Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей - Фоменко А.Т., Тужилин А.А.

Author: Фоменко А.Т. Тужилин А.А.

Tags: фармация аптечное дело геометрия топология математика

ISBN: 5-02-014811-3

Year: 1991

Similar

Курс гомотопической топологии

Основы дифференциальной геометрии. Том 2

Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире

Симплектическая геометрия

Text

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
А. А. ТУЖИЛИН, А. Т. ФОМЕНКО
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ
И ТОПОЛОГИИ
МИНИМАЛЬНЫХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1991

ББК 22.152 Серия «Современная математика для студентов»
Т81 издается с 1989 года
УДК 615.1@75.8)
Серия выпускается под общим руководством Правления Мо-
Московского математического общества.
Главный редактор серий — Президент Московского математи-
математического общества академик С. П. Новиков.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Тужилин А. А., Фоменко А. Т. Элементы геометрия
в топологии минимальных поверхностей.— М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит. 1991.— С. 176.— (Совр. мат. для студентов).—
ISBN 5-02-014811-3.
В популярной форме рассказывается об одном из самых интри-
интригующих разделов современной геометрии — о минимальных по-
поверхностях в трехмерном пространстве. Такие поверхности моде-
моделируют границы раздела физических сред с одинаковыми давле-
давлениями и возникают в самых разных областях современной науки.
Основана на материале лекций, прочитанных А. Т. Фоменко на
механико-математическом факультете МГУ, в том числе в рамках
известного цикла «Студенческие чтения», организованного Москов-
Московским математическим обществом. Книга снабжена богатым иллюст-
иллюстративным материалом.
Для студентов, аспирантов и научных работников — математи-
математиков, физиков и механиков, интересующихся приложениями мето-
методов современной геометрии.
Ил. 69. Библиогр. 40 назв.
т 1602050000-099 42 91
053 @2)-91
ISBN 5-02-014811-3
(Р) «Наука».
физматлит, J99t
Введение . • . » « • • 5
Глава 1. Физические предпосылки 7
§ 1. Поверхности раздела двух сред ...... 7
1. Мыльные пленки и мыльные пузыри .... 7
2. Теорема Пуассона — Лапласа 9
§ 2. Принцип экономии в природе 13
1. Оптимальность и Природа 13
2. Минимальные поверхности и оптимальность 15
3. Задача Штейнера ....,..,.. IS
Глава 2. Классические минимальные поверхности в К 23
§ 1. Катеноиды . 24
§ 2. Геликоиды 36
§ 3. Уравнение минимальных поверхностей. Проблема
Бернштейна. Поверхность Шерка 45
1. Уравнение минимальных поверхностей в R3 5
2. Проблема Бернштейна в R3 . . . и • 47
3. Поверхность Шерка и принцип симметрии 49
§ 4. Периодические минимальные поверхности ... 51
§ 5. Полные минимальные поверхности ..... 54
Глава 3. Общие свойства минимальных поверхностей в R 58
§ 1. Изотермические координаты 59
§ 2. Гармоничность и конформность 64
§ 3. Гауссово отображение, представление Вейерштрасса 73
§ 4. Глобальное представление Вейерштрасса ... 85
§ 5. Полная кривизна и полные минимальные поверх-
поверхности , 94
3

§ 6. Геометрия полных минимальных поверхностей ко-
конечной полной кривизны . 106
§ 7. Индексы двумерных минимальных поверхностей
в К» , , , 119
Добавление 1. Задача Штейнера для выпуклых граннц 137
1. Общая постановка задачи ...»»,. 137
2. Классификация минимальных 2-деровьев с вы-
выпуклой границей .......... 144
3. Некоторые результаты исследования минималь-
минимальных сетей, затягивающих вершины правильных
многоугольников ..,.,.,,.. 158
Добавление 2. Классификация замкнутых минималь-
минимальных сетей на плоском двумерном торе , , I. . , 165
Список литературы , , , , t ¦ 172
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая книга возникла в результате обработки
лекций А. Т. Фоменко, прочитанных им в Московском ма-
математическом обществе (в Московском университете) для
студентов математиков, физиков и механиков (в рамках
цикла лекций «Студенческие чтения»). Обработка лек-
лекций'для печати выполнена А. А. Тужилиным и А. Т. Фо-
Фоменко.
Читатель, желающий продолжить изучение минималь-
минимальных поверхностей, может обратиться к более специаль-
специальным книгам:
Федерер Г. Геометрическая теория меры.— М.: Нау-
Наука, 1987.
Nitsche J. С. С. Vorlesungen iiber Minimalflachen.—
Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1975.
G i u s t i E. Minimal surfaces and functions of boun-
bounded variation.— Boston, Basel, Stuttgart: Perkhauser, 1984.
Фоменко А. Т. Топологические вариационные за-
задачи.— M.: Изд-во Моск. ун-та, 1984.
Фоменко А. Т. Вариационные методы в тополо-
топологии.— М.: Наука, 1982.
Дао Чонг Тхи, Фоменко А. Т. Минимальные
поверхности и проблема Плато.— М.: Наука, 1987.
Аминов Ю. А. Минимальные поверхности.— Харь-
Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1978.
Finn R. Equilibrium capillary surfaces/Grundlehren
der mathematischen Wissenschaften, 284.— New York Inc:
Springer-Verlag, 1986.
Fomenko A. T. Plateau's problem.— London: Gor-
Gordon and Breach, 1989.
5

0 s s е г m a n R. A survey of minimal surfaces.^- New
York: 1969.
Оссерман Р. Минимальные поверхности/Матема-
поверхности/Математика (Об. пер.).-1971.-Т. 16, № 2.-С. 104-125.
Оссерман Р. Минимальные поверхности II Успехи
мат. наук.- 1967. Т. 22, вып. 4.- С. 55-136.
Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. Ма-
Математическая теория.— М.: Мир, 1989.
Джусти Э. Минимальные поверхности и функции
ограниченной вариации.— М.: Мир, 1989.
Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отобра-
отображения и минимальные поверхности.— М.: ИЛ, 1953.
Глава 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
§ 1. Поверхности раздела двух сред
Теория минимальных поверхностей и поверхностей
постоянной средней кривизны — интенсивно развиваю-
развивающаяся, особенно в последнее время, область математики.
На основе этой теории можно исследовать мыльные плен-
пленки и мыльные пузыри, поверхности раздела двух сред,
широко встречающиеся в химии и биологии, например
мембраны в живых клетках, капиллярные явления и
т. п. Минимальные поверхности оказываются полезными
даже в архитектуре. Прежде чем дать точные опреде-
определения, рассмотрим несколько
примеров.
1. Мыльные пленки и мыль-
мыльные пузыри. Если погрузить
проволочный контур в мыль-
мыльную воду, а затем аккуратно
извлечь его оттуда, то на кон-
контуре останется мыльная плен-
пленка. «Молодые, исследователи»
обычно спешат подуть на пленку, чтобы получить ра-
радужный пузырь. Однако уже сами мыльные пленки таят
в себе неожиданные свойства, которые можно непосред-
непосредственно увидеть, проделав несложный эксперимент. Со-
Гните проволочный контур, как показано на рис." 1. Это
(Гак называемый контур Дугласа. Обозначим через и и
V, расстояния между крайними окружностями контура.
Оказывается^ что* по-разному извлекая контур из мыль-
ной веды, можно получить различные мыльные пленки.
На рис. 2 представлены некоторые из них (при малых
М = Щ И V = Vq) .
Если в процессе получения пленки контур не дефор-
деформировать, то, как правило, образуются пленки типа 1а
и 1-6. Пленка типа 2 получается, если во время извлече-
извлечения контура из мыльной воды держать и левые, и пра-
7
Рис. 1

вые окружности совмещенными (и = 0, y = DJ, а после
извлечения контура отпустить их. Упругий контур воз-
возвратится в первоначальное положение (и = uq, v = vq),
и на нем останется пленка типа 2. Пленки типа За и 36
можно получить аналогичным образом, совмещая только
правые (соответственно только левые) окружности. Для
Рис. 3
получения пленки типа 4 достаточно в пленке типа За
проколоть диск D2.
Заметим, что плепки типа 2 и 3 не являются глад-
гладкими поверхностями. Они имеют особенности — сингу-
сингулярную точку А, в которую входят четыре сингулярных
ребра (тип 2), и сингулярное ребро S1 (тип 3). Более
того, гладкие пленки типа 1 и 4 имеют разный тополо-
топологический тип: пленка типа 1 — это двумерный диск D'2,
а пленка типа 4 — тор с выколотой точкой (рис. 3).
Итак, на данный контур можно натянуть, вообще го-
говоря, много мыльных пленок, и каждая пленка не обя-
обязана быть гладкой поверхностью. Более того, на контур,
8
являющийся изогнутой окружностью, можно натянуть
минимальный тор с выколотой точкой (пленка типа 4).
Сколько же мыльных пленок могут затягивать данный
контур? Какие топологические типы пленок могут встре-
встречаться? Какие особенности можно обнаружить на мыль-
мыльной пленке? Эти и другие вопросы рассматриваются тео-
теорией минимальных поверхностей (см. ниже).
Мыльные пузыри и мыльная пена, т. е. система мыль-
мыльных пузырей, представляют не мепыний интерес для ис-
исследователя. Физические пузыри отличаются от мыльных
пленок тем, что первые ограничивают области простран-
пространства, в которых воздух находится под большим давлени-
давлением, чем воздух снаружи. Если внимательно приглядеться
к мыльной пене, то можно заметить, что особенности на
стыке разных пузырей аналогичны особенностям мыль-
мыльных пленок. Проведя много экспериментов с границами
раздела двух сред, бельгийский физик Жозеф Плато
A801—1883) сформулировал четыре принципа, описы-
описывающие возможные устойчивые особенности на этих по-
поверхностях. Оказывается, что обнаруженные выше два
типа особенностей — гладкое сингулярное ребро, на ко-
котором сходятся три листа, и сингулярная точка, в ко-
которой сходятся четыре гладких сингулярных ребра, каж-
каждая пара из которых затянута гладким листом,— явля-
являются единственно возможными особенностями мыльных
пленок и мыльной пены (первый, второй и третий прин-
принципы Плато). Более того, в первом случае листы сты-
стыкуются да сингулярном ребре под углом 120°, а во вто-
втором сингулярные ребра стыкуются в точке под углом
приблизительно 109° 28'16" (точнее, косинус этого угла
равен—1/3), подобно четырем отрезкам, проведенным
из центра тетраэдра в его вершины (четвертый принцип
Плато). Некоторые элементарные обоснования этих
принципов мы дадим ниже, предварительно описав ва-
вариационный принцип, которому подчиняются мыльные
пленки и мыльные пузыри.
2. Теорема Пуассона — Лапласа. Мыльные пленки и
мыльные пузыри можно рассматривать как поверхности
раздела двух однородных сред, находящихся в равнове^
сии. Мыльная пленка с границей в окрестности каж-
каждой своей точки разделяет две среды," а именно воздух —
воздух, в каждой из которых давление одинаково. Поэто-
¦ му суммарное давление на каждую малую площадку
мыльной пленки равно нулю. В мыльном пузыре давле-
давление внутри больше, чем давление снаружи, поэтому век-
9»

тор результирующего давления направлен йаружу. Эта
шла должна компенсироваться силами поверхностного
натяжения. Так как давление всегда направлено по нор-
нормали к границе раздела и одинаково по модулю во всех
точках этой границы вследствие однородности сред, то
поверхность раздела во всех точках «искривлена в сред-
Рис. 4
нем одинаково». Чтобы придать точный смысл послед-
последнему утверждению, нам потребуется определить геомет-
геометрическое понятие «средняя кривизна» (подробности см.
в [1, 15]).
ПустьЛ/ — гладкая двумерная поверхность в К3, точ-
точка Р лежит на поверхности М, N (Р) — одна из двух еди-
единичных нормалей к М в точке Р (вектор N(P) ортогона-
ортогонален касательной плоскости к М, проведенной через точ-
точку Р; эту касательную плоскость мы обозначим ТРМ).
Проведем через нормаль N(P) плоскость П. Плоскость
П пересекает поверхность М по кривой f, называемой
нормальным сечением. Единичный вектор v, касательный
к кривой y в точке Р, называется направлением этого нор-
нормального сечения. Ясно, что вектор —v также является
направлением нормального сечения f, и векторы v и —v
лежат в касательной-плоскости ТРМ (рис. 4).
Обозначим через k(v) вектор кривизны нормального
сечения f в направлении v, т. е. вектор ускорения в точ-
точке Р при движении по кривой f с единичной по модулю
скоростью. Отметим, что k(v) = k(—v). Легко показать,
что вектор кривизны k (v) коллинеарен с нормалью N (Р).
Назовем кривизной к (у) нормального сечения f по на-
направлению v по отношению к нормали N(P) величину
fc(v)= <k(v), N(P)>, где угловые скобки обозначают стан-
стандартное скалярное произведение векторов из R3- Ясно,
что непрерывная функция к (у) принимает максимальное
10
и минимальное значения (так как к (у) — функция на
(компактной) окружности S\ образованной всеми направ-
направлениями v). Эти значения называются главными кривиз-
кривизнами ki и к2 поверхности ЛГ в точке Р, а нормальные
сечения, в которых достигаются значения к\ и /ег, на-
называются главными сечениями.
Определение. Средней кри-
кривизной Н поверхности М в точке
Pej/ по отношению к нормали
N(P) назовем полусумму главных
Jfcj -{- As
кривизн: Н = —^—-.
Пусть ф обозначает угол меж-
между направлением v произвольного
нормального сечения if в точке Р«
главного сечения *yi (рис. 5).
Рис. 5
= М и "направлением
^i (р )
Если к\ — кривизна главного сечения "fii а &2 — ДРУ-
гая главная кривизна, то по известной формуле Эйлера
к (у) = к («р) = fti cos2 <p + к2 sin2 ф.
Чтобы яснее представить распределение кривизн нор-
нормальных сечений у при изменении угла ф, построим в
плоскости с полярными координатами (р, ф) график р =
1*(I "
,.(р)
Различаются следующие случаи:
а) ненулевые к\ и к2 одного знака. В этом случае гра-
график является эллипсом с полуосями \к\\ и |Лг1. Если
а 5
Рис. 6
к\ — &2 ^ 0, то эллипс вырождается в окружность
.(рис. 6а)';
б) ненулевые /cj и Лг разных знаков. В этом случае
график—«четырехлепестковая ромашка» (рис. 66);
11

в) одна из кривизн kt равна нулю. В этом случае
«четырехлепестковая ромашка» вырождается в «двухле-
пестковую» (рис. 6в);
г) обе главные кривизны равны нулю. График — точ-
точка (начало координат).
Теперь ясно, что если к\ не равно /сг, то существует
ровно два главных сечения, которые в действительности
взаимно ортогональны. Если главные кривизны равны
между собой, то кривизна всех главных сечений одинако-
одинакова и равна средней кривизне Н.
Задала. Доказать, что полусумма кривизн двух лю-
любых взаимно ортогональных нормальных сечений постоян-
постоянна и равна средней кривизне Н.
Теорема Пуассона — Лапласа. Предположим,
что двумерная гладкая поверхность М в \R3 является гра-
границей раздела двух однородных сред, находящихся в рав-
равновесии. Пусть Р\ и Р2 — давление в средах. Тогда сред-
средняя кривизна Н поверхности М постоянна и равна Н =
— h(Pi~ Р2), где постоянная Я = 1/А называется коэф-
коэффициентом поверхностного натяжения,
а разность давлений Р\ — Р% — результирующим
давлением.
Таким образом, выражение «искривлена в среднем
одинаково» означает, что средняя кривизна поверхности
постоянна. Учитывая выщесказанное, можно заключить,
что средняя кривизна Н мыльной пленки равна нулю,
Н = О, а у мыльного пузыря средняя кривизна Н = const
не равна нулю. В математике поверхности с Н = const
называются поверхностями постоянной средней кривизны.
Для случая Н = 0 эти поверхности имеют специальное
название — минимальные поверхности (причина возник-
возникновения этого названия будет выяснена в § 2). Иногда
их еще называют мыльными пленками, а поверхности с
Н = const Ф 0 — мыльными пузырями.
Поверхности постоянной средней кривизны широко
распространены в природе и играют важную роль в са-
самых разнообразных исследованиях. Так, например, по-
поверхностные взаимодействия на границе раздела двух
сред определяют характер и скорость химических реак-
реакций. Всевозможные мембраны: барабанная перепонка,
мембраны, разделяющие живые клетки,— .представляют
собой минимальные поверхности. Еще один пример — это
микроскопические морские животные — радиолярии
(см. [2]). Р
12
§ 2. Принцип экономии в природе
В настоящем параграфе мы расскажем об альтернатив-
альтернативном подходе к описанию минимальных поверхностей и
поверхностей постоянной средней кривизны, который ос-
основан на вариационном- принципе (более подробный исто-
исторический обзор см. в [3]).
1. Оптимальность и Природа. В 1744 г. французский
ученый Пьер Луи Моро де Мопертюи выдвинул знаме-
знаменитый принцип, ставший известным как принцип наи-
наименьшего действия. В 1746 г, Мопертюи опубликовал ра-
работу «Законы движения и покоя, выводимые из метафи-
метафизического принципа». Этот метафизический принцип осно-
основан на предположении, что Природа всегда действует с
величайшей экономией. Исходя из этого положения, Мо-
Мопертюи выводит следующее заключение: если в природе
происходят некоторые изменения, то полное действие, не-
необходимое для осуществления этих изменений, должно
быть минимально возможным.
Параллельно и независимо Леонард Эйлер в 1744 г.
получил строгое доказательство того, что принцип наи->
меньшего действия может быть использован при описа-
описании движения материальной точки в поле консерватив-
консервативных сил, такого, например, как движение планет вокруг
Солнца. Эйлер также выдвинул гипотезу, что для каждого
явления во Вселенной можно найти свое правило макси-
максимума или минимума, которому оно подчиняется. Это за-
замечание появилось в добавлении к его знаменитой рабо-
работе 1743 г. «Методы нахождения кривых линий, которые
подчиняются свойству максимума или минимума»— пер-
первому учебнику по вариационному исчислению.
Когда в 1746 г. Мопертюи опубликовал свою работу
о принципе наименьшего действия, он уже хорошо знал
достижения Эйлера, так как кратко описал их в преди-
предисловии. Затем, однако, он добавил: «Это замечание... яв-
является красивым применением моего принципа к движе-
движению планет», тем самым утверждая свой приоритет.
Эйлер реагировал на это замечание отказом от права
первенства, за что был строго раскритикован некоторыми
историками науки. Мы не будем здесь вдаваться в под-
подробности дальнейшей острой дискуссии, развернувшейся
по поводу приоритета в открытии принципа наименьшего
действия. Скажем только, что на авторство претендовали
и другие лица (Кёниг и будто бы Лейбниц) и что дис-
дискуссия была также связана с антропоморфным понимани-
13

a
Рис 7
ем терминов «живая сила» и «действие» И с теологией
(см. [3,37]).
Заметим, однако, что Монертюи, сформулировавший
свой принцип исходя из представления о совершенстве
Бога, апробировал его на Малом числе примеров, .причем
некоторые из них он не исследовал до конца. Оказывает-
ся* принцип наимень-
Лего действия ие
всегда вереа.
Рассмотрим один
из примеров, приве-
приведенных Мопертюи —
отражение света.
Здесь закон наимень-
наименьшего действия при-
водит к заключению,
что ЛУЧ света «выби-
«выбирает» из всех воз-
возможных маршрутов от источника до приемника тот,
который можно пройти за .наименьшее время (это
правило уже было сформулировано Ферма). Если свет
распространяется в однородной среде, то этот принцип
мипимума приводит к более простому правилу: луч света
движется по наикратчайшему пути, соединяющему источ-
источник и приемник.
Рассмотрим сферическое зеркало, расположенное в
однородной среде. Пусть источник S и приемник Т нахо-
находятся симметрично относительно некоторой прямой I, про-
проходящей через центр сферы. Чем характеризуется траек-
траектория SMT движения света, испущенного источником S,
отраженного зеркалом в точке М и пойманного приемни-
приемником Т? В этой ситуации применим знаменитый закон, из-
изложенный в приписываемой Евклиду работе «Catoptrica»,
так называемый закон отражения. Его краткая формули-
формулировка: угол падения равен углу отражения.
На рис. 7 показаны две ситуации: выпуклое зеркало
(рис. 7а) и вогнутое зеркало (рис. 76). В обоих случаях точ-
точка М является точкой пересечения зеркала и прямой I (мы
рассматриваем траектории движения света в Плоскости,
проходящей через источник, Приемник и прямую I). Про-
Проведем через точку М эллипс с фокусами в точках S и Т.
Если Mi — произвольная точка, лежащая вне эллипса,
Л/г — внутри него, а М — на нем, и точки S и Г — фо-
фокусы, то \MlS\+AMiT[>\MSl + [MT\\MSl + \MTl
(проверьте),,
14
Отсюда следует, что в случае выпуклого зеркала тра-
траектория SMT действительно имеет наименьшую длину,
а для вогнутого зеркала это уже не всегда так. На рис. 76
источник S и приемник Т симметричны относительно
центра сферы. Как легко видеть, любой путь SM^T,
М2 Ф М, короче, чем путь SMT.
Таким образом, будет ли природа наиболее эконом-
экономной или наиболее расточительной, зависит от формы зер-
зеркала. Приводя подобные аргументы, д'Арси показал в
1749 и 1752 гг., что принцип Молертюи неясно сформу-
сформулирован и, более того, приводит к некорректным утверж-
, дениям.
Тем не менее идея оптимальности явлений природы
играет большую роль в физике. Математическая форма-
формализация этой идеи породила вариационное исчисление,
основателями которого обычно считаются Лагранж и три
швейцарских математика из Базеля: братья Иоганн и
Яков Бернулли и студент Иоганна Бернулли — Леонард
¦Щлер.
2. Минимальные поверхности и оптимальность. Ока-
Оказывается, формы мыльных пленок тоже оптимальны в
некотором смысле, а именно соответствующие минималь-
иые поверхности являются экстремумами функционала
площади. Поясним последнее утверждение. Для этого рас-
рассмотрим мыльную пленку, затягивающую данный контур.
Поверхностное натяжение приводит к тому, что пленка
-стремится принять форму с наименьшей возможной по-
поверхностной энергией (это, конечно, приближение, которое
тем не менее хорошо работает на практике). Так как по-
поверхностная энергия прямо „ пропорциональна площади
поверхности, то в результате минимизации поверхностной
энергии площадь мыльной пленки оказывается наимень-
наименьшей по сравнению с площадями всех достаточно близ-
близких поверхностей, затягивающих данный контур.
Таким образом, мыльные пленки являются локальны-
локальными минимумами функционала площади. Однако миник
мальные поверхности, т. е. поверхности нулевой средней
кривизны, не обязаны минимизировать площадь даже
среди всех близких поверхностей (с данной границей).
Чтобы пояснить последнее, отметим, что понятие «близ-
«близкие поверхности» может быть определено различными
способами. Будем понимать под близкой к данной по-
поверхности М поверхность, полученную малой деформаци-
деформацией М, неподвижной на границе дМ. Для нульмерной по-
поверхности М, т. е. когда М — точка, малая деформация —
15

это малое смещение точки М. В случае, когда размерность
поверхности М не меньше единицы, можно определить
два типа малых деформаций: деформацию с малой ампли-
амплитудой, т. е. когда каждая точка поверхности М недалеко
смещается от своего первоначального положения, и де-
деформацию с малым носителем, когда малой по амплитуде
деформации подвергается только достаточно малая об-
область поверхности М; замыкание такой деформируемой
области называется носителем деформации. Деформация
с достаточно малым носителем всегда увеличивает пло-
площадь минимальной поверхности, поэтому для таких де-
деформаций минимальные поверхности все же минимизиру-
минимизируют площадь. Для деформаций с малой амплитудой это
уже не так. Тем не менее для таких деформаций мини-
минимальные поверхности являются экстремалями (критиче-
(критическими точками) функционала площади.
Легко показать, что (конечную) площадь любой по-
поверхности в К3 всегда можно увеличить сколь угодно
малой' деформацией этой . поверхности, поэтому ни одна
поверхность не может быть локальным максимумом для
функционала площади. Критические точки, отличные от
локального минимума и локального максимума, как из-
известно, называются седловыми. Минимальные поверхно-
поверхности, соответствующие седловым точкам функционала пло-
площади (для деформаций с малой амплитудой), называются
неустойчивыми. Если бы нам удалось создать мыльную
пленку, имеющую форму неустойчивой минимальной по-
поверхности, то малые по амплитуде флуктуации этой
пленки, всегда существующие в реальном мире, мгновен-
мгновенно привели бы к ее разрушению — построенная пленка
оказалась бы неустойчивой.
Итак, минимальные поверхности являются критиче-
критическими точками функционала площади. Оказывается, вер-
верно и обратное утверждение: поверхность М, представ-
представляющая собой критическую точку функционала площади,
рассматриваемого на пространстве всевозможных поверх-
поверхностей, близких (по амплитуде ) к поверхности М и имею-
имеющих одну и ту же границу дМ, является минимальной,
т. е. имеющей нулевую среднюю кривизну.
Поверхности постоянной средней кривизны тоже яв-
являются экстремалями некоторого функционала. Их мож-
можно также получить как экстремали функционала площа-
площади, если ограничить возможные деформации. Для приме-
примера рассмотрим мыльный пузырь. Если на него подуть,
то пленка, прогибаясь в одном месте, будет выпучиваться
16
в другом таким образом, чтобы объем области, заклю-
заключенной внутри пузыря, не изменялся. Это наблюдение
лежит в основе определения поверхностей постоянной
средней кривизны с точки зрения вариационного принци-
принципа. Для замкнутой поверхности, ограничивающей область
в Е3, в качестве допустимых деформаций рассмотрим
лишь те, которые сохраняют объем области, ограниченной
этой поверхностью. Условие сохранения объема можно
описать и другим способом. Для этого определим функ-
функцию изменения объема области V, ограниченной поверх-
поверхностью М, при деформации Mt этой поверхности. Рассмот-
Рассмотрим при каждом t — to совокупность областей, заключен-
заключенных между поверхностями М и Mto- Из суммарного объ-
объема тех из них, которые лежат вне области V, вычтем
суммарный объем тех, которые лежат внутри V, и полу-
полученное число назовем величиной изменения объема в мо-
момент времени t = to. Меняя to, мы получим функцию,
которая и называется функцией изменения объема. Ясно,
что области, лежащие внутри и вне V, расположены по
разные стороны от поверхности М и, таким образом, мо-
могут быть определены без использования области V.
Последнее замечание позволяет оцределить функцию
изменения объема и для деформации Mt незамкнутой по-
поверхности М (такой, например, как мыльная пленка, за-
затягивающая проволочный контур, или как полусфера,
имеющая своей границей экватор), однако в этом случае
необходимо потребовать, чтобы деформация Mt была не-
неподвижной на границе дМ поверхности М.
Скажем, что деформация М% поверхности М (непод-
(неподвижная на границе дМ, если дМ Ф 0) сохраняет объем,
если функция изменения объема, построенная по этой
деформации, тождественно равна нулю. Оказывается, по-
поверхности постоянной средней кривизны являются крити-
критическими точками функционала площади, ограниченного
на пространство деформаций, сохраняющих объем.
Так как поверхности ненулевой постоянной средней
кривизны не являются минимальными поверхностями, то
они также не являются критическими точками функцио-
функционала площади, рассматриваемого на пространстве всевоз-
всевозможных деформаций (неподвижных па границе), а не
только сохраняющих объем. Таким образом, сужение про-
пространства допустимых деформаций естественным образом
приводит к увеличению числа поверхностей, являющихся
критическими точками функционала площади, рассматри-
рассматриваемого на этом пространстве.
2 А, А, Тужилин, А, Т. Фоменко 17

Описание минимальных поверхностей как экстремумов
функционала площади оказывается весьма полезным. Та-
Такой подход, например, дал возможность решить так на-
называемую проблему Плато, которая заключается в сле-
следующем: для любого ли контура существует среди всех
поверхностей данного топологического типа, которые его
затягивают, поверхность наименьшей площади! Положи-
Положительное решение этой проблемы в случае, когда контур
является простой спрямляемой жордановой кривой (имеет
конечную длину), а поверхность имеет топологический
тип диска D2, было получено в .1928 г. молодым амери-
американским математиком Джесси Дугласом. Однако приве-
приведенное им доказательство оказалось неполным, и до
1931 г. его работы не появлялись в печати. Приблизи-
Приблизительно в то же время было опубликовано решение проб-
проблемы Плато, полученное венгерским математиком Тибо-
ром Радо.
В течение следующих десятилетий Джесси Дуглас
решил также множество других проблем, возникающих
в теории минимальных поверхностей. В частности,
развитый им мощный математический аппарат позво-
позволил доказать существование минимальных поверхностей
высшего рода, затягивающих один или большее конечное
число контуров. За свои достижения Дуглас был удо-
удостоен в 1936 г. высшей награды в области математики —
Филдсовской медали.
В заключение приведем одномерный вариант пробле-
проблемы Плато — так называемую задачу Штейнера — и пока-
покажем, как из ее решения вытекает доказательство эмпи-
эмпирических принципов Плато, описывающих все возможные
особенности мыльных пленок (устойчивых минимальных
поверхностей).
3. Задача Штейнера. Начнем с простейшего случая
Предположим, что возникла необходимость соединить го-
города А, В и С системой дорог. Допустим, что нет никаких
препятствий и мы вольны прокладывать дороги там, где
нам угодно. Пусть область, в которой находятся города
плоская. Задача состоит в том, чтобы найти систему до-
дорог наименьшей длины. На математическом языке этг
означает следующее: для данных трех точек А, В и С
лежащих в одной плоскости, требуется найти такую точ-
точку Р и такие пути, соединяющие Р с точками А, В и С
чтобы суммарная длина этих путей была минимальж
возможной. Так как отрезок прямой является кратчай
шим путем между своими концами, то искомые пути ^
18
это отрезки РА, РВ и PC. Остается выбрать оптималь-
оптимальным образом точку Р.
Оказывается, решение зависит от взаимного располо-
расположения точек А, В и С. Если в треугольнике ABC все
внутренние углы меньше 120°, то искомая точка Р одно-
однозначно определяется из условия равенства между собой
углов АРВ, ВРС и СРА при вершине Р (которые, таким
образом, равны 120°). Если же в треугольнике ABC один
Рйс. 9
из углов не меньше 120°, например при вершине С, то
точка Р совпадает с С (рис. 8).
. 'Доказательство последнего утверждения основано на
нескольких элементарных геометрических леммах.
Лемма 1 (теорема Герона). Пусть точки А и В не
лежат на прямой а. Тогда среди всех точек Р прямой а
точка Р = Ро, такая что величина \АР\ + \ВР\ мини-
минимально возможна, однозначно выделяется следующим ус-
условием: угол между отрезком АР0 и прямой а равен углу
между отрезком ВР0 и прямой а (рис. 9).
Если точка А является источником света, В — прием-
приемником, а прямая а — зеркалом, то закон Герона можно
рассматривать как частный случай закона отражения
(см. выше).
Лемма 2. Пусть точки А и В являются фокусами
эллипса, а прямая а касается этого эллипса в точке Р.
Рис. 10
ТЬёда углы между прямой а и отрезками АР и ВР равны
(jttte. 10).
Отсюда следует, что если поместить источник света
в в^иом из фокусов эллиптического зеркала, то все лучи
19

/Si
Рис. 11
соберутся в другом фокусе. Более того, в эллиптическом
билльярде шарик всегда проходит либо вне фокусов, ли-
либо через фокусы, либо между фокусами.
Для доказательства леммы 2 достаточно заметить, что
сумма расстояний от любой точки, лежащей вне эллипса,
до его фокусов больше, чем сумма
\РА\ + \РВ\ (так как точка Р лежит
на эллипсе).
Допустим теперь, что точка Р яв-
является решением задачи Штейнера
для треугольника ABC, в котором все
внутренние углы меньше 120°. Про-
Проведем через точку Р эллипс, фокусы
которого суть вершины А и В. Про-
Проведем через точку Р касатель-
касательную а к этому эллипсу (рис. 11).
Легко попять, что отрезок СР перпендикулярен прямой а.
Поэтому из леммы 2 получаем, что АРС = ВРС. Анало-
/\ /\
гичио ВРС = АРВ. Таким образом, все углы при верши-
вершине Р равны между собой и, значит, равны 120°. Теперь
нетрудно построить искомую точку Р и понять, что реше-
решение единственно.
Если вместо трех точек А, В ж С взять любое конеч-
конечное число точек, то мы получим обобщенную задачу
Штейнера: требуется соединить все эти точки системой
линий наименьшей длины. Эту проблему можно перефор-
переформулировать так: как соединить, между собой п городов
сетью дорог с наименьшими затратами? Решение этой за-
задачи с комбинаторной точки зрения является комбина-
комбинацией двух решений, полученных выше для случая и = 3.
Вот некоторые примеры (рис. 12).
Заметим, * что решение обобщенной задачи Штейнера
не единственно. Например, если четыре точки являются
вершинами квадрата, то можно получить два симметрич-
симметричных решения (рис. 13). Отметим, что система путей
наименьшей длины, соединяющая п точек плоскости, на-
называется минимальной сетью (на плоскости).
Обобщенная задача Штейнера на плоскости до сих
пор полностью не решена, поэтому представляет интерес
ее экспериментальное «решение». Возьмем две стеклян-
стеклянные пли прозрачные пластмассовые пластины, располо-
расположим их в параллельных плоскостях и соединим их от-
отрезками проволоки одинаковой длины, равнрй расстоя-
20
нию между этими пластинами. Ясно, что все отрезки
параллельны друг другу и перпендикулярны пластинам.
Если построенную конфигурацию погрузить в мыль-
мыльную воду, а затем осторожно извлечь ее оттуда, то между
пластинами останется мыльная пленка, граница которой
состоит из двух частей — набора соединительных прово-
проволочек и множества «следов», которые оставляет пленка
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
на пластинах. Отметим, что в соответствии с принципом
минимума пленка подходит к каждой пластине под уг-
углом 90°. Более того, эта пленка состоит из перпендику-
перпендикулярных пластинам плоских прямоугольников, соединен-
соединенных друг с другом по сингулярным ребрам (рис. 14).
Если сингулярное ребро не является соединительной про-
проволочкой, то в соответствии с принципами Плато па нем
стыкуются ровно три прямоугольника под углом 120°.
Заметим, что площадь полученной мыльной пленки равна
суммарной длине пути, соединяющего точки крепления
проволочек («следа» мыльной пленки на пластине),
умноженной па расстояние между пластинами. Если
плепка имеет наименьшую площадь среди всех пленок
с частично свободной границей, состоящей из соедини-
соединительных проволочек (жесткая граница) и «следов» на
пластинах (гипотеза о существовании такой пленки на-
называется проблемой Плато с препятствиями), то соответ-
соответствующий «след» на пластине является решением обоб-
обобщенной задачи Штейпера для конфигурации, заданной
точками крепления.
21

Вернемся теперь к принципам Плато, описывающим
все возможные особенности устойчивых минимальных
поверхностей. Выберем ва мыльной пленке произвольную
точку Р. Будем брать все меньшую и меньшую окрест-
окрестность точки Р й раздувать ее до одних и тех же размеров.
В пределе веб поверхности, стыкующиеся в точке Р, ста-
станут плоскими, а особые ребра — отрезками прямых ли-
линий. Ясно, что после такого увеличения полученный фраг-
фрагмент устойчивой пленки будет также устойчив. PaccMov
рим теперь сферу S2 с центром в точке Р. Ее пересечение
с построенной нами плоской конфигурацией является
сетью на сфере S2. Ясно, что линии пересечения явля-
являются частями больших кругов сферы S2. Более того, если
I обозначает длипу сети, а г — радиус сферы S2, то пло-
площадь s части плоской конфигурации, заключенной внутри
сферы S2, равна s = -^Ir. Поэтому из устойчивости
пленки вытекает, что в каждом узле построенной сетп
могут1 встречаться только три дуги под углом 120° (ипачн
можно малой деформацией уменьшить длину сети и, зна-
значит, площадь пленки).
Возпикает естественная задача (так называемая зада-
задача Штейнера на сфере): описать все возможные сети на
а
сфере, составленные из дуг больших кругов, встречаю-
встречающихся в каждой вершине сети только втроем под равны-
равными углами (в 120°). В отличие от плоской задачи Штей-
Штейнера сферическая задача полностью решена. Оказывает-
Оказывается, существует ровно 10 таких сетей, приведенных на
рис. 15-16.
22
Ёолёе -тщательный анализ показывает, что лить три
из десяти этих сетей (рис. 15) отвечают конфигурациям,
минимизирующим площадь. На рис. 15—16 показаны
также мыльные пленки, которые натягиваются на конту-
контуры, соответствующие минимальным сетям на сфере. Толь-
Только первые три из них ва рис. 15 являются конусами,
соответствующими локальному устройству мыльных пле-
пленок, описанному в принципах Плато. Это наблюдение
является физическим «доказательством» того, что лишь в
трех случаях конусы являются абсолютно минимальными,
т. е. отвечают особенностям, встречающимся в устойчи-
устойчивых мыльных пленках.
Глава 2. КЛАССИЧЕСКИЕ МИНИМАЛЬНЫЕ
ПОВЕРХНОСТИ В R3
В гл. 1 было показано, сколь широко встречаются в
природе минимальные поверхности и поверхности посто-
постоянной средней кривизны. Мыльные пленки и мыльные
23

пузыри являются наиболее удобными физическими объ-
объектами, позволяющими получить наглядное представле-
представление о свойствах этих поверхностей, а эксперименты с кон-
контуром и мыльной водой часто дают возможность найти
правильные ответы, подсказываемые самой Природой, на
возникающие в теории минимальных поверхностей и по-
поверхностей постоянной средней кривизны вопросы. Так,
например, физический эксперимент с мыльными пленками
помог сформулировать гипотезу, дающую полное описание
бифуркации (скачкообразной перестройки) мыльных пле-
пленок, затягивающих контур Дугласа, возникающей при
непрерывной деформации этого контура (см. [4]).
Однако экспериментальное исследование минимальных
поверхностей осложняется тем, что во многих случаях
соответствующие мыльные пленки неустойчивы. Это озна-
означает, что малым шевелением поверхности ее площадь
можно умепынить, что приводит к мгновенной перестройке
соответствующей мыльной плепки. Существование не-
неустойчивых мыльных пленок было замечено еще Пуассо-
Пуассоном при исследовании катеноида (см. ниже). В заключи-
заключительном параграфе гл. 3 мы поставим в соответствие
каждой минимальной поверхности целое число Ind M, на-
называемое ее индексом. Индекс минимальной поверхности
определяет степень ее неустойчивости и, грубо говоря,
равен «числу способов» уменьшения ее площади. Если
индекс Ind M не равен нулю, то минимальная поверх-
поверхность М неустойчива. В гл. 3 мы вычислим индексы всех
классических минимальных поверхностей в R3 и опишем
некоторые максимальные области устойчивости.
Теоретическое исследование выделяет из всего класса
минимальных поверхностей семейства, удовлетворяющие
тем или иным свойствам. Ниже мы опишем основные из-
известные нам классические и современные примеры ми-
минимальных поверхностей и расскажем, какими отличи-
отличительными чертами они обладают.
§ 1. Катеноиды
Задача 1. Описать все неплоские минимальные по-
поверхности вращения (так называемые катеноиды).
Ответ. Каждая такая поверхность получается враще-
вращением некоторой цепной линии (полная поверхность) или
ее фрагментов*). Все полные катеноиды образуют (с точ-
*) Цепная линия — это кривая провисания тяжелой цепи с
равномерно распределенной массой,
24
ностъю до движения в R3) однопараметрическое семей'
ство М„, о, > 0: если в качестве оси вращения выбрать
ось Z, то образующая катеноида Ма, лежащая в плоско-
плоскости XZ, задается уравнением х — a ch -^- (см. рис. 21, 26).
Решение. Пусть (г, ф, z) — цилиндрические коорди-
координаты, а М — неплоская минимальная поверхность вра-
вращения относительно оси Z. Если t(t), t<=[a, ^],— часть
образующей поверхности М, однозначно проектирующая-
проектирующаяся на ось Z, то мы можем параметризовать кривую f(t)
координатой z. Обозначим поверхность вращения кривой
f через К. Тогда на поверхности К можно выбрать коор-
координаты (<р, z). В этих координатах поверхность К имеет
представление (r = r(z), ф = ф, z = z). Легко вычислить
индуцированную на поверхности К метрику ds2 и пло-
площадь А (К) поверхности К в §той метрике:
ds2 = dr*
+ dz2 = r2 dq>* + (r" + 1) dz\
A(K)= J V r> (r*
1) dq> dz =
Если поверхность М минимальна, то это же верно и
относительно поверхности К. Воспользуемся теперь ва-
вариационным принципом, в соответствии с которым ком-
компактная минимальная поверхность является критической
точкой функционала площади (см. § 2 гл. 1). Рассмот-
Рассмотрим деформацию К, поверхности К, неподвижную на
границе, в классе поверхностей вращения (относительно
оси Z), Ко = К. Ясно, что при достаточно малом s по-
поверхность Ks может быть представлена, как и поверх-
поверхность К, следующим образом: (г = rs (z), ф = ф, z = z),
z е [а> PI» Ф е S1, где S1 обозначает единичную окруж-
окружность— область изменения координаты ф, a r,(z) =
= r(s, z) —гладкую функцию переменных s и z, rQ(z) =
— r(z). Так как деформация К3 неподвижна па границе,
то все образующие fs(z) поверхностей Ks имеют одина-
одинаковые концы А = ч8(а)=ч(а) и В = Y»(P)= T((P)- Более
того, площадь А (К,) поверхности Кв, равная
= \2nrtV'r?+ldz,
является гладкой функцией от s. Для того чтобы поверх-
поверхность К была минимальной, необходимо, чтобы производ-
25-

ная
dA(Ks)
ds
i=0
равнялась нулю для любой такой дефор-
деформации. Этим условием мы и воспользуемся для опреде-
определения возможных форм образующих катеноидов. Как
окажется, это условие является также и достаточным.
Отметим, что площадь А (К) поверхности вращения К
является, по сути, функцией на всевозможных кривых
К — образующих поверхностей К: А(К)~ -4(ч). Подынте-
гралвная функция L (г, г) = 2яг V г + I зависит от ко-
координаты г и ее производной г. Формально мы можем
рассматривать гиг как независимые переменные, а функ-
функцию L{r, г) как функцию от двух аргументов: L =
= L(x, у), х = г, у = г. Более общо, рассмотрим произ-
произвольную функцию L(x, у, t) от трех переменных: х =
= (х\ ..., хп), у=(у', ..., ~уп) at. В случае, когда
L = 2яг V г + 1, имеем га = 1, х = г, у = г и функция L
не зависит от t, t = z.
Для каждой кривой к(*), fe[a, р], лежащей в обла-
области изменения координаты х, определим число F(f) еле-
дующим образом: F(у) =* jL(x(i), x (<), f) dt, где i(f) =
a
= (jc'(i), ..., xn(t)) — вектор скорости кривой f в точке
1f(*)'. Мы получили функцию F(if), определенную на все-
всевозможных кусочно-гладких кривых f(?), t<=[<x, p], ле-
лежащих в области определения координаты х (предпола-
(предполагается, что область изменения координаты у — всё Кп,
а координаты t — отрезок [ос, ^]). Функцию F(^} при-
принято называть функционалом, а функцию L(x, у, t)—
лагранжианом, соответствующим функционалу F.
Пусть if,(<)—гладкая деформация кривой f, непод-
неподвижная на концах, т. е. if.(ot)= T(a) = А и 1»(Р)= t(P) =
= В, "io(t)= y(t). Если х„(t) — представление кривых
1f,(f) в координатах х =(х', ..., хп), то, применяя к каж-
каждой кривой fs функционал F, получим гладкую функцию
F(s) = F (у.) = J .L (x, (t), x. (t), 0 dt.
Определение. Кривая y называется экстремалью
= 0 для любой деформа-
функционала F, если
e=0
Вывод: любой отрезок y(f), t ^Ja, ^ — образующей
минимальной поверхности вращения — который однознач-
однозначно проектируется на ось вращения, является экстремалью
функционала ^ (?) = j 2яг |/ г + ldz.
а
Как найти экстремали функционала F? Существенным
продвижением в решении этой задачи является сле-
следующее.
Утверждение 1 (см. [1]). Пусть F — функционал,
соответствующий лагранжиану Ь(х, у, t),— определен на
всевозможных гладких кривых y(?), t ^[<z, [J], лежащих
в области V. Тогда кривая y является экстремалью функ-
функционала F если и только если вдоль кривой y выражение
JL-\EIl\ — тождественно равно нулю. Здесь
dt\dy) дх * -
/ Oil fl*-1 \ Olj I ULj VLd \ n
V дх дх J У \ ду ду J
I r \ dLt
иая -^_|_) определяется так: в выражение '-д— (х, у, t)
надо сначала подставить x — x(t) и у = x(t), а затем по-
полученную функцию от t, т. е. -^-{жСО, x@,f), продиф-
продифференцировать по t. В явном виде (в случае п = 1):
JL (IL\ — ^L ' ~~ d%L " ¦ 9*L
dt \ ду j" дх ду
х+
ции Y, кривой Y, неподвижной на концах.
26
Система дифференциальных уравнений
[ дх~
называется системой уравнений Эйлера — Лагранжа.
Замечание. Говорят, что лагранжиан L явно не за-
зависит от «времени» t, если -дт = 0. Отметим, что лагран-
dL
жиан может явно не зависеть от t, тем не менее -^- не
-будет равняться нулю.
Прежде чем перейти к доказательству утверждения 1,
рассмотрим простой пример.
Пример. Движение точечной массы тп под действи-
действиям силы, притяжения Земли. Пусть координаты (х\ х2, х3)
выбраны так, что ось X3 вертикальна и направлена вверх,
а плоскость Х{Х2 горизонтальна. Известно, что сила тя-
тяжести i, действующая на маленький шарик массы тп, по-
27

стоянна и равна mg, где g — ускорение свободного паде-
падения, g = @, 0, —g), g « 9,8 м/с2. Здесь мы рассматрива-
рассматриваем приближенную модель, известную еще из школьного
курса физики. Если v = x=(z1, я2, я3) — скорость шари-
шарика, то уравнение его движепия (второй закон Ньютона)
имеет вид
dp d (my)
~dt ~~ ~df
= mg = f,
где р = m\ — импульс. Пусть Т — кинетическая, a U —
потенциальная энергия шарика. Хорошо известно, что
Т = Лф_, a U = mgx\ где v2 = 2 (*Л
Оказывается, траектории движения шарика являются
экстремалями некоторого функционала.. Действительно,
2
определим лагранжиан L, положив L = Т — U = —-r
— mgx3. Легко проверить, что импульс р и сила I могут
быть выражены через этот лагранжиан следующим об-
образом:
dL I dL dL dL\dL
dL dL dL
Уравнения движепия перепишутся в терминах лагранжиа-
лагранжиана L в следующем виде:
dP
dt
d
dt
dL
d'x
ar a i oli \ ol, .
dx
Таким образом, второй закон Ньютона представляет со-
собой систему уравнений Эйлера — Лаграпжа для функ-
„ _ ту2 „
циопала F с лагранжианом L, равным —^ mgxJ. Поэто-
Поэтому траектории f движения маленького шарика в поле тя-
тяжести являются экстремалями функционала F(i) =
= ^Ldt, L=*^-mgx\
Доказательство утверждения 1. Пусть
y,s(t)= xs(t)— деформация кривой ^(t), пеподвижная на
концах 4 = 1 (а) =ТГ.(а) и В = у (Р) = Tf.(P), to(t)=y{t}.
Назовем полем г\ деформации у3 векторное поле вдоль
кривой 1, получающееся следующим образом,: каждой точ-
28
ке t<=[a, [}] поставим в соответствие вектор r\'(t), явля-
являющийся вектором скорости движения точки ^(t) при де-
деформации fs(?) в начальный момент времени s = 0:
ду (t) г
. Имеем F(ys) = I L(xs,xs,t) dt, поэтому
0 щ)
ds
s—0
dF
Далее
ds ~ dy Os J |s=o
2
1=1
ndL d fdL
di-7t[dy-
dL
Так как деформация Y» неподвижна на концах,- то
¦n(a)=ri(P)=O, поэтому ^«л|а = 0- Итак.
|«=о
Р
dx dt [dy
По определению кривая i является экстремалью тогда
и только, тогда, когда —•—¦ _ — 0 для любой дефор-
деформации 7, кривой 7, неподвижной па ее концах. Если
dL d idL\
•q -r.\0— ше равно нулю ib некоторой точке h от-
отрезка [а, §], то из непрерывности следует, что это вы-
выражение не равно нулю и в некоторой окрестности точ-
точки ?о. Легко построить деформацию, пеподвижпую впе
этой окрестности и обладающую пепулевым полем дефор-
dL d idL\ _
мации, сопаправлепным с полем ^ Ж\д\г ^ля та"
кой деформации
dF (у Л
_ >• 0. Доказательство утверж-
утверждения 1 закончено.
Отметим, что уравнения Эйлера — Лагранжа являют-
являются системой дифференциальных уравнений второго по-
порядка (в случае га = 1 эта система состоит из одного
29

уравнения}. Оказывается, что в некоторых случаях
уравнения Эйлера — Лагранжа могут быть суще-
существенно упрощены. Например, при и = 1 от уравнения
второго порядка можно перейти к однопараметрическому
семейству уравнений первого порядка, /решения которых,
как правило, получить намного легче. Прежде чем сфор-
сформулировать соответствующее утверждение, вновь рас-
рассмотрим пример движения точечной массы в поле сил
притяжения Земли.
Напомним, что полная энергия Н движущегося ша-
шарика равна сумме кинетической и потенциальной энер-
энергий, т. е. Н = Т +Т = -у + mgxa. Хорошо известный
закон сохранения энергии утверждает, что вдоль траекто-
траектории движения полная энергия постоянна: Н = const.
Последнее уравнение уже имеет первый порядок и несет
в себе легко извлекаемую дополнительную информацию.
Вычислим полную энергию Н в терминах лагран-
лагранжиана:
В
дх
Утверждение 2 (закон сохранения энергии; см.
[1, 38]). Пусть F — функционал, соответствующий ла-
лагранжиану L (см. утверждение 1). Предположим, что
лагранжиан L явно не зависит от «времени» t, т. е. L =
= L(x, у), -^-ееО. Тогда на экстремали f функционала
F полная энергия И, вычисленная по формуле Н =
dL дЬ
~~ду'У~~д1> постоянна, т. е. H(f(t)) не зависит от
#(
дх
t, #(f(f)) = const.
Доказательство.
dt
dx
дх
Г d (dL\ dL~\ • n
-Ms]-кг--
Замечание. В случае, когда п = 1, т. е. wx1,
у — ух, закон сохранения энергии Н = const представля-
представляет собой однопараметрическое семейство (параметризо-
(параметризованное константой) обыкновенных дифференцидданых
уравнений первого порядка. Мы сейчас воспользуемся
30
Щ замечанием для определения всех образующих ми-
минимальных поверхностей вращения.
Итак, пусть кривая i(z), z'e[«, [}], является образую-
образующей минимальной поверхности вращения К, однозначно
|фоектирующейся на ось Z (см. выше). Лагранжиан
Ъ = 2яг V 1 + г2, соответствующий функционалу пло-
площади А (К) поверхности К, явно не зависит от
«времени» z. Поэтому вдоль экстремали сохраняет-
Я Г
оя полная анергия Н. Тогда имеем р = —=
дг
2пгг
2nrr
2nr
¦ + 1
+ 1
¦ av Следовательно,
г =
-1, a>0;
= ±aarcch \- с. Итак, с точностью до сдвига вдоль
оси Z и направления параметризации (задаваемого коор-
. г , z
динатои z или —z) мы получили уравнение — = сп —,
ге[а, р], определяющее поверхность вращения К: обра-
образующая ^(z) любой минимальной поверхности вращения
вокруг оси Z удовлетворяет этому уравнению при неко-
некотором а (после соответствующего движения). Покажем,
что при любом а > 0 поверхность К является минималь-
минимальной (мы проверили условие экстремальности функцио-
функционала площади не для всех деформаций). Для этого, оче-
очевидно, достаточно проверить равенство пулю средней кри-
ввдны поверхности К во всех точках обравующей ^.
Задача 2. Доказать, что образующая у поверхности
вращения является главным сечением для любой своей
точки.
Решение. Если это не так, то и перпендикулярное
к f нормальное сечение тоже не является главным. По-
Поэтому для главного сечения а существует не совпадаю-
совпадающее с ним сечение а', симметричное относительно плос-
плоскости, задающей сечение у. Но тогда у сечений а и а'
одинаковая кривизна, что противоречит формуле Эйлера
(рис. 17).
Лемма (теорема Менье; см. [1], а также гл. 3)\
Пусть М — гладкая поверхность в R3, Р — точка на М.
Пусть П — плоскость, проходящая через Р и не касаю-
щаяся поверхности М в этой точке. Обозначим через v
31

единичный касательный вектор сечения f = П П М в точ-
точке Р, а через ср угол между плоскостью П и нормаль-
нормальной плоскостью, проходящей через точку Р параллельно
вектору v. Тогда кривизна к сечения ч и кривизна к(\)
нормального сечения в направлении v связаны следую-
следующим соотношением: к cos у = к(у) (ряс. 18). Здесь
Рис. 17
Рис. 18
кривизна к вычисляется по отношению к нормали п в
плоскости П к сечению у, составляющей с нормалью N к
поверхности М острый угол.
Теперь легко вычислить главные кривизны поверх-
поверхности вращения. Пусть точка Р лежит на образующей
К (z)= ix = r(z), y = 0). Тогда одна главная кривизна в
точке Р — это тривизша кривой ч. Поэтому kt = г
A4- г2K'2
Кривизна к2 ортогонального нормального сечения вы-
вычисляется с помощью теоремы Менье. Сечение плос-
плоскостью П, ортогональной оси z,~ окружность с кри-
кривизной к = — ~ (знак минус появляется из-за выбора
нормали N к поверхности вращения М). Косинус угла
между плоскостью П и соответствующей нормальной
плоскостью равен cos ф = A, г) * - -A,0)= *
Поэтому к2 = —
а средняя кривизна И равна
A + г2)"/2
Дальнейшая проверка получается автоматически. Так
как каждое решение продолжается на всю ось Z, то слу-
случай, когда образующая минимальной поверхности вра-
вращения где-либо не проектируется однозначно на ось Z,
приводит к плоской поверхности (т. е. эта образующая
нигде не является графиком над осью Z). Решение зада-
задачи 1 закончено.
Итак, все неплоские неконгруэптпые полные мини-
минимальные поверхности вращения образуют однопарамет-
рическое семейство катеноидов г = a ch —, а > 0.
Компактный катеноид можно реализовать как мыль-
мыльную пленку, затягивающую две соосных окружности оди-
одинакового радиуса, лежащие в параллельпых плоскостях.
Сколько же всего мыльных пленок можно натянуть на
этот контур?
В работе 1983 г. Шоен [5] показал, что на такой
контур можно натянуть только минимальпые поверхности
вращения (результаты Шовна относятся к более общей
ситуации)'. Надо заметить, что на контур, состоящий уже
из трех соосных окружностей, лежащих в параллельпых
плоскостях (контур, инвариантный относительпо враще-
вращения), можно натянуть минимальную поверхность, не яв-
являющуюся ' поверхностью вращения (пример Гулливе-
Гулливера — Гильдебранда; см. [3]). Отметим, что первые при-
примеры такого рода были построены Морганом [6]. Коп-
тур Моргана содержит четыре соосные окружности, две
Рис. 19
из которых лежат в плоскости z = 0, а две другие —
в плоскостях z = ±l соответственно. На рис. 19 и 20
приведены контуры и соответствующие минимальные по-
поверхности из примеров Моргана и Гулливера — Гильде-
Гильдебранда. Основная идея обоих построений заключается в
3 А. А. Тужилин, А. 1, Фоменко 33

следующем. К контуру, инвариантному относительно
вращения, добавляется набор отрезков, таких что обра-
образовавшаяся система может быть разбита на две симмет-
симметричные части Fi и Г2, не инвариантные относительно
вращения. Затягивая Г| и Г2 симметричными мыльными
пленками Mi и М% соответственно и соединяя Г| и Гг в
Рис. 20
первоначальную систему, мы получим минимальную по-
поверхность, затягивающую первоначальный контур и в
соответствии с принципом симметрии (ом. § 2) гладкую
вдоль добавленных отрезков, которые без ущерба можно
удалить. Полученная пленка М\ U М2 будет уже пе ин-
инвариантна относительно вращения.
Итак, чтобы описать все минимальпые поверхности,
затягивающие контур, который состоит из двух соосных
окружностей одинакового радиуса, расположенных в па-
параллельных плоскостях, достаточно описать все кате-
катеноиды, затягивающие этот контур. Полное решение этой
задачи было получено еще Пуассоном (см. [2]). Мы
сейчас приведем соответствующие результаты.
Пусть h — расстояние между окружностями, р — ра-
радиус этих окружностей. Оказывается, что при малом h
существует ровно два катеноида г = ajch— (? =» 1, 2):
один из них близок к цилиндру, а другой — к конусу
(рис. 21а).
При h -*• 0 радиус а\ горловины первого катеноида
стремится к радиусу граничной окружности, т. е. а\ -»- р,
а радиус яг горловины второго катеноида — к пулю, т. е.
п2 -*¦ 0. Если h возрастает, то внешний катеноид проги-
прогибается (п\ убывает), а внутренний, наоборот, становится
менее крутым (аг возрастает). Таким образом, при воз-
возрастании k катеноиды устремляются друг к другу. На-
Наконец, при некотором значении h = hKp (p) оба катеноида
«слипаютсд». На такой коптур можно натянуть лишь
34
один катеноид. Если продолжать раздвигать окружности,
то на практике катеноид, соответствующий AI!p(p), скач-
скачком преобразуется в пленку, затягивающую каждую из
окружностей плоским диском: при h > йир не существует
катеноидов, затягивающих этот контур (рис. 216).
Для аналитического обоснования поведения катенои-
катеноидов при изменении расстояния между окружностями
предположим, что в цилиндрической системе координат
(г, <р, z) окружности радиусом р, образующие наш кон-
тур.лежат в плоскостях z == ± у и линией центров яв-
является ось Z. Тогда катеноиды, затягивающие этот коп-
коптур, имеют вид г = a ch -|-, причем р = асЪ. ?-. Число ис-
искомых катеноидов равно числу решений последнего урав-
уравнения относительно переменной а, а > 0.
Построим график y = ach^ в координатах (а, у)
при некотором фиксированном h. Искомые решения за-
задаются пересечением этого графика с прямой у = р. При
а -*¦ 0 или а -*¦ +«> очевидно, что у -*¦ +«>. Покажем, что
при а > 0 функция у (а) = a ch ^ имеет единственный
экстремум (минимум). Действительно, уравнение —=.
35

, к h . к п
СП д s- sh 5- =0
2а 2а 2а
имеет едилствешгое положитель-
положительное решение а = ао, так как это же верно для эквива-
эквивалентного уравнения cth ^ = ^, а > 0. Обозначим че-
через to единственный положительный корень уравнения
cth t — t. Тогда aQ = а„р — ^~, Итак, график для у (а) —
г. h °
= асп г- выглядит, как показано на
рис. 22.
Бели мы теперь станем увеличивать
h, то график будет подниматься
вверх. При h -*¦ +°° критическая точка
Уо
_ _z. —*¦ л.
и, следовательно,
Рис. 22
а0 ch t0 -»- ¦
критическое значение у0 = а0 ch-p— =
>. Наоборот, при h -*¦ 0 имеем
0
Вывод. Для любого р > 0 существует критическое
значение АкР(р), такое ч?го при h<hKV(p) прямая у = р
пересекает график функции у (а) = a ch =- ровно в двух
точ1ках, которые при А->-А1ф(р) стремятся друг к другу,
и при h = Аир (р) прямая у = р касается графика дл/i
j/(a) = ach^. При A>/tKp(p) пересечений нет. Это и
обосновывает описанную выше геометрическую картину
поведения катеноидов при изменении h.
Отметим, что в реальных опытах всегда получается
лишь один из двух катеноидов, а именно тот, который
при малом R близок к цилиндру. Дело в том, что второй
катеноид является неустойчивым (см. гл. 3).
§ 2. Геликоиды
Геликоидом называется поверхность, заметаемая пря-
прямой линией (образующей геликоида) при ее равномерном
винтовом движении (рис. 23).
Чтобы придать этому определению точный смысл,
опишем параметрическое задание геликоида. Введем де-
декартовы координаты х, у, z таким образом, чтобы ось Z
совпала с осью вращения, а ось X — с образующей
геликоида. Если k обозначает расстояние между бли-
ближайшими несовпадающими параллельными образующи-
36
Рис. 23
линейчатой
ми (h называется шагом геликоида), v — угол между
образующей и плоскостью XZ, аи — стандартную коор-
координату на образующей (точки с и = 0 лежат на оси Z),
то параметрически геликоид может быть определен так:
х = и cos v,
у = и sin v,
z = av, |o|=A/Bn),ue=R, veE
Если а > 0, то вращение образующей против часовой
стрелки сопровождается ее (образующей) поднятием
(z увеличивается), а при а<0 — опускани-
опусканием (z уменьшается).
Более простое представление геликоида
можно получить в цилиндрических коорди-
координатах (г, ф, z), однако в этом случае па-
параметризуется лишь «половина» геликоида:
если в качестве параметров и, v выбрать
u = r, v = q>, то «половину» геликоида мож-
можно задать так: (г = г, ф = ср, г = аф) или
просто z = ац>.
Геликоид принадлежит к семейству ли-
линейчатых поверхяоетей, т. е. поверхностей,
которые заметает прямая (образующая
поверхности) при своем движении вдоль некоторой
кривой, называемой направляющей линейчатой по-
поверхности. К линейчатым поверхшостям оппосятся
все цилипдры (асе образующие натравлены одина-
одинаково) и конусы (все образующие проходят через
одну точку). Интересным примером является линей-
линейчатая поверхность, которая получается при вращении
образующей вокруг скрещивающейся с пей оси враще-
вращения. Последняя поверхность в случае, когда образующая
и ось вращения пе ортогопальны, называется одпополо-
стпым гиперболоидом и является примером поверхности
второго порядка (уравнение, задающее этот гиперболоид,
представляет собой многочлен второй степени от евкли-
евклидовых координат х, у, z). Отметим, что плоскость, также
являющаяся линейчатой поверхностью, может быть от-
отнесена как к коническому, так и к цилиндрическому
типу. Более того, плоскость можно рассматривать как
вырожденный геликоид, имеющий пулевой шаг: h = 0.
Оказывается, геликоид является мипималыюй по-
поверхностью. Более того, среди всех линейчатых поверх-
поверхностей минимальны только геликоиды и их фрагменты.
Последнее утверждение было доказано Е. Катала-
ном (Е. Catalan) в 1842 г. Мы приведем здесь другое
37

доказательство, с нашей точки зрения, более геометри-
геометрическое.
Докажем сначала, что геликоид является минималь-
минимальной поверхностью. Для этого достаточно проверить ра-
равенство нулю средней кривизны вдоль произвольной об-
образующей, например вдоль оси X, так как для любой
пары образующих существует движение, переводящее
геликоид в себя, а первую образующую во вторую.
Пусть точка Р образующей X имеет координаты (и,
О, 0), и Ф 0. Проведем через Р плоскость П, ортогональ-
ортогональную образующей X. Ясно, что пересечение плоскости П
с геликоидом является нормальным сечением, которое
мы обозначим через у. Плоскость Л задается уравнением
х — и = 0. Нормальное сечение f, очевидно, имеет вид
Ч(ф)=(м, wtgtp, шр), ч(О) = .Р. Поэтому кривая f в плос-
плоскости П является графиком тангенса, у которого при
Ф = 0 имеется точка перегиба. Последнее означает, что
кривизна кривой f в точке Р равна нулю. Таким обра-
.зом, у двух взаимно перпендикулярных нормальных се-
сечений — образующей X и кривой f — кривизна равна ну-
нулю (в точке Р). Отсюда сразу следует, что средняя
кривизна Н в точке Р зануляется (см. задачу из § 1
гл. 1). Случай и = 0 получается аналогично. В силу
произвольности точки Р минимальность геликоида до-
казапа.
Для доказательства того, что геликоид является
единственной полной липейчатой минимальной поверх-
поверхностью, нам потребуются два свойства минимальных по-
поверхностей: принцип отражения Шварца — Римана и
теорема единственности. Оба этих свойства следуют из
того, что в специальных координатах (и, v) функции
x(ui v), У(и, v), z(u, v), задающие параметрически ми-
минимальную поверхность, являются гармоническими (см.
§ 2 гл. 3). Последнее замечание дает возможность рас-
распространить многие свойства гармонических и аналити-
аналитических функций на минимальные поверхности.
Принцип отражения Шварца —Рима па 1.
Предположим, что граница минимальной поверхности М,
лежащей в R3, содержит отрезок I прямой линии I.
Пусть М* обозначает минимальную поверхность, сим-
симметричную поверхности М относительно прямой I. Тогда
объединение М* U М является гладкой минимальной по-
поверхностью: поверхности М и М* стыкуются на отрезке I
гладким образом (ср. с принципом симметрии для ана-
аналитических и гармонических функций),
38
Теорема единственности. Если две гладкие
минимальные поверхности М\ и Мг содержат в пересече-
пересечении некоторое открытое подмножество, то объединение
М\ U Л/г этих поверхностей является гладкой минималь-
минимальной поверхностью (ср. с теоремой единственности для
аналитических и гармонических функций).
Приведем теперь схему доказательства теоремы Ка-
Каталана.
Оказывается, что линейчатые минимальные поверх-
поверхности полностью характеризуются следующим свойством.
Лемма. Пусть М — линейчатая минимальная по-
поверхность с направляющей i(t), а /о и 1\ — образующие
поверхности М, проходящие через точки f (to) и f(?i)
соответственно. Тогда существует образующая I, проходя-
проходящая через точку y(t) для некоторого t, to<t<t\, такая
что прямая 1о симметрична прямой 1\ относительно I
(назовем такую прямую I средней линией между обра-
образующими lo U 1\) .
Доказательство. Рассмотрим произвольную об-
разуюнг}4ю I, проходящую через некоторую точку f(O,
^0<^'<^. Обозначим через M[to, t'] часть поверхности
М, состоящую из всех образующих, проведенпых через
точки f(f) для всех t*=[t0, t']. Отобразим M[U, t'] от-
относительно прямой I. Образ обозначим через M*[t0, t'\.
В соответствии с принципом отражения и теоремой едип-
ственности объединение M[to, t']UM*[t0, t'] либо равно
M[to, t*] для некоторого t*, to<t*<tu либо содержит
M[to, t\]. При t' -*¦ to величина t* тоже стремится к to.
При t'' -*-t\. величина t* в некоторый момент станет боль-
больше t\. Из непрерывности следует существование t', та-
такого что t* — t\. Лемма доказана.
Далее назовем каркасом произвольной линейчатой по-
поверхности всюду плотное (на поверхности) семейство об-
образующих. Очевидно, что каркас полностью определяет
форму линейчатой поверхности: если две линейчатые по-
поверхности М\ и М.2 имеют конгруэнтные каркасы, то са-
сами эти поверхности конгруэнтны.
Используя характеристическое свойство линейчатой
минимальпой поверхности, описанное в лемме, на каж-
каждой такой поверхности мы построим каркас, который, как
окажется, конгруэнтен либо плоскому каркасу, либо кар-
каркасу, лежащему на геликоиде. Последнее наблюдение и
завершит доказательство теоремы Каталана.
Итак, пусть М — произвольная линейчатая минималь-
минимальная поверхность с направляющей f(i), а /о и U — произ-
39

вольная пара несовпадающих образующих поверхности
М, проходящих через точки f(t0) и f(fi) соответственно.
Проведем среднюю линию I = ll/2 между образующими
/о и /ь Из леммы следует, что прямая I является обра-
образующей поверхности М. Далее пусть образующая 1\ц
является средней линией менаду прямыми 1о и 1\/2,
a h/A — между 1\,2 и U. По индукции, если l0, ll!2n,---, h~
семейство образующих, построенных па ге-м шаге, то па
(ге + 1)-м шаге добавляем к этому семейству все средние
линии, проведенные между соседними образующими ?./2п
и 1и+1)/2п для каждого /, / = 0, 1, ..., 2П—1. В пределе,
очевидно, мы получим каркас L поверхности M[t0, ti].
Чтобы получить каркас для всей поверхности М, отразим
каркас L относительно прямых Iq и 1\ и рассмотрим объ-
объединение образов с самим каркасом L. Полученная со-
совокупность уже является каркасом линейчатой мини-
минимальной поверхности М_1( 2 = М*-х (J M [tB, 1г] (J М\, где
М*-х и Л/*—образы поверхности M[t0, t\] при отраже-
отражении относительно образующих 10 и 1\ соответственно.
Продолжая процесс отражения очевидным образом, мы
в пределе получим каркас Ь„, являющийся каркасом
полной линейчатой минимальной поверхности, которая
в соответствии с теоремой единственности содержит нашу
минимальную поверхность М.
Осталось показать, что каркас Ь„ либо плоский, либо
является каркасом геликоида. Действительно, если об-
образующие 1о и 1\ параллельны или пересекаются, то ?„,
очевидно, является каркасом плоскости (все средние ли-
линии лежат в одной плоскости). Пусть образующие Iq и
U скрещиваются. Рассмотрим плоскость П, параллель-
параллельную обоим образующим, и ортогонально спроектируем
10 и 1\ на плоскость П. Пусть 10 и 1Г — их проекции,
а РеП — точка пересечения 10 и 1г. Если I — средняя
линия между Iq и /i, то ортогональная проекция V пря-
прямой / на плоскость П является биссектрисой угла между
прямыми Iq и 1г. Более того, прямая I находится на
одинаковых расстояниях от прямых Iq и 1\. Из вышеска-
вышесказанного следует, что если провести через точку Р пря-
прямую Z, ортогональную плоскости П, то во-первых,
прямые lo, l и 1\ ортогональны прямой Z, во-вторых, они
пересекают Z в точках z0, z и z\, таких, что \zqz\ = \zz\\,
и, в-третьих, угол между прямыми /о и I равен углу
между прямыми I и 1\. Поэтому прямая I лежит на не-
40
ко*ором геликоиде (с направляющей — прямой Z), про-
проходящем через прямые 10 ж 1\. Аналогичные результаты
верны для любой тройки прямых из построенного кар-
каркаса Loo, одна из которых является средней линией по
отношению к двум другим. Теперь ясно, что Ь„ пред-
представляет собой каркас геликоида. Это и завершает дока-
доказательство теоремы Каталана.
Итак, мы показали, что все неплоские неконгруэнт-
неконгруэнтные полные минимальные линейчатые поверхности обра-
образуют однопараметрическое семейство геликоидов (в каче-
качестве параметра семейства можно выбрать шаг h). На-
Напомним, что псе пеплоские иеконгруэниные полные
минимальные поверхиости вращения тоже образуют од-
нопараметричеюкое семейство — семейство катеноидов.
В качестве параметра этого семейства можно взять ра-
радиус горловины катеноида. Оказывается, между катенои-
катеноидами и геликоидами существует более тесная связь.
Во-первых, катеноид и геликоид при соответствующих
значениях параметров локально изометричны. Это озна-
означает следующее. Напомним, что в цилиндрических коор-
координатах (г, ф, z) катеноид задается так: r = ach(z/a),
а > 0, где z e R, а угол ф изменяется от 0 до 2л. Если
разрешить углу <р меняться от —°° до +°°, то мы полу-
получим бесконечнолистную намотку катеноида. Оказывает-
Оказывается, между геликоидом и бескопечнолистной намоткой
катеноида при соответствующих значениях параметров h
и а существует диффеоморфизм, сохраняющий метрику.
Более того, мы можем изгибанием намотать геликоид
на соответствующий катепоид, причем изгибание можно
осуществить в классе минимальных поверхностей. По-
Последнее утверждение означает, что существует однопара-
однопараметрическое семейство минимальных поверхностей М,,
0 < t < 1, гладко зависящих от параметра t, такое, что
Мо — геликоид, Mi — бесконечполистная намотка катено-
катеноида и все поверхности М, изометричны между собой.
Ниже мы в явпом виде построим это изгибание. Изомет-
ричные минимальные поверхности Мо и М\, которые
можно «соединить» гладким семейством Mt изометрпч-
ных минимальных поверхностей, называются сопряжен-
сопряженными, а промежуточные минимальные поверхности
Mt@ < t < 1)— ассоциированными. В § 3 гл. 3 мы дадим
другое, более удобное для работы определение ассоци-
ассоциированного семейства и сопряженных поверхностей в
терминах представления Вейерштрасса. Пока мы лишь
заметим, что катеноид и геликоид (случай а = 1, h = 2я)
41

мбжнб параметрически задать ?ак!
катеноид г^и.р) = I У I = Re I -i
геликоид г2 (и, v)
W I
(х\ / chw >
у I = Jm I — i sh w
(.г/ V w J
(ch и cos у,
ch и sin v,
и;
{sh u sin v,
— sh u cos v,
v
где (и, v)—координаты да поверхности, a w =
соответствующая комплексная координата, i»eC. Отме-
Отметим, что параметр v — это угол ср в цилиндрических ко-
координатах, а для геликоида координата и заменена на
shu. Сопрягающее семейство минимальных поверхностей
задается радиус-вектором r{u, v, а) следующим образом:
г(и, v, a) = cosoc • т\(и, y)+sin а- т2(и, v), где параметр
ае [0, jt/2]. При а = 0 имеем шамовку катеноида, при
а = я/2 — геликоид. Минимальность всех этих поверхно-
поверхностей непосредственно следует из результатов §. 3 гл. 3.
Тот факт, что все они изометричны, получается прямым
подсчетом (проверьте).
Фиксируем некоторое «^@, я/2) и посмотрим, как
выглядит поверхность r(u, v, а). Надо найти «сумму»
катеноида с (радиусом горловины cos а и геликоида с
шагом 2jt sin а. Положим v = 0 и выясним, как рас-
расположены (соответствующие образующие катеноида и
геликоида.
Образующая катеноида — это цепная линия ч(и) в
плоскости XZ; при возрастании и координата по Z точки
t(u) растет. У геликоида образующая — это ось Y; при
возрастании координаты и координата по Y убывает. Тре-
Требуется найти «су!мму» <а радиус-векторов этих образую-
образующих при одинаковых значениях и. Чтобы наглядно пред-
представить себе кривую со, проведем через цепную линию f
семейство «прямых, параллельных оси У. Получим ци-
цилиндрическую поверхность. Ясно, что значению и — О
соответствует вершина цепной линии у. При увеличении
и соответствующая точка кривой со сдвигается с образую-
образующей f по цилипдрической поверхности влево, а при
уменьшении и — вправо. Чем больше \и\, тем больше,
сдвиг (рис. 24).
Что произойдет с со, если поднять образующую гели-
геликоида иа высоту ft? Очевидно, со тоже поднимется на вы-
высоту h. И последнее замечание. При увеличении v об-
образующие катеноида и геликоида вращаются против ча-
часовой стрелки вокруг оси Z с одинаковыми скоростями.
42
При этом образующая геликоида еще поступательно дви-
двигается в направлении оси Z. Таким образом, поверхность
г(м, v, а) представляет собой некоторое подобие гели-
геликоида: она получается как поверхность, заметаемая кри-
кривой и при одновременном равномерном вращении ее во-
вокруг оси Z и равномерном поступательном движении
вдоль этой оси.
Посмотрим, что происходит с «образующей» со при из-
изменении а от 0 до я/2. При а = 0 кривая со является
1
\
\
\
^ \
^ \
.¦^
/
/
/
/
/
1
/
/
"V
\J
\
\
Рис. 24
Рис. 25
Рис, 26
цепной линией катеноида т\(и, v). При увеличении а
вершина цеппой линии у устремляется к началу коорди-
координат, а со все болвше и больше отклоняется от . f по
43

соответствующей цилиндрической поверхности. Профили
различных цилиндрических поверхностей при различных
а изображены па рис. 25.
В пределе, при а = я/2, кривая со становится гори-
горизонтальной, а ее вершина совмещается с началом коор-
координат, т. е. кривая <а превращается в образующую гели-
геликоида. Расстояние между соседними витками поверхно-
поверхности г (и, v, а) равно 2nsina, поэтому оно стремится к
2я при а -+• я/2. Наглядпо деформация геликоида в кате-
поид изображена па рис. 26,
Отметим, что подобную деформацию легко увидеть на
опыте. Сделаем проволочный контур, составленный из
двух разрезанных окружностей и двух соединительных
проволочек, идущих по меридианам катеноида (рис. 27а).
Деформируя этот контур, как показано на рисунке, по-
получаем требуемое.
Интересные опыты можно поставить, исследуя гели-
геликоид на устойчивость. Сделаем контур, состоящий из
двух спиралей и двух замыкающих отрезков. При боль-
большом шаге (т. е. при достаточно большом периоде спира-
спиралей) мыльная пленка, натянутая на зтот контур, явля-
является физической реализацией геликоида. Если мы будем
уменьшать шаг, сжимая спирали, то наступит момент,
44
иогда пленка перестанет быть геликоидом и превратит-
превратится в пленку типа B) (рис. 276). В гл. 3 мы вычислим
индекс геликоида и докажем, что он является пеустой-
чивой минимальпой поверхностью.
§ 3, Уравнение минимальных поверхностей.
Проблема Бернштейна. Поверхность Шерка
1. Уравнение минимальных поверхностей в О?3. Пусть
минимальная поверхность М в О?3 задана в виде графика
функции z — f{x, у) над областью QcrKf^y). Как опи-
описать все такие функции /? Оказывается, что все функ-
функции /, графики которых являются минимальными по-
поверхностями, описываются следующим дифференциаль-
дифференциальным уравнением второго порядка:
A + fy)-f*x -УМ + A + fl) -fyy = 0.
Это уравнение называется уравнением минимальных по-
поверхностей.
Для доказательства воспользуемся тем, что мипималь-
ные поверхности являются критическими точками фуик-
ционала площади (см. § 2 гл. 1). Пусть Qo обозначает
произвольную компактную подобласть в области Q, т. е.
предположим, что замыкание Qo области Qo компактно
и целиком содержится в области Q. Ограничение графи-
графика М на Qo является минимальной поверхностью Мо ко-
конечной площади. Рассмотрим произвольную гладкую1 де-
деформацию Mt поверхности Же с носителем К, лежащим
внутри Qo. Напомним, что носителем деформации назы-
называется наименьшее замкнутое подмножество поверхности,
вне которого деформация не производится.
Обозначим через A(t) = \o\2Mt площадь поверхно-
поверхности Mt. Тогда минимальность поверхности М означает,
что -тг . = 0 для любых таких Мо и Mt.
Ясно, что любая малая -деформация поверхшости Мо,
заданной графиком, осуществляется в классе графиков.
Каждая такая деформация описывается семейством
функций
2 = /,'{ж, y)^F(x, у, t], F(x, у, 0)'=»/[*, у), (х, y)^Qo;
причем функции /( равны функции / впе посителя К
деформации F,
45

Площадь поверхности Mt, заданной графиком z ==»
— ft(x, y) — F(x, у, t) пад областью по, вычисляется с
помощью интеграла A (t) = ) у 1 + F% + F\ dx dy.
я
Так как Мо — минимальная поверхность, то А' @) =
=O. Далее4
„У Уп. где F^t= -TrFAt=0. Заметим, что
дх
Wt
1+/2+Я
/я
/i + ^ + /J
**•:
Интеграл по области fi0 от первого члена в правой части
последнего равенства равен нулю. Действительно, функ-
функция Ft при t = 0 вне носителя К равна нулю из-за от-
отсутствия деформации впе носителя. Продолжив подын-
подынтегральную функцию нулем вне носителя К на всю
плоскость Ка и рассмотрев прямоугольник Q = [—а, а] X
X [—Ь, Ь], содержащий К, Q => К, мы можем перейти к
интегрированию по Q:
fff*/ ^ )dx]
ilidx[Vi + fl+fl) J
Аналогично рассмотрим члйд—- v v Итак,
da; йг/.
Так как в качестве Ft можно взять любую гладкую
функцию с носителем в fio (носитель функции — это
наименьшее замкнутое множество, вне которого функция
обращается в нуль)" и оостроить по ней соответствующую
деформацию F, то выражение в квадратных скобках
должно равняться нулю. (Если в точке (хо, уо) оно не
равно нулю, то, значит, и в целой окрестности точки
(яо, Уо) оно не равно нулю. Остается построить гладкую
неотрицательную функцию с носителем в этой окрестно-
окрестности, тождественно не равную нулю.)
Полученное условие является (необходимым и доста-
достаточным для того, чтобы функция / задавала минималь-
минимальную поверхность М. Элемептарпая выкладка приводит
уравнение
/х \ . д ( К \=0
к уравнению минимальных поверхностей
A + /2) /« - 2кЫщ + A + й) fvy = О-
2. Проблема Бернщтейна в R3. Возникает естествен-
естественный вопрос: существует ли функция z—J(x, у), удов-
удовлетворяющая уравнению минимальных поверхностей и
определенная на всей плоскости R2? Очевидно, что любая
линейная функция z = ах + by (задающая плоскость)
является решением этого уравнения. Возможны ли еще
какие-нибудь нетривиальные решения? Эта задача носит
название проблема Бернштейна. Оказывается, что в К3 не
существует других полных графиков (графиков над всей
плоскостью), являющихся минимальными поверхностями.
Решение проблемы Бернштейна основывается на двух
фактах, которые мы докажем в гл. 3.
Пусть z"=f{x, у) — произвольный график над всей
плоскостью XY, задающий минимальную поверхность М.
1. Существует тадая замена координат (х, у)-+(и, v),
где (и, и) пробегают всю плоскость В?2, что метрика на
поверхности М, записанная в координатах (и, v), имеет
вид ds2 = X(u, v)(du2 + dv?), где Х(и, v) — некоторая по-
положительная гладкая функция, определенная над всей
плоскостью R(u,»)- Это означает, что в каждой точке
графика М векторы скорости координатных линий и =
= const и v = const ортогональны и имеют одинаковую
длину. Такие коордипаты называются изотермическими
(подробности см. в § 1 гл. 3).
2. Рассмотрим гауссово отображение v графика М,
т. е. поставим в соответствие каждой точке (х, у, f(x, у))
единичный вектор нормали к графику М в этой точке,
47

Рис. 28
который составляет с осью Ъ острый угол. Так как еди-
единичные векторы всевозможных паправлешш образуют
сферу S2, заданную уравнением х2 + у2 + z2 = 1, то ото-
отображение v переводит пашу минимальную поверхность в
сферу S2, v: M -*¦ S2. Ясно, что гауссов образ (образ га-
гауссова отображения) любого графика лежит в верхней
полусфере.
На сфере S2 с выброшенной
точкой Р можно задать специ-
специальные координаты, называе-
называемые стереографическими коор-
координатами. Пусть Р — южный
полюс сферы, т. е. Р=,@, О,
—1). Отобразим сферу S2\P на
плоскость XY, поставив в соот-
соответствие каждой точке Q e S2\P
точку л (Q) плоскости XY, в которой прямая PQ про-
протыкает эту плоскость (рас. 28).
Отображение я: S2\P-*XY называется стереографи-
стереографической проекцией. Пусть (х, у) — стандартные координа-
координаты на плоскости XY. На плоскости с координатами (и, v)
образуем соответствующую комплексную координату | =
— и + iv, а на плоскости XY — координату г\ = у + ix.
Гауссово отображение v задает отображение комплекс-
комплексной плоскости С| ж К(и,в) па комплексную плоскость
Ci» R?«,,) -*- М Л S*\P Д 0??„л « Сп.
где С и Сп — соответствующие комплексные плоскости
с 'координатами ? и tj.
Основное утверждение п. 2 состоит в том, что задан-
заданное таким образом отображение С^-^-Сп является го-
голоморфным (комплексно-аналитическим). Отсюда сразу
следует решение проблемы Бернштейна. Действительно,
образ гауссова отображения v поверхности М лежит в
верхней полусфере. Поэтому его образ при стереографи-
стереографической проекции я является ограниченным подмноже-
подмножеством в Сп- Таким образом, гауссово отображение v
задает ограниченную голоморфную функцию, определен-
определенную па всей комплексной плоскости. По теореме Лиувил-
ля эта функция должна быть константой. Следовательно,
гауссово отображение переводит всю поверхность М в од-
одну точку. Поэтому все нормали к графику параллельны,
и, значит, график является плоскостью.
Замечание. Из доказательства ясно, что сущест-
существенным моментом в п. 1 является следующее утвержде-
утверждение: координаты (и, v) пробегают всю плоскость R2*
Иначе мы не смогли бы применить теорему Лиувилля.
3. Поверхность Шерка и принцип симметрии. Одним
из простейших типов функций от нескольких перемен-
переменных являются функции, представимые в виде суммы
функций от каждой переменной. В нашем случае рас-
рассмотрим функцию z — f(x, у) — <р(х)+ tyiy).
Вопрос. Когда функция такого вида задает мини-
минимальную поверхность?
Эта задача может быть полностью исследована. Легко
видеть, что уравнение мипималыюй поверхности в дан-
данном случае имеет вид
A + i|>v) Ф» + A + ф'
и поэтому расщепляется:
= О
1 + ti
а = const.
ry 1 + Ф^
При а = 0 получаем уравнение плоскости. При а Ф О
имеем
Ф (х) = — In [cos (az + b)] + cp
1t(?) = -7ln Icos (a? + й)] + c2,
где &, ci, C2, d — любые константы. Итак,
,. . 1 , cos lax 4- b) ;
z = f(x,y) = — In -.—2—^- + c.
' K ' "' a cos (oj/ + d)
Мы получили с точностью до изометрии (сдвига вдоль
оси Z на с, а также вдоль осей X и 7 на i и d соответ-
соответственно) однопараметрическое семейство минимальных
Y Y I , cos ax „
графиков, заданных функциями z = — In co . а=т^0,
наждая из которых определена над «черными клетками
cos ax „
шахматной доски», т. е. где „„„„„ >*Л например, над
COS Яу
{(х, I/) I laxl < я/2, |ai/l <я/2). Эти поверхности называ-
называются поверхностями Шерка. Как и в случаях катеноида
и геликоида, имеем с точностью до изометрии и гомоте-
гомотетии единственную поверхность Шерка, заданную функ-
, cos х
циеи z = In —.
4 А, А, Тужилин, А, Т, Фоменко 49'

Рассмотрим фрагмент поверхности Щерка, ащкщеяей-
ный над «черной клеткой» \ах\<п/2, \ау\ <л12. Пере-
Пересечение этого фрагмента с плоскостью XY состоит из
двух отрезков у = ±х, \ах\<п/2. Этот фрагмент перехо-
переходят в себя при повороте па угол я вокруг оси Z и име-
имеет седловую форму: при Ы < \у\ график выше плоскости
XY, т. е. z>0, а при Ы > \у\ график ниже плос-
плоскости XY.
При приближении к точке
границы, не являющейся вер-
шипой «черной клетки», коор-
координата z графика стремится к.
бесконечности. При приближе-
приближении к вершине «черной клет-
клетки» по разным кривым мы мо-
можем в пределе получить любую
точжу вертикальной прямой,
проходящей через эту вершину.
Поэтому замыкание поверхно-
поверхности Шерка как подмножества в
R3 содержит кроме самого
графика еще четыре вертикальные прямые, проходя-
проходящие через вершины «черной клетки». Эти вертикаль-
вертикальные прямые являются границей фрагмента поверхности
Шерка. Если отразить этот фрагмент относительно одной
из этих вертикальных прямых, то по принципу симмет-
симметрии мы получим минимальную поверхность, гладкую на
вертикальной прямой. Полученный симметричный фраг-
фрагмент совпадает с фрагментом над соседней черной клет-
клеткой, и, как легко видеть, он гладко склеится в единую
минимальную поверхность с фрагментами, определенны-
определенными над четырьмя прилежащими «черными клетками».
Продолжив эту операцию, в пределе мы получим пол-
полную поверхность Шерка (рис. 29).
Эта поверхность является графиком над всей плос-
плоскостью с выброшенной сеткой, составленной из парал-
параллельных осям координат X и У прямых, проходящих че-
через вершины решетки
Рис. 29
Ь4
Фрагменты поверхности над соседними клетками соеди-
соединены друг с другом вертикальными прямыми, проходя-
проходящими через вершины решетки.
50
§ 4. Периодические минимальные поверхности
В § 2 мы сформулировали принцип отражения Швар-
Шварца — Римана 1, позволяющий продолжать минимальные
Шхвврхности за прямолинейные участки границы. Есть
еще второй принцип отражения Шварца, который мы
сейчас сформулируем.
Принцип отражения Шварца 2. Предполо-
Предположим, что гладкая минимальная поверхность М в R3 ор-
Ыгонально подходит к некоторой плоскости П, т. е. пе-
пересечение плоскости П и границы дМ поверхности М
Является гладкой регулярной кривой f, вдоль которой М
и П ортогональны. Тогда, если М* обозначает образ по-
поверхности М при отражении относительно плоскости П,
то объединение М U М* является гладкой минимальной
Поверхностью: минимальные поверхности М и М* сты-
стыкуются вдоль кривой 1 гладким образом.
Ситуация, в которой минимальная поверхность под-
КодиТ к плоскости под прямым углом, естественным об-
образом встречается в так называемых задачах с частично
Свободной границей. Проиллюстрируем это на примере.
Соберем конфигурацию, состоящую из поверхности Р
Некоторого физического тела (например, пластинки плек-
плексигласа) и проволочнего коптура Г, прикрепленного к
#гой поверхности. Если опустить эту конфигурацию в
Поильный раствор и извлечь~~ее оттуда, то на ней останет-
оя мыльная пленка (рис. 30).
Рис. 30
Граница этой плепки состоит из двух частей: прово-
проволочного коптура Г (фиксированной части границы) и
аекоторой кривой f — следа, который оставляет мыльная
пленка на поверхности Р («свободной» части границы).
Мы уже сталкивались с подобной ситуацией, когда
рассказывали об экспериментальном «решении» плоской
вадачи Штейнера (см. § 2 гл. 1).
51

Шварц заметил, что в задаче с частично свободной
границей мыльная пленка, затягивающая конфигурацию,
состоящую из набора поверхностей и соединяющих их
кривых (например, PUT), подходит к поверхностям,
входящим в эту конфигурацию, под прямым углом.
Рассмотрим теперь связную конфигурацию, состоящую
из некоторого набора плоских поверхностей Pi, P2, -.., Рц
и отрезков прямых h, ..., lm (цепь Шварца (рис. 31))".
Предположим, что на эту конфигурацию натягивает-
натягивается мыльная пленка М. Пусть поверхность М подходит
(ортогонально) к плоскостям Р^, ..., Pir и у*?, ...,ЪТ—
следы, которые оставляет эта поверхность на соответст-
соответствующих плоскостях. Пусть граница дМ поверхности М
состоит из «следов» у^, ..., yir и отрезков 1^, ..., ks из
конфигурации. Тогда в соответствии с принципами от-
отражения 1 и 2 мы можем продолжить поверхность М до
гладкой минимальной поверхности, отражая М относи-
относительно плоскостей Pi 7 ..., Pir и отрезков lt , ..., hs.
Очевидно, что граница полученной минимальной поверх-
поверхности снова будет состоять из отрезков прямых и «сле-
«следов», лежащих в плоскостях, перпендикулярных продол-
продолженной поверхности вдоль этих «следов». Не исключепо
также, что у продолженной поверхности граница может
вообще отсутствовать. Если, это не так, мы можем вновь
продолжить полученную минимальную поверхность, при-
причем этот процесс продолжения оборвется лишь тогда,
когда у продолженной поверхности «исчезнет» граница.
Такое исчезновение может произойти, например, в слу-
случае, когда конфигурация состоит из одной плоскости,
а пленка некомпактна и является полуплоскостью, под-
подходящей ортогонально к плоскости из конфигурации. Ес-
Если же начальная пленка -М ограничена, то можно пока-
показать, что процесс продолжения за конечное число шагов
оборваться не может (так как не существует замкнутых,
т. е. компактных без края, минимальных поверхностей в
К3; см. § 5). Обозначим через М минимальную поверх-
поверхность, полученную в результате всевозможных продолже-
продолжений. Вообще говоря, поверхность М может иметь само-
самопересечения. Если же бесконечно продолженная поверх-
поверхность вложена, т. е. не имеет самопересечений и являет-
является регулярной поверхностью, то она называется периоди-
периодической минимальной поверхностью, порожденной М.
Еще в 1867 г. Шварц отметил, что единственная ми-
минимальная поверхность, затягивающая пространстшен-
52
ный четырехугольник, составленный из ребер правильно-
правильного тетраэдра, продолжается с помощью отражений до
апериодической.
Действительно, рассмотрим куб и выберем в пем че-
четыре точки: середины А, В и С трех ребер, выходящих из
одной вершипы, и центр куба О. Ясно, что эти четыре
Рис, 33
Рис, 34
точки являются вершинами правильного тетраэдра. По-
Построим пространственный четырехугольник ОАСВ
(рис. 32).
Если четырехугольник ОАСВ отразить относительно
его сторон, не лежащих па грапи куба, т. е. относительно
Прямых ОА и ОВ, то, как легко видеть, мы вновь полу-
получим четырехугольники, состоящие из вершины О и сере-
дип трех ребер, выходящих из одной вершины куба.
Повторяя подобные отражения для вновь полученных че-
четырехугольников, мы в результате получим шесть кон-
конгруэнтных пространственных четырехугольников, каждый
из которых состоит из центра куба и
середин трех ребер, выходящих из од-
одной вершины куба. На рис. 33—34 изо-
изображены траектории точек А и В, вме-
вместе составляющие множество вершин
Правильного плоского шестиугольника^
д также траектория точки С при толь-
только что описанных отражениях.
Если теперь на контур ОАСВ натя-
Яуть минимальную поверхность (мыль-
(мыльную пленку), то в результате только Рис. 35
.что описанных отражений мы по прин-
принципу симметрии получим гладкую минимальную поверх-
поверхность, целиком лежащую в кубе и имеющую границей
замкнутую ломаную, состоящую из двенадцати отрезков,
каждый из которых лежит целиком в некоторой грани
куба и соединяет середины соответствующих ребер.
53

Теперь уже не сложпо показать, что отражениями
«кубической ячейки» относительно звеньев ломаной мож-
можно получить периодическую поверхность (без самопере-
самопересечений). Эта периодическая минимальная поверхность
называется поверхностью Шварца — Римана.
Существует много других периодических минималь-
минимальных поверхностей, интересные примеры которых были
построены американским физиком А. Шспом (A. Schocn)
и финским математиком Неовиусом (Neovius) (см. [3]).
На рис. 35 изображен фрагмент второй периодической
поверхности Шварца, сконструированный А. Шёном.
§ 5. Полные минимальные поверхности
Мы рассмотрели основные примеры классических ми-
__ нимальных поверхностей в R3. Заметим одну общую де-
деталь: зти поверхности являются либо некомпактными,
либо компактными, но тогда обязательно с непустой гра-
границей. В действительности в R3 не существует замкну-
замкнутых (компактных без края) минимальных поверхностей.
Для доказательства нам понадобится так называемый
принцип максимума. (В § 2 мы уже говорили, что мно-
многие свойства гармонических и аналитических функций
переносятся на минимальные поверхности. Сейчас мы
изложим версию известного из теория гармонических и
аналитических функций принципа максимума.)
Пусть М\ и М2 — две вложенные минимальные по-
поверхности в R3, касающиеся друг друга в некоторой внут-
внутренней для М\ и Л/г точке Р, и П — общая касательная
плоскость к Mt и М2 в точке Р. Зададим локальпо (в ок-
окрестности точки Р) поверхность М{ графиком z = ft(x, у),
i=l, 2, над П, где (х, у)—некоторые координаты в II,
а ось Z ортогональна П, Р= @, 0, 0). Скажем, что по-
поверхность Мх локально лежит по одну сторону от поверх-
поверхности М2, если в некоторой окрестности точки Р выпол-
выполнено одно из следующих неравенств: fi(x, у)> f2(x, у)
или /i(ar, y)<f2(x, у).
Принцип максимума. Пусть М\ и М2 — две вло-
женные минимальные поверхности. в К3, касающиеся в
некоторой внутренней для Mi и М2 точке Р. Предполо-
Предположим, что поверхность Mi локально (в окрестности точки
Р) лежит по одну сторону от поверхности М2. Тогда по-
поверхность Mi совпадает с поверхностью М2 в некоторой
окрестности точки Р.
54
Доказательство несуществования замкнутой минималь-
минимальной поверхности в R3 будем проводить от противного.
Пусть М — замкнутая минимальная поверхность в R3.
Тогда в сллу ограниченности поверхности М как подмно-
подмножества в R3 существует плоскость, ще пересекающая М.
Будем двигать эту плоскость параллельно самой себе в
сторону поверхюости М до первого касания с Л/ в ле-
которой* точке Р (плоскость касания обозначим через
П). Ясно, что точка Р является внутренней точкой по-
поверхности М и плоскости П (у поверхности М нет гра-
гранитных точек в силу замкнутости) и поверхность М ле-
лежит по одну сторону от плоскости П. По принципу мак-
максимума поверхность М в некоторой окрестности точки Р
является плоской. В соответствии с теоремой единствен-
единственности (см. § 2) связная компонента поверхности М, со-
содержащая точку Р, является плоской замкнутой поверх-
поверхностью, т. е. открыто-замкнутым ограниченным подмно-
подмножеством плоскости. Последнее противоречит тому, что
плоскость связна. Это и завершает доказательство.
Таким образом, в R3 всякая минимальная поверхность
без края Некомпактна. Среди минимальных поверхностей
без края важный класс образуют полные минимальные
поверхности. Такие поверхности являются в некотором
смысле максимальными. Рассмотрим в качестве иллюстра-
иллюстрации катеноид М, заданный уравнением г = ch г, г е R.
Если ограничить область изменения переменной z, напри-
например z^[a, b], или, более общо, взять любую собственную
подобласть катеноида, то полученная минимальная по-
поверхность Mq может быть продолжена до большей связ-
связной минимальной поверхности ('например, до всего ка-
катеноида М). Отметим, что если существует нетривиаль-
нетривиальное продолжение некоторой (не обязательно минималь-
минимальной) поверхности М без края до большей поверхности,
то поверхность М, рассматриваемая как подмножество в
К3, пе замкнута. Катеноид М является замкнутым под-
квожесшом в К3, поэтому его невозможно продолжить
до большей поверхности. Применяя теорему единствен-
единственности (см. § 2), мы можем заключить, что любое продол-
продолжение поверхности Л/о до большей связной минимальной
поверхности является подобластью катеноида М. Таким
образом, катеноид М является наибольшей минимальной
шшерхностыо среди всех продолжений поверхности Л/о в
классе связных минимальных поверхностей. Более того,
катеноид Л/ определяет все такие продолжения. Анало-
Аналогичные результаты верпы и в случае, когда Л/ — гелико-
55

ид, поверхность Шерка или поверхность Шварца —
Римана.
Существует альтернативный способ определения пол-
полноты поверхности через полноту индуцированной метри-
метрики. На этом пути имеется две возможности. Пусть М —
произвольная связная вложенная поверхность. Мы можем
определить на М две функции расстояния: | I и р.
Если А ж В — произвольная пара точек на поверхности
М, то положим \АВ\ равным евклидову расстоянию меж-
между А и В как точками в R3. Функцию | I назовем
внешней метрикой. Фупкцию р(А, В) определим как точ-
точную нижнюю грань длин кусочно-гладких кривых, лежа-
лежащих на поверхности М и соединяющих точки А и В.
Функцию р назовем внутренней метрикой.
Итак, для вложенной поверхности М имеем два мет-
метрических пространства: (М, | |) и (М, р).
Напомним, что метрическое пространство называется
полным, если любая фундаментальная последователь-
последовательность имеет предел, лежащий в этом пространстве.
Утверждение 1. Пусть М — произвольная вло-
вложенная поверхность в R3. Тогда метрическое пространство
(М, | |) полно тогда и только тогда, когда М замкнуто
как подмножество в R3.
Задача 1. Доказать утверждение 1.
Итак, если М — катеноид, геликоид, поверхность Шер-
Шерка или поверхность Шварца — Римана, то метрическое
пространство (М, I I) полно.
Мы могли бы назвать поверхность М полной, если
полно метрическое пространство (М, \ |). Однако в гео-
геометрии принято другое определение полноты поверхности,
накладывающее более слабые отграничения, которые тем
не менее оказываются вполне достаточными для полу-
получения содержательных результатов.
Определение. Пусть М — произвольная погру-
погруженная связная поверхность, р — внутренняя метрика,
определенная выше. Поверхность М называется полной,
если полно метрическое пространство (М, р).
Если М — вложенная связная поверхность, то, как лег-
легко видеть, р(А, В)&? \АВ\ для любых точек А и В по-
поверхности М. Поэтому из полноты метрического простран-
пространства (М, | |) вытекает полнота метрического простран-
пространства (М, р), т. е. полнота поверхности М. Обратное не-
неверно. Рассмотрим спиралеобразный цилиндр, определен-
определенный так: направляющая поверхности М — спираль f ле-
лежащая в плоскости XY, которая одним концом асимпто-
56
тически стремится к окружности S1, а другим концом ухо-
уходит на бесконечность; образующая поверхности М — пря-
прямая, перпендикулярная плоскости XY. Ясно, что поверх-
поверхность М не замкнута как подмножество в R3: цилиндр над
S1 лежит в замыкании поверхности М и не принадлежит
М. Поэтому метрическое пространство (М, \ I) ие полно.
Тем не менее поверхность М полна (проверьте).
Что означает полнота метрического пространства
(М, р)? Отметим, что метрика на произвольном множе-
множестве всегда определяет класс ограниченных подмножеств.
Напомним, что подмножество У метрического простран-
пространства (X, р) называется ограниченным, если расстояния
между всевозможными точками А и В множества Y огра-
ограничены сверху: р(А, B)^d для некоторого d>0. Если
М — вложенная поверхность в R3» то у метрик I I и р,
определенных выше, могут быть различные классы огра-
ограниченных множеств, как, например, в случае спиралеоб-
спиралеобразного цилиндра.
Пусть М — погруженная поверхность в R3, а р —
внутренняя метрика.
Утверждение 2. Метрическое пространство (М, р)
полно тогда и только тогда, когда любое замкнутое огра-
ограниченное (в метрике р) подмножество поверхности М яв-
является замкнутым подмножеством в Е3-
Задача 2. Доказать утверждение 2, воспользовав-
воспользовавшись следующей леммой.
Лемма ([7]). Погруженная поверхность М полна
тогда и только тогда, когда любое замкнутое ограничен-
ограниченное в метрике р подмножество поверхности М компактно.
Таким образом, полнота поверхности М означает, что
ни к одному ограниченному во внутренней метрике р под-
подмножеству поверхности М нельзя добавить ни одной точ-
точки из R3, являющейся пределом точек поверхности М,
но не лежащей на М.
Более глубокие результаты, вытекающие из полноты
поверхности М, см. в [7]. В частности, справедливо сле-
следующее утверждение.
Утверждение 3 ([7]). Пусть М — полная связ-
связная погруженная поверхность в R3 без края. Тогда по-
поверхность М непродо4жаема: не существует погруженной
связной поверхности Mi в R3, содержащей поверхность М
как собственную (не совпадающую с М\) подобласть.
Замечание. Не стоит думать, что всякая неполная
погруженная поверхность продолжаема. Пусть М' есть
плоскость XY с выброшенным началом координат,
57

(r, <pj— полярные координаты на М', ге!?+,' q>e [0,2я).
Если разрешить углу ф изменяться от — °° до +<», то мы
получим погруженную поверхность М — бескошечнолист-
ную намотку плоскости R+ X К « R2 на плоскость без
начала координат (ср. со случаем катеноида, § 2). Ясно,
что погруженная поверхность М минимальна и не полна.
Задача 3. Показать, что поверхность М непродол-
жаема.
Глава 3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В R*
Мы переходим к более детальному описанию мини-
минимальных поверхностей в R3. В гл. 2 было продемонстри-
продемонстрировано, как с помощью принципа симметрии, теоремы
единственности и принципа максимума можно получать
разные нетривиальные результаты (теорема Каталана,
несуществование замкнутой минимальной поверхности в
R3). В настоящей главе мы более детально рассмотрим
эти и многие другие принципы и дадим их доказа-
доказательства.
В § 1 доказывается существование на минимальной
поверхности изотермических (конформных) координат,
порождающих так называемую конформную структуру.
В этих координатах многие формулы существенно упро-
упрощаются.
В § 2 рассматривается гауссово отображение поверх-
поверхностей и доказывается, что для минимальных поверхно-
поверхностей гауссово отображение является аптиконформным.
Последнее свойство было использовано нами при реше-
решении проблемы Бернштейна. Оно также играет большую
роль при исследовании индексов мипнмалвпых поверх-
поверхностей.
В § 3, опираясь на результаты первых двух парагра-
параграфов, мы построим представление Вейерштрасса, описыва-
описывающее локальную структуру всех минимальных поверхно-
поверхностей в R3 двумя комплекснозначпыми функциями.
В § 4 определяется глобальное представление Вейер-
Вейерштрасса для ориентируемых и неориептируемых поверх-
поверхностей, являющихся минимальными.
В заключительных § 5 и 6 рассказывается об иссле-
исследовании полных минимальных поверхностей, обладающих
конечной полной кривизной.
58
§ 1. Изотермические координаты
Пусть М — регулярная поверхность в К3, (и, и) —
локальные координаты па М.
Определение. Локальные координаты (и, и) на
поверхности М называются изотермическими (конформ-
(конформными), если индуцированная из К3 метрика ds2 на по-
поверхности М, записанная в координатах (и, и), выглядит
так: ds2 = X(u, v)(du2 + dv2), где К(и, v)— положитель-
положительная фупкция, называемая конформным множителем. Дру-
Другими словами, в изотермических координатах касательные
коордипатные векторы в каждой точке взаимно ортого-
ортогональны и имеют одинаковую длину.
Теорема (существования изотермических координат,
[8]). Пусть М—произвольная регулярная (класса С2)
поверхность в R'1- Тогда для любой точки Р поверхности
М существуют окрестность U, P^U, и локальные коор-
координаты (и, v) в этой окрестности, такие что индуцирован-
индуцированная метрика ds2 на поверхности М, записанная в коор-
координатах (и, v), имеет вид ds2 — %.(u, v)(du2 + dv2).
Замечание. Для вещественно-аналитической по-
поверхности М построение изотермических координат суще-
ственпо упрощается: фактически оно сводится к решению
обыкновенного дифференциального уравнения [8].
Мы приведем доказательство этой теоремы для мини-
минимальных поверхностей, принадлежащее Оссерману 19J.
Оказывается, что в этом случае для изотермических ко^
ординат можно получить явные формулы. *!
Выберем декартову систему координат х, у, z с на-
началом в точке Р так, чтобы плоскость XY совпала с ка-
касательной плоскостью ТРМ к поверхности М в точке Р.
В этой системе координат поверхность М в окрестности
точки Р можно задать графиком х — х, у = у, z = f(x, у).
Все такие функции / описываются уравнением минималь-
минимальных поверхностей (см. § 1 гл. 2)
A + fy) fxx - 2fxyxy + A + fs) fm = 0.
Образуем три функции:
l+fl fxfy i + fl
В дальнейшем для удобства обозначим р = fx, q — /„,
w = УХ + & + fy Напомним, что |/l + /I + fy dx dy —
элемент площади на поверхности М.
59

Оказывается, из уравнения минимальных поверхностей
вытекают следующие соотношения:
(L±Z) _(??) (Ltl.) = И
\ "> lv \u>lx \ w Jx \w)y
Действительно, непосредственное вычисление показывает,
что
W
= - ^ [A +fl)f*x- 2fxfvUv + A + fl) Iwl
= ~ ^ 1A + fl) U* ~ 2fXfyfXy + A + fl) fyy].
Поэтому в любой односвязной онрестности течки @, 0)
на .плоскости ТРМ существуют функции F(x, у) и G(x,y)
такие, что
dF__
дх
dG _pq
дх w '
д? _pq
ду ш'
dG _ 1 +
ду
Зададим отображение Ф: (х, у)-+(и, v), положив
iu = x + F(x, у),
[v = у + G (х, у).
Тогда (и, v) являются изотермическими координатами.
Действительно, якобиан / отображения Ф равен - |Ц| v' =
= —-—• Поэтому / > 0, и, следовательно, отображение
Ф — локальный диффеоморфизм. Таким образом, в не-
некоторой окрестности точки @, 0) отображение Ф имеет
дифференцируемое обратное, т. е. ф~', с матрицей Яко-
би, равной
~РЧ
РЧ
В координатах (и, v) поверхность М задается радиус-
вектором т(и, v)-=(x{u, v), y{u, v), f(x(u, v), y(u, у))).
Непосредственное вычисление показывает, что [ г |2
2
)))
|2 =
|«"г>|2=
_^
,<ru, г„) = 0, где < , > — стандартное
евклидово скалярное произведение в R3.
Замечание. В § 3 гл. 2 мы рассказывали о проб-
проблеме Бернштейна. Если график z = f(x, у), определяю-
определяющий минимальную поверхность, задан на всей плоскости
XY, то мы можем продолжить функции F(x, у) и G(x, у)
на всю плоскость и, следовательно, определить отображе-
отображение Ф уже на всей плоскости. Как было отмечено выше,
это отображение является локальным диффеоморфизмом.
Сейчас мы покажем, что отображение Ф в действительно-
действительности является диффеоморфизмом ХУ-плоскости на всю
?77-т!Лоскаеть. Для этого достаточно показать, что Ф не
уменьшает расстояния между точками. Действительно,
если это так, то любые две различные точки переходят
в пару несовпадающих точек. Поэтому отображение Ф
биективно и, следовательно, является диффеоморфизмом
со своим образом 1иа Ф. Предположим, что Im Ф не сов-
совпадает со всей t/F-плоскостыо. Пусть Q = Ф (Р) и точка
Q' является граничной точкой множества 1тФ. Так как
Ф — диффеоморфизм, то точка Q' пе лежит в образе ото-
отображения Ф. Пусть последовательность Qh точек из 1шФ
сходится к точке Q' и Рк = Ф~' {Qh). Очевидно, что после-
последовательность Ph не сходится ни к какой точке Р' пло-
плоскости XY. Поэтому расстояние \РРк\ стремится к беско-
бесконечности при к -> °°, и, следовательно, | QQ' | =
Нт | РРк | = оо. Получили
противоречие.
60
= lim | QQh
Итак, осталось показать, что отображение Ф пе умень-
уменьшает расстояния.
Заметим, что Ф является суммой двух отображений:
тождественного id и отображения ?: (х, у) *-*(F(x, у),
G(x, у)). Мы сейчас покажем, что отображение W не
сильно закручивает плоскость. Точнее, пусть Р и Р' —
две различные точки ХУ-плоскости (которые мы будем
отождествлять с точками U V-плоскости, имеющими те
же координаты), Q и Q' — их образы при отображении W.
Лемма (ом, также [9]). Угол между векторами QQ'
и РР' острый.
Доказательство. Рассмотрим отрезок, соединяю-
соединяющий точки Р и Р', определенный так: (l — t)P + tPf,
t^[0, 1]. Пусть функция G{t) равна скалярному произ-
61

ведению радиус-вектора
Р'-Р: G(t)=<W((l-t)P +
-<Н(Р'-Р),Р'-Р>,ще
/dF_ д?
дх ду
dV dG
кдх ду,
— t)P + tP'J и вектора
'), Р'-Р>. Тогда G(t) =
н
Е1
IV
П
w
матрица Якоби отображения Ч/.
Матрица Н является положительно определенной. Дей-
Действительно, главные миноры . ~*~Л и det Н — 1 положи-
W
тельны. Следовательно, G(t)>0 и, поэтому GA)>G(O).
о'-Ф{РГ)
pW-r1
- острый
=ф \рр'\ < \rr'
Рис. 36
Последнее неравенство равносильно тому, что <(?' — Q,
Р' — Р) > 0. Доказательство леммы закончено.
Легко видеть, что сумма тождественного отображения
и отображения, которое несильно закручивает плоскость,
не уменьшает расстояния. Доказательство этого утверж-
утверждения проиллюстрировано на рис. 36 (строгое доказатель-
доказательство оставляется читателю в качестве упражнения).
Приведем примеры глобальных изотермических коор-
координат. Пусть (г, <р, z) — цилиндрические координаты в
R3- Тогда на катеноиде г = ch z координаты (ф, z) будут
изотермическими: ds2 = di2 z (dq>2 + dz2). На геликоиде,
заданном в декартовых координатах х, у, z так:
х — sh и cos v,
у = sh и sin v,
z = v,
координаты (и, v) готе являются изотермическими:
ds2 = ch2 u(du2 + dv2). Ниже мы построим представление
Вейерштрасса, которое также будет задавать минималь-
минимальные поверхности в изотермических координатах.
62
Чрезвычайно полезным следствием теоремы существо-
существования изотермических координат является возможность
ввести на поверхности конформную структуру.
Лемма. Пусть (и, v) и (и', v')—изотермические
координаты, определенные в некоторой области U поверх-
поверхности М. Тогда замена координат (и, v)-+(u', v'), со-
сохраняющая ориентацию, является конформным преобра-
преобразованием.
Напомним, что конформным преобразованием называ-
называется диффеоморфизм /: V -> W плоской области V с: R2
на плоскую область W с: R2, такой что дифференциал df
отображения / является композицией поворота и растя-
растяжения (по отношению к метрикам в областях V и W).
Для доказательства леммы необходимо показать, что
линейное отображение, сохраняющее конформный вид
скалярного произведения, является композицией ортого-
ортогонального отображения и растяжения (проверьте).
Представим теперь каждую точку области V a R2 с
координатами (и, v) как точку па комплексной плоскости
С « R2 с комплексной координатой z = u + iv. Каждый
касательный вектор ае\ + &ег, где е\, ег — касательные
векторы скорости коордипатных линий v = const и и =
= const соответственно, можно теперь записать как
(a + ib)e, e = eu ie = et. Аналогично поступим по отно-
отношению к области W a R2 с координатами (и', v').
Тогда /: V -*¦ W будет комплекснозначной функцией
на области V. Как записать в комплексной форме линей-
линейное отображение df? Каждое линейное отображение
L: (а, Ъ)-+(а', Ъ') можно представить матрицей
cs + P Y + S^
•(Y-8) о-|
т. е.
Если ввести комплексные координаты w = а + ib и и/ =
= а' + ib', то наше преобразование запишется так: и>' =
=|(а + i*()w + ($ + ib)w. Легко показать, что если линей-
линейное отображение L является композицией ортогонального
преобразования и растяжения, то L запишется либо как
w' = (аЛ- i^w (L сохраняет ориентацию),
либо как
up' = (P + ЩШ {L обращает ориентацию).
63

Поэтому у конформного отображения /: V -*¦ W диффе-
дифференциал df в каждой точке можно представить комплекс-
комплексным числом, которое действует на комплексную координа-
координату w = а + ib вектора ае{ + Ъе2 = (a + ib)e умножением.
Вторая компонента в разложении df, т. е. ($ + i8)w, бу-
будет равна нулю дая любого w.
Если / = (<р(и, и), г|)(и, v)) — ср + ё-ф, то
поэтому
-(Y-S) a-p
Фа-'
Таким образом, условие конформности / является усло-
условием равенства нулю второй матрицы, т. е. <р„ = г|)„, ф„ =
= —"фи, а это суть условия Коши — Римана голоморфно-
голоморфности (комплексной аналитичности) комплекснозначной
функции / = /(z). Более того, комплексное число
у Кфи + tyv) + i (фи — ifu)] равно комплексной производ-
производной функции / по переменной z, т. е. 4- = /z-
Вывод. Яа ориентируемой поверхности М всевоз-
всевозможные изотермические координаты, такие что функции,
перехода сохраняют ориентацию, задают комплексную
структуру. При этом каждая пара функций (и, v), за-
задающих изотермические координаты, заменяется комп-
комплексной координатой z = и + iv, а функции замены коор-
координат — комплексно-аналитическими функциями. При та-
такой форме записи дифференциалам отображений замены
координат соответствуют обычные комплексные производ-
производные соответствующих голоморфных функций, действую-
действующие на комплексные координаты касательных векторов
умножением. Поверхности с комплексной структурой на-
называются римановыми поверхностями.
§ 2. Гармоничность и конформность
Теория двумерных минимальных поверхностей в R3
еуществеппо опирается на возмошность ввести в окрест-
окрестности любой точки поверхшости изотермические коорди-
наты. Рассмотрим некоторые примеры.
64
1. Предположим, что регулярная поверхность М в R3
локально задается радиус-вектором v(u, v) = (x(u, v),
у (и, v), z(u, v)), где (и, v)—изотермические координаты
на М. Пусть А = —» Н » обозначает стандартный евк-
ди dv
лидов лапласиан.
Предложение 1. Радиус-вектор Аг = (Аа;, Ay, Az)"
ортогонален поверхности М.
Доказательство. Так как (и, и) — изотермиче-
изотермические координаты на М, то <ru, ги> = <г„, г„> и <г„, г„> = 0.
Продифференцировав первое равенство по и, а второе по
v, получим , _.
\*аи> 1а/ — x'udi i»/)
Поэтому <Аг, г„> = 0. Аналогично <Аг, ru) = 0.
Предложение 2. Радиус-вектор Аг равен 2КНп, где
Н — средняя кривизна поверхности М, п — единичная
нормаль к М, а К — конформный множитель индуцирован-
индуцированной метрики ds2 на М, ds2 = К (и, v) (du2 + dv2). Если М —
минимальная поверхность, то в изотермических координа-
координатах (и, v) радиус-вектор г (и, v), описывающий локально
поверхность М, удовлетворяет уравнению Аг = 0.
Определение. Радиус-вектор г (и, v) заданной в
координатах (и, v) поверхности М, удовлетворяющий ус-
условию Дг = 0, где А = —~-1 г> называется гармоииче-
ди dv
ским радиус-вектором.
Следствие 1. В изотермических координатах мини-
минимальность поверхности равносильна гармоничности зада-
задающего ее радиус-вектора.
Замечание. Обобщением гармонического радиус-
вектора является понятие гармонического отображения.
Теория гармонических отображений представляет очень'
изящную и далеко продвинутую область математики. За-
Заинтересованный читатель может обратиться к [39, 40].
Прежде чем доказать предложение 2, мы дадим более
формальную конструкцию, позволяющую определить глав-
главные кривизны, среднюю кривизну и непосредственно до-
доказать формулу Эйлера и теорему Менье, описанные в
гл. 1. Пусть поверхность М в 1R3 задапа радиус-вектором
г (и, v), где (и, v)—некоторые локальные координаты.
Пусть п — единичная пормаль к М. Определим квадра-
квадратичную форму Q (называемую второй фундаментальной
5 А. А. Тужилин, А. Т. Фоменко ' 65

формой) на касательных векторах. Если v — некоторый
касательный вектор к М в точке РеМ, a *((t) — кривая
на М с касательным вектором v, ч@) = Р, y@)==v' t0
положим Q(v)= <ч@), п>. Таким образом, <?(v)— это
нормальная составляющая вектора ускорения кривой f.
Если f(t) задается в координатах (и, и) как (u(t),
v(t)), то у = г„„м2 + 2г„„мг; + тти2 + (г„и + г„г;). Выражение
в скобках является касательным вектором к М. Поэтому
(?(v)=<f, n> = bnu2 + 2bi2uv + b22V2, где &ц = <ги„, п>,
&2i = bi2= <г«в| п>, &22 = <гот, п>, а (и, v) — координаты
касательного вектора v = y@)= мги + уг0. Мы получили
квадратичную форму от координат касательного вектора
(это означает, что Q{\) не зависит от кривой f при ус-
условии, что Р = i@) i v = ]@)). Поэтому, если мы возь-
возьмем нормальное сечение М в направлении v, то кривиз-
кривизна к (у) этого нормального сечения будет равняться
^ )= г~1з" Таким образом, кривизна к(\) равна (?(v),
если вектор v пробегает единичную окружность в ТРМ.
Теперь можно определить главные кривизны и глав-
главные направления в точке Р^М. Выберем ортонормаль-
ный базис в ТрМ. Пусть в нем _вторая фундаментальная
форма Q(y) задается матрицей Q. Тогда главные кривиз-
кривизны, т. е. максимальное и минимальное значения к (у) на
единичной окружности, будут равны собственным зна-
значениям матрицы Q, а главные [направления — это направ-
направления, задаваемые собственными векторами (?. Уравнение
на собственные числа det((J — КЕ) = 0, где Е — единичная
матрица, эквивалентно уравнению det[AT (Q — ХЕ) А] = 0,
где А — любая невырожденная матрица. Если в качестве
А взять матрицу перехода от ортонормального базиса к
•первоначальному базису, то уравнение на собственные
числа перепишется как det(Q — XG) — 0, где G — ATA—
матрица первой фундаментальной формы (метрики). При
этом собственный вектор v матрицы Q, т. е. вектор, удов-
удовлетворяющий уравнению (Q — XE)v — 0, в первоначаль-
первоначальном базисе перепишется как v = 4~'v, т. е. будет удов-
удовлетворять уравнению AT(Q — <kE)AA~l\ — (Q — KG)\ = 0.
Итак, главные кривизны равны инвариантам пары
квадратичных форм — первой и второй фундаментальных
форм — и равны собственным числам матрицы QG~l,
а главные направления задаются направлениями собствен-
собственных векторов этой матрицы,
66
Средняя кривизна Я равна полусумме главных кри-
кривизн, т. е. полусумме собственных чисел матрицы Q (в
ортогональном базисе) или матрицы QG~l (в любом ба-
базисе). Это означает, чтоН = -x-txQG~1, где tr обозначает
след матрицы. Гауссова кривизна К, равная произведе-
произведению главных кривизн, равна К = det QG г = -, '. Так
как собственные векторы ортогональны при неравных
собственных значениях, то главные направления тоже ор-
ортогональны.
Замечание. Формула Эйлера (гл. 1) теперь полу-
получается элементарно: достаточно ^ыбрать ортонормальный
базис из собственных векторов Q и заметить, что в этом
базисе Q = I о % Ь где Х\ и Яг — главные кривизны. Если
взять единичный касательный вектор v = (cos(p, sin<p),
т. е. вектор, образующий с главным направлением угол
<р, то Q{v) = k\ cos2<p + X2sin2<p = й(ф)= к(\).
Также легко получить и доказательство теоремы
Менье. Достаточно на плоском сечении f = П] П М ввести
натуральный параметр t, т. е. заставить точку двигаться
по 1 с единичной по модулю скоростью.
Легко показать, что ч ортогонально f (<f, f> = 1,
осталось продифференцировать по t). Поэтому у = кп\ яв-
является вектором кривизны кривой у, где ni — единичная
нормаль к 1 в плоскости П]. Имеем ^A)=^> n^=
= /c<ni, n> = A;cosi|), где if — угол между iij и нормалью
пк1.
Доказательство предложения 2. Пусть
(и, v)—изотермические координаты на (произвольной)
поверхности М. Тогда <Аг, п> = <г„„, п> + <г„„, п>.=
= &и + &22. Так как матрица метрики Gr=lg ^1 диаго-
- Поэтому (Дг, п>= 2ЯЯ.
нальпа, то Я = ^- J
Гармоничность радиус-вектора минимальной поверхно-
поверхности в изотермических координатах имеет много глубоких
следствий.
Следствие 2. Пусть М — связная компактная глад-
гладкая минимальная поверхность в R3 с границей дМ. Тог-
Тогда М лежит в выпуклой оболочке С (дМ) своей границы.
В частности, любая мыльная пленка, затягивающая про-
67

волочный контур, лежит в выпуклой оболочке этого кон-
контура.
, Напомним, что выпуклой оболочкой произвольного
подмножества в iK3 называется пересечение всех замкну-
замкнутых полупространств в Ы3Х целиком содержащих данное
11ОДМПОЖ0СТВО.
Доказательство. Предположим, что Ж не лежит
в выпуклой оболочке своей границы дМ. Это означает,
что существует полупространство Т/ =5 0} для некоторой
/ = ах + $у + -|2 + б такое, что дМ лежит в этом полупро-
полупространстве, а некоторая точка из М пе лежит в нем. Так
как М компактна, то функция /, ограниченная на М,
принимает максимальное значение в некоторой точке Р s
<^М, причем f(P)>0, Поэтому точка Р внутренняя. Если
в окрестности точки Р ввести изотермические координа-
координаты, то ограничение / на М в этих координатах будет гар-
гармонической функцией (так как х, у, z гармонические),
принимающей максимальное значение во внутренней точ-
точке. Следовательно, /U = const в этой окрестности, т. е.
М в, этой окрестности плоская. По теореме единственно-
единственности минимальная поверхность М является целиком пло-
плоской. Теперь легко получить противоречие.
Следствие 3. (Доказательство теоремы единствен-
единственности, см. § 2, гл. 2.) Пусть М\ и М2 — две связные ми-
минимальные поверхности, описанные в теореме единствен-
единственности. Предположим, что теорема единственности невер-
неверна. Это означает, что существует точка Р ^ М\ Л М2, яв-
являющаяся граничной точкой максимальной области, ле-
лежащей в М\ Л Мг (которая существует по условию тео-,
ремы). Рассмотрим в точке Р касательную плоскость П
к Mi и Л/г и введем в окрестности точки Р координаты
(х, у, z): (х, у)—декартовы координаты на П, ось z
ортогопальпа 11, Р = @, 0, 0). Тогда в окрестности точ-
точки Р поверхности Mt задаются графиками z = ft(x, у),
i = l, 2, причем /1^/2 ни в одной окрестности точки Р
и существует открытое множество U <= П такое, что Р
лежит на границе множества U и /i = /2 в U.
Проделав построение, использованное в доказатель-
доказательстве теоремы существования изотермических координат,
мы построим в некоторой связной окрестности точки Р s
е П изотермические координаты (и, v) для каждой из
поверхностей М\ и M%; M( локально задается радиус-
вектором Г;(м, у), причем в области U<=Mi п М2 обе ми-
минимальные поверхности параметризуются одинаково:
ii{u, v) = x%(u, v), (и, v)e Uа П.
08
Так как xt(u, v), yt(u, v) и г{(и, v)'— гармонические
функции, причем xt(u, v) = x2{u, v), yt(u, v) = y2{u, v),
z\(u, y) = Z2(w, v) в открытом множестве [/сЦ, то они
совпадают во всей окрестности точки Р, т. е. ri (и, v) —
= гг(в, и), что противоречит выбору точки Р.
В § 1 мы показали, что изотермические координаты
порождают па ориентированной поверхности комплекс-
комплексную структуру. С другой стороны, в изотермических ко-
координатах радиус-вектор, задающий минимальную по-
поверхность, является гармоническим. Как известно, гармо-
гармонические функции являются действительными (или мни-
мнимыми) частями комплексно-аналитических функций. Из<
этих двух замечаний следует, что ориентируемую мини-
минимальную поверхность в IR3 можно рассматривать как
действительную часть голоморфной кривой в С3, что, на-
например, дает возможность построить ассоциированное
семейство мипимальных поверхностей (см. пример ассо-
ассоциированного семейства для катеноида и геликоида;
§ 2 гл. 2). Рассмотрим эту ситуацию подробней, предва-
предварительно напомнив некоторые факты из комплексной
дифференциальной геометрии.
Пусть / — комплексноэпачная (С-значная) функция,
определенная на плоской области t/ с Р « С с коор-
координатами (и, v), и пусть z = и + iv— соответствующая
комплексная координата. Рассмотрим комплексные диф-
, д i I д . д\ д
ференциальпые операторы 7Г = " I 7j ' 11~) и ~ =
=-к- — ~^~ 1Тг ДеиствУ10Ц1ие на ь -зпачпых функциях
естественным образом. Например, если /(в, i>) = <p(w, v)+.
^(«, v), то
2 \ ди dvj'
df 1 / д ¦ д\ i
i
(Ф
дР n-i
-— = nanz
Задача 1. Доказать, что если P(z) = anzn + ... + uq —
многочлен комплексного переменного z, то
0Р_ _ „
" dz
Отметим, что операторы — и — являются базисом
oz ()z
комплексифицироваппого касательного пространства
^TpU, Р е U (напомним, что операторы -г- и — мож-
69

но рассматривать как базис касательного пространства
TPU).
Рассмотрим комплексные дифференциалы dz = du +
+ idv и dz = du + idv. Отметим, что комплексные диффе-
дифференциалы dz и dz образуют базис сопряженного (над С)
пространства TPU к касательному пространству TPU
(напомним, что дифференциалы du и dv можно рассмат^
ривать как линейные функционалы, определенные на ка-
касательном пространстве TPU: dula-—\- Ъ — ) = а,
dv \a-g^ + о rr- = о, т. е. как двойственный базис сопря-
сопряженного пространства Три).
Задача 2. Доказать, что пара dz, dz является двой-
двойственным базисом к базису
-, —.
z dz
Задача 3. Доказать, что дифференциал С-значной
функции / равеп
du
dv
t
Доказать, что ряд Тейлора в комплексной форме име-
имеет вид
/("» v) = f(z' ~z) = /(zo- *o) + jAz — zo) +^(z — ~zo) +
т. е. такой вид, как если бы гиг были независимыми
координатами.
Комплексная запись часто бывает очень удобна. На-
Например, легко проверить, что условия Коши — Римана
голоморфности функции / равносильны условию -= = 0.
OZ
Позтому, если -= = 0, то функция / является голоморфной
dz
и ее ряд Тейлора не содержит z (в этом случае говорят,
что / не зависит от I, и пишут /(z)). Через комплексные
производные бывает удобно записывать евклидов лапла-
тт А / д д
сиан. Легко видеть, что Д = 4 -г -=.
70
Вернемся теперь к минимальным поверхностям. Пусть
минимальная поверхность М в R3 задается локально в
конформных координатах (и, v) и z — и + iv — соответ-
соответствующая комплексная координата. Пусть г (z, z) =
— (xl(z, z), x2(z, z), x3(z, z)) —радиус-вектор, задающий
M, где (ж1, х2, х3) — стандартные евклидовы координаты
в К8- Если рассматривать функции xh(z, z) как комп-
лекснозначные, принимающие действительные значения,
дхк 1 / k . h\ тт дг
то можно определить -j- = -^ \?и — ixv ). пусть <р = ^ =
Тогдаимеем:
)
= 2
= 0, так как
— 2Кги, г„>, z = и + iv, а (и, v) — конформные координа-
координаты. Вообще, если (и, v) — произвольные координаты на
ли (дг\2 п
произвольной поверхности Л/, то -Ы = U является усло-
V 1
вием конформности координат (и, v), z — u + iv.
2) |ф|2 = IrJ2 + |г„|2. Поэтому |ф|2=т^0 является ус-
условием регулярности поверхности М, т. е. линейной не-
независимости ги и г„. Это условие является условием ре-
регулярности именно в конформных координатах.
о. дт а2г 1 а п тт
о) ~ = -=— = -г Дг= U. Поэтому <р является голо-
dz dz dz *
морфным радиус-вектором (все координатные функции
Ф =~ являются голоморфными). Мы видели (след-
(следствие 1), что в изотермических координатах минималь-
минимальность поверхности равносильна гармоничности радиус-
вектора, задающего эту поверхность.
Следствие 2. Пусть М — произвольная поверхность
в В?3, заданная локально радиус-вектором г (и, v). По-
Положим q>= -г, где z = u + iv. Пусть (фJ = 0. Тогда ми-
минимальность поверхности М равносильна голоморф-
голоморфности ф.
Ясно, что функции xh(z, z) восстанавливаются с по-
помощью интегрирования голоморфных функций ф\ Точ-
Точнее, если область U изменения координаты z односвязна,
г
то х (z, z) = ck + 2 Re J q>h dz, c& = const, с& е [R, где
интегрирование производится вдоль произвольного кусоч-
кусочно-гладкого пути в U, соединяющего некоторую фиксиро-
71

ванную точку z0 с точкой z. В силу односвязности U и
голоморфности <pft(z) интеграл не зависит от пути интег-
интегрирования.
В силу следствия 2 все минимальные поверхности ло-
локально (в односвязной области) можно описать с по-
помощью тройки голоморфных функций (ф1, ф2, ф3), удов-
3
летворяющих условию 2 (флJ = 0. Минимальная по-
верхность восстанавливается интегрированием функций
ф&, xh (z, z) = ck + 2 Re j ф* dz.
С помощью такого представления можно получить од-
полараметрическое ассоциированное семейство минималь-
минимальных поверхностей, классическим примером которого явля-
является семейство изометричных минимальных поверхно-
поверхностей, соединяющих катеноид и геликоид (см. § 2 гл. 2).
Пусть r(z, z) — радиус-вектор, задающий локально мини-
„, Эг
мальную поверхность М, ф =^ -? соответствующий голо-
голоморфный радиус-вектор, (фJ = 0. Рассмотрим однопара-
метрпческое семейство голоморфных радиус-векторов
фв = е<вф = (е'У> е'9ф2. e'V)- Ясно- чт0 (феJ =
з
= 2 (егефЬJ = 0. Поэтому на поверхностях Мв:
x\(z, z) = cfe + 2 Re J фе^г координаты (и, v), z = u +
+ iv, являются конформными и, поэтому, в силу голо-
голоморфности ф, все эти поверхности минимальны.
Определение. Минимальные поверхности М±я/2
называются сопряженными с Мо = М.
Напомним, что катеноид и геликоид имеют следующее
представление
гх (и, v) = Re (ch z, — i sh z, z) = Re J ^ (катеноид),
r2 (u, v) = Im (ch z, — i sh z, z) = — Re J z'<px =
. я
= Re J e ф! (геликоид).
Ассоциированное семейство, таким образом, будет описы-
описываться так:
г (и, v, 0) = Re j e~ifV = cos 0 .Re J q>! + sin 0 • Im J <px =
= cos 0-r, (u, v) + sin 0-r2 (w, v)
(ср. с § 2 гл. 2).
72
§ 3. Гауссово отображение, представление
Вейерштрасса
В настоящем параграфе мы исследуем гауссово ото-
отображение минимальных поверхностей и, используя полу-
полученную информацию, построим геометрически наглядное
локальное представление каждой минимальной поверх-
поверхности парой (f(w), g{w)) комплекснозначиых функций
(так называемое представление Вейерштрасса). В дейст-
действительности эта пара функций представляет одну из воз-
возможных записей решения уравнения (фJ = 0, где ф =
дг
= ~ голоморфный радиус-вектор (см. §2). В терминах
функций (/, g) представления Вейерштрасса выражают-
выражаются многие геометрические характеристики минимальных
поверхностей, а именно метрика, гауссова кривизна,
гауссово отображение и т. д. Представление Вей-
Вейерштрасса дает возможность построить огромное количе-
количество новых интересных примеров минимальных поверх-
поверхностей и по сути является основным орудием исследова-
исследования в теории двумерпых минимальных поверхностей
в R3.
1. Пусть М — двумерная поверхность в R3. Тогда га-
гауссово отображение п поверхности М — это отображение
М в единичную сферу ?2, п: М -*¦ S2, сопоставляющее
каждой точке Р^М одну из двух единичных нормалей
к Ж в этой точке Р. В дальнейшем мы предполагаем, что
либо поверхность М ориентируемая, либо рассуждения
локальные; это дает нам возможность выбрать одну из
двух нормалей непрерывным образом.
Предложение 1. Пусть М — минимальная по-
поверхность в R3, а п: М -*¦ S2 — гауссово отображение М.
Тогда касательное отображение п% в каждой касательной
плоскости ТРМ сохраняет углы между векторами и, зна-
значит, является композицией ортогонального преобразова-
преобразования и растяжения. Если на М ввести ориентацию (ло-
(локально в случае неориентируемой М), положительную
по отношению к нормали п, а на S2 — ориентацию, поло-
положительную по отношению к внутренней нормали, то п%
сохраняет ориентацию. Такие отображения называются
конформными.
Замечание. Обычно ориентацию ?2 выбирают по-
положительной по отношению к внешней нормали. В этом
случае гауссово отображение обращает ориентацию и на-
называется антиконформным.
73

Доказательство. Напомним, что касательное
отображение га* определяется как отображением*: ТРМ->-
-> l\t(P)S2, линейное на каждой касательной плоскости
ТРМ к М, ставящее в соответствие каждому касательно-
касательному вектору v e ТРМ, являющемуся касательным векто-
вектором кривой ч(?) на М, ^@) = Р, f@) = v, касательный
вектор к кривой n(f(i)) на S2 в точке п(Р)= п(^@)).
Чтобы показать, что ге* сохраняет углы, выберем на М
изотермические координаты (и, и), в которых индуциро-
индуцированная из R8 метрика имеет вид ds2 = K(u, v)X
X (du2 + dv2). Гауссово отображение запишется как
п: (и, v) н* п (и, v). Поэтому касательные векторы г« и
г„ переходят при гауссовом отображении в п„ и п„. Так
как ти и г„ ортогональны и имеют одинаковую длину:
|гц|2 =*|г„|2 = К, то достаточно показать, что п„ и п„ то-
тоже ортогональны и имеют одинаковую длину (отсюда
следует, что касательное отображение в ортогональном
базисе задается диагональной матрицей, и, значит, со-
сохраняет углы):
InJ2 = <nu, nu> = —<nUU) n>,
|п„12 = — <п„, n>,
<nu, nB> = —<nuv, n>
(все эти равенства следуют из того, что <п, п> = 1; по-
поэтому, например, <nu, n> = 0 и <nuu, n> + <nu, nu> = 0).
Так как nu и п,, ортогональны п, то они раскладываются
по базису ги, г„ касательного пространства. Так как
¦ <п„, г„> = — <n, ruu> = — Ьц,
<П„, Гв> = — (П, Ги))> = —&12,
где у = I ъ ъ I — матрица второй фундаменталь-
ь Ь
ной формы в базисе (г„, г„), то nu = г-ти г^гв.
Аналогично
Дифференцируя каждое из равенств по и и у и учиты-
учитывая, что <г„, п> = <г„, п> = 0, получаем
Ь11 Ь12
] Пи |" = \lluu) Л/ = —7 1 Г"*»
74
ь2 ь2
f f
ь ь
= - <nw, п> = -f + -f,
<nu, п„> = - <n«, n> = Ь
Так как М — минимальная поверхность, а (и, и) — изо-
изотермические координаты, то средняя кривизна Н =
= "oi ^ = ^'Т- е- &11 = —&22- ПОЭТОМУ |nu|2= |п„|2 И
<п„, п„> = 0. Это доказывает, что гауссово отображение
сохраняет углы.
Рассмотрим, что происходит с ориентацией при гаус-
гауссовом отображении. Заметим, что п является также
внешней нормалью к сфере ?2. При переходе от базиса
(г„, г„) к базису (п„, п„) (если только nu и п„ не равны
нулю) матрица перехода равна (см. выше)
1
Я V-
— ъ.
12
det<? v v
и ее определитель равен «а = К, где К — гауссова
кривизна. Так как гауссова кривизна равна произведе-
произведению главных кривизн, а' для минимальной поверхности
главные кривизны имеют разные знаки (либо одновре-
одновременно равны нулю), то К < 0. Поэтому ориентация бази-
базисов (ru, г„) и (nu, п„) противоположна. Поэтому ориен-
ориентация (ги, гс, п) совпадает с ориентацией (nu, п„, — п),
где —п — внутренняя нормаль сферы S2.
Замечание. Попутно мы доказали, что площадь
квадрата, натянутого на касательные векторы в М
(в изотермических координатах) при гауссовом отобра-
отображении изменяется в —К раз.
На сфере S2 можно ввести канонические координа-
координаты, задаваемые стереографической проекцией. Как оказы-
оказывается, эти координаты являются изотермическими. На-
Напомним, что стереографическая проекция nN сферы S2 =
= {х2 + у2 + z2 = 1} из северного полюса N = @, 0, 1) на
плоскость XY задается следующим образом. Пусть Р s
eS2, P?=N, тогда nN(P)^XY является точкой пересече-
пересечения прямой (NP) с плоскостью XY. Таким образом,
плоскость XY параметризует всю сферу S2 без северного
полюса N.
Предложение 2. Стереографическая проекция nN:
S2 -*¦ XY сферы S2 на плоскость XY из северного полю-
75

ca N сохраняет углы между касательными векторами.
Таким образом, координаты, задаваемые на S2\N посред-
посредством стереографической проекции пк, являются изотер-
изотермическими.
Доказательство. Выберем произвольную точку
P^S2, P?=N. Если Р = 5 = @, 0, -1) есть южный по-
полюс, то все очевидно. Пусть РФS. Выберем в TPS2 два
единичных касательных вектора е\ и е^ таких, что е\
направлен вдоль параллели I, а е,г — вдоль меридиана т.
Так как е\, е2 — ортонормальпый базис, то достаточно
показать, что п!1;е1 ортогоналеп п^е2 и | nske1 | = f я'#еа |.
Здесь Пщ. обозначает соответствующее касательное ото-
отображение. Ясно, что n^ej ортогонален п%е2, так как об-
образ меридиана — прямая на плоскости XY, проходящая
через начало координат О=@, 0), а образ параллели —
окружность на плоскости XY с центром в О. Пусть
(р, ф, 0) — стандартные сферические координаты в 1R3.
Тогда меридиан та можно параметризовать углом 6,
а параллель I — углом ср. Ясно, что касательный вектор
та имеет единичную длину, а I — длину, равную sin 0.
Точка п^Р находится на расстоянии ctg у от начала
координат О. Поэтому по образу меридиана я (та) точка
движется со скоростью (лт)', равной по модулю
I (ctg 0/2)' I = —p-jj . По образу параллели — окруж-
Л sin У/?
ности радиуса ctg 0/2 — точка движется со скоростью
ctg 0/2. Поэтому единичный касательный вектор вдоль
параллели переходит при стереографической проекции в
ctg 0/2 1 .
вектор длины - . » ¦ = ^ ; 2 -— (в силу линейности ка-
касательного отображения). Это доказывает равенство длин
образов единичных векторов е\ и 62.
Теперь несколько слов об ориентации S2. Заметим,
что при движении точки Р по меридиану в сторону воз-
возрастания 0, т. е. от северного полюса N, образ п% (Р)
движется к началу координат О плоскости XY. Теперь
ясно, что положительная ориентация плоскости XY за-
задает па S2 с помощью стереографической проекции пя
ориентацию, положительную по отношению к внутрен-
внутренней нормали.
Замечапие. Мы можем вместо северного полюса
N = @, 0, 1) сферы S2 выбрать южный полюс 5 =
' = @, 0, —1) и рассмотреть стереографическую проекцию
па на плоскость XY уже из южного полюса S. На сфере
76
S2 с выкинутыми полюсами N и S возникают две систе-
системы координат. Пусть % = х + iу — комплексная коорди-
координата в плоскости XY. Тогда легко видеть, что от одних
координат к другим можно перейти с помощью отобра-
отображения | = 1/|.
Если на S2\iV ввести координату | = х + iy, а на
S2\S — координату ц = х — if, то функция перехода бу-
будет комплексно-аналитической: ц = 1/|. Это стандартные
координаты на сфере Римапа U{°°} из комплексного
анализа.
Следствие. Если сферу S2 рассматривать как сфе-
сферу Римана S2 «CUf00} посредством стереографической
проекции, то гауссово отображение п минимальной по-
поверхности М, п: М -*¦ S2, представляется мероморфной
функцией в каждой изотермической системе координат
(и, v), w*=u + iv на М. В координатах на S2, задавае-
задаваемых стереографической проекцией Яя из северного полю-
полюса, полюсами п являются все точки Р е М, в которых
нормаль п(Р) имеет направление оси Z, т. е. п(Р)— N =
= @, 0, 1). Нули п — это те точки Р, в которых нормаль
п (Р) противоположно направлена оси Z, т. е. п (Р) — S =
= @, 0, —1). Если задать на S2 координаты с помощью
стереографической проекции Пв из южного полюса, то
нули и полюса п в прежней системе координат поменя-
поменяются местами.
2. Пусть (и, у) —изотермические координаты на ми-
минимальной поверхности М, w = u + iv — соответствую-
соответствующая комплексная координата, т(и, и) — радиус-вектор,
задающий локально М, ц> = -щ — соответствующий голо-
голоморфный радиус-вектор, (фJ = 0.
Задача. Выразить гауссово отображение через ком-
компоненты ф — (фь ф2) фз).
Решение. Единичную нормаль п, согласованную с
ориентацией М, можно записать как [ги, г„]/1[г„, г„]1,
где [ , ] обозначает векторное произведение.
Пусть [г„, г„] = (А', А2, А3). Ясно, что
А1 = yuZv — yvZu = Im [ (у и — iyv) (zu + iz»)) = 4 1т'(ф2фз)\
Аналогичные выражения получаем для А2 и А3. Таким
образом,
[ru, г„] = 41т (ф2фз,
= 2
Ч»1 Ф8
f I фа
2[f,
,77

Далее,
I [ru, г„] | =
Поэтому
= |r,|» J
= 2
n =
2 Im (ф2ф3, ср3фг gyp2)
1ф|а
Рассмотрим теперь стереографическую проекцию jtw:
S2 -*¦ XY сферы S2 на плоскость XY, и пусть % — х +
+ iy — комплексная координата в .XT. Легко показать,
Рис. 37
что если (х, у, z)— координаты точки Р, лежащей на
сфере S2, то координаты ее проекции nN(P) па плоско-
плоскости XY будут равны
(рис. 37). Поэтому для гауссова отображения минималь-
минимальной поверхности имеем
2 Im (ф„фо) + 2г Im (ф„фЛ
1 Ф\а —2
Это выражение можно существенно упростить.
Вычислим числитель выражения для ?:
2 Im (ф2ф3) + 2г Im (ф3фх) =
= — (фгФз — ФгФз +
= Фз (ф! + 1'Ф2) — фз (ф1 + г'
Воспользовавшись тем, что
г + Фз
Фз = О,
78
т. е.
Фз(ф:
+
фз/(ф! — *Ф2)> получим
Фз» ф Дф
«Фа) (Ф1 —
|4>з|2]
14>|>-21т(ф1ф1|)].
Таким образом, Ь, = фз/(ф1 — ^фг)— соответствующая
гауссову отображению мероморфная функция.
Пусть g = фз/(ф1 — 1фг). Положим / = <Pi — гфг-
Функция /, очевидно, голоморфна. Тогда через / и g
можно выразить все три компоненты <р:
Фз = fg,
причем, так как фь ф2, фз — голоморфные функции, то
произведение fg" должно быть голоморфным.
Определение. Пара комплекснозначных функций
(/, g), заданных на односвязной области U комплексной
плоскости С» таких, что / голоморфна, g мероморфна и
fg2 голоморфно, называется представлением Вейер-
штрасса.
Итак, нами доказана следующая
Теорема. Пусть (/, g) ~- представление Вейер-
штрасса в (односвязной) области U комплексной плос-
плоскости С- Если мы образуем три голоморфные функции:
Ф1 = у/ A — g2), Фг = \ f A + f2), фз = fg, то отображе-
отображение области U eR3, заданное по формулам xh (w, w) = с^ +
w
+ 2Re ^(fhdwTaM, где !<р|2^0, определяет регулярную
wo
погруженную (т. е., возможно, с самопересечениями)],
минимальную поверхность, причем в ?илу того, что
3
(фJ = S Ф2 = 0, координаты (и, v), w = u + iv, являются
изотермическими {если г (и, v\=(xx(u, v\, x2(u, у),
79

x3(u, v)), тоrp == —- I. Здесь [xh}l=1—стандартные евкли-
евклидовы координаты в К3, aw — комплексная координата
е U а С-
Обратно, если (и, v) — конформные координаты на М
в односвязной области U с С, w = u + iv —соответствую-
—соответствующая комплексная координата, г (и, v) — радиус-вектор,
задающий локально М, <р = т соответствующий голо-
голоморфный радиус-вектор с компонентами (фь фг, фз)> го,
Положив / = <Pi — гфг! ? = —ц^—' мы получим представ-
представление Вейерштрасса минимальной поверхности М в об-
области U d С- Причем функция g является гауссовым
отображением минимальной поверхности М, если на S2
координаты задаются стереографической проекцией Пн
из-северного полюса. ч.-«*л«н
Полезно выразить основные геометрические характе-
характеристики минимальной поверхности через функции пред-
представления Вейерштрасса.
1) Я = 2|ф12=1/12A + 1ё'12J, где Я-конформный
множитель индуцированной метрики на I в координа-
координатах, заданных представлением Вейерштрасса. Поэтому
достаточным условием регулярности такой минимальной
поверхности является условие / Ф 0. В силу мероморф-
мероморфности g возможна ситуация, когда /(ц7о)=О, но
4
k4)
Если мы допустим существование на минимальных
поверхностях особых точек, то такие поверхности будут
называться обобщенными минимальными поверхностями.
Особые точки обобщенных минимальных поверхностей
имеют специальный вид (как следует из представления
Вейерштрасса), и поэтому они получили специальное на-
название — точки ветвления. Условие того, что wq — точка
ветвления, равносильно тому, что одновременно
2
oH/gw.
2) Гауссова кривизна К. Как было отмечено
после доказательства предложения 1, площадь квадрата,
натянутого на (г„, г„), при гауссовом отображении
(ги, г„)->(п„, п„) увеличивается в —К раз. Так как пло-
площадь квадрата (г„, г„) равна X, то площадь квадрата
(nu, п„) равна — КХ.
Далее предположим, что координата w = и + iv точки
Р е М не является полюсом мероморфпой функции g из
представления Вейерштрасса (/, g\ (это означает, что
80
n(P)?=N). Тогда касательный к S2 квадрат (п„, nj в
точке п(Р) переходит при стереографической проекции
nN в квадрат (itjv*nu, я^*п„) на плоскости XY. Ясно, что
площадь квадрата (njv*nu, njv*n0) равна \g(w)\2, где g =
= dg
dw '
Мы уже знаем, что касательное отображение Jtjy* со-
сохраняет углы и поэтому одипаково растягивает каждый
вектор. Поэтому, чтобы определить коэффициент растя-
растяжения, достаточно вычислить его на любом векторе. Вы-
Выберем единичный касательный вектор к меридиану. Ес-
Если (ф, 0) — координаты на ?2, порожденные сферической
системой координат (г, ф, 0) в К3 то, как мы показали
при доказательстве предложения 1, этот единичный век-
1
тор растягивается в 2 Sin2 0/2 Раз> пРичем расстояние от
nN(n(P)) до 0 равно ctg@/2). Если l = x+iy и ||| =
, то коэффициент растяжения равен
Положив | =
2 sin2 @/2)
получим, что площадь
квадрата (nu, nc) равна— К% = |g|2//L±Ii_l!_V Следо-
Следовательно,
Напомним, что точка регулярной поверхности назы-
называется омбилической, если в ней обе главные кривизны
равны между собой. На минимальной поверхности усло-
условие омбиличности означает, что обе главные кривизны
равны нулю, или, что равносильно, что гауссова кривиз-
кривизна К равна нулю. Из только что приведенной формулы
для гауссовой кривизны следует, что омбилические точ-
точки минимальной поверхности М — это в точности нули
производной функции g из представления Вейерштрасса
(/, g) для М.
В дальнейшем выражение для гауссовой кривизны
нам пригодится также для вычисления индексов мини-
минимальных поверхностей.
3. Приведем примеры представлений Вейерштрасса
для классических минимальных поверхностей.
Простейшее представление A, w) на всей плоскости,
Z7 = Ci задает так называемую поверхность Эннепера.
6 А, А. Тужилнн, А, Т. Фоменко 81

Рис. 38
йвное урайнёнйе поверхности Эннепера имеет вид
x — p cos ф — %• cos Зф,
о
у = — p sin ф —~ sin 3
z = p2 cos 2ф,
где (р, ф)—полярные координаты на w-плоскости, р ==•
= 1и>1, ф = argw. Эта классическая минимальная поверх-
поверхность имеет в окрестности нуля вид
седла. При увеличении области UT ==»
= {ю| |wl<r} верхние и нижние кон-
концы контура Г, — образа dUr — начина-
начинают сближаться и в некоторый момент
наступает самопересечение поверхно-
поверхности (рис. 38).
Следующий классический пример —
катеноид г — ch z. Его представление
Вейерштрасса имеет вид | — —-§-, w J
на С4 {0}. Область С\{0}не является односвязной. Одна-
Однако в этом случае тоже можно определить представление'
Вейерштрасса. Односвязность области требовалась нам
W
для того, чтобы интегралы ] ф& dw не зависели от пути,
соединяющего wq и w. Для неодносвязной области опре-
определены так называемые периоды, т. е. интегралы по
замкнутым кусочно-гладким кривым, не стягиваемым ни-
никакими непрерывными деформациями в точку. Действи- -
тельная (мнимая) часть периода называется действи'
тельным (соответственно мнимым) периодом.
Чтобы представление Вейерштрасса в неодносвязной
области корректно определяло минимальную поверх-
поверхность, необходимо и достаточно, чтобы все действитель-
действительные периоды равнялись нулю, т. е. чтобы интегралы
j (f^dw по любому замкпутому контуру были чисто мни-
мнимыми числами.
Легко проверить, что это свойство выполняется в слу-
случае представления Вейерштрасса для катеноида. Если
(р, ф) — полярные координаты на ш-плоскости, то кате-«
82
ноид задается так:
z =» — In p.
Итак, координаты (р, ф) связаны с описанными в
§ 1 гл. 2 координатами (z, <p) по формулам р =¦ е~г,
Ф = ф. При р->-0 координата z -*¦ +°°. Параллели z =
= const, соответствуют на w-плоскости концентрическим
окружностям р = I w I = const, которые при z -*¦ +°° стя-
стягиваются в точку р = 0.
Если немного изменить представление Вейерштрасса
для катеноида, положив I-
, w), то на С\{0} полу-
ченное представление уже будет иметь действительные
периоды. Чтобы от них избавиться, выкинем из плоско-
плоскости С неположительную действительную полуось К— =
= {и^0, v == 0}. Область С\К_ односвязна. Легко ви-
видеть, что мы получили один виток геликоида
= sh a sin b,
— shq,cos&,
= —_(р
= J/p |
Ъ, '
созф
2 =
где !<pl < я, р > 0, а р = е~а, ф = Ъ.
Если склеить теперь счетное число экземпляров
С\К_ естественным образом, т. е. верхний берег &-го
экземпляра с пижним берегом (к + 1)-го, fceZ, то мы
получим полный геликоид. Это равносильно тому, что
мы разрешаем углу ф изменяться от —°° до +°°. Есте-
Естественно возникает желание рассмотреть замену коорди-
координат, задаваемую зкспонентои еш.
И действительно, полный- геликоид можно задать и
другим представлением Вейерштрасса, а именно
(- i e~w, ew) на С:
х = — sh и sin v,
у = sh и cos v,
{ Z = V,
где w = и + iv,
83

Представление Вейерштрасса (е~ш, ew) на С задает,
как легко проверить, бесконечнолистную намотку кате-
катеноида. В координатах и + iv — w намотка задается так:
' х — — ch.ii cos v,
у = — ch м sin v,
.z = u.
Замечание. Если (/, g)— представление Вейер-
Вейерштрасса, то ассоциированное семейство (см. § 2, гл. 2)
определяется как семейство минимальных поверхностей
с представлениями Вейерштрасса (eief, g). Сопряженные
поверхности имеют представление (±г/, g) (ср. с пред-
представлениями Вейерштрасса для катеноида и геликоида).
Более того, верно
Утверждение. Ассоциированное семейство для
минимальной поверхности М состоит из локально изо-
метричных минимальных поверхностей (как правило, по-
попарно неконгруэнтных).
Доказательство. Пусть (eief(w), g(w)) — пред-
представление Вейерштрасса для поверхности Мв ассоцииро-
ассоциированного семейства, w = и + iv. Тогда индуцированная из
Е3 метрика па Мв имеет вид
Я,(9, и, y)=
= K(Q, и, v) (du2 + dv2),
т. е. Я (8, и, v) не зависит от 0.
Приведем без доказательства представления Вейер-
Вейерштрасса для других классических минимальных поверх-
поверхностей.
Поверхность Шерка, I j, w) на U —
V1 — иг ]
= {|ц?| < 1} (график). Если рассматривать это представ-
представление наС\{^4 = I}» то интегралы j <pkdw будут иметь
действительные периоды. По аналогии с тем, как мы
поступили в случае геликоида, можно получить пред-
представление для полной поверхности Шерка.
Поверхность Шварца — Римана,
1 \
.а —. g ' w на подходящей области f/cC.
V 1 — I'm» + ч> I
1 Im» + ч> I
Поверхность Ричмонда, (w2, —^J на С\{0}.
Я\
§ 4. Глобальное представление Вейерштрасса
Для понимания дальнейшего текста необходимо
иметь представление о гладких многообразиях и об ос-
основных объектах, связанных с ними: гладких функциях,
кривых, касательных и кокасательных векторах, вектор-
векторных полях и дифференциальных формах (и, более общо,
о тензорах). Следует также понимать, как преобразуют-
преобразуются эти объекты при гладких отображениях одного мно-
многообразия в другое. Тех, кто плохо знаком с данными
понятиями, мы отсылаем к [1, 7, 15].
В § 3 было показано, что любую минимальную по-
поверхность М локально можно задать парой С-зпачнцх
функций (/, g), называемых локальным представлением
Вейерштрасса. В этом параграфе мы расскажем, как
можно «склеить» локальные представления, соответству-
соответствующие различным координатным областям поверхности
М, в единое (глобальное) представление Вейерштрасса,
которое уже будет описывать всю минимальную поверх-
поверхность М. Идея рассматривать поверхность как множест-
множество (топологическое пространство), склеенное из коорди-
координатных областей, н приводит к понятию многообразия.
В дальнейшем под поверхностью мы будем понимать
погружение ?: М
некоторого связного двумерного
многообразия 1в Р. Напомним, что гладкое отображе-
отображение W: М-*¦ N гладкого m-мерного многообразия М в
гладкое n-мерное многообразие N, m <п, называется
погружением, если касательное отображение ?* в каж-
каждой точке Р е М является вложением касательного про-
пространства ТРМ в касательное пространство Tj(P)N, Ч?*:
TpMaTf(P)N. Погружение W: М-+N называется вло-
вложением, если Ч* устанавливает гомеоморфизм многообра-
многообразия М с его образом х? (М) <= N. Локально всякое погру-
погружение является вложением (взаимно однозначно с обра-
образом) . Поэтому в то время, когда рассуждения будут
носить локальный характер, мы будем отождествлять
многообразие М и его образ в R3. В этом случае мы не
будем различать касательное (кокасателыюе) простран-
пространство ТРМ {ТРМ) и его образ в [R3, сохраняя за обоими
объектами одинаковые обозначения. Вообще для удобст-
удобства изложения мы будем говорить «поверхность Мч>,
имея в виду, что задано пскоторос погружение гР: М-э-R3
многообразия М в К3.
Все рассмотренные выше классические минимальные
поверхности, естественно, являются поверхностями и в
85

новом понимании. Так, поверхность Эннепера представ-
представляет собой погружение плоскости R2 в R3, катеноид —
вложение плоскости без точки R2\{@,0)} в R3. Еще
одним важным для нас примером многообразия и по-
поверхности является стандартная сфера S2 a R3. Стерео-
Стереографические проекции фя и ф8 из северного и южного
полюсов задают координаты на S2\N и S2\S соответ-
соответственно.
Теперь мы более аккуратно определим, что такое ми-
минимальная поверхность. Для этого нам понадобится оп-
определение метрики и второй фундаментальной формы.
Определение метрики. Метрикой на многооб-
многообразии М называется скалярное произведение, заданное
на каждом касательном пространстве ТРМ и зависящее
от точки Р гладким образом. Многообразие, на котором
задана метрика, называется римановым многообразием.
Замечание. Вообще говоря, все объекты, которые
можно определить на векторном пространстве, перено-
переносятся на многообразие. Для этого надо определить этот
объект на каждом касательном (кокасательном) прост-
пространстве и потребовать, чтобы он гладко зависел от точки
многообразия (чтобы в любой системе координат все
функции, которые участвуют в его определении, были
бы гладки). Выше таким образом мы определили мет-
метрику. Аналогично определяются любая билинейная фор-
форма на М, тензорные поля и т. д.
Если Ч: М->№3 — погружение, то можно определить
метрику ds2 на М, индуцированную этим погружением:
определим скалярное произведение ds2(i,, ц) касатель-
касательных векторов | и т), лежащих в ТРМ, как скалярное про-
произведение в R3 их образов W* (?) и W^ (tj) под дейст-
действием касательного отображения W*.
Определим теперь вторую фундаментальную форму
поверхности М.
Определение. Второй фундаментальной формой
поверхности М называется векторнозначная билинейная
форма (со значениями в R3), определенная следующим
образом. Пусть вектор v ^ ТРМ является вектором скоро-
скорости кривой чA), лежащей на поверхности М, у@) = Р;
тогда квадратичная форма, по которой однозначно вос-
восстанавливается билинейная форма Q, задается так:
Q (v) = I 2— I > гДе ( )N обозначает ортогональ-
V dt t=ol
ное проектирование на прямую, перпендикулярную ТРМ
(см. соглашение, принятое выше). Иными словами, квад-
86
ратйчвая форма Q(\) равва нормальной состаЬляющей
вектора ускорения кривой ч@-
Для ориентируемой поверхности (многообразие М
ориентируемо) можно определить R-значную вторую
форму Q. Для этого выберем в силу ориентируемости по-
поверхности М семейство единичных нормалей п(Р) к по-
поверхности М, гладко зависящих от точки Р. Последнее
означает, что существует гладкое отображение п: М -*¦
-*- S2, сопоставляющее каждой точке Р единичную нор-
нормаль п(Р) к поверхности М. Отображение п называется
гауссовым отображением. Положим Q (\) =/ —|-
где < , > — стандартное скалярное произведение в R3.
Пусть G = (gi}) — матрица метрики, a Q = (bti) — мат-
матрица произвольной билинейной формы (в некоторой ко-
координатной карте). Образуем локальную функцию Н =
= tr G ~lQ = 2 gtJ&iji где (gу) =¦ G — матрица, обратная
матрице метрики. Легко проверить, что локальные функ-
функции Н склеиваются в единую фупкцию на многообра-
многообразии М. Полученная функция (которую мы также обозна-
обозначим через Н) называется следом билинейной формы Q.
Определение. Функция Н, являющаяся следом
второй фундаментальной формы Q, называется средней
кривизной (если Q определена как векторнозначная
форма, то все &„- и средняя кривизна являются гладкими
семействами векторов, ортогональных поверхности М).
Поверхность М называется минимальной, если ее сред-
средняя кривизна Н тождественно равна нулю: Н ^ 0.
Как было отмечено в § 1, на ориентируемой поверх-
поверхности можно ввести комплексную структуру, порожден-
порожденную системами изотермических координат. Двумерное
многообразие с комплексной структурой называется ри-
мановой поверхностью (но путать с римановым многооб-
многообразием) .
Если М — риманова поверхность, то в каждой точке
можно определить еТРМ и кТ*рМ комплексное каса-
касательное и комплексное кокасательное пространства со-
соответственно. Касательное пространство СТРМ яв-
является комплексификацией действительного касатель-
касательного пространства ТРМ римановой поверхности М,
рассматриваемой как действительное двумерное мно-
многообразие. Если (и, v) — локальные координаты на
87

M, a -fa» -(?— базис в ТРМ, то элементы из е^рм
г- д , О д
являются линейными комбинациями ос-^—(- р-т- с комп-
комплексными коэффициентами, а, р е С- Векторы из ГрМ
можно рассматривать как дифференцирования по «комп-
«комплексным направлениям» С-значпых функций, опреде-
определенных на М (или в окрестности точки Р е М). Кокаса-
тельное пространство определяется как пространство
всевозможных дифференциалов в точке Р е М С -знач-
ных функций па М. Каждый такой дифферепциал опре-
определяет естественным образом R-линейное отображение
действительного касательного пространства ТРМ в комп-
комплексные числа, которое можно продолжить до С-линей-
С-линейного отображения €ТРМ в d т. е. до С-линейного
функционала. Поэтому ТРМ является сопряженным к
еТРМ. Базисы (над С) -^, -^Для *ТРМ ndu,dv для ®Т*РМ
по-прежнему являются двойственными. Другие двойст-
двойственные базисы — это
dz ~~ 2 [du dvj' dz 2\ди ^ dv
для с7трМ и dz = du + idv, dz = du — idv для CTPM.
Комплекснозначная 1-форма со — это задание в каж-
каждой точке Р^М линейного (над С) отображения со*.:
сГрМ->-С, гладко зависящего от точки. В локальных
координатах (и, v), z = u + iv, форму со можно записать
в виде со = coidz + co2dz, где сой(и, и) — гладкие С-знач-
ные функции координат (и; v).
1-форму со на римановой поверхности назовем голо-
голоморфной, если в каждой системе координат z = и + iv
форма со имеет вид со = (H\dz, где coi(w, v) — голоморф-
голоморфам
ная функция, т. е. —— == 0, со!^,^) = cox(z).
Чтобы построить глобальное представление Вейер-
штрасса, пам осталось определить интеграл 1-формы на
М вдоль гладкой кривой в М. Пусть f: [а, Ь]->М —
гладкая кривая, а со есть 1-форма. Тогда 4*{t) — семей-
семейство касательных векторов, т. е. «векторное поле вдоль
Y» и мы можем определить функцию co(f*@) на [а, Ъ].
Интеграл от этой функции по отрезку [а, Ь] и называет-
называется интегралом 1-формы со вдоль кривой "f:
Пусть теперь W: М-+-Ш3 — погруженная минималь-
минимальная поверхность и М ориентируемое многообразие. Рас-
Рассмотрим М как риманову поверхность с комплексной
структурой, 'Порожденной изотермическими координата-
координатами. Если (U, у]-. U -*¦ V) — координатная карта с комп-
комплексной координатой z — и + iv, то мы, как и в § 2, мо-
жем определить голоморфный радиус-вектор ср = -^-, где
~V (и, v)~ W ° г\"] (и, v). Мы определили локальное пред-
представление Вейерштрасса ларой (/, g) С-значцых функ-
функций на U а С: если ф==(фь срг, фз), то / = ф1 — гф2,
6
фг - i<p2 ¦
Образуем теперь в этой области локальную голоморф-
голоморфную 1-форму со = fdz. Если теперь в другой системе ко-
координат z' образовать локальную 1-форму со' = /' dz',
/ =ф1 —гф2, Ф =-нгг = (.фифг.ф
где
то на са-
мом деле со' совпадает с со в пересечении обла-
областей определения координатных карт. Действительно,
0Wh dWh dz ,, , ,. ,. . ,.. dz
dz
голоморфной
dz e €T*pM
= / ¦— dz' — f dz, так как при
замене координат z -*¦ z базисный ковектор
переходит в ковектор -jp'dz' (проверьте).
Таким образом, локальные формы со = fdz склеива-
склеиваются в единую голоморфпую 1-форму на римановой по-
поверхности М. Далее, локально определенные функции
8 ~ _3. ¦ тоже склеиваются в единую мероморфную
функцию на М: если#' ==-
Фя
то в пересечении
dz'
8 =
~dz'
Это позволяет нам определить три голоморфные
1-формы: -^A — g2)co, —A +|Г2)и и ga. Локально эти
формы имеют вид ф1 dz, фг dz и (p^dz соответственно; по-
поэтому мы обозначим эти формы через ф* (к = 1, 2, 3).
Если if — произвольная кусочно-гладкая кривая, соеди-
89

няющая некоторую фиксированную точку РеЖи точку
Q <= М, то ?й (<?) = ?* (/>) + 2 Re J ф\ Последнее легко
v
получить для кривой 1, целиком лежащей в одпой коор-
координатной карте, так как
2Re Jcp" =
V V V
Для произвольной кривой f это получается, если раз-
разбить ч на куски, каждый из которых целиком лежит в
некоторой карте.
Из вышесказанного, в частности, следует, что формы
ф" не имеют действительных периодов, т. е. действитель-
действительная часть интеграла J <p по любой замкнутой кусочно-
гладкой кривой равна нулю.
Определение. Пара (со, g), состоящая из голо-
голоморфной 1-формы со и меромофной функции g на рима-
новой поверхности М, причем таких, что формы ф1 =
1 i
= ~2 A — g2) и, ф2 == — /1 + g2) со и ф3 = gсо являются го-
голоморфными 1-формами, не имеющими действительных
периодов, называется глобальным представлением Вейер-
штрасса.
Если задано глобальпое представление Вейерштрас-
са, то отображение ?: М-+Ш3, определенное как
?*(<?) =
2 Re JV,
где f — произвольная кусочно-гладкая кривая на М, со-
соединяющая фиксированную точку Р^М, с = (ci, c2, с3) =
= W(P), и точку Q^M, задает погруженную (за исклю-
исключением некоторого числа изолированных точек) мини-
минимальную поверхность. Точки, в которых нарушается ре-
регулярность минимальной поверхности, называются точ-
точками ветвления (см. § 3). Точка Q е М является точкой
ветвления тогда и только тогда, когда в ней одновремен-
одновременно обращаются в нуль формы со и gr2co. Минимальная
поверхность, допускающая точки ветвления, называется
обобщенной минимальной поверхностью.
Функция g по-прежнему задает гауссово отображение
минимальной поверхности, если рассматривать на сфере
S2 координаты, полученные с помощью стереографиче-
стереографической проекции из северного полюса. Полюса функции
90
g — это точки, отображающиеся при гауссовом отображе-
отображении в северный полюс, а нули g — в южный.
Итак, нами доказана
Теорема. Все обобщенные* ориентируемые мини-
минимальные поверхности в 1R3 описываются глобальным
представлением Вейерштрасса, т. е. всевозможными па-
парами (со, g), состоящими из голоморфной {-формы и ме-
мезоморфной функции g, определенными на римановой по-
поверхности М, причем таким, что формы ф1 = у A — g2) со,
ф2 = -7J- A + g2) со и ф3 = ga являются голоморфными и
не имеют действительных периодов на М.
Пара (со, g) задает разветвленное минимальное по-
погружение W: М —>¦ R3 (погружение, имеющее изолиро-
изолированные точки ветвления) следующим образом:
где си — const eR, и интегрирование производится вдоль
произвольного кусочно-гладкого пути, соединяющего
фиксированную точку Р е М и переменную точку Q е М,
W{P) = {cu c2, с8).
Мы уже говорили, что минимальную поверхность
W: М ->¦ R3 можно определить и в неориентируемом слу-
случае, т. е. если М — неориентируемое многообразие.
В этой ситуации тоже возможно построить глобальное
представление Вейерштрасса. Для этого надо построить
«удвоение» М многообразия М, т. е. ориентируемое дву-
двумерное многообразие М вместе с гладким отображением
(проекцией) л: М ->- М, такие, что у каждой точки Ре
е М существует такая достаточно малая окрестность U,
что ее прообраз я~'( U) состоит ровно из двух связных
непересекающихся открытых множеств V\ и Vz, ограни-
ограничение на каждое из которых проекции я является диф-
diff
феоморфизмом, я: Vk « U, к = 1, 2. В этом случае по-
погружение ?: М ->¦ К3 продолжается до погружения W:
Af->R3, ? = ? » п. Этот факт удобно изобразить комму-
коммутативной диаграммой
91

Проекция я: Й -+• М называется двулистным накры-
накрытием.
Такое удвоение всегда можно построить. Для этого
достаточно выбрать покрытие М координатными карта-
картами (Uh, r|ft), такое, что каждое Uk, а также каждое непу-
непустое пересечение Uk П Ui являются связными открытыми
множествами (областями) (попробуйте построить такое
покрытие). Тогда возьмем вдвое больше областей
[Ut,Ui\, U$ = Uk, ив области U% выберем координа-
координаты (ик, i?i), а в области Щ — координаты (ик, —ик), за-
заданные с помощью гомеоморфизмов r)fe = r\k и r\k = ъ°Чк
соответственно, где т: R2« С ->¦ R2 ;=» С — сопряжение.
Теперь будем склеивать U'h я U\, как только Uh пере-
пересекается с Ui и функции перехода 'Пб('Чг) * сохраняют
ориентацию (склеиваем по пересечению). Получаем та-
таким образом ориентируемое многообразие М, которое и
называется удвоением М. Естественная проекция я:М->
-»- М удовлетворяет перечисленным выше свойствам. Бо-
Более того, па Й существует диффеоморфизм Т: Й -*¦ Й,
являющийся инволюцией, т. е. Р = id, где id — тождест-
тождественное преобразование. Инволюция Т переставляет меж-
между собой точки из каждой пары — прообраза точки при
проекции я: если Pel, а я~1{Р)= {Р\, Рг*, то Т(Р\) =
= Р2) 7(Р2) = Р..
Если па Й ввести комплексную структуру, то ипво-'
люция Т будет антиголоморфпым отображением Й в се-
себя без неподвижных точек: в каждой карте / является
композицией голоморфного отображения и сопряжения.
Пусть (U, Г|)—координатная карта на М, причем
U — область, однозначно проектирующаяся па М. Если
z = и + iv — координата в области U, то в области T(U)
можно выбрать координату z = v + iu (согласованную с
комплексной структурой).
Если W: M->R3—погруженная минимальная поверх-
поверхность, то ?: M->R3— также погружеипая минимальная
поверхность — двулистная памотка W: Л/-э-К3. Если
ф1, ф2, ф3 — голоморфные 1-формы, задающие глобаль-
ное представлепие Вейерштрасса па Ш для мипимальной
поверхности W: М->К3, то, как легко показать, 7*(ф'') =
= ф\ где Т* — отображение 1-форм, индуцированное ин-
инволюцией 7: (?V)(D = <p4M!)). Ъ^ТрМ - каса-
касательный вектор , 1+—касательное отображение.
92
Более того, если (со, g) — представление Вейерштрас-
Вейерштрасса для У; M->R3, то g(T(P))= -i/g(P) и Г*(ю) =
= —gr2co. Первая формула следует из того, что g являет-
является композицией гауссова отображения и стереографиче-
стереографической проекции, а точки Р и Т(Р) переходят при погру-
погружении Mf в одну точку, в которой пормали п(Р) и
п(Т(Р)), ориентирующие эту поверхность, противопо-
противоположно направлены: g и —1/g—это стереографические
координаты п и —п (проверьте). Вторая формула полу-
получается непосредственным вычислением (проверьте, ис-
Ф + 1ф Ф2
пользуя формулы
= (Pi— гф2, где <р =
= _ f, /=
2, ф3) =
Определение. Представлением Вейерштрасса в
описанные в определении представления Вейерштрасса и
случае неориентируемого двумерного многообразия М
называется представление Вейерштрасса (со, g), задан-
заданное па ориентируемом удвоении М 'многообразия М,
удовлетворяющее дополнительно следующим условиям:
если 7: М -*¦ М — инволюция на М, переставляющая
точки из каждой пары — прообраза точки при канониче-
канонической проекции я: И ->• М, то g(T(P))— — l/g(P) и
7*со = —#2со.
Оказывается, что дополнительные условия на g и со,
неориентируемом случае, полностью характеризуют пред-
представления Вейерштрасса ориентируемых минимальных
поверхностей, которые в действительности задают дву-
двулистные намотки неориентируемых минимальных по-
поверхностей. Верна следующая
Теорема. Если (со, g)—представление Вейерштрас-
Вейерштрасса на римановой поверхности Й, задающее погруженную
ориентируемую связную минимальную поверхность W:
М—>-Ы3,и если существует антиголоморфная инволюция
Т: Й -*¦ М без неподвижных точек такая, что grG(P)) =
= —l/g(P) и Г*со = — g2a, то Й является удвоением
неориентируемого многообразия М, я: М ->- М— соответ-
соответствующая проекция и ? = ?°я~1: M->R3 корректно
определяет погружение, задающее связную неориенти-
руемую минимальную поверхность.
Пример (погружение бесконечного листа Мёбиуса).
Рассмотрим на С\{0} представлепие Вейерштрасса, за-
93

Данное формой со = / dz, / (г) =
и мсроморфной
функцией g = z * l—(пример Микса [10]). Рассмот-
Рассмотрим на С\{0} антиголоморфную инволюцию Т: z -+•
-*¦ —1/z. Эта инволюция является композицией инверсии
относительно единичной окружности {|zl = 1} и отраже-
отражения относительно начала координат z = 0.
На.самом деле это представление Вейерштрасса оп-
определяет неориептируемую минимальную поверхность
(двулистную намотку). Действительно,
/* со = i i
lJ? 4 =
Поэтому множества {\z\ > 1} и {0 < lz| < 1} задают
одну и ту же неориептируемую минимальную поверх-
поверхность Y: М->-R3" (эта поверхность является погружен-
погруженной, так как /(z)=0 только при z = 1, но /g2(l) =
= i(z + lJ|z=i =й=0). Полученная поверхность W: М-э-R3
является неориентируемой, так как М получается из
множества {|г|>1} отождествлением противоположных
точек окружности {|zl = 1). Топологически М представ-
представляет собой проективную плоскость с выколотой точкой
(бесконечностью), т. е. лист Мёбиуса. Этот лист пере^
кручен один раз. Действительно, если (ж1, х2, хъ) — стан-
стандартные координаты в R3, а п={щ, щ, т)—единичная
нормаль к W: M-»-IR3, причем g(z) является стерео-
стереографической координатой n(z), то, если |z| = 1, мы име-
I ,2 1 — Re г \gf — t т, „
ем Iё I 1 + Rez' п* = | g [» + i = — Re z- Поэтому при
движении по окружности UI = 1 из точки z = 1 в точку
z = —1 нормаль единственный раз параллельна плоско-
плоскости хг = 0 (полуокружность {е'ф, 0 =?! <р < я} отождествля-
отождествляется с {е'ф, —я «S ф < 0}).
§ 5. Полная кривизна и полные
минимальные поверхности
Для понимания этого параграфа необходимо иметь
представление о форме объема на ориентируемом рима-
повом многообразии (о форме площади в случае двумер-
94
ных поверхностей), а также уметь интегрировать р-фор-
мы по р-мерным многообразиям (в случае р = i много-
многообразие есть кривая; определение интеграла в этом
случае было дано в § 4). Необходимо также быть зна-
знакомым с классификацией замкнутых (компактных без
края) двумерных многообразий. Для детального ознаком-
ознакомления с этими вопросами мы рекомендуем в случае необ-
необходимости обратиться к [1, 15].
Важной характеристикой минимальных поверхностей
в К является их полная кривизна. Полная кривизна
ориентируемой поверхности определяется как интеграл
по поверхности от гауссовой кривизны, а в неориентируе-
мом случае — как половина полпой кривизны ориенти-
ориентируемого удвоепия этой поверхности (см. § 4).
Более формально, пусть ?: Af->-R3—погруженная
ориентируемая поверхность, а — форма площади на М
в индуцированпой погружением W метрике, К — гауссо-
гауссова кривизна.- i
Определение. Полной кривизной х(М) поверхно-
поверхности "V: M->R3 называется число х(М)= }К-а (воз-
м
можно, равное бесконечности).
Как было отмечено в § 3 при доказательстве предло-
предложения 1, площадь образа координатного параллелограм-
параллелограмма [-г—, -х-\ поверхности М при гауссовом отображении
тг: М -»- S2 изменяется в К раз, где К — гауссова кривиз-
кривизна поверхности М.
Замечание. В §3 коордипаты (и, v) были изо-
изотермическими. В действительности, как легко видеть,
этот факт не зависит от координат (и, v) и от касатель-
касательного параллелограмма: при гладком отображении одного
двумерного римапова многообразия на другое площадь
любого параллелограмма в касательном пространстве из-
изменится в одно и то же число раз d. Это число называет-
называется детерминантом касательного отображения.
Задача. Запишите детерминант d в локальных ко-
координатах.
Из вышесказанного следует, что если [} — форма пло-
площади на -S2, а п: М -> S2 — гауссово отображение, то
2-форма re*fj на М, определенная так: (ге*Р) (?, ц) =
= Р(/гД, щт\), где ^, r| s ТРМ, равна п*$ = Ка, где ос —
форма площади на М. Действительно, любая 2-форма на
двумерном многообразии однозначно определяется своим
значением на паре липейцо независимых векторов. Если
95

д д \
пло-
= площадь параллелограмма
( д д \ ' I д д
щадь параллелограмма -т-, -д- = л • а Нг-> -т-
г ^ \ с*м ' dv j \ди' dv,
Если гауссово отображение локально (в области [7<
с Ж) является диффеоморфизмом, то \ Ка — J га*|3 ==
г v
==± J Р = ± (площадь области n{;U)<= S2). Знак «+»
ставится в случае, когда диффеоморфизм га: U-*¦ n(U)
сохраняет ориентацию, а знак «—»—в противном случае.
Первая возможность реализуется, когда в области U га-
гауссова кривизна К > 0, а вторая — при К < 0 (проверьте).
Итак, полная кривизна х{М) поверхности W: М->0?3
равна «алгебраической» площади гауссова образа п(М).
Если К всюду положительна или всюду отрицательна,
то полная кривизна х{М) с точностью до знака равна
площади гауссова образа п(М) с учетом перекрытий.
Как мы уже говорили, среди минимальных поверх-
поверхностей в 1R3 наибольший интерес представляют полные
минимальные поверхности. Оказывается, что если полная
минимальная поверхность имеет конечную полную кри-
кривизну, то опа топологически будет устроена достаточно
просто, а именно такая поверхность изометрична ком-
компактному ориентируемому двумерному риманову много-
многообразию, из которого выброшено конечное число точек.
Напомним, что изометрия — это диффеоморфизм, сохра-
сохраняющий метрику. Два римаповых многообразия изомет-
ричны, если между ними существует изометрия.
Все двумерные связные замкнутые (компактные без
края) многообразия достаточно просто классифицируются.
Напомним, что с топологической точки зрения они пред-
представляют собой в ориентируемом случае — сферу, к кото-
которой приклеено конечное число g ручек, а в неориенти-
руемом — сферу, в которую вклеено конечное число R
пленок Мёбиуса. Числа g и h называются родом замк-
замкнутого многообразия соответственно в ориентируемом и
неориентируемом случаях, а само замкнутое многообра-
многообразие называется ориентируемой {неориентируемой) поверх-
поверхностью рода g (рода h).
Поверхность рода g — 0 — это сфера S2, рода g = 1 —
тор Т2 = S1 X S\ рода g = 2 — крепдель. В пеориептируе-
мом случае поверхность рода h = 1 — двумерная проек-
96
уивная плоскость, рода h = 2 — бутылка Клейна (рис. 39).
Если из поверхности рода g или h выбросить конечное
число I точек (или, что все равно, маленьких замкнутых
непересекающихся дисков), то число I будет называться
Рис. 39
связностью этой поверхности: сфера S2 с I дырками мо-
может быть представлена как Z-связная область, проектив-
проективная плоскость RP2 с одной дыркой является листом
Мёбиуса, бутылка Клейна с дыркой называется кругом
<е вывернутой ручкой (рис. 40).
Задача. Показать, что сфера с g ручками, h плен-
пленками и I дырками диффеоморфна сфере с 2g + h плен-
пленками и / дырками, если h > 1.
Рис. 40
Теорема (Оссерман [9]). Пусть ?: М -> R* — по-
погруженная полная ориентируемая поверхность, причем
гйуссова кривизна К < 0 и полная t кривизна х (М) ко-
Нёчна, \х{М)\ < оо. Тогда М изометрйчно поверхности Й
* А. А. Тужилин, А. Т. Фоменко 97

рода g, из которой удалено конечное число точек Р\, ...
..., Pi. Предполагается, что М — риманово, а на М рас-
рассматривается индуцированная погружением W метрика.
Следствие. Теорема применима к полным погру-
погруженным минимальным поверхностям ?: M->R3 конечной
полной кривизны. Более того, если (со, g) — представле-
представление Вейерштрасса такой минимальной поверхности, то
функция g, задающая гауссово отображение, продолжа-
продолжается в выколотые точки Ри ._„, Рг до мероморфной функ-
функции, определенной на всем М. Кроме того, полная кри-
кривизна х(М) может принимать лишь следующие значения:
x(M) — —inm, где тп — целое неотрицательное.
Замечание. Условие регулярности минимальной
поверхности существенно. Можно построить полные не-
неплоские разветвленные минимальные поверхности, у ко-
которых гауссов образ лежит в любой сколь угодно малой
области сферы S2. Для этого достаточно на единичном
диске D = {\z\ < 1} построить представление Вейерштрас-
Вейерштрасса (/«., g) такое, что g = ez, e > 0, а голоморфную функ-
функцию /е можно выбрать таким образом, чтобы для любой
кривой С: z(t), ie@, 1), лежащей в D и целиком не-
содержащейся ни в одном компакте К<= D (расходящей-
(расходящейся кривой), выполнялось условие
Это представление Вейерштрасса определит полную
разветвленную минимальную поверхность с гауссовым
отображением, заданным функцией g = ez, \z\ < 1.
Замечание. Функция /, будет иметь в единичном
круге D бесконечное число нулей. Как показал Оссер-
ман, если / имеет только конечное число нулей в D, то
всегда существует расходящаяся кривая С такая, что
("|/(г)|.|<й|<оо (см. [9]).
с
Приведем идеи доказательства последних двух ут-
утверждений из следствия. Тот факт, что функция g про-
продолжается в выколотые точки до мероморфной функции,
следует из классификации изолированных особенностей
голоморфных в проколотом круге функций (устранимая
особая точка, полюс, существенная особенность) и боль-
большой теоремы Пикара, утверждающей, что в любой окрест-
окрестности существенно особой точки голоморфная функция
принимает любое конечное значение (за исключением,.
быть может, одного) бесконечное число раз. Отсюда мож-
можно вывести, что если изолированная точка Рк является
существенно особой для функции g, то полная кривизна
г (М) равна бесконечности.
Второе утверждение следует из формулы преобразо-
преобразования интеграла от формы при гладком отображении,
а именно если /: М\ -*¦ Мг — гладкое отображение между
двумя гладкими компактными без края (замкнутыми)
связными ориентируемыми двумерными многообразиями,
а а — произвольная 2-форма на Л/г, то \ /*<х = deg /¦
.1 а, где целое число deg / называется степенью ото-
м2
бражения / и определяется следующим образом.
Рассмотрим произвольную правильную точку Q е М%
для отображения 7, т. е. такую точку, что прообраз
f~l(Q) точки Q состоит из точек {PJ, в каждой из кото-
которых отображение / регулярно. Последнее означает, что
касательное отображение /#: Tp^^-^-TqM^ невырож-
невырождено для каждой точки Рк. Из компактности М\ следует,
что f~x{Q) состоит из конечного числа точек Р\, ..., Рг
(регулярные точки такого отображения изолированы).
Выберем ориентированные атласы на М\ и Л/2, и пусть
(ик, vk) — координаты на Mi в окрестности точки Рк,
а (и, v) — координаты на Л/г в окрестности точки Q. Тогда
ди ди
~ди~1 ~д^
dv
dvh
Можно показать, что правильная точка всегда суще-
существует (множество неправильных точек на Л/г имеет меру
нуль — теорема Сарда) и что deg / не зависит от выбора
правильной точки Q (см. [1]). Если изменить ориента-
ориентацию на одном из многообразий М\ или Л/г, то степень
deg / поменяет знак.
Возьмем в качестве / продолжение п гауссова отобра-
отображения п: М ->- S2 до гладкого отображения га: М -*¦ S3.
Так как Л/ ориентировано по отношению к нормали и,
которая одновременно является внешней нормалью к сфе-
сфере S2, то в нашем случае знаки якобианов из определения
степени отображения одинаковы и равны — 1. Поэтому
deg п = —тп, где тп — число прообразов любой точкж Q е
е52, правильной по отношению к га. Так как %{М) =
99
deg / = 2 знак

n*a
) n*a, где а - форма площади на S2, а Г и* а =
_ ,м Ь
w degи- J а = - 4ят, то т(ЛГ) = -4л m, что и доказыва-
2
еш последнее утверждение.
Пусть теперь М — неориентируемое погруженное мно-
многообразие, а И —его ориентируемое удвоение, я: М-*
-*• М— соответствующая проекция (двулистное накры-
накрытие). Естественно определить полную кривизну х{М) как
половину полной кривизны %{Я). Итак, полная кривизна
полной неориентируемой погруженной минимальной по-
веРхности может принимать только следующие значения:
т<(ж) = ~2лт, т — целое неотрицательное.
Рассмотрим некоторые примеры.
1) Плоскость — полная минимальная односвязная по-
поверхность рода 0 с полной кривизной т = 0.
2) Поверхность Эняевера — полная минимальная од-
нЪ'сйй^йя поверхность рада 0 с полной кривизной т —
*='—4й, ,так как функция g из представления Ве-йерштрас-
та равна b(w)~w и определена на всей плоскости С.
Поэтому гауссово отображение является диффеоморфга-
мбм поверхности Эннепера на сферу без' северного полю*-
c&S2\N.
3) Катеноид — полный, двуевяёный, рода ^=0, пол-
полная кривизна т = —4я.
4) Геликоид — полный, односвязньш; рода g = 0, пШ-
ная кривизна т = — «> (функция #=е~" задает бесконеч-
нолистную намотку геликоида на сферу без северного и
южного полюсов).
5) Неполная поверхность Шерка z
Н< — ,1 у\ < -5-j. Имеет представление Вейерштрао-
/¦ .4 ;, и>\ на открытом круге f | w | < 1} <= С- Образ
гауссова отображения — открытая полусфера; поэтому
полная кривизна т = —2я. Полная поверхность Шерка,
очевидно, имеет полную кривизну т = —«>.
6) Все периодические полные минимальные поверхт
ности (поверхность Шварца — Римана, гйроид и др.) име-
имеют полную кривизну т = — °°.
Вышеприведенные примеры являются примерами ори-
ориентируемых минимальных поверхностей.
{¦
са
! COS Ж
1н над
100
Примером неориентируемой минимальной поверхности
является
7) погружение листа Мёбиуса, задаваемого на С\{0}
1 ' —ш f 1— I (при-
(пример Микеа; см. § А),
Гауссово отображение задается функцией g(w) **
Если
1,то уравнение w2{w — 1)-
— r\(w+ 1)=0 при каждом ц имеет три корня. Пара кор-
корней совпадает, если дополнительно производная по w от
этого многочлена обращается в нуль, т. е. выполняется
1] = 3ю2 —2to. Подставляя r\ = 3w2 — 2w в первое уравне-
ниет получаем уравнение — 2w(w2+ w+ 1) = О, которое
имеет три корня {u7ft}^=1. Соответствующие значения цк =
= g(wk) являются особыми значениями, а все остальные
w е С\ {т]!, ti2, т]3} — правильными. Так как прообраз
правильного значения состоит ровно из трех точек, то
полная кривизна этой поверхности равна т = —12я/2**
= -6л.
В действительности лист Мёбиуса можно погрузить в
R3 с полной кривизной т = —2я, однако тогда это погру-
погружение будет разветвленным, т. е. появятся точки ветвле-
ветвления. Разветвленное погружение бесконечного листа Мё-
Мёбиуса в виде полной минимальной поверхности известно
достаточно давно — это классическая поверхность Хен-
неберга. Представление Вейерштрасса, задающее ориен-
ориентированное удвоение поверхности Хеннеберга, есть
BA г I ^U7» w 1 на С\{0}, точки ветвления — корни
I \ v> I J
четвертой степени из единицы, т. е. w = ±i, ±1.
Отметим, что для разветвленных минимальных по-
поверхностей также корректно определено гауссово отобра-
отображение, так как функция g продолжается до мероморфной
функции в точки ветвления. Также корректно определя-
определяется полнота индуцированной метрики (несмотря на то,
что метрика в точках ветвления вырождена). Действи-
Действительно, мы можем определить полноту погруженной по-
поверхности следующим эквивалентным образом [9]. Назо-
Назовем погруженную поверхность х: М -*¦ О?3 полной, если
любая расходящаяся кривая на М, т. е. луч С: [0, +°°)->
-*¦ М, не лежащий целиком ни в одном компактном под-
подмножестве К<=М, имеет бесконечную длину, т. е.
ioi

J I C(t) I dt = oo. Здесь IС (t) I — длина вектора скоро-
о
стп этой кривой в индуцированной из К3 метрике. Так
оо
\\C(t)\dt
как интеграл
определен и для метрики, ко-
которая вырождена в некоторых (изолированных) точках,
то подобное определение полноты переносится и на раз-
разветвленные поверхности.
Оказывается, полных погруженных минимальных по-
поверхностей с полной кривизной, большей чем —8я, не
так много, а именно верна
Теорема (Оссерман [9], Микс [10]). Полные по-
погруженные связные минимальные поверхности в R3 с
полной кривизной х > —8я исчерпываются (с точностью
до движения и растяжения в R3) следующим списком:
плоскость (т = 0),
катеноид (х = — 4л), поверхность Эннепера (т = — 4я),
лист Мёбиуса (пример Микса, х = —6я).
Замечание. Полная кривизна полной поверхности
Хеннеберга равна г = —2я, однако эта поверхность раз-
разветвленная. Если выбросить точки ветвления, то поверх-
поверхность Хеннеберга станет неполной.
Из теоремы Оссермана, описывающей полные мини-
минимальные поверхности с-конечной полной кривизной, вы-
вытекают естественные вопросы:
1) любое ли из возможных значений полной кривиз-
кривизны можно реализовать на некоторой полной минимальной
поверхности;
2) существуют ли полные минимальные поверхности
любого рода и любой связности?
Ответом на первый вопрос является следующая
Теорема. Для любого целого к>0, кроме к = 1,
существует полная погруженная минимальная поверх-
поверхность W: M-»-R3 с полной кривизной х(М) — —2пк.
Случай к = 1 не реализуется.
Доказательство. Для каждого четного к = 2тп
легко построить полную ориентируемую погруженную
минимальную поверхность с полной кривизной т(М) =
*= —4яяг. Каждую такую поверхность можно, например,
вадать представлением Вейерштрасса (dw, wm) на С-
Тот факт, что случай к = 1 не реализуется, следует
из сформулированной выше теоремы Оссермана и Микса.
Осталось построить примеры для каждого нечетного
102
Зс > 3. Эта задача была решена Элиза и Оливьера [11],
4а также Казнером [12]. Мы приведем сейчас примеры
первых двух авторов, а о несколько более интересных
поверхностях Казнера расскажем в следующем парагра-
параграфе. Итак, Элиза и Оливьера построили семейство полных
минимальных погружений бесконечного листа Мёбиуса
¦с полной кривизной х = —2ят, т > 3, т — нечетно. Авто-
Авторы также показали, что других значений полной кривиз-
кривизны не может встречаться у полных неориентируемых
минимальных поверхностей рода 1. Каждая поверхность
из этого семейства задается на С\{0} следующим пред-
представлением Вейерштрасса:
-dw,
„,™— l
т — нечетно,
а Г. w -+• —lfw — стандартная инволюция на С\{0} без
неподвижных точек. Каждая такая поверхность пред-
«тавляет собой перекрученный—^—" Раз лист Мёбиуса, по-
погруженный в R3 в виде полной минимальной поверхно-
поверхности с полной кривизной т = — 2ят (проверьте).
Ответ на второй вопрос дает в ориентируемом случае
работа Клотза и Сарио [13], в которой построены полные
погруженные минимальные поверхности любого рода и
любой связности с ^ 4.
Идея построения Заключается в следующем. Рассмот-
Рассмотрим сначала трехсвязную полную минимальную поверх-
поверхность, заданную представлением Вейерштрасса (dw, g =
W — 1 (ш —IJ ю+1 (J
Легко проверить, что у форм g
= y A + 82) dw вычеты в точках w = ±l равны ну-
нулю, а у формы ф3 = g dw вычеты являются действитель-
действительными числами, поэтому J ф3 по замкнутому контуру во-
вокруг каждой особой точки, равный 2ш res <р3, явля-
«тея чисто мнимым числом, и, следовательно, у ср3 тоже
нет действительных периодов. Здесь res ф3 обозначает
10= ±1
вычет в соответствующей точке. Далее, индуцированная
метрика равна ds = (l + \g\2)\dw\. Поэтому любая расхо-
расходящаяся кривая, уходящая на бесконечность, имеет бес-
бесконечную длину, так как ds>\dw\. Также бесконечную
длину имеет любая расходящаяся кривая, идущая к осо-
103
+1)
p^-g^l—g2)dw и ф2 =

бой точке м> = ±1, тай как в окрестности этих особых
точек метрика ds ~ г растет достаточно быстро.
| 1 + W |
Итак, построена полная погруженная трехсвязная ми-
минимальная поверхность рода 0.
Рис. 41
Далее возьмем два экземпляра F\ и F^ плоскости
С\{1. — 1} и на каждом из них проведем по разрезу *(ht
к = 1, 2, по действительной оси от —1 до 1. Склеим верх-
верхний берег "fi с нижним берегом ^2, а нижний берег fi
с верхним берегом f2- Мы получили многообразие F,
склеенное из F\ и F%. Легко определить на F комплекс-
комплексную структуру, порожденную комплексными структурами
на F\ и F2, а также голоморфную форму со и мероморф-
ную функцию g, которые в координатах на F, порожден-
порожденных стандартными координатами на соответствующих эк-
экземплярах Fk, совпадают с определенными выше формой
dm и функцией g соответственно. Легко проверить, что
пара (со, g) на F является глобальным представлением
Вейерштрасса, которое определяет полную погруженную-
минимальную поверхность рода 0, но уже являющуюся
четырехсвязной (рис. 41).
Продолжая эту процедуру дальше, мы можем полу-
получить поверхности рода 0 любой связности. Чтобы для
поверхностей рода 0 получить полную картину, добавим
к этому семейству односвязную поверхность Эннепера и
двусвязный катеноид. Итак, существуют полные погру-
104
Ясенные ориентируемые минимальные поверхности рода О
любой связности с > 1.
Чтобы получить поверхность рода больше нуля,
возьмем два экземпляра Fh (к = 1, 2) четырехсвязной
римановой поверхности F, определенной выше (Fh склеена.
Рис, 42
и F\,
hi = C\{1, — 1})- Сделаем разрезы 6ft и е* на
каждом Fh: на Fx разрез б„ от 1 до +°° по действитель-
действительной оси, а на F2 — разрез eh от —1 до —<» тоже по дей-
действительной оси. Склеим верхние (нижние) берега раз-
разрезов 6i и ei на F1 соответственно с нижними (верхними)
берегами разрезов 62 и ег на F2.
В результате мы получим тор с четырьмя особыми;
точками; обозначим его Mcg, g = 1, с — 4 (рис. 42).
Рис. 43
Как и выше, построим глобальное представление Вейер-
Вейерштрасса на М\, порожденное представлениями Вейер-
Вейерштрасса на каждой из компонент, из которых клеится
М*. Тем самым мы построили полную погруженную че-
тырехсвязную минимальную поверхность рода 1.
105

Продолжая это построение дальше, мы можем полу-
получить четырехсвязную минимальную поверхность М\ лю-
любого рода g > 0. Чтобы увеличить связность (не меняя
рода), сделаем на М\ разрез между особыми точками,
соответствующими w — ±1, и подклеим необходимое чис-
число экземпляров Fk = С\{1, — 1} (рис. 43).
Важное замечание. Отметим, что образ в R3
построенных минимальных поверхностей (любого рода и
любой связности) как множество точекховпадает с трех-
связной минимальной поверхностью, определенной с са-
самого начала представлением Вейерштрасса (dw, g) на
С\{1, — 1}. Конечно же, погружение это допускает (ср.
с бесконечнолистной намоткой катеноида, § 2 гл. 2).
Итак, мы просто увеличили параметрическую область,
не изменяя при этом реальной поверхности как подмно-
подмножества в R3.
§ 6. Геометрия полных минимальных поверхностей
конечной полной кривизны
В этом параграфе мы опишем примеры Микса и Гофф-
мана полных минимальных поверхностей произвольного
рода, вложенных в R3. Все эти поверхности имеют ко-
конечную полную кривизну. Предварительно введем неко-
некоторые понятия, характеризующие геометрию полных ми-
минимальных поверхностей конечной полной кривизны, ис-
используемые в построении.
Напомним, что по теореме Оссермана каждая ориен-
ориентируемая полная минимальная поверхность Ч: М-*-Ш3
конечной полной кривизны изометрична поверхности Ш
некоторого рода g, из которой выброшено конечное чис-
число г точек Pi, ..., Рг. Оказывается, в окрестности выбро-
выброшенных точек Pi, ..., Рг погружение ?: М\{Р±, ...
..., Pr}->R3 ведет себя достаточно хорошо (здесь мы
снова обозначили через 4х композицию изометрии между
М и М\{Ри ..., РЛ и погружения W: M->!R3). А имен-
именно, выберем произвольное р > 0. Обозначим через Хр пе-
пересечение образа W(M), сжатого в р раз, т. е. W(M)fp,
со стандартной единичной сферой 52 cz Rs:
Рис. 44
минимальной поверх-
Как показали йорг и Микс [14], при достаточно боль-
большом р множество Хр представляет собой семейство
106
С*у 1, • • -, >} гладких, погруженных в сферу S2 замкнутых
Кривых.
'' Определение. Назовем концом полной минималь-
минимальной поверхности W: M->R3 конечной полной кривизны
образ С, = W (Di\Pt) достаточ-
достаточно малого_ проколотого диска
Di\Pi на М с центром в точ-
точке Р,.
При достаточно большом р
кривая ^г из построенного вы-
выше семейства {"fi, ..., fj явля-
является пересечением CJp и S2:
*li = CJp П S2. Итак, асимптоти-
асимптотическое поведение кривых ха-
характеризует поведение концов
ности.
Оказывается [14], что при р ->• °° каждая кривая
1i .<= S2 стягивается на некоторый большой круг Vj в S2
(vi определяется как пересечение S2 и некоторой плоско-
плоскости, проходящей через начало координат), причем пре-
предельная кривая fi является обмоткой большого круга V;
с некоторой кратностью, которую мы обозначим di и на-
назовем кратностью конца CV Более того, Vi лежит в пло-
плоскости, ортогональной образу точки Р( при гауссовом ото-
отображении п: М ->• S2 (продолжении гауссова отображе-
отображения п: М ->- S2, которое существует по теореме Оссерма-
Оссермана). Геометрически это означает, что каждый конец
асимптотически выглядит как йглистная намотка пре-
предельной касательной плоскости (плоскости, ортогональной
«предельному значению» гауссова отображения — образа
точки Pi) на себя (как в случае голоморфного отображе-
отображения С ->С> заданного по формуле w = z ).
Пример. Рассмотрим катеноид г = ch z, записанный
в цилиндрических координатах (г, ф, z). Катеноид имеет
два конца и при увеличении масштаба выглядит так, как
^показано на рис. 44.
Ясно, что Х0 состоит из двух простых жордановых
кривых f\ и 12, лежащих в параллельных плоскостях,
причем при р -+¦ °° эти кривые стягиваются на экватор.
В этом случае d\ = йг = 1.
Задача 1. Показать, что для поверхности Эннепера
ЗГР при достаточно большом р состоит из одной погружен-
погруженной в S2 кривой, которая в пределе наматывается на эк-
экватор с кратностью d\ = 3.
107

Задача 2. Пусть (/, g) на Uс:С— локальное
представление Вейерштрасса минимальной поверхности
W: M->-R3, а т: 0?3->-R3 —некоторое ортогональное
преобразование, сохраняющее ориентацию. Поверхность
то^: M->R3, очевидно, является минимальной по-
поверхностью, конгруэнтной поверхности ?: M->-R8,
и имеет над U с: С уже другой представление Вейер-
Вейерштрасса (/', g'). Найти связь между (/', g') и (/, g)v
Ответ. Если ортогональное преобразование т: R3 ->-
-*-R3, ограниченное на сферу S2, в стереографических
координатах (и, v), z = и + iv, задается специальной уни-
/ а ь\
тарной матрицей ^_^ -I, а,6еС> Ы2+|&г«=1 сле-
az-\-b
дующим образом: Zl"~* _ г , -» то новое представление-
Вейерштрасса (/', g') будет иметь вид
Задача 3. Пусть (/, g) над U — представление Вей-,
ерштрасса минимальной поверхности W: Af-»-Rs, а Я:
R8 -*- R3 — растяжение в К раз, Я е R: я i-*- Ях для любого
же R3. Доказать, что представление Вейерштрасса (/',g')<
над U минимальной поверхности Ь?: М -*- R3 есть-
(Я/, «)-
Задача 4. Пусть (/(z), g(z)) над ?7 — представле-
представление Вейерштрасса минимальной поверхности ?: Af-*R8,.
а а: V -*• V — голоморфная замена координат, w — стан-
стандартная комплексная координата в V. Доказать, что пред-
представление Вейерштрасса (/', g') минимальной поверхно-
поверхности W: M-*-R3 над V в новых координатах имеет вид.
Ключевым моментом при доказательстве приведенных
выше утверждений, описывающих асимптотическое пове-
поведение концов полной минимальной поверхности конечной
полной кривизны, является следующее замечание: если
(о, g)—глобальное представление Вейерштрасса полной
минимальной поверхности Y: Af-*-[Rs конечной полной
кривизны, M&M\{Pi, ..., Рт), то не только функция g
продолжается до мероморфной функции на М, но и го-
голоморфная 1-форма со продолжается на Ш до мероморф-
мероморфной 1-формы. Действительно, если это верно для пред-
представления Вейерштрасса (со, g) минимальной поверхности
W: М -+¦ Rs, то это также верно и для представления
108
Йейерштрасса (со', g') минимальной поверхности То1?:
Hf-*-Rs, где т: О?*-*-О?8 — произвольное ортогональное
лреобразование, сохраняющее ориентацию (см. задачу 2).
Очевидно, что для каждой точки Pt е {ри ...? рг) можно
яюдобрать такое ортогональное преобразование т(, что А
-станет нулем функции g' — продолжения функции g' из
представления Вейерштрасса для %i ° ?: M->R3. Так
как эта минимальная поверхность также полна, то любая
.гладкая (расходящаяся) кривая Y, стремящаяся к Ph име-
«т бесконечную длину, т. е. J | /' | A + | g' |2) At = оо. Так
-+P,, то J
v
Отсюда следует (попробуйте это показать), что
if'(P) I -*¦ оо при Р -*¦ Pi, т. е. /' имеет в Р, полюс.
Задача 5. Доказать, что единственными (с точ-
точностью до движения и растяжения в R3) односвязной и
,двусвязной погруженными полными минимальными по-
поверхностями W: M->R3 рода 0 с полной кривизной
т(Д/) = — 4п являются соответственно поверхность Энне-
йера и катеноид.
Указание. Полная односвязная погруженная ми-
айимальная поверхность рода 0 конечной полной кривиз-
кривизны задается глобальным представлением Вейерштрасса
(to = fAz, g) на плоскости С, причем gi/ продолжаются
.до мероморфных функций на 52==CU{00}) /~ голо-
Лорфная функция на С- Поэтому / — многочлен, a g =
= PlQ (Р и Q — многочлены) — дробно-рациональная
•функция, причем в силу погруженности / = cQ2, с =
=* const. Итак, все такие поверхности описываются пред-
представлением Вейерштрасса (cQ2, P/Q) на С, где Р и Q —
взаимно простые многочлены, причем полная кривизна
«ычисляется по формуле т (М) = —4я max (deg P, deg Q),
где deg обозначает степень многочлена. Аналогич-
йые рассуждения можно провести и для двусвязной
Лойерхности.
При исследовании минимальных поверхностей на
вложенность важную роль играет обобщение классиче-
классической теоремы Гаусса — Бонне. Оказывается, конечную
полную кривизну полной минимальной поверхности
Ч?: М -*¦ О?3 можно вычислить, исходя из топологии мно-
^бобразия М и геометрии концов. Если g — род М, М «
&М\{Р\, ..., РЛ и d\, ..., dr — кратности концов С\, ...
,..., Сг, а х(М)— полная кривизна, то верна
199

Теорема
[9, 14]).
1 (обобщение формулы Гаусса — Бонне;
Величина 2 — 2g называется эйлеровой характеристи-
характеристикой М и обозначается %{М). Итак,
Примеры.
1. У катеноида W: M->R3 — два конца, вложенных
в к3, т. е. г = 2, djj=d2 = l, a M = S2, поэтому эйлерова
характеристика %(M)=-%(S2) = 2. Следовательно, %(М) =
= 2я B — 2 — 2) = —4я, что согласуется с предыдущими
результатами.
2. У поверхности Эннепера Y: Af->[R3 один конец
кратности db %(М) = 2, полная кривизна х(М)=— 4я.
Поэтому —4п = 2яB —1 —d]), откуда следует, что di=3
(см. также выше).
Из теоремы 1 следует необходимое условие вложенное
сти полной минимальной поверхности ?: М—>-R3 ко-
конечной полной кривизны %{М). Так как у такой поверх-
поверхности все концы должны быть вложенными, что, оче-
очевидно, равносильно тому, что кратность любого конца
равна единице, то обобщенная формула Гаусса — Бонне
приводит к соотношению х(М) — 2п(%(М)—2г), или
g + г — 1 = — —х(М)=степень гауссова отображения.
Более того, все концы должны быть «параллельны-
«параллельными», т. е. гауссово отображение поверхности М должна
переводить все точки Р\, ..., Рг в пару противоположных
точек сферы S2 (иначе при достаточно большом р кривые
из семейства Х„ = {"fi, ..., fr} будут пересекаться и по-
поверхность не будет вложенной). После некоторого пово-
поворота можно добиться того, чтобы Pi, ..., Рг переходили
в северный и южный полюсы. Если (со, g) — глобальное
представление Вейерштрасса такой поверхности, g — про-
продолжение g на М, то последнее условие означает,
что Pi, ..., Рг являются либо нулями, либо полюса-
полюсами для g.
Эскиз доказательства теоремы 1. Прежде
всего етметим, что эйлерова характеристика замкнутой
двумерной поверхности рода g имеет наглядное геометри-
геометрическое определение. Для начала рассмотрим замкнутый
110
выпуклый многогранник. Хорошо известная теорема Эй-
Эйлера утверждает, что число граней /, число ребер е и чис-
число вершин v любого такого многогранника удовлетворя-
удовлетворяют следующему соотношению: / — е + v = 2. Спроекти-
Спроектируем многогранник с помощью центральной проекции на
произвольную сферу, лежащую внутри него. Мы получим
разбиение этой сферы на области, соответствующие гра-
граням многогранника, причем граница каждой области оче-
очевидным образом разбивается на «ребра» и «вершины».
Соотношение / — е + v = 2, естественно, остается верным
для такого разбиения сферы.
Более того, рассмотрим произвольную замкнутую по-
поверхность М рода g. Разобьем М на конечное число непе-
непересекающихся многоугольных областей. Последнее озна-
означает, что мы представляем М в виде объединения замы-
замыканий Ut конечного числа непересекающихся открытых
областей Ut (граней), каждая из которых гомеоморфна
посредством некоторого координатного гомеоморфизма
односвязной области, причем граница dUt каждой грани
Ui представима в виде конечного числа ребер — гладких
кривых, гомеоморфных интервалу,— и конечного числа
точек — вершин. Мы требуем, чтобы каждое ребро при-
примыкало, т. е. лежало в замыкании, не более чем двух
областей. На рисунке показано возможное разбие-
разбиение тора.
Пусть / обозначает число граней, е — число ребер и
v — число вершин; тогда, как оказывается, величина
% (М) = / — е + v не зависит от разбиения М на много-
многоугольные области. Легко вычислить %{М), представив М
как результат склеивания 4^-угольника (см. § 5)'. Соот-
Соответствующее разбиение состоит из одной грани — самого»
многоугольника, одной вершины и 2g ребер. Следователь-
Следовательно, %(M) = 2-2g.
Пвследний результат называется глобальной теоремой
Гаусса — Бонне и может быть получен с помощью вычис-
вычисления полной кривизны.
Теорема 2. (Глобальная теорема Гаусса — Бонне).
Пусть ?: М ->-[R3 — некоторое погружение замкнутой
связной поверхности М рода g в R3- Тогда для произ-
произвольного разбиения М на многоугольные области полная
кривизна х{М) равна
м
где / — число граней, е — число ребер и v — чиелв вер-
1И

Рис. 45
шин разбиения, К — гауссова кривизна индуцированной
погружением Ч? метрики.
Итак, глобальная теорема Гаусса — Бонне доказывает
Независимость величины % (М) = f — a + v от разбиения,
¦а такяСе полной кривизны х(М) от погружения W: М-+-Ш*.
Чтобы вывести соотношение между полной кривизной
J К и эйлеровой характеристикой %(М), достаточно вы-
вычислить полную кривизну произвольной односвязной мно-
многоугольной области на М.
Ответ дает так называемая
локальная теорема Гаусса —
Бонне.
Теорема 3. (Локальная
теорема Гаусса — Бонне.)
Пусть U — односвязная мно-
многоугольная область на погру-
погруженной поверхности W: М -*¦
->R3 и 0i, ..., 0Л — внешние
углы многоугольника U, оп-
определенные очевидным обра-
образом между касательными векторами к ребрам в вершинах
U (рис. 45), a Kg — геодезическая кривизна ребер из гра-
границы 3U многоугольника U., Тогда
Г с k
\ К + ха = 2я — У, 8/.
V ви 1=1
Напомним определение геодезической кривизны кри-
кривой на поверхности. Пусть f(s) — кривая на поверхности
*F: Ж->К3, параметризованная длиной дуги. Последнее
означает, что l"f(s)l = l. Отсюда следует, что ускорение
-]f(s) перпендикулярно скорости f(s). Ориентируем по-
поверхность М, и пусть J'i(s) обозначает касательный к М
и ортогональный к f(s) единичный вектор, причем пара
K(s)> ^Tf(s) образует положительно ориентированный ре-
репер касательного пространства TWM. Тогда геодезиче-
геодезической кривизной x«(s) кривой f(s) называется скалярное
произведение <"f(s), /i(s)>, которое с точностью до знака
равно длине ортогональной проекции ускорения f(s) на
касательную плоскость Тца)М, т. е. тангенциальной со-
составляющей ускорения y(s). Кривая y(s) называется
геодезической, если ее геодезическая кривизна равна ну-
нулю: Kg(s) = 0. Итак, геодезическая кривизна измеряет
«отклонение» кривой, лежащей на поверхности, от гео-
геодезической. Легко увидеть, что дифференциальное урав-
уравнение, задающее геодезические в некоторых локальных
координатах на М,— это обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка. Поэтому из теоремы сущест-
существования и единственности решений следует, что из любой
точки поверхности по любому направлению можно выпу-
выпустить единственную (с точностью до параметризации)
геодезическую. Для достаточно близких точек Р и Q пол-
полной поверхности М всегда существует геодезическая у,
их соединяющая, причем среди всех кусочно-гладких
кривых, соединяющих Р и Q, геодезическая f имеет наи-
наименьшую длину. Итак, геодезические являются экстрема-
экстремалями функционала длины, определеппого па пространстве
всех кусочно-гладких кривых, соединяющих пару точек
1\ и Q поверхности М (ср. § 1 гл. 1). Если рассматривать
функционал площади как обобщение функционала дли-
длины, то минимальные поверхности, являющиеся экстрема-
экстремалями функционала площади, можно рассматривать как
обобщение геодезических (более общее определеттае гео-
геодезических и описание их свойств см. в [1]).
Глобальная теорема Гаусса — Бонпе следует из ло-
локальной теоремы следующим образом. Для произвольного
разбиения (Ш погруженной поверхности У'- M->R3
рода g на многоугольные области вычислим полную кри-
кривизну х(М) как сумму полных кривизн граней Us. Для
каждой грани воспользуемся локальной теоремой Гаус-
Гаусса — Бонне
f K+ f xg = 2n-20J-
После суммирования по всем грапям интегралы от
геодезических кривизн сократятся, так как каждое реб-
ребро I мы проходим ровно два раза в противоположных
направлениях, а интегралы
р
в обоих случаях равпы
по модулю и противоположны по зпаку (проверьте).
Далее, если а, = л — 0* — соответствующие внутренние
углы многоугольных областей, то справа мы получим
сумму ¦
2 /2я- 2 Ог
по граням I по вершинам
V грани
8 А, А, Тущилпн, А Т. Фоменко
= 2 :
по граням
ИЗ

11#Ш
— ^ 2 (я — щ):
по граням по вершцнаи по гбаням
грани '
- 2 2 я+ 2 2
ио граням по вершийам по граням по эепш
грани граня
Первая сумма равна 2я/. Вторая сумма равна 2ел, так
как если фиксировать вершину, то число граней, подхо-
подходящих к этой вершине, равно числу ребер, исходящих из
нее. При суммировании по всем вершинам каждое ребро
будет сосчитано два раза. Третья сумма равна Znv, так
как сумма внутренних углов при любой вершине равна
2я. Осталось просуммировать по вершинам. Доказатель-
Доказательство глобальной теоремы Гаусса — Бонне закончено.
Щы не будем проводить доказательство локальной тео-
теоремы Гаусса — Б,онне. Заинтересованный читатель м,ожет
познакомиться с ним, например, в [15].
Заметим, что полная кривизна многоугольной области
имеет следующий геометрический смщсл. Пусть U —
re-угольная односвязная область на поверхности У: М ->•
~HR8, причем граница 8U состоит из геодезических сег-
сегментов (так называемый геодезический п-уъолъник). Тог-
Тогда по локальной теореме Гаусса — Бонне имерм
f
К = 2я - 2 <
= «B — п) +
аг.
т.е.
2 Щ = я (п - 2) + J К.
Как известно, для плоского га-уголышка сумма внут-
внутренних углов равна я(п — 2). Итак, полная кривизна
геодезического re-угольника равна отклонению суммы
внутренних углов этого re-угольника от суммы внутрен-
внутренних углов плоского ге-уголыгака.
Замечание. В действительности гауссова кривизна
К погруженной поверхности Ч: М -*- R3 зависит исклю-
исключительно от метрики, индуцированной погружением и не
зависит от погружения: если 4V. Л/->Е3, к ==1,2,—
два погружения, индуцирующие на М одинаковую метри-
метрику, то гауссова кривизна К в обоих случаях одна и та
же (это, однако, не верно для средней кривизны). Более
того, мы можем определить гауссову кривизну произволь-
произвольного двумерного риманова многообразия {соответственно
Щ
йоляуго ttpHSa^fly), §6 *5нольз^й йЬгруженйя в !R9. При
этом теорема ГЬубса —Бойне останется верной [1].
Используя локальную теорему Гаусса — Бонне, не-
несложно доказать теорему 1. Пусть W: М-+Ш3— погру-
погруженная ориентируемая связная полная минимальная по-
поверхность конечной полной кривизны, М — соответству--
ющая риманова повёрхность^_рода g, M изометрична
М\{Ри ..., Рт). Выкинем из М набор достаточно малых
непересекающихся открытых дисков Dft с центрами в Рк
(к = 1, ..., г). Оставшееся компактное множество обозна-
чим через В,В=М\ ц Dk, дВ = у dDk.
Рассмотрим произвольное разбиение В на многоуголь-
многоугольные односвязные области и для каждой из этих областей
применим локальную теорему Гаусса — Бонне. Просумми-
Просуммировав по всём областям разбиения, мы получим
2 f ^ =
*=i ebk
{проверьте).
Если dh — кратность конца Ск = W (Вк\Рк), то, как не-
несложно показать, j %->2яйй при стягивании диска Dh
в точку Ph. Приведем идею доказательства последнего
утверждения. Предположим, что Рк при гауссовом ото-
отображении переходит в южный полюс (что всегда можно
добиться поворотом R3). Из локального представления
Вейерштрасса (/, g) в окрестности Рк имеем
a(z)
Ф1 = -~г, ф2 =
Фз
(z
тде 1^0, тп>0, а голоморфные фуйкции a(z), b(z) и
/c{z) при z = 0, соответствующем координате точки Рк,
не обращаются в 6.
Если хх, х2, х% — стандартные координаты в К3 и а; =«
=ieonst + 2Re j щй
то, как легко показать, р
» \~ / i \~ /
Отсюда следует, что ун. — П 5апри г-*00 стя-
стягивается на единичную окружность (экватор сферы)
115

(x'J + (a;2J = 1. Предельная кривая -(! наматываемся на
экватор dh раз, где dh — кратность конца Ск.
Вычислим предельные значения J xg при стягивании
8Dk
Bh в точку Рк. При достаточно больших гир нормаль к
концу Ск стремится к вертикальному положению, а кривая
1(ft = Ч*1 {Dh\Ph) US2 — к горизонтальному. Если по кривой
PVft= W (Dk\Ph)/r()Sp{Sl— сфера с центром в нуле и
радиусом р) точка движется с единичной по модулю ско-
скоростью, то по f „ в той же параметризации скорость точки
по модулю равна 1/р. Итак, Vfc~lcos—, sin — , О) при
р ->¦ °°, причем t меняется от 0 до 2npdk. Поэтому вектор
ускорения рул кривой pyh приблизительно равен по моду-
модулю 1/р и при р -*¦ 0 стремится занять горизонтальное по-
положение. Отсюда следует, что длина тангенциальной со-
составляющей вектора pyh при достаточно больших р рав-
равна приблизительно 1/р и
2Лр<%
J К*~ I т1
PVfe
Задача 6. Доказать, что минимальная поверхность,
заданная представлением Вейерштрасса ((zm+1 —1)~2, zm)
С \{zm 1= 1), продолжается в z = » до полной мини-
минимальной поверхности, определенной на 52\{гга+1= 1},
<Ь'2 = CU{°°}' и имеющей пг+1 вложенных концов.
Указание. Полная кривизна этой поверхности рав-
равна —4лта. Осталось воспользоваться формулой из теоре-
теоремы 1 и показать, что кратность каждого из концов равна
единице.
Задача 7. Покажите, что поверхность Эннепера и
катеноид являются единственными полными минималь-
минимальными поверхностями рода нуль с полной кривизной —4л.
Указание. Из теоремы 1 следует, что такая мини-
минимальная поверхность имеет либо один конец кратности
три (односвязна), либо два конца кратности один (дву-
связпа). Остается воспользоваться задачей 5.
Перейдем теперь непосредственно к описанию приме-
примера Микса и Гоффмана полной минимальной поверхности
рода g, вложенной в R3. В основе этого построения лежит
пример Коста — погружения двумерного тора с тремя вы-
выколотыми точками в виде полной минимальной поверх-
116 '
ности с полной кривизной — 12я и поэтому имеющей три
вложенных конца. Более того, все эти концы параллель-
параллельны, причем один из концов, скажем С\, лежит между дву-
двумя остальными Сг и Сз: конец С\ асимптотически стремит-
стремится к плоскости х3 = const, а Сг и Сз
стремятся в направлении оси хг к
-f-oo и —оо соответственно по анало-
аналогии с концами катеноида (рис. 46).
Итак, все три вложенных кон-
конца не пересекаются, и можно наде-
надеяться, что эта минимальная поверх-
поверхность окажется вложенной. И дейст-
действительно, Миксу и Гоффману, ис-
используя симметрии поверхности Ко-
Коста, удалось доказать ее вложен-
вложенность. В дальнейшем они обобщили пример Коста и по-
построили полные вложенные минимальные поверхности
произвольного рода с тремя концами и конечной полной
кривизной. На рис. 47 показаны примеры поверхностей
рода два и рода девять.
Рис. 46
Рис. 47
Отметим, что не последнюю роль в исследовании, про-
проведенном Миксом и Гоффманом, сыграл компьютер. Об-
Общая идея использования машинной графики при изуче-
изучении минимальных поверхностей на вложенность заклю-
заключается в следующем. Если показано, что у полной
минимальной поверхности конечной полной кривизны все
117

*яожены, параллельйы ^ асимптотически стр'бкйт-
ей й различима! плоскостям, то исследование на няШен-
ность сводится к исследованию компактного фрагмента
минимальной поверхности, лежащего в ограниченной об-
области (размеры которой можно оценить). ИсполЬзуя
компьютер, можно непосредственно увидеть, есть ли в
этой конечной области у исследуемой поверхности само-
самопересечения или их нет. В первом случае можно, опять
же используя компьютер, локализовать самопересечения,
т. е. определить, где приблизительно они находятся и что
из себя представляют. Если же самопересечений не обна-
обнаружится, то и здесь компьютер может помочь, например,
заметить симметрии поверхности (если таковые имеют-
имеются). Именно так был использован компьютер Миксом и
Гоффманом. Итак, машинная графика позволяет делать
гипотезы относительно исследуемого объекта, а это су-
Щейтвеяно облегчает задачу.
Мы сейчас вкратце коснемся основных идеи построе-
построения. Для этого представим тор Т2 в виде единичного
квадрата с отождествленными противоположными сторо-
сторонами. Удобно рассматривать тор Т2 как фактор комплекс-
комплексной плоскостиС по целочисленной решетке Z » Т2я* C/Z2:
две точки zi и Z2 из С отождествляются тогда
и только тогда, когда z\ — %ъ = m + in для некоторых це-
целых чисел тип. При такой реализации функций йа
торе Т2 можно отождествлять с двоякоперйодическнми
относительно 1} функциями на С> т. е. с функциями
/: С-*-С, такими что для любых целых m и п любого
zeC выполняется f(z + m + in) = f(z). В дальнейшем
мы точки решетки Z2 будем обозначать буквой Q, й =
-= m + in.
Из принципа максимума следует, что любая голоморф-
голоморфная функция на торе (и вообще иа любой замкнутой ри-
мановой поверхности) является константой, так как
модуль такой функции достигает максимума (в силу ком-
компактности) в некоторой внутренней точке (в силу отсут-
отсутствия границы).
Если / — мероморфная функция на торе Т2, то не-
несложно показать, что сумма вычетов по всем полюсам
функций / должна равняться нулю. Поэтому простейшая
непостоянная мероморфная функция на торе имеет один
полюс порядка два.
Определение. Назовем Р-фунщией Вейерштрасса
мероморфную двоякопериодическую функцию на С - (от-
(относительно решётки Z ). имеющую только двукратные
118
полюса, расположенные только в точках решетки
задающуюся так:
-*+ 2
i
Легко показать, что любые две мероморфные двояко-
периодические функции на С относительно решетки Z2,
имеющие только двукратные полюса в точках решетки
2}, отличаются друг от друга умножением на константу
и прибавлением (другой) константы. Действительно, не-
некоторая линейная комбинация таких функций является
двоякопериодической функцией на С и всюду голоморф-
голоморфной; поэтому она равна константе.
Мы заговорили про Р-функцию Вейерштрасса, так как
именно ее использовал Коста в своем построении. Более
конкретно: выкинем из тора Т2 три точки: Ро, Р\ и Рг,
отвечающие 0, coi = 1/2 и 0J = i/2 соответственно. Пусть
Р = Т2\{Р0, Ри Р2). Положим о=>2У2я>A/2).
Теорема (Коста [16]). Если Р' обозначает произ-
производную Р-функции Вейерштрасса Р, а область D cz T2 и
константа а определены, как и выше, то пара (Pdz, ajP')
на D является корректно определенным представлением
$ейерштрасса и задает полную минимальную поверхность
с полной кривизной —12я.
Замечание. Константа ае К является единствеп-
ж>щ константой се С, при которой пара (Pdz, с/Р') на
J) корректно определяет представление Вейерштрасса, т. е.
у соответствующих голоморфных 1-форм ф1, <р2 и ф3 нет
действительных периодов.
Мы не будем здесь приводить доказательства этого
.утверждения, а также и того, что построенная Коста
.^полная минимальная поверхность в действительности яв-
является вложенной, как показали Микс и Гоффман, ис-
используя тот факт, что Р-функция Вейерштрасса обладает
большим числом симметрии. Заинтересованному читателю
^ы рекомендуем обратиться к [16].
§ 7. Индексы двумерных минимальных
поверхностей в R3
В этом параграфе мы коснемся вопросов устойчиво-
устойчивости минимальных поверхностей, их бифуркаций и
проблемы вычисления индексов — важной характеристи-
характеристики минимальных поверхностей, тесно связанной с пер-
первыми двумя вопросами. Мы, как правило, не будем про-
119

водить доказательств, так как принятая сложность на-
настоящей книги и ограниченный объем не позволяют нам
этого сделать.
В § 1 гл. 2 мы подробно описали перестройку (би-
(бифуркацию) катеноидов при изменении расстояния меж-
между граничными окружностями. Как можно охарактери-
охарактеризовать положения контура, при которых происходят би-
бифуркации? Почему на практике всегда встречается лишь
один катеноид?
В § 2. гл. 1 мы отметили, что мыльная пленка всегда
стремится принять форму, имеющую (локально) мини-
минимальную площадь. Предположим теперь, что нам удалось
реализовать в виде мыльпой пленки некоторую мини-
минимальную поверхность, для которой существует деформа-
деформация, монотонно уменьшающая площадь этой поверхно-
поверхности. В этом случае малые флуктуации пленки, всегда
существующие в реальном мире, приведут к скачкооб-
скачкообразной перестройке ее формы: построенная мыльная
пленка будет неустойчивой. Последнее наблюдение мо-
может служить мотивировкой названия «неустойчивая ми-
минимальная поверхность» для таких поверхностей. На
практике неустойчивые пленки получить очень тяжело
(см. [2]).
Далее предположим, что у нас имеется мыльная
пленка М, затягивающая некоторый проволочный кон-
контур Г. Если мы будем деформировать контур Г, то
вместе с ним будет деформироваться и пленка М. Как
мы уже наблюдали на примере катеноида, не всякое
непрерывное изменение формы контура приводит к не-
непрерывному изменению формы затягивающей его мыль-
мыльной пленки. Причина возникающих здесь скачкообраз-
скачкообразных перестроек заключается в том, что во время
деформации контура Г деформирующаяся вместе с ним
пленка М может стать неустойчивой. Неустойчивая
пленка начинает перестраиваться и перестраивается до
тех пор, пока не превратится в устойчивую. При этом,
вообще говоря, могут меняться ее топологический тип
п связность (как, например, в случае с катеноидом).
В связи с этим возникает естественное желание иссле-
исследовать, является ли устойчивой заданная минимальная
поверхность, и в случае ее неустойчивости определить
степень неустойчивости.
Для математического изучения вопроса устойчивости
минимальной поверхности поступают, как мы уже от-
отмечали в § 2 гл. 1, по аналогии с исследованием экстре-
120
мумов гладких функций. Для этого обычно вычисляют
вторую производную функционала площади — гессиан,
задающий билинейную форму на пространстве допусти-
допустимых малых вариаций поверхности,— и смотрят, является
ли гессиан положительно определенным или нет. Если
нет, то, как и в случае функций, вычисляют нуль-индекс
и индекс, которые характеризуют степень вырожден-
вырожденности и отрицательной определенности гессиана.
Индексы различных вариационных функционалов яв-
являются, особенно в последнее время, предметом интенсив-
интенсивного исследования. Наибольший интерес представляют
функционалы площади (в многомерном случае — функ-
функционал объема) и Дирихле (энергии) (см. [17—19, 4]).
Приведем некоторые результаты, касающиеся иссле-
исследования устойчивости двумерных минимальных поверх-
поверхностей в R3- Барбоса и До Кармо показали [20], что
ориентируемая минимальная поверхность в R3i для ко-
которой площадь образа гауссова отображения меньше чем
2я, устойчива. До Кармо и Пенг [21] дали обобщение
проблемы Бернштейна в терминах устойчивости: оказы-
оказывается, плоскость является также единственной полной
устойчивой минимальной поверхностью в R3 (напом-
(напомним, что плоскость — это единственная минимальная
поверхность, являющаяся полным графиком, т. е. гра-
графиком функции, определенной на всей плоскости;
см. § 3 гл. 2).
Если в случае компактной минимальной поверхности
индекс всегда конечен (см. ниже), то для некомпактных
минимальных поверхностей это уже не так. В приведен-
приведенных ниже работах выясняется, когда индекс полной
минимальной поверхности будет конечен. Напомним,
что полной кривизной т двумерной ориентируемой по-
поверхности V: М-э-R3 называется интеграл по поверх-
поверхности от ее гауссовой кривизны К:
= !*¦
м
м
Фишер-Колбри [22] доказала, что для полных мини-
минимальных поверхностей в R3 конечность индекса рав-
равносильна конечности полной кривизны. Тиск [23] дал
оценку индекса ind(M) полной минимальной поверхно-
поверхности Y: M->R3 в терминах гауссова отображения.
Оказывается, верно следующее неравенство: ind(M)^
*S 7,68183/е, где к — степень гауссова отображения.
121

Вычисление, индексов: некомпактных миаималШШ
поверхностей! явдяется сложной задачейj и до досяейШ1^
го времени их исследование ограничивалось выяснеииетй1
устойчивости, т. е. определением, равен ли индекс нулю
или не равен. Первые численные значения индексов бы-
были, по-видимому, получены в работе 1985 г. Фишер-
Колбри [22], где, кроме всего прочего, показано, что
индексы двух классических минимальных поверхностей,
а именно катеноида и поверхности Эннепера, равны
единице.
Лелез и Рос [24], опираясь па результаты Фишер-
Коябри, показали, что катеноид и поверхность Эннепе-
Эннепера являютея единственными полными ориентируемыми
минимальными поверхностями в R3 с индексом еди-
единица. Последний результат является еще одной харак-
характеристикой этих двух классических минимальных по-
поверхностей: как доказал Оссерман [9], катеноид и
поверхность Эннепера — это единственные полные мини-
минимальные поверхности полной "кривизны —4я; это также
единственные полные минимальные поверхности, у ко-
которых гауссово отображение является диффеоморфиз-
диффеоморфизмом с образом.
Сделана попытка [25] вычислить индексы классиче-
классических минимальных поверхностей в К3, однако она не
увенчалась успехом, так как автор работы [25] путает
уравнение Якоби для минимальной поверхности, записан-
записанное в изотермической системе координат (где использу-
используется евклидов лапласиан), с уравнением Якоби «на по-
поверхности» (где лапласиан метрический).
В настоящем параграфе мы рассмотрим задачу вы-
вычисления индекса на примере функционала площади дву-
двумерных минимальных поверхностей в трехмерном евкли-
евклидовом пространстве К3-
Рассмотрим более подробно определение индекса.
Сперва мы определим индекс компактной минимальной
поверхности, а после обобщим это определение на не-
некомпактный случай. Итак, пусть для начала ^F: М-*-
-> R3 — произвольная погруженная поверхность с
гладкой границей Т: <9M->[R3. Назовем вариацией
этой поверхности гладкое однопараметрическое семей-
семейство погружений Ч?Г- М-*-Ш3, такое что 4F0 = 4f, 0«S
з?*<1, а полем вариации — отображение ?: М->№х
сопоставляющее каждой точке PsJI/ вектор |(Р) из
R8? равный скорости движения точки Wt(P) под дей-
122
ствиём вариации Wt ц начальный момент времени:
dt
Пусть многообразие М ориентируемо и компактно.
Тогда можно вычислить площадь A(W(M)) многообра-
многообразия М в индуцированной погружением Ч1" метрике ds2
(площадь поверхности W: M->R3). Произвольная ва-
вариация Vt'. M-*-Rs этой поверхности индуцирует на
М оддашараметрическое семейство метрик dst, ds^—
= ds2. Площадь A (t) многообразия М в метрике dst
(площадь поверхности 4%: Af-*-R ) является гладкой
функцией параметра t. Чтобы обосновать эквивалент-
эквивалентность двух определений минимальной поверхности как
¦поверхности нулевой средней кривизны и как критиче-
критической точки функционала площади, достаточно вычислить
.дзрэдрводную dA{t)fdt\t=o.
Пусть п — поле единичных нормалей к поверхности
Y: М-+Ш*, т. е. отображение п: M-»-!R8, ставящее
в соответствие каждой точке Ре Л/ выбранный гладким
образом один из двух единичных векторов из R3> ор-
ортогональных образу ^Р* (ТрМ) касательной плоскости
Т^Щ, Пусть Я обозначает среднюю кривизну этой по-
церхности по отношению к п.
Предложение 1. Если W: M-»-lRs — произволь-
произвольная погщ^ренная компактная ориентируещля поверх-
ц$?Тъ, W\:"М'-»-!1?' — некоторая ее вариация, нёпрд-
Ыижная на границе дМ многообразия М (граница дМ
"может быть пуста), a A(t) — площадь поверхности
:"Vt' M -*• R3 при каждом t, то
м
ж
We | — поле вариации Wt, Т -п — его нормальная со-
Уравляющая, Г=<|, га>, а поверхностный интеграл от
^функции вычисляется с помощью формы площади в ин-
индуцированной погружением ^Ро = Y: М-+Ша метрике ds2.
Замечание. Условие неподвижности вариации Ч^
iaa границе дМ накладывает на функцию Т: M-*~W
Ограничение: 7|9М = 0»
Теперь уже не. составляет труда показать, что равен-
равенства нулю производной dA(t}/dt\t=o для любой вариации,
неподвижной на рраввде, эквивалентно равенству нулю
вредней кривизны П (ср. § 2).
123

Пусть теперь Ч: М->К3— ориентируемая компакт-
компактная погруженная минимальная поверхность. Рассмотрим
двупараметрическую вариацию Wts'- M->-R3 нашей по-
поверхности, Чи \t=o = ?, т. е. гладкое отображение
s=0
F- 1Х1ХМ-+Ш3, Vts(P) = F(t, s, P), которое при
каждом фиксированном t и s является погружением,
и F@, О, Р)= *?(Р). Построим функцию A (t, s), равную
площади поверхности Wts- Л/->К3, т. е. площади мно-
многообразия М в метрике dsfs, индуцированной по-
погружением Wts: М->-К3. Наша задача состоит в вы-
вычислении второй смешанной производной функции
A (t, s) в начальный момент деформации, т. е.
dtds
s=o
Пусть | обозначает поле вариации
вариации WOs, т. е.
*/т дУ
о, а ц — поле
«=6 ls=0
Предложение 2. Если W: М-*-R3 — произволь-
произвольная погруженная компактная ориентируемая минималь-
минимальная поверхность, Wu: М-*-К3— некоторая ее двупа-
раметрическая вариация, неподвижная на границе дМ,
a A(t, s) — площадь поверхности ^ts- M->[R3 при
каждом t и s, то
дгА (t, s)
dtds
= - \{M-2KT)-S,
s=0 M
где Уг=<|, ге>, <5 = <tj, га>, п — поле единичных норма-
нормалей к поверхности ?: Af-vR3. ЗЗесь А обозначает так
называемый метрический лапласиан. Если (и, v) — изо-
изотермические координаты и ds2 = %{du2 4- dv2), то AT1 =
Замечание 1. Легко видеть, что стандартный евкли-
евклидов лапласиан д2/ди2 + d2/dv2, записанный в координа-
координатах (и, v), при замене координат изменится, т. е. в но-
новых координатах (щ, v{) этот оператор не будет равен
дг[ди\ + d2/dv\ (если потребовать, чтобы его вначение
на каждой гладкой функции, переписанной в новой си-
системе координат, не изменилось).
124
Метрический лапласиан Д — это уже инвариантный
дифференциальный оператор, действующий на функци-
функциях (не зависящий от системы координат), причем если
в координатах (и, v) метрика ga = бч, то этот оператотэ
совпадает с евклидовым лапласианом 82/ди2 + д2/ди2.
В общем виде метрический лапласиан выглядит сле-
следующим образом:
А Г = A/Viy ¦ д!ди<(Т%ё"дТ/ди>), щ
где (и1, и2) — локальные координаты. Т(их, к2) —глад-
—гладкая функция, (g<}) — матрица, обратная к матрице мет-
метрики (gn), g = dei(gij). Здесь везде по повторяющимся
индексам подразумевается суммирование. Если (и, и) —
изотермические координаты, и = и\ v = u2, и ?« = Хбц,
то АГ = A/Я) • {д2Т/ди2 + д2Т[ди2) (проверьте).
Замечание 2. Из предложений 1 и 2 следует,
что первый и второй дифференциалы функционала пло-
площади зависят лишь от нормальных составляющих по-
полей вариаций и не зависят от тангенциальных. Это лег-
легко продемонстрировать на следующем примере.
Пусть | — поле некоторой вариации погруженной
яоверхности "V: Af-»-[R3, неподвижной на границе.
Предположим, что поле | касается этой поверхности,
т. е. для любой точки Р вектор |(Р) из О?3 лежит в
образе Ч*1* (ТрМ) касательной плоскости ТРМ. Так как
касательное отображение Ч*1*". TpM-t-'S3 является
вложением для любой точки Р е М, то мы можем по-
построить гладкое поле т|= W~ (|) на М, причем ц = О
на границе дМ. Поле ti порождает локальпуто однопара-
метрическую группу диффеоморфизмов q>(: М -»- М та-
такую, что tpo — тождественное преобразование, и для лю-
любой точки РеМ касательный вектор к кривой фг(Р)
при i = 0 равен г\. Кривые 4(t) — q>,(P) называются ин-
интегральными кривыми этого поля [1].
Если теперь рассмотреть вариацию Т = ? • щ' М->
-»-[Rs, которая, попросту говоря, является заменой
параметризации поверхности Ч^ М-^5?3, то поле этой
вариации будет в точности равно х\.
Ясно, что замена параметризации пе меняет пло-
площади поверхности *Р: M~*-IRS. Поэтому A'(t) —
— A(xPt(M)) = const, и любая производная функции A(tf
по t равна нулю.
В дальнейшем нас будут интересовать лишь нормаль-
нормальные вариации, т. е. такие вариации, у которых поле ско-
125

ростей в начальный момент ортогонально поверхности.
Если U — ориентируемо иге — поле едицичных fOpJ^a-
дей к погруженной поверхности ?: №-*-№," "то"доле
| любой нормальной вариации, неподвижной на границе,
задается с помощью функции Т: М -*- О?, Ъ, (Pj =
= Т(Р)'п(Р), Г|ам = 0. Линейное пространство таких
функций мы обозначим С"(М).
Таким образом, гессиан
м
м
из предложения 2 является билинейной формой на
пространстве С™(М). Здесь мы обозначили через / диф-
дифференциальный оператор — А + 2К, «Г: С^ (М} -*-
-»¦ С°° (М), называемый оператором Якоби, где €°°(~М)—
пространство гладких функций на М.
На пространстве С™ (М) можно ввести стандартное ска-
скалярное произведение, определенное так: <7\ S) = |T-S.
м
Предложение 3 ([26]). Гессиан I — симметрич-
симметричная билинейная форма на пространстве C"(Af). Фор-
Форма I может быть выражена с помощью диагональной,
матрицы через стандартное скалярное произведение и
имеет различные собственные числа (ЯЛ. такие, что
Кроме того, каждому вещественному собственному
значению Xi соответствует конечномерное собственное
подпространство ?(Я,)-
Определение. Индексом ind(M) погруженной
компактной ориентируемой минимальной поверхности
W: Af->R3 называется индекс гессщана ЦТ, S)
функционала площади как билинейной формвд, т. в. сум--
ма размерностей собственных подпространств, V(h), от-
вечаюшдх отрицательным собственным значениям^
md(Af)= S
Нуль-индексом минимальной, поверхности назовем
нул^-индекс гессиана /, т. е. размерность собственного
подпространства V@), отвечающего нулевому собствен-
собственному вначению (размерность ядра билинейной- формы /)ч
Есд#, нуль-индекс не, равев цулдео, то гщщру дМ
ищщщ сопрящвпной, а
126
этой сопряженной границй. Сам гессиан назовем ин*
декекой формой.
Условие Тбго, что ГёС" (М) лежит в Ядре индекс-
нбй формы, эквивалентно тому, что Т является реше-
решением уравнения АГ — 2КТ — 0, которое называется
уравнением Якоби. Соответствующие решениям Т этого
уравнения поля вариаций Т • п называются полями
Якоби. Ясно, что все поля Якоби, зануляющиеся на
границе дМ, образуют линейное пространство, размер-
размерность которого либо нуль, либо равна кратности сопря-
сопряженной границы.
Индекс и нуль-индекс характеризуют степень неус-
неустойчивости минимальной поверхности. Если индекс и
нуль-индекс равны нулю, то минимальная поверхность
устойчива: любая ненулевая нормальная вариация, не-
неподвижная на границе, увеличивает площадь этой по-
поверхности.
Выше мы дали определение индекса компактной
минимальной поверхности. Однако основные классиче-
<даае примеры двумерных минимальных поверхностей в
щ* полны и, следовательно, некомпактны (см. выше).
Для некомпактных минимальных поверхностей тоже
межно ввести понятие индекса, к определению которо-
которого мы сейчас перейдем. Предварительно заметим, что
любая подобласть минимальной поверхности также яв-
является минимальной поверхностью.
Определение. Индексом ind (M) некомпактной
ориентируемой погруженной минимальной поверхности
^: Л/->-К3 назовем точную верхнюю грань индексов
минимальных поверхностей вида W: К->-№3, где
&czМ — произвольная компактная подобласть многооб-
многообразия М, имеющая гладкую границу (под компактной
областью мы здесь понимаем область с компактным
&амы«аялем).
Отметим, что некомпактная минимальная по-
поверхность называется устойчивой, если ее индекс ра-
равен нулю.
Мотивировкой только что данного определения индек-
индексе может служить теорема Смейла — Саймонса, описы-
описывающая поведение собственных чисел ограничения /к
индёйвйой формы / на пространство С™ (К) при стягива-
стягивании области К. Эта теорема позволяет свести вычисление
индекса минимальной поверхности к решению уравнения
Якоби. Прежде всего дадим определение стягивания.
127

Определение. Пусть К — компактная подобласть
а М с гладкой границей. Назовем стягиванием области
К семейство (А',} подобластей в М с гладкими граница-
границами, (е[а, Ъ], такое что Ка = К, и если t > s, то &1ф
^^s- Стягивание называется гладким, если граница
dKt области Kt гладко зависит от t.
Теорема (Смейл [27], Саймоне [26]). Пусть
V: Д/->-й3—компактная ориентируемая погружен-
погруженная минимальная поверхность с гладкой границей и
Шг}, (е[а, Ь] — гладкое стягивание. Тогда собственные
числа К\ @s?Яг(t)^ ...->- +«> индексной формы /,—
ограничения индексной формы I на С™ (Мг) — являют-
являются непрерывными, строго монотонно возрастающими,
функциями параметра t {здесь каждое собственное чис-
число встречается столько раз, какова размерность соответ-
соответствующего собственного подпространства).
Более того, существует е>0 такое, что если К — про-
произвольная компактная подобласть многообразия М, имею-
имеющая гладкую границу, и площадь A(W(K)) минимальной
поверхности W: K-+R3 меньше г, A (W (К))< е, то все
собственные числа индексной формы 1К строго больше
нуля. Если стягивание не гладкое, то собственные числа
опять же будут строго монотонно возрастать, однако не
обязательно непрерывно.
Определение. Назовем стягивание Ш,} стягива-
стягиванием г-типа, если при достаточно больших t площадь по-
поверхностей Ч: M->R3 меньше е»
Следствие 1 (Смейл [27], Саймоне [26]). Пусть
?: M->1R3—гладкая компактная ориентируемая по-
погруженная минимальная поверхность с гладкой грани-
границей. Тогда
а) для любого стягивания Ш,}, t^[a, b], многооб-
многообразия М {замыкание начальной области Ма совпадает с
М) лишь у конечного числа минимальных поверхностей
Ч: М<->1Р3 границы dMt сопряженные;
б) существует е > 0 такое, что для любого гладкого
стягивания г-типа Ш,}, t^[a, b], многообразия М ин-
индекс поверхности Y: М-*-Ы3 равен сумме кратно-
стей сопряженных границ дМ, по всем t е (д, Ь]. Точ-
Точнее, если ${t) = dimker/,, где 1\ — ограничение индекс-
индексной формы I на пространство С" (Mt), mo
ind (M)
2 PW-
a<t<b
128
Если стягивание не гладкое, то
Отметим, что из следствия 1 вытекает конечность
индекса любой компактной минимальной поверхности.
В некомпактном случае роль гладкого стягивания
е-типа играет гладкое исчерпание.
Определение. Назовем исчерпанием ориентируе-
ориентируемой погруженной некомпактной минимальной поверхно-
поверхности ?: M->R3 семейство Ш,}, t^@, °°), компакт-
компактных подобластей многообразия М, имеющих гладкие
границы, таких, что
a) Mt^Ms, как только t<s;
б) для любого компактного подмножества К<=М су-
существует t такое, что K^Mt;
в) индексы и нуль-индексы поверхностей л?: М -*¦
-»4RS при достаточно малых t равны нулю.
Назовем исчерпание гладким, если граница dMt об-
области Mt гладко зависит от t.
Следствие 2 ([28, 29]). Пусть V: М->К3 —
гладкая некомпактная ориентируемая погруженная ми-
минимальная поверхность, {М,}, t<=(a, °°),— ee гладкое
исчерпание. Тогда индекс поверхности W: M->R3
равен сумме кратностей сопряженных границ дМ% по
всем tt3(a, °°). Точнее, если fi(*)= dimker/,, где It —
ограничение индексной формы I на пространство
Со (М«). то
ind(M)- 2 PW-
0<«оо
Если исчерпание не гладкое, то
ind(M)> 2 Р@-
0<«оо
Таким образом, для вычисления индекса компактной
(некомпактной) минимальной поверхности W: M->R3
достаточно построить некоторое гладкое стягивание е-ти-
е-типа (соответственно гладкое исчерпание) {М,}, для
каждого Mt найти решение уравнения Якоби и из всех
решений выбрать только те, которые зануляются на гра-
границе dMt. Эта программа позволяет вычислить индексы
целого ряда классических минимальных поверхностей.
Прежде чем сформулировать основной результат этрго
параграфа, мы приведем еще одно утверждение, являю-
9 А, А. Туншлин, А, Т. Фоменко "9

щееся крайне полезным при вычислении индексов дву-
двумерных минимальных поверхностей в О?3-
Предварительно заметим следующее. Пусть (/(и>),
g(w)) над ?7czC— локальное представление Вейер-
Вейерштрасса погруженной ориентируемой минимальней по-
поверхности ЧГ: M->-R3, w = u + iv; тогда (и, и) — изо-
изотермические координаты, и индуцированная метрика ds2
имеет вид ds2 = K(du2 + dv2). Из предложения 2 следует,
что уравнение Якоби в координатах (и, v) имеет вид
где К — гауссова кривизна. В § 3 мы установили, что
%=\f\2(l+\g\2J, a Z = -4|dg/^l2/l/12(l+lgl2L. По-
Поэтому в, терминах функций / и g, задающих пред-
представление Вейерштрасса, уравнение Якоби запишется
так:
д2Т/ди2 + d2T/dv2 + [8\dg/dw\2f(l + \g\2J] ¦ Т = 0.
Таким образом, уравнение Якоби минимальной по-
поверхности в К3 не зависит от функции / и поэтому
зависит лишь от гауссова отображения этой поверхно-
поверхности. Последнее замечание позволяет сформулировать
следующее предложение.
Предложение 4 ([29]'). Пусть Ун'- M-^IR3,
к = 1, 2 — две погруженные ориентируемые минималь-
минимальные поверхности. Предположим, что существует диффео-
диффеоморфизм F: М -*¦ М, согласованный с гауссовыми ото-
отображениями обоих поверхностей. Последнее означает,
что если пк — гауссово отображение минимальной по-
поверхности Ч*k- Af->[R3, то n2°F = ф»И1, где q>: 52->-52 —
некоторая изометрия сферы S2. Это условие удобно зада-
задавать так называемой коммутативной диаграммой:
М
¦S2
Тогда эти поверхности имеют одинаковые индексы.
Во всех пяти теоремах А. А. Тужилина, приведенных
ниже, S обозначает некомпактную погруженную ориеш-
тируеиую двумерную связную минимальную поверхность
W: M-*-R3. В дальнейшем для удобства изложения
мы будем обозначать глобальное представлежие Вейвр-
штрасеа (щ g) на М тройкой {М, to, g\.
130
Первая теодемд дает щеобходимое и достаточное ус-
ло^и^ конечн^ти индекса минимальной поверхности S,
заданнрд дц,едстг(вление^ Веаедщтрасса W, «, 8), для
некрторрго класса функций S-, называемых хорошими
(определение см. ниже). Эта теорема вытекает из ре-
зультат;9| Фишер — Кольце, приведенных выше.
В следствии i дается крдтерцй конечности индекса ми-
ой поверхнрст.и Ч*: C->K*v заданной пред-
ием Веиедртр^сса (О, f-dw, g), где g, — хорошая
я-. В следствии 2 црадодится наиболее общий
з^ооошщ функций, который известен авторам на-
настоящей книги.
О.преде леаце,- Назовем меррморфцую функцию g,
ощщелдн^ую, на рщ1а,новой поверхности М, хорошей,
если существует голоморфная на М 1-форма w такая,
ч^о,.. щедсяав^енир Виейерщтдасса (М«, со, g) определяет
полную погруженную минимальную поверхность.
Теорема 1. Пусть минимальная поверхность S
задана представлением Вецерштрасса Щ, со, g), причем
g — хорошая функция. Тогда индекс поверхности S ко-
конечен в том и тллъщ щм случае, когда, конечна полная
кривизна, поАЩХности S.
Следствие 1. Йустъ минимальная поверхность S
задана представлением Вейерштрасса (С, fdw, g), примем
g"— хорошая функция. Тогда индекс поверхности S[
конечен в том и только том случае, когда g — дробно-
рцциональна.
Следствие 2. Пусть минимальная поверхность S
задана представлением Вейерштрасса (С fdw, g), npu-
ЦШ g имеет вид, описанный в одном из следующих
h —
a) g=
б.) g-hJP,
еде Р и Q — произвольные многочлены,
произвольная голоморфная функция.
Тогда индекс поверхности S конечен в том и только,
ТОМ случае, когда, g — дробнограциональна^
Замечание. Класс хороших функций, описанный
в следствии 2, достаточно широк. В него входят: все ме-
ромюрфньга функции^ имеющие конечное: число нулей
или конечное число полюсов; все дробнограциональные
функция? все, тригонометрически* и гиперболические
/ Aг *% (?' +
1) = 1 -
р
з г. =? (е1г -
к \1 (
131

= 1 — (l/e*chz); все мероморфные функции, которые ли-
либо принимают некоторое значение с конечной крат-
кратностью, либо вообще не принимают некоторого значения
(действительно, если с — такое значение, то функция
g — с может быть представлена в виде P/h, откуда g =
= P/h + с). В качестве иллюстрации последнего ут-
утверждения рассмотрим разбиение функции ег в сумму
двух голоморфных функций (р и ф: е* = ф + яр. Так как
ег Ф О, то мероморфная функция g =¦ ср/ф не принимает
значение — 1; следовательно, g +1 = I/ft, где ft =
= l/(g+l) голоморфна, поэтому g равна I/ft—1 и яв-
является хорошей функцией.
Теорема 2. Пусть минимальная поверхность S за-
задана одним из следующих представлений Вейерштрасса:
а) (С, м, (aw + b)m), а, ЬеС, афО, где тп —нату-
—натуральное;
б) (С\{—Ь/а}, со, (aw + b)m), а, &е= С, афО, где m —
целое, отличное от нуля.
Тогда индекс поверхности S равен 2\пг\ — 1.
Теорема 3. Пусть минимальная поверхность S за-
задана представлением Вейерштрасса {U, со, (aw + b)m),
а, Ъ €= С, о, Ф 0, где тп — целое, отличное от нуля,
a U ci С — некоторая подобласть комплексной плоско-
плоскости С (если тп — отрицательное, то предполагается, что
точка i~b/a} не лежит в области U).
Тогда индекс поверхности S не превосходит 2\пг\ — 1.
Далее, определим замкнутое подмножество К стан-
стандартной единичной сферы S3 cr R8 с центром в нуле
в одном из следующих пунктов:
а) при ш > 0 положим К = 52"Л {я3 sg (тп — \)/тп}; ес-
если тп — 1, то в качестве К возьмем замкнутую полусфе-
полусферу, не содержащую северного полюса;
б) при meZ\{0( пусть К является частью сферы
S2, не содержащей северного полюса и заключенной
между двумя параллельными несовпадающими плос-
плоскостями, отстоящими от центра сферы на расстояние
ih(tm-\). Здесь tm-[ обозначает единственный поло-
положительный корень уравнения (тп — l)/wi = thi •
¦th(t -(m- l)/m).
Теорема 4. Пусть минимальная поверхность S за-
задана представлением Вейерштрасса {U', to, (au; + b)m),
а, ЬеС, а Ф- 0, где тп — целое, отличное от нуля,
132
a U а С— некоторая подобласть комплексной плоско-
плоскости С (если тп — отрицательное, то предполагается, что
точка {—Ь/а} не лежит в области U). Предположим, что
область U содержит прообраз при гауссовом отобраоке-
нии подмножества К сферы S2, определенного выше в
одном из пунктов а) или б).
Тогда индекс поверхности S равен 2\тп\ — 1.
Определим открытое подмножество К' стандартной
единичной сферы S2 а К3 с центром в нуле в одном
из следующих пунктов:
а') K' = S2(]{x3<0); если тп = 1, то в качестве К
возьмем открытую полусферу, не содержащую северно-
северного полюса;
б') К' является частью сферы S2, не содержащей
северного полюса и заключенной между двумя парал-
параллельными несовпадающими плоскостями, отстоящими от
центра сферы на расстояние th to. Здесь ?о обозначает
единственный положительный корень уравнения
h(l
h(Ol.
Теорема 5. Пусть минимальная поверхность
дана представлением Вейерштрасса \U, со, (aw + о) ),
а, Ъ е Ci а ф 0, где тп — целое, отличное от нуля, а и с:
с: С — некоторая подобласть комплексной плоскости L
(если тп — отрицательное, то предполагается, что точка
{-Ь/а} не лежит в области U). Предположим, что образ
области U при гауссовом отображении содержится в под-
подмножестве К' сферы S2, определенном выше в одном из
пунктов а') или б').
Тогда индекс поверхности S равен нулю.
Приведем численные значения индексов классических
минимальных поверхностей, полученные с помощью тео-
теорем 1—5.
Следствие.
Поверхностпь Представление Вейерштрасса
Ин-
Поверхность Эн-
непера
Катеноид
Поверхность Рич-
Ричмонда
Неполная поверх-
ность Шерпа (V = {| w |< 1}, dw/(i - w% w)
Геликоид (С, — ie"v> dwt ew)
(Ci dw, W)
(C\{0>, dw/Bw*), w)
(C\{0}, w2dw, 1/w2)
0
oo
133

^ы вс$х щщ,одцчесщх мцнцмалънъьх поверхно-
поверхностей, в- часщосгц поверхности Щвурца — Римана, а тд,к-
щ& прлнрц поверхности, Щерка, равны бесконечности.
В | i гл. 2 мы обещали доказать, что бифуркация ка-
катеноида происходит на сопряженной границе, т. е. когда
катеноид теряет свою устойчивость. Мы сейчас выпол-
выполним наше рбещание, заодно проиллюстрировав метод до-
доказательства теоремы 2 на примере катеноида. Более то-
того, мы докажем, что из двух катеноидов, натянутых на
проволочные окружности (см. § 1 гл. 2), один устойчив,
а другой неустойчив.
Пусть (г, ф, z) — цилиндрические координаты в R3,
в которых катенрид V: M->R3 записывается так: г =
= ch z. Пусть (ф, z) — координаты на катеноиде. Тогда,
как легко вычислить, уравнение Якоби им,еет вид
d2T/dz2 +
+ [2/ch2 z] • Г = 0.
Рассмотрим гладкое исчерпание катеноида областями
Mt=A\z\ <t). При каждом z разложим функцию Т{<$, з)
в ряд Фурье по ф:
Т (ф, z) = aQ (z)JZ -t S ah fc) cos kq, + bh (z)sin &ф.
Так как функция Т предполагается гладкой по ф и z,
то коэффициенты ao(z), ah(z) и &A(z) —также гладкие
фуадсци^ церем.вв(но| z. Подставляя Т в уравнение Яко^и,
цолуч,а,еэд сист^У обыкцовенных дофференциальных
уравнений на коэффициенты:
а'о + [2/ch2 z]-a0 = 0,
Решение этнх уравнений можно выписать явно:
ао = с\ (z • th z — 1) + с2 th z,
п\ .-= Ci(l/chz)+ c2(shz + z/chz);
при А; > 1
a» = C] (th z sh te — k ch kz) + c2 (th z ch kz — k sh kz),
(аналогично для &ft).
Здесь С| н С2 — др.с(?з.8ол*ные дайствительщые код-
старты.
134
Из этих уравнений надо выбрать .такие ан и bk, чтобы
функция т (ф, z) = a0 (z)/2 + 2 а* (*) °°8 А(Р + ь* (г)sin ^Ф
занулялась на границе некоторого Mt. Последнее равно-
равносильно занулению коэффициентов ah и bk при z = ±zo
для некоторого z0 > 0.
Заметим, что каждый коэффициент представляется в
виде линейной комбинации четной и нечетной функций,
причём обе эти функции одновременно в нуль не обра-
обращаются. Отсюда следует, что для решения подходит
только четная компонента. Таким образом, второй коэф-
коэффициент С2 равен нулю.
Функция ai = ci/chz при ct?=0 нигде не обращает-
обращается в нуль. Функция aA = C\ (th z ch kz — kch.kz) при k > 1
также нигде в нуль не обращается, так как th z th kz <
< 1 < k. (Аналогично для bh, k>l.) Поэтому единствен-
единственный претендент на поле Якоби для-нашего исчерпания —
это ao = C\ (z th z — 1).
Легко понять, что функция z th z — 1 имеет при z > 0
единственный корень, так как точка пересечения графи-
графиков у = th z и у = 1/z при z > 0 единственна.
Таким образом, индекс катеноида r = chz равен еди-
единице, а одномерное пространство полей Якоби на MZo,
где z0 th zq = 1, zo > 0, порождено полем (z th z — 1) n,
где n — поле единичных нормалей к катеноиду.
Рассмотрим теперь произвольный катеноид г =
= ach;(z/a) с координатами ^ф, z). Легко вычислить, что
единичная нормаль к такому катеноиду равна [1/sh (zja) ] X
Х(созф, вшф, —ch(z/a)). Поэтому диффеоморфизм F ка-
катеноидов r=chz и r — ach(z/a), заданный как
F: (ф, г)-»-(ф, az), согласован с гауссовыми отображе-
отображениями. Поэтому по предложению 4 индекс катеноида
r = ach(z/a) тоже равен единице. Более того, при этом
диффеомРрфизме поле Якоби, определенное функцией
Т — z th "z — 1 над Mzai переходит в поле Якоби, опреде-
определенное функцией Т = (z/a) th (z/a) — 1 над Maz^ По-
Поэтому для исчерпания Mt — {\z\<t) катеноида г =
= ach(z/a) сопряженная граница имеется только y^/ai0»
где zo — единственный положительный корень уравне-
уравнения z th z = 1.
Замечание. Для вычисления индекса более об-
общих минимальных поверхностей, описанных в пункте
б) теоремы 2, достаточно рассмотреть вместо катеноида
его лг-листну*з намРтку, т. е. погружение W: О? X
S1*-®3 цилиндра RX51 с координатами (z, ф),
135

определенное так:
хх — ch z cos /сф, х2 = ch z sin fop, x3 = z,
где x\ x2, x3 — стандартные координаты в R3.
Лемма (Тужилин). Индекс т-листной намотки ка-
катеноида, описанной выше, равен 2m — 1.
Остается заметить, что между минимальными поверх-
поверхностями, описанными представлением Вейерштрасса в
пункте б) теоремы 2, и m-листной намоткой катеноида
существует диффеоморфизм, согласованный с гауссовы-
гауссовыми отображениями, и применить предложение 4.
В § 1 гл. 2 мы установили, что параметры а кате-
катеноидов r = ach(z/a), затягивающих две окружности ра-
радиуса р, находящиеся на расстоянии h, получаются как
координаты по а точек пересечения графиков у =
= fflch[fc/Ba)] Hj = p. График у = ach [h/Ba)\ имеет
единственную критическую точку ao = ft/Bzo), где zo—
единственный положительный корень уравнения cth z =
= z или, что эквивалентно, уравнения zth(z)= 1.
Поэтому, если h = hKp (p) — расстояние между окруж-
окружностями, при котором оба катеноида слипаются, то в
этом случае прямая у = р касается графика у =
= ach[h/Ba)] в точке (а0, р) и единственный катено-
катеноид, который натянут на этот контур, имеет уравнение
г = а0 ch (z/ao), |z|<ft/2. Так как А/2 = aozo, то грани-
граница этого катеноида, определенного над Мы% = Ма z , яв-
является единственной сопряженной границей исчерпания
Ш,}. Это и доказывает, что бифуркация происходит на
сопряженной границе.
Если теперь на окружности радиуса р натягиваются
два катеноида и h — расстояние между этими окружно-
окружностями, то прямая у — р пересекает график у =
= a ch [h/ Ba) ] в двух точках: (аи р) и (а2, р), п\<п2.
Уравнения соответствующих катеноидов имеют вид г =
= aich(z/ai) и г = a2 ch(z/аг).
Так как h/2 = aozo, то каждый из этих катеноидов
определен над областью Mhji— Ma^. Для первого кате-
катеноида критическая область исчерпания, т. е. единствен-
единственная область исчерпания {М,}, имеющая сопряженную
границу,—это MalI(), а для второго— Ма^- Так как
a\Zo < aozo < яг^о, то ^w cz -^Vo Для первого кате-
катеноида и Маого CI Ма%га для второго. Поэтому первый ка-
теноид неустойчив, тогда как второй устойчив.
136
Добавление 1. ЗАДАЧА ШТЕЙНЕРА
ДЛЯ ВЫПУКЛЫХ ГРАНИЦ
Во введении рассказывалось о задаче Штейнера, ко-
которая, напомним, заключается в построении сети мини-
минимальной длины, соединяющей данные и точек плоскости
[42], [44]. В настоящем добавлении изложены результаты
А. О. Иванова и А. А. Тужилина [41], в которых получена
классификация невырожденных минимальных сетей без
циклов с выпуклой границей с точностью до планарной
эквивалентности (теоремы 1 и 2). Обнаружено, что все
такие минимальные сети описываются как двойственные
графы к «плоским деревянным паркетам», точное опре-
определение которых см. ниже. Также предъявлен реализо-
реализованный на. компьютере алгоритм перечисления всех се-
сетей указанного типа для любого фиксированного числа
граничных точек. Кроме того, А. О. Ивановым и А. А. Ту-
жилиным найдено несколько бесконечных серий мини-
минимальных сетей с правильной границей и примеры таких
сетей, не укладывающиеся в них. В последнем случае
важно, что множество граничных точек сети фиксировано,
что существенно осложняет исследование.
1. Общая постановка задачи. Минимальность сети мы
будем понимать в следующем смысле: любой маленький
фрагмент сети имеет наименьшую длину. Напомним, что
аналогичным свойством обладают мыльные пленки.
Когда идет речь о наименьшей длине, необходимо выде-
выделять класс допустимых вариаций сети. Прежде всего по
аналогии с тем, как мы определяли минимальные по-
поверхности с помощью вариационного принципа, ограни-
ограничим допустимые вариации лишь теми, которые оставля-
оставляют неподвижными начальные точки, затягиваемые сетью
(в дальнейшем будем называть эти точки неподвижными
точками сети). Возникают две возможности.
Первая: при деформации сети ее вершины не расщеп-
расщепляются, т. е. запрещены вариации типа показанной на
рис. 48, а. В этом случае можно показать (см. например,
[33]), что сеть минимальна, если и только если для
каждой подвижной точки сумма единичных векторов,
имеющих направления выходящих из нее отрезков, рав-
равна нулю. В этом понимании сеть, приведенная на
рис. 48, а является минимальной. На рис. 48, б приведен
пример не минимальной в этом смысле сети.
Вторая возможность: разрешено расщеплять вершины
сети. В этом случае при деформации сети в сторону
137

уменьшения длины ее вершины расщепляются на точки
степени не более чем три, причем если теперь в вершине
сходятся три отрезка, то углы между ними равны 120°;
если же в вершине сходятся два отрезка, то угол между
ними не меньше 120° и эта вершина неподвижная; не-
.цо.]рижн1ой также является каждая вершина, из которой
вдходит ровно один отрезок.
Рис. 48
I
Рис. 49
Все эти эффекты можно наблюдать в следующем не-
несложном эксперименте. Возьмем плоский лист плекси-
плексигласа и просверлим в нем п небольших отверстий
(рис. 49, а). Эти отверстия будут соответствовать непод-
неподвижным точкам сети. Нарежем из лески набор из п — 1
отрезков. На одном из концов тг — 2 отрезков сделаем
маленькую незатягивающуюся петлю.. Возьмем отрезок
без петли и проденем его через произвольное число пе-
петель. Концы полученной конфигурации вновь можно про-
дехь через некоторое число петель и т. д., продолжая
этот процесс до тех пор, пока не будут задействованы
все отрезки. Ответим, что число кондов полученной кон-
конфигурации равно числу отверстий.
Устано&иЙ н&шу пластину *Ьргйз'6Йтальй<) Й йрбпу-
стим сверху все концы полученной конфигурации ч*ёрез
отверстий так, чтобы на каждое отверстие приходилось
по одному концу. На каждый конец прикрепим одина-
одинаковые по массе грузики.
После того как система придет в состояние равно-
равновесия, сеть из лески примет- вид некоторой минималь-
минимальной, в одном из описанных выше смыслов, сети
(рис. 49,6). Бблёе конкретно: если все петли разошлись,
не Яёша'я друг другу, мы получим минимальную во вто-
второй понимании' сётв; если же хотя бы пара.петелЬ сце-
сцепилась, то в полученной сети будет неразрешившаяея
вершина й сеть будет минимальна лишь в первом смысле.
В дальнейшем мы будем изучать сети, минимальные
во втором смысле. Для того чтоб"ы сформулировать нашу
задачу болб'е точно, дадим следующие определения.
Определение 1. Топологической сетью Штейнера
называть связный граф, степени вершин которого
не превосходят трех.
Реализация топологической сети на плоскости назы-
называется плоской сетью. Для того Чтобы дать более
строгое определение, напомним, что плоским графом на-
называется совокупность кривых на плоскости, пересекаю-
пересекающихся только по концам.
Определение 2. Плоская сеть Штейнера — это та-
такой плоский граф, для которого существует взаимно од-
однозначное соответствие с некоторой топологической сетью
Штейнера, при котором вершинам соответствует верши-
вершины, кривым — ребра и сохраняется отношение инци-
инцидентности.
Множеством неподвижных точек плоской сети Штей-
Штейнера назовем произвольное подмножество мйожестйа вер-
вершин соответствующего плоского графа, в которое входят
всё вершины степени один и два (что согласуется с
описанием возможных типов вершин минимальной во
втором понимании сети). Ясно, что множество непод-
неподвижных точек сети определено неоднозначно.
Определение 3. Плоская сеть Штейнера называ-
называется минимальной, если она является мйнимальйой для
некоторого множества своих неподвижных точек.
Общая задача Штейнера. Описать класс сетей
Штейнера, которые могут быть реализованы как мини-
минимальные. Более точно, пусть задан класс {М} конечных
множеств М точек плоскости. Требуется описать все сети
Штейнера, которые можно реализовать как минимальные
139

Рис. 50
с множеством неподвижных точек, лежащих в Этом
классе.
Замечание. Во введении рассказывалось о замкну-
замкнутых минимальных сетях на сфере (их понадобилось
изучить для доказательства принципов Плато). Задача
описания замкнутых минимальных сетей на двумерной
замкнутой ориенти-
ориентируемой поверхности
рода g является еще
одним интересным
обобщением задачи
Штейнера. (См. в
Добавлении 2 описа-
описание сетей на пло-
плоском торе.)
Для начала в ка-
качестве класса Ш)
рассмотрим всевозможные подмножества точек пло-
плоскости.
Задача 1. Описать все сети Штейнера, реализую-
реализующиеся как минимальные.
Рассмотренный класс Ш) — самый широкий из всех ¦
возможных классов. Однако даже на нем не могут быть
реализованы все сети Штейнера. На рис. 50, а приведен
пример топологической сети Штейнера, которая не реа-
реализуется как плоская, а значит, и как минимальная.
На рис. 50, б изображена плоская сеть Штейнера, кото-
которая не может быть реализована как минимальная. Отме-
Отметим, что в обоих случаях все неприятности происходят
из-за наличия циклов. Оказывается, это единственное
препятствие к реализации сети Штейнера в виде мини-
минимальной сети.
Предложение 1. Любая ацикличная топологиче-
топологическая сеть Штейнера {дерево Штейнера) реализуется как
плоская. Более того, любое плоское дерево- Штейнера
реализуется как минимальная сеть для некоторого мно-
множества М неподвижных точеж,
Назовем сеть Штейнера вырожденной, если у нее есть
хотя бы одна вершина степени два. Отметим, что невы-
невырожденные сети Штейнера являются по определению
2-деревьями. Эти сети имеют вершины степени один,
которые мы будем называть граничными, и вершины
степени три, которые мы будем называть точками ветвле-
ветвления. Для таких сетей естественно считать граничные
точки неподвижными, что мы в дальнейшем и будем
140
Делать. Начиная с этого Места, мы будем изучать ацик-
ацикличные невырожденные сети Штейнера, т. е. 2-деревья
Штейнера.
На множестве всех плоских графов можно ввести
естественное отношение эквивалентности. Назовем два
плоских графа эквивалентными, если существует гомео-
гомеоморфизм плоскости на себя, сохраняющий ориентацию,
переводящий один плоский граф в другой. Ясно, что
существует лишь конечное число классов эквивалент-
эквивалентности 2-деревьев с фиксированным числом граничных
точек.
Возникает естественный вопрос: сколько таких клас-
классов эквивалентности для заданного числа п граничных
точек? Из предложения 1 следует, что их ровно столько
же, сколько классов эквивалентности плоских 2-деревьев.
Количество последних было вычислено еще в 1964 г.
У. Брауном в неявном виде [35]. Численные результаты
для п, не превосходящего 23, можно найти в [36].
Отметим, что при решении этой задачи вместо пло-
плоских 2-деревьев можно рассматривать двойственные объ-
объекты, а именно триангуляции диагоналями выпуклых
га-угольников. Опишем более подробно соответствие меж-
между плоскими 2-деревьями и триангуляциями.
Пусть даны плоское 2-дерево с га граничными точка-
точками и некоторый выпуклый re-угольник. Занумеруем
последовательно граничные точки 2-дерева, совершая об-
обход, например, против часовой стрелки. Аналогично за-
занумеруем стороны многоугольника. Эти нумерации по-
порождают" естественное взаимно однозначное соответствие
между вершинами 2-дерева и сторонами га-угольника.
Очевидно, граничные точки, инцидентные одной и той
же точке ветвления, имеют последовательные номера.
Для каждой пары таких точек рассмотрим соответствую-
соответствующую пару сторон re-угольника и построим на этих сто-
сторонах треугольник, проводя диагональ многоугольника
(это всегда можно сделать, так как эти стороны со-
соседние) .
Отрежем все треугольники, полученные таким обра-
образом, и одновременно выбросим из 2-дерева все ребра, вы-
выходящие из граничных точек. Очевидно, мы вновь полу-
получим выпуклый многоугольник и плоское 2-дерево, число
вершин и число граничных точек которых соответственно
равны между собой.
Между граничными точками и сторонами полученных
объектов существует естественное взаимно однозначное
141

кегбрде непосредственно получается из cq-
шввтетвия, установявйного на предыдущем таге.
Будем повторять описанную только что процедуру до
тех втор, пока не будет йсчёрйано 2-дё?ев6. ^Последний
шаг является чуть более деликатным, ёднако он не йрёд-
ставляет принципиальной сложности для пониканий,
и поэтому мь1 оставляем подробности читателю.)
В результате мы получим разбиение выпуклого
ге-уголБНИка на треугольники, которое называется три-
триангуляцией диагоналями, соответствующей плоскому
2-дереву.
Обратно, если дайа триангуляция диагоналями вы-
выпуклого ге-угольнйка, то легко построить соответствую-
соответствующее плоское 2-дерево. В качестве его граничных тб'Шс
можно взять Середины сторон п-уголышка, точек ветвле-
ветвления — центры треугольников триангуляции, а в качестве
ребер — отрезки, соединяющие центры смежных треуголь-
треугольников, а также отрезки, соединяющие середины сторон
и-угольника с центрами треугольников, построенных на
этих сторонах.
Две триангуляции называются эквивалентными, если
они эквивалентны как плоские графы. В каждом классе
эквивалентности удобно выбрать в качестве представи-
представителя соответствующую триангуляцию правильного мно-
многоугольника, вписанного в единичную окружность. Дй'ё
триангуляции таких правильных многоугольников экви-
эквивалентны, если они получаются одна из другой пово-
поворотом плоскости. Легко понять, что эквивалентным пло-
плоским 2-дёрёвьям соответствуют эквивалентные триангу-
триангуляции диагоналями выпуклых re-угольников и обратно.
Таким образом, верно следующее предложение.
Предложение 2. Классы эквивалентности плоских
2-деревъев с п граничными точками находятся во взаим-
взаимно однозначном соответствии с классами эквивалентности
триангуляции диагдналями выпуклых п-угольников.
На рис. 51 приведены все возможные такие триангу-
триангуляции в случаях, когда п = 3, 4, 5, 6. Отметим, что дйй
и < 6 триангуляция диагоналями единственна (с точ-
ноетБЮ до эквивалентности), а для п = 6 существуют три
различные триангуляции.
Другим естественным классом Ш) граничных точек
сетей является класс экстремальных множеств. Напом-
Напомним, что множество называется экстремальным, если ойо
лежит на границе некоторого выпуклого Множества. Если
множество граничных точек сети является экстреяалб-
142
щцм, то такую сеть мы будем называть сетью с выпук-
выпуклей границей.
Задача 2. Описать все минимальные сети Штейне-
ра с выпуклой границей.
Замечание. Эта задача может быть обобщена. Для
этого нам понадобится
А
п=4
Определение 4. Пусть дано произвольное конеч-
конечное множество М точек плоскости. Разобьем его на клас-
классы, которые будем называть уровнями выпуклости.
В первый уровень выпуклости поместим все точки,
лежащие на границе выпуклой оболочки множества М.
Рарсщзтрим множество М', которое получается из М вы-
выкидыванием точек первого уровня.
4 Во второй уровень выпуклости будут входить точки
первого уровня выпуклости для множества М' (если мно-
множество М' не пусто).
Продолжив эту операцию до тех пор, пока не будет
исчерпано все ирходное множество М, получим нужное
разбиение.
Заметим, что экстремальные множества (и только
они) имеют ровно один уровень выпуклости.
Задача 2'. Описать все сети Штейнера, число уров-
уровней выпуклости множеств граничных точек которых не
превосходит некоторого фиксированного числа.
Ниже будет дано полное решение задачи 2 для 2-де-
ревьев Штейнера.
Еще один важный вариант общей задачи Штейнера
- прлучается, если в качертве класса Ш) множеств гра-
граничных точек сетей .рассмотреть власе, состоящий ровно
из одного множества,
143

Задача 3. (Классическая задача Штейнера.) Опи-
Описать все сети Штейнера, множество граничных точек
которых фиксировано.
Интересным вариантом этой задачи является
Задача 3'. Описать все сети Штейнера, множество
граничных точек которых составляет вершины правиль-
правильного многоугольника.
Ниже будут приведены некоторые результаты
А. О. Иванова и А. А. Тужилина, посвященные иссле-
исследованиям задачи 3' опять же для 2-деревьев.
В связи с постановкой общей задачи Штейнера воз-
возникает интересный вопрос: существует ли множество М,
состоящее из п точек, на котором реализуются как ми-
минимальные сети все классы эквивалентности плоских
2-деревьев Штейнера с п граничными точками? Для п —
= 3, 4, 5 в качестве такого множества можно взять вер-
вершины соответствующего правильного га-угольника. Для
п > 5 это уже не так. Из предложения 3 (см. ниже)
следует, что, вообще говоря, такое множество М должно
быть устроено достаточно сложно (оно не может быть,
например, экстремальным).
2. Классификация минимальных 2-деревьев с выпук-
выпуклой границей. Важную роль при классификации мини-
минимальных 2-деревьев с выпуклым множеством граничных
точек играет так называемое число вращения, с опреде-
определения которого мы и начнем этот пункт.
У каждой точки ветвления плоского 2-дерева суще-
существует круговая окрестность, пересечение которой с де-
деревом состоит из трех гладких незамкнутых кривых, иду-
идущих из ее центра, не имеющих других точек пересече-
пересечения и выходящих' на границу этой окрестности. Ясно,
что пересечение границы окрестности (окружности) с де-
деревом состоит из трех точек. Выберем одну из этих кри-
кривых и назовем ребро, частью которого она является,
входящим. Остальные два ребра будем называть выходя-
выходящими. Разбиение ребер, инцидентных точке ветвления,
на входящие и выходящие, назовем ориентацией окрест-
окрестности точки ветвления.
Пусть теперь плоскость ориентирована. Тогда задано
положительное направление при движении по каждой
окружности, лежащей на этой плоскости. Это дает воз-
возможность естественно упорядочить пару выходящих ре-
ребер таким образом, чтобы движение по окружности от
первого ребра ко второму по дуге, яе пересекающей вхо-
входящего ребра, происходило в положительном направле-
144
лии. Первому выходящему ребру поставим в соответ-
соответствие — 1, а второму — +1. Ориентированную окрестность
точки ветвления вместе с этими числами будем называть
оснащенной, а сами числа — оснащениями соответствую-
соответствующих ребер дерева.
Напомним, что путем, соединяющим пару ребер пло-
плоского 2-дерева, называется минимальное связное подде-
поддеРис. 52
рево, содержащее эти ребра. Дадим теперь определение
числа вращения между парой ребер плоского 2-дерева.
Пусть а и Ъ — пара ребер плоского 2-дерева. Выбе-
Выберем путь ч, соединяющий а с Ъ. Ориентируем путь у от
а к Ъ. Рассмотрим все точки ветвления, лежащие внутри
f. Ориентация пути y каноническим образом задает ори-
ориентации малых окрестностей этих точек ветвления: для
каждой точки ветвления будем считать входящим ребро,
для которого точка ветвления является концом. Фикси-
Фиксируем некоторую ориентацию плоскости и оснастим окрест-
окрестности всех рассмотренных точек ветвления. Путь у вме-
вместе с оснащениями его выходящих ребер назовем осна-
оснащенным.
Определение 5. Числом вращения tw(a, Ь) упо-
упорядоченной пары (а, Ъ) различных ребер 2-дерева назо-
назовем сумму всех оснащений ребер ориентированного пу-
пути if, идущего из а в Ъ. Положим tw(a, a) равным нулю.
У ребер а и Ъ 2-дерева, изображенного на рис. 52, а,
число вращения tw(a, Ъ) равно пяти, а на рис. 52,6 —
нулю.
Отметим, что число вращения кососимметрично, т. е.
tw(a, &) = — tw(&, a).
Определение 6. Числом вращения W{D) плоско-
плоского 2-дерева D назовем максимум чисел вращения всевоз-г
можных упорядоченных пар ребер этого дерева:
tw(D) = maxtw{a, b).
10 А. А. Туншлин, А. Т. Фоменко 145

Следующее предложение является ключевым резуль-
результатом для получения полной классификации минималь-
минимальных 2-деревьев с выпуклой границей.
Предложение 3. Число вращения минимального^
2-дерева Штейнера с выпуклой границей не превосхо-
превосходит пяти.
Замечание. Из теорем классификации (см. ниже)
следует, что эта оценка точная: любое плоское 2-дерево
с числом вращения, не превосходящим пяти, реализует-
реализуется как минимальное с экстремальным множеством гра-
граничных точек.
Теорему классификации удобно формулировать на:
языке так называемых паркетов. Назовем (треугольным)
паркетом плоскости каноническое разбиение последней:
на правильные конгруэнтные треугольники, которые бу-
будем называть ячейками паркета. Это разбиение можн»
получить следующим образом.
Пусть А и В — семейства параллельных, одинаков»
отстоящих друг от друга прямых, причем угол между
направлениями прямых семейства А и семейства В со^
ставляет 60°. Через точки пересечения прямых семейств
А и В можно единственным образом провести третье*
семейство С параллельных прямых так, чтобы в совокуп-
совокупности прямые семейств А, В и С задавали разбиение-
плоскости на правильные конгруэнтные треугольники..
Эти прямые назовем направляющими паркета плоскости,..
а шесть возможных направлений этих прямых — направ-
направлениями данного паркета.
Определение 7. Назовем паркетом произвольную-
совокупность ячеек паркета плоскости.
Точно так же, как по триангуляции диагоналями'
выпуклого многоугольника, по паркету можно построить
плоский г"раф, который мы будем называть двойствен-
двойственным графом этого паркета. Назовем паркет связным,
если связен его двойственный граф. Паркеты, соответ-
соответствующие связным компонентам двойственного графа,
назовем компонентами паркета. В дальнейшем мы почт»
всегда будем иметь дело со связными паркетами, поэто-
поэтому будем опускать слово «связный» там, где это не при-
приведет к недоразумениям.
Отметим, что двойственный граф произвольного (связ-
(связного) паркета в действительности является минимальной
сетью Штейнера.
Определение 8. Паркет, двойственный граф котог-
рого является 2-деревом, назовем деревянным.
146
На самом деле не каждый класс эквивалентности
плоских 2-деревьев имеет своим представителем двой-
двойственный граф некоторого деревянного паркета. Тем не
менее верно следующее предложение.
Предложение 4. (О паркетной реализации.) Лю-
?ое плоское 2-дерево с числом вращения не более 5 мо-
может быть реализовано как двойственный граф некото-
некоторого деревянного паркета.
Л
/\/\/\/\/\
Рис.
Рис. 54
Замечание. Хоти 2-деревья с числом вращения бо-
более пяти могут быть реализованы в виде двойственного
графа деревянного паркета (постройте пример), оценка
аа число вращения, данная в предложении 4, точна.
На рис. 53 приведен пример плоского 2-дерева с числом
вращения, равным шести, которое не может быть реа-
реализовано в виде двойственного графа деревянного
паркета.
Итак, из предложений 3 и 4 следует, что для клас-
классификации минимальных 2-деревьев с выпуклой грани-
границей достаточно описать все деревянные паркеты, двой-
двойственные графы которых имеют число вращения, не пре-
превосходящее пяти (в дальнейшем число вращения двой-
двойственного графа деревянного паркета мы будем для крат-
краткости называть числом вращения этог"о паркета).
Для того чтобы получить такую классификацию, нуж-
нужно прежде всего выделить структурные элементы, из ко-
которых состоят всевозможные деревянные паркеты. Вы-
Выделим три типа структурных элементов, которые будем
называть линейными участками, узлами ветвления и на-
наростами. Грубо говоря, каждый деревянный паркет пред-
представляет собой совокупность линейных участков, соеди-
соединенных друг с другом посредством узлов ветвления и
снабженных наростами. Дадим теперь более формальные
определения.
10* 147

Определение 9. Змеей будем называть паркет, за-,
жатый между двумя соседними направляющими паркета
плоскости- (рис. 54).
Крайней ячейкой назовем ячейку паркета, две сторо-
стороны которой не лежат внутри паркета. Внутренней ячей-
ячейкой будем называть ячейку, все стороны которой лежат
внутри паркета.
/\/\/\/\/\/\/\/\
Рисг 55
Определение 10. Крайнюю ячейку паркета назо-
назовем наростом, если единственная примыкающая к ней
ячейка паркета является внутренней (рис. 55, а). Пар-
Паркет, не имеющий наростов, назовем скелетом.
Если ггаркет состоит не более чем из трех ячеек, то
он является змеей без наростов. Для деревянных парке-
паркетов, состоящих более чем,из трех ячеек, мы сейчас опре-
определим скелет, который получается из паркета выбрасы-
выбрасыванием в соответствии с Правилом, приведенным ниже,
некоторого числа наростов.
Прежде всего назовем пару наростов соседними, если
они примыкают к одной и той же ячейке паркета. Легко
понять, что либр паркет состоит из четырех ячеек и име-
имеет вид, приведенный на рис. 55, б, либо каждый нарост
имеет не более одного соседнего с ним нароста. Наросты,
имеющие соседние, назовем парными, а все остальные —
непарными.
Опишем теперь Правило выбрасывания наростов для
получения скелета.
Правило. 1) Все непарные наросты выбрасываются.
2) Из каждой пары соседних наростов выбрасывает-
выбрасывается любой по выбору.
3) В случае паркета, приведенного на рис. 55, б, вы-
выбрасываем один из трех наростов по выбору.
Определение 11. Паркет, полученный после вы-
выбрасывания из деревянного паркета наростов в соответ-
соответствии с Правилом, назовем скелетом этого паркета.
Несложно доказывается следующее утверждение.
148
Утверждение. Скелет деревянного паркета не
имеет наростов, т. е. является скелетом. Прибавление к
скелету любого числа выброшенных наростов приводит
к деревянному паркету, уже имеющему наросты.
В соответствии с пп. 2 и 3 Правила скелет определя-
определяется неоднозначно, если паркет содержит парные
наросты.
Отметим также, что скелет любого деревянного дар-
кета состоит не менее чем из трех ячеек (докажите).
Далее, .рассмотрим де-
деревянный скелет и выки- /\ \/\ /\ /\
нем из него все внутрен- ^"^ ^—-^ / \/ \
- ние ячейки. При этом, ее- 2 3
ли существует хотя бы
одна внутренняя ячейка, г—д ' л.
скелет распадется на ком- \/ \/ \
поненты. 4
Определение 12.
Компоненты, на которые Рис. 56
распадается деревянный
скелет при выбрасывании
внутренних ячеек, назовем линейными участками скеле-
скелета. Узлами ветвления назовем компоненты, на которые
распадается деревянный скелет при выбрасывании ли-
линейных участков.
Приведем полный список возможных узлов ветвления
деревянных скелетов.
Предложение 5. В деревянных скелетах могут
встречаться ровно пять типов узлов ветвления, приве-
приведенных на рис. 56.
Рис. 57
Замечание. Нужно отметить, что к каждому узлу
ветвления линейные участки могут крепиться по-разно-
по-разному. Всего существует 18 способов крепления (перечис-
(перечислите), которые мы в дальнейшем будем называть раз-
развилками. На рис. 57 показаны два наиболее важных ти-
типа развилок, которые мы будем называть тройниками
(рис. 57).
149

Опишем теперь, как устроены линейные участки. Для
этого дадим более общие определения линейного 2-дерева
и линейного паркета.
Определение 13. Плоское 2-дерево назовем линей-
линейным, если соответствующая ему триангуляция выпуклого
многоугольника имеет ровно два крайних треугольника
{крайним треугольником триангуляции называется тре-
треугольник, две стороны которого совпадают со сторонами
многоугольника).
Отметим, что триангуляция, соответствующая линей-
линейному 2-дереву, не имеет внутренних треугольников. По-
Поэтому для такой триангуляции существует естественное
линейное упорядочение ее треугольников, такое что край-
крайние треугольники являются первым и последним во вве-
введенном порядке.
Ясно, что существует ровно две возможности так упо-
упорядочить треугольники триангуляции в зависимости от
того, какой из двух крайних треугольников считать пер-
первым. Выбор одного из двух этих порядков назовем ори-
ориентацией линейного 2-дерева и соответствующей ему
триангуляции.
Пусть теперь двойственное дерево некоторого дере-
Шянного паркета является линейным. В этом случае
паркет тоже будем называть линейным. Отметим, что
линейные участки в действительности являются линей-
линейными паркетами.
Рассмотрим теперь произвольный линейный паркет и
ориентируем его. Сейчас мы покажем, как можно раз-
разбить такой паркет в совокупность змей, которые мы бу-
будем называть отрезками линейного паркета. Если паркет
состоит менее чем из четырех ячеек, то он является
змеей. Будем считать, что такой паркет состоит из одно-
одного отрезка.
Пусть теперь наш паркет состоит по крайней мере
из четырех ячеек. Будем последовательно перебирать
ячейки паркета, начиная с первой.
Шаг 1. Рассмотрим все ячейки, которые вместе с
первой образуют змею. Выкинув из этой змеи ее послед-
последнюю ячейку Д, получим первый отрезок линейного
паркета.
Шаг 2. Возьмем ячейку А и выберем все последу-
последующие ячейки (если такие найдутся), которые вместе
с ней образуют змею. Выкинем из этой змей на-
начальную ячейку и полученную змею назовем вторым
отрезком.
156
Аналогично определяются все последующие отрезки.
Таким образом, можно сформулировать следующий
результат.
Предложение 6. Каждый линейный паркет, в част-
частности линейный участок произвольного деревянного пар-
паркета, является объединением линейно упорядоченного
семейства различных непересекающихся змей {отрезков
линейного паркета), причем начальная ячейка каждой
последующей змеи является смежной с концевой ячей-
ячейкой предыдущей.
Замечание. Для удобства дальнейшего изложения
полезно ввести понятие позвоночника линейного парке-
паркета, состоящего более чем из двух ячеек. Назовем позвон-
позвонком произвольной некрайней ячейки линейного паркета
ее среднюю линию, соединяющую пару сторон ячейки,
лежащих внутри паркета. Позвонком крайней ячейки
назовем ту из ее средних линий, которая параллельна
уже определенному позвонку смежной ячейки.
Позвоночником линейного паркета называется лома-
ломаная, составленная из позвонков его ячеек. Причем вве
последовательные параллельные позвонки объединяются
в одно звено этой ломаной.
Отметим, что позвоночник линейного паркета не оп-
определен, если паркет состоит из одной или двух ячеек.
Однако для линейного участка можно дать однозначное
определение позвоночника и в этом случае.
А именно если линейный участок состоит из одной
ячейки, то эта ячейка не крайняя (в противном случае
это нарост). Поэтому к такому участку примыкает два
узла ветвления. Позвоночником такого линейного участ-
участка назовем его среднюю линию, соединяющую пару сто-
сторон, примыкающих к узлам ветвления.
Для линейных участков, состоящих более чем из од-
одной ячейки, определим позвонки крайних ячеек следую-
следующим образом. Если крайняя ячейка линейного участка
не является крайней ячейкой паркета, то из двух воз-
возможных ее позвонков выберем тот, который заканчива-
заканчивается серединой стороны примыкающей ячейки узла
ветвления.
Если крайняя ячейка линейного участка является
крайней ячейкой паркета, то из двух возможных ее по-
позвонков выберем тот, который параллелен позвонку смеж-
смежной ячейки линейного участка.
Теперь позвоночник линейного участка всегда опре-
определен.
151

Если разрешить числу вращения скелета принимать
лишь значения, не превосходящие пяти, то возникнут
существенные ограничения на устройство линейных
участков такого скелета. А именно, верно следующее
предложение.
Предложение 7. Для каждого линейного участка
деревянного скелета с числом вращения, не превосходя-
превосходящим пяти, существует направляющая паркета плоско-
плоскости, на которую однозначно проектируется позвоночник
этого линейного участка. Такую направляющую назовем
направляющей линейного участка.
Замечание. Вообще говоря, направляющая линей-
линейного участка не единственна. Для змеи, например, суще-
существую/г три такие направляющие. Если число вращения
линейного участка больше пяти, то у такого участка не
существует направляющих.
Определение 14. Назовем змеей линейный уча-
участок, у которого существуют три направляющие. Назо-
Назовем лестницей линейный участок, у которого существуют
ровно две направляющие. Линейный участок, имеющий
ровно одну направляющую, назовем ломаной змеей
(рис. 58, а).
Замечание. Линейный участок, который является
вмеей в смысле определения 9, может не быть змеей в
смысле последнего определения. На рис. 58, б приведен
пример такого участка. Понятно, что все зависит от того,
как крепится данный линейный участок к узлам
ветвления.
Итак, мы описали все структурные элемента, нз ко-
которых состоят всевозможные деревянные паркеты. Те-
Теперь, для того чтобы сформулировать теоремы класси-
классификации, нам осталось определить для скелетов деревян-
деревянных паркетов с числом вращения, не превосходящим
пяти операцию редукции. Эта операция заключается в
вырезании некоторых фрагментов паркета.
Во-первых, можно отрезать от скелета любой подпар-
кет линейного участка, содержащий крайнюю ячейку.
Во-вторых, внутри скелета можно выбрасывать любую
вмею Z, состоящую иэ четного числа ячеек и входящую
в какой-нибудь линейный участок. Заметим, что змея Z
представляет собой параллелограмм. Рассмотрим пару
сторон этого параллелограмма, не параллельных позво-
позвоночнику этой змеи. Будем называть эти стороны гранич-
граничными ребрами змеи Z. Оказывается, верно следующее
утверждение.
152
Позвоночник
Змея.
Направляющие
Направляющие
Позвоночник
Лестница.
Позвоночник
Направляющая
Л Ом иная змея,
а
/\ /\ /\ 7\
\/ \/ V
Линейный участок-
лестница.
т
Линейный. участок-ломаная змея.
Рис. 58

Утверждение. Пусть Z — произвольная змея, со-
состоящая из четного числа ячеек и входящая в некото-
некоторый линейный участок некоторого деревянного скелета D
с числом вращения не выше пяти. Пусть 1\ и
h — граничные ребра змеи Z. Пусть Dt и D% — связные
компоненты, на которые распался скелет D после выбра-
выбрасывания из него змеи Z. Тогда существует параллельный
Рис 59
перенос т, такой что пересечение D\ и т(^2) равно 1\ =»
== т (^г) - Более того, Dx U хфъ) — деревянный паркет без
наростов, число вращения которого не больше числа вра-
вращения скелета D.
Скелет Z?iUt(Z>2) назовем редуцированным из скеле-
скелета D посредством вырезания змеи Z.
Замечание. При помощи операции редукции мож-
можно из ломаной змеи получить лестницу и из лестницы —
змею. Редукцией можно превратить несколько узлов
ветвления в один узел (другого типа). Это же касается
и развилок. На рис. 59 изображена редукция несколь-
нескольких развилок типа тройник к развилке более сложного
вида. Операция редукции позволяет также выбрасывать
развилки (нужно применить редукцию несколько раз).
Теперь мы в состоянии сформулировать теорему, клас-
классифицирующую скелеты деревянных паркетов с числом
вращения, не превосходящим пяти.
Теорема 1 ([41]). (Классификация скелетов.) Все
деревянные скелеты с числом вращения, не превосходя-
превосходящим пяти, получаются редукцией из трех канонических
типов скелетов, приведенных на рис. 60.
Тремя черточками изображается ломаная змея, при-
причем черточки параллельны ее направляющей.
Двумя пересекающимися черточками изображается
лестница, причем черточки параллельны двум ее направ-
направляющим.
154
Одной черточкой изображается змея, причем черточка
параллельна позвоночнику змеи.
Точкам соответствуют развилки типа тройник (см.
рис. 57).
Замечание. Если рассматривать диаграммы кано-
канонических типов как плоские 2-деревья, то легко заметить,
что они представляют собой как раз все возможные пло-
плоские 2-деревья с шестью концевыми точками.
Рис. 60
Опишем теперь возможные расположения наростов
паркета на его скелете. Для этого нам понадобится по-
понятие боковины скелета.
Контуром паркета назовем границу паркета, рассмат-
рассматриваемого как замкнутую подобласть плоскости. Рассмот-
Рассмотрим какую-нибудь крайнюю ячейку скелета и выбросим
из контура скелета то ее ребро, которое пересекается с
позвонком этой ячейки. Переберем все крайние ячейки
Внешняя сторона
Рис. 61
скелета, проделывая ту же операцию. Контур скелета
распадется на ломаные, которые мы и будем называть
боковинами скелета. Внешней стороной боковины назо-
назовем внешнюю по отношению к скелету ее сторону
(рис. 61).

Отметим, что боковины скелета паркета с числом вра-
вращения, не превосходящим пяти, обладают теми же свой-
свойствами, что и позвоночники линейных участков таких
паркетов. Поэтому за соответствующими боковинами мы
сохраним названия змеи, лестницы и ломаной змеи.
Теорема 2 ([41]). (О расположении наростов.)
1. На боковину, являющуюся змеей, можно посадить лю-
любое число наростов (рис< 62,а).
2. Для боковины-лестницы существует две возмож-
возможности.
а) Наросты размещаются произвольным образом толь-
только на отрезках одного направления {рис. 62, б).
б) Задано некоторое разбиение лестницы на три по-
последовательные ломаные, средняя из которых может быть
пустой. При этом средняя ломаная состоит из четного
числа звеньев и угол между первой парой ее звеньев,
измеренный с внешней стороны, равен 120°.
На средней ломаной наростов нет. На первой ломаной
наросты могут располагаться произвольным образом на
отрезках, имеющих направление ее последнего звена,
а на последней ломаной — на отрезках, имеющих направ-
направление ее первого звена {рис. 62, в).
3. Боковину, являющуюся ломаной змеей, представим
в виде объединения трех частей, крайние из которых
представляют собой максимально возможные лестницы,
а средняя, которая может быть пустой,^— все остальное.
На среднем участке можно посадить произвольное число
наростов только на отрезки, параллельные направляю-
направляющей боковины. На крайние- лестницы можно сажать на-
наросты следующим образом.
Рассмотрим отрезок боковины, соседний с крайней
лестницей. Если угол между ним и соседним отрезком а
лестницы, измеренный с внешней стороны боковины, ра-
равен 120°, то наросты можно крепить только на отрезки
лестницы, параллельные отрезку а. Если этот угол ра-
равен 240", то на лестницу можно сажать наросты по пра-
правилу 2 {рис. 62, г, д).
Теперь классификация возможйых минимальных 2-де-
ревьев с выпуклым множеством граничных точек полу-
получается из предложений 3 и 4 и теорем 1 и 2.
Можно показать, что любое плоское 2-дерево, являю-
являющееся двойственным графом к паркетам, описанным в
теоремах 1 и 2, может быть реализовано как минималь-
минимальное дерево с выпуклым множеством граничных точек.
Таким образом, полученная классификация полна.
156
лл/J
Рис. 62

3. Некоторые результаты исследования минимальных
сетей, затягивающих вершины правильных многоуголь-
многоугольников. Мы начнем этот пункт с несложного алгоритма
(см. [42]), позволяющего для данного конеч-
конечного множества М точек плоскости с помощью циркуля
и линейки построить минимальную сеть, затягивающую
М. Для этого достаточно знать структуру этой минималь-
л=9
Рис. 63
ной еети как плоского 2-дерева и соответствие между
концевыми точками этого 2-дерева и точками множества
М. Проиллюстрируем идею, положенную в основание это-
этого алгоритма, на примере построения минимальной сети
для множества М вершин треугольника ABC, у которого
все углы не превосходят 120°.
Выберем любую пару вершин треугольника, напри-
например А и В, и построим на стороне АВ правильный тре-
треугольник ABD, так чтобы точки С и D лежали по раз-
разные стороны отрезка АВ. Опишем вокруг треугольни-
треугольника ABD окружность.
Ясно, что единственная точка ветвления V минималь-
минимальной сети лежит на меньшей дуге d этой окружности,
соединяющей точки А и В. Более того, V лежит и на
луче DC (докажите). Соединив построенную точку V с
вершинами треугольника ABC, мы получим нашу мини-
минимальную сеть (рис. 63, а).
Если у треугольника ABC есть угол, больше или рав-
равный 120°, то соответствующая минимальная сеть не яв-
является 2-деревом. В этом случае можно проделать то же-
самое построение, однако углы между отрезками, соеди-
соединяющими точку V пересечения луча DC и окружности
с вершинами треугольника, уже не будут попарно равны.
158
0
© vV/v
у\/\/\А/\лл7

Для четырехугольника ABCD построение состоит из
двух аналогичных шагов. На рис. 63, б изображена ми-
минимальная сеть, затягивающая вершины квадрата. Ра-
Разобьем вершины квадрата на пары, состоящие из гранич-
граничных вершин сети, для которых выходящие из них ребра
сети встречаются в одной точке ветвления, и выберем
одну из этих пар, например А ж В. Точку ветвления,
ХАААААААА/
Рис. 65
в которой встречаются ребра минимальной сети, выходя-
выходящие из А и В, обозначим через V, а оставшуюся точку
ветвления — через W.
Построим на стороне АВ равносторонний треуголь-
треугольник ABE. Вершину Е этого треугольника поместим та-
таким образом, чтобы она и точка ветвления V лежали
с разных сторон от АВ (рис. 63, в).
Рассмотрим теперь треугольник CDE и описанным
выше способом построим для него минимальную сеть.
Точка ветвления этой сети совпадает с W.
Минимальная сеть для вершин квадрата ABCD полу-
получается так. Опишем вокруг треугольника ABE окруж-
окружность. Точка пересечения этой окружности с построенной
160
0 УуХЛЛЛ
Рис. 66
©-
©
ЛЛЛЛЛДЛЛЛ/
V
11 А. А, Тужилии, А. Т. Фоменко

минимальной сетью и есть точка ветвления V искомой
«ети (докажите). Осталось соединить точку V с верши-
вершинами А л В.
Эти идеи легли в основу алгоритма построения мини-
минимальных сетей с заданным множеством граничных точек.
Этот алгоритм был реализован на компьютере. Мы не
лриводим здесь подробного описания этого алгоритма
Рис. 68а
яз-за недостатка места. На рис. 64 приведены минималь-
минимальные деревья, построенные на ЭВМ.
Компьютерный эксперимент позволил сформулировать
ряд гипотез об устройстве минимальных 2-деревьев, за-
затягивающих вершины правильных га-угольников. Неко-
Некоторые ив этих гипотез удалось доказать. Приведем здесь
Ш
часть полученных А. О. Ивановым и А. А. Тужилиньн*
результатов. \
Предложение 8. Для любого п на вершины пра-
правильного п-угольника можно натянуть минимальное 2-де-
рево типа змея единственным с точностью до движения-
образом (рис. 65).
Предложение 9. Для любого и = 6/с + 3, /с>0>,
На вершины правильного п-угольника можно натянуть-
Рте. 686
минимальное 2-дереео типа тройник (см. рис. 57, о}
единственным, с точностью до движения, образом
(рис. 66). Эта сеть инвариантна относительно поворота
вокруг центра п-уголъника на 120°.
Существует по крайней мере еще одна бесконечная
серия минимальных деревьев — это змея с парами сим-
симметричных наростов, расположенных вблизи центра змеи
(рис. 67). А. О. Ивановым и А. А. Тужшганым полу-
163.

чены оценки на аозможное расположение этих наростов,
которые мы не приводим из-за недостатка места.
На рис. 68 приведены представители, по-видимому,
конечной серии (как показывает компьютерный экспери-
эксперимент) минимальных деревьев, реализующейся на ге-уголь-
никах при п =¦ 24, 30, 36, 42. Отметим, что, так как соот-
соответствующие паркеты имеют один узел ветвления и шесть
донцов, на этих сетях не может быть наростов.
ДДЛЛЛ7\7У
V
Рис. 69
На рис. 69 приведен пример сети, соответствующий
паркет которой имеет один узел ветвления, четыре конца
я один нарост.
,164
Приведенные примеры показывают, что задача клас-
классификации минимальных 2-деревьев, множества гранич-
граничных точек которых представляют собой вершины пра-
правильных многоугольников, нетривиальна.
Добавление 2. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАМКНУТЫХ
МИНИМАЛЬНЫХ СЕТЕЙ НА ПЛОСКОМ
ДВУМЕРНОМ ТОРЕ
Во введении рассказывалось о замкнутых минималь-
минимальных сетях на стандартной сфере. Задача описания замк-
замкнутых минимальных сетей на двумерной замкнутой
ориентированной поверхности рода g, g S* 1, является
«ще одним интересным обобщением задачи Штейнера
•(см. Добавление 1). А. Т. Фоменко {2] высказал гипо-
гипотезу, что эта задача может оказаться проще, чем задача
«писания минимальных сетей на плоскости.
Действительно, И. В. Шклянко [34] анонсировала
теорему классификации замкнутых минимальных сетей
на плоском двумерном торе (т. е. в случае f = 1). Од-
Однако полное доказательство И. В. Шклянко не получила.
А. О. Иванов и А. А. Тужилин установили справедли-
справедливость анонсированных И. В. Шклянко результатов. Кро-
Кроме того, А. О. Ивановым и А. А. Тужилиным была пред-
предложена более геометрическая классификация таких се-
сетей, изложению которой и посвящено настоящее добав-
добавление.
Напомним, что на стандартной сфере S2 существует
и точности 10 неизометричных замкнутых минимальных
*етей. На каждом фиксированном плоском торе ситуация,
Йак мы увидим, принципиально иная. Во-первых, мини-
минимальные сети на плоском торе можно деформировать
Ь классе минимальных сетей, не меняя их топологиче-
топологического устройства. Во-вторых, на каждом торе существует
бесконечно много сетей разной топологии.
Приведем- сначала описание плоских двумерных то-
ТЭЪв с точностью до изометрии. Плоский тор Т2 можно
определить как параллелограмм ABCD, у которого отож-
отождествлены пары (АВ, CD) и (ВС, DA) противополож-
противоположных сторон. Каждый параллелограмм порождает стан-
стандартное разбиение плоскости на конгруэнтные ему па-
|тяяелограммы. Это разбиение получается, если сдвигать
параллелограмм ABCD на векторы кАВ + 1ВС, где к, I e
185

e Z. Ясно, что каждой точке плоскости можно одно-
однозначно поставить в соответствие точку построенного по
ABCD плоского тора Т2. Возникает естественное отобра-
отображение л: R^-rT2, которое называется универсальным
накрытием тора Т2,
Рассмотрим множество L точек плоскости, которые
получаются из вершин А, В, С, D параллелограмма сдви-
сдвигами на векторы kAB + IBC, к, /gZ. Это множество
называется решеткой, порожденной параллелограммом
ABCD (соответствующим плоским тором). Две решетки
называются изометричными, если их можно совместить
движением плоскости. Отметим, что неконгруэнтные па-
параллелограммы могут, вообще говоря, задавать изомет-
ричные решетки (постройте пример).
Напомним, что два римановых многообразия называ-
называются изометричными, если между ними существует диф-
диффеоморфизм, сохраняющий метрику. Несложно показать,
что имеет место следующее
Предложение 1. Два плоских тора изометричны
тогда и только тогда, когда изометричны порожденные
ими решетки.
Таким образом, из предложения вытекает, что некон-
неконгруэнтные параллелограммы могут задавать некоягруэнт-
ные торы. Поэтому для описания классов изометрии пло-
плоских торов удобнее воспользоваться порожденными па-
параллелограммами решетками. В действительности нас
будут интересовать более широкие классы торов, а имен-
именно классы подобных торов (два плоских тора подобны^
если подобны соответствующие решетки). Опишем их
более подробно.
Пусть на плоскости фиксировано начало координат
О и пара (е, f) линейно независимых векторов. Тогда
точки вида ке + И, к,1^Ъ>, очевидно, образуют решет-
решетку L. Более того, каждую решетку можно задать таким
образом. Вообще говоря, различные пары векторов могу*
задавать одинаковые решетки. (Несложно показать, что
для любой целочисленной B X 2) матрицы А с опреде-
определителем единица пара векторов {Ае, At) задает решет-
решетку, совпадающую с L.) Для описания решеток, соответ-
соответствующих классам подобных торов, нам понадобится
так называемая модулярная фигура.
Фиксируем на плоскости стандартный ортонормаль-
ный базис ei, вг и соответствующие декартовы коорди-
координаты (х, у).
106
Определение. Модулярной фигурой называется
часть верхней полуплоскости у > 0, лежащая вне единич-
единичного круга в полосе 0 =s? x =s? 1/2,
Рассмотрим множество Р всех решеток, порожденных
векторами (ei, f), где вектор f лежит в модулярной
фигуре. v
Предложение 2. Классы подобных торов находят-
находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством
решеток Р.
Таким образом, поскольку подобие, очевидно, не ме-
меняет геометрии минимальных сетей, мы будем в даль-
дальнейшем предполагать, что плоский тор Т2 порождается
решеткой L = {ке1 + Ш, к, I e Z}, где ei, ег— стандарт-
стандартами ортонормальный базис, а вектор f лежит в модуляр-
модулярной фигуре.
Напомним, что сетью на произвольном гладком мно-
многообразии называется совокупность отрезков гладких кри-
кривых (ребер сети), пересекающихся только по концам в
вершинах сети. Длина сети на римановом многообра-
многообразии — это сумма длин всех ее ребер. Сеть называется
(локально) минимальной, если достаточно малые по амп-
яитуде возмущения достаточно малых ее фрагментов
увеличивают длину сети.
Наша задача — описать все замкнутые (т. е. без гра-
граничных точек) минимальные сети на плоских торах. Яс-
Ясно, что локальное устройство таких сетей такое же, как
у минимальных сетей даа плоскости. А именно, ребра
минимальных сетей на произвольном плоском торе пред-
Ьтавляют собой прямолинейные отрезки, встречающиеся
р вершинах сети под углами, не меньшими чем 120°.
Более того, каждая вершина замкнутой сети имеет сте-
степень три.
Пусть Г — произвольная замкнутая минимальная сеть
на плоском двумерном торе Т2, я: R2 -*- Т2 — универ-
универсальное накрытие, Г' = я~'(Г)—поднятие сети Г на пло-
Ькость R2. Ясно, что Г' представляет собой «бесконеч-
«бесконечную» минимальную сеть на R2, ребра которой — прямо-
прямолинейные отрезки, встречающиеся по три в вершинах
сети под углами в 120°. Минимальная сеть Г и ее под-
поднятие на плоскость — сеть Г' — разбивают тор (соответ-
(соответственно плоскость) на шестиугольники с углами по 120°.
Такие шестиугольники назовем ячейками сети.
Сеть Г' обладает следующим свойством «периодично-
«периодичности». Пусть П — параллелограмм, порождающий тор.
Рассмотрим соответствующее разбиение плоскости на
167

конгруэнтные П параллелограммы П, (вершины этого
разбиения совпадают с вершинами порождающей тор
решетки). Тогда фрагменты сети Г' внутри любых двух:
параллелограммов П4 и П, конгруэнтны. Обратно, если
имеется «периодичная» (в том же, что и выше, смысле)
плоская сеть, то она порождает сеть на торе. Таким
образом, задача описания замкнутых минимальных сетей
на торе Т2 сводится к описанию «периодичных» (по от-
отношению к задающей тор Т2 решетке) минимальных се?
-тей на плоскости.
Чтобы описать все такие сети, нам понадобятся еле--'
дующие определения.
Пусть т — произвольный сдвиг на R2- Тогда т порож-'
дает единственную изометрию т тора Т2, а именно, если
t^T2 — произвольная точка тора, то x(t) = n(x(n~1(t)))\.
Такие изометрии тора будем называть сдвигами на
торе.
Определение. Минимальную сеть на торе назо-
назовем правильной, если все ее ячейки могут быть получены
из фиксированной ячейки некоторыми сдвигами.
Определение. Две сети на торе Т2 назовем экви-
эквивалентными, если существует непрерывное семейство ф\г
?е [0, 1], гомеоморфизмов тора на себя такое, что ф|(=й
совпадает с тождественным преобразованием, а гомео-
гомеоморфизм ц> — <f\t=\ переводит одну сеть в другую. Дру-
Другими словами, две сети на торе эквивалентны, если одну
из них можно перевести в другую непрерывно деформи-1
руя тор.
Итак, наша цель — расклассифицировать замкнутые
минимальные сети на Т2 с точностью до эквивалент-
эквивалентности.
Теорема 1. Для каждой замкнутой минимальной
сети на плоском двумерном торе существует эквивалент-
эквивалентная ей правильная минимальная сеть.
Таким образом, наша классификация сводится к опи-
описанию правильных минимальных сетей. Формулировка
теоремы 1 принадлежит И. В. Шклянко [34].
Разобьем ребра произвольной минимальной сети Г с
<= Т2 на три класса. Для этого рассмотрим поднятие Г'
сети Г на (R2 и разобьем множество ребер сети Г', от-
отнеся к одному классу взаимно параллельные ребра. Яс-
Ясно, что это разбиение корректно определяет разбиение
ребер сети Г. Эти классы будем называть классами па-
параллельности.
«8
Определение- Сетевой геодезической в замкнутой
минимальной сети Г <= Т2 (в «бесконечной» минимальной
плоской сети Г' cr R2) назовем каждую ломаную, состав-
составленную из ребер этой сети, принадлежащих не более чем
двум классам параллельности.
Пусть icR2- решетка, порождающая тор Т2 (см.
выше), и пусть фиксирована точка ОеК2 — начало ко-
координат. С помощью сдвигов можно добиться того, что-
чтобы начало О совпадало с одной из вершин сети Г'. Вы-
Выпустим из О всевозможные сетевые геодезические «лу-
«лучи» i< до первой точки At решетки L. Ясно, что суще-
существует ровно шесть таких лучей. Отметим, что каждая
сетевая геодезическая OAt состоит, очевидно, из четного
числа звеньев.
Пусть (ри qt) — координаты точки А( в стандартном
ёазисе (е, f) решетки L. Отметим, что числа (pt, qf)
взаимно просты. Пару (pif g<) назовем типом сетевой
геодезической i<. Пусть <р4 — неотрицательный аргумент
точки с координатами (р„ qt), 0*?<р{<2я. Без ограниче-
ограничения общности будем считать, что точка А\ обладает наи-
наименьшим аргументом ф1 среди всех А{, а Аэ.— наимень-
наименьшим аргументом среди Ач, ..., As. Без ограничения общ-
общности можно предполагать, что геодезические лучи ii
и 12 пересекаются лишь по точке О. В самом деле, если
они пересекаются по ребру, то перенесем начало О в
другую точку этого ребра и проделаем все описанные
выше построения. Ясно, что при этом типы геодезиче-
геодезических fj не изменятся. Полученную в результате пару
сетевых геодезических лучей ii и ^ назовем канониче-
каноническим базисом сети Г.
Пусть ii, i2 — канонический базис сети Г, и пусть
(Pi ?)— ,™п ii, a (r, s)— тип 12- .
Определение.- Матрицу М=( 1 назовем мат-
матрицей типов сети Г. ^
Легко видеть, что матрица типов М невырожденна и,
45олее того, имеет положительный определитель.
Пусть 1 — произвольная сетевая геодезическая, со-
состоящая из четного числа п ребер. Число пар ребер, со-
составляющих такую геодезическую, т. е. га/2, назовем
длиной геодезической i.
Пусть m и га — длины базисных геодезических ii и 1г
соответственно (напомним, что каждая базисная геоде-
8ическая состоит из четного тчисла звеньев), а М — '
(р Л
?= [ —матрица типов.
169

Определение. Тройку (М, т, га) назовем типом
сети Г.
Нетрудно показать, что при фиксированной решетке
L тип полностью и однозначно (с точностью до эквива-
эквивалентности) определяет сеть Г. Поэтому для описания
всех замкнутых минимальных сетей на двумерном торе
Т2 достаточно описать возможные типы всех таких се-
сетей. Центральную роль при получении этого описания
играет следующее утверждение.
Утверждение. Пусть Г с= Т2— замкнутая мини-
минимальная сеть типа (М, m, n), a А— определитель мат-
матрицы типов М. Тогда тип делятся на Д.
Определение. Тройку (М, тп, п) назовем допу-
допустимой, если
а) М—I г) — целочисленная матрица с положи-
положительным определителем А такая, что пары (р, q) и (г, s)
состоят из взаимно простых чисел;
б) тп и га — целые положительные числа, кратные А.
Из сказанного выше следует, что тип каждой замкну-
замкнутой минимальной сети на произвольном плоском торе
является допустимой тройкой. Оказывается, что верно и
обратное. Таким образом, имеет место следующая
теорема.
Теорема 2. Тип (М, тп, п) каждой замкнутой ми-
минимальной сети Г <= Т2 является допустимой тройкой.
Каждая допустимая тройка является типом некоторой
замкнутой минимальной сети Г на некотором пло-
плоском торе.
Теорема 2, однако, не позволяет ответить на следую-
следующий естественный вопрос: ^можно ли на данном плоском
торе построить замкнутую минимальную сеть заданного
топологического типа. Простой геометрический способ
проверить это дает следующая теорема.
Теорема 3. Пусть (М, пг, п) — допустимая тройка,
М = ( j> a T2 — некоторый фиксированный плоский
тор, заданный решеткой L. Рассмотрим треугольник ОАВ,
где О — начало координат, выбранное, как выше, А =
— (р, q)/m = Ai/m, 5 = (г, s)Jn = A2/n в базисе (е, I)
решетки L. Тогда на торе Т2 существует замкнутая ми-
минимальная сеть Г типа (М, тп, п) в том и только том
случае, когда все углы треугольника ОАВ меньше 120°.
Таким образом, чтобы понять, существует ли ае пло-
плоском торе, порожденном решеткой L, замкнутая мини-
170
мальная сеть данного типа, достаточно в связанных с
решеткой стандартных координатах построить треуголь-
треугольник ОАВ и измерить у него углы.
Этот простой геометрический критерий существования
замкнутой минимальной сети данного типа дает возмож-
возможность получить ряд нетривиальных следствий.
Следствие 1. Если на данном плоском торе Т2
существует замкнутая минимальная сеть Г типа (М, тп,
п), то на атом торе существуют замкнутые минимальные
сети типа (М, km, kn), где к —любое, fceZ, 1с>0.
Следствие 2. На каждом плоском торе существует
бесконечно много неэквивалентных замкнутых минималь-
минимальных сетей.
Следствие 3. Малые шевеления плоского тора Т
в классе плоских торов не разрушают замкнутую мини-
минимальную сеть Г сг Т2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дубровин В. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.
Современная геометрия: Методы и приложения.— 2-е изд., пе-
рераб.— М.: Наука, 1986.
2. Дао Чонг Тхи, Фоменко А. Т. Минимальные поверх-
поверхности и проблема Плато.— М.: Наука, 1987.
3. Hildebrandt S., Tromba A. Mathematics and optimal
form,— An imprint of Scientific American Books: Inc., New York,
1984.
4. T у ж и л и н А. А., Фоменко А. Т. Многозначные отобра-
отображения, минимальные поверхности и мыльные пленки Ц Вестн.
МГУ. Сер. 1. Математика, механика,—1986.—Вып. 3 —С. 3—12.
5. S с h о е n R. Uniqueness, symmetry and embeddedness of mi-
minimal surfaces // J. Diff. Geom.— 1983.— V. 18.— P. 791—809.
6. Morgan F. A smooth curve in R3 bounding a continuum mi-
minimal surfaces Ц Arch. Rat. Mech. Anal,— 1981 — V. 75, № 2.—
P. 193-197.
7. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной
геометрии. Т. 1; Пер. с англ.— М.: Наука, 1981.
8. В е к у а И. Н. Обобщенные аналитические функции,— 2-е изд.,
перераб.— М.: Наука, 1988.
9. Оссерман Р. Минимальные поверхности Ц УМН.— 1967.—
Т. 22, вып. 4.— С. 55—136.
10. Meek s W. H. III. The classification of complete minimal sur-
surfaces in R3 with total curvature greater than — 8я / Duke-
Math. J.— 1981.— V. 48, № 3.— P. 523—535.
11. El is a M., d'Oliveira G. G. Some new examples of пошк
riented minimal surfaces / Proc. Amer. Math. Soc—1986.—
V. 98, № 4— P. 629—636.
12. К u z n e r R. Conformal geometry and complete minimal surfa-
surfaces / Bull. Amer. Math. Soc—1987.—V. 17, № 2 —P. 291—295.
13. К1 о t z Т., S a r i о L. Existens of complete minimal surfaces .
of arbitrary connectivity and genus / Proc. Nat. Acad. Sci
USA.— 1965.— V. 54, № 1.— P. 42-44.
14. J о r g e L. P., M e e k s W. H., III. The topology of complite-
minimal surfaces of finite total gaussian cunature // Top.—
1983.-V. 22, № 2 — P. 203—221.
15. T о р п Д ж. Начальные главы дифференциальной геометрии —
М.: Мир, 1982.
16. Н о f f m a n D, The computer aided discowery of new embed-
embedded minimal surfaces / Math. Intell.— 1987.- V. 9. № 3 —
P. 8-21. ' '
17. П л у ж н и к о в А. И. Некоторые свойства гарлонических ото-
отображений в случае сфер и групп Ли // ДАН СССР.—1983 —
Т. 268, № 6- С. 1300-1302.
172
18. Тырин А. В. О свойстве отсутствия локальных минимумов-
у многомерного функционала Дирихле // УМН.— 1984.— Т. 39,.
вып. 2.— С. 193-194 ,
19. В е е s о п М., Т г о in b a A. The cusp catastrophe of Thorn in
bifurcation of minimal surfaces // Manuscr. Math.—1984.—
V. 46.— P. 273—307
20. В a r b о s a J L С a r m о М. Do. On the size of a stable mi-
minimal surfaces in Rs / Amer. J. Math.— 1976.— V. 98, № 2.—
P. 515-528.
21. Carmo M Do Peng С. К. The stable minimal surfaces m
R3 are planes //' Bull. Amer. Math. Soc—1979.—V. 1, № 6.—
P. 903-906.
22. Fischer-Colbrie D. On complete minimal surfaces with
finite Morse index in three-manifolds // Invent. Math.— 1985.—
V. 82, № 1 — P. 121—132.
23 T у s k J. Eigenvalue estimates with applications to minimal
surfaces // Pacific J. Math,- 1987.- V. 128, № 2— P. 361-366.
24. L о p e z F., R о s A. Complete minimal surfaces with index one
and stable constant mean curvature surfaces / Preprint, Granadar
1987.
25. R a s s i a s Т. М. Foundations of global non-linear analysis //
Teubner-text zur Math — 1986.— V. 88, № 1.— P. 62—105.
26. S i m о n s J. Minimal varieties in Riemannian manifolds // Ann.
Math. Ser. 2.— 1968.— V. 88, № 1.— P. 62—105. [Русский пере-
перевод: Саймоне Дж. Минимальные поверхности в римановых
многообразиях / Математика, сб. перев.— 1972.— Т. 16, № 6.—
С. 60—104. Саймоне Дж. Минимальные подмножества ри-
римановых многообразий. Целочисленные потоки и минимальные-
поверхности. Сб. статей.—М.: Мир, 1973 —С. 132—202.1
27. S m a I e S. On the Morse index theorem // J. Math. Mech.—
1965.—V. 14, № 6.—P. 1049-1055.
28. T у ж и л и н А. А. Индексы двумерных минимальных поверх-
поверхностей И Геометрия и теория особенностей в нелинейных урав-
уравнениях.— Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987.— С. 70—76.
29. Ту жилин А. А. Индексы двумерных минимальных поверх-
поверхностей вЕ!/ Избранные вопросы алгебры, геометрии и диск-
дискретной математики.—М.: Изд-во МГУ, 1988.—С. 123—129.
30. Б о р и с о в и ч А. Ю. Оператор Плато и бифуркация двумер-
двумерных минимальных поверхностей / Глобальный анализ и мате-
математическая физика.— Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987.— С. 142—
154.
31. Jaco W., Rubinstein J. H. PL minimal surfaces in 3-ma-
nifolds // J. Diff. Geom.— 1988-V. 27 — P. 493-524.
32. Jaco W., Rubinstein J. H. PL equivariant surgery and
invariant decomposition of 3 manifolds // Advances in Math.—
1989.-V. 73, №2 — P. 149-151.
33. И в а н о в А. О., Т у ж и л и н А. А. О деформации многооб-
многообразия, уменьшающей объем с максимальной скоростью /
Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика.— 1989.— № 3.—
С. 14-18.
34. Ш к л я н к о И. В. Одномерная задача Плато на поверхно-
поверхностях II Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика.— 1989.—
№ 3.— С. 8—11.
35. В г о w n R. G. Enumeration of triangulations of the disk /
Proc. London Math. Soc— Ser. 3.—1964.— V. 14. № 56.—
P. 746—768.
173

36, Xa papa Ф Палмер Э. Перечисление графов.— М.: Мир,
1977.
37. Вариационные принципы механики/Сборник статей под ред.
' Л. С Поляка.— М.: Физматгиз, 1959.
38 АрнольЯ В. И. Математические методы классической меха-
' ники.- U- Наука, 1989
39 Fells J-. Lemair L- A report on harmonic maps / Bull.
London Math- Soc- 1978.- V. 10, № 1- P. 1-68.
40 Fells J-. Lemair L. Selected topics in harmonic maps //
' Regional cons- ser- in math.— 1983.— V. 50,— (Conf. board of
the math, sciences USA: N. S. F.).
41 Иванов A. °-i Тужилин А. А. Решение задачи Штей-
нера для выпуклых границ // УМН.— 1990.— Т. 45, вып. 2.—
С. 207—208-
42 М е I % a k Z. A. On the problem of Steiner // Canad. Math.
' Bull — 1961 — V. 4.— P. 143—148.
43 Gilbert B. N., Pollak H. O. Steiner minimal tiees II
' SIAN J. APP1- Math.-.1968-V. 16, № 1.-P. 1-29.
¦54. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия:
Введение.-" м-: МиР' 1989-
Научное издание
ТУЖИЛИН Алексей Августинович
ФОМЕНКО Анатолий Тимофеевич
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ
МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Серия «Современная математика для студентов»
Выпуск 2
Заведующий редакцией А. П. Баева
Редактор В. В. Абгарян
Художник А. М. Пономарева
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технические редакторы Т. М. Андреева, Л. В. Лихачева
Корректор Л. С. Сомова
ИБ М1. 41437
Сдано в набор 26.11.90. Подписано к печати 26.09.91. Формат
84x108/32. Бумага газетная. Гарнитура обыкновенная но-
новая. Печать высокая. Усл. печ. л. 9,24. Усл. кр.-отт. 9,66. Уч,-
изд. л. 9,58. Тираж 5750 экз. Заказ Ni 540. Цена 2 р.
Издательско-проиэводстванное
и книготорговое объединение «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука» •
630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25