Классические калибровочные поля. Теории с фермионами. Некоммутативные теории - Рубаков В.А.

Author: Рубаков В.А.

Tags: физика теоретическая физика квантовая теория поля квантовая физика

ISBN: 5-484-00140-4

Year: 2005

Similar

Классические калибровочные поля: Бозонные теории

Калибровочные поля и струны

Квантовая теория поля в двух словах

Калибровочные поля

Text

r.
. А. Рубаков
КЛАССИЧЕСКИЕ
КАЛИБРОВОЧНЫЕ
ПОЛЯ
ионами
С^^екоммутативные теории
URSS

В. А. Рубаков
КЛАССИЧЕСКИЕ
КАЛИБРОВОЧНЫЕ
ПОЛЯ
Теории с фермионами
Некоммутативные теории
Издание второе,
исправленное и дополненное
МОСКВА
URSS

ББК22.314я73 22.311
Рубеков Валерий Анатольевич
Классические калибровочные поля: Теории с фермионами. Некоммутативные
теории: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. — М.: КомКнига, 2005.
240 с.
ISBN 5-484-00140-4
В основу книги положен курс лекций, прочитанный студентам 3-го и 4-го
курсов физического факультета МГУ, специализирующимся в области теорети-
теоретической физики.
В первой части книги рассматриваются разнообразные эффекты, кото-
которые обусловлены взаимодействием фермионов с топологическими объектами,
возникающими в теориях скалярных и калибровочных полей — солитонами,
инстантонами и сфалеронами.
Во второй части изложен менее традиционный материал о классических
теориях поля на некоммутативных пространствах и о солитонах в таких теориях.
Книга содержит Дополнение, где кратко обсуждаются роль инстантонов
как седловых точек евклидова функционального интеграла в квантовой теории
поля и некоторые связанные с этим вопросы.
Излагаемый материал можно изучать параллельно с изучением квантовой
механики, а затем квантовой теории поля. В связи с этим книга должна быть
полезна как научным работникам и аспирантам, так и студентам старших курсов
университетов.
Настоящая книга является второй частью монографии,
выходившей первым изданием под названием:
Рудаков В. А. Классические калибровочные поля. М.: URSS, 1999.
Издательство «КомКнига». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Подписано к печати 09.06.2005 г. Формат 60x90/16. Бумага типографская.
Печ. л. 15. Зак. № 109.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД». 117312, г.Москва, пр-т 60-летия Октября, д.ПА, стр.11.
ISBN 5-484-00140-4
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс: 7 @95) 135-42-16
URSS Тел./факс: 7 @95) 135-42-46
В.А.Рубаков, 1999,2005
КомКнига, 2005
2645 Ю 28949

Оглавление
Предисловие ко второму изданию 5
Предисловие к первому изданию 6
Часть I
Солитоны, инстантоны и сфалероны.
Теории с фермионами 8
Глава 1. Фермионы во внешних полях 8
1.1. Свободное уравнение Дирака 8
1.2. Решения свободного уравнения Дирака. Море Дирака .... 14
1.3. Фермионы во внешних бозонных полях 19
1.4. Фермионный сектор Стандартной модели 29
Глава 2. Фермионы и топологические внешние поля
в двумерных моделях 38
2.1. Дробление заряда 38
2.2. Пересечение уровней и несохранение
фермионных квантовых чисел 44
Глава 3. Фермионы в полях солитонов и струн
в четырехмерном пространстве-времени 57
3.1. Фермионы в поле монополя: целый угловой момент
и дробление фермионного числа 57
3.2. Рассеяние фермионов на монополе: несохранение
фермионных чисел 64
3.3. Нулевые моды в поле вихря: сверхпроводящие струны .... 68
Глава 4. Несохранение фермионных чисел
в четырехмерных неабелевых теориях 77
4.1. Пересечение уровней и евклидовы нулевые
фермионные моды 78
4.2. Нулевая фермионная мода в поле инстантона 82
4.3. Правила отбора 88
4.4. Электрослабое несохранение барионного
и лептонных чисел при высоких температурах 94
4.5. Классический аналог аномального несохранения
барионного числа: инстантонный распад скирмиона 96

Оглавление
Гпава 5. Мир на бране 104
5.1. Модель с доменной стенкой 105
5.2. Локализованные фермионы 109
5.3. Скалярные поля на бране 111
5.4. Особенности локализации калибровочных полей 114
Дополнительные задачи к части I 117
Часть II
Некоммутативные теории поля
и некоммутативные солитоны 121
Гпава 6. Скалярные поля и солитоны на некоммутативной плоскости . . 121
6.1. Скалярное поле на некоммутативной плоскости 122
6.2. Солитоны в скалярных теориях 133
Гпава 7. Некоммутативные калибровочные теории 145
7.1. Общая конструкция 145
7.2. Калибровочная теория на некоммутативном R2n
как матричная модель 151
Гпава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях 157
8.1. Солитоны в U(l)-теории. Локализация калибровочных
полей на солитоне 157
8.2. Обобщение многовортонного решения. Кулоновекая фаза . . 167
8.3. Метод генерации решений 169
8.4. Вихрь. Хиггсовская фаза калибровочной теории
на солитоне 172
8.5. Квазилокализация скалярного поля на вихре 179
8.6. Некоммутативный инстантон 185
8.7. Инстантоны нулевого и малого размера.
Локализация и квазилокализация калибровочных полей ... 194
8.8. Соответствие D-бранам теории струн 199
Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл .... 203
Д.1. Распад ложного вакуума в формализме
функционального интеграла 203
Д.2. Инстантонные вклады в функции Грина фермионов 211
Д.З. Инстантоны в теориях с механизмом Хигтса.
Интегрирование вдоль долин 217
Д.4. Растущие инстантонные сечения 222
Литературные указания 228
Предметный указатель 235

Предисловие ко второму изданию
Эта книга, вместе с публикуемой параллельно книгой «Классиче-
«Классические калибровочные поля. Бозонные теории», является переработанной
и расширенной версией книги «Классические калибровочные поля» (М.:
УРСС, 1999).
По замыслу автора, книга должна быть доступна студентам старших
курсов, специализирующимся в области теоретической физики. Соответ-
Соответственно, чтение этой книги не требует глубокого знания квантовой теории
поля. В то же время, с самого начала предполагается, что читателю извест-
известны классическая и квантовая механика, специальная теория относитель-
относительности и классическая электродинамика, а также результаты, относящиеся
к классической теории бозонных (скалярных и калибровочных) полей.
В частности, предполагается, что читатель знаком с такими объектами бо-
бозонных теорий, как доменные стенки, вихри, монополи, евклидовы пузы-
пузыри и инстантоны. Эти объекты подробно рассматриваются в книге «Клас-
«Классические калибровочные поля. Бозонные теории», в дальнейшем имену-
именуемой «книга I». Там, где это совершенно необходимо, на книгу I имеются
ссылки, но в основном материал можно изучать без обращения к книге I.
В первой части данной книги рассматриваются разнообразные эф-
эффекты, которые обусловлены взаимодействием фермионов с топологиче-
топологическими объектами, возникающими в теориях скалярных и калибровочных
полей — солитонами, инстантонами и сфалеронами. Во второй части
изложен менее традиционный материал о классических теориях поля
на некоммутативных пространствах и о солитонах в таких теориях. Эта
часть основана на курсах лекций, прочитанных в Институте ядерных
исследований РАН (Москва), Институте теоретической и эксперимен-
экспериментальной физики (Москва) и Университете г. Лозанны.
Подготовка этой книги во многом опиралась на всестороннюю
помощь и многочисленные советы Ф. Л. Безрукова, Д. С. Горбуно-
Горбунова, Д. Ю. Григорьева, С. В. Демидова, С. Л. Дубовского, Д. Г. Левкова,
М. В. Ливанова, Э. Я. Нугаева, Г. И. Рубцова, Д. В. Семикоза, С. М. Сиби-
рякова, П. Г. Тинякова, С. В. Троицкого и Д. Т. Шона; всем им я искренне
благодарен. Хотелось бы поблагодарить А. Ю. Морозова и М. Е. Шапош-
Шапошникова за приглашения прочитать курсы лекций в ИТЭФ и Университете
г. Лозанны, соответственно.

Предисловие к первому изданию
В основу этой книги положен курс лекций, читавшийся в течение
ряда лет на кафедре квантовой статистики и теории поля физического
факультета Московского государственного университета студентам 3-го
и 4-го курсов, специализирующимся в области теоретической физики.
Традиционно теория калибровочных полей включается в курсы кван-
квантовой теории поля. Однако многие понятия и результаты калибровочных
теорий появляются уже на уровне классической теории поля, что делает
возможным и полезным их изучение параллельно с изучением кванто-
квантовой механики. Соответственно, чтение первых десяти глав этой книги
не требует знания квантовой механики, в главах 11-13* используются
представления и методы, излагаемые обычно в начале курса кванто-
квантовой механики, и лишь для чтения последующих глав необходимо знание
квантовой механики в полном объеме, включая уравнение Дирака. Сколь-
Сколько-нибудь подробное знакомство с квантовой теорией поля для чтения
основного текста не обязательно. В то же время, с самого начала пред-
предполагается, что читателю известны классическая механика, специальная
теория относительности и классическая электродинамика.
Первая часть этой книги содержит изложение основных идей теории
калибровочных полей, построение калибровочно инвариантных лагран-
лагранжианов и описание спектров линейных возбуждений, в том числе над не-
нетривиальным основным состоянием. Вторая часть посвящена построению
и интерпретации решений, существование которых целиком обусловле-
обусловлено нелинейностью уравнений поля, — солитонов, «евклидовых пузырей»
и инстантонов. В третьей части рассматриваются некоторые интересные
эффекты, возникающие при взаимодействии фермионов с топологиче-
топологическими скалярными и калибровочными полями.
Книга содержит Дополнение, где кратко обсуждается роль инстанто-
инстантонов как седловых точек евклидова функционального интеграла в кванто-
квантовой теории поля и некоторые связанные с этим вопросы. Цель Допол-
Дополнения — дать первоначальное представление об этом довольно сложном
аспекте квантовой теории поля; изложение в нем схематично и никоим
образом не претендует на полноту (например, мы полностью оставляем
в стороне важные вопросы, касающиеся суперсимметричных калибровоч-
калибровочных теорий). Для чтения Дополнения необходимо знакомство с квантовой
теорией калибровочных полей.
Разумеется, большинство вопросов, затронутых в этой книге, так или
иначе рассматривается в имеющихся монографиях, учебниках и обзорах
В нынешнем издании это главы 11-13 книги I.

Предисловие к первому изданию
по квантовой теории поля, далеко не полный перечень которых поме-
помещен в конце книги. В определенном смысле эта книга может служить
введением в предмет.
В книге содержатся два математических отступления, где кратко,
без претензии на полноту или математическую строгость излагаются
элементы теории групп и алгебр Ли и гомотопической топологии. Это
должно сделать возможным чтение книги без постоянного обращения
к более специальной литературе по данным вопросам.
Мне бы хотелось выразить благодарность моим коллегам Ф. Л. Без-
Безрукову, Д. Ю. Григорьеву, М. В. Либанову, Д. В. Семикозу, П. Г. Тинякову,
С. В. Троицкому и Д. Т. Шону за большую помощь в подготовке и чтении
курса лекций, внимательное чтение рукописи и подготовку ее к публи-
публикации.

ЧАСТЬ I
СОЛ ИТОН Ы, ИНСТАНТОНЫ И СФАЛЕРОНЫ.
ТЕОРИИ С ФЕРМИОНАМИ
Глава 1
Фермионы во внешних полях
1.1. Свободное уравнение Дирака
Свободные частицы со спином Уг — фермионы — в четырехмерном
пространстве-времени описываются четырехкомпонентными волновыми
функциями i/)a(x°,x), а = 1, 2, 3,4. Удобно представлять их в виде четы-
рехкомпонентных столбцов
'Фъ
В отсутствие внешних полей волновые функции фермионов с массой т
удовлетворяют уравнению Дирака
Qt A.1)
где матрицы Дирака "f имеют размер 4x4. Релятивистское соотно-
соотношение р2 = т2 будет выполнено, если матрицы Дирака удовлетворяют
соотношению
{Y,lv} = 2r, A.2)
где фигурные скобки обозначают антикоммутатор, a rfv — метрический
тензор Минковского. Действительно, подействовав на уравнение A.1)
оператором (—г^дц—т), получим при учете A.2), что каждая компонента
волновой функции удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона
@„ + m2)ip = О,
или в импульсном представлении (р2 - m2)^j){p) = 0.

1.1. Свободное уравнение Дирака
Равенство A.2) означает, в частности, что G0J = 1. Умножив уравне-
уравнение A.1) на 7° и введя обозначения ft — 70; о? — 7°7* , получим уравнение
Дирака в форме, аналогичной уравнению Шредингера,
Именно эта форма уравнения Дирака используется, как правило, в кван-
квантовой механике.
Соотношение A.2) является определяющим для матриц Дирака.
В частности, размерность дираковского столбца (четыре) определяется
тем фактом, что минимальная размерность матриц, удовлетворяющих
этому соотношению, равна 4x4. Последнее утверждение доказывается
в учебниках по квантовой механике и по квантовой теории поля, и мы
не будем останавливаться на доказательстве. Конкретный выбор мат-
матриц Дирака диктуется соображениями удобства. Мы будем, как правило,
использовать представление
A.4)
где 0 — нулевая матрица 2x2,/- матрицы 2x2, причем
г1 — матрицы Паули и
<г1 = -V.
Любое другое представление матриц Дирака получается из этого уни-
унитарным преобразованием, Y -> TJ^TJ~l, где U — унитарная матрица
размера 4x4.
Задача 1. Показать, что матрицы A.4) действительно удовлетворяют соотноше-
соотношению A.2).
В этом представлении 7-матриц выражения для матриц а* и C имеют
вид
■'-(! »)■ •'■"-(".•' '<)■
(L5)
Уцобно еще ввести матрицу 75, антикоммутирующую со всеми
-у5 = -fy^V2?3-
В представлении A.4) она равна

10 Глава 1. Фермионы во внешних полях
где блоки представляют собой матрицы 2x2. Именно такая простая форма
матрицы 75 определила наш выбор A.4). Наконец, полезно определить
матрицы
В представлении A.4) они имеют вид
Ц1/ IT U
\ 0 т'
причем
roi = _r«o = i(fft ~ м = _~й = ^.j^ Tij = ~ij = jikgxm
Матрица
8( = -£^ксг^к
4
представляет собой оператор спина. Действительно, оператор полного
трехмерного углового момента
коммутирует с гамильтонианом Дирака
фигурирующим в A.3). В представлении A.4) имеем
<г* 0 \
A-9)
Задача 2. Убедиться в справедливости формул A.6), A.7), A.9).
Задача 3. Показать, что в произвольном представлении матриц Дирака справедливо
соотношение [L,-,#D] = 0 и [Li,Lj] — гещЬк, так что Ц действительно
удовлетворяют коммутационным соотношениям сохраняющегося углового момента.
Гамильтониан Дирака, фигурирующий в уравнении A.3), инвариантен
относительно пространственного отражения, дополненного унитарным
преобразованием волновой функции i/). Действительно, если ^>(х, х°)
удовлетворяет уравнению A.3) (или, что то же самое, уравнению Дирака
A.1)), то функция
x,x0) A.10)
будет удовлетворять этому же уравнению, если
P~lj5P = Р, Р~1а*Р = -V.

1.1. Свободное уравнение Дирака 11
Здесь Р — унитарная матрица. Из определения матриц /3 и а* и соот-
соотношения антикоммутации A.2) ясно, что в качестве Р можно выбрать
матрицу
Р = 7° A.11)
(отметим, что 7° унитарна). Таким образом, если известно одно решение
уравнения Дирака, то с его помощью можно построить другое решение
по формуле A.10).
Обсудим еще одно свойство свободного уравнения Дирака, а именно,
его инвариантность относительно С-сопряжения. Если ip удовлетворяет
уравнению Дирака A.1), то сопряженный столбец удовлетворяет урав-
уравнению
Введем унитарную матрицу С так, чтобы
Су»*С~{ = -Y- A.12)
Тогда столбец
i()C = Cip* A.13)
вновь будет удовлетворять уравнению Дирака A.1). В представлении у-
матриц A.4) матрицу С можно выбрать в виде
С =
где s — матрица 2 х 2 с матричными элементами еар (a, fi = 1,2), со-
составляющими антисимметричный тензор второго ранга. Иными словами,
€ = гаг-
Задача 4. Убедиться в справедливости соотношения A.12) для матрицы С вида
A.14) и выбора 7-матриц в виде A.4). Показать, что матрица A.14) унитарна.
Иногда полезно также рассматривать системы в пространстве-вре-
пространстве-времени размерности d = 2 или d = 3. Остановимся поэтому вкратце
на свойствах уравнения Дирака в этих размерностях.
При d = 2 имеются всего две матрицы у** (ц = 0,1), причем их
минимальный размер равен 2x2. Соответственно, волновая функция
•ф — это двухкомпонентный столбец. 7-матрицы можно выбрать в виде
7° = гь 71=^2, A.15)
где Т{ — матрицы Паули. В этом случае матрицу ^ у5 удобно определить
формулой
у5 = -Л1.
^ Мы по-прежнему используем для матрицы, антикоммутирующей со всеми *f,
обозначение у5, хотя она является третьей (а не пятой) в наборе двумерных
матриц Дирака.

12 Глава 1. Фермионы во внешних полях
В представлении A.15) имеем 75 = г3. Матрица Р-преобразования по-
прежнему дается формулой A.11). Матрица С-сопряжения в этом пред-
представлении равна
С = т\ A.16)
Аналога углового момента в A+1) измерениях нет, поскольку вращений
в одномерном пространстве не бывает.
В пространстве-времени трех измерений минимальный размер 7-
матриц также равен 2 х 2, а волновая функция чр также представляет
из себя двухкомпонентный столбец. 7-матрицы можно выбрать в виде
7° = г3, 71 = -«Л 72 = -ir2. A.17)
Подчеркнем, что аналога у5 в трехмерном пространстве-времени нет.
Задача 5. Показать, что не существует матрицы 2x2, антикоммутирующей со всеми
тремя матрицами A.17).
Матрица С-сопряжения по-прежнему может быть определена; в пред-
представлении A.17) она равна
С = т1. A.18)
Задача б. Показать, что в двумерном пространстве-времени 7-матрицы A.15) удов-
удовлетворяют соотношению A.2), а матрица A.16) удовлетворяет соотношению A.12).
Задача 7. То же в трехмерном пространстве-времени для матриц A.17) и A.18).
Обсудим теперь специальный случай безмассовых фермионов. Рас-
Рассмотрим ситуацию в четырехмерном пространстве-времени. При m = О
гамильтониан Дирака A.8) коммутирует с матрицей у5 (иначе говоря, опе-
оператор г^дц антикоммутирует с 75)- Поэтому решения уравнения Дирака
разбиваются на левые, для которых
7Vl = 'Фи
т.е.
^ ^ь, 2
и правые, удовлетворяющие соотношениям
A.19)
7Vr = -^r. /rocl + 752^r = 0, fracl - j52ipK = ipK. A.20)
В выбранном нами представлении 7-матриц имеем
(L21)
где х и V ~ двухкомпонентные столбцы. Отметим, что часто и для
произвольной волновой функции ip вводят ее левые и правые компоненты,
имеющие структуру A.21), иначе говоря, определяют
75
4>

1.1. Свободное уравнение Дирака 13
Операторы ^- и ^- представляют из себя проекторы на левые и пра-
правые компоненты волновой функции общего вида. Правые и левые ком-
компоненты волновой функции независимо преобразуются при лоренцевых
преобразованиях.
При m = 0 не возникает противоречий и в том случае, когда считает-
считается, что физически реализуются только левые решения, а правые решения
игнорируются (или наоборот). Иными словами, можно рассматривать
только двухкомпонентные спиноры х и записывать для них уравнение
й^л* = 0- A-22)
Двухкомпонентные спиноры х называют вейлевскими спинорами, а урав-
уравнение A.22) — уравнением Вейля. Мы остановимся на интерпретации
уравнения Вейля и его решений в следующем разделе. Упомянем лишь,
что уравнение Вейля, вместо уравнения Дирака, адекватно описывает
безмассовые частицы левой спиральности.
Уравнение Вейля не инвариантно относительно С-сопряжения. На
языке четырехкомпонентных фермионов С-сопряжение переводит левую
волновую функцию в правую: если ip = фъ удовлетворяет соотноше-
соотношению A.19), то Cip* удовлетворяет соотношению A.20). В используемом
представлении 7-матриц это очевидно из явной формулы A.14) для мат-
матрицы С. Уравнение Вейля инвариантно, однако, относительно СР-пре-
СР-преобразования, что составляет предмет следующей задачи.
Задача 8. Пусть левый двухкомпонентный спинор х(ж°,х) удовлетворяет урав-
уравнению Вейля A.22). Найти такую унитарную матрицу UCp размера 2x2, что
двухкомпонентный спинор UcpX*(x°> ~x) также удовлетворяет уравнению Вей-
Вейля A.22). Такое преобразование представляет из себя, очевидно, комбинацию
С-преобразования и пространственного отражения Р.
Аналог уравнения Вейля существует и в теории безмассовых фермионов
в двумерном пространстве-времени.
Задача 9. Найти аналог уравнения Вейля в двумерном пространстве-времени.
Вместо левых безмассовых фермионов можно было бы рассматривать
правые, удовлетворяющие правому уравнению Вейля
Каким является тот или иной безмассовый фермион — левым или пра-
правым — это вопрос экспериментальный. Известные нейтрино (в прене-
пренебрежении их массами) — это левые фермионы.
В заключение этого раздела заметим, что как уравнение Дирака,
так и уравнение Вейля обладают свойством сохранения вероятности.
Например, для дираковского фермиона интеграл
^Х1$(х^ iCstbix^ x) A23)

14 Глава 1. Фермионы во внешних полях
сохраняется. Это очевидно из эрмитовости дираковского гамильтониана
A.8). Данное свойство можно сформулировать еще и следующим образом.
Введем дираковски сопряженный спинор (строку из четырех элементов)
? = ^У • A.24)
Учитывая, что 7° эрмитова, G0J = 1, а 7* — антиэрмитовы, получим
из уравнения Дирака, что ip удовлетворяет уравнению
^(t/^/« + wOtf = 0,
где стрелка над дц обозначает, что производная действует на ip. Из этого
уравнения и уравнения Дирака следует, что ток
сохраняется,
dp]» = 0. A.25)
Учитывая, что
Г йъх ^ф = f
получаем, что сохранение вероятности A.23) непосредственно связано
с соотношением A.25). Это же соображение работает для левых (или
правых) фермионов, подчиняющихся уравнению Вейля.
1.2. Решения свободного уравнения Дирака.
Море Дирака
Обсудим решения уравнения Дирака A.1) сначала при m ф 0. Иначе
говоря, нас интересует спектр дираковского гамильтониана A.8) и его
собственные функции. Собственные функции будем искать в виде
^(*) = е-*'в+*Ч, A.26)
причем ш и р интерпретируются, как обычно в квантовой механике, как
энергия и импульс частицы. Для ир имеем уравнение
(alpi + ftm)u9 = иду A.27)
В используемом представлении 7-матриц, где матрицы j3 и а1 имеют
вид A.5), уравнение A.27) удобно переписать, введя левую и правую
компоненты спинора и9,
A.28)

1.2. Решения свободного уравнения Дирака. Море Дирака 15
и UptR представляют собой двухкомпонентные спиноры. Из A.27)
следует, что они удовлетворяют системе уравнений (мы опускаем индекс р
в волновых функциях)
(-<гр - u?)«L + m«R = 0,
A.29)
(<гр - w)«r + m«L = 0.
Условие совместности этой системы, т. е. требование det (ар 4- /Зто - ш) = 0,
имеет вид
p2 = w2-p2 = m2 A.30)
(это соотношение, впрочем, очевидно и из соображений начала разде-
раздела 1.1). При выполнении этого соотношения имеем, что «l произволен,
a Mr выражается через «l,
„R = Н±»ъ. A.31)
Поскольку имеется два линейно независимых двухкомпонентных столб-
столбца «l, существует два независимых решения уравнения Дирака с фикси-
фиксированными импульсом р и энергией ш, подчиняющимися соотношению
A.30). Физический смысл этого факта наиболее очевиден при выборе
в качестве двух линейно независимых столбцов «l собственных векторов
оператора <гр/|р|. Этот оператор имеет собственные значения +1 и -1
(поскольку его квадрат равен 1), и два линейно независимых столбца
можно выбрать так, что
С учетом A.31) получим для всего четырехкомпонентного столбца A.28)
sp 1
где s ■— спиновая матрица A.9). Таким образом, два линейно независимых
решения уравнения Дирака с фиксированным импульсом соответствуют
(при ш > 0) состояниям с положительной и отрицательной проекцией
спина на направление движения частицы — спиральностью.
Значения энергии а; могут быть как положительными,
ш — -Н
так и отрицательными,
о; = -\/р2 + т2.
Иными словами, спектр дираковского гамильтониана не ограничен снизу.
Дирак предложил изящный способ справиться с этой трудностью, который
сделал теорию непротиворечивой и привел к понятию антифермиона.
Прежде всего, рассмотрим систему в ящике большого, но конечного

16
Глава 1. Фермионы во внешних полях
размера L. На границе этого ящика наложим периодические граничные
условия, т. е. потребуем
,
A.32)
и аналогично для других пространственных координат. Тогда спектр ди-
раковского гамильтониана будет дискретным: волновые функции A.26)
удовлетворяют условию A.32) только при
Р = Pn =
n = (пь п2, га3), n1>2>3 = 0, ±1, ±2,... .
Соответственно, энергия пробегает дискретный набор значений
ш
т
0
-т
Между уровнями с положительной
энергией и уровнями с отрицатель-
отрицательной энергией имеется щель величины
2т. Спектр дираковского гамильто-
гамильтониана в конечном объеме схематиче-
схематически изображен на рис. 1.1.
Зададимся теперь вопросом о
наинизшем состоянии системы (ваку-
(вакууме), при этом не будем накладывать
никаких ограничений на возможное
количество частиц в системе. Ясно,
что выгодно иметь как можно боль-
больше частиц на отрицательных уровнях.
В то же время, частицы являются фер-
мионами, поэтому в каждом фикси-
фиксированном состоянии может находить-
находиться не более одной частицы (принцип
Паули). Следовательно, состоянием
с наинизшей энергией будет такое,
в котором все отрицательные уровни заполнены (т. е. в каждом состо-
состоянии с отрицательной энергией находится ровно один фермион), а все
положительные уровни свободны. Это основное состояние схематически
изображено на рис. 1.2. Систему запрлненных отрицательных уровней
образно называют морем Дирака.
Необходимо далее считать, что дираковский вакуум имеет нулевую
энергию и нулевой импульс (а также нулевой электрический и другие
заряды), т. е. отсчитывать эти величины от их вакуумных значений.
Обсудим теперь элементарные возбуждения над дираковским вакуу-
вакуумом. При добавлении одного фермиона в систему он может занять только
уровень с положительной энергией (поместиться на какой-либо уровень
Рис. 1.1. Схематическое изображение
спектра гамильтониана Дирака. Густо-
Густота и вырождение уровней на рисунке
не учтены

1.2. Решения свободного уравнения Дирака. Море Дирака
17
ш
т
0
-т
ш
т
0
—т
Рис. 1.2. Схематическое изображение
основного состояния. Вырождение уров-
уровней не учитывается
Рис. 1.3. Состояние с одним
фермионом над дираковским вакуумом
с отрицательной энергией фермион не может из-за принципа Паули). Вол-
Волновая функция такого фермиона будет описываться решением уравнения
Дирака с положительным ш. Такое возбуждение изображено на рис. 1.3.
Другой тип возбуждений возникает, если из дираковского моря убрать
частицу. При этом освобождается уровень с отрицательной энергией, так
что полная энергия вновь увеличивается: если освободился уровень, ха-
характеризуемый импульсом р и энергией -wp = - у/р2 + т2, то энергия
состояния, отсчитанная от энергии вакуума, будет равна +wp, а импульс
будет равен (-р). Такое возбуждение в теории твердого тела называют дыр-
дыркой, а в физике частиц оно соответствует антифермиону. Если фермион
несет электрический заряд q, то антифермион имеет заряд (-<?), посколь-
поскольку его состояние получается, если из дираковского моря убрать фермион.
Фермионы и антифермионы имеют одинаковую массу и закон дисперсии
ш9 = \/р2 4- т2. Состояние с антифермионом изображено на рис. 1.4.
Если в системе имеются фермион и дырка, как на рис. 1.5, то фермион
может переместиться с положительного уровня на отрицательный, излу-
излучив энергию (например испустив фотон). Это соответствует аннигиляции
фермиона и антифермиона. Обратный процесс возможен при добавле-
добавлении энергии и соответствует рождению фермион-антифермионной пары.
В обоих этих процессах сохраняется фермионное число, которое опреде-
определяется как разность числа фермионов и числа антифермионов (данного
типа).
Разумеется, каждому типу фермионов соответствует своя античастица:
для электрона это позитрон, для протона — антипротон и т. д.
Представление о частицах и дырках вполне адекватно в физике твердого тела.
В физике частиц оно представляет из себя по существу формальный прием. Более

18
Глава 1. Фермионы во внешних полях
1 Ш
т
0
—т
ш
т
0
-т
Рис. 1.4. Состояние с антифермионом
над дираковским вакуумом. Незакра-
Незакрашенный кружок обозначает незаполнен-
незаполненный уровень в дираковском море
Рис.1.5. Аннигиляция фермиона
с антифермионом
симметричное описание фермионов и антифермионов достигается в квантовой
теории поля, где частицам и античастицам соответствует единый оператор по-
поля Ф(ж). Фермионное поле не имеет классического предела (из-за принципа
Паули); именно поэтому мы его не обсуждаем в основном тексте этой книги.
Подчеркнем, что описание свободных фермионов и антифермионов (а также
фермионов и антифермионов во внешних полях) в терминах моря Дирака экви-
эквивалентно их описанию в квантовой теории поля.
Еще одно замечание касается бозонов. Если уравнение Клейна—Гордона вос-
воспринимать как уравнение для волновой функции частицы (бозона), то в нем также
имеется трудность с отрицательными уровнями и неограниченностью снизу спек-
спектра энергий. Поскольку бозоны не подчиняются принципу Паули, эту трудность
не удается разрешить с помощью конструкции типа дираковского моря. Трудность
с отрицательными энергиями бозонов разрешается лишь в квантовой теории поля.
Рассмотрим теперь решения уравнения Вейля A.22). В импульсном
представлении оно имеет вид (сравни с A.29))
(ш + cp)«L = 0.
Эта система уравнений на две компоненты спинора «l совместна при
и = ±|р|
и имеет единственное решение. При ш > 0 это решение удовлетворяет
соотношению
sp 1
где s = \cr — оператор спина. Таким образом, уравнение Вейля описы-
описывает безмассовые фермионы с отрицательной спиральностью (проекцией

1.3. Фермионы во внешних бозонных полях 19
спина на направление движения). Этим объясняется термин «левые фер-
фермионы» (по аналогии с фотонами или с электромагнитными волнами
с левой круговой поляризацией); используют еще термин «фермионы
левой киральности».
Решение свободного уравнения Дирака нетрудно найти и в простран-
пространстве-времени размерности 2 или 3. Во всех случаях имеются решения как
с положительными, так и с отрицательными энергиями, причем спектры
положительных и отрицательных энергий совпадают с точностью до знака.
Последнее утверждение очевидно из свойства С-симметрии: если ^(ж°,х)
удовлетворяет уравнению Дирака с положительной частотой ш, то
представляет собой решение с частотой (-w).
Задача 10. Найти все собственные функции дираковского гамильтониана в про-
пространстве-времени d — 2 и d = 3.
Задача 11. Найти все решения «уравнения Вейля» (см. задачу 9) в двумерном
пространстве-времени. В какую сторону движутся частицы, описываемые этими
волновыми функциями, и античастицы — дырки в дираковском море?
1.3. Фермионы во внешних бозонных полях
В следующих главах мы рассмотрим некоторые интересные эффекты,
возникающие при взаимодействии фермионов с внешними бозонными
полями солитонного и инстантонного типа. Поэтому мы сейчас рассмот-
рассмотрим, как выглядит уравнение Дирака во внешних бозонных полях.
Прежде всего напомним, что фермионы во внешнем электромагнит-
электромагнитном поле описываются уравнением Дирака, аналогичным A.1) (или A.3)),
но с заменой обычной производной на ковариантную2^,
\^D$ - mi/> = 0, A.33)
где, как обычно,
е — электрический заряд фермиона. Отметим, что левая часть этого урав-
уравнения ковариантно преобразуется при калибровочных преобразованиях
из электромагнитной группы U{\), т.е. при преобразованиях
i/>(x) -> il>'(x) = eia(x)i/>(x), A.34)
А^х) -> А'„(х) = Ар(х) + -д„а(х). A.35)
6
2> Вообще говоря, в уравнении могут присутствовать также слагаемые, связанные
с аномальным магнитным моментом фермиона, его электрическим дипольным
моментом и т. д.

20 Глава 1. Фермионы во внешних полях
Действительно, при этих преобразованиях имеем
f - тф) -»tia{i^D^ - тф).
Если tp удовлетворяет уравнению Дирака во внешнем поле Ар, то 'ф'
удовлетворяет уравнению Дирака во внешнем поле А'ц. Иными словами,
при калибровочном преобразовании внешнего поля набор решений урав-
уравнения Дирака остается прежним с точностью до фазового преобразования
A.34). Мы будем говорить, что уравнение Дирака A.33) инвариантно
относительно калибровочных преобразований A.34), A.35).
Глобальные или калибровочные неабелевы симметрии появляются
в уравнении Дирака тогда, когда фермионам можно приписать внутрен-
внутренние квантовые числа. Пусть, например, в системе (пока без внешних
полей) может иметься два типа фермионов. Тогда состояние системы,
в которой имеется ровно один фермион какого-либо типа, можно описы-
описывать волновой функцией в виде столбца
каждая из компонент которого, tpi или 1р2, представляет собой дираков-
ский спинор (для безмассовых фермионов это может быть вейлевский
спинор). Так, фермион первого типа описывается столбцом
A.37)
/
а фермион второго типа — столбцом
Ш*))'
В общем случае столбца A.36) величина (ip\if)i)(x) представляет собой
вероятность того, что в системе имеется фермион первого типа в точке х,
и аналогично для (^|^2)(х).
Если массы фермионов одинаковы, то в отсутствие внешних полей
каждая из компонент столбца A.36) удовлетворяет уравнению Дирака
A.1). Эти два уравнения можно объединить, записав для столбца A.36)
уравнение
{^д„-т)-1"ф = 0, A.38)
где 1 — единичная матрица 2x2, действующая в пространстве двух-
компонентных столбцов A.36) (ее мы будем, как правило, подразумевать
без явной записи, когда это не будет приводить к недоразумениям).
Уравнение A.38) инвариантно относительно глобальных (не зависящих
от координат) преобразований из группы SUB),
tp(x) -> ы1>(х), и € 517B) A.39)

1.3. Фермионы во внешних бозонных полях 21
(оно также инвариантно относительно группы U(l) глобальных фазовых
вращений ip ->■ еш^>, но это свойство здесь для нас несущественно).
Подчеркнем, что преобразование A.39) действует не на лоренцевы ин-
индексы, а на «внутренние» индексы, нумерующие тип фермиона. По (фор-
(формальной) аналогии с обычным спином, преобразования A.39) называют
преобразованиями «внутреннего спина» (или изоспина). При этом можно
сказать, что столбец A.36) описывает фермион, который может нахо-
находиться в различных изоспиновых состояниях: так, фермион первого типа,
описываемый столбцом A.37), можно назвать фермионом в состоянии
с третьей проекцией изоспина (+У2), а фермион второго типа — состоя-
состоянием с третьей проекцией изоспина (- Уг).
Исторически первым примером внутренней симметрии служит изотопическая
симметрия сильных взаимодействий. Если пренебречь небольшой разностью масс
протона и нейтрона, а также электромагнитными и слабыми взаимодействия-
взаимодействиями, то протон и нейтрон будут обладать одинаковыми свойствами. Волновую
функцию нуклона (протона или нейтрона) можно тогда записать в виде A.36),
где tpi(x) и "ф2(х) — волновые функции протонной и нейтронной компоненты
нуклона; свободное уравнение Дирака для нуклона имеет в точности вид A.38).
Название «изоспин» — изотопический спин — имеет именно это происхожде-
происхождение; в дальнейшем его стали использовать для других симметрии, описываемых
группой SUB) (например, говорят о слабом изоспине, который имеет отношение
к слабым взаимодействиям).
Изложенную конструкцию можно обобщить на случай, когда ферми-
фермионы могут находиться в трех и более состояниях (иначе говоря, имеется
три и более типов фермионов с одинаковой массой). Так, кварки могут
находиться в трех состояниях (их называют цветами), соответственно
кварк описывается волновой функцией
A.40)
а уравнение Дирака для волновой функции кварка инвариантно от-
относительно действия внутренней (цветовой) группы SUC)C. Дальнейшее
обобщение проистекает из замечания, что столбцы A.36) или A.40) можно
воспринимать как векторы из пространства фундаментального представ-
представления группы SUB) или SUC)C соответственно. Можно не ограничи-
ограничиваться только группами SU(N) и фундаментальными представлениями.
Именно, можно выбрать произвольную компактную группу G внутрен-
внутренней симметрии и произвольное ее представление T{G) и потребовать,
чтобы фермионная волновая функция принадлежала пространству пред-
представления T(G)y а уравнение Дирака было инвариантно относительно
преобразований
tl>->T(g)tf>

22 Глава 1. Ферм ионы во внешних полях
для всех д G G. Подчеркнем снова, что матрица Т(д) действует на внут-
внутренние, а не на лоренцевы индексы волновой функции фермиона.
Задача 12. Пусть G — простая группа глобальной симметрии, T{G) — ее ком-
комплексное п-мерное неприводимое представление. Записать наиболее общее сво-
свободное уравнение Дирака для фермионов в представлении T{G), инвариантное
относительно действия группы G. Показать, что оно в действительности инвари-
инвариантно относительно действия группы SU(n). (Последнее свойство справедливо,
вообще говоря, только для свободных фермионов.)
Следующий шаг состоит в построении взаимодействия фермионов
с неабелевыми калибровочными полями. Это взаимодействие должно
обеспечивать инвариантность уравнения Дирака относительно калибро-
калибровочных преобразований с неабелевой группой калибровочной (внутрен-
(внутренней) симметрии. В примере с внутренней группой SU{2) и фермионным
дублетом A.36) нужно потребовать, чтобы уравнение Дирака было инва-
инвариантно относительно обычных калибровочных преобразований калиб-
калибровочного поля группы SUB),
ц ы~\ ш(х) € SUB),
(где Afi = —(g^Aft), выполняемых одновременно с преобразованиями
Рецепт построения ковариантных величин хорошо известен: необходимо
заменить обычную производную на ковариантную,
Таким образом, мы приходим к уравнению Дирака, инвариантному отно-
относительно калибровочных преобразований из группы SU{2),
(»/Лм-то№ = °. A.41)
которое вполне аналогично уравнению Дирака A.33) в присутствии элек-
электромагнитного поля. Отметим, что в уравнении A.41), как и в дальнейшем,
используются весьма сжатые обозначения; если записать это уравнение,
сохраняя все индексы, то получим
] } = 0, A.42)
где а,Р = 1,...,4 — лоренцевы индексы спинора; i,j = l,2 — изотопи-
изотопические индексы; а = 1, 2, 3; суммирование по повторяющимся индексам
подразумевается.
В общем случае произвольной калибровочной группы G и представ-
представления T(G), по которому преобразуются фермионы, уравнение Дирака

1.3. Фермионы во внешних бозонных полях 23
во внешнем калибровочном поле имеет по-прежнему вид A.41), а кова-
риантная производная равна
Л„ = 0„+Т(Л„). A.43)
При m = 0 в качестве исходного уравнения можно было бы взять
не уравнение Дирака, а уравнение Вейля. Повторяя приведенные рассуж-
рассуждения, мы пришли бы тогда к уравнению Вейля во внешнем калибровоч-
калибровочном поле. Для левого фермиона оно имеет вид
uPD^x = 0.
т. е. отличается от свободного уравнения Вейля A.22) заменой обычной
производной на ковариантную A.43). Лоренцев индекс спинора х по~
прежнему пробегает значения 1,2.
Перейдем теперь к обсуждению взаимодействия фермионов со ска-
скалярными полями. Начнем с простейшего случая одного действительного
скалярного поля <р(х) и одного фермиона. Основным требованием к урав-
уравнению Дирака для волновой функции фермиона во внешнем классиче-
классическом поле <р является лоренц-ковариантность и эрмитовость дираков-
ского гамильтониана. При лоренцевых преобразованиях скалярное поле
в фиксированной точке пространства-времени не преобразуется, поэтому
включить его в уравнение Дирака можно по аналогии с массовым членом
фермиона. Таким образом, мы приходим к уравнению
rfdyft -mip- h<pt{) = 0, A.44)
где h — действительная константа связи. Эту простейшую связь ферми-
фермиона со скалярным полем называют юкавской связью. Подчеркнем, что
буквально в виде A.44) юкавскую связь можно ввести для дираковских
фермионов и нельзя для вейлевских.
Задача 13. Найти размерность константы h в четырехмерном, а также в d-мерном
пространстве-времени.
Задача 14. Показать, что дираковский гамильтониан, соответствующий уравнению
A.44) во внешнем действительном поле <р(х), эрмитов тогда и только тогда, когда
константа h действительна.
Дальнейшие обобщения удобно строить, используя понятие действия
для фермионов. Для того, чтобы его ввести, обсудим для начала уравнение
Дирака A.44). Его можно рассматривать как условие стационарности
функционала
SF = / ^хЩх)г^д^{х) - mip(x)ip{x) - НфЩхЩх)} A.45)
относительно произвольных вариаций величины tp(x), которая представ-
представляет собой четырехкомпонентную строку. Такой функционал и называют
действием для фермионов. Функционал S? действителен, если под ip

24 Глава 1. Фермионы во внешних полях
понимать строку3^ ^4° (СР- A-24)). В самом деле, для #р имеем
id^ 7" 7*V
Равенство 5F = 5Р получается после интегрирования по частям в пер-
первом слагаемом и использования тождества ^ 7° = 7°7^- Далее, можно
показать, что 5р — это лоренцев скаляр. Требование действительности
и лоренц-инвариантности действия эквивалентны требованиям эрмитово-
эрмитовости дираковского гамильтониана Яв и лоренц-ковариантности уравнения
Дирака.
Действие фермионов становится естественным и необходимым объектом в кван-
квантовой теории поля, где гр(х) и ф(х) трактуются как операторы фермионного
поля. При этом 5р выступает на равных основаниях с действием бозонных полей.
Мы уже отмечали, что в отличие от операторов бозонных полей операторы ij>(x)
и чр(х) не имеют классического предела. Для наших целей SF будет служить
вспомогательным объектом, позволяющим получать уравнения Дирака, облада-
обладающие свойствами лоренцевой и калибровочной ковариантности и эрмитовости
квантовомеханического дираковского гамильтониана.
Аналогично, уравнение Дирака A.41) в присутствии калибровочных
полей может быть получено вариацией действия
= I
тф(х)*ф(х)] A.46)
по чр. При этом если гр преобразуется по унитарному представлению T(G)
калибровочной группы G, то гр = ^7° преобразуется по сопряженному
представлению: при калибровочных преобразованиях ш(х) € G имеем
или, в компонентах,
to->$ = [T(w)]tjfy,
где i,j — индексы, соответствующие внутренней симметрии. Функци-
Функционал 5р очевидным образом инвариантен относительно калибровочных
преобразований.
3' Тот факт, что при варьировании S? необходимо считать ty (или $) независи-
независимой переменной, аналогичен рецепту варьирования действия для комплексного
скалярного поля, при котором tp и tp* считаются независимыми переменными.

1.3. Фермионы во внешних бозонных полях 25
Одно из обобщений выражений A.45), A.46) для фермионного дей-
действия на случай, когда скалярное поле нетривиальным образом преобра-
преобразуется при калибровочных (или глобальных) преобразованиях, достаточно
очевидно. Пусть tpi преобразуется по представлению T(G) калибровоч-
калибровочной группы G, т. е. закон преобразования fa и ^,- имеет вид A.47).
Пусть скалярное поле преобразуется по действительному представлению
Ts(G), т. е. поля <ра действительны, и для них имеем при калибровочных
преобразованиях
<Ра -> <fi'a = [T8(U)]W
Пусть, далее, из if), tp и <р можно образовать действительный калибровоч-
калибровочный инвариант вида
М>ра, A.48)
где (Aa)ij — некоторые коэффициенты. Тогда фермионное действие вида
- тЩ - ЬфА'ффа] A.49)
= f <?x[^i^D
будет лоренц-инвариантно, калибровочно инвариантно и действительно
при действительной константе связи h (в случае глобальной симметрии
в A.49) вместо ковариантной производной D^ фигурирует обычная произ-
производная дц). Требование инвариантности A.48) эквивалентно требованию,
чтобы для всех ш € G было справедливо
Ка\Т3{и)]ЬаТ{и) = Т{и)к\ A.50)
Здесь мы опустили индексы i,j, относящиеся к представлению фермио-
нов T(G) и считаем Ла и Т(ш) матрицами по этим индексам. Соотношение
A.50) определяет возможный вид матриц Ла. Иначе говоря, (fia^j принад-
принадлежит представлению TsxT группы Ли G; требуется, чтобы TsxT содер-
содержало представление Т, при этом Л осуществляет проекцию Ts хТ ->Т.
В терминах представлений алгебры Ли группы G соотношение A.50)
имеет вид
ЛаСГ|Й = [Г?,Ль], A.51)
где Т9 и Tg — генераторы алгебры Ли в представлениях Т и Ts,
a q = 1,... ,dimCr.
Варьируя действие A.49) по ip, получим уравнение Дирака
i^D^tf} -mtp- hAa<Pai> = 0. A.52)
Его левая часть ковариантно (по представлению T(G)) преобразуется при
калибровочных преобразованиях.
Задача 15. Показать, что соотношение A.50) необходимо и достаточно для того,
чтобы левая часть уравнения A.52) преобразовывалась по представлению T(G).

26 Глава 1. Фермионы во внешних полях
Задача 16. Рассмотрим инфинитезимальные преобразования
u> = l + e4q, A.53)
где tq — генераторы алгебры Ли группы G, е9 — инфинитезимальные действи-
действительные параметры. Показать, что для таких преобразований соотношение A.50)
эквивалентно A.51) при учете определений T(tq) = Tq, Ts(tq) = Г|.
Задача 17. Выписать дираковский гамильтониан, соответствующий уравнению
A.52). Показать, что при сформулированных выше условиях он эрмитов.
В качестве важного для дальнейшего примера рассмотрим группу
SU(N) в качестве группы симметрии, выберем фермионы в фундамен-
фундаментальном представлении этой группы, а скаляры — в присоединенном
представлении (это означает, в частности, что <ра — действительные поля,
а = 1,..., JV2-1). Тогда Т9 = it9, где t9 — эрмитовы матрицы генераторов
группы SU(N) (в отличие от антиэрмитовых генераторов, фигурирующих
в A.53)), a (if)* = fqab — структурные константы. В качестве матриц Ла
можно выбрать ta. Действительно, левая часть соотношения A.51) в этом
случае имеет вид tafqab, а правая часть равна
[itq,tb] = -f9bctc,
так что соотношение A.51) выполняется при учете антисимметрии струк-
структурных констант. Таким образом, ковариантное уравнение Дирака в дан-
данном примере имеет вид
(i^Dp - m - hta<pa)tf} = 0. A.54)
Обсудим вкратце, как в таких моделях ведут себя фермионы во
внешних полях, соответствующих классическому основному состоянию
скалярного и калибровочного полей. Рассмотрим для определенности
случай группы SUB) (глобальной или калибровочной), скалярного поля
в присоединенном (действительном триплетном) представлении и фер-
мионов в фундаментальном (комплексном дублетном) представлении.
Напомним, что скалярное поле в основном состоянии постоянно в про-
пространстве-времени, в калибровочной теории при этом А^ = 0. Уравнение
Дирака с юкавской связью в этом поле имеет вид A.54), где ta = т°/2 —
эрмитовы генераторы группы SUB). Необходимо отдельно рассмотреть
случай ненарушенной и нарушенной симметрии. Если скалярный по-
потенциал V(<p) таков, что в основном состоянии <ра = 0 и симметрия
не нарушена, то уравнение A.54) сводится к двум уравнениям Дирака
с массой т для двух компонент fa, где i = 1,2 — групповой индекс.
Таким образом, в системе имеется два типа фермионов с одинаковой
массой, как мы обсуждали в начале этого раздела. Если же в основном
состоянии (ра ф 0, т.е. SUB)-симметрия нарушена, ситуация становится
более интересной. Без ограничения общности можно выбрать основное
состояние скалярного поля так, что только третья компонента отлична

1.3. Фермионы во внешних бозонных полях
27
от нуля, <ра — vdai, где действительный параметр v определяется формой
скалярного потенциала. Уравнение A.47) в таком поле имеет вид
где, по-прежнему,
— изоспинор во внутреннем пространстве. Уравнение A.55) эквивалентно
двум уравнениям
- т - у)*i = °> (*гЧ - m + у)^2 = 0.
Отсюда видно, что компоненты ipi и ip2 описывают фермионы с массами
mi =
т +
hv
и т2 =
hv
т-
соответственно. В результате спонтанного нарушения симметрии фер-
фермионы приобрели различные массы; спектр фермионов перестал быть
SUB) -инвариантным.
Задача 18. Рассмотрим модель с калибровочной группой SUC), фермионами
в фундаментальном представлении и скалярным полем в присоединенном (дей-
(действительном октетном) представлении. Пусть скалярный потенциал устроен так, что
в основном состоянии отлична от нуля только восьмая компонента скалярного поля,
<ра — v&a& (с точностью до «^(З^преобразования). Найти ненарушенную под-
подгруппу группы SUC). Найти спектр масс фермионов, удовлетворяющих уравнению
Дирака A.54), объяснить его структуру.
Менее тривиальные обобщения фермионного действия A.45) и соот-
соответствующего уравнения Дирака можно получить, если записать действие
в терминах левой и правой компонент (двухкомпонентных столбцов) х
и rj, так что
(см. A.21)). При этом
В представлении 7-матриц A.4) будем иметь для действия A.45)
SF=J <?x[x4j»dllxWi<rlldllT}-m(x*V+'n]X)-4<PXtV+<prfx)]- A-57)
Все члены в этом выражении по отдельности лоренц-инвариантны (инва-
(инвариантности относительно пространственных отражений мы не требуем).

28 Глава 1. Фермионы во внешних полях
Выражение A.57) можно обобщить, считая, что левая и правая компонен-
компоненты х и V по-разному преобразуются при калибровочных (или глобальных)
преобразованиях. При этом по-прежнему необходимо требовать действи-
действительности и калибровочной инвариантности S?.
В качестве первого примера рассмотрим теорию с калибровочной
группой U(l) и комплексным скалярным полем с зарядом е. Юкавское
взаимодействие типа (fifj^x будет калибровочно инвариантным, если сумма
зарядов х и rf равна (—е). Например, заряд левой компоненты, х>
можно выбрать равным (-\е), а заряд правой компоненты, ту, — равным
(ч-^е). При этом массовый член типа mrfx не будет калибровочно
инвариантным и его включать в фермионное действие нельзя. Таким
образом, мы приходим к действию
SF =
где Dfi = дцТ%\ Ац. При действительной константе h оно обладает всеми
необходимыми свойствами. Уравнения для двухкомпонентных столбцов х
и ту получим, как обычно, варьированием действия 5р по у} и rf, считая
их независимыми от х и V'
x - h<p*T} = 0, ia^D^rj - h<px = 0- A-59)
Это довольно нетривиальное обобщение уравнения Дирака для ферми-
онной волновой функции if). Левые части уравнения A.59) ковариантно
преобразуются при калибровочных преобразованиях
Ац~> Ац + -дца.
Свойство калибровочной ковариантности уравнений A.59) следует из ка-
калибровочной инвариантности действия A.58).
Задача 19. Построить квантовомеханический гамильтониан, соответствующий
уравнениям A.59), т. е. записать уравнения A.59) в виде
где tj) — волновая функция A.56). Показать, что гамильтониан Я© эрмитов при
действительном h.
Отметим, что если значения бозонных полей в основном состоянии
равны Ац = 0, <р = v (так что в модели имеет место механизм Хиггса),
уравнения A.59) превращаются в свободное уравнение Дирака для вол-
волновой функции A.56), (г^д^ - m)if} = 0, с массой фермиона т = hv.
Обобщения этого примера включают в себя фермионный сектор
Стандартной модели, к описанию которого мы переходим.

1.4. Фермионный сектор Стандартной модели 29
1.4. Фермионный сектор Стандартной модели
Начнем с обсуждения лептонов — фермионов, не участвующих
в сильных взаимодействиях. В природе имеется три типа заряженных
лептонов: е~,ц~,т~ и три типа нейтрино ие,1/ц,иг, а также соответ-
соответствующие им античастицы. Массы всех нейтрино очень малы, и мы
в дальнейшем будем считать нейтрино безмассовыми. Нейтрино — это
фермионы левой киральности. Пары (ие, е~), (v^, ц~) и (vT, т~) ведут себя
одинаково относительно всех взаимодействий (е-до-т-универсальность).
Поэтому достаточно рассмотреть одну пару лептонов, например (ve, e~).
Ключевым экспериментальным фактом является то, что с РГ±-бо-
зонными полями взаимодействуют только левые компоненты электрона
и (левые) нейтрино, а правые компоненты электрона с W± -бозонами
не взаимодействуют. Поля W± -бозонов являются частью калибровочных
полей подгруппы SUB) калибровочной группы электрослабых взаимо-
взаимодействий SUB) х U(l). Следовательно, правую компоненту электрона е£
следует считать синглетом по отношению к SUB), а левые компоненты
ve и е£ естественно объединить в SU B) -дублет
Слабые гиперзаряды дублета L^ и синглета eR найдем, воспользовавшись
формулой
связывающей третью компоненту слабого изоспина, электрический заряд
и слабый гиперзаряд. Например, для ve имеем Q = О, Т3 = 1/2, поэтому
YVc = -1/2. Для е£ имеем Q = -1, Тъ — -1/2 и, следовательно,
YeL — -1/2. Как и следовало ожидать, слабый гиперзаряд компонент
столбца A.60) одинаков; столбец L^ преобразуется при калибровочных
преобразованиях из подгруппы [7A) как целое,
Для правой компоненты электрона имеем Тз = 0 и получаем
П; = -1.
Таким образом, слагаемые с ковариантными производными в действии
электронов и нейтрино имеют вид
A.61)

30 Глава 1. Фермионы во внешних полях
где
/ <га 1 \
L, A-62)
A.63)
А^д и Вц,д' — калибровочные поля и константы связи групп SUB)
и U(l), соответственно. Напомним, что eR, e^ и ve представляют собой
двухкомпонентные столбцы — лоренцевы (правые и левые) спиноры.
Действие A.61) описывает безмассовые фермионы. Поэтому необ-
необходимо ввести еще слагаемое, обеспечивающее массивность электрона.
Явный массовый член типа m{e[eR + eRei) ввести нельзя, поскольку он
не инвариантен относительно калибровочных преобразований. Поэтому
мы введем взаимодействие юкавского типа между фермионами и хиггсов-
ским дублетом <р и воспользуемся тем, что в основном состоянии
v ■ A-64)
Тг)
Юкавский член в фермионном действии должен содержать правую ком-
компоненту фермиона (точнее, сопряженную величину), е^, левую компо-
компоненту £l и хиггсовское поле (ср. A.57)). Учитывая слабые гиперзаряды
лептонов и хиггсовского поля (для которого Yv = 1/2), можно записать
единственный калибровочно инвариантный юкавский член вида
Здесь (<p^L{) обозначает свертку по внутренним индексам SU B) -дублетов;
(<p^Li) представляет собой инвариант относительно группы SUB) и яв-
является двухкомпонентным столбцом с лоренцевой точки зрения: если
а=1,2и* = 1,2— лоренцев и внутренний индексы соответственно, то
(суммирование по г, а подразумевается) и аналогично для второго сла-
слагаемого в A.65). Инвариантность A.65) относительно подгруппы U(l)
слабого гиперзаряда следует из того, что
-К -Y, a-Yt =0
Наконец, выражение A.65) действительно при действительном he.
В вакууме поле <р принимает значение A.64), и выражение A.65)
превращается в массовый член электрона
у I

1.4. Фермионный сектор Стандартной модели 31
Таким образом, в хиггсовском вакууме электрон имеет массу
me = he^=, A.67)
v2
а нейтрино остается безмассовым. Итак, действие электрона и электрон-
электронного нейтрино имеет вид
= J
- he[eR(^LL) + {b[<p)eR] }.
A.68)
Если мы будем интересоваться только электромагнитными взаимодей-
взаимодействиями, т. е. положим W* = Z^ = О и <р = у>тас, то ненулевыми компо-
компонентами исходных калибровочных полей будут
А3ц = Ац sin 9w, Вц = Ац cos 9W,
где Ац — электромагнитный вектор-потенциал. В таких полях ковари-
антные производные A.62), A.63) примут вид
3
/г3 1 \
-D/i^L = ( dp ~ ig^r швшАц + ig'- cos OwA^ )LL =
D^r - (дц + ig' co&ewAn)eR = (дц - ieQ^Ap),
где
и мы воспользовались соотношениями между константами д, д', е и уг-
углом $w
• а до'
е = д sin &w =
Таким образом, если имеется только электромагнитное поле, то действие
A.68) превращается в действие электродинамики
= ctx [e[i
~ me(eReL + e[eR)] =
i - теёе].
Следующие из него уравнения — это уравнение Дирака для массивно-
массивного электрона с зарядом (-е) в электромагнитном поле Ац и свободное
уравнение Вейля для безмассового электронного нейтрино (которое элек-
электрически нейтрально).

32 Глава 1. Фермионы во внешних полях
Лептоны двух других поколений вводятся в модель в полной аналогии
с электроном и электронным нейтрино. Они образуют левые дублеты
vT\ y---
S ~/L' 2'
и правые синглеты
Полное лептонное действие представляет собой сумму действий для леп-
тонов трех поколений,
Slept = Se,ve + Sn>Vll + STtVr, A-69)
где каждый член имеет структуру A.68), различны лишь юкавские кон-
константы he, Нц и hr. Например, константа h^ связана с массой мюона
соотношением, аналогичным A.67),
Рассмотрим теперь сильновзаимодействующие частицы — кварки.
В природе существует шесть типов кварков: и, d, s,c,b и t. Каждый из
кварков может находиться в трех различных состояниях, так что на самом
деле имеется три типа и -кварков, три типа rif-кварков и т.д. (Боголюбов,
Струминский, Тавхелидзе, 1965; Хан, Намбу, 1965; Миямото, 1965). Эти
различные состояния называют цветами кварков и говорят, что кварки
образуют триплет по цвету,
и= \и2 \ , d= \ d2\ и т.д. A.70)
Сильные взаимодействия кварков описываются калибровочной теорией
с ненарушенной калибровочной группой цвета SUC)C — квантовой хро-
модинамикой (Фрицш, Гелл-Манн, Лейтвиллер, 1973; Гросс, Вильчек,
1973; Политцер, 1973). Столбцы A.70) преобразуются по фундаменталь-
фундаментальному представлению SUC)C, причем левые и правые компоненты волно-
волновых функций кварков преобразуются одинаково. Свободных кварков или
глюонов — калибровочных бозонов группы SUC)C — в природе не суще-
существует; сильновзаимодействующие частицы — адроны — это бесцветные
объекты, составляющими которых являются кварки и глюоны. Несколько
огрубляя ситуацию, можно сказать, что протон состоит из двух и -кварков
и одного rif-кварка, р = (uud); нейтрон — из двух d -кварков и одно-
одного «-кварка, п = (ddu). В соответствии с этим «-кварк и d-кварк имеют
электрические заряды

1.4. Фермионный сектор Стандартной модели 33
В дальнейшем мы не будем выписывать цветовой индекс кварков и будем
подразумевать по нему суммирование там, где это необходимо.
С точки зрения электрослабых взаимодействий кварки, как и леп-
тоны, разбиваются на три пары (которые называют семействами или
поколениями), а именно, (и, d), (с, s) и (t, Ь). Электрослабые взаимодей-
взаимодействия кварков каждого из поколений одинаковы 4\ поэтому ограничимся
пока кварками первого поколения, и и d. Их левые компоненты образуют
дублеты относительно электрослабой подгруппы SUB),
■(!)•
Ql =
а правые — синглеты относительно SUB). В полной аналогии с лептонами
находим из A.71) слабые гиперзаряды
Указанные свойства однозначно определяют вид ковариантных производ-
производных для дублета QL и синглетов «R и 6?r. Далее, все кварки обладают от-
отличной от нуля массой. Юкавское слагаемое, приводящее к массе rif-квар-
ка, записывается в полной аналогии с A.66),
A-72)
при этом масса rif-кварка (в вакууме A.64)) равна
и V
Отметим, что -Y(ir-Yip+Yql = 0, так что члены A.72) инвариантны отно-
относительно всей SUB) х [7A)-группы слабых взаимодействий. Чтобы ввести
юкавское слагаемое, обеспечивающее массу и -кварка (в вакууме A.64)),
напомним, что фундаментальное представление группы SUB) эквива-
эквивалентно своему сопряженному. Именно, если tpi, « = 1,2, преобразуется
по фундаментальному представлению группы SUB), то щ — е^) так-
также преобразуется по фундаментальному представлению SUB). Поэтому
синглетом по отношению к SUB) является как (^<2l)> так и ($Ql)-
Задача 20. Пусть щ и v,- — два двухкомпонентных столбца, преобразующих-
преобразующихся по фундаментальному представлению группы SU{2), т. е. преобразование
ш € SUB) действует как щ -лш^щ, v, -»• u)%jVj. Показать, что (t^v) = ujv,- =
CijUjVi — инвариант относительно действия группы SUB).
Наряду с юкавским членом A.72) можно написать другое юкавское
слагаемое
[№ I] A.73)
4)С
точностью до юкавских членов, см. ниже.

34 Глава 1. Фермионы во внешних полях
Поскольку в <р входит <р*, слабый гиперзаряд <р равен Y$ = -Yv = -1/2.
Из-за этого -FOr - Y$ + Yql = 0, и слагаемое A.73) инвариантно относи-
относительно SUB) х Z7(l). В вакууме A.64) имеем
( —
\ О
(напомним, что v действительно), и A.73) превращается в массовый член
для «-кварка с
v
Суммируя сказанное, действие для и- и d-кварков запишем в виде
(u,d) = / (fx
4(^l) + (Q[<p)dR] - К [ul$QL) + (Q[<p)uR]}, A.74)
где
/ Ta i \
- %g-A% - ig'-B^J QL,
Напомним, что каждый тип кварков, т.е. каждый из фермионов QL, «r,
dfR, является триплетом, преобразующимся по фундаментальному пред-
представлению группы цвета SUC)C. При этом Q^L, uR и dR преобразуются
по представлению группы SUC)C, сопряженному к фундаментальному
(т.е. являются антитриплетом). Свертка по цветовому индексу, подра-
подразумеваемая в A.74), обеспечивает инвариантность относительно SUC)C
(при этом ковариантные производные включают в себя калибровочные
поля группы SUC)с, которые мы не выписывали).
Прямым обобщением действия A.74) на случай трех поколений
кварков было бы выражение
«Squark = £(М) + ^(c,s)
где каждое из слагаемых имеет структуру A.74), но с различными юкав-
скими константами.
Такое обобщение, однако, слишком тривиально и не учитывает одного важного
обстоятельства — смешивания кварков (Каббибо, 1963; Кобаяши, Маскава, 1973).
Усложнение связано с юкавскими членами, которые в A.75) имеют не наиболее

1.4. Фермионный сектор Стандартной модели 35
общий вид. Для построения юкавских членов общего вида введем индекс по-
поколения А = 1, 2, 3 и объединим кварки с одинаковыми квантовыми числами
в тройки
r = («R,
Наиболее обший вид действительных калибровочно инвариантных юкавских чле-
членов такой:
A.76)
где ft^T^ и Им} — произвольные комплексные матрицы 3 х 3. От части этого
произвола можно избавиться с помощью замен переменных, и тем не менее
в модели остаются четыре дополнительных (по отношению к калибровочным
константам и массам кварков) параметра — три угла смешивания и фаза. Этот
факт имеет важное значение для физики частиц. Отметим, что для массивных
нейтрино такое усложнение имеется и в лептонном секторе.
Задача 21. Найти «Z-заряд» каждого кварка и лептона, т. е. константу перед
слагаемым типа Vl^V'l^ или ^r^'Vr^t* b фермионном действии.
Обсудим одно важное свойство фермионной части действия Стан-
Стандартной модели
Sp = S\tpt + #quarb A.77)
и следующих из него уравнений Дирака, Рассмотрим вначале электро-
электроны, электронные нейтрино и их античастицы. Соответствующая система
уравнений Дирака во внешних бозонных полях следует из действия A.69),
A.68) и имеет вид
^L - he(peR = 0,
t
- he(<pJLL) - 0.
В присутствии полей W -бозонов в уравнении A.78) имеются члены, пе-
перемешивающие электронную и нейтринную компоненты волновой функ-
функции Ll- Они возникают из ковариантной производной A.78) и имеют вид
- 0
Поэтому во внешних W -бозонных полях число электронов и число элек-
электронных нейтрино по отдельности не сохраняются: е может перейти в ve

36
Глава 1. Фермионы во внешних полях
и наоборот. Кроме того, как мы обсуждали в разделе A.2), могут рождаться
пары частица-античастица. В то же время разность
/
число электронов
\
число электронных
у нейтрино
г 5)
число позитронов
число электронных
антинейтрино )
A.79)
сохраняется5^. Эту величину называют электронным лептонным числом;
его сохранение связано, разумеется, с тем, что действие электронов
и нейтрино S(etVt) отщепляется в полном действии A.77). Сохранение Le
означает, например, что бозонные поля Стандартной модели не могут
привести к переходу электрона в мюон (или наоборот) без излучения
соответствующего нейтрино и антинейтрино.
Аналогично, сохраняется мюонное лептонное число
и лептонное число третьего поколения
A.80)
A.81)
В квантовой теории поля W- и Z -бозонные поля могут образовываться вирту-
виртуально; именно виртуальные W- и Z -бозоны приводят к слабым взаимодействиям
кварков и лептонов при невысоких энергиях. Изложенные соображения о сохра-
сохранении Le, Lft и LT работают и для виртуальных бозонных полей. Сохранение Le
и L,t проявляется, например, в невозможности процесса распада
ц ->■ е + 7 (Д-Ьд = -1, Д-Ье = 1).
Такой распад действительно экспериментально не наблюдался, и имеются сильные
экспериментальные ограничения на его вероятность. Распад мюона в природе
происходит с сохранением Le и £д, в основном по каналу
/х -+ е + пе + i/д.
Наконец, в кварковом секторе сохраняется барионное число
В = - [(полное число кварков) - (полное число антикварков)].
Фактор 1/3 введен здесь для того, чтобы барионные числа протона
и нейтрона равнялись 1.
В последующих разделах мы будем обсуждать возможность несохранения Le
и других фермионных чисел, связанную с весьма нетривиальным механизмом
пересечения фермионных уровней. Изложенные здесь соображения верны для
топологически тривиальных внешних полей.

1.4. Фермионный сектор Стандартной модели 37
Барионные числа отдельных поколений не сохраняются из-за смешивания A.76).
Полное барионное число сохраняется в природе с высокой точностью: именно
по причине сохранения барионного и лептонного чисел протон — легчайшая
частица с ненулевым барионным числом — стабилен (экспериментально показано,
что время жизни протона превышает 1032 лет!).
Итак, в Стандартной модели имеются четыре сохраняющихся6* гло-
глобальных квантовых числа: Le, L^, LT и В.
6>См.
предыдущую сноску.

Глава 2
Фермионы
и топологические внешние поля
в двумерных моделях
В этой главе мы рассмотрим два эффекта, возникающих при вза-
взаимодействии фермионов с топологически нетривиальными внешними
бозонными полями — дробление фермионного числа и несохранение
фермионных квантовых чисел благодаря явлению пересечения уровней.
Оба эти явления имеют место как в двумерных, так и в четырехмерных
моделях. Поскольку двумерные теории анализируются проще, в этой главе
мы остановимся именно на моделях в двумерном пространстве-времени.
Сделаем одно общее замечание. Во многих случаях взаимодействие
фермионов с бозонными полями можно описывать, считая скалярные
и векторные поля внешними (и классическими) и изучая уравнение
Дирака в этих полях. Разумеется, такое описание является приближен-
приближенным: присутствие фермионов, вообще говоря, деформирует конфигурации
бозонных полей. Однако последний эффект в целом ряде случаев пред-
представляет собой малую поправку, и мы будем им пренебрегать. Этот момент
мы прокомментируем в дальнейшем, рассматривая конкретные модели.
2.1. Дробление заряда
Одно из явлений, возникающих при взаимодействии фермионов
с солитонами, — это дробление фермионного числа и электрического
заряда (Джекив, Ребби, 1976b). Это явление было действительно обна-
обнаружено в одномерных системах физики конденсированных сред. В этом
разделе мы обсудим дробление заряда на примере двумерных фермионов,
взаимодействующих с кинком.
Итак, рассмотрим фермионы, взаимодействующие юкавским обра-
образом с действительным скалярным полем <р в двумерном пространстве-
времени. Уравнение Дирака во внешнем поле <р имеет вид
0, B.1)

2.1. Дробление заряда 39
где ip — двухкомпонентный столбец,
а двумерные матрицы Дирака имеют вид A.15). Рассмотрим случай, когда
внешнее поле ip — это поле кинка. Напомним, что решение в форме
кинка возникает в 1 + 1-мерной теории действительного скалярного поля
в том случае, когда скалярный потенциал V(<p) имеет два вырожденных
минимума, например
4
Это решение статическое и имеет асимптотики
<рк(х1 -> ±оо) = ±v, B.3)
где v — значение поля <р в одном из основных состояний, v > 0. Мы
будем считать, что <рк антисимметрично в пространстве,
Отметим, что поле
/Л I *Э* 1 ■*"~* i О* I ^— О* I — //li I О* 1 I / ^X I
представляет собой поле антикинка и имеет асимптотики
<рй(х1 -> ±оо) т= ^v.
Поскольку поле кинка статическое, имеет смысл говорить об энергии
фермиона в этом поле. Иными словами, решения уравнения Дирака во
внешнем статическом поле <р(х1) можно искать в виде
Волновая функция с определенной энергией удовлетворяет уравнению
Ht>% = Ш1рш(х1), B.6)
где дираковский гамильтониан равен
H. B.7)
причем матрицы а и Р имеют вид Р = 7° .= т1; а = 7°71 = ~тЪ •
Если бы поле <р находилось в основном состоянии, (р = v, то га-
гамильтониан B.7) описывал бы свободный фермион с массой m = hv. Во
внешнем поле кинка заведомо имеются состояния фермиона в непрерыв-
непрерывном спектре с энергиями, превышающими т, но могут существовать (и,
как мы сейчас увидим, действительно существуют) дискретные уровни
с энергиями меньше т. В любом случае, если рассматривать фермионы

40 Глава 2. Фермионы и топологические поля в двумерных моделях
с энергиями порядка т, то их присутствие будет слабо влиять на поле
кинка, если энергия самого поля кинка значительно превышает т. Таким
образом, наше приближение, в котором поле кинка считается внешним,
а влияние фермионов на кинк мало, справедливо при
Mk > hv, B.8)
где Мк — масса кинка. В модели со скалярным потенциалом
= \(<p2-v2J
имеем Mk ~ y/\v3 (см. раздел 7.1 книги I), и соотношение B.8) имеет
вид
9 h
Именно этот случай мы будем рассматривать в дальнейшем.
Вернемся к обсуждению спектра дираковского гамильтониана B.7)
в поле кинка <р = (р^х1). Ключевым для дальнейшего является наличие
нулевой моды — локализованного состояния с энергией w = 0 (Дашен,
Хасслахер, Неве, 1974а). При ш = 0 уравнение B.6) в терминах компонент
столбца B.2) имеет вид
iditpi + h<pkip2 = 0,
-idii>2 + h(pktl>i = 0,
или, эквивалентно,
0iW>i ~ ifo) + hM4>i ~ ifa) = 0.
flifah + ifo) - h(pk(ipi + itl>2) = 0.
Из последних уравнений ясно, что комбинации (ipi ± ъ-фг) равны
Xх
± ifa) = А± exp I ± / hip^x1) dxl \,
о
о
где А± — произвольные пока постоянные. Учтем теперь асимптотики
поля кинка B.3) и получим, что при больших \xl\ справедливо
х
I h<P)[{xl)dxl ~ hv\xl\.
Поэтому комбинация (^i + г'фг) экспоненциально растет при \xl\ ->• оо
(если А+ Ф 0), а комбинация (^ - i-фг) экспоненциально убывает как
при х1 —>■ +оо, так и при х1 —)■ -оо. Следовательно, имеется ровно
одна нормируемая нулевая фермионная мода; для нее {ip\ + г^>2) = 0>

2.1. Дробление заряда 41
т. е. А+ = 0. В терминах двухкомпонентного спинора волновая функция
нулевой моды равна
ехр | - У ^(я1) (fc11, B.9)
о
где А — нормировочная постоянная.
(к)
Ясно, что нулевая мода ^о Должна быть инвариантна относитель-
относительно С-сопряжения (с точностью до фазового множителя): если бы это
было не так, то С-сопряженная функция
была бы другим решением уравнения Дирака с нулевой энергией ^. Ин-
Инвариантность нулевой моды относительно С-сопряжения нетрудно про-
проверить явно.
Задача 1. Показать прямым вычислением, что волновая функция B.9) инвариантна
относительно С-сопряжения (с точностью до фазового множителя).
Нулевую фермионную моду в поле антикинка можно найти, восполь-
воспользовавшись свойством B.4). Из этого свойства следует, что при операции
пространственного отражения (с матрицей Р = 7°) уравнение Дирака
в поле кинка переходит в уравнение Дирака в поле антикинка. Поэто-
Поэтому спектр собственных значений оператора Дирака в поле антикинка
совпадает со спектром оператора Дирака в поле кинка, а соответству-
соответствующие собственные функции связаны между собой Р-преобразованием.
В частности, нулевая мода в поле антикинка равна
(множитель (-1) введен для удобства), или в явном виде
ехр j/ h^{xl)dxlY B.10)
о
где мы воспользовались явным видом матрицы Р = j° и свойством B.4).
Задача 2. Показать прямым вычислением, что функция B.10) является единствен-
единственным решением уравнения Дирака с нулевой энергией в поле антикинка.
Задача 3. Показать, что в топологически тривиальных статических внешних полях
<р(х1) (таких, что <р(х1 -> ±оо) = v) нулевые фермионные моды отсутствуют.
') Тот факт, что уравнение Дирака B.1) инвариантно относительно С-сопряжения
и в присутствии действительного внешнего поля у(ж'), проверяется в полной
аналогии с разделом 1.1.

42 Глава 2. Фермионы и топологические поля в двумерных моделях
Обсудим теперь, к чему приводит существование фермионной моды
с нулевой энергией в поле кинка. Прежде всего, имеется два вырожденных
состояния системы в солитонном секторе. В одном из них фермионный
уровень, соответствующий нулевой моде, заполнен, в другом — нет;
поскольку энергия фермиона на этом уровне равна нулю, полные энергии
(массы) этих состояний одинаковы. Разность фермионных чисел этих
состояний равна единице,
i\Tf(k)-iVe(k) = l, B.11)
где JVf обозначает фермионное число состояния с заполненным (filled)
(к)
нулевым уровнем в поле кинка, а Щ — фермионное число состояния
с незаполненным (empty) нулевым уровнем. Аналогично, имеется два
вырожденных состояния антикинка, разность фермионных чисел которых
также равна единице
isrf(a)-isre(a) = i.
Покажем, что соответствующим состояниям следует приписать
полуцелые фермионные числа,
*«=*<•> = !, JVe(k) = JVia) = -I. B.12)
Заметим сначала, что в силу симметрии теории относительно простран-
пространственного отражения фермионные числа состояний одного типа равны
для кинка и антикинка,
N® = iSTf(a), i\Te(k) = JVe(a). B.13)
Рассмотрим теперь мысленный эксперимент, в котором адиабатически
медленно рождается пара кинк—антикинк. Скалярное поле в этом про-
процессе изменяется с течением времени так, как показано на рис. 2.1. Нас
интересует поведение системы уровней фермионов с течением времени
в этом процессе. Иными словами, в фиксированный момент времени х°
необходимо найти собственные значения гамильтониана Дирака во внеш-
внешнем поле ^(х1, х°), причем х° рассматривается как параметр, т. е. решить
задачу на собственные значения
-m— + h<p(x°, х1
Набор собственных значений ш(х°) и представляет собой искомую сис-
систему уровней фермионов; она зависит от х° как от параметра, т. е. уровни
(адиабатически медленно) движутся со временем.
В силу С-симметрии положительные и отрицательные уровни дви-
движутся симметрично: если в данный момент х° имеется положительный
уровень с энергией ш, то есть и отрицательный уровень с энергией (~ш).

2.1. Дробление заряда
43
Рис. 2.1
Вначале система уровней соответствует свободным фермионам с массой
т = hv. В конце процесса, когда кинк и антикинк разойдутся на бес-
бесконечное расстояние, в системе имеются два уровня с нулевой энерги-
энергией. Таким образом, система
фермионных уровней изме-
изменяется со временем так, как
изображено на рис. 2.2.
Пусть в начале процесса
система фермионов находи-
находилась в дираковском вакууме:
все уровни с отрицательной
энергией были заполнены,
а все уровни с положитель-
положительной энергией — свободны.
При этом фермионное чис-
число системы было равно ну-
нулю. При адиабатическом из-
изменении внешнего поля фермионы с уровня на уровень не перескакивают.
Следовательно, в конечном состоянии будут заполнены все отрицатель-
отрицательные и один нулевой уровень. Это может быть уровень, локализованный
Рис. 2.2

44 Глава 2. Фермионы и топологические поля в двумерных моделях
на кинке или уровень, локализованный на антикинке (в действительности
эти две возможности реализуются с вероятностью 1/2 каждая, что очевид-
очевидно из Р-инвариантности). При этом полное фермионное число системы
не изменятся, т. е. в конце процесса оно по-прежнему равно нулю. Ес-
Если, например, заполнен нулевой уровень, локализованный на кинке,
а уровень на антикинке свободен, то равенство нулю фермионного числа
в конечном состоянии означает, что
Вместе с соотношениями B.11) и B.13) это и приводит к полуцелым
фермионным числам B.12).
Если фермионы несут электрический заряд е (а скалярное поле элек-
электрически нейтрально), то нам приходится заключить, что электрический
заряд кинка с заполненным нулевым фермионным уровнем равен \е
(а заряд кинка со свободным нулевым уровнем равен (-\е))\ На первый
взгляд это заключение парадоксально, поскольку в системе нет элемен-
элементарных возбуждений — частиц — с полуцелым электрическим зарядом.
Разрешение этого кажущегося парадокса состоит в том, что дираковское
море во внешнем поле ip(xl) может нести электрический заряд, кото-
который не обязан быть целым; говорят, что дираковское море поляризуется.
Последнее утверждение подкрепляется прямым вычислением электриче-
электрического заряда (и фермионного числа) дираковского моря в поле кинка;
такое вычисление проводится в рамках квантовой теории поля, и здесь
мы не будем его приводить.
2.2. Пересечение уровней и несохранение
фермионных квантовых чисел
В этом разделе мы рассмотрим простейшую модель, где возникает яв-
явление пересечения фермионных уровней и связанное с ним несохранение
фермионных квантовых чисел, — теорию двумерных безмассовых ферми-
онов, взаимодействующих с абелевым (внешним) калибровочным полем.
Явление пересечения уровней тесно связано с квантовой аномалией (Ад-
(Адлер, 1969; Белл, Джекив, 1969) в дивергенции соответствующего ферми-
фермионного тока, поэтому обусловленное им несохранение квантовых чисел
фермионов, имеющее непертурбативный характер, нередко называют ано-
аномальным. Аномальное несохранение фермионных чисел было обнаружено
в контексте инстантонных процессов 'тХоофтом A976а, Ь), который ис-
использовал формализм, существенно отличающийся от изложенного в этом
и последующих разделах (формализм евклидова функционального инте-
интеграла, в котором несохранение фермионных квантовых чисел возникает
благодаря наличию евклидовых нулевых фермионных мод). Интерпрета-
Интерпретация механизма 'тХоофта в терминах пересечения фермионных уровней

2.2. Пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 45
дана Каштаном, Дашеном и Гроссом A978) и Кискисом A978). Двумер-
Двумерные модели с этой точки зрения рассматривались Нильсеном и Ниномия
A983) и Амбьорном, Гринсайтом и Петерсоном A983). Мы увидим в сле-
следующих главах, что аномальное несохранение фермионных квантовых
чисел характерно для целого ряда систем в четырехмерном пространстве-
времени; оно приводит к следствиям, интересным как с точки зрения
физики частиц, так и с точки зрения космологии.
Напомним, что свободные безмассовые фермионы в двумерном про-
пространстве-времени описываются двухкомпонентной волновой функцией
-(;)■
удовлетворяющей уравнению Дирака
i/d^ = 0, fi = 0,1.
Мы будем по-прежнему использовать представление A.15) двумерных
матриц Дирака, у0 = т1 ,yl =ir2.B этом представлении свободные урав-
уравнения для х и V расщепляются,
(ido-idi)x = O, B.14)
0. B.15)
Общее решение уравнения B.14) представляет собой произвольную ком-
комплексную функцию переменной <со + #ь т. е. х = х(хо + Я\). Поэтому х —
это волна, движущаяся налево. Аналогично, т/(жо — Xi) — решение уравне-
уравнения B.15) — представляет собой волну, движущуюся направо. Мы будем
говорить, что х описывает левые фермионы (фермионы, движущиеся
налево), а ц — правые фермионы.
Для дальнейшего удобно считать, что одномерное пространство име-
имеет конечную длину L, а на границах наложены периодические граничные
условия. Решения уравнения Дирака с фиксированной энергией ш имеют
вид
Хш — е , ш — -к,
f/u — е , ш — +к,
причем в обоих случаях импульс к принимает дискретный ряд значений,
27Г
fc=— n, п = 0,±1,±2,... . B.17)
Спектр энергий ш, по существу, бесщелевой (первый уровень отделен
от нуля щелью с шириной 2тг/£), вырождения нет.
Поскольку уравнения для левых и правых фермионов расщепля-
расщепляются, имеет смысл говорить о левом фермионном числе JVl и правом
фермионном числе iSTR, которые по отдельности сохраняются. Например,

46 Глава 2. Фермионы и топологические поля в двумерных моделях
Nl — это разность между числом
фермионов, движущихся налево, и
антифермионов (дырок в дираков-
ском вакууме), также движущихся
налево. Одно из состояний фер-
фермионной системы изображено на
рис. 2.3. Вместо iSTL и Nr можно
ввести сохраняющееся полное фер-
мионное число Np = JVL + iVR и ки-
ральность Q5 = NL - iSTR.
Пусть теперь фермионы взаимо-
взаимодействуют с абелевым калибровоч-
калибровочным полем Ар группы U{\) и не-
несут заряд е. По аналогии с четырех-
четырехмерной электродинамикой мы будем
называть Ац электромагнитным век-
вектор-потенциалом. В действительно-
действительности о магнетизме речи не идет: един-
единственная отличная от нуля компо-
компонента тензора напряженности Foi =
-JFio соответствует электрическому
полю, JFqi = -Е. Уравнение Дирака
во внешнем поле Ац(х°, ж1) получается, как обычно, удлинением произ-
производных. Для левой и правой компонент имеем уравнения
1
Л
левые
/~\
о
правые
Рис. 2.3. Состояние фермионной систе-
мы с JVL = 2 и iVR = -1. Пустые кружки
обозначают незаполненные уровни в ди-
раковском море, черные кружки — за-
заполненные уровни
[г{д0 - ieA0) - Щ - ieAJ] x = 0, B.18)
[Щ - ieA0) + i(dx - ieAi)] ц = 0. B.19)
Можно было бы думать, что JVl и JVr по-прежнему по отдельности сохра-
сохраняются, поскольку левые и правые компоненты фермионных волновых
функций не перемешиваются. Убедимся, что это не всегда так.
В качестве простейшего примера рассмотрим процесс, при котором
на систему фермионов накладывается на некоторое время однородное
в пространстве электрическое поле, направленное вдоль ж1 в положи-
положительную сторону; при х° -»• ±оо электрическое поле отсутствует. Пусть
в начале процесса система фермионов находится в основном состоянии —
дираковском вакууме. При наложении электрического поля находящиеся
в дираковском море фермионы типа rj, движущиеся направо, будут при-
приобретать энергию. Часть из них станет обладать положительной энергией.
После выключения электрического поля эти фермионы по-прежнему бу-
будут иметь положительную энергию, т. е. некоторые положительные уровни
будут заполнены и в системе появятся: реальные правые фермионы. На-
Наоборот, фермионы дираковского моря типа х, движущиеся налево, теряют
энергию в электрическом поле, т. е. их энергия ш со временем становится
все более отрицательной. Это означает, что часть отрицательных уровней

2.2, Пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 47
1
t
i
левые
л
л
л
i
к
правые
1
/-\
и
левые
ш
i
Л
Л
Л
g
t
i
i
правые
Рис. 2.4
левых фермионов будет незаполнена в конце процесса, т. е. в системе по-
появятся дырки — левые антифермионы. Начальное и конечное состояние
системы изображены на рис. 2.4. Таким образом, левое фермионное чис-
число JVl в этом процессе будет уменьшаться, а правое JVr — увеличиваться.
JVl и JVr по отдельности сохраняться не будут. Для количественного
описания этого процесса выберем калибровку вектор-потенциалов, где
Ао = 0 и Ai = A\(x°). Электрическое поле равно
Е = -д0А1{х°). B.20)
При этом в начале процесса Ai(x° = -об) — 0, а в конце его
и
А\ - const = -—,
е
+00.
B.21)
Решим уравнения B.18), B.19) в таком поле. Решения, обладающие
энергией ш в начале процесса, имеют вид
Ai(t)dt
ie f At(t)dt
-00
.0
При xv -t +oo эти решения характеризуются энергиями (ш - ц) и (ш + ц),
соответственно,
X = const-
rj = const'
B.22)
B.23)
Тот факт, что импульс для этих решений не совпадает по абсолютной вели-
величине с энергией, объясняется присутствием ненулевого вектор-потенциала B.21)

48 Глава 2. Фермионы и топологические поля в двумерных моделях
в конце процесса. Этот вектор-потенциал можно устранить калибровочным преоб-
преобразованием Ац -¥ Ац + \др<х, V> -> e"*V> = ip' ca = pxl.B результате калибровочно
преобразованные волновые функции в конце процесса будут иметь обычный вид
X' = const • е-'^Х*0**1), if = const • e^^*0-*1).
В начале процесса заполнены все уровни с ш ^ 0. Из B.22), B.23)
следует, что в конце процесса будут заполнены все левые уровни с энер-
энергией, меньшей (-/г), и все правые уровни с энергией, меньшей (+/г).
Левые уровни в интервале энергий (-/г, 0) будут свободны. Таким об-
образом, в системе образуется одинаковое количество правых фермионов
и левых антифермионов, т. е.
ANL = -ANR. B.24)
Полное фермионное число N? = N^ + JVr сохраняется, но киральность
Q5 = NL - JSTR изменяется.
Для вычисления AJVr учтем, что энергии свободных фермионов
пробегают значения ^п, п = 0, ±1,4:2,... (см. B.16), B.17)), причем
уровни невырождены. В конце процесса реальные правые фермионы
заполняют все уровни с энергиями от 0 до /г, т. е. уровни с
Таких уровней имеется j^fi штук, поэтому
AJ\TR = —ц. B.25)
2тГ v '
Учитывая B.20) и B.21), этому равенству можно придать следующий вид:
ANR = ~ I dx1 dx° E B.26)
или
ДЛГ„ — / fi2x p F О "O\
Для изменения полного фермионного числа и киральности имеем
ANF = 0, B.28)
AQ5 = 4~ [ d2x SnuFuv. B.29)
2тг J
Итак, в данной модели не сохраняется одно из фермионных квантовых
чисел — киральность (разность чисел левых и правых фермионов), причем
в рассмотренном процессе изменение киральности дается соотношением
B.29). Отметим, что правая часть B.29) пропорциональна топологиче-
топологическому числу двумерной конфигурации калибровочного поля, введенному
в разделе 13.2 книги I.

2.2. Пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 49
Соотношения B.24) и B.27), или, что то же самое, B.28), B.29),
имеют на самом деле весьма общий характер. Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим сначала калибровочное поле Ai(x°, х1), адиабатически мед-
медленно меняющееся со временем и описывающее электрическое поле
Е(х°, х1) = -doAi(x°, xl), которое выключается при х° -» ±оо. В осталь-
остальном поле А\(х^) произвольно; без ограничения общности можно считать,
что в начале процесса А\(х°, х1) = 0, х° -> -оо. При этом в конце
процесса Ai(x° -4 -foo, xl) отлично, вообще говоря, от нуля.
Решения уравнения Дирака в адиабатически медленно меняющемся
внешнем поле имеют вид
•°
4>(x°,xl) = e - г1>фо)(х1), B.30)
где ^u(x°)(xl) ~ собственная функция мгновенного дираковского гамиль-
гамильтониана
Нф^фо^х1) = сф0)^)^1), B-31)
где
HD(x°) = -ia[di - ieA{(x°, ж1)].
Как и прежде, а = j0/yl = -г3. В уравнении B.31) время ж0 надо рассмат-
рассматривать как параметр. Соотношения B.30) и B.31) означают, что в течение
всего процесса энергии ш(х°) фермионных уровней изменяются (уровни
движутся), при этом фермионы остаются на тех же уровнях, на которых
они находились сначала (перескоков с уровня на уровень не происходит).
В начале и в конце процесса электрическое поле выключено, поэтому сис-
системы фермионных уровней совпадают — это системы уровней свободного
дираковского гамильтониана. В то же время, движение фермионных уров-
уровней может быть нетривиальным: мы сейчас увидим, что левые и правые
уровни могут двигаться так, как изображено на рис. 2.5. Некоторые уровни
могут пересекать нуль и перемещаться из области отрицательных2^ ш в об-
область положительных ш (на рис. 2.5 это два уровня правых фермионов).
Если, например, начальное состояние фермионной системы представля-
представляет собой дираковский вакуум, как изображено на рис. 2.5 для правых
фермионов, то в конечном состоянии будут иметься реальные фермионы
в количестве, равном числу уровней, пересекших нуль снизу. Некоторые
уровни могут пересекать нуль сверху и из области положительных ш пере-
переходить в область отрицательных ш. Эти уровни будут свободны в конечном
состоянии (если начальное состояние представляет собой дираковский ва-
вакуум), т. е. в системе появятся антифермионы. Таким образом, изменение
2) Мы относим нулевой уровень к дираковскому морю; это — вопрос соглашения,
несущественный для дальнейшего. В пределе бесконечного пространственного
размера эта тонкость пропадает.

50 Глава 2. Фермионы и топологические поля в двумерных моделях
правые
левые
Рис. 2.5
правого фермионного числа в указанном процессе будет равно
_ /количество правых уровнейД _ /количество правых уровнейД
\ пересекших нуль снизу ) \ пересекших нуль сверху /
и аналогично для AN^. Ясно, что это соотношение не зависит от началь-
начального состояния, что проиллюстрировано на рис. 2.5 для левых фермионов
(Ai\TL =-2 на рис. 2.5).
Отметим одну тонкость. Спектры фермионов действительно будут
совпадать в начале и в конце процесса, если конечное поле Ai(x° -4
+оо, ж1) может быть сделано равным нулю несингулярным калибровоч-
калибровочным преобразованием с калибровочной функцией eIQ^ ), периодической
в пространстве с периодом L. Для этого требуется (см. раздел 13.2 кни-
книги I), чтобы была целой величина
1/2
2тг J
оо, xl)dxl,
L/2
которая представляет собой топологическое число калибровочного ва-
вакуума в конечном состоянии. Напомним, что п связано с топологиче-
топологическим числом двумерной конфигурации калибровочного поля (мы считаем
А\ - 0 при х° -»• -оо),
<?Х£,
Именно случай целых q мы будем рассматривать в дальнейшем.

2.2. Пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 51
Чтобы связать AJVr и ANi с q, решим уравнение B.31). Для правых
и левых фермионов решения имеют вид
°,xl) dxl
X«(*°)(s ) = е °
Условия периодичности волновых функций ту и х на границах простран-
пространства удовлетворяются при
1/2
правые: u>n(x°)L + е I А\(х°, x1) dxl = 2тгп,
-L/2
L/2
левые: шп(х°I - е / Ai(x°,xl) dx1 = 2тгп, п = 0, ±1, ±2,... .
-1/2
Таким образом, энергии фермионов на n-х уровнях в момент времени х
равны
1/2
правые: шп(х°) = ^ - - [ А^х0, xl) dx1, B.32)
1/2
левые : и;п(ж ) = —-—I- — / А\(х , х ) dx . B.33)
jL L J
-L/2
Отсюда видно, что при q ф 0 уровни действительно движутся так, как
изображено на рис. 2.5. При х° -> -оо имеем шп = ^, а при ж0 -> 4-оо
этот уровень будет занимать положение (п ± q)-vo уровня свободных
фермионов (верхний знак относится к левым фермионам, нижний —
к правым),
Ч,(х» -» +00) = 2*inL±q).
Мы заключаем, что разность количеств уровней, пересекающих нуль снизу
и сверху, равна q для левых фермионов и (-q) для правых. Следовательно,
ANR = -q, B.34)
ANL = q, B.35)
что совпадает с формулами для пространственно однородного поля.
Наконец, откажемся от требования адиабатического изменения по-
поля ill со временем. В неадиабатической ситуации возможны перескоки

52 Глава 2. Фермионы и топологические поля в двумерных моделях
фермионов с уровня на уровень, а движение самих уровней по-прежне-
по-прежнему дается формулами B.32), B.33). Существенно, что левые фермионы
не могут перескакивать на правые уровни и наоборот, поскольку урав-
уравнения Вейля для левых и правых фермионов расщепляются. Все, что
может произойти в конечном состоянии по сравнению с адиабатиче-
адиабатическим случаем, — это появление некоторого количества дополнительных
правых фермионов в реальном состоянии (с ш > 0) и такого же ко-
количества дырок в дираковском море правых фермионов (и аналогично
для левых). Это никак не сказывается на правом (и левом) фермионных
числах конечного состояния, поскольку они определяются как разность
между числом фермионов с ш > 0 и дырок в дираковском море (ан-
тифермионов). Мы заключаем, что формулы B.34), B.35) (или, что то
же самое B.28), B.29)) имеют общий характер, если калибровочное поле
находится в вакуумном состоянии в начале и в конце процесса (и даже
в более общей ситуации, когда конфигурации поля А\ в начале и в конце
не зависят от времени и отличаются несингулярным и периодическим
калибровочным преобразованием).
Сделаем несколько замечаний.
1) Мы ничего не говорили о причинах, по которым возникает калиб-
калибровочное поле А\ (х°, х1), а также о том, взаимодействует ли оно с другими
бозонными полями; нам было важно лишь, что в начале и в конце его
конфигурации соответствуют топологически различным вакуумам. Такое
поле в абелевой модели Хиггса при нулевой температуре может воз-
возникнуть в результате туннельного процесса (инстантон). Таким образом,
инстантонный переход в абелевой модели Хиггса с безмассовыми фер-
фермионами приводит к несохранению киральности (для одного инстантона
q = 1 и киральность изменяется на AQ5 = 2). В абелевой модели Хиггса
при конечной температуре поле А\(х°,х1) может появиться в результате
теплового скачка (через сфалерон); такой процесс в теории с фермионами
также приводит к несохранению киральности.
2) В любом случае для несохранения киральности требуются «боль-
«большие» поля: малые возмущения А\ не приводят к переходам между топо-
топологически различными вакуумами.
3) Если бы в модели имелись только правые поля, а левая компо-
компонента 1J) отсутствовала вовсе (вейлевские двумерные фермионы), то нам
бы пришлось прийти к выводу о несохранении электрического заряда.
Действительно, электрический заряд дираковского моря мы положили
равным нулю, поэтому для системы правых вейлевских фермионов элек-
электрический заряд равен
Q = NR.
Несохранение JVr означало бы несохранение электрического заряда. Од-
Однако электродинамика с несохраняющимся электрическим зарядом внут-
внутренне противоречива (уравнения Максвелла самосогласованы только при

2.2. Пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 53
сохраняющемся векторе тока, дц]ц = 0). Таким образом, мы заключаем,
что теория электрически заряженных вейлевских фермионов внутренне
противоречива в двумерном пространстве-времени.
В квантовой теории поля можно построить операторы фермионных токов —
левого и правого
где 75 = ~7°71 = т3 в двумерном пространстве-времени. Операторы левого и пра-
правого фермионных чисел имеют вид
В квантовой теории поля доказывается, что токи j\ и j* не сохраняются (аналог
треугольной аномалии Адлера—Белла—Джекива, имеющей место в четырехмер-
четырехмерном пространстве-времени),
Od=fcrFr, B.36)
dnj/i = ~~TZ£nvFw B.37)
Соотношения B.34), B.35) по существу являются интегралами по пространству-
времени от аномальных тождеств B.36), B.37). Внутренняя противоречивость
двумерной квантовой электродинамики с только правыми фермионами очевидна
из соотношения B.37).
4) В рассмотренной нами модели нарушается киральность, а полное
фермионное число сохраняется. Нетрудно, однако, построить модель, где
не сохраняется полное фермионное число N-p = N\. + Nr (см. задачу
в конце раздела).
5) Тот факт, что разность количеств левых уровней, пересекающих
нуль снизу и сверху, равна топологическому числу q конфигурации ка-
калибровочного поля (для конфигураций, отличающихся в начале и в конце
калибровочным преобразованием), является простейшим вариантом тео-
теоремы Атьи—Патоди—Зингера. Возможность доказательства этого факта
путем прямого решения уравнения Дирака является спецификой простой
двумерной модели, рассмотренной в этом разделе.
Может сложиться впечатление, что явление пересечения уровней возможно только
для безмассовых фермионов. В действительности это не так: пересечение уровней
и несохранение фермионных квантовых чисел может иметь место и тогда, когда
фермионы приобретают массу за счет юкавского взаимодействия с хштсовскими
полями (этот механизм приобретения массы обсуждался в конце раздела 1.3).
В качестве примера рассмотрим абелеву модель Хигтса в двумерном пространстве-
времени и введем в нее фермионы, взаимодействующие с хштсовским полем
юкавским образом.

54 Глава 2. Фермионы и топологические поля в двумерных моделях
Лоренц- и калибровочно инвариантное действие можно записать, введя
заряженный правый фермион % и нейтральный левый фермион ( (ср. пример
в конце раздела 1.3). При калибровочных преобразованиях будем иметь tp -> ею<р,
X ~~* &и*Х> £ ~* £ и фермионное действие с юкавским членом можно выбрать
в виде
SF = f ix [X4(D0 + DX)X + t4(d0 - dM - h(x4<P + {V)]. B-38)
где по-прежнему Dp = дц - teAM. Здесь мы воспользовались явным видом дву-
двумерных 7-матриц.
Уравнения, следующие из действия B.38), имеют вид
i(Do + Dl)x-hVi^Ot B.39)
i@o-0i)£-V* = O. B.40)
Если внешние поля принимают вакуумные значения, Ац = 0, <р = v,
то система B.39), B.40) описывает свободный массивный дираковский фермион
в двумерном пространстве-времени: она сводится к свободному уравнению Дирака
для столбца
При этом масса фермиона равна т = hv.
Рассмотрим теперь внешние поля Ai(x°, ж1), <р(х°, х1) в калибровке Ао = 0.
Будем считать, что они интерполируют между соседними топологически различ-
различными вакуумами, т. е.
Ах(х1) = 0, ^(а;1) = г; при х° -* -сю,
А^^-дМ*1), <p(xl) = eia{xi)v при х° -^+оо,
G
причем
а(х1 -> +оо) - а(х1 -> -оо) = 2тт
(поскольку фермионы массивные, нет необходимости рассматривать систему
в пространстве конечной длины). Зададимся вопросом о том, возникает ли в таких
внешних полях явление пересечения уровней. Иными словами, нам необходимо
проанализировать спектр мгновенного дираковского гамильтониана для системы
B.39), B.40) в указанных внешних полях. Этот гамильтониан имеет вид
поскольку при Ао = 0 уравнения B.39), B.40) записываются для столбца B.41)
в форме
Отметим, что гамильтониан B.42) эрмитов, как и должно быть.
Мы решим только часть задачи, а именно, покажем (да и то не для всех
конфигураций полей А\ и <р), что мгновенный гамильтониан B.42) имеет ну-
нулевое собственное значение при некотором х°. Соответствующая собственная

2.2. Пересечение уровней и несохранение ферм ионных квантовых чисел 55
функция V'o быстро убывает при ж1 -ь ±оо, поэтому беспокоиться о выполнении
граничных условий для $> мы не будем. Чтобы сделать задачу более симметрич-
симметричной во времени, сделаем над всеми величинами калибровочное преобразование
с калибровочной функцией —а(ж1)/2. Тогда внешние бозонные поля будут ин-
интерполировать между статическими конфигурациями вида
= е</Ма%,
ж0 -> -оо
А1(хх)=-дф+(х1),
+00,
где /3± = ±a(xl)/2. Без ограничения общности можно считать, что а(х1 -+
-оо) = 0, а а(ж1 -> +оо) = 2тг. Тогда в начале процесса при изменении Xх фаза
поля <р меняется от нуля (когда х1 -> —оо) до (—тг) (когда х1 -> +оо); Это
означает, что при изменении х1 начальное поле ip (ж1) описывает полуокружность
радиуса v в комплексной плоскости, расположенную в нижней полуплоскости.
При х° -* +оо поле <р(х1) описывает полуокружность, расположенную в верхней
полуплоскости, а весь процесс происходит так, как изображено на рис. 2.6.
= +оо
ж" = +оо
= -00
Рис. 2.6. Эволюция поля <р с ростом х°. Сплошными линиями показаны «траектории»
^(ж1) при ж0 = —оо (нижняя полуокружность) и ж0 = +оо (верхняя полуокружность).
Пунктирные линии — «траектории» <р(х1) при промежуточных временах

56 Глава 2. Фермионы и топологические поля в двумерных моделях
Ограничимся для простоты конфигурациями, которые в некоторый мо-
момент времени (скажем, х° = 0) описываются действительными ^(а;1) и имеют
А^х1) = 0. В этот момент (как и при любом х°) поле <р{хх) изменяется от v
до (-г/) при х1, изменяющемся от -оо до +оо. При х° = 0 мгновенный гамиль-
гамильтониан B.42) равен
Он совпадает с гамильтонианом B.1) в поле антикинка и имеет, как показано
в разделе 2.1, нулевое собственное значение. Таким образом, в системе действи-
действительно происходит пересечение нуля одним из фермионных уровней. Отметим,
что для пересечения уровней существен тот факт, что поле <р обращается в нуль
в некоторой точке (х°, х1).
Заметно сложнее убедиться в том, что фермионное число изменяется ровно
на единицу во внешних полях А\ и ip рассматриваемого типа. Соответствующее
доказательство мы не будем здесь приводить. Отметим только, что на уровне
квантовой теории поля в модели имеется аномалия типа B.37) в фермионном
токе, или, в проинтегрированном виде,
и что подсчет пересечений уровней согласуется с этой формулой 3\
Задача 4. Рассмотрим безмассовые двумерные фермионы, взаимодействующие
с калибровочным полем группы 17A) аксиальным образом. Уравнение Дирака
имеет вид
ifD^ = 0,
где if> — двухкомпонентный столбец, a D^ определена как DM = д^ - ie^A^.
Матрица /ys, как и раньше, равна 75 = -tV = т3- Отметим, что калибровочные
преобразования над чр имеют вид
Найти поведение системы уровней энергии фермионов во внешнем поле А\{хй, ж1)
с q ф 0. Показать, что киральность в этой модели сохраняется, а полное фермионное
число — нет.
Калибровочный ток в этой модели также имеет аномалию. Чтобы сделать модель
непротиворечивой, необходимо добавить в нее другие фермионы.

Глава 3
Фермионы в полях солитонов и струн
в четырехмерном пространстве-времени
Цель этой главы — обсуждение некоторых динамических эффектов,
связанных с поведением фермионов в полях топологических объектов в че-
четырехмерном пространстве-времени — магнитных монополей 'тХоофта—
Полякова (разделы 3.1 и 3.2) и струн, то есть вихрей Абрикосова-
Нильсена—Олесена (раздел 3.3). Интерес к вопросам, рассматриваемым
в этой главе, связан в первую очередь с тем, что монополи и струны
естественным образом появляются в теориях большого объединения силь-
сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий (монополи существуют
практически во всех теориях большого объединения, а струны появляются
в относительно небольшом классе моделей). В этих теориях имеются, ко-
конечно, и фермионы — по крайней мере, известные кварки и лептоны. По-
Поэтому изучение динамики фермионов, взаимодействующих с монополями
и струнами, важно как для экспериментального поиска этих объектов, так
и с точки зрения выяснения их возможной роли в ранней Вселенной.
3.1. Фермионы в поле монополя:
целый угловой момент
и дробление фермионного числа
В этом и следующем разделах мы будем рассматривать простейшую
модель, где имеются монополи 'тХоофта—Полякова. Эта модель основана
на калибровочной группе SUB) и содержит действительный триплет
хиггсовских полей <ра. Основное состояние бозонных полей может быть
выбрано в виде
При этом остается ненарушенной подгруппа электромагнетизма U(l)em,
калибровочные преобразования которой имеют вид
ш(х) = ^ф). C.2)

58 Глава 3. Фермионы в полях солитонов и струн
В унитарной калибровке поля А^ и А2^ массивны, а безмассовое электро-
электромагнитное поле описывается вектор-потенциалом Агц.
Для удобства дальнейших ссылок запишем вид монопольного реше-
решения в регулярной калибровке
<pa=nav(l-H(r)), C.3)
A? = -^eaijni(l-F(r)), Aa0 = 0, C.4)
где радиальные функции удовлетворяют граничным условиям
F@) = #@) = 1, F(oo) = Я(оо) = 0. C.5)
В калибровке C.3) ненарушенная подгруппа электромагнетизма (которая
имеет смысл вдали от ядра монополя) определяется не формулой C.2),
а преобразованиями
ф) = ^а(х\ C.6)
где па = ха/г — компоненты единичного радиуса-вектора в трехмерном
пространстве.
Включим в модель фермионы, которые представляют собой дублет
по отношению к калибровочной группе SUB). В этом разделе мы будем
рассматривать дираковские фермионы, содержащие как левые, так и пра-
правые компоненты, и включим юкавское взаимодействие с хиггсовским
полем <ра. Соответствующая конструкция описана в разделе 1.3, поэтому
мы сразу запишем уравнение Дирака A.54)
> = 0. C.7)
Отметим, что мы положили затравочный массовый параметр m в A.54)
равным нулю. Фигурирующая в C.7) ковариантная производная равна,
как обычно для дублетного представления SUB),
Оц = дц- igT-A%. C.8)
Найдем прежде всего массы и электрические заряды фермионов
в вакууме C.1). Для этого оставим в ковариантной производной C.8)
только электромагнитное поле А3ц и положим <ра = vSa3. Тогда уравнение
C.7) будет иметь вид
Уравнения для верхней и нижней компонент SUB) -дублета

3.1. Фермионы в поле монополя 59
расщепляются и имеют вид
C-9)
Видно, что фермионы ipi и ^2 имеют одинаковую массу
hv
mF = —, C.10)
2 v '
при этом фермион tpi обладает электрическим зарядом (+f), а ферми-
он 1р2 — зарядом (-|). Отметим, что нестандартный знак массового
члена в уравнении C.9) не влияет на спектр энергий фермиона 1р2, что
следует из результата следующей задачи.
Задача 1. Найти унитарную матрицу U такую, что волновая функция ip'2 = Uip2
удовлетворяет уравнению
если fa удовлетворяет уравнению C.9).
Итак, в модели имеются два типа фермионов с противоположными
электрическими зарядами и одинаковой массой.
Рассмотрим теперь уравнение C.7) во внешнем поле монополя C.3),
C.4). Первым замечательным свойством этого уравнения является появле-
появление целочисленного углового момента у фермиона (Дерели, Сванк, Сванк,
1975; Джекив, Ребби, 1976b; Хазенфрац, 'тХоофт, 1976). Действительно,
внешнее поле монополя инвариантно относительно пространственных
вращений, дополненных вращениями во «внутреннем» пространстве. По-
Поэтому сохраняющейся величиной для уравнения Дирака в поле монополя
будет не обычный угловой момент фермиона, а комбинация, включающая
генераторы калибровочной группы SUB),
Г = 1а + за + ^, а = 1,2,3, C.11)
где орбитальный и спиновый моменты фермиона имеют обычный вид
а 0
та i*abcnJ>
L =-ге х
с,
причем сга — матрицы Паули, действующие на лоренцевы индексы левой
и правой компонент фермиона (в то время как та — матрицы Паули,
действующие на внутренние — изотопические — индексы SUB)-дублета).

60 Глава 3. Ферм ионы в полях солитонов и струн
Для явной проверки сохранения Ja запишем уравнение C.7) во внешних
полях C.3), C.4) в виде
C.12)
Квантовомеханический гамильтониан здесь равен
.a
где аа и C — стандартные матрицы A.5), действующие на лоренцевы
индексы. Тот факт, что Ja коммутирует с Н& >
[Ja,HD] = 0, C.13)
проверяется непосредственным вычислением.
Действительно, вычислим коммутатор [La, Яо]. Перенося производные направо,
получим
что для внешних полей C.3), C.4) дает
[L\HD]^^(l-F)(Taa\-aar\)-ih^(l-H)l3eabcnbTc+eabcabdc. C.14)
Далее, коммутатор за с Яс равен
[ЛЯ„] = -i[sa,am]Dn + \тьуь[8\р\.
Используя явный вид матриц за, ат и /3, получим
[за,Я„] = -еаЬсаьдс - ^A - F){raamnm - паттат). C.15)
Наконец, коммутатор за с Жо равен
= -^A - F)(aarbnb - пааттт) + ^-ie^ip1Vе'. C.16)
Сумма величин C.14), C.15) и C.16) равна нулю, что и доказывает C.13).
Квантовомеханический оператор C.11) обладает коммутационными
соотношениями углового момента
[J°, J ] = isabcJc- C-17)
Несколько необычным свойством этого углового момента является то, что
он содержит оператор изоспина та/2 («спин из изоспина»). Это свойство
приводит по правилу сложения моментов к целочисленности углового
момента Ja, несмотря на то, что речь идет о фермионах.

3.1. Фермионы в поле монополя 61
Задача 2. Вдали от центра монополя его конфигурацию можно перевести калибро-
калибровочным преобразованием в унитарную калибровку. При этом будет отличен от нуля
только электромагнитный потенциал А^. Найти выражение для сохраняющегося
углового момента фермиона вдали от центра монополя, выразить его через элек-
электрический заряд фермиона. Показать явным вычислением, что для полученного
углового момента выполняются коммутационные соотношения C.17).
Для дальнейшего удобно сделать замену переменных в уравнении
Дирака C.13). Напомним, что волновая функция ф содержит восемь
компонент ipKi, где к = 1,..., 4 — лоренцев индекс, t = 1, 2 — изотопи-
изотопический индекс (индекс, соответствующий калибровочной SUB)-симмет-
SUB)-симметрии). Матрицы Дирака аа и C действуют на индекс к, а изотопические
матрицы т° — на индекс г,
Удобно воспринимать ф& как матрицу 4x2, при этом действие та
записывать в виде (фтаТ)К{, где в скобках стоит произведение матриц
4 х 2 и 2 х 2. Удобная замена переменных состоит во введении матрицы
фк{ (также размера 4 х 2) по правилу
Фкг = ^njSji, C.18)
где, как обычно, ег;- — антисимметричный тензор второго ранга. При
этом
где все произведения — матричные, а е — матрица 2 х 2 с матричными
элементами е,у. Удобство замены C.18) состоит в том, что мы избавляемся
от транспонированных матриц Паули: уравнение C.12) в терминах ф
имеет вид
f Аьа(аафть) - ft/^V), C.19)
где выражения в скобках следует понимать в смысле произведения матриц.
Аналогично, действие оператора Ja имеет вид
Отметим, что такая замена переменных и матричная форма записи урав-
уравнения Дирака C.19) удобны не только в случае монополя, но и для других
внешних полей.
Оператор Ja не перемешивает левые и правые компоненты волновой
функции ip: если исходную волновую функцию ф представить в виде
ф
■(;)■

62 Глава 3. Ферм ионы в полях солитонов и струн
где х и V — левая и правая компоненты, то оператор Ja будет действовать
следующим образом:
где
j* = La+l-<ra+l-Ta. C.20)
В терминах преобразованной функции ij) будем иметь
где х и V — матрицы 2x2. При этом оператор ja действует на % и Щ как
)сХ+^(таХ-Хга)- C.21)
Поскольку мы используем матричную форму записи, мы унифицировали
обозначения для матриц Паули в C.21): вместо аа мы используем г°.
Действие ja на щ буквально совпадает с C.21). Учитывая явный вид A.5)
матриц аа и C, уравнение C.19) записывается в терминах левых и правых
компонент в виде системы
C.22)
= -iradav + g-Al(rbrJTa) - \<pa{xra).
Наибольший интерес представляют волновые функции с нулевым угло-
угловым моментом, «7° = 0. Для их явного построения заметим, что согласно
C.20) оператор ja представляет собой, говоря формально, сумму трех
операторов углового момента. В соответствии с правилом сложения мо-
моментов, имеются две собственные функции с ja = 0, одна из них имеет
1 — 0, другая — 1—1. Первая волновая функция Хо,о не зависит от уг-
углов, а сумма спинового и изоспинового моментов для нее равна нулю.
В терминах функции Хо,о последнее свойство означает (см. C.21)), что
т.е.
Хо,о = l-t*i(r,t),
где 1 — единичная матрица 2x2, щ — комплексная функция г и t. Вол-
Волновая функция с I = 1 пропорциональна единичному радиусу-вектору па;
требование ее инвариантности относительно комбинации пространствен-
пространственных и изотопических вращений (т. е. ja — 0) сразу приводит к ответу
Ход = rVtti(r, t).

3.1. Фермионы в поле монополя 63
Точно такой же вид имеют правые волновые функции с нулевым момен-
моментом,
чЬ,о = 1 * Mr, t), no,i = Tanav2(r, t). C.23)
Таким образом, в секторе с нулевым моментом имеем в общем случае
Х = 1-«1(М) + твпЧ(М) C.24)
и аналогично для rj.
Задача 3. Показать непосредственным вычислением, что j°Xo,i — О-
Покажем, что при h Ф О существует нормируемая собственная функ-
функция дираковского гамильтониана C.12) с нулевым собственным значе-
значением — нулевая мода, вполне аналогичная рассмотренной в разделе 2.1.
Иначе говоря, нам нужно найти гладкое и не зависящее от времени
решение уравнения C.22), быстро убывающее при |х| —> оо. Ясно, что
решение нужно искать в секторе с Ja = 0. Более того, вблизи центра
монополя имеем А{ = 0, tp — 0, поэтому гамильтониан Дирака сводится
к свободному. В нем будет отсутствовать центробежный барьер, если %
и rj не зависят от углов. Эти соображения подсказывают подстановку
Х = 1-щ(г), rj=lu2(r), C.25)
где «i(r) и и2(г) — две комплексные функции, которые нам предстоит
найти. Не вполне тривиальным обстоятельством является тот факт, что
подстановка C.25) «проходит» через уравнения C.22): в полях C.3), C.4)
правые части этих уравнений пропорциональны матрице (тапа), равенство
нулю коэффициентов при которой приводит ровно к двум уравнениям
для неизвестных функций щ(г) и и2(r),
A — F \
и[ Н щ 1 - трA - Я)«2 = 0,
A — F \
и'2 + и2 1 - mF(l - Н)щ = 0,
C-26)
где Шр дается формулой C.10).
Задача 4. Показать, что для подстановки C.25) уравнения C.22) сводятся к сис-
системе C.26).
Единственным убывающим решением системы C.26) служит
и2 = -tui = Сехр |- / Г-Ц^ + mF(l - Я)] dr\, C.27)
о
где С — нормировочная постоянная. В силу свойств C.5) это решение —
гладкое при гчОи убывающее как e~'"Fr/r при г -> оо.
Задача 5. Показать, что второе линейно независимое решение системы C.26)
растет при г -4 оо.

64 Глава 3. Ферм ионы в полях солитонов и струн
Задача б. Записать систему уравнений для не зависящих от времени волновых
функций с J" = 0 общего вида (то есть считать t/i(r) и t/2(r) отличными от нуля,
см. C.24), C.23)). Показать, что C.27) — единственное ее решение, гладкое при
г = 0 и убывающее при г -» оо.
Результат последней задачи означает, что дираковский гамильтониан в по-
поле монополя имеет ровно одну нулевую моду, по крайней мере в секторе
с J = 0. В секторах с J ф 0 нулевых мод нет; соответствующий анализ
довольно сложен, и мы не будем его приводить.
В полной аналогии с разделом 2.1 существование единственной
нулевой фермионной моды означает, что в рассматриваемой модели име-
имеется два вырожденных состояния монополя (Джекив, Ребби, 1976b) —
на одном из них фермионный уровень с нулевой энергией заполнен,
на другом — нет. Эти состояния имеют фермионные числа (+|) и (~\),
соответственно. Таким образом, модель этого раздела демонстрирует воз-
возможность дробления фермионного числа для топологических солитонов
в четырехмерном пространстве-времени.
Задача 7. Показать, что уравнение Дирака в произвольных действительных внеш-
внешних полях инвариантно относительно следующего аналога С-сопряжения,
где а = 1,..., 4 и i = 1,2 — лоренцевы и внутренние индексы, С — матрица
обычного С-сопряжения A.14). Эта операция изменяет, очевидно, знак энергии
фермиона. Показать, что найденная нулевая фермионная мода инвариантна от-
относительно этой операции. (Заметим, что и здесь мы имеем полную аналогию
с разделом 2.1.)
3.2. Рассеяние фермионов на монополе:
несохранение фермионных чисел
В этом разделе мы рассмотрим асимптотические состояния рассеяния
безмассовых s-волновых фермионов (т. е. фермионов с J = 0) на магнит-
магнитном монополе. С учетом дополнительных соображений типа сохранения
электрического заряда мы убедимся, что рассеяние фермионов на монопо-
монополе должно приводить к несохранению фермионных чисел (Рубаков, 1981,
1982; Каллан, 1982). Наш простой анализ не позволит, однако, выяснить
механизмы этого несохранения; в действительности эти механизмы до-
довольно сложны, зависят от модели, а их описание в любом случае требует
рассмотрения в рамках квантовой теории поля. Во многих моделях боль-
большого объединения взаимодействие фермионов с монополями приводит
к монопольному катализу распада протона — процессу типа
р + Монополь -» е+ + Монополь,
который должен происходить с большой вероятностью (Рубаков, 1981;
Каллан, 1982). Это обусловливает значительный интерес к кругу вопросов,
обсуждаемому в этом разделе.

3.2. Рассеяние фермионов на монополе 65
Модель, которую мы будем использовать, отличается от модели раз-
раздела 3.1 только тем, что юкавское взаимодействие с хиггсовским полем
выключено, т.е. h — 0. В вакууме C.1) фермионы не имеют масс. По-
Поскольку уравнения для левых и правых компонент волновой функции
расщепляются, имеет смысл рассматривать уравнение Вейля для левых
фермионов в поле магнитного монополя. В терминах матрицы %(ж) оно
имеет вид (см. C.22))
^iradax-g^AabTbXTa. C.28)
Нас будут интересовать асимптотические (|х| -» оо) состояния фермио-
фермионов ^. При больших |х| поле А% имеет вид
АЦх) = -еаЬспс. C.29)
дг
Наибольший интерес представляют фермионы с нулевым угловым мо-
моментом; их волновые функции имеют вид C.24).
Далее, при больших |х| поле монополя является чисто электромаг-
электромагнитным. Это означает, что фермионы с электрическими зарядами (+5<?)
и (- \д) ведут себя независимо. В регулярной калибровке оператор заряда
фермиона равен
как это видно из C.6). В терминах функции % имеем
Состояния s -волновых фермионов с определенными электрическими
зарядами имеют вид
Q = +\- X+ = (l-rV)tt+) C.30)
Q = -\: X- = (l + ren>_, C.31)
где и+ и и_ — произвольные пока комплексные функции. В общем
случае s -волновая функция равна
Х = Х+ + Х-, C.32)
и мы ожидаем, что уравнения для и+ и «_, следующие из C.28), рас-
расщепляются во внешнем поле C.29). Действительно, прямой подстановкой
^ При h — 0 нормируемой нулевой фермионной моды дираковского гамильтони-
гамильтониана нет. Это видно из C.27): при тр = 0 правая часть C.27) ведет себя как 1/г
при г -> оо.

66 Глава 3. Фермионы в полях солитонов и струн
выражений C.32), C.30) и C.31) в уравнение C.28) получаем в поле C.29)
уравнения отдельно для и+ и «_:
+ и+), C.33)
«_ = «'_ + -«_, C.34)
г
где точка и штрих обозначают дифференцирование по времени и г,
соответственно.
Задача 8. Показать, что во внешнем поле C.4) с F ф 0 уравнения для и+ и и_
имеют вид
«_«_ + и_ + и+
г г
Последние слагаемые в них перемешивают компоненты волновой функции с раз-
разными электрическими зарядами (это происходит благодаря наличию заряженных
векторных полей в ядре монополя).
Решения уравнений C.33) и C.34) с определенной энергией имеют вид
и+ = -e-iw{x°-r), C.35)
г
u_ = 1е-М*о+г)ш C.36)
Мы видим, что волновые функции левых фермионов с положительным
электрическим зарядом содержат только расходящиеся волны, а вол-
волновые функции отрицательно заряженных левых фермионов — только
сходящиеся волны!
Немедленным следствием результата C.36) является тот факт, что s-
волновые отрицательно заряженные фермионы с единичной вероятностью
достигают ядра монополя. Даже если размер ядра монополя мал по срав-
сравнению с длиной волны фермиона (иначе говоря, даже при ту ^> ш,
где Шу — масса векторного бозона), s-волновые фермионы интенсив-
интенсивно взаимодействуют с ядром монополя и чувствуют его структуру. Это
явление достаточно необычно: как правило, вероятность взаимодействия
частиц с объектом малого размера подавлена этим размером. Причина
возникновения обратной ситуации в нашем случае в конечном итоге
состоит в интенсивном взаимодействии заряженных фермионов с дально-
действующим магнитным полем монополя, которое приводит к эффекту
типа падения на центр.
Обсудим теперь более подробно возможное конечное состояние про-
процесса, при котором s -волновой отрицательно заряженный фермион падает
на монополь. Предположим, что в конечном состоянии также имеется

3.2. Рассеяние фермионов на монополе 67
одна частица — фермион или антифермион. Прежде всего, отрицательно
заряженный в-волновой фермион в конечном состоянии появиться не мо-
может, поскольку волновая функция C.36) не содержит расходящихся волн.
Простейшим вариантом был бы переход отрицательно заряженного фер-
миона в положительно заряженный с волновой функцией C.35). На уровне
квантовой механики во внешнем поле монополя реализуется именно эта
возможность: уравнение Дирака вблизи ядра монополя содержит слагае-
слагаемые, перемешивающие и_ и и+ (см. задачу 8). Ясно, однако, что здесь мы
сталкиваемся со случаем, когда приближение внешнего бозонного поля
неприменимо. Действительно, в силу сохранения электрического заряда
переход и_ -» и+ должен сопровождаться появлением электрического
заряда у монополя — монополь должен перейти в дион2^ с зарядом (-д).
Масса такого диона больше массы монополя, причем масштаб разности
масс задается массой векторного бозона ту. Следовательно, при низких
(по сравнению с ту) энергиях налетающего фермиона процесс
«_ + Монополь -» и+ + Дион
невозможен из-за сохранения энергии. Нам следует искать другие вари-
варианты конечного состояния.
В принципе s -волновой фермион мог бы перейти в фермион с тем
же зарядом,, но другим угловым моментом. Эту возможность также при-
приходится отбросить при низких энергиях налетающего фермиона: в таком
процессе монополь должен приобрести угловой момент, что также требует
энергии масштаба mv (кроме того, фермионы с ненулевым угловым мо-
моментом испытывают центробежный барьер, а процесс должен происходить
вблизи ядра монополя).
Остается искать отрицательно заряженные фермионы или антифер-
мионы с нулевым угловым моментом, волновые функции которых имеют
вид расходящихся сферических волн. Если правых фермионов в модели
нет, то единственным кандидатом служит отрицательно заряженный ан-
антифермион — античастица к фермиону «+. Мы заключаем, что свойства
асимптотических состояний C.35), C.36) вместе с законами сохранения
энергии, углового момента и электрического заряда требуют нарушения
закона сохранения фермионного числа — перехода фермиона в антифер-
антифермион — с единичной вероятностью в в-волновом секторе!
В действительности ситуация еще более сложна. Модель с калибровочной группой
517B) и одним левым дублетом фермионов не существует на уровне квантовой
теории поля из-за глобальной аномалии (Виттен, 1982). Если добавить второй
левый дублет ; I, то глобальная аномалия отсутствует и теория самосогла-
Vм-У
сована. В этой модели возможно аномальное несохранение фермионных чисел,
2) Именно в этом месте нарушается предположение о пренебрежимости обратного
влияния фермионов на бозонные поля.

68 Глава 3. Фермионы в полях солитонов и струн
которое мы будем обсуждать в следующей главе. Соответствующие правила отбора
разрешают по существу единственное конечное состояние для процесса, в котором
заряженный фермион первого типа и_ падает в в-волне на монополь: процесс
имеет вид
и- + Монополь -¥ (и'+) + Монополь,
где (и'+) обозначает античастицу к положительно заряженному фермиону второго
типа.
Если в модель включить правые фермионы, то их волновые функ-
функции в s-волне содержат только сходящиеся волны для положительного
электрического заряда и расходящиеся волны для отрицательного заряда.
Поэтому разрешенным будет процесс без изменения полного фермион-
ного числа
и1! + Монополь -*■ «^ + Монополь. C.37)
В этом процессе, однако, изменяются по отдельности число левых ферми-
фермионов J\TL и число правых фермионов JVr, которые сохраняются в слабых
полях3).
Задача 9. Найти асимптотические волновые функции правых фермионов в поле
монополя при |х| -4 оо в з-волне.
Итак, характерной особенностью взаимодействия безмассовых фермио-
фермионов с магнитным монополем является несохранение фермионных чисел.
Даже при низких энергиях фермионов и малых размерах ядра монополя
оно происходит с большой вероятностью: сечение определяется вероятно-
вероятностью иметь налетающий фермион в s -волновом состоянии, которая, грубо
говоря, порядка единицы (в действительности сечение растет с уменьше-
уменьшением энергии). Как уже отмечалось, в реалистических теориях большого
объединения это явление приводит к распаду протона, индуцированно-
индуцированному монополем; сечение этого процесса имеет порядок адронных сечений
(и даже больше) несмотря на то, что размер ядра монополя фантастически
мал (порядка 10~30 см).
3.3. Нулевые моды в поле вихря:
сверхпроводящие струны
В разделах 2.1 и 3.1 мы убедились, что во внешних полях топологиче-
топологических солитонов могут иметься нулевые фермионные моды — собственные
функции дираковского гамильтониана с нулевой энергией. В этом разделе
мы покажем, что при определенном выборе калибровочных и юкавских
3) Отметим, что правило отбора ANr = — AN^ — 1 для процесса C.37) аналогично
свойствам B.34), B.35). Эта аналогия не случайна: несохранение фермионных
чисел происходит в моделях этого раздела и раздела 2.2 за счет одного и того же
механизма.

3.3. Нулевые моды в поле вихря: сверхпроводящие струны 69
взаимодействий нулевые моды фермионов имеются и в поле вихря4)
(Джекив, Росси, 1981). Наибольший интерес представляет ситуация, когда
вихрь рассматривается как протяженный одномерный объект — струна —
в четырехмерном пространстве-времени. Именно эту ситуацию мы рас-
рассмотрим в данном разделе. В этом случае существование нулевых мод
поперечной к струне части оператора Дирака приводит к появлению
локализованных на струне состояний фермионов, которые могут сво-
свободно двигаться вдоль струны. Струны в таких моделях могут обладать
сверхпроводимостью вдоль струны (Виттен, 1985); это свойство весьма ин-
интересно с точки зрения возможных астрофизических и космологических
приложений.
В качестве примера рассмотрим вихрь Абрикосова—Нильсена—Оле-
сена, обсуждавшийся в разделе 7.3 книги I. В модели имеется калиб-
калибровочная симметрия U(\)r и хиггсовское поле ip с Л-зарядом ед (мы
ввели индекс R для того, чтобы отличить калибровочную группу U{\)r
от ненарушенной группы электромагнетизма, которую мы введем поз-
позже; калибровочное поле группы U(\)r будем обозначать By). Структура
полей вихря имеет вид:
<p(r,0) = vei9F(r),
1 C.38)
Ва(г, В) = еаРпрВ(г), В0 = В3 = 0.
Здесь а,{3 = 1,2; г и 0 — радиус и полярный угол на плоскости х3 = const
и па = ха/г. Поля вихря не зависят от ж3 — вихрь представляет собой
бесконечную прямую струну, направленную в пространстве вдоль третьей
оси. Функции F(r) и В (г) имеют следующие граничные значения:
F@) = В@) = 0, F{oo) = В(оо) = 1.
Отметим, что мы изменили обозначение для радиальной функции век-
векторного поля по сравнению с разделом 7.3 книги I.
Введем теперь фермионы, взаимодействующие с бозонными полями.
Построение модели с нетривиальным юкавским взаимодействием нами
в действительности уже было проделано в конце раздела 1.3. Именно,
пусть левая компонента фермиона, %, имеет Д-заряд (-|ед), а правая
компонента, г), — заряд (+\ея). Тогда уравнение Дирака имеет вид
системы A.59), которую мы перепишем еще раз для дальнейших ссылок:
x ~ h<p*rj = 0, C.39)
- hipx = 0, C.40)
Нулевые фермионные моды в поле вихря обсуждались в контексте двумерных
инстантонов Нильсеном и Шроером A977а), Кискисом A977), Ансуряном A977)
и другими авторами.

70 Глава 3. Фермионы в полях солитонов и струн
где Dp — dpTi^eRBp, а константа h действительна. На фоне основного
состояния (р = v, Вр = 0 эта система описывает фермион с массой
тр = hv. Отметим, что системы типа C.39), C.40) возникают в некоторых
теориях большого объединения.
В произвольных внешних полях система C.39), C.40) обладает свой-
свойством С-симметрии: если
']) <3-41>
удовлетворяет этой системе, то и фс = Сф* также удовлетворяет этой сис-
системе, где матрица С по-прежнему определена формулой A.14). В терминах
левых и правых компонент операция С-сопряжения имеет вид
*^~7' C-42)
Задача 10. Показать явным вычислением, что система C.39), C.40) инвариантна
относительно операции С-сопряжения C.42).
Обсудим теперь решения системы уравнений C.39), C.40) во внешнем
поле струны. Поскольку поля струны C.38) не зависят от х° и хъ, решение
можно искать в виде
ф(х°, х3; ха) = г->шх°+(кзх3фт(ха). C.43)
Наша ближайшая задача — найти свойства спектра энергий и) и соответ-
соответствующих собственных функций. Поскольку вдали от струны поля Вц и <р
стремятся к их значениям в основном состоянии (с точностью до калибро-
калибровочного преобразования), часть спектра с \ш\ > Шр совпадает со спектром
свободного уравнения Дирака, а соответствующие волновые функции вда-
вдали от струны представляют собой (калибровочно преобразованные) обыч-
обычные плоские волны. Кроме того, могут иметься состояния с |w| < mF>
поперечные волновые функции которых, фт(х%), локализованы вблизи
струны. Именно эта часть спектра нас будет интересовать в дальнейшем.
Учитывая, что для струны Д> = #з = 0, получим из C.39), C.40)
следующее уравнение для фт '
(къСт + DT) фт - шфт, C.44)
где
— матрицы 4x4. Поперечная часть оператора Дирака, DT, обладает рядом
важных свойств. Первое из них связано с тем, что конфигурация струны
инвариантна относительно пространственных вращений вокруг третьей
оси, $ -*■ $ + а, дополненных фазовыми преобразованиями (р -> е~ш<р.

3.3. Нулевые моды в поле вихря: сверхпроводящие струны 71
Поэтому сохраняется оператор, аналогичный третьей компоненте углового
момента (сравни с разделом 3.1),
J3 = Ъъ + S3 - R, C.46)
где, как обычно, £,• = -ieijkXjdk (i,j, к = 1, 2,3), то есть
— третья компонента орбитального углового момента,
— третья компонента спина, а
я---' °
— оператор Л-заряда.
Задача 11. Показать непосредственным вычислением, что оператор J3 коммутирует
с гамильтонианом (к3Ст + 1>г)> фигурирующим в C.44), если внешние бозонные
поля имеют вид C.38).
Второе свойство состоит в том, что операторы Ст и Dt антикоммутируют,
CTDT + DTCT = 0, C.47)
Как мы сейчас увидим, это свойство позволяет связать спектр энергий ш
со спектром оператора Dt.
Задача 12. Проверить выполнение равенства C.47).
Пусть теперь ^t,a(^°) — собственные функции оператора Dt с по-
положительными собственными значениями А,
Тогда в силу C.47) функции
% C.48)
будут собственными функциями оператора Dt с собственными значени-
значениями (-А),
Это соответствие между собственными функциями взаимно однозначно5^
(при А ф 0), поскольку Ст = 1. Для нахождения спектра энергий ш будем
искать решение уравнения C.44) в виде
5) Оператор Ст можно назвать оператором С-сопряжения в пространстве попе-
поперечных функций, поскольку его действие меняет знак собственного значения
оператора D?.

72 Глава 3. Фермионы в полях солитонов и струн
Подставляя это выражение в C.44) и используя линейную независимость
1рт,\ и ^та> получим для «иг; уравнения
(ш - Х)и - k3v = 0, -к3и + (ш + X)v = 0.
Эти уравнения разрешимы при
ш2 = А2 + к], C.49)
что и дает связь между собственными значениями оператора Dt и энер-
энергиями фермионов.
В соответствии со сказанным выше, спектр значений А непрерывен
при А > Шр, а волновые функции фт,\(яа) не локализованы вблизи
ха = 0 при таких А. В то же время, может существовать дискретный на-
набор собственных значений А оператора Dt с собственными функциями
фт(ха), сосредоточенными вблизи ха — 0. Из размерных соображений
ясно, что расстояние между этими уровнями по порядку величины рав-
равно тр. Фермионы, находящиеся на этих уровнях, локализованы вблизи
струны и свободно распространяются вдоль струны (вдоль третьей оси):
их волновые функции имеют вид C.43).
До сих пор мы предполагали, что А ф 0. Однако наибольший интерес
представляет возможность того, что оператор Dt имеет нулевое собствен-
собственное значение. Покажем, что эта возможность действительно реализуется,
и найдем соответствующую собственную функцию в явном виде. В силу
C.47), собственная функция фт,о(хОС) является одновременно и собствен-
собственной функцией оператора Ст. Из физических соображений ясно, что она
должна иметь нулевой «угловой момент» Ji, а также нулевой орбитальный
момент L3 (последнее свойство вытекает из того факта, что вблизи центра
струны, то есть при ха = 0, поля вихря равны нулю, поэтому при Ь$фО
имеется центробежный барьер). Таким образом, для нулевой моды имеем
S3 = R, что эквивалентно Ст — 1; кроме того, функция ^t,q(x<x) является
функцией только г, то есть не зависит от полярного угла в.
Из равенства
Стфт,о = Фт,о C.50)
следует, что левые и правые компоненты функции фт,о имеют структуру
(зм>
где /i(r) и /2(г) — неизвестные пока комплексные функции. Используя
явный вид C.45) оператора DT и полей струны C.38), получим для
функций /А(г) и /2(г) уравнения
f[-vfi + ihvFf2 = Q,
В C-52)

3.3. Нулевые моды в поле вихря: сверхпроводящие струны 73
Существенно, что зависимость от угла 0 в этих уравнениях выпадает. Урав-
Уравнения C.52) легко решаются; убывающее при г -> ос решение имеет вид
г
= Сехр |- I(?& + ftttf(r))*j, C.53)
о
где С — нормировочная постоянная. При малых г это решение регулярно,
а при больших г оно ведет себя как
e-mFr
/i(r) ~ h(r) ~ -j=-.
Второе линейно независимое решение системы C.52) растет при г -» ос.
Таким образом, оператор DT действительно имеет нулевую моду.
Ее явный вид дается формулами C.51) и C.53). Отметим, что нулевая
мода инвариантна (с точностью до фазового множителя) относительно
обычных С-преобразований (сравни с C.42)),
Хт -> -ev*T, Vt -* £Хт,
как этого и следовало ожидать.
Задача 13. Показать, что для фермионных волновых функций C.51) уравнение
DTipT = 0 сводится к системе C.52).
Задача 14. Рассмотрим уравнение Бт'Фт = 0 в секторе с J3 = 0 и Сг = -1.
Найти угловую зависимость и структуру фермионной волновой функции (аналог
формулы C.51)). Записать соответствующие радиальные уравнения и показать, что
они не имеют нормируемых решений.
Возвратимся к обсуждению полной волновой функции C.43), причем
будем считать, что поперечная часть фт{%а) представляет собой нулевую
моду. С учетом C.50) уравнение C.44) означает, что
fc3=«>, C.54)
то есть фермионы (с ш > 0) движутся вдоль струны только в одну сторону.
Кроме того, ш может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю,
то есть спектр не имеет щели, в отличие от состояний с А ф 0, см. C.49).
Иными словами, фермионы, находящиеся на уровне с А = 0, ведут себя
как безмассовые частицы определенной киральности в A+1)-мерном
пространстве-времени. Как мы сейчас убедимся, при включении в модель
электромагнитного поля это свойство приводит к тому, что струна ведет
себя как тонкая сверхпроводящая проволока.
Взаимодействие фермионов с электромагнитным полем можно вве-
ввести, считая поле (р электронейтральным и приписав левой и правой
компонентам % и 77 одинаковые электрические заряды е. Тогда уравнения
C.39), C.40) будут иметь прежний вид, а с учетом электромагнетизма

74 Глава 3. Фермионы в полях солитонов и струн
ковариантные производные в них заменятся на
C.55)
где Ац — электромагнитные вектор-потенциалы.
Убедимся, что имеются состояния струны с электрическим током,
причем этот ток не диссипирует (сверхпроводимость). Рассмотрим для
этого состояния фермионной системы, в которой все отрицательные
уровни энергии с А ф О заполнены, все положительные уровни энергии
с А ф О свободны, а уровни с А = 0 заполнены до некоторой энергии
w = /i > 0 (энергия Ферми). Эта ситуация изображена на рис. 3.1. Мы
приписываем дираковскому морю (состоянию с полностью заполненными
уровнями с ш < О и свободными уровнями с ш > 0) нулевое фермионное
число, нулевой электрический заряд, нулевой электрический ток и т. д. ®
Поэтому состояние системы фермионов, изображенное на рис. 3.1, имеет
конечную линейную плотность фермионов на струне. Поскольку фер-
фермионы с А = 0 движутся вдоль струны в одну сторону, вдоль струны
протекает электрический ток. Далее, минимальное ненулевое значение
|A|min величины |А| конечно, а непрерывный спектр оператора Dt на-
начинается с |А| = Шр- Как отмечалось выше, |А|пцП ~ тр. Из-за этого
уровни энергий фермионов с А ф 0 отделены от нуля щелью конеч-
конечной ширины, как изображено на рис. 3.1. Если ц < \\\тт, реальные
фермионы сА = 0и0<у</»не могут потерять энергию и импульс,
перескочив на нижний уровень, поскольку все нижние уровни заполнены.
Следовательно, состояние системы фермионов, изображенное на рис. 3.1,
абсолютно устойчиво. Электрический ток не может диссипировать, струна
является сверхпроводником. Отметим, что если уровни с А = 0 запол-
заполнены до и = /* > |А|пш1, то диссипация электрического тока возможна
за счет перескоков фермионов с уровней с А = 0 на уровни с А ф 0
(в том числе в непрерывный спектр при fi > m?). Поэтому существует
максимальное значение электрического тока, до которого струна остается
сверхпроводящей.
Линейную плотность фермионов и электрический ток в состоянии,
изображенном на рис. 3.1, мы найдем, воспользовавшись результатами
раздела 2.2. Поскольку фермионы с нулевым Dy ведут себя как одно-
одномерные безмассовые фермионы определенной киральности, их линейная
плотность равна (см. B.25))
К- JL
~L ~~ 2тг*
6) Как отмечалось в разделе 2.1, благодаря наличию внешнего бозонного поля дира-
ковское море может поляризоваться, то есть характеризоваться отличным от нуля
зарядом, а также, вообще говоря, электрическим током. Они, однако, не зависят
от fi, в отличие от соответствующих величин, возникающих благодаря реальным
фермионам, поэтому дальнейшие рассуждения остаются справедливыми.

3.3. Нулевые моды в поле вихря: сверхпроводящие струны 75
ш
|A| = mF
, |A|<mF
А = 0
Рис. 3.1
Фермионы движутся вдоль струны со скоростью света, поэтому их элек-
электрический ток равен
•em e/i
h =
В соответствии со сказанным выше, струна остается сверхпроводящей
при (I < fimax, где /Umax ~ шР. Отсюда следует, что максимальный сверх-
сверхпроводящий ток по порядку величины равен
•em.max emF
■/3 2тг
Задача 15. Оценить максимальное значение (в амперах) сверхпроводящего тока,
протекающего вдоль струны, считая, что е и тр — заряд и масса электрона.
Если вдоль струны наложить (не слишком сильное) электрическое по-
поле, то на ней будут рождаться фермионы с А = 0. Соответствующий анализ
дословно повторяет рассуждения раздела 2.2; в частности, число рожден-
рожденных фермионов дается формулой B.26). Таким образом, здесь мы имеем
явный пример пересечения уровней в четырехмерной модели. Буквально

76 Глава 3. Фермионы в полях солитонов и струн
в модели этого раздела не сохраняется и электрический заряд (эффек-
(эффективные одномерные фермионы имеют определенную киральность). Это
указание на внутреннюю противоречивость модели действительно под-
подтверждается вычислением треугольной аномалии в квантовой теории поля.
Модель перестает быть внутренне противоречивой, если в нее доба-
добавить еще один тип фермионов
с Д-зарядами левой и правой компонент, равными (+5ед) и (~5ел) со-
соответственно (то есть компоненты ф и ф имеют противоположные R -за-
-заряды). Можно выбрать электрический заряд фермиона ф равным (-е).
Тогда фермионы гр с А = 0 будут иметь закон дисперсии &з = —<*>, то
есть двигаться вдоль струны в противоположную сторону по сравнению
с ф. Электрическое поле по-прежнему будет рождать фермионы ф (они
имеют отрицательный электрический заряд и разгоняются в область от-
отрицательных х3, что разрешено законом дисперсии) в количестве, равном
числу рожденных фермионов ф. Полное число фермионов при этом со-
сохраняться не будет, но электрический заряд сохранится, что и требуется
для самосогласованности модели. Ненулевым будет и полный электриче-
электрический ток вдоль струны (он обеспечивается как фермионами ф с зарядом
(+е), движущимися вдоль электрического поля, так и фермионами ф
с зарядом (-е), движущимися в противоположную сторону). Этот ток,
если он не слишком велик, будет сверхпроводящим.
Итак, в рассматриваемой в этом разделе модели струна обладает
свойством сверхпроводимости, а приложенное продольное электрическое
поле приводит к несохранению фермионных чисел в результате пересе-
пересечения фермионных уровней. С теоретической точки зрения интересна
прямая аналогия между фермионами, локализованными на струне, и од-
одномерными фермионами раздела 2.2.
Отметим, что сверхпроводимость струн не обязательно связана с фермионами.
Возможность существования сверхпроводящих струн в чисто бозонных теориях
была обнаружена Виттеном A985). Подчеркнем, что свойство сверхпроводимости
отнюдь не является общим для струн, возникающих в объединенных калибровоч-
калибровочных теориях элементарных частиц.

Глава 4
Несохранение фермионных чисел
в четырехмерных неабелевых теориях
В разделе 2.2 на примере двумерной абелевой модели мы рассмот-
рассмотрели механизм несохранения фермионных чисел, связанный с явлением
пересечения фермионных уровней. В этой главе мы увидим, что такой
механизм работает и в неабелевых четырехмерных теориях. В Стандартной
модели он приводит к электрослабому несохранению барионного и леп-
тонного чисел ('тХоофт, 1976а, Ь). В обычных условиях — при низких
температурах, плотностях или при столкновениях частиц не слишком вы-
высоких энергий — вероятности электрослабых процессов с несохранением
барионного числа крайне малы, поскольку они обусловлены инстанто-
нами и сильно подавлены туннельной экспонентой. Однако вероятность
таких процессов перестает быть малой при достаточно высоких темпе-
температурах, что имеет важное значение для космологии (Кузьмин, Рубаков,
Шапошников, 1985).
Величина, которая нарушается в сильных взаимодействиях, — это
киральность кварков; ее нарушение имеет прямые экспериментальные
следствия (отсутствие в природе девятого легкого псевдоголдстоуновско-
го бозона, аналогичного пионам, каонам и Г)-мезону). Таким образом,
излагаемые в этой главе результаты представляют большой интерес и для
физики частиц.
Прямое изучение движения фермионных уровней во внешних полях
технически весьма затруднительно, если речь идет о четырехмерных тео-
теориях. Поэтому в разделе 4.1 мы изложим подход, позволяющий свести
задачу к изучению евклидовых нулевых фермионных мод. Во многих слу-
случаях евклидовы нулевые моды найти достаточно просто, как мы убедимся
в разделе 4.2. Отметим, что именно евклидов подход (с использованием
формализма функционального интеграла, см. Дополнение) был сформу-
сформулирован 'тХоофтом A976а, Ь) в его пионерских работах по аномальному
несохранению фермионных чисел.

78 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
4.1. Пересечение уровней
и евклидовы нулевые фермионные моды
Напомним кратко (см. раздел 2.2), в чем состоит явление пересече-
пересечения фермионных уровней и связанное с ним несохранение фермионного
числа. Пусть имеется однопараметрическое семейство конфигураций бо-
зонных полей (путь в пространстве статических конфигураций), причем
соответствующий параметр г изменяется от -со до +оо. Предположим
для определенности, что бозонные поля принимают вакуумные значения
как при г -> — оо, так и при г -» ос; мы увидим в дальнейшем, что инте-
интерес представляют ситуации, когда вакуумы при т = —со и при т — +оо
топологически различны (см. главу 13 книги I). Для калибровочных полей
мы предполагаем выбор калибровки Aq = 0. При каждом фиксированном
значении т имеется гамильтониан фермионов JETd(t); его зависимость
от т определяется внешними бозонными полями. Явный вид ffD зависит
от модели и мы не будем его пока конкретизировать. Собственные значе-
значения #d(t) определяют систему фермионных уровней; при изменении г
она также изменяется (уровни «движутся»). При г-»-ооиг-»+оо сис-
системы фермионных уровней одинаковы и совпадают с системой уровней
свободного фермионного гамильтониана. Однако возможны ситуации,
когда при изменении г фермионные уровни пересекают нуль, и полное
количество уровней, пересекающих нуль снизу, N+, не равно полному ко-
количеству фермионных уровней, пересекающих нуль сверху, N-. Интерес
представляет величина
Как мы обсуждали в разделе 2.2, при эволюции бозонных полей вдоль
данного пути в пространстве бозонных конфигураций фермионное число
системы изменяется на AN?, причем это изменение не зависит от то-
того, насколько быстро изменяются бозонные поля, или от того, в каком
состоянии находилась система фермионов в начале процесса (сколько
в ней было фермионов и антифермионов). Таким образом, нам необхо-
необходимо уметь вычислять (N+ - N-) для различных путей в пространстве
конфигураций бозонных полей.
Эту задачу удобно переформулировать. Будем сначала считать, что
бозонные поля медленно изменяются с т. Рассмотрим вспомогательное
уравнение
-^ = Яо(т)^ D.1)
Это уравнение можно формально воспринимать как евклидово уравнение
Дирака, поскольку оно получается из обычного уравнения Дирака
дф

4.1. Пересечение уровней и евклидовы нулевые фермионные моды 79
формальной заменой х° — -гт. В случае медленно меняющихся бозонных
полей решения уравнения D.1) имеют вид
^(Т) = е-'И<Г)<Ч(Г), D-2)
где 1рш(т) — собственные функции мгновенного гамильтониана
flb(r)^W(r)=w(r)^W(r).
Если при изменении бозонных полей какой-то уровень пересекает нуль
снизу, то для этого уровня имеем
ш(т — -оо) = -Ш{ < О,
Ш(т = +ОО) = Uf > 0.
Решение D.2) при этом убывает как при г -» -оо, так и при г -» +оо,
ф = const • ew'r, r -> -оо,
^ = const • e~W/T, r -> +оо.
Иначе говоря, в евклидовом пространстве с координатами (г, х) оператор
D=-j^+HD D.3)
имеет нулевую моду фо(т,х), т.е. существует убывающее при г -» ±оо
решение уравнения
Бфо - 0. D.4)
Мы не обсуждаем здесь граничных условий для фермионных волновых
функций при |х| -> оо поскольку мы увидим, что в интересных случаях
евклидовы нулевые моды фо убывают по всем направлениям в евкли-
евклидовом пространстве (т,х). В дальнейшем мы будем рассматривать слу-
случай четырехмерного пространства-времени (если противоположное явно
не будет оговорено), так что (г, х) будет четырехмерным евклидовым
пространством. Убывающие решения уравнения D.4) мы будем называть
евклидовыми нулевыми фермионными модами.
Поскольку любое решение уравнения D.1) в адиабатическом случае
представляет собой линейную комбинацию функций D.2), указанное
соответствие между уровнями гамильтониана #о(т), пересекающими нуль
снизу, и нулевыми модами оператора D взаимно однозначно. Поэтому
N+ = N0(D),
где Nq(D) — количество (евклидовых) нулевых мод оператора D.
Аналогичным образом получаем соответствие между уровнями опе-
оператора #d, пересекающими нуль сверху, и нулевыми модами оператора
| . D.5)

80 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
Имеем
Операторы D и D* эрмитово сопряжены друг другу, если ввести скалярное
произведение для функций ip(r, х)
ъх dr ф\т, х)^(т, х), D.6)
где интегрирование ведется по всему четырехмерному евклидову про-
пространству ^.
Итак, задача о вычислении изменения фермионного числа сводится
к задаче о вычислении
ANF = NQ(D) - N0(rf). D.7)
До сих пор мы предполагали, что внешние бозонные поля адиабатиче-
адиабатически медленно меняются с изменением т. Сейчас мы увидим, что это
предположение излишне; более того, мы убедимся, что величина D.7)
не зависит и от конкретного выбора семейства бозонных конфигураций;
в этом смысле она является топологическим инвариантом.
Итак, мы рассматриваем операторы D.3) и D.5) во внешних бозонных
полях, зависящих от х и от т, т. е. во внешних полях в четырехмерном ев-
евклидовом пространстве. Наша ближайшая задача — показать, что правая
часть D.7) не изменяется при гладких изменениях внешних евклидовых
бозонных полей, не затрагивающих бесконечности евклидова простран-
пространства. Удобно перейти к эрмитовым (в смысле скалярного произведения
D.6)) операторам D^D и £Ш*. Возможность такого перехода связана
с тем, что нулевые моды оператора D являются нулевыми модами опе-
оператора D^D и наоборот. Первое очевидно; для доказательства второго
заметим, что если D^Dipo = 0, то
т.е, Dipo — 0, что и требовалось. Поэтому
N0(D) =
Аналогично
ANF = NQ{D^D) - No(Drf). D.8)
Правую часть равенства D.8) изучать проще, чем D.7).
' Мы не останавливаемся здесь на тонкостях, связанных со скоростью убывания
функций гр(т,х).

4.1. Пересечение уровней и евклидовы нулевые фермионные моды 81
Множество нулевых мод (эллиптического) оператора D^D представляет собой
линейное пространство, которое называют ядром этого оператора и обозначают
Кег (D^D). Количество линейно независимых нулевых мод — это размерность
ядра, N0(D*D) = dim Ker (D^D). Разность
I{DVD) = dim Ker (D]D) - dim Ker (DP1)
называют индексом оператора D^D, так что D.8) можно записать в виде
Большая часть этого раздела — это нестрогое изложение элементов теории
Атьи—Зингера об индексе эллиптического оператора и ее связи с теоремой
Атьи—Патоди—Зингера.
Для того чтобы убедиться, что правая часть D.8) не изменяется
при гладком изменении внешних полей в четырехмерном евклидовом
пространстве, покажем, что наборы ненулевых собственных значений опе-
операторов D^D и £Ш* совпадают. Действительно, пусть ф\ — собственная
функция оператора D^D с собственным значением А ф О,
Действуя на это равенство слева оператором D, убеждаемся, что функ-
функция ip\ = Dip\ — это собственная функция оператора DD^ с тем же
собственным значением:
Это соответствие между собственными функциями операторов
и DD^ обратимо (при А ф 0), ij>\ = \~lD^\. Поэтому наборы ненулевых
собственных значений (включая возможное вырождение) совпадают для
операторов D^D и DD^.
Предположим теперь, что мы гладким образом изменяем внешние
бозонные поля в четырехмерном евклидовом пространстве. При таком из-
изменении одно из ненулевых собственных значений оператора D^D глад-
гладким образом может эволюционировать в нуль, А -> 0, т. е. Nq(D^D) может
измениться на единицу. Но при А -> 0 стремится к нулю и одно из соб-
собственных значений оператора £Ш*, так что разность N0(D^D) - No(DD^)
не изменится. Это и показывает инвариантность D.8) относительно глад-
гладких изменений внешних евклидовых полей.
В следующем разделе мы применим изложенный здесь результат для
вычисления изменения фермионного числа во внешних калибровочных
полях, интерполирующих между топологически различными вакуумами.
При этом нам достаточно будет вычислить количество нулевых мод
операторов D.3) и D.5) в каком-то одном поле с данным топологическим
числом, поскольку величина AiVp одинакова для всех внешних полей
из одного гомотопического класса.

82 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
4.2. Нулевая фермионная мода
в поле инстантона
Рассмотрим для определенности модель с калибровочной группой
SUB) и безмассовыми фермионами, преобразующимися по фундамен-
фундаментальному представлению группы SUB). Будем пока считать, что ска-
скалярных полей в модели нет. Поскольку уравнения для левых и правых
фермионов расщепляются, можно рассматривать левые и правые фермио-
ны по отдельности. Наша задача — показать, что внешние калибровочные
поля, интерполирующие между топологически неэквивалентными ваку-
умами, приводят к несохранению числа левых фермионов Nl и числа
правых фермионов JVR. При этом
- п(п{) = Дп, D.9)
R = -ANL D.10)
для каждого левого и правого фермионного дублета, где п(п{) и n(uf) —
топологические числа начального и конечного классических вакуумов
калибровочного поля. Без ограничения общности можно положить Г2, = 1,
т. е. в начальном вакууме А = 0. Будем пока использовать калибровку
А0 = 0.
Как было показано в предыдущем разделе, задача о вычислении ANL
сводится к подсчету нулевых мод операторов
где JE?l — дираковский (точнее, вейлевский) гамильтониан во внешнем
поле А{(т, х). Это внешнее поле можно выбрать произвольным образом,
лишь бы выполнялись условия
А{(т, х) -> 0 при т ->• -оо,
D.11)
Л(т,х) ->• Uf(x)di[Uf(x)]~l при г -> +оо.
Разность количеств нулевых мод операторов DL и 1)[, а следовательно
и ANL, от конкретного выбора конфигурации А{(т,х) в классе D.11)
не зависит.
Гамильтониан #L равен, как обычно (мы по-прежнему используем
представление A.4) для 7-матриц и представление A.5) для матриц аг),
#L = ш'Д = «V'[u + Л(т,х)].
Для правых фермионов необходимо рассматривать оператор

4.2. Нулевая ферм ионная мода в поле и нет ант он а 83
где
HR = -itri[di + Ai(T,x)].
Полезно заметить, что
DK = -D[. D.12)
Из последнего равенства сразу следует соотношение для количеств нуле-
нулевых мод
N0(DR) = N0(D[), No(D{) = N0(DL). D.13)
Поскольку изменения чисел левых и правых фермионов связаны с коли-
количеством нулевых мод соотношениями
L = N0(DL)-N0(D[),
= N0(DR)-N0(DR),
равенства D.13) сразу приводят к правилу отбора D.10).
Итак, нам необходимо решить уравнение
[|г + iff% + 4)] Хо = 0, D.14)
а также уравнение
[ [| & ] = 0. D.15)
Здесь хо(Т>х) и tyo(f)X) — двухкомпонентные столбцы. Как мы уже
отмечали, уравнение D.14) можно воспринимать как евклидово уравнение
Вейля для левых фермионов в (евклидовом) внешнем калибровочном поле
с Aq = 0. В силу D.12) уравнение D.15) представляет собой евклидово
уравнение Вейля для правых фермионов. Для нахождения явных решений
удобно избавиться от того, что евклидово внешнее калибровочное поле
имеет Ао = 0. Используем для этого тот факт, что уравнение D.14)
для функции хо(т",х) во внешнем поле j4o = 0, j4,-(t,x) эквивалентно
уравнению
>о)
'°=° DЛ6)
для функции х'о(т>х) — ш(т> х)Хо(т>х) во внешнем поле
А'о = шдтш~1, А[ = шА(Ш~1 + шд{Ш~1,
где ш(т, х) — произвольная функция со значениями в SUB). По-существу
мы сделали не что иное, как калибровочное преобразование (в четырех-
четырехмерном евклидовом пространстве) из калибровки Aq = 0 в произвольную
калибровку. Введем матрицы

84 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
которые являются евклидовыми аналогами матриц, фигурирующих в A.4).
Опуская штрихи в D.16), запишем окончательно евклидово уравнение
Вейля во внешнем поле,
£>Ш = ^Чхо = 0, D.17)
где, как обычно, D^ = дц 4- Ац, причем х° = г выступает как евклидово
время. Аналогично, уравнение D.15) в произвольной калибровке имеет вид
= Drtjq = (Т^щ = 0. D.18)
Нас интересует разность количеств убывающих решений этих двух урав-
уравнений.
Задача 1. Определим евклидовы 7-матрицы по аналогии с A.4)
[ о
Убедиться в справедливости антикоммутационного соотношения
Задача 2. Рассмотрим уравнение D.3) для массивных фермионов (так что "ф — че-
тырехкомпонентный столбец). Показать, что оно эквивалентно евклидову уравнению
Дирака
с матрицами 7е, определенными в предыдущей задаче.
Единственным требованием, накладываемым на евклидово калибро-
калибровочное поле -^(ж), является условие, чтобы после перехода в калибровку
Aq = 0 выполнялись соотношения D.11). Это требование эквивалентно
равенству (см. книга I, раздел 13.4, в частности формулу A3.53))
Q = An, D.19)
где, как и в разделе 13.4 книги I,
Jr (F^). D.20)
Поскольку условие D.19) калибровочно инвариантно, возвращаться в ка-
калибровку Ао = 0 больше нет необходимости.
Таким образом, для доказательства соотношения D.9) о несохранении
фермионного числа нам требуется убедиться, что
NQ(DL)-N0(D[) = Q
для евклидовых уравнений Вейля D.17), D.18) в каком-нибудь (все равно
каком) внешнем калибровочном поле с топологическим числом Q. Мы
рассмотрим случай Q = 1, когда в качестве внешнего поля можно взять
инстантонное решение евклидовых уравнений Янга—Миллса.

4.2. Нулевая фермионная мода в поле инстантона 85
Покажем прежде всего, что оператор DR (или, что то же самое, d\)
не имеет нулевых мод в поле инстантона. Для этого подействуем на левую
часть уравнения D.18) оператором DR = -DL = —<г^D^. Учтем, что
<7^0е = 6^ + irjfipa^a, где г\^иа — антисамодуальные символы 'тХоофта.
Они определены соотношениями
Voia = ~Tlioa = ~°ia> Vija = eija-
Нам понадобятся и самодуальные символы 'тХоофта г}ц„а) которые равны
Символы 'тХоофта антисимметричны по индексам ц, v. Используя по-
последнее свойство, получим
D{DR = -D^ - -«VJ^, А,].
Далее, [D^Dp] = F^. Для инстантона F^ пропорционально
а для символов 'тХоофта справедливо ц^иаУриъ = 0- Поэтому
Это — положительно определенный оператор, поскольку оператор D^
антиэрмитов в пространстве функций со скалярным произведением D.6).
Следовательно, у оператора DRDR нулевых мод нет; поэтому их нет
и у оператора Dr . Таким образом, для инстантонного внешнего поля
NQ(DR) = NQ(D[) = 0. D.21)
Рассмотрим теперь уравнение D.17) в поле инстантона. Удобно вос-
воспользоваться приемом, описанным в разделе 3.1 и перейти от переменных
Xai (здесь а = 1,2 — лоренцев индекс, i = 1,2 — изотопический индекс)
к переменным Xai по формуле (ср. C.18))
Xai =
Тогда уравнение D.17) запишется в матричном виде
<г)Ахо ~ fflxoAp = 0, D.22)
где мы опустили индекс Е у а -матриц. Поле инстантона Ац, заданное
стандартным выражением
vTa r2 + 2
полезно записать в форме

86 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
где nv иг — единичный радиус-вектор и радиальная координата в четы-
четырехмерном пространстве, соответственно. При записи выражения D.23)
мы воспользовались соотношением
и использовали обозначение /(г) для функции
-2
Уравнение D.22) в поле инстантона приобретает вид
. . f(r) f(r) + t
РрОцХО ~ O"ii">n /КО Н ff(iXoO'tiO'v"'V = U, ^«*4^
причем хо следует здесь воспринимать как матрицу 2 х 2 и понимать ее
произведения с <т\ и а^ как матричные.
Вид уравнения D.24) подсказывает очевидную подстановку
Ъ = 1 • в(г),
где а(г) — неизвестная пока функция, 1 — единичная матрица 2x2.
Учитывая, что а\(т^ = 4, получим, что левая часть D.24) пропорциональна
СцПц, а уравнение D.24) приводит к единственному уравнению для а(г)
Отсюда
const
a(r) = const • ехр < -3 / —/(г) > =
Это и есть нулевая мода в поле инстантона ('тХоофт, 1976а, Ь). В терминах
исходной функции х{х) она имеет вид
Ы* = const • grt(r2 + p2K/2- D.25)
Нулевая мода D.25) — гладкая всюду; она достаточно быстро убывает при
г -> оо, так что ее норма D.6) конечна.
Тот факт, что оператор Ьь в поле инстантона имеет нулевую моду,
■No(-^l) ф 0, уже означает, вместе с D.21), что левое фермионное чис-
число не сохраняется в полях калибровочных конфигураций, начинающихся
и заканчивающихся в соседних топологически различных вакуумах. В дей-
действительности в поле инстантона имеется ровно одна нулевая фермионная
мода. Доказательство последнего утверждения достаточно сложно, и мы
его здесь не приводим. Отсутствие нулевых мод, кроме D.25), зависящих
только от г, составляет предмет следующей задачи.

4.2. Нулевая фермионная мода в поле инстантона
87
Задача 3. Рассмотреть фермионные функции х(г), зависящие только от г. Пока-
Показать, что:
1) для таких функций уравнение D.17) приводит к замкнутой системе уравнений;
2) нулевая мода D.25) — это единственное убывающее решение уравнения D.17).
Указание: воспользоваться тем, что любая 2x2 матрица х(г) может быть пред-
представлена в виде х — 1 * <*(r) + ffaba(r), где <т° — матрицы Паули; использовать
уравнение для нулевой моды в форме D.24).
Итак, при переходах между соседними калибровочными вакуумами
(An = 1) соотношение D.9) действительно выполняется. То, что это
соотношение выполняется при любом An, видно из следующего рассуж-
рассуждения. Рассмотрим, например, случай Дп = 2. Внешнее калибровочное
поле Ai(r, x) (в калибровке Aq = 0) можно выбрать так, чтобы оно опи-
описывало последовательность двух переходов с Дп = 1, т. е. при г = — оо,
т = 0 и г = +оо оно представляло собой вакуумное поле с п = 0, п = 1
и п = 2, соответственно. При изменении г от (-оо) до 0 пересечение
фермионных уровней соответствует изменению числа левых фермионов
на ANl = 1; на такую же величину изменится фермионное число при
изменении т от 0 до (+оо). Полное число пересечений уровней соот-
соответствует, таким образом, ANl = 2. Движение уровней в этом случае
схематически изображено на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Движение левых фермионных уровней в калибровочном поле, описывающем
последовательные переходы между соседними вакуумами. Отмечены пересечения нуля
фермионными уровнями
Поскольку изменение фермионного числа не зависит от конкретного
выбора поля для одного и того же Дп, мы заключаем, что AN^ = 2
для всех полей с Дп = 2. Ясно, что это соображение прямо обобщается
на любые Дп > 0. Очевидная модификация этого аргумента (после-
(последовательность переходов с Дп = 1 и Дп = -1 — это топологически
тривиальное поле, приводящее к AN^ = 0) объясняет, что соотношение
D.9) справедливо и для An < 0.

88 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
Задача 4. Показать, что в поле антиинстантона оператор Db не имеет нулевых
мод. Найти нулевую моду оператора £)[ или, что то же самое, оператора Dr. Этот
результат дает явное подтверждение формулы D.9) для An = — 1.
Изложенный здесь результат является частным случаем теоремы Атьи—Зингера
об индексе (связь несохранения фермионных чисел с теоремой Атьи—Зингера вы-
выяснена Шварцем A977), Нильсеном и Шроером A977b), Брауном, Карлицем и Ли
A977) и Джекивом и Ребби A977)). В применении к левым фермионам она дает
dim Кег (D[DL) - dim Ker (DLD[) = Q, D.26)
где Q — топологическое число евклидовой конфигурации калибровочного поля
D.20). Соотношение D.9) — это записанное в других терминах равенство D.26).
Данное соотношение связано также с аномалией Адлера—Белла—Джекива, ко-
которая имеет место в квантовой теории поля. Именно, в квантовой теории поля
в пространстве Минковского можно ввести оператор тока левых фермионов
(в обозначениях раздела 1.1). Наивно этот ток сохраняется, т. е. наивно сохраняется
левое фермионное число
Однако учет квантовых эффектов приводит к аномалии в дивергенции тока
Соотношение D.9) можно интерпретировать как проинтегрированное по про-
пространству-времени аномальное тождество D.27).
4.3. Правила отбора
В щ)едыдущем разделе нами по существу уже было сформулировано
правило отбора для обсуждаемых в этой главе процессов с несохранением
фермионных чисел (в теориях с калибровочной группой SUB) и безмас-
безмассовыми фермионами в фундаментальном представлении). Именно, если
происходит процесс, в котором топологическое число калибровочного
вакуума изменяется на Дп, то фермионное число каждого левого дублета
изменяется на AJVl = An, а фермионное число каждого правого дубле-
дублета — на AJVr = - An. В конкретных моделях это правило отбора бывает
удобно переформулировать в более физических терминах, что мы и сде-
сделаем в этом разделе для теории сильных взаимодействий — квантовой
хромодинамики — и Стандартной модели электрослабых взаимодействий.
Начнем с квантовой хромодинамики — теории с калибровочной
группой SUC)C и триплетными фермионами — кварками, — имеющими
как левую, так и правую компоненты. Три типа кварков — u,d,s —
имеют довольно малые массы, и неплохим приближением является предел
безмассовых u,d,s. В этом пределе по отдельности сохранялись бы

4.3. Правила отбора 89
числа левых и правых кварков каждого типа, NUt,NUR;... ;NSb,NSR,
если бы не было процессов перехода между топологически различными
калибровочными вакуумами.
Для установления правил отбора, выполняющихся и при учете про-
процессов инстантонного типа, заметим, что соображения предыдущего раз-
раздела, основанные на тождестве DL = -Dr и приводящие к соотношению
D.10), прямо переносятся на случай калибровочной группы SUC)C. По-
Поэтому выполняются равенства
ANUK = -ANUL, ANdK = -ANdLi ANSk = -ANSt. D.28)
Далее, компоненты «l, <^l и *l (в пределе безмассовых кварков) совер-
совершенно одинаково ведут себя во внешних калибровочных полях группы
SUC)C. Поэтому пересечение уровней происходит одинаково для каждого
типа кварков, и мы имеем
ANUL = ANdL = ANSL. D.29)
Равенства D.28), D.29) и представляют собой пять правил отбора, выпол-
выполняющихся во всех процессах в хромодинамике с тремя типами безмассо-
безмассовых кварков. Они означают, что может не сохраняться полная киральность
Q5 = (NUL + NdL + NSL) - (NUR + NdR + NH), D.30)
в то время как пять других линейных комбинаций чисел NUl, ...,NSK
сохраняются.
Чтобы увидеть, что киральность действительно не сохраняется при
переходах между топологически различными калибровочными вакуумами,
рассмотрим калибровочные поля подгруппы SUB), вложенной в SUC)C
следующим образом
Каждый кварковый SUC)C -триплет разбивается на дублет и синглет по от-
отношению к этой SUB). Синглеты не взаимодействуют с калибровочными
полями указанной подгруппы SUB), и пересечения уровней в калибро-
калибровочных полях такой структуры для них не происходит. Для дублетов
же имеет место пересечение уровней в топологически нетривиальных
внешних калибровочных полях, соответствующих подгруппе D.31). При
этом, как ясно из результатов предыдущего раздела, действительно вы-
выполняются правила отбора D.28), D.29), но NUl, ...,NSn по отдельности
не сохраняются, т. е.
AQ5 ф 0.
Итак, киральность D.30) не сохраняется в хромодинамике.
Физически несохранение киральности D.30) в квантовой хромодинамике про-
проявляется в отсутствии в природе девятого легкого псевдоскалярного бозона,

90 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
аналогичного восьмерке ir±, тг°, К*> К0, JT0, ц. Фермионная часть действия
квантовой хромодинамики в пределе безмассовых и, d, a имеет вид
SF= [<?х (ш7м#ми + difD^d + Bi^D^a), D.32)
где, как обычно, Dlt = dlt' igttaAl; о = 1,.... 8; gt — константа связи группы
SUC)с, ta — генераторы SUC)C, Аац — восьмерка калибровочных (глюонных)
полей. Действие D.32) наивно инвариантно относительно глобальных преобразо-
преобразований с группой
SUC)b х SUC)K х U(\)L x 17A)R, D.33)
где подгруппы SUC)L x UA)L и SUC)K x ?7A)r действуют на левые и правые
компоненты кварков, соответственно. При этом, например, кварки («L, dL, s{)
образуют триплет относительно SUC)L и преобразуются с общей фазой при
преобразованиях из ?7A)l- Наивное сохранение шести чисел JVttL,..., NSR соот-
соответствует диагональной подгруппе группы D.33). В частности,, киральность D.30)
соответствует преобразованиям из подгруппы ?7A)l-r>
Несохранение киральности D.30) означает, что на самом деле группой глобальной
симметрии является
SUC)L х SUC)K x tf(l)L+R. D.34)
Сильные взаимодействия приводят к спонтанному нарушению симметрии D.34)
до S?7C)l+r x !7A)l+r (надежное теоретическое объяснение этого эксперимен-
экспериментального факта до сих пор отсутствует). В соответствии с теоремой Голдстоуна
это приводит к появлению восьми безмассовых бозонов, по числу нарушенных
генераторов. В действительности u, d, в-кварки имеют небольшие массы, поэтому
массы намбу-годдстоуновских бозонов невелики, но отличны от нуля. Это и есть
тг*, тг°, К*, К0, К° и ^-мезоны. Если бы группой симметрии была группа D.33),
то должен был бы существовать девятый псевдоголдстоуновский бозон. Его от-
отсутствие — прямое экспериментальное доказательство несохранения киральности
(отсутствия инвариантности относительно t7(l)L_R) в квантовой хромодинамике.
Подчеркнем, что в квантовой хромодинамике константа связи не мала
(на больших расстояниях), поэтому не малы и рассматриваемые эффекты, приво-
приводящие к нарушению киральности.
Продолжая обсуждение хромодинамики, сделаем замечание, касаю-
касающееся кварков с ненулевой (и достаточно большой) массой. В этом случае
числа левых и правых кварков не сохраняются даже в отсутствие внешних
калибровочных полей. Поэтому имеет смысл говорить лишь о сохранении
полного числа кварков каждого типа
N» = N 4- N (А ЪЧ\
Эти числа сохраняются при любых массах (включая нулевую, см. D.28))
и в любых внешних калибровочных полях группы SUC)C. Поэтому в слу-
случае массивных кварков топологически нетривиальные калибровочные
поля не приводят к какому-либо изменению наивных правил отбора.

4.3. Правила отбора 91
Обратимся теперь к теории электрослабых взаимодействий. Прежде
всего, для установления правил отбора подгруппа U(l) электрослабой
калибровочной группы £17B) х U(l) несущественна, поскольку четы-
четырехмерные абелевы теории сложной структурой калибровочных вакуумов
не обладают. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только
калибровочные поля, соответствующие группе SUB). Далее, выключим
на время юкавские взаимодействия фермионов с хштсовским полем; мы
увидим в дальнейшем, что учет юкавских взаимодействий по существу
не изменяет правил отбора. В пренебрежении калибровочным взаимодей-
взаимодействием группы 17A) и юкавскими взаимодействиями правые компоненты
лептонов и кварков являются свободными (сильные взаимодействия нас
здесь также не интересуют), а левые лептоны и кварки взаимодейству-
взаимодействуют с калибровочным полем группы SUB) в точности так, как описано
в предыдущем разделе. Поскольку правых дублетов в модели нет, соот-
соотношение D.10) не имеет отношения к делу; при этом равенство D.9)
выполняется для каждого из левых дублетов. Числа правых фермионов
не изменяются, и мы получаем, что при переходах между топологически
различными вакуумами выполняется правило отбора
ALe = ALU = ALT,
* D.36)
А1 + А1 v '
где лептонные числа Le, L^ и LT определены соотношениями A.79),
A.80) и A.81), а В — барионное число. В последнем равенстве мы учли,
что полное число левых кварковых дублетов в модели равно произведению
числа поколений (Ng = 3) и числа цветов (Nc = 3), а барионное число
одного кварка равно |; отсюда и появляется коэффициент NgNc • \ = 3.
Таким образом, процессы инстантонного типа приводят в электрослабой
теории к несохранению барионного и лептонных чисел, но при этом
выполняется правило отбора D.36).
Вывод о несохранении барионного и лептонного чисел и правило
отбора D.36) остаются справедливыми и при учете юкавских взаимодей-
взаимодействий фермионов с хиггсовским полем, которые в конечном итоге приво-
приводят к появлению масс у кварков и лептонов (Красников, Рубаков, Токарев,
1979). Не вполне строгий способ убедиться в этом состоит в следующем.
Рассмотрим для простоты один набор фермионов, в который входит ле-
левый дублет L и два правых синглета R\ и Ri относительно группы SUB).
В этом упрощенном случае фермионное действие имеет вид (см. A.74))
> D.37)
где мы пренебрегли калибровочным взаимодействием, соответствующим
группе 17A). Система евклидовых уравнений Дирака, аналогичная уравне-

92 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
нию D.17), имеет вид
(T^DfiL - h\ipR\ - hiyRi = О,
= О, D.38)
^г 2(ft) = О.
Введя столбец
эту систему можно записать в символическом виде
Изменение фермионного числа во внешних калибровочном и хиггсовском
полях инстантонного типа определяется разностью количеств нулевых мод
операторов V т\Т>\
ANF = N0(V) - Щ&). D.39)
Здесь под фермионным числом понимается, как обычно, разность числа
фермионов и числа антифермионов, как левых, так и правых.
Задача 5. Используя рассуждения раздела 4.1, убедиться в справедливости со-
соотношения D.39) с оператором V, определяемым системой D.38), для теории
с фермионным действием D.37). Выписать явный вид оператора V, сохраняя
групповые индексы, соответствующие калибровочной группе 517B).
Как мы убедились в разделе 4.1, разность (Щ(Т>) - Nq(T>^)) не из-
изменяется при непрерывных вариациях оператора V. В частности, она
не должна изменяться при изменении юкавских констант h\ и hi- Но при
hi = h,2 = 0 уравнения для левых и правых фермионов расщепляются,
и мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в предыдущем разделе.
В этом пределе правые фермионы свободны и не имеют нулевых мод,
а для левых фермионов имеем
NQ(D) - NQ(tf) = An,
где An — изменение топологического числа классического вакуума ка-
калибровочных полей. Поскольку эта формула не зависит от hi и h2, мы
получаем
ANF = An
при любых юкавских константах.
Для того чтобы применить это рассуждение к лептонам, достаточно
положить hi = 0. Обобщение этого рассуждения на случай кварков
(с нетривиальным смешиванием, кратко рассмотренным в разделе 1.4)
достаточно очевидно. Таким образом, мы приходим к выводу о том,
что включение юкавских взаимодействий оставляет правило отбора D.36)
справедливым в электрослабой теории.

4.3. Правила отбора 93
Структуру евклидовой нулевой фермионной моды во внешних калибровочном
и хиггсовом полях, обладающих симметрией инстантонного решения, достаточно
просто найти в случае одинаковых юкавских констант (Красников, Рубаков,
Токарев, 1979). Действительно, рассмотрим евклидовы калибровочное и хиггсовое
поля вида
Af,(x) = /(rJwd/jW, (p(x) = Н^шф*9*,
где
ш(х) = па<та, ip™ = —р (
При hi = h2 = h (иначе говоря, при равных массах фермионов) уравнения D.38)
можно решать, используя подстановку
Lai(x) = £ail(r),
Ria(x) = eai<pfp{r), D.40)
где a = 1,2 и i,j = 1,2 — лоренцевы и изотопические индексы фермионов.
В результате вычислении, аналогичных приведенным в разделе 4.2, получаем, что
система D.38) сводится к двум уравнениям для 1(г) и р(г),
р' - т¥Н1 = 0, I' + ^-l- mFHp = 0, D.41)
г
где тр = h(po/\/2 — масса фермионов в вакууме <pvac. Для того чтобы убедиться
в существовании гладких и убывающих при г -> ос решений системы D.41),
воспользуемся следующим рассуждением. Рассмотрим сначала поведение решений
системы D.41) при г -ч оо. В этой области имеем
/(г)-^1, Я(г)-^1, Г-+ОС. D.42)
Нетрудно убедиться, что одно из решений уравнений D.41) экспоненциально
убывает при г -» оо, а именно, р,I ос exp{mFr}, а другое — экспоненциально
растет. Найдем теперь поведение решений уравнений D.41) при г -ч 0. В этой
области
тРЯ(г) = а,г, /(г)=а2г2, г -»0, D.43)
где <*1 и ai2 — некоторые постоянные. (Поведение D.43) обусловлено требованием
гладкости полей Ац и <р в точке жр = 0.) При учете D.43) можно убедиться, что
оба решения системы D.41) — гладкие при г -4 0. Действительно, будем искать
решение в виде ряда
I = d + C2r2 +... ,
р = А + D2r2 +...
с постоянными коэффициентами C\,...,Di Уравнения D.41) сведутся к ре-
рекуррентным соотношениям для коэффициентов C\,...,D\t..., первое из кото-
которых имеет вид
2С2 + ЪагСх - axDx = 0,
2D2 - aiCi = 0.
Существенно, что постоянные Di и С\ произвольны, а остальные коэффициенты
выражаются через них. Отсюда и следует, что оба решения уравнений D.41) —

94 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
гладкие при г -¥ О, а решений, сингулярных в нуле, не существует. В частности,
решение системы D.41), убывающее при г -> оо, является (как и все другие)
гладким при г -> 0. Это и есть евклидова нулевая мода.
Задача б. Используя подстановку D.40), показать, что система D.38) сводится
к двум уравнениям D.41).
Задача 7. Считая, что функции Н(г) и /(г) экспоненциально стремятся к значе-
значениям D.42) при г -> оо, найти асимптотики 1(г) и р(т) при г -> оо, включая
степень г перед экспонентой.
Задача 8. Найти явное решение для 1(г) и р(г) в поле конфигурации 'тХоофта
4.4. Электрослабое несохранение
барионного и лептонных чисел
при высоких температурах
Мы убедились в предыдущем разделе, что теория электрослабых взаи-
взаимодействий предсказывает несохранение барионного и лептонных чисел,
причем правило отбора имеет вид D.36). Это несохранение возникает при
переходах между топологически различными классическими вакуумами
калибровочной теории и обусловлено явлением пересечения фермионных
уровней.
В обычных условиях — при низких температурах и плотностях частиц
и при не слишком высоких энергиях — переходы между топологически
различными вакуумами представляют собой туннельные процессы и опи-
описываются инстантонами2*. Именно в инстантонных процессах возникают
калибровочные и хигтсовские поля, в которых происходит пересечение
фермионных уровней. Поскольку калибровочная константа связи неабе-
левой подгруппы SUB) электрослабой группы SUB) x 17A) мала,
92 а 1
a
aw~ 4тг ~ sm29w ~ 30'
вероятность электрослабых инстантонных процессов сильно подавлена,
Госехр^ ^~КГ10и. D.44)
I OLW)
Поэтому электрослабое нарушение барионного и лептонного чисел экс-
экспериментально обнаружить не удается. Отметим еще раз, что его теорети-
теоретическое описание требует выхода за рамки стандартного метода квантовой
теории поля — разложения по степеням малой константы связи.
' Точнее, конфигурациями инстантонного типа — локализованными инстантона-
ми, см. Дополнение.

4.4. Электрослабое несохранение барионного и лептонных чисел 95
Ситуация в корне меняется, если рассматривать системы с электро-
электрослабым взаимодействием в экстремальных условиях. Наибольший интерес
представляет случай высоких температур, поскольку он реализовывался
на ранних стадиях эволюции Вселенной. При высоких температурах воз-
возможны тепловые скачки через потенциальный барьер, разделяющий топо-
топологически различные вакуумы. Наиболее наивная оценка скорости таких
скачков при не слишком высоких температурах получится, если оценить
вероятность попадания системы в седловую точку, разделяющую тополо-
топологически различные вакуумы (сфалерон), больцмановской экспонентой
Госехр{-^}. D.45)
В электрослабой теории имеем (см. книга I, A3.67))
()
aw \mwj
и уже оценка D.45) показывает, что при высоких температурах, Г > 1 TeV,
скорость тепловых скачков перестает быть малой. Таким образом, мы при-
приходим к выводу об интенсивном несохранении барионного и лептонных
чисел при достаточно высоких температурах.
В действительности оценка D.45) является сильно заниженной в ин-
интересной области температур. Вероятность реализации того или иного
состояния системы при высоких температурах определяется не энергией
этого состояния Е, а его свободной энергией jP, которая сама является
функцией температуры. Это означает, в частности, что для оценки ско-
скорости тепловых скачков через потенциальный барьер необходимо искать
не экстремум функционала статической энергии Е(А,<р), а экстремум
свободной энергии jP(A, ф). Этот экстремум — температурный сфале-
сфалерон — может не совпадать с обычной сфалеронной конфигурацией, а его
свободная энергия jPsph может быть значительно меньше Еф. Так оно
и получается в электрослабой теории, поэтому скорость тепловых скачков,
приводящих к несохранению барионного и лептонных чисел
D.46)
оказывается гораздо большей, чем дает оценка D.45). В оценке D.46) мы
ввели множитель Г4 из размерных соображений; Г представляет собой
вероятность процессов с несохранением барионного и лептонных чисел
в единицу времени в единице пространственного объема.
Неплохая оценка i^ph получается, если учесть, что среднее значение хиггсов-
ского поля зависит от температуры. Эта температурная зависимость (Киржниц,
1972; Киржниц, Линде, 1972; Долан, Джекив, 1974; Вайнберг, 1974) исследуется
методами, далеко выходящими за рамки данной книги. Среднее хштсовского

96 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
поля <ро(Т) убывает с ростом температуры, и выше некоторой температуры ТсА
обращается в нуль. Эту критическую температуру называют температурой элек-
электрослабого фазового перехода; грубо говоря, при Т > Тсгц электрослабая группа
51Е7B) х U(l) не нарушена3\ Поскольку массы векторного и хиггсовского бозонов
пропорциональны среднему значению <р0, они также меняются с температурой;
в частности, mw(T) = ^д<ро(Т). Свободную энергию температурного сфалерона
можно оценить, положив в выражении для энергии сфалерона fnw = mw(T),
mH = mH(T), т.е.
Эта величина уменьшается с ростом температуры и при Г > TcrIt равна нулю.
Последнее свойство означает, что при Г > Tcrit процессы с несохранением ба-
барионного и лептонных чисел перестают быть экспоненциально подавленными.
При этом пропадает возможность их описания квазиклассическими методами, что
представляет собой трудность с теоретической точки зрения.
В электрослабой теории температура фазового перехода зависит от неиз-
неизвестного (пока!) параметра — массы хиггсовского бозона в вакууме. Ее значения
находятся в области Tcrit ~ 200 GeV. Таким образом, электрослабые процес-
процессы с несохранением барионного и лептонного чисел интенсивно происходят при
Т ;> 200 GeV. Этот вывод имеет существенное значение для космологии, а именно,
для объяснения наблюдаемого избытка барионов над антибарионами в современ-
современной Вселенной (проблема генерации барионной асимметрии Вселенной (Сахаров,
1967; Кузьмин, 1970)).
Отметим в заключение, что интенсивное нарушение барионного
и лептонного чисел за счет элекгрослабых взаимодействий возможно
и в других, более экзотических случаях — при высоких плотностях фер-
мионов (Матвеев, Рубаков, Тавхелидзе, Токарев, 1987) или в распадах
тяжелых частиц (Амбьорн, Рубаков, 1985). Сечения таких процессов,
происходящих в столкновениях частиц, подавлены фактором D.44) при
низких энергиях, но быстро растут с энергией в области нескольких
TeV (Рингвальд, 1990; Эспиноза, 1990), оставаясь, по-видимому, экспо-
экспоненциально подавленными при всех доступных энергиях. Инстантонные
процессы при высоких энергиях кратко обсуждаются в Дополнении.
4.5. Классический аналог аномального
несохранения барионного числа:
инстантонный распад скирмиона
В этом разделе мы рассмотрим пример, иллюстрирующий взаимовли-
взаимовлияние различных топологических свойств классических полей. Этот пример
' На самом деле ситуация в электрослабой теории при высоких температурах
является еще более тонкой. Параметр порядка в этой теории в действительности
отсутствует (Фрадкин, Шенкер, 1979; Бэнкс, Рабиновичи, 1979), и фазового пе-
перехода может не быть вовсе (Каянти, Лайне, Руммукайнен, Шапошников, 1996).

4.5. Классический аналог несохранения барионного числа 97
интересен тем, что он является аналогом аномального несохранения ба-
барионного числа, рассмотренного в предыдущих разделах, но возникает
в бозонных теориях на уровне классической теории поля (Д'Хокер, Фар-
хи, 1984). А именно, мы рассмотрим модель Скирма раздела 7.5 книги I,
но видоизменим ее тем, что будем считать группу SUB)l калибровочной,
а не глобальной. Мы увидим, что за счет взаимодействия с калибровочыми
полями скирмион становится нестабильным относительно распада «в ва-
вакуум» (т. е. на отдельные бозоны), причем с точки зрения калибровочных
полей процесс его распада — это процесс инстантонного типа.
Скирмион является неплохой моделью нуклона, если в качестве сигма-поля
выступает поле пионов. Считая группу SUB)i калибровочной, мы по суще-
существу включаем слабые взаимодействия (игнорируя при этом подгруппу U(l)
электрослабой калибровочной группы, т.е. считая sin8w = 0). Действительно,
на кварковом уровне группы SUB)i и SUB)R действуют на левые и правые ком-
компоненты кварковых полей, так что SUB)i действует точно так же, как подгруппа
SUB) электрослабой группы. Мы уже знаем из раздела 4.3, что электрослабые
инстантоны нарушают барионное число. В теории с одним дублетом кварков
(и, d) барионное число изменяется на единицу при одноинстантонном переходе.
Если скирмион действительно является моделью нуклона, то это свойство должно
выполняться и для него: скирмион должен распадаться в результате одноинстан-
тонного процесса. В данном разделе мы убедимся в этом непосредственно.
Итак, рассмотрим калибровочную теорию с калибровочной группой,
которую мы будем обозначать SUB)l- Помимо калибровочного поля Ац
(мы, как обычно, используем матричные обозначения), включим в модель
сигма-поле U(x) € SUB), которое при калибровочных преобразованиях
Wl(x) € SUB)l преобразуется следующим образом
U(x) -» uL(x)U(x). D.47)
Кроме того, потребуем инвариантности относительно преобразований
из глобальной группы SUB)r,
Щх) -» U(x)wrK D.48)
Напомним, что в сигма-модели без калибровочного поля (но со скир-
мовским членом в лагранжиане) имеется солитон — скирмион. Он яв-
является топологически стабильным, поскольку его поле задает первое не-
нетривиальное отображение трехмерного пространства с отождествленной
бесконечностью (имеющего топологию сферы S3) в полевое многооб-
многообразие SUB). При включении калибровочных полей это топологическое
свойство пропадает просто потому, что оно не является калибровочно
инвариантным. Действительно, пусть конфигурация U(\) имеет тополо-
топологическое число n[U] (степень отображения S3 -> SUB)). Рассмотрим
калибровочно преобразованную конфигурацию
U'(x) =

98 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
Топологическое число этой конфигурации равно
n[U'] = n[U] + n[wL],
где n[wi] — степень отображения пространства (сферы S3) в группу
SUB)l. При «больших» калибровочных преобразованиях топогическое
число сигма-поля меняется, и из единицы (скирмион) может превратиться
в нуль (вакуумный сектор).
Ясно, что динамически процесс «раскрутки» скирмиона связан с ка-
калибровочными полями инстантонного типа. Если в начальный момент
времени поле U = U±{\) имело структуру скирмиона, а калибровочное
поле равнялось нулю, то в результате инстантонного перехода топология
самого поля U&(x) не изменится (имеется в виду, что выбрана калибровка
Aq = 0, в которой поля U и Ai не меняются на бесконечности в силу
требования конечности кинетических членов в энергии), а калибровочное
поле попадает в первый топогически-нетривиальный вакуум
At = п&Щ1, D.49)
где fii(x) — калибровочная функция с единичным топологическим чис-
числом. Конечная конфигурация с U = C/sk(x) и калибровочным полем D.49)
калибровочно эквивалентна конфигурации
4=0, U' = Uil(x)Usk(x), D.50)
в которой все поля имеют тривиальную топологию. Это и означает, что
произошел процесс «раскрутки» скирмиона. Поле D.50) может распа-
распадаться на волны с малой амплитудой, что и означает распад скирмиона
(и несохранение барионного числа).
В том, что именно инстантон ответственен за распад скирмиона,
можно убедиться и рассматривая «барионный» ток. В сигма-модели без
калибровочных полей можно ввести ток
В, = ^е^ХрТг(идри^ • UdxU* ■ Udptf). D.51)
Этот ток тождественно сохраняется,
дрВр = 0, D.52)
поэтому его называют топологическим током, в отличие от нетеровских
токов, которые сохраняются только на решениях уравнений поля. В силу
D.52) сохраняется «барионное» число
В
= Г <13хВ0. D.53)
Этот интеграл в точности совпадает со степенью отображения простран-
пространства (топологически — сферы 53) в группу SUB), которая служит по-
полевым многообразием. Скирмион — наинизшее состояние с В = 1 —
стабилен, если калибровочных полей нет.

4.5. Классический аналог несохранения барионного числа 99
Задача 9. Доказать тождество D.52).
В модели с калибровочными полями ток D.51) по-прежнему сохраняется.
Однако ни сам этот ток, ни интеграл D.53) не являются калибровочно-
инвариантными величинами. Построить калибровочно-инвариантный со-
сохраняющийся ток невозможно; максимум, что можно сделать — это
построить такой калибровочно-инвариантный ток, что соответствующее
барионное число сохраняется в отсутствие калибровочных полей инстан-
тонного типа (Д'Хокер, Фархи, 1984). Этот ток имеет вид
D.54)
Zt/l \ Z /
где
Отметим, что Ьц преобразуется по присоединенному представлению ка-
калибровочной группы SUB)l, так что D.54) — это действительно калиб-
ровочно инвариантная величина. Ток D.54) удовлетворяет тождеству
я nmv - TrF F D 55)
lOTT
Поэтому для барионного числа
будем иметь
>inv
BT-Bf^-Q, D.56)
где Bfj — барионное число в начале и в конце процесса, a Q — топологи-
топологическое число калибровочного поля — инстантонное число D.20). Соотно-
Соотношение D.56) служит прямым указанием на то, что скирмион распадается
тогда и только тогда, когда происходит процесс инстантонного типа.
Отметим соответсвие соотношения D.55) и формулы D.27) для аномальной
дивергенции фермионного тока (различие в знаках несущественно: оно связано
с используемым нами определением барионного числа в модели Скирма). Это
конечно, не случайно в свете соответствия скирмиона нуклону.
Задача 10. Доказать тождество D.55). Указание: доказательство проще всего
провести, воспользовавшись следующими результатами: A) поскольку В™ —
синглет относительно калибровочной группы, то
и вместо обычного дифференцирования выражения под знаком следа в D.54) можно
использовать ковариантное дифференцирование; B) справедливо тождество

100 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
(tf преобразуется по антифундаментальному представлению калибровочной груп-
группы); C) справедливы тождества
где квадратные скобки обозначают антисимметризацию, и б^Лр Тг (Х^Х/^ЬдХр) = 0
(докажите эти тождества).
После этих предварительных соображений рассмотрим ситуацию бо-
более подробно. Простейшим калибровочно-инвариантным обобщением
лагранжиана нелинейной сигма-модели со скирмовским членом служит
C
D.57)
где д — калибровочная константа связи, а ковариантные производные
равны
DJJ = (^ + A^U, DpU* = д^ - tfA».
Калибровочным преобразованием D.47) любую конфигурацию U(x) мож-
можно перевести в унитарную калибровку
U(x) — 1 для всех х.
В этой калибровке лагранжиан D.57) имеет простой вид
С = ^р Тг (ад*) - ^ Тг (ApAJ + ^г Тг A^' М4*. ^1)- <4-58)
В результате выбора унитарной калибровки калибровочная инвариант-
инвариантность, разумеется, пропала. Пропали и топологические свойства полей:
сигма-поле вообще отсутствует в лагранжиане D.58); топологии, свя-
связанной с калибровочными вакуумами, тоже нет, поскольку единственным
классическим вакуумом является Ац = 0. Отметим, что линейные возбуж-
возбуждения над этим вакуумом описывают три (по числу генераторов SUB)l)
массивных векторных поля с массой
Fa
mv = -±, D.59)
которая возникает благодаря второму слагаемому в D.58).
В пределе g -> 0 калибровочные взаимодействия выключаются, и мы
вновь приходим к сигма-модели без калибровочного поля (это утвержде-
утверждение становится очевидным, если записать А^ в терминах действительных
полей А^, т. е.
та
Ац = -ig—Al,

4.5. Классический аналог несохранения барионного числа 101
тогда лагранжиан D.57) в пределе д -> 0 становится суммой лагран-
лагранжиана трех безмассовых векторных полей и лагранжиана сигма-модели
без калибровочного поля). Следовательно, в пределе д ->■ 0 скирмион
должен существовать. Из соображений непрерывности скирмион должен
существовать и при малых, но конечных д, несмотря на то, что топологи-
топологические причины для этого отсутствуют. В унитарной калибровке скирмион
восстанавливается при малых д следующим образом. Статический функ-
функционал энергии при AQ = 0, соответствующий лагранжиану D.58), равен
В = / **\ -=3 ЪЪ - Т2 ЪМ - —г Тг [Л, Aj}' . D.60)
Будем интересоваться конфигурациями А,(х), энергия которых невелика,
точнее, конечна в пределе д -> 0. Для таких конфигураций Fy = О(д),
поэтому с точностью до поправок порядка д поле А((х) должно быть
«чисто калибровочным». Его можно записать в виде
Ai=u)diU)-1, D.61)
где ш(х) 6 SUB), а в остальном произвольна. На таких полях выражение
D.60) сводится к статической энергии некалиброванной сигма-модели
(с заменой U -> ш), которая имеет нетривиальный минимум — антискир-
мион ш = U^}(x). Полученное таким образом решение (приближенное
при малых, но конечных д) имеет в унитарной калибровке вид
U = l, Ai = U£%U&t D.62)
и оно калибровочно эквивалентно скирмиону
U = U&, Ai = 0.
Задача 11. Показать, что поправки к массе скирмиона, возникающие при включе-
включении калибровочных взаимодействий, имеют порядок д2 при малых д.
Однако, даже при малых д скирмион является метастабильным,
а не абсолютно стабильным. Чтобы убедиться в том, что энергетический
барьер между скирмионом и вакуумом конечен, построим путь в про-
пространстве полевых конфигураций с конечной энергией, начинающийся
в вакууме и оканчивающийся на скирмионе. Будем работать в унитарной
калибровке, тогда этот путь должен соединять конфигурацию U = 1,
А{ = 0 с конфигурацией D.62). Пример такого пути нам в действительно-
действительности известен — это антиинстантон, переведенный в калибровку Aq = 0,
плюс последующий путь вдоль «чисто калибровочных» конфигураций.
Действительно, в калибровке Aq = 0 антиинстантон ведет из конфигура-
конфигурации Ai = 0 в конфигурацию
А{ = п-Ап-и D.63)
где п-i (х) имеет топологическое число n[fi_i] = -1. В калибровке
Ао = 0 поле антиинстантона Ai (х, г) при всех г убывает при больших

102 Глава 4. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных теориях
|х| не медленнее, чем |х|2 (см. задачу в разделе 13.4 книги I), поэтому все
члены в D.60) конечны. По этой же причине конечны и кинетические
члены, например, слагаемое
f d\ Tr Fi = f
Поэтому антиинстантон действительно задает путь в пространстве поле-
полевых конфигураций с конечной энергией, приводящий к полю типа D.61)
с правильными топологическими свойствами. Конфигурация D.63) имеет
при малых д энергию большую, чем энергия скирмиона. Дальнейшее
движение к скирмиону — это скатывание вдоль конфигураций вида D.61)
к локальному минимуму D.62).
Барьер между скирмионом и вакуумом существует не всегда. Если он
отсутствует, то классически стабильного скирмиона не существует вовсе
(Рубаков, 1985; Амбьорн, Рубаков, 1985). Оценку параметров, при которых
барьер исчезает, можно получить следующим образом. В калибровочной
теории имеется свой характерный энергетический масштаб, определяю-
определяющий высоту барьера между топологически различными вакуумами. Это
энергия сфалерона
** ~ -р-
Если масса «некалибровочного» скирмиона
F
Msk ~ —
е
мала по сравнению с Е^ъ, то барьер существует, и скирмион классически
стабилен, а в противном случае классически стабильного скирмиона нет.
Итак, скирмион пропадает при
Msk ~ Esph. D.64)
Численные расчеты подтверждают эту оценку.
В модели D.57) масса векторного бозона дается формулой D.59),
поэтому метастабильный скирмион пропадает при
е~д.
Если в модель добавлены другие скалярные поля, то работает оценка
D.64) в том виде, как она написана.
Если скирмион — это нуклон, а калибровочные поля соответствуют векторным
бозонам W*, Z электрослабых взаимодействий, то энергия сфалерона (порядка
10 ТэВ при My ~ 100 ГэВ) значительно больше массы нуклона тр « 1 ГэВ. По-
Поэтому нуклон даже в теории с одним кварковым дублетом распадался бы только
за счет туннелирования и время его жизни было бы очень велико (см. D.44)), хотя
и конечно (в физически интересном случае трех кварковых дублетов нуклон абсо-
абсолютно стабилен, поскольку минимальное изменение «барионного» числа равно 3,

4.5. Классический аналог несохранения барионного числа 103
см. раздел 4.3). Быстрое несохранение «барионного» числа в распаде скирмиона
рассматривалось в контексте моделей техницвета (Амбьорн, Рубаков, 1985).
Отметим в заключение этого раздела, что изучение аномального распада
скирмиона интересно не только в вакууме, но и в поле монополя т' Хоофта—
Полякова (Каллан, Виттен, 1984; Брийе и др., 2001, 2003). Это — по-видимому,
единственный реальный путь к вычислению сечения монопольного катализа рас-
распада нуклона, обсуждавшегося в разделе 3.2. Имеющиеся результаты показывают,
что взаимодействие скирмиона с монополем действительно приводит к большому
сечению распада скирмиона, причем этот процесс может быть описан целиком
в рамках классической теории поля.

Глава 5
Мир на бране
Солитонные решения можно использовать для построения теоре-
теоретико-полевых моделей «мира на бране» (Рубаков, Шапошников, 1983;
Акама, 1982). Общая идея о мире на бране состоит в том, что наше про-
пространство имеет более трех измерений, но известные нам частицы могут
распространяться только вдоль трехмерной гиперповерхности, вложенной
в это многомерное пространство. Именно поэтому дополнительные изме-
измерения являются (пока?) ненаблюдаемыми. Гиперповерхность, на которой
локализованы частицы, называют для краткости браной (или 3-браной,
по числу ее пространственных измерений). С миром на бране мы уже в не-
некотором смысле сталкивались: например безмассовые фермионы в модели
раздела 3.3 распространяются только вдоль струны, а их столкновения
на струне при низких энергиях Е не могут приводить к рождению фер-
мионов, покидающих струну (последние имеют конечную массу порядка
тр и не рождаются при Е <С тр); теория таких фермионов при низ-
низких энергиях является эффективно двумерной (одно пространственное,
одно временное измерение), а в качестве 1-браны выступает сама стру-
струна. В этой главе мы обсудим более подробно простейшие модели мира
на бране; другие (по-видимому, более реалистические) модели возникают
в некоммутативных теориях и будут рассмотрены в части П.
Возможность того, что пространство имеет более трех измерений, рассматривает-
рассматривается с 1920-х годов. Исторически первым объяснением того, что в таких моделях
пространство выглядит трехмерным при доступных энергиях, стало представле-
представление о компактных дополнительных измерениях; такие модели получили название
моделей Калуцы—Кляйна. При энергиях Е <& Д, где R — радиус компактифи-
кации, существенны только такие состояния частиц, волновые функции которых
однородны в дополнительных измерениях (или, в общем случае, имеют вполне
определенный вид, соответствующий основному состоянию), поскольку состоя-
состояния с другими волновыми функциями имеют энергию порядка Д или выше. Для
того, чтобы не возникало противоречия с экспериментальный данными, радиус
компактификации в моделях Калуцы—Кляйна должен быть меньше или порядка
1 ТэВ ~ 10~17 см. Подробнее о моделях Калуцы—Кляйна см., например, в книге
Волобуева и Кубышина A998). В отличие от моделей Калуцы—Кляйна, модели
мира на бране допускают большой или даже бесконечный размер дополнительных

5.1. Модель с доменной стенкой 105
измерений. В связи с этим возможные проявления дополнительных измерений
существенно различаются в этих двух классах моделей.
Довольно существенный аргумент в пользу многомерных моделей возникает
в теории суперструн и М -теории, которые в простых вариантах формулируются
в 10-мерном и 11-мерном пространстве-времени соответственно. В этих теориях
имеются D-браны (вообще говоря, меньшей размерности), на которых локали-
локализованы калибровочные и другие поля, что служит аргументом в пользу моделей
мира на бране.
В этой главе, как и во всей книге, мы не обсуждаем гравитационные вза-
взаимодействия. Упомянем, однако, что в моделях мира на бране характерный
энергетический масштаб гравитационного взаимодействия Мд может сильно
отличаться от соответствующего масштаба четырехмерной общей теории относи-
относительности, который равен (хотя бы из соображений размерности) массе Планка
МР1 = G~xl2 с* 1019 1эВ, где G — ньютоновская гравитационная постоянная.
В частности, существуют непротиворечивые модели с Мд «С Ми (Аркани-Ха-
мед, Димопулос, Двали, 1998; Антониадис и др., 1998; Рэндалл, Сандрум, 1999).
Возможность того, что масштаб Mq совпадает по порядку величины с электро-
электрослабым масштабом, т. е. Mq ~ 1 ТэВ, довольно интересна в связи с тем, что
в этом случае гравитационные эффекты (в том числе эффекты квантовой грави-
гравитации), как и проявления дополнительных измерений, можно было бы наблюдать
в экспериментах на коллайдерах высоких энергий.
5.1. Модель с доменной стенкой
Простейшей теоретико-полевой моделью мира на бране является
доменная стенка в четырехмерном пространстве. Поскольку эта модель
ухватывает многие черты более сложных моделей, мы будем в основ-
основном рассматривать эту простейшую модель. Итак, модель формулируется
в D+1)-мерном пространстве-времени и содержит действительное ска-
скалярное поле со скалярным потенциалом V(<p), обладающим симметрией
<р -> — (р и имеющим глобальные минимумы при ip = dtv. Для определен-
определенности можно считать (хотя и это не обязательно), что
V(<p)=\(ip2-fJ. E.1)
В этой модели имеется доменная стенка — решение <ръ(г) зависящее от од-
одной пространственной координаты и в точности совпадающее с кинком.
В дальнейшем мы будем обозначать пятую координату буквой z, четыре
остальных (включая время) — хц, а все пять координат — ХА = (х1*, z).
Конфигурация кинка имеет вид
и асимптотически
Vk(^) ->■ ±» ПРИ Z -¥ ±00.
Мы считаем, что центр кинка находится при z = 0.

106 Глава 5. Мир на броне
Даже если не включать в модель другие поля, мы уже сталкива-
сталкиваемся с ситуацией мира бране. Действительно, рассмотрим возмущения
скалярного поля относительно решения 4>\{z), т. е. запишем
Действие для этих возмущений имеет вид
- J d5X (^дАфдАф - \у"Ы£))ф2 - ±УиЫ*))Ф3 --.). E-2)
где штрих означает производную по (р. Будем сначала интересоваться
малыми возмущениями, для которых в действии E.2) достаточно удержать
члены, квадратичные по ф. Уравнение поля для них будет иметь вид
-дАдАф-У"(<рк(г))ф = 0. E.3)
В силу трансляционной инвариантности этого уравнения (как и действия
E.2)) вдоль координат а^, продольных к стенке, решения уравнения E.3)
можно искать в виде линейной комбинации плоских волн вида
Тогда для f(z) будем иметь уравнение
-d2zf + U(z)f=p2f, E.4)
где U(z) = У"((ръ(г)) и р2 = р^ — квадрат продольного импульса.
Уравнение E.4) является уравнением на собственные значения для вели-
величины р2. У этого уравнения наинизшим собственным значением является
Возможны другие собственные значения в дискретном спектре с р2 ~ /г2 =
Aw2, а непрерывный спектр начинается с р2 = 2/г2. Волновая функция
нулевой моды (р2 — 0) равна, с точностью до нормировки,
ch2
Она локализована вблизи центра кинка и быстро убывает при \z\ -> сю.
Решение
представляет собой волну, распространяющуюся вдоль доменной стенки
со скоростью света; эта волна локализована в поперечном направлении

5.1. Модель с доменной стенкой 107
на масштабе порядка /г. Если ограничиться только такими волнами,
то теория станет эффективно четырехмерной: все события будут раз-
разворачиваться на доменной стенке, а дополнительное измерение прямо
проявляться не будет. В квантовой теории волнам E.5) соответствуют
частицы, имеющие нулевую четырехмерную массу и движущиеся только
вдоль стенки. При учете нелинейных членов в действии E.2) эти частицы
взаимодействуют между собой.
Непрерывному спектру уравнения E.4) соответствуют волны, убега-
убегающие на бесконечность (и прибегающие из бесконечности) в дополни-
дополнительном измерении. Вдали от кинка U(z) равно константе 2fi2, и решения
из непрерывного спектра имеют вдали от кинка вид
с p2z = р2 - 2ц2. Вместе с фактором е~|^ж" они представляют из себя
массивные плоские волны
ф{ХА) = е-^А E.6)
с РаРА — 2fi2. Эти волны распространяются во всем пятимерном про-
пространстве-времени. Им соответствуют частицы с массой у/2 ц, «живущие»
в пятимерном пространстве-времени.
При низких энергиях существенны только частицы, локализованные
на доменной стенке и имеющие волновые функции вида E.5): если
их энергии р° = Е малы по сравнению с /г, то в их столкновениях
частицы с нелокализованными волновыми функциями E.6) рождаться
не могут в силу сохранения энергии (энергия нелокализованных частиц
никак не меньше их пятимерной массы у/2ц). Это и есть картина
мира на бране; в качестве браны выступает доменная стенка. Нетрудно
найти эффективное четырехмерное действие, описывающее мир на бране
при низких энергиях. Для этого достаточно ввести четырехмерное поле
ф(х**), через которое существенная часть пятимерного поля выражается
следующим образом:
<р\Х , Z) = <р\Х ) ' J0\Z). W''/
Эффективное низкоэнергетическое действие для поля ф(х>л) получается
подстановкой E.7) в исходное действие E.2) и взятием интеграла по dz.
Если нормировать нулевую моду так, что
fi(z)dz = lf
то кинетический член будет иметь канонический вид, а все эффективное
действие станет равным
п т
E.8)

108 Глава 5. Мир на броне
где, например,
00
1 Г
Л(з) = г: / dz
Действие E.8) описывает безмассовое четырехмерное поле с самодей-
самодействием.
Задача 1. Проверить, что в эффективном действии отсутствует член без производ-
производных, квадратичный по ф.
Задача 2. Для теории со скалярным потенциалом E.1) выразить явно эффективные
константы связи ЛC) и ЛD) через параметры исходного пятимерного действия А
и v. Проверить, что эффективные константы имеют правильные размерности.
Задача 3. Действие S^, формула E.2) с потенциалом E.1), инвариантно отно-
относительно преобразования z -¥ —z, ф -> —ф (это — следствие инвариантности
исходного действия относительно по-отдельности пространственных отражений
и преобразования ф -)• —ф). Остается ли какой-нибудь след от этой инвариантно-
инвариантности в эффективном низкоэнергетическом действии для четырехмерного поля ф!
Ситуация меняется, когда энергии частиц, сталкивающихся на бране,
становятся сравнимыми с /л. При достаточно высоких энергиях возможно
рождение частиц с волновыми функциями непрерывного спектра четы-
четырехмерных р2, т. е. частиц, распространяющихся во всем пятимерном
пространстве-времени. Эти частицы не «привязаны» к бране и улетают
в область \z\ -> сю. С точки зрения наблюдателя на бране такой процесс
выглядел бы как процесс с несохранением энергии, т. е. процесс типа
ф + ф -> ничто
или
ф + ф —>■ ф + ничто,
где ф обозначает безмассовый бозон, локализованный на бране (квант
поля ф(хA)). Разумеется, в полной теории энергия сохраняется: «ничто»
здесь обозначает частицы, покидающие брану и поэтому не регистрируе-
регистрируемые наблюдателем на бране.
Разумеется, в качестве теоретико-полевой модели браны не обяза-
обязательно рассматривать доменную стенку. Вместо этого можно, например,
выбрать вихрь Абрикосова—Нильсена—Олесена в E+1)-мерном про-
пространстве-времени, монополь 'тХоофта—Полякова в F+1)-мерном или
инстантон в G-ь1)-мерном пространстве-времени, соответственно. Каж-
Каждое из этих решений сосредоточено в окрестности 3-мерной гиперпо-
гиперповерхности, вложенной в пространство большей размерности, и поэтому
может выступать в качестве модели браны.
Существование безмассовых четырехмерных скаляров, распространя-
распространяющихся вдоль теоретико-полевой браны (в нашей модели вдоль доменной

5.2. Локализованные фермионы 109
стенки), является весьма общим явлением. По-существу мода E.5) явля-
является голдстоуновской модой, соответсвующей нарушению доменной стен-
стенкой инвариантности относительно трансляций вдоль оси z. Физически
эта мода описывает колебания самой стенки. Такие же моды существуют
и тогда, когда в качестве браны выступает какой-либо другой солитон,
при этом их количество равно количеству измерений, поперечных к бра-
не, т.е. (d — 4), где d — полная размерность пространства-времени. Для
браны-вихря таких мод две, для браны-монополя — три и т. д.
5.2. Локализованные фермионы
Включим теперь в нашу пятимерную модель фермионы. В этом
разделе гамма-марицы пятимерной теории мы будеми обозначать через
ТА, а обозначение Y, 75 сохраним для матриц Дирака четырехмерной
теории. Определяющим соотношением для матриц ТА является
где Т)АВ — пятимерный тензор Минковского. Из этого соотношения
следует, что минимальный размер матриц ГА — это 4x4, как и в четы-
четырехмерной теории. При этом можно выбрать
Г"=У, Г*=г75. E.9)
Выберем фермионное действие в виде
SF = Г d5X(№TAdAV -
где h — юкавская константа взаимодействия фермионов с полем (р,
создающим доменную стенку. В соответствии со сказанным выше, Ф —
это четырехкомпонентный столбец.
В этом разделе мы покажем, что в присутствии доменной стенки
существует фермионная мода, локализованная на стенке и распространя-
распространяющаяся вдоль нее со скоростью света, т. е. что на бране «живут» безмассо-
безмассовые фермионы. В действительности этот результат почти очевиден в свете
результатов раздела 2.1 о нулевой моде в поле кинка.
Уравнение Дирака в поле кинка имеет вид
гГА6АУ - hipk(z)V = 0. E.10)
Вдали от кинка \(р^\ — v, и уравнение E.10) описывает пятимерные фер-
фермионы с массой
тпр — hv.
Используя явный вид E.9) матриц ГА, запишем уравнение E.10) в виде
- (тЧФ + h<pk(z)V) = 0. E.11)

ПО Глава 5. Мир на броне
Отсюда сразу видно существование интересующей нас моды. Безмассовые
фермионы, эффективно являющиеся четырехмерными, должны удовле-
удовлетворять уравнению
= о.
Это уравнение совместно с уравнением E.11), если удовлетворяется урав-
уравнение
Убывающее при z -> ±00 решение этого уравнения имеет вид (вспом-
(вспомним, что собственные значения матрицы 75 равны +1 и -1), вполне
аналогичный B.9),
г
- / htp^z1) dz'
Ф(ж'*,2:)=е ° ij)(x^), E-12)
причем
Следовательно, нулевая мода имеет вполне определенную киральность:
с четырехмерной точки зрения она является левой.
Итак, на стенке локализованы левые безмассовые фермионы. Что-
Чтобы увидеть, что других безмассовых фермионов в модели нет, запишем
уравнение E.10) в терминах левых и правых компонент
и используем представление A.4), A.6) для четырехмернных матриц Дира-
Дирака. Перейдя в импульсное представление по четырехмерным координатам,
получим
№ + ty*)*£ = <>> E.13)
+ (д2 - h<pk)VR = 0. E.14)
Найденной нулевой моде соответствует Фд = 0, (д2 + Л^к)Фь = 0. Для
других мод последнее соотношение не удовлетворяется. Подействовав
на уравнение E.14) оператором (д2 + h<Pk) и использовав уравнение
E.13), получим (с учетом ^рц • <jvpv = р^ = р2)
= Р2Фл- E.15)
Спектр оператора, фигурирующего в левой части этого уравнения, строго
положителен, поскольку h(p'k + h2ipl > 0 для всех z. Поэтому помимо
найденной нулевой моды, других мод с р^р11 = р2 = 0 (т. е. безмассовых
с четырехмерной точки зрения) не существует. Ситуация в точности по-
повторяет изложенную в предыдущем разделе: уравнение E.15) может допус-
допускать связанные состояния с р2 ~ тр (если \/А ~ h), которые описывают
массивные (с четырехмерной точки зрения) фермионы, локализованные

5.3. Скалярные поля на броне 111
на стенке. Кроме того, имеется непрерывный спектр, начинающийся
с р2 = rrip и соответствующий фермионам, распространяющимся во всем
пятимерном пространстве-времени.
В заключение этого раздела отметим, что описанный механизм лока-
локализации фермионов также имеет довольно общий характер в теоретико-
полевых моделях бран. Мы видели в разделах 3.1, 3.3 и 4.2, что существо-
существование нулевых фермионных мод — это характерная черта топологически-
нетривиальных солитонов. Если эти солитоны использовать в качестве
моделей бран, то нулевые фермионные моды превращаются в безмассовые
фермионы, локализованные на бранах. Интересной новой возможностью,
по сравнению с доменной стенкой, является то, что в поле солитона
с топологическим числом N (например, вихря с магнитным потоком N)
имеется N нулевых фермионных мод1'. На соответствующей бране име-
имеется поэтому N типов безмассовых фермионов. Это дает возможность
получить несколько поколений четырехмерных фермионов из одного
«фундаментального» многомерного фермионного поля (см. в этой свя-
связи работу Фрера, Либанова, Троицкого, 2001). Подчеркнем, наконец, что
фермионы, локализованные на бране, как правило, являются киральными
(в модели с доменной стенкой — левыми), что является преимуществом
с феноменологической точки зрения.
5.3. Скалярные поля на бране
В этом разделе мы обсудим механизм локализации скалярных полей
на солитонной бране, несколько отличающийся от изложенного в разделе
5.1. Он также связан с явлением Годдстоуна и приводит к безмассовым
с четырехмерной точки зрения намбу-годдстоуновским полям. Однако,
в отличие от раздела 5.1 эти нулевые моды возникают не из-за нарушения
трансляционной инвариантности вдоль дополнительных измерений, а из-
за нарушения глобальной внутренней симметрии вблизи браны.
В качестве примера мы по-прежнему будем рассматривать D+^-мер-
D+^-мерную модель, в которой роль браны играет доменная стенка. Помимо ска-
скалярного поля <р(Х) раздела 5.1 включим в модель еще одно комплексное
скалярное поле х(Х), и добавим в действие член вида
Sx
= e f (?Х(\дАХ\2 -Vx(x,4>)), E.16)
а скалярный потенциал выберем в виде
Мы несколько упрощаем ситуацию. Количество нулевых фермионных мод за-
зависит от представления калибровочной группы, по которому преобразуются
фермионы.

112 Глава 5. Мир на броне
где v — значение поля <р в минимуме его собственного потенциала
E.1). Параметр е в E.16) введен для удобства; от него можно избавиться
переопределением поля х-
Будем считать, что цх > О, h > 0. Тогда в модели имеются два
вакуума
<p = ±v, x = 0. E.17)
Если параметр в выбрать малым, а остальные параметры держать конеч-
конечными, то вакуумы E.17) действительно являются абсолютными миниму-
минимумами скалярного потенциала. Более того, в этом режиме влияние поля х
на динамику поля ip мало, поскольку дополнительный член в уравне-
уравнении для (р равен 2ehtp\x\2 и пропорционален е. Следовательно, форма
доменной стенки не меняется от включения поля х, и достаточно рас-
рассматривать поле х во внешнем поле <ръ{х). Параметр е был введен именно
для такого упрощения задачи, хотя это упрощение в действительности
несущественно (результаты, приведенные ниже, справедливы и в общем
случае; требуется только, чтобы параметр \lx был достаточно мал, и чтобы
поля E.17) были абсолютными минимумами скалярного потенциала).
Вдали от доменной стенки поле х принимает нулевое значение, од-
однако вблизи стенки это не так при малых цх. Чтобы убедиться в этом,
покажем, что конфигурация <р = <ръ(г), х — 0> являющаяся решением
полной системы полевых уравнений, неустойчива относительно малых
возмущений. Для малых возмущений поля <р по-прежнему будем иметь
уравнение E.4), имеющее решения только с р2 ^ 0. Эти решения не растут
со временем. Для возмущений поля х будем иметь в линейном прибли-
приближении уравнение (снова в импульсном представлении вдоль браны)
-д]х + 4<fil(z) - v2]X = (p2- /4)Х-
Левая часть этого уравнения совпадает с одномерным квантовомеханиче-
ским гамильтонианом с потенциалом Ux(z) = h[<pl(z)-v2]. Этот потенци-
потенциал отрицателен и стремится к нулю при \z\ —>■ сю. В такой одномерной яме
всегда имеется по крайней мере один уровень с отрицательным собствен-
собственным значением. Если (-а2) — низшее собственное значение (а > 0), то
наименьшее собственное значение р2 равно -(а2 - ц2х) и отрицательно
при малых ц2х. Это и означает неустойчивость решения (р = <ръ(г), х — 0
относительно малых возмущений поля Х- например, возмущения с р = 0
растут как exp | Ja2 - /j,x • t j.
Тем не менее, топологические соображения гарантируют, что решение
типа кинка (стремящееся к двум различным вакуумам E.17) при z -> -сю
и z ->■ +оо) существует; при малом е поле <р для этого решения совпадает
с (ръ(г). Полученный только что результат означает, что для этого решения
поле х отлично от нуля. Обозначим это поле через Xk(z) и будем считать,
что оно действительно. Отметим, что индекс к здесь не означает, что

5.3. Скалярные поля на бране 113
конфигурация Xk(z) имеет нетривиальные асимптотики; в соответствии
с изложенным, Xiiz) ~* О при z ~* =k°°-
Задача 4. Показать, что Xk(z) дейавительно (с точностью до постоянного фазо-
фазового множителя). Указание: убедиться, что для любой комплексной конфигурации
X(z) имеется действительная конфигурация с меньшей энергией.
Задача 5. Показать, что при \z\ -> oo конфигурация x*(z) ведет себя как
Xi(z) = const -е-**1*1. E.18)
Действие E.16) инвариантно относительно глобальных £/"A)-преоб-
разований
X->ete* E.19)
Эта симметрия нарушена в присутствии доменной стенки, поскольку
Xk(z) Ф 0- Нарушение симметрии приводит к появлению намбу-гол-
дстоуновской моды. В силу того, что симметрия нарушена лишь вблизи
доменной стенки (x*(z) быстро убывает при \z\ -> оо), намбу-голдсто-
уновская мода локализована на бране (доменной стенке). Этот механизм
локализации скалярного поля предложен Виттеном A985) в контексте
сверхпроводящих струн.
Чтобы убедиться явно в том, что существует безмассовая с четырех-
четырехмерной точки зрения мода поля х> локализованная на доменной стенке,
рассмотрим уравнение для малых возмущений на фоне конфигурации
Vk(^M Xk(z)- Мы будем работать в пределе малых е, в котором возмуще-
возмущения поля ip отщепляются, а возмущения собственно поля х удовлетворяют
уравнению, следующему из действия E.16). Без дальнейших приближений
уравнение для поля х имеет вид
причем в нем нужно положить <р = y>k{z)- В частности, Xk(z) удовлетво-
удовлетворяет уравнению
1 8V
2 д\х\
Уравнение для малых возмущений получается линеаризацией уравне-
уравнения E.20) около х — Xb(z)- В соответствии с общей процедурой, намбу-
годдстоуновскую моду следует искать в виде зависящего от координат
фазового вращения E.19) фонового поля Xk(z)- Иначе говоря, следует
ожидать, что в линейном порядке эта мода имеет вид
ёХ{Х) = ш(*Ы*)-
С учетом того, что dV/d\x\ имеет порядок а2, получим из E.20) уравнение
в линейном порядке по а:
2 dzXi
— дцдцСХ. + OZCX + 2dz0L = 0.

114 Глава 5. Мир на броне
Очевидным решением этого уравнения служит а{х**), зависящее только
от четырехмерных координат и удовлетворяющее свободному уравнению
для четырехмерного безмассового поля
д^а{х) = 0.
Итак, возмущения вида
дХ(Х) = ia(x)Xb(z) E.21)
удовлетворяют линеаризованному уравнению для поля х вблизи решения
Xk{z), причем а(х) — безмассовое четырехмерное скалярное поле. Нуле-
Нулевая мода E.21) локализована вблизи доменной стенки и экспоненциально
спадает при \z\ -> со, см. E.18). В этом и состоит механизм локализации
безмассовых скалярных полей, альтернативный механизму раздела 5.1.
Отметим в заключение этого раздела, что в реалистических моделях
как фермионы, так и скаляры, локализованные на бране, должны иметь
малые, но ненулевые массы. Механизмы генерации таких масс разнооб-
разнообразны, и мы не будем на них здесь останавливаться. Важнее всего, что
имеются достаточно простые механизмы, описанные в этом и предыду-
предыдущем разделах, которые приводят в нулевом приближении к безмассовым
полям, «живущим» на бране и являющимся эффективно четырехмерными.
Задача б. Пусть в модели этого раздела параметр е не мал, но тем не менее
конфигурация доменной стенки <ръ(г), Хъ(г) имеет те же асимптотики, что и кинк,
a Xb(z) Ф- °- Показать, что по-прежнему существует нулевая мода, возникающая
из-за спонтанного нарушения глобальной ?7A)-симметрии, которая локализована
на доменной стенке.
5.4. Особенности локализации
калибровочных полей
В предыдущих разделах мы обсудили некоторые теоретико-полевые
механизмы локализации скалярных и фермионных полей на солитонной
бране. На качественном уровне они сводятся к тому, что вблизи браны воз-
возникает потенциальная яма для скаляров и фермионов, в которой имеются
связанные состояния. По разным причинам собственные значения попе-
поперечной части оператора, входящего в уравнения для малых возмущений
поля, оказываются равными нулю (речь идет о поперечной части уравне-
уравнений E.3), E.10) и линеаризованного уравнения E.20)). Соответствующие
нулевые моды имеют поперечные волновые функции, локализованные
на бране, квадрат их четырехмерного импульса равен нулю, поэтому они
описывают безмассовые частицы, распррстраняющиеся вдоль браны.
В обычных теориях поля со слабой связью такой механизм не реа-
реализуется для калибровочных полей 2\ В конкретных моделях в отсутствии
2' Он работает, впрочем, в некоммутативных теориях, которые мы рассмотрим
в части И.

>int
5.4. Особенности локализации калибровочных полей 115
нулевых мод, образующих вектор по отношению к четырехмерной группе
Лоренца, можно убедиться явно. Имеется и более глубокая причина, из-
за которой возникают трудности с локализацией калибровочных полей
на солитонной бране. Состоит она в следующем. В исходной многомерной
теории взаимодействие калибровочного поля А а , например, с фермиона-
ми возникает из ковариантной производной и имеет структуру
= д f d*xdz ФГ%Ф, E.22)
где д — константа связи многомерной теории. Если фермионы имеют
локализованную на бране нулевую моду
Ф(Х) = *!>{xx)h{z), E.23)
(ср. с E.12), где fo(z) выписана явно), а калибровочное поле также
имело бы нулевую моду
A(i(X)=Ali(xx)-A{0\z), E.24)
то можно было бы записать низкоэнергетическое эффективное действие,
описывающее взаимодействие четырехмерных полей Ф(жА) и Ац{хх).
Член взаимодействия в этом эффективном действии получался бы под-
подстановкой выражений E.23), E.24) в интеграл E.22) с последующим
явным выполнением интегрирования по dz. В результате взаимодействие
четырехмерных полей на бране имело бы вид
= &ff /
причем эффективная четырехмерная калибровочная константа связи бы-
была бы равна
f. E.25)
Мы видели в предыдущих разделах, что форма нулевой моды fo(z) зависит
от параметров модели (например, в разделе 5.2 мы видели, что
Z
fo(z) = ехр | - I h<pk(z') dz |,
см. E.12), так что /0(z) явно зависит от юкавской константы h). Поэтому
и значение интеграла в E.25) зависело бы от параметров, меняя которые,
можно было бы изменить значение peff- Иными словами, была бы воз-
возможна ситуация, когда различные типы четырехмерных фермионов и/или
скаляров имели бы различные константы взаимодействия с четырехмер-
четырехмерным калибровочным полем Ац. В неабелевых теориях это приводило бы
к противоречию: в таких теориях все поля взаимодействуют с калиб-
калибровочным полем с одной и той же константой связи, т. е. имеет место

116 Глава 5. Мир на броне
универсальность калибровочного заряда. Локализация калибровочного
поля на бране должна автоматически обеспечивать универсальность заря-
заряда в четырехмерной эффективной теории на бране. Обсуждавшийся выше
простой механизм локализации, если бы он был возможен, этим свой-
свойством не обладал бы. В этом и состоит общая для всех моделей причина
того, что он не работает.
Мы увидим в части II, что эта трудность обходится в некоммута-
некоммутативных калибровочных теориях. В присутствии некоммутативных соли-
тонов нулевые моды, локализованные на бране, имеют по-существу одну
и ту же форму для всех полей, что и обеспечивает универсальность че-
четырехмерного заряда. Другая возможность, на которой мы здесь не будем
останавливаться, возникает в теориях с искривленным многомерным про-
пространством; она состоит в том, что нулевая мода калибровочного поля А^
не зависит3^ от z, интеграл типа E.25) совпадает с нормировочным инте-
интегралом для нулевой моды fo(z), и калибровочные заряды удовлетворяют
условию универсальности (Ода, 2000; Дубовский, Рубаков, Тиняков, 2000).
Еще один механизм, предложенный Двали и Шифманом A997), основан на пред-
предположении о том, что калибровочная теория находится в режиме конфайнмента
вне браны, а на бране конфайнмента нет. Качественно картина конфайнмента
состоит в том, что электрические силовые линии калибровочного поля собира-
собираются в трубку (так же, как силовые линии магнитного поля в сверхпроводнике
II рода собираются в вихрь Абрикосова), так что энергия двух зарядов разного
знака пропорциональна длине трубки между ними, т. е. V(r) ос г. Если на бране
конфайнмент отсутствует, то электрические силовые линии на бране соответству-
соответствуют кулоновской картине (без трубок), а в объем вне браны они не проникают
(так же, как магнитные силовые линии не проникают в объем сверхпроводника).
Поэтому между зарядами на бране возникает четырехмерное кулоновское взаи-
взаимодействие, что соответствует четырехмерной калибровочной теории на бране.
Свойство универсальности заряда при этом выполняется.
И тем не менее она нормируема: в искривленном пространстве мера интегриро-
интегрирования в нормировочном интеграле для А^ не совпадает с dz.

Дополнительные задачи к части I
Задача 1. Восстановление симметрии в холодной плотной фермионной среде
(Киржниц, Линде, 1976).
Рассмотрим четырехмерную теорию одного действительного скалярного поля <р,
взаимодействующего с одним типом дираковских фермионов. Действие самого
скалярного поля выберем в виде
а фермионное действие — в виде
Константы связи Аи/ предполагаются малыми.
1) Показать, что в теории имеется дискретная симметрия <р -*■ — ip.
В отсутствие реальных фермионов эта дискретная симметрия спонтанно нарушена:
имеются два основных состояния с <р = ±v. Рассмотрим теперь систему при
конечной плотности фермионов nF (и нулевой температуре).
2) Найти плотность энергии фермионной среды €р(<р) в произвольном однородном
внешнем поле <р, если плотность числа фермионов равна nF.
3) Изобразить качественно зависимость полной плотности энергии системы ^
от поля <р при различных nF. Оценить значение t»f, при котором симметрия вос-
восстанавливается, т.е. Ves(<p) имеет единственный минимум в точке <р = 0.
4) Найти соответствующую критическую плотность при /4 < А.
Задача 2. Нетопологический солитон в теории с фермионами (Фридберг, Ли,
1977).
Рассмотрим четырехмерную теорию одного действительного скалярного поля <р,
взаимодействующего с N типами фермионов юкавским образом. Действие ска-
скалярного поля выберем в виде (А1.1). Предположим для простоты, что юкавские
константы связи всех фермионов одинаковы, т. е. фермионное действие имеет вид
s, =
Константы Аи/ считаем малыми, но А > /4. Показать, что при достаточно боль-
больших N в теории имеются нетопологические солитоны (например, такие, в которых
В действительности к этому выражению имеются квантовые поправки. Однако
они малы при малых Аи/.

118 Дополнительные задачи к части I
число фермионов каждого типа равно 1). Оценить соответствующее минимальное
значение N. Поляризацией вакуума (в том числе вкладом дираковского моря
в полную энергию) пренебречь2\
Задача 3. Нулевые фермионные моды в поле монополя в теории с фермион-
ным триплетом (Джекив, Ребби, 1976b).
Рассмотрим модель раздела 3.1, но вместо изо дуб лета фермионов введем изотриплет
фермионов гра, а = 1,2, 3, с действием
где, как обычно,
1) Найти аналог сохраняющегося углового момента фермиона в поле монополя.
2) Ограничиваясь фермионами с минимальным угловым моментом, показать, что в поле
монополя имеются нулевые фермионные моды (собственные состояния дираков-
дираковского гамильтониана с нулевой энергией). Найти их количество.
Задача 4. Евклидовы нулевые фермионные моды в 17A)-теории (Нильсен,
Шроер, 1977а; Ансурян, 1977; Кискис, 1977).
Рассмотрим двумерную теорию с калибровочной группой U(l) и безмассовыми
дираковскими фермионами с единичным зарядом.
1) Используя соображения раздела 4.1, записать евклидово уравнение Дирака в про-
произвольной калибровке.
2) Рассмотрим калибровку дцАц = 0 в евклидовой теории. Показать, что в этой
калибровке гладкое евклидово поле Ац представимо в виде Ац = е^идиа, где
сг(х) — гладкая функция координат. Ограничиваясь сферически-симметричной
асимптотикой, а = <г(г) при г -» ос (где г = \/х\ + х\), найти поведение сг(г)
при больших г для полей с фиксированным целым топологическим числом
-- f
4тгУ
3) Найти общее несингулярное решение уравнения Дирака во внешнем поле
■"■и ~~" &ниОрСг •
4) Для внешних полей со сферически-симметричной асимптотикой и целым q найти
все евклидовы нулевые фермионные моды, т. е. решения евклидова уравнения
Дирака, убывающие при г -> ос (нулевые фермионные моды, убывающие как
г при больших г, учитывать3*). Какие квантовые числа фермионов сохраняются
в этой модели, а какие — нет?
5) Показать, что в теории без хиггсовских полей (двумерной безмассовой квантовой
электродинамике — модели Швингера A962)) бозонное действие евклидовых
конфигураций поля А^ может быть сколь угодно малым при дфО.
' При больших N поправки к полной энергии, связанные с поляризацией фер-
мионного вакуума, не малы. Этой трудности можно избежать ценой введения
дополнительных бозонных полей.
* Норма таких нулевых мод логарифмически расходится, однако они играют ту же
роль, что и нормируемые нулевые моды (Патрашу, 1979).

Дополнительные задачи к части I 119
Таким образом, в модели Швингера переходы между топологически различными калиб-
калибровочными вакуумами происходят без экспоненциального подавления и не могут быть
описаны обычными квазиклассическими методами. В действительности модель Швингера
сводится на квантовом уровне к теории некоторого свободного поля, но в терминах
исходных полей ■ф и Ац ее вакуум имеет сложную структуру (Ловенстайн, Свиека, 1972).
Задача 5. Нулевые фермионные моды в поле сфалерона.
Рассмотрим четырехмерную калибровочную теорию с калибровочной группой
517B) и хиггсовским дублетом, как в разделе 4.4. Включим в нее безмассо-
безмассовые изодублетные дираковские фермионы с действием
= I
Рассмотрим уравнение Дирака во внешнем поле сфалерона:
1) Используя симметрии сфалеронного внешнего поля, найти аналог сохраняющегося
углового момента фермиона.
2) Ограничиваясь фермионами с минимальным угловым моментом, показать, что в по-
поле сфалерона имеются нулевые моды дираковского гамильтониана (собственные
функции с нулевой энергией). Найти количество нулевых мод каждой киральности.
3) Дать интерпретацию нулевых фермионных мод в терминах пересечения уровней.
Задача б. То же, что в предыдущей задаче, но в модели с фермионным действием
D.37) при hi = h2 (Рингвальд, 1988).
Задача 7. Аномальное несохранение фермионных чисел в присутствии моно-
поля.
Рассмотрим модель раздела 3.2.
1) Выберем следующий класс евклидовых конфигураций бозонных полей
4, = 0, Ai = UAf°*Ux\ mon (A1)
где Afoa, <pmott — классическое статическое монопольное решение C.3), C.4),
п(х, t) — сферически симметричная функция со значениями в SUB),
п = exp {iTanaf(r, t)}.
Найти выражение для топологического числа Q (см. D.20)) и евклидова действия
(Sa,v ~ Smoa) для конфигураций вида (А1.2). Здесь 5Ш0П = EmottT, Emott —
энергия классического монопольного решения, Т — нормировочное время. Выра-
Выражения (А1.2) описывают некоторый класс возмущений на фоне монополя; в моно-
монопольном секторе евклидово действие отсчитывается от действия невозмущенного
монополя Smon. Показать, что при Q Ф 0 действие (S - Smott) может быть сколь
угодно мало.
Таким образом, в монопольном секторе четырехмерной теории мы имеем ситуацию, анало-
аналогичную модели Швингера (см. задачу 4): экспоненциальное подавление, характерное для
процессов инстантонного типа в вакуумном секторе четырехмерных теорий, отсутствует.

120 Дополнительные задачи к части I
2) Ограничиваясь «-волновыми фермионами, найти евклидовы нулевые фермионные
моды в полях вида (А1.2) в пределе, когда размер ядра монополя мал по сравнению
со всеми параметрами задачи, включая размер, характерный для функции п.
Результаты этой задачи указывают на то, что аномальное несохранение фермионных
квантовых чисел происходит без экспоненциального подавления в монопольном секторе.
Последовательное описание этого явления возможно только в рамках квантовой теории
поля.
Задача 8. Несохранение фермионного числа в холодной фермионной среде
в двумерной модели (Рубаков, 1986).
Рассмотрим абелеву модель Хиггса в двумерном пространстве-времени Минковско-
го. Включим в нее безмассовые фермионы с действием
= J
2x it
d2x i
(см. задачу 2.4). Рассмотрим вначале состояние системы, в котором поля Ац и у>
принимают вакуумные значения Ац = 0, <р = v и имеется конечная плотность
фермионов Пр (при этом плотности числа левых и правых фермионов равны, так
что полный заряд системы равен нулю). Будем теперь адиабатически изменять
векторное поле -^(ж1) (используем калибровку Ао = 0). Пренебрегая поляри-
поляризацией дираковского вакуума (не зависящей от пр), найти изменение энергии
фермионной среды, т. е. вклад фермионов в статическую энергию как функционал
от А\(х1). Найти энергию сфалерона в абелевой модели Хиггса. Оценить критиче-
критическое значение nF, при котором несохранение фермионного числа происходит без
туннелирования, т.е. без экспоненциального подавления.

ЧАСТЬ II
НЕКОММУТАТИВНЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ
И НЕКОММУТАТИВНЫЕ СОЛИТОНЫ
Глава 6
Скалярные поля и солитоны
на некоммутативной плоскости
Некоммутативные теории поля (точнее, теории поля на некомму-
некоммутативных пространствах) — это интересный, а на классическом уровне
и достаточно простой класс теорий с нелокальным взаимодействием. Идея
о возможной некоммутативности пространственных координат была вы-
высказана по крайней мере 60 лет назад (Марков, 1940, 1951; Снайдер,
1947а, Ь), но особую популярность некоммутативные теории приобрели
относительно недавно благодаря тому, что была обнаружена их связь
с теорией струн. Именно, некоммутативные теории возникают в низко-
низкоэнергетическом пределе теории струн во внешних полях специального
вида (Сейберг, Виттен, 1999). В классических (неквантованных) неком-
некоммутативных теориях поля — как скалярных, так и калибровочных —
существуют солитоны. Некоторые из этих солитонов (например, вих-
вихри и инстантоны) имеют коммутативные аналоги, а некоторые не имеют.
В последнем случае солитоны становятся сингулярными в коммутативном
пределе, а их энергия расходится.
Имеется замечательное соответствие между солитонами в некоммута-
некоммутативных калибровочных теориях и D-бранами в теории струн. В простран-
пространствах достаточно высокой размерности солитоны представляют собой
протяженные объекты меньшей размерности. На мировой поверхности
ряда некоммутативных солитонов локализуются калибровочные поля —
это свойство является определяющим и для .D-бран. Соответствие та-
такого рода просматривается гораздо дальше, так что можно сказать, что
некоммутативные солитоны дают теоретико-полевое описание 23-бран,
по крайней мере, в низкоэнергетической области.
В этой части мы рассмотрим некоммутативные теории поля и не-
некоммутативные солитоны, сначала скалярные, а затем — калибровочные.

122 Глава б. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
Мы ограничимся простейшим случаем некоммутативного евклидова про-
пространства, хотя этим случаем список интересных некоммутативных про-
пространств далеко не исчерпывается. Мы будем довольно подробно изучать
спектр возбуждений над солитонами, рассматривая их как протяженные
объекты в пространстве достаточно большой размерности: это интересно
как с точки зрения соответствия 23-бранам, так и с точки зрения моделей
мира на бране. Кроме всего прочего, мы столкнемся с явлением непол-
неполной локализации (квазилокализации) скалярных и калибровочных полей
на солитоне (для калибровочных полей — в фазе Хштса), которое пред-
представляет интерес с точки зрения феноменологии моделей мира на бране.
6.1. Скалярное поле
на некоммутативной плоскости
Мы начнем с достаточно формального построения объекта, кото-
который впоследствии окажется скалярным полем с вполне определенной
нелокальностью взаимодействия. Пусть имеется пространство-время с d
обычными, коммутирующими координатами уа (a = 0,l,... ,d—l)n дву-
двумя «некоммутативными координатами» ж1, ж2. В дальнейшем время у0
мы всегда будем считать коммутативной координатой (в противном слу-
случае теория была бы нелокальной во времени, и пришлось бы изучать
вопросы, связанные с причинностью, унитарностью квантовой теории
и т.д.). Таким образом, в конце концов окажется, что что мы имеем дело
с (d + 2)-мерным пространством-временем с пространственными коор-
координатами у1,..., yd~l, xl,x2, хотя на этом этапе сразу не видно, почему
ж1 и х2 можно действительно интерпретировать как пространственные
координаты.
Будем считать, что ж1 и ж2 удовлетворяют следующему коммутаци-
коммутационному соотношению:
[х\х2\=гв, F.1)
где в — постоянный (не зависящий от уй и ж*) действительный пара-
параметр некоммутативности, имеющий размерность М~2. В дальнейшем без
ограничения общности полагаем в > 0. Мы будем часто использовать
величины
* = 7ё' ?=^' F'2)
так что
[q, р] = г.
Последнее соотношение совпадает с коммутационным соотношением
между операторами координаты и импульса в квантовой механике с одной
степенью свободы. В дальнейшем мы будем считать, что эта аналогия
простирается дальше, а именно, что q и р (или, что то же самое,

6.1. Скалярное поле на некоммутативной плоскости 123
х1 их2) реализованы как операторы в гильбертовом пространстве так
же, как это имеет место в квантовой механике частицы на прямой
(разумеется, ни о какой физической частице речь не идет). Отметим еще,
что операторы х1 коммутируют с координатами уа,
[уа,х*} = 0, i = l,2; a = 0,...,d. F.3)
Такая конструкция соответствует (d + 2) -мерному пространству-времени,
в котором две координаты образуют некоммутативную плоскость. Сразу
подчеркнем, что теория не обладает (d + 2)-мерной лоренц-инвариант-
ностью, поскольку вращения, затрагивающие х1 и/или х2, нарушали бы
коммутационные соотношения F.1) и F.3). Теория может быть инвари-
инвариантна лишь относительно d -мерных преобразований Лоренца, в которых
участвуют только координаты уа.
Рассмотрим теперь «некоммутативное скалярное поле» — функцию
Ф(уа, х1) всех координат. В дальнейшем мы увидим, что этот объект дей-
действительно соответствует (классическому) скалярному полю в (d+2)-мер-
(d+2)-мерном пространстве-времени, а пока Ф(уа,ж*) — это оператор в гильбер-
гильбертовом пространстве (совпадающем с гильбертовым пространством одно-
одномерной квантовой механики), зависящий от координат уа. В дальнейшем
мы часто будем опускать эту зависимость и писать просто Ф(х). Нередко
бывает полезным считать, что алгебра функций Ф(х) — это пополнение
алгебры полиномов по х1, х2 (способ этого пополнения будет для нас
несущественным). Иными словами, удобно представлять себе, что Ф(х) -—
это, вообще говоря, бесконечный ряд по' х1, х2 (порядок сомножителей
ж1 и ж2 в каждом члене этого ряда существенен!).
Определим операции над функциями Ф(ж). Обычные операции сло-
сложения, умножения, умножения на число определить просто: это операции
над операторами в квантовой механике. Упомянем лишь, что операция
умножения некоммутативна:
Ф{(х)Ф2(х) ^ Ф2(х)Ф1(х).
Определение операции дифференцирования также достаточно очевидно:
для монома по х1, х2 дифференцирование, например по первой коор-
координате, заключается в поочередном вычеркивании х1 (так же, как для
обычных функций), например,
di(xlx2xlxlx2) = x2xlxlx2 + 2xlx2xlx2.
Легко проверить, что удовлетворяется правило Лейбница, что дифферен-
дифференцирование согласуется с коммутационными соотношениями F.1) и что
операции дифференцирования коммутируют между собой,
[di,dj] = O, г,; = 1,2.
Полезно также отметить свойство эрмитова сопряжения

124 Глава б. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
Задача 1. Доказать последние четыре утверждения.
Еще одно свойство, присущее некоммутативной плоскости и не вы-
выполняющееся для некоторых других некоммутативных многообразиий
(например, для некоммутативного тора), состоит в том, что дифференци-
дифференцирование — это внутренняя операция в алгебре функций (т. е. дифференци-
дифференцирование сводится к операциям, уже определенным в алгебре). А именно,
в1Ф = -^[22,Ф], (И
д2Ф = ^[х1,Ф]. F.5)
Перейдем теперь к операции интегрирования. Потребуем от интеграла,
чтобы для «хороших» операторов выполнялось свойство интегрирования
по частям ^
(интеграл от #,Ф) = 0. F.6)
Этим свойством обладает след оператора Ф(х) (в гильбертовом про-
пространстве одномерной квантовой механики), что проще всего увидеть,
используя F.4), F.5): для «хорошего» оператора Ф
Тг [х4, Ф] = Тг (яЧ - Ф^) = 0
в силу цикличности следа. Итак, определим
(интеграл от Ф) = 2кв Тг Ф. F.7)
Здесь множитель в появился из соображений размерности, поскольку
[d2x] = М~2 и [9] = М~2, а множитель 2тг введен для удобства в даль-
дальнейшем. Отметим, что для эрмитова Ф интеграл (след) действителен,
поскольку
где \п) базис в гильбертовом пространстве.
Теперь мы готовы написать (формальное пока) выражение для дей-
действия некоммутативного скалярного поля. Пусть сначала Ф — эрмитово
поле (мы увидим, что оно соответствует действительному скалярному
полю в (d + 2)-мерном пространстве-времени), т.е. Ф(у,х) = фЦу,х).
Выражение для действия выберем в виде
/
а П дФ дФ 1 1
ddy • 2тг0Тг }—.— - -йФ^Ф - -
F.9)
1' «Хорошими» для нас будут операторы, матричные элементы которых (ш|Ф|п)
в выбранном базисе быстро убывают с ростом m и/или п. Таким операторам
будут соответствовать поля, быстро убывающие на плоскости.

6.1. Скалярное поле на некоммутативной плоскости 125
rfv - тензор Минковского, У(Ф) — скалярный потенциал. Если поле
Ф(у, х) не обладает свойством эрмитовости, то действие для него имеет вид
Г
ddy 2тг0 Тг [^д^диФ - У(ф\ Ф)], F.10)
Это действие, как и действие F.9) действительно, если потенциал У(ф\ Ф)
эрмитов. Действие F.9) или F.10) написано по аналогии с обычной тео-
теорией скалярного поля в (d + 2) -мерном пространстве-времени; 2тг0 Тг со-
соответствует интегралу / dxl dx2. Отметим, что порядок сомножителей Ф*
и Ф в У(ф\ Ф) существенен, в отличие от обычной теории поля. Обобще-
Обобщение на случай нескольких скалярных полей, очевидно; нужно опять-таки
заботиться лишь о порядке сомножителей и эрмитовости лагранжиана.
Теперь нам предстоит ответить на вопрос, почему теория с дей-
действием F.9) или F.10) — это действительно теория скалярного поля
в (d 4- 2)-мерном пространстве-времени. Для этого воспользуемся из-
известным из квантовой механики фактом, что каждому оператору Ф(д, р)
можно однозначно поставить в соответствие числовую функцию ф(я,р),
и наоборот (с координатами уа все ясно, и мы их не выписываем;
для сокращения формул используем переменные (<f, р) вместо (ж1, х2),
см. F.2)). Удобно использовать симметричную (вейлевскую) форму этого
соответствия, которая имеет вид
TV2 f dadTdqdpt*<*-*>+4r<9-*>(Kq,p). F.11)
Отметим, что эта формула представляет собой фурье-преобразование
числовой функции 0(?,р) к ф(т, <т), а затем обратное «фурье-преобразо-
«фурье-преобразование», но уже с операторнозначными координатами дир.
Преобразование, обратное к F.11), получается с использованием
тождества
Tr (jap+№ . e-<tf-.VS) = 2жд{а _ аM^ _ г) F 12)
Сразу получаем, что
^ [ dadr Tr [е-^-*Иг<«-»ф(£ р)]. F.13)
Это снова «фурье-преобразование» Ф(<?, р) (причем в качестве интеграла
выступает след) и обратное фурье-преобразование, но уже с числовыми
Q,P-
Идя доказательства тождества F.12) воспользуемся q -представлением. Напомним,
что собственные вектора \q) оператора §" нормированы соотношением
Ш) = %"?')• FЛ4)

126 Глава б. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
Далее из тождества
следует
е*а%) = |д-а>. F.15)
Наконец, используем тождество
еЛ+* = еАе*е-^*1 FЛ6)
справедливое, когда коммутатор [А, В] является числом, и запишем
Левая часть F.12) тогда будет иметь вид
f dq (g|e**+we-fa^'ry|g> = fdq
= fdq
Интеграл по dq дает 2it8(fi - г), и результат F.12) сразу отсюда получается.
Из формулы F.13) следует, что если ф — вейлевский символ опера-
оператора Ф, то ф* — вейлевский символ оператора Ф*:
Ф1 <—» 0*. F.17)
В частности, вейлевские символы эрмитовых операторов действительны.
Задача 2. Доказать соотношение F.17).
Полезно найти соотношения между операциями над операторами
р) и их вейлевскими символами ф{ц,р).
• Дифференцирование;
Для доказательства воспользуемся свойством «интегрирования по частям»
Tr [A(q,р) • d?B(q,р)] = - Tr [%A(g,р) - B(q,p)]
и запишем
(Вейлевский символ д$Ф) = ^- /dad/ЗТг [е-'а(р-рН/?(9-%Ф(д,р)] =
J -^-V-^-Hilp)] =д9ф(9,р),
что и требовалось.

6.1. Скалярное поле на некоммутативной плоскости 127
• Интеграл:
г
dq dp ф(д, р) = 2тг Тг Ф(д, р). F.18)
Это равенство следует непосредственно из F.13): интеграл по dp dq от правой части
дает BirJ6(aN(/3), после чего интегрирование по da dfi тривиально и дает F.18).
• Произведение:
*i@iP)*2ff.?) <~» @i*02)(g,p). F-19)
Здесь •-произведение функций 0i(</,p) и фг{ц,р) определяется следую-
следующим образом:
[l^^^^)]=fc=g. F.20)
Для доказательства F.20) запишем для вейлевского символа произведения опера-
операторов формулу F.13):
(Вейлевский символ Ф,Ф2) = -!- / da d£ e"sap"^9 Tr [e'af+s^i(g,p)*2(g,p)] •
2тг У
Выразим *i(?,p) и Фг(?,р) через их вейлевские символы с помощью F.11)
и подставим в правую часть последнего равенства. Она примет вид
1 г
/ da d^ dai dri da2 dr2 dqvdq2 dpi dp2 x
J
(aj ^ Та) . ф{(диР1)ф2(Яър2), F.21)
где
T = Tr Ге'а^+'^е"'СГ1?~|Т1?е~''Г2^~'Т2? 1.
Этот след вычислим, используя тождества F.16) и F.12):
- (п + т2)) е-^т^-"^.
Далее, т\ под интегралом F.21) можно воспринимать как производную — %-Ц-
от е|Г)91, и т.д., поэтому выражение F.21) примет вид
B7ГL
К4^^4) e'"fflJ'1+I"ngi
Проинтегрируем теперь по частям, перенеся дифференцирования ■£-, ■£- и щ-, -S-
с экспонент на функции ф\ и ф2 соответсвенно. Интегрирование по <т\,... ,т2
дает после этого
\4i
Bтг) 8{р - р:N(р - p2)S(q - gi)<5(g - q2),

128 Глава б. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
и получаем окончательно
(Вейлевский символ Ф1Ф2) = / dq\ dq2 dpi dp% &{j>\ - рN(рг - p)
Выражение справа в точности совпадает с правой частью F.20), что и доказывает
соотношение F.19).
Переходя от координат q,p к координатам х\х2 согласно F.2), по-
получим из F.18)
dx1 dx2 ф(х) = 2тгвТгФ(х),
что оправдывает данное выше определение интеграла F.7). Для •-произ-
•-произведения получим
(х')ф2{х")]х1=х11=х, F.22)
где В13 = вегз, а остальные обозначения очевидны.
Отметим, что •-произведение ассоциативно, но не коммутативно:
Ф\ * @2 * Фг) = @1 * 02) * 03,
01*02 Ф 02*01-
Эти свойства очевидны, поскольку они выполняются для операторов
ФьФг, Фз — вейлевских прообразов функций ф\,фг, 0з- Далее, •-про-
•-произведение нелокально: в нем присутствуют производные функций сколь
угодно высокого порядка, знание которых эквивалентно знанию всего ря-
ряда Тэйлора для ф{х), т. е. знанию функции ф(х) на всей плоскости (х\, Хг).
Важным свойством •-произведения является тот факт, что интеграл
от •-произведения двух функций равен интегралу от обычного произве-
произведения этих функций,
J d2x @! • ф2)(х) = J d2x ф1(х)ф2{х). F.23)
Для доказательства этого равенства разложим правую часть F.22) в ряд по произ-
производным,
01 *02 = 0102 + %-в'}дгфхд^г + \ Q) 6ыдАФФАФг + • • • ■
Интеграл по всей плоскости от всех слагаемых, кроме первого, обращается в нуль
после интегрирования по частям с учетом антисимметрии в1'.
Обратимся теперь к теории поля с действием F.9) и перепишем его
через поле ф(у,х) — вейлевский символ поля Ф(у,х). Перечисленные

6.1. Скалярное поле на некоммутативной плоскости 129
выше соотношения между операциями над операторами и их вейлевскими
символами позволяют записать действие в виде
«"'
где мы учли свойство F.23). Отличие от обычной теории поля состоит
в том, что в скалярном потенциале У(ф) все произведения заменены
на •-произведения; отсюда и обозначение У(ф, •). Отметим, что действие
F.9) записано для эрмитова поля Ф(х), вейлевский символ которого
действителен. Таким образом, действие F.24) описывает действительное
скалярное поле. Наконец, если
У(ф) = Х-т2ф2 + Ум(ф),
где УгПг{ф) содержит слагаемые кубичного и более высокого порядка по ф,
то
S = J d*+2X ]^ГЬ*ф8иФ ~ \™V ~ Уш(Ф, *)], F.25)
где мы снова воспользовались свойством F.23). Таким образом, квадратич-
квадратичная по полю часть действия — в точности такая же, как в обычной теории
поля в (d + 2) -мерном пространстве-времени; возбуждения поля с ма-
малой амплитудой, описываемые линеаризованными уравнениями поля —
это обычные свободные волны, распространяющиеся в (d + 2) -мерном
пространстве-времени. Квантование теории с действием F.24) в рамках
теории возмущений происходит поэтому так же, как в случае обыч-
обычной теории поля; поле ф(Х) описывает массивные скалярные бозоны
в (d 4- 2) -мерном пространстве-времени. В то же время, наличие •-про-
•-произведения в У*п*@>*) означает, что члены взаимодействия отличаются
от обычной теории поля и являются нелокальными.
Итак, некоммутативная теория поля — это обычная теория поля с не-
нелокальным взаимодействием; некоммутативные координаты ж1, ж2 дей-
действительно являются двумя из пространственных координат (d + 2)-мер-
2)-мерного пространства-времени.
Этот вывод переносится и на теорию с действием F.10), которое
описывает комплексное скалярное поле в (d-f- 2)-мерном пространстве-
времени, и на теории с многими полями. В этих случаях, впрочем, важно
следить за порядком сомножителей в скалярном потенциале Vint, который
должен быть эрмитовым (как функция операторнозначных полей).
Обсудим, как получать уравнения поля в некоммутативной теории.
Рассмотрим для примера теорию двух эрмитовых полей с действием
sJddy27rBTr ^d^d^ + ^d^d^-^m^i-^m^l-Vintl F.26)

130 Глава б. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
где мы, как обычно, не различаем верхние и нижние индексы, а взаимо-
взаимодействие выберем в виде
f Ф2Ф!Ф2Ф1), F.27)
где Ai и Аг действительны. Поскольку Vint эрмитов, действие F.26) дей-
действительно. Впрочем, в силу цикличности следа в действии F.26) выра-
выражение F.27) можно заменить на
Vint = А1Ф1Ф2 4- АгФ^гФ^г- F.28)
В терминах числовых действительных полей 0Ь 02 действие F.26) имеет
вид
Г jd j2 П а^ 1а ± а ± 1 2/2 1 2^2 „ / vl
S = I d yd х -дпф\Опф\ 4- -оиф2Опф2 — -™>\Ф\ — г^202 - VintM ,
J [2 2МР2 2 J
F.29)
где
Vint(*) = Ai0i • 01 • 02 * 02 4" A201 • 02 • 01 • 02-
Найдем уравнение поля, проварьировав действие F.29) по ф\. С квад-
квадратичными слагаемыми проблем не возникает, поэтому рассмотрим член
взаимодействия. В вариации действия возникнут слагаемые типа
I d yd x0i• <50i• 02*02 F.30)
или
л
<^<*2Ж01*02*001*02. F.31)
Воспользуемся тем, что для любых трех функций А{х),В(х),С(х) спра-
справедливо
F.32)
/ d2xA*B*C= f d2xC*A*B.
Это свойство •-произведения прямо следует из цикличности следа: левая
часть F.32) равна
2п$Ъ(АВС), F.33)
а правая часть равна
2*0 Tr (CAB), F.34)
где А(х), В(х), С(х) — вейлевские прообразы функций А(х), В(х), С(х).
Поскольку F.33) и F.34) равны между собой, тождество F.32) действи-
действительно справедливо.
Используя соотношение F.32), выражения F.30) и F.31) можно
записать в виде
/ ddyd2x(J0i• 02• 02*0i = / ddyd2xдфl^(ф2*ф2*Фl)

6.1. Скалярное поле на некоммутативной плоскости 131
и
@2*01*02)
I
соответственно, где мы воспользовались свойством F.23), применив его
к функциям E01 и @2 * 02 * 0i) в первом случае, и к 8ф\ и @2 * ф\ * 0г)
во втором. Поступая таким образом, получим вариацию действия по ф\:
I
- Ai @1 • 02 * 02 + 02 * 02 * 0l) ~ 2А202 • 01 • 0г] • F.35)
Поскольку <50i умножается обычным образом (без звездочки) на выраже-
выражение в квадратных скобках, отсюда получается уравнение
-0/А01 ~ "»101 - Ai@i *02*02 + 02*02*00 ~ 2А202*01 *02 = 0. F.36)
Это и есть искомое уравнение поля. Второе уравнение получается ана-
аналогично. Отметим, что хотя в определении •-произведения присутствует
мнимая единица, левая часть уравнения F.36) действительна (для дей-
действительных 0i и 02). Это следует из еще одного свойства •-произведения:
которое следует как непосредственно из F.22), так и из соотношения для
вейлевских прообразов
и свойства F.17). Итак, количество уравнений поля в некоммутативной
теории — такое же, как в обычной.
В терминах операторных полей Ф(х), Ф2(ж) уравнение F.36) имеет
вид
-дцдцФх - т\фх - А^Ф^Фг + Ф2ФгФ0 - 2А2Ф2Ф1Ф2 = 0. F.37)
Его можно было бы получить непосредственно из действия F.26) с взаимо-
взаимодействием F.28). Рецепт состоит в том, что нужно рассмотреть вариацию
<5Ф1, в первом слагаемом проинтегрировать по частям (с учетом F.6)),
а в членах взаимодействия перенести 8Ф\ под знаком следа налево, вос-
воспользовавшись цикличностью следа. В результате получится выражение
= Г ddy 2тг0 Тг [6Ф • Eqn], F.38)
где Eqn — левая часть уравнения F.37). Формула F.38), разумеется, в точ-
точности соответствует F.35); из произвольности 6Ф\ и следует уравнение
F.37).
В заключение этого раздела сделаем несколько общих замечаний.
Во-первых, в некоммутативных теориях поля появляется новый па-
параметр размерности длины у/В. Он характеризует размер нелокальности,

132 Глава б. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
возникающей из-за замены обычных произведений полей на •-произве-
•-произведения. Можно поэтому ожидать, что на расстояниях меньше или поряд-
порядка \[В эффекты, связанные с некоммутативностью, сильны, а на замет-
заметно ббльших расстояниях некоммутативность несущественна. Формально
обычная, коммутативная классическая теория поля восстанавливается
из некоммутативной в пределе В -» 0.
Во-вторых, в пренебрежении взаимодействием, теории с действием
типа F.25) или F.29) обладают полной, (d + 2)-мерной лоренц-инвари-
антностыо (квадратичная часть действия лоренц-инвариантна). Лоренц-
инвариантность в классической теории поля нарушается только членами
взаимодействия. Трансляционная же инвариантность вдоль всех направле-
направлений, включая некоммутативные, сохраняется и при учете взаимодействия,
поскольку •-произведение трансляционно инвариантно2^.
Наконец, изложенная здесь конструкция без труда обобщается на
произвольное четное число некоммутативных пространственных измере-
измерений. В общем случае коммутационные соотношения между 2N некомму-
некоммутативными координатами имеют вид
Пг* т*'1 — 4Й*3' « 1* — 1 ЭЛГ
[X , X" \ — W , I, J — 1, . . . , ZJV ,
где В%3 образуют антисимметричную действительную матрицу размерно-
размерности 2N х 2JV. Однако, линейной заменой переменных х1 ->■ Л^ж* с дей-
действительными А\ эти коммутационные соотношения можно привести
к стандартному виду
L'J 'L'J > • • • » L ' * J ~" *1' j \\j.js j
а остальные коммутаторы равны нулю. Здесь В^1\...,В^ — положи-
положительные действительные параметры, вообще говоря, отличающиеся друг
от друга. Построение теории поля в таком некоммутативном R2N почти
дословно повторяет изложенное в этом разделе построение теории поля
на некоммутативной плоскости: поля Ф(х1,... ,x2N) — это операторы
в гильбертовом пространстве (фиктивной) квантовой механики точки
в N -мерном пространстве с координатами
а в качестве операторов импульса выступают
r2 2N
г> Если посредством фа обозначить сдвинутое поле, фа(х) = ф(х + а), то справед-
справедливо ф1,а*ф2,а = {Ф\*ф2)а- Это и обеспечивает трансляционную инвариантность
действия.

6.2. Солитоны в скалярных теориях 133
Существуют и менее тривиальные некоммутативные пространства, одна-
однако, в этой книге мы ограничимся простейшим случаем некоммутатив-
некоммутативного R2N.
6.2. Солитоны в скалярных теориях
В качестве первого примера некоммутативной теории, в которой
имеется солитон, рассмотрим теорию одного действительного скалярного
поля в простейшем случае, когда имеются всего две некоммутативные ко-
координаты ж1 и ж2 с коммутационным соотношением F.1). Будем искать
решение, не зависящее от времени и коммутативных координат уа, если
таковые имеются. Такое решение будет солитоном в B 4-1)-мерном про-
пространстве-времени (обе пространственные координаты некоммутативны),
струной в C + 1)-мерном пространстве (вытянутой вдоль единственной
коммутативной координаты) и т. д. Напомним, что в обычных (ком-
(коммутативных) скалярных теориях с ненулевым скалярным потенциалом
солитоны отсутствуют в B + 1)-мерном пространстве-времени в силу
масштабных аргументов. В таких теориях сгустки поля стремятся сжать-
сжаться в точку. В некоммутативных теориях имеются слагаемые с высши-
высшими пространственными производными (входящими в •-произведение),
а характерным масштабом расстояний, на которых они существенны, яв-
является у/В. Именно эти слагаемые стабилизируют солитон относительно
сжатия; мы увидим, что размер солитона действительно имеет порядок у/В.
Действие некоммутативной скалярной теории с одним действитель-
действительным полем имеет вид F.24). Для конфигураций, не зависящих от уа,
функционал энергии равен
= f *х[\(ЪФ)
Параметр некоммутативности входит в это выражение через •-произве-
•-произведение F.22). Введя координаты q vl p согласно F.2), избавимся от этого
параметра в •-произведении F.20); при этом он появится явно в выраже-
выражении для энергии
E = Jd2x [\(дгфJ + ВУ(ф,•)] , F.40)
где а?1 = q, х2 = р и V(<j>, •) не содержит больше параметра В.
Проще всего построить солитоны в пределе сильной некоммута-
некоммутативности (Гопакумар, Минвалла, Стромингер, 2000). Считая В большим
параметром, пренебрежем в F.40) градиентным членом, и будем искать
экстремум функционала
Е= Г d2xBV((j>,*)

134 Глава б. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
или на операторном языке
Я = 2тг0Тг7(Ф). F.41)
Соответствующее уравнение поля имеет вид
или
§£<**)=<>•
В коммутативном случае решения этого уравнения поля тривиальны:
это однородные (постоянные в пространстве) поля, значения которых
соответствуют экстремумам скалярного потенциала. В некоммутативном
случае уравнение F.42) — это уравнение на оператор Ф, и мы сейчас
увидим, что оно имеет нетривиальные решения.
Будем считать, что Ф = 0 — это минимум потенциала V (в общем
случае этого можно добиться сдвигом поля Ф), и что У(Ф = 0) = 0. Будем
также считать для простоты (хотя это и не обязательно), что \Г(Ф) —
полином по Ф, так что
7(Ф) = ^Ф2 + ^Ф3 +V + ... . F.43)
Тогда уравнение F.42) имеет вид
оФ 4- ЪФ2 + сФ3 + ... = 0. F.44)
Пусть потенциал V(a) как функция числовой переменной а имеет, кроме
минимума а = 0, экстремум при а = ао Ф 0. В этом случае
(a ao) aao + bal + cal + ... = O. F.45)
oot
Тогда оператор вида
Ф = а0Р F.46)
будет решением уравнения F.44), если Р — проекционный оператор, т. е.
Действительно, левая часть уравнения F.44) будет равна
аа0Р + Ъа20Р • Р 4- са\Р • Р • Р + ... = (аа0 + Ьа\ + са\ + ...)• Р,
что равно нулю в силу F.45). Итак, оператор F.46) — решение статиче-
статического уравнения поля в пределе сильной некоммутативности.
Энергия на решении F.46) равна
Е = 2тг0 Тг \\о&Р2 + \а\РЪ + ^«о^4 + ■••]= 2nBV(a0) Tr Р.
«о^4 + ■••]=

6.2. Солитоны в скалярных теориях 135
Учтем, что TrP = Dp — размерность того подпространства в гиль-
гильбертовом пространстве, на которое проектирует оператор Р; разумеется
Dp целочисленна. Таким образом, энергия конечна, если Р проектирует
на конечномерное подпространство, и равна
Е = 2пв V(ao)DP.
Отсюда следует интерпретация решения как конфигурации Dp солитонов,
энергия каждого из которых равна
£?soI = 2тг0 V(tt0). F.47)
Замечательно, что эта энергия не зависит от деталей формы потенци-
потенциала, а зависит только от его значения в экстремуме а0, и что энергия
нескольких солитонов равна сумме энергий каждого из них. Эти свой-
свойства в данной модели имеют место, впрочем, лишь в пределе сильной
некоммутативности в главном порядке по в.
В дальнейшем будет удобно выбрать в гильбертовом пространстве,
где действуют операторы х1 их2, фоковский базис. На некоммутативной
плоскости удобно ввести «комплексные координаты»
xl-ix2
Операторы
у/В v2 у/В v2
удовлетворяют стандартным коммутационным соотношениям для опера-
операторов рождения и уничтожения гармонического осциллятора,
[а, аЦ = 1. F.50)
Фоковский базис в гильбертовом пространстве образован собственными
состояниями гармонического осциллятора \п), п = 0,1,... Для дальней-
дальнейшего полезно отметить, что вейлевские символы операторов вида $(zz)
или
Ф = Ф(ЛГ), F.51)
где N = а^а — оператор номера возбуждения осциллятора, симметрич-
симметричны относительно вращений на плрскости xl,x2, т. е. они зависят только
от г = у/(х1J + (ж2J. Чтобы убедиться в этом, запишем выражение для
вейлевского символа F.13) в виде
ф(а, а) = — I d£ d£ Tr j^e-!C(a-o)-^E-e )ф(^ flt^j ^
где

136 Глава 6. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
— комплексные координаты на числовой плоскости. Симметрия отно-
относительно вращений на этой плоскости означает инвариантность ф(а, а)
относительно преобразований
а -> е|/?а, а -> е~|/3а.
Для операторов вида F.51) эта инвариантность вейлевского символа сле-
следует из инвариантности оператора ФGУ) и коммутационных соотношений
F.50) относительно преобразований
Таким образом, имеет место соответствие
Ф(ЛГ) <—¥ ф(г). F.52)
Заметим, что операторы вида F.51) диагональны в осцилляторном базисе,
т.е.
Итак, всем таким операторам соответствуют вейлевские символы, зави-
зависящие только от г.
В качестве простейшего односолитонного решения можно выбрать
F.46) с проектором на основное состояние осциллятора,
F.53)
Соответствующее ему числовое поле ф(х1, х2) имеет вид
2/*, F.54)
где г = >/(х1J + (ж2J. Видно, что это поле действительно соответствует
представлению о солитоне как о сгустке поля. Необычное свойство этого
солитона состоит в том, что его форма (как и энергия) не зависит
от деталей потенциала У(Ф) и определяется только положением его
экстремума. Размер солитона равен \/д, как и ожидалось.
Вычисление, приводящее к выражению F.54) для вейлевского символа оператора
F.53), вполне прямолинейно. Нам потребуется
Тг [е^+<т?|0>@|] = @|e'ffp+1T?|0> = @|ei|a+*at |0), F.55)
где
т — ia
Формула F.16) дает

6.2. Солитоны в скалярных теориях 137
поэтому выражение F.55) равно
Следовательно
g / da dr *
что и приводит к F.54).
Обратимся теперь к вопросу о стабильности солитона F.53), по преж-
прежнему в пределе сильной некоммутативности. Для этого будем использо-
использовать операторный подход и запишем поле Ф(у) с малыми отклонениями
от солитона в виде
Ф(у) = Ф«я + Фр(»), F-56)
где Фр — оператор малых отклонений. Наша задача — найти квадратич-
квадратичную по Фр часть в энергии F.41) и выяснить, при каких условиях она
неотрицательна.
Разложим оператор Фр следующим образом:
Фр(у) = и(у)\0){0\ + \О)(Щу)\ + \Щу))(О\ + х(у)> F-57)
где и(у) — числовая действительная функция коммутативных координат,
|Ф(у)) — вектор в фоковском пространстве, ортогональный основному
состоянию осциллятора,
<0|Ф> = О,
а эрмитов оператор х(у) действует в подпространстве, ортогональном
вектору |0), т. е.
Х\0) = О, @\Х = 0.
Оператор F.57) является эрмитовым, как и должно быть.
Иногда удобно воспринимать оператор поля Ф как матрицу в фоков-
фоковском базисе:
Фпт = (п|Ф|т).
Тогда солитонное решение F.53) имеет вид
/а0 0 0 ,.
0
о 0
V : )

138 Глава б. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
а разложение F.57) соответствует следующей параметризации матри-
матрицы Фр:
и *f *2 Л
00
причем |Ф) = Y1 ^п\п)- Очевидно, что такое представление однозначно.
п=1
Ограничимся для простоты потенциалами четвертой степени по по-
полям, т. е. будем считать, что члены, обозначенные в F.43) многоточием,
отсутствуют. Подставляя выражение F.56) в F.43) и ограничиваясь чле-
членами второго порядка по Фр, получим квадратичную часть энергии в виде
Е{2) = 2тг0 Tr [^Ф2 + Ъа0РФ2р + ^а1(ФрРФрР + 2Ф2рР)],
где Р = |0){0|. Первое слагаемое здесь равно
2тг • В^- ЪФ2р = 2тг0 • £ [и2 + 2иТг |0)<Ф| + 2мТг |Ф)<0| +
+ Тг|0)(Ф|Ф)@|+Тг|Ф>@|0)(Ф| + 2Тг(|0>(Ф|х) +
Тгх2] = 2тг0 • ^(и2 + 2{Ф|Ф) +ТгХ2),
где мы воспользовались тем, что
Тг |Ф)@| = <0|Ф) = 0, Тг |0)<Ф|х = (Ф|х|О> = О
и т. д. Аналогично находим
ТгФ2Р = и2 4- <Ф|Ф), ТгРФрРФр = и2.
Итак, квадратичная часть энергии равна
ЕB) = 2тг0| %2+а(Ф|Ф> + ^ Тгх2+Ъаои2+Ъао{ЩЪ) + 112
Заметим, что это выражение можно представить в виде
Полезно заметить еще, что кинетическое слагаемое имеет вид

6.2. Солитоны в скалярных теориях 139
т. е. в терминах матричных элементов, входящих в F.58), имеет канони-
канонический вид. Таким образом, поле и(у) имеет квадрат массы
ш =
поля У\(у), ^2(у), • • • имеют одинаковые массы
2 dV
а квадраты масс полей Хтп (т,п = 1,2,...) равны
Поскольку «о — это экстремум потенциала, массы полей Ф„ (га = 1,2,...)
равны в действительности нулю,
Шф = О,
т. е. Ф„ являются плоскими направлениями (модулями) потенциала. Со-
литон стабилен, если mj > 0 и т2х > О, т. е. если как а - щ, так и а = О
являются минимумами скалярного потенциала.
Формула F.59) справедлива в действительности для потенциалов
общего вида, так что вывод об условиях стабильности солитона и о су-
существовании бесконечного набора модулей справедлив всегда (в пределе
сильной некоммутативности).
Существование бесконечного количества модулей связано с беско-
бесконечномерной группой симметрии функционала энергии F.41) в пределе
сильной некоммутативности. В случае потенциала вида F.43) функционал
энергии F.41) инвариантен относительно преобразований
Ф -> UФи1, F.60)
где U — произвольный унитарный оператор, действующий в фоков-
ском пространстве (фиктивной) квантовой механики. Такие операторы
в фиксированном (например, фоковском) базисе представляют собой бес-
бесконечномерные унитарные матрицы; можно сказать 3\ что они образуют
группу ?7(оо) (бесконечномерный аналог группы U(N) унитарных матриц
N х N). Эта группа в скалярной теории является глобальной, т. е. полное
действие в пределе сильной некоммутативности инвариантно относитель-
относительно преобразований F.60) с U не зависящими от у. Классический вакуум
Ф = 0 не нарушает эту группу, а решение F.53) частично нарушает ее.
Генераторы группы ?7(оо) — это антиэрмитовы операторы (антиэрмитовы
Мы здесь не обсуждаем тонкости, связанные с поведением матричных элементов
Umn когда т и/или п стремится к бесконечности. Соответствующие требо-
требования к операторам в некоммутативной теории поля диктуются физическими
требованиями типа конечности энергии.

140 Глава б. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
матрицы в фоковском базисе); нарушенные генераторы — это те, что
не коммутируют с оператором F.53). Полный набор генераторов — это
Tlmn) = г(\т)(п\ + \п)(т\), lfn) = |го)(п| - \п)(т\;
п, m = 0,1, ..., т^п.
Генераторы т[™'п' cm,n = 1,2,... коммутируют с Ф^ (поскольку для них
ТФЮ\ = ФЮ\Т = 0); генератор 2\ также коммутирует с Ф801. Остальные
генераторы 2\ ' и Г2', т = 1, 2,... не коммутируют с Ф8Оь Согласно
общей теории им соответствуют действительные голдстоуновские поля
вида
ьМ(у).[т1т'°\ф«>1] и f^ftH^*-],
где v^m\y), w^m\y) — безмассовые (с d-мерной точки зрения) голдсто-
голдстоуновские поля. Итак, голдстоуновский сектор теории имеет вид
00
т=1 т—\
где
Поля Фт(у), {т= 1,2,...) — это в точности найденные нами модули.
Сделаем два замечания относительно модулей Фт(у)- Одно из них
состоит в том, что модуль v&i соответствует трансляциям на некомму-
некоммутативной плоскости и вполне аналогичен трансляционной нулевой моде
в теории обычных (коммутативных) солитонов. Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим близкое к F.53) решение
Ф' = Фшл + ao(*i|l)(O| + *;|0)<1|), F.61)
которое соответствует добавлению малого слагаемого к решению Ф8Оь
пропорционального первому модулю (считаем, что Ф1 мало; множитель ао
включен для удобства). Конфигурация F.61) — действительно решение,
поскольку Фг — это модуль; в этом можно убедиться и непосредственно,
представив Ф' в виде
Ф' = аР1,
где
— проекционный оператор в линейном порядке по v&
Вейлевский образ второго слагаемого в F.61) равен
,р) = 2a0 [72*i • (q + ip) + ее]е"^4^, F.62)

6.2. Солитоны в скалярных теориях 141
поэтому в линейном порядке по Ф1 вейлевский образ решения F.61)
совпадает с
Ф'(Я,Р) = ФАЬР) + ^Ф{Ч,Р) = Мд-л/2Ке*ь P + V2Im*i) +0(Ф?),
что действительно соответствует сдвигу исходного решения в некоммута-
некоммутативной плоскости.
Формула F.62) получается вполне аналогично формуле F.54). Входящий в выра-
выражение для вейлевского символа след равен
Тг (е**+*?) f+'f *«£У|*
Отсюда получаем для вейлевского символа
что и дает F.62).
Второе замечание состоит в том, что каждое поле модулей локализо-
локализовано вблизи солитона. Действительно, n-е поле модулей имеет вид
. F.63)
Вейлевский символ оператора F.63) равен
2/Ч F.64)
где г = -\/{х1J + (х2J, a Vn — полином по ж1, ж2 (явное выражение для
V\ приведено в F.62), а остальные полиномы нетрудно вычислить по ана-
аналогии с приведенным выше вычислением). Формула F.64) описывает
безмассовые4^ поля, распространяющиеся только вдоль коммутативных
направлений уа и локализованные вблизи начала координат в неком-
некоммутативной плоскости. В квантовой теории им соответствуют частицы,
движущиеся вдоль гиперповерхности х1 = х2 = 0 в (d + 1)-мерном
пространстве, чьи поперечные волновые функции Vn{x) exp {-у} лока-
локализованы вблизи этой поверхности. Мы увидим, что подобная ситуация
имеет место и в некоммутативных калибровочных теориях; при этом
локализуются калибровочные поля.
4) Точнее, легкие при большом, но конечном в.

142 Глава б. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
В заключение этого раздела обсудим вкратце вопрос о применимости
приближения сильной некоммутативности. Функционалу энергии F.40)
соответствует выражение в терминах операторов
Е = 2тг [i Тг (д(ФJ +$Ъ У(Ф) 1. F.65)
Приближение сильной некоммутативности выполняется тогда, когда для
найденного нами солитона первое слагаемое мало по сравнению со вто-
вторым. Для солитона F.53) первое слагаемое по порядку величины равно
iral, а второе равно 2ir9V(ao), см. F.47). Таким образом, приближение
сильной некоммутативности выполняется при
Для полиномиальных потенциалов без специального подбора параметров
имеем
——- f^y ~ m ,
а\
где т — масса скалярного поля. Таким образом, приближение сильной
некоммутативности работает тогда, когда пространственный масштаб,
связанный с некоммутативностью, заметно превышает комптоновскую
длину скалярного бозона,
\/0>-. F.66)
т
При у/в г-j т~1 градиентным членом в энергии при поиске солитона
пренебрегать никак нельзя, а при у/в < т~1 солитон отсутствует вовсе
(см. обзор Дугласа и Некрасова, 2001).
Оценку F.66) можно получить и более аккуратно. Найдем первую поправку
к полю солитона, связанную с учетом градиентного члена в F.65). Уравнение
поля, следующее из минимизации энергии F.65), имеет вид
Отсюда получим уравнение для первой поправки:
где [дУ/дФ]\ — линейный член разложения производной потенциала
по поправке <&! к невозмущенному солитону Ф^. Для потенциала четвертого
порядка F.43) имеем
dV 1 ,
— = оФ + ЬФ + сФ
ОФ

6.2. Солитоны в скалярных теориях 143
Для вычисления правой части F.67) перейдем к «комплексным координатам»
fiZi£=a
у/2 V2
(они отличаются от F.48) фактором в~1^2, но мы не будем это отмечать тильдой).
Тогда двумерный лапласиан равен
Далее, в соответствии с F.4), F.5) заменим дифференцирование на коммутатор,
0,Ф = -[а!,Ф], д?Ф = [а,Ф].
Тогда правая часть F.67) запишется в виде
-1-[аК[а,Фм[)}.
Для оператора F.53) эта величина равна
F.69)
Таким образом, поправку Ф^ к солитону найдем, приравнивая F.68) к F.69).
Из выражения F.68) видно, что поправку следует искать в виде
Тогда получим
[Щ ==и'|0><0|(а + 2Ьа°+ Зс(*2о) + ах1Ш = F"(ao)'u|0><01 + F"(o)
где V" = 82V(a)/da2. Сравнивая это выражение с F.69), получим поправку
в [V
F.70)
Отметим, что так же как и исходный солитон, эта поправка симметрична отно-
относительно вращений плоскости (ж1, ж2): вейлевский образ любого оператора вида
\п){п\ зависит только от г = у/{х1J + (ж2J.
Поправка F.70) должна быть мала по сравнению с самим нулевым прибли-
приближением F.53). Отсюда вытекают условия
9V"(a0) » 1, вУ"@) » 1.
Таким образом, у/в должен быть гораздо больше как l/m(ao), так и 1/тп@), где
m(oto) и т@) — массы скалярного бозона в вакууме Ф = а0 и в вакууме Ф = 0,
m2(a0) = V"(a0), m2@) = V"@).
Для полиномиальных потенциалов без специального подбора параметров эти
массы имеют один и тот же порядок величины, и мы приходим к F.66).

144 Глава б. Скалярные поля на некоммутативной плоскости
Отметим, что градиентный член в F.65) явным образом нарушает
симметрию U(oo), соответствующую преобразованиям F.60). Поэтому
из всего семейства солитонов вида Ф = аР\, где Pi — произвольный про-
проектор на одномерное пространство, выживает только один (с точностью
до трансляций). Ясно, что это — солитон, инвариантный относительно
вращений некоммутативной плоскости, первое приближение к которому
задается проектором |0){0|. При учете градиентного члена все модули Ф„,
кроме трансляционного, «поднимаются», т. е. приобретают массы. Много-
солитонные конфигурации перестают быть решениями; иными словами,
солитоны становятся взаимодействующими между собой.

Глава 7
Некоммутативные
калибровочные теории
Построение калибровочных теорий с калибровочной группой U(N)
на некоммутативной плоскости (или некоммутативном R2n) в значи-
значительной степени повторяет конструкцию, используемую для обычных,
коммутативных теорий, чего нельзя сказать о теориях с другими калиб-
калибровочными группами. Кроме того, что мы ограничимся калибровочными
группами U(N), мы будем рассматривать поля материи (скалярные или
фермионные) только в фундаментальном, антифундаментальном или при-
присоединенном представлениях; включение полей в других представлениях
сталкивается с серьезными трудностями.
7.1. Общая конструкция
Итак, рассмотрим для определенности действие (в операторных обо-
обозначениях)
вф = Г ddy 2тг0 Тг [д^дцФ - У(Ф, Ф1)], G.1)
где ц = О,1 d + 2. Будем считать, что Ф — это N -мерный столбец,
а У(Ф, Ф^) инвариантен относительно преобразований
Ф-»£/Ф, Ф*-»Ф^, G.2)
здесь U — унитарная матрица N х N. Действие G.1) инвариантно от-
относительно глобальной группы U(N), причем поле Ф преобразуется
по фундаментальному представлению. Наша задача — обобщить действие
G.1) так, чтобы выполнялось свойство инвариантности относительно ло-
локальных преобразований с U = U(y,x). Считаем, что потенциальное
слагаемое Тг [У(Ф, Ф*)] — это полином, каждый член которого имеет вид
Тг(ФФ|ФФ|...ФФ|).
Тогда потенциальный вклад инвариантен относительно преобразований
G.2), где U(у, х) — унитарный оператор N х JV. Последнее означает, что

146 Глава 7. Некоммутативные калибровочные теории
для каждого у этот оператор представляет из себя матрицу N х N, все
элементы которой Urs(r, s = 1,..., N) — это операторы в гильбертовом
пространстве квантовой механики, причем выполняются равенства
UnV% = <*rr' • 1, G.3)
U%U8r> = 6rr> • 1, G.4)
где + временно обозначает эрмитово сопряжение квантовомеханического
оператора, Т обозначает транспонирование индексов г и з, а 1 — единич-
единичный оператор в квантовой механике 1\ В частности, в случае U(l)-теории
оператор U — это унитарный оператор в квантовой механике. В дальней-
дальнейшем мы будем записывать равенства типа G.3), G.4) просто как
= 1, G.5)
= 1. G.6)
Разумеется, кинетический член в G.1) не инвариантен относительно
локальных пребразований, и, чтобы добиться его инвариантности, необ-
необходимо ввести калибровочные поля.
Как обычно, вводим вектор-потенциалы Ац(у,х) и ковариантную
производную
Dfi = @„ + Ац)Ф. G.7)
Требуем, как всегда, чтобы ковариантная производная преобразовывалась
при калибровочных преобразованиях следующим образом:
Л„Ф -> UDfi, G.8)
откуда получаем закон преобразования вектор-потенциалов
Ap-bUA^ + UdtP*. G.9)
Если Ац — антиэрмитов, то правая часть в G.9) — тоже антиэрмито-
антиэрмитова, поэтому достаточно ограничиться антиэрмитовыми полями Ац(у, х).
Здесь антиэрмитовость понимается так же, как унитарность в G.3), G.4):
„ = -(^)„ G.10)
или в обозначениях G.5), G.6)
Л^ — —А
В случае калибровочной группы [7A) вектор-потенциалы Ац — это ан-
антиэрмитовы операторы в квантовой механике.
' Отметим, что для каждых г и 8 квантовомеханический оператор Urs можно
представлять себе как бесконечномерную матрицу (в выбранном базисе гиль-
гильбертова пространства). Поэтому из равенства G.3) не следует G.4) (и наоборот),
как это было бы в случае конечномерных матриц. Мы будем более подробно
обсуждать это свойство в следующей главе.

7.1. Общая конструкция 147
Как обычно, вводим антиэрмитову напряженность
где мы воспользовались тем, что производные как вдоль коммутативных,
так и вдоль некоммутативных направлений коммутируют между собой.
Напряженности поля преобразуются при калибровочных преобразованиях
однородно,
Fp,-* UF,a,u\ G.11)
поэтому калибровочно-инвариантное действие строится из них обыч-
обычным образом. В результате приходим к калибровочному обобщению дей-
действия G.1):
о = од т Оф, \1 •*■*•)
где
1 П
Tr (F F \
, , , GЛЗ)
5Ф = / day 2тг0 Tr [{БцФуИцФ - У(Ф, Ф')],
д — калибровочная константа связи. В выражении для действия калиб-
калибровочных полей символ Тг обозначает как след по групповым индексам,
так и след квантовомеханического оператора: в выбранном базисе \п)
гильбертова пространства явное выражение имеет вид
оо N
п=0 г,а=1
С другой стороны, в действии 5$ фигурирует только квантовомеханиче-
ский след. Мы, тем не менее, будем в дальнейшем использовать одно
и то же обозначение Тг в обоих случаях, если это не будет приводить
к недоразумению. Для следа только по групповым индексам в дальнейшем
будем использовать обозначение tr .
Хотя изложенная здесь процедура почти дословно повторяет стан-
стандартную процедуру, используемую в коммутативных теориях, необходимо
сделать ряд пояснений. Во-первых, она работает только для унитарных
калибровочных групп: если Ui и Ui — два унитарных оператора (в смысле
G.3), G.4)), то U\Ui — также унитарный оператор, поэтому два после-
последовательных калибровочных преобразования — это снова калибровочное
пребразование. Последнее свойство не будет выполняться, если в качестве
калибровочной группы взять группу, не совпадающую с U(N). Например,
если попытаться рассмотреть калибровочную группу SU{N) и наложить
требование2^
7Г5 = 1 G.14)
2> Кроме всего прочего, в этом нелинейном условии надо еще доопределить порядок
сомножителей. Каким бы образом это не было сделано, уйти от неравенства G.15)
не удается.

148 Глава 7. Некоммутативные калибровочные теории
(здесь детерминант берется по индексам г, s только, а 1 — единичный
оператор в квантовой механике), то для операторов U\ и Щ, обладающих
этим свойством, будем иметь, вообще говоря
«И-,, (PiU2)ra Ф 1, G.15)
поэтому операторы, удовлетворяющие G.14), группу не образуют3\ Ана-
Аналогичные проблемы возникают и для других калибровочных групп, по-
поэтому мы будем ограничиваться калибровочными группами U(N).
Во-вторых, даже в случае калибровочной группы [7A) операторы
калибровочных преобразований U\{y, x), Ui{y, х) не коммутируют между
собой, просто потому, что они являются операторами в гильбертовом про-
пространстве квантовой механики. В соответствии с этим в напряженности
поля даже в [7A)-теории присутствует нелинейное слагаемое [Л^Л,,].
В терминах вейлевских символов напряженность поля равна
и последний член здесь не исчезает даже для [7A)-теории. В связи
с этим мы будем воздерживаться от использования терминов «абелевы»
или «неабелевы» калибровочные теории. Итак, некоммутативная чисто
калибровочная [7A)-теория с действием G.13) — это теория с нетриви-
нетривиальным взаимодействием между вектор-потенциалами А^.
Здесь уместно подчеркнуть еще одно отличие некоммутативных ка-
калибровочных теорий от обычных коммутативных. В некоммутативных
теориях набор калибровочно-инвариантных величин, локальных на не-
некоммутативной плоскости, либо очень ограничен, либо вообще отсутству-
отсутствует. Это связано с нелокальностью калибровочных преобразований G.8),
G.9), G.11), которые в терминах вейлевских символов (числовых по-
полей) содержат •-произведения. Например, в коммутативной [7A)-теории
напряженность поля F^ — это локальная калибровочно-инвариантная
величина, а в U(N) -теории в коммутативном пространстве таковой явля-
является tr F%p, где след берется по групповым индексам. В некоммутативных
теориях эти величины не инвариантны относительно калибровочных пре-
преобразований. Приведем пример, показывающий, насколько это свойство
нетривиально. Рассмотрим некоммутативную С/"A)-теорию и выберем
конфигурацию поля в виде
Fn = -г|0)<0| G.16)
3) Можно было бы попытаться заменить условие G.14) на Det?7 = 1, где детер-
детерминант Det — это детерминант бесконечномерной матрицы, а 1 — с-числовая
единица (в случае N = 1 условие Det U = I означало бы, что детерминант
унитарного оператора U, действующего в фоковском пространстве, равен еди-
единице). Однако, условие Det U = 1 было бы всего одно на всю некоммутативную
плоскость и было бы сильно нелокальным на ней, что резко отличалось бы
от коммутативного случая. В частности, в коммутативном пределе в -4 0 обыч-
обычная теория с калибровочной группой SU{N) не восстанавливалась бы.

7.1. Общая конструкция 149
(напомним, что F^ антиэрмитова). Вейлевский символ этой конфигура-
конфигурации имеет гауссову форму (см. F.53), F.54))
Fl2 = -i-2e-r2/e. G.17)
Тккая конфигурация калибровочно-эквивалентна конфигурации
*{2 = -||1)<1| = сгадг*, G.18)
где унитарный оператор U меняет базисный вектор |0) на вектор 11) и на-
наоборот, а остальные базисные вектора не затрагивает. Вейлевский символ
оператора G.18) имеет вид (вычисление вполне аналогично выполненному
выше вычислению, приводящему к F.54))
Видно, что это поле заметно отличается от калибровочно-эквивалентного
ему поля G.17). Другое калибровочное преобразование конфигурации
G.16) приводит к ее сдвигу. Действительно, при малом ip оператор
унитарен, а
UrpFnUl = -i(|0)<0| + ^|l}<0| + ^|0}<1|) + 0(<ф2)
представляет собой поле, сдвинутое на некоммутативной плоскости (см.
формулу F.61) и следующее за ней обсуждение). Итак, в некоммутативных
калибровочных теориях трансляции поля F\2 вдоль некоммутативных
направлений — это калибровочные преобразования. Последнее нетрудно
показать и в общем случае, рассматривая унитарные операторы вида
Uа — e^"Al+*^A2 и убеждаясь, что вейлевский символ оператора UaFU^
отличается от вейлевского символа оператора F сдвигом координат Х{,Х2.
Калибровочно-инвариантные величины, построенные только из ка-
калибровочных полей — это объекты типа Тг F^, Тг F^F^ и т. д. На языке
числовых полей (вейлевских символов) они представляют собой инте-
интегралы по всей некоммутативной плоскости, т. е. они существенно не-
нелокальны. Локальные (на масштабах много больше V&) калибровочно-
инвариантные величины можно построить, если имеются поля материи
в фундаментальном представлении: такой величиной является, например,
^Ffiv^ > вейлевский символ которой, ф • Т^ • ф^, имеет характерный
масштаб нелокальности V$.
В-третьих, все сказанное в разделе 6.1 об интерпретации некоммута-
некоммутативных теорий как теорий в (d + 2)-мерном пространстве-времени с ко-
координатами уа, ж1, х2 (и (d+2rc) -мерном пространстве-времени в случае
некоммутативного R2n) остается в силе и для калибровочных теорий.

150 Глава 7. Некоммутативные калибровочные теории
На квадратичном уровне теория с действием G.12) — это теория N2
безмассовых действительных векторных полей (если калибровочная сим-
симметрия не нарушена) и N комплексных скалярных полей — вейлевских
символов4^ операторов Л^иФ- распространяющихся в (d + 2) -мерном
пространстве-времени. Вновь некоммутативность проявляется на язы-
языке вейлевских символов в том, что в членах взаимодействия обычное
произведение заменяется на нелокальное ^-произведение. Аналогичная
ситуация имеет место в хгатсовской фазе, в вакууме которой Ф = v • 1,
v — ненулевой N -мерный числовой столбец, 1 — единичный оператор
в гильбертовом пространстве квантовой механики.
Далее, изложенная процедура прямо обощается на скалярные поля
в антифундаментальном и присоединенном представлениях. В последнем
случае скалярное поле — это эрмитова (в смысле, аналогичном G.10))
матрица N х N; его калибровочное преобразование имеет вид
а ковариантная производная равна
ЛлФ = 0„Ф + Ц,,Ф]. G.19)
Отметим, что даже в случае U(l)-теории присоединенное представление
нетривиально, ЛФи^ Ф Ф (для унитарного и эрмитова квантовомехани-
ческих операторов U и Ф); это проявляется в отличии от нуля второго
члена в G.19) и, как следствие, нетривиального взаимодействия Ф с Ац.
Примерно по тем же причинам, которые не позволяют простым
образом построить теории с калибровочными группами, отличающими-
отличающимися от U(N), не удается просто построить теории с полями материи
в представлениях, отличающихся от (анти-)фундаментального и присо-
присоединенного.
Дальнейшее простое обобщение связано с рассмотрением калибро-
калибровочной теории с группой U(N) х U(M). Чисто калибровочное действие
при этом — это сумма действий для полей каждой из калибровочных
групп, Ац и Вр, с, вообще говоря, разными константами связи. Не-
Нетривиальное представление5* группы U(N) x U(M) — фундаментальное
по U(N) и антифундаментальное по U(M), при этом соответствующее
поле Ф — матрица N х М, не обладающая никаким свойством типа
эрмитовости, а его преобразование имеет вид
Ф - \
Более точно надо говорить о компонентах А%, связанных с Лм, как обычно,
соотношением Ац — -igtaA^, где О1 — генераторы группы U(N). Поля А%
эрмитовы в квантовомеханическом смысле, а их вейлевские символы действи-
действительны.
Разумеется, можно рассматривать поля, преобразующиеся только относительно
U(N) (синглеты относительно U(M)) и наоборот; такое обобщение тривиально.

7.2. Калибровочная теория как матричная модель 151
где U и U принадлежат некоммутативным U(N) и U(M) соответственно.
Ковариантная производная имеет вид
БИФ = д»Ф + А»Ф - ФВИ.
Очевидно, что и в этом случае последовательное применение калибро-
калибровочных преобразований вновь является калибровочным преобразованием.
Для других нетривиальных представлений это было бы не так, поэтому
другие представления построить простым образом не удается. Список
некоммутативных калибровочных теорий, простым образом обобщающих
коммутативные теории, по-существу исчерпан6^.
7.2. Калибровочная теория
на некоммутативном R
как матричная модель
В рамках операторного формализма некоммутативные теории —
это теории полей, представляющих собой бесконечномерные матрицы
(матрицы операторов в выбранном базисе гильбертова пространства). Эти
матрицы явно зависят только от коммутативных координат уа. В действии
типа F.9) некоммутативные координаты все еще явно присутствуют,
поскольку производные
содержат явным образом операторы ж*. В калибровочных теориях на не-
некоммутативном R2n с полями материи в присоединенном представлении
можно ввести такие поля, что операторы ж* будут отсутствовать как в дей-
действии, так и в полевых уравнениях; формально от некоммутативных коор-
координат можно полностью избавиться. Такая теория будет выглядеть как тео-
теория бесконечномерных матричных полей (матричная модель) в d-мерном
пространстве времени с координатами уа; то, что в действительности она
описывает поля, распространяющиеся в (d + 2rc)-мерном пространстве-
времени, будет видно только после решения линеаризованных полевых
уравнений. Это замечательное свойство некоммутативных калибровочных
теорий служит хорошей иллюстрацией возможности того, что размерность
пространства-времени (а, возможно, и само пространство-время) не име-
имеет абсолютного характера и определяется динамическим путем. Для нас
6) Случай калибровочной теории с группой U(Ni) x U{N2) х ... х U(Nk) и полями
материи, фундаментальными относительно одной U(Ni) и антифундаментальны-
антифундаментальными относительно другой (или той же) U(Nj), считаем тривиальным обобщением
предыдущих.

152 Глава 7. Некоммутативные калибровочные теории
будет существенно и то, что формулировка некоммутативной калибровоч-
калибровочной теории как матричной модели позволяет довольно просто найти в ней
некоторые точные солитонные решения, как мы это увидим в главе 8.
В этом разделе мы рассмотрим простейший случай, когда две неком-
некоммутативные координаты образуют некоммутативную плоскость; обобще-
обобщение на некоммутативное R2n очевидно. На некоммутативной плоскости
удобно (хотя и не обязательно) ввести комплексные координаты F.48),
тогда для любого поля Ф
в1Ф=~@, + 0г)Ф, G.20)
$2Ф=~@,-аж)Ф, G-21)
и обычный градиентный член в лагранжиане равен (для неэрмитова поля)
д^дгФ + 02Ф*02Ф = д^дхФ + 0,Ф^*Ф. G.22)
С учетом F.4), F.5) имеем
джФ = ~[аКф], G.23)
в,Ф = -^[а,Ф], G.24)
где операторы рождения и уничтожения в фоковском пространстве одно-
одномерной квантовой механики введены в F.49).
В U(N) калибровочной теории введем также
Аг = -д(А1 - iA2), Аж = -4 = ~^{М + iA2)
(напомним, что А\ и А2 антиэрмитовы). Формулы G.20), G.21) обобща-
обобщаются на случай калибровочной теории очевидным образом:
^Ф = (D, + Дг)Ф, Р2Ф = (!>, - ОДФ,
а для единственной нетривиальной компоненты напряженности с обоими
некоммутативными индексами имеем
Fzz = iFn = ЬЯАЖ - b-zAz + [Az, A,]. G.25)
Введя еще компоненты (напомним, что а = 0,..., d - 1 нумерует комму-
коммутативные координаты)
= daAz- dzAa + [Aa, А%],

7.2. Калибровочная теория как матричная модель 153
перепишем действие калибровочного поля G.13) в виде
Sa = ~ f ddy Ш Tr [FabFab - 2FazFat - 2FZZFZ,], G.26)
а действие скалярного поля в присоединенном представлении — в виде
Sf = / ddy 2тг<9 Тг | ^ОаФВаФ - Dz<f>Dz<!> - У(Ф) 1, G.27)
где мы учли, что поле Ф эрмитово. Здесь
ИгФ = дгФ + [Az, Ф], Д?Ф = д,Ф + \Аг, Ф]. G.28)
В случае фундаментального представления вместо G.27) и G.28) мы
имели бы
S$nd = I ddy 2тг0 Tr [D^D^ - Dt&Dj& - D^D& - У(Ф, Ф*)]
G.29)
и
БХФ = дгФ + АгФ, БгФ = дгФ + АгФ. G.30)
Разумеется, переход к комплексным координатам z,z — вопрос удоб-
удобства. Мы собрали здесь соответствующие формулы для использования
в дальнейшем.
В этом разделе мы будем в основном рассматривать скалярное поле
в присоединенном представлении. С учетом G.23), G.24) выражения для
входящих в действия G.26) и G.27) величин можно записать в компактном
виде. Введем вместо поля Az новое поле
С = а1 • lN - V0Az = а1 - V$AZ G.31)
и сопряженное ему поле
& = а • 1лг + V$A\ = a ^
в G.31) символ In обозначает единичную матрицу размерности N х
JV (мы имеем дело с калибровочной группой U(N)). Этот символ мы
будем часто опускать. Тогда ковариантные производные скалярного поля
запишутся в виде
Л,Ф = -^[С,Ф], ЦгФ = ±[С*,Ф],
а выражения для напряженностей поля, включающих Д1>2, будут иметь
вид
Faz = -^rf>bc = -77§(даС + 1Аа> С^>

154 Глава 7. Некоммутативные калибровочные теории
и
*w = 4([CiCt]+1)' G>32)
где 1 — единичный оператор. Таким образом, формулы G.26) и G.27)
примут вид
jV2№|l!lifl + 2)CtJDC([CCt] + l)aJ, G.33)
G.34)
Это и есть заявленное в начале этого раздела представление некоммута-
некоммутативной калибровочной теории в форме матричной модели в d -мерном
пространстве-времени. Помимо d-мерных полей Аа и Ф оно включает
в себя неэрмитово поле С, являющееся скаляром относительно d-мер-
d-мерных преобразований Лоренца и преобразующееся по присоединенному
представлению некоммутативной U(N):
Разумеется, последнее равенство — это другая запись стандартного закона
преобразования
в чем легко убедиться, используя связь G.23), G.24) между производными
и коммутаторами. В записи G.33), G.34) члены с ковариантными произ-
производными вдоль некоммутативных направлений и член с компонентой Fzj
выступают как потенциальные слагаемые
= Tr { f «С' ^ + *J - \lC> ФИС1, Ф]}. G.35)
Именно структура этих слагаемых ответственна за то, что вакуумом
(точнее, одним из вакуумов) теории является поле С = а\ & = а,
а линейные возбуждения над ним описывают поля, распространяющиеся
в (d + 2)-мерном, а не d-мерном пространстве-времени. Разумеется,
прокручивая назад процедуру, приведшую к выражениям для действия
G.33) и G.34), мы вернемся к теории в (d + 2)-мерном пространстве-
времени с двумя некоммутативными координатами.
Обсудим подробнее матричную модель G.33), G.34), взяв в каче-
качестве примера некоммутативную U(l). Формально рассмотрим эту модель
как теорию в d -мерном пространстве-времени. Тогда эта теория будет
инвариантна относительно калибровочных преобразований
tf + U6aU\ G.36)
UCU\ G.37)

7.2. Калибровочная теория как матричная модель 155
Ф -+ UW\ G.38)
причем поля Аа, С и Ф (бесконечномерные матрицы) зависят от уа,
a #(j/a) — унитарные операторы в гильбертовом пространстве квантовой
механики, т. е. бесконечномерные унитарные матрицы (в выбранном бази-
базисе гильбертова пространства). Таким образом, можно сказать, что d-мер-
ная теория инвариантна относительно калибровочной группы U(oo),
которую образуют унитарные матрицы размера К х К в пределе К ->■ оо.
В рассматриваемой теории потенциальное слагаемое G.35) имеет
минимум (точнее, один из минимумов) при Ф = const • 1 и
С = а\ С1 = а G.39)
(с точностью до преобразования из U(oo)), где (J и а —операторы
рождения и уничтожения гармонического осциллятора. Это означает, что
калибровочная симметрия U(oo) полностью нарушена (не существует
унитарного оператора U, такого что UcJU^ = а*). Поэтому в спектре над
вакуумом G.35) нет безмассовых (в d-мерном смысле) векторных бозонов;
это согласуется с известным нам фактом, что безмассовые векторные
бозоны распространяются в действительности в пространстве с двумя
«дополнительными» измерениями, так что спектр d-мерных импульсов
имеет вид
где hi (i = 1, 2) — импульсы вдоль некоммутативных измерений. С точки
зрения d -мерной теории последнее означает, что спектр квадратов масс
kaka непрерывен и параметризуется двумя параметрами hi и &2- Появле-
Появление непрерывного спектра масс (что необходимо, хотя и не достаточно,
для интерпретации матричной модели как теории поля в пространстве
большей размерности с некомпактными дополнительными измерениями)
связано, разумеется, с наличием бесконечного набора полей (элементов
бесконечномерных матриц) в матричной модели.
Представление (d + 2)-мерной некоммутативной калибровочной тео-
теории в виде d-мерной матричной модели, изложенное в этом разделе,
существенным образом опирается на то, что скалярное поле Ф преоб-
преобразуется по присоединенному представлению некоммутативной U(N).
Однако, и для скалярных полей в фундаментальном (или антифунда-
антифундаментальном) представлении введение поля С вместо калибровочного
поля Az представляет определенную пользу. Для поля в фундаменталь-
фундаментальном представлении имеем, с учетом G.30), выражения для ковариантных
производных
БгФ = —^=(СФ - Фа1), G.40)
в
4=(С*Ф - Фа) G.41)
ув

156 Глава 7. Некоммутативные калибровочные теории
Dz& = --i=(aV - Ф*С), G.42)
у/В
D¥<S> = ~(аФ* - Ф*С!). G.43)
Поэтому в действии скалярного поля G.29) остаются нединамические
операторы а и а\ так что его интерпретация в терминах d-мерной
матричной модели была бы довольно условной. Тем не менее, это действие
тоже инвариантно относительно калибровочной группы U(oo), причем
поле Ф(у) преобразуется как
Ф ^ ЩуЩу),
а для Аа(у) и С (у) по-прежнему справедливы законы преобразования
G.36), G.37).
Задача 1. В 1/B)-теории на некоммутативной плоскости поля С, С* являются
матрицами 2 х 2 с операторнозначными элементами. Поэтому их можно рассматри-
рассматривать как операторы, действующие в пространстве % двухкомпонентных столбцов,
элементы которых — это вектора гильбертова пространства %\ одномерной кванто-
квантовой механики. В U(l)-теории калибровочные поля — это операторы, действующие
в %\. Показать, что существует изоморфизм гильбертовых пространств %г и Hi.
Построить его в явном виде, т. е. построить оператор S (двухкомпонентный столбец
с операторнозначными элементами, реализующий изоморфизм в форме Фг = S^i
для Ф2 G %г> *1 € %\), такой, что &S = li, SS* = t2, где tN — по-прежнему
единичная матрица NxN. Используя зту конструкцию, построить вакуум в чисто ка-
калибровочной С/A)-теории, теория возбуждений над которым (с учетом взаимодей-
взаимодействий) идентична чисто калибровочной С/B)-теории над ее тривиальным вакуумом.
Проверить, что это соответствие сохраняется и при включении материи в присоеди-
присоединенном представлении. Распространить найденное соответствие 17A) <—>• 17B)
на U(M) i—> U(N) для произвольных М, N (Гросс, Некрасов, 2001).
Таким образом, некоммутативные калибровочные U(N)-теории с материей
в присоединенном представлении можно воспринимать как различные фазы одной
и той же теории, соответствующие различным вакуумам. Впрочем, в случае не-
некоммутативной плоскости (и, вообще, некоммутативного R2n) барьер между этими
вакуумами, по-видимому, бесконечен (не существует доменных стенок с конечной
плотностью энергии), так что это утверждение не слишком содержательно. Иная,
более интересная ситуация имеет место для некоторых других некоммутативных
пространств (Дубовский, Сибиряков, 2003).

Глава 8
Солитоны в некоммутативных
калибровочных теориях
8.1. Солитоны в Щ1)-теории. Локализация
калибровочных полей на солитоне
В этом разделе мы опишем простейший тип солитонов, возника-
возникающий уже в чисто калибровочной GA)-теории на некоммутативной
плоскости. Такие солитоны известны под названием вортонов. Замеча-
Замечательным свойством этих солитонов является локализация калибровочных
полей на мировой поверхности солитона, аналогичная локализации фер-
мионов и скаляров на кинке (доменной стенке), а также на космической
струне и монополе. Солитоны, которые мы рассмотрим в этом разде-
разделе, неустойчивы, однако, как сама конструкция, так и многие свойства
этих солитонов переносятся на случаи более сложных теорий, в которых
солитоны являются стабильными. Некоторые примеры такого рода мы
опишем в последующих разделах.
Итак, рассмотрим калибровочную U(l)-теорию без скалярных по-
полей на некоммутативной плоскости, и будем искать в ней солитоны,
не зависящие от коммутативных координат. Такие солитоны будут пред-
представлять (р - 2)-мерные объекты в р-мерном пространстве, где р = d + 1,
a d + 2 — размерность всего пространства-времени. Уточним, что солито-
солитоны не зависят от уа при выборе калибровки Аа = 0. Удобно использовать
представление некоммутативной теории в форме матричной модели, т. е.
работать с действием G.33). Не зависящие от уа солитоны с Аа = 0
являются экстремумами функционала плотности энергии ^
(8.1)
Выражение (8.1) отличается от соответствующего вклада в формуле G.33) фак-
фактором 1/2. Это связано с тем, что в общем случае U(N) -теории принято
нормировать генераторы ta алгебры U(N) соотношением ti(tat^) = —\да.
В случае J7(l)-теории удобно нормировать генератор на единицу, как это дела-
делается в электродинамике.

158 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
Здесь С — оператор в фоковском пространстве квантовой механики
с одной степенью свободы; его вид нам требуется найти.
Отметим сразу одно отличие рассматриваемой теории от скалярно-
скалярного случая, описанного в разделе 6.2. Коммутативным пределом теории
с функционалом энергии (8.1) является калибровочная теория на плос-
плоскости. В отличие от скалярного случая масштабный аргумент приводит
к тому, что в такой теории энергия полевой конфигурации неограни-
неограниченно уменьшается, когда ее размер увеличивается до бесконечности
(а не уменьшается до нуля). Включение некоммутативности, которая су-
существенна лишь на расстояниях, меньших или порядка Vd, ситуацию
исправлять не будет. Поэтому неудивительно, что в теории с плотностью
энергии (8.1) солитон неустойчив, что мы и увидим в дальнейшем.
Вернемся к поиску экстремумов энергии. Найдем, прежде всего,
уравнение поля. Вариация энергии по С имеет вид
8СЕА = ^Tr [(SC-&-&• 6С)([С,&} +1)] -
= j-B Tr [6С • С\[С, СЦ +1) - 6С([С, С1] + 1)С*],
где мы воспользовались цикличностью следа, считая
SC и Fxg<x([C,Cfl] + l)
хорошими операторами. Условие ScEa = 0 при произвольном 8С дает
[С\[С,&]]=О. (8.2)
Это и есть искомое уравнение поля; варьирование по 6С^ приводит
к эрмитово-сопряженному уравнению. Разумеется, вакуум
удовлетворяет этому уравнению.
Чтобы найти нетривиальные решения, полезно работать в фоковском
базисе. Тогда С представляет собой (бесконечную) матрицу с матричными
элементами
Спя' = (n\C\ri).
В частности, вакуумное решение имеет вид
Спп' = «„„',
где
4П, = у/п!
— матрица оператора рождения осциллятора в фоковском базисе.

8.1. Солитоны в U(l)-meopuu. Локализация калибровочных полей 159
Одно из семейств нетривиальных решений уравнения (8.2) нетрудно
угадать (Полихронакос, 2000; Бак, 2000; Аганагик и др., 2001):
М
0 ... 0 0 0 ...
0 ... 0 0 0 ...
О ... О
о... о а'
м
(8.3)
V * /
где М — произвольное целое число; здесь в правом нижнем углу сто-
стоит снова матрица оператора рождения осциллятора. Иными словами,
ненулевые матричные элементы решения (8.3) равны
п' - М + 1 дп-М,п'-М+1,
М.
(8.4)
То, что это действительно решение, проверяется прямой подстановкой
в уравнение (8.2): входящий в него коммутатор равен
.ti_
,Csoi ]- @ _t
и он коммутирует с Cs0^ (матрицей, сопряженной к (8.3)).
Напряженность поля солитона дается формулой G.32) и равна
(
в \о о
(8.5)
где 1^ — единичная матрица М х М. Следовательно, перпендикулярно
некоммутативной плоскости течет поток поля, величина которого равна
9
= Tr FzS = — M. (8.6)
2 _ 1
12 x~ gJ zi ~ g g
Здесь, как всегда, T%j — вейлевские символы операторов ify; мы вос-
воспользовались соотношением G.25), а также учли, что мы работаем с ан-
антиэрмитовыми полями, отличающимися фактором — i/g от обычного
максвелловского поля. Поток (8.6) равен потоку М вихрей Абрикосова-
Нильсена—Олесена, так что решение (8.3) естественно интерпретировать
как М вортонов (вихрей), помещенных2^ в начало координат («сидящих
2> Где именно находятся эти вортоны на некоммутативной плоскости, зависит
от калибровки, см. обсуждение калибровочной неинвариантности Fzj в главе 7.

160 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
друг на друге»). Действительно, на операторном языке напряженность
поля (8.5) имеет вид
4
n=0
Вейлевский образ каждого из слагаемых здесь — это гауссиан е~г 'в
(с точностью до полинома по г), так что решение локализовано в начале
координат. Последнее соображение не имеет калибровочно-инвариантно-
го смысла; тем не менее, оно показывает, что мы действительно имеем
дело с объектом, локализованным на некоммутативной плоскости.
Из (8.5) получаем энергию солитона
Дк>1 = ~2д * М. (8.7)
Если полная размерность пространства р равна двум (коммутативной
координатой является только время), то E^i — это масса солитона;
для р > 2 величина (8.7) — это энергия на единицу поверхности, т.е.
натяжение (для р = 3 — энергия на единицу длины, т. е. натяжение
струны). Видно, что вортоны не взаимодействуют между собой: энергия М
вортонов равна сумме энергий каждого из них.
Интересным свойством решения (8.3) является то, что с точки зре-
зрения матричной модели калибровочная группа G(оо) нарушена на его
фоне не полностью. Этим конфигурация (8.3) отличается от вакуума
С = at. С полем солитона (8.3) коммутируют элементы алгебры U(oo),
имеющие вид
'Т 0>' (8.8)
где Т — произвольные антиэрмитовы матрицы МхМ. Алгебра (8.8) — это
подалгебра U(M) алгебры U(oo). Мы приходим к выводу о том, что d -мер-
-мерная теория в присутствии солитона — это теория с ненарушенной калибро-
калибровочной группой U(M). Отсюда следует, что в присутствии солитона име-
имеется М2 калибровочных полей, имеющих нулевую d-мерную массу, т. е.
кака = 0.
С точки зрения (d+2) -мерной теории эти поля локализованы на мировой
поверхности солитона, т.е. они быстро убывают при х2 -> оо, а вдоль
коммутативных измерений они распространяются со скоростью света.
В том, что локализация калибровочных полей на солитоне (8.3) дей-
действительно имеет место, можно убедиться непосредственно, рассматривая
малые возмущения (d + 2)-мерного поля на фоне решения (8.3). Нас
сейчас интересуют компоненты Аа калибровочного поля, направленные
вдоль коммутативных координат. Их значения на солитоне равны ну-
нулю, потому они сами являются малыми возмущениями. Квадратичное

8.1. Солитоны в GA)-теории. Локализация калибровочных полей 161
действие для них — это часть действия G.33):
S{2) = ~ /" d*y 2тг0 Tr ( FabFab + -DaCj • DucJ), (8.9)
29 J \ 9 )
где в правой части (8.9) нужно оставить квадратичные по Аа слагаемые.
Запишем разложение типа F.58):
где аа — антиэрмитовы матрицы М х М, Фа — матрицы из М строк
и бесконечного числа столбцов, Ва — матрицы бесконечного размера.
В явном виде
где Фд ' — М -мерная строка, а
п=0
\n)s = \n + M).
При этом а! и а, фигурирующие в решении (8.3), действуют на вектора
\пK как обычные операторы рождения и уничтожения; в частности
<Ja\n), = п\п)г.
Поля аа, Фв и Ва зависят только от координат уа.
Подставляя разложение (8.10) в кинетический член, получаем в квад-
квадратичном порядке
TriU = tra2aft - 2trФ*&Фа6 + ЪВ1^ (8.12)
где
ааь = дааь - дьаа, Фаг, = 0аФь - 5ьФа, ВаЬ = даВь - дъВа,
a tr обозначает след матрицы Мх.М. Для вычисления второго слагаемого
в (8.9) запишем
AjCsoI = даСыХ + [Аа, Csol] = [Аа, Csol], (8.13)
где мы учли, что решение (8.3) не зависит от у. Коммутатор (8.13)
не содержит полей аа(у). Таким образом, квадратичное действие для этих
полей на фоне солитона имеет вид
2a^=^j f
j y tra2ab,
что совпадает с точностью до переопределения константы связи с ли-
линеаризованным действием d-мерного калибровочного поля, соответству-
соответствующего калибровочной группе U(M). Конфигурации полей аа на не-
некоммутативной плоскости — это вейлевские символы операторов \п)(п'\,

162 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
п, п' ^ М - 1; они локализованы вблизи солитона и быстро убывают
при х] -> оо. Итак, на мировой поверхности солитона локализована
калибровочная теория с калибровочной группой U(M).
Для полноты найдем квадратичное действие для полей Фа и Ва.
Имеем для коммутатора (8.13)
Аналогично
с ,'1 - ( ° ф»в
Для второго слагаемого в (8.9) получим
Тг (DaCsoi1 • ОаС^) = tr [ф£(аа* + ofo)*e] + Тг ([Ва, а][Ва, а1]).
Квадратичное действие для поля Ва в точности совпадает с действием
векторного поля, распространяющегося во всем (d+2) -мерном простран-
пространстве-времени, а действие полей Фв , фигурирующих в (8.11), равно
п=0
B) _ у. 2KB Г * Г ф«п)ф(п)
Ф — 2L/ 02 I а У \ *ab *ab
Таким образом, Фв — это массивные векторные поля, распространяю-
распространяющиеся только вдоль коммутативных измерений (т. е. они локализованы
на солитоне). Спектр масс этих полей имеет вид
m(n) = —J-. п = 0,1,2,.... (8.14)
Для каждого п поле Ф« (у) — это комплексная М-мерная строка;
нетрудно видеть, что это поле преобразуется по анти-фундаментальному
представлению ненарушенной группы U(M).
Задача 1. Доказать последнее утверждение.
Итак, возбуждения вокруг солитона включают в себя d -мерное ка-
калибровочное поле калибровочной группы U(M), локализованное на соли-
тоне, массивные d -мерные векторные (с точки зрения d -мерной группы
Лоренца) поля в анти-фундаментальном представлении этой группы,
также локализованные на солитоне и имеющие спектр масс (8.14), и ка-
калибровочное поле некоммутативной 17A), распространяющееся во всем
(d + 2)-мерном пространстве-времени.
Отметим, что в присутствии солитона (8.3) можно рассматривать
не только ненарушенную группу U(M) с генераторами (8.8), но и спон-

8.1. Солитоны в U(l)-meopuu. Локализация калибровочных полей 163
танно нарушенную группу U^oo), вновь совпадающую с группой беско-
бесконечномерных унитарных матриц, элементы которой имеют вид
0 1 (8.15)
где U — (бесконечные) унитарные матрицы. Относительно этой группы
поля Ва преобразуются по присоединенному представлению, а Фа —
по фундаментальному; поля аа являются синглетами. Поскольку с точки
зрения матричной модели с калибровочной группой (8.15) поле (8.3) пред-
представляет собой стандартный вакуум, полное действие для возбуждений
над солитоном будет включать в себя слагаемые G.33), а также дополни-
дополнительные члены, описывающие поля, локализованные на солитоне. Иными
словами, возбуждения над солитоном образуют два сектора: один в точно-
точности совпадает с некоммутативной калибровочной GA)-теорией, живущей
в (d + 2) -мерном пространстве-времени, а другой соответствует калибро-
калибровочной U(M) -теории, локализованной на солитоне. Эти сектора взаимо-
взаимодействуют между собой благодаря наличию полей типа Фа, нетривиально
преобразующихся как относительно d-мерной калибровочной группы
U(M), так и относительно (d + 2)-мерной некоммутативной U(l), а зна-
значит, взаимодействующих как с d -мерными калибровочными U (М) -поля-
-полями аа, так и с (d + 2)-мерными калибровочными U(l)-полями Ва.
Расмотрим, наконец, возбуждения над солитоном, скалярные по
отношению к d -мерной группе Лоренца. Эти возбуждения соответствуют
отклонениям поля С от его значения на солитоне. Запишем поле С
с учетом возмущений как
С = Csoi + дС
и найдем часть действия, квадратичную относительно 6С. Аналогично
(8.10), запишем разложение
5) (8Л6>
(оператор С не обладает свойством эрмитовости, поэтому Ф и Ф —
разные поля).
В дальнейшем ограничимся случаем единичного вортона, М — 1.
Тогда а(у) — комплексное однокомпонентное d-мерное поле, Ф и Ф —
бесконечные столбцы, а В — бесконечная матрица. Для градиентного
вклада в лагранжиан матричной модели получим
Тг [да(б&)даFС)] = даа*даа + 0«фЧф + da&daV + Тг (
(8.17)
что совпадает (с точностью до общего множителя) с градиентным вкладом
в лагранжиан d -мерных скалярных полей. С точки зрения матричной

164 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
модели последнее слагаемое в G.33) представляет собой массовый член.
Получим для него в квадратичном порядке по 6С,
Тг ([С, &] +IJ = Тг ([6С, Cj]2 + [CU б&]2 +
+ 2[дС, CjHGoi, б&] + 2([СмЬ Cj] +1) [6С,
С учетом явного вида решения (8.3) получим для входящих сюда слагаемых
Тг [С8оЬ <Ю*]2 =-2ФУ2Ф + Тг (^ а*]J;
2Тг [6С, Cj][C«At д&] = 2(Ф*аа*Ф + ФУаФ) + 2Тг [В, а][а\ В*];
+1) [SC, д&] *
Видно, что поле а(у) в массовый член вообще не входит; это поле пред-
представляет собой безмассовое скалярное поле, локализованное на солитоне.
Поле В отщепляется; нетрудно видеть, что его действительная и мнимая
части дополняют поля Ва до (d+ 2)-мерного калибровочного GA)-по-
GA)-поля Вц, что полностью соответствует сказанному выше о (d + 2)-мерном
секторе теории над солитоном.
Задача 2. Показать, что квадратичное действие полей Ва и В совпадает с квад-
квадратичным действием калибровочного 17A)-поля в (d + 2)-мерном пространстве-
времени.
С точностью до общего множителя массовый член полей Ф иФ
имеет вид
#W# + ФУаФ - Фга2Ф - ФУ2Ф + ФГФ - ФГФ. (8.18)
Напомним, что Ф можно воспринимать как линейную комбинацию
(см. (8.11))
Ф =
и аналогично для Ф, при этом операторы а и а* действуют на \n)s
стандартным образом. Из выражения (8.18) видно, что Ф^ и Ф^ отщеп-
отщепляются, и их вклад в (8.18) равен
Ф<°>*Ф<0>(,<0|а*а|0), - 1) + ФA)*ФA)(,A|о^|1>| - 1) = -ф<°>*ф<°>. (8.19)
Следовательно, Ф^°^(у) имеет отрицательный (тахионный) квадрат массы,
что означает классическую неустойчивость решения относительно малых
возмущений. Поле Ф^ имеет нулевую массу; можно показать, что оно

8.1. Солитоны в U(l)-meopuu. Локализация калибровочных полей 165
соответствует калибровочному преобразованию солитона, т. е. является
нефизическим.
Итак, рассмотренный здесь солитон классически неустойчив. Мы
рассмотрим классически устойчивые солитоны, локализующие калибро-
калибровочные поля, в следующих разделах.
Полный спектр возбуждений, возникающий в результате диагонализации массо-
массового члена (8.18), также нетрудно получить. Из структуры выражения (8.18) видно,
что оно распадается на сумму вкладов, каждый из которых содержит Ф^ и ф("+2),
п = 0,1,... Для n-го вклада имеем (индексы (я) и (я + 2) у Ф и Ф опускаем)
[(п + 1)Ф*Ф + (п + 2)Ф*Ф - дДп + 1)(п + 2) (Ф*Ф + Ф*Ф)
Это выражение приводится к виду
\Vn + 2 • Ф - у/п + 1 • Ф|2 = Bn + 3)|cos 0„Ф - sin 0„
где
В результате замены переменных
массовый член приводится к виду (с точностью до общего множителя)
Bп + 3)|Ф'|2,
а кинетический член сохраняет канонический вид (см. (8.17))
|0оф'|2 + |0офТ.
Восстанавливая фактор в~1 в отношении массового и кинетического членов,
получаем, что поля Ф'^ имеют квадраты масс
я = 0'1'-.-» (8-21)
а поля Ф' — безмассовые. Последние представляют собой чисто калибровочные
отклонения от солитонного поля, а потому являются нефизическими. В этом
можно убедиться, рассматривая калибровочно преобразованный солитон
Cj(y) = и{у)Сыи\у),
где U(y) ■— оператор инфинитезимального калибровочного преобразования вида
-ф'(у) о
п=0

166 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
С точностью до общего множителя ненулевые компоненты отклонений
6С = Ска — СЮ1
равны
Ф(п) = sin0n • Ф/(п), Ф(я) = cos0n • Ф'(п),
что в точности соответствует выражениям для нулевых мод (формула (8.20)
сФ'=0).
Разумеется, свойство локализации полей на солитоне характерно
не только для самих калибровочных Полей, но и для других полей,
нетривиально преобразующихся относительно некоммутативной калиб-
калибровочной группы U(l). Это свойство имеет, по-существу, симметрийный
характер: на мировой поверхности солитона локализована калибровочная
теория с ненарушенной калибровочной группой U(M), поэтому есте-
естественно ожидать, что любые поля, «заряженные» относительно U{M),
также должны быть локализованы на солитоне. В качестве примера рас-
рассмотрим скалярное поле Е в присоединенном представлении некоммута-
некоммутативной U(\) во внешнем поле (8.3). Действие для него имеет вид G.34),
причем потенциал F(E) будем считать равным нулю в квадратичном по-
порядке по Е. Поскольку Аа = 0 для солитона, первое слагаемое в G.34) —
это обычный d-мерный кинетический член. Анализ квадратичной части
второго слагаемого в G.34) дословно повторяет анализ «массового члена»
для малых возмущений вектора Аа с действием (8.9). Раскладывая поле S
в полной аналогии с (8.10), запишем
второе слагаемое в G.34) равно
-в Тг ([С*, mcj, £]) = -jjrftfa + ea^iy + i Тг [а\ (][a, ?]. (8.23)
Следовательно, поле <т имеет нулевую d-мерную массу; оно локализо-
локализовано на солитоне. Отметим, что а преобразуется по присоединенному
представлению d-мерной калибровочной группы U(M). Второе слагае-
слагаемое в (8.23) — это градиентный член поля ( вдоль некоммутативных
измерений, дополняющий первое слагаемое в G.34) до (d + 2)-мерного
кинетического члена. Следовательно, поле ( — это безмассовое скаляр-
скалярное поле (преобразующееся по присоединенному представлению ит\(оо)),
распространяющееся во всем (d + 2)-мерном пространстве-времени. На-
Наконец, поля грп\ определенные по аналогии с (8.11), т.е.
п=0

8.2. Обобщение многовортонного решения. Кулоновская фаза 167
имеют квадраты d -мерных масс
т2п = -^~-. (8.24)
Эти поля также локализованы на солитоне.
Суммируя, можно сказать, что в некоммутативных теориях имеется
простой и весьма общий механизм локализации как калибровочных полей,
так и полей материи на мировой поверхности солитона. Как мы обсудим
в общих чертах в разделе 8.8, такая ситуация вполне соответствует картине
JD-бран в теории струн.
8.2. Обобщение многовортонного решения.
Кулоновская фаза
Решение (8.3) имеет довольно простое обобщение. Будем искать
решение уравнения (8.2) в виде
■'sol
"(о «♦)'
где / — матрица МхМ. Уравнение (8.2) для такой подстановки сводится к
[/М/,/*]]=0. (8.25)
Это и сопряженное ему уравнения эквивалентны требованию, чтобы эр-
эрмитова и антиэрмитова части / коммутировали между собой. Поэтому их
можно одновременно диагонализовать унитарным (т.е., калибровочным)
преобразованием, так что с точностью до калибровочного преобразования
решение имеет вид
\
, (8.26)
м
\ «У
где еа — произвольные комплексные числа.
Задача 3. Показать, что уравнение (8.25) эквивалентно соотношению
[/ь/2] = 0, (8.27)
где /i и /2 — эрмитова и антиэрмитова части /, т. е.
причем /i и /2 — эрмитовы матрицы М х М.

168 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
Для решения (8.26) напряженность поля по-прежнему дается форму-
формулой (8.5), так что это решение снова описывает М вортонов. Отличием
решения (8.26) от (8.3) является то, что калибровочная группа U(M)
с генераторами (8.8) нарушается в общем случае различных еа до группы
[GA)]^; в связи с этим говорят, что калибровочная U(М) -теория на ми-
мировой поверхности М вортонов находится в кулоновской фазе (имеются
безмассовые абелевы калибровочные поля). Из-за нарушения U(М)-сим-
U(М)-симметрии внедиагональные d -мерные калибровочные поля аа приобретают
массы. В этом нетрудно убедиться и непосредственно. Массы d-мер-
ных векторных полей по-прежнему появляются благодаря второму члену
в (8.9). Имеем для него
Тг (DaCj • DaCsol) = Тг ([Аа, Cj][Aa, Csolj).
Опуская поля Фа и Ва, запишем последнее выражение в виде
*{[aa,f1][aa,f]), (8.28)
где / — диагональная матрица вида
h
f=\ ■■. \, (8.29)
a tr обозначает след матрицы МхМ. Расписывая (8.28) в явном виде через
матричные элементы (аа)ар и fap = еа6ар, а,/3 = 1,..., М, получим для
него выражение
где мы учли что аа антиэрмитовы. Восстанавливая фактор 1/9, получаем,
что массы внедиагональных d-мерных векторных полей равны
тау = l^d. (8.30)
Таким образом, параметры еа играют роль вакуумных средних хиггсов-
ского поля, нарушающих калибровочную группу U(M) в общем случае
до [27A)]^. Само хиггсовское поле — это скалярное (в d-мерном смысле)
поле а, фигурирующее в (8.16). Это поле преобразуется по присоединен-
присоединенному представлению d -мерной калибровочной группы U(M) и на реше-
решении (8.26) принимает значение (8.29),
а = /. (8.31)
Отметим, что параметры еа являются модулями: энергия солитона от еа
не зависит, т. е. потенциальная энергия имеет плоские направления,
параметризуемые набором (е\,..., е^); в то же время, разные точки это-
этого пространства модулей физически неэквивалентны: например, массы

8.3. Метод генерации решений 169
d-мерных векторных бозонов (8.30) различны при разных наборах па-
параметров еа. В дальнейшем мы увидим, что комплексные параметры еа
естественно интерпретировать как положение вортонов на некоммута-
некоммутативной плоскости (с комплексными координатами z,z). Тот факт, что
этого не видно в выражении (8.5) для напряженности поля, не должен
нас смущать: напряженность поля калибровочно-инвариантной величи-
величиной не является. В поддержку же указанной интерпретации параметров
еа говорит отмечавшийся выше факт, что вортоны не взаимодействуют
между собой, поэтому должны существовать модули, соответствующие
расстояниям между вортонами. Единственными кандидатами в эти моду-
модули и являются параметры еа.
8.3. Метод генерации решений
Солитон (8.3), как и ряд других некоммутативных солитонов, может
быть найден на основе регулярного метода, позволяющего строить новые
решения исходя из известных (Бак, 2000; Харви, Краус, Ларсен, 2000).
Этот метод состоит в следующем. Ограничимся на время калибровочной
GA)-теорией на некоммутативной плоскости, со скалярными полями
в фундаментальном представлении. Будем искать решения с Аа = 0,
не зависящие от коммутативных координат уа. Такие решения являются
экстремумами функционала энергии
Е = ~ Тг ([С, Cf] + IJ + 2it9 Tr { (Д,ФЛ*Ф* + Dz$Dz&) + 7(ФФ*)},
(8.32)
где ковариантные производные полей ФиФ* имеют вид G.40)-G.43).
Соответствующие уравнения поля имеют вид
Ас = 4д №> [С С!1] + ^ (#*"ф • ф1 - фЯ*ф|) = 0, (8.33)
8V
ДФ = -(D,Df + DzDz)$ + —^ = 0. (8.34)
В последнем выражении запись dV/дФ^ — символическая, при вариации
последнего слагаемого в (8.32) нужно следить за порядком сомножителей.
В действительности для потенциала V, полиномиального по Ф^Ф имеем
Ц1 = ф.^ф), (8.35)
где V — полином по Ф*Ф.
Пусть теперь С®\ Ф^ — какое-то известное решение уравнений
(8.33), (8.34). Рассмотрим полевую конфигурацию
сE) = 5c@)£t} C(S)t = sc^Sl (8.36)

170 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
(8.37)
где S^ эрмитово сопряжен к5,и выполнено
= 1. (8.38)
Если SS^ также равен единичному оператору, то S — унитарный оператор,
и этот случай неинтересен: конфигурация C^s\ Ф^ является калибро-
калибровочным преобразованием над С^, Ф^. Интерес представляет случай
P = S& ф 1. (8.39)
В силу (8.38) Р — это проекционный оператор, Р2 = Р. Операторы,
удовлетворяющие (8.38), (8.39) называют операторами частичной изомет-
рии; они существуют только в случае бесконечномерного гильбертова
пространства (в случае матриц конечной размерности из равенства (8.38)
следует SS11 = 1).
Из выражений G.40)-G.43) следует, что ковариантные производные
для новой конфигурации равны
I
ZtZ
С учетом (8.35) отсюда следует, что левые части уравнений (8.33) и (8.34),
вычисленные на полях (8.36), (8.37) равны
Поэтому новые поля С^, Ф^ удовлетворяют уравнениям поля, если им
удовлетворяют исходные поля С^, Ф^. Таким способом можно получать
новые решения, исходя из известных.
Примером нетривиального оператора частичной изометрии служит
, (8.40)
п=0
где |п) — по-прежнему базис гармонического осциллятора. Для этого опе-
оператора с очевидностью удовлетворяется равенство (8.38), а проектор (8.39)
равен
оо М-1
Р(м) = s(M)sm = J2 \п + М){п + М\ = 1 - X; \п)(п\.
п=0 п=0

8.3. Метод генерации решений
171
В матричной форме
Отметим, что оператор
где
можно записать в виде степени
п=0
— минимальный нетривиальный оператор частичной изометрии.
В простейшем случае в качестве «затравочного» решения
можно выбрать классический вакуум. В U(l)-теории без полей материи
такой путь приводит к решению
Для оператора частичной изометрии вида (8.40) это решение в точности
совпадает с решением (8.3), поскольку оператор
\nl+M)(n{\a^\n2)(n2
п\,п2=0
n=0
M + \){n + M\
имеет ненулевые матричные элементы, в точности равные (8.4). Мы будем
рассматривать другие солитоны, которые получаются методом генерации
решений, в последующих разделах.
Изложенный в этом разделе метод непосредственно обобщается
на случай скалярного поля в присоединенном представлении, при этом
вместо (8.37) нужно записать
Обобщение на некоммутативную калибровочную U(N) -теорию также
очевидно: в этом случае оператор S является матрицей N х N с опе-
раторнозначными элементами. Он по-прежнему должен удовлетворять
соотношениям (8.38) и (8.39).

172 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
В заключение этого раздела отметим, что солитоны в скалярных тео-
теориях в пределе сильной некоммутативности, рассмотренные в разделе 6.2,
также могут быть получены методом генерации решений. Для поиска
экстремумов функционала энергии F.41) введем новое поле Ф = Ф - ао,
где а0 — экстремум потенциала, удовлетворяющий F.45). Тогда класси-
классический вакуум будет иметь Ф = -а0, а уравнение поля по-прежнему будет
содержать полином по Ф без свободного члена,
Если ф(°) — это решение данного уравнения, то
также будет его решением, если выполнено (8.38). Из классического
вакуума таким образом получается решение
т.е.
Ф = аоA - S&).
Поскольку SS* — это проектор, то A - SS^) — тоже проектор, и мы
приходим к решению F.46). В частности, при S = S^1' получается
решение F.53).
8.4. Вихрь. Хиггсовская фаза
калибровочной теории на солитоне
В этом разделе мы рассмотрим некоммутативный аналог калибровоч-
калибровочной GA)-теории с хиттсовским полем в фундаментальном представлении,
и обсудим солитон на некоммутативной плоскости. Такой солитон суще-
существует и в коммутативном пределе — это вихрь Абрикосова—Нильсена—
Олесена. В то же время в некоммутативной теории имеется и существенно
некоммутативный солитон, который получается методом генерации реше-
решений. Эти два типа решений значительно отличаются друг от друга: суще-
существенно некоммутативный вихрь локализует калибровочное поле на своей
поверхости (в полной аналогии с решением (8.3)), а обычный вихрь — нет.
Поэтому можно ожидать, что при малых значениях в некоммутативность
несущественна, и солитон совпадает с обычным вихрем, а при больших В
существенно некоммутативный вихрь имеет меньшую энергию и является
классически стабильным. Параметр у/$ характеризует размер вихря, полу-
полученного методом генерации решений, и его нужно сравнивать с размером
1 коммутативного вихря. В этом разделе мы убедимся, что при
Ve>-
gv

8.4. Вихрь. Хиггсовская фаза калибровочной теории на солитоне 173
некоммутативный солитон, полученный методом генерации решений,
действительно является классически стабильным, а в противном случае
он неустойчив относительно малых возмущений (Бак, Ли, Пак, 2001). Мы
обсудим далее интересный случай, когда величина
— - V$ (8.41)
gV
мала и положительна, и найдем в этом случае поле устойчивого некомму-
некоммутативного вихря. Оно мало отличается от поля, полученного методом гене-
генерации решений, но обладает, как мы увидим в следующем разделе, новым
свойством: калибровочная группа на поверхности солитона нарушается,
вообще говоря, полностью (в отличие от нарушения до произведения
GA)-факторов, как это имеет место для солитона (8.26)). В связи с этим
говорят, что теория на мировой поверхности солитона находится в хиггсов-
ской фазе. В этом случае симметрийные соображения, говорящие о точной
локализации калибровочных и других полей на солитоне, не работают. При
малых значениях параметра (8.41) массивные калибровочные поля по-
прежнему точно локализованы на солитоне, но уже по динамическим при-
причинам, однако, другие поля могут быть квазилокализованными: частицы,
соответствующие этим полям, имеют большое, но конечное время жизни
на солитоне; иными словами, имеется конечная (хотя и малая по парамет-
параметру (8.41)) вероятность того, что они соскочат с солитона и уйдут на беско-
бесконечность вдоль некоммутативных направлений (Дубовский, Рубаков, Си-
Сибиряков, 2002). С ростом параметра (8.41) пропадает и локализация калиб-
калибровочных полей, что согласуется с тем, что в коммутативном пределе, т. е.
в случае обычного вихря, локализации калибровочных полей на вихре нет.
Итак, рассмотрим калибровочную ?7A)-теорию в (d + 2)-мерном
пространстве-времени с двумя измерениями, образующими некоммута-
некоммутативную плоскость. Действие представляет из себя сумму
где Sa — действие G.33) калибровочного поля, a S^nd — действие
скалярного поля в фундаментальном представлении
S^d = f ddy- 2тг0 Тг [ЯаФД^ - ЯяФЯгФ1 - D^D^
где для определенности
* -v2J,
а ковариантные производные вдоль некоммутативных направлений да-
даются формулами G.40)-G.43). Отметим прежде всего, что анализ малых
возбуждений относительно вакуума С = а\ (У = а, Ф = г> • 1 бук-
буквально совпадает с анализом в коммутативной абелевой модели Хигтса;
в частности, (d + 2)-мерное калибровочное поле имеет массу my = gv.

174 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
Рассмотрим в этой модели солитоны, не зависящие от коммутатив-
коммутативных координат уй, ограничиваясь для простоты случаем одного вихря.
Один из таких солитонов получается методом генерации решений, при-
примененным к классическому вакууму,
(8.42)
где
п=0
В матричной форме калибровочное поле солитона имеет вид (8.3) с М = 1,
так что вихрь имеет единичный поток (8.6). Хиггсовское поле равно
\
{о
1
0
0
0
0
1
0
0 ..
0 ...
0 ..
1 ...
/
Для такого солитона все ковариантные производные хигтсовского
поля равны нулю,
и т.д., а
Поэтому плотность энергии (натяжение) солитона равна сумме калибро-
калибровочного вклада (8.7) (см. сноску к формуле (8.1)) и3^
2жО
(8.43)
т.е.
Отметим, что другое упорядочивание сомножителей в потенциале, например
(^ФФ* + ^Ф*Ф - v2) , привело бы к другому значению по сравнению с (8.43).
Различие между действиями с разным упорядочиванием представляет собой след
от коммутатора комбинаций полей (например, Тг[Ф, Ф*ФФ*] или Тг[Ф, Ф*]).
Поскольку операторы $ и ф' имеют матричные элементы Фпп< — (га|Ф|п;),
не убывающие при больших п, га', такие следы могут быть отличны от нуля.
В тоже время, коммутаторные вклады в действие имеют топологический характер
в том смысле, что они не меняются при локальных вариациях полей и не вносят
вклада в уравнения поля.

8.4. Вихрь. Хиггсовская фаза калибровочной теории на солитоне 175
Уже из сравнения этого выражения с оценкой энергии обычного вихря,
Е ~ ml/g2 ~ v2, видно, что при V$ С {9v)~l солитон (8.42) энер-
энергетически невыгоден, и можно ожидать, что при этом он классически
неустойчив.
В присутствии вихря остается ненарушенной подгруппа GA) калиб-
калибровочной группы G(оо). Алгебра этой GA) имеет вид (8.8), где Т —■
произвольные чисто мнимые числа. Иначе говоря, эта алгебра состоит
из элементов
Г = Г|0>@|, (8.44)
где Т — чисто мнимые. Поскольку
Sf|0> = 0, (8.45)
@|5 = 0, (8.46)
операторы вида (8.44) коммутируют с Csoi и аннигилируют Ф8оЬ
ТФ801 = О,
так что алгебра (8.44) действительно не нарушена. В соответствии с этим
на солитоне локализована (точно!) калибровочная U{\)-теория, а d-мер-
ные калибровочные поля вида
-Аа = в«(у)|0><0|
остаются безмассовыми и распространяются вдоль вихря (в коммутатив-
коммутативных направлениях) со скоростью света.
Рассмотрим теперь вопрос о классической устойчивости решения
(8.42). Анализ малых возмущений вокруг этого решения в значительной
степени аналогичен анализу возмущений вокруг решения (8.3). Нас инте-
интересуют скалярные (с d-мерной точки зрения) возмущения, т. е. возмуще-
возмущения полей С и Ф. Полезно записать разложение (8.16) в операторном виде,
6С = SBS* + |0)(Ф|5| + 5|Ф)<0| + а|0)<0|, (8.47)
где
00 00 00
В = X) Впп,(у)\п)(п'\, |Ф> = X) *{%)\п), |Ф> = £ Ф(П)B/)И,
п,п'=0 п=0 п=0
причем суммирование теперь ведется по всем состояниям осцилятора.
d-мерное поле а(у) — по-прежнему однокомпонентное и комплексное.
Для поля Ф запишем
(8-48)
где
00
^2 hnn'(v)\n){ri\.
n,n'=0

176 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
Легко видеть, что такая параметризация описывает все возмущения, если
а Х^п\у) произвольны.
Нас интересует часть статической энергии (8.32), квадратичная по
возмущениям, т. е. массовый член (в d-мерном смысле). Прямое вычисле-
вычисление показывает, что на квадратичном уровне поля В и Л не перемешива-
перемешиваются с остальными возмущениями, а их квадратичное действие в точности
равно квадратичному действию GA)-модели Хигтса в (d+2) -мерном про-
пространстве-времени, записанному (в форме матричной модели) для возму-
возмущений около вакуума Ф = v. Таким образом, поля В и ft (а также Ва)
составляют (d + 2)-мерный сектор.
Задача 4. Доказать утверждения последнего абзаца прямым вычислением.
Остальные поля, фигурирующие в (8.47) и (8.48), локализованы
на вихре. Поле а(у) вообще не имеет массового члена; это — d-мерное
безмассовое скалярное поле, распространяющееся вдоль мировой поверх-
поверхности солитона. Вычисление вкладов каждого из слагаемых статической
энергии (8.32) в массовую матрицу полей |Ф), |Ф) и \х) производится
непосредственно с помощью соотношений (8.38), (8.45) и (8.46) и дает
. ДФ* а 1- [г;2(Ф|Ф> + (XWa\X) -*(Ща\Х) -*<ХЙФ>].
•Вт ДгФДгФ* a j [^2(Ф|Ф> + (х\ав!\х) ~ *Ш*) ~ v(*
где знак ~ обозначает, что мы опустили слагаемые с полями В и h
и удержали только члены, квадратичные по возмущениям.
Из последних формул видно, что как и в случае вортона, поле Ф^°^(у)
не перемешивается с другими полями; его квадрат массы равен
2 2 2 1
mm=gv --.
Следовательно, вихрь (8.42) классически устойчив при
<?V > \ (8.49)
и классически неустойчив в обратном случае (напомним, что при v = 0 по-
поле Ф^(у) действительно имело тахионый знак квадрата массы, см. (8.19)).
Что касается остальных полей, то помимо чисто калибровочных нулевых

8.4. Вихрь. Хиггсовская фаза калибровочной теории на солитоне 177
мод, имеются моды только с положительными квадратами масс, спектр
которых имеет вид (ср. (8.21))
2 2 2 2« + 3
mn=gv+—-—, п = 0,1,....
Количество таких мод удваивается по сравнению со случаем вортона.
Задача 5. Найти полный спектр возмущений на фоне вихря путем диагонализации
массовой матрицы. Требуется ли при этом производить нетривиальную диагонали-
зацию кинетического члена?
Классическая неустойчивость решения (8.42) при малых в, когда
нарушается условие (8.49), согласуется с тем, что в пределе слабой не-
некоммутативности энергетически выгоден обычный вихрь, конфигурация
которого не может быть получена методом генерации решений и сильно
отличается от (8.42).
В случае, когда параметр
положителен и мал,
О < ц2 < -,
классически устойчивое решение для вихря близко к неустойчивому реше-
решению (8.42). Устойчивое решение можно приближенно найти. В этом случае
поля &°\у) и а(у) являются единственными «легкими» скалярными по-
полями (с d-мерной точки зрения), если не считать чисто калибровочных
нулевых мод. Следовательно, только эти поля могут быть заметно отличны
от нуля для солитона, близкого к решению (8.42). Поэтому статическое
решение будем искать в виде
С = SatS* + и • S\0){0\ + а|0>@|, (8.50)
Cf = SaS1 + «*|0){0|5! + а*|0><0|, (8.51)
Ф = «5-1, (8.52)
где мы ввели и = Ф^0' для упрощения обозначений. Приближенное реше-
решение для устойчивого вихря будет минимумом функционала энергии (8.32)
на конфигурациях вида (8.50)—(8.52). Имеем на полях этого вида следую-
следующее выражение для статической энергии:
E = lk(|и|4+A"|и|2J+2|а|2'|и|2)+2™2|и|2 =
У '2) (8.53)

178 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
Минимум этого выражения достигается при
« = 0, Н = ^. (8.54)
Отметим, что соотношение (8.54) оправдывает сделанное выше предпо-
предположение о том, что устойчивый вихрь близок к неустойчивому реше-
решению (8.42) при малых /л. Итак, при малых /г конфигурация устойчивого
вихря имеет вид (с точностью до калибровочных преобразований)
vz
Ф8о1 = vS • 1.
Заметим, что устойчивость этого решения непосредственно следует из вы-
выражения (8.53) для функционала энергии на полях (8.50)—(8.52) и массив-
массивности остальных физических возмущений на фоне вихря при ц = 0.
Задача 6. Путем прямой подстановки конфигурации (8.50)-(8.52) в исходное
выражение для энергии показать, что формула (8.53) действительно справедлива.
Новым свойством решения (8.55) по сравнению с известными нам
некоммутативными солитонами является то, что d -мерная калибровоч-
калибровочная группа на мировой поверхности солитона полностью нарушена, т. е.
находится в хиггсовской фазе. Напомним, что поля Ф и Ф преобразуют-
преобразуются по антифундаментальному представлению этой группы. Хиггсовская
фаза возникает благодаря тому, что в присутствии солитона одно из этих
полей, а именно ф@* = и, имеет ненулевое значение (8.54). В результате
d-мерные векторные поля аа(у), фигурирующие в (8.10) приобрета-
приобретают массу. Кроме того, поля Ф и Ф — это поля в фундаментальном
представлении калибровочной группы Gsoi(oo), т.е. они взаимодействуют
и с (d + 2)-мерными полями Ва. Из-за отличия от нуля одного из этих
полей (а именно, Ф) на солитонном решении, возникает смешивание
между d -мерными полями аа и (d + 2) -мерными полями Ва.
Все эти свойства следуют из вида квадратичного действия для век-
векторных полей Аа на фоне решения (8.55). Используем разложение (8.10)
или, что то же самое,
Аа = а.|0)@| - 5|Ф.)<0| + |0)(Фа|^ + SBa&
и пренебрежем d-мерными полями |Фа), которые массивны даже в от-
отсутствие хштсовского поля Ф (см. (8.14)). Кинетический член для по-
полей аа и Ва имеет стандартный вид (см. (8.12)), а массовый член на фоне

8.5. Квазилокализация скалярного поля на вихре 179
решения (8.55) равен
тг г а а* 1 г а а л 4- Отгй Тг f п ф . ■ п фч (r ъ(\\
где ковариантные производные равны
В результате вычисления первого слагаемого получим
Тг [Aat clj[Aa, ад = Тг [В., аЦ[Ва, а] - ^~Щ(ап - BflJ|0>. (8.57)
Для второго слагаемого имеем
(напомним, что матрицы Ва антиэрмитовы, а поля аа(у) — чисто мни-
мнимые). В отсутствие последнего слагаемого в (8.57) выражение (8.56)
соответствует (d + 2)-мерному векторному полю Ва с массой gv и без-
безмассовому d-мерному калибровочному [/A)-полю аа. Последний член
в (8.57) приводит к тому, что d-мерное поле аа приобретает массу
та = ц.
Кроме того, возникает смешивание между d-мерным полем аа и (d + 2)-
мерным полем Ва благодаря слагаемому
). (8.58)
Еще один член, -^@|Вд|0), мал при малых /г, и им можно пренебречь.
8.5. Квазилокализация скалярного поля на вихре
При малых \i смешивание (8.58) не приводит к делокализации по-
поля аа, поскольку его масса меньше той массы, которую имеет поле Ва
вдали от солитона,
ц2 < g2v2.
Поэтому кванты поля аа, «путешествующие» вдоль солитона, не могут
с него «соскочить», превратившись в кванты поля Bft: это противоречи-
противоречило бы сохранению d-мерных энергии и импульса. Поэтому мы обсудим
делокализацию, вводя дополнительное скалярное поле £ в присоединен-
присоединенном представлении некоммутативной U(i), взаимодействующее только
с калибровочным полем, как это было сделано в конце раздела 8.1. Мы
сохраним обозначения раздела 8.1 и запишем разложение (8.22) в виде
Е = сг|О)(О|
Нас будут интересовать легкие поля, поэтому в этом разложении мы
опустим поля \г)), имеющие при \i = 0 массы (8.24). Квадратичное

180 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
действие для поля £ в присутствии солитона имеет вид (с точностью
до обозначений оно получается из действия G.34); мы полагаем скалярный
потенциал поля £ равным нулю)
27Г0 ТГ UdaZdaZ + jlC
Второй член здесь — по-существу тот же, что (8.57); собирая множители,
имеем
• 2тг0 j Х-{дйаJ + Тг Qfla
Полезно записать это выражение в терминах числового поля С,(у, х), яв-
являющегося вейлевским символом оператора ((у). Для этого заметим, что
2тг0<О|С|О) = 27г0ТгС|О)<О| = f d2x((x)
где мы воспользовались известным выражением для вейлевского символа
проектора |0){0|, см. F.54) (зависимость от у опускаем). Далее,
В результате
& = *,
2тг0(О|<2
получим
■/'
d2x 1-
2xe-x2\i,O(x,y). (8.59)
Разумеется, первое и второе слагаемое здесь описывают массивное поле а,
распространяющееся вдоль солитона, и безмассовое поле £> распростра-
распространяющееся во всем (d + 2)-мерном пространстве-времени. Последний
член модифицирует поведение поля £ вблизи солитона; этот эффект
мал при малых \i и мы им пренебрежем. Четвертое слагаемое в (8.59)
описывает смешивание полей <т (у) и С {%> у) и приводит к делокализации
поля а. Волна этого поля, распространяющаясяся вдоль солитона, порож-
порождает волны поля £ (ж, у), убегающие от солитона вдоль некоммутативных
направлений, в результате чего сама «г-волна затухает.
На уровне классической теории поля последний эффект описыва-
описывается следующим образом. Рассмотрим волну поля а с амплитудой а,

8.5. Квазилокализация скалярного поля на вихре 181
импульсом к вдоль солитона и частотой
и = д/к2 + /Л (8.60)
т.е.
*{у) = ое^°-|ку. (8.61)
Линеаризованное уравнение для поля £(х, у), порожденного этой волной,
получается из вариации действия (8.59) и имеет вид (последним членом
в (8.59) пренебрегаем)
где D^d+2^ = (dl - д2) — это (d + 2) -мерный даламбертиан. Решение этого
уравнения ищем в виде
C(*,v) = 0^)eW>~*, (8-62)
с той же частотой и тем же волновым вектором, что в (8.61). Для (k(%)
имеем уравнение
Л = -2/Лг*2/'-а, (8.63)
где г = 1,2, так что д{д{ = Ах — двумерный лапласиан на плос-
плоскости (ж1, х2). Решение уравнения (8.63), содержащее только волны,
убегающие от солитона, имеет вид
D(x-x')^2/ed2x', (8.64)
причем D(x) удовлетворяет уравнению
(AV + ti2)D(x) = 6(x)
и равна 4^
D(x) = 1-н£\цг),
где Яд — функция Ганкеля, и г = |х|.
Теперь мы можем обосновать утверждение, что последнее слагаемое в (8.59) несу-
несущественно. Его учет привел бы к появлению в уравнении (8.63) дополнительного
члена
-г/Л-^Ча. (8.65)
Будем действовать по теории возмущений и оценим этот вклад, подставив в него
решение (8.64). Функция (8.65) сосредоточена вблизи г = 0 (точнее, в области
г ~ у/в). Там решение (8.64) по порядку величины равно (к ~ ц20 • а (с точностью
См., например, книгу Владимирова и Жаринова B000).

182 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
до логарифма, связанного с поведением щ (цг) ~ 1п/*г при малых г). Следо-
Следовательно, вклад (8.65) подавлен по сравнению с правой частью уравнения (8.63)
фактором (л2в.
На больших расстояниях от солитона, т. е. при больших |х| = г,
поле (8.64) имеет вид
и представляет собой «сферическую» волну на плоскости (ж1, ж2) с им-
импульсом кх — /л, распространяющуюся от солитона. Отметим, что с уче-
учетом (8.62) и (8.60) волна поля ( распространяется во всем (d + 1)-мерном
пространстве со скоростью света, поскольку величина волнового вектора
вдоль некоммутативной плоскости равна кх = /л, так что ш2 = к2 + к\.
При fi2 < 0 зависимостью от х' в первой экспоненте под интегралом
в (8.66) можно пренебречь, и мы приходим к выражению
Поток энергии от солитона через удаленную единичную площадку опре-
определяется выражением
где щ — единичный радиус-вектор на плоскости (х1, х2). Полный поток
энергии от солитона равен
dE_
dt
= Г d<r{ Toi = 2тгг/ИС*|2 = тг20У
Это выражение нужно сравнить с плотностью энергии самого поля <r(j/),
порождающего волну поля С- С учетом префактора в первом слагаемом
в (8.59), имеем для плотности энергии поля (8.63)
S = 2тг0|0о<г|2 - Г, = 2жвш2а2.
Обратное время затухания волны сг равно
та £ dt 2ш ш
где
Го = ^fy3 (8.67)

8.5. Квазилокализация скалярного поля на вихре 183
— время затухания волны с нулевым импульсом к. Отметим, что зависи-
зависимость времени затухания от импульса к,
(к = 0)
— это релятивистский эффект: время затухания в системе отсчета, где
волна имеет импульс к, отличается от времени затухания в собственной
системе отсчета фактором 7 = \А2 + /*2//*-
При /л2 < в~~1 время затухания та велико по сравнению с периодом
осцилляции волны <т,
и2 1
таш ~ — • —- > 1.
ц2 вц2
Волна поля о* успевает многократно проосциллировать (и пробежать
вдоль солитона расстояние, большое по сравнению с периодом волны,
если импульс к не слишком мал) прежде чем затухнуть. Поэтому можно
сказать, что поле а квазилокализовано на солитоне.
В квантовой теории поля квазилокализация поля а означает, что а -частица
имеет конечное время жизни на солитоне: по прошествии этого времени она
исчезает, превращаясь в £-частицу, которая улетает с солитона на бесконечность
в плоскости (ж1, ж2). Альтернативное вычисление ширины превращения <т-ча-
<т-частицы в £-частицу состоит в вычислении пропагатора <т -частицы на солитоне.
Этот пропогатор удовлетворяет уравнениям поля, следующим из действия (8.59)
с добавленным слагаемым / ddy<r(y)j(y), где.источник равен j(y) = 6(y). В им-
импульсном представлении по коммутативным координатам и времени пропагатор
Ga(k) и поле ((х, к), порожденное этим источником, удовлетворяют уравнениям
(вновь пренебрегаем последним членом в (8.59))
2тг0 • (к2 - n2)Ga{k) + 2fi2 J ix е-х2/в((х, к) = 1, (8.68)
(к2 + №)((х, к) + 2^leGv{k) = 0, (8.69)
где к2 — квадрат rf-мерного импульса, к2 = кака. Удобно перейти в импульсное
представление и по переменным xl,x2,
Тогда уравнения (8.68) и (8.69) примут вид
2тг0 • (к2 - n2)Ga(k) + 2тф20 f e"№eC(kx, к) d2kx = 1, (8.70)
(к2 - kl)((kx, к) + £!?e-**G,(fc) = 0, (8.71)
где мы явно подставили фурье-образ гауссиана е~г /в. Из уравнения (8.71) находим
С(кх, к), в результате чего уравнение (8.70) превращается в уравнение только для

184 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
пропагатора:
(*2 - д2) - ft [ f d%
где мы учли, что для вычисления фейнмановского пропагатора необходимо всюду
заменить к2 на к2 + и. Интеграл в (8.72) имеет мнимую часть, которая нас и ин-
интересует (действительная часть этого интеграла приводит к сдвигу действительной
части положения полюса пропагатора на величину порядка цАВ, которая мала
по сравнению с fi2),
Im / d2kx -г—.—г- = 2тг Im / pdp . = -ttV*™.
J к2 -kl + te J p2 - к2 + te
о
Поэтому при к2 ~ fi2 пропагатор имеет вид (с учетом р2В < 1)
GM=iTo'v-?+%№' (8'73)
где ширина Го в точности равна вьфажению (8.67). Полюс пропагатора (8.73) при
комплексном к2 означает, что а -частица нестабильна, и с шириной Го исчезает
(в собственной системе отсчета), превращаясь в £-частицу, не локализованную
на вихре.
Квазилокализация полей (и соответствующих им частиц) на солитоне
представляет интерес с точки зрения моделей «мира на бране». Если в ка-
качестве модели мира на бране выбрать некоммутативный солитон, то на нем
действительно будут локализованы (или квазилокализованы) как калиб-
калибровочные поля, так и поля материи — скаляры и фермионы. При этом
если калибровочная теория на солитоне-бране находится в хиггсовской
фазе (даже частично, как это имеет место в Стандартной модели), то воз-
возникает возможность того, что некоторые частицы имеют конечное, хотя
и большое, время жизни на бране. С точки зрения наблюдателя, живущего
на бране, процесс перехода этих частиц в частицы, распространяющиеся
во всем многомерном пространстве, выглядел бы как буквальное исчезно-
исчезновение частиц (с кажущимся несохранением энергии). В моделях, где роль
браны играет некоммутативный солитон, квазилокализация возможна
только для полей (частиц), нейтральных по отношению ко всем нена-
ненарушенным калибровочным зарядам, Заряженные же поля локализованы
точно. Иначе говоря, процессы типа «е~ -> ничто», «кварк -> ничто»,
«глюон -¥ ничто» невозможны, а процессы типа
нейтрон -¥ ничто;
Z0 -> ничто; (8.74)
е+е~ -> ничто
не запрещены. Этот вывод особенно интересен в связи с тем, что имеется
соответствие между некоммутативными солитонами и £>-бранами теории

8.6. Некоммутативный инстантон 185
струн (см. раздел 8.8), так что процессы типа (8.74) возможны и в моделях
мира на £>-бране, которые сегодня рассматриваются как вполне реалисти-
реалистические. Обнаружение процессов типа (8.74) было бы весомым аргументом
в пользу моделей с дополнительными измерениями пространства и миром
на бране.
8.6. Некоммутативный инстантон
В этом разделе мы рассмотрим солитон в UB) калибровочной тео-
теории без скалярных полей на некоммутативном RA. Его коммутативным
аналогом является инстантон — решение в теории Янга—Миллса в евкли-
евклидовом четырехмерном пространстве, поэтому солитон, который мы будем
обсуждать, часто называют некоммутативным инстантоном. Подчеркнем,
однако, что мы не включаем время в число некоммутативных координат,
поэтому решение этого раздела мы интерпретируем именно как солитон
в D+ 1) -мерном пространстве-времени с некоммутативными простран-
пространственными координатами (или d -мерный объект в D + d + 1)-мерном
пространстве-времени, например струну в E + 1)-мерном пространстве-
времени). О туннельной интерпретации решения этого раздела (которая
справедлива для инстантона в C +1)-мерной коммутативной теории) речи
не идет.
Итак, в этом разделе мы рассматриваем теорию с действием
(мы пока работаем в терминах числовых полей — вейлевских образов
операторов), где
причем Aft(x, у) представляет собой антиэрмитову 2 х 2-матрицу с чис-
числовыми коэффициентами. Операторы координат удовлетворяют комму-
коммутационным соотношениям
[xl,x2] = ieil\ [x\t) = iB{2\ (8.75)
а остальные коммутаторы равны нулю. Наиболее просто найти некомму-
некоммутативный инстантон при одинаковых параметрах некоммутативности
0A) = 0B) = в. (8.76)
Именно этот случай мы будем рассматривать. В этом случае коммутаци-
коммутационные соотношения (8.75) имеют вид
[#, #] = •*"■
с ненулевыми компонентами
еп = -в21 = я34 = -я43 = в.

186 Глава 8. Сол и тоны в некоммутативных калибровочных теориях
Матрица 0IJ удовлетворяет соотношению самодуальности
2
поэтому случай (8.76) называют случаем самодуальной некоммутатив-
некоммутативности.
Мы будем искать солитон, зависящий только от координат х%, для
которого вектор-потенциалы вдоль коммутативных направлений Ла рав-
равны нулю. Такой солитон является экстремумом функционала энергии
(плотности энергии, если имеются коммутативные пространственные из-
измерения)
E = г / cfxtTfijfij. (8.77)
2<r J
Разумеется, значение этого функционала на солитоне должно быть конеч-
конечным. На операторном языке выражение для энергии записывается в виде
(в случае самодуальной некоммутативности)
1
Фигурирующие здесь операторы Fij — это операторы, действующие
в гильбертовом пространстве квантовой механики с двумя степенями
свободы. В дальнейшем мы будем представлять это гильбертово про-
пространство как произведение двух фоковских пространств гармонического
осциллятора, в которых действуют операторы рождения и уничтожения
х1 + ix2 _ z | ж1 - ix2 _ z
_ хъ + ix4 _ ( | _ хъ - ix4 _ J
а< ~ \/20 = v^' йс " л/20 = 7ё'
Базисные векторы в этом фоковском пространстве имеют вид
\п, т) = -1=-^D)>5Г|О, о). (8.78)
Кроме того, поскольку вектор-потенциалы и напряженности представля-
представляют собой 2x2 матрицы (в рассматриваемом случае калибровочной группы
[7B)), их можно рассматривать как операторы, действующие в простран-
пространстве двумерных столбцов, причем каждый элемент столбца представляет
собой элемент гильбертова пространства с базисом (8.78).
Отметим прежде всего, что для полей, производные которых стре-
стремятся к нулю при х2 -> оо, •-произведение асимптотически совпадает
с обычным произведением. Поэтому топологическая классификация по-
полевых конфигураций с конечной энергией, известная для коммутативных
теорий, остается справедливой и для некоммутативной теории: такие

8.6. Некоммутативный инстантон 187
конфигурации образуют непересекающиеся сектора, характеризуемые то-
топологическим зарядом Q — степенью отображения удаленной сферы S3
в калибровочную группу5) UB). Далее, в некоммутативном случае бук-
буквально повторяется выкладка, приводящая к формуле
для связи топологического числа с напряженностью поля; во всех форму-
формулах требуется лишь заменить обычное произведение на •-произведение.
Буквально повторяется и рассуждение, приводящее к неравенству
причем при Q > О равенство имеет место тогда и только тогда, когда
поле удовлетворяет уравнению самодуальности (антисамодуальности при
где
£у = ^тТы. (8.79)
Итак, наша задача — решить уравнение (8.79) в некоммутативной тео-
теории и найти таким образом некоммутативный аналог обычного SUB)-
инстантона.
Сделаем два предварительных замечания. Коммутативная теория
Янга—Миллса в четырехмерном пространстве инвариантна относительно
масштабных преобразований, поэтому в инстантонном решении имеет-
имеется произвольный параметр р — размер инстантона. В выражении для
энергии (8.77) в некоммутативной теории присутствует размерный пара-
параметр в, поэтому масштабная инвариантность отсутствует. Можно было бы
ожидать, что из-за этого произвол в размере инстантона пропадает, и ми-
минимум энергии достигается либо на инстантоне размера порядка V$,
либо на инстантоне бесконечного размера. Мы увидим, что это не так:
в некоммутативной теории инстантоны по-прежнему характеризуются
произвольным параметром р, имеющим размерность длины, то есть раз-
размер инстантона произволен.
Второе замечание касается 0D)-симметрии. Коммутативный инстан-
инстантон 0D)-симметричен,- что связано с 0D)-инвариантностью действия
коммутативных теорий. В некоммутативном случае 0D)-инвариантность
действия, вообще говоря, отсутствует. Тем не менее в случае самодуальной
Поскольку UB) = 517B) х 17A), это топологическое число определяется отоб-
отображением 53 в подгруппу 517B) (напомним, что тгз(?7A)) тривиальна).

188 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
некоммутативности 0D)-симметричны операторы вида
Ф = Ф(ЛГ), (8.80)
где
N = alaz + a\a( (8.81)
— полный номер возбуждения двух гармонических осцилляторов. Точнее,
вейлевский символ оператора вида (8.80) зависит только от
г =
(в дальнейшем мы будем обозначать как оператор комплексной коорди-
координаты, так и числовую комплексную координату одной и той же буквой z
или (, если это не будет приводить к недоразумению). Итак, имеем
соотношение
Ф(#) «-+ <р{г) (8.82)
между операторами и их вейлевскими символами.
Доказательство соотношения (8.82) получим непосредственно из формулы для
вейлевского символа. Полагая 0 = 1 для упрощения формул, запишем в общем
случае
ip(z, z, С, С) = 2^г / du du dv dd x
x Tr ^-а^Щ-аО-НЫУЩС-а^^ ^ ^ ^J
Мы уже знаем (см. F.52)), что операторам, зависящим только от комбинации
а\ах, соответствуют вейлевские символы, зависящие только от zz. Поэтому для
операторов вида (8.80) имеем
р = р(*Г,СО. (8-83)
Далее, для таких операторов вейлевский символ инвариантен относительно вра-
вращений ги(:
« = 2cos^ + Csinx f = fcosx + Csinx; /n n,4
(8.84)
Это очевидно из инвариантности Ф(^) относительно аналогичных вращений
аг иа(. Функции вида (8.83) инвариантны относительно преобразований (8.84)
только если они зависят лишь от комбинации (zz+((), что и требовалось доказать.
Перейдем теперь непосредственно к инстантонным решениям. Для
их построения Некрасов и Шварц A998), а также Хорват, Лехтенфельд
и Вольф B002) обобщили на некоммутативный случай мощные методы,
развитые для получения многоинстантонных решений в коммутативных
калибровочных теориях. Эти методы позволяют, в частности, явно постро-
построить одноинстантонное решение (Фуруучи, 2001). Мы, однако, поступим

8.6. Некоммутативный инстантон 189
проще, и получим одноинстантонное решение путем использования ана-
аналогии с коммутативным инстантоном. Прежде всего, полезно переписать
уравнение самодуальности в комплексных координатах. Вводя, как обыч-
обычно, вектор-потенциалы
Az = -1=(А1 - гА2), A-z = -={А{ + iA2) = -A\,
f f (8-85)
А<; = -щ{Аг ~ *^4>. А{ = -^(^3 + гАА) = -А\
и напряженности поля
и, выполнив выкладки, получим, что уравнение самодуальности в опера-
операторной форме сводится к уравнениям6^
Fzz = &ф ^К = ®" (8.86)
Задача 7. Показать, что уравнения самодуальности сводятся к паре уравнений
(8.86).
Далее, введем как и раньше
\V (8.87)
(8.88)
Тогда для напряженностей будем иметь
Таким образом, уравнение самодуальноси сводится к двум уравнениям
[C,,Cj] = [Cc,Cj], (8.89)
[C,,Cj] = 0. (8.90)
Несмотря на кажущуюся простоту этих уравнений, их решение пред-
представляет собой далеко не тривиальную задачу. В коммутативном случае
' Мы определяем, как обычно, е -символ так, что б1234 = 1.

190 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
инстантонное решение имеет вид
М = -mjaXjTaF(r), (8.91)
где i,j,... — четырехмерные индексы, а индексы а,6,... пробегают
значения 1,2, 3. Символы 'тХоофта равны7*
Va4b — -ЩаЬ — 8ab, Vabc — ^abc- (8.92)
Используя определения (8.85), инстантон (8.91) коммутативной теории
можно представить в виде
При этом функция F(r) равна
где р — размер инстантона, являющийся произвольным параметром ре-
решения. Используя явный вид матриц Паули, представим коммутативный
инстантон в виде
Аь=( mL °Л (8.94)
гдеа= 1,2; ii-z, 6 = C-
Проще всего было бы попытаться обобщить решение (8.94) на неком-
некоммутативный случай, заменив координаты £а и |а на операторы, а функцию
F(r) на неизвестную функцию F(N), зависящую только от комбинации
(8.81). Однако, N не коммутирует с 4 и (в, и в различных матричных
элементах 2x2 матрицы А$а возможен различный порядок сомножителей.
Имея в виду определения (8.87), (8.88), будем поэтому искать решение
в виде
Са=[ JK ' t , (8.95)
aaf2
где неизвестные функции f\{N), f2(N) оператора N действительны, а
/3(JV) комплексна; мы также обозначили а,\ = az, а2 = а$ и С\ = Сг,
Напомним, что б1234 = 1. В используемых здесь обозначениях символы (8.92)
самодуальны.

8.6. Некоммутативный инстантон 191
Сг = С(. Действительности функций f\ и f2 можно добиться унитарными
преобразованиями вида
/е'°<"> 0 \
{ 0 Jm)'
где a(N) и fi(N) эрмитовы.
Вычисление фигурирующих в уравнениях самодуальности (8.89),
(8.90) коммутаторов производится с использованием тождеств:
f(N)aa = aaf(N - 1).
Матрица [Cz, Cg] имеет следующие матричные элементы:
[Cz, C\]n = /i(tf)aU,/iW - h(N + l)e,eJ/i(iV + 1) -
-/3*(^-lLac/3(iNr-l), (8.98)
[Cz, Ctf = {[Cz, С]]21I = -а\№ + Ш* ~ 1L +
+ a\f;(N)f2(N)al (8.99)
[Cz, Ctf = h{NLa\h{N) + f2(N)alazf2(N) -
-f2(N+l)azalf2(N + l). (8.100)
Диагональные элементы матрицы [С(, С^] получаются из (8.98) и (8.100)
заменой az <r> a^, al *-> al, а A2)-элемент этой матрицы отличается
от (8.99) только знаком. В результате A1)-компонента уравнения (8.89)
имеет вид
(a\az - а[ас){[/1(ЛГ)]2 - [f^N + I)]2 + |/3(JV - 1)|2} = 0.
Поскольку оператор (a\az - a[a^) не сводится к оператору N, последнее
уравнение дает
[/i W]2 - \№ + I)]2 + 1/з(* - 1)|2 = 0. (8.101)
Аналогично из B2)-компоненты уравнения (8.89) получаем уравнение
[ЛОТ!2 - [Л(* + I)]2 + |/з WI2 = 0. (8.102)
Наконец, с помощью соотношения [С$, С^]12 = ~[CZ, С]]12 и выражения
(8.99) получим, что A2)-компонента уравнения (8.89) сводится к урав-

192 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
нению
-fi(N + l)fi(N - 1) + fiWfiW = 0. (8.103)
Из последнего уравнения и действительности /i и /г следует, что /з(#)
имеет одну и ту же фазу при всех JV; без ограничения общности эту фазу
можно положить равной нулю, т.е. считать /3(iV) действительной,
П(Ю = Ш). (8.104)
Вычисление фигурирующего в (8.90) коммутатора также производит-
производится непосредственно с использованием тождеств (8.97). В результате выяс-
выясняется, что уравнение (8.90) выполняется тождественно, если удовлетво-
удовлетворяются уравнения (8.101), (8.102) и (8.103), а также соотношение (8.104).
Итак, уравнения самодуальности в некоммутативном случае подстановкой
(8.95) сводятся к трем разностным уравнениям (8.101), (8.102) и (8.103)
на три неизвестные действительные функции fi(N), /г(^), /зСЛТ).
Задача 8. Показать, что уравнение (8.90) выполняется, если выполнены (8.101)-
(8.104).
Прежде, чем выписывать решение этих уравнений, сделаем два заме-
замечания. Во-первых, вдали от центра инстантона (т. е. при больших JV = ^)
вектор-потенциалы Az и А( должны сремиться к нулю, т.е. Cz ~ at,
С^ ~ о[. С учетом (8.95) это означает, что
/i(j!V)-H, /2(JV)-H, /3(iV)->0 при iV->oo. (8.105)
Во-вторых, уравнения (8.101), (8.102), (8.103) должны, строго говоря, вы-
выполняться лишь при целых значениях JV. Если же они выполняются при
любых, а не только целых JV, то сразу видно, что в решении появляется
произвольный непрерывный параметр: если набор трех функций fi(N)
(г = 1,2,3) образует решение, то решением является и набор /,(iV + b).
Этот произвольный параметр Ь и выполняет роль размера инстантона.
Перейдем теперь к решению уравнений (8.101), (8.102), (8.103). Имея
в виду асимптотики (8.105), введем новые неизвестные U\{N) и Ui{N)
соотношениями
[/!(i\r)]2 = 1 + ui(N), [f2(N)}2 = 1 + u2(N). (8.106)
Тогда уравнения (8.101) и (8.103) примут вид
[W)]2 = щ(М + 2) - щ(ЛГ + 1),
(о.107)
С учетом асимптотик (8.105) из последних двух уравнений следует
«2(JV) = -«i(JV + l). (8.108)
Далее, используя это равенство и выражая fl через «i с помощью (8.107),
получим из (8.103) уравнение, содержащее только «i:
(8.109)

8.6. Некоммутативный инстантон 193
Это уравнение является конечноразностным аналогом уравнения
и" = 2ии, (8.110)
что иллюстрирует одно из свойств некоммутативных теорий: вместо диф-
дифференциальных уравнений в таких теориях нередко возникают их конеч-
норазностные аналоги.
Решением уравнения (8.110), убывающим при JV -> оо является
и — -(N + Ь)~1. Непосредственным вычислением убеждаемся, что эта
функция является и решением уравнения (8.109). Итак,
где Ь — произвольный параметр. Из (8.108) и (8.107) получаем, что
Ь'
Используя (8.106), получаем окончательно
где знак в (8.113) выбран из соображений удобства \ Полезно отметить,
что областью допустимых значений параметра 6 является
&
Это не сразу очевидно, поскольку значения Ь в области 0 ^ Ь < 1 при-
приводят к отрицательности подкоренного выражения в (8.111) при JV = 0.
Однако в выражениях для полей (8.95) функция /i(JV) умножается справа
на аа, поэтому аргумент f\ эффективно пробегает значения JV = 1, 2,...,
для которых подкоренное выражение положительно. Это же справедли-
справедливо для оператора aafi(N), фигурирующего в (8.96), поскольку он равен
нулю на основном состоянии с N = 0. При отрицательном же Ь подко-
подкоренное выражение в (8.111) становится отрицательным при N — 1, т.е.
в эффективной области определения fi(N).
Замена знака /з эквивалентна унитарному преобразованию полей (8.95), (8.96).

194 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
Параметр \РШЬ представляет собой размер инстантона, по крайней
мере при & > 1. Действительно, в этом случае с точностью до поправок
порядка Ь~2 выражения (8.111), (8.112), (8.113) имеют вид
, . 1 . <
г2 4-206'
20
г2+ 206'
где мы учли, что N = щ. Учитывая связь вектор-потенциалов с операто-
операторами Сг и С(, получаем из (8.95), что при больших 6 поле инстантона
в точности сводится к полю коммутативного инстантона (8.94) с р = \/2ВЬ.
Так и должно быть, поскольку при больших 6 размер инстантона велик
по сравнению с масштабом некоммутативности, р ^> у/0, и мы возвраща-
возвращаемся к коммутативной теории.
8.7. Инстантоны нулевого и малого размера.
Локализация и квазилокализация
калибровочных полей
Особенности некоммутативной теории проявляются в пределе Ъ «С 1.
Рассмотрим сначала случай инстантона нулевого размера,
6 = 0.
В этом случае оператор fi(N)alt равен нулю на основном состоянии
осциллятора |0, 0), поэтому справедливы равенства
Са-Р = Р'Са = 0, (8.114)
где Р — проекционный оператор
Напомним, что в соответствии с обсуждением в начале этого раздела мы
рассматриваем 2x2 матрицы Cz, C$ и т.д. как операторы, действующие
в пространстве столбцов, каждый элемент которых — это вектор в фо-
ковском пространстве двух осцилляторов. В соответствии с этим оператор
(8.115) проектирует на одномерное пространство, порожденное вектором
и=G)-
(8.116)

8.7. Инстантоны нулевого и малого размера 195
Из соотношений (8.114) следуют сразу два заключения. Во-первых, в при-
присутствии инстантона нулевого размера остается ненарушенной подгруппа
17A) полной бесконечномерной калибровочной группы матричной моде-
модели. Ненарушенный антиэрмитов генератор имеет вид
Т = гР. (8.117)
Действительно, этот оператор коммутирует с полем инстантона Са. В со-
соответствии с этим на инстантоне (солитоне) нулевого размера локализо-
локализована калибровочная U A) -теория.
Во-вторых, соотношения (8.114) указывают на то, что инстантон
нулевого размера может быть получен методом генерации решений,
(8.118)
причем S^S = 1, а
SS^ = l-P, (8.119)
где Р — проектор (8.115). Оператор частичной изометрии, генерирующий
инстантон нулевого размера, можно построить явно:
1 (at -al\
Н С I (8-120)
Задача 9. Показать, что правая часть (8.118) действительно равна полю (8.95)
с функциями, выписанными в (8.111), (8.112) и (8.113) и 6 = 0. Проверить
равенство S^S = 1. Показать, что вектор (8.116) — это единственный вектор,
на котором S^ = 0 (иначе говоря, что справедливо равенство (8.119)).
Итак, инстантон нулевого размера во многом аналогичен вортону
(8.3): он может быть получен методом генерации решений, на нем ло-
локализована калибровочная U(i)-теория. Существенное отличие состоит
в том, что инстантон классически стабилен, поскольку является абсолют-
абсолютным минимумом энергии в секторе с единичным топологическим числом.
Вычисление спектра возбуждений над инстантоном (солитоном)
нулевого размера, векторных относительно d -мерной «коммутативной»
группы Лоренца, вполне аналогично проведенному в разделах 8.1 и 8.4.
Разложим векторное поле Аа следующим образом
Аа = SBaS^
где
oia = -iota{y)\v){v\ = -iaa(y)P, (8.121)
причем вектор \v) имеет вид (8.116), а проектор Р совпадает с (8.115).
Мы учли, что Аа антиэрмитов, так что поле аа(у) действительное. Нас,
как обычно, интересует «массовый член»
X; 1ъ{[Аа,Са][Аа,с1]), (8.122)
а=1,2

196 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
присутствующий в квадратичном действии для полей Аа; здесь Са —
солитонное решение. Для солитона нулевого размера (8.118) выражение
(8.122) нетрудно вычислить явно. Поскольку
5^И=0, {v\S = Q
поле аа(у) не входит в него, а остальные поля входят следующим образом
^{ Тг ([Вй, аЪ][Ва, аа}) - {Фй|Dаа
а=1,2
= \ Е ТГ (tB«' а«ПВ«. ««О - ^(ф«1^ + 21фа)- (8-123)
а=1,2
Таким образом, поле Вй соответствует калибровочному полю некомму-
некоммутативной UB) -теории, распространяющемуся во всем (d + 4)-мерном
пространстве-времени, поле аа(у) — безмассовое калибровочное поле
U(l)-теории, локализованной на солитоне, а |Ф„) описывает набор век-
векторных полей, также локализованных на солитоне и имеющих спектр
d-мерных масс
2 N + 2
Мы видим, что спектр векторных полей вполне аналогичен спектру
на фоне вортона раздела 8.1. По сравнению с вихрем раздела 8.4 имеется
отличие: поле Ва — безмассовое с (d + 4) -мерной точки зрения, а в раз-
разделе 8.4 оно было массивным в соответствии с тем, что некоммутативная
калибровочная теория находилась в хиггсовской фазе.
Перейдем теперь к обсуждению возбуждений над солитоном (инстан-
тоном) малого, но конечного размера, Ь < 1. В формулах (8.111), (8.112),
(8.113) возможно разложение по целым степеням 6 всюду, кроме случая
функции /i и N — 1 (напомним, что эффективная область определения f\
начинается с N = I). В последнем случае /i ~ Vb. Итак, в главном ли-
линейном порядке по Vb поправки к операторам /ь /г, /з равны
l, <J/2 = <У/3 = О,
где
— проектор на подпространство с JV = 1. Из (8.7) следует, что
откуда получаем
eCa = y/b(&\v){v\. (8.124)
При малом, но ненулевом Ь поле инстантона таким образом равно

8.7. Инстантоны нулевого и малого размера 197
Это поле уже не коммутирует с генератором (8.117) калибровочной группы
/7A), локализованной на солитоне. Калибровочная теория на солитоне
находится в хштсовской фазе, причем параметр Vb играет роль ваку-
вакуумного среднего хштсовского поля. В соответствии с этим поле аа(у)
приобретает массу,
Vb
та ~ -р. (8.125)
Кроме того, в порядке Ь возникает смешивание между d-мерным полем
аа и (d + 4)-мерным полем Ва,
45
-ijaa((v\Ba\v) + (v\Ba\v)), (8.126)
где
/ п \
(8.127)
Это смешивание приводит к квазилокализации поля аа на солитоне:
имеется конечная ширина
Ь5/2
Га ~ -j= (8.128)
затухания поля аа, связанная с излучением волн поля Ва на бесконеч-
бесконечность вдоль некоммутативных измерений (на квантовом уровне — ко-
конечная вероятность Га перехода а-бозона, распространяющегося вдоль
поверхности солитона, в В-бозон, улетающий с этой мировой поверх-
поверхности). Ситуация здесь вполне аналогична квазилокализации скалярного
поля на вихре, рассмотренной в разделе 8.5, с тем отличием, что квази-
локализованными на солитоне являются сами векторные поля.
Чтобы убедиться в справедливости формул (8.125) и (8.126), заметим, что для
решения (8.95) и оператора аа вида (8.121) справедливы равенства
CQaa = -i J j^aa(y)al\v)(v\, cjo. = 0, (8.129)
aa(y)\v)(v\aa, aaCa = 0. (8.130)
Отсюда немедленно следует, что квадратичный по аа(у) вклад в (8.122) равен
Это и означает, что векторное поле аа(у) приобрело массу, которая при малых Ь
дается формулой (8.125).

198 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
Далее, в линейном порядке по у/Ь смешивание между полями аа и Ва, а также
полями аа и |Фа) отсутствует. Действительно, в порядке у/Ь смешивающие члены,
возникающие из (8.122), имеют вид
]£ \ Тг ([Аа, Ca]Q[aa, d] + [aa, Ca][Aa, СЦ), (8.131)
а
где индекс 0 обозначает нулевой порядок по у/Ь. Рассмотрим, например, второй
член в этом выражении. Имеем в нулевом порядке (т. е. для Са вида (8.118))
[Аа, С!]о = S[Ba,aa]tf - И<Ф>а^ -- Saa\*a)(v\
[aa,Ca] = iVbaa(y)al\v)(v\, (8.132)
см. (8.129), (8.130). Второй член в (8.131) равен нулю в силу {v\S = 0 и
аа£ЧН=0. (8.133)
Последнее равенство проверяется непосредственно, с использованием явного вида
(8.120) оператора S* и явного вида (8.116) вектора \v). Действительно, имеем
= \v), (8.134)
где вектор \v) определен в (8.127). Свойство (8.133) немедленно следует из (8.134).
Вычислим, наконец, смешивающий член для легких полей аа(у) и Ва в поряд-
порядке Ь (в этом порядке возникает и смешивание между аа и тяжелыми полями
|Ф„), но для вычисления лидирующего вклада в ширину распада поля а0 оно
несущественно). Этот член возникает из слагаемого
У) - Tr {[SBaS\8Ca][aa, c£] + [aa, Ca][SBaS\ *Cj]), (8.135)
и
a
где SCa имеет вид (8.124). Второе слагаемое здесь равно
-1- Tr {(iVbaa(y)aUv)(v\)(Vb \v)(v\
где мы воспользовались (8.132), (8.124) и тем, что {v\S = 0. Первое слагаемое
в (8.135) приводит точно к такому же вкладу. Формула (8.126) теперь следует
из (8.134).
Вычисление ширины распада Га проще всего провести на квантовом
языке, как это было сделано в конце раздела 8.5. Квантовое вычисление
почти буквально переносится на интересующий нас случай, с тем отли-
отличием (кроме обозначений) что фигурирующий в (8.68) интеграл берется
по четырехмерному, а не по двумерному пространству. Отсюда в конечном
итоге и возникает более высокая степень малого параметра Ь в ширине
по сравнению с разделом 8.5: если для случая вихря Г/т ~ 9т2, то
в случае инстантона Га/та ~ Ь2 ~ (Вт^J.

8.8. Соответствие D-бранам теории струн
199
Задача 10. Найти выражение для ширины перехода а-бозона в В-бозон. Убе-
Убедиться в справедливости оценки (8.128).
8.8. Соответствие D-бранам теории струн
В этом разделе мы в общих чертах рассмотрим картину D-бран в теории струн
и обсудим соответствие между некоммутативными солитонами и D-бранами.
Нужно отметить, что некоторые (иногда весьма существенные) свойства D-бран
варьируются от одной струнной теории к другой (речь идет, в частности, о тео-
теориях бозонных струн и суперструн типа IIA и ИВ), поэтому наше обсуждение
будет носить довольно поверхностный характер. Тем не менее, соответствие меж-
между D-бранами и некоммутативными солитонами настолько замечательно, что
представляется полезным дать о нем хотя бы общее представление.
Рис. 8.1
В рамках теории струн калибровочные бозоны возникают как безмассовые
(или легкие) состояния открытых струн. Dp-браны представляют собой р-мерные
гиперповерхности в пространстве, на которых могут начинаться и оканчиваться
открытые струны. В случае одной D-браны (рис. 8.1а) имеется одно безмассовое
возбуждение открытой струны, распространяющееся вдоль мировой поверхности
D-браны. Оно описывает один калибровочный бозон, т. е. на D-бране лока-
локализована калибровочная U(l)-теория. Если имеется М параллельных D-бран
(рис. SA6), положения которых не совпадают, то имеются струны, начинающи-
начинающиеся и оканчивающиеся на одной и той же D-бране, и струны, оканчивающиеся
на разных D-бранах. Легчайшие возбуждения первых имеют нулевую массу; они
совпадают с калибровочными бозонами ненарушенной группы [?7A)]м. Струна
имеет ненулевое натяжение (плотность энергии на единицу длины), поэтому ми-
минимальные массы струн, натянутых между различными (а-й и /3-й) D-бранами,
отличны от нуля и пропорциональны расстоянию между D-бранами
тпар ос \тар\, (8.136)
где гар — вектора в пространстве, нормальном к D-бранам. Существенно, что
энергия М параллельных D-бран как правило не зависит от расстояния между

200 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
ними (если не учитывать гравитацию), так что гар являются модулями. Если
положения всех D-бран совпадают, т. е. все та/} равны нулю, то массы векторных
бозонов (8.136) исчезают. Поскольку а и /9 независимо пробегают значения от 1
до М (каждый из концов струны может находиться на любой из D-бран), в этом
случае имеется М2 безмассовых векторных бозонов, распространяющихся вдоль
набора D-бран; на мировой поверхности этого набора локализована калибро-
калибровочная теория с группой U(M). Появление масс (8.136) интерпретируется как
механизм Хштса, нарушающий U(M) до [?7A)]м (в общем случае U(M) нару-
нарушается до U(Mi) х U(M2) х ... х U(Mk) с Мх + ... + Mk = М; это происходит,
если совпадают положения Мь М2,... Мк бран), причем роль хиггсовских полей
играют положения D -бран €а, так что гар = еа — €р •
На языке теории поля это означает, что на мировой поверхности набо-
набора D-бран имеются, помимо калибровочных U(M) -полей, хигтсовские поля
в присоединеном представлении группы U(M), приобретающие диагональные
вакуумные средние
1 \
«2
\
(8.137)
При этом конфигурации вида (8.137) являются плоскими направлениями (модуля-
(модулями) скалярного потенциала. Такую картину называют кулоновской фазой системы
из D-бран (поскольку в общем положении имеется М безмассовых векторных
бозонов на мировой поверхности этой системы).
Продолжая описание картины D-бран, отметим, что 2}р-браны могут иметь
различную размерность р. В частности, р может совпадать с размерностью всего
пространства; в этом случае D-брана или система D-бран (по необходимости
совпадающих) заполняет все пространство.
Внутри Dp -бран могут быть расположены D-браны меньшей размерности,
например, (р — 2) или (р — 4). Именно эта ситуация соответствует солитонам,
рассмотренным в предыдущих разделах этой главы. В частности, вортоны разделов
8.1, 8.2 интерпретируются как 1?(р_2)-браны внутри 2?р-бран. В случае некоммута-
некоммутативной калибровочной иA)-теории, рассмотренном в разделе 8.1, 2}р-брана всего
одна, а М-вортонному решению соответствует М 1?(р_2)-бран, расположенных
на ее мировой поверхности, как мы это видели в разделе 8.2. На мировой поверх-
поверхности М вортонов, если их положения совпадают, действительно локализована
калибровочная U(M) -теория; если же положения вортонов различны, то про-
происходит нарушение U(M) в общем случае до [£гA)]м, а массы недиагональных
векторных бозонов действительно даются формулой (8.136), ср. (8.30). Напомним,
что положения вортонов на некоммутативной плоскости произвольны, т. е. они
являются модулями решения, что также соответствует теории струн. Наконец,
на мировой поверхности ситемы вортонов действительно имеется хиггсовское по-
поле а(у) в присоединенном представлении калибровочной группы U(M), которое,
вообще говоря, имеет вакуумное среднее9* (8.137), см. (8.31).
9) Напомним, что поле а(у) не эрмитово, его вакуумные средние комплексны
и соответствуют комплексным координатам на некоммутативной плоскости.

8.8. Соответствие D-бранам теории струн 201
Соответствие между D(p_2)-бранами внутри Dp-бран и вортонами на неком-
некоммутативной плоскости идет дальше. Во-первых, натяжение вортона и натяжение
£)(Р_2)-браны совпадают, после перевода единиц некоммутативной теории в еди-
единицы теории струн. Во-вторых, вортоны в чисто калибровочной некоммутативной
теории неустойчивы, как мы это видели в разделе 8.1; соответствующие D(p-2) -бра-
ны тоже неустойчивы. Кроме того, мы видели, что в спектре на фоне вортона
имеется набор векторных полей, локализованных на вортоне и меющих массы
(8.14), а также набор аналогичных им скалярных полей. Эти поля преобразуются
по фундаментальному представлению U(M) -теории, локализованной на вортоне,
и анти-фундаментальному представлению некоммутативной U(l) (или наоборот).
В Dp — -D(p-2) системе такие возбуждения тоже имеются; это струны, один конец
которых присоединен к одной из £)(р_2)-бран, а другой присоединен к 2?р-бра-
не. Возможные типы струн в Dp - 2Э(р-2) системе изображены на рис. 8.2: они
в точности соответствуют набору полей, фигурирующему в (8.10) и (8.16).
Рис. 8.2. Dp — -D(p-2) система, р = 2. Плоскость соответствует 2?р-бране, жирная
точка — системе 2?(р_2)-6ран. р-р-струны и (р- 2)-(р - 2)-струны имеют оба конца
на Dp и D(p_2) соответственно, а р-(р- 2)-струны имеют один конец на Dp, а другой —
на D{p-2). Последние не могут распространяться во всем р-мерном пространстве;
соответствующие им поля локализованы на 1?^_2)-бране
Некоммутативный инстантон, рассмотренный в разделе 8.6, соответствует
1)(р_4)-бране внутри двух совпадающих Dp-бран. В отличие от вортона, не-
некоммутативный инстантон устойчив; Dp — D(p-4) система в теории струн также
устойчива. Кроме уже обсуждавшегося соответствия между возбуждениями над
некоммутативными солитонами и состояниями струн в системе 2?-бран, пример
некоммутативного инстантона иллюстрирует еще одно свойство, имеющее место
и в теории струн. А именно, при ненулевом размере инстантона калибровочная
теория на его мировой поверхности находится в хиггсовской фазе (безмассовые
калибровочные поля вообще отсутствуют). Роль вакуумного среднего хиггсов-
ского поля играет сам размер инстантона, являющийся произвольным парамет-
параметром решения (модулем). В Dp - D(p-4) системе также имеется модуль, который
можно интерпретировать как толщину D(p_4) -браны. При ненулевом значении
этого модуля калибровочная теория на D(p-4) -бране действительно, как известно
из теории струн, находится в хиггсовской фазе. Наконец, для некоммутативного
инстантона малого, но ненулевого размера имеет место явление неполной лока-
локализации (квазилокализации) калибровочных полей на его мировой поверхности.
Неполная локализация (р - 4)-(р - 4) струн в Dp - D(p_4) системе с «толстой»
D(p_4) -браной до недавнего времени не обсуждалась, но на уровне эффективной
низкоэнергетической теории на фоне Dp-D^) системы можно показать, что она
действительно имеет место. На языке самой теории струн это свойство описать
трудно, что связано с трудностями струнного рассмотрения «толстых» D-бран.

202 Глава 8. Солитоны в некоммутативных калибровочных теориях
Итак, между системами D-брт теории струн и некоммутативными солито-
солитонами имеет место детальное соответствие. При этом некоторые свойства систем
D-бран, достаточно очевидные с точки зрения некоммутативных теорий, довольно
трудно описать на струнном языке. Это относится в первую очередь к свойствам
«толстых» D-бран. Обсуждавшееся в этом разделе соответствие в определенном
смысле уточняет представление о D-бранах как о динамических солитоноподоб-
ных объектах в теории струн.
Заключая этот раздел, упомянем, что не только вортоны и инстантоны,
но и другие некоммутативные солитоны (вихри, аналогичные рассмотренному
в разделе 8.4, а также монополи и т.д.) имеют свои D-бранные аналоги. Соот-
Соответствие между некоммутативными солитонами и D-бранами распространяется
и на более сложные системы, такие как пересекающиеся D-браны. Наконец,
такое соответствие имеется для солитонов не только на некоммутативном R2n,
но и на других некоммутативных пространствах — некоммутативных цилиндре
и торе, размытом (fuzzy) цилиндре и других.

Дополнение
Классические решения
и функциональный интеграл
Одним из наиболее адекватных подходов, позволяющих дать после-
последовательную интерпретацию классических решений в квантовой теории
поля, является формализм функционального интегрирования. В рамках
этого формализма роль классических решений уравнений поля состоит
в том, что они представляют собой нетривиальные седловые точки функ-
функционального интеграла. Интегрирование вблизи седловых точек приводит
к квазиклассическому разложению функционального интеграла, законно-
законному, как правило, в теориях со слабой связью. Одним примером исполь-
использования этого подхода служит квазиклассическое квантование солитонов,
которое, впрочем, может быть выполнено и операторными методами.
В этом Дополнении мы остановимся на другом круге задач, для решения
которых метод функционального интегрирования незаменим, — вычис-
вычислении инстантонных эффектов в квантовой теории поля. Использование
функционального интеграла в этих случаях позволяет не только найти
главную квазиклассическую экспоненту туннелирования, но и вычис-
вычислить, хотя бы в принципе (а иногда и явно), предэкспоненциальный
фактор и следующие поправки квазиклассического разложения. Кроме
того, в рамках метода функционального интегрирования удается выяс-
выяснить ряд нетривиальных свойств инстантонных вкладов в функции Грина
квантовых полей.
В этом Дополнении мы не будем стремиться к сколько-нибудь си-
систематическому изложению. Наша цель — дать первоначальное представ-
представление о квазиклассических методах в квантовой теории поля, основыва-
основывающихся на использовании классических решений.
Д.1. Распад ложного вакуума
в формализме функционального интеграла
В этом разделе мы рассмотрим один из наиболее простых приме-
примеров использования функционального интеграла в задачах о туннелиро-
вании в квантовой теории поля — распад ложного вакуума (Каллан,

204 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
0-
IF@)
\
ч 0o ,
/
/
0
Рис.Д.1
Коулмен, 1977). Мы по-прежнему будем рассматривать модель одного
скалярного поля со скалярным потенциалом, изображенным на рис. Д.1,
в d-мерном пространстве-времени. Основным объектом для нас будет
энергия ложного вакуума с
@) = 0_.
Поскольку ложный вакуум нестабилен, следует ожидать, что его энергия
Е(ф-) содержит мнимую часть, связанную с шириной его распада,
1
Мы не включаем в рассмотрение гравитационные взаимодействия, по-
поэтому значение действительной части энергии, ReE@_), будет для нас
несущественно; наша цель — квазиклассическое вычисление ширины
Г@_). В теории со слабой связью ширина Г@_) экспоненциально мала.
Запишем выражение для энергии ложного вакуума в виде евклидова
функционального интеграла
■/
2H е1
-3[ф]
(Д.1)
где
— евклидово действие модели (суммирование по индексу \х здесь и да-
далее производится с евклидовой метрикой g^v = diag(+l, +1, +1,...)),
Г — нормировочное время. Поскольку мы интересуемся состоянием
с @) = 0_, поля, по которым производится интегрирование в (Д.1),
имеют асимптотику
0(М-*оо) = 0_. (Д.2)
Квазиклассическое вычисление интеграла (Д.1) состоит в том, чтобы
найти его седловые точки и учесть их вклад в интеграл.

Д.1. Распад ложного вакуума 205
Седловые точки интеграла (Д.1) — это экстремумы евклидова дей-
действия 5[0]. Они удовлетворяют классическим евклидовым уравнениям
поля
8V
и граничному условию (Д.2).
Результаты главы 12 книги I указывают на то, что ширина Г@_)
определяется вкладом нетривиальной седловой точки — евклидова пу-
пузыря (отскока) ф^х^). Прежде чем рассматривать вклад этого седла,
рассмотрим вклад тривиального решения
Ф(х) = Ф-, (Д.З)
однородного во всем евклидовом пространстве-времени. Действие для
тривиального решения равно нулю, поэтому в соответствии со стандарт-
стандартными правилами седлового интегрирования вклад этой точки определя-
определяется гауссовым интегралом по возмущениям вблизи нее. Записывая
ф(х) = ф- + г)(х),
получим квадратичное действие для флуктуации
lx. (Д.4)
J
Вклад седловой точки (Д.З) в интеграл (Д.1) равен
/0= [Ъф-^М (Д.5)
с точностью до поправок, малых в теории со слабой связью.
Формальное вычисление гауссова интеграла (Д.5) состоит в следу-
следующем. Будем считать, что евклидово пространство-время представляет
собой ящик большого, но конечного объема (на границах которого на-
наложены, например, условия периодичности). Учитывая, что квадратичное
действие (Д.4) можно представить в виде
введем ортонормированные собственные функции соответствующего опе-
оператора,
[-д1 + У"(ф„)]щ = \г1Х. (Д.6)
Заметим, что У"(ф-) > 0, поэтому собственные значения А положитель-
положительны. Разложим переменную интегрирования 7}(х) по этим собственным
функциям,
ф) = ]Г ахг}Х(х). (Д.7)

206 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
В терминах новых переменных интегрирования Од будем иметь для дей-
действия
Ла
так что вместо (Д.5) получим
nGM-'**4
(фактор Пл [тЫ ввеДен Для удобства и отвечает определенному выбору
нормировки интеграла (Д.1), т.е. аддитивной постоянной в энергии).
Выражение (Д.8) — это произведение гауссовых интегралов, и оно равно
л
Величину Пл ^ можно воспринимать как детерминант оператора (-д2 +
V"(<p-)), поскольку она представляет собой произведение его собственных
значений. Таким образом,
7о = [Det(-02 + У"@_))]~1/2, (Д.10)
а вклад седловой точки ф = 0_ в энергию ложного вакуума равен,
с точностью до высших поправок теории возмущений,
^~
Это выражение действительно, и, как отмечалось выше, его значение для
нас несущественно.
В случае однородного внешнего поля функциональный детерминант типа (Д.10)
вычисляется без особого труда (Коулмен, Вайнберг, 1973). В пространственно-
временном ящике размера L — T собственные функции оператора (-д2 + У"(ф_))
при однородном ф представляют собой плоские волны exp {iknx} с
К = -г(гсо,П1,п2,пз),
ь
где пм — целые (мы рассматриваем для определенности случай d = 4). Собствен-
Собственные значения при этом равны (к% + V"), поэтому первая квантовая поправка
в плотность энергии однородного поля ф (эффективный потенциал) равна
В пределе больших L = T имеем
<?к
*2<л2

^ Д.1. Распад ложного вакуума 207
Интеграл в правой части расходится, поэтому мы ввели параметр ультрафио-
ультрафиолетового обрезания Л. В результате для энергии поля (с учетом классической
энергии У(ф)) в гауссовом (однопетлевом) приближении имеем с точностью
до расходящейся постоянной, не зависящей от ф,
= г{ф) + ^-2У'(Ф) - ^[у'Ш1 ta л2 +
(д. и)
Если У(ф) — полином не выше четвертой степени (перенормируемая теория),
то расходящиеся члены в (Д. 11) также являются полиномом не выше четвертой
степени. Эти расходимости устраняются перенормировкой параметров исходного
потенциала У(ф), т. е. стандартной перенормировкой массы и констант связи.
Таким образом, перенормированная поправка к плотности энергии однородного
поля равна
где ц — параметр нормировки, а Р*{ф) — полином четвертой степени, вид
которого зависит от условий нормировки массы и констант связи теории.
Другой седловой точкой интеграла (Д.1) является решение евклидова
пузыря. Обозначив его вклад в интеграл через 1ъ, а связанный с ним вклад
в энергию через Д,, запишем
e-(£o+W = Jq + 1ъ + < ^ = е-В0Т + 1ъ + ^_ (дЛ2)
При этом Jb и Еъ подавлены туннельной экспонентой; многоточие в (Д. 12)
обозначает поправки, подавленные высшими степенями туннельной экс-
экспоненты (они возникают благодаря вкладам многих евклидовых пузырей).
В первом порядке по туннельной экспоненте имеем
-е-ВоТЕъТ = 1Ь
или
4 (длз)
Для вычисления вклада евклидова пузыря в интеграл (Д.1) снова посту-
поступаем стандартным для седловых вычислений образом. Запишем вблизи
этого решения
ф(х) = фъ(х) + ф)
и сохраним в действии члены не выше второго порядка по rj,
flf<2> = Sb +1 ddx \р[-д1 + Г(фь)]ч,
где 5ь — евклидово действие евклидова пузыря. Следовательно, с точно-
точностью до высших поправок теории возмущений
/
(ДЛ4)

208 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
Вклад евклидова пузыря действительно подавлен величиной е*. Пред-
экспоненциальный множитель дается гауссовым интегралом по возмуще-
возмущениям Г}.
Для вычисления гауссового интеграла в (Д. 14) нам необходимо рас-
рассмотреть задачу на собственные значения
аналогичную задаче (Д. 6). Если бы собственные значения А были по-
положительны, мы пришли бы к формуле, аналогичной (Д.9) или (Д. 10).
Однако в случае евклидова пузыря имеются нулевые, а также отрица-
отрицательные собственные значения А, поэтому требуется дополнительный
анализ.
Начнем с обсуждения нулевых собственных значений. Появление
нулевых мод уравнения (Д. 15) связано с тем, что центр евклидова пу-
пузыря может находиться в любой точке евклидова пространства-времени,
т. е. мы в действительности имеем целое семейство решений евклидовых
уравнений поля, фъ(х - х0), параметризуемые d параметрами х§ (мы
изучаем вклад сферически-симметричного евклидова пузыря, рассмот-
рассмотренного в главе 12 книги I). Это приводит к наличию d нулевых мод
вокруг евклидова пузыря (с центром в Xq =0),
Нормировочный множитель здесь выбран так, что
в чем можно убедиться, используя теорему вириала.
Если бы мы поступали с нулевыми модами так же, как с ненуле-
ненулевыми, то соответствующий интеграл по Пд ^ао в выражении типа (Д.8)
разошелся бы. Для интерпретации этой расходимости удобно перейти
от интегрирования по daft к интегрированиям по «коллективным коорди-
координатам» — положению евклидова пузыря х%. С этой целью воспользуемся
процедурой типа Фаддеева—Попова и вставим в исходный функциональ-
функциональный интеграл (Д.1) единицу
1 = А[ф(х
V Ц
где
А[ф(х + х0)] = Det^ I ddx д^фь{х)дрф{х + х0Ц .

Д.1. Распад ложного вакуума 209
После перестановки порядка интегрирования по Т>ф и \\v dxvQ и замены
переменной ф(х + Хо) -* ф(х) получим
(Д-17)
Поскольку подынтегральное выражение теперь не зависит от ж0» ин-
интеграл по ddxo дает объем пространства-времени VT, где V — объем
(d- 1)-мерного пространства. Далее, благодаря <$-функции в интеграле
по Т>ф, вклад в него дает только окрестность евклидова пузыря с центром
в начале координат. В этой окрестности запишем
ф{х) = фь(х) + ]Г aW(x) + J2 вА«?л(«). (Д18)
Тогда 6 -функция в (Д. 17) будет равна
П
Поэтому интегрирование по dao приводит, с учетом множителя в мере
(Д. 8), к появлению фа
выражение (Д. 16) равно
А /О
(Д. 8), к появлению фактора (^г) • Наконец, для поля вида (Д. 18)
В итоге для вклада евклидова пузыря в энергию имеем
—} e~5b
где штрих обозначает отсутствие интегрирования по нулевым модам.
Помимо нулевых собственных значений, интересующий нас оператор
[-8% + У'(фь)) имеет и одно отрицательное собственное значение. Дей-
Действительно, этот оператор сферически симметричен (напомним, что фъ
зависит только от г = ^/ЩЩ), а нулевые моды имеют нетривиальную
зависимость от углов, т. е. ненулевой угловой момент. Ясно, что низ-
низшее 8-волновое состояние имеет меньшее собственное значение, т. е.
для него А < 0. Наивно существование отрицательного собственного
значения А указывает на расходимость интеграла по соответствующему
коэффициенту а_,
J
= оо при А-<0.

210 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
В действительности оно свидетельствует о необходимости рассматривать
интеграл (Д.1) в смысле аналитического продолжения некоторой хоро-
хорошо определенной величины. Соответствующие соображения приведены
Калланом и Коулменом A977); результат сводится к тому, что а_ нужно
считать чисто мнимой величиной, а также к появлению фактора 1/2
в окончательном ответе. Таким образом, приходим к выражению
-*h "~~ —.»■*■ 1 •
<f/2
-1/2
Здесь Det' обозначает детерминант (произведение собственных значений)
оператора, в котором опущены нулевые собственные значения.
С учетом (Д. 13) вклад евклидова пузыря в энергию ложного вакуума
имеет вид
1 /Я\"/2
Eb = -iV- — e"
Det(-0J + У"(ф-)
Прежде всего, этот вклад — чисто мнимый, т. е. евклидов пузырь дей-
действительно описывает распад ложного вакуума с шириной
d/2
-1/2
(Д-19)
Далее, эта ширина пропорциональна объему (d-1) -мерного пространства.
В пределе V -> оо конечной является величина Г/У — вероятность
распада в единицу времени в единице объема. Именно эта величина
и должна быть конечной, поскольку пузырек истинного вакуума может
спонтанно образоваться в любом месте (d — 1)-мерного пространства.
Итак, метод функционального интегрирования позволяет найти не
только главную квазиклассическую экспоненту, но и предэкспоненци-
альный множитель для вероятности распада ложного вакуума в единице
пространственного объема в единицу времени. Аналитическое вычисле-
вычисление фигурирующих в (Д. 19) функциональных детерминантов возможно
только в самых простых моделях; при необходимости его можно вы-
выполнить численно. В действительности эти детерминанты представляют
собой ультрафиолетово расходящиеся величины (сравни с (Д.11)), одна-
однако эти расходимости устраняются обычной перенормировкой параметров
лагранжиана (масс, констант связи, волновых функций).
В заключение этого раздела отметим, что метод учета нулевых мод,
изложенный в этом разделе, имеет весьма общий характер и с соответству-
соответствующими модификациями применяется при квазиклассическом квантова-
квантовании солитонов, вычислении инстантонных вкладов в функциональный
интеграл в теориях с калибровочными полями, нахождении вероятности
сфалеронных переходов при конечных температурах и в других ситуациях.

Д.2. Инстантонные вклады в функции Грина фермионов 211
Д.2. Инстантонные вклады
в функции Цшна фермионов
В главе 4 мы убедились, что инстантонные переходы приводят к ано-
аномальному несохранению фермионных квантовых чисел в ряде четырехмер-
четырехмерных калибровочных теорий. В этом разделе мы обсудим, как этот резуль-
результат может быть получен в формализме функционального интегрирования
и наметим путь вычисления соответствующих фермионных функций Гри-
Грина. Кроме того, мы рассмотрим появление эффективного 0-параметра
в теориях с массивными фермионами. Подход к этим вопросам, осно-
основанный на функциональном интеграле, является исторически первым
('тХоофт, 1976а, Ь) и наиболее адекватным для количественного анализа.
Рассмотрим для определенности четырехмерную модель с калибро-
калибровочной группой SUB) и одним дираковским SU B) -дублетом фермионов.
Евклидово действие модели имеет вид
где Sa — действие калибровочных полей,
SA = f d*x \f;vf;v + g.f. (Д.20)
(мы пока не включаем в него в -члена), а
Щ (Д-21)
— фермионная часть действия (мы всюду опускаем индекс Е для евклидо-
евклидовых объектов). В (Д.20) слагаемое, обозначенное «g.f.», включает в себя
член, фиксирующий калибровку, и действие духов Фаддеева—Попова.
В (Д.21) используются евклидовы 7-матрицы (сравни с разделом 4.2)
7 " \И о ) '
где
Нас будут интересовать евклидовы функции Грина типа
l*km\xl> • • • > хк> Jfl> • • • > ym; — \Y\xl) • • • у\хк)у\У\) •
Они даются функциональным интегралом
Gkm = / Т>АТ>фТ>ф e~sip(x{)... i>(ym), (Д-22)
где подразумевается также интегрирование по полям духов; имеется в виду,
что фиф— грассмановы переменные интегрирования. В частности, при

212 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
k = m = Q интеграл (Д.22) определяет энергию вакуума системы,
s t (д 23)
_ /
а при к = m = 1 он представляет из себя точную двухточечную функцию
1рина
Gn(x, у) = (ij}(x)ip{y)). (Д-24)
В дальнейшем мы для определенности остановимся на этих двух случаях.
Действие Sa имеет нетривиальную седловую точку (локальный ми-
минимум) — это инстантонное решение евклидовых уравнений поля. Вклад
ее окрестности в интеграл (Д.22) и будет нас интересовать.
Рассмотрим сначала случай безмассовых фермионов,
В этом случае в теории возмущений сохраняется киральность, т. е. отличны
от нуля только вакуумные средние операторов, инвариантных относи-
относительно (глобальных) преобразований,
-ф -* еШ7 'ф, ф -* $еШ7 . (Д-25)
Например, вакуумное среднее оператора iptp (свертка по лоренцевым
и изотопическим индексам подразумевается) равно нулю в теории возму-
возмущений.
Как следует из результатов главы 4, киральность перестает сохранять-
сохраняться при учете инстантонных переходов. Чтобы выяснить, как это явление
возникает в формализме функционального интегрирования, рассмотрим
инстантонный вклад в интеграл (Д.22). Вблизи инстантонного решения
запишем
л *inst ,
так что в гауссовом приближении будем иметь
-S- Г f -5B)Го )] inst
Gkm = е ш\ Va^e л (а"} (?Й(^ь • • •, Ут), (Д-26)
B)
где SA — квадратичная по возмущениям а^ часть бозонного действия
(включающая в себя член, фиксирующий калибровку и действие духов;
интегрирование по духовым полям по-прежнему подразумевается без
явной записи), a Gf£ — интеграл по фермионам во внешнем поле
инстантона,
(Д.27)
j
причем

Д.2. Инстантонные вклады в функции Грина фермионов 213
Интегрирование по бозонным флукгуациям а^ в (Д.26) выполняется мето-
методами, в принципе аналогичными рассмотренным в предыдущем разделе,
хотя имеет дополнительные усложнения, связанные с большим количе-
количеством нулевых бозонных мод, калибровочной инвариантностью и т.д.
Этот гауссов интеграл был явно вычислен 'тХоофтом A976b). Нас здесь
будет интересовать в первую очередь фермионный интеграл (Д. 27) в поле
инстантона.
Полезно обсудить вычисление интеграла типа (Д. 27) в произвольном
внешнем поле Ац и рассмотреть для определенности случаи к = т = О
и к = т — 1, т. е. матричные элементы единичного оператора и оператора
(Д.28)
(Д.29)
Для вычисления этих гауссовых интегралов по грассмановым переменным
диагонализуем квадратичную форму, стоящую в экспоненте (аналогично
бозонному случаю, рассмотренному в предыдущем разделе). Поскольку
оператор j^D^ антиэрмитов, его собственные значения — чисто мнимые,
и собственные функции ф\ удовлетворяют уравнению
Предположим сначала, что нулевые евклидовы фермионные моды отсут-
отсутствуют, как это имеет место для топологически тривиальных (и достаточно
слабых) внешних полей. Иначе говоря, пусть все собственные значения А
отличны от нуля. Из коммутационных соотношений для 7 -матриц следует,
что наряду с собственным значением А имеется и собственное значение
(-А), причем соответствующая собственная функция равна
Разложим теперь переменные интегрирования 1р(х) и 1р(х) по набору 1р\:
, (Д.ЗО)
где b\, b\ — грассмановы переменные интегрирования. Тогда интегралы
(Д.28) и (Д.29) примут вид
(Д.32)

214 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
- (Д-33)
Л',Л''
Эти интегралы вычисляются с учетом правил грассманового интегриро-
интегрирования
f
fdb = O, (Д.34)
bdb=l (Д.35)
и равны
П
()]
Величина
А *А
представляет собой функцию Грина оператора "f^D^. С учетом (Д.30) ее
можно записать также в виде
GA(x, У) = 2 A [fcWtflW " Т5^а(^)]
А>0 гА
Из этого представления сразу следует ее киральная инвариантность (ко-
(которая, впрочем, очевидна и из антикоммутации j^D^ иM),
Поэтому матричный элемент (Д.29) в топологически тривиальном внеш-
внешнем поле Ац также обладает свойством киральной инвариантности
Этот результат прямо обобщается на высшие фермионные функции Гри-
Грина в любых топологически тривиальных внешних полях, в том числе
на случай сильных внешних полей, в которых могут иметься нулевые
фермионные моды. Мы вновь приходим к выводу о сохранении кираль-
ности в обычной теории возмущений.
Ситуация в корне изменяется в случае внешнего поля инстантона
(и вообще, внешних полей с ненулевым топологическим числом D.20)).
В этом случае оператор j^Dfj, имеет одну левую нулевую моду, т. е.

Д.2. Инстантонные вклады в функции Грина ферм ионов 215
единственную собственную функцию с А = 0, имеющую структуру
= (?)• <Л36>
Для инстантонного внешнего поля явный вид Хо(х) Дается форму-
формулой D.25). Эта нулевая мода и ее сопряженная участвуют в разложениях
(Д.30), (Д. 31). Первым следствием существования нулевой моды является
равенство нулю интеграла (Д.32). Действительно, имеем для него
(l)imt = JdbodboJH
- -<Е
AjfcO
и интегралы по dbo и dbo равны нулю в силу свойства (Д.34) грассманова
интеграла. Таким образом, в теории с безмассовыми фермионами ин-
стантоны (и вообще конфигурации калибровочных полей с ненулевыми
топологическими числами) не дают вклада в энергию вакуума (Д.23).
В отличие от интеграла (Д.28), интеграл (Д.29) отличен от нуля
в поле инстантона. При этом в сумме в (Д.ЗЗ) существен только член
с А' = А" = 0, и с учетом (Д.35) имеем
, (Д.37)
где штрих обозначает отбрасывание нулевой моды. В силу (Д.36) этот мат-
матричный элемент нарушает киральность: при преобразовании (Д.25) имеем
ШШ)Ш -> ?2гаШШ)ш- СД-38)
Из результатов главы 4 следует, что приведенное рассуждение справедливо
для любых внешних калибровочных полей с единичным топологическим
числом. Более того, это рассуждение обобщается на произвольные функ-
функции Грина и произвольные значения топологического числа Q: в общем
случае сектор с топологическим числом Q дает вклад в вакуумные средние
операторов киральности 2Q, и только таких операторов. В этом и со-
состоит механизм аномального несохранения фермионных квантовых чисел
с точки зрения функционального интеграла, а намеченное в этом раз-
разделе инстантонное вычисление дает эффективный способ нахождения
аномальных функций Грина в теориях со слабой связью.
Намеченный здесь анализ можно обобщить на другие калибровоч-
калибровочные группы и/или фермионы в других представлениях. В частности,
количество и структура нулевых фермионных мод в поле инстантонов
в КХД и электрослабой теории таковы, что выполняются правила отбора
раздела 4.3.

216 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
Обсудим теперь зависимость физических величин от параметра в,
появляющегося в неабелевых теориях на квантовом уровне. Прежде всего
убедимся, что такая зависимость отсутствует в теориях с безмассовыми
фермионами. Параметр в можно ввести с помощью дополнительного
слагаемого в действие калибровочных полей; в евклидовой теории оно
имеет вид
Его роль состоит в том, что вклады секторов с топологическим зарядом Q
в функциональный интеграл пропорциональны exp (iQB). Например, ин-
стантонный вклад в двухточечную функцию Грина (Д.24) равен
о- (Д-39)
В силу свойства (Д.38) параметр в можно изгнать из (Д.39), переопределив
поля по формуле (Д.25) с а = -в/2. Это киральное вращение убирает В
из всех функций Грина, что в общем случае следует из сделанного выше
утверждения о правилах отбора. Таким образом, параметр в не является
физическим в теориях с безмассовыми фермионами (а также в теориях
типа стандартной электрослабой модели).
Рассмотрим теперь модель (Д.20), (Д.21) с массивными фермионами
и в ф 0. В этом случае киральность не сохраняется уже в теории воз-
возмущений и инстантонные вклады в функцию Грина не характеризуются
никакими специальными правилами отбора. Можно несколько обобщить
фермионный массовый член в действии, записав вместо последнего сла-
слагаемого в (Д.21) выражение
= Г
(Д.40)
Такое слагаемое в действии обладает необходимыми свойствами эрмито-
вости (в пространстве-времени Минковского), лоренц- и калибровочной
инвариантности. В теории возмущений параметр /3 несуществен, посколь-
поскольку от него можно избавиться киральным преобразованием полей (Д.25)
с а = -/3/2. Иначе обстоит дело при учете инстантонных вкладов.
Рассмотрим в качестве примера одноинстантонный вклад в энергию
вакуума (Д.23), причем будем для простоты считать массу фермиона
малой. При малых т массовый член (Д.40) можно учитывать по теории
возмущений. В нулевом порядке по m инстантон вклад в энергию вакуума
не дает, а в первом порядке по т имеем, при в Ф 0,
A)- = me"(^V>*0;m=0-
С учетом (Д. 37) имеем

Д.З. Инстантоны в теориях с механизмом Хиггса 217
и из (Д. 36) следует, что
где фактор {ipip)™* не зависит ни от в, ни от /3. Таким образом, вклад
инстантона в энергию вакуума зависит от в и /3, но только в комбинации
Этот результат справедлив для всех функций Грина; предположение о ма-
малости массы фермиона также несущественно. В общем случае в теориях
с массивными фермионами имеется единственный параметр 0eff (ком-
(комбинация параметра в и фаз массовой матрицы фермионов), который
несуществен в теории возмущений, но проявляется в физических величи-
величинах при учете инстантонных вкладов.
Появление эффективного 0-параметра особенно важно в кванто-
квантовой хромодинамике, поскольку оно приводит к заметному нарушению
СР -инвариантности в сильных взаимодействиях при не слишком ма-
малых 0eff • Возможное объяснение экспериментального факта об отсутствии
такого СР -нарушения (Печчеи, Квинн, 1977) состоит в том, что фазы
масс кварков являются динамическими переменными. При этом пара-
параметр /3 является в действительности вакуумным средним некоторого
скалярного поля (аксиона). Скалярный лагранжиан выбирается так, что
в отсутствие инстантонных эффектов КХД в теории имеется глобальная
[/"A)-симметрия и вакуумное значение /3 произвольно; аксион в этом
приближении является безмассовым годдстоуновским бозоном. Инстан-
тонные эффекты КХД нарушают эту [/A)-симметрию явно, и аксионное
поле принимает такое вакуумное значение, которое соответствует 0eff = О
(аксион при этом приобретает малую массу). Эта гипотеза, хотя она до сих
пор экспериментально не подтверждена, представляет большой интерес
как с точки зрения физики частиц, так и с точки зрения космологии.
Д.З. Инстантоны в теориях
с механизмом Хиггса.
Интегрирование вдоль долин
Масштабный аргумент запрещает существование инстантонных ре-
решений в четырехмерных теориях с механизмом Хиггса. Тем не менее,
евклидовы конфигурации с ненулевым топологическим числом Q и ко-
конечным действием существуют, и можно поставить вопрос о вкладе сек-
секторов с Q ф О в функциональный интеграл. Здесь мы приведем простые
соображения ('тХоофт, 1976b), быстро ведущие к правильному ответу
в наиболее интересном случае конфигураций малого размера с \Q\ = 1;
систематический подход к этому вопросу предложен Аффлеком A981).

218 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
Рассмотрим для определенности модель с калибровочной группой
SUB) и дублетом хиггсовских полей. Евклидово действие модели имеет
вид
г Г l 2 ( 1 А2]
J L 2#2 \ 2 / J
В секторе с Q = 1 гладкие конфигурации полей имеют следующие асимп-
асимптотики
где
ы = ^«.~ л»тас = -L (°
)
па — ха/г — единичный радиус-вектор в четырехмерном евклидовом
пространстве-времени.
В чистой теории Янга—Миллса (без хигтсовских полей) действие
масштабно инвариантно и его минимумы в секторе с Q = 1 — инстан-
тоны — характеризуются параметром р (размером инстантона), который
может принимать произвольные значения. Действие не зависит от р,
поэтому р выступает в качестве коллективной координаты, аналогичной
положению инстантона х%, обсуждавшемуся в разделе Д.1. Для вычисле-
вычисления вкладов всех инстантонов в функциональный интеграл чистой теории
Янга—Миллса необходимо проинтегрировать по р с использованием тех-
техники, намеченной в разделе Д.1. Образно говоря, в пространстве всех
евклидовых конфигураций полей чистой теории Янга—Миллса профиль
действия имеет долину с плоским дном, параметром вдоль которой слу-
служит р, как это схематически изображено на рис. Д.2. Интегрирование
вдоль долины должно выполняться точно, а вдоль перпендикулярных
направлений — в гауссовом приближении ^.
При включении хштсовских полей евклидово действие начинает
зависеть от масштаба конфигурации. Как мы сейчас увидим, при ма-
малых р вклад хиггсовских полей в евклидово действие мал по сравнению
с вкладом калибровочного поля. Иными словами, долина, изображенная
на рис. Д.2, перестает быть плоской, но остается пологой при неболь-
небольших р. Эта ситуация изображена на рис. Д.З. Ясно, с одной стороны, что
минимум действия отсутствует (он соответствует сингулярному пределу
р -» 0); с другой стороны, интегрирование по р по-прежнему нужно
производить вне гауссова приближения. При небольших р действие вдоль
долины можно найти из следующих соображений. Рассмотрим семейство
Разумеется, имеются и другие плоские направления, связанные с произволом
в положении инстантона, а также его ориентации в пространстве-времени и изо-
изотопическом пространстве. Эти направления не изображены на рис. Д.2.

Д.З. Инстантоны в теориях с механизмом Хиггса 219
Рис.Д.2
Рис. Д.З

220 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
конфигураций вида
где Вц и / не зависят от д и фа и зависят от р только посредством
комбинации х/р. Для таких конфигураций три вклада в действие (Д.41)
оцениваются следующим образом:
^ ос р2ф1
(V0 " 5Ф0) ос ХрАф1
При малых р вклад 5кп подавлен по сравнению с Sa фактором,
д фор ~ тур ,
а вклад Spot еще меньше — он подавлен даже по сравнению с
фактором,
11 11
Р ~ шр
Мы будем рассматривать случай тх < ту и интересоваться конфигура-
конфигурациями с масштабом р < mvl. Для них
Поэтому для вычисления действия на дне долины нужно прежде всего
минимизировать Sa при фиксированном р. Этот минимум — не что иное
как инстантон
Первое слагаемое в действии при этом не зависит от р и равно
а конфигурация поля ф пока не фиксирована. Для вычисления полного
действия в первом нетривиальном порядке по р необходимо найти поле ф,
минимизирующее вклад 5^ при заданном калибровочном поле (Д.43).
Это приводит к уравнению
iinst
ф- 0,

Д.З. Инстантоны в теориях с механизмом Хиггса 221
где .Djf81 = dp + А^. Решением этого уравнения с граничным условием
(Д.42) служит
Ф= JL-^fM, (Д.44)
при этом величина 5km ДЛЯ конфигурации (Д.43), (Д.44) равна ж2р2ф1.
Таким образом, для полного действия вдоль долины имеем
S = ^- + ir W + 4o(m^m^4). (Д.45)
fi{p) dp d?x0 exp | r - 7T20oP2 >•
В итоге вклад конфигураций с масштабом р С mvl в функциональный
интеграл (в секторе с Q = 1) можно записать следующим образом:
(Д.46)
Здесь мы учли интегрирование по положению инстантона, но не выписа-
выписали интеграл по коллективным координатам, связанным с ориентациями.
Зависимость от р предэкспоненты — меры (i(p) — возникает из функци-
функционального детерминанта ('тХоофт, 1976b); эта зависимость не слишком
существенна2^ при малых д2.
Поскольку инстантоны с р > ту1 подавлены фактором
Г
4тг2 2 2
ехр <Р m
по сравнению с инстантонами малого размера, изложенный подход поз-
позволяет найти инстантонный вклад в функциональный интеграл в области
значений р, наиболее интересной для большинства приложений. В то же
время, он не позволяет систематически находить поправки по р и не го-
годится для учета вкладов инстантонов с р > т,уХ. Кроме того, он не вполне
удовлетворителен еще и со следующей точки зрения. Поля Ар и ф массив-
массивны в данной модели, поэтому следовало бы ожидать их экспоненциального
стремления к асимптотикам (Д.42). Конфигурации (Д.43), (Д.44) этим
свойством не обладают.
Указанные недостатки устраняются в формализме локализованных
инстантонов (constrained instantons, Аффлек, 1981). Идея этого формализ-
формализма созвучна идее учета нулевых мод (см. раздел Д. 1) и состоит в том, чтобы
ввести в функциональный интеграл связь, параметризуемую масштабом р
(J-функцию с соответствующим детерминантом типа Фаддеева—Попова),
таким образом, чтобы полное действие имело настоящий минимум при
В действительности речь идет о значении бегущей константы связи на масшта-
масштабе р, т. е. д2(р~1). Именно эта величина фигурирует в экспоненте в (Д.46).

222 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
учете этой связи. Интегрирование по р производится в самом конце вы-
вычислений. В рамках этого формализма минимум действия со связью до-
достигается на конфигурациях полей, которые совпадают с (Д.43), (Д.44) при
г < Шу1 (то есть в наиболее интересной области), но экспоненциально
стремятся к асимптотикам (Д.42) при г -+ оо. Разумеется, результат (Д.46)
получается (при р < mvl) и в формализме локализованных инстантонов.
Д.4. Растущие инстантонные сечения
Высота энергетического барьера между топологически различными
вакуумами в четырехмерных неабелевых калибровочных теориях с меха-
механизмом Хиггса конечна и пропорциональна Еф ос my/ay, где ту —
масса векторного бозона и ау — #2/Dтг). В стандартной электрослабой
теории -Bsph ~ 10 ТэВ. Конечность высоты барьера приводит к большой
скорости переходов между калибровочными вакуумами при конечной
температуре (см. раздел 4.4).
Естественно задать вопрос, не могут ли процессы перехода между то-
топологически различными вакуумами быть индуцированы столкновениями
частиц с энергией (в системе центра масс) порядка Еф,, т. е. не пропадает
ли при этом экспоненциальное подавление вероятностей таких процессов.
В случае электрослабой теории это означало бы интенсивное несохране-
несохранение барионного и лептонного чисел при энергиях, в принципе доступных
будущим ускорителям.
К настоящему времени аналитический анализ этой проблемы про-
проведен лишь для случая относительно низких энергий (Е < Е^). Было
показано (Рингвальд, 1990; Эспиноза, 1990), что инстантонные сече-
сечения действительно быстро растут с энергией. В этом разделе мы кратко
обсудим причину этого интересного явления. В то же время, вопрос о по-
поведении сечений при энергиях в системе центра масс Е > Е^ остается,
строго говоря, открытым, хотя имеется ряд аргументов, свидетельствую-
свидетельствующих об экспоненциальном подавлении этих сечений при всех энергиях
(Бэнкс, Фаррар, Дайн, Карабали, Сакита, 1990; Захаров, 1991; Маджоре,
Шифман, 1992; Ребби, Синглтон, 1996; Кузнецов, Тиняков, 1997). В любом
случае, результаты численных расчетов, выполненных Безруковым и др.
B003) в рамках одного из квазиклассических методов (Рубаков, Шон, Ти-
Тиняков, 1992), показывают, что в электрослабой теории эти сечения крайне
малы при энергиях, доступных для ускорителей в обозримом будущем.
Рассмотрим для определенности модель с калибровочной группой
5GB) и дублетом хштсовских полей, обсуждавшуюся в предыдущем раз-
разделе, но без фермионов3\ В качестве примера будем изучать процесс,
' Напомним, что эту модель можно рассматривать как предельный случай алек-
трослабой теории при sin^ = 0. Фермионы Стандартной модели не играют

Д.4. Растущие инстантонные сечения 223
в котором два векторных бозона с энергией Е в системе центра масс пре-
превращаются в п векторных бозонов и при этом система переходит из одного
калибровочного вакуума в соседний. Топологическое число Q полевых
конфигураций, ответственных за этот процесс, должно быть равно еди-
единице. Мы будем рассматривать случай, когда энергии как начальных, так
и конечных векторных бозонов велики по сравнению с их массой, т. е.
Е
~>mv. (Д.47)
п
В этом случае массой векторных бозонов в выражении для конфигурации
локализованного инстантона можно пренебречь, т. е. можно пользовать-
пользоваться формулой (Д.43) для поля инстантона. Для вычисления амплитуды
процесса начнем с B + п) -точечной евклидовой функции Грина
п), (Д.48)
где пространственные и групповые индексы опущены. Выполним ква-
квазиклассическое вычисление этого интеграла в секторе с Q = 1, считая
А{х\)... А(уп) предэкспоненциальным фактором. Иными словами, учтем
только вклад конфигураций дна долины, обсуждавшейся в предыдущем
разделе. В этом приближении интегрирование по Т>АТ>ф заменяется на ин-
интегрирование по коллективным координатам дна долины (с учетом меры,
возникающей из соответствующего детерминанта флуктуации), в каче-
качестве действия фигурирует (Д.45), а поля А(х\)... А(уп) в предэкспоненте
заменяются инстантонными полями А'. В итоге имеем
х ехр |— - тгУtfol^Vi - хо', р)... Аш(Уп ~ х0', р). (Д.49)
Здесь имеется одна тонкость. Инстантонная конфигурация асимпто-
асимптотически, при г -» сю, стремится к чисто калибровочному полю (Д.42).
В то же время, поля векторных и хиггсовских бозонов отождествляются
с полями Л£ и ф в унитарной калибровке, где
Поэтому удобно сделать над конфигурацией (Д.43) калибровочное пре-
преобразование с калибровочной функцией о:\х) = (ТаПа, т.е. перевести
сколько-нибудь существенной роли в рассматриваемой задаче, поэтому мы рас-
рассматриваем чисто бозонную теорию.
В действительности нужно использовать конфигурации локализованных инстан-
тонов, упомянутых в разделе Д.З. Это не меняет результата (Д.55).

224 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
конфигурацию в унитарную калибровку. В унитарной калибровке
или, в компонентах,
Эта конфигурация сингулярна при г = 0, но сингулярность является чисто
калибровочной и не должна нас смущать. Именно конфигурация (Д. 50)
фигурирует в (Д.49) в качестве А™*.
В (Д.49) без явной записи подразумевается интегрирование по ориен-
тациям инстантона. При дальнейших оценках мы будем игнорировать тот
факт, что инстантон может иметь различные ориентации в пространстве-
времени и изотопическом пространстве. Из-за этого нам не удастся найти
численные постоянные в выражении для сечения. В действительности ин-
интегрирование по ориентациям инстантона весьма сложно с технической
точки зрения и выполняется методами, далеко выходящими за пределы
нашего краткого очерка.
Отметим сразу, что зависимость от координат в (Д.49) факторизуется
с точностью до интегрирования по положению инстантона х%, обеспечи-
обеспечивающего трансляционную инвариантность функции Грина. Это означает,
что в используемом приближении соответствующая амплитуда является
точечной. Отсюда видно, что вклад инстантона в сечение будет степенным
образом расти с энергией.
Для получения интересующего нас вклада в амплитуду процес-
процесса 2 —>■ п перейдем в импульсное представление, т.е. найдем G(k\,k2,
Рь • • • > Рп), сначала для евклидовых импульсов. Из (Д.49) ясно, что функ-
функция Грина в импульсном представлении выражается через фурье-образ
инстантонного поля A (q; p). Интегрирование по х% в (Д.49) приводит
к д-функции сохранения четырехмерного импульса, и мы получаем
xtlllSt /it \ г /1 1 1
dpp(p)
t 7 р9оА (ki)A (k2)A fa)...A fa). (Д.51)
Фурье-образ инстантонного поля в (Д.50) нетрудно вычислить явно.
Функция A (q) аналитична по q и имеет полюс при g = 0. Такую
же аналитическую структуру по всем своим аргументам имеет функция
Грина (Д.51). В действительности, функция Грина (Д.51) должна иметь
полюса на массовой оболочке векторных бозонов, т. е. при
*! = k2 = pi = ... = рп = -mv,

Д.4. Растущие инстантонные сечения 225
однако мы рассматриваем случай (Д.47), поэтому между точками q2 = О
ж q2 = —ту можно не делать различия5'. Теперь можно воспользовать-
воспользоваться формализмом Лемана—Симанчика—Циммермана, согласно которому
амплитуда процесса 2 -> п определяется вычетом функции Грина Сгп+2
на массовой оболочке по всем импульсам. Из (Д.51) получим инстантон-
ный вклад в эту амплитуду в виде
4Sn(kl5 k2, pu...,pn) = fdp nipyf-^RQn; />)... R(pn; p),
(Д-52)
где JR(q; p) — вычет инстантонной конфигурации A (q, p) в полюсе
q2 = 0. Явное вычисление дает
) = -P2\4\, (Д.53)
где мы по-прежнему опускаем тензорную структуру, зависящую от ори-
ориентации инстантона.
При
п > 1 (Д.54)
интегрирование по р в (Д.52) можно выполнить седловым образом.
Учитывая достаточно слабую зависимость меры ц от р, получим
( -^ )
\9щ/
N • |к2| • |Р1|... |р„|, (Д.55)
где константа с\ не зависит от импульсов и слабо зависит от остальных
параметров задачи, а с2 — численная постоянная. Видно, что ампли-
амплитуда (Д.55) действительно является точечной: зависимость от импульсов
в ней факторизуется.
В режиме (Д.47), (Д.54) из выражения (Д.55) нетрудно найти поведе-
поведение инстантонного сечения
Здесь dUn обозначает элемент п -частичного фазового объема, Е —
полная энергия в системе центра масс. Видно, что инстантонное сечение
действительно быстро (степенным образом) растет с энергией (Рингвальд,
1990; Эспиноза, 1990). Еще более удивительный результат получается для
полного сечения, т. е. суммы сечений (Д.56) по п. Доминирующий вклад
*В формализме локализованных инстантонов конфигурация 2 (q), а вме-
вместе с ней функция 1рина (Д.51), имеют полюса при правильных значениях
д2 = — ту. Существенный для нас вычет в полюсе для локализованного инстан-
инстантона совпадает с (Д.53) с точностью до поправок, малых в режиме (Д.47).

226 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
в эту сумму при больших Е дает процесс с числом конечных частиц,
по порядку величины равным
Само сечение растет экспоненциально с энергией 6\
о%(Е) ос «PJ--P-+ const- (^J j.
Этим формулам можно придать более прозрачный вид, введя обозначения
av = |jjT и Eq — л/бтг^-. Отметим, что Eq по порядку величины совпадает
с энергией сфалерона; в электрослабой теории Eq и 15 ТэВ (константа av
в этом случае — это константа связи aw, соответствующая группе SUB)).
В этих обозначениях полное сечение имеет вид
где мы выписали значение численной постоянной, найденное Захаровым
A992), Хлебниковым, Рубаковым и Тиняковым A990) и Поррати A990).
Характерное число конечных частиц и их энергия по порядку величины
равны
/\4/3 . . Е 11Ъ
Замечательный результат (Д.57) показывает, что в области энергий Е ~ Eq
экспоненциальное подавление в инстантонных процессах ослабляется.
Для этой области характерно большое (порядка 1/ау) число частиц, рож-
рождающихся в процессе рассеяния, индуцированного инстантоном, и малый
их импульс (порядка ту).
В то же время ясно, что результат (Д.57) не может быть справедлив
при всех энергиях: экспоненциально большое сечение противоречило бы
унитарности теории. Это означает, что квазиклассическая формула (Д.49)
непригодна для вычисления инстантонной амплитуды при высоких энер-
энергиях. И действительно, поправки к формуле (Д.57) также имеют экспонен-
экспоненциальный характер и становятся существенными при Е ~ Eq. В общем
случае инстантонное сечение имеет экспоненциальную форму
' Экспоненциальное поведение инстантонного сечения с энергией впервые обна-
обнаружено МакЛерраном, Вайнштейном и Волошиным A990) для случая хиггсов-
ских частид в конечном состоянии. Эти конечные состояния дают малый вклад
в полное сечение в той области энергий, где приводимый анализ законен.

Д.4. Растущие инстантонные сечения 227
а вычисления вблизи инстантона позволяют определить функцию F при
Е С Eq в виде ряда по степеням (|г) . Для вычисления показателя
экспоненты в наиболее интересной области Е > Eq необходимы квази-
квазиклассические методы, далеко выходящие за рамки этой книги. Как уже
отмечалось, расчеты в рамках одного из таких методов показывают (Без-
(Безруков и др., 2003), что экспоненциальное подавление сохраняется вплоть
до энергий, заметно превышающих Eq (дальнейшее обсуждение этого
вопроса см., например, в работе Рингвальда, 2003). К тому же, имеются
косвенные (хотя и достаточно серьезные) аргументы в пользу того, что
F{§-) отрицательна при всех энергиях.
Последнее утверждение, если оно справедливо, закрывает возмож-
возможность поиска электрослабых инстантонных процессов (сопровождающих-
(сопровождающихся несохранением барионного и лептонного чисел) на ускорителях. Тем
не менее, не исключена возможность обнаружения процессов, обуслов-
обусловленных инстантонами КХД, в столкновениях частиц высоких энергий
уже на существующих коллайдерах (Балицкий, Браун, 1993; Рингвальд,
Шремпп, 1994).

Литературные указания
Сначала мы приведем список учебников, монографий и обзоров, относя-
относящихся к теме данной книги. Этот список предназначен для первоначальной
ориентации читателя и не претендует на полноту.
Затем мы перечисляем статьи, на которые имеются ссылки в тексте книги.
Этот перечень составлен в алфавитном порядке. Более подробные ссылки можно
найти в приведенных монографиях и обзорах.
1. Учебники, монографии, обзоры
При чтении этой книги полезно пользоваться книгой: Рубаков В. А. Класси-
Классические калибровочные поля. Бозонные теории. М.: КомКнига, 2005.
К части I и Дополнению.
Фермионы в калибровочных теориях рассматриваются в книгах [1-11] и об-
обзорах [13, 14].
1. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.:
Наука, 1984.
2. Волошин М. Б., Тер-Мартиросян К. А. Теория калибровочных взаимодействий
элементарных частиц. М.: Энергоатомиздат, 1984.
3. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля: В 2 т. М.: Мир, 1984.
4. Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. М.: УРСС, 2005.
5. Поляков А. М. Калибровочные поля и струны. М.: ИТФ им. Л. Д. Ландау, 1994.
6. Райдер Л. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987.
7. Рамон П. Теория поля. Современный вводный курс. М.: Мир, 1984.
8. Славное А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных
полей. М.: Наука, 1988.
9. Ченг Т.-П., Ли Л.-Ф. Калибровочные теории в физике элементарных частиц.
М.: Мир, 1987.
10. Peskin М. Е., Schroeder D. V. An Introduction to Quantum Field Theory. Reading:
Addison-Wesley, 1995.
11. Weinberg S. The Quantum Theory of Fields. Vol. 1: Foundations. Cambridge:
Cambridge University Press, 1995.; Vol. 2: Modern Applications. Ibid., 1996; Vol. 3:
Supersymmetry. Ibid., 2000.
13. Abers E.S., Lee B. W. Gauge Theories. Phys. Reports, 9, p. 1, 1973 (имеется
перевод в сборнике: Квантовая теория калибровочных полей. М.: Мир, 1977).
14. Coleman S. Secret Symmetry: An Introduction to Spontaneous Symmetry Break-
Breakdown and Gauge Fields. In: Laws of Hadronic Matter, Proc. 1973 International
School of Subnuclear Physics, Erice, ed. A. Zichichi. New York: Academic Press,
1975 (имеется перевод в сборнике «Квантовая теория калибровочных полей»,
М.: Мир, 1977).

Литературные указания 229
Взаимодействие фермионов с топологическими скалярными и калибровоч-
калибровочными полями обсуждается в монографиях [15, 16] и обзорах [17-19].
15. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М.: Мир,
1985.
16. Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология. М.: Наука, 1989.
17. Jackiw R. Quantum Meaning of Classical Field Theory. Rev. Mod. Phys., 49, p. 681,
1977.
18. Coleman S. The uses of Instantons // The Whys of Subnuclear Physics, Proc.
1977 International School of Subnuclear Physics, Erice, ed. A. Zichichi. New York;
Plenum Press, 1979.
19. Вайнштейн А. И., Захаров В. И., Новиков В. А., Шифман М.А. Инстантонная
азбука. УФН, 136, с. 553, 1982.
Кроме того, см. обзоры:
20. Rubakov V.A. Monopole Catalysis of Proton Decay. Rep. Prog. Phys., 41, p. 1357,
1978 (раздел 3.2).
21. Kim J. E. Light Pseudocsalars, Particle Physics and Cosmology. Phys. Reports, 150,
p. 1, 1987 (раздел Д.2).
22. Cohen A. G., Kaplan D. В., Nelson A. Progress in Electroweak Baryogenesis. Ann.
Rev. Nucl. Part. Sci., 43, p. 27, 1993 (раздел 4.4).
23. Матвеев В. А., Рубаков В. А., Тавхелидзе А. К, Шапошников М.Е. Несохра-
Несохранение барионного числа в экстремальных условиях. УФН, 156, с. 253, 1988
(раздел 4.4).
24. Mattis M. P. The Riddle of High Energy Baryon Number Violation. Phys. Reports,
214, p. 159, 1992 (раздел Д.4).
25. Рубаков В.А., Шапошников М.Е. Электрослабое несохранение барионного
числа в ранней Вселенной и в столкновениях частиц при высоких энерги-
энергиях. УФН, 166, с. 493, 1996 (разделы 4.4, Д.4).
26. Tinyakov P. G Instanton-Iike Transitions in High Energy Collisions. Int. J. Mod.
Phys., A8, p. 1823, 1993 (раздел Д.4).
27. Рубаков В. А. Большие и бесконечные дополнительные измерения. УФН, 171,
с. 913, 2001 (глава 5).
28. Kubyshin Yu.A. Models with extra dimensions and their phenomenology, hep-
ph/0111027, 2001 (глава 5).
29. Gabadadze G. ICTP Lectures on Large Extra Dimensions, hep-th/0312074, 2004
(глава 5).
К части П.
Обзоры:
30. Douglas M.R., Nekrasov N.A. Noncommutative Field Theory. Rev. Mod. Phys.,
73, p. 977, 2001.
31. Nekrasov N. A. Trieste Lectures on Noncommutative Gauge Theories, hep-
th/0011095, 2000.
32. Harvey J.A. Komaba Lectures on Noncommutative Solitons and D-branes. hep-
th/0102076, 2001.

230 Литературные указания
33. Arefeva I. Ya., Belov D. M., Giryavets A. A., Koshelev A. S., Medvedev P. B. Non-
commutative Field Theories and (Super)String Field Theories, hep-th/0111208,
2001.
34. Konechny A., Schwarz A. Introduction to M(atrix) Theory and Noncommutative
Geometry. Phys. Reports, 360, p. 353, 2002.
2. Статьи
1. Абрикосов A. A. A957) ЖЭТФ, 32, с 1442.
2. Adkins G. S., Nappi С. R., Witten E. A983) Nucl. Phys., B228, p. 552.
3. AdlerS.L. A969) Phys. Rev., 177, p. 2426.
4. Affleck I. A981) Nucl. Phys., B191, p. 429.
5. Aganagic M., GopakumarR., Minwalla S., StromingerA. B001) JHER 0104, p.001.
6. AkamaA. A982) In: Proc. of Symposium on Gauge Theory and Gravitation, Nara,
1982.
7. AlfordM.G, WilczekF. A989) Phys. Rev. Lett, 62, p. 1071.
8. Ambjorn /., Greensite /., Peterson С A983) Nucl. Phys., B221, p. 381.
9. Ambjorn /., Rubakov V.A. A985) Nucl. Phys., B256, p. 434.
10. Anderson P W. A963) Phys. Rev., 130, p.439.
11. Ansourian M. A977) Phys. Lett., 70B, p. 301.
12. Antoniadis I., Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G.R. A998) Phys. Lett.,
B436, p. 257.
13. ArqfuneJ., FreundPG.O., GoebelC.J. A975) J. Math. Phys., 16, p. 433.
14. Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. R. A998) Phys. Lett., B429, p. 263.
15. BakD. B000) Phys. Lett., B495, p. 251.
16. Bak D., Lee K., Park J. H. B001) Phys. Rev., D63, p. 125010.
17. Balitsky I.I., Braun V. M. A993) Phys. Rev., D47, p. 1879.
18. Banks Т., Bender С M., Wu T. T. A973) Phys. Rev., D8, p. 3346.
19. Banks Т., Bender С M. A973) Phys. Rev., D8, p. 3366.
20. Banks Т., Farrar G., Dine M., Karabali D., Sakita B. A990) Nucl. Phys., B347,
p. 581.
21. Banks Т., Rabinovici E. A979) Nucl. Phys., B160, p. 349.
22. Белавин А. А., Поляков А. М. A975) Письма в ЖЭТФ, 22, с. 503.
23. Belavin A. A., Polyakov A. M., Schwarz A. S., Tyupkin Yu.S. A975) Phys. Lett.,
59В, р. 85.
24. Bell J. S., Jackiw R. A969) Nuovo Cimento, A60, p. 47.
25. Bezrukov F., Rebbi C, Levkov £>., Rubakov V., Tinyakov P. B003) Phys. Rev., D68,
p. 036005.
26. Bochkarev A. /., Shaposhnikov M. E. A987) Mod. Phys. Lett, A2, p. 991.
27. Боголюбов H. #., Струминский Б. В., Тавхелидзе А. Н. A965) Препринт ОИЯИ
Д - 1968.
28. Богомольный Е. Б. A976) ЯФ, 24, с. 861.
29. Boguta J. A983) Phys. Rev. Lett., 50, p. 148.
30. Brihaye Y., Grigoriev D. Yu., Rubakov V.A., Tchrakian D.H. B003) Phys. Rev.,
D67, p. 034004.

Литературные указания 231
31. Брийе И., Рубаков В.А., ЧракянД., Циммершид Ф. B001) ТМФ, 128, с. 361.
32. Brown L. S., Carlitz R. D, Lee С. A977) Phys. Rev., D16, p. 417.
33. Вакс В. Г., Ларкин А. И. A961) ЖЭТФ, 40, с. 282.
34. Владимиров В. С, Жареное В. В. Уравнения математической физики. М.:
Физматлит, 2000.
35. Волобуев И. П., Кубышин Ю.А. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли
и их приложения в теории поля. М.: УРСС, 1998.
36. Волошин М. Б., Кобзарев И. Ю., Окунь Л. Б. A974) ЯФ, 20, с. 1229.
37. СаЬЫЪо N. A963) Phys. Rev. Lett., 10, p. 531.
38. Callan С. G. A982) Phys. Rev., D25, p. 2141; ibid., D26, p. 2058; Nucl. Phys.,
B212,p.391.
39. Callan С G, Coleman S. A977) Phys. Rev., D16, p. 1762.
40. Callan С G, Dashen R. R, Gross D. J. A976) Phys. Lett., 63B, p. 334.
41. Callan C. G, Dashen R. F, Gross D. J. A978) Phys. Rev., D17, p. 2717.
42. Callan С G, Witten E. A984) Nucl. Phys., B239, p. 161.
43. Coleman S. A977) Phys. Rev., D15, p. 2929.
44. Coleman S. A985) Nucl. Phys., B262, p. 263.
45. Coleman S., Glaser V., Martin A. A978) Commun. Math. Phys., 58, p. 211.
46. Coleman S, Weinberg E. A973) Phys. Rev., D7, p. 1888.
47. Dashen R., Hasslacher В., NeveuA. A974a) Phys. Rev., D10, p. 4130.
48. Dashen R., Hasslacher В., NeveuA. A974b) Phys. Rev., D10, p. 4138.
49. Dereli Т., Swank J. Я., Swank L. J. A975) Phys. Rev., D12, p. 3541.
50. Deser S., Jackiw JR., Templeton S. A982) Annals of Physics, 140, p. 372.
51. Derrick GH. A964) J. Math. Phys., 5, p. 1252.
52. D'HokerE., Farhi E. A984) Nucl. Phys., B241, p. 109.
53. Dolan L, Jackiw R. A974) Phys. Rev., D9, p. 3320.
54. Dubovsky S. L., Rubakov V.A., Tinyakov P. G. B000) JHEP, 0008, p. 041.
55. Dubovsky S. L, Rubakov V.A., Sibiryakov S. M. B002) JHEP, 0201, p. 037.
56. Dubovsky S L., Sibiryakov S. M. B003) Nucl. Phys., B664, p. 407.
57. Dvali G, Kusenko A., Shaposhnikov M. E. A997) Phys. Lett., B417, p. 99.
58. Dvali G, Shifman M.A. A997) Phys. Lett., B396, p. 64.
59. Englert F., Brout R. A964) Phys. Rev. Lett., 13, p. 321.
60. Espinosa O. A990) Nucl. Phys., B343, p. 310.
61. Fradkin E., Shenker S. A979) Phys. Rev., D19, p. 3682.
62. Frere J.-M., Libanov M. V., Troitsky S. V. B001) Phys. Lett., B512, p. 169.
63. FriedbergR., Lee T.D. A977) Phys. Rev., D15, p. 1694; ibid., D16, p. 1096.
64. Friedberg R., Lee T.D., Sirlin A. A976) Phys. Rev, D13, p. 2739; Nucl. Phys.,
B115, p. 1;/Ш.,р.32.
65. Fritzsch Я., Gell-Mann M., Leutwyler H. A973) Phys. Lett., 47B, p. 365.
66. Fubini S. A976) Nuovo Cimento, 34A, p. 521.
67. FuruuchiK. B001) JHEP, 0103, p. 033.
68. Georgi H., Glashow S. L. A972) Phys. Rev. Lett., 28, p. 1494.
69. Georgi H., Glashow SL. A974) Phys. Rev. Lett., 32, p. 438.
70. Glashow S.L. A961) Nucl. Phys., 22, p. 579.

232 Литературные указания
71. Goldstone J. A961) Nuovo Cimento, 19, p. 154.
72. GopakumarR., S, Minwalla, StromingerA. B000) JHEP, 0005, p. 020.
73. Gribov V. N. A976) unpublished.
74. GrigorievD. Yu., Rubakov V.A. A988) Nucl. Phys., B299, p. 67.
75. Gross D. J, Nekrasov N. A. B001) JHEP, 0103, p. 044.
76. Gross D.J., Wilczek F A973) Phys. Rev. Lett., 30, p. 1343.
77. Guralnik G. S., Hagen С. Я, Kibble T. W. B. A964) Phys. Rev. Lett., 13, p. 585.
78. Зельдович Я. Б., Кобзарев И. Ю., Окунь Л. Б. A974) ЖЭТФ, 67, с. 3.
79. Han М. Y, Nambu Y. A965) Phys. Rev., 139В, p. 1006.
80. Harvey J.A., Kraus P., Larsen F. B000) JHEP, 0012, p.024.
81. HasenfratzR, 'tHooftG. A976) Phys. Rev. Lett., 36, p. 1119.
82. Higgs P. W. A964) Phys. Rev. Lett., 13, p. 508.
83. 'tHooftG. A974) Nucl. Phys., 79, p.276.
84. 'tHooft G. A976a) Phys. Rev. Lett., 37, p. 8.
85. 'tHooft G. A976b) Phys. Rev, D14, p. 3432.
86. Horvath Z, Lechtenfeld O., Wolf M.B002) JHEP, 1212, p. 060.
87. Jackiw R., Rebbi C. A976a) Phys. Rev. Lett., 37, p. 172.
88. Jackiw R., Rebbi С A976b) Phys. Rev, D13, p. 3398.
89. Jackiw R., Rebbi С A977) Phys. Rev, D6, p. 1052.
90. Jackiw R., Nohl C, Rebbi С A977) Phys. Rev, D15, p. 1642.
91. Jackiw R., Rossi P. A981) Nucl. Phys., B190, p. 681.
92. Julia В., Zee A A975) Phys. Rev, Dll, p. 2227.
93. Kajantie K, Laine M., Rummukainen K., Shaposhnikov M.E. A996) Phys. Rev.
Lett., 77, p. 2887.
94. Khlebnikov S. Yu., Rubakov V.A., Tinyakov P.G. A990) Mod. Phys. Lett., A5,
p.1983.
95. Kibble T. IV., LazaridesG., Shaft Q. A982) Phys. Rev, D26, p.435.
96. КиржницД.А. A972) Письма в ЖЭТФ, 15, с. 745.
97. KirzhnitsD.A., LindeA.D. A972) Phys. Lett., 72B, p. 471.
98. KirzhnitsD.A., LindeA.D. A976) Annals of Physics, 101, p. 195.
99. KiskisJ. A977) Phys. Rev, D15, p. 2329.
100. Kiskis J. A978) Phys. Rev., D18, p. 3690.
101. Klinkhamer F R., Manton N S. A984) Phys. Rev., D30, p. 2212.
102. KobayashiM., Maskawa K. A973) Prog. Theor. Phys., 46, p. 652.
103. Krasnikov N V., Rubakov V. A., Tokarev V. F. A979) J. of Phys., A12, p. L343.
104. Kusenko A. A997) Phys. Lett., B405, p. 108.
105. Кузьмин В. А. A970) Письма в ЖЭТФ, 13, с. 335.
106. Kuzmin V.A., Rubakov V.A., Shaposhnikov M.E. A985) Phys. Lett., 155B, p.36.
107. Kuznetsov A. N, Tinyakov P. G. A997) Phys. Rev., D56, p. 1156.
108. Липатов Л.Н. A977) ЖЭТФ, 72, с. 411.
109. Lowenstein J.H, Swieca J.A. A971) Annals of Physics, 68, p. 172.
110. Maggiore M., Shiftnan M. A992) Nucl. Phys., B365, p. 161.
111. Manton N. S. A983) Phys. Rev., D28, p. 2019.
112. Марков M. A. A940) ЖЭТФ, 10, с. 1313.

Литературные указания 233
113. МарковМ. А. A951) ЖЭТФ, 21, с. 11.
114. Matveev V.A., Rubakov V.A., Tavkhelidze A.N., TokarevV.F. A987) Nucl. Phys.,
B282, p. 700.
115. McLerran L., Vainshtein A., Voloshin M. A990) Phys. Rev., D42, p. 171.
116. Miyamoto Y. A965) Prog. Theor. Phys. SuppL, Extra No., p. 187.
117. Монастырский М. И., Переломов А. М. A975) Письма в ЖЭТФ, 21, с. 94.
118. Mottola Е., WipfA. A989) Phys. Rev., D39, p. 588.
119. Nambu Y. A960) Phys. Rev. Lett, 4, p. 380; Phys. Rev., 117, p. 648.
120. NekrasovN., SchwarzA. A998) Commun. Math. Phys., 198, p. 689.
121. Nielsen H. В., Ninomiya M. A983) Phys. Lett., 130B, p. 389.
122. Nielsen H. В., Olesen P. A973) Nucl. Phys., B61, p.45.
123. Nielsen N. K., SchroerB. A977a) Nucl. Phys., B120, p. 62.
124. Nielsen N. K., Schroer B. A977b) Nucl. Phys., B127, p. 493.
125. Oda I. B000) Phys. Lett., B496, p. 113.
126. PatrascioiuA. A979) Phys. Rev, D20, p. 491.
127. Peccei R.D., Quinn H. A977) Phys. Rev. Lett., 38, p. 1440.
128. Polychronakos A. P. B000) Phys. Lett., B495, p. 407.
129. PolitzerH.D. A973) Phys. Rev. Lett., 30, p. 1346.
130. Поляков А. М. A974) Письма в ЖЭТФ, 20, с. 430.
131. PorratiM. A990) Nucl. Phys., B347, p. 371.
132. PrasadM.K., Sommerfield CM. A975) Phys. Rev. Lett., 35, p. 760.
133. Randall L, Sundrum R. A999) Phys. Rev. Lett., 83, p. 3370.
134. Rebbi C, Singleton R. A996) Phys. Rev, D54, p. 1020.
135. RingwaldA. A988) Phys. Lett., 213B, p. 61.
136. RingwaldA. A990) Nucl. Phys., B330, p. 1.
137. RingwaldA. B003) JHEP, 0310, p. 001.
138. RingwaldA., Schrempp F. A994) In: Proc. International Seminar "Quarks-94", eds.
D. Yu. Grigoriev et.al. — Singapore: World Scientific, 1995.
139. Рубаков В. А. A981) Письма в ЖЭТФ, 33, с. 658.
140. Rubakov V.A. A982) Nucl. Phys., B203, p. 311.
141. Rubakov V.A. A986) Prog. Theor. Phys., 75, p. 366.
142. Rubakov V.A., Shaposhnikov M.E. A983) Phys. Lett., B125, p. 136.
143. Rubakov V.A., Son D. Т., Tinyakov P. G. A992) Phys. Lett., B287, p. 342.
144. SalamA. A968) In: Elementary Particle Theory. Proc 1968 Nobel Symposium, ed.
A. Svartholm. — Stockholm: Lerum.
145. Сахаров А. Д. A967) Письма в ЖЭТФ, 5, с. 32.
146. SeibergN, Witten E. A999) JHEP, 9909, p. 032.
147. Skyrme T. H.R. A961) Proc. Roy. Soc, A260, p. 127.
148. SnyderH.S. A947a) Phys. Rev, 71, p. 68.
149. Snyder H. S. A947b) Phys. Rev, 72, p. 38.
150. Soni V. A980) Phys. Lett., 93B, p. 101.
151. SchwarzA.S. A977) Phys. Lett., 67B, p. 172.
152. SchwingerJ. A962) Phys. Rev, 125, p. 397.
153. Тюпкин Ю. С, Фатеев В. А., Шварц А. С. A975) Письма в ЖЭТФ, 21, с. 91.

234 Литературные указания
154. Yilenkin A., Everett А. Е. A982) Phys. Rev. Lett., 48, p. 1867.
155. Weinberg S. A967) Phys. Rev. Lett., 19, p. 1264.
156. Weinberg S. A974) Phys. Rev., D9, p. 3357.
157. Weinberg S. A978) Phys. Rev. Lett., 40, p. 223.
158. Wilczek F. A978) Phys. Rev. Lett., 40, p. 279.
159. Witten E. A979) Phys. Lett., B86, p. 283.
160. Witten E. A982) Phys. Lett, 117B, p. 324.
161. Witten E. A983) Nucl. Phys., B223, p. 433.
162. Witten E. A985) Nucl. Phys., B249, p. 557.
163. Wu Т. Т., Yang С N. A975) Phys. Rev., D12, p. 3845.
164. Yaffe L. A989) Phys. Rev., D40, p. 3463.
165. Yang С N., Mills R. L A954) Phys. Rev., 96, p. 1.
166. Zakharov V.I. A991) Phys. Rev. Lett., 67, p. 3650.
167. Zakharov V.I. A992) Nucl. Phys., B371, p.637.

Предметный указатель'
Абрикосова—Нильсена—Олесена
вихрь 57, 108
Адлера—Белла—Джекива аномалия
53,88
аксион 217
антиинстантон 88, 101
антикинк 39, 41
антифермион 15, 17
Атьи—Зингера теория индекса 81
Атьи—Патоди—Зингера теорема 53,
81
Барионное число 36, 37
, электрослабое несохранение
77, 91, 94
Вейлевский символ оператора 126
Вейля уравнение 13
евклидово 83, 84
вортон 157
Генератор алгебры Ли 25
— нарушенный 90, 139
глобальная аномалия 67
глюон 32
гомотопический класс 81
грассманов интеграл 214, 215
группа U(oo) 139
— цвета SU{3)C 32, 34
Дирака гамильтониан 10, 42
— уравнение евклидово 78, 84, 91
доменная стенка 105
Изоспин 21
Калибровочная группа U(oo) 155
квантовая теория поля 203
— хромодинамика, КХД 32, 88
кварки 21
—, смешивание 34
киральность 46
—, несохранение в КХД 89
ковариантная производная 19, 22, 23
Лептон 29, 31
лептонное действие 32
— число 36
, электрослабое несохранение
91
локализованный инстантон 221
Многоинстантонные решения 188
модули 139
монопольный катализ распада
протона 64
Нейтрино 13, 29
некоммутативное R2N 132
— скалярное поле 123
некоммутативные координаты 122
— теории поля 121
нулевая мода трансляционная 140
фермионная 40, 41, 44, 64, 68,
77, 79, 86, 118, 214
Оператор частичной изометрии 170,
195
Параметр некоммутативности 122
Паули матрицы 11
Этот указатель дополняет оглавление, не повторяя его. В указатель включены
термины и понятия, непосредственно не отраженные в оглавлении.

236
Предметный указатель
предел сильной некоммутативности
133, 172
пространственное отражение 10
псевдоголдстоуновский бозон 77, 90
Самодуальная некоммутативность
186
самодуальности уравнение 187
Скирма модель 97
слабый гиперзаряд 29, 30
спиральность 15
струна 57
существенно некоммутативный вихрь
172
сфалерон 95
Тепловые скачки 95
ток топологический 98
трансляции 109
'тХоофта—Полякова монополь 57
Фаддеева—Попова процедура 208
фермион левый 13
— правый 13
фермионное действие 24, 25
— число 17
, аномальное несохранение 44,
67, 120, 211
левое 45
полуцелое 42
правое 45
функциональный детерминант 206,
221
Хиггсовское поле 30
Цвет 21, 32
Эффективный в -параметр 217
Юкавская связь 23
•-произведение 127
С-сопряжение 11

Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Наше издательство специализируется на выпуске научной и учебной
литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых Россий-
Российской академии наук, научно-исследовательских институтов и учебных
заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономи-
экономических условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке
издания — от набора, редактирования и верстки до тиражирования
и распространения. URSS
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
Рудаков В. А. Классические калибровочные поля. Бозонные теории.
Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. Т. 1-4.
Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А. Гравитация.
Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля.
Волобуев И. П., Кубышин Ю. А. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли
и их приложения в теории поля.
Маслов В. П., Шведов О. Ю. Метод комплексного ростка в задаче многих частиц
и квантовой теории поля.
Богуш А. А. Введение в калибровочную полевую теорию электрослабых взаимодействий.
Богуш А. А., Мороз Л. Г. Ведение в теорию классических полей.
Розенталь И. Л., Архангельская И. В. Геометрия, динамика, Вселенная.
Летрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике.
Ван дер Верден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике.
Галицкий В. М., Карнаков Б. М., Коган В. И. Задачи по квантовой механике. Ч. 1,2.
Горбацевич А К. Квантовая механика в общей теории относительности.
Горбацевич А. К. Основы квантовой механики в искривленном пространстве-времени.
Килин С. Я. Квантовая оптика: поля и их детектирование.
Вильф Ф. Ж. Логическая структура квантовой механики.
Эддингтон А Относительность и кванты.
Бройль Л. де. Введение в волновую механику.
Окунь Л. Б. Физика элементарных частиц.
Окунь Л. Б. Лептоны и кварки.
Борн М. Лекции по атомной механике.
Вайсбурд Ф. Я., Панаев Г. А., Савельев Б. Н. Электронные приборы и усилители.
Зайцев Р. О. Диаграммные методы в теории сверхпроводимости и ферромагнетизма.
Рвухин Л. Н. Радиационно-стимулированные изменения диэлектрической дисперсии.
Угаров В. А. Специальная теория относительности.
Вейль Г. Пространство. Время. Материя. Лекции по общей теории относительности.
Планк М. Введение в теоретическую физику. Кн. 1-5: Общая механика; Механика
деформируемых тел; Теория электричества и магнетизма; Оптика; Теория теплоты.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.
Вайнберг С. Мечты об окончательной теории. Пер. с англ.
Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны и поиски окончательной теории.
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел./факс @95) 135-42-16,135-42-46
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в Интернет-магазине: http://URSS.ru
Научная и учебная
литература

Представляем Вам наши лучшие книги:
Учебники, задачники, популярные книги по физике
Воронов В. К, Подопяелов А В. Современная физика.
Иванов Б. Н. Законы физики. URSS
Капитонов И. М. Введение в физику ядра и частиц.
Кириллов В. М. и др. Решение задач по физике.
Кронин Дж., Гринберг Д., Телегди В. Теоретическая физика. Сб. задач с решениями.
Колоколов И В. и др. Задачи по математическим методам физики.
Жукарев А. С. и др. Задачи повышенной сложности в курсе общей физики.
Розенблапг Г. М. Механика в задачах и решениях.
Матвиенко Ю. Г., Сапунов В. Т. Сопротивление материалов в задачах и решениях.
Шепелев А. В. Оптика. Готовимся к экзаменам, зачетам, коллоквиумам.
Гликлих Ю. Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики.
Бардзокас Д. #., Зобнин А. И., Сеник Н. А., Филыитинский М. Л. Задачи по теории
термопьезоэлектричества с подробными решениями.
Сурдин В. Т. Астрономические задачи с решениями.
Николаев О. С. Физика и астрономия: Курс практических работ для средней школы.
Попова А. П. Занимательная астрономия.
Томов Г. Мистер Томпкинс в Стране Чудес, или истории ос, G и Л.
Томов Г. Мистер Томпкинс исследует атом.
Эддингтон А. Пространство, время и тяготение.
Оптика. Колебания и волны
Саржевский А. М. Оптика. Полный курс.
Майкельсон А. А. Исследование по оптике.
Федоров Ф. И. Оптика анизотропных сред.
Стрэтт (Рэлей) Дж. В. Волновая теория света.
Иванов Б. Н. Мир физической гидродинамики.
Добролюбов А И. Бегущие волны деформации.
Добролюбов А. И. Скольжение, качение, волна.
Добролюбов А. И. Волновой перенос вещества.
Кравченко И Т. Теория волновых процессов.
Шашков А. Г., Бубнов В. А., Янковский С. Ю. Волновые явления теплопроводности.
Гончаренко А. М., Карпенко В. А. Основы теории оптических волноводов.
Гончаренко А. М. Гауссовы пучки света.
Бардзокас Д. И и др. Распространение волн в электромагнитоупругих средах.
Бардзокас Д. И., Зобнин А. И. Математическое моделирование физических процессов
в композиционных материалах периодической структуры.
Бардзокас Д. И, Зобнин А И, Сеник Н.А, Филыитинский М. Л. Математическое
моделирование в задачах механики связанных полей. В 2 т.
Астапенко В. А Поляризационные и интерференционные эффекты
в излучательных процессах.
Звягин В. Г., Дмитриенко В. Т. Аппроксимационно-топологический подход
к исследованию задач гидродинамики. Система Навье—Стокса.
Кабисов К. С, Комолое Т. Ф., Лурье В. А Колебания и волновые процессы.

Представляем Вам наши лучшие книги:
Астрономия и астрофизика
Ефремов Ю. Н. Вглубь Вселенной. Звезды, галактики и мироздание.
Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии. URSS
Куликовский П. Г. Справочник любителя астрономии.
Чернин А. Д. Звезды н физика.
Сажин М. В. Современная космология в популярном изложении.
Левитан Е. П. Физика Вселенной: экскурс в проблему.
Левитан Е. П. Дидактика астрономии.
Бааде В. Эволюция звезд и галактик.
Шварцшильд М. Строение и эволюция звезд.
Архангельская И.Д., Чернин АД., Розентапь И.Л. Космология и физический вакуум.
Кинг А Р. Введение в классическую звездную динамику.
Хлопов М. Ю. Космомикрофизика.
Хлопов М. Ю. Основы космомикрофизики.
Шпатов С. И. Миграция небесных тел в Солнечной системе.
Янчилина Ф. По ту сторону звезд. Что начинается там, где заканчивается Вселенная?
Юревич В. А. Астрономия доколумбовой Америки.
Дорофеева В. А, Макалкин А. Б. Эволюция ранней Солнечной системы.
Тверской Б. А. Основы теоретической космофизики.
Философия физики
Борн М. Моя жизнь и взгляды.
Шредингер Э. Мой взгляд на мир. Пер. с нем.
Гейзенберг В. Философские проблемы атомной физики.
Гейзенберг В. Часть и целое (беседы вокруг атомной физики).
Карнап Р. Философские основания физики. Введение в философию науки.
Бунге М. Философия физики.
Поппер К. Р. Объективное знание. Эволюционный подход. Пер. с англ.
Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике.
Аксенов Г. П. Причина времени.
Канке В. А. Формы времени.
Рейхенбах Г. Философия пространства и времени.
Рейхенбах Т. Направление времени.
Уитроу Дж. Естественная философия времени.
Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени.
Могилевский Б. М. Природа глазами физика.
Захаров В. Д. Физика как философия природы.
Минасян Л. А. Философский анализ современных проблем физики элементарных
частиц и космологии: опыт синергетического осмысления.
Овчинников Н. Ф. Методологические принципы в истории научной мысли.
Новиков А. С. Научные открытия: повторные, одновременные, своевременные...
Сачков Ю. В. Научный метод: вопросы и развитие.
Койре А. Очерки истории философской мысли.

Представляем Вам наши лучшие книги:
Теория групп и ее применения
Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам.
Вейль Г. Классические группы. Их инварианты и представления. URSS
Вейль Г. Симметрия.
Вигнер Э. Инвариантность и законы сохранения. Этюды о симметрии.
Ляховский В. Д., Болохов А. А. Группы симметрии и элементарные частицы.
Менский М. Б. Труппа путей: измерения, поля, частицы.
Менский М. Б. Метод индуцированных представлений: пространство-время
и концепция частиц.
Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований.
Федоров Ф. И. Группа Лоренца.
Серия «Синергетика: от прошлого к будущему»
Пенроуз Р. НОВЫЙ УМ КОРОЛЯ. О компьютерах, мышлении и законах физики.
ТрубецковД. И. Введение в синергетику. В 2 кн.: Колебания и волны; Хаос и структуры.
Арнольд В, И. Теория катастроф.
Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики.
Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики.
Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Т. Г. Синергетика и прогнозы будущего.
Хакен Г. Информация и самоорганизация.
Чернавский Д. С. Синергетика и информация (динамическая теория информации).
Баранцев Р. Г. Синергетика в современном естествознании.
Баранцев Р. Г, и др. Асимптотическая математика и синергетика.
Котов Ю. Б. Новые математические подходы к задачам медицинской диагностики.
Гельфанд И. М. и др. Очерки о совместной работе математиков и врачей.
Чумаченко Е. Н., Смирнов О.М., Цепин М.А. Сверхпластичность: материалы, теория,
моделирование, технологии.
Редько В. Г. Эволюционная кибернетика. На пути к теории происхождения мышления.
Пригожий И. Неравновесная статистическая механика.
Пригожий И., Стенгерс И. Время. Хаос. Квант. К решению парадокса времени.
Пригожий И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой.
Пригожий И., Николис Г. Познание сложного. Введение.
Пригожий И., Гленсдорф П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости
и флуктуации.
т /<ь Наши книги можно приобрести в магазинах:
тел./факс:
«Бивлио-Глобуо» (и. Лубянка, ул. Мясницкая, 6. Тел. @95) 925-2457)
@95) 135-42-46,
@95) 135-42-16,
E-mail:
URSS@URSS.ru
«Московский дои книга» (и. Арбатская, ул. Новый Арбат, 8. Тел. @95) 203-8242)
«Москва» (и. Охотный ряд, ул. Тверская, 8. Тел. @95) 229-7355)
«Молодая гвардии» (и. Полянка, ул. Б. Полянка, 28. Тел. @95) 238-5083,238-П44)
«Дон деловой книга» (и. Пролетарская, ул. Марксистская, 9. Тел. @95) 270-5421)
«Гноме» (и. Университет, 1 гуи. корпус МГУ, комн. 141. Тел. @95) 939-4713)
«У Кентавра» (РГГУ) (и.Новослободская, ул.Чаянова, 15. Тел. @95) 973-4301)
(Неваий пр., 28. Тел. (812) 311-3954)

Валерий Анатольевич
РУБАКОВ
Выдающийся физик-теоретик, ученый с миро-
мировым именем, один из крупнейших специалистов
в области классической и квантовой теории поля,
физики элементарных частиц и космологии.
Родился 16 февраля 1955 г. Окончил физический
факультет МГУ им. М. В. Ломоносова A978). Док-
Доктор физико-математических наук A990), профес-
профессор A997), академик РАН A997). Главный научный сотрудник Отдела
теоретической физики Института ядерных исследований РАН. Удостоен
звания «Заслуженный профессор МГУ» A999). Лауреат премии им.
А. А. Фридмана РАН A999), Международной премии им. И. Я. Померан-
чука ИТЭФ B003), премии им. М. А. Маркова ИЯИ B005).
Солитоны, инстантоны
и сфалероны.
Теории с фермионами
Фермионы во внешних полях
Фермионы и топологические
внешние поля
в двумерных моделях
Фермионы в полях солитонов
и струн в четырехмерном
пространстве-времени
Несохранение фермионных
чисел в четырехмерных
неабелевых теориях
Мир на бране
Некоммутативные теории
поля и некоммутативные
солитоны
Скалярные поля и солитоны
на некоммутативной плоскости
Некоммутативные
калибровочные теории
Солитоны в некоммутативных
калибровочных теориях
2645 ID 28949
9785484 001408 >
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
http://URSS.ru
Тел./факс: 7 @95) 135-42-16
URSS Тел./факс: 7 @95) 135-42^16
Любые отзывы о настоящем издании, а также обнаруженные опечатки присылайте
по адресу URSS@URSS.ru. Ваши замечания и предложения будут учтены
и отражены на web-странице этой книги в нашем интернет-магазине http://URSS.ru