Мир
МАТЕМАТИКИ
29
Таинственные
кривые
Эллипсы,гиперболы
и другие математические чудеса
D^AGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Жузеп Салес, Франсеск Баньюлс
Таинственные кривые
Эллипсы, гиперболы и другие математические чудеса
Москва - 2014
EXAGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК22.1
М63
М63 Мир математики: в 40 т. Т. 29: Жузеп Салес, Франсеск Баньюлс. Таинственные кри-
вые. Эллипсы, гиперболы и другие математические чудеса. / Пер. с исп. — М.: Де Аго-
стини, 2014. — 160 с.
Ьсли прямая — это кратчайшая линия между двумя точками, то кривая указывает нам
более длинный путь. Кривые в нашей жизни встречаются намного чаще, чем прямые: они
описывают форму колес и траектории космических ракет, движение электронов и переме-
щение ураганов. Они передают великие идеи и изображения, их используют для составле-
ния прогнозов в науке и жизни. Эта книга расскажет читателю о том, как можно выразить
кривые с помощью чисел и переменных. Приглашаем вас приоткрыть дверь в мир кривых:
за ней скрывается множество математических чудес.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0724-3 (т. 29)
УДК 51(0.062)
ББК22.1
© Josep Sales, Francesc Banyuls, 2010 (текст)
© RBA Coleccionables S.A., 2012
© ООО «Де Агостини», 2014
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие......................................................... 7
Глава 1. Где используются кривые.................................... 9
Системы координат. Декартовы координаты............................. 9
Кривые в компьютерной графике ..................................... 27
Описание физических и химических явлений........................... 30
Кривые в анализе рынка............................................. 33
Биржевые кривые ................................................... 36
Рыночные кривые.................................................... 37
Кривая ипотеки .................................................... 38
Кривая нормального распределения, или кривая Гаусса................ 38
Глава 2. Кривые. Как их изобразить и измерить...................... 41
Кривые, определяемые геометрически................................. 41
Кривые, задаваемые функциями....................................... 45
Явные и неявные функции............................................ 50
Трансцендентные функции............................................ 53
Углы наклона, касательные к кривой и производные................... 56
Экстремумы функции.............................................. 61
Нули функции.................................................... 62
Симметрия графика функции....................................... 62
Область определения функции .................................... 63
Выпуклость графика функции и точки перегиба ....................... 66
Как измерить длину участка кривой ................................. 67
Как вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой ................. 73
Глава 3. Криволинейные пути. Траектории тел........................ 79
Траектории, движение тел и кривые.................................. 79
Кривая обращается в прямую......................................... 80
Прямая обращается в кривую......................................... 80
Кривые на коротких расстояниях..................................... 84
Кривые в движении. Кривые, определяемые движением.................. 87
Кривые погони...................................................... 96
5
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 4. Кривые в жизни, науке и обществе........................ 101
Электрические и магнитные кривые................................. 101
Кривые Лиссажу, или кривые Боудича............................... 109
Звуковые кривые ................................................. 112
Когда кривые становятся нечеткими. Зоны движения................. 116
Глава 5. Кривые в природе, искусстве и дизайне................... 121
Конические сечения............................................... 121
Окружности........................................................125
Кривые постоянной ширины..........................................126
Эллипсы.......................................................... 127
Суперэллипсы .....................................................130
Гиперболы.........................................................130
Кубические кривые.................................................132
Параболы .........................................................134
Прекрасные кривые................................................ 135
Эвольвента окружности.............................................137
Спираль Архимеда..................................................138
Другие спирали ...................................................139
Логарифмическая спираль ......................................... 141
Кардиоида.........................................................143
Цепная линия......................................................144
Кривые в системах автоматизированного проектирования (САПР).......148
Кривая, описываемая множеством точек. Интерполяция................152
Кривые в типографике и графическом дизайне........................153
Библиография..................................................... 155
Алфавитный указатель .............................................157
6
Любимым Марте, Делии, Отгеру, Бернат и Пау
Ж. С.
Айне, Мар и Соне
Ф.Б.
Предисловие
Все мы знаем, что кратчайшей линией между двумя точками является прямая, а вот
кривые не только указывают более длинный путь по сравнению с прямой, но и ка-
жутся совершенно особыми явлениями. Если мы посмотрим вокруг, то увидим, что
кривые встречаются рядом с нами намного чаще прямых.
Существует великое множество кривых, начиная от «опасных кривых» на дороге
и заканчивая семействами спиралей. Эти линии подчеркивают, насколько необъятен
наш разум и как велики его способности систематизировать и объяснять. Кривые
описывают великие идеи, изображения, математические выражения, используются
для составления прогнозов в науке и жизни. Они обладают различными свойствами
и связаны различными отношениями с конкретными параметрами. Простые кривые
и их семейства помогают решать сложные задачи. Этим линиям свойственны гиб-
кость и мятежный дух, они могут быть открытыми и замкнутыми, а иногда и вовсе
сводятся к простейшей из кривых — прямой линии. Кривые — это отдых математи-
ческой мысли, ворота в бесконечный мир взаимосвязей, форм, сюрпризов и образов.
С древних времен кривые использовали для оценки размеров человека
и Вселенной. Они описывают форму колес телег и траектории космических ракет,
движение электронов и перемещение ураганов. Кривые можно увидеть в куполах
и сводах соборов, в древних скульптурах и произведениях конструктивистского ис-
кусства.
Человек пытается выразить кривые с помощью чисел и уравнений в рамках ана-
лиза бесконечно малых, дифференциальных уравнений и эллиптических интегралов.
Каустики, эвольвенты, подеры, лемнискаты, циклоиды, конхоиды, спирали,
строфоиды, кривые вращения, кривые скольжения, дельтоиды, астроиды и розы —
известно бесконечное и удивительное множество кривых.
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Главы этой книги можно читать в любом порядке. При этом, не теряя общей
картины, можно пропускать разделы, которые покажутся вам слишком сложными,
или, наоборот, обратиться к дополнительной литературе.
Мы хотим особо отметить, что при работе над этой книгой нам очень помог-
ли прекрасные программы символьных вычислений и графического представления
кривых, в частности Geogebra и Derive. Нам бы хотелось, чтобы читатель ближе по-
знакомился с этими программами и провел с ними немало увлекательных мгновений.
Приглашаем вас приоткрыть дверь в мир кривых — за ней скрывается множество
математических чудес.
8
Глава 1
Где используются кривые
Без кривых немыслимы различные области науки, техники и даже повседневная
жизнь. В этой главе мы даем общий обзор кривых, а также подробно описываем
основные системы их представления — декартовы, полярные и параметрические
системы координат. Вы увидите, как на языке математики можно описать горные
тропы и орбиты планет, как изобразить различные объекты с помощью компьютера
и как использовать кривые при анализе рынка. Мы также рассмотрим явление ра-
диоактивного распада, траектории электронов в атомах, наложение световых волн
и электрический ток. Кривые позволяют изучать спрос и предложение, вероятности,
рост населения, колебания биржевых котировок, рассчитывать платежи по ипотеке
и запускать ракеты в космос.
Линия, вдоль которой движется лыжник, пушечное ядро или планета, называет-
ся траекторией. Если этот путь находится на плоской поверхности, его можно опи-
сать математической формулой, которая связывает координаты, отмеченные на го-
ризонтальной (X) и вертикальной (У) осях в заранее выбранной системе координат.
Системы координат. Декартовы координаты
Рассмотрим в качестве примера траекторию лыжника, который спускается с горы
по прямой линии. Высота точки его старта составляет 1250 метров.
Траектория, или прямой путь лыжника при спуске.
9
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Разумеется, опытный лыжник никогда не последует вдоль этой траектории, по-
тому что непременно разобьется — его скорость к концу спуска достигнет 563 км/ч.
Уравнение траектории в предварительно выбранной системе координат:у = -2-х +1250.
Чтобы определить математическую формулу, которая описывает траекторию
лыжника, отметим следующее:
300-1250 _ 600-1250 _ 900-1250 _ _2
475	”	325	”	175
Из этих равенств можно сделать вывод, что координаты всех точек прямой (х; у)
удовлетворяют следующему соотношению:
Координата у —1250 _ 2
Координата х
Применив теорему Фалеса к прямоугольному треугольнику АОЕ, который пе-
ресекает вертикальная прямая, пересекающая ось абсцисс в точке с координатой х,
можно доказать, что значения координат (х; у) всех точек прямой связаны следу-
ющей формулой:
У-1250 о
-------= -2.
х
10
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Выразив координату у из этой формулы, имеем:
у =-2а+ 1250.
Эта формула называется уравнением прямой в декартовых координатах.
Все прямые на плоскости XY описываются уравнениями вида у = т • х + п, где
т — угловой коэффициент, являющийся постоянным.
Можно убедиться, что значение т = —2 соответствует тангенсу (на калькуля-
торе обозначается tg) угла 116,56° между прямой и положительным направлением
горизонтальной оси X.
Это уравнение описывает траекторию спуска лыжника в системе координат, за-
данной перпендикулярными осями (X и У), на которых отмечены направления
и единицы измерения, как показано на рисунке. Систему координат нужно выбрать
до того, как приступить к поискам уравнения прямой или кривой.
Использованная нами система координат называется декартовой в честь Рене
Декарта, который создал ее в начале XVII века (впрочем, эту же систему использо-
вал современник Декарта, математик Пьер Ферма).
Чтобы найти т, измерим угол, который образует траектория с положительным
направлением горизонтальной оси (X), с помощью топографического инструмен-
та — теодолита. В нашем примере этот угол будет равен 116,56°. Найдем тангенс
этого угла, используя калькулятор: tg (116,56°) = —2.
Для остальных кривых угловой коэффициент, или тангенс угла наклона, во всех
точках будет отличаться. Единственная «кривая», для которой значение тангенса
во всех точках будет одинаковым, это прямая.
В общем уравнении прямой у = т • х + п число п указывает высоту, на которой
траектория (прямая) пересекает выбранную вертикальную ось координат (У).
Пять точек, А, В, С, D, Е, отмеченных на графике, — это промежуточные точки
прямолинейной траектории лыжника. Каждая из них имеет свои координаты х и у
(они указаны в скобках).
Угловой коэффициент прямой т связан с углом, который образует эта прямая
с горизонтальной осью, то есть осью X, и указывает наклон траектории. Угловой
коэффициент равен тангенсу угла наклона и указывает, на сколько метров по верти-
кали будет спускаться лыжник в пересчете на метр расстояния по горизонтали. По-
стоянная т для траектории спуска будет отрицательной, для траектории подъема —
положительной. Формула, или уравнение, траектории спуска лыжника описывает
все точки, через которые он проедет при спуске с горы. Каждая из них обозначена
двумя координатами. Можно сказать, что уравнение «описывает всю кривую», все
11
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
ее точки и ее характерную форму. Формула, или уравнение, прямой в декартовых
координатах у = — 2х + 1250 позволяет вычислить координаты всех точек прямой,
как показано в следующей таблице.
X	Координата у, вычисленная по формуле у=-2х +1250	Координаты лыжника (х;у)	Точка
0	-2-0 + 1250 = 1250	(0:1250)	А
175	-2 175+ 1250 = 900	(175:900)	е
325	-2-325 + 1250 = 600	(325:600)	с
475	-2 475+ 1250 = 300	(475:300)	D
625	-2 625+ 1250 = 0	(625;0)	Е
В общем случае, когда речь идет о произвольной кривой, угловой коэффициент
в каждой точке будет изменяться, в отличие от прямой линии, которую из-за этого
называют простейшей кривой.
Самая совершенная кривая, известная с древности, — это окружность. Древние
греки связывали ее с самыми важными явлениями: так, считалось, что подобную
траекторию имеют все небесные тела. Уравнение окружности в декартовых коорди-
натах сложнее, чем уравнение прямой, и выводится по теореме Пифагора.
12
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
По теореме Пифагора, для треугольника СВВ’ имеем:
гипотенуза СВ 2 = катет СВ '2 + катет В В '2.
Так как расстояние ВС = радиус = 5, расстояние ВВ’ = у, расстояние СВ' =
= х — 2, имеем: 52 = (х — 2)2 + у2, или, что аналогично: (х — 2)2 + у2 — 25.
Выразив из этого уравнения переменную у, получим уравнение окружности:
у=±725-(х-2)2.
Для окружности с центром в точке (2; 0) и радиусом, равным 5, график и табли-
ца значений будут выглядеть так.
X	Координата у для каждой точки, вычисленная по формуле: у = ± \25 -(х-2)2	У	Точка
0	у = +>/25-(0-2)2 = >/21 = 4,58	4,58	А
5	у = +V25-(5-2)2 = Дб=4,00	4	В
7	у = +^25-(7-2)2 = >/6 = 0,00	0	С
5	у = ->/25 - (5 - 2)2 = -Дб = -4,00	-4	D
0	y = -V25-(0-2)2 = ->/21 = -4,58	-4,58	Е
-3	у = ->/25-(-3-2)2 = ->/6 = 0	0	F
13
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Кривые на плоскости обычно изображают в разных системах координат. Самыми
известными являются декартовы координаты — их мы использовали для вывода
уравнения прямой, вдоль которой двигался лыжник, а также для вывода уравне-
ния окружности. Декартовы координаты также применяются, например, в игре
«Морской бой». Два игрока изображают корабли на листе бумаги в декартовой си-
стеме координат. Затем они по очереди указывают две координаты точки, в кото-
рой предположительно находится корабль противника, «запуская» туда «торпеду».
После того как игрок назвал координаты, противник отвечает «мимо», «ранил» или
«убил» в зависимости от того, располагается в этой точке корабль (или его часть)
или нет.
Основу декартовой системы координат на плоскости составляют две перпенди-
кулярные прямые (оси координат X и У), на которых отмечается ряд точек, удален-
ных друг от друга на одинаковое расстояние (это расстояние называется единицей
измерения), начиная от точки пересечения осей — она называется началом коорди-
нат и имеет координаты (0; 0). Как правило, на оси X справа от 0 отмечаются точки
с положительными координатами, слева — точки с отрицательными координатами.
Ось X называется осью абсцисс. Аналогично, на верхней части оси Y отмечаются
точки с положительными координатами, на нижней части — точки с отрицательны-
ми координатами. Ось Y называется осью ординат.
Ось У
, з
В(-1;3)
2
г	4(5;1)
________ о £(°;°.)__________ Осьх
-3	-2	-1 Ч) 1	2	3	4	5	6
-1 Точка Е — начало координат
С(-3;-3)	-2
,D(3;-3)
Точки в правой части оси X обозначаются (1; 0), (2; 0), (3; 0)... в левой части —
(—1; 0), (—2; 0), (—3; 0)... Аналогично, точки в верхней и нижней части оси Y
14
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
обозначаются (0; 1), (0; 2), (0; 3)... и (0;—1), (0; —2), (0;—3)... Абсциссой х
и ординатой у обозначается любая точка плоскости XY. К примеру, координаты
(5; 1) означают, что точка находится на расстоянии 5 единиц от оси У и на расстоя-
нии в 1 единицу от оси X, как показано на рисунке выше.
Оси координат делят плоскость на четыре четверти (квадранта). Точка А нахо-
дится в первой четверти, точка В — во второй, точка С — в третьей, точка D —
в четвертой. Таким образом, чтобы определить декартову систему координат, необ-
ходимы две перпендикулярные оси (ось абсцисс X и ось ординат У) с указанными
направлениями и единицей измерения. Если вы проведете прямую между точками
А (2; 3) и В (—2; —1) на плоскости, где изображены оси координат X и У, как по-
казано на рисунке, то увидите, что для всех точек этой прямой соотношение между
координатами у и х будет одинаковым.
В этом случае зависимость между координатами выражается так: координате у
каждой точки соответствует координата х, увеличенная по сравнению с у на еди-
ницу.
Можно сказать, что математическое выражение (уравнение, или формула) у = х +
+ 1 описывает все точки изображенной прямой и в некотором смысле содержит всю
прямую. Эта формула называется уравнением прямой, х и у называются переменны-
ми, так как они могут принимать множество разных значений. В уравнениях прямой
в декартовых координатах х называется независимой переменной, у — зависимой
переменной.
15
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Это означает, что переменная х может принимать любое из множества значений,
а значения у зависят от выбранного значения х и определяются по уравнению пря-
мой.
Если мы сравним это уравнение с общим уравнением прямой в декартовых коор-
динатах, у — т • х + п, которое мы уже приводили, то увидим, что т = 1, п = 1.
Угол, который прямая образует с осью X, — это угол наклона, тангенс которого (fg)
равен 1. Это значение тангенса соответствует углу в 45°, что видно на графике. Зна-
чение п — 1 указывает, что точка пересечения прямой с осью Y имеет координаты
(0; 1).
Координаты всех точек прямой описываются отношением (х; х + 1): (—3; —2),
(—2; —1), (—1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3)... В этом случае выбранные значения неза-
висимой переменной х равны —3, —2, —1, 0, 1, 2. Им соответствуют значения за-
висимой переменной у, равные -2,-1, 0, 1, 2, 3.
Очевидно, что при построении прямой можно выбрать много других значений х
и вычислить соответствующие им значения у. Однако чтобы однозначно определить
прямую, достаточно всего двух точек, так как «через две точки можно провести
только одну прямую».
Если теперь мы рассмотрим изображенную выше окружность радиуса 5 с цен-
тром в точке (0; 2), то увидим, что ее уравнение в декартовых координатах будет за-
писываться так: у = ±-^25 —(х—2)2. Чтобы изобразить эту окружность, нужно знать
координаты более чем двух точек. Знак «+» перед корнем соответствует точкам
в верхней части окружности, знак «—» — точкам, лежащим ниже оси X. Все точки
верхней части окружности имеют координаты +-^25 —(х —2)2, все точки нижней ча-
сти окружности — координаты —^25 —(х —2)2.
Как вы уже видели, все прямые задаются уравнениями первой степени. Это оз-
начает, что в уравнении не фигурируют х2, у2 и более высокие степени х и у. Говорят,
что все прямые образуют семейство кривых первого порядка.
Уравнение окружности, в котором явно выражена переменная у (такие уравнения
в декартовых координатах называются уравнениями в явном виде), выглядит так:
у =±-^25 —(х—2)2. В неявном виде уравнение окружности записывается так:
(х - 2)2 + у2 = 25. В подобных уравнениях кривых переменные х и у имеют более
высокие степени, чем 1. По этой причине говорят, что окружность и другие похожие
кривые, в частности парабола, гипербола и эллипс, принадлежат семейству кривых
второго порядка (они также называются коническими сечениями, но об этом мы
расскажем чуть позже).
16
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Уравнение параболы в декартовых координатах имеет вид у = ах2 + Ьх + с, на-
пример у = —0,Зх2 + 2 или у — Зх2 — 2 (в этих примерах b принимается равным 0).
Как можно видеть на графиках, ось Y является осью симметрии этих парабол.
В первом случае ветви параболы направлены вниз, во втором — вверх. Ветви па-
раболы у = Зх2 — 2 будут располагаться ближе друг к другу, чем ветви параболы
у = —0,Зх2 + 2. Мы изобразили эти две кривые, вычислив координаты их точек
согласно приведенным уравнениям.
X	У	Точка
-3,5	-1,68	G
-3	-0,7	D
-2,5	0,13	вблизи А
-2	0,8	J
-1,5	1,33	Е
0	2	С
1,5	1,33	F
2	0,8	К
2,5	0,13	вблизи В
3	-0,7	Н
3,5	-1,68	1
Парабола, задаваемая уравнением у = -0,Зх2 + 2, обладает вертикальной симметрией.
X	У	Точка
-1,20	2,32	F
-1,00	1	D
-0,80	-0,08	вблизи Д
-0,60	-0,92	1
-0,40	-1,52	Н
0,00	-2	С
0,60	-0,92	G
0,80	-0,08	вблизи В
1,00	1	Е
1,20	2,32	J
Парабола, задаваемая уравнением у = Зх2 - 2, также обладает вертикальной симметрией.
17
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Существует еще одна группа параболических кривых, в которых переменная х
выражена через переменную у, а не наоборот. Приведем два примера: х = —0,Зу2 +
+ 2; х = Зу2 — 2. Выразив переменную у из этих уравнений, получим:
0,3
Осью симметрии этих парабол является ось X. Графики парабол выглядят так.
X	У	Точка
-2	3,65	Е
0	2,58	D
1	1,83	С
1,7	1	В
2	0	А
1,7	-1	В'
1	-1,83	С
0	-2,58	D'
-2	-3,65	Е'
Парабола, симметричная относительно горизонтальной оси
и задаваемая уравнением х = -0,3^+ 2, или у= ± ------.
N о,з
X	У	Точка
2	1,15	Е
1	1	D
0	0,82	С
-2	0	А
0	-0,82	В
1	-1	G
2	-1,15	1
Парабола, обладающая горизонтальной симметрией.
Задается уравнением х = Зу2 - 2, или у = ±. х + ^.
18
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Еще одна кривая в семействе кривых второго порядка — эллипс. Его уравнение
в декартовых координатах можно записать так:
2	2
^=1.
а~ у
где а и b — длины большей и меньшей полуосей. На графике изображен эллипс,
длина большей полуоси которого равна 7, длина меньшей полуоси — 5. Фокусами
эллипса являются точки F} и F2. Основное свойство эллипса заключается в том, что
сумма расстояний от любой его точки до обоих фокусов постоянна и равна 2а. Для
эллипса, изображенного ниже, эта сумма равна: 2а = 2 • 7 = 14.
Эллипсы были широко известны еще в Древней Греции. Эта фигура называется
кривой садовника, так как при посадке цветов садовники чертят на земле эллипсы
с помощью веревки и двух палочек, воткну-
тых в землю (они играют роль фокусов эл-
липса), как показано на рисунке.
В течение многих веков люди верили, что
звезды и планеты движутся по окружностям,
поскольку эту совершенную форму орбитам
придали сами боги. Разумеется, в центре
19
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
всех этих окружностей должна была находиться Земля. Первым, кто осмелился вы-
разить несогласие с этой гипотезой, стал Иоганн Кеплер (1571—1630). Он пришел
к выводу, что орбиты планет имеют форму эллипсов.
Для изображения кривых, помимо декартовых, были определены и другие систе-
мы координат, в частности полярные и параметрические.
Полярные координаты ввел Исаак Ньютон (1642—1727) в своей первой книге
«Метод флюксий» (написана в 1671 году, опубликована в 1736-м), где он описал
понятие производной. Также полярные координаты использовал швейцарский мате-
матик Якоб Бернулли (1654—1705) в различных статьях, опубликованных в жур-
нале Acta eruditorum (лат. «Деяния ученых») в 1690 году.
Основными элементами системы полярных координат являются начало отсчета
(полюс) и ось, от которой откладываются углы. Углы считаются положительными,
если они откладываются в направлении против часовой стрелки. На следующем ри-
сунке изображены четыре точки и их полярные координаты: А (4; 45°), В (6; 330°)>
С (7; 195°) И D (5; 135°).
Полярные координаты точки представляют собой не длины двух отрезков, как
в случае с декартовыми, а длину отрезка и угол. Длина отрезка указывает расстоя-
ние до полюса системы координат, угол образован осью координат и отрезком, сое-
20
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
диняющим рассматриваемую точку с полюсом. Как правило, в полярных координа-
тах буквой г обозначается расстояние, буквой 9 — угол, то есть Р(г; 9).
Уравнение, или формулу, кривой можно записать и в полярных координатах.
Уравнение прямой, изображенной на рисунке, в декартовых координатах записыва-
ется так: у = —1,73а + 6. В полярных координатах это уравнение примет вид:
3
cos(9 — 30)
Точка	А	В	С	D	Е	F	G					X	У	Z	А
Угол	0	15	30	45	60	75	90	105	120		300	315	330	345	360
Радиус	3,46	3,11	3,00	3,11	3,46	4,24	6,00	11,59	оо		оо	11,59	6,00	4,24	3,46
Для описанной выше окружности радиуса 5 с центром в точке (2; 0) уравне-
ние в декартовых координатах выглядит так: у = ±-^25 —(х—2)2, а соответствующее
уравнение в полярных координатах записывается следующим образом:
г = 2 cost) ±л/7 cos9 +21.
21
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Положение 14 точек окружности и их полярные координаты указаны на графике
и в таблице. Переменная соответствует знаку «+» в уравнении, переменная г2 —
знаку «—» для одного и того же угла 9.
Угол 9	ri	Точка	Г2	Точка
0	7,00	А	-3,00	А'
15	6,90	В	-3,04	В'
30	6,63	С	-3,17	С
45	6,21	D	-3,38	D'
60	5,69	Е	-3,69	Е'
75	5,13	F	-4,09	F'
90	4,58	G	-4,58	G'
Уравнение окружности в полярных координатах: r= 2cos Q±\l4cos2Q+21.
Эллипс, изображенный на графике выше и задаваемый в декартовых координа-
тах уравнением
— + —
49 25
22
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
в полярных координатах будет задаваться так:
г__________35_______
л/49 sin20 + 25 cos2 0
В полярных координатах этот эллипс будет выглядеть следующим образом.
Угол 9	Точка	г
0		7,00
15		6,79
30		6,29
45	А	5,75
			
135	В	5,75
150		6,29
165		6,79
180		7,00
195	С	6,79
			
330	D	6,29
345		6,79
360		7,00
23
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Если сравнить уравнения одной и той же кривой в декартовых и полярных ко-
ординатах, то можно заметить, что они очень отличаются. Порой уравнения в по-
лярных координатах выглядят проще, а порой — сложнее.
Уравнение прямой, которое в декартовых координатах выглядит как
у = —1,73х + 6,
в полярных координатах записывается следующим образом:
3
cos(0 — 30)
Уравнение окружности, которое в декартовых координатах выглядит как
у =±-^25 —(х —2)2,
в полярных координатах записывается следующим образом:
г = 2 cos 0 ± >/4cos20 + 21.
Уравнение эллипса с центром в начале координат, которое в декартовых коорди-
натах выглядит как
2	2
х У
—+—= 1,
49 25
в полярных координатах записывается следующим образом:
г_________35________
у] 49 sin20 + 25cos20
В этих трех случаях уравнения в декартовых и полярных координатах выглядят
одинаково сложными. Однако для других кривых сложность уравнений в зависи-
мости от выбранной системы координат может существенно отличаться. В качестве
примера приведем кардиоиду и спираль Архимеда, изображенные на следующих
графиках.
24
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Спираль Архимеда. Уравнение в полярных
координатах: г=5д. Уравнение в декартовых
координатах в неявном виде: у - х tg I Vх +У |= 0.
\	5	)
Кардиоида. Уравнение в полярных
координатах: г=3(1+cos 0).
Уравнение в декартовых координатах
в неявном виде: (х2+у2)2-6х(х2+у2)-9у2 = 0.
Для изображения кривых также часто применяются параметрические координа-
ты, которые сложнее декартовых и полярных. Авторами этой системы были Эйлер
и Гаусс (XVIII и XIX век соответственно), которые использовали параметрические
координаты при изучении кривых и поверхностей. Преимущество таких координат
заключается в том, что они не зависят от выбора осей. Вместо этого в их основе ле-
жит система отсчета, связанная с изображаемой кривой.
Так, параметрические координаты используются при определении положения
точки на поверхности Земли — ее широта и долгота связаны не с внешней трехмер-
ной системой координат нашей планеты, а с воображаемыми кругами, расположен-
ными на земной поверхности, которую можно считать двумерной.
Число параметров, необходимое для описания геометрической фигуры (плоской
кривой или объемного тела), указывает ее размерность. Размерность прямых и пло-
ских кривых равна единице, следовательно, их можно задать всего одним параме-
тром.
Чтобы построить график плоской кривой, нужно преобразовать параметриче-
ские координаты в декартовы. Результатом этого преобразования будут два урав-
нения, позволяющие определить координаты х и у каждой точки в зависимости
от параметра, который, как правило, обозначается буквой и или t. Такие уравнения
называются параметрическими.
25
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Параметрические уравнения эллипса, длины полуосей которого равны 7 и 5,
а центр совпадает с началом координат, выглядят так:
х = 7 cos(i/)
у = 5 sin(w).
Чтобы получить декартовы координаты всех точек эллипса, нужно рассмотреть
все значения параметра и в интервале от 0 до 2п радиан (~ 6,28), что эквивалентно
полному кругу (от 0° до 360°). Один радиан соответствует величине угла
— = 57; 30°.
2тг
и	х(и)	У(и)	Точка
0	7,00	0,00	А
0,1	6.97	0,50	В
0,5	6,14	2,40	С
1	3,78	4,21	D
1,5	0,50	4,99	Е
2	-2,91	4,55	F
3	-6,93	0,71	G
4	-4,58	-3,78	Н
5	1,99	-4,79	1
6	6,72	-1,40	J
2п	7,00	0,00	К
Эллипс. Параметрические уравнения: х=7 cos(u)
у=5 sin (и)
Параметрические уравнения окружности радиусом 5 с центром в точке (0; 0)
выглядят так:
х = 5 cos(h)
у = 5 sin(w).
Декартовы координаты всех точек окружности также можно получить, рассмо-
трев значения параметра и в интервале от 0 до 2л радиан (= 6,28), что эквивалентно
полному кругу (от 0° до 360°).
26
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
U	х(и)	У(и)	Точка
0,00	5,00	0,00	А
0,10	4,98	0,50	В
0,50	4,39	2,40	С
1,00	2,70	4,21	D
1,50	0,35	4,99	Е
2,00	-2,08	4,55	F
3,00	-4,95	0,71	G
4,00	-3,27	-3,78	Н
5,00	1,42	-4,79	1
6,00	4,80	-1,40	J
2п	5,00	0,00	А
х = 5 cos(u)
Параметрические уравнения:
y=5sin(u)
Кривые в компьютерной графике
Формы как природных, так и искусственных объектов, будь то знак бесконечности
Параметрические уравнения представленных выше кривых широко используют-
ся при построении компьютерных графиков в системах автоматизированного про-
ектирования (САПР). Чтобы построить прямую в САПР, нужно нажать кнопку
«Нарисовать» (как правило, на ней изображен карандаш), переместить указатель
27
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
мыши и щелкнуть в новой точке. При изображении искривленных линий нуж-
но переместить указатель в нужную точку, удерживая кнопку мыши. После того
как мы отпустим кнопку мыши, будут зафиксированы контрольные точки кривой.
Построенную кривую затем можно будет изменить, сместив контрольные точки.
Параметрические уравнения кривых, используемых в САПР (они называются
кривыми Безье), ввел французский инженер Пьер Безье в 1962 году. Он впервые
использовал эти кривые при проектировании деталей автомобилей «Рено».
Кривая Безье с тремя контрольными точками.
Существуют различные виды кривых Безье. Линейные кривые Безье задаются
двумя точками, А и В. Такая кривая — это прямая, проходящая через заданные
точки, которая определяется следующим параметрическим уравнением:
В1(п)=(1 — и) А + иВ для значений и от 0 до 1.
Это уравнение можно представить в виде системы из двух параметрических уравне-
ний:
х(и) = (1 — и) • X Л + и  Хв
у(и) = (1-и)-уА+и-уь^
Если контрольные точки имеют координаты А (0; 0) и В (3; 2), уравнением
линии В 1(н) будет уравнение прямой:
х = (1 — и) • 0 + и • 3
у = (1 — и)  0 + и • 2,
{х — Зи
у = 2и,
или у = — X.
Это прямая с угловым коэффициентом 2/3, проходящая через точку (0; 0).
28
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Чтобы изобразить кривую, задаваемую тремя точками (двумя промежуточными
и одной контрольной), в САПР используются квадратичные кривые Безье (пара-
болы второго порядка). Для трех данных точек Л (х^; уА), В (хв; ув) и С (хс; ус)
можно определить кривую второй степени, которая проходит через промежуточные
точки А и С так, что касательными к кривой в этих точках будут прямые АВ и ВС
(точка В называется контрольной).
Предложенная кривая Безье, удовлетворяющая этим условиям, задается двумя
параметрическими уравнениями:
х(н) = (1 — и)2 • хА + 2и(1— и) • хв + и2  хс
y(u) = (1 - и)2 • уА + 2и(1-и)- ув + и  Ус.
Построение кривой начинается в точке А, продолжается в точке В (контрольной
точке в направлении АВ, хотя кривая не проходит через точку В) и заканчивается
в точке С, при этом участок кривой задается направлением ВС.
Это означает, что прямая АС является касательной к кривой в точке А, а прямая
ВС — касательной к кривой в точке С.
Для значений параметра и от 0 до 1 можно определить положение промежуточ-
ных точек так, чтобы построить кривую, удовлетворяющую начальным условиям.
Для промежуточных точек А (0; 0) и С (6; 0) и контрольной точки В (1; 6)
кривая В2(н) будет задаваться двумя параметрическими уравнениями и будет пред-
ставлять собой параболическую кривую второго порядка:
< х(и) = (1 — и)2 • 0 + 2и(1—и) • 1 + и2 -6
у(и) = (1 — и)2 • 0+2и(1—и)  6 + и2 • О
или 1
х(и) = 4и2 +2и
у(и) = —12н2 + 12и.
Компьютер присваивает и значения от 0 до 1 в зависимости от желаемой точ-
ности изображения, после чего рассчитывает координаты точек кривой Безье и от-
мечает их на экране. Этот метод позволяет увеличивать число точек при изменении
масштаба изображения. В примере на следующей странице были вычислены коор-
динаты И промежуточных точек кривой, при этом значение параметра и всякий раз
увеличивалось на одну десятую.
29
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
U	х(и)	У(и)
0	0	0
0,1	0,24	1,08
0,2	0,56	1,92
0,3	0,96	2,52
0,4	1,44	2,88
0,5	2	3
0,6	2,64	2,88
0,7	3,36	2,52
0,8	4,16	1,92
0,9	5,04	1,08
1	6	0
Кривая Безье (парабола) для промежуточных точек А(0; 0), С(6; 0) и контрольной точки В(1; 6).
Параметрические уравнения х(и) = Au2 + 2и
/u) = -12u2+12uj.
Выполнив определенную последовательность операций в программах символь-
ных вычислений, например Derive, можно преобразовать эти параметрические урав-
нения в уравнение в декартовых координатах, описывающее параболу на интервале
между х = 0их = 6в явном виде (переменная у вынесена в левую часть):
у = — (Зл/4х+1 — 2х — 3)
2
или в неявном виде: 9х2 + бху — 54х + у2 + 9у = 0.
Описание физических и химических явлений
Многие физические явления можно описать с помощью формул или уравнений, ко-
торые определяют те или иные кривые в различных системах координат. В качестве
примера можно привести орбиты электрона, которые задаются уравнением вида
cos (п9), где п четное. Для нечетных п это уравнение будет описывать, к примеру,
кривую, которая называется розой. Уравнение этой кривой, изученной Луиджи Гви-
до Гранди, в полярных координатах записывается так: г = cos (59).
Траектория объекта, совершающего одновременно два взаимно перпендику-
лярных гармонических колебания (например, маятника), также будет описываться
30
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
кривой. В качестве примера приведем движение тела, растягиваемого двумя пер-
пендикулярными пружинами одновременно, или волну, которая представляет собой
результат сложения волн разной частоты, распространяющихся в перпендикуляр-
ных направлениях.
Результирующая волна или траектория будет описываться так называемой кри-
вой Лиссажу. Пример кривой Лиссажу можно видеть на иллюстрации. Эта кривая
задается следующими параметрическими уравнениями:
х = sin(lOw)
у = sin(9n).
В этом случае переменная и обозначает время.
Траектория электрона, представляющая собой
розу Гзидо Гоанди. Уравнение в полярных
координатах: г=cos (5 0).
Кривые Лиссажу. Параметрические
уравнения: |х = s/f7^
[y-sin(9u) 
Ядра атомов состоят из протонов и нейтронов, которые удерживаются вместе так
называемым сильным взаимодействием. Сочетание протонов и нейтронов в некото-
рых ядрах оказывается нестабильным, поэтому такие атомы являются радиоактив-
ными: чтобы достичь стабильного состояния, они испускают поток частиц. В за-
висимости от излучаемых частиц (альфа, бета, гамма) выделяют различные виды
радиоактивного распада.
В ходе экспериментов было обнаружено, что все простые радиоактивные про-
цессы описываются убывающей экспоненциальной функцией. Обозначим че-
рез число радиоактивных ядер в начальный момент времени. По прошествии
определенного времени t число радиоактивных ядер N снизится.
31
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Если вести отсчет начиная с момента t = 0, то число радиоактивных ядер в мо-
мент времени t будет равно N = NQe~kt, где k — характеристика радиоактивного ве-
щества, называемая постоянной распада.
Убывающая экспоненциальная функция N = Noe~\
Для любого радиоактивного вещества существует фиксированный интервал вре-
мени Т.п, называемый периодом полураспада, по истечении которого изначальное
число радиоактивных ядер сокращается вдвое. Подставив в уравнение распада вы-
ражение
получим
откуда следует
л
Это выражение позволяет вычислить период полураспада Т..7, зная постоянную
1/Z
распада X. Для урана-238 период полураспада Т. _ = 4,468 • 109 лет.
1/Z
Переменный электрический ток описывается периодической кривой, указываю-
щей силу тока в зависимости от времени, то есть заряд, проходящий через попереч-
32
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
ное сечение проводника в секунду. Величина и направление переменного тока из-
меняются на интервале между минимальным и максимальным значениями. Энергия,
вырабатываемая на солнечных, ветровых, атомных электростанциях, ГЭС и ТЭЦ,
обычно передается именно в виде переменного тока. Он чаще всего описывается си-
нусоидальной кривой, так как в этом случае энергия передается наиболее эффектив-
но. Уравнение этой кривой выглядит так: I = /mxsin(f). Тем не менее при решении
определенных электротехнических задач используются другие периодические кри-
вые, например треугольная волна или меандр.
Синусоидальная кривая у= 20sin(2n/9x).
В жилые дома и на предприятия обычно подается именно переменный ток. Его
примерами также выступают аудио- и радиосигналы, передаваемые по проводам.
При этом конечной целью является передача и восстановление информации, зако-
дированной в переменном токе.
Частота колебаний кривой переменного тока в Европе и России равна 50 Гц
(50 колебаний в секунду), в США — 60 Гц.
Кривые в анализе рынка
Кривые используются и при анализе социальных явлений. В некоторых случаях они
задаются математическими уравнениями, что позволяет изобразить их на графике.
В других случаях эти кривые строятся на основе эмпирических данных, де-факто.
33
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Кривые играют важную роль в изучении рынка, так как позволяют проверить
истинность определенных предположений об уровне продаж того или иного товара.
К примеру, во время изучения продаж чистящего средства было установлено, что
его используют 26% семей в стране. Далее исследователи захотели подтвердить
правильность этого показателя, для чего опросили 12 семей. Предположим, что это
чистящее средство действительно используют 26 % семей. Нужно определить, ка-
кова вероятность того, что от 6 до 9 семей в нашей выборке используют именно
чистящее средство рассматриваемой марки.
Анализируемая переменная может принимать одно из двух возможных значений
(«да, используется» и «нет, не используется»), вероятности которых соответствен-
но равны 26 и 74 % (74 — 100 — 26).
С помощью законов комбинаторики можно показать, что вероятность P(k) того,
что в выборке из п семей k будут использовать рассматриваемое чистящее средство,
равна
п
k
P(fe) =
р<Д-рУ~к,
где р = 0,26, (1—р) = 1 — 0,26 = 0,74 (вероятности указываются в долях едини-
цы).
Эта формула соответствует так называемому биномиальному закону распределе-
ния вероятностей, выведенному Якобом Бернулли в XVII веке. Формула
( А !
п _	и!
~ kl(n-k)\
указывает число различных сочетаний из k элементов в группе из п объектов.
С помощью законов комбинаторики можно показать, что вероятность одного или
нескольких событий равняется сумме вероятностей отдельных событий, если они
являются независимыми (то есть не могут произойти одновременно).
В нашем примере вероятность того, что шесть опрошенных используют опреде-
ленное чистящее средство, равна:
Р(6) =
0,266 -0,746 = 0,0468708012.
<6 J
Использовав эту формулу, рассчитаем с помощью Excel таблицу значений
от Р(6) до Р(9).
34
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
к	6	7	8	9
РВ(к)	0,0468708012	0,0141155309	0,0030996943	0,0004840363
На графике распределения вероятностей представлена следующая функция дис-
кретной переменной:

I IЛ	\П—k
, \Р (1-Г) >
/? J
для п = 12 и k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12. Искомая вероятность того, что
рассматриваемую марку средства используют от 6 до 9 опрошенных, равна
Р(6 <х <9) = Р(6) + Р(7) + Р(8) + Р(9) =
= 0,0468708012 + 0,0141155309 + 0,0030996943 + 0,0004840363 =
= 0,0645700627 = 6,46%.
Столбчатая диаграмма вероятностей Р(к), показывающая, с какой вероятностью чистящее средство
будут использовать к из 12 опрошенных семей (если считать, что рассматриваемое чистящее
средство используют 26 % семей). Эта диаграмма описывается следующей функцией дискретной
переменной в декартовых координатах:
Р(к)=
12
 0,26х -0,7412Л
Следует напомнить, что
12
12!
(12-к)'.к\
к
к
Если число опрошенных семей очень велико, то биномиальное распределение бу-
дет приближаться к нормальному распределению со средним значением, равным
35
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
12 • 0,26 = 3,12, и среднеквадратическим отклонением а = >/12 • 0,26 • 0,74 = 1,52. Нор-
мальное распределение с этими параметрами будет описываться следующей непре-
рывной экспоненциальной функцией в декартовых координатах:
1	. (х-3,12)2
PN(x) =------------=е 21-522 .
1,52у2?г
Биржевые кривые
Большой вклад в изучение бирж внес Ральф Нельсон Эллиотт (1871—1948). Он
изучил котировки множества ценных бумаг на Нью-Йоркской фондовой бирже
и изменения индекса Доу-Джонса и, проанализировав полученную эмпирическую
кривую, сделал вывод: в колебаниях цен прослеживаются повторяющиеся шаблоны
различной длительности и амплитуды.
Волны Эллиотта позволяют объяснить, почему на рынках наблюдаются повто-
ряющиеся ритмы, которые описываются периодическими кривыми. Уравнения этих
кривых неизвестны, так как они строятся эмпирически. Тем не менее, так как форма
кривых известна, аналитики могут делать некоторые прогнозы. Восходящий тренд
содержит пять восходящих волн, за которыми следуют три нисходящие. Полный
цикл состоит из восьми волн — пяти восходящих и трех нисходящих. В рамках вос-
ходящего тренда волны 1, 3 и 5 являются движущими (импульсными), 2 и 4 — кор-
рекционными, которые компенсируют эффект от волн 1 и 3. Пять восходящих волн
сменяются тремя нисходящими, А, В и С.
Волны Эллиотта. Уравнения этих волн неизвестны, так как они строятся эмпирически.
36
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Рыночные кривые
Рынок существует столько же, сколько и само человечество, однако сегодня он стал
чрезвычайно развитым и сложным механизмом. Товары могут производиться
на расстоянии нескольких тысяч километров от места продажи. Небольшая группа
продавцов может вступить в сговор и зафиксировать монополистические цены,
а влиятельная группа покупателей, в свою очередь, может заставить продавцов сни-
зить стоимость товара. Однако, по сути, рынок продолжает оставаться механизмом,
в котором цены определяются как результат взаимодействия продавцов (предложе-
ния) и покупателей (спроса). Равновесная рыночная цена — это цена, устанавлива-
емая покупателями и продавцами в условиях совершенной конкуренции.
Спрос изучается с помощью статистических таблиц, в которых содержатся дан-
ные об изменениях спроса в прошлые периоды времени в зависимости от изменения
цен. Каждой цене соответствует определенная величина спроса.
Кривая спроса представляет собой ветвь гиперболы, при этом на оси ординат
откладываются цены, на оси абсцисс — соответствующие показатели спроса. Эта
кривая иллюстрирует обратную пропорциональность (соотношение между величи-
нами, при котором с ростом одной величины другая уменьшается). В этом случае
чем меньше рыночная цена товара, тем больше будет величина спроса.
х
37
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
Кривая ипотеки
Индекс EURIBOR, который используется для определения процентов по ипотеке
в Европе, ежемесячно меняется. Можно изобразить кривую, которая будет описы-
вать изменение этого индекса за определенный период времени. Кривая будет стро-
иться эмпирически, то есть на основе данных о значении индекса EURIBOR
за каждый месяц, собранных в течение длительного промежутка времени. Следова-
тельно, не существует какого-то уравнения, которое описывало бы построенную
кривую. Однако ее анализ позволяет оценить состояние мировых финансов за про-
шлые периоды и определить, какие события в обществе могли вызвать резкое из-
менение котировок.
Изменение EURIBOR в 2005-2010 годах.
Уравнение, или формула, кривой неизвестны, так как она строится эмпирически.
Кривая нормального распределения, или кривая Гаусса
Эта кривая в форме колокола используется для решения множества задач статисти-
ки. Карл Фридрих Гаусс, изучивший ее в начале XIX века, отметил, что она описы-
вает множество самых разных явлений и поведение многих непрерывных (то есть
принимающих любые значения) случайных величин.
Центральное значение р — это среднее значение, которое встречается чаще
всего. Число (J (среднеквадратическое отклонение) указывает степень отклонения
значений от среднего. Если О велико, это означает, что намного больше значений
находится вдали от среднего, а не вблизи него.
Важность кривой нормального распределения заключается прежде всего в том,
что многие переменные подчиняются нормальному закону, например явления при-
роды, морфологические особенности людей (рост, вес, размер одежды), физиоло-
гические показатели (эффект от приема определенного лекарства), социологические
38
ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ КРИВЫЕ
срезы (уровень потребления товара группой людей), психологические особенности
(коэффициент интеллекта) и многие другие.
Кривые нормального распределения, или кривые Гаусса, с одним и тем же
средним значением и различными значениями среднеквадратического отклонения.
Уравнение в декартовых координатах:
1	_(х-р)2
PN(x) = —j=e 2°2 .
39

Глава 2
Кривые. Как их изобразить
и измерить
Кривые, определяемые геометрически
В предыдущей главе мы описали несколько кривых с помощью уравнений в трех
разных системах координат: декартовых, полярных и параметрических. Однако
кривую можно определить геометрически, не зная ее уравнения, например можно
сказать, что кривая — это окружность, эллипс, парабола, трактриса или лемни-
ската.
Окружность радиуса 2 с центром в точке С можно определить геометрически
как множество точек (или геометрическое место точек), удаленных от точки С
на расстояние, равное 2.
Нетрудно видеть, какое геометрическое свойство определяет эту окружность:
АС = ВС = DC = ЕС = FC = СС = НС = IC = JC = 2.
Если точка С имеет координаты (-4; 3), уравнение окружности в декартовых
координатах будет выглядеть так: (х + 4)2 + (у — З)2 = 4.
41
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Все точки эллипса обладают одним геометрическим свойством: сумма расстояний
от любой точки эллипса до двух фиксированных точек F и F’ (они называются фо-
кусами) постоянна и равна удвоенной длине большой полуоси эллипса (2а). Эллипс
задается именно этим геометрическим свойством, так как:
A F+A F' =BF + BF' = CF+ CF' = 20 = 2а.
Уравнение этого эллипса в декартовых координатах будет весьма сложным:
118747*2—89498*у + 111459у2-1949383* + 875856у +1032543=0.
Парабола определяется множеством точек, равноудаленных от точки F (фокус
параболы) и прямой (директриса).
42
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Можно убедиться, что это свойство будет выполняться для точек параболы А,
D и Р:
AC=AF = 4,78; DE=DF= 1,73; PB = PF = 3,27.
Уравнение этой параболы в декартовых координатах будет весьма сложным:
225х2-Иху - ЗЮЗх + 919у + 8239 = 0.
Гипербола определяется как множество точек, для которых разность расстояний
до двух фиксированных точек (они называются фокусами гиперболы) постоянна.
Для гиперболы, изображенной на рисунке, эта разность расстояний равна 7.
Можно убедиться, что это свойство будет выполняться для точек гиперболы А,
В и С:
CF - CF' = BF' — BF=AF—AF' = 7.
Уравнение этой гиперболы в декартовых координатах будет выглядеть так:
15 895 х2 +159 994 у2 - 1847ху - 61 206 х - 826 525 у + 4518 289 = 0.
Трактриса определяется как траектория точки (изначально эта точка совпадает
с точкой L), которую «тянут» на веревке постоянной длины (в данном случае длина
веревки принята равной единице) за другой точкой (изначально она совпадает с точ-
кой £,*)• L’ смещается вдоль прямой и проходит через точки М’, N’, О’. Траектория
первой точки будет проходить через точки М, N, О и т. д.
43
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Уравнение двух ветвей трактрисы в декартовых координатах записывается так:
у = ±(у/1-х2 - 1п( 1 + ^~х )).
X
Лемниската определяется как множество точек, для которых произведение рас-
стояний до двух фиксированных точек (фокусов) постоянно. Для лемнискаты, опре-
деленной на интервале от —1 до 1, это произведение расстояний равно 0,5.
Точка	ri	Г2	Г1-г2
G	0,29	1,69	0,490
T	0,29	1,71	0,496
c	0,3	1,66	0,498
A	0,31	1,6	0,496
H	0,33	1,51	0,498
E	0,36	1,4	0,504
В	0,4	1,25	0,500
1	0,47	1,05	0,494
Если использовать приближенные длины отрезков, то искомое постоянное зна-
чение для выбранных точек будет очень близко к 0,5. Это небольшое отклонение
вызвано недостаточной точностью расчетов в использованной нами программе для
графического представления кривых. Рассмотрев определяющее свойство лемни-
скаты для ее фокусов F и F’, получим:
OF OF' = OF2= (t-OF) (1+OF') = 1 - OF2.
44
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Так как отрезки OF и OF' равны, имеем: OF2 = 1 — OF2. Отсюда следует:
2OF2=1;
OF2 =-
OF == 0,707.
л/2
На рисунке изображена лемниската для приближенного значения OF = 0,7.
Так как а = 1, ее уравнение в декартовых координатах будет выглядеть так:
2
(х2 + у2)2 = х2-у2.
Уравнение этой же кривой в полярных координатах намного проще:
г = a\l cos 20.
С того момента как лемниската была открыта Якобом Бернулли, она считается
символом бесконечности.
Кривые, задаваемые функциями
Функция — это любая зависимость между значениями независимой переменной х
и другой, зависимой от нее, переменной у, такая, что каждому значению х ставится
в соответствие единственное значение у. В этом случае у называется функцией от х,
и если мы обозначим эту функцию за /, то можно записать у = /(х).
График функции образуют точки в декартовой системе координат (л; у), кото-
рые удовлетворяют приведенному выше уравнению у = /(х). Обратите внимание,
что окружность, эллипс, парабола с горизонтальной осью симметрии и трактриса,
строго говоря, не являются графиками функций. На всех этих кривых каждому зна-
чению х соответствуют два различных значения у.
45
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
В наши дни построить график функции с известной формулой очень просто —
в этом нам помогут компьютеры, позволяющие выполнять численные и символьные
вычисления. К примеру, график функции f(x) = х/(х2 — 1), то есть кривую, задан-
ную уравнением
можно изобразить, разделив ординаты точек кривой у = х (прямой) на ординаты
точек кривой у = х2 — 1 (параболы). Проведем необходимые расчеты для построе-
ния этой кривой с помощью Excel.
Точка	X	у прямой У=х	у параболы у=х2-1	упрямой . _ X у параболы' J х2-1	Координаты точки
	-2,5	-2,5	5,25	-0,48	(-2,5; -0,48)
	-2	-2	3	-0,67	(-2; -0,67)
Ci	-1,5	-1,5	1,25	-1,20	(-1,5; -1,2)
®i	-1	-1	0	-оо	(-1; -оо)
Лх	-0.5	-0,5	-0,75	0,67	(-0.5; 0,67)
О	0	0	-1	0,00	0
А	0,5	0,5	-0,75	-0,67	(0,5; 0,67)
В	1	1	0	- оо	(1; -оо)
С	1,5	1,5	1,25	1,20	(1,5; 1,2)
D	2	2	3	0,67	(2; 0,67)
Е	2,5	2,5	5,25	0,48	(2,5; 0,48)
При вычислении степени функции
для значений, близких к х = — 1 и х = 1, значения у будут стремиться к плюс или
минус бесконечности. К примеру, когда х стремится к 1 слева, соответствующее зна-
чение у стремится к —°°. Когда же х стремится к 1 справа, у стремится к +«>. На ос-
нове данных рисунка и таблицы значений можно определить, какую форму будет
иметь график этой функции (чтобы вы могли лучше рассмотреть иллюстрацию, мы
выбрали разные масштабы по оси X и по оси Y).
46
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Функция, которую мы только что рассмотрели, представляет собой частный слу-
чай рациональной функции, то есть определяется как частное двух полиномиальных
функций, или многочленов, одной переменной р(х)/у(х). Полином, или многочлен,
от одной переменной представляет собой сумму выражений, состоящих из пере-
менной, возведенной в степень с целым положительным показателем, и числового
коэффициента. Рассмотрим понятие многочлена подробнее и приведем несколько
примеров.
Выражение	Тип многочлена	Одночлены
Зх2-1	Многочлен второй степени отх	Состоит из двух одночленов: Зх2, -1
X	Многочлен первой степени отх	Состоит из одного одночлена: х
1	Многочлен нулевой степени отх	Состоит из одного одночлена: 1
(Зх2-1)2=9х4-6х2+1	Многочлен четвертой степени отх	Состоит из трех одночленов: 9х4, -6х2, +1
х>/2-6х2+3	Многочлен второй степени отх	Состоит из трех одночленов: ху/2, 6х2, 3
3 х2—1	НЕ является многочленом	—
13л/? + 26х2-18	НЕ является многочленом	—
Полиномиальная кривая всегда описывается уравнением в декартовых координа-
тах вида Р(х; у) = 0, где Р(х; у) — многочлен произвольной степени от двух пере-
менных х и у. В качестве примера приведем кривую: 225х2—11ху — 3103х + 919у +
+ 8239 = 0. Кривая, задаваемая уравнением
47
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
координаты точек которой мы определили как отношение ординат у точек двух кри-
вых у = х и у = х2—1, не является полиномиальной.
Рациональными называются кривые, уравнение которых выражено как отно-
шение двух многочленов, описывающих полиномиальные кривые. При построении
кривых этого типа применим тот же метод, что и для кривых предыдущего типа,
и построим кривую, определяемую уравнением:
1
У =---5---т-
(Зх2 - I)2
Таким образом, нам необходимо построить график функции /(х) = 1/(Зх2 — I)2.
Чтобы понять, как строится кривая, проанализируем таблицу значений и представ-
ленную ниже иллюстрацию, на которой изображены графики полиномиальных
функций у = 1 и у = (Зх2 — I)2.
Абсцисса х	Прямая у=1	Многочлен четвертой степени у=(Зх2-1)2	у прямой	_	1 у параболы'	(Зх2 -1 )2
-2,000	1,000	121,000	0,008
-1,750	1,000	67,035	0,015
-1,500	1,000	33,063	0,030
-1,250	1,000	13,598	0,074
-1,000	1,000	4,000	0,250
-0,750	1,000	0,473	2,116
-4= =-0,577350269 V3	1,000	0,000	+ ОО
-0,500	1,000	0,063	16,000
-0,250	1,000	0,660	1,515
0,000	1,000	1,000	1,000
0,250	1,000	0,660	1,515
0,500	1,250	0,910	1,765
+4== + 0,577350269 V3	1,000	0,000	4-00
0,750	1,000	0,473	2,116
1,000	1,000	4,000	0,250
1,250	1,000	13,598	0,074
1,500	1,000	33,063	0,030
1,750	1,000	67,035	0,015
2,000	1,000	121,000	0,008
48
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Выполнив деление
1
(Зх2-1)2
для указанных точек, мы сможем приблизительно определить кривую, график кото-
рой изображен на следующем рисунке.
Можно увидеть, что график рациональной функции «выстреливает» (а /(х)
стремится к +°° или —°°), когда значение х приближается к значению, при котором
знаменатель функции обращается в ноль. Кривая
«выстреливает» при значениях х, при которых знаменатель х2—1 = 0, то есть х2 = 1;
х = 1; х = —1. В примере
1
(Зх2 -1)2
кривая «выстреливает» при значениях х таких, что знаменатель (Зх2—1) 2 обращает-
1	1
ся в 0, то есть х=-|-, х =----
л/з ’	>/з’
Вертикальные прямые, в которых значения функции стремятся к +°° или —
называются вертикальными асимптотами графика. Для кривой
У = —2—
х2 — 1
49
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
вертикальными асимптотами будут прямые: х = 1 и х = —1. Для кривой
1
У“(Зх2-1)2
А	1	1	(
асимптотами будут х=Н—— и х =—т= (на графике выше они проходят примерно
V3 V3
через точки с абсциссами, равными 0,6 и —0,6).
Явные и неявные функции
Некоторые функции задаются формулой, указывающей, как следует вычислить /(х)
для каждого значения х посредством элементарных операций. Про такие функции
говорят, что они заданы в явном виде. В качестве примера можно привести следую-
щие функции:
рациональная функция: Дх) =--------
(Зх2 — I)2
функция, определяющая трактрису:
»=- 1п(^));
X
функции, определяющие окружность: Дх) = ±-^25 - (х - 2)2;
функции, определяющие эллипс: Дх) —+5J(1-).
Другие функции задаются уравнениями вида /(х, у) = 0, где обе переменные ис-
пользуются вместе, и практически невозможно отделить одну переменную от другой
так, чтобы получить уравнение вида у = /(х), эквивалентное исходному.
В таких случаях говорят, что функция задана неявно, как, например, в уравнении
лемнискаты (х2 + у2)2 = а (х2 — у2), окружности (х — 2)2 + у2 = 25 или эллипса
2	2
х У
—+— = 1
49 25	'
Функции, для которых /(х) удовлетворяет уравнению вида F(x, /(х)) = 0, где
F(x, у) — многочлен от двух переменных, называются алгебраическими. Кривые,
задаваемые уравнениями вида F(x, у) = 0, как в предыдущих примерах, также на-
зываются алгебраическими. Если уравнение алгебраической кривой известно, ее
50
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
график можно легко построить с помощью компьютерных программ, например
Geogebra или Derive.
Рациональные функции непрерывны во всех точках, за исключением значений х,
в которых кривая «выстреливает».
К примеру, функция у = —-— является непрерывной для всех значений х за ис-
х2 -1
непрерывна для всех значений х за исключением
ключением х — 1, х = —1.
1
Функция у =--------
(Зх2—I)2
1	1
X =4-----з=, X =---------j=.
л/3	л/3
Все полиномиальные функции всегда являются непрерывными, подобно функ-
циям второй, третьей и шестой степени, которые мы приведем далее. Очевидно,
что все прямые, которые не являются вертикальными, представляют собой графики
полиномиальных функций первой степени. Например, графиком многочлена второй
степени h(x) = 0,05(х — 15)2 — 5 является парабола.
/(х) = х3 - Зх2 - 10х + 24 = (х - 2)(х - 3)(х - 4).
51
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Или полиномиальная функция шестой степени: /(л) = х6 —х5—79х4 +41х3 +
+ 1310х2-1048* - 2240.
g(x) = х('-х5-79х4 + 41л3 +13 Юл3- Ю48%-2240
Функция у = у]х2 — 4 является алгебраической. Ее график выглядит так.
52
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Функция у = \j(x2 - 9)2 также является алгебраической. Ее график выглядит так.
Наконец, приведем пример алгебраической функции, неявно заданной уравнени-
ем двух переменных ^у2-х2 + V х3 + 4 - ху+12 = 0.
Полиномиальные, рациональные и иррациональные функции образуют множе-
ство алгебраических функций.
Трансцендентные функции
Функции, которые не являются алгебраическими ни на одном интервале, называют-
ся трансцендентными. Простейшие из них — экспоненциальная и логарифмическая
функции, а также тригонометрические и гиперболические функции. Экспоненциаль-
ная функция имеет вид у = k • а\ где k — вещественное число, а — положительное
вещественное число. К экспоненциальным относятся, например, функции у = 2-3\
у = 10’,у = 13(75)’.
53
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Среди множества экспоненциальных функций выделяется одна, основанием ко-
торой является число е, то есть функция у = ех. Особенность ее графика заключает-
ся в том, что угол наклона касательной к графику функции в любой его точке равен
ординате этой точки, что можно видеть на рисунке на следующей странице. Это
означает, что эта функция — единственная, равная собственной производной. Ины-
ми словами, выполняется равенство у' = у = е\
число е
Постоянную е ввел швейцарский математик Якоб Бернулли при решении задачи о сложных про-
центах. Если мы вложим 1 евро под 100% годовых, при этом проценты будут выплачиваться раз
в год, то по окончании года мы получим 2 евро. Если проценты выплачиваются 2 раза в год, то,
разделив процентную ставку пополам (50% за полгода), получим, что итоговая сумма с учетом
капитализации процентов будет равна 1 евро, дважды умноженному на 1,5:
1-(1+2)2 = 1. 1,52 = 2,25 евро.
Если проценты выплачиваются раз в квартал, то есть четыре раза в год, то, поделив годовую
процентную ставку на 4 (25%), по истечении года получим:
1.(1+2)4=1.1,254 = 2,4414... евро.
Если проценты выплачиваются ежемесячно, то по истечении года мы будем располагать
следующей суммой:
1(1+^)12 =2,61303... евро.
Если проценты выплачиваются п раз в год (при этом п стремится к бесконечности), то общая
сумма, полученная по истечении года, будет равна:
lim(1+—)л.
n-н. п
Бернулли показал, что с увеличением п представленное выше выражение стремится к
е- 2,7182818...
Именно поэтому в финансовой математике число е определяется как предельный накоплен-
ный капитал, полученный при вложении 1 евро под 100% годовых с непрерывной выплатой
и капитализацией процентов. Первым, кто обозначил эту константу буквой е, был Леонард
Эйлер в 1727 году.
54
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Логарифмическая функция — это функция, обратная экспоненциальной.
Попробуем ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести конкретное число
(оно называется основанием логарифма), чтобы получить другое заданное число?
Выражение logJV = х означает, что число а (основание логарифма), возведенное
в степень х, равно N. Иными словами, ах = N. Трафик логарифмической функции
с основанием е, то есть функции у = /п(х), выглядит следующим образом.
55
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Объединением нескольких функций определяются так называемые кусочно-за-
данные функции, которые задаются разными уравнениями на различных интерва-
лах области определения — множества допустимых значений независимой пере-
менной х. В качестве примера можно привести следующую функцию, определенную
на двух интервалах:
. .	—0,2х2 при — 2 < х < 3
X) — I
х — 4,8 при 3<х<8
Ее графиком на интервале между х = —2 и х = 3 является парабола, на интерва-
ле между х = 3 и х = 8 — прямая.
Точка (3; —1,8) — «странная» точка, принадлежащая обоим интервалам одно-
временно. Через нее можно провести две касательные в зависимости от того, какой
интервал области определения функции мы рассматриваем.
Углы наклона, касательные к кривой и производные
Чтобы выяснить, насколько сильно зависимая переменная у изменяется по сравне-
нию с независимой переменной х в точке кривой А, нужно определить, насколько
сильно рассматриваемая функция возрастает в точке А. Благодаря этому можно
сравнить уровень вариации зависимой переменной (то есть уровень ее возрастания
или убывания) в разных точках кривой. Чтобы оценить уровень вариации, исполь-
зуется касательная к кривой в данной точке, то есть учитывается угол наклона каса-
тельной к графику рассматриваемой функции в точке А. Этот угол определяется как
угол между касательной в точке А и горизонтальной осью координат. Как вы уже
знаете, угловой коэффициент прямой, т (уравнение прямой в декартовых координа-
56
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
тах записывается как у = т • х + п), равен тангенсу угла наклона прямой относи-
тельно горизонтальной оси. К примеру, в точках В, А и К угловой коэффициент
снижается, в точках к, С и D — возрастает.
Во второй половине XVII века Исаак Ньютон и Тотфрид Вильгельм Лейбниц
независимо друг от друга создали метод, названный дифференцированием функ-
ции, который позволяет вычислить угловой коэффициент касательной к любой точке
кривой по ее уравнению. Таким образом, можно определить, насколько сильно воз-
растает или убывает функция.
Также Ньютон и Лейбниц разработали метод, позволяющий, не строя графика
функции, определить, в каких точках кривой переменная у принимает минимальные
и максимальные значения (эти точки называются точками экстремума).
Работая над первым методом, ученые использовали работы Аполлония
Пергского (III век до н. э.), а создать второй метод им помогли труды Пьера Ферма
(начало XVII века). Для решения так называемой задачи о касательной Ньютон
и Лейбниц наверняка максимально точно изображали графики исходных функций,
например параболу, представленную на следующем рисунке (эта парабола является
графиком функции у = —0,05а2 + 2х + 25,08), после чего строили различные ка-
сательные к этой кривой и вычисляли углы наклона и угловые коэффициенты этих
касательных.
Лейбниц и Ньютон разработали метод, позволяющий определять угловой коэф-
фициент касательной к кривой в точке А путем так называемого перехода к пределу.
Ньютон называл этот метод исчислением флюксий. Изначально были рассмотрены
57
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
секущие прямые sr s2, s3, проходящие через точку А и точки В2, Ву Эти се-
кущие прямые постепенно приближались к точке А. Следовательно, они постепенно
сливались с прямой t — касательной к кривой в точке А.
Три прямоугольных треугольника АВгТ[г АВ2Т2, АВ3Т3 по мере приближения
точек Вг В2, В3... к точке А уменьшаются в размерах. Когда эти точки совпадают
с точкой А, размер соответствующего треугольника становится равным нулю.
Углы, образуемые секущими sp s2, s3 с горизонтальной осью, уменьшаются, и на-
конец, когда точки Вг В2, В3 совпадают с Л, угол, образуемый этими прямыми с го-
ризонтальной осью, становится равным углу наклона касательной (ос).
В прямоугольном треугольнике АВС выполняется соотношение: tg(z4) = -.
h
Отношение катетов в треугольниках АВ}Т^, АВ2Т2, АВ3Т3 изменяется и стано-
вится соответственно равным тангенсу угла 1, угла 2, угла 3, ..., пока точки В]; В2,
В3 ... не совпадут с точкой А. Математики говорят, что в пределе точки В}, В2,
В3... совпадают с точкой А, и пределом угловых коэффициентов секущих прямых
будет тангенс угла ОС — угла между касательной прямой t и горизонтальной осью
координат:
АТ	АТ	АТ	АТ
—-T = tg (угол1), —-r = tg (угол2),	= сё(уголЗ)...-—= tg(a).
D] 1 j	£5, 1 2	£>3.1 3	£> I
58
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Угловой коэффициент прямой t (касательной к графику функции f(x) в точке А)
равен
Jim tg(yroA 0 = — = tg(«) •
Значение
lim Те/угол i) =-
ВТ
называется производной функции /(х) в точке А. Это значение равно тангенсу угла
наклона касательной к графику функции в точке А.
В случае с рассматриваемой функцией у = —0,05х2 + 2х + 25,08 Ньютон
и Лейбниц наверняка провели следующие расчеты. Обозначим через Ах измене-
ние абсциссы х между точками В3 и А. Обозначим через Ау изменение ординаты у
между точками В3 и А. Имеем:
Ау _ АТ3
Дх В3Т3
= tg(yrOA 3).
Для функции у = — 0,05х2 + 2х + 25,08 значение этого выражения будет равно:
Ду _ (-0,05(х + Ах)2 + 2(х + Av) + 25,08) - (-0,05х2 + 2х + 25,08) _
Дх	Дх
-0,05х2 - 0,05 • 2х • Дх -Дх2+2х + 2Дх + 25,08 + 0,05х2 - 2х - 25,08)
Дх
—0,05 • 2х • Дх — Дх2 + 2Дх п	_
= —---------------------= -0,05 • 2х - Дх + 2.
Дх
При Дх —> 0 угловой коэффициент касательной в точке А равен пределу:
Em	= tg (Сб) = производная f (х) в точке А(х(); у0) = f '(х0) = —0,05 • 2 • х() + 2.
4х->0 Дх
В этом случае точка А имеет координаты (13; 42,63), следовательно, / (13) =
= —0,05 • 2  13 + 2 = 0,7. Это значение совпадает с угловым коэффициентом ка-
сательной в соответствующей точке.
В следующей таблице вы можете видеть, что для пяти точек кривой значение
производной в точке равно угловому коэффициенту касательной в этой точке.
59
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Точка	X	Функция f(x) у=-0,05х2+ 2х + 25,08	Производная f'(x) у'(х) = -0,05-2х4-2	Измеренный угловой коэффициент (т)
D	42	20,88	-2,2	tg(129,81°) = -2,2
С	32	37,88	-1,2	tg(114,44°) =-1.2
К	20	45,08	0	tg(O) = O
А	13	42,63	0,7	tg(34,99°) = 0.7
В	4	32,28	1,6	tg(57,99°) = 1,6
Чтобы вычислить угловой коэффициент касательной в произвольной точке
кривой у = — 0,05х2 + 2х + 25,08, используется производная у' = —0,1х + 2.
Производная функций у = k • хп имеет вид у' = k • и • хп К примеру, производная
функции у = 5х4 равна у' = 20х3.
Применив тот же метод перехода к пределу, который мы рассмотрели на примере
функции у = —0,05х2 + 2х + 25,08, можно найти производные для функций любо-
го типа. При рассмотрении различных функций были выведены основные правила
дифференцирования:
1)	производная суммы функций равна сумме их производных;
2)	производная произведения константы и функции равна произведению этой
константы и производной функции;
3)	производная константы равна нулю.
Руководствуясь этими правилами, найти производную полиномиальной функции
нетрудно: достаточно вычислить производную для каждого из ее членов.
Вполне очевидно, что производная полиномиальной функции у = —Зх2 + 7х — 2
будет равна у' = —6х + 7.
Если нужно вычислить производную функции любого другого вида, переход
к пределу также не требуется. Достаточно воспользоваться правилами дифференци-
рования, которые были выведены путем перехода к пределу для каждого типа функ-
ций.
Таблицы производных позволяют проанализировать, на каких участках и в ка-
кой степени функции возрастают и убывают. Читатель, желающий подробнее озна-
комиться с дифференцированием функций, найдет всю необходимую информацию
в учебниках по математическому анализу.
60
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Экстремумы функции
Вторая важная задача, рассмотренная Ньютоном и Лейбницем, заключалась в опре-
делении точек экстремума, то есть точек, в которых функция достигает максимума
или минимума. Ньютон и Лейбниц рассмотрели эту задачу в 1660-е годы, взяв
за основу различные положения аналитической геометрии, выдвинутые Пьером
Ферма. В частности, они проанализировали уже решенную задачу о касательных
для особых точек кривой, в которых касательные располагаются горизонтально.
Так как горизонтальная прямая образует с горизонтальной осью координат угол
в 0°, а тангенс этого угла равен нулю, ученые свели задачу определения экстремумов
функции к поиску значений х, при которых первая производная (она равна угловому
коэффициенту касательной к графику функции в точке) равна 0. Иными словами,
они занялись поиском решений уравнения /(х) = 0. Для полиномиальной функ-
ции третьей степени у = х3 — Зх2 — 10х + 24 производная будет равна у' = Зх2 —
— 6х — 10. Значения х, при которых производная обращается в ноль, будут реше-
ниями квадратного уравнения 0 = Зх2 — 6х — 10, которые можно найти обычным
способом:
-fe±Vfe2-4^_6±7(-6)2-4-3-(-10) _6±У36 + 12О
2а ~	2-3	6
61
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Нули функции
Нулями функции /(х) называются значения х, при которых функция обращается
в ноль, то есть значения х, для которых /(х) = 0, а именно точки, лежащие на оси
абсцисс.
Они представляют особый интерес при построении графика функции. Чтобы
найти их координаты, нужно решить уравнение /(х) = 0. Разумеется, чем сложнее
уравнение функции у = f(x), тем труднее будет найти ее нули.
В примере с кривой у = х3—Зх — 10х + 24 нужно решить кубическое уравнение
0 = х3—Зх — 10х + 24. Это можно сделать с помощью одной из программ символь-
ных вычислений (например, Derive).
Таким образом, мы получим три решения: х = 4, х = —3, х = 2. Следовательно,
график функции пересечет ось X в точках (4; 0), (—3; 0) и (2; 0), что можно видеть
на изображении, представленном на предыдущей странице.
Симметрия графика функции
Графики некоторых функций выглядят так, как будто одна их часть является зер-
кальным отражением другой. В этом случае говорят, что график функции обладает
осевой симметрией.
62
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
На графиках вы можете видеть две оси симметрии эллипса и его центр,
а также ось симметрии параболы, ее фокус и вершину.
Графики функций могут обладать центральной симметрией, при которой для
каждой точки графика существует точка, симметричная ей относительно центра
симметрии. На иллюстрации ниже представлен график полиномиальной функции
третьей степени, имеющий центр симметрии.
Область определения функции
Область определения функции — это множество значений переменной х, для кото-
рых функция определена. Говорят, что функция не определена на поле вещественных
чисел, если она принимает «странные» значения, например +°° и —©о, или же если у
63
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
принимает значения вида 16, которые не принадлежат множеству вещественных
чисел. В самом деле не существует известного нам вещественного числа, которое
было бы результатом выполнения операции >/—16, поскольку результат умножения
любого числа (как положительного, так и отрицательного) на само себя всегда будет
положительным числом:
(_4)2= (-4) (-4) = +16 и (4-4)2 = (4-4) (4-4) = 4-16.
Полиномиальные и экспоненциальные функции определены на всем множестве
вещественных чисел. На языке математики это утверждение записывается так:
D (полиномиальных функций) = R.
Может показаться, что графики полиномиальных функций «начинаются и за-
канчиваются», однако в действительности они бесконечны. Рациональные функции,
например
(Зх2—1)'
имеют точки, в которых график «выстреливает», то есть значения функции стремят-
ся к бесконечности.
р(х) — l/^x2— I)2
V
-3	-2
-2	-1
(-0,577;0)
0	12	3
(0,577;0)
5 в
64
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Математики говорят, что в этих точках функция не определена, а областью ее
определения будет все поле вещественных чисел за исключением тех значений х,
при которых график функции «выстреливает». На языке математики это обычно
записывается так:
Логарифмическая функция не определена для отрицательных значений х, что
можно видеть на графике на странице 55. Обычно записывают Z)(ln(x)) = R+ —
это означает, что областью определения функции являются только положительные
вещественные числа.
Область определения иррациональной функции у = 70>/%+600 содержит все ве-
щественные числа, за исключением значений х, меньших —600 (то есть
—601, —602, —603 и т. д.), что можно видеть на следующем графике.
Математически область определения этой функции записывается так:
D(70Vx + 600) = R - {% < -600}.
65
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Выпуклость графика функции и точки перегиба
Если на некотором участке функция возрастает, то скорость роста ее значений мо-
жет возрастать или убывать. На тех участках, где функция убывает, скорость убы-
вания ее значений также может увеличиваться или уменьшаться. Если скорость ро-
ста или убывания значений функции возрастает, то график функции на этом участке
является выпуклым, в противном случае — вогнутым. Ниже представлены приме-
ры выпуклых и вогнутых графиков функции.
Два участка возрастания функции (вверху) и два участка убывания функции (внизу),
на которых график функции является выпуклым или вогнутым.
Точка перехода от выпуклого участка графика к вогнутому и наоборот называет-
ся точкой перегиба.
66
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Существуют и другие характеристики функций, в частности множество значений
функции, кривизна ее графика, нормальные прямые (прямые, перпендикулярные
к графику функции в точке) и т. д.
Как измерить длину участка кривой
Первые попытки определить длину кривой предпринял Архимед из Сиракуз
в III веке до н. э., рассмотрев в качестве примера окружность. Метод Архимеда за-
ключался в построении двух огромных правильных 96-угольников — вписанного
и описанного около окружности. Измерив периметры обоих многоугольников, Ар-
химед предположил, что длина окружности заключена между периметрами этих
многоугольников. Этот метод, известный как метод исчерпывания, стал основой
анализа бесконечно малых, созданного Ферма, Ньютоном и Лейбницем в XVII веке.
Метод Архимеда позволил мудрецам будущего совершить важнейшее открытие
и описать переход к пределу, который сегодня применяется в дифференциальном
и интегральном исчислении. Мы попытались воспроизвести ход рассуждений Архи-
меда, применив современную математическую нотацию. В нашем примере мы вы-
числим длину окружности единичного радиуса (1 см, 1 м, 1 км). Сегодня известно,
что результат будет равен примерно 2п. Приближенный результат тем точнее, чем
больше сторон имеют рассматриваемые многоугольники. На следующем рисунке
изображена окружность, вписанный в нее квадрат (правильный четырехугольник),
вписанный восьмиугольник и вписанный 16-угольник. Если увеличить изображе-
ние, то, возможно, вы сможете увидеть 32-угольник, 64-угольник и т. д.
67
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
На увеличенном изображении можно увидеть четырехугольник, восьмиугольник
и 16-угольник. Длины сторон этих многоугольников равны:
АВ = ВМ = — BC=L hCD=L.
2	8	16
Рассмотрим прямоугольные треугольники ОАВ, ВМС и CND, в которых
АВ = ВМ = ОМ = 1^--, BC = L; CN = —; CD = L.
2	2
Так как радиус окружности О В = 1, по теореме Пифагора в треугольнике ОАВ
имеем:
Вновь применив теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ВМС, полу-
чим:
68
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Чтобы вновь применить теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике CND,
сначала нужно вычислить длину стороны ND, равную 1 — ON. Следовательно, сна-
чала нужно определить длину стороны ON в прямоугольном треугольнике ON С.
Имеем:
Умножив результаты на число сторон соответствующих многоугольников, опре-
делим их периметры. Половины периметров будут примерно равны числу П.
Число сторон	Сторона	Периметр	Периметр _ 2 = приближенное значение 71
4	V2	4у/2	2,828427125
8	л/2-л/2	8^2-72	3,061467459
16	72-^2 + л/2	1б72-\,2 + л/2	3,121445152
32	^2-^2+у12+>/2	32^2-^2+>12+	3,136548491
64	^2-\12 + у/Г+у/2+у/2	64^2-^2 + ^2 + л/2+л/2	3,140331157
Позднее немецкий математик Бернхард Риман (1826—1866) для вычисления
длины участка кривой взял за основу теорему о среднем значении, согласно которой
69
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
на участке непрерывной кривой между точками А и В существует промежуточная
точка С, в которой касательная к кривой параллельна прямой АВ.
Или, так как угловой коэффициент касательной в точке С равен значению произ-
водной в этой точке, между А и В должна существовать такая точка С, что
Ь — а
В нашем случае можно убедиться в следующем:
/'*(57,61) = -0,02 • (57,61 -100) = 0,847 =	= Z2122 = 0,847.
100-16,17	83,83
Длина участка кривой, разделенного на три части.
70
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Чтобы вычислить длину дуги кривой L(ABCD), представим ее приближенно
с помощью трех отрезков прямой, общая длина которых равна + /2 + Применив
теорему Пифагора для каждого отрезка, получим:
/( + /2 + /3 —
=Vi/w-ywM'’-*)2 + л/[/«-/((>)]2+(с-ь)2 + Vi/w-w+w-c)2-
Применив описанную выше теорему о среднем значении к каждому отрезку АВ,
ВС и CD, получим:
[/(с)-/ГЬ)] = Г(п)(с-Ь),
m-/(c)] = /'(p) (d-c),
где т, п и р — абсциссы середин отрезков АВ, ВС и CD.
Рассмотрим интервалы одинакового размера (Ь — а) = (с — Ь) = (d — с) = Дх:
L = /,+/,+ /э = yjf'ftn)2 • Дх2 + Дх2 +	-Дх2+Дх2 + Дх2 + Дх2.
Увеличим число отрезков с 3 до п:
L = /,+ /2 + Ц+...+ 1п = ^/\х.)2-Дх2+Дх2 =j^lf\x.)2 + l-Дх.
1	1
Число отрезков можно увеличивать неограниченно, при этом сумма их длин бу-
дет все больше приближаться к длине участка кривой.
71
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Если мы будем бесконечно увеличивать число отрезков, то сумма /1 + /2 + /3 + ... +
+ / будет все ближе к длине дуги кривой L, а Дх будет последовательно уменьшать-
ся и стремиться к нулю. Когда значение Дх становится очень близким к нулю, его
называют дифференциалом х (dx).
Предел указанных выше сумм с уменьшением Дх и с увеличением числа слага-
емых (при п —> ©о) в математике называется определенным интегралом функции
^/’(х)* 1 2 * * * * * В + 1 на отРезке между точками с абсциссами а и d:
L = lim (/f + /7 + /3 +...+ /и) = lim	)2 +1 Дх = J-J/'(x)2 +1 • dx.
“	П—’
1	а
Кривые, длину отрезков которых можно вычислить точно, называются спрям-
ляемыми. К ним относятся окружность, парабола, цепная линия, циклоида, лога-
рифмическая спираль и прямая. Однако существуют и неспрямляемые кривые, на-
пример эллипс: если мы попытаемся определить его длину с помощью интеграла
указанным способом, то получим так называемый эллиптический интеграл второго
рода, значение которого можно вычислить лишь приближенно. Было предложено
несколько выражений, позволяющих приближенно узнать длину эллипса, в част-
ности формула, автором которой был Сриниваса Рамануджан (1887—1920):
L(эллипс, а, Ь) = тг[3(а + b) — y](3>a + b)(a + 3>b) |.
В 1903 году Рамануджан разработал алгоритм, с помощью которого в 1987 году
было вычислено 100 миллионов знаков числа П.
Сегодня люди и компьютеры ведут неустанную погоню за новыми и новыми де-
сятичными знаками П. Однако это выглядит не слишком разумным — уже 39 зна-
ков П достаточно, чтобы вычислить длину окружности, охватывающей всю извест-
ную Вселенную, при этом погрешность будет меньше радиуса атома водорода.
Если кривая является спрямляемой, можно точно вычислить длину ее произволь-
ной дуги. К примеру, длина дуги параболической кривой, задаваемой уравнением
у = Зх2 + 5х — 10, на отрезке между х = 1 и х = 5 рассчитывается следующим об-
разом. Производная функции равна f (х) — 6х + 5, а длину дуги кривой на отрезке
между х — 1 и х = 5 можно рассчитать, вычислив интеграл
J ^/(6х + 5)2 +1 • dx
1
с помощью программы символьных вычислений Derive. Получим:
72
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
L = } ->J(6x + 5)2 +1 dx = } >/ 36 х2 + 60х + 26 dx =
1 1
= 92,09637699
Как вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
В 1711 году была опубликована книга Исаака Ньютона «Анализ с помощью уравне-
ний с бесконечным числом членов», написанная в 1669 году. В ней впервые упоми-
нались флюксии. Первое правило вычисления квадратур (площадей фигур), приве-
денное в «Анализе», звучит так:
«Допустим, что основание АВ произвольной кривой AD имеет перпенди-
кулярную ординату BD, и обозначим АВ = х, BD — у. Допустим, что а, Ь, с,
... — данные величины, т, п — целые числа. Имеем
правило 1: Если у = а  хт^п, то —• х(т+”)/п = площадь ABD».
т + п
73
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Использовав график, приведенный на предыдущей странице, Ньютон вычислил
площадь фигуры, ограниченной горизонтальной осью координат, графиком функции
у = а • хт/п и вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой х:
(т+н)/я
т + п
Взяв это утверждение за основу, он начал работу над новым разделом математи-
ки, известным сегодня как интегральное исчисление. Если применить правило Нью-
тона для прямой у = х, где т = п = а = }, то получим 1/2х2. Это выражение соот-
ветствует формуле площади треугольника: основание х высота
Аналогично для параболы у — х2 между началом координат и точкой х:
2+1	3
X _х
2+Г 3 '
Правило 2 ньютоновского «Анализа» гласит:
«Если значение у можно представить в виде суммы некоторых членов,
то площадь фигуры также можно будет представить в виде суммы площадей,
определяемых этими членами».
Площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — х2 + х3^2, равна:
X 2	5/2
---1---X .
3 5
74
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Таким образом, интеграл суммы функций равен сумме интегралов каждой из них.
Риман разработал систематический метод, позволяющий вычислить площадь
фигуры, заключенной между произвольной кривой и осью ОХ. Для этого он раз-
делил исходную фигуру на участки в форме трапеций. Их основания одинаковы,
высоты равны ординатам соответствующих точек кривой, как показано на рисунке.
Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = — х2 + 9,
на отрезке между х — 0 и х = 3. Рассмотрим четыре различных приближения и ра-
зобьем искомую фигуру на трапеции с длиной основания 1; 0,5; 0,25 и 0,125. Если
принять длины оснований трапеций равными 1, приближенное значение площади
искомой фигуры на отрезке между х = 0 и х = 3 составит 17,5 квадратной единицы.
*1	*2		Нх2)	(f(x2) + f(x1))/2	Дх	(f(x2) + f(xp/2)-Zlx
2	3	5	0	2,5	1	2,5
1	2	8	5	6,5	1	6,5
0	1	9	8	8,5	1	8,5
						17,5
Если принять длины оснований трапеций равными 0,5, приближенное значение
площади составит 17,875 квадратной единицы.
75
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
	Х2		f(x2)	(f(x2) + f(x1))/2	Дх	(Г(х2)+Г(хх)/2)-Лх
2,5	3	2,75	0	1,375	0,5	0,6875
2	2,5	5	2,75	3,875	0,5	1,9375
1.5	2	6,75	5	5,875	0,5	2,9375
1	1,5	8	6,75	7,375	0,5	3,6875
0,5	1	8,75	8	8,375	0,5	4,1875
0	0,5	9	8,75	8,875	0,5	4,4375
						17,875
Если принять длины оснований трапеций равными 0,25, приближенное значение
площади составит 17,984375 квадратной единицы.
	*2	7(хх)	7(х2)	(Г(х2) + Г(хх))/2	Дх	(Г(х2) + Г(х1)/2)-Лх
2,75	3	1,4375	0	0,71875	0,25	0,1796875
2,5	2,75	2,75	1,4375	2,09375	0,25	0,5234375
2,25	2.5	3,9375	2,75	3,34375	0,25	0,8359375
2	2,25	5	3,9375	4,46875	0,25	1,1171875
1,75	2	5,9375	5	5,46875	0,25	1,3671875
1,5	1,75	6,75	5,9375	6,34375	0,25	1,5859375
1,25	1,5	7,4375	6,75	7,09375	0,25	1,7734375
1	1,25	8	7,4375	7,71875	0,25	1,9296875
0,75	1	8,4375	8	8,21875	0,25	2,0546875
0,5	0,75	8,75	8,4375	8,59375	0,25	2,1484375
0,25	0,5	8,9375	8,75	8,84375	0,25	2,2109375
0	0,25	9	9,0625	9,03125	0,25	2,2578125
						17,984375
76
КРИВЫЕ. КАК ИХ ИЗОБРАЗИТЬ И ИЗМЕРИТЬ
Если принять длины оснований трапеций равными 0,125, приближенное значе-
ние площади составит 17,9921875 квадратной единицы.
*1	х2		f(x2)	(f(x2) + f(x1))/2	Дх	(Г(х2) + Г(хх)/2)-Лх
2,875	3	0,734375	0	0,3671875	0,125	0,045898438
2,75	2,875	1,4375	0,734375	1,0859375	0,125	0,135742188
2,625	2,75	2,109375	1,4375	1,7734375	0,125	0,221679688
2,5	2,625	2,75	2,109375	2,4296875	0,125	0,303710938
2,375	2,5	3,359375	2,75	3,0546875	0,125	0,381835938
2.25	2,375	3,9375	3,359375	3,6484375	0,125	0,456054688
2,125	2,25	4,484375	3,9375	4,2109375	0,125	0,526367188
2	2,125	5	4,484375	4,7421875	0,125	0,592773438
1,875	2	5,484375	5	5,2421875	0,125	0,655273438
1,75	1,875	5,9375	5,484375	5,7109375	0,125	0,713867188
1,625	1,75	6,359375	5,9375	6,1484375	0,125	0,768554688
1,5	1,625	6,75	6,359375	6,5546875	0,125	0,819335938
1,375	1.5	7,109375	6,75	6,9296875	0,125	0,866210938
1,25	1,375	7,4375	7,109375	7,2734375	0,125	0,909179688
1,125	1,25	7,734375	7,4375	7,5859375	0,125	0,948242188
1	1,125	8	7,734375	7,8671875	0,125	0,983398438
0,875	1	8,234375	8	8,1171875	0,125	1,014648438
0,75	0,875	8,4375	8,234375	8,3359375	0,125	1,041992188
0,625	0,75	8,609375	8,4375	8,5234375	0,125	1.065429688
0.5	0,625	8,75	8,609375	8,6796875	0,125	1,084960938
0,375	0,5	8,859375	8,75	8,8046875	0,125	1,100585938
0,25	0,375	8,9375	8,859375	8,8984375	0,125	1,112304688
0,125	0,25	8,984375	8,9375	8,9609375	0,125	1,120117188
0	0,125	9	8,984375	8,9921875	0,125	1,124023438
						17,9921875
Вычислив площадь фигуры с помощью определенного интеграла согласно опи-
санному выше методу Ньютона, получим:
площадь
1	— 3	—З3	—О3
= J(-x1 2+9)lx= — + 9х =(— + 9-3)-(---------------------+ 9-0) = —9 + 27 = 18.
о	3	,	3	3
3	3
Обратите внимание, что приближенные значения площади становились все бли-
же к точному значению площади, равному 18 квадратным единицам.
77

Глава 3
Криволинейные пути.
Траектории тел
Траектории, движение тел и кривые
Траектория — это путь, вдоль которого движется тело, или множество точек, в ко-
торых находится тело во время движения. Можно определить траектории элемен-
тарных частиц (электронов, фотонов), достаточно крупных тел (снарядов, автомо-
билей, спутников, планет) и даже потоков (потоков воды или ураганов). Все они
описывают движение.
Траектории могут быть прямолинейными, криволинейными и циклическими.
Перемещения тел, которые мы можем наблюдать, являются непрерывными, в от-
личие от траекторий атомов, движение которых подчиняется законам квантовой
механики. Квантовая механика — это раздел физики, изучающий движение тел,
сопоставимых по размерам с ядрами атомов, например движение электрона вокруг
ядра атома. В этом случае речь идет о вероятностных траекториях, представляющих
собой не линии, а «зоны», в которых объект может находиться с определенной ве-
роятностью.
Траектория космической ракеты.
Траектория электрона.
79
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
Кривая обращается в прямую
Рассмотрим траекторию тела, падающего на Землю, и траекторию пули на корот-
ком расстоянии. В обоих случаях траекторией будет прямая. На более длинных рас-
стояниях траектория пули искривляется, так как действие силы тяжести компенси-
рует импульс, приданный при выстреле. При полицейских расследованиях траекто-
рии пуль обычно считаются прямолинейными.
При расследовании перестрелки простые измерения позволяют с точностью
определить, откуда был сделан выстрел, под каким углом он был сделан и в каком
месте пуля срикошетила. При моделировании выстрелов полицейские используют
луч лазера или натянутые нити разных цветов, которые позволяют указать положе-
ние прямой в пространстве.
Прямая обращается в кривую
В общем случае траектории движения представляют собой определенные кривые
или их сочетания. Как мы уже сказали, при запуске снаряда или любого другого тела
на большое расстояние траектория движения будет искривляться под действием
силы тяжести, силы трения и силы Кориолиса (сила, под действием которой снаряд
отклоняется вправо, если выстрел произведен в Северном полушарии). Если бы
тело находилось под действием исключительно силы тяжести, его траектория пред-
ставляла бы собой параболу, однако она представляет собой параболу лишь прибли-
женно.
80
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
Расчет параметров свободного падения тела первым провел Галилей, бросая раз-
личные предметы с Пизанской башни. Однако падение тел было слишком быстрым,
и исследователь не смог произвести точные измерения. Чтобы скомпенсировать
действие силы тяжести, он провел известнейший эксперимент, в котором шар катил-
ся по плоскости, наклоненной под углом ОС, и повторил этот эксперимент для раз-
личных углов наклона. Время движения тела Галилей определил с помощью водяных
часов. Проанализировав полученные данные, он вывел формулу движения, то есть
определил зависимость высоты тела в свободном падении от времени его перемеще-
ния. На основе данных, полученных для разных углов наклона, Галилей вычислил,
что скорость движения тела пропорциональна времени пути, из чего сделал вывод,
что ускорение свободного падения должно быть постоянным. Полученное им значе-
ние ускорения свободного падения очень близко к тому, что используется сегодня:
g = 9,8 м/с2.
Затем Галилей подробно изучил движение снарядов в полете и внес огромный
вклад в развитие артиллерии своего времени. Взяв за основу труды древнегреческо-
го математика Аполлония (III век до н. э.), он сделал вывод: траектория пушечного
ядра представляет собой параболу.
Траектория пули, выпущенной под углом в 50° с начальной скоростью
90 км/ч: у-1,19х-0,019х2.
81
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
Изученная Гэлилеем траектория пули, имеющая форму параболы. Высота траектории зависит
от времени, прошедшего с момента выстрела. Максимальная высота достигается по прошествии
половины времени полета пули.
Кривая показывает зависимость высоты пули от времени, прошедшего с момента выстрела,
при условии, что выстрел был произведен под углом в 50° с начальной скоростью в 90 км/ч.
Высота = 19,15  время -4,9- время2.
Две представленные выше кривые кажутся похожими, однако они описывают
совершенно разные явления и используются разными способами. Кривая в виде гра-
фика функции у = 1,19х — 0,019х2 — это траектория пули, то есть множество точек
с координатами х и у, через которые следует пуля, пока не упадет на землю. Кривая,
которая является графиком функции высота = 19,15 • время — 4,9 • время2 (если ис-
пользовать стандартные обозначения, функция примет вид у = 19,15 • t — 4,9 • /2),
описывает научное явление, и ее нельзя представить физически. Каждая точка этой
кривой, описываемая парой значений у и /, указывает высоту, на которой находится
пуля в произвольный момент времени t, начиная с момента выстрела.
В таблицах на следующей странице представлены значения, вычисленные
по уравнениям, которые также описывают форму двух представленных выше кри-
вых. В таблице, описывающей траекторию пули, указано, что пуля падает на землю
(высота у = 0) в 62,78 м от точки выстрела. В таблице, описывающей кривую
«высота — время», показано, что пуля падает на землю (у = 0) в момент времени
между 3,9 и 4,0 секунды.
Галилей составил таблицы, описывающие параболические траектории пуль и сна-
рядов, которые широко применялись в Европе во время войн вплоть до XVII века.
Под воздействием силы трения снаряда о воздух его траектория практически полно-
стью совпадает с параболой. С увеличением скорости снаряда сила трения возрас-
тает.
82
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
Траектория	
х (в метрах)	у (в метрах)
0	0
5	5,48075
10	10,013
15	13,59675
20	16,232
25	17,91875
30	18,657
35	18,44675
40	17,288
45	15,18075
50	12,125
55	8,12075
60	3,168
62,7533	
Кривая «высота-время»	
t (в секундах)	у (в метрах)
0	0
0,3	5,3040
0,6	9,7260
0,9	13,2660
1,2	15,9240
1,5	17,7000
1,8	18,5940
2,1	18,6060
2,4	17,7360
2,7	15,9840
3	13,3500
3,3	9,8340
3,6	5,4360
3,9	0,1560
4,0	-1,8000
Траектории полета тел изучались с древних времен в военных целях. Как вы
можете видеть на иллюстрации, все траектории принадлежат к одному семейству
параболических кривых, а их форма меняется в зависимости от угла выстрела и на-
чальной скорости.
Некоторые предметы при запуске не движутся по параболическим траектори-
ям, например бумеранг — древнее охотничье оружие, которое применялось во всем
83
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
мире, а не только в Австралии, как принято считать, хотя само название «бумеранг»
пришло к нам из языка австралийских аборигенов. Со временем форма некоторых
типов метательного оружия изменилась, и сегодня они используются в качестве
спортивных снарядов.
Классический бумеранг имеет два соединенных между собой плеча одинаковой
длины, одно из которых называется боевым. Они имеют прямую или веретено-
образную форму и расположены под углом 105—110° по отношению друг к другу.
Лопасти бумеранга имеют тот же профиль, что и крылья самолета. Скорость воз-
душного потока над крылом выше, чем под ним, благодаря чему на нижнюю часть
крыла действует подъемная сила. Этот закон в физике называется законом Бер-
нулли.
При броске бумеранг вращается вокруг своей оси, в результате чего возникает
гироскопический эффект, объясняющий возвращение бумеранга в исходную точ-
ку. Траектория, вдоль которой он движется, имеет более или менее эллиптическую
форму.
Траектория бумеранга, подобного тому, что изображен на фотографии.
Тонкая серая линия — проекция траектории полета бумеранга на землю.
Кривые на коротких расстояниях
Расчет или оценка кратчайшего расстояния между двумя точками представляет
огромный интерес в математике, физике и повседневной жизни. В качестве примера
подобных задач можно привести расчет траектории автомобиля, оборудованного
GPS, вычисление курса самолетов на международных рейсах, прокладку телеком-
муникационных кабелей и т. д. В математике кратчайшее расстояние между двумя
точками называется геодезической линией. Это может прозвучать странно, но пря-
мая линия не всегда является кратчайшим путем между двумя точками — справед-
84
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
ливо это только для евклидового пространства, на котором определена так называе-
мая евклидова метрика. Прямая, плоскость и трехмерное пространство являются
одномерным, двумерным и трехмерным евклидовым пространством соответственно.
Однако если мы попытаемся провести кратчайшую линию между двумя точками
сферической поверхности, то увидим, что такой линией будет не прямая, а дуга
окружности.
Гэодезические линии на поверхности сферы.
Во многих ситуациях необходимо определить кратчайший путь на поверхности
сферы, например при прокладке курса самолета или при сухопутном путешествии
на большие расстояния (при коротких поездках поверхность Земли можно счи-
тать плоской). В этих случаях кратчайшей линией между двумя точками будет дуга
окружности, являющаяся частью большого круга. Если мы проведем линии, указы-
вающие кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности нашей пла-
неты, то есть геодезические линии, после чего построим их проекцию на плоскость,
то получим следующее изображение.
85
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
На карте земного шара геодезические линии будут выглядеть так, как показано
на иллюстрации. Это означает, что, к примеру, кратчайший курс самолета между
двумя городами должен пролегать вдоль одной из таких геодезических линий.
При изучении пространств со сложной кривизной геодезические линии необхо-
димы для определения форм, кратчайших расстояний, траекторий световых лучей
и т. д. Они являются основными элементами общей теории относительности и осо-
бенно важны в ситуациях, когда высокая гравитация вызывает сильные искажения
пространства.
Форма пространства в математике описывается особой функцией — метрикой.
Метрика говорит о соотношении между размерностями пространства (они обозна-
чаются х, у, z), определяющими его форму: пространство может быть плоским или
сферическим, может обладать различной кривизной в разных участках.
Плоская поверхность (слева) и искривленная поверхность.
Слева — криволинейная поверхность тора. На рисунке справа показано, как геодезические линии
адаптируются к форме криволинейного пространства, указывая кратчайший путь между его точками.
Чтобы построить геодезические линии в определенном пространстве, нужно
определить уравнение длины кривой в виде функции и найти минимум этой функ-
ции. Эта задача очень сложна, и при ее решении необходимо использовать вариаци-
онное исчисление.
86
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
Геодезические линии — это силовые линии поля тяготения, то есть естествен-
ные пути, по которым перемещаются тела под действием силы тяготения. Помимо
линий, указывающих кратчайший путь, существуют линии, время движения вдоль
которых будет наименьшим, — брахистохроны.
Форму геодезических линий определяет кривизна пространства, обусловленная
либо непосредственно его формой, либо силой тяготения.
Существуют ситуации, когда прямая не является геодезической линией на пло-
скости, например в случае с магнитным полем. Если электрическое и магнитное поля
однородны и взаимно перпендикулярны, то кратчайшим расстоянием между точка-
ми магнитного поля, лежащими на траектории движения частицы, будет циклоида,
ортогональная силовым линиям магнитного поля.
Кривые в движении. Кривые, определяемые движением
Помимо кривых, описывающих траекторию движения, существуют также кривые,
определяемые движением геометрических фигур вдоль определенной линии. В каче-
стве примера можно привести циклоиду, изображенную на рисунке.
Параметрические уравнения циклоиды выглядят следующим образом (для ци-
клоиды, изображенной на графике, R = 1):
х = R(t— sin Г)
у = R(1 — cos f)
Циклоида — это кривая, вдоль которой движется точка окружности (эта окруж-
ность называется производящей), когда она катится без скольжения вдоль некото-
рой линии (директрисы). Благодаря различным интересным свойствам циклоида
часто привлекала внимание математиков. Так, площадь фигуры, ограниченной ар-
кой циклоиды, в три раза больше площади порождающего ее круга, а длина ее дуги
в четыре раза больше диаметра производящей окружности.
87
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
Эта линия обладает еще двумя любопытными особенностями: она является бра-
хистохроной и таутохронной кривой. Так, циклоида представляет собой траекторию
движения тела между двумя точками, расположенными в одной плоскости
(но не вертикально друг под другом), для которой время движения тела будет наи-
меньшим — именно так звучит определение брахистохроны. Кроме того, если мы
перевернем циклоиду, расположим два тела в двух разных ее точках и отпустим, они
достигнут нижней точки циклоиды одновременно. Иными словами, в свободном па-
дении под воздействием силы тяжести тела, двигающиеся по дуге циклоиды достиг-
нут нижней точки в одно и то же время вне зависимости от исходного положения.
Таким образом, циклоида является таутохронной кривой.
В прошлом было очень важно точно измерять время в открытом море. Эта слож-
ная задача привлекла внимание многих ученых. В 1673 году Христиан Гюйгенс
(1629—1695) обнаружил, что циклоида обладает свойством таутохронности,
и сконструировал часы с изохронным маятником. Решение Гюйгенса заключалось
в том, что возвратное движение маятника вызывалось якорем, который имел форму
циклоиды, равно как и траектория, описываемая самим маятником. В своей книге
«Маятниковые часы, или О движении маятника» (Horologium oscillatorium sive de
motu pendulorum ad horologia aptato demostrationes geometricae, Париж, 1673 год)
Гюйгенс привел геометрическое доказательство изохронности своего изобретения.
На рисунке изображен маятник Гюйгенса, траектория которого представляет собой
циклоиду, а период колебаний (время, за которое маятник совершает одно полное
колебание и возвращается в исходное положение) не зависит от амплитуды коле-
баний.
Жозеф Ауи Лагранж (1736—1813) начал работать над задачей о таутохронной
кривой примерно в 1754 году. В августе следующего года, в возрасте всего 19 лет, он
сообщил Эйлеру, что нашел решение задачи, а также описал свой метод нахождения
условных максимумов и минимумов (метод множителей). Позднее, в 1823 году,
Колебания маятника Гойгенса.
Нильс Хенрик Абель (1802—1829) предло-
жил обобщенную задачу о таутохронной кри-
вой, которая звучала следующим образом.
Нужно было определить кривую, при дви-
жении вдоль которой исключительно под
действием силы тяжести без скольжения
тело достигнет заданной точки кривой через
определенное время, причем это время мож-
но будет заранее определить для любой точ-
88
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
ки кривой. Очевидно, что если мы внесем дополнительное условие, согласно которо-
му время движения не должно зависеть от высоты, с которой тело начинает движе-
ние, мы получим исходную задачу о таутохронной кривой. Вернемся к уравнениям
циклоиды:
х = R(t— sin г)
у =R(1 — cos г)
Допустим, что А и В — две точки циклоиды, изображенной на рисунке ниже. Мы
можем определить время, за которое тела достигнут точки С, начав движение в точ-
ках?! и В. Чтобы выполнить необходимые подсчеты, нужно определить расстояние
между А и С, а также между В и С. Предполагается, что тела движутся вдоль ци-
клоиды без скольжения исключительно под действием силы тяжести.
Скорость движения тел вдоль дуги циклоиды будет равна:
ds ™
— = 2R sin
dt
Для каждой точки кривой и для каждого значения t мы получим некоторую дли-
ну дуги циклоиды. В случае с циклоидой, изображенной на рисунке выше, длина
дуги между точками А и С составит 15,36 см, длина дуги между точками В и С —
10,31 см.
Рассчитаем время движения как функцию скорости и положения тела. При рас-
четах потребуется вычислить несколько интегралов. Конечный результат будет вы-
глядеть так:
89
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
Время, за которое тело достигнет точки С, не зависит от его начального положе-
ния и определяется радиусом производящей окружности R и ускорением свободного
падения (g = 9,8 м/с2). Это удивительный результат. И еще более удивительно, что
время движения тела при этом будет меньше, чем при движении под действием силы
тяжести вдоль прямой.
Движение тела под действием силы тяжести вдоль прямой и вдоль циклоиды.
При движении вдоль прямой время в пути больше. Независимо от исходной высоты тела
время в пути будет одинаковым, а скорость в конечной точке пути будет отличаться.
В расчетах мы используем тот факт, что ускорение тела, движущегося вдоль пря-
мой, пропорционально ускорению свободного падения g, умноженному на синус угла
наклона, обозначенного на рисунке выше. Время, за которое тело достигнет точки
С, будет равно
Время = \/4 + 7Г2 • —.
V А
Это очевидно больше, чем время движения вдоль циклоиды.
Особые свойства циклоиды позволили Гюйгенсу сконструировать маятник, пе-
риод колебаний которого не зависит от амплитуды, и с его помощью можно с точно-
стью определять время в открытом море. Для этого достаточно несложных астроно-
мических наблюдений: по высоте солнца над горизонтом в полдень можно опреде-
лить, на сколько градусов широты корабль отстоит от экватора. Таким образом,
измерив высоту солнца над горизонтом или (если корабль находится в Северном
90
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
полушарии) определив положение Полярной звезды, можно с достаточной точно-
стью узнать широту корабля.
Задача определения долготы куда сложнее. Чтобы решить ее, необходимо знать
местное время и эталонное время. Отметив, в какой момент Солнце стоит выше
всего над горизонтом в двух точках земной поверхности, можно определить угловое
расстояние между этими точками. Однако для этого необходимы достаточно точные
часы.
Кривые, которые определяются движением некоторой кривой вдоль той или
иной линии, можно классифицировать, введя понятие рулетты. Рулетта — это кри-
вая, представляющая собой траекторию точки кривой (она называется образую-
щей), которая движется без скольжения вдоль другой фиксированной кривой. К по-
добным кривым, помимо циклоид, относятся гипоциклоиды, эпициклоиды, гипотро-
хоиды и эпитрохоиды.
Гипоциклоида — это кривая, вдоль которой движется точка окружности, ког-
да эта окружность катится без скольжения внутри другой, неподвижной окружно-
сти. Эпициклоида — это кривая, вдоль которой движется точка окружности, когда
эта окружность катится без скольжения по внешней стороне другой, неподвижной
окружности. Эпициклоида связана с движением планет.
В случае с гипоциклоидой и эпициклоидой одна окружность катится вдоль дру-
гой. В случае с циклоидой окружность катится вдоль другой окружности бесконечно
большого радиуса, то есть вдоль прямой. Уравнение гипоциклоиды имеет вид:
91
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
х = (R — г) cos0 + г cos
у = (R— г) sin 0 — г sin
Г
——0
где R — радиус неподвижной окружности; г — радиус окружности, катящейся
вдоль нее. Угол 0 — параметр, определяющий форму кривой и угол, который опи-
сывает движение окружности.
Важным элементом кривых, определяемых движением одной кривой вдоль дру-
гой, является соотношение их размеров, в данном случае — соотношение радиусов
окружностей. В зависимости от него форма результирующей кривой будет изме-
няться. Введя новый параметр К = —, запишем уравнения в следующем виде:
г
х = r(K — l)cos0 + rcos ((К-1)6)
у — r(K — l)sin0 — г sin ((К —1)0)
В случае с гипоциклоидой, если К — натуральное число, то гипоциклоида будет
иметь К критических точек, то есть «угловых» точек, в которых к гипоциклоиде
нельзя провести единственную касательную.
Если К — рациональное число, его можно записать в виде несократимой дроби
К = p/q. Полученная гипоциклоида будет замкнутой кривой с р критических то-
чек. Если же К — иррациональное число, например л/2, полученная кривая будет
незамкнутой и будет занимать все пространство между окружностями радиуса R
и R — 2г.
При К = 1 гипоциклоида будет точкой, при К = 2 — прямой, при К = 3 —
дельтоидой с тремя вершинами (она изображена на рисунке).
Дельтоида.
92
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
При К = 4 полученная кривая будет
астроидой — кривой с четырьмя верши-
нами. Эту кривую можно назвать супер-
эллипсом, так как ее уравнение схоже
с уравнением эллипса: х2/3 4- у2/3 = 1.
Астроида изображена на рисунке слева.
Далее представлено несколько примеров
гипоциклоид для различных значений К.
Астроида.
93
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
Что касается уже упомянутых гипотрохоид и эпитрохоид, эти кривые опреде-
ляются как траектория точки, расположенной на некотором расстоянии от центра
окружности, которая движется вдоль другой, неподвижной окружности, без сколь-
жения. Если первая окружность движется по внешней стороне второй, полученная
кривая будет эпитрохоидой, в противном случае — гипотрохоидой. Уравнения гипо-
трохоиды в полярных координатах выглядят так:
rR-r
< r
'r-y
х = (R - r)cos0 + d • cos
у = (R- г) sin 0 — d • sin
0
7
Y
0
7
V r
где R — радиус неподвижной окружности; г — радиус производящей окружности,
катящейся внутри неподвижной; d — расстояние от точки до центра окружности.
При d = г (движущаяся точка расположена на окружности) полученная кривая бу-
дет называться гипоциклоидой. При R = 2г полученная кривая будет эллипсом.
94
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
Параметрические уравнения эпитрохоиды имеют вид:
х = (R + г) cos 0 — d • cos
у = (R + г) sin 0 — d • sin
r
—e'
r
где R — радиус неподвижной окружности; г — радиус производящей окружности,
катящейся внутри неподвижной окружности; d — расстояние от точки до центра
окружности. Также существует два особых случая: при d = г полученная кривая
будет эпициклоидой, при R = г кривая будет называться улиткой Паскаля.
95
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
Кривые погони
Кривая погони — это траектория точки, движущейся с постоянной скоростью w
и «преследующей» другую точку, которая движется вдоль прямой с постоянной ско-
ростью v. Кривая погони описывает оптимальную траекторию преследования. Мо-
жет показаться, что описать такую кривую на языке математики очень сложно, од-
нако в действительности с этой задачей справится любой, кто знаком с элементар-
ной математикой.
Чтобы построить кривую, сначала нужно корректно сформулировать задачу
и определить, что понимается под погоней. Во время погони нельзя упускать пре-
следуемый объект из вида, следует направляться к нему по прямой и корректиро-
вать траекторию по мере того, как преследуемый объект меняет свое положение.
Принимается, что обе точки движутся с постоянной (но необязательно одинаковой)
скоростью. С точки зрения математики задача выглядит так: нужно построить ли-
нию, соединяющую точку-преследователя и точку-беглеца.
Кинематическая формулировка задачи о погоне.
Кривую погони первым описал французский астроном и математик Пьер Бугер
(1698—1758) в 1732 году, определив ее как путь, вдоль которого движется соба-
ка, следующая за своим хозяином. Позднее Пьер Луи де Мопертюи (1698—1759)
96
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
привел обобщенный вариант задачи о погоне. Сегодня кривая погони применяется
в задачах следования маршруту в робототехнике.
Как вы уже видели на примере других кривых, соотношение между двумя вели-
чинами, с помощью которых задается кривая, в значительной степени определяет ее
форму. Параметр К = является соотношением скоростей движущихся точек. Ско-
рость точки, движущейся вдоль прямой, равна v, скорость точки-преследователя
равна w. Так как скорости обеих точек постоянны, К будет константой. Уравнения
кривой погони записываются так:
/(х)4
(1 + К)
при К Ф1;

1	7
/(х) = —(х2 — 21п(х) —1) при К= 1.
4
При К = 1 скорости точек равны (о = ш). При К = 3 скорость одной из точек
в три раза больше скорости другой. В зависимости от значений К кривая погони
будет иметь разную форму.
Вывести уравнения этих кривых достаточно сложно. Для этого необходимо вы-
вести уравнения касательных, вычислить производные, найти экстремумы, решить
дифференциальные уравнения и т. д. Кривую погони можно обобщить для различ-
ных видов движения и кривых видности. Классическим примером является кривая
погони, расположенная внутри многоугольника. Описывается она следующим об-
разом: из каждой вершины многоугольника выпускают собак или других животных
так, что первое животное гонится за вторым, никогда не теряя его из вида, второе
97
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
за третьим, а последнее — за первым. Если исходный многоугольник — квадрат,
полученная кривая будет выглядеть как показано на рисунке.
Иная ситуация складывается, когда первая точка не «гонится» за второй, а на-
против, «тянет» ее за собой. Полученная кривая влечения называется трактрисой.
Трактриса — это кривая, вдоль которой движется точка (на рисунке обозначена
буквой Л), которую «тянет за собой» другая точка (обозначена буквой В) на верев-
ке постоянной длины, равной d, при этом точка В движется вдоль прямой. Уравнение
трактрисы в полярных координатах выглядит следующим образом:
6
х = d - In (tg —) + cos 0
i	2
jj = d  sin0
98
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПУТИ. ТРАЕКТОРИИ ТЕЛ
При различных значениях d трактриса будет выглядеть так.
Эту кривую можно рассмотреть как путь, вдоль которого движется собака за ко-
стью. Допустим, что хозяин изначально находится в начале координат, собака —
в точке А. Хозяин движется вдоль положительного направления оси X, а собака
рвется с поводка, стремясь вернуться в исходную точку Л, где осталась лежать кость.
Трактрисы изучал Клод Перро в 1670 году, а позднее — Ньютон и Гюйгенс.
Эту линию использовал Пауль Войт при конструировании своего громкоговорителя,
запатентованного в 1927 году. Громкоговоритель Войта имеет форму поверхности
вращения трактрисы — поверхности, получаемой при вращении трактрисы вокруг
одной из ее осей.
99

Глава 4
Кривые в жизни,
науке и обществе
В науке, технике и в повседневной жизни можно встретить самые разные кривые.
Они используются в рентгенографии и ультразвуковых исследованиях, электрокар-
диографии, при оценке развития ребенка с помощью перцентильных кривых, при
изучении роста населения, а также при анализе звуковых волн, порождаемых музы-
кальными инструментами.
Электрические и магнитные кривые
Эти кривые связаны с электричеством, светом и звуком и принадлежат к семейству
синусоидальных кривых, которые представляют собой графики синуса или косину-
са. Перейти от синуса к косинусу можно путем простой замены переменной:
COSX = sin(x + —).
Если вы хотите использовать только функцию синуса, то синусоидальные волно-
вые функции можно определить следующим образом:
/(х) = A- sin(-^-x + (p) = Л-sin(со-х + ф),
где А — амплитуда, указывающая максимальное удаление графика функции
от оси X; Т — период, то есть время, за которое функция возвращается в прежнее
состояние; ф — начальная фаза, указывающая горизонтальное смещение функции
(в зависимости от этого значения функция является опережающей или запаздываю-
щей).
101
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
Значения этих параметров проиллюстрированы на следующих рисунках:
Переменный ток описывается синусоидальной функцией. Электрический поток
с течением времени непрерывно изменяется: сначала он возрастает и достигает мак-
симального значения, затем постепенно уменьшается, пока не становится равен
нулю. Изменения величины и направления электрического потока цикличны.
Все современные устройства, работающие от переменного тока, так или иначе
связаны с какой-либо синусоидальной функцией или их сочетанием. Основными
тригонометрическими функциями являются синус, косинус и тангенс. Они связаны
между собой различными соотношениями, наиболее известны из которых следую-
щие:
102
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
sin2 (х) + cos2(x) = 1;
tg(x) =
sin(x)
cos(x)
Следовательно, при работе с синусоидальными функциями достаточно знать
лишь одну из них, а прочие можно вывести по указанным соотношениям. Графики
этих функций представлены ниже.
Существуют и другие функции для описания электрического тока. Некоторые
из них описывают периодический сигнал, который усиливается и ослабевает с по-
стоянной скоростью, то есть так называемые треугольные волны.
В случаях с другими волнами, в частности с квадратными (или меандрами),
значения функции изменяются между двумя граничными значениями, не принимая
промежуточных, в отличие от синусоидальных и треугольных волн.
В других случаях функция может принимать промежуточные значения, одна-
ко по достижении предельного значения она переходит от максимума к минимуму,
минуя промежуточные значения. Можно сказать, что функция принимает значе-
ния на интервале между максимумом и минимумом, а при достижении экстремума
меняет знак. Именно так ведут себя функции, описывающие пилообразные волны.
В соответствии с этими функциями и волнами происходит генерация электрических
импульсов, которые применяются, например, в физиотерапии для укрепления мышц
или в цифровой электронике для формирования изображений на экранах телеви-
зоров и мониторов. В общем случае волна колеблется плавно, то есть описывается
синусоидальной функцией. Однако это не всегда так. Взгляните на следующие ри-
сунки.
103
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
Примерно в 1760 году Винченцо де Риккати (1707—1775) описал гиперболиче-
ские функции, связанные с тригонометрическими. Ученый ввел эти функции при вы-
числении площади фигуры, ограниченной гиперболой х2 — у2 = 1. Позднее Иоганн
Генрих Ламберт (1728—1777) привел описание этих функций, которое использует-
ся и сейчас.
В то время как для вычисления площади фигуры, ограниченной окружностью,
используются тригонометрические функции (так называемые круговые), для вы-
числения площади фигуры, ограниченной гиперболой, Риккати ввел гиперболиче-
ские функции, имеющие то же геометрическое толкование, что и круговые.
104
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
Аналогия между круговыми и гиперболическими функциями не ограничивается
методом вычисления площадей. Многие понятия, связанные с ними, синонимичны,
и любой теореме или высказыванию, касающимся круговых функций, соответству-
ют теорема или высказывание о гиперболических функциях.
В определении гиперболических функций участвует число е (е = 2,7182...),
а сами они представляют собой комбинации экспоненциальных функций. Проведя
параллель с тригонометрическими функциями, укажем, что величина «гиперболиче-
ского угла» А равна площади, отмеченной на следующем рисунке. Сходство гипер-
болических и круговых функций вы можете видеть на примере окружности, изобра-
женной на предыдущем рисунке.
105
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
Определения и графики гиперболических функций выглядят следующим обра-
зом.
.,. е -е
sh(x) =——
рх + д'
ch(x) =——
е2х-1
th (х) = —---.
е +1
Гиперболические функции используются для решения определенных математи-
ческих задач, задач электромагнетизма, теплопередачи, гидродинамики, специаль-
ной теории относительности, механики, они описывают спирали Пуансо и цепные
линии, применяются при работе с логистическими функциями и т. д.
Как можно видеть на представленном выше рисунке, графиком гиперболическо-
го косинуса является цепная линия, то есть кривая, форму которой под действием
силы тяжести принимает свободно висящая веревка или цепь, подвешенная за две
крайние точки.
Тригонометрические и гиперболические функции также связаны с другими осо-
быми кривыми, в частности спиралями Пуансо, иллюстрирующими взаимосвязь ги-
перболического синуса и косинуса.
106
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
5
,,6,
sh( )
5
, А
ch(-)
С гиперболическими функциями также связаны логистические кривые. Их ана-
лизировал Пьер Франсуа Ферхюльст (1804—1849) примерно в 1845 году, когда
занимался изучением роста населения. Логистические кривые играют очень важ-
ную роль в науке. Они описывают рост величин с течением времени, когда переход
от малых значений к большим происходит быстро. Логистическая кривая по форме
напоминает букву S.
Кривая экспоненциального роста населения. Уравнение в декартовых координатах:
P(t) = 100(1 + 0,02)', где P(t) = численность населения в момент t.
Начальная численность населения (время 0) = 100; коэффициент прироста - 0,02 (2 %).
107
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
Логистическая кривая роста населения. Уравнение в декартовых координатах: P{t) =-——
1 t
для максимального населения в 7 тысяч человек.
Простейшая функция, описывающая логистическую кривую, выглядит так:
1
1 + е-' ’
В общем виде она записывается следующим образом:
К
1 + a • с~'"'
где К, а и b — постоянные параметры.
Эта функция описывает поведение определенных природных систем и использу-
ется в экономике, биологии и медицине. По прошествии некоторого периода экспо-
ненциального роста между элементами этих систем возникает конкуренция, веду-
щая к замедлению роста и стабилизации численности элементов системы.
Логистические кривые используются при создании искусственных нейронных
сетей, применяемых при изучении связей между нейронами мозга или разработке
систем искусственного интеллекта, встречаются в социологии, экономике, полито-
логии, психологии, при описании процессов обучения, а также в маркетинге (при
анализе вывода новых продуктов на рынок).
Рассмотрим несколько конкретных примеров. Во время роста эмбриона в опло-
дотворенной яйцеклетке клетки начинают делиться, и их число последовательно
108
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
удваивается, то есть описывается рядом 1, 2, 4, 8... Подобный рост ограничен раз-
мерами матки, и начиная с определенного момента и до рождения ребенка рост за-
медляется.
Этому же закону подчиняется и рост населения, зависящий от текущей числен-
ности населения и доступных ресурсов. Если население растет, объем ресурсов сни-
жается, что вызывает прекращение роста населения, и в какой-то момент его чис-
ленность, выражаемая функцией объема ресурсов, стабилизируется.
Логистическая функция применяется в изучении роста опухолей. Для этого опре-
деляется размер опухоли и ее коэффициент роста, а также рассматривается эффект
от химиотерапии. На основе полученных данных строится уравнение кривой, опи-
сывающей рост опухоли у пациента. Аналогичным образом логистическая функция
используется для анализа эпидемий и распространения инфекционных заболеваний,
в частности сезонного гриппа: медики предсказывают процент заболевших, чтобы
грамотно распределить ресурсы для лечения пациентов.
Кривые Лиссажу, или кривые Боудича
Эти кривые изучил Нафанаил Боудич (1773—1838) в 1815 году, а более подробно
их проанализировал Жюль Антуан Лиссажу (1822—1880) в 1857 году. Кривые
Лиссажу применяются в астрономии, физике и медицине. Они представляют собой
траектории точки, совершающей одновременно два гармонических колебания в пер-
пендикулярных направлениях. Кривые Лиссажу можно представить как результат
наложения двух волн, двух кривых с определенными характеристиками. Волны яв-
ляются гармоническими (или периодическими) и описываются функцией синуса или
косинуса. Подобные колебания можно наблюдать в осциллографах.
Кривые Лиссажу ограничены прямоугольной рамкой. Их параметрические урав-
нения записываются так:
{х = A sin(trf + 5)
у = В sin(b  t)
В этих уравнениях можно увидеть стандартные параметры, описывающие вол-
ны: амплитуды колебаний (А и В), частоты (а и Ь), фазовый сдвиг волн относитель-
но друг друга (8).
Кривые Лиссажу очень чувствительны к отношению частот волн — и фазовому
сдвигу 8. В зависимости от него и соотношения амплитуд А и В полученная кривая
109
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
будет прямой, окружностью или эллипсом, расположенным под различными углами
как показано в таблице и на иллюстрации ниже.
а/Ь	АиВ	Фазовый сдвиг (<5)	Фигура
1	Любые	Любой	Эллипс
1	А = В	S=—rad 2	Окружность
1	А = В	<5=0	Прямая
2	Любые	8=—rad 2	Парабола
110
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
Если соотношение - является рациональным числом, кривая будет замкнутой.
Если же это соотношение — иррациональное число, например у/2, кривая будет
незамкнутой и будет занимать все доступное пространство, ограниченное ампли-
тудами А и В. Если А и В равны, ограниченный ими прямоугольник обращается
в квадрат, и форма кривой соответствующим образом меняется.
Графики функций
х = A sin(d • t + 8)
у = В sin(fe-t)
для различных значений А, В и а, b при 8= — радиан будут выглядеть следующим
-	2
образом.
А=2, В = 1
а=1, Ь=1
А = 1,В = 1
а=2,Ь = 1
А=1,В = 1
а=у[2, Ь=1
А=1,е = 1
а = 5, Ь = 5
Эти кривые применяются в графическом дизайне, а некоторые компании, напри-
мер Australian Broadcasting Corporation, используют их в логотипах.
111
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ. НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
Эмблема лаборатории Линкольна в MIT также содержит кривую Лиссажу.
А=1, В=1, а=4,Ь=3 и 8=0.
Звуковые кривые
Рассмотрим круговые тригонометрические функции, о которых мы уже рассказали
в начале главы. При этом будем считать, что волны, описанные этими функциями,
порождаются вибрацией струны, концы которой закреплены. Эту струну можно
приближенно считать гармоническим осциллятором — системой, испытывающей
колебания, которая в свободном состоянии возвращается в положение равновесия.
Колебания системы будут затухающими (под действием силы трения), описывают-
ся они синусоидальными кривыми. Ярким примером гармонического осциллятора
является пружина с подвешенным к ней грузом. Если мы сместим груз, он вернется
в положение равновесия, при этом его движение будет описываться круговой триго-
нометрической функцией. Уравнение кривой, описывающей колебания груза, под-
вешенного к пружине, будет выглядеть так же, как и в представленных выше при-
мерах:
f(t) =А sin( (Ot + ф).
В отличие от предыдущих примеров, это уравнение связывает между собой по-
ложения системы, а не положение системы и время. Изменение положения системы
112
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
описывается функцией синуса. Если же колебания затухают, они будут описываться
синусоидальной функцией, умноженной на экспоненциальную функцию, описыва-
ющую затухание колебаний. Иными словами, тригонометрическая функция будет
последовательно уменьшаться. В этом случае уравнение, описывающее колебания
системы, будет выглядеть так:
/ (х)=А - e~kt sin((Ot +ф).
Это уравнение аналогично предыдущему, однако содержит коэффициент зату-
хания, который представляет собой число е, возведенное в отрицательную степень.
В этом уравнении k определяется начальными условиями. Если принять значения
А = 10, k = 0,125, CD = 1 и ф = 0, график функции будет выглядеть, как показано
ниже.
Пунктирными линиями изображен график экспоненциальной функции
g(x)=10e-0125x — это не более чем предел затухания колебаний, вызванный си-
лой трения. По сути, имеем график убывающей экспоненциально функции синуса,
который описывает потерю энергии. В примере со звуковой волной ее предельным
состоянием будет тишина.
Можно также рассмотреть колебания не как результат движения системы, на-
ходящейся в свободном состоянии, а как результат действия силы, которая со време-
нем изменяется по синусоидальному закону. Результатом будут стационарные коле-
бания, то есть колебания, которые не изменяются со временем. В качестве примера
приведем качели в парке: если их подтолкнуть, они будут качаться, пока не остано-
113
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
вятся в исходном положении, — это пример затухающих колебаний; если же кто-то
начнет раскачивать качели, это будет примером вынужденных колебаний, в резуль-
тате которых движение качелей не меняется с течением времени, то есть их коле-
бания будут стационарными. Если толчки будут совпадать с колебаниями качелей,
амплитуда будет возрастать под действием совсем небольшой силы. В противном
случае картина изменится.
В этой ситуации может наблюдаться резонанс — совокупность событий, при ко-
торых собственные колебания системы усиливаются другими колебаниями. Резонанс
можно наблюдать в механических системах, в музыке, в электрических цепях и даже
в магнетизме, где он применяется для диагностики в магнитно-резонансной томогра-
фии и используется для объяснения магнитного резонанса ядер атомов.
Все эти явления, связанные с колебаниями и резонансом, можно четко увидеть
на примере звуковых колебаний. Резонанс волн имеет место, когда в результате
наложения колебаний разных частот возникают стационарные волны. Отношения
между резонансными частотами выражаются целыми числами. В музыкальных ин-
струментах колебания вызываются вибрацией струны, мембраны, воздуха. Пример
подобных колебаний представлен на следующей иллюстрации. Струна закреплена
на концах при помощи колков. Каждая гармоника делится на две, три, четыре части
и т. д. Частота колебаний в каждом случае будет расти.
Если мы разделим струну на две части, получим звук в два раза большей частоты
и, следовательно, интервал в одну октаву. Если мы разделим струну на три части,
получим интервал в одну квинту, на четыре части — в одну кварту и т. д. Можно
сказать, что каждый звук образован сочетанием множества простых колебаний.
114
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
В музыке свойства звуков и способы усилить те или иные их характеристики изучает
дисциплина, называемая гармонией.
На Западе используется хроматический строй, основой которого являются ок-
тавы и частоты гармонического ряда, кратные основной частоте. Отношения частот
звуков описываются целыми числами и долями целого.
Наши органы слуха, как правило, группируют частоты, соответствующие гармо-
ническим тонам. Если мы слышим звук, состоящий из нескольких тонов, при этом
интервалы между тонами соответствуют гармоническому ряду, наш мозг воспри-
нимает эти тона как весь ряд в целом, хотя при этом мы даже не слышим основной
звук. Это явление используется при записи музыки, особенно при записи низких
тонов, которые нельзя воспроизвести на небольших динамиках. Таким образом, ис-
пользуя звуки, которые являются частью соответствующих гармонических рядов,
можно преодолеть ограничения, накладываемые устройствами воспроизведения
звука.
Но вернемся к резонансу. Это явление возникает при вибрации тела, на кото-
рое с постоянными интервалами действует некоторая сила. Интервалы совпадают
с периодами собственных колебаний тела, и действие внешней силы увеличивает
частоту колебаний, при этом внешняя сила относительно невелика. В этих услови-
ях амплитуда колебаний тела последовательно возрастает при каждом воздействии.
Резонанс может иметь разрушительные последствия для некоторых жестких мате-
риалов: например, стеклянный бокал можно разбить силой голоса, когда звуковые
колебания входят в резонанс с собственными колебаниями бокала. Часто говорят,
что если солдаты пройдут по мосту в ногу, то мост обрушится, так как частота шагов
солдат может совпасть с частотой собственных колебаний моста. В действительно-
сти современные мосты проектируются так, чтобы частота их собственных колеба-
ний не совпадала с частотами других разрушающих колебаний.
Старый Такомский мост в штате Вашингтон (США) представлял собой висячее
сооружение длиной 1600 метров и на момент постройки в 1937 году был третьим
в мире по размерам. Он обрушился под действием резонанса, вызванного колебани-
ями ветра между балками. В 1950 году был построен новый мост.
При настройке радиоприемника на определенную волну его контур настраивается
на частоту, которая входит в резонанс с частотой желаемой радиостанции. Частота
радиостанции усиливается, при этом контур находится в стабильном состоянии.
115
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
Здания, возводимые в сейсмоопасных зонах, строятся с учетом возможной ча-
стоты колебаний земной поверхности, что повышает их устойчивость к малым коле-
баниям. Сейсмические волны — это волны, вызванные действием сил, возникаю-
щих в земной коре, и распространяющиеся до поверхности Земли.
Внутренние сейсмические волны делятся на первичные (P-волны) и вторичные
(5-волны). P-волны возникают в результате сжатия и растяжения земной поверх-
ности в направлении, совпадающем с направлением распространения волн. 5-волны
распространяются перпендикулярно смещению земной поверхности. Их скорость
меньше, чем скорость первичных волн, поэтому они наблюдаются с некоторой за-
держкой, однако именно эти волны вызывают колебания во время землетрясений
и становятся причиной наибольшего ущерба.
Когда кривые становятся нечеткими. Зоны движения
В предыдущих главах мы делили кривые на группы в зависимости от того, описыва-
ют они движение некоторой точки или определяются как траектория движения. Од-
нако существуют ситуации, когда четкая криволинейная траектория движения от-
сутствует. Вместо этого рассматриваемое тело или частица может наблюдаться
в конкретной области пространства с той или иной вероятностью. Примером подоб-
ного движения служат орбитали, или траектории электронов, движущихся вокруг
атомного ядра.
Понятие атома является основополагающим в химии. Атомы состоят из электро-
нов, нейтронов и протонов, при этом протоны и нейтроны находятся в ядре атома,
а электроны располагаются облаком вокруг ядра. В зависимости от рассматривае-
мого вещества траектории электронов будут отличаться.
Область пространства, в которой с определенной вероятностью может двигаться
электрон, называется орбиталью. Каждой орбитали соответствуют четыре кванто-
вых числа. Первое определяет размер орбитали (и), второе — ее форму (/): при / =
= 0 орбиталь будет s-орбиталью (sharp, то есть «резкой»), при I = 1 — р-орбиталью
(principal, то есть «главной»), при 1 = 2 — d-орбиталью (diffuse, или «диффузной»),
при / =3 — /-орбиталью (fundamental, или «фундаментальной»). Третье число —
это магнитное квантовое число (ml), определяющее расположение орбитали в про-
странстве. Четвертое квантовое число называется спином. Трехмерные фигуры,
описывающие эти области движения, представлены на следующих иллюстрациях.
116
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
s-орбиталь (/ = 0,	=0) п = 1 (водород)
п = 3 (натрий)
Сферические s-орбитали (I = О/
Двудольные р-орбитали (I = 1).
Четырехдольные d-орбитали (I = 2). Делятся на пять групп: dxy, du
(располагаются в плоскостях ху, yz, xz); dx,_y2 (гипербола в плоскости ху) и dz2 на оси z.
117
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
Эти трехмерные фигуры схожи с кривыми, которые называются розами. Их изу-
чил Луиджи Гвидо Гранди в 1723—1728 годах. Розы представляют собой синусо-
идальные кривые, уравнения которых в полярных координатах записываются так:
r=a-cos(k- 0) или г = а • sin(/? • 0).
Если k — целое, кривая будет иметь 2k лепестков при четных k и k лепестков —
при нечетных k. В обоих случаях кривая будет замкнутой. При k = 1 роза будет
иметь форму окружности.
к = 5
г -10 sin (56)
к=6
г—10 sin (60)
Если k четное, то при построении розы рассматриваются значения угла 6 от
О до 2п. Если k нечетное, то при построении розы рассматриваются значения угла 6
от 0 до И.
Если k — рациональное число (записывается в виде дроби), то роза также будет
замкнутой и иметь конечную длину. При k = — форма кривой будет зависеть от зна-
чений п и d. Если значения этих параметров известны, можно определить форму
118
КРИВЫЕ В ЖИЗНИ. НАУКЕ И ОБЩЕСТВЕ
и число лепестков розы еще до построения графика. Чтобы построить график розы,
нужно рассмотреть все значения угла 0 от 0 до И- d • р, где р = 1, если п  d нечетное,
и р = 2, если п • d четное. Рассмотрим несколько примеров.
к=2/3
к = 3/4
к = 3/5
Если k иррациональное (например, у/2 или и), роза занимает все пространство
и имеет бесконечное число лепестков.
119

Глава 5
Кривые в природе, искусстве
и дизайне
Конические сечения
Кривые, называемые коническими сечениями, описывают функционирование орга-
нов зрения человека. Область зрения человека представляет собой конус, в котором
находится двояковыпуклая линза — хрусталик глаза. Любая оптическая иллюзия,
перспектива или проекция так или иначе представляют собой конические сечения.
Следовательно, не будет преувеличением сказать, что наш мир — это мир кониче-
ских сечений.
Эти кривые оказали большое влияние на развитие искусства начиная с появления
перспективы в эпоху Возрождения. Конические сечения называются так потому,
что их можно определить как сечения (разрезы) двустороннего конуса плоскостью.
Рассечь двусторонний конус плоскостью можно тремя разными способами, каж-
дому из которых соответствует свое коническое сечение.
Парабола-сечение,
параллельное
образующей конуса.
Окружность и эллипс:
сечения, пересекающие
образующую конуса.
Гнперболы: сечения,
параллельные оси
конуса.
121
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
На первом рисунке показано сечение конуса плоскостью, параллельной его об-
разующей, — этим сечением является парабола. На втором рисунке представлены
два сечения, пересекающие ось конуса. В случае когда сечение перпендикулярно оси
конуса, имеем окружность, если же сечение распола! ается под другим углом к оси
конуса, имеем эллипс. На третьем рисунке изображено сечение конуса плоскостью,
параллельной его оси. Полученное сечение будет гиперболой — кривой, имеющей
две ветви (по одной на каждой стороне конуса).
Древнегреческий математик Менехм (ок. 380 — ок. 320 года до н.э.) первым
изучил конические сечения в попытках найти решение одной из трех главных задач
античности на построение с помощью циркуля и линейки. По всей видимости, он
был учителем Александра Македонского, что подтверждает и исторический анек-
дот: Александр спросил Менехма, нет ли простого способа изучить геометрию,
на что тот ответил: «О царь, совершить путешествие из одного места в другое мож-
но царским путем и путем для простолюдинов, но в геометрии есть только один путь
для всех».
Первая задача на построение с помощью циркуля и линейки была сформули-
рована в 370 году до н.э. Оракул попросил жителей Дельф построить кубический
алтарь, объем которого был бы ровно в два раза больше объема прежнего алтаря,
имевшего форму куба со стороной 7 метров. Эту задачу решил Менехм — один
из лучших учеников Евдокса, принадлежавшего к Академии Платона. Для этого
ему пришлось составить первое описание конических сечений, в частности парабо-
лы и гиперболы. Менехм рассмотрел частный случай конуса (с углом при вершине,
равным 90°; такой конус называется прямоугольным), рассеченного плоскостью,
перпендикулярной его образующей. Он выполнил ряд подсчетов и построений, свя-
занных с этим коническим сечением, которое представляло собой параболу. Далее
Менехм выполнил схожие действия для двух других видов конуса (остроугольного
и тупоугольного).
Чтобы определить форму сечений, Менехм наверняка использовал какие-то
механические приспособления, а также примитивные построения, алгебраические
методы и правило пропорции, поэтому сегодня считается, что в его трудах и в вось-
ми книгах «Конических сечений» Аполлония Пергского впервые были изложены
основы алгебры и описаны прообразы систем координат. Эти книги позднее были
переведены с греческого на арабский средневековыми математиками, в частности
Сабитом ибн Куррой (IX век н.э.). В 1536 году Ватиканской библиотекой был
опубликован сборник этих трудов, которые оказали огромное влияние на открытия
Декарта и Ферма.
122
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Менехм определил, что для решения дельфийской задачи об удвоении куба нуж-
но построить три вида конических сечений, полученных одним и тем же методом,
то есть сечением трех видов конуса (прямоугольного, остроугольного и тупоуголь-
ного) плоскостью, перпендикулярной его образующей. Кривые, построенные Ме-
нехмом, представляли собой две параболы и гиперболу.
Три конических сечения Менехма, представляющие собой решение дельфийской задачи об удвоении
куба. Сторона куба, объем которого в два раза больше объема исходного куба со стороной 7 м,
должна равняться (2-73 = 8,823).
Точку пересечения этих трех кривых можно найти с помощью современных ал-
гебраических методов. Для этого потребуется решить систему из трех уравнений:
х2 = 7у
' у2 = 2 • 7  х
ху = 2- 72.
Решением системы будет х3 = 2 • 73.
Менехм вычислил значение х графически, найдя точку пересечения трех постро-
енных им кривых, и получил х = 8,82.
Эта дельфийская задача на языке современной математики сводится к уравне-
нию:
L3=2-/3.
123
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
В современной записи решение этого уравнения будет выглядеть так:
L = ^2-l.
Применив инженерный калькулятор при I = 7 м, получим:
L = VI-7 = 8,819447349.
Можно сказать, что значение L = 8,82 было достаточно точным. В течение по-
лутора столетий кривые Менехма назывались в соответствии со способом их по-
строения: если сегодня мы именуем их эллипсом, параболой и гиперболой, то раньше
это были сечения, перпендикулярные образующей остроугольного, прямоугольного
и тупоугольного конуса соответственно.
Аполлоний (ок. 262 — ок. 190 года до н. э.) отправил первую книгу «Конических
сечений» Эвдему из Пергама (сегодня на этом месте расположен турецкий город
Бергама). С 263 года до н. э. Пергам был свободным городом, однако его жите-
лям приходилось заключать политические соглашения с всесильным Римом и сра-
жаться с соседними государствами. Аполлоний работал в Александрии, которая
славилась своей библиотекой и была передовым научным центром. В посвящении
к первой книге ученый описывает свою жизнь в Александрии и упоминает о путе-
шествии в Пергам. Именно так жили математики того времени: они наносили друг
другу визиты и обменивались новыми идеями. В посвящениях ко второму и тре-
тьему тому, адресованных своему другу Эвдему из Пергама, Аполлоний говорит
о новых математических собраниях в Эфесе. Труд Аполлония был создан благо-
даря царю Пергама Атталу I Сотеру, которому и посвящены следующие пять томов
«Конических сечений». В них математик описал три вида сечений одного и того же
конуса, получаемых изменением угла наклона плоскости сечения. Это стало важ-
ным шагом на пути к изучению трех конических сечений: теперь для их построе-
ния необязательно требовался прямоугольный конус (с углом при вершине, равным
90°). Аполлоний также впервые рассмотрел двусторонний конус и смог построить
две ветви гиперболы. Следуя подсказке Архимеда, он назвал построенные им ко-
нические сечения эллипсом, параболой и гиперболой. Хотя математические поня-
тия всегда были важнее обозначений, в этом случае заслуживают внимания и они.
Термины, использованные Аполлонием, происходили из древнего языка пифагорей-
цев и обозначали решения квадратных уравнений: эллипс обозначал «недостаток»,
гипербола — «избыток» (недаром одноименная стилистическая фигура означает
«преувеличение»), парабола — «равенство».
124
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Окружности
Окружность — это кривая, определяемая как множество точек, расположенных
на одинаковом расстоянии от точки, называемой центром окружности. Выдающиеся
философы древности, в частности Аристотель, считали, что эту форму имеют свя-
щеннейшие из вещей — орбиты небесных тел, Земля и вся Вселенная.
Греческий театр. Окружность является
основной фигурой в театре начиная
с античных времен.
Колесо в индийском храме (X век).
Создание на Востоке удивительного
изобретения, колеса, примерно в 3500
году до н.э. было бы невозможным, если
бы окружность не обладала некоторыми
особыми свойствами.
Окружность представляет собой сечение конуса плоскостью, перпендикулярной
его оси. Эксцентриситет окружности равен 0. Окружность можно считать предель-
ным случаем эллипса, в котором фокальное расстояние равно 0, а длины полуосей,
а и Ь, равны. Окружность — единственная кривая, касательная к которой в любой
точке образует прямой угол с радиусом, проведенным в эту точку.
Окружность также единственная
кривая, в которой одна и та же
хорда (например, отрезок АВ)
видна под одним и тем же углом
(в нашем примере — 41,41°)
из любой точки кривой.
125
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
4500 лет назад писец Ахмес, автор египетского папируса, названного в его честь
(также иногда его называют папирусом Райнда), указал, что длина окружности
превышает ее диаметр в
256 _Ч1,
----- 3,16 раз.
81
Греки Фалес, Анаксагор, Евклид и Архимед продолжили изучать окружность,
используя результаты, полученные египетскими математиками. Они попытались ре-
шить задачу о построении правильных многоугольников, вписанных в окружность,
а также задачу о квадратуре круга, то есть о построении квадрата, площадь которого
была бы равна площади данного круга. Около 350 года Евдокс разработал так на-
зываемый метод исчерпывания, или перехода к пределу, и получил формулу площа-
ди круга и длины окружности:
Площадь = 71 • радиус2.
Длина = 2л • радиус.
Кривые постоянной ширины
Если нам нужно переместить очень тяжелый предмет из одного места в другое, ко-
леса могут сломаться или покоситься. Лучше использовать плоскую платформу, ле-
жащую поверх валов цилиндрической формы, и перекладывать задние валы вперед
по мере перемещения. Такой способ движения возможен благодаря тому, что попе-
речным сечением цилиндра является окружность — замкнутая кривая постоянной
ширины. Если для перемещения грузов использовать эллиптические валы, платфор-
ма будет постоянно подниматься и опускаться, а окружность может вращаться меж-
ду двумя параллельными прямыми, сохраняя расстояние между ними. Подобным
свойством обладает бесконечно много других замкнутых кривых, простейшим при-
мером является треугольник Рёло, названный в честь своего изобретателя, немецко-
го математика и инженера Франца Рёло (1829—1905). Треугольник Рёло основан
на равностороннем треугольнике: из каждой его вершины строится дуга окружно-
сти, соединяющая две другие вершины треугольника. Если изготовить валы, сече-
нием которых будет треугольник Рёло, платформа будет двигаться так же плавно,
как и на валах цилиндрической формы. Форму треугольника Рёло имеют сверла,
позволяющие высверливать квадратные отверстия, например сверло, разработанное
американским инженером Уоттсом.
126
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Обратите внимание, что треугольник Рёло может свободно вращаться внутри неподвижного квадрата.
Кривая постоянной ширины
со скругленными углами.
Поперечное сечение сверла
Уоттса для сверления
квадратных отверстий.
Эллипсы
Любая окружность, видимая в перспективе, будет отображаться как эллипс. В эл-
липсе сумма расстояний из любой точки до фокусов есть постоянная величина, рав-
ная длине большой оси, 2a. Параметр, определяющий округлую или вытянутую
форму эллипса, называется эксцентриситетом (е) и рассчитывается по формуле:
Числа а и b указывают длину большей и меньшей полуосей эллипса, с — полови-
ну расстояния между фокусами. Эксцентриситет любой окружности всегда равен О,
так как с = 0. Эксцентриситет любого эллипса меньше 1, так как а всегда больше с.
На картинах немецкого художника Альбрехта Дюрера (1471—1528) эллипсы
имеют яйцевидную форму — Дюрер полагал, что сечения конуса наклонной плоско-
стью должны иметь меньшую кривизну в верхней части сечения. Увидев эту ошибку
в книге Дюрера «Правила измерения линий, плоскостей и целых тел при помощи
циркуля и угольника», опубликованной в 1525 году, Иоганн Кеплер не смог сдер-
жать улыбку.
127
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Метод построения эллипсов с помощью циркуля и линейки, использованный Альбрехтом Дюрером.
При разработке своего метода Дюрер взял за основу «Конические сечения» Аполлония.
Фокусы эллипса на следующем рисунке обозначены F} (0;с) и F2 (0; —с). Для
эллипса выполняется следующее соотношение между a, b и с: а2 = Ь2 + с2. Значение
2с называется фокальным расстоянием. Следовательно, в эллипсе, изображенном
на рисунке ниже, значение эксцентриситета равно
92 =62+с2; с2 = 92—62 =81-36 = 45; 6 = ^45=6,71,
фокальное расстояние эллипса равно: F} F2 = 2 с = 13,42.
128
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Рассказывают, что Льюис Кэрролл (1832—1898) сконструировал бильярдный
стол круглой формы. Если бы этот стол имел форму эллипса, то всякий раз, когда
шар проходил бы через его фокус, то, отражаясь от края стола, он неизменно прохо-
дил бы через другой фокус, и это повторялось бы снова и снова до полной останов-
ки шара. Шар, движущийся по такому бильярдному столу, отражается от его края
так, будто в точке соударения находится стена, расположенная вдоль касательной
к эллипсу в этой точке. В силу этого свойства шар, запущенный из фокуса «от-
разится» от касательной так, что углы ОС. и (3 будут равны, после чего его траектория
пройдет через фокус F2, как показано на рисунке.
Это свойство выполняется и для лучей света. Аполлоний первым показал, что
если поместить точечный источник света в один из фокусов эллиптического зеркала,
то лучи, отраженные в зеркале, пересекутся во втором фокусе.
Эллипсы можно увидеть в таких современных зданиях, как Аудиторио-де-Тенерифе на Канарских
островах (слева), или зданиях, построенных Оскаром Нимейером в Бразилиа.
129
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Суперэллипсы
Существуют кривые, представляющие собой что-то среднее между эллипсом и пря-
моугольником, — суперэллипсы. Они были созданы в 1945 году при реконструкции
одной из площадей Стокгольма: на этой огромной прямоугольной площади пересе-
кались два больших проспекта. Шведские архитекторы не смогли придать площади
форму эллипса, так как ее концы были слишком заостренными, и направить транс-
портные потоки вокруг них было бы сложно. Чтобы решить задачу, они обратились
к датскому писателю и изобретателю Питу Хейну (1905—1996), который предло-
жил интересное математическое решение. Эллипс задается уравнением:
Какую форму будет иметь кривая, если возвести переменные в степень 3, 4 и т. д.?
Она будет более округлой по сравнению с эллипсом и по форме похожей на прямоу-
гольник. При неограниченном увеличении показателей степени суперэллипс обра-
щается в прямоугольник со сторонами а и Ь.
Уравнения четырех суперэллипсов,
представленных на рисунке, записываются так:
Пит Хейн обнаружил, что твердое тело,
имеющее форму суперэллипса, подобно
колумбову яйцу: из любого положения
оно будет стремиться в вертикальное
положение равновесия.
—+у^=т 2L+yL=r 2L+yL=i
54 З4 ' 84 64	' W4 84	' 144 W4
Исходный эллипс (изображен пунктирной
линией) задается уравнением:
х2 у2
—+—
52 З2
= 1.
Гиперболы
Гипербола — это коническое сечение, имеющее центр и две отдельные ветви. Экс-
центриситет гиперболы больше 1. Траектории некоторых небесных тел, движущихся
под действием силы тяготения, порой имеют форму гиперболы.
130
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
При вращении гиперболы вокруг оси образуется
объемное тело, называемое однополостным
гиперболоидом.
Однополостный гиперболоид
задается уравнением:
а2 Ь2 с2
Гиперболу описал великий древнегреческий математик Евклид, однако он рас-
смотрел лишь одну ее ветвь, хотя до него гиперболы изучил Менехм.
Две ветви гиперболы при вращении вокруг
оси Y образуют объемное тело, называемое
двуполостным гиперболоидом.
Двуполостный гиперболоид
задается уравнением:
Прямая, проходящая через фокусы гиперболы, пересекает ее в точках, которые
называются вершинами. Расстояние между вершинами гиперболы, задаваемой сле-
дующим уравнением:
131
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
2	2
X___у_ = .
2	I.2	’
а b
равно длине ее большой оси, то есть 2 • а. Центр гиперболы — это середина отрез-
ка, соединяющего ее фокусы. В нашем примере он совпадает с точкой (0;0).
Проведем множество прямых из фокуса гиперболы, которые пересекут окруж-
ность радиуса а с центром в точке (0;0) в некоторых точках. В точках пересечения
прямых с окружностью проведем перпендикуляры к этим прямым. Получим мно-
жество прямых, определяющих кривую, называемую эвольвентой. Эта кривая будет
одной из ветвей гиперболы, как показано на рисунке.
Кубические кривые
Существует любопытное семейство кривых, называемых кубическими кривыми,
или кубиками. Их уравнение в общем виде записывается так: х • у2 — Р(х), где
Р(х) — многочлен, степень которого меньше либо равна 3. Эти кривые изучил Иса-
ак Ньютон в 1701 году. За характерную форму он назвал их трезубцами.
132
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
х-у2=(х + 1)(2х+ 1).
Кривые х- у2 = 1 и х • у2 = 1 + х2 имеют критическую точку х = 0, через которую
проходит вертикальная асимптота. При очень больших значениях х ветви кривой
приближаются к горизонтальной оси, а при очень больших положительных и очень
малых отрицательных значениях х функция возрастает.
Кривые х • у2 = 1 + х и х • у2 = (х + 1) (2х + 1) также имеют критическую
точку: х = 0. Первая функция обращается в ноль при отрицательном значении х
(х = —1). Ее график имеет две горизонтальные асимптоты у = 1 и у = —1. Вторая
функция имеет два нуля, которые лежат на участке кривой, имеющем форму овала.
Другие примеры кубических кривых изображены ниже.
Эллиптическая
кубическая кривая:
у2=4х3-20х + 15.
Функция, описывающая эллиптическую кубическую кривую, имеет три веще-
ственных нуля. Иными словами, график этой функции трижды пересекает ось X:
два раза — на участке кривой, имеющем форму овала, один раз — на ветви.
133
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Немецкий математик и врач Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус (1651—1708),
открывший формулу европейского фарфора, в своих математических трудах опи-
сал кривую, названную его именем. Ее функция имеет нуль в точке х = 1 и другой,
«двойной», нуль, в точке В (3;0) — график пересекает ось X в этой точке дважды.
Также в ней можно провести две касательные к кривой в зависимости от того, какую
ветвь мы будем рассматривать.
Параболы
Парабола обладает интересными свойствами, связанными с отражением лучей: если
на параболическое зеркало из удаленного источника света попадают лучи, парал-
лельные оси зеркала, отраженные лучи пересекутся в фокусе параболы.
На рисунке слева показано, как лучи, параллельные оси зеркала, фокусируются в одной точке.
Это свойство используется во многих областях повседневной жизни, в частности
при изготовлении солнечных печей (на рисунке справа).
По легенде, Архимед (ок. 287 года до н. э. — ок. 212 года до н. э.) помог жите-
лям Сиракуз отразить осаду римских войск, применив отражающие свойства пара-
болических зеркал. Он изготовил систему из металлических зеркал, расположенных
в форме параболы, сфокусировал солнечные лучи на римских кораблях, и те заго-
релись.
Если парабола проходит через начало координат (0;0) и имеет горизонтальную
ось симметрии, то ее уравнение приобретает тот же вид, что и уравнение параболы
у2 = Зх (график этой функции изображен на рисунке пунктирной линией). Если ось
симметрии параболы располагается под наклоном, уравнение будет более сложным.
Уравнение параболы, ось симметрии которой расположена под углом 45° к горизонталь-
ной оси, в неявном виде будет выглядеть так: 0,72х2—0,89ху + 0,28у2—1,58х —
— 2,55у = 0.
134
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Прекрасные кривые
В этом разделе мы поговорим о кривых, которые используются в декоративных це-
лях или удивительно похожи на объекты природы.
Трилистник Хабенихта.
Уравнение в полярных
координатах:
r=l +cos 36+sin2 36.
Трилистник Брокара (алгебраическая кривая).
Уравнение в декартовых координатах в неявном виде:
2	2 4х(х2-Зу2)	| 2	2 Зх(х2-Зу2) _Т _
X +у------—----т-£+4 - X2 +у2-----!----г^-+2 -°-
X +у	X +у )
Уравнение в полярных координатах:
I sin 361 ((cos36 + 7)'/3 - (7 - cos36)113) _ эп
(1-cos36) -(cos36+T)
Яйцо Хюгельшеффера. Уравнение в декартовых
координатах:
V 35 + 2х
135
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Цепочка. Уравнение в декартовых координатах: f(x) = +y]\ s/n(x)|.
Кривая Моритца. Уравнение
в полярных координатах:
96
r=cos--.
10
«Кривая рыбака».
Уравнение в декартовых
координатах:
\2х3 -42х2 + 240х
У V 125
136
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Симметричная роза с четырьмя лепестками.
Параметрические уравнения:
х = ±yj3cos2t cost + 0,82
у - ±y]3cos2t  sin t +0,82
Узорчатая кривая. Уравнение
в полярных координатах:
90 7
r=cos-----------+ —.
4 3
Эвольвента окружности
Чтобы построить эту спиралевидную кривую, нужно отметить карандашом на листе
бумаги траекторию конца натянутой нити, наматываемой на катушку, зафиксиро-
ванную в некоторой точке. Фиксированная точка, в которой находится катушка,
имеет координаты (0;0), радиус катушки равен 2 см, расстояние между витками
эвольвенты постоянно и равно 4п см ~ 12,57 см.
Параметрические
уравнения эвольвенты
окружности:
| х = 2(cos( t) + t-sin (Г))
[у = 2( sin(t) -t  cos(t))
Уравнение в полярных
координатах:
1	I----	( э
О=+—yjr2 -4-arccos —
2	I r
137
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
При больших значениях t, когда эвольвента окружности насчитывает уже
несколько витков, она начинает асимптотически приближаться к спирали Архимеда.
По этой причине она считается идеальной формой кулачков кулачкового механизма,
а также используется при конструировании двигателей. Если рассмотреть ее по-
строение в обратном направлении и представить, что эвольвента окружности враща-
ется вокруг своего центра, то касательные к ней в заданном направлении будут пере-
мещаться в двух направлениях под действием пружины, как показано ниже.
Кулачковый механизм, детали которого имеют форму дуг эвольвенты окружности.
Спираль Архимеда
Спираль Архимеда была рассмотрена этим древнегреческим математиком в 225 году
до н. э. в труде «О спиралях». Архимед применил эту кривую для решения двух за-
дач на построение с помощью циркуля и линейки — задачи о трисекции угла и за-
дачи о квадратуре круга. Спираль Архимеда — это траектория точки, равномерно
движущейся вдоль прямой на плоскости, в то время как эта прямая равномерно вра-
щается вокруг одной из своих точек. Форму спирали Архимеда имеют, к примеру,
звуковые дорожки на старых виниловых пластинках. Точка (0;0) является центром
вращения и одновременно предельным случаем эвольвенты окружности радиуса
г = 0 для начального угла 0 = 0. Спираль, изображенная на следующем рисунке,
в полярных координатах описывается уравнением г = 50 и имеет шаг в Юл » 31,42.
Параметрические уравнения этой кривой записываются так:
{х = 5 • t • cos(f)
у = 5-1- sin(f).
138
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ. ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Эта кривая обладает особыми свойствами: к примеру, площадь ее первого вит-
ка равна третьей части площади круга, в который она вписана. Построить спираль
Архимеда очень просто, поэтому она встречается в самых разных узорах начиная
с глубокой древности. Так, чтобы изобразить спираль Архимеда на глиняном кув-
шине, достаточно вращать гончарный круг и одновременно смещать кисть в опре-
деленном направлении из центра к краю с постоянной скоростью. Спиралевидные
узоры были обнаружены в захоронениях бронзового века, их можно увидеть на гре-
ческих и этрусских вазах, а также в надписях и украшениях на керамике. Кельты
создавали украшения и медальоны, на которых с помощью трех спиралей, входящих
в круг и выходящих из него, изображалась двойственность сил, неизменно присут-
ствующая в природе, и равновесие, выражаемое числом 3.
Другие спирали
Слово «спираль» означает плоскую кривую, которая представляет собой траекто-
рию точки, вращающейся вокруг фиксированного полюса, при этом прямое и воз-
вратное движение происходят непрерывно. Все спирали являются трансцендентны-
ми кривыми.
В природе, искусстве и технике можно увидеть бесчисленное множество спира-
лей, поэтому спиралевидные кривые неизменно притягивают внимание математи-
ков. Однако, как указывает сама форма спиралей, они постоянно «ускользают»
139
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ. ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
от ученых. Это не статические кривые, подобные окружности или параболе, — для
построения спиралевидных кривых необходимы определенные механические ин-
струменты, то есть какие-либо объекты, которые движутся или увеличиваются
в размерах. Согласно математическому определению, спирали — это плоские кри-
вые, которые начинаются в точке, после чего их кривизна последовательно убывает.
Жезл (Коутс, МакЛорен, 1722).
Уравнение в полярных координатах:
Спираль Ферма (1636).
Уравнение: г = +5\[в.
Эта кривая обладает
центральной симметрией
относительно полюса (0;0).
Кривой, обратной спирали
Ферма, является жезл.
Спираль Дюрера (1525),
в основе которой лежит золотое
сечение:
представляет собой множество
касающихся дуг окружностей.
Гиперболическая спираль,
или спираль Вариньона
(1704). Уравнение
в полярных координатах:
100
г =---.
е
140
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Логарифмическая спираль
Эту кривую изучали Декарт и Торричелли в 1638 году, позднее ее рассмотрел Якоб
Бернулли (1654—1705). Она также называется равноугольной спиралью и спира-
лью Бернулли (сам Бернулли называл ее spira mirabilis).
Слева — наутилус, моллюск, раковина которого имеет форму логарифмической спирали (справа).
в
Уравнение логарифмической спирали в полярных координатах записывается так: г=-3е3.
е
Уравнение логарифмической спирали в общем случае имеет вид г = a • ek. Для ло-
гарифмической спирали, изображенной на рисунке, a = 3, k = —3. Логарифмиче-
скую спираль можно определить как кривую, для которой угол между касательной
и радиусом, проведенным в точку касания, постоянен, и тангенс этого угла равен k.
Также она представляет собой плоскую развертку конической винтовой линии.
Логарифмическая спираль обладает исключительным постоянством относитель-
но любых классических геометрических преобразований. Это свойство означает,
что результатом вращения, увеличения, уменьшения или инвертирования логариф-
мической спирали будет другая логарифмическая спираль. Кроме того, эволютой,
подерой, каустикой отражения и каустикой преломления логарифмической спирали
также будет логарифмическая спираль.
Это любопытное свойство глубоко взволновало Бернулли, который повелел вы-
сечь на своем надгробии в Базеле свою любимую spira mirabilis с надписью Eadem
mutata resurgo («Измененная, я вновь воскресаю»).
В задаче о кривой погони четыре животных, движущихся с постоянной скоро-
стью, начинают свой бег из четырех вершин квадрата. Каждое животное гонится
за тем, которое находится справа от него. Кривые, описывающие траектории жи-
вотных, будут логарифмическими спиралями, которые встретятся в центре квадрата.
141
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Космический корабль при переходе с одной круговой орбиты на другую также
движется вдоль логарифмической спирали. Для этого достаточно сравнительно
небольшого ускорения. Тяга, которую должны вырабатывать двигатели корабля,
будет уменьшаться по мере отдаления корабля от центра спирали. Форму спирале-
видных кривых также имеют галактики и ураганы, что видно на следующих фото-
графиях.
Фотография спиралевидной галактики Messier 88 (слева) и фотография урагана Катрина,
сделанная с Международной космической станции.
Логарифмическая спираль применяется в классической и современной архитек-
туре, в современной скульптуре и кованых изделиях.
Двойная винтовая лестница. Ватикан, Донато Браманте, XVI век.
142
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Кардиоида
Кардиоида получила свое название из-за схожести с изображением сердца. Она
принадлежит к семейству кривых, называемых «улитками Паскаля» в честь их пер-
вооткрывателя, Этьена Паскаля (1588—1651), отца Блеза Паскаля, одного из ос-
новоположников теории вероятностей (1654) и создателя первой механической вы-
числительной машины. Этьен Паскаль описал свою кривую в многочисленных
письмах к другим европейским математикам.
Уравнение кардиоиды, изображенной на рисунке, в декартовых координатах за-
писывается так: (х2 + у2 — х)2 — (х2 + у2); уравнение в полярных координатах —
г— 1 + cos0, параметрические уравнения:
х = (1 + cos(/)) • cos(f)
у = (l + cos(f)) • sin (г).
Эта кардиоида имеет особую точку с координатами (0;0) — так называемую
точку возврата. Кардиоида, подобная той, которая описывается уравнением г = 2а
(1 + cosO), строится вращением окружности радиуса а (без скольжения) вокруг
другой, неподвижной окружности того же радиуса с центром в точке (а; 0). Для
рассматриваемой кардиоиды а = 0,5, следовательно, радиус неподвижной окруж-
ности равен 0,5, а ее центр имеет координаты (0,5; 0).
Траекторией точки окружности радиуса 0,5, которая движется без скольжения
вокруг другой, неподвижной окружности, и будет кардиоида. Следовательно, кар-
диоида — частный случай эпициклоиды, описанной в главе 3.
143
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Две разновидности улитки Паскаля для разных значений b и а. При Ь<а улитка Паскаля выглядит так,
как показано на графике справа, при Ь>а — так, как показано на графике слева.
Уравнение улитки Паскаля в полярных координатах в общем виде записывается
так: г = b + a cos®, уравнение в декартовых координатах — (х2 + у2 — 2ах)2 = Ь2
(х2 + у2).
Эту кривую изучил еще Дюрер в 1525 году и дал ей название арахнида. Ее мож-
но встретить в занимательных задачах, например в такой: девочка с талией в форме
идеальной окружности крутит обруч, диаметр которого в два раза больше диаметра
ее талии. Мы нанесли на обруч отметку фломастером. Нужно определить, как будет
выглядеть траектория отмеченное точки, когда девочка будет крутить обруч. Ответ
удивит многих: этой кривой будет кардиоида.
Цепная линия
Цепная линия — это линия, форму которой принимает однородная нерастяжимая
нить (то есть нить, которая не растягивается под собственным весом), подвешенная
между двумя точками, под действием силы тяжести. Галилей считал, что цепная ли-
ния имеет форму параболы, но он ошибался. Корректное определение этой кривой
дали Лейбниц, Гюйгенс и Иоганн Бернулли примерно в 1690 году. В уравнении цеп-
ной линии используется достаточно специфическая функция (гиперболический ко-
синус), связанная с экспоненциальной функцией:
chfrr) =
ех +е
2
144
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Тригонометрическому синусу соответствует гиперболический синус:
— ё
sh (х) =-------
В отличие от тригонометрического синуса и косинуса угла х, связанных соотно-
шением cos2(x) + sin2(x) = 1, гиперболический синус и косинус связаны выражени-
ем: ch2(x) — sh2(x) = 1.
В главе 4 мы подробно рассказали о тригонометрических и гиперболических
функциях и их графиках.
Параметрические уравнения цепной линии записываются так:
х = а • 1п(£)
а
’ при t>0.
Z
Нетрудно видеть, что логарифмическая функция, которая используется в урав-
нении кривой, является обратной для экспоненциальной функции. Напомним, что
145
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
у = е' и у = /n(f) — обратные функции. Длина участка цепной линии L(x) между ее
нижней точкой (х = 0; у — а) и точкой с координатами (х; у) равна:
L(x) = а •sh
Длина участка кривой L(x) и ордината его конца у(х) связаны отношением:
у 2(х) — L2(x) = о2.
Площадь криволинейного прямоугольника, ограниченного цепной линией, осью
абсцисс, осью ординат и вертикальной линией, рассчитывается по формуле
5 = a-L(x).
Поперечное сечение паруса, раздутого ве-
тром, также будет цепной линией, поскольку
сила, с которой ветер действует на парус в го-
ризонтальном направлении, аналогична силе
тяжести, действующей на цепь, как показано
на фотографиях. Якоб Бернулли называл цеп-
ную линию парусной.
Если вращать параболу вдоль прямой, то траекторией фокуса параболы будет
цепная линия. Вблизи вершины парабола и цепная линия практически совпадают,
как показано на графике на предыдущей странице, однако прогиб параболы больше.
Цепная линия — это геометрическое место точек, в которых горизонтальное на-
тяжение нити (кабеля, провода) компенсируется. Таким образом, провод не испы-
тывает бокового натяжения, но его натяжение распределяется между вертикально
действующей силой (силой тяжести) и силой, действующей по касательной к про-
воду в каждой его точке (эта сила поддерживает провод в натянутом состоянии).
146
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Когда линейный архитектурный элемент испытывает нагрузку по вертикали,
то напряжение материала будет минимальным, если продольная ось элемента (ось
симметрии его сечения) имеет форму цепной линии. Это свойство используется при
возведении арок. Арка в форме перевернутой цепной линии представляет собой
кривую, для которой напряжение материала минимально. Такие арки использовали
многие архитекторы, в частности Антонио Гауди.
Математическая модель цепной линии и модель двумерной цепной линии,
форму которой имеет один из элементов дома Висенс в Барселоне.
Напряжение в каждой точке арки, имеющей форму цепной линии, будет рас-
пределяться между вертикальной составляющей, поддерживающей саму арку, и со-
ставляющей, направленной по касательной (благодаря ей вся нагрузка будет ока-
зываться на основание арки). Это свойство является отличительной особенностью
подобных арок и позволяет не укреплять их опорами с обеих сторон. В романских
церквях стены по бокам дверей и окон были очень толстыми, чтобы в круглых арках
не появлялись трещины. Средневековым архитекторам не удалось найти идеаль-
ную форму арки для оптимального распределения поперечной нагрузки. Несмотря
на то что стрельчатые арки по форме были ближе к цепным линиям, они должны
были опираться на мощные наружные аркбутаны, которые поглощали горизонталь-
ное напряжение и передавали нагрузку на фундамент.
При одинаковом расстоянии между подвешенными точками парабола будет
менее заостренной, чем цепная линия (ее прогиб будет больше). Если мост имеет
форму параболы, то его прогиб в центральной точке чуть меньше, чем если мост
имеет форму цепной линии. Рассматривая реальный висячий мост, массой кабелей
по сравнению с массой самого моста можно пренебречь и, следовательно, можно
считать, что кабель имеет форму параболы.
147
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ. ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Если говорить о проводах контактной сети электрического транспорта, то несу-
щий трос и контактный провод имеют массу одного порядка. Следовательно, при-
веденные выше рассуждения справедливы и в этом случае, однако в действитель-
ности несущий трос скорее имеет форму прерывистой линии.
Арка «Ворота Запада» в Сент-Луисе, штат Миссури, имеет форму цепной линии.
Кривые в системах автоматизированного проектирования
(САПР)
В системах автоматизированного проектирования (САПР) используются кривые
различных видов. Чем выше математическая сложность кривых, тем реалистичнее
выглядят изображаемые объекты. Полученные чертежи двухмерных или трехмер-
ных объектов можно отпечатать на бумаге или использовать в анимации, моделиру-
ющей виртуальную реальность.
Простейшие кривые, используемые в САПР, называются кривыми Безье
в честь их изобретателя, инженера Пьера Безье. Чтобы изобразить кривую, опре-
деляемую четырьмя точками, используется кубическая кривая Безье. Если четыре
исходные точки имеют координаты А (0;0), В (1;3), С (4;3) и D (6;0), то уравне-
ние кривой (оно будет представлять собой многочлен третьей степени), записанное
148
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
в сокращенном виде (в так называемой векторной форме), для и от 0 до 1 имеет вид:
В3(н) = (1- н)М + 3u (1- и)2в + 3u2(l - н)С + u3D.
В более развернутом уравнении кривая, определяемая четырьмя данными точка-
ми, описывается уравнением:
[х(н);у(и)]=(1- и)3 [0;0] + Зн(1- и)2 [1;3] + 3н2(1-и)[4;3] + и3 [6;0].
Выразив координаты х и у по отдельности, получим два выражения:
< х = (1—и)3 0 + Зи(1 —и)2  1 + Зи2(1 — и)-4 + и3 -6
у = (1 — и)3 -0 + Зи(1 —w)2 • 3 + 3и2(1 — и)• З + и3 -0-
Выполнив указанные операции, получим параметрические уравнения, описыва-
ющие кубическую кривую Безье:
< х = — Зи3 +6и2 +3и
у — —9и2 +9и.
Кривая начинается в точке А и направляется к В, затем достигает D, двигаясь
в направлении, определяемом точкой С, как показано на рисунке. Точки А и D —
промежуточные точки кривой, которую мы хотим изобразить. Точки В и С называ-
ются контрольными точками. Они используются следующим образом: касательны-
ми к кривой в точках А и D являются прямые АВ и CD соответственно.
Кубическая кривая Безье для точек А (0:0), В (1:3), С (4;3) и D (6;0).
Точки А и D — промежуточные, точки В и С — контрольные.
149
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Как правило, кривая не проходит ни через В, ни через С: эти точки всего лишь
определяют ее направление, то есть указывают направление касательных к искомой
кривой в точках А и D. Расстояние между В и С указывает, какую длину должна
иметь кривая, которая движется в направлении С, прежде чем направиться в сторо-
ну точки D в том же направлении, что и касательная к кривой в точке D.
Чтобы сделать изображаемый объект более реалистичным и придать ему бо-
лее плавные очертания, используются кривые Безье высших степеней. Например,
для изображения кривой, определяемой пятью точками, допустим Л (1;1), В (3;0),
С (4;5), D (2;3) и Е (1;1), используется кривая Безье четвертой степени, кото-
рая будет описываться следующим уравнением в сокращенном виде для значений и
от 0 до 1:
В4(и)=(1— и)4А+ 4и(1— и)3В +6и2(1— и)2С + 4(1— u)u3D + u4E.
В более развернутой, векторной форме для пяти данных точек искомая кривая
будет задаваться уравнением:
[x(u);y(u)] =
= (1-и)4[1:1] + 4и (1 - и)3[3:0] + би 2(1- и)2[4;5] + 4и3(1- и) [2;3] + и4
Кривая начинается в точке А и направляется в сторону В. Точки С и D указы-
вают форму кривой, которая движется к точке Е в направлении DE, как показано
на следующем рисунке. Выразив координаты х и у по отдельности, получим два
выражения:
< х = (1 — и)4 • 1 + 4и(1 — и)3 • 3 + 6н2(1 —и)2 • 4 + 4(1 —н)и3 • 2 + и4 • 1
у = (1 — и)4 • 1 + 4и(1 —и)3 • 0 + 6и2(1 —и)2 • 5 + 4(1 —и)»' • 3 + и4 1 -
Выполнив указанные операции, получим параметрические уравнения, описыва-
ющие кривую Безье четвертой степени:
< х = би4— 8 и — 6 и2+ 8 и + 1
у =20и4— 52 и3 + 36 и2 — 4 и+ 1-
На рисунке вы можете видеть, что кривая Безье всегда располагается внутри
многоугольника, образованного определяющими ее точками.
150
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
6
Кривая Безье четвертой степени для точек А В (3;0), С (4;5), D (2;3) и Е
Точки А и Е — промежуточные, точки В,СиО — контрольные.
Существуют и другие математические модели, позволяющие изобразить с по-
мощью компьютера более сложные кривые. В качестве примера можно привести
В-сплайны, а также кривые и поверхности NURBS. Сплайны — это функции, об-
ласти определения которых разбиты на множество отрезков, обладающих непре-
рывностью в точках перехода от одного отрезка к другому. Простейший линейный
сплайн — это ломаная линия в двумерном или трехмерном пространстве.
Сплайн в переводе с английского означает «гибкое лекало» — здесь имеются
в виду лекала, которые использовались для вычерчивания корпусов кораблей и фю-
зеляжей самолетов. Особая форма этих гибких лекал соответствует минимуму энер-
гии натяжения. Сплайны были созданы для того, чтобы преодолеть ограничения,
связанные с недостаточными возможностями контроля локальной формы кривых
Безье. Обеспечить непрерывность кривых Безье было сложно, а степень описыва-
ющей их функции определялась числом контрольных точек. Функцию /(и) можно
приближенно описать многочленом р второй степени, выполнив интерполяцию /(и)
по четырем известным абсциссам: uQ <	< u2 < uy Результат численного анализа
означает, что разность между р и У на интервале [u0; и3] можно выразить так:
Г(4)(й
р(и) - /(и) = J	{и - и0)(и - ^(и - и2)(и - и3),
4!
где v = v(u) на интервале [и0; и3].
151
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
Как правило, ошибка уменьшается с уменьшением разницы между абсциссами.
Тем не менее аппроксимация функции f(u) функциями более высоких степеней не бу-
дет автоматически означать более высокой точности. По этой причине во многих
программах используются полиномиальные функции небольших степеней, заданные
на отрезках, например кубические функции, отличающиеся простотой и гибкостью.
Кривая, описываемая множеством точек. Интерполяция
Процесс поиска простой кривой, которая лучше всего описывает определенное мно-
жество точек, то есть проходит через все эти точки, называется интерполяцией.
Простейшей разновидностью интерполяции является полиномиальная, позволяю-
щая найти полиномиальную функцию, которая описывает кривую, проходящую че-
рез все исходные точки. Степень этой функции будет меньше или равна числу точек,
через которые должен проходить ее график.
Существует множество методов решения задачи интерполяции, которые были
предложены, в частности, Ньютоном и Лагранжем. Простейшим из них являет-
ся алгебраический метод, заключающийся в решении системы линейных уравнений
(уравнений первой степени), в которых неизвестными являются коэффициенгы ис-
комой полиномиальной функции. Допустим, что мы хотим найти функцию, график
которой проходит через пять точек А (0;0), В (1;1), С (2;2), D (3;0) и Е (5;4).
Простейшей функцией, удовлетворяющей этому условию, будет полиномиальная
функция четвертой степени. Она имеет не более пяти членов и выглядит следующим
образом:
у = ах4 + Ьх3 + ex2 + dx + e.
В уравнении искомой кривой нам неизвестны значения коэффициентов (числа,
умножаемые на переменную х в различных степенях), которые мы обозначили а, Ь,
с, d, е. Искомая кривая представляет собой график функции у — ах4 + Ьх3 + ех2 +
+ dx + е. Она должна проходить через пять точек: А (0;0), В (1;1), С (2;2),
D (3;0) и Е (5;4). Кривая проходит через точку в случае, если, подставив коорди-
нату х этой точки в уравнение кривой (для точки Е х = 5), мы получим координату у
рассматриваемой точки (для точки Е у — 4). Таким образом определяется уравнение
для каждой точки. Получим пять уравнений с пятью неизвестными, представленные
ниже:
152
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
О — д04+Ь0 + сО" + dO + €
1 —	+ Ь13 +cl ~kdl~t~€
2 = a24+b2*+c2?+d2 + e '.
О = «З4 + Ь33 + с32 + d3 + e
4 = «54 + /;53 +с52 + d5 + e
Эти уравнения можно решить с помощью программы символьных вычислений
Derive.
Решением уравнения будет функция:
29 4 39 3 499 , 29
у =----х------х Ч-----х“----X.
120	20	120	20
На рисунках ниже изображены данные точки и кривая, проходящая через них.
2	»С=(2;2)
1	-В=(1;1)
, А = (0;0) D= (3;0)
Кривые в типографике и графическом дизайне
В типографике имеют значение малейшие детали, которые могут повлиять на вос-
приятие конечного продукта, будь то реклама или любой другой текст, набранный
153
КРИВЫЕ В ПРИРОДЕ, ИСКУССТВЕ И ДИЗАЙНЕ
определенным шрифтом. Взглянув на два шрифта, изображенные на рисунке, вы
поймете, как важны кривые при создании шрифтов.
AaBbDdKkRrpPVvQqZz 138%?!
AaBbDd KkRrpPVvQqZz 138%?!
Пример шрифта с засечками (serif; на иллюстрации вверху) и без засечек (sans serif).
Современные латинские шрифты с засечками восходят к шрифтам, созданным
художниками Возрождения, в частности Альбрехтом Дюрером и печатником Фран-
ческо Торниелло (1490—1589), который определил геометрические очертания сим-
волов латинского алфавита. Позднее он создал сетку размером 18 х 18 точек, по-
зволяющую определить любой шрифт. Эта сетка использовалась в типографии в ка-
честве системы координат.
Заглавная буква «А» Альбрехта Дюрера (1528)
и заглавная буква «В» Франческо Торниелло (1517).
На этом мы завершаем нашу короткую экскурсию в мир кривых. Как вы уже
поняли, мы в нашей жизни очень часто сталкиваемся с этими удивительными и за-
гадочными линиями. Если читатель продолжит путь по огромному миру кривых,
его ждет множество чудес, сюрпризов и приключений. Авторы надеются, что им
удалось передать очарование, заключенное в древних, сложных и таинственных
кривых.
154
Библиография
ALVAREZ Perez, J.M., Curvas en la historia, Madrid, Editorial Nivola, 2006.
BOLTIANSKI,V.G., La envolvente, Moscu, Editorial Mir, 1977.
HOGBEN, L., Las matemdticas al alcance de todos, Buenos Aires, Joaquin Gil editor,
1943.
LOCKWOOD, E.H. A Book of Curves, Cambridge, Cambridge University Press, 1961.
OLALQUIAGA, P., OLALQUIAGA, A., El libro de las curvas, Madrid, Fundacion Es-
teyco, 2005.
PEDOE, D., La geometna en el arte, Barcelona, Editorial Gustavo Pili, 1982.
PEREZ Sanz, A., Curvas en la naturaleza, ciclo «Un paseo por la geometna», Facultad
de Ciencia у lecnologia de la Universidad del Pais Vasco, 2003.
PUIG Adam, P., Curso de geometna metrica, Madrid, Gomez Puig Ediciones, 1979.
Revue DU Palais DE LA DfiCOUVERTE № 45, Courbes mathematiques, Paris, 1995.
VASILIEV N.B., GUTENMAJER V.L., Rectas у curvas, Moscu, Editorial Mir, 1980.
155

Алфавитный указатель
Derive 8, 30, 50, 62, 72,153
Geogebra 8, 50
абсцисса 14—15, 48, 62, 71
амплитуда 36, 88, 90,101-102,109
Аполлоний Пергский 57, 81, 122, 124,
128,129
Архимед из Сиракуз 67, 124, 126, 134
асимптота 49, 56, 133
астроида 7, 93
Безье, Пьер 28, 148
Бернулли, Якоб 20,34,45,54,141,146
биномиальное распределение 35
брахистохрона 87, 88
ветви кривой 17,44,122,124,130—132,
134
выпуклость 66—67
Галилей, Галилео 81—82, 144
Гауди, Антонио 147
Гаусс, Карл Фридрих 25, 38—39
геодезическая линия 84-87
гипербола 37, 43,121—124,130—134
гипотрохоиды 91, 94
гипоциклоиды 91—94
Гранди, Луиджи Гвидо 30—31
Гюйгенс, Христиан 88, 90, 99, 144
Декарт, Рене И, 122, 141
дельтоида 7, 92
директриса 42, 87
Дюрер, Альбрехт 127—128, 140, 144,
154
задачи на построение с помощью цирку-
ля и линейки 122-123,138
интеграл 72, 75, 77, 89
интерполяция 152—153
исчисление бесконечно малых 7, 67
кардиоида 143—144
Кеплер, Иоганн 20, 127
коническое сечение 16, 121—125, 130
кривая
«Бабочка» Темпла Фея 136
«Кривая рыбака» 136
Гаусса 38
грушевидная 27
кардиоида 136
квадратичная 29
Моритца 136
овал Кассини 27
периодическая 32—33, 36
погони 96—99, 141
трактриса 43—44, 50, 98—99
трилистник 135
цепная линия 106, 144—148
цепочка 136
эмпирическая 36, 38
яйцо Хюгельшеффера 135
кривизна 67, 86—87,127,140
кривые
Безье 29-30,148-151
в типографике 153—154
заданные в неявном виде 50
заданные в явном виде 50
Лиссажу 31, 109—112
логистические 107, 108
постоянной ширины 126—127
розы 118
Лагранж, Жозеф Луи 88, 152
157
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лейбниц, Готфрид Вильгельм 57, 59,
61, 67,144
лемниската 41, 44—45, 50, 51
Менехм 122-124, 131
метод исчерпывания 67
многочлен 47, 49, 53,132,151
нормальное распределение 35
нули функции 62
Ньютон, Исаак 20, 57, 61, 67, 73—74,
132
область определения функции 63—65
окружность 12—26, 41, 67, 72, 85, 87,
91-95,125-126
ордината 14,15, 37, 45, 54,146
парабола 16—18, 42—48, 134—135, 146
параметрические уравнения 26—31, 87,
109,137,138,143,145,149,150
Паскаль, Этьен 143
Пифагора теорема 12, 13, 68, 69, 71
предел 57—60, 72, ИЗ
производная 20, 54, 59—61, 70, 72, 97
Рёло, Франц 126—127
Риман, Бернхард 69, 75
символьные вычисления 8, 30, 62, 72,
153
спирали Пуансо 106
спираль
Архимеда 24, 25, 138—139
Вариньона 140
Дюрера 140
жезл 140
логарифмическая, или спираль
Бернулли 72, 141—142
Ферма 140
сплайны 151
суперэллипсы 93, 130
таутохронная кривая 88, 89
Торниелло, Франческо 154
точка
критическая 92, 133
перегиба 66—67
угловой коэффициент И, 12, 15, 28, 54,
56-61
улитка Паскаля 95,143
уравнение
в полярных координатах 135, 137—
144
в неявном виде 16, 25, 30, 134, 135
в явном виде 16, 30
в декартовых координатах И, 12,16,
41-45, 47, 57
Ферма, Пьер И, 57, 61, 67, 122
фокус 19, 42—44,127—134
функции
алгебраические 53
гиперболические 104—107
полиномиальные 51—53, 64, 152
трансцендентные 53—56
тригонометрические 53, 102, 104—
106, 112
функция
иррациональная 65
кусочно-заданная 56
логарифмическая 53, 65
непрерывная 36
пилообразная 103
экспоненциальная 53—55, 64, 145
циклоида 87—95
Чирнхаус, Эренфрид Вальтер фон
133-134
эвольвента окружности 137—138
Эйлер, Леонард 25, 50, 54, 88
158
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
экстремумы функции 57, 61
эллипс 19, 26, 42, 72,124,127-130
эпитрохоиды 91, 94, 95
эпициклоиды 91—92, 95
159
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 29
Жузеп С алее, Франсеск Баньюлс
Таинственные кривые. Эллипсы, гиперболы
и другие математические чудеса
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не при-
нимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
® 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисна»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
Укра!на, 01033, м. Ки!в, а/с «Де Агоспю»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
® + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p. A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 18.06.2014
Дата поступления в продажу на территории
России: 05.08.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.
Усл. печ. л. 6,48.
Тираж: 34 000 экз.
© Josep Sales, Francesc Banyuls, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2012
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0724-3 (т. 29)
@
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТР ТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Таинственные
кривые
Эллипсы, гиперболы
и другие математические чудеса
Если прямая - это кратчайшая линия между двумя точками,
то кривая указывает нам более длинный путь. Кривые в нашей
жизни встречаются намного чаще, чем прямые: они описывают
форму колес и траектории космических ракет, движение
электронов и перемещение ураганов. Они передают великие
идеи и изображения, их используют для составления прогнозов
в науке и жизни. Эта книга расскажет читателю о том, как можно
выразить кривые с помощью чисел и переменных. Приглашаем
вас приоткрыть дверь в мир кривых: за ней скрывается
множество математических чудес.