«II
Д. В. Гальцов,
Ю. В. Грац,
В. Ч. Жуковский
КЛАССИЧЕСКИЕ
ПОЛЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ыосковскЬго
УНИВЕРСИТЕТА
1991

ББК 22.31
Г17
УДК 530.12
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук В. Н. Пономарев,
доктор физ.-мат. наук В. Н. Родионов
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Гальцов Д. В., Грац Ю. В., Жуковский В. Ч.
Г17 Классические поля: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ,
1991. — 150 с.
ISBN 5—211—01587—8.
Пособие представляет собой введение в современную классиче-
скую теорию поля. Изложены вопросы структуры пространства-време-
ни, общие принципы описания полей в классической теории, рассмот-
рены нелинейное скалярное поле, основы классической электродинамики»
принципы теории калибровочных полей. Большое внимание уделено
современным методам и подходам, имеющим широкие выходы в раз-
личные области теоретической фнзнкн.
Для студентов, специализирующихся в области теоретической фи-
знкн, а также научных работников, интересующихся современными
методами теории поля.
1604030000D309000000)—114
077@2)—91 5~9
ISBN 5—211—01587—8
ББК 22.31
© Издательство
Московского университета, 1991 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения 5
Предисловие ?
Глава I. Общие принципы классической теории поля •>
§ 1. Преобразования Лоренца .?
§ 2. Релятивистская кинематика j~
§ 3. Общие преобразования Лоренца '°
§ 4. Вариационный принцип 24
§ 5. Теорема Э. Нётер jl
§ 6. Скалярное поле ^
Глава II. Электромагнитное поле . ^
§ 1. Уравнения Максвелла "
§ 2. Действие для системы, состоящей из зарядов и электромаг-
нитного поля . *
§ 3. Ураннение движения заряженной частнцы в электромагннтном
поле . . *°
§ 4. Вывод уравнений Максвелла нз принципа наименьшего дейст-
вия •>•
§ 5. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля .... j>j»
§ 6. Теорема Умова — Пойнтннга °°
§ 7. Постоянное электрическое поле °°
§ 8. Постоянное магнитное поле °'
§ 9. Электромагнитные волны) °3
§ 10. Функции Грина волнового уравнения °«
§ 11. Запаздывающие потенциалы 73
§ 12. Излучение электромагнитных волн заряженной частицей . '°
§ 13. Сила радиационного трення. Уравнение Днрака — Лореиц"а 79
Глава III. Поля Яига — Миллса 85
§ 1. Скалярная электродинамика 85
§ 2. Неабелева калибровочная группа 88
§ 3. Самодуальные поля Янга — Мнллса 92
§ 4. Спонтанное нарушение симметряи 94
§ 5. Монопольные решения уравнений Янга—Миллса .... 98
§ 6. Уравнения Вонга . ;', '06
Глава IV. Гравитации . 114
§ 1. Гравитационное поле в релятивистской теории .... И 4
§ 2. Линейная теория свободного безмассового поля спина два . 47
§ 3. Взаимодействие с материей 125
§ 4. Гравитационное поле и метрика пространства-времени . . 130
§ 5. Калибровочная инвариантность и кривизна 140
§ 6. Уравнения Эйнштейна 144
Литература 150

ОБОЗНАЧЕНИЯ
Латинские индексы i, j, k и т. д. нумеруют три пространст-
венные координаты х, у, г или 1, 2, 3.
Греческие индексы а, р, ч и т. д. пробегают четыре прост-
ранственно-временные координаты t, х, у, г, или 0, 1, 2, 3.
Метрика пространства Минковского ifv=diag(l,—1,—1,—1).
Метрика риманова пространства обозначается g*T.
Частная производная обозначается -—-, д„ или ,ц.
? = А —оператор Даламбера.
dt%
Д = 1 1 оператор Лапласа.
дх* ду* дг%
х»— (t, г) — координаты события в четырехмерном пространст-
ве-времени.
Почти всюду в книге скорость света принята равной еди-
нице.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга написана на основе курсов лекций, которые авторы
в течение ряда лет читали для студентов Московского универ-
ситета. Она представляет собой введение в современную клас-
сическую теорию поля, знание которой необходимо для даль-
нейшего изучения методов релятивистской квантовой теорий
полей и частиц. В ней затрагиваются вопросы структуры про-
странства-времени, общие принципы описания полей в класси-
ческой теории, основанные на методах Лагранжа и Гамильто-
на, а также методах теории групп. В книге рассмотрены осно-
вы классической электродинамики, теории калибровбчных по-<
лей и теории гравитации.
В отличие от существующих книг, посвященных классиче-
ской теории поля, в предлагаемом учебном пособии уделено
большое внимание современным методам и подходам, имею-
щим широкое применение в различных областях теоретической
физики. <3 общих позиций рассматриваются различные функции
Грина классических полей, на основе общих требований реля-1
тивистскбй и калибровочной инвариантности вводятся такие
интегралы классических полей, как теизор энергии-импульса,
момент поля, ток и т. д.
Релятивистски инвариантным образом рассматривается
проблема излучения в классической электродинамике, иссле-
дуется торможение излучения. Специальная глава посвящена
полям Янга — Миллса, в которой, в частности, рассматривают-
ся такие вопросы, как спонтанное нарушение симметрии, моно-
польные решения в теории неабелевых полей, а также уравне-
ния для классической неабелевой частицы, движущейся во
внешних полях Янга — Миллса.
Изложение теории гравитации существенно отличается от
имеющегося в учебной литературе. Показано, как попытки
построить теорию гравитационного поля в пространстве Мин»
ковского приводят к концепции риманова пространства собы-
тий и геометрической интерпретации гравитационного взаимо-
действия.
Настоящая книга может служить введением в теорию клас-
сических полей и, как надеются авторы, быть полезной как
студентам, специализирующимся в области теоретической фи-
зики, так и специалистам, интересующимся этой областью.

Глава I
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Как классические поля, так и объекты классической меха-
ники представляют собой динамические системы, эволюциони-
рующие во времени в трехмерном конфигурационном простран-
стве. Прежде чем изучать движение таких систем, необходи-
мо, очевидно, познакомиться со структурой пространства и
времени, в которых разворачиваются все события.
Основным законом, определяющим движение механических
систем в рамках ньютоновской механики, является второй за-
кон Ньютона. Математически он формулируется в виде урав-
нения движения для точки массы т, положение которой в мо-
мент времени t определяется радиусом-вектором г:
m™F- A.1.1)
at
Здесь сила F представляет собой, вообще говоря, функцию ко-
ординаты г, скорости v и времени fc F=F(r, v, t). Это уравне-
ние инвариантно (т. е. не меняет 'своего вида) относительно
преобразований, называемых преобразованиями Галилея. Ука*
занная инвариантность лежит в основе принципа относительно-'
сти Галилея A632), который формулируется следующим об-
разом. V
Все механические явления протекают одинаково в системах
отсчета, движущихся относительно ||руг друга прямолинейно и
равномерно, т. е. в различных инер^иальных системах отсчета.
Напомним, что факт существования в природе таких инер-
циальных систем отсчета постулируется в первом законе Нью-
тона, который в отсутствие внешних воздействий гарантирует
физическому объекту прямолинейное и равномерное движение.
Переход от одной инерциальной системы отсчета К к другой К'>
движущейся относительно К со скоростью V = const, сопровож-
дается, как известно, преобразованием радиуса-вектора г-»-г/,
где г' определяется равенством
r'=r—Vt. A.1.2)
При этом принимается, что как в новой, так и в старой системе
отсчета время течет одинаково, т. е. t'=t. Это означает, что ча-
сы в обеих системах, синхронизированные в начальный мо-
мент, и в дальнейшем всегда показывают время одинаково,
независимо от того, как движется система, т. ё. время по пред-
положению носит абсолютный характер. Уравнение A.1.2)
вместе с условием неизменности хода времени и представляют
собой преобразования Галилея. Продифференцируем вектор г',
определяемый уравнением A.1.2), по времени. В результате
приходим к известному в механике закону сложения скоростей
v'=v—V. A.1.3)
После дифференцирования последнего соотношения по вре-
мени с учетом постоянства скорости V получаем равенство
ускорений
dt
dt
A.1.4)
Принимая теперь согласно опытным данным, что при преобра-
зованиях A.1.2), масса т и сила F инвариантны, т. е. т =
= m' = inv, F = F'=inv, и учитывая равенство ускорений
A.1.4), получим, что уравнение второго закона Ньютона в
штрихованной системе К'
dt
и уравнение в исходной системе A.1.1) имеют один и тот же
вид и, очевидно, следуют одно из другого, т. е. оказываются
инвариантными относительно преобразований Галилея. Это
утверждение и лежит в основе принципа Галилея.
Подчеркнем, что принцип относительности Галилея действу-
ет лишь в рамках ньютоновской механики. Переходя к элект-
родинамическим явлениям, таким, например, как распростра-
нение света, представляющего собой электромагнитные вол-
ны, мы сразу же увидим, что этот принцип нарушается. Как
показали многочисленные эксперименты, скорость распростра-
нения электромагнитных волн и, в частности, света ие зависит
от скорости движения источника волн. Таким образом, закон
сложения скоростей A.1.3) для света оказывается ие справед-
ливым. Поэтому, если мы хотим понимать принцип относитель-
ности в более широком, чем это делал Галилей, смысле, т. е.
обобщая его на электродинамику, приходим к необходимости
обобщить и соответствующие преобразования. Последовательно
этот вопрос был решен в 1905 г. А. Эйнштейном, который вы-
дпинул физический принцип относительности, обобщающий
принцип относительности Галилея и справедливый для всех
физических процессов. Этот принцип А. Эйнштейн положил в
основу созданной им специальной теории относительности
(СТО), или релятивистской теории. Физический принцип отно-
сительности состоит из следующих двух постулатов.

Рис. 1.1
1-й постулат СТО. Физиче-
ские явления в различных
инерциальных системах отсче-
та протекают одинаково при
одинаковых начальных усло-
ВИЯХ.
2-й постулат СТО. Ско-
рость света в вакууме одина-
кова по всем направлениям ив
любом месте данной инерци-
альной системы и одинакова
во всех инерциальных систе-
мах отсчета. Заметим, что
здесь мы отвлекаемся от гравитационного взаимодействия, ко-
торому будет посвящена последняя глава книги. Второй по-
стулат требует постоянства скорости света в вакууме при его
распространении в любом направлении (изотропность простран-
ства), в любом месте (однородность пространства) и при лю-
бом выборе инерциальной системы отсчета, что является совер-
шенно новым требованием, принципиально отличающим СТО от
ньютоновской механики. Получим теперь преобразования вза-
мен преобразований Галилея таким образом, чтобы они соответ-
ствовали принципу относительности Эйиштейна. Будем исходить
из постоянства скорости света в вакууме с, которая входит
в уравнение сферической световой волны r2 = c2t2, где г — ра-
диус волнового фронта, t — время, дрошедшее с момента испус-
кания волны. Рассмотрим инерциальную систему отсчета К,
представляющую собой систему декартовых осей, и помещен-
ные в ней часы, а также вторую точно такую же систему осей
¦с такими же часами, представляющую собой систему К'
(рис. 1.1). Пусть система К' движется со скоростью F=const
вдоль оси х'', совпадающей по направлению с осью х системы К,
а оси у и у', z и г' остаются параллельными. Выходя за рамки
галилеевских преобразований, придется включить в преобразо-
вания и время, т.е. считать отсчеты первоначально синхронизи-
рованных часов в системах отсчета К и К', т.е. t и ?, вообще
говоря, не совпадающими.
Далее будем требовать, чтобы преобразования координат
и времени (х, у, z, t) ->¦ (л/, у', г', Г) были линейными. Тем
самым в соответствии с принципом относительности A-й пос-
тулат) иеускоренное в системе К тело будет также неускорен-
ным в системе К', т. е. х=х"=0. Пусть в системе К источник,
находящийся в начале координат, испустил световой сигнал в
момент времени ?=0, тогда радиус сферического волнового
фронта г и время распространения волны t удовлетворяют
уравнению
A.1.6)
В системе К' аналогичные величины, отвечающие данному
сигналу, связаны уравнением
r'2 = c4'2, (I.I.6)
в котором скорость света с та же, что и в уравнении A.1.5)
B-й постулат). Введем теперь квадратичную комбинацию ко-
ординат и времени
s2 = c2/2—г2 = с2*2—*2—z/2—z2 A-1.7)
и назовем ее интервалом. Тогда для света в соответствии с
A.1.5) и A.1.6) в системах К и К' получим
s2 = с2*2—х2—у2—г2 = О,
Итак, для' света имеем
s^s'^0, (I.1.8)
т. е. интервалы в обеих системах равны между собой и равня-
ются нулю. В общем случае s2 и s'2 связаны линейным соот-
ношением, поскольку между (х, у, г, t) и (х/, у', г', V) по
предположению существует линейная зависимость. Связь s2 и
s'2 должна носить универсальный характер, и поэтому с учетом
A.1.8) получим в общем случае
s2=*k(V)s'2, A.1.9)
где k(V)—некоторый коэффициент, зависящий от скорости
системы К'•
Отразим теперь оси х~>-—х, z->-—г и соответственно х'-*-
-*¦—х', z'-*~—z'. Теперь оказывается, что система К движется
вдоль оси х' со скоростью V относительно системы К' и тогда
s'2 = k(V)s2. A.1.10)
Сравнивая равенства A.1.9) и A.1.10), находим k=l. Таким
образом, приходим к условию
s^s'^inv. A.1.11)
Оно представляет собой инвариантность интервала при пре-
образованиях, связанных с переходом от одной инерциальной
системы отсчета к другой. Этому условию в выбранном нами
случае движения вдоль оси х можно удовлетворить, взяв ли-
нейное преобразование вида
г ~z,
х' — пгх

Тогда условие A.1.11) сведется к требованию
Л» —*2 = сЧ'2—*'2 = inv, A.1.12)
удовлетворить которое можно линейным преобразованием
*'=*cbi|j—ct shty,
ct' = — х sh i|j + ct ch i|),
A.1.13)
представляющим собой гиперболический поворот, или псевдо-
поворот, в плоскости (х, ct), т, е. поворот на мнимый угол
<р=<й|>. При этом значению V=0 соответствуют т|> = 0 и xf—x,
t' = t. Связь параметра if и скорости V устанавливается следу-
ющим образом. Рассмотрим начало координат системы Л',
т. е. точку х' = 0. Для нее согласно A.1.13) имеем x=ctthty.
Вместе с тем очевидно, что эта точка движется со скоростью V
и поэтому х= Vt. Отсюда
P A.1.14)
и тогда
р
Chi|)=;
Уравнение A.1.14) дает связь параметра ty, задающего соотно-
шение исходных и преобразованных координат, с физическим
параметром — скоростью системы отсчета V. Заметим, что па-
раметр г|> в физике элементарных частиц носит название «бы-
строта». Итак, в данном случае движения системы отсчета
вдоль оси х находим
х =
A.1.1.5)
где ч=A—Р2)~/2> P = V/c. Эти преобразования представляют
собой частный случай преобразований Лоренца (специальные
преобразования Лоренца), обеспечивающих инвариантность
интервала s2 = inv. Обратные преобразования от штриховай-
ных величин к нештрихованным получаются заменой V->—If,
т. е. т|з-!—ф. Таким образом, оказалось, что время t и радиусг
вектор т подвержены совместным линейным преобразования))*
iA.1.15), в которых временные и пространственные координа-
ты взаимозависимы. Поэтому целесообразно объединить их,
введя четырехмерный вектор D-вектор)
= (х°, х1, х2, х3),
A.1.16)
в котором x° = ct, (x1, х2, х3)=г. Подобный вектор принадле-
жит четырехмерному линейному пространству, метрику котр-
ш
Ми ti,;.
рого, учитывая определение инвариантного интервала (I.I.7),
задаем следующим образом:
2)> A.1.17)
= -*^A) Х B)
где
два 4-вектора, принадлежащие этому пространству. Если нуме-
ровать компоненты векторов A.1.16) индексом ц = 0, 1, 2, Зг
то A.1.17) можно кратко записать так:
з з
2 2
|i=0 V=0
A-1.18)
Здесь в последней части равенства мы применили общеприня-
тое условное обозначение суммирования по повторяющимся
индексам без знака суммы; %„ — метрический тензор, имеющий
ненулевые диагональные элементы:
l = diag (I, -1, -1, -1). A.1.19)
Остальные элементы тензора tiwv равны нулю. Вводимое про-
странство является частным случаем псевдоевклидовых прост-
ранств со знаконеопределенной метрикой. Данное пространст-
во, т. е. пространство СТО, носит название пространства Мин-
ковского. При преобразованиях Лоренца вида A.1.15) длина
вектора и скалярное произведение векторов в пространстве
Минковского остаются инвариантными:
x* = x°2—r* = x*2—xi2—x*2 — xz2 = mv. A.1.20)
Квадрат интервала s2, как и квадрат длины вектора х2 прост-
ранства Минковского, в силу псевдоевклидовости последнего
может, вообще говоря, иметь любой знак. Возможны три слу-
чая (рис. 1.2):
1) x2 = s2 = c2t2—г2>0 — времениподобный вектор (интер-
вал);
2) x2=s2 = c2t2—г2<0 — пространственноподобный вектор
(интервал);
3) *2 = s2 = c2/2—г2 = 0 — изотропный, или светоподобный,
вектор (интервал).
Подчеркнем, что в силу A.1.20) выбор знака является ин-
вариантным, т. е. не меняется никаким преобразованием. Если
*2<0, то вектор лежит вие светового конуса д:2=0, если *2>0,
то внутри светового конуса (см. рис. 1.2). Смысл названий век-
торов становится ясным, если рассмотреть эти три случая более
подробно. Пусть вектор Ах соединяет две точки *<1) и хщ в
пространстве Минковского, отвечающие двум событиям, про-
изошедшим в моменты времени U и U в пространственных точ-
ках с радиус-векторами t\ и г2: Ах=х$)—x<2). Тогда, если ин-
тервал пространственноподобный (AsJ= (Дд:J<0, то можно
выбрать систему отсчета, где Д?=0, т. е. (Д*J=—(AtJ,
и события происходят одновременно в разных пространствен-
11

=0 (\X\-Ct)
Рис. 1.2
ных точках: они абсолютно уда-
лены друг от друга. Если же ин-
тервал времениподобный (AsJ>>
>0, то события выбором систе-
мы отсчета могут -быть простран-
ственно совмещены, Дг=0 и тог-
да (Д*J = с2(Д02, т.е. по сути
дела, события происходят в од-
ной и той же точке пространст-
ва, но в разные моменты време-
ни. Если скорость частицы и^с,
то квадрат интервала, отвечаю-
щего перемещению частицы за
время At на Дг, будет равен
(AsJ = с2 (ДО2—(ДгJ = с2 (ДО2 A —We2) > О,
т. е. данный интервал времениподобен. Движению частицы в
пространстве Минковского соответствует траектория, называе-
мая мировой линией и задаваемая уравнениями
x° = ct, xl = xl(t), *2 = jt2(O, x3 = x3(t),
где время t выступает в качестве параметра.
§ 2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
а) Собственное время. Рассмотрим обратное преобразова-
ние Лоренца
ct'
A.2.1)
где [} = F/c, как и прежде, обозначает скорость системы отсче-
та К' в единицах скорости света. Пусть х' соответствует коор-
динате часов в движущейся системе, причем часы эти в ней по-
коятся, т. е. *'=const. Тогда согласно A.2.1) интервалы вре-
мени в лабораторной системе At и в подвижной системе Af
оказываются связанными соотношением
At'=Af
A.2.2)
Получим этот результат по-другому* Определенный выше ин-
тервал является в то же время и эфментом дуги мировой ли-
нии частицы ds=ds(t). Пусть частника движется по некоторой
мировой линии по некоторому закону r=r(t). Тогда в каждыми
момент времени t можно связать с этч^Й частицей инерциальиую
систему отсчета, движущуюся с той Ше скоростью, что и части-
ца ty=v=dr/dt. В этой системе v'=*0. Для интервалов ds2**
Л'2 можем написать
A.2.3)
так как dr'—0. Тогда
Ж = - ds = df\f\ — {drldtflc2 = dtY\ —vVc2. A.2.4)
с
Время, измеренное в системе покоя частицы, называется собст-
венным временем. Как видно, связь между интервалами соб-
ственного времени &V и лабораторного времени dt A.2.4) со-
впадает с выведенным ранее другим способом соотношением
A.2.2). Вместе с тем из A.2.4) следует, что собственное вре-
мя является релятивистским инвариантом df=(l/c)ds. Вводя
для этого инварианта, т. е. для собственного времени, специ-
альное обозначение d%, запишем конечный интервал собствен-
ного времени
:—V2/c2dt.
A.2.5)
Из определения собственного времени следует, что интервал
собственного времени всегда меньше интервала лабораторного
времени, т. е. время для движущегося объекта течет медлен-
нее, чем для наблюдателя. Одним из проявлений этого закона
релятивистской кинематики является то, что быстролетящие
нестабильные элементарные частицы успевают, не распавшись,
пролететь достаточное для наблюдения за ними время. При
этом чем ближе их скорость приближается к скорости света,
тем дольше они успевают пролететь до того, как распадутся.
Заметим также, что введенная выше мировая линия в силу со-
отношения A.2.5) между t и т может быть параметризована
инвариантным образом, используя собственное время.
б) Собственная длина. Пусть в движущейся системе К' по-
коится линейка длины ДГ, расположенная вдоль оси х', так
что А1'—х\2)—*'(i), где *'(i. 2) — координаты концов линейки.
Если *(i) и *B) — координаты концов этой линейки, измерен-
ные в лабораторной, т. е. неподвижной, системе отсчета в мо-
меит времени t, то в силу преобразований Лоренца имеем сле-
дующую связь х\\, 2) и *A,2>:
A.2.6)
Отсюда находим, что длина линейки в лабораторной системе
Aj!=#B)—*(i) и в движущейся системе связаны соотношением
12
1%
Назовем длину объекта, измеренную в той системе, где он
покоится, собственной длиной. Как видно из последнего равен-
ства, собственная длина AV всегда больше видимой длины Д/,
13

т. е. линейные размеры движущегося объекта сокращаются.
Подчеркнем, что речь идет о размерах, измеренных вдоль на-
правления- движения объекта. Поперечные размеры не изменя-
ются. Соотношения для собственной длины A.2.7) и для соб-
ственного времени A.2.2), как видно, носят обратный харак-
тер. Перемножая их, получим
ММ = Af A/' = inv. A.2.8)
Тогда с учетом неизменности поперечных размеров для эле-
мента объема, т. е.
для элемента объема 4-пространства Минковского получим
d*x = cdtd3x - d*x' = cdfd3x' = inv, A.2.9)
т. е. элемент 4-объема есть инвариант преобразоваиий Лорен-
ца, или релятивистский инвариант.
в) Релятивистское сложение скоростей. Определением ско-
рости частицы является v=dr/dt. Поэтому в подвижной еи-
стеме, относительно которой в свою очередь движется части-
ца, будем иметь х'^dr'ldt'. Пусть система движется вдоль,
оси х со скоростью V=$c. Тогда
dx __ dx'
dt
dt'
Учитывая обратные преобразования Лореица
dx = у (dx' + pW), dt = у (df + pU
получим
dt
v'x+V
+ v'xV/c*'
A.2.10)
Аналогично для поперечных компонент скорости за счет пре-
образования времени находим
Vv = -гг = ¦
A.2.11)
dt
Полученные формулы A.2.10), A.2Л1) и определяют реля-
тивистский закон сложения скоростей. При v]c<^ 1 и Vfc<?'l
эти формулы дают обычный нерелятивистский закон сложения
скоростей, отвечающий преобразованиям Галилея
Vx'=v'x + V, vy = v'y, vz = v'z, ;
где мы опустили малые члены порядка F2/c2 и vV/c2, что фор-
мально отвечает предельному переходу с->-оо. Пусть v'zm0r
14
тогда у2 = 0, т. е. вектор скорости в~ обеих системах лежит в
плоскостях ху, х'у'. Введем угол наклона вектора скорости 9
и соответственно в подвижной системе — угол в':
vx — v cos 0, vy = v sin 0,
o'sWcose', v'y = v'smQ'.
Тогда с помощью A.2.11) получим следующую связь углов
вив':
t>'cos6' +V
A.2.12)
Интересный частный случай применения последней формулы
получается, если мы рассмотрим распространение света, когда
v = v' = c. В этом случае
t fl_
Vic + cos 6'
A.2.13)
Как видно, угол распространения луча света зависит от ско-
рости движения источника относительно наблюдателя. Это яв-
ление носит название аберрации. Из A.2.13) следуют
COS0 =
P-J-COS0'
1 + Р cos 6' '
Рассмотрим два частных случая. Пусть р<;1, т. е. скорость
источника или наблюдателя мала. Такой случай как раз име-
ет место при наблюдении звезд с поверхности движущейся
Земли.
Пусть 0 — угол падения луча от звезды, видимой в систе-
ме, связанной со звездами, а 0'=0+Д0 — угол падения луча,
наблюдаемого на поверхности Земли. Бели р^1, то Д0<^1 и
согласно A.2.13) имеем
т. е.
A0 = psin0 A.2.15)
— формула для аберрации света звезд на поверхности Земли.
Согласно этой формуле звезда, находящаяся в данный момент
в зените, видна вследствие движения Земли под углом, не-
сколько отличающимся от я/2.
В случае ультрарелятивистских скоростей V-*-c, т.е. 1—Р2<^С
<С1, согласно A.2.13), A.2.14) имеем 0'->-я, т. е. при движении
наблюдателя со скоростью, близкой к скорости света, практи-
чески все звезды (кроме тех, которые находятся строго поза-
ди, 0=я) видны находящимися впереди по движению наблю-
дателя. Точно так же если источник движется со скоростью
V-+-C, то излучаемый им свет собирается впереди в узком ко-
нусе с осью вдоль направления движения и с раствором А0~
15

~У1—p2. Этот своеобразный «прожекторный эффект» является
характерным признаком излучения частиц высокой энергии.
г) Эффект Доплера. Рассмотрим теперь изменение частоты
света за счет движения источника — эффект Доплера. Заметим,
что частота света со, как и его волновой вектор к, является ха-
рактеристикой плоской монохроматической волны (см. ниже).
Частота связана с периодом Т волиы соотношением (d=2ji/7V
а волновой вектор к указывает направление распространения
волны n=k/|k| и связан с ее длиной волны К соотношением
Подобная волна математически описывается
(см. ниже)
А (г, t)
функцией вида
Фаза волны cot—кг, от которой по существу зависит эта функ-
ция, должна быть релятивистским инвариантом, так как в про-
тивном случае это противоречило бы принципу относительности
СТО (забегая вперед, скажем, что этот вывод является следст-
вием релятивистской инвариантности уравнений Максвелла).
Поскольку cot—kr=inv, то со вместе с вектором к, подобно
/иг, должны образовывать 4-вектор
A.2.16)
имеющий нулевую длину (изотропный вектор), к2=(со/сJ,.
т. е. k2 = 0. Теперь мы можем применить к 4-вектору k преобра-
зования Лоренца. Если источник, с которым связана система
отсчета, движется со скоростью V, то для k'° = o>'lc и k° = (o/c
имеем
k' =
Пусть kx — (со/с) cos а, т. е. источник движется вдоль оси х,
а луч света идет к наблюдателю под углом а к оси х. Тогда
со' со/с — Р (со/с) cos a
с У\ — р» '
Естественно определить частоту излучения источника в систе-
ме его покоя, т. е. со', как собственную частоту источника: соо=
= со' — инвариантная величина. Итак, окончательно находим
-1/1 _ 02
—'частота излучения, видимого под углом а к направление
движения источника. Если р<С1, т. е. V<^c, то из A.2.17) имее&
ccsa)coo.
16.
При cosa>0 (наблюдение ведется навстречу движения) час-
тота увеличивается, а при cosa<0 (наблюдение вдогонку ис-
точника) частота уменьшается. При а=я/2
т. е. частота также уменьшается.
д) 4-скорость и 4-импульс. Как видно из формул сложения»
скоростей A.2.10), A.2.11), скорость v не является компонен-
той 4-вектора. Определим 4jBeKTop u?=dx>i/ds с компонентами»
о__ dx* _ cdt _ l
" ~ ~d7 ~ ds ~ У~
* dx1 dx1
ds
cdt.yT^i
u =
и т. д., т. е.
Ясно, что
т. е. вектор ы" — единичный. Этот вектор называется 4-ско^
ростью. В пределе и/с<с1, пренебрегая v2/c2, получим u=v/c.
Поскольку ы2 = 1, то, дифференцируя, найдем
du2 = 2u-du = 0. A.2.19)
Если ввести 4-ускорение w»=du?jds=d2x*lds2, то, как видно из
A.2.19), оно ортогонально 4-скорости: ы-ад = 0.
Введем теперь четырехмерное обобщение вектора импуль-
са. При у-Сс, как уже указывалось, u=v/c. Нерелятивистский
импульс p = mv=mcu, где т—масса частицы. Введем 4-им--
пульс, умножив вектор 4-скорости на тс:
Ш~ A-2-20),
или
тс
р=-
A.2.21);
Пусть у<Сс, тогда, раскладывая в ряд, запишем
ср° « me2 + mv2/2 + ... .
С точностью до константы эта величина представляет софй*
нерелятивистскую кинетическую энергию частицы. Постоян-
ное слагаемое тс2 есть внутренняя энергия частицы, т. &. так.
называемая собственная энергия, или энергия покоя частицы,.
17

¦которая остается у нее и при » = 0и высвобождается лишь при
яревращениях частиц. Естественно назвать величину
релятивистской энергией частицы. Она включает в себя как
внутреннюю энергию покоя, так и энергию движения частицы.
Релятивистский импульс частицы р определяется формулой
{1.2.21). Составим квадрат 4-импульса
„ (me2J (mvJ
И — H V —
-
i _ R2 J _ B2
Таким образом, p2=(mcJ>0, т. е. 4-вектор р — временипо-
добный. Заметим, что масса частицы т—релятивистский ин-
вариант. Из уравнения A.2.23), разрешая его относительно
энергии е, находим
— уравнение, связывающее релятивистскую энергию и импульс
¦частицы. При р = 0, т. е. в системе покоя частицы, ее энергия
равняется собственной энергии.
§ 3. ОБЩИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
Выше в § 1 были введены 4-векторы пространства Мииков-
ского, объединяющие время и пространственные координаты:
д-1* = (д<», Х\ х2, X3) = (ct, Г). A.3.1)
Остановимся более подробно на описании пространства этих
векторов. Запишем вектор х в базисе
х = хНр =
х2е2
+ х°е0,
где е„ — 4-базис пространства Минковского. Квадрат вектора
равняется
A.3.2)\
A.3.3)
Отсюда следует, что е» — псевдоортогональный базис.
Зададим линейное преобразование в пространстве коорди-
«ат х . •¦
коротко
х'г
где введенный в § 1 метрический тензор
—1, n=*v=l, 2, 3;
О,
A.3.4)
J8
где Л,"— матрица 4X4:
/ДО
''• О
А\
О ДО ДО
1 ''2 ^ 3
А\
A.3.5>
Закон A.3.4) определяет преобразование компонент векто-
ра х. Если вектор *=inv, то одновременно с компонентами век-
тора преобразуется и базис. Действительно,
f N
х = е^х» = е' рх' * =
Отсюда ev=e/Av>l и, следовательно,
т. е. в этом случае базис преобразуется с помощью обратной,
и транспонированной матрицы (Л~')т. Наряду с 4-вектором ко-
ординат существуют другие 4-векторы, а также объекты более-
сложной природы по отношению к преобразованиям А/.
Контравариантный вектор а" — это набор величии а0, а1,.
а2, а3, преобразующихся как компоненты вектора коорди-
нат лс", т. е.
дх'
¦av.
Ковариантный вектор а» — это набор величин а0, ai,
а3, преобразующихся как базис ец, т. е.
Контравариантный тензор второго ранга а?4 преобразуется
как произведение компонент x*xv, т. е.
dx'
дхк дха
Ковариантный тензор второго ранга awv преобразуется как
произведение evev, т. е.
aVv (Л)^ (ЛTv %а %о
дх'* дх'у
и т. д. Мы не останавливаемся здесь подробно на классифика-
ции ковариантных объектов тензорной, а также спинорной и
более сложной структуры, отсылая читателя к соответствую-
щей математической литературе.
Рассмотрим объект ali=r\llvav. Тогда, используя определение
A.3.3), запишем
19-

т. е. а„ преобразуется как е„ и является ковариантным векто-
ром. Следовательно, с помощью метрического тензора if" (за-
метим, что л"У==11^) можно опустить индексы и у контравари-
янтного вектора координат я", преобразуя его в ковариантный
вектор
где
х2, х3) =
—х1, —х2, —x3) =
— г). A.3.7)
При этом x2=x»xvr\v.v=x»xVl. Конкретизируем линейные преобра-
зования в пространстве Минковского, наложив требование ин-
вариантности длины 4-вектора, т. е. требование релятивистской
«нвариантности
*2 = *'2 = inv. A.3.8)
Тогда, используя A.3.4), запишем
Откуда следует
A^AVW=%a- A.3.9)
Умножим последнее равенство на r\af> и свернем по индексам а
с учетом равенства
где 6Л — единичная 4X4 матрица. Тогда
т. е.
где матрица
Tlp<IAv0T)^ = (A-1)Pli A.3.10)
представляет собой обратную по отношению к Л матрицу.
Заметим, что операция свертывания матрицы Л с тензорами if50
и т]„у, указанная с левой стороны последнего равенства, сводит-
ся к транспонированию матрицы Л и замене знаков у первой
строки и первого столбца. Таким образом, свойство матрицы
преобразования, оставляющего инвариантной длину вектора
A.3.8), состоит в том, что обратная матрица получается из
исходной путем транспонирования и замены знаков элементов
первой строки и первого столбца. Подобные матрицы называ-
ются псевдоортогональными. Очевидно, что определитель мат-
рицы A.3.10) совпадает с определителем матрицы Л. Поэтому
(detiV) 2 = 1 и, следовательно,
detA=±l. A.3.11)
:20
Рассмотрим равенство A.3.9) в случае Х=о
«ли в явном виде
Отсюда следует неравенство (Ло°J^1 или
A°0^-fl, Л°о<—1. A.3.12)
Условия A.3.11) и A.3.12) определяют четыре совокупности
преобразований, которые вместе образуют так называемые об-
щие преобразования Лоренца. По отдельности эти совокупно-
сти таковы:
соответствует
4
Ll
Li
detA=-fl,
detA=+l,
detA = —1,
detA = —1,
A»O>1,
A»o<-1,
A0 ^ 1,
А°„^: —1.
Как видно, лишь преобразование L+1 содержит в себе единицу,
оно называется собственным преобразованием Лоренца. Этой
совокупности преобразований, как легко видеть, принадлежит
и введенное выше специальное преобразование Лоренца, сюда
же относятся обыкновенные трехмерные ортогональные враще-
ния. Все остальные совокупности преобразований L+*. L-\ LJ
единицы не содержат и являются несобственными преобразо-
ваниями. Любой элемент каждой из них не может быть нецре-
рывным образом переведен в другую совокупность. '
Рассмотрим примеры собственных и несобственных преоб-
разований Лоренца.
1)
1
О Q
r = Q-I; ABpT=Ar:1—это преобразование
ортогональных вра-
щений, принадлежит L+1, т. е.
2)
7 -РТ
-PY Y
1спец'
О
О
1
о
Это специальное преобразование Лоренца, введенное вьцше,
ACnetteL+t, заменой В->-—В оно переводится в обратное.
3) APT=diag (—1, —1, —1, —1). Это отражение координат
и времени г-*-—г, t-+—t, или РТ операция — дискретная,
21

4) Ap=diag(l, —1, —1, —1). Это отражение координат
г-»-—г, или Р операция (инверсия), также дискретная опера-
ция, ApeL-1.
5) AT = diag (—1, 1, 1, 1). Это Т операция отражения време-
ни t-*—t, дискретная, Ar^L-K Заметим, что если вектор вре-
мениподобен, т. е. *2>0, то преобразования из совокупностей
L+t и LJ, т. е. отвечающие Ло°^1, не изменяют знак вре-
менной компоненты, sign*° = inv, и поэтому называются орто-
хронными. Рассмотрим пример специальных преобразований.
Пусть дс2>0 и х°\>0, тогда
В силу условия jf2>0 имеем дс°>|хЧ. В данном примере
Ло°=ч=(\— P2)-1/2^1 и $=V/c=\ — \/f<\. Поэтому знак х'°
определяется знаком л:0. Таким образом, для специального пре-
образования Лоренца утверждение доказано. Можно пока-
зать, что все остальные преобразования L+* получаются из
специального применением соответствующих пространственных
поворотов, которые не меняют, очевидно, знака временной ком-
поненты. Преобразования же L-1 могут быть получены из со-
ответствующих преобразований L+1 путем инверсии, что так-
же не меняет знак времени. Таким образом, можно считать,,
что утверждение доказано в общем случае. Более строгое до-
казательство в самом общем виде предоставляем провести чи-
тателю (указание: необходимо определить знак х?°—А^я? с
учетом неравенств х2>0 и Ло°^1 и неравенства Коши — Бу-
няковского).
Следует особо подчеркнуть, что как общие, так и собствен-
ные преобразования Лоренца образуют группу преобразований,
т. е. группу Лоренца. Все элементы совокупности Z.+1 могут
быть параметризованы непрерывно изменяющимися парамет-
рами: три параметра для ортогональных вращений и три па-
раметра для псевдоповоротов. Таким образом, собственная
группа Лоренца—это шестипараметрическая группа непрерыв-
ных преобразований, или группа Ли. Очевидно, что подгруппа
пространственных вращении также является группой Ли. Для
бесконечно малых, или инфинитезимальных, преобразований
имеем
где (Xi)\ — генераторы группы, Ьа1 — малые изменения пара-
метров a', i=l,6. Запишем условие A.3.9):
Отсюда, приравнивая линейные члены, находим
_1_ /у \а п п о 1 ov
т. ё. матрица генераторов должна быть антисимметричной. За»
22
метим, что 6 генераторов X» можно нумеровать двумя индекса-
ми, i—сф (а, р—1,4), так что
(Хар)ра = -(Х3а)ра, A-3.14)
и тогда останется лишь шесть независимых генераторов и па-
раметров aaf\ отвечающих поворотам в плоскостях оф = 12 для
i = 3, сф = 23 для i=l, аР = 31 для t=2 и псевдоповоротам в
плоскостях ар = 01 для t = 4, «0 = 02 для ?=5 и «0 = 03 для t=6.
Хорошо известна формула Эйлера для инфинитезимальных
поворотов вектора г:
A,3.15, а)
или
бг, =
(i=l, 2, 3),
A.3.15,6)
где 6<р=пбф, |n| = l, n — направление оси поворота, бф — угол
поворота, ъцк — абсолютно антисимметричный единичный тен-
зор, нормированный условием si23=l- Следовательно, генера-
торы группы трехмерных вращений 0C), являющейся подгруп-
пой собственной группы Лоренца, можно записать в виде
= е№ A.3.16)
откуда очевидно, что (Х3)^=—(Х;)ы- Вводя вместо номера
генератора i двойную нумерацию, введенную выше, т. е. i^-mn,
причем
(X-mn)ih = — (Xnm);fc,
можем переписать определение A.3.16) в явном виде
A.3.17)
Последнее равенство определяет генераторы подгруппы GC)
собственной группы Лоренца L+\ удовлетворяющие в общем
случае условиям A.3.13), A.3.14). Очевидно, что ковариантным
обобщением определения {Xmn)ih A.3.17) для генераторов
(Хае),„ будет равенство
(Xap)nv=—'Пам.т]^+'П<стТ]рм.- A.3.18)
Легко убедиться непосредственным вычислением в справедли-
вости следующих коммутационных соотношений для генерато-
ров группы L+f:
[Xap, XV6]=ilpvXae—Лс^Хрв — ЛееXav + TiaaXpv. A.3.19)
Это равенство следует понимать в операторном смысле, т. е.
здесь генераторы Хар — операторы, которые могут быть заданы
в произвольном представлении. В частности, это может быть
представление A.3.18) в виде матриц 4x4, определенных в
пространстве Минковского и действующих на соответствующие
4-векторы. Скаляры не преобразуются, поэтому для них, оче-
видно, все генераторы равны нулю. Еще одним нетривиальным
23

представлением является спинорное представление, однако
здесь мы не будем на нем останавливаться. Подчеркнем, что
при заданной параметризации групповых элементов вид ком-
мутаторов, составленных из генераторов (так называемая ал-
гебра Ли), не зависит от выбора конкретного представления..
Наряду с преобразованиями Лоренца векторы пространств»
Минковского можно подвергнуть также преобразованию транс-
ляции, а именно
х»-+х'» = х» + аУ; A.3.20),
где a"=const — постоянный 4-вектор. Это преобразование пред-
ставляет собой однородный сдвиг в направлении вектора tf\-
В векторном представлении генераторы трансляции могут быть-
найдены следующим образом:
т. е.
дх%
\
Очевидно, что трансляции образуют группу Ли, причем комму-
тативную, т. е. абелеву, группу:
[Xv, Хм] = 0,
групповое пространство которой, т. е. пространство параметров,
а", есть само пространство Минковского. Группа Лоренца вме-
сте с группой трансляции образуют группу Пуанкаре.
§ 4. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП
Уравнения движения динамической системы, будь то мате-
риальные частицы или поля, могут быть получены как условия-
экстремальности некоторого функционала, называемого дейст-
вием. Рассмотрим сначала общую формулировку этого вариа-
ционного принципа. Пусть указанный функционал равен
, ч, |[). A-4.1>
Здесь кратность интеграла л=1 и %**t, если речь идет о части-
це, координаты которой т]а=|(т|1, t\a, if) являются функциями
времени rf = na(t), а &(%, Л> dx\ld\)**L(t, ц, dr\ldt) — функция
Лагранжа этой частицы. Если речь идет о поле, заданном в
пространстве Минковского, то в этом случае д=4, ?"= (ct, r)==
=;С—-вектор пространства Минковского, т]А (Л = 1, N) —N-ком-
понентная функция поля:
т)л=т)л(*),
принадлежащая определенному представлению группы Ло-
ренца.
24
Рассмотрим для краткости изложения оба этих случая еди-
нообразно, полагая в общем виде
Варьируем действие S, полагая 6S = 0, при неизменных зна-
чениях функций т) на границе области интегрирования Г, т. е.
o"Tjl5er=0, а в остальном выбирая функции т)(|) произвольным
образом. Тогда
65 =
дц
A.4.2)
Заметим, что 8iiA,v=d7dSv(8TiA), поскольку 6|v = 0. Используя
указанную перестановочность операций варьирования и диффе-
ренцирования, проинтегрируем в A.4.2) по частям второе сла-
гаемое:
Последнее слагаемое представляет, собой интеграл от дивер-
генции и обращается в поверхностный интеграл по границе об-
ласти интегрирования:
равный нулю в силу условия отсутствия вариаций на грани-
це. Поэтому
W
д?
1, V
=0.
Отсюда в силу произвольности вариаций 6т]А находим
bS дХ д ( дХ
^
= 0
A.4.3)
— вариационные уравнения Эйлера — Лагранжа. Отметим, что
уравнения A.4.3) не изменяются при следующей замене функ-
ции S:
А(т)).
Действительно, тогда к действию добавляется интеграл от ди-
вергенции, преобразующийся в поверхностный, а его вариация
равна нулю.
Рассмотрим движение свободной частицы массы т. Тогда в
нерелятивистском случае, о-С с, как известно, функция Лаг-
ранжа частицы равна L = mv2/2, а действие
25

о о
Для релятивистской частицы, как было показано выше, имеем-
и в нерелятивистском приближении находим
е « тс2 + р2/2/л.
Здесь второе слагаемое представляет собой функцию Гамиль-
тона нерелятивистской частицы. Обобщая на релятивистский-
случай, положим
A.4.5)
— функция Гамильтона. Тогда функция Лагранжа по опреде-
лению будет равна
L = pv — H, A.4.5, а)
где v=d#/dp = c2p/e. Поэтому
L = -j v2— в= — тс2 [fl—
A.4.6)
—функция Лагранжа релятивистской частицы. В нерелятиви-
стском пределе и/с<С 1 находим
L« — mc2+mvV2.
Здесь второе слагаемое совпадает с функцией Лагранжа не-
релятивистской частицы, равной ее кинетической энергии,,
а первый член — энергия покоя (внутренняя энергия) частицы
с обратным знаком. Используя выражение A.4.6) для функции
Лагранжа, запишем действие
' t t X S
S = \ L dt = — me2 \ y\—v2/c2 dt~ — mc2\dx = — me \ds = inv.
6 6 6 о
A.4.7)
Как видно, действие является релятивистским инвариантом,.
так как выражается через интеграл от инвариантного собствен-
ного времени.
В динамике частиц вместо лагранжева описания их движе-
ния можно применять гамильтонов метод на основе введения
новых (канонических) переменных вместо г и v = dr/dt и новой,
функции вместо функции Лагранжа
г, v, L = L(r, т)-*г, р, Н = Н(г, p) = vp—I, A.4.8)
где» Я—функция Гамильтона, p=dL/dv — канонический им-
пульс (см. выше A.4.5, а)). Точно так же и в теории поля мож-
26
но перейти к гамильтонову описанию, заменяя переменные по-
ля и лагранжиан:
ЩА(х),
п
А-Х, A.4.9)
где Ж— плотность гамильтоновой функции поля (гамильто-
ниан):
A.4.10)
которая представляет собой энергию поля, а
пА = д%/дц tA A.4.11)
является плотностью канонического импульса поля. Таким об-
разом, в теории поля, как и в теории частицы, производные по
времени цАл исключаются с помощью преобразования Лежанд-
ра и перехода к новым переменным лА. Легко проверить, что
в канонических переменных цА, VnA, nA уравнения поля, экви-
валентные уравнениям Лагранжа, таковы:
дЗв
¦п а- ш _дЗв
'¦' ЬА ~ЬА
6т1л дх\А
§ 5. ТЕОРЕМА Э. НЕТЕР
д 36
A.4.12)
Рассмотрим более подробно вопрос об инвариантности отно-
сительно непрерывных преобразований в теории поля. Пусть
н результате некоторого непрерывного преобразования, при-
надлежащего группе Ли, преобразуются 4-векторы координат и
функции поля:
-х'.
Рассмотрим функционал действия
S[u(x)] = \%(и, ди/дх, х)
A.5.1)
A.5.2)
где область интегрирования Q произвольна. Введем понятие
локальной вариации би(х), связанной с преобразованием фор-
мы функции
и (х) -*¦ и' (х) = и (х) + би (х).
Поскольку
A.5.3)
A.5.4)
27

для полной вариации получим
ди
Ьи (х) = и' (х')— и(х) = Ьи (х) + —
Предположим, что действие инвариантно относительно преоб-
разований A.5.1)
S[u'(x')]=S[u(x)] = iw, A.5.6>
т. е. 8S=0.
Найдем явный вид вариации действия
Здесь
где
Якобиан перехода равен
I дх'
дх
I
дх'
дх
d*x.
\
дхЧ
Используя тождество tr In Л=1п det A (tr — символ следа мат-
рицы) , запишем
дх' I _ gin det (дх'/дх) _ gtr In 0х'/дх) ^
дх I
3*"
поэтому
A.5.8)
Теперь займемся вторым слагаемым в A.5.7):
Здесь
ди ' *,
ди
<)•
Если поле удовлетворяет уравнениям Лагранжа
6Sdgд
Ьи ~ ди dxv
• = 0,
то
' _ д / д*
dxv \ ди
'ХЪи\.
Полная вариация Ь2? = ЬЗ?-\-д„.3?Ьх». Таким образом, для ва-
риации действия получим
L
д I дЗи -j- \ I
A.5.9)
Если, как мы предположили, объем Q произволен и действие
инвариантно, 6S = 0, то дивергенция под знаком интеграла рав-
на нулю:
дХ \j дХ ,
ди у, ' J ди ц
Преобразования образуют группу Ли с параметрами Ха(а
= 1, г), поэтому
6xv 6u
&xV = W бЯ>О> 6м = W бЯ>О>
где
и Ха — генераторы группы. Определим так называемый ток
Нётер
„ \ Ьх° д& Ьи .. _ .,
M,vj—-—_ A.5.11).
и тогда из A.5.10) в силу независимости параметров друг от
друга получим
Равенство нулю дивергенции приводит к закону сохранения,,
т. е. интегралу уравнений поля. Действительно, применяя тео-
рему Гаусса, запишем
Г d4x _Ё^?_ = f dOvyve = о.
S д* i
28
29

Пусть область интегрирования ограничена двумя гиперплоскос-
тями t = t\ и t = t2, а в пространственноподобных направлениях
лростирается до бесконечности, где и = 0, ы,„=0. Тогда A.5.13)
приводит к равенству
A.5.14)
I
I d3xJ°a= j d3xJ°a = const.
t tt
I
t=tl
Полученные интегралы представляют собой заряды Нётер
Qa= J d3xJ°a = const,
<=const
которые в силу A.5.14). оказываются постоянными во времени,
т. е. интегралами движения теории поля. В этом и состоит тео-
рема Нётер. Заметим, что введенные выше токи Нётер неод-
нозначны, так как допускают преобразования
/v _». /v j_ d f „v t jiv__f vii П ^ I *Л
.не нарушающие равенства A.5.12).
§ 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
Прежде всего рассмотрим некоторые общие требования, ко-
торым должны удовлетворять теории поля. Поскольку класси-
ческая динамика поля определяется его действием, то требова-
ния должны предъявляться именно к действию
S [и (х)} = \Х{и, ди/дх, х) d*x.
A.6.1)
Перечислим эти требования.
1. Релятивистская инвариантность. Действие должно быть
инвариантом группы Пуанкаре, т. е. не изменяться под дейстт
вием преобразований Лоренца и трансляций. Объем инвариан-
тен относительно собственных преобразований Лоренца и
трансляций, поэтому лагранжева плотность 23 должна зави-
сеть от соответствующих инвариантов.
2. Локальность. Функции поля, от которых зависит функ-
ционал действия, должны зависеть от одной и той же точки х,
как в A.6.1). ¦'.'..:¦
3. Действительность. В действие входят только действитель-
ные комбинации функций поля и их производных. В противном
случае действие поля приобрело бы мнимую часть, а вместе с
ним и энергия поля стала бы комплексной, что с точки зрения
квантовой теории свидетельствовало бы о возможнбсти рож-
дения и поглощения частиц поля «из ничего», т. е. из вакуума.
4. В лагранжиан входят производные не выше первого по-
рядка. В этом случае уравнения поля оказываются не выше
второго порядка.
30
5. Инвариантность относительно так называемых внутрен-
них симметрии, определяемых структурой теории. К таким
симметриям относится, например, изотопическая симметрия по-
лей, соответствующих нуклонам, т. е. протонам, нейтронам и
пи-мезонам, входящим в состав ядра. Другим важным приме-
ром является калибровочная симметрия, определяющая ха-
рактер взаимодействия полей материи, а именно электромаг-
нитного взаимодействия, слабого взаимодействия (распады
частиц) и сильного взаимодействия, удерживающего нуклоны
в ядрах (хромодинамика, основанная на цветовой симмет-
рии),— см. ниже.
Простейшим примером релятивистского поля является дей-
ствительное скалярное поле. Это однокомпонентное поле, ф =
=ф(*), инвариантное относительно преобразований группы
Пуанкаре:
х -*¦ х' = Ах + а, ф (х)
' (*') = ф (х).
A.6.2)
Лагранжиан такого поля, отвечающий перечисленным выше
требованиям, может быть записан в виде*
A.6.3)
Уравнение поля
(П+т2)Ф(*) = 0, A.6.4)
где П-^д^ — с~2дг2—V2 — оператор Даламбера, называется1
уравнением Клейна — Гордона. Частное решение данного урав-
нения находим в виде плоской монохроматической волны
где р2 = т2, т. е. р02—Р2 = т2, откуда
Ро = ±
± ер. A.6.6)
По.существу, вектор р в данном решении с точки зрения клас-
сической теории является волновым вектором, имеющим раз-
мерность (длина)-1. Корпускулярная интерпретация волны
exp[i(pr—BPt)] основана на понятии волны де Бройля, отра-
жающей волновые свойства квантовых частиц. Такая волна за-
писывается в виде
где fi = /i/2n = 6,5820-10-22 МэВ-с A МэВ = 106эВ)—постоян-
ная Планка, представляющая собой квант действия. Вектор р-
определяется как импульс, а еР —энергия частицы. При этом
* Здесь ив дальнейшем в данном параграфе мы пользуемся релятивист-
ской системой единиц, полагая е=1. .
31'

длина соответствующей волны де Бройля связана с импуль-
сом соотношением
К- П
5с==л==7рГ
Не останавливаясь подробно на соответствии классической и
квантовой теорий, подчеркнем еще раз, что уравнение для клас-
сического поля после проведения процедуры квантования поля
интерпретируется как одночастичное уравнение для частицы —
кванта этого поля. Произвольное' состояние квантового поля
представляется как совокупность некоторого числа N частиц —
квантов, находящихся в различных возможных одночастичных
состояниях с энергией Ei(pi) и импульсами p»(t=l,JV). В даль-
нейшем, так же как и в приведенной выше формуле A.6.5),
будем при обращении к корпускулярной интерпретации волно-
вых решений использовать систему единиц h=\, и тогда им-
пульс частицы будет иметь размерность волнового вектора,
т. е. (длина). Таким образом, р может быть назван 4-векто-
ром импульса частицы массы т, сопоставляемой данному по-
лю A.6.5).
Рассмотрим теперь более сложный случай, когда лагранже-
ва плотность поля имеет вид
? = |(^ФJ-У(Ф). A-6.7)]
тде У(ф)—не квадратичная функция, как для свободного по-|
ля, а содержит самодействие поля, например <
A.6.8)
Это так называемая модель Хиггса. Здесь параметр Я>0, а па-;
раметр ц,2 может иметь любой знак. Если |я2<0, то «потенци-i
альная энергия» У^ф) имеет миримум при <р=0 и тогда, пре-
небрегая членом ф4, получаем свободные частицы с массой:
(—ц,2). Поправки порядка ф4 определяют самодействие поля
и могут быть учтены приближенйо как малые возмущения. Ес-
ли же ц,2>0, то минимум «потенциальной энергии» достигает-
ся при ~-.' .
A.6.9I
На этот раз получаем два минимума, т. е. два возможных ре
щения, при которых энергия поля минимальна ?,= 0. Таки<
решения A.6.9) называются, используя квантовую терминоло-
гию, вакуумными решениями. Раскладывая A.6.8) вблизи од-
аюго из решений A.6.9), например
Ф(*)=/7?А + Л(*, 0.6.10)|
32
гчнтая г\(х) малым, находим в квадратичном приближении
где /я„=У2|я — масса частицы, отвечающей решению A.6.10)
(хигтсовская частица). Заметим, что исходный лагранжиан
A.6.7) симметричен относительно отражений, т. е. замены зна-
ка, ф->—ф. В случае ц,2<0 решение сохраняет симметрию лаг-
ранжиана, а при (j,2>0 необходимо сделать выбор вакуумного
решения A.6.9) и соответствующего «возбужденного» решения
типа A.6,10). При этом симметрия исходного лагранжиана на-
рушается, так как решение этой симметрией уже не обладает
(спонтанное нарушение симметрии).
Рассмотрим теперь комплексное поле ф = ф1+?ф2 и от дей-
ствительной ф1 и мнимой <р2 частей перейдем к полю ф(*) и
комплексно сопряженному полю ф*(*). Соответствующий лаг-
ранжиан свободного комплексного поля
2—/rt21 ф |2
A.6.11)
действителен и симметричен относительно преобразований уни-
тарной однопараметрической группы ?/A):
Ф (х)
{х), ф* (х) -*¦ eia ф* (*).
A.6.12)
Унитарность состоит в том, что квадрат модуля поля при опе-
рациях группы не меняется:
Применяя теорему Нётер и учитывая, что преобразования
A.6.12) не затрагивают координат, т. е. 6xv/6a = 0, с помощью
A.5.11) находим сохраняющийся ток Нётер:
1де иА=>и, и*. В итоге находим так называемый электромаг-
нитный ток
и электрический заряд
\ ди
t
да*
A.6.13)
A.6.14)
Полученные выражения для сохраняющихся величин A.6.13)
и A.6.14) совершенно общие, так как под и можно понимать
многокомпонентные поля и суммировать вклад всех компонент.
В случае скалярного поля с лагранжианом A.6.11) получим
( )
jv- = _ i (ф\ иф—ф.
2--114
33

или, выписывая отдельно временную и пространственную
части:
»=p = — i
dt
-Ф—ir
— плотность заряда,
j = — t (ф*\7ф—ф\/ф*)
— плотность тока.
Теперь обратимся к преобразованиям группы Пуанкаре.
В случае трансляций х?^>~х?-\-а» в формуле для тока Нётер
A.5.11) имеем
0. A.6.15)
Последнее равенство в A.6.15) обусловлено инвариантностью
полей относительно трансляций (однородность пространства):
и'{х')=и{х).
Таким образом, сохраияющийся нётеровский ток из A.5.11)
будет иметь вид
дЗ?
7Л,= -2'6'\, + —puV A.6.16)
Это определение также совершенно общее, т. е. применимо для
любого поля. Оно дает тензор энергии-импульса, интеграл от
нулевой компоненты которого определяет 4-импульс поля:
A.6,17)
= C
^
Действительно, нулевая компонента этого вектора
A.6.18)
совпадает с энергией поля, определенной в A.4.10). Простран-
ственные компоненты образуют вектор импульса поля
dZ ' "-4 A.6.18, а)
Для действительного скалярного поля имеем и = ф,
или, поднимая индекс,
7гц==ф^ф-ц_Т)гм.12' A.6.19ч
— симметричный тензор энергии-импульса. Плотность энергии
Если
личина,
34
, то плотность энергии — знакоопределенная ве-
Обратимся теперь к собственным преобразованиям Лорен-
ца. Рассмотрим сначала слагаемое в выражении для тока Нё-
тер A.5.11), пропорциональное б^/бф115:
д 2 \ к^
>аР. A.6.21)
ди
Вспомним, что согласно A.3.18)
Поэтому
Подставляя последнее равенство в A.6.21), получим
I^ccp = 74 (X^\~Xa6vp) = Т»аХа-~Т»цХа A -6.22)
— так называемый тензор орбитального момента поля. Он
обладает свойством антисимметрии: ¦/>«&=—/Да- Интеграл от
нулевой компоненты A.6.22) определяет полный тензор орби-
тального момента поля
Lap=Jd^LV- A-6-23)
Обратим внимание на обратный порядок нижних индексов
подынтегрального выражения. Три компоненты тензора A.6.23)
связаны с компонентами псевдовектора орбитального момента
поля
Для скалярного поля имеем (а, р = 1, 2, 3)
La» = I dsX (Т%Ха-Т«аХ?) = j dsX (ф, рХа-ф,
A-6.24)
— тензор орбитального момента скалярного поля. В общем
случае следует рассмотреть слагаемое в токе Нётер, пропорцио-
нальное бм/бфаР:
(L6-25)
Оно определяет тензор собственного момента или спина поля
Sap=jSVd3*. A.6.26)
В сумме орбитальный и спиновый моменты составляют полный
момент поля: Ja.f,=La^-{-Sa(l, который согласно теореме Нётер и
сохраняется:
= const,
A.6.27)
35

В случае скалярного поля 6<p/8<paf! = 0 и /ар=?<кь т. е. спин ра-
вен нулю, S = 0, и сохраняется момент:
dL
дх
22- = О, L = const, S = 0.
A.6.28)
Из первого равенства следует с учетом сохранения энергии-
импульса
^ Т^Ха) = Па-Т% = О,
т. е. Га^==ра — тензор энергии-импульса скалярного поля сим-
метричен. В общем случае полей, обладающих нетривиальными
трансформационными свойствами относительно преобразова-
ний Лоренца, Svan?=O и тензор энергии-импульса несимметри-
чен, однако он может быть сделан таковым согласно A.5.15)
добавлением дивергенции подходящего антисимметричного тен-
зора.
В качестве упражнения предоставляем читателю вывеет»
соответствующие полученным выше выражения для тензоров
энергии-импульса и момента заряженного (комплексного) ска-
лярного поля.
Глава II
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Система уравнений, описывающих эволюцию электрического
Е и магнитного Н полей в пространстве при заданных плотно-
сти заряда р и плотности тока /, имеет вид*
d B.1.1)
, B.1.2)
divH = 0, B.1.3)
rotE = — dtH. B.1.4)
Уравнения B.1.1) — B.1.4) носят название уравнений Макс-
велла в трехмерной форме, и в этом виде они используются
при решении большинства задач классической электродинами-
ки. Однако в ряде случаев, в частности при исследовании за-
кона преобразования полей Е и Н при переходе из одной инер-
циальной системы отсчета в другую, значительно более удоб-
ной является так называемая четырехмерная форма записи
уравнений Максвелла.
Прежде всего из компонент векторов Е и Н построим ан-
тисимметричную 4х4-матрицу Я" следующим образом:
— E2 -E,
0 — Я,
H. 0
B.1.5)
Тогда непосредственной проверкой легко установить, что вве-
дение матрицы Р" позволяет переписать уравнения B.1.1) и
B.1.2) в виде
B.1.6)
B.1.7)
B.1.8)
где введено следующее обозначение:
/» = (Р, J).
При этом уравнения B.1.3) и B.1.4) принимают вид
* Всюду в этой главе скорость света принята равной единице.
37

В этом уравнении е*™— символ Леви —Чивита, который оп-
ределяется следующим образом:
1
—I,
О
(z.l.9)
при условии, что индексы \ivro получа-
ются четной перестановкой из 0 1 2 3,
если перестановка нечетная,
в остальных случаях.
Можно показать, что величина e"VTCr преобразуется как тензор
при собственных преобразованиях Лоренца. При несобствен-
ных преобразованиях компоненты тензора должны были бы
изменить знак, в то время как знаки e"vtcr по определению не
меняются. Поэтому е1"™ является, как говорят, псевдотензором.
Покажем, что введенный в B.1.7) упорядоченный набор чи-
сел f является 4-вектором. Рассмотрим систему частиц с за-
рядами еа, положение которых в момент времени t задается,
радиусами-векторами ta(t). В этом случае плотность заряда и
плотность тока определяются следующим образом:
р(г, 0 = 2еаб3(г-га@), BЛЛ°)
j (Г, 0 = 2 eaVa (t) б3 (Г-Гв (*)). B.1.11)
Здесь б3 (г—го) — дельта-функция Дирака.
G учетом определения B.1.7) запишем B.1.10) и B.1.11) в
виде
,i?2.tf(r-re@). B-1.12)
Чтобы показать, что это 4-вектор, заметим, что
B.1.12) тождественно следующему выражению:
выражение
Xa{s)). B.1.13)
Дельта-функция 8Цх—*„'(«)) является скаляром, a dx? —
4-вектором, поэтому 'f(x) представляет собой 4-вектор. сЭтот
факт позволяет ответить на вопрос: каким образом ^преобразу-
ются компоненты электрического й магнитного полей при пере-
ходе из одной инерциальной системы отсчета в другую? Дей-
ствительно, правая часть уравнения B.1.6) есть 4-вектор, по-
этому 4-вектором является его левая часть, т. е. величина
Р" v. Но в таком случае Р™ представляет собой контравариант-
ный теизор второго ранга (это является следствием хорошо из-
вестной в тензорной алгебре теореме о частном). Следователь-
но, при преобразованиях Лоренца Л^У компоненты Р" преобра-
зуются следующим образом:
B.1.14)
т. е. нахождение связи компонент векторов Е и Н в различ-
ных лоренцевых системах отсчета сводится к выполнению не-
большого числа алгебраических операций. В частности, если
38
преобразование Лоренца не сопровождается изменением ори-
ентации осей системы координат, как это было в случае спе-
циальных преобразований A.1.15), то с помощью B.1.14) и
B.1.5) мы получим следующий результат:
Е,=Е,', E1 = v(E'1-[VH']),
Н,=Н,', Hx-v^'i + fVE']). B.1.15)
_
В формулах B.1.15) введены следующие обозначения:
Р _ (ЕУ)У
аналогично определены Н„ и Нх, ^=A—У2)~1/2.
В связи с изложенным следует остановиться на вопросе об
инвариантах электромагнитного поля. Инвариантами поля на-
зываются величины, составленные из компонент электрическо-
го и магнитного полей и остающиеся неизменными при преоб-
разованиях Лоренца. Инварианты полянам потребуются в сле-
дующем параграфе при построении выражения для действия
свободного электромагнитного поля. Вид инвариантов устанав-
ливается наиболее просто, если исходить из представления
электромагнитного поля с помощью антисимметричного 4-тен-
зора Р"\ Для этого нужно найти все нетривиальные скаляры,
которые можно построить из компонент Р". Одним из таких
инвариантов является скалярный квадрат тензора Р", т. е. ве-
личина
FilvF^ = in\. B.1.16)
Второй независимый инвариант может быть построен путем
сворачивания Р™ с дуальным ему тензором:
— e^taF^F'0 = inv. B.1.17)
Если воспользоваться определением B.1.5), то нетрудно вы-
разить инварианты B.1.16) и B.1.17) непосредственно через
компоненты напряженностей ? и Я:
=-4 (ЕН).
B.1.18)
Найденные величины по-разному ведут себя при отражениях
пространственных или временной оси. Выражение B.1.16),
т. е. разность (Н2—Е2), является истинным скаляром, в то вре-
мя как произведение Р™ на дуальный тензор B.1.17), равное
учетверенному скалярному произведению (ЕН), представляет
собой псевдоскаляр. Последнее утверждение является следстви-
ем псевдотензорного характера величины е„у„,. Это значит, что
скалярное произведение (ЕН) меняет знак при отражении
трех пространственных или временной оси.
39

Преобразование полей при переходе от одной системы от-
счета к другой делает естественной постановку задачи о на-
хождении инерциальной системы отсчета, в которой заданная
конфигурация полей преобразуется к наиболее простому виду.
Единственные ограничения, которые здесь возникают, связаны
с существованием инвариантов электромагнитного поля. Из ин- ¦
вариантности выражений B.1.18) следует, что если поля ЕиН
равны по модулю или ортогональны в некоторой системе от- \
счета, то это будет выполняться и во всякой другой инерци- ¦
альной системе отсчета. Инвариантным является знак нера- ,|
венств Е>Н или ?<Я. И кроме того, преобразованием че- J
тырехмерной системы координат невозможно острый угол меж- ;
ду векторами ЕиН сделать тупым или наоборот. В ряде при- \
ложений можно существенно упростить задачу, если обратить ']
одно из полей в нуль. Из сказанного выше следует, что это !
возможно, только если в исходной системе отсчета поля были \
ортогональны. При этом обратить в нуль можно лишь то из \
- полей Е или Н, чей модуль меньше. ]
Вернемся к системе уравнений Максвелла B.1.1) — B.1.4).
Последние два из них фактически лишь позволяют уменьшить
число неизвестных функций с шести (по три компоненты для
каждого из векторов Ей Н) до четырех введением так на-
зываемых скалярного ф и векторного А потенциалов:
где / — произвольная дифференцируемая скалярная функция.
В трехмерных обозначениях преобразования B.1.22) имеют вид
Е = — grad ф —dt A,
Н = rot A.
B.1.19)
При этом уравнения B.1.3) и B.1.4) обращаются в тождест-
ва, а нетривиальные уравнения . получаются при подстановке
B.1.19) в B.1.1) и B.1.2). Получим эти уравнения сразу в ре-
лятивистски инвариантном виде.
Выразим компоненты тензора электромагнитного поля че-
рез потенциалы ф и А. Введем обозначение
> = (<р; А), B.1.20)
тогда из B.1.19) и B.1.5) мы получим, что тензор F" может
быть представлен в виде
fnv = A,,n—4i,v B.1.21)
Из полученного соотношения следует, что величины Л"
B.1.20) представляют собой компоненты контравариантного
4-вектора (здесь можно сослаться на упоминавшуюся выше
теорему о частном). Этот 4-вектор называют 4-потенциалом
электромагнитного поля. Равенство B.1.21) говорит еще и о
том, что 4-потенциал электромагнитного поля определен неод-
нозначно. Действительно, выражение B.1.21), очевидным об-
разом, инвариантно относительно преобразований вида
- Д ц — Лц
B.1.22)
Таким образом, величины, которые являются наблюдаемыми в
классической электродинамике, должны быть инвариантными
относительно преобразований B.1.22), B.1.23). Эти преобра-
зования носят название градиентных, или калибровочных пре-
образований. Ниже мы увидим, что калибровочная инвариант-
ность электромагнитного поля тесно связана с законом сохра-
нения заряда.
Уравнение, которому удовлетворяет 4-потенциал Л", полу-
чается после подстановки выражения для тензора электромаг-'
нитного поля B.1.21) в уравнение B.1.6): ';¦
B.1.24)
Полученное уравнение можно существенно упростить, если, вос-
пользоваться инвариантностью электродинамики относительно
калибровочных преобразований B.1.22). Выберем в качестве
функции / какое-либо решение уравнения
Нетрудно увидеть, что в этом случае преобразованный потен-
циал будет удовлетворять условию
а^ = 0. B.1.25)
О потенциалах, для которых выполняется равенство B.1.25),
говорят как о потенциалах в лоренцевой калибровке. В трех-
мерных обозначениях это условие имеет вид
40
0. B.1.26)
Компоненты 4-потенциала в лоренцевой калибровке удовлетво-.
ряют неоднородному волновому уравнению
ПА» = 4лр, B.1.27)
которое в отсутствие зарядов и токов превращается в уравне-
ние Даламбера
? Ли = 0. B.1.28)
Калибровка Лоренца все еще не фиксирует 4-потенциал
однозначно. Усилие B.1.25) не будет нарушаться при калибро-
вочных преобразованиях B.1.22), если только функция f удов-
летворяет уравнению
?f = 0.
Мы воспользуемся этой дополнительной свободой в выборе по-
тенциалов электромагнитного поля в параграфе, посвященном,
электромагнитным волнам.
41

Можно показать, что уравнения Максвелла содержат в се-
бе закон сохранения заряда. Для этого вычислим четырехмер-
ную дивергенцию от обеих частей уравнения B.1.6). Дивер-
генция левой части обращается тождественно в нуль в силу
антисимметричности тензора поля /*", и мы получаем равен-
ство
д^ = 0, B.1.29)
которое в трехмерных обозначениях имеет вид
divj + dtp = O. B.1.30)
Полученное равенство представляет собой дифференциальную
форму закона сохранения заряда. Действительно, проинтегри-
руем обе части B.1.30) по некоторому произвольному объему V
трехмерного пространства. Интеграл от первого слагаемого по
теореме Гаусса преобразуем в поток вектора j через охваты-
вающую объем замкнутую поверхность, получим
Полученное равенство означает, что изменение заряда в за-
данном объеме равно со знаком минус заряду, прошедшему
через ограничивающую объем замкнутую поверхность. Иными
словами, ни в одной точке пространства заряды не рождаются
и не исчезают.
§ 2. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ
ИЗ ЗАРЯДОВ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Рассмотрим, каким образом классическая электродинамика
может быть построена в соответствии с общими принципами
классической теории поля. Первое, что нужно сделать, — это
установить вид действия для свободного электромагнитного
поля. После этого в действие следует включить члены, учиты-
вающие взаимодействие электромагнитного поля с заряженной
материей и движение зарядов. Итак, для системы, состоящей
из заряженных частиц и электромагнитного поля, мы будем
искать действие в виде суммы трех слагаемых: действия, опи-
сывающего электромагнитное поле Sp, действия для свободных
частиц Sp и члена, учитывающего взаимодействие зарядов с
электромагнитным полем Spp:
. B.2.1)
I
Получим прежде всего выражение для действия свободного
электромагнитного поля. При этом примем во внимание сле-
дующие естественные ограничения. Величина SF, а также со-
ответствующий ей лагранжиан должны быть построены толь-
ко Из величий, описывающих электромагнитное поле, и быть
релятивистскими инвариантами. Линейность уравнений поля
42
требует, чтобы действие для поля было билинейным функцио-
налом от 4-потенциала и его первых производных и не содер-
жало производных более высокого порядка. Градиентная ин-
вариантность уравнений электромагнитного поля означает, что
действие Sp должно быть записано только через ррадиентно-
инвариантиые величины.
Единственными величинами, удовлетворяющими сформули-
рованным выше требованиям, являются инварианты поля
B.1.16) и B.1.17). Поэтому лагранжиан теории следует искать
в виде их линейной комбинации. Вместе с тем равноправие ле-
вых и правых координатных систем заставляет отказаться от
инварианта B.1.17) как возможного члена в общем выраже-
нии для лагранжиана свободного электромагнитного поля. Это
обусловлено его псевдоскалярным характером. Действительно,
введение такого члена в лагранжиан приведет к уравнениям
поля, вид которых будет меняться при отражении координат-
ных осей. Таким образом, мы окончательно получаем
16я J
B.2.2)
Введение в B.2.2) коэффициента —1/16я соответствует выбо-
ру гауссовой системы единиц. Мы увидим, что действие B.2.2)
действительно приводит к правильным уравнениям для свобод-
ного электромагнитного поля.
С точки зрения классической теории поля полученное дей-
ствие является действием для безмассового векторного поля,
которое описывается четырьмя функциями А*(х), образую-
щими в совокупности 4-вектор и связанными с тензором F*"
соотношением B.1.21). Если ограничиться требованиями реля-
тивистской инвариантности и линейности уравнений поля, то
в качестве действия для безмассового векторного поля мы мог-
ли бы взять одно из выражений:
, = Lf
8я J
либо
SP =
ion J
] d4x.
B.2.3)
B.2A)
Нетрудно проверить, что в обоих случаях полученные с по-
мощью вариационного принципа уравнения совпадают с урав-
нением Даламбера B.1.28). Однако, как было показано в пре-
дыдущем параграфе, уравнения Максвелла могут быть получе-
ны из B.1.28) только при наложении условия Лоренца.
B.2.4) отличается от B.2.3) на интеграл от 4-дивергенции
и поэтому фактически с ним совпадает. Вместе с тем от гради-
ентно инвариантного выражения B.2.2) действие в форме
B.2.3) или B.2.4) отличается членами, содержащими в
43

подынтегральном выражении 4-дивергенцию д»А». Поэтому эти
выражения можно считать эквивалентными только при нало-
жении условия Лоренца B.1.25)
Однако эта неоднозначность в выборе-действия для свободно-
го безмассового векторного поля является только кажущейся.
В § 6 мы увидим, что при выборе действия в форме B.2.3)
или B.2.-4) в выражении для энергии поля появятся отрица-
тельные слагаемые, исключить которые можно, только наложив
на потенциал Л" условие Лоренца и тем самым фактически пе-
реходя к калибровочному инвариантному действию B.2.2): Та-
ким образом, непротиворечивая, теория безмассового вектор-
ного поля, по сути дела, является теорией свободного электро-
магнитного поля. . :
Перейдем к установлению вида остальных входящих в дей-
ствие B.2.1) членов. <
Вид действия для свободной частицы был получен в пер-
вой главе. Для системы трчечных невзаимодействующих час-
тиц оно имеет вид
dSa
B.2.5)
Третье слагаемое в B.2.1) описывает взаимодействие час-
тиц с электромагнитным полем и должно представлять собой
интеграл от произведения величины, относящейся к частице,
на величину, характеризующую электромагнитное поле. Урав-
нения поля получаются при варьировании действия по перемен-
ным поля. В результате мы должны получить уравнения Мак-
свелла B.1.6). В правой части этих уравнений стоит 4-ток
/"(*). Вместе с тем с точки зрения вариационного исчисления
правая часть уравнений поля есть вариационная производная
6SpW6/4u(x). Это предопределяет выбор взаимодействия в сле-
дующем виде:
5pF = —
B.2.6)
Коэффициент перед интегралом в правой части этого равенст-
ва выбран таким образом, чтобы получить нужный знак перед
источником в правой части полученных с помощью вариацион-
ного принципа уравнений.
Выбранное в форме B.2.6) взаимодействие на первый
взгляд не удовлетворяет принципу калибровочной инвариант-
ности. Действительно, если преобразовать 4-потенциал в соот-
ветствии с B.1.22), то при этом B.2.6) заменится «а выра-
жение
d*x. B.2.7)
Воспользуемся тождеством }lxdVi} = dlx(Jj11)—/
44
Интеграл по 4-объему от первого слагаемого по теореме Гаус-
са сводится к интегралу по трехмерной гиперповерхности, охва-
тывающей 4-обЪем. При этом выражение для действия B.2.7)
преобразуется к следующему виду:
v—§fdlJ»dix. B.2.8)
Поскольку по смыслу принципа наименьшего действия на гра-
нице области интегрирования все характеризующие систему
величины предполагаются фиксированными, вариация второго
слагаемого в B.2.8) равна нулю. Это значит, что соответству-
ющее слагаемое в выражении для лагранжиана может быть от-
брошено. Таким образом, для того чтобы действие было кали-
бровочно инвариантным, необходимо и достаточно обращение в
нуль третьего слагаемого в правой части B.2:8). В силу про-
извольности функции f(x) это эквивалентно требованию обра-
щения в нуль дивергенции /"(дс):
В предыдущем параграфе было показано, что это соотношение
действительно выполняется в классической электродинамике и
выражает собой закон сохранения электрического заряда.
Таким образом, в теории, описывающей электромагнитное
иоле и взаимодействующие с полем заряженные частицы, ока-
зались тесно связанными два на первый взгляд совершенно
различных явления: свойство калибровочной инвариантности
электромагнитного поля и закон сохранения электрического
наряда. Мы еще вернемся к этому вопросу в главе, посвящен-
ной калибровочным полям.
§ 3. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ НАСТИЦЫ
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Прежде чем перейти к варьированию действия B:2.1) по
координатам частицы, преобразуем выражение для SpF' к бо-
лее удобному виду.
Воспользуемся явным выражением для тока }»{х) B.1.13).
Подставляя B.1.13) в B.2.6) и выполняя интегрирование по
V, мы получаем
SPF = — ^,ea\ Alx(x)dx^a. B.3.1)
При нахождении уравнения движения мы варьируем коор-
динаты частицы, при этом электромагнитное поле считается
заданным. Поэтому членом SF в выражении для действия
B.2.1) можно пренебречь, и мы имеем
(— madsa—
B.3.2)
В формуле B.3.2) интегрирование ведется вдоль мировой
линии а-й частицы между двумя фиксированными мировыми
точками.
45

Вариация действия B.3.2) имеет вид
B.3.3)
Далее, поскольку ds =
Ms =
dxHdx»
где u»=dx»lds — четырехмерная скорость частицы.
Воспользовавшись этим соотношением и переставляя опе-
рации взятия вариации и дифференцирования, проинтегрируем
по частям первые два члена в B.3.3). Получим
65 = 2 (- таи"»— еаЛд) 8х»а I +
B 3 4)
бЛdv)
На границе области интегрирования блгац=О, поэтому внеии-
тегральный член в B.3.4) обращается в нуль.
Преобразуем подынтегральное выражение, воспользовав-
шись соотношениями
du
dA4dAd
В результате выражение для вариации действия приобре-
тает вид
55 =
та
dsa.
B.3.5)
В соответствии с принципом наименьшего действия мы
должны потребовать обращения в нуль вариации B.3.5). В си-
лу произвольности 6ха* это 'приводит к следующему уравнению-
(индекс а отброшен):
ds
B.3.6)
Полученное уравнение представляет собой уравнение дви-
жения частицы в явно релятивистски инвариантном виде. По су-
ти дела, оно объединяет в себе четыре уравнения, соответству-
ющие четырем возможным значениям свободного индекса \л.
Эти уравнения не являются независимыми, одно из них являет-
ся следствием трех оставшихся. Это можно обнаружить, если
свернуть обе части равенства B.3.6) с вектором четырехмер-
ной скорости и*. При этом левая сторона обратится в нуль в
силу ортогональности 4-векторов и" и du*/ds, а правая — ввиду
антисимметричности тензора поля fuv.
Мы можем придать уравнению движения вид, наиболее
близкий к ньютоновской теории. Для этого перейдем в B.3.6)
46
к дифференцированию по лабораторному времени с помощью
соотношения
ds = (l—v2)i/2dt
и воспользуемся стандартными обозначениями для релятивист-
ских энергии и импульса:
т mv
в = -
Р =
Мы получаем, что уравнение B.3.6) эквивалентно следующим
четырем уравнениям:
de
B.3.7)
Первое из полученных уравнений является собственно уравне-
нием движения. Стоящее в правой части этого равенства вы-
ражение по определению представляет собой силу, действую-
щую на заряженную частицу во внешнем электромагнитном
поле. Оно совпадает с известным из опыта выражением для
силы Лоренца. Второе уравнение описывает изменение со вре-
менем кинетической энергии частицы, оно определяется работой
сил электрического поля. Магнитное поле работы «е (произво-
дит, так как магнитная сила всегда ортогональна скорости
частицы.
Как уже отмечено, уравнения B.3.7) не являются незави-
симыми. Действительно, умножая обе части уравнения движе-
ния B.3.7) скалярно на v и воспользовавшись равенством
dp de
V
dt
dt'
мы убеждаемся, что уравнение, определяющее изменение ки-
нетической энергии, есть следствие уравнений движения.
В заключение этого параграфа рассмотрим простейшие слу-
чаи применения уравнений B.3.6), B.3.7) для нахождения за-
кона движения частицы во внешнем поле.
а) Гиперболическое движение
Рассмотрим движение заряда е в постоянном однородном
электрическом поле. Предположим, что в начальный момент
времени частица покоилась, и примем направление поля за по-
ложительное направление оси х.
В рассматриваемом случае уравнение движения B.3.6) сво-
дится к системе двух линейных дифференциальных уравнений:
?i=i?Do
as m
ds m H "
B.3.8)
47

Выберем начало отсчета собственноро времени так,~чтобы
s = 0 соответствовало моменту / = 0 лабораторного времени. Пр-и
этом начальные условия принимают вид
р1@) = 0, р°@) = т. B.3.9)
Выпишем в явном виде квадрат 4-импульса частицы
Из этого равенства следует, что решение системы уравнений.
B.3.8) следует искать в виде
р° (s) = m ch ф (s), р1 (s) — m sh ф (s), B.3.10)
причем функция ф(я) должна удовлетворять начальному усло-
вию
Ф@) = 0. B.3.11)
Подставляя B.3.10) в B.3.8), мы получим
- / ч еЕ
Ф (s) = —.
т
Решение этого уравнения с учетом начального условия B.3.11)
имеет вид
q>(s) = -f S.
Таким образом, для ненулевых компонент 4-импульса мы
получаем следующие выражения:
dt _ . еЕ
ds m
pi = m^=msle?
ds m
Повторное интегрирование этих уравнений дает
B.3.12)
s.
t=fLshs,
еЕ т
т . еЕ
X — СП S.
еЕ т
B.3.13)
Для простоты мы выбрали начальные условия таким образом,,
чтобы в начальный момент времени частица находилась в точ-
ке с координатой лс(О) =т/еЕ.
Из полученных результатов следует очевидное равенство
Оно позволяет найти зависимость координаты частицы от ла-
бораторного времени:
B.3.14)
Дифференцируя это равенство, получаем зависимость скорости1
частицы от времени:
... еЕ t
V(t)
т
48
Мы видим, что, если время, прошедшее с момента начала:
движения, мало по сравнению с характером времени to=m/eE,
перемещение частицы пропорционально t2 и закон движения
такой же, как в нерелятивистской теории. При больших вре-
менах x(t) асимптотически приближается к линейной функции,.
а скорость — к скорости света.
Вычислим ускорение частицы в сопутствующей системе от-
счета. Поскольку частица совершает движение вдоль поля, пе-
реход в сопутствующую, систему отсчета не приведет к изме-
нению Е (см. § 1). Это значит, что ускорение в сопутствующей
системе совпадает с ускорением в исходной системе отсчета,,
вычисленным в момент времени ^ = 0, когда частица покоилась.
При *=0 ds=dt, поэтому из B.3.8) мы получаем для ускоре-
ния w0:
еЕ
Таким образом, рассмотренное движение характеризуется1
постоянным ускорением в сопутствующей системе отсчета. Та-
кое движение носит название релятивистского равноускорен-
ного движения.
б) Движение в постоянном однородном магнитном поле
Движение заряда в постоянном однородном магнитном поле
описывается системой уравнений
dp
dt
e[vH].
B.3.15)
В этом случае уравнение, описывающее изменение со временем
кинетической энергии частицы, имеет особенно простой вид.
^=0. B.3.16)
Оно говорит о том, что действие магнитного поля сводится к
изменению направления движения заряда и не сопровождается
совершением работы.
Переходя к интегрированию системы B.3.15), вспомним,,
что из определения релятивистских энергии и импульса следу-
ет соотношение
Р = 8V,
где v — трехмерная скорость частицы.
B.3.17)
49-

Подставляя B.3.17) в B.3.15) и учитывая уравнение
{2.3.16), мы получаем
dv e
dt~^ г
B.3.18)
Выбираем декартову систему координат с осью г, направ-
ленной вдоль вектора Н, получим систему уравнений
dvx dv,j
V B.3.19)
dt
где <вн = бЯ/е — циклотронная частота.
Последнее уравнение говорит о том, что проекция скорости
на направление магнитного поля постоянна и
zt. B.3.20)
Чтобы найти зависимость от времени двух других координат
частицы, умножим второе из уравнений B.3.19) на i и сложим
.с первым, получим
-j-(o« + ivy) = — гшн (о, + i о»),
at
откуда
vx + ivy = Ce~l(an'. B.3.21)
Из этого равенства следует, что модуль постоянной интегриро-
вания С совпадает с абсолютной величиной скорости частицы
в плоскости, перпендикулярной полю:
Записывая комплексную постоянную С в виде
и отделяя в B.3.21) вещественную и мнимую части, получаем
vx @ = v0± cos (biHt + а),
vy(t) = —vOl sin (a>Ht +a). B.3.22)
Постоянная а является начальной фазой и вместе с Vo±. опре-
деляется из начальных условий.
Интегрируя B.3.22) еще раз, находим зависимость от вре-
мени координат частицы
х (t) = х0 + /?х sin (ti>Ht + a),
У (t) = yo + Rx cos (u)Ht+a), B.3.23)
аде Rx=
.50
Из B.3.20) и B.3.23) следует, что в постоянном однород-
ном магнитном поле заряд движется по винтовой линии с по-
стоянной скоростью vOz вдоль направления поля и с радиусом
R± в плоскости, перпендикулярной полю.
§ 4. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
ИЗ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
При нахождении уравнений поля из принципа наименьшего
действия движение зарядов, т. е. распределение источников
Р(х), считается заданным. Поэтому вариация второго слагае-
мого в B.2.1) равна нулю, и мы имеем
65
= — f (—
Прн вычислении вариации B.4.1) мы воспользовались воз-
можностью перестановки операций варьирования и интегриро-
вания и соотношением
Используя соотношение, связывающее тензор электромаг-
нитного поля с 4-потенциалом:
и антисимметричность тензора /v, мы получаем
Меняя порядок выполнения операций дифференцирования и-
варьирования, приведем первое слагаемое в подынтегральном;
выражении в B.4.1) к виду
F^dF^ = -2 (/^бЛц). v + 2F»yt V&Aд. B.4.2)
Интеграл по 4-объему от дивергенции даст нуль, так как ва-
риация 8А^(х) на границе области интегрирования предпола-
гается равной нулю. Таким образом, для вариации B-4.1) мы
получаем следующее выражение:
65=~
B.4.3).
Требование равенства нулю вариации B.4.3) при произволь-
ных значениях 6Л„, эквивалентно требованию обращения в нуль-
вариационной производной
Оно приводит к следующему уравнению:
F»-v v = — 4я/|*. , B.4.5)
Мы видим, полученное из принципа наименьшего действия
уравнение совпадает с уравнением Максвелла B.1.6).
5t

Второе уравнение поручается непосредственно из соотноше-
ния B.1.21). Дифференцируя это равенство по хх; шолучаем
/WMv.iix—Ai,vx- B.4.6)
Запишем еще два равенства, которые получаются из B.4.6)
щри циклической перестановке индексов:
Складывая почленно левые и правые части равенств B.4.6) и
гB.4.7), мы получаем уравнение
v, л
x. ц +
= 0.
B.4.8)
Покажем, что это уравнение совпадает с уравнением B.1.8).
Заметим, что левая часть равенства B.4.8) обращается в нуль
лри совпадении любых двух индексов. Поэтому нетривиальные
уравнения получаются только тогда, когда все три индекса
различны. Исключение тривиальных уравнений можно осуще-
ствить, сворачивая B.4.8) с абсолютно антисимметричным
лсевдотензором четвертого ранга етХа B.1.9):
giivxap. =0 B 4 9^
Действительно, абсолютная антисимметрия е»хка приводит к
тому, что при любом значении индекса \i в левую часть
B.4.9) будут входить только производные /ч0> v при %фаф
Фуфуь, и мы получаем уравнение, совпадающее с B.1.8).
§ 5. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Возможны различные способы введения тензора энергии-им-
пульса электромагнитного поля. Традиционный подход заклю-
чается в вычислении четырехмерной дивергенции тензора энер-
гии-импульса системы невзаимодействующих частиц, вид кото-
рого известен из релятивистской механики. Показывается, что
тензор энергии-импульса частиц, взаимодействующих с элект-
ромагнитным полем, не сохраняется. После этого из величин,
характеризующих электромагнитное поле, строится тензор вто-
рого ранга, добавление которого к тензору энергии-импульса
частиц приводит к некоторому дифференциальному закону со-
хранения. Найденный тензор отождествляется с тензором энер^
гии-импульса электромагнитного поля.
В гл. 1 мы определили тензор энергии-импульса как ток
Нётер, сохранение которого обусловлено инвариантностью дей-
ствия рассматриваемой системы относительно преобразований
группы пространственно-временных трансляций.
-52
Используя полученное там выражение д^я тензора энергии-
импульса A.6.16), явный вид лагранжиана свободного электро-
магнитного поля B.2.2)
16я
и учитывая то, что в рассматриваемом случае величинами и яв-
ляются компоненты 4-потенциала Л", мы получаем
TV .
1 И—
, И
B.5.1)
Для вычисления стоящей в B.5.1) производной получим выра-
жение для вариации лагранжиана &2?F'-
1 ""А,,ц. B.5.2)
8я
4я
Здесь мы воспользовались соотношением B.1.21) и. антисим-
метричностью тензора поля /v- .,,
Из выражения для вариации B.5.2) следует, что < ¦
Используя это выражение, мы получаем, что канонический тен-
зор энергии-импульса имеет вид
яли для контравариантных компонент
7VH = L Да.
4
16я
B.5.4)
Полученное выражение не является калибровочно инвариант-
ным. Поэтому добавим к нему дивергенцию вида
— (A»Fvaya = — A^aFva. B.5.5)
4я 4я
В B.5.5) мы учли, что в отсутствие зарядов уравнение поля
имеет вид
Добавление ;к тензору энергии-импульса 4-дивергеиции B.5.5)
-лежит в рамках допустимого произвола в определении тока
Нётер и ие влияет на интегральные динамические характерис-
тики типа 4-вектора энергии-импульса электромагнитного поля.
Окончательное выражение для тензора- энергии-импульса вклю-
чает в себя только калибровочно инвариантные комбинации:
B.5.6)
53

Воспользовавшись легко проверяемым тождеством
HrotE—ErotH = div[EH],
преобразуем правую часть B.6.1), после чего умножим обе '
части полученного равенства на 1/4л, получим i
= — divS, B.6.2)
где мы воспользовались введенными в § 5 обозначениями
w — для плотности энергии и S — для вектора Умова— Пойн-
тинга. Соотношение (.2.6.2) называют теоремой Умова — Пойн-
тинга в дифференциальной форме. Как мы увидим, оно выра-
жает собой закон сохранения энергии для системы, состоящей
из зарядов и электромагнитного поля.
Проинтегрируем обе части уравнения B.6.2) по некоторо-
му трехмерному объему и применим к стоящему справа члену
теорему Гаусса
S
= — S)Sda.
B.6.3>
Далее, воспользовавшись явным выражением для тока B.1.11),..
вычислим второй интеграл в левой части:
J (jE) tPx = ^ е« <V°E (r«)) = ЧГ- B-6-4>.
v
В полученном равенстве; под & понимается сумма кинетиче-
ских энергий частиц, находящихся в объеме V. Предполагает-
ся, что в рассматриваемый момент времени на границе объема
частиц нет.
С учетом B.6.4) равенство B.6.3) приобретает вид
dt
= — & S da.
s
B.6.5)
Полученное соотношение имеет простой физический смысл.
Равенство B.6.5) означает, что изменение суммарной энергии
заряженных частиц и электромагнитного поля в объеме равно
с обратным знаком потоку вектора Пойнтинга через замкну-
тую поверхность, ограничивающую объем. Это положение но-
сит название теоремы Умова — Пойнтинга. Если интегрирова-
ние производится по всему трехмерному пространству, то ин-
теграл по поверхности в правой части B.6.5) исчезает (счита-
ется, что поле на бесконечности равно нулю), и мы получаем
закон сохранения энергии замкнутой системы, состоящей и»
зарядов и поля:
Ц[ \ =0.
Соотношение B.6.5) может быть получено и непосредствен-1
но из* выражения для тензора энергии-импульса электромаг»
56
яитного поля B.5.6). Вычисляя четырехмерную дивергенцию
этого тензора, получаем
_ * / ^_ fv рра fiiapv _|_ _L p f,Fa$> I
B.6.6)
Воспользуемся уравнениями Максвелла в форме B.1.6) и
B.1.8) и приведем это равенство к виду
T'M.v v== F>xvjv. B.6.7)
Покажем, что это уравнение выражает собой закон сохране-
ния суммарного 4-импульса системы. Воспользуемся выраже-
нием для тока B.1.12) и перепишем равенство B.6.7) в виде
TV*. 0 + 7**. * = -
'(г-гЛО)-
B.6.8)
Проинтегрируем обе части равенства B.6.8) по некоторому
объему V и примем во внимание уравнение движения точечно-
го заряда B.4.7), получим
B.6.9)
В этом выражении через Р» обозначен полный 4-импульс
электромагнитного поля в рассматриваемом объеме, суммиро-
вание ведется только по частицам, находящимся внутри
объема.
>При |л = 0 B.6.9) совпадает с равенством B.6.5). При ц =
= 1, 2, 3 мы получаем закон изменения суммарного трехмер-
ного импульса системы в заданном объеме:
Стоящая в правой части этого равенства величина представ-
ляет собой количество импульса, вытекающее в единицу вре-
мени из объема. Поэтому величины Tih представляют собой
компоненты трехмерного тензора плотности потока импульса.
Тензор Oifc =—Тш, как уже говорилось в § 5, называют тензо-
ром максвелловских натяжений.
Пусть электромагнитное поле не зависит от времени. В этом
случае
dt
и равенство B.6.10) приобретает вид
d
-^t^iPia = §O^dsh.
B.6.11)
Воспользовавшись уравнением движения B.4.7), мы можем
57

Тензор B.5.6) симметричен. Кроме того, его след равен нулю:
Т% = 0. B.5.7)
Выразим компоненты Pv непосредственно через напряжен-
ности электрического и магнитного полей. Используя явное
выражение для тензора поля F»v B.1.5), <мы находим <вид
Р° — компоненты, которая отождествляется с плотностью энер-
гии электромагнитного поля w:
= T°°=
ол
B.5.8)
Плотность потока энергии совпадает с трехмерным вектором,,
компонентами которого являются Тш:
B.5.9)
S T
Этот вектор называется вектором Пойитинга. Величины ath=
=—Tih образуют трехмерный тензор, который называется мак-
свелловским тензором натяжений. Его составляющие следую-
щим образом выражаются через компоненты Е и Н:
diEz + HM B.5.1 а)
На физической интерпретации различных компонент Т" мы
остановимся подробнее в следующем параграфе.
Вернемся на время к классической теории поля и рассмот-
рим вопрос о том, каким образом изменится выражение для
тензора эиергии-импульса безмассового векторного поля, если
в качестве лагранжиана выбрать одно из выражений (см. §2):
ч, v
или
«, ееJ)
и не накладывать на 4-потенциал никаких дополнительных
условий.
В § 2 было показано, что эти лагранжианы отличаются на
четырехмерную дивергенцию и приводят к одному и тому же
выражению для 4-импульса поля. Поэтому достаточно рас-
смотреть только второй. Мы видим, что он получается добав-
лением к лагранжиану B.2.2) величины
>J- B.5.11)
Соответствующая добавка к каноническому тензору энергии-
импульса B.5.3) имеет вид
B.5.12)
54
После подстановки B.5.11) в B.5.12) получаем
on
Рассмотрим величину
Д7оо = J_ ((div AJ—(dtcpJ).
8
B.5.13)
Выражение B.5.13) не является знакоопределенным. Вклад в
полную энергию поля от второго члена в B.5.13) отрицателен,
и энергия поля не является величиной, положительно опреде-
ленной. Положительная определенность энергии может быть
достигнута только наложением условия Лоренца
dt<p + div A = 0.
Это единственное релятивистски инвариантное условие, обеспе-
чивающее нужный результат. В результате мы возвращаемся к
калибровочно инвариантному лагранжиану B.2.2).
Заметим, что если интересоваться только интегральными ха-
рактеристиками поля, подобными 4-вектору энергии-импульса,
то неоднозначность в определении тензора энергии-импульса
не приводит к каким-либо осложнениям. Ситуация существен-
но меняется при попытках последовательного учета гравита-
ционных эффектов, поскольку тензор энергии-импульса являет-
ся источником в уравнениях гравитационного поля (см.
гл. IV). В классической теории гравитации Г"* определяется
как вариационная производная действия для материи S^ по
метрике ?„„:
'"*-. B.5.14)
-2
" У—g Sg^v '
Определенный таким образом тензор называется метрическим
тензором энергии-импульса. Из определения B.5.14) следует,
что метрический тензор автоматически является симметрич-
ным. Показано также, что в случае безмассовых полей его след
равен нулю.
Вычисление метрического тензора энергии-импульса элект-
ромагнитного поля выходит далеко за рамки круга вопросов,
рассматриваемых в этой главе. Все же следует сказать, что
вычисленный в соответствии с определением B.5.14) тензор со-
впадает с сим метризованным каноническим тензором энергии-
импульса B.5.6).
§ 6. ТЕОРЕМА УМОВА —ПОИНТИНГА
Вернемся к уравнениям Максвелла в трехмерной форме
B.1.1)—B.1.4). Скалярно умножим уравнение B.1.2) на Е,
B.1.4) —на —Н и сложим полученные равенства:
-4л (jE)—(HrotE—ErotH). B.6.1)
55

преобразовать левую часть равенства B.6.11) следующим об-
разом:
ра=2ва (Е (Га)+[VaH
(рЕ
Из полученного соотношения видно, что в статическом поле
поток тензора натяжений через поверхность, ограничивающую
объем, дает полную силу, действующую на частицы в объеме.
§ 7. ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
В этом и двух последующих параграфах мы рассмотрим не-
которые частные решения системы уравнений Максвелла.
Начнем со случая постоянного поля, т. е. поля, которое от
времени не зависит. В статическом пределе система уравнений
B.1.1) — B.1.4) распадается на две независимые пары уравне-
ний, содержащих только электрическое или только магнитное
поле. Система уравнений для постоянного электрического поля
имеет вид
rotE = 0. B.7.1)
В статическом случае не только поля, ио и потенциалы можно
считать не зависящими от времени, поэтому соотношение
B.1.19) приобретает вид
? = _gradcp. B.7.2)
Из последнего равенства следует, что электростатический
потенциал ср(г) можно представить в виде интеграла
(г)
Ф(г) = — J Edl
(го)
вдоль некоторого контура из произвольным образом выбранной
точки г0 в точку г. В силу второго из уравнений B.7.1) этот
интеграл не зависит от пути, т. е. ср>(г)—это действительно
функция точки. Мы видим, что электростатический потенциал
определен с точностью до произвольной аддитивной постоян-
ной. Это то, что осталось от калибровочной инвариантности в
рассматриваемом случае.
Уравнение, которому удовлетворяет потенциал <р(г), мы по-
лучим после подстановки B.7.2) в первое из уравнений B.7.1):
B.7.3)
Оно называется уравнением Пуассона. В частном случае, ког-
да в рассматриваемой области пространства плотность заряда
равна нулю, это уравнение превращается в уравнение Лапласа
Дср = О. B.7.4)
Рассмотрим решение уравнения Пуассона, когда распреде-
ление заряда задано во всем пространстве и функция р(г) до-
статочно быстро убывает иа бесконечности.
58
Прежде всего построим функцию Грина уравнения B.7.3),
которую мы определим как решение уравнения Пуассона с
6-образной правой частью:
AG(r—г') = — 4лб3(г—г') B.7.5)
(мы еще вернемся к вопросу о функциях Грина в § 10). Стоя-
щая в правой части уравнения B.7.5) б-функция Дирака опре-
деляется требованием, чтобы для любой непрерывной в окрест-
ности нуля функции f(r) выполнялось равенство
= /(а). B.7.6)
Выполняя в B.7.5) линейную замену переменных r-*-R =
= г—г' и переходя к сферической системе координат, получаем
J Ё_ /> .Ё2Л = _4лб3 (R). B.7.7)
Я2 dR \ dRJ К ' К '
Интегрируя обе части равенства B.7.5) по объему шара радиу-
са R и принимая во внимание определение B.7.6), приходим
к уравнению
dR
интегрируя которое, находим
_
R* '
B.7.8)
Решение B.7.8) представляет собой потенциал электростати-
ческого поля, создаваемого единичным точечным зарядом. Как
и должно быть, он определен с точностью до постоянной. Обыч-
но эту постоянную выбирают равной нулю, с тем чтобы потен-
циал обращался в нуль на бесконечности.
Таким образом, решение уравнения B.7.5), удовлетворяю-
щее условию обращения в нуль на бесконечности, имеет вид
G(r-r') = -
B.7.9)
Знание функции Грина позволяет записать решение .урав-
нения B.7.3) в виде интеграла:
= jG(r-r')p(r')dV.
B.7.10)
(Выше мы предположили, что функция р(г) быстро убывает на
бесконечности, так что интеграл сходится). Действительно,
применяя к обеим частям равенства B.7.10) оператор Лапла-
са, используя уравнение B.7.5) и равенство B.7.6), мы полу-
чаем, что функция B.7.10) действительно удовлетворяет урав-
59

нению B.7.3). Подставляя в B.7.10) функцию Грина B:7.9),.
окончательно получаем
B.7.11)
¦dV.
Подчеркнем еще раз, что формула B.7.11) дает решение урав-
нения Пуассона, если плотность заряда задана во всем прост-
ранстве и интеграл сходится. В тех случаях, когда распределе-
ние зарядов известно только в ограниченной области простран-
ства, единственность решения обеспечивается заданием значе-
ния потенциала или его нормальной производной на границе
области.
Интеграл B.7.11) может быть вычислен аналитически в от-
носительно небольшом числе случаев. Это определяет важность
приближенных методов, позволяющих получить выражение для
потенциала ф(г) при достаточно общих предположениях о по-
ведении функции р(г).
Пусть заряд распределен в ограниченной области прост-
ранства. Получим приближенное выражение для электростати-
ческого потенциала в точках, отстоящих от системы зарядов?
на расстояния, существенно превышающие ее размер. Выбе-
рем начало отсчета внутри системы. Так как при сделанных
предположениях r~>rf, разложим функцию |г—г'! в ряд Тей-
лора в точке г. Получим
B.7.12)
|г-г'|
Воспользуемся тождеством
x'tx'k CxiXh—r2bib) = xtxk {3x'ix'h—r'28ik).
Тогда, подставляя B.7.12) в B.7.11), мы приходим к следую-
щему выражению:
-.... B.7.13)
Здесь использованы следующие обозначения:
— полный заряд системы,
— вектор дипольного момента,
Dth = j р (г) C xt xk—r*8ik) d3x
—-тензор квадрупольнрго момента системы зарядов. Заметим-,,
что след тензора Dth равен нулю.
60
Разложение B.7.13), которое называется разложением?
электростатического поля по мультиполям, позволяет свести-
вычисление потенциала ф(г) к вычислению полного заряда, ди-
польного, квадрупольного и т. д. моментов. Главный член раз-
ложения совпадает с потенциалом точечного заряда. Если си-
стема электронейтральна, то ее потенциал убывает, по крайней4
мере, как г~2, и тем быстрее, чем выше симметрия в распреде-
лении заряда.
§ 8. ПОСТОЯННОЕ MAFHHTHOE ПОЛЕ
Система уравнений, которым удовлетворяет постоянное-
магнитное поле Н, имеет вид
rotH = 4rcj, divH = 0. B.8.1)
Как и в общем случае, второе уравнение системы позволяет
представить Н в виде ротора некоторого нового векторного
поля — векторного потенциала:
H = rotA. B.8.2)-
Подставляя B.8.2) в первое уравнение B.8.1), мы получаем
АА—grad (div А) = — 4щ. B.8.3)
В магнитостатике калибровочная инвариантность электродина-
мики выражается в инвариантности напряженности магнитного»
поляготносительно градиентных преобразований потенциала:
A-*A' = A + gradf.
Имеющийся произвол в выборе векторного потенциала позволя-
ет подходящим градиентным преобразованием обратить в нуль-
его дивергенцию;
divA = 0. B.8.4)-
Для этого необходимо в качестве функции / взять одно из ре-
шений уравнения:
Af = — div A.
Из B.8.3) мы видим, что при наложении дополнительного усло-
вия в форме B.8.4) векторный потенциал становится решением
уравнения Пуассона
ДА = — 4я]\ B.8.5>
Поэтому, используя результаты предыдущего параграфа, мьг
можем записать его решение в виде
B.8.6)
А(г)=Г i(r/) dV.
Выражение B.8.6) является решением уравнения B.8.5) в тех
случаях, когда плотность тока j(r) задана во всем пространст-
ве (предполагается, что интеграл сходится).
61

На первый взгляд решение B.8.6) ничем не отличается от|
решения аналогичной электростатической задачи B.7.11). Од-|
нако это далеко не так. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим!
случай, когда плотность тока j(r) отлична от нуля в огранн-Г
ченном пространственном объеме, и исследуем асимптотиче-'1
ское поведение решения B.8.6) на больших расстояниях.
Прежде всего обратим внимание на то, что уравнения маг-
нитостатики содержат в себе условие стационарности токов:
divj = O. B.8.7)
Чтобы в этом убедиться, достаточно применить операцию взя-
тия дивергенции к первому уравнению системы B.8.1) и вос-
пользоваться тождеством
div(rotH) = 0.
Из условия стационарности токов следует равенство
/ft = div(Xftj). B.8.8)
Зто проверяется непосредственным дифференцированием с ис-
пользованием B.8.7). Интегрируя обе части соотношения
(•2.8.8) по некоторому объему в трехмерном пространстве и
применяя к интегралу в правой части теорему Гаусса, полу-
чаем
B.8.9)
Вернемся к нашей задаче и рассмотрим асимптотическое
поведение интеграла B.8.6) на расстояниях, больших по срав-
нению с размерами области пространства, занятой токами.
Разлагая подынтегральное выражение по обратным степе-
ням г и ограничиваясь первыми двумя членами разложения,
мы получим
Если
§ 9. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
наложить на 4-потенциал электромагнитного поля-
+-L j(rr')j(r')dV.
B.8.10)
Первое слагаемое вследствие B.8.9) равно нулю. Таким обра-
зом, векторный потенциал на больших расстояниях убывает по
крайней мере как г~2. Это можно интерпретировать как факт
отсутствия магнитных зарядов. Следующий член разложения
после несложных преобразований можно записать в виде
A(r) =
\dzx.
Эту величину называют магнитным дипольным моментом.
62
условие лоренцевой калибровки (см. § 1), то в отсутствие за-
рядов и токов мы получаем волновое уравнение
0. B.9.1)
Зависящие от времени решения этого уравнения, т. е. перемен-
ное электромагнитное поле, которое может существовать в пус-
тоте, называют электромагнитными волнами.
Поскольку условие Лоренца не фиксирует однозначно^
4-потенциал, воспользуемся оставшейся свободой и выберем
потенциал в наиболее удобном для описания электромагнит-
ных волн виде.
В первом параграфе было показано, что условие Лоренца-,
не нарушается при калибровочном преобразовании
если только функция f удовлетворяет условию
Дифференцируя это уравнение по времени, получаем
Таким образом, в отсутствие зарядов потенциал ф и произвол- ('
ная dtf являются решениями одного и того же уравнения. По- |
этому всегда можно выбрать функцию f так, чтобы выполня-
лось равенство
Таким образом, в пустом пространстве на скалярный потенциал
электромагнитного поля всегда можно наложить условие
Ф = 0. B.9.2).
При этом дивергенция векторного потенциала также обраща-
ется в нуль:
divA = 0. B.9.3>
В калибровке B.9.2), B.9.3) напряженности электрическо-
го, и магнитного полей связаны с векторным потенциалом со-
отношениями
Е = — <3tA, H = rotA. B.9.4)
Дополнительные условия в форме B.9.2), B.9.3) не обла-
дают свойством релятивистской инвариантности, так как ска-
лярный потенциал ф является нулевой компонентой 4-вектора,.
и его значение меняется при переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой.
Рассмотрим два типа решений уравнения B.9.1), которые в
дальнейшем будут представлять для нас наибольший интерес.
; 63-

Предположим, что решение волнового уравнения зависит
только от одной пространственной координаты х и времени t
В этом случае любая декартова компонента векторов Е, Н
или А удовлетворяет уравнению
-—¦—)и(х, t) = 0. B.9.5)
'г дхг }
Введем новые переменные
В этих переменных уравнение B.9.5) принимает вид
0.
31 дц
Общим решением этого уравнения является сумма
где f и g—произвольные дифференцируемые функции, вид ко-
торых определяется из начальных условий.
Переходя к переменным х и t, получаем
и(х, t) = f(t—;
Мы видим, что найденное решение представляет собой сумму
двух функций, каждая из которых описывает возмущение, рас-
пространяющееся со скоростью света (напомним, что всюду в
этой главе скорость света принята равной единице). Функция f
соответствует возмущению, которое распространяется в поло-
жительном направлении оси х, функция g — в отрицательном.
Фронтом волны, т. е. поверхностью, во всех точках которой и
имеет одно и то же значение, является плоскость yz. Поэтому
решения рассмотренного типа называются плоскими волнами.
В случае плоских волн, когда А зависит только от одной
пространственной координаты, калибровочное условие B.9.2),
B.9.3) приобретает вид
ш = 0, divA
дх
Так как Ах зависит от координаты х только в комбинации t—х
и не зависит от у и г, то для проекций векторов Е и Н на на-
правление распространения волны мы с помощью B.9.4) по-
дучаем
?,= -
дАх
dt
= 0,
И — дАг дА» _П
ду дг
Таким образом, в плоской волне векторы напряженностей
электрического и магнитного полей лежат в плоскости, перпен-
€4
дикулярной направлению распространения волны. Говорят, что
плоские электромагнитные волны в вакууме поперечны.
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распростра-
няющуюся в положительном направлении оси х. Чтобы уточ-
нить ориентацию векторов Е и Н в волне, выпишем еще раз
соотношение B.9.4) и учтем, что А = А(/—х). Мы получим со-
отношения
Е = ——
dt '
B.9.6)
Выше было показано, что вектор Е ортогонален направлению
распространения волны (в нашем случае — это положительное
направление оси х), поэтому из последнего равенства следует,
что модули напряженностей Е и Н равны между собой:
|Е| = |Н|. B.9.7)
Поэтому в случае плоской волны плотность энергии B.5.8) и
плотность потока энергии B.5.9) принимают вид
?2
W = ¦
4я
s=
Е*
4я
B.9.8)
= wex
Из нолученных результатов непосредственно следует, что энер-
гия в электромагнитной волне переносится со скоростью света.
Рассмотрим случай, когда характеризующие электромагнит-
ную волну величины зависят только от времени и от расстоя-
ния до некоторой точки, которую мы выберем за начало от-
счета системы координат. Такие волны получили название сфе-
рических.
Переходя в B.9.1) к сферической системе координат, мы
получаем уравнение
B.9.9)
B.9.10)
дг \ дг} дР
Решение этого уравнения будем искать в виде
" Подстановка B.9.10) приводит к уравнению, по виду совпа-
дающему с B.9.5):
d*v d*v „
~дг* д(*~
Поэтому можно утверждать, что в самом общем случае функ-
ция и имеет вид
3—114
65

B.9.11)
Первое слагаемое в B.9.11) описывает волну, со скоростью
света уходящую на бесконечность, второе соответствует схо-
дящейся волне. Общий вид решения позволяет также утверж-
дать, что сферические волны поперечны и для них, так же
как и для плоских, выполняется равенство B.9.7).
Среди электромагнитных волн важное место занимают мо-
нохроматические волны. Волна называется монохроматической,
если характеризующие ее величины зависят от времени через
множитель вида cos(o)^+a), a — начальная фаза.
Рассмотрим плоскую линейно поляризованную монохрома-
тическую волну. Если волна распространяется в положитель-
ном направлении оси х, то ее поле является функцией разнос-
ти (/—х). Поэтому вектор напряженности электрического по-
ля имеет вид
x) + a]. B.9.12)
Вектор напряженности магнитного поля получается из B.9.12)
с помощью соотношения B.9.6).
Выражению B.9.12) можно придать вид, не зависящий от
выбора системы координат. Пусть направление распростране-
ния волны задается единичным вектором п. В этом случае на-
пряженность Е следует, очевидно, записать в виде
E(f, r) = E0cos(arf—kr + a), B.9.13)
где k = con. Этот вектор называется волновым вектором.
Линейность уравнений Максвелла позволяет пользоваться
также комплексной формой записи напряженностей. В частно-
сти, для Е мы имеем
B.9.14)
Выражение B.9.14) и аналогичное выражение для напряжен-
ности Н являются решениями уравнения Даламбера. Однако
следует иметь в виду, что реально измеримыми величинами яв-
ляются действительные части соответствующих комплексных
выражений.
Разложение произвольного решения уравнения B.9.1) по
плоским монохроматическим волнам B.9.14) используется при
исследовании спектрально-углового распределения излучения.
§ 10. ФУНКЦИИ ГРИНА ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Типичной задачей классической электродинамики является1
задача нахождения электромагнитного поля в заданном объеме-|
по известному распределению зарядов и токов внутри объема]
и при определенных условиях на его границе. Следует под;!
черкнуть, что в такой постановке задача является приближен-*
ной, так как .поле, создаваемое движущейся частицей, влияет|
66
на характер ее движения (на этом вопросе мы остановимся
подробнее в § 13). Учет обратного влияния, или, как говорят,
самодействия, приводит к тому, что сам ток /"(*) оказывается
функционально зависящим от поля. В итоге уравнения поля и
уравнение движения частицы становятся нелинейными. Одна-
ко в целом ряде ситуаций обратным влиянием собственного по-
ля частицы на ее движение можно пренебречь. В этом случае
распределение токов определяется из решения уравнений дви-
жения заряженных частиц системы в заданном внешнем поле,
и мы приходим к сформулированной в начале параграфа за-
даче.
Рассмотрим решение уравнения Даламбера с заданной пра-
вой частью:
I—1 Л Д (y\ — Att№ (v\ /О 1П П
Пусть токи отличны от нуля в ограниченной пространственной
области и границы отсутствуют, т. е. решение ищется во всем
безграничном пространстве.
Решение уравнения B.10.1) удобно анализировать с по-
мощью соответствующей функции Грина G(x—х'), которая
определяется как решение волнового уравнения с 6-образным
источником:
UXG (х—х1) = 4л64 (*—*')
B.10.2)
Как мы увидим ниже, функция Грина волнового уравнения не
определена однозначно. Это связано с возможностью наложе-
ния различных граничных условий, обеспечивающих единст-
венность решения уравнения B.10.1). В том случае, когда под-
ходящая функция Грина найдена, решение уравнения B.10.1)
может быть записано в виде интеграла
~ х')\*{х')<Рх'. B.10.3)
Применяя к обеим частям равенства B.10.3) оператор Далам-
бера, используя B.10.2) и определение 6-функции, мы убежда-
емся, что выражение B.10.3) действительно удовлетворяет
уравнению B.10.1).
Перейдем к исследованию различных решений уравнения
B.10.2). С помощью преобразования Фурье, мы можем полу-
чить для функции Грина G(x—xf) следующее формальное пред-
ставление:
j^e-'*<*-*')G(*). ; B.10.4)
Воспользуемся тем, что Фурье-образ 6-функции есть единица,
т. е. справедливо равенство
6 (л^-дс')= Г-**-<>-«<*-*'>. B.10.5)
Г-
Тогда, подставляя B.10.4) и B.10.5) в B.10.2), выполняя диф-
3* 67

Рис. 2.1. Контуры в комплексной
плоскости переменной k° для ин-
тегрального представления функ-
ций Gr, Ga, G uG
ференцирование и приравнивая подынтегральные выражения,
мы получим
G(*) = -^-. B-10.6)
Решение B.10.6) является чисто формальным, поскольку после
подстановки B.10.6) в B.10.4) остается неопределенным пра-
вило обхода полюсов fe°=±|k|, которое следует определять из
граничных условий.
Если рассматривается электромагнитное поле, создаваемое
током 'f{x) в безграничном пространстве, и других источников
нет, то для выделения единственного решения, адекватного по-
ставленной задаче, можно привлечь принцип причинности. Прин-
цип причинности требует, чтобы изменение поля в точке на-
блюдения отставало от изменения в характере движения заря-
дов, которое его вызвало. Отсюда и из B.10.3) следует, что в
этом случае функция G(x—х') должна удовлетворять условию
G(x—*') = 0 при t<f.
B.10.7)
Соответствующая функция Грина носит название запаздываю-
щей, мы будем ее обозначать GR.
Покажем, что условие B.10.7) действительно определяет
функцию Грина однозначно, и получим для нее явное выраже-
ние.
Заметим, что условие B.10.7) соответствует обходу сверху
полюсов fc°=±|k| в комплексной плоскости переменной k°,
как это показано на рнс. 2.1.
Действительно, при t<t' контур интегрирования может
быть замкнут в верхней полуплоскости переменной k°, а при
t>? — в нижней. В первом случае полюса подынтегральной
функции не попадают внутрь контура интегрирования, и ин-
теграл равен нулю. Во втором — он может быть вычислен с,
помощью теории вычетов. В результате мы получим
sin k (t — f)
k
.10.8)*
Переходя к сферической системе координат в к-пространстве|
с осью z, направленной вдоль вектора (г—г'), и интегрируя'
по угловым переменным вектора к, мы приходим к следующе-
му выражению:
оо
GR(x—х') = - [ dk [e~ik С-''-i "-"¦' I) — е-« <'-''+! *-*' l> ].
V ' 2я|г-г'| J L
—CO
B.10.9)
Воспользовавшись B.10.5) и тем, что при t>? 8(t—1'+
+ |r—r'|)=0, мы получаем окончательное выражение для за-
паздывающей функции Грина
* ^-. B.10.10)
- •¦' |г-г'|
С физической точки зрения решение B.10.10) представляет
собой бесконечно узкую сферическую расходящуюся волну,
вызванную локализованным в точке г' источником, который
действовал мгновенно в момент времени /'. Оно автоматически
удовлетворяет условию запаздывания B.10.7) и определяется
этим условием однозначно.
Если воспользоваться формулой
-^Ч B.10.11)
6(а),
V ' 2|а|
то решение B.10.10) можно записать в другой эквивалентной
форме:
GR(x—x') = 2Q(t—f)8{(x—x'f). B.10.12)
В B.10.12) через 0(/—V) обозначена функция Хевисайда. Она
определяется следующим образом:
. z>0;
, г<0. BЛ0ЛЗ>
Запаздывающая функция Грина в форме B.10.12) обладает
явной релятивистской инвариантностью. Это обеспечивается
тем, что знак разности {t—/') не меняется при ортохронных
преобразованиях Лоренца, и тем, что функция 8({х—х/J) яв-
ляется скаляром.
Если вернуться к интегральному представлению B.10.4),
B.10.6), то те же результаты могут быть получены, если ин-
тегрирование по k° вести вдоль действительной оси, а полюса
сместить в нижнюю полуплоскость комплексной переменной k°
на бесконечно малую величину, что осуществляется заменой
k°~*-k°-\-i&; 6-^+0 в подынтегральном выражении. Это позво-
ляет получить еще одно представление запаздывающей функ-
ции Грина, которое часто встречается в литературе:
GR(x—x') = —
ty— ikx .
iek°
68
B.10.14)
69

При исследовании различных решений уравнения B.10.2I
мы сталкиваемся с целым рядом функций, которые хотя и не|
представляют такого интереса для классической электродина-
мики, как запаздывающее решение GR, но Широко использу-1
ются в других разделах теоретической физики, в частности в|
квантовой теории поля. Рассмотрим некоторые из этих функ-1
ций. |
Прежде всего введем опережающую функцию Грина GA.\
Она определяется требованием
GA(x—х') = 0 при t>f. B.10.15L
Нетрудно проверить, что условие опережения B.10.15) удов-1
летворяется при обходе полюсов в комплексной плоскости пе-1
ременной k° снизу (см. рис. 2.1). При этом в координатном;
представлении опережающая функция имеет вид сходящейся;
бесконечно тонкой сферической волны:
ft . (у y'\ О (t / ~Г lr r' I ) /О If) ICvl
uA(x x) — , B.1U.lb>l
а вместо B.10.12) мы получим следующее выражение:
GA(x—x') = 29 (/' — Об {{x—x'Y). B.10.17I
Можно получить для GA и интегральное представление, ана-
логичное B.10.14), оно будет отличаться только знаком е:
GA(x — x') =
J 4я3
,-ikx
1
— iek°
B.10.18)
Рассмотрим еще две функции, которые являются линейны-
ми комбинациями запаздывающей и опережающей функций,
Грина:
При этом GR может быть представлена в виде
GB(x—x') = G(x—x')— -G(x—x').
B.10.20)
Мы видим, что функция &, так же как GR и GA, является ре-
шением неоднородного уравнения B.10.2), в то время, как G
удовлетворяет однородному уравнению Даламбера и потому,
собственно говоря, не является функцией Грина. Эта функция
называется перестановочной функцией Паули — Иордана. Она
естественным образом возникает в квантовой теории поля, од-
нако, как мы увидим ниже, играет важную роль и в классиче-
ской электродинамике.
70
Получим интегральные представления для G и G. Восполь-
зуемся известной из теории функций комплексной переменной
формулой
1B.10.21)
—1— = — ±in8(x).
Это равенство совместно с формулами B.10.14) и B.10.18)
позволяет представить Фурье-образы запаздывающей и опере-
жающей функций Грина в следующем виде:
^ . B.10.22)
где е(?°) —знаковая функция:
Из этих формул и из определений B.10.19) получаем
' 4Я fe2' B.10.23)
G (k) = —8я2ге (#•) 8 (k2).
Обратим внимание на то, что поскольку знак k° инвариантен
относительно ортохрсмных преобразований Лоренца, то, как
это видно из B.10.22), формула B.10.20) осуществляет ло-
ренцинвариантное разбиение запаздывающего решения урав-
нения B.10.1) на два существенно различных слагаемых.
Вклад, обусловленный G, является решением однородного вол-
нового уравнения и представляет собой оторвавшееся от ис-
точника поле (электромагнитную волну), в то время как U
позволяет выделить в запаздывающем решении ту его часть,
которая представляет собой преобразованное по Лоренцу ку-
лоновское поле частицы и не дает вклада в излучение.
Впервые такое разбиение запаздывающего решения было
осуществлено Ю. Швингером, оно позволило выделить поле
излучения без традиционного перехода в волновую зону.
Контуры, по которым следует производить интегрирование
в комплексной плоскости переменной k° для получения функ-
цией G и G, показаны на рис. 2.1.
В приложениях для анализа спектрального состава излуче-
ния весьма полезными являются Фурье-образы по времени
запаздывающей и опережающей функций:
Для этих функций из B.10.4), B.10.14) и B.10.18) немедленно
следует следующее интегральное представление:
71

Функции B.10.24) являются решениями уравнения
(#ш±пое)Оя(А)(<•>, г—г') = — 4яб3(г—г'),
где через Яш обозначен оператор
B.10.25)
Яи = Д + со2. . B.10.26>|
Рассмотрим запаздывающую функцию Грина. Покажем, что
для нее существует интегральное представление, аналогичное!
широко используемому в квантовой теории поля представле-!
нию Фока — Швингера — Девитта для фейнмановской функции!
Грина.
Прежде всего заметим, что уравнение B.10.25) имеет сле-
дующее формальное решение:
B.10.27I
Аналогичное выражение для опережающей функции Грина по-
лучается из B.10.27) путем изменения знака у е и т.
Мы видим, что нахождение запаздывающей функции G,
сводится к нахождению функции
г—r') =
(r-r'). B.10.28);
Дифференцируя B.10.28) по t — i/a>, мы находим, что Ир явля-
ется решением дифференциального уравнения
— idty = Я^ ' B.10.29)
и удовлетворяет начальному условию
1>@, r-r') = S3(r-r').
B.10.30)
Уравнение B.10.29) по виду совпадает с хорошо известным в
квантовой теории уравнением Шредингера. Оно описывает
эволюцию во времени волновой функции некоторой фиктивной
частицы с гамильтонианом Яш.
В рассматриваемом случае плоского пустого пространства
уравнение B.10.28) может быть решено точно. Его решение,
удовлетворяющее начальному условию B.10.30), имеет вид
Y ™ - DштK/2 "
§ Интересно, что аналогичное B.10.27) представление имеет
1 место в целом ряде значительно более сложных случаев. В ча-
I . стности, в случае неоднородной среды, обладающей временной
дисперсией, и даже для искривленного пространства-времени.
При этом мы вновь получаем уравнение B.10.29), однако вхо-
дящий в него оператор будет иметь значительно более слож-
ную структуру.
72
§ П. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Решения неоднородных волновых уравнений, которые мо-
гут быть получены из B.10.3) с помощью запаздывающей
функции Грина, называются запаздывающими потенциалами.
Подставляя выражение для запаздывающей функции Грина
B.10.10) в интеграл B.10.3) и выполняя интегрирование по
времени с помощью б-функции, мы получаем
Потенциалы B.11.1) описывают поле, создаваемое 4-током
/"(*)• Если другие источники отсутствуют, найденное решение
описывает полное поле. В тех случаях, когда на бесконечности
имеются другие источники, к потенциалу A»R следует добавить
соответствующее решение однородного уравнения.
В § 10 мы указывали на возможность релятивистски инва-
риантного выделения из запаздывающей функции Грина сла-
гаемого, являющегося решением однородного волнового уравне-
ния. Соответствующий вклад в интеграл B.11.1) является ре-
шением уравнения Даламбера, т. е. электромагнитной волной,
и описывает поле излучения. Он может быть отличен от нуля
только в тех случаях, когда заряженные частицы движутся с
ускорением. Это следует из того, что поле статического источ-
ника не содержит излучаемой части, и из принципа относитель-
ности, в соответствии с которым равномерно и прямолинейно
движущийся заряд также не может излучать.
Применим общее выражение для запаздывающих потен-
циалов B.11.1) для вычисления поля, создаваемого точечной
заряженной частицей, совершающей заданное движение. Для
этого удобно записать B.11.1) в несколько ином виде:
llii-dV. B.11.2)
|г — г'|
Подставляя явное выражение для 4-плотности тока точечной
частицы B.1.12) в интеграл B.11.2) и выполняя интегрирова-
ние до d3x', мы получаем
|г-г.(щ dt- <2Л1-3>
Последнее интегрирование может быть выполнено с помощью
формулы
ШтгТГ. С2-11-4)
где tn— простые нули функции F(t).
Окончательное выражение имеет вид
R(t') (l-nv(f'),
4-114
B.11.5)
73

В B.11.5) введены следующие обозначения:
уи=A, у), R(f) = r—r0(O, n
Момент времени f, при котором берется правая часть B.11.5),
определяется из уравнения
t. B.11.6)
Можно показать, что так как скорость частицы и<1, то это
уравнение имеет решение, притом единственное.
Полученный результат может быть записан в явно реляти-
вистски инвариантном виде. Введем 4-вектор Х*= (t—V,
г—г„(*'))• Тогда, учитывая, что 4-скорость частицы ы" связана
с и" соотношением u!x=jvlx, из B.11.5) получаем
B.11.7)
Здесь и ниже s' — момент собственного времени частицы, со-
ответствующий запаздывающему моменту f лабораторного
времени.
Потенциалы B.11.5) или B.11.7) носят название потен-
циалов Лиенара — Вихерта.
Воспользовавшись B.11.7), получим в явном виде тензор
электромагнитного поля частицы. При этом удобно исходить из
представления 4-потенциала в виде
B.11.8)
(х) = 2е J и» (s) 0 (Х°) б (X2) ds.
Эквивалентность этого выражения и B.11.7) легко проверить,
если выполнить в B.11.8) интегрирование по s с помощью фор-
мул B.10.11) и B.11.4).
При вычислении тензора поля Р" нам понадобится явный
вид производной dVl". Дифференцируя равенство B.11.8) и
учитывая, что производная 0-функции не дает вклада в интег-
рал, получаем
&>А»ц (х) = 2е\и» (s) 6 (Х°) <^б (X2) ds.
Воспользуемся равенством . ¦
d8(X2) xv d */„„
б О (A ) ¦- /Л dX2 - — (uX) ^ О {Л. ).
Тогда выражение для производной д"А» приводится к виду
&А** (х) = -2е[ 0 (Х°) -??- -i 8 (X2) ds,
и после выполнения интегрирования по частям мы получаем
9>А»
в (х) = 2е J 9 (Х°) 8 (X2) -%¦ [^
ds.
B.11.9)
74
Вычисляя этот интеграл, находим
Окончательное выражение для тензора электромагнитного
поля мы получаем после вычисления производных. Оно имеет
следующий вид:
(х) =
{wX) ~
(иХ)
B.11.10)
где w*=d2x»/ds2 — четырехмерное ускорение частицы.
Используя соотношения B.1.5), B.11.10) и переходя к
трехмерным обозначениям, выпишем явное выражение для на-
пряженностей электрического и магнитного полей:
E_e(l-t>*)(n-v) . e[n[(n-v), v]]
«2(lK
R(l-nvK
B.11.11)
= fnE],
где n = R/# — единичный вектор, и все величины в правой час-
ти берутся в момент времени f (см. B.11.6)).
Мы видим, что в случае, когда ускорение частицы не рав-
но нулю, в выражении для полей появляются члены, убываю-
щие на больших расстояниях как R~l и, следовательно, созда-
ющие конечный поток энергии через сферу бесконечно большо-
го радиуса. Из B.11.11) видно, что на бесконечности Е, Н и п
образуют правую тройку взаимно ортогональных векторов, при
этом |Е| = |Н|. Таким образом, поле приобретает структуру
сферической расходящейся волны. Понятно, что именно эти
слагаемые описывают электромагнитное излучение заряженной
частицы.
§ 12. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕЙ
Получим общее выражение для полной потери 4-импульса
заряженной частицы на электромагнитное излучение.
Воспользуемся соотношением B.6.7), которое представляет
собой дифференциальную форму закона сохранения 4-импуль-
са для системы зарядов и электромагнитного поля. Интегрируя
это равенство по некоторому объему Q в четырехмерном про-
странстве и преобразуя по теореме Гаусса интеграл по объ-
ему Q от дивергенции тензора энергии-импульса электромагнит-
4* 75

ного поля в интеграл по охватывающей 4-объем трехмерной
гиперповерхности 2, мы получим
,d**. B.12.1)
Выберем в качестве й область 4-пространства, заключенную
между двумя гиперповерхностями ?i = const и /2 = const. Тогда,
предполагая, что в пространственно подобных направлениях
поле достаточно быстро обращается в нуль, мы преобразуем
левую часть B.12.1) к следующему виду:
/i=const
Стоящая в правой части разность есть изменение 4-импульса
электромагнитного поля за рассматриваемый промежуток вре-
мени. Устремляя ti-+—оо, t2-^oo, мы получаем окончательное
выражение для полного 4-импульса, излученного системой за-
рядов:
B.12.2)
В B.12.2) интеграл вычисляется по всему четырехмерному
пространству.
Приведем это выражение к более удобному виду. Разложим
тензор поля и четырехмерную плотность тока в интеграл
Фурье
B.12.3)
B.12.4)
J Bл)*
Подставим B.12.3) и B.12.4) в B.12.2) и выполним интегри-
рование по координатам с помощью соотношения
BлL
После этого проинтегрируем по волновому 4-вектору k' с по--
мощью б-функции:
(k). B.12.5);
При получении этого выражения мы воспользовались тем, что
в силу вещественности тока jv(x) имеет место равенство
М-*) = /%(*).
Заметим также, что закон сохранения заряда
76
накладывает еще одно ограничение на
a*/* (ft) = 0.
B.12.6)
Выражая тензор поля через 4-потенциал согласно B.1.21),
мы получаем, что соответствующие Фурье-образы должны
быть связаны соотношением
Fv*(k) = — i(k»Av(k)-~kvA»(k)). B.12.7)
Равенство B.12.7) с учетом B.12.6) позволяет записать
выражение для полной потери 4-импульса в следующем виде:
[k)j\(k). B.12.8)
В B.12.8) в качестве Av\(k) мы должны подставить Фурье-об-
раз запаздывающего решения волнового уравнения, который в
соответствии с B.10.3) можно представить в виде
где GR{k)—Фурье-образ запаздывающей функции Грина.
Таким образом, мы получаем выражение
B.12.10)
В § 10 было показано, что Фурье-образ GR(k) можно записать
в виде разности
B.12.11)
причем
= -4я-^
G(k) =
Мы видим, что при подстановке выражения B.12.11) в
B.12.10) вклад от G(k) обращается в нуль в силу нечетности
соответствующей подынтегральной функции по Л». Ненулевой
вклад дает функция G, т. е. полуразность запаздывающего и
опережающего решений. Учитывая четность подынтегрального
выражения как функции переменной k°, мы находим оконча-
тельное выражение для полного излученного системой 4-им-
пульса:
= _ JL Г
(k)j\{k). B.12.12)
77

Форма, в которой представлен результат в B.12.12), явно ука-
зывает на то, что величина АР" является 4-вектором. Посколь-
ку результат представлен в виде интеграла в пространстве
волновых 4-векторов, то формула B.12.12) дает спектрально
угловое распределение излученного 4^шпульса. Запишем ее в
более удобном для выполнения конкретных вычислений виде.
Выполняя в B.12.12) интегрирование по k° с помощью
формулы (см. B.10.11))
где введено обозначение a>=|fe|, н записывая элемент объема
в пространстве волновых векторов в виде d3k = a>2d(odo, мы по-
лучим
B.12.13)
Bя)» ; W/*
= .?. = A, п).
со
Формула B.12.13) дает выражение для 4-импульса, излучен-
ного в единичный телесный угол в направлении п в единичном
интервале частот вблизи частоты со за все время движения.
Эта величина представляет интерес в тех случаях, когда
время, в течение которого ускорение частицы отлично от нуля,
относительно мало. К таким задачам, в частности, относится
задача об излучении, сопровождающем столкновения заряжен-
ных частиц. Это излучение носит название тормозного.
Однако в ряде случаев возникает необходимость вычисления
других характеризующих процесс излучения величин, таких,
как интенсивность излучения или скорость потери 4-импульса
заряженной частицей.
Как было показано в § 6, 4-импульс, теряемый излучающей
системой, в единицу времени равен
^- = §Т»*йоь, B.12.14)
где интегрирование ведется по поверхности сферы бесконечно
большого радиуса.
Чтобы найти явный вид тензора энергии-импульса электро-
магнитного поля движущейся заряженной частицы, воспользу-
емся выражением B.11.10) для тензора поля P*v. Подставляя
B.11.10) в B.5.4), после несложных вычислений мы получаем
тензор Т1" в следующем виде:
4п{иХ)*
uX
B.12.15)
Поскольку в B.12.14) интегрирование ведется по сфере бес-
конечно большого радиуса, то ненулевой вклад в интеграл да-
дут только те члены в B.12.15), которые на больших расстоя-
ниях убывают как г~2. Учитывая, что при г-*-оо, Х*=гпи, с точ-
ностью до членов ~г~2.
BЛ2-16)
(лиL
Подставляя выражение B.12.16) в B.12.14), мы получаем вы-
ражение для углового распределения 4-импульса, излучаемого
частицей в единицу лабораторного времени t:
BЛ2Л7)
При ц = 0 соответствующая величина носит название углово-
го распределения интенсивности излучения и обозначается
dl/do. Используя B.12.17) и переходя к трехмерным обозначе-
ниям, мы можем получить для нее следующее выражение:
dl _ е2 hl(n— у), W|]2
do 4л A — nv1e
B.12.18)
Рассмотрим подробнее угловое распределение интенсивно-
сти излучения в двух частных случаях. В случае малой скоро-
сти частицы, пренебрегая в B.12.18) членами порядка v по
сравнению с единицей, мы получим
do
B.12.19)
78
Это хорошо известная формула для интенсивности так назы-
ваемого дипольного излучения. Излучение обладает осевой сим-
метрией вокруг направления ускорения и максимально в на-
правлении, перпендикулярном w.
В ультрарелятивистском случае, т.е. когда A—У2)<с1, угло-
вое распределение интенсивности имеет ярко выраженный мак-
симум в направлении мгновенной скорости частицы. Излучение
сосредоточено в узком конусе с раствором ~-р' (это можно по-
казать, исследовав выражение B.12.17) в области малых углов).
Эта особенность излучения релятивистской частицы приводит
к заметной потере импульса, т. е. требует учета силы радиа-
ционного трения при исследовании движения релятивистских,
заряженных частиц.
§ 13. СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ.
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА — ЛОРЕНЦА
Взаимодействие заряженной частицы с собственным элект-
ромагнитным полем порождает целый ряд трудностей как в
классической, так и в квантовой теории.
• 79

Первая из них связана с определением собственной энер-
гии, т. е. энергии взаимодействия заряженной частицы с соб^
ственным электростатическим полем. Простые соображения,
основанные на анализе размерностей, позволяют утверждать,
что собственная энергия заряда е, имеющего характерный ли-
нейный размер г, пропорциональна е2/г и, следовательно, об-
ращается в бесконечность при г-*~0. Следует отметить, что рас-
ходимость собственной энергии точечной частицы сохраняется
и в квантовой теории.
Если частица движется ускоренно и, следовательно, излу-
чает, возникает проблема правильного учета ее взаимодейст-
вия с собственным полем излучения. Действительно, как нам
известно, электромагнитное излучение сопровождается поте-
рей импульса. Это приводит к тому, что на частицу действует
сила реакции излучения. Процесс излучения влияет на дина-
мику излучающей системы, и это должно н&йти свое отраже-
ние на уровне динамических уравнений.
Здесь мы воспроизведем вывод хорошо известного в клас-
сической электродинамике уравнения Дирака — Лоренца, ко-
торое позволяет осуществить такой учет в случае, когда рас-
сматривается движение точечного заряда во внешнем электро-
магнитном поле Fwv.
Возьмем за основу полученное в § 3 уравнение движения
точечного заряда
тп
ds
B.13.1),
При выводе этого уравнения из вариационного принципа пред-
полагалось, что поле F»v создается внешними источниками и не
зависит от переменных частицы. Чтобы учесть взаимодействие
заряда с собственным электромагнитным полем, будем пони-
мать под F"v в правой части уравнения B.13.1)-сумму тензоров
внешнего F"v и создаваемого самой частицей F"vcaM электромаг-
нитных полей. При этом уравнение принимает вид
B-13.2)
где в правой части стоит сумма внешней силы
и силы самодействия
/ сам —
V
B.13.3)
B.13.4)
Потенциал собственного поля частицы находится как за-
паздывающее решение волнового уравнения
B.13.5)
(х) = 4яе J -^ $'(*-х (s')) ds'
и с учетом соотношения B.10.3) может быть записан' в виде
?-GR(x—x(s'))ds'. B.13.6)
В соответствии с этим мы получаем следующее выражение для'
тензора собственного поля частицы:
¦д*—d-^dv)GR(x-x(s')). B.13.7).
В § 10 мы показали, что запаздывающая функция Грина
может быть релятивистски инвариантным образом разбита на
сумму двух слагаемых:
GR(x—x') = G{x—*')—-G(x—x'),
B.13.8)
первое из которых есть полусумма опережающего и запаздыва-
ющего решений, а второе — их разность. Ниже мы увидим, что»
это разбиение позволяет инвариантным образом разделить два
упоминавшихся в начале параграфа эффекта — перенормировку
массы частицы и эффект радиационного торможения.
Для введенных таким образом функций G и G имеют место
представления
G(x—x') = 6((x—х'У),
G (х—х1) = -2е (t—f) б ((х—х'У).
B.13.9>
При подстановке B.13.8) в B.13.7) следует принять во вни-
мание, что (это нетрудно проверить прямым вычислением)
производная разрывнлг'функция e(t-t') не дает вклада в ин-
теграл. В результате мы получаем следующее выражение для
собственного поля частицы:
B.13.10)
= 2е \ ds' (iff- (<Л y& (ч'\\ v
X (xv (s)-x v(s')
где введены следующие обозначения:
г(Т, X2),
Как это следует из B.13.9), функции G, G и GR отличны от
нуля только на световом импульсе, т. е. при Х2 = 0. Вместе с
тем в выражении для силы самодействия B.13.4) они должны
браться-в точке, координаты которой есть разность координат
частицы в моменты собственного времени s и s'. Так как ми-
ровая линия частицы является времениподобной, то величина
X2 = (x(s)—x(s')J обращается в нуль только при s = s'. По-
80
81

этому функции U, G и GR при рассматриваемом значении ар-
гумента должны быть пропорциональны 6(s—s').
Действительно, рассмотрим аргумент входящих в выраже-
ние B.13.9) б-функций как функцию переменной s"=s-^s':
У2(ч"\ — (у(ч\ v(q e"Y\2 (О 1Q 11\
' *• \^ / — V*^ v*/ *^ v^ ^ // • ^Z. 1 о. 11 j
Вычислим первую и вторую производные этой функции в точке
?" = 0, ПОЛуЧИМ
@)
B.13.12)
<РХ* @)
ds
= 2.
Откуда следует, что
B.13.13)
Учтем, что знак разности t—t' совпадает со знаком s". Таким
образом, в том случае, когда аргументом функций G и G яв-
ляется разность x(s)—x(s'), для них справедливо представ-
ление
B.13.14)
Из полученных результатов следует, что для вычисления
входящего в B.13.10) интеграла следует разложить выраже-
ние в квадратных скобках по степеням s". При этом ненулевой
.вклад дают члены до третьего порядка по s" включительно:
B.13.15)
2 I ds ds*
ds
"Г • • • •
После подстановки разложения B.13.15) в B.13.10) учтем,
что
д п 1 д п
дХ* 2s" ds"
и воспользуемся равенством
f d "f (^) — — — Г d "G ( ") ^
J ds" j ds" '
которое следует из определения производной обобщенной
функции (функции Грина являются хорошо определенными в
классе обобщенных функций). Вычисляя таким образом собст-
венное поле частицы и подставляя его в выражение для силы
самодействия B.13.4), получим
\
ds
/O 1 Q 1 R\
B.13.16)
В полученном выражении через Am обозначен расходящийся
интеграл
6 (s)
«2 С а
2 J |s|
Этот член определяется слагаемым G в разложении B.13.8)
и, следовательно, должен интерпретироваться как собственная
электромагнитная энергия, бесконечная в случае точечной ча-
стицы. Конечный вклад в силу самодействия (второе слагаемое
в B.13.16)) определяется функцией G (он обусловлен взаимо-
действием частицы с собственным полем излучения) и пред-
ставляет собой силу радиационного трения.
Чтобы избавиться от имеющейся в B.13.16) расходимости,
воспользуемся способом, аналогичным процедуре перенорми-
ровки массы в квантовой теории поля. Прежде всего заметим,
что при получении выражения B.13.16) учет взаимодействия
частицы с собственным электромагнитным пблем осуществлял-
ся методом последовательных приближений. При этом мы ис-
ходили из уравнения B.13.1), полученного в предположении,
что такое взаимодействие отсутствует. Это означает, что вхо-
дящий в это уравнение параметр т0 на самом деле является
тем, что в квантовой теории принято называть голой массой
(массой частицы, не взаимодействующей с собственным полем).
Поскольку голая масса принципиально не наблюдаема, она
может быть любой, в том числе и расходящейся, величиной.
Наблюдаема только сумма голой и полевой массы, которая ко-
нечна и должна быть взята из эксперимента:
т = т0
tJ
ds
б (s)
B.13.17)
Подставляя B.13.16) в B.13.2) и используя обозначения
B.13.17), мы окончательно получим следующее уравнение:
m~dF'~et
dxv
B.13.18)
Уравнение B.13.18) носит название уравнения Дирака — Ло-
ренца. Оно релятивистски инвариантным образом учитывает
83

потерю частицей энергии и импульса на электромагнитное из-
лучение. Поскольку уравнение учитывает диссипатйвные эф*
фекты, то вывод его из принципа наименьшего действия, пс
всей видимости, невозможен. I
Уравнение Дирака — Лоренца является нелинейным и, кро-|
ме того, содержит третью производную по собственному вре-1
мени. Поэтому поиск его решений является чрезвычайно слож-|
ной задачей даже в тех случаях, когда внешнее поле имеет
простейшую конфигурацию. Детальный анализ особенностей]
этого уравнения, а также исследование некоторых его точных*
и приближенных решений можно найти в приведенной в конце
книги литературе.
Глава III
ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА
§ 1. СКАЛЯРНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Как было выяснено в предыдущей главе, электромагнитные
поля инвариантны относительно калибровочных преобразований
потенциалов:
¦А» (х) ¦¦* А'» (х) = A»
j (х),
р р>
C.1.1)
При этом часть действия заряженной частицы и поля, ответст-
венная за их взаимодействие, при калибровочном преобразова-
нии C.1.1) изменяется таким образом, что уравнения движе-
ния не изменяются. Действительно,
*B) хB)
)
х\\)
Последние слагаемые зависят от начальной и конечной точек
и поэтому не дают вклада в вариационные уравнения — урав-
нения Лагранжа. Вспомним, что при включении электромагнит-
ного поля канонический импульс р частицы с зарядом е пере-
ходит в р—еА*, т. е. «удлиненный», или кинетический им-
пульс. Поскольку он соответствует скорости частицы v =
='(р—е\)/т, то при калибровочном преобразовании, не изме-
няющем, очевидно, скорости, канонический импульс должен
преобразовываться вместе с потенциалом:
—Щ,
Р—
C.1.2)
При описании заряженных полей, например, скалярного поля
(см. гл. I) следует принимать во внимание, что и они под-
вержены калибровочным преобразованиям. При этом необхо-
димо потребовать, чтобы калибровочные преобразования не
изменяли бы уравнения этих полей и соответственно функцию
* Здесь я в дальнейшем в этой главе скорость света с—
85

Лагранжа и действие этих полей. Как уже указывалось
гл. I, плосковолновому решению
ф (х) = Ле-'р* C.1.с
уравнения Клейна — Гордона
(д^ + т2) ф (х) = (п + т2) ф (*) = О C.1.4|
соответствует квант поля, т. е. частица с 4-импульсом
удовлетворяющим условию
В электромагнитном поле последнее уравнение для частиць
заменяется на
(Рц—еЛцJ—т2 = 0. C.1.5JJ
Такому уравнению вместо C.1.4) должно соответствовать
уравнение для скалярного поля
которое, однако, не может иметь таких простых плосковолно-i
вых решений C.1.3), как уравнение C.1.4), поскольку Л„-
функция координат. Уравнение C.1.6) можно рассматривать
как обобщение уравнения Клейна — Гордона при наличие
электромагнитного поля. Удовлетворить условию калибровоч-
ной инвариантности этого уравнения легко, если потребовать^
чтобы вместе с 4-потенциалом Л„ электромагнитного поля пре-
образовалось бы также и поле по закону
ф(х) — <p'(x) = er-«>FW<f(x). (ЗА.',
Тогда преобразование
C.1.81
компенсируется преобразованием C.1.7), и мы имеем
х) = е~*ч (дй + ieAa) Ф (х);
C-1.91
+ ieA») ф (х) -*¦ {д» + ieA» + iedj)
т. е. «удлиненная производная» Д,ф = (д„+ ieAJy преобра-
зуется по тому же закону C.1.7), что и само поле ф. Эта ком-
пенсация вполне аналогична инвариантности уравнения дл*
частицы C.1.5) при совместном преобразовании потенциалов
и канонических импульсов C.1.2).
Заметим одно очень важное обстоятельство. Преобразова-
ние поля C.1.7) имеет такой же вид, как и унитарное однопа-
раметрическое преобразование A.6.12), с той, однако, разни-j
цей, что при калибровочном преобразовании C.1.7) параметр
становится зависящим от координат, ai(x)=ef(x). Таким об«!
разом, калибровочное преобразование может быть введено ny-i
тем перехода от глобального преобразования с постоянным па-
86
раметром д,,а=0 к локальному преобразованию C.1.7) с па-
раметром а=<х(х), изменяющимся от точки к точке. Тогда
электромагнитное поле с потенциалом А^{х) возникает из тре-
бования инвариантности уравнения поля у(х) C.1.4), которая
достигается «удлинением» производной d^Df. — d^ieA^ и со-
ответствующим преобразованием для потенциалов C.1.1). При
этом функция Лагранжа скалярного поля также видоизменя-
ется путем замены обычной производной д„ удлиненной Д,:
<t\2-m2\<t\2, C.1.10)
оставаясь, таким образом, инвариантной относительно калибро-
вочных преобразований C.1.7), C.1.8). Электромагнитное поле
может быть названо ввиду этого калибровочным полем, отвеча-
ющим калибровочной группе U(l) (локальная группа!).
Выделим в лагранжиане C.1.10) свободный лагранжиан, не
содержащий потенциалов электромагнитного поля, и лагран-
жиан взаимодействия, зависящий от переменных скалярного и
электромагнитного полей:
C.1.11)>
Включение в динамическую систему электромагнитного поля с
лагранжианом
=? е.-т. —~ , 1
C.1.12)
приводит нас с замкнутой модели, так называемой скалярной
электродинамике, т. е системе взаимодействующих скалярного
и электромагнитного полей с лагранжианом:
S'^S'o+S'int+SVm.. C.1.13).
При этом электромагнитное поле выступает в двоякой роли:
как калибровочное поле, компенсирующее неинвариантные от-
носительно калибровочных преобразований члены, и как пере-
носчик взаимодействия между зарядами поля, само при этом
являясь динамической системой с уравнениями движения в ви-
де уравнений Максвелла. Нетрудно показать, что лагранже-
выми уравнениями для электромагнитного поля в соответствии
с лагранжианом модели C.1.13) действительно будут максвел-
ловы уравнения, полученные выше в гл. II. При этом в правой
части уравнений
a^nv = /-v C.1.14)
оказывается плотность 4-тока, следующая из теоремы Нётер и
определяемая формулой A.6.13):
у^ = 1[(?^ф)*ф— ф*^ф], C.1.15)
где Dv = dw-\-ieAv. Как видно, уравнения поля C.1.6) и C.1.14)
являются существенно нелинейными, и поэтому они могут
87

быть решены лишь в очень ограниченном числе частных слу- \
чаев (например, постоянные или заданные в виде конкретных;
простейших функций токи или же электромагнитные поля).
§ 2. НЕАБЕЛЕВА КАЛИБРОВОЧНАЯ ГРУППА
Электромагнитное поле возникает в результате требования
локальной симметрии U{1). Рассмотрим теперь, следуя Янгу и
Миллсу, локальное обобщение группы трехмерных вращений
или, в более широком смысле, любой неабелевой л-параметри-
ческой группы Ли. В таком случае поле материи, например
скалярное поле, осуществляющее представление такой группы,
должно преобразовываться по закону
Ф(*)-*Ф'(*) = <о(*)ф(*), C.2.1)
где ®(х)—оператор конечных преобразований группы. Вводя
эрмитовы генераторы группы Ta = iXa(a=l,n) согласно общей
теории групп Ли, можем записать
atW^er&wT', C.2.2)'
тде ва (х) —зависящие от координат, т. е. локальные, пара-
метры группы. Генераторы образуют алгебру Ли с коммута-
ционными соотношениями
[Та, Ть] — ifab
C.2.3)
где fabc — структурные константы группы. Унитарность преоб-
разований, со+ = (о~1, обеспечивает инвариантность квадратич-
лых комбинаций полей вида ф*ф. Требование распространить
эту инвариантность на комбинации, содержащие производные
лолей, так же как и в электродинамике C.1.9), приводит к не-
обходимости ввести калибровочные поля А„, удлиняя произ-
водную Зц следующим образом:
(x), C.2.4)
где g— некоторая константа, определяющая, как и электриче-
ский заряд, величину взаимодействия полей (см. ниже). Если
само калибровочное поле удовлетворяет следующему правилу
преобразования:
А' д (*) =
(х) + -f
C.2.5)
то
где
x) -+ D'pff' (x) = со (х) D^cp (x),
т. е. правило преобразования C.2.1) сохраняется и для удли-
88
яенных производных. Рассмотрим инфинитезимальные преобра-
зования
Тогда из C.2.5) получим
Разложим поле Ац по генераторам группы:
Ац = ЛацГа.
Получим для компонент поля
/У = А\ + /аЬсвМ^ д^в". C.2.8)
g
Как видно, в отличие от абелевой группы C.1.1) кроме гради-
ентного члена в неабелевом случае появляется член, описыва-
ющий повороты (второе слагаемое). Таким образом, вариа-
цию поля можно коротко записать в виде
М»д=-A/г)Ойвв, C.2.9)
где
D^^d^ + gfabcA^W. C.2.10)
По аналогии с электродинамикой введем тензор напряженнос-
тей поля
F^v = DwAv—DvA^ = a^Av — dvA^+-^[A^, Av]. C.2.11)
Тогда с учетом правил преобразования C.2.5), C.2.6) получим
FVv = DVA'v — D'vAV = coF^v(D-1. C.2.12)
Продемонстрировать справедливость последнего правила пре-
образования непосредственным вычислением предоставляем
читателям.
Рассмотрим группу трехмерных вращений в групповом про-
странстве 0C). Структурными константами группы, как и в
случае пространственных поворотов в обычном пространстве,
будут составляющие абсолютно антисимметричного единично-
то тензора
U» = e«bc (а, Ь, с = 1, 2, 3). C.2.13)
C.2.6) Щ Тензор поля может быть записан в виде
C.2.7)
Инфинитезимальные преобразования потенциалов
-
35—114
C.2.14)
C.2.15)
89

так и градиентный член, а
содержат как малый поворот,
случае тензора поля
FVv = FnV + exF^v C.2.16J
— только поворот. Таким образом, тензор поля является векто-
ром группового пространства, удовлетворяющим обычным пра-
вилам преобразований — глобальных поворотов. Поэтому ег
длина есть инвариант группы, т. е.
F^vFi*v = inv C.2.17)
— как лоренцовский, так и калибровочный инвариант, jomc-i
тим, что Янг и Миллс рассматривали именно калибровочную
группу трехмерных вращений. Поэтому соответствующие поля]
Лц носят название полей Янга — Миллса, хотя часто это назва-1
ние применяют и для полей, отвечающих произвольной кали-1
бровочной группе. Обобщая электродинамику, можем, имея в\
виду C.2.17), записать лагранжиан полей Янга — Миллса
&г-м = - Х- FW- C.2.18I
4
Найдем уравнения поля Янга — Миллса
-dv
6А.,
дА.,
дА
ц, v
В результате имеем
или в краткой записи
= 0.
C.2.19)
C.2.20>]
Введем в систему также и скалярное поле массы т, принадле-
жащее присоединенному представлению группы: <pa(a=l,n),.
т. е. тому же представлению, что и поле F\v. Тогда с учетом
необходимости удлинить производные находим лагранжиан
модели
2 = — т
C.2.21>
где
Этот лагранжиан является очевидным обобщением лагранжиа-
на скалярной электродинамики на неабелев случай. Заметим,,
что в качестве калибровочной группы используется обычно»
унитарная унимодулярная группа SU(N), фундаментальное
представление которой действует в комплексном пространстве
размерности N. Операторы группы унитарны, со+«=1, и уни-
модулярны. Последнее означает, что определитель оператора
det о> = 1.
90
Отсюда находим в случае инфинитезимальных преобразований
1 __ gin detm _ gtr In ю -_ gtr In ( 1—t6nTa) — g—1ва tr Ta> /3 2 22)
т. e. trTa = O—матрицы генераторов должны быть беоследовы-
ми. В случае N = 2, т. е. группы SU,B), — это матрицы Паули
•Ы (i—l, 2, 3), стандартное представление которых имеет вид
/0 h /0 —и /1 0\
0
а,=
0
-1 '
C.2.23)
Операторы Га = '/2<7а благодаря своему фундаментальному
свойству
стоаь = геаьсас + /-баЬ C.2.24)
образуют алгебру Ли группы SUB):
[Та, Ть] = 1е„ьсТе. C.2.25)
Как видно, коммутационные соотношения для генераторов
группы 5С/,B) совпадают с алгеброй генераторов группы
ОC), при этом группа SUB) осуществляет двузначное пред-
ставление группы трехмерных вращений. В случае N — 3 полу-
чаем группу SUC). Генераторы ее Ta = 1/2^a(a= 1,8) связаны
с матрицами Гелл — Манна
C.2.26)
/0 0 0\
А,7=@ 0 — i ),
Vo i о)
Три степени свободы фундаментального представления в кван-
товой хромодинамике называют «цветом» («красный», «голу-
бой», «зеленый»). Этими цветами наделяют кварки — элемен-
тарные объекты, из которых состоят нуклоны. Сама квантовая
лромодинамика (К.ХД), или динамика цвета, представляет со-
бой фундаментальную теорию сильного взаимодействия, сдер-
живающего составляющие нуклонов в виде единого целого.
Б простейшем случае скалярных кварков лагранжиан КХД
имеет вид C.2.21) с калибровочным полем (так называемым
глюонным полем), принадлежащим присоединенному представ-
лению цветовой калибровочной группы SUC)C размерности 8.
Реальные кварки имеют собственный момент — спин и принад-
лежат фундаментальному представлению группы пространст-
венных преобразований SUB).
у>* 91

§ 3. САМОДУАЛЬНЫЕ ПОЛЯ ЯНГА —МИЛЛСА
Прежде всего найдем согласно теореме Нётер канонический
тензор энергии-импульса
J3 ЯП. « —у
дха dAaov
Для полей Янга — Миллса получим, дифференцируя C.2.18),
дАа
дха
C.3.2)
Этот тензор не симметричен, что, как указывалось в гл. I, яв-
ляется следствием векторного характера тюля Л„а. Симметри-
зуем его, добавив дивергенцию
^- +geabcF ь
(aa) a
дх° дх°
где мы воспользовались уравнениями поля
дха
Тогда
д
дх°
,и тензор энергии импульса после добавления к нему данной ди-
вергенции приобретает симметричный вид:
Г>а = - Fa^Faao—б\Х, C.3.3)
или
C.3.4)
По аналогии с электродинамикой антисимметричный тензор по-
ля можно разбить на электрическую Епа и магнитную Впа со-
ставляющие
Ean = F\n, B% = — ±ZnuFau. C.3.5>
2
Тогда отдельные компоненты C.3.4) могут быть выписаны не-
явном виде:
Г .-_р. ?« Fa C.3.6>
ГС n. IT'n. Tin Tin I X / С1 С | D D \
ij = — IZ iC j— D iO j -)—— Ог^ (п,аСа "Т Da^af-
Введем теперь дуальный тензор
— — P , F^P
2
C.3.7)
Легко проверить, что переход от тензора F^ к дуальному тен-
зору /*„„ соответствует следующей замене компонент
тензора:
pa
i и
'¦ Еа
Ва —*¦ — Еа.
"(iv—*"i'~nv- *-a—'Doi Da—*"—«-a- C.3.8)
Из компонент двух введенных таким образом тензоров, как и
в электродинамике, можно составить инварианты
«Р —
а —
C.3.9)
Кроме тоео, как нетрудно убедиться непосредственным вычис-
лением, имеют место тождества
ра р v% _ Л», <g
C.3.10)
С помощью этих тождеств преобразуем выражение для тензо-
ра энергии-импульса C.3.4)
T«v F<">Fv + ГГ^^0» (F
C.3.11)
Как видно, тензор энергии-импульса обращается в нуль на
классах полей, которые удовлетворяют равенствам
а)
б)
C.3.12)
и называются соответственно а) самодуальными и б) антиса-
модуальными полями. В терминах напряженностей условия
C.3.12) записываются в виде
а) Ban = iEan. б) B\ = -iEan.
Заметим, что мнимая единица в этих условиях появляется
вследствие псевдоевклидовости метрики пространства Минков-
ского, благодаря чему повторное применение операции дуаль-
ности дает
Ра p
1 uv — ¦*
|iv
Важнейшим свойством (анти) самодуальных полей является
то, что они обеспечивают экстремум функционала действия и
тем самым удовлетворяют уравнениям поля. Само по себе ус-
ловие (анти) самодуальности эквивалентно тому, что соответ-
92
93

ствующие поля представляют собой решения уравнений поля
Янга — Миллса. Покажем это.
Прежде всего следует убедиться, что дуальный тензор удов-
летворяет уравнениям поля автоматически, в силу своего опре-
деления. Возьмем удлиненную производную
Первые два слагаемых в последнем равенстве взаимно уничто-
жаются, а последнее с учетом тождества eat,ceC(n=6ad8bz — 6аг6Ь(г
обращается в нуль. Таким образом, в дополнение к лагранже-
вым уравнениям для полей Янга — Миллса C.2.20) получаем
еще уравнения
?y?anv = 0, C.3.13)
которые, так же как и в максвелловском случае, удовлетворя-
ются тождественно в силу определения тензора поля через по-
тенциалы. Если же поля являются самодуальными F—iF или
антисамодуальными F——iF, то из уравнения C.3.13) следуют
уравнения поля C.2.20), т. е. такие поля действительно явля-
ются решениями полевых уравнений и обеспечивают экстремум
действия. Относительно потенциалов условия самодуальности
представляют собой дифференциальные уравнения первого по-
рядка, в то время как уравнения Лагранжа — второго порядка.
§ 4. СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ
Характерным отличием уравнений поля Янга — Миллса от
уравнений Максвелла является их нелинейный характер, что
связано с некоммутативностью потенциалов и соответственно
нелинейной зависимостью тензора поля от потенциалов. Поля
Янга — Миллса обладают самодействием, что приводит к воз-
никновению нетривиальных решений соответствующих уравне-
ний. Прежде чем познакомиться с некоторыми из этих реше-
ний, рассмотрим некоторые общие соображения. Введем модель
Хиггса, описываемую лагранжианом
2 = - Т ^VallV + Т (D^)a (№(Р)я - V (Ф). C-4- *)
4 2
где фа — скалярное поле, образующее присоединенное представ-
ление группы SUB), a = l, 2, 3. Удлиненная производная в
этом представлении определена согласно равенству
Рцф)а = дцфа + gEabcAbn<f,
а потенциальную энергию выберем в виде (см. гл. I)
Х>0. C.4.2)
94
Выписанный лагранжиан C.4.1)
симметричен относительно пре-
образований группы SUB). Тем
не менее физические решения
нарушают эту симметрию, что
связано с наличием потенциала
Хиггса V((f). Рассмотрим стати-
ческие решения модели Хиггса,
т. е. считаем d/dt^O. Примем
физическое требование, состоя-
т/п
Рис. 3.1
щее в том, что на пространственной бесконечности энергия по-
лей обращается в нуль:
г-*оо, 5?-*#Гтш = 0. C.4.3)
Это есть определение вакуума в классической теории по ана-
логии с квантовой теорией, где решения с минимальной энер-
гией называются вакуумными. При т2>0 получаем вакуумное
решение
г — оо, ф2-*т2Д, C.4.4)
т. е. на бесконечности поле Хиггса не обращается в нуль. Про-
странство вакуумов в групповом пространстве образует сферу
радиуса |ф| = т/уя. При этих значениях поля, т. е. на вакуум-
ной сфере, потенциальная энергия имеет минимум (рис. 3.1).
Выбор конкретного вакуума
г —*¦ со, ф (г) —*• п
|п|=1
C.4.5)
нарушает SUB) симметрию, так как он сводится к выбору кон-
кретного направления п. Этот выбор снижает исходную сим-
метрию лагранжиана G=SUB) до остаточной симметрии #=
= 0A), которой обладает решение, удовлетворяющее условию
C.4.5) с определенным значением п. Остаточная симметрия со-
стоит в неизменности вектора п при преобразованиях U(l).
Это явление носит название спонтанного нарушения симметрии.
Покажем, что решение с условием C.4.5) обладает группой
симметрии вакуума C.4.5) U(l). Рассмотрим локальное пре-
образование
<й(т) = егп«*?, Та=-аа. C.4.6)
Пусть ea=f(r)q>a, фа=фа/|ф|. Тогда
-* = Ф",
и если фа->гса при г-уоо, то решение действительно обладает
той же симметрией U(l), что и вакуум.
В дальнейшем будем рассматривать статические решения
модели Хиггса (d/dt^O) при условии Ло=О. При этом ограни-
95

чимся решениями специального вида, задаваемыми анзацем By
и Янга:
— h{r))lr\
C.4.7)
Здесь индексы а—\, 2, 3 — групповой, t=l, 2, 3 — пространст-
венный, г=(гь г2, г3)— радиус-вектор, r=|r|, f(r) и /i(r) —
неизвестные функции. Принятие анзаца C.4.7), очевидно, огра-
ничивает класс решений нелинейных уравнений полей сра и А»а.
Заметим, что в уравнения Янга — Миллса в отличие от урав-
нений Максвелла явно входят потенциалы, и поэтому при их
решении необходимо выбрать определенную калибровку. Осо-
бую роль в теории полей Янга — Миллса играет так называе-
мая унитарная, или струнная, калибровка. Смысл этого назва-
ния будет ясен из дальнейшего. Эта калибровка определяется
Тем, что третья ось группового пространства в каждой точке
ориентируется вдоль радиуса-вектора г, ориентация которого
задана сферическими углами 0, ср. Тогда оператор соответст-
вующего поворота в групповом пространстве имеет вид
- <те„.9
О
C.4.8)
где еф — орт сферической системы координат, аф=оеф, вторая
часть равенства доказывается разложением экспоненты в ряд
с использованием свойств матриц Паули C.2.24). Очевидно, что
вектор фа испытывает чистый поворот, и мы получаем после
преобразования C.4.8)
Wa = &af(r)fr, C.4.9)
а потенциал Aia подвержен повороту и градиентному преобра-
зованию
— а,] «в

C.4.10)
Глобальный поворот, т. е. шА,©, дает
gAat = гатГп —^ »- еог3 —у--
Отсюда получаем следующие отличные от нуля компоненты в
сферических координатах с ортами ее и еф:
соАш ± = —-—(ефа1 —
где ox=Oi cos ф+агэтф, аф=—ai si
угловая часть оператора Д'Аламбера равна
— i. _д_ 1 д
' * г дв 9 /-sin6 5ф
96
C.4.11)
. Учитывая, что
найдем
tgl)?ф- C>4Л2)
Складывая C.4.11) с C.4.12), получим потенциал в унитарной
калибровке
^7 <3-4ЛЗ>
или по компонентам в групповом пространстве
gA'a = (еф cos ф + ee sin ф) 8а1 — — (е„ sin ф—ее cos ф) б°2—
C.4.14)
Как было показано выше, группа преобразований
i
«Р
является группой симметрии U{\) решений фа(г). Тогда можно
ввести «абелевы» потенциал и тензор ноля
Fih = $aFai
для абелевой подгруппы ?/A):
J' Jdf
C.4.15)
C.4.16)
В унитарной калибровке C.4.9) результат C.4.14) дает для
абелевых потенциалов
Полученный потенциал определяет радиальное магнитное поле
кулоновского вида
= — e,.
C.4.17)
Такое поле создает магнитный заряд величины gm=l/g (моно-
поль Дирака). Как видно, соответствующий потенциал сингу-
лярен вдоль линии 0=я. К подобным особенностям потенциа-
лов в электродинамике приводят решения уравнений с источ-
никами типа магнитных зарядов — монополей. Заметим, что
эта сингулярность в унитарной калибровке появилась в резуль-
тате проведения сингулярного калибровочного преобразования
исходных потенциалов C.4.7).
97

§ 5. МОНОПОЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ ЯНГА — МИЛЛСА
а) Самодуальный монополь.
Рассмотрим векторное поле, описываемое лагранжианом
-\Я, (Л-
C.5.1)
Этот лагранжиан не обладает калибровочной симметрией, од-
нако в пределе т2-*-0, А,->-(), m2/A,<°° симметрия лагранжиана
восстанавливается. Вакуум определяется условием
-оо,
—тУК,
поэтому в указанном выше пределе решение остается несим-
метричным, демонстрируя тем самым спонтанное нарушение
симметрии, аналогично хиггсовской модели. Обе модели, т. е.
модель Хиггса и модель C.5.1), как легко заметить, математи-
чески эквивалентны, если установить соответствие
А\-+ща C.5.2)
и рассматривать статические решения, d[dt=O. Тогда
F%} = — Ш;<р<\ Dor = 0. C.5.3)
Будем теперь искать решения для этих моделей в рамках при-
нятого анзаца By и Янга, причем ограничимся вначале само-
дуальными (антисамодуальными) решениями
EJa = ±iBja. C.5.4)
Это условие имеет смысл лишь для последней модели C.5.1),
в модели же Хиггса оно соответствует условию
= ±iBJa. C.5.5)
Вычисляя компоненты хромомагнитного и хромоэлектрического
полей
C.5.6)
получим, что условие C.5.4), т. е. Eja=—iBla, будет удовлетво-
рено, если
l-/i* = rf-f,
— h'=fhlr.
Это и есть уравнения, которые необходимо решить, подчинив
их следующим условиям, обеспечивающим спонтанное наруше-
ние симметрии:
[ ? \ C.5.7)
98
;yf ^
где na = ra/r, и, кроме того, необходимо удовлетворить условиям
конечности полей при г-*-0. Соответствующие решения, как не-
трудно проверить, таковы:
Асимптотические условия при г-»-°° C.5.7) выполняются, так
как
f(/)-*0r, Л (г)
при этом
Л
gAai -+ eainrjr2.
C.5.8)
Согласно C.5.6) и C.4.17) найдем компоненты напряженностей
электрического и магнитного полей:
C.5.9)
что соответствует магнитному полю монополя с зарядом gm =
= l/g. В модели Хиггса электрическое поле отсутствует, а
хиггсовское поле имеет асимптотику, нарушающую симметрию:
а(/-|/Х)
В асимптотическом режиме, г-*-°°, имеем
Перейдем теперь к унитарной калибровке:
gA\ = iba3 -L^L — йадР (фа — Ьазг
Лг1>а-^Л(г) — 0,
C.5.10)
-JLigl^, r.
¦ оо.
Как видно, поперечные компоненты поля обращаются в нуль,
а продольная представляет собой потенциал монополя в элек-
тродинамике с магнитным зарядом gm=l/g.
Найдем энергию монополя
(DtVJ + V (ф)).
Здесь учтено, что iFaOj^>-Dj($a и ?>офа=0. Пусть /я-М), Л-^-0г
0/У>, тогда У(ф)->-0 и энергию запишем в виде
Е = ? d3xTm = ? d?x (j F°uF4a + ~
=j f
dzx [{Faii—
C.5.11)

Последнее слагаемое под знаком интеграла представляет собой |
дивергенцию
а первое обращается в нуль в силу условия самодуальности. 1
Итак, для энергии самрдуального монополя находим
C.5.12)
= ф
где gm=llg для самодуального решения. Условие самодуаль-
ности Faij—e,iinDnya обеспечивает минимум интеграла C.5.11),
т. е. самодуальный монополь из всех возможных полевых кон-
фигураций вида C.4.7) обладает наименьшей энергией.
б) Монополь Тоофта—Полякова.
Рассмотрим тот же анзац
gAai = eoinrn
C.5.13)
и ищем решения уравнений Янга—Миллса при произвольных
%фО, тфО. Подставляя C.5.13) в C.2.20), где в правой части
добавляется ток, определяемый хиггсовым полем, получим
уравнения
r*h' = h(h*~- l+f2),
— /8. C.5.14)
g*
Потребуем, чтобы при г->-°° выполнялось асимптотическое ус-
ловие
C 5.15)
па _
т. е. f(r)-*$r. Тогда согласно уравнениям C.5.14) Л—0, будучи
решением уравнения
а именно Л~е~Вг-»-0 (г-+°°). Найдем отклонение f(r) от линей-
ного закона рг:
Подставляя в уравнение, находим асимптотическое поведение
100
где С — некоторая константа.
Итак, на пространственной бесконечности решение уравне-
мий C.5.14) при условии C.5.15) имеет вид
' -YYmr
gqaoo$na + C- па. C.5Л6)
Здесь первое слагаемое описывает постоянное вакуумное ре-
шение (так называемый «конденсат»), а второе слагаемое —
«отклонения от «его (так называемые «возбуждения»). Удобнее
рассмотреть полученные асимптотики в унитарной (струнной)
калибровке. Тогда отличная от нуля компонента а=3 возбуж-
дения, которую мы обозначим ф(г), ведет себя как
„—VTmr
С-
C.5.17)
-а поперечные компоненты поля Янга—Миллса (о=1, 2) убы-
вают как
(a=l, 2).
В то же время продольная компонента
C.5.18)
C.5.19)
как уже отмечалось выше, описывает дираковский монополь.
Обе асимптотики C.5.17) и C.5.18) являются решениями урав-
нения вида
(V2 + x2)M(r) = 0, C.5.20)
где V. равно соответственно У2т и [}. Это уравнение является
статическим пределом (d/dt — O) уравнения Клейна — Гордона,
причем х представляет собой массу соответствующих частиц.
Таким образом, возбуждения хиггсовского поля, используя
квантовую терминологию, отвечают частицам с массой т„=
= У2т, а поперечные компоненты калибровочного поля — век-
торным частицам с массой M=$=gm/yx. Как видно, спонтан-
ное нарушение симметрии в решении привело к появлению мас-
сы у двух компонент калибровочного поля, которые в симмет-
ричном случае ([}=0) оставались бы безмассовыми.
Рассмотрим поведение полей в начале координат. Пусть
А=1+а(г). Тогда
а" = 2а/г2,
и при г-*-0 имеем а—ar2, где а—некоторая константа. Следо-
вательно, А-в-»-0 (г-*0). При этом также и f(r)->0. Характер
убывания следует из того, что при малых г->-0
/Г = 2/,
101

т. е. f = br2 (b — некоторая константа). Поэтому <pai-r»-6 ('r-+-O)'J
Связь асимптотик при г-*-0 и /•-»¦<» определяется уравнения-'
ми полей, однако точного решения в явном аналитическом виде*
найти не удается. Окончательно представим характер решения-
Тоофта — Полякова в разных областях переменной г. При г-*-0*
имеем фа-»-0, т. е. поле Хиггса отсутствует, однако имеется по-
стоянное магнитное поле В=const, так как в этой области-
Aia~r. При г~1[т возникает поле Хиггса, выходящее затем при
"на постоянную асимптотику:
Оно имеет характерную радиальную направленность и посто-;
янное, не зависящее от углов значение, за чте и получило»!
образиое название «ежа» Полякова. В области О>Г/[} попереч-Р
ные компоненты калибровочного поля убывают экспоненциаль-*
но и поглощаются хиггсовским полем k\^~e~tr~*-Q, а дально-
действующая продольная компонента А3 проникает через кон-
денсат и описывает с точки зрения бесконечно удаленного на-
блюдателя монополь Дирака gm=llg, помещенный в начале
координат.
Рассмотрим теперь энергию монопольного решения, опреде-
ляемую формулой C.5.11): '''
Е = j [ d*x l(Faij
где
Ясно, что
E ^ E
mln
= -i J
dnJn d»x =
1
J Л,
C.5.21]
C.5.22)
При этом можно показать, что энергия решения Тоофта — По-
лякова конечна, так как интеграл C.5.21) сходится. На беско-
нечно удаленной сфере, как только что было продемонстриро-
вано, остаются только чистый дираковский монополь и хиггсов-
ский конденсат. Поэтому
с 4alP _
•Cmin — —Г" —
8
Р-
C.5.23>
Вспомним, что $=М— масса векторного поля, и тогда
Е > ?min = AnMlg\ C.5.24>
Для того чтобы оценить величину минимальной энергии мо-
нополя C.5.24), необходимо придать численные значения вхо-
дящим в нее величинам, выбрав определенную систему единиц.
Напомним, что выше в гл. I мы интерпретировали плосковол-
новые решения уравнения поля как волны Дебройля, соответ-
ствующие частицам — квантам этого поля. Подобная интерпре-
тация последовательно может быть проведена лишыв квантовой
102
теории, и поэтому последовательная интерпретация формулы
для энергии монополя C.5.24) также возможна лишь в кван-
товой теории. Тем не менее в рамках подхода, примененного в
гл. I, мы можем принять энергию монопольного решения
C.5.22) — C.5.24) за энергию соответствующей квантовой час-
тицы-монополя.
Как было показано, абелева теория поля—электродинами-
ка— получается в рассматриваемой нами симметричной моде-
ли SU{2) в результате спонтанного нарушения симметрии
SUB)-+U(\). При этом мы можем отождествить константу
взаимодействия модели g с электрическим зарядом электрона
е. Эта модель в целом не соответствует действительности, так
как не отражает всех особенностей взаимодействия элементар-
ных частиц. В настоящее время принята так называемая стан-
дартная модель, в основу которой, согласно Вайнбергу и Са-
ламу, положена более широкая группа симметрии: S[/B)X
Х?/A). Эта модель объединяет два взаимодействия: слабое,
ответственное за распады элементарных частиц (например,
¦бета-распад нейтрона), и электромагнитное. После спонтанного
нарушения указанной симметрии эти взаимодействия разделя-
лотся, при этом возникают два сорта векторных частиц: так на-
зываемые векторные бозоны и фотоны. Векторные бозоны об-
разуют расщепленный триплет группы SUB), причем наруше-
ние симметрии проявляется в различии их массы. Заряженные
•бозоны W+ и W~ имеют массу порядка Mw»80 ГэВ = 80-109 эВ,
а нейтральный Z-бозон — массу Mz~9l ГэВ. Эти частицы яв-
ляются переносчиками слабых взаимодействий между элемен-
тарными частицами. Фотон же после нарушения симметрии
остается безмассовым. В рассматриваемой нами модели заря-
женные векторные бозоны составляются из поперечных компо-
нент Д,1 и Лц2 (в унитарной калибровке):
и после нарушения симметрии приобретают массу М = $ =
=gm/yx. Продольная компонента Л„3 остается безмассовой.
Она и отвечает нейтральному векторному полю фотонов — элек-
тромагнитному (максвелловскому) полю.
С этой точки зрения можно оценить массу (энергию; моно-
поля, определяемую формулой C.5.24). Действительно, масса
частицы это есть ее энергия покоя в единицах с=1. Восстанав-
ливая в формуле C.5.24) обычные единицы, в которых для ско-
рости света с и постоянной Планка h следует принять их изве-
стные значения (см. гл. I), получим
Е > ?mm = 4яУИс2 —. C.5.25)
е2
Безразмерная комбинация а= (е2/4лйс) мировых констант Л,
с и е, входящая в последнюю формулу, называется постоянной
103

тонкой структуры (терминология взята из атомной физики) к
имеет следующее экспериментальное значение:
C.5.26)
Таким образом,
4яйс 137,036
137 Мс*.
C.5.27)
Если для М принять значение массы ^-бозона Mc2=Mwc2—
=80 ГэВ, то из последней формулы можно судить о возмож-
ном масштабе массы монополя. Следует отметить, что до на-
стоящего времени экспериментально частицы-монополи не об-
наружены.
Остановимся еще на вопросе о различии монопольного ре-
шения со спонтанным нарушением SUB) симметрии и монопо-
ля Дирака в электродинамике. Потенциал монополя в электро-
динамике вида
д = _ 1т. tg-e,, C.5.28)
создает магнитное поле кулоновского типа
Потенциал C.5.26) сингулярен вдоль линии 6=я, т. е. вдоль
отрицательной полуоси z«<0. Физически эта своеобразная нить
сингулярности может рассматриваться как предел бесконечна
длинного и тонкого соленоида, тянущегося из начала коорди-
нат в бесконечность. Окружая такой магнитный заряд сферой,
мы получим особенность на южном полюсе этой сферы. Потен-
циал регулярен на всей поверхности сферы, за исключением
точки 8=п. Таким образом, поверхность становится неодно-
связной, и эта топологическая особенность находит свое про-
явление в том, что интеграл
~Adl ^
по замкнутому контуру С, проведенному вокруг точки сингу-
лярности, отличен от нуля. По теореме Стокса
rotAdS,
где So — поверхность сферы без малого участка этой сферы Л5Г
ограниченного контуром С и (содержащего точку сингулярно-
сти. Дополняя эту поверхность до полной сферы S=So+AS и
принимая во внимание, что магнитное поле B=rot А на участке-
AS не имеет сингулярности, получим
4> A d\ '=*= j rot A dS = 4ngm.
104
Стягивая контур в точку, тем не менее получим конечное зна-
чение интеграла за счет сингулярности потенциала в этой точке.
Таким образом, в электродинамике монопольные решения7
получаются ценой введения сингулярных вдоль нити (или
«струны») потенциалов. В модели со спонтанно нарушенной
симметрией в исходном анзаце C.4.7) моноиольные решения
несингулярны. Лишь в результате калибровочного преобразо-
вания, которое само является сингулярным, в унитарной, или
струнной, калибровке потенциал приобретает ту самую сингу-
лярность, которая свойственна дираковским монополям.
Дирак показал, что магнитный заряд монополя может при-
нимать лишь дискретные значения:
п
где п=0, ±1, +2 Как видно, рассмотренное нами реше-
ние отвечает дираковскому монополю при п = 2.
Сделаем еще замечания относительно полученного решения
Тоофта — Полякова с точки зрения топологии. Основное требо-
вание, положенное в основу решения, — это нарушение симмет-
рии вследствие асимптотического условия
ф<* (г) = const na. C.5.29)
Г-> со
Это условие представляет собой отображение сферы бесконеч-
ного радиуса г-+°° на сферическую поверхность единичного ра-
диуса группового пространства, т. е.
Sa^-^S2!. C.5.30)i
Как видно, одному обходу поверхности исходной сферы соот-
ветствует также один обход, т. е. покрытие единичной сферы.
Вообще говоря, возможно любое число покрытий при подобных
отображениях. Кратность покрытия носит название топологи-
ческого заряда п = 0, 1, 2, .... Если отображение происходит
не на всю сферу, а только на часть ее, хотя бы отличающуюся
от всей сферы наличием одной выколотой точки, то в этом слу-
чае п=0. Действительно, такая поверхность может быть непре-
рывным образом деформирована в точку.
Таким образом, с этой точки зрения все возможные решения
могут быть разбиты на классы, так называемые классы экви-
валентности. Внутри данного класса все решения топологиче-
ски эквивалентны, так как могут быть путем деформаций не-
прерывным образом преобразованы одно в другое. Каждый
класс эквивалентности имеет свой топологический заряд п. Так,
для рассмотренного нами монополя Тоофта — Полякова п=1.
Переход от одного класса эквивалентности к другому сопро-
вождается изменением топологического числа п, связанным с
изменением топологии и сопровождаемым скачкообразным из-
менением энергии. Заметим, что переход к унитарной калиб-
ровке, фа~6з°, меняет характер отображения, поскольку сфера
105'

теперь отображается в точку, находящуюся на полюсе. Поэто-
му в этой калибровке решение обладает топологическим заря-
дом нуль, п=0. Это изменение топологии решения связано с
тем, что калибровочное преобразование является само по себе
разрывным и приводит к потенциалам, имеющим нить сингу-
лярностей. Тем яе менее энергия решения при этом не меня-
ется. Заметим, что точное значение энергии монополя Тоофта —
.Полякова может быть вычислено на ЭВМ и имеет вид
тде С изменяется от 1 до 1,8 при изменении X от нуля до бес-
.конечности.
Аналогично можно показать, что и в модели великого объ-
единения (группа S?/E)), в которой объединяются слабое,
электромагнитное и сильное взаимодействия, существуют мо-
нопольные решения. Их масса оказывается чрезвычайно боль-
шой, порядка 1016ГэВ. Монополь великого объединения, если
он существует, должен проявить себя через воздействие на
ядерную материю. В. А. Рубаков в 1981 г. показал, что моно-
поль катализирует распад протона, предсказываемый моделями
великого объединения и обусловленный переходами кварков в
.лептоны.
§ 6. УРАВНЕНИЯ ВОНГА
Рассмотрим теперь движение классической частицы, движу-
щейся в неабелевом поле. Для определенности остановимся на
группе SUB) и будем называть неабелев заряд частицы, рас-
сматриваемой как модель кварка, цветом. Разумеется, подоб-
ная частица не может последовательно описываться классиче-
скими уравнениями, так как ее движение ограничено микромас-
штабами порядка размеров нуклонов. Тем не менее в ряде
квантовых задач приходится обращаться к классическим урав-
нениям, эффективно описывающим движение системы при
определенных условиях. Кроме того, исследование особенностей
классических решений помогает понять закономерности кван-
тового поведения частиц.
Учитывая, что в неабелевой теории заряд частицы — много-
компонентная величина, описываемая групповым вектором Та,
мы приходим к выводу об увеличении числа степеней свободы
частицы. Помимо радиуса-вектора г ее динамическими перемен-
ными являются также компоненты вектора Та, связанные усло-
вием Га2=const = Г2. Действие для цветного заряда можно
представить в виде
S = S0 + SI< C.6.1)
тде So — часть действия, ответственная за пространственное
движение неабелевой частицы, a Si — цветовая часть действия,
определяющая динамику цвета частицы. Для So легко написать
выражение, являющееся обобщением действия электрического*
заряда на неабелев случай:
t, r, v, Г),
где лагранжева функция равна
L^ — m dsldt + g (A\Ta) dx»/dt.
C.6.3)
Варьируя это действие по координатам частицы, приходим к
уравнению, непосредственно обобщающему уравнение Лоренца
в электродинамике:
%¦¦ C-6.4)»
Другое уравнение должно описывать динамику цвета и полу-
чается варьированием Si. Явный вид этой части действия най-
дем следующим образом. Классический вектор цвета Та с груп-
повой точки зрения аналогичен вектору момента количества:
движения частицы L. Поэтому цвет в классическом приближе-
нии можно представить себе как своеобразный волчок. Его»
лагранжева функция имеет вид
Ц = 1 (J^\ + /2со22 + J<fi>\),
причем в данном случае два главных момента инерции /[ =
=/2=0 и только /з>0. Этот случай неосуществим для обыч-
ного волчка, однако имеет место при описании вектора магнит-
ного момента в теории микромагнетизма.
Введем, как обычно, углы Эйлера 6, <pi и т|э для описания
поворотов в групповом пространстве. Тогда функция Лагранжа
примет вид
C.6.5)
(if = d^ldt, (fi — dyjdf).
Направление цветового вектора Т постоянной длины |Т|=-
= const = Т определяется сферическими углами 6 и <р:
/ = ТF, ф),
причем ф = 3/2 лф
Функция Лагранжа Li не зависит от ip, поэтому
рф = —— = J3 (ф cos 0 + ip) = const.
Введем функцию Рауса
Р\
cos 6.
•106
ЮГ

¦Отбрасывая постоянную, получим окончательно функцию Лаг-
ранжа для цветового вектора
Li = p^cosQ. C.6.6)
Уравнения движения вектора Т найдем, варьируя функцию Лаг-
ранжа Lo-f-L7=L:
~6Т =
Здесь 6Т=б©ХТ. где 6<а— угол поворота. Поэтому уравнения
движения примут вид
^рХбп = 0, C.6.7)
згде п=Т/Г= (8, ф). В явном виде
Пусть
доставим векторные произведения
хп =
бп Уе
Подставим полученные производные в уравнение, учитывая так-
же слагаемое в Lo, зависящее от вектора цвета g(A,J?)nT.
В итоге, отождествляя константу р$ с Т, р*=Т, найдем
ds
ds
C.6.8)
Последнее уравнение вместе с уравнением для координат
C.6.4)
т-
C.6.9)
•составляют систему уравнений Вонга.
Рассмотрим примеры решений уравнений Вонга в простей-
ших случаях однородных полей. Будем называть поле прост-
ранственно однородным, если вектор-потенциал в точке х-\-Ьх
связан с вектор-потенциалом в точке х некоторым калибровоч-
ным преобразованием
A)l(x+8x) = ai(x)AVL(x)ai-i(x) + i(o(x)dil.(o-1(x), C.6.10)
где to(x)=exp(iAli(x)8x»). Тогда для тензора поля имеем
a>Fv.v(x)ai-1 = FllV(x+8x). C.6.11)
Рассмотрим бесконечно малые (инфинитезимальные) преобра-
зования
ДОЗ
C.6.12)
C-6.13)
где a^const, ^=сопз1. Подставим C.6.13), C.6.12) в урав-
нение C.6.10). Тогда линейные по Ьх члены в левой и правой
'частях этого уравнения совпадут, если
v. . C.6.14)
Рассмотрим две возможности.
1) ай=0, fV=Sa3/V Поле по существу является абелевым,
•коммутатор в C.6.14) равен нулю, ихмы получаем, интегрируя
C.6.14),
причем константу можно выбрать равной нулю, Cv=0. Абелев
тензор напряженности равен
F\v = дцА\—д*А\ = —2Рц\ = const.
Юн определяет однородное поле, так как [о, Fwv]=0. Итак, од-
нородное поле можно задать коммутативными линейно расту-
щими потенциалами.
2) U = 0, a^O, 5^ = 0.
Тогда
^Av^t^, Av] C.6.15)
— уравнения для определения оператора калибровочного пре-
образования Av при заданных потенциалах а„=const. Напря-
женность цветового поля
F«(lv = ^fobca>M,acv=const. C.6.16)
Итак, постоянное однородное поле можно задать также неком-
мутативными потенциалами. В этой неоднозначности задания
напряженности поля состоит одна из особенностей теории не-
абелевых полей.
В первом случае абелевых потенциалов поля удовлетворя-
ют уравнениям без источников
Fcv,v = g&abcA vbF^v = 0. C.6.17)
Во втором случае неабелевых потенциалов поля удовлетворяют
неоднородным уравнениям, так как
т. е. имеется постоянный источник поля:
Dv/%v = /v C.6.18)
Рассмотрим теперь специально второй случай Лй=const. Со-
гласно Брауну и Вайсбергеру, можно ввести следующую клас-
сификацию таких полей. Введем матрицу
109

V L Aa Л
Соответствующим глобальным преобразованием можно ее диа-
гонализовать, т. е.
Это означает, что компоненты Лац для различных а ортого-
нальны.
Рассмотрим некоторые примеры.
Тогда
A\={VK 0, 0, 0), А\~{0, /=Л, 0, 0),
В результате получаем электрическое поле
E3 = ?2(-/-V A,. 0, 0).
2) A,t<0, A,2<0, А«, = 0. Тогда
т. е. получаем магнитное поле
3) Я1 = ^=Я3 = А,<0. Тогда
т. е. получаем трехмерное хромомагнитное поле
Рассмотрим теперь в качестве примера решения уравнений1
Вонга в некоторых конфигурациях цветовых полей.
1. Электрическое поле. Абелев случай.
Пусть Л3°=—zE, ?z3=const=?.
Для цвета получим уравнение
as
Отсюда Т3=const, т. е. вектор Т прецессирует вокруг третьей
оси цветового пространства. Для координаты z получим
Откуда
m &Z -
m — = — gETJ. + const
ds
— известное из электродинамики решение с эффективным заря-
дом e=gTz.
ПО
2. Электрическое поле. Неабелев случай.
Пусть Л1°=У—Л.1, A23=ffa-
Тогда
Уравнения Вонга имеют вид
При этом
m-5r = -J
-JT (gTaA»a) = — gA»agtabc ~тр А\ТС = — I
ds
C.6.19)
Уравнение C.6.4) можно переписать, введя кинетический им-
пульс Pv,=pfi-\-gAlx (/?„ — канонический импульс):
dP^ dxv
ds ~ s a a rfs
Используя C.6.19), отсюда находим
т. е. канонический импульс является интегралом движения,
рй= const. Это значит, что
mdx»
ds
— gTaA\ =
и так как Лац—const, а Та ограничено, то и dx^/ds также огра-
ничено в отличие от абелева случая, где dx^/ds линейно растет
со временем.
В нерелятивистском пределе (d/ds^d/dt) находим
ар кот
— — gr a I ai
dTa
dt
' о»
где в данном случае Аь°=ЬьхА)°. Тогда для цвета будем иметь
dT3 чТ
dt 3 dt
а» = gA°t, Tt = const.
Откуда
Т2 = Г2 @) cos to/ + Т3 @) sin at,
T3 = T3 @) cos at— T2 @) sin at.
Эти уравнения описывают прецессию вектора цвета вокруг оси
х (Ti=const). Для 2-координаты имеем
m — = - gEzT, (Et =
dt*
111

Общее решение этого уравнения
Тогда решение C.6.21) также преобразуется:
описывает осцилляции вдоль электрического поля плюс пере-
носное движение е постоянной скоростью. Как видно, это дви-
жение в корне отличается от движения в таком же электриче-
ском поле в абелевом случае. Главной особенностью движения-
в неабелевом ноле является переплетение координат и цвето-
вых неременных в уравнениях движения, в результате чего про-
странственное движение и движение цвета не разделяются, а
оказываются связанными друг с другом.
3; Магнитное поле. Абелев случай.
Пусть
Тогда
А»а = 8*аА», А» = (о, — - уН, - хН, О].
„ = 68а@, О, Я).
В таком поле согласно уравнениям Вонга Гз = const, а для-
оставшихся компонент цвета получаем-уравнения, которые мож-
но объединить в одно уравнение для их комплексной комбина-
ции T\iT
C.6.20>
где
Jds. C.6.20a),
Предполагая, что в U(l) подгруппе неабелевой группы St/B)
возникает обычная абелева электродинамика, положим g рав-
ным заряду электрона, g=e, и восстановим обычные единицы;
Нф\, сф\. Тогда вместо C.6.20а) получим
Q (т) = — -^-
ПС
, х = sic.
Решение C.6.20) описывает прецессию вокруг третьей оси
т
i Ja(T)dT-M6
Tl + iT2 = (Tl+ iT^oe ° . C.6.21>
Калибровочное преобразование потенциала
1 ЯГ
А»-
приводит к изменению й(т):
J_df_
ftc dx'
7\ + iT2 -•»(Tl + iT2)e %c ° dX = G\ + iT2) e-( '/ftC) <' w-f <o» .
-Это преобразование представляет собой поворот вектора Т во-
круг третьей оси.
Уравнения для 4-скорости частицы можно записать в виде
^ = _Жы2> ** = «*_„!, C.6.22)
dx me dx me
.где Q = T3e — эффективный заряд. Эти уравнения, очевидно,
совпадают с уравнениями для заряда Q в электродинамике,
рассмотренными выше в гл. II. Пусть в начальный момент / =
= 0: r@)=0, v@)lle*, тогда решения уравнений C.6.22) будут
таковы:
РI P \
м1 = —— cos cot, и2 = sin сот,
т т
C.6.23)
где co=QS/mc, /?х=|у@) Im. Они описывают вращение вокруг
оси z в собственном времени т с частотой со. В то же время час-
тота вращения цвета C.6.20) в выбранной нами калибровке бу-
дет равна
1 ер2,
Щт) = — A — cos ют). C.6.24)
2 hmcQ
Эта величина зависит от собственного времени. Поэтому пре-
цессия цвета не будет равномерной. Рассмотрим соответствие
пространственного и цветового движений. Пусть по простран-
ственной траектории заряд совершает один оборот, а цветовой
вектор поворачивается вокруг третьей оси п раз (п=0, 1, 2,...).
Тогда
т
C.6.25)
где Г=2л/со. Это уравнение представляет собой условие п-крат-
ного отображения окружности в координатном пространстве на
окружность, описываемую концом вектора цвета в групповом
лространстве. Вычисляя интеграл в C.6.25), получим
hT3 2BQc
или р\=2Т*3еЪВсп, я = 0, 1, 2, .... C.6.26)
Число п может рассматриваться как топологический заряд, при-
чем это число определяет энергию поперечного движения час-
тицы в магнитном поле: ех=Ус2/?х2-1-т2с4. Отметим, что условие
кратности отображения C.6.26) совпадает с известным усло-
вием квантования поперечного импульса частицы с зарядом Тъе
в магнитном поле*.
112
* См.: Соколов А. А., Тер нов И. М., Ж у ков ский В. Ч., Бо-
рисов А. В. Квантовая электродинамика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
113

Глава IV
ГРАВИТАЦИЯ
§ 1. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ
В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ
Последняя «по счету, но не по значению» классическая тео-|
рия поля, которую мы хотим обсудить в этой книге, это теория<
гравитации. В отличие от электродинамики и теории Янга —.
Миллса классическая теория гравитации пока не имеет обще-
признанного квантового аналога, хотя на квантовании грави-
тации в последние годы сосредоточены большие усилия. Так же¦']
как и максвелловская теория, классическая теория гравитации
имеет специфические трудности, например неизбежность син-j
гулярных решений уравнений Эйнштейна, разрешение которых,'
как полагают, является прерогативой квантовой теории. Не ис-
ключено, что квантовая теория гравитации будет значительной
сильнее отличаться от классической, нежели квантовая элек-
тродинамика от теории Максвелла, и даже будет иметь дело*
с объектами принципиально иной природы, например струнами.
Вместе с тем область применимости классической теории гра-
витации значительно шире, нежели область применимости тео-
рий, рассмотренных в гл. II, III, и простирается от космологи-!
ческого масштаба до сверхмикроскопических расстояний, огра-
ниченных лишь планковской длиной
= V -^f «l,6-10-3S см,
D-1.1)
где G=6,67• 10~8 дин-см2г~2 — ньютоновская постоянная, h —:
постоянная Планка, с—скорость света (далее полагаемая еди-
ницей). Малость этого параметра делает классическую теорию* j
гравитации применимой и в области расстояний, в которой ато-|
мы и элементарные частицы заведомо должны обнаруживать,
квантовое поведение. В результате возникает имеющая широ-|
кую область применимости полуклассическая теория, в которой!
рассматриваются квантованные поля на фоне искривленного]
пространства-времени, с которым ассоциируется классическое!
гравитационное поле. На этом пути в последние годы были по-?
лучены новые неожиданные результаты: квантовое испарение|
черных дыр, экспоненциальное раздувание в ранней Вселенной:^
(«инфляционная Вселенная») и др. Не имея возможности оста-]
навливаться здесь подробнее на этих новых аспектах теории!
гравитации, мы отсылаем читателя к соответствующим книгам|
114
и обзорам. Нашей же задачей будет знакомство лишь с чисто
классическими аспектами гравитационного взаимодействия, со-
ставляющими традиционное содержание общей теории относи-
тельности. При этом полезно иметь в виду, что, хотя общая тео-
рия относительности как релятивистская теория гравитацион-
ного взаимодействия исторически возникла на основе распро-
странения принципа относительности на неинерциальные систе-
мы отсчета и принципа эквивалентности инертной и гравита-
ционной масс, возможна и «полевая» трактовка теории грави-
тационного поля как взаимодействующего поля спина два, ас-
социируемого с симметричным тензорным полем второго ранга
в пространстве Минковского. При таком подходе общая теория
относительности оказывается результатом релятивизации
(в смысле требований специальной теории относительности)
ньютоновской теории тяготения.
Как известно, ньютоновская теория тяготения основана на
описании гравитационного взаимодействия тел с помощью ска-
лярного потенциала ф(г), удовлетворяющего уравнению Пуас-
сона
Дф(г) =
D.1.2)
где \i(r)—плотность тяготеющих масс. Это уравнение вполне
аналогично электростатическому уравнению Пуассона B.7.3) и
соответствует представлению о мгновенном характере взаимо-
действия. Если попытаться модифицировать уравнение D.1.2)
с учетом требования конечности скорости распроетранения взаи-
модействия, то мы придем к уравнению Даламбера типа
B.1.27). Возникает вопрос, какова природа источника гравита-
ционного поля, трактуемого таким образом, с точки зрения его
геометрической природы в пространстве Минковского. Из фи-
зических соображений следует, что в нерелятивистском преде-
ле эта величина должна переходить в плотность массы, с дру-
гой стороны, она должна быть скаляром в пространстве-време-
ни Минковского. Подобными свойствами обладает лишь след
тензора энергии-импульса материальной системы, и, действи-
тельно, мы придем к правильной форме закона Ньютона для
двух нерелятивистских масс, если примем в качестве реляти-
вистского уравнения
П<р = —4яО7\ D.1.3)
где Г=ГЦ'^—след тензора энергии-импульса, ассоциируемого с
телом, создающим гравитационное поле ф. Однако такая ска-
лярная теория гравитации оказывается совершенно неудовлет-
ворительной для описания наблюдаемого отклонения луча све-
та в гравитационном поле тела массы М:
D.1.4)
где р — прицельный параметр луча. Дело в том, что для элек-
тромагнитного поля след тензора энергии-импульса тождествен-
115

но равен нулю, и потому выбор лагранжиана взаимодействия**
в виде
отвечающем уравнению D.1.6), приводил бы вообще к отсут-
ствию взаимодействия луча с телом. Альтернативный выбор
лагранжиана взаимодействия, приводящий к отличному от ну-
ля взаимодействию луча с гравитирующей массой, отвечает свя-
зи с производными
~вз дх»дх*
Однако нетрудно понять, что и это предположение неудовлетво-
рительно, поскольку вторая производная от ньютоновского по-
тенциала убывает как 1/г3, а не как 1/г, что следует из наблю-
дений (см. D.1.4)). Таким образом, оказывается, что выбор
скалярного ноля для описания тяготения с учетом конечностж
скорости распространения взаимодействия вообще неверен.
Следуя логике построения классических полевых теорий в.
пространстве Минковского, мы должны далее рассмотреть на
роль переноечика гравитационного взаимодействия поля более
высокой тензорной размерности. Ясно, что векторное поле сле-
дует исключить: как мы видели в гл. II, такое поле приводит
к взаимному отталкиванию одинаковых частиц (т. е. одноимен-
ных зарядов), а не их притяжению. Следующим кандидатом
является поле симметричного тензора второго ранга (антисим-
метричное поле, которое можно представить как 4-ротор неко-
торого 4-вектора, также следует исключить) г|)ц„. Оказывается*
что именно этот выбор и приводит к удовлетворительной тео-
рии, о чем мы будем говорить подробнее в последующих разде-
лах этой главы. Здесь же обсудим, насколько этот выбор одно-
значен.
Замечательным фактом является то, что поля высших тен-
зорных размерностей оказываются исключенными автоматиче-
ски: если предположить, что подобное поле является переносчи-
ком взаимодействия между частицами, понимая это взаимодей-
ствие на основе стандартных принципов квантовой теории, то
оказывается, что в классическом пределе (при формальном
устремлении к нулю постоянной Планка) взаимодействие по-
средством полей тензорной размерности выше двух вообще ис-
чезает. Тем самым поле симметричного тензора второго ранга
выступает в роли единственного приемлемого кандидата на
роль переносчика гравитационного взаимодействия, если, ко-
нечно, предположить, что во взаимодействии не участвуют одно-
временно несколько полей различной тензорной размерности,,
причем симметричный тензор второго ранга дает доминирую-
щий вклад. Подобные теории действительно рассматриваются
(например, скалярная теория Бранса — Дике) и заведомо не
могут быть отвергнуты экспериментально, если вклад дополни-
116
тельных полей относительно мал. Более того, существуют дру-
гие соображения, которые стимулируют рассмотрение подоб-
ных смешанных теорий, причем, в отличие от теории Максвел-
ла, полевые уравнения оказываются нелинейными, так что раз-
делить вклады отдельных полей можно лишь в пределе слабого
поля. Однако наиболее простая и изящная картина гравитаци-
онного взаимодействия получается при выборе в качестве его
переносчика «чистого» поля симметричного тензора второго'
ранга, отвечающего в квантовой теории спину два. Интересно,
что последовательное развитие такой теории в пространстве
Минковского приводит к «перенормировке» этого пространства
и превращению его в псевдориманово пространство общей тео-
рии относительности. При таком подходе к построению теории
гравитации принцип эквивалентности оказывается следствием
предположения о тензорной природе переносчика гравитацион-
ного взаимодействия. В конечном счете мы приходим к стан-
дартной общей теории относительности, хотя мотивация осно-
вана на иных эвристических принципах, более близких совре-
менному пониманию классических полевых теорий, нежели это*
было в работах Эйнштейна 1915 г.
В заключение этого раздела упомянем еще одну возмож-
ность: изложенные соображения не исключают возможности
приписать тензорному полю некоторую массу. В этом случае
для двух точечных масс вместо закона Ньютона мы имели бы
потенциал взаимодействия, экспоненциально убывающий на
больших расстояниях. Если выбрать соответствующий масштаб
Достаточно большим, например больше размера наблюдаемого
участка Вселенной, то видимого противоречия с наблюдениями
не возникнет. Однако нетривиальная особенность теории мас-
сивного поля симметричного тензора второго ранга в простран-
стве Минковского заключается в том, что в пределе исчезающе
малой массы (бесконечно большого параметра экранирования)
такая теория соответствует не «чистой» безмассовой теории по-
ля спина два, а теории, содержащей конечную (не малую) при-
месь скалярного поля. Оказывается, если выбрать параметры
так, чтобы не возникало противоречия с законом Ньютона, то
для отклонения луча в поле тяготения, создаваемом массив-
ным телом, получим результат, противоречащий наблюдениям.
На этом основании массивное тензорное поле в качестве пере-
носчика гравитационного взаимодействия обычно не рассмат-
ривается.
§ 2. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
СВОБОДНОГО БЕЗМАССОВОГО ПОЛЯ СПИНА ДВА
Из квантовой теории поля известно, что свободная безмас-
совая частица обладает двумя состояниями поляризации неза-
висимо от спина. Это означает, что из десяти компонент тен-
зора /i,,v восемь являются нефизическими и подлежат исключе-
нию. Аналогичная ситуация встречалась в теории векторного-
117"

поля в гл. П. Из четырех компонент вектора Л" физическим со-
•стоянием свободного лоля отвечали две, причем исключение
«лишних» компонент обеспечивалось благодаря инвариантности
теории относительно калибровочных преобразований B.1.22).
Поле симметричного тензора второго ранга можно рассматри-
вать как совокупность четырех векторных полей, поэтому, если
потребовать выполнения четырех калибровочных условий, мож-
но исключить восемь нефизических компонент. Для этого тео-
рия должна быть инвариантна относительно градиентных пре-
образований вида
' "(XV r ' "LLV ЦЦ, V SV U.» \"•« • А I
где ?ц — векторное поле.
Инвариантность лагранжиана электродинамики относитель-
но калибровочных преобразований обеспечивалась тем, что он
зависел лишь от тензора электромагнитного поля, представляю-
щего собой калибровочно-инвариантную комбинацию первых
производных 4-потенциала. В случае тензорного поля подобная
комбинация содержала бы уже ;вторые производные
* "- >- ¦ '- и л (Д19\
, VX — «VT, \iX)i V*'z'z/
но тогда уравнения поля содержали бы четвертые производные.
Подобные теории сейчас обсуждаются, и им присущи дополни-
тельные трудности (хотя на квантовом уровне имеется и ряд
преимуществ), поэтому мы не будем развивать эту возмож-
ность здесь. Если же пытаться построить теорию, в которой
волновое уравнение оставалось бы уравнением второго поряд-
ка, придется отказаться от попыток сформулировать ее в тер-
минах калибровочно-инвариантных величин. Более того, вооб-
ще не удается найти квадратичную форму от первых производ-
ных тензорного поля по координатам, которая была бы инвари-
антна относительно конечных преобразований D.2.1). Самое
¦большее, что можно сделать, это построить лагранжиан, кото-
рый при инфинитезимальных преобразованиях вида D.2.1)
(т. е. с учетом ,лишь линейных по ?ц членов) изменялся бы на
полную производную некоторого вектора. Такой лагранжиан
имеет вид
{hh^^2h^ + 2h^h-h\ Д D.2.3)
где Яц=Я\у и Я=ЯЦЦ. Его варьирование приводит к уравнениям
V-v—А\. x» + h\ ^ + Tlnv (h%\ x,—A- \ x) = 0, D.2.4)
V, л
в инвариантности которых относительно преобразований D.2.1)
можно убедиться. Более простой вид эти уравнения приобрета-
ют в терминах величин
%iv = AnV—-ЛцуА, D.2.5)
118
для которых из D.2.4) получим
... Л ,,, Л ,,, Л '
фцу, X—YM.A,, v—4>vX, д К
: X
= 0.
D.2.6>
Калибровочные преобразования D.2.1) при этом принимают
вид
_ l^ v — Sv, ц + %v?\ A,-
D.2.7)'
В силу второй теоремы Нётер они порождают следующие тож-
дества Бианки, которые имеют место независимо от выполне-
ния полевых уравнений:
= 0, D.2.8)-
1
_ij3vX'^—-—T^M-v^h-^ D.2.9V
Тождества Бианки указывают, что мы имеем теорию со связями.
Воспользовавшись симметрией относительно калибровочных
преобразований, можно подчинить теорию дополнительным ус-
ловиям Де Дондера — Фока
Vv, v = 0, D.2.10)'
аналогичным условиям Лоренца в электродинамике. В этой
калибровке полевые уравнения приобретают вид уравнений
Даламбера
= 0, D.2.
поэтому многие результаты, полученные в гл. II для поля Макс-
велла, могут быть переформулированы для t|fv.
Исходя из симметрии действия относительно пространствен-
но-временных сдвигов, можно построить канонический тензор
энергии-импульса
- 2^«v, Р)._
__ ф. ч. v _
D.2.12)-
который, как и в электродинамике, несимметричен (последнее
свойство связано с наличием спинового момента количества
движения). Канонический тензор энергии-импульса удовлетво-
ряет условию консервативности
dxv
= 0.
Отсюда следует закон сохранения 4-импульса поля
D.2.13>
D.2.14>
119

тде интегрирование ведется по всему бесконечному простран-1
-ству. Заметим, что для сходимости интеграла необходимо по-1
требовать, чтобы компоненты поля убывали на пространствен- I
ной бесконечности достаточно быстро. Подобное требование
следует наложить и на поведение калибровочных функций ?„.
Все изложенное находится в близкой аналогии с теорией;!
векторного поля, обсуждавшейся в гл. II. Однако есть и суще-1
ственное отличие. Чтобы построить теорию, не содержащую |
высших производных, нам пришлось отказаться от попыток!
сформулировать ее в терминах явно калибровочно-инвариант-Г
ных величин D.2.2). Теперь оказывается, что в отличие от мак-
свелловской теории, в которой тензор энергии-импульса инва-|
риантен относительно калибровочных преобразований, в рас-]
сматриваемом случае тензор энергии-импульса при калибро-1
вочных преобразованиях D.2.1) приобретает добавку
у. Иар (gv, a|3_T1va|V, ^ у) + tfiv фар. ^ ар — -ф^Р, а?\ р„). D.2.1
С физической точки зрения это означает, что для тензорного|
поля локальная плотность энергии-импульса не определена/
.Даже ограничившись инфинитезимальными преобразованиями,!
не удается построить не зависящий от калибровки тензор энер-1
гии-импульса. Тем не менее если поле достаточно быстро спа-Г
дает на пространственной бесконечности и если калибровочные!
преобразования не изменяют этого поведения, то 4-импульс по-1
ля оказывается определенным однозначно. Действительно, до-!
<5авка к каноническому тензору энергии-'импульса D.2.15) в]
свою очередь удовлетворяет соотношению консервативности
frv-t»v, D.2.16I
dxv
и поэтому преобразованный тензор ?"v также порождает сохра-
няющийся 4-вектор импульса Р». Но тогда можно выбрать ка-
либровку, в которой в начальный момент времени t\ 4-импульс
поля был равен Р*(М> а в конечный момент t2 равен P»(U).
Поскольку разность 8^™ удовлетворяет уравнению D.2.16), пу-
тем стандартных рассуждений можно показать, что P»(tx) =
=P^{U)- Поскольку Р" и Р» сохраняются во времени, отсюда
следует Р»=Р». Итак, если поле достаточно быстро спадает на
бесконечности, удается построить инвариантный относительно
инфинитезимальных калибровочных преобразований полный
4-импульс полевой конфигурации при условии, что допустимые
калибровочные преобразования не изменяют асимптотического
поведения поля.
Добавляя к каноническому тензору энергии-импульса пол-
ную дивергенцию антисимметричного тензора
„v = _^v) D.2.17)]
яюлучим симметричный тензор энергии-импульса
120
•% = 1
,M-V
X
п
4
1
Ч-
D.2.18)
Этот комплекс приводит к тому же самому выражению для
4-импульса поля, что и канонический.
Предположим теперь, что необходимые асимптотические ус-
ловия для i|)"v выполнены, и мы имеем 4-импульс D.2.14), инва-
риантный относительно инфинитезимальных калибровочных
преобразований. Фиксируем кдлибровку Де Дондера — Фока
D.2.10), в которой полевые уравнения имеют простой вид
D.2.11). Тогда общее решение полевых уравнений можно пред-
ставить в виде следующего разложения в интеграл Фурье:
г|#* (*) = Bя)'3'2 Г -^ (г[з^ (k)' e
~ikx
v (к)* eikK), D.2.19)
где &"=(!к|, к)—изотропный волновой вектор, ?^=0, и ам-
плитуды \|}"v(k) удовлетворяют условию поперечности, вытекаю-
щему из D.2.10):
ад^(к) = 0. D.2.20)
Подставляя D.2.19) в D.2.14) и интегрируя по координатам,
получим с учетом поперечности поля и изотропности волнового
вектора следующее выражение для 4-импульса полевой конфи-
гурации: • ¦ - ¦¦¦-..•¦. ? .
= Г fen
(к) гр«3 (к) — 1 гр* (к) if (к)\ dk. D.2.21)
Покажем, что подынтегральное выражение является поло-
жительно определенным. Введем единичный вектор n=k/|k| и
перепишем систему дополнительных условий D.2.20) в явном
виде: . ,
(к). D.2.22)
С помощью этих соотношений можно избавиться в выражении
D.2.21) от, дважды временной -ф°° (к) и смешанных ipo/(k) ком-
понент, что дает
:(к)Л,№|, D.2.23)
D.2.24)
121
где проекционный оператор имеет вид
1
2
6—П4

Вводя пару ортов ее и е„, ортогональных волновому векто-
ру п:
[пее] = е„, [пеф] = —ее, D.2.25)
и учитывая полноту тройки векторов п, ее, еф:
nirij -f ee,ee/ -f ?ф,еф/- = б^, D.2.26)
можно написать
Аи= 2 esles}. D.2.27)
Подставляя это выражение в D.2.24), после преобразований!
будем иметь
D.2.28)
iJ-, D.2.29)
а-Т,2
где введены трехмерные тензоры
+
1/2
обладающие следующими свойствами:
D.2.30)
Используя представление D.2.28) проекционного оператора,:
получаем выражение для полного 4-импульса полевой конфигу- i
рации в виде суммы по двум состояниям поляризации:
где введены проекции амплитуд на поперечные тензоры
r(k) = vfc7(k)eV D-2.32)
Положительная определенность подынтегрального выраже-
ния очевидна, причем вклад в энергию и импульс поля дают
лишь две независимые проекции тензора фу, которые можно-
связать с двумя состояниями линейной поляризации гравитаци-
онных волн. Каждое из этих состояний задается дважды по-
перечным тензором второго ранга D.2.29) в трехмерном евкли-
довом пространстве. Можно ввести в рассмотрение и состояния
круговой поляризации свободного гравитационного поля, по-
строив предварительно комплексный изотропный 3-вектор:
5 е2 = 0. D.2.33)
Состояния круговой поляризации будут описываться трехмер-
ными комплексными тензорами
е+ц = е,е>, е-г/ = (8+^)*. D.2.34)
122
Преобразуя выражение D.2.21) к этим амплитудам, будем
иметь
где
(к) |2 +1Г (к) |2) dk,
(к) = гри (к) e±
D.2.35)
D.2.36)
— комплексные амплитуды правой и левой круговых поляри-
заций.
Состояния круговой поляризации диагонализуют также
квадратичную форму собственного момента количества движе-
ния поля. Симметрия лагранжиана D.2.3) относительно пово-
ротов (псевдоповоротов) в пространстве Минковского х'ц=
=хц-\-Ьшцчх-„ где 6@*"=—6coMV — антисимметричная матрица,
лриводит на основании теоремы Нётер к закону сохранения
полного момента количества движения:
. D.2.37)
Здесь первое слагаемое выражается через канонический тензор
энергии-импульса и представляет собой орбитальный момент
—жД, D.2.38)
а второе связано с преобразованием компонент тензора %„:
Фар (*') = Фар (X) + Aveaftivfo^ve D.2.39)
и интерпретируется как плотность спинового момента количе-
ства движения поля
inv^ve- D.2.40)
Явное выражение для матрицы поворотов получается в резуль-
тате применения тензорного закона преобразования
evfcv). D.2.41)
Подставляя это выражение в D.2.40) для пространственной
плотности тензора спина, находим
= "Фац (Фа0, д +
' a-
) ""Фан (Ф
а0
0. v
D.2.42)
Введем теперь трехмерный псевдовектор спина полевой конфи-
гурации
Si = em§Sojhdk. D.2.43)
Подставляя в это выражение разложение Фурье поля D.2.19),
в результате исключения продольных компонент и перехода к
комплексным амплитудам круговой поляризации будем иметь
D.2.44)
123

Нормировка амплитуд соответствует принятой в квантовой тео-j
рии поля в системе единиц ft=c=l, поэтому можно сделать
вывод, что амплитуды круговой поляризации ip+ и ip~ соответ-
ствуют проекциям спина по и против направления волнового-
вектора соответственно, причем абсолютное значение спина
равно двум.
Итак, наложение дополнительных условий Де Дондера —
Фока D.2.10) приводит к полному исключению нефизических
продольных компонент свободного тензорного поля из выраже-
ний для полного 4-импульса и полного спина. Отметим, что с
помощью четырех соотношений D.2.10) удалось исключить во-
семь лишних компонент. Это означает, что структура соответ-
ствующих выражений фактически сама исключает четыре не-
физические компоненты. Однако можно указать способ и явно-
го наложения еще четырех условий на тензор поля. Для этого-
заметим, что после фиксации калибровки Де Дондера—Фока
D.2.10) теория остается инвариантной относительно калибро-
вочных преобразований второго рода, также выражаемых со-
отношением D.2.1), но с калибровочной функцией ?„, удовлет-
воряющей уравнению Даламбера
? Ти = О. D.2.45>
В силу этого второе калибровочное преобразование не будет
изменять ни ранее наложенного условия D.2.10), ни уравнений
поля в форме D.2.11). Выбирая надлежащим образом |„, мож-
но исключить еще четыре лишние компоненты тензора %v (яв-
ное выполнение этой процедуры см. в [14]). Аналогично осу-
ществляется исключение двух нефизических компонент вектор-
ного поля в электродинамике.
Резюмируя изложенное в этом разделе, можно сказать, что-
удается построить линейную теорию симметричного тензорного
поля второго ранга в пространстве Минковского, инвариантную
относительно инфинитезимальных калибровочных преобразова-
ний, порождаемых четырьмя калибровочными функциями. Тео-
рия не содержит высших производных, но платой за это явля-
ются использование калибровочно-неинвариантных величин в
лагранжиане и обусловленная этим зависимость канонического
тензора энергии-импульса от выбора калибровки. Однако для
локализованных полевых конфигураций можно построить ка-
либровочно-инвари-антный полный 4-импульс, в который дают
вклад две независимые поперечные проекции тензора поля.
В квантовой теории это поле отвечает безмассовой частице спи-
на два.
Отсутствие симметрии относительно конечных калибровоч-
ных преобразований служит указанием на приближенный ха-
рактер теории. Можно предположить, что должна существовать
более сложная нелинейная теория, в которой калибровочная
симметрия является точной, линеаризация же этой теории и
124
приводит к рассмотренной модели линейного тензорного поля.:
Путь к решению этой проблемы указывает рассмотрение взаи-
модействия тензорного поля с материальными системами.
§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С МАТЕРИЕЙ
Попытаемся ввести взаимодействие в построенную теорию
свободного тензорного поля в пространстве Минковского, со-
храняя основные принципы, заложенные ранее. Плотность лаг-
ранжиана взаимодействия должна быть скаляром в простран-
стве Минковского, который при инфинитезимальных калибро-
вочных преобразованиях D.2.1) изменялся бы не более чем на
полную дивергенцию некоторого вектора. Оставаясь в рамках
линейной теории, мы должны выбрать этот скаляр (пропорцио-
нальным h^, причем производные следует исключить, чтобы со-
хранить основную динамическую структуру теории. Таким об-
разом, лагранжиан взаимодействия должен представлять собой
свертку h^ с некоторым симметричным тензором второго ранга
(антисимметричная часть должна выпадать в силу симметрии
h^), описывающим материальную систему. Из физических со-
ображений следует, что источником гравитационного поля дол-
жна быть энергия системы. Перечисленным требованиям удов-
летворяет тензор энергии-импульса, и мы приходим к естест-
венному выбору
а> __ Л.
-ь- вз — Г"
D.3.1)
где к — константа взаимодействия. Простейшее предположение'
состоит в том, что Т"" — полный тензор энергии-импульса всех
видов материи, эхо эквивалентно предположению об универ-,
сальности гравитационного взаимодействия. Существуют- важ-
ные предпосылки для этого предположения. Для того чтобы-
лагранжиан D.3.1) при калибровочном преобразовании изме-.
нялся бы лишь на полную дивергенцию, необходимо, чтобы ис-
точник удовлетворял условию консервативности
•f^-0. D.3.2):
дх
Действительно, только в этом случае при преобразовании
D.2.1) будем иметь
Qp ». П? I v " /TV tv\ IA Q Q\
"^ B3 Jy Вз ^^ Л ., \1 v? )i y\.O.O)
uX
тем самым калибровочная инвариантность теории относитель-
но инфинитезимальных градиентных преобразований будет со-
хранена. Отсюда следует, что можно непротиворечивым обра-
зом ввести взаимодействие тензорного поля лишь с полной
(включающей все взаимодействующие негравитационно под-
системы) материальной системой, при этом константы связи
125'

гравитационного поля с каждой из подсистем должны совпа-
дать. Если же рассматривается совокупность подсистем, взаи-
модействующих между собой лишь посредством гравитацион-
ных сил, то равенство констант связи удается доказать, привле-
кая квантовые соображения (низкоэнергетические теоремы).
Здесь, однако, мы сразу сталкиваемся с принципиальной
трудностью, преодоление которой и является ключевым момен-
том в построении полной нелинейной теории. Дело в том, что
добавление к лагранжиану самой материальной системы лаг-
ранжиана взаимодействия D.3.1) изменяет и уравнения движе-
ния этой системы, в результате чего условие консервативности
D.3.2), которое имело место в пренебрежении гравитационны-
ми силами, при их учете уже не будет выполняться. Это озна-
чает, что рассматривать полную систему уравнений гравитаци-
онного поля и материи как самосогласованную нельзя. Можно
попытаться исправить ситуацию, добавляя в лагранжиан взаи-
модействия тензор энергии-им'пульса самого гравитационного
поля, но при этом помимо трудностей, связанных с его калиб-
ровочной неинвариантностью, мы одновременно изменили бы
динамику гравитационного поля, т. е. левую часть полевых
уравнений D.3.4). Это в свою очередь потребовало бы снова
изменить лагранжиан взаимодействия и т. д. Результирующая
теория, таким образом, будет нелинейной, а рассмотренная в
предыдущем разделе картина свободного тензорного поля ока-
зывается лишь ее линейным приближением. Мы также должны
помнить, что линейная теория обладает инвариантностью лишь
относительно инфинитезимальных калибровочных преобразова-
ний, и необходимо позаботиться, чтобы симметрия полной тео-
рии была точной. Разумеется, реализовать явно описанную ите-
рационную процедуру построения нелинейной теории без при-
влечения дополнительных соображений было бы затруднительно
уже в силу многообразия физически интересных материальных
систем. Попытаемся поэтому найти путеводную нить построе-
ния, рассмотрев более детально следствия, к которым приводит
введение лагранжиана взаимодействия D.3.1).
Варьирование полного лагранжиана D.2.3), D.3.1) по h^
приводит к уравнениям поля с источником
HV, Я —
. v — «v, Яц "Г
Х,
= * GVV —~
"Г 4M.V \п . Xt
, T = 7V
D.3.4)
Можно показать, что и для взаимодействующего тензорного по-
ля условия Де Дондера — Фока D.2.10) могут быть наложены
(в силу условия консервативности D.3.2) для тензора энергии-
импульса материальной системы). В этой калибровке система
уравнений D.3.4) приобретает простой вид
?%iv = xT'liv. D.3.5)
126
Найдем гравитационное поле, создаваемое точечной массой,
покоящейся в начале координат. В этом случае единственная
отличная от нуля компонента тензора энергии-импульса равна
D.3.6)
Решением уравнения D.3.5), сводящегося к уравнению Пуасео-
на, является ньютоновский потенциал
(все остальные компоненты \р^ч равны нулю). Чтобы понять
влияние этого поля на движение других частиц, построим дей-
ствие для пробной точечной чаетицы во внешнем гравитацион-
ном поле. Для [Этого к действию свободной частицы массы т,
движущейся в пространстве Минковекого вдоль мировой линии
х» (s), которое здесь удобно выбрать в виде
?. D-3.8)
добавим взаимодействие с тензорным полем, полагая в D.3.1)
c—x(s))ds. D.3.9)
Результирующее полное действие приобретает вид
S— ( / (ч\Нк (X Ч 1П\
где лагранжиан равен
L (s) = — — Wxv (v, -f xft^v). D.3.11)
Варьирование этого лагранжиана приводит к следующим урав-
нениям движения:
D.3.12)
2 дх»
Заметим, что из уравнений выпадает масса — в этом можно
усмотреть следствие принципа эквивалентности равенства
инертной и гравитационной масс. Но еще более неожиданной
чертой уравнения движения частицы во внешнем тензорном по-
ле оказывается то, что само положение частицы в пространстве
Минковекого, т. е. координаты x*{s), зависит от выбора калиб-
ровки гравитационных потенциалов h^. Действительно, при ка-
либровочном преобразовании D.2.1) уравнение D.3.12) изме-
няется, если только одновременно не подвергнуть координаты
частицы преобразованию вида
х»-+х» + 1ф. D.3.13)
В этом случае калибровочная инвариантность уравнений дви-
жения относительно бесконечно малых преобразований грави-
127

тационных потенциалов будет обеспечена, но мы приходим к
неожиданному выводу, что координаты частицы в пространстве
Минковского наблюдаемы!
С помощью калибровочных преобразований можно обратить
в нуль гравитационные потенциалы в окрестности любой вы-
бранной точки в пространстве Минковского. Пусть h^ — значе-
ния потенциалов в выбранной точке хц. Подвергнем потенциалы
калибровочному преобразованию, выбирая в качестве ?ц линей-
ную функцию координат:
*• ' • . ^ = |ft^v. ¦ D.3.14)
Тогда преобразованные потенциалы обратятся в нуль, одновре-
¦мённо «перенормируются» координаты в окрестности выбран-
ной точки: :
1
Л
D.3.15)
Записанная в терминах перенормированных координат функция
Лагранжа D.3.11) приобретает вид функции Лагранжа свобод-
. ной, частицы:
L (s) = — ^ xW (л^у + ^hv) = — у х^яц^. D.3.16)
Далее, исходя из уравнения, D.3.12), можно показать, что ве-
личина
/ = >x"v(%v + Aiy) D.3.17)
являёtcя интегралом движения. Выберем параметр s так, что-
бы / равнялось единице. Тогда, если предположить, что коор-
дИ«ать! пространства Минковского определяют физические рас-
стояния и промежутки времени, то мы пришли бы к парадок-
сальному выводу, что скорость частицы не ограничена сверху.
¦Действительно, пусть для простоты Ацу имеет диагональный вид.
Рассматривая одномерное движение вдоль оси х, для квадрата
скорости получаем неравенство
^)*^сЧх) = '+^..(*)
dt) 1 — x/in (x)
D.3.18)
Величина «локальной скорости света» с(х), как видно из этой
формулы, может быть как меньше, так и больше единицы (фи-
зической скорости света). Напротив, в терминах «перенорми-
рованных» координат инвариант / приобретает вид
/-^ЛЛцу. D.3.19)
характерный для пространства Минковского, и все становится
на свои места.
128
Соответствующие полевые уравнения будут иметь вид
Итак, рассмотрение движения пробной точечной частицы ее
гравитационном поле, описываемом тензором., второго ранга,
показывает, что координаты пространства Минковского, пере-
стают быть физическими координатами, связанными с физиче-
скими расстояниями и промежутками времени. Выбрать физи-
ческие координаты удается лишь локально, в окрестности вы-
бранной точки. Склеивание таких локальных карт приводит к
концепции искривленного (риманова) пространства-времени,
В искривленном пространстве-времени координаты уже не за-
дают непосредственно расстояния и промежутки времени, но
лишь «нумеруют» события. Для нахождения физических рас-
стояний и промежутков времени необходимо задать конкретную
процедуру измерения, в рамках которой эти величины могут
быть вычислены.
К аналогичным выводам приводит и рассмотрение взаимо-
действия тензорного поля с другими материальными система-
ми. Например, в случае электромагнитного поля, подставляя
выражение B.5.6) для тензора энергии-импульса в D.3.1), по-
лучаем следующий лагранжиан взаимодействия:
х/. _.. гЬ „ _ X D320)
D.3.21)
Эти уравнения также неинварианты относительно калибровоч-
ного преобразования гравитационных потенциалов. Однако ка-
либровочную инвариантность можно восстановить, если потре-
бовать одновременно с D.2.1) преобразования 4-потенциала
электромагнитного поля согласно соотношению
A^-^A^—xlV;^. D.3.22)
Это соотношение есть не что иное, как преобразование векто-
ра в искривленном пространстве-времени, порождаемое преоб-
разованием координат D.3.11).
Итак, попытки ввести взаимодействие в линейную теорию
тензорного поля приводят к следующим выводам.
1. Линейная теория не может служить основой самосогла-
сованной «артины взаимодействия гравитационного июля с ма-
териальными системами.
2. В присутствии гравитационного поля координаты прост-
ранства Минковского больше не определяют физические рас-
стояния и промежутки времени.
3. Одновременно с калибровочными преобразованиями гра-
витационных потенциалов необходимо подвергнуть преобразо-
ваниям переменные, описывающие материальные системы. Эти
преобразования можно интерпретировать как индуцируемые
129

преобразованием координат, которые необходимо совершить в
уравнениях движения пробных тел.
В заключение этого раздела вернемся к задаче движения
пробной частицы в поле другой частицы D.3.7) и найдем зна-
чение константы связи, сопоставляя с картиной движения в
ньютоновской теории. Подстановка выражения D.3.7) в D.3.12)
приводит к уравнению (считаем скорость малой по сравнению
со скоростью света)
г*-. D-3-23)
Сопоставляя с законом Ньютона, приходим к выводу, что кон-
станта связи х и гравитационная постоянная G связаны соот-
ношением
D.3.24)
§ 4. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ И МЕТРИКА
ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Решающий шаг состоит в изменении интерпретации калиб-
ровочных преобразований D.2.1) самого тензора h»4. Как мы
убедимся чуть позже, рассмотрев закон преобразования компо-
нент тензоров в многообразии, эти преобразования также мож-
но понимать как следствие преобразования координат D.3.13).
Оставаясь пока на эвристическом уровне рассуждений, заме-
тим, что в уравнение движения точечной частицы в гравитаци-
онном поле D.3.12) тензор Лцу входит только как добавка к мет-
рическому тензору Минковского
fc- D.4.1)
Попытаемся теперь интерпретировать g^ как метрику прост-
ранства-времени в присутствии гравитационного поля, т. е. бу-
дем считать, что квадрат интервала в пространстве событий
определяется квадратичной формой
ds% = guv dx» dxy = (r^v+xft^v) dx» dxv. D.4.2)
Тогда преобразования координат
xn -». x'» = x» + v%>- (х) D.4.3)
при сохранении квадрата интервала, а также самой записи
метрики в форме D.4.1) приводят к соотношению
= (t)hV -j- x/i'nv) dx'v- dx'^ =
^. vdxv) {dxv + yg, pdxP). D.4.4)
Отсюда, с точностью до членов линейных по |й, находим
ft'nv = ^M.v—In. v—iv.n. D.4.5)
что, очевидно, совпадает с постулированным в § 2 калибровоч-
ным преобразованием D.2.1).
130
По существу, мы лишь дополнили интерпретацию преобра-
зований переменных материальной системы как индуцируемых
преобразованием координат, распространив ее на само грави-
тационное поле. Это не только упрощает всю картину, но и от-
крывает путь к построению теории, инвариантной относительно
конечных калибровочных преобразований. Действительно, для
этого теперь достаточно от преобразования координат D.4.3)
с бесконечно малыми ?„ перейти к преобразованиям общего
вида:
х»-+х»'(х»). D.4.6)
В этом случае разбиение метрики D.4.1) уже теряет смысл, и
мы приходим к выводу, что гравитационное поле следует рас-
сматривать как метрику риманова пространства событий. Ра-
зумеется, при этом мы должны отказаться от представления
о выделенности инерциальных систем отсчета. Сказанное озна-
чает, что при учете гравитационного взаимодействия это пред-
ставление вообще теряет физический смысл глобально. Однако
пространство Минковского по-прежнему играет важную роль,
но теперь лишь как локальное понятие. Поясним это подробнее.
Пусть физическое пространство событий является римано-
вым пространством, т. е. дифференцируемым многообразием,
наделенным метрикой gMv(*), компоненты которой зависят от
координат. Ясно, что не все произвольные наборы десяти функ-
ций guv являются физически допустимыми. Из предыдущего
рассмотрения можно было сделать вывод, что в окрестности
любой выбранной точки в пространстве событий (фактически
и вдоль некоторой линии) гравитационные потенциалы можно
обратить в ,нуль. В терминах соответствующих координат мет-
рика пространства-времени в этой точке должна совпадать с
метрикой Минковского. Это значит, что если в некоторой точке
квадратичная форма
ds^^g^dx^dx* D.4.7)
приведена к диагональному виду, то одна из компонент (обо-
значим ее goo) должна быть положительна, а три других — от-
рицательны, причем существуют координаты, в которых локаль-
но мы будем иметь компоненты A, —1, —1, —1).
Полезно напомнить, что интервал пространства событий в
форме D.4.7) мы получим и вне связи с гравитацией, например
просто вводя в пространстве Минковского криволинейные про-
странственные координаты. Так, интервал вида
ds2 =d/2—dr2 — г2 (d02 + sin2 0 dcp2) D.4.8>
уже имеет форму D.4.7). Однако в этом случае преобразовани-
ем координат
D.4.9)
131

мы получим интервал пространства Минковского всюду, т. е.
физическое содержание теории остается прежним. Однако по-
лезно иметь возможность записи уравнений в терминах криво-
линейных координат общего вида, причем таких, что преобразо-
вания от координат пространства Минковского затрагивают не
только сектор пространственных координат. В этом случае пре-
образования будут описывать переход к неинерциальной систе-
ме отсчета. Рассмотрим, например, семейство наблюдателей,
движущихся с постоянным ускорением а в собственной лорен-
цевой системе отсчета и находящихся при /=0 в точках х=
~агхеаЪ оси х, где —°°<?<°° — параметр, «нумерующий» на-
блюдателей. Интегрируя систему уравнений B.3.12) (при
еЕ\т=а) с этими начальными данными, будем иметь
х = ar1^ ch щ,
D.4.10)
где собственное время обозначено через ц. Для каждого из та-
ких наблюдателей временная координата есть ц; если теперь
-рассматривать параметр g как пространственную координату
(для краткости мы опускаем координаты у и z, не претерпева-
ющие изменений) и перейти в двумерном пространстве х, t к
координатам \, ц, то получим интервал в виде
D.4.11)
Интересно отметить, что интервал D.4.11) отличается от интер-
вала пространства Минковского только общим множителем;
такое пространство называют конформно-плоским. Итак, допу-
ская возможность использования неичерциальных систем от-
счета, мы также приходим к необходимости записи теории в
терминах риманова пространства-времени. Присутствие «истин-
ного» гравитационного поля будет означать лишь невозмож-
ность глобального введения во всем пространстве событий та-
ких координат, чтобы метрика имела вид метрики Минковского.
Таким образом, было бы неверно ассоциировать гравитацион-
ное поле с самим метрическим тензором пространства-времени.
Допуская произвольные преобразования координат вида
D.4.6), мы вводим в теорию 4 произвольные функции, которые
из десяти компонент метрического тензора g^ оставляют шесть
независимых функций для описания «истинного» гравитацион-
ного поля.
Итак, для того чтобы описать поведение материальной сис-
темы в заданном гравитационном поле, вообще не нужно ника-
ких изменений в соответствующих уравнениях, достаточно пе-
реписать их в виде, пригодном в произвольной криволинейной
системе координат в пространстве событий. Разумеется, это
утверждение само представляет некоторый постулат, с которым
связывают понятие о принципе эквивалентности. Существуют
различные формулировки этого принципа, в которых пытаются
уточнить, к каким явлениям это утверждение действительно
132
применимо, а к каким —нет. Предполагается, что это заведомо
верно для движения точечной частицы, законов электродинами-
ки, но, возможно, неверно для поведения скалярного поля. Как
мы увидим ниже, непротиворечивая формулировка уравнений
•физических систем в гравитационном поле допускает введение
некоторых ассоциируемых с гравитацией дополнительных
«структур, которые исчезают в отсутствие «истинного» гравита-
ционного поля. Это, однако, не изменяет общих принципов
дальнейшего построения, и мы не будем здесь рассматривать
подобные усложнения.
Запись уравнений в Произвольных координатах, или, как
говорят, общековариантная фбрмулировка той или иной теории,
¦будет обеспечена, если мы построим лагранжиан, являющийся
скаляром относительно общих преобразований координат, а при
варьировании будем учитывать зависимость метрики от коор-
динат. Прежде чем переходить к уточнению смысла основных
геометрических понятий римановой геометрии, проиллюстриру-
ем сказанное на примере уравнений движения точечной части-
цы. Будем варьировать действие A.4.7), понимая под ds интер-
вал D.4.7) риманова пространства событий. Тогда из уравне-
ний Эйлера — Лагранжа будем иметь
dxv
D.4.12)
где, в отличие от результата гл. I, появились члены, пропорцио-
нальные производным от метрического тензора. Введем обрат-
ный тензор (контравариантный метрический тензор) g^, такой,
что
?^v=6A, D.4.13)
Умножая уравнение D.4.12) на ?"т.и суммируя по т, находим
ds ds
D.4.14)
Входящие в эту формулу трехиндексные величины, называемые
символами Кристоффеля:
+ gxx, v-gvx. x),
D.4.15)
•симметричны. по нижним индексам и образуют в четырехмер-
ном пространстве систему сорока функций координат. С физи-
ческой точки зрения правая часть уравнения D.4.14) может
рассматриваться как обобщенная 4-сила, возникновение кото-
рой вызвано неинерциальностью системы отсчета либо, если
имеется «истинное» гравитационное поле, силами тяготения.
Уравнение D.4.14) является общековариантным в том смыс-
ле, что при преобразовании координат D.4.6) мы получим но-
вую метрику (предполагая сохранение интервала D.4.7)), вы-
числим ассоциируемые с ней символы Кристоффеля, и эти сим-
133

волы Кристоффеля следует подставить в уравнение того жй
вида D.4.14), записанное в терминах новых координат. Hen©-J
ередственная проверка этого оказывается довольно громозд-j
кой, но в этом и нет необходимости, если разобраться в геомет*|
ричеоком происхождении величин, входящих в уравнение. По-$
этому, прежде чем двигаться дальше, уточним смысл понятием
векторов и тензоров в римановом пространстве, а также введе*
понятие ковариантного дифференцирования.
Исходным понятием, которое мы используем, является по»!
нятие дифференцируемого многообразия. Напомним смысл по»
нятий вектора, ковектора и тензора. Поскольку понятие направ^
ления в многообразии может быть введено лишь локально^
определения этих объектов связаны с понятиями производной
по направлению либо бесконечно малого смещения. Векторо||
(ковариантным) называется оператор дифференцирования ска§
лярной функции координат вдоль некоторого направления, это^
оператор представим в виде линейной комбинаций частных про!
изводных по координатам, коэффициенты которой (зависяпгИ
от точки) называются компонентами вектора (числовые ф;""
ции)
V = V»?. D.4.K
В этом определении вектор есть инвариантный объект, не завич
сящий от выбора координат. Компоненты вектора, напротив
при преобразовании координат D.4.6) претерпевают изменение
поскольку
V = V^— =yn— —. D.4.11
дх» дх» dxv'
Отсюда следует закон преобразования компонент вектора
yn'=Vv^L_. D.4.18|
дх?
В физической литературе под вектором в римановом про-
странстве обычно понимают совокупность его компонент, и р
качестве определения используют закон преобразование
D.4.18). В дальнейшем мы также будем пользоваться этой тер-
минологией, которая естественна, так как в теории поля при»
ходится иметь дело именно с числовыми полями.
Ковектором A-формой) называют линейный функционал ш
множестве векторов; его компоненты (числовые функции точ-
ки) преобразуются по закону, вытекающему из разложения по
базису дифференциалов координат
& = ai,dxv-. D.4.H
Переходя к штрихованным координатам, будем иметь
дя»
D.4.2C
В многообразии определена операция свертывания по индек-
сам вектора и ковектора, в результате которой получается ска-
ляр (значение 1-формы на векторе). Свертывание тензорного
произведения двух векторов или двух ковекторов лишено
смысла.
Тензоры более высокой валентности (контравариантные, ко-
вариантные и смешанные) определяются как соответствующие
лолилинейные отображения. Их компоненты (числовые функ-
ции) при преобразовании координат претерпевают переобразо-
вание вида
дха' дх?
D.4.21)
Риманово пространство представляет собой дифференцируе-
мое многообразие, в котором, задано поле дважды ковариант-
ного симметричного невырожденного тензора g^. Пространство-
время имеет метрический тензор лоренцевой сигнатуры, кото-
рый, будучи приведен в любой выбранной точке к диагональ-
ному виду, имеет одну положительную и три отрицательные
компоненты. Допускается обращение в нуль определителя g
метрического тензора лишь в отдельных особых точках много-
образия (обращение его в нуль в некоторой области свидетель-
ствовало бы о том, что фактически пространство-время имеет
меньшую .размерность).
Введение метрики дает возможность сопоставить каждому
вектору некоторый ковектор с помощью сворачивания по од-
ному индексу с метрическим тензором
У„=У*ё^. D.4.22)
Эта операция называется олусканием индекса, для обозначения
результирующего ковектора обычно используется тот же сим-
вол с нижним индексом. Аналогично каждому ковектору можно
сопоставить вектор, используя свертывание по индексу с конт-
равариантным метрическим тензором (поднятие индекса):
©м. = tovgVM.. D.4.23
Наряду с векторами, ковекторами и тензорами в римановом
пространстве естественно возникают многоиндексные величины
не имеющие смысла тензоров. Так, дифференцирование некото-
рой скалярной функции по координатам порождает ковектор
/iM. Дифференцирование по координатам тензоров ненулевого
ранга приводит к объектам, имеющим дополнительный индекс:
T»Z-~T»l1t D.4.24)
которые, однако, уже не образуют тензора (т. е. не преобразу-
ются по правилу D.4.21)). Чтобы убедиться в этом, достаточно
вывести закон преобразования, например
dxv'
D.4.25)
135
134

Важным объектом нетензорной природы в римановом про-
странстве является связноеть (символы Кристоффеля). Соот-
ветствующий закон преобразования нетрудно получить, вос-
пользовавшись определением D.4.15): <
дх» dxv
dxvdxxdxv' дхх'
D.4.26)
В противоположность тензору нётензорный объект можно об-'
ратить в нуль в любой точке (возможно, и на 'многообразии
большей размерности) с помощью некоторого преобразования
координат. Для этого достаточно подобрать должным образом
неоднородные члены в законе преобразования. Так, можно об-
ратить в нуль символы Кристоффеля, в результате чего урав-
нение движения частицы будет совпадать с уравнением движе-
ния в пространстве Минковского. Соответствующая система
координат (при условии, что метрика в выбранной точке сов-
падает с метрикой Минковского) называется локально лорен-
цевой. В локально лоренцевой системе координат метрический
тензор в окрестности выбранной точки x[i имеет разложение,
начинающееся с квадратичных по отклонению членов
guv =
(Xх — Xх) (хх — Хт
D.4:27)
Другой важный класс объектов в римановом пространстве
представляют тензорные плотности. Заметим, что определитель
метрического тензора g при преобразовании координат умножа-
ется на квадрат якобиана преобразования
дх'
dxv
дх»' dxv'
дх'
D.4.28)
Отсюда следует, что корень квадратный из абсолютной вели-
чины задает инвариантный элемент объема в пространстве-со-
бытии
= /~ gd*x.
D.4.29)
Величина "|/—g является скалярной плотностью веса единица.
Аналогично, если некоторый тензор помимо обычного тензор-
ного закона преобразования умножается на якобиан преобра-
зования в степени п, говорят, что мы имеем дело с тензорной
плотностью веса п. Нетрудно показать, что полностью антисим-
метричный единичный символ Леви — Чивита e"vU в римановом,
пространстве становится контравариантной тензорной плот-
ностью веса минус единица, либо ковариантной тензорной плот-
ностью веса единица. Действительно, пусть в римановом про-
странстве этот объект задан условием совпадения с обычным
символом Леви —Чивита е1"*1 в локально лоренцевой системе
136
координат в окрестности некоторой точки. Тогда при переходе
к произвольным координатам
дх» dxv дхк дх% _ rAVXt дх_
—R дх,
дх»'
дхх' дхх'
D.4.30)
откуда и следует сделанное утверждение. Заметим, что форму-
лы для тензорного нроизведения ?"Лт?аРтв и его сверток по од-
ному, двум, трем и четырем индексам совпадают с аналогичны-
ми формулами в пространстве Минковского.
Обратимся теперь к понятию ковариантного дифференциро-
вания. Поскольку частная производная тензора в римановом
пространстве не является тензором, целееообразно построить
такую производную тензора, которая в локально лоренцевой
системе координат совпадала бы с частной производной, а в
произвольной системе координат превращала бы тензор в дру-*
гой тензор, имеющий на один ковариантный индекс больше. Та-
кая производная называется ковариантной. Для ее обозначения-
используется точка с запятой перед индексом. Из нашего опре-
деления сразу следует, что
a = 0, D.4.31)
поскольку в локально лоренцевой системе частные производные
от метрики равны нулю (см. D.4.27)). Ковариантная производ-
ная от скаляра совпадает с обычной производной. Из опреде-
ления также непосредственно вытекает правило Лейбница
. х = A»- XBV + A»BV- к. D.4.32)
Явное выражение для ковариантной производной можно по-
лучить, сравнивая закон преобразования частной производной
вектора D.4.25) с законом преобразования D.4.26) символов
Кристоффеля. Требуемая компенсация неоднородных членов1
будет достигнута, если положить
A*iV = A»,v + r*vAK D.4.33)
Поскольку в локально лоренцевой системе координат символы
Кристоффеля (в выбранной точке) исчезают, наложенные тре-
бования оказываются выполненными. Аналогично можно пока-
зать, что ковариантная производная ковектора равна (можно
воспользоваться правилом Лейбница при дифференцировании1
свертки вектора и ковектора)
4v = ^.v-r\v4 D.4.34)
В более общем случае смешанного тензора будем иметь
мТх-а... + ... —Г\и,7>-х... — .... D.4.35)
Т»-
_v
Заметим, что, хотя ковариантная производная в силу опреде-
ления добавляет один ковариантный индекс, благодаря правилу,
Лейбница и равенству нулю ковариантной производной метри-
137

ки можно использовать также контравариантный индекс после
точки с запятой в следующем смысле:
х. D.4.36)
С помощью ковариантнои производной можно построить ко-
вариантный (абсолютный) дифференциал вектора (ковектора,
тензора), например
DA» == AV-. v dx» = dA»+П\ЯЛ* dxx. D.4.37)
Это понятие позшляет ввести параллельный перенос вектора в
римановом пространстве, при котором по определению
Ш* = 0. D.4.38)
Как мы увидим в следующем разделе, результат параллельного
переноса вектора на конечное расстояние зависит от формы
пути, в частности перенос по замкнутому контуру может не
возвращать вектор в исходное положение. Это свойство можно
использовать в качестве критерия присутствия «истинного»
гравитационного поля, ибо в случае, когда искривление прост-
ранства-времени обусловлено лишь выбором неинерциальной
системы отсчета, существует преобразование координат, возвра-
щающее метрику к виду метрики Минковского всюду. В по-
следнем случае параллельный перенос вектора по замкнутому
контуру, очевидно, дает нуль, и в силу тензорного характера
¦ковариантнои производной это свойство будет сохранено и в
произвольной системе координат.
Вернемся теперь к полученному выше закону движения
пробной частицы в искривленном пространстве-времени
D.4.14). Сравнивая с формулами D.4.37), D.4.38), нетрудно
заметить, что согласно уравнению движения вектор 4-скорости
u?=dx?lds частицы параллельно переносится вдоль мировой
линии. Такая кривая называется геодезической. В римановом
пространстве эта кривая одновременно является кривой экстре-
мальной длины. Наше определение ковариантнои производной
также позволяет непосредственно получить уравнение движе-
ния D.4.14) из соответствующего уравнения в пространстве
Минковского. Для этого достаточно частный дифференциал
вектора скорости заменить на ковариантный, поскольку урав-
нение движения в пространстве Минковского есть du?=Q.
Таким образом, можно сформулировать правило, позволяю-
щее записать уравнения физической системы в произвольной
системе отсчета, а также в присутствии гравитационного поля,
«ели известны соответствующие уравнения в пространстве Мин-
ковского. Все тензорные величины следует понимать как тен-
зоры в многообразии с соответствующими законами преобра-
зования и совпадающими с исходными тензорами в простран-
стве Минковского в локально лоренцевой системе отсчета. Да-
лее все дифференциалы тензоров следует заменить на ковари-
антные дифференциалы, а частные производные — на ковари-
138
антные производные. При обобщении интегральных соотноше-
ний необходимо пользоваться инвариантными элементами объ-
ема D.4.29). Символ Леви —Чивита следует заменить выраже-
нием D.4.30). (Обоснование этих правил по существу содержит-
ся в определении соответствующих объектов и операций, апел-
лирующих к локально лоренцевой системе отсчета.)
Сформулируем законы электродинамики в искривленном
пространстве событий. Электромагнитное поле будем описы-
вать, вводя 1-форму Л„ и определяя тензор поля как
Fin = i4v; u—i4w v D.4.39)
Заметим, что символы Кристоффеля при вычислении разности
ковариантных производных сокращаются, и фактически спра-
ведливо прежнее -определение
F — А — А D 4 40>
(Математически это следует из того, что бивектор F^ есть
внешняя производная 1-формы Лй.)
Уравнения Максвелла с источником принимают в соответ-
ствии со сказанным выше вид
D.4.41)
где 4-ток системы точечных зарядов определяется выражением
(появление У—g в знаменателе обусловлено использованием
неинвариантной четырехмерной б-функции,
являющейся скалярной плотностью веса единица).
Уравнения Максвелла без источников могут быть представ-
лены в двух альтернативных формах записи:
F^-x + FvX^ + nKv-0 = F^,x + FvX,il + FXil,v D.4.43>
(здесь также происходит сокращение членов с символами Кри-
стоффеля), либо
? = (), D.4.44).
где
— дуальный тензор поля.
Закон сохранения плотности 4-тока принимает вид
D.4.45>
D,4.46),

•(вытекает из D.4.41)). Воспользовавшись формулой
-g).v, .. - D.4.47)
можем переписать ковариантную дивергенцию вектора также
в форме
D-4.48)
В аналогичной форме переписывается и ковариантная дивер-
генция антисимметричного тензора, поэтому вместо D.4.41) и
{4.4.44) можно записать
V=i
D.4.49)
Наконец, калибровочное условие Лоренца можно также пред-
ставить в эквивалентных формах
= 0. D.4.50)
Уравнение движения заряда в электромагнитном поле в ис-
жривленном поостранстве событий будет иметь вид
ds
е
т
D.4.51)
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения сфор-
мулировать уравнения Янга— Миллса и уравнения Вонга в
римановом пространстве-времени, а также проверить, что рас-
смотренные в предыдущем параграфе законы преобразования
вектора Л„ и тензора А„» согласуются с преобразованием соот-
ветствующих тензоров в многообразии при инфинитезимальных
преобразованиях координат.
§ 5. КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
И КРИВИЗНА
В линеаризо;ванной теории гравитации из вторых производ-
ных поля Лцу можно было построить калибровочно-инвариант-
ную комбинацию D.2.2). Теперь гравитационное поле «спрята-
но» в метрике пространства-времени, и возникает вопрос: како-
му объекту соответствует эта комбинация на геометрическом
языке искривленного пространства событий? Нетрудно понять,
что калибровочная инвариантность искомого объекта означает,
что этот объект должен иметь тензорный закон преобразования
в многообразии, т. е. быть тензором или тензорной плотностью,
-составленной из производных метрического тензора (в против-
ном случае выбором системы координат его можно было бы
140
обратить в нуль в наперед заданной точке). Такой тензор дол-
жен исчезать в отсутствие «истинного» гравитационного поля,
когда рйманов характер пространства событий обусловлен вы-
бором неинерциальных систем отсчета. С другой стороны, не-
обходимо построить такой тензор, который нельзя было бы об-
ратить в нуль в присутствии гравитационного поля никаким
преобразованием координат. Поскольку выбором системы от-
счета можно локально уничтожить гравитационную «силу» (т. е.
символы Кристоффеля), ясно, что для построения объекта с
требуемыми свойствами следует рассмотреть движение не од-
ной, а двух близких частиц. Выбирая систему отсчета таким
образом, чтобы сила, действующая на одну из них обратилась
-бы в нуль, будем следить за движением второй частицы. Отно-
сительное движение,- или, как говорят, отклонение геодезиче-
ских, может служить критерием присутствия гравитационного
поля. . ,
Итак, рассмотрим семейство геодезических x*(a,.s), «поме-
чаемых» параметром о, выбирая в качестве параметра вдоль
..каждой из них интервал риманова пространства событий s.
Тогда вектор u»=dxlllds будет касательным к геодезическим,
л.вектор v^—dx^/da будет мерой относительного смещения гео-
дезических. Вычислим соответствующее «ускорение» D2v*/ds2.
В силу уравнения геодезических D.4.14) абсолютная производ-
ная вектора иУ- по s равна нулю при всех о. Образуем теперь
абсолютные производные
да ds
И
ds
dsdo
+
D.5.2)
Учитывая симметрию символов Кристоффеля, а также комму-
тативность частных производных, получим соотношение
D.5.3)
ds
Воспользовавшись им, для искомой величины относительного
ускорения находим
D.5.4)
Далее, в силу уравнения геодезических
D.5.5)
141

откуда находим
да
Подставляя D.5.6) в D.5.4), приходим к выражению
D.5.6)
D.5.7)
где символом R"vk% обозначена следующая комбинация из сим-
волов Кристоффеля и их производных:
Я&* -= Г5,. Х-Г&. х + rgxT^-rgJ^. D.5.8)
Согласно построению левая часть D.5.7) есть вектор, векто-
рами являются также W и V в правой части. Отсюда следует,
что четырехиндексный объект R\u представляет собой тензор.
Это есть тензор кривизны Римана — Кристоффеля искривлен-
ного пространства событий.
Рассмотрим теперь локально лоренцеву систему координат
в окрестности некоторой точки ж", в которой символы Крнстоф-
феля обращаются в нуль. Опустив первый индекс у тензора
кривизяы, в этой системе координат будем иметь
D.5.9)
Сравнивая с выражением D.2.2) с учетом D.4.1), находим,
что в локально лоренцевой системе
#HVVt = *fnV*.T. D.5.10)
Поскольку R»vU есть тензор, ясно, что именно он и представля-
ет собой искомое обобщение калибровочно-инвариантной ком-
бинации D.4.2).
Альтернативная интерпретация тензора Римана — Кристоф-
феля основана на рассмотрении параллельного переноса векто-
ра вдоль замкнутого пути. Математически это сводится (в слу-
чае бесконечно малого обхода) к вычислению разности вторых
ковариантных производных переносимого вектора. Повторение
вычислений, аналогичных проделанным выше, приводит к ре-
зультату
Av;X;X— Лу;О=^Л. D.5.П)
Таким образом, ковариантные производные от вектора комму-
тируют тогда и только тогда, когда кривизна равна нулю. Пре-
доставляем читателю убедиться в том, что разность вторых ко-
вариантных производных от скаляра равна нулю, а также вы-
числить соответствующую разность при действии на ковектор
и тензоры высших рангов. Из формулы D.5.9) можно вывести
142
следующие свойства симметрии тензора Римана — Кристоф-
феяя:
Rtopv, D.5.12)
т. е. он симметричен относительно перестановки первой и вто-
рой пар индексов и антисимметричен относительно перестанов-
ки индексов внутри каждой из пар. Поскольку антисимметрич-
ный двухиндексный тензор в четырехмерном пространстве име-
ет шесть независимых компонент, тензор кривизны имеет столь-
ко же независимых компонент, что и симметричный тензор вто-
рого ранга в шестимерном пространстве. Это число равно 21.
Однако фактически не все они независимы: более внимательное
рассмотрение показывает, что существует еще одно соотноше-
ние (циклическое тождество)
0. D.5.13)
уменьшающее число независимых компонент тензора Римана
до 20. Можно показать, что в общем случае пространства N из-
мерений это число есть N2(N2—1)/12.
Вычислим ковариантную производную тензора кривизны,
воспользовавшись локально лоренцевой системой координат:
\*. На —Г\*.1а). D.5.14)
Проведя антисимметризацию по трем последним индексам, по-
лучаем тождество Бианки
= 0- D.5.15)
В силу соотношений симметрии D.5.12) ряд тождеств Бианки
выполняется тривиально. Подсчет показывает, что число не-
тривиальных дифференциальных соотношений в системе урав-
нений D.5.15) равно 20.
Свертка тензора Римана — Кристоффеля по первым индек-
сам каждой из пар дает симметричный тензор второго ран-
га— тензор Риччи
D.5.16)
который, очевидно, имеет десять независимых компонент. Свер-
тывание тензора Риччи дает скалярную кривизну
tf = RV D.5.17)
Тензор Римана — Кристоффеля можно теперь представить
в виде разложения на «бесследовую» часть С^и, называемую
тензором Вейля, и члены, пропорциональные тензору Риччи и
скалярной кривизне:
D.5.18)
143
—gv,xgvx)-

но построению тензор Вейля обладает всеми свойствами сим-
метрии тензора Римана — Кристоффеля. Он также имеет важ-
ное свойство конформной инвариантности в форме с одним
контравариантным и тремя ковариантными индексами. Под этим
понимается совпадение тензоров Вейля двух римановых прост-
ранств, метрики которых связаны конформным соотношением
(w(x)—некоторая скалярная функция). Тензор кривизны,
а также тензор Риччи этим свойством не обладают. Читателю
предлагается в качестве упражнения получить соответствующие-
законы преобразования.
Свертывание по индексам тождества Бианки D.5.15) для
тензора кривизны позволяет получить тождества Бианки для?
тензора Риччи, которые можно записать в виде
№v; v = 0. D.5.20)
Здесь введен симметричный тензор второго ранга
Gnv = ?,iv—l-gwR, D.5.21)
называемый тензором Эйнштейна, который играет основную»
роль в формулировке динамики гравитационного поля. Выяс-
ним, что является его аналогом в линеаризованной теории. Под-
ставляя метрический тензор, в виде D.4.1) в выражение D.4.15).
для символов Кристоффеля, в линейном порядке находим
D.5.22)
Подставляя это выражение в D.5.8) и далее вычисляя тензор
Риччи и тензор Эйнштейна, можно убедиться в том, что ли-
нейная по V часть G"v совпадает (с точностью до х) с левой
частью уравнений тензорного поля D.2.6) в пространстве
Минковского, а тождества Бианки D.5.20) в линейном поряд-
ке по h^ переходят в тождества Бианки D.2.9) линеаризован-
ной теории. Это открывает очевидный путь обобщения линеа-
ризованных уравнений гравитации, с тем чтобы получить кали-
бровочно-инвариантное (т. е. в терминах тензоров риманова
пространства-времени) описание полной нелинейной динамики
гравитационного поля.
§ 6. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
Встав на путь геометрического описания гравитационного
поля, мы пришли к выводу, что для формулировки точных об-
щековариантных уравнений теории, ранее известной в линей-
ном приближении в пространстве Минковского, достаточно
отыскать такие объекты тензорной природы, которые в ло-
кально лоренцевой системе переходили бы в соответствующие
144
Объекты линеаризованной теории. Теперь в нашем распоряже-
нии есть все необходимое, чтобы сформулировать точные урав-
нения гравитационного поля, которые обобщили бы уравнения
D.3.4) линеаризованной теорий. Можно утверждать, что тако-
выми являются следующие уравнения:
•D.6.1)
Прежде всего обратимы' к правой части D.6.1). При сопостав-
лении с линеаризованной теорией следует иметь в виду, ч?о в
последней в выражении для источника тензорного поля грави-
тацией нужно было .пренебречь. С учётом этого очевидно, что
правая часть D.6.1) с точностью до. коэффициента переходит
в правую часть уравнения'"'D.3.4). Далее непосредственным
вычислением можно убедиться в том, что левая часть D.6.1)
при подстановке в качестве-метрики разложения D.4.1) в ли-
нейном приближении переходит в левую часть D.3.4) с точ-
ностью до коэффициента. Далее-, принимая во внимание зна-
чение 'константы линеаризованной теории, следующее из
D.3.24), находим, что указанное соответствие уравнений1 D.6.1)
и D.3.4) является точным. Точно так-же можно убедиться в
том, что в локально лоренцевой системе отсчета D.6.1) в точ-
ности переходит в D.3.4)-. Наконец, тензорный характер
{в смысле риманова пространства, событий) уравнения D.6.1)
говорит о том,: что сделанное утверждение правильно.
Перепишем, уравнения D.6.1) в виде ¦
D.6.2)
(более удобном для дальнейшего анализа. Эти уравнения, на-
зываемые уравнениями Эйнштейна, как нетрудно видеть, сво-
бодны от противоречия,; от которого страдали уравнения
D.3.4) линеаризованной теории —как правая* так и левая
часть теперь имеют равную нулю ковариантную дивергенцию:
левая часть в силу тождества. Бианки D.5.20),..а правая — в си-
лу ковариантного условия консервативности тензора энергии-
импульса ,полной материальной системы в присутствии грави-
тационного поля:
= 0. D.6.3)
Тем самым нам удалось избавиться от основного противоре-
чия, неизбежно возникающего при попытке сформулировать
теорию в пространстве Минковского, когда изменения правой
части уравнений с целью удовлетворить условию консерва-
тивности с учетом гравитационного взаимодействия приводила
к изменению левой части и т. д. По существу, уравнения Эйн-
штейна и представляют собой компактную запись получаемого
таким образом итерационного ряда.
Далее нам удалось преодолеть и трудность, связанную с
приближенным характером калибровочной ' симметрии. По-
145

строив уравнения в обвдековариантной форме, мы тем самым,
сделали калибровочную инвариантность точным свойством
теории.
Нетривиальной особенностью уравнений Эйнштейна явля-
ется то, что они содержат внутри себя и уравнения матери-
альной системы, порождающей самосогласованное гравита-
ционное поле. Эти уравнения содержатся в ковариантном за-
коне сохранения D.6.3). Проиллюстрируем это на примере
точечной частицы. Тензор энергии-импульса можно записать в
виде
= m
x—x(s))
D.6.4>
Вычисление ковариантной дивергенции этого выражения дает
т V ( -Л- + Т^иУиЧ — б4 (х—x(s)) = 0. D.6.5)*
Нетрудно видеть, что стоящее под знаком интеграла выраже-
ние тождественно абсолютной производной вектора 4-скорос-
ти, и потому условие консервативности приводит к воспроиз-
ведению уравнения геодезических.
Обсудим теперь вопрос о выборе лагранжиана для уравне-
ний Эйнштейна. Прежде всего заметим, что" из сопоставления
линеаризованного выражения для символов Кристоффеля
D.5.22) и лагранжиана линеаризованной теории D.2.3) мож-
но сделать вывод, что последний представим я форме
Оказывается, что варьирование этого лагранжиана как точно-
го по метрике g»v действительно приводит .к уравнениям Эйн-
штейна. Недостатком этого лагранжиана является то, что сим-
волы Кристоффеля калибровочно-неииварнантные величины.
Неудивительно, что и в линеаризованной теории удалось до-
биться калибровочной инвариантности лишь относительно бес-
конечно малых преобразований. Можно, однако, добавить к
«гамма-гамма» лагранжиану D.6.6) полную дивергенцию
= — х-2дх V —
После преобразований находим
2 + 2 шу = - х"»/11
D.6.7>
D.6.8>
где R — скалярная кривизна. Этот лагранжиан калибровочно-
инвариантев, и данный выбор может показаться удовлетвори-
тельным, однако скалярная кривизна содержит вторые про-
изводные от метрики и при варьировании следует учитывать
более точно граничные условия. Если многообразие имеет гра-
146
яйцу, причем нормальные вариации на границе не обращаются
в нуль, то для получения уравнений Эйнштейна к этому лаг-
ранжиану нужно добавить еще поверхностный член вида
D.6.9)
2 J/C|/t|1/2<i3jc + const,
где К — след второй фундаментальной формы поверхности,
h — определитель метрики, индуцируемой на поверхности.
Правая часть уравнений Эйнштейна естественным образом
возникает при варьировании действия материальной системы
по метрике. Такой тензор энергии-импульса, называемый мет-
рическим, симметричен, ковариантно сохраняется
г (/=**м)- D-6Л0)
Левая часть уравнений Эйнштейна D.6.2) представляет со-
бой нелинейное выражение от компонент метрики и ее первых
производных по координатам х*. Пусть одна из компонент х°
выбрана в качестве времени, и мы хотим проследить за эволю-
цией решения, заданного на начальной гиперповерхности. Ока-
зывается, что не все десять уравнений D.6.2) являются динами-
ческими, т. е. содержат вторые производные от метрики по вре-
мени. Действительно, из тождеств Бианки D.5.20) вытекает
„ .„- .„- - D.6.11)
dt дх1
Правая часть содержит производные от метрики по координа-
там не выше второго порядка, следовательно, компоненты' тен-
зора G не могут содержать производные по времени выше
первого порядка. Таким образом, уравнения
G"°=8nG7>° D.6.12)
являются не динамическими уравнениями относительно метри-
ки, а связями. Связи возникают вследствие ковариантности
уравнений Эйнштейна относительно группы диффеоморфизмов
D.4.6). Для устранения произвола в выборе координат метри-
ческий тензор можно подчинить четырем независимым услови-
ям калибровки. Наиболее близким к калибровке D.2.10) ли-
неаризованной теории является выбор гармонических коорди-
нат посредством наложения условий
D.6.13)
или, что то же самое,
D.6.14)
(нреобразование х*-*~х*, обращающее *в нуль Г", осуществляется
функциями ж"(я), каждая из которых удовлетворяет «гармони-
ческому» уравнению 1|эд=0). Условие гармоничности можно
147

представить в форме недостающих
для компонент метрики
динамических уравнений.
dtdx'
D.6.15>
взамен уравнений связей D.6.12), которые следует рассматри-
вать как уравнения, определяющие согласованный набор на-
чальных значений метрики и ее первых производных.
Итак, решение уравнений Эйнштейна определяет метрику
лишь с точностью до произвольного выбора четырех калибро-
вочных функций, что физически отвечает свободе выбора коор-
динатных систем. Более того, тензор кривизны, описывающий
«истинное» гравитационное поле, также не определяется пол-
ностью источником 7"v в правой части уравнений Эйнштейна.
Действительно, из D.6.2) однозначно определяется тензор Рич-
чи D.5.16), который в свою очередь определяет тензор кривиз-
ны D.5.18) с точностью до задания тензора Вейля С»чХх. Факти-
чески, однако, дивергенция тензора Вейля связана с тензором
Риччи в силу тождеств Бианки D.5.15), записанных с учетом
разложения D.5.18):
Я,ц; v _ flbv; ц + JL (gtoftH — gMi#v)l D.6.16)
С точностью до этого соотношения, тензор Вейля определяет
свободное гравитационное поле.
Подобная ситуация имеет место и в электродинамике, где к
решению неоднородных уравнений Максвелла с источником мо-
жет быть добавлено решение однородного уравнения, описы-
вающего свободные электромагнитные волны. Одна,ко есть и
отличие, связанное с тем, что.уравнения Эйнштейна нелинейны.
В силу этого гравитационные поля не удовлетворяют принципу
линейной суперпозиции и отделение «свободного» гравитаци-
онного поля от цоля, создаваемого некотор.ым материальным,
источником, вообще говоря, невозможно. Интерпретация тог»:
или иногр решения уравнении Эйнштейна представляет непро-
стую задачу, поскольку практически при построении решения
приходится фиксировать калибровку, после чего метрика на-
ходится однозначно, а вместе с ней кривизна и тензор Вейля.
Еще одно важное отличие от электродинамики состоит Вг
том, что источник в правой части уравнений Эйнштейна «е мо-
жет быть задан произвольно. Тождества Бианки D.5.20) тре-
буют выполнения условия консервативности тензора энергии —
импульса D.6.3), которое с физической точки зрения означает
выполнение уравнений движения для материальной системы —
источника гравитационного роля — в создаваемом ею поле. Со-
ответствующее условие сохранения тока в электродинамике яв-
ляется значительно менее жестким. В теории гравитации мы.
с необходимостью сталкиваемся с рассмотрением самосогласо-
ванной, системы уравнений для материи и создаваемого ею гра-'
148
витационного поля. Это по существу и является физической
причиной невозможности последовательного построения линей-
ной теории тензорного поля в пространстве Минковского с уче-
том взаимодействия с материей.
В заключение коснемся вопроса об энершии-импульсе са-
мого гравитационного поля. Уже в рамках линеаризованной?
теории мы столкнулись с тем, что канонический тензор энер-
гии-импульса зависит от калибровки. В общей теории относи-
тельности эта трудность находит свое отражение в том, что в
теории отсутствует объект, который можно было бы интер-
претировать как плотность энергии и импульса гравитационно-
го поля и имеющий статус тензора в многообразии. Известны
способы «ведения так называемых псевдотензоров, ковариант-
ных относительно ограниченных преобразований координат.
В частности, канонический тензор энергии-импульса линеари-
зованной теории оказывается низшим членом разложения псев-
дотензора Эйнштейна, а симметризованный тензор линеаризо-
ванной теории соответствует псевдотензору Ландау — Лифши-
ца. В существующей литературе эти проблемы обсуждаются до-
статочно широко, .и нет смысла повторять здесь это обсуж-
дение.

ЛИТЕРАТУРА
1. Иваненко Д. Д., Соколов А. А. Классическая теория поля.
М.—Л.: Гостехиздат, 1951.
2. С околов А. А., Тернов И, М„ Ж у ковский В. Ч., Бори-
сов А. В. Квантовая электродинамика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
3. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Бори-
сов А. В. Калибровочные поля. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.
4. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. М.: Физ-
матгиз, 1958.
5. Окуиь Л. Б. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1981.
6. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы C-е изд.). М.: Наука, 1973.
7. Бредов М. М., Румянцев В. В., Топтыгин И. Н. Классическая
электродинамика. М.: Наука, 1985.
8. Джексон Дж. Классическая электродниамика. М.: Мир, 1985.
9. Л а н д а у Л. Д., Л н ф ш и ц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1989.
10. Логунов А. А. Лекции по теории относительности. М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1984.
11. Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. М.: Наука,
1983.
12. В ей н б ер г С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975.
13. ХокингС, Элл и с Дж. Крупномасштабная теория структуры прост-
ранства-времени. М.: Мир, 1977.
14. Гальцов Д. В., Грац Ю. В., Петухов В. И. Гравитационное
излучение электродинамических систем. М.: Изд. Моск. ун-та, 1984.
15. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная
геометрия. Т. 1. М.: Наука, 1979.
t '
Учебное издание
Д. В. Гальцов, Ю. В. Грац, В. Ч. Жуковский
КЛАССИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
Зав. редакцией Л. А. Николова
Редактор С П. Нестеренко
Художественный редактор Ю. М. Добрянская
Технический редактор Н. И. Смирнова
Корректоры И. А. Мушникова, Л. А. Костылева
\

I
"Сдано в набор 10.07.91
Подписано к печати 31.10.91
Формат 60x90/16 Бумага тип. № 2 . ; ; ": «
Гарнитура литературная. Высокая печать.
Усл. печ. л. 9,5 Уч.-изд. л. 8,83
Тираж 1900 экз. Заказ 114 . - ¦ <¦ ¦
Цена 3 р. 60 к. Изд. № 1630 . '
Ордена «Знак Почета» Издательство Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Типография ордена «Знак Почета» Изд-ва МГУ. 119899 Москва,
-Ленинские горы
У
)¦