенциала (1.54) только ведущее слагаемое разложения в ряд Тейлора, получаем, что
A=-J- I d3yj(t-r,y).	(1.80)
47ГГ J
Для того чтобы переписать эту величину несколько по-другому, рассмотрим
= J d3yyldkjk = - У d3yjl.	(1.81)
(Последнее равенство было получено с помощью интегрирования по частям, с учетом того, что токи сосредоточены в некоторой конечной области пространства.) Используя затем уравнение непрерывности (1.2), получаем, что
J d3yi= I d3y ру = р,	(1.82)
где р — электрический дипольный момент системы зарядов, создающих электромагнитное поле. Поэтому, окончательно, векторный потенциал запишется в виде
4.	Убедиться, что потенциалы (1.62) удовлетворяют калибровочному условию Лоренца с точностью до членов порядка 1/г2.
Заметим вначале, что при дифференцировании потенциалов по пространственным координатам производная множителя 1/г приводит к слагаемым порядка 1 /г2. Поскольку эти слагаемые достаточно быстро убывают на пространственной бесконечности, то ими можно пренебречь, если источник находится достаточно далеко от приемника. Как следствие, производная по простран
1.4. Излучение электромагнитных волн
29
ственным координатам будет действовать только на г, который содержится в аргументе дипольного момента. При этом справедливо тождество
дг = — = п,	(1-84)
г
которое следует из равенства
Дх2 + у2 + г2 = —Ж .	(1.85)
дх	^ + у* + г*
Поэтому, используя формулу для производной сложной функции, получаем,
что
= ^+9А = "р(< г) — дг—~..........+О(1/г2) = О(1/г2). (1.86)
от	4тгг	4тгг
5.	Найти выражения для электрического и магнитного полей, которые соответствуют потенциалам (1.62).
При вычислении магнитного поля справедливы все замечания, сделанные при доказательстве справедливости калибровки Лоренца в предыдущей задаче. В частности, пространственные производные действуют только на г, стоящий в аргументе дипольного момента, благодаря чему с использованием равенства (1.84) магнитное поле может быть записано следующим образом:
Н = rotA =-------!—[Vr х p(t - г)] 4- O(l/r2) = -1ВД-Ё1 + O(l/r2). (1.87)
4тгг	4тгг
Аналогичным образом, при вычислении электрического поля также можно дифференцировать только аргументы дипольного момента:
Е =	- VAo - —Ё_ + ПДЁ1 = [nxtnxp]]. (1 88)
at	4тгг 4тгг 4тгг
При выводе последнего равенства была использована формула для двойного векторного произведения
[А х [В х С]] = В(АС) - С(АВ),	(1.89)
для доказательства которой удобно воспользоваться выражением для компонент векторного произведения через е-символ и формулой для произведения двух е-символов:
&im
[А X [В X	— Cij/c-Aj 8 fcmn Bm.Cn
&in 6jn
A j Bm Cn
= Bl(A1Cj)-Ci(A1Bj).
(1.90)
30
Гл. 1. Описание электромагнитного взаимодействия
6.	Найти полную интенсивность электрического дипольного излучения.
Поскольку в сферических координатах элемент телесного угла записывается в виде dS.l = sind dfl dtp, то полная интенсивность электрического дипольного излучения оказывается равной
1= fddsmdj dp^^ = ксЫ] =Е-	(1.91)
0	0	-1
Список литературы
1.	Из огромного числа хороших учебников по классической электродинамике можно отметить, например,
В.И. Денисов. Лекции по электродинамике, Москва, УНЦ ДО, 2007;
Дж. Джексон. Классическая электродинамика, Москва, Мир, 1965;
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб, пособие, т.2.
Теория поля, Москва, Физматлит, 2006;
И.Е. Там.м. Основы теории электричества, Москва, Физматлит, 2003.
2.	Прекрасное изложение основ лагранжева и гамильтонова формализма содержится в книге
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб, пособие, т. 1. Механика, Москва, Физматлит, 2004.
Глава 2
ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
2.1.	Локальная калибровочная инвариантность
Наиболее простой моделью теории поля является теория, описывающая комплексное скалярное поле ф(х'). Термин скалярное поле говорит о том, что при поворотах системы координат оно преобразуется по закону ф(х) Ф'(х'), причем ф'(х') = ф(х). Не очень строго скалярное поле можно представлять себе как функцию координат, которая не имеет лоренцевых индексов.
Для того чтобы построить функцию Лагранжа для скалярного поля, разумно предположить, что она должна быть квадратична по первым производным, например,
£ = д(1ф*д,1ф - т2ф*ф.	(2.1)
Уравнением движения для лагранжиана (2.1) является т.н. уравнение Клейна-Гордона-Фока [1]
д2ф+-т2ф = 0,	(2.2)
где д2 = (Уд/, -	- д2. Переходя в импульсное представление, из
(2.2) находим (Задача 1), что
= (Га"к^(к2а - т2)ф(к).	(2.3)
J (2л-)
Поскольку для свободной частицы в квантовой механике Е = ко, р = к, то условие £-2 = Ay; — к~ — т2 представляет собой связь между энергией и импульсом релятивистской частицы массы т. Поэтому параметр т мы будем называть массой скалярного поля.
В более общем случае для скалярного поля можно написать следующую функцию Лагранжа:
£ = д^д>‘Ф- У(ф*ф),	(2.4)
, где V — некоторая вещественная функция, которая часто называется s потенциалом.
1
32
Гл. 2. Основы классической теории поля
Лагранжиан (2.4) не меняется (инвариантен) относительно глобальных калибровочных преобразований
ф е~^аф; ф*^е"'аф*,	(2.5)
где а е Re - произвольная вещественная постоянная, которая является параметром этих преобразований, (е в аргументе экспоненты также является некоторой постоянной, смысл которой будет понятен далее.) Термин глобальные означает, что постоянная а одинакова во всех точках пространства, т.е. а а(х).
Однако, как несложно проверить, лагранжиан (2.4) не является инвариантным относительно локальных преобразований, которые по форме совпадают с (2.5), но имеют а = а(х), поскольку в этом случае
е~геа':1) (^дрФ - гедра(х)фу	(2.6)
Попробуем теперь модифицировать функцию Лагранжа таким образом, чтобы она не менялась бы и при а = а(х). Для этого вспомним, что действие электромагнитного поля является инвариантным относительно преобразований
- с>ма.	(2.7)
Заменим в лагранжиане (2.4) обычные частные производные д^ф и дцф* на ковариантные, которые определяются следующим образом:
Т)цф = д^ф - ieA^; 7\ф* = (Р^ф)* =д^ф* + ieA^*. (2.8)
В Задаче 2 показано, что при локальных калибровочных преобразованиях
- е-геа^ф-
Т^ф* еге“(ж)2?;1ф*.	(2.9)
Поэтому выражение
Л =	- V(O)	(2.10)
является инвариантным относительно преобразований
ф e~iea(x^; ф* е’е“(х)ф*;
> А.. дцОс^х).
(2.Н)
Присутствие в лагранжиане (2.10) потенциала Л7, свидетельствует о взаимодействии между скалярным и электромагнитным полями. Однако при наличии электромагнитного поля в теорию необходимо также добавить его лагранжиан
^ = 4^
(2.12)
2.1.	Локальная калибровочная инвариантность	33
(В данном случае мы предполагаем отсутствие внешнего источника.)
Поэтому окончательное выражение для функции Лагранжа, инвариантной относительно локальных калибровочных преобразований (2.11) и описывающей систему взаимодействующих скалярного и электромагнитного полей, запишется как
£ = £l+£2 =	+ 7\ф*7Гф - V(0*<	(2.13)
Соответствующие уравнения движения получены в Задаче 3 и имеют вид
Т)^ф + У(ф*ф)ф = 0;	(2.14)
= f = -1е(ф*7Уф- фТГф*).	(2.15)
Мы видим, что второе уравнение по форме совпадает с уравнениями Максвелла, но вместо четырехвектора тока в нем стоит некоторая функция поля ф. Это означает, что в данном случае скалярное поле представляет собой источник для электромагнитного. При этом уравнение непрерывности
^ = 0,	(2.16)
которое требуется для совместности (2.15), теперь автоматически следует из (2.14), что явно проверено в Задаче 3.
Задачи
1.	Решить уравнение Клейна-Гордона-Фока с помощью перехода в импульсное представление.
Представляя ф(х) в виде четырехмерного интеграла Фурье
^) = y"^ye-“'lfc^(fc)	(2.17)
и подставляя (2.17) в уравнение Клейна-Гордона-Фока (2.2), получаем, что
(fc* 2 - m2)0(fc) = 0.	(2.18)
Это означает, что ф(к) пропорциональна <5(fc2 — т2) и может быть представлена как ’)
0(fc) = <5(fc2 - m2)</>(fc).	(2.19)
Поэтому, окончательно,
Ф^) = / e-^fe^(fc2 - т2)ф(к).	(2.20)
J (27Г)
*) Функции ф(х) и ф(к), конечно, различны. Они обозначены одной и той Же буквой только для наглядности.
2 К. В. Степаньянц
34
Гл. 2. Основы классической теории поля
2.	Выяснить, как преобразуются ковариантные производные Т^ф и Т>^ф* под действием локальных калибровочных преобразований (2.11).
Т>»Ф = (д,, - геА^ф (5М - геЛм - ied^a) (е ге"ф) =
= e',ea(dtl-ieA^ = е-^.ф;	(2.21)
Т>и.Ф* = (дц - геЛм)ф* (dtl + геАм - ге д^а) (еФеаф*^ =
= егеа(д„ + геЛ,)ф‘ = егеа^ф*. (2.22)
3.	Найти уравнения движения для лагранжиана
£ =-^ + Т\ф*ТГф-Щф*ф)	(2.23)
и доказать, что они совместны.
Имеем:
дС _ дС д^ф*)	дУ(ф*ф)
дф“ ~ д(Т)рф') дф* дф-
= гсА^ТУс) — У'(Ф*ф) ф;
дС Э(д^Фг)
= ТУ*ф.
(2.24)
(Производная в V' берется по полному аргументу фжф.) Подставляя эти выражения в уравнения Лагранжа, получаем уравнение движения для скалярного поля
О = д^,1ф - геА^ф + И'(ф’ф) ф = Р^ф - У'(фжф) ф. (2.25)
Как и ранее, (Задача 1 Части 1.2)
Кроме того,
яг д1д^Аф)
(2.26)
дС дА1У
дС д(Т)^фА дС д^ф) д(Т\ф*) (JAl,	д(Р1Лф'} д.\и
1е(ф*Т>1'ф — фТ^ф*''} . (2.27)
Поэтому уравнением движения для поля А„ будет
= -ге^фГТГф - фТГф*} = f.	(2.28)
Для того чтобы уравнение (2.28) имело решение, необходимо выполнение условия d^j11 = 0. Покажем, что оно является следствием (2.25). Имеем:
d^j'1 = —1ед1Л^ф*Т>1‘ф — ФТ>11	.
Рассмотрим выражение
(2.29)
д^ф*ТГф) = д^ф'&'-ф + ф*9^ф =	(2.30)
= (7?м<р- - ieAt^)V^ т ф~(Т>1 + геА.Т^ф = Т^ф'ТГф + ф'Т)1^.
2.2.	Массивное и безмассовое векторные поля
35
Аналогично
д^фТУф*) = Т\фТ^ф*+фЪ1ф*.	(2.31)
Поэтому, принимая во внимание уравнение движения (2.25), находим, что
- фТ^ф*) = -ге( - ф*У'ф + ф Уф*) = 0.	(2.32)
Это и означает совместность системы уравнений движений (2.25) и (2.28).
2.2.	Массивное и безмассовое векторные поля
Попробуем теперь выяснить, каким образом можно построить теорию, которая описывает массивное векторное поле. Для этого рассмотрим лагранжиан
С = ~^F2y + ^п2А2, где = д^Ау - дуА^. (2.33)
Для функции Лагранжа (2.33) в случае m 0 получаются уравнения (см. Задачу)
д2А^ + т2Лм = 0;	д^А>! = 0.	(2.34)
Совершая преобразование Фурье, аналогично случаю скалярного поля находим, что
= I e~lX“k^kl ~	(2.35)
j	J 127Г)
I причем k^A^k) = 0.
< Сравнивая уравнение А:2 = к% - k2 = т2 с соотношением между ( энергией и импульсом релятивистской частицы, заключаем, что пара-: метр т представляет собой массу векторного поля.
Уравнение kflA^ = 0 говорит о том, что из четырех функций Лм(/г) только три являются независимыми. Например, в системе отсчета, где кц = (яг, 0,0,0), мы получаем, что Ло = 0, а независимыми компонентами являются Л], Лг и Л3. Поэтому говорят, что массивное векторное поле имеет три степени свободы.
Обратим внимание, что лагранжиан (2.33) не является инвариантным относительно локальных калибровочных преобразований
Лм - Лм - д^а	(2.36)
при т ± 0, что является его существенным недостатком.
В случае т. — 0 число степеней свободы становится равно двум благодаря калибровочной инвариантности. Действительно, благодаря
2*
36
Гл. 2. Основы классической теории поля
инвариантности (2.36) не все Ам являются физическими; часть из них может быть удалена с помощью специального выбора функции а(х). Например, всегда можно подобрать а(ж) так, чтобы добиться выполнения калибровочного условия Лоренца
= 0. И
(2.37)
Условие (2.37) фиксирует функцию а(х) с точностью до остаточных калибровочных преобразований
Afi -> Ам - д^а, д2а = 0.	(2.38)
Тогда при т = 0 решение уравнения движения = 0 в калибровке (2.37) оказывается равным
(2.39)
J (27Г)
причем в импульсном представлении условие Лоренца и остаточная инвариантность запишутся как
k^A^fk) — 0; A^tk) —» Afjk) - ik^atk), (2.40)
где
a^= f ^е~^6(к2аЫк).	(2.41)
J (2тг)
Равенство к2 = 0 позволяет выбрать систему отсчета, в которой /У = (к, 0,0, к), так что условия (2.40) перепишутся в виде
к(Ао + Аз) — 0; Ад —+ Aq — ika; A3 —> A3 4- ika. (2.42)
Следовательно, выбором а(к) = —iA^/k, мы можем одновременно сделать Aq и A3 равными 0. Отличными от нуля остаются перпендикулярные вектору импульса к — (0,0, Аг) компоненты At и Аг. Поэтому благодаря калибровочной инвариантности безмассовое векторное поле имеет только две вещественные степени свободы.
Задача
Найти уравнения движения для массивного векторного поля, описываемого функцией Лагранжа (2.33).
Легко видеть, что из лагранжиана (2.33) получается уравнение Лагранжа
dflF'11' + т2 Л1' = 0, которое в случае m 0 при свертке с дает
(2.43)
д.А1' = 0.
(2.44)
2.3. Теорема Нетер: симметрии и законы сохранения
37
Подставляя (2.44) в (2.43), получаем, что
О = д*‘ (д^А„ -	+ m2Av = cP А„ + т~ А,,.
(2АЬ)
2.3.	Теорема Нетер: симметрии и законы сохранения
2.3.1.	Теорема Нетер.
В классической механике хорошо известно, что сохраняющиеся величины во многих случаях могут быть легко построены по функции Лагранжа. Например, если функция Лагранжа явно не зависит от времени, то сохраняется обобщенная энергия
г- _ 9L . т
Е~^~ '
(2.46)
Если же она не зависит от одной из обобщенных координат, то интегралом движения является соответствующая компонента обобщенного импульса
Рг = |.	(2.47)
Эти законы сохранения являются частным случаем более общего утверждения, которое носит название теорема Нетер [2]. Ее суть состоит в том, что каждой симметрии классического действия соответствует некоторая сохраняющаяся величина. В частности, в случае конечного числа степеней свободы, рассматриваемого в механике, инвариантность действия относительно сдвигов по времени приводит к сохранению обобщенной энергии, а инвариантность относительно сдвигов по циклической координате — к сохранению соответствующей компоненты обобщенного импульса.
Сходное утверждение может быть доказано и в теории поля, т.е. для случая бесконечного числа степеней свободы. Имеет место
Теорема Нетер. Предположим, что действие
5 =
с/4Х £(&,(?,,(/>,•, Xм)
(2.48)
является инвариантным относительно бесконечно малых преобразований координат и полей
Х!Ц _ ХН _|_ ф(х) -+ ф'(х), причем
ф'(д') = фг(х) + <5фг(ж),
(2.49)
38
Гл. 2. Основы классической теории поля
в случае, если область интегрирования М является произвольной, т.с. ')
У /Гх' £(<д'(х'), (дА,ф')(-';;,)> х) = У d4x £(Фг(х), d/t0i(x), х), (2.50) М'	м
где (дцф'ф(х') = дф'(х')/дх'11. Тогда на уравнениях движения
= 0.	(2.51)
Ус' 1 \д(д^фг) v J	j
(Доказательство приведено в Задаче.)
Обратим внимание, что при доказательстве крайне существенно, что действие должно быть инвариантно в случае, если интегрирование в нем производится по произвольной области. В частности, если при преобразованиях (2.49) к действию прибавляются некоторые поверхностные члены, то закон сохранения в форме (2.51) уже не выполняется. Заметим также, что полное изменение поля ф^ в точке х связано с величиной в формуле (2.49) равенством
Зфг = ф'г(х) - ф^х) = §ф{ - д^сфдх'Г	(2.52)
Уравнение (2.51) приводит к сохранению во времени некоторой величины. Действительно, оно может быть схематично записано как
— 0. Величину ,Р1 при этом называют сохраняющимся нетеров-ским током. Интегрируя это равенство по трехмерному пространству в предположении, что все поля стремятся к 0 на пространственной бесконечности, получаем, что
0= [d3xdfiJ'i = ^- [d3xJ°+ fdSJ = ^-Q,	(2.53)
I	CvV I	I	(Jab
где Q = у d3xJ°. В случае электродинамики аналогичный закон сохранения имеет место для тока у7' = (р,j), причем интеграл по всему трехмерному пространству от j° представляет собой полный электрический заряд. Поэтому по аналогии с электродинамикой величину Q также называют сохраняющимся нетеровским зарядом.
') В первом интеграле можно обозначать переменную интегрирования любой буквой, но существенно, что меняется область интегрирования.
2.3. Теорема Нетер: симметрии и законы сохранения	39
Задача
Доказать теорему Нетер.
Поскольку действие является инвариантным относительно преобразований (2.49), то
0 = 55 = i d3x' £^ф\(х'),д'рф\(х'),х'^ — f d^x £(^n(x),dtI<bi(xY :i!^, (2.54)
М'	м
я’ - д
где5" = ^'
Переходя в первом интеграле от интегрирования по х' к интегрированию по х с помощью замены переменных, получаем, что
5S = I d'x ( det(^^-^£(<p'(a:')>	- £(d>i(a;), д^,фг(х), х И ,
м '	'
(2.55) где все х' должны быть выражены через х. Обратим внимание, что при этом область интегрирования М предполагается произвольной.
Поскольку х'п = ха + 8ха, то якобиан перехода может быть записан как
1 + добх0 до5х] додх2 додхА
д] 8х°
1 + 315а;1
<Э[ дх2
д] дх3
д-збх0	дзбх0	I
дчбт]	дз8х[
1 + д>8х2	djdx2	I ’
дуЗх3 1 + дзбх3 j
(2.56)
В силу малости др6ха в низшем приближении этот определитель равен 1. Легко проверить, что в следующем приближении члены первого порядка по 8ха могут возникнуть только из произведения диагональных элементов и оказываются равными
до8х° + 8х' -+- д?8х2 -+- дзбх3 = д^бх^.	(2.57)
Следовательно, с точностью до членов первого порядка малости по 8ха
detl » 1 +д)16х^.	(2.58)
V дх/ )
Заметим, что это равенство можно рассматривать как следствие формулы tr In М = In det М, которая доказана в Приложении А.2 (Задача 7). Действительно, из этой формулы следует, что
dct(5£ + d^8xv) — exp (tr ln(5" + d^8x‘')j «
« exp (tr(dt,8x')^ = ехр(3/15гм) « 1 +• д.,8.г‘'.	(2.59)
Также из малости 8x,L следует, что
г)
^ = ~^-^*8''-д^.	(2.60)
40
Гл. 2. Основы классической теории поля
Поэтому вариация действия (2.55) может быть записана как
5S = [ Jx (	(д^фг - д^д,фг\ +	•
J I dx^ d(pi d^d^i) \	/ дхг J
(2.61)
Так как функция Лагранжа зависит от координат как явно, так и через полевые переменные ф,(х), то
d.C
dx1'
(2.62)
где полные производные действуют на все (в том числе внутри фг(х)), а частные — только на ж'1, явно присутствующие в функции Лагранжа. Выражая частную производную функции Лагранжа из формулы (2.62) и подставляя ее в (2.61), получаем, что 6S может быть переписано как
8S = [ d'‘x I т^-((>фг -д^фгдхЛ +	.д^8ф1 - д1/фг6х1'} +
и)=/ л fc") ’£ fa")+
<2Ю>
Последнее слагаемое исчезает при использовании уравнений Лагранжа, так что на уравнениях движения
о = SS = [ d‘x А ( (Зф{ - 9„фг бх") + Cdx1' ).	(2.64)
J dx1 уд(д^фг) \	/	J
В силу произвольности области интегрирования подынтегральное выражение должно быть равным 0 при произвольном значении координат. Поэтому окончательно,
Tr\(^-,d^i-5"c'}5xV -	<2-65)
dx^ I \d(dll<pi)	/ д^д^фГ) J
2.3.2.	Сохранение тензора энергии-импульса.
Рассмотрим теперь некоторые важные частные случаи применения теоремы Нетер.
Поскольку физические законы одинаковы во всех точках пространства и во все моменты времени, то функция Лагранжа не должна явно зависеть от координат, т.е.
£ = £(</чЛфг).	(2.66)
Далее мы будет рассматривать только те модели, которые удовлетворяют этому требованию.
2.3. Теорема Нетер: симметрии и законы сохранения
41
При выполнении условия (2.66) функционал действия является инвариантным относительно трансляций
Г	— 7‘М _L. пР”
1,7 77	' /А х / \	(2.67)
1 фД.т)	®i\Xb причем <РДж ) —
где ам — некоторые постоянные, поскольку тогда при интегрировании по произвольной области М
У d4x Д^фД.г),<9м<р,(ж)^ = S.	(2.68)
м
В силу произвольности из теоремы Нетер следует закон сохранения тензора энергии-импульса ’)
Т7 = ^—^ф,-С67	(2.69)
который записывается в виде = 0. Справедливость этого закона проверена в Задаче 1 явным вычислением.
Тензору энергии-импульса соответствует сохраняющаяся во времени величина
- J - J **	(2-70)
Сравнивая Р° с выражением для обобщенной энергии (2.46), принимая во внимание равенство (1.19) и учитывая, что аналогом обобщенных координат теперь являются <^(ж), заключаем, что Е = Р°. А поскольку Г4' — (Е, Р) для точечной частицы представляет собой четырехвектор, то его оставшиеся компоненты мы должны отождествить с импульсом полевой конфигурации. Поэтому смысл термина «тензор энергии-импульса» теперь становится понятным.
Заметим, что поскольку интеграл по пространственным координатам от компоненты равен энергии, то эту компоненту можно отождествить с плотностью энергии поля. Аналогичным образом компоненты ТОг представляют собой плотность импульса. Для того чтобы понять смысл оставшихся компонент, заметим, что после интегрирования закона сохранения — 0 по некоторой области пространства М получается равенство
(2.71)
*) Смысл названия «тензор энергии-импульса» станет понятен далее.
42	Гл. 2. Основы классической теории поля
где через дМ обозначена граница области М. Поэтому изменение энергии и импульса поля в области М происходит за счет того, что энергия и импульс приходят или уходят через границу области дМ. При этом величины Тг0, очевидно, представляют собой вектор (по отношению к группе пространственных вращений) потока энергии, а Г4 — тензор, описывающий поток импульса. 9
Построим теперь для некоторых из рассмотренных ранее моделей.
А.	Вещественное скалярное поле.
Подставляя выражение для функции Лагранжа
£ = ^(ад2-Ш)	(2.72)
в (2.69), получаем, что тензор энергии-импульса записывается как
Т>\ = д^фг д,фг - (дафг)2 +	(2.73)
откуда следует, что
Е = I d3x (j(do</>i)2 +	+ Wj); P = - f (13хд^дф1.
(2.74) Заметим, что если потенциал У(ф^ 0, то энергия скалярного поля положительно определена.
В.	Свободное электромагнитное поле.
Несложно проверить, что тензор энергии-импульса, построенный по функции Лагранжа свободного электромагнитного поля (2.12) в соответствии с определением (2.69), представляется в виде
=	+	(2.75)
Однако это выражение (а, следовательно, энергия и импульс) не является калибровочно инвариантным. Наличие калибровочной зависимости у наблюдаемых величин энергии и импульса абсолютно недопустимо. На первый взгляд может показаться, что мы пришли к противоречию. Однако, это не так. Действительно, заметим, что если определить новый тензор энергии-импульса равенством
О"" = Т''" + data^
(2.76)
9 Важно заметить, что далее мы несколько модифицируем тензор энергии-импульса, заменив его на некоторый другой тензор О*"7. При этом указанный выше физический смысл будут нести компоненты именно нового тензора .
2.3. Теорема Нетер: симметрии и законы сохранения	43
где антисимметричен относительно перестановки индексов р. и а, то из уравнения дрТ^" — 0 будет автоматически следовать закон сохранения
- 0.	(2.77)
Специальным выбором tn'“' можно достичь калибровочной инвариантности нового тензора энергии-импульса 0М</, который, кроме того, оказывается симметричным по своим индексам. Поэтому 0'J" часто называют симметризованным тензором энергии-импульса, в то время как Т^", определяемый с помощью (2.69), — каноническим.
Для электромагнитного поля симметризованный тензор энергии-импульса определяется как
в^ = Т^ + дп(АЛ}1П\	(2.78)
При использовании уравнений движения dflFflL' = 0 он может быть переписан в виде
(2.79)
Последнее выражение с очевидностью является симметричным и ка-либровочно инвариантным и поэтому может быть использовано для построения энергии и импульса. Как показано в Задаче 2,
(2.80)
что с точностью до обозначений совпадает с известными выражениями для свободного электромагнитного поля.
Симметризованный тензор энергии-импульса может быть построен и в других моделях.
Задачи
1. Явным вычислением проверить закон сохранения канонического тензора энергии-импульса при С = С^ф^д^фг).
Используя уравнения Лагранжа (1.23), получаем, что
Н/Г"
v ч , dC ЭС я , , дС „ „ , dC дС . хд^ф: - — = — дуфг + -	. д^фг - —	0.
dx" дФ,	dx" дх"
(2.81)
44
Гл. 2. Основы классической теории поля
2. Получить выражения для энергии и импульса электромагнитного поля исходя из симметризованного тензора энергии-импульса.
Поскольку 0'',, = -FvaF^a + 5'^ Fa0Fafl/4, в то время как пространство имеет сигнатуру (н-----), то
Е = I d3x ( - FOaFOa + 1(2F0qF0“ + F0F^)} =
= f d3£ (f02 + |(—2F02 + Fy)) = 11 d3z(E2 + H2),	(2.82)
где было принято во внимание, что Ei = Гф и Hi = —eijkFjk/^.
F1 = у Zr001 = -F1,, Fo<‘ = f12f02 + FI3F03 =
= — F12F02 — F13F03 = HzEy — HyEz = [E x Hjz. (2.83)
Остальные компоненты импульса рассматриваются аналогично. Поэтому окончательно получаем, что
Р = [Е х Н].	(2.84)
2.3.3. Сохранение тензора углового момента.
Физические законы не только не зависят от точки пространства и момента времени, но и не меняются при преобразованиях Лоренца. (Основные сведения о простейших группах Ли и, в частности, группе Лоренца, а также соответствующих им алгебрам Ли приведены в Приложении.) Бесконечно малые преобразования Лоренца можно записать в виде
ха —> х'а = ха + аа0х0,	(2.85)
причем а010 — —а0а (это равенство следует из инвариантности величины хаха). Кроме того, поля также меняются под действием преобразований Лоренца. Формально закон их преобразования в бесконечно малой форме может быть записан как
ф^х) ф'^х), где ф'(?) = Ф1(х) - ^(Та0)г> ф.,(х)аа0,	(2.86)
а (Тп0)^ — генераторы группы Лоренца в том представлении, где находятся поля ф.,. (Обратим внимание на то, в каких точках берутся поля.) Конкретные примеры таких преобразований будут рассмотрены ниже. Пока же для нас важно, что функция Лагранжа должна быть инвариантна относительно преобразований
( Sxa = аа0х0',
< X К —	’ /'Г	(2.87)
|	(pjCx. .
2.3. Теорема Нетер: симметрии и законы сохранения	45
Подставляя эти выражения в (2.51), получаем, что соответствующий сохраняющийся ток (с точностью до несущественного знака) может быть представлен как
=	+	(2-88)
где
ЯГ
ее Т>‘0ха - Т^ах0; ее	(2.89)
Следует заметить, что в включены все слагаемые, связанные с преобразованиями координат а в — слагаемые, связанные с преобразованиями полей Выражение называют тензором орбитального момента, a S^0 — тензором спина. Угловой момент, который сохраняется благодаря инвариантности действия относительно преобразований Лоренца, записывается в виде
= J d3x M^v = J d3x (L^ +	(2.90)
Если рассмотреть только пространственные компоненты этой величины, то (в случае, если размерность пространства-времени равна 4) можно получить вектор (по отношению к группе пространственных вращений) углового момента
Мг — ^CijkMjk-	(2-91)
Умножая это равенство на £imn, получаем, что Mmn — £imnMi. Аналогичным образом можно построить трехмерные векторы орбитального момента и спина.
Рассмотрим теперь некоторые примеры:
А.	Вещественное скалярное поле.
По определению скалярное поле не меняется под действием преобразований Лоренца, так что — 0. Поэтому в этом случае
^-0;	<3 = ^3-	(2-92)
В.	Свободное электромагнитное поле.
Поскольку при преобразованиях Лоренца преобразуется так же как и координата х^, то 4.4м = и, следовательно,
(2.93)
Поэтому тензоры орбитального момента и спина запишутся в виде
~	—	"I"	~ Хв^~ daA'1t^l-l +	;
S£0 = F^An - F»aAp.	(2.94)
46
Гл. 2. Основы классической теории поля
Обратим внимание, что орбитальный, спиновый и даже полный угловой моменты не являются калибровочно инвариантными. Что касается орбитального и спинового моментов, то ничего плохого в этом нет, поскольку разделение М^,3 на две части является достаточно искусственным. Однако отсутствие калибровочной инвариантности у наблюдаемого суммарного тензора момента импульса крайне нежелательно. Тем не менее, несложно проверить, что на уравнениях движения
= L«p т = Jl‘0 + dv (F^Aax0 - F^Apx^,	(2.95)
где величина
Ja/3 =	- Xp<dtla
(2.96)
с очевидностью сохраняется и является инвариантной относительно калибровочных преобразований. Более того, заметим, что определенный с помощью (2.96) тензор момента импульса удовлетворяет закону сохранения dfiJ'*g = 0 автоматически благодаря симметрии (вторая часть Задачи).
Общее определение симметризованного тензора энергии-импульса будет дано в Части 6.6. Там также будет показано, что в общем случае симметризованный тензор энергии-импульса может быть записан как
+ 2д [s^ ~	+ s^«)'	<2-97)
где S^.ap = rifivSap- В частности, для случая свободного электромагнитного поля (тензор спина которого дается формулой (2.94)) отсюда следует, что
+ д'" (г 11ПА^,
(2.98)
что совпадает с определением (2.78).
Подставляя (2.97) в выражение для J^, получаем (см. Задачу), что и в общем случае
J«p = мар + W^xa - t^axp),	(2.99)
причем последнее слагаемое с очевидностью антисимметрично относительно перестановки индексов /г и и.
2.3. Теорема Нетер: симметрии и законы сохранения
47
Задача
Исходя из равенства (2.97) получить соотношение между каноническим тензором момента импульса М£д и J^0 = &^дхи - Q^aXg. Проверить сохранение тензора J%0.
Подставляя
= Т- р.и + ~^да — Зц.аи +	= TIJV + datagv (2.100)
в выражение для J%0, получаем, что
~ ТддХа TgfrXg -(- () tlgl0Xr, () tugaXg — ТдЛг0 4“ () (НдрХсф
& И-1'fj.cy X:д \ taдд -(- tpiia — L^tOig -р 8^.ад -р Э (tiglgX,y ti/fj.aXg^.
(2.101)
Поскольку тензор tv.ja антисимметричен по первым двум индексам, то из закона сохранения М£0 следует, что
^•С = 0.	(2.102)
Это равенство также может быть доказано, исходя из симметрии тензора энергии-импульса и закона его сохранения. Действительно, поскольку dp.Q^v = 0, то
д^д = Э» ^ахд -	= &да - вад = 0.	(2.103)
2.3.4. Сохранение электрического заряда.
Рассмотрим скалярную электродинамику, описываемую лагранжианом
£ = -^ + Pg0*P^-V(O).	(2.104)
В Части 2.1 мы выяснили, что такая модель является инвариантной относительно локальных калибровочных преобразований (2.11). Их частным случаем являются глобальные преобразования
ф^е~ге-аф-	и':	Afl^A0,	(2.105)
в которых а -ф а(х).
В соответствии с теоремой Нетер (2.51) глобальные преобразования (2.105) приводят к сохранению тока (Задача)
№ = -ге(ф*Т)0ф- фРцФ*\	(2.106)
Ранее мы уже выяснили, что условие — 0 необходимо для разрешимости уравнений движения и проверили его выполнение прямым вычислением (Задача 3 Части 2.1).
48
Гл. 2. Основы классической теории поля
Заметим теперь, что полученный по теореме Нетер ток совпадает с током, который стоит с правой части уравнений движения
d^F'w=f.	(2.107)
Поскольку эти уравнения фактически представляют собой уравнения Максвелла с источниками, то в рассматриваемой модели может быть отождествлен с четырехвектором электромагнитного тока, а сохраняющаяся во времени величина
q = — ie у" d3x ^ф*Т>оФ —	(2.108)
с электрическим зарядом. Поэтому инвариантность относительно глобальных калибровочных преобразований приводит к сохранению электрического заряда. Приведенное рассуждение также подчеркивает необходимость существования калибровочной инвариантности как одного из требований, предъявляемых к моделям теории поля.
Задача
Найти сохраняющийся ток, соответствующий глобальным калибровочным преобразованиям в модели (2.104).
Записывая бесконечно малые глобальные калибровочные преобразования, находим, что
Зф = — iea$;	Зф* = ъеаф*.	(2.109)
Поэтому из теоремы Нетер получаем закон сохранения в виде
„	„ / . дГ. . , д£ \	„ /
0 = dj - геаф - + геа</>—— = dJ
V д^ф ) д(сфф),1 \
Поскольку а ф отсюда следует, что
- фТ^Ф*)).
(2.110)
0 =	- ге(</>*7?м0 - фТ^ф*)).	(2.111)
Поэтому сохранение электрического заряда является следствием глобальной калибровочной инвариантности.
2.3.5. Метод Нетер.
Как уже упоминалось ранее, закон сохранения в форме (2.51) не работает в тех случаях, когда при некоторых преобразованиях функция Лагранжа является инвариантной с точностью до четырехдивирген-ции. В принципе, переформулировав приведенное в Задаче Части 2.3.1 доказательство теоремы Нетер, можно необходимым образом модифицировать (2.51) и на этот случай, однако практически более удобным оказывается несколько иной способ построения сохраняющихся величин, который носит название метод Нетер. Конечно, этот метод
2.3. Теорема Нетер: симметрии и законы сохранения
49
применим и в тех случаях, когда дополнительная четырехдивиргенция отсутствует.
Проиллюстрируем метод Нетер на примере нахождения закона сохранения электромагнитного тока.
Рассмотренное ранее действие (2.104) инвариантно относительно глобальных калибровочных преобразований (2.105). Однако инвариантность будет нарушена, если формально положить в (2.105) а = а(х). Другими словами, действие не является инвариантным относительно преобразований
ф^е~1еп^ф; ф'^егеаМф\ АЙА(1.	(2.112)
(Заметим, что (2.112) не совпадает с локальными калибровочными преобразованиями, поскольку в них калибровочное поле остается неизменным.)
Предположим теперь, что мы вычислили вариацию действия 5S. Благодаря инвариантности действия относительно глобальных калибровочных преобразований, при подстановке в нее а а(ж) должен получиться 0. Это означает, что с точностью до членов первого порядка малости по а
6S=- Id'xdf.a^j11,	(2.113)
где — некоторая функция полевых переменных. Если при этом поля удовлетворяют уравнениям Лагранжа, то 6S = 0 в силу принципа наименьшего действия. Так как в соответствии с принципом наименьшего действия а(х) = 0 на границе области интегрирования, то условие
0 = у dtxd^x)^	(2.114)
эквивалентно закону сохранения
д^ = 0,	(2.115)
и, следовательно, на уравнениях движения имеет место закон сохранения тока ji*.
В Задаче получено, что для модели (2.104) с точностью до членов первого порядка малости по а
SS = Kpie^-^-W-).	(2.Н6)
откуда находим, что сохраняющийся ток записывается как
- фЪ^ф*}	(2.117)
и совпадает с результатом вычисления по теореме Нетер.
50 Гл. 2. Основы классической теории поля
В заключение заметим, что, получив выражение (2.116), мы фактически явно проверили инвариантность действия относительно глобальных калибровочных преобразований. Поэтому метод Нетер позволяет не только построить сохраняющийся ток, но и проверить инвариантность действия одновременно, что часто является очень полезным при исследовании более сложных моделей.
Задача
С помощью метода Нетер найти выражение для сохраняющегося тока в скалярной электродинамике.
В соответствии с методом Нетер необходимо совершить над действием
S = /^(- Ь’^ + D^’P^- V(O))	(2.П8)
преобразования (2.112). Очевидно, что неинвариантным при этом является только второе слагаемое в (2.118), поскольку
Я -геА^е-^ф) = e~iea (т\ф - ied^. (2.119) Следовательно, сохраняя только члены первого порядка малости по а(ж), получаем, что
6S = f <^х ^(тЭ^ф* + 1ед'1аф*^ (1\ф — ied^a ф^ — Т>^ф‘Т>^ф^ ss
~ ie у ^хд^а(х)[ф*Т>^ф - фТ\ф*у	(2.120)
Сравнивая это выражение с (2.113), заключаем, что
/ = -1е(ф*Т>^ф-фТ)11ф'‘').	(2.121)
2.4. Поля и волновые функции
Попытаемся теперь более аккуратно установить соответствие между полями, которые исследуются в классической теории поля, и волновыми функциями частиц, которые рассматриваются в квантовой механике. При этом основное внимание здесь будет уделяться исследованию свободных полей, для которых функция Лагранжа является квадратичной. Одним из самых простых и наглядных примеров такого рода является комплексное массивное скалярное поле с лагранжианом
С — д^ф*д(1ф - т2ф~ф.	(2.122)
Уравнением движения для этого лагранжиана будет уравнение Клейна-Гордона-Фока (2.2). Общее решение этого уравнения было
2.4. Поля и волновые функции
51
получено в Части 2.1. Рассмотрим его частный случай, который соответствует плоской волне. При этом часто удобно считать, что система помещена в кубический ящик со стороной L ос, так что объем пространства равен L3. Кроме того, на решение уравнений движения будем накладывать дополнительное условие периодичности
ф(ф, х, у, z) = ф(ф,, х — L. у, z) = ф(ф, х,у + L,z) — <p(i, х, y,z + L).
(2.123)
Тогда одним из решений уравнения Клейна-Гордона-Фока будет
C>(Z,x) = - 1 «к е	(2.124)
У2£3сик
где ак — некоторая постоянная, а щк = \/к2 + т2. При этом из условия периодичности следует, что к = 2ttN/L, где N — вектор, проекции которого являются целыми числами. Величины щк и Т3 добавлены в знаменатель для удобства дальнейших обозначений. После этого можно легко вычислить энергию, импульс и заряд, которые соответствуют этому решению (Задача 1), подставляя решение (2.124) в заряды, полученные по теореме Нетер:
Е = щкакак; Р = какак; q = -eo.kak. (2.125)
(Спин скалярного поля, очевидно, равен 0.) Если положить «к = 1, то получится полевая конфигурация, которая представляет собой волновую функцию частицы, для которой четырехвектор энергии-импульса равен k11 = (wk, к), а заряд — (-е). Поскольку при этом k2 = т2, то масса такой частицы будет равна т.
Аналогичным образом можно рассмотреть и другое частное решение уравнения Клейна-Гордона-Фока, которое имеет противоположный знак перед щ. Мы будем записывать его как
©(М =-n=^=^C“kf-;kx,	(2.126)
где 6к — некоторая постоянная. В квантовой механике волновая функция частицы пропорциональна ехр(— iEt). Поэтому, если интерпретировать такое решение как волновую функцию частицы, то энергия окажется отрицательной, что, вообще говоря, нежелательно. Поэтому для решений типа (2.126) мы будем отождествлять волновую функцию частицы с величиной фс = ф*. (Знак С обозначает т.н. операцию зарядового сопряжения, о которой мы еще будем говорить далее.) Тогда (Задача 1)
Е = щк6к6к; Р=к6к5к; q - eb^b^.	(2.127)
Заметим, что в классической теории поля величина 6к представляет собой некоторое число, благодаря чему и 6к можно записывать
52
Гл. 2. Основы классической теории поля
в произвольном порядке. Однако при переходе к квантовой теории поля порядок записи будет существенен. Поэтому мы сохранили тот порядок, который возникает с самого начала. Если положить величину 6k равной 1, то четырехвектор энергии-импульса окажется равным (wk, к), а заряд частицы-ре. Заметим, что знак заряда по сравнению
с решением (2.124) изменился на противоположный. Поэтому решения типа (2.126) описывают т.н. античастицы, у которых все заряды имеют противоположные знаки.
В общем случае решение уравнения Клейна-Гордона-Фока можно представить в виде
(2.128)
Тогда, в соответствии с результатом Задачи 1,
Е = Wk(dkak + bkbk); Р = k(«kak + bkbk);
k	k
q = -е]Г(а£ак - bkbk).	(2.129)
к
Поэтому величины |о-к|2 и |&к|2 можно интерпретировать как вероятности того, что частица или античастица соответственно находятся в состоянии с импульсом к.
В случае, если скалярное поле является вещественным и описывается функцией Лагранжа
£ =	~	(2.130)
решение уравнения Клейна-Гордона-Фока можно записывать в виде
Ф = У (ake~l^ikx + ate^-ikx>).	(2.131)
У \/2b^k	'
Другими словами, в этом случае ак = Ьк. Как следствие, частицы и античастицы совпадают, что является следствием равенства фс — ф* — ф. При этом подстановка решения уравнения Клейна-Гордона-Фока в заряды, получаемые по теореме Нетер, приводит к равенствам (здесь мы уже учитываем, что в классической теории а и а* коммутируют)
Е = шкакак; Р = ка£ак; q = 0.	(2.132)
Выясним теперь, как будут выглядеть сохраняющиеся величины для электромагнитного поля А^. Оно является вещественным и (как показано в Части 2.2) в калибровке Лоренца также удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона-Фока. При этом его Фурье-образ удовлетворяет условию кцА,1(к) — 0. Кроме того, с помощью остаточной
2.4. Поля и волновые функции
калибровочной инвариантности можно добиться того, чтобы Ао(^) = 0.
Поэтому величину Afl(k) можно разложить по базису и е£ , так что = (0,-ek), а е^к = 0. Кроме того, мы будем предполагать, что векторы (ek\ek\k) образуют правую тройку, (е^ будут свои для каждого к.) Тогда можно записать решение уравнений движения для калибровочного поля в виде
= Е -7^= (4а^.ае-гМкх +	(2.133)
к.а v2L3wk V	>
где cik.a — некоторые числовые коэффициенты, индекс а пробегает значения 1 и 2, а = у/к? = |к|. Далее так же будет удобно построить величины
ak,± ?2 ^kJ Tfak'2'); ек.м = ^(ekl±iek2i)- (2-134)
в терминах которых поле можно записать в виде
= £-7=f=(<eK»k.+ +4;)»k.-)t--,“kl+‘kx + К.С.). (2.135) hh. \	'
x/2L3wk
Подставляя разложение вектора в тензор энергии-импульса (2.79) после несложных преобразований, выполненных в Задаче 2, получаем, что
(В этом равенстве уже учтено, что числа а и а* можно переставлять местами. Но при выводе этой формулы в Задаче 2 мы не использовали этого утверждения.)
В Приложении А.6 показано, что состояния безмассовой частицы характеризуются величиной спиральности, т.е. проекцией спина на направление импульса. Эта величина для электромагнитного поля вычислена в Задаче 3, где показано, что
S = 2^n(a£d.ak.+ - ak,-ak,-k
(2.137)
где n — единичный вектор, направленный вдоль импульса волны. Это равенство можно интерпретировать следующим образом: состояния, которые соответствуют ak.-, имеют спин 1, направленный вдоль
54 Гл. 2. Основы классической теории поля
импульса, а состояния, которые соответствуют имеют спин — 1, направленный против импульса. Другими словами, спиральность состояний с Як,.- равна 1, а спиральность состояний с Як,- равна — 1. Заметим, что состояния со спиральностью, равной 0, в данном случае отсутствуют.
Как и в Части 2.2 интересно сравнить случаи массивного и без-массового векторных полей. В массивном случае решение уравнений движения также можно записать в виде (2.133), но при этом индекс а будет пробегать значения от 1 до 3, a шк = Vk2 + т'2. Векторы е^(, я - 1,2,3, по определению являются взаимно ортогональными, имеют квадрат, равный -1, а также удовлетворяют условию к^е^ = 0. В Задаче 2 показано, что вектор энергии-импульса массивного векторного поля записывается в виде
Р" = 2 Е k‘l	- Е	(2.138)
к,а	к.п
где к1' = (шк,к). (Первое выражение получается, если нигде не переставлять местами коэффициенты я* и я.)
В Задаче 4 показано, что в системе отсчета, где частица покоится, третья компонента спина записывается в виде
5з = («о, । я0,- -Яо _яо._),	(2.139)
причем яо,± определяются точно так же, как и в безмассовом случае. Из этого выражения следует, что для состояния, у которого отлична от 0 только яо.-i. = 1, третья компонента спина в системе покоя равна S3 — 1, для состояния с яо,- — 1 равна S3 = -1 и, наконец, для состояния с яо.з = 1 равна S3 = 0. Полезно взглянуть на этот результат с точки зрения теории групп и алгебр Ли. В Приложении А.6 показано, что в массивном случае состояния образуют представления алгебры Ли группы вращений SO(3). Такие представления исследованы в Приложении А.5, где показано, что неприводимые представления характеризуются целым или полуцелым числом j, причем значения третьей компоненты момента могут пробегать значения от — j до j с шагом 1. Очевидно, что в случае массивного векторного поля указанный выше набор состояний образует базис в пространстве представления с j = 1, которое соответствует векторному представлению группы SO(3).
В общем случае также несложно убедиться, что величина спина в массивном случае или спиральности в безмассовом случае на самом деле определяется представлением группы Лоренца, в котором лежит то или иное поле. Действительно, рассмотрим некоторую полевую конфигурацию <r>i, которая является собственным вектором оператора импульса г/Эм с собственным значением kJ1 — (wk.k), причем Wk > 0. Тогда импульс этого состояния будет равен
2.4. Поля и волновые функции
55
(2140)
(Заметим, что это выражение построено с помощью канонического тензора энергии-импульса. При переходе к симметризованному тензору энергии-импульса необходимо учесть дополнительное слагаемое data'w, которое обсуждалось в Части 2.3.2. Поскольку нас интересует случай /г = 0, то в силу антисимметрии тензора t по ц и а, это дополнительное слагаемое содержит только полные производные по пространственным координатам, которые исчезают при интегрировании по трехмерному пространству.) Если дополнительно наложить условие
[ d3x	= Ч	(2.141)
J д(дофг)
то импульс рассматриваемого состояния будет равен к. Затем в массивном случае мы перейдем в систему покоя, где = (т, 0,0,0), а в безмассовом случае направим импульс вдоль третьей оси, так что кР — (Е,0,0, Е). После этого вычислим проекцию вектора спина на третью ось или, эквивалентно, компоненту 8ц тензора спина
Sa0 = I d3xS°Q0 = -ij d3x^-}(Ta0)^r	(2.142)
При этом мы будем предполагать, что рассматриваемая полевая конфигурация является собственным вектором эрмитового генератора группы Лоренца Тц с собственным значением А, т.е.
(71;,),Ч - АО;.	(2.143)
Тогда из формул (2.141) и (2.142) следует, что S3 =	— А. Поэтому
в безмассовом случае спиральность, а в массивном случае — третья компонента вектора спина в системе покоя на самом деле определяются тем представлением, по которому поле преобразуется под действием группы Лоренца.
В случае, если рассматривается отрицательно-частотное состояние (например, состояние (2.126)), то его можно считать собственным вектором оператора P)l — id11 с собственным значением —АЛ = (—— к). Тогда аналогичным образом получается, что S3 = -А. (В этом случае проекция спина будет равна собственному значению оператора спина, действующего на зарядово-сопряженное состояние.)
Задачи
1.	Вычислить энергию, импульс и заряд для свободного комплексного скалярного поля (2.128).
Мы выяснили, что решение уравнения Клейна-Гордона-Фока можно записать в виде
56
Гл. 2. Основы классической теории поля
<b(t, х) = 52 - j-— (аке-^,+ikx + Ь*ег“к‘-гкх) ,	(2.144)
к \]2L^k
где ак и &к — некоторые коэффициенты, a L — длина стороны кубического ящика, в который помещена система. Подставим это выражение в формулу для энергии скалярного поля
Е= I <Гх (доф*до<Ь + дгф*di<b + т2ф*(2.145) и используем равенство
^ус/3д:е!(к'р)х =^р.	(2.146)
Для того чтобы убедиться в его справедливости, заметим, что если начало координат расположить в центре куба, внутри которого находится система, то при к = 2тгп/L / О
Г./2
У dx ~e~ikx = ~ (e.~ikL/- - cikL/^ = 0	(2.147)
- /72
в силу условия периодичности, а при к = О
L/2
У dx ^е~гкх = I dx -^ = l.	(2.148)
- '72
Принимая во внимание, что если р = ±к, то щр = wk, мы легко получаем, что
Е = 52 [ d3x -—; 1	[(щкЩр + кр + гп2\ (араке~г''Хк~'х'р^~гкх х
хе ipx + bpbkel^k -РХ-’<к-р)х) + ( _	_ кр + (а;ь’ке^ х
Хег^р(-1(к1-р)х	+6раке-'(“к+-р)(-'(к+Р)х)]	Шк(а;ак + ЬкЬк).
к
(2.149)
Аналогичным образом вычисляется импульс скалярного поля, выражение для которого можно легко получить из формулы для тензора энергии-импульса:
Р = - У d3x (дф*доф + д0Ф*дф^ =52 У	[(р^к +
+кщр) (а;аке-'(^-Шр)4+г(к р)х - 6р&квг(‘"к“‘"р)‘“'(к“р)х - apb*k х Хе^к+^р)'+г(к+р)х _Ьраке-^к+*Ч>)(г'(к+р)х)] = 52 к (акак + бк&к).
(2.150)
2.4. Поля и волновые функции
57
Электрический заряд в рассматриваемой теории может быть получен из формулы (2.108), если положить в ней калибровочное поле равным 0. Его вычисление осуществляется тем же самым способом:
Q = -iejd'x (ф*доф - доф'ф) = -eg рх	х
X [(Щк + ЩР) (а>ке- ₽)‘+«к-р)х _ bpb*ke^	_
-(щк - Щр)(а;бкег<“к^рК”<к tp)x - &pake-i(^+Wp)t-’(k+p)x)] =
= -е^2(акак - bkbk).	(2.151)
к
2.	Вычислить энергию и импульс электромагнитного и массивного векторного полей, представленных в виде (2.133).
Вначале рассмотрим безмассовый случай. В соответствии с результатами Части 2.3.2 энергия и импульс электромагнитного поля записываются в виде
Е = 1- у d3a:(E2 +Н2); Р = f d3x\E х Н].	(2.152)
Для вычисления этих величин вначале построим выражения для электрического и магнитного полей. При этом необходимо учитывать, что с помощью остаточных калибровочных преобразований можно добиться того, чтобы Ац = (0, —А). Пространственные компоненты векторов ekiM мы будем обозначать через —ек, так что
2
k,a=I у 2L3CJk
'k	^k.a^
(2.153)
Поскольку До = 0, то электрическое поле оказывается равным
E=-M = £i\g (е^ак,ае-Шк‘+гкх-е^<ае“к‘-гкх). (2.154) к,а ’
Для вычисления магнитного поля необходимо заметить, что поскольку векторы ек\ и n = k/|k| образуют правую тройку, то
[п х 41’] = 42>; [п х е^] =-41’.	(2.155)
Как следствие,
Н = rotA =	((eLVi - ^’4.2)6 !^+гкх +
+ (eLI)«k.2-e^<1)e’u;k'-,kx).	(2.156)
58
Гл. 2. Основы классической теории поля
Несложно видеть (см. далее), что при подстановке электрического и магнитного полей в выражения для энергии и импульса электромагнитного поля возникают величины
1 У d3xe^~^ = <5k.p; У У d3.r е'кх+'рх = 6 кр. (2.157)
Если к = —р, то мы будем полагать, что
е
(О к
=е -к’
(2.158)
(Знак «-» в последнем равенстве нужен, чтобы векторы е1 е\к и —к образовывали бы правую тройку.) С помощью этих формул после несложных преобразований получаем, что
xe-i(^-^)t+l(k-P)x = 1 £ Wk(a* о<гка + ак.аак а).	(2.159)
к,а = 1
(Все остальные слагаемые либо равны 0 в силу формулы (2.157) или ортогональности векторов ekf) и е^к, либо взаимно уничтожаются.) В терминах величин ак- это выражение можно эквивалентно переписать в виде
Е =
, Щк ( Як, + Як.— + Як.-|-Як.—	Як,- Як - + Як,- Як
(2.160)
к
Поскольку в классической теории поля величины я и я* представляют собой некоторые функции, то это выражение можно эквивалентно записать в виде (2.136).
Аналогичным образом можно вычислить вектор импульса электромагнитного поля. Принимая во внимание, что
!к’ X ек2>] = П’
(2.161)
где п = к/|к|, а результат интегрирования по d3x отличен от 0 только при р = ±к, после несложных преобразований получим, что
Р= / </'.-с[Е X Н] = П [ d3X	(яр.аЯк.а Як.аЯр.а) X
к.р.а=1
хе-‘(-к-Р)^г(к-р)х	1 £ пщк(ярояк.а + яр.аака).	(2.162)
к,а= 1
59
У — а_р аре
2.4. Поля и волновые функции
При этом было принято во внимание, что все остальные слагаемые исчезают при суммировании по импульсам, например,
Як Я-кС к
= - У -^-ара_ре"2шр' --- 0.	(2.163)
CUp р
Рассмотрим теперь случай массивного векторного поля. Вначале необходимо построить выражение для симметризованного тензора энергии-импульса. Это делается полностью аналогично рассмотренному ранее случаю электродинамики. В качестве исходной точки необходимо взять лагранжиан (2.33), из которого получается, что канонический тензор энергии-импульса равен
Ttl„ =- -d,AnF^n ~	- [-т\^Л2а.	(2.164)
Симметризованный тензор получается так же, как и в электродинамике, и при учете уравнения движения (2.34) может быть записан как
+ da{AvFfta') -
= -F^Fva + т2 A^AV + ^rj^Fae - ^m2’qllvA2a. (2.165)
Однако несложно убедиться, что при вычислении энергии и импульса оба записанных выше тензора дают одинаковый результат. Действительно,
У d3x (е0, - То,) = У d3xda(A,FOa) = - I d3xd1(A,Flh) = 0, (2.166) поскольку мы предполагаем, что все поля достаточно быстро убывают на пространственной бесконечности. С учетом уравнения даАа = 0 канонический тензор энергии-импульса можно, в свою очередь, переписать в виде
‘1р,и — — дуАадцА + да(дуА А^) +
+ Ум,(9аЛд)2 - Х-г]^дпдв{АвАп) - ^т2т)^А2п.	(2.167)
При вычислении энергии и импульса слагаемые с полными производными можно отбросить. Действительно, нас интересует случай у = 0, и мы можем отбрасывать полные производные по пространственным переменным. При у = 0 полные производные по времени возникают из выражения
до^ЛоАо) -	- т?о,9о)(^о)-	(2.168)
При и = 0 это выражение оказывается равным 0, а при и = 1,2,3 — полной производной по пространственным координатам. Поэтому выражение для энергии-импульса массивного векторного поля может быть переписано в виде
Р" = У d3x.T®1' = у d3x ( -	+ -‘гЛ(а3Ла)2 - 1т2гЛЛ2 ).
(2.169)
60
Гл. 2. Основы классической теории поля
Это выражение очень похоже на выражение для энергии-импульса для вещественного скалярного поля и отличается от него только знаком и наличием индекса а. Принимая во внимание, что векторы еУ удовлетворяют условию
е^е“(Ь) =(2.170) из выражения для энергии-импульса скалярного поля получаем, что
1 3 1 3
Е= - ^2 wk (як.аЯк.а + Як.аЯк.а) 1	Р = ? 52 k(“k.aak,a + ak,oak,a)-
k,a=l	k,a=l
(2.171)
3.	Вычислить вектор спина для электромагнитного поля (2.133).
В качестве исходной точки рассмотрим выражения для тензора спина
S^ = E»eAa-F»aAB,	(2.172)
которое справедливо как для безмассового, так и для массивного векторных полей. В четырехмерном пространстве-времени можно определить вектор спина с помощью равенства
Si = j d3xS°jk = -eijk У d3xEjAk.	(2.173)
Принимая во внимание, что = (99,—А), он переписывается в виде
S = - У d3a? [А х Е].	(2.174)
Подставим в эту формулу выражения для потенциала электромагнитного поля А и электрического поля Е. Поскольку векторы е^, е^2) и п образуют правую тройку, то
[е^У х е^] = n.	(2.175)
В результате после несложных преобразований получаем, что
S = - у d3x [А х Е] =
= - У2 nfak+ak+ + Як+Як- — Як-Як- ~ Як-Як-Y (2. 1 76) к
4.	Найти выражение для третьей компоненты вектора спина частицы, которая соответствует массивному векторному полю, в системе отсчета, где она покоится.
Покоящаяся частица описывается волновой функцией, для которой к = 0:
А, = -=L= У е^(аОме imt + a0.aetmtY (2.177)
2.5. Спектр частиц в теориях с калибровочной симметрией 61
При этом мы будем считать, что = (0,—е°а)), а векторы совпадают с единичными ортами декартовой системы координат, так что вда'1 = 81а. Подставим выражение для Ам в формулу для третьей компоненты вектора спина
S3 = j d3xS°2 = ~ [ d?x (FmA2 -	= j d3x (exAv - EVAX).
(2.178) При этом
E =	(2.179)
’ a= 1
а третья компонента спина в системе отсчета, где частица покоится, будет равна
s3 =
Л -imt
6Z-0
* Amt\ .. аОае 1 х
хе Ча0Ле + aOj,e I - (1	2) =
Л—imt *	—imt ,	*	/<	г,-,	/п i on\
= g^aoje -аоде Дао.ге + ao.2e J - (1 «-> 2) =	(2.180)
= —- (ао,1ао,2 + аодаол ~ ao,2ao,i — 00,1^0.2^ — ао,+ао,+ — ао,-ао,- 
2.5. Спектр частиц в теориях с калибровочной симметрией. Понятие о спонтанном нарушении симметрии
Выясним теперь вопрос о том, каким спектром частиц обладают построенные ранее калибровочно-инвариантные модели теории поля. Как мы увидим далее, результат существенно зависит от формы потенциала, а также от того, является ли калибровочная симметрия глобальной или локальной.
2.5.1. Глобальная абелева симметрия.
Рассмотрим простейшую теорию, в которой имеется инвариантность относительно глобальных калибровочных преобразований [3]. Она содержит одно комплексное скалярное поле и описывается функцией Лагранжа
£ = дцф*д^ф- V(O).
(2.181)
62_____ Гл. 2. Основы классической теории поля
Оказывается, что при переходе к квантовой теории поля самосогласованными будут только теории, в которых потенциал V имеет не более чем четвертый порядок по полям ф и фх, т.е.
У(Ф*ф) = с\ + С2Ф*ф -(- сз(ф*ф)2.
(2.182)
Положительная определенность потенциальной энергии может быть достигнута наложением условия с.з > 0 (или Cj =0, со > 0). Постоянную С] мы будем далее подбирать таким образом, чтобы в точке минимума V — 0.
В простейшем случае V = т2фхф. Тогда теория описывает одно свободное комплексное скалярное поле массы т. Представляя ф в виде
ф = Р + гЗ,	(2.183)
где Р и S — некоторые вещественные скалярные поля, получаем, что
£ = ci.po'iPo - т2ф*ф —
= (<9МР)2 - т2Р2 + (dflS)2 - m2S2.	(2.184)
Это означает, что исходная модель эквивалентна системе двух вещественных скалярных полей с одинаковой массой гп.
В случае, если потенциал V имеет более сложный вид, исследование спектра теории несколько менее тривиально и напоминает исследование малых колебаний вблизи положения равновесия для механических систем.
В данном случае аналогом положения равновесия в механике является вакуумное состояние, которое определяется как состояние с минимальным значением функционала энергии. Для модели (2.181)
Е = J ^х^дцф*дцф + д]фхдгф + У(ф*ф)^,	(2.185)
и минимальное значение энергии Е достигается в том случае, если поле ф является постоянным во всех точках пространства и соответствует минимуму потенциала V.
При исследовании спектра частиц мы считаем, что поля незначительно отличаются от своих вакуумных значений, и раскладываем действие в ряд Тейлора вблизи вакуумного состояния. Поскольку в точке минимума первые производные потенциала V обращаются в 0, то этот ряд будет начинаться с членов, квадратичных по полям. Если ограничиться только квадратичными слагаемыми, рассматривая все остальные члены как малые возмущения, то с помощью линейного преобразования полевых переменных всегда можно добиться того, чтобы квадратичный лагранжиан представлял собой сумму лагранжианов для отдельных полей. Сравнивая результат со стандартными выражениями для лагранжианов массивных и безмассовых скалярных, векторных
2.5. Спектр частиц в теориях с калибровочной симметрией
63
Рис. 2.1. Потенциал скалярного поля, не приводящий к спонтанному нарушению калибровочной симметрии
и т.д. полей, находим состав и массы частиц, присутствующих в теории.
В качестве конкретного примера рассмотрим модель (2.181). В зависимости от формы V, в этой модели возникают два случая, соответствующие принципиально различным вакуумным состояниям и различным спектрам частиц.
1. Потенциал V имеет единственный минимум в точке ф — О и может быть записан как
V = т2ф*ф + Х(ф*ф)2.	(2.186)
Схематично этот потенциал и его разрез представлены на Рис. 2.1.
Очевидно, что в данном случае вакуумом является состояние
Фо = О.	(2.187)
Обратим внимание, что оно является инвариантным относительно калибровочных преобразований:
ф0 е~^аф0 = ф0.	(2.188)
Поскольку вблизи вакуумного состояния (2.187) значение ф является малым, то при исследовании спектра теории можно ограничиться квадратичными по ф слагаемыми. При этом мы возвращаемся к рассмотренному ранее случаю V — т2ф*ф, и спектр теории составляют два массивных вещественных скалярных поля с массой т.
64
Гл. 2. Основы классической теории поля
Рис. 2.2. Потенциал скалярного поля, приводящий к спонтанному нарушению калибровочной симметрии
2. Другая возможность соответствует потенциалу
V = А (ф*ф - v2)2 = Х(Р2 + S2 - v2)2.
(2.189)
Этот потенциал как функция Р и S и его разрез схематично показаны на Рис. 2.2. Несложно видеть, что функция V(P, S) достигает минимума на окружности
Р2 + S2 = V2.
(2.190)
Каждая из точек этой окружности может быть выбрана в качестве вакуумного состояния. Рассмотрим, например, случай
Р = v; S = 0.
(2.191)
Характерной особенностью этого вакуумного состояния является его неинвариантность под действием калибровочных преобразований (2.188). Такая ситуация получила название спонтанного нарушения симметрии. При этом термин «нарушение симметрии» отнюдь не подразумевает, что в рассматриваемой модели перестает существовать калибровочная инвариантность. Калибровочная симметрия по-прежнему имеет место, однако, вакуум теории под ее действием уже не является инвариантным.
2.5. Спектр частиц в теориях с калибровочной симметрией 65
Для нахождения спектра модели (2.181) в случае спонтанного нарушения симметрии разложим функцию Лагранжа в ряд Тейлора по отклонениям полей от вакуумных значений, которые запишутся как
Pi = P-P0 = P-v, Si = S - So = S. (2.192)
В терминах Pi и Si исходный лагранжиан может быть представлен в виде
Д = (5МР)2 + (5МР)2-А((Р+p2 + S2-^2J .	(2.193)
Обратим внимание, что он с очевидностью является инвариантным относительно преобразований
Pi —> (Р + v) cos(ea) + Si sin(ea) - v;
Si —> (Pi + v) sin(ea) — Si cos(ea),	' '	'
которые просто представляют собой глобальные калибровочные преобразования, переписанные в терминах полей Р[ и Si.
Ограничиваясь квадратичным приближением по отклонениям полей от вакуумного значения, получаем, что
£^(d^Pi)2 + (dllSi)2-4XV2P2.	(2.195)
Поэтому в спектре теории присутствует одно массивное вещественное скалярное поле р с массой 2у/Аг> и одно безмассовое поле S|. Существование безмассовых скалярных полей (т.н. голдстоуновских бозонов) является характерным свойством всех теорий со спонтанно нарушенной глобальной калибровочной симметрией [3]. Причина их появления достаточно прозрачна. Из рисунка 2.2 очевидно, что малые изменения поля Si (при постоянном р) соответствуют сдвигам по касательной к окружности (2.190), на которой потенциал V постоянен и обращается в 0. Поэтому в квадратичном приближении малые изменения Si не меняют потенциальную энергию. Это фактически и означает, что масса поля Si оказывается равной 0. Поэтому появление голдстоуновского бозона Si связано с существованием окружности, на которой потенциал обращается в 0. А существование этой окружности, в свою очередь, является следствием неинвариантности вакуума под действием калибровочных преобразований. Действительно, совершая некоторое калибровочное преобразование над вакуумным состоянием, мы заведомо приходим в точку плоскости (Р, S), в которой V — 0, поскольку значение потенциала не может меняться под действием таких преобразований. А так как вакуум не является калибровочно инвариантным, то новая точка не совпадает с исходным вакуумным состоянием. Учитывая, что калибровочные преобразования непрерывно зависят от параметра а, мы должны сделать вывод о существовании
3 К. В. Степаньянц
66	Гл. 2. Основы классической теории поля
некоторой непрерывной кривой, на которой V = 0. Поэтому существование безмассового голдстоуновского бозона действительно является следствием неинвариантности вакуума под действием калибровочных преобразований.
2.5.2. Локальная абелева симметрия.
Выясним теперь, каким спектром частиц обладает теория с лагранжианом
£ = -^ + ^ф*Р,ф-У(ф*ф),	(2.196)
инвариантным относительно локальных калибровочных преобразований
ф^е-'1еаИф- ф^^аОйф,. AflА^-д^х).	(2.197)
Как и ранее, ответ на этот вопрос существенно зависит от формы потенциала V, причем при исследовании возникают точно такие же случаи, что и в случае глобальной калибровочной симметрии.
1. Потенциал V имеет единственный минимум при ф = 0 и, следовательно, может быть записан в форме (2.186).
Как мы установили ранее, в этом случае при исследовании спектра частиц поле ф можно считать малым. Поскольку тензор FflI/ квадратичен по калибровочному полю то
£ =	- т2Ф*Ф ~ А(Ф*Ф)2 ~
«	+ 9мф*дрФ - т2ф*ф. (2.198)
Это соответствует одному безмассовому векторному полю Д/( и двум массивным (с массой гп) вещественным скалярным полям Р и S, определяемым соотношением ф = Р + iS.
2. Если в теории имеется спонтанное нарушение симметрии (потенциал V задается формулой (2.189)), то всегда можно подобрать функцию а(ж) таким образом, чтобы во всех точках пространства ф(х) G Re '). Другими словами, можно зафиксировать калибровочное условие таким образом, чтобы
ф.) = Р(х),	(2.199)
где Р — вещественное скалярное поле.
’) В случае глобальной симметрии параметр а был одинаков во всех точках пространства, и поэтому такой выбор ранее был невозможен.
2.5. Спектр частиц в теориях с калибровочной симметрией 67
Калибровка (2.199) называется унитарной. В ней функция Лагранжа записывается как
С = -'-Flv + (d^P + ieA^P^ (д^Р - ieA^P} - Х(Р2 - v2)2. (2.200)
Раскладывая ее вблизи вакуумного значения Pq = v (или, эквивалентно, Ро = -v), получаем, что в квадратичном приближении
в к-\Fl„ +	+ (W2 - 4Аг;2р2-	(2.201)
Таким образом, в спектре теории присутствуют массивное скалярное поле Р\ (тр = 2\/Xv) (т.н. хиггсовский бозон) и массивное векторное поле (тд = \/2ец).
Обратим внимание, что по сравнению со случаем спонтанного нарушения глобальной симметрии из спектра теории исчез голдстоуновский бозон, в то время как слагаемые, описывающие массивное скалярное поле, остаются полностью неизменными.
Спектр теории, в принципе, может быть получен и без использования унитарной калибровки. Для этого удобно перейти к новым полевым переменным р(х) и р(х), определяемым соотношением
ф(х) = р(х)ег^х\	(2.202)
Тогда легко проверить, что функция Лагранжа (2.196) с потенциалом (2.189) перепишется в виде
С = ~\F^ + \д»Р +	~ ieA^\2 ~ Х(Р2 ~ «2)2-	(2203)
Определяя новое поле	получаем, что в терминах
полей р и р
। ,	,2
Р = --^Ви-диВ^ + (д^р)2е2р2В2 - Х(р2 - v2)2,	(2.204)
что с точностью до обозначений совпадает с (2.200). При этом поле р(х) оказывается нефизическим и полностью исчезает из функции Лагранжа.
Еще раз подчеркнем, что несмотря на присутствие массивного векторного поля, теория остается калибровочно инвариантной (в отличие от простейшей модели, рассмотренной в Части 2.2). Например, в терминах Вц, р и р локальные калибровочные преобразования запишутся как
Вр(х) —> В^хф, р(х) -» р(х); р(х) —> р(х) — еа(х). (2.205)
з*
68 Гл. 2. Основы классической теории поля
Поэтому описанный здесь метод позволяет получить массивное векторное поле без нарушения калибровочной инвариантности. В литературе он получил название механизм Хиггса. Поскольку существование калибровочной инвариантности является важнейшим требованием, предъявляемым к моделям теории поля, то в реалистичных моделях масса векторных частиц обычно вводится с помощью механизма Хиггса.
В заключение заметим, что, несмотря на то, что в зависимости от формы потенциала спектр частиц является различным, суммарное число степеней свободы остается неизменным. Действительно, как мы выяснили в Части 2.2, безмассовое векторное поле имеет 2 степени свободы, а массивное — 3. Каждое вещественное скалярное поле дает еще одну степень свободы. Поэтому в случае тривиального вакуума число степеней свободы есть 2(ЛМ) + 1(Р) + 1(Д) = 4, а в случае спонтанного нарушения симметрии — 3(ДМ) + l(Pi) — 4. Поэтому иногда говорят, что векторное поле «съедает» голдстоуновский бозон и в результате этого приобретает массу.
Список литературы
1.	О. Klein. Z.Phys. 37, (1926), 895.
В. Фок. Z.Phys. 38, (1926); 39, (1926), 226.
W. Gordon. Z.Phys. 40, (1926), 117.
2.	Е. Noether. Gottinger Nachr., Math-phys. Klasse, 235 (1918).
3.	Y. Nambu. Phys.Rev.Lett. 4, (1960), 380;
Y. Nambu, G. Jona-Lasinio. Phys.Rev. 122, (1961), 345;
J. Goldstone. Nuovo Cimento, 19, (1961), 154;
J. Goldstone, A. Salam, S. Weinberg. Phys.Rev., 127, (1962). 965.
4.	Модель (2.196) с потенциалом (2.189) впервые была рассмотрена для описания явления сверхпроводимости в работах:
В.Л. Гинзбург, Л.Д. Ландау. ЖЭТФ, 20, (1950), 1064;
В.Л. Гинзбург. ЖЭТФ, 32, (1957), 1442;
Л.П. Горьков. ЖЭТФ, 36, (1959), 1364
и часто называется моделью Гинзбурга-Ландау. В теории поля механизм Хиггса был предложен в работах:
F. Englert, R. Brout. Phys. Rev. Lett. 13, (1964), 321;
G. S. Gurainik, C. R. Hagen, T. W. B. Kibble. Phys. Rev. Lett. 13, (1964), 585;
P.W. Higgs. Phys.Rev.Lett. 12, (1964), 132; 13, (1964), 508; Phys.Rev. 145, (1966), 1156.
Глава 3
СПИНОРНЫЕ ПОЛЯ
3.1. Дираковское спинорное поле
3.1.1. Уравнение Дирака.
Выясним теперь, каким образом можно описать электрон, который представляет собой частицу со спином 1 /2. (В этой части мы будем рассматривать только случай четырехмерного пространства-времени.) Оказывается [1], что для этого необходимо построить четырехкомпонентный столбец
(3.1)
который некоторым специальным образом преобразуется под действием преобразований Лоренца (закон преобразования спинора при преобразованиях Лоренца будет построен в Части 3.1.3). Такой столбец называется дираковским спинором. (Почему для описания электрона необходимо строить именно такой объект, станет понятно несколько далее.)
Кроме того, компоненты V2, Ч’з и строго говоря, являются не числами, а антикоммутирующими переменными, произведение которых меняет знак при перестановке местами любых двух сомножителей. Например, справедливыми являются следующие равенства:
^1^2 =	=	=	c.^i=4!\c,	(3.2)
где с — произвольное комплексное число. Несмотря на то, что на классическом уровне антикоммутация спинорных компонент далеко не всегда существенно влияет на физические результаты, о ней всегда необходимо помнить при работе со спинорными полями.
Динамика свободного электрона описывается уравнением Дирака
- т)ф = 0,	(3.3)
где 7м — некоторые матрицы размера 4x4, удовлетворяющие анти-коммутационному соотношению
= 2^  1,
(3.4)
70
Гл. 3. Спинорные поля
ат — некоторый вещественный числовой параметр, физический смысл которого будет выяснен далее. Поскольку в наших обозначениях грш = = diag( 1, — 1, —1, —1), то можно выбрать 7-матрицы в виде ')
где каждый элемент является блоком размера 2 х 2, а оу представляют собой матрицы Паули
( 0 1 \	( 0 -г \	/10
Ст| “ I 1 0 ’ а2~ \ i 0 ) ’ Стз “ I 0 -1
(3.6)
Выполнение соотношения (3.4) может быть легко проверено с помощью непосредственного перемножения матриц (см. Задачу 2). При проведении этого вычисления (как и во многих других случаях) особенно удобным оказывается использование блочной формы записи 7-матриц (3.5) и свойств матриц Паули, наиболее важными из которых являются эрмитовость = оу и тождество
’ 1 4“ tEijk^k.
(3.7)
проверенное в Задаче 1.
Заметим также, что построенные выше 7-матрицы удовлетворяют соотношению
7°7"7° = (7М)+,
(3.8)
которое доказано в Задаче 2.
Благодаря условию (3.4) при умножении уравнения Дирака (3.3) на I т) получается (Задача 3) уравнение Клейна-Гордона-Фока
(д2 + m2)V’ = 0.
(3.9)
Поэтому аналогично случаю скалярного поля, детально рассмотренного в Части 2.1, мы находим, что в импульсном представлении
№) = / ТД-Д4 е ^^d(fc2 -т2)ф(/с), ./ (2?г)
(3.10)
причем после подстановки (3.10) в уравнение Дирака (3.3) оказывается, что
(7M^/< - m)ip(k) — 0.
(З.Н)
Как обычно, из формулы (3.10) мы заключаем, что параметр т представляет собой массу поля ip. С использованием приведенных ранее
') Явные выражения для 7м приведены в Задаче 2.
3.1. Дираковское спинорное поле
71
выражений для 7-матриц, в Задаче 4 получено, что в явном виде решение уравнения (3.11) при т^О записывается как
/	^12	\
</’(А:) =	1 ,,	,	(3.12)
\ — Ад, + <тк г/’12 / \ т	/
где 7’12 — произвольный двухкомпонентный комплексный столбец. Таким образом, независимыми являются только две компоненты спинора ф(к). Другими словами, на массовой поверхности (т.е. при использовании свободных уравнений движения) дираковское спинорное поле имеет 2 комплексные (или 4 вещественные) степени свободы. В Задаче 4 также найдено выражение для ф(к) в случае, если т = 0, и показано, что это решение также имеет две комплексные степени свободы.
С использованием тождества (3.8) уравнение Дирака (3.3) после применения операции эрмитова сопряжения может быть записано как
г<Э/2^7м + тФ = 0.	(3.13)
где V’ = ^~7° — т.н. дираковски сопряженный спинор. Подробный вывод уравнения (3.13) приведен в Задаче 5.
В Задаче 6 показано, что уравнение Дирака (3.3) может быть получено из лагранжиана
Д, —	-	.	(3.14)
При этом, как и в случае скалярного поля, поля у и ф рассматриваются как независимые полевые переменные. При варьировании по ф получается обычное уравнение Дирака (3.3), а при варьировании по ^ — эрмитово сопряженное уравнение (3.13).
Лагранжиан (3.14) является инвариантным относительно глобальных калибровочных преобразований
ф->е~гепф; ф = ф^у° -^е1^ ^фе‘ка.	(3.15)
причем а ф- а(аг). Сохраняющийся ток, соответствующий этим преобразованиям, может быть легко получен по теореме Нетер или с помощью метода Нетер. В Задаче 7 показано, что этот ток записывается в виде
Д‘ = -е^7'^-	(3.16)
Закон его сохранения = 0 может быть легко проверен явным вычислением (Задача 7).
В заключение обратим внимание, что при преобразованиях 7м —> М-фМ~1, где М А7(.т) — некоторая постоянная матрица, свойство (3.4) с очевидностью сохраняется. Кроме того мы будем дополнительно требовать унитарность матрицы М (Л7_| = Л/+), так что свойство (3.8) также сохранялось. Поэтому выбор 7-матриц в форме (3.5) не является единственным. Тем не менее, большинство свойств
72
Гл. 3. Спинорные поля
7-матриц от их конкретного вида не зависят. Как мы увидим далее, физические результаты также не зависят от конкретного выбора формы или, как говорят, представления 7-матриц. Пока же заметим, что если спинор удовлетворяет уравнению
- т)фм = 0,	(3.17)
то после замены фм = Мф, для спинора ф получается обычное уравнение Дирака (3.3). Функция Лагранжа (3.14) также с очевидностью является инвариантной относительно преобразований 7м Му^М~', ф —» Мф.
Задачи
1.	Проверить, что для матриц Паули справедливо тождество
OiGj = 6ij  1 +i£ijkOk-	(3.18)
Рассмотрим, например, случай i = j = 1. Тогда, после перемножения матриц, получаем, что
сг? = 1 = <5ц • 1 -4-icnfcCTfc.	(3.19)
Если же i ± j’ скажем, i = 1, j = 2, то
cr1Cr2 = icr3 = (512. 1 + i£]2kak.	(3.20)
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Поскольку etjk = —Ojik, a Stj = Sjt, то из доказанного тождества получаем, что
OiOj + OjO, = 28ij', Oi<jj - ujOi = 2ieijkok.	(3.21)
2.	Убедиться в справедливости равенств у^у" + yvy^ = 2гф1'  1 и у°у^у0 = = (7м)1 для 7-матриц, определяемых с помощью (3.5).
В явной форме 7-матрицы Дирака запишутся как
/ 0 о | 0 7 = 1 \ о / 0 2	0 7 =	0 \ ~ i откуда видно, что (7°)т	3 1 0 X	/ 0	0 0 1 \ 3 0 1	I / 0	0 1 0 300	’	7 ~	0-1 0 0	’ 100/	\ -1 0 0 0 / 0 0 -г \	/ 0 0 1 0 X 0 г 0	3 _ I 0 0 0 -1 г 0 0	’	7 ~	-1 0 0 0	’	(3 22) 000/	\ 0 1 0 0 / = "А а (7г)+ = -г‘-
3.1. Дираковское спинорное поле
73
Проверим теперь антикоммутационное соотношение + у" у1' = х х 1. Для этого более удобно использовать блочную форму 7-матриц и доказанное в предыдущей задаче тождество
(3.23)
Тогда, перемножая матрицы (3.5), легко получаем, что
/ 0\2	,	00 ,
(т ) = 1 = т? • И
7°71 + 7'7° — 0;
7V + у у = _2Sij = 2^ . 1,	(3.24)
поскольку rfJ = —Sij. Это и доказывает тождество 7М71' + 71'7М = 2т]'11' • 1, из которого следует, что
7°7г7° = -7!7°7° = “7! = (7Т-	(3.25)
Умножая равенство 7°7М7° = (7М)+ слева и справа на 70, получаем эквивалентное тождество 7°(7'‘)+7° = 7м-
3.	Получить уравнение Клейна-Гордона-Фока из уравнения Дирака.
Умножая уравнение Дирака (г7м<Эм - m)ip = 0 на (—27"^ — т), получаем, что
0 =	- m'ffi'fdn - т)-ф = (у^у^д^д^ + т2)ф =
= (j(7"7M + 7М71')^ЭМ + т2)ф = (<Э2 -t- т2)ф,	(3.26)
поскольку 7i'7''9(A = у'^д^ = у^у^д^.
4.	Найти решение свободного уравнения Дирака в импульсном представлении.
В Задаче 3 показано, что при умножении на {—iyvdv — т) уравнение Дирака переходит в уравнение Клейна-Гордона-Фока
(д2+т2)ф = 0.	(3.27)
Как было выяснено в Части 2.1, его решением является функция
= / т^е-^^/с2 -т2)ф(£).	(3.28)
./ (2тг)
При подстановке этого решения в уравнение Дирака (г7м<Эм — т)ф = 0 мы находим, что должно удовлетворять уравнению
(7MfcM — m)w(k) = 0.
(3.29)
74
Гл. 3. Спинорные поля
Представляя спинор ip{k) как
( 'Рп
\ ^34
(3.30)
где -012 и V34 — некоторые двухкомпонентные столбцы, и используя явные выражения для 7-матриц, получаем, что
(fc0 - ак)д)34 - niipn = 0;
(fco + ак)^12 - т-фц =0,
где мы положили кГ = {ко,к). Умножая второе из уравнений (3.31) на {ко — — ак) и учитывая, что a,aj + OjO, = 2<5ц, имеем:
0 — {к2о - Oiiijkikj'rpii - т{к0 - ак)0!4 =
= (fco — к2 )0i2 — т{к0 — ak)V>34 = m2Wi2 — т{к0 — ak)-034.	(3.32)
Это означает, что уравнения (3.31) являются линейно зависимыми. Поэтому с их помощью мы можем только связать между собой столбцы ^12 и Фи-Выражая, например, 1рз4 из второго из уравнений (3.31), получаем, что
/ W \
0(fc) =	1 ,	, , ,	.	(3.33)
\ — fc0 + akvi2 / \ т	/
Компоненты столбца -012 при этом не определяются и могут принимать произвольные значения.
В случае т = 0 из уравнений (3.31) получается, что
Благодаря условию к% = к2 определители обеих матриц равны 0 и, следовательно, в каждой системе будет только одно независимое уравнение. При этом решение запишется в виде
/ (-fc‘+02Ki \ (fc° + fc3Xi
v {к] - ik2)&
\ (k°-k^2 /
и вновь будет зависеть от двух произвольных величин и £2-
(3.35)
5.	Получить эрмитово сопряженное уравнение Дирака.
Применяя к уравнению Дирака операцию эрмитова сопряжения, с использованием равенства (70)2 = 1, следующего из (3.4), получаем, что
0 =	(?'94 “ "''Ч = -~(id^;+70)(7°(7'J)S0) + W Ч0^/0. (3.36)
3.1. Дираковское спинорное поле
75
Обозначая ip = г7+7° и принимая во внимание тождество 7°(7м)+7° = 7м, мы приходим к уравнению
гД,77м +	= О-
(3.37)
6.	Подучить уравнения движения, следующие из лагранжиана
С = iii’YdiiW — rnvv.	(3.38)
Как и в случае комплексного скалярного поля, и могут рассматриваться как независимые полевые переменные. Поскольку лагранжиан (3.38) не содержит производных поля ip, то соответствующим уравнением Лагранжа будет
О = — =	- m)ip,	(3.39)
dip которое совпадает с уравнением Дирака.
При варьировании по полю ip имеем:
О = дц ~	~	- тф.	(3.40)
При этом необходимо обратить внимание на появление дополнительного знака минус в последнем равенстве, который связан с антикоммутацией спинорных полей.
7.	Найти сохраняющийся ток, соответствующий глобальным калибровочным преобразованиям tp —> е~ ieaip. Проверить его сохранение явным вычислением.
Очевидно, что при бесконечно малых глобальных калибровочных преобразованиях дх11 =0, в то время как Sip = —ieaip и dip = ieaip. Поскольку в соответствии с теоремой Нетер ')
° = М 7)S^S^ ~	= ~adfi -
M<4«v)	д(дц1р)/	\	/
(3.41)
сохраняющийся ток запишется как
= — е-ф-у'^ф.	(3.42)
То же самое выражение может быть получено с помощью метода Нетер. Проверим теперь сохранение тока (3.42) явным вычислением. Имеем:
= -е(9,Л’)7м^ “ eipy^d^ip.
(3.43)
*) Необходимо соблюдать определенную аккуратность при записи выражения для сохраняющегося тока, помня об антикоммутации спинорных полей. В частности, благодаря антикоммутации, знаки в первом и втором слагаемых оказываются различными.
76
Гл. 3. Спинорные поля
Выражая у^дфф и	из уравнения Дирака и сопряженного ему уравне-
ния (3.13), мы находим, что
d^j1' = -гтефф + гтефф = 0.	(3.44)
3.1.2. Алгебра 7-матриц.
Наряду с 7м в теории поля широко используются некоторые другие связанные с ними матрицы, которые будут подробно описаны в этой части.
Определим матрицы и 75 как
75 = О'0?1?2?3 = -^M‘WO'V7<V-
(3.45)
(3.46)
(Напомним, что е0123 = -е0123 = -1.)
С использованием свойства (3.7) несложно проверить, что в явном виде матрицы (3.45) и (3.46) записываются как
0i
7 =
~(Ti 0
0 ст»
yj =
I 0 ак
( -1 ° \
\ 0 1 /
(3.47)
(3.48)
В Задаче 1 показано, что матрица 75 антикоммутирует со всеми матрицами 7м:
757м + 7М75 = 0,
(3.49)
откуда легко убедиться, что 75 будет антикоммутировать с произвольными произведениями нечетного числа 7-матриц и коммутировать с произвольными произведениями четного числа 7-матриц (например, с 7м"). Также в Задаче 1 доказано выполнение тождеств 7? = 1 и 75+ = 75-
Как мы уже отмечали, переход от одной формы (представления) 7-матриц к другой осуществляется с помощью преобразования
у^ Му11М~',	(3.50)
при котором, с очевидностью, 75 —> Му$М~' и 7^" —> Му^М-1. Однако, все перечисленные выше свойства этих матриц, так же, как и 7^, не зависят от выбора конкретного представления.
Еще одной важной конструкцией является матрица зарядового сопряжения С, определяемая при помощи условий
Су^С'1 = -(7М)Т;	С~‘=С+ = -С*.
(3.51)
3.1. Дираковское спинорное поле
77
Несложно проверить (Задача 2), свойствам удовлетворяет матрица
что в представлении (3.5) таким
Обратим внимание (Задача 2), что при переходе к другому представлению для 7-матриц С —> М*СМ~\ благодаря чему равенство С — ?7°72 имеет место не во всех представлениях. Несложно понять, что оно будет справедливо только в том случае, если матрица М является вещественной.
Построенные выше матрицы 75 и 7/w, как и 7м, представляют собой некоторые (комплексные) матрицы размера 4x4. Очевидно, что такие матрицы образуют линейное пространство над полем комплексных чисел, размерность которого равна 16. В этом пространстве можно ввести скалярное произведение как
(A,B) = ltr(AB).
(3.53)
Такое скалярное произведение билинейно, не зависит от выбора представления для 7-матриц, однако не является положительно определенным (Задача 4). Имеет место важное
Утверждение. След произвольного произведения нечетного числа матриц 7м равен 0.
(Доказательство приведено в Задаче 3.)
С учетом того, что матрица 75 является произведением четырех 7-матриц, а 7^" — линейной комбинацией произведений двух 7-матриц, это утверждение может быть использовано и при исследовании следов от более сложных произведений.
Несложно понять, что в качестве базиса в пространстве матриц 4x4 можно выбрать 1, 75, 7м, 7^75, 7м". Действительно, как показано в Задаче 4, эти матрицы являются взаимно ортогональными по отношению к скалярному произведению (3.53), т.е. скалярное произведение двух различных матриц оказывается равным 0. Нетривиальными являются только произведения одинаковых матриц, которые сводятся к
tr(l) = 4;	1г(7"7") = 477м";
^(7/^70^ =
(3.54)
78
Гл. 3. Спинорные поля
(Доказательство этих тождеств дано в Задаче 4.) Кроме того, необходимо отметить еще три полезные тождества, которые выведены в Задаче 4:
к(7^7"7а7й) =	+ ^‘0т]иау,
tr(7At7'y75) = 0;	tr(7At7,y7a7/?7'5) = -4?гм"°Л	(3.55)
В Задаче 5 показано, что из условия ортогональности следует линейная независимость матриц 1, 75, 7^, 7^75, 7^", число которых есть 1 -г + 1+ 4-г-4 + 6=16и равно размерности пространства матриц 4x4. Поэтому такие матрицы действительно образуют некоторый базис.
С помощью равенств (3.54) несложно проверить, что условие полноты запишется как
(1 )«"(!)/ + Ь)Л75)/ + bll)ab^ed~ ~(Гу5)аЬЬ^ - W/ = 4<5(ЛЛ (3.56)
Данное соотношение обычно называется тождеством Фирца. В его справедливости легко убедиться, умножая обе части равенства на (l)b“, (7s)ba и Д-Д- При умножении тождества (3.56) на Xd слева и ф' справа, с учетом антикоммутации спинорных полей получаем, что
ХаФь =	- |ыЛ^75х) -	+
+ |(7/175)«6Л7д75Л:) + |(7НЛЛ>Л:). (3.57)
Еще одно полезное следствие тождества Фирца получается при его умножении на элементы М^а некоторой матрицы М\
М = Itr.V - ^75tr(A/75) + ^7^г(Л17м) --p^75tr(A/7^75) - |7M,ytr(M7MJ. (3.58)
Для того чтобы функция Лагранжа дираковского поля и ток были бы вещественными, операция комплексного сопряжения для антикоммутирующих величин должна быть определена следующим образом (Задача 6):

(3.59)
3.1. Дираковское спинорное поле
79
При этом будут иметь место равенства (Задача 6)
(^х)* = х^;	(^?5х)* = -Х7о^;
(^х)* = хх"Ф\ (ФФФьхУ = гУгдУ
{ФФ1ихУ = -хФ"Ф	(3.60)
Поэтому выражения гр-ф, фу^ф и ^7^75^ являются вещественными, а выражения фуъф и фу^ф — чисто мнимыми.
Задачи
1.	Доказать тождества 75 = 1, уф — 75 и 757м + 7^75 = 0.
В используемом нами представлении для 7-матриц первые два свойства с очевидностью следуют из (3.48). Последнее тождество также легко проверяется прямой подстановкой приведенных ранее выражений для матриц 7м и 75.
При переходе к другому представлению для 7-матриц, получаем, что (с учетом унитарности матрицы М)
МуъМ~х Му* М~1 + МфЧХГ1МуъМ = М{у^ + 7М75)Л1-1 = 0;
МуъМ~1 Му^М~' = Му?М~' = ММ~' = 1;
(Му5М~')+ = (Му0М~У = МуфМ~' = Му5М~'.	(3.61)
Это означает, что рассматриваемые тождества имеют место вне зависимости от конкретного выбора представления 7-матриц.
2.	Убедиться, что для матрицы С — 1у°у2 в представлении (3.5) справедливы тождества
С~'=С+ = -Сг; ОфС~1 = -(7м)Т-	(3.62)
Найти, как меняется матрица С при переходе к другому представлению для 7-матриц.
Рассмотрим сначала случай, когда 7-матрицы выбраны в форме (3.5).
Ранее было доказано, что (70)4' = 70, а (71)4' = -у1. Поэтому с использованием тождества у^у" + у^у* = Ягф1' и явного вида матрицы С мы находим, что
/"ч —	• /2\-/0\-Ь	-2 0	-0 2	/-»	/~i *
С = -Ц7 ) (7 ) =	7 — —П 7 =	= -С \
СС^ —	= 1,	(3.63)
что доказывает первое тождество.
80
Гл. 3. Спинорные поля
Для доказательства второго мы замечаем, что матрицы 70 и у2 являются симметричными, а матрицы 71 и 73 — антисимметричными. Тогда, используя антикоммутационные соотношения для 7-матриц, получаем, что
0<,- 1	0 2 0 0 2	0	, ОчТ
С7 С =77777= —7 = — (7 ) ,
С7 С =77777 =7 = —(7 ) ;
2Гч-1	0 2 2 0 2	2	/ 2\Т	zq
С7 С =77777 = —7 = —(7 ) .	(З.Ь4)
Случай матрицы 73 исследуется аналогично матрице 71.
Теперь с помощью преобразования 7м —♦ М^М перейдем к другому представлению для 7-матриц. Несложно понять, что требуемые свойства матрицы С сохраняются, если С —> М*СМ~'. Действительно, в силу унитарности матрицы М
= МС~1М7 = (М*СМ~')+ = -(М*СМ+У;
М*СМм~ум~1 мс~' м7 = м'&усг'м7 =
= -ЛГ(7")Т М7 = -(МУ1М~У7.	(3.65)
3.	Доказать, что след произвольного произведения нечетного числа 7-матриц равен 0.
Поскольку (7g)2 = 1, а след произведения матриц не меняется при циклических перестановках сомножителей, то
tr(7,,,7M2 ...7м2"-1) = tr(7M,7M2 ... 7М2п-17575) =
= tr(757Ml7M2...7M2"-,75).	(3.66)
Затем, используя антикоммутацию 75 и 7м, мы можем вернуть первую из матриц 75 в конец, совершив (2п - 1) перестановку. Поскольку при каждой перестановке меняется знак, то мы получаем, что
tr^V2 ...7м2"-1) = ( —l)2n-1tr(7Ml7/i2 .. ,7"2" '7575) =
=-tr(7"V2 ...7м2"-1).	(3.67)
Из последнего равенства следует, что
tr(7M,7M2 ...7м2"-') = 0,	(3.68)
что и требовалось доказать.
4.	Проверить, что матрицы 1, 75, 7м, 7^75 и 7м" взаимно ортогональны и удовлетворяют тождествам
tr(l) = 4;	tr(7M71/) = V; tr^V6) =	- ^V*3);
tr(7M7"75) = 0;	tr(7'V7Q7%) = ~4ie^n0.	(3.69)
3.1. Дираковское спинорное поле
81
Используя приведенные ранее явные выражения для рассматриваемых матриц и утверждение Задачи 3, легко убедиться, что след произведения двух любых (из вышеперечисленных) различных матриц равен 0.
Поскольку
7Л71' = | (7V + 7V) - | (7'V - 7 V) = 'Г +	(370)
то с учетом легко проверяемых равенств tr 1 = 4 и tr7'1" = 0 находим, что
tr(7'V) =	(3.71)
Как следствие, заключаем, что скалярное произведение tr(AB)/4 не является положительно определенным.
Для доказательства тождества
tr(7^7“d) = 4(?f V“ -	(3.72)
рассмотрим выражение tr(7/17t'7“7/J). Будем последовательно антикоммутиро-вать 7м со всеми остальными 7-матрицами, используя соотношение (3.4). Тогда
tr(7M71'7“70) = 2тГ1г(7“7й) -	-
-2??'intr(71/7Z3) + tr(7"7n7'27/3) = 2?Гtr^V) “ Sr^tr^V) +
+2^tr(7V) - tr(7V7V).	(3.73)
Принимая во внимание инвариантность следа относительно циклических перестановок, получаем, что
tr(7M7"7n7Z3) = 4тГра0 ~	(3.74)
А поскольку из определения матриц у0,0 следует равенство
tr(7MVй) = ^r((7V - 7V)(7V - 707°)) 	(3-75)
мы легко получаем требуемое тождество после элементарных арифметических операций.
Заметим также, что
tr(7'‘757"75) = -tr(7M7") = -V".	(3.76)
Докажем теперь тождества, в которые входит матрица 75. Используя инвариантность следа при циклических перестановках, а также антикоммутацию 75 и 7Л, имеем:
tr(7M7‘/75) = tr(71/757'i) = -tr(7'y7M75) =
= ^tr((7V + 7 Vhb) = tr75 = 0.	(3.77)
82
Гл. 3. Спинорные поля
Рассмотрим затем величину tr(7'17l/7n7^75). В силу предыдущего тождества опа антисимметрична по всем своим индексам. Действительно, например,
tr(7'*7,y7“7rS5) = tr((7"" + < )7“707э) = tr^'1 V7%),	(378)
откуда очевидна антисимметрия по индексам р и v. Антисимметрия по всем остальным индексам проверяется аналогично. Как следствие, рассматриваемая величина отлична от 0 только если индексы всех 7-матриц различны. Это означает, что опа будет пропорциональна ^vc,e. Для того, чтобы найти коэффициент пропорциональности, вычислим
tr(7°7'727 375) = - Иг(75)2 = —г tr( 1) = -4г.	(3.79)
Поэтому, окончательно,
tr(7M71/7n7fl75) = —4гЕ*г1'“/3.	(3.80)
В заключение заметим, что все доказанные соотношения не зависят от выбора представления 7-матриц, поскольку
Хг(МАМ~}МВМ~') = tr(M“’MAB) = tr(AB), (3.81) где было учтено, что след произведения матриц не меняется при циклических перестановках сомножителей.
5.	Доказать линейную независимость матриц 1, 75, 7м, и 7м".
Предположим, что рассматриваемые матрицы линейно зависимы, т.е. существуют нетривиальные коэффициенты а, <25, ам, ajM, = — аи,, такие, что
а + 0575 + аЛ7м т 05^7''75 +	= 0.	(3.82)
Тогда, вычисляя след от уравнения (3.82), получаем, что a = 0. Затем, умножая (3.82) на 75 и беря след, получаем, что а5 = 0. Совершая аналогичную операцию для 7'', 7^75 и и используя тождества, полученные в Задаче 4, заключаем, что все коэффициенты в уравнении (3.82) должны быть равны О, что и доказывает линейную независимость матриц 1, 75, 7м, 7^75 и 7м".
6.	Доказать тождества (3.60) и убедиться, что из них следует вещественность действия для дираковского спинора.
Вычислим в качестве примера (уУ^х)*- Принимая во внимание, что (,и>аХь)* = ХьУа< учитывая эрмитовость матриц 70 и 75, а также тождество 7 (7 J 7	7 ’ имеем.
(А'75.\)* = (¥'7°7"75Х) ” = Х+7й(7'Т 7°V = А/ВА = Х7м7э'0-
(3.83) Остальные тождества доказываются аналогичным образом.
3.1. Дираковское спинорное поле
83
Используя тождества (3.60) и совершая интегрирование по частям, получаем, что
У d4 х (хфУ	— m'tp'&j = У d4 х ( — г9/Л’7/1'^ —	=
= У d4 х	— тфф^.	(3.84)
3.1.3. Спиноры и преобразования Лоренца.
Действие для спинорного поля, как и действие любой другой модели теории поля, должно быть инвариантно относительно группы Лоренца. Для существования такой инвариантности необходимо, чтобы спинор некоторым специальным образом менялся бы под действием преобразований группы Лоренца 0(1,3). (Необходимые сведения о группе Лоренца и соответствующей алгебре Ли приведены в Приложении, Части А.1 и А.2.)
Для нахождения закона преобразования спинорного поля мы заметим, что матрицы определенные в предыдущей части, удовлетворяют следующему коммутационному соотношению
7«/5] = 2yi0Tfa -	- 2^0rfa + 2.yl'nrf0, (3.85)
которое доказано в Задаче 1. Это коммутационное соотношение очень похоже на коммутационное соотношение для генераторов группы Лоренца (А.69), полученное в Приложении (Часть А.2). Сходство между указанными коммутационными соотношениями позволяет отождествить величины
(3.86)
с генераторами алгебры Ли группы Лоренца в некотором представлении, которое, очевидно, имеет размерность 4. В наших обозначениях элемент алгебры Ли раскладывается по генераторам как а = —iaapTa0/2. Учитывая, что (см. Приложение А.2) вблизи единицы элемент соответствующей группы Ли можно представить в виде е“, разумно предположить, что под действием преобразований группы Лоренца дираковский спинор будет изменяться по закону
'ф(х')	причем ^’'(д-') = ехр ^|аа/з7"й^(ж)'	(3.87)
где х’" — Кпрх0, а через А £ 0(1,3) обозначен соответствующий элемент фундаментального представления группы Лоренца. Тогда параметры группы Лоренца аад = — ада могут быть найдены из равенства
Л'г„ = (ехра)% =	+....	(3.88)
84
Гл. 3. Спинорные поля
В случае бесконечно малых преобразований Лоренца с параметрами аав —> 0 изменение спинорного поля (без учета изменения координат) запишется в виде
5ф = ^aae'fl3'$.	(3.89)
Заметим, что из формулы (3.87) следует (Задача 2), что при пространственных вращениях на угол 2тг спинорное поле преобразуется по закону ф —> —ф. Однако дополнительный знак « —» никак не влияет на физические величины, которые всегда пропорциональны четным степеням спинорного поля.
В Задаче 3 показано, что дираковски сопряженный спинор преобразуется по закону
ф(х) —> ф'(х), причем ф'(х') — ф(х) ехр ( - |аа/з7°^У	(3.90)
Используя
Утверждение. Если [Л,	= c^Bj, где А, В, — некоторые матри-
цы, а cj — (комплексные) числа, то
e~ABiCA = (e"c)?Bj	(3.91)
(доказательство дано в Задаче 4), можно доказать (Задача 5), что при преобразованиях Лоренца квадратичные комбинации, составленные из спинорных полей, преобразуются по законам
Фх<хф	Ф^Х^')	-075Х(ж);
Ф^хфс') -» Аа0-ф-/0х(.х);	Ф^ТоФфФ) А“3?а>7/375х(2:);
Ф1авх(х’) - Л%Л^^7^Х(д;).	(3.92)
_ Таким образом, выражения Фх ^_Ф1ъХ преобразуются как скаляры, Ф^Х и ^7М75Х — как векторы, а фуа0х ~ как тензор второго ранга. Как следствие, функция Лагранжа для спинорного поля (3.14) будет являться скаляром относительно преобразований Лоренца. Это в частности означает, что соответствующее действие будет инвариантным относительно этих преобразований.
При этом важно отметить, что, несмотря на наличие лоренцева индекса, 7-матрицы никак не меняются при лоренцевых преобразованиях и просто являются некоторыми постоянными матрицами. Более аккуратно это можно сформулировать следующим образом: 7-матрицы представляют собой инвариантный тензор, у которого есть один Лоренцев индекс, один верхний и один нижний спинорные индексы. (Верхний индекс преобразуется так же как у), а нижний — так же
3.1. Дираковское спинорное поле
85
как ip.) В Задаче 6 показано, что в этом случае соответствующие преобразования группы Лоренца оставляют 7-матрицы неизменными:
(7'i)ab^A^exp(|aofl7“z3)/-(7")cdexp(-	(3.93)
Заметим теперь, что преобразования (3.87) соответствуют только преобразованиям из связной компоненты группы Лоренца, поскольку параметры а можно плавно уменьшить до нулевого значения. Но, как показано в Приложении А.1, группа Лоренца состоит из четырех компонент связности. При этом все преобразования группы Лоренца можно получить, если к связной компоненте добавить преобразования, которые получаются с помощью пространственной инверсии Р : (i,r)	(£, —г) и обращения времени Т : (£, г) (-1, г).
Поэтому необходимо выяснить, как спиноры меняются при этих преобразованиях.
Мы будем требовать, чтобы уравнение Дирака и дираковский лагранжиан были инвариантными относительно таких преобразований, т.е. чтобы выполнялось уравнение
(г7м-Д- - m}ip'(x') = 0.	(3.94)
\ дхм /
В Задаче 7 показано, что это условие будет выполняться, если положить
Р : 'ф(х') —> ip'(х') = ip'(t, — х) — z7°V>(i,x) = iy°ip(x)',
Т : ib(x') —»ip'^x') — tl)'(-t,x) — 7‘73v’*(i,x) = 7*73?/’*(a;). (3.95)
Равенства (3.95) можно эквивалентно переписать в виде
Р : ip'ft, х) = Z7°rp(i, — х); Т :	х) = yi'yiip* ( —t, х).	(3.96)
Законы преобразования билинейных комбинаций спиноров при таких преобразованиях получены в Задачах 8 и 9. Они собраны в таблице 3.1. При этом видно, что по сравнению с преобразованиями группы Лоренца, которые могут быть с помощью гладкой деформации переведены в единичный элемент, при Р- и Т-преобразованиях в ряде случаев появляется дополнительный множитель (—1). Эти дополнительные множители можно найти в таблице 3.2. В частности, «лишний» множитель (-1) при ^-преобразованиях приобретают величины V>75X и '07/175Х- Поэтому они, строго говоря, не являются скаляром и вектором. Их называют, соответственно, псевдоскаляром и псевдовектором.
Помимо преобразований Р и Г также можно построить еще одно дискретное преобразование С, которое называется зарядовым сопряжением. Более подробно оно будет рассмотрено в следующей части.
86
Гл. 3. Спинорные поля
Таблица 3.1 Законы преобразования квадратичных комбинаций спинорных полей под действием Р-, Т- и С-преобразований
Величина	Р	Т	С
А"Д	diag(l, -1, -1, — 1)	diag(—1, 1,1,1)	diag( 1,1,1,1)
х'	(t,-х)	(-t,x)	(f,x)
Фх	Рх	ХФ	ХФ
ФХаХ	-Фъх	-ХХ5Ф	ХЪФ
Фхпх	^прФхдх	-Х'фзх/Ф	-Ха0ХХаФ
РГаХ5Х	-Ana^7fl75X	-A"3X7575V	tC3XCax^
Фхаах	л°-,ла^7лх	-Л%Ла6Х7^	-^у^бХ^^Ф
Таблица 3.2 Знаки, которые возникают при Р-. Т- и (^-преобразованиях
Преобр.	Р	т	с	СРТ
Фх	-	4-	+	+
Ф'Г.Х	-	-	+	
Фх^х	+	-	-	+
Фх'‘ххх		-	+	+
Рх'^х	+	-	-	_u
Прим.		ф X	Ф^х	
Л“;,			(-+,+,’)	
Задачи
1.	Доказать коммутационное соотношение (3.85).
Удобно использовать равенство
7м" =	(3.97)
и учесть, что единичная матрица коммутирует со всеми матрицами. Тогда с использованием тождеств
Л, ВС] = [Л, В]С Ч- В[А, С] = {Л, В}С - В{А, С} (3.98) рассматриваемый коммутатор может быть переписан следующим образом:
г /и/ о/З] г 11 1/ a 0i (Н	01 . Г	0 _
[7 -7 ] = [7 7 ’ 7 7 1 ~ 7 [77,71 + [7 7 ,7 ]7 -
лисп .Зч	о г и 31 1/ । л и (л 1/ л). с ц от л у 3
= 1 7 {.7 .7 }	/ 17.7 П + 7 17 -7 }7 - (7 ,7 }7 7 =
= 27'V'7 - 27V'V - 27'VV - 2т/'т7^7.	(3.99)
3.1. Дираковское спинорное поле
87
Вновь используя равенство (3.97), окончательно получаем, что
7%7°й| =	+ 2т/л'“7'1Й + 2^7^ - 27/'"%"".	(3.100)
2.	Доказать, что при пространственных вращениях на угол 2тг спинорное поле изменяется по закону —> —ip.
Поскольку при бесконечно малых преобразованиях Лоренца
<5% = а'%%,	(3.101)
пространственные вращения соответствуют аог — 0, a,j —	где а —
вектор, направление которого совпадает с осью вращения, а модуль равен углу поворота. При таких преобразованиях спинорное поле будет меняться по закону
ip exp (J-eijk'fI3ak^ip.	(3.102)
Используя явные выражения для 7-матриц, несложно убедиться, что
В Приложении показано, что в случае, если а = ап, причем а = 2тг, справедливо равенство
exp ( — iaa/2^ = — 1,	(3.104)
из которого и следует требуемое утверждение.
3.	Найти закон преобразования дираковски сопряженного спинора при преобразованиях Лоренца.
Вначале мы заметим, что
0/ ар\ • 0	1 О/ а в в а\ 1 0	' / 0/ 3\+ 0 0/	0
7 (7 ) 7 = р 7 ~7 7 р = j(%7 ) 7 7 (7 ) 7 “
— 0 0 / 3 \ 4- 0\	1 / 3 ci с З .	сЗ	/с 177Г.\
-7 (7 ) 7 7 (7 ) 7 J “ 2 (7 7 - 7 7 ) = “7	(3.105)
и, следовательно,
88
Гл. 3. Спинорные поля
4.	Доказать, что если [Л, В,] = с?В, где Л, В; — некоторые матрицы, a c,J — (комплексные) числа, то
е~АВгеА = (e~c)ijBj.
(3.107)
Рассмотрим функции F;(A) s е ллВ!елл, где А — некоторое число. Тогда
4^(А) = -Ле' ллВгелл + еллВ,е"ллЛ = -е Aj4[Л, 23г]елл = -c?F,(A). аХ
(3.108)
Легко проверить, что решениями этого уравнения с граничными условиями Fi(0) = Вг являются функции F;(A) = (e-Ac)iJBj. Поэтому в силу теоремы единственности мы заключаем, что
e~XABteXA = (e~Xc)ijBj.	(3.109)
Полагая в этом равенстве А = 1, получаем требуемое тождество.
_5. Найти законы преобразования величин tpip, ’фуГ'Ь, и при преобразованиях связной компоненты группы Лоренца.
Из закона преобразования дираковски сопряженного спинора, который был построен в Задаче 2, следует, что lin/j —*	Также очевидно, что, поскольку
при разложении ехр(аа£7п/3/4) в ряд Тейлора получаются только члены с четным числом 7-матриц, которые коммутируют с 75, то мы также заключаем, что ^75^ -» ЧПъЧ’-	_
Для нахождения закона преобразования величины удобно воспользоваться тождеством
= ^ow[7aT/:,.7'i] = jcw(r“{т0.7м} -
-b“,TMh0) =	-bb0) =	(3.110)
Действительно, поскольку gj,7 представляют собой некоторые числа, коммутирующие с 7-матрицами, то, используя утверждение предыдущей задачи, мы получаем, что
Лм„'ф'у1'у?,
(3.111)
где Лр,7 = ехр(а)%. Аналогичным образом
Г 1	0/3	11	1	,, и. и
[-OW7 >7 75] = a v'y 75.
откуда следует, что
Г 1	0/3	{ II СИ , СО Ч \ о/З
[-CW7 .7 ] = од/3 + dja 0J7 , (3.112)
/Д7/275'!Д’ —» Л'1£/'гр71/75?/>;	ф^ф Лм(лЛм/? фуа13ф.	(3.113)
(Последняя формула становится очевидной, если заметить, что величина afIad% +• является элементом представления алгебры Ди группы
3.1. Дираковское спинорное поле
89
Лоренца, пространство которого образуют тензоры второго ранга, см. Приложение А.4. Но можно и просто вычислить экспоненту от этой матрицы, поскольку 2 слагаемые, которые ее составляют, очевидно, коммутируют друг с другом.)
6.	Доказать, что 7-матрицы являются инвариантным тензором при преобразованиях группы Лоренца.
Из утверждения, доказанного в Задаче 4, а также равенства [<W7Q/3/4, 7м] = -а%7", следует тождество
exp QaQZo“a)7^exP ( - ^aQ/37Q/?) = exp(-a)1/„7n = (Л“7а7“- (3.114)
Умножая его на Л'‘„, получаем требуемое утверждение.
7.	Убедиться, что если при пространственной инверсии и обращении времени дираковский спинор -ф преобразуется в соответствии с формулами (3.95), то уравнение Дирака остается неизменным.
Умножая уравнение Дирака на 17°, находим, что
(17°^	Д~1 - m^i70V)(t,x) = 0.	(3.115)
\ т дх /
После этого выполним замену х	—х. В результате получается, что спинор
i'ftpfi, —х) удовлетворяет уравнению Дирака:
(«7°t|	= 0.	(3.116)
Для того, чтобы убедиться в инвариантности уравнения Дирака относительно преобразования обращения времени, заметим, что определенные формулой (3.5) 7-матрицы обладают следующим свойством:
(7°)* =7°;	(71)*=71;	(72)* = -72;	(73)*= 73-	(3.117)
Как следствие, в силу антикоммутации различных 7-матриц будут справедливы равенства
13 0 3
77777
13 2 3
77777
0	/ 0\*
= 7 = (7 ) ;
2 I 2 \ * = 7 = -(7 ) ;
13 13 1 I / 1 \ *
77777 = “7 = -(7 ) .
7173737371 = —73 = —(73)*-	(3.118)
Поэтому, если провести комплексное сопряжение уравнения Дирака, а затем умножить его на матрицу 7!73, то получится уравнение
90	Гл. 3. Спинорные поля
которое после замены (/,х) —> (~f,x) перепишется в виде
('г.'1<),, — гп)у'у3'иГ( —t, х) = 0.	(3.120)
Это и означает, что уравнение Дирака остается инвариантным относительно преобразования обращения времени.
8.	Найти, как квадратичные комбинации спинорных полей меняются при пространственной инверсии.
При преобразованиях пространственной инверсии спинорное поле меняется по закону
х) —> i7°?p(t,-х); ip(t, х) —> —i/ipfj., — х)7°.	(3.121)
Поскольку (70)2 = 1, а матрица 75 антикоммутирует со всеми 7-матрицами, то
Фх(Фх) w(£. ~х);	х) m0757°x(t -х) = -^х^~ ~х)-
Принимая во внимание, что матрица 70 коммутирует сама с собой и антикоммутирует со всеми остальными 7-матрицами, получаем, что
х)	~х); Фх'хФФ х) -► -УХ1х{С —х).	(3.122)
Эти два равенства можно единым образом записать в виде
^7ЯХ(*. х) -►	-х),	(3.123)
где = diag( 1, —1, —1, —1) — элемент группы Лоренца, который осуществ-ляет преобразование пространственной инверсии. Аналогичным образом доказывается, что
W^X^-x)	-A'\y>7,/75x(i, -х);
’Фх^Х^С х)	Л'^Л";3ipynl3x(t, -х).	(3.124)
9.	Найти, как квадратичные комбинации спинорных полей меняются при обращении времени.
При преобразованиях обращения времени
ip(L, х) —» 7173тр"(- f, х).	(3.125)
Поэтому соответствующий дираковски сопряженный спинор будет преобразовываться по закону
^(t,x) - VT( --f,x)7070(7:y7070(7') + 70 =7J(-t,x)7°737‘-	(3.126)
3.1. Дираковское спинорное поле
91
При нахождении закона преобразования произведения двух спиноров мы будем по определению полагать, что
'Г : Схь(£,х) = (7173)/(7173)brf(фсХа)* (~tx) = (7173)ac(7173)bd x
xX^!*(4x) = -(7173)a''(7173)bri^*Xd(-^x),	(3.127)
где были использованы антикоммутация спинорных полей, а также определение операции комплексного сопряжения для произведения двух спинорных полей. Тогда
1Ах(Тх) -•0T7°737l7l73x*(-i,x) =	М. х)-	(3.128)
Эта величина, очевидно, не будет меняться при транспонировании. Совершая эту операцию, необходимо помнить о том, что спиноры являются антикоммутирующими величинами. Поэтому
V>x(^x)	Х+7°^(-Сх) =	(3.129)
Аналогичным образом получаем, что (аргументы для краткости мы выписывать не будем)
ЧДьХ	-'Ф17°75Х“ = Х+Т^°Ф = -ХГГХФ-	(3.130)
Для нахождения закона преобразования величины Фу^х удобно по отдельности рассмотреть случаи д = 0и^ = г^0:
— 0	, Т/ 0\2 »	- .	— 0 .
^7 X -V (7 ) X = X V = X7 V,
ФХгХ ^Т7°(7г)*Х*	-Х*7070(7')1 7°^ = ~ХДг Ф',	(3.131)
Эти равенства можно единым образом записать как
^7/JX	(3.132)
где = diag(-1, 1,1,1) — элемент группы Лоренца, который осуществляет преобразование обращения времени. Аналогичные вычисления приводят к равенствам
^7''75А	-Л'2^Х'71/7з'<Д; Ф^Х	вХХ^-ф. (3.133)
3.1.4. Классическая электродинамика.
Лагранжиан свободного дираковского поля
£ = гф^д^ф - тфф	(3.134)
является инвариантным относительно глобальных калибровочных преобразований ф е'1каф с а ф а(аг), но не инвариантен относительно
92
Гл. 3. Спинорные поля
локальных преобразований с а = а(х). Как и в случае скалярного поля, локальная калибровочная инвариантность может быть достигнута заменой в функции Лагранжа обычных производных на ковариантные:
* Р/7 —	геАр.
(3.135)
Поскольку при этом появляется новое поле Ам, то в теорию необходимо также добавить лагранжиан свободного электромагнитного поля. В результате мы получаем классическую электродинамику, описываемую функцией Лагранжа
£ =	+ кф^Рфф ~ тФФ-
(3.136)
При этом векторное поле А;; описывает фотон, а спинор ф — электрон. Лагранжиан (3.136) с очевидностью является инвариантным относительно локальных калибровочных преобразований
- Ад - д^а(х).
(3.137)
Соответствующие уравнения движения представляют собой замкнутую систему уравнений Максвелла и Дирака, которая записывается в виде
= -ефф'Ф', (Ь^м -	= °-
(3.138)
Как и ранее, несложно проверить, что эрмитово-сопряженное уравнение Дирака запишется как
iP./vP' + тф = О,
(3.139)
где Р^ф = (сф + геАц)ф.
Как показано в Задаче 1, ток, соответствующий инвариантности лагранжиана (3.136) относительно калибровочных преобразований са / а(ж), по-прежнему оказывается равным
j'1 = — ефу,1ф.
(3.140)
Там же с помощью явного вычисления проверено выполнение закона сохранения — 0.
При умножении уравнения Дирака во внешнем электромагнитном поле на ( —i/yuPv — т) (Задача 2) мы получаем уравнение

(3.141)
которое представляет собой аналог уравнения Клейна-Гордона-Фока.
3.1. Дираковское спинорное поле 93
Исследуем теперь нерелятивистский предел уравнения Дирака во внешнем электромагнитном поле. При этом более удобным оказывается работать не со спинором ф, а со спинором *)
фм = Мф =	( J	(3.142)
две нижние компоненты которого в системе покоя kfl = (т,0,0,0) равны 0 при отсутствии внешнего поля, что следует из формулы (3.12). Спинор фм также удовлетворяет уравнению Дирака во внешнем поле, которое отличается от исходного заменой 7м —♦ Му^М~], соответствующей переходу к другому представлению для 7-матриц.
В Задаче 3 показано, что в нерелятивистском пределе решение уравнения Дирака может быть приближенно записано как
Фм~е-гтЛ(^у	(3.143)
где двухкомпонентный столбец фе удовлетворяет уравнению Паули [2]
' (_гЭ + еА)2 -	+-^-(аН)Ъ'е,	(3.144)
dt \2mv	2т J
а и А — скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля, определяемые соотношением AfJ = (рр, —А). Такое уравнение описывает нерелятивистскую частицу заряда — е, имеющую отличный от нуля магнитный момент до, величина которого равна значению коэффициента перед (аН). В этом можно убедиться, сравнивая уравнение (3.144) с классическим гамильтонианом
Н = ^(р-</А)2 + ^ + ИоН	(3.145)
и учитывая, что собственные значения оператора (сН) равны ±'Н|, так как (сН)2 = (TiCTjHiHj = Н2. Поэтому на классическом уровне электродинамика предсказывает, что значение магнитного момента электрона равно
=	(3.146)
Если определить т.н. (/-фактор Ланде [3] как
g=-(y^s,	(3.147)
то, поскольку спин электрона равен 1/2, из предыдущего равенства получаем, что д = 2, что достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными [4]. Однако, на самом деле, экспериментальное
') Коэффициент 1/ф2 найден из требования унитарности матрицы М.
94
Гл. 3. Спинорные поля
значение д все же отличается от 2 благодаря существованию квантовых поправок.
Для того чтобы понять физический смысл дв^х нижних компонент спинора фд,/, обратим внимание, что уравнение feg — к2 = т2 имеет два решения: положительночастотное с ко — \/к2 Ь т2 и отрицательночастотное с ко = — \/к2 + т2. Первое из них, очевидно, представляет собой связь между энергией и импульсом электрона. Второе решение, на первый взгляд, бессмысленно, поскольку энергия не должна принимать отрицательные значения. Однако можно предположить, что в этом случае волновую функцию необходимо отождествить не со спинором ф, а с некоторым другим объектом, построенным как линейная комбинация элементов ф”. Поскольку
™	6(к2п - rn^rtk), (3.148)
то энергия окажется равной Е — —ко = \/к2 + т2.
Отождествим волновую функцию для отрицательночастотных решений с зарядово сопряженным спинором фс, определяемым с помощью соотношения
с стС,	(3.149)
где матрица С была построена в Части 3.1.2 и дается выражением (3.52). При этом в наших обозначениях операция дираковского сопряжения выполняется последней, так что ф = (фс). В Задаче 4 показано, что
фс = 7оСьГ,	(3.150)
откуда следует, что компоненты фс действительно являются линейными комбинациями компонент ф*. Легко проверить (Задача 4), что спинор фс удовлетворяет уравнению
+ ieAfj) - т^фс = 0,	(3.151)
которое отличается от исходного знаком перед зарядом, откуда становится понятным смысл названия «зарядовое сопряжение». Очевидно, что в нерелятивистском пределе уравнение (3.151) сводится к уравнению Паули для частицы с массой т и зарядом е, которая называется позитроном [5]. В общем случае, если уравнение Дирака описывает не электрон, а какую-нибудь другую частицу, говорят, что отрица-тельночастнотные решения соответствуют т.н. античастице. Позитрон является античастицей для электрона. Вскоре после теоретического предсказания он был обнаружен экспериментально [6].
3.1. Дираковское спинорное поле
95
Поскольку в представлении (3.142) матрица С записывается как
/О 0 0-1
См = М*СМ~1= Q °! Q Q
\ 1 О о о
(3.152)
то в этом представлении операция зарядового сопряжения фактически меняет местами верхние и нижние компоненты четырехкомпонентного спинора. Следовательно, нижние компоненты четырехкомпонентного спинора фактически соответствуют позитрону, имеющему противоположный знак электрического заряда и ту же массу, что и электрон.
Отметим некоторые свойства операции зарядового сопряжения. В Задаче 5 показано, что зарядово сопряженный спинор при преобразованиях Лоренца меняется точно так же как и любой другой спинор. Квадрат операции зарядового сопряжения (Задача 6) оказывается равным 1:
(^C)C = V	(3.153)
Напомним, что таким же свойством обладали операции Р и Т, определенные в предыдущей части. Во многом зарядовое сопряжение является с ними сходным. В частности, применение зарядового сопряжения к квадратичным комбинациям спинорных полей приводит к равенствам
-с с -.	-с с _
V X ' = XV,	V ТэХ = XV>V
-фС^пХС = -xnaV ^С^аХ5ХС = ХДаХьР\
^СХпрХС = -XXafiV	(3.154)
которые доказаны в Задаче 7. Заметим, что при выводе этих равенств существенно используется антикоммутация спинорных полей. Эквивалентная запись формул (3.154) также приведена в таблицах 3.1 и 3.2. Сравнивая различные преобразования, приведенные в этих таблицах, можно заметить, что все дополнительные множители —1 сокращаются, если последовательно выполнить преобразования СРТ. При этом (Задача 8) под действием СДТ-преобразований
©(i,x) Рпрр(-1, -х).	(3.155)
Заметим теперь, что уравнение Дирака будет инвариантно относительно операции зарядового сопряжения, если считать, что под действием этой операции калибровочное поле меняется по закону
С : Afl - (Лм)с = -А».	(3.156)
Уравнения Максвелла также будут инвариантны относительно С-преобразований, поскольку в силу формул (3.154) ток
96
Гл. 3. Спинорные поля
так же как и калибровочное поле, меняет знак при зарядовом сопряжении. Это связано с тем, что, как несложно убедиться, лагранжиан (3.136) инвариантен относительно С-преобразований ip —> ipc; Ар * —
Кроме того, из законов преобразования, приведенных в таблице 3.1, следует, что действие электродинамики также будет инвариантно относительно Р и Т преобразований, если положить
Р : (A'yit, х) = WAyt, —х);	Т :	х) -A\Ay-t, х),
(3.157) где матрицы Л/7^ для Р и Т преобразований приведены, например, в таблице 3.1. При СРТ-преобразованиях, очевидно,
Ayt, х) -Ay-t, —х) = A^Ay-t, -х),	(3.158)
где = diag(—1, —1, — 1, — 1). Заметим (см. таблицу 3.2), что под действием CFT-преобразований как Ад, так и все квадратичные комбинации, построенные из спиноров, преобразуются по тензорному закону. То же самое справедливо и для других полей. (Например, для скалярного поля и поля Янга-Миллса, законы преобразования которых приведены далее, см. формулу (4.21).) Поэтому любая теория, инвариантная относительно преобразований Лоренца, также будет инвариантна и относительно СРТ-преобразований. Это утверждение называется СРТ-теоремой [7].
Задачи
1.	Найти сохраняющийся ток, соответствующий глобальной калибровочной инвариантности ip e~leaip лагранжиана классической электродинамики. Проверить его сохранение явным вычислением.
Для свободного дираковского поля мы построили сохраняющийся ток, используя утверждение теоремы Нетер. Теперь, для разнообразия, воспользуемся методом Нетер.
Формально полагая в преобразованиях
ф^е~1еп1р-,	Л,_, Ар	(3.159)
а = а(ж), мы нарушаем инвариантность функции Лагранжа. Действительно, при этих преобразованиях
С = -jPpis + гф>^(др - ieAp)ip - mipip
-	- гф^Реа(др - ieAp)(e~ieaip') - тфф =
= С + едртр^ф, (3.160)
3.1. Дираковское спинорное поле
97
откуда 6С = ед11аф'ф1ф. Сравнивая это выражение с (2.113), мы получаем, что сохраняющийся ток записывается как
j'' = — ефу^ф,	(3.161)
что совпадает с выражением, полученным ранее для свободного поля с помощью теоремы Нетер.
Для проверки сохранения тока (3.161) рассмотрим
= -ефд^фффф - ефу^д^ф.	(3.162)
Выражая 'у^дфф и (д^ф)^ из уравнения Дирака и сопряженного ему уравнения, получаем, что
= -е-(/'(-геДм7Л + т)ф - ефф-еА^-ф1 — 1т)ф = 0.	(3.163)
2.	Получить аналог уравнения Клейна-Гордона-Фока из уравнения Дирака при наличии внешнего электромагнитного поля.
В случае наличия внешнего электромагнитного поля мы умножаем уравнение (ФфТфф - т)ф = 0 на (-i71/P1/ - т) и учитываем, что
+ 7^-	(3.164)
Тогда
0 = (—— ^(.^ТАцФ — п^Ф —	+ т2)ф =
= (Р'-'Р,., +	+ ™.2)ф. (3.165)
Поскольку в силу антисимметрии матриц
у'^ТфТфф =	- геЛм)(<Э„ - ieA„) - (dv - геАф) х
х(Эи - 1еА^)ф =	- д^ф = -^Д^ф,	(3.166)
то окончательно мы получаем, что
Щ	+ т^ф = 0.	(3.167)
3.	Исследовать нерелятивистский предел уравнения Дирака во внешнем электромагнитном поле.
При исследовании нерелятивистского предела наиболее удобным оказывается использование представления (3.142), в котором уравнение Дирака записывается как
-ДА^ -т^М-'фм =0.	(3.168)
4 К. В. Степаньянц
98
Гл. 3. Спинорные поля
Представляя спинор иГм в виде
V'I2
V.»
(3.169)
и учитывая, что А,, = (у,, -А), а
М^М~' = ( * °. У М^М~' = (0	XИ ,	(3.170)
\0—1/	'	1 (тг U /
мы можем представить уравнение Дирака в виде системы
i\^— - iepjipu ~ ia[d -t- геА^34 - пгф12 = 0;
~ w) W + гв(д + геА^г - W'34 - 0.
(3.171)
В квантовой механике зависимость волновой функции от времени для состояний с определенной энергией Е задается множителем ехр(—iEt). В пределе малых скоростей энергия частицы приблизительно равна массе покоя. Поэтому, совершив замену 1рм = мы можем считать, что tp'M медленно меняется с течением времени:
1^4/1 «|mwl-	(3.172)
Тогда, принимая во внимание, что в терминах компонент спинора система (3.171) перепишется как
~	~	+ *еА)^з4 = 0;
1	(3.173)
— - ге'-р^-фм + 1а(д + геА^{2 - 2w034 = 0, из второго уравнения мы заключаем, что в нерелятивистском пределе
V34
(3.174)
В частности, отсюда следует, что в пределе малых скоростей (|к| т) ?Д4 <7 ip{2. (Именно благодаря этому условию представление (3.142) является особенно удобным при исследовании низкоэнергетического приближения уравнения Дирака.)
При подстановке (3.174) в первое из уравнений системы (3.173), мы приходим к следующему уравнению для столбца ip\2, который мы далее будем обозначать через ipe:
--	(а(0 + ieA)^ ipe = 0.
(3.175)
3.1. Дираковское спинорное поле
99
Поскольку o-io-j = 8ij + ieijkOk, то ')
(а(0 + геА)) — a-ia-j[di — ieAi)(dj - ieA.j)ipe =
= (д, - ?c4i)2V’e + eei]kCTk(di{AJwK) — A’dji/)e^. (3.176)
В силу антисимметрии это выражение может быть переписано как
(с(д + геА)} ipe = (Э + ie,A)2tpe eekij&k (di(Ajipe) - Aphv/'j -
= ((0 + ieA)2 += ((0 + геА)2-е(аН))^е.	(3.177)
Поэтому окончательно получаем, что
~	( о’ ) ’	(3.178)
где двухкомпонентный столбец ipe удовлетворяет уравнению Паули
= I	+ еА)2 “	+ Т“(аН) Р’е- (3.179)
dt \2т	2т I
4.	Построить уравнение для зарядово сопряженного спинора чрс, определяемого соотношением ip ' = ipTC.
Из уравнения ipC = ip7 С можно легко выразить как ?/>, так и ipc. Действительно, поскольку С 1 = С' — -С, а (7°)т = 7°, то
V, = (^С’с+)т = C*(7°)T(vC)* = (C7V)*.	(3.180)
откуда чрс = —y°Cip*. Подставляя полученное выражение для ip в уравнение Дирака, получаем, что
(г7ма(1 + е7Мм-т)(С7УТ =0.	(3.181)
Производя комплексное сопряжение этого уравнения и умножая результат на матрицу 7°С’’, с учетом тождеств	= -(7М)Т и 7°(7Р),'7О = 7м имеем:
0 = 7°С+ ( - г(7м)Ч + е(7м)*Лм - m)c7V'C -
= 7° (г(7*Т(Д - е(7Л) + Afl - rn^° ipc =
- (г^дц.-еу11 - m^ipc.	(3.182)
Поэтому окончательно уравнение для чрс запишется так:
(г7м(9м + геЛр) - m^ipc = 0.	(3.183)
’) Напомним, что = (р, —А), в то время как Н = rotA.
4
100
Гл. 3. Спинорные поля
5.	Доказать, что зарядово сопряженный спинор при преобразованиях Лоренца меняется так же как и обычный спинор.
В Части 3.1.3 было установлено, что при преобразованиях Лоренца спинорное поле изменяется по закону
чр'(х') = ехр	(3.184)
Зарядово сопряженный спинор дается формулой ij)C =	Поэтому (учи-
тывая, что параметры группы Лоренца аа$ являются вещественными) при преобразованиях Лоренца
= -7°Сехр Qaa,3(7n/’)*)C'' '-у^СЩх) =
= 7°СЕ ^(^^(7а/Т)"с’- ,7оЧСИ.	(3.185)
п—0
Для того чтобы упростить это выражение, воспользуемся тождеством
7°С(7“''3)*С“17° =
= ^7°С((7П)*С’'CV)* - (7fl)*C-'C(7Q)*)c-,7° =
1 0/7 а,- 0 0/ Дч-с , вх+ 0 0, сп + А 0
= р (J7 ) 7 7 (7 ) ~(т ) 77 (7 ) J7 =
4(7V-7V)=7“;i.	(3.186)
С его помощью закон преобразования зарядово сопряженного спинора можно переписать в виде
(у;с)'(х) =	^(^а“й7“0) Vе (х) = охр ^аавуав^йс (х). (3.187)
п — О
Другими словами, зарядово сопряженный спинор преобразуется точно так же, как и исходный спинор, из которого он был получен.
6.	Вычислить квадрат оператора зарядового сопряжения при действии на спинорное поле.
Принимая во внимание, что С — Ст = С~\ а также используя определение операции зарядового сопряжения (3.150) и свойства (3.8) и (3.51), получаем, что
(У)с = (7°С+тр’)с = 7°C+(7°)*CTw = 7°(7°)‘^ = V’-	(3.188)
7.	Найти, как квадратичные комбинации спинорных полей меняются при зарядовом сопряжении.
3.1. Дираковское спинорное поле
101
Рассмотрим вначале величину
--з#С70С-'х’,	(3.189)
которая, очевидно, не будет меняться при транспонировании. При проведении транспонирования необходимо учесть, что при перестановке спиноров меняется знак, а матрица С антикоммутирует с 7°:
^СХС = -х+Сх°С~Ч’ = Х+7> = Х-Ф-	(3.190)
Аналогичным образом доказываются и остальные тождества:
^С75ХС = (0тС757оС-'л*) = -х+С'(7о)т(75)тС'-|г!) = х4 7°75V-? =
= X75V>;
= (^Сх^С-'х'У = -x+C(7o)TC'-1C(7'J)TC-^ =
- -Х+Х
фС 7/J75XC = (’/-•TC'7'J75 7OC'”IA‘) =
= -Х+С(7о)тС-,С7^С-1С(7")тС-|гр = -х ' 7°757^ = ХД^хФ\
Ф>С~Гх' = (^ТС7"Р70С"'х*)Т = -Х+С(7о)ТС-,С«)тС-'7’ =
= -Х+7°7'^ = ~ГГФ-	(3.191)
8.	Найти закон преобразования спинорного поля ф под действием СРТ-преобразований.
Последовательно применяя 71-, Р- и С-преобразования, имеем:
Т : ф(1,х)	'у'х'Ф*
РТ :ф(1.,х)	г^у°7173V>(-t —х);
СРТ : ф(1,х)	70C'4'(i7°7’737p(-i,-x))‘ =	(3.192)
= 70(-’7°72)(-«)707l73V'(-i. ~х) =	~х) =	~х)-
3.	1.5. Киральная инвариантность и киральные фермионы.
В Задаче 1 показано, что безмассовая функция Лагранжа
(3.193)
102
Гл. 3. Спинорные поля
является инвариантной относительно киральных преобразований
(р —»	аа(.т).	(3.194)
(Обратим внимание, что при таких преобразованиях ф —> фе'а~к, см. Задачу 1.) Соответствующий сохраняющийся ток также получен в Задаче 1 и записывается как
З^Ф^ЪФ-	(3.195)
Массовый член в лагранжиане (3.136)_нарушает киральную инвариантность, поскольку фф фе^'^ф у.!ф. Как показано в Задаче 2, в случае т 0 на классическом уровне
дцЗь = 2im.j5,	(3.196)
где _?5 = С'75'0. Однако, оказывается, что равенство (3.196) и, в частности, закон сохранения кирального тока в безмассовом случае нарушается квантовыми поправками и не имеет место при переходе к квантовой теории. Такое явление называется квантовой аномалией [8].
Киральные преобразования сводятся к умножению на фазовый множитель для т.н. киральных или вейлевских спиноров [9], которые определяются как собственные векторы матрицы 75:
75W = А0.	(3.197)
Умножая уравнение (3.197) на 75 и учитывая, что 7? = 1, получаем, что А2 = 1 и, следовательно, А = ±1. Соответствующие собственные векторы могут быть легко построены. Действительно, возьмем произвольный спинор ф и рассмотрим
0Я = ^(1+75)0 и фь = |(1 - 75)0.	(3.198)
Тогда мы немедленно получаем, что
750/? = 0«;	750L = -0Д-	(3.199)
Киральные спиноры широко используются при построении реалистичных моделей теории поля. При этом спинор 0д часто называется правым, а спинор 0д — левым. Легко проверить (Задача 3), что для киральных спиноров Фц и фр имеют место следующие тождества:
00 - 0L0/? + С/..Ср:
фф'ф = 0a7/j0l + Фрфф'Фп,	(3.200)
причем
0й=^0(1-75); Фь = ^0(1-75).	(3.201)
3.1. Дираковское спинорное поле	103
С использованием тождеств (3.200) лагранжиан классической электродинамики (3.136) может быть записан как
£ =	+ гф^П^фк - и,!,.-! ,./< + фнЧ'ь)- (3.202)
В следующей главе это выражение будет получено как низкоэнергетический предел некоторой единой теории, описывающей электромагнитное и слабое взаимодействия.
Заметим, что при F-преобразованиях Р :	—» г/М(£,-х) ле-
вые спиноры переходят в правые, а правые в левые:
V’r.(tx) |(1 - 75)г7°М/- -х) = П°|(1 -г рфф =	= 27О-0к-
(3.203)
Тем не менее, действие электродинамики является инвариантным относительно P-преобразований, поскольку левые и правые спиноры входят в него симметрично. Это можно легко доказать, используя законы преобразований квадратичных комбинаций спинорных полей, которые приведены в таблице 3.1.
Задачи
1.	Доказать, что в безмассовом случае лагранжиан классической электродинамики инвариантен относительно киральных преобразований ф е1аъф, а ф а(х) и найти соответствующий сохраняющийся ток jf.
Поскольку 7Г = 75, то при киральных преобразованиях ф
ф =	—» ф~е~гаУ5^° = rP(cosa — 175 sin 0)7°.	(3.204)
(При выводе последнего равенства мы формально разложили экспоненту в ояд Тейлора и приняли во внимание, что 75 — 1.) Учитывая, что 757° = -775, находим, что
ф V)+7°(cosa + «75 sin a) = фе1а'1!’.	(3.205)
Для проверки инвариантности действия классической электродинамики и нахождения соответствующего сохраняющегося тока воспользуемся методом Нетер. При киральных преобразованиях a a(x). Положим теперь формально а = а(ж). Поскольку Д(1 —> то
1ф~ф'Р1Лф 1фе.1а~,',ф‘'Т)1Л[е1ауг,ф'^ = иРфТфф - д^аффф^ф, (3.206) где мы приняли во внимание, что
em")'’7'1 = (cos a — 1075 sin <1)7** = 7'' (cos a — 10-75 sin a) = У'е"’"'*5. (3.207)
104
Гл. 3. Спинорные поля
Таким образом, окончательно получаем, что в безмассовом случае
6S = -- [ ^хд^аф^тЛ'.	(3.208)
Это, во-первых, означает, инвариантность лагранжиана квантовой электродинамики относительно киральных преобразований с а / «(х) в безмассовом случае и, во-вторых, в соответствии с предписанием (2.113) дает выражение для сохраняющегося тока

(3.209)
2.	Вычислить при т / 0.
В массивном случае киральная инвариантность нарушается, поскольку
фф фе2гп'':’ф £ фф.	(3.210)
Как следствие нарушается и закон сохранения соответствующего тока. Действительно, при гп / 0
diijt,1 = (д^фф/^ф - фуг^дцф.	(3.211)
Выражая 7м<Эм?р и	из Уравнения Дирака и сопряженного ему уравне-
ния, получаем, что
= Ф^-ге^А^ + im)75ip -	- гт)ф = Итф~/5ф. (3.212)
3.	Доказать тождества (3.200).
Поскольку ф = ф+у°, 7+ = 75 и, кроме того, 7570 = —7°75,
Фн =	+ '1'5)7° = ^+7°(1 -75) = ^(1 -75);
Фе = ^+(1 -7s)7° = |ъб+7°( 1 +7s) = ^(1 ~7s).	(3.213)
Используя эти соотношения, получаем, что
фьфн + ФцФе = ^(^0 +75)7 + Ф(Д -75)7} =
= ?; (71 - 75> + 71 - 7s)v) = V7;
"I" ФнФ Фк =
=	+75)7М(! - 75)'0^^(1 - 75)7'7 -1-757) =
= (v>(l + 75)7'7 + Ф(1 - 75)77) = Фу^ф,	(3.214)
где было учтено, что (1 ±7з)2 = 2(1 ±75)-
3.1. Дираковское спинорное поле
105
3.1.6. Майорановские спиноры и их свойства.
Во многих моделях теории поля необходимо использовать не дираковские, а т.н. майорановские спиноры [10]. По определению майорановский спинор совпадает со своим зарядово сопряженным:
(/> = у^С,
(3.215)
где С — матрица зарядового сопряжения, определенная в Части 3.1.2. В соответствии с результатами Задачи 5 Части 3.1.4 это условие является инвариантным относительно преобразований Лоренца. В Задаче 1 показано, что произвольный майорановский спинор записывается в виде
(3.216)
и характеризуется четырьмя независимыми вещественными параметрами. (Напомним, что дираковский спинор имеет 4 комплексные компоненты, которые эквивалентны 8 независимым вещественным параметрам.) Поэтому можно считать, что дираковский спинор является аналогом комплексного скалярного поля, а майорановский спинор — аналогом вещественного скалярного поля. В частности, существует представление для 7-матриц, в котором все компоненты майорановского спинора являются вещественными:
,, , 1
Vm — Му) = — у/2
о о
1 1
—г г
о о
(3.217)
0 о
Поэтому произведение майорановского спинора на комплексное число с нетривиальной мнимой частью майорановским спинором уже не будет. Как показано в Задаче 2, если ф — майорановский спинор, то майорановскими спинорами также будут
ПэЧ; 17МЧ; 7М75^; 7'^4-	(3.218)
Как следствие, условие майорановости будет инвариантно относительно определенных ранее Р- и Т-преобразований. (Инвариантность этого условия относительно С-преобразований очевидна.)
Необходимо отметить, что произведения майорановских, спиноров удовлетворяют следующим тождествам, которые доказаны в Задаче 3,
106
Гл. 3. Спинорные поля
исходя из свойств 7-матриц и с учетом антикоммутации спинорных полей:
(0х) = (Х0);	(йх) = (Х750);
(^Х) = ~(Х7'М:	(07М75Х) = (Х7М750);
(07^*) =	(3.219)
В частности, если оба спинора совпадают и равны ip, то -Нетривиальными квадратичными комбинациями окажутся только (ipip), ('Ф'Уо'Ф') и (07;1750).
В Задаче 4 показано, что произвольный дираковский спинор -0 всегда можно единственным образом составить из двух майорановских спиноров 0_ и 0+:
7>=^1-75)0- + ^1+75Ж.	(3.220)
Зарядово сопряженный спинор к (3.220) оказывается равным
^С = ^(1-75Ж +^(1+75)0-,	(3.221)
откуда следует, что операция зарядового сопряжения переводит спиноры 0_ и 0+ друг в друга. В терминах 0+ дираковский лагранжиан может быть записан в виде
С — iipy^dfjip - mipip =
= ^ip-^d^iP- + |0+7/2а,Ли - гтр_1р+ +
4-полные производные. (3.222)
Как уже отмечалось ранее, этот лагранжиан является инвариантным относительно калибровочных преобразований ip —♦ е~геп1р, которые, как показано в Задаче 5, в терминах полей ip~ записываются в виде
0_	0+ ->	.	(3.223)
В принципе, можно рассмотреть и более общий случай теории, описываемой лагранжианом
С- = -p’^d^ip. + z'C+Yd^ib.. -
- , 1 - .
—тгр. ip — -^m-ip_ip.
^m+ip+ip+, (3.224)
в котором два последние слагаемые уже не будут инвариантны относительно преобразований (3.223). Как мы узнаем далее, функция
3.1. Дираковское спинорное поле
107
Лагранжа подобного типа может использоваться, например, для описания нейтрино. Соответствующие уравнения движения построены в Задаче 6 и записываются в виде
1ф,!дфФ . - rn — т Ф+ = 0;
- mil)- - rti-ip+ — 0.	(3.225)
(Заметим, что благодаря условию майорановости (3.215) при выводе уравнений движения уже нельзя считать, что ф и -ф являются независимыми полями.)
Задачи
1.	Доказать, что майорановский' спинор имеет 4 вещественные степени свободы и найти для него явное выражение.
В явном виде условие майорановости ф^ф0 = U'TC может быть записано как
/	0	0	1	0	\	/0—1	0	0	\
/ .	-	.	|	0	0	0	1	I	( .	,	.	. \	I 1 0	0	0
v1	^3	V4	Н	[	0	0	0	“	v1	v‘2	V3	О О	О	1	’
\ 0 1 О О /	\ О О -1 о /
(3.226) что приводит к системе уравнений
il)[ = - 'й; il’2 =~	(3.227)
из которой следует, что ф\ и ф? могут рассматриваться как 2 независимых комплексных числа, в то время как
/ Ф\ \
С S •	(3.228)
I Ф2 I \ ~Ф'\ /
2.	Доказать, что если Ф — майорановский спинор, то спиноры Ффф, 1~фф, Уф-зФ и ^,11,ф также являются майорановскими.
Докажем, например, что 7''-у^ф является майорановским спинором. Используя эрмитовость матрицы 75, а также тождество 7°(7м)-7° = 7м, дираковски сопряженный спинор может быть записан в виде
(7m75V0+7° = Ф ‘ 7°7()75(7а,)“7° =	(3.229)
С другой стороны, в силу майорановости ф, симметрии матрицы 75, а также тождеств С 1(7,‘)ТС = -7м и С -- 75, зарядово сопряженный спинор оказывается равным
(7"75<С = ЛЧТ 'тзСС~'ФПТС = ф^ъ (3.230)
108
Гл. 3. Спинорные поля
и совпадает с дираковски сопряженным. Это и означает выполнение условия майорановости для 7М75^.
Аналогичным образом проверяется майорановость всех остальных выражений.
3.	Доказать, что для произведений майорановских спиноров выполняются тождества (3.219).
С учетом антикоммутации спинорных полей первое тождество может быть доказано следующим образом:
V’X = ipTCx = (^ТСх)Т = -ХТСТ1р = хУС-ф = Х'ф.	(3.231)
Аналогично доказываются и другие тождества, например,
Ф^Х = -хЧОГ)Ч = ХУСС~\х^С11> = -x^V-	(3.232)
4.	Доказать, что произвольный дираковский спинор может быть единственным образом представлен в виде (3.220). В терминах V7- и V’-r найти выражения для зарядово сопряженного спинора, дираковски сопряженного спинора и дираковского лагранжиана.
Представим произвольный дираковский спинор ip в виде
0 0 V-'з ^4
(3.233)
После этого в соответствии с формулой (3.216) построим два майорановских спинора
/ -^4* \
= V-з + Фл
\ ’Л /
Принимая во внимание, что
(3.234)
/ 0	0	0	0 \	/ 1	0	0	0 \
1,.	, _	| 0	0	0	0	1,.	'0100
2 (1 +	7s) -	0	0	[	0	.	2 (1	75) - о 0 0 0	’	(3-235)
\ 0	0	0	1 /	\ о	о	о	о /
формула (3.233) может быть записана в виде
Ф = ^0 -75)’/'- + ^(1 +7зЖ-	(3.236)
При этом, поскольку все выполненные операции были однозначны, то и разложение (3.236) является однозначным.
3.1. Дираковское спинорное поле
109
Применяя к спинору ф операцию зарядового сопряжения, получаем, что
фС = ф*С = 1^_(1 - 75) + ^+(1 + 75).	(3.237)
А поскольку = 70Сгт/’* = 7°((рС)’и, то, окончательно, зарядово сопряженный спинор примет следующий вид:
V'6’= 7°(^^7°(1 - 7э) + ^^7°(!+75)) =
= |(1-75)^ + ^(1+75)^-.	(3.238)
Так же легко может быть найдено выражение для дираковски сопряженного спинора:
~ ^-(1 - 75)7° +	+ 75)7° =
= ^..(1+75) +^+(1-75).	(3.239)
Подставляя выражения для ф и ф через ф± в дираковский лагранжиан, после несложных преобразований получаем, что
£ = гф^др.ф — тфф =
= |’/'-7м(1 -Г^ф- + ^+7М(* +'У5)д11ф- -
-у(ф_(1 +75Ж + Ф+Ф -75)^-}.	(3.240)
Заметим, что некоторые слагаемые в этом выражении представляют собой полные производные, которые не влияют на уравнения движения и могут быть отброшены. Действительно, в силу тождеств (3.219)
ф+ф1'Г3д1/ф+ =	= ^дффф^ф). (3.241)
Кроме того, из тождеств (3.219) следует, что
VUI-7эК =^-(1-7эЖ.	(3.242)
Поэтому, окончательно (с точностью до полных производных), дираковский
лагранжиан может быть записан в виде
£=|ф Ф'дфф. +	- тф_ф±.	(3.243)
5.	Найти, каким образом поля ф± в формуле (3.220) меняются при калибровочных преобразованиях ф —> е~‘еоф.
но
Гл. 3. Спинорные поля
При калибровочных преобразованиях фС" = Ч’^С е ‘‘е°‘фС и, следовательно, фс = 7°(ip (Ьепфс. Вспоминая, что в соответствии с результатами Задачи 4
Ф g(1 - 75 > - + т;(1 + y5)w;
фС = -^(l + 75>- + |(1 - 75)Vi.	(3.244)
после несложных преобразований получаем, что
= -(1 - 75)7? --(1 - 75)wc (cos(eo-) - г'75	=
= е 'Зф-;
= tjU +75> -
75)7/'С —> ( cos(ra) - 275sm(oa)W; =
= е ,с<И5-0+.
(3.245)
6.	Построить уравнения движения для лагранжиана (3.224).
В данном случае при построении уравнений движения наиболее просто использовать принцип наименьшего действия. Вычисляя вариацию действия, легко получаем, что
6S = J d4 х |	+ |<5tP_7mcW + ^ф+У‘д^6'ф+ +
+	- т(5ф_ф- + ф_5ф-^ -	(3.246)
~^m- (ф_3ф-	- -'пг+^-^т +- <5V’+^+) } 
При этом вариации полей ф± и ф± уже нельзя считать независимыми в силу условий майорановости тр± = ф~С. Однако, принимая во внимание тождества (3.219), выражение для 5S с точностью до поверхностных членов можно переписать в виде
6S = У (tх (г 5фд^ф- -- гйф-'ф'д^Ф- —
—т^бф^ф + 6ф __ф+^ — т-6ф _ф — т^6ф+ф.^. (3.247)
В соответствии с принципом наименьшего действия, на уравнениях движения должно выполняться равенство 3S = 0, из которого следует, что
17'‘Зм7р- — т~ ib- - тф+ = 0;
г7м^м'0+ _ т V - т. ф. = 0.
(3.248)
3.2. Плоские волны в теории Дирака
111
3.2. Плоские волны в теории Дирака
Вернемся еще раз к рассмотрению решения свободного уравнения Дирака. Как и в Части 2.4, мы вновь будем предполагать, что система помещена в куб очень большого объема /А Тогда решение уравнения Дирака (3.10) можно переписать несколько по-другому:
х) = V ~^= (ak.auk.„e-^f+!kx ± b*k аук.ае^^~1кх), kr± v		;
(3.249) где, как обычно, шк = \/к2 ± т2. При этом мы будем предполагать, что ак,а и bk<a антикоммутируют, причем ак(2ак.а и bkabk.a — положительно определенные величины. В безмассовом случае ик,± и цк-Т, построенные в Задаче 1, являются собственными векторами оператора nS, где S — генераторы группы пространственных вращений с собственными значениями ±1/2. (Чему равна спиральность соответствующих состояний, мы выясним несколько далее.) Если для 7-матриц используется представление (3.5), то в явном виде
/о— / и I .	/о— w- \
^к,+ — ^к,— — V 2ш'к I I , Цк,— — Цк,+ — V 2u>k I Q I ,
(3.250) где w-г — собственные векторы оператора (по) (где п = к) с собственными значениями ±1 соответственно. Если единичный вектор п задается сферическими координатами it и ip, то, как показано в Задаче 1,
/ cos($/2) \	( е "f'sin(i9/2) \
W- =	• /а/оч ; W- =	/а/о\'	•	(3.251)
1 e’^sm(v/2) /	I -cos(tf/2) I
Несложно убедиться, что uk,+ и rk_ являются правыми спинорами, а ик_ и vki+ — левыми.
В массивном случае uk>± и vk,T выбираются таким образом, чтобы в системе отсчета, где частица покоится, они были бы собственными векторами оператора S3 с собственными значениями ±1/2. В Задаче 2 показано, что в системе покоя можно положить
112
Гл. 3. Спинорные поля
Для того чтобы получить выражения для этих величин в произвольной системе отсчета, достаточно совершить преобразование Лоренца, которое переводит систему покоя в рассматриваемую систему отсчета. В явном виде оно построено в Задаче 2, где также приведены выражения для '«к,- и fk,±- Заметим (Задача 3), что как в массивном, так и в безмассовом случае они удовлетворяют условиям
^k.a^k.b ” 2шк<5аЬ, ?'+++/' ~ 2шк<^аЬ,	^к.и^-к.Ь ~	(3.253)
В Задаче 4 вычислены энергия и импульс, которые соответствуют полевой конфигурации (3.249):
P,l = £ ^(<aak,a-bk,a^.a).	(3.254)
k,a=±
Это выражение позволяет объяснить аптикоммутацию спинорных полей в рамках классической теории поля. Если бы величины 6k,а были бы коммутирующими, то энергия не была бы положительно определена. Но благодаря антикоммутации (в классической теории) мы получаем, что
Р» = £	(«k.a«k.a +	,	(3.255)
k,a=±
где /+' = (a?k. к). Это равенство позволяет интерпретировать величину Uk.<+'±’“kt'!kx как волновую функцию электрона с импульсом к, а величину akaak,a — как вероятность обнаружить электрон в этом состоянии. Аналогичным образом, величина ЬкаЬка представляет собой вероятность обнаружить позитрон в состоянии с волновой функцией (см. Часть 3.1.4) {vk,aeiukt~ikx)c = (цк,«)Се~^кг^кх.
Используя рассуждения, проведенные в Части 2.4, легко убедиться, что в безмассовом случае состояния, которые отмечены индексом «+» имеют спиральность +1/2, а состояния, которые отмечены индексом « —» — спиральность —1/2. Действительно, в Части 2.4 мы видели, что для положительно частотных состояний спиральность равна собственному значению генератора группы Лоренца, который соответствует вращениям вокруг направления импульса. В Части 3.1.3 было показано, что генераторами группы Лоренца в спинорном представлении являются матрицы Тар — 1рац/2. В частности,
Т12 = i ( Н5 ° Y	(3-256)
2 I 0 <т3 J	v '
Совершенно очевидно, что собственные значения этой матрицы равны ±1/2. При этом легко видеть, что состояния с Uk,+ и Цк,- имеют соответственно положительную и отрицательную спиральность. Для отрицательно частотных состояний спиральность равна собственному
3.2. Плоские волны в теории Дирака
113
значению оператора — Т12, благодаря чему состояния с Vk.+ и Vk.-также имеют положительную и отрицательную спиральность соответственно. В этом можно убедиться и по-другому, используя равенства
uk.+ = vk.+',	и^- = цк._,	(3.257)
которые легко проверить с помощью формулы (3.150). Из них видно, что состояния vk± являются собственными векторами оператора с собственными значениями ±1/2.
Еще раз подчеркнем, что появление коэффициента 1/2 в этом выражении не является случайным, а определяется представлением группы Лоренца, по которому преобразуется рассматриваемое поле.
В массивном случае в системе отсчета, где частица покоится, аналогичные рассуждения показывают, что
5з = g («о.+«о.+ —	+ &о,+^о,+ ~ ^о, *о. У (3.258)
(При этом из всей суммы по импульсам мы оставили только слагаемые, которые соответствуют k11 = (fe°, 0,0,0).)
В Задаче 4 также вычислен электрический заряд, который соответствует полю (3.249):
q = -е («к,а«к.а + Ьк,Л,а).	(3.259)
к,а= —
При учете антикоммутации b и Ь* (в классической теории поля) это равенство означает, что электрический заряд электрона равен —е, а позитрона ---Не.
Все приведенные выше формулы в безмассовом случае будут справедливы и для киральных спиноров, если для правых спиноров положить ак,- — &к.+ = 0, а для левых — ак.+ = 6к,- = 0. Поэтому частицы, описываемые правыми спинорами, будут иметь положительную спиральность (т.е. спин направлен вдоль импульса), а их античастицы — отрицательную (т.е. направление спина противоположно направлению импульса). Частицы, описываемые левыми спинорами, имеют отрицательную спиральность, а их античастицы — положительную.
В случае, если спинор является майорановским, несложно убедиться, что его разложение по плоским волнам записывается в виде
<x) = У ’^fakaUkae-^i+ikx + a*a(Uka)Ce^t-ikx\ k.a=± V 2wkL	/
(3.260) Это равенство показывает, что в определенном смысле майорановский спинор является аналогом вещественного скалярного поля, тогда как дираковский спинор аналогичен комплексному скалярному полю.
114
Гл. 3. Спинорные поля
Задачи
1. Найти состояния с определенной спиральностью, которые удовлетворяют уравнению Дирака в безмассовом случае.
Оператор спиральности представляет собой проекцию спина на направление импульса. При этом оператором спина являются генераторы группы пространственных вращений в том представлении, где находится рассматриваемое поле. В частности, для дираковского спинорного поля этими генераторами будут iytj/2, благодаря чему (см. формулу (3.47)) оператор спиральности может быть записан в виде
nS = 1-егзкп^зк = Ц "° п°а У	(3.261)
При этом единичный вектор n = k/|k| удобно задавать с помощью сферических координат $ и р. Тогда в декартовых координатах его компоненты оказываются равными
n = (sin -t? cosy?, sin г) sin ip, cosi9).
(3.262)
Поэтому матрица па будет записываться в виде
_ ( cos & е sin i? \ П° у e’f sin &	— cos J
Достаточно очевидно, что собственные значения этой матрицы равны ±1, поскольку (па)2 = 1. Соответствующие собственные векторы также можно легко построить. Обозначая собственный вектор, соответствующий собственному значению 1, через W|_, а вектор, соответствующий собственному значению —1, через W-, получаем, что
_ ( cos($/2) \	_ ( е ic₽sin(i9/2) \
w+ “	sin(i9/2) ) ' w~ ~	-cos(i9/2) ) '	(3264)
Нам необходимо найти состояния, которые являются решениями безмассо-вого уравнения Дирака rylldllip = 0. Если представить спинор ip в виде
тр= (	(3 2б5)
где Wk = |к|, то уравнение Дирака может быть переписано в виде следующей системы уравнений:
(wk + (ka)J^i2 = 0; (wk - (ка)рУз4 = 0,	(3.266)
решением которой будут произвольные линейные комбинации столбцов
Uk. I — V 2Wk
Uk._ = У2шк
W-
0
(3.267)
(Множитель \/2wk добавлен для удобства обозначений.) Применяя к этим столбцам оператор спиральности, получаем, что спиральность первого состояния будет равна -1-1/2, а второго---1/2.
2. Для случая массивного дираковского поля построить состояния, которые являются собственными векторами оператора S3.
3.2. Плоские волны в теории Дирака
115
Рассмотрим вначале систему отсчета, в которой рассматриваемая частица покоится. Тогда в соответствии с формулой (3.12) решением уравнения Дирака будут спиноры
ф = (;~"п1	ч^е1тЛ[	,	(3.268)
\ 1^12 )	\	/
где ф|2 — произвольный двухкомпонентный столбец, не зависящий от координат. Его удобно выбирать таким образом, чтобы получившиеся состояния имели бы определенное значение проекции спина на ось z, т.е. были бы собственными векторами оператора
£) <3269>
Используя явное выражение для матрицы <73, получаем, что в системе покоя решения уравнения Дирака с определенным значением S3 можно записать в виде V» = UQ„e.~’,nl или w = t'o,ае,т1, где индекс а может пробегать значения ±,
(3.270)
Множитель у/т добавлен для того, чтобы восстановить правильную размерность.
Для того чтобы получить выражения для спинора в произвольной системе отсчета, необходимо совершить преобразование Лоренца, параметр которого определяется из условия
= (en)'lOm,	(3.271)
причем мы будем предполагать, что к° > 0. (Это равенство представляет собой закон преобразования вектора к11 от системы покоя, в которой к11 = (т. 0,0,0), к некоторой другой системе отсчета.) Несложно убедиться, что оно будет выполняться, если единственными отличными от 0 компонентами а будут
а10 = -а0' = рП\	(3.272)
где г/ — некоторая постоянная, n = k/fc, к = |к|. Действительно, в этом случае
(еа)'° - аг0 - -J-c/WV0 + ... = п‘(г/ + г;3/6 +...)= nshrp (3.273) 6
Поэтому из пространственных компонент уравнения (3.271) следует, что постоянная а определяется из условия
shn = к .	(3.274)
тп
116
Гл. 3. Спинорные поля
Нулевая компонента уравнения (3.271) также удовлетворяется, поскольку полностью аналогичным образом получается, что
(en)00 = chr? = —.	(3.275)
т
При преобразованиях Лоренца спинорное поле меняется в соответствии с формулой (3.87). Применяя эту формулу к рассматриваемому случаю, получаем, что
/ гО to , ft) ( -па 0 \ , V = cxp(-ft 7 /2)W = exp 1^- (	0 п I рй =
_ f Ch2 “ (na)sh2	°
\	0 ch^ + (na)sh|
фо, (3.276)
где через фо обозначено спинорное поле в системе покоя. При этом несложно убедиться, что
chP = /1+£Ь?
2 V 2
т + Wk 2m
, n / chn — 1 shx = \ ——
2 V 2
(3.277)
Поэтому окончательно получаем, что
Uk.a
—na
О
О \ [и>к -ml na ) у 2т J U°'‘
(3.278)
Для Vk.a справедлива точно такая же формула.
3. Убедиться в справедливости равенств (3.253) в безмассовом и массивном случаях.
В безмассовом случае первые два равенства легко проверяются непосредственной подстановкой ии.± и Vk.±- Для того чтобы убедиться в справедливости последнего равенства, необходимо заметить, что замена к —> —к соответствует тому, что $ —» тг — t), <р —> 7Г + <р. Поэтому
(3.279)
После этого равенство u^av-k.b = 0 проверяется непосредственной подстановкой.
Перейдем теперь к рассмотрению массивного случая. В системе покоя все равенства являются очевидными. При переходе в другую систему отсчета необходимо воспользоваться преобразованием (3.278). Тогда
+	- (Wk , |k' ( -na 0 \ 1	_ шк -	_ о , х /о QQm
— Uq J "Т I О I ГМО.Ь — Uq aU0.b — 2WkOab- (3.280)
I m m \ и na ) ) m '
Точно так же доказывается аналогичное равенство для v.
3.3. Решение уравнения Дирака в кулоновском потенциале 117
В случае, когда рассматривается произведение и^ап_к,ь, в формуле (3.278) для v также необходимо произвести замену п —> —п. После этого несложно видеть, что
+	+	/m + Wk Wk-m\ п	/ооо
Mk,a^-k.b — uo,avOt> ~ ( п	5	) —	(3.281)
\ zm	2т /
Тем самым мы доказали справедливость указанных равенств также и в массивном случае.
4. Найти выражения для энергии, импульса и электрического заряда для полевой конфигурации (3.249).
Как уже говорилось в Части 2.4, при вычислении энергии и импульса полевой конфигурации можно использовать выражение для канонического тензора энергии-импульса, если предполагать, что поля достаточно быстро убывают на пространственной бесконечности. В случае свободного дираковского поля (т.е. при отсутствии взаимодействия с калибровочным полем) канонический тензор энергии-импульса записывается в виде
Т'"' =	~	= {ф^д^-ф -	(3.282)
9(9^)
Поскольку на уравнениях движения функция Лагранжа равна О,
= У (РхТ^ = i У	(3.283)
Подставляя в эту формулу выражение для ф, а затем выполняя интегрирование по пространственным координатам в соответствии с формулами (2.157), получаем, что
~ / j q (ftk,aflk.aWk aUk,a “ ^k.a^k.a^ka^a ) — k,а — ±
= 52 (ak.<iak.a - bk.abk,a) .	(3.284)
k,a=±
где = (a>k, к), a Zk = Vk2 + m2 > 0. (Перекрестные слагаемые исчезают в силу равенства vZkaUk.b = 0.)
Аналогичным образом вычисляется электрический заряд, который представляет собой интеграл от нулевой компоненты тока (3.161):
Q- d3xj° = —e / д^хф^ф = -е 52 ("k.uak.n -t- bk.abk.a} 	(3.285)
J	'	k.a=i 4
3.3. Решение уравнения Дирака в кулоновском потенциале
Одним из наиболее важных приложений уравнения Дирака является исследование спектра водородоподобных атомов [11]. (В таких
118
Гл. 3. Спинорные поля
атомах ядро имеет заряд Ze, а вокруг него вращается один электрон.) Поскольку электрон описывается дираковским спинором, то при этом должны быть объяснены все основные закономерности, которые наблюдаются в спектрах таких атомов. Мы будем считать, что тяжелое неподвижное ядро создает вокруг себя электрическое поле с потенциалом
А-0.	(3.286)
Динамика электрона описывается уравнением Дирака в таком электромагнитном поле:
(d/t - ieA/j) — mjip = 0.	(3.287)
В этом параграфе мы будем записывать 7-матрицы в виде (3.170), поскольку (как мы выяснили в Части 3.1.4) в этом случае удобно сравнивать результат с нерелятивистским случаем.
Нас прежде всего будут интересовать состояния дискретного спектра с определенной энергией Е > 0. (Как мы уже говорили выше, состояния с Е < 0 соответствуют античастице — позитрону.) Для состояний с определенной энергией функция ги будет пропорциональна e~'lEt. Это означает, что она является собственным вектором оператора ido с собственным значением Е > 0. После умножения уравнения Дирака на матрицу 70 его можно эквивалентно переписать в виде
ido'ip = [70 ( - iy’di — in) - --] ip,	(3.288)
где а = е2/4тг — постоянная тонкой структуры. Правую часть этого уравнения можно рассматривать как оператор Гамильтона, действующий на волновую функцию г/>. Для того чтобы найти решения этого уравнения, вначале необходимо построить набор операторов, которые коммутируют с гамильтонианом и характеризуют состояния системы. Наиболее удобно исходить из сферической симметрии рассматриваемой задачи. Уравнение Дирака является инвариантным относительно преобразований Лоренца. При этом необходимо учитывать, что электромагнитное поле также нетривиальным образом преобразуется относительно этих преобразований. Однако для рассматриваемого сферически симметричного случая электромагнитное поле будет инвариантно относительно подгруппы группы Лоренца, которая соответствует пространственным вращениям. Поэтому при таких преобразованиях вид уравнения Дирака не должен измениться. Нам известно, как спинор меняется под действием группы Лоренца. В частности, генераторы преобразований, которые соответствуют пространственным вращениям, в силу формул (А.250) и (3.86) могут быть записаны в виде
J = L + S,
(3.289)
3.3. Решение уравнения Дирака в кулоновском потенциале
119
где оператор орбитального момента L и оператор спина S даются формулами
т г	.	1 д
L = -i r х а =	+ ze,>-—
1 J dv sin v др
„ _ i _ 1 (	0 \
&	- 2 I 0 (Ti ) '
(3.290)
В Задаче 1 явным вычислением показано, что компоненты оператора J будут коммутировать с гамильтонианом (3.288). Поскольку компоненты J представляют собой генераторы группы вращений в некотором представлении, то они, очевидно, удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям алгебры Ли su(2)
[•Л, Jj] — ISijkJk-
(3.291)
(Явная проверка этих равенств также не вызывает никаких сложностей.) Поэтому (см. Приложение А.5) состояния можно характеризовать значениями Jz и J2 = j(j + 1), где число j очевидно является полуцелым. Третья компонента полного момента J:, — rrij при этом может принимать значения от — j до j с шагом 1. Заметим, что квадрат орбитального момента L2 не коммутирует с гамильтонианом, благодаря чему состояния не могут характеризоваться квантовым числом I.
Для того чтобы выяснить, как будет выглядеть решение уравнения Дирака в случае центрально симметричного поля, вначале построим общие собственные функции операторов Jq и Jqz, где
J0 = L + |.	(3.292)
(В отличие от оператора J, который является матрицей 4x4, оператор Jo будет матрицей размера 2 х 2.) Несложно убедиться, что оператор Jo коммутирует с квадратом вектора орбитального момента, благодаря чему общие собственные функции операторов Jq и ,70, также будут являться и собственными функциями оператора L2. Поэтому такие собственные функции будут также характеризоваться величиной L2. Мы будем обозначать их через и называть шаровыми спинорами. В явном виде они построены в Задаче 2, где показано, что число / может принимать значения j — 1/2 и j + 1/2, причем
^j.j-l/2,m,
Ъ-1/2.т7-1/2
j - I /2,т, - 1 /2
120
Гл. 3. Спинорные поля
J~>/2.1Ц j —
j - ГП] + 1 у
2j — 2	1 j ! I/2.mj-l/2

(3.293)
где	— сферические функции. Их определение и основные
свойства приведены в Приложении А.5. В силу своего определения шаровые спиноры удовлетворяют равенствам
L%mj =l(l+\)Qjlmj.	(3.294)
Кроме того, для шаровых спиноров будет справедливо следующее соотношение ортогональности, доказанное в Задаче 2:
(3.295)
j dQ.0.
В Задаче 3 доказано еще одно полезное свойство шаровых спиноров:
(ero)Qj/i?n^ —i.mj'	(3.296)
Поскольку решения уравнения Дирака, которые имеют определенную энергию, также являются собственными векторами операторов J2 и J2, которые очень похожи на операторы Jq и Jqz, то их необходимо строить из шаровых спиноров где J2 = j(j + 1), Jz — rrij. Но поскольку состояния нельзя характеризовать квантовым числом I, то в верхней и нижней частях четырехкомпонентного дираковского спинора должны стоять различные двухкомпонентные шаровые спиноры. Как следствие, решение уравнения Дирака можно искать в виде
.1 _ „-iEt (	\
V~e [iRYr^^, С) )'
(3.297)
(Фазовый множитель во втором равенстве добавлен для удобства дальнейших обозначений.) В Задаче 4 показано, что после подстановки этого выражения в уравнение Дирака получается следующая система уравнений для функций R[ и R2:
R\ + l-y^Ri - (Д + т + ^)R2 = 0;
R2 + —-Д2 + (Д - т +—)/?!= 0, г	г
где было использовано обозначение
(3.298)
А' =	+ 1) + Z(Z+ 1) -
j-1- 1/2, если l = j+\/2;
—J — 1/2, если l — j-l/2.
(3.299)
3.3. Решение уравнения Дирака в кулоновском потенциале
121
Исследование этой системы уравнений проведено в Задаче 5, где показано, что квадратично интегрируемое решение существует в случае, если энергия принимает значения
/	7^ vl/2
Enj = т 1 +---------------! а .	,	(3.300)
\ (п - j - 1/2 +У(у+ 1/2)2 _Z2Q2)2;
где т — масса частицы, п - т.н. главное квантовое число, которое пробегает целые значения от 1 до бесконечности, а квантовое число j принимает значения от 1/2 до п - 1/2. При этом степень вырождения состояния (вычисленная в Задаче 6) оказывается равной 2(2j + 1), если j < п - 1 /2, и 2j + 1 = 2п, если j = п - 1/2.
Соответствующие волновые функции могут быть выражены через вырожденные гипергеометрические функции и здесь не приводятся.
Обсудим теперь более подробно энергетический спектр. Величина постоянной тонкой структуры а приближенно равна 1/137, благодаря чему величину Za можно рассматривать как малый параметр. Раскладывая по нему формулу (3.300), получаем, что
(</2 2	г	1	п-i	\
l-^4 + Z4a4 !-------------+ Л +О(а6) . (3.301)
2n2	L n3(2j+l)	8n4J	J
Первое слагаемое в этом выражении представляет собой энергию покоя, а второе — спектр водородоподобного атома, который получается при решении уравнения Шредингера. Таким образом, решение уравнения Дирака действительно воспроизводит этот хорошо известный результат. Заметим, что слагаемые, которые имеют порядок а4, можно получить по теории возмущений, если учесть спин-орбитальное взаимодействие, а также отличие кинетической энергии в релятивистском случае от mv2/2.
Однако с точки зрения теории поля наиболее интересно следующее наблюдение: из формулы (3.300) следует, что энергия одинакова для состояний с одинаковыми числами п и j. Однако, на самом деле, это не так. Например, равными оказываются энергии состояний 2,S|/2 и 2pi/2, что не согласуется с экспериментальными данными. Эксперимент показывает [13], что уровень 2sj/2 имеет большую энергию, чем уровень 2pi/2. Их разность соответствует частоте излучения 1057,85 МГц (что соответствует длине волны около 28 см). Это явление называется лэмбовским сдвигом. Оказывается, что его можно объяснить только в рамках квантовой теории поля [14]. В частности, этот факт свидетельствует о недостаточности классической теории поля для описания природы и необходимости учета квантовых поправок. Вычисление величины лэмбовского сдвига в рамках квантовой теории поля приводит к очень хорошему согласию с экспериментальными данными.
122
Гл. 3. Спинорные поля
Задачи
1.	Доказать, что оператор полного момента импульса коммутирует с гамильтонианом Дирака в кулоновском поле.
Вначале вычислим коммутатор оператора орбитального момента и оператора Гамильтона:
[Li,H] = [ -ieljkxjdk,	+у°т—— ] = е^ку°у3 дк. (3.302)
г
Коммутатор гамильтониана с оператором спина вычисляется с помощью тождества {у'', 7"} = 2т]'1’':
Г с tri Д - jk -Отд 0	/7> ,
к н\ =	, -г? 7 дт т- 7 т-----, =
4	г
= AJ7° 7JЛ, 7= -eym707jдт. (3.303)
Складывая равенства (3.302) и (3.303), убеждаемся, что оператор полного момента коммутирует с гамильтонианом. Заметим, что из приведенного вычисления следует, что по отдельности ни компоненты орбитального момента, ни компоненты оператора спина с гамильтонианом не коммутируют.
2.	Найти функции, которые являются одновременно собственными векторами операторов Jq, L2 и Jqz.
Поскольку шаровые спиноры одновременно являются собственными векторами операторов L и
= Ьг + Ц J ,	(3.304)
то в силу равенств L2Y)m = 1(1 + 1)У)т и LzYim = mYim они должны строиться из сферических функций следующим образом:
= ( ааЛт'~'/2 ") ’	(3.305)
где mj — собственное значение оператора Jqz. После этого остается только выяснить, при каких условиях такой столбец является собственным вектором оператора
Jq = L2 + + La = L2 -г ? 4- | f2	L~ ,	(3.306)
4	4	\ Ь i Lz /
где L± = Lx±iLy. Применяя этот оператор к столбцу (3.305) и учитывая тождества (А.211), получаем, что
/
|ai (l(l + 1) + 1/4 + rn}^ +a-2^(l+ 1 /2)2 - m2
4- 1) - 1/4 - mJ -t- ai J (/ + 1/2)2 - m2 I Ykmj + i/2 )
(3.307)
3.3. Решение уравнения Дирака в кулоновском потенциале
123
Как следствие, шаровой спинор будет являться собственным вектором оператора Jq, если справедливо уравнение
+ а2х/(/+ 1/2)2 - m2 = -т, +	,/(? 1 1 /2)2 - т2.	(3.308)
ai V	J	а -2 ’	J
Это уравнение имеет два решения
а-2 _ II — iiij — 1 /2 _ ai у I -г mj + 1/2 ’
а> _ Il -I mj + 1 /2 ai у I — mj + 1/2
(3.309)
которые соответствуют собственным значениям
Jo = (Z + 1 /2)(г + 3/2); J* = (z - 1 /2)(г + 1/2).
(3.310)
Этот результат находится в полном соответствии с теорией представлений алгебры Ли группы вращений, описанной в Приложении А.5, где показано, что Jo = j(j + О’ причем число j может быть либо целым, либо полуцелым. Мы фактически получили, что в рассматриваемом случае число j может принимать 2 возможных значения: j = I + 1/2 и j = I — 1/2, причем
— Q-1/2
^!-l/2.!.m_, = П-1/2
т// + т7 + 1/2 У/.т;-1/2 \
у/1 - m-j + 1/2 У),„ъ + |/2 ) '
^l-rrij- \/2 Yhmj _, /2 —	+ ТП] + 1/2 Yl.rn.j-1/2
(3.311)
При этом нормировочные постоянные q-i/2 определяются из условия
У	= 1.	(3.312)
Поскольку для сферических функций справедливо равенство (А.215). мы легко получаем, что с точностью до несущественного фазового множителя Q±i/2 = 1/v2Z + 1 . Это и означает, что шаровые спиноры записываются в виде (3.293). Заметим, что из формул (3.293) и (А.215) также следует, что
У rfQ	\/2.l.mj =0.	(3.313)
С учетом ортогональности различных сферических функций это равенство можно обобщить формулой (3.295).
3.	Доказать, что шаровые спиноры удовлетворяют равенству (3.296).
Учитывая, что ег — единичный вектор, направленный вдоль г. несложно убедиться, что в сферических координатах
cos д sirn? е1
— cos $
(3.314)
124
Гл. 3. Спинорные поля
Поэтому
(ег<т)Пу^ — |/2,mj —
( о / J + m i v	-гч>  а /Т-т, ..	\
COS fid 2.	VS-.|/2.mj-l/2 + е ^sin#J 2. J Yj..i/2.mj + l/2
 п I j + Ш I	„ I j — nij
e V Sin '&J —-J- Yj 1/2.mj —1/2 — COS# J — 	- 1/2.mj Г 1/2
(3.315)
Для того чтобы упростить это выражение, мы вначале воспользуемся явным выражением для сферических функций
Yim^.p) = —=0;Tn(cos#)e' х/2тг
(3.316)
где
	
121+1(1-my. _ 2 /2 #i+m n . 2'/! V 2 (I + my.	dx’~'n
(3.317)
Используя равенство
= —2(1 + 1)	(1 - x2)' + xf- (1 - x2)1}	(3.318)
\ dx	dx	/
и полагая в нем а — I + m + 1, получаем следующие рекуррентные соотношения для функций <Э(т(ж):
(3.319)
(Второе равенство получается с помощью тождества &/nl = (—l)m©i _m, которое доказано в Части А.5.) Из этих рекуррентных соотношений вытекает, что
(era)£lj j_ i/2.?nj
— j-i 1/2.mj  (3.320)
Умножая это равенство на (ег<т) и используя свойства матриц Паули, получаем еще одно аналогичное равенство (era)J27j+i/2,mj = ^j.j-i/2.mj- Это и доказывает требуемое утверждение.
3.3. Решение уравнения Дирака в кулоновском потенциале 125
4.	Подставить выражение (3.297) в уравнение Дирака и выяснить, к каким уравнениям для функций Я, (г) и Rdr) оно приводит.
Запишем вначале уравнение Дирака в сферических координатах. Для этого заметим, что в сферической системе координат
д = ег— - х Ъ].	(3.321)
дг г
Действительно, используя формулу для двойного векторного произведения, имеем:
е, -- -^r xL] = 4(rd) - -^[r х [г х d]l = ОГ r£	V	V
=	I(r(r9)-r29) = д. (3.322)
При вычислении произведения y'di нам потребуется величина ад, которую с помощью этого равенства, а также тождеств (7,(7, = 3ij + i.c.-p-ai.. и rL = О, можно представить в виде
ад = (ега)-------l-~£ljk<bxj Lk =
or г
= (ега)^~ - 1(аг)(Л) = (ега)(£ - -(OL)Y (3.323) ОГ	\ог г /
Если этот оператор действует на шаровой спинор Qj(mj , то
(Л) = (L + 1О)2 - L2 - ? = j(j + 1) - 1(1 + 1) - ? = -k - 1,	(3.324)
где величина к определена формулой (3.299). В этом параграфе для 7-матриц мы используем представление (3.170), в котором
1 0
0 -1 J ’
о
(3.325)
Поэтому с помощью равенств (3.323) и (3.324) уравнение Дирака (3.287) может быть переписано в виде
E + Za/r — m	0	\	.,	.г/ 0 -1 \ д
0 -E-Za/r — m ) +г(е’°)Ц 1 0
1/ 0	-1+/с\; I / 771(г)П;.(.тД^, р) \	_
г\1+А:	О J J Н	.(i), р) )	'
(3.326)
причем величина к вычисляется по числу I, которое соответствует верхнему шаровому спинору. Воспользуемся теперь равенством (3.296), которое было
126
Гл. 3. Спинорные поля
доказано в предыдущей задаче, С его помощью легко получаем, что уравнение Дирака сведется к следующей системе для функций /7,(г) и R2(r):
1| /с ,,	.	Z<\.
/?| +--------/7| — (Е + 77! + — )/72 ~ 61
г	г
1 — А"	. ...	„
4--------R^ н- (R — ш + — )R\ - о.
г	г
(3.327)
5. Найти, при каких условиях система (3.298) имеет квадратично интегрируемое решение.
Вначале найдем асимптотику решения на пространственной бесконечности. Пренебрегая всеми слагаемыми, которые пропорциональны 1/г, рассматриваемые уравнения могут быть приближенно записаны в виде
R\ - (Е + m)R2 = 0; й2 + (Е - m)Rx = 0.
(3.328)
Их решение ищется в виде Ri = Aie шг\ Я2 = А2е ~'г, где ф и Л2 -некоторые постоянные, которые должны удовлетворять системе уравнений
Приравнивая к 0 определитель этой системы и учитывая, что решение должно достаточно быстро убывать на пространственной бесконечности, получаем, что
ш = \/m2 — Е2 .
(3.330)
Подставляя это значение в систему (3.329), получаем, что Ai = А \/т + Е , Л2 = А\/т — Е, где А — некоторая постоянная.
Используя асимптотику решения, можно попытаться найти полное решение исходной системы уравнений (3.298), представляя его в виде ряда
R} =e~-rVm +Е rP0Y,aPrP^ Ri = e’^’V^E гр°^ЬРгр, (3.331)
p о
p=0
где po, ap и bp — некоторые постоянные, а ы> дается формулой (3.330). Дифференцируя эти выражения по г. получаем, что
R\ = \/т + Ее шг (aP+i (р + Ро + 1) - wapjr₽ 1 ₽0;
Р=-1
R'2 =	(&p+i(p + po + l)-w6p)rp+Po, (3.332)
3.3. Решение уравнения Дирака в кулоновском потенциале
127
где необходимо полагать а.. , --	=0. Подставив разложения функций Я и их
производных в систему (3.298), получим, что коэффициенты ар и Ър должны удовлетворять уравнениям
—ш(ар + 6р) + (р + ро + k + 2)ap+i — Доу	। Ьр . j — 0;
-ш(ар + Ьр) + (р + ро - к + 2)6p+i - Zayj™ ар_ i - 0.	(3.333)
В частности, рассмотрев эту систему уравнений при р = -1, можно определить параметр ро:
т + Е т — Е
(ро + 1 + к)ао — Zol
bo = O;
ао + (ро + 1 - к)Ь0 = 0.
(3.334)
Нетривиальное решение этой системы существует только если ее определитель равен 0, откуда следует, что
ро = \/ к2 — Z2ct2 — 1.	(3.335)
Заметим, что знак перед корнем должен быть положительным, для того чтобы решение не имело особенности при г = 0.
Если р / — 1, то из системы (3.333) можно выразить коэффициенты ар+\ и 5р+1 через ар и Ьр. При этом, если вычесть из первого уравнения этой системы второе, получится связь между ар+] и bp^i:
Р •+ Ро + к + 2 -- Za
т + Е \	(	,	Im - Е \,
------ ap+i = р + ро - к + 2 + Znx -------- bp-i. т — Е /	\	V,"1 ’ Р '
(3.336) Тем самым решение рассматриваемой системы построено с точностью до произвольной нормировочной постоянной. Однако не во всех случаях это решение будет приводить к квадратично интегрируемой волновой функции. Это будет заведомо справедливо, если вместо ряда в формулах (3.331) будут стоять конечные суммы. Другими словами, должно существовать такое число Лг is 0, что a.v^i = 0. Тогда из формулы (3.336) следует, что bjv-i — 0. Подставляя эти равенства в любое из уравнений (3.333), получаем, что предыдущие коэффициенты должны удовлетворять условию
(in = —b.N 	(3.337)
Вновь используя формулу (3.336), после несложных преобразований получаем, что такая ситуация может иметь место только если
Ро + Л' + 1 =
EZa
\/гп2 - Е2
(3.338)
128
Гл. 3. Спинорные поля
Из этого уравнения можно определить значения энергии:
(У/с2 - Z2»2
(3,339)
Определим теперь главное квантовое число п = N +j + 1/2, которое, очевидно, может пробегать значения от 1 до бесконечности. Тогда окончательное выражение для уровней энергии дискретного спектра может быть представлено в виде
(п-3- 1/2+ ^0+ 1/2)2 — Z2o2 )2/
(3.340)
В заключение заметим, что при N = 0 (или, эквивалентно, п = j + 1/2) решение системы (3.334) ао = -1>о существует только если к < 0. Поэтому в этом случае к — -j — 1/2. Это соответствует тому, что в дираковском спиноре сверху стоит шаровой спинор с I = j — 1/2. Если же N > 0, то возможны 2 варианта: к = ±(/ + 1 /2), благодаря чему I = j ± 1/2.
6. Найти степень вырождения состояния с квантовыми числами п и j.
Зафиксируем значения п и j. В соответствии с результатами предыдущей задачи, если п > j + 1/2, то возможны 2 случая: в дираковском спиноре сверху стоит шаровой спинор с I = j — 1 /2 или шаровой спинор с I = j + 1/2. При этом в каждом из этих случаев величина mj может принимать значения от — j до j. Таким образом всего мы получаем 2(2/ + 1) состояний. Если же п = j + + 1 /2, то сверху в дираковском спиноре может стоять только шаровой спинор с I = j — 1/2. Поэтому в этом случае будет только 2/ + 1 = 2п состояний.
Заметим, что данному значению п будет соответствовать
п —3/2
£ 2(2/+1) + 2п = 2п2	(3.341)
J-1/2
состояний. Если в формуле для E„j ограничиться только членами первого порядка малости по а2, то такие состояния будут иметь одинаковую энергию Е ~ т - Z2a2/2п2. Но в общем случае состояния с п различными возможными значениями / будут иметь различную энергию.
3.4. Спиноры в произвольных размерностях
3.4.1. Алгебра 7-матриц.
Для того чтобы описывать спинорные поля в произвольной размерности [15], необходимо вначале построить 7-матрицы, которые удовлетворяют условию
^ + ^." = 2^.
(3.342)
3.4. Спиноры в произвольных размерностях
129
Вид 7-матриц и свойства спинорных полей существенным образом зависят от размерности и сигнатуры пространства. *)
Вначале мы будем рассматривать случай евклидова пространства, которое имеет сигнатуру (+ + ...+), и выясним, каким образом можно построить 7-матрицы. Их индексы в евклидовом случае мы будем обозначать латинскими буквами. В случае размерности D = 2 в качестве 7-матриц можно взять
1 \
0 ) ’
Такие матрицы имеют
.2	2
У — СТ —
размер 2x2. Кроме
О -i i О
(3.343)
того, можно определить
7
= а
О 1
матрицу
О
1
73 = iy'y2 = -<т3 =
-1
О
(3.344)
1	2
которая, очевидно, антикоммутирует с матрицами 71 и 7 .
Поэтому в случае D = 3 в качестве 7-матриц можно взять 71, 72, 73, определенные в размерности D = 2. Но при переходе к следующей размерности D — 4 размер 7-матриц необходимо увеличить в два раза. То же самое справедливо в любом случае, когда мы переходим от нечетной размерности к четной. Действительно, если D четно, то D-мерные 7-матрицы 7^) можно построить из 7-матриц в на единицу меньшей размерности следующим образом (к —	— 1):
,fe _ /	0
- "/U О
—i
О
(3.345)
D _ [ О
(Матрица yD составляется из блоков, пропорциональных единичной матрице, и, конечно, имеет тот же размер, что и остальные матрицы.) В Задаче 1 показано, что определенные таким образом 7-матрицы удовлетворяют антикоммутационному соотношению
у у + у у = 25^'.
(3.346)
В четной размерности можно определить матрицу
7»~1 =iO/2^2 ,	_
(3.347)
’) Явный вид 7-матриц, которые будут построены здесь для случая произвольной размерности, для пространства Минковского несколько отличается от использованного ранее. Однако все их свойства остаются теми же самыми. Фактически здесь мы используем эквивалентные, но все же несколько другие обозначения, которые удобны для исследования общего случая.
5 К. В. Степаньянц
130
Гл. 3. Спинорные поля
(Последнее равенство доказано в Задаче 1.) Эта матрица является D-мерным аналогом матрицы 75. В Задаче 1 также проверено, что такая матрица антикоммутирует со всеми остальными 7-матрицами:
7г7°+‘ +7О+17г =0;	(7D+,)2= 1.	(3.348)
В следующей (нечетной) размерности в качестве 7-матриц можно взять 7-матрицы из предыдущей размерности и матрицу '.
Таким образом определена процедура, которая позволяет последовательно строить 7-матрицы в произвольной размерности. При этом несложно видеть, что в пространстве четной размерности D 7-матрицы имеют размер 2о/2 х 2/?/2> а
в нечетной размерности — 2(O-l)/2 х 2(О-1)/2.
Заметим, что полученные таким образом 7-матрицы являются эрмитовыми: (7г)+ = 7г. Кроме того, четные матрицы являются мнимыми антисимметричными, а нечетные — вещественными симметричными. Это позволяет определить матрицу, которая является аналогом матрицы зарядового сопряжения:
7 7'. ..7й , если D четно;
7173...7D, если D нечетно.
(3.349)
Произведение в данном случае берется по всем симметричным 7-матрицам. Как следствие (Задача 2) такая матрица будет удовлетворять условию
С^С~' = <
— (—1)°'/2(7г)т, если D четно;
(—1//->-1)/2(7г)т, если D нечетно.
(3.350)
Нам потребуются следующие свойства матрицы С, доказанные в Задаче 3:

с-1 = С+ = Ст =

если D четно;
если D нечетно.
(3.351)
Если пространство не является евклидовым, то для построения 7-матриц необходимо умножить соответствующую 7-матрицу для евклидова пространства на г в случае, если соответствующая компонента метрического тензора равна —1, и оставить прежней, если она равна 1. (В первом случае 7-матрица будет антиэрмитова, а во втором — эрмитова.) Матрицы С и 7n+I мы будем брать такими же как и в случае евклидовой сигнатуры. При этом свойство (3.350), очевидно, не будет зависеть от сигнатуры.
3.4. Спиноры в произвольных размерностях	131
В Задаче 4 показано, что если D четно, то в качестве базиса в пространстве матриц 2£)/'2 х 2D/2 можно выбрать матрицы
1, 7D+i, 7''1, 7/,|7'U-1, 7/,|/<\ уч/чу.о-1.(3.352)
где через	обозначено полностью антисимметризованное про-
изведение к 7-матриц:
_ _1 (учу‘2 ...у1*- ± перестановки).	(3.353)
Если же D нечетно, то базисом в пространстве матриц размера 2(о-1)/2 х 2<^->)/2 будет
], уу уогу ...,у^г-.-Ачп о/2.	(3.354)
Если умножить такие матрицы на С, то результат будет представлять собой либо симметричную, либо антисимметричную матрицу. В соответствии с результатом Задачи 5, в четной размерности
(„/A‘iA‘2---A't(^,(T — (_]((-O-2fc)(U-2fc-2)/8^A‘iA'2---/‘k(^-
уА‘|Ц2---Мул + 1 (jy —
(3.355)
а в нечетной размерности
(уА‘1А‘2---А‘* (ут —. (_ |((^-2/с+1)(П-2/с-1)/8^Д|А12...А‘А(^	(3 356)
Задачи
1.	Доказать, что 7-матрицы (3.345) удовлетворяют соотношению (3.346).
Доказательство будем проводить с помощью метода математической индукции по размерности пространства D. При D = 2 утверждение является очевидным. Предположим, что оно справедливо для некоторого четного D и проверим, что оно также будет выполняться в размерностях D + 1 и D + 2.
Вначале рассмотрим случай размерности 0+1. Тогда, очевидно, достаточно доказать соотношения (3.348). Поскольку матрица -yD антикоммутирует со всеми остальными 7-матрицами, а ее квадрат равен 1, то
(7I72...7D)2 = (-1)D-,(7172...7D"')2.	(3.357)
Продолжая процесс аналогичным образом, получаем, что
°,1
(iD/27‘72...7D)2 = (-1 )D/2(-1)к = (-1)d2/2 = 1,	(3.358)
5*
132
Гл. 3. Спинорные поля
так как 1J2/2 четно при четном D.
Матрица антикоммутирует со всеми 7-матрицами, кроме самой себя. При этом сама с собой она, очевидно, коммутирует. Поэтому в силу четности I) справедливо равенство
(p'V 'yD')'yk = -7fe(7‘72 • 7D)-	(3.359)
(При перестановке '.к налево знак меняется D — 1 раз.)
Таким образом в размерности D + 1 требуемое равенство доказано. В размерности D + 2 оно проверяется непосредственным перемножением матриц (3.345).
В заключение заметим, что свойства матрицы у0-1 могут быть также проверены явно с помощью второго равенства в формуле (3.347). Для того, чтобы его доказать, вновь воспользуемся методом математической индукции. При D = 2 утверждение очевидно. Предположим, что оно справедливо для некоторого четного D и докажем его для случая D + 2:
«+3 _ -(«-2)/2
7(D + 2) “ 1
I 0	-г(7(^')2
что и доказывает требуемое утверждение.
*7(О)72О)	|	2 ° D
0	_?'7(D)7(d-2)  •  7(7О)
-1 о \
0 1	’
(3.360)
2.	Убедиться, что матрица зарядового сопряжения, определенная формулой (3.349), удовлетворяет одному из равенств (3.350).
Матрица С была определена как произведение всех симметричных 7-матриц. Поэтому в четной размерности при умножении на некоторую антисимметричную 7-матрицу
= (-1)d/27"C = -(-1 )с,/2(7м)тС.	(3.361)
Если же матрица 7Р симметрична, то при последовательных перестановках этой матрицы справа налево нам придется один раз переставить ее саму с собой. Такая перестановка, очевидно, не меняет знака. Поэтому в этом случае
CS" = -(-1)D/Vc = -(-1)Р/2(7м)ТС.	(3.362)
Случай нечетной размерности рассматривается аналогично.
3.	Доказать тождества (3.351).
Произведение любой 7-матрицы на ее эрмитово сопряженную всегда равно 1. В евклидовом случае это следует из эрмитовости 7-матриц и антикомму-тационного соотношения (3.346). (В случае произвольной сигнатуры 7-матрица может отличаться от евклидовой на г, но тогда сопряженная матрица будет отличаться от нее на —г.) Поскольку при эрмитовом сопряжении порядок матриц меняется, то, например, в четной размерности
С+С = (7П“‘)+  •  (73)' (71) Н7 73 •  • 7D~' = 1-	(3.363)
3.4. Спиноры в произвольных размерностях
133
Поэтому С+ = С”1. Матрица С в пространстве с произвольной сигнатурой по определению равна матрице С в евклидовом пространстве, где она равна некоторому произведению вещественных матриц. Это означает, что и в общем случае матрица С вещественна, а, следовательно, С~ = СТ.
Вычислим теперь матрицу Ст. Поскольку матрица С получается перемножением симметричных 7-матриц, то, например, в четной размерности
Z-,T D-1	3 1 I ,\D/2-\ 1 D-1	3
С = 7	...7 7 = (-1)	7 7	"! =
D/2 I
= ... = (-1) ™ = ! тС= (-l)D(D-2)/8C.	(3.364)
Случай нечетной размерности получается при замене D на D + 1.
4.	Доказать, что матрицы (3.352) и (3.354) образуют базис в пространстве матриц соответствующего размера.
Вначале необходимо вычислить число рассматриваемых матриц. Поскольку антисимметричное поле ранга к имеет Ср различных компонент, а Ср = С^~к, то число матриц (3.352) будет равно
^2 С„ = (1 + 1)D = 2D = (2D/2)2	(3.365)
г-=о
и, действительно, совпадает с размерностью пространства матриц размера 2d/2 х 2d^2. Аналогичным образом, в случае нечетной размерности D число матриц (3.354) будет равно
(D-IJ/2	D
ZL Со = j^TCo = 2°“‘= (2(О"|)/2)2	(3.366)
к=0	к=0
и вновь совпадает с размерностью пространства соответствующих матриц (размера 2(w-1)/2 х 2(D-i)/2).
Поэтому остается только доказать линейную независимость рассматриваемых матриц. Проводя рассуждения, аналогичные Задаче 5 Части 3.1.2, несложно видеть, что для этого достаточно убедиться, что для любых двух различных матриц А и В из рассматриваемого набора
tr(AB) = 0.	(3.367)
Это проверяется следующим образом. Величина
(3.368)
очевидно, является тензором, инвариантным относительно преобразований Лоренца. Поэтому он должен представлять собой некоторое произведение метрических тензоров, антисимметричное по индексам /г, ...рр и vi ...vq. Очевидно, что такое произведение можно составить только в том случае, если р = <?, а след пропорционален
± перестановки индексов щ/7 .../7	(3.369)
134	Гл. 3. Спинорные поля	_________________
и отличен от 0 только в том случае, если наборы индексов совпадают друг с другом с точностью до перестановки. Аналогичным образом, в четной размерности рассматривается след
(3.370)
Наконец, в четной размерности след
tr(7MiM2...pP7H^-.--,7.w+i)	(3.371)
представляет собой инвариантный псевдотепзор, который отличен от 0 только если р + q Du пропорционален д-символу. Однако в рассматриваемом случае р < D/2, q < D/2, причем равенство может быть только одно. Поэтому р + + q < D, и такой след для элементов базиса (3.352) всегда будет равен 0.
Таким образом, доказана ортогональность, а, следовательно, и линейная независимость рассматриваемых наборов матриц.
5.	Доказать свойства симметрии (3.355) и (3.356).
Рассмотрим вначале случай четной размерности. Используя доказанное в Задаче 3 равенство
С~' = С~ = Ст = (-1)W("“2)/8C.	(3.372)
получаем, что
(7МС)Т - CT(o'J)T = (-l)D/2-‘C' C'-fCT' = (- 1 )(O+4)(D-2)/87mC (3 373)
Если квадратными скобками обозначить антисимметризацию по индексам р.\р-2 ...рк, то из предыдущего равенства следует, что
= ^СС-'^СС- '	=
= (_1)fc<D-'i)(D-2)/87['^C(C“l)T ...^СДС	(3.374)
Далее нужно использовать формулу (3.372) и восстановить исходный порядок матриц. В результате получится, что
^7И1М-2---И/г(7^Т —
= (_l)fc(D+4)(O 2)/8(_1)-(fc-l)O(U-2)/8(_1)fc(/>-l)/27,11,l2...,u.(7 _
— (_ [ yD	(j	(3 375)
Аналогичным образом можно рассмотреть случай, когда рассматриваемое выражение также содержит матрицу 7D|1. При этом необходимо учитывать, что 7Д+1 антикоммутирует со всеми 7-матрицами, а матрица зарядового сопряжения в четной размерности представляет собой произведение D/2 7-матриц.
3.4. Спиноры в произвольных размерностях	135
Итак, вначале переносим симметричную матрицу ’1 налево и выполняем транспонирование, а затем используем уже полученный ранее результат:
_	1 у	“2)/8 _
= (_1)(O-2fc)/2(_1)(D-2k)(D-2k-2)/8yI|M2...Mfc^D+lc, =
_ (_ 1 у D~2k)(D~2k+2)/8yq,i2...M*. ^,D+1 (J	(3 376)
Если размерность D нечетна, то
C~ = CT = (-1)(/У“|)/8С,	(3.377)
а матрица С представляет собой произведение (D + 1)/2 матриц. Поэтому в случае нечетной размерности требуемое утверждение получается из формулы (3.375) заменой D на D + 1:
42   /-‘А- Т _ Г ]\(/2-2fe+l )(W--2fc- 1)/8 Iij H2-.-Mfc (J	/3 37g)
3.4.2. Майорановские и вейлевские спиноры.
Из результатов предыдущей части очевидно, что в пространстве четной размерности D спиноры имеют 2D^ комплексных компонент, а в пространстве нечетной размерности — 2(р_|)/2 комплексных компонент. Для того чтобы записать функцию Лагранжа для спинорного поля, необходимо определить вначале операцию дираковского сопряжения:
ф = ф+А,	(3.379)
где А — некоторая матрица. В Задаче 1 показано, что лагранжиан
£ =	- сгтф>у,	(3.380)
где Ci — некоторые постоянные, такие что |с,| = 1, будет инвариантен относительно преобразований Лоренца, если матрица А удовлетворяет условию Д7МД_| — ±(7М)Х. Такую матрицу можно построить следующим образом:
Л = Р[7М,	(3.381)
эры
причем произведение берется по всем эрмитовым матрицам. В соответствии с результатами предыдущей части, число таких матриц равно числу положительных собственных значений метрического тензора D+. В Задаче 2 показано, что
(7'')+=-(-1)d-A7''A-1.	(3.382)
136
Гл. 3. Спинорные поля
Кроме того, в Задаче 2 доказаны следующие свойства матрицы А:
Л-1 = Л+ = (-l)'9-^-1’/^; А* А = (-l)fc(-i)Di (£lr-|)/2j
(3.383)
где к — число антисимметричных 7-матриц, которые входят в произведение (3.381). Используя эти свойства, можно доказать, что лагранжиан (3.380) является вещественным, если (Задача 3)
сГ = (_1)1М1Л+1)/2С|.
О+(О_-1)/2Г2_
(3.384)
Заметим, что если пространство имеет целую размерность, то можно так же построить матрицу
Ло — <
А, A^d+'
если нечетно;
если D+ четно,
(3.385)
которая, очевидно, будет удовлетворять условию
(7'Т = Ло7%-'.
(3.386)
Поскольку матрица ^D~] существует только в пространствах четной размерности, то и вейлевские спиноры могут существовать для любого четного D. Действительно, по определению вейлевский спинор представляет собой собственный вектор матрицы 7°“' и в силу равенства (7/9'1)2 = 1 может быть получен из произвольного дираковского спинора действием одного из киральных проекторов:
^, = ^(1-7Р+'Ж ^г = ^(1+7/?+>.	(3.387)
Подставляя в эти равенства явное выражение для матрицы 7/?+1 (формула (3.347)), получаем, что у левого спинора половина верхних компонент равна 0, а у правого — половина нижних. Поэтому вейлевский спинор имеет в два раза меньше компонент, чем дираковский.
Выясним теперь, в каких случаях можно построить майорановский спинор. По определению майорановский спинор совпадает со своим зарядово сопряженным, т.е. ф — фс, причем -фс мы будем строить по аналогии с формулой (3.150):
фс = Хф*,	(3.388)
где через X обозначена некоторая матрица, которую необходимо построить. При этом условия, которые определяют эту матрицу, формулируются следующим образом:
1. В силу условия майорановости (фс)с = фс — ф.
3.4. Спиноры в произвольных размерностях
137
2. Зарядово сопряженный спинор грс при преобразованиях Лоренца меняется так же, как и ^9.
В Задаче 4 показано, что следствием этих условий являются следующие тождества, которым должна удовлетворять матрица X:
Х*Х = 1;	X-'/X = ±(7'i)’,	(3.389)
причем во втором равенстве знак должен быть одинаков для всех 7-матриц. Оказывается, что возможность одновременного выполнения этих двух условий существенно зависит от размерности D и сигнатуры пространства. При этом сигнатура определяется числом положительных собственных значений метрического тензора D+. Через = D - D- мы будем обозначать число отрицательных собственных
значений метрического тензора. В Задаче 5 показано, что условия (3.389) могут быть выполнены в следующих случаях:
1). D — 2D- — 0, 1,2. 7 (mod 8). (а — b (mod с) означает, что а = b + сп, где п — произвольное целое число.) Тогда матрица X записывается в виде Х\ = АС.
2). D — 2D+ = 0, 6 (mod 8), а матрица X равна X? = AC'yD~l.
В пространствах с D - 2D+ = 3,4,5 (mod 8) майорановские спиноры построить нельзя.
В Задаче 5 также показано, что условие существования майорановского спинора одинаково для пространств с D+ = d; D- — D — d и D+ = D - d; D- = d, а в Задаче 6 проверено, что условие майорано-вости С = Хч1>* уменьшает число степеней свободы у майорановского спинора в два раза по сравнению с дираковским. Если спинор одновременно является майорановским и вейлевским, то
у; = ACv* = ±AC^d+[tD.	(3.390)
Поэтому как матрица Х\, так и матрица Х%, должны удовлетворять условиям (3.389). Очевидно, что это оказывается возможным только в пространствах размерности D -- 2D+ = 0(mod8). Заметим, что поскольку матрица А есть произведение D+ 7-матриц, а матрица С — произведение D/2 7-матриц, то при D — 2D+ = 0(mod8) матрицы 7°+1 и АС коммутируют, что, как несложно убедиться, гарантирует совместность условий киральности и майорановости.
В Задаче 6 показано, что каждое из условий, киральность и май-орановость, уменьшает число степеней свободы в два раза. Поэтому майораново-вейлевский спинор будет иметь в 4 раза меньше степеней свободы, чем исходный дираковский спинор.
Минимальное число степеней свободы (вне массовой поверхности) и тип соответствующего спинора приведены в таблице 3.3. При этом тип спинора обозначается следующим образом: (Af) — майорановский спинор, (IV) — вейлевский спинор, (MW) — одновременно майорановский и вейлевский спинор, a	— майорановский или вейлев-
ский спиноры (майорановский и вейлевский спиноры в данном случае
138
Гл. 3. Спинорные поля
различны). Наиболее интересный физический случай D = 4, Dj. = 1 выделен жирным шрифтом. В соответствии с результатом Задачи 6 при использовании уравнений движения число степеней свободы спинора уменьшается еще в два раза.
Таблица 3.3 Минимальное число степеней свободы спинорного поля вне массовой поверхности в зависимости от размерности и сигнатуры
D\D.j	0	1	2	3	4	5	6
1	1 (-W)						
2	р(Ш) (ЛГ)	1(MW)					
3	4	2(аг)					
4	4(w)		2(м»’)				
5	8	8	4(М)				
6	8(Ш) °(М)	8(w)	о(Ш) 8(Л/)	4( mw)			
7	8(М)	16	16	8(ап			
8	8(м ш)	i6m 1D(M)	16(И-)	16(’V) 1D(M)	8(л/ iv)		
9	16(.W)	1 6(ЛГ)	32	32	1 6( А/)		
10	QOW OZ(M)	16(Л/Ш)	ОфЛГ)	32(iv)	О?(^) OZ(A/)	16(AfW)	
11	64	32(M)	32(л/)	64	64	32 (,v)	
12	64(iv)	64 (vv)	32 (.у iv)	64(и/) ОТ(М)	64 (VV)	64(VV}	32(a/iv)
13	128	128	64(л/)	64(м)	128	128	64 (,W)
Задачи
1.	Выяснить, каким условиям должна удовлетворять матрица А для того, чтобы лагранжиан (3.380) был бы инвариантен относительно преобразований Лоренца.
Для инвариантности функции Лагранжа, в частности, необходимо, чтобы величина фф была скаляром. Поэтому при преобразованиях Лоренца поле ф должно изменяться как
ф —> ф охр
1
4

(3.391)
(В Части 3.1.3 было доказано, что этот закон преобразования гарантирует инвариантность рассматриваемой функции Лагранжа.) С другой стороны,
3.4. Спиноры в произвольных размерностях.	139
закон преобразования поля у можно получить непосредственно из закона преобразования поля i!r.
ip ilC АЛ 1 охр (	А = wA' 1 охр ( |а„а(7'‘3р)л. (3.392)
Сравнивая это выражение с формулой (3.391), получаем, что матрица А должна удовлетворять условию А ~‘(7М")1 Л = —рм". (Чтобы убедиться в этом, необходимо разложить экспоненту в ряд по а.) Как следствие, получается, что
Л“'(7'‘)'Л =7М или Л-1 (7м)' Л—7м,	(3.393)
поскольку в этом случае
Л-‘(7^Л - 7"7М)+Л = Л-’^ТАЛ-’^Г^ - (/т ^и) =	(3.394)
2.	Доказать равенства (3.382) и (3.383).
По построению р-матрицы являются либо эрмитовыми, либо антиэрмито-выми. При этом число эрмитовых матриц равно числу положительных собственных значений метрического тензора £4. Поэтому в случае эрмитовых 7м
Л7М = (- 1)Р) _17мА = -(-1)2?ч (7м)" А,	(3.395)
а в случае антиэрмитовых
Л7М = (- 1 )'^7М А = -(-1)d~(7m)“A.	(3.396)
Квадрат любой эрмитовой 7-матрицы равен 1 в силу формулы 7мр" + 7"рм = 2г/м", поскольку эрмитовы 7-матрицы соответствуют положительным собственным значениям метрического тензора. Поэтому, принимая во внимание, что как при обращении, так и при эрмитовом сопряжении произведения матриц их порядок заменяется на обратный, получаем равенство А+ = Л-1.
Поскольку 7-матрицы, входящие в матрицу А, эрмитовы, то симметричные матрицы являются вещественными, а антисимметричные — чисто мнимыми. Поэтому при комплексном сопряжении к антисимметричных матриц, входящих в Л, изменят знак:
Л* = (-1)/'Л.	(3.397)
Для того чтобы вычислить квадрат матрицы Л, мы будем действовать по аналогии с Задачей 1 предыдущей части, где вычислялся квадрат матрицы 7°*'. Единственным отличием будет число перемножаемых 7-матриц. Поэтому
о+_- 1
Л2 = (-1)	' = (-1)D-(D-“|)/2.	(3.398)
Как следствие,
А* А = (-()fc(-l)D-lu--4/2
(3.399)
140
Гл. 3. Спинорные поля
3.	Доказать, что лагранжиан (3.380) является вещественным, если выполняются условия (3.384).
Рассмотрим вначале первое слагаемое лагранжиана (3.380). Поскольку А+ = Л-1 = (- 1)D+<D+_1V2/1, то, используя формулу (3.382) и совершая интегрирование по частям, получаем, что
У dDa:(V>7M<9MV>)* = J dDx A-.11-= J'dDxdlli/j+('yIJ')+А+^ф =
= У dDxd^+A+A(^)+A~[^ = (-i)D+(D+-i)/2 у dDx^d^.
(3.400)
Поэтому если с]1 = ( —1)D+(D~ + I^2ci, то это слагаемое оказывается вещественным, Аналогичным образом вещественность массового слагаемого следует из равенства
(ф-ф)* = (/ф~ AiiT)+ — A~iii = (—(3.401)
4.	Найти, каким условиям должна удовлетворять матрица X в формуле (3.388) для того, чтобы существовали майорановские спиноры.
Для произвольного майорановского спинора ijj должно выполняться условие
= (^с)с = Х(Х1ру = ХХ’ф.	(3.402)
Как следствие, должно быть справедливо равенство XX* — 1.
Кроме того, необходимо, чтобы зарядово сопряженный спинор при преобразованиях Лоренца менялся бы так же, как и обычный спинор. Поскольку при преобразованиях Лоренца
фс = Х^* XexpQan3(7Qfl)^X“lA'V'*, (3.403) матрица X также должна удовлетворять условию ХУУХ-1 = 7м" или, эквивалентно,
(7м)* = ±Х~-1У1Х.	(3.404)
5,	Найти, в пространствах каких размерностей и сигнатур можно построить майорановские спиноры.
Поскольку (7м)* = (?+)т, то, принимая во внимание формулы (3.382) и (3.350), можно предположить, что матрица X представляется в виде
X = АС.	(3.405)
Очевидно, что в этом случае будет удовлетворяться второе из равенств (3.389). Таким образом, остается проверить только первое из этих равенств: X*X =
3.4. Спиноры в произвольных размерностях
141
= 1. Для этого вначале рассмотрим случай четной размерности пространства-времени. Если к эрмитовых 7-матриц являются антисимметричными, то из формулы (3.350) следует, что
АС = (—l)fc(—1)d+(d/2+i)CA.	(3.406)
(Множитель (— l)D/2+' получается при перестановке каждой 7-матрицы с С, причем число таких перестановок равно D+. Множитель (— l)fc возникает при последующем транспонировании к антисимметричных 7-матриц, входящих в определение матрицы А.) Поэтому, используя формулы (3.351) и (3.383), получаем, что
Х*Х = А*С*АС = (-l)fc(-i)D+(D/2+‘) А*С*СА =
_ (_ ] )О(О-2)/8*Щ(О- —1)/2	(3 4Q7)
Удобно представить в виде D+ = D/2 — п, где п — некоторое целое число. Тогда (с учетом четности D) предыдущая формула может быть эквивалентно переписана в виде
Х*Х = (_i)-"("-')/2 = 1,	(3.408)
откуда следует, что п = 0,1 (mod4). Поэтому матрицу (3.405) можно использовать для определения майорановского спинора только если
D - 2D+ = 0,2 (mod 8).	(3.409)
Однако, в пространствах четной размерности можно выбрать матрицу X несколько по-другому:
Х = АС^'.	(3.410)
Несложно видеть, что в этом случае второе из равенств (3.389) также будет автоматически выполняться. Но в этом случае несложно убедиться, что
Х*Х = ( - l)D(D~2.'/8 + D+ (°-- 1 )/2+О+ + 0/2 _
_ (_1)О(О-2)/8^О_(О_-1)/2 _	_ j
(3.411)
Как следствие, в этом случае п = 0,3 (mod 4), благодаря чему
D - 2D+ = 0,6 (mod 8).
(3.412)
Заметим, что если майорановский спинор существует в пространстве с сигнатурой, задаваемой числами D+ и D., то он будет существовать и в пространстве с сигнатурой противоположного знака. Действительно, при замене D+ <-> D- условие применимости матрицы Х\ переходит в условие применимости матрицы Х2 и обратно.
В случае, если пространство-время имеет нечетное число измерений, то аналогичным образом получаем, что
АС = (~l)fc(-l)D4 (D“’)/2CA.
(3.413)
142 Гл. 3. Спинорные поля
Как следствие, для матрицы (3.405) будет справедливо равенство
XX' = А*С*АС = ( -l)fc(-l)D-(D"l)/24*C*C4 =
= (—	1)°- D-/2.	(3.414)
Если представить D+ в виде /?_ = {D — 2п — 1)/2, где п — некоторое целое число, то из первой формулы в (3.389) следует, что
- (-I)"!"4')/2 = L	(3.415)
Поэтому п = 0,3 (mod 4), и майорановский спинор можно определить в случае
D - 27?+ = 1,7 (mod 8).	(3.416)
Поскольку в пространствах нечетной размерности нельзя определить матрицу то матрицы (3.410) также не существует.
Заметим, что формула (3.416) симметрична относительно замены
<-» D-, благодаря чему условие существования майорановского спинора не меняется при одновременном изменении знаков всех компонент метрического тензора.
6. Сравнить число степеней свободы у спиноров различных типов. Как изменится число степеней свободы при использовании уравнений движения?
Предположим, что имеются некоторые проекционные операторы Р±, которые удовлетворяют условиям
P+-tF- = l; PJ = P+; PJ = P FCP =p_f\.=Q.	(3.417)
Кроме того, мы будем предполагать существование некоторого оператора В, такого что В2 = ±1,
Р+В = ВР-, РВ=ВР+.	(3.418)
Рассмотрим теперь спинор ф, который принадлежит некоторому линейному пространству Ф, и наложим на него дополнительное условие
Р+<р = 0.	(3.419)
Линейное пространство таких спиноров мы будем обозначать через Ф_, а пространство спиноров, удовлетворяющих условию Р ф = 0, — через Ф_. Равенства (3.417) позволяют представить произвольный спинор ф в виде
ф = Р..Ф + Р-ф,	(3.420)
причем очевидно, что первое слагаемое принадлежит Ф+, а второе — Ф_. В силу существования оператора В Vi?., ё Ф| спинор /?Ф+ £Ф и аналогичным образом V ф- ё Ф_. спинор Вф ё Ф_. Поскольку в силу условия В2 = ztl оператор В, очевидно, невырожден, то с его помощью можно установить взаимно однозначное соответствие между пространствами Ф+ и Ф_. Как следствие, размерности этих пространств совпадают, а значит, размерность пространства
3.4. Список литературы
143
ф4 в два раза меньше, чем размерность линейного пространства спиноров Ф. Это означает, что условие (3.419) уменьшает число степеней свободы в два раза.
Построим теперь проекционные операторы (3.417), а также оператор В для различных условий связи, которые накладываются на спиноры:
1)	условие киральности:
Р± = 1(1 ±7°-');	В = 7';	(3.421)
2)	условие майорановости:
Р1 = 1(1±Х-*);	В = i,	(3.422)
где * обозначает операцию комплексного сопряжения. Действительно, тогда
1(1 ± X • *)(Д/>) = 1(гф т W*) = jl(l Т X • *)ф;	(3.423)
3)	уравнения движения в безмассовом случае (А:2 = 0). Предполагаем, что kD ф 0. Тогда, если = (к,/сц>), где через к обозначены первые D — 1 компонент вектора кц, то
Рх = 1(1 ±±7°ук), В = 7в;	(3.424)
4)	уравнения движения в массивном случае (к2 = т2):
Р- = 1(1 ± — 7РА:„), В = ^"pv, если k^pv = 0, р2 = ±1.	(3.425)
2 т
Во всех случаях можно легко убедиться в выполнении условий, которые накладываются на эти операторы. Поэтому каждое из перечисленных выше ограничений уменьшает число степеней свободы спинорного поля в два раза.
Список литературы
1.	Р.А.М. Dirac. Proc.Roy.Soc. (London) А 117, (1928), 610; А 118, (1928), 351.
2.	W. Pauli. Z.Physik 43, (1927), 601.
3.	A. Lande. Z.Physik 5, (1921), 231; 15, (1923), 189; 19, (1923), 112.
4.	G.E. Uhlenbeck, S. Goudsmith. Naturwiss. 13, (1925), 953; Nature 117, (1926), 264.
5.	P.A.M. Dirac. Proc.Roy.Soc. 126, (1930), 360; 133, (1931), 60.
6.	C.D. Anderson. Science 76, (1932), 238; Phys.Rev. 43, (1933), 491.
7.	G. Liiders. Kong. Dansk. Vid. Selskab, Mat-Fys. Medd. 28, (1954), 5; Ann. Phys. 2, (1957), 1;
W. Pauli. Nuovo Cim. 6, (1957), 204.
8.	Квантовые аномалии были открыты в работах
S.L. Adler. Phys.Rev. 177, (1969), 2426;
J.S. Bell, R. Jackiw. Nuovo Cim. 60 A, (1969), 47.
144
Гл. 3. Спинорные поля
Детальному исследованию вопросов, связанных с аномалиями, посвящена монография
R. Bertlmann. Anomalies in quantum field theory, Clarendon press, Oxford, 1996.
9.	H. Weyl. Z.Physik 56, (1929), 330.
10.	E. Majorana. Nuovo Cim. 14, (1937), 171.
ll.	C.G. Darwin. Proc.Roy.Soc. (London) A118, (1928), 654; A 120, (1928), 621.
W. Gordon. Z.Physik. 48, (1928), 11.
12.	Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Теоретическая физика: Учеб, пособие, т.4. Квантовая электродинамика, Москва, Физматлит, 2002.
13.	W.A. Lamb, R.C. Retherford. Phys.Rev. 72, (1947), 241; 81, (1951), 222; 86, (1952), 1014.
14.	Е.Е. Солпитер. УФЫ 51, (1953), 115.
15.	Описание спиноров и 7-матриц в случае пространств различных измерений, а также некоторых их приложений, можно найти в обзоре M.F. Sohnius. Phys.Rept. 128, (1985), 39.
Глава 4
НЕАБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ
4.1. Поля Янга-Миллса
4.1.1. Построение неабелевых калибровочных полей.
Поля Янга-Миллса [1] представляют собой некоторое обобщение калибровочного поля А^, с которым мы встречались при изучении электродинамики. В Части 2.1 было постулировано требование инвариантности действия относительно локальных калибровочных преобразований. Исходя из него были построены ковариантная производная и лагранжиан взаимодействия поля .4,, с комплексным скалярным полем ф.
Обобщим данный подход на случай, когда имеется п комплексных скалярных полей д;. Удобно записывать их в виде столбца
Ф- = (о-)т-( о; ф*2 ... с )•	(4.D
Наиболее естественное выражение для функции Лагранжа в матричных обозначениях записывается в виде
У(ф'ф)	(4.2)
и является инвариантным относительно глобальных калибровочных преобразований
ф+ ф^+, если	(4.3)
В данном случае о; щ(а?) представляет собой некоторую матрицу размера п х п, одинаковую во всех точках пространства. Условие 1 означает, что матрица щ является унитарной, т.е. принадлежит группе U(n). (Основные сведения о группах Ли и соответствующих им алгебрах Ли приводятся в Приложении. В этой части мы будем часто использовать описанные в нем результаты.) Далее, для простоты, будем предполагать, что det uj = 1, т.е. о; е SU(n). Общий случай будет проанализирован в следующей части.
146 Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
Однако лагранжиан (4.2) не является инвариантным относительно локальных преобразований
ф ш(х)0; ф' —> ф * ш-1 (ж).	(4.4)
Попытаемся добиться локальной калибровочной инвариантности с помощью замены обычных производных на ковариантные. Будем считать, что
Т>(1Ф = д(1ф + А^ф,	(4.5)
где — некоторая матрица размера п х п. По аналогии с электродинамикой предположим, что при локальных калибровочных преобразованиях
Т\ф+	(4.6)
где, как обычно, используется обозначение РМФ+ = (Рмф) + . Очевидно, что в этом случае лагранжиан
= РмфьР^ф-П(ф^ф)	(4.7)
будет инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований.
В Задаче 1 показано, что для выполнения условия (4.6) необходимо, чтобы
А„ —> А' =	1 + сидиса~}.	(4.8)
Если матрица щ является элементом некоторой группы Ли (7, которую мы будем предполагать компактной, то, как было показано в Приложении А.2, величина	принадлежит соответствующей
алгебре Ли А. Например, в случае если щ е 5(7(п) это означает, что идрР~1 является бесследовой антиэрмитовой матрицей. Поэтому естественно предположить, что Afl также является элементом алгебры Ли А. Правильность этого предположения подтверждается тем, что если Afl е А, то и шА^ 1 G А (см. Приложение А.2). Таким образом, если Лр, е А, то и A'lt G А.
Поскольку алгебра Ли представляет собой некоторое линейное пространство, то любой ее элемент может быть разложен по базису из генераторов ta как
А,, - ieA“ta,	(4.9)
где множитель е введен для удобства дальнейших обозначений. Поскольку калибровочная группа является компактной, то (см. Приложение А.2) генераторы tn являются эрмитовыми, а для нормировки
4.1. Поля Янга-Миллса
147
генераторов фундаментального представления можно использовать условие
tr(ia^) =	(4.10)
Благодаря этому условию можно не делать различия между верхними и нижними индексами, нумерующими генераторы. В дальнейшем мы всегда будем это предполагать.
Поля (или же матричное поле А/;) называются полями Янга-Миллса или калибровочными полями.
Как и в случае электродинамики, для AfI необходимо построить тензор поля и функцию Лагранжа. При этом важно, чтобы полученный лагранжиан был инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований (4.8).
Заметим, что абелево выражение для тензора поля (1.7) в пеабеле-вом случае не может быть использовано, поскольку закон его преобразования достаточно сложен. Значительно более удобной оказывается величина
F^v = d^A^ d,,Ац -г [А^, Av\.	(4.11)
Построенный таким образом тензор поля удовлетворяет тождеству Бьянки (проверено в Задаче 2)
+ [A^F^] = 0, где F'11'=l-s^n:jFa3 (4.12)
и (Задача 3) при локальных калибровочных преобразованиях меняется по закону
t—* cot	(4.13)
Тензор поля (4.11) с очевидностью принадлежит алгебре Ли А и может быть разложен по генераторам как
F^ = zeF(’Aa,	(4.14)
где (Задача 4)
(4.15)
Если для нормировки генераторов используется условие (4.10), то можно считать, что индексы, соответствующие калибровочной группе, поднимаются и опускаются с помощью символа Кронекера, благодаря чему никакой разницы между верхними и нижними индексами нет.
Функция Лагранжа для свободного поля Янга-Миллса строится из тензора поля F^ как
£йм-^1г^--^(^)2	(4.16)
148	Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
и, с очевидностью, является калибровочно инвариантной (Задача 3).
Поэтому лагранжиан, описывающий взаимодействие поля Янга-Миллса со скалярным полем, окончательно запишется в виде
£ =	=	У(ф+ф).	(4.17)
Как показано в Задаче 5, при варьировании лагранжиана (4.17) получаются уравнения движения
Ф + У(ф+ф) ф = 0;	(4.18)
= -e2ta^taP^-P^"t^.	(4.19)
Из последнего уравнения автоматически следует (Задача 5) уравнение непрерывности
V = °-	(420)
Существенное отличие (4.18), (4.19) и (4.20) от соответствующих абелевых уравнений (2.14), (2.15) и (2.16) заключается в том, что в уравнениях Максвелла и в уравнении непрерывности обычные производные заменяются на ковариантные.
В заключение этой части мы отметим, что лагранжиан (4.17) является инвариантным (Задача 6) относительно преобразований С, Р и Т (по отдельности), которые действуют следующим образом:
Р : ф(1, х)	ф(ф, -х);
Т : </>(£, х) —> ф*(-1, х);
С : d(t,х)	ф*(£х);
Аф,х) А^А^.-х);
AM(f, х) —> AMI/(AI/(i,-х))*;
Аф,х) (Аф,х))*.	(4.21)
При этом комплексное сопряжение действует на матрицу, которая является элементом алгебры Ли калибровочной группы. Поскольку в случае электродинамики элементом алгебры Ли калибровочной группы [J(1) является величина — ieAfl, то приведенные выше равенства для поля Ам сводятся к преобразованиям (3.156) и (3.157).
Задачи
1.	Найти закон преобразования калибровочного поля если известно, что ковариантная производная Р^ф = д^ф + А^ф преобразуется по закону Р^ф ш(х)Рцф.
Из закона преобразования ковариантной производной получаем, что
(Р,,®)' = др.(ыф') + А'^шф =	4- Ацф)	(4.22)
4.1. Поля Янга-Миллса
149
и, следовательно,
д^сс ф + А^и^ф = шЛрф.	(4.23)
Это равенство может быть переписано в виде
А'^ф = 4зА;,43-,43<р - д^^'^ф.	(4.24)
Используя тождество 0 =	+ 43 д^~{, окончательно полу-
чаем, что
Aj( = ссАр/л	.	(4.25)
2.	Доказать, что тензор поля F^v удовлетворяет тождеству Бьянки V^F^ = 0.
= X-^(d,Faa + К,-М) = ^а9{д.{даА0 + АпАв) +
+ [Лд,, да А0 + АаАд]) =	(4.26)
—	АаА.-з _|_ Ааду.Ар + А^даАв — даА0А^ = 0,
где были использованы полная антисимметрия ^-символа, возможность переименования индексов суммирования, а также равенство
е11тв[А„АаАв] =
-	Аа]Ав + Ап[Дд, Аз]) =	[А,,. А3]] =
= —-ец1'ав ([AM, [А„, Ад]] + [Аа, [Ад, А^]] -4 [Ад, [Ад,, Аа]]) = 0, (4.27) которое справедливо в силу тождества Якоби.
3.	Найти закон преобразования тензора поля /],„ при локальных калибровочных преобразованиях.
Подставляя (4.8) в выражение для тензора поля, получаем, что
Нци — (ф.А^ 4- Ар Av (/j. < > /з) > Од, (43 Ayic 4-43 lFjj )
-|-(4зАд,43	4" 43 0д,43 )(чЗА„43	4- 43 0„43 ) (Д * ► /з) = 0д,4зЛ„43	4-
4~иЗ Од, А„43	-|- 43А^0д,43	-|- 0д,43 0^43	4“ 43 dftdvUJ 4- 43 Ад, А^иЗ 4“
-^4;Ад,0^43 4- 43 0д,43 43Ад/43 “Ь 43 0,,43 43 0д,43 ' — (д£ +-» //).	(4.28)
При этом слагаемые, симметричные по индексам д и v, с очевидностью сокращаются. Принимая во внимание тождество Од,4343 1 = -4з0,,43-1, после несложных преобразований находим, что
> 4з(0д, Ад, 4~ Ад, Дд,)43	- (/^ <—»/,)= 43А,„43 '.	(4.29)
150
Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
Функция Лагранжа для свободного поля Янга-Миллса является калибро-вочпо инвариантной, поскольку
tr/yL	') = trF^7	(4.30)
в силу инвариантности следа относительно циклических перестановок.
4.	Найти выражение для компонент тензора поля F“v.
Поскольку = ifi>cata, то
FtllJ = ieF"u/t« = di^ie.A'ita) - dv(ie.A"tIta) + [icA^th, ieA‘„tc] =
= Цу,,Л" - hA“ - efhcaA'^A^tn,	(4.31)
откуда следует, что
F", = 5„Л" - Я„Л“ - efb^A1’^.	(4.32)
5.	Получить уравнения движения для лагранжиана
С, =	+	~	(4.33)
Уравнение движения для скалярного ноля получается абсолютно аналогично абелевому случаю, рассмотренному в Задаче 3 Части 2.1. Поэтому мы построим только уравнение движения для калибровочного поля Л“.
Как и ранее,
Поскольку в неабелевом случае Fba -- с)аЛ^ - дцАьа - e.fmnbAl" А^, то тензор поля явно зависит от калибровочного поля и, следовательно,
д£ _ О£ OFb;i д£ д(Уаф) a(Pa<?J_________________б£ _ _
оаг„ ~ ~дл^ + а(р„<р) ~дл^~ ~  эа“ “ д(Т)'пф~) ~
~ eF,,,jfacbAc'’j -	1 ta<p - й:ф' 1а1\ф.	(4.35)
Поэтому, с учетом полной антисимметрии структурных констант fabc, уравнения Лагранжа записываются как
0 =	(4.36)
где
=ie[4>+taVv4>-'Dv<i>+ta(^.	(4.37)
Умножая уравнение (4.36) на ге(а, принимая во внимание коммутационные соотношения между генераторами, окончательно (в матричных обозначениях) мы получаем, что
VtlF“v =	-г- [Лм,	- Г,	(4.38)
4.1. Поля Янга-Миллса
151
где jv = iej'ita-
Умножая (4.38) на T)v, получаем, что
= T>l/DfiF1"' = d„(dflF>lv -1- [AfI,F^ -	=
= \d„Afl,F>"'] - АД, F^] =	= 0,	(4.39)
где было использовано тождество Якоби
0 = [А„, [A^F^]] - К. Л.П + [F^, [Av, АД] -
= 2[А„, [А^Д] + [[Лм, АД, F^\.	(4.40)
Как и в абелевом случае, справедливость уравнения (4.39) может быть проверена явно, исходя из уравнений движения для скалярного поля.
6.	Доказать инвариантность лагранжиана (4.17) относительно преобразований С, Р и Т.
Инвариантность относительно Р преобразований очевидна, поскольку при таких преобразованиях все величины меняются но тензорному закону.
При С-преобразованиях
Туф - д^ф + А^ф (Т>р.фТ = (ТДФ' )т; Р^ F^„.	(4.41)
Поэтому
Г - (tr F^Y + (Рмд)т(Р„<Г)т - У^Ф*)-	(4.42)
Учитывая, что величины являются вещественными, (tr(£oib))* = 5аб/2, а также проводя транспонирование двух последних слагаемых, получаем, что
£ -	+ Ъ,,.ф1 &1Ф - У(ф-ф-) ----- £.	(4.43)
Инвариантность действия относительно Т-преобразований доказывается полностью аналогично.
4.1.2. Неабелевы калибровочные теории.
В предыдущей части на примере простейшей модели были построены неабелевы калибровочные поля. Теперь необходимо более четко описать основные свойства полей Янга-Миллса и привести более общую функцию Лагранжа, описывающую взаимодействие калибровочного поля с материальными.
Выберем в качестве калибровочной группы некоторую компактную группу Ли G. Тогда (см. Приложение А.2) алгебра Ли А, соответствующая группе G, может быть представлена в виде прямого произведения некоторого числа простых алгебр и алгебр и(1):
А — А [ + А'2 + ... + Ап.
(4.44)
152	Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
Будем для простоты предполагать, что группа G также является прямым произведением некоторого числа простых компактных групп и групп 77(1):
G = G\ х G2 х ... х GH.	(4.45)
Для того чтобы понять, как должна быть устроена функция Лагранжа в этом случае, рассмотрим скалярное поле, лежащее в пространстве некоторого представления калибровочной группы G. Генераторы G в этом представлении представляют собой совокупность генераторов TG каждой из групп Gk'.
Та = {Т“	}.	(4.46)
(Напомним, что мы предполагаем справедливость равенства (4.10), благодаря чему можно считать, что верхние и нижние индексы не различаются.) Как обычно, представим ковариантную производную в виде суммы обычной производной и некоторого элемента алгебры Ли А:
У1Лф = д(1ф + А11ф = д11ф + '^А11Скф,	(4.47)
А:~ I
п
где A/t = ^2 A(1С , а каждое из полей А/1С является элементом А:=1 к	k
алгебры Ли Ль и раскладывается по генераторам Тс В Задаче 1 показано, что при калибровочных преобразованиях с параметром
w (4-48)
ковариантная производная (4.47) меняется по закону У^ф —> шУ^ф, если
Ац G —* х.’.. А.,., ш ' + дх. Фх'.	(4.49)
HGj.	Gk ЦОк Ск ок и (;к	'	/
(Параметры ху,.. являются унитарными в силу компактности калибровочной группы G, см. Приложение А.1.)
Таким образом, каждое из полей AflGk нетривиальным образом меняется только под действием преобразований из группы Gk и является инвариантным относительно преобразований из всех остальных групп Gi, i k. Отсюда следует, что в случае, если алгебра Ли не является простой, величина t^F^) не будет единственным калибровочно инвариантным объектом, который может быть построен из полей AMGfc. Действительно, рассмотрим тензоры
=dp.Ak,Gk — diyAflGk + [A/iGfc, Ai?Gfc]- (4.50)
4.1. Поля Янга-Миллса
153
Достаточно очевидно, что при калибровочных преобразованиях с параметром (4.48) они преобразуются по закону
(4-51)
и, следовательно, п величин 1г(Д^с. ) являются калибровочно инвариантными. Поэтому функция Лагранжа может быть представлена в виде линейной комбинации этих инвариантов с произвольными коэффициентами:
=	(4-52)
fc=I Zeok
Поля при этом удобно разложить по генераторам группы Gk следующим образом:
A.ic =iec Аа t“ .	(4.53)
l1 с к	к fkC,k Gk	'	'
Действительно, тогда лагранжиан полей Янга-Миллса, соответствующих калибровочной группе G, может быть записан в виде
"	2
=	-	(4.54)
к — I
так что коэффициенты перед всеми слагаемыми окажутся такими же, как и в случае электродинамики.
Таким образом, в случае, если калибровочная группа представляет собой прямое произведение компактных простых групп и групп (7(1), в теории будут существовать несколько различных констант связи еа , число которых равно числу сомножителей в прямом произведении. Это существенно отличается от рассмотренного в предыдущей части случая простой группы S(7(n), для которой могла существовать только одна константа связи.
Перейдем теперь к построению функции Лагранжа для калибровочной теории, которая состоит из лагранжиана поля Янга-Миллса и лагранжианов полей материи, взаимодействующих с калибровочным полем. Например, в случае скалярного поля калибровочно инвариантный лагранжиан записывается в виде
Пю'о:.	(4.55)
При этом скалярные поля, в принципе, могут принадлежать пространству произвольного (причем не обязательно неприводимого) представления калибровочной группы. Поэтому в ковариантной производной (4.47) поля А^Ок должны раскладываться по генераторам группы Gk в соответствующем представлении, которые мы обозначили через
154
Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
Т(;,. ’) Таким образом, в общем случае ковариантная производная записывается в виде
= д^ф + ^2	= д^ф + '^2‘ескА‘(1С;кТокф- (4.56)
fc=i	fe-i
Заметим, что в случае, когда поле ф лежит в пространстве присоединенного представления калибровочной группы, иногда бывает более удобно использовать другую форму записи ковариантной производной. В Задаче 2 показано, что ковариантная производная поля в присоединенном представлении (см. Приложение А.4) может быть эквивалентно записана в виде
Т)^ф = д.,Ф + [ЛР,Ф],	(4.57)
если положить Aft = ieA“ta и ф = ie^ata.
В Задаче 3 показано, что для ковариантной производной справедливо правило Лейбница
Р/ДФ1Ф2) = (^м01)02 + Ф\.ТА^Ф2	(4.58)
и формула интегрирования по частям
У	— У - У (^хРцф^ф^, (4.59)
а в Задаче 4 доказано тождество
[1?л, Т)и]ф =	(4.60)
*=1
где = ^еак^^с Т° . В частности, для случая простой группы Ли или группы 77(1)
[Г>м,1^]© =	(4.61)
Для того чтобы построить взаимодействие поля Янга-Милсса со спинорным полем, необходимо рассмотреть столбец, каждым элементом которого является некоторый спинор. При этом 7-матрицы действуют только на спинорные индексы каждого элемента этого столбца, в то время как матрицы и генераторы калибровочной группы действуют только на элементы столбца, а на спинорные индексы не действуют
‘) Напомним, что генераторы группы Gk в фундаментальном представлении мы обозначаем через tG. Они предполагаются нормированными условием (4.10), которое, в свою очередь, фиксирует нормировку генераторов Тс .
4.1. Поля Янга-Миллса
155
вообще. Например, в случае калибровочной группы SU(2), элемент которой может быть записан как
а b
-Ь* а
где |а’2^7?|2 = 1,
(4.62)
совместное действие щ и 7-матриц на спинор может быть представлено в виде
‘'фиф =	/ \ а  ф‘	'	Ь ф1	/ ГТ \ (Vl), (7д)3 4Ш'- . (4.63) т), (7’2), (7’2)3 \ (Т’гк /
	-Ь*  ф‘ ' а*  ф1 \	J	
Ковариантная производная спинорного поля определяется так же, как и в случае скалярного поля:
Р.ф^д.ф + ^А,^.	(4.64)
*=1
Поскольку наличие спинорных индексов никак не влияет на закон калибровочного преобразования, то в случае, если ф —> ссф, ковариантная производная с очевидностью меняется по закону
Т>(1ф сФРфф.	(4.65)
Поэтому калибровочно инвариантная функция Лагранжа будет записываться в виде
= 1фф1Т>^! - тптрфф.
(4.66)
Окончательно, функция Лагранжа для поля Янга-Миллса, взаимодействующего со скалярным и спинорным полем, с компактной калибровочной группой G = G\ х G? х ... х Gn, где Gi — простые группы или группы (7(1), может быть записана в виде
п
+Тфф' Т>,1ф- У(ф+,<з>) + iфф^'D|Jф - гпуфф, (4.67)
где У(ф+,ф) — некоторая калибровочно инвариантная функция, а ковариантные производные скалярного и спинорного полей определяются
156
Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
формулами (4.47) и (4.64). Лагранжиан (4.67) является инвариантным относительно локальных калибровочных преобразований
ф саф', ф и)'ф\
—* Ч/,. А., и) ' 4- шс. ди:л} нок Ок нс,к с;к Gk М Gk
(4.68)
с параметром w(z) = o>G. ... wG.n.
В Задаче 5 показано, что для модели (4.67) имеют место п (по числу сомножителей в группе G) законов сохранения
= ^4^,^]= О,	(4.69)
где токи jflGk определяются соотношениями
j^ok =i^ak^
j”(,k	- Лг.фГф г. (4.70)
Задачи
1.	Доказать, что при локальных калибровочных преобразованиях с параметром а) = cjG|!jG2 ...xeGn, принадлежащим группе G = Gi х Gz х ... х Gn, калибровочные ноля преобразуются по закону
А1‘ ск »ак А1' с;к и<;к + “ак д^с;к 
(4.71)
В предыдущей части было получено, что, если при калибровочных преобразованиях
(<4, 4- А^ф шТфф.	(4.72)
то поле А,, должно меняться по закону AfI —»ссАрЩ’ 1 4-4. Поэтому для правильного закона преобразования ковариантной производной необходимо, чтобы
П	П
55 оэ. w (;к		(4.73)
A-=l
Поскольку а> = wG.! wg,2 ... a>Gn , в то время как все матрицы wG.fc коммутируют между собой, то
т
^Aix с;к Л ' '^ск с,-к ^ск
(4.74)
4.1. Поля Янга-Миллса
157
где было учтено, что поле А^ по построению коммутирует со всеми матрицами wG. при к / I. Поэтому
п	п
52 А"> с,к 52 6^4 А- Gk шс'к + шок ) •	(4-75)
Л	<	\ К	Н	К	ГС	К /
A--I	fc=l
При этом поскольку АМОк и wGА,, Ск 4- wGfc раскладываются только по генераторам , то в силу линейной независимости генераторов
А,, к- —>	Ann. at.. 4- ОпШ~ ,	(4.76)
' ок Gk р-ск с,к ск м с,к<	'	’
что и требовалось доказать.
2.	Доказать, что ковариантная производная поля ф = 1ефа1а, лежащего в пространстве присоединенного представления калибровочной группы, может быть записана в виде
Т^ф = дцф + [Дм.0],
(4.77)
если .4/; = ieA^ta.
Ковариантная производная поля ф, лежащего в некотором представлении группы G, определяется как
Т>цф = дцф 4- А^ф,	(4.78)
где А,. — ieA^Ta, а ф — столбец с элементами фа. В случае, если ф находится в присоединенном представлении, оно может быть также записано в виде разложения по генераторам как ф — 1ефа1а, тогда как (см. Приложение А.4) генераторы калибровочной группы в присоединенном представлении имеют вид (Та) с = ifacb- ПОЭТОМУ
(^ф)ь = д^фь + геА“(Та)ьсфс = <^фь - е/асьфсА“. (4.79) Умножая это равенство на ietb и учитывая, что [la, tc\ — ifacbtb в силу компактности рассматриваемой группы, мы получаем, что
Тфф = д^ф - ie2/ась1ьА“фс = дрф - е [ta, 1ф.А“фс. (4.80)
Если же теперь по определению положить Л/( = ie.A“tu, то последнее выражение может быть записано в виде
ТфФ = д^ф+ [Ам,ф].	(4.81)
Несложно проверить, что эта формула будет справедлива также и в случае, если поле в присоединенном представлении и калибровочное поле раскладываются по генераторам любого другого представления:
ф = 1ефаТа; = ieA“Ta.	(4.82)
3.	Доказать, что для ковариантной производной справедливы правило Лейбница и формула интегрирования по частям.
158
Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
Рассмотрим тензорное произведение и вычислим его ковариантную производную:
(<pl <р2 ) i) ~	" Ф\кф21-	(4.83)
В Приложении А.4 показано, что при действии на прямое произведение представлений Ki х Ri генераторы калибровочной группы записываются в виде
(7),),/' = ^(Т2а)/ + д-'(Т1а)Л	(4.84)
где Т\а — генераторы в представлении R\, а Т2а — в представлении R2. Поэтому калибровочное поле можно записать в виде
(АД/'= Л(АЛ'+<5М)Л	(4.85)
откуда следует, что
= (9,^1, )фч3 +ф\гд11фг] =
+ ^^1кф\кф23 + Ф^А^/фи = (Р/г0|)г02;) + фи(Т)^ф2)5.	(4.86)
Для того, чтобы доказать формулу интегрирования по частям, заметим, что
Л (Л‘Л = (ЛхЛЖ ~ Ф\ 1\Ф2 =
= (Л Л - фМд)Ф2 + Ф7(д^ф2 + Ам<р2) = д^ф1 ф2),	(4.87)
поскольку Т\ф+ = др.ф'4' - ф+ в силу эрмитовости генераторов компактной группы. Таким образом, имеет место тождество
ЛЛ1' Ф?) — ^Рр.Ф^}Ф2 Ф\ ТАцФ2-	(4.88)
Интегрируя его по d4x и используя теорему Гаусса, окончательно получаем, что
У d4х ф^ТФ^Фч = j> dS^^<l>2 ~ / d4.r ф2.	(4.89)
4.	Доказать, что ковариантные производные (4.47) удовлетворяют тождеству
=	(4-90)
к= I
С использованием определения ковариантной производной рассматриваемый коммутатор может быть представлен в виде
[Т1 иТ11у]ф = (Л + A^idv + А^ф — (р. «-> и) =
=	+ (д^А^ф + А^д/.ф + А^д^ф - АрА„ф - (р и) =
= (djiAy — (J^A.J: + jA/z, A v ф.	(4.91)
4.1. Поля Янга-Миллса
159
(Напомним, что для краткости мы используем обозначение 4(J =	•)
k ।	'к
Принимая во внимание, что генераторы Т“ и Т“ коммутируют при k / I, мы заключаем, что
с^А^ -т- [yip, А1У] =
П	п
~ У? — Gk + '.А/1 ск ’	]) = У? F'ii.‘'c:k • (4.92)
k i	k=i
где F}>vg = ieG ^'^c;	 Требуемое утверждение следует из формул (4.91)
и (4.92).’"
5.	Найти ковариантно сохраняющиеся токи в модели, описываемой лагранжианом (4.67).
Воспользуемся методом Нетер. Для этого рассмотрим локальные преобразования
Ск G.fc,	(4.93)
где параметр щ зависит от координат. Поскольку преобразования (4.93) для полей отличаются от преобразований (4.68), то действие рассматриваемой модели не будет инвариантным относительно (4.93). Действительно, если w = ехр(а), то с точностью до членов первого порядка малости по а
(9М + Арфа>ф ~ (1 + офИфф + Тфаф',
Т>цфГ дц{ф~ш~х) - ф1 щ-1 Atl и Тф.ф' (1 - а) - ф^^ос,
ТАр.Ф -> (д^ + А^сгф а (1 +а)Т)11ф +	(4.94)
где Т>^а = д^а + [Ам,а], поскольку а с очевидностью находится в присоединенном представлении калибровочной группы. С использованием формул (4.94) несложно проверить, что вариация действия оказывается равной
<55 = У d'’x (т>р'ф+1А11аф — Ф~П!'(уТфФ +	.	(4.95)
С учетом условия нормировки генераторов фундаментального представления tr(iai[>) = 8аъ/2, формула (4.95) может быть переписана в виде
6S = — -^tr У d'x'D^aj^ = ~tr У d^xaV^j^,	(4.96)
где а = ieaatn, а ток j,L определяется равенствами
.7,“ = 1е(ф~ТаТфф - Т\ф+Таф^ + еууу^ф.	(4.97)
160
Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
Поскольку в случае, если поля удовлетворяют уравнениям движения, 6S = 0, то, в силу произвольности л, из формулы (4.96) следует, что
=	+	(4.98)
Выделяя в этом равенстве члены, соответствующие генераторам 7’" > окончательно получаем п законов сохранения
=	+[^Ofc.^J=0-	(4.99)
где
• а ,а
До, =1е^ф-Г‘кГ)11ф-Г)11ф-Тас:кф)	(4.100)
4.1.3.	Теория сильных взаимодействий.
Теория Янга-Миллса позволяет описать динамику сильных взаимодействий элементарных частиц.
В соответствии с современными представлениями мезоны и барионы не являются элементарными частицами [2], а состоят из кварков. При этом мезоны состоят из кварка и антикварка, а барионы — из трех кварков. Кварки описываются дираковскими фермионами фа, которые имеют дополнительный индекс а, пробегающий значения от 1 до 3. Этот индекс часто называется цветом [3]: а = 1 соответствует красному кварку, а — 2 — зеленому и а = 3 — синему. (Конечно, это условные названия, которые нельзя понимать буквально.) По-видимому, в природе существует 6 кварков. 3 кварка и, с, t называются верхними, а еще 3 кварка d, s, b — нижними. (Смысл этих названий будет понятен далее при изучении Стандартной модели сильных и электрослабых взаимодействий.) Верхние кварки имеют электрический заряд q = 2е/3, а нижние — q= -е/3. *) Как следствие, электрические заряды мезонов и барионов кратны заряду электрона — е. (Заряд антикварка имеет знак, противоположный заряду кварка.)
Однако кварки взаимодействуют не только с электромагнитным полем. Эксперимент показывает, что в свободном виде кварки не наблюдаются. Это означает, что существуют силы, которые удерживают их внутри мезонов и барионов. Они связаны с т.н. сильными взаимодействиями, которые могут быть описаны с помощью теории Янга-Миллса с калибровочной группой 5(7(3) [4]. Такая теория называется хромодинамикой.* 2) Ее лагранжиан записывается в виде
Ст = Ч^М»,»)2 + Е	(4.101)
j
’) Напомним, что в наших обозначениях е > 0.
2) Понимание этого сложилось после анализа квантовых поправок в теории Янга-Миллса, сделанного в работах [5].
4.1. Поля Я ига-Миллса
161
где через ipj обозначены дираковские спиноры, которые описывают кварки, индекс j указывает тип кварка (т.н. аромат), а цветовой индекс явно не выписан. Через rrij обозначены массы соответствующих кварков. Их численные значения будут приведены далее (см. таблицу 5.3). Ковариантные производные имеют вид
(4.102)
где AMsu,3) — калибровочное поле, лежащее в алгебре Ли группы SU(3).
Калибровочная группа SU(3) действует на цветовые индексы кварков, которые преобразуются по ее фундаментальному представлению:
Uab(yj)b.	(4.103)
В сокращенной же форме записи локальная калибровочная инвариантность хромодинамики может быть записана в виде
—> uipj,	AMSU(3) —>	щ dyUJ .	(4.104)
Поскольку алгебра Ли группы SU(3) имеет размерность 8 и состоит из антиэрмитовых бесследовых матриц, то калибровочное поле раскладывается по ее генераторам как
8
= ie3 52 ta’	(4.105)
а=1
где ез — некоторая константа связи,
ta = ^Xa,	(4.106)
а матрицы Гелл-Манна Ха определяются по формулам
/ 0	1	0 \	/ 0	-i 0 \	/ 1	0	0 \
Ai =	1 0 0	; А2=	г 0 0	;	А3 =	0 -1 0	;
\ 0	0	0 )	\ 0	0 0 /	\ 0	0	0 )
/ 0	0	1 \	/ 0	0 -г \	/ 0 0	0 \
А4 =	000	;А5 =	00 0	;	А6 =	0 0 1	;
\ 1	0	0 )	\ г	0 0 /	\ 0 1	0 /
/ 0 0 0 \	/ 1 0 0 \
А7= 0 0 -г ; А8 =-)= 0 1 0	(4.107)
\ 0 г 0 /	V 3 о 0 —2 /
и удовлетворяют условию нормировки
tr(Aa Аь) = 2даЬ.
(4.108)
6 К. В. Степаньянц
162	Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
Калибровочные бозоны, соответствующие группе Sf7(3), называются глюонами.
Если также принять во внимание, что кварки имеют электрические заряды, то в теорию также необходимо добавить и взаимодействие с электромагнитным полем Ар:
С = — (ра Y — —	I
4 pvsuti) J 4	'
	-mjVjVj)’ (4-109)
з
где FtllJ =	- dvAtl, а величины электрических зарядов кварков qj
были приведены выше.
Однако, при низких энергиях константа связи с-з значительно превышает электрический заряд е. ') Поэтому кварки значительно сильнее взаимодействуют с глюонным полем А^.^ , чем с электромагнитным полем Afi.
В низкоэнергетическом пределе квантовые эффекты в хромодинамике оказываются настолько сильными, что существенно сказываются на поведении теории. Они, по-видимому, приводят к тому, что кварки вообще не наблюдаются в свободном виде, а объединяются в мезоны и барионы. Это явление называется конфайнментом. Доказательство конфайнмента исходя из первых принципов квантовой теории поля оказалось крайне сложной задачей, которая в настоящее время полностью еще не решена, хотя определенные успехи на этом пути уже достигнуты.
Заметим, что гипотезу конфайнмента можно сформулировать и так: при низких энергиях можно наблюдать только т.н. бесцветные состояния, которые являются инвариантными относительно калибровочной группы SU(3). Действительно, волновые функции мезонов и барионов могут быть записаны в виде
М = (фЧ1У^Ч2)(Г В = еаЬс ШаЫьЫс- (4.110)
В Задаче показано, что величины М и В являются калибровочно инвариантными. Это и означает, что все частицы, которые мы наблюдаем в эксперименте, являются скалярами относительно группы SL7(3). Поэтому смысл названия «цвет» можно объяснить так: в барионах 3 различных цвета складываются и, так же, как в оптике, дают белый цвет, который интерпретируется как состояние, инвариантное относительно группы SU(3).
’) Смысл фразы «при низких энергиях» становится понятным при переходе от классической к квантовой теории поля, в которой константы связи будут эффективно зависеть от энергии.
4.2. Спектр частиц в неабелевых теориях
163
Задача
Доказать калибровочную инвариантность волновых функций мезонов и барионов.
При калибровочных преобразованиях группы SU(3) с параметром
Фа CJ„b -фь', ф1 фЬ (cJ~')ba,	(4.111)
откуда_очевидна калибровочная инвариантность мезонной волновой функции М = (Ч4| )а(Ф<г,)а- Поэтому остается проверить только калибровочную инвариантность барионной волновой функции. Имеем:
В = е°ь,:	(4.112)
Выражение еаЬс а>ака>ъти>сп, с очевидностью, является полностью антисимметричным по индексам к, т и п, которые пробегают значения от 1 до 3. Поэтому
abc k га a kmn 1 / abc р q	kmn j .	kmn 1 1
е и>а a>c = e - ^ePQSe oja a>b a>c J = £ delm = e (4.113) в силу определения детерминанта и условия detm = 1 для матриц группы 5(7(3). Таким образом при калибровочных преобразованиях
В - ектп (A,)fc(^Jm(^)n =	(4.114)
что и доказывает утверждение.
4.2. Спектр частиц в неабелевых теориях. Общая теория спонтанного нарушения симметрии
Ранее в Части 2.5 мы исследовали спектр частиц в абелевых теориях. Теперь нам предстоит рассмотреть более общий случай, когда калибровочная группа G отличается от (7(1). Как и ранее, при этом необходимо по отдельности рассмотреть случаи глобальной и локальной симметрии.
4.2.1. Глобальная калибровочная симметрия.
Рассмотрим теорию, описываемую лагранжианом
£= |(^)2-	(4.Н5)
инвариантную относительно некоторых глобальных калибровочных преобразований
cbi^Wi1' ф^	(4.116)
где и щ(аг) является элементом некоторого представления калибровочной группы G. При этом поля без ограничения общности можно
6-
164
Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
считать вещественными. (Лагранжиан комплексного поля всегда можно рассматривать как функцию его вещественной и мнимой частей.)
Как и в абелевом случае, спектр частиц модели (4.115) существенно зависит от формы потенциала.
1. Если минимум потенциала У(ф) достигается при фо — 0, то вакуум является инвариантным относительно действия калибровочной группы G, поскольку тогда щфд — Фо V и 6 G. Это означает, что при исследовании спектра частиц поля ф необходимо считать малыми. Раскладывая потенциал V в ряд вблизи нулевого минимума, мы заключаем, что в квадратичном приближении *)
£ - ^фг)2 - фгф3 + О(ф3),	(4.117)
где
(т2уз =	(4.118)
'	' дфгдф-G ’	v '
Обозначение (m2)^ введено по аналогии с лагранжианом одного скалярного поля, имеющего массу т. Совершая подходящее ортогональное преобразование в пространстве с координатами ф{, можно диаго-нализовать массовую матрицу (т2)у.
2. Принципиально иной спектр частиц получается в случае, когда потенциал V имеет минимум при фо 0. Такое вакуумное состояние уже не остается инвариантным под действием калибровочной группы. В качестве простейшего примера мы рассмотрим модель, описываемую лагранжианом
£= ^Фг)2 - ^(Ш2 - V2) ,	(4.119)
где ф^ — вещественное скалярное поле, а индекс i меняется от 1 до 3. Эта модель является инвариантной относительно глобальных преобразований группы 5(7(2), причем поле ф, находится в ее присоединенном представлении. (На поле ф калибровочная группа действует как группа трехмерных вращений 50(3).) Однако ее вакуумное состояние, представляющее собой точку на сфере
(Ф1)2-(02)2 + (02)3-г.2,	(4.120)
например,
(ц \
О ,	(4.121)
0 /
') Верхние и нижние индексы, нумерующие поля, не различаются. Мы будем стараться писать их фиксированным образом для удобства обозначений.
4.2. Спектр частиц в неабелевых теориях	165
относительно SO(3) преобразований с очевидностью не инвариантно. Другими словами, имеет место спонтанное нарушение симметрии. Для того чтобы найти спектр частиц в такой теории, необходимо, как обычно, предположить, что поля незначительно отклоняются от своих вакуумных значений и разложить функцию Лагранжа вблизи вакуумного состояния с точностью до квадратичных слагаемых. В Задаче 1 показано, что если фа = фОа + <^а, то
£ = 2^;,^)2-2Аг2^1)2 + О(Г).	(4.122)
Поэтому спектр рассматриваемой теории составляют два безмассовых скалярных поля и й и одно массивное скалярное поле с массой 2y/Xv.
В принципе, аналогичное исследование может быть выполнено для любой другой модели. Однако его можно провести и в общем случае. Действительно, рассмотрим модель, описываемую лагранжианом (4.115), и предположим, что вакуум фо не является инвариантным относительно действия калибровочной группы.
Совокупность всех элементов калибровочной группы G, которые сохраняют вакуум ф0, мы будем называть малой группой II. Другими словами, Н составляют все элементы ш, так что
шфо = фо-	(4.123)
Для того чтобы убедиться в групповой структуре множества Я, заметим, что если £ Я, то (сщщ^фо =	= Фо и> следовательно,
Ш|Ш2 6 Я; Я содержит единичный элемент и, наконец, ш-1<ро — Фо, если а>фо — фо-
Обозначая генераторы малой группы через tUH (для фундаментального представления) или Тан (для других представлений и, в частности, для представления, в котором находится скалярное поле), а = 1 ... сНтЯ, мы получаем, что
cxp(ieaaTaiI) фо = фо,	(4.124)
откуда следует, что Танф0 — 0. Остальные генераторы группы G будем обозначать через taG/H (или Тас ), ') а — 1 ...dimG - сНтЯ, так что
ta = {tnil,	(4.125)
причем, как обычно, генераторы фундаментального представления выбираются эрмитовыми и нормированными условием
tr(tatb) = 6аЬ/2.	(4.126)
’) В данном случае G/11 — просто обозначение. Это не фактор-группа, поскольку малая группа в общем случае не является нормальной подгруппой.
166	Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
Достаточно очевидно, что для V аа 0 ш“Та ф>о / 0, поскольку в противном случае ехр(геа“Тас,/н) 6 Н. Другими словами, векторы *)
Ek = -iTkc/ll<t>0,	(4.127)
лежащие в пространстве представления, являются линейно независимыми. Число таких векторов равно dimG — dimH и в общем случае меньше, чем размерность представления dim/?. Удобно построить ор-тонормированный базис
{ек,ек}	(4.128)
в пространстве представления таким образом, чтобы первые dimG — dimH векторов ек лежали бы в подпространстве, образованном линейными комбинациями векторов Ек, а остальные dimJ? — dimG + dimH векторов ек были бы к ним ортогональны. Такой базис оказывается особенно удобным при исследовании спектра частиц. Действительно, разложим по нему отклонения полей от вакуумного состояния, так что
<t>i = d>oi - ¥k(ek)i + ^fc(efc);.	(4.129)
(Верхний индекс (ek)i показывает номер базисного вектора. Этот вектор представляет собой некоторый столбец, номер элемента которого дается нижним индексом.)
После подстановки разложения (4.129) в функцию Лагранжа (4.115) в квадратичном приближении по полям р и р мы получаем (Задача 2), что
С =	~ ^2)Ы»	(4.130)
где
(m2)kl = (еА')г(^)^.Л2_(0о).	(4.131)
С/C/y/j
Из формулы (4.130) следует
Теорема Голдстоуна. При спонтанном нарушении глобальной калибровочной симметрии в спектре теории присутствуют dimG — dimH безмассовых скалярных частиц pi и dim/? - dimG dimH в общем случае массивных скалярных частиц pi.
При этом безмассовые скалярные частицы, возникающие при спонтанном нарушении глобальной калибровочной симметрии, называются голдстоуновскими бозонами.
') Коэффициент —i введен для того, чтобы векторы Ек были вещественными в случае вещественности полей ф,, поскольку для вещественных представлений генераторы 1п являются чисто мнимыми.
4.2. Спектр частиц в неабелевых теориях
167
Справедливость теоремы Голдстоуна может быть проиллюстрирована рассмотрением модели (4.119). Вакуум (4.121) фактически представляет собой вектор, направленный вдоль оси <ф и с очевидностью инвариантен относительно вращений вокруг нее. Поэтому малой группой Н является одномерная группа SO(2) вращений вокруг оси 0,. При этом ее генератор {Г,,} = 7) действительно дает 0 при действии на вакуумное состояние:
/00 0 \ / и \ —гТ[Фо= I 0 0 — 1 j I 0 j = 0.
\ 0 1 0 / \ 0 /
(4.132)
Оставшиеся генераторы {7с/„} = (7г, Т3) вакуумное состояние не обнуляют:
/О	0	1	\	/	v	\
Е\ —	=1	0	0	0	j	I	0	j
\	-1	о	0	/	\	0	/
/О -1 0\ / v \
Е-) — —ПзФо -	I	1	0	0	j	I	0	j
\	о	о	0	/	\	0	/
о о
о
V о
(4.133)
Ортонормированный базис в пространстве линейных комбинаций векторов Е\ и Т?2 может быть выбран в виде
(4.134)
Для построения ортонормированного базиса во всем пространстве представления к этим векторам необходимо добавить
/ 1 \
0 .
\ 0 /
(4.135)
После этого отклонение поля ф от вакуумного значения может быть разложено по базису е1, е2 и е1 как
Ф — Фо + с1 — е19З1 + е2^2-	(4.136)
Несложно проверить, что тогда в квадратичном приближении
7 ~ |((Уд‘/’1)2 + (<Wl)2 + (<Э^2)2) - 2А772(¥?1 )2.
(4.137)
Этот результат совпадает с полученной ранее формулой (4.122).
168	Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
В качестве другого примера спонтанного нарушения глобальной калибровочной симметрии можно рассмотреть модель, описывающую комплексное скалярное поле
(4.138)
03 + «04 /
в фундаментальном представлении группы St7(2), с лагранжианом
£ = (д^фу^д^ф - Х(ф+ф - и2)2.	(4.139)
Очевидно, что вакуумное состояние такой модели может быть выбрано, например, в виде
00= (2 У	(4.140)
где v 6 Re. Затем необходимо разложить функцию Лагранжа в ряд, считая отклонения полей от вакуумного состояния <^г- = ф^ — фщ малыми. В Задаче 3 показано, что найденный таким образом спектр частиц теории окажется состоящим из массивного поля р\ (т = 2v\/A) и безмассовых полей ф2, Гз и гЧ- Там же проверено, что этот результат согласуется с утверждением теоремы Голдстоуна.
Задачи
1. Найти спектр частиц в теории, описываемой лагранжианом
£ = [2(д,фг)2- Ь((0г)2-г2)2,	(4.141)
где (fa — вещественное скалярное поле в присоединенном представлении группы 50(3).
Раскладывая поле ф вблизи вакуумного состояния как
/ v + р!
0=1	<Р2
\ <рз
(4.142)
и подставляя это разложение в функцию Лагранжа, мы получаем, что
£ = ^(<Эм<рг)2-	[(у + ул )2 + (<р2)2 + (<рз)2 - v2) =
= '-(дурф2 -2Хе2(рф2 + ...,	(4.143)
где многоточием обозначены слагаемые третьего и выше порядков по полю р. Поэтому спектр частиц рассматриваемой модели состоит из массивного скалярного поля <pi и двух безмассовых голдстоуновских бозонов р2 и р3.
4.2. Спектр частиц в неабелевых теориях
169
2. Разложить функцию Лагранжа (4.115) с точностью до членов квадратичных по <р, если
Ф' = 0о + ^Pk(ek)i +	(4.144)
Подставляя выражение для ф в лагранжиан
£= ^Я0г)2-т).	(4.145)
и раскладывая потенциал в ряд вблизи точки Фо, мы получаем, что в квадратичном приближении
С =	+ ^dllpkd,lfik - V(0o) - (фк-ек +	-
2	2	С/ф/
-\(ркек + ^e*)i(<p/e'	(ф0) + О(ф3),	(4.146)
2	С/ф j С/ф j
где была принята во внимание ортонормированность базиса {ек ,ёк}. Поскольку в вакуумном состоянии потенциал имеет нулевой минимум, первые два члена в его разложении обращаются в 0, так что
-С =	~
1	г)2\/
~Лркек + 4>k<?)i ((file +	(Фо) + 0(<р3)- (4.147)
2	CtyiO$j
Заметим теперь, что в силу глобальной калибровочной инвариантности V(шфо) = 0 для произвольного щ G G. Следовательно, щф0 также является минимумом потенциала и, в частности,
Представляя элемент ш в виде ш = ехр(-геааТа) и раскладывая равенство (4.148) в ряд вблизи w = 1, мы получаем, что
-геаа(Таф0)г^-(фо) = 0.	(4.149)
(707 (70J
При этом среди генераторов Та = {Тан, Таа/Н} генераторы малой группы всегда дают 0, благодаря тождеству -гТанф0 = 0. Поэтому из произвольности коэффициентов аа следует, что
= °- (4-150)
С/ф-[С/Фд	С/фуС/фд
Это с очевидностью эквивалентно равенству
(4.151)
С/ф-i Cf (pj
поскольку по построению векторы еа являются линейными комбинациями векторов Еп. Равенство (4.151) означает, что все слагаемые в разложении
170
Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
(4.147), содержащие векторы ек, оказываются равными 0. Поэтому, окончательно, квадратичная часть функции Лагранжа запишется как
С «	+ ^<рь)2 - -(т2)1"^,	(4.152)
где
(rnY = (е‘Ъ(^т^-(0о).
(4.153)
3. Найти спектр частиц в модели с лагранжианом
£ = (дкф)+д^ф-Х(ф'ф-е2)2,	(4.154)
где ф — комплексное скалярное поле в фундаментальном представлении группы 5(7(2), и проверить справедливость теоремы Голдстоуна.
Раскладывая поле ф вблизи вакуума (4.140) как
0t + 1ф2
03 + «04
V + </5| + i<p?
<рЗ +
(4.155)
и подставляя это разложение в функцию Лагранжа, мы получаем, что
£ = (9М0>)2 - A((v + ^i)2 + (рг)2 + (у?з)2 + (<Pt)2 - гг) =
« Я0г)2 -4Av2(<^i)2.	(4.156)
С другой стороны, для исследования спектра частиц мы можем применить теорему Голдстоуна. При этом вначале мы должны определить малую группу, которая сохраняет вакуумное состояние. Несложно проверить, что в данном случае Н = 1, поскольку ни один из генераторов 5(7(2) не дает 0 при действии на вакуум. Действительно,
.. г (	0
Г\ - ~^1фо - I
w г ,	7 0
Е2 = --<72Фо=	и/2
,,	«.	7 — iv/2 \
Ьз - --<т30о - I о I •
(4.157)
Удобно в комплексном случае определить скалярное произведение как
(a\b) = i(a+6+ &+«).	(4.158)
Тогда ортонормированный базис в пространстве линейных комбинаций векторов Е|. Е>, Е-, .можно выбрать как
г
2_ ( 0 \
Р ~ \ 1 /
(4.159)
4.2. Спектр частиц в неабелевых теориях	171
а ортонормированный базис во всем пространстве представления получается при добавлении к набору е1, е2, е3 вектора
е1 = ( ‘ У	(4.160)
Разложим поле о вблизи вакуумного состояния <ро как
Ф - Фо + pk(,k + фА.	(4.161)
Тогда в силу определения скалярного произведения (4.158) и ортонормиро-ванности выбранного базиса мы получаем, что кинетический член запишется в стандартном виде (0м^,)2 — (<9мф5г)2. При этом, в силу утверждения теоремы Голдстоуна, массивным полем должно быть фо, а безмассовыми полями — <^|, <р2 и pi, что с точностью до обозначений находится в полном соответствии с результатами проведенного выше явного вычисления.
4.2.2. Локальная калибровочная симметрия.
Исследуем теперь спектр частиц в теории Янга-Миллса со скалярным полем
С - -\{1^2 А-^.Фф2	(4.162)
где ф-t — вещественный столбец, преобразующийся по некоторому представлению R калибровочной группы G. Модель (4.162) является инвариантной относительно локальных калибровочных преобразований
ф —>	Л^ —* cv/lyxU 1	(4.163)
где щ = щ(т) — некоторый элемент группы G. Как и в случае глобальной симметрии, спектр частиц существенно зависит от формы потенциала V. Возможны два различных случая:
1. В случае, если отсутствует спонтанное нарушение симметрии, т.е. вакуумным состоянием является фо = 0, то в квадратичном приближении функция Лагранжа может быть записана как
£ = -|(гЭмЛ“ -Л,М")2 + -‘ЯФ;)2-	(4.164)
+О(ф3, ф2Л, фА2, Л3).
Из разложения (4.164) следует, что спектр рассматриваемой теории состоит из dim/? в общем случае массивных скалярных полей ф, и dim G безмассовых векторных полей Л“. При этом, поскольку одно безмассовое векторное поле имеет две степени свободы, полное число степеней свободы оказывается равным 2 dimG 4- dim/?.
2. Рассмотрим теперь случай, когда вакуумное состояние ф0 не является инвариантным относительно действия калибровочной группы, или же, другими словами, имеет место спонтанное нарушение локаль-
ной калибровочной симметрии.
172
Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
В качестве простейшего примера модели со спонтанным нарушением локальной симметрии можно вновь рассмотреть теорию с калибровочной группой 50(3) и скалярным полем фг в ее присоединенном представлении, описываемую лагранжианом
С =	- ^л(ш2 - V2)2,	(4.165)
где индексы а и i изменяются от 1 до 3. Вакуумное состояние такой модели может быть выбрано в виде
(и \
О .	(4.166)
О /
Для того чтобы найти спектр частиц теории, необходимо представить поле ф в виде ф{ = фрц + <рг и разложить функцию Лагранжа с точностью до членов второго порядка малости по полям </>, и А“. Результат, полученный в Задаче 1, имеет следующий вид:
С^-^д^-д^)2 + ^1)2 +
+	- sw^)2 + ^(<Эм<Рз + егМ2)2 - 2Аг2(у?1)2. (4.167)
На основании этого выражения пока еще нельзя сделать вывод о спектре частиц теории, поскольку в разложении функции Лагранжа возникли недиагональные члены, пропорциональные и <Эм</?зА2. Для того чтобы избавится от них, необходимо совершить замену
А2 - В2 = А2 +	Al - Bl = Al -	(4.168)
которая, как несложно проверить, приводит квадратичную часть лагранжиана к диагональному виду:
С « -^А* - Д,д;)2 + |(Э^1)2 - 2Xv2^)2 -	(4.169)
-1(аЛ -о2)2- '-(d.B'i-д„вЦ2 + ^V((b2)2 + (в3)2).
Из разложения (4.169) мы заключаем, что в спектре теории присутствует одно безмассовое векторное поле А^, одно массивное скалярное поле ipi с массой 2ц-\/А и два массивных векторных поля Bltl и В2 с массами ev. Однако, несмотря на присутствие в теории массивных векторных полей, полный лагранжиан рассматриваемой теории является калибровочно инвариантным относительно преобразований группы
4.2. Спектр частиц в неабелевых теориях	173
50(3). А поскольку требование существования калибровочной инвариантности является одним из наиболее важных в теории поля, механизм спонтанного нарушения симметрии оказывается особенно удобным для построения массивных векторных полей в реалистичных моделях.
Обратим теперь внимание на то, что замена (4.168) по форме совпадает с некотором малым калибровочным преобразованием калибровочного поля, в котором сохранены только члены первого порядка малости. В связи с этим возникает вопрос о возможности выбора калибровки, в которой разложение функции Лагранжа не будет содержать перекрестные члены.
В Задаче 2 показано, что калибровочное преобразование, при котором в первом порядке по полям и калибровочное поле меняется в соответствии с формулой (4.168), в том же приближении приводит скалярное поле к виду
/ v +
ф саф = О
\ О
(4.170)
После этого становится понятным, почему из спектра теории исчезли все голдстоуновские бозоны. Действительно, поскольку калибровочные преобразования теперь являются локальными, то, используя произвол в выборе калибровочного параметра ш(аг), можно занулить компоненты <Р2 и </>з при помощи условия (4.170) во всех точках пространства. В случае глобальной калибровочной симметрии достичь этого было невозможно, поскольку параметр а был одинаков во всех точках пространства, и его полная фиксация осуществлялась требованием равенства 0 второй и третьей компонент вакуумного состояния.
Калибровка, которая получается после наложения условия (4.170), называется унитарной. Обратим внимание, что наложение этого условия не полностью фиксирует калибровочную инвариантность, поскольку в унитарной калибровке также имеется остаточная 17(1) калибровочная инвариантность, которая соответствует вращениям вокруг первой оси:
/ 1 ф —* I О
\ о
о cos(ea’) - sin(ea’)
О sin(ea1) cos(ea’)
(4.171)
Как и для случая глобальной симметрии, исследование спектра частиц в теориях со спонтанно нарушенной локальной калибровочной симметрией может быть проведено в общем случае.
Рассмотрим лагранжиан (4.162). Так же, как и в случае спонтанно нарушенной глобальной симметрии, рассмотренном в предыдущем
174
Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
параграфе, введем малую группу II, построим векторы ек и ек и разложим по ним отклонение скалярного поля от вакуумного состояния:
ф = Фо + екфк + ек^к.	(4.172)
Калибровочное поле также удобно представить в виде
Лм = ге(А“„и+А“с;/^ас/н),	(4.173)
где 1ац — генераторы малой группы Н, а 1ао/11 — остальные генераторы группы G.
В Задаче 3 показано, что после подстановки выражений (4.172) и (4.173) в функцию Лагранжа (4.162) в квадратичном приближении получается следующий результат:
С « -|(9МЛ" -- Л, Л")2 + ^к - еА^апКак)2 4
(4.174)
где матрица (m2)fr/ дается формулой (4.131), Как = (Еп, сА) — скалярное произведение векторов Еа и ек, а Еа = -гТа фо. Как и в рассмотренном ранее примере, для нахождения спектра частиц теории необходимо диагонализовать квадратичную часть функции Лагранжа, перейдя от полей Л“ к полям н, определяемым при помощи соотношения
^-Л“й/н-1^(^’*)Ы	(4.175)
Обратим внимание, что матрица К~1 существует в силу доказанной в Части 4.2.1 линейной независимости векторов Еи1. После указанной замены квадратичная часть функции Лагранжа станет диагональной и будет записываться в виде
1 / \2 1 / \2
+ |((^.)2 - hm2)H (4.176)
где массовые матрицы векторных и скалярных полей оказываются равными соответственно
(М2и = ^кагк1п-
(m2)kl - (ek")j(^')j	(Фо).
v	v J сГ;,,до, '
(4.177)
4.2. Спектр частиц в неабелевых теориях	175
Таким образом, в спектре теории присутствуют точно такие же массивные скалярные поля, как и в случае спонтанного нарушения глобальной калибровочной симметрии. Эти массивные скалярные поля называются хиггсовскими бозонами. Заметим, что безмассовые голдстоуновские бозоны теперь отсутствуют. Вместо них в теории оказывается точно такое же (dimG — dimH) число массивных векторных полей В". Часто говорят, что векторное поле «съедает» голдстоунов-ский бозон и в результате этого приобретает массу.
Окончательно, следствия формулы (4.176) могут быть сформулированы в виде следующего утверждения:
Теорема Хиггса. При спонтанном нарушении локальной калибровочной симметрии в спектре теории присутствуют dimH безмассовых векторных полей Л“н, dimG - dimH массивных векторных полей В“ и dim/? - dimG + dimH массивных скалярных полей фФ.
Поскольку одно безмассовое векторное поле несет 2 степени свободы, а массивное — 3, то суммарное число степеней свободы оказывается равным
2 dimH + 3^dimG - dimH^ + dim/? - dimG + dimH =
= 2dimG + dim/?	(4.178)
и совпадает с числом степеней свободы в случае ненарушенной локальной калибровочной симметрии.
Заметим теперь, что, как и в рассмотренном ранее примере, замена (4.175) напоминает бесконечно малое калибровочное преобразование, записанное в низшем порядке по полям и В Задаче 4 показано, что с рассматриваемой точностью это преобразование приводит скалярное поле к виду
ф = ф0+ек$к-	(4.179)
Поэтому можно попытаться перейти к унитарной калибровке, в которой все голдстоуновские поля оказываются равными 0:
<^ = 0.	(4.180)
Существование унитарной калибровки [6] для компактных групп Ли доказано в Задаче 5, где также показано, что условие (4.180) может быть эквивалентно переписано в виде
ф£7’а(7/нф = 0.	(4.181)
В Задаче 6 проверено, что наложение этого условия полностью не фиксирует калибровочную свободу, поскольку оно является инвариантным относительно калибровочных преобразований малой группы Н.
176
Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
Однако еще раз обратим внимание на то, что, несмотря на существование массивных векторных бозонов, теория является калиб-ровочно инвариантной относительно локальных преобразований всей группы G. Тем не менее, при низких энергиях, как правило, можно увидеть только частицы с малой массой, поскольку для экспериментального получения частиц с большой массой требуется достаточно большая энергия. А низкоэнергетическая теория, составленная из частиц, которые при спонтанном нарушении симметрии не приобрели массу порядка v, инвариантной относительно группы G уже не будет. В силу существования остаточных калибровочных преобразований такая модель будет инвариантна относительно группы Н. Тем самым и объясняется происхождение термина «спонтанное нарушение симметрии»: в низкоэнергетическом пределе группа симметрии становится равной не G, а Н. Это часто схематически записывают в виде G II. Описанный выше механизм генерации масс калибровочных бозонов с помощью спонтанного нарушения симметрии получил в литературе название механизм Хиггса.
В качестве еще одного важного примера применения механизма Хиггса рассмотрим модель с комплексным скалярным полем в фундаментальном представлении калибровочной группы St?(2), которая описывается лагранжианом
С =	+ (РмФ)+^Ф - Х(Ф+Ф ~ v2)2.	(4.182)
В Задаче 7 показано, что в такой модели группа 5/7(2) является полностью нарушенной, а в спектре присутствуют 3 массивных векторных поля с массой Мд — ev/\/2 и одно массивное скалярное поле массы — 2v\/X, что находится в полном соответствии с теоремой Хиггса. Действительно, при исследовании случая, когда нарушалась глобальная калибровочная симметрия (см. Задачу 3 Части 4.2.1), было проверено, что малая группа II для такой модели равна 1. Поэтому по теореме Хиггса все векторные поля теории должны приобрести массу. Кроме того, поскольку вещественная размерность представления, в котором лежит скалярное поле dim/? = 4, а размерность калибровочной группы dimG = 3, то в спектре должно остаться 4 — 3=1 массивных скалярных полей.
Задачи
1.	Разложить лагранжиан (4.165) с точностью до членов второго порядка малости по отклонениям полей от вакуумного состояния.
Представим поле ф как сумму вакуумного значения фо и отклонения уз:
( V + ip! \
<>= Р2 •	(4.183)
\ Рз /
4.2. Спектр частиц в неабелевых теориях	177
Поскольку мы считаем, что поля р и 4М являются малыми, а вакуумное среднее v — нет, то с точностью до членов первого порядка малости ковариантная производная может быть записана в виде
1\Ф = дцф + ie (Лц! । + 4^7) + А^Т^ фо.	(4.184)
В предыдущей части было показано, что
/ ° \	/ 0 \
Ti<i>o = O; Т2ф0 = I О I; Т3ф0 = I iv I,	(4.185)
\ — iv /	\ 0 /
благодаря чему
(<Xi \ дрр2 - evA3t I.	(4.186)
д,,рз + ел Al /
Как следствие, в квадратичном приближении по полям р и Ар функция Лагранжа оказывается равной
C^-i-^At-d,Al)2+i-(dl,pl)2 +
— cv^t) + 2— 2-Xv (pi)2.	(4.187)
2.	Доказать, что для модели (4.165) калибровочное преобразование
Al Bl = Al +-д^р3; Al-^Bl = Al--д.р2	(4.188)
ev	1 ev
переводит поле ф в унитарную калибровку, в которой все голдстоуновские поля равны 0.
Если при калибровочном преобразовании
Afl —* лА.^л	4 сфл ,	(4.189)
где щ = ехр(а), параметр а = ieaata является малым, то с точностью до членов первого порядка малости по а и Afi
4“	4“ - 0,Х.	(4.190)
(Напомним, что поле 4М также считается малым.) После сравнения преобразований (4.188) и (4.190), получается, что
а^--(р3Т2-р2Т3) = ( -V	\	0	p2/v	рз/v	\ -p2/v	0	0	.	(4.191) рА'е	0	0	/
178	Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
Поэтому с точностью до членов первого порядка малости по полям р
( 1	r2lv w/v \	f V r г' \
J(b ~ (1 + офф« I -р2/v 1 О I р2 ) и I О I , \ — у?3/и	О 1	/ \ р3 /	\	0	/
(4.192)
откуда следует, что преобразование (4.188) приводит скалярное поле к унитарной калибровке, в которой отсутствуют голдстоуновские поля р2 и р3.
3.	Построить квадратичную часть функции Лагранжа (4.162) для теории со спонтанно нарушенной локальной симметрией, калибровочной группой G и малой группой II.
Представим скалярное и калибровочное поля в виде
Ф — Фо — в рк + е рк.
Ар — 1е(.АцHt,aH A-AllG/lrtaG/lj\,
(4.193)
где все обозначения были подробно объяснены ранее.
При подстановке разложений (4.193) в лагранжиан (4.162) потенциал V(<j»i) запишется точно так же, как и в случае спонтанного нарушения глобальной симметрии. Также достаточно очевидно, что в квадратичном приближении
tr(p-C)	(4.194)
Таким образом, остается построить только квадратичную часть {V ^ф1')2. Для этого достаточно знать Т>^ф в линейном приближении, поскольку члены нулевого порядка малости в этом выражении, очевидно, отсутствуют. В линейном приближении по полям р = ф — фо и
и д^р + А^ф0 = д^р + ieA" с/нТас/ггфо =
= ekd,tpk - екдррк - eA^G/llEa, (4.195)
где мы приняли во внимание, что Тап<ро — 0.
Собирая все слагаемые и учитывая, что векторы ск по построению ортогональны векторам ек и Еп, для квадратичной части функции Лагранжа получаем выражение
с «	+ ‘ (дррк - eA"G/1IKak)2 -
-'-(дррк)2 - (m2)kl pkpi,	(4.196)
где Как = (Еа, ек) = (Ea)i(ek)i. Заметим, что при получении этого равенства были также использованы свойства ортонормированности и полноты базиса ек в пространстве линейных комбинаций векторов Ек:
(Л е1) - ске‘ = 6к1; (Еа, ек)(Еф, ек) - (Еп, Еь).
(4.197)
4.2. Спектр частиц в неабелевых теориях
179
При этом, поскольку оба набора векторов Ek и ек образуют базис в этом пространстве, матрица A'„k является невырожденной.
4.	Доказать, что калибровочное преобразование, при котором
(4.198)
в низшем порядке по полям Л" и р приводит скалярное поле к унитарной калибровке, в которой
Ф = 0о + ск'фк.	(4.199)
Как показано в Задаче 2, с точностью до членов первого порядка малости закон преобразования калибровочного поля может быть записан как
Ар —> щЛ,,щ + шдра> ~ Ар - дрСх,	(4.200)
где щ = ехр(а) « 1 д- а. Сравнивая это с преобразованием (4.198), мы заключаем, что
а^грк.(К-')каЕс;/11.	(4.201)
(Напомним, что в наших обозначениях Ар — ге.А"1и.) Поскольку при калибровочном преобразовании скалярное поле меняется по закону
<5 ф' = а)ф « ф +- афо, то
Ф —* Фо + екфк + екрк + ’1фк(Е ^‘‘Ти^/нФо-	(4.202)
Принимая во внимание, что
-гТас;/1,ф0 = Еа = (Е„, em)c"‘ - A’ume"',	(4.203)
окончательный результат может быть записан в виде
ф —» Фо + е фк + е фк — (Е ) Кат(' фк — Фо + О фк- (4.204)
5.	Доказать возможность перехода к унитарной калибровке для произвольной компактной группы G.
По построению унитарная калибровка задается условием
0о (ф — Фо) ~ 0,	(4.205)
которое означает, что отклонение поля ф от своего вакуумного значения ортогонально всем векторам Еа = —{.Тр^^фо или, эквивалентно, всем векторам е". А поскольку все генераторы являются чисто мнимыми и антисимметричными (матрицы представления произвольной компактной группы при действии на вещественные поля можно рассматривать как подгруппу SO(n) при достаточно большом п), то условие (4.205) может быть эквивалентно переписано в виде
0oTTaf;/„0-O.	(4.206)
180	Гл. 4. Неабелевы калибровочные теории
Рассмотрим теперь функцию
/(ш) = фот и>Ф.	(4.207)
заданную на группе G. В силу компактности множества G функция f{a>) имеет экстремум в некоторой точке ш0- Вблизи шо элементы группы G могут быть представлены в виде
- exp(ieaata)oiQ.	(4.208)
Поскольку производные в точке экстремума равны 0, то
_0 = ie<^o Гишоф = геф^Тас/„шоф,	(4.209)
где было принято во внимание, что при действии на вакуумное состояние генераторы малой группы дают 0. Из формулы (4.209) следует, что поле а;оф удовлетворяет условию (4.205), что и доказывает требуемое утверждение.
6.	Доказать, что в унитарной калибровке существует остаточная инвариантность относительно калибровочных преобразований малой группы Н.
В Задаче 5 было доказано существование унитарной калибровки, которая задается уравнением
ФоТа(;/нф = О.	(4.210)
Теперь необходимо проверить, что из условия (4.210) следует, что
фоТас/но>нф = О,	(4.211)
где а)н — произвольный элемент малой группы II.
Для доказательства заметим, что благодаря групповой структуре исходной группы G величина — шн'Тас./11о)н принадлежит алгебре Ли группы G (Задача 5 Части А.2) и, следовательно, раскладывается по ее генераторам с чисто мнимыми коэффициентами. Поэтому в силу инвариантности вакуумного состояния относительно действия малой группы
Фо /ннФ Фон Тас,н Ф * Фо суу 7 /уу + С<1 цТ,,н Ф 9
(4.212) благодаря условию (4.210) и равенству Танфо = 0.
7.	Найти спектр частиц в модели с лагранжианом
С =	+ (^Ф)+©мФ - >(Ф“Ф - г’2)2-	(4.213)
где ф — комплексное скалярное поле в фундаментальном представлении группы SU (2).
Решим эту задачу при помощи перехода в унитарную калибровку. Для этого заметим, что с помощью локальных преобразований группы SU(2) всегда можно добиться, чтобы
«•( (4'214)
4.2. Список, литературы
181
где Ф\ и </?| есть некоторые вещественные функции.
Тогда в линейном приближении по полям и Д, ковариантная производная может быть записана как
« д^ф + ieA“ у Фо =
+ ievA^/2 \
-ev(A2 - iA^/2 J ’
(4.215)
где было учтено, что генераторами группы ЗЩ2) в фундаментальном представлении являются матрицы Паули сг“, умноженные на 1/2.
Поскольку в унитарной калибровке
(ф1 Ф - г2)2 = ((ц + <£|)2 - v2^ »4г2(^1)2,	(4.216)
то в квадратичном приближении функция Лагранжа может быть записана как
С « - J(^n.)2 + ^V(A“)2 + (r/^f - 4Av2(^>)2.	(4.217)
Это означает, что в спектре теории присутствуют 3 массивных векторных поля Л“ с массами Мд = ev/yfi и одно массивное скалярное поле ipi с массой тР = 2г?\/А.
Список литературы
1.	Неабелевы калибровочные теории были впервые предложены в работе для группы SU(2~)
C.N. Yang, R.L. Mills. Phys.Rev. 96, (1954), 191.
Дальнейшее развитие теории и обобщение этой идеи на случай произвольной калибровочной группы дано в работах
R. Utiyama. Phys.Rev. 101, (1956), 1597;
S.L. Glashow, M. Gell-Mann. Ann. of Phys. 15, (1961), 437.
2.	R. P. Feynman. Proceedings of the 3rd Topical Conference on High Energy Collision of Hadrons, Stony Brook, N. Y. (1969).
3.	O.W. Greenberg. Phys.Rev.Lett. 13, (1964), 598.
H.H. Боголюбов, Б.В. Струминский, A.H. Тавхелидзе. ОИЯИ, 1965, препринт Д-1968.
M.Y. Han, Y. Nambu. Phys.Rev. В 139, (1965), 1006.
4.	J. Pati, A. Salam. Phys.Rev. D8, (1973), 1240;
Н. Fritzsch, М. Gell-Mann, Н. Leutwyller. Phys.Lett. B47, (1973), 365;
S.	Weinberg. Phys.Rev.Lett. 31, (1973), 494.
5. D.J. Gross, F. Wilczek. Phys.Rev.Lett. 30, (1973), 1343;
H.D. Poiitzer. Phys.Rev.Lett. 30, (1973), 1346.
6. S. Weinberg. Phys.Rev. D7, (1973), 1068.
Глава 5
СТАНДАРТНАЯ МОДЕЛЬ СИЛЬНЫХ И ЭЛЕКТРОСЛАБЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
5.1. Структура Стандартной модели
Стандартная модель Вайнберга-Салама-Глешоу [1] описывает электромагнитные, слабые и сильные взаимодействия элементарных частиц при достаточно низких энергиях. Эта модель основана на теории полей Янга-Миллса с калибровочной группой 5(7(3) х 5(7(2) х (7(1) и некоторым набором материальных полей.
Калибровочные поля, которые соответствуют ненарушенной группе 5(7(3), являются ответственными за сильное взаимодействие. Группа SU(2) х (7(1) описывает единую теорию электрослабого взаимодействия. При низких энергиях она спонтанно нарушается до группы (7(1)эы, соответствующей классической электродинамике. При этом необходимо заметить, что ненарушенная группа (7(1 )•„, не совпадает с группой (7(1) в прямом произведении 5(7(2) х (7(1).
Фермионный сектор стандартной модели состоит из лептонов (электрона, д-мезона и т-мезона), трех нейтрино (р(;, рт) и шести кварков (и, (I, s, с, Ь и (). Как уже говорилось в Части 4.1.3, кварки являются составными частями адронов и экспериментально в свободном виде не наблюдаются.
5.2. Бозонный сектор Стандартной модели
Напомним, что бозонами называются частицы с целыми значениями спина. В бозонном секторе Стандартной модели содержатся поля Янга-Миллса, соответствующие всем трем сомножителям калибровочной группы, а также скалярное поле ф, которое описывает спонтанное нарушение 5(7(2) х (7(1) симметрии до (7(1) Это скалярное поле ф преобразуется по тривиальному представлению группы 5(7(3) и фундаментальному представлению группы 5(7(2). Поэтому его можно записывать в виде столбца
(5.1)
5.2. Бозонный сектор Стандартной модели
183
который не меняется при 5(7(3) преобразованиях и умножается на wS(/(2) при SU(2) преобразованиях. Закон преобразования этого поля по отношению к группе [/(1) будет указан далее.
Бозонный сектор теории описывается следующим лагранжианом:
£ = - - F2
л1 III
1 / \2 1 / \2
— I Ра I — — I F“ I I
4 UUSUm) 4^' Л" SCH3) J "г +Р11ф-Р11ф- Х^ф-v2)2, (5.2)
где
^uusum = диА"sum ~	sum +
Ff^sum = ^Avsum —	+
si'(2) ’	’
А Л
sum' vsum, '
(5.3)
Вид ковариантной производной скалярного поля определяется законом его калибровочного преобразования:
Т>^ф = д^ф +	+ ie^ яит^ф,	(5.4)
где е| и С2 — константы связи для групп (/(1) и 5(7(2) соответственно. (Поскольку поле ф инвариантно относительно 5(7(3) преобразований, то соответствующее калибровочное поле не входит в ковариантную производную.) Наличие члена с > указывает на то, что поле ф нетривиальным образом меняется при (7(1) преобразованиях. Коэффициент перед этим калибровочным полем представляет собой некоторую константу, записанную в виде, наиболее удобном в дальнейшем.
Вакуумное состояние будем выбирать в виде
/ О
0о = I v
(5.5)
Очевидно, что вакуум 50 инвариантен относительно действия малой группы (7(1), генератором которой является матрица
1 0 о о

(5.6)
Именно эта группа соответствует обычным калибровочным преобразованиям в электродинамике, которая представляет собой низкоэнергетический предел электрослабой теории. Поэтому далее часто мы будем обозначать ее через (7(1)эм.
184 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Для исследования спектра частиц удобно от исходных генераторов перейти к набору	где ta = а также ввести обозначения
в = С] cos(5.7)
(Далее будет показано, что определенная таким образом величина е положительна и равна заряду позитрона.) Эквивалентно равенства (5.7) можно переписать в виде
tg^v = -; е= 1!^.	(5.8)
При этом параметр /ц/ называется углом Вайнберга. Тогда, как показано в Задаче 1, ковариантная производная скалярного поля может быть записана в виде
1>рф = д»Ф +	~ ^wZ^tA(b +
+ е21У/'ti(f> + e<1W^ (5’9) \ Сив U VV	/
где поля A),, Ztl и 1Т/ определяются соотношениями
Z.. = -sini?wA/t[/<1) -c()si?h/A3sl,(2;;
W,l=A' ; IV2 = A2 .	(5.10)
Как обычно, исследование спектра частиц наиболее удобно проводить в унитарной калибровке. Как показано в Задаче 2, в рассматриваемом случае выбор унитарной калибровки означает, что поле ф записывается в виде
Ф = |	9	| ,	(5.11)
\ v Г г	v
где $ — некоторое вещественное скалярное поле. Там же построено выражение для функции Лагранжа бозонной части электрослабой теории в квадратичном приближении и проанализирован спектр теории. Он оказывается состоящим из безмассовых 5(7(3) калибровочных бозонов (т.н. глюонов), безмассового векторного поля фотона Ам, 3 массивных векторных полей ИЛ, и с массами
P.2V mw =
V2
e?v mw
mZ —	-------- = ----з—-
v2 cosiAv cos wjv
(5.12)
и массивной скалярной частицы с массой т,? = 2\/Ац, которая называется хиггсовским бозоном. Этот результат с очевидностью следует
5.2. Бозонный сектор Стандартной модели
185
из теоремы Хиггса, поскольку в теории существует единственный генератор tA, который обнуляет вакуумное состояние и, следовательно, соответствует безмассовой векторной частице. Три оставшихся генератора не дают 0 при действии на вакуум фо и поэтому соответствуют массивным векторным частицам.
В 1983 году W и Z бозоны были обнаружены экспериментально [2]. Численные значения их масс оказались равными тщ ~ 80,40 ГэВ, mz ~ 91, 19 ГэВ. Однако эти частицы не являются стабильными и распадаются за время порядка 10-25 секунды. Значение квадрата синуса угла Вайнберга, измеренное на массе Z-бозона *), есть sin2$n/ ~ 0,23119. Сильная и электромагнитная константы связи на массе Z-бозона равны аз(ЛГ^) ~ 0, 1187 и ~ 1/127,9. Используя эти величины, можно вычислить значение вакуумного среднего скалярного поля:
v = cosdw(,Mz)smdw(Mz)mz ~ 174ГэВ	/5 13)
х/2тга(Л/г)
Задачи
1. Переписать выражение для ковариантной производной скалярного поля с использованием генераторов (tA, t,, t2, t3), где ta — од/2.
Ковариантная производная скалярного поля определялась формулой
= д^ф + ге1Лм щ1) |ф + ге2Л“ 5Щ2) уф.	(5.14)
Из формулы (5.6) следует, что 1/2 = tA -t-j. Поэтому выражение (5.14) может быть переписано как
Т>мф = д^ф + ге2sc/(2)ti0 + ге2Л2 зи{2}Цф +
+ге|ЛМс,(|)4лф + г^-е|Л,1[;(.) + е2Л/, su{,,,) <3ф.	(5.15)
С помощью равенств
tgrAv = е = ei cos^vr н е2 sintfuz,	(5.16)
е-2
ковариантная производная (5.15) преобразуется к виду
^^ = d^ + ie2A^sumt^ + ie2Alsu t2ф + i—^A|lU{|}tЛф +
+cosdwAls Л Рлф.	(5.17)
Хми I/ру X	' ' /
9 Квантовые поправки приводят к тому, что значения констант связи и, следовательно, угла Вайнберга зависят от энергии.
186 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Определяя новые поля A/t, Z/t и в соответствии с формулой (5.10), окончательно получаем, что
Т^ф = 9р.ф + ге(л,, - XgtiwZ^t^ +
+*(• "л  Z,tt3 tiФ + 02И„ t>\Ф, (5.18)
\ COS V и 	'
где было принято во внимание, что
Л/Ч7(]) = cosi9n'A< ~ siiu9n’ZM;
^n.st'(2) =	I-cosi9h-Zp.	(5.19)
2. Записать выражение для функции Лагранжа бозонного сектора электро-слабой теории в унитарной калибровке. Исследовать спектр частиц модели.
В унитарной калибровке скалярное поле <р не должно раскладываться по векторам
Еао/Н = -Иас/нФо-	(5.20)
В рассматриваемом случае = <Ja/2 и, следовательно, для модели (5.2) эти векторы записываются в виде
г ( iv/2 А „	( -v/2 \	/ 0 \
El =	0	) ; Ei=\ 0	)’	Е^[ iv/2 ) •	(5'21>
Поэтому в унитарной калибровке
«=(„-%) <5'22>
Подставляя выражение (5.22) в лагранжиан (5.2) и используя формулу (5.9), в квадратичном приближении находим, что
t	-
- c\Z^ + —L^v% -
4	4cos i?vi'
-1яи/,1-ами/‘)2+‘йг2(и/,!)2-
-\{d^-d,AVl)‘2 + -^v\wl)2 +
+ (<W)2-4At>V.	(5.23)
Поэтому в спектре модели присутствует 8 (= dim 577(3)) безмассовых калибровочных бозонов группы 5(7(3), одно безмассовое векторное поле Лм, три массивных векторных поля 14^, И7'2 и Z., с массами
"«-И ---	!— ,	ш/. ---	!—	--- .	,
V2	V2 cos w	cos 19и/
а также одно массивное скалярное поле ip с массой = 2\/Аг>.
5.3. Фермионный сектор Стандартной модели	187
5.3. Фермионный сектор Стандартной модели
5.3.1. Состав частиц.
Фермионами называются частицы с полуцелыми значениями спина. Фермионный сектор Стандартной модели разбивается на три поколения элементарных частиц, в каждое из которых входят лептон, соответствующее ему нейтрино и два кварка — верхний и нижний. Частицы различных поколений одинаково взаимодействуют с калибровочными и хиггсовскими полями. Отличие заключается только в величине некоторых констант взаимодействия, которые затем приводят к различиям масс частиц.
Все фермионы Стандартной модели по отношению к группе Лоренца являются правыми или левыми спинорами. Интересная особенность Стандартной модели состоит в том, что правые и левые спиноры по-разному взаимодействуют с калибровочными полями, которые соответствуют подгруппе SU(2) х [7(1). А поскольку, как мы видели в Части 3.1.5, P-преобразования переводят правые фермионы в левые и наоборот, то в Стандартной модели F-инвариантность нарушается. (Более подробно это обсуждается в Задаче 2 следующего параграфа.)
Опишем поля, входящие в одно поколение:
1. Левые лептоны и соответствующие им левые нейтрино образуют столбец, который преобразуется по фундаментальному представлению группы SU(2) и не меняется при преобразованиях группы SU{3) (т.е. соответствует ее тривиальному представлению). Для первого поколения этот столбец состоит из спинора, описывающего левый электрон, (далее, для краткости, — просто левого электрона) и левого электронного нейтрино:
(5.25)
(Поскольку в Стандартной модели достаточно много различных частиц, то для удобства спинор, который соответствует той или иной частице, мы будем обозначать так же, как и саму эту частицу. Например, теперь волновую функцию электрона мы обозначаем через е, тогда как ранее в Части 3.1.4 она обозначалась через ф.)
Для второго поколения аналогичный столбец образован /г-мезоном и мюонным нейтрино, а для третьего — т-мезоном и т-нейтрино. Часто будет удобно использовать следующие обозначения:
v
г
в1 = (в, ц, т
(5.26)
188 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
где индекс I, пробегающий значения от 1 до 3, нумерует поколения элементарных частиц. В таких обозначениях столбец левых лептонов будет записываться в виде
(5.27)
2. Правые лептоны, например, правый электрон
е/г =2^ 'гТ5)е.
(5.28)
являются скалярами относительно групп SU(2) и 5(7(3). В минимальном варианте Стандартной модели правое нейтрино отсутствует. Тем не менее, далее будет показано, что для объяснения экспериментально обнаруженных осцилляций нейтрино его все же необходимо добавить в теорию. Кроме того, как мы увидим далее, наличие правого нейтрино позволяет легко объяснить, почему нейтрино имеет очень малую массу. Правые нейтрино
"Л = 2 О
(5.29)
никак не меняются при калибровочных преобразованиях группы 5(7(3) х 5(7(2) х (7(1).
3. Левые кварки преобразуются по фундаментальному представлению группы 5(7(2) и фундаментальному представлению группы 5(7(3). Первое поколение включает в себя кварки и и d. Их можно записывать в виде столбца
(5.30)
Каждый его элемент вновь представляет собой столбец, на который действует группа 5(7(3):
U =	U-2
\ и3
d = I
\ di
(5.31)
Таким образом, по сравнению с лептонами кварки несут дополнительный индекс а= 1,2,3, который называется цветом. Как мы уже говорили, кварк ф] называется красным, ф2 — зеленым, ф3 — синим.
Для второго поколения столбец, аналогичный (5.30), образуется с и s кварками, а для третьего — t и b кварками.
5.3. Фермионный сектор Стандартной модели
189
4. Правые кварки являются скалярами относительно группы SU(2) и преобразуются по фундаментальному представлению группы 5(7(3). Например, для первого поколения
1 [ Ul \ ин = х(! +7э) и2 ; \ и3 /
1	( di \
dp = ^(l +75) М2 •
2	\d3J
(5.32)
В кратком виде приведенная выше информация о составе частиц Стандартной модели собрана в таблице 5.1. (Величины заряда по группе (7(1), приведенные в таблице, будут получены далее.) При обозначении частиц индекс I указывает номер поколения, а индекс а — цвет.
Таблица 5.1 Состав частиц Стандартной модели
Название частиц	Обозначения	5(7(3)	5(7(2)	Заряд (7(1)
Скалярные поля	/ 51 \ \Фг )	1	фунд.	1/2
Левые лептоны	\ ед /	1	фунд.	-1/2
Левые кварки	( H-aL \ \ d^aL /	фунд.	фунд.	1/6
Правые лептоны		1	1	-1
Правые нейтрино	"к	1	1	0
Правый верхний кварк	UaR	фунд.	1	2/3
Правый нижний кварк	d'a Н	фунд.	LL	-1/3
5.3.2. Лагранжиан лептонного сектора.
Следующей задачей является построение функции Лагранжа, инвариантной относительно локальных калибровочных преобразований группы 5(7(3) х 5(7(2) х (7(1) и воспроизводящей при низких энергиях лагранжиан классической электродинамики.
190 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Рассмотрим вначале лептонный сектор. При этом пока мы ограничимся минимальным вариантом Стандартной модели, в котором отсутствует правое нейтрино. Как мы увидим далее, такой вариант исключается современными экспериментальными данными, однако, он более наглядно позволяет понять наиболее характерные особенности электрослабого взаимодействия. Эффекты, связанные с существованием правого нейтрино, будут рассмотрены в Части 5.5.1.
С использованием доказанных в Части 3.1.5 тождеств ')
00 = фьфр + Фрфь',
- ФгСУ^^в,	(5.33)
несложно формально построить инвариантную и вещественную функцию Лагранжа, которая будет давать в низкоэнергетическом пределе стандартный дираковский лагранжиан для заряженных лептонов и, в частности, для электрона:
£.|епт = i( prL e‘L f	-	(5.34)
V 7	\ eL J
-(К)„(	- (П+Мг( Ф1 02 ) (	'
Здесь (Ye)[j — некоторая, вообще говоря, комплексная матрица из безразмерных констант юкавского взаимодействия. (Юкавским называется взаимодействие фермионов со скалярным полем вида ффф.) Поскольку левые и правые фермионы входят в лагранжиан (5.34) несимметрично, то /-"-инвариантность является нарушенной. (Впервые нарушение четности было обнаружено в работах [3].) Однако (если не добавлять слагаемые с правым нейтрино) этот лагранжиан является инвариантным относительно CP-преобразований. Для того чтобы в этом убедиться, вначале заметим, что при преобразованиях
(-»(Aey.i РЛ;	(5-35)
\ eL )	\ eL J
где Ас и Ве — некоторые унитарные матрицы, матрица Ye переходит в А~1УеВе, а остальные слагаемые в функции Лагранжа остаются неизменными. В Задаче 1 показано, что с помощью таких преобразований можно единственным образом привести матрицу Ye к диагональному виду, причем на главной диагонали будут стоять вещественные положительные числа. Поэтому в минимальном варианте Стандартной
') Напомним, что в наших обозначениях операция дираковского сопряжения выполняется последней: wR = (pl’u).
5.3. Фермионный сектор Стандартной модели	191
модели матрицу Ye без ограничения общности можно считать вещественной, диагональной и положительно определенной. В Задаче 2 показано, что в этом случае рассматриваемая часть функции Лагранжа будет С-Р-инвариантна. Слагаемые с юкавским взаимодействием приводят к появлению следующих масс у электрона, /г-мезона и т-мезона (Задача 3):
те ц(Уе)ц; m^=v(Yf,)22; тТ = г (Уе)зз- (5.36)
Однако вернемся вновь к функции Лагранжа (5.34), построение которой еще не завершено. Дело в том, что пока еще не выписаны выражения для ковариантных производных, поскольку для этого необходимо знать, каким образом группа 5(7(3) х 577(2) х (7(1) действует на поля и сн. При 5(7(3) преобразованиях лептонные поля никак не меняются, благодаря чему соответствующее калибровочное поле не должно входить в ковариантные производные. Закон калибровочных преобразований при 5(7(2) преобразованиях определяется представлением, в котором находится соответствующее поле, и, очевидно, имеет вид
j :	(5-37)
(Правые лептоны при таких преобразованиях остаются неизменными.) Тем не менее весьма нетривиальным оказывается вопрос об инвариантности действия по отношению к группе (7(1). Дело в том, что лагранжиан (5.34) инвариантен относительно глобальных преобразований более широкой группы х (7(1):
Ф е1п^'2ф- (5.38)
('11 -> (-
Ф Ф.
(5.39)
в cr,
В принципе, калибровочная группа (7(1) может быть отождествлена с произвольной однопараметрической подгруппой (7(1) х (7(1). Другими словами, она, вообще говоря, может быть произвольной комбинацией преобразований (5.38) и (5.39) с в = са, где с — некоторая постоянная. Ответ на вопрос о том, какая группа (7(1) является локальной, может быть получен на основе анализа электрических зарядов частиц. Мы знаем, что в электродинамике правый и левый электроны одинаковым образом взаимодействуют с электромагнитным полем. Действительно, как следует из результатов Части 3.1.4, взаимодействие электрона и фотона описывается слагаемым
(5.40)
192 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Кроме того, в соответствии с экспериментальными данными, нейтрино имеет нулевой электрический заряд.
Электродинамика должна возникать в низкоэнергетическом пределе Стандартной модели. При этом поля, соответствующие тяжелым векторным бозонам и W^'2, а также тяжелое хиггсовское поле <р, в этом пределе можно считать равными 0. Исследуя взаимодействие фотонного поля Afl с электроном и нейтрино в этом предельном случае (все детали вычисления приведены в Задаче 4), получаем, что правильные электрические заряды элементарных частиц будут в случае, если локальной оказывается инвариантность (5.38):
e~ie'aum/'2 ( l'L \- ере~г'е,о"('
\еь J	\eL ) '
ф	- дцаЩ1}.
(5.41)
Отсюда следует, что ковариантные производные спинорных полей имеют следующий вид:
Г. ( е,. ) =	( Й ) ;
= dfLen - ге[АЛг7(1)е/г.
(5.42)
Кроме того, в Задаче 4 показано, что в низкоэнергетическом пределе, когда можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими тяжелые массивные поля HZM, и <р, функция Лагранжа (с учетом бозонной части) сводится к классической электродинамике, полям /л- и т-мезонов, а также свободным полям нейтрино:
з
£ =	+ 52	- тгеёгег + 1^(1 +	(5.43)
где
Т^це1 = (д^ - ieA^e1.
(5.44)
Отсюда, в частности, следует, что постоянная е, формально введенная в формуле (5.8), оказывается равной модулю электрического заряда электрона.
Заметим теперь, что поскольку матрица Ye в минимальном варианте Стандартной модели всегда может считаться диагональной, то инвариантность лептонного лагранжиана оказывается еще шире: преобразования (5.39) можно выполнять для каждого из трех поколений в отдельности, благодаря чему минимальный вариант Стандартной модели
5.3. Фермионный сектор Стандартной модели
193
имеет глобальную инвариантность относительно /7(1) х /7(1) х /7(1) преобразований. Эта инвариантность приводит к сохранению трех токов, например,
= gy'e + |ре( 1 +75)7/xi/e	(5.45)
для первого поколения. Соответствующие заряды, например, для первого поколения
<Эл, = (е+е + ^+(* ~	(5-46)
представляют собой лептонные числа, которые точно сохраняются в минимальном варианте Стандартной модели.
Задачи
1. Доказать, что произвольная невырожденная комплексная матрица У с помощью преобразования У —> Д”'УВ, где А и В — некоторые унитарные матрицы, может быть одновременно сделана диагональной, вещественной и положительно определенной.
Рассмотрим матрицу УУ+. Эта матрица с очевидностью является эрмитовой, а следовательно, может быть приведена к диагональному виду некоторым унитарным преобразованием:
A~lYY~A = D2,	(5.47)
где D2 — диагональная матрица, состоящая из собственных значений матрицы УУ+, которые являются вещественными и строго положительными, а А — унитарная матрица. Положим также, что на диагонали матрицы D стоят только положительные числа. Представим теперь матрицу У в виде
Y = ADB~\	(5.48)
где В = Y~lAD. Подставляя это в уравнение (5.47) получаем, что
DB~\B~}y D = D2.	(5.49)
В силу очевидной невырожденности матрицы D отсюда следует, что В+В = 1, что и доказывает требуемое утверждение.
2. Доказать инвариантность действия, соответствующего лагранжиану (5.34), относительно СР-преобразований.
Вначале рассмотрим первые два слагаемых лагранжиана (5.34), которые соответствуют взаимодействию спинорных полей с калибровочными. Для краткости мы будем исследовать закон преобразования слагаемого с левыми фермионами. Слагаемое с правыми фермионами может быть рассмотрено аналогично.
7 К. В. Стенаньями
194 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Поскольку при Р преобразованиях -у/(£,х) — г'7°^(1, — х), П(£,х) -= —гф(р — х)7°, а поле А,, преобразуется по тензорному закону с A/J„ = diag(l, -1, —1, —1), то при пространственной инверсии
у </4а?^д707'170Л1[('тРст^н(/„-х) = j (Г’хф^Р^фнф,^.). (5.50)
(Последнее равенство получается после замены переменной х —> —х.) После этого применяем к результату операцию зарядового сопряжения, при которой (см. Части 3.1.4 и 4.1.1)
С: Ац A*; ц-фх -Х^Ф'. vYxsX ХА^Ф- (5.51)
(Здесь мы считаем, что А,, является элементом алгебры Ли калибровочной группы.) При этом нам будет удобно явно выписывать индексы, соответствующие калибровочной группе:
С : J ,Г.,с.-ГР,\ I	-
У <^х {д^ф, + Тр/А* )у)7Р(1 - 7а)трг =
= - J d4x (д^фь + tplA~)7m77 = - У (Ф'хРуф^фь- (5.52)
Интегрируя последнее слагаемое по частям, убеждаемся в инвариантности рассматриваемых слагаемых относительно СР-преобразований. Поэтому остается рассмотреть только слагаемые с юкавским взаимодействием. Вначале мы совершим пространственную инверсию, при которой
Р : Yu У d<x 4) (	) 4 Ул; J d'x (и1, ё')7° ( £ ) х
х|(1-7з)7°е7 = УЛ; / <4(4 4) ( Ф' V.	(5.53)
2	J \	/ \ ^2 /
После этого к результату применяем операцию зарядового сопряжения, при которой
С: Фх^хФ', Фх>Х ХрФ'< Ф^ф”-	(5.54)
С помощью этих формул получается, что
С : Yu У d*x (4, 4) ( Ф'2 ) еь - (VT).;/ J d4xeJR (	( gl ) •
L(5.55)
5.3. Фермионный сектор Стандартной модели	195
Поэтому инвариантность действия будет иметь место в случае, если Yu = У/}. Заметим, что если элементы матрицы У не являются вещественными, то СР-симметрия будет нарушаться.
3. Доказать, что слагаемые с юкавским взаимодействием приводят к появлению масс у электрона, //-мезона и т-мезона, а также вычислить эти массы.
В основном тексте было показано, что матрицы юкавского взаимодействия для лептонов в минимальном варианте Стандартной модели можно считать диагональными, вещественными и положительно определенными. В этом случае в квадратичном приближении юкавские слагаемые могут быть записаны следующим образом:
(КЦ ё£ ) (	) eJH + (К1 )л/ёЦ У ф2* ) (	»
« £ v (Уе)п (ё[е'я + ёИ) = £ v (К)п ^е1,	(5.56)
7=1	7=1
где было учтено, что вакуумным значением скалярного поля будет
Фо =
(5.57)
Из формулы (5.56) следует, что электрон, /z-мезон и т-мезон приобретают массы те = ц(Уе)и, = v(Ye)22, rnT = v (Уе)33 соответственно, а нейтрино остается безмассовым.
4. Доказать, что если в низкоэнергетическом пределе модель с лагранжианом, составленным из (5.2) и (5.34), сводится к классической электродинамике, то симметрия (5.38) должна быть локальной, а симметрия (5.39) — глобальной.
Предположим, что локальной является симметрия
( VL \ m/2-ЦЗ ( VL
—> е
\ C-L )	\ eL
eR^e~^^eR-	(5.58)
где а(х) = cQeia(7 , (х) и /3(ж) = c,geiat,(l)(а?). Тогда несложно проверить, что ковариантные производные правых и левых фермионов должны быть записаны в виде
( ед ) - (A +ie2?1MsL'(2) у - «;i(c„/2 + сй)ЛМ[7(| J	;
= дцСн ~ iei(c„ + c0)Afl и0)ец,
(5.59)
если при калибровочных преобразованиях X/ZL,(1) —> ~®i‘auw (В этом случае под действием преобразований из группы (7(1) ковариантная производная будет изменяться точно так же, как и поле, на которое она действует.)
7*
196 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
В низкоэнергетическом пределе поля W,. и <р, имеющие большую массу, можно считать равными 0. Тогда, принимая во внимание формулы (5.7) и (5.19), получаем, что при низких энергиях A^2S « 0, а
eiX,i(7(1) « ei cost?mMm = еЛм; е2Л^ L,(1) и е2 costfwА,, = еАИ. (5.60)
Поэтому бозонную и лептонную части лагранжиана (выражения (5.2) и (5.34) соответственно) при малых энергиях можно переписать в виде
г-i	\	V
где — тензор напряженности фотонного поля Лм. (Здесь не было выписано слагаемое, содержащее тензор поля для группы 5(7(3), поскольку соответствующие калибровочные поля с лептонами не взаимодействуют.)
Низкоэнергетическая теория должна переходить в электродинамику (с учетом наличия р- и т-мезонов) и, следовательно, описывать дираковские спиноры е1, взаимодействующие с абелевым калибровочным полем. Поэтому поля е£ и ед должны одинаково взаимодействовать с калибровочным полем Ар. Кроме того, должны присутствовать нейтрино, не имеющие электрического заряда. В силу формулы (5.61) это означает, что
!1	1	п
(5.62)
I 1
~	2	’
откуда следует, что са = 1, ед = 0. При этом в низкоэнергетическом пределе
С- =	+ У2 ] ie'(de -геА^е -теее + ^i/(l -!-75)YdfJur >,
i=i I	)
(5.63) где было учтено, что
= 1(1 - 75)г/.	(5.64)
5.3.3. Лагранжиан кваркового сектора.
Кварки являются составными частями мезонов и барионов. При этом, как мы уже говорили в Части 4.1.3, заряды верхних кварков должны быть равны 2с/3, а заряды нижних кварков равны —е/3, причем электрические заряды левых и правых частиц одинаковы. ')
') В наших обозначениях е > 0.
5.3. Фермионный сектор Стандартной модели
197
(Электрические заряды элементарных частиц Стандартной модели будут приведены далее в таблице 5.2.)
Функцию Лагранжа для кварков можно строить по аналогии с функцией Лагранжа для лептонов. При этом основными отличиями (от лептонного сектора минимального варианта Стандартной модели) будут:
1.	существование правых верхних кварков;
2.	наличие масс у верхних кварков;
3.	различие в электрических зарядах частиц;
4.	существование взаимодействия кварков с калибровочными бозонами группы SU(3).
В частности, для того чтобы построить калибровочно инвариантный массовый член для верхних кварков, нам потребуется поле
(4*) 	(5-б5)
В Задаче 1 показано, что при калибровочных преобразованиях из группы 577(2) поле ф преобразуется так же, как и исходное поле ф. С использованием поля ф лагранжиан для кварковых полей может быть записан в виде
•£кварк —	(5.66)
-	*( й[ d[ (4[ ) +	+	-
-	(Yd)rj( u!l 4 ) (^) 4 -	ф* Ф1) () -
-	(гиЦ drL) ( 4г ) и* ~ Ф2 -</>, ) (	.
где индексы I и J, нумерующие поколения элементарных частиц, пробегают значения от 1 до 3, a Yu и Yd — некоторые, вообще говоря, комплексные матрицы юкавского взаимодействия. (Цветовые индексы здесь явно не выписаны.)
В Задаче 2 показано, что для того чтобы верхние кварки имели электрический заряд 2е/3, а нижние------е/3 необходимо, чтобы под
действием локальных Г7(1) калибровочных преобразований кварковые поля менялись бы по закону
Ul db
dn
— leia
1 I
198 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
uR exp
(2гв|Ск1/С1,/з) uR
(5.67)
и, следовательно, ковариантные производные кварковых полей записывались бы в виде
( db ) ~	+ бе|^м"(|) +
+ге2Л« +?е3Л“ f V,L Y 1 PSU(2) 2 d М5Г(3) 2 / \ u/, J
i	A
T^fidpi = dpdx - -eiA^^da + ie3A“ s[/(3) -£dR-,
%	A
VpUR = d^UR + -^е}Л^и(}и1{ -ie3A^si,w^u1{.	(5.68)
При этом было учтено, что кварки преобразуются по фундаментальному представлению калибровочной группы SU(3) и, следовательно, ковариантная производная должна содержать поле	Генераторы
группы SU(3) в фундаментальном представлении мы будем обозначать через Аа/2, а= 1,... ,8. Явные выражения для матриц Ха были приведены ранее в Части 4.1.3.
Существование правых верхних кварков и, как следствие, наличие двух матриц юкавских констант приводит к тому, что массовый член для кварков существенно отличается от массового члена для лептонов. Действительно, пусть преобразования с унитарными матрицами Аи, Ви, Ad и Bd делают юкавские константы Yu и К/ диагональными, вещественными и положительно определенными:
. / ти 0	0 \	.
A~'YuBu = -[ О тс 0 \=-Ми; v \ 0	0 mt ) v
. / md Q 0 \
A^YdBd=-[ 0 тв 0 ]=-Md. v \ 0	0 mb ) v
(5.69)
Однако в отличие от лептонного сектора, такие преобразования уже невозможно одновременно провести при помощи переопределения фермионных полей. Действительно, если, например, сделать замену
иь di
(АиУj (
UL dl
urR - (BuyjUJR- d’R (Bd)rjdi, (5.70)
5.3. Фермионный сектор Стандартной модели
199
то легко проверить, что массовый член для фермионных полей будет записываться в виде
й‘ (Mu)rjuJ + d‘L (VMd)rjdR + dR (VMd)+rJd{, (5.71) где V = A~lAd — т.н. матрица Кабиббо-Кобаяши-Маскава [4, 5]. При этом массовая матрица для верхних кварков оказывается вещественной и диагональной, а массовая матрица для нижних кварков по-прежнему остается недиагональной и комплексной. Как следствие (см. Задачу 2 предыдущего параграфа), если мнимая часть V отлична от 0, то нарушается инвариантность действия относительно СР-преобразований. Нарушение CF-инвариантности было установлено экспериментально [6]. (Далее мы рассмотрим, какие величины характеризуют величину этого нарушения.) Аналогичным образом, если в формуле (5.70) заменить Аи на Ad, то массовая матрица будет диа-гональна для нижних кварков и недиагональна для верхних. Поэтому массовые матрицы для верхних и нижних кварков в общем случае не могут быть одновременно приведены к диагональному виду.
Если определить поля dR'J как
з	з
d^’ = <5-72) j-1	j=i
то в их терминах массовое слагаемое станет диагональным:
з
£ d[md (M^jdi + 4 (M^d™J.	(5.73)
При этом в силу унитарности матрицы V слагаемые с обычными производными полей d останутся неизменными, но, как несложно видеть, взаимодействие кварков с заряженными калибровочными бозонами уже не будет являться диагональным по поколениям.
В силу существования недиагональных членов в матрицах юкав-ских констант, лагранжиан (5.66), в отличие от случая лептонного сектора, имеет только одну глобальную симметрию:
j.	f и1 \ i'i/З ( иГ \
Ф^Ф' \d!)L^e' [dr)L u!r el0/iulR- dlR el0/3d‘R,
(5.74)
которая одинаковым образом действует на кварки всех поколений. Соответствующий сохраняющийся заряд представляет собой барионное число
Qq = | I d3x + (dI)+d1^,
(5.75)
200 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
где по индексу I понимается суммирование, а коэффициент 1/3 введен для того, чтобы у барионов, которые состоят из трех кварков, было барионное число равное 1.
В случае, если рассматриваются энергии, много меньшие, чем mz, то в лагранжиане (5.66), можно пренебречь слагаемыми, которые содержат массивные векторные поля и Wfl, а также считать скалярное поле равным своему вакуумному среднему. После этого взаимодействие кварков будет эффективно описываться лагранжианом
1	\ 2	1
£ = 4	” 4^	А*£ЩЗ) +	~
3
(5-76) 3\h
где через ipj обозначены дираковские спиноры, описывающие верхние и нижние кварки,	— д^А^, а — электромагнитное
поле. Суммирование производится по всем кварковым полям, причем q = 2е/3 для верхних кварков и q = —е/3 для нижних кварков. Массовые члены для полей кварков возникают из слагаемых с юкавским взаимодействием в исходном лагранжиане, причем после замены скалярного поля на его вакуумное среднее получается, что mu = vRe(Yu)[j, а пц — Im(Yu)/j для верхних кварков и mrj = T’Re(Yd)/j, а пи = vlm(Yd)[j для нижних кварков.
Т.о. в низкоэнергетическом приближении Стандартная модель воспроизводит лагранжиан хромодинамики, а также члены взаимодействия кварковых полей с электромагнитным полем. (Получаемые из Стандартной модели массовые слагаемые для кварков немного отличаются от выражений, приведенных в Части 4.1.3, что связано с наличием недиагональности массовой матрицы и существованием СР неинвариантных членов.)
Задачи
1. Доказать, что при калибровочных преобразованиях столбец ф, определенный формулой (5.65), меняется по тому же закону, что и поле ф.
Поле ф может быть выражено через поле ф следующим образом:
Ф =
0	1 W Ф1 \ _  ,*
-1 0 ) ( фГ2 ) ” г(Т2ф 
(5.77)
При калибровочных преобразованиях из группы SU(2) поле ф преобразуется по закону ф —» шф = (амем)ф, где е,, = (io, 1), а — вещественные параметры, удовлетворяющие условию а( = 1 (см. формулу (А. 16)). Используя свойства матриц Паули, несложно проверить справедливость тождества
сг2см — е/г<72,
(5.78)
5.3. Фермионный сектор Стандартной модели
201
из которого следует, что
ф —» мг^иСф’ =	= и>ф.
(5.79)
Таким образом, поле ф при калибровочных преобразованиях действительно меняется точно так же, как и поле ф.
2. Исходя из известных величин электрических зарядов верхних и нижних кварков, установить, как действуют локальные (7(1) калибровочные преобразования на кварковые поля. Записать выражения для ковариантных производных кварковых нолей.
Несложно убедиться, что лагранжиан (5.66) инвариантен относительно глобальных преобразований из группы (7(1) х (7(1):
du —> ехр(—ia - i0) <7д;	ид —> ехр(—iff) ?/д;
—> ехр(—ia/2 — i/3) (
ф —> ехр(га/2) ф.	(5.80)
Как мы уже выяснили ранее, при локальных 17(1) калибровочных преобразованиях
ЛмГ7(1) - Ахщ.) - д1‘аиоф’ Ф ^{ie\auw/2^.	(5.81)
откуда следует, что а(х) = eiat7(1) (х). Будем также считать, что при локальных калибровочных преобразованиях = С/зеГ(])а0.(])(ж), где ср — некоторая постоянная. Поскольку кварки преобразуются по фундаментальному представлению группы 5(7(3), то ковариантные производные кварковых полей будут записываться в виде
+ie<)Aa h +ie-,Aa гМ ( U,L \
V^dit - d^dn - ie] (1 + c0)AtluO}dK + ге3Л“5(;(3) уйд;
Т)ция = д^ик - ге|СбЛмг;(1)ид + ге3Л“ s[/(3) уПд,	(5.82)
где через Аа/2 обозначены генераторы группы 5(7(3). Исследование низкоэнергетического предела этого выражения производится аналогично случаю лептонного сектора, подробно рассмотренного в Задаче 3 предыдущего параграфа. Там было показано, что в таком приближении можно считать, что ^51/(2) = °- ^мьъ-(2) =	и = cos-dwAf,. Если при этом учесть,
202 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
что е = eicosdw ~ ezsin-dw, то слагаемые, описывающие взаимодействие кварков с электромагнитным полем, перепишутся в виде
£ Ь( 4	+ l-eAfl ( J _°i ) -
7 = 1 I	\	'
—ге( 1/2 + сд)Ам f * ? Ш +
\ v 1 / / \ /
- ге(1 + c^A^dh +	- iec0Aj\u'R >.	(5.83)
Поскольку электрические заряды верхних кварков равны 2е/3, а нижних — —е/3, то (с учетом второго тождества в (5.33)) коэффициент eg должен удовлетворять уравнениям
2	1
-с/3=-;	-\-С/3 = --,	(5.84)
из которых следует, что сд = —2/3. Подставляя это значение в формулы (5.80) и (5.82), получаем законы преобразования кварковых полей под действием калибровочной группы £7(1) в форме (5.67) и ковариантные производные кварковых полей в форме (5.68).
5.3.4. Матрица Кабиббо-Кобаяши-Маскава.
Исследуем теперь более подробно структуру матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава V = А~] Ad, которая была построена в предыдущем параграфе. В силу унитарности матриц Аи и Ad она также является унитарной. В Задаче 1 показано, что с помощью некоторых преобразований кварковых полей матрица V может быть приведена к виду [7]
/	i	0	0	\	/
V —	I	0	(?23	®23	I	I
\	О	-S23	С23	/	\
/	С12С13
= I -С235|2 - С|2в23«1зе
\ «12823 - ^12^238136^
С]3	0 s13e м \
0	10
-«13ег<5 0	с13 /
81203
С12С23 - 5]2523«13е
-C12-s23 ~ f‘23S12-s13e
/	с12	S12	0	\
(	-812	С12	О I	=
\	о 0	1/
813е“г<5 \
c13,s-23	, (5.85)
0.3023 /
г 8
9 ,	9 ч
где с“ «$*“ = 1.
Из экспериментальных данных об элементах этой матрицы [8] следует, что она обладает некоторой иерархической структурой: 813 < 8'23 < 8]2 << 1. При этом можно рассмотреть величину А = s12 как малый параметр. Определяя величины А, А, р и ту формулами
•si2 =	823 = ЛА2; 8]3ег<5 = ЛА3(р + ip),
(5.86)
5.3. Фермионный сектор Стандартной модели
203
можно приближенно записать матрицу Кабиббо-Кобаяши-Маскава в форме Вольфенштейна [9]:
/	1 - А2/2 А	АА3(р-г?7) \
-А 1 — А2/2 ЛА2 + О(А4),
\ АА3(1 — р — ip) -ЛА2 1	)
где
(5.87)
\ __ л лог7-1-0,0009.
А — U, ZZO/ —0.0010’
— О |од+0.032.
р — U, 1W_00i6,
Л = О,814-о°2°221;
/7 = 0,358t£g;f.
(5.88)
(По построению такая матрица является унитарной с точностью до членов порядка А3, что проверено в Задаче 2.) Также можно определить комплексный параметр
p + irj=-^.	(5.89)
V21 *23
После подстановки в эту формулу элементов матрицы Кабиббо-
Кобаяши-Маскава получается, что
у7! - А2 (р + ip)
р + ip =
/Г- А2 А4 +	- А2 А2А4(р + ip)
(1-A2/2)(p + iz/). (5.90)
При этом экспериментально ~р = 0, 135^о’о?б’ р = 0, 349jZo’oi?• Эти 11аРа' метры имеют очень простую геометрическую интерпретацию. В силу унитарности матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава справедливо соотношение
^УГз-ВДз + ВДз^О.	(5.91)
Геометрически это равенство можно представить как треугольник на комплексной плоскости, который называется треугольником унитарности. Удвоенная площадь этого треугольника, вычисленная в Задаче 3, называется инвариантом Ярлског [10]:
J = Im(Vn V22V]2К*) = c12si2Ct3-si.3c23S23sinS = (3,O5_q2o) • 10 °.
(5.92) Деля все стороны треугольника унитарности на V21V/3, получаем, что одна из его сторон будет равна 1, а другая окажется равной р + ip, см. Рис. 5.1.
Заметим, что унитарность матрицы V позволяет написать еще 5 соотношений, аналогичных формуле (5.91), каждое из которых можно графически представить в виде треугольника на комплексной плоскости. В Задаче 3 показано, что площади всех этих треугольников унитарности оказываются равными половине инварианта Ярлског J.
204 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Рис. 5.1. Треугольник унитарности
Важно заметить, что поскольку J пропорционален sin <5, он отличен от 0 тогда и только тогда, если имеет место нарушение CP-инвариантности. Фактически инвариант Ярлског представляет собой меру нарушения CP-инвариантности, которая не зависит от конкретного вида параметризации матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава.
Задачи
1.	Доказать, что можно переопределить поля кварков таким образом, чтобы матрица Кабиббо-Кобаяши-Маскава V имела вид (5.85).
Поскольку V = Ай1 Ad, где Аи и Ad — унитарные матрицы, то матрица V также унитарна. Запишем ее в следующем виде:
V = exp{—ia) У'ехр(г/3) =
е
О
О
О e~iai22
О
ег/3ц
О о
о eifl22
О
о
о
е»Оз
(5.93)
о о
где а и /3 — вещественные диагональные 3x3 матрицы, причем без ограничения общности можно считать, что tr 0 = 0. Очевидно, что можно выбрать матрицы а и 0 таким образом, чтобы det V' = 1, а элементы У/,, V(2, У23 и У33 были бы вещественными.
Обозначим У|'3 = где s13 и 6 — вещественные числа. В силу условия унитарности У+У = УУ+ = 1 справедливы следующие равенства:
1 = (W, )2 + (У/2)2 + | У.'з |2;	1 = | У1'з |2 + (У2з)2 + (‘Из',)2.	(5.94)
Если положить cf3 = 1 — S|3, то отсюда будет следовать, что
Оз = (V/,)2 + (У'2)2; оз = (У23)2 (Кзз)2-	(5.95)
Тем самым матрица У' может быть представлена следующим образом:
,	/ ОЗО2 C13S12 S13C \
У; = I	У2'|	У22	Оз«гз	1 =
X	Кз',	У32	С|3с23	/
/1	О	0 \	/	0,3	0	sise-"5	\	/	02	S12	0	\
= I 0 Оз Оз j I 4V2i W22 О j I — s\2 С12 О I , (5.96) X 0	—82з	Оз /	X	И/31 W32	Оз	/	X	О	О	1	/
5.3. Фермионный сектор Стандартной модели
205
где S|2 + С|2 — 1; 82з + С23 — 1. а
W21	И^22 \	/ 023 — 823 \ ( W1
IV31	W32 J	\ 823	023 J \ Wj
V22
V3'2
С12 —812
812	С12
(5.97)
Заметим теперь, что матрица
/ С1з 0 вне 15
W =	W21 W22	О
\ И/з] И/32	С1з
(5.98)
должна быть унитарной и иметь единичный определитель, поскольку все остальные сомножители в формуле (5.96), а также матрица V' являются унитарными матрицами с единичным определителем. Как следствие условия унитарности, различные строки (или столбцы) матрицы W должны быть ортогональны друг другу, а сумма квадратов модулей элементов каждой строки (или столбца) равна 1. Условие ортогональности первой и третьей строк приводит к равенству W31 = — sise"5. Равенство 1 суммы квадратов модулей элементов третьей строки дает И/32 = 0. Аналогичное условие для первого столбца даст И/21 = 0. Следовательно,
1 = det IV = И/22,
(5.99)
и матрицу W можно представить в виде
/	с13	0 з13е ’5 \
W =	0	1	0	.	(5.100)
\ —8|зег5 0 с,з /
Другими словами, матрицы а и 0 в формуле (5.93) можно выбрать так, чтобы матрица V' давалась бы формулой (5.85).
Совершим теперь преобразование полей
( i )	( i ) ;	(5.101)
В силу формул (5.93) и (5.71) матрица V при таком преобразовании перейдет в V. Все остальные слагаемые лагранжиана очевидно не изменятся, поскольку
( < d‘L ) - (e~ia)'j ( uJL dJL ) ;	4 - (в’13)' jdJK. (5.102)
а матрицы a, 0 и Yu диагональны.
Таким образом, мы сумели построить преобразование, которое приводит матрицу V к виду (5.85) и не меняет другие слагаемые в лагранжиане.
2.	Убедиться, что матрица (5.87) является унитарной с точностью до членов порядка А3.
Нам достаточно доказать, что матрица (5.87) с точностью до членов порядка А3 представляется в виде V = ехр(АТ), где М — некоторая антиэрмитова матрица. Возьмем
/ О
М =	— А - А3/6
\ АА3(1/2 - р - iy)
А +А3/6 О -АА2
AX\-\/2^p-ip) АА2
О
(5.103)
206 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Тогда
ехр(ЛТ) = 1 + М ч- 1-М2 + ’ М3 -ь О(А4) =
/	1 - А2/2 А АА3(р-гг/)\
=	-А 1 — А2/2 ЛА2 + О(А4), (5.104)
\ .4А3(1 -р-гт]) -ЛА2 1	/
что и доказывает требуемое утверждение.
3. Доказать, что площади всех унитарных треугольников одинаковы и равны половине инварианта Ярлског J, определенного формулой (5.92).
Рассмотрим некоторый треугольник на комплексной плоскости, две стороны которого представляют собой комплексные числа а и Ь. Если рассматривать комплексную плоскость как плоскость ху в трехмерном пространстве, то
площадь этого треугольника будет равна половине модуля векторного произведения векторов (Rea, Im а, 0) и (Re 6, Im 6,0):
S = ^|ReaIm6 — Re 6 Im a.| = ||Im(ab*)| = ^|Im(a’b)i.	(5.105)
Подставляя в это выражение a = УпУ^, b = — У2|У2з, получаем, что
S= ~|1т(1ШзЦЖ)|.	(5.106)
В силу унитарности матрицы V справедливо равенство
УзУз - -У11У21 -	(5.107)
из которого следует, что
5=1|1т(У1|У22У12У21)| = р.	(5.108)
Аналогичным образом можно вычислить площади других треугольников и доказать, что их площади равны J/2. Например, для треугольника, задаваемого равенством
У21 У„ + У, У,*2 + УзКз = о,	(5.109)
а — V2iVh и 6 = — У22У,*2. Поэтому из формулы (5.105) следует, что S = J/2.
5.	4. Взаимодействие полей в электрослабой теории
Проведенное выше исследование спектра частиц бозонного сектора Стандартной модели показало, что наблюдаемым элементарным частицам должны соответствовать поля Ац, Zfl, 1УМ и 'р. Однако до сих пор в их терминах была записана только квадратичная часть функции Лагранжа, тогда как при исследовании рассеяния и распадов требуется знать, как взаимодействуют между собой различные частицы.
5.4. Взаимодействие полей в электрослабой теории
207
Взаимодействие элементарных частиц описывают члены, которые имеют третий и более порядки малости по отклонениям полей от вакуумных значений. Запишем эти слагаемые в явном виде, а также исследуем ряд простейших следствий, к которым они приводят на классическом уровне.
Начнем исследование с бозонной части лагранжиана (5.2), что позволит более тщательно изучить свойства тяжелых векторных W-и Z-бозонов, а также хиггсовского бозона <р. Введем поля
= WЛ _ lW2.	W- =	+ iW2	(5 j Ю)
и будем использовать следующие обозначения:
= {д^геА^+-	- ieAJW;. (5.111)
Тогда, как показано в Задаче 1, с точностью до полных производных, исчезающих при интегрировании по (Ft, бозонная часть лагранжиана электрослабой теории может быть тождественно переписана в виде
£бозе — £\ + £-2 + £3 + £4.	(5.112)
где
Г, = --Т>	W~v+ -Т>	+
-ieF^W^Wj+[-m2wW+W~-,	(5.113)
£2 =	(5.114)
- т2 р +	+
\ v 4v /
+ (2vp + ^W^W~ +	(2W +	(5.115)
£4 = - у ctgtfiv (dtlZv - dvZ^W+W~ + ctgiWp, x (5.116)
x (t) iv+lV’" - W+T> W~ - 7) W~W~ + W~D 4-A l ^Мэм vv is vv v vv is	vv IS	Ц vv IS ' is ^IZ3M vv ц. I
2
8 sin Vw	/ V	/
Выясним теперь, к каким следствиям с точки зрения физики частиц ведет такая форма лагранжиана взаимодействия между полями
208 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Стандартной модели. При этом наибольший интерес представляет взаимодействие полей с электромагнитным полем которое позволяет найти электрические заряды и магнитные моменты элементарных частиц. Действительно, из формул (5.111) и (5.113) видно, что и W~-бозоны ведут себя как массивные векторные частицы с электрическими зарядами е и —е соответственно. Отсутствие взаимодействия полей Zfl и <р с электромагнитным полем в формулах (5.114) и (5.115) говорит о том, что Z-бозон и хиггсовский бозон являются электрически нейтральными. Поэтому теперь нам известны электрические заряды всех частиц Стандартной модели, которые приводятся в Таблице 5.2.
Таблица 5.2 Электрические заряды и константы взаимодействия дс и дп для частиц Стандартной модели
Частица	Поле	Эл.заряд	9L	9R
Фотон	А.	0	-	-
Z-бозон	Z.	0	-	-
И/+-бозон		е	-	-
И/“-бозон	w;	—е	-	-
Глюон	Да fl SU(3)	0	-	-
Хиггсов, бозон	Г	0	-	-
Лептоны	е1	—е	— 1 + 2 sin2 dw	2 sin2 dw
Нейтрино	и1	0	1	0
Верхние кварки	и1	2е/3	1 — 4 sin2 -Ow /3	-4sin2$iv/3
Нижние кварки	d1	-е/3	-1+2 sin2 /3	2 sin2 dw/3
Слагаемое -ieF^W^Wj в формуле (5.113) приводит к возникновению магнитного дипольного момента ГИ-бозона. Действительно, в Задаче 2 показано, что в низкоэнергетическом пределе уравнения движения, например, для ГИ“-бозона, следующие из лагранжиана (5.113), могут быть записаны в виде
4^' * 2^- ((~гд+еА)2 - елИ -ut Zmw \	/
—e-Ei(d + ieAyW' + — eljkIIkW'; (5.117) mw	mw
И/'°«----— f^ + ieA^W',	(5.118)
mw \	/
где W~ =
5.4. Взаимодействие полей в электрослабой теории	209
Последнее слагаемое в формуле (5.117) представляет собой взаимодействие магнитного момента
(Мо/с)у = -——tijk	(5.119)
с внешним магнитным полем. А поскольку квантовомеханический оператор спина векторной частицы (Sk)ij = —isijk имеет собственные значения —1, 0 и 1, то величина магнитного момента IV-бозона будет
Мо = —,	(5.120)
mw
а его g-фактор равен 2. Заметим также, что IV-бозон взаимодействует с электрическим полем в низшем порядке по константе е, в отличие от рассмотренного в Части 3.1.4 случая спинорной частицы.
Фермионная часть функции Лагранжа Стандартной модели также может быть записана через поля Ац, Zfl и Удобно разбить ее на две части:
Длепт + ^кварк — £\ + ^2-	(5.121)
При этом в функцию С\ включаются слагаемые, которые описывают свободные кварки и лептоны, а также их взаимодействие с электромагнитным и хиггсовским полями, а в функцию Z^2 — слагаемые, описывающие взаимодействие фермионов с Z и IV-бозонами.
Как показано в Задаче 3, функция £,\ записывается в виде
+ HsA^Wfl + А.
f	Bh
(5.122) Суммирование здесь производится по всем фермионным полям, последнее слагаемое при р = 0 представляет собой сумму всех массовых членов, а ковариантные производные определяются как
+ iqfA^ipf,	(5.123)
где qf — электрический заряд частицы f. Величины qp для различных полей приведены в Таблице 5.2.
Функцию £2. также построенную в Задаче 3, удобно представить в виде
£2 =	Z„Jg, (5.124)
4sini?M/\. ''	J sin219ц/ M 0
где заряженные токи и записываются как
У+ = 2уЬ^ + 2ц[7^[;	(5.125)
(5.126)
210 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
а нейтральный ток — как
,7о =	(5-127)
f
При этом суммирование также производится по всем фермионным полям, а значения констант gi и др для различных частиц приведены в Таблице 5.2. Открытие нейтрального тока явилось важным подтверждением Стандартной модели [11].
Таким образом функция Лагранжа для минимального варианта Стандартной модели полностью переписана в терминах физических полей Ац, W~, ZtJ и (/7. Этот результат особенно полезен в квантовой теории, поскольку слагаемые более чем второго порядка малости, ответственные за взаимодействие элементарных частиц, используются при вычислениях вероятностей распада и сечений рассеяния различных процессов.
В заключение выясним, как можно эффективно описывать слабые взаимодействия при низких энергиях. Мы уже говорили, что если полностью пренебречь взаимодействием с тяжелыми калибровочными бозонами, то при низких энергиях теория электрослабых взаимодействий сводится к электродинамике и свободным нейтрино. Но при этом из теории полностью исчезают слабые взаимодействия. Для того, чтобы построить эффективную низкоэнергетическую теорию, которая описывает слабые взаимодействия, необходимо пренебречь кинетическими членами и слагаемыми, описывающими взаимодействие, для IV-и Z-бозонов по сравнению с их массовыми слагаемыми. В результате получается модель, лагранжиан взаимодействия которой записывается в виде
С ~ '-VL 72 -с Дж iv I- jyM - _
2	' 2 м
+	(5.128)
(Для всех фермионов, конечно, необходимо также добавить стандартные квадратичные по полям слагаемые, а также слагаемые, описывающие их взаимодействие с электромагнитным полем.) В Задаче 4 показано, что при использовании уравнений движения из него можно исключить поля W± и Z[L, в результате чего получится эффективная теория, описываемая лагранжианом
8mw \	/
(5.129)
5.4. Взаимодействие полей в электрослабой теории	211
Таким образом, слабое взаимодействие эффективно сводится к прямому взаимодействию заряженных и нейтральных токов. Обычно при записи этого выражения используют обозначение
GF =	= i, 16637- 10“5ГэВ"2.	(5.130)
8m\v
Величина Gp при этом называется константой Ферми. С ее помощью низкоэнергетическую эффективную теорию, которая описывает слабые взаимодействия можно записать в виде
£ =	+	(5.131)
(Впервые такая модель была предложена Ферми задолго до построения Стандартной модели [12].)
Задачи
1.	Записать бозонную часть лагранжиана Стандартной модели в терминах полей Atl, WF, Z,, и ip.
В соответствии с формулой (4.15) компоненты тензора поля для калибровочной группы SU(2) записываются в виде
= ^.<W(2) -^X“S[?;2) _e2£“^si.(2)4^, (?).	(5.132)
(Напомним, что для группы SU(2) fabc = еаЬ,:.) Выражая поля Л“ через поля Лм, 77,, в соответствии с формулами (5.10), (5.19) и (5.110), получаем, что
"1“ *^^50(2)
-ie ctg^w - Z„Wp
F^su,2j~i^SL:m=T),3VWv+	-
+ie ctgi9iv (^Z^W~ - Z^W^
F3
sin i?w' (d^Av - dvAF
+ cosi9widnZ„ - dvZp I + (5.133)
ге
2 sin 'Ow
(И7Н7-W--H7),
где 'DI/3XWI^ обозначают ковариантные производные по отношению к ненарушенной группе (7(1):
РМЭМИ7 = (<ЭМ + геЛ,,)ИС+; 7?мэмНф = (<ЭМ - гвЛм)Иф .	(5.134)
С использованием формул (5.133) легко находим, что
212 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
--F	- -1 Fa | =
= -	- 1 (^z, - a.zM)2 - lpM3Mw+(dM3mw~ - p,3Mw~) +
-^F^W^W' - ctgtfw^Z, - d^z^w+wj + | Ctg)?w X xDM3M w,t (zMW7 - ZvW^ ) - | ctgi9wPMэм W„ (zpWt - Z„W^ +
+ ,c e22 „ (wjw- - wfw-)2 - У dg^wZ^iv+fz^iv- - z„w~Y
(5.135)
Формула (5.113) получается, если дополнительно учесть, что благодаря коммутационным соотношениям для ковариантных производных и возможности совершать интегрирование по частям имеет место равенство
У d4XP^MWjP^MW- = ~l d4x W+(p,3MPM3M + [Рмэм,р,зм]) X хИф = j (^x^^w+v^w; +ieF^w+w;y	(5.136)
Кроме того, необходимо рассмотреть слагаемые, содержащие скалярное поле ф, которое в унитарной калибровке записывается в виде
*=(Д)-	,51з7>
где <р — некоторая вещественная функция. Переписывая формулу (5.4) для ковариантной производной скалярного поля в терминах физических полей, получаем, что
. д„<р-----—----—Zu(v + <p) .
\	2sin$w cos^iv	/
(5.138)
Отсюда можно получить окончательное выражение для лагранжиана хиггсов-ского поля:
- Х(ф+ф - v2)2 =
9	е2	9
= М	+
4 sin
+ , . 2 q е----у— (v + <р)2 zl - X(2v<p + <р)2 =
4 Sin Vvy COS VW
= (й^)2 - (W v)2	+
2v 2	3	4
+	(5.139)
5.4. Взаимодействие полей в электрослабой теории
213
Требуемый ответ для бозонной части лагранжиана представляет собой сумму выражений (5.135) и (5.139).
2.	Записать уравнение движения для W-бозона во внешнем электромагнитном поле в пределе малых импульсов.
Взаимодействие W-бозона с внешним электромагнитным полем описывается лагранжианом (5.113), из которого, например, для W-бозона получается уравнение
-I)M9MU9MW "-ZieF^W" +	= 0.	(5.140)
После свертки этого уравнения с и коммутации ковариантных производных оно сводится к равенству
-ied^F^W' +m2wT)tt3aW ^ = 0.	(5.141)
Предполагая, что внешнее электромагнитное поле в области локализации поля Wn удовлетворяет уравнениям Максвелла без источников, находим, что
^эм^"м = 0.	(5.142)
Подставляя это равенство в уравнение (5.140), получаем
-2ieF^W~1' +m2wW; = 0.	(5.143)
Далее необходимо перейти к пределу малых импульсов. Для этого учтем, что в рассматриваемом приближении энергия частицы приближенно равна массе покоя mw- Поэтому, совершив замену
W~ =	(5.144)
можно считать, что поле слабо зависит от времени, т.е. будем предполагать выполнение условия
(5.145)
Производя замену (5.144) в уравнениях (5.142) и (5.143), получаем, что
~ lmw ~	+ (9- teA^W' = 0;
/ д	\2 /	/	\2 /
- mw ~ W - ( Э + teAJ W -
—2геЕ W'° - 2ie[H x W'] + m2wW' = 0;
~ irnw - ietp) W'° - (d 4- геА^ W'° 4-
-2ieEW'+ r4vW'° = 0,	(5.146)
214 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
где И7''' = (И//0, W'). Пренебрегая ер и d/dt по сравнению с mw. из первых двух уравнений находим, что
—imwW° 4- ^<9 4- zcAJ W' « 0;
—2imw (	— iep'j W' - [Д 4- ieA^'W' —
-2геЕИ7'0 - 2ге[Н х W'j « 0.	(5.147)
Выражая И7'0 из первого уравнения и подставляя его во второе, окончательно получаем, что
Л И7' « —!—((-гЭ + еА)2 - еЛг' " с)1 2тц- \	)
--(—El(d + ieA)W'+ " л,;.//;.1Г;. (5.148) mw
Уравнение для И7'0 мы исследовать не будем, поскольку в силу первого уравнения системы (5.147) величина
IV'0 и----—(д + ieA)W'	(5.149)
mw является малой.
3. Записать фермионную часть лагранжиана Стандартной модели в терминах полей Ар. И''7. Яц и р.
Выражая компоненты калибровочного поля через физические поля Ар, Wlt и Z( , в соответствии с формулами (5.10), (5.19) и (5.110) и подставляя их в ковариантные производные спинорных полей, получаем, что для левых спиноров
VI.
е/.

\	(n i л	. ла &а\ ( I
J ~ V'1 ” 2С'Лм1'(:> +ге2Л.5'О(2)у} eL J -
(	..Z^ + —^—W+eL	\
sinzpjv	2sinvw
,	- iectgWwZ^!. + ге W~vL
\	ZblllVw '
где используется обозначение
(5.150)
^эме^ =	- геАц)е1.; 2>Рэмея = (<ЭМ - ieA^eR. (5.151)
Аналогичным образом ковариантные производные правых спиноров переписываются в виде
д^еп - tei4Mi,(;)en = Рмэкея + ieAgdwZ^eR. (5.152)
5.4. Взаимодействие полей в электрослабой теории
215
Подставляя выражения (5.150) и (5.152) в первые два слагаемых лагранжиана (5.34), после несложных преобразований получаем, что
ег ) + гед7мР,,.ед =
=	- 7s)<V - гё7''Рмэме - —-е —НФ - 7> +
2	ZSinzvw L
4-( - 1 4- 2sin2$w) <?7Д( 1 — 75)0 4- 2sin2 t>w ёу'1( 1 4- 7s)e| -
— 75)e 4- W-e7"(l - 7о)Л (5-153)
4sini?vv \	>
Аналогичным образом находим, что ковариантные производные кварковых полей относительно группы 5(7(2) х (7(1) (без глюонных полей, которые должны быть добавлены стандартным образом) записываются в виде
^MSL-(2)XU(1) у dL J	+ gei^MU(l) + ze2AMSL.(2) 2	J
/	- I sin ^w}zi2ul + ,ге W^dL \
sin2vvv \	3	/ 2sin^vv
zrx 7	ie /	7	2 . 9 n	,	ie TI,_
\	- 1 + - Sin )Z^db -h Wfl UL /
\	sin2vjv \	3	/	2sinviv '	/
(5.154)
для левых кварков и
2i	2ге
= <Эмия 4- —е|Ами(1)ил = Рмэмия -
= d^dn - ^eiAllu{l)dR = PM3MdR 4- j tgtfwZ^dji (5.155) для правых кварков, причем
^эм«=	+	PM3Md=	(5.156)
С использованием выражений (5.154) и (5.155) получаем, что
4- г</д7/2Р,1</я 4- И2д7мРмин = Ш7''РМЭМ
—	p
Ud^V^d- -2~—Z,
Z Sin
-^(-14- jsin2d7M( 1 -
+ ?sin2 dwdy^i +75)d] -
4	2	\ _
-sin dwJU7'‘( 1 - 75)11 4-
4	2	i
- - sin i9w't<7' (1 + 7s)w +
(И>«7М(1 -7.зК- W~dy'\l -75Й.	(5.157)
t Sill и |4Z \	/
216 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Наконец, слагаемые с юкавским взаимодействием в унитарной калибровке отличаются от суммы массовых членов множителем 1 + <p/v, поскольку они пропорциональны первой степени скалярного поля ф.
4. Исключить поля и Z,, из лагранжиана (5.128) и получить низкоэнергетическую эффективную теорию, описывающую слабые взаимодействия.
Поскольку поля W~ и входят в функцию Лагранжа (5.128) квадратично, то уравнения движения для этих полей позволяют выразить их через другие поля теории:
«U =	= Цф;. (5.158)
Подставляя результат обратно в лагранжиан (5.128), получаем эффективную теорию с
С	- о 2 е|2,	- - X U
8mw	от z cos vw	omfy '	'
(5.159)
5.5. Вопрос об описании нейтрино
5.5.1. Проблема малой массы нейтрино.
Имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные (которые мы опишем чуть далее) позволяют сделать вывод о том, что нейтрино не является безмассовой частицей. Оно имеет малую недиагональную массовую матрицу, причем масса нейтрино оказывается на много порядков меньше, чем массы других элементарных частиц. Поэтому встает вопрос о том, почему возникает столь малая масса и как необходимо более аккуратно описывать нейтрино в Стандартной модели.
Ответ на этот вопрос является весьма нетривиальным. Дело в том, что исследование квантовых поправок в Стандартной модели (более точно, в т.н. Минимальной Суперсимметричной Стандартной модели) и сравнение результатов с экспериментальными данными указывает на то, что в природе существует не только масштаб масс порядка mw и тг (около 100 ГэВ), но и масштаб порядка 1016 ГэВ, на котором, по-видимому, происходит объединение сильного и электрослабого взаимодействий в единую теорию. При этом можно с уверенностью говорить о том, что более сложные взаимодействия в такой единой теории приводят к появлению новых частиц, которые имеют массу этого порядка.
Как мы сейчас покажем, естественный путь решения проблемы возникновения малой массы нейтрино заключается в том, что в теорию должно быть включено правое нейтрино г/д. При этом для него необходимо добавить массовое слагаемое с массой М ~ 1016 ГэВ.
5.5. Вопрос об описании нейтрино
217
Начнем с того, что добавим в теорию правое нейтрино и попытаемся записать лептонный лагранжиан по аналогии с кварковым в виде
С
лепт —
(5.160)
= г ( ^£ е£ ( 4 ) +	+	“
S£ ) (	) e/{ - (УД),, ёЦ ф\	-
( „L ё£ ) ( \JR~ (YJ')'J Фч ~Ф' ) f Э ) •
При этом, как и все правые лептоны Стандартной модели, правое нейтрино не меняется при преобразованиях из группы 5(7(3) х 5(7(2). Однако приведенное выше выражение для лагранжиана лептонного сектора будет 5(7(3) х 5(7(2) х (7(1) калибровочно инвариантным только в том случае, если правое нейтрино также не преобразуется под действием группы (7(1). Действительно, используя записанные ранее законы преобразования полей под действием группы (7(1), легко получаем, что
(5.161)
Поэтому локальная калибровочная инвариантность функции Лагранжа (5.160) относительно группы (7(1) будет иметь место только если правое нейтрино при этом никак не преобразуется. Таким образом, правое нейтрино остается инвариантным при преобразованиях группы 5(7(3) х 5(7(2) х (7(1). Как следствие, ковариантная производная поля правого нейтрино совпадает с его обычной производной:
= dMvR.	(5.162)
Поэтому правое нейтрино никак не взаимодействует с калибровочными полями и, в частности, с фотоном. Это, в частности, означает, что его электрический заряд равен 0.
Лагранжиан (5.160) очень похож на лагранжиан кваркового сектора Стандартной модели (5.66). (Различие заключается только в виде ковариантных производных.) Поэтому, когда поле ф приобретает вакуумное среднее (5.5), то, так же, как и для верхних кварков, для нейтрино возникает (в общем случае недиагональная) массовая матрица 1»(У1/)/д. Но Ур — безразмерные постоянные и разумно предполагать, что их величина не может на много порядков отличаться от 1. Поэтому масса
218 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
нейтрино, полученная таким способом, должна иметь примерно тот же порядок, что и массы кварков и лептонов. Однако, это противоречит экспериментальным данным, которые свидетельствуют о том, что масса нейтрино на много порядков меньше даже массы электрона. Поэтому такой механизм возникновения массы нейтрино неприемлем.
Тем не менее, можно несколько модифицировать приведенную выше функцию Лагранжа так, чтобы нейтрино естественным образом приобрели бы малые массы [13]. При этом ключевую роль играют следующие, уже отмеченные выше, факты:
1. Правое нейтрино не преобразуется относительно калибровочной группы SU(3) х SU(2) х {7(1).
2. В Стандартной модели существует масштаб масс порядка 1016 ГэВ.
Как следствие, можно включить в лагранжиан калибровочно и лоренц-инвариантное слагаемое
См -~	(5.163)
где С обозначает операцию зарядового сопряжения, а элементы массовой матрицы Ми имеют порядок 1016 ГэВ. (Построенное таким образом массовое слагаемое называется майорановским. Смысл этого названия будет ясен несколько далее.)
Докажем, что лагранжиан £лепт + См приводит к возникновению малой массы нейтрино. Вначале заметим, что после спонтанного нарушения симметрии слагаемые в функции Лагранжа, которые содержат поле нейтрино, в квадратичном приближении примут следующий вид:
С. =	+ iv’R-fdyVR - mijv\vJR -
-mIJVRyL - \^ij<,vr)c 4 ~	(5.164)
где mu = ц(УД/д.
В этом выражении удобно перейти от вейлевских спиноров к майорановским. В Задаче 1 показано, что можно однозначно определить майорановские спиноры v+ и V- так, что
= ^(1 + 7эК ; VI. = ^(1 - 75)^-•	(5.165)
(Это утверждение очень похоже на результат Задачи 4 Части 3.1.6.) В терминах майорановских спиноров v± лагранжиан (5.164) перепишется в виде (Задача 2)
С„ = ^vL^d^vL +	~ (Remw +
+г751тт/д^{ - |p^ReM/j -Ь ?75Im
(5.166)
5.5. Вопрос об описании нейтрино	219
(Из этой формулы понятно, почему массовое слагаемое (5.163) называется майорановским: в терминах майорановских спиноров при вещественном М оно записывается как обычная массовая матрица.) Для того чтобы сделать вывод о спектре частиц такой теории, необходимо с помощью некоторого преобразования полей привести функцию Лагранжа к диагональному виду, избавившись от членов, пропорциональных
Вначале для наглядности рассмотрим случай, когда в теории имеется только одно поколение элементарных частиц, а параметры m и М являются вещественными:
Cv ~~	+ ^+yfldfliy+ -	(5.167)
Преобразование, которое приводит этот лагранжиан к диагональному виду, построено в Задаче 3. Там же показано, что в спектре частиц будут присутствовать два майорановских спинора, массы которых равны модулям собственных значений исходной массовой матрицы
О т \ т М J '
В пределе М т эти собственные значения оказываются приблизительно равными А/ и — т2/М. Как следствие, одна из получившихся частиц будет иметь массу порядка М ~ 1016 ГэВ. Современные технические возможности не позволяют наблюдать такую частицу экспериментально. Однако масса другой частицы, равная т2/М, оказывается аномально малой. Действительно, если считать, что масса т имеет порядок 100 ГэВ (ранее было показано, что величина вакуумного среднего v = 174 ГэВ), а масса М ~ 1016 ГэВ, то т2/М ~ 10-3 эВ. Именно эта частица и должна быть отождествлена с экспериментально наблюдаемым нейтрино. (Интересно заметить, что если масса т, как и для большинства кварков, окажется много меньше 100 ГэВ, то правое нейтрино должно иметь массу существенно меньше чем 1016 ГэВ.)
Тем самым удается объяснить происхождение аномально малой массы нейтрино по сравнению с массами других элементарных частиц Стандартной модели. Описанный выше механизм возникновения такой массы называется качельным механизмом.
В случае нескольких поколений ситуация аналогична, однако массовая матрица уже будет иметь размер 6 х 6 и состоять из четырех блоков размера 3x3. При этом 3 собственных значения будут иметь величину порядка М, а другие 3 — порядка т2/М. Они и будут соответствовать массам наблюдаемых нейтрино. Чтобы описать эту ситуацию более аккуратно, заметим, что если исследуются области энергий много меньше, чем 1016 ГэВ, то слагаемым с производными для правого нейтрино можно пренебречь по сравнению с массовым
220 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
членом. В Задаче 4 показано, что в таком предельном случае уравнение движения для правого нейтрино в матричной форме запишется в виде
(Re т + ryslm т)ты_ + (Re М + z-yslrn M)v+ = 0.
(5.169)
(Транспонирование в этом равенстве действует на индексы, нумерующие поколения.) Решая его относительно и подставляя решение обратно в функцию Лагранжа (см. Задачу 4), получаем, что при энергиях, много меньших 1016 ГэВ, массовое слагаемое для поля нейтрино будет записываться в виде
UvL)CI(mM-'mA+ +	,	(5.170)
где т и М являются матрицами размера 3x3. При этом в общем случае матрица тМ~]т является недиагональной и комплексной. В частности, это означает, что лагранжиан уже не является инвариантным относительно преобразований (5.39) для каждого поколения в отдельности. Как следствие, становятся возможными процессы, которые нарушают законы сохранения лептонного числа для конкретного поколения. Однако полное лептонное число, которое является суммой лептонных чисел для всех поколений, по-прежнему будет сохраняться. Это связано с тем, что существует инвариантность относительно преобразований (5.39), в которых частицы всех поколений меняются одинаково. Анализ физических явлений, связанных с недиагонально-стью массовой матрицы нейтрино, будет проведен в следующей части.
Задачи
1. Доказать, что можно однозначно построить майорановские спиноры которые удовлетворяют уравнениям
Фк = |(1	фс = |(1 -- 7s)^--	(5.171)
Используя явный вид матрицы 75 (формула (3.48)), легко видеть, что правые и левые спиноры записываются в виде
/0 \ о
Фз
\ Ф* /
фь =
/ \
Фз
0
(5.172)
\ 0 /
Построим теперь спиноры фз_ следующим образом:
/ ~Ф< \
/ Ф> \
Фз
\ Фа /
^2 "09 \ -ф* /
(5.173)
5.5. Вопрос об описании нейтрино
221
В соответствии с результатами Части 3.1.6 (см. формулу (3.216)) они будут являться майорановскими. А поскольку
|(1 + 7б) =
/ °
О О \ О
о о о \
ООО
О 1 о 0 0 1/
‘(1-75)
/ 1	О	О	О	\
0	10	0
0	0	0	0
\ о	о	о	о	/
(5.174)
спиноры 0Х, очевидно, удовлетворяют требуемым условиям.
2. Записать квадратичную часть функции Лагранжа для поля нейтрино в терминах майорановских спиноров.
Используя результаты Задачи 4 Части 3.1.6, получаем, что
1- ..
Фь = ^-t1 +75);
№l)c = |^..(1 -75);
= ^'>+(1 -7э);
= ^+(1 +75).
(5.175)
(Как обычно, операция дираковского сопряжения выполняется последней.) Используя эти равенства, а также свойства майорановских спиноров, получаем, что
= ^Ф_7М(1 - Т^дц'Ф- = ^_7м<9д/'- - |'М'(К7м75<://<р-); г’ФгГ^фн = ^ф+У'дфФ+ + ^д^Ф+^ъдфФ+У	(5.176)
Если т является комплексной матрицей, то (обозначая через = (т.н)* элемент эрмитово сопряженной матрицы) из формул (5.175) следует равенство
muip‘LipJR + т^/ф^ф^ =	\ + 75)0^ +
+ ^гп*лф\ (1 - 75)^ = ф‘_ (Remu + ir3lmmu^, (5.177)
где были использованы доказанные в Задаче 3 Части 3.1.6 тождества для майорановских спиноров фх — ХФ и 07sX = Х~/аФ- Заметим также, что полученное выражение является вещественным в силу тождеств (3.60). Аналогичным образом находим, что
Mi.](vr)c,iPr + M^Ir(iPr)c'j = ^Л7щ0ф(1 +75)0- +
+ ^М*лф‘+(\- 75)0/ = ф'. (ReMij + i75ImM/j^0{.	(5.178)
Это выражение, так же, как и предыдущее, очевидно, является вещественным.
222 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Используя полученные результаты, функция Лагранжа (5.164) может быть переписана следующим образом:
dflu‘_ -	- vL \Remu + гу.Дт mfjjvj. -
— 2^+ ^Re M/j 4- ryslm M/./^ul.	(5.179)
Заметим, что она является вещественной и, кроме того, матрица М в силу приведенных выше тождеств, позволяющих переставлять местами майорановские спиноры, оказывается симметричной.
3. Построить преобразование, приводящее лагранжиан (5.166) к диагональному виду, и исследовать спектр частиц для теории.
Представим рассматриваемую функцию Лагранжа в матричном виде следующим образом:

т
М
Затем перейдем к новым переменным с помощью замены
и- А
(5.180)
IX.
cost? sint? А / и. — sin д cos д I ( и'+
(5.181)
Достаточно очевидно, что слагаемые с производными будут инвариантны относительно этого преобразования, тогда как массовая матрица перейдет в матрицу
cos д - sin д А / 0 sint? cost? / \ т
т А / cos д sin д М ) \ — sin -д cos •&
(5.182)
Хорошо известно, что симметричную матрицу можно таким преобразованием привести к диагональному виду, причем на главной диагонали будут стоять собственные значения исходной матрицы. Уравнение для их определения в рассматриваемом случае записывается в виде
0 _ ; “А т
и - | т М - А
= А2 - ХМ - т2
(5.183)
и имеет решения
А) = (М + v'M2 + 4m2 ) к М;
Xi = (м - VM2 + 4m2 ) и -
(5.184)
Для того чтобы найти угол д, заметим, что в интересующем нас предельном случае М > т он является малым. Поэтому cost? ss 1, sinт? « д. Вычисляя
5.5. Вопрос об описании нейтрино
223
произведение (5.182) в этом пределе, получаем, что недиагональные члены окажутся равными т - A7t? + O(t?2). Поэтому в низшем приближении
Икт/М.	(5.185)
Итак, с учетом сказанного выше, после преобразования (5.181) лагранжиан (5.180) перейдет в
£v =	д^и'_ +	и'_и'_ — М v'+v'+.	(5.186)
В этом выражении знак перед массой поля V-' отличается от стандартного. Однако можно совершить преобразование
и' -i'ysi/L.	(5.187)
В соответствии с результатом Задачи 2 Части 3.1.6, и" также является майорановским спинором. При этом
Т/_ = (и1 )1 7° = — i(y'L )+757° — iv". 75-	(5.188)
Поэтому
v. v’ = -v"_v'^	=v'L^d^",	(5.189)
и рассматриваемая функция Лагранжа может быть записана в виде
£. =	~ v-v". ~ Mv'+v'+.	(5.190)
2	2	Л/
Это означает, что в спектре теории присутствуют два майорановских спинора с массами, приближенно равными М и т2/М.
4.	Найти вид массового слагаемого, которое получается при низких энергиях после исключении из функции Лагранжа поля правого нейтрино на массовой поверхности.
Рассмотрим функцию Лагранжа (5.164) и пренебрежем в ней слагаемым, которое содержит производные поля правого нейтрино (по сравнению с его массовым слагаемым). Тогда эффективно функция Лагранжа для нейтрино окажется равной
= iv'^d^vi -	-
-(m- )ijVrvjl -	(5.191)
В соответствии с результатами Задачи 2 в терминах майорановских спиноров эта функция Лагранжа записывается в виде
£v = ^vLy^d^vi -v1 (кети + 1751mmi.^4 -
-^(ReM/j + i75lmM/j)^.	(5.192)
224 Гл.-5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Поэтому уравнение движения для поля правого нейтрино в матричных обозначениях будет иметь следующий вид:
(Re т + 17э1т и- 4- (Re М + 1751т М)	= 0.
В этом уравнении отсутствуют производные, благодаря чему с можно полностью исключить поле правого нейтрино:
(5.193)
его помощью
и+ = - (Re М + nslm ^Rem + 'nslmmj и-.	(5.194)
Подставляя это выражение в функцию Лагранжа, получаем, что в матричных обозначениях
£v =	(Rem + 1751mm) x
x (Re M + 1751m A-/) (Rem 4-i7slmm) v~.	(5.195)
Заметим, что имеют место следующие тождества:
(Re А + 175 Im A) (Re В + 1751m Bj = Re (АВ) + 1751m (АВ);
^Re А + г751т А) = Re (А-1) + i-^Im (А-1).	(5.196)
Первое из них очевидно, а для доказательства второго тождества используется разложение в ряд. Оно выполняется следующим образом:
^Re A+ i75lm а) = [1 4- ?'7s(Re А)”1 (Im A)] (Re А) ' =
оо	2
= £(-1Г ((Re A) ‘(Im A)) "(Re А)”1 -
п=0
-h5^(-l)’1((ReA)“l(ImA))2’l+l(ReA)“1. (5.197) п=0
Требуемое тождество получается при сравнении этого равенства с аналогичным разложением величины А-1 = (ReA-J-ilmA)
Используя формулы (5.196) и восстанавливая матричные индексы, выражение для эффективного низкоэнергетического лагранжиана поля нейтрино может быть записано в виде
£„ = ^1/7мс?м1/ 4-|^Re (mAT'тт) 4-1751m (тЛ/ 'mT)j  (5.198)
Оно также может быть переписано в терминах дираковского спинора ul следующим образом (см. Задачу 2):
Cv =	4- ^(иь)с'(гпМ mT) uid +
+ ~&ь)‘ (гпМ-'т7) (yifJ•	(5.199)
5.5. Вопрос об описании нейтрино
225
5.5.2. Нейтринные осцилляции.
В настоящее время в прямых экспериментах масса нейтрино еще не измерена. Тем не менее, имеются косвенные экспериментальные данные, которые свидетельствуют о том, что нейтрино имеет малую недиагональную массовую матрицу. Исторически первым таким фактом была т.н. проблема солнечных нейтрино [14].
Солнце излучает энергию благодаря идущим внутри него ядерным реакциям, главным образом, реакциям протон-протонного цикла, результатом которого является образование из ядер водорода ядер гелия. В этих реакциях, в частности, излучаются электронные нейтрино. На основании имеющихся данных о Солнце можно получить достаточно надежное предсказание для величины потока солнечных нейтрино. Однако, детектируемый поток солнечных нейтрино оказывается существенно меньше предсказываемого. Проблема может быть решена, если предположить, что у нейтрино имеется малая недиагональная массовая матрица, которая, как будет показано ниже, приводит к ослаблению исходного потока электронных нейтрино.
Для того чтобы понять механизм этого явления, рассмотрим вначале простейшую модель с двумя свободными, например, майорановскими спинорами, которая описывается лагранжианом
£ — i-ф1 у^др.'ф1 - mijil/'ipJ.	(5.200)
Индексы I и J здесь пробегают значения 1 и 2, а ти — некоторая вещественная симметричная матрица. Такой лагранжиан получается, если эффективная майорановская массовая матрица для левого нейтрино (5.170) оказывается недиагональной. (Но индексы в этом случае пробегают значения от 1 до 3.)
В Задаче 1 показано, что решение уравнений движения для лагранжиана (5.200) может быть записано в виде
Л^е-^6(к2а -т2)^\к) ( _С°^ ) + + /^7 е~^к>‘6(к2а -т2) ^2(к) (	, (5.201)
где столбцы
|mi) =
COST? - sin
|m2) =
sin г? COST?
(5.202)
и
являются собственными векторами матрицы ти с собственными значениями т\ и m2, а спиноры г/^т^(к) и i/A"O2(A:) удовлетворяют уравнениям
(7%z- 0;	(5.203)
8 К. В. Стенаньями
226 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
первое из которых следует из уравнений движения, а второе — из условия майорановости.
Заметим, что в рассматриваемом здесь случае малой эффективной массы левого нейтрино величины mi и т^ оказываются значительно меньше, чем величина импульса родившейся частицы. Действительно, импульс нейтрино, излучаемого при типичных ядерных реакциях, по порядку величины оказывается около 1 МэВ, тогда как его масса крайне мала и не превышает доли эВ. Поэтому можно предположить, что в исходном состоянии произошло рождение первой частицы с волновой функцией 9
(0, х) = ~ (eikx т/>о + е“?:кх<),	(5.204)
где гро — некоторый спинор, удовлетворяющий уравнению
(7°Е - yk)V>0 = 0	(5.205)
с Е = х/k^ , условию киральности
75^0 = —фо,	(5.206)
а также условию нормировки — 1- Заметим, что если V’o — левый спинор, то в силу формулы (3.221) спинор фц является правым.
С помощью формулы (5.201) несложно убедиться, что при начальных условиях (5.204) решение уравнений движения, получающихся из лагранжиана (5.200), в ультрарелятивистском случае может быть записано в виде
где Е\ — у^к'2 + т2, /Д — у к2 + т2. Из формулы (5.207) видно, что при д Ф 0 существует вероятность обнаружить не только первую, но и вторую частицу, поскольку V-'2 ф 0. Как мы увидим далее, эта вероятность является периодической функцией времени. Другими словами, в теории с недиагональной массовой матрицей могут происходить периодические во времени превращения первой и второй частиц друг в друга. Такое явление и получило название осцилляции [15]. В Задаче 2
9 Мы считаем, что система помещена в кубический ящик с объемом L3.
5.5. Вопрос об описании нейтрино	227
показано, что в рассматриваемом случае вероятности обнаружить первую и вторую частицы в момент времени t оказываются равными
Fi-,i = 1 - ~sin2(2^) (1 -соь(Е, -F2)i);
F1_2-~sin2(2^)(l-cos(E1-E2)t).
(5.208)
Принимая во внимание, что в ультрарелятивистском случае скорость частицы приблизительно равна скорости света, выражения для вероятностей также могут быть переписаны через расстояние х от источника частиц до детектора, например,
= l-lsin2(2Wl-cos^Y 2	\	Ь|2 /
где (см. Задачу 3)
2тг 4?rfc п - fc(MaB)
= ~Р-----Р~ ~ ~9-------9 ~ 2’ 5М ---Ч----~9
F - Е2 т? -	Am2 (эВ)2
(5.209)
(5.210)
— т.н. длина осцилляций.
Если область источника или детектора значительно превышает длину осцилляций, то при измерениях числа частиц будут получаться средние значения
(Р^) = l-~sin2(2^);	(F1_2) = |sin2(21?),	(5.211)
которые уже зависят только от вида массовой матрицы. Минимальное значение Pi_i с очевидностью достигается при sin2(2i?) = 1 и равно 1/2. Поэтому в модели с двумя стабильными частицами поток исходных частиц не может уменьшиться более, чем в два раза.
Осцилляции между электронным, мюонным и т-нейтрино в Стандартной модели позволяют естественным образом решить проблему солнечными нейтрино: внутри Солнца происходит рождение электронных нейтрино, которые за время своего движения к Земле частично переходят в мюонные и т-нейтрино за счет осцилляций. В результате этого и получается наблюдаемое в эксперименте ослабление потока электронных нейтрино, которое определяется параметрами массовой матрицы. Измерение же потока мюонных и т-нейтрино крайне затруднительно, поскольку они детектируются значительно тяжелее, чем электронные. Осцилляции нейтрино также были обнаружены и в земных экспериментах [16]. Наконец, эксперименты, в которых измерялся поток всех типов нейтрино [17], показали полное соответствие с теоретическими предсказаниями, сделанными на основе исследования строения Солнца.
8*
228 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
В Стандартной модели осцилляции нейтрино появляются благодаря недиагональности массовой матрицы в формуле (5.170). По аналогии с матрицей Кабиббо-Кобаяши-Маскава можно определить унитарную матрицу Понтекорво-Маки-Накагава-Саката U [15, 18], которая связывает исходные поля нейтрино и поля i/'L ' , для которых массовая матрица является диагональной, соотношениями
^ = E^>lm)J; ^т)/ = Е^Х (5-2l2>
j=\
(Если M в формуле (5.170) диагональна, а т = Um^, то т„ оказывается диагональной матрицей. Поэтому, сравнивая формулы (5.166) и (5.71), мы заключаем, что U действительно является аналогом матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава.) Матрица U может быть параметризована почти так же, как и матрица Кабиббо-Кобаяши-Маскава. Единственным отличием будет только то, что при умножении поля на фазовый множитель майорановское массовое слагаемое не будет инвариантно. Поэтому матрицу U (в отличие от матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава V) нельзя умножать на фазовые множители справа. В результате, повторяя рассуждения Задачи 1 Части 5.3.4, можно записать матрицу U в виде
/ 1	0	0 \ / св 0 §13е iS \
U = I 0	С23	<$23 I I 0	1	0	I	х
\ о	-323	с23 / \	-813Сг<5	0	С13	/
/	С12	8'12	0	\	/	ег“|/2	о	0 \
X	-812	С12	о	о	eia^2	0	•	(5.213)
\	о	0	1	/	у	о	0	1/
Вероятность обнаружить I-е нейтрино при условии, что в начальный момент было рождено К-е нейтрино, вычислена в Задаче 4 и дается формулой (5.241). При этом несложно видеть, что фазовые множители ег“1//2 и никак не влияют на эту вероятность, поскольку они сокращаются в произведении U* U,, при произвольных значениях К и I. В Задаче 4 показано, что в случае, если в теории имеется п нейтрино, то поток исходных частиц может быть ослаблен не более, чем в п раз. В частности, в Стандартной модели поток исходных нейтрино может быть ослаблен не более чем в 3 раза.
Экспериментальное обнаружение осцилляций нейтрино позволило определить разности квадратов масс нейтрино
Дт?2 = (8,0 ±0,3)  10“5эВ2;
Дт|3 « Дт23 = 2,4^0 5 • 10 3эВ2,
(5.214)
5.5. Вопрос об описании нейтрино
229
а также параметры матрицы смешивания
sin2(219]2) = 4s22cf2 = 0, 86sin2(2i?23) = 4.s23c23 > 0,92;
sin2(2i?13) = 4sf3cf3 < О, 19.	(5.215)
На основе этих данных можно сделать следующее предположение о форме матрицы Понтекорво-Маки-Накагава-Саката [19]:
(	у/2/у/Ъ	1/х/З	0	\	/ е’а'/2	0	0	\
(7=	-1/л/б	1/х/З	1/\/2	0	е^/2	0	.	(5.216)
\	1/Уё	-1/х/З	1/^2	/	\ о	0	1	/
Заметим, что в отличие от матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава, величины углов смешивания для нейтрино оказываются большими.
Выясним теперь, к каким следствиям может приводить массовая матрица, которая ответственна за появление малой массы левого нейтрино. Ее недиагональные элементы приводят к смешиванию между правым и левым нейтрино, каждое из которых можно описывать при помощи майорановского спинора. При этом нейтрино описывается дираковским спинором
= j(l-75>' + J(l+75>2.	(5.217)
Характерной особенностью соответствующей массовой матрицы является то, что одно ее собственное значение очень маленькое, на много порядков меньше массы электрона, а другое — очень большое, порядка 1016 ГэВ. Поэтому величина Е2 имеет порядок 1016 ГэВ и намного превышает величину Е\. В принципе можно предположить, что в этом случае появляются осцилляции между нейтрино и антинейтрино. Однако длина таких осцилляций составляла бы тогда около 1О-30 см. Измерять с такой точностью координату невозможно. Поэтому недиа-гональность массовой матрицы для правого и левого нейтрино реально не будет приводить к периодическому взаимному превращению нейтрино и антинейтрино. Тем не менее, будет существовать ничтожно малая вероятность обнаружить антинейтрино в тех процессах, которые в отсутствие смешивания приводили бы только к рождению нейтрино.
Задачи
1. Получить решение уравнения Дирака для случая нескольких майорановских спиноров и недиагональной массовой матрицы.
Для того чтобы решить уравнение
(гбп'у^д,! - mu)wJ ~ О,
(5.218)
230 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
где ти — некоторая симметричная недиагональная матрица размера п х п, представим W'1 (ж) в виде интеграла Фурье
(5-219)
./ (2тг)’
Заметим, что поскольку спинор ipJ (ж) является майорановским, то на спинор y>J(fc) необходимо наложить дополнительные ограничения. Майорановский спинор по определению совпадает со своим зарядово сопряженным:
(ж) = ?р(ж). Поэтому вначале запишем выражение для зарядово сопряженного спинора, учитывая, что в определение операции зарядового сопряжения входит, в частности, комплексное сопряжение:
V;C(3:)= / ^7 е'х'‘к,‘-фс(k) = У ^±.e-lx,ik>^c(-k).	(5.220)
Поэтому для выполнения условия майорановости необходимо, чтобы
ф(к) = ^с(—fc).	(5.221)
Подставляя выражение (5.219) в уравнение (5.218), находим, что
- mm) iJ(k) = 0.	(5.222)
После умножения этого равенства на матрицу ~/"к!У + т получается уравнение
(tukl -	- 0.	(5.223)
Отсюда следует, что столбец ^(к)) с компонентами tpJ(к) должен быть пропорционален некоторому собственному вектору матрицы т, соответствующему собственному значению mj, который мы будем обозначать через mj). При этом из уравнения (5.223) следует, что к„ = m2j. Поэтому столбец | tp(k)) можно переписать в виде
,X(fc)) = <5(fc2 - m2j)^m}J(k) \mj),	(5.224)
где •iptm',J(k) — некоторый спинор. Подставляя столбец (5.224) в уравнение (5.222), получаем, что	должен быть решением уравнения Дирака
(7% - rzij)V)(m),7(fc) = 0.	(5.225)
Принимая во внимание, что произвольная линейная комбинация решений однородного линейного уравнения также является его решением, общее решение уравнения (5.218) может быть записано в виде
IX) =£ [	-m2J)^J(k)\mJ),	(5.226)
j=iJ (2?r)
где через \ mj) обозначены собственные векторы массовой матрицы т, соответствующие собственным значениям т./.
В случае п = 2 матрица т имеет два взаимно ортогональных собственных вектора, которые с очевидностью всегда могут быть записаны в виде (5.202). Подставляя их в формулу (5.226), получаем решение в виде (5.201).
5.5. Вопрос об описании нейтрино
231
2.	Для случая двух левых нейтрино в теории с недиагональной массовой матрицей в ультрарелятивистском случае вычислить вероятности обнаружения первой и второй частиц в момент времени t, если при t = 0 была рождена первая частица.
Волновые функции для левых нейтрино получаются из выражения (5.207) применением кирального проектора (1 — 75)/2. При этом все слагаемые, содержащие tpQ , исчезают:
I 1 \	1	/	2 -I —гД,/+?кх ।	 2. —.
\и ) =	COS VC 1	+ SIH VC. 2 T Uvo;
\/L3 v	7
1г/2) = _±_ sincost? f- e.~iE'i+ikx + e-t^i-'kx')ib0. (5.227)
Величина e‘kxipo представляет собой волновую функцию первого нейтрино в момент t = 0, благодаря чему спинор ii>o удовлетворяет условию нормировки
1р^фо=1-	(5.228)
Вероятность обнаружить первую или вторую частицу в момент времени t записывается как
= (г/(/.) | г/(1)) = У d3.r г/(/,, x)~i/(Z, х),	(5.229)
где индекс 1 = 1,2 нумерует частицы. Подставим в эту формулу выражения для i/(t) и v2(t) из формулы (5.227), принимая во внимание, что
У У Д'Д = 1.	(5.230)
В результате получим, что вероятности обнаружить первую и вторую частицу в момент времени t записываются в виде
= cos4$ + sin4 i) — sin2$ cos2 ’d^elE't~u'"2t +	--
= 1 - sin2(2i9) (1 - cos(b'i -
^[2 - e,Eit~iE2t -	=	(5.231)
= £sin2(2i?)(1 — cos(A’i -
3.	Доказать справедливость формулы (5.210) для длины осцилляций.
Длина осцилляций была определена как
L
2тт
= ЁГ-Ё/
(5.232)
232 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
При этом в ультрарелятивистском пределе энергию можно приближенно записать следующим образом:
Е, = Ук2 + т2 « fc(l -	(5.233)
где k = х/k2. Поэтому для нейтрино длина осцилляций с большой точностью оказывается равной
Т	4ттк
Сп - —---------2
7П| — ТП?
4тг7л2 fe
(rn2 — m^c2
4irhc (Tike) (m2 - ттфе4
(5.234)
причем в последнем выражении были восстановлены размерные постоянные и выделены величины с размерностью энергии. Переводя энергию из джоулей в электронвольты, получаем, что численный коэффициент будет равен
4тгЬс 4 • 3.14 • 1.06 • 10 34кг  м2/с • 3.00  108м/с	_ в D ,r„,r,
---=---------------------тт—------------=2.5-10 м • эВ. (5.235)
е	1.60-10“|9Дж/эВ
Если величину (tike) измерять в МэВ, то выражение для длины осцилляций будет записываться в виде (5.210).
4.	Вычислить, насколько может быть ослаблен поток исходных нейтрино благодаря осцилляциям в системе из п нейтрино при наличии недиагональной массовой матрицы.
Предположим, что в начальный момент было рождено А'-е нейтрино в состоянии с волновой функцией
^(0,х) =	6IKtb0.	(5.236)
VL3
В ультрарелятивистском случае собственные векторы матриц — mt при различных значениях m,i можно считать одинаковыми. Поэтому в силу формулы (5.212) начальные значения для состояний для которых массовое слагаемое является диагональным, могут быть записаны в виде
Эти состояния, очевидно, с течением времени эволюционируют по закону
v^J(l, х) = e~’Ejti/Lm)J(0, х).	(5.238)
Вновь используя равенство (5.212), получаем, что решение уравнения Дирака с недиагональной массовой матрицей при заданных начальных условиях может быть представлено в виде
5.5. Вопрос об описании нейтрино
233
Вероятность обнаружить I-ю частицу в момент времени t, как и в рассмотренном ранее случае, равна
Рк~1 = / d3x	= | £схр(-г/</^) UK,U*.i I =
J	j=i
n
= £ ехрг(Е7-Еи)/ U^U^U,.,,^. =. J,H=I n	n
= £|(-\jM,i'2 + £ cos(Ej — En)t Re(u^JulluKHu~H) —
J=l	J^H=\
rt
-	£ sin(Ej - EH)tlm(UtKJUIJUKHU;il).	(5.240)
J^H=\
Принимая во внимание, что рассматривается ультрарелятивистский случай, это выражение можно переписать в виде
P^r = £|PK.,|2|[/,.,|2 + Е сов-^Ие^/Л.^я^)-
-	£ sin	,jUк„и;н),	(5.241)
J^H=\ JH
где х — расстояние от источника до детектора, а длины осцилляций Lu определяются как
2-7Т
=	(5-242)
Ei - Ej
В случае, если размеры источника или детектора значительно превышают все длины осцилляций, то экспериментально детектируется средний поток частиц, который пропорционален средней вероятности
п
(Рк_/) = Е![7кЕЧ,|2.	(5.243)
./=1
В частности, средняя вероятность детектировать исходную частицу на очень большом расстоянии оказывается равной
п
(Р/<^)=£|РКХ	(5.244)
j = i
Для того чтобы найти минимально возможное значение этой вероятности, заметим, что параметры UK, не являются независимыми. Действительно, в силу унитарности матрицы U они должны удовлетворять условию связи
п
E|PKJ|2=i.	(5.245)
J 1
234 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Удобно ввести обозначение а, = |С/к;!2- Тогда необходимо будет мини-П	п
мизировать выражение а2 при дополнительном условии а, = 1. Это j=i	,/=i
может быть легко сделано при помощи метода неопределенных множителей Лагранжа. В соответствии с ним рассмотрим функцию
п	п
Ж,л) = £й2, -л(£а, - 1).	(5.246)
,7=1	,7=1
При ее минимизации получаются уравнения
2а,-А = 0;	^Га}	= 1,	(5.247)
j=\
решение которых записывается в виде
а, = 1/тг; А = 2/п.	(5.248)
Подставляя решение (5.248) в функцию /, получаем, что минимальное значение вероятности Рк^к равно 1/п.
5.6. Полный лагранжиан Стандартной модели
В этой части мы соберем вместе все построенные ранее части лагранжиана Стандартной модели. В случае минимального варианта Стандартной модели функция Лагранжа записывается в виде
= ^бозе + £Лепт + £кварк,	(5.249)
где
Г, = --1 F2	- -(I ^оозе	4Г/о'ц(1)	4 У Р'СГРрП ~ X(o'G < £лепт —	г"! £кварк —	<5-250) (^Д+гё^Р^-	(5.251) \ eL / eW ” (К+)д/ Ф* ^2 ) f PJ ’ / 4 \ / (5.252)
5.6. Полный лагранжиан Стандартной модели	235
-(К/),., ( й[ d'L ) ( 2 ) dJR - (У/),., 7Ц Ф, Ф1 ) (	) -
-ф*	~ (У^ )/./ ф? ~Ф^ ) ( (7^ ) '
При этом ковариантные производные записываются в виде 1. скалярное поле
Т^рФ- ФрФ+ 2 е' Л/‘ иооФ + 'ieiA"i яит-^Ф\	(5.253)
2. лептоны
А. ( П ) ’ (8- 	( й );
T^pt'R = др(-н -
(5.254)
3. кварки
^ч™т+м:«Л)(лО;
Т’/Лт? = д,Лр - ^е|Л,,(.,,Ля 4- Л3Л^5и(.оу<7/(;
А
T>fluR^ d^uR + -e\A^T^uR + ie-iA^ svw-^-uR.	(5.255)
(Форма ковариантных производных полностью определяется представлениями, в которых находятся поля, и их зарядами относительно локальной калибровочной группы (7(1), приведенными в Таблице 5.1.)
Кроме того, в теорию может быть добавлен лагранжиан для правого нейтрино
£цр.нейтр —	R (У/),.,
-(Уи+),Л(Ф2 -Ф1
4 ' \ /
-1^'1и (Rr)C !iujr - ^м+ {Rr)cj. (5.256)
236 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
Как было показано ранее, добавление такого слагаемого приводит к эффективной малой массе левого нейтрино
С,п
= ^(vL)CI(mM ImT'j uJL + £	\	/ IJ
^l)1 (тМ 'm1") (vl)CJ-IJ (5.257)
Таблица 5.3 Частицы Стандартной модели и их массы
Частица	Поле	Масса
Фотон	Ан	< 1 • 10“18 эВ
Z-бозон	Zn	91,1876 ± 0,0021 ГэВ
W-бозон	W-	80,398 ± 0,025 ГэВ
Глюон	да V SU('i)	теоретически 0
Хиггсовский бозон	Г	не открыт (5 шт. в МССМ)
Электрон	е'	0,510998910 ± 0,000000013 МэВ
/z-мезон	е2	105,658367 ± 0,000004 МэВ
т-мезон	е3	1776,84 ±0,17 МэВ
Электронное нейтрино	Р1	< 2 эВ
Мюонное нейтрино	и2	Аш?2 = (8,0 ±0,3)  10“5эВ2
т-нейтрино	и3	Дт;3 = 2,4^| • 10“3эВ2
и-кварк	и'	1,5 - 3,3 МэВ
d-кварк	rf'	3,5 - 6,0 МэВ
с-кварк	и2	1,27^о°[ ГэВ
s-кварк	d2	104128 МэВ
t-кварк	и3	171.2 ± 2.1 ГэВ
Ь-кварк	d3	4,20±°;g ГэВ
Экспериментальные данные о массах известных в настоящее время частиц Стандартной модели собраны в Таблице 5.3.
Значения констант связи [8] определяются величинами аз(Мг) = е2/4тг - 0, 1176 ±0,0020,	= (е2/4тг)-‘ = 127,918 ± 0,019
и sin2 flwlJMz) = 0, 23119 ± 0,00014. (Здесь нужно помнить о зависимости констант связи от энергии в квантовой теории поля. Приведенные здесь значения измерены на массе Z-бозона.)
5.7. Список литературы
237
5.7.	Стандартная модель и современная физика
Описанная здесь теория правильно объясняет многие аспекты сильного и электрослабого взаимодействий, однако, по современным представлениям, она должна быть существенно модифицирована [20]. В настоящее время наилучшее описание физики фундаментальных взаимодействий (при энергиях порядка 103 — 104 ГэВ) дает Минимальная Суперсимметричная Стандартная модель (МССМ), в которой даже спектр частиц очень существенно отличается от спектра Стандартной модели. К сожалению, для того чтобы объяснить необходимость добавления суперсимметрии (т.е. инвариантности, связывающей друг с другом бозонные и фермионные поля) в Стандартную модель, требуется существенно использовать аппарат квантовой теории поля. Поэтому Минимальная Суперсимметричная Стандартная модель здесь не рассматривается. Тем не менее, все же кратко сформулируем основные сходства и различия МССМ и Стандартной модели:
1.	Обе модели основаны на одной и той же калибровочной группе 517(3) х 517(2) х 17(1).
2.	В МССМ существует дополнительная инвариантность (т.н. суперсимметрия), которая связывает между собой бозонные и фермионные поля. *)
3.	В МССМ имеются 2 хиггсовских поля в фундаментальном представлении группы 517(2), которые имеют противоположные знаки зарядов относительно группы 17(1). (В унитарной калибровке из них получается 5 хиггсовских бозонов.)
4.	Для каждого кирального фермиона Стандартной модели существует суперпартнер — комплексное скалярное поле. Для каждого калибровочного бозона Стандартной модели и для каждого из хиггсовских полей имеются суперпартнеры — майорановские спиноры. Под действием калибровочной группы суперпартнеры преобразуются точно так же, как и частицы, которым они соответствуют.
Решение вопроса о существовании суперсимметрии в Стандартной модели, по-видимому, будет дано после ввода в строй Большого адронного коллайдера, с помощью которого удастся понять, как устроен мир при энергиях порядка 104 ГэВ.
Список литературы
1.	S.L. Glashow. Nucl.Phys., 22, (1961), 579;
A. Salam. In: Elementary Particle Theory, ed. N.Svartholm, Almquist and Wiksells, Stockholm, 367.
') Ряд членов лагранжиана МССМ нарушает эту инвариантность, однако предполагается, что при более высоких энергиях в более общей теории такая инвариантность восстанавливается.
238 Гл. 5. Стандартная модель сильных и электрослабых взаимодействий
S. Weinberg. Phys.Rev.Lett., 19, (1967), 1264.
S.L. Glashow, J. Iliopoulos, L. Maiani. Phys.Rev. D2, (1970), 1285.
2.	G. Arnison et al. Phys.Lett. B122, (1983), 103;
M. Banner et al. Phys.Lett. B122, (1983), 476;
Bagnaia et ai. Phys.Lett. B129, (1983), 130.
3.	T.D. Lee, C.N. Yang. Phys.Rev. 104, (1956), 254;
C.S. Wu et al. Phys.Rev. 105, (1957), 1413.
4.	N. Cabibbo. Phys.Rev.Lett. 10, (1963), 531.
5.	M. Kobayashi, M. Maskawa. Prog.Theor.Phys., 49, (1973), 652.
6.	J.H. Christenson et al. Phys.Rev.Lett. 13, (1964), 138;
H. Burkhardt et al. (NA31 Collab.), Phys.Lett. B206, (1988), 169;
V. Fanti et al. (NA48 Collab.), Phys.Lett. B465, (1999), 335;
A.	Alavi-Harati et al. [KTeV Collab.], Phys.Rev.Lett. 83, (1999), 22.
B.	Aubert et al. (BABAR Collab.), Phys.Rev.Lett. 87, (2001), 091801;
K. Abe et al. (Belle Collab.), Phys.Rev.Lett. 87, (2001), 091802.
7.	L. Chau, K. Keung. Phys.Rev.Lett. 53, (1984), 1802.
8.	C. Amsler et al. (Particle data group), Phys.Lett., B667, (2008), 1.
9.	L. Wollenstein. Phys.Rev.Lett. 51, (1983), 1940.
10.	C. Jarlskog. Phys.Rev.Lett. 55, (1985), 1039.
11.	F.J. Hasert et al. Phys.Lett. B46, (1973), 138;
F.J. Hasert et al. Nucl.Phys. B73, (1974), 1.
12.	E. Fermi. Z.Phys. 88, (1934), 161.
13.	R. Mohapatra, G. Senjanovich. Phys.Rev.Lett. 44, (1980), 912.
14.	R. Davis, D.S. Harmer, K.C. Hoffman. Phys.Rev.Lett., 20, (1968), 1205;
J. Bahcall et al. Phys.Rev.Lett., 45, (1980), 945.
15.	Б.М. Понтекорво. ЖЭТФ, 33, (1957), 549;
Б.М. Понтекорво. ЖЭТФ, 34, (1958), 247;
Б.М. Понтекорво. ЖЭТФ, 53, (1967), 1717;
V.N. Gribov, В. Pontecorvo. Phys.Lett., 28В, (1969), 495;
S.M. Bilenky, В. Pontecorvo. Phys.Rept., 41C, (1978), 225;
16.	Y. Fukuda et al. (Super-Kamiokande Collaboration). Phys.Rev.Lett., 81, (1998), 1562.
17.	Q.R. Ahmad et al. (SNO Collaboration). Phys.Rev.Lett., 89, (2002), 011301.
18.	Z. Maki, M. Nakagawa, S. Sakata. Prog.Theor.Phys., 28, (1962), 870.
19.	P.F. Harrison, D.H. Perkins, W.G.Scott. Phys.Lett. B53O, (2002), 167.
20.	R.N. Mohapatra. Unification and supersymmetry: the frontiers of quark-lepton physics, Springer, 2003;
B.M. Емельянов. Стандартная модель и ее расширения, Москва, Физматлит, 2007.
Глава 6 ТЕОРИЯ ПОЛЯ В ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
6.1. Геометрия искривленного пространства
6.1.1. Поверхности в евклидовом пространстве.
При описании гравитационного взаимодействия в Общей Теории Относительности (ОТО) предполагается, что пространство-время не является плоским. Для того чтобы понять, как в таком случае необходимо строить модели теории поля, удобно вначале рассмотреть гладкую поверхность размерности т в евклидовом пространстве размерности п (п > т). Такая поверхность может быть задана при помощи уравнений
x = x(ql,q2,...,qm),	(6.1)
где х= (х1, х2,..., хп). При этом переменные q1 будем называть координатами точки поверхности, а функции x(q) для простоты считать гладкими. Например, сферу радиуса R в трехмерном пространстве можно задать при помощи уравнений
х = R sin 'д cos 9?; у — R sin д sin z = R cos
(6.2)
где сферические координаты $ и 92 пробегают значения от 0 до тг и от 0 до 2тг соответственно (см. Рис. 6.1).
Построим локальный базис, который по определению состоит из векторов
Эх ег = V?
Несложно убедиться, что эти векторы принадлежат касательному пространству к рассматриваемой поверхности. Действительно, умножая вектор на d.q‘ (без суммирования по г), получаем, что
(6.3)
diX = е, dql = — dql dq
(6.4)
Рис. 6.1. Координаты d и у? на сфере в трехмерном пространстве
240	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
представляет собой изменение х, соответствующее бесконечно малому изменению координаты ql при фиксированных значениях всех остальных q. При этом поскольку для произвольного значения q вектор х — x(q) принадлежит поверхности, то очевидно, что сЦх представляет собой вектор, направленный по касательной к рассматриваемой поверхности.
В частности, для сферы в трехмерном пространстве векторы локального базиса могут быть легко построены в соответствии с формулой (6.3) и имеют координаты
= (д cost? cos у;, Я cos $ sin	;
= ( - R sin'd sin p, R sin T) cos p, o).	(6.5)
При этом (см. Рис. 6.1) вектор направлен вдоль меридиана, соответствующего изменению координаты $, а вектор ev — вдоль параллели, которая соответствует изменению координаты р.
Для того, чтобы записать элемент площади поверхности, удобно в каждой точке поверхности задать метрический тензор,
9ij — (®г> Пу).	(6.6)
В силу этого определения метрический тензор является симметричным:
,9ij = 9ji-	(6.7)
Если перейти от координат q\ параметризующих поверхность, к новым координатам q'1 = д'г(д), то, как показано в Задаче 1, метрический тензор будет преобразовываться по закону gij(q) —> д'^(д), где 5^(<?) определяется из равенства
sb(/)=№(9(9'))^^.	(6.8)
(Явно выписанные аргументы метрического тензора показывают, что в обоих случаях он берется в одной и той же точке поверхности.) Полученный закон преобразования называется тензорным. Мы будем обсуждать его более подробно в следующей части.
Если в качестве примера вновь рассмотреть сферу в трехмерном пространстве, то метрика в сферических координатах получается при помощи скалярного перемножения векторов (6.5) и оказывается равной
_ ( R2 °	\	ш
^"^0 R2 sin2 '	(6'9)
Для того чтобы понять, как выглядит выражение для элемента площади поверхности, рассмотрим т бесконечно малых векторов djX,
6. 1. Геометрия искривленного пространства
241
определенных формулой (6.4), выходящих из одной и той же точки поверхности и лежащих в касательной плоскости в этой точке. Объем m-мерного параллелепипеда, построенного на векторах djX, представляет собой бесконечно малый элемент площади рассматриваемой поверхности и, в соответствии с результатом Задачи 2, оказывается равным
т
dS = Пdgt , где p = det(Z0.	(6.10)
• i— 1
Полная площадь поверхности получается при интегрировании dS по всем возможным значениям параметров д,-
В частности, для сферы S2 в трехмерном пространстве из формул (6.9) и (6.10) следует, что элемент поверхности сферы можно записывать в виде
(6.Н)
dS — dd dip R2 sin d, где было учтено, что sin?? не принимает отрицательные значения на интервале [0,тг]. Площадь сферы получается при интегрировании элемента площади поверхности (6.11):
S = R2
(6.12)
dp sin d — 4тг7?2.
0 b
Во многих случаях полезно знать, каким образом можно обобщить эту формулу на случай сферы S”, которую можно задать уравнением
,п+1\2 _
(6.13)
в евклидовом пространстве п + 1 измерений. В Задаче 3 показано, что при R — 1 объем такой сферы *) равен
Q.
27г(п+>)/2
(6.14)
где
dttx~'e
(6.15)
о
') Обращаем внимание, что объемом многомерной сферы мы называем полную площадь ее поверхности. Эту величину не нужно путать с объемом шара, который ограничивается этой сферой.
242	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
— Г-функция Эйлера. В частности, из формулы (6.14) следует (Задача 3), что Qi = 2тг — длина окружности, Пг = 4тг — площадь сферы, a Q3 = 2тг2 — объем сферы в четырехмерном пространстве.
В Задаче 4 показано, что элемент площади поверхности (6.10) не зависит от того, какие координаты выбираются на поверхности. Это вполне естественно, поскольку, например, площадь сферы не должна зависеть от того, в каких координатах ее вычислять.
Рассмотрим теперь некоторую кривую на m-мерной поверхности. В параметрическом виде она может быть задана уравнениями
<?' =7W 72 = 72(0; ••• qm = qm{t). (6.16)
Локальный базис для такой кривой состоит из единственного вектора
ЙХ дх .j .;
е=	=ег(?г,	(6.17)
где = dq'/dt. Поэтому в соответствии с формулами (6.6) и (6.10) элемент длины кривой оказывается равным
ds — х/ё2 di = (jij q1 (р dt = gtj dqldqi.	(6.18)
Если считать, что параметр t вдоль кривой изменяется в пределах от 0 до 1, то полная длина кривой может быть записана в виде
1
L = J dt yjgijq1^ •	(6.19)
о
Важно заметить, что вся зависимость этой величины от функций x(q) факторизуется в зависимость от метрического тензора (щ. Поэтому при вычислении длины кривой можно забыть, что рассматриваемая поверхность вложена в евклидово пространство. Локально она будет описываться координатами q\ причем в каждой ее точке задано симметричное тензорное поле gjj.
Если говорить более строго, то необходимо рассмотреть множество точек, представимое в виде объединения некоторых областей. В каждой из этих областей задаются координаты, а также определяются взаимно однозначные функции перехода от одних координат к другим там, где области пересекаются. Если это сделано, то соответствующее множество называется многообразием.
Таким образом, например, в задаче о нахождении длины кривой на поверхности можно забыть о n-мерном евклидовом пространстве, в которое она была исходно вложена, а рассматривать многообразие с заданным на нем полем метрики gtj.
6.1. Геометрия искривленного пространства
243
Задачи
1.	Найти закон преобразования метрического тензора при переходе от координат д' к координатам д".
В силу формулы дифференцирования сложной функции при переходе к новым координатам
e, • > e;
Ox _ Ox dqk dq" dqk dq"
(6.20)
Как следствие,
dqk dq1
dq" dq’’
(6.21)
2.	Вычислить объем m-мерного параллелепипеда, построенного на некоторых векторах а,, г = 1,..., т.
Рассматриваемый параллелепипед Р состоит из всевозможных точек вида х = f'ai +	1- ... + tmam,	(6.22)
где t' G [0, 1]. Его объем по определению равен
Н = У dx1 dx2... dxm.	(6.23)
p
Произведем в этом интеграле замену переменных, перейдя от интегрирования по х' к интегрированию по 1‘, принимая во внимание, что переменные х’ линейно зависят от Р (как следствие, определитель перехода будет постоянным):
1
V= У di1 di2... Л.™ j det | = | <iet | -- | <1ее(а7)‘|,	(6.24)
b
где через (aj)! была обозначена г-я компонента вектора aj.
Принимая во внимание, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, а также, что определитель не меняется при транспонировании, имеем:
det.(aj)1 det(aj)1 = det	= dot (а,, а^).	(6.25)
Ь--1
Поэтому окончательно получается, что объем параллелепипеда, построенного на векторах сц, будет равен
V = v/det(a„ aj .	(6.26)
Если в качестве а; взять векторы (6.4), то из этой формулы получается выражение для элемента объема (6.10).
3.	Вычислить объем сферы Sn единичного радиуса. (Напомним, что объемом в данном случае мы называем площадь поверхности.)
244
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Наиболее простой способ вычисления основан на рассмотрении интеграла
I = j dn+lx ехр(—х2).	(6.27)
В декартовых координатах этот интеграл распадается на произведение п + 1 одинаковых интегралов, каждый из которых равен у/тг. Поэтому
Z = тг(п+1)/2.	(6.28)
С другой стороны, этот интеграл можно вычислять следующим образом: разбиваем пространство на концентрические сферы, расстояние между которыми равно dr. Если через Qn обозначить объем единичной сферы S", то объем сферы радиуса г, очевидно, будет равен гпПп, а объем пространства между двумя соседними сферами — rnQnd.r. Поэтому, учитывая, что величина х2 = г2 постоянна на каждой из сфер, рассматриваемый интеграл может быть записан в виде
1 = Qn j drrne.~r3.	(6.29)
о
Совершая затем замену переменной t — г'2, получаем, что
7= У dtf(n-,)/2e“f = |fi„r((n+ 1)/2).	(6.30)
о
Сравнивая равенства (6.28) и (6.30), получаем
г((п+1)/2)
Для исследования частных случаев этой формулы воспользуемся хорошо известным тождеством Г(х) = (х — 1)Г(х — 1), а также равенствами Г(1) = 1 и Г( 1/2) = тг1/2. С их помощью легко проверить, что
2тг	2тг:>/2	4тг3/2	2тг2	о
Q, = — = 2тг; П2 =	= ^--= 4тг; П3 =	= 2тг2. (6.32)
Г(1)	Г(3/2)	Г(1/2)	Г(2)
4.	Доказать, что элемент площади поверхности (6.10) не зависит от выбора координат на ней.
Если перейти от координат ql к координатам q'\ то в соответствии с формулой для замены переменной в кратном интеграле можно записать, что
1/1	1/1	f 1
(6.33)
Поскольку det(4B) = det A det В и det А = det Лт, то
у/д У? = \/<lct	=	'det	(6'34)
у \dq dqJ /	। dq 1
6.1. Геометрия искривленного пространства	245
Поэтому при переходе к новым координатам элемент площади поверхности (6.10) изменится следующим образом:
т	т	т	л И	n к
dS = П dqk у/д -» dS' = Y[dq‘y/g' =	| det ут| | det трт|-
к — \	i — 1	/с=1	Ч	т
(6.35)
Для того чтобы упростить это выражение, воспользуемся равенством
которое следует из формулы для производной сложной функции. Вычисляя определитель от обеих его частей, получаем, что
, . dq" , dqk .
det	det —-т = 1.	(6.37)
r)q' dq1
Поэтому из формулы (6.35) следует, что
dS ->	= dS.	(6.38)
г—।
Это и означает, что элемент площади поверхности не зависит от выбора параметризации поверхности.
6.1.2. Общекоординатная инвариантность. Тензоры.
Основным постулатом, который выдвигается при построении моделей теории поля в плоском пространстве, является инвариантность действия относительно преобразований Лоренца. Преобразования Лоренца
(6.39)
где — декартовы координаты в пространстве Минковского, а Л является элементом группы 0(1,3), есть некоторый частный случай преобразований координат. (Свойства группы Лоренца подробно описаны в Приложении А.1.) Поскольку Л не зависит от координат, то преобразования Лоренца являются глобальными. При этом декартовы координаты в пространстве Минковского вновь переходят в декартовы.
В случае искривленного пространства можно рассмотреть произвольные преобразования координат
.т'м(.-г1У),	(6.40)
которые называются общекоординатными преобразованиями. Основным требованием, которое выдвигается при построении моделей теории поля в искривленном пространстве, является инвариантность действия относительно таких преобразований. Важно заметить, что в отличие от преобразований Лоренца в плоском пространстве-времени, общекоординатные преобразования являются локальными.
246
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Для построения инвариантного действия также как и в плоском случае удобно использовать т.н. тензорные поля, которые специальным образом преобразуются при общекоординатных преобразованиях.
Тензором называется некоторое поле ^'.'.'.'/'"“(ж), которое при преобразованиях координат —> х'^(х) переходит в поле	(.г),
причем
У-')	W дх^.  дх»т дх'^  дх^п-
Индексы	называются верхними (или контравариантными),
а индексы щ ...ип — нижними (или ковариантными). Тензор является естественным обобщением понятия вектора, который представляет собой тензор с одним индексом.
В Задаче 1 показано, что свертка ковариантного и контравариантно-го векторов SfiT'1 представляет собой скаляр и при общекоординатных преобразованиях меняется по закону S^7V/l(x') =	Очевидно,
что аналогичное утверждение справедливо и для тензоров с произвольным числом индексов: если в произведении нескольких тензоров все индексы свернуты (каждый верхний индекс свернут с нижним и наоборот), то такое произведение является скаляром.
Рассмотрим некоторое четырехмерное многообразие с заданным на нем симметричным тензорным полем д^. Метрический тензор д^ имеет 2 нижних индекса и поэтому при преобразованиях координат меняется по закону gfl„(x) —> g'^ix), причем
, / 9ха ( , ,Л дх$	,п.
9иЛх) =	(6.42)
И их н \	/ <)х
Также можно определить и метрический тензор с верхними индексами, считая, что д111' есть матрица, обратная к gfll/.
д>,пд^ = К-	(6.43)
В силу симметрии метрического тензора с нижними индексами д1*" также будет симметричным. В Задаче 2 показано, что при общекоор-дипатных преобразованиях символ Кронекера является инвариантным тензором, а д1"' действительно преобразуется как тензор с двумя верхними индексами.
С помощью тензоров gfll/ и д1"' можно произвольным образом поднимать и опускать индексы, например,
Т^д^Т»,	Т^д^Г1'.	(6.44)
Если при этом Ти является тензором с нижним индексом, то в силу результатов Задач 1 и 2, будет тензором с верхним индексом и обратно.
6. 1. Геометрия искривленного пространства
247
Заметим, что определитель метрического тензора д = detg/H, не является скалярной величиной. Действительно, рассматривая правую часть выражения (6.42) как произведение матриц и беря от нее определитель, получаем, что при общекоординатных преобразованиях
д’(х’) = (dctg^) ,ф;).	(6.45)
Хорошо известно, что при замене переменных х^ —> x,fl(x) элемент объема меняется по закону
У d4x —> У d?x' = У dAx | det ^5-|.	(6.46)
Поэтому, как показано в Задаче 3, величина
У d4Xy/\g\ S(x),	(6.47)
где S(x) — произвольный скаляр, оказывается инвариантной относительно общекоординатных преобразований. Поэтому действие для модели теории поля можно строить как интеграл от некоторой скалярной функции с весом \/Ы-
Дифференциал координат также является тензором, который имеет один верхний индекс. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что в силу формулы для производной сложной функции
dx'il^~dxa.	(6.48)
ах
Как следствие, свертка дифференциалов координат с тензором, который имеет нижний индекс, является скаляром. Так, скаляром является, например, элемент длины некоторой кривой на рассматриваемом многообразии, который в соответствии с результатами предыдущего параграфа, можно представить в виде
ds — y/yfllsdx>‘dx1'.	(6.49)
Для случая пространства Минковского аналогом этого выражения является формула для инвариантного интервала ds = y/T]fliydxi1dx1', где При = diag(l,-1, —1, —1) — метрический тензор для пространства Минковского. Поэтому для пространства Минковского в декартовых координатах g)lt/ — г)^. В случае криволинейных координат или искривленного пространства метрика будет отличаться от метрики Минковского.
Как можно отличить искривленное пространство от плоского пространства в криволинейных координатах? В Задаче 4 показано, что в любой наперед заданной точке метрику с помощью общекоординатного
248	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
преобразования можно сделать диагональной, причем на диагонали будут стоять знаки собственных значений метрического тензора:
diag^sgnAo, sgnА।, sgnA2, sgnA3 j.	(6.50)
Координаты, в которых метрический тензор имеет такой вид, мы будем называть локально инерциальными в рассматриваемой точке. Если пространство не является плоским, то перейти к таким координатам нельзя одновременно во всех точках пространства или даже в сколь угодно малой окрестности выбранной точки. Тем не менее, в достаточно малой окрестности выбранной точки метрический тензор конечно же будет достаточно мало отличаться от
Совокупность знаков собственных значений метрического тензора называется сигнатурой. Для того, чтобы искривленное пространство в малой окрестности любой точки было похоже на пространство Минковского, необходимо, чтобы сигнатура была равной (н---------).
Плоское пространство получается, если метрика может быть приведена к виду	одновременно во всех его точках. Необходимое
условие для этого будет сформулировано далее.
Заметим, что в случае сигнатуры (-1-----) определитель метриче-
ского тензора отрицателен, а, следовательно, |р| = — д и инвариантным оказывается выражение
d^x \/—д S(x).	(6.51)
Такая форма записи будет часто использоваться в дальнейшем.
Закон преобразования определителя метрического тензора (6.45) можно обобщить, введя следующее понятие:
величина, которая при общекоординатных преобразованиях изменяется по закону
П,1
дх^' дх'*1’" дх0' дха' " дха"1 дх""
дх0" дх"'" ’
(6.52)
называется тензорной плотностью веса w. При умножении тензорных плотностей их веса, очевидно, складываются. В силу формулы (6.45) определитель метрического тензора является тензорной плотностью веса 2. Еще одним важным примером тензорной плотности является Е-символ. Он антисимметричен относительно перестановок двух любых своих индексов. Поэтому его можно полностью определить равенством
£0123 - 1
(6.53)
6.1. Геометрия искривленного пространства
249
В Задаче 5 показано, что е-символ с верхними индексами является инвариантной тензорной плотностью веса 1 при общекоординатных преобразованиях:
1)х/i1' dxf
,Д|Д2МЗМ4 — Jpf	« >«304
- l dx'S	dxa' dxai dx"3 dx"3 '
(6.54)
(Термин «инвариантная» употреблен поскольку и в новых, и в старых координатах е-символ дается одной и той же формулой (6.53).) Следствием этого равенства является то, что еще одной величиной, которая остается неизменной при общекоординатных преобразованиях будет
j d4X£^a3T^Q0,	(6.55)
где	— некоторый псевдотензор. (Закон его преобразова-
ния отличается от (6.41) наличием дополнительного множителя sgndetftr'15/сЪП.) Инвариантность выражения (6.55) проверена в Задаче 6. В ряде случаев подобные структуры, как оказывается, действительно входят в действие моделей теории поля. Один из таких примеров будет рассмотрен далее в Части 8.3.
Заметим, что в наших обозначениях s-символ с нижними индексами будет равен
£0123 = ,9ом 9\и 92а 930 ^а0 = 9-	(6.56)
(Последнее равенство следует из определения детерминанта матрицы.) В случае пространства Минковского из этой формулы получаем, что £0123 = -1-
В заключении этой части отметим, что все сформулированные здесь результаты естественным образом переносятся на случай пространств произвольной размерности. Например, выражение (6.47) будет инвариантным в произвольном случае. Также будут справедливы и все утверждения, относящиеся к Е-символу. Различие будет только в том, что в пространстве размерности D е-символ будет иметь D индексов. Поэтому, например, в формуле (6.55) псевдотензор Т будет также иметь D индексов. Заметим, что в наших обозначениях для произведений двух е-символов будут справедливы равенства
250	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
которые отличаются от аналогичных равенств в евклидовом пространстве наличием множителя д. Тождество (6.57) доказано в Задаче 7.
Задачи
1.	Доказать, что свертка ко- и контравариантного векторов преобразуется как скаляр при общекоординатных преобразованиях.
Используя законы общекоординатных преобразований векторов с верхними и нижними индексами, получаем, что
/Т.П V
Т'^х^х') = T"(x)^S.(x)^.	(6.58)
Поскольку в силу формулы для производной сложной функции
Эха dx'v _ dx'v А?7 “ Эх'1' а индексы суммирования можно обозначать любыми буквами, то рассматриваемая свертка может быть переписана в виде
Т'^х'^х1') = T"(x)S^x).
(6.60)
Это и означает, что такая свертка является скалярной величиной.
2.	Проверить, что символ Кронекера является инвариантным тензором при общекоординатных преобразованиях, а величина д"", определенная формулой (6.43), преобразуется как тензор с верхними индексами.
Если считать символ Кронекера тензором, у которого один индекс нижний, а другой — верхний, то при общекоординатных преобразованиях он будет меняться по закону
5'11 и и
dx'" дх1) „а _ dx,fl
Thr ай7 /3 _ ай7
(6.61)
Это и означает, что символ Кронекера является инвариантным тензором. Из полученного равенства, в частности, следует, что
г)ха Пт®
= g4iag'„ = g'^ga^^-	(6.62)
Ox ox
Несложно убедиться, что это уравнение будет удовлетворяться, если
X (З'Г? № (Зт? & j дх< дх6 а в силу теоремы о единственности обратной матрицы такое решение единственно. Поэтому д1"' действительно преобразуется как тензор с двумя верхними индексами.
3.	Доказать, что величина (6.47) является инвариантной относительно общекоординатных преобразований.
6.1. Геометрия искривленного пространства
251
Скалярная величина S при общекоординатных преобразованиях переходит в S', причем S'(.'c') = S(.c). Поэтому
У d-'x у/Ы S(x) = У dAt' | det | /Й | det 1 S'(x) =
М	w
= У с/4.г'ЛИ S'(x)	(6.64)
М'
и рассматриваемая величина действительно является инвариантной относительно общекоордипатных преобразований.
4.	Доказать, что с помощью общекоординатного преобразования в любой наперед заданной точке метрический тензор можно привести к диагональному виду, причем на главной диагонали будут стоять знаки его собственных значений.
Поскольку метрический тензор д^ является симметричным, а любую симметричную матрицу можно привести к диагональному виду некоторым ортогональным преобразованием, то существует матрица А такая, что в матричных обозначениях
А7дА = diag^A0, А|, Л2, А3),	(6.65)
где Xi — собственные значения метрического тензора. Вводя затем матрицу
В = diag	, ___ , —,
\\/|Aol \/|Ai | х/|А2 | х/|А3| I
получаем, что в рассматриваемой точке
(Л/?)1д (АВ) = diag(sgnA0, sgnAj, sgnA2, sgnA3).
(6.66)
(6.67)
После этого новые координаты х вблизи рассматриваемой точки хд можно определить например, таким образом:
а:'' - Xq - (АВ)11 „(х'1' - Хд1').	(6.68)
Поскольку при общекоординатных преобразованиях метрический тензор преобразуется по закону
/	> дха	r)xd
1 (6 69) то в новых координатах
(6.70)
5.	Убедиться, что е-символ является инвариантной тензорной плотностью
при общекоординатных преобразованиях.
252
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Рассмотрим выражение
ala?a3O4 Гх'1'2 дх'дх’^	(6 711
9х°' cte“2 дхаз дха* '	( '
Оно, очевидно, является антисимметричным по индексам (t|, р?, рз, рц. Поскольку эти индексы пробегают значения от 0 до 3, то нетривиальными оказываются только компоненты, для которых значения всех индексов различны. Другими словами, рассматриваемое выражение должно быть пропорционально	Для того, чтобы найти коэффициент пропорциональности,
рассмотрим случай когда индексы равны 0, 1,2,3. Тогда, в силу определения детерминанта матрицы,
iiuapdx'0 дх’ дх'2 дх'3 _	дх1'1
дхр дхи дха дхв 6 дх5
(6.72)
w	0123	1
С другой стороны, £	= 1 и, следовательно,
ЛГ'М|	fir1"1
Q]Q2a3a4 (J'L U'L (J'L	Ud	7O\
dxa' dx^ dx^ dx^	dx5'	(	'
Поскольку это равенство может быть эквивалентно переписано в виде (6.54), то оно и означает, что е-символ с верхними индексами является инвариантной тензорной плотностью веса 1.
6.	Доказать, что выражение (6.55) остается инвариантным при общекоор-динатных преобразованиях.
Переходя в формуле (6.55) к новым координатам и используя закон преобразования псевдотензора Т, получаем, что
У d4x Т^а3 = У dV | det | е^а’3 sgn det х дх,р дх,а дх,т дх'£ дх'1 dxv дха дх$ ра
(6.74)
С помощью формулы (6.54) это выражение переписывается в виде
I dAx’^T£T'pcrTe.	(6.75)
Тем самым рассматриваемая величина действительно оказывается инвариантной.
7.	Доказать справедливость равенства (6.57).
Рассмотрим вначале случай m = D и заметим, что правая часть равенства (6.57) антисимметрична как по индексам р\....ро, так и по индексам
ip,...,vo- Однако в пространстве D измерений с точностью до множителя
6.1. Геометрия искривленного пространства
253
существует только одна антисимметричная величина с D индексами — г-символ. Поэтому
к;	к; .	  С.		
	6% .	  sz	— J 7е	с- ь/j - -I'm ’	(6.76)
Кт	к? •	  к™		
где /(ж) — некоторая функция. Ее можно найти, положив pi = ip = 1, р? = = v<2 = 2, ро = vd = D. Тогда в левой части будет стоять определитель единичной матрицы, который равен 1, а в правой части
/(x)el2--'mei2...m = /(х)р(х),	(6.77)
где д(х) — определитель метрического тензора. Поэтому /(ж) — д"1. Это доказывает формулу (6.57) в случае т = D.
Для доказательства этой формулы в произвольном случае можно воспользоваться методом математической индукции. Предположим, что формула (6.57) справедлива для некоторого значения т. Убедимся, что тогда она также верна для т— 1. Для этого проведем свертку по индексам pi и гд. При этом определитель удобно разложить по первой строке. В таком разложении первое слагаемое при указанной свертке даст
С	С	С
с	с	...	С,
.	,	(6.78)
ЛМт	ЛМ"»	№т
и"3	' ‘	'	U»m
умноженный на D, а каждое из т — 1 последующих — такой же определитель, умноженный на —1. Поэтому суммарно получим дополнительный множитель D - т + 1. Поскольку (D — т т 1)(О — т)! = (/? - т + 1)!, то формула (6.57) будет также справедлива, если каждый г-символ имеет т — 1 свободных индексов.
6.1.3. Ковариантная производная.
Как мы увидим далее, тензорные величины играют важную роль при построении лагранжианов, инвариантных относительно общекоординатных преобразований. Однако, как несложно убедиться, обычные производные от тензора тензором не являются. Действительно, рассмотрим, например д11Т1', где Ти — некоторый вектор. Тогда при общекоординатных преобразованиях производная с^ТДгг) переходит в
п т'Чг'х -	т-3  дх'а д2х"' Тв
31	’ дх^ дха I дхв ) дх’* дх’3 а дх'“ дхадх13 '
(6.79)
Первое слагаемое в этом выражении соответствует тензорному закону преобразования, однако, благодаря наличию второго слагаемого, частная производная тензором все же не является.
Тем не менее можно построить некоторый объект, который в плоском пространстве совпадает с обычной производной от тензора
254
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
и который при общекоординатных преобразованиях меняется как тензор [1, 2]. Для этого рассмотрим вначале величину
гм" = (др9ри + (%9Рр ~ др9ц^,	(6.80)
которая называется символами Кристоффеля. Отметим, что в силу своего определения символы Кристоффеля являются симметричными по нижним индексам:
л = л.	(6.81)
В Задаче 1 показано, что при общекоординатных преобразованиях символы Кристоффеля переходят в
тчсг (	_ 9ха дхЙ Дх'"р . . дх,Г7 д2х~:
~	п0W + Th77 dxl,ldx,v
(6.82)
Из этого закона преобразования, в частности, следует, что Г£„ тензором не является.
При помощи символов Кристоффеля можно построить т.н. ковариантную производную, которая для тензоров с одним верхним или одним нижним индексом строится по правилам
= д,тп - г?ат0-,	= д,та + Г“дтй. (6.83)
Несложно проверить (аналогично примеру, рассмотренному в Задаче 2), что определенные таким образом величины являются тензорами, если величина Т является тензором. Другими словами, при общекоординатных преобразованиях

(6.84)
(7Х С/Х
Аналогично можно построить и ковариантную производную для произвольного тензора	имеющего п верхних индексов и тп
нижних индексов, которая определяется следующим образом:
V 7^1...«п _ я
_i_ rQi
р,п 1 pa J 0].
 fim
+ • • • +
j_pa„ rpri;...<т   per rpa|...a„
rLp<T13l...r„l	1
(6-85)
Такая ковариантная производная будет являться тензором с п верхними и гп + 1 нижними индексами. (Проверяется это утверждение точно так же, как и для случая тензора с одним верхним и одним нижним индексами, который рассмотрен в Задаче 2.)
6.1. Геометрия искривленного пространства	255
При этом ковариантные производные метрического тензора как с нижними, так и с верхними индексами, а также символа Кронекера оказываются равными 0 (Задача 3):
v;i5n/? = 0;	VX'?-O; vX-o. (6.86)
Также несложно убедиться (Задача 4), что для ковариантной производной (6.85) справедливо правило Лейбница
Г7 (rpai...an	_ V7	с"Н • •-Тр ,	.. .<ъ> V7 cTl-'-Tp
VT( 1р]...вт •-Ч.-Л ) ~	
(6.87)
Используя тождество
(6.88)
которое доказано в Задаче 5, несложно убедиться, что
х/=5 V/P-

(6.89)
Последнее равенство проверено в Задаче 6. В сочетании с правилом Лейбница оно позволяет интегрировать по частям скалярные интегралы, содержащие ковариантные производные:
уГ7	,	/ л с /— грцт-.-п,. ср)...!-!,,,
Х	...о,. + /	У 101...0т ‘5О|..,<>„
х
(6.90)
Тождество (6.88) (в случае пространства D измерений и произвольной сигнатуры) также приводит к равенству
=0,	(6.91)
которое доказано в Задаче 7. При этом в силу результатов Части 6.1.2 аргумент ковариантной производной представляет собой отношение двух тензорных плотностей веса 1 и, следовательно, является тензором.
Задачи
1.	Найти закон преобразования символов Кристоффеля при общекоординатных преобразованиях.
Подставляя закон преобразования метрического тензора
, _ дха дхв
~ дх'» дх'" 9'’"
дх'» дх'" св
дха дх'3 9
(6.92)
9
256
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
в определение символов Кристоффеля (6.80) и используя обозначение д'^ = = д/дз7‘, получаем, что
I ух 2^ (^дрРир
_ 1 ар дх'а дх'р / д / дх'’ dxs \
~ 2я д^г3 7773 \ д7^ V'<f'ТТ^ дТ73)
д ( ~ дх'’ dxs д (п дх'’ dxs /с ^дТ^У^дТ^дТр)- д7'р\9'’6д7рд7Ц7)^
Учитывая, что
Л =	(6.94)
дх ’’ дх р дха	дх м дх3
а также что да3дзу = <5“, после несложных преобразований это выражение может быть переписано следующим образом:
_ dxllj dx3 dx'’ „ дх"7 d2xa
= 'дх^дх^дТ1' Зз + Эж“ Ох^дх'"'
(6.95)
2.	Доказать, что ковариантная производная преобразуется как тензор при общекоординатных преобразованиях.
Для простоты рассмотрим ковариантную производную тензора с одним верхним и одним нижним индексом:
vX = -qQrf + 02.	(6.96)
Принимая во внимание закон преобразования символов Кристоффеля при общекоординатных преобразованиях (6.82), полученный в предыдущей задаче, ковариантную производную в новых координатах можно записать как
> гг'0 _ гг'Р _ г'т 7'+ I р'/З 7’/т _	дх"1 дх 3 \
дх'^1Х дх'а dxS )
/ дхр	дхТ	дх"’	дх''’	д2х° \ дхе дх'3	«
I дх^дТ*	~дх°	рт	+	++	дх'3дх'а I дх’’’ dxs	е +
/ дхр	дхт	дх'0 ро-	,	дх'в	д2ха \ дхе дх1’’
рт	т	д7°	дх'рдх"1 I д7^ а/	е'
После несложных преобразований это выражение можно переписать в виде
./ т//з _ дх1' дх'’ дх'3 g р п ~ дх’рдх'п дх6
р / дх’’ дх'3 . дх'3 с7ха дх"1
дх'п 1 дх'Р дх^дх1 е дха дх'Рдх1'’ дх1 '
(6.98)
6.1. Геометрия искривленного пространства
257
При этом в силу тождества
дх'0 д2ха _ д /дх'0 дха \
ftp7 дх'^дх^ ~ дх^ \~дх°~ дх0^/ ~
д /дх'0\дха _ дх" д'2х'0 дха
'"ih^Ydx" ) дх,у ~ дх’^ dxadxJ дх^’
последние два слагаемые в формуле (6.98) сокращаются и закон преобразования ковариантной производной принимает тензорный вид:
,,	rtxv ftr'i fir'd s
VXV) =	(6.100)
Случай тензора с произвольным числом верхних и нижних индексов рассматривается полностью аналогично.
3.	Доказать, что ковариантные производные метрического тензора и символа Кронекера равны 0.
Из определений ковариантной производной и символов Кристоффеля следует, что ковариантная производная метрического тензора с нижними индексами равна
VцЗав — 'Ьдрхв гд<гв I цв 9аа — 'ii‘9c,e \@fi9a0 4"
~гд&д^в д/зд^а) 2 yfyidnfi	(^ag^ej — 0.
(6.101)
Аналогичным образом, для метрического тензора с верхними индексами
V.9a0 = д,да0 + Г"ад^ + Г0 „д™ = д.да0 + [-да\д^ + +дад^ - ду9^9аР + ^90У(^9^ + дад^ - д^д^д™.	(6.102)
Учитывая равенство
дау 9°Р = д^ д°Й = -д^ 60 = -д»дае, (6.103) формула (6.102) может быть переписана в виде
5 = d,ga0 - [-д,да3 - [-дрдав = 0.	(6.104)
Наконец, ковариантная производная символа Кронекера равна 0, поскольку
= -г;а80 + Г0„6° = -V0a +	= 0.	(6.105)
4.	Доказать справедливость правила Лейбница для ковариантной производной.
9 К. В. Степаньянц
258	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
В силу определения ковариантной производной и правила Лейбница для обычной производной
^АТв'"Т	S;'"7₽ +Г“'+
I (PQ1 rr<J • • - &п I I rftn Т101 • • •сг F'7 rT(i !•••<>«	г'СТ
“Ц1	+  + 1	~ 1	1а...Зт - ... - 1 рвт X
гуа] ...ап \ Q-У] ...7р . /ра: ...an fr">! Са---Вр , г*1'? С'*У1---(Т _ )^8{...8q ^1В-...0т	№ ^6}...dq	+ 1 W ^8,...8q
р(7	__ _____ р<Т C'T'l • • -~1р \ _
" 1 ;х(5]	...8 q • • •	1	*^<51 ...a J ~
=	V^'X-	(6.106)
5.	Доказать равенство
(6.107)
Рассмотрим вначале некоторую симметричную невырожденную матрицу А/ и убедимся, что она удовлетворяет равенству
—A— a,dctA7 = tr(A/ 'диМ}.	(6.108)
det М р	'	)
Для этого приведем матрицу М к диагональному виду:
	М = АМ(,А	где Мо =	/ А, 0 . 0 а2 .	 0 . 0	(6.109)
		У 0 0 .	 Хп	
Тогда	det М = det(XA/oX-	') = det А/q	= ПА;	(6.110)
и, следовательно,
—-— ди det М — ди In det М = ди In А;.	(6.111)
det М '	е
г
С другой стороны, правая часть равенства (6.108) будет равна
tr(A7 -'дцМ) = tr(ЛД70 'А-'д^ЛМоА-')) =
= tr(A/o"'^Wo + A~'dttA + Лд1иЛ~').	(6.112)
6.1. Геометрия искривленного пространства
259
Производя в последнем слагаемом циклическую перестановку под знаком следа, получаем, что
= tr(A/0-'9MA/0 + А~'М + М-'а) = tr(w0’1 х
xdltMo г <?ДА-'А)) = tr(ATo-'c>M7V7o) = Е У 'У‘У = Е9" 1пЛ’-i	i
(6.113)
Равенство (6.108) получается из сравнения формул (6.112) и (6.113). Подставляя вместо матрицы М метрический тензор дар и учитывая, что
’я 2 я /— ~9^д = -^д^-д, 9	х/~9
(6.114)
получаем требуемое утверждение.
6.	Убедиться в справедливости равенства (6.89).
Используя выражение для ковариантной производной, левую часть равенства (6.89) представим в виде
УЧ ЧТ" = УЧ (УЧ1 + V) •
(6.115)
При этом в силу определения символов Кристоффеля и тождества (6.88)
ПУ = ^9^ (fa™ +	- дад^ = ^дЦГТdvg^a = -^= д^^д . (6.116)
Поэтому левая часть равенства (6.89) может быть представлена в виде
УЧ ЧТ" - УЧ 9^=	т»),
(6.117)
что и требовалось доказать.
7.	Доказать тождество (6.91).
Поскольку д-символ с верхними индексами не зависит от координат, то
в силу определения ковариантной производной
1	=еД|.-моя *
УЫ '	УЫ
1	/ рМ1	I I pMD
у ы
(6.118)
Несложно видеть, что это выражение антисимметрично по индексам р,\, /j.j. ..., Рп. Поэтому для того, чтобы доказать, что оно равно 0, достаточно проверить,
9*
260
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
что при умножении на	получается 0. Учитывая, что в силу равенства
(6.57)
=D\g;	= (D - 1)!д60,	(6.119)
находим, что
= ffD!9M-7U-+sgn(g)D!v^r“„.	(6.120)
W.9l ’ Vlsl
Поскольку в соответствии с формулой (6.88)
Г“а = \да0911дав = —L-	(6.121)
2	Viffl
выражение (6.120) оказывается равным 0.
6.1.4. Тензор кривизны.
Динамической переменной в моделях, описывающих гравитационное взаимодействие, является метрический тензор д,а,. Поэтому функция Лагранжа для гравитационного поля должна строиться из поля д^ и его производных и являться инвариантной относительно общекоординатных преобразований. Заметим, что построенные выше символы Кристоффеля не являются тензором и при общекоординатных преобразованиях меняются в некотором смысле аналогично полю Лм в теории Янга-Миллса. Благодаря такому закону преобразования, построение инвариантных лагранжианов непосредственно исходя из символов Кристоффеля достаточно затруднительно. Вместо этого можно построить тензорный объект, который будет аналогичен тензору поля FMi?. Напомним, что ранее (формула (4.61)) было получено, что коммутатор ковариантных производных, действующих на некоторое скалярное поле оказывается пропорциональным тензору поля:
(6.122)
Определим теперь [1,3] тензор кривизны по аналогии с этим равенством:
[VM.Vjr* = R^a0T3,	(6.123)
где ковариантная производная дается выражением (6.85). В Задаче 1 показано, что определенный таким образом тензор кривизны в явном виде записывается следующим образом:
R^a0 = д,Г“0 - д^0 + Г«7Г]У - Г“7Г^	(6.124)
и с очевидностью является антисимметричным по первым двум индексам:
R^a0 = -R,^ap.	(6.125)
6.1. Геометрия искривленного пространства	261
Для того чтобы проследить аналогию между тензором кривизны и тензором поля в теории Янга-Миллса, можно определить матрицы и Гм с помощью равенств
(ГХ? = г^.	(6.126)
Тогда в матричных обозначениях тензор кривизны может быть записан в виде
+[I;,,?,(6.127)
При сравнении этого равенства с определением тензора поля (4.11) видно, что символы Кристоффеля ГТ^ являются аналогами калибровочного поля Afi, а тензор кривизны Я^аз ~ аналогом тензора поля Более того, если определить матрицу щ по формуле
дх'а
=	(6.128)
дх"
то закон преобразования символов Кристоффеля при общекоординатных преобразованиях можно переписать в виде
г; =	(6.129)
что, как показано в Задаче 2, (в матричных обозначениях) приводит к следующему закону преобразования тензора кривизны:
(6.130)
Несмотря на то, что формулы (6.129) и (6.130) несколько отличаются от законов преобразования и F^v при калибровочных преобразованиях, указанная выше аналогия с теорией Янга-Миллса достаточно хорошо просматривается. В полной степени она будет понятна несколько позже, когда мы будем изучать тетрадный формализм.
Если не использовать матричные обозначения, то формула (6.130) может быть эквивалентно переписана в виде
=
дхр дхТ дх'а дх5 „ д^ ipT S’
(6.131)
откуда следует, что действительно является тензором.
Если пространство является плоским, то можно перейти к декартовым координатам, в которых метрика не зависит от координат. Как следствие, символы Кристоффеля и тензор кривизны в этих координатах будут равны 0. Но поскольку — тензор, то в силу формулы (6.131), тензор кривизны также будет равен 0 и в произвольных криволинейных координатах. Таким образом, необходимым условием того, что пространство является плоским, является равенство 0 тензора кривизны.
262	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Если у тензора кривизны опустить индекс а и подставить явное выражение для символов Кристоффеля в слагаемые, содержащие <9Г в формуле (6.124), то тензор RpvnB может быть представлен в виде (Задача 3)
RpvnB — 2
-д„дз9^	-Г^Л).	(6.132)
Такая форма записи удобна для доказательства следующих свойств тензора кривизны (Задача 4):
RpvaB = RaBpv'	(6.133)
Rpvafl “Г Rpffua “Г RpaBv 0-	(6.134)
(Свойство (6.134) называется тождеством Риччи.) Несложно проверить, что в силу равенства (6.133), тензор кривизны R^aB является антисимметричным не только по первой, но и по второй паре индексов.
Помимо указанных выше алгебраических тождеств, тензор кривизны также удовлетворяет дифференциальному тождеству Бьянки
^aRpvaB + ^vRupaB + V pRvaaB = 0,	(6.135)
вывод которого приводится в Задаче 5. В принципе это тождество является аналогичным тождеству Бьянки (4.12) для тензора поля.
Исходя из тензора кривизны определяются тензор Риччи
R„B = Ra„ae	(6.136)
и скалярная кривизна [4]
R = g^RpV.	(6.137)
При этом, как показано в Задаче 6, из тождества Риччи следует, что тензор Rflv является симметричным:
Rpu^Rup,	(6.138)
а в силу тождества Бьянки он удовлетворяет уравнению
2VM7?^ = WR.	(6.139)
В Задаче 7 показано, что благодаря свойствам (6.125), (6.133) и (6.134) число независимых компонент тензора кривизны в пространстве D измерений оказывается равным
D2(D'2 - 1)/12.
(6.140)
6.1. Геометрия искривленного пространства
263
В частности, в двух измерениях тензор кривизны имеет единственную нетривиальную компоненту /?1212- При этом, как показано в Задаче 8, в пространстве двух измерений
2 yS/Jadi'e 9 J При	(6.141)
В случае трех измерений число независимых компонент тензора кривизны равно 6, столько же, сколько и у тензора Риччи. Это означает, что в пространстве трех измерений тензор кривизны можно выразить через тензор Риччи. В Задаче 8 также показано, что при D — 3 имеет место тождество
Л/л/а.в 9pa^-i'P	ffpftRi/n
~^~9^в^ра ~ 2 (jjpa9ui3 ~ 9р09иа^И-	(6.142)
В наиболее физически интересном случае пространства четырех измерений тензор кривизны имеет 20 независимых компонент, тогда как тензор Риччи имеет только 10 независимых компонент.
Задачи
1.	Построить явное выражение для тензора кривизны исходя из определения (6.123).
В соответствии с определением (6.123)
[VM,V,]TQ =Н^арТв.	(6.143)
С использованием явных выражений для ковариантных производных получаем, что
W° = (d„Tn +	= д^д„Тп + Г“аТ3) -
(д,тп -г + г"7 (д„т'< -г .	(6.144)
Вычитая из (6.144) выражение с переставленными индексами р и и и принимая во внимание симметрию символов Кристоффеля по нижним индексам = = Г2М, получаем, что
[vM. v,] та = д, (г^г3) + г“7 far -г vvpT3) - д„ (т>т;3) -- д^0 + г“7г^ - г“7г;3)^,
(6.145)
откуда с использованием формулы (6.123) следует равенство
в =	4- Г"7Г^ - Г"7Г^д.	(6.146)
264	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
2.	Найти закон преобразования тензора кривизны при общекоординатных преобразованиях.
В данном случае удобно использовать матричные обозначения (6.126), (6.127) и (6.128). Подставляя закон преобразования символов Кристоффеля в виде (6.129) в выражение (6.127) для тензора кривизны, получаем, что
+ {<?Q (щГдсХ + о <%сХ j — дв	+ и гЛ,сХ j —	(6.147)
, Г р -1 , я -1 р । я -111 дх"' дхя +1 и! + и оаи> , щ1 + и	.
L	J J дх ' дх
Здесь было учтено, что
д _ дха д дх'и ~ дх'^д^'
(6.148)
Первые два слагаемые в формуле (6.147) с очевидностью сокращаются, а выражение в фигурных скобках с точностью до обозначений представляет собой закон преобразования тензора поля Янга-Миллса, который был найден в Задаче 3 Части 4.1.1. Используя результаты, полученные в этой задаче, закон преобразования тензора кривизны при общекоординатных преобразованиях может быть представлен в виде
=	(6.149)
Переходя обратно от матричных обозначений к тензорным с учетом равенства (6.128), эта формула эквивалентно переписывается в виде
_ дхр дхТ дх1п дх6 „
0 ~ д^д^^д^ рт 6
(6.150)
3.	Доказать, что тензор кривизны может быть записан в виде (6.132).
Опуская индекс а в формуле (6.124), тензор кривизны можно записать в виде
R^av = д<МГ°в -	+ 1'ХХ - ХГХ = др {9<Л
-д119ааГ^ - дЛдааГ°3) + д„дааГ^ + ЦГХ - Г^гХ. (6.151)
Подставляя явное выражение для символов Кристоффеля в первое и третье слагаемое, а также используя тождество
c)[ign<7
— д^р^^а 1 дарГцр,
(6.152)
6.1. Геометрия искривленного пространства
265
которое легко доказать с использованием формулы (6.80), для тензора кривизны получаем следующее выражение:
Rpuap —
= т/Г {дяд,т +	- <)agvf^ - (дарГ’^ +
2^	+
dpgap - 0пдрз) +	- даРГра^Г^3 + д,,„ (Г^17й -	=
: | (дрдед^а + дрдадр,з - dILdngve - дрдвд^ - д„р (г^Г^ - Г’„Г^
(6.153)
4.	Доказать, что тензор кривизны удовлетворяет свойству В.ррП,з - Яавци, а также тождеству Риччи (6.134).
Для доказательства удобно записывать тензор кривизны в виде (6.132). При этом свойство R/jvap ~ является очевидным, а тождество Риччи следует из того, что
Rppa3 + Ярв VCi Ч- —
— 2	Ч" дцдаЗ&и “1“
-дрдрдЯа ~ д3дад^р дрдрдаз + dadpgliv - dpdggap - dadpgpgj
I Va ,ГР —Г0" Г7' I Г'7 Г*3 -Г'7 Г₽  Г'7 V? -Г'7 Г** 'l — п р~Ур р [* рр1 ра 1 рп1 pj “Г 1 ро1 Qp 1 рр> за • J !/р> ,,з J p3J ар I о.
(6.154)
5.	Доказать, что тензор кривизны удовлетворяет тождеству Бьянки (6.135).
В соответствии с определением ковариантной производной
VaR.ppn3 = dpRltpn3 ~ rpailRpp°3 - ГррЯрраз + rtpR^’e - rpaR,tp°p.
(6.155)
Легко проверить, что все слагаемые, в которых символы Кристоффеля имеют нижние индексы ри, ор и av, при учете свойств симметрии тензора кривизны исчезают в выражении
^pRppa з + Vp Я.р„аз + VpRallag.	(6.156)
Действительно,
ГР ту _ ГР /? а ГР Р Q 0 '	13	1 ^yiVpfT d
-r^Rpp^e - V^Rpp^p - VPppRapa3 = о. (6.157)
266
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Поэтому остается доказать, что
(&Rp„np + Va„pR,^p - R^nPrpal^ - (dPR^aa + r^7?„Z/3 -
+ (dPRai“p + r^Rv/p - R^aprPp) = 0.	(6.158)
Заметим теперь, что если ввести матрицы R,,^ и Гд в соответствии с формулами (6.126), то в матричных обозначениях левая часть равенства (6.158) перепишется в виде
(dpR/jv + [Гст, Rpi/\) + (dpRv<7 [Гм, Rua ) + (Oi/R^ [1 I/. R<7P=
= dadfA'i, — дадуГp + (?а[Гм, Г,j + [Гст, <9,, Г „ — di/Гp] + [Гст, [Г(1, Г^]] + +<9д<9>/Га - дрда1 v +	[1 v, Га] + [1 /I, дА „ — бУГу] + [Г^, [ГУ, Га]] +
-f-^t/Oal р — дудцГа + бЛ/[Га, Г/(] + [Гм, бУГф — Оф. Га] + [1 v, [1 а, Г^]] = = 0,	(6.159)
где также было использовано тождество Якоби для матричного коммутатора, доказанное в Задаче 1 Части А.2. (Фактически формула (6.159) с точностью до обозначений представляет собой тождество Бьянки (4.12) для тензора поля.)
6.	Доказать, что тензор Риччи является симметричным и удовлетворяет тождеству (6.139).
Свертывая тождество Риччи (6.134) по индексам р и а с учетом свойств симметрии тензора кривизны, получаем, что
0= Ra,ap + Rae,a = R,3-RpP,	(6.160)
откуда следует симметрия тензора Риччи.
Аналогичным образом свертка тождества Бьянки (6.135) по индексам р, а и и, 0 приводит к тождеству
0= Va«- V'yfiaIz-VM^a/J = Va R ~ 2 V" Rpn .	(6.161)
7.	Найти число независимых компонент тензора кривизны в пространстве D измерений.
Поскольку тензор кривизны R^ap является антисимметричным по парам индексов р, и и а, 0, а каждый из индексов в D измерениях может принимать D различных значений, то число возможных пар индексов р, v или а, 0, которые могут соответствовать различным независимым компонентам тензора оказывается равным D(D - 1)/2. (Например, в четырех измерениях это (0, 1), (0,2), (0,3), (1,2), (2,3), (2,3)) Компоненты тензора кривизны с другими значениями этих индексов (например (1, 1) или (2, 1)) либо равны 0, либо выражаются через другие компоненты.
6.1. Геометрия искривленного пространства
267
Кроме того, необходимо учесть симметрию тензора кривизны относительно одновременной перестановки индексов р «-> а, I/<->/3 (свойство (6.133)). Поскольку каждая пара индексов может принимать D(D — 1)/2 различных значений, а тензор кривизны симметричен относительно перестановки пар индексов, то число его независимых компонент было бы равно
D(D-.)(W^,l) + 1y	(6.162)
если не принимать во внимание тождество Риччи. Важно заметить, что если какие-либо два индекса в тождестве Риччи совпадают, то оно выполняется автоматически в силу свойств симметрии тензора кривизны. Действительно, в этом случае равенство
О -- RapPp + Rapp:i - Наврр.	(6.163)
(в нем нет суммирования по индексу р) оказывается верным в силу антисимметрии тензора кривизны по последним двум индексам. Поэтому тождество Риччи приводит к нетривиальным соотношениям между компонентами тензора кривизны, только если все индексы в нем являются различными. Число способов выбора четырех различных индексов, каждый из которых пробегает D значений, равно числу сочетаний
=	(б.1б4)
Поэтому окончательно число независимых компонент тензора кривизны в пространстве D измерений оказывается равным
D(D- 1) (D(D-\) ,	D2(D2-\)
---4--------- + 1J-CD-----Г2---
(6.165)
8.	Доказать, что в двумерном пространстве тензор кривизны и тензор Риччи могут быть выражены через скалярную кривизну формулами (6.141), а в трехмерном пространстве тензор кривизны выражается через тензор Риччи и скалярную кривизну формулой (6.142).
В двумерном пространстве в силу антисимметрии тензора кривизны по
первым двум и последним двум индексам можно записать, что
= - g'2c^£apepac^Rfl^6.	(6.166)
Доказать это равенство можно, например, используя тождество
° з
'= 9
<5,1
(6.167)
для произведений	и cflMcpT. Если же использовать это тождество
(с опущенными или поднятыми индексами) для произведений и ера ,
то получаем равенство
Rpvap — 2\9pa9vi3 9pP9uajR.	(6.168)
Свертывая его затем по индексам и и 0, мы находим, что Rfin = gliaR/2.
268	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
В трехмерном случае аналогичным образом тензор кривизны можно записать в виде
1
4ff
Rpvap —
Saflx £Р е"1 R.pa-.f,-
(6.169)
Используя после этого тождество
E^i/Л Варх — р
.9дО
9уа
9ха
9р.в
9X0
Эр*
9ух
9хх
(6.170)
и аналогичное тождество для произведения £РаХ£~<5г<< получаем, что
,	9ра	9цв	9рх	I	.9^	9Р	9Р><
-	gva	9уц	дух	j	да~'	да&	д™
4	дха	дхв	дхх	i	дх~*	дХ&	дх*
R-payS —
9ц-з 9^х
9 и а д»в 9^х
9 Ха 9х/з 9Хх
X (2gx><R. - 4RX><^ =	- д^рд^ R - ^g/Ja (gvpR - 2RV0^ +
+ g9ya [j^ppR ^Rp0j \9p.a R 2Rpa
2 у9^адрв 9li09yaJ R 9paRy0 g^aRpP 9ppR-ya 4“ 9vpRpa-
(6.171)
6.2. Теория поля в искривленном пространстве
Основным требованием, которое предъявляется к действию любой модели теории поля в искривленном пространстве-времени, является его инвариантность по отношению к общекоординатным преобразованиям. Два общекоординатно инвариантных выражения были построены в Части 6.1.2. При построении моделей теории поля наиболее часто используется инвариантность выражения
S(x),
(6.172)
где S(x) — произвольная скалярная величина. Ее можно легко построить из тензоров, поскольку, как было показано в Части 6.1.2, произвольная свертка тензорных величин, не имеющая индексов, будет являться скаляром. При этом все индексы необходимо поднимать и опускать с использованием метрических тензоров др" и д1и/.
Рассмотрим вначале случай скалярного поля и построим для него действие в искривленном пространстве. Для этого заменяем d4x на d^Xy/^, а метрический тензор rfv — на д1"'. Поскольку скалярное поле не имеет лоренцевых индексов, то обычные производные от скалярного поля на ковариантные заменять не нужно. Кроме того, можно
6.2. Теория поля в искривленном пространстве	269
добавить член, пропорциональный ф2Р., где Р — скалярная кривизна, поскольку такое слагаемое имеет правильную размерность и является скаляром. При этом в плоском пространстве такое слагаемое с очевидностью равно 0. Поэтому, например, для комплексного скалярного поля действие может быть записано в виде
S = у <Рх	- ¥(ф*ф) + ^Рф*ф^,	(6.173)
где £ — некоторая постоянная. В Задаче 1 показано, что из действия (6.173) получается уравнение движения
V^V> + У'(ф*ф)ф-$11ф = 0,	(6.174)
где индекс ковариантной производной поднимается по обычному правилу при помощи метрического тензора: Vм =
Построим теперь действие для полей Янга-Миллса в искривленном пространстве. Как и в случае плоского пространства, тензор поля записывается в виде
Рци — дрАу — dyAtl + [Лм, Av\	(6.175)
и, несмотря на наличие обычных производных, является тензором. Это следует из того, что, как показано в Задаче 2, слагаемые, содержащие производные, не меняются при замене обычных производных на ковариантные.
Поскольку е-символ с верхними индексами определяется точно так же, как и в плоском пространстве, то тензор поля будет удовлетворять тождеству Бьянки
(6.176) где
D^Fa0 = d^FaP + [A^Fa0\.	(6.177)
При этом также не нужно заменять обычные производные на ковариантные, поскольку тождество Бьянки может быть эквивалентно переписано в виде
Т>1,.Рпв + T>aF0ll + T>gFlia = 0,	(6.178)
а левая часть этого выражения остается неизменным при замене обычных производных на ковариантные. (Это утверждение также проверено в Задаче 2.) Заметим, что тождество Бьянки в виде (6.176) справедливо только в четырехмерном пространстве. В общем случае, когда
270
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
пространство имеет D измерений, необходимо записывать тождество Бьянки в виде (6.178).
Действие для теории Янга-Миллса строится точно так же, как и в плоском пространстве. Для обеспечения общекоординатной инвариантности необходимо только добавить у/—д и поднимать индексы с помощью метрического тензора дп®. В частности, для электродинамики с внешним источником
S = J J-g	(6.179)
Соответствующие уравнения движения строятся точно так же, как и в случае плоского пространства-времени, и могут быть представлены в виде
dfl^F^ =	(6.180)
В Задаче 3 показано, что уравнение (6.180) может быть эквивалентно переписано в форме
V^F^ = f,	(6.181)
в которой очевидна его инвариантность относительно общекоординатных преобразований.
Аналогичным образом можно строить и более сложные модели. Например, взаимодействие поля Янга-Миллса со скалярным полем в искривленном пространстве описывается действием
S = ptr J d4 x	F^F^ +
+ f d^xy/^g (т>^ф*Т>^ф-У(ф*ф) + ^Пф*фу (6.182)
Задачи
1.	Построить уравнение движения для скалярного поля, соответствующее действию (6.173).
Дифференцируя действие (6.173) точно так же, как и в плоском пространстве, получаем, что
^ = y4f-V'(0*0)0 44R0). (6.183)
О((УцФ )	оф	\	/
Поэтому (после деления на у/—д) уравнения Лагранжа для скалярного поля в искривленном пространстве запишутся как
д^д^ф) +У\ф'ф)ф-^Пф = 0.
(6.184)
6.2. Теория поля в искривленном пространстве
271
Примем во внимание, что в силу тождества (6.88) и определения символов Кристоффеля для произвольного вектора с одним верхним индексом имеет место равенство
vj = dtI.v^ +	=
= 9 y- ' a ^y^^d^y") (6185) v-g	V-g v >
и учтем, что для скаляра ковариантная производная совпадает с обычной. Тогда формула (6.184) может быть переписана в виде
Vm(<TVk</>) + У'(ф*ф)ф-£11ф = 0.	(6.186)
В силу правила Лейбница и равенства 0 ковариантной производной от метрического тензора g'Jl' можно вынести за знак ковариантной производной и переписать уравнение движения в виде
V"Vk<> + V'(ф*ф)ф - £,Нф = О,	(6.187)
где V" = g^Vtl.
2.	Доказать, что тензор поля и тождество Бьянки не меняются при замене обычных производных на ковариантные.
Подставляя в определение тензора поля вместо обычных производных ковариантные, получим, что
VЛк — VkЛр + [Лм, Лк] = сЭцЛк - Г^кЛег — д^Ац +
ЛГк^Лсг + [Лм, Лк] = d^Av — duAfj + [Лм, Лк] = F;,k.	(6.188)
Аналогичным образом, при замене обычных производных на ковариантные в тождестве Бьянки (6.178) его левая часть может быть представлена в виде
VfjFap + (Л^, Т‘ав] +	+ [Ла, -Ffl^] + VpFfja + [Лд, FMa] =
=	- rifjFe. - IXRa - r^F,. = 0
(6.189)
в силу антисимметрии тензора поля и симметрии символов Кристоффеля по нижним индексам. (Кроме того, было использовано тождество Бьянки (4.12) с обычными производными.)
3.	Доказать, что уравнение (6.180) может быть переписано в виде (6.181).
Используя определение ковариантной производной, левая часть уравнения (6.181) может быть записана в виде
= d,,F,v + Г]],.., F"" + r^F"".	(6.190)
272	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Последнее слагаемое в этом выражении равно 0 в силу симметрии символов Кристоффеля и антисимметрии тензора поля. Подставляя во второе слагаемое явный вид символов Кристоффеля (6.80) и используя тождество (6.88), получаем, что
= д^ +_Ld^gF'“' =	(6.191)
V~9	V~9 V	>
Благодаря этому равенству, уравнение (6.181) после умножения на 3/^д переходит в уравнение (6.180).
6.3. Тетрадный формализм
При построении действия для спинорных полей в искривленном пространстве-времени возникают определенные сложности. Они связаны с тем, что спинорные поля при общекоординатных преобразованиях с необходимостью должны оставаться неизменными. Действительно, при общекоординатных преобразованиях векторы, лежащие в касательном пространстве к заданной точке х%, например dx11, меняются по закону dx'11 — w^dx1', где = дх'р/дх1' — вообще говоря, произвольная невырожденная матрица, которая принадлежит группе GL(4, R). Если эта матрица также является элементом 0(1,3), то локально такие преобразования сводятся к преобразованиям группы Лоренца. Поскольку группа Лоренца является подгруппой GL(4, R), то любое представление GL(4, R) индуцирует представление 0(1,3). Но обратное утверждение верным не является: у группы Лоренца существуют представления, которые не получаются из представлений GL(4,R). В частности, известно, что спинорному представлению группы Лоренца не соответствует никакое представление GL(4, R). Поэтому при общекоординатных преобразованиях спинор должен вести себя как набор из четырех скалярных нолей. Также (как и при ло-ренцевых преобразованиях) неизменными будут и 7-матрицы. Поэтому при общекоординатных преобразованиях величины типа	(где
7m, гп — 0,..., 3 — построенные ранее 7-матрицы) преобразуются как скаляры.
Таким образом, для описания спинорных полей в искривленном пространстве желательно найти некоторый формализм, позволяющий перейти от общекоординатных преобразований к преобразованиям группы Лоренца. Для построения такого формализма мы вначале запишем закон преобразования метрики
4^ = ^^	(6'192)
6.3. Тетрадный формализм
273
Исходя из него, можно доказать (Задача 4 Части 6.1.2), что если задать некоторую точку жо, то существуют такие (т.н. локально инерциальные) координаты х'11, в которых в точке tq метрика совпадает с метрикой Минковского. При этом в общем случае перейти к таким координатам одновременно нельзя даже в малой окрестности выбранной точки.
Пусть — произвольная система координат, а тп — 0,..., 3 — локально инерциальная система координат в некоторой заранее выбранной точке. Для удобства дальнейших обозначений все индексы, относящиеся к локально инерциальной системе координат, мы будем называть латинскими буквами, а индексы, относящиеся к исходной системе координат, — греческими. Тогда в соответствии с формулой (6.192) в рассматриваемой точке матрица
=	(6.193)
ох
будет удовлетворять условию
f]mn ~ У	(6.194)
Если теперь предположить, что локально инерциальная система координат х/т является фиксированной, то при общекоординатных преобразованиях величина ет>1 будет изменяться по закону
4м = ^4	(6-195)
и может рассматриваться как набор из четырех векторных полей. Достаточно очевидно, что такой закон преобразования приводит к тому, что формула (6.194) является инвариантной относительно общекоординатных преобразований.
Однако выбор локально инерциальных координат в заданной точке не является единственным. Действительно, формула (6.194) остается инвариантной при локально лоренцевых преобразованиях
ерт(ж) -*• е',1т(х) = \тп(х)е11п(х),	(6.196)
где матрица Лтп представляет собой произвольный элемент группы Лоренца 0(1,3). Преобразования (6.196) соответствуют переходу от некоторых локально инерциальных координат х к другим локально инерциальным координатам х', определяемым формулой
х,т = \тпхп.	(6.197)
При этом заметим, что в силу условия псевдоортогональности матрицы Л (см. Приложение А.1) имеет место равенство
(\-[)тп = т1тк\,к111п = Апт.	(6.198)
274
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Зададим теперь поле тетрады ет^, которое по определению удовлетворяет условию (6.194) в каждой точке пространства-времени. Удобно также ввести поле еткоторое по определению удовлетворяет уравнениям
=	=	(6.199)
(Второе из этих равенств следует из того, что если АА~1 = 1, то А~'!А = 1 в силу свойств обратной матрицы.) С помощью этих формул, а также равенства (6.194), легко получаем, что
д.и = emMemiy,	(6.200)
где, как обычно, локально лоренцев индекс тетрады опускается с помощью метрики Минковского г/тп. Заметим, что, вычислив определитель от обеих частей этого равенства, можно получить полезное тождество
det е"\ = тЯ?.	(6.201)
Достаточно очевидно, что при общекоординатных и локально ло-ренцевых преобразованиях поле етм будет меняться в соответствии с формулами
Лг1'
етг, е'т» = Лт„е%. (6.202) дх м
Другими словами, поле тетрады имеет один тензорный индекс по отношению к группе общекоординатных преобразований (такие индексы мы будем называть эйнштейновскими) и один тензорный индекс по отношению к локальной группе Лоренца (такие индексы мы будем называть лоренцевыми). Как следствие, при свертках с полем тетрады можно превращать эйнштейновские индексы в лоренцевы и наоборот. Например, при свертке полей ет1‘ и с тензором Т" будет получаться скаляр по отношению к группе общекоординатных преобразований
= е„/еи,уТ;.	(6.203)
Однако при локально лоренцевых преобразованиях, т.е. при переходе в рассматриваемой точке к другим локально лоренцевым координатам, отличающимся от исходных на преобразование (6.197) с параметром Л, зависящим от координат, этот скаляр будет меняться как тензор относительно преобразований Лоренца:
Т’”т = ЬтаАпьТьа = Ата(\~])ьпТЬ.	(6.204)
Обращая формулу (6.203) с помощью первого равенства в (6.199), можно превратить локально лоренцев тензор в тензор относительно группы общекоординатных преобразований:
=	(6.205)
6.3. Тетрадный формализм
275
Как обычно, эйнштейновские индексы поднимаются и опускаются с помощью метрических тензоров д^ и соответственно, а локально лоренцевы — с помощью метрики Минковского дтп или 1]тп, например, д^ет1‘ = emv.
Поскольку параметр локально лоренцевых преобразований зависит от координат, то обычная производная от локально лоренцева тензора тензором уже являться не будет. Поэтому, как обычно, необходимо построить соответствующую ковариантную производную. Рассмотрим, например, векторное поле Ва и определим его ковариантную производную как
V цВ„ = dtlB(l +	(6.206)
где ivliab — некоторое поле, которое называется спиновой связностью. Поскольку ковариантная производная должна быть тензором по отношению к группе общекоординатных преобразований, то под их действием спиновая связность преобразуется по закону
 (6'207)
При локально лоренцевых преобразованиях Ва —> Лаь7?ь и, следовательно, ковариантная производная должна изменяться по закону
VgBo \аь^Вь.	(6.208)
Из этого равенства можно получить (Задача 1) закон преобразования спиновой связности. При этом удобно использовать следующие матричные обозначения: построим матрицы и Л, полагая по определению
Ы? =	(Л)? ее Л?.	(6.209)
Тогда, в соответствии с результатами Задачи 1, из формулы (6.208) следует, что при локально лоренцевых преобразованиях связность меняется по закону
= ЛшмЛ“1 ^А^л-'.	(6.210)
Несложно заметить, что, с точностью до обозначений, это выражение совпадает с законом калибровочных преобразований для поля Янга-Миллса. Для случая бесконечно малых преобразований Лоренца с Л = = ехр(а) ~ 1 + а из формулы (6.210) следует (Задача 2), что
(6-211)
При этом ковариантная производная произвольного тензора может быть определена в соответствии со следующим принципом: для эйнштейновских индексов она строится с помощью формулы (6.85), а для локально
276	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
лоренцевых индексов добавляются свертки со спиновой связностью, вид которых иллюстрируется следующим примером:
= д^ь - Tfa + Та0с - ^са Т0Ь. (6.212)
В Задаче 3 показано, что такая величина при локально лоренцевых и общекоординатных преобразованиях изменяется так же как и тензор lfab.
Будем считать, что ковариантная производная от тензора г)аь равна 0. Тогда, как показано в Задаче 4, связность оказывается антисимметричной по последним двум индексам:
^р,аЬ —	(6.213)
причем последний индекс связности опускается при помощи метрики Минковского т]аъ. Это означает, что ковариантную производную для верхних и нижних лоренцевых индексов можно записать единообразно. Например,
= д,Тавь - Т“ь + Т0С + <с Tfa. (6.214)
Заметим, что для произвольного поля (через i обозначена вся совокупность индексов), которое не имеет эйнштейновских индексов и преобразуется по некоторому представлению локальной группы Лоренца, точно так же как и в случае поля Янга-Миллса, ковариантная производная может быть записана в виде
= d^i +	где = -^w/b(Taf))/.	(6.215)
При этом через обозначена спиновая связность в представлении локальной группы Лоренца, в котором находится поле (fa, а величины (Тд^)/ являются генераторами локальной группы Лоренца в этом представлении. Напомним, что в наших обозначениях при бесконечно малых локально лоренцевых преобразованиях изменение поля (fa можно записать в виде
6fa = -^Tab)fa(faaab.	(6.216)
В Задаче 5 явно проверено, что при бесконечно малых преобразованиях Лоренца ковариантная производная (6.215) меняется так же как и само поле (fa. Для случая конечных преобразований это можно доказать, если заметить, что в силу коммутационных соотношений для (Tab)fa связность в матричных обозначениях также преобразуется в соответствии с формулой (6.210).
6.3. Тетрадный формализм
277
Кроме того, можно дополнительно потребовать, чтобы ковариантная производная от поля тетрады была бы равна 0:
VMe6/? = 0.	(6.217)
В этом случае, как показано в Задаче 6, выражение для спиновой связности окажется равным
со,аь = еааГ^е^ + еавд,.еьв.	(6.218)
При этом интересно отметить сходство этой формулы с законом калибровочного преобразования полей Янга-Миллса (4.8). Действительно, если определить матрицу (е)ыз = то формулу (6.218) можно переписать в виде
сцм-еГме-'+е5ме-'.	(6.219)
В случае, если справедлива формула (6.218), говорят, что спиновая связность согласована с метрикой.
По связности можно построить тензор кривизны
Rfii/a —	Wye,	ШцС .	(6.220)
В матричных обозначениях это определение совпадает с выражением для тензора напряженности поля Янга-Миллса (4.11):
=	, и)у].	(6.221)
При этом калибровочной группой оказывается локальная группа Лоренца 0(1,3) (или аналогичная псевдоортогональная или ортогональная группа в случае пространства другой размерности и сигнатуры).
Принимая во внимание, что спиновая связность отличается от символов Кристоффеля на «калибровочное преобразование» (в смысле формулы (6.219)), а при калибровочных преобразованиях тензор поля меняется по закону
Ftly -»(6.222)
тензор кривизны (6.220) будет связан с тензором кривизны, определенным формулой (6.123), следующим образом:
Эту формулу несложно проверить и явно, проводя вычисления, аналогичные тем, которые были выполнены в Задаче 3 Части 4.1.1. Таким образом, мы убеждаемся, что формулы (6.123) и (6.220) определяют один и тот же объект.
278
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
В заключение заметим, что для произвольного поля ф^ которое имеет только локально лоренцевы индексы, коммутатор ковариантных производных может быть представлен в виде (Задача 7)
и\Ф1. — Л-fil-'Фj t
(6.224)
где представляет собой тензор кривизны, умноженный на генераторы группы Лоренца в том представлении, в котором находится поле фр.
В J = - 7/?
11'}цгг	)i —
ч-'/Д'7	•	(6.22о)
Задачи
1.	Найти закон преобразования поля спиновой связности при локально лоренцевых преобразованиях.
Требуя, чтобы при локально лоренцевых преобразованиях ковариантная производная вектора Ва преобразовывалась бы также как и сам вектор Ва, в матричных обозначениях получаем, что
д,фАВ) + ^АВ = А^В + ^в),	(6.226)
где есть преобразованное поле связности. Уравнение (6.226) может быть эквивалентно переписано в виде
сдДАВ) = (Л^А’1 -^AA-‘)(AB).	(6.227)
В силу произвольности вектора В отсюда получаем, что
сД = A^,A~' + Ас),, А-1.	(6.228)
2.	Найти закон преобразования спиновой связности при бесконечно малых локальных преобразованиях Лоренца.
Представим матрицу А в виде Л — ехр(а), где (а)п6 = а,/(.т) — параметры группы Лоренца, и разложим формулу (6.210) с точностью до членов первого порядка а„ь:
Д? = Ч-/ + «Т'чД - ^асась - д„а«" + О(а2).	(6.229)
Поэтому с учетом определения ковариантной производной (6.212) получаем, что
6^ab -
(6.230)
3.	Доказать, что ковариантная производная (6.212) является тензором как при общекоординатных, так и при локально лоренцевых преобразованиях.
6.3. Тетрадный формализм
279
При общекоординатных преобразованиях Т$ь меняется как тензор с одним нижним индексом 0. Первые два слагаемых в формуле (6.212) представляют собой ковариантную производную тензора с одним нижним эйнштейновским индексом. При этом два дополнительных лоренцева индекса никак не влияют на закон общекоординатных преобразований. Это означает, что величина
(6.231) является тензором по отношению к группе общекоординатпых преобразований. Два оставшихся слагаемых также являются тензорами в силу тензорного закона преобразования спиновой связности
Ч? =	^b-	(6.232)
дх р
Поэтому при общекоординатных преобразованиях
дти дт~^
(6.233)
Используя закон преобразования спиновой связности (6.210), получаем, что при локально лоренцевых преобразованиях ковариантная производная (6.212) переходит в
(Abd (A-1)/ 7}w) - Г'з л/ (A-')P T^d +
+ ^A(, w^a-^A 1)/’+ A(,fc ^(A l)P) Acd(A l)eaTpd —
У +	(6.234)
После несложных преобразований это выражение может быть переписано в виде
V (Л-1 )с° (д^ - гу, 7-р +	ТвА = 0bd (Л-1)..° v/r?ri,
(6.235) откуда следует, что ковариантная производная также является тензором по отношению к локальной группе Лоренца.
Случай тензора с произвольным набором индексов рассматривается полностью аналогично.
4.	Доказать, что если ковариантная производная тензора раЬ равна 0, то связность Шраь является антисимметричной по двум последним индексам.
Запишем ковариантную производную тензора г)иЬ в соответствии с определением (6.212):
6 — V /.ifjab ~ Щца Дс£> “Г b Т]ас =	4“	•	(6.236)
Из этого равенства и следует требуемое утверждение.
5.	Проверить, что при бесконечно малых преобразованиях Лоренца ковариантная производная меняется так же, как и само поле О{.
280	Гл. 6. Теория поля в искривленном, пространстве
При бесконечно малых локально лоренцевых преобразованиях изменение
ковариантной производной
- (д0фг - ^1<ль(ТаЬ),3Ф^	(6.237)
запишется в виде
<5(V;J</>;) - д^бф, - г-^1П„(ТаЬ),36ф] - |<5щ;1оЬ(7’а6);^,	(6.238)
причем в соответствии с формулами (6.211) и (6.216)
&фг =-г-ааЬ{ТаЬУф3\ 6^ъ = ~^0ааЬ.	(6.239)
Подставляя эти выражения в формулу (6.238) и учитывая явный вид ковариантной производной (Уаъ, получаем, что
<5(V,.</>,) = -|ааЬ(Т“6)/а„ф7 - '-^аЬ(ТаЬу(Га)3ка<:11фк +
- апс^11сЬ^(ТаЬз),3ф3.	(6.240)
При этом, как показано в Приложении в рассматриваемом представлении (Т0*')? тационным соотношениям:
А.2, генераторы группы Лоренца удовлетворяют следующим комму-
[Tab,Tcd] = -i(ifcTbd - f]b,:Tad - padTbc -r- r]bdTac).	(6.241)
С их помощью изменение ковариантной производной может быть переписано в виде
= -’ааЬ(Т“д)?(^ - ш^(Тса),кфк) = -г2а<1Ь(ТаЬ)г\7,ф3.
(6.242)
Таким образом, ковариантная производная (6.215) действительно преобразуется так же, как и само поле ф{.
6. Найти явный вид поля связности в случае, если ковариантная производная поля тетрады равна 0.
Приравниваем к нулю ковариантную производную тетрады
Х7меа,з = д^еар - Г“веаа +	= 0	(6.243)
и умножаем полученное равенство на еьз, используя формулы (6.199). В результате получаем выражение для спиновой связности в виде
Ч,/ - еааГ^еь>3 - еь%еав = eaal^0ebfi + еа0д^,	(6.244)
где было учтено, что
0 = дЛ = dtl{e.a3eb0-) = д,еа3 eb;) -г- еав .	(6.245)
6.4. Спиноры в искривленном пространстве
281
7.	Вычислить коммутатор ковариантных производных, действующих на некоторое поле ф,, которое имеет только локально лоренцевы индексы.
Ковариантная производная поля ф, имеет вид
= д^ф, +calli^j,	(6.246)
где — ~Шцаь(ТаЬ)^/2. При записи следующей ковариантной производной также необходимо учитывать наличие у этого выражения индекса р. Поэтому
уII, ^Ф\Фг -	(У дц +U|2,J)	[дуф] +	- гу^оф,	-	(р и) =
— (дцыУ	4“ Щрг	CJyl	'Лцф^Ф^ ~	.	(6.247)
где была учтена симметрия символов Кристоффеля по нижним индексам. При этом, используя коммутационные соотношения (6.241), получаем, что
R J —
= ” 2	~
— ~~"у
д^аЬ)(ТаЬу -	[ТаЬ,Г'У =
=-^У,аЬ(ТаЬ)У (6.248)
6.4.	Спиноры в искривленном пространстве
В предыдущей части было показано, что с помощью поля тетрады можно превратить величину, преобразующуюся как тензор под действием общекоординатных преобразований, в тензор относительно локально лоренцевых преобразований и обратно. Нам уже известно, как строить величины, преобразующиеся как спиноры относительно локально лоренцевых преобразований, а также, как из таких спиноров и 7-матриц строить локально лоренцевы тензоры. Превращая с помощью тетрады локально лоренцевы тензоры в тензоры относительно группы общекоординатных преобразований, можно построить действие для спинорных полей, которое будет инвариантно как относительно общекоординатных, так и относительно локально лоренцевых преобразований.
Итак, рассмотрим величину ф, которая преобразуется по спинорному представлению локальной группы Лоренца. Тогда в соответствии с результатами Части 3.1.3 величина фф будет скаляром, фуф — локально лоренцевым вектором и т.д. Еще раз подчеркнем, что по отношению к группе общекоординатных преобразований все эти величины будут являться скалярами. Именно поэтому индекс у 7-матрицы обозначен латинской буквой.
282	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Для того чтобы записать ковариантную производную для спинорного поля, необходимо вспомнить, что при лоренцевых преобразованиях оно меняется по закону
ф ехр (апЬ'уаЬ/4^ф.	(6.249)
Сравнивая это выражение с формулой (6.216), получаем, что для спинорного представления группы Лоренца
(7’abV =	(6.250)
где i и j представляют собой матричные индексы. Это находится в полном соответствии с результатами Части 3.1.3, где было проверено, что матрицы iyab/2 удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры so( 1,3) и являются ее генераторами в спинорном представлении. Подставляя (ТаЬ)г:’ из формулы (6.250) в формулу (6.215), получим, что ковариантная производная спинорного поля будет записываться следующим образом:
+	(6.251)
Для дираковски сопряженного спинора 0 = 0*7° из формулы (6.251) следует (Задача 1), что
(6.252)
Аналогично можно построить ковариантные производные других величин. При этом в силу тождества
7т = Хтп ехр	ехр ( -	-	(6-253)
(где Л — схр(а)), которое было доказано в Части 3.1.3, можно считать, что матрица (7т)? преобразуется как локально лоренцев вектор с индексом т, спинор с индексом i и дираковски сопряженный спинор с индексом j. Поэтому при построении ковариантной производной матрицы 7т можно рассматривать как вектор, считая при этом матричные индексы спинорными. Например, в Задаче 2 показано, что
V/2(7m0) =	+ |^7aVV (6.254)
В общем случае ковариантная производная выражений, содержащих спинорные поля и 7-матрицы, строится полностью аналогично. Как показано в Задаче 3, для нее будет справедливо правило Лейбница, причем
VM7m = 0.
(6.255)
6.4. Спиноры в искривленном пространстве
283
(Другими словами это означает, что ковариантная производная коммутирует с 7-матрицами.) С помощью этого утверждения несложно явно проверить (Задача 4), что, например, ковариантная производная спинора (6.251) вновь является спинором по отношению к локально лоренцевым преобразованиям.
После того как построена ковариантная производная, действие для дираковского спинорного поля в искривленном пространстве можно получить из стандартного дираковского лагранжиана заменой обычной производной на ковариантную и добавлением ^/=д:
S = У d4x	— riii.-cj.	(6.256)
Инвариантность действия (6.256) относительно общекоординатных преобразований очевидна, поскольку все входящие в него величины являются тензорами, все тензорные индексы (обозначенные греческими буквами) свернуты, и результат интегрируется по d*x с множителем у/—д. Также очевидна и инвариантность относительно локально лоренцевых преобразований, поскольку величина схф'г\/ет>‘ является скаляром относительно локально лоренцевых преобразований. (Это следует из того, что ковариантная производная спинора преобразуется точно так же, как и сам спинор и все локально лоренцевы индексы свернуты.)
Взаимодействие дираковского поля с полями Янга-Миллса строится обычным образом — удлиняя производную добавлением калибровочного поля. Например, действие электродинамики в искривленном пространстве оказывается равным
s - У	+
+№'7memM(У/Сф - ieA^-ip} - тфф}, (6.257)
причем метрика должна быть выражена через тетраду при помощи соотношения д^ = ет1Ле"\.
В заключение заметим, что для пространств других размерностей действие имеет точно такой же вид, только в случае произвольной сигнатуры необходимо заменить -д на \д>. Однако (см. Часть 3.4.2) число компонент спинора зависит от размерности пространства и в общем случае отлично от 4. Существенно зависит от размерности пространства и алгебра 7-матриц. Кроме того, выражение ф также должно быть аккуратно определено.
Задачи
1.	Найти вид ковариантной производной дираковски сопряженного спинора.
284
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Беря эрмитово сопряжение от ковариантной производной (6.251) и умножая результат на 7°, записываем ковариантную производную в виде
= (д^чр + |имаЬ7аЬг^ 7° = дцчр + V7%iab70(7“6)"7°.	(6.258)
Используя затем тождество 70(7а,')+7° = ”7“ь, доказанное в Задаче 3 Части 3.1.3, окончательно получаем, что
= д^чр - }-чри;1и1ЬуаЬ.	(6.259)
Поскольку при локально лоренцевых преобразованиях меняется так же, как и чр,_то построенный вышеуказанным способом ^чр будет меняться так же, как чр и, следовательно^ действительно будет представлять собой ковариантную производную поля чр.
2.	Построить выражение для ковариантной производной величины ')тгр.
При локально лоренцевых преобразованиях в силу формул (6.249) и (6.253)
утчр -> Л"’„ ехр (аа(,7о!74)7п^-	(6.260)
Поэтому с точностью до величин первого порядка малости по ааЬ
= атпупч!> {-аиЬ^аЬутчр.	(6.261)
Сравним это выражение с формулой (6.216) и получим выражение для (Tof,),J в рассматриваемом случае. При этом индекс i в (6.216) будет обозначать совокупность (т,с), где т — локально лоренцев индекс 7-матрицы, ас — матричный индекс. Тогда несложно видеть, что
/rriab\ nd ( са Ьп cb „ап\ cd , 2 сп / ab\ d	/г с\сп\
(1 )тс =г[йтг1 — оП1Т}	+ -<М7 )с •	(6.262)
Подставляя это выражение в формулу (6.215), получаем, что ковариантная производная записывается в виде
VA,(7mV!) = д^-^чр) + имт„7’Ч> + ^„а(,7“ь7”\'>.	(6.263)
3.	Доказать, что для ковариантной производной справедливо правило Лейбница, если полагать V,,7m = 0.
Рассмотрим произведение двух величин Л;, и Вг,, каждая из которых преобразуется по некоторому представлению локальной группы Лоренца, т.е. меняются по закону
Л(]	/А -Л.уЛТ,	(6.264)
При этом г, и I? обозначают совокупности всех индексов каждой из этих величин, а AI|J| и Л,/2 — элементы группы Лоренца в соответствующих
6.4. Спиноры в искривленном пространстве
285
представлениях. Тогда рассматриваемое произведение под действием локальных преобразований Лоренца будет меняться по закону
А,. В,.	(6.265)
Раскладывая это выражение с точностью до величин первого порядка по а„ь, получаем, что если А? ~ 1 - iaab[Tab)A/2, то
d(At|B,2) = -iQad((T“i')i|J'AJ1/?i2+A,(Tnb)l2J2BJ2).	(6.266)
Поэтому
(Tab^.23'3i

(6.267)
и в силу формулы (6.215) мы получаем, что
V,(A, А2) - (д^Аг, - г-ааЬ(ТаЬ^'Ал)в^
+Аг, (d,LBi2 - l-aab{Tab)l^BJ^ = \7t,A4Bl2 + A, (6.268)
При локально лоренцевых преобразованиях 7-матрицы не меняются. Кроме того, они не зависят от координат. Поэтому их ковариантная производная должна быть равна 0.
В справедливости правила Лейбница при условии VM7m несложно убедиться и явным вычислением. Рассмотрим, например, ковариантную производную от 7™А которая дается формулой (6.254). Поскольку матрицы 7"1 не зависят от координат и имеет место тождество
г ab mi о am b , лЬт а	/г псс\\
[7 ,7 ] = —2г] 7 +2т] 7 ,	(6.269)
ковариантная производная может быть эквивалентно переписана в виде
^^(7т^) = 9;,(7mV’) +	+ -cj|ia(,7“b7m-0 = 7m(\ +
(6.270) что и означает, что ковариантная производная коммутирует с 7-матрицами.
4.	Убедиться, что ковариантная производная спинорного поля (6.251) при бесконечно малых локально лоренцевых преобразованиях меняется так же, как и спинор ip.
Повторяя рассуждения Задачи 5 предыдущей части, получаем, что
<5(V,A) = (д^ + 4-4,ab7“b)w> + ^iai)7“7 =	(6.271)
где
<fy> = ^1аЬПаЫр', du/iab = -^1^ааЬ.	(6.272)
286	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Поэтому, принимая во внимание, что ковариантная производная коммутирует с 7-матрицами, получаем, что
d(V„v) - |(7ui	= |7oi,aabV^. (6.273)
Это и означает, что по отношению к локально лоренцевым преобразованиям ковариантная производная спинора также является спинором.
6.5.	Бесконечно малые общекоординатные преобразования. Производные Ли
Рассмотрим действие некоторой модели теории поля, которое представляет собой интеграл по полному пространству от функции Лагранжа:
S =
(6.274)
где через фг обозначены все поля теории, включая поле метрики (или тетрады), а индекс i представляет собой всю совокупность их индексов. Величину у/-д(х) мы при этом включаем в определение функции Лагранжа. Заметим, что пространство совсем не обязательно считать четырехмерным, все результаты этой части будут справедливы и для пространств произвольной размерности.
Действие (6.274) должно быть инвариантным относительно общекоординатных преобразований

(6.275)
которые необходимо провести одновременно для всех полей теории, включая поле метрики (или тетрады):
О — J (fix С\ф'{х),^ ^ф'{х),... j - J ФАхС\ф(х), ^цф(х),... j. М'	м
(6.276)
(Поскольку переменную интегрирования можно обозначать любой буквой, то в первом интеграле мы вместо х' везде пишем хф Заметим, что области интегрирования в обоих интегралах различны. Если же не менять область интегрирования, то при бесконечно малых
6.5. Бесконечно малые общекоординатные преобразования 287
преобразованиях (6.275) действие будет инвариантно с точностью до интеграла от полной дивергенции:
м
(6.277)
дМ
(Это равенство получается, если проинтегрировать по dAx формулу (2.51).) Поэтому инвариантность действия относительно общекоординатных преобразований приводит к инвариантности относительно бесконечно малых преобразований (6.275) с точностью до поверхностных членов.
Для скалярного поля преобразования (6.275) можно переписать в виде ф(х) ф(х"), причем точка х"1* определяется из условия
х'>‘(х") = х>\	(6.278)
поскольку для скалярного поля ф(х"') = ф'(х,(х”У) = ф^х).
В качестве другого примера можно рассмотреть поле метрического тензора, который под действием общекоординатных преобразований изменяется по закону
S^(x)lf(x) 9afi{x',}-	(6-279)
Случаи других полей могут быть рассмотрены полностью аналогично.
Выясним теперь, как записать такие преобразования в случае, если координаты х/1-1 бесконечно мало отличаются от координат .'/’м. Для этого рассмотрим бесконечно малое преобразование координат, которое можно записать в виде
(6.281)
= м
х'11(х) = х1Л -^l(x)dX,	(6.280)
где £(аг) — произвольные функции координат, а ДХ — некоторый бесконечно малый параметр. Будем называть производной Ли поля 0,-вдоль векторного поля величину
<р'(а:) - 0Дх)
причем 0- получается в результате общекоординатного преобразования (6.280). В силу этого определения, изменение некоторого поля 0, при бесконечно малых общекоординатных преобразованиях (6.275) может быть записано в виде
6<t>i = L^i dX.
(6.282)
288	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
При этом в качестве величин ф,- могут выступать как тензоры, так и нетензорные величины. Если в качестве ф; взять тензор имеющий п верхних и гп нижних индексов, то, используя закон преобразования тензора при общекоординатных преобразованиях, несложно получить явный вид его производной Ли (Задача 1):
£££: = тй - w --
ТГл. + За«" ТГ:£- +  + ££ ££  (6.283)
При этом в Задаче 2 показано, что если тензор 1' имеет только эйнштейновские индексы, то производная Ли не меняется при замене обычных производных в формуле (6.283) на ковариантные:
М» =	- V - • • • -
- vx -	е +... + v.a„, е Х'Х” • (6-284)
Это означает, что производная Ли от произвольного тензора, имеющего только эйнштейновские индексы, также является тензором того же ранга.
В Задаче 3 показано, что коммутатор двух производных Ли вновь представляет собой производную Ли вдоль вектора который определяется равенством
[С	- т/Ж" = Г V.Tf -	(6.285)
Другими словами,
[Ле,Лг;] =	(6.286)
Сумма двух векторных полей и произведение любого векторного поля на число, очевидно, вновь являются векторными полями. Поэтому векторные поля образуют некоторое линейное пространство. На этом пространстве мы задали билинейную антисимметричную операцию (6.285), которая (как доказано в Задаче 4) удовлетворяет тождеству Якоби (см. Приложение А.2). Поэтому линейное пространство векторных полей на самом деле является алгеброй Ли.
Важным частными случаями являются производные Ли от метрического тензора и тетрады. В соответствии с формулой (6.284) производные Ли от метрического тензора с верхними и нижними индексами оказываются равными
= -VT -
(6.287)
6.5. Бесконечно малые общекоординатные преобразования
289
У поля тетрады имеется один локально лоренцев индекс, благодаря чему для построения производной Ли в этом случае необходимо использовать формулу (6.283). В Задаче 5 показано, что
~ C^abebll;	= -Vaez - С'^аье^. (6.288)
(Заметим, что эти выражения с очевидностью являются тензорами относительно общекоординатных преобразований, но не являются тензорами по отношению к локальной группе Лоренца.)
Важно отметить, что формула (6.283) применима только для тензорных выражений, поскольку при ее выводе в Задаче 1 существенно использовался тензорный закон преобразования. В том случае, если некоторая величина при общекоординатных преобразованиях меняется не как тензор, для вычисления ее производной Ли необходимо использовать определение (6.281). Поскольку определитель метрического тензора является тензорной плотностью веса 2 (см. часть 6.1.2), то в силу формулы (6.52) произвольная тензорная плотность веса w может быть представлена как (—g)w^, умноженный на некоторый тензор. В этом случае производная Ли оказывается равной (Задача 1)
£c((-s)w/!T?::X) =еад((-9)”/гт”'-.:;т-) +
+а91{“т;;х- + ... + ав„ег^;-Г"). (6.289)
В Задаче 2 показано, что в терминах ковариантных производных это выражение может быть переписано в виде
=	+ evx'.X - VXl -
-   • -	’ xx +	+ • •  +	) -
(6.290)
откуда следует, что оно также является тензорной плотностью веса w. Отметим в частности, что
Ш =	(6.291)
При вычислении производной Ли от символов Кристоффеля формула (6.283) также не является применимой, поскольку символы Кристоффеля тензором не являются. В этом случае необходимо
10 К. В. Степаньянц
290
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
использовать определение (6.281). В Задаче 6 показано, что вычисленная в соответствии с этим определением производная Ли от символов Кристоффеля оказывается равной
- д^а	+ д^а. (6.292)
При этом видно, что благодаря нетензорному закону преобразования символов Кристоффеля в формуле (6.292) появляется последнее слагаемое, которое отсутствует в случае, если производная Ли берется от тензорного выражения с одним верхним и двумя нижними индексами. В Задаче 6 также показано, что выражение (6.292) оказывается равным
Lcr^ = |[vA/(v% + v,r) +
+V, (vx + VMe) -	+ VpCm)] , (6.293)
откуда следует, что производная Ли от символов Кристоффеля, в отличие от самих символов Кристоффеля, является тензором.
В силу определения (6.281) производная Ли удовлетворяет правилу Лейбница (Задача 7)
+ <^(LC<^).	(6.294)
Это правило является справедливым вне зависимости от закона преобразования величин ф[ и под действием общекоординатных преобразований. В частности, если фг и являются тензорами или тензорными плотностями, то формула (6.294) может быть легко проверена прямым вычислением с помощью формул (6.283) или (6.289).
Векторное поле ^(д-), которое удовлетворяет условию
0 =	+ V^,	(6.295)
называется вектором Киллинга [5]. Существование вектора Киллинга означает, что при бесконечно малом общекоординатном преобразовании, параметр которых пропорционален вектору Киллинга, метрический тензор остается неизменным. Такая ситуация, очевидно, имеет место в том случае, если метрический тензор является инвариантным относительно преобразований некоторой группы симметрии. Действительно, в этом случае имеет место равенство
(6.296)
где g'ftv — метрический тензор, который получается после применения общекоординатного преобразования, соответствующего рассматриваемой симметрии. Как следствие, параметр соответствующего бесконечно
6.5. Бесконечно малые общекоординатные преобразования 291
малого преобразования оказывается вектором Киллинга, поскольку тогда
=	~	= °'	(6.297)
Это означает, что производные Ли вдоль векторов Киллинга (в наших обозначениях с точностью до множителя i) представляют собой генераторы группы симметрии, образованной общекоординатными преобразованиями, которые оставляют неизменным метрический тензор.
В Задаче 8 показано, что вторые производные вектора Киллинга в произвольной точке могут быть выражены через сам этот вектор и его первые производные с помощью равенства
= -Ru.^a-	(6.298)
Из равенства (6.286) очевидно, что если и rf — векторы Киллинга, то также вектором Киллинга будет и вектор [£, г]]1*, определенный равенством (6.285). (В Задаче 9 это проверено с помощью явного вычисления.) Поэтому векторы Киллинга образуют алгебру Ли, которая изоморфна алгебре Ли группы симметрии метрического тензора. В качестве примера в Задаче 10 найдены векторы Киллинга для плоского пространства-времени. Полученный результат удобно записать в виде
-	(6.299)
где ам и afW = -а^ — произвольные (бесконечно малые) постоянные. Принимая во внимание равенство (6.280), получаем, что такие векторы Киллинга представляют собой бесконечно малые преобразования группы Пуанкаре. Таким образом, векторы Киллинга в рассматриваемом примере действительно находятся во взаимнооднозначном соответствии с генераторами группы Пуанкаре, которая оставляет инвариантным метрический тензор плоского пространства-времени. Также несложно убедиться, что образуемая ими алгебра Ли (с билинейной антисимметричной операцией (6.285)) будет изоморфна алгебре Ли группы Пуанкаре.
Задачи
1.	Построить выражение для производной Ли от произвольного тензора и от произвольной тензорной плотности, исходя из определения (6.281).
Под действием общекоординатных преобразований тензор преобразуется по закону
Т/П1...а„ , м _ Tyt...yn( } cfa,Q1 дх'а,‘ дх6' дх6т
вХ...вт\-	<51...<5„Д	QXI0} дх'0т
(6.300)
10*
292
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Поэтому производная Ли, определяемая равенством
= — Гт'(х)
? 0>...0т	0J...0 т ' '	0] • • • 0тп ' ’ у ’
где Т' вычисляется в координатах
х"\х) = х11 -^(x)dX, может быть переписана в виде
(6.301)
(6.302)
г грОс\ ...СХп _
I /	Ат,пп «^1	\
= — ITT ?"(х")	...	----(6.303)
dx \ «I'’>" - > aTTi ах7" aa,//3i dx>pm
где точка х" удовлетворяет условию x'^fx”) = жм. С точностью до величин первого порядка малости по dX можно записать ж" в виде
х"11 =х>1 +^(x)dX.	(6.304)
При этом в силу формулы (6.302) с точностью до величин первого порядка малости
а^77*	ars х х
^=5“-dyedX;	^=§sg+d0edX.	(6.305)
OX '	ox p
Подставляя равенства (6.304) и (6.305) в формулу (6.303), получаем, что
производная Ли от тензора Т оказывается равной
WZZ = WZZ -WTZ:Z --
-ZZ tz::Z + TZZ -r •   +ZZZ  (6-306>
Рассмотрим теперь случай, когда производная Ли берется от тензорной плотности веса w, которая представима в виде (-g)w/2T, где Т — некоторый тензор. Поскольку при общекоординатных преобразованиях
д{х) —>д'(ж),
где д'(х') = p(z)(det
(6.307)
производная Ли от тензорной
плотности веса w оказывается равной

dx'ai dxlan dxs'	dxs”'
as71 ’'' dx'1’1 dx'13’ dx'e,n
i[(-9U"))'V.
X
(-p(x))W/2T37X"(x)].	(6.308)
В силу тождества
det(l + M) = exp (trln(l +	= 1 + tr M + O(M2)
(6.309)
6.5. Бесконечно малые общекоординатные преобразования 293
(см. Задачу 7 Части А.2) с точностью до членов первого порядка по d\ определитель перехода от переменных х к переменным х' записывается в виде
det S7 = <let +	" 1 + dZdX.
(6.310)
Подставляя это выражение в формулу (6.308) и используя равенства (6.304) и (6.305), получаем окончательное выражение для производной Ли от тензорной плотности веса w
=гЦ(-яг/2^/Х") +
+(-9)w/2(wd^TZ:Z - dZ VZZ --
ZZ” ZZ + Г Z'-'Z" + •  • + r TZZ ) • (6.311)
2.	Доказать, что производная Ли от тензора с эйнштейновскими индексами не меняется при замене обычных производных на ковариантные в формуле (6.283). Для тензорных плотностей убедиться в справедливости формулы (6.290).
В соответствии с условием задачи необходимо доказать, что производная Ли от некоторого тензора Т может быть записана в виде
l,ZZZ = ZZZZZ -^Z' tzz --
~^ZnTZ:Z +	<6-312>
Подставляя в эту формулу выражения для ковариантных производных, построенные в соответствии с определением (6.85), получаем, что правая часть равенства (6.312) оказывается равной
гМ /Д 7iQ1 • • - Qn । род грц...ап ।	.	t-’Oi • • -	p^ rpd{ ...an
s at...em + 1 л 1...em + •   + 1 tiv	1 цй|
- (az' + Г“- r) ZZZ -... - (dZ" +
e j TZZ + (^. Z + гз, Л j TZZ‘ + +	r +
+ramZ)TZ:Z-	(6.313)
Используя симметрию по нижним индексам, легко проверяется, что все слагаемые, содержащие символы Кристоффеля, взаимно сокращаются и рассматриваемое выражение совпадает с правой частью формулы (6.283) для производной Ли.
294
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Аналогичным образом поступаем и для случая тензорной плотности: принимая во внимание полученный выше результат для производной Ли от тензорного выражения, а также учитывая, что в соответствии с формулой (6.89)
= wy=	+ w-^L_	=
= wd,^ + (-5)-w/2e^„ ((-<r/2),	(6.314)
правая часть формулы (6.290) может быть переписана в виде (6.289):
+(-9T'/2^dILer^	-
-9,^^ -...-Э^ап Т^т - d9tf + •   - X
= ^^((-.9)ю/2т;,|.'.Х‘) + (-5)u’/2(w^e"T“'.-.x:-cMa'T^:Z -
tZ'.:L +д^ К.ХГ +    + ^ г т^п)  (6.315)
3.	Вычислить коммутатор двух производных Ли.
Для того, чтобы избежать слишком длинных выражений, мы в качестве примера рассмотрим действие коммутатора производных Ли на тензор с одним верхним индексом:
[L^LV\ Та = Le ^д,ГГа - д^а -(£~д) =
= ^д,та - д,лГ т») - dv? frd.T1' -	т») - (е - т?) =
= (Cd,/rf - д'ди^д^Т01 - dj^di/rf -	(6.316)
(Для доказательства справедливости последнего равенства необходимо вычислить все производные произведений с помощью правила Лейбница, а также явным образом выписать слагаемые, которые получаются перестановкой векторов £ и гр)
Аналогичным образом несложно доказать и другие равенства, например,
{Ц, L„] TQ,Q2 =	+ да1 ~ rfd^) х
хТМа2 - да2	- ifdv^Ta^.
(6.317)
Это означает, что коммутатор двух производных Ли вновь представляет собой производную Ли вдоль вектора

(6.318)
6.5. Бесконечно малые общекоординатные преобразования
295
т.е. [L{, Ln] = £[£.,,]. Точно такой же результат получается, если рассмотреть тензор с произвольным набором индексов.
4.	Доказать, что операция коммутирования (6.285) удовлетворяет тождеству Якоби.
Это утверждение проверяется непосредственным вычислением:
=	- рвд3с) -	- Лфс" +
- c’dptf) - (ifdiC - <;вдзрп)да^ +
+рада(С3даС -	~	= 0. (6.319)
(В справедливости последнего равенства можно легко убедиться, раскрывая производные произведений с помощью правила Лейбница.)
5.	Вычислить производную Ли от поля тетрады еа/л.
Поскольку общекоординатные преобразования не затрагивают лоренцевы индексы, то, в соответствии с формулой (6.283), производная Ли поля тетрады оказывается равной
L^eaii =	(6.320)
Это выражение может быть эквивалентно переписано в виде
+ (cW +	f	еа„ (6.321)
А поскольку ковариантная производная тетрады равна 0, то окончательно получаем, что
Цеа11 = Uvab (Ящ + VM£a.	(6.322)
Аналогичным образом может быть вычислена производная Ли и от поля тетрады с верхним эйнштейновским индексом.
6.	Вычислить производную Ли от символов Кристоффеля, исходя из определения (6.281), и доказать, что она является тензором.
Поскольку символы Кристоффеля не являются тензором, то производную Ли от символов Кристоффеля необходимо определять с помощью формулы (6.281):

1 dX
дх'п 10 f „ дх'’ dxs ~дх^ \	дх^д^
д'2х3 \
+ дх'^дх'1' I

(6.323)
296
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
При этом, как и в Задаче 1, dX, а х", удовлетворяющий условию х,р(х") Iм, с точностью до величин первого порядка малости по dX записывается в виде х"1' = хГ + dX. Поэтому с точностью до членов первого порядка малости по dX
Ят'п
~	- д^п dX-
П'г’
+	^=d^dX.
(6.324)
(Все производные при этом можно с рассматриваемой точностью вычислять в точке х.) Поэтому из формулы (6.323) получается, что
+ д^°	Г"ст + д^.	(6.325)
Несложно убедиться, что это выражение может быть представлено ковариантным образом в виде
= l2ffa0 [vM(v0e, + v.C/з) +
+Vi> (v^ + VM&?) - V/з	j J.	(6.326)
Действительно, с учетом равенства (6.123), из этой формулы следует, что
= 1 (vM V„r + v,	.	(6.327)
Используя определение и свойства симметрии тензора кривизны (симметрия относительно перестановки пар индексов и антисимметрия относительно перестановки индексов внутри каждой пары), а также определение ковариантной производной, получаем, что
£ег“, = 1 [9Л	+ ги8) - гд + г“^) + г“7 (dvc +
+ПД3) -	+ г“7г^ - гдгд) Д + (м « Г,)].	(6.328)
(Через (р <-> и) мы обозначили слагаемые, которые отличаются от явно выписанных перестановкой индексов р и и.) С помощью тривиальных алгебраических преобразований мы убеждаемся, что выражение (6.328) совпадает с правой частью формулы (6.325).
7.	Доказать, что производная Ли удовлетворяет правилу Лейбница (6.294).
В соответствии с определением (6.281) производная Ли от произведения записывается в виде
~£.;|х'Л + (ф^х)	(6.329)
6.5. Бесконечно малые общекоординатные преобразования 297
что и означает справедливость правила Лейбница для производной Ли вне зависимости от закона преобразования величин ф и р при общекоординатных преобразованиях.
8.	Доказать, что вторые производные вектора Киллинга в произвольной точке могут быть выражены через сам этот вектор и его первые производные в этой точке.
Применим к равенству
ЧД., +	= 0	(6.330)
ковариантную производную VCT и запишем получившееся равенство с различными вариантами расстановки индексов:
= 0;
= 0;
= 0.
(6.331)
Если сложить второе и третье равенства, а затем вычесть из результата первое, то при использовании формулы для коммутатора ковариантных производных (6.123) и тождества Риччи (6.134) получаем, что
0 — 2V + [V„ V + [VM, VCT]£p +- [Vu, V<z]£g = 2V,1Vp£<t +
+	+ Rijrrvn + RivpajC = 2VMVp^<r + 2Rvaiia6,a.	(6.332)
Поэтому для вектора Киллинга будет справедливо равенство
V, = -R„aliaC,	(6.333)
из которого также можно выразить и обычные вторые производные.
9.	Проверить явным вычислением, что если и г)'1 — векторы Киллинга, то вектор (6.285) также будет являться вектором Киллинга.
Нам необходимо убедиться, в том, что следующее выражение равно 0:
+ c- VM7fVa$, - r/QVMVaC- (6.334)
Используя равенства	можно легко убедиться,
что все слагаемые, содержащие первые производные, полностью сокращаются. При этом все оставшиеся слагаемые соединяются в коммутаторы:
+eQ[vM, -гГ [vM, Va]e„ =-
=	- rf R,ni,3C + CR,^3^ -	= 0.	(6.335)
298
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
10.	На йти векторы Киллинга для плоского пространства-времени.
В силу условия (6.298) векторы Киллинга для плоского пространства-времени должны удовлетворять уравнению
= 0,	(6.336)
из которого следует, что = аст — аархр, где аст и — некоторые постоянные. Затем подставим полученное решение в уравнение для вектора Киллинга:
О = д^Р + дР^р = арР + арр.	(6.337)
Поэтому можно представить произвольный вектор Киллинга в виде
Сд =	- арРхи,	(6.338)
г де
6.6.	Другое определение тензора энергии-импульса
Ранее в Части 2.3.2 для случая плоского пространства-времени был определен канонический тензор энергии-импульса Т^, сохранение которого было следствием отсутствия явной зависимости функции Лагранжа от координат. Тем не менее, для некоторых моделей, например, для электродинамики или теории Янга-Миллса, такой тензор не являлся инвариантным относительно калибровочных преобразований и более удобным оказывался другой объект, т.н. симметризованный тензор энергии-импульса.
Будем строить симметризованный тензор энергии-импульса следующим образом: запишем действие некоторой модели теории поля в искривленном пространстве-времени в тетрадном формализме и положим по определению
’ еам^.	(б.зз9)
у/-д Леа
В случае, если теория рассматривается на фоне плоского пространства, то дополнительно полагается eafl = г^.
Тетрадная форма записи существенна прежде всего в случаях, когда рассматриваемая модель содержит спинорные поля. В случаях, когда таких полей нет, действие зависит только от метрики дрр и формула (6.339) может быть переписана в виде
0 = 2^.	(6.340)
\/—д одр
(Эквивалентность этих определений при отсутствии спинорных полей проверена в Задаче 1.) Тензор энергии-импульса (6.340) с очевидностью является симметричным относительно перестановки индексов
6.6. Другое определение тензора энергии-импульса
299
pi и и. В форме (6.339) симметрия уже не очевидна, так как тетрада eafJ не имеет никаких свойств симметрии. Однако, как показано в Задаче 2, в силу локально лоренцевой симметрии действия тензор энергии-импульса (6.339) может быть сделан симметричным при использовании уравнений движения для полей материи:
=	(6.341)
Тем не менее, как мы увидим из рассматриваемого ниже примера построения симметризованного тензора энергии-импульса для спинорного поля, если не использовать уравнения движения для полей материи, то 0,ш 0^.
В Задаче 3 установлено, что из условия общекоординатной инвариантности действия следует ковариантный закон сохранения симметризованного тензора энергии-импульса (6.339) при использовании уравнений движения для полей материи:
Vp0^ = 0.	(6.342)
Перейдем теперь к вопросу о том, как вычислять симметризован-ный тензор энергии-импульса. Предположим, что тетрада с нижними индексами изменилась следующим образом:
Сам eail + Нам,	(6.343)
причем поле Яам не имеет никаких свойств симметрии. Заметим, что соответствующее изменение поля метрики (см. Задачу 4) с точностью до величин первого порядка по полю Hafl будет равно
= Нци +	= /igiz	(6.344)
и автоматически является симметричным по своим индексам. В Задаче 4 также проверено, что с точностью до величин первого порядка малости по IIafl изменение тетрады с верхними индексами записывается в виде деа'1 = -Н^‘а. Поэтому в силу определения (6.339)
5S = I Qai.Seafl = - / d'x еа»Н1Ш. (6.345)
Если действие зависит только от метрического тензора то, аналогичным образом, из формулы (6.340) следует, что
6S = J d^x^jQ^h^.	(6.346)
Используя формулы (6.345) и (6.346) можно достаточно несложно вычислять тензора энергии-импульса для различных полевых моделей.
300	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
При этом удобно использовать следующие полезные формулы, доказанные в Задаче 4:
фс/1" =	= -h^\	6у/^д = JdetemM = h;
; 6еа» = -H^a;
— 2	Hab'j +
611^°0 = (v^/^ +	- VMVQ^ -
+ V,Vav);
SR^ = |(voVM/i°„ + VoV,Ji% - \7a\7ah^ -
(6.347)
где h = g^h^, а индексы поднимаются и опускаются при помощи метрических тензоров gIJ'y и g/w соответственно. (Заметим, что в данной части нам потребуются далеко не все эти формулы. Однако выражения для вариаций символов Кристоффеля, спиновой связности и тензора кривизны бывают необходимы во многих других задачах и поэтому приводятся в тексте этого раздела.)
Используя описанный выше способ вычисления 0М(?, в Задаче 5 доказано, что в общем случае тензор энергии-импульса, определенный формулой (6.339), связан с каноническим тензором энергии-импульса
=	(6.348)
соотношением [6]
|	- S^nl/ + Sv^ ,	(6.349)
где
= (6-350)
— тензор спина. (В плоском пространстве мы ранее определяли его формулой (2.89).) Очень существенно, что при выводе формулы (6.349) в Задаче 5 предполагается, что в функции Лагранжа нет слагаемых, которые содержат тензор кривизны.
Рассмотрим теперь некоторые примеры.
Для скалярного поля в искривленном пространстве D измерений
S= l'dD:rx/^g	(6.351)
6.6. Другое определение тензора энергии-импульса
301
В Задаче 6 показано, что соответствующий симметризованный тензор энергии-импульса имеет вид
= д^фд^ф- д^(^дафдаф - У(ф)^	(6.352)
и в плоском пространстве времени совпадает с каноническим тензором энергии-импульса (2.73), построенным в Части 2.3.2. (Что вполне естественно в силу формулы (6.349) и отсутствия спина у скалярного поля.) Заметим, что приведенное выше выражение для тензора энергии-импульса теории со скалярными полями не является однозначным. Действительно, при переходе от плоского пространства-времени к искривленному мы можем добавить в лагранжиан слагаемое
>/-9 £-Rc>2,
(6.353)
где £ — некоторая постоянная. Несложно видеть, что в зависимости от величины параметра £ будут получаться различные результаты для тензора энергии-импульса. При этом часто удобно выбирать форму дополнительного слагаемого таким образом, чтобы в случае У(ф) — 0 имела бы место конформная инвариантность:
^(ж) e2a{x}9lJLV(x).
(6.354)
Детально этот вопрос будет исследован в Части 6.7. Там же будет построен и соответствующий тензор энергии-импульса.
Для теории Янга-Миллса действие в искривленном пространстве D измерений имеет вид
s = itr / d°x	^д1'3*'^.
(6.355)
В Задаче 7 показано, что в этом случае из формулы (6.340) следует, что

|tr(FMQF/‘ ~\g^Fn0Fn^.
(6.356)
(В случае электродинамики таким образом с очевидностью получится выражение (2.79).) Заметим, что при D = 4 получившийся тензор оказывается бесследовым:	= 0. Причина этого факта заключается
в конформной инвариантности теории и будет рассмотрена далее в Части 6.7.
Как мы видели ранее, действие спинорного поля в искривленном пространстве должно записываться с использованием тетрадного
302
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
формализма (для простоты мы рассматриваем случай D — 4 и сигнатуры (+------)):
S = У d4x у/^д (еом гф-у^ ^ф - тфф^ =
= / dDx y/^g (ea)l iip-y0- (d^ + |wm{)C76c)ф - тфф^. (6.357)
При вычислении симметризованного тензора энергии-импульса необходимо использовать определение (6.339). В Задаче 8 на основе этого определения показано, что
= ^-у^ф +	-
- ^^пф - тфф} +
+ ^(iV„^7“ + тф)-у^ф +	- тф),	(6.358)
где 7M = 7aea/i. Видно, что антисимметричная часть этого выражения действительно оказывается равной 0 в силу уравнений движения для полей ф и ф. Кроме того, заметим, что в безмассовом случае след этого тензора энергии-импульса очевидно равен 0, если выполняются уравнения движения для полей ф и ф.
Задачи
1.	Доказать эквивалентность определений (6.339) и (6.340) при отсутствии спинорных полей.
Если в теории нет спинорных полей, то действие зависит только от метрического тензора дп3 = еьаеьз. Поэтому
^=^еа3+83еаа	(6.359)
deQ
и, следовательно, при использовании формулы для дифференцирования сложной функции, мы получаем, что
6S _ п SS 6да:3 _ ,, SS eatlSeav ~ ^Sg*/3 ieav ~ 5д^'
(6.360)
2.	Доказать, что благодаря инвариантности действия относительно локальных преобразований Лоренца антисимметричная часть тензора энергии-импульса, определенного формулой (6.339), равна 0 в силу уравнений движения для полей материи.
Действие полевой теории в искривленном пространстве-времени будет зависеть от некоторого набора материальных полей ф, и поля тетрады е“ст.
6.6. Другое определение тензора энергии-импульса
303
Совершим в нем бесконечно малое локально лоренцево преобразование с параметром ааЬ. Тогда в силу симметрии действия относительно локально лоренцевых преобразований
0 = ааЬ(еь^-г-(ТаЬ)Дф^),	(6.361)
если при этих преобразованиях
^г = -г-(Таь)г3^ааЬ.	(6.362)
Так как параметр локально лоренцевых преобразований ааЬ является антисимметричным по своим индексам, то из уравнения (6.361) следует, что
еьи-—г;--еааТ~ь~ =	т~-	(6.363)
де (7	де (7	дф7
Умножая это равенство на е“меьР и используя определение симметризованного тензора энергии-импульса (6.339) получаем, что
&^-&^ = ЦТ^Уф3^-.	(6.364)
д(£г
Поскольку уравнения движения для полей ф{ записываются в виде
— = 0,	(6.365)
5фг
антисимметричная часть тензора 6)Н, может быть сделана равной 0 при использовании этих уравнений.
3.	Доказать, что из общекоординатной инвариантности действия следует ковариантное сохранение симметризованного тензора энергии-импульса (6.339) на уравнениях движения для материальных полей.
Рассмотрим некоторую теорию, описываемую действием S, которое зависит от тетрады eaiJ и некоторого набора материальных полей </>, Совершим в нем бесконечно малые общекоординатные преобразования, которые можно записать в виде
—> еа.. + VgCo - Сш^аЬе-ьД, Ф-i ф-iбфг- (6.366) (Закон общекоординатных преобразований поля тетрады был получен в частях 6.3 и 6.5.) Тогда благодаря общекоординатной инвариантности действия
о = 6S = у d\ [ - ера (Xg -	6фг 1,	(6.367)
где было принято во внимание, что в силу определения (6.339), а также формулы (6.345)
5S

(6.368)
304
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Поскольку на уравнениях движения для материальных полей 6S/Sd>t = 0, а тензор энергии импульса симметричен, то
0 = - / d4X	= / d'x	(6.369)
где было использовано правило Лейбница для ковариантной производной и учтено, что ©аЬсцстоь = 0 как свертка симметричного тензора с антисимметричным. В силу произвольности вектора отсюда получаем ковариантный закон сохранения
= 0.
(6.370)
4.	Вывести формулы (6.344) и (6.347).
Вариацию метрического тензора с нижними индексами мы будем обозначать через Если поле метрики рассматривается как независимое, то этс будет просто обозначение, а если динамической переменной считается поле тетрады, то в силу равенства д^ = еа(1еа^ имеем:
h^v =	= fiea + eT/ie,.,, = Haflea „ +	+ HIIU. (6.371)
Вариация метрического тензора с верхними индексами получается варьированием тождества да^д^ = д":
0 = ^^ +gafl8g^,	(6.372)
откуда находим, что 6д^ =	.
Аналогичным образом, для поля тетрады с верхними индексами необходимо рассмотреть условие = <5„, из которого следует, что 6еЬц = —Н^.
При нахождении вариации детерминанта метрического тензора воспользуемся равенством
S ln(—д) = In ( - dct(gM„ +	- In ( - dctg(II,) -
= In [det </“* dct/g,,,, +	.	(6.373)
Используя формулу det A det В = det(AB), это выражение можно переписать в виде
<	51п(—д) — In dct(<5£ + /(j)) = trln(<5i? + /({)).	(6.374)
Производя здесь разложение с точностью до величин первого порядка малости по полю h, получаем, что
8у/^д = <Hn(-g) = ±h, где h =	= tr h„.	(6.375)
6.6. Другое определение тензора энергии-импульса
305
Для нахождения вариации символов Кристоффеля воспользуемся определением (6.80):
<	5Г^ = ~7^Р{^е9р^ + д„дрр - дрд^ + ^дар (dphplJ + dvhpp -
-	dphp^ = -gaahaeTpv + ]-gap (dphpl, + дД1рр - dphp^. (6.376) Несложно убедиться, что это выражение можно переписать в ковариантном виде
+ V„7% - VCT/W).	(6.377)
Действительно, используя выражение для ковариантной производной (6.85) и симметрию символов Кристоффеля по нижним индексам, правую часть этого выражения можно переписать в виде
6ðР= l-gap(vphp„ + V„hpp - Vphpp) = X-g°p(dphp„ - r;iphT, -ЦЛ- H- d,,hPP I vphTp I l,phpT dphpv -|- rpphTl, ГpIyhpT^ —
= -9rTp^TP^hpT + 7>9ap (dphpl, -r d„hpp - dphpl^ .	(6.378)
Зная выражение для <5Г^, можно построить вариацию спиновой связности
= еааГрв еьв + еа,9 дРеьв.	(6.379)
Непосредственно из этого определения следует, что
6ираь = б(еааГ“а еьв + еа0 дреь^ = 5еааГ^ еьз + еаа6Г°в ew +
+еааГ^/з 6еьз + еар др5еьз + <5еар дреьв = еаа8Грр еьз + е.ар\ДД>еьа.
(6.380)
где было принято во внимание, что <5еаа = —вьаеа^деЬ;3, а ковариантная производная вариации поля тетрады имеет вид
Vp6eba = др8еьв +	- дес3ирсь.	(6.381)
Подставляя явное выражение для из формулы (6.377) и используя формулу (6.371) получаем, что
^раь = ^Р(нЬа - НаЬ) + ^Vb(HMU + Нам) -	+ Ньр\ (6.382)
Аналогичным образом, исходя из вариации символов Кристоффеля можно построить вариацию тензора кривизны:
6ЯРЛз = др8Г^ - д^рв +	Г“^173 - <5Г“7Г^ - Г^дТ^.
(6)383)
306
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Как и в случае символов Кристоффеля, с помощью определения ковариантной производной легко убеждаемся, что это выражение может быть переписано в явно ковариантном виде
8R^ae =	(6.384)
Подставляя в эту формулу построенное ранее выражение для получаем, что
6R,wap = (vitVvhae +	-
-V„VXв -	+ V,V“/W). (6.385)
Свертывая это выражение по р и а, записываем вариацию тензора Риччи в виде
Ж/з =	- V,,V% - V, .	(6.386)
5.	Найти связь между симметризованным тензором энергии-импульса (6.339) и каноническим тензором энергии-импульса (6.348) в предположении, что в действии нет слагаемых, которые содержат тензор кривизны.
Рассмотрим некоторую теорию, описываемую в плоском пространстве лагранжианом £(ф;, где через ф, обозначена вся совокупность полей теории, а через i — их индексы, которые мы считаем локально лоренцевыми. Под действием локальной группы Лоренца поля фi меняются по закону
5<pi = -г-(ТаЬрф]ааЬ.	(6.387)
При переходе к искривленному пространству необходимо осуществить замену
С(даф>1,Ф^ —>	^фф).	(6.388)
(Здесь мы будем предполагать, что к лагранжиану не добавляются слагаемые, которые содержат тензор кривизны, как это можно сделать, например, для теории со скалярным полем.) При этом в соответствии с результатами Части 6.3 ковариантная производная полей ф, устроена следующим образом:
Х7мф,- = д^ф, + шХ-	(6.389)
где = -г(7аь)ф	Поэтому вариация действия (6.388) при бесконеч-
но малом изменении поля тетрады окажется равной
и . / Л (нс - н-ы + X) W*) (в.з®0>
При этом первое слагаемое соответствует вариации детерминанта тетрады, второе получается при варьировании ea'J перед ковариантной производной, а последнее представляет собой вариацию связности
6.6. Другое определение тензора энергии-импульса	307
внутри ковариантной производной. Используя записанное выше выражение для а также формулу для вариации спиновой связности, приведенную в (6.347), получаем, что
= -|(7-аЬ)?<5ш/ь = -|(Т„Ь)? [ъ.НЬа +	+ //ам)]. (6.391)
После подстановки этого выражения в формулу (6.390), интегрирования по частям и переобозначений индексов суммирования вариация действия, соответствующая бесконечно малому изменению поля тетрады, может быть записана в виде

Поэтому в соответствии с формулой (6.345) симметризованный тензор
энергии-импульса запишется в виде
= т\
(6.393)
где
< =	~	'	= ~гд^Г^ (6'394)
представляют собой соответственно канонический тензор энергии-импульса и тензор спина, которые в плоском пространстве были определены ранее формулами (2.69) и (2.89).
6.	Построить симметризованный тензор для теории скалярного поля, описываемой действием (6.351).
Вариацию действия (6.351) при изменении метрического тензора можно
представить в виде
SS = j dl}x йд,п'д11Фд1,ф + ^д»ФдаФ -	(6.395)
причем в силу формул (6.347)
(6.396)
Поэтому
6S = / d'}x ^д бд^^-д^фд^ф- '-д1,^^-дафд°ф- У(ф)^,	(6.397)
308
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
и, следовательно,
ем, =	=д^фд^-д^([-дафдаф- У(ф)\	(6.398)
V~9 og’	vz	/
7.	Вычислить симметризованный тензор для теории Янга-Миллса, используя определение (6.340).
Как и в предыдущей задаче, варьируем действие по полю д^:
SS = itr / Л'х	+ 9a^ge5}Fap х
xF7d- = Itr У <ГххГд d.<( - '-g^gayg9SFa0F-,5 + ga0 F^F.g').
(6.399)
Поэтому симметризованный тензор энергии-импульса будет равен
- \g^Fa0Fa3\	(6.400)
V-.9 °9^	е \	4	/
8.	Вычислить симметризованный тензор энергии-импульса (6.339) для спинорного поля. Проверить явным вычислением, что его антисимметричная часть оказывается равной 0 в силу уравнений движения для спинорного поля.
Ранее было показано, что действие массивного спинорного поля в искривленном пространстве записывается в виде
S = У d'‘x \/—д (еам iipya — тфф^ =
= [ (I^x	гфуа(д11 +^^bcybc'^w - гп-фф ']. (6.401)
Для нахождения тензора энергии-импульса мы вначале найдем
6S = S{ea)1 + Haii] ~ S[eaii],	(6.402)
Вычисляя эту вариацию с использованием формул (6.347), получаем, что
SS = У d'x \/^д (нцф — тфф^ — Нф. itpyaS7г,ф + +i^'~ [vMHba + Vb(HMa + на^аьф). (6.403)
Совершая в этом выражении интегрирование по частям при помощи правила Лейбница (6.90), его можно переписать в виде
т4 $8 тт а х - II с
О^аи
(6.404)
6.7. Конформная инвариантность
309
где
г___-— = eaAt (гч/>7‘?	— тфф] — {фф1\7аф +
у/-д 5е„м '	'
+ г^а(ФпаФ^Ф) + ^(фф^Ф) + J VcGhV'M- (6.405)
Удобно тождественно переписать это выражение следующим образом:
*	= ea>l (фф'ф'Ф„ф — тфф] — ^^^\7аф + - V аФ^Ч^Ф уф *
V~!J oeati V	/44
Х[^,фа^аф + г-ффа^°Чаф + 1-Ъс(Ф7а^Ф) + ^е(ф^1СаФФ
(6.406)
а также использовать тождества
[7“,7^] = 2eaQ7'z -2.9MQ7a;
7 7+77 =7 (“7 7 + е ) + 7 (~7 7 + Г1 ) =
= -2еам7с + 7“есд + ~фтфа. (6.407)
Тогда из определения тензора энергии-импульса (6.345) после несложных преобразований получим, что
=---^—еа1' = -фф^ф + -фу^ф - -^фф'ф -
V~g Sea)J 4	4	4
-г-^ф^ф - ^-фуа^аф - 1-Чафуаф-тфф) -
+ ^(?VqV>7“ + тф^ф^ф + '-ф'ф1' (гф* ^7аф — тф).	(6.408)
Видно, что антисимметричная часть этого выражения (последние два слагаемых в этой формуле) обращается в 0 в силу уравнений движения для полей ф и ф. Поэтому полученный тензор энергии-импульса действительно оказывается симметричным.
6.7. Конформная инвариантность
Рассмотрим локальные преобразования вида
g^tx) -> e2a{x}gp„(x),	(6.409)
где <т(т) — некоторая функция координат. Такие преобразования называются конформными. Очевидно, что в пространстве D измерений при конформных преобразованиях

* б
< а ' с- С п .
(6.410)
310
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
В Задаче 1 показано, что законы конформных преобразований символов Кристоффеля, спиновой связности и тензора кривизны имеют вид
Г", - I’JL +	- g,lvdna-
'^fiab * '-dpab +	— СЬцда(Т,	(6.41 1)
+ g^.'jO'voi +	Эив^/ла
-(д^аЯив - 9ii39va)^o д^,
где мы ввели обозначение
аа;з = Чадца ~ даадца.	(6.412)
(Очевидно, что эта величина является симметричным тензором.) Свертывая закон преобразования тензора кривизны с метрическим тензором и используя закон конформного преобразования метрики с верхними индексами, получаем, что
11,,» = ga0Rail0„ - Л.» - (D - 2)<т^ -
~9tiu (Чадоа + (D - 2')даадоа);
R = g^R^^e~2a^R-2(D- l)WM<r-	(6.413)
-(£» - 1)(D - 2)д'1<тд(1а^.
Несмотря на то, что тензор кривизны не является конформно инвариантным, из него можно построить конформно инвариантный тензор Вейля [7]
Сцт/) — Rfiua3 ~	~ 9uaR-p.0 9p.0Rua 4“ 9v0Rpa^ 4“
4“	_ 2)	~ 9u09ua^ R-	(6.414)
Неизменность тензора Вейля с одним верхним индексом	при
конформных преобразованиях доказана в Задаче 2.
В силу своего определения тензор Вейля имеет те же свойства симметрии, что и тензор кривизны: он антисимметричен относительно перестановок любых двух крайних индексов и удовлетворяет условию
('циаЗ ~ (-'аЦци-	(6.41 О)
В Задаче 3 показано, что тензор Вейля также удовлетворяет и тождеству Риччи:
С^а0 + Cail„0 + Cvaii0 = 0.	(6.416)
6.7. Конформная инвариантность
311
Таким образом, для тензора Вейля справедливы те же алгебраические условия, что и для тензора кривизны. Однако есть и дополнительные свойства: свертывая тензор Вейля с метрическим тензором (Задача 3), мы получаем, что
=	(6.417)
Это означает, что число независимых компонент тензора Вейля равно числу независимых компонент тензора кривизны, которое было вычислено в Части 6.1.4, минус число связей (6.417). Учитывая симметрию тензора Вейля относительно перестановок пар индексов, видим, что в пространстве D измерений число таких связей равно D(D + 1)/2. Следовательно, число независимых компонент тензора Вейля равно
1d2(Z)2 - 1) - 1d(D + 1) = ±D(D + 1)(Z) + 2)(Р - 3). (6.418)
Заметим, что в трехмерном пространстве число независимых компонент тензора Вейля оказывается равным 0. Это связано с тем, что в силу равенства (6.142) трехмерный тензор Вейля оказывается тождественно равным 0.
Рассмотрим теперь примеры моделей, в которых имеется инвариантность относительно конформных преобразований. Заметим, что во всех этих примерах будут рассматриваться безмассовые теории, поскольку, как несложно убедиться, массовые слагаемые нарушают конформную инвариантность.
Вначале мы исследуем случай безмассового скалярного поля в Уммерном искривленном пространстве-времени. Действие такой модели, совместимое с требованием общекоординатной инвариантности, может быть записано в виде
S = уdDXy/^g (д^д^фдиф + ^Еф^,	(6.419)
где £ — некоторая постоянная. В Задаче 4 показано, что это действие является инвариантным относительно конформных преобразований
.9^	е2ст.9^; ф	= е~^ф,	(6.420)
где Д — (D - 2)/2 — размерность скалярного поля в Д-измерениях, при условии если
^4^1)'	(6'421)
В частности, в четырехмерном случае инвариантность действия (6.419) относительно конформных преобразований будет иметь место если £ = = 1/6.
312
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
В Задаче 5 показано, что действие безмассового спинорного поля 9
= г f dnx еа11 фуа + ^^ЬсуЬс^ф (6.422)
также является инвариантным относительно конформных преобразований
е/^е%а; ф -> e~(D~ ^/~ф = е~^ф,	(6.423)
где Д = (D — 1)/2 — размерность спинорного поля в пространстве D измерений.
Для теории Янга-Миллса (см. Задачу 6) конформная инвариантность имеет место только при D = 4, причем калибровочное поле при конформных преобразованиях остается неизменным.
Важнейшим следствием конформной инвариантности является равенство нулю следа симметризованного тензора энергии-импульса. Действительно, рассмотрим некоторую конформно инвариантную теорию с действием 3[фф[, где фг — некоторый набор полей (с произвольным законом преобразования относительно группы Лоренца). Предположим, что параметр конформных преобразований ст является малым. Тогда вариация действия при конформных преобразованиях может быть записана в виде
J5 = -CT^e^ + £-^,	(6.424)
де.	дфг
где 6ф, представляет собой изменение поля 0j при бесконечно малых конформных преобразованиях. Поскольку в конформно инвариантных теориях <53 = 0, отсюда следует, что на уравнениях движения для полей которые записываются в виде
Д = О,	(6.425)
справедливо следующее равенство:
o =	=	(6.426)
ф-g
В случае скалярного поля бесследовый тензор энергии-импульса получается (Задача 7) при варьировании по метрике действия (6.419),
9 Здесь мы предполагаем, что сигнатура пространства равна (-1— ...—).
6.7. Конформная инвариантность
313
в котором £ дается формулой (6.421). В плоском пространстве он будет равен
+ 4(д12^ (ч^д1(Ф2') - д^д^Ф2)^.
(6.427) В Задаче 7 также явно проверено, что этот тензор энергии-импульса и является бесследовым. Тензор энергии-импульса (6.427) называется улучшенным.
Симметризованные тензоры спинорного поля и поля Янга-Миллса в D = 4 были вычислены в Части 6.6, где было доказано, что они автоматически являются бесследовыми. Теперь мы можем утверждать, что это является следствием конформной инвариантности этих теорий.
Конформная инвариантность (так же, как и рассмотренный ранее закон сохранения аксиального тока) нарушается в квантовой теории радиационными поправками. Это явление называется квантовой аномалией. Оно приводит к тому, что на квантовом уровне след тензора энергии-импульса будет уже отличен от 0.
Задачи
1. Найти законы преобразования символов Кристоффеля, спиновой связности и тензора кривизны при конформных преобразованиях.
Используя определение символов Кристоффеля (6.80) и законы конформных преобразований метрического тензора с нижними и верхними индексами (6.409) и (6.410), получаем, что
Г“„ - le~it7gaX^(eiagXv) + д„(е2°дх») - дх(е2°д^ =
= Г“и + даХ (dpVQxv + dt,ffgXfl - дх<гд,^ =
= Г“, т	- даад^. (6.428)
Как следствие, при конформных преобразованиях спиновая связность будет меняться по закону
даа^еь‘' + еаеа1'д^(е~аеь‘') =	+ еам <Эь<т - еьм д„о, (6.429)
где, например, да = еам<Эм. Представим теперь закон преобразования спиновой связности в виде о>цаъ —>	ч- и подставим это выражение в формулу
(6.220), которая связывает тензор кривизны и спиновую связность:
314
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Rpi/ab — дрМЗуаЪ Э1Л^раЬ 4“	^'^cb CJi/a ‘Л pcb
Rfil/ab т- dfj^iOi/ab ^‘aJ^ab ^U)pp 'ЛусЬ 4“ Cjpa ^CJ^c.b
^CJi/a bdpcb ' ^i/a ^^pcb 4“ ^C3pa &U>i,cb '	Abdpcb —
— Rp^ab 4”	VpAtvpab 4~ ^CJpa ^-CJvcb Au’i/a AbJpcb' (6.430)
(При этом мы учли определение ковариантной производной, а также приняли во внимание антисимметрию и/1ад по двум последним индексам.) Подставляя в эту формулу AWpnf, = СардьСТ - Cbp даст, получим, что
Д/л/аЬ * Д/л/аб ~ pyCav Эь<?	C-bv 5а СТ у 4“	5 СТ	р 5а СТ j X
X- ^С1/ Эь& Obi/ 5сСт) (р. <—* //) = ИрраЬ 4“ Cai/^7p0b<7 e.bpVр0а<? 4-+е.ард1/адь<т - еа11еь^дс<7 дс<т - g^datr дьа 4- ebvda<jdp<j - (р*~* и),
(6.431) где через (р <-> и) обозначены члены, которые отличаются от явно выписанных заменой индекса р на v и наоборот. С учетом этих слагаемых
Rp,i'ab * Rp,i/ab ^ацО'ъ'Ь Н~ ua ^aty^pib ^biy^p.a
- (eaftebv - еьрСар^д^а дуа,	(6.432)
где ст„д — симметричный тензор, определенный формулой (6.412). Умножая результат на еааеьр и учитывая, что при конформных преобразованиях еам —> -+ еаеар, мы приходим к последней формуле в (6.411).
Заметим, что тот же самый закон преобразований можно получить, используя определение тензора кривизны через символы Кристоффеля, однако, при этом вычисления получаются несколько более сложными.
2.	Доказать, что тензор Вейля с одним верхним индексом является конформно инвариантным.
Подставляя в определение тензора Вейля законы конформных преобразований метрического тензора, тензора кривизны, тензора Риччи и скалярной кривизны, имеем:
pi/ав * е" Грипр 4~ е [ Рра^уа ^дради/зд'*&
- (D - 2)ст^ - ^V757C7 -	4-
1
pi __ 2 Х
1
2(0 - 2) 9tia Х
- 2V’>57c7 — (D - 2)<Э7ст<Э7с7 1 — (р и, а [3) — (р и) —
-(а <-+ ^)j = е^Сррав.
(6.433)
6.7. Конформная инвариантность
315
Поднимая один из индексов и учитывая, что д8'1 —> е, г<Т д8\ получаем, что тензор Вейля с одним верхним индексом является конформно инвариантным.
3.	Доказать, что тензор Вейля удовлетворяет тождеству Риччи и все свертки тензора Вейля с метрическим тензором равны 0.
Поскольку в формуле (6.414) первое слагаемое, очевидно, удовлетворяет тождеству Риччи, то в силу симметрии тензора R^
~t~gi/pRfia} 4- [dtxi'Rpd Piu/Racs gapRp.b' gp.pRav) 4- (gv^Rap
g,4,Ri/в - g^pRa^ 4- g^pR^p.
(/9- !)(£) —2)
g^aQ^P 9рР9^а ) 4-
4~(.9o^.9m4 9aвЯрv j 4“ [ЯирЯав Я^Р9ар\ R — 0.
(6.434)
Это и означает выполнение тождества Риччи для С/1Л,аз.
В силу антисимметрии тензора Вейля по первым и последним двум индексам, все свертки тензора Вейля с метрическим тензором сводятся к
д^С^ар = R„p - ~2 ((D - 2)R^ +	4- g„pR = 0. (6.435)
4.	Найти, при каких значениях £ в формуле (6.419) лагранжиан безмас-сового скалярного поля является конформно инвариантным (для произвольной размерности пространства-времени).
Предположим, что при конформных преобразованиях скалярное поле изменяется по закону ф —> еааф, где а — некоторая постоянная. Тогда
др.Ф -> еаа {дрф 4- ад^аф}.
(6.436)
Принимая во внимание формулы (6.410), мы получаем, что действие безмассо-вого скалярного поля будет меняться следующим образом:
S—> S' = / dDx x/—g е!0-2,11,71е ~аg^v (д^ф -г (д^ф 4- а х
х<Э„<тф) 4-£е-2ст 2(D — l)V'xc)M<7- (D - 1)(D- 2)
(6.437)
316
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
С помощью интегрирования по частям, которое проводится в соответствии с правилами, сформулированными в Части 6.1.3, это выражение может быть эквивалентно переписано в виде
S' = У dnx e(n-‘^'2a}a\d^d^ +	- а - 2£(D - 1)}ф2 +
+д^д„.<т(а2 - £(£> - 1)(£> - 2) - a (D - 2 + 2а)^ф2 +£О2}. (6.438)
Из этого выражения очевидно, что конформная инвариантность рассматриваемого действия будет иметь место в случае, если
п _ 9 а =—(£> —2)/2;	(6-439)
5.	Доказать конформную инвариантность действия безмассового спинорного поля в искривленном пространстве.
Предположим, что при конформных преобразованиях ip —> eaaip, где а — некоторая постоянная. Тогда, используя закон преобразования спиновой связности при конформных преобразованиях, найденный в Задаче 1, мы получаем, что ковариантная производная поля будет меняться следующим образом:
Д’/zV’ = dfiip +	-> еаа + а ip + ^дс.	(6.440)
Поэтому, принимая во внимание тождество
7м7дс = 7м^7д7с - емс) = (D - 1 )7С,	(6.441)
находим, что
S = i У d,:>x ea'L ipyaT>tl.ip —>
~^г у dDxe.(D-^'2a)a^^(D^+ l(2a+D- \)d^. (6.442)
Отсюда следует, что действие безмассового спинорного поля оказывается конформно инвариантным, если а = — (7? - 1 )/2.
6.	Найти при каких условиях теория Янга-Миллса будет являться конформно инвариантной.
Действие поля Янга-Миллса в пространстве D измерений
S = Ддг [ dDx -J-g g^g^F^F^	(6.443)
2<- J
будет конформно инвариантным если	—> е(4	'2 F.1L,. поскольку тогда
S^'tr [ dDxen°y/^ е ^g,iagvee^~D},JF^Fa!3 = S. (6.444) 2t- J
6.8. Конформная группа
317
Однако, используя определение тензора поля, несложно убедиться, что такой закон преобразования для не удается получить ни при каком преобразовании поля если D 4. Поэтому теория Янга-Миллса будет конформно инвариантной только при IJ = 4, причем калибровочное поле при этих преобразованиях остается неизменным: .4,, —» Ам.
7.	Вычислить улучшенный тензор энергии-импульса для безмассового скалярного поля и явно проверить его сохранение. Убедиться, что его след равен О на уравнениях движения.
Как было показано в Задаче 4, конформно инвариантная теория безмассового скалярного поля в искривленном пространстве описывается действием
S = [dDxd^g (д^д^ф д„ф + п Ф2)  (6.445) Вычисляя вариационную производную этого действия по метрике с использованием последней из формул (6.347) и полагая затем д^ = г/^, получаем, что
= сффсфФ - ^г)^(даф)2 + 4(p 2'2j) (р^ЛФ1) ~ <9м<Мф2)). (6.446)
Проверим сохранение этого тензора энергии-импульса. Для этого применим к нему оператор 9м (который очевидно даст 0 при действии на последнее слагаемое):
дц = д2фд„ф + д^фд'1д^ф - ^д„(дпф)2 = (Ффсфф = 0,	(6.447)
при использовании уравнения движения для скалярного поля в плоском пространстве да Ф = 0.
Аналогичным образом проверяется, что тензор 0М,У имеет нулевой след на уравнениях движения:
0% =	( - 2(^ф)2 + 32(ф2)} = фд2ф = 0.	(6.448)
6.8. Конформная группа
6.8.1. Масштабная инвариантность.
Рассмотрим некоторую конформно инвариантную теорию с некоторыми полями ф-i произвольной тензорной структуры, которая описывается действием S[<^]. Совершим общекоординатное преобразование
х" -> х'^ = х>1/а	(6.449)
и одновременно конформное преобразование с ст = — Ina. В Задаче 1 показано, что при таком преобразовании
-» д'^(х) = д/а,(ах).	(6.450)
318
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Такой закон преобразования оставляет инвариантной метрику Минковского, благодаря чему в плоском пространстве рассматриваемая теория будет инвариантной относительно указанной совокупности двух преобразований. В соответствии с результатами предыдущей части (см. также Задачу 1) при таких преобразованиях поля теории преобразуются по закону
йу(ж) —>	(6.451)
где Л;-7 представляет собой некоторую матрицу. В Задаче 2 показано, что действие, которое не содержит размерных постоянных, будет инвариантно относительно масштабных преобразований, если эта матрица является диагональной, а на ее диагонали стоят размерности полей
Глобальные преобразования (6.451) называются масштабными. Соответствующие бесконечно малые масштабные преобразования записываются в виде (а = 1 + да)
<5,тм = -8axft; бф^ = 8а (х^д^фг +	ф^.	(6.452)
С помощью теоремы Нетер в Задаче 3 также показано, что сохраняющийся ток, соответствующий масштабным преобразованиям, равен
(6.453)
Несложно заметить, что сохранение тока Df, следует из сохранения симметризованного тензора энергии-импульса и его бесследовости (которая вытекает из конформной инвариантности исходной теории):
= x^Q^ + 0% = 0.	(6.454)
В качестве примера можно рассмотреть теорию Янга-Миллса в 4-х измерениях. Несложно убедиться (Задача 4), что она будет инвариантна относительно масштабных преобразований вида
Лм(х) —» аЛм(ах).	(6.455)
Теории со скалярными и спинорными полями являются конформно инвариантными в безмассовом случае. Поэтому безмассовые теории скалярного и спинорного полей в плоском 1?-мерном пространстве-времени будут инвариантны относительно масштабных преобразований
<р(х) —> а^^^ф^ах)	(6.456)
для случая скалярного поля и
?р(.т) —> a(D~]^2ip(ax)	(6.457)
в случае спинорного поля. Заметим, что при D = 4 это утверждение справедливо и в том случае, когда теория взаимодействует с калибровочным полем. В явном виде эти утверждения проверены в Задаче 5.
6.8. Конформная группа
319
Задачи
1.	Доказать, что метрика Минковского и соответствующая тетрада являются инвариантными относительно совокупности общекоординатного преобразования х'1 = /а и конформного преобразования с <т = — 2 In а. Построить законы преобразования полей при масштабных преобразованиях.
Закон преобразования тензора с двумя нижними индексами при рассматриваемых общекоординатных преобразованиях приводит к равенству
~ a2!hiAx)- Заменяя х на ах, получаем, что при таких преобразованиях
д^(х) -> д^(х) = а2д^(ах).	(6.458)
Поэтому после последующего конформного преобразования с а - — In а
д^(х) -> д11Л,(ах).	(6.459)
Поскольку метрика Минковского от координат не зависит, она является инвариантной относительно этих преобразований. Случай тетрады рассматривается полностью аналогично.
Произвольное поле ф при указанных двух преобразованиях меняется по закону ф'(х/а) — а^ф(х), где Д — некоторая постоянная. (Далее будет показано, что она совпадает с размерностью поля ф.) Заменяя х на ах, окончательно получаем, что
ф(х) —> ф'(х) = а^ф(ах).
(6.460)
2.	Доказать, что теория, которая не содержит размерных постоянных, будет масштабно инвариантной, если матрица Д^ является диагональной, а на ее главной диагонали стоят размерности полей ф,.
В силу формулы дифференцирования сложной функции при масштабных преобразованиях производные полей преобразуются по закону
<9м((аЛ)г^(аж)) = (аЛ")?(<ЭЛфу)(аж).
(6.461)
Если Д — размерности полей ф{, то величины Д 4- 1 представляют собой размерности производных Аналогичным образом можно рассмотреть и производные произвольного порядка. Поэтому, принимая во внимание, что функция Лагранжа не зависит от размерных постоянных, получаем, что при масштабных преобразованиях
С(фг(х), д^фг(х),...)	а°£(фг(ах), д^Ф^ах),...).	(6.462)
При этом было учтено, что поскольку функционал действия является безразмерным, то размерность функции Лагранжа равна
[£\ = mD,
(6.463)
320
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
где D — размерность пространства-времени. Как следствие,
S — У	—> S' = У dDxau £(<pi(ax),dll<j>i(ax),..
Л/	ЛГ
(6.464) (Если переменные х'1 принадлежат области М, то координаты ж''1 = жм/о лежат в области М'.) Совершая в последнем интеграле замену переменных хц —> ах*1, получаем, что S’ = S, т.е. действие является инвариантным относительно масштабных преобразований.
3.	С помощью теоремы Нетер найти сохраняющийся ток, который соответствует масштабной инвариантности.
Формулу (6.452) для бесконечно малых масштабных преобразований можно подставить в выражение для нетеровского сохраняющегося тока (2.51). В результате получается, что такой ток будет равен
(х^дуфг 4- Д?^>) -	4- —(6.465)
д(д^фг) \	/	О(ОцФг)
Для того чтобы установить связь этого тока с током (6.453), используем связь между каноническим и симметризованным тензорами энергии-импульса (6.349). В силу этой формулы
= х1'- -да [х1'Sn.lw -	4- x^S^a) 4- Sa4ia. (6.466)
При этом второе слагаемое в правой части не влияет на сохранение тока, поскольку его производная по х*‘ автоматически является равной 0. Поэтому сохранение тока эквивалентно сохранению тока
Dtl =x,1e^ + -^—^i^i + Sn.^.	(6.467)
В следующей части (Задача 7) мы докажем, что сумма двух последних слагаемых равна 0 и, следовательно, 7),, = x^Q^. Пока же заметим, что поскольку ток /4,, сохраняется в силу теоремы Нетер, а ток x^Q^ — в силу свойств симметризованного тензора энергии-импульса, то имеет место равенство
=0’	(6.468)
которое получается при использовании определения тензора спина
= (6'469)
4.	Доказать инвариантность теории Янга-Миллса относительно масштабных преобразований в четырехмерном пространстве.
I
6.8. Конформная группа	321
Поскольку при масштабных преобразованиях поле Янга-Миллса преобразуется по закону
Дм(ж) —» аА^ах),	(6.470)
где а — некоторая постоянная, то, с использованием правила дифференцирования сложной функции, получаем, что
д^ЛАх) а2(9,Ж)(аж).	(6.471)
(Частная производная в последнем выражении вычисляется по аргументу = = ахц.) Поэтому тензор поля теории Янга-Миллса FI1U =	— д„Ац +
+ [А^.А^] будет меняться по закону
F^(x) —> а Р^(ах).	(6.472)
Как следствие, действие теории Янга-Миллса в D измерениях при масштабных преобразованиях перейдет в
S' = dDxaF^(ax).	(6.473)
Совершая в этом выражении замену переменной х' — ах, получаем, что
S' = -^tr [ dnx'a4-DF^(x') = a4-D-^ir [ dDx^(x).	(6.474)
2e J	2ez J
(В последнем равенстве мы просто обозначили переменную интегрирования другой буквой.) Таким образом, видно, что при D = 4 преобразованное действие S' совпадает с исходным действием. Это и означает, что оно инвариантно относительно масштабных преобразований.
5.	Проверить явным вычислением, что действия для безмассовых скалярного и спинорного полей в пространствах произвольной размерности D являются инвариантными относительно масштабных преобразований.
Поскольку при масштабных преобразованиях ф(х) —> а?П-2,'/2ф(аж), то
д^ф(х) ^ао/-(д„Ф)(ах).	(6.475)
Как следствие,
5	= У dD х д'1 ф* (x)dt^(x) —> S' = У dD хап д^ф* (ax)d^(ax).	(6.476)
С помощью замены переменных х' = ах легко убедиться, что новое действие S' совпадает с исходным действием S.
Для того чтобы теория Янга-Миллса была бы масштабно инвариантна, необходимо, чтобы размерность пространства была бы равна 4, поскольку
11 К. В. Степаньянц
322
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
в противном случае константа связи е уже не будет безразмерной. В этом случае
Т)рф(х) = д^ф(х) + А^(х)ф(х)
—> а2 ^(дрф)(ах) + А11(ах)ф(ах)'^ = а2Т>^ф(ах) (6.477) и, следовательно, действие для безмассовой теории скалярного поля, взаимодействующего с полем Янга-Миллса, при D = 4 также будет масштабно инвариантно.
Аналогичным образом для случая спинорного поля
- ./Л»1”-	х
хд^ф(ах) = i У dD(ах) ф(ах)у^д^ф(ах) = S,	(6.478)
откуда и следует требуемое утверждение. При наличии взаимодействия с полем Янга-Миллса такая теория также будет масштабно инвариантной в четырех измерениях.
6.8.2. Специальные конформные преобразования.
Рассмотрим теорию, которая является конформно инвариантной в искривленном пространстве, и совершим в ней следующую последовательность преобразований:
1.	Общекоординатное преобразование
=	(6.479)
X X
где (А1 — некоторый постоянный вектор, являющийся параметром преобразования, а х2 = хах,а.
2.	Конформное преобразование с
а — \xix'2/x2.	(6.480)
3.	Локально лоренцево преобразование с
Л% =	- 2х'ах'с1х12^	- 2хсхь/х2у (6.481)
В Задаче 1 показано, что при этом метрика Минковского и тетрада остаются инвариантными. Поэтому в плоском пространстве конформно инвариантная теория будет инвариантна относительно указанной совокупности преобразований, которые называются специальными конформными преобразованиями. Это глобальные преобразования, параметризуемые вектором ам.
Из формулы (6.479) можно легко выразить новую координату х' (Задача 2):
х’>1 =---(6.482)
1 + 2а^х + а х~
6.8. Конформная группа
323
При этом в Задаче 1 также доказаны следующие полезные равенства:
= 4? (<4 ~2x13ху) х'2 ~ 2*'Х);
(6.483)
(6.484)
(6.485)
В Задаче 3 показано, что бесконечно малые специальные конформные преобразования могут быть записаны следующим образом:
Зх^ — 3av ( — 2xAxv + 3£х2 j;
= ф'(х) - ф^х) =
= Заа - З^х^д^фг + 2жаД^</>^ - 2ix()(Тар)^ф^, (6.486)
если при бесконечно малых преобразованиях Лоренца поле ф^ которое имеет только локально лоренцевы индексы, меняется по закону
ф'^х') « фг{х) - t(Tafl)S ф3 а“а.	(6.487)
Матрица Дг3, как и ранее, представляет собой диагональную матрицу, на диагонали которой стоят размерности полей.
В качестве простого примера рассмотрим четырехмерную теорию Янга-Миллса. В Задаче 4 показано, что она инвариантна относительно специальных конформных преобразований вида
АДж) -> АД.т), причем А'^(х') = —А[/(х),	(6.488)
а выражение для х' дается формулой (6.482).
Безмассовые теории со скалярным или (и) спинорным полем также инвариантны относительно специальных конформных преобразований в произвольной размерности. При D = 4 такая инвариантность имеет место и в теориях, взаимодействующих с калибровочным полем. Эти утверждения следуют из конформной инвариантности соответствующих моделей в искривленном пространстве. (Для скалярного поля конформно инвариантная теория получается после добавления слагаемых с тензором кривизны.) В явном виде проверка специальной конформной инвариантности этих моделей выполнена в Задаче 5.
Сохраняющийся ток, который соответствует специальным конформным преобразованиям, имеет вид
= 2x^0^ - д-2©^.	(6.489)
II*
324	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Его сохранение
dflK\ = 0	(6.490)
(доказано в Задаче 6) следует из сохранения, симметрии и бесследо-вости симметризованного тензора энергии-импульса 0М1/. Доказательство этого утверждения другим способом, исходя из теоремы Нетер, приведено в Задаче 7.
Задачи
1.	Убедиться, что метрика Минковского и соответствующая тетрада являются инвариантными относительно совокупности общекоординатных преобразований (6.479), конформных преобразований с параметром (6.480) и локально лоренцевых преобразований (6.481). Доказать справедливость равенств (6.483) - (6.485).
Найдем вначале выражение для дхв/дх'а, которое требуется при нахождении преобразованного метрического тензора. Для этого продифференцируем равенство (6.479) по х":
±fax'2-2x'^^ =	(6.491)
Затем умножим это выражение на 6£х'2 — 2х'ах'11у учитывая, что (в пространстве произвольной размерности) имеет место равенство
- 2ж°жм) (б!(х2 — 2xIJxt'^ — <5“.	(6.492)
В результате получается, что
= ^4 (S^x'2 - 2?"sQ (б*х2 - 2хцх^.	(6.493)
Правую часть этого равенства можно рассматривать как произведение двух матриц. Поэтому вычисление обратной матрицы может быть легко выполнено с помощью формулы (6.492):
Цнг = Р7 ~	~ 2х"1х'а)'	(6.494)
Также в дальнейшем нам будет требоваться выражение для определителя этого выражения. Для его нахождения воспользуемся формулой
det М = exp(tr In М),	(6.495)
которая была доказана в Части А.2. При этом в качестве матрицы М возьмем матрицу Mg = 8g — 2xaxg/x2. Тогда
tr In (6g
2x
(6.496)
6.8. Конформная группа
325
Поэтому в силу формулы (6.495) в пространстве D измерений
det (<52 х2 - 2х,ух^ = -х2п.	(6.497)
Перейдем теперь к доказательству того, что метрический тензор Минковского является инвариантным относительно специальных конформных преобразований:
2 In г'2/г2 дха дхЯ	х'4 1 / „с, 2	\/г /2
е	Г,ав ~ х4^4^^ ~2х х-’)\д1'1-х
-2x''1x’fl^	(<5f? - 2хрх^ (б^х2 - 2х'6 х'^рав = р,^.	(6.498)
(При выводе также была использована формула (6.492).) Аналогичным образом доказывается и инвариантность поля тетрады еа(J = <5“:
- enx'i,xl	(<5^2 - 2Л.) (<5^'2 -
—2х'^х'^	- 2х'ах'с/х'2^	— 2хсхъ/х2'^е „ = еа/2.	(6.499)
2.	Найти выражение для новых координат, исходя из формулы (6.479).
(6.500)
Возведение в квадрат формулы (6.479) дает
1	1 + 2xea,-j + а2х2
~7i ~	2
х	х
Требуемый результат получается, если вновь подставить это выражение в формулу (6.479):
х>‘ - cd'rr2
=----------г-----
1 — 2agxd — oix2
(6.501)
3.	Построить бесконечно малые специальные конформные преобразования.
Будем считать, что параметр специальных конформных преобразований а*' = <5 а'' является малым. Тогда выражения для новых координат получаются при разложении правой части формулы (6.482) в ряд по <5ам:
<5.гЛ' = x'fl — х1' = 6 а1' ( - 2.'с''ж1? -и (%х2^.	(6.502)
Отметим, что как следствие этой формулы <5.г2 = — 2Sal3x’jx2.
Для того, чтобы получить закон преобразований для полей фг, мы будем считать, что в исходной конформно инвариантной теории все их индексы были локально лоренцевыми. Тогда бесконечно малое изменение поля ф; при специальных конформных преобразованиях будет складываться из трех частей:
бф) = ф’>(х) — фДж) = — fix'1 дрфч +	+ 5сФ1,	(6.503)
326
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
где — изменение поля ф, при бесконечно малых преобразованиях Лоренца (6.481), а 5сФ{ — при бесконечно малых конформных преобразованиях (6.480). (Координаты при этих двух преобразованиях не меняются.)
Параметр локальных преобразований Лоренца может быть построен разложением формулы (6.481) с точностью до членов первого порядка по <5аА‘ при помощи формулы (6.502). После ряда несложных преобразований получаем, что
А“ь ~	— 2х'ах'с/х'2^	— 2.т'.ть/а:2) и 8>, — 26аа хь — 26аьха. (6.504)
Поэтому параметр бесконечно малых преобразований Лоренца (6.481) оказывается равным
аа0 = 25аахр — 28арха,	(6.505)
а поле <pi с локально лоренцевыми индексами будет меняться по закону
бьфг = ~г-{Та0Уф5 аа0 = -2i8aaxe(Ta0\^j. (6.506)
Если поле имеет только локально лоренцевы индексы, то при конформных преобразованиях фп(х) —> (е-Лст)?ф.,(ж), где — диагональная матрица, составленная из размерностей полей фц. Поэтому при преобразованиях (6.480)
фг(х) ^(x2/x'2)A^i^j(x).	(6.507)
В случае бесконечно малых преобразований отсюда следует, что
дсфч = 28а0ха ф-j.	(6.508)
Собирая вместе все вклады в <5фг, получаем, что
8ф, = 5аа ^2sMa:Q - S^x^d^i - 2xaAi^j - 2ixf>(Та0)^ф^ .	(6.509)
4.	Доказать, что теория Янга-Миллса в плоском 4-мерном пространстве-времени является инвариантной относительно специальных конформных преобразований (6.488).
Если рассмотреть калибровочную теорию в искривленном пространстве, то удобно считать, что поле Л.. имеет эйнштейновский индекс. Поэтому оно не будет меняться при локально лоренцевых преобразованиях. Из результатов Части 6.7 мы знаем, что это поле также не меняется и при конформных преобразованиях. Поэтому при специальных конформных преобразованиях калибровочное поле действительно будет меняться в соответствии с формулой (6.488). (Если считать, что калибровочное поле имеет локально лоренцев индекс, то тот же самый результат получится как совокупное действие конформного и локально лоренцева преобразований.)
Как было показано ранее, по отношению к общекоординатным преобразованиям напряженность поля Янга-Миллса является тензором. Поэтому
(6.510)
6.8. Конформная группа
327
где координата х" удовлетворяет условию х' (х") = х. При этом в силу формулы (6.483), а также формулы (6.492), в пространстве D измерений имеет место равенство
Как следствие, при специальных конформных преобразованиях
£->£' = ~ tr у dL'x' ~-^Цх).	(6.512)
Л/'
Перейдем от интегрирования по переменным х' к интегрированию по переменным х, принимая во внимание формулу (6.485)
дх'а	x'2,J
det^-(x) = ^.	(6.513)
ax'	х
Тогда очевидно, что теория Янга-Миллса оказывается инвариантной, если D = 4:
S' = -Ur [ <^хГ2(х) = S,	(6.514)
2e J
что и доказывает инвариантность рассматриваемого действия в четырех измерениях.
5.	Явно проверить инвариантность безмассовых моделей со спинорными и скалярными полями относительно специальных конформных преобразований.
Рассмотрим вначале теорию с безмассовым скалярным полем в D измерениях. Закон конформных преобразований для этого случая был построен в Части 6.7. Поэтому общекоординатное преобразование (6.479) и конформное преобразование (6.480) в совокупности приводят к такому закону преобразования скалярного поля:
ф'(х’) — (х'2/х2>)	Ф(х).	(6.515)
Перенесем в формуле (6.479) о'1 в левую часть и возведем обе части в квадрат. В результате получим, что
U = 1 _ 2х0а0 + ах'2.	(6.516)
х2
Удобно ввести обозначение
f(x) = И - 2х0а0 + а~х'J	.	(6.517)
Тогда скалярное поле при специальных конформных преобразованиях будет меняться по закону ф'(х') = f(x')<b(x). Как следствие,
S = У dr) х дцф* д1гф — К'=	(6.518)
= W - ли	- ли
M'
328
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Раскрывая скобки в последнем равенстве и выполняя интегрирование по частям, получаем, что
S'-=	(6.519)
М'
Несложно убедиться, что имеет место равенство
, /	„	,	-(D-2)/2
(1 - 2арХ0 -Г о?Х2\	= 0,	(6.520)
благодаря которому второе слагаемое в формуле (6.519) оказывается равным 0. Затем продифференцируем функцию ф с помощью формулы для производной сложной функции и используем формулы (6.511) и (6.516). В результате получается, что
S' = У drJx' (;г2/а/2) д'1ф*(х)дцф(х).	(6.521)
М'
Переходя в этом выражении от интегрирования по Х' к интегрированию по Х с помощью формулы (6.513), убеждаемся в инвариантности действия относительно специальных конформных преобразований.
Рассмотрим теперь случай безмассового спинорного поля. При этом для простоты мы ограничимся только бесконечно малыми специальными конформными преобразованиями. В соответствии с формулой (6.486) они записываются в виде
дф — Saa	+ (79 — 1)хаф + х^УавФ^ 	(6.522)
(Для спинорного поля Тав = i^ap/S, а размерность Д = (79 - 1 )/2.) Поэтому, учитывая, что если ф = ф+А, то (см.Часть 3.4.2 и, в частности, Задачу 1)
(7w3’/’)+-'4 = -Фуар,	(6.523)
вариация действия безмассового спинорного поля оказывается равной
SS = J dDХ (гбф'у^д^ф + 1ф~фд^бф^ = i j dDx 5аа Q(2o+a:Q - с^ж2) х хд.,ф + (D - \)хаф - ^фуар^д^ф + ф^д^ ^(2Х1'Ха - <фХ2ффф + +(79 - 1 )хаф т Х13'уавф^) •	(6.524)
Проинтегрируем в этом выражении первое слагаемое по частям и выполним все дифференцирования с помощью правила Лейбница. В результате после несложных преобразований получим, что
6S = i5aa j dnx ( - ^ф^ар, 7м]Т1м'ф -г 2ф'уах1'(Фф — 2ф~ф Х„даф + +Ф'У"фафФ + (79 - 1)^7«?/>У
(6.525)
6.8. Конформная группа
329
Принимая во внимание тождества
=27<Лз-27/<;
7м7ид = 7,л(.9ад - 7м7а) = (1 - D)yn,	(6.526)
убеждаемся, что SS — 0. Это и означает инвариантность действия безмассового спинорного поля относительно специальных конформных преобразований.
6.	Доказать сохранение тока (6.489).
Дифференцируя ток (6.489) и принимая во внимание сохранение тензора энергии-импульса <ЭЛ0% = 0, получаем, что
= 2xaQL,a + 2ащ(-)“п - 2.r"e/w = 0,	(6.527)
поскольку тензор энергии-импульса является симметричным и бесследовым.
7.	Доказать сохранение тока А'%, исходя из теоремы Нетер.
Величины, требуемые для использования утверждения теоремы Нетер могут быть легко найдены с помощью формулы (6.486):
Зфг =	- фг(х) = Sa1' (2Sr х - 2ixa [T^t3
Sx3‘ = Sa13 ( — 2xIJxp + x26g^.	(6.528)
После этого, применяя формулу (2.51), находим выражение для сохраняющегося тока:
- дС jfll/ -
— ^X^Xf, — х
= (2х„ха - &Чх2\1\а +	- (2Дг^,фг - 2w“(7U)z4\ (6.529)
Используя связь между каноническим и симметризованным тензорами энергии-импульса (6.349), первое слагаемое в этом выражении можно переписать в виде
2х„х13дафг — х2д„фг + 2Ai3xlAi - 2гха (1фа)г3Фз
= (2х„хп - <5^r2)eMa - ‘ д0\[2х,ха - 54x^(Sy.lia -)] -2ха8ц ,иа ~г 2x„Sa
Первое слагаемое в этом выражении представляет собой ток
= 2х„ха&1п-х2<с>1\.
(6.531)
330	Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Второе слагаемое есть полная производная по х^ от выражения, которое антисимметрично по индексам 13 и р. Поэтому его производная по автоматически оказывается равной 0.
Таким образом, используя определение тензора спина
(6'532)
и отбрасывая автоматически сохраняющееся слагаемое, можно переписать сохраняющийся ток в виде
= К^+2хи-^-^(г1а^ф3-ЦТ11а)^ф]}.	(6.533)
Убедимся, что второе слагаемое в этом выражении равно 0. В силу теоремы Нетер сохраняется ток J^. Ток Kllv сохраняется в силу результата Задачи 6. Поэтому сохраняется и разность этих токов
д>‘{Худ^Ф~)^а,Л'Ч]	=°-	(6.534)
С другой стороны, в Задаче 3 предыдущего параграфа было показано, что имеет место закон сохранения
д>1{	~ <Т^фЛ } = 0.	(6.535)
I д(дафГ \	/ J
Вычитая из равенства (6.534) равенство (6.535), умноженное на :ху, получаем, что в конформно инвариантных теориях
(р^Фз -	= 0.	(6.536)
В силу этого равенства нетеровские токи, соответствующие масштабным и специальным конформным преобразованиям, будут совпадать с Dlt и К^.
Заметим в заключение, что при решении этой задачи предполагалось, что действие конформно инвариантной теории в искривленном пространстве не содержит членов с тензором кривизны. В противном случае нарушается связь между каноническим и симметризованным тензорами энергии-импульса и проведенные выше рассуждения уже не будут справедливы.
6.8.3. Конформная группа.
В двух предыдущих параграфах мы установили, что в плоском пространстве конформно инвариантные теории будут инвариантны относительно масштабных и специальных конформных преобразований. Кроме того, любая теория в плоском пространстве-времени должна быть инвариантна и относительно преобразований группы Пуанкаре.
Преобразования Пуанкаре, масштабная инвариантность и специальные конформные преобразования в совокупности образуют группу Ли, которая называется конформной группой [8]. Для того чтобы убедиться в этом, необходимо записать выражения для генераторов соответствующих преобразований. Генераторы группы Пуанкаре построены в Приложении А.6 и имеют вид
Jfiu —	-J-
(6.537)
6.8. Конформная группа
331
Генераторы масштабных преобразований ') (£>) и специальных конформных преобразований (-К,/) получаются, если отождествить бесконечно малые изменения полей Фу при масштабных и специальных конформных преобразованиях соответственно с — i,8aD&i и —гдамА';1©;. Тогда из формул (6.452) и (6.486) следует, что
D = х^Р^ + ?Д;
Лф — 2х^х,1' Р„ - x2Pfl, + 2/хмД + 2x^7),,(6.538)
Для того чтобы убедиться, что конформная группа действительно является группой, необходимо найти коммутационные соотношения между ее генераторами и проверить, что они образуют алгебру Ли. Полученные в Приложении А.6 коммутационные соотношения алгебры Пуанкаре записываются в виде
W Л/] =0;
— “? (jlpo/Jufi	“I”	• (6.539)
Поскольку все генераторы являются тензорами по отношению к группе Лоренца, то все коммутационные соотношения с могут быть немедленно выписаны:
D] = 0;	=-i\r/liaK^-r]^Klty (6.540)
Остальные коммутационные соотношения получены в Задаче 1:
= -г Ку,
Л -	= 0;
[Рр,К„] =2i^D- Jfl^.
(6.541)
В Задаче 2 показано, что эти коммутационные соотношения соответствуют алгебре Ли so(2,4) для случая пространства Минковского и so(p + l,q- 1) в случае, если метрика плоского пространства имеет р положительных собственных значений и q отрицательных.
Таким образом инвариантность ряда безмассовых моделей теории поля оказывается на самом деле несколько шире, чем инвариантность относительно группы Пуанкаре.
Задачи
1. Найти коммутационные соотношения генераторов конформной группы.
*) В этом параграфе все D обозначают генераторы масштабных преобразований, а для обозначения размерности пространства эта буква не используется.
332
Гл. 6. Теория поля в искривленном пространстве
Так как все коммутационные соотношения с J^y очевидны, то достаточно убедиться в справедливости коммутационных соотношений (6.541).
Поскольку [Р^.Жр] = груу, а постоянная Д коммутирует с любым оператором, то
[P^.D] = [Р^хРД = iP,,.	(6.542)
Также Рц коммутирует с величинами Т.,_у, которые не зависят от координат. Поэтому, используя тождество
[Л, ВС] = [Л, В]С + В[А, С],	(6.543)
получаем, что
[Р^, Kv] = [Рм, 2хуХаРа - х2Ру + 2г1иД + 2xaTva] = i(2p^y х
ххаРа + 2x.yPfl - 2хцРу + 2i^r]fly + 2Ту^ = 2i(j)/iyD -	(6.544)
С помощью формулы (6.543) также легко убедиться, что
Хд, D] = [К^х^Ру	Ру] = -i(2x^Py - x2P/i + 2TrMA +
+2х‘,Т^ = -iK^.	(6.545)
Используя полученные выше коммутационные соотношения и последовательно применяя формулу (6.543), можно вычислить последний коммутатор:
[Км, Ку] = [К^, 2x.yD - х2Ру + 2хаТуа] = 2i (2xflx'' - х2р^ D -~2ixyKfl — 2i(2xllxa - х26°^хаРу — 2ix2 ( — p^yD + Jy^ + 2i x x [2xtlxa - x26^Tya + 4x0xa[T^,Tya],	(6.546)
Подставляя в это выражение явные выражения для различных генераторов, получаем, что
[Kfl, Ку] = -4ixyXaTfia - 4ix2Tyy + 4ixllxaTya + 4xexa[T/ip,Tya] = О,
(6.547)
поскольку матрицы удовлетворяют тем же самым коммутационным соотношениям, что и генераторы группы Лоренца J^y.
2. Доказать, что алгебра Ли конформной группы совпадает с алгеброй so(p + 1, q + 1) для случая р^у = diag( 1 ... 1 - 1 ... — 1) с р 1 и q — 1.
Для простоты рассмотрим случай обычного пространства Минковского. Генераторы алгебры Ли so(2,4), которые мы будем обозначать Jab, где
6.8. Список, литературы
333
Д, В = 0,... 5 определяются следующим образом: если А и В меньше 4. то это обычные генераторы группы Лоренца, а
- Рд);	+ Рм); J^ = D. (6.548)
Коммутационные соотношения в терминах этих генераторов перепишутся так:
[«Аи, *Л/5] — iTfayD — iTJiivJtf)'
[•//х4> «/45] —	Ч-
[•А/З.Лз] =	- -Рм) =	(6.549)
Тогда несложно видеть, что коммутационные соотношения алгебры Ли конформной группы могут быть записаны следующим образом:
[Jmn, Jab] = -i(j]maJnb — tjnaJmb + tjmbJan — ijneJam^ ,	(6.550)
где t]mn — обычный метрический тензор пространства Минковского, если индексы пробегают значения от 0 до 3, а
7744 = — 1; 7755 = 1 •	(6.551)
Это и означает, что Jab представляют собой генераторы алгебры Ли ,so(2,4).
Обобщение полученных результатов на случай пространства произвольной размерности и сигнатуры очевидно. К метрическому тензору добавляются еще 2 компоненты: одна из них равна —1, а другая —|-1. Поэтому, если исходное пространство имело сигнатуру с р знаками «+» и q знаками «—», то алгебра Ли конформной группы будет so(p+ 1, q + 1).
Список литературы
1.	Е.В. Cristoffel. Crelles J., 70, (1869), 46;
2.	R. Lipschitz. Crelles J., 70, (1869), 71.
3.	B.Riemann. Uber die Hypothesen welche der Geometrie zugrunde liegen (диссертация. 1854) опубликована в Gott.Nachr. 13, (1968), 133.
4.	Lipschitz. Crelles.J. 70, (1869), 71; 71, (1870), 244, 288; 72, (1870), 1; 82, (1877), 316.
5.	W. Killing. Crelles.J. 109, (1892), 121.
6.	L. Rosenfeld. Memoires de 1’Academie Roy.Belgique 6, (1930), 30;
F. Belifante. Physica, 6, (1939), 887.
7.	H. Weyl. Mat.Zs., 2, (1918), 384.
8.	E. Cunningham. Proc. London Math. Soc. 8, (1910). 77;
H. Bateman. Proc. London Math. Soc. 8, (1910), 223; 469.
Глава 7
ГРАВИТАЦИЯ
7.1. Лагранжиан гравитационного взаимодействия
Свободное гравитационное поле (в системе отсчета, где Ti = 1, с = 1) описывается действием [1, 2]
где к2 = 8tvG. (В пространстве D измерений необходимо заменить d4x на dDx, однако, реальное пространство-время имеет 4 измерения.) При этом в качестве полевой переменной мы будем выбирать метрический тензор с нижними индексами gfiv. (Эквивалентно можно рассматривать гравитационное действие как функционал, например, от д^.) Величина G представляет собой гравитационную постоянную, экспериментальное значение которой (в системе СИ) равно
G = 6,67259(85)  10-11 м3/(кг • с2).	(7.2)
Почему гравитационная постоянная G входит в действие (7.1) именно таким образом, станет понятно несколько далее, когда мы рассмотрим взаимодействие гравитационного поля с полями материи и исследуем классический предел в соответствующих моделях. Пока же заметим следующее: с помощью гравитационной постоянной можно определить величину, имеющую размерность массы:
MPl = y/h^G.	(7.3)
При этом, как показано в Задаче 1, численно
М1Ч « 1,22- 1019 ГэВ;	2,43  1018 ГэВ. (7.4)
Величина Mpi при этом называется массой Планка и определяет характерный масштаб гравитационного взаимодействия. Необходимо обратить внимание, насколько он велик по сравнению с характерными масштабами, которые возникают в физике частиц, например, по сравнению с массой Z-бозона (~ 102 ГэВ). При достижении энергий порядка Mpi проявляются квантовые свойства гравитационного взаимодействия, которые в настоящее время еще до конца не поняты.
7.1. Лагранжиан гравитационного взаимодействия	335
Однако при энергиях, существенно меньших Mpi, квантовые гравитационные эффекты являются крайне слабыми и в настоящее время не доступны экспериментальной проверке. Поэтому при таких энергиях можно ограничиться рассмотрением действия (7.1) на классическом уровне. В терминах массы Планка это действие может быть записано в виде
SG = -^ [d^x^jR.	(7.5)
1б7Г J
Из результатов частей 6.1.2 и 6.1.4 очевидно, что оно является инвариантным относительно общекоординатных преобразований
<7ЦЖ)’	(7-6)
где определяется равенством
= (7-7)
Как уже отмечалось, общекоординатная инвариантность является основным свойством любой теории, включающей гравитационное взаимодействие. В соответствии с результатами Части 6.5 в бесконечно малой (инфинитезимальной) форме эту инвариантность можно записать в виде
~* 9/w +	(7.8)
Для получения уравнений движения для гравитационного поля необходимо приравнять к нулю вариацию действия (7.1). С использованием формул (6.347) в Задаче 2 показано, что при этом получаются следующие уравнения движения:
=	(7.9)
При их свертке с метрическим тензором в случае D / 2 получаем, что R = 0 и, следовательно, уравнения (7.9) эквивалентны равенству R^ = 0.
В случае если в теории присутствуют поля материи, то полное действие запишется в виде суммы гравитационного действия и действия для полей материи в искривленном пространстве-времени:
S = SG + Sm.	(7.10)
В Задаче 2 показано, что при варьировании этого действия с учетом формулы (6.340) получаются т.н. уравнения Эйнштейна
R^ - ^9^R - 8лСе„,	(7.11)
336
Гл. 7. Гравитация
где 0М,7 — симметризованный тензор энергии-импульса полей материи. Напомним, что этот тензор определятся как вариационная производная Sm по тетраде (или метрике при отсутствии в теории спинорных полей) и в силу локально лоренцевой симметрии действия оказывается симметричным по своим индексам при использовании уравнений движения для материальных полей.
Если применить к уравнениям Эйнштейна ковариантную производную V17, то в левой части получится 0 в силу тождества Бьянки (6.139). Поэтому для совместности этих уравнений необходимо ковариантное сохранение тензора энергии-импульса
V^e^-O.	(7.12)
В Части 6.6 было показано, что это условие является следствие'' инвариантности действия относительно общекоординатных преобраз ваний и получается автоматически из уравнений движения для пол материи.
Однако действие (7.1) не является единственно возможным действ ем, которое зависит только от метрики и инвариантно относителы общекоординатных преобразований. К нему можно добавить слагаемое пропорциональное
где тд — некоторая постоянная, имеющая размерность массы [3]. В стандартных обозначениях соответствующее действие записывается следующим образом:
S =	(R + 2A) + Sm,	(7.14)
1О7ГСт J
где Sm — действие для полей материи. При этом параметр Л, как и тен-____________________________________о	<_>
зор кривизны, имеет размерность т и называется космологической постоянной.
Уравнения движения для модели (7.14) получены в Задаче 2 и записываются в виде
Я/п/ -	(7.15)
На основе анализа современных астрономических наблюдений было установлено [4], что космологическая постоянная отлична от 0, положительна и приближенно равна
Л» 1,3- 10-52м-2.
(7.16)
7.1. Лагранжиан гравитационного взаимодействия	337
Соответствующий энергетический масштаб, который характеризует потенциальную энергию в вакуумном состоянии, оказывается равным (в случае если ti 1, с / 1) (см. Задачу 3)
/ з \ 1/4
тдс2 = I ] с2 яа 5 • 10-3эВ. I Ge /
(7.17)
Задачи
1.	Найти численное значение массы Планка.
Epi = MPlc2 = с \JhcJG «
/	О \ 5/2 7	.)л о X 1 /2
(3,00 - 106 * 8 * м/с) (1,05- 10“34 кг • м2/с) ' i
...............—-----------------—..............эВ/Дж =
(б,67- 10"" м3/(кг-с2)}	‘’б0' 10
= 1,22- 1028 кг  м2/с2 • эВ/Дж = 1,22- 1019 ГэВ.	(7.18)
2.	Получить уравнения движения для гравитационного поля, взаимодействующего с полями материи.
Рассмотрим теорию, описываемую действием (7.14), и найдем соответствующие уравнения движения. При этом уравнения Эйнштейна получатся как частный случай при Л = 0. Предположим вначале, что динамической переменной является метрический тензор с нижними индексами д^. Тогда в соответствии с определением (6.340) вариация действия материальных полей будет равна
6Sm l~d4x^ Sg'^e^ = -Ljd,lx^	(7.19)
где 0,Jb. — симметризованный тензор энергии-импульса для полей материи. (В случае, если рассматривается свободное гравитационное поле, этого слагаемого в полной вариации действия не будет.)
Поскольку R = вариация гравитационной части действия пропорциональна
6 J dfx у/—д (R + 2Л) =
= / A- (Л + 2Л) + WRpv +	• (7.20)
Заметим, что в соответствии с последней формулой в (6.347), слагаемое,
которое содержит вариацию тензора Риччи, представляет собой интеграл от
полной производной, поскольку из тождества (6.89) следует, что ковариантная
338
Гл. 7. Гравитация
дивергенция вектора, умноженная на у/=д, является (обычной) полной производной. Поэтому с учетом формул (6.347)
<5 J d?х у/--д (Я + 2Л) = J" (14ху/^д	+	h^R^. (7.21)
Таким образом, вариация действия (7.14) может быть записана в виде
SS= [d4x^-gh^(--^gf^R + 2\)+	(7.22)
J	\ JZirCr	IottCt	2	/
Приравнивая это выражение к 0 в соответствии с принципом наименьшего действия, получаем уравнения движения
R)tv - ^vR - g,^R = 8тг©м1/.	(7.23)
В случае, если в теории присутствуют спинорные поля, динамической переменной является поле тетрады. Тогда в силу определения (6.339)
5Sm = J d'lx у/^ SeatlQatl = - J <tx y^	(7.24)
Вариационная производная гравитационной части действия по тетраде может быть найдена исходя из вариационной производной по метрике. Подставляя + НЩ1 в полученные выше результаты и учитывая симметрию метрического тензора и тензора Риччи, получаем, что
5 У <Гх у/^ (Я + 2Л) = 2 у d4x у/^ Q g^H^lR + 2Л) - H^R^.
2	(7.25)
Отсюда следует, что вариация полного действия (7.14) запишется в виде
SS= d4x у/=-днЧ- -2- g^R + 2Л) + -L R,v - ©„J.	(7.26)
J	\ 1O7FG	o7F<j	/
Принимая во внимание симметрию тензора ©м,, (получаемую при использовании уравнений движения для материальных полей), мы вновь приходим к уравнениям (7.23).
3.	Вычислить характерную массу, которая характеризует вакуумную энергию, связанную с отличной от 0 гравитационной постоянной.
(1,1  1О“34 кг • м2/с) 3/4 (з, 0 • 108 м/с)7/4 (1,3  10“52м 2)'/4
(б,7 • 10м3/(кг  с2)) ‘/4
х----!—эВ/Дж и 5 • 10“3	. 21 = 5 . ю-3 эВ. (7.27)
1,6- 10“ 9	7	с2 Дж
7.2. Приближение слабого поля в гравитации
339
7.2. Приближение слабого поля в гравитации
7.2.1. Линеаризованные уравнения гравитационного поля.
Построим теперь линеаризованные уравнения для гравитационного поля и найдем их решение. Для этого вначале представим метрический тензор с нижними индексами в виде
З- Ьци*	(7.28)
где поле представляет собой отклонение метрики от метрики Минковского, которое мы будем считать малым. В Задаче 1 показано, что с точностью до членов первого порядка малости по httv уравнения Эйнштейна в пустом пространстве
~	= 0	(7.29)
могут быть записаны в виде
дцдаЬ„п +	- df&th - d2hiw -	(dndghn‘3 - d2h\ = 0.
(7.30)
Эти уравнения (Задача 2) следуют из действия [5]
S = ld4x ((^/г)2 - 2dflh^d„h + 2д^ dnh(\ - (dah^)2y
8' '	(7.31)
которое получается из обычного гравитационного действия (7.1) разложением до членов, квадратичных по
Если некоторая функция hfIl/ удовлетворяет уравнениям (7.30), то в силу общекоординатной инвариантности (7.8) лагранжиана гравитационного поля решением также будет (см. Задачу 3) и функция
1^ + д^ + д^,	(7.32)
где £fl — произвольный вектор. (Вообще говоря, параметр является бесконечно малым, но поскольку уравнение (7.30) линейно, его инвариантность будет иметь место для произвольных ^.) Поэтому для того чтобы решить уравнения (7.30), мы вначале зафиксируем общекоординатную инвариантность наложением условия
2d‘'hfl„ - dt,h = 0,	(7.33)
которое называется калибровкой де Дондера. Заметим, что это условие, как и условие Лоренца в электродинамике, не полностью
340
Гл. 7. Гравитация
фиксирует калибровочную инвариантность. В Задаче 3 показано, что оно инвариантно относительно остаточных преобразований
кци —>	(7.34)
в которых функция £м(ж) должна удовлетворять условию <Э2£М = 0.
В калибровке (7.33) уравнения движения (7.30) запишутся в виде
2<Э2- rh^d2h = 0.	(7.35)
Свертывая это равенство с г/М!У, получаем, что d2h = 0 и, следовательно, (7.35) оказывается эквивалентным уравнению
d2h^ = 0.	(7.36)
Его решение строится точно так же, как и в случае скалярного поля, который был подробно рассмотрен в Части 2.1, и может быть записано в виде
е~гк^б\к2) h^k).	(7.37)
J (2^)
При этом h^k) представляет собой произвольную функцию, удовлетворяющую уравнению
2kvh^(k)-k^h(k) = 0	(7.38)
в силу условия калибровки, и, как обычно, мы используем обозначение h(k) = haa(k). В терминах функции h^tk) остаточная калибровочная инвариантность может быть записана в виде
ЛМ1У(А:) -> h^k) - гк^(к) - ik^^k),	(7.39)
если
[ 7^e-’fc^(fc2)U4	(7.40)
J (27Г)
В Задаче 4 показано, что если выбрать систему отсчета в которой № — (к, 0,0, к), то с помощью специального выбора функций £ц(к) можно добиться, чтобы нетривиальными были только 3 компоненты поля h^:
/in = -Л.22; h\2-	(7.41)
При этом независимыми являются только две компоненты и, следовательно, в четырехмерном пространстве гравитационное поле на массовой поверхности имеет две степени свободы. (Из решения Задачи 4 видно, что из 10 компонент симметричного тензора h^, 4 компоненты Лом удаляются при помощи специального выбора параметра остаточных
7.2. Приближение слабого поля в гравитации	341
калибровочных преобразований а калибровочное условие накладывает еще 4 связи на оставшиеся компоненты.) В случае D-мерного пространства подсчет степеней свободы производится полностью аналогично: с помощью остаточных калибровочных преобразований мы можем положить D компонент равными 0, а еще D компонент (из оставшихся) можно выразить через остальные при помощи условия калибровки. Поэтому в пространстве D измерений гравитационное поле на массовой поверхности будет иметь
1d(D+1)-2D= 1d(D-3)	(7.42)
степеней свободы.
Задачи
1.	Записать уравнения Эйнштейна в пустом пространстве с точностью до членов первого порядка по отклонению метрики от метрики Минковского.
Символы Кристоффеля для метрики р,,и равны 0 и, следовательно, ковариантная производная в низшем порядке по будет совпадать с обычной производной, а тензор кривизны в низшем порядке будет равен 0. Поэтому в силу формул (6.347) с точностью до членов первого порядка малости по h,iv получим, что
R = д,,д^ - d2h,	(7.43)
где h = haa. Поэтому в первом порядке по уравнения Эйнштейна в пустоте,
(7.44)
могут быть записаны в виде
д^даЬ,а + dudah^a - d^h - d2h^ - p^ (dadph,n3 - d2h\ - 0.	(7.45)
2.	Найти разложение гравитационного лагранжиана (7.1) по отклонению метрического тензора от метрики Минковского с точностью до квадратичных членов и следующие из него уравнения движения.
Раскладывая действие (7.1) по степеням поля	- р^ и отбрасывая
интегралы от полных производных, получаем, что
s =	/ d*x (?hSR ~ h^5R^	+<ж3)-
(7.46)
342
Гл. 7. Гравитация
Первое слагаемое в этом выражении соответствует произведению линейных слагаемых в разложении ^/=3 и R, второе — д'-1" и и наконец, два последних слагаемых соответствуют квадратичным членам в разложении тензора кривизны. С помощью формул (6.347) квадратичная по полю h часть действия записывается в виде
S(2) =
d\r. {	- d2hj - {2дцдаКпv -
-cfhia, -	+ -^d-!h(2()„hv'' - dVi^ -	-d-Ri,^ -
-d.h^ (dl,h'"'' + ГЛ"7 - ФГ)).	(7.47)
После несложных преобразований это выражение с точностью до интегралов от полных производных оказывается равным
S(2) = -~ I d^x ((fy/i)2 - 2dllh'tl,d,h - 2д,,1Г dah‘\ - (dah^. (7.48)
Для того чтобы найти соответствующие уравнения движения, нам потребуются величины
=0; dhny
дС d{dtJi<yp) +27/^8^
-—(2г/аад*Н - rfadeh - 7^dnh - 2г]аа d„h>iv -
8 А.’ '
b 2rili3dji'a - 2d,lha0y	(7.49)
С помощью этих величин можно построить уравнения Лагранжа

дс____
d{dILhn.3)
дС
<dh(y в
= --‘;2	- dadeh - if^d.hT'' +
-д1'дЛ'а + д3дЛ^ - d2ha;,y
(7.50)
которые могут быть эквивалентно представлены в виде (7.30).
3.	Доказать, что из общекоординатной инвариантности следует, что если hliv — некоторое решение линеаризованных уравнений Эйнштейна, то hllU +	+ dv^IL — также решение. Проверить это явным вычислением.
Выяснить, в каких случаях калибровка де Дондера (7.33) будет инвариантна относительно таких преобразований.
Поскольку в исходные уравнения Эйнштейна входят тензорные величины, эти уравнения очевидно инвариантны относительно общекоординатиых преобразований. В Части 6.5 было показано, что изменение компонент метрического тензора при бесконечно малых общекоординатных преобразованиях метрического тензора можно записать в виде
7.2. Приближение слабого поля в гравитации
343
duty * 9/iv И- VЧ-	(7.51)
где — бесконечно малое векторное поле. Если при этом gIJt, =	+ h^, где
— малая величина, то с точностью до величин первого порядка малости
h^i, > -Ь И-	(7.52)
(Здесь мы учли, что в низшем порядке ковариантная производная совпадает с обычной.)
При таких преобразованиях линеаризованный тензор Риччи (7.43) не меняется, поскольку в низшем порядке по Ь,ц!,
R^v —* Rfiv + - (d/jd + da£,v) + dvd + da^) — -id^dvdaE,0 - д2(дц^ -+-	(7-53)
Как следствие, не будет меняться и скалярная кривизна, а значит, и линеаризованные уравнения Эйнштейна.
Совершая указанное выше преобразование над левой частью калибровочного условия де Дондера, получаем, что
- Ofj.h 2dl'(h^ + d^v + д^) - d^h + 2<%С) =
= (2^V-^/i)+2c)2CM.	(7.54)
Поэтому условие калибровки (7.33) будет инвариантно относительно преобразований (7.34), если их параметр удовлетворяет условию <Э2£М = 0.
4. Найти нетривиальные компоненты поля hILl, в системе отсчета, в которой к11 = (fc, 0,0, fc).
В рассматриваемой системе отсчета остаточные преобразования (7.39) запишутся в виде
hoo	-> hoo - 2ik^y.	Л|2 —> hi2,
hoi	-> hoi - ik^i	hi3 hi3 + ik^;
Ho2	h02 - ik&,	h22	h22;
hoo	ho3 + ik(£o ~ £з);	h23	h23 + ik^2\
hn	-> hn;	h33	h33 4- 2ik£3.	(7.55)
Поэтому можно выбрать функции £д(/с) таким образом, чтобы hnL, = 0. Тогда из калибровочного условия (7.33) получим, что
0 = 2khm + 2kh03 - k(hm - hn - h22 - h33) = k(hu + h22 + ft33);
0 = khto + fc/ii3 = kh]3,
0 — kh2Q + kh23 = kh23,	(7.56)
0 = 2kh30 -i- 2kh33 + k(hm - hn - h22 - h33) = k(-hn - h22 + h33).
Следовательно, нетривиальными будут только компоненты hn = —h.22 и h\2.
344
Гл. 7. Гравитация
7.2.2. Энергия и импульс гравитационного поля.
При наличии гравитационного взаимодействия в общем случае нельзя говорить о существовании законов сохранения энергии и импульса гравитационного поля. Действительно, в искривленном пространстве закон сохранения тензора энергии-импульса имеет вид
V/-)"" = 0.	(7.57)
Однако для того, чтобы имели место законы сохранения энергии и импульса, необходимо, чтобы производная в этом выражении была бы не ковариантная, а обычная. В принципе (см. далее), можно преобразовать закон сохранения тензора энергии-импульса таким образом, чтобы он был бы записан в виде
<ЭМ(©"1' +	- 0,
(7.58)
где — некоторый добавок, связанный с существованием гравитационного поля. Тогда, интегрируя это равенство по объему четырехмерного цилиндра, основания которого соответствуют t — t\ и t = t-2, а боковая поверхность S представляет собой бесконечно большую сферу в трехмерном пространстве, получим, что
0.
(7.59)
Если гравитационное поле достаточно быстро убывает на пространственной бесконечности, а источники поля сосредоточены в ограниченной области, то интеграл по поверхности S оказывается равным 0 и имеет место закон сохранения энергии-импульса
Р" = у (©°м + Z0'1).	(7.60)
Еще раз подчеркнем, что он будет иметь место только в том случае, если метрика достаточно быстро приближается к метрике Минковского на пространственной бесконечности. (В этом случае говорят, что пространство-время является асимптотически плоским.)
Поскольку обычная производная не является тензором, то и величина также не преобразуется как тензор при общекоординатных преобразованиях. Поэтому она называется псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля. Величину ttw, вообще говоря, можно определять различными способами.
Наиболее естественным на первый взгляд вариантом кажется следующий. Представим метрический тензор в виде gfW = г/^ +
7.2. Приближение слабого поля в гравитации
345
и подставим в действие гравитационного поля. В результате получится некоторый функционал от поля h, который выглядит точно так же, как действие некоторой модели в плоском пространстве-времени. В частности, как и все рассмотренные ранее модели в плоском пространстве-времени, эта теория инвариантна относительно глобальных преобразований группы Лоренца. Для нее можно с помощью формулы (2.97) построить симметризованный тензор энергии-импульса (который мы обозначим через t^). Он очевидно будет удовлетворять закону сохранения
д^ = 0.	(7.61)
При этом важно заметить, что будет преобразовываться как тензор только при глобальных преобразованиях группы Лоренца. Поскольку обычная производная не является тензором по отношению к общекоординатным преобразованиям, то и также не будет меняться как тензор при общекоординатных преобразованиях. Другими словами, он представляет собой псевдотензор энергии-импульса.
В качестве примера рассмотрим теорию гравитационного поля без полей материи. В низшем порядке по полю h ее действие будет записываться в виде (7.31). Соответствующий тензор энергии-импульса вычислен в Задаче 1. Для того чтобы избежать появления слишком больших выражений, здесь мы приведем результат в случае, если используется калибровочное условие 2dl‘h.,l, — dyh — 0, а поля материи отсутствуют:
=	^dyh^d^h013 - djidfji - ^^(ДД^)2 - (dCT/i)2)j +
+ 3^rGda{hasdflhl'S ~ hl'sd^haS + h»sdvhlis -	+ O(/i3).
(7.62)
Однако способ построения псевдотензора энергии-импульса, основанный на разложении по степеням h, все же оказывается достаточно неудобным, поскольку действие представляет собой бесконечный ряд по полю h. При этом даже низшие слагаемые в разложении тензора энергии-импульса по этому полю требует достаточно длительного вычисления. Существенно более простой является другая процедура. В ней в качестве исходной точки рассматриваются уравнения Эйнштейна
~ ^R - ЗтгССУ'Л	(7.63)
где 0;(1/ — тензор энергии-импульса для полей материи. Если в теории имеется отличная от 0 космологическая постоянная, то слагаемые,
346
Гл. 7. Гравитация
которые ее содержат, также включаются в 0Д1/. Левая часть уравнений Эйнштейна удовлетворяет тождеству
= 0,	(7.64)
которое (см. Задачу 6 Части 6.1.4) следует из тождества Бьянки (6.135). Из формул (6.347) следует, что в линейном приближении левая часть уравнений Эйнштейна записывается в виде
R\lu - г^Я(1) = \ [d^dahVQ + dudtthIM - dt,dji - d2h^ -
-^Ti^^dad0ha0 - d2li),	(7.65)
где через R.\2 и R^ обозначены слагаемые в разложениях тензора Риччи и скалярной кривизны, линейные по hfW, а индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики Минковского. При этом несложно убедиться, что
ам((7?^)(1) -	= 0.	(7.66)
Псевдотензор энергии-импульса определим равенством
tfW = - — (r^ - (R^)^ - X-g^R+ {-q>wR(^\	(7.67)
ottCj \	2	2/
При этом существенно, что индексы являются верхними, причем в первом и третьем слагаемом они поднимаются с помощью , а во втором и четвертом — с помощью g>w. В силу уравнений Эйнштейна и равенства (7.66) сумма тензора энергии-импульса материи 0/<1У и псевдотензора (7.67) будет удовлетворять закону сохранения (7.58). Также очевидно, что его разложение по слабому полю hfiU начинается со слагаемых второго порядка по h. Так же, как и ранее, преобразуется как тензор при глобальных лоренцевых преобразованих, но не является тензором по отношению к общекоординатным преобразованиям.
Для того, чтобы установить связь псевдотензора (7.67) с псевдотензором, полученным с помощью разложения по степеням поля h, воспользуемся равенством
Rtw - (Д^)(") - X-g^R 4-	[ d4xx (7.68)
2	2	J
X [/Я? (.9 + h)R(d + h) +	(riw(9) - ^g^R(g)^]

7.2. Приближение слабого поля в гравитации	347
где (д -+- h) означает, что вместо метрики gflu в соответствующее выражение необходимо подставить величину д1Ш + h^. Формула (7.68) имеет очень простой смысл: величина R1"' — g^R/i представляет собой вариационную производную от гравитационного лагранжиана. При этом аргументом этой величины будет	= д)1У. Однако
разложение левой части формулы (7.68) начинается со слагаемых, квадратичных по полю h. Поэтому слагаемые, линейные по h, также должны быть исключены и из правой части. Для этого в нее и добавляется слагаемое -h/"'(R^(д) - дМ1/Д(д)/2). Используя формулы (6.347) и совершая интегрирование по частям, можно легко убедиться, что при варьировании этого слагаемого действительно получается -(Д^)(!) +^д(1)/2.
Если разложить интеграл в правой части формулы (7.68) в ряд по полю h и положить метрический тензор равным метрике Минковского то, очевидно, получится разложение гравитационного лагранжиана по полю h. Если же не полагать метрику равной метрике Минковского, то результат можно рассматривать как некоторую теорию, зависящую от симметричного тензорного поля в искривленном пространстве-времени. Вычисляя вариационную производную ее лагранжиана по метрическому тензору, получаем тензор энергии-импульса. Точно такой же способ вычисления тензора энергии-импульса был описан в Части 6.6. Там же было доказано, что при этом получается симметризованный тензор энергии-импульса (6.349) в случае, если в лагранжиане отсутствуют слагаемые, содержащие тензор кривизны. Однако несложно убедиться, что при разложении величины у/—д R в ряд по h возникают слагаемые, которые пропорциональны тензору кривизны, например, hfiahl,aRfU'(g') и т.п. Поэтому результат вычисления по формуле (7.68) будет отличаться от формулы (7.62) на слагаемые, которые получаются при варьировании членов с тензором кривизны по метрике. Эти слагаемые, очевидно, будут являться полными вторыми производными.
Чтобы сделать эти рассуждения более наглядными, мы еще раз напомним о рассмотренной ранее связи между обычным тензором энергии-импульса для теории со скалярным полем и улучшенным тензором энергии-импульса (6.427), который отличается от него на вариацию слагаемого, пропорционального
I h^Rv2.	(7.69)
Таким образом, псевдотензор (7.67) будет отличаться от псевдотензора энергии-импульса, полученного исходя из разложения действия по полю h, на слагаемые, которые являются полными вторыми производными. В частности, в квадратичном приближении псевдотензор энергии-импульса (7.67) также дается формулой (7.62) с точностью до полных вторых производных.
348
Гл. 7. Гравитация
Если в качестве псевдотензора энергии-импульса взять выражение (7.67), то величину энергии-импульса гравитационного поля можно связать с асимптотикой гравитационного поля на пространственной бесконечности. Для того чтобы в этом убедиться, необходимо заметить, что полный псевдотензор энергии-импульса материи и гравитационного поля может быть записан в виде
= - * С др- _	_ 8тгС0/'1/') +
отгСт \	2	J
+	(7.70)
О7Г(_7 \	2	/
причем первое слагаемое в этом выражении оказывается равным 0 благодаря уравнениям Эйнштейна. Поэтому
+	= * ((/W1) _ * ^Д(1)\	(7.71)
отгСт \	2	J
Полные энергия и импульс системы получаются при интегрировании различных компонент этого выражения по трехмерному пространству, а полный момент импульса — при интегрировании нулевой компоненты величины
Гав = ха^0 +	- х0(&\ + t^a).	(7.72)
При этом все индексы опускаются с помощью метрики Минковского, поскольку тогда в силу закона сохранения тензора энергии-импульса (7.58) будет иметь место закон сохранения
^,7'^ = 0.	(7.73)
(Доказательство этого равенства приводится в Задаче 2.) Полные энергия, импульс и момент импульса вычислены в Задаче 3, где показано, что они могут быть выражены через асимптотику поля htw на больших расстояниях следующим образом:
(7.74)
7J' = 16^ / dS} (d°hii + S^dkhok ~	~	(7.75)
Jij = “TiTr / dSk ~ dkhQi)x3 +
1О7Г(_7 /	\
- dQhu)xJ + Sjkhoi^ -(?«-> j).	(7.76)
(По повторяющимся латинским индексам понимается суммирование, которое производится с помощью d-символа.) Как мы уже говорили
7.2. Приближение слабого поля в гравитации	349
ранее, все эти формулы будут справедливы только в случае, если пространство-время является асимптотически плоским.
Задачи
1.	Вычислить симметризованный тензор энергии-импульса для действия (7.31).
Функция Лагранжа рассматриваемой модели записывается в виде
£ =	((^Л)2 - 2d^dji + 2д^ daha, - (ft> vH.	(7.77)
Ь47гСг \	/
Дифференцируя это выражение, получаем, что
——— (2rf8dph - rfadeh - ^8dah -d(dphae) 64ttG \
-2if8d„h>1'' + 2цч,д,Л7'8 + 2’rfpduh''n - 2dpha0^. (7.78)
Поэтому канонический тензор энергии-импульса будет записываться следующим образом:
_ 5»£ = _ ' (d„hd'lh - d^3d:3h -д{о(1Ьп!з)	32tfG \
-duhdahpa 2d^h,l0dnhaa - d„haadphae^ - 6PC-	(7.79)
Для того чтобы построить симметризованный тензор энергии-импульса, в соответствии с формулой (6.349) нам потребуется выражение для тензора спина, который в рассматриваемом случае будет записываться в виде
= (7'80)
Поле ha3 является симметричным тензором второго ранга относительно группы Лоренца. Для того чтобы найти генераторы группы Лоренца в таком представлении, необходимо вычислить бесконечно малое изменение поля h при преобразованиях Лоренца:
(TaS)~,t,aphr,p = 6hyS = a-jalf/i + af,ph-1p.	(7.81)
Из этой формулы получаем, что
^(7<>/з)-,<5 haр гд,-, has h^s -I- p^shaa Tjeshay. (7.82) Как следствие, тензор спина оказывается равным
= 2a(i^has ~ 2^T^,laS =	~	-
o(Oph s)	o(dph's)	32ttG \
+hpa(2dvh\ - dah) - 2h.,iSd'lha5) - (a 3).	(7.83)
350
Гл. 7. Гравитация
В соответствии с формулой (6.349) симметризованный тензор энергии-импульса связан с каноническим равенством
Г
"Г Sp.ua ~ Su.paJ •	(7.84)
Сумма двух последних слагаемых симметрична по индексам р. и и, а первое из них пропорционально
0aS°u = -id	~	ЛГГри)а5аГ,да11аР. (7.85)
фаМ	Oidah,^)
Если отсутствуют поля материи, то первое слагаемое в этом выражении оказывается равным 0 в силу уравнений движения. Поэтому симметризованный тензор энергии импульса можно вычислять с помощью равенства

(7.86)
После несложных вычислений это выражение переписывается в виде
~ (2dphaadphai3 - (dphus + dphpS)(2d-rh'!S - d5h) + даНпр X
xdph + dahaudph - 2dphdPhj - ^da (sp,pa + Sp,pa^.	(7.87)
Полагая в этом выражении dphT1' = d‘'h/2 и подставляя выражение для тензора спина, приходим к равенству (7.62).
Заметим, что выражение для симметризованного тензора энергии-импульса можно получить и другим способом. Если формально заменить в действии обычные производные на ковариантные, метрический тензор Минковского — на метрику д, а также добавить множитель у/=д, то такой же тензор энергии-импульса получится при вычислении вариационной производной по метрике (см. формулу (6.340).)
2. Доказать, что из сохранения псевдотензора энергии-импульса следует закон сохранения псевдотензора углового момента (7.73).
Подставим в формулу (7.73) выражение для псевдотензора момента импульса (7.72) и используем правило Лейбница для производной произведения:
dPJpa = жасЦ0% + t’le) +	- ь ~ в).	(7.88)
Первое слагаемое в этом выражении равно 0 в силу закона сохранения псевдотензора энергии-импульса. Поэтому, подставляя явное выражение для псевдотензора t + 0 из формулы (7.71), получаем, что
(Хав ~ ^(1>) - (а - 3) - 0.	(7.89)
3. Выразить энергию, импульс и момент импульса системы, состоящей из гравитационного поля и полей материи, через асимптотику поля hp,,.
7.2. Приближение слабого поля в гравитации
351
Полная энергия системы, состоящей из полей материи и гравитационного поля, записывается в виде
/<? = J d3x(t°°+ G00) =	((Лоо)(1) - ~Л0)).	(7.90)
Подставляя в это равенство выражения для	и 7?(|\ получаем, что
е = f d"x (^dahOn - dodoh - d2ah00 - dndeha!i -r- dlh) =
=	[ ‘IS.	(7.91)
IottG J \	/
(Все свертки по греческим индексам здесь производятся с помощью метрики Минковского, а по латинским индексам — с помощью <5-символа Кронекера.)
Аналогичным образом вычисляется полный импульс системы:
d\ (t0i + О0’) =
- d°dahia - d.dahOa
16ttG
dodjlhj + didjhOj - d2hOl
(7.92)
Момент импульса системы дается выражением
JlJ = у Sx + t°J) - ^(ТОг + t°’)J =
= 8^С / (ЖЧЛО>)(1) -^(Л0*)'1’}-
(7.93)
Подставляя в него формулу для линеаризованного тензора Риччи и выполняя
интегрирование по частям, получаем, что
Jl] =
=	/ d3x (dodkhik 4- didkhok - dkho, - dodihkk\xJ - (i j) =
1O7TG j \	/
+ dt(dkhokxJ) - dkhok6.j -
-dk(dkhOlxj) +djhOl - дг(доНккх]) + 6tjdohkk) - (i j) -
= -тДг; [ dSk {(dohkl 1 O7TG J \
- дкНог)х} + 6lk(dih0i - dohu)xj -r 5jkh0t
~(i
(7.94)
352
Гл. 7. Гравитация
7.2.3.	Гравитон.
Так же, как и любое другое поле, гравитационное поле можно интерпретировать как волновую функцию некоторой частицы, которая называется гравитоном. Для этого мы рассмотрим теорию гравитации без космологической постоянной и, как обычно, запишем решения линеаризованных уравнений движения в несколько ином виде.
Фактически решение линеаризованных уравнений движения в калибровке (7.33) уже было найдено и дается формулой (7.37), причем отличными от 0 компонентами htlu{k') в системе отсчета с А:м = (А:, О, О, А:) будут только Лц = ~h22 и hi2- Для того, чтобы переписать это решение в произвольной системе отсчета, определим величины а= 1,2, так же, как и в Части 2.4: мы будем считать их нулевые компоненты равными 0, а также положим
= 0.	eW =	(7.95)
причем векторы (по отношению к группе пространственных вращений) (eg,eg,к) образуют правую тройку. При этом, например, если к1' — = (к, 0,0, к), то можно считать, что векторы eg направлены вдоль осей х и у.
Если поместить систему в кубический ящик размера L3 —»оо, то несложно понять, что полученное в Части 7.2.1 решение линеаризованных уравнений движения для гравитационного поля можно представить в виде
V- /16тг<? Г 7(1) (1) _ (2) (2)\ ,	/ (О (2)
, у Wk£3 L k' Vk'Mek-1/ ek,/jek.izJ + ttk,2 (фк,/Лк,1/ +
+ek2Mek.L)]e“"kf+ikx + K-c-	<7-96)
(Для того чтобы убедиться в этом, нужно направить ось z вдоль импульса. Тогда из формулы (7.96) будет следовать, что отличными от 0 компонентами поля будут Лц = -Л22 и Л12-) В формуле (7.96) через «к.с.» мы обозначили комплексно сопряженные слагаемые, a Wk = vk^. (Это значит, что гравитон является безмассовой частицей.) Удобно определить величины
ak,± = ^-(як.1+Шк,2); eg> = -^(e^iiegj. (7.97) В терминах величин а± гравитационное поле может быть переписано в виде
у- / 8тгС /	(+) ( + )	(-) (-Л д^-ikx
—	, з I ^к.+^к.р^к,!/ + ак.-Ск>мвк у	-и К.С.,
к у	X	7
(7.98)
7.2. Приближение слабого поля в гравитации
353
а его энергия и импульс (Задача 1) окажутся равными
(flk.aak-“ + ak.aflk.a) = 52 ^k.a^.a-	(7.99)
k,a=±	k,a—±
причем первое выражение получается, если нигде не переставлять местами функции а и а*.
В Задаче 2 показано, что состояния е1+2,е[У и eGet”?, где индексы т,п— 1,2,3 нумеруют декартовы компоненты векторов являются собственными векторами генератора группы вращений вокруг направления импульса с собственными значениями +2 и —2 соответственно. Как следствие, из рассуждений, приведенных в Части 2.4, следует, что (в четырех измерениях) гравитон имеет 2 состояния со спиральностями ±2, а величина |ak,±|2 представляет собой вероятность нахождения гравитона в состоянии с определенными импульсом и спиральностью.
Задачи
1, Вычислить энергию и импульс гравитационного поля (7.96).
Для вычисления энергии и импульса необходимо подставить рассматриваемую полевую конфигурацию в псевдотензор (7.62) при р = 0 и проинтегрировать результат по трехмерному пространству. Поскольку мы считаем, что гравитационное поле является слабым, то в выражении для псевдотензора энергии-импульса необходимо оставить только слагаемые, которые квадратичны по полю h^:
- dvhdph -	(2(dffha0)2 - (О)2}] +
— hvsd/jha +	— h^$dyha V (7.100)
o2ir(j \	/
Принимая во внимание, что hoa = 0, несложно убедиться, что в величину to» не будут давать вклад полные производные по времени, которые содержатся во второй строке формулы (7.100). Кроме того, легко видеть, что для рассматриваемой полевой конфигурации h = 0, поскольку
^е^е^=^е^е^=0.	(7.101)
Как следствие, энергия и импульс окажутся равными
[ d"x (д^а0д^а0 - ]-7)^(дЛа0)2\.	(7.102)
□27TG J \	2	/
Это выражение в значительной степени аналогично выражению для энергии и импульса безмассового вещественного скалярного поля. Отличиями будут, во-первых, наличие коэффициента 1/ 16тгС, а во-вторых, существование свертки по индексам а и 3. Поэтому, принимая во внимание равенства
<4+>-к2+) =	= -К	= 0,	(7.103)
12 К. В. Степапьянц
354
Гл. 7. Гоавитация
где звездочка обозначает комплексное сопряжение, можно воспользоваться результатом Задачи 1 Части 2.4. Поскольку в разложении гравитационного поля по сравнению с разложением вещественного скалярного поля дополнительно присутствует множитель уНбтгб, то из этой задачи следует, что
Р1' =	52 (ak.aak.a + Ok.aflk.a)-	(7.104)
k.a = ±
(При этом мы нигде не переставляли местами величины а и а*, хотя в классической теории поля это можно делать.)
2. Доказать, что состояния 6k+mek+n и ek~mek~n являются собственными векторами генератора группы вращений вокруг направления импульса.
В соответствии с результатами Приложения А.З генераторами группы вращений в векторном представлении являются величины (ta)b<: = -izabc- Для тензорных представлений способ построения генераторов описан в Приложении А.4. Несложно убедиться, что в рассматриваемом случае
(Ta)kl.mn	(7.105)
Генератором вращений вокруг направления импульса будет величина Тапа, где п — единичный вектор, направленный вдоль импульса. При его действии на рассматриваемые состояния получаем, что
(Тапа)к1.т,е^е^ =г41)[пхек±)]'+«еЙ)[пхек±)]ь	(7.106)
При этом, поскольку единичные векторы е^1’, е^2’ ип = к/к образуют правую тройку, то [п х = =рге^_). Как следствие,
(Tana)ki.mne^ r^e^2 ~ ±2е^2ек.Д	(7.107)
что и требовалось доказать.
7.3. Движение классической частицы в искривленном пространстве
7.3.1. Лагранжиан точечной частицы. Геодезические.
Перейдем теперь к исследованию динамики точечных частиц в искривленном пространстве-времени [6]. Траектория классической релятивистской частицы в четырехмерном пространстве-времени представляет собой некоторую кривую, которая называется мировой линией и в параметрическом виде задается некоторыми функциями дм(т), где т — произвольный параметр. Эти функции определяются из условия экстремальности функционала действия, который в плоском пространстве-времени имеет следующий вид:
- V2
— —т / J= —т / drt 7]/wx>1x1',
7 V	J (7.108)
7.3. Движение классической частицы в искривленном пространстве 355
где хД = (1х11/(1т. При этом из результатов Части 6.1.1 следует, что такое действие оказывается равным длине мировой линии частицы.
Очевидное обобщение действия (7.108) на случай движения частицы в искривленном пространстве-времени, инвариантное относительно общекоординатных преобразований, есть
S = — т J ds = —т J d.r^J д1,,,х'!х1' ,	(7.109)
где gflv = gflv(x), a ds — бесконечно малый инвариантный интервал между двумя точками траектории, определяемый формулой (6.18). Как и в плоском пространстве, с геометрической точки зрения это действие представляет собой длину мировой линии.
В Задаче 1 показано, что уравнения движения, соответствующие действию (7.109), могут быть записаны как
d2 х1'	dx a dx13 „	f ,
-ГТ +	= °’ где s = ds-	7-110
ds2 " ds ds	J
Решения уравнения (7.110) называются геодезическими и в силу формулы (7.109) представляют собой кривые, соответствующие экстремальному значению $. Удобно определить вектор четырехскорости
dx^
и'-=~,	(7.111)
ds
который в силу своего определения удовлетворяет условию ири12 — 1. В Задаче 2 показано, что уравнения геодезических (7.110) в терминах этого вектора могут быть записаны в ковариантном виде
Du'1
~ = uaVaufi =0,	(7.112)
где была введена ковариантная производная вдоль вектора иД, которая определяется равенством
(7.113)
При вычислении производной D/Ds от некоторого поля достаточно знать только значения поля на рассматриваемой кривой, поскольку иДдр = d/ds, а все слагаемые, которые содержат символы Кристоффеля, зависят только от значения поля в рассматриваемой точке.
Важно отметить, что при выводе уравнений движения сразу полагать т = $ в действии (7.109) нельзя, поскольку в этом случае скорости xfl будут удовлетворять условию связи
dx*' d:.T .	, ..
=1 (7114) и не будут являться независимыми.
12"
356
Гл. 7. Гравитация
Действие (7.109) не применимо для описания движения безмассовых частиц. Поэтому удобно использовать несколько другой способ описания движения релятивистской частицы, в рамках которого вводится новая переменная А(т), а действие записывается следующим образом:
д^х^х1' + Ат2).	(7.115)
При т ф 0 действие (7.115) оказывается эквивалентным действию (7.109) благодаря уравнению движения для переменной А
— Х2т2.	(7.116)
Оставшиеся уравнения движения, соответствующие переменным как показано в Задаче 3, могут быть записаны в виде
х» + V*„xaxp = ±м4-ЬА.	(7.117)
ар	ат
Принимая во внимание, что, как показано в Задаче 4, действие (7.115) является инвариантным относительно преобразований
А(т) - А'(т),
причем
причем
dr
dr' ’
(7.118)
dL
Pp=W = ~mg^x ,
при m 0 параметр т можно подобрать таким образом, чтобы положить А = 1 /т. При таком выборе обобщенный импульс, соответствующий координате эТ, окажется равным
(7.119)
а уравнения движения (7.116) и (7.117) сведутся к уравнению (7.110).
В отличие от действия (7.109), действие (7.115) также применимо и для безмассовых частиц. В случае т = 0 уже нельзя выбрать калибровку А = 1 /т, однако, удобно положить А равной некоторой постоянной. Тогда вектор касательной к траектории x/J = dx)l/dr в силу уравнений (7.116) и (7.117) будет удовлетворять системе
d.x'1 dx dr dr
(7.120)
d2xIJ уц dxa dx3 _ dr2	dr dr
7.3. Движение классической частицы в искривленном пространстве 357
которая определяет т.н. изотропные геодезические. Как и для массивных частиц, второе уравнение системы (7.120) можно записать в виде
d-ra dr'1
=0.	(7.121)
dr dr
Однако для безмассовых частиц, в отличие от массивного случая, описываемого уравнением (7.110), бесконечно малая разность значений параметра т, задающего траекторию, уже не совпадает с бесконечно малым инвариантным интервалом ds.
В случае, если частица имеет электрический заряд q, ее движение будет описываться действием
S = —т
х^ху
-q I dx11
(7.122)
или, эквивалентно,
S= -
-д^х^х" + Ат2
d.TX11 Аи. р
(7.123)
Несложно проверить (Задача 4), что это действие также является инвариантным относительно преобразований (7.118) (поле Afl при этом остается неизменным). Как следствие, при наличии электромагнитного поля так же, как и ранее, можно накладывать условие А = l/т. В Задаче 5 показано, что тогда уравнения движения могут быть записаны в виде
пич
т^- - qF^uu = 0.
Ids
(7.124)
В Задаче 6 показано, что тензор энергии-импульса частицы, описываемой действием (7.122), вычисленный по формуле (6.340), оказывается равным
0^(я:) = -^ [dT6Xx-x(T))	.
^9 J	у/дазхах9
(7.125)
При этом, если выбрать в качестве параметра т на мировой линии время t, то это выражение можно эквивалентно переписать в виде
0^(ж) =
т хЗ/	х х
-= <Г(х - х(/)) -------^=.
9	\/дархахв
(7.126)
Задачи
1. Построить уравнения движения, соответствующие действию (7.109).
358
Гл. 7. Гравитация
Уравнения движения для действия
S =-т j gfll,xi1x‘'	(7.127)
представляют собой обычные уравнения Лагранжа, поскольку параметр т считается произвольным и величины хр являются независимыми:
<7 / ЭЛ \ _ c)L
J дхр ~ '
При этом входящие в эти уравнения производные равны
(7.128)
dL		OL	
dx11	.	 Qiit/X , /	• - • A	dx11	.	 ^/.igad X X
	yjg-.ix-xr		9-.6X :x°
(7.129)
а в силу определения символов Кристоффеля (6.80)
“• /	• г/ \	1 н	• а • 3	"i/ п • о • 1/	1 п	. <у • 3
т\9к^ --д^дсизх х = д^х -d(Xgtl„x х --д^д^-зх х =
= g,iV{xv +	(7.130)
2-	(д^хух6^ = dvg-,6 хПГх6 + 2g-^xyx’ = 2gySxy (x5 Vsapxaxp^.
(7.131)
С учетом этих равенств после несложных преобразований уравнения Лагранжа для модели (7.109) принимают следующий вид:
(дуб xyxs gfU, - д1Пху д^х*^ (xv + l^e'x01^ = 0.	(7.132)
Поскольку величина (ду/> хух6 gpl, - др-,ху д^ху^ представляет собой поперечный проектор, то уравнение (7.132) оказывается эквивалентным уравнению
г1~т^	d га d г^
^Л—г;;а j- j- =/ихз	(7.1зз)
dr	ат dr
где /(т) — произвольная функция. Умножая равенство (7.133) на gllvxv и принимая во внимание тождество (7.131), функцию f можно представить в виде
f=~—'ттщ, -щ	= 4 In J 	(7.134)
2g^^x^x° dr \	/ dr V
Если сделать замену переменных т —> т'(т), уравнение (7.133) перейдет в уравнение
fdr\2f(fxfl r/i dxadx3\ dr d2r \ dx^
\ТГт)	=	(7J35)
Можно попробовать подобрать функцию т\т) таким образом, чтобы правая часть этого уравнения была равна 0. Для этого очевидно необходимо, чтобы
f = -L ЗТ = A in —.	(7.136)
dr dr" <1т dr
7.3. Движение классической частицы в искривленном пространстве 359
Сравнивая это равенство с формулой (7.134), получаем, что dr'	, / dx*1 dx"	,
— = const Дд^-г т~ ,	(7.137)
dr	V dr dr
откуда следует, что правая часть уравнения (7.133) будет равна 0, если
г = const
х^х" = const  .9.
(7.138)
Поэтому, если положить в уравнениях Лагранжа т = s, они перепишутся в виде
г72х'‘	„ dxn dx3
ds2	113 ds ds
(7.139)
2.	Убедиться, что уравнение (7.112) совпадает с уравнением геодезических (7.110).
В силу определения ковариантной производной левая часть уравнения (7.112) может быть представлена в виде
dxa _ d:r'J _ dxa ( д / dx'1 \ dx3 \ _ d2xp dxu dx3 ds п ds ds I dxa k ds / ds ] ds2 "3 ds ds
(7.140)
и совпадает с левой частью уравнения (7.110).
3.	Построить уравнения движения, соответствующие действию (7.115).
Поскольку действие
S=~\ I dr^g^xd'x' + Xm2j	(7.141)
не содержит производных от переменной А, то соответствующее уравнение движения получается просто дифференцированием функции Лагранжа по А:
-д^х^х' + Х2т2 = 0.	(7.142)
Уравнения движения, соответствующие координатам xllt представляют собой обычные уравнения Лагранжа, причем
77777 = ~\9^х \	х; ,	(7.143)
дх* A	дх* 2А
откуда следует, что
±дд -±i)ligapxaxs =0.	(7.144)
ат \ А / 2А
С учетом равенства (7.130) это уравнение тождественно переписывается в виде
-Г'^хпх3 = х,1~- In А.	(7.145)
’	(1т
360
Гл. 7. Гравитация
4.	Доказать, что действия (7.115) и (7.123) являются инвариантными относительно преобразований (7.118).
Заменим в любом из рассматриваемых действий зЛ(т) и А(т) на х'р(т) и А'(т) соответственно, а затем от интегрирования по т перейдем к интегрированию по г', меняя соответствующим образом область интегрирования (см. Часть 2.3.1). После этого воспользуемся формулами (7.118), из которых следует, что
dx'11 dxIJ' dr	.dr , ,	, dr'	ZT1.C,
; A(r) = Ar—;	dr =dT--.	(7.146)
ат dr dr	dr	dr
В результате получаем, что действие (7.115) будет меняться по закону
Аналогичным образом доказывается инвариантность слагаемого, которое содержит электромагнитное поле:
(7.148)
5.	Построить уравнения движения для действия (7.123), если репарамет-ризационная инвариантность (7.118) зафиксирована условием А = 1/т.
Так же, как и в случае, рассмотренном в Задаче 3, при построении уравнений Лагранжа для координаты А получается условие gfiyx^xv = 1, благодаря чему параметр вдоль кривой будет совпадать с собственным временем: т = s. Таким образом, остается только построить уравнения Лагранжа для координат хГ, принимая во внимание, что
(7jLz	. ii £	(7Lx	ТП	' Ct • 3	• 1/	£	/ч л л г\х
—t = -тпд^х' - дЛм; — = - — д^давх xJ - qx dflAy. (7.149) dxfl	dx^ 2
Поэтому, повторяя рассуждения, приведенные в Задаче 3, уравнения движения запишутся в виде
° =	+ И* =	+	+ qxv(dyAll - d^A^ =
=	~ qxvFliy.	(7.150)
7.3. Движение классической частицы в искривленном пространстве 361
6.	Вычислить тензор энергии-импульса для точечной частицы массы т.
Продифференцируем действие (7.122) по метрике gk“'(x), принимая во внимание равенство
=	+9^а}б\х-у).	(7.151)
од [X) z \	/
(Знак «—» связан с тем, что у одного метрического тензора индексы верхние, а у другого — нижние, ср. с первым из равенств (6.347).) В результате получается, что
ем,(х)= Д А X ,	[ <1т5\х-х(тУ)	(7.152)
бд> И	V=g J	^давх-х3
Если в этом выражении положить т = х° = t (т.е. выбрать в качестве параметра на мировой линии время t), то интеграл может быть вычислен:
0^(ж) = ™ / dTs(t - т)<53(х - х(т)) , Х Х = 'J'<j '	\Jga3xax3
т хЗ/	X,lxt'	/-7, СОХ
= —г=ь (x.-x(t))—.		(7.153)
9	\]давхах3
7.3.2. Переход от полей к точечным частицам. Уравнения Матиссона-Папапетру.
В предыдущей части мы фактически постулировали некоторую функцию Лагранжа, с помощью которой описывается движение точечной частицы. Тем не менее, если мы хотим описать движение, например, электрона, то мы должны, вообще говоря, использовать описание с помощью спинорных полей, а не приведенное выше действие точечной частицы. Поэтому желательно установить, имеется ли какая-либо связь между двумя способами описания динамики частиц [7, 8].
В Части 2.4 мы уже установили связь между полями и волновыми функциями соответствующих частиц, которые представляют собой амплитуды вероятности обнаружить частицу в той или иной точке. Как правило, о точечной частице говорят в том случае, если ее волновая функция локализована вблизи некоторой точки пространства, причем размером области локализации можно пренебречь. Предположим, что такая ситуация имеет место для некоторой модели теории поля. Построим для этой модели симметризованный тензор энергии-импульса 0М,7. В Задаче 1 показано, что из закона его сохранения
= О
(7.154)
362
Гл. 7. Гравитация
(в предположении, что поля достаточно быстро убывают на бесконечности) можно получить цепочку равенств
и т.д. В частности, первое из них является обобщением закона сохранения энергии и импульса на случай искривленного пространства-времени.
Будем предполагать, что волновая функция частицы локализована вблизи некоторой точки х трехмерного пространства. Тогда вблизи точки локализации волновой функции символы Кристоффеля можно приближенно считать постоянными. Более строго,
х + у) = х) + у"	х) + ...,	(7.156)
где через у мы обозначаем отклонение координаты от точки локализации волновой функции. (Далее мы также будем полагать у° = 0.) Если символы Кристоффеля, например, в первом из равенств (7.155) заменяются на первый член разложения (7.156), то мы пренебрегаем слагаемыми вида
d3y\^g У1 0Л"(£,х + у).
(7.157)
Фактически предположение о локализации волновой функции означает, что чем большая степень у присутствует в подобных выражениях, тем более малой является соответствующая величина. При этом если через I обозначить характерный размер области, в которой локализована волновая функция, а через L — характерный размер, на котором существенно меняется величина символов Кристоффеля, то безразмерным малым параметром будет величина I/L С 1.
В Задаче 2 показано, что, если пренебрегать слагаемыми (7.157), а также всеми еще более малыми слагаемыми, то из первых двух уравнений системы (7.155) следует, что
dra dxe dt ds
(7.158)
7.3. Движение классической частицы в искривленном пространстве 363
где т — некоторая постоянная, а уравнение движения частицы записывается в виде
Du'1 _ d2x'1 . dxn dx3 ~D7 ~~	~ nr> d717
(7.159)
где 1 = dx11 /ds. При этом (Задача 2) тензор энергии-импульса 0М„ совпадает с выражением (7.126), полученным в предыдущей части, а уравнения движения представляют собой уравнения геодезической. Это фактически доказывает, что в рассматриваемом приближении движение частицы описывается действием (7.109). Тем самым устанавливается соответствие между теорией ноля и действием точечной части
цы.
Описанный метод построения уравнений движения позволяет также получить уравнения движения частицы, которая имеет не только массу, но и отличный от 0 момент импульса. Для этого необходимо рассмотреть слагаемые следующего порядка малости в уравнениях (7.155). Это сделано в Задаче 3. При этом мы пренебрегаем слагаемыми вида
d3yllj уУ<11	(7.160)
а также всеми слагаемыми с более высокими степенями у. Для того, чтобы записать цепочку уравнений (7.155) в таком приближении, удобно ввести следующие обозначения:
М1"' = / d3y Ц} 0^; Ма^ = / d3y Цд уп<Ц (7.161)
причем — 0, поскольку уп отличны от 0 только для пространственных компонент. Тогда полученные в Задаче 3 уравнения, которые следуют из цепочки (7.155), в рассматриваемом приближении можно записать в виде
А Л/мО = _иогм МаУ _
as		a>J
иаМ^ +	= u0Ma)1 -
as	pCT
иаМ^° + u3MafL° = и° (Ма^ -г М011а}.
(7.162)
В Задаче 4 показано, что Л4“/2" можно выразить через величину
Sn0 = I d3y J-g (yaQ00 - ^0°“)
(7.163)
равенством
Ма^ = 1 (±“^5''° -r xaxfiS00 + x3Sa>1 +	(7.164)
364
Гл. 7. Гравитация
С его помощью уравнения (7.162) переписываются в виде (Задача 5)
D /	„	DS110 \ , 1 а сву г>11 п
YT. [ти + и^~ТГ~1 +	«Л = °;
/--'О \	Л-У & /	£
(7.165)
(7.166)
где величина т определяется равенством
т — (Ма° + 1Г“ S^u^ua. V и0 '	/
Уравнения (7.165) называются уравнениями Матиссона-Папапетру [8, 9]. Первое из них в случае = 0 переходит в уравнение геодезической. Однако, если частица имеет отличный от 0 момент импульса, то она будет двигаться не по геодезической, а по некоторой более сложной кривой, которая задается этим уравнением.
Заметим также, что уравнения Матиссона-Папапетру очевидно являются ковариантными, если т — скаляр, a — тензор второго ранга. В этом можно убедиться и явным вычислением [8]. Сравнивая формулу (7.166) с равенством (7.158), принимая во внимание, что = 1, получаем, что величину т необходимо отождествить с массой частицы.
Систему уравнений Матиссона-Папапетру можно переписать в несколько иной форме:
dm м , DS>>V
Р' — тт + uv —-—;
Ds
+ u^Pv - и"Р^ = 0. Ds
(7.167)
Если пространство является плоским, то из второго уравнения следует, что величина Р*' является постоянной. Как следствие, третье равенство приводит к сохранению полного момента импульса
умм =	+	(7.168)
Однако в случае искривленного пространства-времени такой закон сохранения уже не будет иметь место.
Заметим, что система уравнений Матиссона-Папапетру не является полной. Действительно, неизвестными, относительно которых необходимо решать эту систему, являются вектор и1'- и антисимметричный тензор S^. На первый взгляд число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако при умножении второго уравнения системы (7.165) на uv получается тождество. Поэтому на самом деле
7.3. Движение классической частицы в искривленном пространстве 365
число уравнений оказывается на 3 меньше, чем число неизвестных, и нужно дополнить ее некоторыми дополнительными условиями. Необходимость добавления этих дополнительных условий к уравнениям Матиссона-Папапетру можно понять следующим образом. Поскольку волновая функция «размазана» по пространству, можно несколько сместить точку, вблизи которой она локализована. При этом, очевидно, изменится и угловой момент частицы, поскольку он измеряется относительно этой точки. Тем самым мы одновременно меняем как траекторию, так и угловой момент частицы. Существуют различные способы выбора дополнительных условий [10], например,
(7.169)
PUS^ =0 или = 0. и	и
Еще один вариант дополнительного условия получается, если считать, что векторы Р1' и пропорциональны [11]:
= const
(7.170)
Тогда из системы уравнений Матиссона-Папапетру и этого дополнительного условия следует, что DS^V/Ds — 0 и Р11 = благодаря чему интегралами движения будут Р2 = т2 и S2^.
В случае четырех измерений из Sa(} можно построить псевдовектор Паули-Любанского, который определен в Приложении А.6. В случае, если пространство-время является искривленным, его можно определить равенством
(7.171)
W» = --^=£^P„Sal).
Очевидно, что в силу этого определения он будет удовлетворять условию IVмРр, = 0. Если дополнительно накладывается условие (7.170), то в системе покоя частицы W1 будет пропорционален вектору момента импульса, вычисляемого относительно точки, в которой находится частица, а его нулевая компонента будет равна 0.
Задачи
1.	Доказать, что из закона сохранения симметризованного тензора энергии-импульса следует цепочка уравнений (7.155).
Закон сохранения симметризованного тензора-энергии импульса записывается в виде
0 =	= др®" + Г^0а" + Г^0^п.	(7.172)
Используя определение символов Кристоффеля, а также формулу (6.88), это равенство можно эквивалентно переписать в виде
0 = ^(У=?	+ V=g Г^-)^.
(7.173)
/
366
Гл. 7. Гравитация
Если проинтегрировать его по трехмерному пространству, которое соответствует t = const, предполагая, что все поля достаточно быстро убывают на пространственной бесконечности, мы приходим к первой из формул (7.155).
Из тождества (7.173) также следуют равенства
О -	xnx3Q^1') - у/ГГд xnQJv -
-\/~д x3Qnl' + хпх3Г/п
(7.174)
и т.д. Интегрируя их по трехмерному пространству, получаем остальные формулы системы (7.155).
2.	Получить уравнения движения для частицы в гравитационном поле, пренебрегая слагаемыми (7.157).
В рассматриваемом приближении первые два уравнения системы (7.155) записываются в виде
I d3y^ е,Л - -Г^(х) У d3y^-g 0'/о;
fd3y^&»0 + xn± [d3y^g 0М° = at J	at j
= I d3У v'-g 0“M - J d3y 6CT₽,	(7.175)
причем аргументами всех 0M„ является х + у. Благодаря этим равенствам в рассматриваемом приближении все остальные будут выполняться тождественно. Умножая первое из полученных равенств на ха и вычитая результат из второго, получаем, что
[	I	= df dst [d3y^g^°, (7.176)
J	dt J	as dt J
где, как обычно, ds~ = g^(x)dxdidx1'. Как следствие, в силу симметрии левой части этого равенства по индексам а и д, имеет место тождество
I diyyrgQaft = mf-dx" dx"	(7.177)
J	as at at
где rn ~ некоторый коэффициент пропорциональности. Если считать, что тензор энергии-импульса отличен от 0 только в очень малой окрестности точки х, это равенство можно переписать как
е^(х) = -^=33(х - х(р) ---ХУ'-(7.178) yjgaeiax^
где хГ = dxf /dt. Это выражение совпадает с тензором энергии-импульса точечной частицы (7.126), полученным в Части 7.3.1. Оно будет преобразовываться по тензорному закону, если величина т — некоторая постоянная,
7.3. Движение классической частицы в искривленном пространстве 367
поскольку тогда лагранжиан точечной частицы будет инвариантен относительно общекоординатных преобразований.
Подставляя равенство (7.177) в первое из уравнений (7.175), получаем, что уравнение движения частицы будет записываться в виде
или, эквивалентно,
d dx1'	dxr dt ds	п3 dt	» dx3 -- 0 ds	(7.179)
d2xp _д dxa ds2 + a0 ds	— = 0. ds	(7.180)
Это и означает, что частица движется по геодезической.
3.	Записать уравнения (7.155), считая, что волновая функция локализована вблизи некоторой точки х и пренебрегая слагаемыми вида
f d3У V~9 У У3
(7.181)
Используя обозначения (7.161), из первого уравнения системы (7.155) в рассматриваемом приближении получим, что
- д^а0М,'п‘0.	(7.182)
Умножая его на и0 — dt/ds, приходим к первому уравнению системы (7.162). Аналогичным образом из второго уравнения следует равенство
 а,,ио ndWa dMop0
х Мр" + х----------1-----=
dt dt
= Мар - xaVp„Mpa - хадвГраМара - ГраМар,Т, (7.183)
где ха = dx"/dt. Используя уравнение (7.182), его можно переписать в виде
„ ЛМа11°
хаМр0 + - ---- = Мар - ГрМпра.	(7.184)
dt
Отсюда следует второе уравнение системы (7.162). Третье уравнение системы (7.155) можно исследовать аналогичным образом. В результате получается равенство
хаМзр0 + х3Мар0 = Мар3 + М’зра.	(7.185)
Таким образом, в рассматриваемом приближении система уравнений (7.155) сводится к уравнениям (7.182), (7.184) и (7.185).
4.	Установить связь между величиной Мпрл', определенной формулой (7.161) и тензором спина 8ав — МаОЯ - МЯОа.
Будем исходить из третьего уравнения системы (7.162):
Мавр + Мап>1 = хпМ0рО + хвМ"р0,	(7.186)
368
Гл. 7. Гравитация
где точкой, как обычно, обозначается производная по времени. Запишем то же самое равенство, обозначая его индексы другими буквами и учитывая симметрию тензора М',р1' по последним двум индексам:
Д/'Ч'ЗО'	м9а0 _|_ х0 Мра0.
(7.187)
Если сложить первое равенство со вторым и вычесть из них третье, то получается, что
= l_(x«M!W + x0Sap + хаМр0° +	(7.188)
Как следствие (в силу равенства М0'1" = 0),
Мп0° = ~ (хаМ300 + x0SaO + Sney Ма0° = 8а0.	(7.189)
Подставляя эти равенства обратно в формулу (7.188), окончательно получаем, что
Ма0° = l- (inS'5° + Xе Sa0 - Sn^;
Ма0р = (хах08ро + xaxpS00 +	+ хр8п0^.
(7.190)
5.	С помощью уравнений (7.162) построить уравнения, описывающие динамику частицы, которая имеет отличный от 0 момент импульса.
Рассмотрим вначале второе уравнение (7.162)
г^ЛД'0 +	= и°мар _ и°[^ама(,а	(7.191)
ds
и решим его относительно Мп0. Для этого вначале положим в этом уравнении /1 = 0. Тогда
иаМ°° + ^- = и°Мп0-и°Г°Мпра.	(7.192)
ds
Подставляя выражение для Мара, которое было получено в предыдущей задаче, и используя определение производной D/Ds (формула (7.113)), переписываем это равенство в виде
+ DS^ _ uSY^s^ = u0MM _ J_r^uaupsa0 (7 193)
Удобно определить величину
т = (ЛГ° +	(7.194)
7.3. Движение классической частицы в искривленном пространстве 369
С помощью предыдущего уравнения ее можно связать с М°° и
М00 = и°т - ua—Sa0 - 1г° upSa0.	(7.195)
Ds uu
Подставляя это в (7.193), находим Л/”°:
,,ао а и3 0 ипиу DS~'° . 1 DSn0 .7]Q„.
Эта величина, в свою очередь, подставляется в уравнение (7.184), из которого (с использованием формулы (7.190) и ряда несложных преобразований) следует, что
Ма3 = Д [ипМ30 + —+ Г3 Мара = ии L	ds J
- 1 Г,,%а	- V0} 4- — — Ч30 4- 1 — Sao 4- г3 S’00') -
"Я I «ОД/	+2d,AX5 +' Л J
+ r^sSn" + 12r'^SaP +	(7.197)
Поскольку в силу симметрии тензора энергии-импульса 0“;3 имеет место равенство Мп0 = М3а, то, как следствие,
0 = и
DS30 в DSa0 о DSa
-------и----------1- и ----
Ds	Ds	Ds
(7.198)
Умножая это уравнение на up, можно переписать его в виде
№ Ds
= и^и
DSp0 о DSap
-------ч V...U ----
Ds ' Ds
(7.199)
Если подставить это равенство обратно в формулу (7.198), то получается уравнение, которое описывает движение спина в гравитационном поле:
Поэтому часть:
в
ПЯа3 ПЧ“4
0 = иаир^— - и'1ив^— +	(7.200)
Ds	Ds Ds
правой части равенства (7.197) остается только симметричная
(7.201)
Воспользуемся теперь уравнением (7.182), которое после несложных пре-
образований может быть переписано как
s Н - w+—гь К”’ („ - 5	+
I	। p# „ 67 QaP । U	"I п р/у / W с<о0 । а
+-^S )+i^s +-_+u s ).
(7.202)
370
Гл. 7. Гравитация
Можно заметить, что ряд слагаемых в этом выражении взаимно сокращается, в результате чего получается равенство
+«n^5d0] — даГ^вип Sa,j.	(7.203)
С помощью формулы (7.198) его можно свести к уравнению
S (U"m +	+ г/> 1 «’ № + D~sS^ =
= -(ддГ^ + Г^Г^)^7,	(7.204)
которое переписывается в ковариантном виде
R-(u^m + up!^-} = ~1-П'1пв.иаЗ''\	(7.205)
Us \	Us /	2
7.4. Ньютоновский предел в общей теории относительности
теорией которым
(7.206)
Теория гравитации, которая была описана ранее, существенно отличается от нерелятивистского описания гравитационного взаимодействия. Поэтому необходимо установить соответствие между гравитации Эйнштейна и законом Ньютона, в соответствии с точечные массы т и М притягиваются друг к другу с силой
т, GmMr
F=“~~
Более удобно сформулировать ньютоновскую теорию гравитации следующим образом. Тела создают гравитационный потенциал ip, удовлетворяющий уравнению
d2y? = 4ttG>,	(7.207)
где р — плотность массы. Под действием этого потенциала тела движутся в соответствии с уравнением
d2r п
т—„ = —тар), dt1
(7.208)
которое может быть получено минимизацией действия
(7.209)
7.4. Ньютоновский предел в общей теории относительности 371
В частности, если источником поля является точечная масса Л/, помещенная в начало координат, то p(r) = MJ3(r), и решением уравнения (7.207) является функция
(/?=_£Л/.	(7.210)
г
Получим теперь эти результаты, исходя из теории гравитации Эйнштейна. Для этого рассмотрим вначале действие релятивистской частицы в искривленном пространстве, которое было выписано в Части 7.3.1. Выбирая в качестве параметра па мировой линии .т° = t, записываем его в виде
S =-т f	-, причем = (1, v).	(7.211)
I	У	Cv(- (.LI'
Будем считать, что компоненты скорости являются малыми, т.е. vl < 1, а метрический тензор д^ приближенно равен метрике Минковского Тогда можно разложить действие но малым параметрам и hfiv — gfiv — rjllv. В Задаче 1 показано, что если представить компоненту метрического тензора goo в виде
goo = 1 +	(7.212)
то в низшем приближении действие релятивистской частицы запишется в виде
S ~ у dt^- т + ^тх2 - тр).	(7.213)
Сравнивая формулы (7.213) и (7.209), мы можем сделать вывод о том, что величину у? можно интерпретировать как потенциал гравитационного поля. При этом действие для релятивистской частицы (7.211) в ньютоновском пределе сводится к выражению (7.213), и, следовательно, уравнения геодезических, которые получаются при его варьировании, в пределе малых скоростей и малых отклонений метрики от метрики Минковского должны перейти в уравнения (7.208). Это утверждение проверено в Задаче 2 явным вычислением.
Убедимся теперь, что потенциал у? в рассматриваемом пределе удовлетворяет уравнению (7.207). Для этого вспомним, что потенциал (/? связан с компонентной goo, а метрический тензор в общей теории относительности определяется из уравнений Эйнштейна
R^ - \g^R =	(7.214)
Поэтому необходимо доказать, что если скорости малы, а метрика незначительно отличается от метрики Минковского, то из уравнений Эйнштейна получается уравнение (7.207). Это утверждение проверено
372
Гл. 7. Гравитация
в Задаче 3. Таким образом, теория гравитации Эйнштейна в рассматриваемом пределе действительно сводится к теории гравитации Ньютона. Как следствие, на больших расстояниях от тела массы М компонента гравитационного поля дт может быть приближенно записана в виде
.	2GM
,9оо ~ 1----—
(7.215)
В Задаче 3 также показано, что если гравитационное поле создается некоторым статическим распределением масс, находящихся в ограниченной области пространства, то на больших расстояниях от этих масс гравитационное поле можно записать в виде
9ци —
(7.216)
где (при г оо)
hoo =------hOi = 0; hi, =--------------------—6^ +	(7.217)
где & — произвольные функции.
Задачи
1, Разложить действие для релятивистской частицы в ряд по малым скоростям и малым отклонениям метрики от метрики Минковского с точностью до членов первого порядка малости.
Представим квадрат интервала следующим образом:
ds2
= dt^g^
dx1' dx" dt dt
= dt2 (goo + 2доГ>г + g^v3
(7.218)
При этом индексы i и j меняются от 1 до 3, а через г? = dx1/dt обозначены компоненты обычной скорости. Поэтому (учитывая, что goo = 1 + 2у> и считая произведение доГ1-1’ величиной более высокого порядка малости, чем д> или v2) в пределе, когда скорости малы, а метрика незначительно отличается от метрики Минковского, действие релятивистской частицы в искривленном пространстве-времени приближенно записывается в виде
S = — т
dx1' dx" dt dt
= —m
1 -+- 2g> — v2 + ...
(7.219)
где тремя точками обозначены члены более высокого порядка малости. Раскладывая корень в окрестности 1, получаем, что
S
mv2
-т+-г
(7.220)
2. Доказать, что если скорости малы, а метрика незначительно отличается
от метрики Минковского, то уравнения геодезических сводятся к уравнениям
7.4. Ньютоновский предел в общей теории относительности 373
движения точечной частицы под действием ньютоновского гравитационного поля.
Как было показано в Части 7.3.1, уравнения геодезических записываются в виде
+ i^.3uaue = 0, где	(7.221)
as '	as
есть четырехвектор скорости. В случае, если пространственные компоненты обычной скорости vl являются малыми, то, как было показано в предыдущей задаче, ds « dt и, следовательно, нулевая компонента четырехскорости и0 приближенно равна 1, а пространственные компоненты приближенно равны v\ Кроме того, учтем, что величина
Гоо « | dohm	(7.222)
имеет более высокий порядок малости, чем /гоо- Такими величинами мы пренебрегаем. Поэтому в низшем приближении нулевая компонента уравнения геодезических выполняется тождественно. Пространственные компоненты уравнения геодезических в рассматриваемом приближении можно записать в виде
+ По = 0,	(7.223)
at
причем
Гоо (2a>/zOj-dj/гоо).	(7.224)
Поскольку производная по времени от малой величины hoj есть величина более высокого порядка малости, rf3 = —8ij, а /гоо = 2у>, то
Гоо « dtp.	(7.225)
Подставляя это выражение в уравнение (7.223), получаем второй закон Ньютона
= -др.	(7.226)
3. Убедиться, что если скорости малы, а метрика незначительно отличается от метрики Минковского, то из уравнений Эйнштейна получается уравнение (7.207). Найти гравитационное поле, создаваемое ограниченной статической системой масс, вдали от нее.
В пределе малых скоростей компонента тензора энергии-импульса ©оо значительно превышает все другие компоненты тензора энергии импульса, которые будут пропорциональны пространственным компонентам скорости. При этом
©оо = Р-
(7.227)
374
Гл. 7. Гравитация
Используя полученную в Части 7.2.1 формулу для тензора Риччи в низшем порядке по малому отклонению метрики от метрики Минковского
~	+ (Ш/ - dxdxh^ - d^dyhx^	(7.228)
и считая, что производные по я0 равны 0, записываем компоненты тензора Риччи в виде
Доо ~ 2	До; ~ g (&khoi ~ (hdkhokj;
Rij ~	- dtdj(hoo + hkk') Okdthjk - dkdjhik^. (7.229)
(Индексы i,j.k меняются от 1 до 3.) Подставляя эти выражения в уравнения Эйнштейна
Д,„ = 8тгС0,^ - 47rG0„a.g,,„	(7.230)
учитывая, что hoo = 2 у: и считая, что у 0р1/ отлична от 0 только компонента 0оо = р, получим систему уравнений
dkip = AirGp;
Ok ho, ~ d,dkhOk - 0;
d2khi3 - didj(2p + hkk) dkdthjk - dkdjhik = 8i,Gp6,j. (7.231)
Из этой системы видно, что поле действительно удовлетворяет уравнению (7.207). Оставшиеся уравнения этой системы определяют поля ho, и h,j в рассматриваемом приближении.
Если гравитационное поле создается некоторой статической системой масс, то на больших расстояниях от нее метрика незначительно отличается от метрики Минковского, а систему можно приближенно считать сферически симметричной. Тогда решением первого уравнения будет
а решением второго — hot = 0. Для того чтобы решить последнее уравнение, заметим, что на больших расстояниях от источников в силу сферической симметрии
h,j = a(r)6,j -г b(r)xi.tj,	(7.233)
где а(г) и Ъ(г) — некоторые функции. Кроме того, несложно убедиться, что если hij — некоторое решение, то решением также будет и величина
h,3 + д£3 + д^„	(7.234)
где — произвольная функция. Если выбрать эту функцию в виде £, = ^(г)а;г, где 2£'(г)/г = ~Ъ(т), то можно занулить члены, пропорциональные х,х3. Поэтому без ограничения общности можно считать, что
hij = а(г)6г3
(7.235)
7.5. Гравитационное красное смещение	375
В этом случае уравнение для h>j перепишется в виде
Sijdla - djdj(2p — За) - 2didja = &itGp8ij	(7.236)
и будет иметь решение
2MG	/7 9471
а = 2<р =-------.	(7.237)
г
7.5. Гравитационное красное смещение
Рассмотрим гравитационное поле, создаваемое неподвижным распределением масс. Такое гравитационное поле мы будем называть статическим. Оно, очевидно, не зависит от координаты х°. Кроме того, поскольку в статическом случае при преобразовании х° —> — х° система масс, создающих поле, никак не изменится, то не изменится и квадрат интервала
ds2 = g^dx^dx1'.	(7.238)
Это, в свою очередь, означает, что — 0.
Важно заметить, что гравитационное поле, которое не зависит от координаты а?0, возникает не только в случае статического распределения масс, но и при их стационарном движении. Соответствующее постоянное гравитационное поле мы будем называть стационарным. Так же, как и в случае статического поля, в стационарном случае метрика не зависит от координаты т°, однако, теперь уже нет инвариантности х° — ,т°, поскольку такое преобразование меняет знаки скоростей. Как следствие для стационарного поля дщ ± 0.
Исследуем теперь уравнение движения для какого-либо поля (скалярного, спинорного, электромагнитного и т.п.) в статическом гравитационном поле. В качестве примера рассмотрим случай скалярного поля, для всех остальных полей результат будет тем же самым. В соответствии с результатами Части 6.2, скалярное поле удовлетворяет уравнению
- 0.	(7.239)
Поскольку коэффициенты этого уравнения не зависят от координаты .г°, его решение можно записать в виде
ф — охр ( — шох0 + if(x‘)'),	(7.240)
где f(xl) — некоторая функция пространственных координат.
Рассмотрим теперь процесс приема сигнала. В точке, где находится приемник, введем локально инерциальную систему координат (i, х, y,z), в которой он неподвижен. Тогда в точке приема сигнала метрический тензор равен метрике пространства Минковского, а локально
376
Гл. 7. Гоавитация
лоренцевы пространственные координаты приемника являются постоянными: dx = dy — dz = 0. Интервал времени между двумя событиями, которые фиксируется таким приемником, будет равен изменению временной локально инерциальной координаты dt. Заметим, что это изменение равно инвариантному интервалу между этими событиями:
ds = \/dt2 - dx2 - dy2 - dz2 = dt.	(7.241)
Выразим теперь эту величину через исходные координаты аЛ Пусть гравитационное поле и координаты приемника не зависит от х°. Тогда
ds = \	dx° = dx°-	(7-242)
V dx dx
Это означает, что частота принимаемого света окажется равной
w =	=	(7.243)
as	ds dxJ ^9оо
Следовательно, частота принимаемого света в стационарном гравитационном поле иг оказывается зависимой от величины goo- Если гравитационное поле является слабым, то, поскольку <?оо = 1 + 2у?,
~ то(1 — •/’г),	(7.244)
причем в соответствии с результатами Части 7.4, с рассматриваемой точностью равно ньютоновскому гравитационному потенциалу в точке, где находится приемник.
Процесс излучения сигнала рассматривается полностью аналогично: частота излучаемого сигнала оказывается равной
w, =	~^'о(1 -v’i),	(7.245)
\/Уоо
где у?] — гравитационный потенциал в точке, где находится излучатель. Таким образом, разница между частотой принятого и излученного сигналов оказывается равной
Дш = (л^2 — U?i — (Цд(у?[ — Г?)'	(7.246)
Принимая во внимание, что у? < 0, получаем, что если, скажем, массивная звезда излучает фотоны некоторой частоты, то при приеме этих фотонов на Земле, в более слабом гравитационном поле, их частота окажется несколько меньше. Другими словами, спектральные линии сдвинутся в сторону красной линии спектра. Такое явление называется гравитационным красным смещением.
Формула (7.246) имеет простую интерпретацию: поскольку энергия фотона в отсутствие поля равна ш, то, предполагая, что для фотона
7.5. Гравитационное красное смещение
377
справедлив ньютоновский закон тяготения с т = ш, полная энергия фотона в гравитационном поле оказывается постоянной:
uj + илр = const.	(7.247)
(В рассматриваемом приближении величину ш можно заменить на шц)-В Задаче величина относительного гравитационного красного смещения вычислена для фотона, который был испущен на Солнце и принят на Земле и показано, что в этом случае Aw/wq к 2, 1 • 10-6.
В случае, если гравитационное поле зависит от х° или приемник и источник движутся друг относительно друга, проведенные выше рассуждения можно обобщить следующим образом. Допустим, имеется некоторая система координат xIJ. Тогда можно построить вектор
к^ = 1д^1пф.	(7.248)
В локально лоренцевой системе отсчета, связанной с приемником, координаты этого вектора будут равны
ка = е^к»,	(7.249)
где еам — поле тетрады (см. часть 6.3). Именно эти величины ка и измеряются приемником. В частности, если гравитационное поле является статическим и приемник неподвижен относительно масс, создающих поле, то из формул	— 1 и ео^е^д^ — 0 следует,
что
еом - (1/^,0,0,0).	(7.250)
Поэтому в соответствии с равенством (7.249) измеряемая частота действительно оказывается равной ^о/д/доо-
Задача
Вычислить Дщ/wq для фотона, который был испущен на Солнце, а затем детектирован на Земле.
Принимая во внимание, что ньютоновский гравитационный потенциал записывается в виде
величину красного смещения в системе единиц СИ можно записать в виде = (7252) сдо с2 у Яс Я.з I
При этом массы Солнца и Земли равны соответственно М? = 1,990- 1О30 кг и Мз = 5,973 • 1024 кг, а их радиусы: Rc = 6,96  108м и 7?3 = 6,37  106м. Квадрат скорости света с2 был добавлен в формулу для красного смещения
378
Гл. 7. Гравитация
для того, чтобы результат был бы безразмерен в системе единиц СИ, где h 1 ис^ 1. Учитывая, что
6 = 6,673-10~"м3/(кг-с2); с = 2,998-108 м/с,	(7.253)
мы получаем, что величина красного смещения равна
Aw _ 6,67- Ю"11 м3/(кг  с2) / 1,99- 1Озокг _ 5,97- Ю24 кг \ _
(3 оо . ю8 м/с)2	\ 6, 96-108м	6,37  106м J
= 2,1  10“6 - 6,9 • 10 10 = 2, 1 • 10“6.	(7.254)
7.6. Излучение гравитационных волн
Найдем теперь решение уравнений Эйнштейна в приближении слабого гравитационного поля при наличии источников. Используя разложение величины R.fi„ — gtlvR/2 по слабому отклонению метрического тензора от метрики Минковского, которое было получено в Части 6.6, несложно убедиться, что в низшем порядке по уравнения движения для гравитационного поля могут быть записаны как
dfidnh„a + dvdnhlia - dtldvh - д2К^ - gllv{dad3ha0 - d2h^ =
= 16ttG0^.	(7.255)
В калибровке
2dvh,lv - dtlh = 0	(7.256)
эти уравнения существенно упрощаются и имеют следующий вид:
= -16ttG0m!/.	(7.257)
Решение этих уравнений можно найти с помощью преобразования Фурье, повторяя рассуждения, проведенные в Части 1.4 для уравнений Максвелла. Результат имеет следующий вид:
/'-/пЛ-т) -	= - 16тгС J (I4у GrefU -	(7.258)
где GrPt — запаздывающая функция Грина, выражение для которой дается формулой (1.53). После ее подстановки выражение для -— ?7/пЛг/2 будет даваться формулой для запаздывающего потенциала:
/г^(/.,х) -	= - I d3y —Q^t - |х - у|,у). (7.259)
J I У;
7.6. Излучение гравитационных волн
379
(Из этого равенства можно легко получить выражение для h^, однако, мы сделаем это несколько позже.)
Решение в виде запаздывающих потенциалов неудобно из-за наличия сложного интегрирования. Поэтому так же, как и при исследовании излучения электромагнитных волн, удобно использовать разложение по мультиполям. Напомним, что в случае электромагнитных волн наибольший вклад соответствовал электрическому дипольному излучению. Однако, как показано Задаче 1, для гравитационных волн дипольное излучение отсутствует благодаря закону сохранения энергии-импульса:
d3ye0l, = Pfl.	(7.260)
В Задаче 1 также установлено, что в низшем порядке мультинольного разложения решение (7.259) принимает следующий вид:
hoo - ^r/00h = - ninj№ J d3yGOo(i x, y) ylyj;
ho, ~ ^riOih = п^- I d3yQ00(t - х.,у)угу3', = I d3yQm(t-x,y)yly3. (7.261)
При этом точкой обозначена частная производная по времени t, а п = х/r (где г = |х|) — единичный вектор, направленный из точки, где находятся источники гравитационного поля, в точку, где детектируется гравитационная волна. Другими словами, вектор п указывает направление распространения электромагнитной волны. В Задаче 2 проверено, что выражение (7.261) удовлетворяет калибровочному условию (7.256) с точностью до членов, убывающих как 1 /г2 и быстрее.
Важно заметить (Задача 3), что все калибровочно инвариантные величины, которые строятся из полей h^, на самом деле будут зависеть только от бесследового тензора
Qij(i ~ Н = У d3yp(t - г, у) Q>yly3 - д^у2),	(7.262)
где через р = 0оо обозначена плотность .массы. Величина Q-,j, очевидно, представляет собой квадрупольный момент распределения масс, создающих гравитационное ноле. В Задаче 3 показано, что с точностью до некоторого калибровочного преобразования поле hfllJ может быть выражено через Qij следующим образом:
G 	2G
^00 о-dljQ ij i	IpQij»
О'Г '	oT
Ь-ij	+ Sij Tl faTllQ •
(7.263)
380
Гл. 7. Гоавитация
Заметим, что это выражение является решением волнового уравнения только в пределе г ос. Для случая произвольных значений координат (вне источников) решение записывается в виде (Задача 4)
Лоо = — did-j(—Qij^\	hoi —
Ьг3 = ~^Qij ~	(7.264)
При этом в пределе г —♦ ос оно, очевидно, переходит в (7.263). В Задаче 4 показано, что решение (7.264) также удовлетворяет калибровочному условию (7.256).
Для того чтобы найти поток энергии, который переносится гравитационной волной, мы вычислим псевдотензор энергии-импульса (7.62), усредненный по времени. (Все остальные слагаемые в псевдотензоре энергии-импульса будут намного меньше, и мы будем ими пренебрегать.) При этом будем предполагать, что квадрупольный момент меняется с течением времени периодически, с частотой ш. Заметим, что при усреднении по времени исчезнут все слагаемые, которые являются полными производными, поскольку отличный от 0 вклад будет возникать только в том случае, если усредняемое слагаемое не пропорционально е-гДиД где Дш / 0. Так как tlil> квадратичен по полю Л, то такая ситуация возникает только если одно из этих полей пропорционально е~ы(+шпхг а другое — е1Щ<-гшпх. (Другой зависимости от пространственных координат быть не может, поскольку волна распространяется вдоль вектора п.) Поэтому при усреднении по времени исчезает зависимость экспоненты от всех координат, и при дифференцировании по любой из них получается нулевой результат. (Вообще говоря, нужно также дифференцировать и множитель 1/г2, однако, при этом возникают члены, которые быстро убывают на бесконечности и не дают вклада в поток энергии на больших расстояниях.)
Таким образом, для вычисления потока энергии, который переносится гравитационной волной, необходимо подставить выражения для слабого поля h^, которое дается формулами (7.263), в компоненты Qi псевдотензора
\2dvhaadl‘hae - duhd'lh -
64тгО L
(2(^W - (O)2}] + .... (7.265)
где многоточием обозначены слагаемые, которые дают 0 при усреднение по времени, а также члены более высокого порядка по h. Поток энергии при этом будет представлять модуль получившегося трехмерного вектора. Он вычислен в Задаче 5. В результате получено,
7.6. Излучение гравитационных волн
381
что поток энергии, который излучается в элемент телесного угла dQ,, оказывается равным
dl =	+	(7.266)
Полная интенсивность излучения получается после интегрирования этого выражения по dfl, которое также выполнено в Задаче 5:
(7.267)
Эта величина оказывается очень малой во-первых, из-за малости гравитационной постоянной, а во-вторых, из-за того, что ведущее слагаемое в мультипольном разложении оказалось равным 0 благодаря закону сохранения тензора энергии-импульса. Также гравитационное излучение приводит и к изменению момента импульса системы J. В Задаче 6 показано, что
= -eiab^Qa3Qbj.	(7.268)
Несмотря на то, что в прямых экспериментах гравитационные волны пока еще не были детектированы, в настоящее время существование гравитационного излучения подтверждено косвенными экспериментальными данными [12]. Они были получены при анализе пульсаров в двойных системах, например, пульсара Халсе-Тейлора PSR 1913+16. Пульсары испускают периодические импульсы на различных частотах, с периодом от 0,0015 до 8 с, и представляют собой нейтронные звезды, которые с огромной скоростью вращаются вокруг своей оси. На основе анализа этих импульсов было установлено, что пульсар Халсе-Тейлора состоит из двух звезд. Одна из них — пульсар, а вторая звезда также является нейтронной. При этом расстояние между звездами очень мало. Поэтому гравитационное излучение в этой системе оказывается очень сильным и приводит к заметным потерям энергии. Как следствие, обе звезды сближаются, а период вращения системы уменьшается. Экспериментально установлено, что для системы PSR 1913+16
~ = -2,4056 + 0,0051  10“'2,	(7.269)
at
где dT/dt — изменение периода орбитального движения за единицу времени.
Средняя за период интенсивность гравитационного излучения для системы, которая состоит из двух масс т\ и m2, вращающихся по орбите с эксцентриситетом е и периодом обращения Т, вычислена в Задаче 7 и оказывается равной
(27r)10/3G7/3(m1m2)2	/37 4	292 2	32\
(l-e2)7/2(m1+m2)2/37’I(,/3V15e + 15 е + 5?
382
Гл. 7. Гоавитация
Исходя из этой формулы, в Задаче 8 вычислено замедление периода вращения для системы PSR 1913+16 и показано, что оно достаточно неплохо согласуется с экспериментальными данными. Это и является косвенным экспериментальным подтверждением существования гравитационного излучения.
В последнее время было открыто еще три двойных пульсара PSR 1534+12 [13], PSR Л141-6545 (второй компонент которого, по-видимому, является белым карликом) [14] и PSR J0737-3039 А/В (оба компонента которого являются пульсарами) [15]. Тщательное исследование этих объектов позволило с огромной точностью проверить предсказания общей теории относительности и убедиться в ее справедливости, см. [4] и ссылки в этой работе.
Заметим, что даже если пульсар не образует двойную систему, он может являться мощным источником гравитационных волн в случае, если по тем или иным причинам он не будет симметричен относительно оси своего вращения. (Для аксиально симметричного распределения масс квадрупольный момент очевидно не будет зависеть от времени и гравитационное излучение будет отсутствовать.)
Задачи
1. Найти выражение для поля в первом нетривиальном порядке муль-типольного разложения.
При исследовании пространственных компонент величины hij — rfa/i/2 можно считать, что |х — у] « |xj = г. Как следствие, в низшем приближении
~ ~~ У d3yQij(t ~ г,у).	(7.271)
Перепишем это выражение в более удобной форме с помощью некоторого дополнительного тождества. Для того чтобы получить его, рассмотрим величину
до I d3yQ00(t-r,y)yiy3	(7.272)
и преобразуем се с использованием закона сохранения тензора энергии-импульса
<%0оо —	0;	— &}®ji — 0,	(7.273)
его симметрии, а также выполняя интегрирование пространственных производных по частям:
до У d'yQOoy‘y3 = д0 J d3y дк9к0 у'у3 = -д0 d3y ((-);0 yJ -г <9jo ?/) =
---I d3y (dkQlk y3 + dme]m y1) - 2 / d3y e,:i.	(7.274)
7.6. Излучение гравитационных волн	383
При этом все подстановки оказываются равными 0, поскольку источники гравитационного поля локализованы в ограниченной области пространства. Поэтому окончательно можно записать, что в рассматриваемом приближении
h4~^jh = -— [ d3y(7)0o(,t-r,y')yiyJ.	(7.275)
2	г J
При исследовании компонент 01 уже нельзя ограничиваться приближением |х — у| » г, поскольку
У d3y6oi(i - г, у) - Pt = const	(7.276)
в силу закона сохранения тензора энергии-импульса (см. Часть 2.3.2). Поэтому необходимо принимать во внимание слагаемое следующего порядка:
|х-у| =r-ny^O(r-‘).	(7.277)
При этом слагаемые, пропорциональные 1/г, будут возникать только в том случае, если такое разложение проводится в аргументе тензора энергии-импульса. Разложение же величины 1/|х - у| перед 0,„, приводит к слагаемому, пропорциональному 1/г“, которое значительно быстрее убывает на больших расстояниях и не дает существенного вклада в гравитационное излучение. Поэтому из формулы для запаздывающего потенциала следует, что в низшем приближении hoi - [-r]oih « у d3?;60,(t - r,y)(ny).	(7.278)
Заметим, что в этом выражении мы сохранили только слагаемые, которые убывают как 1/г, поскольку только они дают существенный вклад при очень больших расстояниях от источника гравитационного поля. Полученное выражение можно преобразовать с использованием закона сохранения тензора энергии-импульса (7.273) и совершая в формуле (7.278) интегрирование по частям:
1	4G 7 з	4G [ ч
hoi - -Г1йгЬ и ----- / d ydjQij(t - r,y)ny = п3 — / d yOij(t - г,у).
(7.279)
При этом производная д3 понимается по переменной у', а интеграл от полной производной исчезает, поскольку источники сосредоточены в конечной области пространства. Вновь используя тождество (7.274), получаем, что в рассматриваем приближении
hoi - ~r/oth = n-j^- У d3y 0Oo(t — г,у) j/ij/j-	(7.280)
Полностью аналогично при вычислении величины hoo - г/оо^/2 низшее приближение не дает вклада в силу закона сохранения тензора энергии-импульса:
I	4G 2	4G
hoo - -yooh » --- / d3yQOo(t ~r,y) = ~ — Е = const. (7.281)
384
Гл. 7. Гоавитация
Однако следующее приближение также не приводит к появлению нетривиального вклада. Действительно, повторяя все действия, которые были проделаны при нахождении компоненты Ог, получаем, что
hoo ~ -riooh ~ у d3i/0oo(i - r,y)(ny) =
= У d3y5j0jo(i - r.y)(ny) = п3^ У d3y©jo(i - г,у). (7.282)
Однако, это выражение также не зависит от времени в силу сохранения тензора энергии-импульса и его симметрии. Поэтому необходимо рассмотреть еще одно слагаемое в разложении величины Q(t — г — пу,у):
hoo - ^r)00h и - — /"d3i/0oo(i - r,y)(ny)2.	(7.283)
2	г J
(При этом мы отбросили все слагаемые, которые на больших расстояниях убывают как 1 /г2 или еще быстрее.)
2.	Убедиться, что решение (7.261) удовлетворяет условию калибровки (7.256).
Поскольку мы пренебрегаем слагаемыми, которые убывают как 1/г2 и быстрее, то при дифференцировании по пространственным координатам необходимо дифференцировать только г в аргументе тензора энергии-импульса. Используя формулу дг = г/г и предполагая, что тензор энергии-импульса зависит от времени по гармоническому закону, получаем, что с рассматриваемой точностью при действии на волну (7.261) дц — —ik^, где
кц = fc0(l, -п),	(7.284)
откуда, в частности, следует, что — к2 = 0. Поэтому условие калибровки (7.256) можно переписать в виде
0 = (/ioo - |r/oo/i) +nt(hot - ^r/oih);
0 = (hOi - ^r/oih) + rijlhij -	(7.285)
При подстановке в эти формулы выражений (7.261), получаем тождества 0 = 0, что и требовалось доказать.
3.	Найти поле в низшем порядке мультипольного разложения и убедиться, что оно может быть выражено через вторые производные квадруполь-ного момента с помощью формул (7.263) с точностью до некоторого общекоординатного преобразования.
Для краткости при решении этой задачи мы будем использовать следующие обозначения:
/’d3?/0oo(/-r,yb%; К = Кц. (7.286)
7.6. Излучение гравитационных волн
385
Если обозначить точкой частную производную по переменной t, то в терминах этих обозначений равенства (7.261) могут быть переписаны следующим образом:
hoo -	= -n'njKij; h0i = TijKij; hij +	= -Ktj. (7.287)
Поскольку h =	= hoo - то, умножая последнее из этих равенств
на 8tj и вычитая его из первого, можно найти выражение для h:
h = —(6ij - rnrij)Kij.	(7.288)
Подставим его в формулы (7.287) и используем равенство
Кц =	+ \бцК,	(7.289)
or О
которое следует из определения квадрупольного момента Qij, а также условие бесследовости Qu = 0. В результате получим, что
, G 2
hoo = -7rninjQii “ о К;
Аг	3
i 2G in з. 1 is
hoi = -x-nJQtj + -щК;
Ar	3
Kj = ~^-Qij ~ ^-8i}nkniQki.	(7.290)
or	or
Слагаемые, которые содержат величину К, можно удалить с помощью общекоординатного преобразования
h^ -> h^ + д^„ 4-	,	(7.291)
где 6,о = К/3, а & = 0. Действительно, поскольку Kij зависит от ©oo(i — у), то будут справедливы следующие равенства:
д0К = К; дгК = -щК + 0(1/г2).	(7.292)
При этом слагаемые порядка 1 /г2 будут получаться при дифференцировании 1/г в формуле (7.286). Они очень быстро убывают на пространственной бесконечности и не дают вклад, в частности, в поток энергии гравитационной волны. Поэтому, как и ранее, все эти слагаемые мы должны отбросить при исследовании гравитационных волн на больших расстояниях от источника. Тогда после проведения указанного выше калибровочного преобразования слагаемые с К исчезнут, а поле будет записываться в виде (7.263). А поскольку все физические величины должны быть калибровочно инвариантными, то при этом преобразовании они никак не изменятся.
В заключение заметим, что определенные выше функции удовлетворяют условию i92f„ = 0 с точностью до несущественных слагаемых, убывающих как 1/г2 или быстрее:
^о= Х-(д20К-д*к) = 1-(к-п2к) + О(1/г2) = О(1/г2).	(7.293)
13 К. В. Степаньянц
386
Гл. 7. Гравитация
Как следствие (см. Задачу 3 Части 7.2.1), после проведения указанного выше калибровочного преобразования условие калибровки (7.256) нарушаться не будет. В этом можно также убедиться и явно, повторив рассуждения, приведенные в Задаче 2.
4.	Найти точное решение линеаризованных уравнений движения для гравитационного поля (вне источников), которое на пространственной бесконечности переходит в формулы (7.263).
Докажем вначале, что решением волнового уравнения является произвольная функция вида
;/(/ - г).	(7.294)
Действительно, используя формулу для производной сложной функции, а также равенство дкт ~ хк/г, получаем, что при г О
Й -	l-/(t - г) = [~f+дк (4/+4/) =
\ ot~	/ г	г \ г3 г~ '
'./	12./' ‘	0.	(7.295)
Г rz г г
Убедимся теперь, что решение переходит в (7.263), может быть
уравнений движения, которое при г
записано в виде
Лоо =	- г)); hoi =	- г));
htJ =	- г) -	- г)}	(7.296)
и, в частности,
h = h00-h,.,. = dkdl(^-Qkiy	(7.297)
Для этого вначале проверим, что эти выражения удовлетворяют калибровочному условию — dyh/2 — 0:
d0h0j - dihTj - -djh =	+
+di^Qi}>)+djdkdl(^Qkl)-dJdkdl(^Qkl) =0; 3r	\3r	/	\3r	/
dohoo - d2h0l - ~doh =	(7.298)
=	+	=o.
Ранее мы видели, что в указанной выше калибровке уравнения движения записываются в виде

= 0.
(7.299)
4
h ftiy
7.6. Излучение гравитационных волн
387
Выполнение этих уравнений следует из того, что производные di коммутируют с оператором и того, что произвольная функция вида f(t — r)/r является решением волнового уравнения.
При вычислении асимптотики функций (7.296) па больших расстояниях необходимо дифференцировать только г, который стоит в аргументе квадру-польного момента QtJ. Используя формулу для производной сложной функции и равенство dkr = хк/г = пь, можно легко убедиться, что формулы (7.296) в пределе г —> ос переходят в формулы (7.263).
5.	Вычислить средний по времени поток энергии, который уносится гравитационной волной, распространяющейся в направлении п, а также полную интенсивность излучения.
Для того, чтобы найти поток энергии, который излучается в некотором направлении, необходимо вычислить компоненты Ог псевдотензора энергии-импульса
= ^\2dvhaad^hne - dvhd^h -	- (O)2U (7.300)
d4ttG L	2	\	/ J
подставляя в пего компоненты поля hn3, из формул (7.263). Поскольку все они зависят от Q(t — г, у), то
doha/3 = ha0-, dzhc,3 =-mhafl+ 0{\/r'1).
(7.301)
При этом, как обычно, все слагаемые, убывающие как 1/г2 и быстрее, можно отбросить. Поэтому вектор /°1 будет пропорционален щ, а энергия, излучаемая за единицу времени в элемент телесного угла dQ., окажется равной
di = -J- [2(А„^)2 - (А)21г2</П.	(7.302)
Ь47Г(д L	J
Подставим в это выражение формулы (7.263), из которых, в частности, следует, что
h = hoo ~ hlt = ^-ninjQij.	(7.303)
Jr
В результате после несложных преобразований поток энергии, излучаемый в элемент телесного угла dQ, может быть записан в виде
d[	~	(7.304)
Для того, чтобы найти полную интенсивность гравитационного излучения, проинтегрируем это выражение но dQ, используя равенства
4тг
= —Sij’,
niTiynkni = ~ (бцбы + Sikfiji +	.
(7.305)
13*
388
Гл. 7. Гравитация
В их справедливости можно убедиться, если заметить, что рассматриваемые интегралы являются симметричными по всем индексам и инвариантными относительно группы вращений 50(3). Как следствие, они должны зависеть только от одного ее инвариантного тензора — символа Кронекера. Для того, чтобы убедиться в правильности коэффициента в первой из формул (7.305), свернем ее с 8ij. Тогда она перейдет в очевидное равенство
dQ. = 4тг.
(7.306)
Аналогичным образом справедливость второго равенства (7.305) проверяется с помощью свертки с 8ki, в результате которой оно сводится к первому.
Проводя в формуле (7.304) интегрирование по dQ. с помощью формул (7.305) и учитывая бесследовость тензора квадрупольного момента Qij, приходим к равенству

(7.307)
6.	Найти момент импульса, который теряет система из-за гравитационного излучения.
Из закона сохранения тензора момента импульса следует, что
до4 = -0kJk.	(7.308)
Проинтегрируем это равенство по d3x, используя теорему Гаусса-Остроградского и принимая во внимание, что пространственные компоненты метрики Минковского равны —1:
= - [ dSkJij = ~ f dSk(xitkj - x3tk = - [ dSk(x'tkj - xHki^,
(7.309) где вектор dSk (с нижним индексом) направлен вдоль внешней нормали к бесконечно большой сфере, т.е. вектора п = г/г, а
Jy = у d3xJ^.	(7.310)
При этом пространственные компоненты псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля записываются в виде
-dihd3h+	- (d^h)2)Y	(7.3Н)
O47rG \	z	/
Как мы сейчас увидим, при вычислении изменения момента импульса необходимо использовать разложение гравитационного поля с точностью до
7.6. Излучение гравитационных волн
389
слагаемых порядка г 2. Выполняя дифференцирование в формулах (7.264), получаем, что в рассматриваемом приближении
dihoo = 7rn,njnkQik + -Д (5ntnjnkQjk - 2(^^пЛ + О(г 3);
Зг	J Зг \	'
dihOj = -^ninkQjk -	+3n,nkQjk^ + O(r”3);
dkhij = — Tik^Qij + 8ijQ 1тП1Пт^ +
+ ^2nkQtj + 8ij (5nkninmQim - 2n/Qki^] + O(r~3). (7.312)
Заметим, что в низшем приближении все производные di пропорциональны щ. Поэтому при их подстановке в правую часть формулы (7.309) получается результат, пропорциональный п/п.,. Но поскольку ,7,; в силу своего определения антисимметричен по своим индексам, то при использовании низших членов разложения гравитационного поля, получается, что dJ/dt — 0, где Ji — SijkJjk/2 — вектор момента импульса. Это означает, что при вычислении этой величины также необходимо учитывать слагаемые порядка О(г“2) в разложении гравитационного поля. Имеем:
dJj dt.
£iab
ak •
(7.313)
При вычислении интеграла в правой части этого равенства получается, что многие слагаемые будут пропорциональны папь (например, все слагаемые, которые получаются из Зц в формуле (7.311).). Они, очевидно, сокращаются при свертке с ^-символом. Подставляя в формулы (7.309) и (7.311) разложения (7.312), после ряда несложных преобразований можно убедиться, что изменение момента импульса системы в единицу времени благодаря излучению
гравитационных волн оказывается равным
~ = -г1аьуД- [ dS-^(n,njQ nbnkQak+ 2пьгцС)^^аЛ. (7.314) at	о • У7г J г \	'
Интеграл по угловым переменным в этом выражении может быть вычислен с помощью формул (7.305) с учетом бесследовости тензора Qij:
£ - (те +	*•»•»
7.	Оценить среднюю за период интенсивность гравитационного излучения компонент двойной звезды с массами ттц и т-2, если период вращения равен Т, а эксцентриситет орбиты — е.
В низшем приближении движение рассматриваемой системы можно описать с помощью обычной нерелятивистской механики. Для этого вначале рассмотрим систему отсчета, в которой центр масс двух звезд покоится. Тогда, если определить переменную г = Г) — г2, то
1712
ПТ| + т2
т, г2 =------------
rni + т-2
(7.316)
390
Гл. 7. Гравитация
Хорошо известно, что изменение вектора г описывается точно так же, как движение частицы с приведенной массой
mi т,
Р = --------------
rill + m2
(7.317)
в поле с потенциалом U(r) = —Стрггрг/г. Такое движение является плоским, причем если р и р — полярные координаты в плоскости движения, то
Р=Т~----------	(7-318)
1	+ е cos р
где рис — некоторые постоянные. Формула (7.318) представляет собой уравнение эллипса с параметром р и эксцентриситетом е. При этом имеет место закон сохранения момента импульса, модуль которого равен компоненте обобщенного импульса
2	• РР'Р
Vv = РР Г = ------------7-5-
(1 + ecos<p)“
Параметр эллипса р связан с сохраняющимся р. соотношением
pl(mi + т2) Gm2m2
(7.319)
(7.320)
а период вращения оказывается равным
2тгр3/2
(1 — е2)'^2 i/G(rn, i т2)
тгСпцтоу/р
\/w
(7.321)
В терминах вектора г тензор квадрупольного момента рассматриваемой системы может быть записан как
Qij = mi (3(xi),(si)j -	+ т2(3(^)1 (жо)7 - 6i3rl
= p,\3xiXj - dij-G
(7.322)
где xi — компоненты вектора г. Если ось z направить перпендикулярно плоскости движения, а ось х —• в сторону перигелия, то его компоненты в полярных координатах запишутся в виде
Q= рр~ (3 cos2 р — 1
Qi/y ~ /z/?2 (3 sin2 р - 1
Qxy = рр2 cos р sin р;
Qzz = -pp2	(7.323)
или, эквивалентно, как
Qxx
Qyy
pp2(3cos2 p — 1) _ (1 ecosy;)2
pp2(3sin2 p - 1).
(1 + ecosip)2
Qxy
Qzz
3pp2 cos p sin p (1 + e cos p)'2
VP2
(1 де cos p)~
(7.324)
7.6. Излучение гравитационных волн
391
Последняя форма записи наиболее удобна для нахождения производных компонент квадруполыюго момента по времени. Для этого используется формула для производной сложной функции и равенство
0-_ p^(l + ecosy?)2, М>
(7.325)
которое следует из формулы (7.319). компонент Qij получаем выражения
В результате для первых производных
Qr.r
Qyy
sin у?(3 cos p + e)
1 + e. cos y>
2p^ sin p(3 cos p 4- 2e).
1 4- c cos y?
A 3p^ (2 cos2 -1- e. cos ip — 1)
Qty ~	1
1 t- e cos p
Qzz = -	(7.326)
1 + e cos
для вторых —
Q.,.i = f - 6e cos3 p — 12 cos2 p - 2e cos p + 6 - 2e2;
P-P" ’	7
2
Qxv = — 6sin p - ( e cos2 p + 2 cosy? + e);
PP 7	>
2
Qyy =	(6e cos3 p + 12 cos2 p + 4e cos p — 6 + e2');
MP '	7
2
Qzz = -2e-^(cosy? - e),	(7.327)
MP
и, наконец, для третьих
Q ст = 2 siny>( 1 + e cosy?)2(9ecos2 p + 12 cos p + e); MP
Qz u = “ДАТ (1 + ecosy?)2(- 18ecos3 p — 24cos2 p + 6ccosy? +12); MP
p3
Q = —2-^j siny>( 1 + ecosy?)2(9ecos2 p + 12 cosy? + 2e); M P
„3
Qzz — 2-~-esiny? (1 + e cos p)2.	(7.328)
M P
Как следствие, после несложных, но достаточно длительных вычислений, получаем, что
Qo = qL + Q^y - iQly - qL =
= -^f(l + ecosy?)4 (12(1 + ecosy?)2 + e2sin2 p'j.	(7.329)
392
Гл. 7. Гравитация
Поэтому из формулы (7.267) получаем, что средняя за период интенсивность гравитационного излучения, которая вычисляется по формуле
(/) = !/ dtl(t) = 1	= ^= [	(7.330)
1 J	* J	45Т J рД1+есо8^)
окажется равной
/Т\	/37 4 ,292 2 . 32\
(/> = 7Т?Ье +лГ	(7'331)
Величины и р могут быть выражены через период Т и эксцентриситет е с помощью равенств
т =_________W7!.	. р = р* .
(1 — e2)3^2\/G(mI + m2)	Gm\m2fi
С использованием этих формул окончательное выражение для период интенсивности излучения переписывается в виде
(27r)l0/3G7/3(mim2)2	/37 4	292 2 . 32\
(1- R2)7/2(mi +т2)2/згю/з1,15е + 15е 5Л
(Заметим, что это выражение, как обычно, записано в системе единиц, где с. = 1 и h = 1.)
(7.332) средней за
(7.333)
8. Оценить замедление периода вращения в единицу времени для пульсара PSR 1913+16, период вращения которого приблизительно равен Т = 0,3230 дней, масса пульсара — 1,4408 масс Солнца, а масса другой нейтронной звезды — 1,3873 масс Солнца, а эксцентриситет орбиты — е = 0,6171.
Для того, чтобы выяснить, как будет меняться с течением времени период вращения, мы воспользуемся формулой (7.321), которая связывает между собой энергию и период
	1	/2\'/3/ Т	\ 2/з
|£Г‘ =-Е~' = (-) (— ------------) ,	(7.334)
\р/ \7ГЪГП\ТП2/
Поскольку в силу закона сохранения энергии имеет место равенство
(7.335) at
где через dE/dt обозначено среднее изменение энергии за единицу времени, то среднее изменение периода за единицу времени оказывается равным
I dT _	3 dE _ 3(7)	_
Т It ~ ~2Е ~di ~
Подставляя в эту формулу выражение для средней интенсивности излучения, полученное в Задаче 7, и энергии, а также добавляя множитель с-5 для того, чтобы величина dT/dt была безразмерной, в системе единиц СИ после несложных преобразований получаем, что
dT _	3(27r)8/3G5/3mim2	/37 4	292 2	32 \
~dt~ (1 - е2)?/2(т1 + т2),/3Т5/3с5 V 15в + 15 ® + ~5 )
(7.337)
7.6. Список литературы
393
В частности, для пульсара PSR1913+16 получаем, что за единицу времени период замедляется на величину
dT _	3  (2-3, 141)8/3  (6,674- КГ" м3/(кг • с2))5/3 • 1,387- 1.441
dt ~	(1 — 0,61712)7/2(1,387 +- 1,441)'/3(0,3230 - 24  60  60с)5/3
х (21989  1033 кг)5/3 /37 0 61 ^,4 + 292 q g^^2	32\ _ _2 4Q ip-12
(2.998-108 м/с)3 \ 15	15	5 )
(7.338)
Это выражение достаточно хорошо согласуется с экспериментально наблюдаемым замедлением периода вращения -2,4056- 10-12.
Список литературы
1.	A. Einstein. Ann.Phys. (Leipzig), 49, (1916), 769.
2.	D. Hilbert. Konigl.Gessell.d.Wiss.Gottingen Nachr., Math.-Phys., KI. (1915), 295.
3.	A. Einstein. Sitz.Preuss.Akad.Wiss., 142, (1917).
4.	C. Amsler et al. (Particle data group), Phys.Lett., B667, (2008), 1.
5.	M. Firtz, W. Pauli. Proc.Roy.Soc., London, A 173, (1939), 211.
6.	H. Weyl. Raum-Zeit-Materie, Berlin, (1918), 102;
A. Kneser. Enz.Math.Wiss.Art.il 8, 597, 600.
7.	V.A. Fock. J.Phys. (СССР), 1, (1939), 81.
8.	A. Papapetrou. Proc.Roy.Soc. A209, (1951). 248.
9.	M. Mathisson. Acta phys. Polon. 6, (1937), 163.
10.	E. Corinaldesi, A. Papapetrou. Proc.Roy.Soc. A209, (1951), 259;
W. Tulczyjev. Acta phys. Polon. 18, (1959), 393.
11.	Р.И. Храпко. ЖЭТФ, 90, (1986), 401;
К. Svirskas, К. Pyragas, A. Lozdienes. Astrophys. Space Sci. 149, (1988), 39.
12.	R.A. Hulse. Rev.Mod.Phys. 66, (1994), 699;
J.H. Taylor. Rev.Mod.Phys. 66, (1994), 711.
13.	A. Wolszczan et al. Nature, 350, (1991), 688.
14.	V.M. Kaspi et al. Astrophys.J., 528, (2000), 445.
15.	M. Burgay et al. Nature, 426, (2003), 531;
A.G. Lyne et al. Science, 303, (2004), 1153.
Глава 8
МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ
8.1. Формализм первого порядка
До сих пор мы считали, что при описании гравитационного поля динамической переменной является поле метрики Однако возможны и другие варианты его описания. Например, можно считать метрику и связность независимыми переменными [1] (см. также |2]). Для того, чтобы проиллюстрировать этот подход, мы рассмотрим теорию, описывающую взаимодействие дираковского спинора и гравитационного поля. Ранее были построены как лагранжиан гравитационного поля, так и дираковский лагранжиан в искривленном пространстве. Поэтому разумно описывать систему, состоящую из этих полей, с помощью действия
S= d4x ( - —Г-Д(е) +iy’''/aea,1\7l_l^ - пн.г). (8.1)
J	\ 1О7ГСг	/
где
R =
R ь — Л - • b _ а Ь । , , с, , b _ , , с Ь.
W =	(8.2)
При этом спиновая связность выражается через поле тетрады следующим образом:
^,аЬ =	д^ем,	(8.3)
а через обозначены символы Кристоффеля.
Однако, существует и еще один способ описания взаимодействия дираковского спинора с гравитационным полем — формализм первого порядка. При этом связность рассматривается как одно из полей теории, которое, вообще говоря, не совпадает с л11аь(е). При этом удобно представить спиновую связность в виде
^? = щма6(е) + /</и/',	(8.4)
8.1. Формализм первого порядка
395
где идаь(е) — спиновая связность, даваемая формулой (8.3), a Ktl(1b — т.н. тензор конторсии. Если тензор конторсии отличен от 0, то говорят, что спиновая связность не согласована с тетрадой. В Задаче 1 показано, что в этом случае тензор кривизны, построенный в соответствии с формулой (6.220), оказывается равным
— А/К,а6(е) + Vz/Apa6 - VvAliab + К,^К,1ГЬ - К,,,/Кficb, (8.5) где ковариантные производные строятся с помощью связности (8.3), a A/wnb(c) — обычный тензор кривизны, построенный в соответствии с формулой (6.223).
Действие для дираковского спинора в формализме первого порядка записывается в виде
- пн.-с ).	(8.6)
где
7Ди)ф = <Э;,Ф +	7м(^)ф = д^ф - [-y~fabuliab-.
Il(e,^ = Rlll/ab^)ea>‘ebl'.	(8.7)
При этом в отличие от действия (8.1) в данном случае связь (8.3) не накладывается, а поле cjfiab считается произвольным. Название «формализм первого порядка» связано с тем, что в действие входят только слагаемые с первыми производными этого поля. В такой терминологии действие (8.1) может быть названо действием в формализме второго порядка, поскольку оно содержит члены со вторыми производными поля метрики.
Несложно видеть, что действие содержит только линейные и квадратичные члены по полю ц,а/', причем члены, которые по нему квадратичны, не содержат производных этого поля. Поля, от которых действие зависит таким образом, называются вспомогательными. В Задаче 2 показано, что если подставить в действие выражения для вспомогательных полей, полученные при решении уравнений движения, то получившаяся теория окажется эквивалентной исходной. Поэтому говорят, что вспомогательные поля могут быть исключены из действия на уравнениях движения.
396
Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
В Задаче 3 показано, что уравнения движения, которые получаются из действия (8.6), записываются в виде
+ Kapb - Kh',a =2niGффф1фаЬ +
м(ш) — тур — 0;
- l-g^R(e,uj) = 8kG у(^ф - ^„(иффффф + - у^а^)ф х
(8.8)
Обратим внимание на то, что в третьем уравнении производится симметризация тензора Риччи, которую мы обозначили круглыми скобками. Ее необходимость связана с тем что тензор Риччи Riiv(oj) в отличие от тензора Риччи 7?М1/(е) уже не является симметричным по своим индексам.
Решение первого из уравнений системы (8.8), которое соответствует вспомогательному полю „Д, найдено в Задаче 4:
рт-цаЬ _ J_	rpafib _ rpbfm _ ^гр^Ь	(8 9)
где
T",,h = 2тСффф^аЬ + yabY)V-	(8.10)
Поэтому (см. формулу (8.4)) в формализме первого порядка спиновая связность уже не является согласованной с метрикой. Она отличается от связности (8.3) на слагаемые, квадратичные по спинорному полю ф. Таким образом теории, описываемые действиями (8.1) и (8.6), оказываются неэквивалентными. Попробуем выяснить, в чем заключается различие между ними. Для этого подставим в действие (8.6) выражение для спиновой связности в виде (8.4). Используя формулу (8.5), несложно убедиться, что с точностью до интеграла от полной производной
S = [ d.‘lxy/^g\- —^Д(е) +	- тфф + ^феа1‘ х
J	L 1О7Г(л	О
X (7аТЬг + К,_Лс - -Ь е^еь1' (к^К^ - К^К^)], 1О7ГЬ	\	/J
(8.И)
где ковариантная производная поля ф строится по связности, согласованной с метрикой. Это действие является квадратичным по полю Kfiab
8.1. Формализм первого порядка
397
и не содержит его производных, откуда следует, что это поле является вспомогательным. Исключим его с помощью уравнений движения. При варьировании по полю К^аь получается первое уравнение системы (8.8), решением которого является выражение (8.9). Подставляя это выражение в действие (8.11) и используя результат Задачи 2, мы получаем теорию, эквивалентную модели (8.6), действие которой записывается в виде
S = dtx у/=д Г - —l—-Ще) + г^7аеам- WV’ +
J	L 1О7ГСг
- к„ас(ф)к,сь(М, (8.12)
где КРаЬ(1р) дается формулой (8.9). При этом совершенно очевидно, что действие (8.12) будет отличаться от действия (8.1) на слагаемые, содержащие четвертые степени спинорного поля.
Таким образом, мы видим, что существуют несколько различных непротиворечивых неэквивалентных друг другу способов описания взаимодействия дираковских фермионов с гравитационным полем: например, использование связности и кривизны, согласованных с метрикой, или формализма первого порядка. Заметим, что использование формализма первого порядка фактически эквивалентно добавлению в теорию некоторых специальных слагаемых, которые имеют четвертую степень по спинорному полю. В принципе, такие слагаемые могут иметь самую различную структуру и их необходимо фиксировать с помощью каких-либо дополнительных требований.
Взаимодействие других полей с гравитационным полем также можно описывать в формализме первого порядка. Однако мы наиболее подробно рассмотрели случай спинорного поля, поскольку его описание в некоторой степени сходно с описанием взаимодействия поля гравитино с гравитацией, которое играет очень важную роль при построении современных моделей теории поля.
Задачи
1.	Найти выражение для тензора кривизны в случае, если спиновая связность не является согласованной с метрикой.
Подставляя связность (8.4) в формулу (6.220), получаем, что
Rliva = Rfiva (в) +	—dtyKfja + (с)КисЬ — (е)К)1СЬ +
+Kfiacu;vcb(e) -	+ К^К^’ - К„асК^ь.	(8.13)
Ковариантная производная тензора К^аЬ, построенная с помощью связности (8.3) и символов Кристоффеля, имеет вид
= d„KjJ - Г^Кааь + щдас(е)Л'.гь - ^/щмсь(е). (8.14)
398
Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
Сравнивая это выражение с формулой (8.13) и учитывая, что символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам, получаем формулу (8.5).
2.	Доказать, что исключение вспомогательных полей па уравнениях движения не меняет уравнения движения для остальных полей.
Если некоторая теория содержит вспомогательные поля ft, то ее действие может быть записано в виде
5 = У d4x (1 /„A,,/, + ВгД + с),	(8.15)
где Aij, Bi и С представляют собой функции всех остальных полей ф/ и их производных. При этом достаточно очевидно, что матрицу A;j без потери общности можно считать симметричной.
Несложно видеть, что уравнения движения для вспомогательных полей /, записываются в виде
ЛъД+Вг=0,	(8.16)
а их решением будут функции
/г(ф) = -Д-‘В,,	(8.17)
где А~] — матрица, обратная к матрице А.
Для остальных полей уравнения движения получаются при варьировании действия по полям ф:
° = У Ф4гг(2-/г<5ДъЛ-ед/г-дС).	(8.18)
Сюда можно подставить выражение (8.17) для вспомогательных полей, получаемое при решении уравнениях движения, и построить систему уравнений, которая содержит только поля ф:
0 = I (fx^BtA^SAkiA^Bj-SBiA^Bj+SC). (8.19)
С другой стороны можно подставить вспомогательные поля из формулы (8.17) непосредственно в действие (8.15). Тогда получится, что
S - у d4x ( - BiA-jBj - С\.	(8.20)
Заметим, что эту формулу можно интерпретировать следующим образом: для того, чтобы исключить вспомогательные поля из некоторого действия, можно вначале взять слагаемые, квадратичные по вспомогательным полям, изменить перед ними знак и подставить в результат Д из формулы (8.17). Затем нужно добавить слагаемые, которые исходно не содержали вспомогательное поле. (Этот способ был использован при получении формулы (8.12).)
Варьируя действие (8.20) по полям ф, находим, что уравнения движения записываются в виде
О— У d4x(- 1-В,8А~'В} -&ВгА~1В3+8Су (8.21)
8.1. Формализм первого порядка
399
При этом ЗАА может быть найдено варьированием тождества 8ij = AikAk-:
ЗА^' =-A~k‘3AkjAjl'.	(8.22)
Подставляя это выражение в формулу (8.21), убеждаемся, что уравнения движения, получающиеся из действия (8.20), также записываются в виде (8.19). Поэтому действия (8.15) и (8.20) приводят к одним и тем же уравнениям для полей <р, что и доказывает возможность исключения вспомогательных полей с помощью уравнений движения.
3.	Найти уравнения движения, которые следуют из действия (8.6).
Полевыми переменными, от которых зависит действие (8.6), являются спинор 0, тетрада e.„ft и связность ш,,,,6.
Вначале мы построим уравнение движения для поля связности. Для этого вычисляем вариацию действия в случае, если ш^а1’ —>	+ <5ш,,а6:
0 = [ d'xy/^g ( - —1—еп,геь'' 8R^abM + ^('у,‘уаЬ + 'yab~fl‘')A 3^каЬ} .
J	\	107ГО	О	/
(8.23)
При этом, проводя вычисления, аналогичные тем, которые были сделаны в Задаче 4 Части 6.6, несложно убедиться, что вариация тензора кривизны окажется равной
dIilAvab = ^1л6'^аЬ - \АЗо)цаЬ 4- Ки„'А^.„Ь +
-3u,iacK„cb - Kv„c3u>,icb - 8^асК„ь, (8.24)
причем ковариантные производные в данном случае определяются при помощи символов Кристоффеля и спиновой связности, согласованной с метрикой. После подстановки этого выражения в вариацию действия (8.23) первые два слагаемых дадут полные производные в силу равенства 0 ковариантной производной тетрады и формулы (6.89). Поэтому в силу произвольности <5ш/,аь(.т) уравнение движения для поля связности перепишется в виде
- eh,i Kvav +	- K"IJU = 2mG w(~f,,'fnb + -/"Vh’-	(8.25)
Свертывая это уравнение с еа11. получим, что
К/" = -К,/а =	= 0-	(8.26)
Для нахождения уравнения движения для спинорного поля удобно записать часть действия, которая содержит спинорные поля, через ковариантную производную, построенную с помощью символов Кристоффеля. Несложно видеть, что с точностью до интеграла от полной производной она равна
(8.27)
\	о	/
400
Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
Поэтому достаточно очевидно, что уравнения движения для спинорных полей запишутся в виде
0 =	- т)ф + г-К^ь(^аЬ + 7аЬ7м)^ =
= (17мV,» - т)ф + 1-К^ь[уаЬ,^]ф =
= (г7'^м(щ) - т)Ф ч- г-К\^аф.	(8.28)
Поскольку, как было показано выше, = 0, окончательно получаем, что
^7MVM(w)-m)V’ = 0.	(8.29)
Уравнения движения для поля тетрады можно получить, вычислив с помощью формул (6.344) и (6.347) вариацию действия (8.6), если ea/z еац + Hafi:
3eS = J <ГХу/=Ц- — (HR(e,u>)	+ H x
-VM(m)^7a^ ,
(8.30)
где, как обычно, Н = На^е1111. Поскольку ПП11. может зависеть от координат произвольным образом, то из равенства 0 вариации действия (8.30) следует, что
= 8тгС|^7^Дщ)?/> -	-
~ |va(w)^7QV> - mV’V’)] • (8.31)
Симметричная часть уравнений (8.31) совпадает с третьим уравнением системы (8.8). Антисимметричная часть этих уравнений должна выполняться автоматически в силу инвариантности действия относительно локально лоренцевых преобразований, как было показано в Задаче 2 Части 6.6. Действительно, используя уравнения для спинорного поля и поля связности, получаем, что ’)
0=	+ тф^уа13ф + ^7a/3^7MVM(w)V> - тф^ =
= ^Дч)(^{7'\7“>) +	- |V>M7Q'3,7MM =
= i^7QV'fl(w)7p - ^{^ф^ф ~ VM(w) (g^K^ +	-
-(a ~ 0).	(8.32)
’) Действие производной VM(w) на тензоры с эйнштейновскими индексами будет аккуратно определено в следующем параграфе. Сейчас нам достаточно только знать, что в соответствии с этим определением ковариантные производные тетрады и 7-матриц равны 0.
8.1. Формализм первого порядка
401
Поэтому рассматриваемое равенство может быть переписано в виде
0 =	- (ft /3).	(8.33)
4tfG
Проектируя все индексы на поле тетрады и используя определение производной
VM(w), получаем, что
ет^(ш)Кать = VmA-amb + KmanKnrnb + КттпКапЬ +
(8.34)
Заметим, что слагаемое КтапКпть симметрично по индексам а и Ь, а слагаемое Ктгпп = 0. Поэтому
0 = гф7°	+ тД (VMAQw3 + К11ЯуКа1У) - (а ~ в). (8.35)
С другой стороны, в силу равенства К^а = 0 антисимметричная часть тензора Риччи равна
RaB - R0a = V"7C„p;3 - Ка^Кю3 - (ft 13).	(8.36)
Как следствие, уравнение (8.35) можно переписать в виде
гф7“Х7/3(и>)'ф — г\7^(ш)ф-/аф + —~RaB - (a <-» /3) = 0.	(8.37)
4tfG
Это как раз и означает, что антисимметричная часть уравнения движения для поля тетрады оказывается автоматически равной 0 в силу уравнений движения для всех остальных полей теории. Тем самым мы явно проверили справедливость результата Задачи 2 Части 6.6.
4.	Найти выражение для спиновой связности, которое получается при решении уравнений движения для поля uj^ab в теории взаимодействующих спинорного и гравитационного полей в формализме первого порядка.
Перепишем первое из уравнений системы (8.8) в виде
_ еЬиКиО.у + кар.Ь _ КЬ,Ш = ТраЬ^	(8.38)
где Т1,аЬ = 4тггб ф7м7аЬ'ф-
Свертывая это уравнение с еа// (напомним, что здесь рассматривается случай четырехмерного пространства) и учитывая антисимметрию тензора К^аь по последним двум индексам, получаем, что
Kvbv = l-T^b.	(8.39)
С помощью этого равенства исходное уравнение после свертки с е^е-ь13 перепишется в виде

2^ 1 и "г 2$ Lu
(8.40)
402	Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
Обозначая различным образом индексы в этом равенстве, можно прийти к следующей системе уравнений:
ц-ацЯ _ ц-Яца ,г1тЙ _ 1	"Я , '	vn •
''	п — 1	2	1 v ' 2	1" '
квП/1 _ ДЩоЭ	_ 1 ^Я^ +
7<мЗ« _	= 7,5м« _ 19^7-а + \g^Tv‘4^	(8.4!)
Вычитая из первого уравнения второе и третье, с учетом антисимметрии тензора K'‘ai) по двум последним индексам, находим, что
= 1	+ Т,3П1< _ gl^Ti/3 +	.	(8 42)
8.2.	Геометрические свойства пространств
с кручением
При исследовании взаимодействия гравитационного поля с дираковским фермионом в формализме первого порядка в предыдущей части было показано, что связность уже не является согласованной с метрикой. Конечно, для спинорных полей использование формализма первого порядка не обязательно и ковариантные производные этих полей можно строить с помощью связности, согласованной с метрикой. Однако, как мы увидим далее, для случая поля гравитино очень удобно использовать именно формализм первого порядка и считать, что
(8.43)
Разницу между спиновой связностью и связностью, согласованной с метрикой, как и ранее, мы будем обозначать через и называть тензором конторсии:
и,аь = щ>ь(с) + К,1аь.	(8.44)
Как и ранее, мы будем требовать, чтобы ковариантная производная метрики Минковского rfd была бы равна 0. Как следствие (см. Задачу 4 Части 6.3), связность будет антисимметрична по двум последним индексам. Поэтому тензор конторсии также антисимметричен по двум последним индексам:
(8.45)
Также будем дополнительно накладывать условие равенства 0 ковариантной производной тетрады:
0 - V,,cai/ = д^е.а,, - Г^еЯ(Т 4 ^IJabebv.	(8.46)
8.2. Геометрические свойства пространств с кручением 403
Очевидно, что в общем случае не удастся удовлетворить этому требованию, если представляет собой символы Кристоффеля. Повторяя рассуждения Задачи 6 Части 6.3, получаем, что формула (6.218), связывающая между собой л и Г, по-прежнему будет иметь место. При этом связность уже не совпадает с символами Кристоффеля и. вообще говоря, не является симметричной по нижним индексам [3]. Антисимметричная часть этой связности может быть легко выражена через т.н. тензор кручения, который определяется следующим образом:
- д„еар + ebtl^b“ - eb^llb“. (8.47)
Действительно, как показано в Задаче 1, в силу условия (8.46) выражение для тензора кручения может быть эквивалентно переписано в виде
Qyu° = (l^-F^eV	(8.48)
В качестве очевидного следствия этой формулы отметим, что в случае, если связность согласована с метрикой, кручение оказывается равным 0 благодаря симметрии символов Кристоффеля по нижним индексам.
Тензор кручения может быть легко выражен через тензор конторсии и обратно. В Задаче 2 показано, что имеют место следующие соотношения:
Q^a = А'/, - К//,	= I	’ <8-49)
причем эйнштейновские индексы превращаются в локально лорснцевы и обратно при помощи умножения на поле тетрады в соответствии со стандартными правилами.
Несмотря на то, что связность отличается от символов Кристоффеля, в силу правила Лейбница ковариантная производная метрического тензора в рассматриваемом случае все же оказывается равной 0:
(ifbeailebl^ = 0.	(8.50)
Тензор кривизны в случае, когда спиновая связность не согласована с метрикой, также как и ранее, определяется формулами (6.124) или (6.220). При этом в силу формулы (8.46) (более точно, в силу ее следствия (6.218), см. Часть 6.3) обе эти формулы определяют один и тот же объект, с точностью до умножения на поле тетрады, которое превращает локально лоренцевы индексы в эйнштейновские и наоборот:
гу а ____ -аа гу Ь„
3 — & Н'циа &ЬЗ-
(8.51)
404
Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
Тем не менее некоторые свойства тензора кривизны в этом случае будут отличаться от описанных ранее. Например, в случае нетривиального кручения тождества Бьянки и Риччи записываются в виде
(\7aRp^ab QuvpRpaab^ + цикл, перестановки = 0;	(8.52)
+ Rau,/' + QappQpva^ + цикл, перестановки = 0, (8.53)
где циклически переставляются индексы <т, р и и. Доказательство этих тождеств приведено в Задаче 3. В случае, если связность согласована с метрикой, кручение оказывается равным 0 и второе из этих тождеств будет давать тождество Риччи. Тем не менее, его, так же как и тождество (8.52), часто называют тождеством Бьянки.
Напомним, что свойство симметрии тензора Риччи получалось (см. Задачу 6 Части 6.1.4) при свертке тождества Риччи по двум индексам. Поскольку теперь тождество Риччи содержит ряд дополнительных слагаемых, то и симметрия тензора Риччи более не имеет место.
Кроме того, необходимо отметить (Задача 4), что при наличии нетривиального кручения меняется формула для коммутатора ковариантных производных (ср. с формулой (6.224)):
= Rpui^j - (Эц^аФг,	(8.54)
где Rpvi1 — -iRpuabiT^)^/2, а (Т“ь)/ — это генераторы группы Лоренца в том представлении, в котором находится поле ф{.
Рассмотрим теперь некоторую теорию в формализме первого порядка:
S=-^~r I	R(e,u)
107ГСг /
(8.55)
где Sm — некоторое действие для полей материи ф^. Удобно (хотя и не обязательно) считать, что все индексы полей ф^ являются локально лоренцевыми. (Если это не так, то поле всегда можно умножить на тетраду.) Также мы будем предполагать, что Sm не содержит слагаемых с тензором кривизны, а все ковариантные производные строятся с помощью связности ojp.ab, которая рассматривается как независимое поле. В Задаче 5 показано, что тогда уравнение движения для поля связности может быть представлено в виде
Qabp. +	- CbpQa^ = 8-GSpb,	(8.56)
где Sp,3 — тензор спина, определенный формулой (6.350).
8.2. Геометрические свойства пространств с кручением 405
Задачи
1.	Доказать эквивалентность формул (8.47) и (8.48).
Поскольку VрГ1аЬ = 0, то в силу формулы (8.46) и правила Лейбница будет справедливо равенство
0 =	= 9ме% - eb^tlba - Г>%.	(8.57)
Выражая из него первые два слагаемых, получаем, что
(/,/' = аме% -	+ еь^ьа - еЬ^ьа = (г/ - Г/)е\.	(8.58)
2.	Найти связь между тензором конторсии и тензором кручения.
Будем исходить из условия равенства 0 ковариантной производной поля тетрады, которое можно записать в виде
0 = дуван - ГунСаа + Муа^Ьи-	(8.59)
Точно такое же условие можно записать в случае, когда связность согласована с метрикой:
0 = дуван - Гун(е)ваа + Шуа^вЬи,	(8.60)
где Г£р(е) — символы Кристоффеля. Вычитая это уравнения из предыдущего, имеем:
(г/-Г/(е))еост = КуаЬеЬн.	(8.61)
Принимая во внимание симметрию символов Кристоффеля по нижним индексам, из формулы (8.48) получаем, что
Qyna = Куан-Кнау.	(8.62)
Опустим в этой формуле индекс а при помощи умножения на поле тетрады еа(Т и запишем результат, обозначая индексы различными буквами:
Q

Kl/fTfJ ,

Q a ци
— С7

к

<7/21/ •
(8.63)
После этого вычитаем из первого уравнения второе и третье, а затем умножаем результат на 1/2. В результате при учете антисимметрии тензора кручения по первым двум индексам и тензора конторсии по последним двум индексам, получаем, что
~ — ^Q/2J/<7 Н”	4“ Q.-71'Ц
(8.64)
406	Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
3.	Доказать тождества Риччи и Бьянки (8.52) и (8.53).
Для доказательства тождества (8.52) рассмотрим ковариантную производную тензора кривизны, построенную в соответствии со стандартными правилами:
- V^R,Pab - u)„<L‘RPv<h - R^ar^ck. (8.65)
Проведем в этом выражении антисимметризацию по индексам и, р и и, которая будет обозначаться квадратными скобками:
-2T^RP:/lab + сс[ста‘:Л^;сь - R^ac^lcb. (8.66)
Заметим, что в силу определения тензора кривизны имеет место равенство
2^^],,“ = RaPba - 2ч,ьсч,:са,	(8.67)
в котором антисимметризация проводится по индексам <т и р, причем в ее определение включен множитель 1/2!. Используя это тождество, получаем, что
V a Rp via Riapa '^v с	^03 а а vj	4- Щ ра Rav\c
-2^:UaCd^h - 2Г^Rp]pab +	- R-Pvac^}cb- (8.68)
Сокращая в этом выражении подобные слагаемые и принимая во внимание, что 2Г^„] = Q^. получаем, что
VaRpv]ab ~ Q[P„PRa,Pab = 0.	(8.69)
Предположим теперь, что имеется тензор Tapv, который антисимметричен по двум последним индексам. Тогда несложно убедиться, что величина
представляет собой сумму циклических перестановок. Поэтому окончательный результат можно представить в виде
^aRpvab + QiivPRpaab + ЦИКЛ. ПСрССТаНОВКИ = 0,	(8.71)
где циклически переставляются индексы и, р и и.
Аналогичным образом доказываем и второе тождество: ковариантная производная тензора кручения (8.47) записывается в виде
^aQPv° = да (дрс\ - У.й"р -	- Р?,^) -
-rPapQp„a - rPvQPI,a ~	(8.72)
8.2. Геометрические свойства пространств с кручением
407
Так же, как ранее, антисимметризуем это выражение по индексам ст, у и у.
VlCTQ„,/M = 2aCT(e\,^()u) + 2TfCTMQ,/ -	(8.73)
Далее мы используем правило Лейбница для производной до и учитываем, что в силу определения тензора кручения имеет место тождество
29(стеь,/ =	- 2ес[(Т^Л	(8.74)
С помощью равенств (8.74) и (8.67) получаем, что
- 2еС|стщ,1Сьщ,7р,“ +	- 2еьх
Х^/ - Q[a/Qpv-а -	= (еь[м R^]ba - Q./Qp,/'). (8.75)
Поэтому, так же, как и ранее, мы приходим к тождеству
Vo-QM1/n + Rain/ +• Qa/Qp^ + цикл, перестановки = 0.	(8.76)
4. Вычислить коммутатор ковариантных производных в случае, если существует отличное от 0 кручение.
В Части 6.3 было установлено, что ковариантная производная поля <рг, которое имеет только лоренцевы индексы, записывается в виде
^рФг = дрфг +	(8.77)
где cjpi3 = — гс<дм<,7,);-7/2. При взятии следующей ковариантной производной также необходимо учитывать наличие у этого выражения индекса у. Поэтому
[VM, V„]<pi - (& др 4-+^VJk@^ ~	- (у <-+ v) =
- (dpOJt,,3 -	+Uplk'^„kJ ~ <JjplkCJpk3^4>j -
(8.78)
При этом в соответствии с формулой (6.225)
Rpv3 — dpUisi3 — дрШрг3 + ajpi u>vkJ ~ai„i Wpi,.3 — — -Rllvab(Tu' )i3, (8.79)
а	- QpVa. Таким образом, окончательное выражение для коммута-
тора ковариантных производных запишется в виде
[Vp , V;/] Ф1 - Rpi/г Ф) Qpv
(8.80)
408	Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
5. Для модели (8.55) в формализме первого порядка получить уравнение движения для поля связности и записать его в терминах поля кручения.
Из результатов Задачи 3 Части 8.1 следует, что
—U—[ (txyf-g R(e.,^ = e,iaKvbv-et‘bKval' - K',,jh - Kb'ia. (8.81)
V 9 J
Кроме того, спиновая связность входит в ковариантные производные материальных полей
4^ = 9^- г-^а\ТаЬуфг	(8.82)
Поэтому при использовании формулы для производной сложной функции получается, что
Из формул (8.81) и (8.83) следует, что уравнение движения для поля связности записывается в виде
- eb,1Kv‘w -г Ka,lb - КЬ1ла = 8т?С 3^аЬ.	(8.84)
Для того чтобы записать его в терминах поля кручения, необходимо воспользоваться равенствами (8.49). Если свернуть второе из этих равенств с д'™, то получится, что
А'Л = QbI/.	(8.85)
Подставляя это в уравнение (8.84), окончательно переписываем его левую часть в виде
cai'Kuh'J -	- Kblia = ea,lQbvv - eb,iQavv + Qab>1.	(8.86)
Поэтому уравнение движения для поля связности окончательно перепишется в виде (8.56).
8.3. Гравитино. N=1 супергравитация
8.3.1. Гравитино на фоне плоского пространства-времени.
Во многих современных моделях квантовой теории поля наряду с гравитационным полем в теорию необходимо добавлять частицу со спином 3/2, которая называется гравитино. Мы рассмотрим вначале случай, когда поле спина 3/2 рассматривается на фоне плоского пространства-времени.
Для описания частицы спина 3/2 необходимо использовать антикоммутирующее поле Оно имеет векторный и спинорный индексы (при этом спинорный индекс мы явно не выписываем). Рассмотрим
8.3. Гравитино. N=1 супергравитация
409
случай четырех измерений и будем считать, что тф, удовлетворяет условию майорановости
(8.87)
где С — матрица зарядового сопряжения. В этом случае ф^ описывается 8-ю комплексными или, эквивалентно, 4  4 = 16-ю вещественными параметрами. Однако, безмассовое поле спина 3/2 должно иметь 2 степени свободы: состояние, которое соответствует спиральности 3/2, и состояние со спиральностью —3/2. Это означает, что лагранжиан этого поля должен быть построен некоторым специальным образом, так чтобы можно было бы удалить лишние степени свободы.
1. Безмассовый случай.
В рассмотренных ранее примерах (поля Янга-Миллса и гравитационного поля) мы видели, что в безмассовом случае удалить лишние степени свободы удается, если в теории имеется некоторая дополнительная симметрия (в рассмотренных ранее примерах — калибровочная или общекоординатная соответственно). Поэтому при построении функции Лагранжа необходимо стремиться сделать ее симметричной относительно некоторых локальных преобразований. Такие преобразования естественно выбрать в виде
Фи
(8.88)
где е = е(х) — некоторый грассманово нечетный майорановский спинор. Кроме того, естественными требованиями будут квадратичность свободного лагранжиана по полю ф^ и присутствие в нем только первых производных. В Задаче 1 показано, что единственное (с точностью до умножения на постоянный множитель) действие, которое удовлетворяет этим требованиям и является инвариантным относительно преобразований (8.88), в четырех измерениях будет записываться в виде
S= / d4x ^"а0ф^ы75даФв-
(8.89)
(Впервые оно было предложено Раритой и Швингером [4], благодаря чему поле спина 3/2 также часто называют полем Рариты-Швингера.) Заметим, что действие (8.89) применимо только в 4-х измерениях, поскольку оно содержит е-символ с 4-мя индексами. Для того чтобы обобщить это действие на случай произвольной
410
Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
размерности, вначале заметим, что, в соответствии с результатом Задачи 2, при I) — 4 оно может быть эквивалентно записано в виде ')
S = у	(8.90)
где через у'11"7 обозначено антисимметризованное произведение у-матриц:
у"-"7 = 2. (у'У^у'7 ± перестановки).	(8.91)
Это действие с очевидностью является инвариантным относительно преобразований (8.88). Действие в форме (8.90) может быть записано в пространстве произвольной размерности. Однако необходимо помнить, что тип спинора существенно зависит от комбинаций размерности и сигнатуры. Например, майорановские спиноры (см. Часть 3.4.2) существуют далеко не во всех случаях.
Вычислим теперь число степеней свободы для поля гравитино в 4-х измерениях и убедимся, что оно равно 2. Вначале выберем калибровку 7М= 0, в которой остается только инвариантность относительно преобразований вида (8.88), в которых ,у,1дцЕ = 0. Тогда, в соответствии с результатами Задачи 3, уравнения движения для лагранжиана (8.90)
= 0,	(8.92)
имеют решение * 2)
ДДД = / 7^4	(8.93)
J (27Г)
причем (см. Задачу 3)
АЧ'-г/ДДА:) = °;	= °;	Ч1'к1/Ф1Ак') = 0.	(8.94)
Остаточные калибровочные преобразования имеют вид
ДДА) - гкфф),	(8.95)
а функция с(А-) удовлетворяет условию ^k^tk) — 0.
Подсчет числа степеней свободы удобно проводить в системе отсчета, в которой = (fc,0,0, к}. Тогда
к^'фц = кфо + кфз = 0,	(8.96)
’) Предполагается, что сигнатура пространства равна (-— ... -).
2) Функции и yy(fc), конечно, различны. Они обозначены одинаково только для удобства.
8.3. Гравитино. N=1 супергравитация	411
а остаточные калибровочные преобразования будут записываться в виде
V’o V’o -I	фу, ф2 Ф‘Г, 'Фз Фз ~ ike. (8.97)
Майорановский спинор e(fc) можно выбрать таким образом, чтобы компонента t’o обратилась бы в 0. При этом в силу условия (8.96) в 0 обращается и компонента ф3. Таким образом, нетривиальными будут только 8 поперечных компонент ф{ и ф2. Однако еще 4 компоненты (например ф2) можно выразить через оставшиеся при помощи условия
+72V’2,	(8.98)
из которого следует, что ф2 — 72714i. Поэтому из двух последних уравнений
0 = ^киФ1 - fc(7° - 73)^i I 0 = ^к,ф2 = fc(7° - 73)Т>2	(8.99)
второе выполняется автоматически. Первое из этих уравнений в соответствии с результатами Части 3.1.1 позволяет исключить еще две степени свободы. Поэтому независимыми оказываются только 2 компоненты ф2, откуда следует, что на массовой поверхности поле фц, описываемое лагранжианом (8.89), действительно имеет две степени свободы.
Полностью аналогично получается, что если в D измерениях спинор параметризуется N вещественными числами, то число степеней свободы для гравитино оказывается равным
[-N(D-3).	(8.100)
(Число компонент спинора N зависит от размерности пространства-времени, а также от типа спинора, см. Часть 3.4.2. Например, у майорановского спинора число компонент в два раза меньше, чем у дираковского. Тип спинора, в свою очередь, также зависит от комбинации размерности и сигнатуры.)
В ряде случаев более удобно представить решение уравнений движения для поля гравитино (8.93) в несколько иной форме. При этом для простоты мы будем рассматривать случай четырехмерного пространства-времени. Поместим систему в ящик объема L3 —> ос и построим векторы так же, как и в Части 7.2.3:
_ _J_ / „(1) _i_ ,>(2) \	/о j ci j \
ек.ц ~ урек.(1 ± гек,м)’	(8.1U1)
причем векторы имеют нулевые компоненты равные 0, а их пространственные компоненты ортогональны друг другу, а также вектору
412
Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
к. В Задаче 4 показано, что в этом случае решение (8.93) можно эквивалентно переписать в виде
= 52 (ak-eKuk.+ + ak.-ejjuk.-)e “kt+ikx ± +(<+4^«M)C + «k..4;)’k-)C)e“k,-i,“,	(8.Ю2)
где cik,± — некоторые антикоммутирующие величины, а спиноры были определены в Части 3.2. Напомним, что в явном виде они записываются как
(8.103)
где ш± — собственные векторы оператора по, соответствующие собственным значениям ±1. Явные выражения для w± даются формулой (3.251). Энергии и импульс поля гравитино построены в Задаче 5:
Р>1 = | 52 fcM(ak,aak,a - Як.аЯк.а) = 52 ^ak.aak.a- (8.104) k,a=±	k,a=±
Важно заметить (Задача 6), что состояния е^?/к,+ и ek2Uk.- являются собственными векторами генератора вращений вокруг направления импульса с собственными значениями +3/2 и -3/2 соответственно. Поэтому, в соответствии с рассуждениями Части 2.4, если гравитино является безмассовым (что все же, по-видимому, в природе не реализуется), то оно имеет два физических состояния со спиральностями ±3/2. Как обычно, величины a^oak,a можно интерпретировать как вероятность обнаружить гравитино в состоянии с импульсом к и спиральностью а.
В настоящее время гравитино (так же, как и гравитон) экспериментально не обнаружено. Тем не менее, имеются очень серьезные теоретические основания утверждать, что оно существует и, кроме того, является массивным. Обсуждение этого вопроса выходит далеко за рамки этой книги, поэтому далее мы просто рассмотрим, как можно в плоском пространстве-времени записать лагранжиан для массивного гравитино.
2. Массивный случай.
Рассмотрим теперь вопрос о том, как выглядит функция Лагранжа для массивного гравитино. Правильное массовое слагаемое должно быть выбрано таким образом, чтобы на массовой поверхности частица со спином 3/2 имела бы в четырех измерениях 4 степени свободы,
8.3. Гравитино. N=1 супергравитация
413
которые в системе отсчета, где частица покоится, соответствуют состояниям с проекцией спина на ось z sz = 3/2, 1/2, —1/2, —3/2. Поскольку исходно поле ф(1 имеет 16 компонент, это означает, что из уравнений движения должны следовать определенные условия связи, как это было, например, для массивного векторного поля, рассмотренного в Части 2.2. Такие условия должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. Несложно понять, что они записываются как
d^ = 0; 7^ = 0.	(8.105)
В Задаче 3 показано, что если действие для поля ф^ выбирается в виде
S = - j'd4x~ (^>^дафр + тф^ф^,	(8.106)
где 7м" = (7^7" -7!?7м)/2, то условия (8.105) действительно следуют из уравнений движения. При этом решение уравнений движения, построенное в Задаче 3, имеет вид
Ш = [ ^е-^5(к2а-т2)ф^,	(8.107)
J (2тг)
причем функция ф^(к) удовлетворяет условиям
к^ = 0;	7м?/м = 0;	~ тУФ» = 0-	(8-108)
Для подсчета числа степеней свободы в массивном случае удобно использовать систему отсчета, в которой = (т, 0,0,0). Тогда из этих условий следует, что
Фо = 0; фз = 737Mi + 7372V>2-	(8.109)
Поэтому из трех оставшихся уравнений
0 = (7MfcM - т^ф» - т(у° - 1 )ф„	(8.110)
независимыми будут только два: уравнения для ф[ и фо. В силу этих уравнений ф\ и ф? будут иметь только по 2 независимые компоненты, и полное число степеней свободы окажется равным 4, как и должно быть в соответствии с теорией угловых моментов.
Для того чтобы убедиться, что эти состояния действительно имеют правильные величины третьей компоненты спина, мы запишем волновую функцию, которая соответствует покоящейся частице. При этом нам потребуются векторы
(8.111)
где = (0, -е^), а единичные векторы направлены вдоль ортов декартовой системы координат. В Задаче 7 показано, что с помощью
414	Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
этих векторов решение уравнений движения для поля Фц(х'), соответствующее покоящейся частице, можно записать в виде
~	[“0.3/260/"о,- + «о. з/2«о,/ио,- + а-0,1/2 X
VZmL6 L
х7д (ео+ни°'- ~	+а°' -1/2-k7 feo./?uo.-h +	*
VO'	'	V '
хи0,-)]е	+з.с„	(8.112)
где через з.с. мы обозначили зарядово сопряженные слагаемые, которые необходимы для того, чтобы получившийся спин-вектор был бы майорановским. Спиноры uq.~ определяются равенствами (3.252) и являются собственными векторами оператора проекции спина на ось z S3. В Задаче 7 также проверено, что для рассматриваемой полевой конфигурации
$3 - |а0.3/2°0,3/2 + 9а0.1/2а0.1/2 “ уа0,|/2а0-1/2 “ 9й0.-3/2а0. 3/2-
(8.113) Поэтому величины а*)(1аоа можно интерпретировать как вероятности обнаружить частицу в состоянии с третьей компонентой спина, равной а. (Индекс а может принимать значения 3/2, 1/2, —1/2 и —3/2.)
Для того чтобы получить выражение для волновой функции в другой системе отсчета, можно совершить преобразование Лоренца, параметр которого был найден в Части 3.2.
В случае произвольной размерности действие для массивного гравитино также дается формулой (8.106). При этом, повторяя приведенные выше рассуждения, получаем, что в массивном случае гравитино имеет N(D - 2)/2 степеней свободы, где N — число вещественных параметров спинорного ПОЛЯ.
Задачи
1. В 4-х измерениях построить функцию Лагранжа для поля ф^, инвариантную относительно преобразований (8.88).
Функция Лагранжа для поля гравитино должна быть скаляром и не сводиться к четырех-дивергенции. Кроме того, разумно предположить, что она, так же как и в случае обычного дираковского поля, содержит первую степень производных поля г/,. Как следствие, для того чтобы все индексы были бы свернуты, между ф и дафр должно стоять нечетное число 7-матриц. В 4-х измерениях базис в пространстве матриц 4x4 состоит из 1, 75, 7м, 7675 и 7М^. Поэтому, используя формулы (3.219) и возможность интегрирования по частям,
8.3. Гравитино. N=1 супергравитация	415
несложно проверить, что действие для теории, описывающей безмассовое поле спина 3/2, должно быть составлено из следующих величин:
S= J	аг+ «з	(8.114)
Изменение этого действия при бесконечно малых преобразованиях (8.88) с точностью до поверхностных членов будет иметь следующий вид:
SS = J <Гх ^2«i ф^д^с т dvipv -I- а2 wltypd2ej =
= У d*x ((2ai + а^ф^дЛ^ + a2 фО2.	(8.115)
Это означает, что инвариантность действия (8.114) относительно преобразований (8.88) имеет место только в том случае, если ai =0, а2 ~ 0. При этом параметр аз можно, например, выбрать равным 1/2. Поэтому безмассовая частица спина 3/2 должна описываться действием (8.89).
2. Доказать, что 4-х мерное действие поля гравитино (8.89) можно эквивалентно переписать в виде (8.90).
При решении этой задачи мы будем рассматривать случай искривленного пространства-времени.
Разложим матрицы 7м1"7 по базису 1, 75, 7м, 7М75 и 7^ с помощью тождества (3.58). При этом следует учесть, что след нечетного числа 7-матриц равен 0 (Задача 3 Части 3.1.2). Поэтому в формуле (3.58) нетривиальный вклад могут дать только слагаемые, пропорциональные 7'1 и 7''7->. Учтем, что в случае искривленного пространства-времени 7м = ea,l'”i'a  Тогда из результатов Части 3.1.2 для 7-матриц с лоренцевыми индексами следуют тождества
tr^A/VM = -4ieapeb"ejedp£abcd =	
tr(7'x7^7CT7₽) =	+ gtipgva).	(8.116)
(Здесь также было учтено, что det еа'1 = , det '^2 — 1 /\/^-g.) После анти-симметризации этих равенств по индексам /1, у и а рассматриваемые следы можно переписать в виде
tr(7^V75) = -4^7y-s; trerv)-o. (8.117)
После подстановки этих выражений в формулу (3.58) получается тождество
7^ = -Уг(7"^7₽75)7₽75 = ^"СТ%75/^.	(8-118)
из которого следует требуемое утверждение. (Напомним, что в плоском пространстве \T-g -= 1.) 3 *
3. Получить уравнения движения для поля в безмассовом и массивном
случаях и найти их решения.
416
Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
Уравнения движения для действия (8.106) очевидно записываются в виде
+-	= 0.	(8.119)
Удобно вначале по отдельности рассмотреть безмассовый и массивный случаи.
1. При то = 0 умножим уравнение (8.119) на 7М, принимая во внимание равенство
иаЗ и ctfi	3 . л*3 a	/q 1 ол\
7	—77	~	7 + ч 7 »	(о. 120)
которое может быть легко доказано антикоммутированием 7-матриц в формуле (8.91):
= £ (V?Q73 + 707'17Q - 7'V'7M) - (а й) = (7М7“7'3 +
+ (Wa - У‘ув)уа - 7в(2тГ - 7'V))	+
+6rfV) -(«-Й) = 7V'3-’?M“70 + ^/?7“-	(8.121)
Из тождества (8.120) следует, что в пространстве размерности D
7м7'х“/5 = (D - 2)7одЭ.	(8.122)
Поэтому после умножения уравнений движения на 7м получается равенство
7^ам^=0.	(8.123)
При этом для фиксации калибровочной инвариантности (8.88), которая имеет место в безмассовом случае, мы будем выбирать калибровку 7М0М = 0.
2. Если Tn 0, то, применяя к уравнению (8.119) оператор <ЭМ, получаем, что
у^д^=О.	(8.124)
Умножая затем уравнение (8.119) на 77. с учетом тождеств 7m7,xq5 = (£> -- 2)7q/j и 7м7'117 = (£> — 1)7^, приходим к равенству
О = i(D - 2)уа13дпф3 + (D - 1)7777"^ - (0- 1)7777^-	(8.125)
Таким образом, и в массивном и (в рассматриваемой калибровке) в безмассовом случае выполняются условия
7^=0; ~Гд^ = 0-	(8.126)
Как следствие получаем, что
=7^(7^м) + 7м1/^м =0.	(8.127)
Кроме того, как в массивном, так и в безмассовом случаях также имеют место равенства
= (-??м1/ + 7М7^)^ = -0м;
Ую0дафз = (7V3	=7"аж,	(8.128)
8.3. Гравитино. N=1 супергравитация	417
которые позволяют переписать уравнение движения (8.119) в виде
- туф» = 0.	(8.129)
Это уравнение решается точно так же, как и уравнение Дирака в Части 3.1.1. В соответствии с результатами этой части, решение имеет вид
[ £к-^6(к2а-т2Шк).	(8.130)
причем (7*"А:л — ггфф^ = 0. Подставляя это решение в уравнения (8.126) и (8.127), получаем следующие условия на функцию фи<к';:
7*4. = 0;	к^=0.	(8.131)
4.	Убедиться, что решение уравнений движения для поля гравитино можно эквивалентно переписать в виде (8.102).
В системе отсчета, где к11 = (fc,0,0, к), отличны от 0 только V’i и
В произвольной системе отсчета это означает, что ф^ раскладывается только по векторам е^, а = 1,2 или, эквивалентно, по векторам е^.
В соответствии с результатами Задачи 3 поле фц удовлетворяет безмас-совому уравнению Дирака. Поэтому, повторяя рассуждения Части 3.2, мы заключаем, что с точностью до постоянного множителя
ф^х) ~ (ak,iej<4/’w+ + ак.г42и- + flk-3ekJM+ + aMekJw-) х
xe-i«k‘Hkx+3C>	(8132)
где через з.с. обозначены зарядово сопряженные члены. Их необходимо добавлять для того, чтобы поле ф^(х) было бы майорановским спинором.
Также необходимо учесть, что поле гравитино должно удовлетворять условию 7MipM = 0. Прежде чем проводить его анализ, мы вначале убедимся в том, что имеют место следующие тождества:
(е^+)о)ад+ = 0;	(е^	— 0.
(8.133)
Для доказательства мы заметим, что в силу равенств
(na)wx = ±w±;	[(no), (ek~’a)] = 2w[n x e^] = ±2(e^ 'a)	(8.134)
столбец	является собственным вектором оператора (по) с соб-
ственным значением 3, а столбец (е^о)^- — с собственным значением -3. Но поскольку (no)2 = 1, то этот оператор может иметь только собственные значения ±1. Полученное противоречие доказывает равенства (8.133).
Из условия 7м^д — 0, очевидно, следует, что
14 К. В. Степаньянц
(8.135)
418	Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
из которого, в свою очередь, с помощью равенств (8.133) получаем, что аг = — аз — 0. Зарядово сопряженные слагаемые при этом также будут равны 0 в силу тождества
(8.136)
Таким образом мы действительно убеждаемся, что поле может быть представлено в виде (8.102).
5.	Вычислить энергию и импульс для полевой конфигурации (8.102).
Вначале необходимо вычислить тензор энергии-импульса для поля гравитино. При этом (см. Задачу 2 Части 2.4) при вычислении энергии и импульса можно использовать канонический тензор энергии-импульса:
~	~	(8.137)
o(o^V’o)
Так же, как и для дираковского спинора, функция Лагранжа для гравитино равна 0 на уравнениях движения. Поэтому, учитывая, что для рассматриваемой полевой конфигурации До = 0, получаем, что
Р'1 = у <13хТ^ = -if	= i У (13ху>+уаЯд',ф1з.	(8.138)
Принимая во внимание, что = 0, а = -т^3	это выражение
можно переписать как
Р'1 = -ij ^xifr+dW.	(8.139)
Это выражение отличается от энергии и импульса для обычного дираковского поля только знаком и наличием свертки по индексу а. Поскольку этот индекс присутствует только у вектора то благодаря равенствам
„(+),,(+)* —	— —1-	— 0	18 1401
Ч Ск.аСк./3 — Ч ск.аск.в ~	Ч Ск.аСк.З ~
а также результатам Задачи 4 Части 3.2, окончательно получим, что
Рм-| ^(«коак.а-ак,аак.а) = к,1а^аак.а. (8.141) к,а= —	к,а = ±
6.	Доказать, что состояния e^Uk,- и е^_)ик._ являются собственными векторами генератора вращений вокруг направления импульса с собственными значениями ±3/2.
8.3. Гравитино. N—1 супергравитация	419
Несложно убедиться (см. Задачу 6 Части А.4), что генераторы группы вращений в представлении, которое имеет один векторный и одни спинорный индекс, имеют вид (здесь явно не выписаны спинорные индексы)
(Т“)тп = -ieamn  1 Ь • 8тп.	(8.142)
Тогда, в силу равенств (па)?/к,- — ±Wk.± и [n х е^] = —icjj\ находим, что
(паТ")е<^)ик- ~ г-n х ej/)]?zk.- + ^е^+) (na)uk,+ = =^e^-)Uk - • (8.143)
7.	Убедиться, что решение уравнений для массивного гравитино, которое соответствует покоящейся частице, может быть представлено в виде (8.112). Найти величину третьей компоненты спина для этой полевой конфигурации.
Решение уравнений движения для массивного гравитино было в общем виде построено в Задаче 3. Если рассматривается решение, которое соответствует покоящейся частице, то кГ = (т,0,0,0). В этом случае из условия следует, что нулевая компонента поля равна 0. Поэтому оно может быть разложено по трем векторам = (0,-е^), где представляют собой орты декартовой системы координат.
В соответствии с Задачей 3, коэффициенты разложения (мы обозначим их через ф('Р) должны удовлетворять уравнению (Y'k), - т]гГп) =0. Из результатов Задачи 2 Части 3.2 следует, что в системе отсчета, где частица покоится, с точностью до несущественной постоянной решение этого уравнения можно представить в виде
~ ^a.Q^u0,+ + а^и0:-^е~гт* + з.с.,	(8.144)
где зарядово сопряженные слагаемые, как обычно, добавлены для того, чтобы получившееся поле было бы майорановским, а спиноры Wq,± определяются формулами (3.252). Поэтому с точностью до постоянного множителя поле т/ч может быть представлено в виде
з
W ~ 52 €’ (ao2u° + + aoa-u0--)e”!mi -г З'с- (8.145) a= 1
Однако более удобно записать это разложение в несколько ином базисе. Элементы этого базиса мы выберем таким образом, чтобы они были бы собственными векторами оператора Sz. Используя результат Задачи 6, несложно видеть, что такими состояниями будут
е^ио. |. — с собственным значением 5’з = 3/2;
ео+^ио.-’ ео.1ио.< - 83 - 1/2;
~ = -1/2;
ео~^ио.~ — 8з = —3/2.
14*
420
Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
Вспомним теперь, что для поля гравитино должно выполняться условие = О- Непосредственным вычислением проверяется, что ему удовлетворяют состояния с S3 = ±3/2, а также состояния
(8.146)
Действительно, например, в первом случае, подставляя явные выражения для 7-матриц, а также спиноров uq.±, имеем:
- ^2е'3>0.-) =	(8.147)
Второй случай рассматривается полностью аналогично.
Как следствие, решение уравнений движения для поля гравитино может быть записано в виде (8.112). (Коэффициенты в этом равенстве подобраны таким образом, чтобы для энергии и импульса получались стандартные выражения.)
Для того чтобы найти проекцию спина на ось z для получившегося состояния, вспомним, что по определению
S3 = -I [	(±3±П	= - [ d3x ф^0Оа (§зф)а,	(8.148)
где через S3 обозначен оператор проекции спина на ось z, который совпадает с генератором соответствующих пространственных вращений. Принимая во внимание, что уаФа = 0 и ф0 = 0, переписываем это выражение в виде
S3 = - J d3х (§зФ)а•	(8.149)
Подставив в эту формулу выражение для фа, после несложных преобразований приходим к формуле (8.113).
8.3.2. Гравитино в искривленном пространстве-времени.
Рассмотрим теперь (вначале безмассовую) частицу спина 3/2 на фоне 4-х мерного искривленного пространства-времени. (В этом параграфе мы будем рассматривать только случай D = 4.) Для этого необходимо сделать действие (8.89) инвариантным относительно общекоординатных преобразований. Принимая во внимание, что, как было показано в Части 6.1.2, е-символ с верхними индексами при общекоординатных преобразованиях меняется так же, как и у/--д, разумно предположить, что
S - | у
(8.150)
8.3. Гравитино. У=/ супергравитация
421
где
УаГз = даф[3 -	+ ^ааЬ7а6^,	(8.151)
а связность считается согласованной с метрикой. С использованием результата Задачи 2 предыдущего параграфа это действие может быть эквивалентно переписано в виде
3 = -г-^х^д	(8-152)
где 7-матрицы с эйнштейновскими индексами получаются из обычных 7-матриц с помощью умножения на тетраду.
Если считать, что связность согласована с метрикой, то полное действие с учетом гравитационной части запишется в виде
5 =	(-^7?(e)-|^7^VQ^).	(8.153)
(Напомним, что к2 = 8тгб.) В этом случае уравнение движения для поля гравитино запишется в виде
7'ю^а^ = 0.	(8.154)
В Задаче 1 показано, что это уравнение является совместным только в том случае, если Rfl„ — 0. Это означает, что описание гравитино с помощью связности, согласованной с метрикой, в общем случае является противоречивым.
Тем не менее, поле спина 3/2 можно непротиворечивым образом описать при использовании формализма первого порядка. Это означает, что тетрада еам и спиновая связность рассматриваются как независимые поля. Соответствующее действие будет [5, 6]
S = dAXy/^ ( - -L 7?(е, w) -	,	(8.155)
где 7?(е,ш) — кривизна, зависящая от спиновой связности и тетрады, которая дается формулой (8.7). При этом для получения непротиворечивой теории ковариантную производную необходимо выбрать в виде
~ Г^Де)^ + |шмаь7а6^. (8.156)
Обратим внимание, что такая ковариантная производная отличается как от ковариантной производной, построенной по связности согласованной с метрикой, так и от ковариантной производной, построенной в Части 8.2 (поскольку при действии на лоренцев индекс она содержит символы Кристоффеля, а не величину Г^, связанную с формулой (8.46).) Поэтому при работе с такой производной необходимо
422	Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
соблюдать определенную осторожность. Например, ковариантные производные тетрады и 7-матриц с эйнштейновскими индексами будут отличны от 0. Также изменятся и выражения для коммутаторов ковариантных производных. В частности, для спинора ф и поля гравитино Фи имеют место тождества
[V;(,	(8.157)
которые доказаны в Задаче 2. (Они потребуются нам несколько позже.) Поле связности шра.ь входит в лагранжиан (8.155) квадратично.
Кроме того, все члены, которые содержат его производные, представляют собой полную дивергенцию. Поэтому, в соответствии с результатами Задачи 2 Части 8.1, это поле можно исключить при помощи уравнений движения. В Задаче 3 показано, что решение уравнений движения для поля связности записывается в виде
= ч^аь(е) -		(8.158)
Поэтому, как и для случая спинорного поля в формализме первого порядка, мы получаем теорию с нетривиальным кручением. В Задаче 4 установлено, что в рассматриваемом случае
Q^a = -^Р^аФи.	(8.159)
Непротиворечивость модели (8.155) связана с тем, что (см. Задачу 5) получившаяся теория оказывается инвариантной относительно локальных преобразований следующего вида:
йеа;1 = -^ё7“Фд;	6^=^^,	(8.160)
где £ = г(.т) — некоторый грассманово нечетный майорановский спинор. Преобразования (8.160) называются преобразованиями суперсимметрии. Из их вида понятно, что суперсимметричная инвариантность перемешивает между собой бозонные и фермионные поля. В теории поля эта инвариантность играет важнейшую роль, сравнимую по значимости с калибровочной инвариантностью. Однако из-за огромного объема материала рассматривать суперсимметричные модели теории поля здесь мы не станем. Отметим только, что условие совместности уравнения движения для поля гравитино, как показано в Задаче 6, автоматически следует из суперсимметричной инвариантности модели (8.155), которая называется N — 1 супергравитацией. Поэтому в рамках N = 1 супергравитации можно непротиворечивым образом можно
8.3. Гравитино. N=1 супергравитация
423
описать взаимодействие поля спина 3/2 с гравитационным полем, что не удается сделать в случае, когда связность согласована с метрикой и отсутствуют члены четвертого порядка по 77.
Если гравитино является массивным, то действие, которое инвариантно относительно преобразований суперсимметрии, запишется в виде
8 = [d4x(-	+
J \ 2R	/
4-	/ d4;r	т2 - у	•	(8.161)
При этом сами преобразования суперсимметрии будут несколько отличаться от случая m = 0:
5c% = -^7aV’p;	=	<8-162)
z	К, \	2.	/
Инвариантность действия (8.161) можно доказать, проводя вычисления, аналогичные случаю, рассмотренному в Задаче 5. Однако они являются значительно более сложными технически и здесь не приводятся. (В принципе большой необходимости в этом нет, так как в настоящее время известны методы, которые позволяют автоматически получать суперсимметрично инвариантные действия и вид соответствующих преобразований суперсимметрии.)
Итак, в рассмотренном примере масса гравитино оказывается связанной с величиной космологической постоянной:
Л =-3 m2.	(8.163)
Заметим, что при наличии других полей связь между космологической постоянной и массой гравитино в суперсимметричных теориях становится существенно более сложной [8], однако рассмотрение соответствующего вопроса выходит далеко за рамки этой книги.
В заключение заметим, что вид (и даже существование) суперсимметричных моделей в существенной степени зависит от размерности и сигнатуры пространства-времени. Именно поэтому в этой части была рассмотрена только четырехмерная модель. Суперсимметричные теории в пространствах других размерностей в современной физике играют огромную роль, но для того, чтобы понять ее, желательно вначале ознакомиться с квантовой теорией поля и возникающими в ней проблемами.
Задачи
1.	Доказать, что в случае, если связность согласована с метрикой, условием разрешимости уравнения движения для поля гравитино является равенство = 0.
424
Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
Уравнение движения для поля гравитино записывается в виде
^^7,75 VQW = 0,	(8.164)
где 'уу — €пи- Применяя к уравнению оператор и используя свойство антисимметрии ^-символа, получаем, что
0 = e^uJ>75[VM,VQlt>,3,	(8.165)
причем ковариантные производные действуют как на тензорный, так и на спинорный индекс. Коммутатор двух таких ковариантных производных может быть легко вычислен:
О = г^"а7,75(Лдаз7^ +	(8.166)
В силу тождества Риччи (6.134) любая свертка тензора кривизны, построенного по метрике, с е-символом по трем индексам оказывается равной 0. Поэтому первое слагаемое исчезает. Кроме того, произведение 71/77'5 можно разложить по стандартному базису в пространстве матриц 4 х 4 с помощью формулы (3.58):
7"77<5 = -7V"	(8.167)
Поэтому (с учетом тождества Риччи) из уравнений движения получается условие
о = дур^а0	/ у/~9 = V~9

g'1S gnS
g0S
g1 д' д'
X
(8.168)
так что уравнение движения для поля гравитино в рассматриваемой теории оказывается совместным только если
RpV - }-Rgpv =0.	(8.169)
Свертывая это уравнение с д^, получаем, что R — 0, благодаря чему также и R^ = 0.
2.	Доказать тождества (8.157).
Докажем, например, второе тождество:
[VM,V„K=	(8.170)
— dp,Vi/lpot	Г/zq (б)	+ —'-‘Jp.ab'y Vi/фа	^)«
8.3. Гравитино. N=1 супергравитация
425
Поскольку символы Кристоффеля Г^(е) являются симметричными по нижним индексам, второе слагаемое в этом равенстве исчезает. Поэтому
[VM, V,]W=	(8.171)
= <9(, (д„&а - r^o(fi)V’d + ^сл,а(,7аЬш) - Г;,ц(е) (д,/Фа -	+
- |ч,>ь7аЬ(^^'а - Г^п(е)Фд + |wucd7cd^n) “ (ll ~ VY
Несложно убедиться, что все слагаемые, которые содержат производные поля гравитино, оказываются в сумме симметричными по индексам у и и и, следовательно, сократятся с аналогичными членами в (у и). Поэтому
.	, Vv]l^a	"* дцССиаЬУ ’Фа + 1 ца (й)1 ^,д(в)ф7 —
+ ^nab^ucd^ab^'d4’a -(/!<-> I/) = -R^f)a(fi)^/3 + 7 (d/j^ab -
10	4 X
d\ ab ;	,	1	. Г_ ab cdi tj ,3 . 1 г->	<*Ь„.
и&цаЬ ) "Y tyct 4' -''r ^Liab''‘^I'cd [7 , 7 ] — *	4~ ~ П.циаЬ'} Vai
/10	4
(8.172)
где была использована формула (3.85) для коммутатора матриц 7О,'?.
3.	Найти решение уравнений движения для поля связности, которые следуют из действия (8.155).
Полностью аналогично Задаче 3 Части 8.1 получаем, что уравнения движения для вспомогательного поля записываются в виде
ea>lKvbv - eb>1Kval/ + Ka,lb - К'ща = Т,аЬ,	(8.173)
где
Т^Ь =	(8J74)
При этом, как и ранее, Кцаь = и>^аь — а)цаь(е), а щмаь(е) — спиновая связность, согласованная с тетрадой.
Решение уравнения (8.173) в общем виде было получено в Задаче 4 Части 8.1 и имеет вид
= - (r,La:> - Tn/3,L +тва>1 -g^iv8 + ^Tvvay (8.175)
Это выражение можно существенно упростить. Для этого воспользуемся тождеством
Л с ab ^Q-c.b . bca , - abed	/о 17С\
7 7 = “7	+7 7 -^ге yd^5,	(8.176)
которое может быть легко доказано разложением по стандартному базису при помощи формулы (3.58). Также учтем, что поле является майорановским
426	Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
спинором, а следовательно, для него справедливы тождества (3.219), в частности,
:	а < IX	:	а . tl
v) 7 v* — -V' 7 v- ;
(8.177)
Поэтому тензор Т'1аЬ может быть эквивалентно переписан в виде
/Д? Т'шЬ
I' 2	,	7 Д'* 2	Л	, ,
h cvritii/ :	ab :	aiuis . abed ; /о i?o\
— £ 1 ^^73757 V. = — есз€ 1 t:ne 7dW»-	(8,178)
Используя формулы произведения двух e-символов, приведенные в Части 6.1.2, имеем:
V-9 Т"
ab
ba grfn с^'1 eJl1 еЬи edl'
VaTfdV’i' —
ik /---------- ( bll ’; a If !	° IJ , b <111 Д V \
=	V~9 Iе V’ /	~ T 7 V - f V 7 vL.J.
откуда, в частности, следует, что
,т: vet	• 7 2  а v ,
-Ztz -- -гк- v 7 ъ;Р.
(8.179)
(8.180)
Подставляя эти выражения в формулу (8.175), после несложных алгебраических преобразований получаем
т.'1«ур ik / cv и .3 । . М а ,3	/ м 3 < <\\
к^ = -^-7 7 е +w у у - V 7 И J.
(8.181)
4.	Вычислить тензор кручения, который соответствует связности (8.158).
В соответствии с результатами предыдущей части тензор кручения связан с тензором конторсии соотношением
Q,.," -	- Kv\.	(8.182)
Подставляя в это выражение тензор конторсии. полученный в предыдущей задаче, и принимая во внимание, что в силу свойств майорановских спиноров '•dik’ — -v:^<eva, легко получаем, что
(8.183)
5.	Доказать, что действие N = 1 супергравитации является инвариантным относительно преобразований суперсимметрии (8.160).
Для доказательства инвариантности действия удобно использовать т.н. формализм порядка 1,5 [7]. В соответствии с ним действие N = 1 супергравитации записывается в виде
S =	v)j,
(8.184)
8.3. Гравитино. N=1 супергравитация	427
где функция u/(e, v) является решением уравнения
-55--.-=0	(8.185)
<ч<«
и, как показано в Задаче 3, дается формулой (8.158). Тогда изменение действия под действием преобразований суперсимметрии можно представить в виде
8S = [d'x (-^-гйшраь +	+	(8.186)
J хдш,,,/’	<5cn/,	fey,/
Поскольку поле связности является решением уравнения (8.185), то первое слагаемое в формуле (8.186) автоматически окажется равным 0 и вариация действия перепишется как
6S = У" Л.г [ - 1 (dV-s R + 2/Я? 6eattR^ + 6еьа	х
xVMw	+ги'3'‘ХгП5^дш].	(8.187)
(При этом было учтено, что вариация символов Кристоффеля, которые содержатся в ковариантной производной, исчезнет при свертке с
Подставим в это выражение вариации полей тетрады и гравитино, даваемые формулами (8.160). Поскольку при этом
6е.а^ = Нац - —гкЁ'уп-ф^/2,	(8.188)
то, в соответствии с результатами Части 6.6, вариация поля тетрады с верхними индексами окажется равной
деа,‘ = -П^ - 1кёУ^фа/2.	(8.189)
Поэтому
[ d'x f i y-s (ёу°фа R - 2^N,aR^ - ^ЬФ3 ead'“' x Z/v J L Z	x	/ Z
+en3,^a fe7sV, ,V,c].	(8.190)
Проинтегрируем по частям предпоследнее слагаемое в этом выражении с помощью тождества
fe/’^[v<>£7J75V,/0, -?Vu(73feVMw)] ~са^да(ёу3^,^ =
= t)Q(£n^fe7J75VMw).
(8.191)
(В левой части все слагаемые с символами Кристоффеля исчезают благодаря наличию е-символа, а слагаемые со спиновой связностью взаимно
428
Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
сокращаются.) После этого с использованием выражения (8.157) для коммутатора ковариантных производных вариация действия перепишется в виде
8S = f <fx [ г- А~А (гу'М,, R - 2eAAR^a) - A-z-<hw3 еп0^ х Z К / L Z	\	/
(8.192)
Далее мы представим предпоследнее слагаемое в виде
Vq(7/375Vmv4 = [Vq,7375]Vm^ + 7a7oVaVM^	(8.193)
и учтем, что при свертке с ^-символом произведение ковариантных производных окажется равным половине коммутатора. Тогда с использованием тождеств (8.157), а также тождества Риччи для тензора R^ag^e), выражение для вариации действия может быть переписано в виде
8S = У '^'х рУ“<7 (У'— R ~ ^AAR^ - гк2е^ьфв£п0111' х *ААъАА, - 2eQ/3^e[VQ, 7375]Vm^ - \ea0^R^ab £7a75 x
X7abV’I/ + Rfii/ab 7а7з757а4 •	(8.194)
Докажем вначале, что первое слагаемое в этом выражении сокращается с двумя последними. Для этого переставим местами майорановские спиноры в последнем слагаемом. Это делается при помощи стандартной процедуры, описанной в Задаче 3 Ч^сти 3.1.6. Вначале мы используем условие майорано-вости поля гравитино трп = АаС, где С — матрица зарядового сопряжения, и вставляем между 7-матрицами 1 = С~]С:
AwA”^ = А СувС-У (C7aC“1С А - С Ас~' с7а) 75-	(8.195)
Поскольку получившееся выражение не имеет спинорных или матричных индексов, то оно не будет меняться при транспонировании. Поэтому, транспонируя правую часть равенства (8.195), с учетом того, что спинорные поля антикоммутируют и имеют место соотношения (С ')т = С = —С-1 и (С7М)Т = С7М, АС = С-уь, (см. Часть 3.1.6), получаем, что
Ф^зААье = -А А1- (сАсса - сассА)сс^Фс, =
= -ё757Ьи7;зУ = -ёААвЪ'Фс,-	(8.196)
С учетом этого тождества последние два слагаемые в формуле (8.194) могут быть представлены в виде
1 арии r> ~ ab. !	। 1 „аЗим о < _ . ab	1
4 ° ЛацаЬ £ 13 А {йФи "Ь	Riiisablpn 1'31 1^>~ —
xR^abA^, АЬ}т^п = -^ne^R^abec0£llbrA^a< (8.197)
8.3. Гравитино. N=1 супергравитация
429
поскольку
he abi 2i abed .7 } = ~j=^ V~9
(8.198)
в чем можно легко убедиться, используя формулу (3.58). Произведение двух ^-символов записывается через определитель от полей тетрады, умноженный на .д, благодаря чему выражение (8.197) окажется равным
i !—
-2^
еаа еЬа
eav ebv
ead ellJ edl'
R^abS'fdi’a = -iy/~9
21^тё7»фт).
Таким образом, мы
(8.199)
убеждаемся, что первое слагаемое в формуле (8.194)
сократится с двумя последними. Как следствие, вариация действия при преоб-
разованиях суперсимметрии перепишется в виде
SS = f d?x ^-1к^е7ьфв£а0^ ф^^Ч^ф» - 2еп0^ e[V Q, 7,375]	.
(8.200)
Убедимся, что это выражение рано 0. Для этого заметим, что поскольку =
[VQ,7/375] = [Va(e),7/375] + |л'а6с[71,С-7/375] = Л"а6/37!>75,	(8.201)
где было принято во внимание, что ковариантная производная от 7-матриц по связности, согласованной с метрикой, равна 0 и имеет место тождество
[7ЬС-7%] = [7ii'7'?i.7<i]75 = (7[Ь{7к!>7^} “ Ь16-7Й}7С1)75 =
= 27b7br/cd - 2усЪт]М.	(8.202)
(Квадратные скобки здесь обозначают антисимметризацию по индексам b и с.) При умножении равенства (8.201) на е-символ с помощью формул (8.49) и (8.159) получаем, что
7/375] = ^a0^Qapb7by5 = -^-£а0^фа7ьфв7ь75.	(8.203)
Как следствие,
6S - у У dAx£n0'1’'^ ~	+ ^’/’Q7c^0e7C75V,i^y (8.204)
Используем теперь тождество Фирца в виде (3.57). Из него следует, что
еа0>1‘'фп фр = —£а0^,'(^-7сфр7сфа - ^7cd фр^Фе,}, (8.205)
\ 4	о	/
430
Гл. 8. Модифицированные теории гравитации
если принять во внимание, что в силу тождеств (3.219) величины iya0ta, и	являются симметричными по индексам 0 и а и, следова-
тельно, при свертке с е-символом дают 0.
Далее нам потребуются следующие соотношения, которые выводятся из алгебры 7-матриц:
767С7ь = 7Ь( “ ~/ь0Г + 2^') = -2V';
7Ь7г<У7ь = 7b7(<7d|7b = 767'с( - 7b7dl + 2<5^ = 0.	(8.206)
(Во втором равенстве квадратными скобками обозначена антисимметризация по индексам_ с и d.) Подставляя в первое слагаемое формулы (8.204) произведение Фа фя в виде (8.205) и используя тождества (8.206), получаем, что 8S = 0. Это и доказывает инвариантность действия N = 1 супергравитации относительно преобразований суперсимметрии (8.160).
6. Доказать, что условие разрешимости уравнения движения для поля гравитино в супергравитации выполняется автоматически в силу суперсимметричной инвариантности.
Для совместности уравнений движения для поля гравитино необходимо выполнение условия
=0, О'фи
(8.207)
которое должно автоматически следовать из уравнений движения. Докажем теперь, что оно выполняется в N = 1 супергравитации благодаря суперсимметричной инвариантности действия. Вначале, как и в предыдущей задаче, запишем вариацию действия в виде
n sc / и ( SS -	(, 6S .. c SS \
0 = Sb = / dx I ------------г + --------------Se.au +	.
J	decoct	/
(8.208)
При этом первое слагаемое является тождественно равным 0, поскольку поле по построению является решением уравнения движения
-----ь = 0.	(8.209)
С учетом этого условия уравнение движения для поля тетрады может быть записано в виде
0--^ + -^—--^.	(8.210)
/j
Поэтому если использовать уравнения движения для поля тетрады, в силу суперсимметричной инвариантности действия N = 1 супергравитации будет иметь место тождество
о f Г $$ х -О - а х —— Sip,t.
J Sli^a
(8.211)
8.3. Список литературы
431
Принимая во внимание, что 5Ур = VMe/fc, после интегрирования по частям получаем, что
0=fd4x^,i~e.	(8.212)
J	оУр
В силу произвольности майорановского спинора е(ж), из этого равенства следует условие (8.207), которое и гарантирует совместность системы уравнений движения в рассматриваемом случае.
Список литературы
1.	A. Palatini. Rend.Circ.Mat.Palermo, 43, (1919), 23.
2.	Д.Д. Иваненко, П.И. Пронин, Г.А. Сарданашвили. Калибровочная теория гравитации, Москва. Издательство МГУ, 1985.
3.	Е. Cartan. С.R.Acad.Sci.Paris, 174, (1922), 593.
4.	W. Rarita. J. Schwinger. Phys.Rev. 60, (1941), 61.
5.	P. van Nieuwenhuizen, D.Z. Freedman, S. Ferrara. Phys.Rev. D 13, (1976), 3214.
6.	P. van Nieuwenhuizen. Phys.Rept. 68, (1981), 189.
7.	P. van Nieuwenhuizen, P.K. Townsend. Phys.Lett. В 67, (1977), 439;
P.C. West, A.H. Chamseddine. Nucl.Phys. В 129, (1977), 39.
8.	H.P. Nilles. Phys.Rept. 110, (1984), 1.
A.B. Lahanas, D.V. Nanopoulos. Phys.Rept. 145, (1987), 1.
Глава 9
ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ ВЫСШИХ РАНГОВ
9.1. Антисимметричные тензорные поля
9.1.1. Основные операции над антисимметричными тензорами.
Во многих моделях теории поля используются тензоры, которые антисимметричны по всем своим индексам. Например, такие антисимметричные тензорные поля естественным образом возникают в различных супергравитационных моделях [1]. Поэтому мы кратко обсудим основные операции, которые можно выполнять над такими полями, а также построим для них функционал действия.
Одним из простейших примеров антисимметричных тензоров является тензор напряженности калибровочного поля Ftw. Калибровочное поле AtJ также можно формально считать антисимметричным тензором с одним-единственным индексом. В общем случае можно рассмотреть некоторый полностью антисимметричный тензор с р индексами ДМ1М2...Мр. В частности, при р = 0 такой тензор представляет собой скалярное поле, а при р = 1 — векторное. Максимально возможное значение р равно размерности пространства, которую мы обозначим через D. Действительно, поскольку каждый индекс может пробегать D значений, то при р > D значения по крайней мере двух индексов совпадают. Поэтому в силу антисимметрии все компоненты такого тензора равны 0. Число независимых компонент антисимметричного тензорного поля, очевидно, равно Ср — число способов выбрать р различных значений индексов из D возможных. В случае, если р = D, то любой антисимметричный тензор пропорционален е-символу, поскольку нетривиальными будут только те компоненты, у которых все значения индексов различны и пробегают все возможные D значений.
Для антисимметричных тензоров можно определить некоторые операции, которые характерны только для них [2]. Для этого удобно формально свернуть рассматриваемый антисимметричный тензор по всем индексам с некоторым не зависящим от координат антикоммутирующим вектором £li:
=	(9-1)
9.1. Антисимметричные тензорные поля	433
и разделить результат на р\. При этом получится скаляр
(9.2)
Заметим, что при свертке произвольного тензора с аналогичным произведением векторов £ ненулевой вклад даст только его полностью антисимметричная часть. Поэтому каждому скаляру вида (9.2) соответствует единственный антисимметричный тензор.
Рассмотрим 2 антисимметричных тензора: А (ранга р) и В (ранга q), записанных в виде (9.2). Тогда их внешним произведением называется тензор, который соответствует произведению АВ. Этот тензор мы будем обозначать А Л В:
А АВ = АВ.	(9.3)
В силу определения внешнего произведения он, очевидно, будет иметь ранг р 4 q. В Задаче 1 показано, что
(ЛЛЙ);„...Мр^ =-Ь	(9-4)
нерест.
где сумма берется по всем возможным перестановкам индексов ст, а через sgn(cr) обозначен знак соответствующей перестановки. (Он равен 1, если перестановка получается с помощью четного числа перестановок двух соседних индексов, и —1 в противном случае.)
В силу определения операции внешнего умножения имеет место очевидное равенство
В А = (-1рЛ)р(в>Л£,	(9.5)
где Р(Д) — р, Р(В) = q — т.н. грассмановы четности величин А и В, которые определяются так:
Р( д\ _ > четное число, если А — коммутирующая величина
' '	1 нечетное число, если А — антикоммутирующая.
(9.6)
Еще одной важной операцией над антисимметричными тензорами является внешнее дифференцирование. Если А — некоторый антисимметричный тензор, записанный в виде (9.2), то его внешняя производная определяется формулой
dA = ^д^А.
(97)
В силу этого определения очевидно, что
d?A = ^С^АА = О,
(9.8)
434
Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
поскольку тензор антисимметричен, а тензор д^д^А — симметричен по индексам р и v. Таким образом, имеет место важное свойство: квадрат внешней производной равен 0. Оно называется нильпотентностью. Кроме того, в соответствии с формулой (9.7) для внешней производной справедливо следующее правило Лейбница:
d(A /\В) = (1АЛ B^^-\)p^A\dB.	(9.9)
Примером внешней производной антисимметричного тензора может служить, например, тензор поля в электродинамике, который определяется равенством F = dA. Это равенство (см. Задачу 2) эквивалентно переписывается в виде
к и и
= dtIAv - dvAtl.
(9.10)
Для теории Янга-Миллса тензор поля можно определить равенством
F dA + А А А.
(9.Н)
В Задаче 2 показано, что эта формула равносильна определению (4.11). Поскольку квадрат внешней производной равен 0, а в абелевом случае F = dA, то из формулы (9.8) следует, что dF — 0. В неабелевом случае аналогичное тождество имеет вид
0 = dF + Л/\ F - F/\ А0	(9.12)
(Задача 2), что эквивалентно тождеству Бьянки 'DflFti,/ = 0. В общем случае, как показано в Задаче 3,


с) А
.flp
•	^.рЛо/o...o-	(9.13)
Несмотря на то, что в этом равенстве стоят обычные производные, величина dA на самом деле является тензором, если А — тензор. Дело в том, что (как показано в Задаче 4) в формуле (9.13) обычные производные можно заменить на ковариантные:
_ V А
- V А
(\11 >.. .иv /п
(9.14)
Во многих случаях оказывается полезным следующий оператор *, называемый оператором Ходжа, который переводит
9.1. Антисимметричные тензорные поля	13.’>
антисимметричные тензоры рангам в антисимметричные тензоры ранга D — р, где I) — размерность пространства:
= л=г	• • • .9//»	1 ' и+1...	(9.15)
P’-Vlff1
В соответствии с результатами Части 6.1.2 и 5-символ с верхними индексами, и у/\д\ представляют собой тензорные плотности веса 1. Поэтому их отношение является тензором и оператор Ходжа действительно переводит тензоры в тензоры. Простейшим примером применения оператора Ходжа является определение дуального тензора поля, которое в плоском пространстве записывается в виде Ffll, —	/2 и,
очевидно, может быть эквивалентно переписано в виде
F=*F.	(9.16)
В Задаче 5 показано, что для оператора Ходжа справедливо следующее тождество:
*(*Л) = (-l)"(C“rtSgn(.g)H.	(9.17)
С помощью операторов * и d можно построить еще один оператор 3, который переводит антисимметричные тензоры ранга р в антисимметричные тензоры ранга р — 1:
3 = (-1)г> d* = (-O^+^-^gnCg) * d*,	(9.18)
где было учтено, что оператор, обратный к оператору Ходжа, действует на антисимметричные тензоры ранга D-p + 1 и в силу формулы (9.17) записывается в виде *-1 = (-1/р l^D ’’ bI^sgn(ry)*. Используя нильпотентность оператора d, можно легко доказать нильпотентность оператора 6:
З2 = -*-1 d2* = 0.	(9.19)
В соответствии с результатом Задачи 6, оператор 3 действует на антисимметричные тензоры следующим образом:
(9.20)
Наконец, можно построить оператор
Д = d.3 + 3d,	(9.21)
который называется лапласианом Ходжа-де-Рама. Используя описанные выше свойства операторов d, 3 и *, можно легко убедиться (Задача 7), что справедливы следующие тождества:
Ad = dA; АЗ = ЗА; А* = *Д.	(9.22)
436
Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
В Задаче 8 показано, что оператор Д действует на антисимметричные тензорные поля по закону
=	-	(9.23)
—Авц-2...Нр +	—	•
(Как обычно, коэффициент при произведении антикоммутирующих векторов £ должен быть антисимметризован по всем индексам.) В соответствии с этой формулой, в плоском пространстве оператор Д сводится к обычному оператору Лапласа, умноженному на (— 1)D.
Задачи
1.	Найти явное выражение для внешнего произведения двух антисимметричных тензоров.
Рассмотрим антисимметричный тензор
Ti2i...fip ।, = -j-j У7 s&n(<T)^cr(Mi---Mp^P. |...дР+,)’	(9.24)
ч' перест,
и свернем его с
(9.25) (р + ц)!
Достаточно очевидно, что при этом все слагаемые будут давать одинаковый вклад. Поскольку число перестановок индексов Д1,до.....Гр+q равно
(р + <?)!, то
___L__ cPi СМ2 СРр+<ГГ	__
(p + qji.	/4.../^+,
=	.  е-4М1М2...Мре-:е-2  • •	Вмр+1мр+2...Др+, • (9.26)
В силу формул (9.2) и (9.3) это означает, что
'U..mp+, = ИАВ)М1...Мр_ч,	(9.27)
что и требовалось доказать.
2.	Доказать, что тензор поля теории Янга-Миллса может быть представлен в виде F = dA + А А А. Записать аналогичным образом тождество Бьянки.
Из определения операций внешнего дифференцирования и внешнего умножения следует равенство
Fpu = F = dA + A\A = еС {дрА. +	=
= (OpAv - др Ар + АрАр - АрА^, (9.28)
9.1. Антисимметричные тензорные поля
437
которое эквивалентно стандартному определению тензора напряженности поля Янга-Миллса
F^ = ()цА^ = dvA^ •+ [Дм, А„].	(9.29)
Для того чтобы получить тождество Бьянки, применим к тензору поля операцию внешнего дифференцирования, используя тождество d2 = 0 и правило Лейбница (9.9):
dF = dA/\A-AFdA = (F-A/\A)FA-AF(F-A/\A) =
-Fc А- Ас F.	(9.30)
Входящие в это равенство величины могут быть легко найдены:
dF = \ C^CdaF^ = i СеС (daFfl„ + д,^п + dPFnp);
F F A = 1	| ГГС (Fa/1AV + FpaAfl + F^Aa]. (9.31)
z	о \	/
(Заметим, что выражения в круглых скобках полностью антисимметричны по своим индексам.) Поскольку
AaF^ - F^Aa = [Да, F\lP\,	(9.32)
равенство (9.30) может быть эквивалентно переписано в виде
T^aFf^, +	+ T>PF>P = 0,	(9.33)
где
FaF^ = <FI'pP + [Да, F^v]	(9.34)
— ковариантная производная тензора поля. Сворачивая равенство (9.33) с S'-символом, получаем обычное тождество Бьянки (4.12) FaFai3 =0, где, как обычно, используется обозначение Faii = e"z3'“'FM1//2.
Заметим, что приведенный вывод тождества Бьянки фактически повторяет вывод, сделанный в Задаче 2 Части 4.1.1.
3.	Доказать, что внешняя производная антисимметричного тензорного поля ранга р дается формулой (9.13).
Рассмотрим выражение
Та^, ц.,...цр dnAPlp.2...flp —
А,,Р2_ Р .. — дР2Ар <\...Рр — ... - dllpAlllll2...n, (9.35)
которое, как несложно убедиться, является антисимметричным относительно перестановки любых двух своих индексов. Умножим его па величину
438
Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
... £',р/(р + 1)!, учитывая, что все р— 1 слагаемых в формуле (9.35) будут давать одинаковый вклад. В результате получится, что
= Icr1 Cl’dnA^.i...,p=dA. (9.36)
4.	Доказать, что внешняя производная не меняется при замене обычных производных на ковариантные.
Формально заменим в правой части формулы (9.13) обычные производные на ковариантные. В результате получится следующее выражение:
: <1   (<[>	Ap|p2...ri..	(9.37)
С использованием определения ковариантной производной (6.85), оно может быть переписано в виде
I Ар| Д...рр 	1 (ЛЦР	4
Д2М:	 *Чр I	J.  ’tlp	I M2/<p
+1 ЛдМ2...а + Г;,рМгАм.a...Q + ...-*- Г^р„Лм.М2...,з.	(9.38)
Поскольку тензор Л антисимметричен, то несложно убедиться, что выражение (9.37) также антисимметрично по всем своим индексам. Поэтому выражение (9.38) также полностью антисимметрично. Однако, символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам. Поэтому все слагаемые, которые их содержат, должны взаимно сократиться, что можно легко проверить. Как следствие,
= (dA)niil^2...IJp.
./ip
I‘p	—
(9.39)
5.	Вычислить квадрат оператора Ходжа.
Используя определение оператора Ходжа, получаем, что
*(*ЩчЛ:>---Рр ' ~	.. /.	Зм:иЗ/'2"2 •   9t‘r,Pp£ ’ 2	13	t'D =
(D - р)!\/1(/|
= (9-40)
В силу антисимметрии е-символа по всем своим индексам справедливо равенство
= (-l)P(°“p)e“-rt%^,...,D.	(9.41)
9.1. Антисимметричные тензорные поля
439
Кроме того, из тождеств, доказанных в Части 6.1.2 следует, что
!	д1'1"2 ... (/""
: д^а- д^- ... g,J^>'
Раскрывая определитель, мы получим р! слагаемых, одинаковый вклад. Поэтому окончательный результат
д^-2
причем может
... д''»а”
(9.42)
все они дадут быть записан
в виде
—	1 ^SSn Cf/Mpi М2---Ир
(9.43)
6.	Найти, как оператор <5 = (—1)р * 1 d* действует на антисимметричные тензоры.
Последовательно применяя определения операторов * и d, получаем, что
(дЛ)м,
(-iC+^'sgnto) г , (Л-р)!\/Ы
(9.44)
Используя антисимметрию е-символа, несложно убедиться, что
Ч,,-д₽ ,ад'-3" Р-(~1)РР	(9-45)
(При этом было учтено, что четности чисел р и р2 одинаковы.) В Части 6.1.3 было показано, что
V„( -‘"""•"Н- 0.	(9.46)
Поэтому, в силу формулы Лейбница, можно прокоммутировать эту величину с ковариантной производной:
(д4)м;...рр , —
—	(~*)Д г? 7 1гД|...Зр>. „л	<ч,...п,Л	(аи?)
" (D - р)!р! А/	м|...вр-,-з1...з„..;,(>|..-рЯ	)
Произведение s-символов вычисляется по формуле (6.57), полученной в Части 6.1.2:
Л •’Л) 1,з	_
~	м [ • • • Цр '	о р<\ •...о р
I	дзп. дз„.2	...	дзя„
-	9e\ni		9/“.ni'
р:1	.	.	.	. i. (9.48)
i 9/jp-iai	«г 	.9м„- «р |
440
Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
Раскрывая определитель, получаем р! различных слагаемых, причем все они дают один и тот же вклад после свертки с антисимметричным тензором Поэтому, окончательно.

(9.49)
7.	Доказать, что оператор А коммутирует с операторами с!, д и *.
Равенство [A, d] = 0 следует из нильпотентности оператора d:
dA - Ad = d(d'd + d<5) — (d<5 + Sd)d = 0.	(9.50)
Полностью аналогично, равенство [A, <5] - 0 следует из нильпотентности оператора й. Наконец, для того, чтобы доказать свойство [А,*1 =0, перепишем оператор А в виде
А = dd + 5d = sgn(.g)(-1 )Wp+ w H (d * d * Ц-l)p * d * d),	(9.51)
где было учтено, что оператор й в первом слагаемом действует на тензоры ранга р, а во втором слагаемом — на тензоры ранга р-г 1. Как следствие,
*Д-А* = sgn(</)(-l)Pp,PH(*d*d*+(-l)₽(D-p)+Dd*d) -
—sgn(g)(-l)£’(/?-₽)-w“l ((-l)p(/?_p)d*d + (-1)° *d*d*) =0, (9.52) где также было учтено на тензоры какого ранга действуют операторы *.
8.	Найти, как оператор А действует на антисимметричные тензорные поля ранга р.
Используя формулу (9.14), а также полученное в Задаче 6 явное выражение для оператора <5, получаем, что
ddA= (-l)°Vr^Vo4MlM2...Pp -	-
~VAi2X//1a'...Mp — ... — Лд, .	(9.53)
Аналогичным образом
ddA = (— 1) (V^, Vo	 -н-v ~	-Mp ~
V/ij Vo Ao;i2/x; .. ,/2p —	— Vpp Vq Ao/22.. .;tp IMl). (9.54)
Несложно проверить, что оба полученных выражения являются антисимметричными по всем своим индексам. Складывая их, а затем (для того чтобы
9.1. Антисимметричные тензорные поля
441
записать все полученные выражения в более краткой форме) умножая результат на ...^о/р\, получаем, что
=	(9.55)
р!
= 1	(- i)D (vQ vaAM1M2..,,p + р [vM1,	.
Входящий в это выражение коммутатор ковариантных производных вычисляется по формуле (6.123):
'VM1,VQMnp2/1J...Pp =	(9.56)
Дав д	। и а 3 д	।	। р Q ® Д
33*	^1А3^2МЗ'.-Др “Г 32 ЛаДр;...рр Т    Т
В формуле (9.55) это выражение умножается на произведение антикоммутирующих векторов Это позволяет несколько упростить его с использованием тождества Риччи для тензора кривизны (6.134):

Поэтому окончательный результат может быть записан в виде
...Г°(ДЛ)М1,2..,1р =	...rD(-l)D X (9.58)
АМ|М2...Мр — рАзМ2..,Мр + -р(р — l)/?piM2 Ип,з/13...А1р^.
(Тензор в правой части, как обычно, должен быть антисимметризован по всем своим индексам.)
9.1.2. Интегрирование антисимметричных тензорных полей.
Пусть М — некоторое р-мерное многообразие М. Попытаемся определить на нем операцию интегрирования [2] следующим образом:
Выберем некоторую точку х и касательное пространство к рассматриваемому многообразию. Построим в нем р бесконечно малых линейно независимых векторов, которые мы будем обозначать d\x'J, dzxfl,...dpXfl, р —	(индекс внизу обозначает номер вектора)
и определим следующую величину:
dx11' Л dx11'2 Л ... dx^’ = sgn(<r) d\x°^1' d2xfl'2... dpX^, (9.59) перест.
где суммирование понимается по всем перестановкам а индексов /ij, Р2, • •• /гр, а через sgn(cr) обозначен знак этой перестановки. Заметим, что для краткости индексы, которые нумеруют векторы d.x'~‘, не
442
Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
выписывают. В Задаче 1 показано, что это выражение представляет собой антисимметричный тензор, который получается при последовательном внешнем умножении векторов d\xIJ, • .dpX^ в соответствии с формулой (9.3).
В случае, если на многообразии М задано поле метрического тензора др1/, то можно тензор (9.59) свернуть с е-символом и умножить результат на sgn(g) у/\д\ '):
<7lz = sgn(gl ? ц dx11'- A dx1'- А ... A dxpp =
Р'- V -!J\
= у/Ы dx1 Arfa:2 A ... /dxp. (9.60)
В Задаче 2 показано, что полученная таким образом величина по модулю равна объему бесконечно малого параллелепипеда, построенного на векторах dpxd1, ..., dpx'1. При этом положительный знак получается, если ориентация этих векторов совпадает с ориентацией локального базиса, и отрицательный, если она противоположна. (Говорят, что ориентация двух базисов совпадает, если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому положителен.)
Покроем теперь все многообразие М такими бесконечно малыми параллелепипедами и просуммируем величины dV. Очевидно, что в результате получится объем многообразия М:
V =[ dV - I	„ dxpl /\ dxA'2/\.../\ dxPp.	(9.61)
J J P'-V\g\
Умножая dV на некоторую функцию, определенную на многообразии М, можно проинтегрировать ее по этому многообразию.
Предположим теперь, что М вложено в некоторое D-мерное (в общем случае искривленное) пространство. Тогда построенные выше векторы diXfl будут также принадлежать D-мерному касательному пространству. Поэтому далее мы будем считать, что индекс р пробегает значения от 1 до D. Величина dxfil A dxA2 А ... A dxllp при этом будет представлять собой некоторый антисимметричный тензор ранга р с верхними индексами.
Пусть на многообразии М задано антисимметричное тензорное поле ранга р. Тогда можно построить скаляр
А = -^A/lip>_.Ppdx/11 A dx11'2 А ... A dxflp,	(9.62)
*) Напомним, что в наших обозначениях е?12...р = <7-
9.1. Антисимметричные тензорные поля	443
который называется дифференциальной формой ранга р. Суммируя эту величину по всему многообразию М, получим некоторый скаляр, который называется интегралом от р-формы по многообразию М:
I у A^.^dx'1' Ndx^2 К... К dx^. (9.63) Аг	А г
Таким образом, антисимметричный тензор ранга р можно проинтегрировать по р-мерному многообразию. Важно, что при этом нигде не требуется наличие поля метрического тензора.
Заметим, что выражение dx^'1 Л dx'1'2 Л ... Л dx'1’' антисимметрично по всем своим индексам, так же, как и произведение антикоммутирующих векторов	которое использовалось в предыду-
щей части для построения различных операций с антисимметричными тензорными полями. Поэтому во всех предыдущих формулах можно вместо произведений писать внешние произведения dxA. Например, внешнюю производную дифференциальной формы можно определить следующим формальным равенством:
Л dx12'2 Л ... Л dxA’’^ =
=—tdAu.p, и Л dx12' Л dx'12 Л ... Л dxllp,	(9.64)
р] р.М-х- • •Р'р	’ v 7
где dAflyfl2_,ljp — dxAdltA^llt2_^p — обычный дифференциал поля ^Д1Д2---Ир-
Рассмотрим теперь гладкое многообразие М с границей, которую мы будем обозначать через дМ. Покроем многообразие М областями Мп, в каждой из которых параметризуем его некоторыми координатами q1. В случае, если можно сделать так, чтобы все локальные базисы имели бы одинаковую ориентацию, многообразие называется ориентируемым. Для ориентируемых многообразий справедлива
Многомерная теорема Стокса:
У dA= I А,	(9.65)
М дМ
причем ориентация па многообразии М согласована с ориентацией на границе дМ следующим образом. Построим внешнюю нормаль п12, которая лежит в касательной плоскости к многообразию Л/ и перпендикулярна его границе. Тогда базис в касательном пространстве, образованный векторами dix^, d^x12, ..., dpX12, которые используются при построении интеграла в левой части, должен иметь ту же самую ориентацию, что и базис п12, d\xfl,.. .d^px12, где векторы d'px^,.. Л'р_}х12 используются при построении интеграла в правой части.
Доказательство приведено в Задаче 3.
444
Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
Заметим, что в теореме Стокса не требуется задавать поле метрики на многообразии М.
Исследуем некоторые частные случаи этой теоремы. Если р = D -- 1, а пространство имеет D измерений, то из многомерной теоремы Стокса следует, что (Задача 4)
У dVV,AIJ = у dSfjA^
М	дМ
(9.66)
где
1
А11 =
«I ...Од-
(9.67)

Таким образом, из теоремы Стокса получается теорема Гаусса-Остроградского. В частности, в плоском евклидовом пространстве
у dV divA = у dSA,	(9.68)
М	дм
где вектор dS направлен вдоль внешней нормали к многообразию М.
В другом частном случае плоского евклидова пространства с D — 3 при р = 1 из многомерной теоремы Стокса следует обычная теорема Стокса (Задача 5)
dlA.
(9.69)
м
дМ
Задачи
1.	Убедиться, что величина (9.59) действительно представляет собой внешнее произведение векторов dix11, diX11, .... dpxfl.
Умножая правую часть формулы (9.59) на . ..^р/р! и учитывая, что число слагаемых в сумме по перестановкам равно р!, получаем величину
C'dxx^^diX11 ...^’dpx11.	(9.70)
В соответствии с формулой (9.3) эта величина и представляет собой внешнее произведение указанных векторов.
2.	Доказать, что величина dV, определенная формулой (9.60), представляет собой объем бесконечно малого параллелепипеда, построенного на векторах d,x.
Используя равенство (9.59), выражение для dV можно переписать следующим образом:
dV =	Mpd,^'d2^ .. ,dpx^.	(9.71)
V iffl
9.1. Антисимметричные тензорные поля
445
Все нетривиальные компоненты е-символа равны ±д. Поэтому в силу определения детерминанта
dV = det diX>l.
(9.72)
В соответствии с результатами Части 6.1.1 в локально лоренцевой системе координат модуль этой величины представляет собой объем бесконечно малого параллелепипеда, построенного на векторах d\X,..„ dr>x,. Поскольку выражение (9.71) является скаляром, то это очевидно верно и в произвольной системе координат.
3.	Доказать многомерную теорему Стокса.
Покроем р-мерное многообразие М набором областей Ма и введем в каждой из них некоторые координаты q’, i = 1,...,р. (В каждой области такие координаты свои.) При этом без ограничения общности можно считать, что каждая из координат д' в рассматриваемой области будет изменяться в пределах от 0 до 1.
Изменение координат .т'1 при некотором бесконечно малом смещении по многообразию М может быть, очевидно, записано в виде
dx1'' = — dql.	(9.73)
dql
При этом номер вектора i изменяется от 1 до р, а номер координаты р — от 1 до D, где D — размерность пространства, в которое вложено рассматриваемое многообразие. Тогда, с использованием равенства (9.59), дифференциальная форма А может быть записана в виде
А = (р2 р, А-Щ2-.-мр-АМ1 ^dx>L- Л  hdx*p-'‘ =
= т—d(?' ^dq"2 Л-- - ^dq1”-', (9.74) (р- 1)!
где
.	_	feei дх>‘>
Лгр2-..’Р--1 - А<1Р2-..Мр
дх^р-' ддгр~1
(9.75)
При этом было учтено, что если в р-мерном плоском евклидовом пространстве задаются некоторые бесконечно малые векторы dq\ то в соответствии с формулой (9.73) каждому из них будет соответствовать бесконечно малый вектор dx>l, который лежит в касательном пространстве к многообразию М.
Внешняя производная дифференциальной формы А может быть вычислена по формуле (9.64), которая фактически представляет собой формулу (9.7), в которой вместо произведения антикоммутирующих векторов стоит внешнее произведение dx22:
dA = -—!— daAfl _tdxa A dx14 A dx1"2 A ... A dx^-' =
(p — 1)!	p
= 7—Цтг	dqa Adq'1 Adq1'2 A ... A dg’₽-1.	(9.76)
(p - 1)! dq	p ‘
446	Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
(При выводе последнего равенства также была использована формула для производной сложной функции.)
Построим р векторов d„</' (индекс а нумерует эти векторы, а индекс i — компоненты этих векторов в плоском р-мерном евклидовом пространстве) следующим образом: у первого вектора отлична от 0 только первая компонента, которую полагаем равной dq', у второго — только вторая, равная dq2, и т.д. Тогда в соответствии с определением (9.59)
dq1'- /\ dq‘- Л ... Л dq’1' =	dq1 dq2 ... (JqT	(9.77)
(Наличие е-символа очевидно, поскольку выражение, стоящее в левой части, полностью антисимметрично по всех своим индексам.) Поэтому интеграл по некоторой области Л/, С М может быть записан как
/ dA =	,.	(9.78)
л/,	о
Интеграл по переменной qa сводится к интегралу от полной производной и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
I dA=-^-^^ / dqi...dqa-ldqa+i...dqpX
М,	°  1 о
,(9° = 1)- Л!|12..= 0)}. (9.79)
Убедимся, что эта величина совпадает с интегралом по границе рассматриваемой области от дифференциальной формы А. Для этого зафиксируем некоторое а и рассмотрим часть границы, которая соответствует qa = 1. В качестве набора из р — 1 бесконечно малых векторов d'q1 на этой части границы можно взять построенные ранее векторы diq', ..., da-iq‘, da+\ql, ..., dp-iq\ ±dpql. При этом знак перед последним вектором мы будем подбирать так, чтобы выполнялось равенство
dq' ...dqa 'dqa+l ...dqp = - ’ (£fcJinkdqJ‘ /'dq’1 Г ... Л dq’" ", P '	(9.80)
где nt — единичный вектор, направленный вдоль внешней нормали к границе. (В данном случае верхние и нижние индексы не различаются.) Это и означает, что ориентация на многообразии М согласована с ориентацией на границе дМ способом, который был указан в формулировке многомерной теоремы Стокса. Действительно, поскольку все dq1 положительны, то положительными будут как левая часть формулы (9.80), так и правая часть формулы (9.77), умноженная на £;;г.,...гр. Как следствие, ориентация каждого набора векторов (diq',..., dpql) и (гГ, d\q\ ..., d’p_।q1) совпадает с ориентацией локального базиса. а следовательно, является одинаковой.
9.1. Антисимметричные тензорные поля
447
С помощью равенства (9.80), а также тождеств (6.57) для произведения е-символов можно переписать формулу (9.79) в виде
/ dA —	1 - V [ dq"‘ Л dq- Л ... Л ... dqv 1 х
J
л/,	1
х (ппА,г,.-- 1)-п"Л,,(<?“=())). (9.81)
Для частей границы р-мерного куба, которые соответствуют qa — 1 для некоторого а, а-я компонента внешней нормали па — 1, а для частей границы, соответствующих qa = 0 па = — 1. Поэтому полученное выражение может быть эквивалентно переписано в виде
JdA=lP~lyH ] dq1' ^dq’^..^...d^-' t. (9.82) .w,
Заметим, что в этом выражении суммирование ведется по граням р-мерного куба, которые соответствуют границе рассматриваемой области Mi.
Рассмотрим теперь две соседние области М\ и Л/г- В силу определения операции интегрирования очевидно, что
I dA+ I dA = I dA.	(9.83)
С другой стороны, также имеет место равенство
I А 4- I А= у А,	(9.84)
дМп 9M:j
поскольку интегралы по общей границе двух областей очевидно взаимно сокращаются. Действительно, в точках общей границы внешние нормали для областей ЛД и М2 направлены противоположно. Поэтому в силу формулы (9.80) интегралы по перегородке, которая разделяет рассматриваемые области, взаимно сокращаются.
Проводя аналогичное суммирование по всем областям, покрывающим многообразие М, получаем утверждение теоремы Стокса.
4.	Доказать, что при р = D — 1 многомерная теорема Стокса сводится к теореме Гаусса-Остроградского.
Рассмотрим D - 1 форму	. Ее внешняя производная является
антисимметричным тензором ранга D. Очевидно, что любой такой тензор с точностью до зависящего от координат множителя должен быть пропорционален ^-символу. В частности, с помощью формул (6.57) несложно убедиться, что

(9.85)
448
Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
Удобно определить вектор
Ам =-------’	(986)
(D- 1)Мз1
(Деление на \/|р1 необходимо для того, чтобы в результате этой операции получился тензор, а не тензорная плотность.) Тогда, принимая во внимание, что е-символ с верхними индексами не зависит от координат, внешняя производная антисимметричного тензора ранга D — 1 может быть записана в виде
= ^W.2...MDdivA,	(9.87)
vlsl
причем дивергенция D-мерного вектора Аа строится полностью аналогично трехмерному случаю
divA = V(lA" =	(9.88)
vlffl V 7
Как следствие,
dA = dV divA,	(9.89)
где dV — форма объема, определенная равенством (9.60). С другой стороны,
А = Ш	Л "	=
= ----sgn(g-)..__ Atl в.0I. tdxPt /\...Adx0D-'.	(9.90)
(/9 - 1)!
Определим вектор
dS'M =	.tdx0' Л dx0- Л ... Л dx0D~'.	(9.91)
Тогда А = d.S'M А'2, и утверждение теоремы Стокса может быть записано в виде
У dV divA = у dSA.	(9.92)
м	ам
В частном случае плоского евклидова пространства отсюда получается обычная теорема Гаусса-Остроградского.
5.	Доказать, что в плоском трехмерном евклидовом пространстве при р = 1 из многомерной теоремы Стокса получается обычная теорема Стокса.
Внешняя производная поля А, в плоском евклидовом пространстве D = 3 измерений может быть записана в виде
(dA),j = diAj - djAi = £ijfc(rotA)fc,	(9.93)
тогда как элемент площади 2-мерной поверхности равен
dSk = ^Sijkdx1 /\ dxj.	(9.94)
9.1. Антисимметричные тензорные поля	449
Поэтому из многомерной формулы Стокса следует, что
/ (dA'jjjdx' /\Лт* = У dSj-(rotA)fc = dSrotA = dx Ai = J dlA.
Л/	М	М	l)M	DM
(9.95)
9.1.3. Действие для антисимметричных тензорных полей.
Рассмотрим антисимметричное тензорное поле ранга р А(11_^р (или А в обозначениях (9.2)) и построим для него тензор поля F = dA. В соответствии с результатами Части 9.1.1 этот тензор является антисимметричным тензором ранга р + 1. С его помощью действие антисимметричного тензорного поля А в пространстве D измерений 9 можно записать в виде
+	(9-96)
причем индексы поднимаются и опускаются стандартным образом с помощью метрического тензора. Очевидно, что в частном случае р — 1 формула (9.96) переходит в обычное действие для электродинамики с внешним источником. При этом источник для антисимметричного тензорного поля А представляет собой антисимметричное тензорное поле j того же ранга.
Аналогом уравнений Максвелла без источников в данном случае будет тождество Бьянки
dF - 0.	(9.97)
Это тождество следует из нильпотентности внешней производной, которая была доказана в Части 9.1.1. В Задаче 1 показано, что уравнение движения для поля А может быть записано в виде
5F = (-l)Dj,	(9.98)
где оператор 5 был определен равенством (9.18). Уравнение (9.98) является инвариантным относительно калибровочных преобразований
А -> А + da,	(9.99)
где а — произвольный антисимметричный тензор ранга р— 1. (Мы не выписываем явно его индексы, подразумевая, что используются сокращенные обозначения (9.2).) Эта инвариантность следует из
’) Нормировочная постоянная перед действием соответствует сигнатуре (+
15 К. В. Степаньянц
450	Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
нильпотентности операции внешнего дифференцирования, поскольку при таких преобразованиях тензор напряженности меняется по закону F —> F • d2a ~ F. Калибровочную инвариантность (9.99) можно зафиксировать выбором калибровки
<5Л = 0 о	=0,	(9.100)
которая обобщает калибровку Лоренца. В Задаче 2 показано, что в этой калибровке уравнения движения для поля А могут быть записаны в виде
ДЛ-(-1)пД	(9.101)
где Д — лапласиан Ходжа-де-Рама, определенный равенством (9.21). В явном виде его действие на антисимметричные тензорные поля дается формулой (9.23). Заметим (см. Задачу 2), что в калибровке (9.100), так же как и в калибровке Лоренца, имеется остаточная калибровочная инвариантность вида (9.99) с параметром «о + dfl, причем тензор по удовлетворяет условиям Доо = 0 и = 0, а 3 — произвольный антисимметричный тензор ранга р — 2.
Применяя к уравнениям (9.98) оператор 5 и используя его нильпотентность, которая была доказана в Части 9.1.1, получаем, что уравнения движения совместны, только если выполняется закон сохранения
6j = 0 о	=0.	(9.102)
При этом действие (9.96) является инвариантным относительно преобразований (9.99) с точностью до интеграла от полной производной (Задача 3).
Рассмотрим теперь, каким образом можно обобщить понятие точечного заряда. Действие точечного источника электромагнитного поля можно было записать в виде
-q у Зх,1А^ = J dt(qxA. — qipj,	(9.103)
м
где интегрирование проводится по мировой линии заряженной частицы. Это действие можно обобщить следующим образом:
(- 1)₽о / d.x'1' A dx'12 А ... A dxllp А.ци., \	/ J f	t* I г1- • • • IP
(9.104)
Это означает, что источник для антисимметричного тензорного поля ранга р имеет размерность р — 1 и при р > 2 является протяженным. Кроме того, интересно отметить, что источник (9.104) вообще не зависит от метрики, благодаря чему он не дает вклада в тензор
9.1. Антисимметричные тензорные поля
451
энергии-импульса. Действие для антисимметричного тензорного поля с таким источником запишется в виде
S'=	(	F	ГЛ|Д2.../<Р. 1 д_
°	2(р + 1)! / а .9 7/'|Д2---/пч1-г
+-(-1)г'-д [ dxp' Л dxU2 Л ... Л dx1'1'
(9.105)
Соответствующий симметризованный тензор энергии-импульса, определенный формулой (6.339), как показано в Задаче 4, оказывается равным
0 -- I____DLp р
'-’pi' —	।	' рщ.-.а,,-1 v
(-1)Р Г (р+
ра\ ...а,,_|
(9.106)
Задачи
1.	Построить уравнения движения для поля Л, которые следуют из действия (9.96).
Для того чтобы составить уравнения Лагранжа (1.23), требуются производные
_ ( 1)Р /— .а|...пр.	______дС______ _ ( 1)р /——	...ар
дАа1...ар р!	’	3(ЭмЛа1...„ ) р!
(9.107)
Из этих равенств легко получаем, что уравнение движения для поля А имеет вид
=Г""°Р-	(9-108)
Несложно убедиться, что это уравнение эквивалентно может быть переписано в виде
=	(9.109)
Действительно, используя определение ковариантной производной, симметрию символов Кристоффеля по нижним индексам и антисимметрию тензора F, получаем, что
+ r^F«a,...ap =	+
Fan'-a” = -^=5,7^9
V-9	V-9	'
(9.110)
(Во втором равенстве была использована формула (6.88).) Наконец, из формулы (9.20) следует, что уравнение (9.109) эквивалентно переписывается в виде
<5F=(-l)uj.
(9.111)
15*
452
Гл. 9. Тензорные поля высших, рангов
2.	Записать уравнения движения для антисимметричного тензорного поля ранга р и найти остаточную калибровочную инвариантность в калибровке (9.100).
Уравнения движения (9.98) можно эквивалентно представить в виде
(-\)Dj = 5F = SdA = (A~d6)A.	(9.112)
Поэтому в калибровке &А = 0 они перепишутся в виде ДА = (-l)Dj.
Для того, чтобы найти остаточную калибровочную инвариантность, представим а в виде а — ад т dfl, где fl — антисимметричный тензор ранга р — 2. Тензор fl можно выбрать так, чтобы антисимметричный тензор «о удовлетворял бы условию SaQ = 0. Тогда калибровка (9.100) будет сохраняться при преобразованиях (9.99), если
0 = <5d(«o + dfl) = (Д — d6)ao = Дао-
(9.113)
3.	Доказать калибровочную инвариантность действия (9.96) с точностью до интеграла от полной производной в случае, если ток j удовлетворяет закону сохранения (9.102).
Калибровочная инвариантность тензора поля очевидна в силу нильпотентности внешней производной d. Поэтому достаточно проверить калибровочную инвариантность слагаемого с источником. Используя формулу (9.14) и антисимметрию поля А, получаем, что
1 J dDX^rM-^A^.2..„1>	х
xA/ilM2...Mp + J dl)X^riM-^^^M....p.	(9.114)
Ковариантную производную в последнем слагаемом можно (с точностью до поверхностных членов) перекидывать с помощью правила Лейбница для ковариантной производной (6.90):
У Л^ЧГ№-"р^,аМ2...Мр = - У7„Г«-^аМ2...Лр =0.
(9.115)
Это и доказывает требуемое утверждение.
4.	Вычислить симметризованный тензор энергии-импульса для действия (9.96).
Вычисление симметризованного тензора энергии-импульса удобно проводить с помощью формулы (6.346). Для этого вначале разложим действие (9.105) по вариации метрического тензора с точностью до слагаемых первого порядка малости. При этом необходимо учесть, что тензор поля	+1
имеет только нижние индексы, а слагаемое с источником вообще не зависит от
9.2. Действие для свободных полей высших спинов
453
метрики. Поэтому, принимая во внимание, что в соответствии с результатами Части 6.6
ЬуГа = h; 6g^ = -h^, где /i(1„ = dg.n,. вариация действия запишется в виде
(9.116)
6S = -l~l' ЛУ^6'1^„ = (-1)РУ dDX^~g	х
xF|O,..np+1F“^-^ - ^^FMQ1...apF.a'-^).	(9.117)
Как следствие,
Я — ( _!Х /Г	L- а,...а„ _	( 1)Р т-	т7а,./О||О\
~	। С11П1...ПрГ^	2(р~С 1)! У'*''1 Or-Op-I '	
9.2. Действие для свободных полей высших спинов
9.2.1. Бозонные поля.
В ряде современных моделей теории поля, прежде всего, в теории струн [3] возникает бесконечный ряд частиц все с большими и большими значениями масс и спинов. Описание таких частиц, как правило, связано со значительными трудностями. В этой части мы рассмотрим два наиболее простых примера описания полей высших спинов. (В реалистичных моделях возникают поля существенно более сложной структуры.)
Несложно понять, что в пространстве четырех измерений частица со спином $ описывается с помощью симметричного тензорного поля 0Д1Д2---М»- Вспомним, что в Части 2.4 была найдена связь между спином (или спиральностью) частицы и представлением группы пространственных вращений, в котором находится соответствующее поле. Рассмотрим для простоты безмассовый случай. Как и ранее, мы построим единичные векторы а = 1,2, ортогональные направлению импульса к и образующие вместе с ним правый ортогональный базис. Тогда (см., например, Часть 7.2.3) векторы
(9.119)
будут являться собственными векторами оператора вращений вокруг направления импульса с собственными значениями ±1, а собственные векторы этого оператора с собственными значениями s и — s (которые, очевидно, равны спиральности соответствующих состояний) можно построить как
CL, eki  • • CL И CL ekTm2 • • • CL •	<9120)
454	Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
Эти состояния, очевидно, могут присутствовать только в том случае, если тензорное поле имеет по крайней мере s индексов, причем антисимметрия по любым двум индексам недопустима. Поэтому естественно предположить, что безмассовое поле спина s описывается полностью симметричным тензорным полем	. Оказывается, что оно также
должно удовлетворять дополнительному условию
0«“Л5...Рв-о.	(9.121)
Рассмотрим теперь, как можно построить функцию Лагранжа, которая описывает свободную безмассовую частицу спина ,ч. Во всех рассмотренных ранее примерах моделей теории поля имелась некоторая калибровочная инвариантность. Например, для случая электродинамики <5А/; — — д^а, а в случае теории гравитации
- d^lt.	(9.122)
Такие законы калибровочных преобразований можно обобщить следующим образом:

+ ...+ .у (9.123)
(Круглые скобки обозначают симметризацию по всем индексам.) При этом тензор а полностью симметричен по своим s — 1 индексам и удовлетворяет дополнительному условию
«а%3...Мь_, =0.	(9.124)
Выполнение этого равенства гарантирует, что преобразованное поле будет удовлетворять условию (9.121).
В £)-мерном пространстве существует единственное (с точностью до умножения на постоянную и переопределения полей) действие, квадратичное по полю ф, которое инвариантно относительно указанных преобразований [4]:
Это действие называется действием Фронсдала. Его калибровочная инвариантность проверена в Задаче 1. В Задаче 2 установлено, что
9.2. Действие для свободных полей высших спинов
455
в частном случае s = 1 оно описывает электродинамику (без источников), а в случае s = 2 — линеаризованную теорию гравитации (с точностью до несущественной постоянной). Уравнения движения для действия Фронсдала построены в Задаче 3:
^/11.I" 2'S('S' П	fl’.../I.)
“ 2	— 1/<з.	— 5	—	^дФ )I.I ...ii..) 4"
+ >,ф_ 1)(,ч_ 2) ,К11111Д)11лд3Ф3^„“ 0.	(9.126)
Инвариантность действия (9.125) относительно преобразований (9.123) позволяет выбрать калибровку [5], в которой
- Ф(/1ДП/е...г, ,) - 0,	(9.127)
причем во втором слагаемом симметризация понимается по индексам ... /j„_ 1. Заметим, что вид коэффициента перед вторым слагаемым определяется тем, что свертка левой части равенства (9.127) по любым двум индексам автоматически оказывается равной 0, что может быть элементарно проверено. Это нужно для того, чтобы число калибровочных условий оказалось бы равным числу параметров калибровочной инвариантности. В Задаче 4 показано, что в калибровке (9.127) уравнения движения могут быть эквивалентно переписаны в виде
-0.	(9.128)
Как следствие, решение уравнений движения для поля Фронсдала в рассматриваемой калибровке может быть записано в виде
(9.129)
где функция <р(А’) удовлетворяет условию
кпф1\...^ ~	1)	=°-	(9.130)
(Вывод этих соотношений полностью аналогичен рассмотренным ранее случаям скалярного, векторного и гравитационного полей.)
Калибровка (9.127) полностью не фиксирует калибровочную инвариантность (Задача 4). В ней существуют остаточная инвариантность, которая имеет вид (9.123), но параметр а дополнительно удовлетворяет условию
=0.	(9.131)
456	Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
Остаточные калибровочные преобразования в импульсном представлении будут записываться в виде
J 127Г)
Фр1/Х2-• -M.S (М * Ф)Ч М2-	(^) + ^’(М|	• -1'к )	'	(9.132)
Учитывая, что симметричное тензорное поле с s индексами в пространстве D измерений имеет
p_j _ (П + з- 1)! ' s!(D—1)!
компонент (Задача 5), можно вычислить число физических степеней свободы для поля Фронсдала (Задача 6):
{'•о-l	_ oc^d-i д_ opO-i ... рР-1	('9 134')
'-'D-s-l	^D-s-2 ^D+s 4 c'D+s- 5-
Если D = 4, то, как несложно убедиться, это выражение оказывается равным 2, что соответствует двум состояниям спиральности ±,s.
Построение нелинейной теории полей высших спинов, действие которой в квадратичном приближении по полям сводится к действию Фронсдала, представляет собой сложную и нетривиальную проблему, которая в настоящее время активно исследуется [6].
Задачи
1.	Доказать калибровочную инвариантность действия Фронсдала.
Вариация действия (9.125) при преобразованиях (9.123) легко вычисляется непосредственно (при вычислении необходимо также учитывать условие (9.124)):
<	55= У dl)X(<2d^l...flsdQdfila"--^ -
-	2(з -\)дафвв-
-	2дафа,12"-,1а др[^дв О2К...^ +(s- 1)9,	+
+(в- 1)<Эп(<Э°а;3«-'1‘ +c/aQ«'-^ + (s - 2)9wao£W--'i'} х
хдрф\м...^ +2(s- \)дафа\,...^д0д^^-^ -
-	(s- l)(S-2)9Q^/%4...^a795aW4-'J').	(9.135)
Совершая интегрирование по частям и отбрасывая поверхностные члены, несложно убедиться, что это выражение оказывается равным 0.
2.	Проверить, что при s — 1 из действия Фронсдала получается электродинамика, а при s = 2 — линеаризованная теория гравитации.
9.2. Действие для свободных полей высших спинов
457
Если s = 1, то тензорное поле имеет один индекс и
5 = -^- I dDx - (cW")2} - j" dL)x д,,ф^ -
+интегралы от полных производных.	(9.136)
Поэтому при .s -- 1 поле ф,,. можно отождествить с калибровочным полем Л/;. Если .s = 2, то
S = 1- I dnx (((Лад)2 - (ад/)2 - 2(fJ„0nM)2	(9.137)
Сравним это выражение с разложением гравитационного действия (7.31):
s = - А у dDx ((ад2 - гададл + dah°v - (адад’). (9.138) Принимая во внимание, что h = /г,,'*, мы видим, что оба действия отличаются на постоянную 4к~.
3.	Построить уравнения движения для действия Фронсдала.
Дифференцируя действие (9.125), получаем, что
= (-1)'4 5 *(адч...м...- -	-
-вг/п{1Чд.зф3,м...Мз) +	- 1)?Ь(д|	“О*
(9.139)
где круглые скобки обозначают симметризацию по индексам р,\,.../л3. Также очевидно, что
а£__^0.	(9.140)
Поэтому уравнения движения запишутся в виде
адад..,<, +	-^да11д:зФз,12...,,ф -
— 2	— 0 /mi	ь ;. .дя ) — 2 S('<’ — И 7/(м I ц^сДвф ^...рф —
-ад/- 1)(,з-2) 77((1|ад3ад? .ад.=о.	(9.141)
4. Записать действие Фронсдала и соответствующие уравнения движения
в калибровке (9.127). Пайти вид остаточных калибровочных преобразований
в этой калибровке.
)2
(9.142)
действию
458	Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
Возводя в квадрат калибровочное условие (9.127), получаем, что в рассматриваемой калибровке будет равно 0 следующее выражение:
/	1	.. а	\2	/
— 2 ('S —	i)J	Д|...//,ч
-«(« --	1)(сДс>,'/(1,...(
+ ~.ф“ l)(s -- 2)(U/>n3ri•
После добавления этого выражения (умноженного на —1/2) к Фронсдала получается, что
Несложно убедиться, что уравнения движения, которые следуют из этого действия, в калибровке (9.127) совпадают с уравнениями движения для исходного действия. Достаточно очевидно, что эти уравнения записываются в виде
<92ФМ|...(1я -	=0.	(9.144)
Заметим, что тот же самый результат можно получить и непосредственно из уравнений (9.126).
Сворачивая уравнение (9.144) с и учитывая, что фо- 0. получим равенство
(3 - s - /9/2) д’-ф^- 0.	(9.145)
Поскольку нетривиальный след поля ф может быть только при s 2, то при D > 2 числовой множитель оказывается отличным от 0. Поэтому второе слагаемое в формуле (9.144) оказывается равным 0, и уравнение движения запишется в виде
д2Ф, =0.	(9.146)
Остаточные калибровочные преобразования должны сохранять калибровку (9.127), т.е.
о - дадф'\ч.: - |(.Ч - 1)с?(М|Лф((9.147) Поскольку a,/', = 0, то
0 — // (//о О'/; । .. ./I, 	(-3	1 )г9(	.. ./j. ।))
-(.s - 1)Й;,7.У“«п,12..~	I- (9.148)
Это означает, что остаточные калибровочные преобразования записываются в виде (9.123). а их параметр является решением уравнения (9.148).
5. Вычислить число компонент симметричного тензорного поля ранга .s в пространстве D измерений.
9.2. Действие для свободных полей высших спинов	459
Воспользуемся симметрией рассматриваемого тензора и расположим его индексы в порядке убывания. Тогда число независимых компонент симметричного тензора ранга s в пространстве D измерений очевидно оказывается равным
о i , с- 1
ЕЕ Е ’•	,<ш9>
?I = I i-)~' 1 г.ч = 1
Используя эту формулу, легко проверить, что Л?(1) = D. а Лг(2) = D(J) — 1 )/2. Поэтому можно предположить, что
_ I)(D + 1) •... • (D + s - 1) _ (О +• s - I)!
' “	1 • 2 . ,7’s	“ ?s!(L> -Т)!
 1}
(9.150)
I •
Для того, чтобы доказать это равенство, удобно воспользоваться методом математической индукции. При s = 1 равенство очевидно выполняется. Предположим, что оно выполняется для некоторого ,s -- 1 и убедимся в его справедливости для ,э. В силу предположения индукции из формулы (9.149) следует, что
D	D-\
N(s)-£qLj_2 = £C^„,.	(9.151)
i=l	г=0
Несложно убедиться (см. далее), что последняя сумма равна С'^.п ] ~ =	Это и означает справедливость формулы (9.150) для произвольно-
го S.
Для того чтобы проверить справедливость формулы
I) >
£сх'_, = С^.„ ,,	(9.152)
1=0
также можно воспользоваться методом математической индукции. При D — = 1 рассматриваемое равенство очевидно выполняется. Предположим, что оно справедливо для некоторого значения I) и докажем его выполнение для /2+1: В силу предположения индукции
_ r., rs-i _ (s + о - - 1)! , (s + О - 1)! _ AAi.s i U+D-l +СПт.,-1	1)! + (s—1)!ZJ!
(9.153) s! IJl
Это и доказывает справедливость формулы (9.152), а следовательно, и формулы (9.150).
6. Вычислить число степеней свободы для безмассового поля Фронсдала.
Из результата Задачи 5 очевидно, что симметричное тензорное поле на которое наложены связи (9.121), имеет , - С^'. 5 независимых компонент.
460
Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
Фиксация калибровки (9.127) соответствует равенству 0 симметричного тензора ранга s — 1, свертка которого с метрическим тензором равна 0. Поэтому условие калибровки накладывает на поле ф еще С%+’_2 —	связей.
Кроме того, имеется еще остаточная калибровочная инвариантность, параметр которой вновь представляет собой симметричное тензорное поле ранга s — 1, свертка которого с метрическим тензором равна 0. Поэтому такая инвариантность позволяет исключить еще	степеней свободы. Та-
ким образом, число физических степеней свободы окончательно оказывается равным
- 2С^-‘„2 + 2С°~‘ „ - С^_5.	(9.154)
9.2.2. Фермионные поля.
Выясним теперь, каким образом можно описать свободное безмассо-вое поле полуцелого спина з = к + 1/2. Для этого заметим, что состояния, которые являются собственными векторами оператора вращения вокруг направления импульса с собственными значениями ±(А: + 1/2), можно построить как
e£>Vk+i---ek+m^k.+ -	(9-155)
где спинор определяется формулой (3.250) и является собственным вектором рассматриваемого оператора с собственным значением 1/2, а вектор определен формулой (9.119). Это означает, что поле с полуцелыми значениями спина (спиральности) разумно описывать с помощью антикоммутирующего поля	которое имеет спинор-
ный индекс анк векторных индексов р\,...,рк, по которым это поле полностью симметрично. (В дальнейшем для краткости обозначений спинорный индекс мы выписывать не будем.) Кроме того, при к > 2 наложим на него дополнительное условие
Ьа)аЧьа0в^..Шк-	(9.156)
В случае, если пространство-время является четырехмерным, то такое поле будет описывать частицу спина к + 1/2.
Оказывается [7], что для рассматриваемого поля можно построить действие, которое будет инвариантно относительно калибровочных преобразований
$Ф'р1...Цк =	=
~ к - --щ	+ •  • +	- /о -i‘k-:) ’ (9.157)
где e<iMl...Pj. , — поле, имеющее один спинорный индекс а и к — 1 векторных индексов р,],, рь -1, по которым оно полностью симметрично, а также удовлетворяющее условию
7QeaM,...^._2=0.	(9.158)
9.2. Действие для свободных полей высших спинов
461
(Свертку по спинорному индексу здесь для краткости обозначений мы выписывать не стали.) Заметим, что если умножить формулу (9.158) на 7М1, то в силу симметрии е будет справедливо равенство
=0.	(9.159)
Поэтому условие (9.158) гарантирует, что равенство (9.156) будет также выполняться для преобразованного поля.
Действие, инвариантное относительно преобразований (9.157) (инвариантность доказана в Задаче 1), записывается в виде 9
S = i(-l)fc У dDx	+ к ('фа)Л2"^к'уа') х
- ^к(к — \)фаа^--^УЭЛ'ввц3...цк ~
-к^-^Г)д^2...,к - кф^2-^дз^а^2...,к) +
+ ^(fe-l)^--^7'W7№...^ +
+ [-к(к - 1) (^-^/)а7<%з...д4	(9.160)
В случае к = 0 из этого действия очевидно получается обычное дираковское действие, а при к = 1 (Задача 2) — действие Рариты-Швингера, построенное в Части 8.3.1. Соответствующие уравнения движения получаются с помощью дифференцирования функции Лагранжа по полю гр. В явном виде они выписаны в Задаче 4.
Калибровочная инвариантность относительно преобразований (9.157) может быть зафиксирована выбором калибровки
ь _ 1
7	— £) + 2fc - 4	,.цк) — 0,	(9.161)
где круглые скобки обозначают симметризацию по индексам /j,2,... ,ць-Заметим, что выбор числового множителя перед вторым слагаемым связан с тем, что при умножении левой части на 7м2 автоматически получается 0 (Задача 3), и в силу равенства (9.158) число калибровочных условий оказывается равным числу параметров калибровочной инвариантности. В Задаче 3 также показано, что в калибровке (9.161) существует остаточная калибровочная инвариантность вида (9.157), параметр которой удовлетворяет дополнительному условию
^Utt2...nk - ^2Г7 4-	= 0.	(9.162)
') Предполагается, что пространство-время имеет сигнатуру (ч— ...—).
462
Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
Интересно заметить (Задача 4), что в калибровке (9.161) из уравнений движения следует, что
(9.163) 1J "Т ^n, U
Дело в том, что благодаря этому условию можно выбрать параметр остаточных калибровочных преобразований таким образом, чтобы наложить дополнительное условие	= 0 (Задача 5). С учетом
равенства (9.161) это означает, что калибровка может быть зафиксирована условием
=0.	(9.164)
В такой калибровке параметр остаточных калибровочных преобразований будет удовлетворять условиям (Задача 6)
: = 0;	с)пг(ч,,...11к. , = 0,	(9.165)
а уравнения движения могут быть эквивалентно переписаны в виде (Задача 7)
=0;	=0	(9.166)
и фактически сводятся к уравнению Дирака. Поскольку квадрат оператора Дирака равен оператору д2, то решение уравнений движения в калибровке (9.164) может быть записано в виде
(9.167) ./ (^)
где функция 'Ф(к) удовлетворяет условиям
=0;	0. (9.168)
(Вывод этих равенств полностью аналогичен решению уравнения Дирака, которое было подробно описано в Части 3.1.1.)
В терминах этой функции остаточная калибровочная инвариантность соответствует преобразованиям
СН1 ...ДЛ-
J (^)

(9.169)
причем
—О-	к'‘—О-	'."к- '	—О
(9.170)
9.2. Действие для свободных полей высших спинов	463
Число физических степеней свободы для поля v вычислено в Задаче 8. Если в пространстве D измерений спинор рассматриваемого типа имеет N вещественных компонент, то число физических степеней свободы окажется равным
, - ЗС";’_2 +	(9.171)
В частности, если D = 4, a N = 4 (т.е. v — майорановский спинор), то вычисленное по этой формуле число степеней свободы оказывается равным 2, что соответствует двум состояниям со спиральностями ± ±(/с + 1/2). Также несложно убедиться, что при к = 1 формула (9.171) переходит в формулу (8.100), которая была получена ранее.
Задачи
1.	Доказать калибровочную инвариантность действия (9.160).
Для вычисления вариации действия (9.160) при преобразов_аниях (9.157) заметим, что слагаемые, которые возникают из множителей ф. отличаются от слагаемых, идущих из вариации ф, на эрмитово сопряжение. Поэтому с использованием равенств (9.158) и (9.159) получим, что
6S = i(-l)fc У dDx	1 х
Т i(fe- 1ЯОД!-Д*	+
+(к - 1)2} + э.с. 0,	(9.172)
где было учтено, что в силу формулы (3.4) если — произвольный симметричный тензор, то	= S,,1'.
2.	Убедиться, что при к = 1 из действия (9.160) получается действие Рариты-Ш вингера.
В частном случае к = 1 действие (9.160) переходит в
3’ - -? У <1!,.т	+ (и;,,7°ДтК'г.)) -
?Х(-/‘ь«)). (9.173)
Для того чтобы упростить это выражение, воспользуемся равенством (8.120). которое было доказано в Части 8.3.1:
Д'?)"'1 ,/’V + 'ГУ(9.174)
464	Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
Умножая его на фп слева и д„Фв справа, получаем
5 = -^ (1ихфауааЯдаФв>	(9.175)
что с точностью до несущественной постоянной совпадает с действием Рариты-Швипгера (8.90).
3.	Доказать, что левая часть калибровочного условия (9.161) при свертке с 7 м- дает 0. Найти, как выглядят остаточные калибровочные преобразования в этой калибровке.
Умножая левую часть калибровочного условия (9.161) на 7м2 и учитывая симметрию поля ф по лоренцевым индексам, получаем выражение
/'З-.-ИА- D + 2l-4^*V**^“ МЗ-.-МА + (^	2)7(/43'0о li.t...14.pl> J •
(9.176) В силу равенства (3.4) фауа = D. Кроме того, 'умфапм...цк12.2 = 0 в силу определения поля ф. Поэтому с использованием антикоммутационного соотношения для 7-матриц получаем, что рассматриваемое выражение окажется равным 0.
Для того, чтобы найти остаточную калибровочную инвариантность, совершим калибровочное преобразование (9.157) над левой частью калибровочного условия (9.161). При этом необходимо принять во внимание, что параметр е удовлетворяет условию 7“cQM2...Mk_1 = 0. Как следствие,	= 0,
благодаря чему изменение левой части калибровочного условия (9.161) при преобразованиях (9.157) окажется равным
—	(9-177)
n, \	2-Z “Г Zn, — т	/
Условие калибровки, очевидно, будет неизменным относительно калибровочных преобразований, если это выражение равно 0.
4.	Доказать, что в калибровке (9.161) из уравнений движения следует равенство (9.163).
Уравнения движения для действия (9.160) получаются дифференцированием по полю ф и записываются в виде
+ \к(к~	(9-178)
где круглые скобки, как обычно, обозначают полную симметризацию по индексам pi,..., рк-
9.2. Действие для свободных полей высших спинов	465
Умножим это уравнение на ту''1'1'2. В результате после несложных преобразований, в которых используются тождества
v^,r = D-.	----2^",	(9.179)
а также условие	•- 0 (и его следствие уд/'), приходим
к равенству
7''cW/M...MA. -	= 0.	(9.180)
После этого с помощью калибровочного условия
7 Va/w.-./n- — /9 + 2/с - 4	‘ 9	(9.181)
переписываем полученное уравнение в виде
-- О- (9.182)
1Д | ZA  " V)
5.	Доказать, что параметр остаточной калибровочной инвариантности можно подобрать так, чтобы поле удовлетворяло бы условию	= 0-
В качестве параметра остаточной калибровочной инвариантности мы выберем величину
гм2-../ч.
k(k - 1) (L> + 2fc-4)c)2
'Уадп'!(112фв
з
i‘.t-
11^
(9.183)
или. в более привычных обозначениях, некоторое решение уравнения
д2-
U ~112---11к
1 /	Л Л,
(9.184)
При этом, конечно, необходимо убедиться в том, что такое еМ1.удовлетворяет условиям (9.158) и (9.162):
I12\ ft ,.,Д
< -H2-Hk- (n + 2fc_4)a2(^	; I	113...,к
- 27,.Л«Л,........= [nt2*_4)ai (и> - » - 6)-/' х
п...п - 2(.к - 2)7(11^аЧ’:/‘':11.1...11к))	°-	(9.185)
(Последнее равенство следует из формулы (9.163).)
Аналогичным образом доказывается выполнение условия (9.162):
2) -	2(А: 0 „ я .а _
с^.2...11к Ъ + 2к_4 Д.12^	- {р ( 2fe„4)y2 '(« ' -
[(f) - 2к - 6)7“с)„ШЙ;Л!...м/с) - 2(к - 2)7т<9„^дй"/,4...,1А.)] = 0.
(9.186)
466	Гл. 9. Тензорные поля высших рангов
Закон преобразования поля V’i/'д/.../ц получается при умножении формулы (9.157) па В результате получается, что
щ..,/ц. =	(9.187)
Подставим в это равенство параметр t , из формулы (9.183), а затем воспользуемся тождеством	= д2 и уравнением (9.163):
= “(ОТ2Г ~4)М^ ’+	Х
у Л-	1	!	/ 1 I “1“	_
’J “  (/р^—!)^ U +	2 J "
=	(9.188)
Это означает, что преобразованное поле Г будет удовлетворять условию Ь’о /rj.../х/, — О-
6.	Найти вид остаточной калибровочной инвариантности в калибровке (9.164).
Найдем, как будет меняться калибровочное условие (9.164) при калибровочных преобразованиях (9.157):
7/ 1	• .-in-	' (<3/11S/72-.-мл- + (^' — 1 )<3д2е/л1 Ю.../Ч-)•	(9.189)
Последнее слагаемое в этом выражении оказывается равным 0 в силу условия (9.158). Поэтому калибровочное условие (9.164) будет оставаться неизменным, если параметр е удовлетворяет уравнению Дирака
г'дае,=0.	(9.190)
Умножая это равенство па У'2. легко получаем, что параметр г также должен удовлетворять условию
, =0.	(9.191)
7.	Записать уравнения движения для действия (9.160) в калибровке (9.164).
В рассматриваемой калибровке выполняются условия д"= 0 и с,= 0. Они позволяют записать уравнения движения (9.178), построенные в Задаче 4, в виде
''!адгты111...1,1г -	с/Чд,м,...;И.) - 0.	(9.192)
После умножения этого уравнения на получается равенство
..,ч. 0.	(9.193)
9.2. Список, литературы
467
Подставляя его в формулу (9.192), находим, что также должно быть выполнено условие
daily,
= о.
(9.194)
8.	Вычислить число физических степеней свободы поля у.
В соответствии с результатами Задачи 5 Части 9.2.1 исходно в поле будет присутствовать А’Ср^-д компонент. Однако это поле удовлетворяет условиям связи
7п'Ча,12...,1А. = 0;	к''сП1,,...^ = 0.	(9.195)
Каждое из этих условий, если его рассматривать по отдельности, дает связей. Однако не все эти связи независимы. Действительно,
NCfi~l з условий
=0	(9.! 96)
следуют как из первой, так и из второй связи. Поэтому независимыми будут только 2NC^~k 2 - NC£_k_3 условий. Кроме того, необходимо учесть существование остаточной калибровочной инвариантности. Параметр г исходно имеет NC^~k_2 компонент, на которые наложены 2NC^_k_3 — NC^~k._4 связей
7^«м?...щ_, =0;	ка^,...„к ; =0.	(9.197)
Поэтому число параметров остаточной калибровочной инвариантности равно n(c^[. ! - 2С'12_'к_., + С%4к j), а число компонент поля ф равно
Nfcg;'., -3Cg+‘_, + ЗС,^._3-С’"_‘_з)-	(9.198)
Однако при этом мы пока не учитывали, что поля ip и е удовлетворяют уравнению Дирака. В соответствии с результатами Части 3.1.1 оно уменьшает как число независимых компонент, так и число связей в два раза. Поэтому окончательно число физических степеней свободы поля w окажется равным
-ЗС"+‘_2 + ЗСХ/._з CgJ._r). (9-199)
Список литературы
1.	Р. van Nieuwenhuizen. Phys.Rept. 68, (1981), 189.
2.	В.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. Методы и приложения. Москва, Наука, 1979.
3.	М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн, Москва, Мир. 1990.
4.	С. Fronsdal. Phys.Rev. D18, (1978), 3624.
5.	В. de Wit, D.Z. Freedman. Phys.Rev., D21, (1980), 358.
6.	X. Bekaert, S. Cnockaert, C. lazeolla, M.A. Vasiliev. Nonlinear higher spin theories in various dimensions, hep-th/0503128.
7.	J. Fang, C. Fronsdal. Phys.Rev., D18, (1978), 3630.
Приложение А
ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ О ГРУППАХ И АЛГЕБРАХ ЛИ
Приведем некоторые сведения из теории групп и алгебр Ли, которые достаточно часто используются в теории поля. При этом вместо того чтобы давать строгие математические доказательства, мы будем прежде всего стремиться максимально просто продемонстрировать, почему то или иное утверждение имеет место. Более аккуратное и подробное изложение различных сведений по теории групп и алгебр Ли может быть найдено в обширной литературе (см. список литературы в конце этой части).
А.1. Понятие о группах Ли
Группой G называется множество, на котором задана операция умножения, не выводящая за пределы этого множества и удовлетворяющая свойствам
1.	ассоциативность: V х, у, z € G (xy)z = x(yz}\
2.	в G Я единичный элемент 1, такой что М х Е G х  \ — I  х — х\
3.	V х € G Я обратный элемент х~1 такой что xx~l — x~lx = 1.
Если, кроме того, V х,у € G ху = ух, то группа называется абелевой.
Если каждому элементу щ группы G, поставлен во взаимнооднозначное соответствие элемент р(ш) группы G2, причем
,9(wiw2) = s(wi)fi(w2); 5(1) = 1,	(А.1)
то группы Gi и G2 называются изоморфными. Фактически, изоморфизм двух групп означает их эквивалентность.
Если внутри группы G имеется множество Н, которое также является группой относительно операции умножения, определенной в G, то такое множество называется подгруппой.
Если группа содержит конечное число элементов, то она называется конечной. Если же элементы группы являются гладкими функциями некоторого конечного числа параметров, то группа называется группой Ли. При этом число независимых параметров группы Ли называется ее размерностью и обозначается dimG. Область, образуемую множеством значений параметров группы, мы будем называть групповым многообразием. Если элементы группы Ли аналитически зависят от
A. I. Понятие о группах Ли
469
комплексных параметров, то она называется комплексной. В противном случае группа называется вещественной.
В теории поля наиболее важную роль играют группы Ли. Поэтому желательно привести некоторые примеры таких групп. Для этого вначале заметим, что группу образуют невырожденные (detw ± 0) матрицы размера п х п. Если это комплексные матрицы, то такая группа является комплексной и обозначается через GL(n, С). Операция группового умножения при этом, очевидно, определяется как умножение матриц. Оно с очевидностью не выводит нас за пределы группового множества, поскольку
det(wiW2) = detW] detcj2 7^ 0.	(А.2)
Единичным элементом является единичная матрица, а обратным — обратная матрица. Условие невырожденности гарантирует ее существование, а поскольку
detw~' = -Д- ± 0,	(А.З)
detcj г	'	'
то обратная матрица также принадлежит групповому множеству.
Так как в общем случае UW2 /W2W1, то группа GL(n, С) не является коммутативной (за исключением случая GL(1,C), элементами которой являются обычные комплексные числа).
Большинство интересных с точки зрения теории поля групп могут быть построены как подгруппы некоторой группы GL(n,C). Такие группы называются матричными. Например, невырожденные вещественные матрицы размера п х п образуют группу, которая обозначается GL(n) (или, эквивалентно, GL(n, R)). Для построения других матричных групп можно накладывать некоторые условия связи, которые инвариантны относительно операций группового умножения и взятия обратного элемента. Вначале мы выясним, как это можно сделать в комплексном случае.
Если элементами группы являются матрицы размера п х п и накладывается дополнительное условие detw= 1, то получается группа SL(n, С). (Наличие этого дополнительного условия кодируется буквой S в названии группы.) Ее групповая структура очевидна, поскольку дополнительное условие является инвариантным относительно операций умножения и взятия обратного элемента:
det(uJi<V2) = det Wj detu/2 = det 1 = 1;
j -1	1
detcj = ---------= 1.
detcj
1;
(A.4)
470 Прил. /1. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
Еще одним условием связи, которое согласуется с групповой структурой, является ортогональность:
— 1 .
(А.5)
Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что если и w-2 — ортогональные матрицы, то
(сь»!	) (u-’l CV2 )Т —	— Л |	— 1;

(А.6)
Если на элементы группы накладывается условие ортогональности, то в ее названии появляется буква О. В частности, комплексные группы Ли, которые состоят из произвольных ортогональных матриц размера п х п, обозначаются через О(и,С).
Легко проверить (Задача 1), что условие сДи — 1 означает, что сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1, а сумма произведений элементов одного столбца на соответствующие элементы другого столбца равна 0. Такое же свойство справедливо и для строк ортогональной матрицы. Кроме того, из условия сЛш = 1 также следует, что (detw)2 = 1. Это приводит к тому, что группы О(??,СГ) распадаются на две части (т.н. 2 компоненты связности), первая из которых состоит из матриц с det ш — 1, а вторая — из матриц с detw = - 1. Поэтому группы О(п,С) не являются связными: элементы с detw = 1 и detw = -1, очевидно, нельзя соединить гладким путем, все точки которого принадлежат рассматриваемой группе. Однако, если совместить условия det си = 1 и ортогональность, то получатся группы SO(n, С), которые уже будут являться связными. (Обратим внимание, что множество матриц иХ"' с отрицательным определителем в группах О(п,С) подгруппу не образуют, поскольку, например, det се,-det = (—I)2 = 1 / -1.)
Еще одним дополнительным условием, которое сохраняет групповую структуру, является условие симплектичности
т ( 0 1 \	( 0 1 \
(^-1 0	~	-1 0 }
(А.7)
где через 1 обозначена единичная матрица размера п х п. (Сохранение групповой структуры проверяется полностью аналогично случаю ортогональных групп.) Если накладывается такое условие, то в название группы добавляется символ Sp. В частности, группа комплексных сим-плектических матриц размера 2п х 2п обозначается Sp(2n,C). Символ S при этом не является случайным: так же, как и в случае ортогональных групп доказывается, что detш = ±1. Тем не менее, в случае симплектических групп имеется существенное отличие: определитель
А.1. Понятие о группах Ли
471
никогда не может быть равен -1. Это доказано в Задаче 2, где также показано, что в явном виде элементы Sp(2n, С) представляются в виде
а b
(А.8)
причем а. Ь, е, d представляют собой п х и комплексные матрицы,
которые удовлетворяют условиям
атс-ста —0; 6Тd - b = 0; aTd - Л = 1.	(А.9)
Можно доказать, что группы SL(n,C), SO(n,C) (при п > 1) и Sp(2n,C) являются т.н. простыми группами. Это понятие определяется следующим образом.
Подгруппа II группы G называется инвариантной, если V д G G и h G Н ghg~l & II, что можно эквивалентно записать в виде дНд'1 — — II или дII — IIд.
Неабелева группа Ли G называется простой, если она не содержит инвариантных подгрупп Ли, отличных от G, размерности большей или равной 1.
Например, группа SL(n, С) является нормальной подгруппой GL(n,C), поскольку V д 6 GL(n,C), V h С SL(n,C), (\eA.[ghg~}) = deth = 1. Поэтому группа GL(n,C) простой не является. У группы SL(n,C) также имеется нормальная подгруппа. Она состоит из элементов, которые пропорциональны единичной матрице и имеют вид е27Г,А'/", где k — произвольное целое число. Эта группа, очевидно, является конечной, состоит из п элементов, каждый из которых представляет собой корень п-й степени из 1 и обозначается Z„. В принципе, конечные группы можно считать группами Ли размерности 0. Но поскольку в определении простой группы требуется, чтобы отсутствовала инвариантная подгруппа размерности большей или равной 1, то SL(n,C) — простая группа Ли.
Простые группы замечательны тем, что в случае конечной размерности их можно классифицировать. При этом подавляющее большинство простых комплексных групп Ли оказываются связанными с уже построенными группами SL(n.,C), S()(n,C) (при п > 1) и Sp(2n,C). Однако вопрос классификации групп Ли оказывается не совсем тривиальным и несколько далее мы обсудим его более подробно.
Прямым произведением G] х (72 групп G'i и G> называется группа, образованная парами (и|,л), где др € G\, а G G>, причем произведением элементов (ш|,ш2) и (ш.з.шз) является пара (щ|щ.з,. обратным элементом к (щ,, ш2) — пара (дф ',ш2 ’), а единицей — (1, 1).
Матрицы прямого произведения двух групп можно представить в блочном виде
Л 0 \
0	)
(А.10)
472 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
где сщ — элемент первой группы, а — второй. При этом совершенно очевидно, что каждый из сомножителей в прямом произведении <7] х G-2 является инвариантной подгруппой. Поэтому группы этого вида простыми не являются. Но для прямых произведений произвольного числа простых групп Ли существует специальное называние. Они называются полупростыми группами Ли.
Заметим теперь, что условия, которые определяли те или иные группы представляют собой некоторые, как правило сложные, системы нелинейных уравнений. Поэтому с геометрической точки зрения группы Ли являются некоторыми весьма сложными (за рядом простых исключений) многообразиями. Важным (особенно с точки зрения теории поля) классом групп Ли являются компактные группы Ли, которые по определению имеют компактное многообразие. (Многообразие называется компактным, если из произвольной последовательности его точек можно выбрать сходящуюся к одной из его точек подпоследовательность. В принципе компактное многообразие можно представлять себе как некоторую замкнутую и ограниченную поверхность.)
Несложно видеть, что все перечисленные выше комплексные группы Ли компактными не являются, поскольку их элементы могут принимать сколь угодно большие значения. Однако примеры компактных групп можно достаточно легко найти среди вещественных групп Ли.
Наиболее простой способ построить ряд вещественных групп Ли — рассмотреть подгруппы GL(n, С), SL(n, С), О(п, С), SO(n, С) и Sp(2n, С), которые состоят из вещественных матриц. При этом получатся соответственно группы GL(n), SL(n), О(п), SO(n) и Sp(2n). Однако, не все эти группы будут компактными. Например, матрицы группы SL(2) можно представить в виде
/ «4 + аз fl] + а? \	(All)
I at - а-2 ац — аз ) ’	' ' '
причем -а2 + а22 — а| а2 = 1. Такое условие, очевидно, не может ограничить допустимые значения чисел а(-, и они могут принимать сколь угодно большие значения. Это и приводит к некомпактности SL(2), а, следовательно, и всех групп SL(n) (п > 1) и GL(n). Также не являются компактными и группы Sp(2n). Действительно, все они содержат подгруппу Sp(2), которая состоит из матриц вида (А.8), где а, Ь, с и d — вещественные числа, которые удовлетворяют условию ad — cb = 1. Это означает, что Sp(2) — SL(2) и эта группа (а, следовательно, и все группы Sp(2n)) не компактна.
Компактными будут группы О(п) и SO(n). Для доказательства достаточно заметить (Задача 1), что из условия = 1 следует, что сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1, а сумма произведений элементов одного столбца на соответствующие элементы другого столбца равна 0. (Такое же свойство справедливо и для строк ортогональной матрицы.) Поэтому модуль любого элемента должен быть
А.1. Понятие о группах Ли	473
меньше или равен 1. Это означает, что групповое многообразие является ограниченным. Кроме того, условие ортогональности очевидным образом определяет замкнутую поверхность, что и означает компактность. (Еще раз заметим, что группы О(п, С) (при п > 1) компактными не являются, поскольку ограничение накладывается на сумму чисел вида (а + Д)2 = а2 — I)2 + 2iab, что не приводит к ограничениям сверху на значения 1а| и .Ь\.)
Для получения других компактных групп можно накладывать условие унитарности — ш-1, где знак «+» обозначает эрмитово сопряжение, т.е. одновременное транспонирование и комплексное сопряжение. Произведение двух унитарных матриц W|W2 и обратная матрица ш"1 вновь являются унитарными, поскольку
(u?lU?2) 1 — ^2	~	~~ (4J[Ш2)
(щ-')-'=Ш = (ш+)+= (w~‘) + .	(А.12)
Поэтому условие унитарности согласуется с групповой структурой. Наличие этого условия кодируется буквой U в названии группы. В частности, множество унитарных матриц размера п х п образует группу Ли, которая обозначается через U(n). Она является вещественной, поскольку в условии унитарности присутствует комплексное сопряжение, которое препятствует аналитической зависимости элементов группы от ее параметров.
Заметим, что поскольку det= (dotщ)*, то из условия = 1 следует, что |dctw| = 1.
Группы Щп) являются компактными. Действительно, в соответствии с результатом Задачи 1, сумма квадратов модулей элементов каждой строки (или столбца) равна 1. Поэтому модуль любого элемента должен быть меньше или равен 1. Как и в случае О(п), из этого условия следует компактность как самих групп U(n), так и любых их подгрупп.
Важным частным случаем является группа (7(1) , которая является наиболее простой компактной группой Ли. Она представляет собой множество комплексных чисел с единичным модулем: 17(1) : {е-т}, где а — некоторое вещественное число. Поскольку элементы этой группы непрерывно зависят от одного параметра а, то размерность 17(1) равна 1. Произведением двух элементов группы 17(1) является произведение соответствующих комплексных чисел, единичным элементом — число 1, а обратным элементом к элементу е~1а — элемент ещ.
e-iftie-ift2 = e-i(fti+ft2). g-ifteift = L	(Д.13)
Поскольку e-’"ie" l“2 — е-га2е-га,^ т0 ГруП11а £7(1) является абелевой. С геометрической точки зрения €7(1) с очевидностью представляет
474 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
собой окружность, образуемую множеством комплексных чисел с единичным модулем. Компактность в данном случае совершенно очевидна, поскольку окружность представляет собой замкнутое и ограниченное множество. По определению группа €7(1) простой не считается.
Соединяя условие унитарности с условиями единичности определителя, ортогональности и симплектичности, мы получаем набор простых компактных групп Ли:
1.	Унитарной подгруппой SL(n, С) будет группа состоящая из унитарных матриц с единичным определителем.
2.	Унитарной подгруппой SO(n,C) будет уже знакомая нам группа SO(n).
3.	Унитарной подгруппой Sp(2n,C) будет группа USp(2n), элементы которой одновременно являются унитарными и симплектическими. В соответствии с формулой (Л.8) и условием унитарности они представляются в виде
где а и Ь — некоторые комплексные матрицы размера п х о, такие что
Ьуа* — а~Ь — 0;	ava’‘+b~b—\.	(А. 15)
Если п = 2, то элементы групп 5(7(2), 50(2) и USp(2) могут быть достаточно легко записаны в явном виде.
Легко проверить (Задача 3), что произвольная унитарная матрица размера 2 х 2 с единичным определителем может быть записана как
_ f а4 + Ai| + а-2 \	. .g,
— I iai — (12 сц — las ) ’	' ' '
причем
det щ = о., — «2 + «з + а4 — 1 •	(А-17)
Обратим внимание, что условие (А. 17) представляет собой уравнение сферы 53. Поэтому с геометрической точки зрения группа 5(7(2) представляет собой сферу в четырехмерном пространстве. Поскольку сфера — замкнутое ограниченное множество, то группа 5(7(2) очевидно является компактной. (Полезно сравнить случай 5(7(2) и случай 5L(2), рассмотренный ранее.)
С помощью формул (А. 14) и (А. 15) несложно убедиться, что элементами группы (75р(2) также являются матрицы (А. 16). Поэтому группа (75р(2) оказывается изоморфной группе 5(7(2).
Группа 50(2) состоит из матриц вида
= ш(а) =
cos а — sin о
sin а
cos а
/ .70 = ехр I — ml _
(А. 18)
А.1. Понятие о группах Ли
475
(Последнее равенство проверено в Задаче 4.) Несложно видеть, что она является изоморфной группе (7(1). Действительно, так как ш(0) — ш(2тг), то элементу w(a) & 50(2) можно взаимно однозначно поставить в соответствие элемент с~,а группы (7(1). Более того, несложно проверить, что ^(^1)47(0-2) = ш(«'| +«2) и uj(O) = 1. Поскольку аналогичные свойства имеют место и в группе (7(1), то это означает, что группы 50(2) и (7(1) являются изоморфными.
На примерах групп 50(2) и 0(2) можно очень наглядно пояснить различие между 50(п) и 0(п): Группа 0(2) состоит из двух частей (т.н. 2 компонент связности), первая из которых состоит из матриц с detw = 1, а вторая — из матриц с detw = — 1:
cos a sin а — sin a cos а
/ COS О'
I sin <1
sin а
— COS О:
(А.19)
Наконец, необходимо отметить еще два способа наложения дополнительных условий, которые согласуются с групповой структурой: для этого рассмотрим матрицу 77 = diag( 1111), на главной диагонали которой стоит р штук единиц и q штук минус единиц. Можно потребовать, чтобы вещественная матрица А удовлетворяла бы условию — гр Такая матрица называется псевдоор-тогональной. (Если считать, что ш — комплексная матрица, то мы получим группу, изоморфную 0(п, С), так как при умножении комплексной псевдоортогональной матрицы на diag( 1,..., 1, г,.... г) слева и diag(l,..., 1, —г,..., —г) справа мы, очевидно, получим ортогональную матрицу.)
Заметим, что поскольку г/-1 — ц, то ш-1 — г/штг/ и, следовательно, 7/ —	— 'jjrjuA. Псевдоортогональные матрицы образуют груп-
пу, обозначаемую через O(p,q). Действительно, операции умножении и взятия обратного элемента не выводят нас за пределы множества псевдоортогональных матриц, поскольку
/ \Т /	\ т т	т
1 сх/2J	1 7?*^ 1^2 "" ^2 ?7^2
(w l)T?7u7‘_I = (шг/ЩТ)-1 — 7/-1 — Г].	(АДО)
Из определения псевдоортогональных матриц с очевидностью следует, что 0(п) = О(п,0). Другим важным примером псевдоортогональной группы является группа Лоренца 0(1,3). Действительно, из инвариантности интервала под действием преобразований Лоренца х,а = А°дд-7 мы заключаем, что
xarin(jx^ = х,пт]аух'^ = (А<'\.г-7)?7„д (А!^хд) = ха (/О атр.6Ай у}х’\
(А.21)
476 Прил. А. Простейшие сведения о группах, и алгебрах Ли
откуда следует, что Лт?/Л = г]. Поскольку метрический тензор г/ представляет собой диагональную матрицу с одной единицей и тремя минус единицами на главной диагонали, то Л“д оказывается псевдоортого-нальной матрицей из группы 0(1,3).
Свойства псевдоортогональных матриц во многом напоминают свойства ортогональных матриц. Например, определяя скалярное произведение двух столбцов (или строк) как (а, 6) = eJqb, из условия = ту мы получаем (Задача 1), что квадрат каждого из первых р столбцов равен 1, каждого из оставшихся q столбцов равен —1, а скалярное произведение двух различных столбцов равно 0. В силу равенства = г) то же самое свойство справедливо и для строк псевдоорто-гональной матрицы.
Как и для ортогональных матриц, из условия = р следует, что dctw = ±l. Группу SO(p,q), как обычно, составляют псевдоорто-гональные матрицы с единичным определителем. Однако, в отличие от случая 0(n, С) или 0(п) группы 0(р, q) при р 0 или q 0 имеют не 2, а 4 компоненты связности. Для того чтобы в этом убедиться, разобьем матрицу группы 0(р, q) на 4 блока:
(А.22)
В Задаче 5 доказано, что в левом верхнем и правом нижнем блоках должны стоять невырожденные матрицы. Поэтому матрицы группы 0(р,q) делятся на 4 группы, в зависимости от знака определителей этих матриц: (е-+), (-1—), (—И) и (—). Матрицы группы 0(р, q) можно непрерывно деформировать так, чтобы отличные от 0 элементы находились бы только в левом верхнем и правом нижнем блоках. При такой деформации знак определителей указанных двух блоков измениться не может. Поэтому в первом и четвертом случаях определитель всей матрицы положителен (а, следовательно, равен +1), а во втором и третьем он отрицателен и равен (—1).
Еще одним существенным отличием псевдоортогональных групп от 0(п) является их некомпактность. Действительно, рассмотрим, например, группу 50(1,1), элементами которой, как несложно убедиться, являются матрицы
а b
b а
(А.23)
причем а2 — b2 = 1. Совершенно очевидно, что числа а и b при этом могут принимать сколь угодно большие значения, в отличие от случая группы 50(2), для которой условие единичности определителя
А.1. Понятие о группах Ли
477
геометрически представляло собой уравнение окружности. Следовательно, группа SO{\, 1) компактной не является.
Полностью аналогично случаю О(р, q) рассматривается псевдоуни-тарная группа Щр,q), которая состоит из матриц, удовлетворяющих условию — у, и группа SU(p,q), состоящая из таких же матриц, но с единичным определителем. (Так же, как и псевдоортогональные группы они не будут компактными, поскольку содержат подгруппу 50(1, 1).)
Задачи
1.	Доказать, что для ортогональной матрицы квадрат каждого столбца (строки) равен 1, а сумма произведений соответствующих элементов двух различных столбцов (строк) равна 0. Получить аналогичные условия для псевдоортогональных, унитарных и псевдоунитарных матриц.
По определению, ортогональная матрица удовлетворяет условию = 1. Это условие может быть переписано как 6ар = uiayUiyp = а>уПШу0. Полагая в этом равенстве а = fl, мы получаем, что
п
52И„)2 = 1.	(А.24)
т = 1
Это означает, что сумма квадратов элементов каждого столбца матрицы ш равна 1. Если же а ф fl, то
п
— О,	(А.25)
"У — I
что и требуется доказать. Аналогичным образом, условие = 1 запишется как	= 5а/3 и означает, что квадрат каждой строки матрицы ш равен
1, а сумма произведений соответствующих элементов двух различных строк равно 0.
Для псевдоортогональных матриц условие = у записывается как
ш д —		(А.26)
Поскольку у = diag(l,..., 1, — 1 -1), скалярное произведение столбцов а и fl, понимаемое как (а, Ь) = аауа0Ь0, оказывается равным 0 при а ф fl, 1 при а = fl р (р есть число 1 в матрице у) и -1 при а = fl > р. Из условия шг/ш7 = у такое же свойство доказывается и для строк псевдоортогональной матрицы:
(А.27)
Случаи унитарных (или псевдоунитарных) матриц рассматриваются аналогично. Для них транспонирование заменяется на эрмитово сопряжение, что приводит к тому, что для унитарных матриц
--	(А.28)
478
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
где подразумевается суммирование по индексу 7. Из этого условия в частности следует, что сумма квадратов модулей элементов любой строки (или столбца) равна 1, а скалярное произведение различных строк (столбцов) равно 0. Наконец, условие псевдоунитарности приводит к равенствам
(аЛуп'г].,6ш’л = Г)„в-	л rf6.	(А.29)
2.	Построить матрицы симплектических групп в явном виде и убедиться, что их определитель всегда равен 1.
Подставляя матрицу (А.8) в равенство (А.7), получаем уравнение
/ ат ст \ С 0	1 \ ( а b \ _ ( аТс - ста aTd - стЬ \ _ ( 0 1 \
V bT dT J [ -1 ОД с d J ~ bTc — dTa bTd — dTb J “Д -1 Of (А.ЗО)
из которого следуют формулы (А.9). С их помощью можно доказать, что определитель любой матрицы из группы Sp равен 1. Действительно,
det и = det I q
a 'b \
d J '
° V 1
1 Д с
(A.31)
Во второй матрице вычтем из нижних п строчек верхние п строчек, умноженные на матрицу с слева. При такой операции определитель матрицы очевидно меняться не будет. Поэтому
1	। ,	1 , ( 1 а b \
det и = det а  det „ ,	1,	=
у 0 d- са b у
= det ат det(d — са' 'b) = det(aTd - aTca~lb). (A.32)
Используя затем равенства (А.9), получаем, что
detm = det(aTd — с b) = det 1 = 1.	(А.33)
В силу условия (А.7) обратная матрица для любой из симплектических групп может быть представлена в виде
( 0 -1 \ т ( 0 1 \ _ ( гГ -Ьт
Д 0 J -1 0 J ~ -J ат
(А.34)
В случае группы USp(2n) эта матрица должна совпадать с матрицей
ш	d. J .	(А.35)
Поэтому для группы USp(2n) должны быть справедливы равенства d = а* и с = —Ь*. Подставляя их в формулы (А.9), получаем условия (А.15).
3.	Доказать, что произвольная матрица группы SU(2) может быть записана в виде (А. 16).
А.1. Понятие о группах Ли
479
Для произвольной невырожденной матрицы размера 2x2
( а Ь\ \с d )
(А.36)
обратная и эрмитово сопряженная матрицы имеют следующий вид:

1
ad — be
d
-с
-b d
a
b’
(A.37)
d
Группа SU(2) состоит из унитарных матриц с единичным определителем. Используя равенство 1 = detщ = ad — be и подставляя приведенные выше выражения в условие унитарности и"1 --	, получаем, что d - а* и с — —Ь*.
Представляя комплексные числа а и b как а = «4 + г«;, Ь = «г 4 га\, окончательно мы получаем, что
( СЦ ^3 ^-1 Н- ^2 1 Ш[ — а-2 (7-4 — 2(7 3
(А.38)
причем 1 = det. щ = af +	+ а2 + а].
4.	Доказать, что
/ cosa sin ст ( — sin a cos а
= exp ( — го
О
—i
(А.39)
Поскольку экспонента от матрицы обычно понимается в смысле ряда, то
ехр ( - га ( °, о ) ) = Е	J ’	(А-40>
v	' п -0 ' v	'
При этом в силу равенства
0 1 V _ / “I 0 \ _
-1 О J О -1 J ~
(А.41)
получаем, что
(А.42)
что и требовалось доказать.
5.	Доказать, что определители левого верхнего и правого нижнего блоков матрицы группы О(р, <?) отличны от 0.
480
Прил. /1. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
Предположим противное. Пусть, например, в левом верхнем блоке определитель равен 0. Тогда между строками этого блока существует линейная зависимость:
v
0 при 0 = 1,... ,р,	(А.43)
«=|
причем не все сп равны 0. Затем воспользуемся результатом Задачи 1, который может быть записан в виде
пЗ	« я
V = > , Г) и д‘,
-/.<5=1
(А.44)
где мы явно выписали суммы и пределы, которые пробегают индексы суммирования. Умножим это равенство на с.а и сд и просуммируем по а и 0 от 1 до р. В результате с учетом формулы (А.43) получается, что
(А.45)
В левой части этого равенства стоит неотрицательное число, а в правой — не положительное. Поэтому равенство может быть достигнуто только в том случае, если обе части равны 0. Это эквивалентно тому, что все сп = 0. Полученное противоречие доказывает утверждение.
А.2. Алгебры Ли. Экспоненциальное отображение
В предыдущем параграфе мы видели, что с геометрической точки зрения группы Ли представляют собой некоторые многообразия, которые (за рядом немногочисленных исключений), как правило, имеют достаточно сложную структуру. Однако оказывается, что во многих случаях анализ свойств групп Ли можно заменить на анализ существенно более простых объектов — алгебр Ли. На первый взгляд определение алгебры Ли никак не связано с определением группы Ли.
Алгеброй Ли А называется линейное пространство, на котором задана операция коммутирования [ , ], удовлетворяющая следующим свойствам:
1.	антисимметрия: [а, 0] — — [0, а];
2.	билинейность: [а + 5,7] = [0,7] + [Д7] и [са,Д] =с[а,/3];
3.	тождество Якоби: [а, [0,7]] + [0, [7, а]] + [7, [а,	= 0,
V а, 0,у 6 А и произвольного числа с.
Если, кроме того, [ск, /?] = 0 V а,0 е А, то алгебра Ли называется абелевой или коммутативной.
Важно отметить, что, в отличие от групп Ли, алгебры Ли представляют собой не какое-либо сложное многообразие, а линейное пространство, исследовать которое намного проще.
A.2. Алгебры Ли. Экспоненциальное отображение
481
Если каждому элементу а алгебры Ai поставлен во взаимно однозначное соответствие элемент /Да) алгебры А2, причем
[fki,ct2j = [Д«1)> Д02)];	/3(0) — О,	(А.46)
то алгебры Ли Ai и А? называются изоморфными.
Если в алгебре Ли А имеется подпространство До- которое также является алгеброй относительно операции коммутирования, определенной в А, то такое подпространство называется подалгеброй.
Прямой суммой Ai + А2 алгебр Ai и А2 называется алгебра, образованная парами (a, ft), где а 6 Д[, ft 6 А2, причем l(«l , ftl )- («2. ft?)) = ([«J , «2]. [/31 - ftl])'
Представим элементы базиса в пространстве алгебры А в виде —ita. (Множитель —i введен для удобства дальнейших обозначений.) Тогда величины tu мы будем называть генераторами алгебры Ли. Произвольный элемент а 6 А может быть разложен по генераторам как а = — iaata, где аа — некоторые числовые коэффициенты.
Поскольку операция коммутирования не выводит из пространства алгебры, a —ita — некоторые элементы алгебры Ли А, то выражение [ta, tb] вновь принадлежит А, и, следовательно, может быть разложено по базису из генераторов как
[taAb] = ifabctc.	(А.47)
Коэффициенты fabr называются структурными константами алгебры Ли А. ’) Записывая тождество Якоби для генераторов ta
[ta, [tb, tc\] + [tb, [tc, fa]] + [tc, [ta, M = 0	(A.48)
и подставляя коммутаторы из (А.47), мы получаем эквивалентную запись тождества Якоби в терминах структурных констант:
fbC<lfade + fcad fbdC + fabdfe.dR = 0.	(A.49)
Для матричных алгебр Ли в качестве коммутатора может использоваться операция
[a, ft] — aft — fta,	(А. 50)
которая с очевидностью является антисимметричной, билинейной и, как показано в Задаче 1, удовлетворяет тождеству Якоби. Далее мы будем рассматривать только матричные алгебры Ли. (На самом деле
') Выбор алгебры Ли однозначно не фиксирует структурные константы, поскольку их значения с очевидностью зависят от конкретного выбора генераторов.
16 К. В. Степа ньянц
482 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли можно показать, что любая конечномерная алгебра Ли является матричной.) Заметим, что если построить симметричный тензор
= tr(Mb),	(А.51)
то (Задача 2) в силу инвариантности следа относительно циклических перестановок величины /а(,г = g<:dfabd оказываются полностью антисимметричными по всем своим индексам.
До сих пор мы не обсуждали связь между группами и алгебрами Ли. Эта связь устанавливается следующей теоремой.
Утверждение. Если матрицы а являются элементами некоторой алгебры Ли, то при малых а выражение
щ = схр(а)	(А.52)
взаимно однозначно отображается на некоторую окрестность единичного элемента некоторой группы Ли G.
Доказательство приводится в Задаче 6 после доказательства вспомогательного утверждения в Задаче 4. (При этом частично используются рассуждения, проведенные в Задаче 5.)
Понять, почему возникает экспоненциальное отображение алгебры в группу, достаточно несложно. Предположим, что любой элемент группы G может быть представлен в виде (А.52), где величины а образуют некоторое множество А. Произведение двух элементов группы G, близких к единичному, с точностью до членов, квадратичных по а, может быть представлено (Задача 3) в виде
= са-еа'2 = exp(ai + »2 + /И > аг]/2) — О(п3).	(А.53)
Поскольку произведение двух элементов группы вновь является элементом группы, то аргумент экспоненты (А.53) должен принадлежать множеству А. В низшем порядке по а это означает, что если aj и принадлежат множеству А, то их сумма также должна принадлежать этому множеству. Это будет верно в случае, если А представляет собой линейное пространство. Тогда, если принять в рассмотрение члены второго порядка малости по а, необходимо, чтобы и коммутатор принадлежал бы линейному пространству А. В силу произвольности матриц Qi и а-2 это означает, что линейное пространство А представляет собой некоторую алгебру Ли, поскольку все остальные требования следуют из определения операции коммутирования (А.50).
Легко проверить, что прямому произведению групп Ли соответствует прямая сумма соответствующих алгебр Ли, подгруппе — подалгебра, коммутативной группе — коммутативная алгебра, изоморфным
A.2. Алгебры Ли. Экспоненциальное отображение	483
группам — изоморфные алгебры. *) Продолжая исследовать связь между группами и алгебрами, заметим, что в качестве параметров группы Ли могут быть выбраны координаты о-'1 в пространстве алгебры Ли. Поэтому число параметров группы Ли равно размерности соответствующей алгебры. Следовательно, размерность группы Ли равна размерности соответствующей алгебры Ли: dim G — dim Л.
Используя тождество (доказано в Задаче 4)
елВе~л - В + [А, В] + 1 [Л, [Л, Bj] + 1 [Л, [Л, Д, В])] + ..., (А.54) которое справедливо для любых (не обязательно матричных) операторов Л и В, легко показать, что имеет место еще одно важное
Утверждение. Если щ(х) — функция координат, принимающая значения в некоторой группе Ли G, то функции — io>tao>~1 (где 1а — генераторы группы G) и а/дцШ 1 принимают значения в алгебре Ли, соответствующей группе G.
Доказательство приводится в Задаче 5.
Рассмотрим теперь примеры алгебр Ли, соответствующих описанным ранее группам Ли.
Все рассмотренные выше группы Ли состоят из матриц, на элементы которых наложены некоторые условия, многие из которых (невырожденность, унитарность и т.п.) часто одинаковы для различных групп. Поэтому удобно предварительно выяснить, к каким следствиям для матриц алгебры приводит каждое из условий, наложенных на элементы группы. Далее это позволит легко проводить исследование конкретных алгебр Ли, соответствующих перечисленным выше группам.
1.	Если матрица ш = еа имеет единичный определитель, то благодаря тождеству
In det М = tr In М,	(А.55)
доказанному в Задаче 7, tra = In det w = 0. Поэтому если элементы матричной группы Ли имеют единичный определитель, то матрицы соответствующей алгебры Ли имеют нулевой след.
2.	Если матрицы группы Ли невырождены, т.е. det се 0, то
tr а = In det щ ос.	(А.56)
') Обратное, вообще говоря, не верно. Как мы увидим далее, из изоморфизма алгебр отнюдь не следует изоморфизм групп. В частности, прямой сумме алгебр не обязательно соответствует только прямое произведение соответствующих групп.
16*
484
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
Это означает, что никаких ограничений на матрицу а при этом не накладывается. Дело заключается в том, что вырожденная матрица в принципе не может быть представлена в виде экспоненты от некоторой матрицы. Например, для чисел, которые могут рассматриваться как матрицы размера 1x1, экспонента никогда не обращается в 0.
3.	Условие унитарности саиг+ = 1 может быть переписано как
= 1,	(А.57)
откуда следует, что а = —а+. Т.е. если матрицы группы Ли являются унитарными, то матрицы соответствующей алгебры Ли являются анти-эрмитовыми, а ее генераторы — эрмитовыми, поскольку
—iaflta = а = —а+ — -iaa(tn)~.	(А.58)
4.	Аналогичным образом для ортогональных матриц
1 — wwT = епеп .	(А.59)
Это означает, что матрицы соответствующей алгебры Ли являются антисимметричными: а = — от. Поскольку все диагональные элементы антисимметричных матриц равны 0, то элементы соответствующей алгебры Ли автоматически являются бесследовыми. Это соответствует тому, что из условия ортогональности автоматически следует, что det w = ± 1.
т
5.	Раскладывая условие псевдоортогональности еа Т]еп = т] в ряд по о и приравнивая коэффициенты при слагаемых первого порядка, получаем, что г)а + (т]аУ = 0. Легко убедиться, что, как и для ортогональных матриц, из этого условия следует, что все диагональные элементы матрицы а равны 0, что, в частности, означает автоматическое выполнение условия бесследовости.
Аналогичным образом псевдоунитарность элементов группы Ли приводит к наложению условия rja + (r/a)+ = 0 на элементы соответствующей алгебры Ли.
6.	Условие симплектичности (А.7), записанное в терминах а, имеет вид
т ( 0 1 \	( 0 1 \
е" (	j о ) е“ = ( -1 0 ) = Л	(А-60)
где через 1 обозначена единичная матрица размера п х п. Используя разложение экспоненты в ряд Тейлора, несложно убедиться, что оно будет выполняться, если
°Tf -°i о ) + ( -1 о К = о- (А-61)
Л.2. Алгебры Ли. Экспоненциальное отображение
485
Представляя матрицу а в виде 4-х блоков размера п х п, убеждаемся, что это равенство справедливо, если
(А.62)
причем b и с являются симметричными матрицами размера п х п: b — = ЬТ, с = сТ.
Таблица А.1 Некоторые группы Ли и соответствующие им алгебры Ли. * означает, что группа Ли простой не является, по ее алгебра Ли — простая
группа	опрел.	размерн.	алгебра Ли	КОМП.	прост.
GL(n.C); вЦп)	det щ ф- 0	п2	а — любое	-	
SL(n, С); SL(n)	det щ = 1	п2 - 1	tro = 0	-	+
О(п, С)	= 1	п(п — 1 ) 2	т а = -а	-	-
SO(n,C)	T = 1; detui = 1	п(п - 1 )	а = —а1	-	+ 1
Sp(2n,C); Sp(2n)	= I	71(2п + 1)	al = -la1	-	/1
U(n)	UW+ = 1	712	п = —а 1	4-	-
SU (n)	uw+ = 1; det w = 1		а = —а 1 ; tr а = 0	4-	+
U Sp(2n)	lv'uj = 1; = I	п(2п + 1)	al = -/ат; а = —а+	4-	i + i
U(p,q)	Ljr/U>+ = 1]	(р + q)2	а?7 = —7/а~	-	
O(n)	= 1	п(п 1) 2	т (У = -а	4-	
SO(n)	= 1  det о; = 1	п(п - 1) — Y ~	т а - —а	1-	4-
O(p, q)	= 7/	п(п - 1 ) 2 п = р 4 q	ар — -уо?			
Используя перечисленные выше утверждения, можно легко построить алгебры Ли, которые соответствуют всем описанным выше группам Ли. Кратко основные сведения о них приведены в таблице А.1. Заметим, что алгебра Ли, которая соответствует некоторой группе Ли
486 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли обозначается точно так же, как и группа, но маленькими буквами. Удобно вначале рассмотреть комплексный случай.
Алгебра Ли gl(n,C) состоит из матриц размера пхп без каких либо ограничений на их форму. Поскольку размерность группы Ли равна размерности соответствующей алгебры Ли, комплексная размерность группы GL(n, С) равна п2.
Алгебру Ли .sZ(n,C) составляют произвольные бесследовые матрицы. Поскольку условие бесследовости сокращает число независимых координат в пространстве матриц па 1, то комплексная размерность группы SL(n,C) будет равна групп равна п2 — 1.
Алгебра Ли о(п,С) состоит из произвольных комплексных антисимметричных матриц. В качестве координат в пространстве алгебры могут быть выбраны п(п — 1 )/2 элементов при i > j. Алгебра Ли ,ад(п, С) совпадает с алгеброй Ли o(n, С), поскольку условие бесследовости автоматически следует из антисимметрии. Таким образом, размерности групп О(п,С) и SO(n,C) оказываются равными п(п — 1)/2.
Алгебра Ли ,sp(2n, С) состоит из комплексных матриц вида (А.62), где b и с — симметричные п х п матрицы. Число параметров этих групп складывается из п2 элементов матрицы а и п(п -г- 1) элементов матриц Ь и с. Поэтому размерность соответствующей группы будет равна н(2п + 1).
Оказывается, что описанные выше алгебры Ли sZ(n,C), so(n, С) и sp(2n, С) почти полностью исчерпывают список простых комплексных алгебр Ли. Это понятие определяется аналогично случаю групп Ли следующим образом:
Подалгебра В алгебры А называется инвариантной, если V а 6 А и Л ЕВ [0, а) е В.
Алгебра Ли А называется простой, если она не содержит инвариантных подалгебр, отличных от 0 и А. Полупростой алгеброй Ли называется прямая сумма произвольного числа простых алгебр Ли.
Несложно проверить, что простым группам Ли соответствуют простые алгебры Ли. Например, простой оказывается алгебра Ли sl(n, С), но алгебра Ли gl(n,C) простой не будет, поскольку она содержит инвариантную подалгебру sl(n, С).
Конечномерные простые комплексные алгебры Ли могут быть полностью классифицированы. Оказывается, что помимо уже описанных нами алгебр Ли sl(n,C), so(n,C) и sp(2n,C) существует только 5 т.н. исключительных алгебр Ли G-2, Ft, Eq, Е-? и Eg, которые играют важнейшую роль в современной теории поля. Вопрос о классификации соответствующих групп Ли несколько менее тривиален, поскольку, как мы уже видели, одной и той же алгебре Ли могут соответствовать различные группы Ли. К этому вопросу мы вернемся несколько далее.
Пока же построим алгебры Ли для некоторых вещественных групп Ли, которые мы обсуждали в предыдущем параграфе.
Алгебры Ли gl(n), sl(n), so(n) и sp(2n) строятся точно так же, как и в комплексном случае, но теперь их элементами являются
A.2. Алгебры Ли. Экспоненциальное отображение
487
вещественные матрицы. Размерность этих групп будет, конечно, той же самой, что и в комплексном случае.
После этого построим алгебры Ли, которые соответствуют компактным группам Ли. Они также называются компактными.
Алгебра Ли и(п) состоит из антиэрмитовых матриц. В силу условия антиэрмитовости а — -а+ диагональные элементы ац являются чисто мнимыми, a aij = —а*, при i j. Поэтому в качестве координат в пространстве алгебры и(п) можно выбрать п диагональных элементов ац и 2 • п(п — 1)/2 вещественных и мнимых частей элементов a,j при i > j. Важно заметить, что параметры группы Щп) являются вещественными. Суммируя количество параметров, получаем, что размерность группы [7(п) оказывается равной п2. Генераторы U(n) с очевидностью являются эрмитовыми.
Частным случаем и(п) является и(1), которая представляет собой пространство мнимых чисел. Поскольку коммутатор двух чисел всегда равен 0, эта алгебра с очевидностью является абелевой.
Алгебра Ли su(n) состоит из бесследовых антиэрмитовых матриц, а ее генераторами являются бесследовые эрмитовы матрицы. Поскольку условие бесследовости сокращает количество независимых диагональных элементов матриц а до п- 1, размерность группы 5£7(п) на единицу меньше, чем размерность Щп) и равна п2 — 1.
Алгебра Ли usp(2n) состоит из матриц, которые имеют форму (А.62), а также являются антиэрмитовыми. Несложно убедиться, что они могут быть представлены в виде
а b \
-b* a' J ’
(А.63)
причем а — — а', b = 6Т. Число комплексных элементов симметричной матрицы b равно п(п+ 1)/2, что соответствует п(п+ 1) вещественным параметрам. Как было установлено при исследовании алгебры Ли w(n), о
антиэрмитова матрица а зависит от п вещественных параметров. Поэтому размерность группы USp(2n) и соответствующей ей алгебры Ли также равна п(2п + 1).
Отметим характерную закономерность: все компактные алгебры Ли, с которыми мы пока встречались, являются некоторыми подалгебрами и(п). Их элементы всегда являются антиэрмитовыми матрицами, благодаря чему в наших обозначениях генераторы оказываются эрмитовыми, а структурные константы — вещественными (Задача 8). (Для этого мы и ввели множители i в определения генераторов и структурных констант.) Простые компактные алгебры также можно полностью классифицировать. Это вновь будут уже известные нам алгебры ,$u(n), so(ji) и u.sp(2n), а также 5 исключительных алгебр Ли ГА, Еу и Eg, которые строятся точно также как и в комплексном случае, но с дополнительным условием антиэрмитовости их матриц. Другими словами, простые компактные алгебры Ли получаются из простых
488
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
комплексных алгебр Ли наложением дополнительного условия анти-эрмитовости. Поэтому чисто геометрическое свойство компактности приводит к чисто алгебраическому следствию для алгебр Ли. Имеет место следующая
Теорема. Для любой компактной алгебры Ли А матрица gab — tr(tntb) положительно определена, т.е. даьаааь > 0	0.
Доказательство приводится в Задаче 9.
В частности, с помощью специального выбора генераторов (Задача 10) можно добиться, чтобы матрица диь была бы кратна единичной. В этом случае из антисимметрии величины gcdfabd очевидным образом будет следовать полная антисимметрия структурных констант компактной группы по всем трем индексам. В теории ноля мы, как правило, будем рассматривать компактные алгебры Ли и предполагать, что генераторы фундаментального представления 1а выбраны таким образом, что
tr(Mb) = \баЬ.	(А.64)
Несколько далее (Задача 7 Части А.4) мы докажем, что из анти-эрмитовости матриц компактных алгебр Ли также следует, что произвольная компактная алгебра Ли может быть представлена в виде
А = В — А] — Дг + •   +	(А.65)
где В —• некоторая абелева алгебра Ли (которая на самом деле является прямой суммой некоторого числа алгебр Ли u(l)), a Ai — простые алгебры Ли. (Заметим, что это утверждение отнюдь не является тривиальным, поскольку в общем случае алгебра Ли, которая имеет нетривиальные инвариантные подалгебры, не может быть представлена в виде прямой суммы алгебр Ли.)
Наконец, опишем алгебры Ли псевдоортогональных и псевдоуни-тарных групп Ли.
Алгебры Ли групп 8О\р, q) и О(р, q) совпадают и состоят из матриц а, для которых I] а + (г/а)т — 0, где д — diag( 1,..., 1, — 1,..., — 1). Это условие удобно переформулировать следующим образом. Выпишем матричные индексы у матрицы так, чтобы первый индекс был нижним, а второй — верхним: ар1. Тогда условие, которое накладывается на эту матрицу, означает, что величина
оА~' = д'8, Л	(А.66)
(а, следовательно, и величина апр) будет антисимметрична относительно перестановки своих индексов. Таким образом, если матрица а принадлежит алгебре Ли so(p + q), то матрица да будет принадлежать алгебре Ли so(p,q). Как следствие, размерности групп SO(p + q) и SO(p, q) совпадают.
A.2. Алгебры Ли. Экспоненциальное отображение
489
Для того чтобы построить в явном виде генераторы, мы вначале выберем базис в пространстве вещественных антисимметричных матриц следующим образом. Нумеруем элементы базиса двумя индексами р и и, причем р. < и, и положим по определению
-i(t^)aS =	(А.67)
Это означает, что в матрице —it^v отличны от 0 два элемента: на пересечении д-й строки и i^-го столбца стоит 1, а на пересечении />-й строки и р-ro столбца стоит —1. В принципе можно считать, что определен для произвольных значений индексов и является антисимметричным также и по индексам р и и. Тогда генераторами группы О(р, q) будут матрицы
(^у)а0 =	- Руа30).	(А.68)
В Задаче 11 показано, что такие генераторы удовлетворяют следующему коммутационному соотношению:
— % (j] [j. fit и a	Pfiatyfi Pyfit^cx 4“ ^icat^fi)-	(A.69)
Алгебра Ли группы SU(p,q) исследуется аналогично случаю О(р, q). Она состоит из бесследовых матриц, удовлетворяющих условию г) а — -(г]а)+. Размерность этой группы совпадает с размерностью SL7(p + g).
В заключение этого параграфа заметим, что все вещественные простые алгебры Ли также классифицированы. Однако эта классификация существенно более сложная, чем в комплексном случае, и, в частности, содержит ряд алгебр Ли, которые мы здесь не описывали.
Задачи
1.	Доказать, что операция [а,0] = ав — [За удовлетворяет тождеству Якоби.
[a. [0, ?]] + [0, [7, а]] + [7, [о, 0]] = (а(/?7 - 10) ~ (01 ~ 10)а] +
+ (й(7<1 - <17) - (70 - 07)/"^ + [1(а0 - 0а) - (а0 - 0а)^
= 0.
(А.70)
2.	Доказать, что величины /аЬ<: = gcdfab1, где gcd = tr(tctd), a f„bd — структурные константы, являются полностью антисимметричными по своим индексам.
В силу инвариантности следа относительно циклических перестановок
tf([ia, lb] t.e) = lt(tatbtc - lbtatc) = tt(tbtda ~	ta]).	(A.71)
490
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
При этом
tr([«aJbj tc) ifabd tr(/.dt< ) = igrdfubd = ifabc\
tr(/()[ic, ta]) - if,.ad \x(thtd) - ifjbdfea1 - ifrab-	(A.72)
Поэтому из (A.71) следует, что
fabc = fcb = —fticb	(A.73)
в силу очевидной антисимметрии структурных констант по первым двум индексам. Таким образом, рассматриваемый тензор также оказывается антисимметричным и относительно перестановки последних двух индексов, откуда мы находим, что
fobc = -f.cb = frab = -frba-	(A.74)
Поэтому fab,- антисимметричен и относительно перестановок первого и последнего индексов, что и завершает доказательство.
3.	Вычислить произведение двух элементов группы Ли — о'*1 и чг2 = с'*2 с точностью до членов, квадратичных по а.
Учитывая, что матрицы а, и а-2 не коммутируют, имеем:
Ш|<х>2 = е“' еп- = (1 +	— |а2 + О(а3)) (14 аг 4- |а2 4 О(а3)) =
= 1 - (<Т1 4- аг) 4- а|«г 4-	- ^а2 + О(а3) = 1 4- (а, 4- «г) -
4-j(«i 4- а2)2 -	а2] 4- О(а3) =
- ехр(«| 4- а2 4- |«i, а2]/2) 4- (9(а3),	(А.75)
поскольку
(а, 4- а2)2 — !а।, а2] - (а2 4- а,а2 4- а2а| 4- а2) — (ai«2 — a2ai) =
= а? 4-2aia2 4-а2.	(А.76)
4.	Доказать, что для произвольных операторов А и В имеет место тождество
eA Be А - В+ [А, В] 4- 2, ;А,[А, В]] 4- ^[А, [А, [А, В]]] + ....	(А.77)
Рассмотрим вспомогательную функцию /(А) = еХАВе ХА. Разлагая ее в ряд Тейлора, получаем, что
/(А) = /(0) + 1/'(0)А - 2V"(0)A2 +	(0)А3 4-  • • •	(А.78)
Л.2. Алгебры Ли. Экспоненциальное отображение
491
Поскольку при этом
/'(А) - АехлВс ХА - еХАВе~ХАЛ - еХА[.4, В] е~хл:
f"(X) - --(cXAiA. В'е ХЛУ = сха^А,гА.В]''е~ХА. и т.д.,	(А.79)
(1.Х \	/
то
/(0) = В; /(0) = [А. В]; /"(0) = [.4, [А, В]], и т.д.	(А.80)
Подставляя (А.80) в (А.78) и полагая А •“ 1, мы получаем требуемое тождество.
5.	Доказать, что если щ(д) — функция координат, принимающая значения в некоторой группе Ли G, то функции ю(-г70)ю-1 (где ta — генераторы группы G) и 1 принимают значения в алгебре Ли, соответствующей группе G.
Для доказательства воспользуемся тождеством
еА Ве.~А = В + А. В] - 1 ~А, >4. В + [А, [А, (А, В'\\ - ...,	(А.81)
которое было получено в предыдущей задаче. Поскольку произвольный элемент группы G может быть представлен как и>(х) = еа^х\ где а принадлежит соответствующей алгебре Ли А, то
ш(-г/„р-1 = е'* (--г7„)е-<> =
= -ita - [а, Ни] - [а, [а, г£а]] --	[а, [а, [а, йа]]] + ....	(А.82)
Так как коммутатор любых двух элементов алгебры Ли вновь принадлежит алгебре Ли, то а,Да. £ А. Отсюда, в свою очередь следует, что [a, [a,	£ А
и т.д. А поскольку алгебра Ли является линейным пространством, то сумма произвольного числа элементов алгебры Ли также принадлежит алгебре, откуда мы получаем, что щ(-г7а)щ-1 е А. Аналогично,
1 =еод1ае~'1  1 -
= (X + 'а. 3,,] - 9~ [а, [а, Э,/] I ’a, [a, [a,	+ ...) • 1. (А.83)
Принимая во внимание, что <)f, \ = 0, а [а, О,,] = ~(<9ма), находим, что
= -<9ма - g,fa.д^а] - 1[а, [а,0ма]] + ....	(А.84)
Поскольку д(1а и а с очевидностью принадлежат алгебре Ли А, то и произвольное число коммутаторов этих величин также принадлежат А. Следовательно, и 1 является элементом алгебры Ли, соответствующей группе G.
492
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
6.	Доказать, что если матрицы а являются элементами некоторой алгебры Ли, то при малых а выражение ехр(а) взаимно однозначно отображается на некоторую окрестность единичного элемента некоторой группы Ли G.
Фактически нам необходимо доказать, что произведение двух произвольных элементов вида ехр(а), где а — элемент пространства алгебры, вновь может быть записано в таком же виде. Для доказательства этого утверждения рассмотрим вспомогательную функцию
щ(А) = е е
(А.85)
где а и 0 — некоторые элементы алгебры Ли. Тогда с использованием утверждения Задачи 4 мы получаем, что
Ла Ав .	Ла,-> Ав (	, Ла z> Ла\ Ла Ав
-- = ае е + е 0е.	= а + е ре е е =
dX	\	/
— (а + 0 + А[а, 0] + ^уА2[а, [«Л]] + ...) еХаехв = ти/, (А.86)
где
т(Х) = а + 0 + А[а, Д] + ^уА2[а, [а> $]] + ^3[о>	1Q’	+  •  •	(А.87)
Повторяя рассуждения Задачи 5, мы получаем, что матрица т(А) является элементом алгебры Ли.
Будем искать решение уравнения
— =m(A)w(A)	(А.88)
dX
в виде
w(A) = ехр (с(А)}, где с(А) = ^„АТ	(А.89)
71—1
С помощью тождества
duj I duj	d , — 1 * л	/а/л/ч\
—о; + ш—— = — ш )=0	(А.90)
dX	dX dX
уравнение (А.88) может быть переписано как
= —т(Х).	(А.91)
аЛ
Аналогично тому, как ранее в Задаче 5 была вычислена величина
находим, что
A.2. Алгебры Ли. Экспоненциальное отображение
493
Подставляя т(А) и с(А) из (А.87) и (А.89) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях А, мы получаем, что
ci = а + д',
С‘2 = [о, в\',
с'з + | , а] = [о. [о.З]];
04 + [С1,сз] + ^[ci, [c'l.CQj] = [а, [а, [л,,б]]], и т.д. (А.93)
Таким образом, найдена цепочка рекуррентных уравнений, из которой можно определить все коэффициенты сп. Эти коэффициенты, с очевидностью, являются элементами алгебры Ли (поскольку коммутатор двух элементов алгебры вновь принадлежит алгебре). Например, из (А.93) несложно проверить, что с точностью до членов четвертого порядка по А
С(А) = А(п + д) + д\ + А3 (к к £]] + [0, [0, а]]) ~ ^АЧ/3,кк< + <кА5). (А.94)
В низшем порядке (при А = 1) это выражение совпадает с результатом явного вычисления, выполненного в Задаче 3.
Поскольку алгебра Ли является линейным пространством (операции сложения и умножения на число не выводят за пределы алгебры), то
с(1) = У	(А.95)
п\
п~ I
также принадлежит алгебре Ли. Поскольку в силу (А.85) и (А.89)
епер =о>(1) =ехр(с(1)},	(А.96)
операция умножения не выводит нас за пределы множества ехр(л). Это и означает, что такое множество действительно является группой Ли.
7.	Доказать тождество IndetAf = tr In М.
Если собственные значения невырожденной матрицы М различны, то она
может быть приведена к диагональному виду некоторым М -> А~'МА:
преобразованием
/ А| О
О
О
М = АМ0А~],
где
Mq —
О
Аг
(А.97)
При этом
\ О 0 ... А„ /
det М = det(AA/oA_|) = det Мо =	А;.
(А.98)
494 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
Кроме того, поскольку (Л/ - 1) = Л(Л/о — 1)Л то
In М - 1п(1 + М - 1) =
Л(М0- 1)*/1 1 = Л111Л/оЛ’'. (А.99)
С помощью аналогичного разложения в ряд мы легко убеждаемся, что
/ In А, 0	...	О \
О	1пА2 ...	О
1пЛ/о =
\ 0	0	... InА„ У
Поэтому окончательно
tr In М = tr^A In Mq A = trln Mo = УУ In A; = In det M, i i
(А. 100)
(A.101)
где была использована инвариантность следа относительно циклических перестановок.
Если же матрица М не может быть приведена к диагональному виду преобразованием М —> А"1 МА, то среди ее собственных значений обязательно существуют совпадающие. В этом случае прибавим к М такую сколь угодно малую матрицу SM, чтобы у матрицы М + 5М все собственные значения были бы различны. Тогда в силу доказанного выше.
tr 1п(А/ + SM) = lndet(M + <W).	(А. 102)
Поскольку матрица 6М может быть выбрана сколь угодно малой, а обе части равенства являются непрерывными функциями, то формула (А.55) будет справедлива и в этом случае.
8.	Доказать, что структурные константы произвольной компактной алгебры являются вещественными.
Поскольку генераторы произвольной компактной алгебры являются эрмитовыми,
[ta, tb/ = (lb)+(ta)+ ~	=
= tbta - tutb = 'tb-t„' = ~ifabCtc, (A.103)
тогда как с другой стороны,
[£<!,£(>] = (.ifab’tc)1 = ~i(fabrytc.	(А.104)
Поэтому для компактных алгебр Ли (/а(/:)* — fubc-
Л.2. Алгебры Ли. Экспоненциальное отображение	495
9.	Доказать, что для компактных алгебр Ли матрица даЬ является положительно определенной.
Компактные алгебры Ли состоят из антиэрмитовых матриц а. Предположим, что х — собственный вектор такой матрицы с собственным значением А. Тогда
х+ах = Хх+х: х.^пх = —(ах)~х = ~Х*х~х,	(А. 105)
откуда следует, что А А*. Другими словами, все собственные значения матрицы а чисто мнимые. Принимая во внимание, что след матрицы есть сумма ее собственных значений, получаем, что
tra2 = — a“abtr(tntb) •- У7 <	(А. 106)
СЗ
если а 0. Это и доказывает требуемое утверждение.
10.	Доказать, что для компактных алгебр Ли матрица д,.;ь = tr(tati>) может быть сделана равной (или кратной) единичной с помощью специального выбора генераторов группы.
Осуществляя переход к другому набору генераторов ta t'a = Aabtb, мы получаем, что
tr(fX) = A/:gcdAbd = (AgAr)ab.	(А. 107)
Поскольку матрица даЬ является симметричной, всегда можно подобрать ортогональную матрицу А, приводящую даЬ к диагональному виду. При этом для компактных алгебр Ли в силу положительной определенности даь на главной диагонали будут стоять положительные числа Ха. Совершая затем преобразования t'a —> t'a = t'a/'/X/, мы находим, что tr(t'ltb) = 6ab.
11.	Найти коммутационные соотношения между генераторами (А.68) группы О(р, q).
Подставляя генераторы (А.68) в определение матричного коммутатора, получаем, что
[/»Лаз]-/ = (t/aa)/7	- (pV	а)3) =
= ~ (рю~ 1-]^^	~	~ (pv ^aff) =
—	“1“	р-3 $ а
—	i (f /j ~ 'tyvci 1ц;3 ) *> •	(А.108)
496
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
А.З. SU(2) и 50(3)
Группы SU(2) и 50(3) достаточно часто используются в моделях теории поля. Более того, исследование моделей, основанных на этих группах, как правило, позволяет на простом примере понять свойства сложных теорий. Поэтому такие группы часто встречаются в физических приложениях и заслуживают более подробного описания. Кроме того, изучение этих двух групп позволит более глубоко понять некоторые аспекты связи между группами и алгебрами Ли.
Несложно понять, что матрицы поворота трехмерного пространства являются элементами группы 50(3). Действительно, при пространственных вращениях а/ = ujx сохраняются длины векторов и углы между ними. Поэтому
хуу — (х, у) = (а/, у') — х>Ту' — х^и^шу, (А. 109)
откуда следует, что = 1. Более того, заметим, что определитель ортогональной матрицы может быть равен только ±1, а при вращениях, матрицы которых непрерывно зависят от величины угла поворота, определитель не может измениться скачком. Поэтому для произвольной матрицы поворота на некоторый угол а
det,w(a) = detcj(O) = 1.	(А.110)
Также справедливо и обратное утверждение: произвольный элемент группы 50(3) осуществляет некоторый поворот трехмерного пространства.
В наших обозначениях генераторами группы 50(3) являются чисто мнимые антисимметричные матрицы
/ 0 0	0 \	/ 0	0	1 \	/ 0	— 1	О \
ti = г I О 0 -1 ] ; t2 = г I 0 0 01; t3 = г I 1 О О I .
\ 0 1	0 /	\ —1	о	о /	\ О	О	0 /
(А.111)
Несложно проверить, что при этом (ta)b(: — —геаЬс- В Задаче 1 показано, что матрицы (А.111) удовлетворяют коммутационному соотноше
нию
[taAb] = iSabctc-	(А. 112)
Сравнивая его с (А.47), мы получаем, что структурные константы группы 50(3) оказываются равными абсолютно антисимметричному тензору Леви-Чивиты: fabc — e<ibc- (Полная антисимметрия структурных констант в соответствии с предыдущим параграфом является следствием компактности.)
А.З. SU(2) и SO(3)
497
В Задаче 2 показано, что матрица произвольного поворота трехмерного пространства может быть записана как w = exp(-mni„), где а= 1,2,3, а ап — некоторые вещественные параметры. При этом направление вектора а= ((*1,012,013) задает ось вращения, осуществляемого матрицей щ, а его модуль — величину угла поворота. Поэтому произвольный элемент группы SO(3) также может быть представлен в виде cj = ехр( —iaata). 9 Поскольку при а — v(«i)2 + («г)2 + (аз)2 ~ поворот сводится к тождественному преобразованию, то сДа=2тг = 1. В Задаче 2 это утверждение проверено явным вычислением.
Очень сходной с группой 50(3) оказывается группа 517(2), состоящая из унитарных матриц с единичным определителем. Ее алгебра Ли представляет собой пространство антиэрмитовых матриц размера 2x2, размерность которого равна 3. В качестве генераторов этой алгебры можно выбрать три эрмитовы матрицы Паули ст", определенные в (3.6).
Как было доказано в Задаче 1 Части 3.1.1, [оу,ст?] = 2ieijk<Jk- Это означает, что операция коммутирования действительно не выводит нас за пределы алгебры. Более того, обратим внимание на сходство коммутаторов для матриц Паули и генераторов группы 50(3). Если определить генераторы группы 517(2) как ta — ста/2, то для них будет выполняться точно такое же коммутационное соотношение, что и для генераторов 50(3):
[ta,tb] = iSabcte..	(А. 113)
Это означает, что алгебры Ли групп 517(2) и 50(3) являются изоморфными. Действительно, равенство структурных констант означает, что коммутаторы элементов с одинаковыми координатами также имеют одинаковые координаты, а, следовательно, при отождествлении элементов а из алгебры 517(2) и ;3 из алгебры 50(3) с одинаковыми координатами коммутатору [ai.aj] будет соответствовать коммутатор - 02] 
Однако группы 517(2) и 50(3) изоморфными не являются. Действительно, в Задаче 3 показано, что произвольный элемент группы 517(2) может быть представлен как
щ = ехр(-шаста/2) = cos(q/2) - i(nacra) sin(a/2) =
cos(a/2) — гпзsin(a/2) (-ini - n2)sin(a/2)
(—iri] + П2) sin(a/2) cos(a/2) + m3 sin(a/2)
(А.114)
') Напомним, что утверждение теоремы об экспоненциальном отображении относилось только к некоторой окрестности единичного элемента.
498	Прил. А. Простейшие сведения о группах, и алгебрах Ли
где су — \Д(У\)'2 + (а'2)2 + (<>з)2, ап-- а/а. Ранее мы выяснили, что при о- = 2тг элементы группы SO(3) оказываются равными 1, поскольку соответствующее преобразование сводится к повороту на угол 2тг. Однако, в группе SU(2) элемент с о = 2тг оказывается равным
Более того, поскольку повороты на углы о и о + 2тг являются эквивалентными, в группе 50(3) такие элементы с очевидностью будут одинаковы. Однако из (А. 114) мы заключаем, что в группе 50(2) элементы, соответствующие этим значениям, будут отличаться знаком. Поэтому одной и той же матрице группы 50(3) соответствуют две различных матрицы группы 577(2), которые отличаются друг от друга умножением на -1. Следовательно, соответствие между 577(2) и 50(3) не является взаимнооднозначным и не является изоморфизмом. Интуитивно хочется написать равенство
50(3) = 577(2)/Z2,	(А.116)
поскольку группу Z2 образует множество (1,-1). Это действительно возможно, но необходимо строго определить операцию «деления».
Предположим, что в некоторой группе G имеется некоторая подгруппа Н. Тогда, если при фиксированном g G G отождествить все элементы вида gh, V h G II, то получится т.н. (левый) смежный класс дН.
Если Н — инвариантная группы G, то множество смежных классов дН называется фактор-группой G/Н. При этом единицей является множество Н, а групповая структура G/Н следует из того, что
9iHg2H = dig2HH = (д}д2)Н,	(А.117)
поскольку во-первых, дН = Пд, так как II — инвариантная подгруппа, а во-вторых, НН = II, так как в силу групповой структуры Н произведение двух ее произвольных элементов вновь принадлежит Н.
В рассматриваемом нами случае Z2 с очевидностью является инвариантной подгруппой 577(2), поскольку ±1 коммутируют со всеми матрицами 517(2). Смежными классами являются множества (д, — д'), где д — некоторый элемент группы 577(2), а фактор-группа 577(2)/Z2 с очевидностью изоморфна группе 50(3), поскольку мы уже доказали, что между смежными классами SU(2.)/Z2 и элементами 50(3) имеется взаимнооднозначное соответствие, согласованное с операцией умножения в силу равенства структурных констант.
Пример групп 577(2) и 50(3) показывает, что одной и той же алгебре Ли могут соответствовать различные связные группы Ли. Заметим теперь, что с геометрической точки зрения группа 577(2) представляет собой сферу 53, и любой замкнутый путь на ней можно непрерывно стянуть в точку. В таких случаях говорят, что многообразие или группа
/1.3. 57/(2) и SO^i)
499
являются односвязными. Группа SO(3) = SU(2)/Zz односвязной не является, поскольку в ней есть замкнутый путь, который соединяет точки 1 и -1 (в группе 5(7(2)) и не стягивается в точку. В теории групп доказывается следующая
Теорема. Любой алгебре Ли соответствует единственная связная и односвязная группа Ли. Все остальные связные группы Ли, которые соответствуют этой алгебре Ли, получаются факторизацией по ее некоторой нормальной дискретной подгруппе.
Эта теорема выражает связь между группами и алгебрами Ли. В этом параграфе мы продемонстрировали ее выполнение на примере алгебры $и(2).
Задачи
1.	Получить выражение для структурных констант группы 50(3) в случае, если генераторы выбраны в виде (А.111).
Перемножая матрицы (А.111), несложно убедиться, что
[tt.tv] -- it3; [t2, t3] = iti;	(A.118)
Поскольку коммутаторы двух одинаковых матриц равны 0, то (А.118) может быть записано как [ta, th] - i£abctc, откуда мы заключаем, что /а(/ = еаьс.
2.	Убедиться, что матрица jj — ехр(—iaata), где генераторы ta даются формулой (А.111), описывает поворот па угол а — (а, )2 + (аг)2 + (аз)2 вокруг оси, задаваемой вектором п = a/а. Доказать, что значению а — 2тт всегда соответствует сд = 1.
Рассмотрим вначале случай а 0. Тогда, поскольку генераторы группы 50(3) (А.111) могут быть записаны как (tc)nb = —i£abc, мы получаем, что
х'а = jJabXb =3 ха - iac(tc)abXb = ха + £(1(,га(,хг.	(А.119)
В векторных обозначениях это равенство может быть переписано как
х = ехр(—iaata)x и х -г [а х х]	(А.120)
и представляет собой закон преобразования координат вектора при бесконечно малом повороте вокруг оси, параллельной а, на угол а.
Если же а - па не является бесконечно малым, то
<д = У -(-z)',Qn(nata)n.	(А.121)
' 7г.
п=0
Поскольку при этом (nctc)ab — -i^rab'^c причем п2 = 1, то
=	= $ab W-aTlbi	(А. 122)
500 Прил. Л. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
где было использовано тождество eabf£cdf = SarSbd — 6ал6ы-. (см. формулу (6.57)). Принимая во внимание, что
(Sab	— EacdH-d-
(J>ab ~ ПаПЬ)(5Ьс ~ ПЬПГ,) = Sac - ПаПс,
(А.123)
мы находим, что все четные степени (nrtc), начиная со второй, оказываются равными dab ~ паПъ, а все нечетные — равными ienrbric. Поэтому
ШаЬ =ПаПъ + (Sab ~ ПаПЬ) +
ft (2^)!
.	1	, 2fe^l
к 0	'
= папь + (Sab ~ папь) cos а + еасьпс sin а.
(А.124)
При умножении этого выражения на некоторый вектор хь получаем, что
х = п(пх) т (х - п(пх)) cos а + [n х х] sin л.
(А.125)
При этом первое слагаемое хц = п(пх) направлено вдоль оси вращения п и с очевидностью представляет собой проекцию вектора х на ось п. Вектор х = х — п(пх) лежит в плоскости, образованной векторами х
Рис. А.1. Графическое представление формулы (А. 124)
поскольку поворот на угол 2тт тождественное преобразование.
и п, перпендикулярен вектору п и по модулю равен хsin д (см. Рис. А.1). Вектор [п х х] также по модулю равен хsin д, но направлен перпендикулярно плоскости векторов х и п. Поэтому сумма двух последних слагаемых в (А. 125) представляет собой вектор, перпендикулярный оси вращения п и повернутый на угол а относительно плоскости векторов х и п. Следовательно, сумма всех трех слагаемых представляет собой вектор, полученный при вращении вектора х вокруг оси п на угол а. Поэтому мы действительно получаем, что .матрица щ = exp(-iaato) описывает некоторый поворот трехмерного пространства.
Из (А. 124) мы также заключаем, что при а = 2тг
Х>аЬ = ПаПЬ + (Sab ~ ПаПЬ) СОя(2тг) + +eac(,ncsin(27r) = Sab-	(А. 126)
Этот результат не является неожиданным, вокруг произвольной оси представляет собой
A.4. Понятие о представлениях групп и алгебр Ли	501
3.	Показать, что произвольный элемент группы SU(2) может быть записан как
ш -- exp(-iaa(Ta/2) = cos(a/2) - г(па<та) sin(a/2),
(A.127)
где a = J (a,)2 + (a2)2 + (»з)2, a n = a/a.
Рассмотрим выражение
ехр(-га0<та/2) =	- ша<та/2^ .	(A. 128)
n --0
Поскольку (аа<та)2 = аааъ<тасгь = аааь(йаь + геаьс<7с) = а2, то все четные степени (апгта')2>‘ пропорциональны единичной матрице, а все нечетные — матрице аа<т0. Следовательно,
ехр(-гаа<та/2) =
fc=0 v
00	1
= cos(a/2) - г(па<та) sin(a/2).
(A.129)
Подставляя в эту формулу выражения для матриц Паули, получаем, что
ехр(—ша<тга/2) =
cos(a/2) — гпз sin(a/2) (-гщ - n2)sin(a/2) {—ini + n-2) sin(a/2) cos(a/2) + т,з sin(a/2)
(А. 130)
Таким образом, остается только доказать, что все элементы группы 5(7(2) могут быть записаны в виде такой экспоненты. (Напомним, что утверждение теоремы об экспоненциальном отображении относилось только к некоторой окрестности единичного элемента.)
В Части А.1 мы выяснили, что произвольный элемент группы SU(2') может быть записан в виде
/ см -f- газ
ш =	
\ га\ - а.2
1а\ + а2 а.\ — 1а$
(А.131)
2 , о 2	2 t
причем а| -г аз ~	= 1. 
Полагая а = 2arccos(a.i) (а, следовательно, sin(a/2) = а2 + а2 +	> 0)
и n, = -a;/sin(a/2) при i = 1,2,3, мы получаем, что произвольный элемент вида (А.131) действительно может быть записан в форме (А.130).
А.4. Понятие о представлениях групп и алгебр Ли
Говорят, что в некотором линейном пространстве L задано представление R группы G, если каждому элементу uj С G поставлен
502
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
в соответствие линейный оператор действующий в пространстве L, причем V G G
7?(1) = 1.	(А.132)
Размерность пространства L называется размерностью представления. (Если линейное пространство задано над полем комплексных чисел, то имеется в виду комплексная размерность.) При этом два представления /?1 и П-2 (одинаковой размерности) мы будем называть эквивалентными, если 3 оператор S, такой что Vce G G имеет место равенство r-2^)-Slides-
Если V щ G G R(yj) — 1. то представление группы называется тривиальным.
Фундаментальным называется нетривиальное представление минимальной размерности. Фактически именно такие представления мы описывали в Части А.1, когда давали определения различных групп Ли. Поэтому можно считать, что для фундаментального представления 7'М -
Рассмотрим теперь поле ф, которое принадлежит алгебре Ли А группы G, и построим т.н. присоединенное представление группы G следующим образом:
1{(и)ф = щфщ-1.	(А. 133)
Другими словами, пространство присоединенного представления совпадает с алгеброй Ли группы G, а его размерность — с размерностью группы Ли. Это определение является корректным, поскольку в соответствии с результатом Задачи 5 Части А.2 G А, если ф G А. Кроме того, соответствие /?(щ) является согласованным с операцией умножения, поскольку
1{(а>\иг-2)ф —	= П(а>\)1{(а>2)Ф-	(А.134)
Если задано некоторое представление R группы G, то можно определить т.п. сопряженное представление R, которое строится следующем образом: каждому элементу щ G G ставится в соответствие оператор [Д(щ)_|]т, где Д(щ) — оператор представления 11. Определенное таким образом соответствие, очевидно, является представлением, поскольку
[Д(Щ!Щ2) ']T = [/?(^2) ’Я^)-1]7 = [Я(щ1)-']т[Л(щ2)-|]т. (А.135)
В общем случае сопряженное представление отличается от исходного, хотя бывают и исключения. Например (Задача 1), присоединенное представление оказывается эквивалентным своему сопряженному. Также можно доказать (Задача 2), что для группы 5(7(2) фундаментальное
A.4. Понятие о представлениях групп и алгебр Ли	503
представление эквивалентно своему сопряженному. (Но уже даже для группы 57/(3) это утверждение не справедливо.)
Аналогично сопряженному представлению можно определить еще два представления:
и (7?(щ)-1) + .	(А.136)
Согласованность этих определений с операцией умножения может быть легко проверена. Можно доказать, что если группа Ли является компактной, то матрицы любого представления являются унитарными, т.е.
1 — 7?(и)"|_. Поэтому для компактных групп первое из представлений (А. 136) сводится к сопряженному представлению 77, а второе — к самому представлению /?.
Одним из наиболее важных примеров представлений являются т.н. тензорные представления. Для того, чтобы их построить, обозначим через шД элемент фундаментального представления некоторой группы G. Тогда поле ф3, лежащее в этом представлении (его индекс мы будем писать внизу), будет меняться по закону
(А.137)
Аналогичным образом индекс поля, преобразующегося по сопряженному представлению, мы будем записывать сверху. Соответствующий закон преобразования поля ф‘ при этом будет выглядеть как
(А.138)
В случае, если калибровочная группа является компактной, ш = и этот закон преобразования можно эквивалентно переписать в виде
фг - (щ-')/о' =	= (^*У3фЛ	(А. 139)
Построим теперь поле	которое под действием группы G изме-
няется как
фУ:^	(а.140)
В этом случае говорят, что такое поле является тензором по отношению к группе G.
Если некоторый тензор при таких преобразованиях остается неизменным, то он называется инвариантным. Наиболее простым примером инвариантного тензора является символ Кронекера, если один из его индексов — верхний, а другой — нижний. Действительно, при преобразованиях группы G он меняется по закону

(А.141)
504 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
В случае, если элементы группы имеют единичный определитель, существует еще один инвариантный тензор — г-символ. По определению он полностью антисимметричен по своим индексам, число его индексов равно размерности фундаментального представления калибровочной группы, а £12...7i = 1- Тогда (см. Задачу 3)
= detW£i|i2...in = £i, i2.. ,г„ 
(A. 142) В случае, если G = О(п) или G — O(p,q), определитель может принимать два значения: 1 и —1. Тогда г-символ будет неизменен, если потребовать, чтобы
^.j,, ->sgn(detw)w,iJ1w,/2...winJ'lE>,J-2..j„.	(А.143)
В таком случае говорят о том, что г-символ является псевдотензором. Заметим, что для ортогональных и псевдоортогональных групп существует еще один инвариантный тензор — (а также и rft). Действительно, например,
r/ij -^Lc/r/ki =	= r/ij	(А. 144)
в силу определения (псевдо)ортогональной группы. (Для ортогональной группы 7]ij — 5ij.) Аналогичным образом доказывается, что для симплектических групп инвариантным тензором будет 2п х 2п матрица
/О = (_°1 i)-	(А-145)
Пусть задано некоторое представление R группы G. Подпространство Lq пространства представления L называется инвариантным, если V |х) £ До и V щ £ G Д(щ)|х) € Lq. У любого представления всегда имеются два инвариантных подпространства: 0 и само пространство представления. В случае, если других инвариантных подпространств нет, представление называется неприводимым. В качестве примера рассмотрим представление, которое образуют тензоры с двумя нижними индексами. Такое представление является приводимым. Действительно, в пространстве рассматриваемых тензоров имеются инвариантные подпространства, которые состоят из симметричных тензоров и антисимметричных тензоров Они инвариантны, поскольку
^(и)	*^[0]	'У?	(А. 146)
вновь являются симметричным и антисимметричным тензорами соответственно.
Представления с помощью симметричных и антисимметричных тензоров являются неприводимыми для групп GL или SL, но в случае, например, группы SO представление симметричными тензорами
A.4. Понятие о представлениях групп и алгебр Ли
505
приводимо и содержит инвариантное подпространство у^ф, где ф — некоторый скаляр. В общем случае, требуя, чтобы тензоры имели определенные свойства симметрии, и налагая на них некоторые условия связи с помощью инвариантных тензоров, можно выделять из тензорных представлений неприводимые. Тем не менее, описывать, как это делается, мы не будем.
Заметим, что теперь мы можем переформулировать определение простой группы Ли следующим образом: группа Ли называется простой, если ее присоединенное представление является неприводимым.
Представления групп тесно связаны с представлениями соответствующих алгебр Ли. Говорят, что в некотором линейном пространстве L задано представление алгебры Ли Д, если каждому элементу а £ А поставлен в соответствие некоторый линейный оператор /?(а), причем V Q|, «2 6 Д и произвольного числа с
R(cn + mj = Н(п\) + /?.(й2); Д(са) = сД(а);
7?([ai, од]) = [Л(«1), Д(аг)]-	(А.147)
Как правило, мы будем рассматривать матричные представления. В этом случае линейный оператор представляет собой матрицу размера п х п, где п — размерность представления.
Очевидно, что если мы построим некоторые матрицы Та, удовлетворяющие коммутационному соотношению
[Ta,Tb] = ifabcT(:,	(А. 148)
где fahc — структурные константы алгебры Д, то такие матрицы однозначно задают некоторое представление алгебры Д. Действительно, в этом случае элементу а = —iaata £ Д мы ставим в соответствие матрицу R(a) = -iaaTa, так что коммутатору
[(1|, (12. = —ifabCCt°0l2 Ъ	(А. 149)
будет соответствовать
= 7?(а,), Л(а2)].	(А.150)
Очевидно, что матрицы Та = R(ta) естественно называть генераторами алгебры Ли в представлении R. (Генераторы фундаментального представления, как и генераторы самой алгебры Ли, мы обозначаем через ta, а генераторы любого другого (или произвольного) представления через Та.)
Если задано некоторое представление R группы G, то, исходя из него, можно легко построить представление соответствующей алгебры Ли. Для этого достаточно представить элемент группы в виде ш = еа (при этом « будет принадлежать соответствующей алгебре Ли)
506 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
и разложить закон преобразования поля ф вблизи сс = 1, сохраняя только линейные слагаемые по а. Тогда, поскольку вблизи единичного элемента R(ui) % 1 + R(a), вид операторов R(a) может быть найден из равенства
7?(а)д = <5ф.	(А.151)
Применяя это правило, легко убеждаемся, что тривиальному представлению группы Ли будет соответствовать тривиальное представление алгебры Ли, такое что V а е A R(a) = 0. Размерность тривиального представления полагается равной 1.
Раскладывая равенство (А. 133) с точностью до слагаемых первого порядка по а, также получаем, что в присоединенном представлении элементы алгебры Ли действуют на поля, которые также лежат в этой алгебре, по закону
R(a)<t> — [а, ф\.	(А. 152)
Из этой формулы следует (Задача 4), что генераторы алгебры Ли в присоединенном представлении выражаются через структурные константы равенством
(Та)сь = ifabc.	(А. 153)
В Задаче 5 показано, что благодаря тождеству Якоби эти генераторы автоматически удовлетворяют коммутационному соотношению (А. 148).
Представления алгебры Ли, которые соответствуют тензорным представлениям группы Ли, также могут быть легко построены. Например, в случае, если тензор имеет два нижних индекса, то, представляя ш в виде еа и разлагая закон преобразования поля ф по а с точностью до членов первого порядка малости, получаем, что
R(a)i;jkl<i>ki =	= а,кф^ +	(А. 154)
Как следствие, генераторы калибровочной группы в рассматриваемом представлении будут записываться в виде
(7;),/' = ^(tQ)/+d'.(Aj(fc	(А.155)
Аналогичным образом можно рассмотреть и другие тензорные представления. При_этом генераторы, соответствующие сопряженному представлению R, будут отличаться знаком и транспонированием: (7j?)u = —(7н)Т Можно доказать, что для компактных групп матрицы представления соответствующих алгебр Ли будут являться антиэрми-товыми, что согласуется с тем, что представления компактных групп Ли унитарны. Поэтому генераторы компактных групп оказываются эрмитовыми.
Точно так же, как и в случае групп Ли, определяются понятия инвариантного подпространства и неприводимого представления: если
A.4. Понятие о представлениях групп и алгебр Ли	507
задано представление R алгебры Ли А в пространстве L, то подпространство Lo G L называется инвариантным, если V (г) 6 Lo и V а 6 А /?(а)|.т) £ Lo. Представление алгебры называется неприводимым, если оно не имеет инвариантных подпространств кроме 0 и L. Достаточно очевидно, что если представление группы Ли имеет инвариантное подпространство, то такое же инвариантное подпространство будет и у соответствующего представления алгебры Ли. Как и для случая групп Ли, можно сформулировать определение простой алгебры Ли так: алгебра Ли называется простой, если ее присоединенное представление неприводимо.
Заметим, что несмотря на то, что представления групп и алгебр Ли во многом сходны, соответствие между ними все же не является взаимнооднозначным. Для того чтобы пояснить это, рассмотрим случай групп 5(7(2) и 50(3). Их алгебры Ли являются изоморфными и имеют одинаковые представления. Например, генераторами фундаментального представления являются матрицы ta = а пространством представления — пространство комплексных столбцов с двумя компонентами. Поскольку для рассматриваемых алгебр Ли fabc — еаЬс, генераторы их присоединенного представления записываются как (Та)ъс — —iCabe и совпадают с матрицами (А. 111). Если же исследуются представления групп 5(7(2) и 50(3), то ситуация становится несколько более сложной. В фундаментальном представлении матрицы группы 5(7(2) представляют собой унитарные матрицы размера 2 х 2 с единичным определителем. При этом размерность фундаментального представления равна 2. Другое представление группы 50(2) (размерности 3) образуется матрицами из группы 50(3). Действительно, как мы выяснили в предыдущей части, каждой матрице из группы 5(7(2) можно однозначно поставить в соответствие элемент 50(3), причем это соответствие будет согласовано с операцией умножения. Однако, в отличие от случая алгебр, матрицы из группы SU(2) не образуют представления группы 50(3), поскольку элементу 50(3) невозможно однозначно поставить в согласованное с операцией умножения соответствие матрицу группы 5(7(2). Например, если отождествить элементы с одинаковыми координатами, то произведение двух одинаковых поворотов на угол д даст 1 в 50(3) и -1 в 5(7(2). Поэтому, строго говоря, группа 50(3) не имеет представления размерности 2 и ее фундаментальное представление состоит из ортогональных матриц размера 3 х 3 с единичным определителем.
Определим теперь прямую сумму и тензорное произведение представлений следующим образом. Пусть имеются два представления (?| и (?2 группы G, действующие в пространствах £[ и L>>, образованных векторами ap) и |хг). Построим пространство L\ + L% размерности dimL] 4 dim/^ и пространство L\ х L2 размерности dimLi • dimL2 следующим образом: если элемент |,Ti) £ L\ в некотором базисе имеет координаты а?,1, а элемент ’агг) €	— координаты х'2’, то составим
508 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
L\ + L2 из векторов |j,-|,	.гг)) с координатами (х,1,
a L] хЬ2 из векторов |.z-|)|j"2) с координатами х^х'^.
Прямой суммой R= R\ + R2 представлений Rt и R2, действующих в пространствах L\ и Ь2, называется представление, действующее в линейном пространстве L\ — L2, таким образом, что
R(x>)\xi,x2) = (/?,«?,), R2H\x2}).	(А.156)
Очевидно, что при этом пространства L\ и Ь2 (образуемые векторами |Х|,0) и |0,х2)) являются инвариантными подпространствами представления At + А2.
Тензорным произведением R = R\ х R2 представлений R\ и R2 группы G, действующих в пространствах £| и Ь2, называется представление, действующее в линейном пространстве х Ь2 таким образом, что
R(^\x,).x2) = R\(cj)\xi)R2(lv)\x2).	(А.157)
(Например, тензорным произведением двух фундаментальных представлений будет тензорное представление с двумя нижними индексами.)
Если генераторы группы G в представлениях R\ и R2 есть, соответственно, (Tin).;/1 и (Т2а)^2, то генераторы в представлении R\ + R2 с очевидностью запишутся как
((ЩЛ (Т2а)г^).	(А. 158)
В Задаче 6 показано, что в представлении Rt х R2 генераторы записываются в виде
Л WJ2 =	+ <(W.	(А. 159)
Как уже было указано выше, прямая сумма двух представлений всегда является приводимым представлением. Вопрос о том, справедливо ли обратное утверждение, является менее тривиальным. В общем случае приводимое представление не является прямой суммой неприводимых представлений (см. Задачу 7). Однако имеет место следующее
Утверждение. Любое унитарное (или антиэрмитово) приводимое представление разлагается в прямую сумму неприводимых представлений.
Доказательство приводится в Задаче 7.
Как следствие, произвольное приводимое представление компактной группы (алгебры) Ли может быть разложено на прямую сумму неприводимых представлений. В частности, применяя это утверждение к присоединенному представлению, получаем, что любая компактная группа
A.4. Понятие о представлениях групп и алгебр Ли	509
(алгебра) Ли представляется в виде прямой суммы некоторой абелевой группы (алгебры) и простых групп (алгебр) Ли.
Наконец, отметим еще одно важное утверждение.
Лемма Шура. Если матрица М коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления группы (алгебры) Ли, то она пропорциональна единичной матрице.
Доказательство приводится в Задаче 8.
С помощью леммы Шура можно доказать (Задача 9), что если алгебра Ли является простой, то след генераторов произвольного неприводимого представления пропорционален следу генераторов фундаментального представления:
tr(TaTb) = 2T\R)tv(tatb),	(А.160)
где T(R.) — некоторая постоянная, которая зависит от рассматриваемого представления. Важно отметить, что даже для полупростой алгебры Ли это утверждение уже не будет справедливым, поскольку для всех простых компонент полупростой алгебры Ли постоянные в этом равенстве будут в общем случае различными.
Задачи
1.	Доказать, что присоединенное представление эквивалентно своему сопряженному.
Под действием группы G элемент алгебры Ли —гфа1а меняется по закону
-гф'Ц —» -iRAd(yj)ab<t>bta —	tb ^-I.	(А.161)
Умножая последнее равенство на itc и вычисляя след с помощью равенства tr(t„it,) = даь, получаем, что элемент группы Ли в присоединенном представлении можно представить в виде
gcaR.Ad(yj)aь - tr(tc'ajtb^ ')	(А. 162)
или эквивалентно, Ялг(и>)аь — R(tau>tb и>~'), если поднимать индекс с помощью матрицы д~}.
Аналогичным образом, соответствующий элемент группы Ли в представлении, сопряженном к присоединенному, оказывается равным
)]Т)а" = RAd(u~')ba =	- tr(WV’’ ) =
= gacRAdHcd(g~l)dh-	(А.163)
Это и означает, что присоединенное представление эквивалентно своему сопряженному.
2.	Доказать, что фундаментальное представление группы SU(2) является эквивалентным его сопряженному.
510
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
В соответствии с формулой (А. 16) элемент фундаментального представления группы 5(7(2) может быть записан в виде
ш = сц + ica,	(А. 164)
где а — вектор, составленный из матриц Паули, а — вещественные числа, удовлетворяющие условию af + a2 -1- <4 + <4 = 1. Поскольку матрицы группы 5(7(2) унитарны, то нам необходимо построить оператор 5, который удовлетворяет условию S'X>S~} = щ*. Положим
о ) =i(T'2-
0
-1
5 =
(А.165)
Тогда обратный оператор запишется в виде 5-1 = —га2. Учитывая, что матрицы 1, <т1, <т3 вещественны, матрица <т2 чисто мнимая, а матрицы Паули антикоммутируют, получаем, что
55 ‘ = 1 = 1*;
с- I с-1	2-12 -I /  I
ога о = а га а = —га = (га ) ;
гт • 2 rr— 1	2-2 2	-2	/ • 2 \ *
5	— а га а = га = (га ) ;
О-З с-1	2-32	-3	/• Зч*
эга Ь = а га а = —га = (га ) ,
(А.166)
откуда и следует требуемое равенство.
3.	Доказать, что е-символ является инвариантным тензором для групп, матрицы которых имеют единичный определитель.
Рассмотрим выражение
(А.167)
Оно очевидно является полностью антисимметричным по индексам г,, г2, ..., г„, каждый из которых может принимать п значений. Как следствие, рассматриваемая величина должна быть пропорциональна	При этом коэффи-
циент пропорциональности равен определителю матрицы ш, в чем можно легко убедиться, если положить Д = 1, г2 = 2, ..., in = п. Действительно, в силу определения детерминанта матрицы,
dotщ	...Шп'’пе212,...2„,	(А.168)
откуда получается, что
Шг/'Ш;/2 . .. U>injn€Jlj2...Jr, = det W	.	(А.169)
В частности, если detw = 1, из этого равенства следует, что г-символ является инвариантным тензором.
4.	Найти явный вид генераторов присоединенного представления произвольной алгебры Ли А.
A.4. Понятие о представлениях групп и алгебр Ли	511
В присоединенном представлении действие алгебры Ли определяется равенством
7?(«)ф = [а, ф] = -ifab аафь1с.	(А. 170)
Левая часть этого равенства, так же, как и поле ф, представляет собой элемент алгебры Ли калибровочной группы, который может быть разложен по генераторам как
П(а)ф = — ьФЬ^-с-	(А.171)
Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем, что
R(a)‘b = fabcaa.	(А.172)
Поскольку а = -ша1а, а оператор R является линейным, то окончательно
R(ta) b — ifab •
(А.173)
5.	Доказать, что генераторы присоединенного представления (Та)ьс = ifatb удовлетворяют коммутационным соотношениям рассматриваемой алгебры Ли.
Нам необходимо доказать равенство
[Ta,Tb] = ifabeTc.	(А. 174)
Подставляя в него (Та)ьс = ifacb и аккуратно выписывая матричные индексы, мы получаем, что
'fTa,Tb]cf = (Та)сd(Tb)df - (ТьУЛТ,,^ =
= -fadCfbfd + fb/fa/ = ffbdfadC + fafdfbdC. (A.175)
С использованием тождества Якоби
fcadfbdf + fbcdfadf + /Л/ = 0	(A. 176)
выражение (A.175) может быть переписано как
fla, Tb]Cf = -fbadffdC = -fabdfdfC = i/ab^f,	(A. 177)
что и доказывает утверждение.
6.	Пусть (Tia);/1 и (T2Q)j2J2 — генераторы группы G в представлениях R\ и R'i- Построить генераторы (Та)г.г2',и2 в представлении R = /?, х R> группы G.
По определению произведения представлений
7?(сц)|Ж1 ) |ж2) = 7?1(СЦ)|Ж1)7?2М|Ж2).
(А.178)
512
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
Если и; = ехр(а), где а = -iaat.a, то в пределе а » 0 равенство (А. 178) может быть переписано в виде
(1 -	= (1 - ianTia)|a?i)(l - iaaTia)\x2') к
« |.Ti) |ж2) - га11\а |a?i) |r2) - iaa |n )Т2а |ж2) •	(А.179)
где Та, Та и Т2а — генераторы группы G в представлениях 7?, R\ и R2 соответственно. С учетом произвольности параметров а ° формула (А. 179) может быть эквивалентно записана как
(Ж| )j, (ж2)2, = (2Г|а),, ” 01 )71 О2);2 + (xi)il(T2a)tplTx2'')}.,, (А.180)
откуда следует, что

(А.181)
7.	Доказать, что любое унитарное (или антиэрмитово) приводимое представление разлагается в прямую сумму неприводимых представлений.
Рассмотрим некоторое приводимое представление. Выберем базис в пространстве представления таким образом, чтобы несколько его первых векторов также образовывали бы базис в инвариантном пространстве. Тогда в рассматриваемом представлении матрицы соответствующей группы (или алгебры) могут быть записаны в виде
м=(‘о' М,\	(A IS2)
где Mi, М2 и т — некоторые матрицы. Действительно, поскольку
М ( ж0' ) = ( М'о£] у	(А. 183)
то подпространство, образованное такими столбцами, является инвариантным. Также совершенно очевидно, что инвариантность этого подпространства гарантирует, что матрицы представления записываются в форме (А. 182).
Если матрица М является антиэрмитовой, то из условия М+ = —М следует, что т — 0 и
М,)-	<А|84>
Это и означает, что приводимое представление разлагается на прямую сумму двух неприводимых.
Аналогично, если матрица М является унитарной, то подставляя (А. 182) в условие унитарности М+ М — ММА = 1, мы получаем, что
M^Mi = 1; М2+Л72 = 1; тт'=0.	(А.185)
Отсюда мы в частности получаем, что
0 = tr(mm+) = £H/2	(А.186)
ij
A.4. Понятие о представлениях групп и алгебр Ли	513
и, следовательно, т = 0. Поэтому унитарное приводимое представление также всегда разлагается на прямую сумму неприводимых.
Однако, для неунитарных или неэрмитовых представлений такое утверждение не является справедливым. Действительно, рассмотрим группу R, образованную вещественными числами, причем по определению групповым произведением элементов группы х и у считается их сумма. Тогда ее представление, образованное треугольными матрицами
М= ( J f ) ,	(А.187)
с очевидностью является приводимым, но не разлагается на прямую сумму неприводимых представлений.
8.	Доказать, что если .матрица М коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления группы (алгебры) Ли, то она пропорциональна единичной матрице.
Рассмотрим матрицу М, которая коммутирует со всеми матрицами А некоторого неприводимого представления группы или алгебры Ли. Пусть А — одно из собственных значений матрицы М, которому соответствует некоторое нетривиальное пространство собственных векторов Lq. Другими словами, пространство Lo образовано всеми векторами !ж), для которых
(W-А-1)|ж) =0.	(А. 188)
Поскольку М коммутирует со всеми матрицами представления, то
(Л/ - А - 1)А|ж) = А{М - А - 1)|ж) = 0,	(А.189)
откуда следует, что Л|а:) G Lg V А. Это означает, что Lq является инвариантным подпространством пространства представления L. Поскольку рассматриваемое представление является неприводимым, Lq должно совпасть с L в силу определения понятия неприводимого представления. Поэтому
(М -X- 1)|ж) =0 V Is) е L.	(А. 190)
Это означает, что все собственные значения матрицы М равны А и, следовательно, М = А • 1, что и доказывает требуемое утверждение.
9.	Доказать, что в произвольном неприводимом представлении простой алгебры Ли А
tr(TaTb) =2T(R)tr(tatb),	(А.191)
где T(R) — некоторая постоянная, зависящая от выбранного представления.
Введем обозначения tr(taib) = даь'. tr(TaTb) = Gab и рассмотрим тождество
tr(p’a, ТЬ]ТС) = 1г{Ть[Тс,Та]),	(А.192)
которое следует из инвариантности следа относительно циклических перестановок. Если генераторы представления R определяются как Та - R(tn), то они
17 К. В. Степаньянц
514 Прил. А. Простейшие сведения о группах, и алгебрах Ли
с очевидностью удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и ta. Поэтому равенство (А. 192) может быть записано как
fabdGdc = Gbdfcad.	(А. 193)
Поскольку генераторы присоединенного представления записываются как (/а)гь = ifabc, то, учитывая, что в силу полной антисимметрии структурных констант fcad fadr. = fae.f gcf(g~l)de, мы переписываем равенство (А.193) в виде
Gcd(Ta)db = gcf(Ta)fe(g-'rdGdb.	(А.194)
Это равенство можно эквивалентно переписать в матричном виде как
[g-'G)Tn — Ta(g~'G).	(А.195)
Таким образом, матрица g~[G коммутирует со всеми генераторами присоединенного представления простой алгебры А. Мы уже отмечали, что в силу определения простой алгебры Ли, ее присоединенное представление является неприводимым. Поэтому в силу леммы Шура матрица g‘G пропорциональна единичной, что и требовалось доказать.
А.5. Представления алгебры Ли su(2)
Конечномерные неприводимые представления простых компактных алгебр Ли полностью классифицированы. Теория групп позволяет занумеровать все представления, вычислять их размерности и т. д. В данной книге нет необходимости описывать это для случая произвольной алгебры Ли. Тем не менее, полезно рассмотреть случай алгебры su(2). (В общем случае перечисление представлений производится в некоторой степени сходным образом.)
Поскольку в качестве генераторов алгебры su(2) у нас, как правило, будут использоваться операторы момента импульса, то обозначать их мы будем через Ji. При этом удобно перейти к новому базису, состоящему из операторов Jz и J±, где
<7± = Jx i iJy.	(А. 196)
При этом в Задаче 1 показано, что эти генераторы будут удовлетворять следующим коммутационным соотношениям:
J+\ = J+-	[JZ,J_] = -J_-	[J_, J._] = 2Л-	(A.197)
Кроме того, в Задаче 1 показано, что в алгебре su(2) имеется оператор Казимира
j2 = 4 +1(./+ j- + j_j+),
(А. 198)
A.5. Представления алгебры Ли su(2)	515
который по определению коммутирует со всеми элементами рассматриваемой алгебры Ли. В силу леммы Шура при действии на векторы любого неприводимого представления этот оператор сводится к умножению на некоторое число. Для того чтобы перечислить конечномерные неприводимые представления мы сначала зафиксируем некоторое значение J2. Поскольку оператор Jz коммутирует с J2, то можно характеризовать состояния собственным значением оператора Jz, которое мы будем обозначать через т. Мы будем рассматривать только конечномерные представления. Поэтому существует некоторое максимальное значение т, которое мы будем обозначать через}. При этом состояния, являющиеся собственными векторами Jz, будем обозначать По определению
Jz\j,m) = m\j,m).	(А.199)
В Задаче 1 показано, что в силу коммутационных соотношений (А. 197) оператор J_ увеличивает число т на 1, а _ — уменьшает на 1. Как следствие, состояние с максимальным значением т должно удовлетворять уравнению
.7Д;,;) = 0,	(А.200)
а для остальных состояний должны выполняться равенства
= c^\j,m + 1); J- j}, m) = c^\j, m - 1).	(A.201)
Определим эрмитово сопряженный вектор (n| = (|п))+ и скалярное произведение (f\g), так чтобы относительно него операторы J были бы эрмитовыми. Тогда коэффициенты с~т можно найти из условия нормировки
= 1,	(А.202)
а также коммутационных соотношений (А. 197). В Задаче 2 показано, что из них получаются равенства
<7+!Д т) = У(} -m)(} + m + 1) |}, т + 1);
J-|}, т) — У(} — m)(} - m + 1) }, m - 1).	(А.203)
Заметим, что из последней формулы следует, что
.7_|},-}) = 0.	(А.204)
Это означает, что -} является минимально возможным значением числа т, так что оно пробегает значения от } до —} с шагом 1. Как следствие, число } должно быть либо целым, либо полуцелым.
17*
516 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
Используя формулы (А. 199) и (А.203), можно легко вычислить собственное значение оператора J2 при действии на представление, у которого максимальное значение т равно j. В Задаче 2 показано, что
J2|j-m) = j(j + l)|j,m).	(А.205)
Поскольку векторы \j,rn) по построению имеют единичную норму и соответствуют различным собственным значениям эрмитовых операторов Jz и J2, то (см. Задачу 3), они удовлетворят условию
O'l, тгц |.)2, т2) =	(А.206)
Одним из примеров применения описанного способа построения представлений алгебры Ли группы 5(7(2) являются т.н. сферические функции 1,т) = Yim(&,p). Они получаются, если в качестве генераторов группы 5(7(2) выбрать операторы орбитального момента
L = -г[г х 5] =	- е^-Д-^-Y	(А.207)
\	sin v др )
(последнее равенство доказано в Задаче 4) и по определению являются собственными векторами операторов
Г 13	т 2	1 д . q д I д'
г др	sin t) дд дд sin2 д др2
(А.208)
(Эти равенства также получены в Задаче 4.) Обозначим собственное значение оператора Lz через т, а максимальное значение т через I. Тогда, в соответствии с описанной выше теорией представлений алгебры <stt(2), сферические функции будут удовлетворять условиям
Ь2У/т = ((( + 1)У/т; LzYlm=rnYlm. (АЛОЭ)
Тогда, используя явное выражение для оператора Lz, получаем, что
Г/т(0>¥>) = -U0Zm(cos3)e^, V 2тг
(АЛЮ)
где функции Q[m будут построены несколько далее. Пока же заметим, что поскольку точки, у которых угол р отличается на 2тг, совпадают, то число т (а, следовательно, и число () должно быть целым. Заметим, что из описанной выше теории представлений следует, что число т может быть либо целым, либо полуцелым. Поэтому для сферических функций реализуется только половина возможностей. (Полуцелые значения гп возникают, например, если в качестве генераторов Д выбрать
<Тг/2.)
Для того, чтобы получить явные выражения для сферических функций, можно поступить следующим образом. Функция Yii(d,p)
A.5. Представления алгебры Ли su(2)	517
получается как решение уравнения L+Yu = 0 (Задача 5). После этого все остальные функции можно найти применением оператора L . в соответствии с формулами (А.203), которые в рассматриваемом случае можно записать следующим образом:
7>-Ут =	~ т ctg-t?) Ybn = У(/-т)((-т + 1) У/.„,. i;
A- Ytm = e~lv ( - ~ - т ctgt?) Ybrl = y/(l + m)(l - т 1) У/.
(А.211)
С помощью этих рекуррентных соотношений в Задаче 6 доказано, что в явном виде сферические функции записываются в виде (А,210), где
/27-1 (Z-m)! f	2у (А212)
2'1!’ V 2	}	.т ) . (А.212)
В Задаче 6 также доказано следующее соотношение, которому удовлетворяют сферические функции:
У;*, М-1ГУ.-,,,.	(А.213)
В Задаче 7 установлено, что скалярное произведение, относительно которого операторы J являются эрмитовыми, записывается в виде
Ш=-- I	(А.214)
где dQ, = sinddddip — элемент телесного угла. Поэтому условие ортогональности для сферических функций может быть переписано в виде
<Zi,/г?I|Z2, m2> = dClY^^Yt,^ =	(А.215)
Задачи
1.	Записать коммутационные соотношения алгебры su(2) в терминах генераторов Л и J±. Убедиться, что оператор J коммутирует со всеми генераторами этой алгебры.
Поскольку [Л. Л] = iSijkJk, то
[*7г, .7-: — [У-,	+ iJy\ — iJy + Jr. = d \ i
[Л, J ] = [Л, Jr - iJy] = iJy - Jr = -J-\
[J+.J-] = -2i[Jx,Jy] = 2JZ-
[J2, A] = 7/+ \Jj.Jt\Jj = -i£ljk(JJJk + JkJ])=O. (A.216)
518 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
(Последнее равенство следует из того, что антисимметричный е-символ свертывается с симметричной величиной.) Применяя первые два равенства к вектору |j, т), получим, что
Jz.J+\j,m) = (.7+,72 + J+)\j,m) = (т + 1)J(
= (J-Jz -	= (m - 1)J \m,j).	(A.217)
Это означает, что действие оператора J+ увеличивает собственное значение Jz на 1, а действие оператора J.. — уменьшает на 1.
2.	Исследовать, как операторы ,7= и J2 действуют на векторы
Вначале выясним как действуют на векторы \j,m} операторы ,7д. Для этого заметим, что в соответствии с результатом предыдущей задачи
= c^\j,m + 1);	|j, m) = m - 1),	(A.218)
где c*„ — некоторые постоянные. Для того, чтобы их определить, воспользуемся условием нормировки	= 1, которое должно быть справедливо
для произвольного т. В частности, из него следует, что
= \c^2(j,m+ 1 \j, т + 1) =	|2.	(А.219)
С использованием коммутационных соотношений, полученных в предыдущей задаче, оператор J2 .может быть представлен в виде
J2 = 4 -+ J-J+) = Ji + Л .7-7-.	(А.220)
В силу леммы Шура все векторы рассматриваемого неприводимого представления являются собственными векторами этого оператора с некоторым собственным значением А. Поэтому для произвольного т имеет место равенство
А = (j, 7Т||J2|j, m) = O',m|(./2 - Jz + ,7—7-)j,m) = m2 - m - i^’|2, (A.221) из которого следует, что (с точностью до несущественного фазового множителя)
с\+! = у/Х-т2-т.	(А.222)
При этом мы знаем, что = 0, поскольку = 0. Из этого равенства следует, что А = j(j + 1).
Аналогичным образом, представляя оператор J2 в виде
J2 = ,7; - Jz + J, J.,	(А.223)
получаем, что = \/j(j + 1) — m2 + m .
3.	Доказать, что векторы iy.m) удовлетворяют условию ортогональности (А.206).
A.5. Представления алгебры Ли su(2)
519
В силу эрмитовости оператора Jz и вещественности числа т
j2m2) = {jimi\Jz -j2m2} = ({hm^J^jimi'p =	j2m2}.
(A.224)
Поэтому, если mi m2, to (jinn\j2m2} =0. Аналогичным образом, в силу эрмитовости оператора J2
O2.m2|J2|ji,mi) = ji(ji + l)O2.m2!ji,mi) j2(j2 + l)(j2,m2|ji,mi).
(A.225)
Это равенство может быть справедливо только если либо j\ = j2, либо ji = — j2 — 1. Второе равенство не может выполняться, так как j 0. Поэтому величина (jimi\j2m2} отлична от 0 только если нц = т2 и ji •••• j2. А поскольку, по построению, норма всех состояний равна 1, то
Oim|ly2m2) = т,.
(А.226)
4. Получить явные выражения для оператора момента импульса, его квадрата, а также операторов L+ в сферических координатах.
Хорошо известно, что радиус-вектор и оператор производной в сферических координатах записываются в виде
г = гег;
а д 1 д 1 д о = е,-----нел-------1- е---------,
dr г di) г sin д д-р
(А.227)
где ег, ед и — единичные векторы ортонормированного локального базиса, которые образуют правую тройку. Поэтому оператор момента импульса может быть записан в виде
т	я  ( д 1 д \
L = —г г х 9 = - г! ех — -ев —- — ).
\ dv svcivdp)
(А.228)
Поскольку в декартовых координатах
ег = sin д cos р ех + sin <) sin р еу + cos О ez; ед = cos д cos р ех + cos i) sin реу — sin i) ez;
е, = — sin р ех + cos р еу,
(А.229)
то в соответствии с определениями (А.196), получаем, что
Ьг = -^-;	= еЧ Д +ictgi9^-'); L_ = е ( - Д + ictgtfy ).
г д-р	\ di) д-р /	\ di) д-р)
(А.230)
При вычислении квадрата оператора момента импульса необходимо аккуратно учитывать зависимость векторов локального базиса от координат:
т 2	(0	1 д \2
L = — I е . — — ед--------=
\ * di) s\n-&d-p)
с)2 , д 1 д 1 д д 1 д д
di) dv sin v д-^> sin v di) sin2 i)	др
520 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
А поскольку в соответствии с формулами (А.229)
= 0; ей = - costf; ей-^-е1>=0,	(А.232)
ov	д-р	д-р
то, окончательно,
г 2	* о 13	\ д ... д 13. 0QQ
L =-------ctg?7 — - —-----------= =------—- sintf--------5-----5. (А.233)
di)~ 33 sin2 -0 др2 sin т) дт) di) sin2 т) д-р2
5. Найти явный вид сферической функции Yu(j),p).
Поскольку эта функция имеет максимально возможное значение числа т при заданном I, то она должна удовлетворять уравнению
0 =	= е’^(А-Zctg^)y„.	(А.234)
Принимая во внимание, что рассматриваемая функция должна быть пропорциональна ellv, получаем, что с точностью до нормировочной постоянной с
Yi(d, р) = с sir/ 3 е1^.	(А.235)
Константа с определяется из условия (х = cos'd, d.H = dd dp sin$ — элемент телесного угла)
1= У dYlYuYu = с22тг У d.r) sin2/+1 д = с22тг j ds(l - х2)1.	(А.236)
0	-1
Полученный интеграл может быть сведен к хорошо известному выражению для В-функции Эйлера с помощью замены переменной х = 2у — 1:
1
1 = с24тг22( [ dyyl(\-y)1 = с24%22'^)2г-1.	(А.237)
J	(ZI + I) .
0
Поэтому с точностью до несущественного фазового множителя
Yulti.p) = (~1),х/(2£+,1)! sinWy~.	(А.238)
V4tt 2'1!
6. Доказать, что сферические функции в явном виде представляются формулами (А.210) и (А.212).
Функция Yn(x), ф) (а, следовательно, и функция 0„(соы9)) была построена в предыдущей задаче. Несложно убедиться, что опа согласуется с формулами (А.210) и (А.212). Поэтому достаточно только убедиться в том, что применение оператора L переводит сферическую функцию Yjm в У).т_|. Другими словами, необходимо проверить справедливость равенств (А.211). Для этого
A.5. Представления алгебры Ли su(2)	521
удобно ввести новую переменную х = cos$, в терминах которой первое из этих равенств перепишется как
((! +mi)0im(x) = -^(l ~m)(l + т+ 1)(1 - i2)1/26(.m*i (х).
(А.239)
Используя тождество
(1 -х2)у+тх = (1 -i2)m/2"‘y-(l -х2Гт/\ ах	ах
(А.240)
можно переписать это рекуррентное соотношение в более простой форме:
^((1 ~х'2) т/2&1т{х)^ = - У(/ - т){1 + m + 1) (1 - х2) (m+l)/20/.mJ-i.
(А.241)
Достаточно очевидно, что его решением, которое при т = I совпадет с функцией ©//, построенной в предыдущей задаче, будет
(А.242)
Аналогичным образом можно решить и второе из соотношений (А.211),
которое переписывается как
-^-(1 - xJ)m/'20im(x) = \/(1 + т)(1 - т+ 1) (1 -rr2)(m 1)/20(,щ-|.
(А.243)
Решением этого рекуррентного соотношения, которое при т = I переходит в построенную ранее функцию Yu, будет
21+1 (1 + т)! ,. _ 2\-m/2 d!_ т_
2 (1 - т)! 1	'	71х1~т
(А.244)
Сравнивая формулы (А.242) и (А.244), приходим к равенству = (—l)’"0|._,n(x), из которого получается следующее соотношение для сферических функций:
С> = (-1ГП-
(А.245)
7. Доказать, что операторы J являются эрмитовыми относительно скалярного произведения (А,214).
522
Прил. А. Простейшие сведения о группах, и алгебрах Ли
Совершая интегрирование по частям и принимая во внимание, что функции f и g должны быть периодичны по у? с периодом 2тг, доказываем эрмитовость оператора Lz:
(sIM/) = У A?sind У" dy?S*(d,y?) |^/(d,y?) = о b
ddsind [ dp--^-g*($,p) f($,p) =
J г dip о	о
2tt
di) sind у dy?/*(d,y?) j У>)}	•	(A.246)
о b
Аналогичным образом можно убедиться в эрмитовости операторов Lx и Lv. Например, в силу того, что sin 0 = sin тг = О
7Г	2тг
Lx\f) = у dd sind У d<pg’:(d,<p) (»sin р^ 4- i cos ysctgd — • )/(d, y?) = о	о
! d-д sind у dy>(-»siny^-icosy>ctgd~)/(d,y>)/(d,y>) = 0	0
(У ddsind У dpf*(i), p) (tsinyjJ^ + icosy?ctgd y-)#(d, p)^ =
о	0
(A.247)
A.6. Группа Пуанкаре и ее представления
Модели теории поля в плоском пространстве являются инвариантными относительно трансляций и преобразований группы Лоренца. Группа Пуанкаре по определению состоит из преобразований Лоренца и трансляций:
х'1 —> х'>1 — ^,,х‘' - а11,
(А.248)
и обозначается /50(1,3) (или /50(1,0- 1) в случае пространства D измерений и сигнатуры (4—Рассмотрим некоторое тензорное поле 0^, где через i обозначается вся совокупность его индексов.
A.6. Группа Пуанкаре и ее представления	523
Под действием преобразований группы Пуанкаре поле фг меняется по закону
фг(х) —>	причем 0'(х') = exp(-iaa!iTny)t2 ф-^х). (А.249)
Это равенство можно интерпретировать так: любому преобразованию группы Пуанкаре ставится в соответствие оператор, который действует на функции <pi(x). При этом несложно убедиться (Задача 1), что такое соответствие является согласованным с групповым умножением. Таким образом, поле ф принадлежит пространству некоторого представления группы Пуанкаре, причем ее генераторы в этом представлении имеют вид (Задача 1)
Р1г = гд/, = ХуРф - ХуР^ + Т^,	(А.250)
где через обозначены генераторы группы Лоренца в тензорном представлении, которое определяется структурой индексов поля <р,-. Заметим, что оператор Р° = id/dt. представляет собой известный из квантовой механики оператор энергии, а Рг — —id/dx1 — оператор импульса. Операторы очевидно, представляют собой генераторы подгруппы Лоренца группы Пуанкаре. Коммутационные соотношения между генераторами (А.250) найдены в Задаче 2:
[Рк, Ри] = 0;	[-Fg, Jap] = i (уЧцаРв ~ TlppPaj ’
'Л»/?] —	Xh,0,Jila 4~ ТфУ'Ра	(А.251)
Очевидно, что в силу этих соотношений оператор Р2 коммутирует со всеми генераторами алгебры Пуанкаре. Такие операторы называются операторами Казимира. Поэтому в силу леммы Шура для неприводимых представлений группы Пуанкаре оператор Р‘2 может быть заменен на его собственное значение, которое мы обозначим через тп2. Учитывая, что компонентами оператора Р'1 являются операторы энергии и импульса, величина т2 представляет собой значение квадрата массы поля Ф1. Для физических состояний эта величина либо положительна, либо равна 0.
Кроме того, в группе Пуанкаре имеется еще один оператор Казимира. Если определить полностью антисимметричный тензор
W,ay=}-(p,Jay + PyJ^ + PaJyl,Y	(А.252)
О \	/
то, как показано в Задаче 3, величина №2ав будет оператором Казимира для группы Пуанкаре. Поэтому неприводимые представления также будут характеризоваться ее собственным значением. Заметим,
524
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
что в случае пространства четырех измерений полностью антисимметричный тензор Wuae эквивалентен псевдовектору
_ 1	(А 253)
который называется псевдовектором Паули-Любанского.
Далее мы будем по-отдельности рассматривать массивные (т 0) и безмассовые (т = 0) представления группы Пуанкаре.
1.	В случае т 0 при помощи некоторого преобразования из группы Лоренца можно перейти в систему покоя, в которой четырехимпульс поля (j>i запишется в виде P'J = (m, 0, ...,0). Заметим, что такая система отсчета является инвариантной относительно группы пространственных вращений и отражений 0(3). В случае пространства D измерений указанная система отсчета будет инвариантна относительно группы O(D — 1). Поэтому массивные состояния образуют представления группы O(D — 1). ') В частности, в случае D = 4 представления нумеруются числом j, которое может быть целым или полуцелым и связано с квадратом углового момента формулой
J2=j(j + 1).	(А.254)
Размерность такого представления равна 2j + 1. При этом массивные состояния, которые образуют это представление, нумеруются значением ji ~ проекции углового момента на ось z.
В общем случае известно (см., например, [3]), что представления алгебры Ли группы SO(D - 1) характеризуются (D - 2)/2 целыми числами (обобщающими число 2j) для четных D и (D - 1)/2 целыми числами для нечетных D. Поэтому понятие углового момента (и спина) на самом деле существенно связано с тем, что пространство-время имеет размерность D = 4.
В Задаче 4 показано, что для массивных представлений
№%а0 =	(А.255)
□
где
- ^РаРА (4 - J-y* (А.256) X т / X т /
— тензор момента импульса, спроектированный на направления, пер-пендикулярные импульсу. (Заметим, что операторы представляют собой генераторы группы O(D - 1), которая оставляет инвариантной
') Строго говоря они образуют представления алгебры Ли so(D — 1), поскольку для спинорных полей поворот на угол 2тг приводит к изменению знака поля.
A.6. Группа Пуанкаре и ее представления	525
систему отсчета Р1-1 — (т, 0,..,, 0).) В частности, в случае четырех измерений (Задача 4)
=	=	(А.257)
где J/ = EijkJjk/% — вектор момента импульса в системе покоя. Это равенство, в частности, означает, что спин частицы я является инвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца.
2.	В случае, если т~ = 0, уже невозможно перейти в систему покоя. Однако, можно выбрать систему отсчета, в которой
= (Е, 0,..., О, Е). Такая система отсчета уже не будет инвариантна относительно всей группы пространственных вращений O(D — 1). Она, очевидно, будет инвариантна относительно группы O(D — 2), которая описывает вращения, при которых неизменной остается нулевая и (D - 1)-я оси. Однако рассматриваемая система отсчета на самом деле будет инвариантна относительно более широкой группы преобразований. Действительно, рассмотрим преобразования, которые генерируются операторами
Д = Р%г = Д(УОг + ^-1г), г = 1,, Z? - 2.	(А.258)
Такие преобразования представляют собой частный случай преобразований Лоренца, при которых единственными отличными от 0 параметрами будут а0’ =	1 г. Изменение импульса при этом равно
дР» — Р^ = а^°Е — ар Е = 0.	(А.259)
Это и означает, что рассматриваемая система отсчета инвариантна относительно таких преобразованиях.
Используя коммутационные соотношения алгебры Пуанкаре, несложно убедиться (Задача 5), что
[Д,Т']=0;	[Д,У^] = -г(д0-7Т-^Г;),	(А.260)
причем все латинские индексы пробегают значения от 1 до D — 2. Сравнивая эти равенства с коммутационными соотношениями алгебры Пуанкаре, мы видим, что операторы Д и —.Д? генерируют алгебру Пуанкаре 1SO\D — 2) для (D — 2)-мерного евклидова пространства, относительно которой и будет инвариантна рассматриваемая система отсчета.
Далее мы будем рассматривать только те состояния, для которых W2n0 = °- в Задаче 4 показано, что в этом случае все собственные значения генераторов трансляций группы ISO(D - 2) равны 0, а безмас-совые состояния характеризуются представлениями группы SO(D — 2). Если D > 4, то они характеризуются (D — 3)/2 целыми числами для нечетных D и (D - 2)/2 целыми числами для четных D. Однако
526 Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
наиболее физически интересный случай D = 4 будет исключением, поскольку группа 50(2) = 0(1) не является простой. Она соответствует поворотам вокруг третьей оси, т.е. вокруг направления импульса. При этом при повороте на угол 2тг волновая функция бозонного состояния остается неизменной, фермионного — меняет знак. (Это было показано в Задаче 2 Части 3.1.3, исходя из закона преобразования спинорных полей под действием группы Лоренца. Учитывая, что функция Лагранжа всегда имеет четную степень по спинорным полям, этот множитель (—1) всегда сокращается для физических величин.) Поэтому, если собственное значение оператора Уз равно А, то
ехр(-2тггУ3)|Е, А) = ехр(-2тиА)|Е, А) = \Е, А) (А.261) для бозонных состояний и
ехр(-2тгг,73)\Е, А) = ехр(-2тггА)|Е, А) = -\Е, А) (А.262)
для фермионных состояний. Из формул (А.261) и (А.262) следует, что для бозонных состояний А является целой, а для фермионных — полуцелой. Величина А, очевидно, представляет собой проекцию спина на направление импульса и называется спиральностью. Она характеризует безмассовые состояния в случае, если пространство-время имеет 4 измерения и может принимать целые или полуцелые значения. Заметим, что в отличие от массивного случая (при D = 4) при наличии состояния, скажем, с Уз = 1 совсем не обязательно существование состояния с У3 = 0. Например, фотон имеет состояния со спиральностью ±1, но не имеет состояний со спиральностью 0.
В Задаче 6 показано, что спиральность представляет собой коэффициент пропорциональности между псевдовектором Паули-Любанского и вектором импульса:
IVM = A/^.	(А.263)
Это равенство позволяет дать релятивистски инвариантное определение спиральности, которое не зависит от выбора конкретной системы отсчета.
Задачи
1.	Доказать, что закон преобразования поля фг (А.249) согласован с операцией умножения в группе Пуанкаре. Найти генераторы соответствующего представления.
Закон преобразования поля <р, под действием группы Пуанкаре может быть эквивалентно записан в виде
= АЕ ф-j (А" 1 (х + а)
(А.264)
A.6. Группа Пуанкаре и ее представления
527
(В формуле (А.249) мы заменили х на Л '(я: 4- а).) Если же последовательно совершить 2 преобразования с параметрами (Л,,а,) и (Лг.аг), то в результате новое поле ф' окажется равным
ф'(гс) = (Л2Л| )фф,. [(Л,)-’ (Л?1 (а: - а2) 4- а,)) .	(А.265)
При этом координаты х изменятся по закону
х х = Л2(Л|.г - а,) - а2,	(А.266)
из которого следует, что (Л2,а2)  (Л|, щ) = (Л2Л|. A2ai 4- а2), а обратное преобразование записывается как
х = Af1 (Л2Ч (а:'4-а2) 4-to).	(А.267)
Поэтому новое преобразование также может быть представлено в виде (А.264), причем Л = Л2Л], а а = Л2в| 4- а2. Это и означает, что закон преобразования поля ф; согласован с операцией умножения. Поэтому поле фг преобразуется по некоторому представлению группы Пуанкаре. Найдем теперь ее генераторы в этом представлении. Поскольку при бесконечно малых трансляциях
ф{(х) фз(х 4- а) = ф;(д-) 4- а^дцф^х) 4- О(а2),	(А.268)
то генератор таких преобразований может быть определен из равенства
—ia11 Р^ффг.) = 86i(x) = а^д^ф^х).	(А.269)
Из него следует, что = к4,,.
Изменение поля фг при бесконечно малых преобразованиях Лоренца с параметром 8аа3 складывается из двух частей: изменения координаты на 8x'L = -ScP^Xu и разложения экспоненциального множителя в формуле (А,249). В результате получаем, что
-г-8ап0ф]п0уф3 = 6фг = - '-бс^Т^ф^х) - ба^х^ф,, (А.270)
откуда находим, что генераторы подгруппы Лоренца группы Пуанкаре равны = (хпРв - х3Ра)б{ + (Tn3)t].	(А.271)
2.	Получить коммутационные соотношения алгебры Пуанкаре.
Коммутационное соотношение [РД,Р/] = 0 очевидно в силу коммутации обычных производных.
[РМ’ М = [Р^хаР3 - ждРо] = i(r/liaPe -	(А.272)
поскольку [Plt, xQ] = г[9м,та] -- iryla. Аналогично
[x^.Ja;-)', = '_Х^,ХаРл Х.зРа] = i(riliax,3 - T]ll3xn},	(А.273)
528
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
откуда с использованием коммутационных соотношений генераторов группы Лоренца (А.69) получается, что
[Рцу, 'Ain] = [хрРу	хуРI/ И- Т.у. —
= ([я:,,. Раз\Ру + х^Ру, Рпр] -	+ [Туу, Та0] =
- г(т)^аХрРу - qll0XaPy + qvaX^Pg - РивХцРа^ +	-
т]ца Гуз^ {у а) — i (qiifiJyn Цуа Jy3 РуЗРуа -Ь у,.,, Р у з^ • (А.274)
3.	Доказать, что величина является оператором Казимира для алгебры Пуанкаре.
Поскольку величина W2^ = WyyaИ7'11"7 является скаляром (все ее лоренцевы индексы свернуты), то ее коммутатор с генераторами группы Лоренца Ja0 равен 0. Кроме того, используя коммутационные соотношения алгебры Пуанкаре, получаем, что
[Р<>, И7^] = [Рп,Р;уРу„]] = 2ir/ayPyPy -- 0.	(А.275)
(При этом было учтено, что в силу коммутации операторов импульса РуРа- = = 0.) Поэтому рассматриваемый оператор также коммутирует и с генераторами группы трансляций.
4.	Вычислить величину W2va для массивных и безмассовых состояний. Доказать, что в безмассовом случае условие W£va = 0 эквивалентно тому, что все генераторы трансляций группы rSO(D — 2) равны 0.
Возводя выражение для Wya0 в квадрат, используя коммутационные соотношения алгебры Пуанкаре, а также равенство РаРзJa3 = 0, получаем, что
WLp = (Ру Ja3)2 + PyJaflPpJya = J РуР^в ~ ^РуРв Р а0 Pay.	( А.276)
В массивном случае это выражение может быть эквивалентно переписано в виде
= ’rn2f« - —2РарА(86!} - —,P3PS\Pa3P^ = \m\j^)2. (А.277) J \ tn / \ m~ /	j
При 1} = 4 это выражение связано с квадратом псевдовектора Паули-Любанского
(А.278)
529
Л. б. Группа Пуанкаре и ее представления
Поэтому в системе отсчета, где Р'1 = (гп, 0, 0,0),
W* =	= -m2J2.	(А.279)
Если же масса равна 0, то
Ы2а0 = Л(1,а.Цу)2-	(А.280)
В системе отсчета, где F'' = (Е, 0...., 0, Е) справедливы равенства PnJno — = EJn i o и PaJnr>-.\ = -EJD-},0. Поэтому
9 L>~2
wtaa = ^pa^2-	(А.281)
i=l
Выражение, которое стоит в правой части этой формулы, является положительно определенным. Поэтому, если W~aa = 0, то PaJ„i = 0 для любого г = 1,... 77 — 2.
5.	Убедиться в справедливости коммутационных соотношений (А.260) при т2 = 0.
Второе из приведенных коммутационных соотношений очевидно, поскольку 1} преобразуется как вектор под действием группы SOiD - 2), а г/у =
Первое соотношение проверяется непосредственным вычислением:
= [PaJm, PfiJdj] = Pa[Jat,Pa.J0J] + [Pn,PaJ0]',Jal -
= -iPa(у: >р'./;! -	+ //'’(<>;;/jz - d'“p,= о, (Л.282)
где мы приняли во внимание, что величина PaJae преобразуется как вектор по отношению к группе Лоренца, а Р2 = т2 = 0.
6.	Доказать, что при D — 4 спиральность представляет собой коэффициент пропорциональности между псевдовектором Паули-Любанского и вектором импульса.
Вычислим вначале нулевую и третью компоненты псевдовектора Паули-Любанского в системе отсчета, где Р1’ = (/7,0,0, Е):
Н-’° = Л'2г;,/12 gj3 \ро-
1уз -£30i2pj12 = ej3 = \р\	(А.283)
А поскольку W2 = (И/0)2 - W2 = 0, то Ин = 0 = ХР} и И’2 -- 0 = АР2. Таким образом, псевдовектор Паули-Любанского оказывается равным ХР'1. В силу одинакового закона преобразования обеих частей этого равенства под действием связной компоненты группы Лоренца, оно будет иметь место и в произвольной системе отсчета.
530
Прил. А. Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли
Список литературы
1.	Простейшие сведения о группах и алгебрах Ли, а также замечательное изложение курса линейной алгебры можно найти в книге
Э.Б. Винберг. Курс алгебры, Москва, Факториал, 1999.
2.	Краткие сведения об основных группах Ли и соответствующих им алгебрах Ли, описанные очень простым и доступным языком, можно найти в книгах
В.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. Методы и приложения., Москва, Наука, 1979;
В.А. Рубаков. Классические калибровочные поля, Москва, Эдиториал УРСС. 1999.
3.	Прекрасное изложение классификации простых алгебр Ли и их представлений
Дж. Хамфрис. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, Москва, МЦНМО, 2003.
4.	Хороший учебный курс по теории алгебр Ли
Н. Джекобсон. Алгебры Ли, Москва, Мир, 1964.
5.	Самые разнообразные вопросы теории групп и алгебр Ли, их представлений описаны в книге
А. Барут, Р. Ропчка. Теория представлений групп и ее приложения, Бишкек, Айнштайн, 1997.
6.	Описание приложений теории групп и алгебр Ли в теории поля, а также подробные справочные сведения о наиболее интересных точки зрения теории поля алгебрах Ли даны в обзоре
R. Slansky. Group theory for unified model building, Phys. Rept., 79, (1981), 1.
Предметный указатель
СРТ-теорема, 96
7-матрицы, 11,69, 70, 76-79, 84, 85, 282, 283
— в произвольной размерности, 128-131
— представления, 71, 72, 76, 93, 105
— скалярное произведение, 77
р-мезон, 187
т-мезон, 187
г-символ Леви-Чивиты, 11, 16, 248-250, 504
д фактор Ланде, 93, 209
W-бозоны, 184, 185, 207-209
Z-бозон, 184, 185, 207, 208
— исключительные, 486, 487
— компактные, 487, 488
— комплексные, 486
— матричные, 481
— полупростые, 152, 486
— простые, 486, 507
— размерность, 483
аномалия, 102, 313
антикоммутирующие величины, 69.
111, 112, 432-434
антисимметричное тензорное поле. 449-451
— действие, 449
— тензор энергии-импульса, 451
— уравнения движения, 449, 450
античастица, 52, 94
аромат, 161
алгебра Ли, 480-495
— gl(n), 486
- gl(n,C), 486
— о(р, q), 488, 489
— sl(n), 486
- s/(n,C), 486
— ,so(n), 486
— so(n, C), 486
— sp(2n, C), 486
— sp(rz), 486
- sn(2), 119, 496-499, 507
- su(3), 161
- .s-u(rz), 487
— sw(p, q), 489
— u(n), 487
— usp(2n), 487
— векторных полей, 288
— векторов Киллинга, 291 алгебры Ли
— абелевы, 480
— вещественные, 486-489
барионное число, 199, 200
барионы, 160, 162, 200
бозоны, 182
вакуум, 62-64, 67, 164, 171, 172, 183, 336
вакуумное среднее скалярного поля, 185
вектор Киллинга, 290, 291
векторное поле
— безмассовое, 35, 36
— массивное, 35
---- действие, 35
Великое объединение, 216
взаимодействие
— гравитационное, 334-337,
370-372
— сильное, 160-162, 182, 196-200
— слабое, 210, 211
— электромагнитное, 14-16, 18, 91-96
532
Предметный указатель
— электрослабое, 182-185,
189-193, 196-198, 206-210 взаимодействие полей, 206 внешнее произведение, 433, 441 внешняя производная, 433, 434, 443 водородоподобные атомы, 118 волновая функция, 51, 52. 112 вспомогательное поле, 395, 396
генераторы, 12, 146, 152, 481, 487,
488, 505-509
— алгебры Ли sw(2), 514, 516
— группы Лоренца, 523
---- в спинорном представлении, 83 ----коммутационные соотношения, 83, 489
— группы Пуанкаре, 523
— группы трансляций, 523 геодезические, 355-357, 362, 364, 371
главное квантовое число, 121 глюоны. 162, 184
голдстоуновский бозон, 65, 66, 166,
173
гравитационная постоянная, 334 гравитационное поле
— действие, 334
— действие в квадратичном приближении, 339
— момент импульса, 348
— слабое, 339-341, 352, 353
— спиральность, 353
— статическое, 375
— стационарное, 375
— энергия и импульс, 344-349, 353 гравитационные волны, 339-341,
352, 353, 378-393 гравитационный потенциал,
370-372, 376, 377
гравитино, 408-414, 420-423
— действие, 409, 410
- масса, 412-414, 423
— энергия и импульс, 412
гравитон, 352, 353
грассманова четность. 433
группа Zn, 471
группа Ли, 468-480
- (7L(?i), 469, 472
- GL(n,C), 469
- O(n), 472
- O(n,C), 470
- O(p,g), 475-477
- 57,(2), 472
- SL(n), 472
- SL(n, C), 469
- 5'0(3), 496-499, 507
- 5'O(n), 472
- 5O(n,C), 470
- 517(2), 474, 496-499, 507
- 517(3), 161
- SU(n). 145, 474
- 5p(2n), 472
- 5p(2n,C), 470
- Щ1), 473, 474
- U(n), 473
— Usp(2n), 474
группа Лоренца, 245, 475, 476
— генераторы, 488, 489
группа Пуанкаре, 291, 330, 522-526
— генераторы, 523
— коммутационные соотношения, 523
— представления
----безмассовые, 525, 526
----массивные, 524, 525
группы
— конечные, 468
— матричные, 469
группы Ли
— абелевы, 468
— вещественные, 469
— компактные, 472, 503
— комплексные, 469
— односвязные, 499
— полупростые, 472
— простые, 471
— размерность, 468, 483
— связные, 498
действие, 17, 286
действие в искривленном пространстве, 268
дипольный момент, 24
дираковское сопряжение, 135, 136
дифференциальные формы, 443
длина кривой, 242
Предметный указатель
533
длина осцилляций, 227
дуальный тензор поля. 15
закон всемирного тяготения, 370 запаздывающий потенциал, 23, 378,
379
зарядовое сопряжение, 85, 94, 113, 148
— в произвольной размерности, 136
— для скалярного поля, 51
— спинорного поля, 94, 95
— электромагнитного поля, 95, 96
заряженные токи, 209
излучение
— гравитационное, 378-382
— электромагнитное, 21-26
изоморфизм
— алгебр Ли, 481, 497, 507
— групп, 468
— групп Ли, 498
изотропные геодезические, 357
инвариант Ярлског, 203, 204
инвариантная подалгебра, 486
инвариантная подгруппа, 471, 498
инвариантное подпространство, 504,
507
инвариантный тензор. 84, 249, 503, 504
индекс
— верхний, 503
— лоренцев, 274, 275
— нижний, 503
— эйнштейновский, 274, 275
интегрирование дифференциальных форм, 443
интегрирование по частям, 154
интервал, 247
калибровка
— Лоренца, 36
— де Дондера, 339-341, 352
— для антисимметричного тензорного поля, 450
— для поля Фронсдала, 455
— для поля Фэнга-Фронсдала, 461
— унитарная, 67, 173, 175, 184, 212
калибровочная группа, 152, 155, 160, 182, 189, 237
калибровочная инвариантность, 14, 15, 145
— глобальная, 32, 47, 49, 61-66 71 163, 191, 193
— локальная, 32, 33, 35, 66, 91-92, 145-148, 152-156, 161, 171. 173, 191, 192, 197
— остаточная, 36, 173, 175, 340 455, 462
калибровочные поля, см. поле Янга-Миллса
калибровочные преобразования
— для антисимметричного тензорного поля, 449
— для поля Фронсдала, 454
— для поля Фэнга-Фронсдала, 460
— поля Янга-Миллса, 146, 152
— тензора поля, 147
качельный механизм, 219
кварки, 160-162, 182, 187, 196-200, 235
— левые, 188
— массы, 198, 199
— правые, 188, 189
— электрические заряды, 197
киральная инвариантность, 101
киральный ток, 101
ковариантная производная
— вдоль вектора, 355
— гравитационная, 253-255, 275-277
---гравитино, 421
---спинорного поля, 281 -283
—	калибровочная, 32, 92, 146, 153-155, 183, 198, 209
—	коммутатор, 154
—	полей Стандартной модели. 191, 192, 235
коммутатор, 481
коммутатор векторных полей, 288
компактность, 152
комплексное сопряжение. 78, 79
константа Ферми, 211
константа связи, 11, 153, 162, 183, 236
—	сильная ез, 161, 236
534
Предметный указатель
—	электромагнитная, 236
—	электрослабая ei, 184
—	электрослабая ez, 184
конторсия, 395, 402, 403
конфайнмент кварков, 162 конформная группа, 330-331 конформная инвариантность, 301, 309-313, 318
координаты локально инерциальные, 248, 273, 375
космологическая постоянная, 13, 336, 337, 423
красное смещение гравитационное, 375-377
кручение, 13, 403, 404, 422
кулоновский потенциал, 118
лапласиан Ходжа-де-Рама, 435, 436, 450
левый спинор, 102
лемма Шура, 509, 515
лептонное число, 192, 193, 220 лептоны, 182, 187, 189-193, 235 — левые, 187, 188 — массы, 191
—	правые, 188
локально инерциальные координаты, 273
локально лоренцевы преобразования, 273-276
локальный базис, 239, 240 лэмбовский сдвиг, 122
магнитное поле, 15 магнитный момент — Ш-бозона, 208 — электрона, 93, 94 малая группа, 165, 174, 176, 183 масса, 35, 71
—	векторного поля, 35
—	гравитино, 423
—	майорановская, 218, 219
—	скалярного поля, 31
масса Планка, 334, 335
массивное векторное поле, 54, 66-68, 172, 173, 175
—	тензор энергии-импульса, 59
—	уравнения движения, 35
массовая матрица, 164, 174, 200, 218-220
масштабная инвариантность, 317-319, 331
матрица
-75, 11, 76, 102
—	75 в произвольной четной размерности, 129
—	Кабиббо-Кобаяши-Маскава, 199, 202-204
— Понтекорво-Маки-Накагава-Саката, 228
—	зарядового сопряжения, 12, 76, 77, 94, 105
—	зарядового сопряжения в произвольной размерности, 130, 131
— ортогональная, 470
— псевдоортогональная, 475-477
— псевдоунитарная, 477
— симплектическая, 470, 471
— унитарная, 473
матрицы
— 7/^, 76
— Гелл-Манна, 161, 162, 198
— Паули, 70
мезоны, 160, 162
метод Нетер, 48-50, 103
метрика Минковского, 11, 15
метрический тензор, 11, 240, 246,
247
механизм Хиггса, 66-68, 176
Минимальная Суперсимметричная
Стандартная модель, 237
мировая линия, 354
многообразие, 242, 468, 472, 480
мультипольное разложение, 26, 379
нарушение
— СР-инвариантности, 199,
202-204
— четности в Стандартной модели, 187, 190
нейтральный ток, 210
нейтрино, 182, 187, 192, 216-220
— левое, 187, 188
— масса, 216-225, 235, 236
— массовая матрица, 225-229
— осцилляции, 225-229
Предметный указатель
— правое, 188, 216-220, 235
--- действие, 235
—	проблема солнечных нейтрино.
225, 227
нетеровский заряд, 38, 48
нетеровский ток, 38, 47. 49, 71, 92,
101
нильпотентность, 434, 435
ньютоновский предел, 370
обращение времени, 85, 96, 113, 148
общекоординатная инвариантность.
245-250, 268, 273, 283, 286, 335,
339, 340
объем
—	параллелепипеда, 243
—	сферы. 241
оператор 5, 435, 436
оператор Казимира, 514, 523
оператор Ходжа, 434, 435
оператор орбитального момента, 119
оператор спина, 119
оператор углового момента, 118
орбитальный момент, 45
ориентация, 442
ориентируемое многообразие. 443
осцилляции элементарных частиц,
227
параллелепипед многомерный, 240, 442
плоские волны, 50-55, 111-113
площадь поверхности, 241
подалгебра, 481
подгруппа, 468
позитрон, 94, 95, 112, 113, 118
поколения элементарных частиц, 187-189
поле Рариты-Швингера, см. гравитино
поле Фронсдала, 453-456
—	действие, 454
—	уравнения движения, 455
поле Фэнга-Фронсдала, 460-463
—	действие, 461
поле Янга-Миллса, 145-148, 151-156, 182
—	действие, 147, 148, 153, 155, 171
_________535
- действие в искривленном пространстве. 270
—	тензор энергии-импульса, 301
—	уравнения движения. 148
постоянная тонкой структуры, 118, 121
потенциал, 31, 62-64
правило Лейбница, 154. 255, 290, 434
правый спинор. 102
представление, 152
—	алгебры Ли, 505-509
—	группы Ли, 153, 501-509
—	неприводимое, 504, 507
—	приводимое, 508, 509
—	присоединенное, 154, 502. 506, 507, 509
—	размерность, 502
—	сопряженное, 502
—	тривиальное, 502, 506
—	фундаментальное, 502, 507
представления
—	алгебры su(2), 514-517
—	группы Пуанкаре, 523-526
—	компактных групп, 503, 508
—	тензорные, 503-507
—	эквивалентные, 502
преобразования
—	С, см. зарядовое сопряжение
-	СР, 190-204
-	СРТ, 85, 95, 96, 113
—	Р, см. пространственная инвер-
сия
—	Т, см. обращение времени
—	Лоренца, 44. 45, 83-85, 245, 522
—	локально лоренцевы, 275, 281-283
—	общекоординатные, 275, 281
принцип наименьшего действия, 17. 49
производная Ли, 287-291
пространственная инверсия, 85, 96.
103, 113, 148, 187, 190
пространство
—	Минковского, 15. 130
—	асимптотически плоское. 344
—	евклидово, 129
прямая сумма, 151, 508
536
Предметный указатель
— алгебр Ли, 481, 482
— представлений, 507-509
прямое произведение, 152, 471
— групп Ли, 482
— представлений, 507, 508
псевдовектор, 85
псевдовектор Паули-Любанского, 365, 524
псевдоскаляр, 85
псевдотензор, 504
псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля, 344-349
размерность физических величин, 20
свертка тензоров, 246
свободные поля, 50
сигнатура, 15, 248
символ Кронекера, 246, 503
символы Кристоффеля, 253, 254, 289, 290, 310, 356
система единиц, 20, 21
скаляр, 246
скалярная кривизна, 262, 263, 310, 334
скалярная электродинамика, 33
— действие, 33
скалярное поле, 31, 42, 50-52, 182
— действие, 31, 153
— действие в искривленном пространстве. 269
— тензор энергии-импульса, 42, 301, 312
смежный класс, 498
сохранение тока, 14, 15, 33, 38, 47, 49, 71, 92, 101, 148, 318, 450
спектр частиц, 62-68, 163-168, 171-176, 183-185, 187-189
специальные конформные преобразования, 322-324, 331
спин, 45, 54, 55, 111, 113, 353, 412-414, 524
спиновая связность, 275-277, 310, 394, 395
спинор, 135-138, 281-283
— вейлевский, 102, 103, 136, 187
—	дираковски сопряженный, 71, 84, 135
—	дираковский, 69, 106
— зарядово сопряженный, 94, 105, 106
— и преобразования Лоренца, 83-85 — майораново-вейлевский, 137 — майорановский, 105-107, 113, 136-138, 218-220, 225-229, 409
спинорное поле, 69, 83, 84
— безмассовое, 111
— действие, 71, 91, 106, 155
— действие в искривленном пространстве, 283, 394, 395
— действие в размерности Г), 135
— массивное, 111, 112
— тензор энергии-импульса, 302
— уравнения движения, 395
— уравнения движения в формализме первого порядка, 395
спиральность, 53-55, 111, 353, 409, 412, 453, 454, 460, 525-526
спонтанное нарушение симметрии — глобальной, 64—66, 164-168 — локальной, 66-68, 171-176 Стандартная модель, 182-216, 234-237
— действие, 234-236
---бозонный сектор, 183, 207, 234
---кварковый сектор, 197, 234
---лептонный сектор, 190, 217, 218, 234
структурные константы, 481, 482, 487, 488, 496
супергравитация, 421-423
— действие, 421
суперпартперы, 237
суперсимметрия, 237, 422
сфера многомерная, 241, 242
сферические функции, 120, 516, 517
тензор, 240, 246, 247, 503
тензор Вейля, 310, 311
тензор Риччи, 262, 263, 310
тензор кривизны, 13, 260-263, 277, 278, 310, 395, 403, 404
тензор орбитального момента, 45 тензор поля, 15, 261, 269, 434
Предметный указатель
537
— неабелев, 147, 434
тензор спина, 45, 404
—	скалярного поля. 45
—	электромагнитного поля, 45, 46
тензор углового момента, 13, 45, 46
тензор энергии-импульса, 12, 41.
298-302, 312, 313, 336
— канонический, 41, 43
— симметризованный, 42-43, 46, 298-302, 335
— след, 312. 313
— сохранение, 40-42, 344, 361
— улучшенный, 313
тензорная плотность, 248, 289
тензорное произведение, 508
теорема Голдстоуна, 166
теорема Нетер, 37-40
теорема Стокса, 443-449
теорема Хиггса, 175, 184
теория тяготения Ньютона, 370, 371
тетрада, 273-277, 289
тождество Бьянки
— для тензора Риччи, 262, 336, 346
— для тензора кривизны, 262, 404
— для тензора поля, 15, 434, 449
— пеабелево, 147, 269, 270, 434
тождество Риччи, 262, 310, 404
тождество Фирца, 78
тождество Якоби, 480, 481
точечная частица, 354-357, 361-365 — действие, 354-357
—	действие в искривленном пространстве, 355
—	тензор энергии-импульса. 357
—	уравнения движения, 356, 357
трансляции, 41, 522
треугольник унитарности, 203, 204
угловой момент, 45, 118-120, 364, 514-517, 524, 525
угол Вайнберга, 183-185, 236
уравнение Дирака, 69-72, 92-94, 111, 112
— нерелятивистский предел, 93, 94
— положительно и отрицательно частотные решения, 94
— решение в кулоновском поле, 117-121
— сопряженное, 71, 92
уравнение Клейна-Гордона-Фока, 31, 50-52, 70, 92
уравнение Паули, 93
уравнение непрерывности, 14, 15, 33, 148
уравнения Лагранжа, 18
уравнения Максвелла. 14-16, 18, 21, 33, 48, 92
уравнения Матиссона-Папапетру, 364, 365
уравнения Эйнштейна, 335, 336, 371
— линеаризованные, 339, 340
фактор-группа, 498
фермионы, 187
формализм
— первого порядка, 394-397, 421
— порядка 1,5, 426-430
фотон, 92, 184
функция Грина, 22, 23, 378
функция Лагранжа, 17
хиггсовский бозон, 67, 175, 184, 185, 207, 208, 237
хромодинамика, 160-163, 200
— действие, 160, 162
цвет, 160, 162, 188
частица, 51
четырехвектор, 15
четырехскорость, 355
число степеней свободы, 68, 171, 175
— векторного поля
---- безмассового, 36
----массивного, 35
— гравитационного поля, 340, 341
— гравитино
----безмассового, 410, 411
----массивного, 413
— поля Фронсдала, 456
— поля Фэнга-Фронсдала. 462, 463
— спинора
----в размерности D, 137, 138
---- дираковского, 71
538
Предметный указатель
---- майорановского, 105
шаровые спиноры, 119, 120
экспоненциальное отображение, 482, 483
электрический заряд, 48, 113, 192, 209
— lV-бозона, 208
— Я-бозона, 208
— кварка, 160, 197, 200
— хиггсовского бозона, 208
электрическое поле, 15
электродинамика, 14-16, 91, 92,
102, 182, 192
— действие, 102
— действие в искривленном пространстве, 283
электродинамика с внешним источ-
ником
— действие, 21
— действие в искривленном про-
странстве, 270
— тензор энергии-импульса, 42, 43
—	уравнения движения в искрив-
ленном пространстве, 270 электродинамика скалярная, 47-66 — действие, 47
—	уравнения движения, 33 электромагнитное поле, 42, 43,
52-54
электрон, 69, 92, 187
элемент длины кривой, 242
элемент объема, 247
элемент площади поверхности, 241
энергия и импульс, 41, 51-54, 112
—	сохранение, 344
юкавские константы, 190, 192, 198 юкавское взаимодействие, 190, 191,
197-199
Учебное издание
СТЕПАНЬЯНЦ Константин Викторович
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Редактор Е.С. Артоболевская Оригинал-макет: Автор Оформление переплета: Н.В. Гришина Корректор: В.Р. Игнатова
Подписано в печать 11.02.09. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 33,75. Уч.-изд. л. 37,2. Тираж 500 экз.
Заказ № 784
Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Паука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru:
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО «Чебоксарская типография № 1» 428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 978-5-9221-1082-2
ДЛЯ ЗАМЕТОК