С. В. КЕТОВ
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИГМА-МОЛЕЛИ
В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
И ТЕОРИИ СТРУН

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ СИЛЬНОТОЧНОЙ ЭЛЕКТРОНИКИ
С. В. КЕТОВ
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИГМА-МОДЕЛИ
В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
И ТЕОРИИ СТРУН
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
В. Г. Багров
НОВОСИБИРСК
«НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
1992

УДК 530.12: 530.145 : 539.12
Нелинейные сигма-модели в квантовой теории поля и теории
струн/С. В. Кетов.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992.—
24Q с
ISBN 5-02-029935-9.
Монография посвящена квантовой теории нелинейных сигма-моделей
с кручением. Рассмотрена теория перенормировок, основанная на кова-
риантном методе фонового поля. Развит сигма-модельный подход для
теорий струн в рамках квантовой теории возмущений. Проведены обобщения
с учетом суперсимметрии и высших производных, а также
систематическое вычисление пертурбативных бета-функций ренормализацнонной
группы для двумерных сигма-моделей с кручением, на основе которых
вычислено низкоэнергетическое эффективное действие для замкнутых бозонпых
струп, суперструн и гетеротических струн.
Книга представляет интерес для специалистов по теоретической
физике элементарных частиц, квантовой теории поля, гравитации и космологии,
а также для студентов и аспирантов соответствующих специальностей.
Ил. 45. Библиогр.: 704 назв.
Рецензенты
доктор физико-математических наук Р. М. Мир-Касимов.
член-корреспондент АН Беларуси Л. М. Томилъчик
Утверждено к печати
Институтом сильноточной электроники СО РАН
.1604070000—145 ^
042(02) —92 255—92 I полугодие © Издательство «Наука», 1992.
ISBN 5—02—029935—9

ПРЕДИСЛОВИЕ
Нелинейные сигма-модели в последние годы стали играть
весьма заметную роль в современной квантовой теории поля и
струнных моделях. В физической и математической научной
литературе появилось огромное множество разнообразных
публикаций на эту тему, что сделало актуальной задачу осмысления
новых научных данных и их систематизацию. В настоящей
монографии освещаются прежде всего новые результаты в пертур-
бативной квантовой теории двумерных и четырехмерных
нелинейных сигма-моделей. Особое внимание уделено учету кручения
и суперсимметрии. В качестве основного теоретического
инструмента исследования квантовой структуры нелинейных
сигма-моделей использован ковариантный метод фонового поля.
В монографии приведены результаты автора по вычислению
многопетлевых ренормгрупповых бета-функций бозонных и су-
персимметрпчных двумерных нелинейных сигма-моделей,
восстановлению низкоэнергетического эффективного действия для бо-
эонных струн, суперструн и гетеротических струн, взаимосвязи
между ультрафиолетовой конечностью, максимально
расширенной суперспмметрией и кватернионно-келеровыми метриками,
теории четырехмерных нелинейных сигма-моделей с высшими
производными.
Предполагается, что читатель знаком с основами квантовой
теории поля и суперсимметрии, гравитации и теории струн.
В противном случае можно рекомендовать обратиться к
обзорным статьям [83, 84] и монографии [161], либо выбрать
подходящую литературу из обширной библиографии.
Приведенный список литературы является достаточно полным
по всем рассматриваемым разделам теории, но, конечно, не
исчерпывающим. Поэтому заранее просим извинения у тех авторов,
работы которых не нашли отражения в тексте или не
цитировались.
Автор пользуется приятной возможностью выразить
благодарность сотрудникам теоретических отделов ФИАН и ИТЭФ
РАН, участникам семинара по квантовой теории поля
в г. Томске за полезные и стимулирующие обсуждения,
соавторам профессору И. В. Тютину и профессору И. Л. Бухбиндеру,
3

своим ученикам кандидатам физико-математических наук
А. А. Дериглазову, Б. Б. Лохвицкому и Я. С. Прагеру за
плодотворное сотрудничество, профессору В. Г. Багрову за внимание
к работе, а также Т. Ю. Кетовой и В. Н. Романенко за помощь
при подготовке рукописи.
Автор будет признателен за критические замечания и
пожелания, которые следует направлять по адресу: 634055, Томск, 55,
просп. Академический, 4, Институт сильноточной электроники
СО РАН.
Томск, октябрь 1990 г.

ВВЕДЕНИЕ
Познание физических основ строения материи, физики
элементарных частиц невозможно без опережающего развития
теории фундаментальных взаимодействий. Современная физика
элементарных частиц высоких энергий базируется, с одной стороны,
на экспериментальных данных, получаемых с помощью
ускорителей (коллайдеров) и детекторов космических лучей, с
другой — на локальной квантовой теории поля и ранней космологии.
Новейшее развитие теории элементарных частиц
характеризуется активным использованием «чистой» математики
(алгебраической геометрии, топологии, теории представлений аффинных
алгебр и т. д.) в теоретических построениях. В основе этого
поступательного движения — развитие, обобщение и углубление
теоретических принципов, прежде всего принципов симметрии,
на которых строится фундаментальная теория материи.
Законы симметрии не лежат на поверхности наблюдаемых
явлений. Возможно, самый замечательный факт заключается
в том, что за кажущимся хаосом явлений в микромире [1]
обнаруживаются симметрии, управляющие динамикой материи.
Принцип симметрии имеет глубокие традиции в классической
физике, благодаря работам Максвелла, Эйнштейна, Вейля.
В квантовой физике идеи симметрии помогли Дираку
сформулировать свое знаменитое уравнение. Истоки современной
трактовки квантовых явлений микромира с точки зрения теории
симметрии связаны прежде всего с теоретическими открытиями Янга и
Миллса [2], Гелл-Манна [3], Хиггса [4], что нетрудно
проследить по обзорным работам того времени (см., например, [5—7]).
Низкоэнергетическая (до 100 ГэВ) квантовая физика
различает четыре типа взаимодействия: электромагнитное, слабое,
сильное и гравитационное. В рамках локальной квантовой
теории поля [8—16] с элементарными частицами сопоставляются
кванты волнового поля. Мощным стимулом к развитию
локальной квантовой теории поля явились успехи квантовой
электродинамики в объяснении ряда наблюдаемых эффектов при
поразительном количественном согласии с экспериментом [17].
Постепепио выяспилось, что явления Природы из
многообразия кваптово-полевых теорий подчиняются лишь калибровочным
теориям [18—24]. Новейшее развитие теории поля можно тракто-

вать как развитие калибровочного принципа, а сам принцип
симметрии становится основным инструментом построения теории.
Квантовая электродинамика — простейший пример абелевой
калибровочной теории для группы U(l). Унификация
электромагнитных и слабых взаимодействий на фермиевском масштабе
Gp1** ~ 250 ГэВ достигается в модели Вайнберга — Салама —
Глэшоу [25—27], которая также является калибровочной
теорией, основанной на группе SU(2)X V(i). Теория сильных
взаимодействий — квантовая хромодинамика — суть калибровочная
теория для группы SU(3) [28]. Взятые вместе эти теории
составляют так называемую сталдартную модель, основанную на
группе SU(3)X SU(2)X U(l). В настоящее время нет данных,
которые бы явно противоречили стандартной модели в доступной
для современного эксперимента области высоких энергий.
В частности, все частицы (минимальной) стандартной модели
(за исключением <-кварка и хиггсовского бозона Но)
обнаружены экспериментально. Блестящим подтверждением теории
электрослабых взаимодействий явилось обнаружение нейтральных
токов и промежуточных векторных бозонов. В рамках квантовой
хромодинамики находят естественное объяснение наблюдаемые
явления скейлинга в глубоко неупругом лептонном рассеянии и
присутствие струй в лептонном и адронном рассеянии.
Однако стандартная модель имеет ряд фундаментальных
недостатков и поэтому должна быть расширена. Среди основных
проблем стандартной модели: проблема унификации, проблема
поколений и проблема масс [29, 30].
Проблема унификации заключается в том, что три
фундаментальных взаимодействия элементарных частиц описываются
разными калибровочными группами с разными независимыми
константами связи. Эта проблема разрешается в теориях большого
объединения, в которых три взаимодействия унифицируются в
одно с простой калибровочной группой и одной константой
связи [31—34]. Используя аргументы репормгруппы, можно
показать, что различия между электрослабыми и сильными
взаимодействиями должны исчезать лишь на масштабе 1015 ГэВ [23].
Теории большого объединения предсказывают вайнберговский
угол Qw (параметр смешивания между if и Z0 в стандартной
модели) для нейтральных слабых токов и массу Ь-кварка. Однако
при этом предсказываются и новые физические явления: распад
протона, магнитные монополи, массы нейтрино, нейтринные
осцилляции и т. д.
Проблема поколений заключается в том, что стандартная
модель не объясняет число ароматов у кварков (или число
поколений), отношения их масс и углы смешивания для слабых токов
(известную экспериментаторам матрицу Кабиббо — Кобаяши —
Маскавы [1]). Даже после выбора калибровочной группы и
представлений этой группы в стандартной модели необходимо
уточнить еще около двадцати параметров [29, 30].
Проблема масс связана с тем, что стандартная модель не
объясняет происхождения масс лептонов, кварков и промежуточ-
6

ных бозонов. Проблема масс тесно связана с проблемой
иерархий: почему электрослабый масштаб много меньше
фундаментального планковского масштаба 1019 ГэВ?" Квантовые поправки
к массе хиггсовского бозона Но оказываются значительно больше
любого физически приемлемого значения и по порядку
сравнимы с масштабом большого объединения или планковским
масштабом (проблема естественности).
Наконец, общим недостатком всего рассмотрения является
игнорирование гравитации. Наивное квантование [35] общей
теории относительности [36, 37] и наивное объединение
внутренних симметрии большого объединения с
пространственно-временными симметриями [38] не решают проблему вследствие непере-
нормируемости квантовой гравитации [39., 40]. Квантовая
состоятельность калибровочных теорий основана прежде всего на их
перенормируемости [18—24, 41, 42]. Квантовая гравитация без
материи конечна на массовой оболочке в однопетлевом
приближении [43], но неперенормируема в двухпетлевом приближении
[44]; с учетом материи неперенормируемость возникает уже в
однопетлевом приближении [45—47]. Следовательно, необходима
не только унификация всех сил, включая гравитационную, но и
унификация тех принципов, на основе которых должна
строиться унифицирующая теория.
В связи с этим возник интерес к принципиально новым
подходам в квантовой теории и физике частиц, которые в синтезе с
уже имеющимися достижениями позволили бы сформулировать
единую унифицирующую теорию всех фундаментальных
взаимодействий. Решение проблемы унификации одновременно
означало бы снятие многих принципиальных трудностей в квантовой
гравитации и космологии. Крупным достижением в этом
направлении явилось открытие суперсимметрии и супергравитации.
Суперсимметрия была открыта Гольфандом и Лихтманом [48],
Волковым и Акуловым [49] и затем переоткрыта во всей своей
значимости Вессом и Зумино [50—53]. Теория N = 1
супергравитации в компонентах впервые сформулирована Фридманом, Нью-
венхейзеном и Феррарой [54, 55], Дезером н Зумино [56] в
1976 г., после чего началось бурное развитие в этой области
[57—84] (здесь приведены ссылки лишь на обзорные работы
или материалы конференций).
Основной мотив введения суперсимметрии и
супергравитации — обеспечить возможный сценарий суперобъединения всех
взаимодействий, включая гравитационное. Суперсимметрия
реализует не только унификацию частиц различных спинов, бозонов
и фермионов, но также и унификацию пространственно-времеп-
ных и внутренних симметрии [85], преодолевая известные
«no-go» теоремы [86, 87]. Это достигается использованием
подходящих обобщений стандартного анализа и алгебр Ли: анализа
и алгебры с антикоммутирующими переменными,
супермногообразий, градуированных алгебр Ли (супералгебр) [88—91].
7

С теоретической точки зрения суперсимметрия в качестве
фундаментальной симметрии обладает рядом несомненных
преимуществ. Суперсимметрия является «квадратным корнем» из
пространственно-временной симметрии в том смысле, что
антикоммутатор спинорных генераторов суперсимметрии
пропорционален генераторам пространственно-временных трансляций.
Операторы суперсимметрии преобразуют бозоны в фермиопы и
наоборот, объединяя частицы с разными спинами в неприводимые
представления суперсимметрии — супермультиплеты. Локальная
реализация суперсимметрии приводит к теориям супергравитации,
обобщающим нетривиальным образом эйнштейновскую теорию
гравитации. В полевых теориях с расширенной суперсимметрией
и в расширенных супергравитациях достигается нетривиальное
объединение пространственно-временных и внутренних
симметрии. Например, в рамках N = 2 расширенной супергравитации
достигается унификация электромагнетизма и гравитации [60],
в N = 8 супергравитации [92—94] имеется лишь один N==8 су-
пермультиплет в четырехмерном пространстве-времени, в
котором содержатся 1 гравитон со спином 2, 8 гравитино со спином
3/2, 28 калибровочных векторных частиц для SO (8), 56 частиц
со спином 1/2 и 70 скаляров. В минимальном суперрасширении
стандартной модели стабилизируется масса хиггсовского бозона
Но относительно радиационных поправок, что существенно
снижает остроту проблемы масс несуперсимметричной стандартной
модели. Теоретические приложения суперсимметрии и
супергравитации к физике частиц сегодня чрезвычайно многообразны
[95—101]. Конечно, суперсимметрия (если она существует в
природе) сильно нарушена при низких энергиях. С
теоретической точки зрения такое нарушение должно быть спонтанным,
чтобы не потерять преимуществ суперсимметрии [4, 102—109].
Платой за суперсимметрию оказывается неизбежное
существование суперпартнеров известных частиц, которые должны иметь
массы, не превышающие 1 ТэВ, если суперсимметрия
существенна для электрослабых процессов, и одновременно по
имеющимся экспериментальным оценкам не могут быть меньше 50 ГэВ
[29, 30]. Возможно, что эти суперпартнеры будут обнаружены
экспериментально в случае реализации проекта SSC
(сверхпроводящего суперколлайдера) [110]. Замечательным свойством
суперсимметричных полевых теорий является смягчение
ультрафиолетовых расходимостей благодаря сокращениям между собой
бозонных и фермионных вкладов. Ряд квантово-полевых моделей
с расширенной суперсимметрией, среди которых N = А
суперсимметричная теория Янга — Миллса [111] и N = 2
суперсимметричные калибровочные теории с подходящим образом
подобранной N = 2 скалярной материей [112] в 4-мерном пространстве-
времени, двумерные нелинейные сигма-модели с N = 4
суперсимметрией [113—115], является ультрафиолетово-конечным во всех
порядках квантовой теории возмущений [116—122].
iV-расширенные супергравитации, в отличие от
эйнштейновской гравитации с материей, оказываются конечными в двухпет-
\8

левом приближении (см., например, [123—125]). Однако нет
достаточных оснований надеяться на отсутствие пеперенормируе-
мых расходимостей в высших порядках квантовой теории
возмущений, даже для максимально расширенной N = 8 теории
[126—128]. В рамках супергравитации со спонтанно
нарушенной суперсимметрпей невозможно также объяснить
экспериментальное значение космологической постоянной [129]. Поэтому,
несмотря на ряд привлекательных свойств, расширенные супер-
гравитации и в целом локальная квантовая теория поля не
могут, по-видимому, служить основой для построения квантовой
гравитации. С точки зрения унификации всех фундаментальных
взаимодействий N = 8 модель оказывается слишком узкой,
в частности, в SO(8) не вкладывается калибровочная группа
стандартной модели; Поэтому в настоящее время
супергравитация трактуется как эффективная теория, возникающая в
некотором приближении из более фундаментальной, например, из
теории суперструн. В четырехмерном пространстве-времени в
качестве такой эффективной теории обычно выбирается N = 1
супергравитация, взаимодействующая с TV = 1 векторными и ска-:
лярными мультиплетами материи [78, 98], поскольку в
расширенных супергравитациях невозможно реализовать нарушение
четности, которое явным образом наблюдается в слабых
взаимодействиях.
Аналогичные проблемы существуют и в калуца-клейновском
подходе [130—132] к проблемам унификации, в котором
постулируется существование высших (скрытых) измерений
пространства-времени. Унификация гравитации и электромагнетизма на
основе пятимерной гравитации была предложена в 20-х годах
нашего века Калуцей [133] и Клейном [134], которые
связывали электромагнетизм с подходящей компонентой кривизны в
пятом измерении, а само пятое измерение считали
компактифицированным каким-либо способом (например, в виде окружности
Si с радиусом R). В результате постоянная тонкой структуры а
и ньютоновская гравитационная постоянная G оказываются
связанными как а « G/R2. Следовательно, R ~ (G/cc)U2 ~ Ю-33 см,
т. е. радиус окружности S\ должен быть порядка планковской
длины. Идеи Калуцы и Клейна находят свое естественное
продолжение и развитие в теориях расширенной суперсимметрии и
супергравитации, что связано с зависимостью размерности спи-
норных представлений от числа пространственно-временных
измерений. Например, максимально расширенная
суперсимметричная калибровочная теория наиболее просто формулируется в
10-мерном пространстве-времени [111], максимально
расширенная супергравитация — в 11-мерном пространстве-времени [92].
Соответствующие им четырехмерные N = 4 и N = 8 теории возт
никают в результате компактификации или размерной редукции.
Супергравитации, сформулированные в пространстве-времени с
нечетным числом измерений, не содержат киральных фермионов
и поэтому неприемлемы для унификации. Максимальное четное
9

число измерений, которое могут аккумулировать
супергравитации, равняется 10. Поэтому 10-мерные супергравитации с ки-
ральной супер-янг-миллсовской материей могут служить
подходящей основой для унификации всех фундаментальных
взаимодействий при энергиях ниже планковской.
Наилучшие перспективы стать унифицирующей теорией всех
фундаментальных взаимодействий имеет сегодня теория
суперструн [135—161], которая вобрала в себя многие черты калуца-
клейновского подхода, суперсимметрии и супергравитации,
локальной теории поля и дуальных моделей [162]. В теории струн
фундаментальными являются не точечные, а одномерные
квантовые объекты (струны), взаимодействующие между собой
посредством соединения и разъединения. Моды (возбуждения)
квантованной струны идентифицируются с квантовыми частицами.
Фундаментальные законы симметрии в теориях струн и
суперструн могут рассматриваться как радикальные обобщения тех
калибровочных принципов, которые лежат в основе квантово-по-
левых моделей. Новые физические концепции обслуживает и
«новая» (для физиков) математика — алгебраическая геометрия
и топология [163].
Релятивистские струнные теории (дуальные модели)
изначально возникли из потребностей физики адронов для моделирования
кваркового конфайнмента: для межкварковых расстояний,
сравнимых с размерами адронов, среди всевозможных конфигураций
глюонного поля, связывающего кварки, предположительно
доминируют одномерные трубки (струны) с потенциалом
взаимодействия, линейно возрастающим с расстоянием [164—169]. Были
предложены струнные амплитуды [170], моделирующие
некоторые реалистические черты адронного рассеяния: реджевское
поведение, дуальность и т. Д. [171, 172].' Дальнейшее изучение
квантовых струн привело к ряду замечательных открытий и
глубоким результатам, раскрывающим внутренние симметрии
теории: обнаружению критических размерностей, построению
дуальных амплитуд и фермиевских вертексов, доказательствам
унитарности и отсутствия гостов и т. д. [173—184]. В целом успехи
струнной теории в описании динамики сильных взаимодействий
не были впечатляющими: критические размерности 26, 10 и 2
были нереалистическими, присутствие безмассовых мод со
«спинами» 2 и 1 явно контрастировало с желаемыми результатами.
Идея использования струн в качестве фундаментальной
теории всех физических взаимодействий [185—190] сначала не
встретила активной поддержки среди теоретиков. Шерк и Шварц
исходили из того, что взаимодействие открытых или замкнутых
струн сводится в низкоэнергетическом пределе а' -*■ 0 (где а' —
размерный параметр струны) к стандартному янг-миллсовскому
нли эйнштейновскому взаимодействию соответствующих
безмассовых мод — векторных бозонов или гравитонов. То, что было
плохо для физики адронов, стало замечательным для
фундаментальной физики! Однако в то время эта идея выглядела слиш-
40

ком радикальной, а необходимые предпосылки в виде развитых
теорий Янга — Миллса, Калуцы — Клейна, суперсимметрии и
супергравитации отсутствовали.
Революция в теории суперструн началась в середине 80-х го1-
дов благодаря фундаментальным работам Грина, Шварца [191—
193], Тьерри — Мига [194], Виттена [195] и «принстонского
струнного квартета» (Гросс, Харви, Мартиник, Ром) [196—199],
доказавшим отсутствие аномалий и однопетлевых расходимостеи
в суперструнных теориях для калибровочных групп SO(32) или
ЕвХЕв (для открытых суперструн), возможность получения
реалистического спектра частиц в результате компактификации
из D = 10 в D = 4, и существование новых (гетеротических)
суперструн. В D = 10 можно определить пять самосогласованных
теорий суперструн: для замкнутых суперструн типа НА или ИВ,
открытых и замкнутых типа I с SO(Z2) калибровочной группой,
гетеротических замкнутых для групп Spin(32)/Z2 или ЕъХЕц,
которые, по-видимому, не содержат ультрафиолетовых
расходимостеи во всех порядках квантовой струнной теории возмущений
(в 10-мерном пространстве-времени!) и сводятся к
соответствующим N = 2 супергравитациям или N = 1 супергравитации с су-
пер-янг-миллсовской материей в низкоэнергетическом пределе
а' -*■ 0 [200—202]. Последнее замечание обеспечивает
преемственность "теории суперструн со всем тем, что было сделано в
суперсимметрии и супергравитации. Теория суперструн как
фундаментальная теория самым существенным образом меняет наши
представления о пространстве-времени [203, 204], космологии,
инфляции и черных дырах [205—209], унификации [210],
квантовании электрических и магнитных зарядов [211] и др.
Уже стандартная критическая размерность D = 10 для
суперструн не является препятствием на пути развития теории в
связи с появлением моделей четырехмерных суперструн [212—217].
Дальнейшие обобщения теории струн возможны на пути
рассмотрения еще более расширенных объектов (мембран) [218—
220]. Однако наиболее привлекательная из них —
супермембрана — оказывается нестабильной относительно деформаций в
струноподобные конфигурации [221].
Резюмируя приведенный выше краткий обзор современного
состояния квантовой теории фундаментальных взаимодействий,
можно сказать, что проблема унификации является центральной
проблемой теоретической физики высоких энергий. Исследования
ее различных аспектов, развитие новых подходов и методов,
техники вычислений активно реализуются сегодня и являются
чрезвычайно актуальными.
Нелинейные сигма-модели представляют собой класс кванто-
во-полевых систем, в которых сами поля выступают в качестве
координат некоторого многообразия. Таким образом,
взаимодействие в нелинейных сигма-моделях вводится геометрическим
образом, что обусловливает их разнообразные приложения в
локальной квантовой и классической теории поля, теории струн.
И

Четырехмерные нелинейные сигма-модели традиционно
используются как эффективные теории в квантовой хромодинамике для
моделирования непертурбативпых эффектов: малые возмущения
относительно вакуума описывают мягкие пионы, солитоны
нелинейной сигма-модели (скирмионы) интерпретируются как барио-
ны [222—225]. Геометрическая структура нелинейной
сигма-модели проявляет себя, например, в существовании топологически
нетривиальных полевых конфигураций [226], в геометрической
природе контрчленов [227, 228], в глубокой взаимосвязи [229—
234] между расширенной суперсимметрией и комплексной
дифференциальной геометрией [235, 236]. Хорошо известно, что
существуют глубокие аналогии между 4-мерными калибровочными
теориями и 2-мерными нелинейными сигма-моделями [224].
Например, нетривиальные топологические (или инстантонные)
решения классических уравнений движения и асимптотическая
свобода в квантовой хромодинамике имеют свои аналоги в O(N)-
нелинейных двумерных сигма-моделях [237, 238]. Нелинейные
сигма-модели естественным образом возникают в скалярном
секторе расширенных супергравитаций [92, 239]. Двумерные
нелинейные сигма-модели являются удобной лабораторией для
изучения динамической генерации векторных бозонов и масс [240,
241]. С ними связано целое направление в современной теории
струн и суперструн — так называемый сигма-модельный подход
[242—244], используемый для построения низкоэнергетического
(супер) струнного эффективного действия и изучения компакти-
фикации суперструн [245]. Многочисленные ссылки на
оригинальные работы, другие приложения нелинейных сигма-моделей
могут быть найдены по ходу изложения в главах 1—5, куда
вынесены многие частные вопросы и более специальные аспекты
теории.
Настоящая монография посвящена систематическому
изложению результатов автора по исследованию перенормировки
нелинейных сигма-моделей с кручением и их суперсимметричных
обобщений, вычислению бета-функций ренормализационной
группы и построению нпзкоэнергетического эффективного действия
для струн и суперструн, вычислению аномалий. Основное место
в монографии занимают пертурбативные вычисления расходимо-
стей и аномалий в нелинейных сигма-моделях в связи с
потребностями струнной теории в рамках сигма-модельного подхода к
теории струн и суперструн, а также развитие методов квантовых
вычислений в нелинейных полевых теориях, способам
реализации асимптотической свободы.
Монография состоит из предисловия и пяти глав.
Первая глава монографии посвящена бозонным двумерным
нелинейным сигма-моделям с обобщенным членом Весса — Зуми-
мо — Виттена или с кручением на общем многообразии,
параметризованном скалярными полями. Указано действие теории в
общем случае и на групповых многообразиях, сформулировал ко-
вариантный метод фонового поля для проведения квантовых вы-
12

числений, найдено фоново-квантовое разложение действия с
точностью до членов пятого порядка по квантовым полям.
Рассмотрены квантовые неоднозначности теории возмущений,
связанные с выбором регуляризации и схемы перенормировки,
их влияние на значения В-функций ренормгруппы в высших
порядках разложения по петлям.
Проведено вычисление трехпетлевой В-функции для
нелинейной сигма-модели с кручением общего вида и найдено
соответствующее низкоэнергетическое эффективное действие в 0(а'%)-
лорядке для теории замкнутых бозонных струн с учетом
метрики (гравитационного поля) и поля Калб — Рамона
(антисимметричного тензора). Полученные результаты для В-функции
сопоставляются с известными непертурбативныын результатами
двумерной конформной квантовой теории для параллелизуеыых
групповых многообразий в сигма-модели с членом Весса — Зуми-
но — Виттена.
Построен производящий функционал древесных амплитуд
рассеяния гравитонов в теории замкнутых бозонных струн с
классическим действием в виде двумерной нелинейной сигма-
кодели.
Рассмотрено влияние дуальности на геометрию (метрику и
потенциал кручения) двумерной нелинейной сигма-модели,
определенной на полевом многообразии с изометрией. Подробно
изучен двумерный аналог (сигма-модель) теории Фридмана — Таун-
сенда, для которого проведено вычисление дуальных геометрий
и найдены двухпетлевые в-функции.
Вторая глава посвящена аналогичному кругу вопросов, но в
отношении N = i или (1, 1) суперсимметричных нелинейных
сигма-моделей с суперсимметричным обобщенным членом
Весса — Зумино — Виттена. Рассмотрение в основном проводится
как в компонентах, так и в N =\ суперпространстве.
Сформулировано действие нелинейной сигма-модели общего вида в N = i.
суперпространстве и его компонентный аналог, построено
суперсимметричное обобщение ковариантного метода фонового поля.
Квантовая теория возмущений в компонентах или в N=1
суперполях использована для пертурбативного вычисления
трехпетлевой суперсимметричной В-функции с учетом кручения. Ис-
следована»структура ультрафиолетовых расходимостей в четы-
рехпетлевых суперграфах N =1 суперсимметричной двумерной
нелинейной сигма-модели с кручением и указаны те из них,
которые определяют четырехпетлевую В-функцию ренормгруппы.
Для N = 1 суперсимметричной двумерной модели Весса —
Зумино — Виттена вычислена в явном виде четырехпетлевая
В-функция. Обнаружены квантовые неоднозначности на чстырех-
петлевом уровне для суперсимметричной двумерной нелинейной
сигма-модели в случае неисчезающего кручения. Исследовано
происхождение этих неоднозначностей, которое объясняется
противоречивостью (суперсимметричной) размерной регуляризации
посредством размерной редукции.
13

Обсуждается значение полученных результатов для р-функ-
ций суперсимметричных нелинейных сигма-моделей в контексте
теории суперструп для построения низкоэнергетического
эффективного действия замкнутых суперструн типа II. Найденные
Р-функции ренормгруппы для нелинейных сигма-моделей
использованы для исследования компактификации струн и суперструн
на однородных пространствах.
Некоторые возможные непертурбатпвные свойства основного
состояния для нелинейных суперсимметричных сигма-моделей
иллюстрируются на примере U(N) -нелинейной 4-мериой
суперсимметричной сигма-модели в рамках 1/Л^-теории возмущений.
Вычислен эффективный скалярный потенциал в пределе N -*■ <*>.
В третьей главе монографии анализируется влияние
расширенной суперсимметрии на структуру действия и контрчленов в
нелинейной суперсимметричной сигма-модели. Суперполевые
методы в N = 2, d = 4 расширенном суперпространстве
использованы для построения самодействия N = 2 материи в терминах N =
= 2 вещественных киральных или N = 2 обобщенных тензорных
суперполей. Методы размерной редукции применяются для
явного построения N = 4 суперсимметричпых двумерных нелинейных
сигма-моделей с кватернионно-келеровой структурой.
Сформулирована ковариантная теория возмущений в
терминах расширенных суперполей, которая использована для
анализа ультрафиолетовых расходимостей в суперграфах. Доказаны
ультрафиолетовая конечность N = А суперсимметричных
двумерных нелинейных сигма-моделей во всех порядках квантовой
теории возмущений н неперенормируемость самодействия N=-2
материи в d = 4.
Обсуждается взаимосвязь развитых методов построения
самодействия N = 2 материи с общими методами N = 2
гармонического суперпространства. Преобразования дуальности в
компонентах и суперполях иллюстрируются как в общем случае, так
и на примере модели Линдстрема — Рочека. Строится калибро-
вочно-инвариантное самодействие N = 2 материи в N = 2
суперпространстве с учетом минимальной связи с N = 2
суперсимметричным калибровочным мультиплетом Янга — Миллса.
Суперконформное тензорное исчисление в 4-мерной N = 2
расширенной супергравитации использовано для исследования
скалярного потенциала и возможности спонтанного нарушения
суперсимметрии (супер-Хиггс-эффект) в теориях N = 2
супергравитации с N =2 тензорной материей.
Четвертая глава посвящена исследованию
(супер)гравитационных и (супер) конформных аномалий в локально
суперсимметричных (включая гетеротические) двумерных нелинейных сигма-
моделях, т. е., другими словами, в фермиевских теориях струн,
определяемых в искривленном (евклидовом)
пространстве-времени с кручением. Строятся соответствующие действия и
развиваются методы пертурбативного вычисления аномалий. Исполь-
вуются процедура Нетер для N = 1 теории и суперконформное
14

тензорное исчисление в N = 2 теории. Сформулирован
соответствующий рассматриваемым случаям метод фонового поля,
исследованы взаимосвязи между (супер) конформной аномалией,
критической размерностью и эффективным (супер) струнным
низкоэнергетическим действием для безмассовых мод.
Нековариантный (по отношению к общекоординатным
преобразованиям в искривленном (1, 0) суперпространстве) метод
фонового поля и препотенциалы двумерной (1, 0) супергравитации
в суперпространстве использованы для вычисления
суперконформной аномалии гетеротической нелинейной сигма-модели в
пятипетлевом приближении. Развит альтернативный ковариант-
ный метод вычисления нелокального квантового эффективного
действия для гетеротической сигма-модели в искривленном (1,0)
суперпространстве, в рамках которого в двухпетлевом
приближении вычислена суперконформная аномалия. В основе ковариант-
ного подхода — техника собственного времени в (1, 0)
суперпространстве и (1,0) ковариантные суперграфы.
В пятой главе сформулированы 4-мерные перенормируемые
нелинейные сигма-модели с высшими производными четвертого
порядка и их суперсимметричные обобщения в рамках N = \ я
N = 2 суперсимметрии. Строятся действия этих теорий как в
компонентах, так и в соответствующих iV-расширенных суперпо-
лях явно ковариантным образом. Развит подходящий ковариант-
ный метод фонового поля для квантовой теории возмущений.
Исследованы однопетлевая структура перенормировки в
нелинейных скалярных теориях четвертого порядка в d = 4 и
возникающие в ряде интересных частных случаев ограничения на
геометрию полевого многообразия. Приведены примеры
мультипликативно перенормируемых бозонной и N = {
суперсимметричной 4-мерных нелинейных сигма-моделей четвертого порядка,
для которых найдены однопетлевые уравнения ренормализацион-
ной группы для эффективных зарядов. Рассмотрены условия,
при которых реализуется асимптотическая свобода по всем или
по части констант связи в мультипликативно перенормируемых
моделях.
На протяжении всего изложения, если не оговорено особо,
используются релятивистская система единиц % = с = 1 и
стандартные обозначения, принятые в квантовой теории поля,
теории (супер) гравитации или теории (супер) струн. Тем не менее,
как правило, основной материал сопровождается указанием
соглашений и обозначений, принятых автором, детали которых
дополнительно поясняются в тексте. Всюду подразумевается по
повторяющимся индексам суммирование, если не указано
противное.
Каждая глава в монографии имеет свою независимую
нумерацию формул. При обозначении формулы из данной главы
первая цифра в скобках указывает на номер параграфа этой главы,
второе число в скобках — на порядковый номер этой формулы в
15

указанном параграфе. При ссылке на формулу из другой главы
слева от обозначения параграфа в скобках ставится номер главы.
Приведем список наиболее употребительных сокращений
слов, применяемых в тексте:
НСМ — нелинейная сигма-модель
ВЗВ-член — член Весса — Зумино — Виттена
ЭД — эффективное действие
РГ — ренормализационная группа
1PI — одночастично-неприводимый
СРР — суперсимметричная размерная регуляризация
(посредством размерной редукции).

Глава 1
БЕТА-ФУНКЦИИ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
ДЛЯ БОЗОННЫХ ДВУМЕРНЫХ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИГМА-МОДЕЛЕЙ
И НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ.
ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ СТРУН
1.1. ДЕЙСТВИЕ ДВУМЕРНОЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ С КРУЧЕНИЕМ
Отображение двумерного пространства N в риманово
многообразие М с метрикой gat (а, Ъ = 1, ..., D) определяет о-модельное
поле <f>"(x), где х?— координаты N (которое в рассмотрении этой
главы считается плоским), <р° — координаты М.
Стандартное действие двумерной нелинейной сигма-модели
(НСМ) имеет вид
где к2 суть безразмерная константа связи. Выделение Я2 из
действия (1.1) удобно в квантовых вычислениях для
автоматического учета числа петель. В приложениях в качестве М часто
выбирается симметрическое пространство, благодаря чему
квантовая теория (1.1) оказывается мультипликативно перенорми-
руемой [246—248]. В общем случае, с которым мы будем иметь
дело, теорию (1.1) можно рассматривать как (квантовую)
теорию с бесконечным числом констант связи, имея в виду
разложение метрики gab в ряд Тейлора по <р.
Действие (1.1) часто называют инвариантным относительна
общекоординатных преобразований <р, подразумевая, что g<*
преобразуется как тензор второго ранга. Однако следует отдавать
отчет в том, что это не есть, вообще говоря, симметрия действия,
с которой связан нётеровский сохраняющийся ток, поскольку
первая предполагает также преобразование констант связи (не
только полей!). Как нетрудно убедиться, преобразование
ф°' = Ф° + Т10(ф), gab = gab(4>') (1-2)
тогда и только тогда оставляет инвариантным действие (1.1),
когда г\"(ц>) суть вектор Киллинга. В этом случае действие НСМ
(1.1) имеет изометрии и с каждой изометрией связан
нётеровский ток.
Очевидно, что две модели, связанные преобразованием (1.2),
физически эквивалентны. Другими словами, НСМ фактически
определена не на о-полях с фиксированной метрикой gab, а на
2 С. В. Кетов
17

классах эквивалентности метрик, определяемых
диффеоморфизмами (1.2) [249-251].
Перенормируемость действия (1.1) на массовой оболочке
[252—253] обеспечивается безразмерностью всех констант связи,
благодаря которой «on-shelb контрчлены имеют ту же
структуру, что и исходное действие. При этом перенормировка
понимается в несколько более общем смысле, а именно, как
квантовая деформация геометрии полевого многообразия, определяемой
в локальных координатах ф° метрикой gab [250].
Теория (1.1) может быть обобщена с использованием так
называемого обобщенного члена Весса — Зумино — Виттена (ВЗВ)
[254—256] (или кручения)
'gwzw = ^ №xhab (Ф) е^ф'^фЬ, (1.3)
где п суть новая безразмерная константа связи. Заметим, что
лагранжиан в (1.3) линеен по производной от времени. Тензор
ha/, можно считать антисимметричным по своим индексам. Этот
тензор определяет 2-форму на М
h = hab d(fa Д <V, (1.4)
причем (1.3) изменяется на поверхностный член при абелевых
калибровочных преобразованиях
8h = d% шли 8hab = dia%bh (1.5)
где х суть произвольная 1-форма, d — внешнее
дифференцирование. Для обозначений внешнего дифференцирования и
интегрирования форм мы следуем соглашениям, принятым в [257].
Пусть <p(N)—образ N в М при отображении ф. Тогда
-S I *• (1-6)
-GWZW зя,
Мы выбираем такие граничные условия для ф на 3N, чтобы
ф(Л^) было компактным подмногообразием в М. Для
рассматриваемого нами плоского N достаточно считать, что ц>(х)
«выходит» на константу при Ы->-°°; тогда, очевидно, многообразие
ф(Л^) топологически эквивалентно сфере. _
Пусть В суть 3-мерное многообразие с границей дБ = (p(N),
т. е. 3-мерный шар. Тогда, согласно теореме Стокса,
-£$"• <'-7>
'GWZW :
**■ В
где
H^dh. (1.8)
Наьс-^ dlahbd определяет антисимметричный тензор
напряженности для hob.
18

Формула (1.7) может быть принята как исходное
определение обобщенного ВЗВ-члепа в НСМ. Тогда, если 3-форма Я
замкнута, но пе точно, т. е., если Н принадлежит
нетривиальному когомологическому классу, соотношение (1.8) имеет лишь
локальпый смысл (лемма Пуанкаре). Глобально форма h,
вообще говоря, плохо определена, а с ней и все действие (1.6). Это
обстоятельство приводит к известному эффекту топологического
квантования константы связи при ВЗВ-члене [251]. Эффект,
очевидно, возможен лишь в том случае, когда третий
когомологический класс де Рама нетривиален (Ьз^О). Квантование
константы связи п возникает из требования независимости Iowzw в
форме (1.7) от выбора В; допустима лишь неопределенность
действия с точностью до аддитивного целого кратного 2ni (в
евклидовой формулировке квантовой теории). В результате п
принимает лишь целые значения [251]. Как показано ниже, в пертур-
бативной квантовой теории эффективное квантовое действие
будет зависеть лишь от Н, а не от h.
В контексте струнной теории hab может быть
интерпретирован как вакуумное ожидание антисимметричного тензорного
калибровочного поля Калб — Района [242, 243].
Важным частным случаем рассматриваемой ситуации
является модель Весса — Зумино — Виттена [256], определяемая как
НСМ с ВЗВ-членом на групповом многообразии М.
Рассмотрим поле U(x), принимающее значения в алгебре Ли.
компактной и полупростой группы Ли G,
U(x) = exp[iq(x)], (f(x) = <fi(x)Tl, (1.9)
где Т' суть генераторы алгебры Ли с антисимметричными
структурными константами /**,
[Г, 7*] = 2»/*Г\ tr (ГР) = 26°. (1.10)
Действие ВЗВ-модели имеет вид
/[£/] = Л- Г&х tT^Ud^U-1) + nT[U], (1.11)
где Г[£7] суть стандартный ВЗВ-функционал,
п—целочисленный коэффициент (см. разд. 3.1). Для пертурбативных
квантовых вычислений в теории (1.11) достаточно лишь известной
возможности представления (1.11) в форме НСМ с ВЗВ-членом,
причем тензор кривизны Rated, построенный по метрике gab,
и тензор кручения НаЬс, построенный по Г [V], имеют вид [251]
J*abcd = Jijmfklm'a'b"с "di
Habc = VfwVivivl (1.12)
где использована новая константа связи
Ч-£. (1-13)
2*
19'

л ^о(ф) суть «фильбайн», ассоциированный с метрикой £<и>(ф),
gab-VW, gabViaVi = 6i}. (1.14)
Квантовая ВЗВ-модель в критической точке (т]2=1)
является конформно-инвариантной двумерной квантовой полевой
теорией [258] и эквивалентна теории свободных фермионов (неабе-
лева бозонизация) [256,259].
1.2. КОВАРИАНТНЫЙ МЕТОД ФОНОВОГО ПОЛЯ
1.2.1. Фоново-квантовое разложение действия
и квантовый фоновый функционал
Стандартная техника квантования основана на рассмотрении
■функционального интеграла (производящего функционала
функций Грина) [260—265]
Z [/] = exp (iW [J]) = j [<ftp] exp {i(I + <p/)} (2.1)
с источником J"(x) (мы используем конденсированные
обозначения). При этом обычно считается, что для фактического
вычисления Z (например, по теории возмущений) все интегралы
(в импульсном пространстве) определяются с помощью викового
разворота (т. е. в евклидовом пространстве).
Производящий функционал Г одночастично-неприводимых
(1PI) функций Грина связан с производящим функционалом W
связных функций Грина посредством преобразования Лежандра
[260-265]
Г[Ф]-ИЧ/(Ф)]-Ф-/[Ф], (2.2)
где ф — среднее поле,
Ф = 5Г (2-3)
Отсюда немедленно следует функциональное представление для Г
ехр (гГ [ф]) = J [dq>] exp {* (/ [ф] - (ф - ф) Ц-)). (2.4)
Определим квантовое поле флуктуации посредством
линейного фоново-квантового разложения
<р°(а:)=Фо(а:)+ло0г). (2.5)
Тогда фоновое представление Г приобретает вид
ехр (»Г [ф|) = j" [dn] exp {i (/ [ф + я] - л g-j|. (2.6)
Вычитание в (2.6) устраняет вершины, линейные по
квантовому полю л, и оставляет лишь 1Р1-диаграммы в разложении
20

(2.6) по теории возмущений. При этом вычисляем лишь
диаграммы, которые не содержат внешних я-линий, по
определению (2.6).
Можно было бы определить новый производящий
функционал Г [ф, я] и по отношению к я-полям, если ввести в исходном
действии фоновое и квантовое поля согласно (2.5) и
использовать преобразование Лежандра
Г[ф, я]—Tff[<p, J]- J "л" (2.7)
по отношению к / для
exp (iW [ф, /]) = J [dn] exp {i (I [<p + я] + /• я)}. (2.8)
Нетрудно показать [266], что
Г[ф, 0]=Г[ф]. (2.9)
Следовательно, стандартный Г — функционал 1Р1-функций
Грина получается из фонового функционала Г [ф, я] отбрасыванием
диаграмм с внешними квантовыми я-линиями.
Это наивное рассмотрение имеет, однако, два существенных
недостатка. Во-первых, оно не ковариантно в приложении к
НСМ, что приводит к нетензорным вершинам в разложении по
степеням квантовых флуктуации я. В результате Г оказывается
нековариантным. Во-вторых, проведенное рассмотрение не
учитывает эффектов перенормировки.
Чтобы избежать нековариантных вычислений, обычно
следуют стандартной практике нелинейного разделения поля на
классическую и квантовую части, известной как ковариантный
метод фонового поля [267—274]. При этом фактически исходят
из другого, неэквивалентного вне массовой оболочки,
определения эффективного действия (см. ниже), которое тем не менее
совпадает с исходным на массовой оболочке и полностью
ковариантно.
Ковариантность достигается за счет использования
геодезических на полевом многообразии М, определяемых уравнением
jtLP*(x,s) + rUp]±Pb4rPc = 0' <2-10>
где s суть параметр геодезической, соединяющей ф и ф + я
(далее опускаем черту у ф): р(х, s = 0) = q>(x), р(х, s = i) =
= ц>(х) + п(х).
Определим вектор касательной к геодезической
,;. £°=^Р°' Б?и-Бв (2-И)
и будем рассматривать |° в качестве нового набора
фундаментальных квантовых полей. Разложение действия в ряд по степе-
21

ниям | будет, очевидно, ковариантным:
/ 1ф + Я (&)] = ^j#* {gab [Ф + П (£)] П^ + -§А»Ь [ф +
+ п (I)] е^ [ф + я (£)je dv [Ф ■+ л (g)]b = / [Ф] + /, + /,+ ...,
■./»--sr5=/lp(*)i,-°- (2Л2)
Ввиду нелинейности перехода я к | диаграммы, которые 1PI по
отношению к я, не будут вообще говоря таковыми по отношению
к |, и наоборот.
Для фактического вычисления /„ полезно иметь в виду
соотношения
А й
— 5^° = ^; -^-gab = I'Agab, д^аЬ=д^д^аЬ. (2.13)
Например,
/i = ^2 j***^.* (ад° 5 V, (2.14)
где Д, — ковариантная производная с кручением
(DJtf = (D^s)a ~ ffbc [p] e^vp^;
OW = 1«*Ч + ГьЧрс) 62. (2.15)
При вычислении (2.14) использовано интегрирование по частям
и отброшен поверхностный член. Из (2.14) видно, что все /„
будут зависеть от hab только через напряженность
(кручение) НаЬс-
Заметим, что для ковариантного разложения действия мы
могли бы использовать любую связность [242]. Для удобства
дальнейших квантовых вычислений мы всюду предпочитаем
связность с кручением Н для ковариантных производных от
квантовых полей |°, т. е. (Д.!)0. ^i можно переписать в более явном
виде:
/г = ± \сРх {- 2lagab [Ф] (iVV - tfcV^VdV)). (2.16)
Для вычисления /„ последовательным образом удобно
использовать дифференцирование D(s) с ковариантным дополнением
вместо d/ds [251]. Например, для векторов Va и V" имеем
D(s)Va = -^Va-rcab[p(s)]lbsVc,
D (*) Va = -± V + Г0, [р (*)] lbaVc. (2.17)
Если D(s) действует на функцию лишь от p(s), то, очевидно,
щ8\ _ £°д . Для явных вычислений чрезвычайно полезны
22

тождества
D(s)la,=0, D(s)dvfi" = (Dlll,r,
D* (s) V = *Vd£&APd- (2.18)
Из (2.18) немедленно следует, что /г имеет вид [251]
h = ^5 \<Р* \Фу£? + Bobcdtr (тГ - е^) ^ф^ф*}, (2.19)
где
(ЭД° = (ВД° - Я°Ьсецу9уф^ь, (2.20)
Rated — тензор кривизны, построенный по связности с
кручением Н,
Robed в Ло4«1(Г)'= Rabcd(T — " )'=: Robed —
— DcHabd + DdHabc — Hfac + Hdb + HfadH Cb,
Robed = gae [dJ"db —..-), Гьс = rdbcged,
r 1 ldBoc . dSba dSbc\ /9 04,
Tobc=^W + ^—^}- (2-21)
Структура h в (2.19) приводит к естественному на первый
взгляд предположению, что квантовую теорию для нелинейных
сигма-моделей с кручением можно строить лишь в терминах Z)„
и Rabcd, подобно тому как в отсутствие кручения аналогичную
роль играют Д, и Rated- Это предположение в высших порядках
теории возмущений оказывается неверным [274]. В частности,
/„^вообще говоря не могут быть записаны только в терминах Z)„
и Rated, т. е. в неявной зависимости от Наьс-
Мы считаем наиболее удобной для практических вычислений
следующую запись /з, It и /5, в которой все производные,
действующие на квантовые поля, имеют вид производных с кручением
3„ [274] :
/з = iM ** {("Ь D*Rabcd + "Г Н'*1)ьй"') d^d\4bn8 +
+ (±DaDbHfcd +\HaehH\dHhfc+\RgabcH8,d)dv№^dv^lilaf +
+ ^ (R°bcd ~ HfabHUd) d^D^?? +
I* = 775 J d?X If-jg- DaDbRcdfg + -3- R dfcRhbag " «j" DaDbHefhH dg —
- \ RhabcHhfhHhdg + \RhabHHhcfHhde) cW^vsYsY +
23

+ (4 DaRbcdf - H8bcDaHgdf) д^Ю»1%а1%а + 4- BabcdD£a X
X 3№Г + {-^DaDbDcHgd} + ±DaHkgdRhbcf + \ DaHhbh X
X H\dH\f - i- HkgdDaRhbcf) d»<pWd4<p'n4b? +
+ {^-DaDbHf^ + 4-Ям/Д"оЬс + \ RhaMHkcf)dll4,WDvldtatbt' +
^5 = 23? J *^X [("So" DaDbDcRgdfh — -эд- RbgChDaR dfh —
—|ip Я fhDaDbDcHgdh —^ DaRhbcgH dlH fh —
5- RbbcgDaH diH fh —зд- DaRkbciH gdH fh +
+ A RhMH\dDaHlfh] laf l%dlfd»<f*d^ +
+ VJs DaDbRfcdg + -jg- RgabhR cdf + -5- DaDbHcfhH dg +
+ ± R^fH^H^frfD^d^ + -^-DaRwl'fl'DygD^ +
+ {"go DaDbDcD,iHfgh + -Jq DaDbRkcdgR fh + ~JqR abgHhmcR dfh +
+ "30" RmabhR edg^fh 5- DaDbHehmH dgH /л —
— TIT ^ abmHhclH dg^fh — "Jjj- DaRhbdgDcH fh + -jr- Da X
X DbHkfgRhcdh)latГ^Чф'е^ф* + [^DaDbDcHm +
+ "15- DaRmbchH d/ + "Jg" DaRmbcfH dh — -jjr- Д,Я bhRfedk +
+ T^bfRhc^rfrfD^B^cpb + [-^-DaDbHedi -
- -^ Rda^c,] П^д^ЮЛ']. (2.22)
В любом порядке теории возмущений re-член фоново-кванто-
вого разложения /„ имеет структуру [274]
/„ = ^ J Л {nj^.an)(blb2)^ • • • ГА>ЧфЬа +
+ nWlon-wX1 ■ • • ^A^W* +
24

+ nft0?.а„_2)(ЬЛ)^ • • • l^D^D^ +
+ Е™ап)[ЬЛ]1а> ... 1°пд^ь^д^ +
+ Epr-'n-wX1 ■ ■ ■ ^Д^ +
+ ^.ап-з)^/1 • • • ^""^V^}, (2.23)
где П- и £-тензоры являются определенными комбинациями
кривизны, кручения и ковариантных производных аналогично
(2.22). В общем случае они не могут быть записаны только в
терминах Rated и Д,, поэтому мы используем последние в
качестве обозначений.
Для обеспечения абелевой калибровочной инвариантности
(1.5) квантовой теории в рамках используемой ниже размерной
регуляризации [275] фоново-квантовое разложение проводится в
размерности два. Тем самым определяются явно ковариантные
вершины в терминах R, Н и D, и лишь затем осуществляется
продолжение в размерность d.
Вернемся теперь к построению ковариантного фонового
квантового функционала. Член с источником в (2.1) или (2.8) явно
нековариантен. Поэтому и определяющее квантовое эффективное
действие соотношение (2.6) также нековариантно, даже если
сделать замену я = я(|), поскольку я (а не |) стоит перед
ЙГ/бф. Естественной модификацией (2.6) была бы замена я на
| перед бГ/бЧр [276]:
ехр(/1>[ф]) = j[d£] ехр {i (/[ф + п(1)\ - 6^)}- (2-24)
Однако этот переход еще нуждается в строгом обосновании,
поскольку необходимо доказать, что (2.24) соответствует 1Р1-диаг-
раммам во всех порядках квантовой теории возмущений.
Более последовательный подход возможен при использовании
нестандартного члена для источника [277]
К [ф] = j <РхК (х; ф (х)). (2.25)
Тогда функционал
ехр (iW [К]) = j [<*ф] ехр {i (I [ф] + К [ф])} (2.26)
будет репараметрпзацнонно-инвариантным при условии, что К
преобразуется как скаляр. (2.26) соответствует рассмотрению
сразу бесконечного числа источников, связанных со всеми
степенями квантового поля.
Для практических вычислений удобно связать источник лишь
с коварнантным квантовым полем | [242, 274], т. е. определить
■25

новый функционал
exp(iW [ф, /]) = j [dg] exp {i(/ [ф + я(g)] + /•£)}. (2.27)
Правила Фейнмана, возникающие при разложении этого
функционала в ряд теории возмущений, будут, очевидно, явно кова-
риантны. Из (2.27) можно стандартной процедурой
(преобразованием Лежандра) получить соответствующий производящий
функционал Г для 1Р1-функций Грина.
Определим еще одно среднее поле
1М-Щ5 (2-28)
и выполним преобразование Лежандра
Г.[Ф,Г] = .ИЪ,/(!)]-! •/(!). (2.29)
Тогда
exp (if [ф, £]) = j [dg] exp |l (/ [ф + я (g)] - (g - |) ^ J}, (2.30)
что можно переписать в виде (|' — |— |) [242]
ехр(гГ[ф, I]) = j[d|'l ехр|^/[ф + n(g' + g)] - g'^Jj, (2.31)
получив таким образом «двойное разложение» по классическому
и квантовому фонам.
Связанный с (2.31) принципиальный вопрос заключается
в том, достаточно ли (например, для вычисления р-функции)
вычислять лишь 1Р1-диаграммы без внешних квантовых линий в
соответствии с общей идеологией метода фонового поля? При
линейном фоново-квантовом разделении имеем положительный от»
вет (см. (2.9)). При нелинейном фоново-квантовом разделении,
которое нас интересует, ситуация выглядит значительно сложнее.
При рассмотрении структуры перенормировки двумерных
НСМ без конкретизации параметризации [278] было доказано,
что, вообще говоря, перенормировка не является
мультипликативной и сопровождается нелинейной перепараметризацией (что
естественно, поскольку поля имеют равную нулю каноническую
размерность). При этом, однако, на массовой оболочке
перенормировка мультипликативна.
На основе изучения соответствующих тождеств Уорда можно
показать [277], что Г[ф, |] не есть разложение Г[<р] =
= Г [ф, | = 0] в нормальных координатах. Следовательно, если
Д£[ф] суть все_ контрчлены, необходимые для устранения расхо-
димостей в Г [ф], то отсюда не следует, что разложение AL
в нормальных координатах устраняет расходимости в Г [ф, |].
26

Из этого утверждения авторы [277] делают вывод о
необходимости учета перенормировки квантовых полей | в фактических
вычислениях в высших петлях. Учет нелинейной
перепараметризации |-полей оказывается существенным для корректного
рассмотрения ведущих расходимостей и сокращения е_,*[щ(7ге2/ц2)]*
членов (р, q<=N, >0), которые ИК- и УФ-расходятся (см.
разд. 1.2.2). Наивная БПХЦ-процедура (Д-операция) [11] в
приложении к Г[<р, 0] путем разложения контрчленов в низших
порядках теории возмущений приводит к неправильным
результатам, начиная с трехпетлевого уровня, что указывает на
необходимость учета перенормировки квантового поля. Тем не менее,
можно ограничиться вычислением 1Р1-диаграмм без внешних
квантовых линий и для вычисления (нелинейной)
перенормировки f-полей, если исходить из действия с источником (2.25) [277].
В общем случае (в рамках размерной регуляризации)
расходимости 1Р1-диаграмм без внешних |-линий складываются в
/-петлевом порядке из 1/е-расходимостей, которые определяют
^-функцию, высших полюсных расходимостей вплоть до 1/е',
которые фиксируются обобщенными уравнениями РГ [249, 250,
279, 280], и дополнительными вкладами, пропорциональными
уравнениям движения. Если нас интересуют только
расходимости, дающие вклад в Р-функцию на массовой оболочке, можно
ограничиться вычислением расходимостей из всех 1Р1-диаграмм
без внешних квантовых линий и систематическим вычитанием
из них всех подрасходимостей, оставляя лишь 1/е-расходимости,
аналогично методам [281—283].
Заметим, что выбор меры в функциональном интеграле (2.27)
достаточно очевиден:
№] = П VW) П #" (*)• (2-32)
X 0=1
С использованием конверсии между базовым М и
касательным к нему пространствами, определяемой с помощью фильбай-
иа 7(<р),
la = Va%i, Г = 70£°, (2.33)
можно переписать меру (2.32) в виде
№]-ПП <#(*)• (2-34)
х г=1
Ковариантные производные приобретают вид
К (вд° = («Ч + 40 &=(V* б)1,
П(ад° = (бХ + К + ЧчВ^^&Л)* (2-35)
в терминах соответствующих спин-связности Ац и кручения #„.
27

1.2.2. Регуляризация и квантовые неоднозначности
в р-функциях ренормализационной группы
Одной из проблем, возникающих при вычислении РГ р-функ-
ций НСМ, является проблема регуляризации [284—288]. Будучи
двумерной и безмассовой теорией, НСМ нуждается как в ИК-,
так и в УФ-регуляризациях. Чтобы регуляризовать
ИК-расходимости и отделить их от УФ-расходимостей, можно
использовать стандартный массовый член в действии НСМ
/«--^Jtfsft.^V (2.36)
в качестве ИК-регулятора. Для регуляризации
УФ-расходимостей удобна размерная регуляризация. В частности, регуляризо-
ванный пропагатор квантовых |-полей имеет вид
# М 6' (</)> - б1^ <* - У) - т« f ^ eXVl~iPt~y)], (2-37)
J (in) p — то + ш
где d = 2 — 2e. В диаграммах Фейнмана учет (2.36)
соответствует подстановке р2 -*■ р2 — т2 в знаменателях расходящихся
интегралов. Тогда ИК-расходимости пропорциональны т2 и, таким
образом, легко контролируются. Однако для практических
вычислений удобнее использовать вставки /га2-регулятора только в те
пропагаторы, которые в противном случае приводили бы к ИК-
сингулярностям [281—283]. Например,
Wn-w^Wv^-')--..'!- (238>
Нетрудно убедиться [285], что различные способы /га2-вставок в
пропагаторы влияют лишь на конечные части диаграммы. Это
происходит главным образом потому, что расходимости в
рассматриваемом классе теорий являются не более чем
логарифмическими.
В самом деле, использование массового члепа в качестве ИК-
регулятора делает все пропагаторы массивными, что отличается
от предписания [281—283]. Однако два набора фейнмановских
правил приводят к одним и тем же УФ-расходимостям, как
нетрудно убедиться сравнением соответствующих интегралов.
Например,
lim [ \ddkddqddp6(d) (к + q + p)(k-p) X
е-»+о I. -
Х UV (?2 - то2) ~ (*» - то2) (р2 - то2) (92 - то*) }] = °* (2'39)
В общем случае следует принять во внимание необходимость
вычитания подрасходимостей, что, однако, не влияет на
окончательный вывод.
Ковариантная размерная регуляризация УФ-расходимостей в
бозонном случае (с кручением) осложняется присутствием в тео-
28

рии (существенно двумерного, по определению)
антисимметричного символа e"v. В пертурбативных вычислениях необходимо
предписание для произведения двух е-символов. Из соображений
симметрии наиболее общее предписание имеет вид [289]
efvepa = ш(е) [tf°Tfо — t^Tf], (2.40)
где if суть d-мерная метрика Минковского, -ф(е) и
ш(е)—вообще говоря, произвольные функции, на которые нет естественных
ограничений, кроме ф(0)= ш(0)= 1.
В следующем параграфе будет показано, что РГ ^-функции
НСМ с ВЗВ-членом зависят от выбора -ф(е) и ш(е), т. е. от
выбора ренормализационной схемы. В рамках пертурбативных
вычислений можно ограничиться разложением
ш(е)= l + 2(0ie + 4(02e2+...,
■ф(е)>=(<2—1)ш(«) = (1 —2е)ш(е). (2.41)
Соответственно, I—петлевая р-функция зависит от (Z—1)
параметров ©i, ..., <o,_i.
Имеющаяся неопределенность, связанная с выбором
со(е),может быть фиксирована дополнительными условиями, например,
совместностью с конформной симметрией [279, 287, 290, 291].
В последнем случае символ e"v рассматривается как существенно
двумерный объект, для которого справедливо тождество
efvePo = :^р _ ^йр^ (2.42)
где использована плоская метрика Минковского if в
размерности два.
Обозначим if разность
^v = ^v_t]llv (2.43)
Нетрудно убедиться в справедливости тождеств
^ = 2-d = 2e, V" = (l=^)rr, (2.44).
из которых следует, что
envepa = _* [^li^vp _ ^ю^™], (2.45)
и, следовательно,
«hvb(8)=—Ц, <oHVB = l, шнув=3/4. (2.46)
(1 е)
Предписание (2.46) известно как рецепт Хуфта — Велтма-
на-Боса (ХВБ) [279, 287, 292].
В общем случае разность между любыми двумя
предписаниями для (о(е) отвечает конечному преобразованию в неперенор-
29

мированных метрике gab и потенциале кручения hi\. Абсорбируя
эти изменения в переопределения перенормированных метрики и
потенциала кручения, можно перейти от одного предписания к
другому, что вполне аналогично тому, как в 4-мерной
суперсимметричной калибровочной теории можно получить Z-петлевые
^-функции, вычисленные с использованием размерной
регуляризации путем размерной редукции, из Z-петлевых р-функций,
полученных с применением обычной размерной регуляризации,
конечной перенормировкой, индуцированной низшими петлевыми
порядками при переходе от одной схемы к другой [293].
В рамках используемой нами размерной регуляризации
скалярные поля Ф°(я) остаются безразмерными. Следовательно, не-
В В
перенормированные метрика gab и потенциал кручения Наь =
2 ив
s=—я- ИаЬ выражаются в терминах перенормированных величин
стандартным образом [294]:
g&=*» [л + 22,-^ «&° <«■• ЯЧ
[ 71=1 (=71 \М> J
нвь=Amx + 22 =^r яа-'Чл W. pad
( n=i i=n \MI J
где ц — размерный масштабный параметр РГ. Квантовые
поправки gift и Напъ имеют тензорный характер, т. е. являются
полиномиальными структурами по тензорам кривизны и
кручения, а также ковариантным производным. Z-петлевые 1Р1-диаг-
раммы имеют (Л2)'-1 в качестве множителя. Здесь мы временно
полагаем Х2 = 1.
Масштабная зависимость перенормированных величин от
масштабного фактора ц. определяется стандартными методами из
условия отсутствия независимости для неперенормированных
величин.
(Обобщенные) Р-функции РГ определяются соотношениями
(опускаем далее индекс В. у перенормированных величин)
{295, 296]
V--^-Sab = Раь(?, Я), V-^-Hab = р£Ь](£, Я),
РаЬ = Pfob) + P[obj- (2.48)
С использованием масштабного свойства Z-петлевого
контрчлена при глобальных конформных преобразованиях
g&l>-+A«-l)g£l\ Hanb'l)-+A«-»H<ift-<l) (2.49)
лемедленно получаем
оо оо
№аЪ) = - 2 lg{abl Р[НоЬ] = - 2 lH[lft (2.50)
1=1 1=1
30

в ведущем порядке по е. Приравнивая коэффициенты при
высших (отрицательных) степенях е, получим обобщенные
уравнения РГ, которые могли бы быть альтернативой пертурбативным
вычислениям для вывода высших (по 1/е) расходимостей из
известной Р-функции, т. е. из знания 1/е-расходимостей [279, 280].
Из соображений размерности и ковариантности Z-петлевой
контрчлен имеет следующую структуру:
А/(0 = \ j* (РхТ(^ (t^v - е»») дцф'ЧфЬ, (2.51>
где
Гй = 2 _L-rS>°te,tf). (2.52)
£=i (2e)n
Следовательно, в трехпетлевом приближении
Роь = Т&* + 2Г<ХЬ'2) + ЗГ<ХЬ'3). (2.53>
Другой источник квантовых неоднозначностей в р-функциях
связан с их зависимостью от способа вычитания подрасходимо-
стей, начиная с двухпетлевого уровня в теории возмущений.
Известно несколько независимых вычислений двухпетлевой Р-функ-
ции бозонной двумерной НСМ с ВЗВ-членом [289, 294, 297—
300], приведших к разным результатам. Поэтому особое
значение приобретают методы контроля или согласования результатов
вычислений. Мы предлагаем два условия, которым должна
удовлетворять Р-функция НСМ в рамках квантовой теории
возмущений (альтернативным методом контроля вычислений могла бы
быть проверка нильпотентности соответствующего БРСТ-заря-
да [301]).
Первое условие связано с теорией струн и является условием
интегрируемости. Известно, что распространение струны на
нетривиальном фоне, созданном безмассовыми модами,
определяется условием конформной инвариантности соответствующей НСМ
на мировом листе [302—313] или, эквивалентно, условием
нильпотентности БРСТ-заряда [314—317]. Пертурбативные (по
размерному параметру струны а') эффективные уравнения
движения для безмассовых мод замкнутой струны (гравитона или
метрики, антисимметричного тензора или поля Калб — Рамона, ди-
латона) суть приравненные нулю пертурбативные р-функции
НСМ [306—309], что, хотя и не доказано строго,
демонстрируется на ряде убедительных нетривиальных примеров [299, 300г
307, 312, 313, 316]. Значение этих результатов (р-функций) для
рассмотрения феноменологических следствий струнной теории
связано с тем, что согласованные струнные компактификации
должны быть решениями уравнений движения, полученных из
соответствующего низкоэнергетического эффективного
действия [245].
31

Поскольку ЭД в теории струн строится по данной 5-матрице,
это действие не является единственным и определено лишь с
точностью до переопределений Д-мерных полей (метрики, поля
Калб — Района, дилатона) [318—321]. Заметим здесь, что
важным свойством низкоэнергетнческого струнного ЭД является
отсутствие гостов [322—326]. Условие интегрируемости
недостаточно само по себе для однозначного определения Р-функции,
но является мощным инструментом проверки сложных прямых
вычислений расходимостей фейнмановских графиков.
Второе ограничение на Р-функции НСМ связано с двумерной
конформной, квантовой полевой теорией [327]. ВЗВ-модель в
критической точке является конформно-инвариантной и,
следовательно, конечной во всех порядках квантовой теории
возмущений. Методами конформной теории можно получить непертурба-
тивное выражение для производной Р-функции в критической
точке [327]. Этот результат после разложения в ряд теории
возмущений является хорошим ориентиром для вычислений в
общем случае и, в частности, однозначно определяет выбор со(е).
Оба условия согласованности будут использованы в
следующем разделе, посвященном явному вычислению §-функций НСМ
с ВЗВ-членом в трехпетлевом приближении.
1.3. БЕТА-ФУНКЦИИ ДВУМЕРНОЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ С КРУЧЕНИЕМ
1.3.1. Одиопетлевые расходимости
и уравнения ренормализационной группы
Стандартные аргументы, основанные на соображениях
размерности и ковариантности, позволяют не учитывать диаграммы,
содержащие в вершинах минимальную связность (без кручения)
из ковариантных производных, для вычисления УФ-расходимо-
стей. В самом деле, потенциальный контрчлен пропорционален
следу от квадрата напряженности, построенной по связности,
который, однако, имеет размерность четыре. Аргумент допускает
прямую проверку [242]. Заметим, что эти соображения
неприменимы при учете кручения [289].
Мы начинаем с изложения одиопетлевых результатов,
полученных Куртрайтом и Зачосом [328] с учетом кручения. Без
учета ВЗВ-члена двухпетлевая Р-функция была вычислена ранее
Фриданом [249]. Однопстлевая Р-функцня НСМ без кручения
известна но крайней мере с 1971 г. [267].
На однопетлевом уровне имеется лишь одна диаграмма
(рнс. 1.1). Ей соответствует одиопетлевой контрчлен [328]
A/(iC) = - \- Л j d2*fi°b (tfv - е"Ч дцср^фб, (3.1)
32

Рис. 1.1. Диаграмма Фейнмава, определяющая однопетле-
вую р-функцию двумерной нелинейной спгма-моделп.
MW*
где 1\ суть стандартный интеграл («лепесток» или тэдпол)
т =2Ш - ,'{*-?- i Г(е) =
1 — Я2 J (2л)" p2 - m2 (4л)<"2 (m2)e
1 1
= -. In m + конечные члены. (3.2)
4яе я v '
Линейные по \ члены не существенны, лишь 1Р1-графы дают
вклады в квантовое ЭД.
Процедура вычитания для тэдпола 1\ тривиальна:
1г + вычитания = -—, (3.3)
так что однопетлевая [i-функция имеет вид
$аЬ = ^ Rab = "2^(^06 — #а* Hbgh + DCHabc). (3.4)
Отметим, что массовый член в действии порождает массовый
однопетлевой контрчлен
д/(т) _ я£ ^ j"^ |_1_ ДаьГц)Ь _ rTacdgcd^ (3.5)
Формулы (3.4) являются основой для изучения поведения
эффективных зарядов. Например, для мультипликативно
перенормируемого случая НСМ на симметрических пространствах М
форма Н является козамкнутой, так что ВЗВ-константа связи не
перенормируется. Ради иллюстрации однопетлевой ситуации
рассмотрим несколько решений эволюционных РГ уравнений в
простейших случаях [251, 329].
Если М содержит р простых факторов и, соответственно,
имеется р констант связи h, то из (3.4) можно получить РГ
уравнения вида [329]
р <*_ХГ'--3---Ц- *' К ,р , (3.6)
** dn 2л (2Л)3 J,2. v '
где лоложительные числа (at, с,-, а,) зависят от выбора модели.
В частности,
или ц-^^^-Аг^, P^K'-P---^^*- (3-7)
dH- 2л (2л)3 2 ^ d(i 2л (2л)3 * v '
3 С. В. Кетов
33

Для конкретных случаев, рассмотренных в [251], имеем
а) Л/ = 53 = 0(4)/(3): а = 2, с = 2ге2;
б) Л/ = ^Х52: а,=0, сг=ге2/8, а2 = 1, с2 = с,;
в) Л/ = 51Х51Х51: at = 0, с, = ге2/8л2. (3.8)
В простейшем случае (3.7) для р=1, обнаруживается
тривиальная фиксированная точка при к = 0 и инфракрасно
стабильная фиксированная точка при А,2= 2п(а/с)и2. Решение для р = 1
имеет вид [251]
S-S0 = z-i+ х1п(Й). (3-9)
где
5 == а (а/с)1/2 In ц, 2 = ^(с/а)»/2. (3.10)
Уравнения (3.7) для р = 2 в симметричном случае (верхняя
строка) также легко интегрируются:
$"_^ = ^p(ClX|_C2X2l) + COnSt (ЗЛ1>
и имеют нетривиальную фиксированную точку при [329]
К\ = 2л (а2/с2)1/2, Я| = 2л К/с^/2. (3.12)
Другие более сложные случаи могут быть детально изучены
методами качественной теории дифференциальных уравнений, что
здесь не рассматривается.
1.3.2. Двухпетлевые бета-функции
нелинейной сигма-модели
и низкоэнергетическое эффективное действие для струн
Для двухпетлевых вычислений р-функцшг НСМ можно
использовать либо БПХЦнпроцедуру, либо вычитание подрасходимостей.
Для проведения двухлетлевой перенормировки теории
исходным является перенормировапное в одной петле действие,
разложенное по квантовым полям до четвертого порядка
включительно (для структур в классическом действии) или до второго
порядка (для однопетлевых контрчленов). Поэтому к списку (2.22)
необходимо добавить разложение для А/х [289]:
А/Й = - ±It jdsx[Rab(n^-e^)D^aD4lb + (ЭДь +
+ RacHCbf) № - e"v) I'Dftfdrf + (DfRab - HafcRch) (tf v _
- ei") a^vlV + б'бЧфЧл6 (тГ - е**) (4 DuDtRab +
34

+ -у- BpbRPgfa + -у RapRVgfb + HafcRcdH gb + HcbgDfRac —
- ЯвдЪДь)} (3.13)
и ковариантную часть разложения для однопетлевого массового
контрчлена
A/ft> = ^ /г J d2* 4 Д»ьБв6ь. (3.14)
Можно показать, что нековариантные вклады из массового
контрчлена, разложенного до 2-то порядка, и массового члена,
разложенного до 4-го порядка, не приводят к инвариантным
контрчленам размерности два и, следовательно, могут быть
игнорированы on-shell [289].
Диаграммы, определяющие двухпетлевые расходимости,
изображены на рис. 1.2.
Для анконтрчлена немедленно получаем
« = - 4 KI\ J <*Ц(4 ARdf ~ -}s DdD}R + 4 RdaR* -
* D °Ъ D i * D a^cD i * X7 a^\ TJ i * DaTT IT be
g- «d /«ob + -7j- -"d Л/оЬс + ~2-nd ДЛ/аЬ + -ij- ndtlabcnf —
* ГТ D I DOC . TJ С л (О г, Ь) TJ I " D ObCtT гт Л
6~ аЬ 'c d0 Д/Ьс + — rtd nbchtlaf —
- ^ RahbcHdbcHha^ <Vp«3V + (x ЯЬЛ#а7ь - X RbCadDaHbcf -
^-HabdD R cf + -^R DaHcdf +-7^Hdf DaR— H bdHahfD H c +
+ ^ DaHabcHchdH\f\ dtffWW]. (3.15)
Для первой ^-диаграммы (рис. 1.2) соответствующий
импульсный интеграл
Г ddpd*q Pjxfv /o1fi4
J (2n)2d (p2 - m2) ([A- + qf - m2) ([p + rf - m2) l ' °>
расходится лишь при исчезающем внешнем импульсе Аг„. Прямое
вычисление контрчлена приводит к результату
Pl.= — "jy ^lj cPx\— {Ra(bc)d — На(ь Hc)df){Rm ° —Нт H°h ) X
X dvq'dytf" + D(bHd)acDbHmcdd^(e^.VViet»>)dp(pm +
+ 2(Ralbc)d - Ha(b'HcW) Д'Я^еМвцф-дрф»). (3.17)
Вычисление расходимостей двух других р-диаграмм (см.
рис. 1.2) требует наибольших усилий. Соответствующий контр-
3*
35

(D'R*Rx*HD'H*RH1Kd<ff*e(I?H*RDH*H'DH*HDR)(dv>y
©{R*H**m)d<p ен /^~~\ен eh f \*н
. IS1R*R&+H>$*M>R)W-Z)ld<!>y
О
. $h-e)(W rY Л R(<?-t)
K>
m1/? ^/^~^\ R(i?-£Hd</>)2
ен f \ ew
Рис. 13. Двухпетлевые дваграммы для двумерной бозонной НСМ.
член имеет вид [289]
Р2 + Рз = - V<* (е) [^=^] П J Лс (Ъ„ДаЪ3»НаЫ +
+ 6Я(1о4?Я*Ьс5/ЯоЬс5цф'1 (тГ _ eiiv) 5уф/). (3.18)
f-Контрчлен для соответствующей диаграммы на рис. 1.2
У = -J- г (71 + 2m/x/) J сРжЙоьсЯ60 (tfv - е^) d„fl>drf* (3.19)
36

получается с использованием
lim i <dp£ (х) #»£ (у)} = i\-£b -r^-i = ™2/i-
x-*y J (^я)" p — m
В этом интеграле имеется лишь ИК-расходимость. В (3.19)
/ представляет сходящийся интеграл
7=1Ш (г2-*2)2 =(WW(4 + <T (3-20)
Аналогично для остальных контрчленов находим [289]
б = 4" A-2'2 J Я* (rfv - e,iV) дцф^уф' [ АД,,/ + 7?2Й0/ +
+ i?°/i?d0— 2HdbaHfcaR c + 2Hf DaRdb — 2Hda DaRbf\,
e = - \ Я.2 (I\ + m4xj) J еРяД0(Ьс)(,ЯЬс (ifv - e^v) ^ф^ф*.
I = -i- Vb'V J d?xRabcdRbc (rfv - e»*v) д^д^,
r\ = -i- Гш (e) (/J + 2m2/x/) J <PxRabcdHbf8Hcfe (rf» - е»*) x
X d^drf. (3.21)
Теперь остается лишь привести все контрчлены к
каноническому виду (2.52), из которого выводим вклады в р^-функцию
(2.53):
ft • 2 В Вс(оь) К ~ *) ( А ъ
Pl' ~ ^2nf d(ob)p ' ~ 1^Г l"3" [c(^-b)d] Х
Б[с(оЬ) в B[obc "I
ХЛ f] + ti[abcd\ti f]>,
Рг + Рз: /п J [DdHabcDjHa c + QHdagHebcDfHa c —
9 (in)
«l^/]}-
Л= -^-2RdabfHa8hHbeh. (3.22)
При преобразованиях были использованы тождества [251,
289]
Я С(оЬ) = — D(aHb)C ,
DdHabcDfHa с = -^( R[abC]d + Rdlabc])(R а с f + Rf оЬс]) —
" В -p[ebc " / робе . р оЬе\ "й /о о9\
4~ Л[аЬсс(]Л /] 4~\Л W + "W J Л[/]оЬс]- (О.Лд)
37

Заметим, что двухпетлевая р-функция не может быть
переписана лишь в терминах обобщенной кривизны Rabat и
производной с кручением Da [289].
т2Л/-расходимости сокращаются, что является важным
контролем вычислений. Оставшиеся двухпетлевые расходимости с
двойным полюсом (~^i) при использовании тождеств Бьянки
в сумме дают [289]
Sdoubie = 1Т ХЧ\ j <Рх {- (- -±- ДА + ЯЙЬ° [H,caR(bc) +
+ -§- DbRW]]j d^d^f + f^-DbDlbRm + ± R(ab)DaHbdf -
- Я/ь£>07?(Ь/)) д^е^дМ, (3.24)
где AL суть лапласиан Лйхнеровича
Al.R(df) = A#(d/) + 2RdR(af) — 2/?d fR(ab)- (3.25)
В (3.24) опущены члены, пропорциональные
j d?x [DldDnR + HdfaDaR] д&* (ц^ - e^v) <?уф/, (3.26)
которые сводятся к диффеоморфизмам на полевом многообразии.
Результат (3.24) совместен с обобщенными полюсными
уравнениями РГ [250, 280], которые связывают вычет при двойном
полюсе с однопетлевой р-ф.ункцией, поскольку (3.24) можно
переписать в виде
г*№
+^ё}йоь (tfv ~еП ^ф<1^ф/' (3-27)
что также является хорошим контролем вычислении.
Заметим, что, интересуясь лишь р-функцией, можно
существенно упростить вычисления, если использовать метод вычитания
подрасходимостей. В частности, очевидное соотношение
/? + вычитания = (3.28)
(4ле)р
справедливо для любого «цветка» с р «лепестками». В двух
петлях имеются лишь две базовые диаграммы (рис. 1.3). Все
диаграммы типа а (рис. 1.3) пропорциональны 1\ без ^-зависимого
мпожителя и поэтому не существенны для вычисления р-функ-
ции. В то же время расходимости диаграмм типа б (рис. 1.3)
пропорциональны /(e)/ь что после вычитаний сводится к
/(e)/:-[/(0) + .|f[]^. (3.29)
Согласно (3.29), такие диаграммы дают вклады в Р-функцию,
если df/de\ 1=0^=0. Окончательно приходим к тем же результатам
(3.22) для р-функции в двухлетлевом приближении.
38

Рис. 1.3. Топологические структуры двухпетле-
вых диаграмм.
Поскольку третья Р-диаграмма (см. рис. 1.2) дает вклад в
Р-функцию, было бы неверным игнорировать связность с
кручением в Z)„ и ковариантизовывать результат по отношению к этой
связности. В то же время справедливо использовать этот
аргумент по отношению к связности без кручения в D„, поскольку эта
связность не входит явно в вершины взаимодействия и можно,
таким образом, апеллировать к калибровочной инвариантности.
Обратимся теперь к проверке двух условий
самосогласованности полученных результатов со струнным низкоэнергетическим
ЭД и с непертурбативным выражением для р-функции ВЗВ-мо-
дели в критической точке.
Если условие исчезания Р-функций описывает
распространение струны на фоне гравитационного поля и поля Калб — Рамо-
на, эти Р-функции должны быть пропорциональны уравнениям
движения, вытекающим из on-shell струнного эффективного
действия
s= J <*р/££,«(*, я). (3-3°)
Варьируя действие (3.30) по отношению к g"6 и НаЬ, находим
А С 4 АС
т^ь = W<* + T Sob (Lett + полная производная), —5 = 0.
(3.31)
Инвариантность действия (3.30) относительно
диффеоморфизмов приводит к тождеству [300, 309]
DbWab—Habc . = 2"Da(Lett + полная производная).
(3.32)
Поэтому условие интегрируемости естественно записать в виде
[300, 309]
D Р(оь) — На ср[Ьс] = ^ DaLett (3.33)
для некоторого скалярного LM.
Например, для однопетлевой р-функции (3.4) легко находим
[307]
яьР<% - я/сР&] - airD* [т R ~ -т н*\ <3-34>
где R суть скалярная кривизна,
Н2^НаЬсНаЬс. (3.35)
39

Аналогично в двухпетлевом приближении для (3.22) в ХВБ-
предписании (2.46) находим
D P(db) — Hd °Р(ьс] = - , .2 Dd\ g- RabcdR" + -4" Rated X
X Я06*^ + -±- (H*)°b(Я2)оЬ - -i- HabcHaefHbfhHech^, (3.36)
где использовано обозначение
(Я2)°ь = Ha8hHbgh. (3.37)
Следовательно, получаем (2ла' = 1) [300,330—332]
S ~ J A /i [- R + -f Я» —j- (4 A°bcdflobcd - Да^Я06" X
X Ялс" - {№f> (Я%ь + ± НаЬсН^Н^Нс\^, (3.38)
что согласуется с известными реаультатами для
низкоэнергетического ЭД замкнутых струн, полученными из древесных струнных
амплитуд [333].
Отметим, что существование некоторого действия S
обеспечивается известной с-теоремой Замолодчижова [334] (см. также
[335—338]), которая обобщена А. А. Цейтлиным [339] на
случай бозонной НСМ с дилатонной связью. А. А. Цейтлин доказал,
что условия вейлевской инвариантности НСМ (могут быть
получены как уравнения движения из действия, являющегося
интегралом от «усредненной» дилатонной ^-функции рф или
«коэффициента центрального заряда» алгебры Вирасоро
<п>~рфд(2) + ...,
S ~ J' dq, VW) еФ(<р)рФ(ф), (3.39)
где r„v суть двумерный тепзор энергии-импульса, Ф(ф) — поле
дилатона, Я(2) —двумерная кривизна на мировом листе.
Специализация общей даухпетлевой ^-функции (3.22) на
случай ВЗВ-модели приводит к результату [289]
Р« = 5Г <4 - Ч") бУ + Y^f (! -П") d - Л2 - 2*0^) бу, (3-40)
где Q суть собственное значение оператора Казимира второго
порядка в присоединенном представлении алгебры Ли
1mUjk = Qbim. (3.41)
Заметим, что обобщенная кривизна ВЗВ-модели имеет вид
[328]
Robc* = (i-T\2)RabCi. (3.42)
ВЗВ-член ВЗВ-модели не перенормируется вовсе, что и
следовало ожидать ввиду его топологической природы.
40

Р-функцпя (3.40) исчезает при г\2 = 1, как и должно быть.
Более того, воспользуемся результатом А. Б. Замолодчжкова и
В. Г. Книжника [327] для производной р-функции в критической
точке, полученным методами двумерной конформной теории
[258]:
«_! ~ 0Т^ - ^ I l + Q/пУ (6Л6>
д\г
где
связана с р« в (3.40) очевидным соотношением
Следовательно [289],
Р* - - Тй? d - Л1) - ^ d - 112) (1 - Ч1 - 2«>i42)- (3-46)
Наша двухлетлевая Р-функция (3.46) соответствует пертур-
бативному разложению точного результата (3.43), если
использовать ХВБ-предписапие (©i = 1) в двухпетлевом приближении
с точностью до 0(Q3/n3)
-i2 «лЗ
-^-Ц- +^ + 0(^/1.*). (3.47)
цг=1 ™ л п
Поправка ~Q3/n3 в (3.47) будет использована при анализе трех-'
петлевой Р-функции (см. ниже).
1.3.3. Трехпетлевые вычисления
В трехпетлевом приближении будем применять только
процедуру вычитания подрасходимостей, сводя расходимости всех
диаграмм к «цветку» с, вообще говоря, ^-зависимым множителем.
Начиная с трех петель, такая процедура соответствует
неминимальной схеме вычитаний, однако обеспечивает унификацию
вычислений для всех трехпетлевых диаграмм [291, 340—343].
Все топологически неэквивалентные типы трехпетлевых
диаграмм изображены на рис. 1.4. Из рисунка ясно, что все
диаграммы типа «цветка» а и «цепочки» б приводят к расходимостям
1\ и, следовательно, могут не учитываться при вычислении
Р-функции.
При вычислении контрчленов из диаграмм типа «арбуз» в без
дф-зависимости на внешних линиях возникает интеграл
/■(1) _ ,-3 f ddpddgd^s s-(k — p — q — s)p-q ,„ ,«*
J (2я)за s (к — p—q — si p q
41

oco©eo
Рис. 1.4. Топологические структуры трехпетлевых диаграмм.
отвечающий рис. 1.5. Этот интеграл является ИК-сходящимся.
Разлагая подынтегральное выражение в ряд по степеням
внешнего импульса /сй, получаем
/#->А2-£/<Р, (3.49)
где использован стандартный (в дальнейшем) трехпетлевой
интеграл
/(1) _ р Г d?Pddqddz P-(p + s)q-(g + s)
J (2«)3d p2(p + S)V((? + S)2(S2_m2)
4 Г (Зе) Г2 (е) Г3 (1 — е) Г (1 — Зе)
(4я)3<^2 (т2)2е
Г2 (1 - 2е)
(3.50)
С диаграммами типа «арбуз» в связап еще один интеграл,
отвечающий рис. 1.6, с (дф) Зависимостью на внешних линиях.
Явное выражение имеет вид
, Г ddpddqdds
J (2л)
/■(2)
W
(—)s-(p + q + s)p-q
(2«)3d (p + 9 + S)Vp2(92-m2)2
— 2е Г2 (е) Г (2е) Г (1 — е)
(4л)зй/2 (m2)3e d
(3.51)
Нетрудно убедиться прямым анализом фейнмановских
графиков, что с диаграммами типа «арбуз» связаны лишь
расходящиеся интегралы 1\ и I(w2)-
Все трехпетлевые интегралы, отвечающие «жукам» на
рис. 1.4, г и д, очевидно, сводятся к 1\, что является прямым
Рис. 1.5. Трехпетлевая диаграмма, определяющая интеграл /Ш,
42

-{р*ц+з)
Рис. 1.6. Трехпетлевая диаграмма, Рис. 1.7. Трехпетлевые диаграммы,
определяющая интеграл 1уу- определяющие интегралы-^' и I*g.
следствием двухпетлевото анализа. При этом для ряда таких
диаграмм имеются ^-зависимые префакторы, что может приводить
к неисчезающим вкладам в ^-функцию в рамках неминимальной
схемы вычитаний.
Расходимости всех диаграмм типа «глаз» на рис. 1.4, е
сводятся, как можно показать, к двум отвечающим фейнмановским
графам (рис. 1.7). Рисунку 1.7, а отвечает интеграл 1е ,
определенный выше, тогда как рпс. 1.7, б соответствует новое
выражение
/(2) _ ,3 Г dtptfiqcfis q-(P + s)P-(<l + S)
= d Г(Зе)Г2(е)Г3(1-е)Г(1-Зе)_ d тП) „ .
(4л)ад/2 (т2Г (d - 1) Г3 (1 - 2е) « (<* - D Е ' К '
Расходимости диаграмм типа «Сатурн» или «руль» (рис. 1.4, а«е
и з) оказываются зависимыми. После интегрирования по частям
в диаграммах типа «руль» на рис. 1.4, г либо возникает тэдпол
(«лепесток»), либо сокращается один из пропагаторов.
Следовательно, все диаграммы типа з сводятся к диаграммам типа е или
даже более простым. Редукция в диаграммах (рис. 1.4, з)
достигается с использованием тождества
dl... G(x — и)д£... G{x — z) ... G(x — у) ... = -у- [— д2.. .G(x —
— u)...G(x — z)...G{x — y)—...G(x — u)d2...G(x — z)...x
X G{x — y)+ ... G{x — u) ... G{x — z)d* ... G(x-y)] ...+ ; :
+ -j- [ — % • • • G (x — u)... G (x — z) ... G (x — y) —... G (x — и) х
X dfc ... G(x — z) ... G(x — y) + ... G{x — u) ..,
...G{x — z)d^...G{x — y)] ...5*,
где многоточия обозначают множители или операторы, которые
несущественны при вычислении расходимостей.
Общая стратегия вычислений расходимостей из диаграмм
типа «Сатурн» заключается в следующем. Интегрированием по
частям можно свести данную диаграмму либо к диаграммам, рас-
43

•••© (^
Рис. 1.8. Трехпетлевые диаграммы,
приводимые к /д .
смотренным ранее, либо к диаграммам, изображенным на рис. 1.8,
которые (в отношении расходимостей) сводятся к 1е •
Фактически в вычислениях возникает еще ряд диаграмм типа той, что
изображена на рис. 1.9, расходимости которых, однако,
сокращаются между собой.
Наконец, на рис. 1.10 мы указываем те диаграммы типа
«Сатурн», которые не дают вклада в трёхлетлевую Р-функцию.
Доказательство основано на непосредственном анализе каждого случая.
Таким образом, полный набор трехпетлевых расходящихся
интегралов исчерпывается 1\, 1у? и /д'2 , причем не все они
оказываются независимыми.
При вычислении этих трехпетлевых интегралов, а также их
подрасходимостей, полезны формулы
/,iv(s)™l J ~^fp\s + Pf =[(^~ "И1) W=Q +
+
Int (s) =
вУу
(d — 1) s1
Int(s);
(2я)а
Г(е) Г2(1-е)
* d*q
J (2л:
(4«)^2(s2)e
1
Г (1 - 2e) '
Г (гее) Г (1 — гее)
(2n)d (з2)(п-1)е(з2-'»2) (4я)^2(т2)пеГ(1-е)
где b^Z. Отметим также полезные справочные формулы
(3.53)
1пГ(1 + е) = -еС+ ]g (-*>*£№) в»,
Г(е)Г(-е) = -
е sin ле
(3.54)
где %(х) суть функция Римана, С = 0.5772157...— эйлерова
постоянная.
Рис. 1.9. Структура трехпетлевых диаграмм,
сумма которых не содержит расходимостей,
существенных для вычисления бозонной ^-функции
нем.
д„Ъ
44

йД Si
av df ь,, dj,
did*
3M & № Ш d> № аид,\ ^ )до
дидА дЛ )dfafi
дмд,
W/> °Л
Рис. 1.10. Трехпетлевые диаграммы, которые не дают вкладов в бозонную
^-функцию НСМ.
В силу (3.54)
еГ (е) = ехр (- Се) + ±- £<2) е2 - ±-£(3) е3 + О (е%
[еГ (е)] [- еГ (- е)] = ^ = 1 + £ (2) е2 + О (г*), (3.55)
где £(2) = л2/6.
Реаультат вычитания подрасходимрстей в Iw и 1е имеет
вид
2
1w +
вычитания =
3(4я)3 е
-Н вычитания =
1
(4л)3
2е2 + 4eJ'
45

/e' + вычитания = s-^,
3(4n)3eJ
l4> + вычитания = —Ц- Г-L + -L + _§. I (3-56)
6 (4л)3 U e e J
т2-Зависимость исчезает, как и должно быть. Интересно, что
и £ (2) -зависимость также исчезает в правых частях (3.56), в
отличие от ^(З)-зависимости в четырех петлях (гл. 2). Заметим,
что 1е можно заменить на -у 1\ в том, что относится к
вычислению 1/е-расходимостей, т. е. ^-функции. Это утверждение
допускает прямую независимую проверку с помощью интегрирования
по частям, так что 1£ не является независимым.
Трехпетлевые расходящиеся диаграммы можно разделить на
четыре категории:
а) одна вершина П(/,2) или Е(1-2) и все другие вершины типа
П(р0) и/илп Е{я'т. Тогда интегрирование по частям производных,
действующих на внутренние линии, можно проводить внутри
диаграммы;
б) две вершины типа П(п,1> и/или Е(пА) и, следовательно, все
другие типа П(Л,0) или £(т-0). Интегрирование по частям для
внутренних линий также можно проводить без учета внешних концов;
в) одна вершина типа П(п,1) или Е(п,1) и все другие типа
П(*-0) или £(т0). Тогда следует учитывать в вычислениях
расходимости зависимость от внешних импульсов. Расходящийся вклад
получится тогда, когда в процессе вычислений одна из
производных будет действовать на один из внешних концов;
г) все вершины типа П(п,0) и/или Eihfi). Зависимость от
внешних импульсов также следует учитывать, причем расходящийся
вклад получается тогда, когда в процессе вычислений две
производные будут перенесены на внешние концы.
_^ В частности, можно не учитывать более чем одну вставку
7?(дф)2^гипа или более чем две вставки Ядднгила в диаграммы
типа г).
Базовая формула для вычисления трехлетлевого вклада в
Р-функцию, согласно предыдущему разделу, имеет вид
J d2xp<,3rIoop)(ri,iV - e*v) 5цф°5уфь = 2-3- 2еД/(1,з) =
= 12е 2 (все 1/е — контрчлены). (3.57)
(з—Юор)
Ради ориентировки в общем случае рассмотрим сначала чисто
метрическую НСМ (Наьс = 0), исследовавшуюся рядом авторов
[344—347]. В последнем случае полная ^-функция (трехлетле-
вой вклад) имеет вид (к2 = 1)
46

+ 2Rf(abhJi mn)cj + 2/?d(ab)c^ft.ff/ ° + — Ra c [— 5i?0bdnX
XR /eft + 2ARd(ahynRn(bc)f — 32RdbcnR\aj\ + 18Я X
xi?obdn^V + (d —/)}• (3-58)
С использованием тождеств Бьянки
D^R^D^R^8 = -L [DaRdbc8 + 2DcRdab8]DaR,bc8,
DdRa(bc)gD}Ra ° в = — I Adduce — 2DcRdabg] D°Rf ° ,
D D (ab)c 3 n n abc
Лс((оЬ)сЛ/ = — Hdabcni >
fld(ebV |£>(т£>пЯ£аЬ)/ + 2Д/(оь?Д\»п)с} = -|- ^°bc X
X £>2Я/оЬс + -jj Я/Ьс \i2DaDbRci - 2DbDjRae - -§- Д£Д/*ьс -
2~ ^/^ftobc + 4i?b^Aaft)c + "g- ^d ° 2Й /cmRa(km)b +
+ —R majRhmbc (3.59)
трехпетлевой вклад (3.58) переписывается в виде
fW = „ „ .з l^°^d °g WqRfbcg — 2DcRfgab] + 4Я/ °Я/ m°Rbabm —
l (4я) •—••••— ''' "•' ' • ■■—
- 4-iW*V»>***(",n)* + 2Rcbad [2ADaDhR) - 4£>6£>//?ac - 5Я°"х
XRnbc - Я/Я** + 8Яь"ЯЛаЛ)с] + 4£>2 [Rdiab)cRf(ab)c] + (d ~ /)}.
(3,60)
Подчеркнутые пунктиром члены можно представить как
Pd/ ' = -r-Tjf ]"§" DCRdabgDcRt Jg- DdRabcgDjR" ° +
. 1 zj abcn fcmcp 3 p no nbmnfc I /о ел\
+ -g" nd ni nhabm g- «dob//t m„ft.K j, (O.M)
что отвечает результату Грахама [344] для этой ^-функции.
Сравнение (3.61) с нашим реаультатом (3.60) показывает,
что за разность ответственны члены, пропорциональные вкладам
в ^-функцию в низших порядках теории возмущений (~ЯоЬ или
*"' ЯотпрЯьтпр). Поэтому причина различия суть разный выбор
схемы перенормировки. Вообще говоря, любые члены в J-петле-
вой р-функции, обращающиеся в нуль при исчезании низших
вкладов в р-функцию, неоднозначпы в квантовой теории и могут
быть выбраны произвольно в контексте струнной интерпретации.
Такие неоднозначности связаны с неоднозначностью выбора
схемы перенормировки в высших петлях и эквивалентны
переопределению метрики в общей НСМ.
47

Полученную р-функцию следует сравнить с
соответствующими членами в эффективных уравнениях движения
гравитационного поля, следующих из гравитационного ЭД в теории бозонноц
струны. Наши соглашения соответствуют 2яа' = 1 в теории
струн, где а' — параметр струны.
(<х')2-Члены в гравитационном ЭД для бозопной струны
вычислены в работе Р. Р. Мецаева и А. А. Цейтлина из анализа
трех- и четырехточечных древесных струнных амплитуд [348].
Согласно [348], гравитационное ЭД с точностью до Д3-членов
включительно для замкнутых струн имеет вид
■Sgr~j><p V~b[r + xG2 + (a')2[lj'i + 35-G,] +...}, (3.62)
где Сг.з пропорциональны инвариантам Гаусса — Боннэ с
точностью до членов, зависящих от тензора Рнччи,
GD2 / z?2 , D2 Г1 Т пп abn dm пп с г
2 = **аШ — 4лоЬ + П , Од = Ух — lliad Пьп "■ am > 11 =
р ab n cd n mn /о еэ\
= «cd Птп ПаЬ . (O.OO)
Ввиду известной неопределенности ЭД в 5-матричном
подходе зависимость (3.62) от тензора Риччи является весьма
условной. С другой стороны, это обстоятельство отсутствует для
двумерных НСМ, в которых допустимы лишь диффеоморфизмы
полевого многообразия, не меняющие физических свойств теории.
Поэтому соответствия между уравнениями движения, следующими
из (3.62) путем варьирования по метрике, и ^-функцией (3.60)
следует ожидать лишь с точностью до указанных
неопределенностей. Подчеркнем вместе с тем, что сам факт такого
соответствия является чрезвычайно нетривиальным даже с учетом всех
неопредеденностей.
Вычисляя dSgr/Sg*' и опуская члены, пропорциональные gdt
(они входят в дилатонную р-функцию [349]), и члены,
зависящие от тензора Риччи, легко убедиться в указанном соответствии
с точностью до «'-членов в (3.62). Для 7?3-членов согласно (3.62)
получается следующий вклад в р-функцию:
Р(3),МГ 3 Г 1 111 n D n°D сЬ8 ПаЬВ Uhm
di = — 7П5 R8 "24" **' У — НЛ Klchmtl ab —
— 2RdabcRfhmCRkabm + {d ■<->- /)} + —j- "24- \DaRdbgcDcRi8 ° —
— Rra DhDmRdabf + 3i?/ RmCjkR abm — Rd° RmcJhR bam + (d++f)}'
(3.64)
Воспользовавшись теперь тождеством
R ° DkDmRdabf = Df — R ° ^fcfldobm + D°Rf \DcRiabg —
* n D i * П cabn ohm .
2~ Uandbcg "+" ~4" d nichmn ab +
■ * D D° nbmnh n n с nahmb /n nrv
+ -s~ Mdabin mnhtt — ndabcn1hm n , (o.OO)
48

после подстановки (3.65) в (3.64) можно сократить в В-функции-
первый член в (3.64), являющийся диффеоморфизмом. В
полученном таким образом результате обнаруживаем точное
соответствие с (3.61), что является важным контролем наших
вычислений. Тем самым доказано, что найденная метрическая В-функция
удовлетворяет условию интегрируемости.
С другой стороны, из приведенных выше результатов можно
вычислить трехпетлевой вклад в В-функцию ВЗВ-модели [350—
352]. Для ВЗВ-модели коэффициентные тензоры в фоново-кванто-
вом разложении существенно упрощаются ввиду
£<3, 1) = П<3. 2) ■= £<4, 2) = П(4, 1) = £<4, 1) = £<4, 0) = £<5, 1) = Q, (3.66)
а также
DaHbcd = DfRabcd = Ai^abc = ^n^obcd = ^n^obcd =
= H[abHe]dt = #[0bC]d = 0, (3.67)
с использованием тождества Якоби для структурных констант:
f[ijfh]lm = 0. (3.68)
Далее ради упрощения обозначений будем использовать лишь-
индексы, относящиеся к касательному пространству для ВЗВ-
модели.
В силу (3.67) легко находим, что
ЩаЪМсй} = — Л (Л2 — 1) fghfglcfd]h>
ПоЬсй = — (1 — Т]2) fabfcdhi ^abc = — Л/обо
П(4,0) 1 jfti ТТ^'3) — * (\ «2\ /а 4Ь 4d Ф
abed = — Jabjedhi ll(abdf)(cg) — ~\l — 4 I Jm(c]g)i>]mnjnpi
П&&с)а = -^ (1 - Xf) jf?fhVfihlt. (3.69).
При вычислении контрчленов для ВЗВ-модели полезны
тождества
Jafmfgkfe = ~2~Qlfgei
6fhrap ,pk,hn,nd 3 n,n ,n i , jhprnhm
J(b U И Jh) = fWo»/t)il jfJhapJ(b]e)Jhd,
(Л')(ГоЛ/ШШ = о. (3.70)
С использованием вышеизложенного нетрудно показать, что-
pg-юор) = 6i ^_ (1 _ ц2) [Qo + (1 _ ч1) ft + (1 _ Ч4) Qib (3.71)
(4л)
4 с. В. Кетов
49

где коэффициенты qo, <7г и qt имеют вид [343]
q0 = (24 - 4/3) ша - 4шх (шх + 1) - 1,
qa = -ji-j [— 7857 + 4038й)х + 2212<о2],
Li 'О
qt = ^i [- 1053 - 144Сшх - 1564ш2 + 2592(оах]. (3.72)
Член Весса — Зумино — Виттена не перенормируется вовсе.
^-Функция (3.71) обращается в нуль при т]2=1, как и должно
быть.
Исчезание многочисленных вкладов в трехпетлевую (1-функ-
дию НСМ происходит в случае использования ХВБ-лредписания
с,н™ = 1, шГВ = 3/4, 4шГВ-2шГВ~1=0. (3.73)
В частности, коэффициенты! (3.72) значительно упрощаются:
g?VB = 8, «7™ = - Ю/3, ?1HVB = -5/3. (3.74)
Значение qo в (3.74) в точности совладает с предсказанием
двумерной конформной теории [327] в соответствующем порядке
дертурбативного разложения, что является весьма нетривиальным
фактом и обеспечивает контроль вычислений.
Структура трехпетлевой Р-функции НСМ с учетом неисчезаю-
щего кручения Наъс имеет вид [291]
Й? ~ ЯЯ2 + (V Д)2 + Я2 V Я + R (V Я) Н + (v 2Я) (V Я) +
+ RRH2 + R(V Hf + (V Я)(У ЩН + RH(V2H) + (?2Я)Я2 +
+ RIP(V Я) + (VЯ)Я3 + (V Я)3 + (V2H)(VH)H + (A*H)IP +
+ Ш* + (V Я)2 Н* + Н*\7 Я. (3.75)
Детальная запись трехпетлевой р-функции является
чрезвычайно сложной [347]. В общем случае трехпетлевая Р-функция
зависит от 6)i и од, а также от выбора схемы деренормировки.
Поэтому для вывода соответствующей поправки в струнное ЭД
необходимо провести следующую работу: выписать наиболее
общее выражение для суммы скалярных инвариантов в данном
порядке с неопределенными коэффициентами, принять во
внимание переопределение полей (гравитационного и поля Калб —
Района в рассматриваемом нами случае) и найти минимальную
запись ЭД с минимальным количеством слагаемых. Эффективные
уравнения движения, вытекающие из этого действия, связаны
с р-функциями посредством так называемой «/f-матрицы» [313],
которая является нетривиальным оператором в высших порядках
теории возмущений, начиная со второго, и содержит производные,
■действующие на поля [313]. Поэтому следует воспользоваться
уравнениями движения в низших порядках р(1) = р(2) = 0 ради
упрощения анализа структуры ЭД. Такой анализ проведен
С. В. Кетовым и А. И. Самоловым [353], а также Джоунсом и
Лоуренсом [321]. Исходное число членов в общем анзаце для
50

ЭД превышает 60, однако, с учетом возможности
переопределения полей,' это число может быть уменьшено до 21 [321, 353]..
Структура минимального ЭД имеет вид [353—355]
S = - —i-2 f A> Y~g [a1RabedRedPqRpqab + я2ДоЬе(1Доре,ДшР +
+ 0-uRabcd.HaVqH ptHegsH + dJiabedH He HptqH h + abRabed X
rjath rrbsm rjcd тт . n Tjathrrbs rjcdprj ■
X tl tl tl ,Г1 thm + ^etlabedH tl t" tl^sp +
+ а7ДоЬейЯ° H mHethH + aBRabedR He #и< +
+ a9RabedR R ptR q + aio^abedR H phH q +
+ a^RabdR C H Rtpq + Q-iiRdbedR R* pR qt +
i r. IT TTaPQ H*e< rr it ijskm . rj rrapq rrbct rj тт rrshm .
+ a13IiabeIi tl tl-pqstlttcmtl + aull obeli tl Hptstlghmll +
+ anHaben H C HpsmH qH th + O-ieHabeH " H RpmhRqts +
+ a17HabeRap9R ptHe 'HgmhH. , + alsHabcH^uD He SD Hm$p +
+ a19H* {DRf + a20H* (DRf + a21RabcdDaHbhiDeRdktl (3.76)-
где в качестве 19-го и 20-го членов можно взять любые два
линейно независимых выражения, составленных из
ЯгЛИп rib т~. rrems гт rromsj-v ттЬ ri^TT с'
abetl L)vn msUqtl , tlabetl L>htl miL) tl s ,
R^R^D^^DtR^ HabeHpq,DaHpghDtHbeh. (3.77)
ЭД (3.76) согласуется с трехпетлевой р-функцией (в
предписании Хуфта — Вельтмана — Боса для eMV) двумерной
нелинейной о-модели с кручением, если коэффициенты а,- выбраны
следующим образом [353—355]:
а\ 2, а2 8/3; а3 = -2/3, са = 3/2, а5 = 9/2, а6 = 5/3, а7 = 9/8;:
а& = 7/4, ад = —4/3, аю = 2/9, ац = —3, ai2 = 2;
ais = 880/81, au = -281/27,
ais = 1045/81, а,6 =—2626/27, a17 = —2383/27;
«is = «2i = 3/2; ai9 = а2о = 0. (3.78J-
Коэффициенты a\ — аз, a& — a\2, aie — а,\ъ и a2i инвариантны
относительно переопределения полей. Можно показать [323—
326], что всегда существует параметризация, в которой явно
демонстрируется отсутствие гостовских степеней свободы в
теории. Частные результаты о структуре четырехпетлевой
метрической р-функции двумерной ^озонной НСМ без кручения
получены Джеком и Джоунсом [356].
В нашем рассмотрении струнного ЭД систематически не
учитывалась дилатонная мода, поскольку такая задача не ставилась,
в связи с имеющимися в литературе результатами (см.,
например, [357-359]).
4*
5*-

1.4. ПРОИЗВОДЯЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДРЕВЕСНЫХ
СТРУННЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ ГРАВИТОНОВ
И НЕЛИНЕЙНАЯ СИГМА-МОДЕЛЬ
Локальная квантовая теория поля естественным образом
формулируется в терминах континуальных интегралов «по
траекториям» [260—265]. Квантовую теорию струн также естественно
рассматривать в терминах континуальных интегралов, но «по
поверхностям». Фундаментальное значепие в этой связи имеют
работы А. М. Полякова [360, 361], в которых были
сформулированы основы такого подхода. Функция Грина N тахионов
(основного состояния струны) в теории замкнутых бозонных струн
Намбу — Гото [362, 363] выражается в виде интеграла (после
викового разворота в евклидово пространство) [360, 364, 365]
<?t(Pi Pit) = J Wglxv(l)} Wr (1)] exp (-A-r^tfl V'g-Y S^X
X dtffdrfj J [Ц D%] VgW) exp(ipa34> (Sj)), (4-1)
где мера интегрирования по метрике g„v включает стандартный
гостовский детерминант Фаддеева — Попова, отвечающий
фиксации репараметризационной инвариантности [366], а мера
интегрирования по \j записывается, в форме Коба — Нильсена (см.
ниже)
[ПD%] = .П &ЬIS,- lv|216.- UI2|Е.- lPI2- (4.2)
L ] J J^P.8»»
В этом разделе мы находим удобным изменить обозначения
двумерных переменных на мировом листе я" -*■ Iй для приведения
их в соответствие с общепринятыми в литературе по струнам.
Формула (4.1) записана в древесном для струн приближении
(для мирового листа с топологией сферы) и включает
суммирование по поверхностям, содержащим данный набор точек (ха).
Функция Грина Gt (pi, ..., р*г) суть фурье-образ такой суммы
(р° — импульсы, сопряженные х"). Полюсы функций Грина
определяют спектр масс, а вычеты при этих полюсах
идентифицируются с амплитудами рассеяния. Поскольку квантовая теория
струн может быть сформулирована непротиворечивым образом
лишь в пространстве-времени с критической размерностью D = 26,
в (4.1) предполагается, что а = 1, ..., 26. Мера Коба — Нильсена
может рассматриваться как следствие процедуры Фаддеева —
Попова фиксации калибровки [301]. В самом деле, выбором
двумерной метрики в конформно-плоском виде за счет
репараметризационной симметрии невозможно устранить степени свободы,
отвечающие SL(2, С), т. е. конформным векторам Киллинга на
сфере. Поэтому формальную амплитуду, построенную без учета
инвариантности относительно комплексных преобразований
Мебиуса, изоморфных SL(2, С), необходимо разделить на объем
52;

этих преобразований. Чтобы вычислить этот объем, рассмотрим
подгруппу репараметризаций сферы или комплексной плоскости
С с присоединенной бесконечно удаленной точкой, которая
сохраняет конформно-плоский вид метрики, т. е. преобразования
Мебиуса, -reSL(2, С),
V 6-^Tf№) = (Tfia + Tf2)/(Tf3a + if4), (4.3)
где fj суть комплексные числа, fif4 — Т^з = 1.
Формальное выражение для амплитуды имеет вид
i4 = jIJ<*W6i.' ■•••Ы- (4.4)
Выбирая калибровку |р = ср, |, = с„ |, = с„ где с,л, суть
произвольные константы, вставим б-функцию от калибровки и
сделаем замену переменных в (4.4):
А = 1 [dvl J П *V & б») / (6р, eg, Е.) х
SL(2,0 МР.8.«
X б2 (£р - ср) б2 (£, - св) б2 (6. - с,), (4.5)
где [df]— мера Хаара для SL(2, С) [364], /—соответствующий
якобиан
oej |e=o I
ж принимает значения (р, q, s), тогда как I — значения 1, 2, 3;
■'-(5Й-1+- СГ'А)- <">
Следовательно,
/(6р, I* ?.)=IIp-U2I|.-I,I2II.-IpI2, (4.8)
что приводит к (4.2).
SL(2, С) преобразования сдвигают любые три точки в
комплексной плоскости | в любые другие три точки, так что инвари-
антпость амплитуды относительно преобразований Мебиуса
гарантирует симметрию относительно обмена любых двух каналов.
Поэтому амплитуда рассеяния выражается в виде суммы лишь
по прямым s-резонансам, т. е. является дуальной. Формулы (4.1)
и (4.2) приводят к дуальным унитарным амплитудам Шапиро —
Вирасоро для рассеяния N тахионов при р2 = 4/<х' [135—137].
Ниже рассмотрим обобщение этого результата на случай
рассеяния гравитонов [368].
Производящий функционал функций Грина (4.1) в
координатном ^-представлении можно формально записать в виде
среднего по поверхностям [304]
Г« [Ф] = <%хр (- ^L. \ d*t V'g Ф [Ф (&)])>. (4.9)
Тогда становится ясно, какой источник при сохранении репара-
метризационной инвариантности следует ввести для гравитонов
53

[304],
Г" [G] = ^exp (- 2^р- Jtfg Y~g-Y В** d^dv^Gab [ф (6)])^, (4.10)
т. е. квантовое среднее с действием в виде двумерной НСМ с
метрикой Gab. Следовательно, функции Грина элементарных
возбуждений замкнутой струны (гравитонов) имеют вид
Ge{x1 xN) = /j*ГЦД"$Л^ У7Щё^(Ы^Ф°(**) X
X 5уфь (£,) &№D) (z, - Ф &)}), (4.11)
где йь — поляризационные тензоры внешних гравитонов.
Соответственно, после фурье-преобразования находим
Gg(Pi Раг) = jWiiv(6)]W(6)l ехр {-^г J #6 V7 X
X -^ЧгФ'Яф0)j [![#%•] 4" VT&J^fo) ^ФЬ(Ы X
X <МР< (£,) ^ ехр [ 1рV (£)]. (4.12)
В D = 26, где конформная аномалия отсутствует [360], из
(4.12) после интегрирования по g^ и ф° следует, что
*«<А ^ = ЛР^(^^Ч)Х
X j 1£>а (g)l ехр Г- па' 2 ftfttf (6ь 6/, а)]. (4.13)
AT в (4.13) суть функция Грина лапласиана для
конформно-плоской метрики g„v = е'бц»:
fl.(V£«ra.)tf--e2(&i-b). (4.14)
Следовательно,
^(&i, ^, а) ^- In114 — |j|2, ЬФЬ
* (&, tf, a) = ±-o (Ы - 35- In (1/e), (4.15)
•где e—параметр обрезания. После подстановки (4.2) и (4.15)
в (4.13) получается выражение
Ge(pv...,pN)=[ П «РбЛбв-бргЧ&.-бвПб.-ЕрРх
X ехр Г j-a' 2 rfor(b)| ехр -^ln(l/e)2p*L (4.16)
54

Интеграл по а(|) нуждается в доопределении очевидным образом:
°nfa)
1Лг(6)= Нт П J da 0,). (4.17)
Следовательно, амплитуда рассеяния
Л (Pi Pn) = Hm П p5g<? (Pi 7>w) (4.18)
является конечной при условии, что
lira | pfa (£,■) | =const<oo. (4.19)
2 „
Таким образом, Gg(p\, ..., р*г) имеет полюсы по внешним им-
лульсам, отвечающие безмассовым модам «со спином 2»
(гравитонам), а реаультат для соответствующей амплитуды рассеяния
имеет вид [368]
А8(Рг pn)~$ П «РбЛбр-бвНЕ.-Ы'х
Л*Р.9|«
х|б.-бр|ЧЛ&^АП|и-6пр'й,,"Ря- (4-20)
dPj дР; пкп
Отметим, что все рассмотрение проводилось в рамках
«первично квантованной» теории струны. Для учета процессов с
рождением и уничтожением виртуальных струн во «вторично
квантованной» теории следует включить в рассмотрение мировые
поверхности с произвольной топологией (с произвольным числом
ручек в случае замкнутой струны) [163].
1.5. ДУАЛЬНОСТЬ В ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ
ФРИДМАНА — ТАУНСЕНДА
1.5.1. Дуальность в двумерных нелинейных сигма-моделях
Теории называются дуальными, если их (отличающиеся друг
от друга) действия второго порядка могут быть порождены одним
и тем же действием первого порядка. Принцип действия
обеспечивает эквивалентность дуальных теорий на классическом уровне.
Известно, что дуальные теории имеют одинаковые 5-матрицы
[369]. Для нелинейных о-моделей дуальное преобразование
изменяет геометрию многообразия, параметризованного
скалярными полями (см. ниже).
Наиболее общая, допускающая дуальное преобразование, бо-
зонная двумерная НСМ (бозонная струна на фоне безмассовых
мод), определенная на (га+ 1)-мерном многообразии М с изомет-
55

рией, может быть записана в подходящих координатах в виде
7 - ЕЙГ j"** I /т ^Vgab (^*0) (5v*6) + е^Кь (5^} Х
X (dvx*) + а' УуЯ™Ф(х)}, (5.1)
где Д(2) суть скалярная кривизна, построенная по двумерной
метрике fnv и связанная с полем днлатона Ф(х). Метрика g и
потенциал кручения h на М считаются локально независимыми от
координаты х°. С помощью метода множителей Лагранжа можно
записать для (5.1) действие первого порядка [370]
п I п
1 = Ш> IЩ 2 [ УуУ»Ч8ооУ>У, + 2goiVll(dvxi) +
U.j=i
+ Яа№)№)) + e^iKiVvidvX*) + ^(^)(в^)| +
+ е^ж° (д^) + a' Vy Д(2)Ф (х)). (5.2)
Это действие порождает (5.1) после исключения лагранжевого
множителя х°. Дуальное к (5.1) действие строится следующим
образом. Получим из действия первого порядка (5.2) уравнения
движения для полей V», выразим из них У„ и подставим обратно
в (5.2). В результате находим дуальное к (5.1) действие
/ = щг j"** I Vyy^gMd^M + e^habid^idvxb) +
+ «' VyRm<b(x)}, (5.3)
где новая метрика имеет вид [370]
goo = i/goo, got = hot/goo, gn = gu ^(goigoi — hoihos) /goo (5.4)
с новым потенциалом кручения
hot = —ha = gw/goo, ha = fin + (goth0] — hoigot) /goo, (5.5)
i, ] = 1, 2, ..., re. He затрагивая классическую динамику
(одинаковую для обеих моделей), преобразование дуальности влияет
на (квантовые) конформные свойства [370]. Пусть исходная
модель (5.1) удовлетворяет условиям конформной инвариантности
на однопетлевом уровне [307]
Д(аь) + 2V(oVb)O = 0, ft[ob] + 2#obc Vc Ф = 0. (5.6)
Тогда, как можно показать [370], дуальная к
рассматриваемой версии HGM теория будет обладать теми же конформными
свойствами и удовлетворять условиям (5.6) только в том
случае, если дуальное преобразование сопровождается сдвигом ди-
латонного поля
ф = ф J-log *„„. (5.7)
56

1.5.2. Двумерный аналог (сигма-модель)
теории Фридмана — Таунсенда:
геометрия и двухпетлевые бета-функции
С помощью дуального преобразования Фридманом и Таунсен-
дом доказана классическая эквивалентность модели
самодействующего антисимметричного калибровочного тензорного доля и
главной киральной о-модели [371].
Рассмотрим в качестве введения, следуя [371], 4-мерную
теорию для набора самодействующих антисимметричных
калибровочных тензорных полей 5p|i с соответствующими им напряжен-
ностями Gh = dBk и лагранжианом
2\ t-G^K^G*, (5.8)
где
KlwikKpvh} = 6llv6ii, (5.9)
/* — структурные константы компактной и полупростой
группы Ли.
Определим векторный потенциал
А\>—Кт**<?* (5.10)
и перепишем лагранжиан (5.8) в виде
^2 = -±А1к^А{. (5.11)
завнения движения
оВ;,,, 6
8
Из (5.11) получаем уравнения движения
б^2 1
'HV
где
FU = дрАа - д„АР + gfkAiAha. (5.13)
Лагранжиану второго порядка (5.11) соответствует лагранжиан
первого порядка
2г = - х BlvtwFio + 4- AlA*. (5.14)
Здесь А]^ и 5цурассматриваются как независимые. Полевые
уравнения для А]х являются алгебраическими п эквивалентны (5.10).
Исключая с их помощью поля А^ из лагранжиана (5.14),
возвращаемся к лагранжиану второго порядка (5.11). Можно,
однако, исключить из (5.14) поля5^у> которые появляются выше
в качестве лагранжевых множителей, устанавливающих связь
Flo = 0. (5.15)
57

Отсюда следует, что поля А^ являются чистой калибровкой в
топологически тривиальной ситуации. Связь (5.15) может быть
решена явно [251]:
Al-2Min(Q)d,fin(x), (5.16)
где Э" (х) — локальные координаты группового многообразия и
одновременно скалярные поля в пространстве-времени. Л/"'(0)
суть тетрада, удовлетворяющая уравнению Маурера — Картана
£^>_£^> + 2е^'„(в)М',(в)-0. (5.17)
Подставляя это решение в (5.14), приходим к лагранжиану
главной киральной о-модели
2--ЪЕтпФ)д^Гд£п, (5.18)
где
вГ»я(в)-4АГ4(в)Л/*(в), (5.19)
a gmn(Q) — метрика на групповом многообразии, что доказывает
классическую эквивалентность антисимметричной тензорной
теории и главной киральной нелинейной о-модели [271]. Монсет
быть доказана квантовая эквивалентность: статсумма главной
киральной о-модели получается из статсуммы модели Фридмана —
Таунсенда заменой переменных интегрирования в
функциональном интеграле (в том числе с .учетом минимального
взаимодействия с внешним гравитационным полем). В частности, для кван-
тово-эквивалентных теорий совпадают квантовые тензоры
энергии-импульса <7Vv> [372].
Рассмотрим теперь в том же порядке идей двумерный аналог
этой теории с лагранжианом первого порядка [373]
&i = ~Y BjP-Ют + -J- Ala, (5.20)
где
G^a = д^А% - MS + Л^Х- (5-21)
Перейти к формализму второго порядка можно двумя путями,
в результате чего получаются два дуальных лагранжиана. Далее
ограпичимся рассмотрением группы SU(2), так как в этом
случае fbc = еаЬс, и вычисления значительно упрощаются.
Переход к теории с кручением. Варьируя (5.20) по Ат,
получаем уравнения движения
2дуД^ + (Л^ви + s^Baeaib) А$ = 0. (5.22)
Эти уравнения являются алгебраическими относительно А^.
58

Нетрудно проверить, что матрица
(Ь-%ш = ' (кафм + haiJBW - еакВее<" ) (5.23)
1 т ат т
обратна матрице
L\V,lb = hMx6lb + г^.ВагагЬ (5.24)
(в случае произвольной группы матрицу L~x найти значительно
сложнее). В силу (5.22) и (5.23) находим
Ака = 1 + джДя>(б«^1*Д* + 1а»ВквХВ* - даВ*Вее<"), (5.25)
где использовано обозначение
Подставляя (5.25) в лагранжиан первого порядка (5.20),
получаем лагранжиан второго порядка
Si = -4 [gabdyBad^Bb + каьг^дуВадчВъ], (5.26)
где
g*b(B) = 6ab + Ba*b, hab(B) = {$*%-. (5.27)
Лагранжиан (5.26) суть лагранжиан двумерной НСМ с
кручением.
Переход к теории без кручения. Варьируя (5.20) по Ва,
получаем связь
С„™ = 0, (5.28)
аналогичную (5.15). Выражая из нее Л£ согласно (5.16) н
подставляя результат в (5.20), получим НСМ без кручения. Для
нахождения явного вида метрики gm„(Q) вычислим тетрадыМп (0).
Общее решение уравнения Маурера — Картана (4.9) имеет вид
[251]
1
Л (в) = 4-Тг(7'0£/-хдпС7) = -±-<\jdtTv{TaU-iTnUi). (5.29)
где
dimG
С/(9) = ехр(г07'), 97"= 2 вт7» (5.30)
(Тт — генераторы группы G, в нашем случае — генераторы
группы SU(2), dim G — ее размерность).
Воспользуемся легко проверяемыми свойствами генераторов
группы SU(2)
(QmTm)2k+1=(e2)hQmTm, (QmTm)2M = (Q2)h(QmTm)2,
е^е21 + е22 + е23,
59

Тт(ТаТь) = 26аЬ, TT(TaTbTc) = ieabc,
TT(TaTbTcTd) = б0»бс<1 + бо<Дс,
Тт[Та(втТт)2Ть(впТп)] = 0,
TT[Ta(QmTm)2Tb(QnTn)2] = 2Q2QaQb. ■ (5.31)
Разлагая U~* и U* в ряд, с помощью (5.31) получаем
и*-1 + '-^ (QmTm) + созД^1(9т7,т)2) (5 32)
где i?s(fl2)i/2t Подставляя (5.32) в (5.29) и интегрируя, находим
Маь(9) = - Ё5* б0Ь- соа;-1 eobnen- Д~Т Д в°9ь. (5.33)
R R И
С помощью тетрады (5.33) из (5.18) можно вычислить метрику
gab полученной НСМ без кручения
gob (9) = 4 (2 С08 Д ~ 4C0S 2Д " 1} (Д2баь - 8А) + ffi (5.34)
Для двумерной бозонной НСМ общего вида с действием
/ = -L jd2a:[gy (ф)9цфЧф^ + е^МФ^ф'^Ф'] (5.35)
однопетлевые ^-функции вычислены в разд. 3.1 этой главы:
(2я) Ру = Rij + Hi nHjhn, Rij з= R щ,
(2я)|Ь,)-У*Як«, (5.36)
где Rn суть тензор Риччи (без кручения), построенный по
символам Кристоффеля для метрики gtj, здесь Н — напряженность
антисимметричного тензора Ъ:
#ijh = -rridibjk + dft&y + djbbi), (5,37)
V — ковариантная производная (без кручения).
Для вычисления ^-функций (5.36) по данной метрике
использовалась техника аналитических вычислений на (компьютере.
В частности, для двумерной версии модели Фридмана — Таунсен-
да с метрикой
еч=Ь\++В£5, В*=В& (5.38)
и потенциалом кручения
*У = ~\ (5-39)
60

однопетлевые р-функции имеют вид
(2«) ДО = (Т^ {й/ [4- <3 + В*) + В* ~ 3] - б« <*' + 3>}>
(2n)Pl)) = -2^-^F-. (5.40)
Для дуальной версии этой теории (без кручения)1 с метрикой
в соответствии с (5.34)
Sab (в) " 4 [р- (в0вЬ - Д26оЬ) + *-ф-
(5.41)
где
A = cos(2i?) — 2соэД + 1, R = VQ\ + Ql + Ql, a, b = 1, 2, 3,
(5.42>
однопетлевые ^-функции имеют вид [373]
(2л)р# = ^ £±* (Эо0ь - Д26оЬ) + 2**" ~ (А°г е.9>], (5.43>
где использованы обозначения
dk
к' = ^ = - 2 sin (2Д) + 2 sin 7?,
А„ = А_ 4cos(2i?) + 2 cos Д.
dR
(5.44>
Для двумерной бозонной НСМ общего вида с действием (5.35)
двухпетлевые р-функции согласно разделу 3.2 этой главы имеют
вид (в более явной записи)
(4л)2 pi? = - 2ДШтД/"т - W%RmmH!m - Whi}lHhstHsil +
+ 2S7iHimhS7 Hj g- ViHbim Vj-Я —4Я;т(Я{ HhstHs —
/ IT rrsmh rj rjr I
(4л)2 $2) = 4V! Я8<[*ДЛ1" - AHlm[i V;] НшНт* +
+ 4#,m[i V' ЯЛ8ЙЯтЛ - 4 V i HmHhs,Hlst. (5.45>
Аналитические вычисления на компьютере для случая (5.27)
приводят к [373]
(4л)2 pg> = \ (1 + 52)"5 {Я*Д;- [-3(1+ Д2)1 - 24 (1 + Д2)3 -
-48(1 + Д2)2 + 48(1 +52)-32] + б^[-3(1 + 52)4 +
+ 80(1 + Д2)-32]},
(4л)2 Щ = (1 + 52)"* Л„ {(1 + Д2)2 + 4 (1 + Д2) - 2}. (5.46>
61

Наконец, для метрики (5.34) двухпетлевой вклад в Р-функ-
цию соответствующей двумерной НСМ имеет вид [373]
^№ = -ш>Ш{Жк-к'2)2 +
+ (А'2 + 4А)2] (ОА - R4ab) + ±-{2к"к - А'2)2 0о9ь}. (5.47)
Глава 2
N = 1 СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИГМА-МОДЕЛИ С КРУЧЕНИЕМ
2.1. КЛАССИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ
И КОВАРИАНТИОЕ ФОНОВО-КВАНТОВОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
2.1.1. Суперсимметрия и нелинейные сигма-модели
В гл. 1 рассмотрены вычисление пертурбативных РГ р-функ-
дий двумерных бозонных НСМ и построение соответствующего
низкоэнергетического ЭД в древесном для струн приближении.
Ниже обобщим это рассмотрение на суперсимметричный случай.
Адекватным формализмом для описания и исследования
суперсимметричных моделей является суперполевой подход,
основанный на концепции суперпространства, введенной Саламом и
Страдди [374—376]. Важнейшее преимущество суперполевой
формулировки теории — явная линейная реализация
суперсимметрии, позволяющая непосредственно и относительно просто
проследить следствия суперсимметрии, в особенности сокращения
расходимостей в квантовых вычислениях [376—381]. Суперполе-
вые методы не «отменяют» компонентные, несмотря на то что
даже каноническое квантование суперсимметричной НСМ может
быть проведено в суперпространстве [382]. Разные подходы,
дополняя друг друга, позволяют глубже проникнуть в структуру
теории.
Суперсимметричным НСМ посвящено значительное
количество работ [113, 328, 383—392]. Суперсимметричная ВЗВ-модель
[393] обнаруживает суперконформную и супер-Каца — Муди
[394] инвариантность [395—397] в критической точке г\2 = 1.
Для описания суперструн могут быть использованы два
формализма: Неве — Шварца — Рамона (NSR) [398—402] или
Грина — Шварца (GS) [403—408]. Соответственно, о-модельный
подход может быть развит, в принципе, не только для фермиев-
ских струн [409—412], что отвечает NSR-теории, но и для GS-
суперструн [413—421]. Однако последппй .подход еще не развит
в достаточной степени, в нем не решен ряд принципиальных
«2

проблем и поэтому он здесь не рассматривается. Обобщение-
о-модельного подхода с учетом струнных петель стало активно
развиваться лишь недавно [422—431] и еще очень далеко от
своего завершения в виде стройной формулировки.
Перейдем к изложению результатов о суперсимметричных
^-функциях НСМ в четырехпетлевом приближении и некоторых
приложениях.
2.1.2. Соглашения и обозначения
в двумерном N = 1 суперпространстве
Для двумерной алгебры f-матриц Дирака используем
представление
v° = (? _о)> v- = (^ о)- vs = vV = (о _ i) (i-i)
со свойствами
[?*\ Vv) = 2тГ я 2 diag (+, -), tr (VliYv) = 2%v, yt = 1. (1.2)
Поднятие и опускание спинорных индексов производится с
помощью матрицы зарядового сопряжения С:
СаР=(. 0), С*=[_10),
CylC1 = - у» С = - С, С2 = - 1. (1.3)
Дираковское сопряжение определяется обычным образом:
ё"=9+1° (1.4)
и для майорановского спинора
q* = C«%. (1.5)
Для любых двух майорановских спиноров ф и % справедливы
тождества
•ФХ = ХЧ>. tTfriC = -ХТГйФ. ФТзХ = -ХТзф. (1.6)
Формула Фирца для любых трех спиноров ipi,2.3 имеет вид
i|>i (ЬУз) = — у Ь (b$i) — 2"V%(*iVii*i) — "2 Wh(iWM>i)-
(1.7)
Для f-матриц в d = 2 имеется полезное тождество
tr(fYfY)= 2(rfvrf'i- tfV + Г1МУ)- (1.8)'
Ковариантные производные в плоском iV = 1, d= 2
суперпространстве с координатами (я„, 0а) имеют вид
п« = -к-1№« (1-9>
63

я удовлетворяют алгебре
Ша, Dt) = 2Wat, Wa, IP) = 2id?*, (1.10)
где
^-(/^ **-(?*№№,
5ap5pv = 6avD, П = 9%. (1.11)
Наши соглашения практически совпадают здесь с «Super-
space» [72].
Обозначим
£)2 = _* D*Da = | С^ОД,. (1.12)
Спинорные производные удовлетворяют соотношениям
DaDf = idaf, + CpeZ>2, Л-Д" = i5«p + Са£>2,
(£>2)2 = _D, 5^ = 0,
Z>«Z>2 = -Z>2Z>« = - ida>Df, DaDfiDa = 0,
DaD2 = - Z>2Da = id*fDf, (1.13)
широко используемым ниже.
б-Функция в суперпространстве определяется свойствами
i
cFW (0) = 1, б2 (9) — е2е, = -i-eaea. (i.i4)
Для фурье-преобразоваиных D(p) -производных в импульсном
пространстве справедливы соотношения
D^D^S* (9х - 92) = [гб„р -7>„рб2 (9Х - 92)] еХр(9хр92),
DD (р) б2 (9Х - 92) = 2г ехр(9хр92),
Ю^Ц» \ DD (р) б2 (9Х - 92) = [ipccp - р2б„рб2 (9Х - 92)] ехр(9^9,),
{(Д£>)(Д£»)б2(91-92) = 2р2б2(91-92). (1.15)
2.1.3. Действие в суперпространстве и в компонентах
Подходящее обобщение динамики двумерной нелинейной о-мо-
дели на iV = 1 суперсимметричный случай можно построить
заменой скалярных полей НСМ на действительные N = 1 супер-
поля (без связен) ц>"(х, 9), которые содержат скалярные поля
Ф°, маиорановские спиноры гр° и действительные
вспомогательные поля F" в качестве коэффициентов разложения стандартно-
•64

го грассмановского полинома по маиорановскои
антикоммутирующей переменной 9":
Ф° (х, 9) = ф° (х) + Ца(х) + 1 99Г (х). (1.1G)
Запись действия суперсимметричной НСМ в N = I
суперпространстве имеет вид [328]
/s = lb" 1 *Х ir I ^ \gah (ф) ~ i пКъ (ф)) йф°(1 + ъ) D(fb'
(1.17)
В компонентах с использованием интегрирования по частям
и алгебраических уравнений движения для вспомогательных
полей F" действие (1.17) принимает вид
Is = -^ |#*{йЛфЧфь + 1 гайоье'ХфЧф6 +
+ WY^6 + | /?abcd^° (1 + ?з) Л6 (1 + 7з) *"}, (М8)
где
ад0 = [баЧ + Г^ф6 - Я°ьсецу5уфс] г|>ь. (1.19)
Фоново-квантовое разложение действия (1.17) согласно ко-
вариантному методу фонового поля может быть получено из
результатов гл. 1 формальной заменой
Ф (я) -*- ф (х, 9), J д?х -> J еР* -1- J d29 = -i- J Л,
tfX •.. dv ... ->Я ... Z>..., е^дц ... dv ...->- Я... v3Z)....
(1.20)
ге-й Член фоново-квантового разложения имеет структуру
ф = _!_ ("лирв |п(п,2) (^)п(Дф£>Ф) + п^1"®"-1 х
Х(ЖУ?Ф) + П(п-0)(1)п-2{Щ®1) + E(n'2){t)n{D<f>y3D<p) +
+ Е(пл\1)п-1{ЩЪОу) + Е(п-0)(1)п-*(&1у3®1)}, (1.21)
где П и £ — тензорные коэффициенты, уже известные по гл. 1,
(<2U)° = £»„Г + rJ^cpV - Наы (bD)aq>%b. (1.22)
Поскольку мы ограничимся вычислением ^-функции на
массовой оболочке, в разложении действия можно опустить члены,
пропорциональные уравнениям движения {Is )• С точностью до
|4-члепов включительно находим [432, 433]
/£> = (Ш*)-1 j d4 [gob®?®? + RabcdttfDq,0 (1 + ys) £»фь),
if = (4a2)"1 j* dlz {4 (ZtoRtcde - 2Rabc,Hfdt) £»фь (1 - Тз) X
5 С. В. Кетов
65

xDq>Vtd? + j{nabcd + Rtbc^DtfZDtgr-l (Rated-
- Rdbco) (p<payz2>ld) tV + 4 Я„а° (Щ\2>Г)},
/<*> = (ШТ1 l^z[-^{S)aS)bRedt1 + bRcabeR8M + RcabeR,J -
- 4<ЗДе<Л + bReabgH8dhHhef) ДФе(1 - yJDtfVt'VV +
+ ^{S>aRbcde + 2>aRicdb + 2ReaefHfdb - 2HjRfedb) Dq>bS>l*x
X VVld - 4 ( ®aRbC<U - 2>aRecdb ~ ZR.aefH*'л + 2Htaf X
XR,edb) D<pby3<D??nd + j Rated {Ma2)ld) lb? -
- JRated {&Vv,2>ld) it]. (1-23)
Из квадратичной части действия /(2) определяется пропагатор
квантовых |-суперполей:
Gab(zu z2) = fbD2K(zu z2)=>(-i)?)gabD2C}-itf(xl-x2)62(Q1-Q2).
(1.24)'
С использованием суперсимметричного массового члена [434]
в качестве ИК-регулятора
Is = ^j"*WV (1-25)
пропагатор для флуктуирующих квантовых суперполей с
индексами касательного пространства имеет вид
(1.26)
В эквивалентной форме (1.26) можно представить как [289]
,„f Л iexp(Q.pQ0)+m62(Q1 — 0,)
J (2л) p — m +iO
(1.27)
Ренормализационные эффекты благодаря двумерным спинор-
ным суперпартнерам скалярных полей могут быть рассмотрены
и в компонентном подходе. Ради достижения этой цели
достаточно рассматривать спинорные поля лишь в качестве квантовых
66

флуктуации. Поэтому транспортируем спиноры вдоль
геодезических согласно уравнению [251, 289]
D (*) г|>0 (х; s)^-^^ fc *) + Пе [р] 6.4е & s) = 0. (1.28)
Для двухпетлевых компонентных вычислений достаточно
ограничиться разложением кинетического члена для спиноров в (1.18)
до второго порядка. С использованием легко проверяемых
правил дифференцирования
D (,) [Drf (s)]a = Rabed [p] tf (*) ГЛР",
О (*) [5^ (s)]a = Rabed [р] г|>ь (*) ?,дУ - Н\с [р] г|5Ь (*) е^ {0%.)е -
- DdH\c [p] ць (*) e^VE? (1-29)
находим [289]
Xфеб"(ВД' - 2£>/tfbed£yeliV(£>v£)d - ^W^WVaV -
- DeD,Hbc^t^\dlfle] + 1 Ййе^0 (1 + 7з) г|5е? (1 + Ъ) V}-
(1.30)
Регуляризованный пропагатор спинорных полей имеет вид
<Vwyo»-w»*|^r „С^о' «ф[-»(»-1Я.
(1.31)
где предполагается, что индексы г, /, А, ... относятся к
касательному пространству.
2.2. СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ БЕТА-ФУНКЦИИ
2.2.1. Однопетлевые вычисления
В однопетлевом приближении В-функция суперсимметричной
НСМ совпадает с бозонной В-функцией и пропорциональна
(обобщенному) тензору Риччи [328]. Этот результат немедленно
получается суперполевыми методами с использованием супер-
пропагатора (1.26) и рис. 1.1. Можно проверить, что фермиев-
ская петля с пропагатором (1.31) вообще не содержит расходи-
5*
67

мостей в d = 2. Этот факт хорошо известен в двумерной
квантовой теории поля для минимальной связи фермионов с векторным
полем (см. первую формулу в (1.30)).
2.2.2. Двухпетлевые вычисления
Как и в однопетлевом рассмотрении, вычисления р-функции
можно проводить либо в компонентах, либо в суперпространстве,
причем в последнем случае необходимые вычисления значительно
упрощаются [289, 435]. Ниже рассмотрим оба подхода, поскольку
это обеспечит одновременно важный контроль результатов
вычислений [289].
При компонентном подходе в дополнение к диаграммам,
изображенным на рис. 1.2, имеются еще три двухпетлевые диаграммы
за счет фермиевских вкладов, представленные на рис. 2.1, где
прерывистые линии используются для обозначения фермиевских
пропагаторов. В частности, для первой со-диаграммы на рис. 2.1
соответствующий двухпетлевой интеграл имеет вид
Г ddPddg tr {у* (д + ш) Yv (М- Я + m)} ._ „
J (2л)2Чр2-т2)(92-т2)Г(р + 9)2-т2Г ^
Используем суперсимметричную размерную регуляризацию
посредством размерной редукции (СРР) [436—444], согласно
которой следует использовать f-матрицы в d = 2 и соотношения
(1.2). Тогда контрчлен принимает вид
Щ = W (^jn)rf** l(Robed - HjH^iR^f - Ha\Hhef) x
X АЧф' - DaHb^H^fd^d^' - 2 ( i?obed - НЛННШ) X
хЯеЯоЬ/д1гФ<1ецЧф/}. (2.2)
Аналогично контрчлен для второй со-диаграммы на рис. 2.1
имеет вид
Щ = *' (^TJr) /2i j ЛЗДлЗ14^. (2.3)
^Диаграмма на рис. 2.1 оказывается конечной.
Теперь, принимая во внимание, что бозонный контрчлен (li из
(3.16) гл. 1 может быть тождественно переписан в виде
Pi = —gd ^ I ^x ^ ^obed ~~ ^аЬ ^bcd) ( ^° Cf~ Н" ь.Н ef) х
X 0VW - Д0ЯЬе(1£>0Яь V'ЧЧф' - 2 ( Rabed - НаЬкНыл) х
X D'H^fdW^} щ- /2i J d*xDllHabeD,lHabe, (2.4)
можно заключить, что имеются лишь две различные фоновые
структуры (©1 и ©г), дающие вклады в Р-функцию, причем соот-
68

%
и)--
(R+H2+eDH)dc/> /' N (/?+нг+едн)д<р ен / ч еН
*(?-е)(ду)2
ен г\ ен
Ч':
Рис. 2.1. Двухпетлевые диаграммы в суперспмметрпчной двумерной НСМ,
определяющие вклады фермпопов в двухпетлевую ^-функцию.
ветствующие ^-зависимые коэффициенты перед ними (и 1\) в
сумме дают
1_ г —л _ _\_
2d + Ad 4'
1 , 10 — Id , rf-2 5^ ,„r,
l&Z + 18d + ~Ad 36 * ^,0>
d-Зависимость полностью сокращается в (2.5) и, следовательно,
после вычитания подрасходимостей из 1\ вообще не будет
1/е-расходимостей! Таким образом, двухпетлевой вклад в
суперсимметричную р-функцию исчезает [289, 435].
Отметим, что предписание СРР соответствует ХВБ-пред-
писанию.
Обратимся теперь к вычислению двухпетлевой р-функции
суперсимметричной НСМ в суперпространстве [289]. Снова
вернемся к диаграммам на рис. 1.2, но уже в суперполевой
интерпретации. В частности, вклады супердиаграмм <Xs, fs, 6s, 8s и £s
можно получить из соответствующих бозонных вкладов заменой
(1.20). т]в-Диаграмма также соответствует по результату бозон-
ному Tj-аналогу, но уже без ш (d) -фактора, что означает, таким
образом, отсутствие tjs-вклада в р-функцию после вычитания
подрасходимостей. Поэтому вычет при двойном полюсе получается
таким же, как и в бозонпом случае. Отличия в вычислениях
связаны с Ре-диаграммами. Так, первой р-диаграмме на рис. 1.3 в
суперсимметричном случае отвечает интеграл
<*Vdg - i{Pafi + m6ap) + б2 (9) [р2бар - т?ар - 2т2бав]
(2л)2* ° (р2 - т2) (92 - т2) ([р + q? - т2) ' ^°'
поскольку нетрудно убедиться с использованием (1.15) и (1.27),
что экспоненциальные факторы сокращаются в силу сохранения
импульса при вершинах. В результате находим
Р* = _ Т" J ^zRaib^R^Dq,0 (1 + v3) ОцГ. (2.7)
I

Аналогично
Ps2 = —^f- [vzWH^ZDir*'. (2.8)
В итоге /га2//-расходимости сокращаются между собой, а после
вычитания подрасходимостей из квадрата тэдпола 1/е-расходи-
мости также отсутствуют. Следовательно, обнаруживаем
согласие с компонентными вычислениями в том, что касается
исчезновения двухпетлевого вклада в ^-функцию суперсимметричной
НСМ. Обобщенные полюсные РГ уравнения работают здесь так
же, как и в бозонном случае, связывая однопетлевую р-функцию
и двухпетлевые 1/е2-расходимости.
В частности, отсутствует двухпетлевой вклад в
перенормировку константы связи метрики в двумерной суперсимметричной
ВЗВ-модели.
2.2.3. Трехпетлевые вычисления
Все топологически неэквивалентные суперграфы трехпетлево-
го уровня изображены на рис. 1.4 (фоново-зависимые вершины
должны быть присоединены всеми возможными способами). При
этом необходимо учитывать возможность однократного или
двукратного присутствия двухточечной вставки в любом из пропа-
гаторов.
Классификация всевозможных расходящихся суперграфов
основана на факте перенормируемости суперсимметричной НСМ с
обобщенным ВЗВ-членом. Поэтому аналогично бозонному случаю
можно различать четыре ситуации: (а) — (г) (см. разд. 1.3.3).
1з-Зависимость_в суперграфах устраняется с использованием
свойств Ys = 1 и D^sD = 0. Чтобы получить неисчезающий вклад,
необходимо соответствие Д2-фактора каждой петле. В результате
выполнения Д-алгебры эффективно устраняется Д-структура,
и нам остаются стандартные интегралы в импульсном
пространстве.
Для вычисления Р-функции существенны лишь 1/е-расходи-
мости, поэтому 1/е2- и 1/е3-расходимости систематически
игнорируются. В частности, любой суперграф с топологией рис. 1.4, а —
д можно не учитывать. Всякий раз, когда в вычислениях
возникает тэдпол («лепесток»), такую диаграмму можно опустить при
вычислении р-функции, поскольку после вычитания
подрасходимостей трехпетлевая супердиаграмма с лепестком приводит лишь
к 1/е3-расходимостлм.
Расходимости суперграфов типа «арбуз» на рис. 1.4, в
сокращаются в суперсимметричном случае, поскольку элементарным
образом с помощью интегрирования по частям и СРР приводятся
к «цветку» без d-зависимого фактора и, следовательно, лишь к
1/е3-расходимостям. Этот результат распространяется на любую
Z-петлевую супердиаграмму типа «арбуз».
70

<?•*
Рис. 2.2. Трехпетлевые суперграфы, / /„v \ \
содержащие 1/е-расходимостп после \/° д\]
вычитаний подрасходпмостен. X **У
4ч1
Двухточечные вставки не требуют независимого
рассмотрения, потому что Д2-факторы на пропагаторах, связанных со
вставкой, после интегрирования по частям и использования тождества
(D2)2 = — D сокращают один из пропагаторов.
Остаются суперграфы типа е, ж и з на рис. 1.4. Каждый
конкретный трехпетлевой суперграф с заданными вершинами и
внешними линиями должен быть рассмотрен индивидуально.
«Опасные» структуры в импульсном пространстве, приводящие к 1/е-
расходимостям и» следовательно, к неисчезающим вкладам в
(J-функцию,— это диаграммы на рис. 2.2.
Непосредственный анализ суперграфов после выполнения
D-алгебры позволяет сделать три утверждения:
— интегрирование по частям в суперграфах типа з на рис. 1.4
либо создает тэдпол, либо сокращает один из пропагаторов и
таким образом приводит з к е;
— результатом выполнения D-алгебры и интегрирования по
частям в суперграфах типа ж рис. 1.4 является либо тэдпол,
либо сокращение одного из пропагаторов между двумя однопетле-
выми вставками. Следовательно, ж также сводится к е, при этом
«опасный» член б на рис. 2.2 не возникает;
— все суперграфы типа е фактически сводятся к «арбузам»
(см. рис. 1.4, в) с точностью до тэдполов, при этом структура а
на рис. 2.2 не возникает.
Итог можно схематически представить как редукцию на
рис. 1.4:
ж, з -*■ е; е -*■ а, б; в, г, д -*■ а; б-*- а. (2.9)
Таким образом, мы можем заключить, что трехпетлевой вклад
в суперсимметричную р-функцию с кручением фактически
исчезает [445, 446], что обобщает известный результат [447],
полученный для двумерной метрической N = \ суперсимметричной
НСМ (без кручения). Этот результат справедлив благодаря
присутствию трехточечных квантовых вершин в существенных
суперграфах е, ж и з на рис. 1.4 и поэтому не обобщается на высшие
порядки квантовой теории возмущений (см. следующий раздел).
В силу отсутствия двух- и трехпетлевых вкладов в
суперсимметричную ^-функцию нелинейные iV = 1 суперсимметричные
НСМ на обобщенных риччи-плоских многообразиях (Яаъ = 0)
конечны в трехпетлевом приближении [445].
©
71

Принимая во внимание соответствие между
низкоэнергетическим струнным ЭД для безмассовых мод и о-модельными
суперсимметричными ^-функциями, обнаруживаем совместность между
исчезновением трехпетлевого вклада в Р-функцию для iV = 1
суперсимметричной двумерной НСМ с кручением и отсутствием
&6-членов в трехточечных древесных струнных амплитудах
рассеяния для замкнутых гетеротических струн и суперструн типа II.
Отсутствие кубичных по кривизне членов в суперструнном
низкоэнергетическом ЭД доказано Р. Р. Мецаевым и А. А. Цейтлиным
[348], исходя из известных трех- и четырехточечных древесных
амплитуд в гетеротической и типа II суперструнных теориях.
Полученные нами результаты для .{^функций суперсимметричных
НСМ согласуются с обсуждением ограничений на
суперсимметричные контрчлены в [448].
2.3. ЧЕТЫРЕХПЕТЛЕВЫЕ РАСХОДИМОСТИ
N = 1 СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
СИГМА-МОДЕЛЕЙ С ЧЛЕНОМ ВЕССА — ЗУМИНО — ВИТТЕНА
2.3.1. Приведение четырехпетлевых суперграфов
Все топологически неэквивалентные четырехпетлевые
диаграммы схематически изображены на рис. 2.3 и 2.4. При сравнении
с анализом Грисару, ван де Вена и Занон [281, 282] для
метрического случая (без кручения) обнаруживается ряд новых
диаграмм: д, з — л на рис. 2.3 п г — к на рис. 2.4, связанных с
неисчезающим кручением.
На основании размерных соображений и перенормируемости
можно игнорировать любой вклад с более чем двумя спинорными
производными на внешних линиях и, конечно, все такие члены,
возникающие при интегрировании по частям.
Поскольку для вычисления ^-функции существенны лишь
l/e-расходимости, можно систематически исключать из
рассмотрения на любом этапе вычисления все диаграммы с «лепестками»,
в которых по меньшей мере один пропагатор «начинается» и
«заканчивается» при одной вершине. Любая 4-петлевая
диаграмма с «лепестком» отождествляется поэтому с «цветком» на
рис. 2.3, а.
Логарифмически расходящиеся графы (одна вершина типа
П(п'2> или Ein-2\ все другие типа П(*'0> и/или £(т'0> (категория а),
или две вершины типа П(п1> и/или £(п1>, все другие типа П(к0)
и/или Е1т-0> (категория б)) будут обозначаться ниже как
(Ар)2-диаграммы; линейно расходящиеся графы (одна вершина
типа П(п1> или Еыл\ все другие типа П(*'0> и/или £(т.°>
(категория в))—как (£>ф)'-диаграммы; квадратично расходящиеся
графы (все вершины типа П("0> и/или Elh-0) (категория г))—как
(Дф) "-диаграммы в соответствии с числом спипорных
производных в исходной супердиаграмме. Подчеркнем, что эта классифи-
72

^
\xs
Рис. 2.3. Схема првведевия УФ-расходимостей четырехпетлевых суперграфов
в N = i двумерной НСМ с кручением: диаграммы, несущественные для
вычисления ^-функции.
нация относится к исходным суперграфам (до интегрирования
по частям) и не имеет отношения к стандартной классификации
по индексу (индекс расходимости одинаков для всех диаграмм).
Для чисто метрической N = I суперсимметричной НСМ все
4-петлевые вклады в В-функцию пропорциональны одному
расходящемуся интегралу [281, 282]:
Г ^kddqddrcfit
k.(t-k)g-(t-q)
(2л)
id
A2 (t - А)У (t - qf (г2 + ц2) [(t - г)2 + ,х2]
(3.1)
73

/ •\
/ *\_/ «\
/ • V*./' \^/' \
Рис. 2.4. Схема приведения УФ-расходимостей четырехпет левых
суперграфов в iV = 1 двумерной НСМ с кручением: диаграммы, определяющие че-
тырехпетлевой вклад в ^-функцию.
который после вычитания подрасходимостеи принимает вид
А ~_1_ГШ 1_1
4~(4л)Ч е 6e*J
(3.2)
и соответствует импульсной диаграмме на рис. 2.5.
Этот результат может быть расширен на общий случай iV = 1
суперсимметричной НСМ с учетом кручения [432, 433]. После
выполнения ^-алгебры все диаграммы на рис. 2.3 приводятся к
диаграммам с «лепестками» и, следовательно, к «цветку» на
рис. 2.3, а. Поэтому все эти диаграммы несущественны для
вычисления ^-функции. Наоборот, диаграммы, изображенные на
рис. 2.4, приводятся к единственной диаграмме на рис. 2.4, а и
в силу (3.2) дают вклады в р-функцию.
Доказательство проводится следующим образом. Каждая
диаграмма на рис. 2.3 и 2.4 фактически генерирует набор
суперграфов с учетом спецификации вершин и производных на
внутренних линиях. Каждый суперграф следует рассмотреть отдельно,
поскольку процедура редукции оказывается весьма
индивидуальной. Далее интегрирование по частям используется для
выполнения ^-алгебры. Для неисчезающего результата (после
интегрирования по 0) необходимы Д2-фактор на каждую петлю (Z)8 для
всей 4-петлевой диаграммы) и отсутствие «лишних» Д-производ-
Рис. 2.5. Структура единственной неприводимой чотырех-
петлевой диаграммы, существенной для вычисления
суперсимметричной ^-функции.

ных в конце вычисления. Для сокращения числа спинорных
производных на внутренней линии полезны тождества, с
использованием которых число этих производных на данной линии можно
всегда редуцировать не более чем к двум,
D^G (zlt z2) = - idl\D^K (z„ z2),
tfiDfa (z„ z2) = [- Cap □ + idllD2] К (z„ z2),
D'jDfa (Zl, z2) = [tdx4 + C^D*] К(zlt z2),
D*G (zlt z2) B □ К (z„ z2) = -1- 6* (Zl, z2), (3.3)
где
G = D*K=-!TD* П_1б4(z„z2). (3.4)
Выполним ZJ-алгебру для каждой из диаграмм на рис. 2.3 и
2.4, сводя таким образом общее число спинорных производных до
Da, после чего интегрируем по 9-переменным. В полученном
выражении (1>ф)2-типа интегрируем по частям ^-производные так,
чтобы сформировать оператор Е на различных внутренних
линиях, т. е. чтобы стянуть в точку (в ^-пространстве)
максимальное число пропагаторов, редуцируя диаграмму к более простым.
Окончательный итог этих вычислений схематически указан на
рис. 2.3 и 2.4 стрелками. Одиночная линия указывает, куда
редуцируется данная диаграмма после стягивания пропагатора,
помеченного одной чертой, двойная — после стягивания пропагатора,
помеченного двумя чертами, и т. д. Из рисунков видно, что все
диаграммы рис. 2.3 сводятся к «цветку» и, таким образом, не
дают вклада в ^-функцию, в то время как диаграммы рис. 2.4
сводятся к a-диаграмме, и, следовательно, все расходимости
диаграмм рис. 2.4 пропорциональны единственному расходящемуся
интегралу At.
Для вычисления р-функции существенны лишь вершины не
более чем четвертого порядка по квантовым полям. Поэтому
явных формул разд. 2.1 достаточно для фактического вычисления
Р-функции. Подробности вычислений могут быть найдены в [343].
Мы доказали также, что четырехпетлевой вклад в р-функцию
суперсимметричной НСМ с кручением пропорционален £(3) в
согласии с низкоэнергетическим разложением древесных
суперструнных амплитуд, обобщает результаты [449, 450] и
согласуется с рассмотрением четырехпетлевых УФ-расходимостей в
N~= 2 суперсимметричных закручепных НСМ [451].
2.3.2. Фоновая зависимость четырехпетлевой
суперсимметричной бета-функции на групповом многообразии
Вычисление явной фоновой зависимости четырехпетлевой
Р-функции для N = \ суперсимметричной НСМ общего вида с
кручением требует нахождения нескольких сотен контрчленов,
75

3,1
n
n1-'
кЗ
in'-'
Л1
aZ
лЗ
л4
Рис. 2.6. Суперграфы, определяющие четырехпетлевую ^-функцию N = 1 су-
нерсимметричной двумерной модели Весса — Зумино — Впттепа на
групповом многообразии.
что вряд ли возможно с помощью «ручных» вычислений. Поэтому
мы ограничимся лишь вычислением вкладов из логарифмически
расходящихся суперграфов (Дф)2-типа, определяющих вклады в
Р-функцию, не содержащие производных от кривизны и
кручения. Возможно, что эти частные результаты могут даже
оказаться достаточными для нахождения остальных членов в (J-функцпи,
содержащих производные, если по ним можно будет восстановить
ЭД, тогда соответствующие уравнения движения определят
полную Р-функцию. Для групповых многообразий наши вычисления
Р-функции являются точными.
76

Все логарифмические расходящиеся диаграммы,
определяющие вклады в В-функцию, зависящие от В и Н (без производных
от них), изображены на рис. 2.6. Соответствующие вклады в Bir
функцию на групповом о-модельном многообразии имеют вид
[433] (с общим множителем Я6£(3)/24(4я)4)
а1 = -П?г%*р{№)?(№)г\
а2 = - iRFRf^HvtH'khilPb,
аЗ = — R\ Rj Н,кт ffl2)q Hphn
a4=- Шьг%™Нт(Н*)ыН(гь,
61 = 4 \Rir%nh - 2RirhsRj9ph] Н,Р*НШ (Я%,
62 = 2RihsrR}spqH\gHthp(H*)tr,
era nn rhs'n РфПгт Пгт trj Лгт
«i = -2Rihjiigp,m'uirp,
zl=- (2/32) [(19^*"+ bRirh') R}9pn +
+ (l6i?irs — 17R{ s) Rj J Hsn Hmh Hhq Htrp,
*2 = - (2/32) [- 10i?ijrh - 32Д»8Г] Rkph (Я4)г,р*,
dl = - (1/22) RtT%shpRmnqhHmnpHqhr,
д2 = - (1/23) R^R^R^Hn^H^,
дЗ == (1/22) RfrtR}hp9RV9mnHmnHtrl,
„* ^ r0nbn nrngn . 0"Ь С"")*Ъ ""Ч D 1 «7 РЛгт
ei = -g" [o/ti /tj /ispgft + Z/t{ rtj «„ftp,] Ilm nnrh,
e2 = - 2Ril°r)%pqhRmpqnHsmhH\n,
e3 = 4 [ ^^'Й,." - Й,(Й)ГЙЛ1 ^рпГфД»*,
ж1 = (1/(33-22)) [(4Д/" - 35ЯГ"8) Д/тп +
+ (- 125Д?" + 88/?Г"8) ИГ"] RkVhqHhinnPrm,
Ж2 = -J [3 (i?lrh ^jpsg — R'tkr Rjgtp) R —
- {5RiAM + 5Rinr%sM + WiAJ Rhqmn] ЯгтЛЯЛрп,
ul + u3 + nl + л1 = - 2>RihhmRirtm (RkgerRt98h + RhgstRhrsq),
*5 + а6 + д4 + жЗ = - 2*%(кг)3Пьр,,9(1Птк,
д5 + ж4 = - 23Ri(hr)sRmlpn)9HhqtHinhHhmsHSpr,
дб = - %(кг)^тр9ПНртк (Я2)г,Я8п„
77

кЗ + л2 = -g- /?i г ji?h pn mRr(P,) HhtmHn ,
и2 = (2«/3) [ЯттЯтт}Яд^Я9Ш - ^™Ят(Л°ЛЛДГ -
к2 = (22/3)Я{(*г);Яв(,юлЯ9<тр)ЛЯгР<Я'8т,
ло = -g- Л{ j-ttph ллв птщп г,
^ = (1/23)Й{("г);-Дрт8'Д8<ЛпЯртйЯпЛг, (3.5)
где использованы ограничения
2)hRmnpq = 3)hHmnp = Hjm[nH И] = 0, (3.6)
справедливые для группового многообразия. В (3.5) круглые
скобки в индексах обозначают симметризацию индексов с
единичным весом. Иногда мы используем сокращенную запись:
Я 4 ттгп ттп rjh rjj
hqtr = п hn" qhn Ц™ гто>
Hkq = Ни Hqmn, Я2 = НаъсН . (3.7)
В отсутствие кручения (НаЬс = 0) полученные нами
результаты совпадают с [282]. С учетом кручения все контрчлены
содержат по меньшей мере один фактор Я, что обеспечивает конечность
теории (в 4-петлево1£ приближении) при условии Я„ь«1 = 0.
Сумма RH6- и ЯЯЯ4-членов (55, 56 и 94, жЪ — графы на
рис. 2.6 соответственно) «случайно» приводит лишь к Я2Я4-чле-
нам в результате. Интересно, что все вклады в
антисимметричную часть^р-функции содержат по меньшей мере два Я-фактора:
RRH*- и ЯЯ2Я2-члены, взятые вместе, объединяются в R2RIP-
члены. При ограничении на групповые многообразия
антисимметричная часть (1-функции исчезает.
Общая структура 4-петлевой Р-функции при ограничениях
(3.6) имеет вид
tff ~ ЯД- (Я*) + R{R}R(IP) + RiR}R(H*) + Ri..pR(H*) +
+ Й,..,Д(Я«) + Ru.j(R*)(IP) + Д,Д#,(#») + (R2)HXH}{H*) +
+ RiRRH5H + (Я2) RHXH} + RiR} (Я2) + ...,
pjf ~ Ы}(Н*) + RiRHjiH*) + (R2)HxH}m + RJljRilP) +
+ RiRRHjH + (R^RHtHj + RiRjR(Я2) + RiRj(R2) + ..., (3.8)
где схематически указана зависимость от обобщенной кривизны
Я, обычной кривизны Я (без кручения) и кручения Я с
указанием положения свободных индексов.
78

Для ВЗВ-модели на групповом многообразии контрчлены (3.5)
приводятся к виду
al = 4 (1 - ri2)W6y,
а2 = j-al, аЗ = а4 = — 2al, 61 = 62 = 63 = al,
el = Ш, г1=Щ- al, z2 = Щ-al,
а5 + а6 + д4 + жЗ = 16a7,
dl=^(i-rffrfQ*6ih
63 = -dl, 64 = 261, el = 1861, e2 = 3461,
e3 ^61, ж1= -1%-dl, ж2 = ±61,
лЗ = {\-т?)ч*(?Ьц,
2 2 1
л2 + кЗ = —g- лЗ, к2 = — -д- лЗ, л4= -г лЗ,
S6=2(l-r\2)r\iQ%j,
д5 + ж4 = 466,
и2 = ^-(1- ti2)2^46y, ul + иЗ + к1 + л1 = - 4| и2. (3.9)
Все другие диаграммы не дают вклада в перенормировку
константы связи ВЗВ-модели. Суммируя все вклады, находим [452]
27 (4л)4
(3.10)
где
до = 18, 92 = 94/3, ?4 = 319, ge = -289. (3.11)
Низкоэнергетическое ЭД в гравитационном секторе имеет
вид [450]
5 = | &\ V} [- R + j I (3) (a')3 ( RhmnkRPmnqRhrspB9r.h +
+ \ RhkmnRPqmnRhrspriqrsh)\ + О (a'4) (3.12)
Ло модулю неоднозначных риччи-завпсимых членов в высших
порядках. Формула (3.12) согласуется со струнной S-матрицей для
Древесных амплитуд рассеяния гравитонов в теории замкнутых
суперструн [449].
С учетом антисимметричного тензора (кручения) построение
ЭД представляется чрезвычайно сложной задачей. Поэтому мы
ограничимся лишь общими замечаниями, проливающими свет на
структуру этого действия [433].
79
& = - Т? <4 - Ч1) - V^V (1 - Ч2) 1«о + М* + 94Л1 + qrfl

Во-первых, с учетом предполагаемой эквивалентности между
о-модельным подходом, основанпым на вычислении р-функцпй,
и струнными амплитудами рассеяния безмассовых мод по
отношению к построению ЭД можно воспользоваться известным
фактом, что DH-члепы входят в ЭД в минимальной форме [453, 454]:
Rabcd -*~ Rabcd = Rabcd "Г DJlabi — DiHabc- (3.13)
Во-вторых, известные члены в эффективном действии не
содержат явно производных от кривизны [450]. Поэтому если
предположить, что все члены с производными могут быть
абсорбированы в обобщенную кривизну, то структура (а')3-поправки в
эффективное суперструнное действие имеет вид
S = jV°<p Vg[-R + 4я2(а')3С(3)[(Й)4 + (Й)3(Я)2]}, (3.14)
где (Д)4-члены получаются из (3.12) заменой 7?оЬс<1 -»- Rabat,
а (/?)3(Я)2-члены содержат девять независимых структур.
(7?)2(#)4-члены необходимо отсутствуют в (3.14), поскольку
иначе Д(Я)6-члены неизбежно появляются в Р-функции.
2.3.3. Квантовые неоднозначности п противоречивость
(суперсимметричной) размерной регуляризации
посредством размерной редукции на чётырехпетлевом уровне
В связи с редукцией 4-петлевых суперграфов, изображенной
на рис. 2.3 и 2.4, следует остановиться на квантовых
неоднозначностях, связанных с этим процессом: некоторые вклады в р-функ-
цию оказываются зависимыми от порядка вычислений, т. е. от
выбора схемы перенормировки [433].
Мы обнаруживаем два типа неоднозначностей в рамках
суперсимметричной размерной регуляризации посредством размерной
редукции (СРР) и ренормалвзационного предписания для
вычисления расходимостей, принятого нами (graph-by-graph prescription
[281, 282]). «Плохо определенные» диаграммы указаны на
рис. 2.7.
«Стандартное» ренормализационное предписание для
вычисления многопетлевых расходимостей состоит в следующем: вся
Д-алгебра для данного суперграфа выполняется в d = 2, далее
результирующие импульсные интегралы регуляризуются переходом
в размерность d. Для устранения подрасходимостей применяется
схема минимальных вычитаний. Мы использовали несколько
более удобный метод вычитания подрасходимостей [282]: после
выполнения Д-алгебры с использованием (3.3) на отдельных
внутренних линиях интегрируем по частям d-производные и
приводим данную диаграмму к базовым диаграммам, причем
минимальные вычитания применяются лишь к последним. В трехпет-
левом приближении для суперсимметричной НСМ обе процедуры
приводят к одинаковым результатам. В бозонном случае различия
начинаются с трехпетлевого уровня (см. разд. 1.3).
80

Pi. с. 2.7. Суперграфы, ответственные за квантовые неоднозначности в {5-фупк-
циях НСМ с кручением на четырехпетлевом уровне.
Первый тип четырехлетлевых неоднозначностей в
суперсимметричной НСМ с обобщенным ВЗВ-членом связан с
зависимостью р-функции от выбора ренормализационной процедуры
(вычитания могут производиться либо в исходных импульсных
интегралах, либо в базовых интегралах, получающихся
интегрированием по частям). Эти неоднозначности хорошо исследованы
[299, 319—323] и накрываются неоднозначностями, связанными
с переопределениями метрики и антисимметричного тензора.
В качестве примера неоднозначностей первого типа
рассмотрим диаграмму к2 на рис. 2.6 с расположением спинорных
производных, показанным па рис. 2.7, а. После интегрирования по
частям спинорных производных, как показано на рис. 2,8, а,
получаем исчезающий вклад в ^-функцию. Фактически, как нетрудно
убедиться, каждый граф с правой стороны рис. 2.8, а не содержит
1/е-расходимостей. Однако, выполняя Д-алгебру и интегрируя по
частям 3-производные, как показано на рис. 2.8, б, получаем не-
нечезающнй вклад ~Аь, что явным образом демонстрирует
зависимость ^-функции от выбора ренормализационного предписания.
Вычисление согласно рис. 2.8, а соответствует «стандартному»
Рис. 2.8. Пример квантовой неоднозначности, связанной с зависимостью
^-функции от выбора ренормализационного предписания и устранимой
переопределением метрики и кручения.
6
С. в. Кетов
81

*57e/ \1Я* Рис' ^S' Происхождение
1Ьг(Ь)1ж0, Г/ \ I **At квантовых неоднознач-
|у vi ♦ востей, связанных с fj-
зависимостью.
предписанию, поскольку мы интегрировали по частям лишь оли-
норные производные, тогда как вычисление согласно рис. 2.8, б
•соответствует «graph-by-graph» предписанию и использует
интегрирование по частям д-лронзводных.
Аналогичное рассмотрение может быть проведено и для
диаграммы рис. 2.7, б. Нетрудно убедиться, что фоновая зависимость
этих диаграмм имеет структуру Riabflab(R, H) и может быть
устранена из В-функции переопределением g и h.
В четырехпетлевом приближении с учетом кручения (или
7з-зависимости) возникают неоднозначности и другого типа
(графы в — и на рис. 2.7) [433]. Они исчезают после формальной за-
лены (v3)a -*■ ба и приводят к противоречивости СРР.
Можно либо выполнить .О-алгебру с -уз-матрицами, не
связанными друг с другом контракцией индексов, тогда для любого
зклада в В-функцию из диаграмм рис. 2.7, в — и будет множитель
[tr(f3)]2, либо интегрировать по частям D-производные с целью
достижения tr(?|) в первую очередь. В итоге 1/е-расходимости
в обоих случаях оказываются разными (рис. 2.9). Это
заключение остается справедливым и в рамках СРР с минимальной
схемой вычитаний.
В качестве примера рассмотрим диаграмму со структурой
производных, изображенной слева на рис. 2.10. После
интегрирования по частям спинорных производных и коммутирования
Чз-матриц диаграмма с ^матрицами (слева) сводится к той же
диаграмме, но без ^з-матриц (справа). Вычисляя диаграмму слева
в последовательности, указанной на рис. 2.11, получим нулевой
результат. Проделав те же самые вычисления для диаграммы на
рис. 2.10 справа, находим, что ее расходимость пропорциональна
At и, следовательно, имеется ненулевой вклад в В-функцию.
Отметим, что преобразование, представленное на рис. 2.10, было
получено интегрированием по частям лишь ^-производных и
применением f-алгебры в d = 2, т. е. верно также в рамках
«стандартного» ренормализационного предписания. Вычисление этих
диаграмм с использованием обычной процедуры минимальных
Рис. 2.10. Иллюстрация противоречивости СРР в двумерных N = 1 НСМ с
кручением: пример вычисления четырехпетлевой диаграммы, приводящей
к неисчезающему вкладу в ^-функцию.
82

Рис. 2.11. Иллюстрация противоречивости СРР в двумерных N = 1 НСМ с
кручением: пример вычисления этой же (рис. 2.10) четырехпетлевой
диаграммы, приводящей к исчезающему вкладу в ^-функцию.
вычитаний приводит к другим результатам. Нетрудно убедиться,,
что различия исчезают, если заменить Тз~*"И в исходной
диаграмме. То же верно для оставшихся графов на рис. 2.7.
Неоднозначности второго типа также накрываются переопределениями,
связанными с переопределениями полей, что делает их
несущественными в струнном контексте.
Интерпретируем эти наблюдения как проявление
противоречивости СРР в двумерной суперсимметричной НСМ с кручением
на четырехпетлевом уровне. Аналогичная противоречивость СРР
была отмечена ранее в контексте четырехмерных
суперсимметричных полевых теорий [455—457]. Значение наших результатов в
этой связи основывается на указании явных примеров
реализации этой противоречивости в двумерной квантовой полевой,
теории.
2.4. КОМПАКТИФИКАЦИЯ СУПЕРСТРУН
НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Стандартные теории сулерструн могут быть сформулированы
лишь в десятимерном пространстве-времени, которое имеет
критическую размерность для суперструн. Чтобы быть реалистичной,,
такая теория должна обеспечить удовлетворительную
феноменологию в четырехмерном пространстве-времени, в частности
предсказать известные поколения кварков и лептонов. Поэтому в
рамках стандартной калуца-клейновской идеологии [130—134]
вакуумное состояние должно быть произведением
четырехмерного пространства Минковского М и компактного шестимерного
многообразия К. В этой связи центральной проблемой является
выбор К.
До недавнего времени, в основном благодаря замечательной
статье Кандиласа, Горовица, Штремингера и Виттена [245],
считалось, что в качестве К следует рассматривать шестимерные
6*
83

многообразия Калаби — Яу [358—460], т. е. келеровы, риччи-
ллоские пространства с SU (З)-голономией. Многообразия
Калаби — Яу в этой связи естественным образом возникают из
требования сохранения N = I суперсимметрии в результате
компактнфнкацнн из d = 10 в d = 4 [245]. Требование сохранения N = 1
суперсимметрии по существу не является обязательным, но
весьма желательно в d = 4, поскольку суперсимметрия в теории
имеет большую предсказательную силу и помогает решить проблему
калибровочных иерархий. Уместно напомнить, что существуют
вполне удовлетворительные суперсимметричные схемы большого
объединения [78]. Наиболее последовательный подход к
рассмотрению компактнфнкацнн, по-видимому, должен исходить из
эффективного действия для безмассовых мод суперструны,
полученного в результате интегрирования по всем массивным модам,
и соответствующих уравнений движения. Ввиду чрезвычайной
сложности получения этих уравнений, равно как и ожидаемой
сложности самих уравнений, включающих члены произвольного
порядка по производным, вместо того чтобы изучать их решения,
можно рассмотреть ограничения на возможные компактифика-
ции, возникающие из требования самосогласованности теории
(конформной инвариантности, конечности и т. д.) [461—464].
Таким образом, возникает проблема построения таких фоновых
конфигураций безмассовых мод струны или суперструны
(гравитона, антисимметричного тензора, дилатона и т. д.), которые
допускают построение непротиворечивой теории струн или
суперструн. Поскольку фоновые поля содержатся в спектре (супер)-
струны, можно считать, что они суть вакуумный конденсат
возбуждений (сулер) струны.
Для целей компактификации удобно исходить из
формулировки теории струн или суперструн в калибровке светового конуса.
Тогда, например, действие бозонной замкнутой струны в
искривленном фоновом пространстве-времени со структурой М X К
фактически представляет собой нелинейную двумерную а-модель,
в которой двумерные координаты а-модели играют роль
координат мирового листа струны, а касательным пространством
а-модели является компактное многообразие К. С учетом
вакуумного конденсата антисимметричного тензора, присутствующего в
супермультиплете D = 10 супергравитации, следует рассмотреть
двумерную а-модель с кручением или с обобщенным ВЗВ-членом.
Для изучения компактнфнкацнн суперструн в
рассматриваемом подходе нужно исходить из подходящим образом суперсим-
метризованного действия в калибровке светового конуса либо в
формализме Неве — Шварца — Района, либо в формализме
Грина — Шварца с учетом нетривиального фона. Вообще говоря, эти
два подхода неэквивалентны, однако можно показать, что в
искривленном фоновом пространстве-времени с кручением и
SU (З)-голономией обе версии теории совпадают [463, 464] (при
этом имеется в виду эквивалентность в классическом смысле:
вопрос о квантовой эквивалентности заслуживает специального
84

изучения, поскольку преобразование одной версии в другую
может привести к нетривиальному якобиану в функциональном
интеграле и, таким образом, к возникновению аномалии и т. д.).
Источник различия обеих формулировок в калибровке
светового конуса заключается в использовании различных
представлений SO(8) для фермиевских степеней свободы. Эквивалентность
является следствием того факта, что корневая диаграмма Дын-
кина для SO (8) имеет нетривиальные автоморфизмы, известные
как тройственная симметрия: SO(8) имеет два неэквивалентных
8-компонентных спинорных представления — 8, и 8С
(используемых в формулировке Грина — Шварца) й 8-компонентное
векторное представление (используемое в формулировке Неве —
Шварца— Рамона), которые взаимосвязаны указанными
автоморфизмами. Отметим также, что относительно SU(3) -подгруппы SO (8)
как спннорные, так и векторные_ представления разлагаются
одинаковым образом: 8 = 1 + 1 + 3 + 3. В случае гетеротической
струны нетрудно ввести в рассмотрение также фоновые
калибровочные поля Янга — Миллса, если использовать двумерные НСМ
общего вида с (1, 0) или (2, 0) суперсимметрией (см. гл. 4).
Из требования конформной инвариантности теорий струн или
суперструн немедленно следует условие ультрафиолетовой
конечности соответствующей о-модели, т. е. условие равенства нулю
обобщенной р-функции. Для многообразий Калаби — Яу кручение
отсутствует, так что ^-функция обычной нелинейной
суперсимметричной о-модели с метрикой Калаби — Яу должна быть равной
нулю. Поскольку для многообразий Калаби — Яу тензор Риччи
равен нулю, ^-функция с точностью до трех петель включительно
действительно равна нулю, что, как показано выше, справедливо
для любой суперсимметричной риччи-плоской двумерной НСМ
без кручения. Однако в четырехпетлевом приближении, как
показано в предыдущем разделе, имеется ненулевой вклад в (1-функ-
лию для риччи-плоских келеровых суперсимметричных о-моделей,
пропорциональный трансцендентному коэффициенту £(3).
Результаты этих вычислений согласуются с поправками четвертого
порядка по тензору кривизны в эффективное гравитационное
действие для суперструн и гетеротических струн с тем же
коэффициентом £(3), полученными в низкоэнергетическом пределе из
амплитуд рассеяния в теории суперструн (эти поправки могут
рассматриваться как учет интегрирования по массивным модам
суперструны). Поскольку для многообразий Калаби — Яу без
кручения указанные поправки отличны от нуля, такие
многообразия могут не обеспечить точную самосогласованную компакти-
фикацию суперструн. В принципе, однако, нельзя исключить и
такую возможность, что среди многообразий Калаби — Яу есть
такие, для которых четырехпетлевой контрчлен может быть
устранен за счет диффеоморфизмов метрики Калаби — Яу.
Таким образом, имеет смысл рассмотреть возможные
альтернативы компактификациям на многообразиях Калаби — Яу.
Прежде всего заслуживают внимания вакуумные конфигурации
85

с отличным от нуля кручением и, возможно, отличными от нуля
вакуумными копденсатами калибровочных янг-миллсовских
полей и дилатона. Поскольку популярным классом пространств,
обычно используемых для компактификации в теориях типа Ка-
луцы — Клейна, являются однородные пространства [465] и,
в частности, групповые многообразия, естественно обратиться к
рассмотрению этого класса пространств с точки зрения их
использования в качестве вакуума для (супер) струн [466—469].
Для суперсимметричной а-модели в двухпетлевом
приближении существен вклад фермионов в ^-функции, так что при
анализе компактификации суперструн необходимо исходить из
суперсимметричного обобщения нелинейной o-модели на компактном
однородном пространстве G/R. Условие неприводимости,
использованное Люстом и Кастеллани [466, 468], на наш взгляд,
является слишком жестким, поскольку возможны компактификации
через промежуточную размерность, например d = 6. Поэтому
разумно рассмотреть общие свойства компактификации на
однородных пространствах G/R, не уточняя до последнего момента выбор
G и R, потребовав, однако, rank G = rank R из
феноменологических соображений [466, 468].
Генераторы Qa(A =(i, a)= 1, ..., dim G) компактной группы
удобно разделить на две группы: генераторы Qt (i = 1, ..., dim./?),
с одной стороны, и оставшиеся генераторы Qa (a = dimi?+l, ...
..., dim G) — с другой, с коммутационными соотношениями
[Qu Qj] = fijQk, IQi, Qa] = fiaQb,
[Qa,Qb] = fabQi + fabQc, (4.1)
гДв f во — структурные константы G. Напомним, что однородное
пространство G/R называется симметрическим, если
fab = 0, (4.2)
и несимметрическим в противном случае. Пространства G/R,
являющиеся групповыми многообразиями, неприемлемыми для
компактификации, так что поскольку в противном случае
число четырехмерных фермиевских поколений, равное -jlxWI»
где %(К) суть эйлерова характеристика К, равняется нулю (все
групповые многообразия имеют нулевую эйлерову характеристи-
ку) [245].
Удобно идентифицировать начальные буквы латинского
алфавита с индексами касательного пространства а-модели, а не с
мировыми индексами. Тогда на однородном многообразии G/R
существует естественный выбор тензора кручения,
пропорционального структурным константам:
Habe = r\fabc. (4.3)
С учетом (4.3) обобщенный тензор кривизны может быть
выражен через структурные константы и коэффициент х\ следую-
86

щим образом [468, 469]:
Robed = /ow/'cd + у(1 + Л) Ubgfcd + 1 (1 + Л)2 (focgf'db — jadgfcb).
(4.4)
Соответственно, обобщенный тензор Риччи имеет вид
Rob - - /eei/b* - 4 (1 - Л2) /ocd/b0". (4.5)
Ввиду полупростоты G имеется соотношение
2/ocl/b° + facdfb = сбоЬ, (4.6)
где с — константа Казимира присоединенного представления G,
так что
Хь = - 4 сб°ь + 4 (1 + Л2) Ucdhcd- (4.7)
При условии однопетлевой конечности НСМ (для компактя-
фикации бозонной струны) и трехпетлевой конечности
суперсимметричной НСМ (для компактификации суперструны) из (4.7)
следует, что
Ucdfbd = [jfjr\(>ob. (4.8)
В частности, поскольку с Ф О, G/R должно быть
несимметрическим однородным пространством. Согласно (4.6) и (4.8) имеем
'-'"-[та]6* (4в)
Частный случай (т]2 = 1) отвечает групповым многообразиям
с параллелирующим кручением.
В случае компактификации бозонных струн на однородных
несимметрических пространствах, в отличие от
суперсимметричного случая, в двухпетлевом приближении возникают
дополнительные ограничения на структурные константы и параметры
нелинейной о-моделн [469]. С использованием стандартных
тождеств для Rabat и дополнительных в силу (4.4) соотношений
■R[obc]d = #o[bcd] = #[obcd] /[ob/cd]l + — (1 + T])(2 + 1\)hab8fcd]g (4.Ю)
условие исчезания двухпетлевого вклада (1.3.22) в ^-функцию
НСМ сводится в данном случае к одному простому уравнению
Rd(ab)cRf ° + ~2~ RdablHagh" =0. (4.11)
87

С учетом явного выражения для
A<wd = - /<bai/<V + (-^ / VV (4.12)
из (4.11) следует, что
(4.13)
Полученное уравнение (4.13) согласуется с известным фактом
конечности о-моделей на групповых многообразиях (/°м = 0)
с параллелизующим кручением (т]2 = 1). Мы пе обнаружили
каких-либо существенно новых решений уравнения (4.13), что,
вероятно, указывает на невозможность компактификации бозон-
пых струн на однородных пространствах, не являющихся
групповыми. Наше рассмотрение согласуется здесь с аргументами
[470], согласно которым нелинейная о-модель на однородном
пространстве G/R реализует представление алгебры Каца — Муди
в том случае, когда G/R является групповым многообразием.
В заключение этого раздела обратимся к краткому анализу
G/Д-компактификации теории гетеротических струн или
открытых суперструн типа I. В результате вложения группы голоно-
мии Нк в десятимерную калибровочную группу G\o = Е$ X Е% или
Gio = SO (32) d-мерная (ненарушенная) калибровочная
группа Gd является централизатором Нк в бю. При этом, конечно,
под G4 подразумевается промежуточная четырехмерная
симметрия, сохраняющаяся в результате компактификации из d = 10
в d = 4. Конечная калибровочная группа получается в
результате спонтанного нарушения G* за счет ненулевых вакуумных
ожиданий хиггсовских скалярных полей.
Из анализа схем Дынкпна следует, что при компактификации
из d = 10 в d = 6 для групп голономии Нк = 50(4) ^ SU(2) X
X SU(2) или Нк = SU(2) десятимерная янг-миллсовская
группа гетеротической струны E$XEs нарушается до ЕвХЕа или
E^ X Еъ соответственно; при компактификации из d = 10 в d = 4
для групп голономии Нк = SO(&) или Нк = SU(3) десятимерная
янг-миллсовская группа Еа X Е9 нарушается до SO (10) X Es или
Е6 X Е$ соответственно. В случае компактификации гетеротической
струны фактически лишь первый групповой фактор следует
рассматривать в качестве См-группы большого объединения,
поскольку «скрытый» #8-сектор связан с «наблюдаемой» материей лишь
посредством гравитационных взаимодействий. При этом
сохранение четырехмерной локальной суперсимметрии в d = 4
требует келерова риччи-плоского шестимерного компактного
многообразия К с 5С/(3)-голономией, если кручение отсутствует [245].
Однако, как можно показать [462, 463], учет кручения не
влияет на условия сокращения аномалий.
Компактификации d = 10 суперструн в d = 6 на однородном
(негрупповом) пространстве является чрезвычайно ограничи-
88

тельной. С учетом требования rank G = rank R, необходимого для
существования киральных фермионов в d = 6 [466], имеются
рсего три возможности (с группой голономии Нк и эйлеровой
характеристикой %) [468, 469]:
SU%xUW~Cpu' HK = SU(2)xU(l), x = 3;
sumsun-*' ^ = 50(4), х = 4;
SUu%XxSu$ ~S*X S*> HK = U(\)xU(l), x = 4. (4.14)
Все эти пространства являются симметрическими (/0ь' = О),
а первое однородное пространство в (4.14) — даже келеровым.
Однако во всех случаях (4.14) i?oi)#0.
Все неприводимые шестимерные однородные компактные
пространства G/R с rank G = rank R перечислены в [466, 468].
Среди них наиболее интересны несимметрические однородные
пространства
g2 SU SP(4) ....
S£/(3)' U(l)xU(iy S£/(2) x tf (1) ' ^'lo'
которые удовлетворяют (4.8) и (4.9) при г\2 = 5 [468] и имеют
£0 (6)-голономию. Таким образом, согласно нашему
рассмотрению, выбор (4.15) обеспечивает конформную инвариантность
и конечность в трехпетлевом приближении для суперспмметрич-
ного случая. Заметим, что поскольку группа голономии SO (6),
очевидно, не вкладывается в SU(3), нет гарантии классической
эквивалентности действий Грина — Шварца и Неве — Шварца —
Рамона для суперструн в калибровке светового конуса на
нетривиальном фоне. Так как это может стать источником
противоречий в теории, вопрос эквивалентности NSR- и GS-подходов
для конкретных случаев (4.15) заслуживает дополнительного
изучения.
2.5.1/tf-РАЗЛОЖЕНИЕ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ СУПЕРСИММЕТРИЧИОЙ
U(Щ -НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ
И НЕПЕРТУРБАТИВНАЯ НЕСТАБИЛЬНОСТЬ ВАКУУМА
В ПРЕДЕЛЕ ДГ-.-00
2.5.1. Построение лагранжиана модели
Наш подход к изучению квантовых свойств НСМ имеет
существенно пертурбатпвный характер, что связано с
концептуальными и техническими трудностями непертурбативного подхода.
Одним из методов альтернативного рассмотрения является
l/iV-разложение (популярное в квантовой хромодинамике
разложение по числу «цветов» [223, 471]).
Ниже приводим иллюстрацию пекоторых результатов,
полученных с использованием l/iV-разложения и относящихся
89

ж вопросу стабильности вакуумного состояния. Напомним, что
в суперсимметричных теориях гарантируется пертурбативная
стабильность основного суперсимметричного состояния [62], что
делает вопрос о возможной непертурбативной нестабильности
особенно актуальным [472].
Рассмотрим применение метода стационарной фазы к
вычислению производящего функционала функций Грина для
четырехмерной суперсимметричной U(N) -модели [472] и покажем, что
в отличие от соответствующего двумерного случая [473] в
ведущем порядке по 1/N перенормированный потенциал не ограничен
снизу.
Используя стандартные соглашения и обозначения, принятые
в iV = l, d = 4 суперпространстве [374—376], рассмотрим
набор N комплексных правых киральных а-суперполей ^(х, 9)'
и Г(х, 9):
S* {х, 9) = ехр (4" tytf|iY.eJ [Ф'Ф + Цп (*) + х5 (1 _ '?»>QFi <*>]'
Т{ (х, 9) = ехр (4" h^W) [Ф1+ (х) + 9>jec (х) +
+ -TU(l-l<h)QI*+(*)\ (5-1)
где Ф и F — комплексные бозе-поля; \J3« — правый дираковский
спинор; г|)д = -к- (1 + iyb) ур, соответствующий майорановскому
спинору ур; ур" — зарядово сопряженный спинор. Лагранжиан
модели в терминах суперполей выберем в виде
L--tf (DD)1 \S*S + T*T[, (5.2)
где D — ковариантная производная в суперпространстве
Da = д/дОа - 4- №)а д„. (5.3)
В компонентной формулировке лагранжиан (5.2) с точностью
до дивергенции равен
L = дцф+дмр + F+F + -i- i^y^yp. (5.4)
Наложим на теорию условие киральности в явно
суперсимметричной форме
ST.= N/t (5.5)
или в компонентах
ф+ф = N/y, ФР+ + Ф+F = -±-^, (Ф + Ф+)ф _ 0. (5.6)
ГО

После устранения вспомогательных полей, используя
уравнения «движения» для них, получим
L = с^Ф+^Ф + -J- *W*v$ + W <№?- <5'7)
2.5.2. 1/ЛГ-разложение
Производящий функционал для функций Грина
рассматриваемой модели запишем в виде [472]
Z[J, гЦ = V J exp [i J [9ЦФ+9^Ф + F+F + -L фУ^ф +
+ а( — Ф+Ф + N/y) + (х>)Ф + (фх)ф+ + (4 ФФ — ф+^ -
- Ф/"+) р + /+Ф + Ф+/ + щ] d4*] П dOdO+dFdF+d^dxdpda
(5.8)
с граничным условием при Ы -*■ °°
Ф -* (0, 0,..., Ф*}. (5.9)
Предполагается, что интеграл (5.8) регуляризован
посредством обрезания ктах = Л2 в пространстве импульсов, так что
УФ-расходимости отсутствуют.
Выполняя виков поворот и интегрируя по полю F, получаем
Z = Z71 J exp|j [- Ф+ (- □ + a + р2) Ф + тф(*у*0ц — Р)Ф +
+ aN/y + (xty) Ф + (грх) Ф+ + ист! d4z] Д dOdO+dtyd%dpda. (5.10)
После сдвига (к= 1,..., N — 1)
Ф*-Ф*+(-° + а + Р2)-1(Фх) (5.11)
можно проинтегрировать по (iV — 1) компонентам поля Ф и всем
компонентам поля ф. В результате Z запишется в виде
Z = V J" exp {j [- ЛГФ£ (- П + а + р2) Ф* - (N - 1) х
X trln(- □ + а + р2) + aN/y + -у"Х(ф^ + ф&) X
X (47^14 - Р)-1 X (ф* + Ф») + 4"tr ln W9» - Р) +
+ -|-(^-j)tr ln(W* - Р - 2х (- D + р2+ а)-» х) + ист1 d*x\ x
X И d<SN d<$% dx dp da, (5.12)
Удобном для использования метода стационарной фазы.
91

Используя условие стационарности для X '• Хо = 0, получаем
неперенормированную одночастичную плотность потенциала
в виде
V = Ф%(а + р2)Ф* + f -^ In (ft" + а + р2) - а/у -
-4-J(-0-trln(ft,1iv-p>- <5ЛЗ>
Последний член легко вычисляется с точностью до
константы [474]
+ const = ^-\ -^j tr 2 -i- (— А-27^цр)п + const —
= - J^^-^P2*-2)71 + const = - j^iln(l + A-2P2) +const.
(5.14)
Следовательно, после перенормировки константы связи
V'-^ + JsFT- (M5)
можно считать, что в седловой точке
П=|Ф*,с|2(о-с + Рс) - ос/у + f -^ (In (1 + ac/(ft2 + рс2)) - ас//с2).
(5.16)
Однако перенормировка (5Л5) оказывается недостаточной:
интеграл (5.16) логарифмически расходится как
-^М2р*с + °с)/№. (5.17)
Поэтому необходима дополнительная перенормировка
С d*k 2p2 + 0c
1/тр—i/T-j ^i-ic?n?r
(5.18)
с некоторой «мягкой» массой ц, так что окончательно
перенормированный потенциал имеет вид [472]
FC!re„ = | Ф„, I2 (о. + р8) - ас/у + JЦ {in (l + -^) -
°с ^с(2рс2 + ас)|
А2 + 2(А2 + ц2) J' (5Л9)
92

Вычисляя интеграл, находим
Fc,re„ = | Ф*.с |2 (ас + Рс) - ас/7 + ^г fx Pc 1п^7^° +
+ 4-ас(2р2 + ас)In^±^ \-ас {29% - аЛ. (5.20)
Исследование потенциала на экстремум приводит к трем
нетривиальным решениям:
1) Ф*,с = 0, Ос = 0, (р2/16п2)1п(р2/^е) = 1/т;
2) Ф*.с = 0, рс = 0, (6c№n2)\a(6J\i2e) = l/r,
3) | Ojv.d2 = 1/7, Рс + ас = 0, (р2/16п2)1п(р^20 = 1/7- (5.21)
Третье решение после устранения вспомогательных полей
приводит к потенциалу
V(Sen = Рс (1/7 - (pc/32n2) In (p2/^)) (5.22)
и оказывается неустойчивым. Для первых двух решений,
используя уравнение dVCJtJdac = 0, легко находим
F°-™ = з^И" р°41п (р^2е) + 4" р° + Р«'/т}. <523)
откуда следует, что второе решение локально устойчиво. Однако
п целом ветви потенциала направлены вниз: теория не имеет
основного состояния. Отметим, что при определенных условиях
этот недостаток может быть исправлен при наличии
взаимодействия о-полей с калибровочными полями Янга — Миллса [475].
Полученные результаты в достаточной мере иллюстрируют,
что методы, не связанные со стандартной теорией возмущений,
могут приводить к качественно иным результатам. Например,
нарушение суперсимметрии может происходить динамическим
(непертурбативным) образом [476] в случае исчезания
соответствующего индекса Виттена [477, 478].
Глава 3
РАСШИРЕННАЯ СУПЕРСИММЕТРИЯ
И НЕЛИНЕЙНЫЕ СИГМА-МОДЕЛИ
3.1. ГЕОМЕТРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИГМА-ПОЛЕЙ
Этот раздел носит вводный характер и посвящен обсуждению
некоторых геометрических аспектов нелинейных сигма-моделей.
Теоретический интерес к НСМ связан с рядом обстоятельств:
— взаимодействие вводится геометрическим образом как
характеристика отображения (Я = dim M, d = dim N)
<р°(я): хеN-»- <р°е М, ('1.1)
эа

где N описывает многообразие координат, М — внутреннее
многообразие с возможной дополнительной структурой (комплексной
или кватернионной [479], групповой [480]);
— НСМ на однородном пространстве М = GfH описывает
^-симметрию, спонтанно нарушенную до своей подгруппы Н,
и может быть использована для описания эффекта Хиггса
[481—483]. а-Поля преобразуются в этом случае линейно
относительно Н и нелинейно относительно GfH. Таким образом,
а-поля можно рассматривать как хиггеовские (или голдстоунов-
ские) [4, 102]. Взаимодействие о-модели с калибровочными
полями может быть использовано для геометрической
интерпретации происхождения модели Хиггса [475]. «Реалистический»
пример а-модели на E&/SO(10) XSU(3) X U(i), интересный
« точки зрения феноменологии, рассматривался в [484].
НСМ может быть использована и для нарушения дискретных
симметрии [485];
— двумерные НСМ обнаруживают глубокие аналогии с
четырехмерными калибровочными теориями (перенормируемость,
асимптотическая свобода, инстантоны, конфайнмент и т. д.) [224]
и поэтому являются удобной лабораторией для изучения
последних;
— можно ввести локальную калибровочную инвариантность
в НСМ на основе минимальной связи с составными
калибровочными полями [392, 486];
— НСМ полезны для изучения динамического нарушения
суперсимметрии [487], динамической генерации калибровочных
векторных бозонов [240, 241] и масс [488];
— НСМ естественным образом (по суперсимметрии)
возникают в скалярном секторе расширенных супергравитаций и
конформных расширенных супергравитаций [489]. В скалярном
секторе N = 8 супергравитации возникает Ej/SU(8) а-модель
[92], подгруппа SU(8) которой калибрована. Если составные
калибровочные бозоны SU(8) становятся динамическими на
квантовом уровне, то открывается привлекательная возможность
вложить в N = 8 супергравитацию калибровочную группу
минимальной модели SU(3) X577(2) X С/(1);
— НСМ возникают в качестве эффективных теорий в физике
адронов [222—225];
— связь квантовых НСМ с топологией [490]. о-Поля имеют
нетривиальные топологические решения, зависящие при
данном N только от топологии М. Такие решения
естественно рассматривать в евклидовом пространстве-времени,
полагая Фа(х) *• const. Тогда можно перейти к
компактифицированному евклидову пространству-времени (d-мерной сфере Sd)
и классифицировать топологические конфигурации посредством
классов гомотопий па(М), а = 1, ..., d. Наиболее изученные ин-
стантонные решения отвечают па(М) =0 [238] для всех ос за
исключением ос = d, поскольку в этом случае топологический
заряд выражается как интеграл от локальной плотности — d-фор-
94

мы ad, принадлежащей классу когомологий Hd(M, R)
многообразия М:
na(M)=j(od. (1.2>
ga
В наиболее общей форме бозевский лагранжиан о-модели
в d = 2 можно представить в виде
L = 4" Ш (Ф) 5иФ*5V + 4" Л« (Ч>) е^цф'Эуф'. (1.3)
В частном случае главной киральной a-модели на групповом
многообразии M=G действие (1.3) имеет вид
/ = ^j'^tr(^5V1), (1.4)
где g^G. В этом случае ф*— локальные координаты, gu(<p)—
метрика группового многообразия, %2 — константа связи.
Второй член в (1.3) принято называть обобщенным членом
Весса — Зумино — Виттена. Номенклатура связана с тем
фактом, что под собственно членом Весса — Зумино — Виттена
понимается топологический инвариант (в размерности d = 3 в
нашем случае)
"■-«^•—"[«-^«-^J]. (1-5)
В
дополнительный к (1.4), причем дВ = S2. Формулу (1.5) можно
рассматривать как интеграл от замкнутой 3-формы Q. Тогда
связь между (1.5) и вторым членом в (1.3) выражается
локальным соотношением (лемма Пуанкаре) Q = dh, где h —
внешняя 2-форма, ассоциированная с Л«(ф). Поскольку последнее
соотношение лишь локально, действие (1.3) в этом случае
глобально хорошо определено, если коэффициент (Черна — Сай-
монса) п при Г является целым числом. В общем случае, если
bd
<p(Sd)= ^п^ + дВ (1.6>
a=i
суть разложение де Рама, отвечающее (1.1), где na^Z —
гомотопический класс, bd—число Бетти многообразия Л/> {с(а'} —
базис в гомологическом классе Hd(M), то член Весса — Зумино —
Виттена имеет вид
Г) = 2пп \ы}, beZ, (1.7}
в
где {щ} — базис фундаментальных (^+1)-форм в Hd+1(M):
f ^ = Sy. (1.8)
9S

Таким образом, для данного М число независимых ВЗВ-чле-
нов равно размерности Hd+1(M), т. е. числу Бетти ЪЛ+\(М) [251];
— имеет место замечательное утверждение (неабелева бозо-
япзацня в d = 2) [256, 491]: свободная теория N майорановских
спиноров {%} с действием
If=-y\ tPxfriytdptf (1.9)
эквивалентна O(N) о-модели с действием
1в=^ №хtr ^^^~1)+пг (1л°)
в ИК-стабильной фиксированной точке (где РГ ^-функция
обращается в нуль) № = 2п/п, beZ. Доказательство основано на
инвариантности обеих теорий относительно двух
бесконечномерных симметрии: двумерной конформной (с центральным
расширением) и Каца — Муди (с центральным расширением) [492, 493]:
— геометрический подход адекватен и суперсимметричен
НСМ с действием в d = 2 (см. гл. 2):
Is = 4" \&х (йЛ'дцФ* + hyt^d^d^ + tgt^.% {DI+Y+
+ ig$L (bk-у + 4- Д т (Ку^+) &-уМ\ (l.il)
где введены аффинные кривизна и связность с кручением во
внутреннем пространстве
Г± jfc = r'^h ± Я';й, 7? уш = Rijhi (Г±),
Соответствующие законы преобразования суперсимметрии
имеют вид (N = 1 в d = 2)
бвф* = e"+xL + ё!х+ = 6+ф* + б-ф*,
6S4 = - tfcp^ - Г±^4 (б±Ф"). (1.13)
Требование дополнительной суперсимметрии (N = 2)
приводит к келеровым [494] многообразиям М [229, 495]. Для
максимальной (в d = 2) N = 4 суперсимметрии необходимо и
достаточно, чтобы М было кватерннонным при ненулевом кручении
[496] или с учетом взаимодействия с супергравитацией [497]
и гиперкелеровым при отсутствии кручения [ИЗ]. С точки зре-
пия дифференциальной геометрии наиболее естественная
классификация аффинных многообразий возможна по группе го-
лономии, генераторами которой являются компоненты тензора
кривизны. Гиперкелерово многообразие М характеризуется тем,
что его группа голономни содержится в Sp(m), dim Л/= <? = 4га.
Кватернионное многообразие имеет группу голопомии,
являющуюся подгруппой Sp(l) XSp(m) с нетривиальным фактором
Sp(l). Указанные многообразия обладают набором трех незави-
96

симых комплексных структур /( Y, s = 1, 2, 3,
удовлетворяющих алгебре кватернионов
/(S).h/<wn= _ 6<s)W6; + е(8)(Л-)(Р)/(Р)Д (114)
Гиперкелерово многообразие может быть определено как ке-
лерово многообразие для каждой из трех независимых
комплексных структур / У» удовлетворяющих кватернионной алгебре
(1.14).
Таким образом, если удастся каким-либо образом явно
построить N = \ суперсимметричную двумерную НСМ, тем самым
будет явно построена гиперкелерова или кватернионная метрика.
Построение таких метрик представляет самостоятельный
интерес и является актуальной задачей в связи с поиском инстантон-
ных решений в гравитации [238, 498, 499].
Нестандартные суперрасширения НСМ сформулированы в
[500—502|. Ограничения на потенциальный член НСМ,
предполагаемые расширенной суперсимметрией, изучены в [434,
503, 504];
— двумерные НСМ в фиксированных точках РГ определяют
конформные квантовые теории, которые находят приложения
в теориях струн и суперструн. В частности, в задачах компак-
тификации суперструн обнаруживаются интересные взаимосвязи
между пространственно-временной суперсимметрией,
расширенной двумерной суперсимметрией на мировом листе и НСМ
[505-507];
— интегрируемость [508], сокращение УФ-расходимостей
и конечность в НСМ с расширенной суперсимметрией [113—115,
228, 509, 510];
— существование (р, д) -суперсимметричных гетеротических
НСМ в d = 2 [511].
3.2. С АМОДЕЙСТВИЕ Ж = 2 ВЕЩЕСТВЕННОГО
КИРАЛЬНОГО СУПЕРПОЛЯ Bd=4
И УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ КОНЕЧНОСТЬ N == 4
ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИГМА-МОДЕЛЕЙ (С КРУЧЕНИЕМ),
ПОЛУЧЕННЫХ РАЗМЕРНОЙ РЕДУКЦИЕЙ
3.2.1. N = 2 киральное вещественное суперполе в rf= 4
В зтом и последующем разделах наши результаты опираются
на общий анализ неприводимых суперполей в расширенных
суперпространствах, законов преобразования компонент и
инвариантных лагранжианов [512—526].
Ниже представляем простейшую нелинейную о-модель в d = 2
с N = 4 расширенной суперсимметрией. Теории с расширенной
суперсимметрией удобно формулировать в высших размерностях,
Проводя затем размерную редукцию [527]. Аналогично здесь
сначала строится действие общего вида для N = 2 вещественного
7 С. В. Кетов
97

кирального суперполя в d = 4, а затем проводится размерная
редукция в d = 2. В результате лагранжиан для бозонного
секатора содержит наряду с членами, фиксирующими некоторую
симметричную форму (метрический тензор), характерную для
о-моделей, еще и дополнительный вклад, определяющий
некоторую внешнюю форму (потенциал кручения). Причем, хотя
тензор Риччи, построенный по метрике, отличен от нуля, однопетле-
вые расходимости отсутствуют. Более того, теория оказывается
конечной [114, 115, 528].
Уравнения, определяющие N = 2 киральное суперполе
в N = 2 расширенном суперпространстве (я*\ 9", 9'.), имеют
вид
Я?Ф = 0, ££Ф = 0. (2.1)
Можно определить операцию обобщенного комплексного
сопряжения К [529], в смысле которой супермультиплет (Ф, Ф)
приводим. Другими словами, можно наложить дополнительную
связь, аналогичную условию вещественности:
Д4ф = Пф, (2.2)
где нами приняты следующие обозначения для произведений ко-
вариантных производных:
Da = DfDaj, А* = DaiDl D* = -}*■ DVDV, (D3)l = -jL D*.
1(1 oli-x
(2.3)
Эти же определения используются ниже для произведений 9J,.
Решение связей (2.2) приводит к супермультиплету
Цфа.Сш.^у.НЙ'.Л), (2.4)
где А — комплексный скаляр, г|)' — майорановскпи спинориый
изодублет, Ст — вещественный изовектор, F^ — веществеипый
антисимметричный тензор, удовлетворяющий связи
е^&Лр = 0. (2.5)
Связь (2.5) можно разрешить в пользу вектора V», для
которого Fw — тензор напряженности, поэтому (2.4) иногда
называют N = 2 векторным калибровочным супермультиплетом
[530]. Соответствующее суперполе можно представить в виде
Ф = ехр {- -f М9*| \л + eje^ _ _1_ 0а (Tm)i. QiaCm +
+ -т 9? (<Vv)ap 9р^У - * (93)ia 0в(} $ + 91 П л], (2.6)
где хт — матрицы Паули, а F^ — тензор, дуальный F^ со связью
^МУ = 0. (2.7)
98

Законы преобразовапия N = 2 суперсимметрии следуют
непосредственно из разложения суперполя (2.6). В киральном
суперпространстве (zn, 0?) они эквивалентны сдвигу
69? = ef, bz» = - Й? (ov) . ёр'\ (2.8)
ОСр
где е", е°" — параметры N = 2 суперсимметрии.
3.2.2. Размерная редукция ad = 2
Размерную редукцию производим обычным образом, полагая,
что все поля не зависят от части координат: дг = дг = 0 [527].
Удобно выбрать представление Г-матриц в виде
Гн-т,.®/*, Г2,3 = Tf8 ® txiA Ц=0, 1 (2.9)
где -уз = Мь 7з = 1' Tfn — матрицы Дирака в d = 2.
Введем также матрицу зарядового сопряжения Сг в d = 2:
Со-^Сг-1 = - 7ц, С4 = С2 <g> тх. (2.10)
Тогда изоспинор представляется в виде
*'=(-•). гдеф'-в*^. (2.11)
Условия (2.7) на /*\„ также легко разрешаем, полагая
Foi = n = const, F23 = D,
^2 = 4"e^v(5 + 5), ^з = ^-ецуау(5-5), (2.12)
где В — комплексный, a D — вещественный скаляры.
В результате суперполе Ф в d = 2 приобретает вид
Ф = ехр {- 4-9439*] [л + §, \ (1 + ?з) ф1 + Ф1 Т(1 + Ь) е< -
- W* | (1 + 73)9JCm - ^вгу&п -l-Q^D +
+ 4 М 4 (1 + Тз)QiB + -у M-|-(l - Тз) З'Я -
- Т {б* Т <4 + ?»>9' + (* ~ 7)} [ё* Т (! + Тз) W* -
- d^i -j (I - Тз) *Т"в,] + -i- {в4 4" (1 + Тз) 9; +
+ (i ~ /)} {б* у (1 + Тз) О* + (* ~ /)} □ ^] (2-13)
?* 99

с законами преобразования суперсимметрии
ЬА = ё4 -|" (1 + у3) ч|»* + ф* -|- (1 +Уз)еь
бф1 = - Tmj'CmTs^ - 4" (! + Тз) МА* + \ (1 - Та) &*е< -
— iZ>e* — 2пу3е* + (дгЧВ,
ЬСт = — 4 ё| W (т«)/ ф* + h. с,
65 = — ё^1, 65 = — $*7sei. 6Z) = — у Е1у3д^ + h. с. (2.14)
Таким образом, в результате размерной редукции, мы
получили N = 4 супермультиплет в d = 2
(A, tf, CM, 5, £»), (2.15)
где Л, 5 — комплексные скаляры, if>' — дираковский спинорный
изодублет, Ст — вещественный изовектор, D — вещественный
скаляр (8 + 8).
Возникает вопрос о смысле постоянной п. Эта константа
имеет размерность массы, так что следует ожидать появления
массивных полей в теории. Действительно, как следует из
дальнейшего рассмотрения, постоянная п индуцирует спонтанное
нарушение суперсимметрии, на что указывают и голдстоуновские
члены в законах преобразования V в (2.14).
3.2.3. Лагранжиан модели
В d = 4 свободное действие для суперполя Ф,
удовлетворяющего связям (2.1) и (2.2), записывается в виде
S0 J- j* d4a:d*902. (2.16)
Естественным обобщением <So на случай взаимодействия без
повышения порядка производных, входящих в действие, является
выражение [114, 115]
S = f d<zdW(0) + h. с, (2.17)
которое, однако, в d = 4 содержит размерные константы связп
и оказывается неперепормируемым (см. ниже). Это связано с тем,
что суперполе Ф в d = 4 имеет размерность. Ситуация меняется
в d = 2, где Ф безразмерно, а действие принимает вид
■S = j iPx#Qb!iPBlV (Ф) + h. с. (2.18)
с безразмерной функцией У(Ф).
Можно допустить, что Ф в (2.18) имеет индекс. Для
обозначения таких индексов мы используем здесь буквы начала
латинского алфавита, для ££7(2)-индексов — середины алфавита,
400

в то время как буквы греческого алфавита всюду обозначают
лоренцевы индексы.
Действие (2.18) приводит к следующему лагранжиану в
компонентах
L = g^AWA" - gab$a -I (1 + у3) idtf - gab [?° \ (1 -у3)ьЩ +
+ gabClCm — gobn'n* + gabDaDb + gabdViBad,lBb + 2igabn°Db +
+ gabe^d^advBb - gabc [ф° -1 (1 + y3) хтурь] (Хп +
+ 2tfabc$ "у (! + Ya) ф"»" + igobctfi 4 (-' + Тз) Ф61^" -
- 4" ^ьс [ф? -i(l + T») W^S" + J" 4 (4 - Тз) Т**"^] -
- -ft gabcd [$У») (ф?ф? + $jtf) + (?°?3г|^) ($7зФ? + V — /))) -
- -д-fosed(ф'°7зф*) ($Ф? + (i «- /)) + h. c, (2.19)
где применено определение
(2.20)
ft,....^)- -^^L
ЗФ' ... дФ п
Ф=А
Таким образом, поля Ст и D оказываются вспомогательными
и могут быть устранены использованием уравнений движения
Ст = ^ Ki + F)-XlCb{4 (Sbad + gbad) (Vrm^) +
+ 4" (8bad — gbad) (фТтТзФ")).
#C = - 4 Kff + i)"X]eb (2J (?M - ibd) nd + i (gbda + gbda) \ W +
+ 4" * ^Ма - Fbdo) $W}« (2.21)
Комплексные скаляры Л, В и дираковский спинорный изо*
дублет ф* отвечают физическим полям.
Бозонный сектор лагранжиана (ф' = 0) может быть
представлен в несколько более удобном виде:
1В = 2 д*Н Ад„.№д»Иь + дЖд^Мь + dJyd*Qb + dJ>*PP*] +
d№dNb ц ц
+ 4 —^_ еГдирд^Р* - 4 -™- «°«ь -
д№дМь * d№dNb
~4и Ш^-ь \щш\ ^Fn ' (2-22)
101

где
Ашш^Щ + iN), B = ^(P + iQ), H(M,N) = ReV(A),
д2н <?2tf д2н дгя ,223)
д№ дМь ~ dNb дМа ' dNa dNb ~ дМа дМь'
Заметим, что в свободной теории
Я = -j (N* - М2), (2.24)
так что член e"v присутствует только в случае взаимодействия.
Лагранжиан LB можно рассматривать как частный случай
теории с
L(q>, Е) =■■ 4-^оь(ф)^Ф°5уфь + ±gab(4>)dllEad,lEb +
+ 4" U (ф) г^д^ЕадуЕъ + W (Ф), (2.25)
характеризующейся двумя квадратичными формами —
метрической S и внешней V:
S = gabd<f>ad<pb, V = UbdEa /\dEb, (2.26)
а также потенциалом W(y).
Рассматриваемый нами случай в этом отношении весьма
специфичен: метрика является келеровой, коэффициенты двух форм
фиксируются одной функцией, потенциал определяется метрикой
и постоянным вектором.
В том случае когда дополнительные индексы отсутствуют,
LB определяется одной функцией Н(М, N), гармонической по
своим переменным. Компоненты тензора Риччи, построенного по
метрике, имеют вид
и, таким образом, все равны нулю только для свободной теории
с Н из (2.24). Компоненты обобщенного тензора Риччи с
потенциалом кручения V также отличны от нуля, однако
сводятся к диффеоморфизмам [531].
Рассмотрим сначала случай п = 0.
3.2.4. Ультрафиолетовая конечность функций Грина
Рассмотрим сначала случай п = 0.
Чтобы получить правила Фейнмана для суперграфов, нужно
знать функциональные производные по полям, удовлетворяющим
связям (1.1) и (1.2). Заметим прежде всего, что теперь Ф не
является независимым суперполем, в то время как
вариационная производная по киральному суперполю Ф вычисляется стан-
102

дартными методами:
||ig = exP (- -L е&ё, - 4 е292ё2) б* (е, - e2) б2 (*, - *2),
Ш = t ШЩ =exp (т ^А " т eAe"" ЙМ)б2 <* " *■>•
||iij = exp (-i еДв! + -j- еДД2) б4 (ёх - ё2) б2 (*х - *2).' (2.28)
Чтобы определить производящий функционал функций Грина
рассматриваемой модели, введем источник для суперполя Ф.
Для этого обратимся к свободной теории и запишем действие
с источником в виде
S, = J сРх d*9 ( J- Ф2 + Ф/), (2.29)
так что соответствующие уравнения движения имеют вид
Ф = / (2.30)
и / удовлетворяет тем же связям, что и Ф. Отсюда немедленно
получаем выражение для производящего функционала функций
Грина всей модели
Z[J] = exp(iW[/]) = exp i 2 4f §*x**[*£)" +
2 ^1^^(4б4)1]ехр(41^^И' (231)
71=3 ,J I
+
где
_ дпУ (Ф)
^n — <?ФП
Ф=0
(2.32)
а вариационные производные определяются соотношениями
(2.28).
Разложение (2.31) в ряд теории возмущений приводит к
правилам Фейнмана для суперграфов рассматриваемой модели. При
использовании этих правил для рассмотрения произвольной
диаграммы возникают многочисленные сокращения
экспоненциальных факторов, что имеет место и в N = 1 суперснмметрии
[377, 378] и дает возможность перейти к более простым
правилам в импульсном пространстве, представленным на рис. 3.1.
Таким образом, что касается расходимостей, достаточно
рассмотреть петли, в которых знаки последовательных вершин
чередуются между собой. Заметим, что диаграмма, содержащая
петлю из вершин одного знака, равна нулю тождественно.
Рассмотрим сначала замкнутый цикл, который представляет
либо часть некоторого более сложного графика, либо
произвольную одпопетлевую диаграмму (рис. 3.2).
103

' 2 Рис. 3.1. Эффективные правила
@—»—0=iV (0,-вг), Фейнмана для расширенных су-
* перграфов в киральной N = 4
7 . двумерной НСМ с кручением.
0---О =t<f*(9,- вг). .
i
9
1 2 Соответствующее анали-
0—^—© = -hr exp(-e2 s,)t тическое выражение для
петлевого* интеграла имеет
вид
= ч-'Г&Ы+мхл). \-gf-n***[О-- ё2)дв1+
+ (е1-е4)дё,+ ...+
+ (0гп—2 — бгп) (fizn—1\- (2.33)
= ' (-0"С2^) Я, Sd49[Zpi). Простой перегруппировкой
членов легко представить
показатель экспоненты в виде
суммы (п — 1) членов.
В результате для оценки индекса расходимости имеем
^r(<72)2(n-X)<«> (2-34)
при болыпих импульсах. Таким образом, наша модель не имеет
однопетлевых расходимостей в ультрафиолетовой области.
Здесь и ниже в выражениях, аналогичных (2.34), явно
выписывается только зависимость от внутренних импульсов.
Рассмотрим теперь индекс расходимости ю произвольной
диаграммы с L петлями, у которой / внутренних линий и V±
вершин соответствующей киральности
ш = 2£-2/ + 4ц, (2.35)
где \1 — эффективное число экспонент с внутренними
импульсами. Считая для определенности V- < V+, нетрудно оценить ц.
Для этого представим показатель общей экспоненты в виде
V~ I V+ ~ \ -
2 2вйй«в,м. (2.36)
1=1 V j=i /
Отсюда [I < V-. Более того, благодаря сохранению импульса
в вершинах V+
v_
2 Ян = 0, (2.37)
i=i
коэффициенты в (2.36) линейно зависимы:
v_ / v+
2 (2 Mil) = 0 (2.38)
1=1 \*-Х /
104

Рис. 3.2. К отсутствию одпопетлевых
расходимостей в киральнон N = А
двумерной НСМ: пример однопетле-
вого расширенного суперграфа.
п. таким образом, ц < V- — 1. Воспользовавшись теперь
соотношениями
L-I=\-V, V=V. + V+, (2.39)
получаем в общем случае
ш<2-2(У_ + 7+)+4[шт(7+, 7_)-1]<-2. (2.40)
Таким образом, имеющаяся в рассматриваемой модели
суперсимметрия приводит к сокращению всех ультрафиолетовых
расходимостей, которых следовало бы ожидать при стандартном
рассмотрении в компонентах. Мы проверили этот результат, явно
рассмотрев всевозможные суперграфы с точностью до трех петель
включительно [115, 528].
Очевидно, п = 0 не меняет рассмотрения
в'ультрафиолетовой области. Инфракрасное поведение здесь не обсуждается.
Заметим лишь, что мягким нарушением суперсимметрии с
помощью массовых членов можно обеспечить сходимость диаграмм
в инфракрасной области.
3.2.5. Неперенормируемость супер-Ф3 теории
для N= 2 вещественного кирального суперполя в d= 4
Рассмотрим модель в N=2, d = 4 суперпространстве с
действием
S = -4 Jd^OO2 + Jd'sdWe 1б*(в) VintfO) + б4(в) Vint (Ф)),
(2.41)
где Ф —киральное суперполе (2.1), удовлетворяющее (2.2).
В простейшем нетривиальном случае Vint (Ф) = -яг- #Ф3.
Соответствующий лагранжиан в компонентах известен [532], но
компонентный подход неудобен для квантовых вычислений.
Свободные уравнения движения имеют вид
Д«Ф = 0. (2.42)
Введем источник Ct] для суперполя Ф посредством
А,Ф = С». (2.43)
Тогда из связей на Ф следуют связи на Сц:
Сц = Сн, Ci} = e'V'U,, D№h) = Ъук) = 0, (2.44)
2п-1
105

которые определяют N = 2 линейный супермультиплет
Сц = Сц (/, Хь 4 Я»), д11/; = 0, (2.45)
компоненты которого являются источниками для соответствующих
компонент Ф.
Решение уравнения (2.43) для Ф имеет вид
Ф-Т^-^С,,, (2.46)
что позволяет из вида действия (2.41) получить производящий
функционал связных функций Грина свободной теории
W0(Cu) = |#*«№Ю„{|^С„} (2.47)
и написать, переопределив аргумент
1 ЪцС^ — 1, (2.48)
12п
ряд теории возмущении для взаимодействующей теории,
аналогичный (2.31),
Z [I] = exp (tW [/]) = exp [■& J tfxtfQ (i -^-J +
+ -g j Ли*«ё (i ^-^)3]exp {4" J d4a:d4e/2}- (2-49)
Вариационная производная б/б/ определяется связями (2.2),
потому что, как следует из (2.48), / удовлетворяет тем же
связям, что и Ф:
-^Ig = exp (- ± в19ё1 - ± е29б2) б4 (0Х - 92) б* (х, - х2). (2.50)
Правила Фейнмана для суперполевой теории возмущений
немедленно следуют из (2.49): имеются два типа вершин, которые
обозначим соответственно двум членам в показателе экспоненты
в правой части (2.49) как © и ©. Таким образом, в однопетле-
вом приближении следует рассмотреть для cyuep-Ф3 теории семь
диаграмм (рис. 3.3).
-О- -о-
Рис. 3.3. К доказательству неперенормируемости четырехмерной супер-Ф*
теории: одпопетлевые N = 2 суперграфы.
106

Вклады б — д оказываются тождественно равными нулю,
в то время как диаграммы а, е, ж расходятся. Контрчлены,
соответствующие этим диаграммам, имеют структуру, отличную от
структуры действия. Таким образом, модель неперенормируема
[533]. Аналогично доказывается неперенормируемость и в
общем случае (2.41).
3.3. САМОДЕЙСТВИЕ ОБОБЩЕННЫХ ТЕНЗОРНЫХ N = 2
СУПЕРМУЛЬТИПЛЕТОВ В d = 4
И КОНЕЧНЫЕ КВАТЕРНИОННО-КЕЛЕРОВЫ N= 4
СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИГМА-МОДЕЛИ В d = 2
3.3.1. Тензорная N=2 материя
в N = 2, d = 4 суперпространстве
Теория двумерных НСМ с расширенной суперсимметрией
оказывается тесно связанной с комплексной дифференциальной
геометрией. Так, если N = I суперсимметричное обобщение может
быть построено для произвольной НСМ, то наличие
расширенной суперсимметрии (без кручения) приводит к существенным
ограничениям на метрику: N = 2 суперсимметрия требует келе-
ровой метрики, в то время как для iV = 4 необходимо и
достаточно, чтобы метрика была гиперкелеровой (см. разд. 3.1).
Последняя теорема открывает возможность явного
построения гпперкелеровых метрик, если гарантировано наличие N = А
суперсимметрии. Такую гарантию дает N = А суперпространство.
Построим широкий класс двумерных N = А б-моделеп путем
размерной редукции из самодействия обобщенных тензорных
N = 2 супермультиплетов материи в d = 4.
Поскольку рассмотрение проводится в адекватном
суперпространстве в смысле числа линейно реализованных суперсиммет-
рий, мы автоматически получаем формулировку с замкнутой
алгеброй суперсимметрии со всеми необходимыми
вспомогательными полями. Более того, наличие формулировки б-модели в
расширенном суперпространстве дает возможность непосредственно
развивать суперполевую теорию возмущений.
Используя технику суперграфов, продемонстрируем
сокращение всех ультрафиолетовых расходимостей в двумерных N = 4
б-моделях, предложенных ниже. Существенно, что для
доказательства конечности нет необходимости ограничиваться
рассмотрением лишь на массовой поверхности и предполагать
существование суперсимметричной регуляризации во всех порядках теории
возмущений. Например, предложенные в [113, 534]
доказательства конечности гиперкелеровых суперсимметричных б-моделей
существенно основаны на этих допущениях. При использовании
же N = А суперпространства лишь существование N = А суперпо-
левой теории возмущений оказывается фактически достаточным
условием для доказательства конечности.
107

В гармоническом суперпространстве [535—537] конечность
гиперкелеровых N = А суперсимметричных б-моделей в d = 2
доказана на основе явно инвариантной суперполевои диаграммной
техпики [537]. Ниже приводим доказательство ультрафиолетовой
конечности в d = 2 самодействия обобщенных тензорных муль-
типлетов материи в рамках стандартного расширенного
суперпространства.
В процессе выполнения данной работы были неизбежны
громоздкие и трудоемкие вычисления в компонентах. В связи с этим
часть вычислений проводилась на компьютере. Аналогичные
программы использовались для вычисления геометрических величин
в римановом пространстве [538].
Рассмотрим в N = 2, d = А суперпространстве суперполя
Ь*'"п, п = 2, 3, ..., удовлетворяющие связям [539—541]
D»LlvM _ д»£*1-М = о, (3.1)
а
с дополнительным условием вещественности в случае четного
числа индексов п = 2р:
Liv..hp = {IS"**)* = eVl ... вц^/Л"*" . (3.2)
При п = 2 суперполе Lv со связями (3.1) и (3.2) определяет
стандартный N = 2 тензорный мультиплет, структура которого
хорошо известна [542—546]. В общем случае формулы (3.1)
и (3.2) определяют неприводимые представления N = 2
суперсимметрии, соответствующие суперспину Y = 0 и суперизоспину
1=(п — 2)12 [516]. При п = \ уравнения (3.1) определяют ги-
пермультиплет Файе — Сониуса без центрального заряда и
приводят к уравнениям движения [547]. Поэтому случай п = 1
в (3.1) исключается из рассмотрения. Для его анализа
необходимы методы N = 2 гармонического суперпространства с
бесконечным числом вспомогательных полей [535].
Включим в рассмотрение также «ослабленные» тензорные
мультиплеты, соответствующие N = 2 суперполям со связями
типа [519]
DUih) = DalLm, D(iLiMm) = 0 (3.3)
и условиями вещественности (3.2). Формула (3.3) иллюстрирует
ослабление по схеме 2 -*■ 4. В общем случае можно рассмотреть
ослабление по схеме п -*■ (п+ 2) -*■ (га + 4) -»-... -»- (п + 2к)
с любым целым положительным к. Причем в этом случае можно
считать, в частности, что п = 1, поскольку связи
DgL* = DakLiih, Dl№ = Ъ ■ Liih, D«Liih) = Wbm = 0 (3.4)
a ah a
уже не приводят к уравнениям движения.
Обычно ослабление типа (3.3) вводят со специальными
целями, например чтобы подключить N = 2 суперсимметричные
поля Янга — Миллса и разрешить связи в суперпространстве
108

1—
• • • 1
L1'-
•
. . .
- l« ш ii ■
■ tn
•
•
. . .
Nl3-
•ln
1
•
X
• • -L_
.it
. i-
n
1
•
X
X
n
1
I n
I I 1---I
<*■
C'S"
Рис. 3.4. Компонентный состав N = 2 обобщенных тензорных суиерполей.
(548]. Система суперполей [L1 п) с бесконечным
ослаблением возникает при гармоническом разложении аналитического
суперполя в гармоническом суперпространстве [535, 549].
Основная идея заключается в том, что многие результаты,
полученные ранее для стандартного тензорного мультиплета
(п = 2), допускают непосредственное обобщение на случай
высших тензорных мультиплетов, включая ослабленные [550].
Качественно новые особенности, возникающие при этом,
обсуждаются ниже. В частности, допускает немедленное обобщение
метод построения самодействия, предложенный для тензорного
мультиплета (и = 2) [551].
Независимые компоненты L 1 п легко находятся на
основе использования техники диаграмм Юнга [548] (рис. 3.4).
В итоге имеем 8(п — 1)®8(и — 1) вещественных компонент для
четного и соответственно столько же комплексных компонент
для нечетного п. В случае п = 2 G . является поперечным
вектором, что согласуется с подсчетом числа независимых бозе- и
ферми-компонент в Ly.
Определим функцию G (L * n), удовлетворяющую
уравнениям
VaG — (Di + ID\) G = 0, A. G = (D1. + r\D2. )G = 0. (3.5)
Используя связи (3.1), легко находим решение уравнений (3.5):
G = G(£, ?„(£)), ri = £, еп(Р,) = Ц...^"'<п, 6,33(1,6) (3.6)
•с уже произвольной функцией G справа.
Нетрудно убедиться, что в силу (3.6) следующее действие
является суперинвариантом:
5 = jd*x^r^d6(l + 6T4V2A2G(6,^) + h.c, (3.7)
109

где
Va^ID\- Dl, A.^iD1.-D\ . (3.8)
Подчеркнем, что действие (3.7) имеет универсальный вид:
каждый мультиплет, будь то обобщенный тензорный или
ослабленный, входят в действие через соответствующий полипом QA>{\).
В частности, Q2R = Q2 — j dQJd%, QlR = QX — -^ dQ^dl для
случаев (3.3) и (3.4) соответственно. Действие (3.7) определяется
«гиперкелеровым» потенциалом G — аналогом келерового
потенциала. Аналогичные потенциалы возникают в других подходах
[552-555].
В нечетном случае (и = 2р+1) сопряженные суперполя
L i"n могут входить в универсальное действие (3.7) через
соответствующий полином QA. Фактор (1 + |2)-4 введен для
удобства. Замкнутый контур С в комплексной плоскости | по
определению не включает точки | = ± i, в которых нарушается
условие линейной независимости производных (3.5) и (3.8).
В самом деле, проделанные операции по существу есть выбор
функции G, не зависящей от части антикоммутирующих
координат и последующего ее интегрирования по оставшимся
координатам суперпространства.
Тривиальная размерная редукция теории (3.7) из d = 4 в
d = 2 определяет N = 4 двумерные нелинейпые спгма-модели в
N = 4, d = 2 суперпространстве.
По построению действие (3.7) не является, вообще говоря,
инвариантным относительно SU(2) -группы автоморфизмов N = 2
алгебры суперспмметрии. Согласно [551] | является фактически
однородной координатой СР1 с законом преобразования
6'--!прС' К + |Ь|2 = 1, (3-9)
так что действие (3.7) будет 5£/(2)-инвариантом, только если
при преобразованиях (3.9)
G(Z,QA') = (a + btr2G(t,QA) (3.10)
с точностью до полной производной. Для высших тензорных
мультиплетов можно показать, что при преобразованиях (3.10)
Q'n(l') = (а + bt)-nQn®-
3.3.2. Редукция в N = I суперпространство
и компонентные вычисления
В этом разделе сформулированы полученные нами результаты
компонентных вычислений для теории (3.7) си = 2ии = 4, что
иллюстрирует в достаточной мере специфику моделей при
различных п.
НО

Так, для стандартного тензорпого мультиплета L'1, определяя
независимые компоненты посредством
а оЛ
N = -20^1}',А . =i\D..,Dai]Li}, (3.11)
действие (3.7) непосредственным вычислением приводим к виду
5=№4а f {0[2^w, - И _4 а + 6vix
х (vr + 4 x• я-*^ - 4 wa^"j + £ jw] +
+ 4f0-^2}^ + h.c., <3-12>
где введены определения
^a (£) = Si^-ои ^a = £j^iai A,2 s= A, Xa,
LT - lmlnLmn, A.=a». A„ d^A» = 0. (3.13)
aa aa ^ ^
Связь на Ац. можно разрешить в пользу калибровочного
антисимметричного тензора Е^: Ац = у ецу pdv^ip с калибровочной
инвариантностью б£цр = дц£р — рр£ц.
Таким образом, в d = 4 нет явной суперсимметрии:
получается теория либо со связью, либо с калибровочной
симметрией. Поскольку теория не сформулирована в терминах только
скаляров и спиноров, к ней нельзя непосредственно применить
общие теоремы о связи N = 2 суперсимметрии в d = 4 с гипер-
келеровой геометрией. Можно использовать преобразование Ле-
жандра в компонентах или в N = 1 суперполях [556], чтобы
избавиться от А„ в пользу скаляра R (в компонентном подходе).
Конечно, при этом нарушается структура исходного
представления вне массовой поверхности, тем не менее вся физика и
суперсимметрия теории сохраняются на массовой поверхности, что
достаточно для применения к этому случаю результатов [114,
115]. С другой стороны, указапные трудности снимаются после
размерной редукции в d = 2, где связь на Л„ легко разрешить.
Наконец, в d = 2 можно также воспользоваться преобразованием
-Лежандра.
Введем лагранжев множитель — Rd^A11 в (3.12) и вычислим
аакон преобразования суперсимметрии 67? исходя из требования
инвариантности полного действия. Результат имеет вид
6Д = 5ijm»6m(1Lhneah V + h. с, (3.14)
111

где
B^L)-^***^. (3.15)
Устраняя теперь из полного действия все вспомогательные поля
(N, Л„), получим лагранжиан в терминах только скаляров
(Ly, R) и спиноров (я,„Д")- Тогда метрика, определяемая
скалярными полями, является гиперкелеровой. Законы
преобразования R (3.14) и £*>':
6Lij=-le(iaj)Xa+hTC, (3.16)
определяют соответствующие комплексные структуры.
Ограничимся представлением лишь бозонной части полного лагранжиана
(Х= 0) после всех указанных выше операций:
Sb = JL Up? + 4Ь2) д^Мд*М + a^Sd^S + 4 (a2 + с2) 5|1фацФ +
+ -| dpRd^R + Шд^М — Qbd^Md^R — бсдцф^д] =
= \еАвд»ФАд»Фв, (3.17)
где введены следующие обозначения:
a = 2Re2Res-^f-, Ь - 2 Im У Res -^- -А-,
с = 2 Im У Res -^-i^li; L» - L22 = - Ш\
*■* а?2 |2+i
£u + L22 — S, L12 == - jq>. (3.18)
Нетрудно подсчитать, что det gAB = 144 a2.
Выражение (3.17) можно рассматривать как семейство
решений гиперкелеровой метрики gAa, параметризованное одной
функцией G{\, Q). Впрочем, существенна лишь структура
вычетов соответствующих функций в (3.18), зависящих, вообще
говоря, от М, S и Ф.
Отметим, что если после размерной редукции в d = 2
разрешить связь на А» в терминах скаляра В: Л" = E*vdvB, то
получится N = 4 б-модель с линейно реализованной N = А
суперсимметрией, но с кручением и метрикой, не являющейся, вообще
говоря, гиперкелеровой.
В качестве проверки мы вычислили на компьютере тензор
Риччи по метрике для ряда частных случаев (3.17), включая
теорию, отвечающую сумме стандартного
(конформно-неинвариантного) и улучшенного (конформно-инвариантного) действий
для тензорного мультиплета, и убедились, что действительно
Rab — 0 для любой гиперкелеровой метрики.
412

Аналогичное рассмотрение можно провести, спустившись
предварительно в N = I суперпространство, с использованием
преобразования Лежандра в N= i суперполях [556]. В iV = 1
суперпространстве теория (3.7) для п = 2 переписывается в терминах
кирального х и линейного G суперполей и имеет вид [551]
s - ^ЛиРе^фац-'Иб, %-№ + ?£). (3.19)
с
Преобразование Лежандра дает возможность переписать (3.19)
в терминах лишь киральных суперполей % и ф в виде
где
■S = j dtxdMK (ф + ф, х. х). (3-20)
* Ш Ф d^"V (^, г-ЦН + £2х) + (ф + Ф) Я, (3.21)
а Н = Н(%, Xi Ф + Ф) является решением алгебраического
уравнения
Ф + Ф-шФ<*&"1-й'(б,х-** + Б1х). <322>
с
Рассмотрение, проведенное выше, непосредственно
расширяется на случай обобщенных тензорных мультпплетов. Так, для
п = 4 независимые компоненты можно определить следующим
образом: LilM,^ih='DalLim,Mi}=-2DMLi'M, Vij. =i\~D . ,Dal]Lm,.
oca L Gtfc J
U = £>«¥„,, С = 5iftMift.
Действие (3.7) в этом случае имеет вид
192 c?G ua,T/ -d
*=j"%w${ir-^V +-S-S*™'-*'-
24 53G /,,-2 T7 ^\ > 64 d3G ua °aa 4 Ta 8 d2G w
x(l + ST'^+iS4"^ + *4a*"T) + ж-^-^^-
18 3^G vaav 12 ££ .. p2 -x^a^- ,T 4 v
w d2G f д ,T\s i dG r £.. ,.2,-i dG -<xaT7T
^W'-Il?^^1^1 Ж° Faa~
-4(1 +61)-,-g-D^r}d6 + h.c. (3.23V
8 С. В. Кетов
113

Смысл введенных обозначений очевиден из (3.13). Таким
образом, Ьш и if>aJ являются физическими полями, М1' и V 3. —
вспомогательными, а С и ^а выступают в качестве множителей
Лагранжа. В частности, вариация действия по С дает связь
с
уменьшая тем самым число независимых скалярных компонент,
что естественно, поскольку размерность гиперкелерового
многообразия всегда кратна четырем.
Соответствующее действие в N = \ суперпространстве можно
представить в виде
s - ^«rc-gjLф#г'*(б.х + Ш + ?v- iw + е«х). (3-25)
с
где V — вещественное скалярное суперполе, а Н — комплексный
линейный мультиплет. Используя преобразование дуальности
[556], можно исключить Н в пользу соответствующих кнраль-
ных суперполей г|э, ф и перейти к гиперкелерову потенциалу
К = К(%, х, г|5, г|5, V). Вариация действия по V определяет V как
функцию оставшихся киральных суперполей. Размерность
соответствующего многообразия М кратна 4. Конечно, явное
представление для К требует решения алгебраических уравнений
типа (3.22).
Явные вычисления для теории (3.7) могут быть аналогично
выполнены и для ослабленных мультиплетов [549]. Оказывается,
что результирующая теория имеет большее число динамических
полей, чем собственно гипермультиплет Файе — Сониуса, причем
не все поля из (L\ L"h) входят в (3.7). Фактически в этом
случае мы имеем дело с супермультиплетом из 16 ® 16 независимых
комплексных компонент.
3.3.3. Преобразования дуальности, суперполевые
и компонентные действия для модели Линдстрема — Рочека
Приведем конкретный пример вычисления метрики (и
кручения) из самодействия стандартного N — 2 тензорного муль-
типлета в виде суммы улучшенного (нелинейного) и
неулучшенного (наивного) действий [551, 557] с лагранжианом ъ N = 2
суперпространстве -Л
j)Gdt = -§ ^§- <$ - р ф & (6) In Q% (I) dg, (3.26)
где р = const. Контур C\, по определению, обходит пачало
координат в комплексной плоскости |, контур Сг обходит корни
уравнения @2(!)1е-о = 0 (рис. 3.5.).
114

«V
©
Г"4
©
Ks<^>
Рис. 3.5. Контуры
интегрирования С\ и С2 в
комплексной |-плоско-
сти, определяющие
свободные действия,
соответственно для
стандартного н улучшенного
N = 2 тензорных супер-
мультиплетов.
Несмотря на то что каждое слагаемое в (3.26) в отдельности
отвечает свободной теории, их сумма определяет теорию с
взаимодействием, которую мы и намерены рассмотреть. Заметим, что
такой выбор обладает свойством SU (2) -инвариантности.
Представление (3.26), однако, слишком формально для явного
рассмотрения. Поэтому полезно обратиться к другим
(эквивалентным) формулировкам этой же теории в суперпространстве.
N = 2 векторный мультиплет Ф в N = 2 суперпространстве
характеризуется связями (2.1) и (2.2). Нетрудно проверить, что
суперполе Ь" = 0''Ф удовлетворяет тогда (3.1) и (3.2), причем
обратное преобразование имеет вид [557]
Ф =
w5%-
(3.27)
Тогда свободное (неулучшенное) действие для тензорного муль-
типлета можно представить в виде кирального интеграла
S, = fdW9(£»yZy)^-(£>ft,LhI) =
= ±.\&х(№{УпУ + 4fZ)44f) + h.c,
(3.28)
где во второй строке использован киральный препотенциал W для
U'1 [551]
Lii = £>y4f + В«ЧГ.
(3.29)
Аналогично улучшенное действие [558] можно представить
в виде
-■?•££
Si = \&х<1ЮФ(Ь)~- DVLU = f Ли*«еЧМ>(£ [¥, ¥]) + h.c, (3.30)
где использованы определения [557]
Ф Ю —£■ (5%) L"1 - -j- (КЧ (л* ьи) ьЧ~\
L = [LiiLii]1/\ (3.31)
Заметим, что (3.31) построено так, чтобы для Ф(Ь)
удовлетворялись связи (2.1) и (2.2). Сумма (3.28) и (3.30) дает
альтернативную формулировку нашей модели, причем в обоих
случаях N = 2 суперсимметрия реализуется явно и линейно. Однако
8*
115

обе формулировки являются по существу калибровочными
теориями, поскольку N = 2 тензорный мультиплет содержит среди
компонент калибровочный антисимметричный тензор либо
сохраняющийся вектор. Так, в терминах компонент (L'\ ф', G, E„v)
рассматриваемая модель в d = 4 имеет вид [557]
L = (4- + Р£-1) { г I д^Ьц |2 - фУЗдф! + \G\' + E^E)l) +
+ Р [- I чт I2 L~3 + 31 ф\«р^« |» L"5 - ^LttvM^L^L-" -
- гЬаюкфЕ„$}Ь-г& 1- ieywdJjufljLflEoaL^fpL-*—
- G^-L^L-2 - G^tfLuL-3], (3.32)
где Р — константа связи, £„ — напряженность для Ехр.
Лагранжиан (3.32) инвариантен относительно калибровочных
преобразований:
бЯду =» d„|v — дч\^ (3.33)
что существенно отличает полученную теорию от стандартных
а-моделей, в которых поля, несущие нулевой спин, реализуются
скалярами. Чтобы избавиться от калибровочного
антисимметричного тензора, найдем формулировку нашей модели в N = 1 су-
перполях и выполним преобразование Лежандра [556]. Можно
найти соответствующее действие, эквивалентное (3.32) [556]
■S = j d*xc№ [ L G2 + хх + Р (G2 + 4хх)1/2 -
- pG In (G + [G2 + %]*/")], (3.34)
где х — киральное, a G — линейное суперполя в N = 1
суперпространстве, на которые разлагается N = 2 тензорный
мультиплет. Выполняя преобразование Лежандра относительно G в
пользу кирального суперполя ф, получаем действие,
эквивалентное (3.34), но в терминах только N = 1 киральных суперполей
X и ф:
■S = j ЛиЮ [хх (1 + 2F2) + 2Р (хх + ХХ^)1/21. (3-35)
где F = F(a, b)— решение трансцендентного уравнения
sh(aF+b) + JF = 0 (3.36)
с параметрами
а = 2Г'(ХХ),/г, Ь = Ф + ф. (3.37)
Из (3.35) в результате размерной редукции из d = 4 в d = 2
немедленно получаем iV = 4 суперсимметричную а-модель с ги-
перкелеровым потенциалом К = К(^х, ф + ф)«
116

С использованием (3.32) бозонную часть редуцированной в
^ = 2 теории можно переписать в виде
2 в = [1 + У № + П"1/2]{ г (W ~ 4" ^У >2 + Т ^} ~
- 4" уАР~* РА* + P*)~V* Рцд^вПЕ», (3.38)
где Е* суть сохраняющийся двумерный вектор {ФЕ^ = 0), f = р/2.
££7(2)-тензор V1 можно разложить относительно SO(2) как
Lu = 6iiA+P4t (3.39)
где Рч суть £0(2)-неприводимый (симметричный и бесследо-
вый) тензор, что использовано в (3.38). Наконец, P2 = (Pti)2.
Ег + №з оказывается вспомогательным полем в d = 2.
Теперь, с одной стороны, подставляя решение связи Е* =
= г^дуВ в (3.38), получим кватернионную НСМ с обобщенным
ВЗВ-членом (кручением) и линейно реализованной N = 4 супер-
симметрией (с учетом вспомогательных полей и фермионов
исходной теории) и бозонной частью лагранжиана
2^(1) = - 4" gabd^Xad^Xb \- К^^д^хад^хь, (3.40)
где [373]
gab = diag (l + -^уХ а, Ь = 0, 1, 2, 3;
остальные независимые h^ исчезают. В (3.41) использованы
обозначения
(X X \
~ ]• ("'
•*-3 *2 /
42)
С другой стороны, Ец можно исключить из (3.38) с помощью
множителя Лагранжа D для связи д^Ер — О. После устранения
вектора Е» из соответствующих ему уравнений движения
находим лагранжиан дуальной гиперкелеровой НСМ (без кручения)
2$« = 11 + 7 (2А* + Р»)-1Л] {- ± (d^Af - -L (<у>у)*} -
(2А* + Р*)М ]±( п , 1ЛР^Р}к& Y _
? + (2^ + р2)1/г J 2 \ ц VSpW+pW ~~
e-4"^rt(*)aiA3^; а, Ь-1,2, 3,4, (3.43)
*Де
х\^А, Х2^Ри, х3^Р\2, x4 = D. (3.44)
117

Следовательно, в более развернутой форме находим [557]
#и = 1 + 7/s. #22 = #11 + ' 3
(Т+*К;22+^з)2 '
#33 — #11 + ... . , ./~2 i ~2\2 ' #44 _
(Y + ^^ + s2)2' 644 Y+*'
°23 ... , . _ /~2 . ~2\2 ' #24 —
(V+S)S(^+^2)2' 624 (V + S)(P2 + ^)2'
^ = (v+s)(-22+^)2. #12 = #!3 = #!4 = 0. (3.45)
Заметим, что
det gab (x) = g*u = (1 + y/sf. (3.46)
3.3.4. N= 2 суперполевая теория возмущений
Для развития теории возмущений непосредственно в
суперпространстве необходимо знать выражения для суперпропагато-
ров суперполеи, удовлетворяющих связям (3.1). Определим [550]
(L'l-'n (1) Lh...in (2)> ~ p-'D^h (1) D(hii (2) 6>3;;tnJ64A (в, - е2),
(3.47)
где
бел (Pi - 92) = ехр (- 4" 0i А + 4" 9^) б4 (Oi - 92)- (3.48)
Можно проверить, что (3.47) приводит к стандартным
выражениям для пропагаторов первых компонент суперполя. Для
остальных компонент пропагаторы восстанавливаются по
суперсимметрии и согласуются с (3.47). Наиболее естественный способ
получить (3.47) заключается в использовании соотношений
дуальности между обобщенными тензорными и киральшыми суперпо-
лями. Так, в силу связей (3.1)
ЬН-лп = д(*Лф*з"М, ф*8-*п _ п"1^ , L'i-Ч (3.49)
где Ф — киральное суперполе. Для вещественных суперполеи
(3.2) Ф также вещественно в смысле Д4Ф'=> " 2р = пФ'я"''2р.
Для вещественных суперполеи удобно представление супер-
пропагатора [550]
</*••■■* (1) Lv..iap (2)> ~ „"№. (I) D{hh (2) 6У::Щ х
х ехр (- -i- е^ё-! + -i- М>"а - ei?ei). (3.50)
118

Наконец, саму теорию (3.7) можно переписать в терминах
кнральных суперполей [550, 559]:
S = j"***^* {фд ^ пФв + фд J^d_ [(уЧФв) X
X (V«awDc) + 4"(Va^OB)Kv)ap(VpdvOc)l} + h.c, (3.51)
где приняты обозначения
е (6, Q)—-& 2 haQa, Qa = v2oa, я^ фа = о,
А
Фа = ht- • .^2р_2Фа'1"*2р-2.^-'2р= Д^фУ-^р), £,4фд = пфд.
(3.52)
Набор функций Ял(|, Q) определяется по G согласно (3.52).
При подсчете индекса расходимости ш произвольного
суперграфа в d = 2 следует отдельно рассмотреть вклад всех
экспоненциальных факторов и предэкспопенциальный множитель.
Эффективное число ц экспонент вычисляется с учетом сохранения
импульса в вершинах и допускает оценку ц<1 "о"^ —^' где
V — число вершин, так что эффективный вклад экспонент в
индекс расходимости 4ц < 2V — 4. Далее чисто размерные
соображения немедленно приводят к желаемому результату ш «£ —2.
Подробности оказываются вполне аналогичными рассмотренным
в предыдущем разделе для киральных суперполей.
Из сказанного выше очевидны преимущества L-суперполевой
техники по сравнению с компонентным подходом или
использованием N = 2 препотенциалов [560].
Докажем теперь, что однопетлевые УФ-расходимости на
массовой оболочке приводят к неперенормируемости в d = 4
самодействия тензорной N =2 материи, причем сами контрчлены
исчезают лишь при отсутствии фактического самодействия, т. е.
для плоской метрики НСМ (для свободной теории) [561].
Известпо [562], что для размерности d = 4 не существует
перенормируемого самодействия N = 2 материи при допущении
SU{2) внутренней симметрии. Последнее ограничение
представляется нам излишним, поэтому используем развитую выше
N = 2 теорию возмущений, т. е. правила Фейнмана для супер-
лолей в N = 2 суперпространстве, для вычисления однопетлевого
.Контрчлена. Заметим, что, работая в обычном N = 2
суперпространстве, мы избегаем необходимости вводить бесконечное число
вспомогательных степеней свободы, используемых в методе N = 2
гармонического суперпространства. В рамках последнего метода
на основании размерных соображений доказано существование
неперенормируемой однопетлевой расходимости для общего само-
Действия N==2 материи [537]. Однако необходимо исследовать
119

еще коэффициент при этой расходимости, т. е. возможность
существования таких геометрий (метрик), которые обращают
расходимость в нуль. Покажем, что это возможно лишь для
плоского случая (без взаимодействия) в согласии с компонентными
результатами (или рассмотрением в терминах N= l суперпо-
лей) [563].
Снова обратимся к действию (3.7) в d = 4, ограничившись
ради определенности £у*-суперполями. Воспользуемся линейным
фоново-квантовым расщеплением для £'№'-суперполей (некова-
риантный метод фонового поля)
Lm^Lm + Vihl, Q^Q+q, ' (3.53)
где lw (или q) суть квантовые суперполя.
Кинетический член определит свободный пропагатор для
квантовых N=2 суперполей Z-3*' в d = 4 в соответствии с (3.50)
<ZW(1) lmnpq(2)) = - \D(iiDmn6hP% X
X exp (- -i- 9iA + 4" %P% - QJu,), (3-54)
что в терминах gr-суперполей означает
<<7^(1, l)qB(2, ф= = *^4\ (6Д7 V2(1)A2(2) X
Р
Xexpf-^-Q^ + ^-Q^-Q^QX . (3.55)
Однопетлевые on-shell УФ-расходимости определяются
квадратичным членом в д-разложении фоново-квантового действия
S(Q + q):
Sm = f #х±$-Л— v2A2-f qG»q + h.c. (3.56)
'2n7(l + l2)4
Далее предполагаем, что действие £(2> содержит лишь
взаимодействие. Для разделения ИК- и УФ-расходимостей будем
неявно предполагать присутствие массового регулятора. Конечно,
G" в (3.56) зависит от фоновых суперполей Ь*'и. Для
регуляризации УФ-расходимостей будем следовать предписанию СРР.
Благодаря (3.55) и (3.56) правила Фейнмана определены и
можно приступить к вычислению однопетлевых N = 2
суперграфов (рис. 3.6), где тройная линия представляет фоново-завнси-
мые вершины, одинарная — суперпропагаторы.
Первый граф на рис. 3.6 исчезает:
<*(1, 6Ж1, У>-0 (3.57)
в силу !«!' = 0.
120

Рис. 3.6. К доказательству непере-
нормируемости самодействия N = 2
тензорной материи в d = 4:
структура одпопетлевых W = 2 суперграфов.
Прямое вычисление второго суперграфа приводит к
следующему вкладу в квантовый функционал <exp(i<S(2))>:
TW(1^J;gifir^f$(r^r(«,)'v'(-a,9,|)x
X А2 (- ik, 9, g) V2 (№, ч, С) A2 (ik, n, S) j -0 [ V2 (- »>, в, g) X
X A2 (ip, ч, С) ехр (- 4" 9р§ + -jLtiprf- 9?ч)1 piJ_p)2 x
xG"(k, g, 9)G"(-A, S, 4)[v2(- f (А-р), 9, |) Д2(г(*-/>), Ч, Q x
Хвхр^--|-в(^-Йв + 4-Ч(^-?)Ч-в(А-йч|1, (3.58)
где iV = 2 суперковариантные производные в импульсном
представлении имеют вид
Va (- Mr, 9, g) = |4Д-а(- ifc, 9) = g, (d/aff* - 4" ka^?)>
Aa'(- №, 9, g) = UDf = - ф/dej. - ±-П,»), (3.59)
аналогично для Va и Да.
Для вычисления ведущей (логарифмической) расходимости
(3.58) можно ограничиться вычислением V2A2exp(—Qpr\) лишь
в нулевом порядке по суперпространственным антикоммутирую-
щим координатам Bit). Ведущая расходимость имеет вид
X V2 (- ik, 9, g) А2 (- ik, 9, g) V2(№, ч, Q А2 (№, Ч, Q х
ХС'(*. 6. в)С'(- к, I, л) J^-^J-^. (3.60)
В (3.60) ковариантные производные V и А формируют
полную меру d89 в N = 2 суперпространстве, как и должно быть
1378].
Введем обозначение
Fijklmnpq (к) = -J" 4! gjjj- (}) о , .2\i &»iiiftilSminSple X
X V2 (- ik, 9, g) A2 (- ik, 9, g) G"(/c, |, 9). (3.61)
121

Тогда расходимость (3.60) можно переписать в виде
j(-0 Л*_н О) t*»"™ (- Ч J|£ j^ • (3.62,
Из (3.62) немедленно следует, что однопетлевая неперенор-
мируемая on-shell расходимость для самодействия N = 2
тензорной материи исчезает лишь при F = 0, что соответствует
свободной теории. Расходимость (3.62) не может быть ренормирована,
поскольку она интегрируется по полному N = 2
суперпространству, тогда как мера в (3.7) является «киральной», т. е.
соответствует d*Q. Расходимость (3.62) нельзя устранить и
переопределением G в а-модельном смысле. Поэтому любое самодействие
N =2 материи, рассмотренное выше и обладающее в общем
случае лишь SO (2) внутренней симметрией, неперенормируемо в
d = 4.
3.3.5. N= 2 тензорные суперполя
и N = 2 гармоническое супериространство
Используя универсальное действие (3.7) и различные муль-
тпплеты, определяемые (3.1) —(3.4), можно построить
множество разнообразных моделей, формально удовлетворяющих
критерию SU(2) -симметрии, например,
G: QtilVQidt), Q3(l)/QlR(t), Q\R\nQlR
и т. д. Все теории, построенные таким образом, неперенормируе-
мы по индексу в d = 4 и конечны в d = 2.
Выше мы полностью игнорировали возможные топологические
ограничения на глобальное существование гиперкелеровой
метрики на М. Чтобы такая метрика имела глобальный смысл,
необходимо и достаточно, чтобы первый класс Черна был
тривиален для М. Критерий (3.10) также не гарантирует SU(2)-crm-
метрии в глобальном смысле.
N =2 гармоническое суперпространство может быть с
успехом использовано для построения самодействия N = 2 материи
в d = 4 [535] и соответственно гиперкелеровых метрик [564].
По данной гиперкелеровой метрике можно в принципе построить
N = 2 инвариантное действие в гармоническом
суперпространстве [234]. Известен ряд конкретных примеров вычисления
известных гиперкелеровых метрик из самодействия аналитических
суперполеп в гармоническом суперпространстве [564]. Все
модели с самодействием для N = 2 материи ъ N = 2 гармоническом
суперпространстве приводят к конечным гпперкелеровым
суперсимметричным НСМ в d = 2 [537]. Тем не менее, проведенное
нами рассмотрение полезно в том отношении, что оно указывает
новый широкий класс гиперкелеровых метрик, соответственно
новый класс конечных НСМ в d = 2, и проводится в обычном
N = 2 ковариантном суперпространстве с использованием
конечного числа вспомогательных полей.
122

В действительности эти два подхода имеют очень много
общего. В самом деле, определим
cc^-j-J—2(1, £), сц-еуа*, (3.63)
так что <х'|(=1. Тогда формулы (3.5) и (3.7) переписываются
в виде
ДГ Q = DTQ = О,
a
S = ^dx^.j)d^(D+f(D+yG(l, Q) + h.c, (3.64)
с
где
D* = UDl = Va, ~DT =£&. = A •,
ОС ОС ОС
£»+ = OiDl = ^ Va, D\ = aj)\ = j-lp Aa. (3.65)
Таким образом, (3.64) можно рассматривать как условия
аналитичности, а QA — как аналитические суперполя в N = 2
гармоническом суперпространстве. Однако в нашем случае супер-
поля QA удовлетворяют дополнительным связям и, таким
образом, не являются аналитическими суперполями без связей [549].
Аналитическое суперполе без связей есть общее решение
уравнений (3.64), которое в наших термипах соответствует системе
тензорных суперполей типа (3.3) илн (3.4), но с бесконечным
ослаблением.
С другой стороны, это означает, что полученные нами теории
с самодействием для высших тензорных мультиплетов, равно как
и для обычного тензорного мультиплета, могут быть
сформулированы в гармоническом суперпространстве путем наложения
подходящих связей на аналитические суперполя. Учет этих
связей посредством множителей Лагранжа, являющихся уже
аналитическими суперполями без связей, и последующее
использование преобразования Лежандра дают возможность выразить
полученные теории в терминах аналитических суперполей без
связей [552].
3.3.6. Калибровочно-ннвариантное самодействие N=2
тензорной материи в N=2 суперпространстве
Связи (3.1) в N=2 суперпространстве, определяющие
обобщенные N = 2 тензорные супермультиплеты, могут быть
обобщены далее [565, 566]
ф»£»г..*» = ддедЧ-*») = о (3.66)
a
с использованием калибровочно-ковариантных и суперковариант-
123

ных производных
2>f = Dai + iAf, ~Щ>\ = Df - Й?, (3.67)
где Af, А? суть калибровочные суперполя N = 2 теории Янга —
Миллса. Алгебра суперковариантных производных имеет вид
[62, 79]
\Я>а, Щ\ = - ^гШ, {0^, &..} = ^ .е„-РГ,
[Жц, <2>v] = -jr ®ai (<Vv)aP #piW + h.c, (3.68)
где
W = 4-D.A^ + -^-A. Д«» (3.69)
« ai a ai
суть стандартная киральная суперполевая напряженность N =2
супер-янг-миллсовской теории в N = 2 суперпространстве. Среди
компонент N = 2 суперполевой напряженности
W: {я,&,Т$,Р»ч,Ра} (3.70)
содержится обычная янг-миллсовская напряженность F„v.
Нетрудно убедиться, что все детали доказательства N = 2
суперинвариантности (3.7) остаются в силе, если G —
инвариантная функция.
В отсутствие самодействия N = 2 тензорной материи теория
(3.7) с производными (3.67) (предполагается, что исходное
действие имело глобальную симметрию, связанную с группой Ли)
определяет минимальное взаимодействие N = 2 тензорной
материи с N ■= 2 калибровочными полями ; [112].
Вычислим тензорный мультиплет UK Связи (3.66)
определяют независимые компоненты V* в виде
Li}; Х{ = 3)ahLik, И =£>. Lik; M = - 22>{}Ь1\
a ah
М = - 20yLij; V . =гШ.., a>ai\ Li}. (3.71)
aa L aJ J
Условия сопряжения очевидны из (3.2).
Независимые компоненты W определим следующим образом:
4ЛГ; х« = -Т®№, ?• = 4"^„W; Р* = -J&^n^W, (3.72)
где хА — матрицы Паули (F„.v: 3^[ffm = 0).
124

Вычисление интеграла (3.7) сводится к последовательному
нахождению Vcc- и А • -производных от Q с использованием
тождества
{Va, А^}+ = 0 (3.73)
и определений
Ъа, = liK, К. = £i^ia. ^Т = lib L1}, L" = hljLij. (3.74)
Результат вычисления действия теории имеет вид
s = ldix т Ф ^ {ж G(i)K2j? ~ 4тG(3) (Ml2 + Жг> +
+ <£ iG<3)LT ^^1 + * 0»%п + М. .G(3) x
., \(2>Lr)j 16» Л(2) А£>ХТ-Я2>ХТ , 32* r(1)t ,
x 1 + 6i +-rG —ГТР— "з" lij
X"7TF+^ TTTFJ2-4"^ "77?
_ * G(2>F> _ 2G(2) /^j* 1- G(2)F<2>LT(1 + l*)~i +
18 (1+s) 3
+ £ c<*MM + f G<2> (L*f j^L- _ *. G^ x
xM^_2Ga)^_.j.Ga)^^+i?G(1)x
x (TTf " " G<1) (ГЙ¥ (Л- + +(1 + ^)L-4 <3-75>
Здесь и ниже, если лоренцевы индексы <х, а не указаны явно,
то подразумевается их «каноническое» расположение, например.
Я.2 = Я.аЯ.а,12 =!.!«, V2 = V .V™. (3.76)
а аа v '
Таким образом, поля Vм, N, J7, Л/ и М являются
вспомогательными, а Xa, ^J. и Рл доставляют связи. Поскольку
последнее поле входит в кинетический член поля Янга — Миллса лишь
Квадратично, после добавления этого члена вариация по Рл дает
потенциал
У = -g- ygijmnLnm + -jj- gmiL'mj \ghlpqLPq + -jj- gpkL p) ^Aij^AhU
(3.77>
125.

где
С
?* = ITSS^1 + ^)-3С(1)^(^ттАу + 4"(1 + E1) X
с
X L i1AjkJ = -g- й'лт^т + -JJ- gmiL3m I TAij-. (3.78)
Без самодействия материн, когда G = Q?I2%, £«тп~£п,
получается потенциал четвертой степени по UK Отметим, что такая
теория SU(2)-инвариантна.
Обобщенный тензорный мультиплет Lljkt имеет независимые
компоненты вида
Lm; $h = 2>alLw, ф7" = ф. Lw; M* = - 2®hlLm;
MiS = -22>MLm; V*>. = if®. , Z)al~\Lm;
aa L ah J
Xah = - 2 <Z>a0%>,, 1. =-2W 2>i}Lm; (3.79)
aft a
с = - 2Ща^ь\.
Условия сопряжения такие же, как в предыдущем случае.
Компоненты калибровочного суперполя остаются без изменений.
Действие теории в компонентах i [566]:
s = Idl4iflG(4)W + SG(3)^ -f5G(3)W + "*>+
с
+ "25G (1+|") +^5~G L (1 + |i) "25 G (4-1*) +
+ If G<2) (i + ^2)_1 (i^T - ф^т) + ш с(2>мЖ - 3o-G(2>F -
_ ± С» м + t.)-i FS)LT - 2G<2> (2)LT)2 + 256* G(.) ^РТФ-^^Т ■
5cz (i + fe, zcz (l+|2)2+25^ (1 + |2) +
, R,r(2) (LT)2 AW 12/ rtnTrMN-MN Ш „(2) Xn^-^Xn^ ,т ,
+ (1 + £2) Б&&Л) - iV G(1)C - fGW
10-5" (i + |^
or(i) Ф-V" cin(X) VяNN ill r(l) NM^-MF
(TTFF4"646 UTW + ^G d + i2) "
5 <* (1 + |2)2 + 5 ^ 6*6, (1 + 6»)i
- 1вС«?А6& [(|f|^ + §т§(1А;\У'т + тлп,п^*тпу]}. (3.80)
126

Вспомогательные поля теории — M'j, Mv, r '•, N, N; множи-
аа
тели Лаграпжа— Я?, к}, С, Xai. Я.. и
Раза. СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ В ЧЕТЫРЕХМЕРНОЙ
If =2 СУПЕРГРАВИТАЦИИ С ЛГ= 2 ТЕНЗОРНОЙ МАТЕРИЕЙ
3.4.1. Суперконформное тензорное исчисление
в N= 2 супергравитации
Суперсимметричные теории поля, включающие гравитацию-
(iV-расширенная супергравитацпя + iV-распшренная материя),
являются реальной возможностью для объединенного описания
элементарных частиц и их взаимодействий при энергиях ниже
планковских. В частности, уже построен широкий класс моделей
фундаментальных взаимодействий [78, 98], основанных на
спонтанно нарушенной N= 1 супергравитации с эффективным
параметром порядка суперсимметрии 0(GJ12), где GF — масштаб
Ферми. При этом благодаря теореме о неперенормировке [62]
имеется возможность объяспения стабильности относительно
радиационных поправок иерархии масштабов в физике частиц, в
частности между GJ12 ~ mw и массой Планка.
Однако iV = 1 супергравитация с материей, будучи непере-
нормируемой, не может быть окончательной теорией и,
возможно, расширенная суперсимметрия обнаружит себя при более
высоких энергиях. Очевидно также, что необходимо обеспечить
спонтанное нарушение суперсимметрии в локально
суперсимметричной теории, чтобы имел место супер-Хиггс-эффект (и,
следовательно, поле гравнтино со спином 3/2 приобрело массу), и,
таким образом, установить связь между низкоэнергетической
физикой и гравитационными взаимодействиями. Известно, что в
N= 1 супергравитации можно спонтанно нарушить
суперсимметрию так, чтобы супер-Хиггс-эффект имел место [108, 109].
N = 1 суперконформное тензорное исчисление [567] можно
обобщить на случай N = 2 [542, 543, 568—570], что позволяет
явно рассмотреть потенциалы для скалярных полей,
определяющие структуру классического вакуума в теории. Так, построены
и исследованы потенциалы для N = 2 векторных и N = 2
скалярных мультиплетов материи, связанных с полями мультиплета
40 © 40 N = 2 супергравитации [571—574], и рассмотрен вопрос
о возможности спонтанного нарушения суперсимметрии либо в
пространствах анти-де Ситтера, либо при плоском потенциале
Для чисто векторной материи [574].
Обобщим рассмотрение, проведенное в [571—574], на случай
тензорных мультиплетов [575]. В присутствии N = 2 абелевых
Векторных мультиплетов оказывается возможным построить
новые нетривиальные потенциалы, если использовать третью мини-
121

мальную версию 1[558] N = 2 супергравитации с тензорным муль»
типлетом в качестве одного из компенсаторов. Начнем с
краткого изложения отдельных аспектов N = 2 суперконформного
тензорного исчисления, существенных для дальнейшего
изложения.
Введем следующий набор локальных N = 2 мультиплетов
[568-570]:
а) (el ч£, A», vj, %\ Тл**, D), (4.1)
где е£ — тетрада, ^ — изодублет гравитино, Л„ и v^ — U(l)- и
SU (2) -калибровочные поля соответственно, %' — киральный
SU{2)-дублет фермионов со спином 1/2,
Таъ3—антисимметричный по каждой паре индексов тензор: Таъ3=—Уьо', = —^W'
D — вещественный скаляр.
Буквы середины латинского алфавита используются для
обозначения индексов группы автоморфизмов SU(2) или SO(2)
алгебры N = 2 суперсимметрии, буквы греческого алфавита —
для обозначения индексов, относящихся к базовому
четырехмерному пространству-времени, в то время как начальные буквы
латинского алфавита используются для обозначения индексов
касательного пространства в точке а:й;
б) N = 2 абелевый векторный 8©8 мультиплет Ф:
{a, U, 5У, ВЦ (4.2)
где а — комплексный скаляр, \{ — SU( 2) -дублет киральных
фермионов, S11 — вспомогательный триплет скаляров: Sl} = (<Sy)* =
a,ikeilSki, B,l — вещественное синглетное векторное поле.
Один из мультиплетов (4.2) в суперконформном тензорном
исчислении используется в качестве компенсатора, т. е. содержит
калибровочные степени свободы, которые необходимы для
фиксации «лишних» суперконформных симметрии.
в) N = 2 улучшенный тензорный 8©8 мультиплет L:
(V, Ф„ G, Е„), (4.3)
где Lu — триплет скаляров: £**'= (£«)* = eiheilLu, ф< —киральный
££/(2)-дублет фермионов, G — комплексный вспомогательный
скаляр, Е^ — вещественный калибровочный антисимметричный
тензор.
Термин «улучшенный» связан с тем фактом, что наивное
квадратичное по полям свободное действие для N = 2 тензорного
мультиплета не может быть использовано в N = 2
супергравитации ввиду отсутствия конформной инвариантности. Вместо
него необходимо ввести улучшенное конформно-инвариантное
действие [558], которое пе является квадратичным по полям,
а имеет сложную неполиномиальную структуру, отвечая тем не
менее свободной теории. В этом заключается основная трудпость
работы с тензорными мультиплетами.
Абелевый векторный мультиплет в качестве компенсатора в
JV = 2 супергравитации вполне аналогичен игральному компен-
128

сатору в N = 1 суперконформном тензорном исчислении [567].
Однако в отличие от N = {, в N = 2 исчислении необходим
второй компенсатор, чтобы фиксировать все лишние симметрии
N = 2 суперконформной группы и иметь возможность строить
N =2 инвариантные лагранжианы, отвечающие N =2
супергравитации Пуанкаре с материей. Известны три неэквивалентных
выбора второго компенсатора [558], отвечающие соответственно
трем формулировкам N = 2 супергравитации с конечным числом
вспомогательных полей. Более общие построения указаны в
N = 2 гармоническом искривленном суперпространстве [576].
Мы остановимся на тензорном мультиплете в качестве второго
компенсатора (третья версия согласно [558]), поскольку, как
будет показано ниже, именно этот выбор приводит к
нетривиальным потенциалам для тензорных мультиплетов материи (в
рамках формулировок с конечным числом вспомогательных полей).
Отметим, что N = 2 неабелевый векторный мультиплет также
имеет структуру (4.2), где в этом случае для всех полей (4.2)
предполагается дополнительный индекс калибровочной группы
Янга — Миллса.
Содержание тензорного исчисления помимо строительных
блоков-мультиплетов составляют локальные суперинварианты —
основа для строительства лагранжианов, а также правила
умножения, сопоставляющие пару мультиплетов с новым мультипле-
том. В частности, векторный мультиплет может быть вложен в
N =2 киральный мультиплет, соответствующий N = 2 кирально-
му суперполю [570]. Как и в глобальной суперсимметрии,
произведение киральных мультиплетов есть снова киральный
мультиплет. Это наблюдение дает возможность сопоставить два
векторных мультиплета Oi и Фг с вейлевским весом и>1,2 = 1 и
киральный мультиплет Ф1Ф2, последняя компонента которого с
нужным вейлевским весом w = 4, модифицированная до
локального суперинварианта, может быть использована в качестве лаг-
ранжевой плотности. Правила вложения, умножения и
инвариантная плотность (F-типа на iV = l языке) уже описаны
[569, 570] и здесь не рассматриваются. Соответствующий
лагранжиан обозначим Ф1Ф2. В общем случае лагранжиан может
быть выражен через голоморфную функцию F(<X>i, Ф2),
однородную второй степени по своим аргументам [571, 574]. Обобщение
на случай нескольких переменных очевидно.
Существует другой важный инвариант, отвечающий
произведению векторного мультиплета Фс ю« = 1я тензорного
мультиплета с Шь = 2 [558]:
S ~ J d*xe Lg - (-J- Si} + -у ф1 • у\} + а*г&а»"УУ) Li} +
+ Ф1 (6i + ay .,щ) - -j- Пе^%, (-L Fpa + u>iY<&e« +
+ atytfajE*} + -J- a*Tpa-i}ei}) + h. c.J, (4.4)
С. В. Кетов
129

где Fpa = -о" ^ijFpa, Fp}a — суперкопформио-ковариаитпый тепзор
напряженности для 5^. Инвариант (4.4) обозначим ФЬ.
Подчеркнем, что рассмотренные выше локальные действия двух
типов инвариантны относительно всех симметрии N = 2
суперконформной алгебры SU(2, 212).
Использование тензорного мультиплета в N = 2
суперконформном тензорном исчислении основано на замечательном
результате [558], согласно которому из компонент тензорного
мультиплета L с Wl = 2 нелинейным образом может быть
построен абелевый векторный мультиплет V(L) согласованным с
преобразованиями относительно SU(2, 212) способом, причем
H>V(L> = 1.
Наконец, переход от суперконформной теории к суперснм-
метрии Пуанкаре осуществляется набором калибровок на
«лишние» симметрии. Ввиду независимости результатов от выбора
калибровки [570] примем стандартный набор калибровок [558]:
конформные /^-преобразования фиксируются посредством Ь„ = 0,
где Ьй — калибровочное поле дилатаций (&„ отсутствует в (4.1),
так как полностью «съедается» ЛГ-снмметрпей); 5-суперсиммет-
рия SU(2, 212) фиксируется калибровкой |( = 0; калибровки для
дилатаций, U(i)- и SU(2)-преобразований N=2
суперконформной алгебры выбраны ниже.
3.4.2. Структура скалярпого сектора
N =2 расширенная суперсимметрия приводит к сильным
ограничениям на допустимый вид взаимодействий в N = 2
супергравитации с материей. Ниже мы ограничимся только векторными
и тензорными мультиплетами. Тогда для набора векторных Фг
и тензорных LA мультиплетов лагранжиан имеет вид (более
общие лагранжианы могут быть построены ъ N = 2 гармоническом
суперпространстве с использованием четвертой версии N = 2
супергравитации с бесконечным числом вспомогательных полей
[576])
2 =F(0I) + gACLAV(fBCLB) + hIB0,LB, (4.5)
где F — голоморфная, однородная степени два функция своих
аргументов; F должна быть калибровочно-инвариантной
функцией отпосителыто преобразований янг-миллсовской группы, если
она имеется, действующей на индекс /. {gAc, Jbc, hIB} — набор
констант связи. Из представления (4.5) очевидно, что всю
специфику тензорных мультиплетов в N = 2 супергравитацпи мо>к-
по извлечь из рассмотрения лишь двух тензорпых мультиплетов,
один из которых — компенсатор, и двух абелевых векторных
мультиплетов, одип из которых также входит в теорию в
качестве компенсатора (отвлекаясь от наличия возможных
дополнительных неабелевых мультиплетов, влияние которых на
классический потепциал будет рассмотрено пижо).
430

Если F квадратична по Фг, а второй член в (4.5) «дпагона~
лен» по своим аргументам, такое взаимодействие назовем
минимальным. Нетрудно убедиться, что наиболее общий вид
минимального взаимодействия для двух абелевых векторпых мультп-
плетов и двух тензорпых мультиплетов с «правильными»
знаками кинетических членов, гарантирующими отсутствие гостов в
теории, имеет структуру
& = ±02mln-±-0l-^LcV(Lc) + ^LLMV(Lu) +
+ £„Фт1п£с + gmOmlnLti + /„Фм^с + /тФм^М, (4.6)
где Фтт и Lc — первый и второй компенсаторы соответственно,
Фм и LM — мультиплеты материи, {go, gm, /о, /m) — набор
констант связи. Теория (4.6) отвечает связи абелевого векторного
и тензорного мультиплетов материи с калиброванной N = 2
супергравитацией, где под калиброванной N = 2 супергравитацией
понимается калибрование 50(2)-группы автоморфизмов,
вращающей два суперзаряда [577]. Соответствующим калибровочным
полем является лпнейная комбинация векторных полей из
Фтт И Фм.
Используя правила N = 2 суперконформного тензорного
исчисления, можно без особого труда выписать лагранжиан (4.6) в
компонентах. Если (4.2) — компоненты Фтт, (4.3)— компонент
ты Lc, а. X — первая компонента Фм, то удобен выбор
5г7(2)/г/(1)-калибровки
L4 = 6«exp(2u), (4.7)
тогда как калибровку для дилатацпи удобно выбрать в виде
Ы=(1+Ш2)1/2, (4.8)
поскольку (4.8) приводит к стандартному лагранжиану грави-
тации — у R, где R — скалярная кривизна, в формуле (4.6).
Рассмотрим а-модельную структуру кинетических членов и
потенциал скалярных полей в теории (4.6), т. е. для
минимального случая в общем виде, а также пример потенциала при
неминимальном характере взаимодействия.
Структура скалярных полей в теории (4.6) после наложения
калибровки (4.7) определяется следующим лагранжианом:
e-i&o = DbaThfl - DaXDJC + d(I a I2 - I * I2 + :4=- К - eA -
--g-/?(|a|2-|X|2 + 2e2«- V2K) + 2e^(d„uf-
9*
131

- и^к&чк-ф} - 41 s* |2 + i-1 y y |2 + ^ \f |» л:-1 -
- i- e-«-1G I» + ^0 (oG + 4" S%e»« + h. c.) +
+ gm (aF + -1. StfJT„ + h. c.) + /0 (xG -4 Г%е"« + h. c.) +
+ /m (XF - \ У%, + h. c), (4.9)
где компоненты Фт|п и Lc определены согласно (4.2) и (4.3)
соответственно, а
Фм = (X, Qi, Уу, Wit), LM = (Ki}, Ль F, ФЦ¥). (4.10)
В (4.9) использованы обозначения:
К-(КцКЧ)1*, Е^ = -^^-Ч^"дуЕра. (4.11)
Соответственно Ф" определяется как напряженность (4.11) для
Фра. Ковариантные производные в (4.9) явно выписаны ниже.
Аналогично вклад полей со спином 1 в (4.6) имеет вид
е-^г - - -gj {4" №,^ - <„+ь%-)2 - (^'еу)2 + h. с.} -
- т(^* {W)2 ~ Т Fo+b(^) ^^ - тя-СХГАцеИ)* + h. с.) +
+ ^= е^ВиЕа + ± ВтгцВ^Фа + ^ f0mjW$Ea +
+ ^|/«е«И^Ф.. (4-12)
где
tTufiV + #ь% = 2/2 F%(B) Bit + (аТ&ярЧ + о*27ь%). (4.13)
После устранения вспомогательных полей из (4.12)
получаются квадратичные по напряженностям для Ва и Wa члены,
модифицированные скалярными полями, в то время как последние
четыре слагаемых в (4.12) калибруют SO(2) с соответствующим
калибровочным полем — линейной комбинацией Ва и Wa.
Из (4.9) следует, что действительно калибровка (4.8)
приводит к стандартному лагранжиану гравитации с учетом того, что
D-поле оказывается множителем Лагранжа н дает связь
ехр(2ц)-2-1/гЯ=1. (4.14)
В а/Х-секторе для кинетических членов скалярных полей с
использованием Da = da + iAa возникает SV(\,
1)/U(1)-некомпактная о-модель, которая после переопределений
~»а
Х'^ЩШ- «-^ртг <«5>
132

может быть приведена к стандартному виду
е ^ =—jrW' (4Л6>
откуда Ы <1.
Аналогично в ЛГа/£<гсекторе, переходя к SO (2) -записи
Kij = 6UA + iBi}, DaA = даА L AhalBhl,
DaBij = daBi} + A'jA + V*BP, ил* = Vah{ - iAah\ (4.17)
где Вгз и Aj симметричны по своим индексам, a V?
—антисимметричное векторное поле, вводя теперь множители Лагранжа
Р и Q для продольных компонент Е» и Ф„ и используя
«уравнения движения» для последних, получаем
в-1^—тот{2(м-^ЫдИ)1+
+ (ajB» + aU + v*bPY) + 4- (l + Ya^TW) (47 +
+ -— д (да VIFTb^ +
2(l+ V A2 + B2)
+ i+VfTJ^daP_^viJeiij_
2 V 2 /л2 + Я2 4Z?2V^42 + Z?2 /
(4.18)
где 52=-i-(5ij)2- В (4.18) Л? и Vhal являются
вспомогательными полями. Можно показать, что (4.18) описывает
фактически а-модель лишь для четырех скаляров и отвечает метрике с
кватернионной структурой [497]. Отметим, что введя множители
Лагранжа' в (4.9), мы игнорировали суперсимметричную
структуру исходного off-shell представления, так как произвольно
изменили число бозевских степеней свободы. Тем не менее,
лагранжиан (4.18) и вся результирующая физика остаются, конечно,
в согласии с суперсимметрией.
После устранения из (4.9) вспомогательных полей (S", Уу,
F, G), используя (4.14) и (4.16), получаем следующий
потенциал
V = (/о - gl) + 2(/m/0 - gmg0) A(i+ [Л2 + Я2]"*) + 2(/„2 - gl) X
X [А* + Я2]"* + (fm + f0- g2m - gl) (Л2 + В2) +
133

Потенциал (4.19) ограничен снизу тогда и только тогда, когда
£о = /о = 0, fm>g*m. (4.20)
При этих условиях, как нетрудно убедиться, у потенциала (4.19)
нет стационарных решений со спонтанно нарушенной
суперсимметрией. Все стационарные решения отвечают ненарушенной
N = 2 суперсимметрип.
Для ориентации в ситуации с неминимальным типом
взаимодействия рассмотрим следующий пример :
2 = 4" ФтЫ - Т ФМ - Щ L°V(L°) + VLKV(L* + Lc) +
+ &>Фт1п£с + ^тФтт^М + /„ФмА: + /тФм^М- (4.21)
С выбором калибровки
la|=(l + |XI2)1/2, L'1'=6il(l + 2u) (4.22)
«уравнение движения» для JO-поля дает связь
К2 + Кг (1 + 2ц) = Ц- [К2 + 2Кг (1 + 2и) + 2 (1 + 2uf]**, (4.23)
где
Кх - Ю%, = К^. (4.24)
Вычисление потенциала для теории (4.21) приводит к
У = (/о - /о) (1 + 2ц)2 + (/0/m - адт) К, (1 + 2и) +
+ 4"(/« - Л) Я2 - 2(1 + 2ц) | а (д, - gm) + X(f0- /т) |« +
+ 2(1 + 2ц)Д2ц + 2^'2(1 + 2"И^о + UX-agm + imX№?-
-(agm + fmX)\\ (4.25)
где
tf£ = К2 + 2Кг (1 + 2ц) + 2 (1 + 2ц)2. (4.26)
Потенциал (4.25) ограничен снизу только тогда, когда
go=gmssg, /o = /m = /. (4.27)
При этих условиях (4.25) можно переписать в более краткой
форме
v-^-^Kl + mT^^Wiae + ,xf- (4-28)
Следовательно, f>g2 и Р2 > 1/2. Только при этих условиях
потенциал ограничен снизу.
a) f = 82-
Va) = g2K\ 1*+^* + 1*1*Г (4 29)
' 2 (1 + 2м) р2 - 2м + гряг^ v
134

Суперсимметрия не нарушена. Классический вакуум вырожден:
<KL> = 0, <£«>-««*, <u> J- (1 + 0. <^o)>=0. (4.30)
Космологическая постоянная равпа пулю.
б) f>g2- Суперсимметрия непарушена, классический
вакуум вырожден, как и в предыдущем случае.
Рассмотренные выше модельные лагранжианы могут быть
фрагментом более общей теории, включающей неабелевые
векторные и скалярные мультиплеты. Рассмотрим в качестве
примера дополнительное взаимодействие с одним неабелевым
векторным мультиплетом и выберем полную калибровочную группу
G = SO(3)XU(\) с возможными приложениями к N = 5
супергравитации. В самом деле, если мультиплет N = 5
супергравитации рассматривать с точки зрения его разложения на N = 2
мультиплеты, скалярные поля входят в 50(3)-триплет
векторных мультиплетов, содержащих три комплексных скаляра,
которые являются £7(1)-синглетами, причем два остающихся
комплексных скаляра являются частью гипермультиплета,
который в N = 2 представлении может быть реализован off-shell
тензорным мультиплетом. Вычисление соответствующего
потенциала дает
У = (/о - el) (1 + Y^TB^f + 2 (/0/m - g0gm) A{\+ V^W2) +
+ (fm-gl)(A* + S2) + ^ffi+jfy I*» + M -
где g—калибровочная константа связи SO(3), a zh — скаляры
50(3)-векторного триплета. Обобщение (4.31) на случай
произвольной компактной полупростой калибровочной группы
очевидно.
Следовательно, для тензорных мультиплетов можно
построить нетривиальные потенциалы, однако спонтанно нарушить
суперсимметрию оказывается невозможным при условиях
положительности метрики кинетических членов скалярных полей
и ограниченности потенциала снизу. Другими словами, в
системе тензорные + абелевые векторные мультиплеты в
калиброванной N = 2 супергравитации нет стабильных стационарных ре-
шепий со спонтапно нарушенной суперсимметрией для
классического потенциала.
Таким образом, мы приходим к выводу о необходимости
присутствия неабелевых векторных мультиплетов в теориях iV = 2
супергравитации с материей, для которых можпо обеспечить
спонтанное нарушение локальной суперсимметрии без
космологической постоянной, используя, например, решения с так
называемым плоским потенциалом [574]. Для обеспечения контакта
135

с феноменологией необходимо рассмотрение комбинированных
теорий N = 2 супергравитации со всевозможными мультиплета-
ми материи: векторными, тензорными и скалярными.
Г лав а 4 .
АНОМАЛИИ ЛОКАЛЬНО СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ
ДВУМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИГМА-МОДЕЛЕЙ
4.1. ФБРМИЕВСКИЕ СТРУНЫ В ИСКРИВЛЕННОМ (ЕВКЛИДОВОМ)
ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ С КРУЧЕНИЕМ
4.1.1. N=1 локально суперсимметричные двумерные
нелинейные сигма-модели с кручением
С точки зрения двумерной (некиральной) суперсимметрии
существует несколько фермиевских струн в зависимости от
числа N = 0, 1, 2, 4 генераторов суперсимметрии. Эти четыре
возможности соответствуют классификации калибровочных алгебр
дуальных моделей и двумерных конформных (некиральных)
супергравитаций [578, 579].
Фермиевская струнная теория Неве — Шварца — Района
(NSR) [398—402], суперструнная теорпя Грина —Шварца
[403—408] и теория гетеротических струн [196—199] имеют
критическую размерность Д. = 10. Можно определить еще две
фермиевские струнные теории: N = 2 фермиевскую струну с
зарядом и спином [579] и N = 4 фермиевскую струну,
существование которой предсказано на основе изучения
бесконечномерных конформных супералгебр :[183]. На плоском фопе последние
две фермиевские теории имеют «критические размерности» Dc =
= 2 и De = —2 соответственно [580—583], что делает их
малопривлекательными для физических приложений: N = 2
фермиевская теория имеет физическую критическую размерность, но она
оказывается меньше 'четырех; дуальные струнные амплитуды
N = 4 фермиевской теории, определенной в некоторой целой
положительной размерности, неизбежно оказываются
неунитарными [183].
Действие N=\ фермиевской теории построено в [584, 585],
действие N = 2 фермиевской теории найдено в [586], действие
N = 4 фермиевской теории указано в [587]. С точки зрения
двумерной супергравитации все эти действия могут
рассматриваться как минимальная связь скалярных мультиплетов с N-
расширенной супергравитацией. С учетом искривленного фона
следует определить взаимодействие соответствующей двумерной
НСМ с двумерной супергравитацией, что рассматривается ниже.
Для решения этой задачи можно воспользоваться одним из трех
136

методов: процедурой Нетер, суперконформным исчислением или
суперполевыми методами. Процедура Нетер (в компонентном
подходе) будет использована ниже для построения действия NSR-
модели в искривленном пространстве-времени с кручением [588],
N = 2 суперконформное исчисление — для построения
аналогичной конструкции, но для N = 2 фермиевской струны [589]. Для
построения соответствующего действия в теории гетеротических
струн (N = 1/2) в следующих разделах этой главы будут
применены суперполевые методы.
Суперполевые методы описания фермиевских струн,
аналогичные ставшим уже стандартными четырехмерным суперполе-
вым методам в супергравитации [590—592], развиты в [593—
597]. Двумерное суперконформное исчисление, аналогичное
четырехмерному [598, 599] или трехмерному [600, 601],
построено в [602—604]. Взаимосвязь N = 1 фермиевских струн Неве —
Шварца — Рамона с суперструнами и супергравитацией
указана в [605]. Интересно, что можно определить (8, 0) локально
суперсимметричные двумерные нелинейные о-модели с
нестандартной структурой лагранжиана и конформной
инвариантностью [606]. Это, однако, имеет лишь академический интерес.
Ниже мы представляем наши результаты [589, 590, 607—
611] для фермиевских и гетеротических струн на
нетривиальном фоне: построение действия и вычисление суперконформпых
аномалий.
Исходным пунктом нашего рассмотрения будет глобально
iV = 1 суперсимметричная двумерная НСМ с кручением,
построенная в гл. 2, с компонентным действием
Мф. Ч = -у j й2а:[су90ф{5>' + Ние°Ъда<р*дь<р' + iGwxy (ВД* +
+ Шт?ъГ (ЭвФ*) Кк + 4 Rm (IW ) (IW ) —J- V, Нт х
X (Г^)("Л') - ±-HijmHmM(Vy3X)(XV)]- (LI)
где кривизна 7?«л/, ковариантная производная Da и кручение Иць,
построенные в терминах метрики Gi} и потенциала кручения
#«, определены в предыдущих главах. Действие /о инвариантно
относительно преобразований суперсимметрии с постоянным
спннорным параметром
. бф1 = ёЯ.1, «Я,1 = - I (3V) е + \ е (rjhXjA.h - W^Vy^). (1.2)
Ради дальнейшего удобства в этом разделе изменены роли
различных букв для обозначения индексов: латинские буквы
начала алфавита используются для обозначения плоских
двумерных тензорных индексов
ti°» = diag(+, -), eoi = eio = l,
<f, 1») - 2тГ», TfY-4rt+ertTf8, Tfs-TfY; (1-3)
137

греческие — для тензорных индексов на искривленном мировом
листе струны. Последние связаны с первым «цвайбайном» еук(х):
еЪеЪ = г\»ъ, «Цеву-*|4У (1-4)
Матрицы у1*==:еауа зависят от 2 и удовлетворяют
соотношениям
?ii?v = ^ixv + E^y3, EP"-e-W», e = deteV (1-5)
Отметим некоторые полезные свойства двумерной дираков-
ской алгебры
еаЬЪ = ЬЧа, TfTfY = TfYlf". WY = 0- (1-6)
Можно переписать (1.1) и (1.2) в эквивалентной форме,
в терминах майорана-вейлевских спиноров Х± вместо К
/0[Ф, Я.±] = -y§(Px [G^q^V' + Нцга1>дафдъф + 16^(В+К+У +
+ tGySL {Ъ-К-У + \Rtm №уМ (й-т"^-)] (1-7)
с законами преобразования суперсимметрии
бф' = б+ф' + б_ф' = е+Я,!_ + е_Я+,
«4 = - i (V) Ч ~ Г±**А4(в±Ф*). (1-8)
где
Г-j-'jh = r}h ± Hljh, R ljhi = ^'jhj (Г±),
£»±4 = <U'± + Г^ДЧф", 4sy(l±1i) *'■ (1 -9)
Рассмотрим вариацию /0 относительно z-зависимого
параметра е(х) и разложим ее в ряд по X. Тогда б/(5> исчезает, как
и в глобальном случае, потому что не содержит д„е. Результат
явного вычисления б/(1> имеет вид
б/(1) = 1 j\ftc [2(авФ*) Р?У (Эье) Gi} + да \{д\') (eV)С„ +
+ (eob<W) (e?3V) G„ - 2 (eob<W) (iV) #«]]. (1.10)
Вычисление б/<3) требует значительной работы:
использования различных свойств симметрии, свойств майорановских
спиноров, тождеств Фирца. Двукратное применение последних
приводит к полезным тождествам
(М4) (7^) + (ёЯ4) (tf-if.V)-H(eV) (ЯЧДО = 0,
(Я'-ГзГе) (X*V) - (е"Г) (VfsfV) - (ёЛ'М^ТзП*) = 0,
(i'lik') (Я'Ге) -(Ху^) (Л.Ч*е)-Н(ёХ*) M'TeW) -
138

- («Л») (i'ftal') - («Л') (Л'ТзГ^) = 0. (1.11)
С использованием этой информации б/(3) припимает вид
б/(3) = 1 Jd»z [- -|-Я^ (XV") №) - -| Яук (XW^) *
X (ХЧе) - да [-LHijh (X V) (хУе) + ^-Яу„ (X VXj) C^")}].
(1.12)
Формула (1.12) определяет нетеровский ток, если опустить
полную производную. На первом этапе связи с супергравитацией
следует добавить в действие нетеровскую связь с калибровочным
полем суперсимметрии — майорановским «гравитипо»
iN = 1J d?x [2 (авФ*) (хуу>ь) су - -i ffijk (х Vxj) (*Ч) -
--|-^«ft(^V^)(^T8*.)J. (1-13)
где закон преобразования гравитино имеет вид
6ф„ = -дае + ... (1.14)
Многоточие в (1.14) обозначает дальнейшие поправки (см.
ниже). При выводе (1.13) было использовано тождество
2Я<Й (к'ъГК) (ХЧе) + Нт (XV) (Хкде) =
= И*№гГН) (ХЧе) + Я,й(ХуХ0 (ккЧздае). (1.15)
Следуя стандартной нетеровской процедуре [69], рассмотрим
вариацию нетеровского тока. Эта вариация приводит, в частности,
к тензору энергии-импульса, что означает необходимость
привлечения минимального взаимодействия с двумерной гравитацией.
После некоторых вычислений оказывается, что суперковарианти-
зация действия и законов преобразования суперсимметрии по
отношению к Сц и -фа достаточна для обеспечения инвариантности
действия.
Локально iV=l суперсимметричное обобщение (1.1) имеет
вид [589]
/ - i Jd"x [eg^Gnd^d^ + Нце^д^д^3' + eiG^Y (ВД* +
+eiHV]hVyYM) bh+i Rm (x'Xh) (x'x1) —J- viHiih (x V)x
X(XhX') - -J-HiimHmM (XV) (Xh?3X') + 2e (d^ + ±^X1) X
X (ХУ/Ф») Ga - -J Hm (X'?3yV) (xNfc) -
-|-^jh(XYV)(^73^)] (1.16)
139

с законами преобразования N = 1 суперсимметрии
6ф'.= ГЯ.',
6V = - t {dip* + [Vtpv] ?v) e + 4 e (rjhVXh - tf'^V),
бец = 2ieY°tp|i,
бгрц= — Дце = — (5ц + уШц7з)е, (1.17)
где лоренцева связность шй содержит стандартное яр-кручение
[584, 585]: ,£
©и = (o[i0) + Ац, ЛГц = 2гее|гуя{>у'урярр,
«,<?> = i еоЬе* [Vbv - а^ + «?«{&*„]• (1.18)
Подстановка ш-связности в действие (1.16) для обеспечения
явной лоренц-инвариантности кинетического члена А,-спиноров
приводит к исчезновению ш-зависимости в силу свойств
симметрии для майорановских билинейных комбинаций.
Основная причина отсутствия дополнительных (кроме нете-
ровской связи и суперковариантизации) членов в (1.16) связана
с независимостью законов преобразования суперсимметрии (1.17)
для полей супергравитации от полей материи. В качестве
проверки нетрудно убедиться, что действие (1.16) и законы
преобразования (1.17) сводятся к известным результатам для N = \ фер-
миевской струны (NSR-модели) после подстановки
<?„ = б„, Я* = 0. (1.19)
Действие (1.16) инвариантно также относительно
общекоординатных преобразований с параметрами |й:
К = tdifil + efoi&N бярц = £4ifo + я!ъ<и\
бф1 = 6хаХФ*, «X1 = бЧ*'. (1-20)
лоренцевых преобразований с параметром I:
bel = 1еаьеЪ fcfo = - -± 1Уз^, 6Я1 = - 11у3%\ (1.21)
вейлевских преобразований с параметром Q:
бе° = Qe°, бярц = -± Йярц, 6Я.1 = - yQV. (1.22)
Более того, действие (1.16) обнаруживает суперконформиую
(«случайную») локальную симметрию с параметром я
eih, = vi, (1-23)
что проверяется с использованием преобразований Фирца в
членах, содержащих кручение.
140

Приведенные выше симметрии допускают выбор классической
калибровки
<£ = 6°, Ik-0, (1.24)
в которой воспроизводится исходное действие (1.1). В
квантовой теории вейлевская и суперконформная симметрии
являются аномальными.
В терминах майорана-вейлевских двумерных спиноров К±
действие (1.16) переписывается в виде
+ iGiilUD-iJ+^Rtmi^+yAW-y^-) + 2(ацф' + ?ъА+
+ i VlL)(U [g^+e-hn b+XL |^v - е-'гП Vv) Gy+ -| HUh X
x(A!h74)(n^)-|-^ih(XLAi)(X!L1l3j] (1.25)
с законами преобразования суперсимметрии
бец = 2г'е7°г|5ц, бфц = — Дцб,
бф1 = б+ф1 + б-ф1 = ё+lL + 1-1+,
б4 = - i (д<р{ + IU9v + ^-Ф») 7V) ет - Г±*л4 (в±ф*). (1.26)
4.1.2JV = 2 локально суперсимметричные двумерные
нелинейные сигма-модели с кручением
Используемая техника основана на (1 + 1)-мерной
комплексной суперконформной алгебре и тензорном исчислении [602].
Она [602] вполне аналогична стандартным методам N = 1 су-
лерконформного тензорного исчисления в d = 4 [567], однако не
может быть получена размерной редукцией из последних. В этом
разделе обобщаем результаты [602] на случай N = 2 локально
суперсимметричным НСМ с обобщенным ВЗВ-членом. Другими
словами, строим взаимодействие N =2 НСМ с кручением и
N = 2 супергравитации в d = 2. Чтобы уменьшить объем этого
раздела, мы вынуждены опустить введение в N = 2
суперконформное тензорное исчисление, отсылая читателя к [602].
Отметим здесь лишь основные этапы построения.
Сначала строится калибровочная теория для N = 2
комплексной суперконформной алгебры OSp(2\2)XOSp(2\2) в
размерности d = 2. Далее устанавливаются связи на кривизны,
устраняющие часть независимых калибровочных полей. В результате
теория становится инвариантной относительно общекоординат-
Вых преобразований (вместо ^-преобразований исходной Теории).
Алгебра состоит из 8 бозонных генераторов (Pai Ka, M, D, A, G)
И 8 фермиопных ((?а>Sa)- А и G являются генераторами ки-
141

ральной и внутренней симметрии, Ога и 5J, — двухкомпонент-
ными майорановскими генераторами суперпреобразовапин. Для
SO (2) -индексов используются те же самые буквы латинского
алфавита, что и для а-модельных индексов
(«пространства-времени») ради упрощения обозначений, поскольку конфликт
между ними невозможен далее, когда мы перейдем к комплексной
записи для майорановских спиноров.
Наложенные связи позволяют выразить ^ц = Юц, /гй = /£ и
Ац == фц — калибровочные поля в терминах остальных [602].
Динамические степени свободы N = 2 теории
характеризуются N = 2 мультиплетами материи, среди которых: киральпый
незакрученный супермультиплет 2* = [ф, %, SF\, составленный из
скалярного поля ф с вейлевским весом К, двухкомпонентного
комплексного спинора % и комплексного (вспомогательного)
скаляра &~; действительный векторный супермультиплет V\ =
= {С, %, 36,^ #2, Вз, Вт± Я, D), состоящий из действительных
скаляров (С, Вг, В%, D), комплексного скаляра 2/6, двухкомио-
нентных комплексных спиноров £ и К, действительного вектора
Вт [602].
Определим также суперконформный закрученный киральный
мультиплет 2£ = [я, Р, G] [589], состоящий из тех же
компонент что и незакрученный, но с Q- и ^-преобразованиями
суперсимметрии, получаемыми подстановкой
eQ-»P_eQ + P+eCQ = eQ_ + ecQ+,
es-+P+es+'P_Ecs = es+ + B%-, (1.27)
где ее и es суть параметры локальных Q- и 5-суперсимметрий,
Р±= у (1 ± 7з) — киральные проекторы, ес — майорановски
сопряженный спинор. Тогда калибровочные преобразования
закрученного кирального мультиплета с вейлевским весом К
принимают вид
бя = еадап + -g Ала + XnkD + i(eQ_ + &%+)р,
бр - е°5„р + Хма01р + \ у&ЬА + \ (А- -1/2) ра + (X + 1/2) pA.D +
+ А.л (es+ + ecs-) + j5n(eQ_ + ecq+) + \ (e£>_ + eQ+)G,
6G = EadaG + -i (Я, - 1) Go + (Я, + 1) G%D +
+ i (eQ+ + e$_) dp - 2iA.(es_ + ecs+) p, (1.28)
где e°, "ktt, A.D, A.A, a, &q и е8 суть параметры общекоординатных,
лоренцевых, вейлевских, киральных, внутренних, Q- и 5-супер-
симметричных преобразований соответственно. Их локальные
формы получаются заменой обычных производных на суперко-
142

вариантные. Замкнутость алгебры гарантируется тем, что после
подстановки, обратпой (1.27), получается обычный киральный
мультиплет. Следовательно, закрученный мультиплет
эквивалентен незакручепному. Одпако, если в теории участвуют и
закрученные и незакрученные мультиплеты, получается нечто
новое, что приводит к кручению (см. ниже).
Инвариантная плотность для векторного мультиплета с
исчезающим вейлевским весом имеет вид [602]
2 = е [- 5 + ПС + Ц.у (Я. — Я£) + Ж (йю^) + h. с], (1.29)
где суперконформный даламбертиан □ строится путем анализа
трансформационных свойств eg^D^C [589, 602]:
□ С = e-^eg^D^C) - №{DJC) + \ %CR + i^^a^x
X фу + ^V) - у U (ф~-it) - t (ф^С) - * (w»4DCb)+ h. с)
(1.30)
(для векторного мультиплета с вейлевским весом К).
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы сформулировать
локально суперсимметричную версию [589] обобщенной
нелинейной а-модели Гейтса, Халла и Рочека [388]. Пусть 2< =
= [ф(. %*, &"*\ i=o (i — I. • • •, п) — набор киральных незакручен-
ных мультиплетов, 2Р = [яр, рр, Gp]k=0 0> = 1, • ••, т) — набор
закрученных киральных мультиплетов, К\Щ, ф/, яр, яв) —
произвольная действительная дифференцируемая функция от
своих аргументов. Определим векторный мультиплет V, первой
компонентой которого является С = К((р1 ф*, я, я*). Вторая
компонента £ этого мультиплета строится (^-преобразованием К
и т. д. вплоть до последней компоненты D. Затем используем
инвариантную плотность (1.29) для построения инвариантного
действия, например,
*к = -£'(чс«) + -щ-р * С^+Рр) + -%r t (й»-К) + • • • -
= -i-^+... (1.31)
и, следовательно,
t--2«£x,-2**p p 2-££-/>_р;. (1-32)
Вычисление других компонент 5г, Вз, Вт, 36, К и D
является непосредственным (и весьма трудоемким). Приведем
окончательный результат для инвариантного действия в
конденсированных обозначениях
Ф+ = (ф»' "р). Ф- = (фь прГ
ф+ = (ф{,Яд), ф1 = (ф?, яр);
143

К = (xi+- Рр+Ь a.- = Ixj-> Рр-Ь
^+ = 1х*+> Рр+Ь ^- = 1х«-' Рр-Ь
где по определению,
(1.33)
(1.34)
Очевидно, введение новых полей в (1.33) удваивает число
полей, поэтому поля (1.33) следует рассматривать как линейно
зависимые.
После устранения вспомогательных полей &~, G, &"* и G*
инвариантное действие имеет вид [589]
/ = \с^хе{е-АВд^д\1 + Н-АВЕ^д^д^в+ + [ig2B>4x
X (ЪС0^+)В + iglBK± (5™Х.)В - { g-ABdM (*//*?) ~
- |^b(^Y^)^ + h.c. ]+ 2R-AB5D(%iynl) (%ly^) +
+ [(^?^)(^/?^)Я^вс+(^?у^)(^//^)Я=вс+Ь.с.]},
(1.35)
где введены метрика gAB и потенциал кручения Л^в*.
_д2К
О
О •; —
а2к
дп*дп
. h-A. = \ -
АВ
0
а2к
длдф
а2к
дц>*дп*
0
(1.36)
Кривизна и кручение определяются в виде
. 1 dh- dh- \ . I dh- _ dh— \
rj± _ 1 / AC AB_\ TT- _ 1 / AC AB\
пА.вс- 2 ( д(рв дЦ)с+ у па.вс 2 [ афв дц)с_ )
ъ_
ABCD ~
д*К
J*i
д"К
д3К
+ g*
д3К
3Ф;^Ф+^Ф- дЦ>{дЦ>Ад(рС_
д3К
ая*5ф^ф^ дпрдуАд<рЕ.
+
(1.37)
что вполне соответствует их стандартной записи на комплексных
многообразиях [479]. В (1.35) использованы киральные супер-
144

ковариантные производные
(D?YX+)B = Dl%l - -1 P+DyZ^ + Г^+^фЭД (1.38)
где
W, = f гст)>А- rCJ3(+M- = ^Б^Т " ig:' <1-39>
Аналогично
(5c;vx_)B = £»»^ - 1 р_5ф£^ + г£,(_Лф^, (1.40).
где
Выше Дц используется для обозначения ковариантной
производной для линейно реализованных симметрии.
Отметим некоторые интересные соотношения
*^4<P+3v<P+ = Л^Чф^Ф-. (1.42).
причем последнее справедливо с точностью до полной
производной.
Действие (1.35) инвариантно относительно всех симметрии
N = 2 суперконформной алгебры по построению. Следовательно,
существует классическая калибровка, в которой все
калибровочные поля отсутствуют. В этой калибровке действие (1.35)
сводится к глобально суперсимметричной двумерной нелинейной
о-моделн с кручением, рассмотренной в [388]. В квантовой
теории редукция, вообще говоря, не происходит вследствие супер-
конформых аномалий.
Попутно важно исследовать, обнаруживает ли теория
(1.35) обобщенную келерову зависимость при калибровочных
преобразованиях келерова потенциала К глобально
суперсимметричной теории
6Я = Л(ф, п)+Й(ф, n*) + h. с. (1.43)
с произвольными дифференцируемыми функциями Л и Q. Если
есть такая зависимость и подходящий механизм для ее
компенсации, возможно топологическое квантование гравитационной
константы связи (выбранной выше равной единице) в единицах
Константы связи скалярного самодействия, аналогично тому как
это происходит для нелинейной о-модели, связанной с
супергравитацией, в размерности четыре [612]. Эффект топологического
квантования возникает в том случае, когда в теории имеется
*0 С. в. Кетов
145

келерова калибровочная зависимость, которая компенсируется
последующим локальным киральиым преобразованием [612].
На первый взгляд, в построенной нами теории (1.35) такая
зависимость обнаруживается из^ двух источников: ф-суперкова-
рнантнзованных производных Z)„ и г|э2-тензора копторсии в ю-
связности
<»и(е£, bv, %,) = Шц(еъ bv) + -| е£ [(^уф) — (ф-уфу)]. iX-Щ
Все келерово-зависимые члены в действии оказываются
пропорциональны
*IB(*3l*)(*^)*,W + *3B(*3*i)( W)^ = J ^V(^?V)X
Х [^(Ь+™+) ~ 4fc(P^?pXi-) " ^4 (1-45)
однако в сумме взаимно уничтожаются, что означает отсутствие
келеровой зависимости в построенных N = 2 НСМ с кручением,
а с ней и отсутствие топологического квантования константы
связи [589].
4.1.3. (Супер) конформные аномалии,
критические размерпости и низкоэнергетическое
(супер) струнное эффективное действие
Как уже отмечалось в раз-д. 4.1.1, возможны две
интерпретации построенных выше теорий. С одной стороны, они могут
рассматриваться как локально суперсимметричные двумерные
НСМ, связанные с супергравитацией. При квантовании таких
теорий нарушается суперконформная инвариантность, в
результате чего двухточечные функции гравитона и гравитино,
вычисляемые из квантового эффективного действия, могут стать
нетривиальными [613]. С другой стороны, эти теории могут быть
интерпретированы как фермиевские струны на искривленном
фоне. Ниже будем следовать второй интерпретации.
Фундаментальными свойствами струнной теории являются
репараметризационная инвариантность и конформная симметрия,
что означает, в частности, необходимость исчезновения
конформной аномалии для квантовой непротиворечивости.
Эффективным off-shell действием Г для (бесконечного)
набора локальных полей, соответствующих модам свободного
струнного спектра, является [303, 304]
Г [G, Я, ... 1 = 2 е« f [Zfciiv] [ДфЧ ехр (- /),
1 = ШГГХ (if Vgg^d^d^Ga (Ф) + ± е^фадя^ф) +...},
(1.46)
446

где многоточие указывает на все возможные источники (с
высшими производными), совместные с репараметризационной
инвариантностью, для других возбуждений струны
(ограничиваемся здесь, ради определенности, случаем замкнутой бозонной
струны). В (1.46) безмассовые моды (гравитон и
антисимметричный тензор) указаны явно. Ради простоты поле дилатона не
учитывается. Более того, мы ограничиваемся лишь древесным
для струн приближением — в общем случае необходимо
включить в (1.46) суммирование по всем компактным ориентируемым
поверхностям с произвольным числом g «ручек» (% = 2 — 1g
суть эйлерова характеристика мирового листа) [303, 304].
Проблема вычисления Г естественным образом распадается
на две: сначала вычисляем эффективное действие НСМ с
обобщенным ВЗВ-членом, определенные на искривленном мировом
листе с фиксированной характеристикой %, а затем усредняем
по всем метрикам и топологиям. Решение первой задачи
сводится к вычислению
ехр {- W[G, H, g]} = j [Dr\] exp {- / [<p + r\ (x), g]}. (1.47).
Общая структура W ясна из соображений размерности и
симметрии [360, 361]
W = ±.^R(x)V"g*x + у\{RY'g\ U^iRYDx'&xcPx',
(1.48).
где использована размерная регуляризация (е = 2 — d), R = Rk\\,
а р и ■[ суть безразмерные функции <р, пропорциональные
одному и тому же коэффициенту Силли, так что 0 = 4f [304]. Эти
коэффициенты могут быть вычислены пертурбативно по а'.
Второй член в (1.48) суть вейлевская аномалия. Для пертурбативно-
го вычисления f воспользуемся разложением действия / в
нормальных координатах, аналогично рассмотрению в главах 1 и 2.
Для конформно-плоской (в d = 2) метрики легко находим
^v = e2o6,v, R(x)=-2e-2°Oa,
В размерности d, разлагая &«, = 6„v + hv» с точностью до
членов второго порядка по h, имеем
V'gg^=(1 + -г/г + "г/г2_"г ft^Kv ~ ft,iv (i + ~Th)+aia^v-
(1.50).
Поэтому, если A„v = 2о6ЙУ, h = A„v = 2ad, то
/Jgiiv = U + га (х) + 4- e (d - 4) a2 (*)] 6^. (1.51).
Отметим аналогичные формулы для цвайбайна
е^е» = и+±га) 601i, e-4*eaVL = (l |- ea) 601i, (1.52).
10*
14Т

j-ett
полезные при обращении со спинорами в искривленном
пространстве-времени [614].
После преобразования квантового поля | -*■ У2ясс'|, где | —
касательный вектор к геодезической в точке феМ, выберем
конформно-плоскую запись двумерной метрики, с
использованием которой существенная для вычислений часть фоново-кван-
тового действия принимает вид
= J ffix p^l i?obcd (Ф) д£ад£*\ь1с + 4" (2па')Ч* г^НаЬс (Ф) х
Хд11?д,1ьГ+ еа(*)4А£ЧГ+ га{хр^-ЯаЫл^)д^ад^х
X £? + ^f DaHM (Ф) е'^ЧГГ'Г], (1-53)
где {ф} суть координаты пространства-времени, которые не
зависят от х\ Соответственно, аномалия в (1.48) принимает вид
Ау \ <Рхо (х) п а (х). (1.54)
Если <т суть константа связи разложения по топологиям в
(1.46), то первый член в (1.48) может быть абсорбирован в
перенормировку этой константы связи. Набор двухпетлевых
диаграмм, определяющих (1.54), изображен на рис. 4.1. В отличие
от диаграмм, рассмотренных в главе 2, необходимо учитывать
«лепестки» (тэдполы), поскольку в силу компактности мирового
листа струны ИК-расходимости отсутствуют.
Последний член в (1.53) не дает вклада в двухпетлевом
приближений в силу антисимметрии тензора кручения.
В однопетлевом приближении (рис. 4.1, а) легко находим
в соответствии с [360].
Вклады двухпетлевых диаграмм (рис. 4.1) в (1.54) имеют
ВИД , -&Ж
б= па
^jd*Aa(A)a(-A)j*dV<ZX
3 (2л)
.Ар-к-р2)2(д.к-д2) + (р.к~р2)(р.д)(к.д-д*)
fik-pffik-gf
envep*. J d?ko (к) а (— к) \ dtpi&q x
d + e =
2е2ла'Я?
148

<x'R
(Г
ТЕРЪ
<J
Рис. 4.1. Диаграммы, определяющие ведущие вклады в конформную
аномалию замкнутой бозонной струны, распространиющейся в искривленном
фоновом пространстве-времени с кручением.
X
p2(&-p)V(&-p-<7)
(к-р — р2) (к-д — д2) рц (к — д\ (& — р)р дх
2 I 77 ~& ^
+
{к-р— р2)2 д^ (к — p)v др (к — р)г
(к - р)2
(1.56)
где
о (*) = "^р j <Рро {р) ехр (- ipx). (1.57)
Неоднозначность в ренормализационном предписании для
«'"'е"* в данном случае не имеет значения, поскольку в
интегралах (1.56) следует учесть лишь вычеты при 1/е2-полюсах для
сокращения е2 в числителе. Поэтому можно воспользоваться
двумерным тождеством
efveP». = g^gvp _ gwgvx ^58)
Вклады диаграмм с «лепестками» на рис. 4.1, будучи
отличными от нуля по отдельности, сокращаются. Сумма других
вкладов приводит к аномалии
^ = <Й(-* + Т*2) = <Й(-2-4я2), (1.59)
и)
где Н2 = НаьсНаЬе, R —скалярная кривизна (с кручением).
Вычислив W в ведущем приближении по ос' для замкнутой
бозонной струны, нетрудно найти эффективное действие Г для
безмассовых возбуждений струны (метрики G« и поля Калб —
Района Нц) на древесном (% = 2) для струн уровне [304].
С учетом тождества
J'
(1.60)
«v (я Vg\ и г»1- (Д Vg)*> = 1бя
Для метрики на сфере легко находим
г№|С-я,~1,^/гЧ1+т[-я+-И}' <ш>
149

что согласуется с другими подходами [307 —309].
Космологический член в (1.61) возникает благодаря тахиону в спектре
бозонной струны и отсутствует для суперструп. С учетом
исчезновения В-функций (R = 0) и вклада репараметризационных
гостов [360] в аномалию бозонной струны получаем
окончательно в ведущем приближении [589]
Р=ж + вИ-»+-.
1-*ъг+&(-*-!'•)*■■■• <162>
Следовательно, поправка к критической размерности имеет
вид
£>е = 26 + а'Я2 + 0(Га']2). (1.63)
Обобщение на случай iV = 1 или N = 2 фермиевской струны
проводится по аналогичной схеме. Разложим Is [e£, ф+£(#),
ф(#)] с точностью до четвертого порядка по квантовым полям
|'(я) и г|?а (г). После переобозначения |-»(2na')1/2|, г|э -*■
-*■ e~UiV2na'ty существенные члены в разложении действия,
дополнительные к (1.53), имеют вид
/f.mt -]"#*[■£ еофУгРиФ ~ (2ясс')1/2 (l - \ ea) \ НаЬс х
+ ^- i?abcdV41 + 7з)^Ь(1 + У*)**]- (1-64)
Удобен выбор калибровки
ЛГ=1: е£ = ea6a|i, фц = -у у»к
4 . (1-65)
N = 2: el = e°6aVL, ^ = -1 Т|Л А» = -1 e^5vp,
где Я — майорановский (N = 1) или дираковский (N = 2)
спинор.
В силу суперсимметрии достаточно заменить
N - 1: -| (d0a)2 -> 4 (5°a)2 + Т ^Л«
ЛГ = 2: i- (d0of -> i- (d0a)2 - | (dap)2 + -i- Л (1 -66)
вычислив коэффициент лишь при вейлевской аномалии, чтобы
сразу получить суперконформные аномалии. Однопетлевые ре-
150

н
/ \
а
«7?
юр
с- /
<*У? _
/ Y \
5
N
-+—
\
о*
I \ СГ
к
Рис. 4.2. Дополнительные (по отношению к рис. 4.1) диаграммы для фер-
миевскпх струн на нетривиальном фоне.
зультаты (рис. 4.1, а и 4.2, а) хорошо известны [369, 582]
D ?d)= D
(1.67)
32л '
что с учетом репараметризационных и суперконформных гостов
приводит к стандартным значениям критической размерности
(4 = 0):
^_1- Pt -Тел-' ?' --Щ"'
8л
Tt 32л '
В двухпетлевом приближении следует рассмотреть
дополнительные по отношению к тем, что изображены на рис. 4.1,
диаграммы (рис. 4.2, б—к). Легко убедиться, что вклады,
соответствующие рис. 4.2, бив, исчезают. Для вычисления
оставшихся вкладов следует воспользоваться вершинами,
содержащимися в
ЗГ& = -т вцбЧБ" + *T-rW - 4 (l - \ «j) {2na')4*Habc X
X ityay4y3i\->bdvtc. (1.69)
где точки на рис. 4.2 соответствуют Уа'Наьс- Замечательно, что
все оставшиеся диаграммы на рис. 4.2 не дают вклада в f, что
•остается верным и в N = 2 случае [589].
151

Например, графам на рис. 4.2, г и ж отвечает нптеграл
lim е2 f ddpddq (k.q-p.q-f)(k.P-P*-p.q) _ 0
е-*+о J (к—P — q) pq
Аналогично для остальных диаграмм
д~ lim e» fddpddq (p^-P2)2t2(p-g)(p2-p-g)-p2(g-P-g2)]-" =Qt
e-+o J P (к — р) ЯГ (Р — qY
т 2 Г jd jd (p-q — P2)(k-q + q2—k-p — p-q) n
e,u~ lira e*\dpdq y," ; ;,' X = 0,
e-,+0 -i P (* + ?)(? —P)
з ~ hm e2 dV g (A-p - p2) , p = 0,
e-.+o ^ P (A — P) 3 (P+g)
x[ (5+?-д +ib4.]|_o. (i.7i>
L(* + ?-p)2 (?-P)2JJ '
Всюду в вычислениях использовалась СРР,
непротиворечивая в двухпетлевом приближении.
В итоге можем заключить, что для N= 1 и N = 2 фермиев-
ских струн
ЛГ \ • R - D ~2 И'Я2 i _ Д -10 «'Я2 ,
р 16я 6.4л+*"' т_ 64я 6-16я +•••'
дг 9. о Л а'Я2 . D — 2 а'Я2 , ., „„.
или
# = 1: Д.-10 + 2а'Я2/3 + ...,
# = 2: £>с = 2 + а'Я2/3 + ..., (1.73)
в ведущем порядке по а'. Если пространство-время является
произведением трехмерной сферы SUi(2) с радиусом г и d-мер-
ного пространства Минковского: М = SU(2)XMd, то условие
R — 0 означает [615]
£-|»|. Я2 = -Д = ^, (1.74)
где п — суть целочисленный коэффициент Черна — Саймонса при
ВЗВ-члене. Для критической размерности находим
N = 0: £>с = й + 3 = 26 + 6/Ы,
N=i: De-de + 3 = 10 + 6/|nl, (1.75)
N = 2: Dc=dc + 3 = 2 + 6/\n\.
Следовательно, критическая размерность может измениться
на нетривиальном фоне, что, возможно, способно придать
больший физический смысл вырожденным струнным теориям с N =>2
152

яли iV"=4. Однако, чтобы серьезно рассматривать эту
возможность, необходимо произвести суммирование во всех порядках по
«'. Например, для рассмотренного выше случая SU(2)XMd
можно получить точную критическую размерность из
рассмотрения алгебры токов в бозонном случае [615]
D°=26 + т4г (1+2/|»|) • <1Л6)
Непертурбативный результат (1.76) согласуется с нашей
поправкой (1.75), что является важным контролем вычислений.
Одновременно формула (1.76) оставляет мало надежд на
улучшение ситуации с критической размерностью для N = 2 и 7V = 4
фермиевскнх струн.
4.2. АНОМАЛИИ ГЕТЕРОТИЧЕСКОЙ
ДВУМЕРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ
В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ ДВУМЕРНОЙ (1,0) СУПЕРГРАВИТАЦИИ
4.2.1. Соглашения и обозначения
в (1, 0) суперпространстве
В сигма-модельном подходе к теории струн и суперструн
рассматривается распространение отдельной струны на фопе
соответствующих безмассовых мод. Действие для такой теории
представляет собой двумерную НСМ. Вычисление апомалий и
[J-фупкций НСМ позволяет получить важную информацию о
струнной теории: критической размерности, низкоэнергетическом
эффективном действии, механизме сокращения аномалий н т. д.
Обратимся к рассмотрению аномалий гетеротической струны
на фоне безмассовых мод (метрики, антисимметричного тензора,
дилатона и калибровочных бозонов). Соответствующее действие
представляет собой двумерную (1, 0) суперсимметричную НСМ,
взаимодействующую с (супер) полями двумерной (1, 0)
супергравитации (СГ). Наше рассмотрение проводится в искривленном
двумерном (1, 0) суперпространстве, адекватно учитывающем
локальную ,(1, 0) суперсимметрию теории.
Гетеротические НСМ изучались ранее в компонентном
подходе, но лишь классически либо в ведущем приближении по ос'
[616-626].
Наши результаты (см. ниже) обобщают эти рассмотрения
вплоть до пятипетлевого (для НСМ) приближепия [607—611,
627].
(1, 0) Суперпространство в d = 2 [628—630]
параметризуется двумя бозевскими и одной фермиевской координатами
гл=(х*, *=, 9+), (2.1)
где (+, —) обозначают спиральпость ±1/2. Векторные ипдексы
вулевой плоскости (++, ) обозначаются (Ф, =). Поднятие
153

(2.5)
и опускание знаков производится по правилам: Х+=Л_, Х+ =»
=*—Л,-.
Производные в (1, 0) суперпространстве имеют вид
DA = {D+,d^,d=}, D+=-^r+iQ+d^ (2.2)
и удовлетворяют алгебре
Ш+, DJ = 21дФ, дФд= = □,
[да, D+] = [da, дь] = 0. (2.3)
Интегрирование определяется стандартным образом
\d3z-=§d2xdQ+ = |<*2*4р (2.4)
причем с точностью до поверхностных членов
' J d2* d0+ L = j d2* (Z>+L) |e=0,
j d3z~f (z) DAu (z) = - J d3z- (£>A/) u
для бозонной функции /.
б-функция в (1, 0) суперпространстве имеет вид
6L(z, z') = 62(z, а:')(е+-е'+) = б2(а:,а;')б(е, 9') (2.6)
и обладает свойствами
б(е-е,)£>+б(е-е,) = б(е-е'),
б(е-е')б(е-е') = о, 6i32=i>16i2. (2.7)
Компонентный состав суперполей:
<р(х, 9) = Л(а:)+е+Л+(а:),
ЧМ*> 9)=ti_(a:)+e+F(a:), (2.8а)
или
Л(я) = ф(а:, 9)|в=о, Л+(а:)=»£>+ф(а:) 0)1 (-о (2.86)
Действие должно быть лоренцевым скаляром, поэтому
лагранжиан в (1, 0) суперпространстве должен нести лоренцев заряд
(—) в нижнем положении.
(1, 0)-Супергравитация в (1, 0)-суперпространстве
характеризуется набором ковариантных производных
Va = EAMDM + шдМ в ЕА + QA, (2.9)
удовлетворяющих связям [629]
{V+) V+} = 2iV+) [V+) v_] = -2Я+М,
[V+, уф] = 0, [V+, V„] = _S+V+-/?#, (2.10)
где ЕАМ суть суперфильбайн, шА — суперсвязность, М — лореп-
154

цев генератор: .
W,X±]-±±-X±, (2.11)
суперполе R в (2.10) определяется как
/? = 2V+S+. (2.12)
Фактически последние два уравнения в (2.10) являются
следствиями первых двух с учетом тождеств Бьянки [629]. В силу
связей (2.10) среди компонент ЕА и ал независимыми супер-
полями являются лишь \Е+^, £= ]. \Е+ , Е++) и EJ*.
Вследствие ковариантности производных (2.9) при общекоординатных
и локальных лоренцевых преобразованиях в суперпространстве
ч'А = ек\7Ае-ь, K = KNDN + AlMt (2.13)
имеем " "•Г7^ЩЩПЩ
6Е/ = - VAKN + KLDLEAN + EALKP {DP, DL]N + Л, [м, EAN]
и, в частности, (2.14)
6Я+Ф = KNDNE+* + 2iE++K+ - E+NDNK* + -у Л,Я+Ф. (2.15)
Поэтому с использованием ^-параметра можно откалибровать
Е+ , т. е. положить Е+ =0. В этой (очевидно
суперсимметричной) калибровке, которую будем применять для практических
вычислений, параметр К+ не является более независимым, тогда
как /^-преобразование должно сопровождаться компенсирующим
преобразованием с [631]
К+ = -±-{Е++)-1Ч+К¥. (2.16)
Введем стандартные [631] определения лоренц-инвариантного
скалярного суперполя S и лоренцевого компенсатора — супер-
поля L
Е++(Е.Г)и> шше-в, E++{EJ=)-ll2 = e*>. (2.17)
При лоренцевых преобразованиях
L^L + A,, (2.18)
следовательно, в лорепц-инвариантпой теории всегда можно
выбрать калибровку L = 0. В этой калибровке суперпреобразование
сопровождается компепсирующим лорепцевым преобразованием
с параметром
л, = (vr v+^+ - 4- (*==)_1 v= к= -
= 4(уфЯФ-У=/Г)+ .... (2.19)
155

В суперсимметричной калибровке Е+ = L = 0 решение
связей (2.10) имеет вид [629]
E+ = e-s/2E+, E= = e-s[E= + ±-C+J*E+], (2.20)
где использованы так называемые «полуфильбайны» (semi-viel-
beins), определяемые как [629]
Е+= D+ + Я+=5=, £= = 3, + Я=%, Еф = -±[Е+,Ё+]
(2.21)
с коэффициентами неголономности САв
{ЁА, Ев] = САВсЁс. (2.22)
В линеаризованном приближении [627]
V+ = (l - -|-^) D+ + Н+=д= - {D+S + д=Н+=)М,
УФ - (1 - S) дф + i [i- (д=Я+=) + (£>+£)] D+ - i (D+H+=) Э_-
- (d^S - iD+d=H+=) M,
V= - (1 - S) д= - ± (£>+Я=ф) £»+ + L% +
+ [d=S + 5фЯ=ф) М. (2.23)
Суперполя [Я+=, Я=. J и S представляют препотенциалы
(суперполя без связей) (1, 0) СГ в суперпространстве
Я+= = р+= + е+Л+", Я=ф =ЙФ + е+¥_+,
S = h + 9+Ч'ф+ (2.24)
и содержат среди своих компонент двумерные «гравитон» и «гра-
витино», включая их следы, а также калибровочную
компоненту Р+=.
Суперполе
2+ = ± [d+ (дфН=ф + 26=S) + dlH+"}+ ■ ■ ■ (2.25)
представляет ковариантную сулерполевую напряженность (1, 0)
СГ.
Наконец, плотность Е в искривленном суперпространстве
определяется как
Е = Ber-i (ЕАМ) = e3S/2 [{ + гя=ф {D+H+= + Н+-=д=Н+=)]~\
(2.26)
156

Линеаризованные суперкоординатные преобразования (с
учетом компенсации в калибровке Е+ = L = 0J имеют вид
6Н+- = - D+IT + ..., 6Я=Ф = - д=Кф + ...,
65 = -1 (дфК* + д=К=) + ... (2.27)
Локальные масштабные преобразования с параметром Л8 в
(1, 0) суперпространстве определяются следующим образом [596,
632]:
E'+=e-As/*E+M, E'" = e-ASE=M,
,/М
Е'™ = e~ASE .м - i(D+e-As) E+M. (2.28)
Из (2.28) немедленно следует, что калибровка Е+ = L = 0
инвариантна относительно масштабных преобразований, в то
время как суперполе S испытывает сдвиг
«5 = Л8. (2.29)
Следовательно, S суть масштабный или супервейлевский
компенсатор.
Линеаризованные масштабные преобразования имеют вид
6S = As, бЯ+= = 0, 6Я=Ф = 0. (2.30)
Заметим, в частности, что напряженность 2+ содержит S и,
следовательно, не является масштабно-инвариантным суперполем.
Условие S = 0 может рассматриваться как выбор копформпой
калибровки.
Глобально (1, 0) сулерсимметричные свободные действия для
(1, 0) суперполей (скалярного <р и спинорного Y) имеют вид
соответственно i [628]
/ф = -1|<г32-£>+срд=ср, Iv = -±jd3z-4_D+4-. (2.31)
Формулы (2.31) определяют пропагаторы этих суперполей в
(1, 0) суперпространстве
<ФхФ2> = ^вЙ\ <Y1Y.2> = I Ц± 6<32>. (2.32)
Ковариантизация действий глобально (1, 0) суперсимметрич-
йой материи по отношепию к (1, 0) СГ заключается в замене
Производных плоского суперпрострапства на производные
искривленного суперпространства п замепе меры интегрирования
dH- ■* d?z~E. (2.33)
157

4.2.2. Метод фонового поля для гетеротпческой
сигма-модели в искривленном (1, 0) суперпространстве
Действие гетеротической струпы на фоне безмассовых мод
(метрики g»v, антисимметричного тепзора fcMV, дилатона Ф и
калибровочных бозонов Ац в представлении калибровочной
группы G или, точнее, в представлении ее линейно реализованной
подгруппы G'czG [633, 634]) имеет вид [627, 635]
Ihs =
±r J d*z-E [i V + X» V= Xv [g^(X) + b^(X)l +
4ла'
+ Wi [6IJ V+ + A%(X)] Wi. + а'Ф(Х) S+), (2.34)
где ц = 0, 1, ..., d — 1, l^L) представляют гетеротические фер-
мионы, / = 1, 2, ..., N,
АХ (X) - Л1/ (X) V +Х11. (2.35)
Фоново-квантовое разложение для суперполей (1, 0) СГ
проводится стандартным образом [631]: связи (2.10) для полных
(фоново-квантовых) производных разрешаются в терминах фопо-
во-ковариантных производных и квантовых суперполей \#+=,
я=ф, s). Квантовые суперполя L и Е+^" откалибровываются
алгебраически (без введения гостов). Квантовые масштабные
преобразования позволяют наложить калибровку S = 0, что также
не сопровождается появлением распространяющихся гостов Фад-
деева — Попова. Наконец, после фоново-квантового расщепления
суперполей (1, 0) СГ указанпым выше образом можно
фиксировать квантовую калибровочную инвариантность, положив
квантовые поля СГ равными нулю (в отсутствие
супергравитационных и конформных аномалий и для топологически тривиальных
фоновых конфигураций). Тогда все суперполя (1, 0) СГ можпо
рассматривать в качестве фона.
Фиксация калибровочной симметрии за счет исчезновения
квантовых суперполей (1, 0) СГ индуцирует действие гостов
1631]
IFP = j d3z~E {Ь=ф V + с- + Ь+= V = с*}. (2.36)
Зададимся целью вычислить перенормировапное эффективное
действие (ЭД), точнее, его аномальную часть на фоне суперполей
(1, 0) СГ для теории (2.34).
Для интегрирования по кваптовым полям в (2.34) ковариант-
ным (в rf-мерном смысле) образом воспользуемся фоново-кваи-
товым разложением действия по пормальпым коордипатам вдоль
геодезических (см. гл. 1)
d-X» г ц dXv dXp _ n
17~ + lvp if-dT-^
X»(s = 0) = X», Х»(8 = 1) = Х» + л», (2.37)
158

где п" — квантовые флуктуации относительно фона X". Ковари-
аптпые квантовые поля |" («пормальпые координаты»)
определяются стандартным образом
^-^L"6^*)1-0- (2,38)
Определим также ковариантизованпые (в о-модельпом
смысле) производные в (1,0) суперпрострапстве
&А = (2)+,Ф=)=\7А + ГА, ТАу?=Тау?ЧАХа (2.39)
и «геодезическую» производную с ковариаптным (в а-моделыюм
смысле) дополнением
£>(s)7V..=0JV..S*, D(s)l4s) = 0. (2.40)
Мы используем стандартные обозначения для символов Кри-
стоффеля ГцУ и тензора кривизны Римана — Кристоффеля i?vonr
Гцт.у = -^-(д^хч + dxguv — ду£цт),
Яуа.цт = ^уГта.ц — ^аГут.ц + 2Гт[аГУ]Я,|1. (2-41)
Производную 2)Ф определим согласно
2i®^ = {®+, 2)+}, (2)+^7р). (2.42>
Легко убедиться в справедливости следующих следствий
введенных определений
D (s) 2)A\» (s) = V (s) Iх (s) RWt\ V a Xa, (2.43)
где V^T определяется как мнпимальпо ковариантизованпая по
отношению к Г-связности производпая Уф[\7фТ= V^ + Гф]:
v£V = УФ Г + ГУТ>*Уф Xvl\ (2.44)
Если эквивалентно определить ФФ как V^ то изменилась
бы правая часть аптикоммутатора (2.42)
{2>+, 2)+} = 2i V+v + /?• V+ X V+ X - член. (2.45)
В секторе гетеротических фермиопов явно ковариаитный и
калибровочпо-ковариантпый формализм вычисления фоново-
Квантового разложепия действия может быть построеп с исполь-
159

■зованнем предписания
¥'(*): ¥'(()) = ¥', 4fI(.9 = l) = 4fI + A', D2 (s) VL (s) = 0,
(2.46)
где А — квантовые флуктуации над фоном Y, а функция 4f7(s)
интерполирует калибровочно-ковариантным образом между W
и W + A', если считать, что D(s) содержит также «калибровоч-
но ковариантизующее» дополнение
D (s) ¥l = [б" A. + AlJ^\^L-^- + AlJ\»4J_. (2.47)
В качестве коварнантных и калнбровочно-коварнантпых
квантовых суперполей будем использовать спиноры %-,
определяемые согласно •■■■■'1£М38
XL = /)(*) VI (»)U, D(s)xL(s) = 0. (2-48)
Предложенный способ разложения в калибровочном секторе
эквивалентен использованию (обобщенной) калибровки Швинге-
ра (AJp-0).
Определим также коварпантизованные (в калибровочном
смысле) производные в (1,0) суперпространстве
(#+¥_)' —(«,J V+ + AlJ V+X^I. (2.49)
Имеют место тождества
D (з) SD+4L = 3>+%L + FJ&* V+ Х^_, .
где 2)(, суть коварнантная и калибровочно-ковариантная
производные, F^v — тензор напряженности калнбровочпых полей
F& = дуАУ -М" + Al*Av J - AlKA*J. (2.51)
Действие (2.34) состоит из четырех существенно различных
слагаемых, поэтому опишем фопово-кваптовое разложение для
каждого из них в отдельпости:
IHS = /о "Т" /WZW "+" /Н "Т" /FT. (2.52)
а) В гравитациопном секторе
/в = - Шг\ЛН~ЕЬ v+ *" V=^v^v(X) (2.53)
фопово-квантовое разложение имеет впд
1а [X + я (£)] =1а + 1ал + /0>1 + /0i, + /а>1 + /0i, + /0|, + ...,
1 AnIa
1а'П ~ п\ dsn
(2.54)
160

Прямые вычисления (2.54) приводят к следующим
результатам:
7«.* = - 4^ J d3z~Ei {4 ад*.* v+xa<2>=mv+
+ [-f Дха.уЛеЛ + ± Ф&уЪо.^ V+ Xa V= X^VSV},
+ A д^да »№a>+Eaa>_EvEeE'*6x6T +...}, (2.55)
где многоточиями в (2.55) обозначены те члены в /0,s и 1а,ъ,
которые несущественны для вычисления аномалий, т. е. которые
явно содержат (VX)-множители (см. следующие разделы),
б) В WZW-секторе
/wzw = ~щг\ dH-Ei V + X» v_ XV (X) (2.56)
все фоново-зависимые вершины зависят лишь от напряженности
(Я) антисимметричного тензора (Ь):
#тцу = "г" (^х^цу + ^h^vt — dvVt) = -у ^[тЬцу]- (2.57)
Фоново-квантовое разложение для /wzw имеет вид
/wZW [X + Л>(|) ] = /wZW + /wZW.l + /wZW,2 + /wZW;3 +
+ /wzw,4 "+" /wzw.6 "+" /wzw,6 + ..., (2.58)
где
r 1 d ^wzw
fwzw.n - 7T &n
e=0
(2.59)
** С. В. Кетов 161

Прямые вычисления (2.59) приводят к результатам:
/wzw.i = - 2^r jd3z-^T V+ Хц V= ХУЯТ|1У1
/wzw.2 = - -^r \®z-Ei \£2)+l» V= Х°НХ^ +
+ £ V+ X»2)=VH^ + gY V+ X* V= Г^ЯТ|1У},
/wzw.3 = - 4-^r j d3Z-^i {A R\pl6Hv]Tllmy v + Xе v= xv +
+ |-ят^т®+^^=Г + -f. sVC^+E1* v= ^ + <2UV v+ x») x
X ®лЯтцу + -J-fiW V+ X* V= Х^^Я^},
/wzw.4 = - ^ jWtfi (у Л^у.р[вЯу]т^Г^ ( V+ X6<Z>=f +
+ &+F v= x6) + i- gVgV v+ Xе v= х^Л(Дцу,р[вяу]тц) +
+ i- ^т0+№=№Ят^ + r№^ v+ xv v= xp (i- ФуДъм x
X Ду]аД- ^^а^р^Я^р) + ±П^(^+^ V=XV +
T|iV/l
+ -Jg- Я y.Mh^v]tp I + . . .,
"„}+..., (2.60)
где, как и ранее, точками обозначены члены в /wzw,6 и /wzw,e,
несущественные для вычисления аномалий. Все операции
симметризации () и антисимметризации [ ] индексов определены с
единичным весом.
Можно определить связность и кривизну с кручением
Т£* = Г»Х±Н»„, Я|±!ра = Я^.ра(Г(±)) (2.61)
и соответствующие ковариантные производные с кручением,
например
ФЯФ = 2)А\* ± Н\а Va X%\ (2.62)
162

В терминах (2.61) и (2.62) первые члены разложепий в
(2.55) и (2.60) можно переписать в виде
/a+wzw.i - - 2Н5Г j^-^^V+)^V=XV.
/a+wZw>2 = - 4^Г \d*z~Ei W^^V*!* +
+ М^У+ХаУ=ХГГ] (2.63)
с использованием тождества
D (s) 2) V+)^ = RW,\ V+X%T. (2.64)
В (2.63) напряженность Н в явном виде отсутствует, однако
это свойство не обобщается на высшие члены разложения,
например,
/a+wzw.3 = — ^Ьг \^~Ш[т №#kv+X°2tV +
+ -|- a>^ts>^lXH^ + 4 3>?>?№Rtiw v=xa +
+ 4 ®[+,O^V +XaV=XT}. (2.65)
в) Для дилатонного слагаемого Фрадкина — Цейтлина в
(2.34) вычисление фоново-квантового разложения не
представляет труда:
/ft = - -^ $*ггЕа'Ъ+Ф,
/ft.i~ ^ ^Ясс'^ЧФ, (2.66)
г) Наконец, для «гетеротического» члена в (2.34)
7н = - 4зУ ЛгЯ*- (#+*-)' (2.67)
фоново-квантовое разложение имеет вид
/H[Y + A(x), Х + п(|)] = /н + /н,1 + /н.2 + /н,з +
+ /н,4 + /н,5 + /н,б + • • •,
/н.1 = -I5F- \d4~E h-®+%- + Ч1-®^1- +
а* 1вз

- -i- 4Lv±2>iJP&v+X%Y - 4" Yi^Fjft^+f J,
x v+xvvL + yj.F^a>^9L - 4 vLvi^vPi'^+SlV -
-4YiYi^Vv+xv(®x®rf-^v,Viv)},
7н.« - - «ST J d3z"* {4 £7ZV0+?F» - 4 xixlsV x
x 0^v+Xv + 4х-^^Л^+Г^- +^-%UytVx x
x (<2>УЗДК + *vM v+x^ri-Aipivig^V x
x(3<2VWvv + 0**Л) 2>+6¥ - -& ViVig^^x
/h.5 - - est J Л"* {- 4 %-%-1»?®Л® +6* +-••}.
7н .• = - est J d3z"£ {- ж xWft11 (з д>т®^£ +
+ *»ДцЛ)2>+6¥} + ..-, (2-68)
где многоточиями в (2.68) обозначены те члены в /н,5, /н,б,
которые не дают вкладов в вычисление аномалий (см.
последующие разделы).
Кинетические члены для квантовых .|й- и %- -полей в
разложениях (2.55) и (2.68) определяют свободные пропагаторы
(2яа' = 1)
<6»(«)6»(«')>-^в'_(*,*')-в»^^-^-Х
х£>+И1-х')б_(е- e')i,
= /i fddp^=£»+[e'P(*-*')6i(Z)Z')]. (2-69)
Фоново-квантовое разложение действия (2.34) гетеротической
струны на фоне безмассовых мод определяет ковариантпые пра'
164

вила Фейнмана (вершипы и пропагаторы) в соответствующей
двумерпой НСМ, которые служат основой для последующих
квантовых вычислений по теории возмущений.
4.2.3. Супергравитационные и суперкоиформиые аномалии
гетеротической сигма-модели.
Одиопетлевые вычисления
Открытие аномалий в квантовой теории поля и их роли в
физике частиц обычно связывают с работами. Адлера [636], а
также Белла и Джакива [637]. Конформные и гравитационные
аномалии исследовапы Христепсеном и Даффом [638, 639],
Альварецом-Гоме и Виттеном [640]. Разнообразные сведепия об
аномалиях калибровочных теорий можно найти в обзорах [641—
645].
Супергравитационные и конформные аномалии гетеротической
НСМ, связапной с (1, 0) СГ в суперпространстве, определяются
конечными (аномальными) частями диаграмм типа «собственной
энергии» (рис. 4.3).
Результат вычисления аномальных вкладов будет зависеть,
вообще говоря, от фоновых суперполей (препотенциалов (1, 0)
СГ) Н+~, Я= калибровочно-нековариантпым образом.
Калибровочная инвариантность восстанавливается за счет
дополнительных локальных конечных контрчленов, зависящих от #+=, #=*
и S. Окончательное выражение зависит от масштабного компеп-
сатора S калибровочно-инвариаптпым образом. Другими словами,
супергравитационная аномалия «обменивается» на конформпую
аномалию, что вполне соответствует стандартной процедуре
Адлера — Розенберга вычисления аномалий с учетом требования
лоренцевой инвариантности результата.
Для фактического вычисления аномалий необходимо знать
все вершины теории с не более чем линейной зависимостью от
препотетгаалов(**+ , Я==*=). Явных формул предыдущего раздела
вполне достаточно для пятипетлевых вычислений.
Соответствующее «эффективное» (для этих целей) действие
можно представить в виде (без учета гостов)
^ = А> + ^inti Imt = h + ^и
7» = - 4-Jd3z"\u>+l»dj?gv„ + xLd+xL],
/; = -4ld3z_ KS4.W+6*№p,iv+sWaw+пччр x
xiv^v) ш +pdJF + (№ + £*№£» + 6*6WW x
A = - \ ldH~ {U»v + E4ii» + £*№«« + £WiZW +
165

Рис. 4.3. Диаграммы типа «собственной энергии», опреде-
Ц_ ляющпе супергравптацпоппые и суперконформные
аномалии в теории гетеротических струн на фоне оозонных
безмассовых мод.
+ ID+pHj-dJ?] + Х-Н+=д=%- + (№ + &ГЕ& +
2
+ VtWU) х'-х-я+=*=Г + -Ь 2 4г *>н • • ■ ®ъ$> х
х ^... г» (4 я+5фя=ф+4- 9=я+=)}> (2-7°)
где использованы обозначения
■"pnv = ~з" -"pnvi "H>ixv = ~з" "kvnp "г" ^2~ l №v'
1 1 2 т
^Wnv = -у ^v^nvp + -g" ^v^^phv + £=Я л,у[цяу]рт>
МТХРТ|1У = ^ ^Y^PIivx + -g- RP6,vxRyVi,\ + ^ 0v0J^p#T.iv +
+ "jg- ®УЯ р,Я[ц#У]тв + -g- ^5рЯтв[цДу]у. Ъ ' ' '
CIJ 1 jpIJ pIJ 1 £7) jpIJ
nv = g~ •iv' M*v = з~ -^^ nvi
Напомним, что суперполе Я+= является фермиевским, а
суперполе #_ _ бозевским.
Таким образом, правила Фейнмана для (1, 0) суперполей
определены и можно приступать к вычислению аномалий. Общая
запись супергравитационной аномалии имеет вид
-355Г Id3z" {vi£+#+=4 я+= - ^^>+я=Ф4 Я=Ф}' (2'72)
где ii и Tf2 суть некоторые фоново-зависимые коэффициенты,
которые и предстоит определить. Формула (2.72) диктуется в
конечном счете условием самосогласованности Весса — Зумипо
[646] для аномалий и согласуется с явными вычислениями. По
квантовой теории возмущений для действия (2.70)
коэффициенты 11,2 восстанавливаются последовательным вычислением в виде
ряда по ос'.
Техника вычисления (1, 0) суперграфов путем сведения их
к интегралам в импульсном пространстве в результате
выполнения Д-алгебры стандартна [631] и здесь не рассматривается.
Для вычисления импульсных интегралов мы использовали фейн-
166

Рис. 4.4. (1,0) суперграф, опреде- Рис. 4.5. Диаграммы, несуществен-
ляющпй одвопетлевую аномалию. вые для вычисления аномалий.
мановскую параметризацию знаменателей подынтегральных
выражений, что также является стандартным приемом вычислений
в квантовой теории поля.
Так, однопетлевой диаграмме (рис. 4.4) соответствует
импульсный интеграл
*!(*■.+ />.)' ■ *
(2л)2 J к (к+р) (2я)2 J J
(А=-ар=)2(А=+(1-«)Р=)2 tf
X V , ' —и L = pi dot 1 - o)o X
(A + a (1 — a) p ) J
(2.73)
(A + a(l-a)p2)2
V
A l t pL
С d2k
J (2л)!
(2л)2 (А2 + p2)2 24я р2 •
Можно показать, что все диаграммы типа той, что
изображена на рис. 4.5, приводят лишь к локальным вкладам в
аномалию и поэтому не учитываются в дальнейшем (само утверждение
является следствием размерных соображений).
Однопетлевые результаты с учетом гостов (2.36) известны
[631]. Поэтому мы лишь кратко резюмируем их содержание.
Однопетлевое аномальное ЭД имеет вид [631]
Tl{d-iO)D+Hj--±H_+]. (2.74)
Действие (2.74) не инвариантно относительно
линеаризованных фоновых калибровочных преобразований, причем
?1-1оор _ _1_ fd _ 2g + _1_ N\ ф _l_(d _ 10) = ?1-Юор (2 75)
Однако, если дополнить (2.74) локальпыми контрчленами
типа
#+"п#_+, SdLH+=, Sd^D+Hj**, Sd=D+S, (2.76)
то для N — d = 22 можно переписать (2.74) в калибровочно-ип-
вариантной форме '[631]:
Wett + Wlocal = jij (d - 10) j dH~^+ (^±) S+, (2.77)
Причем if i = if2s 1f.
167

Рис. 4.6. (1,0) суперграфы, определяющие одвопетлевой дилатонный вклад
в аномалию.
Действие (2.77) представляет конформную аномалию (2+
зависит от S). Условия сокращения аномалии суть критические
значения параметров гетеротической струны ,[196—199]
rf=10, N = Z2. (2.78)
Для рассматриваемого нами случая гетеротической о-модели
необходимо вычислить еще однопетлевой дилатонный вклад в
аномалию. Результат вычисления этого вклада (рис. 4.6) в
эффективное (аномальное) действие имеет вид |[627]
жЫоор.
*=^id3AiD+H=*a^H=*-D+H+=a^H+=l
?1-юор.Ф = _ _L ^2ф (2.79)
4.2.4. Двухпетлевые поправки в аномалию
и ведущие члены в низкоэнергетическом
эффективном действии гетеротической струны
^-зависимые двухпетлевые поправки в аномалию
определяются диаграммами, изображенными на рис. 4.7. Соответствующие
импульсные интегралы имеют вид
1{Р) J (2*)4?2-m2)[(9 + p)2-m2) Х
(2л)Ч?2-т2)[(9 + р)2-т2)
+ 0(т%
к2 1 PL
(А2-т2)[(А + р)2-т2]
ГАД 9=
"'"J (2л)* (,/-п
А2(А= + Р=)2 1 Pi
J*W-) (2n,« (,у2-т2)[(9 + р)2_^] Х
-(А2-те2)[(А + Р)2-,2]- n*s+0<mt>' (2'80)
где параметр массы т2 использован в качестве инфракрасного
регулятора.
Л2-зависимые двухпетлевые поправки определяются
диаграммами, изображенными на рис. 4.8. Соответствующие (е,
суперграфам на рис. 4.8 импульсные интегралы имеют вид
Ге=1ж=1,=Цр),
//-)- Г ***«^-(^+ «- + "->' , pj
{Р' J (2л)1 *V(A+3 + P)2 ~96л2р2' { '
168

а 8
Рис. 4.7. 5-завпспмые двухпетлевые поправка в аномалию.
Можно показать, что копечные нелокальные аномальпые
части диаграмм (а — д, и, к, л)- на рис. 4.8 также
пропорциональны импульсному интегралу 1(р) в (2.81). Фактически
возникает еще целая серия диаграмм Л2-типа, представленных на
рис. 4.9, однако все они не влияют на аномальную часть ЭД в
результате ZJ-алгебры в (1, 0) суперпространстве i[627]. Прямое
вычисление двухпетлевых диаграмм дает [607]
?2-1мр = 1к(-я + -гЯ2} <2-82>
Можно убедиться в отсутствии дилатонных вкладов в двухпет-
левом приближении.
Аномальный коэффициент f связан с центральным зарядом
супералгебры Вирасоро для гетеротической струны на фоне
безмассовых мод (при условии исчезания ^-функций или,
эквивалентно, на уравнениях движения) [647—653]. Согласно
имеющимся примерам явных вычислений [299, 627] и общим
аргументам [647—649] эффективный лагранжиан Lett безмассовых
мод струны должен быть пропорционален «усредненной»
вейлевской аномалии $* (в d = 10):
2V + а' {®»ФТ = РФ - РФ - 4 P'v^v = ЦУ + ^ ^еи,
<Г>_= ±$ф2++ ..., (2.83)
где (ТУ суть средний суперслед, P*v— метрическая р-функция,.
и к л
Рис. 4.8. Л2-завнсимые двухпетлевые поправка в аномалию.
169

,Рис. 4.9. Л2-завпспмые двухпетлевые диаграммы, которые не дают вкладов
в аномалию.
Р* — дилатонная .р-функция, многоточием обозначены члены,
исчезающие на уравнениях движения. При этом необходимо
учитывать, что р-функции и эффективный лагранжиан определены в
теории струн лишь с точностью до переопределений полей и
зависят, вообще говоря, от выбранной схемы вычислений [654].
В интересующем нас порядке теории возмущений по ос' (см.
главы 1 и 2)
Й»-а'(Дц»-^»). (2.84)
Здесь и далее используем обозначения
ЯцуЕ^Я^рЯу , R)lvU) = RllvU)R>l'v , (2.85)
Поэтому эффективное действие в рассматриваемом приближении
имеет вид
X {- R - 402Ф + 4 (0ЦФ)2 + -±- Я2j, (2.86)
■что согласуется с бозонной частью теории Чаплина — Мантона
[655, 656] и результатами [657]. Кинетический член янг-
миллсовских бозонов генерируется в следующем порядке теории
возмущений.
Член а'(2)Ф)2, т. е. разница между 2«( и "р* в (2.83), суть
древесный эффект члена Фрадкина — Цейтлина в силу
обусловливаемой им неминимальной связи (1, 0)-СН с (1, 0)-материей
cd = 2 [611]. В самом деле, рассмотрим вариацию эффективного
действия о-модели
Ген = -JhS + Wjuiomalou» (2.87)
170

в отношении суперконформного фактора S. Вариация первого
члена в (2.87) не исчезает ввиду
6/ft = - 4НЕР j'rf3z-^a'65iV + V=0(X) = - Л-^fflz-Ex
X 6Si( V+X^V-X^^vO + V + V^Syp). (2.88)
С учетом классического уравнения движения для Xм
i4+V=X,x = ~a'2)^y,+ (2.89)
можно переписать (2.88) в виде
бЛ?т = - 47Г j"d3z-^65(iV+X,iV=Xv^S5vO +
+ ~ а'2>мФ2>|4Ф2+). (2.90)
Следовательно, из определения среднего суперследа
<Т>_--2^ (2.91)
немедленно следует (2.83).
Эффекты, связанные с лоренцевыми и калибровочными
членами Черна — Саймонса [658], здесь не рассматриваются,
поскольку подробно изучены [616—623, 635, 659]. В частпости,
все нековариантные аномальные вклады могут быть
абсорбированы в модификацию кручения членами Черна — Саймонса [635,
659]. Эти результаты означают, что форма суперконформной
аномалии не меняется во всех порядках [660] в соответствии
с теоремой Адлера — Бардина [661]. На согласие между кова-
риантным и каноническим анализами аномалий указано в [662].
4.2.5. Трехпетлевые поправки
в суперконформную аномалию
Поправки 52-типа генерируются диаграммами, аналогичными
изображенным на рис. 4.10, со всевозможными расстановками
производных на внутренних линиях.
Поправки ВА2-типа. генерируются диаграммами, показанными
на рис. 4.11 (далее подразумевается, что каждая из этих
диаграмм является на деле лишь «производящей» диаграммой —
фактически ей соответствует серия диаграмм со всевозможными
расстановками производных на внутренних линиях).
Поправки ВА2-типа соответствуют 15(!) типам производящих
диаграмм, на рис. 4.12.
Поправки С2-типа генерируются диаграммами, приведенными
На рис. 4.13 (прерывистые линии соответствуют фермиевским
пропагаторам).
В качестве примера рассмотрим более подробно (а)-произвол
Дящую диаграмму на рис. 4.10, которой соответствуют три
диаграммы (рис. 4.14).
171

г
Рис. 4.10. 52-завпспмые трехпетлевые поправка в апомалвю.
15 ) ( Y J
-'"■-'"•-■"■-'"'I #Q b,vvx
Рис. 4..W. 5Л2-завпспмые трехпетлевые поправки в авомалвю.
-S-
4 х
А*
<D-0
Д /1
А
А
А
iS~
А А
о-®-
Рис. 4J2. ^-зависимые трехпетлевые поправка в авомалвю.
Рис. 4.13. С^-заввсимыв
трехпетлевые поправки
в авомалвю.

а б ■ в
Рис. 4.14. (1,0) суперграфы, порождаемые диаграммой а (рис. 4.10) с учетом
расстановки ^-производных на внутренних линиях.
После выполнения ZJ-алгебры в (1, 0) суперпространстве
соответствующие импульсные интегралы имеют вид
■*" l{P) J (2я)в (A2-m2)![(A + 9 + / + p)2-mW-m2)U2-m2)'
т . ■ ?АЧа\А*1 >Lq=l= ,
6' ЛР) J (2я)в (A2_m2)[(A+9 + / + p)2-m2](32-m2)(/2-m2)
_ f^W* *L«i
*' J3(p>-J (2я)в (tf-m^ik + q + l + pf-m^tf-rrSW-m2)'
(2.92)
С использованием формул
С d4
J (2я)2 (А2 — i
= -L+0(p*/m*),
(2я)2(А2-т2)[(А+р)2-т2] 4я
Рф-Г= = P=Jjp,
/=(Ф) ™ J (U (А2-т2)[(^Р)2-т2] (2'93)
можно показать, что расходящиеся вклады от диаграмм бив
на рис. 4.14 взаимно уничтожаются с таковыми от диаграмм
в и б на рис. 4.10.
Для Ji{p) имеем
Диаграмма г па рис. 4.10 имеет фоновую зависимость (-йцу)2-
Однако ее вклад в аномалию исчезает.
Прямые вычисления общего трехпетлевого вклада в
аномалию приводят к результату (с учетом тождеств Бьянки и с
точностью до полной производной)
7з-юор = _=* Гд*ухр + (F»Y - 2Я^НГН^ +
16 (4я) I
+ ^_Я*-2(Я^)2]. (2.95)
Дилатонные вклады в аномалию в трехпетлевом
приближении сокращаются и поэтому соответствующие суперграфы не
173

выписываются, что проверяется последовательным
рассмотрением диаграмм, фоновая структура которых зависит от дилатона.
Наши вычисления согласуются с [409, 663].
С использованием (2.95) и тождества Бьянки для тензора
кривизны получаем (а')-поправку к (2.86)
L& = - -g- [ли + (О - 2ПмНГИ»в +
+ _2_я«-2(Я^)2] (2.96)
с точностью до полной производной.
Поправка (2.96) в ЭД совпадает с соответствующим
результатом [333], полученным путем восстановления ЭД из
древесных амплитуд теории гетеротических струн.
4.2.6. Пятипетлевые результаты в гравитационном
и янг-миллсовском секторах
Систематический учет Я-зависимости фона в четырех- и пя-
типетлевом приближении вряд ли возможен с помощью
«ручных» вычислений, поэтому далее полагаем ЯЙУР = 0.
Четырехпетлевые поправки в аномалию if и соответственно
в ЭД гетеротической струны можно определить, анализируя
фоновую зависимость производящих диаграмм (рис. 4.15),
структура которой должна иметь вид
?4-юор _ const (a')3 fit" ( R)xU>yRv*pv + FtAiJFyin.y (2-97)
(Эта аномалия исчезает, когда F = R, что согласуется с
анализом в [664], основанным на ^-функциях).
В гравитационном секторе все пятипетлевые поправки в
аномалию f генерируются набором производящих диаграмм,
который, в свою очередь, порождается (путем присоединения двух
внешних Я-концов всеми возможными способами) двумя
«прародительскими» диаграммами (рис. 4.16). Все другие диаграммы,
дающие вклад в аномалию, сводятся к этим двум. Утверждение
остается справедливым и с учетом Я-зависимости вершин.
Если ограничиться лишь теми пятипетлевыми вкладами
(рис. 4.16, а\ в аномалию if, которые не содержат структур,
пропорциональных P*v ~ R\t\ и P*v ~ ^|iapv^vapV (они могут быть
устранены переопределением метрики), то результат вычисления
фоновой зависимости аномалии в гравитационном секторе имеет
вид
Т5.1„„р _ e^tfд^д^ д^дV + 4 R«tMhRatr,»R*yb>\
(2.98)
Прямое вычисление константы, отвечающей сложному пятипет-
левому интегралу, затруднительно, однако эта константа мо-
174

Рис. 4.15. Диаграммы, определяющие Рис. 4.16. Производящие диаграммы,,
четырехпетлевые поправка в аво- определяющие пятппетлевые по-
малпю. правка в аномалию, в
гравитационном секторе.
жет быть определена косвенно с использованием (2.83) и
результатов [665, 666] для ЭД:
^^0) = -й- («Т С (3) [Ra^R^R^RV +
+ 4 R«wR^Ra6y,lRV}. (2.99)
так что в (2.99) следует положить const = -т-£(3).
Действие (2.99) с точностью до (произвольных) риччи-за-
впсимых членов совпадает со стандартным вкладом в ЭД,
известным в теории суперструн [333, 450]:
Шгт =^§^(ayt^^l:^^R^R^R^R^, (2.100)
g- product
где <-тензор определен в [135].
Аналогично, вклады в аномалию ^ (рис. 4.16, б)
соответствуют другому 7?4-члену в ЭД гетеротической струны [333]:
№8Ф) = - ^ («7 t^^Ra^Ryi^R^Jiu,^ (2-101)
В янг-миллсовском секторе гетеротической струны пятипет-
левые вклады в аномалию f определяются диаграммами
(рис. 4.17) (внешние Я-концы (препотенциалы) должны быть
приставлены всеми возможными способами). Соответствующая
поправка в f имеет вид
^-•оор = (а,}4[в1 triF^F»?») + a2tr(FuvrV^p) +
+ attriF^F^F*) + Mr( VpiF*^) +
+ Ъ1 tr ( Fuv Fvp)tr(Fp^) + b2tr{FwFpk)tr{F»vFp*-) +
+ Ьзtr(FuvFP0tr(Fw,FvЯ•)], (2.102)
где (fli — a4, bi — Ьз) суть некоторые численные коэффициенты,
нахождение которых связано с вычислением сложных пятипет-
левых (10-кратных) интегралов. Замечательно, что все
интегралы, отвечающие а-коэффициентам в (2.102), обращаются в нуль-
[607, 608].
175

I
с --.-■
c*
с Кг—ic
X
о,
/i Л
в,
L^j "
с с Рис. 4.17. Производящие
аА диаграммы, определяю-
щпе пятппетлевые по-
с правки в аномалию, в
\\ япг-мпллсовском сек-
I / торе.
в,
Выражение (2.102) следует сравнить с соответствующим F*-
вкладом в ЭД гетеротической струны [333, 635]:
-3
21
£$,YM = -^ (а')3 *•"■*** tr (F^F^) tr (F„pFve). (2.103)
[135]
С использованием явного выражения для ^-тензора
лагранжиан (2.103) имеет вид
№™ = =S («')31» tr(F,T^) tr(FpkF*) -
-2tr (F^Fpt.) tr {F^Fi»-) + 4 tr (F^Fpk) tr (F^>F^) -
- tr ( Vv) tr ( Fp^)]. (2.104)
Аномалию (2.102) можно переписать в форме
Yy1?°p = (a')1 [h tr(^vFvp) tr (Fp^) + 62 tr (F^F^) X
X tr{F^Fe*-) + b3 tr {F^Fp}.) tr (FwFv*)], (2.105)
что вполне согласуется с (2.104), поскольку последнее
слагаемое в (2.104). пропорционально низшему (по порядку) вкладу и,
следовательно, коэффициент при нем может быть выбран
произвольно.
Наконец, смешанные Д^-члены в аномалии f должны
достраивать (2.101) и (2.104) до (F2 — Д2)2-комбинации
L(3),YM+fi(b) = ^3(с0, [tr (F|ivFpjt) _ tr (i?(iv/?p3t)] x
X (WW [tr (FapFye) - tr (i?api?ve)] (2-106)
для соответствия с результатами [333].
Развитые выше методы пертурбативного вычисления
аномалий гетеротической НСМ в искривленном (1, 0)
суперпространстве могут быть, в принципе, использованы в любом (конечном)
порядке по <х' и согласуются с известными результатами для
Р-функций НСМ или низкоэнергетического ЭД гетеротической
струны, полученными из анализа струнных амплитуд или на
основе о-модельного подхода. С технической точки зрения наши
методы связаны с необходимостью вычисления сложных интег-
176

ралов для нахождения коэффициентов (на одну «петлю»
больше, чем для соответствующих р-функций других безмассовых
мод, кроме дилатона). Однако есть и преимущества, связанные
с относительно простым способом вычисления фоновой
зависимости аномалии или дилатонной ^-функции. Полученные
результаты являются еще одним свидетельством в пользу я-модельного
подхода в теории струн и суперструн.
4.3. КОВАРИАНТНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
КВАНТОВОГО ЭФФЕКТИВНОГО ДЕЙСТВИЯ
ДЛЯ ГЕТЕРОТИЧЕСКОЙ СИГМА-МОДЕЛИ
В ИСКРИВЛЕННОМ (1, 0) СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ
4.3.1. Техника собственного времени в (1, 0)
суперпространстве
В высших по ос' порядках для сокращения
супергравитационной аномалии требуется выполнение двух, вообще говоря,
независимых условий на фон, поскольку калибровочные
преобразования в (1, 0) суперпространстве характеризуются двумя
независимыми параметрами. В предыдущем разделе
эквивалентность обоих условий проверена с точностью до (а')4 (в пятипет-
левом приближении для НСМ). Вычисления проводились путем
разложения геометрических величин около плоского
суперпространства с использованием техники (1, 0) суперграфов. В
рамках такого подхода теряется ковариантность промежуточных
расчетов отдельных диаграмм.
В связи с этим возникает естественный вопрос о внутреннем
механизме, в результате которого ЭД нелинейной (1, 0) о-мо-
дели в искривленном (1, 0) суперпространстве остается ковари-
антным в высших порядках теории возмущений. В качестве
такого механизма, автоматически учитывающего
общекоординатную инвариантность в (1, 0) суперпространстве, можно
предложить (1, 0) ковариантную диаграммную технику. В ее основе
лежит (1, 0) суперполевой метод собственного времени [667] и
суперсимметричная регуляризация посредством обрезания.
Будем обозначать через Tt пространство тензорных суперпо-
лей с I нижними плюсами (Ci(z) е Т\: С\ = С+...+); введем
производные v—Т~"
... -2JV=V+ _,.. -2iV + V =
(3.1)
В (1, 0) суперпространстве можно определить три типа да-
ламбертиапов, представляющих собой произведения конформно-
*2 с. В. Кстов
177

ковариантных операторов,
д(0 = V0+D fKD
V¥' = □ + S+ V+ + 4 Д- П = {Уф, V=},
A(0=V(|-1)V^) = n-(2i + l)S+V+ + 4i?,
Д<'> = v¥"x) V™ = П -2+V+-4-i?.
(3.2)
Операторы A , A( , A( отображают пространство Tt в себя.
С каждым из операторов (3.2) ассоциируется оператор
«эволюции», ядро которого определяется, по правилу
6-(z, z') = (E-)-l6(x-x')(Q-Q'),
vl \ 7 ; *) = е»д(,)б_ (z, z'),
** (z | 7 '' S) = ei'*(i)Mz'z')'
U{\ ;s) = е»д(,)б_ (z, z')-
(3.3a)
(3.36)
(3.3b)
Ядро (З.За), ассоциированное с оператором Д(", является
тензором ранга I до первому аргументу, тензором ранга (—1 — 1) —
по второму и подчиняется уравнению
^ [ — г — 1 .
(3.4)
H + A(0Hz| z> Ч=°
с начальным условием
/г | —г — 1 \
(3.5)
Соотношения, полностью аналогичные (3.4) и (3.5),
выполняются и для операторов (3.36), (З.Зв).
Выпишем ряд полезных соотношений, справедливых для
операторов (3.3). Прежде всего, из очевидных равенств
V+A(,)= A('+1)V+, V+A(')=A(,+1)V+, V-A^-A^V- (3.6)
следуют тождества Уорда
(l\—l — \ \ -/1+1
М,| •" :•) —V4"( ,
z
1-2
z
— 1 — 2
z
— 1 — 2
z
-l+i
z
7 ;s), (3.7a)
7%), (3.76)
t *; s). (3.7b)
178

Для произвольных тензорных суперполей At(z), B-t-\(z)
справедливы интегральные равенства
Id^zE-B-i-^Ai = J,d3z^-(A(-,_1)5_,_1)^I,
ld\-EB_i_^il)Ai = j (fz-EiA^-^B-i-,) At. (3.8)
Отсюда вытекают тождества
/П-l-l \ =f-l-i\l \
U(z\ z' -T-U[ z' \z'S\ <3'9a>
-ll\-l-\ \ -t-l-\\l \
U\z\ z' <S)=-U{ z> |z;sj- <3-96>
При малых значениях параметра s решение уравнения (3.4)
может быть представлено в виде асимптотического ряда
(1\-1-\ \ а !£(££.')" /М_г_1\
U[z\ z> 'S)=^e2S 2*U «' )(")МЗ
10)
который является (1, 0) супераналогом иввестного
представления Швингера — Де Витта [668—671]. Функции o(z, z'), ak(z, z')
подчиняются уравнениям
Va<jV</J = 2a, a = 0, 1,
kak — ~ (2 — no — 2+V+a)ah + VaaVaak = Д(%_х (3.11)
с граничными условиями
о| =o(z, z) = 0, V^ol =0, V.VjoJ =r\ab,
'I | -l-V
\Z I Z
a0+| = a0M z J = 0, V+ao+ I = 1. VeO? | = 0. (3.12)
В равенствах (3.11) и (3.12) фигурируют векторные
производные Ve> которые связаны с производными V^ V= по правилу
V4= = ^=(V1+V„), V= = y|(Vx-V„). (3.13)
Для операторов (3.7) справедливо асимптотическое
разложение, полностью аналогичное представлению (3.10). При этом
значения ai-коэффициентов в совпадающих точках
суперпространства соответственно равны
'I -1-1\ _^ - (l\ —1 — V
Z / ' \Z \ Z
"'"П ~" (3.14)
(2J + 1)2+,
12*
179

Функции Грина даламбертианов (3.2) выражаются через
операторы «эволюции» (3.3) стандартным образом:
<z I z' '
lZ Z' '
G\ , | = ifdsf/(
\* I * / 0^ v
6(!|"'z7l)=iJdsI7(
гСГг'_1)=г1^(
-г-i
z' ;
•)••
)■
)
(3.15a)
(3.156)
(3.15b)
(3.16a)
(3.166)
(3.16b)
и подчиняются уравнениям
.^(il"^"1)--8-.^*').
4.3.2. (1, 0) Ковариантные суперграфы
В искривленном (1, 0) суперпространстве суперполя
«материи» описываются действиями согласно (2.31)
1Х = — I J" d3z£~ (z) V+X V=X,
/„ = |-Jd3z-^(z)ti_V+ti_, (3.17)
где X(z) и t]_(z)—это скалярное и спинорное суперполя
соответственно. Теории (3.17) определяют суперпропагаторы
<X(z)X(z')> = G(z, г'),
<ti_(z)ti_(z')> = G_(z, z')_, (3.18)
удовлетворяющие уравнениям
2iV=V+G(z, z') = 6-(z, z'),
V+G_(z, z')- = -6-(z, z'). (3.19)
Суперпропагаторы G(z, z') и G_(z, z')_ явпо ковариантны
относительно общекоординатных преобразований и локальных
лоренцевских вращений в (1, 0) суперпространстве.
Следовательно, формальные фейнмановские диаграммы, построенные при
помощи G(z, z'), G_(z, z')_, также будут явно ковариантны.
Однако ковариантиая диаграммная техника, сформулированная
в терминах этих функций Грина, не является эффективной, по-
№

скольку из уравнений (3.19) трудно извлечь полезную
информацию о структуре пропагаторов. В практическом плане удобнее
работать с функциями Грина (3.15) суперсимметричных
операторов Даламбера (3.2). Как показано в предыдущем разделе,
структура ядер этих пропагаторов может быть детально
изучена при помощи обобщенной техники собственного времени.
Из уравнений (3.16) и (3.19) вытекает связь между пропа-
гаторами суперполей и функциями Грина супердаламбертианов
/— 1 I 0 \
g(Z,z>) = v+g{ z\z,y (320)
_/0|-1\
G_(z, z')_ = -2jV=V+G(I z,j. .
Заметим, что операторы Д(" и Д(/> в (3.2) при действии на
пространстве скалярных суперполей (1 = 0) совпадают,
следовательно,
•СГДЧГД-
Поэтому во втором соотношении (3.20) можно вместо функции
U писать U. С использованием интегральных представлений
(3.15) для функций Грина равенства (3.20) приобретают вид
Г /— 1 Г 0 \
G(z,z') = iV+)dsU[ I z,; si,
? __ /0 1 — 1 \
G_(z, z')_ = V=V+ J dsU I ; si. (3.22)
о * J ■''
Соотношения (3.22) имеют ряд важных следствий. Прежде
всего, из (3.7а) и (3.96) вытекает
G(z, z') = G(z\ z). (3.23)
Далее, из (3.7) и (3.21) следует
G-(z,z')- = -G.(z',s)-r (3.24)
Отсюда и из (3.19) получаем
2iv'=V+G(z, z') = — 6_(z, z'),
V+G- (z, z')_ = - 6_ (z, z'). (3-25)
Тем самым определение пропагаторов скалярного и спинорного
суперполей в форме (3.22) приводит к корректным
соотношениям симметрии относительно перестановки аргументов.
При вычислении ЭД по теории возмущений в рамках (1, 0)
ковариантной техники в фейнмановских диаграммах возникают
181

плохо определенные функции
G (z, z), G_ (z, z)_, VAG (z, z') \z=z, ,
VaG-(z,z')-\z=z„ VaV'bG(z,z')\z=z„ (3.26)
а также сингулярные произведения пропагаторов. Для того
чтобы операции с указанными выражениями имели смысл,
необходима некоторая регуляризация. В несуперсимметричном
случае (при отсутствии киральных фермионов) наиболее удобной
является размерная регуляризация. Однако известные размерные
схемы регуляризации не приемлемы для осуществления явно
ковариантных вычислений в искривленном киральном
суперпространстве.
В формализме интегрального представления пропагаторов
существует альтернативный способ регуляризации фейнмановских
диаграмм посредством обрезания интегралов по собственному
времени. Следуя этому предписанию, в качестве регуляризованных
суперполевых пропагаторов будем рассматривать функции
Р /— 1 1 0 \
G(z,z';L) = iV+)dsUl я L» *)» (3 27)
G_{z,z';L)Z = 2V=V+]dsu( ~z,; s).
где L -*■ 0+ — константа размерности квадратный сантиметр.
Очевидно, что данная регуляризация не. нарушает суперсимметрию.
Из формул (3.27) можно получить полезные соотношения
G(z;L) = G(z,z;L) = --L-lnL + ±nR-
- -L fez'Е- (z') G (z, z') 2+ (1 - ^ LR) + О (L2),
V+G(z,z'; L)\ =1Ljd3z'^(z')V+G(z,z')2+(z') + 0(L),
V=G(z,z'; L)\ = - JL jdV^-(z') V=G(z, z')2+ (z') + 0(L),
V+G(z,z';L)\ = V+G(z,z';L)\,
V'=G(z, z'; L) I = V=G(z, z'; L) |,
V+v'=G(z, z'; L)\ = ^2+ + O(L),
V=v'+G(z,z';L)\=±2+ + 0(L),
V+V=G(z, z';L)\=±I,+ +0(L).
A(o)G(z, z'; L)\ = —— + регулярные члены при L->-0+,
182

G= (z; L) == G_ (z, z; £)_ = 0,
V+G_ (z, z'; L)_ | = - V+G- (z, z'; L)_\ = -±2+ + 0 (L)?
V+G(z, z'; L) V=G(z, z'; L) b«+ ± In L6L (z, z'),
V+G (z, z'; L) G_ (z, z'; £)_ LS?+ J- \n L6l (z, z'),
G (z, z'; L) G_ (z, z'; L)_ L«+ - A 2+6_ (z, z'),
G (z, z'; L) V=G (z, z'; L) ^0+ - ^- 2+6_ (z, z'). (3.28)
Соотношений (3.28) достаточно для вычисления как конечной
нелокальной части ЭД, так и нахождения локальных
расходимостей. Необходимо отметить, что для суперсимметричного
случая в суперполевом формализме регуляризация обрезанием
приводит к появлению лишь логарифмических расходимостей
(~lnL) в диаграммах.
4.3.3. Нелокальное квантовое эффективное действие
Как уже отмечалось, однопетлевое ЭД не является ковариант-
ным за исключением случая, когда N = 22 + d. Причина
супергравитационной аномалии заключается в том, что среди
компонентных полей присутствуют киральные фермионы —
источник гравитационной аномалии. Как следствие, однопетлевое ЭД
не может быть регуляризовано явно ковариантным образом.
Замечателен тот факт, что подбором параметров N и d
супергравитационную аномалию можно устранить [607] при N = 22 + d.
Благодаря теореме Адлера — Бардина [660, 661] это
соотношение между N и d не меняется в высших петлях. Интегрируя
супергравитациопную аномалию, находим однопетлевое ковари-
антное ЭД (в нулевом порядке по а')
ri-ioop = fc^-} f d3zd3z'E- (z) E- (z') 2+ (z) G (z, z') 2+ (z'). (3.29)
В предыдущем разделе эта формула была получена в
линеаризованном приближении.
Перейдем к исследованию ЭД для гетеротической НСМ (2.34).
Фоново-зависимый вклад в нелокальное ЭД на уравнениях
движения безмассовых мод определяется коэффициентом f в
IWiocai = - ^" j d^zdH'E- (z) Е- (z') • 2+ (z) G (z, z') 2+ (z'),
4f = -lO + d + 0(<x'). (3.30)
183

Рис. 4.18. Структура диаграмм,
определяющих ведущие члены в
нелокальном квантовом эффективном
действия для гетеротической НСМ в
коварпаптяом подходе.
Вычислим сс'-поправки в if. Суперполя %£_ существенны лишь
в трехпетлевом приближении и поэтому не учитываются в
первом порядке по а'. Диаграммы, которые дают вклад в конечное
нелокальное ЭД (3.30), изображены на рис. 4.18. Диаграмма а
генерируется членом Фрадкина — Цейтлина во 2-м порядке
по £*:
^т.1 = ^-|*аЯ-^|^уФбТ2+. (3.31)
В вершинах диаграммы б находятся тензоры кручения #й,р.
Данная диаграмма генерируется членом Весса — Зумино — Вит-
тена, разложенным до (|) ,
/'wzw,3 = - з^- jW-tf^V+rV=f- (3.32)
В узле диаграммы в находится jD-мерная кривизна R^fi\.
Появление этой диаграммы связано с £4-членом в разложении /0:
f" = ~ШГ' ^zE-R^Vv+VV-t4. (3.33)
Соответствующий вклад в ЭД записывается в виде (2я<х' = 1)
Г2-юор = _ J- f d?z-E2)*<bY>+G (z; L) + -|- j d3zd3z'£_ (z) x
xE-(z')IP[v+G(z, z'; L) v=V+G(z, z'; L) v'=G(z, z'; L) -
- 2V'+G (z, z'; L)V+vLG{z, z'; L) V=G(z, z'; L) —
— 2V+G(z, z'; L) V+V=G(z, z'; L) vLG(z, z'; L) —
— G(z, z'; L) V+v'=G(z, z'; L) V=V+G(z, z'; L) +
+ v'=V+G(z, z'; L) v+V=G(z, z'; L)] + -|- jd3z^~Л х
x[ v'=G(z, z'; L)| v'+G(z, z'; L)| -G(z; L) V+v'=G(z, z'; L)|] +
+ -L j d^-ДС/ (° | ~ *; L ) G (z; L). (3.34)
Последнее слагаемое в (3.34) — это вклад в ЭД, идущий от
функциональной меры [672].
.184

Используя результаты предыдущего раздела, находим
конечную нелокальную часть ЭД в виде
Г2-юор = _ _1_ /_ 4^2ф + _1_ Я2 _ R\ x
X J" d3zd3z'E- (z) Е~ (*') 2+ (z) G (z, z') 2+ (z'). (3.35)
Восстанавливая в (3.35) зависимость от ос', с учетом (3.29) и
(3.30) находим коэффициент if с точностью до <х'2-членов:
4v = - 10 + d + a' (R - -±-Н* + 402ф) + 0(а'2). (3.36)
Суперконформная аномалия определяется по формуле
<7>_ = - 26Г/65 = -L ^ФЕ+, (3.37)
где <?'>_— средний суперслед, S — суперконформный фактор,,
Р* — усредненная вейлевская аномалия,
Г = Ins "г Гпоп-local- (3.38)
Принимая во внимание трансформационные правила
62+ - - -f- 52+ + i V+V=5,
6Я_ = -|- S£_, 6G (z, z') = 0, (3.39)
нетрудно найти
<?'>_ = ± Id - 10 -a' [я - -у Я2 + 402Ф - 4 (^Ф)2]] 2+,
(3.40)
где последнее слагаемое ~(2)Ф)2 возникает из вариации члена
Фрадкина — Цейтлина (42) с использованием классического
уравнения движения для фонового поля X" (см. разд. 4.2).
Тем самым усредненная вейлевская аномалия имеет вид
2рф = d - 10 - a' \R - 4" Я2 + 4®2Ф - 4(5)ЦФ)21. (3.41)
Полученное выражение для аномалии совпадает с результатом
предыдущего раздела.
В принципе, описанный здесь ковариантный метод может
быть применен для вычисления нелокального ЭД в любом
конечном порядке по ос'. Кроме того, данный метод пригоден для
нахождения расходпмостей и Р-функций. Поскольку для бозон-
ной НСМ различные р-функции связаны СР-тождествами [652],
которые, надо полагать, не зависят от выбора регуляризации,
можно надеяться, что эти тождества сохраняются и в
суперсимметричном случае (в рамках регуляризации обрезанием).
185

Глава 5
ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИГМА-МОДЕЛИ
С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
5.1. БОЗОННАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ СИГМА-МОДЕЛЬ
С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА В d=4
5.1.1. Построение действия
Многие физические приложения квантово-полевых моделей
(прежде всего, калибровочных теорий) основаны на
использовании асимптотической свободы [673—680]. В связи с фактом
неперенормируемости эйнштейновской гравитации в
четырехмерном пространстве-времени интересы теоретиков часто
обращаются к теориям с высшими производными: 7?2-гравитации и
конформной гравитации, их суперсимметричным обобщениям,
которые оказываются перенормируемыми и асимптотически
свободными [678—689]. Стандартным аргументом против
рассмотрения таких теорий является отсутствие в них унитарности. Этот
аргумент неоднократно подвергался сомнениям. Например,
в i[689] приведены остроумные доводы в пользу унитарности
Д2нгравитации. Хотя впоследствии была доказана
несостоятельность этих аргументов [690], проблема унитарности в теориях
с высшими производными остается открытой.
В этой главе сформулированы ковариантные и явно
перенормируемые действия для нелинейных сигма-моделей с высшими
производными четвертого порядка в четырехмерном пространстве-
времени для бозонного [691—693], N~\ суперсимметричного
[694—696] и N = 2 суперсимметричного [697] случаев и
исследованы возможности реализации асимптотической свободы в них.
Перенормировка НСМ со смешанными членами второго и
четвертого порядков рассмотрена в [698].
Нашей целью является формулировка в четырехмерном
пространстве-времени перенормируемой скалярной теории, имеющей
геометрическую структуру, сходную со структурой стандартной
нелинейной сигма-модели:
h = \\ tfxgv (Ф) д^д V- (1-1)
Поскольку перенормируемость требует бсзразмерности всех
констант связи, мы естественным образом приходим к
необходимости рассмотрения нелинейных скалярных теорий с высшими
производными. Бели записать лагранжиан в виде суммы всех
независимых безразмерных структур, то соответствующая
квантовая теория будет перенормируема (в смысле [250]) во всех
порядках теории возмущений. Полученную таким образом
теорию в подходящей ковариантной форме (см. ниже) будем на-
186

зывать сигма-моделью 4чго порядка. Взаимосвязь стандартной
сигма-модели 2нго порядка и сигма-модели 4-го порядка в
четырехмерном пространстве-времени вполне аналогична
взаимосвязи эйнштейновской и 7?2-теорий квантовой гравитации:
эйнштейновская гравитация непереиормируема, тогда как
.^-гравитация перенормируема и ведет к асимптотически свободной
теории [681—688].
Ниже буквы середины латинского алфавита относятся к
базовому риманову многообразию, параметризованному скалярными
полями Ф'; начальные буквы латинского алфавита обозначают
соответствующее касательное пространство. Греческий алфавит
используется для индексов, относящихся к четырехмерному
пространству-времени, которое в нашем рассмотрении ради
простоты считается плоским. Конкретный выбор сигнатуры
пространства-времени для наших целей несуществен. Фактически мы
используем в вычислениях евклидову сигнатуру.
Нетрудно убедиться, что наиболее общее действие 4-го
порядка для набора скалярных полей Ф' фиксируется четырьмя
безразмерными функциями ^(Ф), А%(Ф), Т($,(Ф) и Я$,(Ф):
/ [ф] = _*_ j dlx [G(?> □ Ф* □ Ф3 + А\%д)ХдчФ%Ф%Ф'1 +
+ т^цФЧфЧфЧф' + я^^хр^фЧфЧфЧф'] (1-2)
Все другие возможные структуры сводятся к указанным
четырем интегрированием по частям. В отличие от действия
общего вида для стандартной НСМ с производными 2-го порядка,
первое и второе слагаемые в действии (1.2) выглядят явно
нековариантными, если интерпретировать Су как метрику
полевого многообразия, параметризованного скалярными полями
Ф*. Поэтому целесообразно переписать действие (1.2) в явно
ковариантной форме следующим образом:
/ [ф] = -i- J d*ar [СуНФ'Нф' + ЛуьЯ.АФЧФЧФ'' +
+ Т^^фЧфЧфЧф' + Я^ые^р^ФЧФЧФЧФ1], (1-3)
где введены ковариантные производные по отношению к
связности Кристоффеля Г';-ь, построенной по метрике G«, например,
НФ'МЭДФ)' = 1б% + Г'ддцФ*) д^ = □ Ф1 + Г'ддцФЧФ*,
Г у = -rrG (diGji + djGu — dfiij),
(Б^Ф)* = д^Ф{ + Г'^ФЧф''- (1-4)
Формулы (1.2) и (1.3) связаны достаточно очевидными
переопределениями коэффициентных функции, которые здесь не
приводятся, поскольку именно (1.3) является начальным пунктом
нашего анализа. С«(Ф) интерпретируется как метрика по-
187

левого многообразия, тогда как Aijk(0), ТШ(Ф) и #<Л((Ф)
следует рассматривать как тензоры, «живущие» на этом
многообразии. В частности, предполагается, что всегда выполнены
некоторые свойства (анти)симметрии этих тензоров в силу их
определения согласно (1.3):
Gy = G(4), AHjh = Atiik),
Тш = ^(«>(ы) = ^((«хы)» Нцы = Нуьц. (1-5)
Последнее слагаемое в (1.3) суть обобщенный ВЗВ-член.
Ниже мы не рассматриваем эффекты, связанные с нетривиальной
топологией полевого многообразия, и учитываем ВЗВ-член,
равно как и другие члены в (1.3), лишь с точки зрения локальной
перенормировки. Заметим, что в НСМ 4-го порядка в d = 4
обобщенный ВЗВ-член по числу участвующих в его построении
производных согласован с другими структурами в действии.
5.1.2. Ковариантный метод фонового поля
Заменяя в действии (1.3) исходное поле Ф на сумму
классического фонового поля Ф и квантового поля П, можно
разложить получающееся таким образом фоново-квантовое действие
в ряд по квантовым флуктуациям П. Однако для получения ко-
вариантного разложения на полевом многообразии, наделенном
метрической структурой, вместо того чтобы разлагать по
степеням П, будем следовать стандартной практике разложения в
терминах нормальных координат %, которые определяются
посредством использования геодезических p(s) на полевом
многообразии (см. гл. 1).
В однопетлевом приближении следует вычислить члены
разложения второго порядка по £, поскольку здесь мы не
интересуемся структурой перенормировки функций поля. Прямое
вычисление приводит к результату:
4^/[p(s)]Uo=4l^«b(V)fd%, (1.6)
где оператор F(V) имеет канонический вид
F(V) = П2 + £2PlivVPV,iVv + D^vV^Vv + ЯЦУЦ + Р (1.7)
с симметричными коэффициентами &2PMV, Z>„v, #„ и Р,
выражающимися через исходные коэффициенты-функции Gy, Aijk, Т^
и Hw
Ради простоты ограничимся ниже рассмотрением случая,
когда Ат = 0, поскольку иначе результаты оказываются
чрезвычайно громоздкими [691]. Тогда
"livp ^ ">
Aivob = 2б^рФт5рФр(ДЬтор - 2ТаШр) - Ад(11Фтд^ФрТатар,
Dab = Dnnab = 5рФт5рФ1> [8Rbmap — \%ТаЬтр — 47'отьр],
188

Н»аЬ = 9^Om(£»v9vO)j(4i?jb0m - Tajbm) + 2д|1Ф'ЧФЧФрх
X \2DaTbmjp - DmTab]V - 2D3Tavbm] - 4 (D„,dJDf 5vOpx
X[Tabjp + Tapbj] + lOSabjpmeVivK<ldv&d1,<bpda<&m,
Pab - 5^0m5^0p(£»v5vO)i [DaRjmhp + DnRjabp] + (D^Ofx
Х(АДФ)' Rjabp + ЗцФ-ЗцФЧФЧФ' I RjmapR qbt + "2 DbDaTmpqt +
H" %TjpqtR bam — 2TapjmR bmt\
(1.8)
где использовано определение напряженности для
антисимметричного тензорного поля Весса — Зумино — Виттена
SnijM = d[n#yhi]- (1-9)
5.1.3. Однопетлевой ковариантный контрчлен
Вычисление УФ-расходимостей однопетлевого ЭД
*T& = -4TrlnF(V)Uv (1Л0)
согласно (1.7) сводится к вычислению расходящейся части
детерминанта минимального дифференциального оператора 4-го
порядка. Эта задача в общем виде решена и указан общий
алгоритм вычисления расходимостей (1.10) [699].
Применение обобщенной техники Швингера — Де Витта [699]
к нашему случаю (с использованием размерной регуляризации)
немедленно дает желаемый результат:
+ £8Ъг + ^AiAv}, (l.ll)
тде
я^аЬ — а|4Ф1а¥Ф,л«вЬ, Ru0" = гУ'йу», (1.12)
Здесь Rtjki есть тензор Римана — Кристоффеля, построенный по
метрике Gi}. Мы не приводим здесь вывода (l.ll), поскольку он
содержится в качестве частпого случая в [699].
Для рассматриваемой нами теории следует подставить
формулы (1.8) в (1.11). Тогда искомый одпопетлевой коптрчлен
лриобретает следующий вид:
-г&=ift»,H ,iW(*>' <113а>
16я (d — 4) •>
I(x) = h{x) + h(x) + h{x) + h{x), (1.136)
/[(а:) = (£>АФ)'(Я^Ф)%, (1.13в)
189

/2(я) = (адФ)'д1.ФЧФ'кШрЯ«м> - 2D0Rk),}, (1.13r)
/3 (X) = ^ФЧФЧФЧФ' {Д^Д,Л - | Д1(1МДР9;г -
- DhDpRpiH - DuDiRjt + 8TijpqThr + ^TijpqThMt + 47^ %) X
X Tjpqi + -g- TipqjTh i+2Ri TPjhi—2Rih Tjpgi + 2i?h i(^Ttjpqj + Tipqj)—
-±DpDvTijh^, (1.13д)
где Ri) — тензор Риччи.
Поскольку мы ограничились рассмотрением случая Aiik = О,
из, требования однопетлевой перенормируемости согласно (1.13г)
возникают ограничения
£>(,ДА) = 0, D*RiOh>P = 0. (1.14)
Нам не известно описание всех римановых пространств,
которые удовлетворяют (1.14). Заметим, что в силу тождеств Бьянки
для тензора кривизны таковыми являются риччи-плоские
многообразия. Локально симметричные пространства (DpRijhi = 0)
также, очевидно, удовлетворяют (1.14).
Первые два Д2-члена перенормировки Тт в (1.13д) совпадают
(с точностью до общего числового множителя) с
логарифмической расходимостью обычной четырехмерной НСМ с
производными 2-го порядка [267]. Перенормировка метрики G{] в (1.13в)
управляется тензором Риччи, как и в двумерном случае. Однако,
в отличие от двумерных сигма-моделей с кручением (см. гл. 1),
обобщенный ВЗВ-член перенормируется через себя в однопетле-
вом приближении согласно (1.13е). Однопетлевая перенормировка
ВЗВ-члена отсутствует, если напряженность S козамкнута, т. е.
D*SPW = О - 6S = 0. (1.15)
Условие (1.15) является достаточным, но не необходимым.
Вообще говоря, перенормировка обобщенного ВЗВ-члена отсутствует,
если
65 = dQ (1.16)
для некоторой 3-формы Q.
Согласно (1.13) однопетлевой контрчлен равен нулю для рич-
чи-плоских пространств (при условии (1.16), если обобщенный
ВЗВ-член включен в рассмотрение), если тензор T{JU
удовлетворяет уравнению
D DpTijM — 16Tij Tklpq — STijpgTh I — "jj- T(i h)Tjmi —
— -J TipqjTh i — 4.RfcP9i (47'yp, + Tipqj) + ^RibP9Tjpqi—2RipqjRkp9i +
+ -jRikpqK^H + (симметризация (ij),(kl) и {ij)(kl)). (1.17)
190

5.1.4. Мультипликативно перенормируемая модель
С геометрической точки зрения естественно рассмотреть
теорию, в которой метрика Gtj является единственной независимой
структурой в действии (1.3). Поэтому обратимся к рассмотрению
действия (1.3) с AiJk'=0, в котором Тт является функцией
метрики. Более того, ограничимся рассмотрением лишь простейшего
случая симметрического пространства постоянной кривизны
(re-сферы):
Rm = г-2(G«GU - GttGi(), Дч = г"2(п -1) Gtj, R *= т-2тг (п - 1).
(1.18)
Для Tqu(G) аналогично выбираем представление с двумя
константами связи
TW (G) = ^5 (GuGjk + GnGih) + tl G{jGkt (1.19)
в соответствии с (1.5). Таким образом, здесь рассматривается
простейшая трехзарядная модель с действием
/м[ф]=* \^х{С{3 (О^Ф)\ОчдчФ)} + Гт1 (G) д^Ф1д^д^%Ф1),
(1.20)
где явно указана константа связи для метрики Я2. Численное
значение г2 выбираем, следовательно, из соображений удобства.
В дальнейшем считается, что 8я2г2 = ±1.
Нетрудно убедиться, что ограничения (1.14) для (1.18)
выполнены. Знание однопетлевого контрчлена (1.13) позволяет нам
немедленно написать соответствующие уравнения РГ для
эффективных зарядов K2(t), fi(t) и /г(0. поскольку согласно (1.13)
перенормировка является мультипликативной. Соотношение
между неперенормированнои и перенормированной метриками имеет
вид
5в»-',"[тав« + гЬвв, + -} (1.2!)
где [I — размерный масштабный параметр РГ (t = In ц).
Следовательно,
11 £ [ш Ч = " е&> = i? Rij = ±{п~1) G* (1-22)
Аналогично,
*ъ [ш Tijhl (G))= s?1НЛН™ +■■■]• t1-23*
Учитывая теперь (1.18), (1.19) и используя (1.13), получаем
191

окончательно
Mi^*^-^ (1-24a)
|(^ = ±{(^Mfl + /| + ^l/2 + (re_5)2/l-4/2+4},
+ (" + 7)/х + 2(5тг-3)/2+ «-!}. (1.246)
Уравнение (1.24а) легко решается:
А.2
Г (<) = » _, (1.25)
w 1 ± (л -1) \\t к '
тогда как два других после замены переменных
dx/dt = ±K2(t) (1.26)
приобретают вид
.:. ^=^^fi + fl + ^fih + {n_9)h_ih + ^
■ «А _ (М_2«)/? + Щ±ЛЦ + (2п + Ю)/,/, +
+ (» + 7)/i + (9n-5)/a + n--J. (1.27)
Формула (1.25), характеризующая поведение эффективного
заряда K2(t), допускает стандартную интерпретацию. Выбор
нижнего знака (—) в (1.25) приводит к возрастанию эффективного
заряда Х2(£) с ростом энергии t-*■<*> (ге>1), в результате чего
выходим за рамки применимости теории возмущений, что вполне
аналогично поведению эффективного заряда в КЭД в однопетле-
вом приближении. Выбор верхнего знака (+) в (1.25) при ге>1
приводит к тому, что эффективный заряд k2(t) стремится к нулю
с ростом энергии, что вполне аналогично поведению эффективного
заряда в неабелевых теориях Янга — Миллса в однопетлевом
приближении. Следовательно, выбор знака (+) в (1.25)
приводит к асимптотической свободе по константе связи метрики %2.
В рассматриваемой теории, однако, есть еще два эффективных
заряда /t(r) и /г(т), поведение которых в однопетлевом
приближении характеризуется уравнениями (1.27). Теория (1.20) будет
асимптотически свободной по всем константам связи, если /[(т)
и /г(т) ограничены при т-»-00, что, в свою очередь, определяется
нулями р-функций, т. е. правых частей (1.27). Численный анализ
на компьютере для ге< 1000 показал, что действительные
фиксированные точки для уравнений (1.27) имеются лишь начиная с
п 3* 21, однако все они оказываются нестабильными. Численны©
192

компьютерные расчеты действительных нулей р-функций (правых.
частей
п
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
уравнений (1
п
—0.4806
—0.2211
—0.5581
—0.1868
—0.6220
—0.1645
—0.6786
—0.1481
—0.7303
-0.1352
—0.7782
—0.1247
—0.8231
—0.1158
—0.8655
—0.1083
—0.9058
—0.1018
—0.9442
—0.0961
.27)) дают:
/,
—0.0417
—0.0810
—0.0314
—0.0870
—0.0232
—0.0910
—0.0162
—0.0940
—0.0099
—0.0965
—0.0041
-0.0985
—0.0012
—0.1002
0.0062
—0.1017
0.0108
—0.1030
0.0152
—0.1042
п
32
35
40
50
70
100
200
500
1000
Л
-1.0159
—0.0865
— 1,1133
—0.0753
—1.2541
—0.0622
—1.4791
-0.0463
—1.7863
—0.0307
—2.0680
—0.0205
-2.4740
—0.0097
—2.7718
—0.0038
—2.8826
. —0.0019
/,
0.0234
—0.1061
0.0344
—0.1084
0.0500
—0.1112
0.0748
—0.1146
0.1089
-0.1180
0.1405
—0.1203
0.1872
—0.1228
0.2224
—0.1241
0.2357
—0.1247
Таким образом, в рассматриваемом приближении
асимптотическая свобода по всем константам связи реализуется только в том
случае, если начальные значения /i и /г были выбраны в точном
соответствии с нулями ^-функций в (1.27), т. е. для особых
решений уравнений РГ.
Стабильные асимптотически свободные решения можно
получить в том случае, если в теории будет лишь одна константа
связи Я,2, обеспечить асимптотическую свободу по которой
нетрудно (см. (1.22) и (1.25)). Такая ситуация реализуется в
четырехмерных нелинейных о-моделях 4-го порядка, определяемых-
на групповых многообразиях [700].
5.2. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ JV = 1 СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИГМА-МОДЕЛИ
С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
5.2.1. Построение действия в суперпространстве
Расчет однопетлевых расходимостей стандартных N = 1 И"
N = 2 суперсимметричных НСМ на келеровых и гиперкелеровых
многообразиях в четырехмерном пространстве-времени указывает
на появление расходимостей, содержащих производные 4-го
порядка по фоновым полям. Такие расходимости не могут быть
13 с. В. Кетов
193

устрапены путем перенормировки исходного действия. Поэтому
представляется естественным рассмотреть суперсимметричные
неполиномиальные четырехмерные теории материи (НСМ 4-го
порядка), которые не содержат размерных констант связи, т. е.
являются теориями с производными 4-го порядка в кинетических
членах скалярных полей. Построив действие, включающее все
возможные структуры требуемого вида, можно утверждать, что
модель будет перенормируема во всех порядках теории
возмущений в смысле, припятом для обычных о-моделей [250]. Переход
от стандартной суперсимметричной НСМ к суперсимметричной
НСМ 4-го порядка является, таким образом, вполне аналогичным
переходу от N=1 супергравитации Пуанкаре к iV= 1
супергравитации 4-го порядка (суперсимметризованной
.^-гравитации) [701].
Записанный ниже лагранжиан суперсимметричной НСМ 4-го
порядка содержит супераналог ВЗВ-члена. Бозонный ВЗВ-член
присутствует в нем в комбинации с другими структурами,
необходимыми по суперсимметрии. Такой суперчлен рассматривался
при анализе солитонных решений в суперсимметричной СР(1)-
модели [225] и вводился для стабилизации этих решений. Ниже
показано, что однопетлевая перенормировка эффективного
действия включает член типа Черна — Саймонса, построенный по
метрике. Следовательно, из анализа однопетлевых контрчленов
видно, что обобщенный ВЗВ-член должен входить в исходное
действие.
Наиболее общее действие в N = 1 суперпространстве для
суперсимметричной скалярной теории 4-го порядка строится из
набора киральных и антикиральных суперполей Ф'(Яц> 0а, 0d) и
-ФЧ*» е„,"ёа)
1 = §&х<МЬ(ФуФ), (2.1)
где лагранжиан^ L имеет размерность два в единицах массы (су-
перполя Ф* и Ф' считаются безразмерными). В отсутствие
размерных параметров лагранжиан L можно представить в виде
L = Gq&qFEFE + Ia^D^D^D^] + h. с. +
+ Т^-^ф'ЯаФ'Я" Ф*^. Ф" + [- НтОаФ{ПаЪа х
Х^2^Фй + Ь.с.1, (2.2)
где G{-., A°s, 7"!'-- и Н.-^ — безразмерные функции безраз-
мерпых суперполей Ф и Ф, a Da D^ — ковариантные производные
в N= 1 суперпространстве. Нетрудно убедиться, что ведущие
члены действия (2.1) в компонентной форме имеют вид (Ф(я) =
194

= Ф(х, е,ё)/|в=о)
/ = jd*x[G.-} ПФ!ПФЧ [Affh) П ФЧфЧФ~" + h.с] +
+ ^ук^ФЧФ^Ф*>Ф" + [ядаь (- 4 ^vxp^O* х
ХЪ&д&деФ* - ЭцФ^ФЧфЧФ*) + h. с] + ...}. (2.3>
В действии (2.1) поля F(x) = D2<t>(x, 0, 0)1 также, конечно,
являются распространяющимися.
Действие (2.2) можно переписать в ковариантной форме,
характерной для о-моделей, если считать метрику G{-. келеровой
и ввести комплексную риманову связность в виде
V = \GC\dfi-jh + dkGj.), IV = |c*(*ftj + д^ъ),
V = V = 0. (2.4)
Ковариантизуя N = i производные D, D по отношению к
новой связности (2.4), можно определить новые ковариантные
производные Dc, Dc, сохраняющие N = I киральность:
(£>£ф)* = £>аф* + 1у£>„ф"ф', р?Ф)' = ^ФТ + Г^'я.Ф*Ф3,
ЪСФ = ЯСФ = 0, DcDO = Я(С)2Ф. (2.5)
Тогда действие (2.1) можно переписать в явно ковариантной
форме, что позволяет рассматривать его как НСМ 4-го порядка r
геометрических терминах:
/ = |йЦс.-ДдсяфУ(дсдф7 + [Am{ncD<s>y (ШУх
х(Ш*) + h. с] + 7\.Й--(£>Ф*£>Ф0 (dWd^) +
+ I- НтОаФ{ (£»^аФ У ^Ф5 + h. с. ). (2.6)
(2.6) отличается от (2.2) переопределением А.-^ и Т{.^ш
Действие (2.6) инвариантно относительно преобразований
бЯл^ = д%\-ъ\ с произвольными функциями Х^(Ф, Ф). Поэтому
для записи действия в калибровочно-инвариантном виде введем
вспомогательную комплексную бозонную координату г\ и
рассмотрим следующую зависимость киральных суперполеи от этой
координаты: Ф(у, 0, г\)=г\Ф(у, 0), Ф(У, в, Ц*) = r\*0(f, 0).
Тогда обобщенный ВЗВ-член в (2.6) можно выразить через соответ-
13*
195.

•ствующую напряженность Нк^ = д^Н.^ в виде
i 1
j d8z [я^ЯФ* (£>ШУ ЯФ" + h. с] = J" d*z j dtpi x
о
X [я^ЯФ1 (|)Да?) (дФ*) Ф"] + h. с. . (2.7)
5.2.2. Вычисление ковариантного
однопетлевого контрчлена
Для вычисления однопетлевых УФ-расходимостей квантового
ЭД теории (2.6) используем ковариантное разложение фоново-
квантового действия, заменяя исходное поле Ф суммой Ф + П
классического фонового поля Ф и квантового поля П и переходя
к нормальным координатам % вдоль геодезической р(т) между
,р(0)'=Ф и р(1)=Ф + П на полевом комплексном многообразии.
Тогда
р< (т) = ф* + 64 - 4 IV&'SW ..., (2.8)
где точками обозначены высшие члены разложения по т. Таким
образом, хотя суперполя |* нельзя считать киральными:
О = Я«П* = Д* б1 - Г',к5" g'g* - ^ Д'^Ф^б' + • • •. (2-9)
тем не менее, проводя однопетлевые вычисления, можем считать
|' киральными суперполями, поскольку отклонение D% от кираль-
лости, будучи квадратичным по квантовым флуктуациям |, даст
вклад лишь в следующих порядках теории возмущений.
Если определить действие 7[р(т), р(т)] вдоль геодезической,
члены ковариантного разложения фоново-квантового действия по
степеням квантовых флуктуации | могут быть вычислены
последовательным дифференцированием (см. гл. 1). Двукратное
дифференцирование определяет /(2), которое, в свою очередь,
определяет однопетлевое ЭД,
/<2) = f d°z [бф* ( D(c»D^iy + I'Fuf]. (2.10)
Прежде чем выписать явный вид оператора Fu, введем
«тетрадный» формализм
С0(Ф, Ф) = 7?(Ф) У-.а{Ф); VWi = Ь{, DaV-.a = Д. П = 0 (2.11)
и преобразуем с помощью V, V квантовые поля и ковариантные
производные в касательное пространство. В результате (2.10)
приобретает вид
196

где использованы обозначения □.. = Bi0)2D(c)2, U+=>DM2D{C)2.
Ограничимся рассмотрением келерового многообразия с А^ъ = О,
поскольку в противном случае необходимые вычисления
приобретают чрезвычайно громоздкий вид [694]. Оператор Fab
выражается тогда через исходные коэффициенты функции G, Т и Я
следующим образом:
\ out/ad
F^ = [Pia)-aM^)db + L-ab, (2.13)
где
Kab = {D&m>")[Rbka--TabTn],
(ЯJ„b = D-&DJT [°°Нъъп + Т D»H**b] + Т ^Чьо-
(Та)аъ = 4 D^4f Ф1Н^ + 2£>аФ* (Ш*ДФ") [Д^иж: -
" Т V*»] + д^a№<P [DaHb-h- - 27Vft- + ^ Z^sJ +
+ dayD^[-DaH-nhb+±DkH-nab\
(^-^^[^ь-З + ^Ь-].
ЯАВ = 4 (Я2(с)Ф)" (яФ*ЯФ") £>u*№ +
" ^-Л* + W'lJ + Т(Д2(С>ф)" (^(С)2Ф)ПХлв. -
- 4 Dj^d^d^D. Ф*Я-АД,,в1А + Т Da<&SP*&D . Ф" X
ь а ПАР * а
. X [daDbH^- + H^R»ABh + Hhpl-R^ - 2Яд-(-Я^, -
hb = 0^{20аФп(0<с»Ф? [Д-ЙЬ-П - Т^в] +
+ 2ЯаФ" (Wm) DrJmn + dj&nt Ф^аНьГп +
+ д^Ф^Ф" [Д[-Я-]йь - 2ГИ-]} + ЯЬ. (2.14)
Для вычисления расходимостей однопетлевого эффективного дей-
197

ствия
j2
W = J-Trln[-^
2 [ЫАЫВ
(2.15)
удобно использовать обобщенную технику Швингера — Де Витта
[702, 703] в применении к плоскому N = i суперпространству,
разлагая (2.18) в ряд по степеням оператора FAB. Тогда нетрудно
убедиться, что интересующая нас расходящаяся часть однопет-
левого эффективного действия имеет вид [694]
Wu
W = - Ц- Tr In |y~ £><c)26« (1, 2)] +
i Tr b(c)V-b 4- ^(С)2б8 (1, 2)1 -
- i Tr iD^F^D^D^Fbo -L Dm68 (1, 2)1 -
- l Tr Uc»F-abW»F-bc -^- £(C)268 (1, 2)] + h. e. (2.16)
Таким образом, вычисление однопетлевых расходимостей сводится
к вычислению универсальных функциональных следов вида
TrZ>A • • • DcB\3-k D(c)288(l, 2), для чего следует использовать
представление Швингера — Де Витта для операторов □- в
плоском суперпространстве. Поэтому рассмотрим уравнение на
функцию Грина оператора Ц_
□_G(1, 2) = 5268(1, 2) (2.17)
и используем для нее интегральное представление
оо
G\ (1, 2) = i f dsUab (1, 2; s), (2.18)
0
в котором ядро удовлетворяет уравнению
д-£ = -П_и (2.19)
с начальным условием £7(1, 2; s = 0) = Д1б8(1, 2). Решение
уравнения (2.19) будем искать в виде
ОО
17(1, 2; в) = - 4^4-ехр f^^l £ WML 2), (2.20)
s L n=o
где мы использовали двухточечный скаляр, имеющий смысл
интервала между двумя точками в суперпространстве:
ш(1, 2) = -у ш^Шц,
шй = да.1._1(део1'ё2)+1(610^9). (2.21)
198

Представление (2.20) вполпе аналогично представлению Де Вит-
та для функции Грина скалярного поля в римановом
пространстве [671].
Используя явный вид оператора Ц_ при действии на кираль-
ное суперполе
n- = -2D"aD. +RaD%) + R,
ао
Ъ^ъ = {Z»(c)"£>(c)a}°b = -L a^aD(c),xab + Д0ь^Я"Ф*£>аФ»\
(D^)ab = «V4 + r%<W,
( Ra)ab = 2D2 (Г0Ьр)£»аФр = - 2 \2Яа^ЪЛКдааФ1' +
+ Df (Д°Ь£РД"Ф':) £>аФр],
--|-Д0ь = (£>а(с)Да)°ь (2-22)
и подставляя (2.20) в (2.19), нетрудно получить рекуррентные
соотношения для коэффициентов а„(1, 2). Результаты для
производных от ш и а„ при совпадающих пределах имеют вид
D ■ ш = 0. Д»ш |1=2 = Я(с)ааш |1=2 = DaDta |1=2 = 0,
а
ao(l, l) = ai(l, l)--0,
ДЗДЧ11=2 = ^ eap, £#V|i=2 = 4 Д«,
£»(c)2£»(c)ciaa0|1=2 = = -±-eft" [д^о^еЯ-Ф^фс]. (2.23)
Теперь для вычисления УФ-расходящейся части однопетлевого
ЭД достаточно регуляризовать интеграл по собственному времени
(используется размерная регуляризация: d = 2ге, е = п — 2) и
выделить полюс при е -*■ 0 [699—703]:
оо
J ^г/(*,»)-—г^0'2)- (2-24>
0
Результат имеет вид
199

+ {P«Xl Пп^ W & -L\~ir (PJ\ W. -
-S-(Pi.)'J?i")Ii + 4«5^i}. (2-25)
Окончательное выражение для однопетлевой ковариантной
расходимости получается после подстановки (2.14)' в (2.25).
Интересно, что в первом слагаемом (2.25) возникает интеграл
от формы Черна — Саймонса, так что, хотя подынтегральное
выражение выглядит нековариантным вследствие явного присутствия
связности, расходимость (2.25) в интегральной форме является
ковариантной.
Из-за предполагаемого нами отсутствия структуры А{^ в
исходном классическом действии требование отсутствия однопетле-
вых контрчленов той же структуры приводит к ограничениям
DaRHTn)a + °(й*-п» = °' ^kknfa + D<JlnSk = 0. (2.26)
При ограничениях (2.26) однопетлевой контрчлен принимает вид
/я-[/, + /8 + /4]/2е, (2.27)
где
h = -£ ^г(Я(с)2Ф)"(£(с)2ФГ Rh-,
h = i?№<D®hD®n)^m4{TRabuRbann +
■ 13 р pb о 1_ г\Ар. гр , гр гра " , 16 гр rpba
"*" 3 ahbn ft n 2 А *™*™ bnah1 h n "+" 3 abfctr кп
Т DP гр D Р 1» (гр по Ь , гр Д°_^_| I
1 pnkn h l рпкпПк 3 V abhn*1 ь п "+" 1 ЪЕкпп h n) "+"
+ DaH-nbhTan\ + ^tfH^H-^ - (D-aH-bh + DbHh-) Rb\n),
- 4" ДА^ЯЙЙ- - \ E^-R\ - -J- H^R\ + Я.даД*^} + h. e.
(2.28)
Перенормировка метрики осуществляется тензором Риччи, что
вполне аналогично обычным двумерным НСМ (см. гл. 2). Для
записи перенормировки напряженности для обобщенного ВЗВ-
члена в ковариантном виде перепишем Д с использованием до-
200

полнительнои вспомогательной координаты г\:
1
о
- 4-DnDADAHkTn - \ DnHhk-R% - -J-DnH^m +
+ £>ntfoR-^hg]} + h.c. (2.29)
Теперь вместо формы Черна — Саймонса в первом слагаемом
(2.29) возникает антисимметричный след от квадрата тензора
кривизны, пропорциональный первому характеристическому
классу Понтрягина для рассматриваемого комплексного келерового
многообразия.
Согласно (2.28) однопетлевая перенормировка метрики
отсутствует, если келерово многообразие является риччи-плоским,
Rk- = 0. С использованием тождеств Бьянки для тензора
кривизны нетрудно убедиться, что условия (2.26) также выполнены для
риччи-плоских пространств. Однако в отличие от двумерных
НСМ 2-го порядка для четырехмерных НСМ 4-го порядка
однопетлевая конечность имеет место, лишь если h и /4 также равны
нулю. Последние условия можно рассматривать как уравнения на
*hnhn И ftnfc'
г\Аг\ т пгр гра ° об rp niba , о& Iт па b .
U U&1 ЬгШ ~~ Ll ЬпаТ1 « п 3~ °ЪЬЪ кп + "Т V °ЪЬХ " п +
+ 7-=»яД5»У - 2£>°Я-.ь7'0пЬг = 3RahrbRb- +
1 abhn к nj nob u" я ЬЬЬ апп '
+ 1Г*аьъп*\\ + ^DaH-hbnDbH-ah - 2{D-aH-bh + DbHh~) X
X DJ^DjJIk - ^DnHa-p[-R\g] - - 3R\lKRl-^y (2.30)
Примеры комплексных многообразий, удовлетворяющих
сформулированным выше условиям, следует искать, по-видимому,
среди гиперкелеровых многообразий и многообразий Калаби — Яу,
которые, в частности, являются келеровыми и риччи-плоскими.
5.2.3. Мультипликативно перенормируемая модель
п асимптотическая свобода
Уравнения (2.26) допускают другое простое решение
DpR^a = DpRbhna = 0> которое характеризует локальпо-симмет-
рпчные пространства.
Чтобы максимально упростить ситуацию, обратимся к
рассмотрению относительно простой нетривиальной суперсимметрич-
201

ной НСМ 4-го порядка с действием
/ = \^Н {GQ (Я^Ф)1 ( Д(С)2ФУ + Т. .ш (£>Ф*£>Ф>) {D&Mr)} +
+ ±§dh§dmHnhmOnD<I>bD'mim" + b.c., (2.31)
о
в котором Т и Н считаются функциями метрики. Простейший
случай реализуется келеровыми многообразиями постоянной
голоморфной секционной кривизны с [479], для которых тензор
кривизны имеет вид (наши соглашения отличаются от принятых
в [479] знаком)
ЙЛЛ = -Т с (GuGnK + адГп> (2-32)
Перенормировка будет мультипликативной, если Т и Н также
будут иметь вид
Нипйп = 16*2Р {Ок£п- - G^), (2.33)
аналогичный (2.32), где ос, Р — безразмерные константы связи.
Поскольку константой взаимодействия для метрики выбрана
А,2, абсолютное значение с (с Ф 0) можно выбрать из соображений
удобства. Ниже с = ±16л2. Тогда положительный знак
соответствует комплексным проективным пространствам СР(к)
комплексной размерности к [479]. Метрика G{-. в этом случае есть
известная метрика Фубини — Штуди [479].
НСМ (2.34) — (2.33) является трехзарядной. Уравнения РГ в
однопетлевом приближении для эффективных зарядов X2(t), a(t)
и р(£) немедленно следуют из явного вида контрчленов (2.28)
после подстановки (2.32) и (2.33) согласно стандартным методам
(* = 1пц):
^1 = ±(А+1)'
4г [$|] = -12 <(12А + 292) а2 - (48А + 560) а + 12 (к - 1) оф +
+ 3 (А: — 1) р2 — 24 (А — 1) р + 18А + 262},
^Ш1=~^(А+1)[6 + 2р]- (2'34)
Первое уравнение (2.34) легко решается:
А.2
Я." (t) = °- -, (2.35)
тогда как оставшиеся два после замены переменных
dxldt=>±tf(t) (2.36)
202

приобретают вид
^ = -^ {(12А + 292)а2 -(36А + 548)а + 12(А- 1)ар +
+ 3(А-1)Р2-24(А-1)Р+ 18А+262},
Л_* + 1{в_вр}. (2.37)
Последнее уравнение легко решается:
р(т) = 1 + (р0 —1)ехр[ |-(А+ 1)т], (2.38)
так что р -*■ 1 при т -*■ °о.
Для асимптотик а(т) при %-*■ °° находим
a->-oci, (ai — аг) > 0; a->■ 02, («i — «2)<0, (2.39)
где «1,2 — корни квадратного уравнения (фиксированные точки
соответствующей р-функции в (2.37) при р = 1):
(16А + 140) ± Vlbk* + 180А — 329 /о /П\
«1,2 6А+146 • К '
Таким образом, для комплексных келеровых проективных
пространств СР(к) (верхний знак в формулах (2.34) — (2.36))
эффективный заряд Я2 (t) стремится к нулю с ростом энергии, что
вполне аналогично поведению эффективного заряда в КХД и
обычных СР(к) двумерных НСМ. Однако в нашем случае для
четырехмерной НСМ 4-го порядка асимптотическая свобода по
всем константам связи для СР(к)-пространств будет реализовы-
ваться только в том случае, когда a(t) и Р(£) асимптотически
ограничены. В силу (2.38) и (2.39) последнее условие
оказывается действительно выполненным, поскольку a(t) и Р(£)
«выходят» на константу при т -»- °°.
5.3. N = 2 СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ
СИГМА-МОДЕЛИ С ВЫСШИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В d = 4
Отметим, что суперполевая формулировка обычной N — 2
НСМ в d = 4 является нетривиальной задачей (см. гл. 3),
поскольку полная мера интегрирования в N-—2 суперпространстве
содержит «слишком много» производных. В противоположность
этому, N = 2 НСМ с производными 4-го порядка формулируется
в N =>2, d = 4 суперпространстве естественным образом, если
исходить из набора N=2 вещественных (анти)киральных супер-
полей Ф°(<р0), удовлетворяющих связям (см. гл. 3)
Dq>" => О = Dqf, DV = CV, ~DV = аФ°. (3-1)
Компонентный состав N = 2 кирального вещественного супер-
поля имеет вид (см. гл. 3)
Ф = (Ф, ф\ Сп, F„,)t (3.2)
где ф — комплексный скаляр, ф' — дираковский спипорный изо-
203

дублет, Ст — вещественный изовектор, F^ — вещественпый анти-
симметричпый тензор со связью
дц^цу = 0 ~ ^nv = -у 2цч)фд\Вр- (3.3)
Наиболее общее действие N = 2 суперсимметричной НСМ 4-го
порядка имеет вид
/ = -^|^8е£(ф,ф) (3.4)
и определяется «потенциалом» K(<f>, <р) в полной аналогии со
стандартным действием N — 2, d = 2 НСМ. В компонентах для
бозонной части действия (3.4) находим [697]
X dvdp?pn — -rg д^СтдрСт ] + KaFc у □ ф0дцфьдцфс —^ д^Стд^С^ —.
+ 4 каш ]^фЧф^фЧ? +±-{c°mci){clccn) +
+ -jjjf ^Vv ( F^v + i^jiv) FpiFp*. + ■32" ^Vv V^nv — i^iv) PphPpy —
J- 9цфС^ф°(С^) + ^-(C^)(F°V + iFlv)FU +
+ "jg- (CmCm) ^Jiv (^nv — i^nv) +
+ 4 а»фЧф" № + ^pV)Kv - i^v)] + h.c. J, (3.5)
где /Vv — тензор, дуальный F^, a
tf _ а"*(фГф) , (з.6)
0...6... 0 -J, * '
Зф ... Зф"...
Отметим, что рассматриваемая теория содержит в качестве
одной из компонент распространяющийся вектор, поэтому термин
«нелинейная сигма-модель» здесь носит несколько условный
смысл.
Из размерных соображений следует, что действие (3.4)
перенормируемо во всех порядках теории возмущений, если
перенормировка понимается как квантовая деформация геометрии
полевого многообразия, определяемой потенциалом К(ц>, ф) [250].
Получим выражение для однопетлевых УФ-расходимостей
квантового ЭД в теории (3.4). Рассмотрим производящий
функционал связных функций Грина (в евклидовой записи)
Z [J] = ехр {— W [J]} = f dq> dip exp {— j d*x d*BK (ф, ф) —
- j dixdiQ<faJa - j &х(1Ща7-}, (3.7)
204

введем среднее поле
mo 6W -a bW .о Qv
фо = ^' фо = -бт: (3-8>
и определим производящий функционал ^/-функций Грина
Г (Ф„, Ф„) = W (/, 7) - Ф£/0 - ф°7-. (3.9>
Используя (3.7) — (3.9), можно записать Г(ф0, фо) в виде,
удобном для однопетлевых вычислений, что отвечает методу фонового
поля с линейным фоново-квантовым расщеплением,
e-r(V<Po) = j d(f) d-exp {_ j dvz[K (фо + ф> фо + -} _
- ЯоФ° - £-0Ф5]}, (3.10)
где
дК (ф, ф) „ дК(ц>, ф)
К*~—V~' Л"°-"1^— <311>
Разлагая_ЛГ(фо +ф, фо + ф) во втором порядке по квантовым
полям ф°, ф", находим выражение для Г(<р0, фо) в однопетлевом.
приближении:
Г(1) (Фо, Фо) = J (Фо. Фо) — In J Ар dip ехр {— J" <*иа/Гдф«фь —
- -i- j* ЛиЮ (2ЖоЬ) ф°фь - i- j d^d^e (£>4#-ь) Ф°ФЬ]. (3.12>
Последние два члена имеют ненулевую фоновую размерность и
поэтому не дают вклада в однопетлевые расходимости. Для
расходящейся части Г(<ро, фо) имеем
riVv (Фо. Фо) = - In J dq, dy ехр {- J d^zK-^} |dIv =
= Tfln[^b£>^6^(Zl-Z2)]|div,
б12 (zx - z2) = j d*p exp [ij> • (Xl - xj] б8 (9Х - 92). (3.13)
Вычислим это выражение, переписав его в виде
Г& = TrIn[6-JW + (КаЪ- б0-ь)DW]в"(Zl- а») =
= Tr In [6aiDW4Zl -*,)] + Tr JGob-^|4 б12 (zx - z2) -
-4G»b ^в"(si-^c^rб12(*.-**) + ••• . (3-14)
Ul U2 '
где G^zsK^'—6Qg, & = dv.dVl. Нормировка б-функции выбрана та-
205

ким образом, чтобы Z)4Z?468(0i — вг) I = 1. Первый член в
выражении (3.14) не зависит от фона и поэтому может быть отброшен.
Отметим, что в результате использования стандартного пропага-
тора мы приходим к теории возмущений, в которой все однопетле-
вые диаграммы расходятся, но являются однотипными и легко
вычисляются. При вычислении членов ряда (3.14) следует
интегрировать по частям, последовательно освобождая 68(0i— 62). При
этом производные не могут действовать на GQp так как Г^у
должен иметь нулевую фоновую размерность:
<£.
т2)1
Тг^ «»(* - *2) = [**** J(1^f
1 гг „ г, Л454 с1, - v DlDl
- IT Tr Gaf-bc ZJL. в» (Н - z2) ^- б" (Н - z2) =
—4J^aJ6?^?, .... (3.15)
В итоге находим
rff, - 1*;[ей _ -i-ejSt + -fcA,GM-+...] х
xSfffa-bblb + wSlT&r "(3-1в)
ИЛИ
Г& = - 16л2(1-^Тг1П^аь(Фо. Фо)]- (3-17)
Таким образом, перенормировка N = 2, d = A HCM 4-го порядка
сводится к квантовой деформации потенциала К(ц>, <р),
определяющего геометрию многообразия М, согласно (3.17) [697].
Заметим, что использование N = 2 расширенной
суперсимметрии и высших производных 4-го порядка позволяет строить
конечные во всех порядках квантовой теории возмущений,
четырехмерные HGM, например с действием [704]
/с = - -|- Г «РДОярф + {a2 f d*x d49 V (<р) + h.c.}. (3.18)
Суперполе <р в нашей теории безразмерно, взаимодействие,
определяемое суперпотенциалом V(<p), существенно кирально,
а — параметр с размерностью массы.
Модель (3.18) является теорией с высшими производными 4-го
порядка в кинетическом члене
/kin = —-М d'xdPQqqi = — -i- \ d4zd49<pn<p =
J d*x {ф □ аф - йр"1^ П $ + Cm n Cm + 4" ^ D Fi*v}- (3-19)
206

Аналогичпо для члена взаимодействия
/int = a2 J d*xd49 V (ф) + h.c. = а2 j d4* {/ (ф) [д^д^ —
- /' (ф) [4 ф?т*'^«+ -|- ф? hv фМ^] -
- -^ Г (ф) W) (W)} + h-c- (3-20>
где введено обозначение
/(ф)в-^3г
ЗФ2
(3.21)
8=0
Редукция в N = 1 суперпространство проводится с помощью
проекции
фвф|, Ito-sflWcpl, F-fl^flgVpl, ' (3.22)
/ _ -(2)\
где | обозначает (9(2)» В„ ) — независимую часть суперполя или
оператора. Тогда
£>(1) | »■ A D(1) | в 5; £>2 = £>«£>„, Я2 = ^ да _ (3.23>
ковариантные производные в N = 1 суперпространстве (Di2) и
Л(2> генерируют вторую суперсимметрию). В силу (3.1) ф, tya и F
являются киральными N= 1 суперполями, причем
F = 7?2ф, F = Д2ф, DV + Яа ф« = 0. (3.24)
Таким образом, (F, Р) оказываются вспомогательными N = 1
суперполями, а \ра определяет N = \ линейный супермультиплет
[72].
Действие (3.18) в N=1 суперпространстве (0<i,=50, 0(1)=s0)
переписывается в виде
/с = Ы4я<24е[фПф |-фв^в-Ф^| + аМ d*xdiQX
X [К'(ф)ф + К'(Ф)Ф] + о«{4-|^<Рв7'(ф)ф«ф« + h.c.}. (3.25)
Доказательство ультрафиолетовой конечности теории (3.18)
во всех порядках квантовой теории возмущений проводится
вполне аналогично тому, как было сделано в разд. 3.2.4 для
двумерного аналога этой модели [704].
207

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Review of particle properties/Collaboration: Particle Data Group
(Yost G. P. et al.) // Phys. Lett. В.— 1988.— Vol. 204— P. 1—486.
2. Yang C. N., Mills R. L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge
invariance Ц Phys. Rev— 1954.— Vol. 96 — P. 191—195.
3. Chew G. F4 Gell-Mann M., Rosenfeld A. Strongly interacting particles //
Sci. Amer.— 1964.— Vol. 210, N 1.— P. 74—85.
4. Higgs T. W. Broken symmetries and the masses of gauge bosons / Phys.
Rev. Lett.- 1964.- Vol. 13, N 16.- P. 508-509.
5. Смородинский Я. А. Унитарная симметрия элементарных частиц //
Успехи физ. наук.— 1964.— Т. 84, вып. 1,— О. 3—36.
6. Берестецкпй В. Б. Динамические симметрии сильно
взаимодействующих частиц / Успехи физ. паук.— 1965.— Т. 85, вып. 4.— С. 393—444.
7. Салам А. -фундаментальная теория материи // Успехи физ. наук.—
1969.—Т. 89, вып. 6.—С. 571—611.
8. Элементарные частицы п поля/Под ред. Д. Д. Иваненко.— М.: Мир,
1964.— 229 с.
9. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы
аксиоматического подхода в квантовой теории поля.— М.: Наука, 1969.— 424 с.
10. Хепп К., Эпштейн А. Аналитические свойства амплитуд рассеяния в
локальной квантовой теории поля: Пер. с англ.— М.: Атомиздат, 1971.—
117 с.
11. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных
полей.— М.: Наука, 197U— 480 с.
12. Nash С. Relativistic Quantum Fields.—L. e. a,: Acad. Press, 1978.—
223 p.
13. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля: Пер. с англ.— М.:
Мир, 1984.—Т. 1-2.—448 с.
14. Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс: Пер. с англ.— М.:
Мир, 1984.— 336 с.
15. Бирелл И., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-
времени: Пер. с англ.— М.: Мир, 1984.— 356 с.
16. Гптман Д. М., Тютпн И. В. Каноническое квантование полей со
связями.— М.: Наука, 1986.—216 с.
17. Исаев П. С. Квантовая электродинамика в области высоких энергий.—
М.: Энсргоатомиздат, 1984.— 228 с.
18. Abers E. S., Lee В. W. Gauge theories / Phys. Rep— 1973 — Vol. 9,
N 1.— P. 1—141.— (Русский перевод: Аберс Е. С, Ли Б. В.
Калибровочные теории II Квантовая теория калибровочных полей.— М.: Мир,
1977.-С. 241-433).
19. Тейлор Дж. Калибровочные теории слабых взаимодействий: Пер.
с апгл.— М.: Мир, 1978.— 206 с.
20. Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля.— М.: Атомпздат,
1980.— 238 с.
21. Волошин М. Б., Тер-Мартнросян К. А. Теория калнбровочпых
взаимодействий элементарных частиц.— М.: Энергоатомиздат, 1984.— 296 с.
.22. Пономарев В. Н., Барвпискин А. О., Обухов Ю. Н. Геометродинамиче-
208

ские методы и калибровочный подход к теории гравитационных
взаимодействий.— М.: Энергоатомиздат, 1985.—166 с.
23. Ченг Т. П., Ли Л. Ф. Калибровочные теории в физике элементарных
частиц: Пер. с англ.— М.: Мир, 1987.— 624 с.
24. Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию
калибровочных полей.—2-е изд. перераб. и доп.—М.: Наука, 1988.—272 с.
25. Вайнберг С. Идейные основы теории слабых и электромагнитных
взаимодействий. Нобелевская лекция по физике 1979 года // Успехи физ.
наук.— 1980.—Т. 132, вып. 2.—С. 201—218.
26. Глэшоу Ш. На пути к объединенной теории — нити в гобелене.
Нобелевская лекция по физике 1979 года // Успехи физ. наук.—1980.—
Т. 132, вып. 2.— С. 219—228.
27. Салам А. Калибровочное объединение фундаментальных сил.
Нобелевская лекция по физике 1979 года // Успехи физ. наук.— 1980.— Т. 132,
вып. 2.— С. 229—254.
28. Шуряк Э. В. Вакуум квантовой хромодинамики и его возбуждения.—
М.: Наука, 1990.—240 с.
29. Salam A. Particle physics.—Trieste, 1987.—46 p.— (Prient/ICTP-402).
30. Salam A. Astroparticle physics.— Trieste, 1988.— 36 p.— (Preprint/
ICTP-109).
31. Ross G. G. Unified field theories Ц Rep. Progr. Phys.—1981 — Vol. 44,
N 3.— P. 655—718.
32. Slansky R. Group theory for unified model building / Phys. Rep.—
1981 — Vol. 79, N 1.— P. 1—128.
33. Окунь Л. Б. Лептоны и кварки.— М.: Наука, 1981.— 304 с.
34. Окунь Л. Б. Физика элементарных частиц.— М.: Наука, 1984.—221 с.
35. Sundermeyer К. Constrained dynamics with applications to Yang —
Mills theory, general relativity, classical spin, dual string model.—
Berlin e. a.a Springer-Verlag, 1982.— 122 p.
36. Общая теория относительности: Пер. с англ./Под ред. С. Хокинга,
B. Израэля.— М.: Мир, 1983.—455 с.
37. Three Hundred Years of Gravitation/Ed. by S. W. Hawking and W.
Israel.—Cambridge e. a.: Cambridge Univ. Press, 1987.—700 p.
38. Федоров Ф. И. Группа Лоренца.— М.: Наука, 1979.— 384 с.
39. Вайнберг С. Ультрафиолетовые расходимости в квантовых теориях
гравитации // Общая теория относительности.— М.: Мир, 1983.—
C. 407—455.
40. Де Витт Б. С. Квантовая гравитация: новый синтез / Общая теория
относительности.— М.: Мир, 1983.— С. 296—362.
41. Арефьева И. Я., Славнов А. Аи, Фаддеев Л. Д. Производящий
функционал для 5-матрицы в калибровочно-инвариантных теориях // Теорет.
и мат. физика.— 1974.— Т. 21, № 4.— С. 311—317.
42. Kallosh R. Renormalization in non-abelian gauge theories II NucL
Phys. В.— 1974.— Vol. 78, N 3.— P. 293—317.
43. fHooft G., Veltman M. One-loop divergences in the theory of
gravitation / Ann. Inst. H. Poincare.—1974.—Vol. 20, N 1.— P. 69—94.
44. Goroff M. H., Sagnotti A. Quantum gravity at two loops / Phys. Lett. В.—
1985.- Vol. 160,i N 1-3.- P. 81-85.
45. Deser S., van Nieuwenhuizen P„ Nonrenormalizability of the quantized Di-
rac-Einstein system // Phys. Rev. D.—1974.—Vol. 10. N 2.—P. 411—420.
46. Deser S., Hung-Sheng Tsao, van Nieuwenhuizen P. One-loop divergences
of the Einstein-Yang-Mills system II Phys. Rev. D.—1974.— Vol. 10,
N 11.-P. 3337-3342.
47. van Nieuwenhuizen P., Grisaru M. Т., Vermaseren J. A. M. One-loop
renormalizability of pure supergravity and of Maxwell-Einstein theory in
extended supergravity // Phys. Rev. Lett—1976.— Vol. 37, N 25.—
P. 1662-1665. .
48. Гольфанд Ю. А., Лихтман Е. П. Расширенные алгебры генераторов
группы Пуанкаре и нарушение i>-инвариантности // Письма в Журн.
экспернм. и теор. физики.— 1971.—Т. 13, Я» 8.— С. 452—455.
49. Волков Д. В., Акулов В. П. О возможном универсальном взаимодей-
14 с. в. Кетов
209

ствии пейтрино / Письма в Журп. эксперим. и теор. физики.— 1972.—
Т. 16, № П.—С. 621—624.
50. Wess J«, Zumino В. A Iagrangian model invariant under supergauge
transformations ff Phys. Lett. В.— 1974.—Vol. 49, N 1.—P. 52—54.
51 Wess I., Zumino B. Supergauge transformations in four dimensions //
Nucl. Phys. В.-1974.— Vol. 70, N 1- P. 39-50.
52 Wess JL Zumino B. Supergauge invariant extension of quantum
electrodynamics / Nucl. Phys. В.— 1974.— Vol. 78, N 1 — P. 1—13.
53. Wess J., Zumino B. Supergauge invariant Yang — Mills theories ff Nucl.
Phys. В.— 1974 — Vol. 79, N 3 — P. 413—421.
54. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S. Progress towards the
theory of supergravity / Phys. Rev. D.—1976.—Vol. 13, N 12.—
P. 3214—3218.
55. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P. Properties of supergravity
theory / Phys. Rev. D.— 1976 — Vol. 14, N 4.— P. 912—916.
56. Deser S-> Zumino B. Consistent supergravity ff Phys. Lett. В.— 1976.—
Vol. 62, N 3.— P. 335—337.
57. Ferrara S., Zumino B. Supergauge invariant Yang — Mills theories / NucL
Phya. В.— 1974 — Vol. 79, N 3.— P. 413—421.
58. Огиевецкпй В. И., Мезинческу Л. Симметрия между бозонами и фер-
миовами и суперполя Ц Успехи физ. паук.— 1975.— Т. 117, вып. 10.—
С. 637—683.
59. Wess J. Methods in field theory.—Amsterdam: North Holland Publ,
1976— 78 p.
60. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P. Consistent supergravity with complex
spin 3/2 gauge fields ff Phys. Rev. Lett.—1976.—Vol. 37, N 25.—
P. 1669—1671.
61. Gremmer E., Scherk J. Algebraic simplifications in supergravity
theories ff Nucl. Phys. B,— 1977.— Vol. 127, N 2— P. 259—268.
62. Fayet P., Ferrara S. Supersymmetry ff Phys. Rep.— 1977.—Vol. 32, N 5 —
P. 249-334.
63. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P. Simplifications of Einstein
supergravity / Phys. Rev. D.— 1979.— Vol. 20, N 8— P. 2079—2081.
64. van Nieuwenhuizen P., West P. C. From conformal supergravity in
ordinary space to its superspace constraints.— N. Y., 1979.— 28 p.— (Preprint/
ITP-SB-94).
65. Фридман Д., Ньювенхейзен П. Супергравитация и унификация законов
в физике ff Успехи физ. наук.—1979.—Т. 128, вып. 2.—С. 135—156.
66. van Nieuwenhuizen P.) An introduction to supergravity ff Gen. Rel.
Grav.— 1979.— Vol. 10, N 1.—P. 211—225.
67. Superspace and supergravity: Proc. Nuffield Intern. Workshop, England,
Aug. 16—21, 1979.— Cambridge, e. a.: Cambridge Univ. Press, 1980.—
607 p.
68. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P. Supergravity with and without super-
space ff Ann. Phys. (USA).— 1980.— Vol. 127, N 2.— P. 274—288.
69. van Nieuwenhuizen P. Supergravity ff Phys. Rep.— 1981.— Vol. 68, N 4.—
P. 189—398.
70. Supergravity'81: Proc. 1st Intern. School on Supergravity, Trieste, Italy,
Apr. 22 — May 6, 1981.— Cambridge e. a.; Cambridge Univ. Press, 1982.—
301 p.— (Русский перевод: Введение в супергравитацию.— М.: Мпр,
1985.—304 с).
71. Taylor J. G. New avenues in supersymmetry and supergravity ff Found,
Phys.- 1983.- Vol. 13, N 3.- P. 395-407.
72. Gates S. J., Grisaru M. Т., Rocek M., Siegel W. Superspace or one
thousand and one lessons in supersymmetry.— London e. a.: Benjamin/Cum-
mings Publ. Сотр., 1983.— 548 p.
73. Legovini F. Supersymmetry.— Trieste, 1983.— 128 p.— (Preprint/ICTP-24).
74. Васильев М. А. Суперсимметрия и супергравитация / Материалы 18
зимней школы ЛИЯФ, 1983.—Л.; 1983.—С. 125—206.
75. Wess J., Bagger J. Supersymmetry and supergravity.— Princeton:
Princeton Univ. Press, 1983.— 178 p.— (Русский перевод: Весе Ю., Беггер Д.
Суперсимметрия и супергравитация.—М.: Мир, 1986.—184 с).

76. Supersymmetry and Supergravity'84: Proc. Intern. Spring School, Trieste,
Italy, April 4—14, 1984.—Singapore e. a.: World Sci., 1984.—469 p.
77. Supersymmetry and its Applications: Proc. Nuffield Intern. Workshop,
Cambridge, June 24 — July 12, 1985.— Cambridge e. a.: Cambridge Univ.
Press, 1986.— 481 p.
78. Nanopoulos D. V., Savoy-Navarro A. Supersymmetry confronting
experiment И Phys. Rep.— 1985.— Vol. 105, N 1.— P. 1—140.
79. Sohnius M. F. Introducing supersymmetry / Phys. Rep.— 1985.— Vol. 128,
N 2.- P. 39-204.
80. West P. C. Introduction to supersymmetry and supergravity.—
Singapore e. a.: World Sci., 1986.— 289 p.
81. Freund P. Introduction to supersymmetry.—Cambridge e. a.: Cambridge
Univ. Press, 1986.— 152 p.
82. Supersymmetry/Ed. by S. Ferrara.— Singapore e. a.: World Sci., 1987.—
Vol. 1.—862 p.; Vol. 2.-482 p.
83. Кетов С. В. Введение в суперспмметрпю // Теория относительности
н гравитация.—Казань: Изд-во КГУ, 1988.—№ 26.—С. 3—93.
84. Кетов С. В. Введение в супергравитацию // Теория относительности
и гравитация—Казапь: Изд-во КГУ, 1989.—№ 27.—С. 3—47.
85. Haag R., Lopuszanski J. Т., Sohnius M. F. All possible generators of su-
persymmietries of the 5-matrix // Nucl. Phys. В.— 1975.— Vol. 88, N 2.—
P. 257—274.
86. Coester F., Hamermesh M., McGlinn W. D. Internal symmetry and Lorentz
invariance // Phys. Rev.— 1964.— Vol 135, N 2.— P. 451—452.
87. Coleman S., Mandula S. All possible symmetries of the S-matrix / Phys.
Rev.— 1967.— Vol. 159, N 6.— P. 1251—1256.
88. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования.— M.: Наука, 1965.—
235 с. •
89. Березин Ф. А. Математические основы суперсимметричных теорий
поля / Ядерн. физика.—1979.—Т. 29, вып. 6.—а 1670—1687.
90. Лейтес А. А. Введение в теорию супермногообразий / Успехи матем.
наук.— 1980.— Т. 35, вып. 1.— С. 3—57.
91. Березин Ф. А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими
переменными— М.: Изд-во МГУ, 1983.— 208 с.
92. Cremmer E., Julia В. The 50(8) supergravity / Nucl. Phys. В.— 1979.—
Vol. 159, N 1.- P. 141-212.
93. de Wit B. Properties of 50(8) extended supergravity / Nucl. Phys. В.—
1979.—Vol. 158; N 1.— P. 189—212.
94. Nicolai H., Townsend P. K. Comments on 11-dimensional supergravity //
Lett, Nuovo Cim — 1981.— Vol. 30, N 10.— P. 315—320.
95. Славпов А. А. Суперсимметричные калибровочные теории и их
возможные приложения к слабым и электромагнитным взаимодействиям /
Успехи физ. лаук—1978.—Т. 124, вып. 7.—С. 487—508.
96. Salam A. Gauge interactions, elementarily and superunification / Phil.
Trans. Roy. Soc. Lond.— 1982.— Vol. 304 — P. 135—153.
97. Высоцкий М. И. Суперсимметричные модели элементарных частиц —
физика для ускорителей нового поколения / Успехи физ. наук—
1985.—Т. 146, вып. 4.—С. 591-636.
98. Nilles H. P. Supersymmetry, supergravity and particle physics / Phys.
Rep.—1985.—Vol. 110, N 1.—P. 1—162.
99. Wise M. B. Low-energy supersymmetry.— Pasadena, Calif., 1987.— 26 p.—
(Preprint/CALT-68-1457).
100. Ellis J. Atomic and nuclear probes of unified theories.—Geneva, 1988.—
27 p.— (Preprint/CERN-TH. 5128).
101. Ibanez L. E. Grand unification, supersymmetry, superstrings: an
introduction to physics beyond the standard model.— Geneva, 1988.— 54 p.—
(Preprint/CERN-TH. 5237).
102. Golds tone J, Field theories with "superconductor" solutions II Nuovo
Cim.— 1961.— Vol. 19, N 1.— P. 154—164.
103. Goldstone J., Salam A., Weinberg S. Broken symmetries II Phys. Rev.—
1962.— Vol. 127, N 5.— P. 965—970.
14*
211

104. Волков Д. В., Сорока В. А. Эффект Хиггса для голдстоуновских частиц
со спином 1/2 II Письма в Журн. эксперим. и теор. физики.— 1973.—
Т. 18, Яг 8.— С. 529—532.
105. Fayet Р„ Iliopoulos J. Spontaneously broken supergauge symmetries and
Goldstone spinors / Phys. Lett, В.- 1974.- Vol. 51, N 5-6.- P. 461-464.
106 Акулов В. П., Волков Д. В. Голдстоуновские поля со спипом полови-
на II Теор. и матем. физика.— 1974.—Т. 18, № 1—С. 39—50.
107. Satlam A., Stratbdee J. A. A theorem concerning Goldstone fermions //
Lett. Math. Phys.— 1975— Vol. 1.— P. 3—6.
108. Deser S„ Zumino B. Broken supersymmetry and supergravity // Phys.
Rev. Lett.- 1977.-Vol. 38, N 24- P. 1433-1436.
109. Cremmer E. Super-Higgs effect / Phys. Lett. В.— 1978.— Vol. 79, N 3 —
p_ 231 234.
110. Rondo T. SSC. Status and prospects // KEK Rep.—1987.— N 20.—
P. 256—271.
111. Brink L., Scbwarz J. H., Scherk J. Supersymmetric Yang—Mills
theories // Nucl. Phys. В.- 1977.- Vol. 121, N 1.- P. 77-92.
112. Howe P. S., Stelle K> S^ Towneend P. K. Miraculous ultraviolet
cancellations in supersymmetry made manifest;/ Nucl. Phys. В.— 1984.— P. 236,
N 1.— P. 125—166.
113. AIvarez-Gaume L., Freedman D. Z. Geometrical structure and the
ultraviolet finiteness in the supersymmetric o-models // Commun. Math.
Phys.- 1981.- Vol. 80, N 2.- P. 443-451.
114. Кетов С. В., Тютин И. В. Новая конечная модель в d = 2 // Письма
в Журн. эксперим. и теор. физики.— 1984.— Т. 39, № 12.— С. 573—576.
115. Кетов С. В., Тютин И. В. Конечная N = 4 суперсимметричная модель
в размерности два // Ядерн. физика.—1985.—Т. 41, вып. 5.—С. 1350—
1360.
116. Avdeev L. V., Tarasov О. V„ Vladimirov A. A. Vanishing of the three-
loop charge renormalization function in a supersymmetric gauge
theory II Phys. Lett. В.— 1980.— Vol. 96, N 1.— P. 94—96.
117. Stelle K. S. Extended supercurrents and the ultra-violet finiteness of
N = i supersymmetric Yang—Mills theory.—Paris, 1981.—46 p.—
(Preprint/LPTENS-24).
118. Avdeev L. V., Tarasov O. V. The three-loop p-function in the N =» 1, 2, 4
supersymmetric Yang — Mills theories ,// Phys. Lett. В.— 1982.— Vol. 112,
N 4.— P. 356—358.
119. Brink L., Lindgren C\, Nilsson В. Е. W. The ultra-violet finiteness of the
Af=»4 Yang —Mills theory // Phys. Lett. В.—1983.—Vol. 123, N 4 —
P. 323—327.
120. Mandelstam S. Light-cone superspace and the ultra-violet finiteness of
the N = 4 model // Nucl. Phys. В.—1983.—Vol. 213, N 1.—P. 149—167.
121. Howe P. S* Stelle K. S., West P. С A class of finite four-dimensional
supersymmetric field theories II Phys. Lett. В.— 1983.— Vol. 124, N 1.—
P. 55-58.
122. Кетов С. В. Правила Фейнмана для суперполей в W = 1 и N = 2
суперсимметричных теориях Янга — Миллса на световом копусе // Теор.
и матем. физика.— 1985.— Т. 63, Яг 5.— С. 219—229.
123. Deser S^ Kay J„ Stelle К. Renormalizability properties of
supergravity / Phys. Rev. Lett.— 1977.— Vol. 38, N 8.— P. 527—531.
124. van Nieuwenhuizen P., Grisaru M. T. Renormalizability of
supergravity— N. Y„ 1977.— 11 p.— (Preprint/ITP-SB-18).
125. Дафф М. Ультрафиолетовые расходимости в расширенных теориях
супергравитации / Введение в супергравитацию.— М.: Мир, 1985.—
С. 129-186.
126. Deser S., Kay J. H. Three-loop counterterms for extended supergravity II
Phys. Lett. В.- 1978.- Vol. 76, N 4.- P. 400-403.
127. Kallosh R. E. Counterterms in extended supergravities / Phys. Lett. В.—
1981.- Vol. 99, N 2.- P. 122-127.
128. Howe P. S., LindstrSm U. Higher order invariants in extended super-
gravity / Nucl. Phys. В.— 1981.— Vol. 181, N 3.— P. 487—502.

129. Weinberg S. The cosmological constant problem.— Austin: University of
Texas, 1988.—82 p.— (Preprint/UTTG-12).
130. Ходос А. Теории Калуцы — Клейна: Общий обзор / Успехи физ.
наук.—1985.—Т. 146, вып. 4.—С. 647—654. #
131. Freedman D. Z- van Nieuwenhuizen P. Hidden dimensions of space-
time И Sci. Amer.- 1985.- Vol. 252; N 1.- P. 26-36.
132. Duff M., Nilsson B. E. W., Pope С N. Kaluza — Klein supergravity /
Phys. Rep.- 1986.-Vol. 130, N l.-P. 1-142.
133. Kaluza T. Zur Problem von der Einheit der Physik / Sitzber. Preuss.
Akad. Wiss. Math.-Phys.—Berlin, 1921.—KI. 1.—S. 966— 975.— (Русский
перевод: К проблеме единства физики/Альберт Эйнштейн и теория
гравитации.— М.: Мир, 1979.— С. 529—536).
134. Klein О. Quanten Theorie und Fiinf Dimensionale Relativitats Theorie Ц
Z. Phys.— 1926.— Vol. 37, N 12.— P. 895—906.
135. Schwarz J. H, Superstring theory // Phys. Rep.— 1982.— Vol. 89, N 5.—
P. 223—322.
136. Green M. B. Supersymmetrical dual string theories and their field theory
limits — a review // Surveys in High Energy Phys.— 1983.— Vol. 3, N 3.—
P. 127—160.
137. Superstrings: the first 15 years of superstring theory: reprints &
commentary by J. H. Schwarz.— Singapore e. a.a World Sci., 1985.— 574 p.
138. Unified String Theories: Proc. Intern. Workshop, Santa Barbara,
California, USA, July 29 — August 16* 1985.— Singapore e. a.: World Sci., 1985.—
745 p.
139. Vertex Operators in Mathematics and Physics: Proc. Intern. Conf.,
Berkeley, USA; November 10—17, 1983.—N. Y. e. a.: Springer-Verlag,
1985.—482 p.
140. Green M. B. Unification of forces and particles in superstring theories //
Nature.— 1985.— Vol. 314, N 4.— P. 409—414.
141. Clavelli L. Historical overview of superstring theory // Proc. Lewes
String Theory Workshop, Lewes, Del., USAj July 6—27,
1985.—Singapore e. a.: World Sci., 1986.— P. 1—20.
142. Frampton P. H. Introduction to superstrings // Proc. Lewes String
Theory Workshop* Lewes, Del., USA, July 6—27, 1985.— Singapore e. a.:
World Sci., 1986.— P. 21—68.
143. Грин M< В. Суперструны / В мире науки.—1986.—№ П.—С. 24—39.
144. Schwarz J. H. Topics in superstring theory // Supersymmetry and its
Applications: Superstrings, Anomalies and Supergravity: Proc. Intern.
Workshop, Cambridge* June 23 — July 14, 1985.— Cambridge e. a.:
Cambridge Univ. Press, 1986.—P. 109—117.
145. Horowitz G. T- Introduction to string theories // Topological Properties
and Global Structure of Space-Timer Proc. NATO Adv. Study Inst., Eri-
ce, May 12—22, 1985.—N. Y. a. o.: Plenum Press, 1986.—P. 83—107.
146. Dine M. A. Superbtring primer \// New Frontiers in Particle Physics:
Proc. Intern. Conf., Lake Louise, Canada, February 16—22, 1986.—
Singapore e. a.: World Sci., 1986.— P. 311—352.
147. Барбашов Б. M., Нестеренко В. В. Суперструны — новый подход к
единой теории фундаментальных взаимодействий // Успехи физ. наук.—
198В.— Т. 150, вып. 4.— а 489—524.
148. Superstrings, Unified Theories and Cosmology: Proc. Intern. Summer
Workshop on High Energy Physics and Cosmology, Trieste, Italy,
June 30 —August 15, 1986.—Singapore e. a.: World Sci., 1987.—500 p.
149. Superstrings, Anomalies and Unification/Ed. by M. Martinis and I. And-
ric— Singapore e. a.: World Sci., 1987.— 571 p.
150. Superstrings'87 // Proc. Intern. Spring School, April 1—11, 1987, Trieste,
Italy/Ed. by L. Alvarez-Gaume et al.— Singapore e. a.: World Sci., 1987.—
422 p.
151. Duff M. J. Not the standard superstring review.— Geneva, 1987.— 24 p.—
(Preprint/CERN-TH, 4749).
152. Green M. В., Schwarz J. H., Witten E. Superstring Theory.— Cambridge
e. a.: Cambridge Univ. Press, 1987.— 1065 p.
213:

153. Schwarz J. H. Introduction to superstrings.— Pasadena, Calif., 1986.—
54 p.— (Preprint/CALT-68-1290).
154. Schwarz J. H. Review of recent developments in superstrmg theory //
Intern. J. Mod. Phys. A.-1987.-Vol. 2, N 3.-P. 593-643.
155 Schwarz J. H. Some hot topics in superstring theory.— Pasadena, Calif.,
1988.— 18 p.— (Preprint/CALT-68-1481).
156 Brink L. Superstrings — towards a unification of all interactions.— Go-
teborg, 1988.-19p.-(Preprint/ITP-28). #
157 Schwarz J. H. Superconformal symmetry in string theory.—Pasadena,
1988.—70 p.— (Preprint/CALT-68-1503).
158. Schwarz J. H. Superconformal symmetry and superstring compactifica-
tion.—Pasadena, 1988.-84 p.— (Preprint/CALT-68-1531).
159. Superstrings, Unified Theories and Cosmology 1987/Ed. by G. Furlan
et al.- Singapore: e. a.: World Sdi^ 1988.-653 p.
160. Kaku M. Introduction to superstrings.— N. Y. e. a.: Springer-Verlag,
1988.— 568 p.
161. Кетов С. В. Введение в квантовую теорию струн и суперструн.—
Новосибирск: Наука, 1990.— 370 с.
162. Арефьева И. Я., Волович И. В. Суперсимметрия: теория Калуцы —
Клейна, апомалии, суперструны / Успехи физ. наук.—1985.—Т. 146,
вып. А.— С. 655—682.
163. D'Hoker Е., Phong D. H. The geometry of string perturbation theory /
Rev. Mod. Phys.— 1988.— Vol. 60, N 4.— P. 917—1065.
164. Gervais J. L., Sakita B. Field theony interpretation of supergauges in
dual models // Nucl. Phys. В.— 1971.— Vol. 34, N 3.— P. 632-639.
165. Aharonov Y., Casher A., Susskind L. Spin —1/2 partons in a dual model
of hadrons / Phys. Rev. D.— 1972.— Vol. 5, N 5.— P. 988—994.
166. Zumino B. Relativistec strings and supergauges .// Renormalization and
Invariance in Quantum Field Theory/Ed. by E. Caianiello.— N. Y. e. a.:
Plenum Press, 1974.— P. 367—381.
167. Olesen P. Strings and QCD // Phys. Lett. В.— 1985.— Vol. 160, N 1-3.—
P. 145—148.
168. Migdal A. A. QCD-Fermi string theory / Nucl. Phys. В.— 1981.— Vol. 189,
N 2-3.— P. 253—294.
169. Barbashov В. М-, Nesterenko V. V. Introduction to the relativistic string
theory.— Singapore e. a.: World Sci., 1989.— 300 p.
170. Veneziano G. Construction of a crossing-symmetric, Regge-behaved
amplitude for linearly rising trajectories / Nuovo Cim.— 1968.— Vol. 57,
N 1.— P. 190—197.
171. Коллинз С. Полюса Редже в физике частиц: Пер. с апгл.— М.: Мпр,
1971.- 245 с.
172. Коллинз С. Введение в реджевскую теорию и физику высоких энергий:
Пер. с англ.— М.: Атомиздат, 1980.—432 с.
173. Thorn С. В. Embryonic dual model for pions and fermions // Phys.
Rev. D.—1971.—Vol. 4, N 6.—P. 1112—1116.
174. Goddard P., Thorn С. В. Compatibility of the dual pomeron with unita-
rity and the absence of ghosts in the dual resonance model II Phys.
Lett. В.— 1972.— Vol. 40, N 4.— P. 235—238.
175. Brower R. C, Friedman K. A. Spectrum-generating algebra and no-ghost
theorem for the Neveu-Schwarz model / Phys. Rev. D.— 1973.— Vol. 7,
N 3.-P. 535-539.
176. Brink L., Nielsen H. B. A simple physical interpretation of the critical
dimension of space-time in dual models II Phys. Lett. В.— 1973.— Vol. 45,
N 4.-P. 332-336.
177. Brink L., Olive D., Rebbi C, Scherk J. The missing gauge conditions for
the dual fermion emission vertex and their consequences // Phys
Lett. В.- 1973.- Vol. 45. N 4.- P. 379-383.
178. Corrigan E. F„ Goddard P. The absence of ghosts in the dual fermion
model / Nucl. Phys. В.— 1974.— Vol. 68, N 1.— P. 189—202.
179. Mandelstam S. Dual-resonance models II Phys. Rep.— 1974.— Vol. 13.
N 6.— P. 259—353.
214

180. Dual Theory: Physics Reports reprints/Ed. by M. Jacob.—Amsterdam;
North Holland PubL, 1974.— 537 p.
181. Frampton P. Dual resonance models.— L. e. a.: Benjamin/Cummings
Publ. Сотр., 1974.—451 p.
182. Scherk J. An introduction to the theory of dual models and strings /
Rev. Mod. Phys.—1975 —Vol. 47, N 1.—P. 123—164.
183. Ademollo M., Brink L., d'Adda A. et al. Dual string with U(i) colour
symmetry / Nucl. Phys. В.—1976.—Vol. Ill, N 1.—P. 77—110.
184. Frampton P. H. Dual resonance models and superstrings.— Singapore
e. a.: World Sci., 1986.— 539 p.
185. Scherk J., Schwarz J. H. Dual models for non-hadrons / Nucl. Phys. В.—
1974 — Vol. 81, N 1.— P. 118—144.
186. Scherk J., Schwarz J. H. Dual models and geometry of space-time //
Phys. Lett. В.— 1974.— Vol. 52, N 3 — P. 347—350.
187. Yoneya T. Connection of dual models to electrodynamics and gravidy-
namics / Progr. Theor. Phys.—1974.—Vol. 51, N 11.—P. 1907—1920.
188. Scherk J., Schwarz J. H. Dual model approach to a renormalizable
theory of gravitation.— Pasadena, Calif., 1975.— 5 . p.— (Preprint/
CALT-58-488).
189. Scherk J., Schwarz J. H. Dual field theory of quarks and gluons // Phys.
Lett. В.— 1975.- Vol. 57, N 4-6.— P. 463—466.
190. Schwarz J. H. Spinning string theory from a modern perspective / New
Frontiers in High Energy Physics: Proc. Orbis Sci., 1978.—N. Y. e. a.:
Plenum Press, 1978.— P. 431^446.
191. Green M. В., Schwarz J. H. Anomaly cancellations in supersymmetric
d = 10 gauge theory and superstring theory // Phys. Lett. В.— 1984 —
Vol. 149, N2.—P. 117—127.
192. Green M. В., Schwarz J. H. The hexagon gauge anomaly in type I super-
string theory И Nucl. Phys. В.— 1985.— Vol. .255, N 1.— P. 93—114.
193. Green M. В., Schwarz J. H. Infinity cancellations in 50(32) superstring
theory II Phys. Lett. В.— 1985.— Vol, 151, N 1.— P. 21—25.
194. Thierry-Mieg J. Remarks concerning the Ee~X.Es and .Die string
theories // Phys. Lett. В.— 1985.— Vol. 156, N 3-4 — P. 199—202.
195. Witten E. Some properties of 0(32) superstrings / Phys. Lett. В.—
1984.— Vol. 149, N 4-5.— P. 351—356.
196. Gross D. J., Harvey J. A., Martinec E., Rohm R. Heterotic string // Phys.
Rev. Lett— 1985 — Vol. 54, N 6 — P. 502—505.
197. Gross D. J., Harvey J. A4 Martinec E., Rohm R. Heterotic string
theory (I). The free heterotic string / NucJ. Phys. В.—1985.—Vol. 256,
N 2.- P. 253-284.
198. Gross D. L* Harvey J. A., Martinec E., Rohm R. Heterotic string
theory (II). The interacting heterotic string / Nucl. Phys. В.—1986.—
Vol. 267, N 1.— P. 75-124.
199. Gross D. J. The heterotic string // Proc. Intern. Workshop on Unified
String Theories, Santa Barbara, California, USA, 29 July—16 August,
1985.— Singapore: e. a.: World Sci., 1986.— P. 357—399.
200.1 Green M. B„ Schwarz J. H., Brink L. N = 4 Yang — Mills and N = 8
supergravity as limits of string theories / Nucl. Phys. В.—1982.—
Vol. 198, N 3.- P. 474-492.
201. Schwarz J. H. Covariant field equations of chiral N =» 2, D = 10 super-
gravity II Nucl. Phys. В.— 1983.— Vol. 226, N 2.— P. 269—288.
202. Schwarz J, H. A new formulation of N-=8 supergravity and its
extension to type II superstrings / Proc. Intern. Conference on High Energy
Physics dedicated to P. A. M. Dirac's 80th Year, Mianfi, Florida, USA,
January 17—21, 1983.—N. Y. e. a.: Plenum Press, 1985.—P. 117—138.
203. Gross D., Mende P. F. String theory beyond the Plank scale / Nucl.
Phys. В.— 1988.— Vol. 303, N 3.— P. 407—454.
204. Klebanov I4 Susskind L. Continuum strings from discrete field
theories И Nucl. Phys. В.— 1988.— Vol. 309, N 1 — P. 175—187.
205. Boulware D. G., Deser S. String-generated gravity models / Phys. Rev.
Lett.— 1985.— Vol. 55, N 24.— P. 2656—2660.
215

206. Callan С. G., Myers R. C, Perry M. J. Black holes in string theory.—
Santa Barbara. Calif., 1988.— 25 p.— (Preprint/NSF-lTP-79).
207. Wiltshire D. L. Black holes in string-generated gravity models.— Trieste,
1988.—31 p.— (Preprint/I CTP-56).
208. Antoniadis I„ Bachas C, Ellis J., Nanopoulos D. Vv Cosmological string
theories and discrete inflation / Phys. Lett. В.— 1988.— Vol. 211, N 4.—
P. 393—399.
209. Olive K. A. String corrections to the gravitational equations of motion
and inflation // Physica. A.— 1989.- Vol. 158, N 1.- P. 359-365.
210. Ellis J. The superstring theory: theory of everything or of nothing? /
Nature.— 1986.— Vol. 323, N 5.— P. 595—598.
211. Wen X.-G., Witten E. Electric and magnetic charges in superstring
models // NucL Phys. В.— 1985.— Vol. 261, N 4.— P. 651—677.
212. Narain R. S. New heterotic string theories in uncompactified
dimensions < 10 / Phys. Lett. В.— 1986.— Vol. 169, N 1.— P. 49—52.
213. Lerche W4 Lust D4 Schellekens A. N. Chiral four-dimensional heterotic
strings from self-dual lattices // Nucl. Phys. В.— 1987.— Vol. 287, N 3.—
P. 477—507.
214. Kawai H4 Lewellen D. G, Туе S.-H. Construction of fernftonic string
models in four dimensions // Nucl. Phys. В.— 1987.— Vol. 288, N 1.—
P. 1—76.
215. Antoniadis I., Bacbas C. P., Kounnas С Four-dimensional superstrings /
Nucl. Phys. В.— 1987.— Vol. 289, N 1.— P. 87—108.
216. Kawai ВЦ Lewellen D. С, Туе S.-H. Four-dimensional type II strings and
their extensions: type III strings /Phys. Lett. В.—1987.—Vol. 191,
N 1-2.— P. 63—69.
217. Schellekens A. N. Four-dimensional strings.— Geneva, 1987.— 7 p.— (Pre-
print/CERN-TH. 4807).
218. Duff M. J. Supermembranes: the first fifteen weeks.— Geneva, 1987.—
33 p.— (Preprint/CERN-TH. 4797).
219. Duff M. J, Howe P. S., Inami Т., Stelle K. S. Superstrings in D = 10
from supermembranes Sn D-=ii // Phys. Lett. В.—1987.—Vol. 191,
N 1-2.— P. 70—74.
220. Bergshoeff E4 Sezgin E4 Townsend P. K. Supermembranes and eleven
dimensional supergravity.—Trieste, 1987.—11 p.—(Preprint/ICTP-10).
221. de Wit B4 Lusher M4 Nicolai H. The supermembrane is unstable // Nucl.
Phys. В.— 1989.— Vol. 320, N 1.— P. 135—159.
222. Skyrme Т. Н. R. A unified field theory of mesons and baryons / Nucl.
Phys. В.— 1962.— Vol. 31, N 4.— P. 556—569.
223. Witten E. Baryons in the 1/1ЛГ expansion // Nucl. Phys. В.—1979.—
Vol. 160, N 1.— P. 57—115.
224. Novikov V. A., Shifman M. A., Vainsbtein A. I., Zakharov V. I. Two-
dimensional sigma-models: modelling non-perturbative effects in quantum
chromodynamics /I Phys. Rep.—1984.—Vol. 116, N 3.—P. 103—171.
225. Bergshoeff E. A., Nepomechie R. I„ Schnitzer H. J. Supersymmetric skyr-
mions in four dimensions II Nucl. Phys. В.—1985.—Vol. 249, N 1.—
P. 93-130.
226. de Alfaro V., Fubini S4 Furlan G. Nonlinear or-models and classical
solutions И Nuovo Cim. A.— 1978.— Vol. 48, N 2.— P. 485—499.
227. Alvarez-Gaume L., Freedman D. Z. Kabler geometry and the renormaliza-
tion of supersymmetric or-models // Phys. Rev. D.— 1980.— Vol. 22, N 4.—
P. 846-853.
228. Alvarez-Gaume L., Freedman D. Z4 Mukhi S. The background field
method and the ultraviolet structure of the supersymmetric non-linear
a-model // Ann. Phys. (USA).— 1981.— Vol. 134, N 1.—P. 85—109.
229. Zumino B. Supersymmetry and Kahler manifolds II Phys. Lett. В.—
1979.— Vol. 87„ N 3 — P. 203—206.
230. Curtrigbt T. L., Freedman D. Z. Non-linear сг-models with extended
supersymmetry in four dimensions II Phys. Lett. В.—1980.— Vol 90.
N 1-2.-P. 71-74.
231. Alvarez-Gaume L„ Freedman D. Z. Ricci-flat Kahler manifolds and su-
216

persymmetry / Phys. Lett. В.—1980.—Vol. 94, N 2.—P. 171—173.
232. Lukerski J. Quaternionic and supersymmetric a-models ■// Lect. Math.
Notes.— 1980 — Vol. 836.— P. 221—245.
233. Hirayama M., Kurimoto T. Duality condition for the supersymmetric hy-
per-Kahler a-model / Phys. Lett. В.— 1984.— Vol. 148, N 1-3.—P. 119—
123.
234. Rosly A. A., Sebwarz A. S. Geometrical origin of new unconstrained
superfields.—M., 1985.—14 p.— (PreprintATEP).
235. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная
геометрия.— М.: Наука, 1979.— 620 с.
236. Манин Ю. И. Калибровочные поля и комплскспая геометрия.— М.:
Наука, 1984.— 336 с.
237. Вайнштейи А. И., Захаров В. И., Новиков В. А., Шпфмап М. А. Инстан-
тонная азбука .// Успехи физ. наук.— 1982,— Т. 136, вып. 6.— С. 553—
591.
238. Perelomov A. M. Supersymmetric chiral models: geometrical aspects /
Phys. Rep — 1989.— Vol. 174, N 4.— P. 229—282.
239. Di Vecchia P., Ferrara S., Girardello L. Anomalies of hidden local chiral
symmetries in a-models and extended supergravities // Phys. Lett. В.—
1985 — Vol. 151,N 3— P. 199—202.
240. Olita N. Can composite gauge bosons become dynamical in noncompact
sigma models? // Phys. Lett. В.— 1984.— Vol. 134, N 1.— P. 75—77.
241. van Holten J. W. Non-compact sigma models and composite gauge
bosons // Phys. Lett. В.—1984.—Vol. 135, N 5-6 —P. 427—431.
242. Hull С. М. Lectures on non-linear sigma models and
strings.—Cambridge, England, 1987.—102 p.—(Preprint/DAMTP).
243. Tseytlin A. A. Sigma model approach to string theory / Intern. J. Mod.
Phys. A.— 1989.— Vol. 4, N 6 — P. 1257—1318.
244. Tseytlin A. A. Sigma models and renormalization of string
loops.—Trieste, 1989.—64 p.—(Preprint/ICTP-90).
245. Candelas P., Horowitz G. T4 Strominger A4 Witten E. Vacuum
configurations for superstrings // Nucl. Phys. В.—1985.— Vol. 258, N 1.—
P. 46—78.
246. Братчпков А. В., Тютин И. В. О геометрической структуре киральных
теорий II Изв. вузов. Физика.— 1984.— Т. 27, № 12.— С. 22—25.
247. Delduc F., Valent G. Classical and quantum structure of the compact
Kahlerian sigma models // Nucl. Phys. В.—1985.— Vol. 253, N 3.—
P. 494—516.
248. Братчпков А. В., Тютин И. В. Мультипликативная перенормировка
двумерных кпральных теорий // Теор. и матем. физика.— 1986.— Т. 66,
№ 3— С. 360—367.
249. Friedan D. Nonlinear sigma models in 2 + e dimension // Phys. Rev.
Lett.— 1980.—Vol. 45, N 13.—P. 1057—1060.
250. Friedan D. Nonlinear sigma models in 2 + e dimensions // Ann. Pbys.
(USA).— 1985.—Vol. 163, N 2.—P. 318—419.
251. Braaten E4 Curtright T. L., Zachos С. К. Torsion and geometrostasis in
non-linear sigma models / Nucl. Phys. В.—1985.—Vol. 260, N 3.—
P. 630—688.
252. Blasi A4 Delduc F., Sorella S. P. The background-quantum split
symmetry in two-dimensional o-models, a regularization independent proof of
its renormalizability —Geneva, 1988.—19 p.—(Preprint/CERN-TH. 5046).
253. Beechi C, Piguet O. On the renormalization of two-dimensional chiral
models // Nucl. Phys. В.— 1989.— Vol. 315, N 1.— P. 153—165.
254. Wess J., Zumino B. Consequences of anomalous Ward identities // Phys.
Lett. В.— 1971.— Vol. 37, N 1.— P. 95—97.
255. Witten E. Global aspects of current algebra // Nucl. Phys. В.— 1983.—
Vol. 223, N 2.— P. 422—432.
256. Witten E. Non-Abelian bosonization in two dimensions / Commun. Math.
Phys.— 1984.— Vol. 92,; N 2.— P. 455-472.
257. Egucbi Т., Gilkey P„ Hanson A. Gravitation, gauge theories and
differential geometry // Phys. Rep.— 1980.— Vol. 66, N 4.— P. 213—393.
217

258. Belavin A. A., Polyakov A. M., Zamolodchikov A. B. Infinite conformal
symmetry in two-dimensional quantum field theory / Nucl. Phys. В.—
1984- Vol. 241. N 2 — P. 333-368.
259. Di Vecchia P. The Wess-Zumino action in two dimensions and non-Abe-
Han bosonization.—Copenhagen, 1984.—24 p.— (Preprint/NBI-HE-02).
260. Фейнман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по
траекториям: Пер. с апгл.— М.: Мир, 1968.— 382 с.
261 Fradkin E. S., Esposito U., Termini S. Functional techniques in
physics // Riv. Nuovo Cim.— 1970 — Vol. Z, N 9.- P. 498—560.
262. Попов В. П. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и
статистической физике.— М.: Атомиздат, 1976.— 256 с.
263. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля я
статистике.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1976.— 294 с.
264. Marinov M. S. Path integrals in quantum theory: an outlook of basic
concepts II Phys. Rep.— 1980.— Vol. 60, N 1.— P. 1—57.
265. Глимм Д., Джаффе А. Математические методы квантовой физики.
Подход с использованием функциональных интегралов: Пер. с англ.— М.:
Мир, 1984.— 445 с.
266. Abbott L. F. The background field method beyond one loop / Nucl.
Phys. В.— 1981 — Vol. 185, N 1 — P. 189-203.
267. Honerkainp J., Ecker G. Application of invariant rcnormalization to the
non-linear chiral invariant pion Iagrangian in the one-loop
approximation / Nucl. Phys. В.— 1971.— Vol. 35, N 3.— P. 481—492.
268. Honerkamp J. Chiral multi-loops // Nucl. Phys. В.— 1972— Vol. 36, N 1.—
P. 130—140.
269. Ichinose S., Omote M. Renormalization using the background field
method / Nucl. Phys. В.—1982.—Vol. 203, N 2.—P. 221—267.
270. Jack I.4 Osborn H. Background field calculations in curved
space-time. (I) General formalism and application to scalar fields // Nucl.
Phys. В.— 1984 — Vol. 234, N 2.— P. 331—364.
271. Jack I. Background field calculations in curved space-time. (II)
Application to a pure gauge theory / Nucl. Phys. B— 1984 — Vol. 234, N 2.—
P. 365-378.
272. Jack I., Osborn H. General background field calculations with fermions
fields И Nucl. Phys. В.— 1985.— Vol. 249, N 2.— P. 472—506.
273. Mukhi S. The geometric background field method, renormalization and
the Wess — Zumino term in the non-linear a-models // Nucl. Phys. В.—
1986 — Vol. 264, N 4.— P. 640—668.
274. Кетов С. В., Самолов А. И. Метод фонового поля для двумерных
нелинейных сигма-моделей с кручепием.— Томск, 1988.— 45 с— (Преприпт/
ТФ СО АН СССР, № 2).
275. Leibrandt G.. Introduction to the technique of dimensional regulariza-
tion II Rev. Mod. Phys.— 1975.— Vol. 47, N 4.— P. 849—876.
276. Vilkovisky G. A. The unique effective action in quantum field theory //
Nucl. Phys. В.— 1984.—Vol. 234, N 1 — P. 125—137.
277. Howe R. S., Papadopoulos G., Stelle K. S. The background field method
and the nonlinear a-model.—Princeton, 1986.—37 p.—(Preprint/IAS).
278. Воронов Б. Л., Тютпн И. В. Перенормировка двумерпых киральных
теорий / Ядерн. физика.—1981.—Т. 33, вып. 6.—С. 1137—1147.
279. fHooft G.» Veltman M. Regularization and renormalization of gauge
fields If Nucl. Phys. В.—1971.—Vol. 44, N 1.—P. 189—219.
280. fHooft G. Dimensional regularization and the renormalization group //
Nucl. Phys. В.— 1973.— Vol. 61, N 2.— P. 455—468.
281. Grisaru M. Т., van de Ven A, E, M., Zanon D. Two:dimensionaI super-
symmetric sigma-models on Ricci-flat Kahler manifolds are not finite //
Nucl. Phys. В.— 1986.— Vol. 277, N 3-4.— P. 388—408.
282. Grisaru M. Т., van de Ven A. E. M., Zanon D, Four-loop divergences for
the N = 1 supersymmetric non-linear sigma-model in two dimensions //
Nucl. Phys. В.— 1986.— Vol. 277, N 3-4.— P. 409—428.
283. Grisaru M. Т., Kazakov D. I., Zanon D. Five-loop divergences for N = 2
supersymmetric sigma-model // Nucl. Phys. В.— 1987.— Vol 287, N 1 —
D л on on/ ' " '
218

284. Коллинз Д. Перепормировка: Введение в теорию перенормировок,
репормализациоппой группы и операторных разложений: Пер. с апгл.—
М.: Мир. 1988.— 446 с.
285. Braden H. W., Jones D. R. Т. N = 2 supersymmetric a-models and
infrared divergences / Phys. Rev. D.— 1987.— Vol. 35, N 2.— P. 1519—
1521.
286. Thomas S. The ^-function in higher covariant derivative regularization //
J. Phys. A: Math. Gen.—1987.—Vol. 20j N 6.—P. 1677—1694.
287. Bos M. An example of dimensional regularization with antisymmetric
tensors // Ann. Phys. (USA).— 1988 — Vol. 181, N 1.—P. 177—197.
2fS. Curci G., Paffuti G. Infrared problems in two-dimensional generalised
a-models // Nucl. Phys. В.— 1989.— Vol. 312, N 1 — P. 227—252.
289. Ketov S. V. Two-loop calculations in the non-linear sigma-model with
torsion // Nucl. Phys. В.—1987.-Vol. 294, N 3.-P. 813-844.
290. Breitenlohner P., Maison D. Dimensional renormalization and the action
principle II Commun. Math. Phys.—1977.—Vol. 52, N 1 — p. Ц—38.
291. Ketov S. V. The three-loop [Иunction for the two-dimensional non-linear
sigma-models with a Wess — Zumino — Witten term: Report at the Intern.
Workshop on Superstrings, ICTP, Trieste, Italy, April 19—22, 1988.—
Trieste, 1988.— 15 p.
292. Bos M. An example of dimensional regularization with antisymmetric
tensors / Ann. Phys. (USA).—1988.—Vol. 181, N 1.—P. 180.
293. Capper D. M., Jones D. R. T„ van Nieuwenhuizen P. Regularization by
dimensional reduction of supersymmetric and non-supersymmetric gauge
theories / Nucl. Phys. В.— 1980.— Vol. 167, N 3.— P. 479-499.
294. Fridling B. E„ van de Ven E. A. M. Renormalization of generalized two-
dimensional nonlinear a-models / Nucl. Phys. В.—1986.— Vol. 268,
N 4-5.— P. 719-738.
295. Владимиров А. А., Ширков Д. В. Ренормалпзационная группа и
ультрафиолетовые асимптотики / Успехи физ. наук.—1979.— Т. 129,
вып. 3.— С. 407-441.
296. Chetyrkin К. G. A simple proof of renormalization group equation in the
minimal subtraction scheme.—Trieste, 1989.— 18 p.— (Preprint/ICTP-418).
297. Hull С M., Townsend P. K. The two-loop P-function for a-models with
torsion II Phys. Lett. В.—1987—Vol. 191, N 1-2.—P. 115—121.
298. Metsaev R. R., Tseytlin A. A. Two-loop [J-function for the generalized
bosonic a-model / Phys. Lett. В.— 1987.— Vol. 191,, N 4.— P. 354—362.
299. Metsaev R. R^ Tseytlin A. A. Order a'(two-loop) equivalence of the string
equations of motion and the a-model Weyl invariance conditions:
dependence on the dilaton and the antisymmetric tensor // Nucl. Phys. B.—
1987.— Vol. 293, N 2.— P. 385—419.
300. Zanon D. Two-loop [J-functions and low-energy string effective action
for the two-dimensional bosonic non-linear a-model with a Wess —
Zumino — Witten term // Phys. Lett. В.— 1987.— Vol. 191, N 4.— P. 363—
368.
301. Adachi S. Strings in curved space and background field equations Ц
KEK Report.— 1988.— N 5— P. 23—73.
302. Lovelace C. Strings in curved space // Phys. Lett. В.— 1984.— Vol. 135,
N 1-3.— P. 75-77.
303. Fradkin E. S., Tseytlin A. A. Effective action approach to superstring
theory / Phys. Lett. В.— 1985.— Vol. 160r N 1-3.— P. 69—76.
304. Fradkin E. S., Tseytlin A. A. Quantum string theory effective action //
Nucl. Phys. В.— 1985.—Vol. 261, N 1.— P. 1—27.
305. Фрадкпн Е. С, Цейтлин А. А. Поля как возбуждения квантованных
координат II Письма в Журн. эксперим. и теор. физики.— 1985.— Т. 41,
вып. 4.— С. 169—171.
306. НиН С. Мч Townsend P. К. Finiteness and conformal invariance in
nonlinear sigma models.— Cambridge, England, 1985.—17 p.— (Preprint/
DAMTP).
307. Callan C. G., Friedan D., Martinec E. J., Perry M. J. Strings in
background fields / Nucl. Phys. В.—1985.—Vol. 262, N 4.—P. 593—619.
219

308. Perry M. J^ Strings and spacetime physics // Supersymmetry and its
Applications: Superstrings, Anomalies ans Supergravity: Proc. Intern.
Workshop^ Cambridge, England, June 23 —July 14, 1985.—Cambridge
e. a.: Cambridge Univ. Press, 1986.— P. 269—279.
309. Callan C. G., Klebanov I. R, Perry M. J. String theory effective actions //
Nucl. Phys. В.- 1986.- Vol. 278, N 1.- P. 78-90.
310. de Alwis S. P. Strings in background fields: P-functions and vertex
operators / Phys. Rev. D.— 1986.— Vol. 34, N 12.— P. 3760—3768.
311. Nunez С A. On the equivalence between [J-functions and massless boso-
nic string field equations of motion // Phys. Lett. В.— 1987.— Vol. 193,
N 2-3.— P. 195—201.
312. Jack I., Jones D. R. t. String theory effective actions and a-model
fl-functions II Phys. Lett. В.— 1987.— Vol. 193, N 4.— P. 449—454.
313. Jack I., Jones D. R. Т., Ross D. A. On. the relationship between string
low-energy effective actions and О (a')3 — a-model [J-functions // Nucl.
Phys. В.— 1988.-J Vol. 307, N 1.— P. 130—144.
314. Kato M, Ogawa K. Covariant quantization of string based on BRS in
variance // Nucl. Phys. В.— 1983.— Vol. 212, N 2.— P. 443—460.
315. Maharana J., Veneziano G. Strings in a background: a BRS-hamiltonian
approach / Nucl. Phys. В.- 1987.- Vol. 283, N 1.- P. 126-140.
316. Das A., Roy S. Nilpotency of #brst and background field equations /
Z. Phys. C— 1987.— Vol. 36- N 2.— P. 317—322.
317. Veneziano G. Topics in string theory.—Geneva, 1988.—40 p.— (Pre-
print/CERN-TH. 5019).
318. Fridling B. Eh, Jevieki A. Nonlinear o-models as S-matrix generating
functionals of strings // Phys. Lett. В.— 1986.— Vol. 174, N 1.— P. 75—80.
319. TseytLIn A. A. Ambiguity in the effective action in string theories /
Phys. Lett. В.— 1986.— Vol. 176, N 1-2 — P. 92—98.
320. Bento M. C* Mavromatos N. E. Ambiguities in the low-energy effective
actions of string theories with the inclusion of antisymmetric tensor
and dilaton fields / Phys. Lett. B,— 1987.— Vol. 190, N 1-2 — P. 105—
109.
321. Jones D. R. Т., Lawrence A. M. Field redefinition dependence of the low-
energy string effective action II Z. Phys. C— 1989.— Vol. 42, N 1.—
P. 153-158.
322. Zwiebach B. Curvature squared terms and string theories II Phys.
Lett. В.— 1985.— Vol. 156, N 5-6.— P. 315—317.
323. Deser S., Redlich A. N. String-induced gravity and ghost-freedom //
Phys. Lett. В.— 1986.— Vol. 17ff, N 3-4.— P. 350—354.
324. Akboury R^ Okada Y. Unitarity conditions for string propagation in the
presence of background fields / Phys. Lett. В.— 1987.— Vol. 183, N 1.—
P. 65-70.
325. Jack I., Jones D. R. Т., Lawrence A. M. Ghost freedom and string
actions H Phys. Lett. В.— 1988.— Vol. 203, N 4.— P. 378—380.
326. Jack 1^ Jones D. R. T. a-model ^-functions and ghost-free string effective
actions / Nucl. Phys. В.— 1988.— Vol. 303, N 2.— P. 260—270.
327. Knizhnik V. G., Zamolodchikov A. B. Current algebra and Wess — Zu-
mino model in two dimensions II Nucl. Phys. В.— 1984.— Vol. 247, N 1.—
P. 83-103.
328. Curtright T. L., Zachos С. К. Geometry, topology and supersymmetry in
nonlinear models // Phys. Rev. Lett.— 1984.— Vol. 53, N 18.— P. 1799—
1803.
329. Кетов С. В. Уравнения ренормализационной группы для двумерной
нелинейной сигма-модели с кручением II Изв. вузов Физика.—1988.—
Т. 31, № 9.- С. 37-39.
330. Ketov S. V. Sigma-model beta-functions and effective gravity from
strings II Proc. Fifth Marcel Grossman Meeting, Perth, Australia, August
8—13, 1988.— Singapore e; a.: World Sci., 1988.— 10 p.
331. Кетов С. В. ^-функции двумерных нелинейных сигма-моделей и
уравнения движения для струн и суперструн // Гравитация и
фундаментальные взаимодействия.— М.: Изд-во Ун-та Дружбы Народов, 1988.—
С. 40—41.

332. Кетов С. В., Самолов А. И., Пятелпн Д. А. Двухпетлевая В-функция
двумерной пеливейвоп а-модели с кручевием и «'-поправка в визко-
эвергетпческое эффективное действие для бозоввых струв // Совре-
мевпые теоретические и эксперимевтальвые проблемы теории отво-
снтелыюстп и гравитации: Материалы 7-й Всесоюз. конф., Цахкадзор,
18—21 октября, 1988.— С. 298—299.
333. Gross D. J., Sloan J. H. The quartic effective action for the heterotic
string И Nucl. Phys. В.— 1987.— Vol. 291, N 1 — P. 41—89.
334. Замолодчиков А. Б. О «необратимости» потока ревормализациоввой
группы в двумерной теории поля // Письма в Журн. эксперим и теор.
физики.— 1986.—Т. 43, № 12.—С. 565—567.
335. Polyakov A. M. Gauge Fields and Strings/Contemporary Concepts in
Physics.— Chur (Switzerland) e. a.: Harwood Acad. Publ. 1987.—301 p.—
(Preprint/SLAC, Trans-0222).
336. Mavromatos N. E, Mlramontes J. L. Zamolodchlkov's c-theorem and
string effective actions // Phys. Lett. B,—1988.—Vol. 212, N 1.—
P. 33-40.
337. Osborn H. Renormalization group and two-point functions in bosonic
a-models // Phys. Lett В.—1988.—Vol. 214, N 4.—P. 555—560.
338. dc Alwis S. P. The c-theorem, the dilaton and. the effective action in
string theory // Phys. Lett. В.— 1989.— Vol. 217, N 4.— P. 467—471.
339. Tseytlin A. A. Conditions of Weyl invariance of the two-dimensional
sigma-model from equations of stationarity of the "central charge"
action // Phys. Lettt В.— 1987.— Vol. 194, N 1.— P. 63—68.
340. Дериглазов А. А., Кетов С. В., П pa rep Я. С. Трехпетлевая В-функция
двумерных нелинейных сигма-моделей с кручением (I).— Томск,
1988.—66 с— (Препринт/ТФ СО АН СССР, № 3).
341. Дериглазов А. А., Кетов С. Вч Прагер Я. С. Трехпетлевая ^-функция
двумерных нелинейных сигма-моделей с кручением (II).— Томск,
1988.— 19 с— (Препринт/ТФ СО АН СССР, № 4).
342. Дериглазов А. А., Кетов С. В., Прагер Я. С. О восстановлении («')'-
поправки в гравитационное эффективное действие бозонной струны из
трехпетлевой ^-функции двумерной нелинейной а-модели //
Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории
относительности и гравитации: Материалы 7-й Всесоюз. конф., Цахкадзор, 18—21
октября, 1988.— С. 277—278.
343. Ketov S. V;, Deriglazov A. A., Prager Y. S. Three-loop IB-function for the
two-dimensional non-linear a-model with a Wess — Zumino — Witten
term И Nucl. Phys. В.— 1990.— yd. 332, N 2.— P. 447—498.
344. Graham S. J. Three-loop B-function for the bosonic non-linear sigma-mo-
dels И Phys. Lett. В.— 1987.— Vol. 197, N 4.-1P. 543—547.
345. Foakes A. P., Mohammedi N. Three-loop calculation of the beta-function
for the purely metric non-linear sigma-model // Phys. Lett. В.— 1987.—
Vol. 198, N 3.— P. 359—361.
346. Foakes A. P., Mohammedi N. An explicit three-loop calculation for the
purely metric two-dimensional non-linear sigma-model // Nucl. Phys. В.—
1988 — Vol. 306, N 2.— P. 343—361.
347. Кетов С. В. Трехпетлевая В-фупкция двумерной нелинейной а-моделн
на произвольном римановом многообразии без кручения // Ядерн.
физика.— 1989.— Т. 49, вып. 1.— С. 297—304.
348. Metsaev R. R^ Tseytlin A. A. Curvature cubed terms in string theory
effective action // Phys. Lett. В.—1987.—Vol. 185, N 1.—P. 52—56.
349. Jack I., Jones D. R. Т., Ross D. A. The four-loop dilaton B-function /
Nucl. Phys. В.— 1988.— Vol. 307, N 3— P. 531—548.
350. Кетов С. В. Трехпетлевая ^функция модели Весса — Зумипо — Витте-
ва II Письма в Журв. эксперим. и теор. физики.— 1988.— Т. 47, № 6.—
С. 283—285.
351. Кетов С. В. Трехпетлевая перенормировка модели Весса — Зумино —
Виттева / Теор. и матем. физика.—1989.—Т. 80, № 1.—С. 56—64.
352. Xi Z.-M. Dimensional regularization and three-loop beta-function of the
Wess — Zumino — Witten model / Nucl. Phys. В.— 1989.— Vol. 314,
N 1.— P. 112—128.
221

353. Кетов С. В., Самолов А. И. Поле Калб — Рамопа в низкоэпергетическом
эффективном действии бозонной струны: вычисление (а')2-поправки в
эффективное действие.—Томск, 1988.— 17 с— (Препршгт/ТФ СО АН
СССР, № 56).
354. Кетов С. В., Самолов А. II. (а')'-Поправка в эффективное действие бо-
зоппой струны из трехпетлевой ($-фупкцпн нелинейной а-модели Ц
Письма в Журн. эксперим. и теор. физики.—1988.— Т. 48, № 10.—
С. 516—518.
355. Ketov S. V. Tree string-generated corrections to Einstein gravity from
the sigma- model approach // Gen. Rel. Grav.— 1990.— Vol. 22, N 2 —
P. 193—204.
356. Jack I., Jones D. R. Т., Mohammedi N. A four-loop calculation of the
metric 6 function for the bosonic a-model and the string effective
action // Nucl. Phys. В.—1989.—Vol. 322, N 2.—P. 431—470.
357. Daniel M., Hochberg D., Mavromatos N. E. The dilaton and quartic
curvature terms in the heterotic string effective action // Phys. Lett. B.—
1987.— Vol. 187, N 1-2.— P. 79—84.
358. Jack I, Jones D. R. T. Dilaton dependence of the two-loop effective
action И Phys. Lett. В.— 1988.— Vol. 200, N 4.— P. 453—460.
359. Bento M. C, Bertolami O., Henriques А. В., Romao J. C. Order a'2-terms
in the gravitational sector of string effective actions with the inclusion
of the dilaton field // Phys. Lett. В.— 1989.— Vol. 218, N 2 — P. 162^
168.
360. Polyakov A. M. Quantum geometry of bosonic strings // Phys. Lett. B.—
1981.— Vol. 103, N 2-3.— P. 207—210.
361. Polyakov A. M. Quantum geometry of fermionic strings / Phys. Lett. В.—
1981 — Vol. 103, N 2-3 — P. 211—213.
362. Nambu Y. Lectures at the Copenhagen Symposium on Symmetries and
Quark Models.—N. Y.: Gordon and Breach Book Сотр., 1970.—P. 269.
363. Goto T. Relativistic quantum mechanics of one-dimensional
mechanical continuum and subsidiary condition of dual resonance model //
Progr. Theor. Phys.—1971 —Vol. 46, N 5.—P. 1560—1569.
364. Friedan D. Introduction to Polyakov's string theory / Recent Advances
in Field Theory and Statistical Mechanics, 1982: Proc. Session XXXIX,
Les Houches.—Amsterdam: Elsevier Publ., 1984.—P. 839—867.
365. Nepomechie R. I. Duality and the Polyakov W-point Green's function //
Phys. Rev. D— 1982.— Vol. 25, N 10.— P. 2706—2708.
366. Faddeev L. D., Popov V. N. Feynman diagrams for the Yang —Mills
field // Phys. Lett. В.— 1967.— Vol. 25, N 1.— P. 29—30.
367. Бурбаки II. Интегрирование, мера Хаара, свертка п представления:
Пер. с франц.— М.: Мир, 1970.— 320 с.
368. Кетов С. В. Амплитуда рассеяния гравнтонов в теории бозонных
струп / Изв. вузов. Физика.—1988.—Т. 31, № 12.—С. 17—20.
369. Цейтлин А. А. Дуальные преобразования и эквивалентность на
массовой оболочке II Ядерн. физика.— 1984.— Т. 40, вып. 5.— С. 1363—
1370.
370. Busher Т. Н. Path-integral derivation of quantum duality in non-linear
sigma-models / Phys. Lett. В.— 1988 —Vol. 201, N 4.—P. 466—472.
371. Freedman D. Z., Townsend P. K. Antisymmetric tensor gauge theories
and non-linear a-models // Nucl. Phys. В.—1981.—«Vol. 177, N 2.—
P. 282-296.
372. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Quantization of the classically
equivalent theories in the superspace of simple supergravity and quantum
equivalence / Nucl. Phys. В.— 1988— Vol. 308, N 1.— P. 162—190.
373. Кетов С. В., Осетрин К. Е., Прагер Я. С. Дуальпость в двумерных
нелинейных сигма-моделях.—Томск, 1989.—35 с—(Препринт/ТНП
СО АН СССР, № 40).
374. Salam A., Strathdee J. Super-gauge transformations II Nucl. Phvs B —
1974.- Vol. 76, N 3.- P. 477-482 ' '
375. Salam A^ Strathdee J. Supersymmetry and superfields / Phvs Rev D —
1975.-Vol. 11, N7.-P. 1521-1532.
222

376. Salam A., Strathdee J. Supersymmetry and superfields / Fortschr.
Phys.— 1978.— Vol. 26, N 3.— R 57—142.
377. Salam A., Strathdee J. Feynman rules for superfields / Nucl. Phys. В.—
1975 — Vol. 86, N 1 — P. 142—152.
378. Grisaru M. T*, Siegel W, Rocek M. Improved methods foe super-
graphs // Nucl. Phys. В.—1979.—Vol. 159. N 2.—P. 429—450.
379. Grisaru M. Т., Rocek M* Sieged W. Zero value for the three-loop fJ-fun-
ction in N = 4 supersymmetric Yang — Mills theory // Phys. Rev. Lett.—
1980.— Vol. 45, N 10.— P. 1063—1066.
380. Grisaru M. Т., Siegel W. Supergravity (I). Background field
formalism II Nucl. Phvs. В.— 1981.— Vol. 187, N 1.— P. 149—183.
381. Grisaru M. Т., Siegel W. Supergravity (II). Manifestly covariant rules
and higher-loop finiteness // Nucl. Phya. В.—1982.—Vol. 201, N 2.—
P. 292—314.
382. de Almeidada Silva M. A., Barcelos-Neto J. Dirac quantization of the
supersymmetric nonlinear o-model on a Riemannian manifold in super-
space / Z. Phys. C— 1987.— Vol. 33, N 4.— P. 525—528.
383. Gates S. J. Superspace formulation of new nonlinear sigma-models.—
Trieste, 1981.—21 p.— (PreprintACTP-83).
384. Witten E., Bagger Jj. The gauge-invariant supersymmetric nonlinear
sigma-model / Phys. Lett. В.—1982.—Vol. 118, N 1.—P. 103—106.
385. Bagger J. Coupling the gauge-invariant supersymmetric non-linear
sigma-model to supergravity // Nucl. Phys. В.—1983.—Vol. 211, N 2.—
P. 302—316.
386. Bagger J. Supersymmetric sigma-models / Supersymmetry: Proc. NATO
Adv. Study Institute, Bonn, August 20—31, 1984 —N. Y. e. a.: Plenum
Press. 1985.— P. 45—87.
387. Howe P. S^ Sierra G. Two-dimensional supersymmetric nonlinear a-mo-
dels with torsion // Phys. Lett. В.— 1984.— Vol. 148, N 6.— P. 451—455.
388. Gates S. J;, Hull С. М., Rocek M. Twisted multiplets and new super-
symmetric nonlinear a-models // Nucl. Phys. В.— 1984.— Vol. 248, N 1.—
P. 157—186.
389. Braden H. W. Supersymmetry with torsion // Phys. Lett. В.—1985.—
Vol. 163, N 1-4 —P. 171—175.
390. Braden H. W. Sigma-models with torsion // Ann. Phys. (USA).—1986.—
Vol. 171', N 2.- P. 433-462.
391. Olivier D. Coupling the spinning string to an antisymmetric tensor field
and quarks with spin / Phys. Rev. D.— 1986.— Vol. 33, N 8.— P. 2462—
2468.
392. Bagger J., Wess J. Gauging the supersymmetric sigma-model with
a Goldstone field / Phys. Lett. В.— 1987.—i Vol. 199, N 2.—P. 243—246.
393. Di Vecchia P„ Knizhnik V. G., Petersen J. L.i Rossi P. A supersymmetric
Wess — Zumino lagrangian in two dimensions / Nucl. Phys. B.— 1985.—
Vol. 253, N .3-4.— P. 701—726.
394. Kac V. G. Infinite Dimensional Lie Algebras. An Introduction.— Boston
e. a.: Birkhauser Publ., 1983.— 245 p.
395. Bershadsky M. A.% Knizhnik V. G., Teitelman M. G. Superconformal
symmetry in two dimensions / Phys. Lett. В.—1985.— Vol. 151, N 1.—
P. 31—36.
396. Kiritsis E. В., Siopsis G. Operator algebra of the N = 1 super-Woss —
Zumino model / Phys. Lett. В.— 1987.—Vol. 184, N 5.—P. 353—356.
397. Nahm S. Superconformal and super-Kac — Moody invariant quantum
Field theories in two dimensions // Phys. Lett В.— 1987.— Vol 187,
N 3-4.— P. 340—346.
398. Ramond P. Dual theory for free fermions // Phys. Rev. D.— 1971.—
Vol. 3t N 9.—P. 2415—2418.
399. Neveu A., Schwarz J. II. Factorizable dual model of pions II Nucl.
Phys. В.— 1971.— Vol. 31, N 1.— P. 86—112.
400. Neveu A„ Schwarz J. H. Quark model of dual pions // Phys. Rev. D.—
1971.-Vol. 4, N 4.-PI 1109-1111.
401. Neveu A., Schwarz J. H., Thorn С. В. Reformulation of the dual pion
model // Phys. Lett. В.—1971 —Vol. 35, N 6.—P. 529—533.
223

402 Schwarz J. H. Physical states and pomeron poles in the dual pion
model // Nucl. Phys. В.— 1972.—.Vol. 46, N 1.—P. 61—74.
403. Green M. В., Schwarz J. H. Supersymmetric dual string theory (I). Free
theory // Nucl. Phys. В.-1981.-Vol. 181, N 3.-P. 502-530.
404. Green M. B„ Schwarz J. H. Supersymmetric dual string theory (tl).
Vertices and trees // Nucl. Phys, B.-1982.- Vol. 198, N 2.-P. 252-268.
405. Green M. В., Schwarz J. H. Supersymmetric dual string theory (III).
Loops and renormalization / Nucl. Phys. В.—1982.—Vol. 198, N 2.—
P. 441—460.
406. Green M. R, Schwarz J. H. Supersymmetrical string theories / Phys.
Lett. В.— 1982.— Vol. 109, N 4.— P. 444—448.
407. Green M. B.„ Schwarz J. H. Covariant description of superstrings // Phys.
Lett. В.— 1984 — Vol. 136, N 4.— P. 367—370.
408. Green M. В., Schwarz J. H. Properties of the covariant formulation of
superstring theories // Nucl. Phys. В.— 1984.— Vol. 243, N 2.— P. 285—
306.
409. Park Q-ЕЦ Zanon D. More on a-model (J-functions and low-energy
effective actions / Phys. Rev. D.—1987.—Vol. 35, N 12.—P. 4038—
4040.
410. Das A.i Maharana J4 Roy S. BRST quantization of superstring in
backgrounds.—Rochester, 1989.—29 p.—(Preprint/UR-1099).
411. Das A., Maharana J., Roy S. The Neveu-Schwarz — Ramond string in
background fields: nilpotency of BRST charge.—Rochester, 1989.—
27 p.— (Preprant/UR-1100).
412. Liu Y.-L., Ni G.-J. Two-dimensional nonlinear a-model with N = 1 and
BRST quantization // Phys. Rev. D.—1989.—Vol. 39, N 2.—P. 571—575.
413. Henneaux M«, Mezincescu L. A a-model interpretation of Green —
Schwarz covariant superstring action // Phys. Lett. B.— 1985.— Vol. 152,
N 4.- P. 340-343.
414. Curtright T. L4 Mezincescu L., Zachos С. К. Geometrostasis and torsion
in covariant superstrings // Phys. Lett. В.— 1985.— Vol. 161, N 1-3.—
P. 79—84.
415. Witten E. Twistor-Iike transform in ten dimensions /Nucl. Phys. B.—
1986.—Vol. 266, N 2 — P. 245—264.
416. Grisaru M. Т., Howe P., Mezincescu L^, Nilsson B. E. W., Townsend P. K.
N = 2 superstring in a supergravity background // Phys. Lett. В.—
1985.—Vol. 162, N 1-3.—P. 116—120.
417. Robb T. D., Taylor J. G. The heterotic string in a supergravity
background / Phys. Lett. В.—1986.—Vol. 176, N 3-4.—P. 355-361.
418. Grisarn M. Т., Nishino H4 Zanon D. ^-Function approach to the Green —
Schwarz superstring .—Waltham, 1988.— 12 p.— (Preprint/BRX. TH-243).
419. Grisaru M. Т., Nishino H4 Zanon D. ($-Functions for the Green— Schwarz
superstring / Nucl. Phys. В.— 1989.— Vol. 314, N 2.— P. 363—389.
420. Deriglazov A. A., Ketov S. V. Space-time supersymmetry versus world-
sheet supersymmetry in the sigma-model approach to the heterotic
string theory / Proc. Fifth Marcel Grossman Meeting, Perth, Australia,
August 8—13, 1988.—Singapore e. a.a World Sci., 1988—11 p.
421. Дериглазов А. А., Кетов С. В. Гетеротическая струна в искривленном
N = 1, D = 10 суперпространстве и уравнения движения D = 10 су-
пергравнтации // Ядерп. физика.—1988.—Т. 48, вып. 6.—С. 1834—
1841.
422. Fischler W., Suss kind L. Dilaton tadpoles, string condensates and scale
invariance. I / Phys. Lett. В.— 1986.— Vol. 171, N 4 — P. 383—389.
423. Fischler W., Susskind L. Dilaton tadpoles, string condensates and scale
invariance. II // Phys. Lett. В.—1986.—Vol. 173, N 3.—P. 262—264.
424. Inami T», Nishino H. Superstring loop corrections to a-model
B-functions II Phys. Lett. В.— 1987.— Vol. 196, N 2 — P. 151—156.
425. Sakai N., Tanii Y. One-loop amplitudes and effective action in super-
string theories Ц Nucl. Phys. В.—1987.—Vol. 287, N 4.—P. 457—476.
426. Abonelsaood A., Callan C. G., Nappi C. R.» Yost S. A. Open strings in
background gauge fields // Nncl. Phys. Ц.—1987.— Vol. 280, N 4.—

427. Callan С. G., Lovelace С, Nappi С. R. Yost S. A. String loop correction»
to beta-functions // Nucl. Phys. В.— 1987.— Vol. 288, N 3.— P. 525—550.
428. Metsaev R. R., Tseytlin A. A. On loop corrections to string theory
effective actions II Nucl. Phys. В.— 1988.— Vol. 298, N 1.— P. 109—132.
429. Ellis J.* Jetzer P., Mizracni L. One-loop string corrections to the effective
field theory // Nucl. Phys. В.— 1988.— Vol. 303, N 1 — P. 1—35.
430. Flschler W., Klebanov I., Susskini L. String loop divergences and
effective lagrangians / Nucl. Phys. В.—1988.—Vol. 306, N 2.—P. 271—281.
431. Tseytfin A. A. Renormalization of string loop corrections on the disk
and the annulus / Phys. Lett. В.— 1988.— Vol. 208, N 2.— P. 228—238.
432. Дериглазов А. А,, Кетов С. В. Четырехпетлсвая ^-функция JV = 1 су-
перспмметрпчной двумерной нелинейной а-модели с членом Весса —
Зумппо — Впттепа: анализ фейнмановскпх супеграфов.— Томск, 1988—
40 с— (Препринт/ТФ СО АН СССР, № 56).
433. Дериглазов А. А., Кетов С. В. Четырехпетлевая [J-фупкция N =» 1 су-
перспмметрпчной двумерной нелинейной а-модели с членом Весса —
Зумппо — Впттепа: анализ фоновой зависимости.— Томск, 1989.—
39 с— (Препринт/ТНЦ СО АН СССР, Я° 10).
434. Кетов С. В. Генерация масс в суперсимметричных о-моделях.— Томск:
Ред. журн. Изв. вузов. Физика. 1985.—18 с— (Деп. в ВИНИТИ/
Я° 6091-85).
435. Allen R. W., Jones D. R. T. The N = 1 supersymmetric a-model with
torsion: the two-loop ^-functions // Nucl. Phys. В.— 1988.— Vol. 303,
№ 3.— С 291—302.
436. Кривощеков В. К. Инварпаптная регуляризация для суперспмметрич-
ных калибровочных теорпй // Теор. и матем. фпзика.—1978.— Т. 36,
К° 3.— С. 291—302.
437. Siegel W. Supersymmetric dimensional regularization via dimensional
reduction // Phys. Lett. В.— 1979.— Vol. 84, N 2— P. 193—196.
438. Siegel W., van Nieuwenhuizen P. Supersymmetrical dimensional
regularization.—N. Y., 1980—7 p.—(Preprint/ITP-SB-65).
439. Avdeev L. V., Kamenshchik A. Y. Dimensional regularization of super-
graphs / Phys. Lett. В.— 1983.— Vol. 122, N 3-4.— P. 247—250.
440. Каменщик А. Ю. Размерная регуляризация киральпых суперполей //
Теор. и матем. физка.—1983.— Т. 55, № 2.— С. 176—188.
441. Кетов С. В., Прагер Я. С. Одпопетлевые функции Грина в d-мерных
калибровочных теориях и суперсимметричная регуляризация
посредством размерной редукции.— Томск, 1986.— 31 с— (Препринт/ТФ
СО АН СССР, № 43).
442. Ketov S. V., Prager Y. S. The one-loop Green's functions of dimeneio-
nally reduced gauge theories // Pramana. Indian J. Phys.—1988.—
Vol. 30, N 3 — P. 173—182.
443. Кетов С. В., Прагер Я. С. Суперсимметричная регуляризация одно-
петлевых функций Грина N =» 4 теории Янга — Миллса // Изв. вузов.
Физика.—1989.— Т. 32, № 6.— С. 74—78.
444. Кетов С. В., Прагер Я. С. Однопетлевые функции Грина d-мерных
калибровочных теорий II Изв. вузов. Физика.—1989.— Т. 32, № 7.—
С. 106—108.
445. Ketov S. V. Three-loop finiteness of the two-dimensional
supersymmetric non-linear o-modeis on generalized Ricci-flat manifolds with
torsion И Phys. Lett. В.— 1988.— Vol. 207, N 2.— P. 140—144.
446. Foakes A. P., Mohammedi N., Ross D. A. Three-loop ^-functions for the
superstring and heterotic string // Nucl. Phys. В.—1988.— Vol. 310,
N 2.— P. 335-354.
447. Alvarez-Gaume L. Three-loop finiteness in Ricci-flat supersymmetric
nonlinear a-models / Nucl. Phys. В.—1981.—Vol. 184, N 1.—P. 180—188.
448. Freeman M. D., Pope С N., Sohnius M. F., Stelle K. S. Higher-order
a-model counterterms and the effective action for superstrings // Phys.
Lett. В.— 1986.— Vol. 178, N 2-3.— P. 199—204.
449. Freeman M. D., Pope С N. Beta-functions and superstring compactiffica-
tions / Phys. Lett. В.— 1986.— Vol. 174, N 1.— P. 48—50.
15 С. В. Кетов
225

450. Grisaru M. Т., Zanon D. Sigma-model superstring corrections to the
Einstein— Hilbert action // Phys. Lett. В.—1986.—Vol. 177, N 3-4.—
P. 347—351.
451. Grundberg J., Karlhede A., Lindstrom U., Theodoridis S. A four-loop
divergence in N = 2 twisted supersymmetric a-models / Class. Quantum
Grav.— 1986.— Vol. 3„ N 6.— P. L129 — L131.
452. Дериглазов А. А., Кетов С. В., Пугай Я. П. Четырехпетлевая Р-функ-
ция суперсимметричной модели Вссса — Зумино — Виттева // Письма
в Журн. эксперим. и теор. физики.—1989.— Т. 50, № 7— С. 309—
311.
453. Kikuchi Y., Marzban С, Ng Y. J. Heterotic string modifications of
Einstein's and Yang —Mills actions / Phys. Lett. В.—1986.—Vol. 176,
N 1-2.— P. 57—60.
454. Kikuchi Y., Marzban C. Low-energy effective action Iagrangian of
heterotic string theory / Phys. Rev. D.—1987.—Vol. 35, N 4—. P. 1400—
1403.
455. Siegel W. Inconsistency of supersymmetric dimensional regularization //
Phys. Lett. В.— 1980.— Vol. 94, N 1.— P. 37—40.
456. Avdeev L. V., Chechia G. A., Vladimirov A. A. On the scope of super-
symmetrical dimensional regularization / Phys. Lett. B.— 1981.— Vol. 105,
N 3.— P. 272—274.
457. Avdeev L. V. Noninvariance of regularization by dimensional reduction:
an explicit example of supersymmetry breaking / Phys. Lett. В.—1982.—
Vol. 117, N 5.— P. 317—320.
458. Calabi Б. On Kahler manifolds with vanishing canonical class //
Algebraic Geometry and Topology: A Symposium in Honour of S. Lefschetz.—
Princeton: Princeton Univ. Press, 1957.— P. 78—96.
459. Yau S.-T. Calabi's conjecture and some new results in algebraic
geometry / Proc. Natl. Acad. Sci.—1977.—Vol. 74, N 10.—P. 1798—1824.
460. Calabi E. Metriques Kahlerienes et fibres holomorphes // Ann. Sci. de
1'E. N. S.— 1979.—Vol. 12.— P. 266—292.
461. Nemeschansky D4 Sen A. Conformal invariance of supersymmetric o-mo-
dels on Calabi — Yau manifolds // Phys. Lett. В.— 1986.— Vol. 178, N 4 —
P. 365—369.
462. Strominger A. Superstrings with torsion.— Santa Barbara, 1986.— 32 p.—
(Preprint/NSF-ITP-16).
463. Hull С. М. Superstring compactifications with torsion and space-time
supersymmetry.—Cambridge, England, 1986.—15 p.—(Preprint/DAMTP).
464. Bars I., Nemeschansky D., Yankielowicz S. Compactified superstrings
and torsion / Nucl. Phys. В.— 1986.— Vol. 278, N 3.— P. 632—656.
465. Strathdee J. Kaluza — Klein theory II Intern. J. Mod. Phys. A.— 1986.—
Vol. 1, N 1.- P. 1-37.
466. Lust D. Compactification of ten-dimensional superstring theories over
Ricci-flat coset spaces // Nucl. Phys. В.— 1986.— Vol. 276. N 1.— P. 220—
240.
467. Гаврилии А. М. Сигма-модели на однородных пространствах с
кручением и струнные компактификации.— Киев, 1987.—17 с—(Препринт/
ИТФ-82 Р).
468. Castcllani L., Lust D. Superstring compactification on homogeneous coset
spaces with torsion // Nucl. Phys. В.— 1988.— Vol. 296,, N 1.— P. 143—
156.
4C9. Кетов С. В. Нелппейпые о-модели с кручением и компактификации
суперструн па однородных пространствах II Ядерн. физика.—1988.—
Т. 47, вып. 2.- С. 537-546.
470. Ogura W., Hosoya А. Кае — Moody algebra and non-Епеаг sigma-model /
Phys. Lett. В.—1986,—Vol. 164, N 4-6.-' P. 329—332.
471. Migdal A. A. Loop equations and i/N expansion II Phys. Rep.— 1983.—
Vol. 102, N 6.- P. 199-290.
472. Кетов С. В. 1/ЛГ-разложение для суперсимметричной {7ДО)-модели в
четырех размерностях // Изв. вузов. Физика.—1984.—Т. 27, № 1.—
226

473. Арефьева И. Я., Кривощеков В. К., Медведев П. Б. IfN теория
возмущений и квантовые законы сохранения для суперсимметричпого
кирального поля II Теор. и матем. физика.— 1979.— Т. 40, № 1.— С. 3—14-
474. Pisarski R. D. Nonlinear a-models on symmetric spaces // Phys. Rev. D.—
1979.— Vol. 20,. N 12.— P. 3358—3371.
475. Арефьева И. Я., Славнов А. А Геометрическое происхождение модели
Хиггса / Теор. и матем. физика.— 1980 — Т. 44, № 1.— С. 3—16.
476. Witten E. Dynamical breaking of supersymmetry // Nucl. Phys. В.—
1981.— Vol. 185, N 3.— P. 513—554.
477. Witten E. Constraints on supersymmetry breaking / Nucl. Phys. В.—
1982.— Vol. 202, N 2.— P. 253—316.
478. Кетов С В. Индекс Виттена в модели Весса —Зумино для кирального
re-поля / Изв. вузов. Физика.—1988.—Т. 31, № 9.—С. 117—119.
479. Кобаяши Т., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: Пер:
с англ.— М.: Наука, 1981.— 760 с.
480. Барут А., Роичка Р. Теория представлений групп и ее приложения:
Пер. с англ.— М.: Мир, 1980.—Т. 1-2.— 850 с.
481. Lerche W. On Goldstone fields in supersymmetric theories / Nucl.
Phys. В.— 1984.— Vol. 238- N 3.— P. 582—600.
482. Ellwanger U. Supersymmetric a-models in four dimensions as quantum
theories // Nucl. Phys. В.— 1987.— Vol. 281, N 3-4.— P. 489—508.
483. Ellwanger U. Four-dimensional supersymmetric sigma-models /
Fortschr. Phya.— 1988— Vol. 36, N 12 — P. 881—904.
484. Irie S., Yasui Y. Supersymmetric nonlinear a-model on Es/SO (10) X
XSU(3)XU(i) И Z. Phys. C.—1985.— Vol. 29, N 1.—P. 123—126:
485. Goity J. L. Supersymmetric non-linear a-model and Д-symmetry
breaking / Phys. Lett. В.— 1985 — Vol. 161, N 4-6.— P. 326—328.
486. Bagger J. A., Galperin A. S., Ivanov E. Al, Ogievetsky V. I. Gauging N = 2'
sigma-models in harmonic superspace // Nucl. Phys. B.— 1988.— Vol. 303,'
N 3.— P. 522—542.
487. Duerksen G. Dynamical symmetry breaking in supersymmetric U(n + m)/
IU(m) X U(n) chiral models // Phys. Rev. D.— 1981.— Vol. 24, N 4.—
P. 926—936.
488. Diaz A-, Helayel-Neto J. A-, Smith A. W. On the dynamical mass
generation in gauge-invariant nonlinear a-models.— Trieste, 1987.— 14 p.—
(Preprint/ICTP-404).
489. Fradkin E. S., Tseytlin A. A. Conformal supergravity II Phys. Rep.—
1985.— Vol. 119,i N 4-5 — P. 233—362.
490. Шварц А. С. Квантовая теория поля п топология.— М.: Наука, 1989.—
398 с.
491. Di Vecchia P. Lectures at the Symposium on Symmetry and Super-
symmetry in Subnuclear Physics, Capri, May 1985.—Wuppertal, 1986.—
27 p.— (Preprint/WU B-l).
492. Goddard P., Olive D. An introduction to Kac — Moody algebras and their
physical applications // Proc. Intern. Workshop on Unified String
Theories, Santa Barbara, California, USA, July 29 —August 16,
1985.—Singapore e. a.: World Sci., 1986.— P. 214—243.
493. Goddard P., Olive D. Kac — Moody and Virasoro algebras in relation to
quantum physics / Intern. J. Mod. Phys. A.—1986.— Vol. 1, N 2.—
P. 303—376.
494. Kahler E. Uber eine bemerkenswerte hermitesche Metrik II Abh. Math.
Sem. Univ. Hamburg.— 1933.— Bd 9— S. 173—186.
495. Samuel S. Superfield formulation of a-models II Nucl. Phvs В — 1981 —
Vol. 245, N 1.— P. 127—160.
496. Sierra G., Townsend P. K. The hyper-Kahler supersymmetric a-model in
six dimensions // Phys. Lett. В.— 1983.— Vol. 124, N 6.— P. 497—500.
497. Bagger J., Witten E. Matter couplings in N = 2 supergravity II Nucl.
Phys. В.- 1983.- Vol. 222, N 1.- P. 1-10.
498. Eguchi Т., Hanson A. S. Asymptotically flat self-dual solutions to eucli-
• dean gravity /I Phys. Lett. В.—1978.—Vol. 74, N 3.—P. 249—251.
499. Кетов С. В., Осетрин К. Е. Расширенная суперсимметрия и гравита-
15* 227

ционные пнстантоны / Изв. вузов. Физика.—1989.— Т. 32, № 6.—
Q Л О 21
500. Gates S. J. Quasi-Killing vectors, WZW-terms, and N = 2
supersymmetric non-linear sigma-models.— Maryland, 1985.— 17 p.— (Preprint/
UM-PP-34).
-501. Atkinson G., Cbattopadhyay K, Gates S. J. Supersymmetry and
geometry in D<4 non-linear S-models // Ann. Phys. (USA).—1986.—
Vol. 168, N 2 — P. 387—403.
502 Kowalski-Glikman J. Doubly graded sigma-model with torsion / Phys.
Lett. В.- 1986.— Vol. 180. N 4- P. 358—363.
503. Alvarez — Gaume L., Freedman D. Z. Potentials for the supersymmetric
nonlinear a-model // Commun. Math. Phys.—1983.— Vol. 91, N 1.—
P. 87—101.
-504. Jourline A. N. Constraints on superpotentials in off-shell extended
nonlinear sigma-models // Nucl. Phys. В.— 1984.— Vol. 236, N 1.— P. 181—
188.
505. Hull С. М. Sigma-model beta-functions and string compactification //
Nucl. Phys. В.— 1986.— Vol. 267, N 2.— P. 266—276.
-506. Gepner D. Space-time supersymmetry in compactified string theory and
superconformal models / Nucl. Phys. В.—1988.—Vol. 296, N 3.—
P. 757—778.
507. Spindel P., Sevrin A., Troost W., van Proeyen A. Extended
supersymmetric a-models on group manifolds (I). The complex structures // Nucl.
Phys. В.— 1988.— Vol. 308, N 3.— P. 662—698.
508. Abdalla M. С. В. Integrability of chiral nonlinear sigma-models with
a Wess —Zumino term // Phys. Lett. В.—1985.—Vol. 152y N 3-4.—
P. 215—217.
-509. Sokatchev E, Stelle K. S. Finiteness of (4,0) supersymmetric a-models Ц
Class. Quantum Grav.— 1987.— Vol 4, N 3.— P. 501—508.
510. Grundberg J4 Karlbede A^ Lindstrom XL, Theodoridis G. On the
ultraviolet properties of twisted supersymmetric non-linear a-models // Nucl.
Phys. В.- 1987.- Vol. 282, N 1.— P. 142-162.
511. Howe P. S4 Papadopoulos G. Further remarks of the geometry of two-
dimensional non-linear a-models // Class. Quantum Grav.— 1988.— Vol. 5,
N 12.—P. 1647—1661.
515. Kim J. Irreducible £0(2) extended superfields // J. Math. Phys.
1981.— Vol. 191, N 2.— P. 445—464.
513. Rittenberg V., Sokatchev E. Decomposition of extended superfields into
irreducible representations of supersymmetry / Nucl. Phys. B.—1981.—
Vol. 193, N 2-3.— P. 477—501.
514. Bufton G. R. J., Taylor J. G. Representations of global supersymmetries
for all N II J. Phys. A: Gen. Math,—1983.—Vol. 16, N 2.—P. 321—
334.
515. Kim I. Irreducible 50(2) extended superfields // J. Math. Phys.—1984.—
Vol. 25', N 6.— P. 2037—2051.
516. Кетов С В., Тютпн И. В. Разложение N = 2 расширенного скалярного
суперполя на непрвводимые представления суперсимметрии // Теор.
и матем. физика.—1984.—Т. 61, № П.—С. 254—266.
517. Кетов С В., Лохвицкий Б. Б., Тютин И. В. Неприводимые ЛГ= 2
расширенные суперполя с внешним SL(2, С) X SU(2) индексом (I). iV=2
суперпространство и неприводимые представления суперсимметрии.—
Томск, 1985.—36 с—(Препринт/ТФ СО АН СССР, № 14).
518. Кетов С. В., Лохвицкий Б. Б., Тютин И. В. Неприводимые N = 2
расширенные суперполя с внешним SL(2,C) X 5^(2) индексом (II).
Суперполя, законы преобразования, инвариантные лагранжианы.— Томск,
1985.—36 с— (Препринт/ТФ СО АН СССР, № 15).
519. Кетов С В., Лохвицкий Б. Бч Прагер Я. С, Тютин И. В.
Неприводимые N=»2 расширенные суперполя с внешним SL{2, С) X 5^(2)
индексом (III). Тензорный мультиплет, ослабленный гппермультпплет
п неприводимые суперполя.—Томск, 1985.—19 с— (Препринт/ТФ
СО АН СССР, Я» 16).
228

520. Кетов С. В. Разложение N =х2 скалярного суперполя в размерности
два.— Томск: Ред. журн Изв. вузов. Физика, 1986.— 14 с.— (Деп. в
ВИНИТИ/Я» 8910-В86).
521. Кетов С. В. Линеаризованная N = 2 конформная супергравитация в
терминах 5{/(2)-расширенных суперполей II Изв. вузов. Физика.— 1986.—
Т. 29, №5.-С. 93-95.
522. Кетов С. В. Линеарвзованная N = 2 суперграввтацня Пуанкаре в
терминах 5{/(2)-расширенных суперполей / Изв. вузов. Физика.—1986.—
Т. 29, № 10.— С. 31—33.
523. Кетов С. В., Лохвицкий Б. Б. N = А пепрвводимые суперполя.— Томск,
1987.— 49 с— (Препрвнт/ТФ СО АН СССР, № 6).
524. Ketov S. V., Lokhvitsky В. В. N = 4 irreducible superfields // J. Math.
Phys.— 1988.— Vol. 29, N 5.— P. 1244—1252.
525. Ketov S. V. N = 2 supersymmetry and the irreducible SU(2) extended
superfields // Fortschr. Phys.— 1988.— Vol. 36, N 6.— P. 361—426.
526. Кетов С. В., Лохвицкий Б. Б. Неприводимые N = 4 скалярные
суперполя и \N = 4 конформная супергравитация // Гравитация и
электромагнетизм.—Минск: Изд-во БГУ, 1988.—С. 112—116.
527. Jourline A. N. On dimensional reduction in supersymmetric non-linear
a-models / Nucl. Phys. В.— 1984.— Vol. 236, N 1.— P. 189—197.
528. Кетов С. В., Тютин И. В. Самодействие для N=2 мультиплетов в
j = 4i ультрафиолетовая конечность двумерных /V = 4 о-моделей /
Теоретико-групповые методы в физике: Труды Междунар. Семинара,
22—25 мая 1985, Юрмала.—М.: Наука, 1986.—С. 86—94.
529. Siegel W., Gates S. J. Superprojectors / Nucl. Phys. В.— 1981.— Vol. 189,
N 2.- P. 295-316.
530. Wess J. Supersymmetry and internal symmetry // Acta Physica Aust-
riaca.— 1975 — Vol, 41, N 3.— P. 409—414.
531. Buscher Т. Н. Quantum corrections and extended supersymmetry in new
a-models // Phys. Lett. В.— 1985.— Vol. 159, N 2.— P. 127—130.
532. Firth R. J., Jenkins J. D. Supersymmetry with isospin // Nucl. Phys. В.—
1975.— Vol. 85, N 3.— P. 525—534.
533. Кетов С. В Неперепормируемость супер-Ф3 теорки для N = 2
векторного калибровочного супермультиплета // Изв. вузов. Физика.— 1985.—
Т. 28, № 8.— С. 100—103.
534. Hull С. М. Ultra-violet finiteness of supersymmetric non-linear
a-models / Nucl. Phys. В.— 1985.— Vol. 260, N 1 — P. 182—202.
535. Galperin A., Ivanov E^ Kalitzin S., Ogievetsky V., Sokatchev E.
Unconstrained i/V = 2 matter, Yang —Mills and supergravity theories in
harmonic superspace // Class. Quantum Grav.—1984.— Vol. 1, N 2.—
P. 469—498.
536. Galperin A., Ivanov E^j Ogievetsky V., Sokatchev E. Harmonic super-
graphs: Green functions // Class. Quantum Grav.— 1985.— Vol. 2, N 3.—
P. 601—616.
537. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V,, Sokatchev E. Harmonic super-
graphs: Feynman rules and examples // Class, Quantum Grav.— 1985.—
Vol. 2, N 3-P. 617-630.
538. Demichev A. P., Rodionov A. Y. A REDUCE program for the calculation
of geometrical characteristics of compactified multidimensional Rieman-
nian space // Computer Phys. Commun.— 1985.— Vol. 38, N 3.— P. 441—
448.
539. Кетов С В., Осетрин К. Е., Тютин И. В., Лохвицкий Б. Б. N = 2
материя в JV=2 суперпространстве.— Томск, 1985.— 44 с.— (Препринт/
ТФ СО АН СССР, № 31).
540. Ketov S. V. New W = 2 matter couplings in superspace / Intern.
J. Mod. Phys. A.— 1988.— Vol. 3, N 3.— P. 703—720.
541. Lindstr8m U., Rocek M. New hyper-Kahler metrics and new supermul-
tiplets II Commun. Math. Phys.—1988.—Vol. 115, N 1.—P. 21—29.
542. de Wit B-^ van Holten J. W. Multiplets of linearised 50(2)
supergravity / Nucl. Phys. В.- 1979.- Vol. 153, N 3.- P. 530-542.
229

543. de Wit В., van Holten I. W., van Proeycn A. Transformation rules of
N = 2 supergravity multiplets // NucL Phys. В.— 1980— Vol. 167, N 1.—
P. 186—204.
544. Bagger J. Hypermultiplet couplings in N = 2 supergravity / Proc. 22
Intern. Conference on High Energy Physics, Leipzig, July 19—25, 1984.—
Berlin, 1984 — P. 21—42.
545. Siegel W. Some extended supersymmetric two-dimensional scalar
multiplets II Class. Quantum Grav.— 1985.— Vol. 2, N 3.— P. 541—545.
546. Yamron J. P., Siegel W. Unified description of the N = 2 scalar multi-
plet.— Berkeley, 1985.— 25 p.— (Preprint/UCB-PTH-15).
547 Гальперин А. С, Иванов Е. А., Огпевецкпй В. И. Суперполевая
анатомия мультпплета Файе — Сопиуса // Ядерц. физика.—1982.—Т. 35,
вып. 8.—С. 790—800.
548. Howe P. S., Stelle К. S., Townsend P. К. The relaxed hypermultiplet:
an unconstrained N =» 2 superfield theory / Nucl. Phys. В.— 1983.—
Vol. 214, N 3 — P. 519—531.
549. Кетов С. В. Гармонические N = 2 суперполя с конечным
ослаблением / Изв. вузов. Физика.—1988.—Т. 31, № 10.—С. 64—67.
550. Кетов С. В., Лохвицкий Б. Б«, Тютпи И. В. Гипер-кслеровы а-моделн
в расширенном суперпрострапствс / Теор. и матем. физика.—1987.—
Т. 71, Л° 2.— С. 226—237.
551. Karlhede A., Lindstrom U., Rocek M. Selfinteracting tensor multiplets
in N = 2 superspace // Phys. Lett. В.— 1984.— Vol. 147, N 3— P. 297—
300.
552. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V. Duality transformations and most
general matter self-couplings in N = 2 supersymmetny / Nucl. Phys. B.—
1987.— Vol. 282, N 1.— P. 74—102.
553. Saidi E. H. Twisted d = 2 (4,4) supersymmetric non-linear a-models are
specified by one hyper-Kahler potential // Phys. Lett. В.— 1988.— Vol. 206,
N 4.— P. 639—642.
554. Saidi E. H. On the hyper-Kahler potential and the selection rule of the
hyper-Kahler geometry.—Trieste, 1988.—14 p.—(Preprint/ICTP-148).
555. Ohta N., Sugata H., Yamaguchi H. N = 2 harmonic superspace with
central charges and its application to self-interacting massive hyper-
multiplets / Ann. Phys. (USA).— 1986.— Vol. 172, N 1.— P. 26-39.
556. Lindstrom U., Rocek M. Scalar-tensor duality and N = 1, 2 non-linear
a-models / Nucl. Phys. В.— 1983 — Vol. 222, N 2.— P. 285—308.
557. Кетов С. В., Тютин И. В. Новая нелинейная о-модсль с N = 4
расширенной суперсимметрией // Изв. вузов. Физика.— 1987.— Т. 30, № 9.—
С. 70-74.
558. de Wit В.,, Philippe R., van Proeyen A. The improved tensor multiplet
in N = 2 supergravity / Nucl. Phys. В.—1983.— Vol. 219, N 1.—
P. 143—166.
559. Siegel W. Chiral actions for N = 2 supersymmetric tensor multiplets //
Phys. Lett. В.— 1985.— Vol. 153, N 1.— P. 51—54.
560. "Howe P. S„ Papadopoulos G., Stelle K. S. Quantizing the N = 2 super
sigma-model in two dimensions / Phys. Lett. В.— 1986.— Vol. 174, N 4.—
P. 405—410.
501. Ketov S. V., Lokhvitsky В. В. Non-renormalizability of >N ■= 2 tensor
matter couplings / Czechoslovak J. Phys— 1989.— Vol. 39, N 12.— P. 1336—
1339.
562. Mezincescu L., York-Peng Yao. Non-existence of renormalizable self-
interaction in N = 2 supersymmetry for scalar hypermultiplet II Nucl.
Phys/. В.— 1984.— Vol. 241, N 3.— P. 605—612.
563. Spence B. Non-renormalizability of supersymmetric non-linear sigma-
models in four dimensions // Nucl. Phys. В.— 1985.— Vol. 260, N 3-4.—
P. 531-544.
564. Galperin A., Ivanov E., Ogievetsky V., Sokatchev E. Hyper-Kahler
metrics and harmonic superspace.—Dubna, 1985.—11 p.— (Preprint/E2-514).
565. Кетов С. В., Лохвицкпй Б. Б. Калибровочно-ипвариавтные
сигма-модели в N =» 2 суперпространстве II Изв. вузов. Физика.— 1989.— Т. 32,
№ 2.—С. 49—53.

566. Ketov S. V., Lokhvitsky B. B. Some generalisations оГ N = 2 Yang —
Mills-matter couplings // Class. Quantum Grav.— 1987.— Vol. 4, N 4.—
P. L137 — L142.
567. Kugo Т., Uehara S. Conformal and Poincare calculi in N = 1
supergravity // Nucl, Phys. В.— 1983.— Vol. 226, N 1 — P. 49—92.
568. de Wit B. Formulations of N = 2 supergravity theories / Unification of
the Fundamental Interactions: Talk at the Europhysics Study Conf.r Eri-
ce, March 17—24, 1980— 26 p.
569. de Wit В., van Holten J. W, van Proeyen A. Structure of N = 2 super-
gravity / Nucl. Phys. В.—1981.—Vol. 184, N 1 —P. 77—108.
570. van Proeyen A. Superconformal tensor calculus in \N = 1 and ЛГ.= 2
supergravity.—Geneva, 1983.—37 p.—(Preprint/CERN-TH. 3579).
57 L de Wit В., van Proeyen A. Potentials and symmetries of general gauged
N = 2 supergravity-Yang — Mills models / Nucl. Phys. В.— 1984.—
Vol. 245, N 1—P. 89—117.
572. de Wit В., Lauwers P. G.* Philippe R., Su S. Q., van Proeyen A. Gauge
and matter fields coupled to N = 2 supergravity / Phys. Lett. В.—
1984 — Vol. 134, N 1-2 — P. 37—43.
573. Derendinger J. P., Ferrara S., Masiero A.< van Proeyen A. Yang — Mills
theories coupled to N = 2 supergravity: Higgs and super-Higgs effects
in anti de Sitter space / Phys. Lett. В.—1984.—Vol. 136, N 5-6.—
P. 354—360.
574. Cremmer Ei, Kounnas C, van Proeyen A. et al. Vector multiplets coupled
to N = 2 supergravity: super-Higgs effect, flat potentials and geometric
structure / Nucl. Phys. В.— 1985 — Vol. 250, N 3.— P. 385—426.
575. Кетов С. В., Тюти» И. В. Потспцпал в N = 2 супергравптацпи с
тензорной материей / Ядерн. физика.— 1986.— Т. 44, вып. 1.— С. 270—
277.
576. Galperin A., Ivanov Е., Ogievetsky V., Sokatchev E. N = 2 supergravity
in superspace: different versions and matter couplings / Class, quantum
Grav— 1987.— Vol. 4, N 5 — P. 1255-1265.
577. Fradkin E. S., Vasiliev M. A. Minimal set of auxiliary fields in 50(2)-
extended supergravity s/l Phys. Lett. В.— 1979.— Vol. 85, N 1.— P. 47—51.
578. Raniond P., Schwarz J. H. Classification of dual model gauge algebras //
Phys. Lett. В.— 1976 — Vol. 64, N 1 — P. 75—77; McCabe J., Vellkson B.
Classification of two-dimensional conformal supergravity theories with
finite-dimensional algebras // Phys. Rev. D.—1989.— Vol. 40, N 2.—
P. 400—407.
579. AdemoIIo M., Brink L., d'Adda A. et al. Supersymmetric strings and
colour confinement // Phys. Lett. В.—1976.—Vol. 62, N 2.—P. 105—109.
580. Fradkin E. S., Tseytlin A. A Quantization of two-dimensional
supergravity and critical dimensions fop string models // Phys. Lett. B.—1981.—
Vol. 106, N 1-2.— PI 63-68.
581. Fujikawa K. Path integral of relativistic strings / Phys. Rev. D.—
1982 — Vol. 25', N 10— P. 2584—2592.
582. Fradkin E. S., Tseytlin A. A. Quantized string models // Ann. Phys.
(USA).— 1982.—Vol. 143, N 2.— P. 413—447.
583. Bouwknegt P., van Nicuwenhuizen P. Critical dimensions of N = 1 and
N = 2 spinning string derived from Fujikawa's approach / Class.
Quantum Grav.— 1986 — Vol. 3, N 1.— Pj 207—219. t
584. Descr S., Zumino B. A complete action for the spinning string // Phys.
Lett. В.— 1976.— Vol. 65, N 4.— P. 369—373.
585. Brink L„ Di Vecchia P., Howe P. A locally supersymmetric and repara-
metrization invariant action for the spinning string // Phys. Lett. B.—
1976.- Vol. 65, N 6 — P. 471—474.
586. Brink L., Schwarz J. H. Local complex supersymmetry in two
dimensions II Nucl. Phys. В.— 1977 — Vol. 121, N 2.— P. 285-295.
587. Pernici M^, van Nieuwenhuizen P. A covariant action for the 5^(2)
spinning string as a hyper-Kahler or quaternionic nonlinear sigma-model.—
N. Y., 1985.— 14 p.— (Preprint/ITP-84).
588. Кетов С. В. Действие для «обобщенной» суперструпы с кручеппем //
Теор. и матем. физика.—1986.—Т. 69, № 2.—С. 214—218.
231

589. Ketov S. V. Supersymmetric a-models with torsion in supergravity
background and critical dimensions for string theories // Class. Quantum
Grav.—1987.—Vol. 4, N 5.—P. 1163—1182.
590. Wess J_ Zumino B. Superspace formulation of supergravity // Phys.
Lett. В.— 1977.— Vol. 66, N 5.— P. 361—365.
591. Brown M., Gates S. I. Superspace Bianchi identities and the supercova-
riant derivatives // Ann. Phys. (USA).—1979.—Vol. 122, N 2.—P. 443—
462.
592. Howe P. S. Supergravity in superspace // Nucl. Phys. В.—1982.—
Vol. 199, N 2.— P. 309—364.
593. Howe P. S. Superspace and spinning string // Phys. Lett. В.— 1977.—
Vol. 70, N 4.— P. 453—456.
594. Howe P„ S. Super-Weyl transformations in two dimensions // J. Phys. A.:
Math. Gen.— 1979.— Vol. 12, N 3.— P. 393—402.
595. Martinec E. Superspace geometry of fermionic strings / Phys. Rev.—
1983.— Vol. 28', N 10.— P. 2604—2613.
596. Moore G., Nelson P. Heterotic geometry / Nucl. Phys. В.—1986.—
Vol. 274, N 3-4.— P. 509—519.
597. Howe P. S., Papadopoulos G. N = 2, d = 2 supergeometry // Class.
Quantum Grav.— 1987.— Vol. 4, N 1.— P. H—21.
598. Ferrara S«, van Nieuwenhuizen P. Tensor calculus for supergravity II
Phys. Lett. В.— 1978.— Vol. 76, N 5.— P. 404—408.
599. Breilenlohner P., Sohniu/S M. Ft Superfields auxiliary fields and
tensor calculus for N = 2 extended supergravity II Nucl. Phys. B.— 1980.—
Vol. 165,, N 3.- P. 483-510.
600. Zheng Y.-Y4 Higashjtjima It, Uematsu T. Tensor calculus and super-
Higgs effect in three dimensional ЛГ = 1 supergravity theories // J.
Xiamen Univ. (China).— 1984.—Vol. 23, N 3.—P. 318—323.
601. Uemetsu T. Structure of N = 1 conformal and Poincare supergravity in
1+1 and 2 + 1 dimensions / Z. Phys. C—1985.— Vol. 29, N 1.—
P. 143—146.
602. Yamagishi K. Kahler gauge dependence of generalised non-linear a-mo-
del with local complex supersymmetry in 1 + 1 dimensions I/ Ann. Phys.
(USA).- 1983.- Vol. 150, N 2.- P. 439-454.
603. van Holten J. W. Multiplet calculus and compensating fields in D = 2
conformal supergravity // Nucl. Phys. В.—1986.— Vol. 277, N 2.—
P. 429-455.
604. de Wit В., van Nieuwenhuizen P. Rigidly and locally supersymmetric
two-dimensional nonlinear o-models with torsion / Nucl. Phys. B.—
1989.- Vol. 312, N 1.— P. 58-94.
605. Gliozzi F4 Scherk J., Olive D. Supersymmetry, supergravity theories and
the dual spinor model // Nucl. Phys. В.— 1977.—Vol. 122, N 2.—P. -253—
290.
606. Bergshoeff E., Sezgin E., Nisbino H. (8,0) Locally supersymmetric sig-
ma-models with conformal invariance in two dimensions / Phys.
Lett В.— 1987.— Vol. 186, N 2.— P. 167—172.
607. Ketov S. V., Soloviev 0< A. Anomalies of the heterotic a-model in a
curved superspace of the two-dimensional (1,0) supergravity and the
heterotic string effective action // Phys. Lett. В.—1989 —Vol. 232, N 1.—
P. 75-82.
608. Ketov S. V., Kuzenko S. M4 Soloviev O. A» Anomalies of the heterotic
sigma-models in a curved (1,0) superspace: Report at the Intern.
Workshop on High Energy Physics, ICTP, Trieste, Italy, July 12—14,
1989.— 14 p.
609. Кетов С. В., Кузевко С М., Соловьев О. А. Коварвавтвые методы ис-
следоваппя нелокальной структуры эффективного действия для гете-
ротической о-модели в искривленном (1,0) суперпростравстве.— Томск,
1989.—27 с— (Препринт/ТНЦ СО АН СССР, № 52).
610. Кетов С. В., Соловьев О. А Метод фонового поля для гетеротической
а-моделп в искривленном (1,0) суперпростравстве // Ядерв. физика.—
1989.—Т. 50, вып. 5 —С. 1458—1466.
232

611. Кетов С. В., Соловьев О. А. Аномалии гетеротической а-моделп в
суперпространстве двумерной (1,0) супергравитации II Ядерн. физика.—
1990.-Т. 51, вып. 1.- С. 283-291.
612. Witten Е., Bagger J. Quantization of Newton's constant in certain super-
gravity theories // Phys. Lett. В.—1982 —Vol. 115, N 2.—P. 202—206.
613. Abdalla E., Jasinschi R. S. Non-linear sigma-model in 1 + 1 dimensions,
supergravity and the spinning string / Nucl. Phys. В.— 1984 — Vol. 232,
N 2.— P. 426—444.
614. Penrose R, Rindler W. Spinoffs and space-time.— Cambridge e. a.:
Cambridge Univ. Press, 1987.— 970 p.
615. Nemeschansky D., Yankielowicz S. Critical dimensions of string theories
in curved space / Phys. Rev. Lett— 1985.— Vol. 54, N 7.— P. 620—623.
616. Hull C. M., Witten E. Supersymmetric sigma-models and the heterotic
string И Phys. Lett. В.— 1985.— Vol. 160, N 4 — P. 398—402.
617. Sen A. Heterotic string in an arbitrary background field / Phys.
Rev. D.— 1985.—Vol. 32, N 8 —P. 2102—2112.
618. Hull С. М. Non-linear sigma-models and heterotic strings.—Cambridge,
England, 1985.— 13 p.— (Preprint/DAMTP).
619. Hull С. М. Compactifications of the heterotic superstring.—Cambridge,
England, 1986 — 19 p.— (Preprint/DAMTP).
620. Sen A. Local gauge and Lorentz invariance of the beterotic string
theory / Phys. Lett. В.— 1986.— Vol. 166, N 3.— P. 300—304.
621. Hull C. M., Townsend P. K. World-sheet supersymmetry and anomaly
cancellation in the heterotic string // Phys. Lett. В.— 1986.— Vol. 178,
N 2-3.— P. 187—192.
622. Henty J. C, Hull C. M., Townsend P. K. World-sheet supengravity
anomaly cancellation for the heterotic string in a ten-dimensional
supergravity background / Phys. Lett. В.— 1987 — Vol. 185, N 1-2.— P. 73—78.
623. Hamada R4 Kodaira J4 Saito J. Gauge invariance and sigma-model for the
heterotic string //. Mod. Phys. Lett. A.—1987.— Vol 2„ N 6.— P. 429—435.
624. Sen A. Heterotic string theory on Calabi —Yau manifolds // Nucl.
Phys. В.— 1987.— Vol. 284, N 2.— P. 423—448.
625. Hamada R- Kodaira J- Saito J. Heterotic string in background gauge
fields H Nucl. Phys. В.- 1988.— Vol. 297/. N 2-3.- P. 637-652.
626. Hull С. Мч Townsend P. K. String effective actions from sigma-model
conformal anomalies // Nucl. Phys. В.— 1988 — Vol. 301, N 2.— P. 197—
223.
627. Кетов С. В., Соловьев О. А. Аномалии гетеротической о-модели в
суперпространстве двумерной (1,0) супергравитации.—Томск, 1989.—40 с—
(Препринт/ТНЦСО АН СССР, № И).
628. Sakamoto M. N = 1/2 supersymmetry in two dimensions / Phys.
Lett. В.— 1985.—Vol. 151, N 2.—P. 115—118.
629. Brooks R., Muhammad F4 Gates S. J. Unidexterious D = 2
supersymmetry in superspace // Nucl. Phys. Ц.— 1986.— Vol., 268, N 3-4.— P. 599—
620.
630. Brooks R^ Muhammad F., Gates S. J. Extended D = 2 supergravity
theories and their lower superspace realizations / Class. Quantum Grav.—
1988.— Vol. 5, N 5.— P. 785—805.
631. Gates S. J., Grisaru M. Т., Mezincescu L., Townsend P. K. (ifi) Super-
gravity / Nucl. Phys. В.— 1987.— Vol. 286, N 1.— P. 1—26.
632. Evans M..J Louis J., Ovrut B. A. (1,0) Supergravity ^and the heterotic
string // Phys. Rev. D.— 1987.— Vol. 35, N 10.— P. 3045—3059.
633,. Frencel I. B», Kac V. G. Basic representations of affine Lie algebras and
dual resonance models // Inv. Math.—1980.—Vol. 62, N 1 —P. 23—66.
634. Segal G. Unitary representations of some infinite dimensional groups //
Commun. Math. Phys.—1981.—Vol. 80, N 3.—P. 301—342.
635. Ellwanger U., Fuchs J., Schmidt M. G. The heterotic ст-model with
background gauge fields // Nucl. Phys. В.— 1989.— Vol. 314, N 1.— P. 175—
208.
636. Adler S. Axial-vector vertex in spinor electrodynamics // Phys. Rev.—
1969.— Vol. 177, N 10.— P. 2426—2438.
233

637. Bell J. S.< Jackiw R. A PCAC puzzle: я-*"П In the a-model // Nuovo
Cim.— 1969.— Vol. 60, N 1.— P. 47—61.
638. Christensen S. M., Duff M. J. Axial and conformal anomalies for
arbitrary spin in quantum gravity and supergravity / Phys. Lett. В.—1978.—
Vol. 76, N 5.— P. 571—574.
639. Duff M. J. Observations on conformal anomalies // Nucl. Phys. В.—
1977.- Vol. 215, N 2.- P. 334-348.
640. Alvarez-Gaume L., Witten E. Gravitational anomalies // Nucl. Phys. B.—
1983 — Vol. 234, N 2.— P. 269—330.
641. Zumino В., Wu Y. S., Zee A. Chiral anomalies, higher dimensions and
differential geometry // Nucl. Phys. В.— 1984.— Vol. 239, N 2.— P. 477—
507.
642. Морозов А. Ю. Аномалии в калибровочных теориях / Успехи фпз.
наук.— 1986.— Т. 150, вып. 3.— С. 337—416.
643. Кетов С. В. Аномалии шестимерпых калибровочных теорий // Ядерн.
физика.—1988.—Т. 47, вып. 5.—С. 1484—1494. ■ ."
644. Кстов С. В. О топологическом значении аномалий в калуца-клейнов-
ских теориях поля / Изв. вузов. Математика.—1989.— № 8.—
С. 31-38.
645. Ketov S. V. Anomalies of six-dimensional gauge theories / Proc. Intern,
Europhys. Conference on High Energy Physics, Uppsala, Sweden, June
25 — July 1, 1987.— Uppsala: Uppsala Univ., 1988.— P. 1047.
646. Wess Jf Zumino B. Consequences of anomalous Ward identities // Phys.'
Lett. В.— 1971.—Vol. 37, N 1 —P. 95—97.
647. Tseytlin A. A. Conformal anomaly in a two-dimensional sigma.-model on
a curved background and strings // Phys. Lett. В.— 1986.— Vol. 178,
N 1.— P. 34—40.
648. Shore G. M. A local renormalization group equations, diffeomorphisms
and conformal invariance in sigma models // Nucl. Phys. B.— 1987.—
Vol. 286, N 2.— P. 349—377.
649. Tseytlin A. A. Sigma-model Weyl invariance conditions and string
equations of motion II Nucl. Phys. В.—1987.—Vol. 294, N 2 —P. 383—411.
650. Osborn H. Renormalization and composite operators in non-linear o-mo-
dels / Nucl. Phys. В.— 1987.— Vol. 294, N 2 — P. 595-620.
651. Osborn H. String theory effective actions from bosonic a-models / NucL
Phys. В.— 1988.— Vol. 308, N 2-3 — P. 629—661.
652. Curci G., Paffuti G. Consistency between the string background field
equations of motion and the vanishing of the conformal anomaly // Nucl.
Phys. В.— 1987.— Vol. 286, N 4 — P. 399—408.
653. Niedermaier M. An exact identity for a-model renormalization (5-fun-
ctions / Phys. Lett. В.— 1988.— Vol. 207, N 2— P. 145—150.
654. Brustein R., Nemescbansky D., Yankielowicz S. Beta-functions and S-mat-
rax in string theory / Nucl. Phys. В.— 1988.— Vol. 301, N 2.— P. 224—
246.
655. Bergsboeff E., de Roo M., de Wit В., van Nieuwenhuizen P.
Ten-dimensional Maxwell — Einstein supergravity, its currents, and the issue of its
auxiliary fields // Nucl. Phys. В.—1982.—Vol. 195, N l.-iP. 97—136.
656. Chapline G. F., Manton N. S. Unification of Yang — Mills theory and
supergravity in ten dimensions // Phys. Lett. В.— 1983.— Vol. 120, N 1-3.—
P. 105—109.
657. Bellucci S. О (a') conformal anomaly and string theory effective action
for a-models with torsion / Progr. Theor,. Phys.— 1988.— Vol. 79, N 6.—
P. 1288—1292.
658. Chern S. S., Simons J. Characteristic terms and geometric invariants //
Ann. Math.— 1974.— Vol. 99, N 1.— P. 48—69.
659. Kwon Y. H., Panigrahl P. Chern-Simons term in heterotic string
theories.—Rochester, 1987.— 14 p.— (Preprint/RU-1080).
660. Grisaru M. Т., Milewski В., Zanon D. Superconformal anomalies and the
Adler — Bardeen theorem // Supersymmetry and its Applications: Super-
strings, Anomalies and Supergravity: Proc. Intern. Workshop, Cambridge,
June 23 — July 14, 1985.— Cambridge e. a.: Cambridge Univ. Press, 1986.—
P. 61—62.
234

661. Adler S. L., Bardeen W. A, Absence of higher order corrections in the
anomalous axial-vector divergence equation II Phys. Rev.—1969.—
Vol. 182, N 7.- P. 1517-1526.
662. De Groot M., Mansfield P. The relationship between the canonical super-
Virasoro and the functional super-Weyl anomalies II Phys. Lett. В.—
1988.- Vol. 202,, N 4.— P. 519—524.
663. Bellucci S. Order a13 effective action of superstring theory // Z. Phys. C—
1987.- Vol. 36, N 2.- P. 229-233.
664. Foakes A. P., Mohammcdi N., Ross D. A. Effective action and (5-functions
for the heterotic siting // Phys. Lett. В.—1988.—Vol. 206, N 1.—
P. 57—61.
665. Grisaru M. T4 Zanon D. Dilaton B-function on a Kahler manifold / Phys.
Lett. В.— 1987.— Vol. 184, N 2-3.— P. 209—216.
666. Zanon D. Superstring effective actions and the central charge of the
Virasoro algebra on a Kahler manifold // Phys. Lett. В.—1987.—
Vol. 186, N 3-4.— P. 309—312.
667. Бухбпндер И. Л., Кузенко С. М., Соловьев О. А. Эффективное действие
и супергравптацпоппые аномалии (р, q) о-моделей в (1,0)
суперпространстве / Ядерп. физика.— 1989.— Т. 49, вып. 5.— С. 1466—1476.
668. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization // Phys.
Rev.— 1951.— Vol. 82, N 4.— P. 664-679.
669. De Witt B. S. Quantum theory of gravity. I—III // Phys. Rev.— 1967.—
Vol. 160, N 6.—P. 1113—1148; Vol. 162, N 7.—P. 1195—1256.
670. De Witt B. S. Dynamical Theory of Groups and Fields.—N. Y.: Gordon
and Breach Book Сотр., 1964— 248 p.
671. De Witt B. S. The Space-Time Approach to Quantum Field Theory //
Relativite. Groups et Topologie, II. Les Houches, 1983.— Amsterdam e. a.:
Elsevier Publ., 1984.— P. 381—738.
672. Randjbar — Daemi S., Salam A., Strathdee J. a-Model's string theories //
Intern. J. Mod. Phys. A.— 1987 — Vol. 2, N 3.— P. 667—693.
673. Gross D. J., Wilczek F„ Ultraviolet behaviour of non-Abelian gauge
theories / Phys. Rev. Lett.— 1973.— Vol. 30, N 26 — P. 1343-1346.
674. Politzer H. D. Reliable perturbative results for strong interactions? /
Phys. Rev. Lett.— 1973 — Vol. 30, N 26.— P. 1346—1346.
675. Воронов Б. Л., Тютин И. В. Модели асимптотически свободных массив-
пых полей / Ядерн. физика.— 1974.— Т. 23, вып. 3.—С. 664—675.
676. Fradkin E. S., Kalashnikov О. К. Asymptotically free SU(5) model of
unified interactions // Phys. Lett. В.— 1976.— Vol. 64, N 2.— P. 177—180.
677. Желопкип А. В., Коган Я. И, Тер-Мартиросян К. А. Асимптотически
свободные модели «большого объединения» 5^(5) / Ядерн. физика.—
1981.—Т. 34, вып. 6.—С. 1630—1639.
678. Fradkin E. S., Tseytlin A. A. Asymptotical freedom in extended confor-
mal supergravities // Phys. Lett. В.—1982 —Vol. 110, N 2.—P. 117—
122.
679. Fradkin E. S., Tseytlin A. A. Renormalizable asymptotically free quantum
theory of gravity / Nucl. Phy* В.— 1982.— Vol. 201, N 2.— P. 469—491.
680. Fradkin E. S., Tseytlin A. A. Conformal supergravity // Phys. Rep.—
1985—Vol. 119, N 4-5 —P. 233—362.
681. Stelle K. S. Renormalizalion of higher-derivative quantum gravity // Phys.
Rev. D,— 1977.— Vol. 16, N 4 — P. 953—969.
682. Salam A., Strathdee J. Remarks on high energy stability and renormali-
zation of gravity theory // Phys. Rev. D.—1978.— Vol. 18, N 12.—
P. 4480—4486.
683. Tomboulis E. Renormalization and asymptotical freedom in quantum
gravity / Nucl. Phys. В.— 1980.— Vol. 97, N 1.— P. 77—80.
684. Tomboulis E. T. Rcnormalization and asymptotical freedom in quantum
gravity t// Quantum Theory of Gravity.— Bristol:! Adam Hilger Publ.
Сотр., 1984.— P. 251—266.
685. Boulware D. G. Quantization of higher derivative theories of gravity /
Quantum Theory of Gravity—Bristol: Adam Hilger Publ. Сотр., 1984.—
P. 267—294.
235

686. Воронов Б. Л., Тютип И. В. О перенормировке Я2-гравитации // Ядерн
tn3HKa.— 1984.—Т. 39, вып. 4.— С. 998—1010.
vramidi I. G4 Barvinsky А. О. Asymptotical freedom in higher
derivative quantum gravity / Phys. Lett. В.— 1985.— Vol. 159, N 4-6— P. 269—
274.
688. Аврамиди И. Г. Асимптотическое поведение квантовой теории
гравитации с высшими производными / Ядерн. физика.—1986.— Т. 44,
вып. 1.— С. 255—263.
689. Antoniadis 1-, Tomboulis E. Т. Gauge invariance and unitarity in higher
derivative quantum gravity // Phys. Rev. D.— 1986.— Vol. 33, N 10.—
P. 2756—2779.
690. Johnston D. A. Sedentary ghost poles in higher derivative gravity // Nucl.
Phys. В.— 1988.— Vol. 297, N 3.— P. 721—732.
691. Бухбиндер И. Л., Кетов С. В. Перенормировка четырехмерной
нелинейной сигма-модели с высшими производными.— Томск, 1986.— 47 с.—
(Препринт/ТФ СО АН СССР, Яг 42).
692. Бухбиндер И. Лч Кетов С. В. Однопетлевой контрчлен для
четырехмерной сигма-модели с высшими производными / Теор. и матем.
физика.— 1988.— Т. 77, Яг 1.— С. 42—50.
693. Buchbinder I. Lj Ketov S. V. The fourtbAorder non-linear sigma-models
and asymptotic freedom in four dimensions // Fortschr. Phys.—1990.—
Vol. 38, N 12.- P. 1448-1473.
694. Дериглазов А. А., Кетов С. В. Суперсимметричиая нелинейная сигма-
модель с высшими производными в d=»4.— Томск, 1987—43 с—
(Препринт /ТФ СО АН СССР, Яг 5).
695. Дериглазов А А», Кетов С. В. Суперсимметричная четырехмерная
нелинейная сигма-модель с высшими производными // Гравитация и
фундаментальные взаимодействия.— М.: Изд-во Уп-та дружбы народов,
1988.— С. 39—40.
696. Дериглазов А. А., Кетов С. В. Перенормировка N = 1
суперсимметричной четырехмерной нелинейной сигма-модели с высшими
производными / Теор. и матем. физика.—1988.—Т. 77, Яг 2.—С. 224—233.
697. Дериглазов А. А., Кетов С. В. Компонентное действие и однопетлевой
контрчлен для N =а 2 суперсимметричной нелинейной о-модели с
высшими производными в ii = 4 / Изв. вузов. Физика.—1989.— Т. 32,
Яг 7.—С. 112—ИЗ.
698. Дериглазов А. А., Кетов С. В. Однопетлевая перенормировка
четырехмерных а-моделей с учетом обобщенных членов Скирма и Весса — Зу-
мино —Виттепа // Изв. вузов. Физика.— 1990.—Т. 33, Яг 1.—С. 23—29.
699. Barvinsky А. О., Vilkovisky G. A. The generalized Schwinger — de Witt
technique in gauge theories and quantum gravity // Phys. Rep.— 1985.—
Vol. 119, N 1.—P. 1—74.
700. Hasenfratz P. Four-dimensional asymptotically free non-linear a-mo-
dels // Nucl. Phys. В.— 1989.— Vol. 321, N 1.— P. 139—162.
701. Theisen S. Forth-order supergravity ■/ Nucl. Phys. В.— 1986.— Vol. 263,
N 4.— P. 687—708.
702. Бухбпидер И. Л. Расходимости эффективного действия во внешнем
суперкалибровочном поле // Ядерн. физика.— 1982.— Т. 36, вып. 2.—
С. 509—512.
703. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Mattel] superfields in external super-
gravity: Green functions, effective action and superconformal
anomalies // Nucl. Phys. В.— 1986.— Vol. 274, N 3-4 — P. 653—684.
704 Кетов С. В. Новая конечная N = 2 суперсимметричная сигма-модель с
высшими производными в размерности четыре // Изв. вузов. Физика.—
1990.— Т. 33, Яг 4.— С. 85—92.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5-
Глава 1. Бета-фупкцпи реиормализационной группы для бозопиых
двумерных нелинейных сигма-моделей и низкоэнергетическое
эффективное действие для замкнутых струн 17
1.1. Действие двумерной нелинейной сигма-модели с кручением
1.2. Ковариантный метод фопового поля 20
1.2.1. Фоново-квантовое разложение действия и квантовый
фоновый функционал —
1.2.2. Регуляризация и квантовые неоднозначности в бета-
функциях ренормализационной группы —
1.3. Бета-функции двумерной нелинейной сигма-модели с
кручением 32
1.3.1. Однопетлевые расходимости и уравнения
ренормализационной группы —
1.3.2. Двухпетлевые бета-функции нелинейной
сигма-модели и низкоэнергетическое эффективное действие для
струн 34
1.3.3 Трехпетлевые вычисления 41
1.4. Производящий функционал древесных струнных амплитуд
рассеяния гравитонов и нелинейная сигма-модель ... 52
1.5. Дуальность в двумерной модели Фридмана — Таунсепда 5S
1.5.1. Дуальность в двумерных нелинейных сигма-моделях —
1.5.2. Двумерный аналог (сигма-модель) теории
Фридмана— Таунсенда: геометрия и двухпетлевые бета-
функции 57
Глава 2. N = 1 суперсимметричные нелинейные сигма-модели
с кручением 62:
2.1. Классическое действие и ковариантное фоново-квантовое
разложение —
2.1.1. Суперсимметрия и нелинейные сигма-модели ... —
2.1.2. Соглашения и обозначения в двумерном N=1
суперпространстве 63
2.1.3. Действие в суперпространстве и в компонентах 64
2.2. Суперсимметричные бета-функцки 67
2.2.1. Однопетлевые вычисления —
2.2.2. Двухпетлевые вычисления 68
2.2.3. Трехпетлевые вычисления 70
2.3. Четырехпетлевые расходимости N = I суперсимметричных
двумерных нелинейных сигма-моделей с членом Весса —
Зумино — Виттена 72:
2.3.1. Приведение четырехпетлевых суперграфов ... —
2.3.2. Фоновая зависимость четырехпетлевой
суперсимметричной бета-функцки на групповом многообразии 7&
2.3.3. Квантовые неоднозначности и противоречивость
(суперсимметричной) размерной регуляризации
посредством размерной редукции на четырехпетлевом уровне 80
2.4. Компактификация суперструн на однородных
пространствах 83.

2.5. l/W-разложение для четырехмерной суперсимметричпой
U(N) -нелппейпой сигма-моделв и пепертурбатнвиая
нестабильность вакуума в пределе N-*-ao- . ._ 89
2.5.1. Построение лагранжиана модели —
2.5.2. l/iV-разложение 91
Глава 3. Расширенная суперсимметрия и нелинейные сигма-модели "3
3.1. Геометрия нелииейпых сигма-полей —
3.2. Самодействие N = 2 вещественного кирального суперполя
в d = 4 и ультрафиолетовая конечность N = 4 двумерных
нелинейных сигма-моделей (с кручением), полученных
размерной редукцией 97
3.2.1. N = 2 киральное вещественное суперполе в d = 4 —
3.2.2. Размерная редукция в d = 2 99
3.2.3. Лагранжиан модели 100
3.2.4. Ультрафиолетовая конечность функций Грипа . . Ю2
3.2.5. Неперенормируемость супер-Ф3 теории для N = 2
вещественного кирального суперполя в d = 4 . Ю5
3.3. Самодействие обобщенных тензорных N = 2 супермульти-
плетов в d = 4 и конечные кватерниопно-келеровы /V = 4
суперсимметричные нелинейные сигма-модели в d = 2 Ю7
3.3.1. Тензорная ЛГ = 2 материя в ЛГ=»2, d=>4
суперпространстве
3.3.2. Редукция в N = I суперпространство и
компонентные вычисления НО
3.3.3. Преобразования дуальности, суперполевые и
компонентные действия для модели Линдстрема — Рочека Н4
3.3.4. N = 2 суперполевая теория возмущений . . . . И8
3.3.5. N = 2 тензорные суперполя а N = 2 гармоническое
суперпространство 122
3.3.6. Калибровочно-инвариантное самодействие N = 2
тензорной материи в N = 2 суперпространстве . . 123
3.4. Скалярный потенциал в четырехмерной N = 2
супергравитации с N = 2 тензорной материей <■ "7
3.4.1. Суперконформное тензорное исчисление в JV=2
супергравитации ~~
3.4.2. Структура скалярного сектора 130
Глава 4. Аномалии локально суперснмметричпых двумерных
нелинейных сигма-моделей 136
4.1. Фермиевские струны в искривленном (евклидовом)
пространстве-времени с кручением —
4.1.1. N = 1 локально суперсимметричные двумерные
нелинейные сигма-модели с кручением —
4.1.2. N = 2 локально суперсимметричные двумерные
нелинейные сигма-модели с кручением 1^1
4.1.3. (Супер)конформные аномалии, критические
размерности и низкоэпергетическое (супер) струнное
эффективное действие 146
4.2. Аномалии гетеротической двумерной нелинейной сигма-
модели в суперпространстве двумерной (1, 0)
супергравитации 153
4.2.1. Соглашения и обозначения в (1, 0) суперпространстве —
4.2.2. Метод фонового поля для гетеротической
сигма-модели в искривленном (1, 0) суперпрострапстве . . 158
4.2.3. Супергравитационные и суперконформные аномалии
гетеротической сигма-модели. Однопетлевые
вычисления 1"5
4.2.4. Двухпетлевые поправки в аномалию и ведущие
члены в низкоэнергетическом эффективном действии
гетеротической струны 168
4.2.5. Трехпетлевые поправки в суперконформную
аномалию 171

4.2.6. Пятппетлевые результаты в гравптацпоппом и япг-
миллсовском секторах 174
4.3. Ковариаптные методы вычисления квантового
эффективного действия для гетеротической сигма-модели в
искривленном (1, 0) суперпрострапстве 177
4.3.1. Техппка собствеппого времени в (1, 0) суперпро-
стравстве —
4.3.2. (1, 0) Ковариаптпые суперграфы 180
4.3.3. Нелокальное квантовое эффективное действие . . . 183
Глава 5. Четырехмерные нелинейные сигма-модели с высшими
производными четвертого порядка 186
5.1. Бозонная нелинейная сигма-модель с высшими
производными четвертого порядка в d = 4 —
5.1.1. Построение действия —
5.1.2. Коиариантный метод фонового поля 188
5.1.3. Одпопетлевой ковариантный контрчлен .... 189
5.1.4. Мультипликативно перенормируеман модель . 191
5.2. Четырехмерные N = 1 суперсимметрпчпые нелинейные
сигма-модели с высшими производными четвертого порядка 193
5.2.1. Построение действия в суперпрострапстве .... —
5.2.2. Вычисление коварпаптпого однопетлевого коптрчлена 196
5.2.3. Мультипликативно перенормируемая модель и
асимптотическая свобода 201
5.3. N = 2 суперсимметричные нелинейные сигма-модели с
высшими производными в d = 4 203
Список литературы 208

Научное издание
Кетов Сергей Владимирович
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИГМА-МОДЕЛИ
В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
И ТЕОРИИ СТРУН
Редактор издательства Л. В. Филиппова
Художник Н. Л. Пискун
Художественный редактор Л. В. Матвеева
Технический редактор С. А. Смородинова
Корректор II. П. Комписенко
ИБ М> 42883
Сдано в набор 22.07.91. Подписано к иечати 08.06.92. Формат 60x90Via. Бумага
типографская. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл. печ. л. 15. Усл.
кр.-отт. i5. Уч.-изд. л. 16,5. Тираж 585 экз. Заказ }й 886. С145.
•Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука». Сибирское отделение
630099 Новосибирск, ул. Советская, 18.
4-я типографии издательства «Наука». 630077 Новосибирск, ул. Станиславского, 25